если sina = ^ и ^ < a < л.
136
332. Упростить выражение:
1) sin(a + P) + sin(-a)cos(-P); 3) cos^|-ajsin||-pj-sin(a-P);
2) cos(-a)sin(-P) - sin(a - P); 4) sin (a + P) + sin - aj sin (-P).
333. Вычислить cos(a + P) и cos(a- P), если sin a = -|, ^тг<а<2л,
Hsinp = ^, 0 о — период косинуса, т. е. для любого х выполняется равенство cos (jc + 7^ = cos л:. Положив jc = 0, получим cos Т = 1. Отсюда T = 2nk, ke Z. Так как Т> 0, то Т может принимать значения 2тс, 4п, 6д, ..., и поэтому период не может быть меньше 2д. #
I Можно доказать, что наименьший положительный период функции у = sinjc также равен 2т1.
143
у пр аж н е ни я
Вычислить (352—355): 352. 1) sin^Ti;
2) sin 17л;
353. 1) cos 420°; 2) tg570°;
354. 1) cos 150°;
355. 1) tg^;
2) sin^;
3) cos7л;
4) cos^л;
5) sin 720°;
6) cos 540°. 5) sini|2;
О
6) tg^л.
D
3) sin 3630°;
4) ctg960°;
2) sinl35°; 3) cosl20°; 4) sin315°.
3) cos^; 5) cos(-^);
4) sin(-l^); 6)tg(--|5).
356. Найти числовое значение выражения:
1) cos630° - sinl470° - ctgll25°;
2) tgl800° - sin495° + cos945°;
3) sin(-7л) - 2 cos - tg ^;
3 4
4) со8(-9л) + 2 sin “ ctg (“■^^) •
357. Упростить выражение:
1) сов^(л - a) + sin^(a - л);
2) сов(л - а)сов(Зл - а) - sin(a - л)sin(a - Зл).
358. Вычислить:
1) cos7230° + sin900°; 4)
2) sin300° + tgl50°; 5)
3) 2sin6,5л - ■ч/З sini|-; О 6)
4) \/2сов4,25л-^сов^|^;
8ш(-6,5л) + tg(-7 л) _ со8(-7л) + с1£(-16,25л) ’
со8(-540° ) + 8in 480°
tg405°-ctg330°
144
1)
2)
3)
sln(a-Tt) tg(n-a)
tg(a+n)
cos(|-a) ’
359. Упростить выражение:
sin|^-aj+sln(7i-a) cos(n-a)+sin(2n-a) ’
cos(n-a)+cos|-^-aj sin(n-a)-sln|^-aj
360. Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу третьего внутреннего угла.
НВ| Доказать тождество:
sin^(n-a)+sin^(^-a)
4) -------г-7---^ tg(n - а).
' 81п(л-а) '
1) sin^^+aj = сова;
2) cos^-2+aj =-sina; I Решить уравнение:
1) сов(| -дс| = 1;
2) sin( л - jc). = 1;
3) сов^|л-а| =-sina;
4) sin^-^n-aj = -сова,
3) сов(л:-л) = 0;
4) sin^x--2j = 1.
§ 29
СУММА И РАЗНОСТЬ СИНУСОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ
Задача 1. Упростить выражение:
(sin(a+i) + slfi(a-i))8ini.
А Используя формулу сложения и формулу Двойного угла, получим:
(sm(a+^) + sm(a-i))sini =
= |sinacos^ + cosasin^ + sinacos^-cosasin^jsin^ =
= 2 sin а cos• sin = sinasinj = 4sina. A 12 12 6 2
10 — Алгебра, 9 класс
145
Если воспользоваться формулой суммы синусов
• . • о « + Р а-В
sina + sinp = 2sin cos ,
(1)
эту задачу можно решить проще. С помощью этой формулы получаем:
(sin (а+^) + sin (а-^)) sin ^ = 2 sin а cos ^ ■ sin ^ = i sin а. Докажем теперь справедливость формулы (1).
О Обозначим = л:, = у . Тогда х +у-а, х-у-^ и поэто-
му sina + sinP = sin(jc + р) + sin(jc-i/) = sinJccosp + cosjcsini/ + -i- sinxcosj/-
cosjcsinp = 2sinjccosp = 2sin ^cos . •
2 2
Наряду c формулой (1) используются формулы разности синусов, формулы суммы и разности косинусов:
• -о о • «-Р «+Р
sina-sinp 2sin—r-^cos—
о о а+Р а-Р
cosa + cosp = 2cos—^cos—^,
a о . а + Р . а-Р cosa - cosP = -2sin „ sin —. ^ 2 2
(2)
(3)
(4)
Формулы (3) и (4) доказываются аналогично формуле (1); формула (2) получается из формулы (1) заменой Р на ~Р {докажите самостоятельно).
Задача 2. Вычислить sin75° + cos75°.
А sin75° + cos75° = sin75° + sinl5° =
= 2sin-^ cos^^.^^ = 2 sin 45° cos 30° = 2 2
о л/2 л/з л/б А
^ • ■ ‘ —
2 2 2
146
Задача 3. Записать в виде произведения 2sina + V3.
А 2 sin а + -ч/з = 2|sin а + = 2^sin а + sin ^ j =
Задача 4. Доказать, что наименьшее значение выражения sina + cosa равно - -ч/2 , а наибольшее равно л/2 .
А Преобразуем данное выражение в произведение:
sin а + cos а = sin а + sin|| - aj = 2 sin ^ cos^a - = л/2 cos(a - ^).
Так как наименьшее значение косинуса равно -1, а наибольшее равно 1, находим, что наименьшее значение данного выражения равно л/2 ■ (-1) = -л/2 , а наибольшее значение равно л/2 ■ 1 = л/2 . А
Упражнения
363. Упростить выражение:
1) sin(| + a) + sin(|-a);
2) cos^^-pj-cos|^ + pj;
364. Вычислить:
1) cos 105° -I-cos 75°;
2) sinl05°-sin75°;
3) cos^ +COS
3) sin^ +a j - sin^ ~ ’
4) cos^ “ 4") “ 4) ■
4) cos^-cos||;
5) sin||^-cos^;
6) sin 105° + sin 165°.
365. Записать в виде произведения:
1) 1 + 2sina; 2) 1 - 2sina; 3) 1 + 2cosa; 4) 1 + sina.
366. Доказать тождество: sin a + sin 3a
1)
cos a + cos 3a
= tg2a;
sin 2a + sin 4a
2) s-------3— = ctg a,
' cos 2a-cos 4a
147
367. Упростить выражение:
^ - 2(cos а + cos За) _
^ 2sin2a+sin4a ’
2)
1 + sin a-cos 2а- sin За
n
2 sin a + sin a-1
Доказать тождество (368—369).
368. 1) cos'* a - sin"* a + sin 2a = V2 cos^2a - ^ j;
2) cos a + cos + a j + cos - a j = 0 .
««« <4 sin2a + sin5a-sin3a „ . _
369. 1) -----------5--= 2sma;
cos a +1 - 2 sin“ 2a
sin a+sin 3a+sin 5a+sin 7a , ^
2) --------=-----=----^ = ctga.
cos a - cos 3a+cos oa-cos 7a
370. Записать в виде произведения:
1) cos 22° +cos 24° +cos 26° +cos 28°; 2) cos^ + cos-^+cos^.
Доказать тождество tg a + tg В = и вычислить:
«о-в. cos a -cos p
1) tg 267° + tg 93°;
I Разложить на множители:
1) 1- cos a + sin a;
2) 1 - 2 cos a + cos 2a;
2) tefi + teil-
3) 1 + sin a - cos a - tg a;
4) 1 + sin a + cos a + tg a.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
373. Пусть о < а < ^. Определить четверть, в которой лежит точка, полученная поворотом точки Р(1; 0) на угол:
1) ^-а; 2) а-п; 3) ^-а; 4) ^ + а; 5) а--^; 6) п-а.
374. Найти значение синуса и косинуса угла:
1) Зл; 3) 3,5л; Ъ)кк,ке2;
2) 4л; 4) f л; 6) (2/г + 1)л,/ге Z .
148
375. Вычислить:
1) sin37i-cos^;
2) cos О - cos Sn + cos 3,5ti ;
3) sinnk + cos2Ttft, где k — целое число;
.. (2Л + 1)л . (4Л + 1)л ,
4) cos^^——sin-i—, где k — целое число.
376. Найти:
1) cos а, если sin а = ^и-^<а<л;
2) tg о, если cos а = и л < а < ^;
3 ^
3) sin а, если tg а = 2л/2 и О < а < ^;
4) sin а, если ctg а = у[2 ил<а<^.
377. Доказать тождество:
1) 5sin^a + tg а cos а + 5 cos^a = 5 + sin а;
2) ctg а sin а - 2 cos^a - 2 sin^a = cos a - 2;
3) ---^-o— = 3cos^ a;
1 + tg^ a
378. Упростить выражение:
4)
1 + ctg^ a
, 2
- osin a.
1) 2 sin(-a) cos (f ~ ^ cos(-a) sin ~ 5
2) 3 sin(K - a) cos (2 “ ^ (2 ~ ’
3) (1 - tg(-a))(l - tg(K + a)) cos^ a; 4) (1 + tg^(-a))
1+ctg (-a) I
379. Упростить выражение и найти его числовое значение:
1) sin|^K-aj + sin|^n + aj, если cosa = i;
2) cos|^ + aj + cos||n-'aj, если sina = i.
380. Вычислить:
1) 2 sin75°cos75°; 2) cos275° - sin275°; 3) sinl5°; 4) sin75°.
149
проверьте себя!
1. Вычислить cosa, tga, sin2a, если sin а = | и ^<а<п.
2. Найти значение выражения:
1) 4 cos^- - tg ^ + 2 sin^- - cos n;
2) cos 150°; 3) sin ^; 4) tg ^ ; 5) cos^ ^ - sin^ §.
a a о О
3. (Задача аль-Каши.) Доказать: sinSa = 3sina - 4sin®a.
4. Доказать тождество:
1) 3 - cos^a - sin^a = 2; 2) 1 - sina cos a ctga = sin^a.
5. Упростить выражение:
1) sin(a - P) - sin^l - aj sin(-P);
2) sin^a + cos2a; 3) tg(^ - а)сов(л - a) + sin(4^ + a).
381. Упростить выражение:
1) cos^(7i-a)-cos^^|-aj;
n n
cos (2л + a) - sin (a + 2л) ^
Л
2 cos(a + 2л) cos(— a)
2
2 sin(K-a) sin|~aj
2) 2sin(|-a)cos(|-a); Tg!----;■
\ 2/ ’
Вычислить (382—383).
