Учебник Алгебра 9 класс Кравчук Пидручная Янченко

Василий Кравчук Мария Пилручная Василий Кравчук, Мария Пидручная, Галина Янченко АЛГЕБРА Учебник для 9 класса Ш Тернополь Издательство «1 Цдручники i пос1бники» 2009 УДК 371.671 ББК22.141Я721 к 77 Редакторы: Ярослав Гапюк, кандидат педагогических наук, доцент Ярослав Гриичишин, кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Мартынюк, кандидат физико-математических наук, доцент Литературное редактирование Оксаны Давыдовой, Маргариты Бипьчук Обложка Светланы Демчак Ответственные за подготовку учебник к изданию: Прокопенко Н. С. — главный специалист Министерства образования и науки Украины Литвиненко О. А. — методист высшей категории Института инновационных технологий и содержания образования Эксперты, проводившие экспертизу рукописей учебников на Всеукраинском конкурсе рукописей учебников: Горобей Б. — Горбачик О. В. — Кастранец Л. М. — Бончук Е. Н. — Величко И. Г. — Дрозд Ю. А. — Глобин А. И. — заместитель директора лицея «Перспектива», г. Запорожье, уч ител ь-методист учитель Кузнецовской гимназии Ровенской области методист Чертковского РМК методист по магематике методического кабинета Новоодесской РГА Николаевской области, учитель-методист доцент кафедры алгебры и геометрии Запорожского наггио-нального университета, кандидат физико-ма1ематических наук заведующий отделом алгебры Института математики НАН Украины, доктор физико-математических наук, профессор старший научный сотрудник лаборатории математического и физического образования АПН Украины, кандидат педагогических наук Рекомендован Министерством образования и науки Украины (приказ №56 от 02.02.2009 года) Издано за счет государегвенных средсгв. Продажа запрещена Кравчук Василий, Пидручная Мария, Янченко Галина К 77 Алгебра: Учебник для 9 класса. — Тернополь; тдру'шики i noci6-ники, 2009. — 256 с. ISBN 978-966-07-1540-0 ISBN 978-966-07-1540-0 ББК22.141я721 ) Кравчук В., Пидручная М., Янченко Г., 2009 ЮНЫЕ ДРУЗЬЯ! Несколько слов об особенностях учебника. Материал, который вы будете изучать, разделен на четыре параграфа, а параграфы — на пункты. Каждый пункт начинается изложением теоретического материала. Некоторые пункты содержат дополнительный материал под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше». Ф 1 т , к о ли г па ть /Л эй и Рубрика «Примеры решения упражнений» поможет вам ознакомиться с основными видами упражнений, способами их решения и научит правильно записывать решение. п гт Пгъ llll lU ДЛ I г ’ -у* i L L. Прочитав теоретический материал и поразмыслив над образцами решения задач, желательно сначала решать устные упражнения и более простые задачи (уровень А), а затем переходить к более сложным (уровень Б). Задачи уровня В — для самых смекалистых, тех, кто хочет уметь и знать больше и получать самые высокие оценки. Для некоторых задач этого уровня приводятся решения. 1 1 1 Ydo aoui. Л 1 I. ! • i~\ Vbo a ALII- ■ 1 1 1 rf <■ • I ТП _.L_ J .. Для самостоятельной работы дома рекомендуются задачи, номера которых выделены цветом (например, 182). Рубрика «Упражнения для повторения» поможет периодически повторять основные виды упражнений. 1 Уп ALil^n ~т' ■ — J_ __ - . 1 После изучения параграфа вы сможете повторить и сисгематизи-ровать материал, дав ответы на вопросы и решив задачи в конце пара-1рафа. Свои знания можно проверить, решив задания д,ия самопроверки. Искренне желаем успеха! НЕРАВЕНСТВА Существует много задач, при решении которых нужно сравнить некоторые MHCJta или величины, найти значения переменной, удовлетворяющие некотором)' неравенству. В этом па|)аграфе мы выясним свойства числовых неравенств, как доказывать неравенства, что такое неравенство с переменной и система неравенст в с переменной, как решат ь неравенства и их системы. а > Ь а h Ь ^ §1. Неравенства Числовые неравенства I. Числовые неравенства. Вы знаете, что записи 25 >17; 0,32 >0,2; |>у; -5>-7 являются примерами числовых неравенств. Вы научились сравнивать натуральные числа, дроби, рациональные и действительные числа. Известно, что 25 > 17. Найдем разность левой и правой частей этого неравенства: 25-17 = 8>0 — разность положительна Найдем разность левой и правой частей неравенства 7 < 10: 7—10 = -3<0 — разность отрицательна. Из равенства 15=15 имеем: 15-15 = 0 — разность равна нулю. Следовательно, существует зависимость между соотношениями <о», «<», «=» и значением разности левой и правой частей соответствующего неравенства (равенства). Эту зависимость выражает определение. Число а больше числа Ь, если разность а-Ь — положительное число; число а меньше числа Ь, если разность а~Ь — отрицательное число; число а равно числу Ь, если разность а-Ь равна нулю. Так как разность чисел а и Ь может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равна нулю, то для любых чисел аиЬ выполняется одно и только одно из трех соотношений: а>Ь,а<Ь или а = Ь. 3 9 Используя данное определение, сравним числа у Д-”** этого най- дем их разность: Определение 22 3-22-7-9 7-22 7-22 гч 3 9 Разность данных чисел — число положительное, поэтому - > —- Оюдовательно, для сравнения двух чисел а и Ь достаточно образовать разность а-Ь и выяснить, является она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Если а - Ь> 0, то а>Ь; если а-Ь<0, то а<Ь\ если а-Ь = 0,-то а = Ь. /. Числовые неравенства На координатной прямой большее число изображают точкой, которая лежит правее точки, изображающей меньшее число (см. рис. 1). а> h а < h Рис. 1 в неравенствах используют знаки: «с» — меньше, «>» — больше, «<» — меньше или равно (не больше), «^> — больше или равно (не меньше). Неравенства, образованные при помощи знаков «<» или <о», называют строгими неравенствами, а неравенства, образованные при помощи знаков «<» или «^>, называют нестрогими. Из определения соотношений «больше», «меньше», «равно» следует, что а>Ь, если a-b>Q,a -1 — верные неравенства, 21 > 30 — неверное неравенство. 2. Доказательство неравенств. Докажем, что при любом значении а справедливо неравенство а{а -4)<{а- if. (Еще говорят; докажем неравенство а(а -4)<(а -if.) Для этого образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: а(а -4)-(a-lf -а^ -4а-cf + 4а-4 =-4. Так как разность а{а - 4) - (о - if отрицательна при любом значении а, то неравенство а{а -4)<(а- if справедливо также при любом значении а. on LiUU >1 1 kiiii ' 1 lAI IM 4 . Упражнение I. Доказать неравенство —+—> 2, если а>0,Ь>0. Ь а • Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: а I 2- Ь а аЬ аЬ Разность мы представили в виде дроби, числитель которой неотрицателен, так как он является KBajyjaroM некоторого числа, а знаменатель положителен как произведение положительных чисел. Поэтому эта дробь, а значит и раз- §1. Неравенства ность, несггрицательны: —+--2>0. Ошдовательно, неравенство -+—>2 Ь а Ь а справедливо при любых положительных числах av\b. * Если в доказанном неравенстве принять, что & = 1, то получим верное неравенство; я + i > 2, где я > 0. я Итак, сулша двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2. У пражпение 2.Доказать неравенство если а>0, Ь>0. 2 •Образуем разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: 2 2 2 Следовательно, • 2 Для положительных чисел а и Ь число -Jab называют их средним геометрическим (или средни,» пропорциональньш). Р1еравенство я +fc > л/^, где я > о, ft > о. справедливо и при любых положительных числах я и ft. 11оэтому среднее apmfh метическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического. УпражнениеЗ.доказатъ, что неравенство 10a^-6n + 2aft + ft^ + 2>0 справедливо при любых действительных числах я и ft. •10я^-6я + 2яft + ftЧ2 = (9я^-6я+ l) + (яЧ2яft + ft^)+ 1 = = (Зя-l)^ + (д + ft)Чl. Так как (Зя - 1)^ > 0, (я + ft)^ > 0 при любых действительных числах я и ft, то (Зя - 1)^ + (я + ft)^ + 1 > 0. • Примечание. При доказательстве неравенства при помощи определения соотношений «больше», «меньше» или «равно» разность левой и правой части неравенства нужно преобразовать так, чтобы можно было определить знак разности. Выражение, полученное после преобразований, принимает неогрицатель-ные значения, если оно является, например, суммой, произведением или частным неотрицательных чисел, четной степенью некоторого выражения и т. п. Выражение принимает отрицательные значения, если оно является суммой отрицательных чисел, произведением или частным чисел разных знаков и т. п. I. Чиаюеыс неравенства — — i J — и _ . ж L_.. 2. 3. Сравните с нулем разность левой и правой частей верных неравенсгв: а)т< п; б) р>д-, в) 8 > у; г) А: < 5. ИзвеС! но, что а> Ь Можег ли разность а-Ь равняться: -5; 0; 2; 0,01 ? Сравните числа а и Ь, Ь к с, а и с, отмеченные точками на координатной прямой (рис. 2). Ь ас Рис. 2 Vr 1 А 1 ГО л 4. Сравните числахиу, если разность х - у равна 8; 0;-1,5. 5. (Сравните числа т и п, если т-п = -3; т-п = 3. 6. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам р. q и г, если pЬ,Ь>а. Сравните числа: 8. 3 15. 5 " 6)i и 0,4; в) 11 3 — и----. 13 4 9. 1 2 а) “ и —; 3 7 б) и 11 в) - и 0,3. 10. Запищите в порядке возрастания числа: 3 2 4 5’ 3’ 7' 11- Запишите в порядке убывания числа: ^ ^. 12. Сравните значения выражений 5(я + 2)-2а и За - 4 при а = -3; = 0,1. Докажите, что при любом значении о значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения. 13. Сравните значения выражений 6(А> - 2) + 46 и 106+ 1 при 6 = -0,1:6 = 0. Докажите, что при любом значении 6 значение первого выражения меньше соответствующего значения второго выражения. К) §1. Иеривеиати Докажите неравенство: 14. а) На - 3) + 5fl < 7а + 8; b)[b-5f>b{b-\0y, 15. а) 12fc + 8 > + 8(fe - 0,5); в){Ь-Ъ)(Ь + Ъ)>Ь^- 14. 16. л)с? + b^> 2ab\ в) m{jn + Ai) > mn\ 17. a)4 + l>^>4fo; b) a(a + b) + \ > ab. 6)(a-4)(fl + 5)>a^ + fl-30; r) a(fl + 7) < (a + 3)(fl + 4). 6) + 13x + 3 < (2x + 5Xjc + 4); 6) + 9 > 6a; r) 2/- 21 > O'+ 5)(y - 5). б)л:(д: + 2)>2д:-3; Vi с: У| |10| f&\ 1Ь 18. Сравните числа: Докажите неравенство: 19. л)ЛЬс<ЛЬ^ + с\ в)аЧ2а<17аЧ 10а + 1; д) а^ - 4о + 6^ + 2/7 + 5 > 0; 20. я)9/-Зху + у^>Ъху; в) 86(3/7-10) < (5/7-8)^ д) л:^ + бд: + / - 2> + 10 > 0; 21. а) Зс ^ 1 9сЧ1“2’ а) S-S и б) ^^-^/2 и б) (2а + 1)^ > 8и; г)бЧ 10 >66; е) 2дс^ - бху + 9у^~6х+ 10 > 0. 6)(5-3>-)'>334а- 1; е) 5а^ + 4а - 2а6 + 6^ + 2 > 0. б) 1 I + a:" 22. Определите знак числа х, если известно, что: а) 8х < Зле; б) 1х > 4jc; в) 2x < -Зле; r)-10jt>-2x. в 'ГС 1\ “ЗТрО! те D Докажите неравенство: 23. я)с? + Ь^ + 2>2{а + 6); в) 2о^ + 6^ + 1 > 2а6 + 2а; д) а + 56^ + 4а6 + 4 > 46; б)аЧб^>о6; \ 3 3^4 4 г)т п + тп <т +п ; е) 1 +2а'’>аЧ2оР. 2. Оюйстви чис.итых перивсчи тв 11 24. а) ab+\>2yf^-, в) 2 б) ; ч + 3 ^ г) -г —■■ > 2. Vti^+2 Указание, в) При определении знака разности левой и правой частей восполь- зуйтесь тождеством /г +5 = +4j -н 1. 25. Докажите неравенство -%+-^>-^-н-^,еслиа>0,/7>0,а?^^. Ь а а Ь я4мй^г1я|п^ 26. Решите уравнение: а) (х - 5)(х + 1) = Зх - 5; 27. Найдите значение выражения: М ^ х^-4 х-2 3 а) Vl8-V^- >/3' 28. Отец в три раза старше сына. Через 6 лет сумма чисел лет отца и сына будет равна 68. Сколько лет сыну сейчас? 29. Семья состоит из отца, матери и трех сыновей. Всем вместе им 90 лет. Разность в возрасте сыновей составляет 2 года Число лет матери на 10 больше числа лет сыновей вместе. Разность числа лет отца и матери равна числу лет среднего сына На сколько лет мать старше младшего сына? ЮН Свойства числовых неравенств Свойство I Если а >й, то Ь<а. Доказате.пьстао. Если а>Ь,то а-Ь — положительное число. 11роти-воположное ему число -(а -Ь) = Ь-а является отрицателын>1м. Так как Ь~а<0,тоЬ<а.» Свойство 2 Если а <Ь мЬ <с,тоа <с. Доказательство. По условию а<ЬкЬ<с, поэтому a-bv\b-c — отрицательные числа. Сумма двух отрицательных чисел являелся отрицательным числом, поэтому {.а-Ь) + ф-с)-а-Ь + Ь-с-а~с<0.1ж кака-с<0,тоа<с.* 12 §1. Hepatieucmea Геометрическая иллюстрация свойства 2 представлена на рисунке 3. Ь Рис. 3 Анало!ично можнодоказатъутверждение: еслиа>Ь нЬ >с,тоа>с. Свойство 3 Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же чиело, то получим верное неравенство. Доказательство. 11усть а<Ьнс — любое число. Докажем, что а + с<Ь + с. Рассмотрим разность {а + с) - {Ь + с) = а + с - Ь - с = а ~ Ь. Так как а<Ь, то а-Ь<0. Следовательно, (а + с)-{Ь + с) < О, поэтому а + с<Ь + с. Аналогично проводится доказательство для случая а>Ь и любого числа с. • Следствие. Если некоторое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный. то получим верное неравенство. Доказательство. Пусть а<Ь + с — верное неравенство. Прибавим к обоим ее частям число -с, получим вфное неравенство а + (-с) <Ь + с + (-с) или а-с<Ь. Итак, если перенести слагаемое с в левую часть неравенства, изменив его знак на противоположный, то получим верное неравенство. • Если обе части верногч) неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противопо.ложный, то получим верное неравенство. Доказате.пьство. Пусть a Ьс. если с — отрицательное число. Рассмотрим разность: ас - Ьс = с{а - Ь). По условию а <Ь, поэтому а-Ь<0. Если о О, то в произведении с(а - Ь) первый множитель положительный, а второй — отрицательный. Поэтому с{а - Ь) < 0. В данном случае ас - Ьс < 0, откуда ас < Ьс. 1'сли <• < о, то произведение с{а - Ь) положительно как произведение двух отрицате.чьных множителей. Тогда нас- Ьс > 0, откуда ас > Ьс. Аналогично проводится .доказательство, если имеем неравенство а>Ь. Свойство 4 2. Свойства числовых неравенств ___________________________13 Справедливой является и часть свойства, касающаяся деления обеих частей неравенства на некоторое число, так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю.* Следствие. Если аиЬ — положительные чиача иа< Ь, то — > -г- а о Доказательство. Разделим обе части неравенства а < Ь im иоложи1ель-ное число аЬ. Получим: а ^ Ь . I . I 11 —г < —Tt <о есть — > 7- • аЬ аЬ о а а Ь Это следствие можно использовать при сравнении чисел, обратных данным. Например, поскольку л/2 < 2, то -Ц > -5-. л/2 2 За-нечание. Двойное неравенство а <Ь<с можно записать в виде двух неравенств: а<Ь и Ь<с. Рхли а < /; и Z? < с, то для люб01о числа т справедливы неравенства: а + т<Ь + тиЬ + т<с + т, откуда а + т<Ь + т<с + т. Итак, если ко всем частям верного двойнош неравенства прибавить одно и то же число, то получим верное двойное неравенство. Анало1нчно можно обосновать утверждения: если а<Ь<снт>0,'юат<Ьт< cm; если а<Ь<сит<0,го от > Ьт > cm. то есть cm < hm < cm. ! 1Ы !ш1еы _1. 1 У.Р^ Т'~ 1^ 1ЧХ 1 LU «у Упражнение 1. Известно, что-1 <д:< 3. Оцените значение выражения: а) д:-3; б)-х; в)2т-5. • а) Прибавим ко всем частям неравенства -1 < х < 3 число -3, получим: '1-3<д:-3<3-3, откуда -4 < х - 3 < 0. б) Умножим все части неравенства -I <х < 3 на -1, получим; 1 > -X > -3, или -3 < -X < 1. в) Умножим все части заданного неравенства на 2, получим; —2 < 2т < 6. Теперь прибавим ко всем часлям полученного неравенства число -5, получим; -2 - 5 < 2т - 5 < 6 - .5, откуда -7 < 2х - 5 < 1.* Упражнение 2. Доказать, что -ь 1 > -н а, если « > -1. • Образуем разность левой и правой часюй нераве»1ства и преобразуем се; + I ~ - а = (o' - а^) + {I - а) - а\а - 1) - (а - 1) = (а - 1)(а^ - 1) = = {а~ 1)(а - |)(« -ь 1) = (а - if {а + 1). 14 §1. Нс/ншепстт Значения выраже! 1ия (а - 1 f являются неотрицательными. По условию а > -1. прибавим к обеим частям этого неравенства число 1, получим; а + 1 > 0. Поэтому (а - lf(fl+ 1)>0. Следовательно, если а>-1, то неравенство1 + а является верным. • ‘ 1Т о„г 1 i п ? 30. Сравните числа хиу, если л < 3 и 3 < у. 31. Известно, что т<п. Какие из данных неравенств являются верными: л)т + 1<п + 1\ 6)т-1 в)т + 3>п + 3: г) Зт < Зп; Ответы обоснуйте. д) -Зт < -Зп: 1 Упо А t > ч, X 1 1 32. Известно, что а <Ь. Запииште вместо «*» знак «о> или «>» так, чтобы получилось верное неравенство; а) 5а * 5*; б) -7а * -1Ь: т 1 * 1 I. а)-*--6 6’ в) -а * -Ь: е) 5 33. 34. .35. 36. Вместо «*» запишите знак «>» или «о> так, чтобы было верным утверждение: а) если а < -5, то -5 * а; б) если -2 > а и а > fc, то -2 * fo. Известно, что а<Ь. Используя свойства HqraaeHCTB, запишите верное неравенство, которое получим, если: а) к обеим частям неравенства прибавим число -2; б) обе части неравенства умножим на 3; в) обе части неравенства умножим на -1; г) обе части неравенства разделим на 5. Известно, что х>у. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получим, если: а) к обеим частям неравенства прибавим число 9; б) из обеих частей |{еравенства вычтем число -3; в) обе части неравенства умножим на -5; г) обе части неравенства разделим на -3. Известно, что 3,2 < а < 3,4. Оцените значение выражения: а) а + 4; б) 2а; в) За - 2. 2. Ceoiwnum чис. швых ncpueviicnui 15 37. Известно, что 1,4 < с < 1,6. Оцените значение выражения: а) 6 - 1; ■ б) Зс; в) 2с + 3. А' *кКлВв1то!0 1 Докажите утверждение: 38. а) Еслиас>Ьс н c>0,toа>Ь\ б) если —< — иг<0, тоа>6. с с 39. а) Если an>bnv\n<0,toa0,тоа<Ь. п п 40. Сравните числа and, если: a)ab; 41. Сравните числа тм к, если: я)т>ппк<п\ 6)b-a<0nd-b<0. 6)т-п>0нп-к>0. С с 42. Сравните числа — и —, если 0<Ь<аис>0. а Ь с с 43. Сравните числа — и —, если 0<а<Ьнс>0. а Ь 44. Запишите в порядке убывания числа — , — и —, если все они положи- а Ь с тельны п а>Ь,Ь>с. 45. Известно, что -2 < д: < 5. Оцените значение выражения: а) 1,5jc- 3; б) -дг. в) 1,5 - Ъх. 46. Известно, что 0,5 < с < 2. Оцените значение выражения: 2 a)i; 6)-. в) 47. Известно, что 2 < у < 3. Оцените значение выражения: а)-у; б)-2у+1; в>7 48. Оцените периметр квадрата со стороной Ь см, если 3,8 <Ь< 4,2. 49. Оцените периметр равностороннего треугольника со стороной а дм, если 1,7 <а< 1,9. Q 1 л- ч. 10 D 1 50. Докажите утверждение; а) если а< Ь п Ь <с,тоа < с; 16 §1. Неравенства б) если а < Ь. Ь < с к с < d, то а < d: в) если а> Ь Vi с <0,то ас < Ьс\ г) если а.Ь — отрицательные числа и о < о, то ~ ^ ^ -51. Докажите неравенство а’ + 8 > 2а^ + 4а, если а > -2. т; 1 ТТ“ ! ! ! п 1 * ~УП||)Ж1С1ТЭТ 1И то ВТ jp гн ли 52. Решите уравнение: , 7х^-11 ЗлЧ13 а) ^----------^ = 18; 53. Решите систему уравнений: Г3л+2у = 8; \х-у = -9-. а) б) б) 14 х^-9 2 2 —~ = 2~. Ъх-9 3 |0.5д:+0,2у = 2; Zv-y = -l. 54. Смешали 30%-й и 40%-й растворы сульфатной кислоты и получили 200 л 34%-fo раствора. Сколько литров каждого из растворов использовали? 55*. Имеется ПО листов бумаги. Из них нужно сшить тетради по 8 и по 10 листов в каждой. Сколько можно сшить тетрадей каждого вида? Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений Рассмотрим действия, которые можно выполнять над верными числовыми неравенствами. 1. Сложение ЧИС.10ВЫХ неравенств. Возьмем верные числовые неравенства с одинаковыми знаками: -3 < 4 и 5 < 7. Сложим эти неравенства почленно. Пол)'чим верное неравенство того же знака, а именно: -3 + 5 < 4 -н 7 или 2 < 11. В общем случае справедливо такое свойство: Если почленно сложить верные нсравенсгва одного Свойство 5 знака, сохранив их общий знак, то получим верное неравенство. Доказательство. Пусть а<Ь и c h к о d,то а + с>Ь + d. • 2. Умножение числовых неравенств. Возьмем верные неравенства: 7 > 2 и 5 > 3. Почленно перемножим их. Получим верное неравенство 7 • 5 > 2 • 3 или 35 > 6. Почленно перемножим неравенства -3 < 1 и -4 < 6. Получим неверное неравенство 12 < 6. В нервом случае все числа данных неравенств были положительными, во втором — положительными и отрицательными. Докажем следующее свойство. Свойство 6 Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, сохранив при этом их общий знак, то получим верное неравенство. Доказательство. Пусть а<Ь и с Ь н c>d, где a,b,cnd — положительные числа, то ас > bd. • Следствие. Если а < Ь, а и Ь — поло.жительные числа, п — натуральное число, то а" < Ь". При доказательстве следствия достаточно взять п неравенств а<Ь н почленно их перемножить. 3. Оценка значений выражений. Рассмотрим пример. Пример 1.Дано; 11<х<14и1<у<2. Оценить; а) сумл1у X + у; б) разность х~у; в) произведение ху; г) частное —. У • а) Оценим сумму х + у. Применим к неравенствам 11 < х и 1 < у свойство о почленном сложении неравенств. Получим: 12 <х-н у. Применим это же свойство к неравенствам х< 14 и у<2. Получим: х-ьу< 16. Результат запишем в виде двойного неравенства 12 < х -ь у < 16. 18 $1. Иерааепспта Сокращенно эти преобразования записывают так: 11<л<14 1<у<2 12<д:+_у<16. Общая схема оценки суммы имеет такой вид: а<х<Ь + с< у ~у>-2 или ~2<~у<-\. Согласно свойству о почленном сложении неравенств получим: 11<;с<14 -2<-у <-1 9 0. > О, о О, г/ > 0). V ас <ху —>-^ или -^< — <1. Согласно свойству о почленном умножении не-1 у 2 2 у равенств получим: llo.fc>o.c>Q. j>m. • а X b dye Т-т т-]—]-г7 I I I '“Г -SUfMA*! Anit^ ччмд 1АЙММ Упражнение 1. Доказать неравенство (/w+n)(m« + l)>4win, где/и>0, n>0. • Используем известное неравенство . где а > 0, > 0. Запи- шем это неравенство для чисел m и а, а потом — для чисел ти и 1. Получим два верных неравенства: т + п >у1тп; тп + [ :yjmn. 20 §1. Неравенства Умножим обе части каждого неравенства на 2; т + п> 2л/тп; тн + 1 > 2yjmn. Почленно перемножив чти неравенства, получим; [т + п)(^тп + 1)>4тп. • П[тмечапие. При доказательстве неравенства из примера 1 мы использовали известное неравенство, доказанное ранее. Особенность исиользован-иого способа доказательства неравенств сосгоит в том, что: /) записываем несколько неравенств, доказанных ранее; 2) перемножив (или сложив) эти неравенства, приходим к доказываемому неравенству. 1 ■ 1 56. Сложите и перемножьте почленно неравенства 5 > 3 и 7 > 4. 57. Возведите обе части неравенства 2 < 3 в квадрат; в куб. 58. Получим ли верное неравенство того же знака, перемножив почленно неравенства 4 > -2 и 1 > -3? 59. Получим ли верное неравенство того же знака, возведя в квадрат обе части нсфавснсгва -5 < 2? у|зо 36 ■1Ь А 3 j \ 1 Сложлапе почленно неравенства: 60. а) -7 > -9 и 9 > 4; в) 2,5 <3,2 и-1,7 <-0,9. 61. а)-11<-9и-3<7; Иере.мно.жьте поч.пенно неравенства: 62. а) 0,8 < 1,2 и 5 < 7; 63. а) 0,25 >0,1 и 12 >8; 64. Возведите в квадрат обе час™ неравенсз ва: а) 9 >7; б) 0,9 <1,2. 65. Известно, что 2 < п < 4 и -5 < А < -2. Оцени гс значение выражения: а)а + Ь\ Q)a-b. f>6. Известно, что 0,5<.х<2 и 2<у<3. Оцените значение выражения: х + у; х-у;ху. б) 1,3 <2,5 и-3,4 <-1,3; б)-0,1 >-0,3 и 1,2 >0,8. б) 7,2 >3,5 и 0,5 >0,4. б) 0,3 <0,5 и II < 18. 3. Сложение и умножеиие числовых перивеиств 21 67. Известно, что 1 <а<3и0,2<6< 0,5. Оцените значение выражения: я)а + Ь; 6)а-Ь\ в) аЬ. 1 1 1 УЬове 4Ь Е ! _| ) 1 . 68. Известно, что 3<«<5и7<А<9 Оцените значение выражения: а а) д + 2h; б) 2аЬ\ и) Ь 69. Известно, что 4<х<5и8<^^< 10. Оцените значение выражения: У я)2х~у. б) 0,5л>’; в) 70. Оцените периметр треу1Т)льника со сторона.ми а дм, h дм, с дм, если 2 < д < 2,1; 1,6 < й < 1,7; 0.9 < с < 1. 71. Оцените площадь квадрата со стороной й см, если 1,1 8ahc, еслиa>0,h>0,c>0; б) (р + 2){q + 2)(р + 9) > I bpq, если р > 0. g > 0; в) {а + й)(дЛ + 4) > 8ah, если д > 0, .9 > 0. 74. а) (1 + д)(1 + й)( I +с)> 8-Jahc . если д > 0. > о, с > 0; б) (тг + 1)(д + 1) > 4д-\/д . если д > 0. 75. а) л/д+-р>2, если д >0; ч/д б) (д:^ + 1) + ;сЧ1 >2. njr, _ ^ -i -■•p-T -Г-Т Vnrtnouu! R i' ii LI Jjj L_L _Tl Tj.., 1 ^ i 76. Докажите неравенство: а) д^ + /)^ + + 4ylahcd, еели д > 0, /? > 0, с > 0; 0; б) (1 + Д|)(1 + Д2)...(!+Д|у)>2'‘’. если д,, дг, .... Дю — положительные числа, произведение которых равно 1. 77. Докажите неравенство д+1? +—+-^>4, если д > 0, > 0. а h 78. Докажите, что если д + А = 1, то д"* + б" > -. 8 22 §1. Нсртеиата г — i 1 fll К Т~Г гт1—\-1 ДЛ] 79. Найдите все целые решения неравенства: а)-2<дг<7; б)-1<>’<6; а + 2 0^—4 в)-5 <дг<3. 80, Упростите выражение 1 -2а+ 1 -1 а-2 81, Задача Эшера. Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше ;фугой; продавая их по разным ценам, обе крестьянки денег выручили поровну. Тогда первая сказала второй: «Если бы у меня были твои яйца, я бы выручила за них 15 крейцеров». Вторая ответила" «А если бы 2 твои яйца были у меня, я бы выручила за них 6— крейцера». Сколько яиц было у каждой крестьянки? 82, Книжный магазин получил учебники по физике и математике. Когда было продано 50% учебников по математике и 20% учебников по физике, что вместе составило 780 книг, то оказалось, что учебников по математике остаюсь в три раза больше, чем по физике. Сколько учебников по математике получил магазин? КЯ Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки 1. Понятие о неравенстве с одной переменной и его решении. Рассмотрим неравенство 2х + 5 > 11. При одних значениях х данное неравенство превращаегся в верное чиаювое неравенсгео, при .гфугих — в неверное. Например, при х = 5 получим верное чиаювое неравенство 2-5 + 5>11; 15>11, а при X = I получим неверное числовое неравенство 2-1+5>11;7>11. Если нужно найти все значения х, при которых неравенсгво 2х + 5 > 11 является верным, то говорят, что нужно решить неравенство 2х + 5 > 11, содержащее одну переменную х. При X = 5 неравенство 2х + 5 > 11 является верным. Говорят, что число 5 является решением данного неравенства или удое.1етеоряет данному неравенству. Опреде.чение Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, превращающее ею в верное числовое неравенство. 4. Неравенства с одной переменной. Чнс.човые промежутки 23 Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенство с одной переменной преимущественно имеет бесконечное множество решений. Так, решениями неравенства 2л + 5 > 11 являются числа 3,5; 4; 5; 5- и т. п. Множества решений неравенства иногда можно записывать в виде числовых промежутков. 2. Чистовые промежутки. Рассмо'фим несколько примеров. 1) Неравенству -2 < х < 3 удовлетворяют все действительные числа больше -2 и меньше 3, то есть все действительные числа, лежащие на числовой прямой между числами —2 и 3. Множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству -2<х<3, называют числовым промежутком или просто промежутком и обозначают (-2; 3) (читают: «промежуток от -2 до 3»). На координатной прямой его изображают так: -2 Рис. 4 Промежуток заштриховывают, точки -2 и 3 изображают «пустыми» («выколотыми»). Число 2,2 удовлетворяет двойному неравенству -2 < х < 3, а число 4 ему не удовлетворяет. Говорят, что число 2,2 принадлежит промежутку (-2; 3), а число 4 ему не принадлежит. 2,2 3 4 Рис. 5 2) Неравенству -2 < х < 3 удовлетворяют все действительные числа, которые лежат между числами -2 и 3 или равны числам -2 или 3. Множество таких чисел обозначают так: [-2; 3] (читают: «промежуток от -2 до 3, включая -2 и 3»). На координатной прямой его изображают так: Рис. 6 24 J/. Неравенства 3) Множесгва чисел, удовлетворяющих двойным неравенсгвам -2<х<3 и -2 < д: < 3, обозначают соответственно [-2; 3) и (-2; 3] (чнгают: «промежуток от -2 до 3, включая -2» и «промс-жуток от -2 до 3, включая 3»). Эти промежутки изображают на координатной прямой так: ^////////////////////////////^ ^/////////////////////////Щ ^ ~2 3 X -2 3 Рис. 7 а Рис. 7 б 4) Псравснетиу д:>4 удовлетворяют все действительные числа больше 4. На координатной прямой эти чиела изображают точками, лежащими справа от точки с координатой 4. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 4, изображают полупрямой, находящейся справа ог точки с координатой 4 без этой точки (см. рис. 8). Такое множество называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; -и»). 4 Рис. 8 Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х>4, изображают полупрямой (см. рис. 9). Это множество обозначают [4; -н») (читают; «промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая 4»), 4 Рис. 9 5) Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < 8, записывают (-во; 8) и читают «проме-жуток от минус бесконечности до 8». Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < 8, записывают (-ос; 8] и читают: «промежуток от минус бесконечности до 8, включая 8». Па координатной прямой эти числовые промежутки изображают так: 8 8 Рис. 10 а Рис. 10 6 6) Множество всех действтельных чисел изображают всей координатной прямой и обозначают так; (-оо; -ьоо). 3. Объединение и пересечение числовых промежутков. Рассмотрим два промежутка: [-1; 4) и (2; 7). -1 2 4 Рис. 11 Промежуток [-1; 7) образуют все числа, принадлежащие промежутку [-1; 4) или промежутку (2; 7). Говорят, что промежуток [-1; 7) является объединением промс-жутков [-1;4) и (2; 7). Записывают; [-1; 4)и(2; 7) = [-1; 7), |'де «и» — знак объединения. 4. Hepaeeiicmati с одной переменной. Числовые промежутки 25 Определение Объединением числовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих хотя бы одному из этих промежутков. Промежуток (2; 4) образуют все общие числа из промежутков [-1;4) и (2; 7), то есть все числа, принадлежащие каждому из промежутков [-1;4) и (2; 7). Говорят, что промежуток (2; 4) является пересечением промежутков [-1; 4) и (2; 7). Записывают: [-1; 4)п(2; 7) = (2; 4), где «гг» — знак пересечения. Пересечением чистовых промежутков называют множество всех чисел, принадлежащих каждому из этих промежутков. ‘ГГ Определение Ж W Объединением и пересечением двух числовых промежутков могут быть не числовые промежутки. Рассмотрим, например, промежутки (-2; 1] и (3;4). Чисел, принадлежащих обоим этим промежуткам, нет (см. рис. 12). Поэтому говорят, что пересечением этих промежутков является пустое множестео. Его обозначают символом «0». Записывают; [-2; 1]п(3; 4) = 0. Объединением промежутков (-2; I] и (3; 4) является множество (-2; Ilvj(3; 4), не являющееся числовым промежутком (оно «состоит» из двух промежутков). -2 1 3 А X Рис. 12 Для промежутков [-2; 1] и [1;-юо) множество общих чисел содержит только одно число — число 1 (см. рис. 13). Такое множество обозначают так: {1). Записывают: [-2; 1]п[1; +оо) = 11}. Легко найти, что f-2; IJuf 1; -и») = (-2; -к»). -2 1 1'пе. 13 Упражнение 1-Указать наименьшее и наиболыпее действительные числа, принадлежащие промежутку; б)1-2;3); в)(-»;4,8]; г)(5;-юо). •а) ; 1,01; б) -2; наибольшего действительно числа, принадлежаще- го этому промежутку, нет. (Это следует из таких соображений. Предположим, что т — наибольшее число из промежутка [-2;3). Так как т<3, то 26 §1. Неравепстт можно рассматривать промежуток (/и; 3), любое число из которого больше т. Следовательно, число т на промежутке [-2; 3) не является наибольшим.): в) наименьшего числа нет; 4,8; г) ни наименьшего, ни наибольшего чисел нет. • Упражнение 2. Отметить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и записать это множество в виде промежутка или объединения промежутков: а) [x| < 5; б) |лг| > 5. • а) Модулем числа х является расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х на координатной прямой. Поэтому решениями данного неравенства являются числа, соответствующие тем точкам координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии не больше 5. -5 0 5 Следовательно, решениями неравенства [т| - 5 являются все числа, принадлежащие промежутку [-5; 5]. б) Решениями неравенства [х| > 5 являются числа, которым соответствуют тс точки координатной прямой, которые лежат от начала отсчета на расстоянии нс меньше 5 (больше 5 или равном 5), то есть значения дг, удовлетворяющие неравенству х < -5 или неравенству х > 5. , ^////////////// ^ -5 0 5 Следовательно, множеством решений неравенства [х| > 5 является объединение промежутков (-««; -5] и [5; -н»), то есть (-«>; -5]и(5; +<»). • УС ГИ1 ) 83. Какие из чисел -2; ; 0; 0,5; 4 явля!Отся решениями неравенства Зх + 1 > 2? 84. Назовите промежутки, изображенные на рисунке 14. -3 2 а) -1 в) ^/////////////////////////^^^^ -3 б) 2 ■ г) Рис. 14 85. Какие из чисел -3; -1; 0; 1,7; 4 принадлежат числовому промежутку: а) [-2; 41; б)(-3;4); в)(-1;5); r)[-3;+o<>)? 4. Hepattencmea с одной переменной. Числовые про.че.жутки 27 86. Укажите объединение и пересечение промежутков, изображенных на рисунке 15. ШШШМо. а) -2 б) Рис. 15 Vi A 1 IwUVl L ILl 'rt Ж 87. Какие из чисел -4; 0,5; 8; 10 являются решениями неравенства 3(х-2)>2х+ 1? 88. Найдите три любые решения неравенства -5дг + 1 < Зх. Ответьте на координатной пряной промежуток: 89. а) [- 2; 4); б)(-~;3]; в) (2;+~); г)(3;7]. 90. а)[-1;3]; б) (2; 6]: в) [3;+~); г)(-оо;1). Отметьте на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющее неравенству, и запишите это множество в виде промежутка: 91. а)х>3; б)х>4; в)-1<х<3; г)1<х<5. 92. а)х<-1; б)х>5; в)0<х<6; г)-1<х<4. 93. Найдите, если возможно, наибольшее натуральное число, принадлежащее промежутку: а) (-7; 8); б)(—;3); в)(-15;-3); г)(-о;7]. 94. Запишите все целые числа, принадлежащие промежутку: а)(-1;9); б) [5; 12); в) (-4; 10]; г)(0;7). Укажите, ест возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку: 95. а)Г5;11); б) (8; 20]; в)[-3;+оо); г)(-о;2). 96. а)(3;8]; б)|-4;5]; в)(-оо;3]; г) (0;+~). Отметьте на координатной пряной промежутки и найдите их объединение и пересечение: 97. а) [-1; 2] и (1; 3); б) [3; 4) и [2; -н»); в) (^; 5) и [0; 2]; г) (^; -1 ] и [-2; -и»). 98. а) И; 0) и [-2; 2); б) (-»; 5] и [1; 6]. T 1 "Г 1 jt m: L_ - L jpUlJUl lILi 1u1 D t J__L_ T i Отметьте на координатной пряной множество чисел, удовлетворяющих неравенству, и запишите это множество в виде промежутка или объединения промежутков: 99. а)|дг|<3; б)|х|>4; в)|х|<3,5; г)|дг|>1,5. 28 ,Ф7. Неравенства 100. а)[д:|>1: б)|д:|<2,5; в)|л|<1.5; г)|д:|>0,5. 101. Запишите пять чисел, прина.г'1сжащих промежутку (0,1; 0,2). Г 1 1 ! VHnalwMotiuc 'тТгГ 102. Решите уравнение; а)7(2л- 1)-5д^^ 11 +3(Зл-2); б) 1х-2 4х+\ Зх-6 20 5 !03. При каки.х значениях а значение дроби равно нулю: Ы-5 б) L1— ; в) п + 1 а+5 ' а^-За + 2 104. Вкладчик внес в банк 5000 грн. Часть денег он положил под 7% юдо-вых, а осгальныс — под 6%. Через год обшая сумма денег увеличилась на 315 грн. Сколько денег внес вкладчик иод 1% годовых? 105. Задача Бхаскара (известного индийского математика XII в.). Из мно-жесгва чистых ивсгков логоса бьиш принесены в жертву: Шиве — третья часть этого множества, Вишну — пятая, Солнху^ — шестая, четвертую часть получил Бхавани, а остальные — шесть цветков — получил почтенный Учитель. Сколько бьыо пвстков? Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства Задача. Одна сторона участка прямоугольной формы на 5 м д;1нннее другой. Какими могут быгь стороны участка, чтобы для его ограждения хватило сетки длиной 46 м? Пусть длина меньшей стороны участка равна хм, тогда длина большей — (л + 5) м, а перимшр участка — 2(х + х -I- 5) = (4х + 10) (м). По условию перимсф не превышает 46 м, поэтому 4х + 10 < 46. Чтобы найти стороны участка, нужно решить неравенство 4х -г 10 < 46 с одной переменной х. При решении неравенства его преобразуют, заменяя более простыми неравенствами с теми же решениями. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также называют равноатьными. Замену неравенства равносшшными ему неравенствами выполняют на основании таких свойств: 5. Решение неравенств с одной переменной. Равное и. 1ьные неравенства 29 1) если выполнить тождественные преобразования некоторой части неравенства, которые не меняют допустимые значения пере.менной, то получим неравенство, равносильное данному; 2) если из одной части неравенства перенести в другую чисть с.па-гаемое, изменив его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному; 3) если обе части неравенства у.иножить или разделить на одно и то же положительное число, то по.лучим неравенство, равносильное данному; 4) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом из.шнить знак неравенства на противополо.жный, то получим неравенство, равносильное данному. Используя эти свойства, решим неравенство: 4л + 10 <46. Перенесем слагаемое 10 из левой части нсравенсгеа в правую с противоположным знаком, получим неравенство 4л<46- 10, равносильное заданному неравенсз ву. В правой части неравепезва 4л < 46 - 10 приведем подобные слагаемые, получим: 4л < 36. Раздашв обе части последнего неравенства на 4, получим неравенство л <9. Следовазельно. неравенство 4л + 10 < 46 равносильно неравенству л < 9, и ему' удовлетворяют все числа не больше 9 (см. рис. 16). Множество решений данного неравенства можно записать в виде числового промежутка (-«>; 9]. 9 ^ Рис. 16 Вернемся к задаче. Длину меньшей стороны участка мы обозначили через л м. Поскольку длина стороны выражается положительным числом, зо л может принимать значения из промежутка (0; 9J. Итак, меньшая сторона участка не должна превышать 9 м, большая же сторона на 5 м длиннее нее. Решая неравенство 4л + 10 <46, (1) 30 !?/. Неравенства мы перенесли слагаемое 10 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и получили неравенство 4х<4б-10. (2) Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны. Г lycTb х = а — любое решение неравенства (1), тогда 4а + 10 < 46 — верное числовое неравенство. Перенесем слагаемое 10 из левой части неравенства в правую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4а < 46 - 10. Из того, что последнее неравенство является верным, следует, что число а является решением неравенства (2). Пусть х = Ь — любое решение неравенства (2), тогда 46 < 46 - 10 — верное числовое неравенство. Перенесем сла1аемое -10 из правой части неравенства в левую, изменив его знак на противоположный, получим верное числовое неравенство 4Ь+ 10 <46. Из того, что последнее неравенство являегся верным, следует, что число Ь является решением неравенства (1). Мы показали, что любое решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Поэтому эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть являюгся равносильными. Равносильность неравенств 4x < 46 - 10 и 4дг < 36, а также неравенств 4д: < 36 и л < 9 доказывают аналогично. , llii МЛЖО. 1/С! МГ11Allii Ш^гГгПтг ^г1 |#С Упражнонне 1. Решить неравенство 3(5jc- 1)+ 10>7-2(1 -6х) и отметить на координатой прямой множество его решений. • Раскроем скобки; 15д:-3+ 10>7-2-ь 12х; перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенст ва, а остальные — в правую часть: 15д:-12х>7-2 + 3-10; приведем подобные слагаемые; Зл: > - 2; разделим обе части неравенства на 3: 2 JC> ~т- 2 ^ Ответ. д:> , или 5. Решение перавеисте с одной пе/^менной. Раенос1имше iiepaeeHCimia 31 Упражнение 2. Решить неравенство----------<1, отметить на координат- 6 9 ной прямой множество его решений и записать это множество в виде числового промежутка. • Умножим обе часги неравснстаа на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, то есть на 18. Получим; —<18; 9/-3-4/<18; 9/-4/<18 + 3; 5/<21; /<4,2. 6 9 4Д Огвег. (-оо; 4,2]. • Упражнение 3. Решить перавенсгео -2 < Зх-1 <5. • Умножим все части неравенства на 2; -4 < Зх - 1 < 10. Прибавим ко всем частям неравенства число 1: -4+1 <Зх-1 + 1 <10+1; -3<3х<11. Разделим все части неравснс'1 ва на 3, получим: -1 < х < 3^ Отвез. —1 < X < 3—, или -U3- Упражнение 4. Решить неравенство: а)|2х-3|<5; б)|Зх-1|<-4; в)|2х-1|>5. • а) Решениями неравенства |2х-3|<5 являются числа, удовлетворяющие двойному неравенству -5<2х-3<5. Прибавим ко всем частям неравенства число 3, получим: -2<2х<8. Разделим все часги неравенства на 2: -1 <х<4. -I 4 X Ответ. [-1;4]. б) Модуль числа — число неотрицательное, поэтому модуль числа не может быть меньше числа -4. Неравенст во |3х - 1| < -4 не имее т решений. Ответ. Решений нет. в) Выражение 2х-1, стоящее под знаком модуля, должно принимать значения меньше-5 или больше 5. Итак, 2х- 1 <-5 или 2х- 1 >5. 32 §1. Иериаепстви Ксли нужно наЙ1И все значения х, удовлетворяющие нсравснсгву 2т - 1 < -5 или неравенству Zt - 1 > 5, го говорят, что нужно решил ь совокуп- '2х-1<-5; ность неравенств, которую записывакгг -гак: ^ ^ ^ ^ Решая каждое неравенство совокупности, получим; jc< -2; т > 3. Решениями совокупности являются значения х. удовлетворяющие неравенству т < -2 или неравенству т > 3. -2 3 ^ Ответ. jc<-2 или т>3. (Ответ можно записать и в виде объединения промежутков: -2)и(3; -н»).) • 2т < —5 +1; ‘2т <-4; 2т >5+1; 2т >6; [■ ! 1 1 L_ ILj Устоо _L .1. 1 i ’ ! - ■“ i i.. 106. Равносильны ли неравенст ва: а) 5jc+1 >0 и 5т> 1; б)3т<0ит<(); в)-2т>0ил:>0? 107. Обоснуйте равносильность преобразований при решении неравенсгва: Зт-2>1; Зт>1+2; 3т>3; т>1. 1 I a]-- . L T _1j 1 1 ; уровень' . J . LI- j._r Lt_J Решите неравенство, отметьте множество его решений на координатной прямой и запишите это множество в виде числового промежутка: 108. а)т-5>0; 109. а) 2т < 5; 110. а)5т-3<(); 111. а)т-2<(); д) -0,8т > 0; б) т + 7 < 0; б)Зт>-15; б)4т-7> 11; б)т + 3,5>0; е)8т-12<0; в) т - 3,2 < 0; в) -Зт < —36; г) т + 5,3 > 0. г) -0,5т < 0. в)2т-9<5+т; г) 19-т>5 +6т. в)5т> 15; ж) Зт + 11 > 5; г) -2т < 5; з) Зт- 13 >7т + 3. 112. Решите неравенство 9т-5>4т + 3. Запишите три значения т, являющиеся решениями этого неравенст ва. 11-^-Решите неравенство 11-2т<15-4т. Являются ли решениями этого неравенства числа -3; 0? Решите неравенство: 114. а)4(т-3) + 1 > 12 -3(1 -2т); б)9-2(5 + Зт) <4(1 -2т); в)4л-12(3а-1)< 16(1-а); г) 5(т +3)-3(1-т) > 1 - Зт. 5. Решение iiepdeeiicnui с одной переменной. Рштоеильпые перакенешва 33 «15. а)7(д:-2) + 20<4(л-3)-9; в)г+ 10<5(2г + 7)+ 14(5-г); б) 2(3->)-3(2+>0^>-; i)5v-Cv + 3)-4(2-.v):S9. т ч 5.Т х-6 Зх а) 4^«= б) -J <0; в) 8 г) 7т 2х-1 х + 1 х-5 а) — >()■ 4 - ’ б) 3 <0; в) 8 ^ г) 3 >4. Б I 1 "Г” У|эо^е|нь| Б|^ ГТ"^ •fi—;г—№•! 1 . 2л + 1 2х-3 ^ 1 -----6--Т2- -.1-х 1 + .j: ^ 7 б)-----^ 30 15 60 б) 0<2-5л<7 ; 8-JC г)-2<- 4 <2. Решите неравенство: 118. а) 250(л - 3) > 500(х + 1) + 750; 119. а) 90(л- - 12) + 180U + 6) < 270; Решите двойное неравенство: 120. а) -1<Зд: + 4<5; . „ 1 + 2а в) 2<-^—<6; 121. а) -\<1 + 2у<А-, в)0<^^<5; о Региите неравенство: 122. а)|5х-91<7; в)14л-15|<-2; 123. a)|2jc-7|3; г)[т+ 11>0. б)|1 -4л|>5. Т J ■'I I Уровен1»&1 I i_I.. ’’’ 1 • • 1 J _ 126. Решите неравенст во; а) 51л -31<9 + 2|л-31; в)4-|2.г + 91>3(|2д: + 91-4); б)11-2(л + 6)1>11; г)]! -4л| + |д:|<-2. 2 Кравчук В. Алгебра. 9 кл. Учебник 34 #/. Неравенства 127. Докажи те равносильност ь неравенств; а) 30(jt - 5) < 120 и л - 5 < 4; 6) ^ (х + 3) > у д: и 2(х + 3) >х. L I 1 г- J-- jj- упра]|(н ?нця fljpi рорторен|ц т \ ! 1 1 1 i 128. Решите уравнение; а) [х| - 1 = 5; б) |3х + 4] = 8; в) Зх + [.т] = -7. 129. По течению реки катер прошел за 7 ч такой путь, который он проходит за 8 ч против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 30 км/ч. 130. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Рхли цифры числа поменять местами, то получим число, которое меньше данного на 18. Найдите данное число. 131. В слове лтттип произвольно меняют местами две буквы. Найдите вероятность того, что после этого стюва получится слово мама. Линейные неравенства с одной переменной Рассмотрим несколько примеров. Пример I-Решить неравенство 2(6х + 5) + Зх < 40. • 12х+ 10 + Зх<4(); 12х + Зх<40-10; 15х<30; х<2. Множеством решений неравенства является числовой промежуток (-оо; 2]. Ответ, (-со; 2]. • 11ри>\1С|) 2.Решить неравенство 4(3х + 7) - 9х > 20 + Зх. • 12х + 28 -9х> 20 + Зх; 12х-9х-Зх>20 - 28; о ■ X > -8. При любом значении х значение левой части неравенства 0 -.х >-8 равно нулю, а нуль больше -8. Поэтому множеством решений данного неравенства является множество всех действительных чисел, то есть промежуток (-о°; +о°). Ответ. ОО* *4*^). • б. JliiiieiiiihK’ псривспспша с одной переменной 35 Пример 3. Решить неравенство \4х + 17 < 8л + 6(л + 2). • 14л+17<8л + 6л+12; 14л-8л-6л< 12-17; 0 л<-5. Неравенство О ■ л < - 5 не имеет ре1нений, гак как при любом л значение ее левой части равно нулю, а нуль нс меньше -5. Ответ . Решений нет.* В результате преобразований мы привели первое неравенсгво к неравенству 15л < 30, второе — к неравенству 0 • .л > -8, третье — к неравенству о • л < -5. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами е одной переменной. Неравснсгва вида ax>b,ax>b,ax 0.11олучим: -2л > -8; л < 4. Областью определения функции является промежуток (-«>; 4]. Ответ. (-«=; 4|.i 36 S'/. Неравенства Упражнение 2?ешить нсравснс1во (а + 3)д: < 5 с параметром а. •Рассмотрим три случая; 1) а + 3 < 0; 2) о + 3 = 0; 3) а + 3 > 0. 1) Если а + 3 < о, то есть а < -3, то, разделив обе части неравенства на 5 озрицательное число а + 3. получим: х > —- -. 2) Если о + 3 = о, то есть а = -3, то получим неравенство 0 • .v < 5, решением которого является любое число. 5 3) Если д + 3 > 0. то есть а > -3, то дс < а + 3 Ответ. Если а <-3, то х> ; если а = -3, то решением неравенства является любое число; если а > -3, то дг < а + 3 ...j 1 1 1 132. Решите неравенство: а) 2л < 8; б) Зд: > 6; в) Одг > 11; г)(к<--7; д)(к<8; е)(к>-3. 1 1 L. 1 1 'Т '1 т г 1 и_.. 1 !J_ Решите неравенство: 133. a)9U- 1) + 5л<17дг-11; в) 7(1 -2д:) + 5д:>4-9л; 134.