у) = (iT’ 213)•
—4—4—33—v---------—^ при (u; v) = (it1; —
(u4 + v4)(u3 + u2v + uv2 + v3) ^ 16 16
1127. Если возможно, найдите значение выражения:
а)
б)
а)
б)
в)
- при значении переменной u, равном -2; -1,5; 3;
u2 - u - 6
v12 -1 “ 9 1 q
—^—=------5—=-----при значении переменной v, равном -2; 1; 3.
(v4 + v2 +1)(v3-v2 + v-1)
1128. Рациональной дробью представьте выражение:
4 a2b 9b
(2a - 3)2 (3 - 2a)2
m2 , 9n2
(m - 3n)3 (3n - m)3
u2v + 16
u2 + 16v
(v - 1)(u - 4) uv - u - 4v + 4’
Правообладатель Народная асвета
319
г)
д)
3р3 - 81д3
+ 81 р2q - 54pq^ + 9q3 ; 18pq^ + 6р2q + 2р3 2pq2 - 12p2q + 18p3 ’
8 - 8w + 2w2 w
w4 - 4w3 + 16w -16 w2 - 4’
3-p
e) p + ^ _ _________.
p3 - 3 p2 - 4 p + 12 p2 - 5 p + 6
1129. Докажите, что при всех наборах значений переменных из области определения значение выражения:
а) (а - 2b)2 - 8b2(2b2 - “2)
б)
а)
3 е + 2
(2b + а )2 18 е
неотрицательно;
1
9е2 - 6е + 4 27е3 + 8 3е + 2
1130. Упростите выражение
равно нулю.
x+ 2 у ; в) / x + у x - у \ . 4 xy ;
у у) x+2 \x - у x + у / 2 2 ; x - у
x+ 2 1 • у ; г) (x - у + x + у\ . x2 - у2
у 3 у) 6 x + 4 ’ V x + у x - у/ x2 + у2
1131. Упростите выражение:
а) (S- + 1). 1+L;
' \е + 1 / 2е -1
б) - а ■а +2
а)
в) - 2х\,
' \2x- 3 2 x + 31 \2x 3 1
г) (3b-■
6b2 \ 25 - 20b + 4b2
2 - ^ а - 2^ К''' 2b - 5) 12b3 - 75b
1132. Упростите выражение:
а2 - b2 . а - b 1;
3а 3 2;
. аb + b2 b3 а + b
в) ----: — +----;
'^5 5 а b ’
а2 - b2 а2 - аb 1
б)----------------+ —;
20а 5 а
г)
а - b 7 b а2 - аb
а 5а2 7b '
1133. Упростите выражение:
а)
б)
в)
г)
320
а2 - 25 _ 1+а а - 7;
4 а + 4 5 - а 6 ;
/ а а а2 +1'
\а -1 1 + а 1 - а2-
(4 9b2 - 8 2 а + 6b
I4 3b 2
( 2 а 4 а
V 2 + а а - 2 4 - а2
)2 ’
2
2b - 2
_2__+ а + 4а
Правообладатель Народная асвета
д)
10 а2 - Ь
3 + 5 а
- 2а|:
27 + 125а
3
е) (а +
а3 - ^ . (а + 1)3
а - 1! а2 - 1
1134. Рациональной дробью представьте выражение:
4 а
2
. а2 - аЬ
а) а2Ь - Ь3 + Ь3 - аЬ2 - а2Ь + а3
б) 4т2 - 8+ ‘2ln' - 9n2;
2m - 3n
в)
222 x - xz - xy + yz y - xy - yz + xz z - xz - yz + xy
V u + 2v 3w - u
г) ^^ +
3u - 3v 2w - 2u
uv + uw - vw - u
2
4p2 - 6pq + 9q2 ^ 9q2 - 4p2 ;
2p - 3q 3 - 6c 2c + 1
8p3+27q3
8 - c
3
д)
е)
ж)
з)
1135. Найдите значение выражения: а) (т + п) ■ (т - n), учитывая, что т '■ n = 5 ■ 3;
2c2 + 4 c + 8 c2 - 4 c + 4 4 c2 - 1’
d2 + de ^ d2 - e2 + 25 - 10d
5d - d2 + e2 - 5e d - e
r + s 16 - s2 - r2 - 2rs
2 2 r - 4s + 4r - s 2 . r + rs
б)
а2 - 2аЬ
2аЬ - Ь
, учитывая, что а ■ Ь = 2 ■ 5;
,.2 а - 3Ь + c ,(.0.0
в) ------, учитывая, что а ■ Ь ■ c = 4 ■ 3 • 2;
а + 2Ь + 3 c
. аЬ - 2Ьc + 3ac , о о
г) ---=------, учитывая, что а ■ Ь ■ c = 4 ■ 3 • 2.
а2 + 2ac
1136. Рациональной дробью представьте выражение:
а)
а2 - 4
а2 + 4 а + 4
б)
w2 + w - 1
в) ( ^
w3 - 27 w2 + 3w + 9
3 - 2пг.2п + 1^3,
hn
• (0,25g3 - 2nh2n +1)3;
321
Правообладатель Народная асвета
1
1
1
г) ^2(^ 2 ^ 4 * (a3(2x + 2^2)(3x2 - 3xy2 + 3y4);
x2 + xy2 + y
22 , 2p + 6pr - pq - 3qr . 2pr + pq + 3qr + 6r
Д) 2 * 2 ;
2pq - 4p + qr - 2pr 2pq + qr - 4pr - 2r
e)
21 - 1 31 + 2 \4 /^,1 - l 2 - 21 \3
u V \ u V ^
3 'wl + 3\5
a)
1137. Рациональной дробью представьте выражение:
u2 + (p + q)u + pq ^ u2 - r2 _ u2 - (p - r)u - pr u2 - p2 ’
2a2 + ab - 6b2 2a2 - 7ab + 6b2
б) 7T-2------------------------------
в)
k2 - kl + 4k - 5l - 5 k3 - 2k2l - 5k2 + 10kl + 25k - 50l
k2 - 4l2
k3 +125
г)
y4 + 2 y2 + 4
y8 - 16 .______________________
y2 + 2y + 2 y4 - 2y3 + 4y2 - 4y + 4'
д)
x2 + 8 1
x2 + 2x + 4 x3 - 8 x - ^ \x2 - 4 2 - x/’
),1 6 z - 4 - z2 2 - z \ z3 + 4 z2 + 8 z + 8;
2 - z z3 - 8 z2 + 2z + 4 / 4 - 4z + z2 - z3 ’
\ I r - 2s ж) ^^ +
2s2
r3 + s3 r3 - r2s + rs^ r3 - rs2 r3 + r2s + rs2 + s3
1 1
. l m - n
з) -Г7-Г- ■ I1 -
l m - n
m2 + n2 - l^ . m - n - l
2mn
lmn
1138. Выразите переменную t через другие переменные:
b-
ab
а)
a + b a2b2
t
ab ’
a - b
б) 42
4
в)
9 - 4e2 - 4cd - d2 3 + 2c + d
4c2 + 2cd + 3d - 9 m - n - 5
t
2 2 m +2mn- 5m -5n + n
г)
p - q + r
2 2 2 2 2 p - g + r + 2pr p + pq - qr - r
322
Правообладатель Народная асвета
a +
t
t
1139. Докажите, что значение выражения:
а)
x + 9
2x
x2 + 2 x + 1 1 - x2
2 x + ^2
при любом значении пе-
3 - x / 1 - x
ременной x из области определения не зависит от этого значения;
б)
■ + 1) :
6Ь
при любых наборах
2а - Ь ь2 - 4а2 2а + Ь;
значений переменных a и Ь из области определения не зависит от значения переменной Ь;
в) ^ ^) + -т^------
(г+s)3 ' r W r2 + s2 + 2rs
наборах значений переменных г и s из области определения;
■ ^ ^ ^ ^ ^ 1 о\ (и - 2v )^^
положительно при любых
) положительно при любых
г) + 2 / ^ - 1 + 2 (и-2v)2 + sua
4v3
2v2
4+
2u
наборах значений переменных u и v из области определения;
д)
I- J
i2 + J2 + i + 5
(2i - J - J2 + 2ij)(j2 + J + ij + i) : (5 + i + 2j2)
2i - J 2i2 + iJ - J2
неположительно при любых наборах значений переменных i и J из области определения и не зависит от значения переменной i;
1 1 1 1 1
е) + 2
1 - y 1 + y 1 + y2
1 + y4
1 + ys
1+y
16
1+y
32
отри-
цательно при любом значении переменной y, которое больше единицы.
1140. Учитывая, что x + 4^ = 1, найдите значение выра-
жения:
а)
4 x - 5 y _
~о ;
3x + y
б)
5 x - 7 y
3 x2 - 2 xy + y2 5x2 + 2 y2
в)
x3 - 3xy2 4 x2 y + 3 y3
1141. Сократите дробь:
а)
■ 2\j3 a + 3
б)
■4 C243 +12; c4 -12 ;
в)
■^xy
1+
a - 3
1142. Упростите выражение:
а) ^75x3y6, учитывая, что y < 0;
б) 4-Sca^, учитывая, что Ь > 0;
в) m3 - н3 + m2n - mn2, учитывая, что m > n > 0;
V U + yj UV , ^
г) ---j=, учитывая, что u < 0.
323
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
в) г)
а)
б)
в)
г)
д)
е)
а)
б)
в)
г)
324
1143. Упростите выражение:
4х 4у \ x - у.
^/X ^[у 4х +у[у
та + г-^ г- + );
4а +4ь' \4а +4ь 4а-4ь а-b'
2 4t - ^ ult +1 ^It - 1
t + 24t + 1 t - 1 2^[x2—1
4t
, учитывая, что x = 1 ^^ +
x ^x2 -1
1144. Упростите выражение
2 (43 - x 42 ^43
b I и b < а < 0.
3 + ^42
43
42
а - b
42а - ^ \ . а - 2 ______
42 + 4а / 4а-4b а -42а
i2 + W2
^ + 1 2 42
243
u - 42 \.
u -42 u + 42 /
42 '■•2
v4 + 2v2 + 4
'- qJ3
P +
3 p - Ы3
2s
+1 ^42
1145. Упростите выражение:
^+1
2 42
3q - P .
-1
P2 - Pq + W3 - Рл/3 2p - 2q ’
4stiis + 42)2 -12)
а - b / 4а 4Ь \
2 а + аЬ \ 4а -4ь 4а + 4ь Г
^4^ - 1й) ■ [4^1 + 41 +1 + 41 -1 41 -1 \ 41 + 1Г
[Pb - 4Ъс + c \ 1 4Ь + 4С + 24ьС
4Ь + 4С / \ 4ь +4 с + 4ь-4с ь - с Г
2z 1^+—+\1 у z \1у + z .
(у + z)4у + z - (у - z)4у - z
у - z у + z
+1
Правообладатель Народная асвета
u2 + 2
Д) - :IgL + : (g - h);
e)
^fg Wh g - h ^fg Wh
2( psIp - wq)
p - q
^[p Wq)(p + q^(p + q)2-(p-q)2) p + q^lip+qi^-ip-q)^
1146. Упростите выражение:
а)
3a + ^—г 13a + b3 /7;—r
3ab - ^1—3ab , учитывая, что значения
2^ V 2Ь
переменных a и Ь положительны;
б)
■^и4 - 6u3 - 9u2 ^4u4 - 4u3 + u2
учитывая, что значения пере-
u2 + 4u + 4
менной u принадлежат промежутку (0,5; 3);
, Jv^ - 4v + 3 + Jv2 - 3v „
в) -----, -----, учитывая, что значения переменной v
^6 - 2v
отрицательны.
1147. Докажите, что при всех значениях переменных из области определения постоянное значение имеет выражение:
а) cos в - sin а • sin в + sin р • cos р - sin а • cos р _
•2 •^•2 2 4 2 -20’
sin а • sin р - sin а • cos а - cos а + cos а • sin р
б)
2 2 (tg а + ctg а) - (tg а- ctg а)
- tg2 а - ctg2 а
• 2 2 sin а • cos а
1148. Упростите выражение:
а) ^sin2 а (1 - ctg а) + cos2 а(1 - tg а);
б) ^cos2 р(1 + tgр) + sin2 р(1 + ctgр);
в) ^У4cos2 а + 4cosа + 1 - -^4 - 4sin2 а;
г) ^2 - 2cos2 р + -^2sin2р - 2/2 sinр + 1.
1149. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) sin2 а + 2 cos2 а; в) 3 cos2 а - tg а ctg а;
б) 3 cos2 а - 4 sin2 а; г) 2 sin2 а + 3 tg а ctg а.
325
Правообладатель Народная асвета
Уравнения и неравенства
Из выражений с переменными с помощью отношений равно, меньше, больше и их отрицаний — не равно, больше или равно, меньше или равно образуются формулы:
A = B, A < B, A > B, A ^ B, A > B, A < B.
Формула-равенство A = B называется уравнением, формулы-неравенства A < B, A > B, A Ф B, A > B, A < B — неравенствами с переменными.
Значение переменной, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Решить уравнение означает найти все его корни или установить, что их нет.
Значение переменной, при котором неравенство с переменной обращается в истинное числовое неравенство, называют решением неравенства.
Решить неравенство означает найти все его решения или установить, что их нет.
Формула, которая обращается в истинное высказывание при любых наборах значений входящих в нее переменных, называется тождественно истинной формулой. Тождественно истинные формулы-равенства называют еще тождествами.
Из формул образуются их системы.
Системой формул называется формула, состоящая из двух или более формул и которая истинна при тех и только тех наборах значений переменных, при которых истинна каждая из формул.
Система, состоящая из формул A и B, обозначается
[A, lB.
Каждое значение переменной, удовлетворяющее системе формул, называется решением системы.
Решить систему означает найти все ее решения или установить, что их нет.
Решение уравнений, неравенств и их систем часто предусматривает сведение их к стандартным уравнениям или неравенствам. При этом полученное в результате преобразований уравнение, неравенство или система должны иметь
326
Правообладатель Народная асвета
те же решения, что и исходные уравнение, неравенство или система. В таком случае говорят о равносильных уравнениях, неравенствах, системах.
Преобразованиями равносильности уравнений или неравенств являются:
• перенос слагаемого из одной части уравнения или неравенства в другую с изменением его знака;
• умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с заменой знака неравенства знаком противоположного смысла.
Алгоритмы решения линейного и квадратного уравнений представляют схемы, приведенные на рисунках 457 и 458 соответственно.
Рис. 457
Рис. 458
327
Правообладатель Народная асвета
Рис. 459
Рис. 460
Алгоритмы решения линейных неравенств ax > b и ax < b показаны схемами, приведенными на рисунках 459 и 460.
1150. Вы знаете две средних величины положительных чисел a и b — среднее арифметическое a + b и среднее геометри-
ческое yfab. Используются еще среднее гармоническое ^ 2 ^ и среднее квадратическое
— + — a b
Докажите, что истинны
неравенства:
a2 + b2 ^ a + b
2 ^ ГГГ-
a b
328
Правообладатель Народная асвета
2
1151. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) а2 - ab + b2 > ab;
б) п2 + > 2uvw;
в) k(k - l) > l(k - l);
г) (x2 - y2)2 > 4xy(x - y)2;
д) m + n + mn < m2 + n2 + 1;
е) (^q + qr + rp)^‘ > 3pqr(p + q + r);
ж) /2(1 + g2) + g2(1 + h2) + h2(1 + /2) > 6fgh;
з) ^c2 + 2 < c2 + 3.
1152. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) а8 + а6 - 4а4 + а2 + 1 > 0;
б) 2b4 - 2b3 - b2 + 1 > 0;
в) c4 - c2 + 2c + 2 > 0;
г) d12 - d9 + d4 - d + 1 > 0.
1153. Докажите, что:
а) если а > 0 и b > 0, то \[а + sjb <
б) если c < d, то c < c + d < d;
P + ^ ^ r + s p + q^ ^ r + sk
то -----<----- и -------<------;
в) если — <
q s q s q
г) если f > 0, h > 0 и — < —, то — < ^ + g < —,
’ f ^ f f + h
1154. Решите уравнение:
а) 17а + 11 - 21а = 36 - 9а - 5;
б) 4b + 15 - 2b = 98 - 19b - 18;
в) 5d - 12 - 7d + 11 = 8 + 8d + 4;
г) 7f - 9 - 3f + 5 = 14f - 6 - f;
д) 5c - 9 - 6c = 10 - 15c - 15;
е) 16g - 12 + 2g - 8g = 25 + 3g - 22;
ж) 20u + 30 - 11u = 39 - 6u + 24;
з) 7v - 9 - 20v + 7 = 12v + 9 - 7v - 7.
1155. Решите уравнение:
а) 9(x + 3) - 6(x + 2) = 5(x - 1);
б) 3(8 - y) = 11(y + 2) - 6(y + 1);
в) 5 - 7(32 + 6) = 5(2 - 3) - 2(2 - 7);
г) 128 + 7(1 - 2t) = 4(5t + 2) + 5(8 - t);
329
Правообладатель Народная асвета
s
д) 8(3а - 1) - 9(5а - 11) + 2(7 - 2a) = 30;
е) 11(b - 4) - 3(4 - 3b) + 10(8 - 3b) = 4;
ж) 3(2с + 1) + 7(6с - 1) + 5(12с - 7) = 23;
з) 3(2u + 1) - 4(1 - 3u) - 5(6u - 7) = 1.
1156. Решите уравнение:
а) 10(9 - у) = 6 + 9y;
б) 9(17 - 4г) = 5(2 - 6);
в) 57 + 5 w = — w + 2w;
''7 4 ’
г) 0,15b + 0,1 = 5,1 + 0,1b;
д) 6,6 - 0,2g = 5(5g - 1) - 2,7g + 0,5g;
е) 0,36u - 3,4 = 0,3(0,4u - 1,2);
ж) 0,125x - 0,765x -5,425x + 1,85x = 1,2x - 5,375;
з) 7,2 - 0,855y - 34,1885 = 3,45y - 18,2 - 5,7y.
а)
1157. Решите уравнение:
x - 5 x - 4 x - 3 x -1
2
3
б) ^ + ii-y
32 9 z + 7
в) lz-
4
3y -1
" 5
z - 2
8
11(у +3).
г) 7+^ - 7u = ^1 _
д)
4
3a + 4
= 36;
2 - u
9
9 a + 44 + 3(3 a +10)
5a +12
, b +10 16b - 3
е) +
7 b - 6
b - 3
3
3(b - 3)
ж)
з)
3
3 e + 2 18-26d-51
20
5e - 8
42 3(2e + 1) e -1
24
2(1 - 3d)
36
= d -
10
2;
6 9’
20d - (10 - 3d)
52 13 156
1158. Решите уравнение:
ж) 2x = -x2 - 1;
з) 20x + 25x2 = -4;
и) -1 - 4x2 = 0;
к) 0,5x - x2 = 0;
л) 12 - 17x - 5x2 = 0;
м) 7x - 4x2 = -15.
а) 9x + 8x2 = -1;
б) 3 + 3x2 = 4x;
в) 25 - 10x + x2 = 0;
г) 4x - 4x2 = 1;
д) 3x2 - 4 = 0;
е) 8 + 9x2 = 18x;
330
Правообладатель Народная асвета
7
1159. Решите уравнение:
а) 2 - 9х2 = 0;
б) -15 - 2x2 = -11x;
в) -0,49 - x2 = 0;
г) 16x + 64 = - x2;
д) 13x + 3x2 = - 14;
е) 7x2 - 3x = 0;
ж) 5 = 2x - x2;
з) 16 + x2 = 8x;
и) 1 - 4x2 + 3x = 0;
к) -12x + 4 = -9x2;
л) 10x2 - 2 = x;
м) 25x2 + 40x + 16 = 0.
1160. Решите уравнение:
а) r2 - 20r - 800 = 0;
б) s2 + 21s + 108 = 0;
в) t2 - 21t + 108 = 0;
г) u2 + 22u + 120 = 0;
д) v2 - 22v + 120 = 0;
е) w2 + 23w + 132 = 0;
ж) x2 - 23x + 132 = 0;
з) y2 + 24y + 143 = 0;
и) 22 - 24z + 143 = 0;
к) a2 + 25a + 156 = 0;
л) h2 + 60h + 800 = 0;
м) b2 - 25b + 156 = 0.
1161. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) a2 + a - 2 = 0;
б) b2 - b - 2 = 0;
в) с2 + c - 6 = 0;
г) d2 - d - 6 = 0;
д) в2 + e - 12 = 0;
е) f2 - f - 12 = 0;
ж) g2 + g - 20 = 0;
з) h2 - h - 20 = 0;
и) к2 + k - 42 = 0;
к) l2 - l - 42 = 0;
л) n2 - n - 56 = 0;
м) m2 + m - 56 = 0.
1162. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) р2 + p - 72 = 0;
б) q2 - q - 72 = 0;
в) x2 - 4x + 3 = 0;
г) u2 + 9u + 20 = 0;
д) r2 - 20r - 8000 = 0;
е) y2 + 4y - 5 = 0;
ж) v2 - 9v + 20 = 0;
з) s2 + 21s + 108 = 0;
и) 22 - 4z - 5 = 0;
к) w2 + 10w + 9 = 0;
л) t2 - 21t + 108 = 0;
м) a2 + 4a - 12 = 0.
1163. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) l2 + 80l + 1500 = 0;
б) m2 - 80m + 1500 = 0;
в) k2 - 60k + 800 = 0;
г) q2 - 12q + 35 = 0;
д) v2 + 15v - 700 = 0;
е) x2 + 16x + 60 = 0;
ж) y2 - 16y + 60 = 0;
з) d2 + 19d + 90 = 0;
и) w2 - 15w - 700 = 0;
к) e2 - 19e + 90 = 0;
л) z2 + 17z - 168 = 0;
м) l2 + 20l - 3500 = 0.