382. 1) sin4|21; 2) 1;g^;
6 4
383. 1) cos-^^-sini^;
4 4
2) sin^-1;g^;
384. Сравнить числа.
1) sin 3 и cos 4;
150
3) ctg^l^; 4) cos-^^. 4 4
3) 3cos 3660° + sin (-1560°);
4) cos (-945°) + tg 1035°.
2) cos 0 и sin 5.
385. Определить знак числа:
1) sin 3,5 tg 3,5; 3)
2) cos 5,01 sin 0,73; 4)
386. Вычислить:
1) sin cos ~ + sin ^ cos — О О О О 4)
2) sin 165°; 5)
3) sin 105°; 6)
387. Упростить выражение:
1) (1 + tg(-a)Kl - ctg(-a)) - sin(-a) cos(-a) ’ 2)
tgl3 . cosl5 ’
12’
5) 1 - 2 8шП95°;
-1.
ctga + tg(-a) ^ tg(-a)
388. Дано: sin а = ^ и ^<а<я. Вычислить значения cos а, tg а, ctg а, sin 2а, cos 2а .
Упростить выражение (389—391).
1) cos®a sina - sin®a cosa;
sin 2a - sin 2a cos 2a .
389 390. 1) 2) 391
4 cos a 2 cos^ 2g
2)
3)
sina+sin2g 1 + cos a + cos 2a ‘
cos 2g + sin 2a cos 2a 2 sin^ a -1
sin 4a cos 4a + sin 4a ’
1) - sin(n - ж) ;
2)
1 - sin X
co^_x_ cos(l, 5я + ж);
(cos g-sin g)^
' sin 2acos2a-cos2a ‘
3) —— sin(l, Ъп + x);
' 1 + Г''"
1 + sin X I Вычислить:
4)
-cosa:
sin _x_ со8(Зя - ж). 1 - cos X
1) tg(a + P), если tga = -| ntgP = 2,4;
2) ctg(a + P), если ctg a = | и ctg p = -1.
О
[Упростить выражение: 1) 28in|^+ 2aj8in|^-2aj;
2) 2 cos^^ + 2aj cos|2 - 2aj.
151
2
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Найти радианную меру угла 153°.
А) ’ В) ■
20 ’ 20 ’
С) 17я; D)
2я
Т’
Е)
153
п
2. Найти градусную меру угла 0,65я.
А) 11,7°; В) 117°; С) 116°; D) 118°; Е) 117,5°.
3. Какое цроизведение отрицательно?
A) cos314°sinl47°; D) sinl70°ctg250°;
B) tg200°ctg201°; Е) cos215°tg315°.
C) cosl63°cos295°;
4. Какое произведение положительно?
A) sin2cos2sinlsinl°; D) coslO°coslOcosll°cos-\/lT ;
B) tg8°ctg8ctglO°ctgVlO ; Е) tg7,5° • tg7,5 • ctg3°ctg3.
C) sin9°sin9cos9°cos9;
5. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0) для того, чтобы попасть в точку
A) 30° + nk, ke Z;
п ,
B) - д + лЛ , А: е Z;
C) g “!■ , k & Z‘j
D) 2я + nk. А: е Z;
Е) ^ + 2яА, A е Z.
6. Найти координаты точки, в которую попадет точка (1; 0) после поворота на угол ^ + 2nk, ke Z .
А) (0; 1); В) (0; -1); С) (1; 0); D) (-1; 0); Е) (0; |).
7. Записать числа в порядке возрастания: а = sin 1,57; Ь = cos 1,58; с = sin 3.
A) а < с < Ь;
B) Ь < с < а;
C) с < а < Ь;
D) Ь < а < с;
Е) а < Ь < с.
152
8. Записать числа в порядке убывания: а = cos 2; Ь = cos 2°; с = sin 2; d = sin 2°.
A) а> с > d> b; D) с > d > b > а;
B) d > с > b > а; E)d > а > b > с.
C) b > с > d > а;
9. Вычислить
sin 136° • cos 46°- sin 46° • cos 224°
sin 110°- cos 40° - sin 20° • cos 50° ‘ A) cos40°; B) 0,5; C) sin44°; D) 2;
sin 10° • cos 130°-sin 10° • cos 220°
E) -2.
10. Вычислить
sinl53°- cos 147°-sin27°• cos33
s.
A) sin80°; B) -1; C)
D) E)l.
11. Вычислить cos(-225°) + sin675° + tg(-1035°).
A) 1;
B)-l; C)J2; D) -
2 ’
E)
2
12. Найти tg2a |o < a < , если sina = 0,6
A) 3,42;
B)3f; C)^;
D) E)0,96.
13. Найти sin 2a, если tg a = л/б .
A)
14. Найти cos 2a, если tg a = >/? .
B)-|’ C)f;
D) y/E;
D) -4'
E)
^ 6
E) -1±.
coi
15. Упростить выражение В) 1;
16. Упростить выражение
А V 71 а
А) 2 + 2!
ilzj.
sin(m + а)
С) 0,5;
sin 2a+sin(n-q)cos а sin(m-a)
D)
Е) -1.
153
А) 3 cosa; В) -sinа;
О
4sin^a
С) -sina;
D) ~ COS ОС у 3si.n2oCa
о
17. Вычислить
-Y~» если tga = -s/7
5 sin a + 15cos“a A) 0,59; В) 0,49; С) -0,49; D) 0,2;
18. Найти sin^ a + cos^ a, если cos a + sin a = -.
О
e)£.
' 20
Ai
49’
Ci -•
81 ’
-Ш'
19. Вычислить sin 100° • cos 440° + sin 800° • cos 460°.
B) 1; C) -1; D) 0;
A)
' 2
E)
E)
81
ОЛ -ir sin 3a cos 3a
20. Упростить---------h-----.
sin a cos a
A) sinacosa; B) -2sin4a; C) sin4a; D) 2cos2a; E) 4cos2a.
21. Найти sin(a + P), если sina и sinP — корни квадратного уравнения 8x^ - бж -Ь 1 = о, a, P — углы в первой четверти.
А)
В)
л/3(1 + л/5)
л/2(4 + л/5)
С)
л/3(4-л/5)
D) -
16 ’
л/3(4 + л/5)
Е)
л/3(4 + л/5) 18
16 ’ ' 16 ’
22. Найти cos(a + Р), если cos а и cos р — корни квадратного уравнения 6х^ - 5л: -Ь 1 = о, а, Р — углы в первой четверти.
А)
1+2^Уб
В)
1-2л/б
С)
2л/б-1
D)
1-2л/б
Е)б-
23. Решить уравнение 2(л:-l-^/2) = cos^^-2aj-l-2sin^^-l-aj•sin(я-a).
А) B)^/2; С) -л/2; D) 2л/2; Е)-2^2.
24. Найти tg(a + Р), если tg а и tg Р — корни квадратного уравне-
ния л:^ - 7л: -Ь 12 = 0:
А) 1;
С) ^/3;
D)
154
8
Исторические задачи
Задачи Абу Райхана Беруни.
1. Из некоторой точки А верхнего края колодца, имеющего форму цилиндра, его дно видно под углом а, а из точки В, расположенной на продолжении стенки колодца, (рис. 72) — под углом р. Найти глубину колодца, если АВ = а. Д а н о : Z CAD = а, Z ABD = Р, АВ = а.
Найти: АС.
2. Из точки А минарет виден под углом а, из точки В под углом Р (рис. 73). Найти высоту минарета, если АВ = а.
Дан о :ZCAD=a, ZABD=^, АВ=а. Найти: CD = ?
Задача аль-Каши.
3. Доказать, что для любого угла а верно равенство
sin(45° +1) = ^
l+sing 2
Задача аль-Бузджани.
4. Доказать, что для любых аир верно равенство
sin(a - Р) = i/sin^ а - sin^ а ■ sin^ Р -
72л
т. е. частное не зависит от п. А
К
По определению геометрической прогрессии
Ьп + 1 =Ьп7,&„_1
Л 1 q
откуда
о
^ ~ ^п-l^n + l» п>1.
Если все члены геометрической прогрессии положительны,
то - yj^n-i^n+i , т. е. каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.
Отметим, что если b^aq заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле Однако для больших п это трудоемко. Обычно пользуются формулой п-го члена.
По определению геометрической прогрессии
\ &з = ^2? = к = и т. д.
167
Вообще
п 1^
(1)
так как п-и член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (п - 1) раз на число q.
Формулу (1) называют формулой п-го члена геметрической прогрессии.
Задача 2. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если
&^ = 81 и g = I •
А По формуле (1) имеем:
Задача 3. Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18,.... Найти номер этого члена.
А Пусть п — искомый номер. Так как &^ = 2, 5= 3, то по формуле Ь имеем:
п 1^
486 = 2 -3"-S 243 = 3" S 35 = 3" ^ откуда п-1 = 5, п = 6.А
Задача 4. В геометрической прогрессии &^ = 96 и &g = 384. Найти формулу п-члена.
А По формуле Ь^ = имеем Ь^ = b^q^, Ь^ = b^q^. Подставив данные значения Ь^ и &g, получим: 96 = b^q^, 384 = b^q^. Разделив второе из этих равенств на первое, получим:
384
96
откуда 4 = q^, или q^ = 4. Из последнего равенства находим q = 2 или q = -2.
Чтобы найти первый член прогрессии, воспользуемся равенством 96 = b^q^.
1) При q = 2 находим:
96 = &^-25, 96 = &^-32, &,= 3.
168
Если = 3 и 5=2, то формула п- го члена имеет вид:
Ь =-3
п
2) При q =-2 находим:
96 = &,(-2)5, 96 = \i-32), & =-3.
Если 6j = -3 и q=-2, то формула п-го члена имеет вид:
Ь =-3 (-2)"-Ч Ответ: & =3- 2"“^ или
п
&„ = -3 (-2)"-Ч А Задача 5.В окружность вписан квадрат, а в него вписана вторая окружность. Во вторую окружность вписан второй квадрат, а в него — третья окружность и т. д. (рис. 77). Доказать, что радиусы окружностей образуют геометрическую прогрессию.
А Пусть — радиус п-ой окружности. Тогда по теореме Пифа-
гора 2
^п + 1
откуда ..2 1 „2
^п+1 ~ ’
^ ' п +1 чг 9
^/2'”
Значит, последовательность радиусов окружностей образует геометрическую прогрессию со знаменателем . А
V2
Упражнения
428. (Устно.) Назвать первый член и знаменатель геометрической прогрессии:
1) 8,16,32,...; 3)4, 2,1,...;
2) -10, 20, -40,...; 4) -50, 10, -2,....
429. Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если:
1)&^ = 12, 9 = 2; 2)&^ = -3, 9 = -4.
169
430. Доказать, что последовательность, заданная формулой п-го члена, является геометрической прогрессией:
1)6,= 3-2*; 2)6.=5"*»; 3) = (1)" ‘
431. Для геометрической прогрессии вычислить:
1) если bj = 3 и g = 10;
2) если bj = 4 и g = i;
3) bg, если = 1 и g = -2;
3) bg, если = -3 и g = -1.
432. Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
1) 4, 12, 36,...;
2) 3, 1, |,...;
3) 4,-1, i,...;
4) 3, -4, ^,....
433. Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии:
1) 6,12, 24,..., 192,...; 3) 625,125, 25,^;
2) 4,12, 36,..., 324,...; 4) -1, 2, -4,..., 128,....
434. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если:
1) bj = 2, bg = 162; 3)bj=-128, Ь, = -2;
2) = 3,54 = 81; 4)5j = 250, Ь4 = -2.
435. Дана геометрическая прогрессия 2, 6, 18,...:
1) вычислить восьмой член этой прогрессии;
2) найти номер члена последовательности, равного 162.
436. Найти седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если:
1)б8=|»йб=81; 2)5g = 9,bg=3.
437. Найти пятый и первый члены геометрической прогрессии,
если:
1)54 = 5, 5g = 20;
2) 54 = 9, 5g = 4.
170
438. Вкладчик 2 января 2005 г. внес в сберегательный банк 30 000 сумев. Какой станет сумма его вклада на 2 января 2008, если Сбербанк начисляет ежегодно 5 % от суммы вклада?
439. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Доказать, что последовательность площадей этих квадратов является геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого квадрата.
§33
СУММА П ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Задача 1. Найти сумму:
8 = 1 + 3 + г^ + г^ + 3* + 3\ (1)
А Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3^ + 3^ + 3* + 3^ + 3®. (2)
Перепишем равенства (1) и (2) так:
S=l-t-(3-i-32-h3®-)-3'‘-)-3®).
3S = i3 + 3^ + 3^ + 3^ + 3®) + 3®.
Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S-S = 3®-1, 2S = 3®-1,
5 = 3^=Щ=1 = 8в4.А
2 Z
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию 6,, bjQ,..., ..., знаменатель которой q^l.
Пусть — сумма п первых членов этой прогрессии:
S^ = b^ + b^q+bjq^+ (3)
О
Теорема. Сумма п первых членов геометрической прогрессии со знаменателем уф\. равна'.
_ bi(l-g")
_____1-q ...
(4)
171
о Умножим обе части равенства (3) на q:
(5)
Перепишем равенства (3) и (5),выделив в них одинаковые слагаемые:
= &1 + (bi9+ b^q4... + b^q"-^), qSn = (bj^q+ bj^q^ b^q4...+ b^q'^-^) + b^q\
Выражения, стоящие в скобках, равны. Поэтому, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем:
Отсюда
S.(l-9)=b,(l-9-), S„=^^.
Заметим, что если д= 1, то
Sfi =bi+bi+... + bi =Ь^п, т. е. S^ = b^n.
-----V-----
п слагаемых
Задача 2. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 6, 2,1___
О
А в этой прогрессии = 6, 9 = | • По формуле (4) находим: "(Hif] а.;
^5—
•242 3 _ 242
1-1
3
2.
3
2-243
27 •
Задача 3. В геометрической прогрессии со знаменателем ? = |
сумма первых шести членов равна 252. Найти первый член этой прогрессии.
А Воспользуемся формулой (4): 252 = —^. Отсюда
1-1
&1-63 ^
252 = 2bi(l-^), 252 = ^, &i =128. А
172
Задача 4. Сумма п первых членов геометрической прогрессии равна -93. Первый член этой прогрессии равен -3, а знаменатель q равен 2. Найти п.
А Используя формулу (4), получаем:
_93 = z3(lz^.
1-2
Отсюда -31 = 1-2", 2" = 32, 2" =2®, п = 5. А
Задача 5. Последовательность 5,15, 45,..., 1215,... — геометрическая прогрессия. Найти сумму 5 + 15 + + 45 +... +1215.
А В этой прогрессии Ъ^ = 5, q = 3, Ь^ = 1215. Формулу суммы п первых членов преобразуем так:
_ fei(l-g") _ bl-blq'^-^q ^ bi-b^q ^ b^q-bj 1-9
1-q 1-q
Используя условие задачи, находим:
9-1
S„ ^ 1215 3 5^ 3645-5 ^ 1820. А
О—X А
Упражнения
1) *>1=|»9=2, п = 6;
l,q=‘
2)Ь^=-2, 9 = 1,п = 5;
3)Ь =1, 9 = -i, п = 4;
О
440. Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии, если:
4) bj=-5, 9 = -|. п = 5;
5) Ь, = 6, 9=1, п = 200;
6) bj = -4, 9=1, п = 100.
441. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии:
1) 5, 10, 20, ...; 2) 2, 6, 18, ....
442. В геометрической прогрессии найти:
1) bjH Ь^, если 9=2, S^=635;
2) bj и bg, если bg = - 2, Sg = 85 .
173
443. В геометрической прогрессии найти число п членов, если:
1) S„ = 189, bj = 3, q = 2;
2) S„ = 635, bj = 5, q = 2;
3) S„ = 170, bj = 256, g = -l;
4) S„ = -99, 6,=-9, q = -2.
444. В геометрической прогрессии найти:
1) n и если bj = 7, g = 3, S^ = 847;
2) n и b^, если b^ = 8, q-2, S^ = 4088;
3) n и g, если bj = 2, b^= 1458, S^ = 2186;
4) n и g, если bj = l, 5^ = 2401, S^ = 2801.
445. Найти сумму чисел, если ее слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии:
1) 1 -I- 2-ь4-I-... -I-128; S)-1 + 2-4+ ... + 128;
2) 1-1-3-1-9-1-243; 4) 5- 15-ь45- ...-1-405.
446. В геометрической прогрессии найти Ь^и S^, если:
1) Ьз = 15, Ьз = 25; 2) Ьз = 14, Ь^ = 686, q>0 .
447. Геометрическая прогрессия задана формулой п-го члена:
1) Ь^ = 3-2"“^, найти S^;
2) К = “2(1)", найти Sg.
К&ш тождество:
(х-l)(x"■■^-^-x"”^ -ь...-ь 1) = х'‘-1, где п — натуральное число, большее 1.
В геометрической прогрессии найти:
1) bj и q, если Ь^ = 135, Sg = 195;
2) Ьд и q, если = 12, Sg = 372.
кЕиЯ В геометрической прогрессии найти:
1) q, если bj = 1 vib^ + b^ = 90;
174
2) q, если b^ = 3 w. b^ + b^ = 60;
3) Sjp, если bj - bg = 15 и bg - = 30;
4) Sg, если bg - bj = 24 и bg - = 624.
§34
БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке 78. Сторона
первого квадрата равна 1, сторона второго равна ^ , сторона третье-1 “ го — 2 Я' Таким образом, стороны квадрата образуют геомет-
рическую прогрессию со знаменателем 2 '
2^
1 1 -1’ 2’ 22’
л-1
(1)
Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию
со знаменателем 4-: 4
1 i
Л ^ *3 »
I
4Э ’ •••’ 4Л-1
(2)
Из рисунка 78 видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера п становятся все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому прогрессии (1) и (2) называются бесконечно убывающими. Отметим, что у рассматриваемых прогрессий знаменатели меньше единицы.
Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию:
1 -1 i
’ 3’ 32’ q3’
(-1)
Л-1
3*=
in-1
(3)
Знаменатель этой прогрессии g = -1,
Л
аеечленыЬ,=1, Л2 =-|»^з =|’^4
ит. д.
С возрастанием номера п члены этой прогрессии приближаются к нулю. Прогрессию (3) также называют бесконечно убывающей. Отметим, что модуль ее знаменателя меньше единицы: | g |< 1.
Рис. 78
175
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
Задача 1. Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная
формулой п-го члена Ь„ = —-, является бесконечно убывающей.
5"
А По условию bi=^, откуда Q = ^ = Так
как
|д| < 1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. А
На рисунке 79 изображен квадрат со стороной 1. Отметим штриховкой его половину, затем половину оставшейся части и т. д. Площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
1 1 ^ JL JL
2’ 4’ 8’ 16’ 32’ "• •
Если заштриховать все получающиеся таким образом прямоугольники, то штриховкой покроется весь квадрат. Естественно считать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников равна 1, т. е.
4 + 4- + 4 + Дг + ^+ ... = 1.
32
2 4 8 16
В левой части этого равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму первых п слагаемых:
=i + i + l-i- ч- -1.
2 4 ^ 8 2" ■
По формуле суммы п членов геометрической прогрессии имеем:
'-(if
С —1.
2 1_1
= 12”
Рис. 79
Если п неограниченно возрастает,
то ^ как угодно близко приближается 2
к нулю (стремится к нулю).
176
в этом случае пишут:
—---> О при П —> оо
2"
(читается: « ^ стремится к нулю при л, стремящемся к бесконечности»), или lim— = О (читается: «предел последовательности при
п->~ 2" 2
Л, стремящемся к бесконечности равен О»).
Вообще, если для последовательности ai,«2* ••• ••• »(сокра-
щенно обозначают {а„}) существует число а такое, что при л—> «= модуль разности - л| —> О, то говорят, что число а является пре-
делом последовательности {а } и пишут lim а.
Так как О при л —> °о, то ^1 - ^ j -> 1 л —> «>, т. е. S^—> 1
при л оо. Поэтому бесконечную сумму + ^ + А + ••• счи-
2 4 О 16 о2
тают равной 1.
Рассмотрим теперь любую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
bj, b^q, ..., b^q" ^,..., где \q\ < 1.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогресии называют число, к которому стремится сумма ее первых л членов при л —> оо.
Воспользуемся формулой л = . Перепишем ее так:
" 1-q
= Л____
1-q 1-дУ •
(4)
Так как |^| < 1, то д" —> О, если л неограниченно возрастает. Поэтому ■ q'^ стремится к нулю при л —> °о. В формуле (4) первое
слагаемое не зависит от л. Следовательно, Sn стремится к числу bi
--— при л —> оо.
1-д
12 — Алгебра, 9 класс 177
Q\
Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
(5)
В частности, при Ь^ = 1 получаем S = • Это равенство
обычно записывают так:
1 о + о” ^ + ... = —
' ' " 1-q •
Подчеркнем, что равенство (5) и это равенство справедливы только при I g I < 1.