а)9>-4(1 +2у)<у-7; в)у-7(у+1)<5-6(у + 2); б) 8д: - 5(дс + 2) > Зд:; г) 10а ^ 4(а + 3) > 5 + 6а. б) 7(2T-3)>10 + 2(2jf- 1); г) 3(5 + дс) > 11 + 8(дг - 2). Зх . X 4у а За 5х 135. а)^+-<4; 6)-f-y>2; в)^-—>-1; г)-^ + 3<х. 2 3 Зх а За 8 4 ■ 1.36.3) ^-4х<0; б)^-^>1; в)^-^<-3\ г) ^ + ^<2. X . X 6 4 4 2 4 5 137. При каких значениях х функция у = 3(5 - 4х) принимает озрицательные значения? 138.При каких значениях х функция у = значения? 7-8х принимаст неозрицательные 6. Личсипые неравенства е одной переменной 37 Найдите область определения функции: 139. а)>'= у1х-3; б)у= \l2x+6; в)у= -JS-x; 140.а)у- \/.3.t-l2; г)у- >/7-2х. б)у= V4-8x. m (ь-к-. м 1 L. 1 1 -О Решите неравенство: 4 + Зу 141. а) -5у>0; ч .г + 3 ^ 2х — 1 в) X--—->------- 4 4 . За-1 2«+5 _ г) —------г---а<Ъ. 5-Зу 142. а) —— -)'^17-2з.; в) 3 15х-8 <Зх+12 - л о 2л 6)4--+«<-; 143. а) + Зх - 8 < х(х + 2); б) (х—3)^ > х^ - 7х. 144. а)х(х-5)>х^-4х+ 1; б) х(х + 4) < (х + 3)^ 1 5х-4 145. При каких значениях X значение дроби — меньше соответствую- щего значения дроби 2Ах+Ъ^ 146. При каких значениях у значение дроби ——больше соответа вую- щего значения дроби 4-1,2у. B)y=J^^. 147. Найдите область определения функции: I-------- ^2 1 я)у= у1~(9-Их) ; * 148. С' 1Х)рона треугольника 12 см. Какой может быть высота треугольника, проведенная к этой стороне, если его площадь меньше площади прямоугольника со сторонами 7 см и 9 см? 149.Основанием прямой призмы являстся треугольник со егоронами 6 см, 7 см и 8 см. Какой может быть высота призмы, если площаущ се боковой 38 Ilepaeeiicnuiti поверхности меньше площади боковой поверхпоети прямоугольного параллелепипеда, оепованием которого является прямоугольник ео сторонами 5 см и 6 см, а его высота равна 7 см? 150. Туристы планируют совершить про1улку по реке па моторной лодке и вернуться на базу не позже чем через 5 часов. Ма какое расстояние они могут отплыть от базы по точению реки, если скоросгь .иодки в стоячей воде 15 км/ч. а скорость тсчепия реки 3 км/ч? 1 — i 1 1 .. . Уровень В - ^ 1.J L I J- - Т ■!»тНН Решите неравенство: 151. а)2л-Зо<4-7о; 6)3{х +а)-2>1х-а. 152. а) {а + 2)х > I; б) {2а + 3)x > а. 153. Существуют ли значения а, при которых нсравенсгво а(х + 1) < (2а + 3)х не имеет решений? 154. Сушсствукуг ли значения а, при которых решением неравенства (а^ + 2а~3) ■ х>а + 3 является любое число? Т" - j I [ г 1 —Т 1 ! J- \ j 1 VnnsiwuouLia nno ппптлпоииа .* 1 I 1 _L.L.' J 1 .^LL_ П 155. Реши то систему уравнений: [7д:+12з- = 41; а) 8.Т + Зу = 4; б) [3(л + у)-11у = 6,5; ll0x-4(x-y)-17. 156. Цену на ботинки снизили на 10%, а потом еще на 20%. После двух уценок они стали стоить 901 рп. Какова начальная цена ботинок? 157*. Найдите два таких натуральных числа, разность квадразх)в которых равна 133. 158. Древнекитайская задана. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноти. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов? Системы линеиныу. неравенств с одной переменног; 1. Понитие сисгемы неравенств с одной переменной и ее решения. Задача. Одна хозяйка купила па рынке 10 кг помидоров и заплатила за них больше 18 грн. Вторая хозяйка купила такие же помидоры и заплаггила за 5 кг меньше 14 грн. По какой цене покупали помидоры хозяйки? 7. Системы .1 inieiiiihi.x tiepueeitcnm с одной перемсииои 39 Пусть цена 1 кг помидоров х грн., тогда 10 кг стоят Кк грн., что по условию задачи больше 18 грн., то есть Кк> 18. 5 кг помидоров сгоят 5х грн., что по условию задачи меньше 14 грн., то есть 5х < 14. Чгобы решить задачу, нужно найти те значения х, при которых верным будет как неравенство Юд: > 18, зак и неравенство 5д: < 14. Если нужно найти те значения переменной, которые удовлетворяют двум нсравсмсгвам, то говорят, что нужно решить систему нераосиств. Для нашей задачи систему записывают так: [1(к>18; 15х<14. Гд:> 1,8: Решив каждое из неравснспв системы, получим: jc< 2,8. Следовательно, значения х должны удовлетворяз ь условию 1,8 < д: < 2.8. то есзъ цена 1 кг помидоров больше 1 грн. 80 к., но меньше 2 грн. 80 к. (■Кк>18; [.‘5л < 14. поскольку каждое из числовых неравенств 10-2>18 и 5-2<14 является Значение л = 2 является решением обоих неравенств системы верным. Такое значение л называютсистемы неравенств. Onpede:ieiiue Решением сисгемы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором выполняется каждое из неравенств системы. Решить систему неравенств значит найти все ее решения или доказать, что их нет. 2. Решение систем линейных неравенств с одной переменной. Рассмотрим примеры. [2л+3<11; .л+6<5. Пример I.Решить систему неравенств | • Решим каждое из неравенств системы: [2л + 3<11; Г2л<11-3; |2л<8; |л<4; л + 6<5; 1л<5-6; 1л<-1; 1л<-1. 40 ^1. Ilepuecnciimu OiMeruM на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих первому неравенетву последней системы, — промежуток (-оо; 4), и множество чисел, удовлетворяющих второму неравенству, — промежуток (-«>; 11. 4 X Общими решениями неравенств являются значения д, принадлежащие обеим промежуткам, то есть их пересечению; (-«>; 4)п(-оо; 1] = (-оо; ij. Ответ. • f Зх + 4 < 6; Пример 2. Решить систему неравенсгв 2х + 7>4. Зх<6—4; [Зх<2; 2х>4-7; 2х>-3; х<- 3 ^д>-1,5. На координатной прямой отметим множесгво чисел, удовлезворяющих нсравенс1ву х < —, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х> -1,5. -1,5 2 3 Общими решениями неравенств являются значения х, принадлежащие промежутку j^-l,5;yj. Ответ. j^-l,5;yj. • [4х + 1 >9; Пример 3. Решить систему неравенств \ „ [8-х> 11. (4х>9-1; |4х>8; fx>2; [-Х >11-8; |-х >3; [х < -3. На координат ной прямой отметим множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > 2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < -3. -3 Обших решений неравенства не имеют. От вет. Решений нет. • 7. Системы .iimeiiiibix lU'iKittcucnw с одной переменной 41 Следовательно, систему ли1гсйных неравенств с одной переменной можно решить, используя сле;^Ю1цую схему: 1) решаем каждое неравенство системы; 2) отмечаем множество решений каждого неравенства на одной координатной прямой; .f) находим пересечение множеств реиттй неравенств и записываем множество решений системы в виде промежутка ши соответствующего неравенства. Примечание. \х<а\ 1. Рели система неравенств приводится к виду j где а<Ь,то ре- шениями системы являются х<а,10 есть х меньше меньшего из чисел а и Ь. ] А' > а: 2. F.cJin ежлема нсравенсгв приводится к виду s где а>Ь.то ре- I^A ^ Oj шениями системы являются х > о, то есть А больше большего из чисел а и Ь. 1 ^ г Т i ГТЛ 1 ■ •li ! 1. . 1 i _L При!>и'р 4. Реши!ь неравенство |л + 1| + ].v - 2| < 6. • Найдем значения а, при которых значения выражений, стоящих под знаком модх'ля, равны нулю: л+1=0, л = -1; а-2 = 0, а = 2. Значения а = -1 и а = 2 разбивают координаз ную прямую на три промежутка. -12 Раскроем модули на каж/ю.м из промежутков и решим соогве1сгвующее неравенство. 1)а<-1, или .а приналтежит промежутку (-«; -1), чю сокра1ценно заппсывакп так: .ve(-ne; -1) (знак «е» niiiaior; «принадлежит»). При таких значениях а выражение .А+ I принимает отрицательные значения, полому |.t+ 1| = -.а- 1; выражение а-2 также принимает озрицательные значения, поэтому j.v - 2| = -х + 2. Тогда неравенез во |.v + 11 + |.v - 2| < 6 будез' иметь вид -а - I - а + 2 < 6. Решим полученное неравенез во; -2а <6+1-2; - 2а < 5; а > -2..S. Кроме того, значения х должны удовпетворять неравенству а<-1, а значит, и 1.А< -I; системе неравенств j >25 решений этой системы является проме- жуток (-2,5; -1). 2)-1 <а<2, или ,те[-1;2). Значения выражения х+ I при таких значениях а иеозрицатсльны, поэтому |.х ч- 1| = а+ I; выражение а-2 принимает отрицательные 42 J/. Ilepaticiicinea значения, поэтому |л: - 2| =-x + 2. Заланное неравенство на промежутке |-1;2) без знака модуля имеет вид; .т + 1 - .т + 2 < 6, шкуда О • .< < 3. Решениями последнего неравенства являются любые числа. Поэтому все числа из промежутка [-1;2) являются решениями заданною неравенства. 3)х>2, или ле 12; -и»). F 1а этом промежут ке выражения .т + 1 и эг - 2 принимают неотрицательные значения, поэтому |.т + 11 = .т + I, |а- - 2| = дг - 2. Заданное неравенство на промежу тке [2; +<*>) без знака модуля запишется так: .т + 1 + .х - 2 < 6, откуда 2х<1\ X < 3,5. Значении X должны удов.пстворять двум неравенствам: л >2 и .х<3,5, то сеть системе |л>2; [л <3.5 множеством решений которой является промежуток [2; 3,5). Итак, множеством решений заданного неравенства является объединение промежутков (-2,5; -1), Г-1; 2) и |2; 3,5), то есть промежу ток (-2,5; 3,5). -2,5 -1 3,5 Упражнение 1J 1рн каких значениях ,т имеет смысл выражение \l2x+9+з/З + х ? •Данное выражение имеет смысл при тех значениях х, при когорых каждое из выражений 2х + 9 и 5 -ь ,т принимает неотрицательные значения. Поэтому искомые значения х должны удовлетворять систему неравенств 2.х-ь9>0; 5-t-Jc;>0. Решим полученную систему; [2х+9>0; |2.т>-9; + х>0; |д->-5. 5 4 Общими решениями неравенств являюзея значения х, удовлетворяющие неравенству х > —4,5. Ответ, д->-4,5. • д-2 Упражнение 2Решить неравенство д-ь1 >0. •Дробь положительна только ’гогда, когда ее числитель и знаменатель lIoлoжитeJ7Ыlы или когда они оба отрицательны. Поэтому решение данного неравенства сводится к решению двух сисгем неравенств: 7. Системы .тиеииых иериаеисти с одной переменной 43 |д--2>0; |д:-2<0; |д + 1>0; |х+1<0. Решениями первой системы являются значения х, удовлетворяющие неравенсгву лг > 2, а второй — неравенству дг < - I. Огвез. X <-1 или д >2. (Множество решений можно записать в виде об1.единения промежутков: (-«>; -1 )и(2; +<»).)• Замечание. Решение неравенства (д -2)(л: + 1)>0 также сводится к решению двух сип см, приведенных в предыдущем примере. Поэтому множеством решений лого неравенсгва также являегся (-«>; -1)и(2; +«=). Упражнение 3. Решить двойное неравенп во 4 < 3 - 2д < 9. • Данное двойное неравенство можно записать в виде системы [3-2.v>4; 13-2д<9. Решим систему; -2.г>1; Jx<-0,5; -2х<6\ U>-3. шштшшж 3-2х>4; |-2д:>4-3; J-2 3-2jc<9; [-2jc<9-3; [-2 3 (J Ответ. 1-3; -0,5).* Заметим, что двойное неравенство в упражнении 3 можно решать и на основании свойств равносильности неравенпв (см. пункт 5, упражнение З). 1 ■ 1 V. 1 L.J.J г 1 т п 1 1 Г I i 159. Какие из чисел -4; 0; 5 являются решениями системы неравенств 3х<0: [х+7>П? 160. На рисунке 17 отмечены множества решений неравенпв системы. Верно ли записано множеп во решений сипемы? о 3 ^ решений нет; 3 4' (4; +«); а) б) -4 1 (-4; 1]; в) 4 6 (-С»; 6J. г) Рис. 17 44 S!. Исривснспиш __ 161. Какие из чисел -3; 0; 5; П являются решениями системы неравенств |7-3.с<8? 162. Является ли число-2 решением системы неравенств; Г7д'+8<3; (■Зд-1<0; ^М5д.9>и Решите систему неравенств: |4-Зд>0; |бд-11<3; в) 163. а) д>3; д>5; б) д< -2; д <3; в) д<4; д>-1; 4д + 5>2? д >4; д<-3. 164. а) д<-4; д <0; б) д >5; д<-1; в) д>-2; д>3; д<5; д>-1. 165. а) д-1>0; Зд>12; б) -2д<8; д-5 >0; в) 4д<20; 2д + 4>0: |) -4д>10; Зд-15>0. 166. а) д+7 <0; 5д < 15; б) д-9>0; |3д + 6<0; |9-4д<0; -д>2; **М5-2д>0; ^ |Зд(-1>0. |4д + 6<7д; *67. а) о m ^ (д-9 > 10-5д; [1.1д—2 > 1,4д-3; ®М4-9д<1-2д; |21-5д<8 + 2д; |зд + 7,7<1+4д. 168. а) |14-6д>Зд + 2; |^11д-3<2д + 15; б) '^-7>'>Шу+3; 5v + l,2 > 6-3v; в) |8д+5 < д; |юд+14<2д+13. 169. Решите систему неравенсгв и укажите наибольшее целое число, которое являегся ее решением: а) 3-4у<19; 6з’ < 11; б) 8-4д<0; 4д-1<24-д; в) 5-4д<17; 3<23-5д. 170. Найдите нагуральные раиения системы неравенств: а) 3д+8,<23; 4д + П>3; |20-4д>-12; [7д+9>30; в) 15-д> 14; 5д + 12<-8. 7. Системы линейных неравенств с ойной переменной 45 1---Г L Г I П'ТТ ч- 1. 1.1 ! . Решите систему неравенств: [5(3-jf) + 4(2jc-6)>2,r-7; 171. а) в) 172. а) 173. а) [l Ь—17(1 + 2;с)<11-14х; [9(x+2)-7,2(2r+l)S1.8+0,9;r. [l0,x-6,5(jt-2)< Ц5л^+1; I 11jc-5(2 + 3x) > jT-8; 7(1-2л:) + 10л<1-4а:; а а с 2- б"=- 3- 2 г 1; в) 174. а) • 175. а) Ах-\ -д:<4; 2jc-^>1: 3 а — 3 0 — 2 <1; 4-|г0; ^(2-3jc)+0,5>3; 1.6-|^(6л--1)<0.6; 3 17-^(18д: + 1)>5д- + 1 176. а) 9 [4д:-и>9д+2,4; |8д:-9-3(4х-12)<2д:+17; |14(дг-1)-19;с+31>1-2л; |>’(>'-2)-(г+4)<1-6);. jll-3,2(x-0,5)<2,8jc+3; |4,5л-3(х-1,5)<13+0,8х б) у, У—^—<4; у-1 5 3 <2; г) ■ б) б) 2^-111 <6: --—>2. 2 8 3>-1 5-6>>-1 >1; <1. 8 |л + 11<Зд:-8; 12 + 2,5л>3,Зл + 2. [7-0,6(5д-+2)<10; б) 1 [1,2л-+3>2,8л-1,8. 6х+1 177. 11ри каких значениях аргумент значения фу41К!1ии у = —^— принадлежат промежугеу [-3; 1J? 46 §1. Ih'iHieeiicmea г, j l-4x ^ 178. При каких значениях аргумента значения функции у= —^— оольшс -2, но меньше 4? Решите неравенство: 179. а) {X - 3)(д- + I) < 0; б) (х - 1 )(2v + 5) > 0; 1-2х . х+2 „ 180. а)(х-2)(2х-5)<0; г) б) 4-2х л* + 3 <0. х-1 >0. 181. Пайди-ге обласгь определения функции; а) у - \/2х + 10-л/9-Зх: б) y — ^j4-x +л/5-4х. 182. 11ри каких значениях х имеет смысл выражение; а) V3-5x + Vj^; б) ^Г^-л/Зх-б? 183. 11оезд движезся с некоторой скоросгыо. Если он увеличит скороезь на 10 км/ч, то за 4 ч пройдет меньше, чем 260 км. Если же он уменьши! скорость на 5 км/ч, то за 5 ч пройдет больше, чем 240 км. Какой могла быть скорость поезда? Г Г JLL S. ■г; 184. Решите неравенство; а) |,т| + |4х - 11 < 3; в)Зх+[х-11<7; 185. Решите систему неравенств с параметром а: [х + я<5; _ Г4х + я>1; б)|2х + 5|-|Зх-6|>4; г) |6 - Зх| - (Зх - 5) > I. а) Зх < Зя; б) 5х-я < 8. 186. Смешали 2 кг 30%-го раствора серной кислоты с 3 ki другого раствора этой же кислоты и получили раствор, процентное содержание в котором серной кислоты больше 36%, но меньше 42%. Сколько процентов серной кислоты содержал вггорой раст вор? Т "Т ~1Уирджне14ия для повторения l, 187. Найдите значение функции г = 4 - 2х’ при х = 0; х = -3; х = 3. Проходит ли график этой функции через точку ,4(4; -28)? Интересно лтть 47 188. Постройте фафик функции: а) у = 2х — 2; б) v = -^Jc+2. 3 189. Найдите значение к, при котором графики функций у = кх + 4 и у — 0,5д; — 2 пересекаются в точке, расположенной на оси абсцисс. 190. 11айдите три последовательных натуральных числа, если известно, что сумма кватрагов наименьшего и наибольшего чисел в 5 раз больше третьего числа ГТ i —р- 1 г .1 . TT~i ! F т 3 нать I '.I Как извесгно, возникновение чисел обусловлено потребностями практической деятельности человека. Применение чисел требоваю умения их срав-нивазъ. Делагь это люди научились много тысячелсгий назад. Еще в «11ачш1ах» Евклида сугубо геометрически было обосновано нера- ^ > 4ah , где анЬ рассматривались как длины отрезков. венсчво Рассмотрим геометрическую иллюстрацикл неравенсгва а>0,й>0. а+Ь где На отрезке MN длиной а + Ь как на диа-мелре построим полуокружносзъ, О — ее центр, МК = а, KN = h. Проведем перпендикуляры РО и LK к прямой MN, где Р к L — точки полуокружности. Треугольник MLN — прямоугольный (ZT = 90°), LK — его высота, поэтому LK = yjMK ■ KN = yfah . Отрезок РО — радиус полуокружности, поэтому РО - ^MN ~ . Поскольк"у РО > LK, то a+h 4^. Эю извесгное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое можно распространить на случай большего количесгва чисел, называют еще неравенством Коши. 48 §1. Неравенства Огюсгён Луи к'ошй — извесгный французский математик. Он является автором более 800 работ по арифметике и теории чисел, ал1сбре, математическому анализу, теоретической и небесной механике, матема-гичеекой физике и т. п. Были периоды, когда Коши каждую неделю подавал в Парижскую Академию наук новую маземазичеекую рабозу. Скорость, с какой Коши переходил от одного предмета к другому, позволила ему про.'южить в математике немало новых путей. Многие теоремы, определения, признаки носят его имя. Приведем еще два извесзны.х неравенства, которые, как и неравенезво Коши, иепользуюг для доказазельства многих матемазичееких утверждений, в частности, для доказательства .других неравенств. 0| И»С1ен .Луи Коши (1789- 1857) Неравенство Коша — Буняковского: {а^ +а^ +...+ al){h^ +Ь^ -Н...-Ьб,^)>(я,й, +...+ а^р^)\ где «1, «7., .... я„; Ь>, Ь2,h„ — любые действкгельные числа. О В. Я. Буняковском читайте в рубрике «Отечесз венные математики». Неравенство Бернулли: (1 + а)' ^ 1 + «А, где JT > -1, и — натуральное число. Якоб Бернулли — швейцарский математик, профессор Базельскою университета. Основные его работы посвящены математическому ана.зизу, но особое внимание ученый уделял теории вероятностей. Немало теорем названы его именем. Бернулли положил начало одному из разделов прикладной маземагики — математической сгатистике. Якоб Бернулли (16.54- 1705) Вопросы и упражнении дня повторения ^ I 49 Вопросы II уиряжисиия Д.1Я повторения §1 1. Когда число а больше числа h, меньше числа Ь, равно числу fo? 2. Как расположены на координапюн прямой точки, соотвегствую-щие числам а и h, если а < h: а > h? 3. Какие неравенства называют строгими; пестро, ими? 4. Сформулнруйзе свойства числовых неравенств. Локажизс их. 5. Сформулируйте свойство сложения числовых неравенств, докажите его. 6. Сформулируйте свойства умножения числовых неравенств, докажите его. 7. Сформулируйте следствие из евойства умножения числовых неравенств. 8. Приведите примеры неравенств с одной переменной. 9. Что называют решением неравенства с одной переменной? Что значит решить такое неравенство? 10. Приведш е примеры числовых промежу! ков. 11. Какие неравенства называют равносильными? 12. Сформулируйте свойства равносильности неравенств. 13. Когда неравенства с одной переменной образуют систему неравенств? 14. Что называют решением системы неравенсге с одной переменной? 15. Назовите шаги решения сисгемы линейных неравенств с одной переменной. Дикажг1гпе неравенство: 191. а)(4« + 3)->48«; в) 2а' +1? + с~> 2a(h + с ); щ-+п^ ^ д) ---г-- >/« + «- 1; б) 4ib + 2)<{b + 3)--2h; г) а' + Ь' -Н с’ -в 3 > 2(а + Ь + г ); . а'+0 + 2 е) 'Jo' T-t/-bl ■>2 192. а) j - > 0. ?> > 0; 1 + - 1 + б) 1 + в) .г + > 8, если JT -ь у = 4; + Ь' + с~> аЬ -в ас + Ьс\ если X > о, V > о, г > 0; д) Jc^ -в у" -в 1 > X) -в X -в у. 50 #/. Ilepdiieiuimta 193. Выделив из трехчлена квадрат двучлена, докажите неравенство: a).v^ + 4x + 5>0; б)а^-10а + 30>0; з) + 2ху + 2у^ > 0; г).х -ху+ у >0. 194*.В каком случае катер зазратит больше времени: если пройдет 30 км по течению реки и 30 км против зсчсния или если пройдет 60 км в стоячей воде? 195*.Два катера, имеющие одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум разным рекам одинаковое расстояние по течению реки и возвращаются в те пункты, из которых вышли. В какой реке на это движение позребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением? 196*.Докажитс, что для любого треугольника ЛВС выполняется неравенство АВ + ВС — АС < 2ВМ, Где М — произвольная точка стороны АС. 197. Оцените значение выражения: а) «-2fc, если-3 <« <-2,5; l,5); в)(^;-7]; г) (2; 7). Назовизс, если возможно, иаиболыпее и наименьшее числа, принадлежащие заданному промежутку. 200. Является ли число 1,999 решением неравенства .г <2? Найдите любое число больше 1,999, удовлетворяющее данному неравенству. Решите неравенство: 201. а) ll(x-b7)-14jc<37+13х; б)0,3х-1,1(4-2x)>7,5x+1,6; 2я+9 9я 5 10^"’ 1 + 2у , 4y-t --1 <- в) |(1-И-|(4-10л)<41 + 2д; г) 202. а) 2у-1 5у Зу-1 , 2 6 3 б) 11—Зд 8-ьЗд.., в) 1 >3 • 3 2 " ’ г) 203. а)|х-3|< 18; в) 1 ~[х:-ь2|<2([т-ь2|-ь5); 4 8 б) |2.г-ь7|>9; г)|1-4л| -ь|л|^-2- 204. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: а) 8 - 3(х + 1) > -10; б) 7 - Зу > 2у - 23. Вопросы II упражпсшт д.т повшореппн ^ I 51 12-5v 205. При каких значениях х значение дроби —j— больше соо1вететвую- шего значения дроби — ? 2 206. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет отрицательный корень; а) 5.T -2а-0; б) д: - 7 = За\ в) л + 9 = 4й + 3; г) 1 - 2т = За + 5. 207. Ученику нужно купить Kiiniy, которая стоит 3 i рн. 20 к., и несколько тетрадей по 80 к. Какое наибольшее количество тетра^тей може'г купить ученик, если у него ест ь 9 грн.? 208. Из Киева в Ровно выехап автобус и двигался со скоростью 70 км/ч, а через час вслед за ним выехш! автомобиль. С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы догнать автобус до его прибытия в Ровно, если расстояние между этими юродами 320 км? Решите систему неравенств: 209. а) [Зл' + 4> т + 2; -7т<1; б) [5-2т <9; 10-Зт<7-1,2.г; в) |тЧЗ<0; 13т-2(т+7) <9т; •) I З.Т + 5 > 0; 2,5т-0,15<0,6т + 0,8; д) Зт + 2,4< 7т+1> т-11 5 ’ 2-21т (5(т-3)(т+3)>9т + 5т'; е) 1т+3<у+2; ж) т , 2т . 1,4т-|..т; |(2т-1)Ч5>4.гЧ3.1-; 1о,б(т-5) + 1,4т<6т-1. 3т>0; 210*. а) ■ -2т <0; т+5>0; в) 5т <10; -2т < 0; 2тЧЗ>0; б) 4т <0; ■ 5т > 0; [т-7<0; т + 5<0; Зт>-27; —2т > 12; т<0. 52 SI. Иеривепспши 211. Найлигс множество неотрицательных чисел, удовлетаориющих систему неравенств: )7у-2(у-6)>5у + 9; “^|l2y-2(3-2y)<2(y-2); 212. Решите двойное неравенство: а) -3 < 2т + 5 < I; в) 213. Решите неравснс! во: a)(x-2)(2T-3)<0; 6 + 2у б) 9 + у 2у-1 1- 9 3 у+4 <0; <0. в) <0; д) |а■ + 2| + |jc - 2| < 6; б)3<2.-л-<9; г) 2<-^<3. б) (3-х)(4-2т)>0; е) |4х + 2| - |х - 6| > ). 214. Длина прямоугольного участка 12 м. Если ширину :»того участка увеличить на 1.5 м, то площадь станет больше 90 м^. Если же ширину участка уменьшить на 0,5 м, то площадь станет меньше 72 м^. Какой может быть ширина участка? 215. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат со стороной 2 м. Если высоту бака увеличить на 0,6 м, то объем все же будет меньше 24 м^. Ехли же высоту бака уменьшить на 0,2 м, то объем будет больше 20 м^. Какой может быть высота этою бака? 'UiOamiH Л/я симопроверкп Л" I 53 Задания для самопроверки № 1 Уровень / 1. Известно, что a у. Укажите верные неравенства: а) л: - 2 > у - 2; б) -х > -у, в) 5.v < 5у; Решением какого неравенства является число -3; а) 5д: + 1 > 0; б) -д: + 7 > 0; в) -2х - I < 0; Какой промежуток отмечен на рисунке: 3. г) 2jc + 1 > 2у + 1. г) дг + 8 < о? а) (-«>; 3); б) (-3; +оо); -3 в) 13; +«>); г) (^; -3]? 5. Множеством решений неравенства Зл + 6 < 0 является: а)(-~:-2]; б)(-°о;-2); в) (-2;+<=о); г) [-2;+оо). 6. Множеством решений системы неравенств 3t+1<7; 2х>-2 является: а)(-оо;_1); 6)[-l;2J; в)(-1;2]; Уровень 2 б) -0,5 и г) 12; +оо). 7. Сравните числа: а) 2:^ и 2-|; 3 7 у 8. Известно, что a6. 12. Решите систему неравенст в |бу >-24; |2у + 3<8. 54 ^1. Перивепата Уровень 3 13. Докажи'гс неравенство: а) (Зт - J)(3/n + 1) > 9т^ - 7; б) дг^ + 8г + 19 > 0. 14. Зная, что 4<л<5, 2<}?<3, оцените значение выражения: а) X + у; б) Ъх - 0,5>. 15. Реште неравенство: 11-З.у а) 4(3дг + 1) - (8д: + 5) < 1 + 4л; б) + л<0. — 3 16. Решите двойное неравенство —1 < —-— < 0. 17. Решите систему неравенств: [3+3,2л>7-1,8л; а) 5 +6л >4,5 +4л; б) 18. Туристы должны пройти некоторое расстояние на моторной лодке по течению реки и вернуться. Скорость течения реки 3 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 15 км/ч. На какое расстояние могут отойти туристы, чтобы прогулка длилась больше 3 ч, но меньше 4 ч? Уровень 4 19. Докажите неравенство: а)(аЧ 1)(л“+ 1)>4д^ б) «Ч 2/?Ч 3 > 2д + 46. 20. Зная, что 0.6 <« < 0,7, 0,4 < 6 < 0.5, оцените значение выражения: а а) а~ - h~; 21. Решите неравенство: а) |3л-0,5|<3,5; б) б) |2л+ 1|> 1. 0,2(5л-1)+^(Зл+1)<л+5,8; 22. Найдите целые решения системы неравенств 23. Найдите область определения функции: 8л-7-^(6л-2) > X. а) у-у1х+3-у1Л-Зх; б) > - >/Зл-4 л-2 24. Два туриста прошли путь из пункта А в пункт В. Первый турист первую половину времени двигался со скоростью ?^i. а вторую половину времени — со скоростью V2. В горой же турист первую по.човину пути шел ео скоростью Vy, а вторую половину пути - со скоростью Vi- Кто из них затрашл меньше времени на путь из пункта А в пункт В, если г'| Ф v{i КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ Моделируя реальные процессы при помощи функций, довольно часю приходят к так называемой квадратичной функции, частичным случаем которой является уже изученная функция у = х^. В этом параграфе мы изучим: что такое квадратичная функция, каковы ее свойства и график; что такое квадратичное неравенство, как решать квадратичные неравенства, исходя из свойств квадратичной функции. 56 §2. K(i(it)puinii4na>i функция HQH функция. Область определения, область значений, график функции в 7 классе мы нача,1н изучать одно из важнейших понятий математики — попягие функции. 1. Что такое функция. Напомним, что переменную у называют функцией от переменной х, если кожОому значению переменной х соотвстствусз единственное значение переменной у. При этом переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у — зависимой переменной, или функцией (от api уменга х). Вели переменная у является функцией от аргумента х, то записывают: у = ({х) (читают: у равно / от ,v). Значение функции при х = хц обозначают через /(tcj)- Так. если функция задана формулой у = 2г - 3. то можно записать: f[x) = Zy - 3. То1да, например, Д1) = 2- 1 - 3 = -1, fy.2,5) = 2 • 2,5 - 3 = 2. 2. Область оиреле;1ения и область значений функции. Множество значений, которые принимает независимая переменная (аргумент), называют областью определения функции; множество значений, которые принимает зависимая переменная (функция), называют областью значений функции. Область определения функции y = f\x) обозначают D(f) или D{y). а область значений — /:(/) или Е(у). Так, областью определения линейной функции Да) = 2v является множество всех действигел1.ных чисел, то сеть D(/) = (-«=;+<»). Множеавом значений этой функции также является множество всех действительных чисел: £(/) = {-°о; -н»). Ьели функция задана формулой у =Д.т) и не указано, какие значения может нрини.мать аргумент, то счигают. что областью определения фуикшга является множество всех лсйс1втгтельных чисел, при которых выражение Да) имеет смысл. Вели выражение Да) яштястся многочленом, то областью опрсделетшя функции .у=Д.г) является множество всех .действительных чиее;!; если Д.т) — рациоиатьная дробь, пт областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме тех значений а, при которых знаменатель дроби равен нулю; если функция затана формулой y-yjf{x) , то областью определения функции является множество всех дейсплительных чисе.т, при которых выполняется неравенствоДа) > 0. 2 2 Рассмотрим, например, функцию у = Выражение имеет А-3 А-3 смысл при всех значениях а, кроме а = 3. Поэтому областью определения :утой функции является множество всех действительных чисел, кроме х = 3, то есть /Ду) = (^; 3)сэ(3; л-о°). 3. График функции. Графиком функции называют фшуру, состоящую из всех точек координатной плоскост и, абсциссы которых равны всем значениям аргумента, а ординаты - - соответствующим значениям функции. 8. Функция. Область определения, область шачений, график функции S1 [ рафики функций, которые мы изучали в 7 и 8 классах, а та1сжс их области определения и области значений приведены в таблице. 5S §2. /\иш)ратич1шя функции На рисунке 18 изображен храфик функции у =Дх), областью определения которой является промежуток |-2;4J. Точка М{2; 4) принадлежит графику. Это значит, что при .х = 2 значение функции равно 4; Д2) = 4. Очевидно, что наименьшее значение функции равно -I. Эго наименьшее значение функция принимает при дг = 4. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при х = (). Областью значений функции является промежуток [-1; 5]. 1Г] I г Tfкту :|со^е-|-з|<ат^ Ег1больше 1, - L Р 4. Задание функции несколькими формулами. Сушесгеуют функции, которые на отдельных частях области определения задаются разными формулами. Например, если функция у = J\x) задана в виде 2х + 3, еслидг<-1; Дх) = X', если -1 <х < 2; 4, если X > 2, то это значит, что при х<-1 значения функции нужно искать по формуле fix) = 2х + 3, при -1 < X < 2 — по формулеУ(х) = дГ, а при х > 2 — но формуле/х) = 4. Так, fi-2) = 2 ■ (-2) -ь 3 =-1; /(1) = l’ = I; fi5) = 4. Чтобы nocipoHTb график такой функции (см. рис. 19), достаточно на промежутке (-оо;-1] построил, график функции у = 2х + 3, на промежутке (-1;2] — храфик фу 1ХКЦИИ у = х‘ и на промежутке (2; -к») — график функции у = 4. и. функции. Ofruicnih опрсда. It’ll ни, на нить 11шченнн, график функции 59 Описанным способом можно залать и функцию у = |jf|; Iд:, если X > 0; ^ [—X, еслих<0. Г рафик функции у = |х| изображен на рисунке 20. 5. График функции, формула которой содержит аргумеиз под знаком модуля. Построим [рафик функции у = |х- Ij + |х+ 1|. Найдем значения х, при которых значения выражений х - 1 и х + 1, стоящих no;i знаком модуля, равны нулю: х-1=0;х=1; х+1=0;х = -1. Значения х = -1 и х= 1 разбивают координатную прямую на три промежутка (см. рис. 21). Гнс.21 Учитывая определение модуля числа, получим: если х<-1, то X - 1 <0, х-1-1 <0, поэтому |х-1| = -(х-1),|х-1| = Чз:+1)и y = -(^-l)-(jc-bl) = -2x; если -1 <х< 1, го х-1<0, х+1>0 и у = -(х- 1) + (х+ 1) = 2; если х> 1, то х-1>0, х+1>0 и у = (х- 1)-1-(х-1- 1) = 2х. Чтобы по-вучить график заданной функции, сзроим на промежутке график функции у--2х, на промежутке [-1; 1) — график функции у = 2 и на промежутке [1; -н») — график функции у = 2х. Искомый график изображен на рисунке 22. 1 “1 " т I I Примеры решения упраж|нений i ! ’ 1_1 L J Упражнение 1. 11айти область определения функции у = л/4 - 2х + в Область определения функции образуют те значения х, при которых выражение 4 - Zv принимает на>трицательиые значения, а выражение Zv — положительные значения. Следовательно, нужно решить систему неравенств 4-2х>а, „ Получим: 2х > 0. 60 S2. Киидратичная функция о 2 Областью определения функции является промежуток (0; 2J. OiBer. (0; 2]. • I i '“П ■■ т 1 1 I 1 ' -г“-1 i Т 1 1 1 L 1 .1 1 yjCTpO L_J i_J 216. Функция задана формулойДд:) = 15 а) Найдите значение функции при jc = 1; х = 3. б) Укажите область определения функции. 217. Функция за,тана формулойДх) =х“, где-1 <х < 4. а) Найди! е: б) Укажите область отределения функции. 218. Функция у = Дх) задана таблицей: JC -2 -1 0 1 2 Ax) -A -1 0 -1 -4 а) Найдите: Д-1);Д2). б) Мри каких значениях аргумента значение функции равно -4? в) Укажите область определения и область значений функции. 219. На рисунке 23 изображен «рафик функции V =Дх). а) Найдите: Д-3); ДО); Д1); Д2). б) Укажите область определения и область значений функции. Рис. 23 220. Какова область определения функции, заданной формулой: a)y = Zy + 1, где0<х< 1; б)у = -х + 5; 3 . 1 ГТ .'■j I H--1 — 1 i —1— 1 1 1 -- i 1 3 \ 1 1 -> 1 1 Vi 1 / 1 / . 1 / A - 3-1- 2.1 'f- -i- hi- h *1 - V -4 в)у = х~Г г)у= 2л/]^? 8. Функция. Ofi.Kicnib (mpcde.ienuii, оО.ни ть ишчении, ,’рафик функции 61 'Т Г—Т" ..AJ 221. с1)ункция задана формулойДд:) = 2д:^ - 2. Найдите; ДО); Д-3);Д4). 222.Функция задана формулойДт) = 5 -л^. Найдате:Д-1);Д1 );ДШ). 223. Найдите значение функции у ■ х + 5 дг-3 прид: = -1. 224, Функция задана формулой Ддг) = 6д - 1. Найдите значения х, при которых: а)Дд:)=11; б)Дд)>-19. 225.Функция задана формулойДд) = Зд + 2. Найдите значениям, при которых: а)Дх) = 17; б)Дх)<-4. Проходит ли график функции че/уез данную точку: 226. а)>- = 4х - 5; .4(3; 6); б)>- = - Зх; i?(2; -2)? 227.a).v = 2х + 8; М(4\ 16); б)у = 4х-д^; N{2\ 2)? Найдите область onpcdaieiiwi функции: 228. а)у- 2^_8’ 22-ла)у=5^; Постройте график функции: 230. а)у = -Зх; б) у = 2х - 3; в)у= л/х-8; в)у= л/4-х; в) у = 5 - 4х; г) у = V2-X. г)у= V2X + 8. г)у=-зх. 2.31.а)у = 2х; б)у = -х + 3; в).У= ~2^- Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций без построения самих графиков: 232. а)у = х^ иу = 5х-4; б)у = х^-хиу = -х + 9. 2,3.3.у = 2-хиу = х^ 234. Найдите коорлиназы точки пересечения «рафика функции у = -3.v + 9 с осью абсцисс; осью ординат. 235.Найди1е координаты точки пересечения графика функции у = 2х+ 16 с осью абсцисс; осью ординат. 62 §2. Kti(u>piimu4ii(i» фупкиня ■ 1 г ‘ I I Ур<^| ' f I ^ Найдите область определения фута)ии: 236. а) 3» = 1 1 2х-4 ;г + 3’ в) 3» = л/-2х-8; I б) з-- -5х + 6 Д) 3» = 237. а) 3^ = л/х + 3 2х+1 х^+8д:-9’ JL х+Г г) у = yjl-4x-, е) у б) 3; = л/4-Зх; 6 в) 3' = V5x+1. 238. Постройте графики функций у = — и у = 4 - 2.v. Найдите координагы X точек пересечения этих графиков. 239. Постройте графики функций У~~ и з> = х - 3. I(айдаге координаты точек пересечения этих фафиков. 240. При каких значениях ар|уменга значение функции у = х^ + 6х - 2 равно; а) 5; б)-11; в)-15? 241. При каких значениях аргумента значение функции у = х^ - 2л + 5 равно: а) 8;б)4;в)-1? 242. Принадлежи! ли число 5 области значений функции з» = Зх^ - 2х + 6? 243. 11рямая у = кх + Ь проходит через точки .^(-1; -2) и М2; 4). Найдите к и Ь. 244. Воду некоторое время нагревали. Зависимость ее температуры / (в °С) 12Х+16, если0<х<7; от времени х (в минутах) задана так; г(х) =100, если 7 <х < 10; -2х+120, если 10<х<16. а) Найдите; г(5), /(9), /(15), начальную и конечную 1емнературы воды. б) Какой физический смысл имеет процесс, описываемый функцией /(х)? в) Постройте график функции /(х), выбрав удобные масштабы на осях координат. Тело движется прямолинейно. Зависимость пройденного им пути s (в 2,5/, если О < / < 2; метрах) от времени / (в секундах) задана так: s(t) = ■ -i 5, если 2 0; Гл^, еслил>-1; 248. а)> = \ ^ [л+ 2, если л<-1; 249. а) у = |2л-4| + |2л + 2|; в) у = |л-1| + |Зл + 1|; . 1 ^ л/Зл+2 Н~3’ к, Л' — 5л + 4 , л’ +л л —1 л + 1 г) y = y[j^ + 3л, гдел<0. 4 6)v = -,если л < -2 или л > 2; X, если-2<л< 2. б) у=|л-3|-|л-2|; г) у = |л + 1|-|2л-4|. 250. Дана функцияДл) = ‘ 4л +12, если X < -2; л", если-2<л<1; 1, если л > 1. а) Постройте график этой функции. б) Решите уравнение Дл) = 2. 251. а) 1 встройте график функции у = |л-4|+|л+2|. б) НаГццпе все значения а, при которых уравнение |л-4|+|л+2| = а имеет два корня; не имеет корней. Существуют ли значения а, при которых уравнение имеет только один корень? ■ГТ ! [ Г г тт~гт t [ 1“Г ! Р Упра^енйя для not : i L -L-. J ' )вт|орен^я 252. За 300 г конфет и 500 г печенья заплатили 7 грн. 60 к. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько 1 кг печенья, если 4 кг конфет дороже 5 кг печенья на 8 грн.? м )?2 h'f,udp(iinii4iui>i функции 253. Задача ю Азбуки Л. И. Толстого. К бочке подведены две трубы, из обеих труб вода leMcr в бочку. Из одной зрубы вода наполняет бочку за 24 мин, из другой — за 15 мин. Еще в бочке есть дырка; через дырку вся вода из полной бочки вытечог за 2 ч. Наполнится ли бочка и как быстро, если пустить воду из обеих труб и вода будет вытекать из дырки? 254. Решите уравнение: 4 о... 36 , 36 ,. , 3 5л- а) = -2л-; = 1; в) -=-1. лг+З jf—15 дг+15 ’ А'+З А-1 255*.Один из корней уравнения а'^ + 2г-9а +й = О равен -2. Найдите ос-гальные корни -}Того уравнения. Свойства функций 1. Нули функции. Промежутки знаконостоянпва. Рассмотрим функцию У = Да), график которой изображен па рисунке 24. При а = -1,а = 4 или а = 6 значения функции равны нулю. Такие значения api уметгга а называют нулями функции. Определение Значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Нулем функции у = х-1 является только одно значение а, а именно: А = 2, так как значение функции равно нулю только мри х = 2. Чтобы найти нули функции у = Дт), нужно решить уравнениеУ^а) = 0. Функция у = Да), график которой изображен на рисунке 24, на промежутках [-3; -1) и (4; 6) принимает только отрицательные значения, а на промежутках (-1; 4) и (6; 7] — только положи тельные значения. Все эти промежутки называют про.межутками злакопостоянства функции у = fix). 2. Возрастание, убывание функции. Рассмотрим график функции у =fi.x) на рисунке 24. На промежутке f-3; 2] 1рафик «идет вверх»: при увеличении значений а из этого промежутка соответствующие значения функции увеличиваются. Например, возьмем значения аргумента Ai=-3 и 9. i (ioiicihiia ф\ .и^цип 65 JC2 = -1, тогда хг > х,. Так каку(дг|) =/(-3) = -2, a^fe) = Д-1) = О, то Д.гг) > Axi). Большему значению аргумента (хг) соответствует большее значение функции (Дхг)). Говорят, что на промежутке [-3; 2] функция у=Дх) возрастает (или является возрастающей). Такова же она и на промежутке [5; 7]. На промежузке (2; 5] график функции у=Дх) «идет вниз»: при увеличении значений аргумента соответствующие значения функции уменьшаются. Говорят, что на этом промежутке функция y = f[x) убывает (или является убывающей). Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этою промежутка большему значению аргумента соответствуег меньшее значение функции. Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией', если же функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей функцией. Например, на рисунке 25 изображен график функции, областью определения которой является промежуток |-1; 5|. Эта функция являегся возрастающей, так как она возрастает на всей области определения. Функция, график которой изображен на рисунке 26, является убывающей, так как она убывает на всей области определения — промежутке [-1; 5]. Определение / 1 N \ t \ - . ( ... м- ^ __ 1 1 -i-T - Рис. 26 Возрастающими, например, являются функции У'= 2х, у = у[х (их графики всегда «идут вверх»), а убывающими — функции у = -2х, у = -х (их графики всегда «идут вниз»). Функция y=fix), график которой изображен на рисунке 24, не является ни возрастающей, ни убывающей. Она только возрастает или убывает на отдельных промежутках. 3 Кравчук В. Алгебра. 9 кл. Учебник 66 <^2. Каадрапшчпая функции Функция У гле к>0, убывает на каждом из промежутков (-«>;0) и (0; +°°), но не является убывающей. Действительно, она не убывает на всей области определения (-о°; 0)и(0; +°°), так как при хг>Xi (см. рис. 27) имеем: уг>у\- J ’ ~П\ гг ! . L ^ ^ ^ ' Для т^х,^ктр jto'kei|'3^a'|bi6ojTiitije W 3. Четные и нечетные функции. Рассмотрим функцию Дат) =лг^, се график изображен на рисунке 28. Так как дли любою значении х ьынилнис'1еи равенство (-л)^ = л", то Д-дг) = Ддг). Функцию Дл) =jt^ называют четной. Функцию у? =Дх) называют чет ной, если для любого значения х из Определение области ее определения значение -х также принад.'1ежит области опреде.тсния и выполняется равенетво/(-дг) =/(дг). Область определения четной функции симметрична относительно нача;1а координат, так как вместе со значением х она содержит и значение ~х. rpaif/UK четной функции сим.иетричен относитечьно rjcuy (см., например, рис. 28). поэтому для построения трафика четной функции достаточно построить часть трафика для о, а потом симметрично отобразить эту часть относительно осир. На рисунке 29 изображен график функции Дат) = дг\ Так как для любого значения X В1.1Полняется равенство (-л)'^ = -(х\ то Д-л) = -Дат). Функцию Дат) = аг* нагтывают нечетной. Определение Функцию У'=Дх) называют нечет ной, если ;тля любого значения х из област и се опрсде.ления значение -х также прнттадлежит области определения и выполняется равенезтвоД-х) = -J[x). Рис. 27 Область опредыения и график нечетной функции сшл.иетричны относительно начала координат. Поэтому для построения трафика нечетной функции достаточно построить часть графика для д- > 0, а потом симметрично отобразить эту част ь относительно начала координат. Рассмотрим функцию Дд) = 2д + 3. Область се определения — мттожество всех дей-ствителытых чисел — симметрична относительно начала координат. Для этой функции 9. Сшшспиш функции 67 У(-л) = -2л + 3. Равенства Д-л) =Дл'1 иД-д) = -Дл) нс выполняются для всех тначений д; например, для д = 1 (Д1) = 5; Д-1)= 1;Д-1) ДЯО и Д-1)#-Д1)). '^га функция не яв;1яегся ни четной, ИИ нечетной. ФункцияДд)=-\/д , где д > О, также нс является ни четной, ни нечетной, так как обласп> опрелетения функции (нромежуток (0; +<»)) нс симметрична относительно начата координат. Итог. Чтобы uccjedimmib функцию у =fix) на четность, нужно: {) найти область определения функции и выяснить, аашетрична ли она относительно начача координат; 2) если область определении пишетрична относительно начача координат, то находим fl-x): а) еет для любого значения х из области определения футкции выполняется равенство f(-x) =Дд| то функция является четной; б) если ОЛЯ любого знтения х из области опредечения функции выполняезпся равенство fi-x) = -fix), то функция явчяетсн нечетной; в) если хотя бы для одного значения х из области опредечения фуню/ии ни одно из этих равенств не выполняется, то функция не яв/чяется ни четной, ни нечетной; 3) если область определения не сичметрична относлчтечыю начача координат, то функ11ия не является ни ueiiuiou. ни нечетной. ТТЛ Т-1-1-1 ^ I-i г Т-1-т Приме|зь| решени^ упражнений у нрджпение I. Найти нули функции у = - 8д + 12 Решим уравнение д:^ - 8д + 12 = 0: D = (-8)T41-12= 16: 8-4 —=2, 8 + 4 , х^ = „ =6. Таким образом, функция имеет два нуля: д: = 2 и дг = 6. Ответ. 2; 6в Упражнение 2. Доказать, что функция >’ = дг^- 1 возрастает на промежутке Ю; +-). • Пусть jci и Д2 — два произвольных значения аргумента из промежут ка ГО; +о°), причем Х2>xi, а у\ и уг — соагеетствуюпше им значения функции, то есть у| = - 1. у2 = ~ ■ Покажем, чтоуч >.V|. Для этою рассмотрим разность 3'2-yi = (Jc?- 1)-(д:^- 1)= - xj =(x-2-j:i)U2+2:i)- Так как X2>xi, то xz -Ai > 0. Значения Х| и лч принадлежат промежутку [0; +с«), поэтому А| > о, Х2 > о (поскольку Х2 > Ai) и Xi + Х2 > 0. Тогда: (А2-А,)(А2 + А|)>0; У2-У1 =(A2-A|)(a2+Ai)>0; У2>)’|- Большему значению аргуметп-а из промежутка [0; +«>) сош вегствует большее значение функции. Следовательно, функция у = а" - 1 на промежутке [0; +оо) возрастает,- 68 '^2. Квидрштг-оши функпия >’||ражис1!нс Четной или нечегной является функция: + Зх; ^).К^) =х' + х^; в)/(х) = дг’ + I ? .Областью определения каждой из данных функций является множество всех действительных чисел. Поэтому область определения каждой функции симметрична сптюсительно начала координат. Дтя любого значения х имеем: + Зх) =-^(jc); функция J{x)=j^ + 3x является нечетной; б)Л“’*^) = (-■*^)^ + (-•^)^ = x"* + дГ =Лх); функцияj\x) = х** + / является чепюй; ^)Л~х) = + I • Возьмем X = 1 и найдем: Л •) = 2; Д-1) = 0. Видим, что Л-1) ;^ЛП иЛ~1) ^-ЯО-Функция Дх) = .г’+ I не является ни четной, ни нечетной. Ответ, а) Мечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная. . Г . i „Т 1 1 1 1 _ 1 1 1. .1 л: 1 256. На рисунке 30 изображен график функции / =f(.x), характеризирующий изменение температуры тела в течение 7 минут. а) В какие моменты времени температура тела равнялась 0 *^0? Укажите нули функции t =f{z). б) В течение каких промежутков времени температура тела была пожь жительной; отрицательной? На каких промежутках функция t =Лт) принимает положительные значения: отрицательные значения? в) В течение каких промежутков времени температура тела возрастала; убывала? На каких промежутках функция t =f(z) возрастае!; убывает? г) Каково наибольшее (наименьшее) значение температуры тела? Каково наибольшее (наименьшее) значение функции t = Д'г)2 9. Ctioiiciiuia функций 69 -4__^У^вень Л 1 I ! I ! I 1 1 I : 'V- ____L... . . A. 257. Ha рисунке 31 изображен график функции у =Дл), где -2,5<х<4. Укажите; а) нули функции; б) промежутки знакопосгоянства функции; в) промежутки, на которых функция возрастает; убывает; г) наибольшее и наименьшее значения функции. Рис. 31 Рис. 32 258. На рисунке 32 изображен график функции у =Дх), где -3 <.v < 5. Укажите: а) нули функции; б) промежутки знакопостояистда функции; в) промежу тки, на к01Х>рых функция возрастает; убывает. Найдите нули функг1ии: б)у-3-2т; т-1 259. а) у = 2.V - 4; г)у = т -6т+ 8; 260. а)у = 6-2.г; Д)У=713: е)у = 6)j =лг-ь2т-8; в)у = в)у = (т- 1)(т + 2); т-1 т" -т 2т-ь! т-2 • Постройте график фунтщи. Найдите се нули. Укажите промежутки знакопо-стояната функции. Является ли данная функция возрастающей; убывающей? 261. а)у = 2т; б)у = 3т-3; в)у =-0,5т-ь 1. 262. 2)3'= 0,5т-1; б)у = -2т-2. 70 §2. Kim0puniii4iuiH функция 1 ' -I_LJ lJ I I I Т~1 ^Ы)веньБ 263. Начерти!e график функции, областью определения которой является промежуток [-2; 4], чтобы функция; а) возрастала на промежутке 1-2; 0| и убывала на промежутке [0; 4J; б) убывала на промежутке [-2; 1], возрастала на промежутке [1;4| и имела два нуля: л: = 0 и л: = 3; в) была возрастающей и имела один нуль — число 2. 264. Начертите график функции, областью определения которой является промежуток [-1; 6J, чтобы функция: а) убывала на промежутке [-1;4), возрастала на промежутке [4; 6] и имела один нуль; л: = 1; б) была убывающей и имела один нуль — число 3; в) была возрас1ающей и не имела нулей. Найдите нули функции: 265. я)у = 2^-2х-\\ б) у = 1 266. а)>’ = -д:^ + 4х-1; б) У =— д: + 3 л—1’ 2_____^ -1 X-V в)у = I д:^-5х+6 х~3 Постройте график функции. Используя график, укажите: а) промежутки знакопостоянства функции: 6) промежутки, на которых функция возрастает; убывает. Является ли данная функция четной; нечетной? л: + 2,если л<—1; 267. а) у =—; X б)у = х^, если -1 <х< 1; 2-л,если JC> 1. 26S. а) у = —; X б)у = -дг-2,если дг <-1; -1, если -1 < дг < 1; дг—2, еслидг>1. Четной или нечетной яв.пяется функция: 269. а)у = д:'’-4дг^; 6)y = x*-x; 1 ■■)>■= х-1-270. а) у = 4дс + дс^; г)у= л/дг-1 ; д)у = х^ + 1 б)у = х‘*~и в) у = х^- 2х; е)у х-4 в)у = дс+ 1; е)у = х^ +2 9. Ceoiicnwa функций 71 ■ 1 ! ‘т i 1^ 1 1 1 1 271. Докажите, что функция= дг^ убывает на промежутке (-оо; 0|. 