Учебник Алгебра Дидактические материалы 11 класс Ивлев Саакян Шварцбурд

Б. М. Ивлев С. М. Саакян С. И. Шварцбурд Алгебра И начала анализа • -I.................................I- Дидактические материалы ДЛЯ 11 класса 10-е издание Москва Просвещение 2007 УДК 372.8:[512 + 517] ББК 74.262.21 И25 Рецензент: учитель-методист школы № 67 Москвы Л. И. Звавич Ивлев Б. М. И25 Алгебра и начала анализа : дидакт. материалы для 11 кл. / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд.— 10-е изд.— М.: Просвещение, 2007.— 192 с.: ил.— ISBN 978-5-09-017913-3. Дидактические материалы предназначены для проверки знаний учащихся 11 класса средней школы. Тексты самостоятельных работ даны в соответствии с действующим учебником «Алгебра и начала анализа, 10—11». УДК 372.8;|512-Н517| ББК 74.262,21 ISBN 978.5-09-017913-3 Издательство «Просвещение», 1991 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2000 Все права защищены. ПРЕДИСЛОВИЕ В пособии содержатся самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа по курсу XI класса, материал для уроков обобщающего повторения и подготовки учащихся к письменному экзамену по алгебре и началам анализа, примерные варианты экзаменационных работ за курс средней школы, материал для проведения программированного контроля, карточки-задания для зачетов в условиях применения лекционно-семинарской системы преподавания математики. Дидактические цели письменных работ различных видов учителям известны. Самостоятельные работы обозначены буквой С с соответствующим номером. Например, С — 5 — это пятая самостоятельная работа. Самостоятельные работы рассчитаны на 8—15 мин, могут быть проведены на различных этапах урока с последующим обсуждением результатов на том же уроке. Это важная форма работы для выработки навыков решения основных типов задач на уровне обязательных результатов обучения. Проведение таких работ может носить контролирующий характер. При этом работы учащихся проверяются и оцениваются учителем после урока. В классный журнал могут быть выставлены не все оценки. К некоторым пунктам учебника даны 2—3 самостоятельные работы. Это обусловлено тем, что в системе упражнений к данному пункту даны различные группы типичных упражнений, имеющих большую образовательную ценность, в то же время тематическим планированием на изучение данного пункта отводится несколько уроков. По усмотрению учителя любая из работ может быть предложена учащимся не полностью. Самостоятельные работы даны в 10 вариантах. Первые два из них, как правило, несколько легче остальных вариантов. Последние два варианта содержат задания повышенной сложности. Они могут быть использованы для работы с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике. Эти задания могут быть даны учащимся после выполнения ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательных заданий для домашней работы, а также на занятиях математического кружка. Наличие 10 вариантов заданий позволит учителю один экземп- ляр книги разделить на 10 маленьких книг, каждая из которых дается отдельному ученику. В контрольных работах некоторые упражнения вариантов 3 и 4 труднее по сравнению с соответствующими заданиями вариантов 1 и 2. Основная часть контрольной работы оценивается по пятибалльной системе оценок. Так, например, за правильное выполнение заданий 1—4 (а, б) в контрольной работе № 1 ученику может быть выставлена оценка «5». Необязательные задания контрольных работ адресованы учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике. Они выполняются на отдельных листочках и сдаются учителю в случае полного решения задания. В противном случае работа над ними может быть продолжена дома или на занятии математического кружка. Учитывая важность повторения в выпускном, XI классе, в книге помещены 18 повторительных работ (ПС), содержащих материал за курс алгебры и начал анализа средней школы. Пособие содержит также 20 вариантов примерных экзаменационных работ, составленных на основе экзаменационных работ МО РФ за последние несколько лет. Эти варианты могут быть разобраны на уроках, что поможет организовать одновременно повторение соответствующих вопросов теории. Частично их можно использовать для домашних письменных работ, в процессе выполнения которых учащиеся приводят краткие теоретические обоснования, готовятся к экзамену. Эта работа способствует выработке и закреплению специальных умений и навыков решения задач, повышению уровня математической грамотности учащихся. Предполагается проведение четырех зачетов в течение учебного года. В карточки к зачету, кроме упражнений на уровне обязательных программных требований, включены более сложные для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, для участников математического кружка и факультативных занятий. Эти упражнения отмечены звездочкой. Карточки к зачету, включающие вопросы по теории и заданный материал, учащимся сообщаются заранее. Работа учащихся над предложенной системой заданий будет способствовать повышению их ответственности за результаты своего учебного труда, явится стимулом повышения уровня математической грамотности школьников. В конце пособия даны ответы к большинству заданий самостоятельных, контрольных и других работ. Замечания и предложения просим направлять по адресу: 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Просвещение», редакция математики. Авторы САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1 С—I 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на промежутке (—оо \ оо): а) f (х) = —2х+1, /(x) = 3jc^ —2; б) (х) = 2 sin 2х—2, /(x) = 4cos2x. 2. Найдите одну из первообразных для данной функции на R\ а) /(х) = х^; б) ф(х)=—3,5. С—2 1. Для функции /(х)==л^ найдите первообразную, график которой проходит через точку М( —1; 2). 2. Для функции /(x) = sinx найдите две различные первообразные. Начертите график одной из них. С—3 Найдите первообразную для функции: а) / (х) = 2 sin х + 3 cos х; б) /(х)=^= + х^ на (0; сх>). Л1х 1. Запишите формулу, выражающую площадь S(x) фигуры, заштрихованной на рисунке 1, как функцию от X. Вычислив производную, покажите, что S'(x) = /(x). 2, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 2л ^ = sinx, ^ = 0, О^х^—, используя формулу S = F {Ь)— F {а). С—4 с—5 Вычислите: а) ^ 4dx\ б) ^ sin xdx. С—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х=1, х = 3, г/ = 0; б) y = 2cosx, j/ = 0, С—7 Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна и {t)=\0 — 0,2t. Найдите путь, пройденный точкой за время от 3 до 10 с, если скорость измеряется в метрах в секунду. С—8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — 2х^, у~2х\ б) ^ = sinA:, y = cosx, y = Q, О^х^^. С—9 1. Вычислите: I 2л а) ^{х-\-\fdx\ б) ^cos^dx. 2. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у — Зх-\-\, jc=l, х=0, ^==0. с—10 1. Верно ли равенство V^—^"V^ = 2 — л/Ь? 2. Найдите значение числового выражения: 4 ,----- 3 , а) V(- 11)^ б) У25Л35. 3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное (с точностью до 0,0001) значение корня: а) ^JSSJ; б) 4. Сравните числа д/во” и д/э”. С—11 1. Внесите множитель под знак корня в выражении аЛ/2, где асО. 2. Решите уравнение: а) jc^+18 = 0; б) (V^)^ + 4д/^-5 = 0. 3. Упростите выражение: а) Д/4-Д/7 •V4 + V^; б) а-\-Л[а^, где а>0. 1. Решите уравнение у5 + д/:Г— 1 =3. 2. Решите систему уравнений ^ + ^ = 3. с—12 1. Найдите значение числового выражения: i 3 ® а) 8^ б) (V9)"; _1_ 1 в) {9 + л173^-{9-л1тЗ)\ 2. Какое из чисел больше: 3. Упростите выражение - _б_ £ 2‘" или 2^? ы + 8 -2 Д/ы Н-4 С—13 с—14 1. Изобразите схематически график функции ^ = . 2. Вычислите: а) б) ((V6)^)^. 3. Найдите область значений функции /(х) = 3"' —2. 1. Решите уравнение: а)3^-^ = 1; б) 2^-3^ = 2 \\x-4 2. Решите неравенство: а) б) 0,7"<2 49 ' С—15 1. Решите уравнение: а) 2"+Ч2" = 5; б) 9"- 2. Решите неравенство -6.3^ —27 = 0. (i)--3(i)' + 2>0. С—16 с—17 3 1. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение 7а^л[^ 2. Вычислите без таблиц и калькулятора: Ig27 + lg 12 а) log36 84 —log36 14; б) Ig2 + 2lg3 3. Найдите log, з 2,6 с помощью таблиц или калькулятора (с точностью до 0,0001). С—18 1. Сравните числа log23 и log,-^. ~2 2. Найдите область определения функции y = \og^(3x + 4). 3 3. Изобразите схематически график функции y~2\gx. с—19 1. Решите уравнение: а) log2(x^ —Зх+10) = 3; б) log3(3x —5) = log3(A: —3). 2. Решите неравенство: а) logs(2jc-f3)>logs{х—1); б) log, (2л: —5)< — 2. 1. Решите уравнение: а) log^x —log3^ = 2; б) \gx-3 \gx+l 2. Решите неравенство; а) Ig^-«+3 Ig Jf<4; б) 4^~‘>7. -=1. С—20 Решите систему уравнений: х+у = 8. а) llogi2 Jf+log,2i/= 1; б) (^У + 3* = 7, ({УЧЗ^*' = 25. С—21 1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции /. Найдите области определения и значе* ний функции g: а) /(х) = 4 —Зх; б) / (х) = Vl ^ » х'^0. 2. По заданному графику функции / найдите значения обратной к ней функции g в точках —1; 2; 3 (рис. 2). Постройте график функции g, найдите ее область определения и область значений. С—22 с—23 1. Найдите производную функции: а) Пх) = е-^^\ б) f{x) = x-2\ 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Xq, если /(х) = е“\ Xq—\. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f {х) = х-е^\ 4. Вычислите ^e"^dx. 1. Найдите производную функции: а) f{x) = \n(2x+\)\ б) f{x) = \og3{2x!^ — 3x+l). 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (/ = 0, У=~, х=\, х = 3. 3. Найдите максимумы и минимумы функции / (х)-х^ In X. С—24 С—25 1. Найдите производную функции [(х)^х^-х-^. 2. Найдите приближенное значение 125,15. 1 3. Вычислите ^x^dx, о С—26 1. Докажите, что функция у — 3е~‘^^ удовлетворяет дифференциальному уравнению —2у. 2. Найдите такое решение дифференциального уравнения f'{x) = 3f(x), что /(0) = 3. 3. Запишите дифференциальное уравнение гармонического колебания x(0 = 3cos (2^—^)- 10 Вариант 2 С—1 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (—оо; оо): а) f(x) = x^ —3x^ + 7, f (х) = 4х^ — 6х; б) F (x) = cos (2х —4)+1, f{x)——2sin(2A: —4). 2. Найдите одну из первообразных для данной функции на R: а) б) f{x) = 6,4. С—2 1. Для функции f{x) = i^ найдите первообразную, график ко-торой проходит через точку Л1(1; —1). 2. Для функции /(jc) = cosa: найдите две различные первообразные. Начертите график одной из них. С—3 Найдите первообразную для функции: э) / (х) = 3 sin л: —2 cos х\ б) g{x) = ^ — x на (0; оо). С—4 1. Запишите формулу, выражающую площадь S(x) трапеции, заштрихованной на рисунке 3, как функцию от X. Вычислив производную, покажите, что S' (x) = f (л:). 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями л ^ ^ л £/ = COS X, ^ = 0, используя формулу S = F (Ь)~ F (а). И Вычислите; л 3 Т а) ^ 2dx\ б) ^ cos xdx. I о С—5 С—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х—1, х = 3, i/ = 0; б) у==2 cos X, у = 0, С—7 Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна и(0 = 3 + 0,2^. Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 с, если скорость измеряется в метрах в секунду. С—8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) г/ = 0,5/, г/ = д:; б) ^ = sinx, y = cosx, х==0, С—9 1. Вычислите: 3 а) ^(1 —д:)'‘йх; б) ^ sin ^1- — 2. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями ^ = 2х+1, х = 0, х = 2, ^ = 0, 12 _________ с—10 1. Верно ли равенство у20 —6\ТГ ~л/\Т — 3? 2. Найдите значение числового выражения: а) б) Д/9-375. 3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное (с точностью до 0,0001) значение корня: а) б) 4. Сравните числа и д/47~. С—11 1. Внесите множитель под знак корня в выражении Ьл/5, где ft<0. 2. Решите уравнение: а) л:^ + 24 = 0; б) (^х)2-3^^ = 4. 3. Упростите выражение: а) ■ VV^ + 7' а<с0. 1. Решите уравнение Д/^ —V^ + 1 =2. 2. Решите систему уравнений V^-W=3, С—12 1. Найдите значение числового выражения: _2 з". б) в) V12-V80 ■(12 + 80“•®)^ а) 27 1 _8_ 2. Какое из чисел больше: 3^ или 3''^? 3. Упростите выражение 8и + 1 — 3 4у^-2Д/^+1 13 13 с—14 1. Изобразите схематически график функции у = 2^. 2. Вычислите: а) б) ((V^)^)^. 3. Найдите область значений функции f(x)=\-(iy. 1. Решите уравнение: a)0,8^"-'=l; б) (|У' = 4,5 2. Решите неравенство: х — 2 С—15 С—16 1. Решите уравнение: а) 3"+2 + 3" = 30; б) 4"-14-2^-32 = 0. 2. Решите неравенство С—17 1. Прологарифмируйте по основанию 2 выражение 16а® V^* 2. Вычислите без таблиц и калькулятора: а) log49 84 —log49 12; б) + lg 3. Найдите logi4 2,8 с помощью таблиц или калькулятора (с точностью до 0,0001). С—18 1. Сравните числа log35 и log,-^. "з 2. Найдите область определения функции у = log5 (2х—1). 3. Изобразите схематически график функции y = \g{ — х). 14 с—19 1. Решите уравнение: а) log^(/ —4х—1)= —2; б) log?(4л:—6) = log7(2jc —4). 2 2. Решите неравенство: а) log3(l — л)>logз(3 —2л); б) log, (2л+5)> —3. 1. Решите уравнение: а) log^x—log, л = 6; 1 2 2. Решите неравенство: а) lg^л^-5lgл + 9>0; б) :3. 3 —lgл Igx—1 б) (3"- 1)(3^-2)<0. С—20 Решите систему уравнений: а) и+г/ = 6, \log2-»^ + log2i/ = 3; б) 2- + (i)'-5, ■)2дг +(Г='3. с—21 С—22 1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции /. Найдите области определения и значений функции g: а) /(х) = 3 —4л:; б) / = — A , д:^2. 2. По заданному графику функции / найдите значения обратной к ней функции g в точках — 1; 1 (рис. 4). Постройте график функции g, найдите ее область определения и область значений. 15 с—23 1. Найдите производную функции: а) = б) /(лг) = х-3". 2. Напишите уравнение касательной к графику функции / в точке с абсциссой jcq, если /(х) = е\ Xq= — \. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x-e~^\ 4. Вычислите ^ е “dx. С—24 1. Найдите производную функции: а) /(jt) = ln(3jc — 4); б) f (x) = \og^ (3jc^ —2jc-|-5). ~2 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями £/ = 0, = х = 2, х = 4. 3. Найдите максимумы и минимумы функции f {х) = х^ In X. 1. Найдите производную функции 2. Вычислите приближенное значение "\/16,08. I 3. Вычислите ^x^dx. С—25 С—26 1. Докажите, что функция у — 5е~^'^ удовлетворяет дифференциальному уравнению у'=—Зу. 2. Найдите такое решение дифференциального уравнения f'(x) = 4f{x), что /(0) = 5. 3. Запишите дифференциальное уравнение гармонического колебания х(/) = 0,7 cos + 16 Вариант 3 С—1 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на указанном промежутке: а) F{x) = -^+\, дге(—оо; 0); б) Р{х) = 6х-''^-л[х, f{x)-- , оо). 2. Является ли функция F первообразной для функции / на указанном промежутке: а) F{x) = 2x + tgx, f = ^ + f)’ 10 б) F{x)=—, fix) _10 , хе(-з- 3)? 1. Для функции f{x)-- ■д/г с—2 найдите две различные первооб- разные. 2, Для функции /(j:) = sinx найдите первообразную F (х), график которой проходит через точку ^ . —^)' Начертите график функции F (х). С—3 1. Для функции f(x) = 2x — 2 найдите первообразную F {х\ график которой проходит через точку А (2; 1). Начертите график функции F{x). 2. Для функции / (л:) = (Д/2х+1 —sin-^ найдите общий вид первообразных на промежутке (—0,5; оо). 17 с—4 1. Запишите формулу, выражающую площадь S(x) трапеции, заштрихованной на рисунке 5, как функцию от х. Вычислив производную, покажите, что S'(x) = =/(х). 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 cos X, ^ = 0, Зл используя формулу S = F (Ь) — F (а). Вычислите: 4 а' 1 ) б) ^(х^ —6х + 9)dx; в) ^ 6 cos^ 2х С—5 dx. С—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , . „ ^ 2 cos X, если а) у = :г, у=-^ + 2- б) у = \ 2^ • х + 2, если 0<х^2 и ^==0. __ Начертите трапецию, ограниченную линиями у — х, ^ = 0, х= 1, х — 2. а) Вычислите площадь этой трапеции по известной из курса геометрии формуле. б) Вычислите приближенно площадь этой трапеции, разделив отрезок [1; 2] на 10 равных частей и построив вписанную ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников. Найдите абсолютную погрешность полученного значения. в) Выведите формулу площади вписанной ступенчатой фигуры, разделив отрезок [1; 2] на п равных частей. Найдите lim S„. 18 с—8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) ^ —3sinx, ^=—2sinjc, о б) у= —л^ + 2, у= —X. С—9 1. Вычислите: а) ^ {\—2xfdx\ б) ^—- о COS' (f-l) dx. 2. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у — Л[х, х = 2. С—10 1. Упростите выражение: 4 а) V(2-V^r -V^; б) V^ + V^, если а<0. 2. Решите уравнение: а) х'—1=0; б) 125x^1=0. С—11 1. Упростите выражение Vio+2 .д/ю-2^Т7 . 2. Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня, выражение з-л/J з+л/Т ' 3. Решите неравенство х^>\6. С—12 1. Решите уравнение Л]2х^ — Зх + 2=4 — х. 2. Решите систему уравнений JV^ + W = 5, 1 х + у + 4л[^ = 37. 19 1. Какое из чисел больше: Д/V^ V4-? 1 2. Найдите значение выражения 8П+(0,25)“^. 3. Упростите выражение + ( ху -\-х ху с—13 С—14 а) Начертите график функции |/ = 2"^—1; назовите область значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой — и найдите соответствующие значения х. б) Начертите график функции £/—|2''—11 и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке (-2; 4]. 1. Решите уравнение; а) 9-^ = 27; б) = r О 2. Решите неравенство: а) ^cos-^y 1,25 б) 15 1. Решите неравенство 2. Решите уравнение: а) 5"+‘-3-5"-2=122; б) 9"-2-3" = 63. С—16 1. Вычислите без таблиц и калькулятора 2 1g5 + ilgl6. logs х = 2 logs 3+1 logs 49 —I logs 27. ■17 2. Найдите x, если logs-« = 2 3. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение VlOaVlo" 10а , а>0. 20 с—18 а) Начертите график функции ^ = log2^—1; выделите на рисунке часть графика, для которой —2С^<С2, и найдите соответствующие значения х. б) Начертите график функции y—\\og2X—\\ и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0,5; 8]. 1. Решите уравнение: а) log4^ + log4\T= — 3; 2. Решите неравенство: а) lg2x: = 2 log7 5 + -^log7 36 —|-log7 125. 3. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение ViOtt л ш1 ■ “>“■ с—18 а) Начертите график функции ^ = log2(x—1); выделите на рисунке часть графика, для которой — \ <,уС.2,и найдите соответствующие значения х. б) Начертите график функции y—\\og2{x—\)\ и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [1,5; 9]. 26 С—19 1. Решите уравнение: а) logo,5 7 + 4 Iogo,5V^ = — 1; б) Ig lOOx'lg 0,01х —5. 2, Решите неравенство; а) lg(3x) — 1. с—20 1. Решите уравнение ^ log3(5x — 1) —>0g3(J^+ 1) = 0. 2. Решите неравенство: а) log^,2-^ х=1, У = ~2‘ С—25 1, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х\ у = 0, х~\, х = 8. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f{x) = x~^ в точке его с абсциссой Хо==1. Выполните рисунок к задаче. С—26 1. Докажите, что функция у — 8е~^^ удовлетворяет уравне* нию у' = —2у. 2. Запишите общий вид решения дифференциального уравнения у'——4у и найдите решение этого уравнения, удовлетворяющее условию у{\) = е. Вариант 5 С—1 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на промежутке (—оо; 0): а) F(x) = y — x, f{x)= ——; б) (х) = sin^ 1, f (x) = s\n 2х. 2. Является ли функция F первообразной для функции / на промежутке (—оо; оо ): а) f (x) = 3x^ + cos JC + 3, / (х) = 6х—sin х; б) F(x)=—^, = С—2 1. Для функции /(х)=—х+1 найдите первообразную, график которой проходит через точку М{ — 2; —3). Начертите этот график. 