Задача 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1, -1, ...
АТак как &, = 1 Ь, = -4, то q = ^ = -4. и по формуле S =
2 о bi €> 1—9
получим: S = —= f -. А
'-(-I) *
Задача 3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если Ь^--1, 9 = у •
Д Применяя формулу при п=3, получаем -1 = bj ,
-1 = ^, откуда Ь, = -49.
По формуле (5) находим сумму S:
S =
_ -49
1-
-57!. А
6
7
Задача 4. Пользуясь формулой (5), записать бесконечную периодическую дробь а = 0,(15) = 0,151515... в виде обыкновенной дроби.
А Составим следующую последовательность приближенных значений данной бесконечной дроби:
178
а, =0.15 = %=0.1516 = ^ + j^.
аз =0,151515 = :^ ++
15
100 100^ 100^ ’
Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогресии:
а = Лй.+ Л^ + Л^ + _
100 100^ 100^ '
По формуле (5) получим: а = ^
1_ X УУ оо
100
Упражнения
451. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:
m i i •
3) -81,-27,-9,...;
4) —16, —8, —4,....
452. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконеч-
21 1 1 • ^3’ 9’ 27’
но убывающей, если:
1)6, = 40, Ь,=-20; 8) 6,=-30, г>,= 15;
2)6,= 12, 6i,=|; 4)Ь,=-9, ft,=-i.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
11 1 1 1 • ^ ’ 3’ 9’ ■■■’ 3)-25,-5,-1,...;
2) 6, 1, i ...; 4) -7, -1, -i, ... .
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
8)9 = l.(^ = i;
2) д = -|, =9; 4)9 = -i,b,=-i. 179
455. Является ли последовательнсють бесконечно з^ывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой п- го члена:
1) ft, = 3-(-2)”; 3) 6, =2.(-|)“
2) 6. = -3 -4"; 4)i,„=5 (-i)”''?
456. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1) 12, 4, |,
2)100,-10,1,....
457. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1) о = 1 Ь = — ' ЧЯ 2 ’ 16 ’
2)« = f,fc.=|.
458. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150. Найти:
1) если если = 75.
На куб со стороной а поставили куб со стороной ^, на него
куб со стороной Y» затем куб со стороной ^ и т. д. (рис. 80). 4 о
Найти высоту получившейся фигуры.
Рис. 80
180
ЛДВ угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 81). Радиус первой окружности равен Найти радиусы остальных окружностей R^, R^,..., R^,... и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R^ + 2 {R^
+ R^ + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
ДЗаписать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1)0,(5); 2) 0,(9); 3) 0,(12); 4) 0,2(3).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
462. Найти разность арифметической прогресии и записать ее четвертый и пятый члены:
1) 4, 4|, 4|, ...;
2) 3|, 3, 21, ...;
3) 1, 1 + V3, H-2V3, ...;
4) л/2, л/2-3, л/2-6, ... .
463. Доказать, что последовательность, заданная формулой п—го члена а^=-2(1 -п), является арифметической прогрессией.
464. В арифметической прогрессии вычислить:
1) Ug, если а ,= 6, d = ^;
2) а , еслип! = -31, d = -1.
2 ’ 7’ ^--1 - 3 ’ ” 3
465. Найти сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии, если:
1) а^ = -1, а^ = 1;
2) aj = 3, а^=-3.
466. Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если:
2) «1 =1, а„ =251, п=11.
1) а^=-2, а^ = -60, п= 10;
467. Найти сумму, если ее слагаемые — последовательные члены арифметической прогрессии:
1) -38 + (-33) + (-28) + ... +12; 2) -17 + (-14) + (-11)+... +13.
181
2) -i, 1, -2, ... .
468. Найти знаменатель геометрической прогрессии и записать ее четвертый и пятый члены:
1, -i, ...; 3) 3, л/з, 1, ...;
2) 1, -i ...; 4) 5, -5V2, 10, ... .
469. Записать формулу п-го члена геометрической прогрессии:
1)—2,4, —8,...;
470. В геометрической прогрессии найти Ь^, если :
1) Ь =2, д = 2, п = 6; 2) &1 = д = 5, п = 4.
471. Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии, если:
1) =^,д=-4, п = 5; 3) bj = 10, д = 1, п = 6;
2) Ь^ = 2, g = -i, n = 10; 4) Ь^ = 5, д=-1, п = 9.
472. Найти сумму п членов геометрической прогрессии:
1) 128,64, 31,..., п=6; f» 1^. —.«=5;
2) 162,54,18, ...,п=5;
4"^ “ — ~ п = 4
2’ д’ •••»'*•
473. Доказать, что данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, и найти ее сумму:
п 1 _1 i .
^'2’ 4’ 8’ '*■ ’
2л -1 i_____L
“’4’ 16.....
474. Найти разность арифметической прогрессии, если =2^ и Og = 23|.
475. Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если:
1) а^ = 5, ад=15; 2)ад = 8, ag = 2.
476. Между числами —10 и 5 вставить число так, чтобы получились 3 последовательных члена арифметической прогрессии.
182
проверьте себя!
1. В арифметической прогрессии = 2, d = -3. Найти и сумму первых десяти ее членов.
2. В геометрической прогрессии = 4, 9 = | • Найти и сумму первых шести ее членов.
3. Доказать, что последовательность 1, ... является
О о
бесконечно убывающей геометрической прогрессией, и найти сумму ее членов.
477. Найти девятнадцатый и первый члены арифметической прогрессии, если:
1)013=28,020 = 38; 2) Oig=-6, 030 = 6.
478. При каком значении х являются последовательными членами геометрической прогрессии числа:
2) Зх\ 2, Пх?
1) Зх, ^^,2х-1;
479. Показать, что следующие числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии:
1) sin(a+Р), sin а cos Р, sin(a - Р); 3) cos2a, cos^a, 1;
2) cos (а+ Р), cos а cos Р, cos (а - Р); 4) sin5a, sin3a cos2a, sina.
480. Сколько нужно взять последовательных нечетных натуральных чисел, начиная с 5, чтобы их сумма была равна 252?
481. Найти о^ и d арифметической прогрессии, у которой:
l)ai = 40,n = 20,S23=-40; 2)ai=i,n=16,Sig=-10|.
482. Для геометрической прогрессии вычислить:
1) Ьд, если &1 = 4 и д=-1; 2) если bi = l и д= -ч/З .
483. Найти пятый член геометрической прогрессии, если:
1) 6,= i,6,=ie; 3)Ь, = 4,Ь,=и
2) b,=-a,b,=su
183
484. Между числами 4 и 9 вставить положительное число так, чтобы получилось 3 последовательных члена геометрической прогрессии.
485. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если:
2)Ь=(-4)"^2. 3)j, 10. 4) Ь_ =—
486. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:
1) Ь2=-81, «2=162; 3)Ъ^+Ъ^=130, Ь^-Ь^=120;
2) ^2 = 33, «2=67; 4)b2+b, = 68, Ь^-Ъ^ = 60.
487. Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 40 мин., если он начал загорать в среду?
I Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если + ttg = 15 и = 80.
I Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если + ttg + ttg = о и а\ +а\+а^ = 50.
I Часы бьют 1 раз, когда показывают полбвину очередного часа, и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз часы пробьют за сутки?
f ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ VI
1. В арифметической прогрессии = 3, d = -2. Найти «^^^.
А)-9797; В)-9798; С)-7979; D)-2009; Е) -9697.
2. В арифметической прогрессии d = 4, = 5000. Найти а^.
А)-2; В) 2; С) 100; D) 1250; Е) 5.
3. В арифметической прогрессии = 1, «^^^ = 151. Найти d .
А) 4; В) 2; С) 3; D) 3,5; Е) 5.
184
4. В арифметической прогрессии а^ + ад = 20. Найти
А) 90; В) 110; С) 200; D) 100; Е) определить нельзя.
5. Найти 6-й член последовательности натуральных чисел, дающих при делении на 8 остаток 7.
А) 74; В) 55; С) 39; D) 63; Е) 47.
6. Найти номер члена прогрессии 1, 8,15, 22,..., равного 701.
А) 101; В) 100; С) 102; D) 99; Е) не является членом
прогрессии.
7. Найти номер, начиная с которого члены прогрессии 1002, 999, 996, ...будут отрицательными числами.
А) 335; В) 336; С) 337; D) 334; Е) 330.
8. В арифметической прогрессии а^ + а^ = 44, а^-а^ = 20. Найти
^100'
А) 507; В) 495; С) 502; D) 595; Е) 520.
9. В арифметической прогрессии = 7, d = 5, = 25450. Найти п.
А) 99; В) 101; С) 10; D) 100; Е) 590.
10. В арифметической прогрессии "*■ <^15 ^ Найти S^g.
А) 540; В) 270; С) 520; D) 130; Е) 260.
11. Поместить между числами 1 и 11 таких 99 чисел, которые вместе с данными образуют арифметическую прогрессию. Найти для этой прогрессии S^g.
А)172|; В) 495; С) 300; D) 178; Е) 345.
12. Найти номер, начиная с которого члены прогрессии с
- - -20,7, d = 1,8 будут положительными числами.
А) 18; В) 13; С) 12; D) 15; Е) 17.
13. В последовательности чисел, кратных 7, найти номер члена, равного 385.
А) 12; В) 11; С) 10; D) 55; Е) 56.
14. В геометрической прогрессии = 2, g = 3. Найти Sg.
А) 1458; В) 729; С) 364; D) 728; Е) правильный ответ не
приведен.
185
15. В геометрической прогрессии g = |, S = 360. Найти Ь^. А)63|; В) 81; С) 121^; D) 243; Е) 240.
О О
16. В геометрической прогрессии S4 = 10 §, S5 = 42 § . Найти q.
О о
А) 4;
В) 2; С) 8;
D)
1 .
2 ’
Е) J2.
17. В геометрической прогрессии 6 членов. Сумма первых трех равна членов 26. Сумма следующих 3 членов — 702. Найти знаменатель прогрессии.
А)4; В)3; С) |; Н)2Л; Е)|.
18. В бесконечной убывающей геометрической прогрессии 6^ = 1, iS = 64. Найти q.
А)|; В)||; Of; D)i;
19. В геометрической прогрессии д = 2-л/з. Найти S.
D)2; Е)л/3.
Е)1
А)2 + л/з;В)3; С)^;
Исторические задачи
1. Задача Беру ни. Доказать, что в геометрической прогрессии с положительными членами: = bj • b2fe+i * если число
членов нечетно; bfc • b^+i = bj • Ьгл, если число членов четно.