272. Докажите, что функция у = кх + Ь являегся возрастающей при /: > 0; убывающей при ^: < 0. 273. а) Функция у =f[x) является юзрасгающей, а функция у = g{x) — убывающей. Докажите, что уравнениеДдг) = g(x) имес1 не более одного корня. б) Решите (устно) уравнение \[х - 10-9дс. 274. Областью определения четной функции y=f (.г) является множесзво всех действительных чисел. Посфонте график зтой функции, если fix) = л/х при х > 0. Задайте функцию у =fix) формулой на множестве всех дейсгви тельных чисел. 275. а) Функция у =fix) являс'тся четной и имеет нечетное количестю нулей. Докажите, что число 0 является нулем этой функции. б) Найдите все значения а, при которых уравнение х* - 4л’ + тг - 1 = 0 имеет зри корня. 11айдите эти корни. “Г “I-1-г Упра кн енйу^-д|1я- п^вт И5| г г 276. Докажите тождество: а) + -^] = /н; \ т + п1 \ ml 1 1 б) х-4у х + 4ду и» -16г 277. 11айдите значение выражения; а) 2 + 4>^-2л/з2; б) (Vп-^/з)(^/Г7+^/з); в) (2 + ^/з)(3-^/з)-^^; г) yj(5-S)' +^(1-л/з)'. 278. ЗаОача Бхаскары. Докажите, что yjlO + ^fM + \!^ = yjl +\/з+45 . 279. Расстояние между нункдами Л и Д по шоссе равно 135 к.м, а но железной дороге— 120 км. Автомобиль выехал из пункта А на 10 мин раньше, чем поезд, и прибыл в пункт В на 8 мин позже. Найд|гте скорость автомобиля, если она на 10 км/ч меньше скорости поезда. 72 ,^2. I\i>Mi)paiiiii4iia» функция Ш!Я Преобразования графиков функций 1. г рафик функции у = f{x) ± п, где п > 0. Пусть имеем г рафик функции у = дг^, а нужно ноеггроить графики функций y = jc^ + 2ii_v = jr^ -3. С оставим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента: X -3 -2 -I 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 у = .х~-ь2 П 6 3 2 3 6 11 у = х^-3 6 1 -2 -3 -2 1 6 Для любого значения х значение функции >’ = дс^ + 2 на 2 больше соответствующего значения функции у = х^, а значение функции у = х^-Ъ на 3 меньше соот-встствующего значения функции >’ = дг‘. (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений дс.) Поэтому график функции р = дг^ + 2 можно получить при помощи параллельного переноса фафика функции у = х^ вдоль оси )’ на 2 единицы вверх (см. рис. 33). График фунющи у = х^-3 можно получить при помощи пардллельного переноса графика функцин у = х^ вдоль оси у на 3 единицы вниз. Если функцию у = х^ записать в вщте у = Ддг), то функции у = х^ + 2 и у = дс^ - 3 будут функциями вида y=f[x)±n, где // > о, а именно: у =Дх) + 2 и у =Дх) - 3. Вообще, график функции у =Лдс) + п, где п > 0, можно получить из графика функции у=Ддс) при помогци параллельного переноса вдоль оси v ий п единиц вверх; график функции у' = Ддс) - п, где п > 0, можно получить из графика функции у =Ддг) при noMouiu параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вниз. И>. li/n'(>opas 0. Пусть имеем график функции у = х’, а нужно посгроить графики функций v = (х - 3)^ и у = (х + 2)^. Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента: Из таблицы видно, что график функции у = (х - 3)^ можно получить из графика функции у=х^ при помощи параллельного переноса вдоль оси х на 3 единицы вправо (рис. 34). График функции у = (х + 2)^ можно получить из графика функции у =х^ при помощи параллельного переноса вдоль оси х на 2 единицы влево (рис. 34). Если функцию у = х^ записать в виде у=Дх), го функции у = (х - 3)" и у = (х + 2)‘ будут функциями видау =Дх ± т), где т > 0, а именно: у = Дх - 3) и >' =Лх + 2). 2\ , , ’ (Y 'J Вообще, график функции y=f(x- т), где т>0, можно получить из графика функ11ии у =f(x) при помощи параллельного переноса йдоль оси х на т едингщ вправо: график функции у = f(x + т), где от > 0, можно получить из графика функгщи у = f(x) при помогци параллельного переноса вдоль оси х на от единиц влево. V4 Kiunipiimii'iiiiiii функция 3. Г рафик функции у = f(x ±т)± п, I де ш > О, н > 0. Рассмотрим функцию у = (jc - 2)^ - 1. Ее график можно получить, если осуществить параллельный перепое график функции у = вдоль оси дс на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 35). 4. График функции y = -f{x). Пусть имеем график функции >’ = дс^, а нужно построкгь график функции у = -х^. Составим таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента; X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = / 9 4 1 0 1 4 9 -9 -А -1 0 -1 -4 -9 Значения функции у = -х~ противоположны соответсгвующим значениям функции у = дг‘. Поэтому каждая точка графика функции у = -дг^ симметрична соотвегсгвующей точке графика функции y-j^ относительно оси х. Например, точка (2; -4) графика функции у = -дг^ симметрична точке (2; 4) графика функции у = х" относительно оси х. Следовательно, график функции у = -х^ можно получить из графика функции у = при помощи симмсфии относительно оси х (рис. 36). Если функцию у = д'^ записать в виде у =Дх), то функция у = будет функцией вида у = -Дх). Вообще, график функции у = -fix) можно получить из графика функции у =fix) при noMoufu симметрии относительно оси х. Рис. 36 И). llpeootKiuniaitii)i .•рафш./и) функции 75 5. График функции y = af{x), 1де 0. Пусть имеем 1рафик функции у = дг^, а нужно пострюичъ графики функций у = Zx" и у Составим таб- лицу значений этих функций для некоторых значений аргумента: X -2 -1 0 1 2 у = х^ 4 1 0 1 4 у = 7х^ 8 2 0 2 8 1 3 у = --дг 2 1 0 1 2 ■ 2 2 2 Для любого значения х значение функции у = Zv‘ в два раза больше со- 2 1 2 ответствующего значения функции >’ = дг, а значение функции в два раза меньше соответствующего значения функции >’ = дс^. (Из таблицы это легко увидеть для выбранных значений х) Поэгому график фуикцииу=2х^ можно получить из чрафика функции у=дг^, растянув последний от оси х в ;ща раза, а график функции у = ^х~ можно получить из графика функции у=д^, сжав последний к оси х в два раза (см. рис. 37). Р,сли функцию у = х~ записать в виде > =Дд), то функции >’=2.х^ и у = х^ будуг функ1Д1ями вштау=а fix), где а > 0, а именно: у = 2fix) и .V = /(-х). 76 Ц2. Каадрашпчная фуньиия Вообще, график функции у = aj{x), где бз > О, можно получить из графика функции у =f{x), растянув последний от оси хва раз при а> I, и сжав его до оси хв — раз при О < а < 1. а ; ; Для тех; кто хочет знать больше J—I- I ^ ^ :____L J. I__________________________ 6. График функции > = !Ядг)1. По определению модуля числа имеем: f/(jc), если /Сл:)>0; >=|/wl = -/(дг), если /(jc)<0. Таким образом, еслиДлг) > О, то значения функции у = |Ддг)| и у =fix) равны, еаш fi,x)<0, то значения этих функций являются противоположными числами. Поэтому ■рафик функции у = |/(.т)| можно получить так: строим график функции у =fi,x) и ту ею часть, которая находится ниже оси jc, симметрично отображаем относительно этой оси. Рис 39 На рисунке 38 изображен 1рафик функции у = |(дг-2)^- 1|. Сравните его с ipa фи ком функции у = (х -2)^-1 (рис. 35). 7. График функции у = /(1x1). Отмет им два свойства данной функции. 1) Функция является четной. Действительно, из тождества [-х| = |х| следует, что для любого значения х из области ее определения выполняется равенствоД|-х|) =Д[х|). Следовательно, |рафик функции симме1ричен относительно оси у. 2) Гели X > О, то у =Д[х1) =Дх). Поэтому при х > О график функции у =Д|х1) совпадает с графиком функции у =Дх). К). lIpcoopdioiiainiH .'[hkJwkoi: функций ~1 '1'аким образом, фафик функции у=/(|дг1) можно пос£роить так; строим часть графика функции y=fix) дпял->0; выполнив симметрию построенной части относительно оси у, получаем вторую часть графика лля х < 0. На рисунке 39 изображен график функции у = (|л| - 2)^ - 1. Сравните ею с графиком функции >• = (х - 2f - 1 (рис. 35). : ' -Ц При1)^е(:|ы решения упражнений Уп-аукценно Л Построить график функции y = yJx+2 + l. Строим график функции у = у[х. Параллельно переносим его вдоль оси X на 2 единицы влево, а потом вдоль оси у на 1 единш^у вверх. Получаем искомый график (рис. 40). « У iipH'AKi.ние 2 Посгроить график функции>’ = 2 -х^ Последовательно строим графики следующих функций: 1)>’ = х‘; 2)>’ = -х^; 3)у = -х^ + 2, то естьу = 2-х^. График функции >’ = 2 - х“ изображен на рисунке 41.*. 7.N Ц2. Ккш}ршш1Ч11Ш1 фупкши' Упражлспис .V Посгроить график функции у = ||л| - 1|. • Последовательно сфоим графики следующих функций: 1)у = |л|; 2)_v = |x|-l; 3)у = ||х|-1|. График функции у = ||х| - 1| изображен на рисунке 42. • 7TI L 1_ Ш: 280. На рисунке 43а изображены графики функций y=fix), у=Дх)+а и у =f{x) - h, а на рисунке 436 — графики функций у - fix), у =fix -а) и у =fix + Ь). Найдите а и Ь. Постройте график функции: 281. а)у = дг‘+ 1; б)у = >/х-3; в)у == (х-3)^; г)>’=(х+1)^ 282. а) у = л/х + 2; б)у = х^-5; в)>’=(х-1)\ НГ—Ч» , -I ) I Уровейь Б _j J._J..L.J. ■ 1 Постройте график функции: 283. а)>’ = (х-1)Ч2; в) у = л/х-2-1; 284. а)>- = 4-х^ B)y = 4v + 3)44; б)>’=(х + ЗГ-1; г) y-yJx + 4+4. 6)y = -{x + 2f; I) y = -Vx-4 + 2. Ю. fi/H’ooi)(ini(iiiim>i .•paijiuiiin; фуш^цин 79 285. а)у = (х-2)^-3; б) у-л/ТЙ-И; в)у = -{^-3)^ г)у = -(;^+ 1)4 5. 286. а) у = ^ + 2; 287. а) у = 2л/х; б) 288. а) у-^ - 2; б) У = |л/^. 289. Постройте график функции у = (д: + Зр - 1. Используя график, Ftaimirre: а) область значений функции; б) все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения; в) промежуток, на котором функция убывает. 2'8). Постройт е график функции y={x-2f- 4. Используя 1рафик, найдите: а) область значений функции; б) все значения х, при которых функция принимает положительные значения; в) промежуток, на котором функция возрастает. 291. Постройте в одной системе координат графики функций у = л/х+1 и у = -х:^ + 2,5. Сколько корней имеет уравнение л/х+1 = —х^ + 2,5 ? Решите графически уравнение: 292. а)(х-2)^ = л/х; 293. >/х + 3 =4-2х. б) х + 1 = х-2. { У|>овейьВ 294. Постройте график функции: а)у = к'-4|; 6)y = |(x+lf-l|; в) у = (|х| -1)^ г)у = ||х|-2|; д)у = 3-|х-3|; е)у = |3-|х-3||. 295. Найдите все значения а, при которых уравнение |1 -х^| = а имеет три корня. 2%. Сколько корней имеет уравнение 1 -11 - |х|| = а в зависимости от значений параметра о? s« i}2. K(ui<)f)uiiui4iutii функция 4- ! Г 1 ‘ f ‘ IЛ i I ! i Упражшния для^овторения^ ^ 297. Разложите на множители: а) 2й - 6 + аЬ - ЗЬ; б)х^ + х)’-2х- 2у. 298. Пусть X] и ДГ2 — корни уравнения 2х^ -1х + 2 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения (дГ| +Х2)^—Х\Х2. 299*.Не решая уравнение jc^ + 4x-7 = 0, составьте приведенное квадратное уравнение, корни которог о на единицу меньше корней данного уравнения. 300. Два грузовика одновременно выехали из фабрики на базу, находящуюся на расстоянии 96 км от фабрики. Первый грузовик прибыл на базу на 10 мин раньше, чем второй. Найдите скорость первого грузовика, если она на 8 км/ч больше скорости второго. Функция у - а\ Рассмотрим пример. Пусть тело свободно надает. Путь 5, пройденный телом за время г, можно найти по формуле где g — ускорение свободного падения (g = 9.8 м/с^). Перейдя к принятым обозначениям аргумента и функции, получим функцию, которая задается формулой видау = аХ^, где афО. / /. функции V = ах' 11а рисунках 44 и 45 изображены графики функций у-^,у- 2х', у ~ > ,v = -2v^, которые являются частными случаями функции у = одг^ при а равно 1,2, — ,-2 и . Г рафик функции у = ах^, где я # О, как и график функции у = х", называют параболой. Функция у = ах^, где я ^ О, имеет такие свойства: 1. Областью определения (jjyHKijuu является множество всех действительных чисел. 2. При я > О областью значений функции является промежуток [0; +«>); при я< о — промежуток (-оо; 0]. 3. График функ11ии — парабола. 4. Если х = 0, то >' = 0. График проходит через точку (0; 0). Эту точку называют веришной параболы. 5. При я > о все точки параболы, кроме ее вершины, расположены выше оси х\ при я<о — ниже этой оси. Говорят: при я >0 ветви параболы направлены вверх', при а <0 — вниз. 6. При я > о функ11ия возрастает на промежутке [0; +=о) и убывает на про.ме.жутке (-о°; 0]. При я<0 фунющя возрастает на про.межутке (-«>;0] и убывает на промежутке [0; +«>). Доказательство свойства 6 приведено в рубрике «Для тех, кто хочет знать больше». 7. Функция у = ядг^ являсгся четной, так как для любого значения х выполняется равенство а(-х)^ = а^. График функции сшшетричен относительно оси у. т I 'Г I ' 1“ j Для тех, кто хочет знать больше I I. .1. .1. L L Докажем, что функция у = яГ при я > 0 возрастаег на промежутке [0; +~). Пусть Х\И Х2 — два произвольных неофинательных значения аргумекга причем Х2>хь а У1 и у2 — соогвегствующие им значения функции, то есть у, =a\f, У2 = . Покажем, Ч10у2>у’1. Для этого рассмотрим разность: >'2->'|= Я.«2 -oxf =я{Л2-Х^)=я{д-,-х,)(х,+Х|). Так как 0<Л'1<Х2> tox2-xi> 0 hx2+Xi> 0. Учитывая, что я> 0, имеем: я(.Г, - X, Дх, -t- X,) > >'2 - >Т > 0; У2 > У1. S2 Ц2. I\tiiii)/>amii4iia» функции Большему значению аргумет<1 соответствует большее значение функции. Поэтому при а > О функция = ох^ на промежутке [0; +~) возрастает. То, что функция у = ас при о > 0 убывает на промежутке (-°°; 0], доказывается аналогично. Устно 301. Каковы свойства функции; а)у = 2х^ б)у = -2;с^? ! ! ! л т Уровень А м- III 302. Принадлежит ли графику функции у = 8х^ точка: А{2\ 32); В{Ъ\ 24); С(-1;-8)? Постройте график функции: 303. а) >> = Зл^; .3(И. я)у = 2,5х^- 6) 6) у‘-\г. в);^ = -1,5х^. 305. Постройте график функции у - -2,5х^. Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает. .306. Постройте график функции у = 1,5х^. Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает. ...± .L._ Уровень Б ..i_________L у ■«НтНЬ 307. График функции у = проходит через точку М(2; -2). Постройте график этой функции. 308. График функции у = аХ^ проходит через точку N{0,5; 1). Проходит ли этот график через точку К{-4; 64)? Решите графически уравнение: 309. а) = 4 X 310. ^х-=~. 2 X б) ~х^=у[х. /2. функции S3 Уровень В L 1 |« ш 311. Постройте график функции: а)3’ = 4Ф б) >• = 2л- -2дг-А-"-1 312. Докажите, что функция у = ах^ при й < О убывает на промежутке 10; -ко). h J L.1J I f I I I г 1 I |Упражнения для пoвtopeния ■ l_i J. L._L. ' ■ ■ 6).r=(A + 1) -2. 313. Постройте график функции: а)у; = (л--1,.5)'; 314. Докажите неравенство: а)лЧ4л--г5>0; б)44-4л-н 1 >0. 315*.Первую часть пути автомобиль ехал со скоростью а км/ч. Вторую част1> пути он ехал в два раза дольше со скоростью Ь км/ч. Найдите среднюю скорос! ь автомобиля. 316*.Треть пути автомобиль ехал со скоростью а км/ч, а оставшийся путь — со скоростью h км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля. ШЬ'Ш Квадратичная функция 1. Понятие квадратичной функции. Рассмотрим пример. Пусть тело движется прямолинейно вдоль оси л' с ускорением а^. Если в начальный момент времени оно имело скорость и находилось в точке с координатой ло, то координату х тела в момент времени t можно найти по ({юрмуле X = ^- + L\J + X^. В частности, если - 4. г^о., = 7, ло = 50, то л-=2гЧ7/-ь50. Формула X = 2? + lt + 50 задает функцию, которую называют квадратичной. Квадратичной функцией называют функцию, которую мож-Опредеченш но задать формулой вида у = ах^ + Ьх + с, где jc — независимая пере1менная,а,Ь\\с — некоторые числа, причем а#0. Так, у = Зл-^ - 2д-- I, у = л^ -ь Зл, у = -24 -ь 1, у = 4, у = -1,2х" — квадратичные функции. Ц2. Ю1(и)/штпч1‘ая функции 2. График квадратичной функции. Выясним сначала, что является графиком квадратичной функции у = 2jc^ - 8х + 7. Для этого преобразуем квадратный трехчлен - 8х + 7 так: 2л-' -8л + 7 = 2(л-' -4л+-^| = 2|л-' -2-2-Л+2' -2' +|j = ф-2)’ 2(л—2)'-1. Записав квадратР1ЫЙ трехчлен 2х' — 8л + 7 в виде 2(л- — 2)' — 1, говорят, что из данного квадратного трехчлена выделили квадрат двучлена л - 2. Вообще, выделить из квадратного трехчлена а^ + Ьх + с квадрат двучлена значит записать его в виде сАх - mf + и, где тип — некоторые числа. Итак, квадратичную функцию у = 2л^ - 8л + 7 можно задать формулой у = 2(х - 2)^ - 1. 11оэтому ее график можно получить, если фафик функции у-Ъ? параллелыю перенести вдоль оси л на 2 единицы вправо, а потом вдоль оси у на 1 единицу вниз (рис. 46). 1’нс. 46 Рассмотрим общий случай. Пусть имеется квадратичная функция у^азг + Ьх + с. Выделим из квадратного трехчлена ол^ + Ьх + с квадрат двучлена: . I 'У h г \ h I h \ ах гЧЬ- + с = а(лЧ-^л- + ^) = 4л'+2л-А+(АГ_(М \ а а/ 2а \2а1 \2а} а —4ас /2. f\e;ii)pitiH!i4Hiiti фуыьипи Поэтому J = ах^ + Ьх + с = а(х - mf + и, ___ h -4ас где #и=——, п=------------. 2а 4а Следовательно, график функции у = ах^ + hx + с можно получить из графика функции у = а^ при поХющи двух параллельных переносов вдоль осей координат (см. рис. 47). Графиком функции у = ах^ + Ьх + с является парабола. т / \ ™ ^ Ь' - 4ас Точку (т;п), где ---—> называют вершиной этой параболы. Ее осью aiMMempuu является прямая х- т. При а>0 ветви параболы направ.чены вверх', при а<0 — вниз. Координаты вершины параболы можно найти но формулам г,2 - ь D гдеО = й -4дс, или по формулам т = —^, п = ат^ + Ьт + с 2а (ордината п вершины параболы яатяется значением квадратичной функции при х = т). 3. Посгроение графика квадратичной функции. Рассмотрим квадратичную функцию у = .’С + 4х+ 3. Так как л^-ь4л' + 3 + 4л + 4-4-ь3 = (л + 2)^-1, то график этой функции можно получить из графика функции у = х^ при помощи двух н^ач-лельных переносов; вдоль оси х на 2 единицы влево и вдоль оси у на 1 единицу вниз (см. рис. 48). Параболу, яв;1яющуюся графиком функции у=л^ +4л + 3, можно построить и так: 1) находим координаты вершины п^аболы: н/ = - 2а ч2 2 1 = -2 — абсцисса вершины; п = (-2) + 4 • (-2) + 3 = -1 — ордината вершины. 2) находим значения функции при нескольких целых значениях х. близких к абсциссе вершины: X -5 -А -3 -2 -1 0 1 у 8 3 0 -1 0 3 8 3) отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией. Получаем искомую параболу (рис. 49). S6 hlitlt>IUinlU4IUI!l функция 4. Положение графика квадратичной функции. В таблице показано положение графика функции у-а/ + Ьх + св зависимости от знаков коэффи-unejm а и дискриминанта D квадратного трехчлена cvC + Ьх + с. 12. КаиОратпчиия фуииыи» S7 При D > О парабола пересекает ось х в двух точках; при D = О ■ ся 'ЭТОЙ оси; при D < О — не имеет с осью х общих точек. касает- L. Примеры решения упражнений I ' пра/кпепис ! Построить график функции у = -Ъс^ + Sx-9. Используя ipa-фик, найти: а) область значений функции; б) промежуток, па котором функция возрастает; убывает. • Найдем координаты вершины параболы: __8 _о о /^2 2а 2 (-2) Составим таблицу значений функции для нескольких значений х: = 2; 77 = -2-2Ч8-2-9: -1. А' 0 1 2 3 4 у -9 -3 -1 -3 -9 Отметив точки, координаты которых представлены в таблице, на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получаем искомый график (рис. 50). Из графика следует: а) областью значений функции является промежуток (-«>;-1]; б) функция возрастае-1 па промежутке (-во; 2] и убывает на промежутке [2; +оо). • I'lic. 50 > пражисиие 2.Построить график функцииу = (х- I)(х - 3). • Графиком данной функции является парабола Нулями функции >• = (х - 1)(х - 3) являются А'| = 1 и Х2 = 3. Нули параболы симметричны относительно ее оси, поэтому абс- 1+3 т цисса ее вершины равна /«= ^ =2 (середине отрезка с концами в нулях функции). Находим ординату' вершины: и = (2- 1)(2-3) = -1. Ось у парабола пересекает в точке (0; 3). График функции изображен на рисунке 51. • 88 ^2. (jn чкчп» \ 1 1 "> . иражт'нис j Доказать, что функция у = -^д:'-Зл + 5 принимает только положительные значения, и найти наименьшее значение функции. 1 2 • Находим координаты вершины параболы -Зх+5: т = —^ =----Y = 3 —абсцисса вершины; и =—-3^-3-3+5 = -^ —орди- 2x1 о ^ 2 2 2 ната вершины. Так как ветви параболы направлены вверх, то значение квадратичной функции при х = т = 3 является наименьшим. Это наименьшее значение « = положительно, поэтому квадратичная функция принимает только положительные значения. * 1 г т * 1 Г1 —1—1— 11_ — L.. \ LJ. YCJ НО 1 j i ■ j i г L . 1 317. На рисунке 52 изображена парабола, являющаяся графиком некоторой квадратичной функции J2 = ах^ + Ьх + с. Укажите; а) знак коэффициента а\ б) координаты вершины параболы; в) ось параболы; г) нули квадратичной функции: д) промежутки знакопостоянства функции; е) промежуток, на котором квадратичная функция возрастает; убывает; ж) наименьшее значение квадратичной функции и значение х, при котором функция npHFJHMaer наименьшее значение; з) 31шк коэффициента с. У‘ \ / \ / \ 1 / , Л' it /] 3 I'lic. .52 318. Вверх или вниз направлены ветви параболы, являющейся графиком функции; а)у = 2х^-5А + 4; б)у = -5д:^ + 2л + 3; в)>' = -л^-ьл? 12. h’tiiu>puiiiii‘. HUh Ф) акция S‘> Уровень A Г: 319. Найдите координаты вершины параболы у=2х^-6х+3. Пересекает ли эта парабола ось х7 320. 11айдите нули функции у = х^-2х-8. Пересекает ли график этой функции ось А? Постройте график функции-. 321. а)_>’ = А^ + 2jf — 3; 6)>- = -а^ i 4х; в)_у=2х^ 4л' i 3. а)>’ = А^-2х +2; 6)з^ = -а^-4х-3; в) j = -2x‘+ 8а. Уровень Б Постройте график функции: 323. а)_у = Зх^ + бА-5; в) = -2а" - 4а + 6; а)у = 4А^-4А-3; в) у = -1а^-а + 4; -V I 2 Z , 1 6) )- = з* -3ДГ+3; г)у = (а+ 1)(а-3). б) у = -За^ - 6а; г) у = (а + 4)(а + 2). 325. Постройте график функции _у = а^ + 6а + 5. Используя график, най-^ите: а) область значений функции; б) все значения а, при которых функция принимает сприцательные значения; в) промежуток, на котором функция убывает. Постройте график функции >’ = 4а-а^. Используя график, найдите: а) область значений функции; б) все значения а, при которых функция принимает положительные значения; в) промежуток, на котором функция возрастает. Найдите координаты точек пересечения прямой и параболы: 327. а) За->' = 4;>'= 2а^-6; б) 2а + у = -7;у = -За^-9а + 3. '• За+_у = -2;^ = 4а^ + .‘>а+ I. Решите графически уравнение: 329. а) а^-2а+2 = -; X б) —А^ +За+6 = л/а. 90 §2. Квидршпичшш функции 330. -|jc = x/jc. 331. Докажите, ч го функция у=^х^ + 5х + 1 принимает только положительные значения. Найдите наименьшее значение этой функции. 332. 11ри каком значении х грехчлеп -Зх’ -н бл' + 2 припимаез наибольшее значение? Найдите это наибольшее значение. 11аГщи1е наименьшее значение функции у = 2х^ - 6х - 2. .333. 334. Докажите, что трехчлен -2х^ + 1х-1 принимает только отрицательные 335. значения. Найдите наибольшее значение этого трехчлена. Докажите неравепетво; а) - 6т/ + 4 > 0; б)-2с'+ 8с-9 <0. ■Т“! I .[.L..L.L. - У|ювень В А Т: . \ А 336. При каких значениях а и h вершиной данной параболы является данная точка Л? 3.37. а)у = х^+ hx + c, Л(-4;2); Постройте трафик функттии: Q) у=ах + Ьх а) V = х^ - 4х' + X. б) у = X -5.V +4 х"-4 I-) у = х' - 4|х| + 3; е)у = |-2г' + 8И-6|. 3.38. 339. 340. ^ х' -I- 8 с в) V =----— - 5; ^ ■ х + 2 д)у=|2г-8х + 6|; Найдите все значения а, при которых парабола у = 1,.5х' + 6х + 2а расположена над осыох. Под углом к горизонту брошен камень, который, двигаясь по параболе, упал через 4 с на расстоянии 24 м от начальттого положения. На какой высоте был камень через 1 с после броска, если наиболт,шая высота, на ко торуто он поднялся, равна 6 м? Чтобы оставлять тта ночь коров па пастбище, пастухи рештштт оградить на нем участок прямоугольной формы сеткой длиной 2(Юм. Каковы доттжны быть CTopoHTj участка, чтобы ее площадь была ттаибольшей? /2. Keudpuintiuiuiii функция 91 341. a) Найдите iiaMMeirbiiiee значение функции y = yjAx-2+2x^ -2х. б) Решите уравнение л/4л -2 + 2д-^ -2х = -0,5 - \}2х^ -х . 4_____ 4л'^ — Вд: + 5 342. а) Найдите наибольшее значение выражения ^ 2 4 I--- Т 2' о--Г =4 + Vjc-1 4д- -8д+5 б) Решите уравнение ! 1 Г ! Г Т"Г I Т I Г У|^ражнения для повторения - __1. .1.1 -1_ i i_l 1 L I _L_ 343. YnpociHTe выражение; (2a^bf Aab^ a) Qabf 6) 2д^/(-Злу^^ ISx’y"’ 344. Решите неравенство: a) 4л: - 9 > 2y + 7; в) i^д^ + 5д + 15; г) (Zy - 4)(д + 5) < 0. б)д''-4д^-5 = 0; г)* д|д| - 4д + 3 = 0. 1 348*.Какие значения может принимать выражение д +—, если 4д + — = 12? 2д д 349*.Докажите, что уравнение ivC + (а + Ь)х + {Ь-а)=0 имеет хотя бы один корень для любых значений а иЬ. 42 S2. Квш)ршш141ши функция Задан1!я для самопроверки JN1» 2 Уровень / 1. Чему равно аначснис функции/(х) = 2х^ — 5 при дг = 4; а) 11; 6)3; в) 27; г)-27? 2. Нулем функции у = 5л' + 8 являегся; а) 1,6; б)-1.6; в)-16; г)-0,625. 3. ЬГакой из графиков является графиком функции >’ = — 1 ? а) графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз; б) функция возрастаег на промежутке [0; +о°); в) функция убывает на промежутке [О; +<»); г) график функции симметричен относительно оси у. 5. У кажите координаты вершины параболы у = х^ ~ Ах + 6: а)М;6); б) (4; 6); в) (2; 2); г) (-2; 18). 6. На каком рисунке изображен график функции у = - 2x1 Уровень 2 Найдите область определения функции V = \J5-2x. Найдите нули функци и у = + 6х - 16. Постройте график функции у = {х-2)^-1. Используя график, найдите область значений функции. К). Проходит ли I рафик функции у = -2хГ через точку (1,5; 4,5)? 11. Постройте фафнк функции у = х^ - 2v. Используя график, найдите промежуток, на котором функция возрастаег; убывает. !3. Нсраиексииш «тарой ппспе-ш г ой.тй nepeui'imoii 93 Ураеркь > !2. Найдите область определения функции у = л]12-2х + yj4x+b. 13. Принадлежит ли число 3 области значений функции v = 15х + 48? 14. Постройте график функции у = -2лг + 4х + 6. Используя график, найдите; а) область значений функции; б) все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения; в) промежуток, на котором функция убывает. 15. При каком значении х функция д’ = 3х^-г 12х-20 принимает наименьшее значение? Най;цгге это наименьшее значение. 16. Докажите неравенство Зх“ - Зх + 1 > 0. Уровень 4 17. Найдите область определения функции у = \l9-x+—, ^------. Зх‘ -19х + 6 -J 18. Докажите, что функция у = — убывает на промежутке (0;-н»). 19. Постройте график функции у = |2х - 4| - 4. Используя график, найдите: а) область значений функции; б) все значения х, при которььх функция принимает отрицательные значения. 4 20. Найдите наибольшее значение функции у = —j—г—-. 2х —8х+9 21. При помощи графиков функций установите, имеет ли корни уравнение —^х^ + 2х -1 = yfx+1. В51<Д Неравенства второй степени с одной переменной Неравенства вида ах^ + hx + о 0. аХ^ + hx + с <0, ох^ + hx + с>0, + hx + с <0, где X — переменная, а, h, с — некоторые числа, причем а 4 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной (или квадратными неравенствами). Например, 2х" - Зх + 1 > 0. -х^ + 4х + 5 < 0 — квадратные неравенства. Решение квадратных неравенств можно свести к нахождению промежутков, на которых квадратичная функция у = со? + hx + c принимает поло- 94 ^2. Knudptiinii4iiu>i функции жительные, неположительные, отрицательные или неотрицательные значения. Рассмотрим примеры. Пример I. Решить неравенство + л - 1 >0. • Рассмотрим квадратичную функциюу = 2х'+х - 1. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, пересекает ли парабола ось х. Для У \о /1 X ' 2 ются xi=-l, Х2 = 2' Итак, парабола пересекает ось х в 1'ис. 53 двух точках с абсциссами -1 и Схематически изображаем параболу на координатной плоскости (рис. 53). Из построенного трафика видим, что функция принимает положи-тельные значения, ес.ли х принадлежит промежутку (-°о; -I) или промежутку |^;+оо| (на этих промежутках парабола расположена выше оси л). (Следовательно, множеством решений заданного неравенства 2х^ + х - 1 > 0 является (-оо; . Ответ, (-оо; -1)и Используя схематическое изображение параболы у = 2х^+х-1 (см. рис. 53), можно записать и множества решений следующих неравенств. Неравенство Множество решений Комментарий. Во множество решений включены все значения х, при которых функция у = 2х' + X — 1 принимает: 2хЧх-1>0 неотрицательные значения 2х' + X - 1 < 0 (-4) отрицательные значения 2х^+х-1 <0 [-4] неположительные значения /л. Ileptuieiicituui «торой степени с одной неремепной 95 Пример 2.Решить неравенство -Зл^ + 14х - 8 >0. • Графиком функции =-Зх^ + 14х - 8 является парабола, вегви которой направлены вниз. Решив урав- , 2 нснис -Зх" + 14х -8 = 0, получим; х\= ; хг = 4. Поэто- му парабола пересекаег ось х в точках с абециеса.ми и 4. Схематически изображаем данную параболу (рис. 54). Функция принимает неотрицательные ;1наче- "2. 4 . !>гот иро- ния, если X принадлежит промежу тку межуток и является множеством решений неравенства. Ответ. -]• Пример 3. Решить неравенство: а) х^ - 2х + 3 > 0; б) х^ - 2х + 3 < 0. • Графиком функции у=х^ - 2v + 3 яачяется парабола, ветви которой направлены вверх. Уравнение х^ - 2х -ь 3 = 0 не имеет корней, гак (сак D = (-2)^ - 4 ■ J • 3 = -8 < 0. Следова-те.зьно, парабола не пересекает ось х. Схематчееки изображаем эту параболу (рис. 55). Функция при всех значениях х принимает положительные значения. Поэтому множеством решений неравенства х^ - 2г + 3 > 0 является множество всех действительных чисел, то есть (-оо; з-со), а неравенство х^ - Zt + 3 < 0 решений не имеет. Ответ. а) (-оо; +сс); б) решений нет. • Итог. Чтобы решить неравенство вида ах^ +hx + c>0, ах^ + hx + с<0, + Ьх + с>0 или + Ьх + с<0, где а Ф о, можно рассмотреть квадратичную функцию у = ах~ + Ьх + с и: 1) найти пули функции; 2) если квадратичная функция имеет два нуля, то отметить их точками на оси X и через эти точки схематически провести параболу y = a:i^ + Ьх + с, ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0; если квадратичная функция имеет один нуль, то отметить его точкой на оси X и схематически провести параболу, которая касается оси х в этой точке; вегви параболы направлены вверх при « > 0 и вниз при й < 0; ‘>6 . h't. i>jHil,Ui4IUIU функции если квадратичная функция не имеет нулей, ю схематически провести параболу, расположенную в верхней полуплоскости ветвями вверх при а > О, в нижней полуплоскости ветвями вниз при о < 0; 3) найти на оси х промежу1Ки. на которых значения функции у = cvt + Ьх + с удовлетворяют соответствующему неравенству. Примеры решения упражнений Решить неравенство Зд- (2 - д) > д + бг - 8. Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные, и упростим полученное в левой части выражение: 6д - Зд^ - JT - 6д + 8 > 0; -4л’ + 8 > 0. Разделим обе части последнего неравенства на -4, получим неравенство д^-2<0. Графиком квадратичной функции у=х^-2 является парабола, всгви когорой направлены вверх. Уравнение д’ - 2 = о имесг корни х\ = —>/2 и дг = л/2. Сле-довагелыю, парабола пересекаег ось д в точках с абсциссами —у!2 и yfl. Изображаем схематически згу параболу (рис. 56). Множеством решений неравенства л"^ - 2 < о, а значит, и заданного в условии неравенства. является промежуток (-yfl; -Jl). Отвег. (—\[2 ; л/2). Найти область определения функции у = л/4д-2д^. Область определения функции образуют те значения д, при которых но/цсоренное выражение 4д - Zx^ принимает неофицательные значения. Решим неравенство 4д - > 0. ('рафиком функ- ции з’ = 4д-2х' является парабола, ветви которой направлены вниз. Уравнение 4д-2г^ = 0 имеет корни: Д| = о и Д2 = 2. Следовательно, парабола пересекаег ось д в точках с абсцисса.мн 0 и 2. Изображаем схематически эту параболу (рис. 57). Неравенство 4д - Iv^ > 0 выполняется, если д принадлежит промсж"утку [0; 2). ^о и сегь искомая область определения. Ответ. [0; 2]. 13. Иерачепспкш второй сшепеии с одной переменной 97 >'||ражнепие 3.11ай ги область определения функции у * J.r’ Зл - 4 + х-И v/4^v • Область определения функции образуют те значения х, которые являются решениями системы неравенств jc"-i-3jc-4>(); 4-л:>0. Корнями уравнения дг^ + Зх - 4 = О являются числа -4 и I. Так как ветви параболы > = + Зх - 4 направлены вверх, то множеством решений первого неравенства системы являегея множество (-со; -4]uf 1; +со). Решим вгорое неравенство сисгемы: 4-х>(); -л >-4; х<4. (-со; 4) — множест во решений второго неравенства. Отметим на координатной прямой множества решений обоих нс-равенств. 4 I 4 Общие решения неравенств системы образуют множество (-co;^Ju|l;4). Огвет. (-оо; -4Ju| 1; 4). • Упражнение4. Решить неравенство y/x-l(^x^ + 2х-8)>0. • Выражение -\/х-1 имеет смысл при х> 1. Поэтому решения данного неравенства должны принадлежать промежутку [1; +0°). Так как множитель л/х^1 припимаег только неотрицательные значения, а именно: \/х-1 =0 при х= 1. у/х-1 >0 при х> 1, то раесм(ггрим два случая: 1) .г=1. Тогда получим верное неравенствед ()>(). Следовательно, X = 1 — решение неравенства. 2) х> 1. Тогда множитель -Jx—1 — положительный, и данное неравенство будет выполняться, если второй множитель неотрицательный. Имеем [х>1; систему неравенств: < Решив эту систему, найдем решения: [хЧ2х-8>0. х>2. Ответ. {1 )сд(2; -юо). • 4 Кравчук В. Алтебра. 9 кл. Учебник 9Х f}2. Квш)ршш1чш1н функции Унражпстк- 5.Решмть неравенство X -4дг-5 -2| <0. •Дробь в левой части неравенства имеег смысл при xi^2. Так как при хф2 знаменатель дроби положителен, то данное неравенство будет выполняться, если - 4т - 5 < 0. Множеством решений квадратичного неравенства являегся промежуток |-1; 5]. Исключив из него число 2, получим множество решений данного неравснсгва; (-1; 2)и(2; 5). Ответ. (-1; 2)cj(2; 5]. • 1 ' ^ гтт 1 i 1 ... -5^оЧ 1 1 1 I 350. На рисунке .“iS изображен график функции у-х -х-2. Назовите множества решений неравенста: а) т - т - 2 > 0; б)т" 2>0; в)х—т—2<0; г)т -т-2<0. 351. На рисунке 59 изображен график функции у = х^ + 2х+ I. Назовите множества решений неравенств: а) + 2т + 1 > 0; б) т" + 2т + 1 > 0; в) т + 2т + 1 < 0; г) т + 2т + I < 0. Рис. 58 352. На рисунке 60 изображен график функции у = х^ -4х + 5. На;юви ге мно- жества решении неравенств: а) т^ - 4т + 5 > 0; в) т^ - 4т + 5 < 0; б)т^-^4т + 5>0; г) т^ - 4т + 5 < 0. i:c ' ' 1 1 I 1 t' л- 't Решите неравенство: 353. а)л-^ + Зт-4<0; б) + Зт - 4 > 0; в) 2т^ - Зт < 0; 13. IIciUKii'iicntdu второй степеип с oOtioii ncpc.iieimoii У‘> г) -х^ - 2х + 3 > 0; 354. а)Г + 6л- + 8>0; 3.S5. а) + л: - 6 < 0; I) -х^ + 4х - 3 < 0; д) -2х^ + 5х - 3 < 0; б)х^ + 5х- 14<0; б)3х^- 10х + 3>0; д) дг — Зх + 2 > 0; Найдите множество решений неравенства: 356. а)х^>0; б)х’>0; в)х^ <0; 357. а) 2x4 18; б) -З/ > 0; в) х^ < 2х; 358. а)х^>4; б)х^<1; в)-2х“>-2; ГТ- с)2х^-8>(). в) -х^ + 6х + 7 < 0. в) -2х^ + 4х > 0; с)-3х^ + 3>0. г)-2х^<3х. г) X < 5х. I — г ^ - \ 1 1 _J Л lb—5"в-1 Л- « Решите неравенство: 359. а) х^ - 0,4х - 0,96 < 0; в)-50х4250х-300>0; д) -)С + Зх - 10 < 0; I. б) X' + X - 1 > 0; I) Зх^ - 2х + 3 < 0; с) -|х^ + 2х-3>0. 360 а)х^-0,2х-1,2>0; б)х^ - ^х +-| < 0; 361. а) (2х - 1)(2х + 1) > 2(х + 0,5)^ б) (х-3)(2х + 5)<х(х+ 1); в) (х^ - 2xf - (х^ - 2х - 6)4 0; г) (2х- 1)(Зх + 2)-(Зх- 1)(х + 4)<2х-2. -Ъх х + 1 ^ х-14 в) -8х^ + 40х - 56 < 0. 3«2.а) 6 9 ' 18 ■ 363. а)х(2х + 3)<(2х + 3)(2х-1); ^ -1 х + 3 ^ 2 в)------------< — яч 2х-3 1-Зх X__7_ ' 12 16 24 48’ б)(3х- 1)^-(х- 1)44(х + 4); ^ х^--Зх + 2 . 3-х ,8х+9 1 ''---------* —-4- 4 6 “ 3’ '6 364. а) Решите неравенство 8х^ - 8х + 3 > 0. б) Докажите неравенство 8х^ - 8х + 3 > 0. 365. При каких значениях х квадратный трехчлен -х^ + х-0,21 принимает отрицательные значения? 36«>. При каких значениях х квадратный трехчлен х^ + 2х + 0,75 принимает не(ггрицательные значения? Найдите область опреде.пения функции: 367. а) у = x/l? - 4х - х^ ; 6)3?= л/Зх^ + 4х +1; в) _>' = х/х^ -5х + 7 3<>8, а) 3» = л/х^ — 2х + 3 ; б) з» = ■\/24 —Юх —х^ . ioo h'mutnaiiiiiiimui фучкпю! 369. ,_1 L LA. Решите неравенство: a) (л^ + 1 »\л- - 10a + 9) 2 0; в) Va(a^-9a-90)<0; Vpo^eijb |B-f I ■|l«—-311 б)|л |(;г-д-30)>0; r) yj(x-2){7 x + y) > 0; 370. 371. Д) ^20а‘ -41л +20 <0; ж) (2a - 9)\/a‘ - 6a + 5 > 0; |a + iI Решите систему неравенств: -2jc-24>0; 11 /1 C) ^ >0; n/18 + 3a- v' 3) (a + 3)t/j?”+ a -12 ^ O; a'-2a-15 Й) (A-6) >0. a) I2xf30; ^|x‘<2xt8: Найди re область определения функции: в) [х' + х<6, [4х-х- >0. а) у = • 1 Vl5 - 2а — А^ + 2V6-3a; б) у- . . 1 + Ух^ -а-12 V12-a-a^ в) у 372. 373. 374. л/2а'-11а + 5 Най.тите вес значения а, при которых уравнение: а) .г - (о + 1 )л' + о" - о имеет два разных корня; б) а’ + (2а + \ )х-2а-\ = О нс имеет корней; в) ах^ + (1 - а)х + 0+1=0 имеет хотя бы один корень. Найдите все значения а, тфи которых неравенство не имеет решений: а) + За + 1 - 2о < О; б) а" + За + I - 2о < О; в) ах^ - 4а + о > О. Навдите все значения а, при которых неравенство (2а - I ).г + Tax + о + 3 < О выполняется мри всех действительных значениях а. hfX LA..L i ..f. Уп|)ажн^1|1я jio^op^ ния г Т I J... _|___________I_______ J 375. Сократите дробь: о^-4с^ . а) 2а + 4с б) 376. Докажите тождество А + !• - ■ 4лз- А+У 4 2 т —п Зп' -Зтп' -2ду+ у^ А+ У = 1. 14. Решен lie iiepiiiseiuniv .viciiwi)om ii;itnept!ii.'ioa 6) -3x + 2y = -6. ИН 377. lIocrpoiiTC график уравнения: a) .V - 2y = 4; 378. Решите еиечсму уравнений; f.v+2v-3; [2а-4у-10, ■ б) i 4a-3v=I0; a) 1зд-у = : в> f5A-4v = 9: 1= 5а + 2г = 3. 379*.1'ешнтс урансснис; а) (Зл’ +1)' -2а»-'’ +0-8 = 0; б) (д-^ +5л)- -2(л' +5л) -24 = 0. 380. За смену 2 масп ера и 6 учеников нзгоговичн 72 детати. Ск'олько де талей нтготовил за смену один маегер и еколько один ученик, еели 3 мастера и 3 учеников при той же производительностг! за смену ^ioIyт изготовить 76 деталей? I.ГТ ^ Н—гДпя ■у рт~гт Т" Т ■] ГТ ^ , Для тех, кть TioHei sHatb больше "!■ i— Решение неравенсте мртодом интерне.пов 1. Метод интервалов. Решим нсравснспю (а+ 1)(.т-2кл‘-4)>(1. Дтя этого рассмотрим функцию Дл-) = (л-+ 1Хл--2Ка-4) и найдем зг1ачсиня х, при когорьез ома принимает положи тельные значения. Областью определения этой функции является множсстао всех дейеттпслы1ых 4iicc;i.. а нулями — числа -I, 2 и 4. Нули разбивают область оирс-дсления па четыре и(Х)мсжутка: - I), (-1; 2), (2; 4) и (4; -и»). На каждом из этих иромежу(ков каждый из множителей пронзведення (.А + 1)(а - 2)(а - 4) имеет определенный знак. Знаки множителей и знаки произвеления (а + 1)(а - 2)(а - 4) = /1а) прелставлены в таблице. Множитель (-1.2) (2; 4) (4; -н») А-г 1 - + + + А-2 - + + а~4 - - - + .Да) - + - + Г:пслова:1ельно, функция Яд) принимает полож1тгепы1ЫС значения на про.мсжутках (-1; 2) и (4; +~). Пол ому множест вом ретений иер/авенсгва (а + 1Хд -2Х.' -4) >0явля-егся (-1; 2)и(4;+оо) Отметим на координатной прямой нули функции /Гт) = бт г l)/v-2)(.v-4> и ее знаки па промежутках -1), (-1; 21. (2: 4) и (4; +<«) (рис. 61). На каждом из этих промежутков функция сохраняет знак, а при перехо.ае через значения -1, 2 и 4 (нули фу нкции) ее знак поочередно меняется. На крайнем справа промежутке (4;+'»), как И)2 :^2. Knudpuimiuiiiin функция видно из 'габлицы, функция j{x) принимает положительные значения. Поэтому знаки функОииДл) на промежутках можно бьию найти так: отмечаем знаком «+» знак функции на крайнем cnpaisa промежутке {4; +о°), а потом, используя свойство чередования знаков, определяем знаки функции на остальных промежутках, двигаясь справа налево. Рис. 61 Описанным способом можно най|и знаки функции вида ЛХ) = (Х - Xi)(x - Х2)...(Х - х„>, где Х|, Х2,..., х„ — некоторые попарно различные числа, на промежутках, которые определяются нулями этой функции. Зная знаки функции на промежутках, можно запи сатъ множества решений неравенств (Х-Х,)(Х-Х2)...(Х-Х„) > О, (х - xiXx - Х2)...(Х - х„) < О, (Х - Х,)(х - Х2)...(Х - Х„) > о, (х - X, )(х - Х2)...(.Х - Х„) < 0. Пример 1. Решить неравенство (х + 3)(х + 2)(х - 6) < 0. • Отметим на координатной прямой нули функции ДО = (->с + ЗХх + 2)(х - 6) — числа -3, -2 и 6. Отметим далее знаки фу1кции на образованных промежутках (на крайнем Справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чтобы, дви1а-ясь справа налево, они чередовались). (1) 3 : 6 Множеством решений неравенства является объединение промежутков (-ев; -3) и (-2; 6). Ответ, (-со; -3)и(-2; 6).« Рассмотренный в примере метод решения неравенств называют методом ин-тервшов. Чтобы решить неравенство вида (1) методом интервалов, нужно: 1) отметить на коордититтюй прямой нули функцииДх) = (х - xi)(x - хг)...(х - х„); 2) отметить знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутках — такие знаки, чюбы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались); 3) выбрав промежутки, на которых функция Дх) принимает значения соответствующего знака, записать множество решений неравенства. Метод интервалов можно применить при решении не только неравенств вида (1), но и неравенств, которые путем преобразований сводятся к одному из неравенсге эгого вида. Рассмотрим пример. 14. Решение iiepuueucnie мсишдо.м иптерчшов 103 Пример 2. Решить неравенство (1 - 2х)(х^ - Зл' - 4) < 0. • Приведем данное неравенство к виду (1). Для этого в выражении 1-2х вынесем за скобки множитель -2, а квд/^ратный трехчлен - Здг - 4 разложим на множители; -2(л-1)(х + 1)(х-4)<0. Разделив обе части неравенства на -2, получим неравенство вида (I); (х+1)(х-^)(х-4)>0. Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = {x+ ее знаки на образован|{ых промежзтках. На промсжу1ках и Hi +““) функция J(x) принимает положительные зна- чения, а при Л' = -1, X = , X = 4 — значение 0. Поэтому J{x) > 0, если х принадлежит промежутку Ответ. 1^—1; yj или промежутку [4; +оо). '• 1^-1;-l-j и[4;+~). • Если в неравснсзвах (1) не все числаХ|, xi,.... х„ являются попарно различными, то рассмотренный алгоритм определения знаков функцииДх) = (х-Х|) (х-Х2)...(х-х„) применять нельзя. Способ решения таких неравенств показан в следующем примере. Пример 3. Решить неравенство (х + 0,5Хх- 1)^(х- 3)^ <т 0. • Отметим на координатной прямой нули функцииУ(х) = (х + 0,5Хх- 1)\х-3)’ и ее знаки на образованных промежутках. На крайнем справа промежутке (3; +“) все множители произведения (х +0,5)(х-1)\х-3)’ являются положительными, поэтому на этом промежутке У(х)>0. Двигаясь справа налево при переходе через значение х = 3, функция меняет знак, та как меняет знак множитель (х- 3)’, являющийся нечетной степенью двучлена X- 3. При переходе через значение х = 1 знак функции не меняется, так как не меняется знак множителя (х - 1)‘, являющегося четной степенью двучлена х - I. При переходе через значение х = -0,5 функция меняет знак, так как меняет знак множитель X + 0,5 — нечетная (первая) степень двучлена х + 0,5. Ответ. (-0,5; 1)и(1;3). • 104 §2. Квш)ри1Ш1чпия функция 2. Решение пробных рациональных неравенств. Метод интервалов можно применять и при решении дробных неравенств. Решим неравенство (Х+1К.Г-2) >0. Рассмо1рим функцию /(дг) ^ Л--4 (л-ИХх-2) т-4 (2) 1) Найдем область определения функции: т - 4 0; т 4. 2) Найдем нули функции: xi = -1; лт = 2, 3) Отмс“тим на координатной прямой точки, соответствующие числам -1, 2 и 4. (т + 1){т - 2) Знаки частн010 т-4 на промежутках (-«; -I), (-1; 2). (2; 4) и (4; -и») опреде- ляем так же, как н знаки произведения (х + 1Хт - 2Хт - 4). л /у ■> (•*+ IX-* ~ 2) Функция Дх) = ---—- принимает положительные значения на промежут- ках (-1;2) и (4;+во). Поэтому множес1Бом решений неравенства (2) является (-1;2)и(4;-юо). lluiiMcu 4. Решить неравенство < -1. х + 2 • Приведем дазшое неравенство к неравенству, левой частью которого является дробь, а правой — нуль: 4^+1<0; lzJ*±*±2<0. -6*±..6<ц. -6(*-1)<о- л'+2 T-f2 ’л + 2 т+2 х+2 X ^ \ Нулем функции Дт) = ^ является т = 1; при х = -2 эта функция не определе- на. Отметим на координатной прямой точки, соответствующие числам -2 и I, а также знаки функции на образованных промежутках (на крайнем справа — знак «+», на остальных промежутка.ч — 1'акие знаки, чтобы, двигаясь справа налево, эти знаки чередовались). ^ ~ 1 На промежутках (-<»; -2) и (I; +°°) функцияу(.т) = —- принимает положитель- А' + Z ные значения, а при т = 1 — значение 0. Поэтому множеством решений неравенства является объединение промежутков -2) и [ 1; +<»). Ответ, (-оо; -2)сд[1; +оо). • !4. Решение неравенств методом интервалов Ш5 № В 1/\ I Решите неравенство: 381. адд:-4)(л: + 6)<0; в)(л--1)(х-2)(х-3)>0; д) (х + 4)(х + 2)(лг - 1 )(д - 3) > 0. 382. а)(л--2)(д:-3)<0; в) (д- - 5\х - 1 Дд + 2)(х + 4) < 0. 383. a)(Zv- 1)(д+1)>(); в) (4д - 8)(3 - д)(д + 1) < 0; .384. аИд’-4)(д + 4)>(); 385. а)(4д-16)(2-д)<0; -V +1 б) (д + 1)(д + 3.5) > 0; г) д(д - 5)(д + 3) < 0; б) (д + 3)(д - 0,5)(д - 5) > 0; 6)(6-3a-)№ + 3)>0; г)-д(2д-.5)(-Зд+3)<0. б) (2-д)(9д“- 1)<0. б) (Зд + 2)(д^-9)>0. 386. а) 387. а) .388. а) д-3 3 д-1 <0; 6) о- (д-1)(д-5) >0; б) б) д+2 2д-1 в) -У-- ->0. д+1 2.V-I 4д+1 <1: >3; в) в) (д + 3)(д-4) 3-д 2д + 3 .^д + З 3-д <4. <1. 389. а)д'-4л" + -3д>0; б)д’-д--4д + 4<0; в) (д‘+6д-16)(д'-I) <0; |) (.г-6д+.5)(д‘-4)>0. .390. а) (д+8)^ (д+6)' (д -1) < 0; б) (д“ -1)^ (Зд ‘ + 2д -1) > 0. 391. Пайдигс область определения функции; а) у = -^(д^ -Зд+З)(д' -Зд-10); б) у = -^(д-1)(д + 2"Дд' -16). 392. Решите перавенегво (д - 1)(д - о)< 0 с параметром а. Решите неравенство: т'-7д + 10 393. а) в) .394. а) д" + .Зд + 6 д' - 4д - .5 (Д-1Г .Г-Д-6 ■<0; <0; б) (-^-1Хд^-8д+12) 2д-2 6-д д‘-1 <1; ч д+1 . 1 . 3 . ">Т:2*2'7Т2- (д' -6д+ 10)(2д-1) б)^-^>-3; A-I А+1 Ч 1 . 2 ^ 3 д д+2 д+Г >0. 