2. Найдите общий вид первообразных для функции: 1 а) / (х) = "\/7хН-Т; б) /(x) = sin3x- Найдите первообразную для функции: а) /(x)=^sin- —-cos-g ; б)/(х) = С—3 1 С—4 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у~ 1 —^ = 0; б) ^ = sin2x, ^ = 0, Вычислите: 5л Т ) ^-^dx; б) ^ cos xdx\ в) ^(х^~2х) dx. С—5 29 с—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 2 — j^, У = х, х = 0, х^О; 1 б) у- COS^ X , z/ = 8cosx, х = 0, . С—7 Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна v(t) = 2t~s\nnt. Найдите путь, пройденный точкой за время от 2 до 6. С—8 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями У = •б /~\ л. —^ при 0<х<-, cos^x 4 и ^ = 0. 2 + х при —2^х<0 2. Вычислите ^^^1—^^+sin-^^dx. С—9 1. Найдите объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = л[х, х = 4, ^ = 0, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 2. Сила в 2 Н растягивает пружину на 6 см. Какую работу нужно произвести, чтобы растянуть эту пружину на 10 см? С—10 1. Верно ли равенство 10\/^ = 7 — 5^j2 ? 2. Найдите значение числового выражения: а)УЙ^-^8; б) (V^ + ^/^):(V3+\/j). 3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение числового выражения: а) Vl0,731 ; б) ^2+V2 • 4. Какое из чисел больше: л/2 или VWT? 30 с—II 1. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении ^J2a^\ где а<сО. 2. Решите уравнение: а) х^ — Зх^— 10 = 0; 3. Упростите выражение: 3 ,----- 3 б) л/х +3\(Г-4 = 0. 1) •Л/7 + Л^; б) + V^. 1. Решите уравнение Л]4 + х-М5 — х =2 V^. 2. Решите систему уравнений \л[х—Л[у=7. С—12 1. Найдите значение числового выражения: С—13 а) (27'^ + 125" + 80 б) (10 + 732) ":(10-V^) 2. Сравните числа (V^) ^ и • 3. Упростите выражение U + 8 W —8 “I ^ TZ I ■ и^-2л1^-^4 Vw^+2m^+4 С—14 1. Изобразите схематически график функции у — 5^~\ 2. Вычислите: а) Д/5<^^+‘*'-25-^'^; б) +++• 3. Найдите области определения и значений функции У = Л1У-9. 31 1. Решите уравнение: а) 2" + 2^-з=18; б) (cos 1 |. 2. Решите неравенство: С—15 1. Решите уравнение: а) 8'^'-" = 16; б) (iy+3'-'=12. 2. Решите неравенство (|)'_2'--8<0, С—16 . Вычислите без таблиц и калькулятора: Ig 125-21g 2 \2 а) log^/^ 12 —log2 9; б) igAT+igO,2/ 2. Прологарифмируйте по основанию 2 выражение е Via_W 9VT / , а>0, ft>0. 3. Сравните числа: а) 3'“®^“ и 11'“^^'; б) log2 3 + log3 2 и 2. 17 ■18 1. Определите знак числа: а) loga-^; б) Iogo,s0,75. 2. Найдите область определения функции ц = !——. log3(-^-9) 3. Изобразите схематически график функции i/ = logo,4( — х). -19 1. Решите уравнение: а) log. V3 -5jc —3) —2; б) Ig (х—1 ) = 0,5 Ig (1 + 1,5х). 2. Решите неравенство: а) log2(2x—l)>log2(3x —4); б) ^ >0. Ig дг 32 1. Решите уравнение: С—20 а) 2 log^i л:—5 log3 х = 7; ~3 б) ^ ^ - 4. ^ Igx —2 Igx —3 2. Решите неравенство: а) Ig^ х^ + 3 Ig 1; б) 7^"-3•7">10. Решите систему уравнений: I 10g2(jr+J/) = 3, 1 log,5A:= 1 — log,5 г/; б) 2COS X^^sin У _2 С—21 1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции /. Найдите области определения и значений функции g: 1+J;. 1—л: ’ б) /(х) —УЗ —Х^О. 2. По заданному графику функции / найдите значения обратной к ней функции g в точках —2; 0; 1 (рис. 7). Постройте график функции g, найдите ее область определения и область значений. С—22 I. Найдите производную функции: С—23 а) /(л:) = 0,2^+«'- б)/(^) = (^) 2. Напишите уравнение касательной к графику функции — в точке с абсциссой Хо=1. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции /(х) = (х— 4. Вычислите ^(2'^^ 4n2)dx. 2 Ивлев, II кл. 33 с—24 1. Найдите производную функции: а) /(;с) = 1п (1 — 0,2л:); б) / (;с)= loga (лг^ —2 Д/Т). 2. Напишите уравнение касательной к графику / в точке с абсциссой Хо==1, если / (х) = log2 (х + З). 3. Найдите промежутки возрастания и убывания f {х) = у? \ogi X. функции функции с—25 1. Найдите производную функции = -V2 X -2 2. Вычислите приближенное значение Vl25,15 —Д/^24,85. 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = 0, у = х^, х=\, х = п. С—26 1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция [ (х) — е^^^. 2. Найдите решение дифференциального уравнения f'{х)~ —.f(x)\nA, такое, что /(1) = 2. 3. Запишите общий вид решений дифференциального уравнения У" Вариант 6 С—1 1. Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на промежутке (0; оо): а) F {х) = л[х —2, /(х) = 2Л[х ' 2 б) /^(х) = 3 —cos^ X, /(x) = sin2x, 2. Является ли функция F первообразной для функции / на промежутке (—оо; оо ): а) F (x) = )F -f sin X + 5, /(х) = 2х + cos х; б) f(x)=-A f{x) = ^} X ДГ С—2 1. Для функции h (х)= 1 —4х найдите первообразную, график которой проходит через точку М (— 1; 9). Найдите этот график. 2. Найдите общий вид первообразных для функции: а) / {х) = л1^х — 2; б) /(x) = cos3x-|—- Найдите первообразную для функции: С—3 а) /(;c) = lsin| + ]-cos|; б) Пх)=^ + ' С—4 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х^, х= —1, ^ = 0; б) i/ = cos0,5x, ^ = 0, х= —где —д^х^— Вычислите: С—5 2п а) \^dx; 3 б) ^ sin xdx; 0 в) ^ (х^ — 3jF)dx. 1 л -2 "з 35 с—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями; а) у = Ху у —2 — ^, ^ = 0, х^О; б) у = —!-5-, ^ = 8cosx, ^ = 0, х = 0, О^х^-^. cos JC 2 С—7 Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна V (/) = УГ + COS nt. Найдите координату точки в момент i, если ее координата в момент / = 0 равна 3. С—8 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями -2-12л: У = 1 д ^ ^ л —При —<х<—, sm^x ^ 6 ^ ^ 4 и у = 0. при 0^х< — д о 2. Вычислите ^ И _|_cqs dx. С—9 1. Найдите объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х^, х —2, ^ = 0, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 2. Сила в 4 Н сжимает пружину на 4 см. Какую работу нужно произвести, чтобы сжать эту пружину на 2 см? С—10 1. Верно ли равенство 8 — 4Уз" = уТТ2^-МУз^? 2. Найдите значение числового выражения: а)Л1з л/¥:л19; б) :('д/З -. 3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение числового выражения; 3 3 _ 4 а) У20”39; б) УЗ+У3. 4. Какое из чисел больше: д/з" или \щ? 36 с—II 1. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении где ЬаО. 2. Решите уравнение: а) — 15 = 0; б) л/х --4л/х =5. 3. Упростите выражение: а) Л/д-Л/п' + Л/П ; б) 1. Решите уравнение ^J8 -j-x ^ ~\l8 — X — X. 2. Решите систему уравнений |V^+Vf=3, №+V^=9. с—12 1. Найдите значение числового выражения: а) (l2-19^)^(l2+192) ^ 2. Какое из чисел больше: (Д/^) 3. Упростите выражение 8и -|- 1 8у — 1 т л/г или y-j* - 3_ 3^ i +1 4Д/у^ +2у^ + 1 С—13 2 с—14 1. Изобразите схематически график функции ^ = 0,2‘“^ 2. Вычислите: а) . б) ((^)^)^. 3. Найдите области определения и значения функции 37 1. Решите уравнение: а) 3^ + 4-3"+'=13; 2. Решите неравенство: б) (sin-|^y" ' = л/8. б) 3"^>9*. С—15 1. Решите уравнение: а) 27'^-^'=81; 2. Решите неравенство (i)‘ ш 1 \2^^ + Зх-1 = 4" 3'-" + 6<0. С—16 1. Вычислите без таблиц и калькулятора: С—17 а) log^Vi^ —>og3 4; б) ( log627 + 2loge2 log6V0,25 + loge- У 2. Прологарифмируйте по основанию 5 выражение 125а^ 3 3. Сравните числа: а) 7'“®^" и , Ь>0, х>0, 2>0. б) log2 5+log5 3 и 4. С—18 1. Определите знак числа: а) toga 4; б) log^0,9. 3 2. Найдите область определения функции __ X ^ log2('^-4) * 3. Изобразите схематически график функции ^ —lg|x|. 38 1. Решите уравнение: а) log^(Jt^ —Зх) = 4; 2. Решите неравенство: а) Slog^jc—2 1og2AT^5; С—19 б) lg(2jc+l) = 0,51g(l-3x). б) ->0. 1. Решите уравнение: а) 3 log^x+2 log2X = 5; 2 2. Решите неравенство: а) lg^x — 2lgx>2; б) д:+1 \gx+2 б) 15"Ч-3-15">10. ■2. С—20 Решите систему уравнений: = 2 + log32, а) I logs-t+logs г/= 1 log3(x + i/) = 2; б) С—21 ^cos X ^ sin у 2 С—22 1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции /. Найдите области определения и значений функции g: б) /(x) = V2-—х^О. 2. По заданному графику функции / найдите значения обратной к ней функции g в точках — 1; 1; 3 (рис. 8). Постройте график функции g, найдите ее области определения и значений. 39 1. Найдите производную функции: С—23 а) = б) f{x)=l4^'^-^\ 2. Напишите уравнение касательной к графику функции = в точке с абсциссой Xq—— 1. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f{x)={x+\)e^-K 4. Вычислите J (3^"+' ln3)dx 1. Найдите производную функции: С—24 а) f{x) = \n(2-^xy, б) f(x) = log^(^j^-^y 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой Xq—\, если /{x) = log3(2x-|-1). 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 1. Найдите производную функции 2. Вычислите приближенное значение выражения Д/16,08 -^32,15. 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями г/ = 0, у = х^, х=1, х = е. С—25 С—26 1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция f {х) = е~^^''. 2. Найдите решение дифференциального уравнения f'[х) = = /(л:)1пЗ, такое, что /(1) = 9. 3. Запишите общий вид решений дифференциального уравнения У'' 1У' 40 Вариант 7 С—1 1. Является ли функция F первообразной для функции / на промежутке /: г) F (х) = л1^+2, f{x)=—^, / = (1; оо); 2\х— 1 б) f (x) = 3jit^—1, f{x) — x^~x, / = (—оо; оо)? 2. Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на промежутке I: а) f (х) = 2 —sin^x-t-cos^x, /(х)= — 2 sin 2jc, / = (0; 2); б) F(a:) = (x-1)\ /{a:) = 4x^-12jc"+12jc-1, /-^(-оо; оо). С—2 1. Для функции h (х) —sin х найдите первообразную Н (х), такую, что //^-^^ = 2. Начертите график этой первообразной. 2. Найдите общий вид первообразных для функции: _2 а) f {x) = —j==-; б) /(x)==sin XCOS XCOS 2xcos 4х. \6х —1+1 Найдите первообразную для функции: а) /(x)=sin (1,5х—1) + V^; б) g{x)-- С—3 3 cos^ (7 — jc) 2 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: С—4 а) ^ = 0, у = 2ху ^ = 3 —х^О; б) j/=|sinjc|, у = 0, х = ^, Вычислите: С—5 а) ^ 5~\[х(1х; б) ^ dx в) ^ cos^ xdx. 41 с—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = )^, ^ = 4х —3; б) y~cos2x, y = s\nx, ^==0, С—7 Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени / равна у (0= 10^ —0,008^^. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток от t— 10 с до / = 20 с, и ее ускорение в конце пути, если скорость измеряется в метрах в секунду. С—8 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями У = 1 UI при — 2пх 1 3 cos— при -<х<- Vio" 2х S2x I dx. V^-i vr и y = 0. С—9 1. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями „2 = 0. Y + 1 +z^, z=l, Z-- 2. Найдите силу давления воды на одну сторону вертикальной стенки, имеющей форму трапеции, нижнее основание которой а=10 м, верхнее основание Ь = 6 м и высота Л —5 м, если уровень погружения нижнего основания с=10 м. С—10 1. Верно ли равенство Д/52^-30Уз^=5 — 3~\j3? 2. Найдите значение числового выражения: а) б) (у¥-Ajly.(y2-^Jly 3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение числового выражения (с точностью до 0,0001): а) V20.991 ; б)л15+л/5. 4. Сравните числа VW и VW- 42 с—11 1. При каких а справедливо неравенство 2. Решите уравнение: а) = 2; б) ^-3^=10. ^|J—\ д/G^+i 3. Упростите выражение; а) Л/4-2Д/3 +Л/4 + 2Д/3 ; б) Д/(1) (1+V ) + Л^- 1. Решите уравнение V^ + 3x + 3 = 2х -|- 1. 2. Решите систему уравнений [ х — у = 7. С—12 С—13 1. Упростите выражение и вычислите его значение: _5 J J_ 1 £ а) 15-^*45^:75 ^+2^-4®; ! 1 б) (Ь'^л1ь)^ {Ь^л[ьу при 6 = 3. 2. При каких значениях переменной верно равенство: 1 1 а) (a'f = a; б) (а^)^ = |а|? 3. Упростите выражение 1 i I ..2 12 13 j_ _з I ,,з\ 1 /^7 ,,7\/^ i ^7,.7 I .,3\ {х^+у^){х~х^у^ + у^) + {х^-у^){х+х^у^+у% с—14 1. Изобразите схематически график функции у = 3~ 2. Сравните числа: а) и 3^2^=; б) {(Д/З)^)^ и З' Д 3. Найдите области определения и значений функции у-‘ 43 1. Решите уравнение; а) 0,5^-2^ + 3-0,25‘"" = 7; 2. Решите неравенство: а) 25^"^ <125 ^ С—15 6х + 3 б) 5 " =лД25^^. б) 4^-5 + 2-25"<7-10^ 1. Решите уравнение: а) 2-3"“^ + 6-9‘’-^^”2 = 56; 2. Решите неравенство -+(!)■ С—16 б) = I - X -8>0. С—17 1. Прологарифмируйте выражение по основанию 7: 16,___ 7Д/^а^ Sjb'^c^ 5d°-^ 2. Известно, что Iog3o3 = a, log;,o5 = fe. Найдите loggoS. 3. Найдите значение числового выражения: а) log^24-log94®; б) 7'->«n2_2'oR„7 1. Определите знак числа: а) logo,3 4; б) Ig3 — 2. Найдите область определения функции + Л17-Х . С—18 1ое,2(д: —3) 3. Изобразите схематически график функции «y = lgV^- 1. Решите уравнение: а) log2;,64 —log2^8 = 3; 2. Решите неравенство: а) lg(x-l)^>0; С—19 б) х'«"=100х. б) log2(x— I)>l0g^2^^- 44 1. Решите уравнение: а) —3 Ig х^ = 4; 2. Решите неравенство: а) log, (2д: —3)>log| — 1 т с—20 б) 4—Ig x = 3'\j\g X. б) 4^-7-2^+ 12>0. Решите систему уравнений: legate+log3i/= 1 — loga2, \ogi{x + y) = 2; a) C—21 f 3"-2^ = 576, C—22 1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции /. Найдите области определения и значений функции g: а) f {х) = 3~~ б) /(х) = (УГ+^)-', Х^О. 2. По заданному графику функции / найдите значения обратной к ней функции g в точках —1; 1; 2 (рис. 9). Постройте график функции g. Укажите ее области определения и значений. С—23 1. Найдите производную функции: а) f(x) = e^-'*“\ б) = . 2. Найдите уравнение касательной к графику функции f{x) = = —параллельной прямой у~2х-\-\. 3. Найдите точки максимума и минимума функции 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — е"", g = 2 —е-', х~2. 45 с—24 1. Найдите производную функции: а) /(х) = 1п(д^ —2л^+1); б) /(х)= log^V3 —2дг . 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями г/ = р x^ — Sx-\-7 = Q. 3. Найдите точки максимума и минимума функции / (л:)= 1п^ X — 3 In X. С—25 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции j(x)^{2-x) 2. Вычислите приближенное значение ^64,12 — д/бЗ,бТ. 3. Найдите первообразную для функции f {х)~ х~^. С—26 1. Удовлетворяет ли функция f(x)~e ^ дифференциальному уравнению f\x) = ~ f {х)? о 2. Найдите решение дифференциального уравнения f'{х) = = 1п5/(х), такое, что /(6) = 5. 3. Найдите решение дифференциального уравнения у"=~3у, удовлетворяющее условиям //(0) = 2, у'{0) = 6. Укажите амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу этого колебания. Вариант 8 С—1 1. Является ли функция F первообразной для функции / на промежутке /: а) F(x) = 2Vl+x + l, / = (-1: оо); VI +х б) F(x) = /--[(х)=4х^-2л[х, / = (0; оо)? ух 2. Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на промежутке /: а) F (д:) = 2 sin^ л: cos^ jc, / (jc) = sin 4jc, / = ( — 3; 0); б) F(x)=(x+2)\ /(x) = 4x^ + 24x^ + 48x + 32, / = (-оо; оо). С—2 1. Для функции h (jf) = cos х найдите первообразную такую, что Н — -^^=1. Начертите график этой первообразной. 2. Найдите общий вид первообразных для функции: 3—Sx а) /(х)= Vsx+l +2’ б) /(x) = cos xcos-|-cos-|-sin J. С—3 Найдите первообразную для функции: а)/(x) = cos (1 — 1,5х) + УТ+Т; б) g(x)-- 5 sin (2—х) X т с—4 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями; а) г/ = 0, г/ = |-, ^» = 5 —х^О; б) ^=|cosx|, F = 0- 47 Вычислите: 4 а) \~-^dx\ J хЛ[х б) \ ; 3 S я т 0 С—5 С—6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = 2х^, у = х-\-\\ б) у = со^2х, ^=sinjc, х = 0, х^О. С—7 Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна V (t) = f — I -|- 1, Известно, что в начальный момент ^ = 0 координата точки равна —1. Найдите координату и ускорение точки в момент времени /. С—8 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 2—|х| при —2<х<1, У — \ сь • ‘2sin-^ при 1^х^6. S2x dx. с—9 1. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями + = + 2=-3, :3. 2. Найдите силу давления воды на одну сторону вертикальной стенки, имеющей форму трапеции, нижнее основание которой а = 4 м, верхнее основание Ь = 8 м и высота Л = 6 м, если уровень погружения нижнего основания с=12 м. 48 10 1. Верно ли равенство ^97^-5бУз^ = 7 — 4"\/^? 2. Найдите значение числового выражения: a)V^-V^; б) (у^+фу.(у5+л^). 3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение числового выражения: а) V27.31 ; 6)^ + ^. 4. Сравните числа л1л[\3 и VW- с—п 1. при каких Ь справедливо неравенство л/^ 2. Решите уравнение: а) +Т- 1; б) л/х +3л[х = 18. Vx+1 v:r+3 3. Упростите выражение: а) +V3T2W: б) Д/(Д/а+V^)^-4 1. Решите уравнение ___________ x-\='\l2:^-3x-5. 12 2. Решите систему уравнений (^ + W = 3, 1 Jc + i/ = 9 С—13 1. Упростите выражение и вычислите его значение: _ 1 _ 4 1 3 а) (12~з.18“з.6=’^)2-3^.9«; б) {а^\[а f {а^л/а У при а = 3 2. При каких значениях переменной верно равенство: 1 а)(а7=-к|; б)(а«)® = а? 3. Упростите выражение ( 1 1 *2 Т Х~У Л Х — У 11' 11/ 2Л/17' ^ д:^ —д: г// 49 14 1. Изобразите схематически график функции // = 0,5 ^ 2. Сравните числа: а) и 7-2'^®; б) ((д/5)^)^ и 5^'®. 3. Найдите области определения и значений функции 1. Решите уравнение: а) 0,2^-2"+3*0,042-" = 8; 2. Решите неравенство: 6х-3 ■2х-1 — + 2 а) 27^“ > б) 3 " б) 2^"+‘ + 25^+“’^>7-10f С—15 1. Решите уравнение: а) 4-Э'®"-'-27"-‘ = 33; 2. Решите неравенство 7,3 б) 2"" / + 2лг- 15 " >1. ' + 5-2“' " = 7. С—16 1. Прологарифмируйте выражение по основанию 5: 0,04 Д/б 3^1 (аЛ/а) С—17 2. Известно, что Iog6o2 = a, Iog6o5 = 6. Найдите Iog6o27. 3. Найдите значение числового выражения: а) logyy 54 — log4 9®; б) 1. Определите знак числа: а) logyj-3 —3; б) log2 3 + Iog2 0,09. 2. Найдите область определения функции g(x)-- 1 logo,5(^+2) -л/з-. С—18 3. Изобразите схематически график функции y = \g-~. 50 1. Решите уравнение: а) 3-2"+'-6-2^-‘ = 12; 2. Решите неравенство: а) 2"<8 4 I 1 С—19 б) дг'®'=1000х^. б) log3(x+l)log3(x + 7); С—20 б) 5 —2 Ig л==3 "\/Tg^-б) 9"-8-3"+15<0. Решите систему уравнений: l0g2 X + l0g2i/ = 2 + I0g2 5, logo.sC'^—'/)=0; a) С—21 f 3"-2*' = 972, |logy5-(Ar-i/) = 2. C—22 1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к функции /. Найдите области определения и значений функции g: а) /(jc)= 1 — б) /(x) = (Л/2+7)-^ х<0. 2. По заданному графику функции / найдите значения обратной к ней функции g в точках —2; —1; 3 (рис. 10). Постройте график функции g. Найдите ее области определения и значений. 51 1. Найдите производную функции: С—23 а) = б) = 2. Напишите уравнение горизонтальной касательной к графику функции /(jc) = e"'+e"'^ 3. Найдите точки максимума и минимума функции 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями + — ^ = 0. 1. Найдите производную функции: С—24 а) Дх) = 1п (/ —3^ + ^); б) f{x)=^\og^ V4 —0,1х. 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями г/ = |, —6х+5 = 0, ^ = 0. 3. Найдите точки максимума и минимума функции /(^:)z=log2 х — 2 \og\x-\-2. С—25 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f{x)={x-\)x^. 2. Вычислите с помощью калькулятора приближенное (с точностью до 0,001) значение выражения V32.15 -Д/31,75. 3. Найдите первообразную для функции f{x) = x'^-\-x-^. с—26 1. Удовлетворяет ли функция f{x) = e~^’' дифференциальному уравнению (х) = 3 / (х)? 2. Найдите решение дифференциального уравнения f'{х) = = 1п9/(л:), такое, что /(3) = 9. 3. Найдите решение дифференциального уравнения у"=:—4у, удовлетворяющее условиям ^(0)=1, у' (0)— —2^/3. Укажите амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу этого колебания. 52 Вариант 9 С—I 1. Докажите, что функция F {х) = х \х\ является первообразной для функции f{x) = 2\x\ на промежутке (—оо; оо). 2. Является ли функция F первообразной для функции / на промежутке /: а) Р{х) = л1Ах^-\ +5, Пх)^ , / = (3; 4); б) / = (1; 2)? (^-3f 1. Для функции /(jc) = Vjt'-i с—2 найдите первообразную, график которой проходит через точку М Csf2 \ 2). Начертите этот график. 2. Найдите общий вид первообразных для функции: а) /(д:) = со5^х; б) /. Найдите первообразную для функции: а) = —Г7—гг —3 sin (4 —Зх)+1; COS (дг— 1) с—3 б) g{x) = x sin JC +J > пользуясь формулой для производной функции / (х) = х cos JC. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: С—4 2 cos X при — а) у = 0 и ^ = ^ — х + 2 при 0<х^2; б) ^ = V|x| , ^ = 0, X——4, х=1. 1. Вычислите: л Т с—5 а) J(cos^(^;f + ^)-sin2(;c + |))dA:; б) J (l+|)*. — 1 2. При каких А выражение J меньше 0,1? 0,001? 53 с—6 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 4 1 1 х== 1, у = х—\. 2. Из геометрических соображений вычислите интеграл ^ (З + У^— -2 С—7 Материальная точка массой 5 кг движется по прямой так, 2 что действующая на нее сила в момент времени t равна 6/--^. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от 2 до 5 с, если известно, что ее скорость в момент /—1 равна 3 м/с, (Сила измеряется в ньютонах, время — в секундах,) С—8 1. В каком отношении парабола £/ = —делит площадь круга 2. Вычислите ^ sin^ xdx. С—9 1. Найдите объем чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами а и ft, верхнее ребро равно с, а высота равна ft. 2. Определите кинетическую энергию однородного цилиндра, катящегося без проскальзывания по плоскости со скоростью I м/с. Радиус цилиндра равен R м, масса цилиндра т кг. 54 с—10 1. Верно ли равенство Vl:zl_^ /э-5 Уз~ , Л/Т+1 ~ V 9 + 5 Vs" 2. Докажите формулу сложного радикала 3. Сократите дробь ^— • 4. Какое из чисел больше: 3 3 3 Vl990 +V1992 или 2V1991 ? С—II 1. Найдите значение числового выражения У2 + Л/3 -У2 + У2 + У3 .у/2 + Л/2+Л/2 + Уз X xV2-V2 + V2 + y3 . . 2. Решите уравнение: а) x-l=7(Vj^-l); 3 3 3 б) Уи+Т7-2УТ^=зА/й^н7. 3. Упростите выражение: б) + ^ — а V^ + 2. 1. Решите уравнение VlO —X—V3 —х== 1. 2. Решите систему уравнений I JC VjT + Зу ^/х = 36, \ у л[у +^хЛ1у =28. С—12 55 1. Найдите значение числового выражения 11 ‘ • 2^*3^+2 1 2®+3 )з /111 1\ / 22*3^-2^-3^ \ Ч .^-3^ ) 2. Упростите выражение (: 1 1 2 , / J2 ^2ч 2 Jx^ + a^) ^—(x^ — a^) ^ 1 где -с—а )^’ а>0, 0<т<п. -2 С—13 14 1. Изобразите схематически график функции i/ = lg Ig 10"+'. 2. Сравните числа (7-4д/3^* и (7 + 4л/3)-Ч 3. Найдите области определения и значений функции 1. Решите уравнение: 2. Решите неравенство: /-9^+14 а) 2,5 >1; Х-\~- X ^ б) 9-_2 2 = б) х^-2"+1>л^ + 21 С—15 1. Решите уравнение: а) 4^ 14 = 9(2" + ^); б) (У5 + 2Д/б )" + (Л/5-2д/б Г = 10. 2. Решите неравенство > 1 \|cos X; (i) С—16 56 1. Известно, что lg2 = a, log27 = ft. Найдите lg56. 2. Упростите выражение 1 \1 \2 ( 2 loff X ^ 2 ^ 3. Какое из чисел больше: log2 3 или log3 5? С—17 1. Изобразите схематически график функции У= I |1п X— 11 — 11. 2. Вычислите lgtgr + lgtg2^ + ... + lgtg88^ + lgtg89°. 3. Найдите область определения функции У С—18 1. Решите уравнение: а) log;,(JC + 2) = 2; б) log, х = х — \. _ 2, Решите неравенство: а) lg(jr—l)+lg(-t —3)0. С—19 1. Решите уравнение: С—20 а) log,+ i (х —0,5)=log,_o,5(J^+1); б) I |-log_^x| 4-{= I |-log^x| . 8 ^ 8 2. Решите неравенство: а) loga JC+log2 — 1; б) '\J\og^ д/^ < — log^ 5. С—21 Решите систему уравнений: а) з^=\-\-% \og^y, у^ = у.2^ + 2^^+'- б) (2"+1)2^+' = 9, д/7+у =х+л^ + 9-3". 1. Решите уравнение: х+— о а) 9 "+^ + 26=16(3" + 3-"); б) (V7 + V48 )" + (Д/7-ЛД^ Г= 14. 2. Решите неравенство С—16 62 с—17 1. Известно, что lg5 = a, \g3 = b. Найдите logsoS. 2. Упростите выражение ij\og, 2/+ log, lod ^42“^ ^ 3. Какое из чисел больше: log3 5 или л/2? С—18 1. Изобразите схематически график функции ^=||1п;с-2|~1|. 2. Вычислите Ig tg 1® • Ig tg 2° Ig tg 88® • Ig tg 89°. 3. Найдите область определения функции y = ^J\g^ x + 5\g х + 4. 1. Решите уравнение: ______ а) log^x + 6) = 2; б) yilog7V5T = 2. Решите неравенство: а) lg(2x—1)+Ig(2x—3)>lg(3j; —3); б) 2^^"^-(x-9)lg(jc-9)<0. log^ 5. С—19 С—20 1. Решите уравнение: а) 0,5 lg(8 —jc)=lg(l + Vjc + 5 ); б) |1—logj^x| + l = |2 —logj^xl. 9 "9 2. Решите неравенство: _________ а) log^;c + log4V^>l,5; б) log,,2дг<Д/log^(2д^). Решите систему уравнений: а) \у — х = 5\ б) i :^ — уЛ/ху =36, \у^ — х^р^ = 72. С—21 63 с—22 1. Обратима ли на всей числовой прямой функция: а)^ = ^+1; б) ^ = —31х + 2; в) г/ = л^ + 7дг; г) у = л[х1 2. Может ли обратимая на отрезке [—1; 1] функция иметь минимум в точке О? Ответ обоснуйте. С—23 1. Найдите точки максимумов функции f = 2. Постройте график функции ^=10'®''''*'*'“^ 3. Какое из чисел больше: или 4. Найдите первообразную для функции / (jc) = (3jt^-|- 1. Найдите производную функции: а) / (х) = log2 (jc^ —sin ;с); б) / (х) = In cos ~ . С—24 2. Вычислите Г J dx. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции i/=l,51g^;c + Ig^ X. С—25 1. Найдите производную функции у = {л[х)^'' 2. Вычислите приближенно \j32,20—Д/15,88 . 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y = {j(^-4x + 4)x^. С—26 1. Период полураспада радиоактивного вещества равен 2,5 ч. Через какой промежуток времени от 4 кг этого вещества останется 0,5 кг? 2. Запишите решения дифференциального уравнения 2уу' = у\ 3. Найдите решение дифференциального уравнения у'^=—Зу, удовлетворяющее условиям i/(0)=-2, ^'(0)=-6. 64 ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант I ПС—1 1. Вычислите 7 — 4^Jз 7 + 4\^ 7 + 4-^~^7-4Д/^ 2. Число деталей, которое рабочий должен был изготовить по плану, составляет 80% числа фактически изготовленных деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил план? ПС—2 1. Скорость поезда увеличилась с 70 до 85 км/ч. На сколько процентов уменьшилось время, затрачиваемое поездом на один и тот же путь? 2. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х—\ и проходящей через точку Л/(5;1). 1. Упростите выражение a^-~ac^-i-2c^~4 —4о-|“4 а^ + 2а + 2с^ 2. Решите уравнение а^~\-ас^-2а-2с^ 18 JC —3 j:-|-3 j^ — 9 ПС—3 ПС—4 1. Для функции у — — Зх+1 найдите множество значений переменной х, для которых у'^0, у<С0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен — 7x-t~10 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа —0,2 и —5. 3 Ивлев, 11 кл. 65 ПС—5 1. Найдите формулу /г-го члена и сумму первых 15 членов арифметической прогрессии с первым членом 3,4 и разностью 0,9. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем — и 3. Представьте бесконечную десятичную дробь 2,3(45) в виде обыкновенной. 1. Упростите выражение: а) cos 2а-j- 1 — cos^ а б) cos (7 + 2*^) sin cos (n —а) cos2(n-a)tg^-^ + a^ , найдите его значение при 2. Докажите тождество: а) — 2 sin 2а — sin 4а sin 4а4-2 sin 2а = tg^a; б) sin а sin а I 4-cos а 1 —cos а ПС—6 Зл “Г* sin а 1. Решите уравнение: а) cos 5jc = cos Зх; б) tg^ jc—3 tg х + 2 = 0. 2. Решите неравенство a)sin2;c>—б) tg (jc—1. ПС—7 ПС—8 1. Найдите область определения функции: а) /(х)= v5-^+log2 Jc; б) y—\s\nx, 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) /(х) = х^ — jc; б) / (л:) = С08 JC+COS 2х; в) /(x) = tg(x—1). 3. На рисунке 11 изображен график функции / на отрезке [0; 2]. Известно, что период функции / равен 2. Постройте график функции / на отрезке [ — 2; 8]. 66 ПС—9 Постройте схематически график функции / (без помощи производной), укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы: a)/(jc) = 4; б) /(х) = д:^ —4; в) / (x) = cos JC + 2; г) /(x)=lg(JC—1). 1. Найдите производную функции: а) у = 3:^ + 2х^б) у = хе''\ ПС—10 в) У- Зх-1 х+2 2. С помощью формулы дифференцирования сложной функции найдите производную функции f(x) = {x^~iy^^. 3. Проверьте, что функция / (х) = 2 sin 2jc + 3 cos 2х удовлетворяет дифференциальному уравнению у"^—4у. 1. Решите методом интервалов неравенство: а) + х—6>0; ПС—п б) b)4z4£±1>o. х-2 —6д:-1~8 2. Запишите уравнение касательной к графику функции [(х) — х^~~Зх-{-5 в точке с абсциссой Хо = 2. 3. Найдите скорость материальной точки, движущейся прямолинейно по закону х(/) = 3/^—— в момент времени ^ = 3 (х измеряется в метрах, t — в секундах). 1. Решите неравенство Г {x)>g' (х), где ПС—12 f {х)=х^ — х, gf(x)=lnx. 2. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции f{x) = J^— 12х + 2. Постройте ее график. 67 ПС—13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (х) = Х^ — Зх + 7 на отрезке [ — 3; 1]. 2. Требуется изготовить коническую воронку с образующей /:==15 СМ. Найдите высоту воронки наибольшего объема. ПС—14 1. Найдите общий вид первообразных для функции /: а) /{;с) = д^-|-3 sin х; б) /(х) = —\-----cos(3x—I). COS'^ X 2. Вычислите: я 1 Т а) ^ (4x^ + 6x)dx; б) ^ s\n2xdx. -2 О 3. Найдите площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 12. — logjj 12 1. Упростите выражение 25^ 2. Решите уравнение: + 7 2 logy 2 ПС—15 а) log2(2x —3)=log2(3x —5); б) 3^" ^^(1) 3. Решите неравенство 1 \2-х <3\б.г-но-х2 27 "^64 * 1. Решите уравнение: ПС—16 а) з2-+'_ 10.3' + 3 = 0; б) УТ+Тз — А/7+Т==2. 2. Решите неравенство Ig 1. 3. Решите систему уравнений + = 1 I0g2^+l0g2^= 1. в8 ПС—17 1. Найдите производную функции У = е -(-] . 2. Найдите общий вид первообразных для функции 3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой ПС—18 1. Найдите производную функции: а) г/ = 1п (Зл:—1); б) у = {х-{-\) . 2. Найдите общий вид первообразных для функции: а) f{x) = 3JC+I б) /(л:) = (2л:+7)^ 3. Является ли функция f{x)~2'' решением дифференциального уравнения ^' = ^1п2? Вариант 2 1. Вычислите 9 — 4^J5 . 9-h4V^ ПС—I 9-Н4 9-4 ‘ 2. Число деталей, которые рабочий должен был изготовить по плану, составляет 60% числа фактически изготовленных им деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил план? ПС—2 1. Скорость поезда увеличилась с 75 до 80 км/ч. На сколько процентов уменьшилось время, затрачиваемое поездом на один и тот же путь? 2. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у — 3 — 0,5х и проходящей через точку М{ — 1; 3). 1. Упростите выражение o'* — — агЬ -1- аЬ^ — 4а^ —2а + 6 —' 2а —Ь 2. Решите уравнение 5 , д: 18 3 —д: д: + 3 —9 ПС—3 ПС—4 1. Для функции у — 3)^-\-2х~\~\ найдите множество значений переменной х, для которых ^^0, ^>0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен х^-|-9х-|-18 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого слу-1 жат числа —~ и о -3. ПС—5 1. Найдите формулу /г-го члена и сумму первых 20 членов арифметической прогрессии с первым членом 5,7 и разностью 0,8. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом —4,5 и знаменателем —0,75. 3. Обратите бесконечную десятичную дробь 1,4(54) в обыкновенную. 71 а == — 5n Т’ 2. Докажите тождество: sin + 2а ^ _________^ а) tg2a :2 cos^ а; ПС—6 1. Упростите выражение: , 2 sin (я —а) -h sin 2а а) --------i----—----------- 2 cos а + 1 + cos — + sin -- найдите его значение при tg (п —а) б) - cos (т-“) б) cos а cos а 1+sina 1—sin а cos а 1. Решите уравнение: а) sin7x = sin3x; б) tgx + 3ctgx = 4. 2. Решите неравенство: а) cos 2х>-; б) tg(x + f) ПС—7 ПС—8 1. Найдите область определения функции: у = Л1'^ — х +logo,5 х; б) y = ^Jcos X, 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) f (х)~3х^ — х^; б) /(x) = jcctg х + в) /(x) = ctg(x —2). 3. На рисунке 13 изображен график функции / на отрезке [ — 2; 1]. Известно, что период функции / равен 3. Постройте график функции / на отрезке [—6; 6]. ПС —9 Постройте схематически график функции (без помощи производной), укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы: а) f(x)= в) /(х) = 2 sin X— 1; б) /(х) = 9 — г) /(х) = 1п (х+ 1). 72 1. Найдите производную функции: а) ^ = 2л:'* —12; б) у — х\пх\ в) у-- ПС —10 Зл+1 х-2 2. С помощью формулы дифференцирования сложной функции найдите производную функции !(х)^{х^+\,ъ^Г. 3. Проверьте, что функция / (х) = 3 cos Зх“—2 sin Зх удовлетворяет дифференциальному уравнению у” =—%у. 1. Решите методом интервалов неравенство: а) >?-\-2х~~ 15<0; ПС—11 б) ;с + 4 в) 4^L5£±1^o. 2. Запишите уравнение касательной к графику функции 1 3^ f{x) = x^-\-x— 1 в точке с абсциссой Xq = 3. 3. Найдите скорость материальной точки, движущейся прямолинейно по закону в момент времени t — 2 (х измеряется в метрах, t — в секундах). 1. Решите неравенство f (x)^g' {х), где ПС—12 /(х) = лг^ + а:, ^(х) = 1пх. 2. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции /(х)= — л^ + 3х + 1. Постройте ее график. ПС—13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (х) = 3х^ —х+ 1 на отрезке [ — 2; 3]. 2. Требуется изготовить коническую воронку с образующей /=10 см. Каков должен быть радиус основания воронки, чтобы ее объем был наибольшим? 73 ПС —и 1. Найдите общий вид первообразных для функции /: а) f(x) = x^ — 2 cos jc; б) f{x) = —\---sin (Зл: —j) . Sin^ X \ ^ / 2. Вычислите: _д 2 6 a) ^ (5x^H-6jc^) rfr, 6) ^cosSxdjc. 3. Найдите площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 14. 1 \/ ^ ПС 15 1. Упростите выражение 9:2 2. Решите уравнение: а) lg(2x-3) = lg(3x-2); б) (0,2)'"-^ = 5^"^". 3. Решите неравенство log2 х~2 log2 —3. 1. Решите уравнение: а) 2^"+'-5•2"+2=0; б) \^Н^-ЛД+Т = 2. 2. Решите неравенство Ig (л^ —л: + 8)> 1. /-г/3 = 56, ПС —16 3. Решите систему уравнений logs л:—logs г/ = 1. 1. Найдите производную функции ПС—17 2. Найдите общий вид первообразных для функции 3. Напишите уравнение касательной к графику функции /(л') = 3^''“^ в точке с абсциссой Хо = 2. 1. Найдите производную функции: ПС—18 а) ^ = In (2х-|-1); б) у = {2х-—\))^. 2. Найдите общий вид первообразных для функции: а) f(x)-- 2х- б) f(x) = {2x-3)^\ 3. Является ли функция f {х) = 2*У решением дифференциального уравнения г/' = ^1пЗ? 74 Вариант 3 1. Упростите выражение; а) V7 + 2 -V7-2 2. Решите уравнение; а) / + 32 = 0; б) /-81 в) ^/^ + 2 у/ —3 = 0. = 0; б) 5-Уз~ 5 + ПС —1 ПС —2 1. Дано квадратное уравнение а/ + 6лг+с = 0. Известно, что а~\-Ь-\' с = 0. Назовите корни этого уравнения. 2. Решите неравенство (jc^ + 2xf>9. 3. Сумма двух чисел равна 65, а их среднее арифметическое на 2,5 больше среднего геометрического. Найдите эти числа. 1. Может ли числовое значение выражения -2.6 быть равным 5^? Ответ объясните. 2. Решите уравнение 2х дг —3 7х-27 х-3 ' дг —4 —7x4-12 ’ ПС—3 ПС—4 1. Найдите корни уравнения —3|х|-|-2 = 0, удовлетворяющие неравенству |х—1|^2,5. 2. Найдите значения а, при которых парабола у = )^-\-ах-\-2Ъ пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Выпишите интервалы знакопостоянства функции для одного из найденных Значений а. 75 logt (4f,+l + .„) ПС —5 1. Вычислите 0,2 2. Найдите сумму первых 20 членов последовательности, общий член которой выражается формулой Ь„ — Зп—1. 3. При каких значениях х последовательность cos г, sin х; 1,5 является геометрической прогрессией? ПС —6 1. Докажите тождество л/З cos а — sin а = 2 cos Найдите наибольшее значение выражения cos а— sin а. 2. Упростите выражение 1 —sin (1,5л + 2а) + sin 2а cos а + sin а Укажите какое-нибудь значение а, при котором: а) данное выражение не имеет смысла; б) значение данного выражения отрицательно; в) значение данного выражения равно 2. 1. Решите уравнение: а) 2 —cos х = 2 sin^ х; б) 2 cos +1 в) /"sin X-!—-\-(cos л:---!—V== 1. \ sin jf/ \ cos X) 2. Решите неравенство sin jccos —j^-|-cos X sin —0,5. ПС ПС—8 1. Найдите область определения функции^______ а) ^=='\/4^ir^+log3(l — х); 4^--------- б) V 1 —2 sin X. 2. На рисунке 15 изображен график нечетной функции ^ —arcsin (sin х) на отрезке [0; 2я]. Начертите график этой функции на отрезке | —2л; 0]. 76 ПС—9 Постройте график функции: а) ^ = 0,5х^ —2х; б) г/ = 6 log2"\/^+1о§2 в) y = 2cos(j — 2xy ПС —10 1, Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S (/) = 2/'^ + 4 sin (0,5п/), в момент времени t=l с, если путь s измеряется в сантиметрах, 2. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции /(;с) = 0,5л^ +х—1,5 в точке его с абсциссой Xq— —2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к задаче. ПС—11 1. Дана функция /(;с)= —2 sin х + 5х. Решите неравенство 2. Найдите /'(х), если f {х) = 2л[х -\-{2 — 0,5xf, Ср авните /' (2) с нулем. 3. Решите неравенство f' (x)2. 2. Решите систему уравнений ПС —16 ( з;/_|_л:=10, \у — \0ЦзХ = 2. 78 ПС—17 1. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремум функции у = 3хе^ \ 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е\ у = е, х = 0. 1. Вычислите: dx 2х-\-3 б) \ — i х\п7 2. Докажите, что площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 16, равны. 3. Составьте уравнение касательной к графику функции / {х) = 2 In {х— 1) в точке его с абсциссой Xq — 3. Выполните рисунок к задаче. Вариант 4 ПС —1 1. Упростите выражение: а) Л]7 + 3\(5 ■ Д/7-ЗУ^; б) 6+W Ь-Л/2 2. Решите уравнение; а) л:" + 243 = 0; б) /-64 = 0; в) л/х—л1х~2 = 0. ПС —2 1. Дано квадратное уравнение ах^ -\-bx~\- с = 0. Известно, что а —6 + с = 0. Назовите корни этого уравнения. 2. Решите неравенство 3. Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 2 меньше числа его десятков, а произведение искомого числа и суммы его цифр равно 252. 1. Может ли числовое значение выражения (0,09) -0,5 ■(x + 3f быть равным 5? Ответ объясните. 2. Решите уравнение Зх JC + 2 x-i-2 36 x^-2x-S ПС ПС —4 1. Найдите корни уравнения — 41х|+3 = 0, удовлетворяющие неравенству U+l|^3,5. 2. Найдите значения а, при которых парабола у — х^-\-ах-\-9 пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Выпишите интервалы знакопостоянства функции для одного из найденных значений а. 81 i. Вычислите ■ I Y«g7 (3+1+1+...^ (i) ПС —5 2. Найдите сумму первых 10 членов последовательности, общий член которой выражается формулой Ь„ = -^. 3. При каких значениях х последовательность 3 sin х, sin^x, — 1 является арифметической прогрессией? Докажите тождество sin а — cos а = :2si in(a-f). Найдите наименьшее значение выражения sina-2. Упростите выражение 1 —cos 2а — sin 2а ПС —6 -л/з COS а. cos (1,5лН-а) —cos а Укажите какое-нибудь значение а, при котором: а) данное выражение не имеет смысла; б) значение данного выражения положительно; в) значение данного выражения равно 2. 1. Решите уравнение: ПС а) 2 —sin х==2 cos^x; б) 2 s\n — — =0\ в) 3 —2 sin (я-|--2х) —tg x-f-ctg X 2. Решите неравенство (■>С+^) —sin ATSin (^+7) cos X cos >-0,5. ПС —8 1. Найдите область определения функции: а) у = ^х + 2 +lg(9 —/); б) у = Л] \ _1_2 cos 2х, 2. На рисунке 17 изображен график четной функции ^ = arccos(cos х) на отрезке [0; 2л]. Начертите график этой функции на отрезке [ — 2л; 0]. 82 Постройте график функции: а) г/=—0,5х^ + г, б) г/ = logo.s-^ + logo.s ; в) ^ = 3 sin (л— 2л:). ПС—9 ПС —10 1. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону S (/) = 3/^ + 4 cos (0,5л/) в момент времени / = 2 с, если путь s измеряется в сантиметрах. 2. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции / (л:)= — 0,5jc^ + х + 1,5 в точке его с абсциссой лГо = 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к задаче. ПС—п 1. Дана функция / (л:) = 3 cos х + 4л:. Решите неравенство 2. Найдите /' (л:), если / {х) = ЗЛ[х +(2 — 0,5х)'*. Сравните с нулем f' (2). 3. Решите неравенство f' (х)>g' (х), если /(х) = 8х + ^, g{x)-- 1. Решите неравенство; ПС—12 а) 6/(16-;^^) >0; б) 2"-8 -<0. Зл^ —7 ^ ' 3 sin х + 4 2. Исследуйте функцию и постройте ее график; л^ + 2л: fix)-- 2л 3 ПС —13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(х) = 3^" + 2 . 3^"" на отрезке [— 1; 2]. 2. Число 24 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в три раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим. 83 ПС—14 1. Для функции f(x) -^J2 cos X найдите первообраз- ную F (х), удовлетворяющую условию f ^-^^ = 0. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) б) у = х^~{-4х + 5 и у = 5. 1. Вычислите: а) б) log4 loggSl + logaA/T. 2, Решите уравнение: а) logs (25'' —2 •5'') = 2 logs 15; б) V(2xT3)(T^^ + 4 = x. ПС —15 1. Решите неравенство: а) log^x<4; б) logj х^-log3|<-2. 2. Решите систему уравнений |2"' + ^ = 5, x~~\og2y = 2. 1ИЙ I ПС—16 ПС—17 1. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремум функции у — 2хе^~К 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = у = е, х~0. ПС—18 Вычислите: 4 dx Зл: + 4’ б) S dx л- In 5 2. Докажите, что площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 18, равны. 3. Составьте уравнение касательной к графику функции / (х) = 2 In (x-j-1) в точке его с абсциссой Xq=\. Выполните рисунок к задаче. Рис. 18 84 Вариант 5 1. Вычислите ПС—1 Vs-V^ Л/7 +А/2" ^/t'-Vs ' 2. Рейку длиной 525 см разрезали на две части так, что первая из них оказалась короче второй на 25%. Найдите длину каждой части. ПС—2 1. Из 20-процентного раствора поваренной соли испарилось 25% имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора. 2. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у=\—3х и проходящей через точку М (3; —1). 1. Упростите выражение л/г —Л/Г ^ + у°’^ 2. Решите уравнение 3(/ , л/Г ^ ) 8 Зу-2 ‘ 3//Ч-2 V-4 ПС—3 ПС —4 1. Для функции ^ —6л^ + 5х+1 найдите множество значений переменной х, для которых у^О, у>0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 4х^ + 20х+25 на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого явля- 1 I ются числа —— и -г. 3 4 ПС —5 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а„), если известно, что «3 = 8, ац=17. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 3 2 С первым членом Ь^=—и знаменателем д = —' 3. Обратите в обыкновенную дробь бесконечную десятичную периодическую дробь 0,2 (142857). 85 ПС —6 1, Упростите выражение: sin 2a-f cos (л + а) „ л —;------------------г- , найдите его значение при а = — ; sin a-f sin (л + а)+1 —cos а о а) б) sin (х — л) cos (ж:-1-2л) sin (4л —д:) п (1' + ^) ctg + 2. Докажите тождество: , 1—2 cos^ 2а “> I., — sin 4а cos a4-ctg а ... б) --------^ = 1 +sin а. ctg а :tg 2а — ctg 2а; 1. Решите уравнение: а) sin 6х+sin 2х= sin 4х; б) 3 sin^ x + cos^ х = 2 sin 2х. 2. Решите неравенство: ПС sin X cos 2x>cos X sin 2х + -^ ; б) tg^3x — ПС—8 1. Найдите область определения функции: а) j/ = V?^-^x^^^+log3( ■хУ, б) У = в) u = \og sin X. ' ^ ^tg X 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) + б) /(x) = lg UI — loga-y^; в) f {х) = Ух — 3. 3. На рисунке 19 изображен график функции / на отрезке [0; 1]. Известно, что функция / четна и ее период равен 2. Постройте график функции / на отрезке [-4; 4]. 86 ПС—9 Постройте схематически график функции / (без помощи производной), укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы: з) б) /(х) = х^ —2х + 3; х-З ’ в) / (x) = cos 2х\ г) f(x)= |1п л:|. ПС —10 1. Найдите производную функции: а) у = Ах‘' — 2}^^-\-^. б) у = {х— 1 )-2^ в) У- X \п X X ' ^ - '• ^ ^ д,_ I 2. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производную функции / (х) = sin^ Зх. 3. Найдите решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условиям г/(0) = 0, у'(0) = 3. 1. Решите методом интервалов неравенство: а) {х-\){х-ЗУ {x^2f >0; б) Мх+\ <0. ПС —11 х^~4х-\-3 2. Запишите уравнение касательной к графику функции /(х) = х^, параллельной прямой у = Зх+1,5. 3. Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(/) = /^+sin 2^. Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если масса точки равна 3 кг (х измеряется в метрах, t — в секундах). 1. Решите неравенство f'{x)^g'{x), где ПС—12 /(л:) —x^-'x; g(x) = ln |х|. 2. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции /(л:)=: -х'4-2x^ + 2. Постройте ее график. 87 ПС —13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [—1; 3]. 2, Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак емкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала? ПС—14 1. Найдите общий вид первообразных для функции 1 f(x) = : 2. Для функции = 1 - cos"^ 2х найдите первообразную, график которой проходит через точку М (0; —2). 3. Вычислите: 24 2dx ® sin^(2jc + -^y б) f 2dx 'з {S-xf 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — 6х~х^, у — 0. ПС—15 1. Упростите выражение lg(25'°«5 0,8^9iog3 0,6) 2. Решите уравнение: а) log2(2x—l) + log2(x+5) = log2 13; б) (0,25)""-^ = 2""+'. 3. Решите неравенство lg(x^ —xXlg(3x—3). 88 ПС—16 1. Решите уравнение: jlog2 x~\og.^ X 1 \'“82- б log3(2x-5)^ = Vjc-2 2. Решите неравенство Ig^ Ig х —2^0. 3. Решите систему уравнений у I X _\3 У 6’ х + у = 5. ПС—17 1. Найдите производную функции /(х) = е"'"Ч2\ 2. Найдите первообразную функции у = 2''-\-е~\ график которой проходит через точку М(1; 2). 3. Найдите точки максимума и минимума функции 3 1п^ X ~ 2 1п^ X у^е ПС—18 1. Найдите производную функции: а) / (х)= In (Зх—1)+log2(3x—1); б) /{х) = (х+1 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = ~, х + у = 6\ б) У = х^, У = х^^ . 3. Найдите решение дифференциального уравнения у'= —2у, удовлетворяющее условию у(\) = е'^. Вариант 6 1. Вычислите ПС—1 V^-Ve V6~-V^ +W ’ 2. Планку длиной 436 см распилили на две части так, что первая из них оказалась длиннее второй на 18%. Найдите длину каждой части. ПС—2 1. Из 25-процентного раствора поваренной соли испарилась у имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора. 2. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у — 2~\~3х и проходящей через точку М{2\ —4). 1. Упростите выражение 2. Решите уравнение 2 — Ъу 3//-f2 • ПС—3 ПС—4 1. Для функции у-Зх^ — 2х~- \ найдите множество значений переменной х, для которых у<3, у'^0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен lOx+l на множители. 3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого явля- 1 1 ются числа —7 и . 4 5 ПС—5 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а„), если известно, что ^4 = 8, ai3=—5. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 5 , 5 17 И вторым членом Й2 = "[д- с первым членом Ьх = 3. Обратите бесконечную десятичную дробь 0,4 (428571) в обыкновенную. 91 ПС—6 1. Упростите выражение: а) 2 — 2 sin^ а 1 — cos 2а Зя 4-tgactga, найдите его значение при a = -g б) sin (п — х) cos + tg 2. Докажите тождество; 1 а) 2cos^-- sin a + tg а = 1; б) I +COS а = tg а 1. Решите уравнение: а) cos Зх tg jc = 0; 2. Решите неравенство: а) cos^ x+■^>sin^ jc; ПС—7 б) 3 sin X + COS 2х— — 1, б) Ctg (х-|) >л/з. ПС—8 1. Найдите область определения функции: а) y = V^ + 2x —3 +1п(5 —jc); б) y~^j2 sin х—\\ в) w = log cos X. ^ ^Ctg дг 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) f{x) = (x^+\){x^ — x^)-, б) / (x) = cos +sin |л:1; в) /(д:) = 3л:'* sin д: cos X. 3. На рисунке 20 приведен график функции / на отрезке [— 1; 0]. Известно, что функция / нечетна и что ее период равен 2. Постройте график функции / на отрезке [—5; 5]. 92 ПС—9 Постройте схематически график функции (без помощи производной). Найдите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы; а) /(х) = -;г-^ ; б) f (х) = 3 — 2х — х^\ 2-х ’ в) /(x) = sin^r, г) f(x)= |log, ;с|. I. Найдите производную функции: у = 5х^-4х^- ПС—10 б) i/ = (x+1)-0,5^ в) у-. л: (п д: 2. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функ- 2 ции, найдите производную функции f{x)~cos 3. Найдите решение дифференциального уравнения у"--удовлетворяющее условиям ^(0) = 0, у'{0)=—2, — 9i/, ПС—11 1. Решите методом интервалов неравенство; (л:+1)(л:-ЬЗ)' ;0; б) ^0; в) {х-\-2У ^ ’ V^c + З" —5д:-1-6 2. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) <0. 4 + х^ ’ параллельной прямой 4у = х—\. 3. Материальная точка массой 2 кг движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна ji:(0 = ^'^ + cos/. Найдите действующую на нее силу в момент времени t, если X измеряется в метрах, а время t — в секундах. 1. Решите неравенство f' (х)>g' {х), где ПС—12 /(x) = x^ + x; g(x)=ln U1. 2. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции f(x)- ■2х\ Постройте ее график. 93 ПС—13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(x) = 3/-20jc^ + 4 на промежутке [— 1; 3]. 2. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкостью V. При каком радиусе основания на его изготовление уйдет наименьшее количество материала? ПС—14 1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 1 cos^ 2х -Л/2х-3 +2. 2. Для функции f {х) — л/х -\~cos2nx найдите первообразную, график которой проходит через точку М{\\ 3). 3. Вычислите: 24 dx cos б) S 3dx -2 (5 + 2^)' ' (="+7)' 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у~3х—у?, у = 0. 1. Упростите выражение log5(49'“®^4(0,(2))°). 2. Решите уравнение: а) log2(д:^ + 8) —log2(j:—l) = logo,5-^; б) 3 log2 x~\og2 X -(i) 1 \'°S2 - + '‘■5 3. Решите неравенство ПС—15 94 1. Решите уравнение: а) 5^^'^-2.5^-2 = 3; 2. Решите неравенство б) х + З = V3a:+ 1 lg(/ + 2)>lg(3x-7). 3. Решите систему уравнений I ху + х + у= — 1, 1/г/ +V= —2. ПС—16 ПС—17 1. Найдите производную функции 2. Найдите первообразную функции f(x) = ^'-^ + e\ график которой проходит через точку М{ — 1; 3). 3. Найдите точки максимума и минимума функции 3 Ig^ л + 2 Ig^ л- У=:е ^ ^ ^ . 1. Найдите производную функции; а) /(х)=1п (Зх+l) + log, (Зл:+1); ПС—18 б) f{x) = (x—\f''^+'. 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) У = ]^, x + y = S; б) г/ = х", г/ = х". 3. Найдите решение дифференциального уравнения у' = —^ у, о удовлетворяющее условию ^( —2) = e^. Вариант 7 ПС—1 1. Вычислите (4 + V^)(V^“V^) 2. В одном автопарке 250 машин, из них 24% составляют самосвалы, во втором автопарке 150 машин, из них 8% — самосвалы. Какой процент общего числа машин в обоих парках составляют самосвалы? ПС—2 1. Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5. Наибольшая сторона превосходит наименьшую на 3,6 см. Найдите периметр и площадь треугольника. 2. Решите систему неравенств { l,25jc-0,12>0,3x-f 0,07, I I —л'^0,5;^: —4. ПС—3 1. Упростите выражение 2 а^ + Ь- 3 # * 1 3 3 ' 3 Л/а^Ь/ 'л1а-\-Ь л/а-Ь^ 2. Решите уравнение у—\ у-\-2 ПС—4 1. Для функции ^ = 5/-|-2бх + 5 найдите множества значений переменной х, для которых ^^0- 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 2х^ —5х—1 на множители. 3. Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа Л/7-1 и V7 + 1. 4 Ивлев, 1] K.I 97 ПС—5 1. Найдите число членов арифметической прогрессии (а„), если известно, что d=—3, ai = 2, S„=—208. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2 и третьим членом 0,5. 3. Обратите бесконечную десятичную дробь 0,1(076923) в обыкновенную. 1. Упростите выражение: . sin 2а cos (л + а) а)---------------------; 1 +COS 2а cos (л —а) — I 2. Докажите тождество: 2 cos а cos р —cos (а + Р) ПС—6 б) cos а —2 sin За —cos 5а sin а + 2 cos За —sin 5а cos (а —р) cos (а —Р) —2 sin а sin р cos(a-{-p) б) in (y + 2a) + C0S ^^+2а) cos а + sin За (sin (л + а) + cos (л — а)) — — I. 1. Решите уравнение: а) sin Зх ctg л:=0; б) sin 4х- 2. Решите неравенство: а) — sin 3xsin 4x-|--^ 2х ПС—11 ' (х + 4)2 ^ х+1 х+3 4 ‘ 2. Запишите уравнение касательной к графику функции /(х) = 2л^-2хН5, параллельной прямой ^ = 3—Юл:. 3. Материальная точка массой 1 кг движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна х{1) — 2^^ — — In \ t\. Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если X измеряется в метрах, г t — в секундах. 99 ПС—12 1. Постройте график функции / (jc) = max (z^ — Зг) на отрезке с концами О и х. 2. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции / (jc) = 3x^ — 1. Постройте график. ПС—13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (—2; 1). 2, В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса совпадает с центром полушара. При каком радиусе основания этот конус будет иметь наибольший объем? ПС—14 1. Докажите, что функция F (х)= х—\п является первооб- X_3 разной для функции /(х)— ^ на промежутке (0; оо). 2. Найдите общий вид первообразных для функции f {х)=Х^ — Зх^ 1 {Х + 2У 3. Вычислите: а) ^ ^cossindx; 6)^x^^Jxdx. л о "б 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = 4 + Зх —х^, у = х-\-\. 100 1. Упростите выражение .logg 36 2. Решите уравнение: а) lg^(2x—l) = lg(x —0,5)+lg 2; 3. Решите неравенство б) 5 log| ДГ—logj / ПС—15 J_ ' 25 ПС—16 1. Решите уравнение: а) 2-^+‘+0,5"-‘ = 5; б) V3x + 4 +Л]х-4 =2 д/^. 2. Решите неравенство logg(л^ —4х + 3)<С I. 3. Решите систему уравнений I {х—у)ху = 30, \(х+у) ху=120. ПС—17 1. Найдите производную функции [ (x) = sin пользуясь тождеством sm jc =e (при sinx>>0). 2. Найдите общий вид первообразных для функции f{x) = {2x-l)e^-\ 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции / (х) = е"~ JC— 1 и докажите неравенство в">>х+1 при ПС—18 1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=^(x-\)x^ + e^^+-^. 2. Постройте график функции: а) fix) = 2'°^^"- б) f(x) = 2'^\ 3. Запишите общий вид решений дифференциального урав- у'= -^У- нения 101 Вариант 8 ПС—1 1. Вычислите л/з-л/5 (3+v^)(VT^-V^)- 2. В первой стопке 150 тетрадей, из них 32% составляют тетради в клетку, во второй стопке 210 тетрадей, из них 20% составляют тетради в клетку. Какой процент составляют тетради в клетку от общего числа тетрадей? ПС—2 1. Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5. Наибольшая сторона меньше суммы двух других на 2,4 см. Найдите периметр и площадь треугольника. 2. Решите систему неравенств ( 3,4х—(л: + 0,6)<0,6л:, 1 16,5 + 2,5 (2х~2,4)> 1,5л;. 1. Упростите выражение ( Ь^-2а- 2а 2а + \^ 2. Решите уравнение 2 —у у^—\ у-\- \ ' ПС—3 2а-Ь^ 2а + 6 2 . 1 S) ПС—4 1. Для функции г/ = 6л:^ + 37х+6 найдите множества значений переменной х, для которых i/^0, ^^0. 2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен Зл:^ — 4х — 2 на множители. 3. Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа V6-2 и л/б+2. 103 ПС—5 1. Найдите число членов арифметической прогрессии (а„), если известно, что ai = 48, ^2 = 44, 5^ = 300. 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (Ь„), если известно, что 6, = —9, &5=—-i. 3. Обратите бесконечную десятичную дробь 0,2(153846) в обыкновенную. I. Упростите выражение: а) sin (п —а) (cos а — sin а)-|- 1 I +ctg а б) sin^a —y^cosa — sin^(n — а) s^n^ а-со5^(л —a)cos^ + 2. Докажите тождество: , 2 sin 4а (I — 2а) . ^ а) ^ -...—^ — sin 8а; l+ctg^ cos 2д;-|-5 cos 3vC-f-cos 4;f , ^ б) = ctg Зх. sin 2jc-j-5 sin Зх-j-sin 4x ПС—6 1. Решите уравнение; . cos 2д:— sin Ах ^ а) ------------= 0; sin 2х— I 2. Решите неравенство: а) cos^ л: —-“<51п^(я + ;с); ПС—7 б) л/З sin 2х — 6 cos^x= —3. б) ctg Ы) 3 ‘ 104 1. Найдите область определения функции: а) {/ = ‘\/Зх^ + 2х— 1 ПС—8 1 lg(2 —д:)—I б) y=^J Sin^ X- I в) i/=log^COS X. 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) f(x)=^(x^ + x)(x^ — x^)\ в) /(•«) = v?^. б) fix)-- cos 3, Найдите наименьший положительный период функции: а) /(j:) = sin —у^; б) /(x) = cos |х|; в) /(х)= |ctg х|. ПС—9 1. Функция / является нечетной, периодической с периодом 4, убывающей на отрезке [0; 1], возрастающей на промежутке [I; 2), не определена в точке 2 (причем f (х) стремится к 1 при х, стремящемся к 2), непрерывна на промежутке [0; 2), /(1) = = — 1. Изобразите схематически график этой функции на промежутке [— 8; 8]. 2. Постройте схематически график функции (без помощи производной), а также найдите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы: а)/(-^) = 7^; б) /(х) = х‘' —8л:^+16; в) / = ^ clg^ х. 1. Найдите производную функции: а) у = (л13х^ — 5х^)Л]х— 1 ; б) в) r/ = sin 3x + cos|- —ctg^|-. ПС—10 у- In X 2. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производную функции /(x) = (3jc^-2x'^)*'^ 3. Запишите решение дифференциального уравнения у" = I = —уг/, удовлетворяющее условиям i/(0) = 3, ^'(0)--1. 105 ПС—11 1. Решите методом интервалов неравенство: (л:+l)(x + 2)^(д: + 3)^ а) > X 2х = 0; б) Л[х+Т (x-3f :0; ' \-х 3-л: ' 4 ■ 2. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) = {x—\f{x — 3f, параллельной прямой у = 5 — 24х. 3. Материальная точка массой 5 кг движется по прямой так, что ее координата в момент / равна х(/) = /'^ — In \2t\-\-t. Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если х измеряется в метрах, а / — в секундах. ПС—12 I. Постройте график функции / (х)= max (г^ — Зг). \х: х+\] 2. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции /(х)=10/- 12/- 15х" + 20/. Постройте ее график. ПС—13 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(х) = 4х^— 15х^ — 3 на промежутке (— 1; 1). 2. В полушар радиуса 4 вписан цилиндр так, что плоскость основания цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар. Найдите высоту цилиндра, зная, что его объем наибольший. 106 ПС—14 1. Докажите, что функция F {х) = х-\-\п х^ является первооб- разной для функции f{x)-- х-\-3 на промежутке (0; оо). 2. Найдите обший вид первообразных для функции f{x) = x^-sin{2x+l] 3. Вычислите: (2х + ‘ ‘М б)^хЛ/хс1х. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями i/=—х^ + 4, y = jF — 2x. ■). 1. Упростите выражение 2. Решите уравнение: а) log^2 + log2X = 3|; б) б' 3. Решите неравенство 4-u-5|^0,125. 49 ПС—15 logs logo X =V5r ПС—16 1. Решите уравнение: а) 5"-0,2"-‘ = 4; б) V-^+ 1 +Л1^х+ 13 =Д/Зл:+ 12 . 2. Решите неравенство 1о&о.з(->^ —5-« + 7)>0. 3. Решите систему уравнений I (х — у)х!^у‘^ = А, l(x + г/)x^y^=12. 107 ПС—17 1. Найдите производную функции / (x) = cos х"'" ^ пользуясь тождеством cos х =е (при cosx>0). 2. Найдите общий вид первообразных для функции 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции /(х) = 2"-х1п2—1 и докажите неравенство 2"^>х1п 2-1-1 при х>>0. ПС—18 1. Найдите общий вид первообразных для функции /(л:) = (х+1)х^'^ + е“'^" + 4- 2. Постройте график функции: а) /(x)=log| х; б) f(x) = 2 llog^ ^1 + 1 3. Запишите общий вид решений дифференциального уравнения У' Вариант 9 ПС—1 1. Проверьте равенство 2. Хозяйка налила в дырявый бидон керосин. Сколько керосина (в процентах) вылилось из бидона за 1 ч, если через 3 ч в нем осталось на 19% меньше того количества керосина, которое в нем было через 1 ч после наполнения? 3. Упростите выражение и вычислите его значение при х = 5: ПС—2 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 5, 12, 13. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 6,5 см. 2. Решите систему неравенств J л^ + л:-—1^ — 1—4х — <6. I 1. Упростите выражение ПС—3 11 а^с‘^ —4Ь 2. Решите уравнение 2-у^ y'+i ПС—4 1. Разложите (если это возможно) многочлен — lOjt^ + 3 на множители. 2. При каких значениях параметра Ь (ЬфО) оба корня квадратного уравнения 2Ь^;^ — Ьх—\—0 по модулю меньше 1? 3. Найдите сумму четвертых степеней корней уравнения + 1 =0. 109 ПС—5 1. Сумма третьего и девятого членов арифметической про- 135 грессии равна 6, а их произведение равно • Найдите сумму первых 15 членов этой прогрессии, 2. Найдите сумму 1 + 11 + 111+-..+ 111...11. 1991 раз 3. Найдите сумму 1 +2.2‘ + 3-2^ + 4.2^ + „. + р-2^-\ 1. Упростите выражение: а) 2 (sin^ а + sin^ а cos^ a + cos^ af — sin® a —cos® a; Л 2n Зл 4л 5л 6л 7л б) COS тт cos cos — cos — cos — cos 'TF cos — . 15 15 15 lo 15 15 15 2. Докажите тождество 3 — 4 cos 2a -h cos 4a , л ---------------= tg a. 3 + 4 cos 2a + cos 4a 3. Известно, что a + p-|-V = J^- Докажите, что tga + tg p + tg v = tgatg p tg Y- ПС—6 1, Решите уравнение; ПС—7 a) (sin cos x) sin 4x = 2; 6) cos cos ^ cos^ = ~ . 