2. Задача из папируса Ахмеса (2000 лет до н. э.). Распределить 10 мер зерна между 10 крестьянами так, чтобы каждый следующий получал зерна на ^ больше, чем преды-
О
дущии.
Ш
Исторические сведения
В своей книге «Памятники минувших поколений» Абу Рай-хан Беруни в задаче об изобретении шахмат вычисляет сумму первых 64 членов прогрессии с Ь^ = 1 и знаменателем q = 2. Он показывает, что если вычесть из числа, соответствующего А-клетке доски число 1, разность будет равна сумме чисел, соответствующих всем клеткам, предшествующим й-й, т. е. доказывает, что q'’- 1 = 1 + q + q^ + ... + q^~^.
186
УПРАЖНЕНИЯ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 9 КЛАССА
491. Построить график функции:
1) у = + 6jc + 9; 4) у = + Зл: -1; 7) у = (jc - 2)(jc + 5);
2) у = х^
2
5) у = х^ +х;
3) у = х^ - 12х + 4; 6) у = х^ -х;
8) y = |^^x + ij(a: + 4)
492. (Устно.) Используя график функцци у = ах^ + Ьх + с, установить ее свойства (рис. 82).
493. Построить график функции и установить ее свойства:
1) у = -2х^ - 8л: - 8; 4) у = 3 + 2л: - л:^;
2) у = Зл:^ + 12л: +16; 5) у = -4л:^ - 4л:;
3) у = 2л;^ - 12л: +19; 6) у = 12л: - 4л:^ - 9.
494. На одной координатной плоскости построить график функции:
.4 12 12
1) у = -л: иу = --х ;
2) у = Зл:^ и у = Зл:^ - 2;
Решить неравенство (495—499).
3) У = ny = -^{x + 3f;
1
2 ■ " 2 4) у = 2л:^ и у = 2(л: - 5)^ -f 3.
495. 1) (л: - 5)(л: + 3) > 0; 2) (л: + 15)(л: + 4) < 0;
3) (л: - 7)(л: +11) ^ 0;
4) (л:-12)(л:-13)^0.
187
1) х^ + дх> 0; 3) jc2-16<0;
2) jc^ - JC-s/5 < 0; 4) jc2 - 3 > 0.
1) jc^ - 8jc + 7 > 0; 4) 5x^ +9,5x-l<0;
2) jc2 -Н Зх - 54 < 0; 5) -JC^ - 3jc + 4 > 0;
3) i jc^ -f 0, 5jc -1 > 0; 2 6) -8x^-H7x-2^0.
1) JC^ - 6jc -1- 9 > 0; 4) ijc^ +4JC-I-12 ^ 0; 3
2) + 24jc-H44 ^ 0; 5) 4jc^ - 4jc +1 > 0;
3) - - 4jc + 8 < 0; 6) 5jc^ -f 2jc -f - < 0.
2 5
1) x^ - lOx + 30 < 0; 4) 2x^ - 4jc +13 > 0;
2)-jc^ +JC-1 <0; 5) 4jc^ - 9jc + 7 <0;
3) jc^ + 4jc -1- 5 < 0; 6) -11 + 8x-2jc^ <0.
Решить методом интервалов неравенство (500—502):
3) (JC - 2,3)(jc + 3,7) < 0;
4) (jc + 2Хх -1) ^ 0;
500. 1) (л: + 3)(л:-4)>0;
O'» JC--lfx + 0,7) < 0;
501. 1) (x + 2)(x-l)^0;
2) (л: + 2)(л:-1)^ <0;
502. 1) ^ ^ 0;
2)
2+х 0,5 + л: х-2
3) (jc + 2)(jc -1)^ > 0;
4) (2 - jc)(jc + 3jc^) > 0.
3) < 0;
^0;
4)
X
2x
(3+л:)(1-л:)
< 0.
503. Площадь трапеции больше 19,22 см^. Ее средняя линия в два раза больше высоты. Найти среднюю линию и высоту трапеции.
504. С самолета, находящегося на высоте, большей 320 м, геологам был сброшен груз. За какое время груз долетит до земли? Ускорение свободного падения «10 м/с^.
188
505. Сторона параллелограмма на 2 см больше высоты, опущенной на эту сторону. Найти длину этой стороны, если площадь параллелограмма больше 15 см^.
506. Решить методом интервалов неравенство:
1) (лс + 2)(х + 5)(х - 1Хл; + 4) > 0;
2) (X + lK3x^ + 2)(х - 2)(x + 7) < о;
12
3)|£::i+£=|.>2j
4)
-2 •
Зас+1 х+3 ’ 1+Зл: Зл:-1 \-9х^
507. Найти коэффициенты pw.q квадратного трехчлена x"^+px + q, если этот трехчлен при д; = 0 принимает значение, равное -14, а при X = -2 принимает значение -20.
508. Найти р - q, если парабола у х^ + рх + q:
^ 12
1) пересекает ось абсцисс в точках х = --их = -;
2л о
2) касается оси абсцисс в точке х = -7 ;
3) пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке
у = -1.
509. Записать уравнение параболы, если известно, что она пересекает ось абсцисс в точке х = 5, а ее вершиной является точка
510. Зеркало отражателя телескопа (рефлектора) имеет в осевом сечении вид параболы (рис. 83). Написать уравнение этой параболы.
511. Найти коэффициенты квадратичной функции у = ах^+Ьх + с, если ее график проходит через точки:
1) Л(-1;0),В(3; 0)иС(0; -6);
2) ii:(-2;0),L(l;0),M(0; 2).
512. Доказать, что для любых неотрицательных чисел а и Ь справедливо неравенство:
1) +Ь^ ^ (а + bf; 3) а® + Ь® ^ а% + аЬ^;
2) а® <(a + bf;
4) (а + 5)® й 4(а® -f Ь®).
189
513. Доказать, что для любых положительных чисел а, Ь, с cnlpa-ведливо неравенство:
а + Ь + с
а Ь С а®+&®+с® . (
—+ - + Ь с а >3; 3) > - а^+Ь^ + с^
Ъс ас аЬ ^ , 4) а Ъ
+ — ^а + Ь + с; h +
а Ь с Ь + с с + а
^>1
514. Построить график функции:
1) у = л/^;
2) у =1 л: -11;
4) у = yjx? + 4л: + 4;
Z) у = у1х^ -6л: + 9;
515. Найти действительные корни уравнения:
1) де|-2 = 0; 3) | - л: 1= 2;
2) -4|л:|+3 = 0;
516. Извлечь корень:
5) У = \1(х - If + у1(х + If ;
6) у = yjx? -4ас + 4+ [л: + 2[.
4) 1 + л: 1= 1;
5) \х^-2\=2;
6) I - 26 1= 10.
1) f i
2) ^б|;
3)^
вь”
343а
’ « ^ 0; 4) 4|—, J, > 0.
16л:®
517. Упростить выражение:
1) (Зл/20 + 7л/Гб - л/б): л/5;
2) +
518. Сравнить значения выражений:
МГ-(Г>
519. Упростить выражение:
3) 2^ + Тв-з|;
4) 7^-л/7+0,5>Щз.
2) (2^/0^)”’" и (2^/0^f®^
1)
_2
; ЗИХба-')";
4) (27&^)з.
а
190
520. Вынести множитель из-под знака корня:
1) л/Эа^Ь, где а < О, & > О; 3) л/зо^, где а < О, & < О;
2) V25aV, гдеа>0, &>0; 4) Vl21aV, где а < О, &<0.
521. Внести множитель под знак корня:
1) хл/Е, где л: ^ О; 3) -ajs, где а > О;
2) жл/З, где л: < 0; 4) -аТб, где а < О.
522. Вычислить:
1) ^1000 (0,0001)”-"® ч-(0,027)3 -7,1” ;
2) (2^]" + :{-4Уо.
^ ^ К
523. Найти значение выражения:
' 1 1 1 '
«2 fl2ft2
1) 1 1 а - Ь
fl2-ft2 V /
2) т+2у1тп +п yjmn
п т-
1 1
а -2а2ь2 + ъ
, при а = 3, & = 12;
11 5
^-3
25
524. Решить уравнение:
2 2
1) = 2; 2) х'з = 3; 3) = 8; 4) = О.
525. Выяснить, принадлежит ли графику функции у = -~ точка:
X
1) А(л/5; - Ьу/Е; 2) В(-5л/2; 5л/2) .
526. Выяснить, принадлежит ли трафику функтщи у = Vl-2x точка: ''l л/г"'
1) С
4' 2
2)
Ч-i-O-
191
527. Найти область определения функции:
1) у = \1-х^ -Зл: + 10; 3) у - У - d
2)у-
х-7
4) У = ?|
13-2х
528. Построить график функции:
2* + 15
6
6) у -
V0,5jc + i’ yfx
2 . X - 4
1) у = + 6л: +10;
2) У = -х^ - 7л: - 6;
3) У =
s)*' = T’
1 4
6) У = -л: .
4) У =—;
X **
Выяснить по графику: промежутки возрастания и убывания функции; является ли функция четной или нечетной.
529. Указать несколько углов поворота, при котором точка Р (1; 0) перемещается в точку:
1) А (0; 1); 2) В) (0; -1); 3) С) (-1; 0); 4) D) (1; 0) .
530. Вычислить
2 sin— + cos— - tg— 4 3 3
ctg— - sin— - 2cos— 6 6 4
531. Выяснить, положительно или отрицательно число:
.4 , тс . 4 л л
1) sin-sin—COS-; 5 5 6
2) sinacos(K + a)tga, 0 < а < -.
532. Дано: sina = 0,6, sinp = -0,28, 0<а<^,л<р<
Вычислить: 1) cos(a-p); 2) sin(a + p).
533. Разложить на множители:
1) sin2a-2sina; 3) cosa-sin2a;
о\ * ■ GC
2) sina+sin-;
2
4) 1 - sin2a - cos^ a.
534. Вычислить sina, cos a, tga, если cos^ = и sin^ < 0.
535. Вычислить л-й член и сумму п первых членов арифметической прогрессии, если:
192
1) = 10, d = 6, n = 23;
3) = 0, d = -2, n = 7;
2) Oi = 42, d = -, n = 12;
4)fli=i,d = |n = 18.
536. Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если а, *= 2, а = 120, п == 20.
537. Доказать, что последовательность, п-й член которой равен
1-2п
а =
•♦я
■, является арифметической прогрессией.
538. В геометрической прогрессии найти:
1) Ь^, если bj = 5 и g = -10 ; 2) Ь^, если = -5000 и g = -10.