106 S2. Ktiudpuimiuinm функцш! _ J' i I i'-| f ! IxittrHHTt OMlwr Упра)|<н^тд:^ 395. Решите графичееки систему уравнений 396*. Найдете значение выражения: 4.4. л/8 + л/4 ч/Г2+л)^ л/Гб + лЯ2 +... + л/% + л/^ 397. 11а обработку одной детали первому рабочему Требуется времени на 6 мин меньше, чем второму. Сколько деталей обрабатываег вюрой рабочий за 7 ч, если первый за это время обрабатывает на 8 дегачей больше В|Т)рою? 398*.Баесейн, к которому подведены две трубы, через первую трубу наполня-етея водой на 5 ч быстрее, чем через вгорую. Если сначала открыгь вторую трубу, а через 8 ч открыть и первую, го бассейн наполнится за 18 ч. Какова емкость бассейна, если за 5 ч через первую лрубу и за 4 ч через вторую трубу в сумме проходит 20 м’ воды? КИЛ Системы уравнений с двумя переменными I. Уравнения с двумя переменными. Пусгь известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 ем. Пели длину одного из катетов обозначить через х см, а второго — черезр см, то получим равенство л2+/ = 25^ содержащее две переменные х и у. Такое равенство, как известно, называют уравнением с двумя переменными (или уравнением с двумя неизвестными). Уравнения ->» = 0. 2т - 5> = 1. ху = I, х + у = 3.vV также являются уравнениями с двумя переменными. Левой част ью уравнения х' -у = 0 является многочлен второй степени, а правой — нуль. Такое уравнение называют уравнением второй степени с двумя переменными. Уравнения 2г - 5у = 1, xv = 1 и х + у = ЗхУ являются соогветственно уравнениями первой, второй и четвертой Степеней. Напомним, что реитшем уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, при когорых уравнение превращается в Bcpfioe числовое равенс! во. Так, уравнение jr +у = 25 при х = 3, у = 4 превращается в верное числовое равенство 3’+4^=25. Поэтому пара значений переменных х = 3, у = 4 яапясгся решением уравнения х^+у' = 25. 'Тго решение записывают еще и так: (3; 4). Решениями уравнения .г +у^ = 25 являются также пары (-3; 4), (4; 3), (0; 5), (-5; 0) и г. II. 15. Системы уривпепий с деу.мч переменными 107 Если на координатной плоскости отметить все точки, координаты которых являются решениями некоторого уравнения с двумя переменными, то получим график этого уравнения. Так, |рафиком уравнения 2х-5> =1 является прямая, графиком уравнения +}^ = 25 — окружность радиуса 5 с центром в начале координат (рис. 62). Уравнения х^-у = 0 и 1 равносильны уравне- ниям у = х^ к у = — . Поэтому их графиками ЯВЛЯЮ1СЯ соогвегственно парабола и гипербола. Рнс. 62 2. Г рафический способ решения систем уравнений. В 7 классе мы рассматривали разные способы решения систем линейных уравнений; | рафи-ческий способ, способы подегановки, сложения, flycib нужно решить систему |дгЧу^=25; оба уравнения которой являются уравнениями второй степени. 1(»8 §2. Квидритичиия функция riocipoiiM в одной системе координат графики обоих уравнений системы (рис. 63). 1'рафиком уравнения -k-у' — 25 является окружность, а графиком уравнения у — 5-з?— парабола. Эти графики имеют 3 обших точки; Д(0; .5). /?(-3; -4) и С(3; -4). Легко проверить, что координаты каж;юй из этих точек являкугся решениями как первого, так и второго уравнений системы. Поэтому система имеет 3 решения: (0; 5), (-3; -4) и (3; -4). Чтобы решить систему урааиеиий с двумя переменными графическим способом, нужно построить графики уравнений системы в одной систе.ие координат и найти координаты о6и{нх точек эптх графиков. 3. Решение систем уравнении. Рели в системе уравнений с двумя переменными одно из уравнений является уравнением первой степени, то такую сисгс.му можно решить способо.» подстановки. [-Зл-у = 2; Пример I.Решить систему уравнений ь 2^ ^ -Tg •ВЕлразим из первого уравнения перемениуюр через переменную .г; -у - -Зд' -ь 2; у - .Зх - 2. Подставим во второе уравнение вместо у выражение Зх -2 и решим полученное уравнение с одной переменной х; Зх- + (Зх - 2)^ = 28; Зх’ + 9х' - 12х -ь 4 - 28 = 0; Их’-IZv-24 = 0; .х^-х-2=0; .г, =-1;х2=2. [ 1о формуле у = .Зх - 2 находим: у, = .Зх, - 2 = 3-( -1) -- 2 = У2 = Зх, -2=32-2 = 4. Итак, система имеет два решения; х, = -1, у, = -.5; х» = 2, у, = 4. Ответ. (-1: -5), (2; 4). * Решая систему уравнении сп-.коао.м подстановки, нужно: 1) выразить из некоторого уравнения системы одну переменную через дру17ю; 2) подставиIь полученное выражение в другое уравнение вместо соответствующей переменной; 3) ренЕить Ш’Лученное уравнение с одной переменной; 4) найт и соот вегст вующее значение другой нсременноГ|. [хЧу^ = 10; ПрЕгмер 2Решить систему уравнений \ |.гу=3. »Умножи\1 вго]Х)С yiiaBHCHHC Jia 2 и сложим с псрвььм уралпснием, по.Еучим; .\’-ь2.\т+ v’= 1(1, 15. Системы ypueiiemiii с деу.мя переменными 109 Огсюда: (х + = 16; х + >■ = 4 и;ш х + у = -4. Ц |ак, возможны два случая. Гд+у 4, |у-4 X [ху = 3; [х(4-х) = 3; У1 = 4 - 1 = 3; Уз = 4 - 3 = 1. (1; 3), (3: 1) — решения системы. х+у = -4; |у = -4-х: хз' = 3; |х(-4-х) = 3; х, = -1; Х4 = -3. у, = -4-(-1) = -3; 3^4=-4-(-.3) = -|. (-1; -3), (-3; -I) — решения системы. Ответ. (1; 3), (3; 1). (-J: -Зу (-3; -1). • Замечания. 1. Сисгему из примера 2 можно решать егккобом подеганов- 2) -4х -Д-- 3 = 0; хЧ 4х + 3 = 0; 3 ки, выразив из второго уравнения переменную у через переменную х: у = —. [х+ V = 2. Решая систему уравнений вида < где а и h — некоторые (ху = fc. известные числа, можно использовать теорему, обратную теореме Виета. Так, [д-+у =.4; решая пример 2. мы получили систему лт = 3. На основании упомянутой теоремы числа х и у являются корнями квадратного уравнения г - 4/ + 3 = 0. Решив уравнение, найдем: f, = I; ь = 3. То1да пары чисел (1:3) и (3; i) — решения данной системы. ]"Т'] i Г"1 Г“рт I *г Для T0X, кто хоЯет знать больше т ! - ,i_-L Ilpu^iep 3 Решить снс1см> урпвисннй ■ _.1. J___! А' о х\ — =3: I I..J .._1 ■ ■. I •Положим;.у1' = «, По.тучим систему .'чшейныхуравнений в - £■ = 3: Зн + 2п = 14. решением которой является и = 4,1= 1. Возвращаясь к «амеие, получим: = J.3v = 4: i-=l: |x=v. 110 §2. Каидрипшчыии функция Решив последнюю систему способом подстановки, найдем: Л| = 2, V| = 2; дгг = -2. >'з = -2. Ответ. (2; 2), (-2; -2).* [ jcy - дг = 35; 11 |)н мер 4. Решить систему уравнений • Запишем данную систему так; ху^ — ху^ — 560. ху- х = 35; Разделим почленно второе y'(jcy-x) = 560. уравнение на первое (так как д.е -д: = 35, то ду - дг 0 и на ху - х делить можно). По.пу-чим; у^ = 16, откуда у, = -4, Уз = 4. Подставим эти значения у в первое уравнение системы; 2 -4х-дг=35, jt|=-7; 4д;-дг=35, И—. Ответ. (-7;-4); hl|;4l.* Т Г 1~ I—I—Г~Т—I—I—I—I Упражнение I. I[оезроить график уравнения у-^А-х^. * Так как при допустимых значениях х выражение \l4-x^ принимас! неотрицательные значения, тоу > 0. Поэтому данное уравнение равносильно таким двум условиям: = А-х^, у>0 или х^ +у^ = 4, у> 0. Следовательно, графиком уравнения является полуокружность радиуса 2 с центром в нача.зе координат, находящаяся в верхней полуплоскости (рис. 64).» \ пражиеиие 2. Построить график уравнения |2д: -у| = 2. ® Если модуль числа равен 2. то этим числом является 2 или -2. Итак, 2х -у= 2 или 2х-у= -2. Поэтому графиком уравнения являются две прямые, заданные уравнениями 2х-у = 2 и 2х-у=-2 (рис. 65).» /5. Системыуривпспии сдиуми переменными III [л'+2д:>' = 5; Упражнение .V Решить систему уравнений i [Зу-2д:у = 2. • Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, nojFynuM; х + Ъу = 1, откуда X = 7 - Зу. 11одставив вместо х выражение 7 - Зу во вюрос уравнение системы, получим; Ъу-2у(1 -Ъу) = 2\ Зу-14у + б/-2 = 0; I бУ-11у-2 = 0; у, уг = 2. ^, = 7-3-(-l) = 7i; x2 = 7-3-2=J. QiBer. (1;2). • I -[ Г - YctHO I . ..L_ 399. Является ли решением уравнения + у = 10 пара чисел: а)х = 3;у=1; б) (-2; 6)? 400. Является ли решением системы уравнений |х^ + >-'=17; 1х)' = 4 пара чисел: а)х = -1;у = 4; б) (1:4)? 1—I 1 • 1—г i -jVpopijbjA 1 .J J Построите график уравнения: 401. а)2х-3у = 6; б)хЧ/ = 9; 402. а) X-2у = 2; б)х^+У = 4. Решите графически систему уравнений: в) 2т^-у=0. 403. а) 404. а) [х+у = 2; б) = ; [ 2х - у = 0; [у = х-\ Решите систему уравнений: [у = Зх-2; 405. а) У = х-; б) б) fx-y = 2; [хЧу==4: [хЧ.у"=9; [х+ у = 3. х = 2у + 1; ху + у-4; в) К + у^=1; Ь- = хЧ1. в) ЗхЧу'=7; У = 2х; 112 S2. Каадрапшчиия функция г) 40Г>. а) |л+v = 2: |,vv = l; V = лч I; A.v = л"; Т' А —>’ = 11; а> = -28; g^|A+>’ 9; [а+2> = 9; е) в) I А> + >’ = 4; |а+> = 2. 2л-> = 2; av + 2> = 0. j^sehu^E I ft' Peiuutne графически систему уравнений: 407. a) {• V-A •--2a = 0; 408. a) ,v-v = -2; > = .v-2a+1; 6) 6) \x^ _3^ + l=0; [.v4/=5; I V = Va; b) lr-.v=0; 1л/^-у = (). Ja42> = 7; “4a^ + v-=10. [>—A = l; [a’+>^=2; 409. Используя рафики ураннспий, найдиге количесчво решений системы уравнений: а) Г 7 1л X- + у- = 4; [> = А^ -2а + 2; Решите систему уравнений: А + > + 1 = 0; За^ + 2л> + V = 9; б) А'+г =9: ГУ = 1; в) .rv = -l; у = 4-A^ 410. а) 1^ 2 [а^-5> = 14; \2а + Зу = 3; д) ■ А+у = 4; 5-1 = 1: с) ' [а-2> = 4; |а^-Зд>-2,у^=8; 2а-у =1; (л-1)(> + 2) + а' + 3 = 2л>; 2а+> = 5; 411. а) в) 412. а) А V Г + >- = 25; х--у^=1: АУ + 2а = 5; -3> = -6; ■м 1 = 1; У 1 = 2; б) - у А+у А (а+2> + ат = 10: б) 1 [а + 2>-ау = 2; [аЧ2а-у = 5; Ч-А —2v = 6. 8____8 _ ^ А-> А+у 2 +-i- = l. А-> А+> 15. Системы уравнении с двумя переменными ИЗ 413. а) 414. а) в) д) 14., л- Ч 2.VV + у- =1; 2х-3.у = 2; дгч- у = 6; л" — ху = 2у’; л-у = 1; 2-Д = 4: X у 1^:4-у-=5; . [2л-у-у- =-4; f.r^ -2.гу + у‘ -4; б) л-' + V- = 26; ху = 5. Гл-4 = 3у; е) 4,г + 3у = 1; (2х+1)(у-1) = 6ау; + ху -10; х~ -лу = -2; 2+1 = 3: л- у ‘ + 2=1; X V д:' ч- у' = 25; ЛГУ = 12. «"тНН, - I UiJ 415. 11остройте фафик уравнения: а) y + yj4-x' =0; 416. Решите храфически сиетему уравнений: б)|.у-у| = 2; у-г [ту = 2; |(.у+1)- + у = 0; ,у-у = 1; ” |(д-2)' + у'=25; в) [|т|-у = 0; [д-' + у = 2; 417. Решите сисгему уравнений: г) [лу-- -л = 2у; а) ■ У = Зл; б) [лу-- [л^ + у' = 10; в) I’v- = 9; г) |т^+(у-3)-=9; [(л-3)-+ у-=9. |л^ -блуч 9у' = 225; |у43лу = -35; [.у + у-2.)ку = 3; ]ду(л+у) = 2; П4 Ц2. Квидрнпшчния функция Д) ж) ху — = 1; X 2xv- ЗЗ’ = 6; |(2д + >-)--2(2дг+>') = 15; [2х+2ху+ y = U; у л- з) и) х^ +3xv-5y^ = 20; \x^-f=S; L-^_x%'=72; д -2у ^ л + 2у ^ 10 дг + 2у х — 2у 3 Здг-5з’ = 17; к) г'-у-=56; X' +ДУ + 3'’ =28. 418. Найди1х; вес значения а, при которых система уравнений имеет заданное число решений: 2 решения; 419. Упростите выражение: ЗаЬ + 6Ь^ a^-4h~ ' . 6 , а+3 +3а 1 а а — 3 За-9 б) г) х-у/з 9 За—с т-9г ■2а + с } За+с 2а-с \9а'-с^ 420. Извест но, что 1,5 < m < 1,7. Оцените значение выражения: а) 2т - 4,8; б) -Зш; в) 4,5 - 2т. 421. Корни Л] и ДГ2 уравнения дг^ + рд+12 = 0 удовлст воряют условию Xi-X2= 1. Найдите р, если р>0. 422. Котел можно наполнить водой через два крана — А и В. Наполнение котла через кран А длится на 11 мин дольше, чем через кран В. Если 01 крыть оба крана, то котсл заполнится за 0.5 ч. За какое время можно наполнить котел через один кран Л? 423*. Некоторое расстояние автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч. После этого расстояние на 75 км больше он проехал со скоростью 75 км/ч, а остальной путь, который на 135 км короче проученного, — со скоростью 48 км/ч. Найдите весь путь, если средняя скорость автомобиля 60 км/ч. /6. Решеши’ 1ш)ач при помшци системуршшспий П5 Решение задач при помощи систем уравнений Рассмотрим примеры. {а.тача 1. Из двух пунктов, расстояние между кшорыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Найти скорость движения каждой группы, если первой для преодоления всего пузт1 мсясту пунктами трсбуезея времени на 0,9 ч больше, чем второй. • Пусть скорост ь первой группы туристов лгкм/ч, а второй— у км/ч. Группы встретились через 2 ч, поэтому до встречи первая группа прошла пугь 2х км, а вторая — 2у км. Вместе они прошли 18 км. Получаем уравнение 2х + 2у= 18. IЯ Чтобы пройти весь путь длиной 18 км, первой ipynnc нужно _ ч, а X 18 второй-----ч. Так как первой группе на это нужно времени на 0,9 ч боль- 18 18 по II ше, чем второй, то:----= 0.9. I юлучаем систему уравнении: X у = 18; = 0,9. 2х + 2у 28_18: По условию задачи х>0 и у>0. Поэтому, умножив обе части второго уравнения на ху. получим; [2jc-b2y = 18; [х-гу = 9; |у = 9-г, [ 18у -1 8jt = о, 9ху; [ 20у - 20л; = ху; 120у - 20л; = лу; 20(9-л-)-20л: = л(9-л): ХГ-49Х+ 180; л, =4; д:2 = 45. Если лг = 4, то у = 9 - 4 = 5. Если X = 45,1 о у = 9 - 45 = -36 — нс удовлст воряет неравенству у > 0. Отвст. 4 км/ч; 5 км/ч.* Ja.{a4a 2. Сад и огород имеют прямоугольную форму. Длина сада на 30 м меньше длины огорода, при этом его ширина на 10 м больию ширины огорода. Найти размеры сада, если его площадь 900 м^, а площадь огорода — 1200 м^. ® По условию задачи составляем таблицу. Длина Ширина Площадь Сад X м у м jry = 900 Огород (л + 30) м (у - 10) м (х-ь30)(у- 10)= 1200 1И> $2. Каадрипшчпия функция Получаем сипему уравнений: лу = 900; (л + 30)(у-1и) = 1200. Решим эту систему: ху = 900; jxy = 900; лу -1 Ojc н- ;Ю.у - 300 = 1200; [900 - 1 От+ЗОу - 300 = 1200; A-.V = 900; jxy = 900; J ,v(3y - 60) = 900: -10л+30у = 600; [v-3.v = -60; 1т = 3у-60; Зу" - бОу - 90(> = 0; у- - 20у - 300 = 0; v, = -10; уг = 30. Значение у, нс yiiOB;ici воряс! условию за,цачи (ширина са,ча нс можег выра- жапля отрицательным числом). Поэтому: у - 30; .v = Зу - 60 = 3 • 30 - 60 = 30. Oi'BCi'. 30 м; 30 м. • Г^ Г 'Г]' п ■ г ГП “'1 Г'" LtirtTiTj'^m:.............................. ... 424. За 2 кг клубники и 3 кг черешен заплатили 33 грн., а за 4 ю' клубники и 2 к1 черешен — 38 грн. Сколько стокг 1 кз клубники и сколько 1 ki черешеи? 425. За 8 тетрадей и 5 альбомов заплатили 9 грн. Сколько слоит одна тсфадь и сколько один а.льбом, если 4 тетради дешевле 6 альбомов на 4 трн.? 426. Найдите стороны прямоугольника, пернмелр которого равен 30 см, а площадь — 56 см". 427. Сумма двух чисел равна 11, а их произведение — 28. Найдите эти чис.1а. 428. Разность двух чисел равна 10, а сумма их квадратов — 82. НаГ|Дите эти числа. 429. Произведение двух чисел равно 64. Иайдиле эти числа, если одно из них на 12 больше другого. 4.М). Сумма двух чисел равна 2, а разность их ква,лратов — 16. Найдите эти числа. 431. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен 28 дм, а диагональ — 10 дм. 432 Периметр прямоугольттика равен 26 ем, а сумма площадей квадратов, тюст[юетз)тых на дву.ч его соседних егоронах, равна 89 см". Найдите стороны прямоугольнттка. Г1 ■’ — . i .J 1.J ..П Г уровень Б .1. .г-й- 433. Сметттав ЗО-'тротштпнын и 60-процситттый растворы кислоты, ттозтучттли 800 г раствора, содержащею 30% кис.тотьт. Ско/тько грам.чюв каждото раствора смеша.тттт? 16. Решети' шдич при помощи систем ураипеиий 117 434. За пачку печатой бумаги и 3 альбома заплатили 25 |рн. После гого как бумага подепгсвсла на 10%, а альбомы подо150жали на 20%, за 3 пачки бумаги и 2 альбома заплатили 39грн. Какова начатьмая цена пачки бумаги и одного альбома? 435. Известно, что 3 банки краски и 2 банки лака стоили 90 грп. После того как краска подешевела на 10%, а лак — на 20%, за 4 банки краски и 1 банку лака заплатили 60 грн. Какова была начальная цена банки краски и банки лака? 436. Из города А в город В, расаоянис между которыми 210 км, одноврсмен но в'лсхали два автомобиля. Скоросгь одного из них на 10 км/ч больше скороаи другого, благодаря чему он приехал в город В на 30 мин быстрее. Найдите скорост ь каждого автомобиля. 437. Два экскаватора, рабагая вместе, вырыли котлован за 7 ч 30 мин. За какое время может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно, если одному из них нужно на это времени на 8 ч больше, чем другому? 438. Дна трактора, работая вместе, вспахапи поле за 2 дня. За сколько дней может вспахать все поле каждый трактор, работая отдельно, если один из них может сделать это на 3 дня бысфсс. чем другой? 439. Из базы отдыха одновременно в противоположных направлениях вышли две группы туристов. Через 3 ч расстояние между ними было 21 км. Найдите скоросгь каждой группы, если известно, что путь длиной 6 км одна из них проходит на 30 мин быстрее другой. 44(!. Расс'тоя!ше между городами А В равно 480 км. Из этих горо.дов одновременно навстречу друг- другу вышли два поезда. Через 3 ч движения им ,30 встречи оставалось пройти еще 60 км. Найдите скоросгь каждого поезда, если расстояние меж.чу городами А и В одни из них проходит на 2 ч быстрее, чем второй. 141. Два велосипедиста выехали одновременно из иунклов Л и В навстречу дру| друзу. Через час они встрсчились и, не останавливаясь, продолжили ехать с прелыдушими скоростями. Олин из них прибыл в пункт Л на 27 мин раньше, чем другой — в пунк1 В. Найди le скорость каждого велосиг'сдисга. если расстояние между 11ункга.ми 36 км. 442. Из юрода Л в юрод В. расстояние между которыми 120 км, кысха.1 мо гоциклист, а через 40 мин навстречу ему из города В — автомобиль. Мотоциклист в юрод В и автомобиль в город Л прибыли одноврсмеино. Найдите скорости мото11ик.и1Ста н автомобиля, если мотоциклист за 3 ч просзлсает на 90 км Гю 1ыие, чем аптомоби.и, за 1 ч. и скорость автомобиля не iipeBb'uiaci 120 км/ч. 118 ^2. К(Ш()1П1тччии>1 функция 443. 444. 445. 446. 447. 448. Резервуар емкоет1ЛО 2.5 м’ можно наполнить водой через два крана за 2 ч. Если первые 10 м’ воды пропустии, через первый кран, а остальную часть — через взорой, то резервуар будет наполнен за 4 ч. Какой объем воды проходит ЧС13СЗ каждый кран за I ч? Двое рабочих, работая вместе, могуч выполнить некоторую работу за 10 ч. Г'сли сначала первый рабочий выполнит половину роботы, а потом вггорой — оставшуюся чаегь, то рабо-га будет выполнена за 22 ч 30 мин. За какое время каждый рабочий, работая отдельно, может выполнить ВСЮ работу? Каждый из двух принтеров нечатаег тексювый файл объемом 36 сфаннц. Первый принтер напечатип 6 страниц за то же время, за которое второй напечатал 5 страниц. Сколько сфаниц печатает каждый принтер за минуту, если первый закончил роботу на 1,5 мин быстрее второго? Отец и СЫН мотут покрасить забор, работая вместе, за 4 ч. За сколько времени может покрасить забор каждый из них, работая отдельно, если 2 отцу для того, чтобы покрасить забора, нужно времени на 1 ч больше, чем сыну, чтобы покрасить ^ забора? Площадь прямоугольника 4200 см^. Если длину прямоугольника увеличить на 50 СМ, а ширину уменьшить на 25 см, то площадь не изменится. Найдите стороны прямоугольника. 11есколько учеников поделили поровну между собой 90 яблок. Если бы учеников было на 3 меньше, то каждый из них получил бы на I яблоко больше. Сколько было учеников? Цй- i ^ } 1 1 — - 1 U....I л Т 'т ‘! 1 I j : Уровень В — 449. Бассейн можно наполнить водой при помощи двух насосов. Если первый насос включить на 5 ч, а потом второй — на 7 ч, то наполнится ^ бассейна. После этого, чтобы наполнить бассейн, нужно еще 5 ч общей работы обоих насосов. За сколько времени может наполнить бассейн каждый насос, работая отдельно? 450. Двум рабочим бьию поручено изготовить партию одинаковых деталей. I [осле того как первый проработа.д 7 ч и второй 4 ч, оказалось, что они изгоговили ^ всех дегалей. Проработав вмесге еще 4 ч, они определи- К). Решение ип)ич при пп.ишри систем ypamieuuii 119 1 „ „ ли, что им осталось изготовить ~ всех деталей. За сколько времени 1 о первый рабочий, работая отдельно, может изгаювить партию деталей? 451. Катер за 42 мин прошел .5 км по озеру и 11 км по реке, впадающей в это озеро. Найдите скорость кал ера в стоячей воде, если он за 2 ч проходит по течению реки на 10 км меньше, чем за 3 ч против течения. 452. Расстояние между прис1анями -4 и В, находящимися па реке, равно 33 км. Моторная лодка путь из Л в 6 и назад проходит за 3 ч 20 мин. Найдил с скорость течения реки, если известно, что лодка 11 км по течению реки и 9 км пролив течения проходит за 1 ч. 453. Несколько самосвалов псрсвехли щебень, предназначенный для строи-тельел ва дороги, за 14 дней. Все самосвалы делали ежедневно одинаковое количество ходок, перевозя за каждую по 5 т щебня. Если бы самосвалов было на 4 больше и каждый делал каждый день на 1 ходку больше, то щебень бььл бы перевезен за 10 дней. Если бы самосвалов было на 10 больню и каждый делал ежедневно на 2 ходки больше, то щебень был бы перевезен за 7 дней. Сколько было самосвалов, сколько ходок выполнял каждый из них за один день и сколько тонн щебня бььло перевезено? 454. Из двух пунктов А и В, расстояние меж;гу которыми 24 км. одновременно навстречу друг .чругу' выехали два автомобиля. После встречи автомобиль, выехавший из пункта А, прибыл в пункл В через 16 мин, а второй авломобиль — в пункт А через 4 мин. Найдите скорость каждого автомобиля. Г I Г' Т Т 1 г ГТ Г“Т г т |^пра^кн|&нря^ Д1|1я П0|вт6|^н^я ”1 455. Вычислите; а) (5')': s'"; 6)f4-y-4^^ в) (4-')* • (2-^)-^ 456. Разложил е на множители: 1 1 3""3' a)(a-bf + \а- \Ь\ 457. Докажите, что значение выражения б) а^т +h^ - аЬт - аЬ. 8а 100/>^ 2а + 5Ь 4а'-25/;^ равно 4 при каждом допустимом значении аи Ь. I 2a-5hl 458. Решите уравнение: а) 3x-5 Здгн 5 _ 1. 8 6 2’ б) 4 1 '+4д + 4 д'-4 д-2‘ 459*.Докажите неравенсл-во; а)2а^-4а/? + 4/7^>0; б) а^-4а + - 2Ь + 6 > 0; в) 2а^ + 2Ь^ + 2 > 2аЬ + 2а + 2Ь\ г) + Ь^> а^Ь\а^ + Ь~). 12» §2. Квадратичная функция — . - — Парабола имеет ряд интересных свойств. Представим себе, что парабола может отражать световые лучи. Если на параболу будег падать пучок лучей параллельно ее оси симметрии, то после отражения они пройду! через одну точку, которую называют фокусом параболы (на рисунке — это точка /•). Наоборот, если в фокусе параболы по.месгить источник свсга. то лучи, отра-зивтнсь от параболы, пойдут параллельно сс оси симмегрии. Поверхность такого зеркала получают вследствие вращения параболы вокруг своей оси. Параболические зеркала используют при создании прожекторов, телескопов, автомобильных фар и т. п. При определенных условиях камень, брошенный под углом к горизоту, движется «по параболе». То же можно сказать и о пушечном снаряде. Вопросы II упражнения для повгорсния § 2 1. Что называют функцией? Каковы способы задания функции ? 2. Что называют областью определения и областью значений функции? 3. Что называют графиком функции? 4. Что называют нулями функции? Найдите нули функции у = д ’ - 4. 5. Какую функцию называют возрастающей на промежутке; убывающей? Приведите примеры. 6. Как, используя график функции у = х', пошроить график функции; у = л---ьЗ; у = {х-I)-; у = {х~ 1)--ьЗ; у = -х^2 7. Каковы свойства функции у = ах'? 8. Какую функцию называют квадратичной? Что является графиком квадратичной функции и как его построить? Вопросы II упражнения i).:iii потиорепия <}2 121 9. Как ретают квадратные неравенства? Объясните это на примере неравенства + 2х - 3 < 0. 10. Как решить систему уравнений с двумя переменными графическим способом? 11. Как решить систему уравнений с двумя переменными способом подстановки? 460. Функция задана формулой Дл) = 2х" - 4. а) Найдите:У(-2);У(0);У?2). б) 11айдите значения apiyMemra, соответствующие значению функции: -2; 5. в) При каких положительных значениях х значение функции в два раза больше значения аргумента? 461. Найдите область определения функции: * - в) у = л(3-5х; I) у = л/Зх+12; д) >■ = х^-4х-12 * ; е) у = %/9-Зх + J yjx^-7х+12 462. Принадлежит ли число 12 области значений функции: л/2х+6 а)у = -х + 3; б)у = -хЧЮ; в)у = х^-12х + 44? Постройте график функции: 463. а)у = 2х-1; б)>’ = -3х^; 464. а) у = X" - 1; 465. а)у = (х- 1.5Г; б) у = --1; X в) у = 0,25х\ где -2 < х < 2. в) у = -%/х + 1. 466. a)y = (x + 2f-2; 467. а)у = х^ -6х + 5; б) у = л/х + 2; б) у = -Ц- + 2; в) >’ х-2 в) у = —л/х—3 + 2. х-1 б) у = Зх^ + 9х + 6; в) у = -2дг + 2х- 1. 468. График функции у-ах^ нроходт через точку Л(-2; -2). Найдите а и постройте г]>афик функции. Проходит ли этот график через точку й(4; -8)? к 469. Г рафик функции у ^ х-2 проходит через точку М(1; 2). Найдите к и постройте график функции. Проходит ли этот график через точку N{4: 1)? 470. Построй ге график функции у = х^ - 4х + 3. Используя график, найдите: а) область значений функции; б) все значения х, при которых функция принимаез отрицательные значения; в) промежуток, на котором функция убывает. 122 <}2. Квидршпичпая функция 471. Постройте график функции у = —х^ -2х + Ъ. Используя график, найдите: а) область значений функции; б) все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения; в) промежуюк, на котором функция возрастает; убывает. 472. Посфойте график функции у = дг-4. Используя график, найдите область значений функции. Является ли данная функция четной? Постройте график функции: 2х -3, если X < 1; х+1 если X < 0; 473. а) у=. б) у = < 1^' -2, если X > 1; если х>0; если х<-2; ■-А-1, если А< -I; в) }’=■ -х^ , если—2<х<1; 1-) л/| - X' , если X — 2, если X > 1; А-1, если А> 1. 474*.а) у-- X 4дг + 3 2. -1 ^ ’ б) У = - х- + 2\х- в) у = +4jc|; _w. д) у г) y = yjx^ -4х+4\ 2 Х-1 е) У = ^ U-i|- 475. Найдите координачы точек пересечения графиков функций; а)у = Зх^-Зх+\иу = -х + 2\ Ъ)у = х^-2х-5 иу = +4х + 3. 476. При помощи графиков функций определите, имеет ли корни уравнение: а) -х-3 = у{х + 4-, б) X' + 2x = yJx-\; в) ^ -4-2х. х—2 477. Решите чрафически уравнение; а) (дг- 1)^ - 4х-\\ Ъ)2-х"=у1х; в) ^ , = х^ —2х+6. х—\ 478*.Определите количество корней уравнения |2|д:| - 1| = дг-о в зависимости от значений параметра. Реиште неравенство: 479. а)х^<25; б)х^>25; в)-;г^-ь 100>0; г) х^ - 1х < 0; д)-х^ -ь3дг<0; е) -г Зд-> 0. Вопросы и уприжиеиии Лля оониюрспия ^2 123 480. a)jc^-2x-8>0; б) - 4х + 5 < 0; в) Зх^ + 4х - 7 < 0. 481. а) (х - 3)(х + 3) > 2(х + 3); ло'% •>^+1 X ^ х’ +2х . 482. »— 483. а) (х-2)(х +4) < 0; в) (х - 8)(х - 1 )(х + 3)(х + 6) > 0; 484*.а) (х^ - Зх)(х^ + 7х + 12) < 0; 485*.а) (х + 6)л/х^ -х-20 > 0; б)(х-2)(4х+ 1)<(х+ 1)4 3. б) (Зх- 1)(2х-4)>0; г)(4х-7)(3х+ 1)(2-х)>0. б) ^/(х-1)(2-х)(х + 2) > 0. х + 3 б) >/х4х-12 >0. 486. Найдите промежутки знакопостоянства функции у = 2х^ - 11х + 5. 487. Решите сисгему неравенств: а) х"-7х-8>0; 45-Зх>0. 1х"-2х>3; 1х^-2х-8<0. 488*.Найдите все значения параметра, при каждом из которых неравенство выполняется для всех значений х: а)д^ + 2т + о>0; б) nv^ + (/п - 1 )х + /?! - 1 <0. 489*.Иайдите все значения а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения x^-ax-^a-I=0 является наименьшей. 490*.При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х^- ах + <7^- За - 2 = о является наибольшей? 491. Постройте график уравнения: а)у-ьх^-4 = 0; &)/+(y + 2f = 4-, 492. Решите графически систему уравнений: fv'-2x-y = 0; fy = 2x'-I; [х+у = 2; Решите систему уравнений: [2х-у = 0: 493. а) 1х +у = 3; б) у-л/х = 0; х4у^=1. б) в) Зх"-2у'=4; 4х + 3у = 2; х-ьЗу = 1; х^ -ь4ху + у" =1; х-2у = 3; |(х-2)(у-г2) = х42ху; 124 ()2. Квш)ршиичи(1я функции 2 л-+ V =6; «)ijL+A = ,. 2х 2у ’ 494*.а) в) )лЧлз- = 10; [/+л-у = 15; [хЧу'=:35; |л->-(л + >’) = 30; А+у = 3; с) ■ 4 1 а+2 у-2 б) А' + у' = 5; = 1. •) |(.v+ >f-5(а + у) + 4 = {); 1(а->)--(л - >j-2 = 0. -*У5*.Г!рн каких значениях т дна уравнения 2а'- (Зт + 2)л + 12 = О и 4а^ - (9т - 2)а + 36 = О имеют общин корень? 4%*,Ыайдите все значения параметра, при каждом из которых система урав- _ [4л'-3у"=24; нении { имеег только одно решение. [у-2а+/?? = 0 497. Периметр прямоугольника равен 28 см, а площадь на 12 с.м' больн]е площади квадрата, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите стороны прямоугольника. 498. Произведение двух положительных чисел в 16 раз больше их сум мы. Найдите эти числа, если первое hhcjio на 20 больше утроенного второго числа. 499. В зале было 160 мест, расположенных одинаковыми ря.аа.ми. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 2 и прибавили еще один ряд. стало 210 мест. Сколько рядов стало в зале, если их количество больше количества мест в одном ряду? 500. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 150 км, одновременно навс'тречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Через два часа они встретились и, не останаачиваясь, продолжили движение. Мотоциклист прибыл в пункт В на три часа раньше, чем велосипедист в пун1сг4. Найдите скорость велосипедиста. 501*. Из двух городов одновременно навстречу друг дру1у выехали два автомобиля и встретились через 2 ч. За какое время преодолеет путь между городами каж.дый автомобиль, если первый автомобиль за 1,5 ч и вто- ... 2 „ рои за 1 ч вмест е преодолеваю т — этого пути! 502*.Мастер и ученик, работая вместе, выполняю! задание на 1 ч быстрее, чем мастер, работая один, но на 0,5 ч дол1.ше, чем мастер и два ученика. За какое время выполнит это задание один ученик, работая отдельно? iadiiiiUH i):ai iiiMuiiponept^ii V«.? Задания >1ля са^ичгроверки № 3 US Уровень / 1. Какое ш чисел является решением неравенства дг^ - 5 < 0; а)3; б)-3: в)-2; г) 2,5? 2. Укажи'!е множество решений иеравен^вал'^ < 9; а) (-оо; 3); б) (-«>; ~3); в)(-3;3); г)(-о;-ЗМЗ;+оо). 3. Уравнение + 2х - 3 = 0 имеет корни -3 и 1. Укажите множество решений неравенства дг + 2х- - 3 > 0: а)(-3;1); б)|-3;!1: в) (-°°; -3]и[ 1; 4оо); г) (-«>; -3)и( 1; +<>°). . ^ . [x4v'=]0; 4. Какая из пар чисел является решением системы уравнении [у-2дг = 5 я) G; 1): б) (3; -1); в) (-3; i); г) (-3: -1)? с р „Jjc' + y = 5; 5. Решите систему уравнении < и укажите верный ответ: [у = л--1 а) (-3; -4); (2; 1); б) (3; 2К (-2; -3); в)(-3;-4);(-2;-3): i')(3;2);(2; 1). 6. Стол и 4 стула стоят 350 грн., причем стол дороже сту ла на 100 три. Найдите иену стола и цену одного стула. 11усть сто.ч стоит X грн.. а стул — у грн. Какая система уравнений соот-вета вует условию задачи? Гх + 4у = 350; f;c + 4v = 350; , Г4л-у = .3.50; , Г4д:+у = 350, а) ^ б) в) г) [у-х = 100; [д:-у = 100; [у-.\ = 100; [jc-v^lOO. Уровень 2 7. Решите неравенство дг'' - .Здг - 4 > 0. 8. Постройте трафик уравнения х^ +у^ = 16. fv = .y^ 9. Решите графически систему уравнений ^ ^ fjc42v = 5; 10. Речните систему уравнении < [у-.у = 1. 11. Найдите два числа, сумма которых равна 12, а произведение — 35. 12Г> i}2. Квидрапшчиня функция Уровень 3 12. Найдите область определенияфункции у = yj-4x^ -1х+2. 1л: —6лг+8>0; 13. Решите систему неравенств Зл:-2<5л: + 4. 14. Решите 1'рафически систему уравнений л:^ + у' =8; ->-2. 15. Решите систему уравнений л:+4>' = 1; X 5у 16. Мастер и ученик, работая вместе, могут изготовить 60 одинаковых деталей за 12 ч. Рхли бы мастер изготовил половину всех деталей, а после него ученик — остальные детали, то на это затратили бы 25 ч. За какое время изготовит партию деталей мастер, работая один, если известно, что он это сделает быстрее, чем ученик? Уровень 4 17. Найдите область определения функции >’ = у1бх^ +5х-4 — v3-2a- 18. Найдите все значения а, при которых уравнение х^ -{а-2)х-За + Ь = 0 не имеет корней. \х^+9у^=13\ ху = 2. 19. 1’ешите систему уравнений 20. Сколько решений имеет система уравнений 0 = 5? |хЧ(у-2)^=9; [y+|xj = o при 0 = 0; 21. Из пункта А в пункз В выехал мотоциклисг и двигался со скоростью 40 км/ч. В то же время навстречу ему из пункта В выехал велосипедист и, проехав 4 км, встретился с мотоциклистом. Когда мотоциклист прибыл в пункт В, велосипедист находился на расстоянии 15 км от пункта А. Найдите расстояние между пунктами и скорость велосипедиста. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой. Леонардо да Винчи В этом параграфе мы вспомним прикладное применение математики, а также выясним, что такое случайное событие, вероятность случайного события, что изучает математическая статистика. ‘ -в ' i 5‘Дг; Hocfih. IHi'iCOU- 40 30 2(1 1(1 40 34 3(1 36 10 I t»hl 4X. Ч Ж I2K .■SJ. Э:п‘мешиы iipmcuidtioit митемшиики Математическое моделирование Вам, верояпю, уже прихолилось видеть модели лодки, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее предназначения, отображает определенные свойсгва оригинала. Математическая модель — ?го описание некоторого реального объекта или процесса на языке математики. В предыдущих классах для моделирования реальных процессов мы использовали уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, функции и т. п. Решение задач из любой отрасли с использованием математики предусматривает следующие три этапа: 1) формулируют задачу на языке математики, то есть строят математическую модель; 2) решают полученную математическую задачу; 3) записывают математическое решение на языке, на котором была сформулирована исходная задача. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Найти, сколько погребуется квадратных плиток со стороной 15 см, чтобы покрыть ими пол ванной комнаты, размеры которой 3,3 м X 2,8 м. Построй.^ математическую модель задачи. Пусть для покрытия пола требуется х плиток. Площадь одной шжтки равна 0,15 • 0,15 = 0,0225 (м^), площадь .V плиток — 0,0225х м", а площадь пола — 3,3 • 2,8 = 9,24 (м^). Площадь всех плиток должна быть не меньше площади пола: 0,022.5х > 9,24. Полученное неравенство и является мазематической моделью задачи. Peuiu.M математическую задачу, то есть неравенсгво: 0,022.5.\ >9,24; х > 0,24 : 0,0225; jr> 410,(6). Запишем полученный результат па языке исходной задачи: чтобы покрыть пол. нужно не менее 411 плиток. В условии данной задачи использованы нематематические понятия. Такие задачи называют прикпадными. Числовое значение ответа для прикладных задач в большинстве случаев бываез приближенным. Пример 2 Па реостат вывели напряжение 22 В. Когда напряжение увеличили па 10%, а сопротивление реостата уменьшили на 9 Ом, то сила гока в реостате увеличилась на 1,1 А. Найти начальное сопротивление реостата. 17. Математическое моделирование 129 Построим математическую модель задачи. Пусть начальное сопротивление реостата равнялось х Ом, а начальная сила тока — у А. Так как нача1ьное напряжение равнялось 22 В, то 22 = ух (U — IR — закон Ома для участка цепи). Когда напряжение стало 22 • 1.! = 24,2 (В) (увеличили на 10%), а сопро-тивле»ше спало (дг-9)Ом, то сила тока стала (у+1,1)А. Получаем: 24,2 = (у + l,l)(Jc-9). Математической моделью задачи является система уравнений: ху = 22; [(jf-9)(y + l,l) = 24,2. Решим полученную мате.матическую задачу. |лу = 22; J.ry = 22: |(х-9)(у+1.1) = 24,2; [лу'-9у + 1,1х-9,9 = 24,2; 1,1х-12,1 ху-22; (ху = 22; ^ 9 22-9у + 1,1л-9.9 = 24,2; 11,1л:-9у = 12,1; _1,1jc-12,1 = 22; 1,1jc^-12,Ijt= 198; jc"-Их-180 = 0; Л| = -9, .Г2 = 20. Число -9 условию задачи не удовлс! воряез. iamnae.M резу.’1ьтат на языке исходной задачи, иача^зьное сопрозивле-ние реосгата равнялось 20 Ом. Пример З.Пз пункта А в пункз В выехаз велосипедист и двигался со скоростью 20 км/ч, а через полчаса вслед за ним выеха! мотоциклист и дви-[ алея со скоростью 36 км/ч. Через сколько времени после выезда велпюипеди-ста его догонит мотоциклист? Можно построить разные матемагичес-кие модели этой задачи. Построим математическую модель при помощи графиков функций. За t ч велосипелнет проедет 20/ км, а мотоциклист, двигаясь на 0,5 ч меньше, за (/-0,5)4 проедег .36(/- 0,5) км. На рисунке 66 изображены графики функций .9 = 20/ и л = 36(/ - 0,5). выражающие зависимоегь расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом. от времени движения велосипе- «114 . V. K\i 4ti '6(/ 0.5) icj V I. Ч 5 Кравчук В. Алгебра. 9 кл Учебник 130 u'Meiiiiihi npiiK iadiioii матемшиики педиста. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти a6ciuiccy точки пересечения графиков функций. Из рисунка находим, что /“1,1ч. Итак, мотоциклист догонит велосипедиста приблизительно через 1,1ч после выезда велосипедиста. Г ‘Г'"Г~Т ""I I Г~т—Г“ я тбх,1 кт хочет знаТь1боя1^ше ' ..L.L_[.I . История науки знает немало примеров, когда в рамках удачно ноароснной математической модели при помощи вычислений удавалось прсдусмстрегь существование новых физических явлений и обьекюв. Мы уже приводили один из таких примеров: опираясь на математические модели, астрономы Дж. Адамс (Англия) в 1845 году и У. Леверье (Франция) в 1846 году независимо друг от друга прищли к выводу о существовании неизвестной тогда еще планеты и указали сс местоположение. По расчетам У. Леверье астроном Г. Галле (Германия) нащел эту планету. Ее назва-ти Нептуном. Английский физик П. Дирак в 1928 году получил уравнение движения электрона. Из рещения этого уравнения следовало существование элементарной частицы, которая отличается от электрона только знаком электрического заряда. Такую частицу в 1932 году открыл физик К. Д. Андерсон (США) и назва;| ее позитроном. Метод математического моделирования играет существенную роль в корабле- и авиастроительстве, экономике и т. п. Лостройте математическую модель задачи (503''505): 503. В зале 4(Ю мест для зрителей. Все ряды имеют одинаковое количество мест. Сколько рядов в зале и сколько мест в каждом ряду? 504. В зале 400 мест для зрителей. Число рядов на 9'меньше числа мест в каждом ряду. Сколько рядов в зале и сколько мест в каждом ряду? 505. Ученик купил несколько тетрадей по 80 к., заплатив за них меньше 3 грн. Сколько тетрадей он мог купить? ^—Г } —г—f-T-r г ■ 1 АШL. .Л !"■ ! i 1 L_2:, Лостройте математическую модель заОачи и решите задачу (506''525): 506. В 1(Ю г тыквы содержится 8 мг витамина С. Сколько нужно взять тыквы, чтобы получить 1(Ю мг витамина С? 507. Из 10 кг семян льна получают 3,7 кг масла. Сколько масла получат из 150 кг таких семян? 508. Чтобы сшить костюм, использовали 3,2 м ткани. Какое наибольшее количество таких костюмов можно сшить, имея 60 м этой же ткани? / 7. М<1ше.\иииическое моАслировште 131 509. Масса 100 зерен больше 80 г, а масса 50 таких же зерен не меньше 35 г. Какой может быть масса одног о зерна? 510. От квадратного листа жести отрезали полосу шириной 25 см. Найдите начальные размеры листа, если площадь его части, образованной после отрезания полосы, равна 4400 см^. 511. Автомобиль преодолевает расстояние между двумя городами за 2,2 ч, двигаясь со скоростью 60 км/ч. На сколько нужно увеличить скорость автомобиля, чтобы он преодолел это расстояние за 2 ч? 512. Из пункта А выехал мотоциклист, а через 1,5 ч вслед за ним — автомобиль. Скорость автомобиля равна 80 км/ч, а скорость мотоциклиста — 40 км/ч. Через какое время после своего выезда автомобиль догонит мотоциклиста? Г rnv Т'^1 i Г' I 1 "Г 1 1 J. . ах <\1 I’lic. 67 513. Шайбы изготавливают из квадратных загсювок со стороной 60 мм. Какой должна быть длина листа стали, чтобы из него можно было изготовить 52 заготовки, если ширина листа 300 мм? 514. Из прямоугольного листа жести размером 30 см X 48 см нужно и31 отовить открытую коробку. Для этого по углам прямоугольника вырезают квадраты, а потом загибают края листа (рис. 67). Какой должна быть сторона вырезанного квадрата, чтобы площадь дна коробки равнялась 1008 см^? 515. Ширина комнаты меньше длины на 1 м и диагонали — на 2 м. Найдите площадь комнаты. 516. Компьютерный клуб шшнирует работать 9ч в день и обслуживать 38 членов клуба. Обслуживание каждого посетителя клуба должно происходить ежедневно за отдельным компьютером нй протяжении ’1,5 ч. Какое наименьшее количество компьютеров нужно клубу, чтобы обслуживать своих посетителей? 517. Вал с меньшим диаметром делает за минуту на 400 оборотов больше и совершает один оборот на 0,2 с быстрее, чем вал с большим диаметром. Сколько оборотов делает каждый вал за минуту? 518. С первого участка собрали 2880 ц пшеницы, а со второго, площадь которого на 12 га меньше, — 2160 и. Найдите площадь каждого участка, если известно, что с каждого гектара первого участка собрали пшеницы на 4 ц больше, чем с каждого гекгара второго. 132 JJ. Э.1емеип1ы прикшдиой математики 519. Катер прошел по реке путь от пристани А до пристани В и вернулся назад. Его скорость в стоячей воде 18 км/ч. а скорость течения реки — 3 км/ч. Известно, ч ю время движения катера меньше 2 ч, но больше 1,5 ч. Каковым может быть расстояние между пристанями? Vr U! ш ш. 1т »6г ID .-V. 520. Для определения глубины подземного колодца спелеолог бросил на дно колодца камень и через 4 с услышал звук от его падения. Найдите глубину колодца, считая, что скорость звука 340 м/с. а камень при падении за первые / с пролетает 5/^ м. 521. Теплоход от Киева до Херсона идет 5 суток, а от Херсона до Киева — 7 суток. Сколько суток будет плыть плот от Киева до Херсона? 522. 11од стоянку автомобилей нужно отгородить прямоугольный участок. В наличии есть материал для ограждения длиной 300 м. С одной стороны участок должна ограничивать заводская стена. Какими должны быть стороны участка, чтобы его площадь была наибольшей? 523. Нужно изготовить окно, имеющее форму прямоугольника, дополненного полукругом (см. рис. 68). Периметр окна должен быть равным (4 + п) м. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы окно пропускало наибольшее количество свела? 524. Груз, общая масса которого больше 40 т, но меньше 60 т, должны перевезти на автомобилях, загружая их поровну. В последний момент для перевозки фуза выделили на 2 автомобиля меньше, поэтому нафузили на каж?ь1Й автомобиль на 1 т фуза больше, чем планировали ранее. Найдите массу фуза. 525. Сеялка оборудована ящиком, вмещающим 250 кг зерна. Какой должна быть ширина захвата сеялки, чтобы при скорости 3,2 км/ч и норме высева 125 кг зерна на 1 i а зерна в ящике хватило бы не больше, чем на 2 ч работы сеялки, а при скорости 4 км/ч и такой же норме высева — не меньше, чем на 1,25 ч работы? ?Н1 1Я Дт л Ю 5т( )р> JHI 1Я 526. Решить неравенство: а) (2,5х + 1 )(4х-3)-5x(2.v-н7)<4; б) (3-4х)^-(8х- 1)(2.г + 9)- 11 >0. 18. Процентные расчеты. Форму. ш сложны.х процентов 133 527. Известно, что 5<дг<6и9<>< К). Оцените значение выражения; а) 2л; 6)л->’; в)л + 2>’. 528. При каких значениях к график функции >’ = л^-8л + 5 + ^ имеет с осью х одну общую точку? 529. Сколько миллилитров 50%-го раствора сульфатной кислоты нужно смешать с 10%-м раствором этой же кислоты, чтобы получить 200 миллилитров 25%-ГО раствора? Процентные рассчеты. Формула сложных процентов 1. Задачи на процент ы. Вы знаете, ч го процент — это одна сотая, то есть 1% = -—= 0,01. Тогда: 1 ии 15* = i=0,l5; = IOO% = Jf = l, Вы научились также решать основные типы задач на проценты, а именно: находить проценты от числа, число по его процентам, процентное отношение двух чисел. Напомним: 1) чтобы наити р% от числа а, нужно чис.ю а у.множить на дробь Р . 100’ 2) чтобы наити чиаю, р% которого равно Ь, нужно число Ь разделить на дробь ; 3) чтобы найти, сколько процытюв составляет чиаю а от числа Ь, нужно разделить анаЬи записать резу льтат в процентах. Например; 1) 15% от числа 75 равно 75= 11,25; 1UU 15 75 100 2) числом, 15% которого равно 75. является ^5:-^ = —— =500; 1UU IJ 32 3) процентное отношение чисел 32 и 160 равно 777: = 0,2 = 20% . 160 Рассмо1рим более сложные задачи на процент ы. 134 §3. У.чели’пты прикладной митемишпки !Jaita«ia I. Зимняя куртка стоила 200 грн. Весной цену куртки снизили на 10%, но продали ее только тогда, когда новую цену снизили еще на 10%. На сколько процентов цена, по которой продали куртку, меньше начальной? Решение. После первого снижения цену снизили на 200 • 0,1 = 20 (грн.), и куртка стала стоить 200 - 20 = 180 (грн.). Пос.пе второго снижения цену уменьшили на 180 • 0,1 = 18 (грн.). В результате двух снижений цена куртки уменьшилась на 20 + 18 = 38 (грн.). то 38 грн. от2(Ю грн. составляет: = \9%. Следовательно, начальную цену снизили на 19%. Ответ. 19%.* При решении этой задачи нужно было находить проценты от числа и процентное отношение двух чисел. Цену куртки после снижения на 10% можно было найти так; 200 - 200—= 200 |l—1^1 = 200-0,9=180 (грн.). Если число а уменьшить на р%, то по.лучи.у число а i_JL. 100 Если число а уве.личить на р%, то получи.» число а 1+77:;^ ^ IUU Задача 2. Вкладчик снял со своего счета в банке 20% всех денег, а на следующий день снял 10% остатка. После этого на его счету осталось 360 грн. Сколько денег было на счету сначала? Решение. Пусть на счету вкладчика сначала было х грн. После первого снятия денег на счету осталось 100% - 20% = 80% денег начального вклада. Из новой суммы было снято 80% • 0,1 = 8% начального вклада. Вкладчик снял за два раза 20% -г 8% = 28% начального вклада, а на счету осталось 100% - 28% = 72%. 360 грн. —72% X грн. — 100% 360-100 х = 72 = 500 (грн.). Ответ. 500 грн.» IH. Процентныераечеты. Форму.т е.шжных нроненнит 135 Задача З.Есть два сплава с 30 и 10-процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 6 кг нового сплава с 15-процентным содержанием меди? Решение. Пусть нужно взять д: кг первого сплава (с 30-процентным содержанием меди). Тогда второго сплава нужно взять (6 - дг) кг. Первый сплав содержит 30% меди, а второй — 10%. Поэтому д: кг первого сплава содержат 0,3х кг меди, а (6-х) кг второго сплава — 0,1 (6-х) кг меди. Новый сплав должен содержать 0,3х + 0,1(6 -х) килограммов меди. С другой стороны, 6 кг нового сплава должны содержать 15%, или 6 • 0,15 = 0,9 (кг) меди. Получаем уравнение: 0,3х + о, 1 (6 - х) = 0,9. Решив уравнение, найдем: х = 1,5. Итак, нужно взять 1,5 кг первого сплава и 6—1,5 =4,5 (кг) второго сплава. Ответ. 