2. Решите неравенство: a) 2 tg 2x^3 tg jc; 6) sin cos {nx)y. w 2 1. Найдите область определения функции: ПС—8 а) Y^6 sin^ х + 5 sin а:—1 ; б) i/ = log2 log4 loggx; в) ^ = log^.^_ ^cos 2х 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) /(a:) = cos^ x—ig х\ б) /(л:) = 1п (x + ^Jx^— 1 ); в) /(J^) = tgctgx —ctgtgx. 3. Известно, что функция / нечетна и возрастает на промежутке [0; сю). Решите неравенство 110 ПС—9 1. По данному графику функции f (рис. 21) постройте графики функций: а) y = f{x)-\-2\ б) y = f{x—\)\ в) ^ = /(Зх— 1) + 2; y=\f{x)\\ л) y = f{\x\); е) У= 1/( — UDI. 2. Постройте график функции: — 1)_ а) у = Г б) i/ = logui 2; в) i/ = | sin 1^1; г) ^ = arcsin (sin x). -J -2 Рис. 21 1. Найдите производную функции: а) /(x) = j:^sin^ в точке О (если /(0) = 0); б) y = \g{x^ + 2x-'f- в) у = (^у. 2. По эскизу графика функции /, изображенному на рисунке 22, постройте эскиз графика 3. Пусть и у2 — два решения дифференциального уравнения у"=—2у. Докажите, что функция 3^1+-^^2 также является решением этого дифференциального уравнения. ПС—10 )' J 7^ -2 Рис. 22 1. Решите методом интервалов неравенство: а) х^-|-Зл^-|-2л:^ + За:+1 <0; б) 4х^-\2хЛ]1-х <27 (1 — х); tg^x-3 ПС—11 в) ->0. tg J^(I—tg^ j:)' 2. Запишите уравнения касательных к графику функции f (^х) = х^ — 2х-\-2, проходящих через точку Af (4; 1). m ПС—12 1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремумов функции 2. Постройте график функции 1 1 fix) JC+1 jc-r предварительно исследовав ее с помощью производной. Запишите уравнение касательной к графику в точке с абциссой Хо=—2. ПС—13 1. в каких пределах изменяются значения функции f (x) = cos cos 2х, если xG[0; я]? 2. Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверхность. ПС—14 1. Найдите первообразную для функции f {х) = е'' sin х, пользуясь формулами производных функций f{x) = e^s\nx и h {х) = е'^ cos X. 2. Вычислите интеграл: 14 3 ----- п а) ^ xcos2x dx. — 2 —п 3. Докажите, что для четной функции / справедливо равенство ^ f (х) dx=^f (х) dx. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями = // = 4х —4, х = 0. 112 ПС—15 ‘ogfc 'ogft N log* a 1. Упростите выражение a 2. Решите уравнение: а) logio Jf+logYJ3-J:+log б) 3'"+ 10g2 -^= 10. 3. Решите неравенство 3 x+... + logio^ х = 5,5; Vio vio -2. ПС—16 1. Решите уравнение: а) 2 lg(lgA:) = lg(3 —2 Igx); б) Ух + 7 —^х + З =0. 2. Решите неравенство ^2\logQ25 (х^ -5дг + 8) 3. Решите систему <2,5. +V-^i/ + 21 —13, л/х+у +Уху + 21 =5, ху>0. ПС—17 1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция 1/ — V. 2. Выведите формулу производной функции f(x) = g(xf^'‘\ пользуясь равенством g (х) = е‘'' ^ 3. Докажите, что первообразная для функции / (х) = Р4(х) е\ где Р4(х)— многочлен степени не выше 4, можно найти по формуле f(jc) = e^(P^(x)-P'(x) + P:(x)-P;"(x) + Pr(x)). ПС—18 1. Докажите неравенство 1п(14-^)<^ при х>0, предварительно исследовав функцию /(л:) = л:—1п (1 +х). 2. Найдите первообразную для функции / (jc)== ^ ~\-х^ на промежутке (0; оо), предварительно выяснив, для какой функции является первообразной функция (х)=\г\^ х, 3. Тело проходит 45 м за 3 с, а 90 м за 6 с. Найдите зависимость координаты от времени, если известно, что скорость тела пропорциональна координате. пз Вариант 10 ПС—1 1. Проверьте равенство Л|& + 2Л|\0 + 2^^5 -Д/8-2Д/ю + 2'^ =У20-4Д/5 . 2. Из сосуда испарялась вода. Сколько воды (в процентах) испаряется из сосуда в день, если через 4 дня в нем оставалось на 48,8% меньше того количества, которое в нем было через день? 3. Упростите выражение и найдите его значение при /=5,2: /2-/-6-(/ + 3) ПС—2 1. Синусы углов треугольника пропорциональны числам 12, 35, 37. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 18,5 см. 2. Решите систему неравенств + 1 > —2 — 9х — 2х^, \ |х|<4. 1. Упростите выражение 1 1 1 ' 1 * (сЧЗ)(а'з+д/б') (с^-3){а^+-\[Ь) 2. Решите уравнение 1.2 2 1 ПС—3 ПС—4 1. Разложите (если это возможно) многочлен 2х^-\-5х^~{~2 на множители. 2. При каких значениях параметра Ь (ЬФО) оба корня квадратного уравнения 26V-6jc-3 = 0 по модулю не превосходят 1? 3. Найдите сумму четвертых степеней корней уравнения /-2jc-2 = 0. 115 ПС—5 1. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найдите первый член и разность прогрессии. 2. Найдите сумму 3+33+...+333...33. 3. Найдите сумму 1992 раза 2 . /I V-1 1. Упростите выражение а) cos а coscos-^ ... cosk^Z\ —sin 47® —sin 61®-l-sin ll® + sin 25° б) ---------------------------- . ' cos 7® 2. Докажите тождество ПС—6 cosec а + cosec 2а + cosec 4а +... + cosec 2"а = ctgy — ctg 2"а. 3. Известно, что 3 sin р = sin (2а + Р). Докажите, что tg(a + P) = 2 tg а. 1. Решите уравнение ПС—7 а) д/^ (sin JC+ cos Jc) = tg x+ctg x; б) 2 sin 7x + V^ cos 3x + sin 3x = 0. 2. Решите неравенство: _________ a) cos X—sin X—cos2x>0; 6) ^jb — 2 sin x ^6 sin x—1. ПС—8 1. Найдите область определения функции: а) у~у8 cos^ X —6 cos х + 1 ; б) ^ = logj log, log, х; ~2 J J в) w = log sin 2x. cos X 2. Исследуйте функцию на четность и нечетность: а) /(x) = tg^ X —sin х^; б) /(х) = 1п X— 1 7+Т в) /(x) = sin cos X —cos sin X. 3. Известно, что функция / четна, убывает и положительна на промежутке [0; оо). Решите неравенство |/(х)| —1. 118 1. Упростите выражение ПС—15 logo X 2 ’ — л: 2. Решите уравнение: - к! _ 1 ■V log, 2 а) 2" 2Д^ 3. Решите неравенство (х>1). (U+1I4-U—И); б) 2^ + logзЛ: = 9. log 2 sin х>1. 1. Решите уравнение: а) 2 Iog5(lgx)=log5(10 —9 IgA:); б) л/3х^-2х+ 15 +л13х^-2х + 8 =7. 2. Решите неравенство sin 2х 0,5^ <0,5 3. Решите систему 2х дДНЙГ+д/! V 2х ~ V ^х-2у х^-18 = 2//(4^-9). <од = 2, ПС—16 ПС—17 1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция у = 2. Докажите неравенство 1 —х при ;О>0, предваритель- но исследовав функцию f {х) = е~^~\- х—1. 3. Докажите, что первообразную для функции f(x) = = Рз(л:)е“\ где Рз(л:)—многочлен степени не выше 3, можно найти по формуле Р{х) = е-Ч^РАх)~Р'Ах)-Рих)~РПх)У ПС—18 1. Выведите формулу для производной функции f(x) = = logg(_,)/z(j:), пользуясь формулой перехода к натуральным логарифмам. i 2. Найдите область значений функции у = х'' (х>0). 3. Тело проходит 15 м за 5 с, а 60 м за 10 с. Найдите зависимость пути от времени, если известно, что скорость тела пролор-циональна пройденному пути. 119 ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 1 Вариант 1 1. Докажите, что функция F(jc) = ^—- есть первообразная i5 X ДЛЯ функции /{х)==^ на промежутке (0; оо). 2. Для функции / (х) = 4 sin X найдите; а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку А (^J-, оу 3. Вычислите VT dx. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) г/ = 0,5лг^, (/ — 0, х=3; б) у — 0,5х^, ^ = 0,5, х = 2. 5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = 2sinjc, у=—sin л:, о Вариант 2 4 1 1. Докажите, что функция F{x) =--— есть первообразная X о 4 для функции /(х)=—^ на промежутке (0; оо). 2. Для функции / (х) = 8 cos х найдите: а) множество всех первообразных; 6) первообразную, график которой проходит через точку А (я; 0). 9 3. Вычислите \—^dx. J V? 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) ^==2а^, у = 0, х = 2\ б) £/ = 2лг^, у = 2, х = 2. 5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 2л X* ^ = sinx, —2sinx, Вариант 3 X 3 1. Докажите, что функция первообразная 1 3 для функции f (x) = -~F-^ на промежутке (—оэ; 0). 121 2. Для функции /(A:) = 2sin3x найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку М ; 0^. 3. Вычислите VT dx. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) j/= —/ + 4, г/ = 0; б) г/= — х^ + 4, г/ = 3. 5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^/ = 2cos^-|+^ ^ = 0, х = 0, х=п. Вариант 4 1. Докажите, что функция f (л:) = —+ — есть первообразная О X 1 4 ДЛЯ функции f{x) — — — — на промежутке (—оо; 0). 2. Для функции / (х)==3 cos 2л: найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит че- рез точку М i о)- 9 3. Вычислите .0.25 dx. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) г/= — + ^ = 0 ; б) г/= — д:^ + 3, г/ = 2. 5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями г/ = 2 sin^-|+1, ^ = 0, х=0, х = .т. Контрольная работа №2 Вариант 1 1. Найдите значение выражения \17-Л[Ш-\17 + лЩ. 2. Сократите дробь а — Ь 3. Решите уравнение: а) 8х'‘^~1=0; б) V^—2 ==4-л:. 123 4. Решите систему уравнений I х — у = 8, \л1х—л1у =2. 5*. Необязательное задание. Решите уравнение "\/2 — 2,5 sin X ~cos х. Вариант 2 1. Найдите значение выражения 6 ,------------------- 6 V9^^V^-V9 + V^- 2. Сократите дробь а — а^Ь 3. Решите уравнение: а) 27х^+ 1 —0; б) д/3х+ 1 =х— I. 4. Решите систему уравнений |х-^ = 21, №+V7=7. 5*. Необязательное задание. Решите уравнение Д/2 —2,5 cos X = sin X. Вариант 3 1. Найдите значение выражения Л/л/^-Уй’-Д/л^+Уй- 2. Сократите дробь а — Ь 1 I 3. Решите уравнение: ________ а) 16х"^—1=0; б) — 3^+ 2 = 2х — 2. 4. Решите систему уравнений j jc^+i/2 = 97, 1 V^=6. 5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство —х>0. Вариант 4 1. Найдите значение выражения VV^+Vn"-Vv^-A/'iT. 125 2, Сократите дробь 3. Решите уравнение: а~\-Ь j j- а) 64х^—1=0; б) Д/2^ + 5;с+4 =2х + 2. 4. Решите систему уравнений I х + ^= 13, \л[х +Л[^ = 5. 5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство л/2 —jc—jC>0. Контрольная работа №3 (на 20 минут) Вариант 1 1. Постройте график функции у = У, Как изменяется у, когда X возрастает от —1 до 3? 2. Решите уравнение: а) 8-^-2" = 4; б) 2^ + 3-2"*'‘^ = 22. 3. Решите неравенство 3^-''<243. 4*. Необязательное задание. Решите уравнение ^Isin JC— 11 _0 Вариант 2 1. Постройте график функции ^ = Как изменяется у, когда X возрастает от —1 до 3? 2. Решите уравнение: а) 27-СЗ^" = 81; б) 2.3^ + 3"-2 = 57. 3. Решите неравенство 2"'-'>8. 4*. Необязательное задание. Решите уравнение 2lcos Jf- 21 _g Вариант 3 1. Постройте график функции у = 4\ Как изменяется у, когда X возрастает от —2 до 2? 2. Решите уравнение: а) V5-5^" = ^; б) 4" —3-4"-^ = 52. О 127 3. Решите неравенство (0,3)^-^^+^<0,09. 4*. Необязательное задание. Решите уравнение Вариант 4 1. Постройте график функции У = • Как изменяется у, когда X возрастает от —2 до 2? 2. Решите уравнение: 1) д/з-3 2х б) 5"-7.5^-2 = 90. 9’ 3. Решите неравенство (1 3)/_4.+ 2^ 1,69. 4*. Необязательное задание. Решите уравнение 5'"+'^=(0,2)-^-'. Контрольная работа №4 Вариант 1 1. Постройте график функции y = \og^x. Как изменяется у, когда X возрастает от ^ до 27? о 2. Решите уравнение: а) logo,5(JC^ —Зх)= — 2; б) log2Д/Т—log2^ = 3. 3. Решите неравенство log4(-^+ 1)< —ОД 4. Решите систему уравнений I log4 ;c+log4 г/ = 1, \у — 2х=7. 5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство log2 (3-х) X ^ Вариант 2 I. Постройте график функции y — \og^ х. Как изменяется у, У когда X возрастает от \ до 27? 5 Инлен, 11 K.I 129 2. Решите уравнение: а) logo.2(-*f^ + 4Ar)= — 1; б) logglogsД/Т= — 1. 3. Решите неравенство logo,5—1)>-~2. 4. Решите систему уравнений I log3Jt+log3«/= 1, \ у — 3х = 8. 5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство »QgQ,5(^+^)^Q X Вариант 3 I. Постройте график функции y = \ogQ^x. Как изменяется у. когда X возрастает от — до 8? 2. Решите уравнение: а) log , (х^ + 6х)= —2; б) loga-^—log2 — 0-5. 3. Решите неравенство Ig^jc—IgjoO. 4. Решите систему уравнений I log2X+log2i/ = 2, \х-Ау==\Ъ. 5*. Необязательное задание. Решите методом ин-тервалов неравенство - Вариант 4 1. Постройте график функции y = \og^x. Как изменяется у, когда X возрастает от до 16? 2. Решите уравнение: а) log , (jj2 + 8j:)= —2; б) log5^+logs V^ = 2. з" 3. Решите неравенство Ig^ x+\g х<0. 4. Решите систему уравнений I logo,5-^+logo,5«/= — 1- \ х — 2у = 3. 131 5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство ]og3_(8-^Ф'(0, если /(/) = 4', ф(/) = 2'^‘. Вариант 2 1. а) Дана функция /(х) = если /(/) = 9^“', ф(0 = 2*3^ Вариант 3 1. а) Дана функция / (х) = 2''cos х. Найдите /'(х), Д(0). б) Дана функция ф (х) = 6 In х^. Найдите ф'(х), Ф^ 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е ^ у=\. х= —2. 3. Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы функцию 2 In X 133 4*. Необязательное задание. Найдите наименьшее значение функции /(х) ——(З'^ + З на отрезке [—2; 2]. In 3 Вариант 4 1. а) Дана функция / (х) —З"" sin л:. Найдите Д(х), Д(0). б) Дана функция ср (х) = 6 In Найдите ф'(х), (у)- 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 2 У- , у = 2, х = 3- 3. Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы функцию Н^)~- Ах 4*. Необязательное задание. Найдите наименьшее значение функции / (х) = —!—(2''4-2“'") на отрезке [ — 1; 11. 1п 2 Контрольная работа № 6 (на 2 урока) Вариант 1 1. Решите уравнение sin 2x + cos 2х = 0. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у^х^, г/ = 4. 3. Решите систему уравнений I ^0gAy — x)=\, [ 3'+'-2^ = 24. 4. Решите неравенство Мх + 5 j^-9 >0. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции / = sin X в точке его с абсциссой Хо = 0. Вариант 2 1. Решите уравнение sin 2х —cos 2х = 0. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = 0,5х^, ^ = 2. 135 3. Решите систему уравнений I log2(jf—г/)= 1, 4. Решите неравенство V^+6 4-х^ <0. 5. Напишите уравнение касательной к графику функции f {x) = e^~\-cos X в точке его с абсциссой лГо = 0. Вариант 3 1. Решите уравнение 1+sin л; cos jc = cos^ х. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями г/= —J^+ 1, г/= ~х+ 1. 3. Решите систему уравнений I i/) = 2, [ 2—2.5^'-'=40. 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = е''^^ — ех на отрезке [—I; I]. 5. Решите неравенство (3x2 + 4)(2sifiA:+l)>0. Вариант 4 1. Решите уравнение 1—sin х cos х—sin^ х. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= —-^4-1, у = х+\. 3. Решите систему уравнений \ зб-^.40. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями У = х^+\ и г/=—jc2-)-3. 5. Постройте график функции ^ = |2х-—4| + 2х. 6. Найдите наименьшее значение функции ^ Х-\-3 y=^~Y~ на отрезке [ — 3; 3]. 139 Вариант 3 1. Решите уравнение 3 sin 2л:—2 cos 2jc = 2. 2. Является ли число корнем уравнения 4(2 + jc)-' + (2 + Jc)'=i5? 3. Решите систему уравнений I log2(4x ——1, |92.+ 2.з2,_1 4. Решите неравенство (х + 2)-Д/9-л^ <0. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями — 0,5л^ +х-[-1,5, ^ = 0,5jc-|-0,5. 6. Число 28 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза меньше другого, а сумма квадратов всех, слагаемых была наименьшей. Вариант 4 1. Решите уравнение 2 COS^ (д-|-х)= 1 +COS + ■ Назовите два решения, большие 20я. 2. Упростите выражение а-4 Может ли его значение быть равным 1? 3. Решите систему уравнений { 3^ + 2х=\0, [ г/ —2 = logs (2х). 4. Решите неравенство Ig (2х + 0,5) 1oR2('^+1) <0. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — у = 2х, х = 2. 6. Криволинейная трапеция ограничена параболой у=^ = —1/ + 4 и осью абсцисс. Рассматривается множество прямоугольников, вписанных в эту трапецию, у которых две вершины 140 лежат на оси абсцисс, а две другие — на параболе. Какой из этих прямоугольников имеет наибольшую площадь? Вариант 5 1. Решите уравнение cos^ (^j + x^ — cos^{2n + x) = ^ 2. При каких значениях х значения выражений х~\~2 и V2x^ + 6x+l равны? 3. Исследуйте функцию у = 2х^— \,5х'^ и постройте ее график. 4. Решите неравенство lg(0,5x + 0,25) >0. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой х = 0, графиком функции у = х^-\-6х^ 10 и касательной к нему в точке с абсциссой X(j= —3. 6. Забором длиной 24 м требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей плоп^ади. Найдите размеры палисадника. Вариант 6 1. При каких значениях х график функции y = \ogj x+log7(A: + 6)— 1 пересекает ось абсцисс? 2. Решите неравенство (х —^0- 3. Является ли число д/^ KopiieM уравнения (3-JC) '-1^^±Д=-0,5? 4. Вычислите интеграл 2л 3 ^ 3 cos (^х—dx. X' 5. Исследуйте функцию у = 3х—^ и постройте ее график. 6, Для посадки ценных культур нужно выделить участок прямоугольной формы, площадь которого 5,76 га. Какие размеры должен иметь участок, чтобы затраты на постройку ограды вокруг него были наименьшими? 141 Вариант 7 1. Решите уравнение 6— 10 cos^ х + 4 cos 2jc= sin 2х. 2. Решите систему уравнений J 3"+'-27^"‘=9‘^ l2x-f/^ = 3. 3. Решите неравенство logs -S + log3 U— 1)— 1 < logs 2- 4. Найдите промежутки убывания функции У = ^-2Лрс. 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^-\-3 и у — 2х^ — х-\-\. 6. На параболе у—\—найдите точки, ближайшие к началу координат. Вариант 8 1. Найдите область определения функции I y = {b — 2xf -\-\og^{2,bx-\-x?). 2. Упростите выражение 4cos^ X— sin 2х cos (л — 2х) cos Jt —3 sin X cos лг+sin (— x) и найдите его значение при х=—. ь 3. Решите уравнение log? J: + log7 (Зд: —8) = 1+2 log? 2. 4. Решите систему неравенств I л!Ъх—\ <2, \ 2^-'-3-2^+2> -23. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции ^ = л^ —4х + 9, касательной к графику этой функции в точке с абсциссой Xq = 3 и осью ординат. 6. Перо графопостроителя вычерчивает график функции г/ = = jc —2cosjc для всех х, принадлежащих промежутку [ — л; л]. Найдите координаты точки графика, наиболее удаленной от оси абсцисс. 142 Вариант 9 1. Найдите область определения функции у- Д/4-л2 2х + 3 2. При помощи производной исследуйте на монотонность функцию «/=logo,3(6 —24 3. Вычислите (2 + 3®®)+ . 2-V3 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^ и ^ = 4 — 3jc^. 5. Найдите критические точки функции / (х) = 0,5 cos 2x-\-^j2 sin х, принадлежащие отрезку [0; я]. 6. С балкона, находящегося на высоте 25 м над поверхностью земли, бросили вертикально вверх мячик с начальной скоростью 20 м/с. Используя зависимость высоты подъема от времени, определите, на какую наибольшую высоту от поверхности земли взлетит мячик. (Считать g=10 м/с^, сопротивлением воздуха пренебречь.) Вариант 10 1. При каких значениях х значения выражений 2cosx-|-+ 4д/^ sin х + 9 и 4 cos^y + л:^ равны? 2. Вычислите (20.5 _J) l+Vs" -2 3. Решите неравенство 2 1og2(3-2x) <0. logo 2 03 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = )^ v\ ^ = 0,5jc^ + 2, 5. Найдите область определения функции -v. У- 2x-S — 6 6. Заводу поручено изготовить резервуары емкостью 4 м'^, имеющие форму правильной четырехугольной призмы и открытые сверху. При этом внутренняя поверхность должна быть покрыта оловом. Какими следует выбрать размеры резервуара, чтобы израсходовать наименьшее количество олова? (Толщиной стенок пренебречь.) 143 Вариант 11 1. Решите уравнение cos^ д: —cos 2x = sin х. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ — я; 2я|. 2. Решите неравенство logo,4(3,5 — 5х)>2 logo.4 —1. 3. Для функции /(х) —4 sin 2х-|-х“^ найдите первообразную, график которой проходит через точку 44^-^; 4. Решите уравнение VU-3)(2x + 7) + 3 = х. 5. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = ^ = 0, х = а, равна 9? 6. Какой наибольший объем может иметь конус, образующая которого равна 2\[Ъ дм? Вариант 12 1. Решите неравенство l+2 1og2 0,3; 2. Решите систему уравнений х + У=~2^ ■log2(l,5x —3). sin x+sin у= —Л/2 и запишите какие-либо три решения этой системы. 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^=—х^~2х+8 и у = 5. 4. Решите уравнение л1(х—2) (2х + 5) 4-2 = X. 5. В какой точке кривой у = е^''— \ касательная параллельна прямой ^ = 3х —5? 