539. Вычислить п-й член и сумму п первых членов геометрической прогрессии, если:
1) г^= 3, g = 2, п = 5; 3) = 8, g = i, л = 4 ;
2) bj = 1, g = 5, л = 4; 4) bj = 1, g =-3, л = 5.
540. Найти сумму л первых членов геометрической прогрессии,
еслиЬ,=^, g = 2, л = 6.
4
541. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прсярес-сии:
1) 6,4,-, ...; 3) 1,--, —,...; 5) 1, —, ...;
3 4 16 2
2) 5, -1, i ...; 4) -, -, ...
5 2 4 8
6) -л/^ -1,
5
542. Вынести множитель из-под знака корня:
1) V20a^b, где а < о, Ь>0; 3) ^(а -1)^, гдеа<1;
2) ^8а‘Ь*, где а < о, Ь>0; 4) ^(3а)^, гдеа>-3.
543. Упростить выражение:
1) ----;—, где а > Ь;
3)
а-Ь
V
1 1 1
1+-+— X 3?
13 — Алгебра, 9 класс
,гдел: > 0;
04 .
2) -2--^,гдеЬ >а;
а —о
/, 1 1
4) -V - ^ ,гдех<0.
у1х^+х+1
193
544. Какое из равенств является верным:
л/7-4л/3 =2-л/3 или ^7-4л/3 = л/З-2?
545. Исключить иррациональность из знаменателя:
1)
2 + ^3 ’
2)
л1а —yjb
546. Упростить выражение: л/^ \/а
1)
+4
+ 2) у[а~^ ^ ~ 4
(а+ 2)
3)
4)
л/5 + л/б'
3)
1 1 л
а — Ь cfi -1^
8 11 11 + а*
1 1
,
2)
( ^ л/^ ' Ъ- а . • А\ ^8 8 +lP а-Ь а — Ъ
Ь + -Jab Ь - -Jab \ У 2л/аТ’ а - Ь < 1 1 а2 и
547. Выяснить, возрастает или убывает функция У = — на промежутке л: > О? ^
548. Найти область определения функции:
1) y = yjix-2)ix-S); Z)y =
2) у = yjx^ - Qx; 4) у =
x^-2yj2x+2'
3 .
2у}Зх-х^ -1-3
в) у
(Х~1)х_ х+5 ’
х^-9
549. Построить график функции и установить по графику ее основные свойства:
3 х+2
^+Г’
1
1) У =
2) у =
2-х
550. Решить уравнение:
3) у =
4) у =
X
S-X
1
X
5) у = у1х-3;
6) у = ^2-х.
1) -v/x-2 = 4;
3)
yj2x + l =у1х-1; 5)^Qx-x^=x;
2)у1х + г=8; 4)^х^+12=х; 6) ylZ-х = yll + Zx .
194
1
2
551. Упростить выражение: 1)У =
tg^g . l+ctg^a
2)
1+ctg а
9 ’
ctg'^a
3)y = .‘g“-*4;
ctga + ctg P
p p
4) (tga + ctga) - (tga - ctga) .
552. Упростить выражение:
1)
f ctg а { f 3 ^ \
Sin а — ТЕ - sm(7t + а)
1 \ 1 ^ J £
tg(7t + a)(cos(a + 2jt) + sin(a - 2n))
1 + 1
2) sin(x - 2k)cos|y - + tg(K - ac)tg|?7t + xj.
553. Решить уравнение:
1)1- cosx - 2sin- = 0;
2
554. Доказать тождество:
tg(g-P) + tgP _ cos(g+P). ^ tg(a+P)-tgP cos(a-P)’
555. Доказать тождество:
1)1 + sina = 2cos^
2) 1 + соз2л: + 2cosx = 0.
24 sin(a+P) + sin(g-P) ^ cos (g+P) + cos (g-P)
2) 1 - sina = 2sin^ - ^j.
CL
556. Внутренние углы треугольника являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии с разностью ^. Найти эти углы.
5 65
557. В арифметической прогрессии 01+05=3: ^^4 = Найти сумму первых 17 членов прогрессии.
558. Найти первые 4 члена геометрической прогрессии, если второй член прогрессии меньше первого на 35, а третий член больше четвертого на 560.
559. В геометрической прогрессии найти 6^ и Ь^, если q= Z, = = 1820.
560. Сумма бесконечной убывающей прогрессии равна f» а второй
член равен - g . Найти третий член прогрессии.
195
561. Сумма трех последовательных членов арифметической прогрессии равна 39. Если из первого числа вычесть 4, из второго 5, а из третьего 2, то полученные числа будут тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Найти эти числа.
Упростить выражение (562—563).
Е^1)л/5+^Ж; 2) л/4 + л/7.
Ца + 1) + (^[а^ -If -
+4а '^а + 'Ць
-I-
%
где О < а < 1;
2)
-1^-2 „-2^-1 а о —а о
а h-^-b
а^ЬЗ.
I Построить график функции:
4) у = х^-3\х\-4.
Вычислить sina и cosa, если tg^ = -2,4.
А
I Доказать тождество:
1) cos|a ~ y) = ®)’ cos|a " ^| = cos|a +
I Найти четыре числа, обладающие следующими тремя свойствами:
а) сумма первого и четвертого чисел равна 11, а второго и третьего равна 2;
б) первое, второе и третье числа являются последовательными членами арифметической прогрессии;
в) второе, третье и четвертое числа являются последовательными членами геометрической прогрессии.
I Пусть — сумма первых п членов арифметической про-
грессии. Доказать, что:
1) S„,3 = 3S„,3 - 3S„,i -н S„; 2) - S„ ).
196
УИРЛЖИКИИЛ
дли 11()ИТ()1МЛП1И КУРСА ЛЛГКГ.РЫ 7-9 КЛАССОВ
1. Числа и алгебраические преобразования Вычислить (569—570).
569. 1) (5,4 ■ 1,2 - 3,7 : 0,8) (3,14 + 0,86): 0,25;
2) (20,88 : 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95);
2 3
3) Г58_зП|Н_7^:152;
9 12 J 71 6 3
570. 1) [з±+20,24|-2,15 + (5,1625-2^) |;
2) 0,364:^ + -^: 0,125 + 2,5 0,8;
25 16
.. 7 _ „ 11 9 5
4) — • 9 + 8 ------1----- —'
' 36 32 10 18
3)
^3.25-||б,25 ^5,5-з||:5
(2-0.75);-
5
(-2-0.8) 1- ’ 4
4)
571. Найти неизвестный член пропорции:
[2—+1—1:27.7 ( 20 16)
fl.75 --1.75 li\— V 3 8jl2
1) JC : 7 = 9 : 3; 4) 9bl4i = Jt::0,75; 2 4
2) 125 : 25 = 35 : ж; "5 = 41’ 6- '
3) 144 : X = 36 : 3; 6 4 1 6) 0,3 : X = ^ : 3-. 9 3
572. Найти р процентов от числа а, если:
1) а = 400,р = 27; 3) а — 2500, р = 0,2;
2) а = 2,5, р= 120 ; 4) а = 4,5,р = 2,5.
573. Найти число, если р процентов от него равны Ь:
1) р = 23, 6 = 690; 3)р= 125, 6 = 3,75;
2) р = 3,2, 6 = 9,6; 4)р = 0,6, 6 = 21,6.
574. Какой процент составляет число а от числа 6:
1) а = 24, 6 = 120; 3) а = 650, 6 = 13;
2) а = 4,5, 6 = 90; 4) а = 0,08, р = 0,48 ?
197
575. Выполнить действия:
1) еЗаЗЬ)(-2а&2)(-5аЗ&0;
3) (-bab^cf ■ ;
4) (-|a‘bV) : .
2) Zba^b^c : (7ab^c);
576. Записать выражение в виде многочлена стандартного вида:
1) (л: - 6)(5 + х) - - 5л: + 1);
2) (л: + 7)(5 - л:) - л:^(л:® + 2л: - 1);
3) (&-ЗаУЧ8(а-1ь)(а + ^ф
4) (3a + 6f+4(&-ia)(& + ia).
577. Найти числовое значение выражения:
1) а® - Ьа^ при а = -0,6, Ь = 9,4;
2) аЬ^ + при а = 10,7, Ь = -0,7;
3) (т - 5)(2т - 3) - 2m(m - 4) при m = ?;
О
4) (За - 2)(а - 4) - За(а - 2) при о = | •
578. Выполнить действия:
1) (-15л:5 + 10л:'‘ - 25л;3) : (-бл:^) - 3(л: - ЗКл:^ + Зл: + 9);
2) (9a2fc3 - 12а'‘6^) : Za^b - 6^ • (2 + Za^b).
Разложить на множители (579—583).
579. 1) 1-^; 2)L-i; 3)а^ 4 9 -bU 4) - 9.
580. 1) 1-а + ^; 4 3) 49a2 - 14a + 1;
2) 0,25&2 + Ь+ 1; 4) 1 +; I8b + 8152.
581. 1) J/2 - л:у - J/ + л:; 3) 3a^ + Zab + a + b;
2) - ал: - л: + а; 4) 5a^ - - бал: - 7a + 7x.
582. 1) %т*п + 12m®n + Zm^n; 3) a2- 2ab + 52 - p2;
2) 2a^b — 4a*b + 2a®&; 4) a* + 2a252 + 5" - 4a252.
198
583. 1) x^ + Zx- 28;
2) 2x2 _ i2x + 18;
584. Сократить дробь:
3) 2x2 - 5x + 3;
4) x2 + X - 2.
1)
2) „.2
4-r
4b+2b‘
fo2-9
.2 ’
3)
4)
5a^-10ab
ab-2b‘
3jcj/-21j/2
2 »
5)
6)
x^-x-12
Jc2-16
x^-x-20
Ж-9b ' ' 4л: -2'&xy
Упростить выражение (585—589).
л;2-25
7)
8)
Зл;2-2л:-8 . 2л;2-Зл:-2 ’
2x^+x-S 2л:2+7л:+6 *
585. 1) 2)
3)
586. 1)
2)
587. 1)
2)
588. 1)
2)
589. 1)
2)
в® «2 4) /Зс\ 9с 7) 4л:(л: -i)+i
6с2 ' 4с® ’ lfe2/ ‘ ft® 4- JC® •
9fl2 ба2 5) 5а 28ft2 • 8aft 7ft 5а® ’ 8) л:2-4(;с-1) . л:-1 *
/4af ft" . 6) ( 25aV> -21с
(ft®) 8в’ 1 J 10a®ft® 9
а-3 а2_,.27 а+1 x+1
а+3 fl2_9 > о) -ах 2 2 a'^-a: 9
а®+12 а+3 3-а 3-ft
а®-4 а-2 > аЬ-с? ft2-a2 '
4 9 8а 3) In h -2ja&
a-ft a+ft a®-ft2 ’ \b а >
42 8 7 4) 1 1 \ ,
40®-9 ' 2а+3 ' 3-2а у («■'ft" .