1,5 кг; 4,5 кг. • 2. Формула простых процентов. Работникам финансовых учреждений приходится проводить расчеты, связанные с начислением процентных денег. Рассмотрим такие задачи в общем случае. Пусть банк начисляет вкладчикам ежемесячно р% от внесенной суммы. К;1иент внес вклад в размере Ао грн. Нужно найти, какая сумма будет на его счету через и месяцев. Начисляя каждый месяц по р% от Ао грн., за п месяцев банк начисляет рп рп% от Ао грн. или /До гр**- Через п месяцев клиент будет иметь на C4eiy 1 Л) + Л) рп 100 lOoJ (грн.). Обозначим эту сумму через А„, тогда получим формулу которую называют формулой простых процентов. По этой формуле производят расчеты, связанные с начислением пени, амортизацией (износом) механизмов, изменением цены и т. п. 3. Формула сложных процентов. Пусть вкладчик внес в банк Ао грн. под р% годовых. Сумму Ао грн. называют начальным капиталом. 136 Элементы прш-иадпой математики Череч год байк начислит ему рЧ. или Aj 77^ фН- щюцеитиых денег. I (л) То1 да на счету вкладчика стане! на р% денег больше, а именно; 1 + -j^ I (грн.) — itapauieniihiii капипш’1. За следующий год ему будут начислены р% от новой суммы. Эта сумма увеличится на р% и составит А, 1 + 100 ]( 1 + р 100 100 J = All *■'■7^ I (фн.). Через п лет наращенный капитал составит Ai 'u-jJ ITOJ фН. Итак, начальный капитал Аи, положенный в банк иод р% годовых, через и лет сланет наращенным капиталом Л,., исчисляемым по формуле; которую называют формулой сложных процентов. Г уфе|и£ ш я_ ^|ia ^ Упражнение I. ^^'гоимость нереали;юванного товара через каждые 5 дней уменьшают на 2% от начатьнон стоимости. Считая, что нача;|ьная стоимость составляла 400 ipn.. вычислить стоимосгь этого товара; а) на 6-й день; б) на 16-й день; в) на 26-й день. ^На 6-й ден!. сюимостт. ювара уменьшают на 2%; на 16-й день — уменьшают троекратно на 2%; на 26-й день — уменынают пятикратно на 2%. Поэтому по формуле простых процентов получим; а) Д,= 4(ю[^1-А| = .392 (грн.); б) A,= 400[^l-^j =376 (грн.); в) Л5 = UpH.). , > 11ражнен11с 20000 грн. под 14% годовых Сколько денег будег на счету вататчика через 3 года? ф11о формуле сложных процентов находим; Лз = 20000( I + о, 14)’ = 29630,88 (ipii.). , 18. Процентные расчеты. Формула сло.жных процентов 137 530. Найдите; а)20<:^ от10; б) 150% от 20. 531. Найдите число; а) 10% которого равны 7; б) 50% которого равны 15. 532. Найдите процентное отношение чисел; а) 5 и 25; б) 60 и 30. ’ /г- 1К г 1 У| Ю1 2в1 А 'W' п ■^1 533. Из молока получают 23% сливок по массе. Сколько килограммов сливок можно получить из 250 кг молока? 534. Магнитный железняк содержит 70% железа по массе. Сколько тонн железа содержа! 11,7 т матитного железняка? 535. Бронза — сплав, содержащий 85% меди и 15% олова. Сколько меди и олова нужно взять, чтобы 1юлучи1ь 240 кг бронзы? 536. Из 800 г сырого мяса получили 520 г вареного. Сколько процентов массы позеряло сырое мясо при варке? 537. В выборах приняли участие 588 из 640 избирателей села. Сколько процентов избирателей приняли учасгие в выборах? 538. Сколько граммов соли нужно взять, чтобы npHioTOBtrib 15%-й ее раствор, имея 340 г воды? 539. Сколько i paMMOB воды нужно взять, чтобы приготовить 30%-й рас'гвор соли, имея 360 г соли? 540. За несвоевременную оплату долга начисляют 3% пени за каждый день неоплаты. Какую сумму придется уплатить через К) дней после срока уплазы 5(Ю грн. долга? 541. Новый компьютер купили за 3200 грн. Каждый год на его амортизацию приходится 10% от начальной цены. Сколько будет стоить компьютер через 4 года? 542. Вкладчик внес в банк 2000 грн. под 11% годовых. На ckojh.ko больше внесенной суммы он сможет получизь денег через 3 года? 543. Вкладчик внес в банк 1000 грн. под 10% годовых. Какая сумма будет у него на c4eiy через 3 года? I3S ):1('л/с'/ш1ы прикладной математики \/п/%вл ibte- 1 lE. _i_. i-' 'ч 1 544. В январе предприятие изготовило 750 единиц продукции, в феврале — 800 единиц, в марте — 780 единиц. а) На сколько процентов увеличилось производство продукции в феврале 110 сравнению с январем? б) На сколько процентов уменьшилось производство продукции в марте но сравнению с февралем? 545. Заработную плату рабочего два раза увеличивали на одно и то же число процентов, и из суммы 800 ipn. она выросла до 1058 грн. На сколько процентов увеличивали заработную плату каждый раз? 546. При какой процентной ставке в месяц от начальной суммы вклад 2000 1рн. увеличится за год до 2240 ipn.? 547. На вступительном экзамене по математике 15% абитуриентов не решили верно ни одной задачи, 144 абитуриента решили некоторые задачи с ошибками, а отношение тех, кто решил все задачи, к тем, кто не решил верно ни одной задачи, составляет 5 : 3. Сколько абитуриентов сдавази экзамен по математике? Рис содержит 81 % белков, жиров и углеводов. Белков содержит на 5% больше, а углеводов — на 74%> больше, чем жиров. Сколько граммов белков, жиров и углеводов отдельно со.чержат 400 г риса? Вкладчик внес в банк 11500 грн. Часть дене! он положил под 16% годовых, а остальные — под 14% годовых. Через год сумма денег, внесенных под 16% годовых, стала равна сумме денег, внесенных иод 14% годовых. Какую сумму внес вкладчик под 1б% годовых? 550. Вкладчик внес в банк 3000 грн. Часть денег он положил под 16% годовых, а остальные — под 15% годовых. Через год прибыль от суммы денег, внесенных под 16% годовых, оказалась на 170 грн. больше прибыли от суммы, внесенной под 15% годовых. Сколько денег внес вкладчик под 16% годовых? 551. Чтобы получить 100 л 48%-го раствора азотной кислоты, смешали 40%-й раС1Бор этой кислоты с 60%-м раствором. Сколько литров каждого из растворов использовали? 552. Какую минимальную сумму денег нужно внести в банк под 10% годовых, чтобы через 3 года получить больше, чем 50000 грн.? 553. Вкладчик внес в банк 40000 |рн. под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 4 года? 548. 549. 18. 11роцеш1шыерасчеты. Фор.яу.ш с.ю.жиых процентов «ЗУ ypope^i 1уВ 554. Пекарне нужно закупить подсолнечное масло. Одна фирма предлагает масло по 5 грн. за литр и 8% от стоимости всего ку1шенного масла за транспортировку, а вторая — по 4,5 грн. за литр и 10% за транспортировку. В какой фирме выгоднее покупать подсолнечное масло? 555. В соответствии с требованиями агротехники зерно нужно засыпать на длительное хранение при влажности 14% (кондиционное состояние). На сколько процентов уменьшится масса собранного зерна, имеющего влажность 24%, при доведении его до кондиционного состояния? 556. Имеется 500 кг железной руды. После удаления из руды 2(Ю кг примесей, содержаищх 12,5% железа, процентные содержания железа в полученной и начальной рудах стали отличаться на 20%. Какая масса железа была в руле сначала? 557. Сплав золота с серебром, содержащий 5 кг серебра, сплавили с 15 кг серебра. Процентные содержания золота в начальном и полученном сплавах отличаются на 30%. Найдите массу начального сплава. 558. После усовершенствования технологии производительность труда на предприятии увеличилась на 20%. Сколько процентов составляет предыдущая производительность от новой? 559. 11родолжительность рабочего дня уменьшилась с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительное 1Ь труда, чтобы увеличить дневной выпуск продукции на 5%? 560. Цену товара снизили на 10%, а потом новую цену повысили на 5%. На сколько процентов изменилась начальная цена после двух переоценок? 561. Вкладчик внес в банк некоторую сумму денег. Через год ему начислили проценты, что составило 420 грн. Прибавив 580 гри., вкладчик оставил деньги еще на год. В конце следующего юда снова были начислены проценты, и на счету вкладчика стало 4560 грн. Какая сумма была сначала внесена на счет, если она больше 1000 грн.? 1 с —, 1 у --J— | - i 562. Решите систему уравнений; и-у = 2; а) у^-3 = 2лу; б) Злу + х = -2; блу + у = -2. 140 §3. Элементы прикладной математики 563. Упростите выражение; ^ь-^- а) а д:+.у г’-у’ ”•' 2 2 2 2 Л +АУ + У У -X I- 1+ V [а-'+Ь 'У х^+ху+у- V У 564. Сколько 1рехзначных чисел можно записать при помощи цифр О, 2, 5, 9, если: а) каждую цифру можно использовать только один раз; б) цифры могу I повторяться? 565*. Из пункта А в пункг И вышел турист и двигался со скоросдъю 4 км/ч. Через час вслед за ним вышел второй турист и двигался со скоростью 5 км/ч, а еще через час из пункта А выехал велосипедист, который, обогнав второго туриста, через 10 мин после этого обогнал и первою. Найдите скорость велосипсдисга. 566*. Решите неравенство |.»г - 3| < а. Случайные события. Вероятность случайного события 1. Случайные события. В жизни мы довольно часто сталкиваемся с событиями, течение которых предвидеть невозможно. Например, подбросив монету, наперед нельзя сказать, как она упадет; вверх орлом или решкой. Вынимая наугад шарик из лототрона, нельзя сказать заранее, какое число будет на нем написано. Подойдя к остановке, нельзя предугадать, сколько минут придется ждап, нужный транспорт. 1гсть события, все возможные результазы которых можно предусмотреть. Так, после подбрасывания монеты обязательно произойдет од1ю из двух возможных событий; «выпадет орел», «выпадет решка». Заранее неизвестно, какое из этих собыгий произойдет, поэтому их называют случайными событиями. Любое событие происходит вследствие испытания (или наблюдения). Если из партии деталей выбирают наугад 5 дeтaJ^eй для контроля качества, то выбор деталей — исиы'гание, напичие среди вь1бранных деталей одной бракованной — событие. Собы 1ИЯ будем обозначать большими буквами латинского алфави-га Л. В, С и т. д. Будем различать элемен гарные и сложные события. Рассмотрим пример. Подбрасывают игральный кубик. На его верхней грани может выпасть число 1,2, 3,4,5 или 6. Итак, может произоггти одно из шести событий; А\: выпадет число 1; Аг. выпа;гет число 2; 19. Случишше события. Вероятиость случашюго события 141 Ау. выпадс'1 число 3; Ау. выпадет число 4; А$: выпадет число 5; А(,: выпадет число 6. Эти события имеют следующие свойства: 1) вследствие каждого испытания одно из этих событий обязателыго произойдет; 2) никакие два из них не M017T произойти вмесде; 3) события являются равновозможными (среди них ни одно не имеет преимуществ в появлении перед другими). События, имеющие три таких свойства, называют эле.иеипшриы.\п1 событиями, или случаями. Можно I оворить о результатах подбрасывания игрального кубика, которые не являются элементарными событиями. Например, выпадение четного числа, появление числа меньше 4, появление одного из чисел 1,2 или 3 и т. п. Такие события называют сложными. Каждое сложное событие можно разложить на элемснтдрныс. Пусть А — упомянутое выше сложное событие «выпадет четное число». Событие А можно раз.чожить на элсмсн-гарные события А2, А4, Af, («выпадет число 2». «выпадет число 4». «выпадет число 6»), Говорят, что событию А способствуют 3 элементарные события А2, А^, А«, или 3 случая А2, А4, А(, Достоверны.м называют событие, которое вслсдсдвис данно1'о испытания обязательно должно произойти, а несоз.можны.м — событие, которое нс может произойти. Например, после подбрасывания трального кубика хотя бы одно из чисел 1, 2, 3. 4, 5 или 6 обязательно выпадет, а число 7 выпасть нс может. Поэтому событие «выпадет одно из чисел I, 2, 3, 4, 5 или 6» является достоверным, а событие «выпадет число 7» — невозможным. 2. liepoHTHOCTb случайного события. Пусть в корзине есть 40 яблеж, из них 25 красных и 15 зеленых. Нау1ад из корзшты берут одно яблоко. Обозначим буквой А событие «вынутое яблоко — красное», а буквой В — событие «вынутое яблоко — зеленое». Красных яблок болыле. чем зеленых. Поэтому (юлыис возможностей («шансов») произо1тти имеет событие/!. 1Возможности осуществления событий А и В характериз)’кгг некоюрыми числа.ми, которые определяктг так. В корзине есть 40 яблок, поэтому всех случаев взять одно яблоко — 40. Событию А способствуют 25 случаев — если вынули одно из 25 красных яблок, а событию В — 15 случаев. Возможность появления события А харатеге- 142 J.?. 'Улсмеиты ftpiiK.iat)iioii .шипемаптка J Вероятностью с.иучайно10 события А ние чис.||а равповозможных случаев. 25 5 15 3 ризуют чиаюм -т7г = 7Г> а события В — числом о- Эти числа называют ^ ^ 40 8 40 8 5 3 всроя/инос7иял;//событий/1 и й. Записывают: Р(Л)=—, И{И) = ~ (В—пер- 8 8 вая буква лагинского слова probabilities — вероятность). А называют отноше-Определепи^, ние чиспа равновозможных спучаев, способствующих со-I бытию А, к чис.иу всех возможных случаев. Итак, Р(.А)=^, п где и — общее число равновозможных случаев, т — число случаев, енособ-сгвующих еобытию А. Нели событие А является достоверным, то ему епоеобетвуют все п возможных случаев. Для такого события т = пи Й(А)=” = 1. Если событие А являегея невозможным, то w = 0 и Р{А) = — = 0. п Если событие А случайное, то есть такое, которое может произойти или не произойти, то его вероятность удовлетворяет неравенству: 0 < Р{А) < 1. Т' - 1 niXl|10J4|4£I 1/1<|1ТамГ14РЙ1|1Й —— --f— J_J -4 Упражнение 1. Какова вероятность того, что после подбрасывания игрального кубика вьптадет число, кратное 2? • Пуечь событие А — выпадег число, кратное 2. После подбрасывания игрального кубика можег выпасть любое из шести чисел I, 2, 3, 4, 5 или 6, поэтому и = 6. Событию А способствуют 3 случая — если выпадет число 2, 4 3 I или 6, поэтому т =■ 3. Следовательно, Р(А) = — = —.» 6 2 Упражнение 2. В партии из 1000 дезалей есгь 600 деталей первого сорта. 370— BTopoi'o и 30 бракованных деталей. Какова вероятность того, что нау'1'ал выбранная деталь будет небракованной? • Пусть событие А - - выбранная деталь нсбракованпая. В партии есть 1000 деталей, поэтому п = 1000. Небракованных деталей есть 600 + 370 = 970, 970 поэтому т = 970. Следовательно, Р{А) = КЮО = 0,97. C.iywiiithu’ события. Исроятиосшь случайного события 143 Упражнение 3. В ящике лежат 5 тетрадей, из них 3 в клетку и 2 в линейку. Ученик берет наугад две тетради. Какова вероятноегь тою, что среди них будет хотя бы одна тетрадь в линейку? • Пусть событие А — среди выбранных зезрадей будет хотя бы одна тезрадь в линейку. Обозначим тезради в клетку: К|, кг, ку, тетради в линейку: n\.Jb. I locjic выбора двух тетрадей возможны следующие случаи: К|,к'2; К|, кд: К|,Л|; Кх.лу, К2, К'з; К2,Лй К2,лу, Кз, Л|; Кт,,Л2, л\,лг. Всех нар тетрадей, а значит, всех возможных случаев, есть 10, поэтому и = 10. Событию/4 способствуют 7 случаев (К|, Л]; К|, Л2; кг, л,; К2,Л2\ к%лу, 7 Ку, лу, Л|, Л2), поэтому W = 7. Следовательно, Р{Л) * .J_.L 567. Виатлонист производит 5 выстрелов но 5 минзеням. При каждом выстреле он может попасть в мишень, а может и не попасть. Какое из указанных событий является случайным; невозможным; достоверным: а) он нопадст в 4 мишени; б) он нс попадет ни в одну мишень; в) он попадез в 6 мишеней? 568. В урне имсезся 5 белых и 5 черных шаров. Белые шары имеют номера от I до 5, а черные — от 6 до 10. Из урны наугад вынимают один шар. Рассмотрим события: а) вынутый шар будет иметь номер 3; б) вынутый шар будет иметь номер 7; в) вынутый шар будет белым; г) номер вынутою шара будет кратен 4. Какие из данных событий являются элементарными; сложными? Назовите все элементарные события этого испытания. Какие элементарные события (случаи) способствуют каждому из данных сложных событий? 569. Из пяти чисел 2, 3, 5, 10, 15 наугад выбирают одно число. Какова веро-ятноезь тою, что выбранное число окажется: а) числом 3; б) числом 15; в) четным; г) нечетным; д) однозначным; е) двузначным? 144 ffJ. Элементы прикладной математики yi !^01| —1— рень А /'л i C.J 570. Для лотереи выпущены 1000 билетов, 400 из кагорых— выигры1Ш)ые. Какова вероятность тою, что один купленный билет окажем ся выифышпым? 571. Из урны, в которой 5 белых и 10 красных шаров, наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажегся белым. yj2 корзине имеется 3 белых фиба, 7 сыроежек и 8 маслят. Какова вероятность того, что наугад вынутый из корзины фиб будет сыртюжкой? 573. Какова вероятность того, что после подбрасывания и1рапыюго кубика выпадет; а) число 4; б) число 8; в) число, не равное 4. В кошельке есть 6 монет по 5 к. и 2 монеты по 50 к. Найдите вероятность того, что наугад вынутая монета будет иметь номинал: а) 50 к.; б) 5 к.; в) 10 к. 575. В ящике имеется 50 лампочек, из них 2 бракованные. Забра^ти 20 небракованных лампочек. Какова вероятность того, что после этого наугад взятая лампочка будет бракованной? 13 вазе имеется 12 шоколадных конфет и 15 леденцов. Из нес наугад взяли 2 конфеты, которые оказались шоколадными. После этого из вазы взяли нау1ад еще одну конфету. Какова вероятность того, что эта конфета окажется шоколадной? 577. Партия из 60 изделий имеет 5% брака. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным. Каким будет ответ, если количество всех деталей будет равно 80? Сделайте вывод. 2 В парке растет 360 деревьев, из них — — хвойные. Найдите вероятность того, что наугад указанное дерево будет хвойным. Каким будет ответ, если количество всех деревьев будет равно 450? Сделайте вывод. У||о! pel lb Ь _ i 579. В урне имеется 25 одинаковых шаров, пронумерованных числами от 1 до 25. Из урны наугад берут один шар. Какова вероятностт. тою. чю номер шара окажется; а) меньше 10; б) кратным 3; в) кратным 2 и 3; г) кратным 2 или 3? 580. всроя тнос1ь того, что наугад взятое двузначное число окажется; а) больн1е 90; б) кратным 10; в) кратным 25; г) меньше 10. / 9. Случайные события. Вероятность с.чучайного события 145 581. На складе есть изделия первого и второго сортов, причем изделий второго сорта в 1,5 раза больше, чем первого. 11айдите вероятност ь того, что наугад взятое изделие окажется из.телием первого сорта. 582. ^^эчсство деталей проверяют два контролера. 11ервып контролер проверил 55% всех деталей, а второй — 45%. Ilayra;i берут одну деталь. Какова вероятность тою. что ее проверял второй котролср? 583. В первой коробке лежат карточки е номерами от 1 до 3, а во второй — от 4 до 6. Из каждой коробки берут наугад по одной карточке. Найдите вероятность того, что сумма номеров выбранных карточек будет равна 7. 5X4 Из четырех чисел 2, 3, 5 и 6 наугад выбирают два числа, при помощи которых записывают правильную дробь. Какова вероятность тою. что эта дробь окажется сократимой? 585. На зрсх карточках написано но одной букве; Л7, О, С. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова всроя1ность гою, что образуется аюво СОКР. 586. кузшли билст ы на самолет в одному ряду крееел из трех месг и случайным образом заняли эти места. Найдизе вероятность того, что каждый из друзей занял евое место. 587. Для сборки телевизоров получили 9(Х) микросхем от двух поставщиков. Вероятность того, что наугад взязая микросхема поступила от первого поставщика, равна 0,6. Сколько микросхем поступило от каж;юго поставщика? 5ХХ В юзасее 28 учеников. 13ероятность roi o. тто наугаи указанный ученик ока- 3 жегся девочкой, равна С колько в классе девочек и сколько мальчиков.' У|!)01 lei Ih В ш 589. Ученик забыл последние три цифры номера нужною телефона. Помня, что эти цифры разные, он набирает их наузад. Найдите верояззюсть зого. ч то набранные цифры являются правильными. 590. О некозором зрехзначном коде извеезно, что; он не содержит цифры О, 1, 2, 3 и 4; цифры кода Moiyi повторяться. Какова вероятность того, что наузад назваззный код с такими свойствами совззадсг с даззззым? 591. На 31ЯТИ карзочках ззаписаззо ззо олззой букве; Д £. С, /7. А. Наугад о.дззу за другой вьзбззразоз' три карзочки зз раскладывают в ря.ч в гзорядке появ-леззия. Какова всроягвюсзьтою, что образуезся сэзово САЛ'1 592. Используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5 ззе бо.'зсс одззоз о раза, ззауз ад ззишут ззеко-зорое зрсхзначнос чиеззо. Найдите вероятност ь тог о, что это чиеззо ока-жезся чеззззлм. 146 'J.ieMeiiiim npuK.iiuhioii .uaiiw.utiiniiKti 593. Найдите вероятность того, что наугад взятое трсхзначнос число будет кратным 2 или 5. 594. Партию дегалей изютавливают на двух станках. 1Всроятноеть изготовления бракованной дечали на первом станке равна 0,02, а на втором — 0,025. Среди 500 деталей, из коюрых 300 изготовлено на первом станке и 200 на втором, наугад выбирают одну деталь. Какова вероятность ю-го, что выбранная деталь окажется бракованной? 595. В классе 29 учеников. На экскурсию в музей холили 24 ученика, в музей и зоопарк — 16 учеников, а 2 ученика нс ходили ни в музей, ни в зоопарк. Какова вероятность тою, что наугад указанный ученик класса ходил на экскурсию в зоопарк? 596. Одновременно подбрасывают два тральных кубика. Какова всрож-ность того, что выпадут числа, сумма которых не меньше 7? 597. Монету подбрасывают чегыре раза. Какова вероятность того, что «орел» выпадет: а) два раза; б) хотя бы два раза? ~П' Т I I т т ~ ynpa^Hew* дпя|прв1 ■гп:! зт|0|^ени^ 598. Постройте график функции у = 2х - Зх. 599. Решите неравенство; а) - 4дг - 5 < 0; 600. Сократите дробь: д-49 б)^д^-4дч-3<0. а) у[а+7 б) х-З Х“ - л-6 601. Докажите, что значения от значений h. (Ь + 3 Ь-3\ 2fc4l8 выражения не зависят 602*. Математик шел домой но берег у реки против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения реки, держа в руках шляпу и палку. В некоторый момент времени он бросил в реку шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжил двигаться с той же скороегью. Через ггеко-торос время огг заметил опгибку, бросил в реку палку и побежал назад со скоростью, в два раза большей, чем шел раньпге. Он догна:г гггзгяпу, вы-ггул ее из воды и пошел против течеггия реки с предыдугцей скоростью. Пройдя 10 мин, он увидел палку, плывшую по реке. На сколько раньше огг пригггел бы домой, если бы нс перепутат ггагку со шляпой? 20. Стшпистпчесние данные 147 ш^чт Статистические данные 1. Статистические наблюдения. Вы, вероятно, не раз слышали данные о сос'гоянии погоды в различных уголках планпы, о результагах выборов, социальных опросов и т. п. Это статистические данные. Статистические данные позволяют не только охватить картину некоторого вопроса на данное время, но и планировать необходимые действия на будущее. 1ак, статистические данные о занятости населения позволяют определить, какое количество специалистов и какой квалификации следует готовить, в каком регионе следует строить то или иное предприятие, и т. п. Методы сбора, обработки, интернрегации разнообразных данных изучает отдельный раздел прикладной математики—математическая статистика. Пусть нужно исследовать семьи города по некото|Х>му признаку (например, распределить семьи но количеству детей, но величине месячного материального дохода на одного члена семьи и т. п.). Для этого можно провести сплошное наблюдение — посетить каждую семью и выяснить интересующие нас вопросы. Можно провести выборочное наблюдение — исследовать только часть семей и по результатам исследования сделать вывод о всех семьях города. При этом совокупность семей, отобранных для наблюдения, называют выборочной совокупностью, или просто выборкой. Ei общем случае выборка — это совокупность объекгов, отобранных для наблюдения. Для того чюбы по данным выборки можно было судить о свойствах всех объектов, необходимо, чтобы выборка правильно отображала эти свойства. Это обеспечивается в первую очередь случайностью отбора, когда все объсЕсгы имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. 2. Обрабо! ка стаз истических данных и способы их подачи. Рассмотрим примеры. Пример I. В отделе женской обуви в течение трех дней проводили исследование для изучения спроса на определенные размеры обуви. За эти дни было продано 22 нары обуви а1едующих размс|юв; 38: 36; 38: 37; 40: 38; 36; 35: 35; 39; 37; 40; 41; 37; 39; 36; 38; 37; 37; 38; 39; 37. Расположим эти данные в порядке неубывания размеров: 35; 35: 36: 36; 36: 37: 37: 37: 37: 37: 37: 38: 38: 38: 38: 38: 39: 39: 39: 40:40: 41- Получили так называемый ранжированный ряд данных наблюдения. Он содержит 7 групп размеров обуви. Значение каждой группы называют вариантой, а число, показывающее, сколько раз встречается варианта, — частотой соответствующей вариат ы. li примере имеем закие 7 вариант: 35; 36; 37; .38; 39; 40; 41. 148 §3. Э:1емеиты прикшдиой математики Варианта 35 имеет частоту 2 (35-й размер встрсчаегся два раза); варианта 38 — частот)' 5; варианта 41 — частот)' I • Рсзулыаты наблюдения удобно представить в виде 1акой таблицы; Размер 35 36 31 38 39 40 41 Частота 2 3 6 5 3 2 1 Чтобы визуально охватить данные наблюдения, построим на координатной шн)скос1и 10ЧКИ, абсциссы которых равны размерам обуви (вариантам), а ординаты — соответствующей частоте размера, и соединим соседние точки отрезками (рис. 69). Полученную ло.маную называют полигоном частот. Рис. 69 Для на1лядного изображения данных наблюдения можно использовать и диагра.мму (рис. 70). Частота 6-5-4--3 -2-I -- о 35 36 37 38 39 40 41 Pas.\icp Рис. 70 20. Статистические данные 149 Графическме изображения позволяю г визуально охвати гь всю совокупность данных и составить картину исслелования в целом. 1ак, из рисунков 69 и 70 видно, чю большим спросом пользуется женская обувь 37 и 38 размеров. Пример 2. Рассмотрим таблицу, в которой указано, по какой цене и сколько было продано арбузов на рынке за один день. Цена ю 1 кг. грн. 1-1,2 1,2-1,4 1,4-1,6 1,6-1,8 1,8-2 Масса проданных арбузов, кг 80 100 75 55 30 11о таблице определяем, что арбузов, цена которых находится в интервале от 1 грн. до 1,2 фн., было продано 80 кг. Говорят, что первой строкой таблицы заданы иитервш1ы цены', а второй — частоты этих HUTepBiuOB (массы арбу зов, проданных по цене соответству ющих интервалов). Для фафичсского изображения данных такого наблюдения используют гистограмму, коюрую строят так: на оси абсцисс отмечают заданные интервалы и на каждом из них, как на основании, строят нрямоу! ольннк, высота которого равна частоте соотестствующею интервала (рис, 71). Масса, кг 100 80-1-60 40--20 - i 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Цепа. грн. Рис. 71 Рассмофим другой фафичсский способ изображения данных этого наблюдения. На оси абсцисс снова отметим заданные интервалы. К серединам этих интервалов проведем перпендикуляры, длина каж.,1ого из которых равна частоте соозветствующего интервала. Соединив концы соседних перпендикуляров озрезка.ми, получим ломаную (рис. 72), которую называют полигоном частот итервалыюго распределения данных. И|перна.1ы цен можно чадава1Ь так; [1; l,2j;|l.2; 1.4);|1,4; 1,6); 11,6; 1,8);11.8; 2). При таком задании понятно. к>да ||ужно относить значение величины, сечн веге шуюшее одному из концов интерва.ча. 15» y.ieMt’iiiiihi npiiKuiOiioii матемшиикп Масса, к. 100 S0 + Ы) 40 f 20 • 1) и и 1.5 1.7 I.V Цсш1..ч>11. Рис. 72 Итог. Данные наблюдений удобно представлять в виде габлиц и графических изображений. Для графического изображения данных, кроме уже рассмотренных ступенчатых диаграмм, гистограмм, полиготюв частот, можно использовать другие виды диафамм (круговые, линейчагые), графики. 3. Средние значения. Рассмотрим ггример. Принтер 3. В течение мая через деггь, ггаблгодая за температурой воздуха в HOJfHOHb, нолучигги следуюгг1ис данные: 3°С; 4° С; 4° С; 3° С; 3° С; 5" С; 8° С; 8° С; 6° С; 8“ С: 10" С; 11° С; 12° С; 11° С; 12° С; 12° С. Найдем ерсдггес значеггие темнерачуры. Для эчого сумму 16 зтгачений гемнерачурьг раздеггим на 16: , 3 + 4+4 + 3 + 3+5 + 8 + 8 + 6+8-1-10+11 + 12 + 11 + 12 + 12 120 16 16 = 7,5 (° С). Следоваг ельгго, можно сказать, ч то средняя гемнерачура воздуха в потт-ночь в мае была 7.5° С. Средни-» значение.» п данных ДГ|, Хг, ..., х„ выборки (или средттим ариф-мстическим данных выСктрки) тчазывают число _ X, +х,+... + л„ Представим резулт>таты ттаблюдеттия за температурой воздуха в виде таблицы: Г" С 3 4 5 6 8 10 11 12 Частота 3 2 1 1 3 1 2 3 20. CnuiimiciiiificcKuc данные 151 Учишвая, чго значение 3° С имеет чаетоту 3 (новшряетея три раза), значение 4° С — чаетозу 2 и т. д., среднюю температуру можно было найти и так; _ 3-3 + 4-2+51 + 61 + 8-3 + 101 + 11-2 + 12-3 120 ^ ^ 16 “ 16 “ ’ ^ Если в выборке из н объектов варианта Л| встречается «| раз, варианта Х2 — «2 раз..варианта х* — п* раз, то среднее значение выборки находят по формуле _ _ Х,П| +Х,П, +... + Xjrtj X “• 9 где П1 + П2 + ... + Ла = п. т ] ■'Г 603. в таблице представлены результаты опроса 258 семей о размере месячного материального дохода на одного человека: Месячный доход семьи на одного человека, грн. Чиаю семег! Процент семей До 2(Ю 34 13,2 2(Ю-400 52 20,2 4СЮ-600 72 27,9 6(Ю- 1000 70 27,1 КХЮ и больше 30 11,6 Итого 258 100 а) Сколько семей имеют доход 200 - 400 гривен? б) Сколько процентов семей имеют доход 400 - 6(Ю гривен? в) Какой доход имеег наибольшее количес гво семей? 604. На диаграмме (рис. 73) показана урожайность зерновых на опытной станции в течение 10 лет. На какой год приходится наибольшая у^зожай-ноегь? наименьшая? 152 ifj. Э.1смситм iipiiiciarhiofi мишематчки 605. В магазине за неделю были прода>1ы костюмы следующих размеров; 48. 46. 52, 44, 48, 50, 54, 46, 44, 48, 50. 52, 52, 50, 48, 50, 48, 46, 48. 54, 50, 48, 54, 50, 48, 46, 48, 52. Запишите ранжированный ряд данных размеров. С'колько образовапось вариант? Найдизе частоту каждой варианты. Составьге таблицу вариант и частот. Постройте полигон частот. ^0^ 20 фермерских хозяйствах района урожайность пшеницы (в ц/га) бы- ла следующей: 35, 28. 30, 41, 30, 34, 36, 30, 38, 36, 28. 29. 32. 30. 38. 36, 41. 42, 38. 30. Запишите ранжированный ряд данных. Сколько образовалось вариант? Найдите частоту каж,дой варианты. Составьте таблицу вариант и часгот. Постройте полигон частот. 607. Для решения задачи 6 учеников использовали времени; 12 мин; 7 мин; 9 мин; 8 мнн; 10 мин; 11 мин. Сколько времени в среднем использовал один ученик для решения задачи? 608. ^)дни и те же детали изготавливаю! на двух станках, производительноегь которых одинакова. Количество бракованных деталей. из1Х)товле11ных на каж,чом станке за дни рабочей недели, предегавлеиы в таблице. Дни недели 1 2 3 4 5 / -й станок 5 8 7 4 8 2-й станок 6 6 5 7 9 Сколько бракованных летш1ей за день в среднем изготавливали на каждом станке? Какой из станков работает качественнее? 20. Спштистическне дшшыс 153 609. Чтобы 1ШЙ1И среднюю массу кочана капусты, наугад ваяли 20 кочанов, массы которых оказались: 2,8 кг; 2,8 кг; 2,9 кг; 3,1 кг; 3.2 кг; 3,1 ki ; 3,3 кг; 3,2 кг; 3,2 кг; 2,8 кг; 3,5 кг; 3.4 кг; 3.4 кг; 3,2 кг; 2,8 кг; 3.3 кг; 3.6 кг; 3,7 кг; 3,1 кг; 3.6 кг. Найдите среднюю массу кочана капусты. 610. откорме 8 гусей были зафиксированы следующие приросты массы за семь дней; 410 г; 370 г; 420 г; 400 г; 380 г; 370 г; 390 г; 400 г. 11айдите средний прирост массы одной п гицы за эти дни. ! ! ! Г ypol №1 Ih Б A '1 i 'ГГ L. ._j-. _J L . . 611. Выборочная проверка малых предприятий города о прибылях за год дала следующие результагы; годоеая прибьшь, тис. грн. 9 10 11 12 13 14 15 Количество предприятий 3 6 2 5 6 2 1 Постройте полигон частот полученных данных. Найдите среднюю годовую прибыль одного предприятия. 612. Учитель фиксировщ! количество ошибок, донунюнных учениками на конл рольной рабгуге. Были получены следующие резулыаты: Количество оишбок 0 1 2 3 4 5 Количество учеников 3 11 6 5 3 2 ! 1осгройтс полигон частот полученных данных. Сколько ошибок в среднем приходится на одного ученика? 613. Продавец на рынке, закупив оптом лимоны, продает их пониучно но следующей цене: 50г-60г —70к.; 60 г-70 г—90 к.; 70 г - 801 — I грн. 10 к.; 80 г - 90 I — 1 грн. 30 к.; 90 г - 100 г — I грн. 40 к.; 100 г - 120 г— 1 грн. 50 к.; С(ч;швые габлину'данных задачи. Гкхлройте гистограмму и полшон часгот. 614. 1'аспределение коров одного фермерского хозяйства но (одовому надою молока задано таблицей; Гадовой надой, тыс. кг 1-2 2-3 3^ 4-5 Количество коров 20 8 8 4 Пос гройл-е гислограмму и полиюн частот данного распределения. 154 Э. I ели’пт 1,1 прик.1ш)пой лштематикп 615. Возрастной состав рабочих предприятия задан таблицей: Возраст рабочего 18-28 28-38 38-48 48-58 Kommeemeo рабочих 12 20 10 8 Пос тройте гистофамму и полигон частот данного распределения. 616. 11о результатам контрольной работы ученики класса получили следующие оценки: 2 балла — 1 ученик; 3 балла — 1 ученик; 4 балла — 2 ученика; 5 баллов — 3 ученика; 6 баллов — 2 ученика; 7 баллов — 4 ученика; 8 башов — 5 учеников; 9 баллов — 2 ученика; 10 баллов — 5 учеников; 11 баллов — 2 ученика; 12 баллов — 1 ученик. Найдите среднюю оценку за контрольную работу. 617. Спортсмен произвел 40 выстрелов по мишени и выбил 10 очков 18 раз, 9 очков — 10 раз, 8 очков — 6 раз и 7 очков — 6 раз. Сколько очков в среднем выбивал спортсмен при одном выстреле? 618. Найдите средний р(х;т учеников вашего класса а также средний рост учеников, которые в списке классного журнала имеют номера 1, 5, 9, ... (каждый следующий на 4 больше предыдущего). Сравните найденные средние значения. 619. За январь, февраль и март предприятие выпустило соответственно 750, 810 и 891 единиц продукции. Нашлите средний месячный прирост выпуска продукции в процен гах. ■т 1-п ; : ^ : 620. Упростите выражение: , a + yjab ,, , ,, а)-----р=, если а>{),Ь> О; b+yjab 621. Реши те систему уравнений: б) ■yj^ Ху/х + Уу]у а) ух 6 ’ х + у = 5; б) О X 5 6’ Г-5. 622. Найдите все значения а, при которых уравнение л^-2ш: +Зо-2 = 0 имеет корни. Найдите эти корни. 623*. Эскалатор метро поднимает пассажира, стоящего на нем, за 1 мин. Идя по неподвижному эскалатору, пассажир поднимается за 3 мин. За какое время пассажир поднимется, идя вверх по движущемуся эскалатору? Интересно Jiiumi> 155 т 1 1 г Г1 ~j' Теория вероятностей. Случайный характер событий, процессов отмечали еще в древние времена. Древне! реческий философ Эпикур (341 - 270 гг. до и. э.) считал, что случай свойственен самой природе явлений, и, следовательно, случайность объективна. Были попытки создать математический подход к изучению случайных событий, однако первые математические расчеп.1 вероя гностей появились в письменных документах только в середине XVII в В 1654 году вся научная (и не только) общественность Парижа загово рила о возникновении новой науки — теории верояшостей. Основы эюй теории были заложены не в научной работе, а в переписке между двумя известными французскими математиками Блезом Паскалем (1623-1662) и Пьером Ферма (1601- 1665) по поводу задачи, касающейся игры в кости. Boo6uie, к первым задачам зеории вероятностей относятся задачи, связанные с азартными играми, очень популярными в средневековой Европе. С результатами Паскатя и Ферма ознакомился голландский физик и математик Христиан Гюйгенс (1629- 1695), написавший работу «О расчетах при азарпюн игре». Эту работу считают первой книгой по теории вероятностей. Решение задач, связанных с популярными азартными играми, только побуждапо возникновение теории вероятностей, как в свое время измерение площадей во время земляных работ побуждало к возник!Ювению геомефии. Сегодня теория вероятностей развилась в универсальную теорию, находящую применение во многих сферах человеческой деятельности. Ее широко используют в экономике, фанспорте, производстве, статистике, военном деле. Современное природоведение широко использует теорию вероятностей как теоретическую основу в обрабагке результатов наблюдений. Математическая статистика. «Статист ика знает все» — такими словами^ начинается вторая часть романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев». Чтобы подчеркнуть значение сгатисгики в повседневной жизни, приводят пример прогнозирования результатов президентских выборов в США в 1936 году. Тогда кандидатами на выборах бьши Ф. Рузвельт и А. Ландон. Редакция одного весьма почтенного журната решила провести опрос избирателей по телефонному справочнику. По всей стране было разослано более 10 миллионов открыток с просьбой назвать фамилию будущего президента. Вскоре журнат нроинформировап, что на будущих выборах президентом США с большим перевесом будет избран А. Ландон. 156 §3. Элементы прик-чидиой математики Параллельный опрос провели социологи Дж. Гэллап и Э. Роупер, опираясь па выборку, насчитывающую только 4 тысячи респондентов. Несмотря на то что редакция журнала опросила 10 миллионов избирателей, истратив большие средства на распространение открыток, сбор и обработку данных, ее прогноз оказался ошибочным, так как опирался па точку зрения только тех избирателей, у кого был телефон. Прогноз же социологов почти совпал с результатами выборов. Первые статистические исследования были проведены в Англии и Германии. В середине XVU в. в Англии возникло научное направление, получившее название «политическая арифметика». Его основали У. Петти (1623 -1687) и Дж. Граупт (1620- 1674), которые па основании изучения информации о массовых обшес'гвепных процессах пытались открыть закономерности обшествеппой жизни. Наряду со школой «политической арифметики» в Англии развивалась школа описательной статистики, в Германии — «государствоведеиия». Развилие «политической арифметики» и «госу-дарствоведения» способствовало появлению науки статистики. Термин «статистика» происходит от латинского слова slams, которое в переводе значит «состояние» (вещей, явлений). Современную математическую статистику характеризируют как науку о принятии peuieHuii в условиях неопределенности. Ее задача заключается в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов. Вопросы и упражнения д:ш пошпорения J .1 157 Вопросы и упражнения лля 110в1орения §3 1. Приведите примеры математических моделей. 2. Назовите основные этапы решения прикладных задач. 3. Запишите формулу сложных процентов. 4. Приведите примеры случайных событий. 5. Какое событие называют достоверным? невозможным? 6. Что называют вероятностью случайного события? 7. Приведите примеры етатисгичсских наблюдений. 8. Какие сущесгвуют способы представления статистических данных? 9. Как построить полигон частот? Приведите пример. 10. Как построить гистограмму? Приведите пример. 11. Как найти среднее значение выборки? Постройте математическую модель тдачи и решите задачу (624-629): 624. Площадь комнаты 14 м^, а ее длина на 0,5 м больше ширины. Найдите размеры комнаты. 625. Катер прошел 30 км по течению реки за 1,5 ч, а 32 км против течения — за 2 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде и cKopoci b течения реки. 626. Масса бетонного блока 350 кг. Сколько таких блоков может перевезти автомобиль, грузоподъемность которого 5 т? 627. Автоматический станок изготовил партию дегатей. После усовершенствования сзанка такую же парггию деташй он изготовил в 1,05 раза быстрее, так как за час изготавливат на 5 де1азей больше, чем раньше. Сколько деталей в час начат изготавливать станок? 628. Военная колонна во время похода движется со скоростью 5 км/ч, растянувшись по дороге на 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает мотоциклиста с пакетом в голову колонны. Мотоциклист, выполнив приказ, сразу возвращается. Найдите, через какой промежуток времени после получения пакета мотоциклист вернется к командиру, если его скорость равна 25 км/ч. 629. Для каждой сельскохозяйственной культуры определяют' оптима1ьное количество растений на I га. Поэтому перед посевом нужно рассчитывать норму высева — массу семян, которые необходимо высеять на 1 га поля, чтобы обеспечить нужную гусюту растений. Найдите норму высева семян пшеницы, если известно, что из 1 га должно расти 6 млн растений, масса 1000 зерен составляет 40 г, чистота семян — 97%, а всхожесть — 93%. 158 !?.?. Элсмешпы iipnKjiiuinoii лштемшиикп Решите задачи. 630. Вкладчик внес в банк некоторую сумму денег и черет год после начисления 15% годовых имел на счету 2300 грн. Какую сумму вкладчик внес в байк? 631. Длина первой с-юроны грсугольника составляет 75% длины второй и на 20% больше длины третьей. Найдите длины сторон треугольника, если его иеримеф равен 38 см. 632. Смешали 30%-й раегвор серной кислоты с 10%-м раствором этой же кислоты и получили 300 г 15%-го раегвора. Сколько 10%-го раствора кислоты при этом использовали? 633. Какую сумму необходимо внееги в банк под 14% годовых, чтобы через 2 года на счету было 6498 грн.? 634. Прнроег выпуска продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за первый год соегавил 5%, за второй — 8%. Каким должен быть процент прироста выпуска продукции за третий год, чтобы средний годовой прирос т за три года равнялся 7%? 635*.Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской, цгобы концентрация соли уменьшилась на 70%? 636. Имеется 10000 билетов лотереи. 1250 билетов являются выигрышными. Какова вероятиоегь того, что один приобретенный билет окажется выигрышным? 637. Р.сть 10 карточек, пронумерованных числами от 1 до 10. Наугад берут одну карточку. Какова вероятность того, что номер карточки окажется: а) больше 5; б) меньше 15; в) кратным 3; г) кратным 2 и 3? 2 4 638. В яшике лежат лампочки, из них — имеют мощность 60 Вт, — мощ- ность 100 Вт, остальные— мощность 150 Вт. Какова верояттюеть того, что взятая наугад лампочка будет иметь мощиоеть 150 Вт? 639. На полке лежат тетради в клетку и в линейку, причем те1радей в клетку в 1,2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Найдите вероятность того, что взятая наугад тезрадь окажется тетрадью в линейку. 640. Тест состоит из 10 заданий. К каждому заданию предложено четыре вариаша ответа, один из которых является верным. Ученик знает верные ответы к 9 заданиям и не знает к одному заданию, поэтому наугад выбирает для него вариант етвета. Найдите вероятность того, что ученик верно отвеш'т на все задания теста. Bdiipochi и yn/xiM'iiemm Л/л шишюренпи ^3 159 641. В первой урне имеются шары с номерами от I до 4, а во второй — с номерами от 5 до 8. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Какова вероятное гь того, что сумма номеров вынутых шаров будет равна 9? 642. Олег записал на лисзе бумаги некоторое грехзначное число и сообщил, что сумма цифр числа равна 9, цифры являются нечетными и могут повторяться. Какова вероятность того, что наугад названное число с заки-ми свойсгвами совпадет с числом, записанным Олегом? 643. Одновременно подбрасывают три монеты. Какова вероятность того, что выпадет: а) три «орла»; б) два «орла» и «решка»? 644. На олимпиаде по математике верное решение каждой задачи оценивают 7 балами. Количества баллов, полученных учениками за решение первой задачи, следующие: 3,0,7,2, I, О, 3,7,7, 5, 7, 2, 3,4,1, 2,6,7, 7,0,4,5,7,7,4, 2,0,0, 1, 3. а) Запишите ранжированный ряд данных. Сколько образовалось вариант? Найдите частоту каждой варианты. б) Составьте таблицу вариант и частог. в) Постройзе полигон частот. г) Найдите среднее количесч-во баалов, которое приходится на одного ученика. 645. Данные исследования продолжительности работы электрических лампочек приведены в таблице: Продо.пжительность работы, тыс. ч. 2-2,1 2,1-2,2 2,2-2,3 2,3-2,4 2,4-2,.') Количество лампочек 2 8 8 5 2 Постройте гистограмму и полигон частот данного распределения. 646. В течение семи дней марта проводились наблюдения за температурой воздуха в полдень. Были получены следующие данные: -4° С; -4° С; -2° С; 0° С; 0° С; 1° С; 2° С. Найдите среднее значение температуры воздуха в полдень за эти дни. 647. На уроке физкультуры учитель фиксироват количесгво подтягиваний учеников на турнике. Бьши получены следующие результаты: Количество подтягиваний 4 6 7 8 9 12 14 Количество учеников 1 2 4 4 2 1 1 Сколько подтягиваний в среднем приходится на одного ученика? 160 ■J.?. y.iuMeiimM npiiKitidiioiiматематики i j самопроверки № 4 1. 2. 3. 4. 6. Ьрокеиь I Отец с lapujc сына в 5 раз. Сколько лет сыну, если им вместе 36 лет? Пусть сыну Л' лет. Какое из уравнений является математической моделью этой задачи? 36: б)5л + л = 36; в)д: + 5 + л = 36; г) .т + х-5 = 36 . Какова скорость катера в стоячей воде, если он прошел расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч? Скорость течения реки 2 км/ч. Пусть скорость катера в стоячей воде х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи? х+2 х-2 ^^2 3 ’ в) 2{х+2) = 3,{х-2) ; б) 3(дг + 2) = 2{х-2); г) Зл = 2а + 2. Вкладчик внес в банк 900 грн. под 15% годовых. Сколько гривен будет начислено банком через год? а) 60 грн.; б) 1035 грн.; в) 135 грн.; г) 6000 грн. Из сахарной свеклы при переработке получают по массе 16% сахара. Сколько требуется центнеров свеклы, чтобы получить 128 ц сахара? а) 800 ц; б) 20,48 ц; в) 204.8 ц: г) 80 и. Из коробки, в которой имеется 15 пачек чая первого copra и 19 пачек чая второго сорта, наугад вынимают одну пачку. Какова вероятность того, что это будет пачка чая первого сорта? , 15 ,, 15 19 , .34 а) тт:; б) —; в» тт; г) 19’ 34’ ■" .34' ■' 15 Спортсмен пробежач по дорожке стадиона 4 круг а по 400 м. Па каж;1ЫЙ круг он позрагил соответственно 62 с, 64 с, 64 с, 58 с. Сколько времени в среднем тратил спортсмен на преодоление одного круга? а) 64 с; б) 63 с; в) 62 с; г) 58 с. и шейк 1 7. Из пункта А в пуню П автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а возвращался со скоростью 90 км/ч. Всего в дороге шГбыл 5 ч. Сколько времени ехал автомобиль из пункта Л в пункт В‘? Задшпт для самопроверки М> 4 16] 8. IlepHMeip прямоугольника 96 см. Найдите длины ею сторон, если одна из них на 40% больше другой. 