6. Какой наибольший объем может иметь цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 5л/3 дм? Вариант 13 1. Решите уравнение 2 tg x + 3 = tg (1,5я + х). Является ли число 0,75я корнем этого уравнения? 2. Решите уравнение log,(Л/59-IOjc -l) = 0,5 + log4(;c-4). 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — Ъ — у^ и ^ = х + 3. 144 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x} = —-— в точке (4; 0). Напишите уравнение этой касательной. 5. Постройте график функции ^ = 1п VT . (Описание всех свойств не требуется.) 6. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна 6 дм^. Найдите наибольший объем этой призмы, зная, что сторона ее основания может принимать любые значения, принадлежащие промежутку (0,5; л/^). Вариант 14 1. Решите неравенство In (2х —3) <С 1п (х + 1). 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями —х^-|-2х-4-3 и у = 3~х. 3. Решите уравнение ^1 — cos +sin х)= 1,5 sin (х — 9л). Является ли число 7д корнем этого уравнения? 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной 6х-\-1 5jc^ К графику функции f{x) =----^— в точке Л4 (2; 6). Напишите уравнение этой касательной. 5. Решите неравенство 4"^—16>6-2'^. 6. Объем правильной четырехугольной призмы равен 8 дм^. Найдите наименьшую полную поверхность этой призмы, зная, что сторона ее основания может принимать любые значения, принадлежащие промежутку (1; 4). Вариант 15 1. Решите неравенство 2. Упростите выражение 2ctg(y-2a) + - 8Г 2 sin (л — а) ,in (y + q) -hlg а sin (—а) Найдите его значение при а = 12 145 3. Фигура, ограниченная линиями у— —^ = 0, х= —2, делится прямой х = а на две части. При каком значении а их площади равны? 4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 5. Решите систему уравнений I x+2i/= 13, \ 2 log4 д:—log4(2i/— 1) = 0,5. 6. Найдите наибольший возможный объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно см. Вариант 16 1. Упростите выражение 2 cos^ а -2 cos (1,5л — а) 1 -|-sin (л + а) Назовите два значения а, при которых данное выражение нс имеет смысла. 2. Решите неравенство 9" + 3">6. 3. Решите уравнение \ogl(2 — ^fx)=[. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями о,5x^ + 2 и ^ + х = 2. 5. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функцию ^ = 2х In X. 6. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат, причем МВ±АВС, М0 = 4Л/3 СМ. Найдите высоту пирамиды, при которой ее объем наибольший, и вычислите этот объем. Вариант 17 [. Упростите выражение cos (—2а)4 2 sin (л— 2а) ctg a + ctg (f+”) Найдите его значение при а = -з-. о 2. Решите уравнение V-^~9 • \og2 (0,5х) = 0. 146 3. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функцию 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ^-\-2х~\-Ъ и у = Ъ — 2х. 5. Решите систему уравнений 2х — у— 19, log9(2x— 1) —2 log9^= —0,5. 6. Найдите наибольший возможный объем правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна 6 дм. Вариант 18 1. Решите уравнение cos^ X—0,5 sin 2л: —0. Назовите один положительный и один отрицательный корень этого уравнения. ______ 2. Решите уравнение Vl3 — л^ + 1 = 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями — 0,5лс^ + 2л: и ^ = 0,5л:. 4. Решите систему уравнений _ д0,5х 5. Решите неравенство logs (л:—1)+logs (х —3)<3. 6. При проектировании цеха по переработке плодоовощной продукции планируется строительство нескольких одинаковых холодильных камер, каждая из которых имеет форму правильной четырехугольной призмы объемом 144 м^. Для облицовки боковых стенок камеры используют материал, цена которого 15 р., а для облицовки дна —20 р. за один квадратный метр. При каких размерах холодильной камеры стоимость ее облицовки будет наименьшей? Вариант 19 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = sin X, £/=:0, х = 2. Упростите выражение 2л 0<л:< 2л 2 cos а —sin 2а sin^ а — sin а + cos^ а Укажите множество значений а, при которых значение данного выражения равно —1. <47 3. Решите уравнение 4 1п^ X— In х^~2. 4. Исследуйте функцию f{x)= —JX^ + X^ и постройте ее график. 5. К кривым ^ = 0,5je^ и у=—0,5jc^—1 проведена общая касательная под острым углом к оси абсцисс. Напишите уравнение этой касательной. 6. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 4^^ дм. При какой высоте призмы объем ее будет наибольший? Вычислите этот объем. Вариант 20 1. Найдите область определения функции f (х) = 1п — 2jc^ + Л]8 — X. 2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (/-4)(2x^-3Ui-5) = 0. 3. Решите неравенство 2 sin {2х—1 ^0. 4. Найдите первообразную для функции /(х) = 2дг + |. 5. Решите уравнение log4 (Зх—4) — log4 (5 —х^) = 0,5. 6. Сумма всех ребер правильной шестиугольной призмы равна 36 см. Найдите сторону основания призмы, при которой объем призмы наибольший. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАННОГО КОНТРОЛЯ Работа 1. Основное свойство первообразной Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Для функции f {х) нaйд^ если: f(x) = ^, F (1)=1 Г Найдите общий вид нерв f {х) — 2 sin Злг, /(х)=1 + cos 4х 1те первообразную F {х), ообразных для функций: / (jc) = 3 cos 2х, /(х)=1+—1— sin 4х -д:“^-2 — ~ cos 3jc+ с О х — ~ ctg Ах-\-С -х-‘^-\-2 2 — cos Зл:-|- С -2х“‘+3 —sin 2х-\-С x-^tg4x-\-C 2х~'-1 sin 2х+С ■^ +jC‘g4x+C Верный ответ: вариант 1—212; вариант 2—341. Работа 2. Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Вы числите; л \cosxdx-0 1 Л I Т W . 15 2 ’ 8 V^. 2 ’ 15 64 1 15 2 ’ 16 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: = 1/ = 0, х = 2 г/ = 0, г = 2 4 8 4 2 Верный ответ: вариант 1—243; вариант 2—321. Работа 3. Обобщение понятия степени :^адание Ответ Вариант 1 Вариант 2 2 3 4 Найдите значение выражения: 4 4 V6 —2 \[5 •уб + З е ь V7-4 VT • V7 + 4 Д/Т 1 -2 — 1 2 Решите уравнение: У2-\-х =х \j2-x =л: 2 1 -1 -2 Упростите выражение: V^-2 \[б -j- 2 9 —2 V5 9 + 2 Vs 9-4 Vs 9 + 4 Vs W+2 V^—2 Верный ответ: вариант 1—413; вариант 2—124. Работа 4. Показательные уравнения и неравенства Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Решите ) 9-‘.3' = 81 Решите н< Решите у 2* + 2-'+2 = 20 фавнение: 4' '•2' = 8 фавенство: равнение: 3-" + ^-3" = 24 6 (— оо; —2) -1 2 (-2; 0) 2 5 ( — 2; оо ) -2 1 (0;2) 1 Верный ответ: вариант 1 —132; вариант 2—314. Работа 5. Логарифмические уравнения и неравенства Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Решите } фавнение: •ogOD(V^~')=~'’ l0go,2(6 —V^)= — 1, 1 5 8 9 Ig'^ —lg-t = 0 lg^-f+lg-^ = 0 ]; JOO 1;0,1 1; 10 1;0,01 Решите неравенство: 10g5(—Л)<0 logo^ ( — x)<0 ( — oo ; 0 ) (0; oo ) ( —oo; —I) Верный ответ: вариант 1—432; вариант 2—124. Работа 6. Производная показательной и логарифмической функций Задание Ответ Вариант ( Вариант 2 I 2 3 4 Найдите /МО)» если: -2 — 1 1 2 Вычислите (с точностью до 0,1) пло у = е\ y = Q, шадь фигуры, ограниченной линиями: У——, у = о, и 2,8 1,2 1,7 х=0, х= 1 Найдите промежутки 2х ф(^) = — X 1, х = 3 возрастания функции: ■ 2 Верный ответ: вариант 1—342; вариант 2—413. КАРТОЧКИ-ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЗАЧЕТОВ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА Зачет № 1 по теме «Первообразная и интеграл» Карточка 1 1, Сформулируйте определение первообразной. Приведите примеры. 2, Для функции /(x) = sin х + 2 cos х найдите первообразную, график которой проходит через точку А ; 0^ 3, Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — у=\у х = 4\ б) * у= -х^ + 2, у= —X. Карточка 2 1. Докажите основное свойство первообразной. 2. Найдите общий вид первообразных для функции / (х) = 4 sin 2х —cos -^ + 1 - 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — х^, = х=1; б) * y = 3s\nx, y=~s\nx, Карточка 3 1. Докажите три правила нахождения первообразных. 2. Вычислите: 9 л ^^^dx\ б) ^ (sin X+COS dx. 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) г/ = Д г/ = Л/^; б) * у= — UI +2, у = )^. Карточка 4 1. Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции /(х)>>0, прямыми х = а, х—и отрезком |а; Ь\ оси абсцисс; S — площадь трапеции. Разъясните смысл равенства S' (х) = / (х). 2. Вычислите: ‘t 'd)\{x — 2fdx\ б) \—Т7Г^^- J J COS 1х 152 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) 1, у = х-\-Ъ\ б) * ^ = 2cos^-^+l, ^ — 0, х = 0, х = л. Карточка 5 1. Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции /(л:)>0, прямыми х = а, х = Ь и отрезком \а\ Ь\ оси абсцисс; S — площадь трапеции. Разъясните смысл равенств S {х) = F {х)~ F {а) и S = F {Ь) — F {а). 2. Докажите, что F (х) = хл[х-sin 2х + 3 есть первообразная 4 '^г- для функции f (х) = —ух — 2 QOS 2х на промежутке (0; оо), 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = cosx, // = 0, — 0,5л0,5л; б) * jc^-(-3, у = 2х. Карточка 6 1. Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Разъясните ее с м ы сл. 2. Для функции /(jc) = 6sin4x найдите первообразную, график которой проходит через точку 0^ 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) —л^ + 2х-|-3, у = 0\ б)* у = 2 sin^y-f 2, г/ = 0, о, х = Зл Зачет № 2 по теме «Обобщение понятия степени» Карточка 1 1. Сформулируйте определение корня /z-й степени из числа, определение арифметического корня. Приведите примеры. 2. Вычислите 3. Решите уравнение: а) 8х'^— 125 = 0; б) V(3x-l)(4x + 3) + l=3x; в) * \l^os х-\- 1 —2 sin X. 4. Решите систему уравнений V^ —V^ = 7, л/х -л[у = 18. 153 Карточка 2 1. Сформулируйте и докажите основные свойства арифметического корня /г-й степени. 2. Вычислите 1 ^0.2 V^-1 3. Решите уравнение: а) / = 64; б) 0,3 2 + Л/7 :8 —л:; в)* Д/З sin JC+ = 2 cos X. 4. Решите систему уравнений —=1 V^ + V^ = 4. Карточка 3 1. Разъясните понятие иррационального уравнения. Приведите примеры иррациональных уравнений, имеющих решение; примеры уравнений, не имеющих решения. 2. Вычислите: ^ ^ (^(ЗУТ) ((ЗУТ) ^+0.5). 3. Решите уравнение: а) 16х^ —81 =0; б) Д/Зх^ — 11X +10 = 8 — 2х; в) * V^in^ sin X cos^x = sin x. 4. Решите систему уравнений {X —//= 16, Л/х—^[у=2. Карточка 4 I. Расскажите о способах решения иррациональных уравнений; о решении уравнений с использованием равносильных переходов. 2. Выполните действия 2-hx 4-V^ 3. Решите уравнение (неравенство): а) х'<5; б) V^c+T + 20 = ^/7+T; в)* V3UI +3 =V^-25. 154 4. Решите систему уравнений р + / = 20, \хг/ = 8. Карточка 5 1. Сформулируйте определение степени с рациональным показателем. Запишите основные свойства степеней с рациональными показателями. Докажите одно из этих свойств. 2. Вычислите 3. Решите уравнение (неравенство): а)/>16; б) (л: + 2)д/^с^-л:-20 =6х+12; в)* Л1Ъ- ■ X -\-Л]х — 3 =2. 4, Решите систему уравнений I 10, ЬЧх^-15. Зачет № 3 по теме «Логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений» Карточка 1 1. Сформулируйте определение логарифмической функции, определение логарифма числа. Запишите основное логарифмическое тождество. 2. Найдите область определения функции / (д^) = logs ( — 0,5аг^Ч- 4,5). 3. Упростите выражение 3 log7 4+ logy 0,5 1—logy 14 4. Решите систему уравнений (2У -1^40,5.^ llog3(7x + ^) = 2. г* г» log2 cos JC-I- 1 ^ 5^. Решите неравенство -----;---->0. — JT —4 Карточка 2 1. Расскажите план построения графика логарифмической функции. Приведите пример. 2. Найдите область определения функции У l)^ 155 3. Что больше: 3'°^^ + Л/Т0 или 5'"®^^ + lgll? 4. Решите уравнение 1о^з(-«^ —3)+log3 2=log3(6x— 10). 5*. Постройте график функции г/= |log2(x— 1)1. Карточка 3 1. Расскажите свойства логарифмической функции, иллюст рируйте их на примерах. 2. Постройте график функции 3. Найдите х, если logs х —4 logs 3--^ logs 27. О 4. Решите систему уравнений I 2 sin X —3 logos ^ = 5, \ 3 sin x+logo,5^= —3,5. 5*. Решите неравенство Ig^x—lg/>3. Карточка 4 1. Докажите теорему о логарифме произведения. 2. Решите неравенство 1о&2(4 — Зх)<с4. 3. Решите уравнение 0,5 Ig л: :0,01Х^. 4. Решите систему уравнений (2l + log2(JT + ^/)_g log2(3x— 1)—logs (/ = 3. 5* Решите неравенство logo.2X+logo,2(^ —3)4- 1 >logo,2 0,8. Карточка 5 1. Докажите теоремы о логарифме частного и степени. 2. Постройте график функции ^ = logo.5 2x. 3. Решите уравнение — 3^ -(Ig 2х— 1 ) = 0. 4. Решите систему уравнений I 3^ + х=10, U —log3^ = 2- 5* Вычислите зная, что lga = 3, \gb = 2. t56 Карточка 6 1. Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому; разъясните ее роль в организации вычислений с помощью таблиц и калькулятора. 2. Решите неравенство 3. Решите уравнение lg(2x + 6)+lg5x=2. 4. Решите неравенство (х —5) log3 х^О. 5*. Что больше: log29*log9 28 или log2l6V^^ Зачет № 4 по теме «Производная и первообразная показательной, логарифмической и степенной функций» Карточка 1 1. Расскажите о числе е. Докажите правило дифференцирования функции у = е\ 2. Дана функция /{х)==—. Найдите /'(—1). 3. Вычислите г dx J 5 — Зх 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = х=1, х = 32, у = 0. 0. а) Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции /(x) = 2x^в''^‘. б)* Изобразите схематически график данной функции. Карточка 2 1. Докажите правило дифференцирования функции у = а\ Назовите первообразные функций у = е\ у = а\ 2. Вычислите производные функций f {х) = Iog3 х и ф (х) = = 3 1п2х в точке х = 0,5. 3. Найдите одну из первообразных для функции /(^) = 73Г + 7+Т- 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2\ у=\, х = 2. 5. а) Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции / (х) = 2х—2 In X. б)* Изобразите схематически график данной функции. 157 Карточка 3 1. Докажите правило дифференцирования логарифмической функции. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции /(л:) = 0,5е''“‘ в точке х^~2. 3. Решите неравенство 1п^ х+ In x>Q, 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = 7- ^ = 2, у = 2. 5. а) Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции f {х)=^2{\~\- х) е~^. б)* Изобразите схематически график данной функции. Карточка 4 1. Назовите первообразную для функции f{x) = ~. 2. Дана функция / (х) = 4^“‘cosх. Найдите /'(1). 3. Решите уравнение 0,5 In (Злг —2) = 1п (4 —х). 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ^ = у = 0, х= —1, х = 0. 5. а) Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции f (х) = 4 (\ — х) е\ б)* Изобразите схематически график данной функции. Карточка 5 1. Докажите правило дифференцирования степенной функции, назовите ее первообразную. 2. Решите неравенство г'п(4"-з)<1. 3. Решите уравнение 0,5 In j^ + 2 In Д/Т = 4, 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е~\ ^/ = 0, х= — 1, х = 2. 5. а) Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции /(х) = 0,5Т — In X. б)* Изобразите схематически график данной функции. 158 Карточка 6 1. Расскажите о дифференциальном уравнении радиоактивного распада. 2. Решите уравнение 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f{^) = 3^+3' 2-х In 3 на отрезке (0; 2]. 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 6 1 1 у = ~, у=\, х=\. 5. а) Найдите промежутки возрастания, убывания и экстре-мумы функции f{x)~—-—. б)* Изобразите схематически график данной функции. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Самостоятельные работы Вариант 1 С—1. 2. Общий вид первообразных: а)-^+0; б) —З,5х + С. С—2. 1. у-|-2-^. С—3. а) —2 cos х + 3 sin х + С; б) ^л[х + С. с—4. 1. S'{x) = 2x. 2. 1,5. С—5. а) 12; б) 1. С—6. а) s|; б) 4. С—7. 60,9 м. С—8. а) б) 2-V2- С—9. 1. а) 10,5; б) 3 V3-3. 2. 7л. С—10. 1. Нет. 2. а) 11; б) 15. 3. а) 9,1488; б) 2,7589. 4. Второе больше. С—11. 1. —Л12а^. 2. а) — Д/Тв"; б) 1. 3. а) 3; б) 2а С—12. 1. 17. 2. (8; 1). С—13. 1. а) 32; б) 27; в) 2, 2. Первое больше 1 3. «"^ + 2. С—14. 2. а) 8; б) 6. 3. (-2; оо). С—15. 1. а) 4; б) 1,5. 2. а) (1,75; оо); б) (—2; оо). С—16. 1. а) 0; б) 2 2. (-оо; -1)U(0; оо).С—17. 1. Ig7+3 1ga + |lg \Ь\. 2. а) 0,5; б) 2. 3. 3,6419. С—18. 1. Второе больше. 2. (— оо^ С—19. 1. а) 1; 2; б) 0. 2. а) (1; оо); б) (4,5; оо). С—20. 1. а) 3; б) 10; 10000000. 2. а) (0,0001; 10); б) (log47+l; оо) С—21. а) (2; 6); (6; 2); б) (-2; 1); (-log2 3; log3 4) С—22. 1. а) g(x) = l^, D{g) = E{g) = R- б) g{x)=^^Jl-^, D{g)=^E{g) = [0-, 1]. 2. я(-1)=-1; g(2) = |; g(3)=l; D{g) = [-2-, 4]; £(g) = [-2; |] (рис. 25). C—23. 1. a) -5а“®Д 6) 2"^ (1 + X In 2). 2. y =-—. 3. Убывает на ( — оо; растает на [--0,5; оо). 4. е —е. С—24. 1. а) 0,5], воз-2 б) Ах-г (2х^ —Зх+ 1) In 3 2. 1пЗ. 3. = С—25. 1. Д/З + 2х+1 ’ д/з"-1 Л/З -1 ). 2. 5,002. 3. 1 д/^ с—26. 2. /(х) = 3е^\ 3. — 4х Вариант 2 С—1. 2. Общий вид первообразных: а) —f+C’ б) б,4х + С. О с—2. 160 Ij. С—3. а) —3 cos X —2 sin х +С; б) 8^J~x — ■^х^+С. С—4.1. S'(x) = 3jc. 2. 1,5. С—5. а) 4; б) 1. С—6. а) 20; 4. 2. ^ п. С—10. 1. Да. 2. а) 7; б) 15. 3. а) 5,4222; б) 3,2075. 4. Пер- вое больше. С—11. 1. 2. а) —д/Й”; б) 4^ = 4096. 3. а) 4; б) -2а. С—12. 1. 8. 2. (64; 1). С—13. 1. а) б) 64; в) 4. 2. Первое. 1 3. 2у^+1. с —14. 2. а) 81; б) 8. 3. (— оо; 1). С —15. 1. а) 1,5; б) -i. 2. а) (-оо; 4,5); б) (-oo;-2J. С—16. 1. а) 1; б) 4. 2. [ — 2; оо). С—17. 1. 4 + 6 logs \а \ +0,6 logs Ь. 2. а) 0,5; б) 2. 3. 3,0600. С—18. 1. Первое больше. 2. (0,5; оо). С—19, 1. а) —1; 5; б) ф. 2. а) ф; б) (-2,5; 1,5). С—20. 1. а) 4; б) 100; V10 000 000 . 2. а) (0; оо); б) [0; logs 2]. С—21. а) (2; 4); (4; 2); б) 4. С—7. 22,8 м. С—8. а) б) л/2-\.С—9. 1. а) 6,2; б) 1. б) (1; —1); (logjS; —logs 2). С—22. 1. а) g(jf) = 3-л: , Dig): = E(g)=:R; б) g(;c) = V?+T, D(g) = [0; оо), £(g) = [2; оо). 2. g(-2) = 2; g(l)=-l,5; D(g) = [-3; 2); £(g) = [-3; 3] (рис. 26). C—23. 1. a) -0,3e~°’^E 6) 3^(l+xln3). 2. y = - + - 3. Возрастает на oo;.ij, убывает на j^-^; oo^. 4. — 2 —4 e —e . Зд:-4’ ■Ж-1. C—24. 1. a) C—25. 1. V^( = 5e'". 3. x"== -0,25x. 6 Ивлев, 11 k;i. 6) —-----------. 2. In 2. 3. x„H=+- (3x“-2;t+5) In 2 ™ 3, ^_V^-i) 2. 2,0025. 3. v^- -. C—26. 2. f{x) = 161 Вариант 3 С—1. 2, а) Является; б) не является. С—2. 2. F {х)=—cosx—1. с—3. 1. F(x) = (x-\f. 2. V2^+l +4 cos 1+С. С—4. 1. S(x) = = 1,5jc^ + x-2,5. 2. 4. С—5. а) 10; б) 3; в) 6Д/^. С—6. а) 2|; б) 4. С—7. а) 5=1,5; б) 1,45; 0,05; в) 5„ = ^(3-|), lim 5„=1,5. С—8. а) 7,5; б) 4,5. С—9. 1. а) 24,2; б) 8Д/^. 2. 0,5л. /1 -*• оо С—10. 1. а) -2; б) 0. 2. а) -1; 1; б) -0,2. С—11. 1. 2. 2. 2-Д/5~. 3.(-оо; -2)U(2; оо). С—12. 1. -7; 2. 2. (4; 9), (9; 4). С—13. 1. Первое. 2. 43. 3. —Л[х, С—14. а) ( — 1; оо); ( — 1; 2); б) max у~ 1-2; 41 = ^/ (4) — 15, min ^ = ^ (0). С—15. 1. а) — 1,5; б) 2. 2. ( — оо; 0): 1-2; 41 б) (-оо; -3)U(3; оо).С—16. 1. (-оо; -l,5)U(-0,5; оо). 2. а) 2 б) 2. С—17. 1. 2. 2. 21. 3. lgx=-^-ilga. С—18. а) (0,5; 8) б) min f/ = ^(2) = 0, max (0,5) —^ (8)=2. С—19. I. а) 16 [0.5; 8] [0.5; 8[ б) 100; 0,01. 2. а)(0; 1); б)(-1; 1). С—20. 1. 3. 2. а)(0; 0,1]U[10; оо) б) [2; 9]. С—21. а) (27; 9); б) (0; 3). С—22. а) Обратная функция у=—Зл:+6; б) обратная функция y~^jx-\-1 . С—23. 1. -e-2"(2cos3x + 3sin3A:); -2. 2. ^^^я^24,3. 3. е^-3«4,4. 3 In 3 10 С—24. 1. —; 6. 2. Возрастает на (0; 1], убывает на [1; оо). 3.4 In 4-3^2,55. С—25. 1. 11,25. 2. у = 2х+Ъ. С—26. 2. у = Се -2х А~2х у = е Вариант 4 С—1. 2. а) Является; б) не является, С—2. 2. f(x) = sinx+I. с—3. \.F{x) = (x + 2f. 2.|a/3jc-1 +2 sin 4 +С. С —4. 1.5(x)= О ^ 4V3 с—6. а) 5~\ = 0,25х^+х. 2. 4. С—5. а) 16; б) 42; в) б) 4. С—7. а) 5 = 0,75; б) 0,725; 0,025; в) 5„ = |(3--^), lim 5„ = 0,75. С—8. а) 4,5; б) 10С—9. 1. а) 12,2; б) 8. л оо 2. -Ц-л. С—10. 1. а) 2\Тб’-3; б) 2а. 2. а) -1; 1; б) ^ С—11. 