331
Правообладатель Народная асвета
1164. Решите квадратное уравнение со вторым четным коэффициентом:
а) 5x2 - 4x - 12 = 0;
б) 4у2 - 4у - 3 = 0;
в) 4г2 - 4z - 15 = 0;
г) 9t2 - 12t - 5 = 0;
д) 9u2 - 24u - 20 = 0;
е) 5v2 - 8v + 3 = 0;
ж) 3w2 - 2w - 8 = 0;
з) 25a2 + 90a + 81 = 0;
и) 36b2 - 84b + 49 = 0;
к) 9c2 - 4c - 4 = 0;
л) 7d2 + 18d + 5 = 0;
м) 9u2 - 6w - 35 = 0.
1165. Решите уравнение: а) (x - 1)(x - 2) = 6; ж) (3a + 2)2 = 3(a + 2);
з) (3b - 1)2 = 12(3 - b);
и) (3c - 2)(c - 3) = 20;
к) (d + 2)(4d - 5) = -3;
л) (3f - 2)2 = 8(f + 1)2 - 100;
м) (3 - g)(4 - g) = 2g2 - 20g + 48.
б) (y - 2)(12 - y) = 9;
в) (z - 2)2 = 2(3z - 10);
г) (u + 1)2 = 3(u + 7);
д) (2w - 3)2 = 8w;
е) (2v + 5)2 = 2(2v + 9);
1166. Решите уравнение:
а) (6x - 1)2 - 4(3x - 2)(3x + 2) + 7 = 0;
б) (2z - 3)2 - 4(z + 2)(z - 1) + 3 = 0;
в) (10y - 3)2 - 4(5y + 1)(5y - 1) + 7 = 0;
г) (2 - 3t)2 + 3(t + 3)(4 - 3t) + 5 = 0.
1167. Решите уравнение:
а) (13x - 4)(13x + 42) - (12x - 1)2 - (5x + 3)2 = 4;
б) (7y + 11)(7y - 11) + 4(12y + 5)2 - 25(5y - 1)2 = 27;
в) (4z - 2)(3 - z) + (z - 2)(6 - 2z) = 0;
г) (5 - a)(3a - 3) + (a - 1)(10 - 2a) = 0.
1168. Решите уравнение:
(p + 1)(p + 2)
а) a + 83 = 9; '^2 3 8
д) _P + ji + ( P + 1)
4 p
б)
в)
г)
332
b +1
3b - 7
b - 2 b -1 ’ c - 7 3c - 7
, q +1
е) ^ +
3
p
3(q -1) 4
2( c - 3) d - 7
c -1 d - 6
2(d + 3) d + 24
ж)
з)
(r -12)2
- r +
9
= (q - 3)2 + 1;
r(r - 9) = (r -14)2
(s + 2)( s - 5) 3
18 11s +12
+ 5;
= 2 -
r-2
Правообладатель Народная асвета
2
1169. Решите уравнение:
а)
б)
в)
- 6х x - 5
5 - х
= 0;
д) 4х -4-^ + 1 = 0;
х + 2 5х +1
х х +1 1 18
= 0;
х + 3 х3 - 9х
г) х -
2х
х -1 х + 1
3х - х2
= 0;
е)
ж)
з)
3 - 2х 3х- 2 3х- 5
3х + 2 х +1 х -1 1
3х2 - х
2 х + 5 ’
3х х +1
-1;
1 - 6 х + 9 х2
9 х2 -1
1170. Найдите три последовательных целых числа, учитывая, что:
а) их произведение меньше куба среднего числа на 28;
б) их произведение на столько же меньше куба среднего числа, на сколько утроенная сумма искомых чисел меньше 20;
в) квадрат среднего числа на 11 меньше суммы квадратов двух других чисел;
г) утроенная сумма их квадратов на 21 больше их удвоенной суммы.
1171. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
е) 10х2 - 2 = х;
ж) 40х + 16х2 = - 25;
з) 4х2 - 7х = -7;
и) 5 = 7х - 5х2;
к) 5х + 3 = 2х2.
1172. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
е) 9х2 - 2х = 8;
ж) 4х - 6х2 = - 25;
з) 3х2 - 5х = -1;
и) 6 = 2х - 3х2;
к) 3х2 + 4 = 8х.
а) 2х2 - 5х + 4 = 0;
б) х2 - 10х + 25 = 0;
в) 5х2 - 3х - 1 = 0;
г) -4х2 + 3х + 1 = 0;
д) -12х + 4 = -9х2;
а) 3х2 - 7х + 4 = 0;
б) 2х2 - 10х - 25 = 0;
в) 5х2 - 6х + 4 = 0;
г) -4х2 - 5х + 1 = 0;
д) -8х + 5 = -3х2;
1173. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 2х4- 5х2 + 2 = 0; г) -4х2 + 3х4 + 1 = 0;
б) х4 + 7х2 = 0; д) -12х4 + 4 = -9х2;
в) 5х4 - 3х2 - 1 = 0; е) 10х2 - 2 = х4.
333
Правообладатель Народная асвета
1174. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 2х2 - 5X + 1 = 0; г) -4х| + 2x2 + 1 = 0;
б) X2 + 3 X = 0; д) -10x2 + 4 = -9| X |;
в) 2x2 - 3 X - 1 = 0;
е) 8 X - 2 = X2.
1175. Определите, при каких значениях переменной a уравнение:
а) X2 - 6x + a = 0 имеет один корень;
б) X2 - aX + 3 = 0 имеет корнем число 2;
в) 5x2 - 4x - a = 0 не имеет корней;
г) 3x2 - 4x + a = 0 имеет два корня;
д) -ax2 + 4x = -6 имеет корни одного знака;
е) 5x2 - 2x = a - 2 имеет корни разных знаков.
1176. Учитывая, что один из корней уравнения:
а) X2 + px + 15 = 0 равен 3, найдите второй его корень и коэффициент р;
б) X2 + px - 12 = 0 равен 4, найдите второй корень и коэффициент p.
1177. Учитывая, что разность:
а) корней уравнения x2 + 3x + р = 0 равна 1, найдите эти корни и коэффициент p;
б) корней уравнения 5x2 + 8x + р = 0 равна 0,4, найдите эти корни и коэффициент p;
в) квадратов корней уравнения x2 - 3x + р = 0 равна 21, найдите эти корни и коэффициент p.
1178. Один из корней уравнения -7x2 + (р + 3)x - р = 0 равен 5. Найдите коэффициентр уравнения и второй его корень.
1179. Подбором решите уравнение:
а) X2 + 4x + 3 = 0; в) 5x2 - 4x - 1 = 0; д) x2 + 5 = -6x;
б) X2 - 4x + 3 = 0; г) 3x2 + 4x - 7 = 0; е) 2x2 + 2 = 5x.
1180. Составьте уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются числа:
а) -1 и -3;
б) 0,5 и 4;
в) -5 и —; ^ 3 ’
г) 0,5 и - -3.
334
Правообладатель Народная асвета
1181. Сравните числа m и n, учитывая, что:
а) m - n = 0,023; в) m - n = 242 - 233;
б) m - n = (-0,03)5; г) m - n = -21 - -3I.
1182. Сравните с нулем значение выражения:
а) 5а2 + 0,14; в) (1 - Ь)2 - 243 + 232;
c - d
б) 0 • m3 - 2;
г)
_2\5 - /3]3 aW 129/
1183. Замените знак 0 знаком такого отношения, чтобы получилось истинное утверждение:
а) если m > n, то n 0 m;
б) если а > b, то а + m 0 Ь + m;
в) если а < Ь и c > 0 , то ас 0 bc;
г) если а > Ь и с < 0 , то ас 0 Ьс;
д) если а > Ь и Ь > 0 , то а2 0 Ь2;
е) если а < Ь и аЬ > 0 , то 1 0 1.
а Ь
1184. Докажите, что истинно неравенство:
а) (5х - 1)(5х + 1) < 25х2 + 4; в) г2 - 4z + 5 > 0;
б) (3y + 6)2 > 3y(y + 12); г) а2 + 4Ь2 > 4аЬ - 8.
1185. Определите, при любых ли значениях переменных истинно неравенство:
а) (2х - 3)(2х + 3) < 4х2 + 4х; в) а2 + 6а + 9 > 0;
б) (3y + 1)2 > 9y2 + 1; г) а2 + 4аЬ + 4Ь2 > 0.
1186. Запишите истинное неравенство, которое получится, если:
а) обе части неравенства -5 < -2 умножить на -3;
б) обе части неравенства 2,5 > -1,5 разделить на -5;
в) к обеим частям неравенства -6 < -1 прибавить 4;
г) из обеих частей неравенства 6 > -5 вычесть 10.
1187. Определите, в каких пределах находятся значения выражений а + Ь, а - Ь, а • Ь, а ■ Ь, учитывая, что:
а) 1 < а < 2 и 2 < Ь < 3;
б) 2 < а < 5 и 1 < Ь < 3;
в) 2 < а < 6 и 1 < Ь < 3;
г) 6 < а < 8 и 1 < Ь < 2;
д) -2 < а < -1 и -3 < Ь < -2;
е) -5 < а < -2 и -3 < Ь <-1;
ж) -6 < а < -2 и -3 < Ь < -1;
з) -8 < а < -6 и -2 < Ь < -1.
335
Правообладатель Народная асвета
1188. Определите, какие четные значения может принимать выражение 2а - b, учитывая, что:
а) -2 < а < -1 и 3 < b < 4;
б) -3 < а < -2 и 2 < b < 3;
в) 2 < а < 6 и 1 < b < 3;
г) 6 < а < 8 и 1 < b < 2;
д) -2 < а < -1 и -3 < b < -2;
е) -5 < а < -2 и -3 < b < -1;
ж) -6 < а < -2 и -3 < b < -1;
з) -8 < а < -6 и -2 < b < -1.
1189. Определите, в каких пределах находятся значения выражения (а + 1)(b - 2), учитывая, что:
а) 1 < а < 2 и 2 < b < 3; д) -2 < а < -1 и -3 < b < -2;
б) 2 < а < 5 и 1 < b < 3; е) -5 < а < -2 и -3 < b < -1;
в) 2 < а < 6 и 1 < b < 3; ж) -6 < а < -2 и -3 < b < -1;
г) 6 < а < 8 и 1 < b < 2; з) -8 < а < -6 и -2 < b < -1.
1190. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения -а2 + 2b - 3, учитывая, что:
а) 1 < а < 2 и 2 < b < 3; д) -2 < а < -1 и -3 < b < -2;
б) 2 < а < 5 и 1 < b < 3; е) -5 < а < -2 и -3 < b < -1;
в) 2 < а < 6 и 1 < b < 3; ж) -6 < а < -2 и -3 < b < -1;
г) 6 < а < 8 и 1 < b < 2; з) -8 < а < -6 и -2 < b < -1.
1191. Значением выражения
6а
Ь -1
является целое число, крат-
ное 9. Найдите его, учитывая, что 1,5 < а < 2,5 и 0,1 < b < 0,4. 1192. Решите неравенство:
\ /о ^ At ^ +1 7-3^ , 4ж +1
а) -(3х -2) < 4(х + 2); в) —-------^
5 - 2(ж -1)
ж +4 Зх 1 ... .J..
б) ----------^ > 2(х - 1);
г) - (2х -
> х + 23. 4
1193. Определите, при каких значениях переменной:
а) график зависимости у = -5х + 1 находится выше графика зависимости у = 3х + 2;
б) график зависимости у = 2х + 1 находится выше графика зависимости у = -3х + 2;
в) график зависимости у = -3х - 2 находится ниже графика зависимости у = 4х - 5;
г) график зависимости у = 4х + 3 находится ниже графика зависимости у = -2х - 9.
336
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
1194. Найдите все значения переменной а, при которых число -2 является решением неравенства:
а) 2х + 3а > -5ax + 3; в) 2 - а - 6х < а - 5 + 3ax;
б) -3а - x + 4 > 3 + а - 4ax; г) 2а - 3ax + 1 > 6x - а - 5.
1195. Решите систему неравенств:
[б - 2x > 3(x - 3), Jl0x > - 5(9 + x),
[l - x < 2x; ^ |l0x + 3 < 9 + 15x;
[10 - 4x > 3(1 - x), J-3(x + 2) < - 2 + x,
[l4 + x < 8x; ^ I 4x - 2 > 2(3 - x).
1196. Определите, при каких значениях переменной выражение:
а) (5x - 1)(3x + 2) принимает положительные значения;
б) (2x + 1)(4x - 3) принимает отрицательные значения;
в) (4x + 3)(3x - 1) принимает положительные значения;
г) (5x - 4)(2x + 3) принимает отрицательные значения.
1197. Решите неравенство:
, 9 - 2 x в) <1;
г) < 2.
а) б!-^ > 1;
б) 10-3£ ^ 2;
’ x-^ ’ ' 3x-1
1198. Определите, при каких значениях переменной значение выражения:
6x - 5
а)
б)
в)
г)
3
3 x + 5
4
6 - 5x
4
5 - 2x
принадлежит промежутку [-2; 0]; принадлежит промежутку [-3; 1); принадлежит промежутку (-4; 2]; принадлежит промежутку [-2; 3).
1199. Определите, при каких значениях переменной истинно неравенство:
а) |2x + 1 > 3; в) |2 - 3x| > 5;
б) |3x - 1 < 2; г) |2 - 4^ < 2.
1200. В школьном конкурсе от каждой параллели (с пятого по одиннадцатый класс) выставлялись команды с одина-
337
Правообладатель Народная асвета
ковым количеством учеников. Определите, сколько учеников было в каждой команде, учитывая, что если б участников конкурса было на 36 больше, то их было бы больше, чем 69, и меньше, чем 91, а если б участников конкурса было на 29 меньше, то их было бы больше, чем 14, и меньше, чем 40.
1201. Решите уравнение:
а) |2х + 1 = 3;
б) |2х - 1 = 5х - 10;
в) |х2 - 1 = 3 х2;
г) Iх-.2|-5 = 1;
д) ||х - 1 - 3 = 5;
е) ||х - 1 + х = 5;
ж) |х - 3 + |х + 4 = 9;
з) |х — 3 + |х + 2 = 3 + |х — 4|;
и) |х - 5 + |х + 4 = 9.
1202. Решите неравенство:
а) 2х + 1 < 3; е) |х - -2\ + х < 4;
б) 2 х 1 < х; ж) х -3 - |х + 4 > 3;
в) х - - 3 > |х + 1; з) х - 3 + х + 2 ^ 3 + |х —
г) х - 3 > 1; и) \х - 4 + |х + 5 < 12;
х- 2
д) 2х 3 > 4 - 5х; к) |2х - 7|- -13 - 5х| > 4.
Координаты и функции
Если на прямой выбраны две точки O и E и с ними сопоставлены числа 0 и 1 соответственно (рис. 461), то говорят, что на прямой задана система координат, а саму прямую называют координатной прямой, или координатной осью. Точку O называют началом координат, а отрезок OE — единичным отрезком. Соответствие между точками координатной Q £ прямой и действительными числами
* * взаимно однозначное: каждой точке
координатной прямой соответствует
о 1
Рис. 461
338
Правообладатель Народная асвета
единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Число X, которое соответствует точке A координатной прямой, называют координатой этой точки и записывают A (x).
Если на каждой из двух перпендикулярных прямых заданы системы координат с общим началом в точке O пересечения прямых (рис. 462), то говорят, что задана система координат на плоскости. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью, одну из координатных прямых, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс, другую — осью ординат. Соответствие между точками координатной плоскости и парами действительных чисел взаимно однозначное: каждой точке координатной плоскости соответствует единственная пара действительных чисел, а каждой паре действительных чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Числа a и b пары (a; b), которая соответствует точке M координатной плоскости, называют координатами этой точки, причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой. Это записывают M (a; b).
Если имеются точки A(x^) и B(x2), то расстояние между ними выражает число jx^ - x21 (рис. 463), а если точки A(x^; y^)
и B(x2; У2), то число sj(xi - xg)2 + (y^ - У2)2 (рис. 464).
Графиком зависимости, связывающей переменные x и у, называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы и ординаты которых связаны этой зависимостью.
А \xi - Хг\ В
Xi Х2
Рис. 463
339
Правообладатель Народная асвета
Зависимость, задаваемая уравнением у = ax + b, называется линейной функцией. Ее графиком является прямая (рис. 465). Число a называют угловым коэффициентом прямой, которая является графиком функции у = ax + b. Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность у = ax. Пусть M(x0; у0) — произвольная точка графика прямой пропорциональности у = ax (рис. 466, а). Тог-
да уо = axo.
точке -
b .
2a ’
b2 - 4 ac 4a
Эта парабола име-
b
ет осью симметрии прямую x = - , и ее
ветви направлены вверх, если a > 0, или вниз, если a < 0 (рис. 468).
340
Значит, a = —. Но — = tg а.
x0 x0
Поэтому a = tg а, т. е. угловой коэффициент a зависимости у = ax равен тангенсу угла, который образует график этой зависимости с положительным направлением оси абсцисс. Рисунок 466, б показывает, что такой же смысл имеет и угловой коэффициент a линейной функции у = ax + b.
Зависимость, задаваемая уравнением у = a, называется обратной пропорциональностью. Ее графиком является гипербола (рис. 467). Число a называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Функция, задаваемая уравнением
у = ax^ + bx + c, где a Ф 0, называется квадратной функцией. Ее графиком является парабола, вершина которой находится в
Правообладатель Народная асвета
1203. Найдите расстояние между точками координатной прямой:
д) £(3,7) и £(1,3);
е) G(-13,9) и Я(13,9);
а) А(3) и Б(13);
б) С(-3) и Б(13);
в) А(3) и Б(-13);
г) С(-3) и Б(-13);
ж) I (-3i) и J (1221);
з) ^ (-715) и L (-918
1204. Найдите расстояние между точками координатной плоскости:
а) А(3; 6) и Б(13; -18);
б) Б(-3; 2) и Q(13; 30);
в) R(7; 30) и S(-13; -18);
г) £(-23; 67) и F(-10; -17);
д) £(37; -2) и £(13; 30);
е) £(39; 10) и Я(139; 115).
1205. Найдите стороны и площадь треугольника, вершины которого находятся в точках:
а) A(2; 3), Б(5; 7) и С(-3; -8);
б) Б(-1; 4), £(5; 12) и £(-2; -12);
в) G(-2; -5), H(7; 35) и I(0; 11);
г) М(-4; -1), ^(8; 34) и P(24; 4);
д) Q(0; 11), R(9; -29) и S(1; 14);
е) Г(-1; -1), £(10; 59) и F(43; 15).
1206. Постройте график функции:
_
" 3х ’ -2 ; 3х ’
1207. Постройте график функции:
а) у = 3х - 2; д) у = 1 x + 2;
а) у = 3х; в) у = -3х; д) у=-1^ ж) у
б) у = -3х; г) у = - 3 х; е) у=- ^; з) у --
б) у = -3х - 2;
в) у = 3х + 2;
г) у = -3х + 2;
е) у = - -3 х + 2;
ж) у = -3х - 2;
з) у = - -3 х - 2.
341
Правообладатель Народная асвета
Рис. 473
Рис. 475
Рис. 476
1208. Запишите формулу, выражающую ту же зависимость, что и график, представленный на рисунке:
а) 469; в) 471; д) 473; ж) 475;
б) 470; г) 472; е) 474; з) 476.
1209. Постройте график функции:
а) у = X2 - 6x;
б) у = X2 + 6x;
в) у = X2 - 2х - 8;
г) у = X2 + 2х - 8;
д) у = -X2 - 4х - 5;
е) у = -X2 + 4x - 5;
ж) у = 3x2 - 6x;
з) у = -3x2 - 6x;
342
и) у = 2x2 - 4x - 6;
к) у = -2x2 + 4x - 6;
л) у = X2 + 4x + 3;
м) у = -X2 + 4x + 3;
н) у = X2 - 4x + 3;
о) у = -X2 + 4x - 3;
п) у = 0,5x2 - X - 1,5;
р) у = -0,5x2 - X + 1,5.
Правообладатель Народная асвета
Геометрические фигуры и их свойства
Основное содержание школьной геометрии связано с соответствующими геометрическими конфигурациями — простейшими геометрическими фигурами или их сочетаниями.
Две прямые плоскости
Две прямые одной плоскости могут иметь общую точку или не иметь ее. В соответствии с этим две прямые плоскости или пересекающиеся или параллельные.
Параллельные прямые разделяют плоскость на две полуплоскости и полосу (рис. 477).
Пересекающиеся прямые разделяют плоскость на четыре угла (рис. 478), которые объединяют в пары. Углы 1 и 2, которые имеют общую сторону, называют смежными, а углы 1 и 3, стороны каждого из которых являются продолжениями сторон другого угла, — вертикальными. Смежные углы вместе составляют 180°, а вертикальные углы равны друг другу.
Три прямые плоскости
Среди трех прямых а, b и c может не быть параллельных прямых (рис. 479) или такие прямые могут быть. Если параллельные прямые а и b имеются, то третья прямая c может быть параллельной им (рис. 480) или пересекать их (рис. 481).
Свойства параллельных прямых.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то:
Полу-
плоскость
Полоса
Полу-
плоскость
Рис. 477
Z H-Z2^ Z 1 = Z3
Рис. 478
180°
Если а II Ь и Ь II с, то а II с.
Если а II Ь и а II с, то & II с. Рис. 480
343
Правообладатель Народная асвета
Рис. 482
• соответственные углы равны;
• внутренние накрест лежащие углы равны;
• внутренние односторонние углы вместе составляют 180°. Признаки параллельности прямых.
Прямые являются параллельными, если при пересечении их третьей прямой образуются:
• равные соответственные углы;
• равные внутренние накрест лежащие углы;
• внутренние односторонние углы, которые вместе составляют 180°.