9. Заработную плату рабочего два раза повьпиали на 10%. Какой будет заработная плата рабочего после этих повышений, если начальная заработная шшта была 1000 грн.? 10. В контейнере находятся кофеварки, 30 из которьк белого цвега. 10 — голубого и 10 — красного. Какова вероятность того, что наугад вынутая из контейнера кофеварка будет красного цвета? 11. После взвешивания массы Ю овец оказались следующими: 3.5 кг, 37 кг, 34 кг, 35 кг, 40 кг, 38 кг, 37 кг, 35 кг, 36 кг, 36 кг. Запишите ранжированный ряд данных. Составьте таблицу вариант и частот. Уровень 3 12. Из пунктов А н В, расстояние между которыми 240 км, одновременно выехали два автомобиля. Если автомобили будут двигаться навстречу друг дру|у, то вс1ре1ятся через 2 ч. Если же они будут ехать в одном направлении, то автомобиль, выехавший из пункта В, догонит автомобиль, выехавший из пушсга А, через 12 ч. Найдите скорость каждого автомобиля. 13. Кусок сплава меди и цинка обшей массой 72 кг содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно прибавить к этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди? 14. Вкладчик внес в банк 5000 грн. под 11% годовых. Какую прибыль он иолучи ! через 2 года? 15. 11артию деталей изготовили трое рабочих, причем первый рабочий изго- 2 3 товил всех деталей, второй — , эретий — оста-льные. Какова веро- ятность юго, что наугад взязую деталь изгшовцл третий рабочий? 16. Урожайность пшеницы в хозяйствах района была следующей: Урожайноапь. ij/ea 25-30 30-35 35-40 40-45 Количество хозяйств 5 8 7 4 Постройте гистограмму и полигон час гот данного распределения. 6 Кравчук В. Алгебра. 9 кл. Учебник 162 f.?. Элементы прикшдш/й матемитики Уровень 4 17. Два трактора, работая вместе, могут вспахать поле за 8 ч. Если один 1 трактор вспашет сначала — поля, а потом другой — остальное поле, то все поле будет вспахано за 15 ч. За сколько времени может вспахать поле каждый фактор, работая отдельно? 18. Цену товара повысили на 10%. На сколько процентов нужно уменьшить новую цену, чтобы получить начальную? 19. Какую минима1ьную сумму денег нужно положить в банк под 14% годовых, чтобы через 3 года получить больше 20000 гри.? 20. Одновременно подбрасывают два ифальных кубика. Какова вероятность того, что выпадут числа, произведение которых меньше 15? 21. На соревновании богатырей фиксировали количество поднятий штанги массой 150 кг. Были получены следующие результаты: Количество поднятии 4 5 6 7 8 Количество богатырей 3 2 4 4 2 Постройте полигон частот данного распределения. Сколько поднятий в среднем приходится на одного богатыря? ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Термин «последовательность» используют, когда говорят о расположении учеников в шеренге, очередносги дней недели, расположении команд в турнирной таблице и т. п. В этом параграфе мы выясним, что такое числовая последовательност ь, в частности, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии. каковы их свойства, научимся использовать свойства упомянутых прогрессий при решении прикладных задач. fe-: I; 1; 2; 3; 5; 8;... — Г10Слело»«ггсльность 2; 5; 8; II; 14;... — арифметическая прогрессия (каждое hucjio, начиная со втхтрого, паЗ бс»1ыие иреяыдутею) 2; 6; 18; 54; 162;. . — (еомегрическая п|х)1]Х*ссия (каждое число, начиная со вторедхэ. в три раза бо.1ыие njTCiibiayiuero) ■«I-*;?? 164 Чис.ювые 40c:u4)oeame:ihiiocitiu ШЛШк Числовые последовательности. Способы задания последовательностей I. Числовые 110следовате.<1ьнос711. Рассмотрим несколько примеров. Пример КХчин подсолнух за лето «выпивает» в среднем 250 л поды. Сколько воды «выпьют» за лето 1, 2, 3,4, 5 подсолнухов? Получим: Количество подсолнухов 1 2 3 4 5 Обт>ем воды в литрах 250 500 750 КХЮ 12.50 Во второй езроке получили несколько чисел, записанных в определенном поряпке. говорят, по.зучи.м последовательность чисел: 250; 500; 7.50; 1000; 12.50, в которой на первом месте стоит число 250, на втором — 500, на пятом — 12.50. В этом примере ка:кчому нагуральному числу от 1 до 5 включи1ельно соог-ветствует одного число из указанной последовагельносш. Изак. имеем функцию, областью определения которой является множество чисел 1,2.3. к 5. Пример 23аписать в порядке возрастания натур;1льные числа запись которых оканчивается цифрой 2. Получим последовательность чисел 2; 12; 22; 32; 42; .... в которой на первом месте стоит число 2, на втором — 12. на третьем — 22 и т. д. Место 1 2 3 4 5 Число 2 12 22 32 42 ... Определение В этом примере каждому натуральному числу п соответствует одно число из указанной последовательности. Так. натуральному числу 6 соответствует число 52 этой £ЮСледовательности, числу 7 — число 62 и т. д. Следовательно, имеем функцию, областью определения которой является множество всех натурашных чисел. Последовательностью называют функцию, заданную на множестве всех или первых п натуральных чисел. Чис.ча образующие носледоваге.тыюсть. называют членами поечедова-тельности. Ксли последовательность имеет конечное чиаю членов, тогда ее называют конечной поечедоватепьностью (нрил'.ср 1). Если последовательность имеет бесконечное число членов, то ее называют бесконечной последова-течьностью (пример 2), а в записи это показывают мноюточием после последнего записанною члена носледовате.тыюсги. Приведем еше примеры последовательностей: 4; 8; 12; 16;... — последовательность натуральных чисел, крат ных 4; 1- > • 1- 1- 2’ 3’ 4‘ 5’ ■ последовагельнсхп'ь правильных дробей с числителем 1; 21, Числовые noc:icdmumc:n>Hocmu. Способы мдшшя последовательпоспт> 165 -1: -2; -3; —4;... — последовательность отрицательных целых чисел; 0,1; 1,1; 2,1; 3,1 — носледоваггельность, состоящая из четырех членов; 7; 7; 7; 7;... — последовательность, все члены которой равны 7. Четвертая последовательность конечная, остальные — бесконечные. В общем сл>чае члены поаюдовательности, как правило, обозначают маленькими буквами с индексами внизу. Каждый индекс указывает порядковый номер члена последовательное!и. Например, первый член последовательности обозначаю! а^, читают «а первое», второй —о?? читают «а второе», член последовательности с номером п обозначают а„ и читают «а энное». Саму последовательность обозначают («„) и .записывают; «ц «г: йу, щ:... . Член тц называют следующим за а^, а член — предыдущим члену <74. Пащзимер. рассмотрим пос.тедовательность (а„): 1: 3; 5; ... — пос.!сдова!с;1ь- ностъ нечетных натурдльных чисел. В ней «| = I: ui = 3; а.ч = 5; Член пос.ледова- тельности = 3 является предыдущим члену а\ - 5 и нослед\'ютим за членом а\-\. 2. Способы задания последовательностей. Чтобы задать тзоследова-тельчость, нужно указать способ, при помощи которого можно найти любой ее член. Существуют различные способы задания последовательное гей. 1.11осле.ювательность можно задать описанием способа опрсдезтения ее членов. Напри.мер, пусть задана носледоваггельность, членами которой являются делители числа 1.S, затзисанные в порядке возрастания. Эту последовательность, описанную словами, можно записать так; 1; 3; 5: 15. 2. Конечную поатедователыюсть можно задать, перечислив ее члены. Например, (h„): 54; 1; 33; 27. 3. Последовательность можно задать таблицей, в которой напротив каж дето члена последовательности указывают его порядковый номер. Ыанример. п 1 1 2 3 4 5 а„ -2 1 1 -А 1 -6 4. Последовательность можно задать формулой, по которой можно найти любой член последовательности, зная сто номер. Например, последовательность натуральных чисел, кратных 3, можно задать формулой а„ = З/з; последовательность чисел, обратных нату ральным, — формулой Ь„ = Такие формулы называют еще формулами п-го члена последовательности. Пусть последовательность (с„) задана формулой = Зи - п^. Подставляя вместо п натуральные числа I, 2, 3.получим; г, = 3-1-1- = 2; С2 = 3-2-2^ = 2; cj = 3-3-3^ Поэтому (с„): 2; 2; 0;.... ^0;... 160 S4. Чис. uKtMC iwc.icOomina.’iMiocimi 5. Последовательность можно задать так: сначала указать первый или несколько первых членов последовательности, а потом — условие, по которому можно определить любой член последовательности, зная предыдущие. Такой способ задания последовательности называют рекуррентньш. Например, найдем несколько членов последовательности (а„), первый член которой равен -1, второй — -3, а каждый последующий, начиная с третьего, равен произведению двух предыдущих. Получим: Д| = -I; пг = -3; аз = Я| • сь = (-^1) • (-3) = 3; a^—aj- пз = (—3) ■ 3 = -9; аз = аз • 04 = 3 ■ (-9) = -27; и т. д. Условия, определяющие эту последрвательность, можно записать так: 0| =-1; 02 -3; а„+2 = йп ■ Пп+1- Фqpмyлy, при помощи которой любой член последователь-носги можно найти через иредьщущие, шзывжгс рекуррентной формужт. Рассмотренные выше последовательности являются числоеьши поспедо-вателыюстями, так как их элементами являются числа. Существуют и другие последовательности. Например, последовательность передач на канале телевидения. последовательность футбольных кОдМанд в турнирной таблице и т. п. В дальнейнзем будем рассматривать только числовые последовательности. >т^эбшения уг1ражп< Упражнение 1. Записать шесть первых членов последовательности натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2. • Первым натуральным числом, которое при делении на 3 дает остаток 2, является число 2. Следующим является число 5 — оно на 3 больше 2, дальше 8 — на 3 больше 5 и т. д. Поэтому получим: 2; 5; 8; II; 14; 17. Огвет. 2; 5; 8; 11; 14; 17» Упражнение 2. Записать формулу п-го члена последовательности (jc„) нату-ра.1ьных чисел, которые больше 8 и при делении на 9 дают остаток 7. • Первым натуральным числом, которое больше 8 и при делении на 9 дает остаток 7, является число 16. Его можно записать так: 16 = 9- 1+7. Вторым будет число 25, которое можно записать так: 25 = 9 • 2 + 7, третьим — 34 = 9 • 3 + 7 и т. д. Тогда формула и-го члена искомой последовательности (jc„) будет иметь вид: х„ = 9и + 7. Ответ. Хп = 9н +19 У пражнение 3. Постедователыюсть задана формулой х„ = Ъг? - 7л. Является ли членом этой последовательности число 6? • Число 6 будет членом этой последовательности, если найдется такой номер п, что Хп — 6, то есть Зя" - 7н = 6. Получаем уравнение: Зя^ — 7/i — 6 = О, 21. Чнс.кши’ noc:ieik)eainc.iiiiitH:mu. СшиоОм шдишш rwt irdoeuive.ihiitKmeii 167 2 2 откуда «1 = 3; П2= Число не является натуральным, а поэтому не может быть номером члена последовате.льности. Следовательно, число 6 является третьим членом заданной последовательности. Ответ. Да. • Упражнение 43аписать три первых члена последовательности (п„), если й I — 2, С1„+1 — Зй„ 2. •При и = 1 по формуле а^, = За,, - 2 получим; Ог = 3«i - 2 = 3 • 2 --2 = 4. При и = 2 получим: а-^ = 3«2- 2 = 3 - 4- 2=10. Ответ. 2; 4; 10. • ■ ' - ~ 1 П 1 1 Т' ■ ■ Jjv 1 p^j .1. .! 1 648. Дана последовательность: 0,1; 7; 0,2; 8; 0,3; 9. а) Сколько членов имеет эта последовательность? б) Назовите третий член последовательности. в) Какой номер имеет член последовательности, равный 0,3? г) Какой ч.лен последовательности является последующим за числом 8; предыдущим числу 7? 649. Дана последовательность натуральных чисел, кратных 10; 10; 20; 30; 40; 50;.... а) Назовите первый, четвертый и восьмой члены этой последовательности. б) Какой номер имеет член последовательности, равный 70? в) Какие члены последовательности находятся между числами 30 и 90? г) Какой формулой можно задать эту последовательность? 650. Последовательность задана формулой х„ = п + 5. Назовите три первых члена последовательности. 651. Назовите несколько первых членов последовательности квадратов начу-ральных чисел. т г 1 г N 1 1_.| 1 1 VpioEef^ Л . ь-А^ 652. Дана последовательность (с„). Запишите: а) член последователыюсги, последующий за С;«,; б) член последовательности, предыдущий с«; с*; в) члены последовательности, которые находятся между с? и С7; и с^+з. 653. Запишите первые шесть членов последовательности начуральных чисел, кратных 4. Какой чюмер имеет член последовательности, равный 16? ^4. Чис.ювые iwcjiedoeiime.ihHocmu 654. 655. 656. 657. 658. 659. Запишите первые пять членов последовательности кубов натуральных чисел. Какой номер имеет член последовательности, равный 27? Запишите первые пять членов последовательности натуральных чисел, которые: а) делятся на 5; б) при делении на 5 дают оегаток I; в) при делении на 5 дают остаток 2. Запишите первые четыре члена последовательности натуральных чисел, которые; а) делятся на 7; б) при делении па 4 дают остаток 3. Последовательность задана формулой а„ = 5и^- 1. Найдите: ац\ «ю. Последовательность задана формулой h„ = Зп + 5. а) Найдите четыре первых члена зтой последовательности; /iBCHaariaTbifi член. б) Укажите номер члена последовательности, равного 20. Последовательность задана формулой с„ = 2п-1. а) Найдите зри первых члена этой последовательности; пятнадцатый член. б) Какой номер имеет член последовательности, равный 193? г. У ри ве Г1Ь и ■W Л 660. Запишите все члены последовательности, заданной формулой: а) а„ = (-1)'', 1<«<7; б) h„ = п~ - 5п, 1 < и < 3; в) с„ = 3^"-\ 1 1 выполняются равенства: a,i-a„.i = d, a„+i~a„ = d. Отсюда: а„ -й„_, = -о„; 2а„ = a„_i + а. =- Свойство J. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второю, является средним арифметическим двух соседних с ним членов. С этим свойством арифметической профессии и связано ее название. 2. Рассмотрим конечную арифметическую профессию (х„), имеющую 7 членов: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Найдем сумму крайних членов профессии и суммы членов, равноотстоящих от крайних: JC| -ь JC7 = 3 + 15 = 18; J^2 + j:<6~5 + 13 = 18; хз + а'5 = 7 + 11 = 18; Х4 + Х4 = 9 + 9 =18. Сумма любых двух членов арифметической прогрессии, равноотстоящих от ее крайних членов, равна сумме крайних членов. ill ^4. 'IiicJiixihie iwc.tcdommtcjihiiociuu Используем эти соображения для произвольной конечной арифметической прогрессии а,;а2,а„ с разностью d. Пусть «1 + а„ = т. Тогда: «2 + «„ I = («I + ^+ «я ='«; «:<+Ч,-2 =(«2+<^) + (Ч,-1-^0=«2 +«,.-! ит.д. а,; а,+2г/; a„-2d, ci„-d. а„ 1 «1 1 ^1 + d, «1 + «„ Свойство 2. Сумма любых двух членов конечной арифметической npoi peccHH, равноотстоящих от се крайних членов, равна сумме крайних членов этой npoi peccHH. "Г Г'Т ! Прим^ы решения упра^кнениц jTj^j ' г • > кражнсяие 1 Найти разность и третий член арифметической прогрессии («„): 1; 1,2;... . ^ этой fipoF peccHH fli = 1,02= 1,2. Поэтому: d-aT-Oy = 1.2-1 =0.2; ат, = 02 + d= 1.2 + 0.2= 1.4. Ответ. 0,2; 1,4. в Унра.кнсннс 2Являегся ли последовательность чисел 3: 0: -3: -6; -9 ариф-мегической прогрессией? «Обозначим члены за/шнной последовательности: й| = 3; «2 = 0; «( = -3; «4 =-б; «5=-9. Найдем разность последующего и п()едыдущего членов послелователь-носги: «2--«| = 0 - 3 =-3; О} - «2 = -3 - о = -3: «4 - «3 = -6 - (-3) = -3; «5 - «4 = -9 - (-6) = -3. Так как полученные разности равны одному и тому же числу -3, то -эта последовательность является арифметической прогрессией. • 22. Лрифмстши’ския прогрессия и ее счюйспша Упра/кнемяе З.Мокду числами 7 и 15 вставить такое число, чтобы все три числа образова.'1и арифметическую прогрессию. •Пусгь X — искомое число, тогда последовагельность 7; л; 15 — арифметическая про1'рессия. Второй член арифметической прогрессии является средним арифметическим первого и третьего членов: х = 7 + 15 = 11. Огвет. 11. в Т1 1 Г тт ; Устно ^7 IT j I I I J . _i_ .1 677. Является ли арифметической прогрессией последовательность: а) 1; 2:3; 4; 5;... — последовательность нагуратьиых чисел; б) 2; 4; 6; 8; 10;... — последовательность чечных натуральных чисел; в) 1; 4; 9; 16; 25;... — последовательность квадратов натуральных чисел; г) -1; -2; -3; -4; -5;... — последоваггельность отрицательных целых чисел? 678. Укажите первый член и разность арифметической нро1'рессии; а)2;7; 12;...; б) 0,7; 1; 1,3;...; в) 6; 5,5; 5;...; г)-9;-7;-5;.... 679. Найдит е первые четыре члена арифметической П1хмрессии (а„), в которой: а)«|=5;^/ = 2; 6)ai=7;J = -2. 680. Найдите четвертый член арифметической прогрессии: а) 7; 11; 15;...; б) 13; 10; 7;.... 681. Найдите разность и первый член арифметической прогрессии: a)«i;4; 7;...; б) ai; 5; 3;... . ■~1 1—1—Г' гт Уро0е1|ь trn T 1 -J- 1 ■yi-v t 682. Запишите последовательность натуральных чисел, кратных 6. Является ли '.)та последовагельность арифьач и ческой протрессией? 683. Найдите разностч., трегий н четверт ый члены арифметической npoi pec-сии (а„), в которой: а) «1 = 5; «2 = 8; б)«| =-2;«2 = -5; в)«, = 0,78; «2 = 0,78; г) я, = -9.1:«, = -8.1 684. Найдите первые четыре члена арифмеч ической прочрессии («„), в которой: а) «1 = 10; с/ = 5; б) «i = 4,5; d = -0,5. 685. Найдите разччость и пятый член арифмстчтческой ччроч рессии: а) 1,4; 1,7; 2;...; б) -3, -2,8; -2,6;.... 174 i}4. Чис.ючыс iwc.icdoeaine.'ihitoiinu 686. 687. 688. 689. 690. Найдите разиос1ъ и четвертый член арифметической прогрессии: а) 10.5; 13; 15,5;...; б) ч/2 + 5; >/2+3; V2+1 ;... . Найдите второй член арифметической прогрессии; а)-5; й2;-13;...; б) >/5 ; «2^ 4->/5 ;.... Найдите шестой член арифметической прогрессии, если пятый и седьмой ее члены соответственно равны: а} 4,8 и 7.8; б)-16,8 и 22. Четвертый член арифметической прогрессии равен -15. Чему равна сумма третьего и пятого членов этой прогрессии? Девятый член арифметической прогрессии равен 23. Чему равна сумма восьмою и десятою членов этой прогрессии? I 1 — — ■ [ '+■ . _J 1 11; 1 i > 691. 692. 693. 694. 695. 696. 697. Являются ли последовательными членами арифметической прогрессии числа; а)7 + >/5: 9 + 2>/5; 10+3>/5; 6)4; (^^-l)^ 4-4>^? Между числами -5 и -11 вставьте такое число, чтобы все три числа образовали арифметическую прогрессию. Найдите второй и четверт ый член арифметической прогрессии: а) I; С2; 0,9; б) -у/2; oi, 3>/2; щ\.... Первый и четвертый чтен арифметической прогрессии соответственно равны 3,8 и 7,5. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии. Олег, Пеф, Сергей и Андрей ловили рыбу. Количества пойманных ими рыбин обра:^ют арифметическую прогрессию. Меньше всех рыбин — 9 — поймал Петр, а больше всех — 18 — Олег. Сколько рыбин нойма-ли Сергей и Андрей вместе? Сколько всего рыбин поймали ребята? При каких значениях т числа 2, 2ш - 30 и /и - 8 являются тремя последовательными членами арифмет ической прогрессии? Найдите третий член арифме! ической прогрессии (х„), если Jc, = и д-5=5>/з. -| ]•; I г г т Г~ГТ ’ Ур<^нь 0 г A.._j 698. Пятый член арифметической прогрессии равен 2,5. Найдите сумму первых девяти членов этой прогрессии. 23. Формула п-го ч.гепи арифметической прогрессии 175 699. Числа, определяющие грдлусиые меры углов ipeyroJibHHKa, образуют ариф-мс-гическую щюгрессию. Найди те средний по величине угол зреугольника. 7(К). Числовые значения диамезров пя ти шкивов, насаженных на один вал, образуют арифметическую прогрессию. Диаметр наименьшего шкива равен 34 см, а нанболт.шего — 46 см. Нащште диаметры остальных трех шкивов. ' i ' 1 1 1 : 1 ri 1 1 __L. J а) 701. Что больше: 2>/з или VlO ? 702. Решите систему уравнений: (a + 4d—(a + 2il) = -4; |(й-I-rf) (й-I-3J) = —3; 703. Решите уравнение: а) дг -г 6л' - 7 = 0; 704. В момент отчаливания лодки от пристани у одного из пассажиров упала в воду шляпа. Лодка, пройдя 4 км по течению, развернулась и на расстоянии 2 км от пристани настигла шляпу. Какова скорость шляпы относительно берега, если скорость лодки в стоячей воде 6 к.м/4? f3jT+2>=-3; -у = -8. б) х + 6у[^-Т = 0. Формула п-го члена арифметической прогрессии Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указаз ь ее первый член и разность, а последующие члены можно найти по формуле Om-i = «« + d. Например, найдем несколько первых членов арифметической прогрессии, в которой (it-4,d = 3. Получим: 02 = 01+d = 4+ 3 = 1; 03 = 02 + d = l + 3= 10. Далее можно найти й4, и т. д. Чтобы найти член этой прогрессии с большим порядковым номером, например, йю, нужно выполнить много вычислений. Поэтому вычисление членов арифметической прогрессии но формуле й„+| =a„ + d часто является неудобным. Найдем более краткий путь вычисления п-го члена арифметической прогрессии (й„). По определению арифметической прогрессии получим: й2 = й| + d; М(, ^4. Чш.юаыс iwc:ic<)o(utmejibiiocmu а, =aj +d = {a, +d)+d-a^ +2d\ =Oj +d = (й| +2d) + d = a, +3d. ■ Замечаем, что в этих формулах коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера искомого члена прогрессии. Так, = а\ +4d, ого = 0| -н 19^/. Итак, можем записать; а„ = а\ + {п - \)d. Полученную формулу называют формулой п-го члена арифметической прогрессии. I ‘Т" |Др1и^|>еры| у|||р^|че|чм|й Упражнение К Найти девятый член арифметической прогрессии (а„): 5; 4,2; 3,4;.... • Имеем; й| = 5. Найдем разность прогрессии; d = A,2-5Тогда й9 = а, + 8^/ = 5 -ь 8 • (-0,8) = -1,4. Ответ. -1,4.* Упражнение 2. Найти первый член арифметической прогрессии (й„), в которой d ~ -2, «8 - 93. • Используя формулу л-го члена арифметической прогрессии при л = 8, получим; 93 = 0| + 7 • (-2). Отсюда П| = 93 + 14 = 107. Ответ. 107.» Упражнение 3. Является ли число 181 членом арифметической прогрессии, в которой 0| = 3, д|1яЬо зтЬренйя-L л I IX L_ L ^ ГГ I I Ml 726. 727. 728. 729. Принадлежит ли число -2 области значений функции у = х^ + 5х + 4? Решите неравенство: а) Зл^-10/2 + 7 >0; б) (21-x)(2x+3)>0. Из урны, в которой имеется 15 шаров, пронумерованных числами от 1 до 15, наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что номер вынутого шара окажется делителем числа 15. Докажите, что значение выражения ^Jx^ +5х)’ + у^ является целым чис- fx-2y = -5; лом, если (х;_у) — решение системы уравнений Зл'+у = 6. 24. Формула суммы первых п членов арифметической проерсесии 179 Формула суммы первых л членов арифметической прогрессии П|)ил1С|). Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно. Запишем суму 5 данных чисел двумя способами: в порядке возрастания и в порядке убывания слагаемьпс и почленно сложим полученные равенства: 5= I + 2+ 3 + ... + 100 5= 100 + 99 + 98 + ...+ 1 25= 101 + 101 + 101 + ...+ 101 Суммы пар чисел, расположенных друг под другом в правых частях >тих равенст в, равны одному и тому же числу 101; таких нар 100. Поэтому 25= 101 • 100. 101100 Отсюда 5 = ■ 5050. Итак, сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно равна 5050. Отметим, что последовательность натуральных чисел 1; 2; ...; 99; 100 является арифметической про1рессией (а„), в которой П| = 1; т/= 1; л = 100. Используем рассмотренный способ для вывода формулы суммы 5„ первых п членов любой арифметической прогрессии й|; «г; •••; о„\.... Запишем: = ^1 + ^2 + ^3 + - + ’ 5„=а„+п„_,+й„_2+-+«,. Сложим почленно эти равенства, получим; 25„ = (а, + а„)+(пг + )+(а, + й„_2) + -+(«,-+«.) • По свойству 2 арифметической прогрессии сумма каждых двух членов, взятых в скобки, равна 0\ + а„. Таких сум есть л, поэтому: 25„ =(й,+а„)-л. Отсюда S •и. (1) Если в этой формуле вместо а„ подставить выражение а, +(n-l)cf, то получим: ^ fli+й,+(л-1)^ 2а,+(л-1)<^ S„ = ^ п- - л. ^4. Чпс.кшые noc. icdoeaiiir.ihiiociiiii Итак, ^ 2a,+in-\)d S„ =—■—г-----n. (2) Формулы (1) и (2) называют формулами сулшы первых п членов арифметической прогрессии. Т Т т Г' Г|рим^р|>| ре^е^1^я упражнений '1 >'iipavK!it“H»c I Найти сумму первых девяти членов арифметичеекой про-ipeeeHH (а,,): 3; 7; 11;.... *1-11 способ. Имеем: «1=3, :1|>ажие1ше 'Найти еумму нечетных натуральных чисел, не превышающих 71. вПечетные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5;..., в которой W| = 1, т/ = 2, а„- 1 + (/г - 1) • 2 = 2и - 1. Найдем, какой норядкт'вый номер имеет член 71 этой прот'реесии: 71 = 2н - 1: и = 36. Следовательно, нужно искать сумму первых тридцати шехтги членов про1рессии. Имеем; ‘^36 =-^-36 = 1296. Ответ. 1296. • Vnpa>K«u‘HMe ЗНайти сумму натуральных чисел не больше 105, которые при делении на 9 дают остаток 1. •Натура.тьные числа, которые при делении на 9 дают осгаттж 1, образуют арифметическую прогрессию («„); 1; 10; 19;.... в которой «i = 1, rf = 9, о„= 1 +9(л- 1) = 9;?-8. Найдем, сколько членов этой ирофс-ссии нс превышают 105. Д.1Я этою решим неравенство а„ < 105; 24. Фор.му:и: су.м.мы ен'/пи>! \ п 4.,'eiwe ирш/кчеиш^ссиои про.-р"ссии 181 9|7-8<105; 9;7<113; Следовательно, нужно искать сумму первых двенадцати членов прогрессии. Имеем: «12 = 1 + 9 • 11 = 100; 5,2 = —^^12 = 606. Ответ. 606. в У1!раж"1ские -1Иайти первый член арифмегнчеекой прогрессии («„), если сумма второго и двенадиатою ее членов равна 20.4, а сумма nqiBbix одиннадцати— 121. По условию имеем; «2 + ^12 = 20,4; 5ц = 121. Используя формулы /7-го члена и суммы первых п членов арифмсгической прогрессии, получим |^«, +d + Oj +\\d = 20,4; систему уравнений |2«,+10^/ j j _ j2, Огеюда; 2й,+12г/ = 20,4; f«,+6г/=10,2; f^/=-0,8; [(й,+5^/)-11 = 121; [a,+5d = n- [гт,+5г/ = 11; Отвег. 15. «■ Упражггенне 5Сколько нужно взять первых членов арифмсгической прогрессии («„), в когорой «1 = 2; г/ = 1. чтобы их сум.ма равггялась 90? • Используя формулу суммы первых 77 членов арифмстческой ггрог рес- егш 2«| +7/(77-!) •77. получим: 90 = 2-2 + 1(77-1) 77; 180 = (77 + 3) • 77; 77^ + .З77 - 180 = 0; 77| = -15, 772 = 12. Корень 77] = -15 нс удовлсгворяс! условиго задачи. Следовагельно. 77 = 12. Ответ. 12. • L I г “ Ур|овеИь Л 730. Найдите сумму первых одггннадггати членов арифмсгической прогрессии, если; а) 77| = 22; й|1 =-1; б) «| = 5; ггц = 15. Найдите cvirury первых п членов арифметической прогрессии («„). eciu: 731. а)77| = 8; голыпгка, если длина ег о самой короткой стороны равна 4 см. а самой длинной — 12 см. Сумма первых пяти члеггов арифметической прогрессии («„) равна 25. Найдите пятый член прогрессии, если tj| = -5. Сума ггервых девяти членов арифметической прогрессигг равна 126, девятый член равен 54. Найдите первый член этей прогрессии. 1 ♦’-ТГ-+' 1 УрС|В€|Нк| bj 1 < J 740. 741. 742. 743. 744. 745. 746. 747. 748. 749. 750. Найдите суму нечегных натуральных чисел не больше 81. Найдите суму четных натуральных чисел не больше 100. Найдите суму натуральных чисел, кратных 7 и ire больше 145. Найдите суму чегных натуральных чисел от 24 до 120 включительно. Найдите су.му нечетных натуральных чисел от 17 до 117 включительно. Сколько нужно взять первых членов арифметической прогрессии 16; 14;..., чтобы их сума была равна -434? Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а„), если гТ|о =33; S% ~ 88. Найдите разность арифметической прогрессии («„), сели Сб = 0; 5j2 = -18. Найдите суму первых десяти членов арифметической прог рессии, пятый и восьмой члены которой соответственно равны 12 и 27. Девятый член арифметической прогрессии больгис четвертог о в три раза, а их сумма равна 20.1 !айдите суму первых восьми членов прогрессии. Экскаватор вырыл транигсю длиной .375 м, ггричем за первый день он вырыл 50 м, а за каждый слсдугощий — на 5 м больше, чем за предьгдущий. За сколько дней экскаватор вырыл траншею? 1 - 1 г ]- 1 - П У:ровен1| } :гг 751. 752. Найдите суму первых двадцати натуральных двузначных чисел, которые при делении на 3 даюг остаток 1. Найдите сумму натуральных трехзначных чисел, кратных 4. 24. Форму. HI cy.mibi первых n 'i.ieiuxi (i/nuf)Menui4ecKoii fijw.’pi’ccun_1^ 753. Найдте суму «шснов арифметической приунхеии с девятых) но двадцатый включитедьно, если первый член прогрессии равен 5, а разносгь----2. 754. I !айдитс сумму первых /?: а) четных натуральных чисел; б) нечетных натуральных чисел. 755. Найдите натуральное число, которое в 5 рал меньше суммы всех натуральных чисел, ему нредшссгвуютнх. 756. Решите уравнение: а) 6 + 11 + ... + (1 + 5/?) = 111 (и — натуральное число); б) (.г - I) + (х - 3) + ... + (X- 27) = 350. 757. Для поливки 10 деревьев, расположенных в ряд на расстоянии 3 м друг от друга, садовник для каждою дерева отдельно нриноеет ведро воды из колодца, расположенного в том же ряду в 10 м от первого дерева. Сколько всего метров пройдс1 садовник, чтобы полить все деревья и возвратиться к колодцу? т 758. Постройте график функции у = -2х + 8х. Используя г рафик, найдите: а) область значений функции; б) все значения х, при которых функция принимаег отрицательные значения; в) промежуток, на котором функция возрастает; убывает. 759. Сколько килограммов 9%-го и 12%-ю сплавов серебра нужно взять, чтобы получить 50 кг сплава, содержащего 10,8% серебра? 760. Докажите нсравсне1Во: а)(2«-1)^>«^-1; Ъ) а +l6b>^a^S. 761. Решите систему уравнений: х^-2у"=7; х + у = 2; а) б) х-2у = 1; х^ + 2 = у^ +2ху. 184 , §4. Чис:ш«ые noc.iedoeame.ibimcmu Геометрическая прогрессия и ее свойства в благоприятных условиях некоторые бактерии размножаются так, что их количество удваиваегся каждые 30 минут. Поэтому, если первоначально была одна бактерия, то их будет: через 0,5 ч через 1 ч через 1,5 ч через 2 ч 2 4 8 16 Определенш Во втором столбце получили последовательное! ь чисел: 2: 4; 8; 16; ..., каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2. Такая последовательность являсгся примером геометрической прогрессии. Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно II то же число. Это число называют ташнатепем геометрической прогрессии и обозначают буквой д (начальная буква французскою слова qwoti — час! нос). Итак, если имеем гсомсгричсекую прогрессию Ьй Ь^; by,то b2 = b\- д; by = b2‘ д\.... то есть для любого натурального п выполнясгся равснсгво b„+i = Ь„ ■ д. Из определения геометрической про!рсссии следует, что частное or деления любою се члена, начиная со второго, на предьщущий член равно одному и fc, Ь^ Ь . тому же числу — знаменателю д, то есгь: 7Г~^’ bt Ь^ Ь„ Верно и наоборот: если в некоюрой последовательности частное от деления любого се члена, начиная со второго, на предыдущий член равно одному и тому же числу, то такая последовательность является геометрической прогрессией. Геометрические про!рсссии, как и арифмегическис, могут быть конечными и бесконечными. Чтобы задать геометрическую прогрессию, досгаточно указать ее первый член и знаменатель. Тогда каждый последующий член по предыдущему можно вычислить по рекуррентной формуле Ь„+\ = Ь„ - д. >5. Геометрическая прогрессия и ее caoiicmea 185 В таблице приведены примеры 1ч:омегрических прогрессий для некоторых значений fc, и д. Ь\ Ч Геометрическая нрогрсссггя 1 3 1;3; 9; 27; 81;... 1 —2 1;-2;4;-8; 16;... 2 1 2 2- 1‘ —■ —■ 1-А 1, 4- 8- - -7 1 -7; -7; -7; -7; -7;... Раеемш рим свойства геометрической прогрессии. 1. В гшмстрической прогрессии 1; 3; 9; 27; 81; ... квадрат каждого члена. начиная со вюрого. равен произведению двух соседних с ним членов: 3^ = 1 -9; 9^ = 3-27; 27^ = 9-81;.... Покажем, что такое свойство имеет любая г сомс1рическая прогрессия. Пусть имеется геометрическая про1рессия (Ь„) со знаменателем д. То1да при/7> 1 выполняются равенства: -Д- = в, -т^ = д- Огсюда: = ; ^„-1 Ь„ Ь: Ь,.,,. Свойство I Квадрат любого члена геомез рнческон прогр(ч;снн, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Если все члены гсомезрической iipoipcceiin являются ноложителы1ыми числами, -го из раветютва =й„., следует, что . Следова- тельно, каждый член такой протрсссии, начиная со второго, является средним I еомефическим двух соседних с iuim членов. С утим свойством геометрической ripoipeccHH и связано се название. 2. Рассмозрим конечную геометрическую прогрессию (л„). содержащую шесть членов: -1; 2; -4; 8; -16; 32. ИагЗдем произведение крайних членов тюй нргггрсссии и произведение членов, равнеютегоящих от крайних: дГ|-л>, =(-1)-.32 = -.32; x,-.v,=2-(-16) = -32; =-32. Видим, что произведения членов прогрессии, равноотегоящих от ее крайних членов, одинаковы и равггы произвсденггго крайних членов. J86 ^4. Числовые 11осле()овшпел1>11остн Используем эли соображения для произвольной конечной геометрической прогрессии bi, b2\b„. Пусть b^■b^=m. Тогда: ~ = brh„^m. b„-, Я b,-q\ b:q\ .. К. q-' А.- » Я 1 Ь\Ь„ 1 ь,ь„ ь,-ь„ Свойство 2 Произведение любых двух членов конечной геометрической прогрессии, равноотстоян(нх от ее крайних членов, равно произведению крайних членов. I 1" Прим^ы |)еЦ1е|нИя ^п|>ажи т ^'Iipaичнeнlle 1.Пайти знамснагель и зрсгий член геометрической npoipcc-сии (Ь„): 1; 1,5;.... •В этой iipoi рсссии Л| = 1, ^2 = 1,5. Поэтому; ^ = ^ = ^ = 1,5; ^>3 =fcj^ = l,5-l,5 = 2,25. Ответ. 1,5; 2,25. о У|фажне11не 2Л>казагь, что последовательность 8; -4; 2; -I; - является I сомстрической прогрессией. гОбозначим члены последовательности: = 8; /ъ = -4; = 2; &=-1; = —. Иайдсм чаелные ог деления последующего члена последовательности на предыдущий: fc, ~ 8 ~ 2’ Ь,~-4~ 2' 25. Геометрическая прогрессия и ее саойспиш 187 2 2 Ь, 2 2 1 Так как полученные частные равны одному и тому же числу , то данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем —— 2 Упражнение 3. Найти второй член геометрической прогрессии: -4; by, -25;.... • Сстласно свойству 1 геометртческой прогрессии fcj =(-4) (-25) = 100. Отсюда ^2 = 10 или &2 = -Ю. OiBcr. 10 или-10.* iT 1—1 ~ Г Т"" 1 1 1. гг: ! .L. Устнр“ 1 1 1 i ...... . J 1 г 1—f- 762. Является ли геометрической прогрессией последовательность; а) 5; 25; 125; 625;... — последовательность натуральных степеней числа 5; б) -3; 9; -27,81;... — последовательность натуральных степеней числа -3; в) 1; 8; 27; 64;... — последовательность кубов натуральнь1Х чисел? 763. Укажите первый член и знаменатель геометрической прогрессии: а) 1;-5;25;...; б)9;3;1;...; 7 7 в) —6; —6; —6;...; г) 7; - 764. Найдите первые три члена геометрической прогрессии ф„), в кторой; а) bi = 3; q = 2; &)b[=5\q = -2. 765. Найдите четвертый член гсоме1ричсской прогрессии: а)2;6; 18;...; б)-9;-.3;-1;.... 766. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии: а)fcb4; 16;...; б) fci;6; 3;.... —j— \i ~T“ * 1 .1. J 1 A 4 Запишите первые четыре члена геометрической прогрессии {Ь„), в которой: 767. a)b, = ^:q = 2: 768. a)bi = 4-,q = -2; „ , 81 1 б) Ь] = -3; д = 0,2. 188 §4. Чис;ювые iu)c:tedotiante;ibiwcnui 769. 770. 771, 773, 774. Найдите зпамсна1ель, третий и четвер1ый члены геометрической нро-гресеии (/?„), в которой: я) Ь] - 5; Ь7_= 10: б) 6| = 3; 62 = -0.3. Навдите знаменатель и пятый член геомсфической нро1рссеии: а) 3; 9; 27;6) -Ы: 16; -4;... . Найдите знаменатель и четвертый член тсомсфичсской прогрессии: а)2;-6: 18;...: б»4;2;1;.... 11айди1ч; второй член гсомсфической прогрессии: а) -36; Ьу, -9;...; б) 0,7; hf, 0.063;.... Найди 1C пятый член геометрической прог]зессии (Ь„), если: а) 64 = 3; h(, = 75; б) 64 = -8; = -18. Чему pantio произведение шестого и восьмого членов геометрической прогрессии, если се седьмой член равен: -8; 1,8? 9 LJ UI1 о~1 А 775. Являются ли 1юеледовате;1ьнымн членами геометрической иротрессии значения: а) igcc; 6) since, где а = ^ ; (х = — ; (х = ? 776.Являются ли 11оследовате.иьными членами [чюмефичсчжой нр<)1рсс\ии числа: а)3'^3^3‘'’; б)~;1; 5 777. Измерения прямоугольного нараллеленипеда образуют гсомсфическую проерссеию. Найдите обьем параллелепипеда, если его наименьшее ребро равно 2,5 см. а наибольшее — 10 ем. 778. Возраст отца, старшего и младшего сыновей образуют геометрическую прогрессию. Скол1.ко лег старшему сыну, сели отцу 32 года, а младшему сыну 2 года? 779. Найдите неизвестные члены конечной геометрической прогрессии: 1 а) 1; /ъ; 49; б) 8; Д-; 2: у; 2’ в)й|; 7811. Между числами 1 и 3 вст авьте такое число, чт обы все три числа образовали I еомсцтическую прогрессию. 1 1 1 — ,ij:ti ■■ ! 1 /pV/UVllLJ 1 1 1 S d j i .. d 1 781. Числа 1, X, у являются одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий. Найдите jc н у. 26. Формула ii-го члени геометрической прогрессии 782 189 ТрС1ий член геометрической прогрессии равен 2. Найдте произведение первых пяти членов згой профеесии. Г 783. 784. 785. 786. ■ [ Г—I— _L Иычиелте: , т- -1^ я) Решите неравенство: а) I -2(л - 1)<6-5т; б) 3^-5-3' .V--1 ^ , л+ 2 о) ^г- >1 — 3 о Одна сто{юна прямоугольника в фи раза больше, а вторая на 4 см меньше стороны квадрата. Навдитс плошаль ква,т.рага, сели она на 10 см^ больше шюшади прямоуго-чьиика. Нанлите все значения а. при каждом из которых неравенство jc’ - 2ах + 4я > о выполняется для всех значений х. Формула п-го члена геометрической прогрессии Чтобы задать а:ометрическ)то прогрессию ф„). лосгагочно указ.тгь ее первый член и знаменатель, а следующие члены можно найти по формуле Ь„+, = Ь„ ■ q. Например, запишем несколько первых члс!юв юомсфической прогрессии, в KOTOjxTii ~5.q = 2: =5-2 = l(); =10-2 = 20; Далее можно найти b^, b^ и г. д. Чтобы найти член этой npoi-рессии е большим порядковым номером, на-примеф, bso, нужно выполнить мною вычислений. Ноэгому вычисление членов геометрической прогрессшг по формуле/г,= Ь„ ■ q часто является неудобным. Нагщем более кратктгй путь вычисления н-ю члена геомефичсской прогрессии (/?„) со знамснагслсм q. По определению геометрической прогрессии имce^г: b^=b,q: b^^b^r^lY, q-^b,q' ib, =b^q = b,q--q = b,q\ I «И) ^4. Числовые последователыюстн Замечаем, что в этих формулах показатель степени числа q па единицу меньше порядкового номера искомого члена прогрессии. Так, Ь% = b\q'^\ t>2o = Итак, можем записать; Ь„ = Ьгд"\ Полученную формулу называют формулой п-го члена геометрической прогрессии. ! I I I I I I I I I I I Упражнепис 1. Найти шестой член геометрической прогрессии (i>„); 2; 10; 50;.... • Имеем: b\=2\q= 10:2 = 5. Тогда Ь(, = Ь\ ■ q^ = 2 - 5^ = 6250. Ответ. 6250.* Упражнение 2. Найти первый член геометрической прогрессии (Ь„), если bj = 32,q = -2. • Используя формулу Ь„ = b\q"~' при п = 7, получим; 32 = 6,(-2)*; 32 = 6,-64; 6, =0,5. Ответ. 0,5.* У пражнение 3. Найти знаменатель геометрической прогрессии {6„), в которой 6? = -12, Ьд = -108. • Используя формулу л-го члена геометрической прогрессии, получим: hi) = biq^ = -108, 67 = btq^ = -12. Отсюда: b,q b)£_^m. 2 -12 • q =9; q = -3 или q = 3. Огвет. -3 или 3.* "Т“ ~т - • ~ I-.- Г; . “^0 L iee HI 1 1 _L_ ! 787. Найдите четвертый член i еомегрической прогрессии (6„), в которой; а)6, =6;^ = 2; б) 6, =-2; ^ = 0,1; в) 6, =|; 9 = -3; г)6, =-64; 9 = i 2(и Форму.'ш п-го ч.шш геомстрическоп прогрессии 191 788. Последовательность (i>„) — геомегрическая прогрессия. Найдите; а) 4>5, если Ь\ = 2;д = 2’ б) если bi = 3b;g= ^; в) i>4, если Ь\ = \\q- -2; г) £>з, если Ь\ = 100; g = 3. 789. Найдите шестой член геомефической прогрессии: а)-32; 16;-8;...; б) 1;2;.... 790. Найдите пятьж член геометрической прогрессии: а)1;3;9;...; б) 2;-4; 8;.... Найдите первый член геометрической прогрессии (Ь„), в которой: 791. а) *6 = 243; 9 = 3; 792. а) *7= 128; 9 = 2; q = ~] 625 " 5 793. Заполните таблицу, если (i>„) — геомефическая прогрессия. Ь\ я п ь„ 3 3 3 0,6 3 5.4 -2 9 256 794. Найдите знаменател!. геомефической профессии в которой: а) 6, = 32, 6з = 8; б) Ь(, = -27; Ь& = -243. 795. Найдите знаменатель геомефической прогрессии {Ь,), в которой Й4 = 10. Й2=0,1. f 1Ь ^ .. L. J. 796. 11айдиге первый член геомефической профессии, если ее четвертый и 1нестой члены соответственно равны 9 и 81. 797. Тре1ий член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 16, а сумма первых двух членов равна 12. Найдите пятый член прогрессии. 798. Найдите шестой член геометрической профессии (л„), если aj +А3 = 10, А2 = —4. 799. В квадрат со стороной 8 см вписан квадрат, вершинами которого являются середины сюрон данного квадрата. Во второй квадрат таким же образом вписан третий квадрат и т. д. Докажите, что числовые значения 192 §4. Час. юные iwaiedoeaniejihiiocimi 8(H). площадей этих квадратов образуют геомегрическую прогрессию, и найдите площадь пятого квадрата. В равносторонний треугольник, сторона которого 24 см, Biencan другой треугольник, вершинами которого являются середины сгорон данного треугольника. Во второй треугольник таким же образом вписан третий треугольник и т. д. Докажите, что числовые значения периметров этих треугольников образуют reoMOi рическую прогрессию, и найдите периметр пятого треугольника. V D у ро Dt li с D А 801. 802. Найдите четыре числа, образующие геомефическ'ую прогрессию, в которой разноегь между первым и вторым членами равна 28. а разность между четвертым и трезьим членами равна -252. Три числа обрг1зуез конечную геоме1рическую прогрессию. Сумма вто- 803. рою и грез ьего чисел равна 4. Если первое число умножить па -, то новая тройка чисел образует конечную арифмегическую прогрессию. Найдите члены геометрической профессии. Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к первым двум числам прибавить по 1, а к зретьему и четвертому — соотвегез-венно 4 и )3, то новая чегверка чисел образует арифметическую нро-ipeccmo. Найдите числа, образующие icoMei ричсскую прог рессию. ( ... J 1Ж1 ItSI 1И1 * р Л7 П' /В горв1 1И! 1 804. Упростите выражение: X \ С 4<- а) ---------7-; 2 у \х б) «■’ + /?’ (Г - (lb + Ь~ пг - п 805. 806. 807. Решите неравенетво: 16х+5. а) >0; (т + п)' б)(л + ЗГ-64<(). При каких значениях т один из корней уравнения 8.Г - б\ + т = 0 в два раза больше другого? Из Бахишлийской рукописи . Найдите назу ра-зьное число, которое при увеличении на 5 и уменьшении на 11 дает полные квадраты. 27. Форму.'ш суммы первых п членов <’сомеп1ричес1<он прогрессии 193 Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии Пусть hi\ hy, ... — геометрическая прогрессия, знаменатель ютгорой равен С]. Обозначим через S„ сумму первых п членов зтой прогрессии, то есть S„ = hi + b2 + hj, + ... + h„..i + i>„. (1) Умножив обе части этого равснсгва на q, получим: = biq + l)2q + ... + h„. ,q + !м]. По определению геометрической профессии: h^q = />2; i>2„ =l\q" \ получим 5>'„ =-Tj—liiaK, ^ ьх\-я'') о ьм”-^) Формулы (3) и (4) называют формулсши су.тш первых п членов гео.шчи-рнческой прогрессии. 11ри q = 1 каж.дый член геометрической прогрессии равен by, поэтому S„ = п ■ bi. I—Г Пример|ы Т“!—Г 1 1 "11.1 _ J Упражнение 1. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (Ь„): 3; -б; 12;.... • Имеем: />| = 3; q = ^ = -2. Тогда по формуле нахо- 3 (l-(-2f) 3 (1-256) д„„: = ----- Ответ. -255. • 7 Кравчук В. Алгебра. 9 кл. Учебник = -255. 194 Чис. ючые посАедовите. ihiiontiii Упражнение 2. Найти первый член геомефической прогрессии (Ь„), если четвертый ее член в три раза больше третьего, а сумма первых пяти членов равна -12,1. • Так как = ЪЬ^, то т/ = 3. По условию 5s = -12,1, поэтому; _12_1 -12,1 = 121Ь,; i>,=-0,l. Ответ. -0,1. • 1 ! 1 1 1 М г ; , 1 ■4-1 1.' 808. Найличе сумму первых шести членов геометрической профессии (i>„), в ко'юрой; а) Ьх = -3; q = 2\ б) = 0,5; q = -2. Найдите сумму первых п членов геометрической прогрессии (i>„), в которой: 809. а) Л| =~\\q — -5; п — 5; б) Ьх = -64; q = ;« = 8. 810. а) Ь\ =-4; q = 3;n = 4; 6) Ьх - \ , q = -2; и = 6. 811. Найдите суму первых шесли членов геометрической прогрессии: а) 2;-1;^;...; б)-5; 10;-20;.... 812. Найдите суму первых пяти членов геомефической прогрессии: а)3;-6; 12;...; б) 0,2; 0.6; 1,8;.... Г Уровейь Б М 1 11^ 1 ! . j - 813. Найдите первый член i еометрической прогрессии со знаменателем 2’ если сумма первых восьми ее членов равна 1 2Л 64' 814. Найдите первый член геометрической профессии, в которой 9“^' S^ = 254. 815. Найдите сумму членов геометрической прогрессии (Ь„) с грегьего по восьмой включительно, если: ' a)i>|=2;g = 3; &)bi = -\6\q^O,5. 816. Найдите суму ч.ленов геометрической прогрессии ф„) с четвертого по восьмой включительно, если bx=5;q = -2. 817. Докажите, что последовательность, заданная формулой л„ = 2 ■ 3", является геомефической прогрессией, и ггашгггге сумму первых нгести ее членов. 27. Форму.ш суммы первых и 4:ienoii геометрической прогреесни 195 * 1 ij iJV.#D\7riD и Li__U_: .Г. [ ..J _L '■“1 ^ „ 1 818. 819. 82». 821. Разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии равна 36, а разиост1> мсж.ДУ третьим и первым — 9. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии. Три числа, сума которых равна 21, образуют арифметическую прогрессию. Если из вгорого числа вычесть I, к третьему прибавить 1, а первое число оставить без изменения, то новая тройка чисел образует геометрическую прогрессию. Найдите числа, образующие геометрическую прогрессию. Найдите в(х:ьмой член геометрической 1]рогрессии если i>i = 3 и при некотором натуральном п выполняются равенства Ь„ = 96, S„ = 189. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем равна 14, а сумма членов с третьего по пятый включительно — 3,5. Найдите сумму первых пяти членов нро1рессии. ГГ 822. ш: I г I д_ ■]—т~; I г...Г" Упражнения повторения А _1 - !—■ L. - ! 1_ I L_! _1 L ■"T ' 1 _ : 1_ Упростите выражение; , _!_______|_. "^л/6-2 >/6+2’ 823. Постройте график функции: а)у = х^-5; 824. Решите неравенство: а) 5х + т> 0; б) 74+л/з Аз+Аг Ai+yfi' б)у = л'^ + 6дг+ 10. б) ^^<0, х + т где т — сумма первых пяти членов арифметической прогрессии: 1; -2; -5;.... 825. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А используют 2 кг меди и 1 кг свинца, а на изготовление одного электродвигателя типа В — 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколько электродвигателей каждого типа было изготовлено на заводе, если известно, что всего использовали 130 кг меди и 80 кг сви1ща? 1% $4. Числовые uocjiedoeame.ibuticmii Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой lq| < 1 Пусть сгороны прямоугольника ABCD равны 1 см и 4 см (рис. 74). Ею площадь равна 1-4 = 4 (см"). Найдем пл01цад|. этого прямоугольника иначе. Отрезком MN. соединяюишм середины прогивоположных сторгл; ВС и AD прямоу! ольника, разделим его пополам. Площади об1Жзованных !1рямо-уго.ш.ников ABMN и NMCD равны по 2 см^ каящая. Образованный enpaai» пря-^ моуюльник снова разделим пополам, соединив середины К и /’ щютивополож-ных сторон. Площади образованных прямоугольников NMKP и PKCD равны по 1 см" кажгщя. Аналогично образованный прямоугольник PKCD снова разделим пополам от|5езком TS на два прямоугольника с площадями по ^ см^ и т. д. Найдем сумму площадей прямоугольников ABMN, NMKP. PKTS и т. д. Числовое значение суммы площадей этих прямоугольников равно суме чисел 2; 1; ;.... Лоследовательносл ь 2; 1; ^;... является бесконечной геометриче- ской про1рессией, первый член козорой равен 2, а знаменатель ■ Найдем сумму первых п членов этой прогрессии: 1 5.. =- 1- «^ ч 2i 1- -2" 1 2 4-fl—L V 2" 1 EaiH число и слагаемых суммы S„ нео1раниченно увеличивается, то значение дроби приближается к нулю, а разность приближается к числу 4, говоря! : стремится к числу 4. Число 4 называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 2; 1; ^;... и записывают 2 + 1-fy-f... = 4. 28. Сумма бесконечиоп геометрической прогрессии, в которой \q\ < / 197 Итак, сумма п.юшадей прямоугольников ABMN, NMKP, PKTS и т. д. равна 4 см^, то есть равна площади прямоугольника ЛЙСЛ. Обобщим рассмотренный пример. Пусть hp, hp, .. — любая бесконечная геометрическая профессия, в которой 1^1 < 1. Сумму первых /; членов этой прогрессии вычисляют по формуле b,-h,cf ^ г>„ =—j-—^—. Преооразуем выражение в правой части последнего равенства; Ь, ■q". Так как j^j < I, то при неофаниченном увеличении п \~q \-q множитель q" стремится к нулю, а значит, к нулю стремится и произведение п „ А ■ q ■ Тогда сумма Ь„ стремится к числу Число I-- называют суммой бесконечной геометрической прогрессии h со знаменателем о < I и записывают: Ь,+Ь2 + Ы+... = ---. Обозначим \-q эту сумму через S. Тогда 6 = _А_ 1-9' Полученную формулу называют формулой суммы бесконечной геометрической прогресат, в которой |<7| < J. L_. -^1 ИМ^Ы Упражнение 1.Найти сумму бесконечной геометрической профессии (i>„): 6;-2;... . -2 I •По условию /)| = 6; bi = —2. Тогда q = ~r~~'-^- Имеем 1еометричс- 6 3 скую профессию, в которой 1^1 < I. По формуле S - находим; — т 1-9 5 = ~—=^6 - = 6 - = -=4 5 ~1ж'" "• 3 Ответ. 4,5. • 19S §4. Чис. кхшс noc. u’tioMime.ihiiocmii X] I I I ,r T -I 826. Найдите сумму бесконечной геометрической нр01рессии (Ь„), в которой: a)fc,=7;9 = ~; 6)i>, =-100; 9 = ^- Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 827. а)3; 1; в) 32;-16; 8;...; 828. а)1;1;1;...; 8 б)-10;-4; - j: -; г) 4,2; 0,84; 0,168;... б)9;-3; 1;...; г) 2; 1,5; 1,125;.... 829. Задача Архимеда. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрес- в)-6;-4; сии 1+—+ 4 +.... 1 1 1 1 -■- г г- I > г 1 j : i L [+ «- 830. Най;1ите сумму бесконечной геометрической прогрессии: а) 3n/7; ч/?;...; б) 2 + S: Найдите первый ч.чен бесконечной геометрической прогрессии, в которой: 831. а) 9 = 6 = 50; б) 9 = 6 = 28. 8.32. а) ^ 6 = -14; б) ^ 6 = 96. / 6 833. Найдите знаменатель q (|^| < 1) геометрической прогрессии (Ь„), если 6| =80, 6= 100. Найдите су.мму, если слагаемые являются ч.пеначи бесконечной геаметриче-ской прогрессии: 1 1 834. а) — + + ТГГ ■*■•••> 83.5. а)1-| + ^- -^ + ...; б)л^-л-Ч/-л* + ... (И< I). б) 1 + а + +... (|о| < I). 836. Найдите чиело членов арифметической профессии, первый член которой равен 5, а разность — 1, если сумма всех ее членов равна сумме 28. Су.и.ча Гн'сконечпои геометрической прогрессии, в которой 1^.7+^ 2 1^-Ш’ 21, (2) 127 Р7 = 49 + i£i = 49i“'.. 128 128 Ответ. 49 127 128' 2. Обрашенис бесконечных нернолнчеекнх десятичных дробен в обыкновенную дробь. Рассмотрим пример. Ilpiniep 2.Записать число 0,(7) в виде обыкновенной дроби. • Бесконечную десятичную дроб|. 0,(7) = 0,777... запишем в виде такой суммы; 0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,(Ю7 +.... Слагаемые 0,7; 0,07; 0,007; ... — члены беско- 29. Решение ни)ич, сня ишиых с про.'рессия.ми 201 печной геомс'фической прогрессии с первым членом 0,7 и знаменателем 4(л + 3). 862'^'. При каких значениях а уравнение х-6 - З(х-а) имеет отрицательный корень.' 863. Вкладчик внес в банк некоторую сумму под 15% годовых и через 2 года имел на счету 2645 грн. Какую сумму внес вкладчик в багтк? [ 1 Г" 1 in Fej^ Не та 1 Слово «прогрессия'»^ происходит от латинского слова «progressio» и зна-чиз «движение вперед» 1как и слово «прогресс»). Впервые этот термин встречается в работах римского ученого Боэция (V-VI в.). llpoipeccHH как частные виды числовых последовазетлшоотей встречаются в папирусах 11 тысяче.лезия до н. э. Первые задачи на прот рессии, до- Ишт’респо шить 205 шедшие до нас. связаны с хозяйственной дея тельностью, а именно — с распределением продуктов, разделом наследства и т. н. Древнейшей задачей на прогрессии считают задачу из епшегского папируса Ахмеса Райнда о pacripeaeacFinH ИХ) мер хлеба между пятью людьми зак. чтобы второй получил на столько больше nepBOio, на сколько третий получил больше второго и т. д. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии, сумма первых пяти членов которой равна 100. В одной из задач этою папируса представлена формула первого члена арифметической прог рессии, которую в современной символике записывают так: 5 / .^(1 а=-----(л-1)-' п 2 где а — первый член, п — число членов, 5 — сума первых п членов, d — разность прогрессии. Убедитесь, что эта формула верна. С вычислением суммы членов арифметической .прогрессии связана такая интересная история. У известного немегшого математика Карла Гаусса (1777-1875) еще в школе обнаружились блестящие мате.матические способности. Как-то учитель предложил ученикам найти сумму первых ста натуральных чисел. Едва он успел прочитать условие задачи, как маленький Гаусс поднял руку: «Г отово». Весь класс был поражен скоростью, с которой он провел подсчет. Как считал Гаусс? Издавна большой популярностью пользуется задача-легенда, кегторая оттюснтся к Ha4ajiy нашей эры. Индийский парь Шерам позвал к себе изобретателя игры в шахматы, своего под;шнного Ceiy, чтобы наградить его за изобретение. Когда изобретателю предложили самому выбрать награду, он попросил за tiepByio клетку шахматной доски дать ему 1 зерно пшенипы. за вторую — 2 зерна, за третью — 4 и т. д. Оказалось, что царь не смог выло:Н|Итт, просьбу Сеты. За последнюю, 64-ю, клетку шахматной доски пришлось бы отдать 2*’^ зерен, пшеницы, а за все клетки — количество зерен, равное сумме ч.ленов геометрической прогрессии: 1; 2: 2'', 2^; ...; 2*’^. От а сумма равна 2^-1 = 18446744073709551615. Такое количество зерен пшеницы можно собрать с площади, приблизительно в 2000 раз больше площади всей поверхности Земли. 2(М) §4. Чис.ювые noc.’iedoeume.ibiiocntu Вопросы и упражнения для повюрсния §4 1. Приведите примеры последовательностей. 2. Что называют арифметической прогрессией? Приведите примеры арифметических прш рессий. 3. Как найти разность арифметической npoi рессии? 4. Сформулируйте свойства арифметической прогрессии. 5. Запишите формулу' п-го члена арифметической прогрессии. 6. По каким формулам вычисляют сумму первых п членов арифметической прогрессии? 7. Что называют геометрической прогрессией? Приведите примеры геометрических прогрессий. 8. Как най'1 и знаменатель геометрической npoi рессии? 9. Сформулируйте свойства геометрической прогрессии. 10. Запишите формулу п-го члена геометрической прогрессии. 11. По каким формулам вычиашют сумму первых п членов геометрической нрогрессин? 12. По какой формуле находят сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1^1 < 1? 864. Найдите члены последовательности (а„) с трезьего по шестой включительно, если: а)я„ = 4-3л'; б)«„ = 3 • (-2)". 865. Последовательность задана формулой х„ = t? - 6. Является ли членом этой последовательности число 138; число 150? 866. Запишите первые четыре члена последовательности (о„),-если; а) «I = -5; а„^1 = 2а„ -ь 3; б) д, = 3; «2 = 5; д„+2 = 5д,н.| - 2а„. 867. Найдите порядковые номера членов последовательности а„ = - 5п, для ко'торых выполняется неравенство д„ -ь 6 < 0. 868*.Найдите наименьший член последовательности х„ = 2п-5, ;ьтя которого выполняется неравенство |.т„ - 7| < 3,2. 869. Являются ли числа -12. -11, - 9 последовательными членами арифметической профессии? 870. Найди те разность и четвер-тый член арнф.метической прогрессии: а) 15; 19; 23;...; б) 1,2; -1,3; -3,8... . 871. Запишите формулу h-io члена арифметической прогрессии (д„); а) 13; 1;-11;...; б) -3,.5;-.3;.... Вопросы и упраж нения д:ш повторення §4 207 872. Найдите разность арифметической прогрессии (я„), если: а) щ - 16; Ну = 4; б) «4 = 10; ayi ~ -24. 873. В арифметической прогрессии (дг„): Х2 = -8; JC9 = 27. Найдите х$. 874. Найдите периметр пятиyгoльF^икa. ес,1И известно, что длина одной его стороны равна 7 см, а каждой последующей — на 2 см больше предыдущей. 875. Автомобиль после старта за первую секунду прошел 1,75 м, а затем увеличивал скорость, проходя за каждую последующую секунду на 3,5 м болыме. чем за предыдущуто. Каков путь прошел автомобиль за 5 с? 876. Заполните таблицу, если (д„) — арифметическая прогрессия; «1 d п 0,1 0,2 22,5 -0,6 9,5 17 -2,5 И 0 877. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (о„), если «3 = 6; flg = 26. 878. Сколько нуокно взягь членов арифмегической прогрессии -100; -80;..., чтобы их сумма была равна 600? 879. Разность арифметической прогрессии равна 2,1, а сумма первых пяти ее членов равна 0,5. Найдите; а) первый член прогрессии; б) пятый член, прогрессии. 880. Найдите сумму членов арифметической прогрессии 7; 21; 35; ... с девятого по двадцать первый включительно. 881. Найдите сумму всех: а) натуральных чисел от 11 по 101 включительно; б) двузначных чисел, не превышающих 75; в) натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 121; г) FFeneTFibix FFaTypanbHbix чисел, ffc превышающих 125; Д) четных HaTypanbFFbFX чисел от 70 по 170 BKIIOHHTCJFbFFO; е) двузначных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 1. 882. Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии с FFepBbFM членом х и pa3FFOcrbro _у, если (х;у) — peiFFenne системы уравне- (■2л- + 5у = -6; НИИ jc + 3y = -4. 883. Являются ли FЮcлeдoвaтeльFFЫми членами гeoмe•Fpичecкoй npoFpeccHH числа 2; 0,8; 0,32? 208 S4. Числоиыс последоишпелышсти 884. Найдите знаменачель и чегвертый член 1еомезрической прогрессии; а) .5; 20; 80;б) 1,6; 0,4; 0,1;... . 885. Найдите пятый член гео.метрической прогрессии; S ' ■■■ ■ а) 1;-3;...; 6) ё' 886. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (h„), если й, = i _ 81 ’’ 625 25 887. Найдите сумму первых восч.ми членов геометрической прогрессии (h„), еачи -------; а = . 64 ^ 2 888*.Найдите четыре числа, образующие геомезрическую прогрессию, если сумма крайних членов равна-126, а сума средних---30. 889*.Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен I см. Гипо-тен>'3а этого треугольника яв;гяется катетом другого равнобедренного прямоуг ольггог'о треугольггика и г. д. Найди т е длиггу г'ипотенузы десятого такого треугольника. 890*.Сумма трех чисегг, образующих арифметическую ггрог рессию с гголожи-те.'гьггой разностью, равна 51. Еезги из этих чисел вычесть соотвезствен-но числа 1, 7 и 8. то получим три числа, образующие геометрическуго прогрессиго. Найдите чиезга, образующие арифмегическуго прог рессию. 891*.Три числа, из коюрглх ггервое больше зретьего на 9, являются последовательными члеггами г еомстрической ггрогрессии. Ес.ти из второг о числа вычесть 7, к зретьему прибавитг, 13, а первое оставить без из.менений, го новая тройка чисел образуег арифмез ическуго прогрессиго. Найдите числа, образугощие геомег рическуго прогрессиго. 892. 11айдите суму бескоггечггой геометрической прогрессии; а) 1,5;0,5;...; б) З-л/2 ; . 893. Первый чзген и сумма бесконечной гсомезрической ггрог рессии со зна-меггагелем |с/|< I соответственно равны 16 и 9,6. Запигггите три первых члегга этой прогрессии. 894. Заггишите в виде обыкновенной дрггби чис.зо; а)0,(8); б)0,(12); в)51,(3); г) 14.(1); д) 1,3(2); е) 0,4(3); ж) 0,1(12); з) 24,35(2). Вопросы и упражнения для почторепия # 4 209 895. Рассмотрте рисунок 75.1 (а биссектрисе ОК угла хОу отмечена точка Л/(8; 8). Из точки М на оси координат опущены перпендикуляры МА и МВ, в результате чего образовался квадрат ОВМА. Из точки М|. которая является серединой диагонали ОМ, снова опущены перпендикуляры на оси координат и снова образовался квадрат, и т. д. Найдите; а) площадь шестого квадрата; б) сумму площадей всех таких квадратов; в) сумму периметров всех таких квадратов. 896. Дан треугольник АВС со сгоронами 13 см, 14 см и 15 см. Треугольник Л|В|С| подобен треугольнику ЛДС с кoэффициeF^тoм подобия Треугольник Л2Д2С2 подобен треугольнику Л ifi|C| с таким же коэффициентом подобия, и т. д. Найдите: а) сумму периметров всех таких треугольников; б) суму площадей всех таких треугольников. 897*.Найдите сумму, где п — натуральное число: Т-5 5^ ■■■ (4/?-3)(4л + 1)’ йч > 2.3, . /I 6) —“ Н -• -Г ... -Ь . 2 2- 2- 2" 898*. Решите уравнение: а) 1-д+л:'-.г+... = 5 (|.vj 0. если т — первый член геометрической про1 рессип ф„), в которой /?з = 16, g = -2. 210 Ц4. Числовые последовательности Зячаиня для самипривсрки № 5 Уровень / 1. Найдите разность арифмез ической прогрессии 5; -2; -9;.... а)-3; 6)3; в)-7; г) 7. 2. Найдизс ПЯ1 ый член арифметической прогрессии (а„), если Д| = -5; d=X а)-7; 6)7; в)-17; г) 17. 3. Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии (д„), если fli = 2; «у = -6. а) 4; 6)18; в)-18; г)^. 4. Найдите чствсргый член геометрической нр01рессии (/?„), если h\ = -2; 6)4^ в) 4; г) -4. 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (/?„), в которой hi =-5;q = 2. а) 160; 6)155; в)-160; г)-155. 6. Найдизе сумму бесконечной геометрической прогрессии (h„), если bi=2;, = \. а)-; 6)3; в) 6; Уровень 2 7. Найдизе десятый член арифметической прогрессии: а) 10,2; 8,2;...; 6)-3,5;-5,5;.... 8. Найдизе сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (дг„), если xi = 2,d = -3. 3 9. Найдите четвертый член геометрической прогрессии 3; ——;.... 10. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прслрсссии -4; -8;.... 11. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 12; 4; ^ ; Задания для самопроверки М> 5 2П Уровень 3 12. Является ли число -32 членом арифметической прогрессии (а„), в которой й| =-S-,d- -2,4? 13. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а„), если Я] + = —12,6; Й5 — 02 — 14. Найдизе сумм>’ всех двузначных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2. 15. Найдите первый член и сумму первых семи членов геометрической про-ipcccHH (6„), если h^ = 192; д = 2. 16. Запишите в виде обыкновенных дробей числа: 0,(4); 5,(53). Уровень 4 17. Найдите число положительных членов арифметической прогрессии 91; 89,5;.... 18. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (о,,), если Os = 1; 5б = -1,2. 19. Решите уравнение: 105 - (7 + 12 +... + (2 + 5х)) = 20, где х — натуральное число. 20. Сумма трех первых членов геометрической протрессии равна 13, а третий се член больше первого на 8. Найдите знаменатель этой прогрессии. 21. Три числа, из которых третье равно -8, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо третьего числа юять -6, то новая тройка чисел образует арифметическую про1рсссию! Найдите числа, образующие геометрическую прогрессию. 212 Задачи sa курс (игсбры 9 класса ЗАДАЧИ ЗА КУРС АЛГЕБРЫ 9 КЛАССА 901. Сравните числа; а) I и 0,3; б) и -0,85; в) 0,7(4) и г) 1,19 и l|. /О V V I 902. Докажите, что л/? ->/5 > --=—=. •Л + S 903. Выделяя из трехчлена квадрат двучлена, докажи7е неравенство; а)а^-« + 3>(); 6)4fc^-4^>+1,9 >0. 904. Докажите неравенство; а) у** + 2у- - Ау > -2; б) у- + 8у + х^> Щх - 4); в) (а^ - h^f > Aahia - b)\ г) 2у'' + 1 > 2x4 905. Докажите неравенство: а) (й - 1 )•• + (fc - 1 )4 2(а - 1 )\h - 1 б) (а4 1 )(о + 4) > 8о% где « > 0; в) \ + а + а^ + а^ >Aayfa: г) л/л + > 1. а4ь h 906. Докажите, что если а < 6, то а< ^ - 7-л; б) -20(х + 3) > 2(3 - 10х); в) 1,7 < 0.3(4.у - 2) + 0,5( 1 - Зх) + 2,7л; г) 0,9( 1 + х) > 1,3(х - 5) - 0.2( 10х - 1) + 2,4. Зх-4 912. а) ^^-2+х>4; 8-Зх 2х-5 , б —Z----- 6 4 в) 5(х-1)(х +1)-7х>5х"; г) (3x-2)4l4<9.r4l 1. ЗаОичи ш курс шк’сбры 9 ктсси 213 913. Пай лите наименьшее целое число, являющееся решением нсравснсгва 7(2д-~3)-4(6 + л)>-19. 914. При каких значениях л имсег смысл выражение: а) 44-5х\ 915. Решите систему неравенств: [3jr4-(л+7); 2jt-5 х—\ < в) j(2x-lf>(?.»-l)(2r+l); '+4<л(т-2). 4 3 ’ 3(д:-5) + 1>0; 916. Решите двойное неравенство: а)-2<1-5jt<4; б) 0,9<3-2л:<1,5; в) 4<3(.т-4)<.5. 917*.Решите неравенство: a)|4jr-9|<3; б) |l2-5jr|>3: в) |7-8л| >-6; г) 1т| + |;г + 2| >3. 918. При каких значшшях х :шачения выражения 7 -4д: принадлежат промежутку; a)(^;-lj; б) (-2; 3); в)(0;2]; г)(4;+со)? 919. При каких значениях аргумента значения функции у = -^(5д:-1) принадлежат промежутку (-00; 3]? 9-1х 920. 11ри каких значениях х значение дроби —^— не меньше соотвстствую- . 1-3JC., шею значения дроби —— ' 921*. При каких значениях а уравнение имеет положительный корень: а) А‘ - 4 Л' — 2о б) 5 2 '43 922. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение: 1 а) л/2а — 3 + - А-1,5’ 923. Иайдше обласгъ определения функции: 2а б) л/4а-8+л/12-.За; в) А-5 ">'“д2а-3’ в) у = х/7^4а-12; г) у = а-2 б) у = x/12-4a; : д) у = х/4-За-аЧ4=; е) > Jr V2a-7 х/-а-+7а-!2 Va 924. Прина/шежи! ли чис.то 5 облас1И значений функции у = 2а’ - 2а' + 9? 214 Задачи ta курс a.ueopht 9 к часса Постройте график функции: 925. а)3' = 2л/х-1; г)у = 2(х+ 1)'-2; б) 3^--=^; д) З' = 1-л/х-1; в) у ^ дг+2 + 2; е) у = ^у1х + 4. 926. а)у = х^-Зх + 2; б)у = 2г + 4х + 2; в)=-Зх^ + 6х + 5. 927. График функции у = х^ + а пересскасг ось у в точке Л/(0; -4). Найдите а и постройте график функции. 11роходит ли этот фафик через точку /V(3; 5)? 928. Постройте график функции у = jT - 6х + 6. Используя график, найдите: а) область значений функции; б) промежутки знакопостоянства функции; в) промежуток, на котором функция возрастает; убывает. 929. Является ли данная функция четной; нечетной? а)у = 5-х^; б)у = -2х^; в)у = х^ + х. Постройте график функцгп4: 930. а) у = - 2-х\ если х<-1; 1х -2х-2, если х>-1; 6))' = 931*. а) у = - х^ - 2х. х+1 ’ в) у = |х^-5х + 4|; 4х+16, еслих<—2; 2х^, если—2<х<1; 2, еслих>1. -ч. б)у = х-+-х_,, г) у = |х'-5|х|+4|. 932. При помощи графиков функций определите, имеет ли корни уравнение: а) х^+4х+1 = л/х; б) -х^ +2x = yjx-0,5. 933. Решите |рафически уравнение: а) -л/х^ = х^-5; б) X -2х+1 = X 934*.Найдитс количество корней уравнения |2[х| - х^| = в зависимости от значе1шй параметра. Решите неравенство: 935. а)х-^< 121; в)х^- 1,5х<0; д) -2х^ + 4х + 6 < 0; б)х">2.25; г) х^ - 5х - 36 > 0; е)5хЧ.Зх- 14 >0. 936. а) (2х + 1)4 2 < (4х - 3)(2х + 3); б) (х - 4)(х + 4) > (2х + 5){х - 4); Зш)ачн ш курс алгебры 9 кчасса 215 в)2С^>;с + 2; 937. а)(2г-1)(х + 2)<0; в) х(х - 1,2)(х + 1,5)(х + 2) > 0; 938*.а) (х^ - X - 2)(л^ + X - 2) < 0; 939. а) в) 940^'.а) ^■ + 2д:>0. х-1 б) х+5 . . + 1 >х; Х-1 •) х^ +5х + 6 ^ р. .л ^ > JC + 2 б) Г) ,>-±(4»3)4-i±i. б)(х-1)(х-4)(х+10)>0; г) (4 - х)(3х + 15)(2 + х) > 0. б) (х^- Зх + 3)(х^- Зх + 2) > 0. Зх-4 х+2 3 <2; 2 < 1. х+4 х-2 (х-4)(хЧх-20) <0. 941 *.а) |2х - 5|Vjc--7x + 10 < 0; (х+4)(х-=+х-42) б) (х + 2)Vl5-2x-x^ > 0. 942. Дана функцияДх) = 4х^ - 9х + 5. Найдите все значения х, при которых: !^)Лx)>0; б)Дх)<0. 943. Решите систему неравенств: ,|3х>х'; fx=-3x<70; а) 1 . . „ б) [9-4,5х>0; ' [2х + 24<х\ 944. Найдите все значения а, при которых уравнение х^+ 2ах + За + 10 = 0 не имеет корней. 945^'.Найдите все значения Ь, при которых неравенство fox^ + 4х + Л - 3 < 0 выполняется при всех действительных значениях х. 946. Решите графически систему уравнений: а) У = 2-х^; [х + у = 0; Решите систему уравнений: б) [у + л/х = 1; у-х-=-1; в) . Ь-|И-2|: [х^ + у^ =4. 947. а) • х-2у = 0; б) в) хЧ(у-2)=-5; Зх-у = 4; 2^4 ^3. г) 948=^т а) X у [х^ + Зху = 4; б) в)' [4у^+ху = 0; V-y^=3; г) х‘ + у‘ =3; |2х+3у = 1; |х‘ + Зху = —2; 216 Задачи :ш курс алгебры 9 iciacca 949*. При каких значениях т система уравнений решения? fjc^ + >'‘-4y=0; \x\-m имеет три 950*. Найди1е все значения нарамс-fpa, при каяочом из которых система урав- нении (х-2)Ч(у-1)^=1; имеет только одно решение. [(х-д)- +(y-I)-=J 951. Сумма квадратов двух положительных чисел на 0,5 больше их удвоенной суммы. Найдите эти числа, если первое число на 2 меньше утроенною второго числа. 952. Вокруг спортивной площадки, имеющей фор.му прямоугольника, проложена дo^x)жкa ширино11 3 м. Найдите размеры площадки, если се нло шадь и площадь дорожки равны 216 м^ ка>кцая. 953. Рассюянис оз пункта А до fiyHKia В теплоход проходит за 3 ч, а расстояние от В до Л — за 4 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если 12 км по течению реки и 6 км против течения он проходит за 50 .мин. 954. Два т1)актора разной мошности. рабшая вместе, могут вспахать ноле за 4 .лня. Вели один трактор вспашет — ноля, а друг ой — осзальную чаегь, то все ноле будет вспахано за 8 дней. За сколько дней может вспахать ноле каждый трактор, работая отдельно? 955. Одна труба наполняет бассейн на 2 ч дольше, а другая — на 4,5 ч дольше, чем наполняют его две трубы, открытые одновременно. За какое время может наполнить бассейн каждая труба отдельно? 956*. По двум сторонам иря.мого угла в направлении к его вершине движется два тела. В начальный момент тело А находилось на расстоянии 60 м от вершины, а тело В — на расстоянии 80 м. Через 3 с расстояние между А и В равнялось 85 м. Найдите скорость каждого тела, если всршинг.1 уг.та они достигли одновременно. 957*. Из двух городов навстречу друг другу вышли два поезда, причем второй поезд выше.! на 1 ч позже первого. Встретились поезда гюсередине пути между городами. Через 2 ч после выхода первого поезда расстоя- 7 ние меж,ду ними составляло — расстояния между городами. За какое время каждый поезд пройдет путь между юродами? 958*.Сумма дв}'х трехзначных чисс.т. записанных теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найдите эти числа, если сума цифр каждого из них равгза 14, а сума квадратов цифр равна 84. Зш)ачи Ml курс а.1геС)ры 9 кшсси 217 959. Альпинист поднялся на вершину юры ja 12 ч. Вторую половину пути он шел со скоростью, которая на 0,5 км/ч меньше скорости на первой половине. Спускаясь той же дорогой, ютышнист проходил за час на 2 км больше, чем идя первую половину ну га вверх, и затратил на спуск 2 ч 40 .мин. Какой пуп. HjToiiicji альпинист, поднимаясь на вершину горы? 960. На соревнованиях по спортивному ориеш^ированию псюлс финиша ^ всех спортсменов на дистанции оставалось больше 37 спортсменов, а после финиша — всех спортсменов — MCiibuic 37 спортсменов. Сколько спортсменов принимало участие в соревнованиях? 961. Вк.тадчик внес в банк 41)00 фн. под 15% годовых. Какая сумма будет- у него на счету через 3 года? %2. Лом стали двух сортов содержит 5% и 40% никеля. Сколько потребуется лома каадого сорта, чтобы получить 140 т стали, содержащей 30% никеля? 963. За стол и четыре сту'ла заплатили 220 фН. После того как столы подешевели на 5%, а стулья — на 10%, за два стола и шесть стульев заплатили 352 фн. Какой была начальная цена одного стола н одгюго стула? 964. На двух станках обрабатывают одинаковые летали. Производительность первого станка на 40% больше прощводительпости второго. Сколько деш-лей бьшо обработано за смену на каждом станке отдельно, если первый ра-бшал в эту смену 6 ч, вюрой — 7 ч, и они вмссге обработшш 616 дегалей? %5. В цветочном магазине есть 30 роз красного цвета и 15 — белою. Какова вероятность того, что взятая наугад роза будет красного цвета? 966. Из 11 футболок с номерами от 1 до 11 наугад берут одну футболку. Найдите вероятность того, что номер взятой футболки будет-: а) четным числом; б) нечетным числом; в) простым числом; г) составным числом. %7. Найдите верояптгчпь -юю, что взятое наугад трех:шачиое число будет иметь все одинаковые цифры. 968. На улице Назарпя Яремчука в последовательности возрастания номеров расположены следующие дома: трехлтажный, одноэтажный, двухэтажный, пягиэважный, девятпэтаж-ный, пятиэтажный, двухэтажный, одноэтажный, одноэтажный, двух:^тажный. одно'.лажный, пятиэтажный, пятиэтажный, девягиэтажный. а) Запишите ранжированный ряд данных. Сколько образовшюсь вариант? Найдите частоту каждой варианты. б) Составьте таблицу вариант и частот. в) 11остройтс полигон частот-. 218 ЗиОичи ш курс <игеоры 9 класса 969. В фермерских хозяйст вах района урожайность ржи была следующей; Урожайность, ц с га 20-25 25-30 30-35 35^0 Количество хозяйств 6 12 9 3 Постройте гистограмму и полигон частот данного распределения. 670. Массы 10 арбузов соответственно равны: 4,8 кг; 3,9 кг; 5,2 ki ; 4,1 кг; 4,2 кг; 4,1 кг; 5,3 кг; 5,2 ki ; 4,2 кг; 4,8 кг. Найдизе сре;щюю массу одного арбуза. 971. Найдите первые пять членов последовательности, заданной формулой; а) а„ - (-5)” • и; б) h„ = Зд^ - 5п + 1. 972. Найдите первые шесть членов последовательности (д:„), заданной рекуррентной формулой: ДГ| = I; JC2 = 2; х„+| = 3jt„_i + 2х„. 973. Найдите такое число х, чтобы числа д: + 2, 3 - 2т и 4д: были последовательными членами арифметической прогрессии. 974. Последовательность, заданная формулой а„ = 5п - 7, является арифметической прогрессией. Найдите; а) первый член и разность нро1рессин; б) сумму первых двенадцати членов прогрессии. 975. Во время летней акции распродажи зимних шапок предприииматель каждый день снижал цену шапки на 5% ее начальной стоимости — 200 грн. Сколько ша110к продал предприниматель, если каждый день он продава'1 по 2 шапки и за весь реализованный товар выручил 2640 грн.? 976. В арифметической прогрессии (а„): ас, = 0,8; a^ | = 2,8. Найдите: а) первый член и разность профессии; б) двадцать первый член про!рсссии; в) сумму первых шестнадцати членов прогрессии. 977. Сумма первых пяти членов арифмст ичсской прогрессии меньше суммы последующих пяти членов на 50. На сколько десятый член прогрессии больше второго члена? 978. Альпинист, поднимаясь на гору, за первый час достиг высоты 400 м, а за каждый последуюищй час поднимался на 25 м меньше, чем за предыдущий. За какое время он доститет высоты 1750 м? 979*. Числа с^, и где й > 0, 6 > 0, о 0, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Докажите, 'гго числа 1 1 a+h’й+с 1 h + c прогрессии. также являются последовательными членами арифметической Зш)ичи iu курс и. ггеОрм 9 класса 219 980. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии, если: я)Ь,=^:Ь^=^: 6)^з = -7;Й5 = -63. 981. Запишите формулу общего члена последовательности по известным первым членам: 1. i. JL. _L. З’ 9’ 27’ 81’ ■■■’ * 1Ш’ 102’ юз’ Т04’ б) 1111 2' 4 6 8 г) 2; 5; 10; 17;.... 982. Нандитс все такие числа т, чгобы числа л/Зт, 4w-2 и S-JSm бы.'!И последовательными членами геометрической прогрессии. 983. Найдите первый член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии (h„), в которой hj= 128,9 = -2. 984. Каждый из пяти листов бумаги разрезали на 5 частей, потом каждую из получившихся частей снова разрезали на 5 частей и т. д. Сколько частей бумаги получат после четырех разрезаний? 985. Гумма трех первых членов арифметической прогрессии равна .34. Рхли из второго члена вычесть 9, а из третьего — 6, то новые три члена образуют геометрическую прогрессию. Найдите первые три члена арифме-тческой прогрессии. 986^'. 11айдите знаменатель геометрической прогрессии, если третий, четвертый и шестой се члет! являются последовательными членами арифметической прогрессии. 987. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии; -\/2; ; — 988. Запишите в виде обыкновенггой дроби число: а) 3,10(3); б)0,(Х85). 989. Решите уравнение: а) (3 + 2х) + (4 + 4х) + (5 + 6х)-н...-ь(20 + 36х)=549; б) (л/Зх-1-1)-1-(л/Зх + 2)-н... + (73х-1-17) = 255. 990. Найдите сумму: ч, .71 *271 .‘nTl. а) l+sin—hsin —+ ...-bsin — + 6 6 6 220 iadauu повышенной сложноапн ЗАДАЧИ nOBblUJEHHOM СДОЖНОСТИ К § I. Неравенства 991. Докажите перавеис! во: а) {a + hf<^(a^ + b\ 2 #2 б) о + Ь < 4~ +—, где h>{); h а в) (а--Ь^Ха" -h')<{a" г) (а^ +h^Xa‘' +Ь"')>{а' +h^f. *")2. Докажите, что для любого действительного значения а выполняется неравенство 3(д'' + д" + 1) > (я“ + а + 1У. 993. Докажите, что для люб>.1Х ноложизельных чисел а, Ь и с, нроизведе;1ие козорых равно 1. выполняется неравенство ah + Ьс + са + а л- Ь + с>Ь. 994. Докажите, чго (1 + а|)(1 + яг) — (I + а,) > 2", где Д|, аг,..., а„ — по.ложн-тельные числа и «|Д2 — а„=\. 10^+1 10™'+1 995. Какое из двулс чисел больше: или 10’“"+1 996. Докажите, что для любого натурального п выполняется неравенство: 1 1-2 ■^2-3 3 4 n-{n + V) < I; б) 1 —+ -J\+yj2 л/2+л/з у1з+у/4 ■Jn+'Jn +1 yjn- 1; ^ 1 . 1 I .. 1 ^-2’ ,111 1 - г) -г н—г н-г +...Н—- < 2. 1' 2' 3' п' 997. Докажите, что для любого натурального п выполняется неравенство: а) yjn + l +yjn-l < 2-Jn ; б) \= < yjn + I --Jn -l. 998. Для положительных чисел а и Ь и агрицательнош числа с {с Ф -а) выполняются неравенства a 72. 1003. Четыре рыбака — А, В, С i\ D — iobujIh рыбу. Рыбаки Б и D поймали вместе гакос же количество рыбы, как А и С. Рыбак Л поймал больше рыбы, чем рыбак С, по А с D понма;1И меньше рыбы, чем В и С. Сколько рыбы поймал каждый рыбак, если рыбак В поймал 3 рыбины? 1004. Несколько ребят собирали грибы. Один из них нашел 6 грибов, а ос-гальные — по 13 грибов. В следующий раз количество ребят было другим, и один из ни.\ нашел 5 грибов, а осзальные — по 10 грибов. Сколько ребят собирали фибы в первый раз и сколько во второй, если количество собранных фибов в обоих случаях бьшо одинаковым? Ишес1 но, что это число больн!е 100 и меньше 200. 1005. Реп)ите неравенство с параметром: я)ал1х>0; 6) {^Ь'-Ь-б)х<Ь^+ЗЬ + 2. 1006. Решите неравенство; а) |д:-2|+|х-3|>|х-4|; б) 2х—1 <1. 1007. При каких значениях а система неравенств единственное решение? -2<д': [x(x-l)< х’ -2й; |<7-Х> 2 имее'1 1008. Докажите, что система неравенств бых значениях а. \х>2а имеет решение при лю- К ^ 2. Квадрачшчния фушщия 1009. Постройте график функции: я)у = 2\1х^ -х’-1; . U’-l I б) у = \х -1 х-\ ’ г) y-ylx + 2-Jx+\+2. 222 ЗиОичи twnhiiui'inio!i с.южшн ти 1010. При каких значениях параметра а cyxfMa квадратов корней уравнения >^~ax + a^-3a-2 = Q являегся наибольшей? 1011. Найдите значениех, при котором выражение (зг- l/+(jr-2)^ +... + (дг- 10)" принимает наименьшее значение. 1012.11айдите наибольшее значение функции у = ——^-------U ~ J| • дг'-2л- + 4 1013. Решите неравенство + 2дг)^ - 2(дГ + 2х) - 3 > 0. ЮЫ. При каких значениях а неравенство (х-а){х-а — 2)>0 выполняется при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству - 4х + 3 < 0? 1015. Параболы у = х^~(2а +1)х+1 их=У -(2Ь + 1 )у- 1 пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности. 1016. Поетройте график функции у = х^-31х| + 2. При каких значениях х выполняется нераве«1ство х^ - 3(.х| -ь 2 > 1 ? 1017. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х"' - 2^2(0 - 3)х -н - Зд - 2 = о имеет хотя бы один корень. 1018. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство х~ - 2(д - 1)х + 4д < о выполняется при всех 0 < х < 1. 1019. Сколько корней имеет уравнение у[х+1 = [.т| -i- д в зависимое! и от значений д? 1020. При каких значениях д уравнение -х^-ь2х - д = 11 - |.v|| не имеет корней? 1021. Решите систему уравнений; |х(х+ у) = 80; [х(2х-3у) = 80; в) [х-ьу = 4; [(хЧу')(хЧу’) = 280; и) 1л/дг-2х+1+1 = 2у; )ЗхЧху-2у'=0; [2х^-Зху+у'=-1; х(у-ьг) = 5; y(z+x) = 10; z(x-Hy) = 13; б) е) к) Гх‘ + у^ =2х-Зу+9; [2хЧ2у'=5х-7у-И9; [хЧу' = 19; (лу+8)(х+_у) = 2; 1х+у+-^' = \4: х^ + у^ +ху = 84; ГЗх’ -2х}’ = 160; [х^ - Зху—2у^ = 8; V + y'-2z'=2; ■ x+y+2z = 8; -xy = l. ЗшУачп по(1Ышсш10й c.ioJiaiociiw 223 1022. Найдите все значения а, при которых система уравнений jc4>-'=25; ах-у = Ъа-Л имеет единственное решение. 1023. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнении |jr^ + >’^ -4ох-2у = 3-4й^; [х^ +у^ -2ах-2у = -а^ имеет единственное решение. 1024. Сколько peiiieiiHe имеет система уравнений р' + /=8; 1 (у-ах)(у-Ол/2) = о в за- висимости от значений о? 1025. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система fy = |2x-l|-b|5-2x|; уравнении у = а имеет бесконечно много утешении. 1026. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система „ jH+lyha; уравнении С , , , имес1 четыре решения. [|х-.у|-н|х-ну| = 2 1027. Двое рабочих, работая вместе, изготовили 150 деталей. Если бы оба рабочих работали с нроизводитольностью первого рабочего, то для из-ютовления этих деталей им нужно было бы времени на 0,5 ч меньше. Вели бы они работали с п}Х)Изводителг,йостт.ю второго рабочею, то для изготовления деталей им потребоватось бы времени на 0,75 ч больше. Сколько детатей изготавливал за час каждый рабочий? 1028. К бассейну подведено три трубы. Вели открыть одновременно первую и вторую трубы, то бассейн наполнится водой за 2,4 ч, если первую и третью — за 3 ч, если вторую и третью — за 4 ч. За какое время наполнится бассейн, если одновременно открыть все три трубы? 1029. Резервуар объемом 1000 л Т1аполняется водой через две трубы. Первые 800 л наполняются через обе трубы, потом 120 л — только через первую трубу, а последние 80 л — только через вторую. При этом время наполнения на 2 ч больше времени наполнения при двух открытых трубах и на 13 ч меньше времени наполнения только через вторую трубу. Сколько литров воды протекает через первую трубу за час? 1030. Два пешехода идут навстречу друг друху из пунктов А В.] 1ервый вышел из пункта Л на 1 ч позже, чем второй из пункта В, и при встрече оказалось, что он прошел на 6 км меньше, чем второй. Не останавлива- 224 ЗшШчи iwilblllicinioit С-ЮЖиОСПШ ясь, пешеходы продолжили свое движение, и первый прибыл в iij iim В чере; 2,5 ч, а второй — в А через 0,8 ч после встречи. Найдите скорость каждого пешехода. 1031. Имеются два двузначных числа. Р.с;ш к первому числу приписать справа в'юрое число, а потом еще цифру 0, то получим пятизначное число, которое при делении на ктвадрат BTopoi o числа даег неполное частное 39 и остаток 575. Если к первому числу приписать справа второе чие;ю, то получим четырехзначное число, которое на 1287 больше четырехзначного числа, которое получим, если ко второму числу припишем справа первое число. Найдите зги двузначные числа. 1032. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, расположенного на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а потом идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч, на обратный путь — 15 ч. Найдите расстояние от В до С, если известно, что скорость катера в стоячей воле 18 км/тод. а скорость течения реки 3 км/ч. 1033. Мастер и ученик за 3 дня изготовили партию деталей, выделяя для этого ежедневно по несколько часов. В первый день, работая вместе, они изютовили 14 деталей. Во второй день работал только ученик. Он изготовил 14 деталей, проработав па 5 ч больше, чем в первый день. На третий день робота продолжалась столько времени, сколько и во второй, но снача;ш работали мастер и ученик вместе, изготовив 21 деталь, а потом — только мастер, изготовив 20 деталей. Сколько деталей за час изготавливал мастер и сколько ученик? К ^Э. 1емешпы прикладной мшпемапгикы 1034. Группа учеников участвовала в льгясном кроссе. 1 Iponcirr учеников, выполнивших норматив, оказался в 1]ределах от 94,2% до 94,4%. Найдите наи-меныпес возмож)юе количество учеников, участвовавших в кроссе. 10.35. Моторная лодка прошла по реке из пункта А в пункт В и вернулась назад. Если бы скорость лодки в стоячей воде была в два раза больше, то на этот путь лодка затратила бы времени на 60% меньше. Нашлите отношение скорое™ лодки в стоячей воде к екорост и т ечения реки. 1036. Проанализировав работу чвух предприятий за 4 года, было ycraiiOB.3c-но, что они изготовили одинаковое количество ттролукиии за первый год, а также за четвертый год. На первом предприятии прирост выпуска продукции за каждый год был равен 10%. Прирост выпуска продукции Задачи поиыишшой аюжиости 225 на втором предприятии по сравнению с предыдущим годом составил: за второй год 5%, за третий — 10%. Найдите процент прироста выпуска продукггии за четвертый год на втором предприятии. 1037. В сосуде содержится V кг ^-процентного раствора соли. Из сосуда выливают а кг смеси и доливают столько же воды, образованный раствор перемешивают. Такую процедуру повторяют 5 раз. Найдите процентное содержание соли в образованном растворе. 1038. Из двух кусков металла массой J кг и 2 кг, содержащих медь, сделали два новых куска: первый массой (),!> кг содержит 40% меди, а второй — массой 2,5 КТ содержит 88% меди. Найдите процентное содержание меди в первоначальных кусках. 1039. Имеются три сплава. 11ервый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния, второй — 30% меди и 70% магния, третий — 45% агю-миния и 55% мапшя. Из ;)тих сплавов изготовили новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание алюминия может быть в новом сплаве? 1040. Скорость течения реки больше скорости течения притока. Из пункта А, расположенного в месте впадения притока в реку, одновременно отправляются два катера: первый вверх по реке, а второй — по притоку. 11ройдя по К) км, катера сразу отправляются в обратный путь. Какой из катеров первым прибудет в пункт Л: плывущий по реке или плывущий по притоку, если скорость катеров в стоячей воде одинакова? 1041. Два спортсмена бшают по одной круговой дорожке. Первый спортсмен iipo6eiaei каждый гфуг на 5 с быстрее, чем второй. Если спортсмены начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общего старта в противоположных направлениях? К ^ 4. Час.юные пос. icdoeinne. ihiiocmii 1042. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые: а) кратны 3; б) при делении па 5 дают остаток 1; в) не делятся ни на 2, ни на 3. 1043. Верно ли. что сумма всех грехзначных чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3. равна сумме трехзначных чисел, которые делятся на 6? 1044. Найдите сумму первых пятнадцати штенов арифметической прогрессии (а„), если «7 -г flg + fly = 12. 8 Кравчук В. Алгебра. 9 кл. Учебник 226 Задачи повышенной сложности 1045. Могут ли числа , >/з и л/з быть членами одной арифмегической прогрессии? 1046. Положительные числа а, h, с образуют арифметическую прогрессию. Верно ли, что числа ~Т=^~~г' г' "7^ также образуют yjh+yjc Va+Vc yla+yjh арифметическую прогрессию? 1047. Изьсс'ши, 410 при любом натуральном п сумма первых п членов некоторой арифметической прогрессии вычисляю! по формуле Sn = 4п'-3п. Найдите третий член прогрессии. 1048. Сумму первых п членов последовательности вычисляют по формуле Sn = Зп~. Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией, и найдите ее разность. 1049. Сумма четырех первых членов конечной арифметической прогрессии равна 56, а сумма четырех последних — 112. Найдите число членов прогрессии, если первый ее член равен 11. 1050. Найдите число членов конечной арифмегической прогрессии, в которой отношение суммы первых семи членов к сумме последних семи 2 о членов равно —, а отношение второго члена к первому — 2. 1051. Имеются три арифметических прогрессии, первые члены которых равны нулю, а разноети — соотвезственно 93), 63 и 1083. Найдите номер наименьшего, отличного oi нуля, члена первой прогрессии, который встречается в двух других прогрессиях. 1052. Имеются три арифметических прогрессии, первые члены коюрых равны нулю, а разности — соответстренно 400, 9604 и 30625. Четверзая прогрессия построена из последовательных общих членов первых трех. Найдите ее разность. 1053. Найдите четыре целых числа, образующие арифметическую прогрессию, если наибольшее из них равно сумме квадратов всех остальных. 1054. При каких значениях а уравнение 1 + 2 + ... + х- имеет натуральный корень? 1055. Решите уравнение -н дг^ - « = 0, если известно, что его корни являются тремя последовательными членами арифметт1ческой прогрессии. 1056. Найдите все значения риг, при которых уравнение х^+г = 0 имеет три корня, образующие арифмет ическую прогрессию с разностью 1. Задачи повышенной сложности 227 1057. Найдите три положительных числа, образующие геометрическую прогрес- 7 сию и в сумме составляющие 21, если сумма обратных им чисел равна —. 1058. Найдите сумму всех разных зиамена1слей геометрических прогрессий, в которых каждый член, начиная с трез ьего, равен сумме двух предыдущих. 1059. Три положизельные числа образуют арифметическую прогрессию. Третье число больше первого на 14. Если третье число заменить ею сук1мой с первым, а другие два числа оставить без изменений, то получим геометрическую прогрессию. Найдите сумму чисел арифметической прогрессии. 1060. Три числа образуют геометрическую прщрсссию. Если зрегье число уменьшить на 64, то получим числа, образующие арифметическую прогрессию. Если же потом второй член новой прогрессии уменьшить на 8, то получим геометрическз'ю прогрессию. Найдите эти числа. Логические задачи 1061. На крайних клетках полосы 1 х 20 стоят белая и черная фишки. Максим, а за ним Олег по очереди передвигают свою фишку на одну или две клетки вперед либо назад, если это возможно (перескакивать через фишку нельзя). Проигрывает тот, кто не может передвинуть свою фишку. Как должен играть Олег, чтобы победить? 1062. Учебник состоит из трех разделов. Номера последних страниц всех разделов являются чегными трехзначными числами, в записи которых использованы девять разных цифр, кроме нуля. Ю’кое наибольшее количество страниц может содержать второй раздел учебника? 1063. При дворе короля Артура собразись 6 рыцарей. Известно, что каждый из них имеет среди присутствующих не более двух врагов. Докажите, что рыцарей можно разместить за Круглым Столом так, что ни один из них не будет сидеть рядом со свои врагом. 1064. Можно ли множество первых КЮ иагуральных чисел разбить на 25 групп так, чтобы в каждой группе было по 4 числа, одно из которых равнялось бы среднему арифметическому трех остальных чисел? 1065. На столе лежат монеты по 25 копеек без наложения. Докажите, что найдется монета, касающаяся не более трех других монет. 1066. Во все клетки таблицы 25 х 25 вписаны некогорые числа. За один шаг можно изменять знаки всех чисел любой сфоки или любого столбца. Можно ли за несколько таких шагов добиться того, чтобы суммы чисел каждой строки и каждого столбца были неотрицательными? 228 Отечествеипые математики ОТЕЧЕСТВЕННЫЕ МАТЕМАТИКИ Известное неравенство Коши — Буля-ковского — не единственное значительное достижение Виктора Буняковского. Ввиду весомого вклада в развитие теории вероятностей, статистики, лга/пематического аиатза он был избран почетным членом все:< университетов царской России. Петербургская AKade.vuH наук присуждала премии имени Ьуняковско-го — за наилучшие работы по мате.матике. Виктор Якиилсвич Ьуняковский (1804-1889) Ролился Викгор Ьуняковский в городе Бар (Винницкая o6.n.'i. Ею отец— подполковник конно-нольско! о уланского полка— умер, когда сыну шел .')