1 л: л:-9 3) a®
(л:+3)2 ■ л:®- 9 л;2-9 9 a + b- • a-1 ’
а+6 1 (а+2)2 4) —-a + 1.
а® -4 а® -4 а a+1
ft2 _ / 2аЬ ft \ Q4 " 2xy у V y^
а^-2аЬ la® _4ft2 a+2ft J > Ч x-Sy у x^+Sxy
^ л:г/ г/ Y Зг/ /2a+l 2a-l\ 10a- 5
х^-у^ 2* ч -2у У “V 9 4) ^2a-l 2a+l / 4a •
л:-2 ’
199
590. Упростить выражение и найти его числовое значение:
fl + 3
а + 1 6
1) ---- + -^-------г
' а-1 а“-1 а + 1
при а = -9;
&+5 3 &+1
2) при& = -8;
3)
4)
а-2
а—3
Ь + 1
а^-6а + 10
а^-9
2
fl + 3
при а = -1-;
'ь^ + 9 ^ 2 '
b^-ie ь+4
&-4
591. Вычислить:
1) (if-3’' :3-^
592. Сократить дробь:
при Ь = 4-
a + yjs
аГ-г ’
x-yj2
2) 1377
2) (-6)” • в!-"* • 27®
у-9у^ 3)——
4)
У
4+3
х+х^
х-1
Вычислить (593—595). 1) (б-Зл/Ю(б + Зл/5); 3) (Зл/5-2720)л/б;
2) (л/5-1)(л/5+1); 4) (l-V3)4(l + V3f.
594. 1) 4^/3-^/з(^/^6-^/з); 4) л/50-л/32-1л/18; О
2) 6л/2-л/2(л/2 + л/Зб); 5) Ш + зТ -3yj8;
3) Vi8-V^-iVl2 ; 2 6) (2-л/зГ +2V12 .
л 595. 1) (-\/4 + >/7 + ^4 — л/т) : 1 1 5-S 5 + л/б’
2) (>/з-л/5-^З + л/бГ; 1 1 7 + 4л/з ^ 7-4л/з '
200
1
596. Упростить:
1)
1 1
+
3->^ 3+^’
1 1
3->/2 . 3+yj2
3+>^ 3->^’
3 3
б->/3 5+>/з ’ >/3->/2 >/з + 72 ■
597. Записать число в стандартном виде:
1) 0,00051;
2)
500
3) 250000; 4)
3
2500
Вычислить (598—599).
598. 1)
(0,25)® 8®
- (if'
599. 1) Vs, 75® -8,75® -7,25 ;
2)
2)
0,625 • 6,75^ -3,25^ 0,625 V3,52 + 7-2,75 + 2,75^
в(Ю. Упростить выражение при х > 0, у > 0:
1)
2)
/' 1 1
а 2-52 1 1
a2+fc2
0 . 9 2) ; 3) ^27х®
выражение:
1 > 1 1 1 г 1
2a2fc2 a-2a2fc2+5 »-2 х2
а-Ь а+Ъ ’ 3) , 1
у 1+х2 1-х2 ч
1 > 1 1 /
о2 .. m+2m2+l
1 1 а2+а а2+1
1 »
а2-1
4)
1
2т2
1 1 \ 2щ2 4т2
1 щ-1
щ2 -1
2. Уравнения
Решить уравнение (602—614).
602. 1) 8(3;с - 7) - 3(8 -х) = 5{2х + 1);
2) 10(2;с - 1) - 9(х - 2) + 4(5;с + 8) = 71;
3) 3 + дг(5 -х)^{2- х^х + 3);
4) 7 - х(3 + х) = {х + 2)(б - X).
201
603. 1) ^-^ = 2;
О 7
2)
604. 1)
2)
fix—О Q
3 5
4 _ 9
3(jc+2) 8JC+11 ’
1 _ 3
3(jc-l) 2(jc+6) ’
605. 1) х(х - 1) = 0;
2) (jc + 2)(х - 3) = 0; ;
606. 1) X® + Зх = 0;
2) 5х - х2 = 0;
3) 4х + 5х^ = 0;
4) -6х^ - X = 0;
607. 1) 2х" + X - 10 = 0;
608. 1) 7х^ - 13х - 2 = 0;
04 14-х 3jc+1 о
3) -------— = о :
2х-5 6jc+1 _ 2
4)£4 + -1- = 2.
х-3 х+3
3) x|^2x-ij(4 +Зх) = о (Х-5К.Г+1) _ Q
^ х^+1 ’
5) 2x2 - 32 = 0;
6) 2-^ = 0;
7) (if-1 = 0;
8) х' - 8 - 0.
2) 2x2 - X - 3 = 0;
2) 4x2- 17х- 15 = 0.
609. 1) (Зх + 4)2 -н 3(х - 2) = 46; 3) (5х - ЗХл: + 2) - (х + 4)2 = 0;
2)2(1 - 1,5х) + 2(х-2)2 = 1; 4)х(11-6х)-20 +(2х-5)2 = 0.
610. 1)|х| = Ь 3)|3-х| = 2; 5) |2,5-х| + 3 = 5;
2)|х-1| = 4; 4)|3х|-3х = б; 6) |3,7 + х|-2 = 6;
611. 1)
2х+9 .2
- 6 = 5х;
2) JEL-£1£ = 4;
х—2 х—2
..ч X х—1 -
4) = 1
^ (x+6f х+6 ■
202
612. 1) - 17x2 +16 = 0;
2) - 37x2 + 36 = 0;
3) Зх-* - 5x2 _ 12 = 0;
4) X* — Зx^ -4 = 0.
613. 1) Vx + l-5 = о; 3) V5-X-1 = х; 5) 7x--n/2jc+^ = 5х;
2) 6-yJx + 3 =0; 4) 3 + \/х-5=х-4; 6) 12х-л/5х-4=11х.
614. 1) 2^-1 = 64; 2) З^-* = 27; 3) З* » = 27; 4) 72* ^ = 49.
615. Решить уравнение графическим способом:
1) х2 = Зх + 2; 3): - = 6-х; Г 4
2) X® = -X - 2; 4) X ^ = 2х - 1; Решить систему уравнений (616—618). 6) \/х = 6 - X .
fx + у = 12, 616. 1) ( „ ^ [х-у = 2; 3) 2х + Зу = 11, 2х - у = 7; g. |3х + 5у = 4, ^ [2х-у = 7;
Гх + у = 10, 4) Зх + 5у = 21, 6х + 5у = 27; gj J4x-3y = 1, [Зх + у = -9.
617. 1)
2)
2х _3у „
3 4 ’
-х + -у = 5; 2 4^
3 2 „
-X + -у = 12-\
4 6*^ 6
3)
4)
618. 1)
jx-y = 7, \ху=18;
Гх -U = 2,
2>W=16;
Гх + У = 2,
®>W = -15=
Гх + У = -5, 4) 1
' \ху = -36;
i(x + ll) = ±(j/ + 13) + 2, 5х = Зу + 8;
i(x + 3y) = i(x + 2^/), х + Ъу = 12.
5)
6)
х"+у"=13, ху = 6;
х^+у^ =41, ху = 20.
203
3. Неравенства
Решить неравенство (619—620).
619. 1) 3x-7<4(jc + 2); 3) 1,5(х-4)-н2,5х < х-н 6
2) 7-6x>i(9x-l); О 4) 1,4(х-н5)-н1,6х > 9 + X
620.
5 4 .V 2х—5 3—2х . х+2 «4-6 4
621. Решить систему неравенств:
Гх + 5>5х-3, ^ [2х - 5 < 0; [-0,2х>1;
Г2д: + 3г0, [х - 7 < 4jc -1; ГЗх-2^10-х, 4) < ' [-0,5х<1.
622. Найти все натуральные решения неравенства:
^ ч х-2 . JC—8
' 6 3
х+5 х—5
2) -- >---+ X .
^2 4
623. Найти все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств:
3)
^ |2(jc + l)<8-x, ^ |-5х-9<6;
' [-4х + 7>-5;
Зу + Н*^>2,
6 9 3
1-У ^
624. Найти все целые отрицательные числа, удовлетворяющие си-
стеме неравенств •
3jc—2 „ 1 2jc-1' 3jc+2
-----+ 2- >--------------,
4 2 3 6
2х—5 Зх—1 ^ 3~х 2х—1
~3 ^ ~5 4~'
204
625. Решить квадратное неравенство:
1) - Зх + 2 > 0; 4) + Зх - 1 > 0; 7) 2х^ - х - 1 < 0;
2) х2 - 2х - 3 ^ 0; 5) 3 + 4х + Зх^ <0; 8) Зх^ + х - 4 > 0.
3) х^ - 7х + 12 > 0; 6) X - X* - 1 ^ 0;
626. Решить неравенство:
1)|х|>1; 2)|x-ll<2i; 3) 1х - ll > 3; 4) 1х - l| < 2.
U 3
627. Решить методом интервалов неравенство:
1) (х - 1)(х + 3) > 0; 4) х(х - 8)(х - 7) > 0;
2) (X + 4)(х - 2) < 0; 5) (х-1)(х"-i) ^ 0;
3) (х + 1,5)(х - 2)х > 0; 6) (х + 3)|х^ -i) <0.
628. Сравнить числа:
1) 5у12 и 7; 3) 10^/n и llVlO ; 5) 3^ и 2^0;
2) 9 и 4л/5 ; 4) 5ч/б и бл/б ; 6) 2^3 и >/2 ^.
4. Задачи на составление уравнений
629. Сумма двух чисел равна 120, а их разность равна 5. Найти эти числа.
630. На путь по течению реки катер затратил 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Найти скорость течения реки, если скорость катера относительно воды равна 25 км/ч.
631. Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за 2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки относительно воды равна 16 км/ч.
632. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения реки.
633. Периметр равнобедренного треугольника равен 5,4 дм. Боковая сторона длиннее основания в 13 раз. Найдите длины сторон треугольника.
634. Скорость трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в
205
20 км на 12 мин. быстрее, чем трамвай старой конструкции. За какое время новый трамвай проходит этот маршрут?
635. Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса. При этом его рейсовая скорость увеличивается на 8 км/ч, а время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин. За какое время автобус проходит этот маршрут в режиме экспресса?