Треугольник
Три попарно пересекающиеся прямые выделяют из плоскости треугольник (рис. 482). Стороны и углы треугольника называют его основными элементами. С треугольником связывают и другие элементы.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с его внутренним углом (рис. 483).
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 484).
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны (рис. 485).
Биссектриса треугольни-
ка — отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между его вершиной и противолежащей стороной (рис. 486).
Рис. 483
Правообладатель Народная асвета
Рис. 487
Высота
Высота
Рис. 488
Ч С В
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, проходящую через его противолежащую сторону (рис. 487).
Треугольник (рис. 488) имеет такие свойства.
Свойства сторон и углов треугольника:
• сумма внутренних углов равна 180°; Z A + Z B + + Z C = 180°;
• каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности; b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b;
• большему углу соответствует большая противолежащая сторона; если Z C > ZA, то c > a;
• большей стороне соответствует больший противолежащий угол; если c > a, то Z C > ZA.
Свойство внешнего угла треугольника:
• внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним; Z BAD = Z B + Z C.
Свойства средней линии треугольника:
• средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине; MN ^ AB; MN = 1AB.
Свойства медиан треугольника:
• медиана треугольника делит его на равновеликие части;
SCAA1 = SBAA1 (см. рис. 485);
• медианы треугольника пересекаются в одной точке;
• точка пересечения медиан треугольника отсекает от каждой из них третью долю, если считать от стороны;
A1G = 1AA1, B1G = 1BB1, C1G = 1CC1 (рис. 489).
Свойства биссектрис треугольника:
• биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам;
BA-,
CA-.
AB
AC
(см. рис. 486).
345
Правообладатель Народная асвета
• биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноотстоящей от сторон треугольника (рис. 490);
• точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую из них в отношении, первый компонент которого — сумма сторон, заключающих биссектрису, а второй — третья
AJ AB + AC
сторона;
(см. рис. 490).
Прямоугольный треугольник
Два угла треугольника обязательно острые, а третий — больший — его угол может быть и острым (рис. 491), и прямым (рис. 492), и тупым (рис. 493). В соответствии с этим треугольники разделяют на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника, называют катетами, а третью его сторону — гипотенузой.
Прямоугольный треугольник имеет такие свойства:
• острые углы вместе составляют 90°; Z A + Z B = 90°;
• квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора); AB^ = AC^ + BC2;
• если катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы;
• если катет равен половине гипотенузы, то он лежит про-
тив угла в 30°;
В
Правообладатель Народная асвета
JA1 BC
• синус острого угла равен отношению противолежащего ка-
BC .
тета к гипотенузе; sin A =
AB’
• косинус острого угла равен отношению прилежащего кате-
AC
та к гипотенузе; cos A = -^;
• тангенс острого угла равен отношению противолежаще-
BC
го катета к прилежащему; tg A = -^;
• котангенс острого угла равен отношению прилежащего
AC BC '
катета к противолежащему; ctg A =
Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
• медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна половине этой гипотенузы; CCi = ACi = BCi (рис. 494).
Свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
• высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она разделяет гипотенузу, а катет является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу (рис. 495); CC1 = sj AC1 • BC1;
AC = .JAB • AC,; BC = .
Признаки прямоугольного треугольника. является прямоугольным, если:
• он имеет прямой угол;
• сумма двух каких-нибудь его углов равна 90°;
• квадрат большей его стороны равен сумме квадратов двух других сторон;
• одна из его медиан равна половине стороны, к которой проведена.
Рис. 495
Треугольник
347
Правообладатель Народная асвета
Равнобедренный треугольник
Если треугольник имеет равные стороны, его называют равнобедренным (рис. 496). Равнобедренный треугольник с тремя равными сторонами называют равносторонним (рис. 497).
Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.
Равнобедренный треугольник (рис. 498) имеет такие свойства.
Боковая
сторона
Боковая сторона
А
Рис. 496
С
Основание
Свойство углов равнобедренного треугольника:
• углы при основании равнобедренного треугольника равны; Z A = Z. С.
Свойства медианы, высоты, биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенных к его основанию:
• медиана, биссектриса, высота равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают; если БЕ-^ — медиана, то ББ^ — биссектриса и высота; если ББ^ — биссектриса, то ББ^ — медиана и высота; если ББ^ — высота, то ББ^ — биссектриса и медиана.
Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:
• две его стороны равны;
• два его угла равны;
• проведенные из одной вершины медиана и высота совпадают;
• проведенные из одной вершины медиана и биссектриса совпадают;
• проведенные из одной вершины высота и биссектриса совпадают.
348
Правообладатель Народная асвета
Окружность и круг
Отношение длины C окружности к ее диаметру d есть постоянная величина для любой окружности. Это отношение представляется числом, которое обозначается п.
п = C « 22 « -355 « 3,141592^ .
d 7 113 ’
Длина C окружности, площадь S соответствующего круга и их радиус r связаны формулами:
C = 2пг; S = пг2; S = Cr.
Четырехугольник
Плоская замкнутая четырехзвенная ломаная без самопересечений выделяет из плоскости четырехугольник. Четырехугольник на рисунке 499 — выпуклый, а на рисунке 500 — невыпуклый. Обычно рассматривают выпуклые четырехугольники .
Свойства четырехугольника:
• сумма внутренних углов его равна 360°;
• середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 501);
• из треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, произведение площадей треугольников, прилежащих к одной паре противолежащих сторон, равно произведению площадей треугольников, прилежащих к другой паре противолежащих сторон (рис. 502).
Правообладатель Народная асвета
Трапеция
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (рис. 503).
Свойства трапеции (рис. 504):
• сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°; Z A + Z B = 180°; Z C + Z D = 180°;
' >\
' ' \
_ _ „ / \ \
• средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме; MN | AD, MN | BC, MN = -1(AD + BC);
• прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения диагоналей, делит основания трапеции пополам;
• из треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, треугольники, прилежащие к ее основаниям, — подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, — равновелики; АAOD ^ АСОВ; SAoB = SDoC.
Четырехугольник имеет параллельные стороны, если:
• сумма углов, прилежащих к какой-нибудь стороне, равна 180°; ZA + ZB = 180° или Z B + ZC = 180° или Z C + Z D = 180° или Z D + Z A = 180°;
• отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его
сторон; MN = -1(AD + BC) или PQ = -1(AB + CD);
• из четырех треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, два треугольника, прилежащие к противолежащим сторонам, равновелики; SAOB = SDOC или
SAOD = SBOC.
350
Правообладатель Народная асвета
А D
Рис. 505
Параллелограмм
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рис. 505).
Свойства параллелограмма (рис. 506):
• сумма углов, прилежащих к любой его стороне, равна 180°; ZA + Z.B = 180° и Z B + Z C = 180° и Z C + Z D = 180° и Z D + Z A = 180°;
• его противолежащие стороны параллельны и равны; AD | BC и AB | CD;
AD = BC и AB = CD;
• его противолежащие углы равны; ZA = ZC и Z B = ZD;
• точка пересечения диагоналей делит их пополам; AO = CO; BO = DO.
• точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Признаки параллелограмма. Четырехугольник является параллелограммом, если:
• суммы углов, прилежащих к каким-нибудь двум смежным сторонам, равны 180° каждая; Z A + Z B = 180° и Z B + Z C = 180° или Z B + Z C = 180° и Z C + Z D = 180° или Z C + Z D = 180° и Z D + Z A = 180° или Z D + Z A = 180° и Z A + Z B = 180°;
• его противолежащие стороны параллельны; AD | BC и AB I CD;
• его противолежащие стороны равны; AD = BC и AB = CD;
• он имеет пару противолежащих параллельных и равных сторон; AD | BC и AD = BC или AB = CD и AB | CD;
• его противолежащие углы равны; ZA = ZC и Z B = ZD;
• его диагонали точкой пересечения делятся пополам; AO = CO; BO = DO.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого имеется прямой угол (рис. 507).
Свойства прямоугольника (рис. 508):
В С
ABCD — параллелограмм и Z А = 90°
D Рис. 507
Правообладатель Народная асвета
• все его углы равны друг другу и прямые;
Z A = Z B = Z C = Z D = 90°;
• его диагонали равны; AC = BD;
• срединные перпендикуляры к его сторонам являются осями симметрии.
Признаки прямоугольника. Параллелограмм является прямоугольником, если:
• его диагонали равные; AC = BD;
• срединный перпендикуляр к какой-нибудь стороне параллелограмма является его осью симметрии; MN — ось симметрии или PQ — ось симметрии.
Ромб
Ромб — параллелограмм, у которого имеются равные смежные стороны (рис. 509).
'ABCD — паралл^ ^^лограмм и АВ =A^/^q
Рис. 509
Свойства ромба (рис. 510):
• все его стороны равны друг другу; AB = BC = CD = DA;
• его диагонали перпендикулярны; AC Z BD;
• его диагонали делят углы пополам; ZABD = Z CBD и Z BAC = Z DAC;
• прямые, которым принадлежат его диагонали, являются осями симметрии.
Признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если:
• он имеет пару равных смежных сторон;
AB = BC или BC = CD или CD = DA или DA = AB;
• его диагонали перпендикулярны; AC Z BD;
• его диагонали делят углы пополам;
ZABD = Z CBD и Z BAC = Z DAC;
• прямые, которым принадлежат его диагонали, являются осями симметрии.
352
Правообладатель Народная асвета
Квадрат
Квадрат — прямоугольник, у которого имеются равные смежные стороны или ромб, у которого имеется прямой угол (рис. 511).
В
Поскольку квадрат является и прямоугольником, и ромбом, то у него имеются все свойства прямоугольника и все свойства ромба.
Отношения между фигурами
Геометрические фигуры могут находиться в отношениях равенства и подобия.
Равные фигуры — фигуры, которые совпадают при наложении.
Признаки равенства треугольников. Треугольники являются равными, если у них соответственно равны:
• две стороны и угол между ними в одном — двум сторонам и углу между ними в другом;
• сторона и прилежащие к ней углы в одном — стороне и прилежащим к ней углам в другом;
• три стороны в одном — трем сторонам в другом.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники является равными, если у них соответственно равны:
• катеты;
• катет и прилежащий к нему острый угол;
• гипотенуза и острый угол;
• гипотенуза и катет.
Теория подобия основывается на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, которые пересекают
353
Правообладатель Народная асвета
другую сторону угла, то эти прямые на другой стороне высекают также равные отрезки.
Истинна обобщенная теорема Фалеса: ряд параллельных прямых, которые пересекают две другие прямые, высекают на них пропорциональные отрезки (рис. 512).
Подобные треугольники — треугольники, углы которых попарно равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Признаки подобия треугольников. Треугольники являются подобными, если у них:
• есть по равному углу, а прилежащие к ним стороны пропорциональны;
• есть по два равных угла;
• все три стороны пропорциональны.
Отношение любых соответственных линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Отношение объемов подобн^тх фигур-тел равно кубу коэффициента подобия.
1210. Докажите, что:
а) средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника;
б) медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника;
в) медианы треугольника разделяют его на шесть равновеликих треугольников;
354
Правообладатель Народная асвета
г) точка пересечения биссектрис треугольника разделяет каждую биссектрису в отношении, первый компонент которой есть сумма сторон, заключающих биссектрису, а второй — третья сторона.
1211. Верно ли, что два отрезка равны, если они являются:
а) диагоналями равнобедренной трапеции;
б) медианами равнобедренного треугольника;
в) высотами параллелограмма;
г) осесимметричными;
д) высотами одной трапеции?
1212. Верно ли, что отрезок a больше отрезка b, если a и b являются соответственно:
а) медианой и высотой треугольника, проведенными из одной вершины;
б) биссектрисой и высотой треугольника, проведенными из одной вершины;
в) большим основанием равнобедренной трапеции и ее диагональю;
г) диаметром и хордой одного круга;
д) боковой стороной равнобедренного треугольника и его основанием?
1213. Верно ли, что угол является прямым, если:
а) он равен своему смежному углу;
б) это один из углов треугольника со сторонами 10, 11 и 12;
в) это угол между диагоналями ромба;
г) его вершина отстоит на 3 см от центра окружности, а стороны проходят через концы одного диаметра;
д) если он является углом треугольника и равен сумме двух других его углов?
1214. Учитывая, что одна сторона треугольника равна 1, другая — а, а угол между ними равен 30°, определите, верно ли, что если:
а) третья сторона равна 0,8, то этот треугольник остроугольный;
б) этот треугольник остроугольный, то он не равнобедренный;
в) площадь треугольника равна 1, то этот треугольник тупоугольный;
г) этот треугольник равнобедренный, то его периметр больше 3;
д) этот треугольник прямоугольный, то его площадь больше 0,25.
355
Правообладатель Народная асвета
1215. Определите, существует ли треугольник, у которого перпендикулярны:
а) две медианы;
б) две биссектрисы;
г) медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины;
в) две высоты;
д) два срединных перпендикуляра.
1216. Учитывая, что две стороны треугольника равны 10 и 20, определите, верно ли, что если:
а) этот треугольник имеет ось симметрии, то его периметр равен 50;
б) периметр этого треугольника равен 59, то он тупоугольный;
в) угол между известными сторонами прямой, то медиана, проведенная к третьей стороне, больше 15;
г) площадь этого треугольника равна 100, то он остроугольный;
д) угол между известными сторонами равен 120°, то третья сторона равна 1^/7.
1217. Определите, существуют ли два таких равнобедренных треугольника, из которых можно составить:
а) квадрат;
б) прямоугольник с разными измерениями;
в) ромб;
г) трапецию;
д) осесимметричный четырехугольник без параллельных сторон.
1218. Определите, верно ли, что треугольник является равнобедренным, если:
а) две его высоты равны;
б) биссектриса одного из углов делит его на две равновеликие части;
в) равны две его средние линии;
г) две его медианы равны;
д) его средняя линия перпендикулярна одной из биссектрис.
1219. Учитывая, что сторона AB и угол C треугольника ABC соответственно равны 1 и 90°, установите, верно ли, что если:
356
Правообладатель Народная асвета
а) угол A больше 30°, то сторона BC больше 0,5;
б) периметр треугольника равен 2,2, то медиана, проведенная к гипотенузе, равна 0,5;
в) площадь треугольника равна 0,25, то он имеет ось симметрии;
г) сторона AC меньше 0,6, то сторона BC больше 0,9;
д) косинус одного из его углов равен синусу другого угла, то треугольник ABC является равнобедренным.
1220. Установите, верно ли, что треугольник является прямоугольным, если:
а) его высоты пересекаются на стороне;
б) одна из его сторон вдвое больше одной из медиан;
в) квадрат одной из его сторон равен разности квадратов двух других сторон;
г) синус одного из его углов равен косинусу другого угла;
д) биссектриса делит сторону, к которой она проведена, на части, из которых одна равна этой биссектрисе, а другая вдвое меньше.
1221. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке Q, прямые, параллельные диагоналям параллелограмма, проведенные через точки A и D, пересекаются в точке P, а прямые AD и PQ пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка OP, учитывая, что AB = 6.
1222. Определите, имеются ли такие точки P и Q квадрата ABCD со стороной 1, что:
а) PQ > 1;
б) PQ > 1,5;
в) AP = 1, CQ = 1, PQ = 1;
г) PA < PC, QC > QD, PQ = 1,2;
д) PA > PC, QC > QD, PQ < 0,1.
1223. Определите, имеется ли такая точка M прямоугольника ABCD со сторонами AB = 1 и AD = 2, что:
а) MA = 1 и Z MAB = 45°;
б) MB = MC и Z BMC = 90°;
в) Z AMB = Z CMD;
г) Z AMD = Z CMD;
д) MB = MD и ZAMD < 90°.
1224. Докажите, что в параллелограмме:
а) сумма расстояний от любой внутренней точки до прямых, содержащих стороны параллелограмма, есть величина постоянная;
357
Правообладатель Народная асвета
б) биссектриса внешнего угла вместе с продолжениями двух сторон, которые не имеют общих точек с проведенной биссектрисой, ограничивают равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной полупериметру параллелограмма;
в) биссектрисы внешних углов ограничивают прямоугольник, диагональ которого равна сумме смежных сторон параллелограмма;
г) биссектрисы внутренних углов ограничивают прямоугольник, диагональ которого равна разности смежных сторон параллелограмма;
д) точки пересечения со сторонами биссектрис углов между диагоналями являются вершинами ромба.
1225. Докажите, что в четырехугольнике:
а) сумма диагоналей меньше периметра;
б) сумма диагоналей больше полупериметра;
в) сумма диагоналей больше суммы двух противолежащих сторон.
1226. Докажите, что:
а) середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба;
б) если биссектрисы углов при одном из оснований трапеции пересекаются на другом ее основании, то это основание равно сумме боковых сторон трапеции;
в) биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом на средней линии трапеции.
1227. Докажите, что:
а) если выпуклый четырехугольник имеет равные диагонали и равные две противолежащие стороны, то он является или равнобедренной трапецией, или прямоугольником;
б) отрезок, соединяющий точки на разных основаниях трапеции, делится пополам ее средней линией;
в) прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, разбивает его на две равные трапеции или на два равных параллелограмма.
1228. Стороны треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Параллельно средней по величине стороне треугольника провели прямую, которая разделила периметр треугольника пополам. Определите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри треугольника.
358
Правообладатель Народная асвета
1229. Через точку пересечения биссектрис равнобедренного треугольника провели прямую, параллельную его основанию. Учитывая, что отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6 см, а периметр треугольника — 32 см, найдите стороны треугольника.
1230. Из вершины A параллелограмма опущены высоты AM и AN на стороны BC и CD. Найдите отрезки, на которые эти высоты разделяют диагональ BD длиной 28 см, учитывая, что BM : MC = 3 : 8 и CN ■ ND = 3 : 2.
1231. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M. На стороне CD выбрана такая точка N, что MN | BD. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что CM = m и CN = n.
1232. На катете BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны соответственно такие точки M и N, что AM — биссектриса угла A и MN ± BC. Учитывая, что CM = 5 см и MN = 13 см, найдите стороны треугольника ABC.
1233. Прямая, проходящая через точку пересечения биссектрис треугольника ABC параллельна AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Найдите стороны AB и BC, учитывая, что AC = b, AF = m, GC = n.
1234. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки F и G соответственно так, что FG | AC. Найдите отрезок AC, учитывая, что AF + GC = т, BF + BG = n и FG = а.
1235. Биссектриса угла A при основании равнобедренного треугольника ABC делит боковую сторону в отношении 2 : 3, если считать от вершины B. Через точку пересечения биссектрис параллельно основанию проведена прямая. Учитывая, что отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 30 см, найдите основание AC треугольника.
1236. На гипотенузе AB и катете BC прямоугольного треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок CF — биссектриса и AG F CF. Найдите отрезки AF и BF, учитывая, что AC = 42 см и BG = 14 см.
1237. Биссектриса AP равнобедренного треугольника ABC делит медиану BM, проведенную к основанию, в отношении 5 : 3, если считать от вершины. Найдите основание AC, учитывая, что CP = 30 см.
1238. Высота BP треугольника ABC делит биссектрису AF в отношении 3 : 2 и сторону AC в отношении 6 : 7, если считать от вершины A. Найдите стороны AC и BC, учитывая, что AB = 42 см.
359
Правообладатель Народная асвета
1239. В треугольнике ABC проведена:
а) высота BH, а в треугольниках ABH и BHC — биссектрисы BF и BG. Найдите стороны треугольника ABC, учитывая, что AF : FH = 5 : 3, CG = 26 см и GH = 10 см;
б) биссектриса BM, а в треугольниках ABM и BMC — биссектрисы MP и MQ. Докажите, что AP • BM • CQ = AQ • CM • BP.
1240. В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана AM. Найдите BC, учитывая, что PM = p и AB : AC = b : с.
1241. Диагональ равнобедренной трапеции делится биссектрисой острого угла в отношении 2 : 3, а биссектрисой тупого угла — в отношении 5 : 6, если считать от меньшего основания. Найдите стороны трапеции, учитывая, что ее средняя линия равна 70 мм.
1242. В равнобедренной трапеции с углом 60° биссектриса этого угла делит:
а) диагональ трапеции в отношении 4 : 11, а меньшее основание — на части, которые отличаются на 30 см. Найдите стороны трапеции;
б) среднюю линию трапеции в отношении 4 : 11, а меньшее основание — на части, которые отличаются на 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.
1243. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AF и BG, которые пересекаются в точке Q. Найдите отношение BQ ■ QG, учитывая, что AG = 8 см, CG = 12 см и CF = 10 см.
1244. На стороне BC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, равным 30 см, выбрали такую точку F, что прямая AF делит медиану BM на части BQ и QM, соответственно равные 24 см и 8 см. Найдите длину отрезка AF.
1245. Найдите диагонали параллелограмма со сторонами а и b, учитывая, что его угол равен углу между диагоналями.
1246. На стороне AB прямоугольника ABCD отметили такую точку K, что Z CKD = 90°. Найдите отрезки, на которые точка K разделяет сторону AB, учитывая, что измерения прямоугольника равны 4 см и 10 см.
360
Правообладатель Народная асвета
1247. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что ZAFC = Z BAC и FG I AC. Найдите периметр треугольника AFG, учитывая, что AB = 27 см, BC = 36 см и AC = 18 см.
1248. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что Z FAB = Z BCG. Докажите, что Z BFG = Z BAC.
1249. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что BF + FG = 18 см и BF ■ BG = BC ■ BA. Найдите отрезок FG, учитывая, что AC = 35 см и BC = 28 см.
1250. В трапеции с боковыми сторонами 10 см и 15 см ее диагональ длиной 12 см является средним геометрическим оснований трапеции. Найдите эти основания.
1251. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагональ — 6 см. Найдите боковые стороны трапеции, учитывая, что они отличаются на 2,5 см.