1. 4. 2. 3+W . 3. (-1; 1). С—12. 1. 2; -12. 2. (1; 9), (9; 1). С—13. 1. Числа равны. 2. 18. 3. л[а — д/^. С—14. а) ( — 1; схэ); ( — 1; 1); б) max ^ = ^(2) = 8, min ^ = ^(0)—0. С—15. 1. а) — 1 1-2:2] б) 0,25. 2. а) -2: 2] 3’ оо; -1); б) (-3; 3). С—16. 1. (-0,5; 2,5). 162 2. а) 3; б) 3. С—17. 1. 3. 2. 30. 3. |g х= —1,5-^ Ig а. С—18. а) (1,5; 5); б) max у — у{^) — Ъ, min ^ —^(2) = 0. [1.5: 9] 9] С—19. 1. а) 8; б) 1000; 0,001. 2. а) (0; 2); б) (—1; 1). С—20. 1. 1; 2. 2. а) [0,2; 5J; б) [1; 4]. С—21. а) (64; 16); б) (3; 1). С—22. а) 06- ратная функция у=—2х-\-А\ б) обратная функция ^ = Vx+2. 24,8 ^ о .2 С—23. 1. е — sin 2jc-|-2 cos 2х). 2 1 In 5 15,4. 3. е"-3«4,4. С—24. 1. . 2. Убывает на (0; 1], возрастает на [1; оо). 3. 2 1п4-1,5«1,27. С—25. 1. 22,5. 2. г/= —Зх+4. С—2%.2.у = Се ‘ — 4дг _5 —4jr Вариант 5 С—1. 2. а) Да; б) нет. С—2. 1. 1+х —у. 2. а) -~(7х-|- + 1)Л/7хТГ+С; б) cos 3jc —tg лг+С. С—3. а) —cos-^ — -sin| + C; б)1 + ^+^ + С. С—4. а) 1 б) 1. С—5. а)4|; б) 0; в) 28. С—6. а) 1 б) ЗУ^. С—7. 32. С—8. 1. л. 2. 0,4 + -. С—9. 1. а) 8л; б) 25,6л. 2. Т Дж. С—10. 1. Нет. П О 2. а) 2; б) 2у 3. а) 2,2057; б) 2,6741. 4. Первое больше. С—11. 1. —аЛ/2. 2. а) б) 1. 3. а) 3; б) 2а при а^О; о при а<0. С—12. 1. —3; 4. 2. (64; 1). С—13. 1. а) 0,5; б) о 2. Числа равны. 3. 4. С—14. 2. а) 25; б) 3. D{y) — \2\ оо), ^(i/) = [0j С—15. 1. а) 4; б) —1. 2. а) (—оо; 0); б) (—1; 1). [Т С—16. 1. а) =ьд/^; б) -2; —1. 2. (—2; оо). С—17. 1. а) 4; б) 9. 2. 1,5 —2 1og2 3 + log2a + -j^log2 6 + ilog2C —j-logjJf — — 2 logs \у\, 3. а) Равны; б) первое больше. С—18. 1. а) Минус; б) плюс. 2. (-оо; -У1^)и(-лТ0; -3)U(3; ^Д0)\j{^Д0■ оо). С—19. 1. а) -1; 6; б) 3,5. 2. а) з); б) (1; оо). С—20. 1. а) |; 27 V^; б) 10; 100 УЮОО. 2. а) (0; 0,l)U(Vi^: оо ); б) (log7 5; оо ). с—21. а) (3; 5); (5; 3); б) (2лк; лл); (|- +лй;( - 1 )"|- +лл) , k^Z, neZ. С—22. 1. a)g(x) = ^, D(g) = (-oo; -1)U(-I; оо), f(£) = (—оо; 1)U(1; оо); б) g(x)= —л/з —D(g) = [0; V^], 163 E{g) = [-\l3- Oj. 2. g(-2)=3; g(0) = 0; gr(i)=_2; D {g) = = (-3; -1.5JUI-1; 2]; £(g) = [-4; 4] (рис. 27). C—23. Ш2х -*-0 5 . 2. y~ —JC +2. 3. Убывает на 7 1 ( —oo; 0], возрастает на [0; oo). 4. —. С—24, 1. a) ---------- D X о 6)—2-^A/^ *----- 2. y = — ---[-2----!— . 3. Убывает на (0; In 3{JC^ A/j^-2x) . 4ln2 ' 4 In 2 возрастает на [с”®"'’; oo). С—25. 1. — 2x^1 2. 0,004. у' 3. 27,4167. С—26. 1. y'=-2,y. 2. /(x) = 2^" 3. A cos ^ + ф^. Вариант 6 С—1. 2. a) Да; б) нет. С—2. 1. х—2х"’+12. 2. а) -^(бх —2)Х ^ I ■COS - + ХЛ1^х~2 + С; б) — sin Зх—ctg х+С. С—3. а) + sin| + C; б) -i-A_ 2 4.С. С—4. а) б) 1. С—5. а) 2; б) 1; в) С—6. а) О 4V2 sin nt l-i; б) 8-3Д/З. С—7. |/л/7 + -3. С—8. 1. а/З —1. 2. —13. С—9. 1. а) 6,4п; б) 8л. 2. 0,02 Дж. С—10. 1. Да. 2. а) 1; б) 6,2. 3. а) 2,7320; б) 2,7583. 4. Второе больше. С—11. 1. —2. а) —V^’ ^) 625. 3. а) 4; б) 2а при а^О; 0 при а<0. С—12. 1. 4 ДТ. 2. (64; 1); (1; 64). С—13. 1. а) 6; б) 5. 2. Первое больше. 3. 2. С—14. 2. а) 3; б) 1 3. Д(^) = [2; ОО), £(1/) = [0; оо). С—15. 1. а) 0; б) |. 2. а) I — 1; 00 ); б) ( — оо; [2 -4)U(4; оо). С—16. 1. а) ± -Л/з’ 3-logs3 + + 2log5 |al+i logs& + I logs х--^ logs г/ —Slogs Z. 3. a) Равны; 6) второе больше. С—18. 1. а) Плюс; б) плюс. 2. (— оо; — V^)U U(-V^; -2)U(2; V5)U(VS; oo). 3. График получается из графи-1^3 ^ = lgx симметрией относительно оси Оу. С—19. 1. а) —1; 4; б) 0. 2. а) |0,5;2д/4]; б) (-1;^0)U(0; ОО). с—20. 1. а) 2; б) 10; 0,1 V^. 2. а) (0; 10' -^’^)U(10' + ^^; оо); б) (log,5 2; оо). 2 V? С—21. а) (3; 6); (6; 3); б) ^|--4-лй; —-^-)-2лпу, ^±у + 2л^; лл^. 164 с—23. 1. а) б) — 5 In 14-14°--''^ 2. у = х+2. 3. Убывает на ( —оо; —2], возрастает на |--л: ■■■' „ 2 б) Зг^ + г“'-5 (л^-2л:'°'") In 4 2. У-- 3 In 3 -2; оо). 4. 2б|-. С—24. 1. а) О Убывает на 3 1п 3 — 1; — 1 + л1\^|, возрастает на [ — 1 оо ). с—25. l.V^. Ж-i. 2. 0,0006. 3. e+i 10,8097. С—26. 1. у'=-0Ау. 2. f(x) = y+\ 3. i/ = /l cos / + Ф^. Вариант 7 С — 1. 1. а) Да; б) нет. С—2. I. 2,5 —cos х. 2, а) — х + —(бх— 1)Х ХЛ1бх-1 +С; б) 2 . ^ ^ 1 — cos8x+C. С—3. а) ——cos(l,5x—1) + Ь4 о + |xV^+C; б) ltg(x-7) + ~ + C. С—4. а) 2Л/3-\~; 3 3’ -7. 1200 м; 0,4 м/сЛ С—8. 1. 2. 2. -г ' 8 4л С—9. I. 5^ JI. 2. 308 Н. Решение. Подсчитаем давление о 3 на одну сторону стенки. Разобьем трапецию на полоски шириной 165 б) 0,5. С—5. а) 8б|; б) л/З; в) + С—6. а) 1^; 6, ^4^. с- Рис. 29 Ах=—(рис. 29). Найдем давление воды на полоску, верхнее основание которой лежит на глубине х. Длина верхнего основания X —с/г -Ь)- площадь приближенно равна равна 1^=Ь-\-(а- Давление воды на эту полоску приблизительно равно p,^S,xg^iglbx- Ах. Давление на одну сторону стенки есть р 4 (х —5) с = \ Ьх- (а — Ь) (x~c-\-h) lU -) dx, т. е. g ^ (бл: + c — h x)dA: = g(-^jc3 + x')| =308ig. С—10. 1. Нет. 2. а)3; б) 3,5. 3. а) 2,7585; б) 3,2053. 4. Первое больше. С—11. 1. При а>0. 2. а) 0; 16; б) 5®=15 625. 3. а) 2^Jb\ б) 1. С—12. 1. 2. (8; 1); ( — 1; — 8). С—13. 1. а) 2 б) 3. 2. а) При а ^0; б) при всех а. 3. 2jc'^ С—14. 2. 3. D{y) = [0\ оо), Е(у) = {0\ 1 а) Первое больше; б) равны. 1. С—15. 1. а) 1,5; б) —0,5; 4. 2. а) (-0,25; 0); б) |0; 1]. С—16. 1. а) 6; б) \ «gZ. 2. ). С—17. 1. l,5 + |log7a + |-log7 |й| +|log7C- — ^ logy d— log; 5 —— log7/г. 2. 3(1—a —fc). 3. a) 2; 6) 0. C—18. 1. a) Минус; 6) плюс. 2. (3; 4)U(4; 7]. C—19. 1. a) 1; 6) 0,1; 100. 2. a)(— oo; 0)U(2; oo); 6) (1,5; 2). C—20. 1. a) ±V^; dzlOO; 6) 10. 2. a) (3; oo); 6) (—00; log23)U(2; 00' C—21 a) 9-5 ^9-sit 9 + 5 V^Y C—22. a) g (х) = Л13 — X, D (g) = E (g) = R-, 6)g(x}-- -); 6) (2; 6) Л/7 166 D{g) = {Q- 1|, £(g) = [0; oo). 2. g(_l)=i; g(l) = 2; g(2)=-V3; D{g) = \~2-, 3]; E(g) = (-2- 0]U[0,5; 2| (рис. 30). C—23. 1. a) 6) -In 2-0,5‘’'^"^^. 2. y = 2x. 3. 4. 2(e^ —3). C—24. 1. a) 4 -2^:^+ I ’ 6) 3 (2x —3) In 2 2. 7 In 7. 3. Xmax = ~ . -*^min = s- C—25. 1. Возрастаст на 0; ■] , ® L Л/З +1J 2 , \ vW 41 c. — —; oo У 2. 0,0025. 3. —=---1-----1= V3+1 / W+1 1-V^ C—26. 1. Нет. 2. / (л:) = 5"“1 3. y = 4 cos + =4, а) = Д/’3 , 5л Вариант 8 С—I. 1. а) Да; б) нет. С—2. 1. sin х+1,5. 2. а) 2х — -^(8х+\)Л18х+\ +С; б) --j^cos 2х+С. С—3. a)|sin(l,5x— — 1) + -3 (+ 1) Л/^ + 1 + С; б) jctg(2-x)-^ + С. С—4. 10 -19 а) с-6, а) б) б) 0,5. С—5. а) 6; б) 1 в) ^6 8 ‘ 1. с-7. -- - + /—1; 21- С—8. 1. 3;5 + -^^—2. 1. С—9. 1. 42л. 2. 312g- Н. Указание. См. вар. 7. С—10. 1. Да. 2. а) 1; б) 4,2. 3. а) 3,0114; б) 3,5395. 4. Пе^ос больше. С—11. 1. При всех Ь. 2. а) [, б) 729. 3. а) 2л/2\ б) \л!а-Л]'Ь\. С—12. 1. 3. 2. (8; 1); (1; 8). С—13. 1. а) 21; б) а; 3. 2. а) При а = 0; б) при а^О. 3. с—14. 2. а) Первое больше; б) равны. 3. D{y) = \ — 1; оо), £(у) = [0; оо). С—15. 1. а) 2; б) 0,5; 4. 2. а) оо; —j^LKO; оо); б) ( —оо; —1]U[0; оо). С—16. 1. а) |; б) j + nn, n^Z. 2. (-5; 3)U(4; оо). С—17. 1. —2 + |log5^- logjo. 2. 3(1-2а-Ь). 3. а) 2; б) 0. С—18. 1. а) Плюс; б) минус. 2. (—2; —1)U( —В 3]. С—19. 1. а) 2; б) 0,1; 1000. 2. а)(-оо; 0)U(3; оо); б) (-1; со). С—20. 1. а) ±10; ± Vo,001 ; б) 10. 2. а) (-7; -1)U(2; оо); б) (l;Jog35). С—21. а) (5; 4); б) (5; 2). С—22. 1. а) g(x) = 0,5^J\ —х. D{g)=E{g) = R-, б) g(x)=- V V7 -2, D(y)- (" w) E{g) = = (— oo; 0]. 2. g (—2) не определено; g ( — 1)= 1 — д/^; g (3)= — 1,5; D(g) = [-3; -2,5]U(-2; 4|; £(g) = [-2; 1)U|2; 3] (рис. 31). 167 с—23. 1. а) — б) -6 1п 2. £/ = 2. -^min i ^ у -^тах 4. С—24. 1. а) 4х^-9х^+ 1 _ б) -------^------. (2х —80) 1п 3 2. 5 1п 5. 3. .r,ni„ = 0,5; = ->^тах = 1- С—25. 1. УбЫ- , возрастает на [v^i’ °°) 2. 0,005. 3. вает на vV3 Ч-1 [0. -V3 \2 +1 -1 С. f); Д = 2; V^-ri 1-V^ с—26. 1. Нет. 2. f(x) = 3^^-\ 3. i/ = 2cos о п « = 2’ Ф = Т- Вариант 9 С—1. 1. При хфО равенство F' {x) = f {х) проверяется просто. F{x)-F(0) P(0) = lim- х^О При х = 0 получаем = Игл U1=0. 2. а) Да; б) нет. С—2. 1. *\/г г—►О - . 2л:-|- sin 2х , ,г <> l-f-cos2jc 2. а) ---------1- L. Оказание, cos х = — Х-^----1" С. С—3. а) 2 tg (х — 1) — cos (4 ~ Зх) + х + С; б) sin х — — XCOS х + ”'\/(2х— if +С. С—4. а) 4; б) 6. С—5. 1. а) — б) |(3^~0,5^). 2. Л> 10; Л > 1000; Л >^. С—6. I. 1,5. Указание. -“ = х—1 при х^ —х^ — 4 = 0; раскладывая левую часть на множители, получаем (х^ —8)—(х^~4) = (х —2)(х^ + 2х4-4 —х — “2) = (х —2)(х^+хЛ-2); это выражение обращается в нуль 2 2 при х = 2; следовательно (рис. 32), ^ ^ dx —^ (х—1) dx = ^ 2-|-4 — 0,5 + 0= 1,5. 2. 12 +2л. Указа- ние (рис. 33). Искомый интеграл равен сумме площадей прямоугольника ABCD со сторонами 3 и 4 и полукруга радиуса 2. С—7. 30.06 м. С—8. 1. (Зя + 2):(9я-2). 2. С—9. I. -^(2а + с). 2. ^ Дж. Решение. Пусть высота ци- линдра равна п. 1огда плотность цилиндра равна р = ‘тт = —т-- V jiR Н ■■ lim х-^О X 1x1 —о 1 +1. ; б) —0,5Х 168 Рассмотрим часть цилиндра, ограниченную цилиндрическими поверхностями радиусов X и лг + Лх. Объем этой части приближен- но равен 2ях//Ах, масса ----—, скорость кинетическая энер- /? ^ .у/ ГИЯ тх Ах Поэтому mx^dx тх А . R = -^V 4/?^ > О ^ (п4 \ — — 0\ = ~. С—10.1. Да. 2. Указание. Возведите обе части равенства в квадрат. 3. -\~л/^){л/а ^^/аЬ + V^)* 4. Второе. Указание. Д/1992 ~ Y1991 < < 3 3 3 Л/1992^ +VI991 • 1992 +Д/|991^ д/1991 -V1990. С—П. I. 1. 2. а) 1; Vl991^ +V199M 990 8; —27. У к а 3 а н и е. Перенесите все члены в левую часть и выне- )— 14 сите за скобки множитель Д/л* —1;б)0;^. Указание. При хф 1 3 ------ поделим обе части уравнения на \{х—if, после чего получается квадратное уравнение 2(/ — 3=0 относительно 4 а) — "V^ при Ь>0, афЬ\ б) —2а при —Д/^; 2 Д^ при — Д^<аС <СД/^; 2а при a^^j2. С—12. 1. 2; II. Указание. Один из способов решения — обозначить первый корень через а, второй через v и ре- „ ( и — и== 1, \ 3 37 получается при исключении х из уравнений замены. 2. (9; 1). Указание. Сложим и вычтем уравнения системы, в резуль- ил/^+л[у?=ел. тате получим равносильную данной систему i ^ ^ l(\^-V7f=8. ШИТЬ систему уравнена второе уравнение которой 169 -13. 1. 12. Указание. Вынести из числителя каждой дроби - - >3 Q 3 2 ^ (до возведения в куб) произведение 2'^-3^ п с—14.1. Сов- падает с графиком ^=lg 1). 2. Второе больше. Указание. (7-4УЗ)'» = (7 + 4Д/ЗГ^^ 3. D(£/) = (-cx>; log^ 3]U[log2 5; оо ); £(г/) = [0; оо). С—15. 1. а) -1; 0; 1; б) 1,5. 2. а) (2; 3)U{7; оо); б)( — 1;0)U(1; оо). Указание. Неравенство равносильно неравенству (дг^— 1) (2*— 1 )>0, которое проще всего решить методом интервалов. С—16. 1. а) 0; ± 1. Указание, Пусть г/=:2'"4*2“\ тогда 2j/^~9j/-|- 10 = 0; б) ±2, У к а з а н и е. Обозначим ■(Д/5 + 2Д/б Y через у, тогда — ’ решая квадратное уравнение 10^-|- 1 =0, получаем ух = 5-{-2л/Ь (откуда л:, = 2) или y2=5 — ^j6 (откуда а:2=--2, так как 5--2 V^=(5 + 2 д/^) ^ *). 2. (~| + 2я/г; ^ + k^Z. С—17. 1. а{3-\-Ь). 2. х+\. 3. Первое. Указание, logs 3 > logg 2 л/2 =1,5, а loga 5 < 0. 3. Первое меньше. Указание. Достаточно сравнить натуральные логарифмы этих чисел, т, е. In 2 и л/2 In 3. Сравним числа In 2 In 3 ^ . In д: —=• И —=г. Эти два числа — значения функции г (х) = —^=- в точках 2 и 3. Функция f возрастает на промежутке (0; е^], так как Пх) 2 —1п X :\[х >0 при 00, б1>0, аФЬ)\ б) 2 при 1^х<2; 2Л]х— 1 при х>2; не огфеделено при х<1. С—12. 1. 1 (см. указание к вар. 9). 2. (8; 1); (—8; 1); (8; — 1); ( —8; —I). Указание. После деления первого уравне- ния системы на второе получим 16, откуда —— ±8, т. е. У ±8^. С—13. 1. 20 (см. указание к вар. 9). 2. —. С—14, 1. Совпадает с графиком y = log2(2~2х). 2. Второе больше. Указа-ние. (5-2Д/б^' = (5 + 2Д/б 3. 0(г/) = (-оо; log34]U UflogaS; оо), £'(^)==[0; оо). С—15. 1. а) —1; б) 1,5. 2. а) ( — сх>; — 5|L1[2; 3); б) ( — 3; 0)И(3; оо ). У к а з а н и е. Неравенство равносильно неравенству (х^—9) (3^—1) Д>0, которое проще всего решить методом интервалов. С—16. 1. а) 0; =Ь 1. У к а-3 а н и е. Пусть у = тогда 16^ + 20 = 0, откуда у = 2 или У = б) 4=2 (см. указание к вар. 9). 2, + ^; ~2+~h n^Z. Указание. Данное неравенство равносильно неравенству tg x>ctg x^ctg 2х<0. С—17. 1. 2. logsX+l- 3. Первое больше. Решение. \og^5>^>^j2. Действительно, так как -^>2, а log3 5>>—, так как 5>3 ^, поскольку 172 (5' = 625-125>625-100 = 250^>2432 = 3'^). С—18. 1.^=1-1пх при 0<Сх^е, у=\п X — \ при у = 3~~ \п х при e^dx^e^, у=\пх—3 при хУ>е^. 2. 0. Указание. Среди множителей есть Ig tg 45°=lg 1—0. 3. (0; 0,0001 |Li[0,l; oo ). C—19. 1. a) 3; 6) . 2. a) (2; oo); 6) 0 . Указание. Область определения неравенства —(9; 10], a при 9<л:^10 левая часть неравенства положительна. С— 20. 1. а) -1; б) [i; оо). 2. а) (0;})u(4; оо); б) (о;Т^ V D / П Указание. Рассмотрите два случая: < ^ и < ^ После I и[2; оо).С—21. а) (1; 6); (2; 7); (3; 8); б) (-2; -8). х^О, У<0. деления второго уравнения на первое в первом случае получим \'У = —2, что невозможно, а во втором случае получим = 2 V— ^ ^ Cl и w Uiv^j-^vyjvi t J ^ j ■ X и после подстановки у в первое уравнение получим {Л^ — xf откуда х= —2. С—22. 1. в) и г). 2. Да; например, у= —л:— 1 при — 1^х<0, ^ = х+1 при0<л::<1. С—23. 1. 1. 2. Совпадает с графиком ^ = 0,01 |х-|-11, где хф — \, 3. Второе больше. Указание. Сравним натуральные логарифмы этих чисел и поделим обе части на де, получим, что достаточно сравнить числа In л л • 1п е 1п X в точках л и е\ и —Эти числа — значения функции / (л:) f'(х) = -—и /'(х)с0 при х>£?,следовательно, / убывает на промежутке оо), в частности, f{e)>f(n). 4. 2 In 2 ■С. с-24. I. ,1 6) 2. |п26-|п7. 3. Возрастает на (0; 0,1] и на [1; оо), убывает на [0,1; 1]. С—25. 1. х^(1-pin х). Указание. = = далее Г 2 лЖ см. решение вар. 9. 2. ^0,00625. 3. Возрастает на |^0; и на [2; оо),убывает на L2 + V^ J С—26. I. 7,5 ч. 2. у = Се' 0.5л- Решение. Пусть у(х) — решение этого дифференциального уравнения, тогда функция f {х) = у^ удовлетворяет дифференциальному уравнению f' (х) = / (х) (так как f' (х) — 2уу' по правилу дифференцирования сложной функции), откуда /(x) = Cie^ Далее, Ci^O и у = л/[~(Ж}где С = д/^. 3. ^ —4 cos 173 Повторительные самостоятельные работы Вариант I ПС—1. 1. 194. 2. На 25%. ПС—2. 1. •^%«17,6%. 2. у = 2х-9. ПС—3. 1. 0. 2. —10. ПС—4. 1. ( —оо; 0,5]U[1; о°); (0,5; 1). 2. (л:-2)(л:—5). 3. 5д^ + 26л: + 5 = 0. ПС—5. 1. 2,5 + 0,9«; 145,5. 2. 2,1. 3. 2-i|. ПС—6. 1. а) -{ctga; -i; б) -tg а. 55* ПС—7. I. а) n^Z\ б) — + arctg 2 + я/г, n^Z. 2. а) ^ —+ ^ + лл^, n^Z', б) (^^ + лп; ^ + лп^, n^Z. ПС—8. 1. а) (0; 5]; б) [2яп; л + 2л/2], n^Z. 2. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная. 3, Рис. 37. ПС—10. 1. а) 9x^~\-2\J2 *; б) лгв'' + e''; в) 2. 204л:(х^-1) 101 , (дг4“2)^ ПС—II. 1.а)(-оо; -3)U(2; оо ); б) (2; 3] и jc= ^ 1; в) ( оо; 1)U U(2; 4)U(4; оо). 2. у=^9х—\\. 3. 82 м/с. ПС—12. 1. (1; оо), 2. См. рис. 38, 39. ПС—13. 1. min / = /(—3)= —11; max / — f-3: М [-3: 11 = /( — 1) = 9. 2. 5\1^см. Указание. V~^siR^H =^~пН — -Я^), V' (Я) = 0 при Я: I / ПС—14. 1. а) Т -3cos х+С; б) tgx-^sin(3x—1) + С. 2. а) —24; б) 0,5. 3. 9. ПС—15. 1. 16. 2. а) 2; б) 2. 3. ( — 1; 7). ПС—16. 1. а) ± 1; б) 3. 2. (—2; I), 3. (2; 1); г.3х t 1 ^ О П п2х—2 о А с^2х 3 (1; 2). ПС—17. 1. Зе'Ч-1п2‘0,5' 2. 0,5г' 1п 3 •С. 3. г/ = 2 In 2x + 2-8 In 2. ПС—18. 1. а) -~у; б) (V3+ 1)х^ + + I +V3. .Vs'-l 2. а) ^1п [Зх+И + С; б) (2х+7)^ 2(Л/5+1) С. 3. Да. Вариант 2 ПС—1. 1. 322. 2. 6б4%. ПС—2. 1. 6,25%. 2. t/ = 2,5-0,5x О ПС—3. 1. а~\-Ь 2а-\-Ь~ \ .2. 11. ПС—4. 1. ф , R. 2. (д: + 3)(л: + 6). Л -2 r-2;Zl 2 (Z, оо) т + - а + т -/« /77(7Л /Л//7 Рис. 38 3.3/+10л:+3 = 0. ПС—5. К4,9 + + 0,8/2; 266. 2. -2у. 3. и ■ ПС—6. 1. а) sin а; б) —ctg а. ПС-7. I. а) + n^Z; б) -^4-л;и; arctg3 + nrt, n^Z. 2. а) +-^ + л«; «^Z; б) +-^ + лл; —^ + nnj , ПС—8. 1. а) (0; 3]; б) +|-4-2лл; |- + 2лл| , nGZ. 2. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная. 3. См. рис. 40.ПС—10. 1. а) 8х'^ — ЗЛ/Зл б) 1 + 1 п х; в ’ 2. 204(х^ + х)(х"+ [x~2f ' ПС—11. 1. а) (—5; 3); б) ( —оо; —4)U[—1; оо ); в) (—2; —1]. 2. у = 26^х-55. 3. 130 м/с. ПС—12. 1. (0; 0,5]. 2. Рис. 41, 42. ПС—13. 1. min/ = /(-2)=-21; max/ = /(3)=79. 3. 10Д/|см. |-2;3| [-2:3] ’ ПС—14. I. а) ---2 sin х+С; б) —ctg -^ + у cos ^Зх — + 2. а) 51; б) 3. Г++. ПС—15. 1. 9. 2. а) 0 ; б) -1. 3. (0; 2)U(8; оо). ПС—16. 1. а) ±1; б) 8. 2. (-оо; -1)U(2; оо). 2"" л _ _о,5л- 3. (4; 2). ПС—17. 1. In 2. 2 3. ^ = 61пЗ'Х + 3— 121пЗ. ПС—18. 1. а) ■2е' ^+С. In 2 ^ ;6)2(V2+ 1)х^'^- 2д:+1 -V2x \'Т -1 2. а) 0,5 In I 2х—1 | +С; б) ,Уб"+1 (2х-3) 2(Уб'+1) С. 3. Да. 175 Рис. 4i Рис. 42 Вариант 3 ПС—1. 1. а) 3; б) ПС—2. 1. X. = 1, 14-5\3 2. (-оо; а) —2; б) —3, 3; в) 1. -3)U(1; оо). 3. 45, 20. ПС—3. 1. Не может. 2. Уравнение не имеет корней. ПС—4. 1. —1, 1, 2. 2. (- оо; - 10)U(10; оо). ПС—5. 1- ■ 2. 610. 3. ±j + 2nk, k^Z. ПС—6. 1. Наибольшее значение равно 2. 2. 2 cos а. ПС—7. 1. а) ±у + 2л/е, k^Z\ б) указание. (^|--f2лл^^, n^Zo, (^-^ + 2лrt^^, n^Zo; в) j + n^Z. 2. [^ + я/т;-^ + лп] ,«GZ. ПС—8. 1. а) [-2; 1); б) + -^ + 2л«| , «6Z. ПС—9. Указание. 6) y = 2 1og2X; в) ^ = 2sin2x. ПС—10. 1. 6 см/с. 2. 135°, —х—3,5. ПС—11. 1.x — любое действительное число. 2. /'(х) = ^^ + 0,5х —2; //2)<0. 3. (~оо; 0)U(0; 3). ПС—12. 1. а)(- оо; -3]Ш ^); 0: б) [3; оо). 2. Убывает на ( — оо; 1J, возрастает на [ 1; оо); х = 1 — точка минимума, / (1)= —2; нули функции: Х| =0, Хг = 2; функция ограничена сверху числом 1 (рис, 43); /(х)<с1, x^R. 176 ПС—13. 1. max / {x) = f (—1) :-l; 21 4 min /(x) = / (1): 6 In 3 in 3 [—1-. 2t 2. Слагаемые 4, 8, 6. ПС—14. 1. F (x) = 2 tg jc +cos x —3. 2. a) In 2—0,5^5:;0,2; 6) 1^. ПС—15. 1. a.) 18; 6) 1. 2. a) log4 3; 6) 5. ПС—16. 1. a) з); 6) 4. 2. (1; 2). ПС—17. 1. Воз- растает на (— оо; 1], убывает на [1; схэ); х = 1 — точка максимума, у(\) = 3е. 2. 1. ПС—18. 1. а) 1п б) 1. 3. г/ = л: + (1п 4-3). Вариант 4 ПС—1. 1. а) 2; б) 17 2. а) —3; б) —2; 2; в) 64. ПС—2. 1. л:,= —1, Х2=—^. 2. (— оо; —2)U(1; оо). 3. 42. ПС—3. 1. Да. Значение данного выражения равно 5 при х=3. 2. Уравнение не имеет корней. ПС—4. 1. —3; —1; 1. 2. ( — оо; —6)U U(6; оо). ПС—5. 1. |. 2. 3. (-1)".| + лп, ^ + 2л«, n^Z. ПС—6. 1. Наименьшее значение выражения равно —2. 2. 2 sin а. ПС—7. 1. а) лп, (—+ /?GZ; б) указание. (^j + 2nnJ, n^Zo, (^—j + 2any, n^N\ в) (— 1)"n, n^Z. 2. + |j + nfe],fe€Z. ПС—8. l.a)|-2;3);6) [-|- + л/г; k^Z. ПС—9. 1. Указание. 6) y=\og2X\ b) y — 3 sin 2x. ПС—10. 1. 12 см/с. 2. a=135°, —x + 3,5. ПС—11. 1. X — любое действительное число. 2. /Vx) ——^ — 2Л/х -2(2-0,5xf, Д2)<0. 3. (- оо; 0)U(0; 4). ПС—12. 1. a) (- оо; — 4]и[4; ооJ; 0; б) ( — оо; 3]; в) убывает на ( — оо; — 1 ]; возрастает на [ — 1; оо); х = — 1 — точка минимума, / (— 1) = —0,5; график пересекает ось абсцисс в точках jc, = 0, —2; функция ограни- чена сверху (рис. 44); /(х)<:1, x^R. ПС—13. 1. max / (х) = 1-1. 2| 177 = f (—1)=162-, min / {x) = f (1) = 27. 2. Слагаемые 12, 4, 8. [-i; ПС—14. 1. F (лг)= —3 ctg x + sin x + 2. 2. a) In 4— 1 ?==:0,39; 6) lo|. ПС—15. 1. a) 5-i; 6) 1. 2. a) 1; 6) 4. О о ПС—16. 1. a) (i; 9); 6) 3. 2. (2; 1). ПС—17. 1. Убывает на ( — оо; 1], возрастает на [—1; оо); х= — 1 — точка минимума, г/(-1)= -Л-2. 1. ПС—18. 1. а) 4 In 1,6; б) 1.3. у = х + (1п 4—1). е о Вариант 5 ПС—I. 1. 0. 2. 2,25 и 3 м. ПС—2. 1. 25%. 2. ^ = 8 —Зх. оо). 2. {2x+5f. 3. 12х' + х-1=0. ПС—5. 1. 5|; 2. --^.З.-^- ПС—6. 1. a)ctga; л/^+1; 6)sin^jc. ПС—7. 1. а)^; ±-^ + л;/г, n^Z; б) arcctg 3+лп, n^Z. 2. а) -^ + 2лп; -|- + 2лп), б) [1^ + ^; т + х)’ ^С—8, 1. а) (—оо; —3|; б) (^j + nn;~-\-nny n^Z] в) ^2я/г; ^+2л/7^и(-^ + +2л/2; ^-\-2яп^, n^Z. 2. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, нечетная. 