-й год. Начальное образование Виктор Ьуняковский получил в Москве в доме графа Гормасова, который был другом его отца. В 1820 го;;у 16-ле1ний Ьуняковский вместе с сыном гр. Тормасова iioexa;f за границу. Сначала он брат частные уроки в Кобурге, потом иереехат в Лозанну, где посещал лекции ио математике в академии, затем на протяжении двух лет учился в Париже, ) де в то время преподавали такие известные ученые, как Лаплас, Фурье, Пуассон, Коши, Лмиер и тцтугие. Там же в 1824 году успешно заиштил докторскую диссертацию и получил степень доктора математических наук Парижского университе'та. В 1826 году Виктор Ьуняковский переехал в 1 ктербург, где почт и 40 лет преподавал математику и механику в ! ражданских и военных учебных заведениях, в частности в Петербургском университете. На протяжении 25 лет (1864 - 1889) был виие-презшчентом Петербургской Академии наук. Викт ор Ьуняковский — автор более 1(Ю научных работ из разных разделов математики, в частности, теории чисел, математического анализа, теории вероятностей, статистики. Его «Лексикон математики» стат основой установления российской математической терминоло1Ии. Виктора Буияковского считают отцом теории вероятностей в царской России, так как его «Основы ма тематической теории вероягпосгей» были первым полным [юсобием по теории вероятностей на русском языке. Отечественные математики 22*> Юрий Алексеевич Fvf и I ропол ьски й (I917-2008) Юрий Митрогюльский — известный ученый в области математического анализа. Академик Нащюналыюй академии наук Украины (1961), заслуженный деятель на^’ки УССР (1967), лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники (1996), Герой Укрою!ы (2007). В 19‘^В - 1988 гг. возглавлял Институт математики Академии наук Украины. Юрий Митропольский родился 3 января 1917 года в селе Шишаки (Гоголевский район Полтавской области). В 1932 году экстерном окончил ce.MiLieTKj в Киеве и пошел pa6o'ian на Киевский консервный завод. В 1938 году окончил 10-й класс средней школы и то1да же поступил в Киевский государственный университет имени Т. Г. Шевченко на механико-математический факультет. В годы Великой Отечественной войны Юрии Митропольский был на фронте. За боевые заслуги награжден двумя орденами Красной Звезды и медалями. После демобилизации, с 1946 года, работал в Академии наук Украины; сначача сотрудником в Институте строительной механики АН УССР; потом в Институте математики АН УССР прошел пуч ь от старшего научного сочрудника до директора института. Одновременно с работой в Институте математики он возг лавлял в пре'зидиуме Академии наук Украины ряд отделений: физико-матемачических паук, математики, механики и киберпечнки, математики и механики. Был действичельным членом ряда иностранных Академий наук. Научные ре'зультаты Юрия Митропольского вошли в многочисленные фундаментальные отечественные и иностранные издания. Он автор свыше 7.50 научных работ, среди которых — 53 моночрафин, издаччич.1с на мччогих языках мира. Нах’чнучо работу ученый усччечччччо совмечцал <• ччедагочической. Поччи 40.ЧСТ Юрччй Митропольский читач лекции чча механико-матемачическом факулчлстс родного уччиверситста. Среди ечх) учеников — 25 докторов и более 100 каччдидатов физико-мачематичеч:ких ччаук. 230 Сведения ш курса алгебры основной школы СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ Числи 1. Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, .... Множество иатуралы1ы,х чисел обозначают буквой N. 2. Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 (нуль) образуют множество целых чисел: .... -4, -3, -2, -1,0, 1, 2, 3, 4,.... Множество целы,\ чисел обозначают буквой Z. 3. Целые и дробные числа образуют множество рациональных чисел. Обозначают это множество буквой Q. Любое рациональное число можно представить в виде дроби —, где т — целое число, п — натуральное. Рациональные числа можно представить также в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Например: 5 = 1 = 5,00... = 5,(0); = 0,2500... = 0,25(0); = -0,66... = -0,(6); 2| = = 2,833... = 2,8(3). 3 6 6 4. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Обозначают это множество буквой R. Иррациональные числа можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Например: >^ = 1,41421...; л = 3,14159...; 2,010010001.... Степени 5. Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называют само число а. а" = аа..м при neN, п > 1; а' =а. п 6. Степень числа а, не равного 0, с нулевым показателем равна 1. = 1 (а ^ 0). 7. ЕслиафОип — натуральное число,то а"‘= — . а" Сведения us курса алгебры основной школы 231 Например: 2’=^ = ^; 5 '=^. Запись О ^ не имеет смысла. 2'* о 5 8. Свойства степени с целым показателем: для любого а 5^ О и произюльных целых тип выполняются равенсз ва: а" а" =а”'*’'\ а" : а" = а'"-"; \а ) = а ; д,тя любых о 9^ о, о и произвольного целого п выполняются равенства: {аЬТ (4=-- \Ь1 Ь' Выражения. Тозкдествеииые преобразования выримсений 9. Выражения, составленные из чисел, знаков действий и скобок, называют числовыми. Выраже1шя, составленные из чисел, переменных, знаков действий и скобок, называют выражениями с переменными. Например: 1,5; 7 + 3^; (32 - 2,7) • 0,32 — числовые выражения; я; аЬ^; -18с"*; За -г 10 — выражения с переменными. 10. Целое выражение Рациональны Дробное выражение е выражения Целое выражение не содержит действия деле1шя на выражение с пере менной. 11. 7аЬ^ — одноч.лен Целые вь lah^ + с + 1 —многочлен ражения 12. Два выражения называют тождественно равными, если при любых допустимых для них значениях перемеш^ых их соотвегствую1Цие значения равны. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, входящих в него, называют тождеством. Замену одного выражения тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием выражения. 232 Сведения us курса а.1гсбры основной школы 13. Перемножим одночлены -Ъс^Ь и ЛаУ': -ЗеРЬ • 4аЬ^ = (-3 • 4) • (а^а) ■ (№') = -12а h\ Возведем одночлен -5а^Ь в куб; i-Sa^bf = (-5)-' • ■ b-' = -125flV. 14. Сложим многочлены 4а^ - 6о + 5 и -2а^ + За + 2: (4с? - 6а + 5) + (-2д' + За + 2) = - 6а + 5 - 2с? + За + 2 = 2с? - За + 7. Вычгем из мноп)члена 4х^ -4х + 7 многочлен 2)? -Зх + 5: (4.t^ - 4д + 7) - (2х^ - Зл + 5) = - 4x + 7 - 2x4 Зд: - 5 = 2л:-- д; + 2. 15. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. 11апримср; 2а(с? -За + 4)-2а- с? + 2а- (-За) + 2а ■ 4 = 2х? - (н? + 8а. 16. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. 11апример; (2о^ + 1?)(2а -Ь) — 2с? ■ 2а + 2с? • (-Ь) + Ь' -2а + Ь^ • (-Ь) = ^4a^-2a^b + 2ab^-b^. 17. Формулы сокращенного умножения: (а - Ь)(а + Ь) = а^ - Ь^\ (a^-bf = a^-i^2ab + b\ (a-bf = a^-2ab + h^; (а + bf = аЧ Зс?Ь + За^>^ + Ь^\ (а - bf -=с? - Зс?Ь + ЗаЬ^ - Ь^. 18. Способы разложения многочленов на множители: а) вынесение общего множителя за скобки: 2а"Ь - ЪаЬ^ = 2аЬ ■ а - 2аЬ ■ 4Ь - 2аЬ(а - 4Ьу, б) I рупнировк'а; Ь^п + у^- Ьпу - by = (1?п - Ьпу) + {у^ - by) - bn(b - у) + + у(у-Ь)~ Ьп(Ь -у)-у(Ь- у) -(Ь- у)(Ьп - у); в) по формулам: с? -Ь^ = (а- Ь)(а + ЬУ, с? + 2аЬ + Ь~ - (а + bf \ с? - Ь' - (а- Ь)(с? + аЬ + I?), с? - 2аЬ + Ь^ = (а- bf : с? + 1? = (а + ^>)(а‘ -аЬ + Ь^). 19. Основное свойство дроби. Для л!обых чисел а, Ь н с, где Ь^О н с ФО, а ас выполняется равенство; 2(». Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: В. с _ о+с ь'^ь~ ь ■ Сведения lu курса алгебры основной школы 233 Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; а с а-с Ь Ь~ Ь ' Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями; 21. Умножение дробей; 24. 25. ad±bc h d~ hd ■ a c ac b d bd Деление дробей; £•£.-£ ^ _ ad h d h c he 22. Квадратным корнем из числа а называют -гакое число, квадрат которого равен а. Арифметическим квадратным корнем из числа а (обозначают -4а ) называю! такое неотрицательное число, квД/Трат которого равен а. Например, \]о,36 =0,6, так как число 0,6 неотрицательное и 0,6“ = 0,36. Равенство 4а =Ь является верным, если выполняются два условия; 1)/?>0; 2)Ь~ = а. 23. Свойства арифметического квадратного корня; \)44b=4^-4h {а>0,Ь>0); 2) (а>0,6>0); 3) 4а^ = \а\; Гь 4) {4а) =о, (а>0). Уравнения и их системы Равенство с неизвестным значением переменной называют >равненнел< с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения. Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Множество значений переменной, при которых имеют смысл выражения, стояпще в левой и правой частях уравнения, называют областью допусппшых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения. Два уравнения называют раеноси.пьными. если они имеют одни и те же корни. Два уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. 234 Сведения ш курса алгебры основной школы Основные свойства уравнений 1) Если в некоторой части уравнения выполнить тождественное преобразование, не изменяющие ОДЗ, то получим уравнение, равносильное данному. 2) Если некоторое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. 3) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Уравнение вида ах = Ь, где а и Ь — некоторые известные числа, ал — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной. 26. Коэффи£шекгы Корпи афО Ь единственный корень ах = Ь — линейное О уравнение а=ОнЬфО корней пет корнем является любое число а=0нЬ=0 (уравнение имеет бесконеч- ное множество корней) 27. Уравнение вида ах + by = с, где а, Ь н с — некоторые известные числа (коэффициенты уравнения), л и у — переменные, называют линейным уравнением с двумя переменными. Решением линейного уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство. 28. Если нужно найти o6uiee решение двух уравнений, то юворят, что нужно решить систему уравнений. \ах + Ьу = с\ — система линейных уравнении. \тх+пу = к Решением системы линейных уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. т; а Если — —, то система имеет одно решение; т п а Ь с если — = — 5^ , то система не имеет решении; т п к Сведения из курса алгебры основной школы 235 а h с , если — = — = —, то система имеет бесконечное множество решении. т п к 29. Способы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными. а) Способ подстановки. [2дг + у = 3; |у = 3-2х; Например: [3jt-2y = 8; [Зх б) Способ сложения. = 3-2х; |у = 3-2х; |х = 2; -2(3-2х) = 8; [7х=14; |у = -1. „ Г3х + 4у = 12; х2 Гбх + 8у = 24; Г3х + 4у = 12; Напршер: ,,_з, ГЗх + 4-6 = 12; |х = -4; |у = 6; |.v = 6. в) Графический способ. Например: Строим графики обоих уравнений системы. Г5х-2у = 11; Т -1 [х-3у = -3. 5х-2у= 11 X 1 3 у -3 2 х-3у = -3 X 0 -3 у 1 0 М{3\ 2) — точка пересечения графиков. Решение системы — (3; 2). 30. Уравнение вида + Ьх + с = 0, где х — переменная, а, h, с — некото- рые известные числа, причем я # 0, называют квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения: 2 Ь а) ах + fox = о, где fo ^ 0; х{ах + b) — Q\ xi = 0; хг = —; б) ях^ + с = о, где с ^0; х^ = ; если > 0, то х,, = ±./-— ; а а ' у а : если — < о, то корней нет; в) ях^ = 0; X = о (или х\ = 0; хз = 0). 236 Сведения lu курса алгебры основной школы 31. Формула корней квадратно о уравнения аг^ + Ьх + с = 0: ~Ь±у[Б , где D = h - 4ас. Формула корней приведенного ква/ipai HOi о уравнения + рх + q = 0: 32. Теорема Влета. Сели Л|, Х2 — корни приведенного квадратного уравнения х^ + рх + q = 0.TOXi+X2 = -р; х\ • Х2 = q. Сели X,, Х2 — корни полного квадратного уравнения + Ьх + с = 0, го Ь с х,+х,= —; х, х.= — . ' ^ а а 33. Сели Л|, Х2 — корни ква^чратного чрехчлена а,г^ + Ьх + с, то ах^ + Ьх + с = а{х - jC|)(jt — Х2). 34. Сиетема двух уравнений е двумя переменными. |3л-у = 2; Гу = Здс-2; |у = Зл-2; |зхЧу-=28; [ЗхЧ(Зд-2)"=28; |l2x'-12х-24 = 0; j^-x-2 = 0; xi =-1; Л2 = 2; у, =-5; уг = 4. Решения еисгемы: (-1; -5); (2; 4). Числовые неравенства 35. Чиело а больше чиела Ь, сели разноеть а-Ь — чиело положительное; число о меньше чиела Ь, еели разноеть а-Ь — чиело озрицатсльное; чиело а равно чиелу Ь, еели разноеть а-Ь равна нулю. 36. Свойства числовых неравенств-. 1) еели а < Ь,то Ь > о; 2) еели а < Ь и Ь < с,ю а < г, 3) еели а<Ькт — любое чиело, хоа + т<Ь + т-, 4) еели а < Ьи т >0, то am < bnr. 5) еели a Ьт-, 6) еели а <Ь и с < d,Toa + с <Ь + с1-, 7) еели а < Ь ис Ь, ах > Ь, ах 12; х>2,4. 2-4 ^ (2.4;-Ко). 2) -Зх>9; х<-3. 3 (-о;_3]. 3) 0-х<2. Множество всех действительных чисел; (-«>; +=о). 4) 0-х<-1. Решений нет. 39. Решение систем линейных неравенств с одной переменной. [3x+4<6; |Здс<6-4; [Зх<2; [2х + 7>4, [2х>4-7; [2х>-3; О .<3; -1,5 t -l,5о, си? + Ьх + с<0, где X — переменная, а,Ь,с — некоторые известные числа, причем афО, называют неравенствами второй степени с одной переменной, или квадратны.ми неравенствами. 41. Решение квадратных неравенсгв. 1) Неравенство Множество решений График функции у - Ъ? -ь X - 1 2.?+х- 1 >0 (-оо;-1)и|^;-|-оо| VI Ъ?+х- 1 >0 (—оо; — l]u 2х^ + X — 1 <0 1 (-4) к 0 /I ' /2 2х-+х- 1 <0 К 42. 43. 44. 45. 46. Функции Переменную у называют функцией от переменной х, если каждому значению переменной х соответствует одно значение переменной у. При этом переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у — зависимой переменной, или функгр/ей; записываю! у =J{x). Множество значений, которые принимает независимая переменная (apiyMeHT), называют областью определения функции; множество значений, кагорые принимает зависимая переменная (функция), называют областью значений функции. Область определения функции y=J{x) обозначают Щ/) или 1Ху), а облас1ъ значений — £(/) или Е(у). Значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, называют нулями функции. Функцию назьшают возрастающей на некогором промежутке, если для любых двух значений аргумеша из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента из этого промежутка ^льшему значению аргумента ахггветствует меньшее значение функции. Функцию у =f{x) называют четной, если для любого значения х из области ее определения значение -х также принадлежит области определения и выполняется равенство: У(-дс) =f{x). Функцию y=J[x) называют нечетной, если для любого значения х из области ее определения значение -дг также принадлежит области определения и выполняется равенство; У(-л) = -Цх). 47. Свойства функций. Функция Область определения Область значений Нули Четность Возрастание, убывание График y = kx + b,ki^0 (-чв; -foo) (-оо; +оо) Ь ^ = -1 при 0, — ни четная, ни нечетная; прц/> = 0, — нечетная при к>0, — возрастающая; при к<0, — убывающая прямая y = -,ktO X (-чо; 0)и(0; +00) (-со; 0)и(0; +00) нет нечетная при к>0 убывает на каждом из промежутков (-чо; 0) и (0; +оо); при к<0 возрастает на каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; +«) гипербола у = х^ (-чо; +00) [0; +0О) д: = 0 четная убывает на промежутке (-40; 0]. возрастает на промежутке [0; +оо) парабола y=ix [0;+<») [0; +СО) х = 0 ни четная, ни нечетная возрастающая ветвь параболы 4 t N 48. Преобразования графиков функций. \ i y=.v'+2 U - V -N У=(х-2У г fs Ci S График функции V = -Лх) симметричен графику функции у=Лх) относительно оси х График функции у = аЛх), где а>0, получается из графика функции у =У(х) путем растяжения или сжатия к оси х График функции у=Лх)±>1 получается из графика функции у =/(л-) путем параллельного переноса вдоль оси у График функции у =Лххт) получается из графика функции у =Ддг) путем параллельного переноса вдоль оси х Сведения ut К}рса а.1геГ>ры основной школы 241 Проценты 49. Процент — это одна сотая; 1 % = 0,01. Мри решении задач на нро1(енты можно использовать следующие утверждения и формулы: 1) ч гобы найти р% от числа, нужно это число умножить на дробь ; 100 2) чтобы найти число, р% которого раврю нужно число Ь разделить на дробь 4; 3) чтобы найти, сколько процентов составляет число а от числа Ь, ну'ж-но разделить а на и записать результат в процентах; 4) Д, ” + — формула сложных процентов; Ао — начальный капитал, А„ — наращенный капитал за п лет, р — годовые проценты. Вероятность случайного события 50. Вероятностью случайного события А называют отношение числа равновозможных случаев, способствующих событию А, к числу всех возможных случаев: Р{А)-^, где л—общее число равновозможных случаев, т — число случаев, способствующих событию А. Прогрессии 51. Арифметической прогрессией называют последовательность, каж^щш член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Арифмелнческая нро1рессия (а„): Oil 02 = 0i + ф 02 — 02 + ф..~, Of,+i — Of, + di... . а„ = oi+(n—l)d—формула л-го члена арифметической прогрессии; формулы суммы первых л Ш1е-нов арифмегичсской tipoipeccHH. 5 2a,+(n-i)d ■л, = —* ::------л 2 ’ 2 52. Ггометрической прогрессиег/ называюг последовательность отличных о1 нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и го же число. Геометрическая прогрессия (Ь„): Ь\1 h2 = hr qi bx = b2-qi...f /Vi = b„ ■ qi.... hf. = Ь\ф'"' — формула л-го члена гсомегрической прогрессии; ~ 9 ) формула суммы первых л членов геометрической \-q прогрессии; S =- е-А 1 формула суммы бесконечной г еометрической прогрессии, в которой |^| < 1. 242 Ответы и укашиия ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ §1 26. а) 0; 7; б) -1-; 4. 27. а) 37; 6)0. 28. 14 лет. 29.26 лет. 52.а)-3;3; б)-3,75; 4. 7 53. а) (-2; 7); б) (2; 5). 54.120 л. 80 л. 55.5 и 7, 10 и 3 или 0 и 11 тетрадей. 78. Указание. Используя равенство а^ + 2ah + Ь^= i и неравенство а^ - 2ah + h^>0, докажите сначала, что а^ +// >-^. 81.40 и 60 яиц. 82. 1440 учебников. 102. а) Корней мет; 6)6. 103. а) 7; 6)5; в)-2. 104.1500грн. 105.120 цветов. 114. а) х<-10; 6)jc<2,5; в) д>-—; г)х>-1. П5.а)д:<-9; б)у>0; в)г< 19; г)у<2,5. 116.а)л'>0; б)д:<0; 4 в) л< 14; г)х> 3-. П7.а)х>0; б)х< —; в)х> 1; г)л:> 17. ll8.a)x<-8; б)х> 1,25; 3 2 121.а)(-4;-1,5); б)[-|;1^]; в) j^-|;9|j ; . г)(-21;-13]. 122.а)(0,4;3,2); б) (^; 4]и[7;+оо); r)(^;-l)U-l;-H«). 123. а) [3; 4]; б) (-^;-1)и(1,5;+«). 124. Больше 3,5 см и меньше 10 см. 125. Больше 23,5 см. 126. а) (0; 6); б) (-®о;-П1и[0;+°»); в) (-6,5;-2,5); г) решений нет. 128. б)-4; 1^; в)-3,5. 1 2 129.2 к.м/ч. 130.53. 131. -. 133. а) д: > —; б) решений нет; в) любое чиело; г) решений нет. 134. а) Решений нет; б)х>2,9; в) любое число; г)х<4. 135.a)jc< 2-^ ; б)у< -3j ; в)«< 1,6; г)л’> 18. 136.a)jc>0; б)в< -1^ ; в)дс> 12; г)х<4~. 137.х>1-. 138.х<-. 139.а)(3;+~); б)[-3;+~); в)(->=;5]; г)(-»;3,51. 9 4 8 140. а) [4;-н»); б) (-~;0,51. 141. а)у < -^; б) любое число; в)решений нет; г)«< 16,5. 142. а) Решений нет; б) решений нет; в) любое чиело; г) у > 2. 143. а) х < 8; б) х > -9. 144.а)х<-1; б)х>-4,5. 145. х>-5^. 146.>>-l|. 147. а) ; б)(-~;4]; в) [22; -и»). 148. Меньше 10,5 ем. 149. Меньше 7- см. 150. Нс больше чем на 36 км. 3 151. а)х<2(1 - л); б)х< а—152. а) Если а <-2, то х < —-—; если а =-2, то реше- 2 « + 2 ний нег; если а >-2, тох> —^—; б) если а <-1,5, тох< —-—; если а = -1,5, тох — а + 2 2а + 3 Ответы и ука шипя 243 любое число; если о >-1,5, то х> 2а + Ъ . 153. Нет. 154. Да, например, а = -3. 155. а) (-1; 4); б) (2,7; 0,2). 156.125грн. 157.13 и 6; 67 и 66. 158.23 фазана, 12 кроликов. 166. а) -7); б) решений нет; в)(-~;-2]; г) (2,25;-юо). 167. а) ^3'i; + «x>j ; а) ; б) решений нет; в) -yj . 169. а) ^-4; l|j; 1; б) [2; 51; 5; в) (-3; 4); 3.170. а) 1; 2; 3; 4; б) 4; 5; 6; 7; 8; в)таких решений нет. 171. а)(2;-н»»); '^^(”**’’3]' 172. а) Решений нет, б) ^1^; . 173. а) (-«>; 8]; б) (-«>; 11); в) (0,6; 13]; г) решений нет. 174. а) (-6; 8]; б)(-оо;1,5). 175. а) Решений нет; б) (7; 12,5). 176. а) (-~;-0,7); б)(-1,4;3). 177.-2|<х<|. 178. [-2|;l|). 179.а)(-1;3); б)(-»;-2,5]u[l;-юо); b)(-oo;-2)u(3;+oo); г) [0,5; 2). 180. а) (2; 2,5); б) (-~;-3]и(!;+“)• 181. а) (-5; 3]; б) (-°°; 1,25]. 182.а)-9<х<0,6; б)х>8. 183.0т 53 км/ч до 55 км/ч. 184. а)^-^: ; б)(1;7); в)(-оо;2]; г) 185.а)Если oS2,5, то х<а, если й>2,5, то х<5-й; б)если а<-3, то решений нет; если д>-3, то 186. От 40% до 50%. 189. к = -1. 190.1; 2; 3. 194. Если будет двигаться по течению и против течения реки. 195. В реке с быстрым течением. 197. а)-7 <а -2/><-5,5; б) 1,1<у + 3/><1,44. 198.6,12.5; б)л:<-12; b)jc>-5,6; r)y<-6,4. 202. а)у < 1,4; б)а< 1,2; в)х> -9у ; г) любое число. 203. а) (-15; 21); б)(-=о;-8]и(1;+~); 9 в) (-оо;+оо); г)решений нет. 204.а) 1; 2; 3; 4; 6)1; 2; 3; 4; 5; 6. 205. 206. а) а <0; б) я<-2у; в) а <1,5; г)а>-1у. 207.7 тетрадей. 208. Больше 89, нет; ,6 км/ч. 209. а)у; + “j; ’ в) Решений нет; г)(-~;0,5]; д) решений ; е)(-оо;-7); ж)(1,75;+~); з) [“у^у]- 210. а) (0;+«о); б) решений нет; в)(0;2); г) (-9;-6). 211.а) [^0;yj; б) (5;+«). 212. а) [-4;-2); б)(-7;-1); в) (-4; 6]; г) (-20;-13). 213.а) [1.5;2]; б)(-~;2)и(3;-н»>); в)(-3;0); г)(-~; 1]и(3,5;-н«); д) (-3; 3); е) (-~; -3)и( 1; +<х>). 214. От 6 м до 6,5 м. 215. От 5,2 м до 5,4 м. 244 Ответы и указания Задания для самопроверки Ля I 1.В). 2. а), г). 3.6). 4. г). 5.6). 6. в). 7. а) 2|>2|; б) -0,5 >-|. 9. 7,6 <8; I I б) 10,5 < 3jf - 0,5>> < 14. 15. а) (^; +оо); б) (11; -и»). 16. ^ j. 17. а) [0,8; -к»); б)(10;+~). 18. 21,6 км < 6'<28,8 км. 20. а) 0,11 < 0,33; б) 1,2 < у < 1,75. 21. а) -1;1 3J ; 6) {-со;-] )и(0; +с«). 22. 2; 3; 4; 5. 23. а) -3;1- б) ф2)и(2; +сс). 24. Первый. §2 228. в) [8;+ос); г) (-<»; 2]. 229. в)(-со;4[; г) [-4;+со). 232.а)1;4; б)-.3;3. 233.-2;!. 235. (-8; 0); (0; 16). 236. а) (-со; -3)и(-3; 2)и(2; +ос); б) (^; 2)и(2; 3)и(3; +со); в) (-ос;-4]; г) (-со; 0,25]; д)(-3;+сс); е)[0;+с°). 237. а) (-«о;-9)и(-9: I)u(l;+“); 6)(-~:i|j;B)I-0,2;+c=). 240. а)-7; 1; б)-3; в) таких значении д* не существует. 241, а)-1; 3; 6)1; в> таких значений х не существует. 246, а) -|И0): б) 3|и(3; +со). 250. б)-2,5; -\'2. 251. б) При о>6 — два корня; при а<6 — корней нет; уравнение не может иметь только один корень. 252.12грн.; 8 грн. 253. Наполнится за Юмин. 254.а)~2; -1; б)-3; 75; в)-!,5; -I. 255.-3; 3. 259. е) Нулей нет. 260. б)-4; 2; в) -0,5. 265. б) -I; 3; в) 1. 266. б) -2. 269. г) Ыи четная, ни нечетная; д) нечетная; е) четная. 270. г) Ни четная, ни нечетная; д) четная е) нечетная. 273.6) 1. 275.б)о= 1 или о = -1; корни: -2, 0 и 2. 277.а)2; б) 14; в)3 г)4. 279.90км/ч. 289. а)[-1;+со); б)(-4;-2); в)(--с;-3]. 290.а) |-4;+сс): б) (-со; 0)и(4; +сс); в) [2; +со). 292. а) !; 4; б)-2; 3. 293. 1. 295. а = 1. 296. При а < 0 или 0=1 — два корня; при о = 0 — три корня; при 0 < о < 1 — че1ыре корня; при о > 1 — корней нег. 297. а) (о - 3)(/? + 2); б)(х+у)(х-2). 298.11,25. 299. дг^ + бх- 2 = 0. 300. 72 км/ч. 308. Да. 315. км/ч. б) (-5; -1 у, в) (-со; -3]. 326. а) (-^-; 4[; б) (0; 4); в) {-со; 2]. 327. а) (2; 2); (-0,5; -5,5); 316. км/ч. 325. а) [—4; +°о); 2а 3 Ь Ответы пука шипя 245 6)(1: 9); 328. (-0,5;-0,5); (-1,5;2,5). 329.а) I;б)4. 330.0;4. 332..v=l; 5 — наибольшее чначение. 333. -6,5. 334.-0,87.5. 336. а)/;> = 8; е= 18; б)о = -1-^; h-2^. 338. й > 3. 339.4,5 м. 340. 50 м; 50 м. 341. а) -0,5. Указание. 11айдите значение х, при котором наименьшее значение принимает кна,чратный трехчлен 2дг - 2х, и докажите, что при Э10М же значении х наименьшее значение принимас! и /1анная функция. 6)0,5. З42.а)4; 6)1. 343.а) 6)-^. З44.а).т>8; б)х<-4; в)х>4,2; 2h У г)-5<х<2. З45.а)-2;6) в)^; 4; г) 1; 3; 346.36 и 45 дней. 347. Музыкантов. 348. -2; 2. Задания для самопроверки М 2 1. в). 2. б). 3. в). 4. б), г). 5. в) 6. а). 7. (-«>; 2,5]. 8. -8; 2. 9. [-1; +■") — область значений. 10. Нет. И. Возрастает на промежутке [1; -н»); убываеч на промежугкс (-~; I]. 12. [-1.5; 6]. 13. Да. 14. а) (-со; 8]; б)х <-I или х> 3; в) [ 1; +оо). 15. х = -2; -32 — наи- меньшее значение, имеет. . 17. 0;|ju||;6ju(6;9]. 19.а)М;+оо); б)(0;4). 20.4. 21. Не 3.S3. а) (-4; 1); 6) (-со; -4)и(1; -н>о); в) (0; 1.5); г) (-3; 1); д) (--«о; 1)lj(I,5; -юо); e)(-co;-2)U2;+co). 354. а) (-со;-4]u[-2;+°°); 6) [-7; 2]; в)(-со;-1]о[7;-н«). 355.а)(-3;2); б)(^; +“); в)(0;2); г) (-со; 1]и[3;-н»); д) (-со; lju[2;+со); е)[-1;1|. 358.а)(-оо;-2)и(2;+оо); б)(-1;1); в)[-1;1]; г)[0;5]. 359. а) [-0,8; 1,2]; б) ^в) [2; 3]; г) решений нет: д) (-со;-нс); с)3. 360.а)(-со;-1У,д'1Д;+оо); б)рсшсний нет; в)(-со;+оо). 361.a)(-co;-0,5)'-J(l,5;+co); б) (-3; 51; в) (-ос;-1)(_ЧЗ; -юо); г) . 362. а)(-с; 2)l;(2; +-); 6) ("ll; |)- 363. а)(-со;-1.5]i,41;+°^); 6) (-со;-|)и(2;-1-оо); в) “з’*j’ г)(1;4). 364. а)(-со;+со). .365.х<0,3 или х>0,7. 366х<-14 ►tin х>-0,5. З67.а)[ 6:2]; 6)(-“;-l]'-' в) (-со; +со). 368. а) (-со; -гсо); 6) [-12; 2]. 369. а) (-со; 1]и[9; -нс); б) (-со; —5)и(6; -нс); в)[0;15]; г) (-со;-1,5]и|2;+с,); д) 0,8; 1,25; е)(-3;б); ж) (5;-н»); з,1 {-4}и[3;-1^-"); и) [-4; -1)и(-1;!]; к) (-со; -3)и(5; 6)l.46; -нс). 370. а) (-оо; -4)и(6; 7]; 246 Ответы и указания б) (-2;-1 М3; 4); в)|0;2]. 371. а) (-5; 2]; 6)(-4;-3]; в)(- 372. a)-j). 5. -3-2лЯ^д^-3+_2:Л 373.а)«< б) в < —в)« < -2. 374. О 375. а) а-2с. б) 378. а) (1; I); 2 ’ Зт б)(1;-2); в)(1;-1). 379.а)-1; 1; б)-6; -А; -1; 1. 380. 12 и 8 деталей. 381.а)(-6;4); б) (-“; -з,5М-1; +“); л) (-~; -4М-2; 1МЗ; +«>=). 383. а) (-оо; -1М0,5; +«о); 384.а)М;-2М2;+®о); в) (1; 2МЗ; +«>); г) (-»«; -3]и[0; 5]; 382. а) (2; 3); б) [-3; 0.51U5; +~); в) [-4; -21U1; 5]. б)[-0,6;2|; в)(-1;2МЗ;+~); г) (-со; ОМ •; 2,5]. б) -|;|ju[2;+cc). 385.а)(-сс;2М4;+“); б) (-3;-|)и(3; + со). З86.а)(-1;3); б) (-2; 1М«;+-); в) (^;-ЗМО,5; 4). 387.а)(1;2,5); б)(-1;2); в)(^;-1,5М-1;+“). 388.а)(1;5М7;+“с); б)(-0,4;-0,25); в) (^; ОМЗ;+°°). 389.а)(0;1МЗ;+“); б)(-сс;-2М1; 2]; в)(-8;-1)и(1;2); г) (^;-2М1;2М5;+со). З90.а) {-8}и[-6; П; б) l|u(I;+co). 391. а)(-оо;-2М5;+°о); б) (-со;-4М-2; 1М4;+сс). 392. Если а< I, то (а; 1); если а= 1, то решений нет; если а>1, то (1;а). 393.а)(-3;-2М2;5); б)(-со; 1М1;2М6;+~): в)(-1; 1М';5); г)(0,5;6]. 394.а)(-5;-1М•;+“); б)(-~;-1)и|^-|;0 u(l;+. в) (-2; 2); г) (-2; -1 МО; 2). 395. (I; 1). 396.4. 397.20 деталей. 398.60 м’. 404. а) (0; 0) (2;4); б)(0;3); (3;0). 405.а)(1; 1); (2;4); б)(3; 1); (-3;-2); в)(1;2); (-1;-2); г)(I; I) л) (4; -7); (7; -4); е) (0; 2). 406. а) (0; 1); б) (9; 0); (5; 2); в) (1; 0); (-2; -6) 407. а) (1; 3) (-2; 0); б) (-1; 2); (1; 2); в) (0; 0); (1; 1). 408. а) (0; I); (3; 4); б) (1; 1); в) (-3; -1); (3; -1) (-1:3); (1:3). 409.а)Два; б)четыре; в)три. 410.а)(-2; 1); (5;-6); б)(8;2); (2;-1) в)(3;-1); (-б|;5|); г)(-1;-3); (2;3); л)(2;2); (10;-6); е)(1;3); (|;3 411. а) (-4;-3); (4;-3); (-4; 3); (4;3); б)(4; 1); (2; 2); в)(1;3); г)(-4;3) (1;-2). 412.а)(1;1); б) (6; 2). 413.а)(1;0); (-0,2;-0,8); б)(1;5); (5; 1); (-1;-5) (-5;-1). 414. а) (4; 2); б)(1;-1); (1,75;-0,75); в) (2; 1); (0,25;-0,75); г)(-2;-3); (2;3) л) (-|;-2ij;(l;2); е)(3;3); ж)(1;-1); з)(3;4); (4;3); (-3;-4); (^;-3). 417.а)(0;0); (^^/5;^/5j; j-i>/5;-V5j; б)(12;-1); (-12;!); (4,5;-3,5); (-4,5;3,5); в)(3;1); (3;-1); (-3; 1); (-3;-1); (1;3); (1;-3); (-1;3); (-1;-3); г)(1;-2); (-2;!); (2-^/зЗ;2+Д5); (2+^;2-^3^); д) -2^/зj; |^-^;2л/з|; е)(1;3); (1,5;2); ж)(4;2); (-4;-2); з)(4;-1); (9|;2|); и)(3;1); (3;-1); (-3; 1); (-3;-1); Ответы и указания ТА1 к)(4;2); (-2;^). 418.а)л =-0,45; 6)-у[2<а<^\ в)в>0; г)а>2. 419.а) a—Ztj б) JT + л/З; в) г) Зд - с. 421. 7.422. 66 мин. 423.415 км. 424. 6 грн.; 7 грн. 425. 50 к.; 1 грн. 426. 7 см; 8 см. 427.4; 7. 428.9 и -I или I и -9. 429. 16 и 4 или —4 и -16. 430. 5 и -3. 431. 8 дм; 6 дм. 432.8 см; 5 см. 433. 600 г; 200 г. 434. 10 грн.; 5 грн. 435. 10 грн.; 30 грн. 436.70 км/ч; 60 км/ч. 437.20 ч; 12 ч. 438.3 дня; 6 дней. 439.4 км/ч; 3 км/ч. 440.80 км/ч; 60 км/ч. 441.20 км/ч; 16 км/ч. 442.60 км/ч; 90 км/ч. 443.5 м^ и 7,5 м’ или 6,25 м’’ и 6,25 м’. 444.15 ч; 30 ч. 445.4,8 ст/мин; 4ст/мин. 446.6 ч; 12 ч. 447.70 см; 60см. 448.18 учеников. 449.25 ч; 20 ч. 450.18 ч. 451.25 км/ч. 452.2 км/ч. 453.20 самосвалов; 6 ходок; 8400 т. 454.60 км/ч; 120 км/ч. 456. Ъ) {а - h)(am - Ь). 458.а)|; 6)1. 460.в)2. 461.д)ЗМ4;+«.)’, е)(-3;3]. 475.а)(1;1); б) (-1; -2); (4; 3). 477. а) 1; 2; б) 1; в) 2. 478. При д < -1 или -0,5 < д < 0,5 — два корня; при д = -1 или д = -0,5 — три корня; при -1 < д < -0,5 — четыре корня; fipn д = 0,5 — один корень; при д > 0,5 — корней нет. 479. а) [-5; 5]; б) (-~; -5)и(5; +®<>); в) [-10; 101; г)(0;7); д) (-»; ОМЗ; 4->); е)|0;91. 480. а) -2)и(4;-и«); б) (^;-5М1;+оо); B)(-2|;l]. 481. а) (^;-3)u(5;+~); 482. а) (-2;4); б) (-0,5; 1). 483. а) (-4; 2); б) +’=°У- в) (-^; -6М-3; IM8; +“); г) 484. а) [-4; -3]и[0; З]; б) -2]u[l; 2]. 485. а) (-6; -4)и(5; +<х>); б) (3; +<»). 486. На промежутках (-оо; 0,5) и (5; +оо) функция принимает положительные значения, на промежутке (0,5; 5) — отрицательные значения. 487. а)(-~;-1)и(8; 15]; б)(-2;-1]и[3;4). 488. а)д>1; б) т<-|. 489.д=1. 490.д = 3. 493.а)(-3;-6); (1;2); б)(1;0); (4;-1); в)(2;-2); (4.4;-5,2); г)(1;-1); (|:-*|): д)(2;2); (0,75; 4,5); е)(0;3); (4;-1). 494. а) (-2;-3); (2;3); б)(1;2); (2; 1); (1;-2); (-2; 1); в)(2;3); (3;2); г) (0; 1); (3; 1); (1,5; 2.5); (1,5; -0,5). 495. m = 3. 496. т = 4, т = -4. 497.6 см, 8 см или 1 см, 13 см. 498. 80; 20. 499.21 ряд. 500.25 км/ч. 501.3 ч; 6 ч. 502.6 ч. Задания для са-мопроверки М 3 I. в). 2. в). 3. в). 4. г). 5. а). 6. б). 7. (-~; -I)u(4; -н«). 9. (0; 0); (2; 4). 10. (-3; -2); (1; 2). II. 5; 7. 12. [-2;^]. 13. [-3; 2)и(4;+оо). 14. (2; 2); (-2; 2). 15.(5;-!); (-0Д;0.3). 16.20ч. 18.-10<д<2. 19.(2; 1); (-2;-1); (з;|]; (-3;-|). 20.2 решения при д = 0; 3 решения при д = 5. 21.20 км; 10 км/ч. 248 Ответы и указания #3 508. 18 костюмов. 509. От 0,7 г до 0.81- включи гельно. 510.80 см х 80 см. 511.11а 6 км/ч. 512.1,5 ч. 513.66 см. 514.3 см. 515.12 м^ 516l 7 компьюперов. 517.600 об/мин; 200 об/мин. 518.120 га и 1081Д или 72 га и 60 га. 519.0т 13,125 км до 17.5 км. 520. ~72 м. 521. 35 суток. 522.75 м; 150 м. 523.2 м; 1 м. 524.49,5 т. 525. От 3,125 м до 4 м включительно. 526. а) дг >--Д-; 6) х<-^ . 528./:=11. 529.75 мл. 535.204 кг; 11 94 36 кг. 536.35%. 537.91,875%. 538.60 г. 539.840 г. 540.650 грн. 541. 1920 грн. 542.735,26 фн. 543. 1331 грн. 544. а)б|%; 6)2,5%. 545.15%. 546.1%. 547. 240 абитуриснюв. 548. г; = 85 г; =149 г. 549.5700 грн. 550. 20(Ю грн. 551.60 л; 40 л. 552. 37566 грн. 553. 18564 грн. 554. Во второй фирме 555. =11,6%. 556.212,5 кг. 557. 25 кг или 10 кг. 558. 83^ %. 559. 20%. 560. Уменьшилась на 5,5%. 561. 30(Ю грн. 562.а)(1;-1); (-1;-3); 6)|“-^;l|; 563. б)у. 565.20км/ч или 7 км/ч. 5 1 566. Нели д<0, то решений нет, если с1>0. то 3-1а<дг<3+ 0. 573.6)0; в) 574. а) 1 1 1 2 2 6) в)0. 575. 576. -■ 577. 578. 579. а) 6) в) г) 580. а) 1^; 6) j^; в) г) о. 581. 582. 583. 584. 585. 1 1 586. -g. 587.540 и 360 микросхем. 588. 12 девочек и 16 мальчиков. 589. 5». 5«. 592. 593. f 594. .595. 5%. /j. 597.,) |; 6) 599. а) [-1; 5]; 6) (-«;_i,5Xj(0,5;+«). 600.а)\/о-7; <*) —|^ . 602. 37,5 мин. 609.3,2 кг. 610.392,5 г. 611. 11,6тыс. ipn. 612. 2 ошибки. 616. 7,5 баллов. 617.9 04- ков. 619.9Ч(. 620. а) 6) • ^21. а! (2: 3): (3; 2); 6) (-3; -2); (3; 2). 622. а < 1 или а>2; х, 2 =а±-^а^ - За+ 2. 623.45с. 625. 18 к^'ч; 2 км/ч. 626. До 14блоков. 627. 105 деталей. 628.2 мин. 629. =266 кг. 630. 20(Х) грн. 631.12 см; 16 см; 10 см. 632.225 г. 633. .5000 фн. 634.8%. 635. 70 ю . 637. а) 61 1; в) г) 638. 639. YJ- 640. 641. 642. 643. а) 6) 646.-1° С. 647. 8 подтят иваний. Ответы и укашпия 249 1 Задании для самопроверки М 4 1.6). 2. в). 3. в). 4. а). 5.6). 6. в). 7.3 ч. 8.28 см; 20 см. 9. 1210грн. 10. 3 12.70 км/ч; 50 км/ч. 13. 27 кг. 14. 1160,5 гри. 15. 17.24 ч и 12 ч или 20 ч и 13 ч 20 мин. 18. 9-^%. 19. 13500 грн. 20. ||. 21.6 поднятий. 11 Jo §4 656. а) 7; 14; 21; 28; 6)3; 7; И; 15. 659. а)-5;-3;-1; 23; 6)100. 661.10; 15. 662. Нет; да. 663. Да; нет. 664.7л + 1; 7л + 2. 665. 11л + 5; 11л + 3. 666. а) -3; -5; -9; -17; -33; 6) 2; ; -6; -2; 7. 667. а) 5; -10; 20; 80; 6) 1; 2; 4; 7; 12. 669. Ь, = 3; Ь„„ =Ь^ -1; 3; 8; 63; 3968. 670. 1; з|; -); 2^; -3; l|. 671. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 672. л > 19. 673. а) (9х - 1)(х - 1); 6) (х - 3)(х + 3KJf^ + 4). 674. а) (-“-3); б) - 2] u[l; + «). 675.25 ч; 20 ч. 676. -5; 2. 684. а) 10; 15; 20; 25; б) 4,5; 4; 3,5; 3. 685. а) 0.3; 2.6; б) 0,2; -2,2. 686. а) 2,5; 18; б)-2; V2-1. 688. а) 6,3; 6)2,6. 690.46. 691. а) Нет; б) да. 693. а) 0,95; 0,85; б) V2; 5%/2 . 695.27 рыбин; 54 рыбины. 696.т=18. 697. 6л/3. 698.22,5. 699.60°. 700.37 см, 40 см, 43 см. 702. а) « = 3, 4; в) (-ос; 2]; [2;+оо). 759.20 кг; 30 кг. 761. а) (3;-1); (5;-3); б)(-1;-1); (7;3). 771.а)-3; -54; 6)0.5; 0.5. 773.а)-15 или 15; б)-12 или 12. 774.64; 3.24. 775. а) Да; б) нет. 776. а) Да; б) да. 777.125 см’. 778.8 лет. 779. а) bi = 7; Ьл = 343 или />2 = -7; =-343; б) д; = 4: v= 1 или л = -4; у = -1; в) = 3; 7 ;/>5=или 6| =-3;= ;/^5 = -"^. 780. ~\/з или -Уз . 781.х= 1; у= I. 16' 250 Ответы и указания 782. 32. 783. а) 2; б) -6. 784. а) (-<«; 1); б) (2; +~). 785.25 см1 786.0 < а < 4. 790. а) 81; 6)32. 792. а) 2; 6)3. 794. а)-2 или 2; б)-3 или 3. 795.-10 или 10. 796.или |. 797.64. 798. -64 или . 799.4 см^. 800.4.5 см. 801.7; -21; 63; -189 или -14; -42; -126; 4 2с‘’ (а + Ь)(т + п) -378. 802.0,9; 1,5; 2,5 или 9; 3; 1. 803.-3; -6; -12; -24. 804. а) ; б) ^--------- . 805.а) j^ju(0; + ~); б)(-11;5). 806./п=1. 807.20. 810.а)-160; б)-21. 812. а) 33; 6)24,2. 813.2. 814.128. 815. а) 6552; б)-7,875. 816.-440. 817.2184. 818.765 или -255. 819. 12; 6; 3 или 3;6;12. 820.384. 821.15,5. 822. а) 2; 6)1. 824. а) [5;+“); б) 825.20 и 30 электродвигателей. 829. 1^. 830. а) 4,5л/? ; б) ■ 831. а) 20; б) 42. 832. а) -12; б) 16. 833. |. 834. а) 1; б) . 835. а) |; б) ^--. 836.12. 837.2; -. 839. а) 32 см^ б) (8 + 4>^)л см. 840.—. 841.7 1 — а 3 30 I 842. 80 деталей. 843. а = -6. 844. д) 1 1 — • е> • ж) 5 • з) 845 а) — ■ 30 ’ ^ 495 ’ ^ 225 ’ ^ 3300 ’ 33' ® ’|- 848.10; 80. 849.1; 120. 850.1м. 851.53,9 м. 852.21; 4. 853.45 м. 854.0,5 см. 855. а) 2и б)2"*'(л-1) + 2; в) 10"*'-9п-10 856. а) , б) 7. 858. 7 с. 2п + 1’ ' ' " ’ ' 81 859. =76,2 кПа. 860. [-6;-к»). 861.-7; -6; -5; -4; -3; -2. 862. а <2. 863.2000 ipii. 864. а) -23; -44; -71; -104; б) -24; 48; -96; 192. 865. Да, нет. 866. а) -5; -7; -11; -19; б) 3; 5; 19; 85. 867.2; 3. 868.5. 870. а) 4; 27; б)-2,5; -6,3. 871. а) а„ = 13 - 12(л - 1); б) а„ = -4 + 0,5(л - 1). 872. а) -3; б) -2. 873. 7. 874.55 см. 875.43,75 м. 877.160. 878.15. 879.а)-4.1; 6)4,3. 880.2639. 881.а)509б; 6)2805; в) 2460; г)3969; д)6120; е)741. 882. -18. 884. а) 4; 320; б) ^ ; 0,025. 885. а) 81; б) . 886. или - . 887. 1 1 2л/10 7Л 64 888.-1; -5; -25; -125. 889.32 см. 890.6; 17; 28. 891.-3; 6; -12. 892. а) 2-; б) 6-2V2 Я? (S4 R 4 I I 7Q 1Я 3 * ”Т ’ Y * 9 ’ 33 ’ ^^3 ’ ^ ’ ж) ^ ; 3) 24|^ . 895. а) ; б) 85- ; в) 64. 896. а) 84 см; б) 112 см1 897. а) б) 898. а) -0,8; б) 10.900. (^; -к»). 4/1 +1 ’ Ответы и укашпии 251 Задания для самопроверки М 5 1. в). 2.6). 3. в). 4.6). 5. г). 6.6). 7. а)-7.8; б)-21,5. 8.-20. 9.--. 8 10.-124. II. 18. 12. Да. 13. 1,2; -3. 14. 1635. 15.3; 381. 16. |; 5~. 17.61. 18. 108. 19.5. 20. -1,4 или 3. 21. -18; -12; -8 или -2; -4; -8. Задачи sa курс алгебры 9 Kiacca 911. а) (-о«;-1); б) решений нет; + г)(-3;+да). 912. а) (4,25;+«•.); «3.3. в(4|;5 8) ^-оо; -2). 916. а) (-0,6; 0,6J; б) [0,75; 1,05]; 917. г) {^; -2,5)и и(0,5;+а>). 919. л: <2,6. 920.jr0,8; б) а >-3,75. 922.а)лг>1,5 б) 2<л:<4; в) 3,5 < л: <5; jc>5. 923. а) {^;-3)u{-3; l)u(l;-к»); б) {-~; 3] в) (-во; -2]и[6; +во); г) (3; 4); д) (0; 1]; е) [3; 3,5). 924. Her. 932. а) Нет; б) да. 933. а) 2 б) -1. 934. При h<0 корней нег; при h = Q — 3 корня: при 01 —2 корня. 936. а) (-°о;-2)и(1,5;+в»); б)|-1;4] в) (^; -2)и(4; +оо); г) |^-;^; |j . 937. а) (-2; 0,5); б) [-10; 1 ]и[4; +<»); в) (-во; -2)и(-1,5; 0)и(1,2; -юо); г) (-^; -5]и[-2; 4]. 938. а) [-2; -1]и[1; 2]; б) (^; 1)и(2;+во). 939.а)(-2;0)и(1;+°о); б) (-2; 8); в) (^;-1)и(1; 4); г)(-во;-4)и и(2; +во). 940. а) (-3; -2)и(-2; -н»); б) (-7; -5]и(-4; 6). 941. а) (2: 5[; б) (-5}и[-2; 3]. 942. a)jc< 1; л:> 1.25; б) 1 <лг< 1,25. 943. а) (0; 2[; б) [-7; ^)и(6; 10]. 944.-2<а<5. 945.й<-1. 946. а) (-1; 1); (2;-2); б)(1;0); в) (-2; 0); (0; 2); (2; 0). 947. а) (2; 1); (-Ч),4;-0,2); б)(-1;1); (2;-1); в) (2; 2); г) (-2:2); (-0,5; 1,2.5). 948. а) (2; 0); (-2; 0); (4;-1); (-4; 1); б) (-5;-8); (2;-1); в) (л/2; О ; (л/2;-1); (-^/2;l); (-з/2;-1); г) (-2;-2); (.3-;-!-). 949.ni = 0. 950. а = 0; а = 4. 951.2.5 и 1,5. 952.18 м; 12 м. 953.21 км/ч. 954.6 дней; 12 дней. 955.5 ч; 7,5 ч. 956.3 м/с; 4 м/с. 957.8 ч; 6 ч. 958.824 и 428. 959.8 км. 960.50 споргсменов. 961.6083.5 грн. 962.40 т, 100 т. 963.100 грн.; ЗОгрн. 964. 336 дегалей; 280 деталей. 252 Ответы и указания У<)5. 966.а) Yj-; б) в) YJ’ г) 967. 973. 974.6)306. 976. а)-1.2; 0,4; 6)6,8; в) 28,8. 977.16. 978. .Зч. 982. ш =-2; га = |. 983. 2;-42. 984. 312.3 частей. 985.3, 18. 33 или 27, 18, 9 986. 1; . 987. 2-42.989. а) 1; б) 2n^ . 990. а) 2; 6) Д. Задачи повышенной сложности 1 1 99(>.п)PetueutK. При п= 1 имеем неравенство являюи1ееся верным. При /;> I 1111 используем метод усиления. Гак как ---г> — • ■’ ' /1 + 1 2л л + 2 2/Г 1 1 11 1 ЧУ/ Х< 1 - ---+----е... + — >-и = — ; г) Указание, „г л + 1 /1 + 2 2/1 2л 2 I 1 , то /1 + л 2/1 1 ) п(л-1) /1-1 /I • 1<Ю1..т= 1; у= 1. Указание. Докажите, что ^ 2 при х> 0, причем ^* - = 2 юль- VA ,/дг ко при д = 1. 1003. 2, 3, 1 и о рыбин. 1004, 14 и 18 мальчиков. 1005. а) Если а <0, то /? + I решений нет; если д > 0, то д > 0; 6) если h < -2 или // > 3, то х< -—^ ^ = -2 или //=3, то л— любое число; если -2 <1x3, то д>—1006. а) (-оо; !]^/[3;+«>); h — 3 6) [y’*)- 1007.й = -2. 1010.й=уЗ. 1011.д = 5,5. 1012. 101.3.(-=о;_3]и{-1!и[1:+<»). 1014.й<-1 или й>3. 1016. <А<^— или 1017.й<4 или й>5. 1018.й<-1.5. 1019. При а<-\ или а= 1 —один корень; при -1 <й< 1 —два корня; при а> 1 — корней нег. 1020.й> 1. 1021.а) (8; 2); (-8;-2); 6) (1; 2); (-2,.3; -1,5); в) (1; 3); (3; 1); г) (-2; 3); (3; -2); д) (0; I); е) (2; 8); (8; 2); ж) (2; 3); (-2; -3); з) (8; 2); (-8;-2); (5; -8,5); (-5; 8,5); и) (|;|; б]; (-|;-|:-б); к) (3; 1; 2), (1; 3; 2). Указание, к) Сложив первое уравнение системы с третьим уравнением, умноженным сначала на 2, а потом на -2, получим; д-у = ±2; х + у = +2г. 1022. й =-0,75. 1023. Й--3; й = -1; й=1; й = 3 Указание. Систему можно запнеагь ь виде [(>-2й)' + {>-1)^=:4; ■{ , , Первое уравнение системы оп[-)елсляет окруокность радиуса |(д-й)"+1у-1)-=1. I кд . / | = 2 с центром в точке 0,(2й; 1), а второе уравнение — окружность радиуса гг = I с центром в точке ОгСй; 1). Система будет имегь одно решение тогда и только тогда. Ответы и ука шиия 253 когда 0|0: = /| + г2 (внешнее касание 0К1-)ужностен) иди О\0;. = гх- п (внутреннее касание). 1024. При |я| > 2 или а = О, — 2 решения; при |а| = 2 иди |а| = V3 . — 3 решения; при остальных значениях а — 4 решеная. 102.S. а = 4. 1026.а=1 или а = 2. 1027.30 и 20 детален. 1028.2 ч. 1029.60 л. 1030.4 км/ч; 5 км/ч. 1031.48; 3.3. 1032.210 км 1033.5 н 2 детали. 1034. .35 учеников. 1035.2. 1036.15-^%. 21 / \5 1037. р\\ 2-1 %. 10.Я8. 40%; 100%. 1039. 15%; 40%. 1040. Катер, плывущий но нри- Ч V / току. 1041.6 с. 1044.60. 1045. Не MOiy i. 1047.17. 1048.6. 1049.11. 1050.13. 1051. 172. 1052.24010000. 105.3.-1; 0; 1; 2 или 0; 0; 0; 0. Ю54.а = Цк~ 1), где к — 1 -1. _1 I '/з 3 3 ’ 3 ’ 3 ■ Указание. Если а-1, а. а-н 1 — искомые корни, то имеет место товдество HarypaibHoe число. 1055. — (при а1056. г = о, р - 0. /-/ (л -(а- 1))(х-а)(л--(а+ 1» = jrV-.vл-г. 1057. 3, б, 13. 1058. 1. 1059.42. 1060. 52 676 или 4, 30, 100.1062.744 сграниць'. 1064. Hei. 1066. Да. 254 Предметны й укалипел ь ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Верюятность случайного события.. 141 Гистограмма...................149 График функции.................56 — квадратической.........84 Доказательство неравенств.......7 Математическое моделирование. 128 Метод интервалов..............1U1 Неравенство — с одной переменной.....22 — квадратное.............93 — линейное...............35 — числовое................6 Нули функции...................64 Область определения функции...56 — значений функции.......56 Оценка суммы, разности, произведения, частного.........17 11реобраювания фафиков функций 72 110ЛИГ0Н частот...............148 Последовательность............164 — бесконечная...........164 — конечная..............164 — способы задания.......165 Прогрессия — арифметическая........170 — теометрическая........184 — бесконечная 1еометрическая. 196 Проценты......................133 — простые...............135 — сложные...............136 Решение неравенства с одной переменной.....................22 — системы неравенств.....39 — системы уравнений.....106 Свойства — арифмегической прогрессии .171 — геометрической прогрессии 185 — функций................64 — чиаювых неравенств.....11 Система — неравенств с одной переменной.................38 — уравнение с двумя переменными...............106 Сложение числовых неравенств.... 16 Среднее значение..............150 Статистические данные.........147 Умножение числовых неравенст в .17 Формула — п-го члена арифметической прогрессии................176 — и-го члена геометрической прюгрессии................190 — суммы первых п членов арифметической прогрессии.. 179 — суммы первых п членов геометрической прогрессии... 193 — суммы бесконечной геометрической прогрессии... 197 Функция........................56 — возрастающая, убывающая .65 — квадратичная...........83 — четная, нечетная.......66 Числовые промежутки............23 содержанир: § 1. НЕРАВЕНСТВА 1. Числовые неравенства....................................6 2. Свойства числовых неравенств...........................11 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценка значений выражений...............................................16 4. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки......22 5. Решение неравенств с одной переменной. Равносильные неравенства... 28 6. Линейные неравенства с одной переменной..................34 7. Системы линейных неравенств с одной переменной...........38 Вопросы и упражнения для повторения § 1.....................49 §2. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ 8. Функция. Область определения, область значений, график функции .. 56 9. Свойства функций.......................................64 10. Преобразования графиков функций.......................72 11. Функция у = ах^.......................................80 12. Квадратичная функция..................................83 13. Неравенства второй степени с одной переменной.........93 14. Решение неравенств методом интервалов................101 15. Системы уравнений с дву.мя переменными...............106 16. Решение задач при помощи систем уравнений...............115 Вопросы и упражнения для повторения § 2..................120 §3. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ 17. Математическое моделирование.........................128 18.11роцентные расчеты. Формула сложных процентов...........133 19. Случайные события. Вероятность случайного события....140 20. Статистические данные........:..........................147 Вопросы и упражнения для повторения § 3.....................157 §4. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВА1ЕЛЬНОСТИ 21. Чиатовые последовательности. Способы задания последовательностей. 164 22. Арифметическая прогрессия и ее свойства..............170 23. Формула и-го члена арифметической прогрессии.........175 24. Формула суммы первых н членов арифметической прогрессии.179 25. Геометрическая прогрессия и ее свойства..............184 26. Формула п-го члена геометрической прогрессии.........189 27. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии.193 28. Сумма бесконечной г еометрической прогрессии, в которой |^ < 1 .... 196 29. Решение задач, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями............................200 Вопросы и упражнения для повторения § 4..................206 Задачи за курс алгебры 9 класса..............................212 Задачи повышенной сложности..................................220 Отечественные математики.....................................228 Сведения из курса алгебры основной школы.....................230 Ответы и указания............................................242 11редметный указатель........................................254 Учебное издание Василий Ростиславович Кравчук Мария Bacwihceiia Пидручиая Галина Михайловна Янченко АЛГЕБРА Учебник для 9 класса Рекомендован Министерством образования и науки Украины (приказ №56 от 02.02.2009 года) Издано за счет государственных средств. Продажа занрешена Редакторы; Ярослав Гапюк, Ярослав Гринчишин, Сергей Мартынюк Литературное редатирование Оксаны Давыдовой, Маргариты Бильчук Обложка Светланы Демчак Подписан в печать 27.07.2009. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. 16 уел. печ. лист., 15,97 уч.-иад. лист. Тираж 61049. Заказ .Ni'09-368. Редакция газеты «П|дручники i посЮники». Свидетельство ТР 189 от 10.01.96. 46020, г. Тернополь, ул. Полесская, 6а. Тел. 8-(0352)-43-10-31,43-15-15, 43-10-21. Факс 8-(0352)-43-10-31. E-mail: [email protected] www.pp.unel.net.ua Тернопшьське видавництво ш «Шдручники i пос1бники» пропонуе до пщручника Ал1'ебра. 9 клас {Кравчук В., Шдручна М., Янченко Г.) навчально-методичний комплекс: 1. Янченко Г, Кравчук В.. Шдручна М. Алгебра. 9 клас: Книга для вчителя 2. Кондратьева Л., Тещова О. Алгебра. 9 клас: Зб1рник контрольних i самост1йних po6ix 3. Вихор С. Алгебра. 9 клас: Самостшн! та контрольш роботи 4. Олшник Л. АлгебраТчний тренажер (запитання, вцшов1д1, зразки розв’язання вправ). 9 клас 5. Возник Г, Возник О. Алгебра. 9 клас: Зб1рник тестових завдань 6. Возник Г., Возник О. Алгебра. 9 клас: Зб1рник диференщйованих контрольних i самостШних роб1т 978-966-07-1540-0 9 789660 715600 1 0 7 0 9