1252. Стороны AB, BC и AC треугольника ABC соответственно равны 12 см, 18 см и 15 см. На них соответственно отмечены такие точки F, G и K, что Z BFG = Z KGC. Найдите отрезок FK, учитывая, что KG = 8 см и GF = 12 см.
1253. В треугольник ABC вписан такой параллелограмм с периметром 60 см, что один из его углов совпадает с A, а остальные вершины лежат на сторонах треугольника. Найдите диагональ параллелограмма, выходящую из вершины A, учитывая, что AB = 26 см, BC = 52 см и AC = 39 см.
1254. Биссектриса AF треугольника ABC разделяет его сторону BC на части длинами 8 см и 10 см. Найдите стороны AB и AC, учитывая, что они отличаются на 3 см.
1255. В треугольнике ABC проведена биссектриса AF и на стороне AB отмечена такая точка G, что Z BGC = ZAFB. Найдите стороны треугольника, учитывая, что BF = b, CF = c и BG = m.
1256. В равнобедренной трапеции ABCD с периметром 64 см на большем основании AD и боковой стороне CD выбраны соответственно такие точки F и G, что FG | AC, DF = 18 см, DG = 12 см. Учитывая, что прямая, проходящая через точку G и точку пересечения диагоналей, параллельна основаниям трапеции, найдите эти основания.
361
Правообладатель Народная асвета
1257. Боковая сторона AB трапеции ABCD равна а, а основания AD и BC — m и n соответственно. Найдите диагонали трапеции, учитывая, что они пересекаются в точке Q и Z AQD = Z ABC.
1258. Имеется треугольник ABC со сторонами AB, BC и AC соответственно равными с, а и b. На продолжении стороны AC за точку C на расстоянии m от нее выбрана точка M, а на прямой AB — точка N так, что ZAMN = ZABC. Найдите длины отрезков AN и MN.
1259. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковой стороной BC, соответственно равными b и а, проведены высоты к боковым сторонам. Найдите расстояния между их основаниями.
1260. Медиана AM треугольника ABC делит высоту BD на части длинами 10 см и 14 см. Учитывая, что AC = 63 см, найдите стороны AB и BC.
Геометрические величины
В школьной математике изучают четыре величины — градусную меру угла, длину отрезка, площадь фигуры, объем тела.
Использование величины позволяет выразить определенным действительным числом результат сравнения геометрической фигуры Ф с фигурой, с которой сопоставлено число 1. Выбор фигуры-эталона означает выбор единицы измерения. Кроме основной единицы, используют и производные от нее, которые в метрической системе мер образуются единообразным образом с помощью приставок греческого происхождения. Значения употребительных приставок приводятся в следующей таблице.
При- Обозна- Множи-
ставка чение тель
гига Г 109
мега М 106
кило к 103
гекто г 102
При- Обозна- Множи-
ставка чение тель
деци д 10-1
санти с 10-2
милли м 10-3
микро мк 10-6
362
Правообладатель Народная асвета
Угол
Угол
Градусная мера угла
Два луча с общим началом разделяют плоскость на две части (рис. 513), каждую из которых вместе с лучами называют углом, сами лучи — сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Угол обозначают знаком Z.
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, называют биссектрисой угла (рис. 514).
Угол, стороны которого являются противоположными лучами, называют развернутым, его стовосьмидеся-тую долю называют градусом и обозначают 1°. Градус является единицей измерения величины, которую называют градусной мерой угла.
Шестидесятую долю градуса называют минутой, шестидесятую долю минуты — секундой. Минуту обозначают знаком секунду — знаком ".
Угол, равный своему смежному углу, называют прямым. Угол, меньший прямого, называют острым, а угол, больший прямого и меньший развернутого, — тупым.
Сумма углов многоугольника, как выпуклого, так и невыпуклого, с количеством сторон n равна 180° • (п - 2).
Длина отрезка. Расстояние
Две точки прямой Ми N разделяют ее на три части (рис. 515), которые вместе с точками Ми N образуют луч с началом в точке М, луч с началом в точке N и отрезок MN. Если выбрать единицу длины, то можно измерить длину отрезка. В качестве единицы длины принят метр. С длиной отрезка связана другая величина — расстояние.
М
N
Луч Отрезок Луч
Рис. 515
363
Правообладатель Народная асвета
Рис. 517 м
1 у 3 \ N,
Q к ST
Рис. 516
Рис. 518
Из точки A в точку B можно попасть разными путями (рис. 516). Наикратчайшим из них является путь 3 по отрезку AB. Расстоянием между точками называется длина отрезка, соединяющего их.
Наименьшим расстоянием от точки M до прямой l является расстояние до точки K — основания перпендикуляра MK (рис. 517). Расстоянием между точкой и прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.
Любые две точки одной из параллельных прямых равно-отстоят от другой прямой (рис. 518). Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
Длина C окружности с радиусом R представляется формулой C = 2nR.
Площадь фигуры
Если выбрать единицу площади, то можно измерить площадь фигуры. В качестве единицы площади принят квадратный метр, под которым понимают площадь квадрата со стороной, равной 1 м.
Площадь треугольника (рис. 519) равна:
• половине произведения стороны и проведенной к ней
высоты:
S = 1 a • h
a ’
• произведению высоты треугольника и перпендикулярной ей средней линии: S = ha • la;
364
Правообладатель Народная асвета
• половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними: S = 1 absin у;
• квадратному корню из произведения полупериметра и трех разностей полупериметра с каждой стороной:
P = ^(a + b + c); S = yjp(p - a)(p - b)(p - c).
Площадь четырехугольника (рис. 520) равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними:
S = 1 di • d2 • sin a.
Площадь трапеции (рис. 521) равна произведению полусуммы ее оснований и высоты или произведению ее средней
a + b
линии и высоты: S =
h = l • h.
Площадь параллелограмма (рис. 522) равна произведению стороны и проведенной к ней высоты:
S = a • h.
Площадь прямоугольника (рис. 523) равна произведению его смежных сторон: S = a • b.
Площадь ромба (рис. 524) равна половине произведения
диагоналей: S = 1 d1 • d2.
Площадь круга с радиусом R выражается формулой S = nR2.
365
Правообладатель Народная асвета
Объем тела
Если выбрать единицу объема, то можно измерить объем тела. В качестве единицы объема принят кубический метр, под которым понимают объем куба со стороной, равной 1 м.
Объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 525)равен:
• произведению трех его измерений:
V = abc;
• произведению площади его основания и высоты:
V = Sh.
1261. На отрезке AB выбрана внутренняя точка C. Найдите отрезки CA и CB, учитывая, что:
а) отрезок AB равен 28 см, а отрезок CA на 10 см длиннее отрезка CB;
б) отрезок AB равен 30 см, а отрезок CA относится к отрезку CB как 3 : 7;
в) к отрезку CB отрезок CA относится как 3 : 5 и длиннее отрезка CB на 8 см;
г) отрезок AB равен 56 см, а отрезок CA составляет 75 % отрезка CB;
д) отрезок CA составляет 125 %о отрезка CB и длиннее отрезка CB на 7 см.
1262. Найдите углы треугольника ABC, учитывая, что:
а) угол B на 45° больше угла A и на 30° меньше угла C;
б) угол B на 45° больше угла A и на 30° больше угла C;
в) угол B на 45° меньше угла A и на 30° больше угла C;
г) угол B на 20° меньше угла A и составляет 21 угла C;
6
д) угол B на 24° меньше угла A и составляет 112,5 % угла C.
1263. Найдите расстояние от вершины C прямого угла до гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, учитывая, что его:
а) катеты CA и CB соответственно равны 11 и 60;
б) катеты CA и CB соответственно равны 19 и 180;
366
Правообладатель Народная асвета
в) катет CA и гипотенуза соответственно равны 84 и 85;
г) катет CA и гипотенуза AB соответственно равны 77 и 85.
1264. Учитывая, что основания AD и BC равнобедренной трапеции ABCD равны соответственно 5 и 1, установите, истинно ли утверждение:
а) точка пересечения диагоналей является центром симметрии трапеции;
б) если сторона AB равна 3, то периметр трапеции равен 12;
в) если угол A больше 45°, то высота трапеции больше трех;
г) площадь треугольника, ограниченного боковой стороной и
5
диагоналями, составляет — площади трапеции;
36
д) если диагонали AC и AD равны, то площадь трапеции равна 12.
1265. Найдите длину отрезка BD, соединяющего вершину B треугольника ABC с точкой D на стороне AC, учитывая, что периметр треугольника ABC равен 20 см, а периметры треугольников ABD и BCD — 12 см и 16 см.
1266. Точка Q делит отрезок длиной 30 см в отношении Найдите расстояние от точки Q до середины отрезка.
2 • Л.
7 ' 21'
1267. Отрезок делится точкой M в отношении 5 : 7, а точкой N — в отношении 7 : 11. Найдите длину отрезка, учитывая, что расстояние между точками M и N равно 24 см.
1268. На отрезке AB отметили такую точку C, что AC = AB, а на отрезке AC — такую точку D, что CD =
= 1,5BC. Учитывая, что AD = 26 см, найдите длины полученных частей.
1269. Отрезок разделен на четыре части в отношении 2 : 3 : 4 : 5. Учитывая, что расстояние между серединами крайних частей равно 95 мм, найдите расстояние между серединами двух остальных частей.
1270. Отрезок длиной 30 см разделен на четыре неравные части. Учитывая, что расстояние между серединами крайних частей равно 24 см, найдите расстояние между серединами двух остальных частей.
367
Правообладатель Народная асвета
1271. Луч, проведенный из вершины угла, разделил его на две части. Учитывая, что одна из частей величиной 35°
7
составляет — другой части, найдите величину всего угла.
1272. Из точки Q на прямой AB в одной полуплоскости провели два луча QM и QN так, что угол MQA составляет
5
— угла MQN и меньше его на 30°. Найдите величины углов, 8
на которые лучи разбили полуплоскость.
1273. Из точки O на прямой MN в одной полуплоскости провели два луча OA и OB так, что Z MOA = 2ZAOB, а ZAOB - Z BON = 12°. Найдите величины углов, на которые лучи разбили полуплоскость.
1274. В равнобедренном треугольнике ABC с периметром 21 см провели медианы AM и BN к боковым сторонам. Найдите стороны треугольника, учитывая, что периметр треугольника ACM на 3 см больше периметра треугольника ABN.
1275. В прямоугольном треугольнике ABC с периметром 39 см провели медиану AM к гипотенузе. Найдите длину отрезка AC, учитывая, что периметр треугольника BAM равен 24 см.
1276. В треугольнике ABC из середины стороны AB возвели перпендикуляр до пересечения со стороной BC в точке
N. Найдите периметр треугольника ABC, учитывая, что периметр треугольника CAN равен 29 см и AB = 11 см.
1277. Докажите, что площади треугольников, которые имеют:
а) общую высоту, относятся как стороны, к которым проведена эта высота;
б) общее основание, относятся как высоты, проведенные к этому основанию.
1278. Тремя прямыми, проведенными из одной вершины, разделите на три равновеликие части:
а) данный треугольник;
б) данный параллелограмм.
1279. Диагональ трапеции делит ее на два треугольника, площади которых относятся как 3 : 7. Определите, в каком отношении средняя линия делит площадь трапеции.
368
Правообладатель Народная асвета
1280. Длина боковой стороны трапеции равна а, а расстояние до этой стороны от середины противоположной стороны равно b. Найдите площадь этой трапеции.
1281. Точка K делит сторону AC треугольника A^C в отношении m ■ n. Докажите, что для любой точки L на прямой BK площади треугольников ALK и CLK относятся как m '■ n.
1282. В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны такие точки M и N, что прямая MN параллельна высоте BK. Найдите длину отрезка MN, учитывая, что он делит треугольник на две равновеликие части, а высота BK, равная 7, делит сторону AC в отношении 7 : 2.
1283. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2. Найдите катеты этого треугольника, учитывая, что они отличаются на 31 см.
1284. Два равных прямоугольника, имеющих общий угол и квадратную общую часть, закрывают вместе площадь в 30 м2. Найдите измерения прямоугольника, учитывая, что его периметр равен 21 м.
1285. Точки A1, B1, C1, D1 параллелограмма ABCD являются серединами сторон CD, DA, AB, BC соответственно. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AA1, BB1, CC1, DD1, учитывая, что площадь параллелограмма ABCD равна 35 см2.
1286. Через точку пересечения медиан равнобедренного треугольника провели прямую, параллельную основанию треугольника. Учитывая, что отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 4 см, а периметр треугольника составляет 16 см, найдите высоты треугольника.
1287. Биссектриса AN и медиана BM треугольника ABC пересекаются в точке Q. Прямая, проходящая через точку Q параллельно стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Учитывая, что AF = 10 см, GC = 6 см, AC = 28 см, найдите площадь треугольника ABC.
1288. К основанию равнобедренного треугольника ABC проведена медиана BM. Окружность с центром B и радиусом BM пересекает боковые стороны треугольника в точках F и G. Учитывая, что расстояние между прямыми AC и FG равно 4 см и FG = 24 см, найдите периметр треугольника ABC.
1289. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC параллельно стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Найдите дли-
369
Правообладатель Народная асвета
ну отрезка FG, учитывая, что периметр треугольника ABC равен 150 мм, AF + GC = 32 мм.
1290. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок BF равен высоте BH треугольника и FG | AC. Найдите площадь треугольника ABC, учитывая, что AF = 1 см, GC = 1,7 см и расстояние между прямыми AC и FG равно 0,8 см.
1291. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезки BF и BG равны высоте BH треугольника. Прямые, проведенные через точки F и G параллельно стороне AC, пересекают стороны BC и AB соответственно в точках F1 и G1. Найдите периметр и площадь треугольника ABC, учитывая, что FG^_ = 24 мм, GF^_ = 18 мм и расстояние между прямыми FF1 и GG1 равно 12 мм.
1292. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону на части длинами 10 см и 15 см, если считать от меньшего основания трапеции. Найдите площадь трапеции, учитывая, что ее меньшее основание равно 3 см.
1293. Биссектриса угла A при основании AC равнобедренного треугольника ABC делит боковую сторону в отношении 5 : 8, если считать от вершины B. Средняя линия треугольника, параллельная основанию, делится этой биссектрисой на части, разность которых равна 18 см. Найдите периметр треугольника.
1294. На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок FG параллелен стороне AB, проходит через точку Q пересечения биссектрис и делится этой точкой в отношении 3 : 2. Найдите периметр и площадь треугольника ABC, учитывая, что сторона AC делится биссектрисой на части AK и KC, соответственно равные 25 см и 20 см.
1295. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что ZAFC = Z BAC и FG I AC. Найдите периметр треугольникаAFG, учитывая, что AB = 27 см, BC = 36 см и AC = 18 см.
1296. Перпендикуляр, опущенный из вершины острого угла равнобедренной трапеции на противолежащую боковую сторону, делит ее на отрезки длинами 12 см и 3 см, если счи-
370
Правообладатель Народная асвета
тать от большего основания. Учитывая, что это основание равно 20 см, найдите площадь трапеции.
1297. К основанию равнобедренного треугольника ABC проведена медиана BG, а к боковой стороне — высота AF. Учитывая, что BG ■ AF = 5 : 6 и FG = 30 см, найдите периметр треугольника ABC.
1298. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна ее боковой стороне CD и делит высоту BH на отрезки длиной 27 см и 21 см, если считать от большего основания. Найдите площадь трапеции.
1299. На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки M и N, прямые AN и BM пересекаются в точке Q. Определите стороны AC и BC, учитывая, что AQ = 36 см, QN = 9 см, BQ = QM = 18 см и BN = 12 см.
1300. Отрезок длиной 42 см, соединяющий точки на боковых сторонах равнобедренного треугольника, проходит через точку пересечения высот и параллелен основанию. Определите боковую сторону треугольника, учитывая, что его основание равно 96 см.
1301. Основания трапеции равны a и b. Найдите длину отрезка, который параллелен основаниям трапеции и делит ее на две подобные друг другу трапеции.
1302. В четырехугольнике ABCD с периметром 84 см диагонали пересекаются в точке Q. Найдите периметр четырехугольника, вершины которого делят отрезки QA, QB, QC, QD в отношении 3 : 1, если считать от точки Q.
1303. Прямая делит прямоугольник на два подобных друг другу прямоугольника с диагоналями 15 см и 20 см. Найдите стороны исходного прямоугольника.
Геометрические построения линейкой и циркулем
В геометрии важную роль играют построения с использованием только двух инструментов — односторонней геометрической линейки без делений и циркуля.
С помощью геометрической линейки можно провести:
• прямую через две данные точки;
• луч, начинающийся в данной точке и проходящий через другую данную точку;
• отрезок, соединяющий две данные точки;
371
Правообладатель Народная асвета
• произвольную прямую;
• произвольный луч;
• произвольный отрезок.
С помощью циркуля можно:
• отметить две точки R и S, расстояние между которыми равно данному отрезку AB;
• построить окружность с центром в выбранной точке и радиусом, равным данному отрезку;
• построить произвольную окружность.
Это есть элементарные построения, которые можно выполнить линейкой или циркулем. Их сочетание позволяет проводить более сложные построения.
Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки означает свести ее к последовательному выполнению элементарных построений, каждое из которых можно выполнить циркулем или геометрической линейкой. Обычно построение нужной фигуры сводят к так называемым основным построениям:
• построение отрезка, равного данному отрезку;
• построение угла, равного данному углу;
• построение середины данного отрезка;
• построение биссектрисы данного угла;
• построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой;
• построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
• деление данного отрезка на n отрезков-долей;
• деление данного отрезка в данном отношении m '■ n.
1304. С помощью геометрической линейки и циркуля постройте угол величиной:
а) 60°; б) 30°; в) 45°; г) 22° 30'.
1305. Постройте треугольник, у которого:
а) одна сторона и проведенная к ней высота равны двум данным отрезкам, а угол, прилежащий к этой стороне, равен данному углу;
б) сторона, проведенные к ней медиана и высота равны трем данным отрезкам;
в) сторона, проведенные к ней медиана и угол между этой медианой и высотой, проведенной к этой стороне, равны данным двум отрезкам и углу;
372
Правообладатель Народная асвета
г) две стороны и высота, проведенная к одной из них, равны трем данным отрезкам.
1306. Постройте четырехугольник ABCD (рис. 526), у которого его три стороны:
а) и обе диагонали равны пяти данным отрезкам;
б) а, b и d, два угла A и B равны данным трем отрезкам и двум данным углам;
в) а, b и с, два угла A и B равны данным трем отрезкам и двум данным углам.
1307. Постройте трапецию, у которой ее:
а) основание, боковая сторона и углы, прилежащие к другому основанию, равны данным двум отрезкам и двум углам;
б) основание, высота и углы, прилежащие к основанию, равны данным двум отрезкам и двум углам;
в) основание, высота и противолежащие углы равны данным двум отрезкам и двум углам.
1308. Постройте треугольник по:
а) его стороне и отношению а ■ b '■ с всех его сторон;
б) по сумме его двух сторон, разности этих сторон и углу против третьей стороны;
в) по его высоте, углу при стороне, к которой проведена высота, и отношению двух других сторон;
г) по периметру, углу и отношению сторон, образующих этот угол.
1309. Постройте треугольник, который равновелик одному и подобен другому из двух данных треугольников.
1310. Постройте квадрат:
а) площадь которого составляет четыре площади данного квадрата;
б) равновеликий данному прямоугольнику;
в) равновеликий данному параллелограмму;
г) равновеликий данному треугольнику.
373
Правообладатель Народная асвета
Текстовые задачи
1311. Имеются два прямоугольных параллелепипеда (рис. 527), у первого площадь основания равна 72 см2, у второго — 42 см2, а их высоты относятся как 2 : 5. Найдите объемы параллелепипедов, учитывая, что объем второго параллелепипеда на 198 см3 больше.
1312. Отрезок AB длиной 15 м точкой M разделен на два таких отрезка, что AM - BM = 1 м. На полученных частях AM и BM как на высотах построены прямоугольные параллелепипеды, площади оснований которых относятся как 8 : 9, а объем первого параллелепипеда на 6 м3 больше (рис. 528). Найдите объемы параллелепипедов.
М
Рис. 528
1313. При изменении высоты тела массой 200 кг на 220 м изменение его потенциальной энергии на Сатурне на 381 кДж больше изменения потенциальной энергии этого тела при изменении его высоты на 300 м на спутнике Сатурна Титане. Учитывая, что ускорения свободного падения на Сатурне и на Титане относятся как 70 : 9, найдите эти ускорения и изменения потенциальной энергии.
1314. Имеются два прямоугольных параллелепипеда (рис. 529), у первого площадь основания равна 30 см2, у второго — 21 см2. Высота и объем второго параллелепипеда больше соответствующих величин первого на 4 см и на 12 см3. Найдите объемы параллелепипедов.
1315. На отрезке CD длиной 18 дм выбрали такую точку N, что ND - NC = 2 дм. На полученных частях NC и ND как на высотах построены такие прямоугольные параллелепипеды, что объем первого из них на 406 дм3 меньше (рис. 530).
374
Правообладатель Народная асвета
N
D
Рис. 530
Учитывая, что площадь основания первого параллелепипеда на 35 дм2 меньше, найдите объемы параллелепипедов.
1316. К коротким плечам двух рычагов, представленных на рисунке 531, подвешены одинаковые грузы и Р2 весом 1200 Н. Приложив силы F1 и F2 в 360 Н и 500 Н к длинным плечам верхнего и нижнего рычагов соответственно, эти грузы подняли на такие высоты h1 и h2, что h2 - h1 = 0,13 м, а точки приложения сил F1 и F2 поднялись на высоты Н1 и H2, соответственно равные 0,5 м и 0,8 м. Найдите коэффициенты п1 и п2 полезного действия рычагов на верхнем и нижнем рисунках, учитывая, что п1 - п2 = 5 %, и то, что полезная работа Ак, выполненная работа Ав и коэффициент п полезного действия механизма, с помощью которого выполнялась работа, связаны зависимостью Ак = п • Ав.