3, См. рис. 45. ПС—10. 1. а) 16х'^ —2"\/^х^^^ ' — ни б) 2-" (1+(л:—1) In 2); в) -—^. 2. 3 sin 6х. 3. ^ —-|sin 2/. ПС—II. 1. а) (~оо; -2)U^(-2; 1]U[3; оо): 6) (3; 6)U(6; оо); в) (— оо; 0)и(2; 3). 2. ^ = 3х — 2, ^ = 3x4-2. 3. 6(1 —2 sin 2t) Н. ПС—12. I. f — оо;—il U(0; 1]. 2. См. рис. 46. ПС—13. 1. тах/ = V [-1:31 3 ,- — f (3)=10; min / = /(2)—— 4-^. 3. \ • Указание. S = 1 — 1; 3] V У 4WV 1 -4 -/ 0 Q5 / 4 X Рис. 45 178 = 2nR^-\-2nRH = 2(nR^-\-^, так как Я = —Далее, S'{R) = 0 при R^ — ^. ПС—14. 1. — ——cos 5х-\- х-\-С. 2.^-\-х — <ьЛ Ь 4 -I tg 2х-2. 3. а) б) I. 4. 36. ПС—15. 1. 0. 2. а) 1,5; б) ±лу|.3. (1; 3]. ПС—16. 1. а) 1; 16; б) 4. 2. [0,01; 10]. 3. (2; 3); г. i (3; 2). ПС—17. 1. 2хе"'-' + 2Чп2. 2. т^-е-"-т^+^ + 2.- In 2 In 2 3. Xn,in=l. Jfmax = e- ПС—18. 1. a) In 2 V^-V^ 6) (л/з-1)X . 3. // = ,6-2jr I 2. a) 12-5 In 5; 6) -7=^^;-------. 3. y==e ^ (Vr+l)(V^+l) Вариант 6 ПС—1. 1. 0. 2. 2,36 и 2 м. ПС—2. 1. 33|-%. 2. ^ = Зх-10. ПС—3. 1. Ь-с* 2. 4. ПС—4. 1. (—0,25; 0,5); (—оо; —0,25]U U[0,5; оо]. 2. (9х-1)(л:-1). 3. 20х^ + х-1=0, ПС—5. 1. 12^; 1-. 2. *9 95 70' ПС—6. 1. а) sm а 4—2Д/7; б) ctg^A:. ^ + лп; лл, ngZ, б) ( — 1)" + ' ^ + лл, «62". 612 ПС—7. 1. а) 2. а) (—у + лл; у + лл), n^Z\ б) + + n^Z. ПС—8. 1. а) (- оо; -3]U[1; 5); б) [у + 2лл; ^ + 2.лл], n^Z\ в) (2лл; у4-2лл)и(-^ + 2.лл; у + 2лл), л6Z. 2. а) Ни четная, НИ нечетная; 6) четная; в) нечетная. 3. См. рис. 47. ПС—10. 1. а) 5Л[3 х^^-^-8х + ^\ б) 0,5" (1--(^+I) In 2); 179 ПС—11. 1. а) (—2; — 1] и х= -3; б) [1; оо); в) ( —сх); 0)U(1; 2). 2.^ = 0,25х. 3.(12/-2 cos /)Н. ПС—12. 1. ( —1; 0)U(0,5; оо). 2. См. рис. 48. ПС—13- 1. max / = /(3)=193; min f — f (2)——60. 3| 1-1; 31 Указание. 5 = я/?^ + 2д/?Я = я/?^Н--^ ^ I Н так как ■14. 1. ^ tg 2х- = -^У Далее, S'{R) = 0 при = ПС-— Л](2х—-\~2x-\-C. 2. — ~\[^2лх+2 — . 3. а) — -l); б) 1,2. 4. 4,5. ПС—15. 1. 1. 2. а) 4; б) 2; 2^=512. 3. (-V3; Л/3|. ПС—16. 1. а) 2; б) 5. 2. ; оо). 3. (-1; -1); ( —1; 2); (2; —1). ПС—17. 1. 2хе"'-^'+ 2Чп 2. 2, е’^ ^ ' - + 3. 3. х^ = 0, 1. ПС—18. 1. а) 1п 3 3 1п 2—3 In 3 ...... ' (Зх+1)1п 2' б) (V2+1)(л:-1)^. 2. а) 24—7 In 7« 10,3786; б) (е+1)(.1+1) 4 —X 3. у = е~. Вариант 7 ПС—1. 1. 2. 2. 18%. ПС—2. 1. 21,6 см; 19,44 cм^. 2. (|; ПС—3. 1. Ь {а^ + Ь). 2. —1,5. ПС—4. 1. (- оо; _5JU[-0,2; оо); -0,2]. 2. 2(х-^~У^)(х-^+У^). 3. )г-2-\/Тх + 6 = 0. ПС—5. 1. 13. 2. 4 или |. 3. ПС—6. 1. а) tg б) —tg За. ПС—7. 1. а) '±у + лп; ^-\-тт, n^Z\ б) пп\ =ь|-Н—n^Z. 180 X (-ooiO) 0 10П,5) к 5 Г(х) - 0 - 0 + f(x) 0 /6 нет экстре- NiiMa min 2. а) —у + 2пл; у + 2я«^, б) + n^Z. ПС—8. I. а) (-оо; _1)U(-1; 2]; б) [--^ + 2я/7; |- + 2ял], n^Z\ в) (0; 1)и(1» л)и(2яй; л + 2л^), k^N, 2. а) Ни четная, ни 2т. нечетная; б) четная; в) четная. 3. а) б) я; в) я. ПС—10. 1. а) (4 д/2 л;3-2 V2 + ; X 2 Л!х + 1 б) lilllJLzilii.. в) cos JT —^sinl + l---2. 1842(х^ + х)Х X П X L Z А <) X COS^ — 4 Х(2дг'ЧЗх')"^^ 3. уЩ = 2л/2 cos(j-jy ПС—11. I. а) (0; 2] и х = 3\ б) [2; оо ) и х—\\ в) ( — 3; — 1 )U^ —-^ ; 3^. 2. у — — Юх— I и у=-\0х + ^.3, (4—^ + -^) Н. ПС—12. 1. См. рис. 49 (на промежутках [—1; 0] и [\[^\ оо) график совпадает с у = х^ — 3х). 2. См. рис. 50. ПС—13. 1. Наибольшего значения не существует; min / = /(0) = 5. 3. л/б. Указание. Пусть г и /г — радиУс ос-(-2: О . , , 1^2 нования и высота конуса. Тогда л^-|-/2^ = 3^ = 9, V = -^nh (9 —Л^), V\h) = 0 при /г = "\,'Т,при этом г = лJ9^—JF =л1б . ПС—14. 2. .V2 V^+1 Зл:^ I ^^2 гС. 3. а) |; б) Збу. 4. 10|. ПС—15. 1. 24. 2. а) 1; 5,5; б) 3; 9. 3. (— оо; -2|U|3; оо). ПС—16. 1. а) ±1; б) 4. 181 Л (-оогУ -/ {-ПО} (0:1) / f/;+oo^ т -н 0 — - 0 + гм 3 / “/ так 2. ""-j-C, 3. Решение. Функция / возрастает на промежутке |0; оо), так как (х)=е''~ 1 >0 при л:>0, поэтому / (лс)>/ (0) при х>0, откуда е"‘>х-\- \ при х>0. ПС—18. 1. v-V^ + 2 .V2 \^^ + 2 л/^+1 + + х-\-С. 2. а) Совпадает с графиком у — х при х>0 (при х^О функция / не определена); б) совпадает с графиком функции при хфО. 3. у = Се~^\ Вариант 8 ПС—1. 1. 8. 2. 25%. ПС—2. 1. 14,4 см; 8,64 cм^. 2. [-3; _1_ _1_ ПС—3. 1. (Ь^-2а). 2. I ПС—4. 1. [-6; -6]U и[—оо). 2. 3 2+W) ^^__2-А/.‘0 ) з_ ^_2л^х + + 2 = 0. ПС—5. 1. 10 или 15. 2. —13,5 или —6,75. 3. ПС—6. I.a)0,5sin2a; б)—1. ПС—7. 1. а)^ +лл; ( —1)"-f^+ ^ , n^Z- б) -J + i^, n^Z. 2. а) (j + ял; ^ + лл), «6Z; б) ( —-^ + лл; j + лл), n^Z. ПС—8. 1. а) (—оо; —8)U Л 65' пп 182 X (-оо;-/) -/ HiO) 0 {0-,n / (/; oo) f(x) - 0 + 0 + 0 + fix) X -13 0 J min U(-8; 2); 6) [j + яп; ■^ + nnj, rtgZ; b) (0; 1)U U(l; —у + 2л/г; —+ 2л/г^, k^N. 2. a) Нечетная; 6) не-четная; б) четная. 3. а) б) 2л; в) п. ПС—10. 1. а) 5VS(/ б) х^-')Лрс \— х\п X X ^ хе (\[3х ). 2Л^х—\ в) 3cos3x —-^sin-^ + Рис. 52 3. r/(/) = 3V2cos({.+ ^). о + 1---2. 7\4(х-^) (3x^-2)^)" О . <у X sin'^y ПС—11. 1. а) (- оо; —3]U[-1; 0)U(0; сю) и х= -2; б) (—1; 0); в) (_оо; -3)u(y; l)U(3; 00). 2. у=-24х+9. 3.(30/ + |)н. ПС—12. 1. См. рис. 51 (на промежутках ( — оо; —1] и \xq; сю ) график совпадает с ^/ = (х+ 1 )^ —3 (jc+ 1), а на [—1; Xq] — с y = j^ — 3x). 2. См. рис. 52. ПС—13, 1. max / = /(0)=—3; 4 (-1; 1) наименьшего значения не существует. 2. Указание. Пусть г и h — радиус основания и высота цилиндра. Тогда У —лл^Л = = л/г(16 —Л^), V'{h) = 0 при h = ^^. Далее, К(0)= I/(4) = 0, (#) >0. ПС—14. V3 + J 1 1 4=-----h^cos(2x+l)H----!----\-С. VT+1 2 ^ ^ ' 2(2х+1) 3. а) б) 54|. 4. 9. ПС—15. 1. 3'^ 2. а) 8; V2; б) 5^ = 3125. 3. (-оо; 3,5]U[6,5; оо). ПС—16. 1. а) 1; б) —1. 2. (2; 3). 3. (2; 1). ПС—17. 1. cos л:*'"'' (cos х In cos л: —2. е" С. 3. Указание, f возрастает на промежутке [0; оо) (так как Г(л:) = 2^1п 2—In 2>0 при jc>0), поэтому / (зг)>/(0) = 0 при .2^0,5._^2 In х+С. 2. а) / (х)= - 1 л:>0. ПС—18. 1. ^V3'+2 „vy+l \/^+2 А/^+1 183 на своей области определения, D(/) —(0; 1)U(1; б) /(х) = — при 0<х^1, f{x) = 2x при х>\. 3. у=Се^^ . Вариант 9 ПС—1. 1. Указание. Предположив противное, возведите обе части неравенства в куб. 2. 10%. 3. ; 2. ПС—2. 1. 30 см. V-^-3 30 см1 2. (—6; —2]U[-0,5; 6). ПС—3. 1, 16 + 6"^ (ОО). 2. ± 16 —V- ^ -л — 2' ПС—4. l.(y^jc~l)(V^x+l)(x-\^)(x+V^),2. |&|> 1.3.7. Указание. Проверьте, что корни существуют (дискриминант положителен), и примените теорему Виета. ПС—5. 1. 37,5 или 52,5. ^ ш-----3^ (р_1).2^+1. ПС—6. 1. б) т4г. 3. Ука- 81 128* 3 а н и е. Подставьте 7 = я — а — 6 в обе части равенства. ПС—7. 1. а) 0; б) -1^ (пф7к\ ^ + («#9* + 4), п, k^Z. 2. а) ( —j + nn; л«| u(J + -^«; ^ + б) |-|_ +2л; —-^+2л| и |^-^ + 2л; ..-.’.I.. 2«| и х=1+2л, n^Z. ПС—8. 1. а) j^arcsin ^-\-2nk\ -^ + 2ял| у|^-^ + 2л/г; л —arcsin -g + +2лй], k^Z\ б) (8; оо); в) (2лл; -^ + 2лп)и(^ + 2лл; л + 2лл), nfZ. 2. а) Четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная. 3. (_оо; —3]'j|3; оо). ПС—9. 2. а) Совпадает с графиком У=\х\ — \ при |х| > 1 (при остальных х функция не 01^еделена); г) см. рис. 53. ПС—10. 1. а) 0; б) ^ ' ^ +2л:“') In 10 в) (-|) (1пх+1 — 1п2). 2. См. рис. 54. ПС—11. 1. а) (—; + б) (-3; в) {-j + nk- -^ + л/г]и и( —j + л/г; nk^[j(j + nk-, -| + л^|, k^Z. 2. у=\ и у=\2х — —47. ПС—12. 1. Убывает на (— оо; —1 —и на [0; —1+V^» возрастает на [ — 1 —0] и на [ —1+^/3; оо); —1+%0’ •^тьх=0* 2. Убывает на (— оо; —1) и на (—1; 0], возрастает на [0; 1^^ и на (1; оо), х^^^=0, уравнение касательной у — X — — ПС—13. 1. (х)^ 1,5. 2. 2. Указание. Пусть радиус ос- нования и высота цилиндра объемом V равны г и /г. Тогда 5 = 2яг^ + 2яг/г = 2яг^-|-—. Далее, 5Тг)==4лг—5Дг) = 0 при 4яг^ = 2У, т. е. 4яг^ = 2ял^/г, откуда 2г —/г, т, е. h:r = 2. ... . sin Л-—cos а: ^ ,г ^ ПС—14. 1. ---------|-С. Указание. Сложите равенства 184 —[е"" cos х)'— —е"" cos х + е"" sin л: и sin хУ = е'' cos sin х и результат разделите на 2. Другой способ; можно применить фор* 2 мулу интегрирования по частям. 2. а) 38,4; б) 0. 4. 2—. 10^- ПС—15. I. log* yV. 2. а) у\0. Указание. Перейдите к логарифмам по основанию 10; б) 2. Указами е. Корень х = 2 угадывается легко; других корней нет, так как левая часть — возрастающая функция. 3. (0,01; оо). Указание. Замена ^ — ПС—16. 1. а) 10; б) 1. Указание. Возведите равенство Л/х + 7 =л/х + 3 В шестую степень, после чего («угадав» корень х=\) разложите левую часть полученного уравнения + + + 13x —22 = 0 на множители (например, способом группировки): (х— 1) (л:^ + 9x+22)=0. 2. [1; 4]. 3. (6; 10); (10; 6). Указание. Сделайте замену переменных и=Л]х -|- у , v —Л]ху ~у2\ .h {X) / h{x g'(x) + h' (х) \п g(x) ) ПС—17. 1. g' = 2 1n2//. 2. g(x, ^ Решение. По формуле производной сложной функции {X) 1п g {х)^ w In g IX) 1^ ^ Указание. Проверьте равенство F' (x) = f (x). ПС—18. 1. Указание. /(x) = = X“-ln(l+x) возрастает на промежутке [0; оо) (так как (х)—\ —1 при x>0^ , в частности, / (х)>/ (0) = 0 JC+1 х+\ при х>0. 2. F {х)==~ \п'^ х-\-\п 2 In х- я+1 -^с. 3. х(/) = 22,5-2' Указание. Общее решение дифференциального уравнения x' = kx есть л:(/) = Cг*^ Осталось найти С и /г из системы уравнений, получаемой подстановкой в общее решение значений / = 3 и ^ = 6: 2С = 45, т. е. ^' = 2' С = 22,5, jkt____2^ 185 Вариант 10 ПС—1. 1. Возведите обе части равенства в квадрат, 2. 20%. 1,5. ПС—2. 1. 84 см; 210 см1 2. (—4; —3)U 3. Vl±2 . Mt-2 и 4). ПС—3. 1. 2. Ф . ПС—4. 1. (/ + 2)(2/+1). 2. 1^71 ^ 1,5. 3. 56. Указание. Проверьте, что корни существуют (дискриминант положителен), и примените теорему Виета. 2 9 ПС—5. 1. 4; 5 или —11 у; —(если считать, что и — целые числа, то второе решение надо отбросить). 2. sin 2а 10 1993 .10-9-1992 27 3. ПС 4 4-3'’ -6. 1. а' 2"-' sin-“ б) -1. ПС—7. 1. а) ^ + 2" + 2лп. n^Z. Указание. Модуль левой части не больше 2, а модуль правой части не меньше 2; б) —7Т7г + -?-; т + n^Z. oU о о А Указание. Преобразуйте уравнение к виду sin 7х-1- sin (Зх + + = 2. а) (^ — ^ + 2пп\ 2я/2^и(-у + 2яп; у + 2я/2^, ngZ; б) 1^—^ + 2ягг; y + 2nnj, n^Z. ПС—8. 1. а) |^~у + 2я/|; 2яп| и l^arccos у + 2ял; 2я — arccos у + 2я/гj , n^Z\ б) 1^; в) ^2яп; у4-2я/7|, n^Z. 2. а) Нечетная; б) нечетная; в) четная. 3. (— оо; —2)U(2; оо ). ПС—9. 2. а) Совпадает с графи- 186 ком y = —j- при |x+ll>i (при остальных х функция не определена); г) см. рис. 55. ПС—10. 1. а) 0; б) 1п2Х X 15 (х — 1 в) In х" ^ Указание. Inx'""" — 2. См. рис. 56. ПС—11. 1. а) (—4; —3)U(—2,5; —2); б) ( 81 -9Д/97 . 8 *> ■* (-f - + яп; + и[я/2; J + яяju и(-^ + яп; -^ + яп^, n^Z. 2. у~—4 и у——8х—12. Указание. Запишите уравнение касательной в произвольной точке (Xq; х^“-2хо —3) графика (получив уравнение ^ = 2(хо—1)х — — х^ —3) и определите, при каких Xq касательная проходит через точку Af(—2; —4); получим х;з=1 или х^=—3. ПС—12. 1. Убывает на ^0; и на \еЛ[ё\ оо ), возрастает на i ^ V^] » -^min —» х^^^ — еЛ[е. 2. Возрастает на( — оо; —1)и на( —1;0], убывает на 8 25 [0; 1)и на (1; оо), уравнение касательной у=-—х + -^. \-\j2 3H-V3 ПС-13. 1. ^^ 1 левая часть не превосходит 0,5, а правая не меньше —при | х| ^ 1 получаем уравнение 2“''^'=—корни которого ±—; б) 3 (см. указание к вар. 9). 3. ^2яп; arcsin ^ -|~2я/г^и^н; —arcsin—!—|-2я«^, n^Z. ПС—16. 1. а) 10; б) 1. 2. ^-^ + л/г; -^ + яц|, n^Z. 3. (6; 3); (3; 1,5). ПС—17. 1.^'=—21пЗ*^. 2. Указание. / возрастает на промежутке [0; оо ) (так как f' {х)= — 1 >0 при х>0), в частности, /(х)>/(0) = 0 при х;>0. 3. Указание. 187 Проверьте,что/' (х)=/ (х). ПС—18.1. g (X) h' (X) In g (x) — h (x) g' (x) In h (X) h(x) g(x)\n^ g(x) In X 2. (0; e^\ Решение. Рассмотрим функцию f {x) = x"" = e ^ . При X, приближающихся к 0, значения / (х) неограниченно приближаются к о (при этом /(х)>0 для любого х). Далее, /Дх) = In X = е I — In X , /^'(х) = 0 при х = е, /Дх)>0 при 0<х<е, поэтому / возрастает на промежутке (0; в], при этом в силу непрерывности / ее значения пробегают промежуток (0; /(е)|, (х)<0 при х>е, поэтому / убывает на промежутке [е; оо ) и все ее значения лежат в промежутке (0; / (е)], так как / положительна при всех X. Замечание. Можно доказать, что при х'^е значения / лежат в промежутке (1; /(e)], но для решения данной задачи это несущественно. 3. х(/)—(см. указание к вар. 9). Примерные контрольные работы К—1. Вар. I. 2. а) —4 cosx+C; б) F(x)=—4 cos х. 3. 4. 4. а) 4,5; б) 5*. 4,5. Вар. 2. 2. а) 8 sin х+ С; б) F (х) —8 sin х. 3. 24. 4. а) 5^; б) 2|. 5*. 4,5. Вар. 3. 2. а) -|-cos3x+C; О О о б) -|cos3x-|. 3. 63. 4. а) Ю^; б) 1^; 5*. 2п»6,28. О О 3 о Вар. 4. 2. а) 1,5 sin 2х+С; б) 1,5 sin 2х—1,5. 3. 24. 4. а) 4\^; б) 1 5*. 2л ^6,28. к—2. Вар. I. 1. 2. 2. 3. а) б) 2. 4. (9; 1). 5*. -^-(-2л/г. n^Z. Вар. 2. 1. 2. 2. б) 5. 3. а) - '11 4. (25; 4). 5*. у + 2л«, ngZ. Вар. 3. 1. 3. 2. + + 3. а) ±0,5; б) 2. 4. (-9; —4), (—4; —9), (4; 9), (9; 4). 5*. [-2; 2). 2 11 2 Вар. 4. К 2. 2. а^ —3. а) ±0,5; б) 0. 4. (9; 4), (4; 9). 5*. (-СХ); 1). К—3. Вар. 1. 1. Возрастает от — до 27. 2, а) 8; б) 4. 3, [—3; 3]. 4*. —-^-Ь2лл, rtgZ. Вар. 2. 1. Убывает от 3 до 2. а) 3,5; б) 3. 3. (— оо; —2JU[2; оо). 4*. п-\-2пп, n^Z. Вар. 3. 1. Возрастает от ^ до 16. 2. а) —0,5; б) 3. 3. (-оо; 0]U[2; оо). 4*. [1; оо). 188 Вар. 4. 1. Убывает от 16 до 2. а) —1,25; б) 3. 3. [0; 4|. 4*. 1 — 1; оо). К—4. Вар. I. I. Возрастает от —1 до 3. 2. а) 4; —1; б) 4. 3. (— 1; —0,5). 4. 8^. 5*. (0; 2]. Вар. 2. 1. Убывает от 1 до —3. 2. а) —5; 1; 6)9. 3. (1; 5). 4. э). 5*. [—2; 0). Вар. 3. 1. Убы- вает от 2 до —3. 2. а) —8; 2; б) 4. 3. (0; 1 )U( Ю; оо ). 4. ^16; 5*. (2; 3]U(6; оо). Вар. 4. I. Возрастает от —1 до 2. 2. а) —9; I; б) 5. 3. (0,1; 1). 4. (4; 1). 5*. (4; 7|. К—5. Вар. 1. 1. а) (cos х —sin х)\ 1; б) —1-^. 2. —3^4,4. 3. Убывает на ^0; возрастает на ; оо^, х = -^ — точка минимума, 4*. (0; оо ). Вар. 2. I. а) е"" (sin x + cos х); 1; б) —1,5. 2. 3—In 4^ 1,61. 3. Убывает на ( — оо; —1 ], возрастает на[ — 1; оо), х= — 1 — точка минимума,/(—1)=—^. 4*.(—оо;2). Вар. 3. 1. а) 2-^ (In 2 cos х — — sin х); In 2; б) —; 12. 2. е — 3?^4,4. 3. Возрастает на (0; е|, убы- 2 вает на [е\ оо ) х = ^ —точка максимума, / (г) = —. 4*. min / (х) = I -2;2| = 1(0) — -^, Вар. 4. 1. а) З''(1п 3 sin x + cos х); I; 6) 18. In 3 ^ 2. 4—In 9л^1,8. 3. Возрастает на (—оо; 1], убывает на [I; оо), 4 2 х=1—точка максимума, /(!) = —. 4*. min /(х)==/(0) =------------. l-i; 11 in 2 j + jn, nez. 2. 1о|.3. (0; 3). 4. [-5; -3]U U(3; oo). 5. ^ = 2x+l. Bap. 2. 1. + n^Z. 2. 5^. 3. (3; 1). о 2 3 4. [—6; —2)U(2; oo). 5. ^ = x4-2. Bap. 3. 1. nn\ —-^4-n:/z, n^Z. K—6. Bap. L 1. l 2. —. 3. (5; 2). 4. max / (x) = / (1) — 6^"^ — ^^4,7; min f {x) = f (0) = e. ^ I-l;l| [-1:11 5. —-^ + 2я/2^х^-^ + 2лп, n^Z. Bap. 4. 1. ^-\-nn\ -^ + л/7. 6 1 n(iZ. 2. —. 3. (4; —2). 4. min / (x) = / ( — I ) — 2e^5A\ max /(x) = n [-2:01 ^ 1-2:0) = / ( 0 ) = ^ 7,4. 5. —-|-2яя ^ X Л2л/7, n^Z. 189 Примерные варианты экзаменационных работ за курс средней школы Вар. /. 1. у + 2яАг, n^Z\ 2,5л, 4,5я. 2. —1,4. 3. (—3; —V^JU UlV^' оо )• 4. 6-|. 5. [0; 3). 6. max ^ = ^(6)= 10. Вар. 2. 1. пп; О . . ^. 1-;; 61 =Ь-^ + 2лп, n^Z. 2. у— —2х+\. 3. ( —оо; — V^]U[W; 3). 4. 2-. 6. min у = у {3) = 0. Вар. 3. 1. ^-\-лп, arctg ~-\-пп, n^Z. 2. Яв-ляется. 3. (—0,25; -1,5). 4. -3; —2]; 3. 5. 2—. 6. Слагаемые 6,12, 10. Вар. 4. I. -~ + 2пп, ( — 1)'' “ + Л/2, n^Z. 2. 0,5 нет. 3. (0,5; 2). 4. (—0,25; 0)U(0; 0,25]. 5. 2. 6. Стороны прямоуголь- 2 5п ника 2; 2—. Вар. 5. 1. гЬт^г + п/г, n^Z. 2. 1. Возрастает на ( —оо; 1), убывает на [1; оо); х=1—точка максимума, у{\) = = 0,5; функция равна 0 в точках х = 0, х=1^. 4. (—0,5; 0)U и и(0; 1,5]. 5. 9. 6. Стороны прямоугольника 6 м, 12 м. Вар. 6. 1. 1. 2. [5; оо ); 3; —3. 3. Число л/Т является корнем данного уравнения. 4. 4,5. 5. Функция возрастает на [—3; 3], убывает на {— оо; —3] и [3; оо ); минимум в точке х= —3,у{ — 3) = — 6; максимум в точке х = 3, ^(3) = 6; точки пересечения графика с осью абсцисс х = 0, X— ±3\Т. 6. Размеры участка 240 м, 240 м. Вар. 7. !. яп, n^Z. 2. (26; —7); (2; 1). 3. (1; 3]. 4. [0; 9]. 5. 4,5. 6. Точка с координа- тами ]■), ( —0- Вар. 8. 1. ( —оо; —2,5)U(0; 2,5]. 2.------—; —6. 3. 4-|. 4. [0,2; 1). 5. 9. 6. Точка с координа- cos 2х тами (я; я + 2). Вар. 9. 1. [ — 2; — 1,5)U(“C5; 2]. 2. Возрастает на (-оо; 3). 3. 13. 4. 5,6. 5.^; 6. 45 м. Вар. 10. 1. ( — 1)" + ' ^ + 4^4 о + 71П, n^Z. 2. —5. 3. (1, 1,5). 4. 5^. 5. (—3; 2)U[4; оо). 6. Сто-рона основания резервуара равна 2 м, высота 1 м. Вар. II. 1. пп, --\-2nn, n^Z\ 3. F {х)= ~2 cos 2х—!-4-— ' ' X п ■ л; 0; 2’ я; 2л, 2. (0,68; 0,7). 4. 3. 5. —3; 3. 6, 5-^ л дм'^. О Вар. 12. 1. (2; 2,12). 2. (l|n + 2n«; -^-2п«), n^Z. 3. 1о|. 4. 2. 5. В точке с координатами (0; 0). 6. 62,5я дм^. Вар. 13. 1. —-^ + лл, —arctg 0,5+ял, ngZ, число 0,75л является корнем данного уравнения. 2. 5. 3. 4,5. 4. tg а= — 1, у--190 ■х + 4. 5. ^ = In X. 6. max V (x)—V (\)= \ дм^. Bap. 14. I. (1,5; 4). 2. 4,5. (0.5; V3 ) 3. (— + n^Z. Число 7—Л является корнем данного уравнения. 4. tg а = 4, у = Ах — 2. 5. (3; оо ). 6. min S (x) = S (2) = (1:4) = 24 дм^. Вар. 15. I. (0,4; оо). 2. 3 tg 2а; —Л/З. 3. —^8.4. Возрастает на 1—2; 2|, убывает на ( — оо; —2] и на [2; оо). 5. (4; 4,5). 6- 288 см^ Вар. 16. I. 2; например, а=~, а = 2,5п. 2. (log3 2; оо). 9S 9 3. 4. —. 5. Убывает на Вар. 17. 1 точка минимума 1 COS 2а возрастает на j^-^; оо^; 6. 4 см, 21-:^ cм^ О -; \J2. 2. 3. 3. Возрастает на (—оо; 1], убывает 4 2 на [I; оо); х—\ точка максимума, /(1) = —. 4. 10—. 5, (14; 9). ё о 6. 144 дм\ Вар. 18. 1. ^ + пп, ^ + лп. n^Z\ 2. —2; 2. 3. 2,25. 4. (2; 1). 5. (3; 5). 6. Сторона основания призмы равна 6 м, высота 4 м. Вар. 19. 1. 1,5. 2. 2 cos а; ±-^ + 2яп, n^Z. 3. г, —1=. 4. Убывает на (— оо; 0] и на [2; оо ), возрастает на [0; 2]; л:=:0 — точка минимума, х==2 — точка максимума, /(0) = 0, /(2)=1^. 5. ^ = х —0,5. 6. 4; 32 . Вар. 20. I. (— оо; 0)U(6; 8]. 2, Объединение четырех прямых: у —2, у~—2, х = 2,5, л:=—2,5. -^ + 3 In x + Ci, если х>»0; л^-(- -|-3 1п (—х)-\-С‘2. если .^:<<0. 5, 2. 6. 2 см. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ...................................................... 3 Самостояте;1ьные работы........................................... 5 Повторительные самостоятельные работы ........................... 65 При мерные контрольные работы .............................. 121 Примерные варианты экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы ..................................... 139 Материал для проведения программированного контроля ............ 149 Карточки-задания для проведения зачетов по алгебре и началам анализа ........................................................... 152 Ответь: и указания ............................................. 160 Учебное издание Ивлев Борис Михайлович Саакян Самвел Манасович Шварцбурд Семен Исаакович ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 11 КЛАССА Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. И. Белоновская Младший редактор И. В. Сидельковская Художники Е. В. Саганова, Е. М. Молчанов Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор С. С. Якушкина Корректоры Т. С. Крылова, И. В. Чернова Налоговая льгота -- Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц. Серия ИД 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 21.05.07. Формат 60x90’/^,. Бумага офсетная, (арнитура Литературная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 6,79. Тираж 15 000 экз. Зака;^ JVb 19217. Открытое акционерное общество ^Издательство '■<Просве1цение» 127521, Москва, 3-й прое.щ Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский :юлиграфком6инат» 410004. I. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.rti