375
Правообладатель Народная асвета
м
N
1317. Прямоугольник ABCD с площадью 86 см2 отрезком MN разделен на два прямоугольника AMND и BMNC (рис. 532), на которых как на основаниях построены прямоугольные параллелепипеды с высотами 10 см и 19 см. Найдите объемы параллелепипедов, учитывая, что объем второго параллелепипеда на 10 см3 больше.
1318. Отрезок MN длиной 31 см точкой A разделен на два отрезка AM и AN (рис. 533), на которых как на высотах построены прямоугольные параллелепипеды с площадями 70 см2 и 40 см2. Найдите объемы параллелепипедов, учитывая, что объем второго параллелепипеда на 190 см3 меньше.
1319. Имеются два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда: один латунный, второй бронзовый, которые вместе имеют массу, равную 1476 г. Найдите по отдельности массы латунного и бронзового брусков, учитывая, что их объемы относятся как 2 : 3, плотности латуни и бронзы соответственно равны 8,5 г/см3 и 8 г/см3, а масса m предмета, плотность р вещества, из которого предмет сделан, и объем V предмета связаны зависимостью m = р • V.
1320. Имеются два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда: один еловый размерами 2 см X 5 см X 120 см, второй березовый размерами 3 см X 4 см X 110 см, которые вместе имеют массу, равную 1350 г. Учитывая, что плотности ели и березы относятся как 7 : 5, найдите:
а) по отдельности массы брусков;
б) плотности ели и березы.
1321. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — дубовый и осиновый — вместе имеют массу, равную 1620 г. Объем осинового бруска на 400 см3 больше, а плотности дуба и осины соответственно равны 0,69 г/см3 и 0,495 г/см3. Найдите:
376
М
Рис. 533
Правообладатель Народная асвета
а) по отдельности массы брусков;
б) размеры дубового бруска, учитывая, что ширина составляет 0,6 длины, а высота больше длины в 16 раз;
в) размеры осинового бруска, учитывая, что длина и ширина одинаковые, а высота больше длины в 25 раз.
1322. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — грушевый объемом 400 см3 и вишневый объемом 900 м3 — вместе имеют массу, равную 833 г. Найдите:
а) по отдельности массы брусков, учитывая, что плотность груши на 0,1 г/см3 больше плотности вишни;
б) размеры грушевого бруска, учитывая, что ширина составляет 0,5 длины, а высота больше длины в 12,5 раза;
в) размеры вишневого бруска, учитывая, что ширина составляет 75 % длины, а высота — 2500 % ширины.
1323. Имеется рычаг, плечи которого Z1 и l2 равны 0,6 м и 1 м соответственно (рис. 534). К концам рычага приложены такие силы F1 и F2, что F1 - F2 = 150 Н и их моменты вместе составляют 410 Н • м. Определите, на какой высоте будет находиться один из концов рычага, если другой его конец при повороте упрется в землю, учитывая, что точка O опоры рычага отстоит от земли на 50 см, а сила F, ее плечо l и момент M связаны зависимостью M = F • l.
О 0,6 м В
Рис. 534
Fa = 900 Н
Рис. 535
1324. Имеется рычаг с концами Ми N, плечи которого l1 и l2 такие, что l1 - l2 = 0,1 м (рис. 535). К концам рычага М и N приложены силы F1 и F2, соответственно равные 720 Н и 900 Н, и их моменты вместе составляют 963 Н • м. Определите, на какой высоте будет находиться один из концов рычага, если другой его конец при повороте упрется в землю, учитывая, что точка O опоры рычага отстоит от земли на 33 см.
1325. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — ольховый объемом 1640 см3 и рябиновый объемом 600 см3 — вместе имеют массу, равную 1218 г. Найдите:
377
Правообладатель Народная асвета
а) по отдельности массы брусков, учитывая, что плотности ольхи и рябины вместе составляют 1,12 г/см3;
б) размеры ольхового бруска, учитывая, что ширина составляет 80 % длины, а высота больше длины в 16,4 раза;
в) размеры рябинового бруска, учитывая, что ширина в два раза меньше длины, а высота составляет 1875 % длины.
1326. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — каштановый и кленовый — имеют общий объем, равный 4300 см3 и общую массу, равную 2508 г. Найдите:
а) по отдельности массы брусков, учитывая, что плотности каштана и клена соответственно равны 0,52 г/см3 и 0,69 г/см3;
б) размеры каштанового бруска, учитывая, что в сравнении с шириной длина в 1,2 раза больше, а высота составляет 1800 %;
в) размеры кленового бруска, учитывая, что ширина составляет 80 % длины, а высота — в 20 раз больше ширины.
1327. Антон поднял свой груз на высоту 18 м, а Иван на 20 Н меньший груз на высоту 21 м. Определите выполненные ими работа!, учит^1вая, что они относятся как 36 : 35, а работа A, выполненная силой F на пути s, определяется формулой A = F • s.
1328. Маша, масса которой равна 55 кг, и Дима, масса которого составляет 65 кг, поднялись на разные этажи одного и того же дома, причем Дима поднялся на два этажа выше. Определите, какие работы выполнили они против силы тяжести, учитывая, что эти работы относятся как 33 : 52, и принимая высоту этажа равной 3,5 м, а ускорение свободного падения — 9,8 м/с2.
1329. Наибольшая глубина пресного озера Нарочь (Беларусь) на 9 м больше наибольшей глубины соленого озера Урмия (Иран), а плотности воды в самых глубоких местах названных озер составляют 1000 кг/м3 и 1175 кг/м3 соответственно. Найдите давления воды в этих местах Нарочи и Урмии, учитывая, что первое из них составляет 75,2 % второго, а также то, что плотность р жидкости, глубина h погружения и давление P жидкости связаны зависимостью P = pgh, где g — ускорение свободного падения. Значение величины g примите равным 9,8 м/с2.
1330. Плотность воды в озере Мона (США) на 300 кг/м3 меньше плотности воды в Мертвом море (Ближний Восток), а
378
Правообладатель Народная асвета
наибольшие глубины названных озер равны 48 м и 380 м соответственно. Найдите плотности воды озера Мона и Мертвого моря и давления воды в самых глубоких их местах, учитывая, что эти давления относятся как 28 : 285. Значение величины g примите равным 9,8 м/с2.
1331. Руслан и Максим на санках привезли в школу собранную ими макулатуру. При этом на пути от дома до школы Руслан прикладывал силу, в среднем равную 25 Н, а Максим — силу, в среднем равную 35 Н, и вместе они покрыли путь, равный 950 м. Учитывая, что работы, выполненные Русланом и Максимом, относятся как 55 : 56, найдите:
а) эти работы;
б) пути до школы от домов Руслана и Максима.
1332. Света и Наташа на санках привезли в школу собранную ими макулатуру. При этом до школы от дома Светы — 150 м, а от дома Наташи — 180 м. Учитывая, что силы, которые прикладывали Света и Наташа, вместе составляют 35 Н, а работы, выполненные ими, относятся как 5 : 8, найдите эти силы и эти работы.
1333. На полу стоят отец и сын, массы которых соответственно равны 81 кг и 54 кг, при этом давление, которое на пол оказывает отец, на 2940 Н/м2 больше. Найдите площади подошв обуви отца и сына, учитывая, что они относятся как 6 : 5, а также то, что давление p силы F на поверхность
S определяется формулой p = F, и принимая ускорение
S
свободного падения равным 9,8 м/с2.
1334. На полу стоят девочка и ее старший брат, массы которых соответственно равны 36 кг и 81 кг, при этом площадь подошвы обуви брата на 21 см2 больше. Найдите давления, которые оказывают на пол сестра и брат, учитывая, что они относятся как 2 : 3, и принимая ускорение свободного падения равным 9,8 м/с2.
1335. Игнат вытянул ведро воды объемом 11 л из колодца глубиной 25 м, а Виктор — ведро воды объемом 9 л из колодца глубиной 18 м, затратив на это вместе 29 с. Найдите мощности, которые развили Игнат и Виктор, учитывая, что они относятся как 3 : 4, а также то, что выполненная работа A, мощность N и время t выполнения работы связаны зависимостью A = N • t, и принимая массу ведра равной 1 кг.
379
Правообладатель Народная асвета
1336. Роман вытянул ведро воды объемом 9 л из колодца глубиной 15 м, а Сергей — ведро воды объемом 11 л из колодца глубиной 25 м, при этом развитые ими мощности вместе составили 343 Вт. Найдите эти мощности, учитывая, что время, затраченное на выполнение работы Романам, относится ко времени, затраченному на работу Сергеем, как 2 : 3, и принимая массу ведра равной 1 кг.
1337. Один кит плывет со скоростью, на 18 км/ч большей скорости второго кита, при этом первый кит развил мощность, равную 150 кВт, второй — мощность, равную 4 кВт. Найдите силы сопротивления воды движению первого и второго китов, учитывая, что первая из них на 18,4 кН больше, а также то, что развитая объектом мощность N, скорость его движения v и сила F сопротивления движению связаны зависимостью N = F • V.
1338. Мотор с мощностью 15 кВт, установленный на автомобиле, может придать ему при движении по горизонтальному участку дороги скорость на 78 км/ч большую скорости, которую может обеспечить лодке мотор с мощностью 12 кВт. Учитывая, что силы сопротивления движению автомобиля и моторной лодки отличаются на 3 кН, найдите:
а) эти силы;
б) скорости движения автомобиля и лодки.
1339. Одно тело притягивается к Земле с силой, равной 588 Н, а на Луне другое тело с массой на 5 кг меньшей притягивается к ней с силой, равной 88 Н. Учитывая, что ускорения свободного падения на Земле и на Луне вместе составляют 11,4 м/с2, а также то, что сила тяжести Fт, масса m тела и ускорение свободного падения g связаны зависимостью Fт = m • g, найдите:
а) эти ускорения;
б) массы первого и второго тел.
1340. Одно тело притягивается к Марсу с силой, равной 555 Н, на Венере другое тело притягивается к ней с силой, равной 712 Н, а массы тел вместе дают 230 кг. Учитывая, что ускорение свободного падения на Марсе на 5,2 м/с2 меньше, найдите:
а) эти ускорения;
б) массы первого и второго тел.
380
Правообладатель Народная асвета
1341. Костя с отцом возвращались домой. Отец поднялся в свою квартиру, а Костя пошел выше к своему другу. В результате потенциальная энергия Кости увеличилась на 13 230 Дж, а отца — на 11 466 Дж. Массы Кости и отца вместе составляют 128 кг, номера этажей, на которые они поднялись, в сумме дают число 16. Учитывая, что потенциальная энергия Еп тела, его масса m и высота h над поверхностью Земли связаны зависимостью Еп = m • g • h, и принимая для ускорения свободного падения g значение, равное 9,8 м/с2, а высоту этажа равной 3 м, найдите:
а) массы Кости и его отца;
б) этажи, на которые поднялись Костя и отец.
1342. При изменении высоты на 50 м одно тело изменяет свою потенциальную энергию на Венере на 44 500 Дж, а другое тело на Нептуне — на 71 500 Дж. Учитывая, что вместе массы тел составляют 230 кг, а ускорения свободного падения на Венере и на Нептуне — 19,9 м/с2, найдите эти массы и эти ускорения.
1343. При изменении высоты одного тела массой 120 кг его потенциальная энергия на Марсе изменяется на 66,6 кДж, а при изменении высоты этого тела на Юпитере — на 300 кДж. Учитывая, что вместе изменения высот тела составляют 250 м, а ускорения свободного падения на Марсе и на Юпитере — 28,7 м/с2, найдите эти изменения высоты и эти ускорения.
1344. Через две трубы можно наполнить бак за 2 ч 55 мин. Найдите, сколько времени этот бак будет наполняться через первую трубу, учитывая, что если наполнять его через другую трубу, то понадобится на 2 ч больше.
1345. Две бригады вместе могут выполнить некоторый заказ за 12 ч. Определите, сколько времени над этим заказом работала бы одна первая бригада, учитывая, что для этого ей нужно на 10 ч меньше, чем второй.
1346. Над выполнением заказа работали две бригады. Сначала час работала одна первая бригада, а потом добавилась вторая, и еще через 2 ч им осталось выполнить 45 % заказа. После завершения работы выяснилось, что каждая бригада выполнила по 50 % заказа. Определите, сколько времени над этим заказом работала бы каждая бригада.
381
Правообладатель Народная асвета
1347. Расстояние между двумя пристанями катер проходит за 2 ч 30 мин. Если бы катер уменьшил скорость на 6 км/ч, то он на этот путь затратил бы на 45 мин больше. Найдите скорость катера.
1348. Автомобилист проезжает путь от А до В за 1 ч. Он выехал из А и одновременно из В вышел пешеход. Автомобилист встретил пешехода, довез его до А, затем приехал в В, затратив на все 2 ч 40 мин. За какое время путь из А в В пройдет пешеход?
1349. Из двух пунктов, расстояние между которыми 29 км, вышли одновременно два пешехода. Если бы первый, пройдя 8 км, не задержался на час, то встреча произошла бы на середине пути. А так встреча состоялась через 5 км от места задержки. Найдите скорость второго пешехода, учитывая, что первый пешеход после задержки увеличил свою скорость на 1 км/ч.
1350. Два пешехода вышли из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу и встретились через 30 мин. Продолжая движение, второй пришел в А через 11 мин после того, как первый — в В. Определите, сколько времени был в пути каждый пешеход.
1351. В кружке количество парней составляет 80 % от количества девушек. Сколько процентов составляет количество девушек от количества парней в этом кружке?
1352. Первое число составляет 80 °% второго, а второе — 120 % третьего. Найдите эти числа, учитывая, что их среднее арифметическое равно 15,8.
1353. Морская вода содержит 3,5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно долить к 40 кг морской, чтобы полученная вода содержала 1 % соли?
1354. Влажность груш при сушке изменяется с 70 % до 20 %. Определите, сколько сушеных груш получится из 20 кг свежих.
1355. Смешали 10-процентный и 25-процентный растворы соли и получили 3 кг 20-процентного раствора. Определите, сколько было использовано каждого раствора.
1356. Первый слиток содержит 6 кг меди, а второй — 11 кг. При этом процентное содержание меди в первом слитке было на 40 процентных пунктов меньшим. После того как оба слитка сплавили, в полученном сплаве содержание меди составило 30 % . Определите процентное содержание меди в исходных слитках.
382
Правообладатель Народная асвета
1357. Первый сплав массой 300 г содержит 60 % меди, второй сплав — 40 °% меди. Сколько граммов второго сплава нужно взять, чтобы при переплавке с первым получить сплав с 56-процентным содержанием меди?
1358. Население райцентра за 2 года увеличилось с 20 000 человек до 22 050 человек. Определите среднегодовой процент роста населения в этом райцентре.
1359. Найдите отношение двух чисел, учитывая, что разность первого числа и 50 %о второго составляет 50 %о от суммы второго числа с 50 % первого.
1360. Числитель дроби на 3 меньше знаменателя, а если увеличить числитель на 7, а знаменатель на 5, то дробь увеличится на 0,5. Найдите эту дробь.
1361. Числитель дроби на 5 меньше знаменателя, а если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16,
то дробь уменьшится на ^. Найдите эту дробь.
3
1362. Велосипедист за 3 ч 45 мин проехал 45 км. Найдите скорость велосипедиста на первой половине пути, учитывая, что на второй половине она была на 5 км/ч меньше.
1363. Двое рабочих обработали по 40 деталей. Найдите производительность труда первого рабочего, учитывая, что он работал на 3 ч больше другого, который обрабатывал на 3 детали в час больше.
Правообладатель Народная асвета
Ответы
Раздел I
18. а) 4 см; 2 см; б) 4 см; 2 см; в) 5 см; 1 см; г) 3,5 см; 2,5 см. 19. а) 4 см и 2 см или 8 см и 6 см; б) 4 см и 2 см или 12 см и 6 см; в) 5 см и 1 см или 6,2 см и 0,2 см; г) 3,5 см и 2,5 см или 21 см и 15 см. 23. а) 90°, 45°, 45°; б) 60°, 60°, 60°. 24. 17 см, 15 см, 16 см. 25. 20 г, 30 г, 17 г. 36. г) 3а + 10b > 2a + 4b; ж) 3a + 4b > > 2a - 2b. 73. a) 0° < Z N < 48°; б) 92° < Z O < 140°. 74. г) 100 м2 < S < 140 м2;
26
14
е) 50 м2 < S < 130 м2. 80. а) -26; б) не имеет значения; в) ; г) 0; д)-;
35
15
3 г; в) 2; г) 2P . 82. а) -1; б) 1. 83. а) 40 см,
е) 0. 81. а) ; б)
2^ b + ^ 3p - q
20 см, 6 см, 14 см; б) 30 см, 10 см, 4 см, 16 см; в) 7,4 м, 0,2 м, 2,4 м, 4,8 м. 84. 4 см, 6 см, 8 см. 85. а) Pj (4); б) Pj (-11); в) Pj (5); г) Pj (-12,4). 86. а) 60 мм, 45 мм; б) 63 мм, 42 мм; в) 42 мм, 63 мм; г) 55 мм, 50 мм. 87. « 67 см2. 88. 36°, 72°, 72°. 89. 6 см, 45 см, 8 см. 90. 1 тыс., 0,3 тыс., 2,6 тыс. 91. 18 км/ч, 52 км. 92. 1725 ц. 93. 2850 км, 1352 км, 2201 км, 1151 км. 107. б) -8 < а -
- b < -6; г) 1 < — < i. 108. а) 314 < C < 320,28; б) 7850 < S < 8167,14.
5b3
109. а) 20,2 см 1,5. 137. а) z < 0,5; б) y < 0,4; в) x > 5;
г) w > -3; д) v < 3; е) u < -1; ж) t < 7,5; 3) s < -0,5. 138. а) При h > 5; б) при
22
g > 2,75; в) при f < —; г) при b < —; д) при e > 4,5; е) при d < 1,75; ж) при 33
c < 4; з) при a > -12. 139. а) x < -5; б) z < -1; в) y < -1,75; г) u > -^; д) t > -0,1; е) s > -2,2; ж) p > 1,1; з) r > I-. 140. а) a > 6-|; б) b < 12; в) c > 0; г) d > 5,5;
д) f > -16; е) g > -11; ж) h > 2-1; з) k > 139; и) u > 251; к) w < 24; л) s < 22;
4 7 3
м) p < 3,5. 141. а) a < ^^; б) b < 21; в) c > -3,5; г) e < 53. 142. а) c = -45; 27 3
б) x = -157; в) y < ^^; г) d < -13. 144. а) x > ^; б) y < -5; в) t > ^^;
г) r < --1; д) s < --1; е) u > -35. 145. а) a < —^; б) a = —^; в) a > —^; 3 6 6 43 43 43
г) a > 1^^. 146. а) a > -3; б) b < 3; в) c > 10; г) k > -3; д) m > 3; е) u < -1,5.
43
147. а) -1; б) 4; в) -2; г) 0. 148. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2. 149. а) b ф -5; г) y ф 1;
д) s ф -2 и s ф 2; е) k ф -1 и k ф 1; ж) y ф -3 и y ф 3; з) a, b, c — любые числа.
2
150. Меньше 3 см. 151. Не больше 2^^ км. 152. Не меньше 43 деревьев.
384
Правообладатель Народная асвета
153. Больше 5 см, но меньше 19 см. 154. 18. 155. Больше
7
41-7 км/ч. 157. a < 4 м. 158. h > 8 см. 159. h < 8,1 дм. 160. 5 < a < 11 см;
b = (11 — a) см. 161. a < 8 м; b = м. 163. е) —1—; к) ■27; м) -16.
a 129^ ^ 81
164. а) 1257; б) Ц; в) 3^9; г) -|. 165. а) (a + b)(b + c); б) (x + 4)(x — y);
в) (m + n)(m + p); г) (^ — q)(q — 2); д) (6u + v)(2v — 1); е) (c — 7)(d + 4). 166. a) 3,25; б) 2,4; в) 2 или 9. 167. 5,6 и 7,6. 168. 1250. 169. 7 л, 6 л, 5 л. 175. а) (-^; 2); б) (17; +^); в) (0; 9); г) нет решений; д) (-^; -5]; е) [-17; -7);
ж) [-7; 2]; з) [-6; +^). 176. а) (5; 6); б) (-^; -1); в) (0; 5,2]; г) нет решений;
д) [6; +^); е) (-^; -2); ж) [2; 5]; з) (-2; 3). 177. а) [-12; 2]; б) нет решений;
в) (0; 15); г) (-^; -3]; д) [-1; 0,8]; е) (-^; -1,5]; ж) 178. а) (3; +^); б) (-^; -3); в) [-12; 3]; г)
i; +^|; з) [3; 6,7).
113; +“); д) (—'^ °.
; е)(0; 2,5].
179. а) (-3; 2,5]; б)
—-|; 2j; в) ^—-|; + ^j; г) (0; +^); д) [1,3; 2,5]; е) (-^; -4,9). 180. а) (-^; -0,6); б) (4,5; 6,5]; в) [5; +^); г) (-17; +^). 181. а) От -6 до 4;
б) -1, 0, 1, 2, 3; в) От 1 до 7; г) 1. 182. а) Нет решений; б) нет решений. 183. а) (-^; 5); б) (2; 15]; в) ^2; 31j; г) (-1; +^). 184. а) (-1; 2); б) (3; 13];
в) [-1; 1]; г) (-1; 3]. 185. а) [-6; 15]; б) [-7; 11]; в) (-17; 2]; г) [3; 11].
186. а) (5; +^); б) (-^; -4); в) (11; 14); г) нет решений; д) [18; 25); е) 4.
187. а) (-2; 3]; б) (-2; 1). 188. а) Нет решений; б) (-4; 1); в) ^1; 4^;
г) нет решений. 189. а) (3 см; 10 см); б) (4 см; 15 см); в) [6 см до 15 см); г) таких треугольников нет. 190. 36 км. 191. От 8 л до 24 л 194. 135п дм2, 191,25л дм2. 195. 572 км, 452 км, 445 км; 1024 км, 1017 км
197. а) 8; б) 8; в) 8; г) 8. 199. д) 2 x^yz-6; з) 1 r13s-2t-11v-2
2
3
3
200. а) 2^—; б) 3; в) -1; г) нет решений. 206. а) -1,2; 1,2; б) -22; 24; в) 0;
3
14; г) —2; 2; д) нет корней; е) 3; ж) —51; 8; з) —11^; — i1; и) 362; 50
5 4 3 13 13 3
210. а) -3 < k < 3; б) -12 < l < 12. 211. а) \р\ < 4; г) < 7,4. 212. а) |a| > 3;
в) — ^ < е < 1|. 215. а) [-3,3; 1,3]; б) (-^; -6] U [40; +^); в) (-1; 6);
г) (-^; -5) и (-2,8; +^); д) (—^; —32) U (—5; +^); е) (Ц; 511);
ж)
л)
—104; — ;з) —-; ^9] и
L 13 13 J 14 J
■ 11. 1 ; м) (—^- — ш и
_ 26; 13 J \ 70.
^^; +^); и) (^^; ); к) (—21; 17);
1^^ Г ’ \ 1^ 1^^^ \ ^21 '
171; +^). 216. а) (-2; 0) U (0; 2);
б) (-5; -2] и [2; 5); в) (-4; -1] U [1; 4); г) [-4; 1) U (1; 4]; д) [-1; 0,5) U (2,5; 4];
е) [0,2; 1]. 218. а) (-^; -1) U (4; +^); б)
0; 2 ; в) Г—1; 121
L 3 J L 3 J
; г) (-^; 0] и [3; +^);
д) (—^; 2j; е) (-^; -2] U [5; +^). 219. а) -2; -1; 0; 1; 2; 3; б) -1; 0; 1; 2;
385
Правообладатель Народная асвета
3; 4; в) -3; -2; -1; 0; 1; г) 1; д) -12; -11; -10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; е) -2; -1; 0. 220. а) При a > -2; б) при b < -2; в) при
е > 3; г) при d < 3. 222. а) 1,5; б) 0,5; в) -5,5; г) 7; д) -8; -|; е) 8; 1-5.
223. а) 0; 2; б) -17; 7; в) -1; -9; -17; г) нет корней. 224. а) (-^; +^);
б) [-12; 4]; в) (-^; 2) U (10; +^); г) нет решений. 225. а) (-^; 0); б) (2; +^);
в) (-3; +^). 226. а) (-^; -3] U [3; +^); б) (-^; -13,5] U [13,5; +^);
в) (-^; -1,8] и [1,8; +^); г) (-7,5; 0) U (0; 7,5); д)
-71; - 5^ и (-5; - 2■|
е) (-“; -и |^164; + ^j. 227. а) (1; 7]; б) (2; +^); в) [-1; 1) U (3; 4). 230. 144°. 231. 144°. 232. 80° < n < 180°, In - 1304 < 50°; 32п м2 < S < 72п м2,
S - 52П < 20п. 233.
16; 21
1^; 18,8 3
; [14,25; 19]. 234. 6 см, 8 см, 7 см.
Раздел II
239. 138°, 62°. 240. 140°, 70°. 241. а) 130°, 140°, 40°; б) 124°, 166°, 14°; в) 80°, 100°, 120°, 60°; г) 80°, 100°, 70°, 110°. 243. а) 54°, 126°, 72°, 108°; трапеция; б) 105°, 75°, 105°, 75°; параллелограмм; в) 128°, 96°, 56°,
80°. 245. а) 70°, 110°; б) 30°, 150°; в) 75°, 105°; г) 40°, 140°. 246. 84 см. 247. 240 см. 24^. 5 дм, 2 дм, 5 дм. 249. 12 см, 17 см; 120°, 60°. 252. 2 дм и
3 дм. 255. а) Могут; б) нет; в) нет; г) нет. 256. 80°, 100°, 130°, 50°. 257. 10 м,
4 м. 261. а) (2; +^); б) ^^j9; +^j. 262. а) [2; +^); б) (-1; 2). 263. а) 1;
б) 0. 265. R3 =
RR1 R2
-. 266. 42. 267. 4. 269. а) 7 см; б) 5 см;
R1 R2 - R ( R1 + R2)
в) 3 см. 270. 16 см. 271. 3 м. 272. 1 м. 275. 76 см. 276. 37,5 дм; 7,5 дм; 12,5 дм; 17,5 дм. 277. 960 мм, 240 мм, 300 мм, 420 мм. 278. 2 см 279. 12 см, 22 см, 30 см. 280. 4 дм. 281. 1 : 1. 282. а) 35 мм; б) 3,56 м; в) 32 см 283. 63 мм. 284. 71,5 мм. 285. 140 мм, 80 мм. 286. В 2 раза. 287. 32 см
288. 10 см. 289. 42 см, 140 см. 292. 6 см или 12 см. 293. 9 см. 294. 21 мм
2 11
297. 13 см. 298. 1 см, 6 см, 5 см или 3-| см, 31 см, — см. 301. а) [-3; 3];
3 3 3 i L . J.
б) (-^; -6) и (6; +^); в) (-^; -4] U [14; +^); г) ^--|; 2^; д) (-11; 3);
е) (-“; -8] и [3; +^). 305. 53 см, 50 см, 52 см, 50 см. 313. 76°. 314. 40 см
315. а) 42°, 48°; б) 6°. 316. 26°, 64°. 317. а) 10 см; б) 29 м; в) 17 дм; г) 37 см
318. 8 см. 320. а) 280 см; б) 3731 см. 322. а) 60°, 120°; б) 30°, 60°. 324. а) 40°,
3
140°; б) 20°, 70°. 326. 40 см, 10 см. 329. 48 см. 331. а) 2 м; б) 0,5 м.
332. 4 м, 4 м. 333. а) 8; б) 2т - 1. 334. а) Нет решений; б) нет решений.
337. б) P (0,5; -1,5); Q (-1; 2,5); Q (1; 4); S (2,5; 0). 339. 3 м, 5 м, 7 м. 340. 4. 341. 142 857.
Раздел III
348. а) 0,0(3); б) 0,(285714); в) -0,4(6); г) -0,85; д) -1,175. 349. а) 2,(6);
б) 0,(142857); в) 0,(904761); г) -0,3(45); д) 7,(063). 353. а) —; б) —; в) ^53;
33 11 225
^ ,14 , „ 53 , 1^ ^ , 2т - 3^ ^ , 1 -1 , 4(r2 + s2)
г) ^г; д) -^;т; е) —. 355. а) -------; б) -1; в) ——; г) -----—
15 72 13 т - n k г- -.'2
386
(г - s)
Правообладатель Народная асвета
357. а) 43 и 53 или 1 и 11; б) 63 и 53 или 21 и 11. 359. а) -5; б) -7; в) -11;
г) -9. 360. 13,5 кг. 361. 9 г, 10 г. 362. 1 кг 920 г, 960 г, 9 кг 120 г. 363. 40 %,
50 %, 10 %. 370. г) 6; д) 1,4; е) 0,2. 371. г) -2 < ^3 < -1; д) -9 < ^75 < -8;
е) -21 < ^401 < -20. 372. д) 0,800. 378. л) 1,5; м) 13. 379. л) 2,5; м) 22.
53
380. д) -1,4; 1,4; ж) -1,5; 1,5. 381. г) 4; д) ^; е) 5. 382. а) 0,11; б) 2; в) 1,44;
4 6
г) 2,31; д) -2^; е) 83. 385. а) 100; б) -^; в) 27-; г) ни при каком; д) 9;
е) ни при каком. 386. а) 16,5; б) 470; в) 1,5. 393. 680 г. 394. 1 : 2. 399. б) 7 и 8; д) 0 и 1. 400. б) -10 и -9. 401. а) 4; б) 4,5; в) 4,47; г) 4,472. 403. г) 572. 404. в) 25,79; г) 51,94. 408. б) 29,83 мм; д) 267,32 м. 410. а) 17,08; б) 0,51; в) 10,96; г) 4,75; д) 13,39; е) 35,51; ж) 11,32; з) 1,65. 411. а) 9; -9; б) 2,793; -2,793; в) 0,660; -0,660; г) 0,090; -0,090; д) 9,606; 2,394; е) 3,550; -11,550;
ж) 2,192; -1,620; з) 2,949; -1,494. 412. а) 29,85; б) 29,68; в) 14,36; г) 1,25;
д) 6,05; е) 4,54; ж) 239,43; з) 227,91; и) 3,19; к) 4,73; л) 1,50; м) 3,93.
414. е) (J ; з) 1242. 415. 44 кг. 416. 40; 50; 45. 417. 500 г, 100 г.
a + ^ , 1
5у"
418. 300 т. 422. 10, 7, 7. 424. а) -7; б) -
m + 2n
г)
425. н) ek - '; о) fn
п) g
в)-------- ;
(1 + 2х + 3y)(2x + 3y)
р) h-2v. 427. 8899; 9799.
2n(2n - m)
430. г) 3. 4^1. в) 159; л) нет значения. 4^2. а) 32; д) 121; е) 2197; ж) 729; з) 128.
433. а) a4; б) и6; в) с5; д) \d|7. 434. а) 3; б) 0; в) 2; г) 4; д) 7. 437. а) 5 и 6; б) 12 и 13; в) 0 и 1; г) -7 и -6; д) -32 и -31; е) -1 и 0. 438. з) 0,51; и) 3,42;
к) 24; л) нет значения; м) 2,8. 439. а)
7’
б)
9.
8;
в)
12,
11;
г)
^; д) ^; 1^^^ 13
е) 2^; ж) 2,5; з) 11; и) 2,4; к) 21; л) 13; м) 31. 440. а) 42; б) 88; в) 14;
20 4 4 4 3
г) 0,48; д) 2,47; е) 15; ж) 3,5; з) 3,4; и) 2-|; к) 14; л) 21; м) 4,6. 441. а) 14;
б) 14,4; в) 0,0042; г) 1-; д) I-; е) j1; ж) 5; з) 12; и) 2-|. 442. а) 90; б) 0,24;
в) 0,0154; г) -|; д) —; е) 1. 443. а) 210; б) 90; в) 60; г) 42; д) 20; е) 7,2;
5 16
ж) 28; з) 7,6. 444. а) 7; б) 25; в) 9; г) 17; д) 37; е) 11; ж) 53; з) 13. 446. а) 280; б) 570; в) 12 000; г) 8300; д) 3,9; е) 0,046; ж) 0,0077; з) 0,00084. 447. а) 108;
б) 72; в) 125; г) 261; д) 420; е) 1925; ж) 7,007; з) 4,235. 448. а) 243; б) 1875;
в) 3087; г) 5929; д) 1859; е) 1547; ж) 16 093; з) 9317. 449. а) 4; б) 6; в) 10;
; в) 1; г) 2; д) ■|; е) ■|;
1^ ' 3 ' ^ ' 5 5
г) 14; д) 22; е) 21; ж) 26; з) 2. 450. а) -|; б) ^ 2-
ж) -5; з) 7. 451. а) 30; б) 6; в) 15; г) -5; д) 26; е) 0,4; ж) 1,5; з) 2,5. 452. а) 18;
3 3 3 7 11 17 б) 12; в) 12; г) 45; д) -1; е) -5. 453. а) 1; б) —; в) i1; г) 117; д) 0,2; е) 6,8;
12 24 45
ж) -1; з) 83. 454. В 2 раза. 455. ^/5 см. 456. 25. 457. «71 мм. 458. а) 7;
б) 15; в) 21; г) 9. 460. 2200 т, 1100 т. 461. 312. 462. 2822 и 2158. 463. 90 %. 465. Больше курочек. 466. (2; 10), (-4; 6), или (10; -2), (4; -6) или (1; 5), (5; -1). 469. и) -J10; к) V2. 476. а) W5; б) -2^2; в) 2c\l2; г) d Vl0; д) Wk; е) ;
387
Правообладатель Народная асвета
ж) 5x\fx; з) 6y\fy; и) 0,5z\f5z; к) . 477. а) 5ml5m; б) 10n^yj2n; в) -2x%/6; г) 3уЫ5; д) -6aVS; е) выражение не имеет значения; ж) 6t^/2;
з) 4а1%/з. 478. в) 0; г) ^/s; д) -l^fst; е) 2^J2m ; ж) -^J5V; з) -WS; и) 1Ь/2; к) -W2; л) 0; м) -W6 - 18-J2 - W1T. 479. а) 5^/з W7); б) Q(1 - у15);
в) 2W2 - 60; г) 4(7 W2T); д) 10^/з + l); е) W^. 480. г) 7 + ^Л^;
д) е3 - Sc24d + 3cd - d4d; е) 27 + Wa. 481. а) 44; б) 23 - 1^/77;
в) 58 + 1^6; г) 93 - 3^3. 482. а) 12; б) 8; в) 18 - 52/5; г) 10 + 6/2.
483. в) 84(^/3 - б/7); г) 103. 484. б) 15б/а - 9б/б; в) 12б/2.
-; в)---^^; г) -Jk - 4;
486. а) V2U/2 + 1). 487. а) h W5; б) —
2/2 - i 3
д) -Л - sfm; е) б/n + 2^[р; ж) ^6; з) -^Jq; и) ^^; к) W2 ^/3; л) 2t - 2/2;
sir
м) W2. 488. г) ; и) л) ^. 489. б) -^; и) —^.
у2 4 7 ,у3 Wm
490. а) 3^/2 - 1); б) -2^/2 + 1); в) 5(^ ^); г) - ^; д) 3 + ^;
a - Ь у - z 2
е) 2(7 - 2/3); ж) 9 + ; з) 4^/7 Wb ). 492. а) a - Ь, если аЬ > 0 и
a > Ь ; — (Ь - a), если аЬ > 0 и a < Ь ; б) a + Ь, если аЬ > 0. 493. а) —;
an
2
б) 2^a 1, если a > 2, ,
a -2 2 - a
498. В 15 ч 18 мин. 499. За 1 ч 10 мин. 500. 30 км. 501. 20 км.
-, если 1 < a <2. 494. а) 10; б) 25. 497. 3,5 см.
Раздел IV ^
510. 20 м. 512. 60 дм. 513. 32 м и 42 м или 54,8 м и 57,2 м. 514. . 516. 9 дм
4
1 72
или 321 дм. 517. 4,8 м. 518. 182 см, 546 см2; 127— см. 520. 25 дм2. 521. 15 + 9 ^ 85 ______::
+ W5 м; 45 м2. 522. а) 1080 мм2; б) 26/11 см2; в) 1W4Ь2 - a2 . 523. а) 84;
4
б) 66; в) 252; г) 126; д) 18,5; е) 3,5. 524. а) б/з м, 1б/з м, 1б/з м; б) 1Ь/5 м,
,29 53
12/5 м, 2б/5 м. 525. 4729 см. 526. а) б/б м или 20 м; б) 12 см или
2/3589 см; в) 11 дм или г) ^; д) qr
jg + ih
2/Л дм. 528. а)
a2 + aЬ + Ь2
; б)
(m + n)2
■; в) --
и + 1
3и
(q + r)2 - p2
; е)
(е - е)2 - d2
. 529. а) ; б) 4х - 3 ; в) Ь + 1
a + 1 x(x - 1)
Ь-1
1
г) ■T. 530. а) 11; б) 7; в) 5; г) нет корней. 531. 739,5 км2, 510 км2,
250,5 км2. 532. 14 августа 1385 г. 533. 1 и 4; -1 и -4; 13 и -4; -13 и 4. 536. 24 см. 537. 6 дм и 8 дм. 540. а) 63; б) 66; в) 56. 541. 21 см, 18 см. 543. 10 см. 544. 32/3 м2. 545. 4 см. 546. 337,5 м2. 548. 30°; 150°. 550. 10713 м2. 551. 882 м2. 553. 100 дм, 420 дм2. 554. 1710 мм2. 555. а) 864 см2; б) 594 м2; в) 1680 мм2. 556. 30 см, 36 см. 557. 1330 мм2.
560. 75 см2. 563. а) 126 дм2; б) 12б/2 дм2; в) 12б/3 дм2. 564. 388
Q(k2 +l2) 2kl
Правообладатель Народная асвета
ce
566. 5400 м2. 568. 5 + 4t. 570. а) (2; +то); б) {3—; + 571. а) (-^; -3);
13
,1
б) (3; 19]; в) нет решений; г) (З1; +^|. 572. 731 км2, 75 км2, 138 км2.
576. 41 096. 577. а) 5; б) 1,5; в) 5^/l5; г) ^i^. 578. а) 2; б) 4; в) 1,2/5;
г) 5.
579. 0,^/б. 580. а) b = - a; б) b = 3 a; в) b = 3 a; г) b = 3 a. 581. а) 3 и -;
24 7 \ 1 "V3 \ \ f\ Q 15 \ ‘'’'^3 \ 3
б) — и —; в) — и ——; г) —— и ——. 582. а) 0,8; б) —; в) ——. 586. а) —,
25 25 2 2 2 2 17 2 7
3 ; в) А, 15; г) _9, 41. 588. а) 3, 3; б) А, ^К;
’ > -.п’ -.п’ > л-,’ Л-, ' ^ 5 ^ 9
^/^; б)^, ^; в) , ; г) ,
^ 1^ 1^ 4Г 41
в) У55 3/55. г) V2 589 а) 3 15 84. б) 12 24 204. в) 12
в) 8 ' 32 ; г) 2 ' 2 . . а) 5' 17' 85; ) 13' 25' 325; в) 37'
24, -924. 593. а) 2, ^; 48° 11', 41° 49'; б) ^, -^; 63° 26', 26° 34';
2^ 925 ' 3 ^ ^ S .15
в) 0,6; 0,8; 53° 8', 36° 52'. 594. а) —, ^; 67° 23', 45° 14'; б) ^, -^;
13 3 у]5 v5
70° 32', 38° 57'; в) 0,6; 0,8; 45°, 90°. 598. а) ^; б) -^; в) ни при каких;
г) при a > 1. 599. а) ^^; 1^; б) ^0; j; в) ^3; 4j; г) b2].
600. а) в = 45°; б) 45° < в < 90°; в) в < 45°; г) 45° < в < 90°; д) в < 45°;
е) в ^ 45°. 606. а) 0,4; 2,5; 21° 48', 68° 12'; б) 7, Т; 81° 52', 8° 8'; в) 3, 7;
2 7 7 3
23° 12', 66° 48'. 608. а) 6 + з/5 + W2. 609. а) a-(3 W3 + 3/2); 610. а) 12Х4 +
+ 7х3 - 8х2 - х + 4; б) -7с4 - 3с3 + 3с2; в) у4 - 5ау3 + 7а2у2 - 3а3у; д) и4 + j4 + k4 -- 2u2j2 - 2u2k2 - 2j2k2; e) 4 + 4m2 + u4 - 9u6 - 6u3v2 - v4. 612. а) (a3 - b)2; б) (2с5 + 5у6)2; в) (5тп2 + 6k2l)(25m2n4 - 30k2lmn2 + 36k4l2); г) (6d2f - 5eh3)(36d4f2 + 30d2efh3 + + 25e2h6); д) (2u - 5j)3; e) 8(p + 3g)3; ж) u5(u - 1)3(u4 + u3 + u2 + u + 1); з) (с - g)(c + + g)(b - h)(b + h). 613. a) 5; б) 3; в) 3; г) 5,75. 615. 1,52 км2; 8,2 км2; 0,74 км2. 616. 26,75 млн м3; 12,65 млн м3; 41,8 млн м3. 617. 2 : 5.
Раздел V
629. к) -ТТ; ТТ. 630. д) -12; 12; ж) -24; 24. 631. в) -2,5; 0; д) 3. 30 30 3 3 7 7
635. а) 0; 2,5; б) ^/7,5; 77,5; в) -0,5; 0,5. 636. б) ^/0,5; 70,5; г) нет корней. 641. а) 12 см; б) 8 см, 11 см, 7185 см; 12 см, 12 см, 4 см, 7185 см, 1 см. 642. з/а см. 643. 2/5 см; 4 см 2. 644. W2 см. 645. 4, 5, 6. 646. 48 см. 647. 25°, 130°, 25°. 648. а) 3(l Ws) дм; 60°, 75°, 45°; б) 4,5(3 Ws) дм2. 649. а) 2 см, 2 см, 4 см, 2/2 см; 135°, 90°, 90°, 45°; б) 6 см2. 650. а) W3 см, 5 см, 10 см, 10 см; 90°, 90°, 120°, 60°; б) 37,з/3 см2. 651. а) 1 < х < 1,2;
б) 0,2 < х < 0,4. 654. а) -4; 3; е) -1,5; -1; л) -0,5. 656. а) -5; 1,5; б) -1; - -i;
в) -5; 7; г) -3; 6; д) нет корней; е) -5; ж) ■1; —; з) -8; 11; и) нет корней;
6 2 3
389
Правообладатель Народная асвета
к) нет корней; л) -5; 8; м) 1,25; 1,5. 657. а) При x = 2 и при x = 10; б) при
4 3
у = -2,5 и при у = 6; в) при Ь = -1 и при Ь = 6; г) при t = — и при t = —.
34
658. а) 3; 8; б) -1; 5; в) -7; -2; г) 6; 8; д) -1; 4; е) 3; 11; ж) -10; -1; з) -2; 3;
и) -3; 0,25; к) 5; 9; л) -^; 2; м) -6; -5. 659. а) 0,5; 2; б) -^; -^; в) -0,5;
_ 3 2 3
3 ^/15 1
2; г) -; д) 0,5; 3; е) -0,1; 1; ж) нет корней; з) -0,1; —; и) 1,5; к) 0,3;
6 3
12
л) нет корней; м) нет корней. 660. а) ; б) 0,8; 1; в) 4; ^—; г) нет корней;
63
-7 949
д) -17; е) -17; 2; ж) 0,5; 3; з) -0,5; 3; и) нет корней; к) -; л) 2,4;
30
2,75; м) нет корней. 661. а) 1; 2; б) 1; 11; в) -2; -1; г) -2; 1; д) -11; 1; е) -1;
2; ж) 5; з) нет корней; и) -9; к) нет корней; л) 3; 8; м) -8; -3. 662. а) 3; 5; б) -8; 7; в) -5; 4; г) -11; -5; д) 7; 14; е) -12; -10; ж) -20; 9; з) -1; 17;
и) нет корней; к) 16; л) 20; 30; м) -19; -10. 663. а) 2; 22; б) 4; 8; в) 0,2; 3;
7 3 7
г) -3; 7; д) -8; 10; е) -2; 24; ж) -1; 2—; з) нет корней; и) -2—; 1; к) нет
15 15
корней; л) -2; -1-; м) ^2; 1,2. 664. а) -0,2; 2; б) -7; 2; в) 3 ± W2; г) -4;
2 7 2
5; д) -12; -2,5; е) нет корней; ж) 16; 36; з) -1; 2^; и) 0,2; к) -1^;
л) -0,15; м) —. 665. а) -0,5; 3; б) 1; 2; в) -1; 9; г) -3 ± ^/б; д) -8; 3; 15 6
е) -2; 3; ж) 18,5; з) нет корней; и) ±■■J—0; к) ±^13; л) нет корней; м) ±2.
666. а) --j; 5; б) -0,7; 10; в) --1; 2; г) нет корней; д) -0,5; 2; е) -21;
6 3 3
-241 ±-~J 301
-0,4; ж) 15,8; 18; з) ---. 677. 40°, 70°, 70°. 668. 110°, 135°, 70°,
270
45°. 669. 72°, 72°, 36°. 670. 20°, 80°, 80°. 671. 6 дм, 3 дм, 3 дм, 3у[3 дм. 672. 50 г, 100 г. 673. 180 кг. 674. 17 кг. 675. а) 0,5 < x < 1; б) 3,5 < x < 4.
678. а) WS; ±2; б) ±^2; в) ±1; г) ±2,5; д) ±2; ±4; е) ±0,^10; ±0,W2;
ж) ±3; з) ±2; ±5; и) ±1,^2; ±'J2; к) 1; л) нет корней; м) ±^ 10.
83
679. а) -1; 0; 2; 3; б) -1; 0; 4; 5; в) -3 ± V5; г) -6; -4; д) -2; -1; е) -0,5; 0;
1; 1,5. 680. а) 0; 1; б) -3; 8; в) 3; г) -1-|; 12; д) -2; -1,5; е) -1,8; 5; ж) 1;
з) 31; 7; и) 11; 5; к) -20; 40; л) -0,2; м) --|; 6. 681. а) -4; 2; б) 1; 2;
3 3 3 3
2
в) 1; 10; г) —; д) -3,5; 5; е) нет корней; ж) -3,25; 1; з) 6; и) 4; к) ±4;
2 -4
л) -9; 1; м) -3; 2. 682. а) 0; б) нет корней; в) -; г) 2; д) 2; е) 2;
32
ж) 2; з) 4 ± W2. 683. а) -0,5; 2; б) 3; 41; в) -1,4; 5; г) 2; -63; д) -1I.;
73 7 3
2 2 1
2; е) -4,7; -1; ж) 1; з) 0. 684. а) -1|; 0; б) -11; в) 4; 5; г) -1; 7; д) -1;
3 3 3 I—
-^^; е) -8,5; -2; ж) -4; 9; з) 2. 685. а) 5; 6; б) -3; -|; в) -5 ^3 ; г) 2,5; 5;
15 3 2
390
Правообладатель Народная асвета
д) -5,6; 4; е) 5,2; 10; ж) 9,2; 14; з) 8,25; 12. 686. а) -2 - VO; -2 + л/б;
б) -у[з - 3; -\[з + 1; в) 0; V5; г) 0; V3. 687. а) При у = -1,25; б) при x = ^/2; в) при k = -1 и при k = 6; г) при m = -0,6 и при m = 5; д) при a = 2;
е) ни при каких. 688. а) ±3; ±5; б) ±4; в) нет корней; г) ±2; д); +0,5; ±2;
е) нет корней; ж) +0,5; +3; з) +1; и) ±5; к) +1; ±3; л) +8; м) ±-1. 689. 120°.
60°. 691. 4(3 + Wa) см2. 692. 300/3 см2; 350/в см2. 693. 2619 тыс. человек, 1461 тыс. человек, 1077 тыс. человек, 1021 тыс. человек
703. 19. 704. 2; -8. 706. 15. 711. г) 6x2 - 5x + 1 = 0; к) x2 + (3 )x + о/5 = 0.
712. а) 7; б) -0,25; в) 6; г) -35. 713. а) х2 + 16x + 48 = 0; б) х2 + 4х + 3 = 0;
в) х2 + 2х - 3 = 0; г) х2 + 12х + 32 = 0; д) х2 - 4х - 96 = 0; е) х2 - 40х + 144 = 0 714. а) (а - 1)(3a - 5); б) (m - 1)(4m - 3); в) (4t - 3)(3t - 2); г) (3b - 2)(2b - 1)
д) (3х + 4)2; е) {5и - 4 - ^/5)(5n - 4 + 2/5); ж) (1 - 2l)(l - 2); з) (3у + 1)(1 - у)
715. а) r + 2; б) b + 6; в)
г - 2
^ 3 - 5s ^ з) ——^; и)
; к)
1 . г) 1 . д) х + 1 _
e - 9; d + 7; х -1 ’
t + 3 л) r + 1_ м) v - 9
3t + 1; r -1; v + 8
У + 2; ж) 2а + 7
у - ' 7а + 2’
716. а) х(х - 1)(х - 2)
10s + Г 2г - 1
б) у(у + 1)(у + 7); в) г(г + 7)(г - 3); г) t(t - 3)(t - 4); д) r(r + 2)(r - 11);
е) v(4v + 3)(2v + 1). 717. а)
1
б) -
1
a - 4
718. а) --1; б) ^^; в) -^^; г) -553 3^^ 1^ 216
в) -
1
г)
t - 1
b + 4 г + 1 t(t + 10)
719. а) 0/2 см; б) о/7 см;
в) W7 см2; г) 3^7 см2; д) 36(1 W7) см2; е) 24(1 W2) см. 720. 8(2 Ws) см2.
12
723. 4,5 см и 9 см или см и 1^— см. 724. 105 тыс. км2, 77 тыс. км2,
77
11,5 тыс. км2, 8,6 тыс. км2. 725. 1972 м, 3087 м, 2256 м, 1338 м. 726. 12 г. 727. 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 12, 21, 24, 42. 728. 256. 729. а) 11 и 12;
б) 17 и 18. 730. а) 13 и 15; б) 29 и 31. 731.
732. 5 или З1. 733. 3
6
12
8
12
734. 2 м, 4 м. 735. 4 м, 6 м. 736. 13 дм, 14 дм, 15 дм; 1^^— дм, 12 дм,
1 13
11,2 дм. 737. 60 см2. 738. 8 см, 15 см, см. 739. 3 м, 4 м. 740. 60 км/ч, 40 км/ч. 741. 18 км/ч, 50 км/ч. 742. 52 км/ч. 74^. 6 км/ч. 744. 1 км/ч.
745. 12 ч, 18 ч. 746. 12 ч, 20 ч. 747. 54 км/ч, 81 км/ч. 748. 24 м X 30 м. 749. 8 см, 15 см. 750. 4 см, 10 см. 751. 12 дм, 16 дм, 20 дм. 752. 160 г, 20 %. 753. а) 10/2 ^/5; б) W5 + ю/2; в) -о/б; г) W3; д) -1,о/2;
е) 6,We - 11V15. 754. а) х2 - Щ У -1; б) 3
г) k^d -
Г|Ш k3 1
+ -V. 755. а) ^; б) 4,5. 757. d l 14
^ 0/5 -10 ^ 1 + 8mjm ^ s3u/t - ^ „ 1
г) ---— ; д) —; --------; е) — ------. 760. Ни одним. 765. а) 1; б)
1 - b ,13 2
- т—г; в)--m2 + m;
; б) ; в) 2
b2 \а
х + у[х
у
5
20
1 - 4m
4
1 -1 “2t -4
в) -—; г) —. 766. а) (-то; -2) U (2; +то); б) а — любое число; в) (-3; 3). 9 8
767. а) (-2; 2); б) [-3; 3]; в) (-то; -1) U (1; +то); г) (-то; -4] U [4; +то).
8
8
774. а) и = -3,5t2 + 4; |-8; 0|, |8; 0|; б) v = 5 r2 - 4; |-
We
V5
;»), (256;»)'
391
Правообладатель Народная асвета
777. а) u = -3,5(t + 4)2; (0; -56); б) v = - (r - 4)2; (o; 13-). 781. При p = 0;
(2; 4), (1; 1); при p = 4; (2; 4), (9; 25). 782. При r = 7 WS; (7; -9) и
7- - WS; -9- + Ы3 ]; при r = 7 WS; (7; -9) и (7- + WS; -9- - Ыз\ 3 3 3 3
783. а) y = 0,2x2 + 4; б) y = 0,2x2 - 4,5; в) y = 0,2(x + 3,5)2; г) y = 0,2(x - 6)2;
д) y = -0,2x2 + 3; e) y = -0,2x2 - 7; ж) y = -0,2(x + 5)2; з) y = -0,2(x - 5,2)2.
785. a) (3; -4); б) (-4; 2); в) (-5; -2); г) (-1,5; -3,5). 788. а) (0; 2);
б> <0= -6>; в> (|; -1); г> (^; i?)= «> <0= -3,2» е> (-1?;5!)- 789- а> <0=
0); б) (2; 0); в) (-0,5; 0); г) ^-2; 0^. 791. а) (1; 0); (2; 0); (0; 2); б) (1; 0); (0,5; 0); (0; -1); в) (0; -8); г)
' 3 ± ; 0^; (0; 8). 792. а) y = 3(x - 1)2 - 2;
б) y = -(x + 1)2 + 5; в) y = 5x2 - 10x + 2; г) y = -3x2 + 5x - 4. 793. y = -2; (x + 1)(x - 3). 798. а) (a - 1)(7a + 8); б) (x - 3)(x - 5); в) (b + 10)(b - 11);
г) (y + 1)(5y + 3). 799. а) --^; б) ; в) b+2; г) 11y ~14
7 a + 8
x + 5
b + 10
5y + 3
800. 100 мм. 801. 24 см. 802. 8 см, 4 см. 803. 1^/3 см2. 805. 16^12 см2. 806. 438; 102. 807. 11 ч. 808. 52, 33, 15. 809. 70, 21, 9. 810. 10 или 12. 812. 4 : 1. 813. 7 способов. 815. 3 способа.
Раздел VI
1 lx Iv
824. а) 8 см; б) 2 см; в) 4,5 см. 825. 1— см или 21,6 см. 826. -, -----.
35 x + y x + y
828. а) 15 см; б) 6 см; в) 40 см. 829. 56,25 мм, 90 мм. 830. 42 см. 835. а) 9,6 см; 14,4 см; б) 15 м; в) 10 см. 836. 15,75 см. 837. 10,5 см; 7,5 см. 838. 30 см, 50 см. 839. 5 см, 10 см, 15 см. 840. 7,5 см, 12,5 см. 841. 8 см, 10 см. 842. 3yfE см, 18 см; 31,5 см; 31,5 см. 84^. 6 см, 9 см. 844. а) -6; 2; б) -2,5;
0; 1. 845. а) (-^; -—
23
852. 65 мм, 39 мм, 52 мм. 853. На 6 см. 854. а) 30 мм; б) 15 см. 855. 84 мм или
156 мм. 856. 50 мм, 100 мм, 150 мм, 200 мм. 857. 28,8 мм; 13— мм; 10 мм;
3
162 мм. 859. 10 см и 35 см. 860. 30 мм, 48 мм. 861. 18 см. 863. .
3 m + n
865. 30 мм, 24 мм. 866. 180 мм, 400 мм, 9 : 20. 867. 12 см; 3 : 4. 868. На
ab
; б) [-4,24; +^). 847. 15 и 12. 848. 7. 851. 16 см; 9 см.
256 мм. 869. 50 мм. 870. abc. 871. 14 см, 16,8 см. 872.
b
a + b
. 873. yjmn.
875. -a^. 876. 36 мм, 20 мм. 877. а) 5 1169 ; б) 0,5; 1; в) -7; 1; г) нет
a + h 26
корней. 879. а) A(1; 7), B(6; 5), C(-2; 1); б) 18; в) ^/29, W5, W5; г) -^,
v5 V5
J2L. 880. а) (0; -6), (3; 0), (--|; 0^; б) (4; -22), (2; -8), (13; -8^; в) (5; 34), (1; -10), ^4.; -10j. 881. 50 км/ч. 882. 9 876 312. 887. 30 мм, 20 мм, 35 мм, 25 мм, 392
Правообладатель Народная асвета
10 мм. 888. 12 дм, 20 дм, 28 дм, 44 дм. 889. 200 мм, 500 мм. 890. V2 : 1. 897. а) 9 : 25; б) 25 : 49. 898. а) Vs : 4; б) Vs :(4 Ws). 899. « 11,83 м.
900. а) i; б) -j. 901. 24 дм2 или 121,5 дм2. 903. 1 -^/2 - 1):^/з ).
904. 3000 дм2. 906. ; б) 2(^ ~ ; в) 2(c + 7\; г) 3(5 ~ d). 908. 5 м х 9 м;
а - 3 ’ 3(Ь + 1^ 3(c + 10^ 2(d - 7)
12 м х 3 м. 909. 60 км/ч. 910. 5. 911. 7537. 913. 14. 917. а) 5; б) 61; в) 13;
8
г) W97; д) W2; е) 12. 918. а) 12; 9; 16; б) ^jy; 3-^; 134г; в) 6,72;
1,96; 23,04; г) 20,16; 5,88; 69,12. 919. а) 4,8; 3,6; 6,4; б) 832; 140; 391;
41 41 41
в) 3612; 3141; 4132; г) 10-50; 1-60; 5^^. 922. 75 мм, 147 мм. 923. 150 мм,
^ 7^ 7^ 7^^ 6^ 6^ 61
200 мм, 250 мм. 924. 108,8 см; 382,5 см. 926. (3, 4, 5). 927. а) 37 см;
930. 28 мм, 96 мм. 931. 25.
б) 4~а2 + Ь2 . 928. 109 мм. 929.
\1а2 + Ь2
2
932. 17. 933. 26, W6T, ^601. 934. а) 17; б) 289; 289; i91^. 935. а) V5;
I-----7=- I-------г I-------г- ' ' 15 8 120 '
б) V +0 5 ; ; 4 2 5 . 938. '/3. 940. а) 5; б) -3; в) 8; г) -14.
944. 10^/2 + 1) А. 945. 6^/2 + 2) см; 6^/2 + 1) см. 946. X* - 10x2 + 1 = 0.
965.
971. — tg а(2 ^2 + tg2a). 976. а) 11,2 см; б) 160 :
2т 2m2 '' 4
977. 62 см; 76 см. 978. 6 дм, 8 дм; 6 дм. 979. 65 %, 80 %. 980. 50 %, 75 %.
981. а) ; б) d---(^ZT); в) °е+_3; г) f - 1. 984. 6. 989. а) 3, —; 53° 8',
c + 4 d + 2 e - 2 4 24
73° 44'; б) 1, 0; 45°, 90°; в)
,V2.
3
41
>/91’ ^91
; 72° 33', 34° 55'. 993. а) При а ф 0;
б) при а = ^^; в) ни при каких; г) при а = 2. 1003. а) 9лр2 см и 22,5/2 см;
б) 16 см и 40 см или 12 см и 30 см. 1004. а) ^/34, 2/34, ^170; б) 136;
в) W^, W^, 0,^170; г) 1^2, WT7, 7170; д) 34; е) у = 0,6x + 8;
у = -5X - 14-2; у = 11X - 15; ж) у = — x + 2-^; у = x + 4; у = 4х + 8; 3 3 7 7 13 13
з) у = 0,6x + 1,2; у = -^X + 8; у = TTx + 8. 1006. а) 10; б) 6; в) Нет; г) 5.
1007. а) (X + 2)(x + 5); б) (z - 9)(z + 12); в) (2а - 2,4)(а + 2,7); г) (6Ь + 5)(5Ь + 2).
1014. 130 см2. 1015. 546 дм2. 1016. а) (18 + 243) см; 14/3 см2;
б) (20 + W3) дм; дм°; в)4(4 ^/2)м; 24 м2; г) (230 + 5043)мм; 3250/3 мм2.
3
1017. а) (2; 1); б) (4; 8); в) (0; 3); г) (-2; 6,5). 1018. у = -2,75x + 11. 1019. 530.
1022. 9000 м. 1023. 1. 1025. а) —; 2,4; —; б) -—; -2,4; -—; в) 24; —;
13 12 13 12 25 24
24; г) ^^; -24; ^^; д) ^Z1!; ^Z^; ^^; е) -2; -1,^5; - .
^ 2^ т 2^ ^ ^ 1^ ^ ^ ’ 15
15 15 8 15 15 8 40 40 9 9 9
1026. а) —; —; —; б) —;---; —; в) —;-----;----; г) —; —;
17 8 15 17 8 15 41 9 40 41 40
393
0/5
Правообладатель Народная асвета
n 2т2 - п2
40 -9-’ д) V23 . 12 ’ V23. 11 ’ 11 . е) 7 . ^/2 . ^2 V23’ е) 11’ 12 ’ 7 . 1027. а) 2-’ 21’ 29 29 21. 20’
б) 20’ 29 21. 21 , ’ в) 20 12. 35. 35. ) 35. 12. 37’ 37’ 12’ г) 37’ 37’ 12. ) 12. 5 . 35’ д) 13’ 13’ 5 .
29’ 12’
3 е) —’ ’ 7 7 ’ 2sIl-3 . 1028. а) ^Я’ _11’ _^Я’ б) 61 61 11 9 40 9 —’ ’ ’ в) 41 41 40 24. 25’
7. 24. 13. _84. _ 13. ) 40. _9. 40. 5.
25’ 7 ’ 25’ 85’ 84’ 41’ 41’ 9 ’ ^ 9’
Ы14. 9 ’
2 Y
3
1030. а) cos2 а’ б) sin2 р’ в) -cos2 у’ г) sin2 2ю’ д) cos2 v’ е) sin2 —. 1031. ± —.
24
1032. а) 5’ б) -|’ в) -7’ г, 2. 1036. а) 1’ б) 1’ в) 1’ г) 0. 1038. а) cos 12°’
б) -sin 33°’ в) -tg 6°’ г) sin 9°’ д) -ctg 11°’ е) ctg 44°’ ж) sin 21°’ з) tg 44°.
h2
1039. а) 0’ б) 0’ в) 0. 1041. а) 4 : 3’ б) 3 : 8’ в) 3 : 2’ г) 6 : 5. 1042. а) — X
X (ctg а + ctg Р)’ б)
h-,h.
1"2
’ в)
2 Г 2
-------c--------. 1044. 11L3. 1045. 1(mn sin а +
2(ctg а + ctg P) 2 2
2sin Y
+ npsinp + mp sin y). 1046. а) 40’ 840’ б) 46° 29'’ 43° 31'’ в) 1° 29'’ 1° 29'’
г) 2828’ 840/2’ 29’ д) 21° 46'’ 1° 58'’ е) 42’ 8,W29’ W^’ ж) 23° 15'’ ’ 2^ 21 ’ , , , , м , м , , ,
4° 27'’ з) 40’ 4^58 ’ V2041. 1047. 19° 11', 36° 2', 124° 47'’ 24° 57', 55° 13', 7
90° 50' или 17° 45', 40° 15', 122°’ 10° 19'’ 29° 56'’ 139° 45'. 1048. 39,5 мм’ 14 мм. 1050. 278,8 мм, 84,8 мм, 175,4 мм. 1051. 900 см2. 1052. 159 м. 1053. « 140 м. 1054. а) ^41, ^41, -J533’ б) 123’ в) 3,/41, ^41,
41
1107. а) -1’ б) ^’ в) -1’ г) 0’ д) -2’ е) 7. 1112. а) (а _ 5)(3a -1)’
^^’ д) 90°, 33° 41', 56° 19'’ е) 20,1’ 10,9’ 14,5. 1055. 7,2 м/с, 6,4 м/с.
1056. 30 кН, 50 кН. 1057. 16 м, 63 м, 65 м. 1062. 6 см.
Материал для повторения
1073. а) 110’ б) 85’ в) 38. 1075. а) —’ б) —’ в) 1472’ г) 1^^’ д) -37’
11 22 999 35 330
е) ^^. 1100. а) 36 _ 3^2 + 2^/3’ б) 0’ в) 2,/7’ г) -4’ д) Vs W2’ е) 0.
33
1104. а) 6’ б) -33’ в) 2’ г) 2. 1106. а) 2’ б) 2,5’ в) ^/2’ г) -3,75’ д) -0,5’ е) 0.
S.
4 ’
б) (2x + 3y)(4x + y)’ в) (x _ c)(x _ 2y)’ г) (a _ b)(2a + 3x)’ д) x(x + 1)(a + b _ c)’
е) (a _ b)(x2 + x _ 1)’ ж) (x _ a)2(x + a)’ з) (a + x)2(a _ x)’ и) (x _ 2c)(x _ 2y)’ к) (a + b)(a _ 2c)’ л) (x _ y)(2x + 2y _ a)’ м) (x _ c)(x - 2y). 1113. а) (x _ a _ 1) X X(x _ a + 1)’ б) (x + 2a _ 2)(x + 2a + 2)’ в) (3x + 2a _ 3)(3x + 2a + 3)’ г) (2x _ 3a + 2) X X(2x _ 3a _ 2)’ д) (2x + y)(4x + y)’ е) (x + 3y)(x + 5y)’ ж) (a _ x)(3a _ x)’
з) (2a _ 3x)2. 1114. а) (u2 _ u _ 1)(u2 _ u + 1)’ б) (v2 _ v _ 1)(v2 + u + 1)’
в) (w4 _ w2 _ 1)(w2 + w + 1)(w2 _ w + 1)’ г) (x + y + 1)(x _ y + 1)’ д) (2t _ 1)(2г _ 1)’ е) (a _ b + 1)(a2 + ab + b2 _ a _ 2b + 1)’ ж) (2c + d + 2)(4c2 + 2cd + 4c + d2 + 4d + 4)’ з) -4ef(e _ f)(e + f)’ и) 2i(i + h)2(i _ h)2(i2 + 3h2). 1115. а) (r2 _ 2r _ 4)(r2 + 2r _ 4)’ б) (s2 _ 2s + 3)(s2 + 2s + 3)’ в) (w2 _ 6w + 18)(w2 + 6w + 18)’ г) (g2 + 1)(g2 _ g _ 1)’ д) (q4 + 4)(q4 _ q2 _ 4)’ е) (a + b)(a + 2b _ 1)’ ж) 4k(l + 1). 1116. а) 4i(i + 2)’
394
Правообладатель Народная асвета
5
б) (a + b - c)(a + b + 3c); в) (1 + p - q + r)(1 -p + q - r); г) (n -p)(m + n)(m + p);
д) (t - s)(r - s)(r - t); e) (e + f)(d + e)(d + f); ж) (x + y)(y + z)(x + z); з) -3(k + l)(m + + k)(m + l). 1117. a) 4(i2 + j2 + k2); б) x64 - y64. 1118. a) 26; б) -19,5. 1119. а) -1;
2 3 2 2
X 4a r-\ 3r s ,m + n ^ cu + dv ,4
б) 1. 1120. a) 4); б) 4. 1123. a) -—; б) ——; в) --------; г) -----—; д) —;
5b 8t^ m cu - dv 25
2
e) 1ЁУ_. 1124. a) ----; б) b2 + 2b + 2; в) --9c2 + 12cd2 + 16d4
25
Л1
a + a + 1
e11 + 1. h - f - g
; e) --------; ж)
y^ - y2 - 2y + 2
e11 h + f + g x - 2 y4 - y2 + y2 - y + 1
1125. a) ^ - ax + bl ; б) y +r ; в)
3c + 4d2
; з) z32 + z16 + 1.
i + j + k
p + q - y ' (u + w)2 - v2
; г)
Ч . .u (u - 3)(u + 3)(u + 2)
1126. a) -4; б) 17. 1127. a)-;---—---------; при u = -2 и u = 3, вырaжeниe
(u — 3)(u + 2)
не имеет знaчeния; при u = -1,5 знaчeниe вырaжeния рaвно -2,25;
(v - 1)(v + 1)(v2 + 1)(v2 + v + 1)(v2 - v + 1)(v4 - v2 + 1)
б) ---------^; при v = -2 знaчeниe
(v - 1)(v2 + 1)(v2 + v + 1)(v2 - v + 1)
вырaжeния рявно -13; при v = 3 знaчeниe вырaжeния рaвно 292; при v = 1
-<-<00 \ 2ab + 3b ^ m + 3n , .
вырaжeниe не имеет знaчeния. 1128. a)------; б) — -----------—; в) u + 4;
2a - 3 m2 - 6mn + 9n2
г) 3; д)-----Ц; е) . 1130. a) 1; б) 1; в) 1; г) 2. 1131. a) ;
2 w + 2 p - 3 6 2c -1
б) -a; в) -2; г) -^^. 1132. a) . б) ; в) (a±b\\; г) 4(a-—bl.
3 2b + 5 2^ 4a2 \ ^ Г 5a
11QQ 1 5a + ^ ^ 1 Ч 2(3b - 2) a2 + 8a - 4 , 6a + b ,
12 a2 -1 3(3b +a) (a + 2')2 2a
a(a + b) ; б) -6mn(2m + 3n) _ b(a - b)2
ж)
—d + de + 5d
(d - e)2
; з)
2m - 3n 4 - r - s
11u + v ; 6u - 6v’
3
2c - 4’
„ . 1135. a) 4; б) 3,2; в) —; г) 0,75.
r2 - rs 16
1136. a)
4a2 - 3ab + 8a - 6b a - 2
; б)
w2 - w - 1 w - 3
; в)
32g
T,5n + 5 -V -L 7/2
h__________. г)
5n - 10
2r - q 4 17 ^ u2 + uq - ur - qr a + 2b ■, k - l - 1 , 6 о
д) о.. . ,.; е) u4v4'. 1137. a) ---5-----------—; б) ——-; в) , ,^, ; г) y° - 8;
2r + q
^ 1 ^ z + 2
д) —;:; е)
x + z2 - 3z + 2 -2
2 2 ; б) ; в) , ,,
u^ - 2up + p^ 2a - b k + 21
r - ^^,l(n - m - l). 1138. a) t = t = 1
; ж) ~2—-; з)
^ +
2
2 ъ.2 ’
a - b
б) t = -2c - 3; в) t = m + n; г) t = p - r. 1139. a) Вырaжeниe тождественно рявно вырaжeнию 0, и поэтому не зввисит от знaчeния переменной x; б) вырaжeниe тождественно рявно вырaжeнию -2a, и поэтому не зявисит от знaчeния
переменной b); в) вырaжeниe тождественно рявно вырaжeнию
1
2 2 ^s
', и
поэтому его знaчeниe положительно при всех нaборaх знaчeний переменных r и s из области определения; г) выражение тождественно равно выражению
395
Правообладатель Народная асвета
n
-1, и поэтому его значение положительно при всех наборах значений
переменных и и v из области определения; д) выражение тождественно равно выражению -(j + I)2, и поэтому его значение не положительно при всех наборах значений переменных i и j из области определения и не зависит от значения переменной i; е) выражение тождественно равно 64
выражению
1 - У
64 ’
и поэтому его значение отрицательно при любом
значении переменной у, которое не больше единицы. 1140. а) -24; б) ^^l;
в)
803
2128.
1141. а) x + sfS; б) ; в) + 2^; г) V-x. 1142. а) -5xy^ -J3x;
va ^
- 2У3 ’
б) -2ab\l-2ab; в) (m + n)s/m - n; г) . u. 114^. а) x + У; б) \fa + ~Jb; в) 2;
\ V x
^ I, ЛЛ ЛЛ \ '■16 2{\fa + y[b ^ и
г) b - a. 1144. а) ; б) —^^; в) -----------------j=
3 Va и - -J2
е) -4st. 1145. а) ^; б) —2);
a I - 1
в) Vb WC; г) 1; д) 1; е)
, V2 , 11 p Ws
; г) ~г'; д) ^—ft;
4 б(p Wa)
3( p + q)
p - q
1146. а) -bJ2, если 3a ^ b3; ^ , если b3 > 3a; б) u; в) ^1 v +у1 v .
V b V2
1147. а) -1; б) 2. 114^. а) |sina - cosa|; б) |sinP - cosP|; в) 2, если cos a ^ 0;
1 1 л/2
-2, если cos a <--; 4 cos a + 1, если-< cos a < 0; г) 1, если sin В < -;
2 2 ' 2
^2 sin p + 1, если sin p > —^. 1157. а) 13; б) 2; в) 9; г) 0,2; д) -6; е) 5;
1 2 2 4
ж) 10; з) 11. 1158. а) -1;-; б) нет корней; в) 5; г) 0,5; д) ±^^; е) —; —;
8 yj3 3 3
/2
ж) -1; з) -0,4; и) нет корней; к) 0; 0,5; л) -4; 0,6; м) -1,25; 3. 1159. а) ±——;
3
7 3
б) 2,5; 3; в) нет корней; г) -8; д) -2; —; е) 0; —; ж) нет корней; з) 4;
37
и) -0,25; 1; к) -2; л) -0,4; 0,5; м) -0,8. 1160. а) -20; 40; б) -12;
3
-9; в) 9; 12; г) -12; -10; д) 10; 12; е) -12; -11; ж) 11; 12; з) -13; -11; и) 11;
13; к) -13; -12; л) -40; -20; м) 12; 13. 1161. а) -2; 1; б) -1; 2; в) -3; 2;
г) -2; 3; д) -4; 3; е) -3; 4; ж) -5; 4; з) -4; 5; и) -7; 6; к) -6; 7; л) -7; 8;
м) -8; 7. 1162. а) -9; 8; б) -8; 9; в) 1; 3; г) -5; -4; д) -80; 100; е) -5; 1; ж) 4;
5; з) -12; -9; и) -1; 5; к) -9; -1; л) 9; 12; м) -6; 2. 1163. а) -50; -30; б) 30; 50; в) 20; 40; г) 5; 7; д) -35; 20; е) -10; -6; ж) 6; 10; з) -10; -9; и) -20; 35;
к) 9; 10; л) -24; 7; м) -70; 50. 1164. а) -1,2; 2; б) -0,5; 1,5; в) -1,5; 2,5;
^ 15 ^2 1^ ^ 2 ± 2,/^
г) —; —; д) —; —; е) 0,6; 1; ж) —; 2; з) -1,8; и) —; к) -----;
3 3 3 3 3 6 9
-9 ±■■J—6 5 7
л) -------; м) —; —. 1165. а) -1; 4; б) 3; 11; в) 4; 6; г) -4; 5; д) 0,5; 4,5;
7 3 3
е) -3,5; -0,5; ж) 3 ± ; з) -—; -5; и) -1; 2^; к) -—; 1; л) 4; 24; м) 4;
9. 1166. а) 2; б) 1,25; в) ^; г) 5. 1167. а) -91; б) 0,1; в) 1; 3; г) 1; 5.
3 3 244
396
Правообладатель Народная асвета
C
1168. а) -5; 3. б) 3. 5; в) нет корней; г) 11; 12; д) 2; е) 33. 5. ж) 15,8;
18; з) -2,7; 8. 1169. а) 1; б) -0,5; 1; в) -4; г) 0; 3; д) -0,75; 0,5; е) 0; 33;
1 3
ж) 0; 5; з) --i; 1. 1170. а) 27; 28; 29; б) 1; 2; 3; в) 2; 3; 4 или -4; -3; -2;
г) -2; -1; 0. 1173. а) 4; б) 1; в) 2; г) 2; д) 2; е) 4. 1174. а) 4; б) 1; в) 2; г) 4;
д) 2; е) 4. 1175. а) При a = 9; б) при a = 3,5; в) при a < -0,8; г) при a < —;
2 3
д) при a < —; е) при a > 2. 1176. а) 5; -8; б) -3; -1. 1177. а) -1; -2; 2;
3 8
б) -0,6; -1; 3; в) -2; 5; -10; 1178. 40; у. 1180. а) ж2 + 4х + 3 = 0; б) 2x2 - 9x + + 4 = 0; в) 3х2 + 14х - 5 = 0; г) 6х2 - х - 1 = 0. 1187. а) (3; 5); (-2; 0); (2; 6); (13; 1); б) [3; 8); (-1; 4); [2; 15); J^^; 5); в) (3; 9); [-1; 5); (2; 18); [-|; б). 1188. а) -6; в) 2; 4; 6; 8; 10. 1189. а) (0; 3). 1190. а) Нет, нет; в) 0; нет. 1191. -18. 1192. а) ^-3; + raj; б) (-^; 1]; в) [-2,6; +^); г) ^-то; - ^j. 13
1193. а) При х <------; б) при х > 0,2; в) при х > —; г) при х < -2.
8 7
1194. а) (-^; -1); б) (-^; 0,25); в) (-^; -4,75]; г) [-2; +^). 1195. а) ^; 3j;
б) (2; 7); в) (-1,2; +^); г) (З; + то). 1196. а) (-то; -|) и (3; +то);
б) (-^; ^4); в) ( -то; - 3) и (-1-; + ^) ; г) (-3; 3) . 1197. а) Нет решений;
б) (3,6; 4); в) (-то; 1,5) U (3; +то); г) (-то; ■—) и (^; +то). 1198. а) [--i; -|];
б) \-^З; -1); в) [-0,4; 4,4); г) (-2; 5,5]. 1199. а) (-то; -2] U [1; +то); 33
б) -З; 1); в) (-то; -1] и (3; +то); г) [0; 1]. 1200. 7. 1201. а) -2; 1; б) 3;
в) ±0,5; г) -2; 6; д) -7; 9; е) 3; ж) -5; 4; з) -6; 2; и) [-4; 5]. 1202. а) (-2; 1);
б) (-|; 2); в) (-то; 1); г) (-то; 2) U (2; 2,5); д) (-|; +то); е) (-то; 3); ж) (-то; -2);
з) (-6; 2); и) (-6,5; 5,5); к)
. 1204. а) 26; б) W6l ; в) 52; г) 85; д) 40;
е) 145. 1205. а) 5; 17; V^; 6,5; б) 10; 25; ^Лl7; 44; в) 25; 41; ^65; 32; г) 34; 37; >/809; 460; д) -JT0; 41; >/1913; 33,5; е) 55; 61; W^; 1232.
™2
1228. 9 см. 1229. 12 см; 12 см; 8 см. 1230. 6 см; 14 см; 8 см. 1231.
-mn-. 1232. 2^^ см; 1^3 см; 25 см. 1233.
mb
m - n nb
12
12
b - m - n b - m - n
1234. a(m + n). 1235. 52,5 см. 1236. 30 см; 40 см. 1237. 66 см. 1238. 31,5 см,
n
■|^./217 см. 1239. а) 25 см, 39 см, 56 см. 1240. 2^(b + c). 1241. 90 мм, 60 мм, 50 мм, 60 мм. 1242. а) 330 см, 120 см, 210 см, 120 см; б) 114 см, 48 см, 66 см, 48 см. 1243. 5 : 4. 1244. 27,2 см. 1245. ^/2. 1246. 2 см,
397
Правообладатель Народная асвета
8 см. 1247. 33— см. 1249. 10 см. 1250. 8 см, 18 см. 1251. 5 см, 7,5 см.
4
b(b + c) c(b + c) m ^ ’
b(b + m)
c
1252. 10 см. 1253. Wl0 см. 1254. 12 см, 15 см. 1255.
Ь + c. 1256. 8 см, 24 см. 1257. •,Jn(m + n), a(b + m)
1258.
1259. Ь(1 -
2a2
1260. 51 см, 30 см. 1261. а) 19 см, 9 см; б) 9 см,
21 см; в) 12 см, 20 см; г) 24 см, 32 см; д) 35 см, 28 см. 1262. а) 20°, 65°; 95°; б) 40°, 85°; 55°; в) 100°, 55°; 25°; г) 85°, 65°; 30°; д) 78°, 54°; 48°.
>50
1263. а) 1^i!-; б) 61
18
162
181
в) 1272; г) 3252. 1265. 4 см. 1266. 3 см. 85 85
1267. 864 см. 1268. 30 см, 20 см. 1269. 21-| мм. 1270. 9 см. 1271. 95°.
1272. 20°, 32°; 128°. 1273. 96°, 48°; 36°. 1274. 5 см, 8 см, 8 см. 1275. 15 см. 1276. 40 см. 1279. 2 : 3. 1280. аЬ. 1282. 4,5. 1283. 40 см, 9 см. 1284. 2 см и
8,5 м или 5 м и 5,5 м. 1285. 7 см2. 1286. 4 см, 4,8 см, 4,8 см. 1287. 130-| см2.
3
1288. 80 см. 1289. 36 см. 1290. 32,5 см2. 1291. 36(7 + 2>I— W7) мм.
337^66
1292. 360 см2. 1293. 972 см. 1294. 112,5 см;
1296. 132 см2. 1297. 160 см. 1298.
86 01^7
4
1295. 54 см.
см2. 1299. 50 см, 32 см.
1300. 80 см. 1301. -[аЬ. 1302. 63 см. 1303. 12 см, 25 см. 1311. 432 см3, 630 см3. 1312. 384 см3, 378 см3. 1313. 10,5 м/с2, 1,35 м/с2. 1314. 252 см3, 240 см3. 1315. 224 дм3, 630 дм3. 1316. 0,8, 0,75. 1317. 560 см3, 570 см3. 1318. 910 см3, 720 см3. 1319. 612 г, 864 г. 1320. а) 756 г, 594 г;
б) 0,63 г/см3, 0,45 г/см3. 1321. а) 828 г, 792 г; б) 5 см X 3 см X 80 см;
в) 4 см X 4 см X 100 см. 1322. а) 284 г, 549 г; б) 2 см X 4 см X 50 см;
в) 3 см X 4 см X 75 см. 1323. 5 м. 1324. 0,39 м. 1325. а) 861 г, 357 г;
б) 5 см X 4 см X 82 см; в) 2 см X 4 см X 75 см. 1326. а) 1404 г, 1104 г.; б) 5 см X 6 см X 90 см; в) 5 см X 4 см X 80 см. 1327. 2160 Дж, 2100 Дж. 1328. 11 319 Дж, 17 836 Дж. 1329. 245 000 Па, 184 240 Па. 1330. 1050 кг/м3, 1350 кг/м3; 493 920 Па, 5 027 400 Па. 1331. а) 13 750 Дж, 14 000 Дж; б) 550 м, 400 м. 1332. 15 Н, 20 Н; 2250 Дж, 3600 Дж. 1333. 0,054 м2, 0,045 м2. 1334. 8400 Н/м2, 12 600 Н/м2. 1335. 147 Вт, 196 Вт. 1336. 147 Вт, 196 Вт. 1337. 20 кН и 1,6 кН или 27,7 кН и 9,2 кН. 1338. а) 600 Н, 3600 Н; б) 90 км/ч, 12 км/ч. 1339. а) 9,8 м/с2, 1,6 м/с2; б) 60 кг, 55 кг. 1340. а) 3,7 м/с2, 8,9 м/с2; б) 150 кг, 80 кг. 1341. а) 50 кг и 78 кг; б) 9 и
5. 1342. 100 кг, 130 кг; 8,9 м/с2, 11 м/с2. 1343. 150 м, 100 м; 3,7 м/с2, 25 м/с2. 1344. 5 ч. 1345. 20 г, 30 г. 1346. 10 г, 8 г. 1347. 26 км/ч. 1348. За 5 ч. 1349. 4 км/ч. 1350. 55 мин, 1 ч 6 мин. 1351. 125 %. 1352. 14,4; 18; 15. 1353. 100 кг. 1354. 7,5 кг. 1355. 1 кг и 2 кг. 1356. 15 %, 55 %. 1357. 75 г.
1358. 5 %. 1359. 4 : 3. 1360. 2. 1361. 3 или |5. 1362. 15 км/ч.
5 8 30
Правообладатель Народная асвета
c
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел I. Неравенства
1. Числовые неравенства и их свойства........................ 5
2. Действия над числовыми неравенствами..................... 12
3. Числовые промежутки...................................... 27
4. Линейные неравенства с одной переменной................ 36
5. Система линейных неравенств с одной переменной......... 46
6. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля . . . . 55
Раздел II. Четырехугольники
7. Трапеция и параллелограмм................................ 65
8. Средние линии треугольника и трапеции ................. 75
9. Прямоугольник, ромб, квадрат........................... 84
Раздел III. Квадратные корни
10. Рациональные числа...................................... 94
11. Иррациональные числа .................................. 103
12. Действительные числа................................... 112
13. Свойства арифметического квадратного корня............. 121
14. Выражения с квадратными корнями........................ 130
Раздел IV. Площадь фигур
15. Площадь треугольника................................... 139
16. Площадь трапеции, параллелограмма, ромба ............. 149
17. Синус, косинус и тангенс острого угла ................ 157
Раздел V. Квадратные уравнения
18. Квадратное уравнение .................................. 169
19. Формулы корней квадратного уравнения .................. 177
20. Уравнения, приводимые к квадратным .................... 186
21. Квадратный трехчлен ................................... 195
22. Решение задач с помощью уравнений ..................... 204
23. Квадратная функция .................................... 210
Раздел VI. Подобные треугольники
24. Пропорциональные отрезки .............................. 228
25. Подобные треугольники.................................. 241
26. Подобные фигуры ....................................... 251
27. Свойства прямоугольного треугольника .................. 260
28. Синус и косинус углов от 0° до 180°.................... 268
29. Тангенс и котангенс углов от 0° до 180°................ 280
30. Свойства и применения синуса, косинуса, тангенса и котангенса ..................................................... 289
Материал для повторения.................................... 302
Ответы .................................................... 384
Правообладатель Народная асвета
(Название и номер школы)
Учебный год Имя и фамилия ученика Состояние учебного пособия при получении Оценка ученику за пользование учебным пособием
20 /
20 /
20 /
20 /
20 /
Учебное пособие
Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений с русским языком обучения
3-е издание, переработанное
Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. В. Тикунова. Технические рисунки А. Л. Латотина. Художественный редактор Л. А. Дашкевич. Технический редактор Г. А. Дудко. Компьютерная верстка А. В. Голоскок, А. П. Плутахиной, Т. И. Савицкой. Корректоры Т. Н. Ведерникова, З. Н. Гришели, Д. Р. Лосик, В. С. Бабеня, А. В. Алешко.
Подписано в печать 17.05.2010. Формат 60 X 90 ^/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 25 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 18,39 + 0,21 форз. Тираж 5850 экз. Заказ .
Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009.
Пр. Победителей, 11, 220004, Минск.
ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа».
ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009.
Ул. Красная, 23, 220600, Минск.
Правообладатель Народная асвета