636. Одно фермерское хозяйство собрало со своего участка 875 ц пшеницы, а другое с участка, меньшего на 2 га, — 920 ц пшеницы. Сколько центнеров пшеницы собрало каждое хозяйство с 1 га, если известно, что во втором хозяйстве с 1 га собрали на 5 ц пшеницы больше, чем в первом?
637. При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за 2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каждый насос, работая отдельно, если один из них может эту работу выполнить на 2 ч быстрее другого?
5. Функции и графики
638. Выяснить, принадлежит ли точка А графику данной функции; найти координаты точек пересечения графика этой функции с осями координат и значение функции при х = —2:
1) у = 3 - 0,5л:, А (4; 1); 3) у = 2,5л: - 5, А (1,5; -1,25);
2)у = ^х-4, А(6; -1);
4)у = -1,5л: -1- 6, А (4,5; -0,5).
639. Построить графики функций (в одной координатной плоскости):
1)у = 3х,у = -Зх; 3)у = х-2,у = х + 2;
У = \х,у = -^х; 4)у = -х-2,у = 2- X.
640. Построить график функции:
1)у = х^+2^; 3)y = {x + 2,bf-\;
2) у = (л: - ; 4) у = л:^ - 4л: -Ь 5;
641. Пайти координаты вершины параболы:
1) у = л:^ - 8л: -1-16; 3) у = л:^ -I- 4л: - 3;
2) у = х^ - Юл: -I- 15; 4) у = 2л:^ - 5л: -I- 3.
206
5) у = л:^ -I- 2л: - 3;
6) у = —х^ - Зх + 4.
642. Найти наибольшее или наименьшее значение функции:
\)у = - 1х - 10; Ъ)у = х^ - X -
2)у = -х^ + 8х + 7; 4) ^ = 4 - Зх -
643. Построить в одной координатной плоскости графики двух данных функций и определить, при каких значениях х равны значения этих функций:
1)у = х^-4:иу = Зх; 2) у = (х + ЪУ + у ^ -х.
644. Построить эскиз графика и перечислить свойства функции:
1)у = х^; 2)у = х^; 3)у = ^; 4) у = ^.
645. Сравнить значения выражений:
1)^ и
2) - f ? •
646. Построить график функции и найти значения х, при которых у = 0,у>0,у<0:
1) у = 2x^-3; 3)у = 2(х-1Г; 5) у = 2(х - ЗУ + 1;
2) у'=-2x^ + 1; 4) у = 2(х + 2У; 6) у =-3(х - 1У + 5.
6. Элементы тригонометрии
647. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку F (1; 0), чтобы получить точку с координатами:
1) (|;_|); 2,(-|;-|)=
648. Упростить выражение:
1)
1 + tg^a
1 + ctg а 649. Доказать тождество:
2) (1 + tga)(l + ctga) -
sin а cos а
1)
l-(sina+cosar sin a cos a-ctga
= 2tg"a;
tga-sinacosa _ 1 .
----------5----— Ig IX .
(sin a-cos a) -1 ^
Упростить выражение (650—651).
650. 1) sin^(a -t- 8л) -t- cos(a -I- Юл); 2) cos^(a -t- 6л) -t- cos^(a - 4л),
651. 1)
1-2 sin a sin 2a
sin 2a 2cos*a-l
2)
sin 2a
2(1-2cos a)
sinacos(n-a)
l-2sin^a
207
COS^JC
sin^jc
= SinjC +COSX.
652. Доказать тождество
1-sin лс l+cosjc
653. Вычислить:
Jo jj
1) sin2a,если cosa = -— и - <а<л;
1 ® “
2) cos2a, если sin a = - .
О
654. Найти значение выражения:
1) cos765° - sin750° - cosl035°; 2) sin^^ + cos 690° - cos^
О О
655. Найти значение выражения, если tga = 2:
1)
sin^a+sin а cos а
2)
2-sin а
cos“a+3 cos а sin а ’ 3 + cos“a
656. Известно, что tga + ctga = 3. Найти tg^a + ctg^a.
657. Упростить выражение:
cosa + sina Л п\ j. 2(п \ l-sin2a
1)-----------tg - + а I; 2) tff —а|------------.
cosa-sina у ” у l+sin2a
о
658. Упростить выражение
sin(-a)-sin(2,5n+а)
7. Прогрессии
659. Найти разность арифметической прогрессии, если а^= 7, а„ = -5.
660. Найти первый член арифметической прогрессии, если = 4, d = 0,5.
661. Вычислить первый член и сумму п первых членов арифметической прогрессии, если:
1) = 459, d = 10, п = 45; 2) = 121, d — -5, /г — 17.
662. Найти номер п, если в арифметической прогрессии = -2, а. = -6, а — -40.
663. Найти сумму десяти первых членов последовательности, заданной формулой и условием = 1024.
208
664. В геометрической прогрессии найти:
1) п, если bj = 5, 9 = -10 и -5000;
2) q, если = 16 и = 2;
3) bj, если Ьд = 16 и 6g = 2
4) если bg = 16 и bg = 1.
665. Найти сумму чисел 3 + 6 + 12 + ... + 96, если ее слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии.
666. Вычислить первый член и разность арифметической прогрессии, если:
1) ^ — 25, 0^0 — —3; 3) ^ ^ — 4, + (1ц — 8;
2) 04 = 10, (ц = 19; 4) Од + 04 = 16, а^-а^= 28;
667. Найти десятый член арифметической прогрессии, если:
1) Од = -5 и 0^4 = 7; 2) Од + o^j = -10; 3) Og + o^g + =12.
668. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, у которой S^ = -35 и ^42= -1680.
669. Является ли геометрической прогрессией последовательность,
заданная формулой п-го члена: ^
1)4.--3“: 2) 4.-2»"; 3)6. 4)'’.=^’
670. Вычислить знаменатель геометрической прогрессии, если:
l)b4 = 12,Sg = 372; 2) Ь^ = 1, Sg = 157.
671. Найти первый член, знаменатель и формулу /г-го члена гео-
- и ^ г, 1
метрической прогрессии, если = -- и О4 = .
672. Найти четвертый член и знаменатель геометрической прогрессии, если bg=-6 и bg=-24.
673. Между числами i и 27 вставить три числа так, чтобы получи-
3
лось пять последовательных членов геометрической щклрессии.
674. В геометрической прогрессии найти:
1) bj и bg, если g = 3, Sg = 484;
2) bj и g, если bg = 0,024, Sg = 0,504.
675. Вычислить первый член и знаменатель прогрессии, если:
1) \ + bg= 20, bg + bg = 60; 2) \ + bg= 60, Ь^ bg= 51.
14 — Алгебра, 9 клаг.с 209
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО КУРСУ АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ
Числа и числовые выражения
1. Число. Множество натуральных чисел: 1, 2, 3 ... . Множество целых чисел: 0; ±1; ±2; ±3; ....
Множество рациональных чисел — числа вида ^, где т — це-
лое число, п
натуральное число. Например, числа 2; — раО I
циональные числа.
Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Например, ^ = 0,4; - = -0,333 = -0, (3).
и о
Множество иррациональных чисел — множество бесконечных непериодических десятичных дробей.
Например, 0,1001000100001... — иррациональное число. _ _
Иррациональными числами являются также числа л/з, л/б.
Множество действительных чисел — рациональные и иррациональные числа.
2. Числовые промежутки —отрезки, интервалы и полуинтервалы, лучи.
Отрезок [а; Ь] — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ъ, где а<Ь. Например, отрезок [2; 5] — это множество чисел X, удовлетворяющих неравенствам 2 < л: < 5.
Интервал (а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < X < Ь, где а < Ь. Например, интервал (-2; 3) - это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам -2 < л: < 3.
Полуинтервал [а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х <Ь; полуинтервал (а; Ь] — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < хйЬ. Например, полуинтервал [3; 8) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 3 ^ л: < 8. (-4; 2] — множество чисел х таких, что -4 < л: < 2.
Луч — множество чисел, удовлетворяющих неравенству х> а, или х<а, или х'^а, или л:^а. Например, луч х> 5 — множество чисел X, не меньших 5.
210
3. Модуль числа а (обозначается | а |) определяется формулой
II а, если а > О,
\а\= <
[-а, если а < 0.
Геометрически | а | — расстояние от точки 0 до точки, изображающей число а; I а - Ь I — расстояние между точками а и Ь.
Для любого числа а выполняется неравенство | а | > 0, причем I а I = о только при а « 0.
Неравенству | л: | <а, где а > 0, удовлетворяют числа х из отрезка [-а; а], т. е. такие числа х, что -айхйа.
Неравенству | л: | < а, где а > 0, удовлетворяют все числа х из интервала (-а; а), т. е. такие числа х, что —а<х<а.
Неравенству | л: | > а, где а > 0, удовлетворяют все числа л: < -а и числа х>а.
Неравенству | л: | > а, где а > 0, удовлетворяют все числа л: < —а и числа х> а.
4. Числовое выражение — запись, состоящая из чисел, соединенных знаками действий.
Например, 1,2 • (-3) - 9:0,5 — числовое выражение.
Значение числового выражения — число, полученное в результате выполнения действий, указанных в этом выражении. Например, число -21,6 — значение выражения 1,2 • (—3) — 9 : 0,5.
б.Порядок выполнения действий.
Действия первой ступени — сложение и вычитание.
Действия второй ступени — умножение и деление.
Действие третей ступени — возведение в степень.
1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняются в том порядке, в котором они записаны.
2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключенными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1.
3) Если вычисляется значение дробного выражения, то выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе и первый результат делится на второй.
211
4) Если выражение содержит скобки, заключенные внутри других скобок, то сначала выполняют действия во внутренних скобках.
6. Стандартный вид числа—запись числа в виде а * 10", где 1 ^ 1 а I <10, п — целое число, а — мантисса числа, п — порядок числа. Например, 345,4 = 3,454 • 10^, 0,003 = 3 • 10 -0,12 = -1,2 • Ю'Ч
7. Погрешность приближения.
Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением. Если а — приближенное значение, ах — точное, то абсолютная погрешность равна | л: - а |.
Запись х = а± h означает, что абсолютная погрешность приближения не превосходит Л, т. е. 1 л: - а|^h, или а - h^x^a + h. При этом говорят, что X равно а с точностью до h. Например, запись-71 = 3,14 ± о, 01 означает, что | тг - 3,14 | < 0,01, т. е. число п равно 3,14 с точностью до 0,01.
При округлении положительного числа с недостатком с точностью до 10“" сохраняются п первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются. Например, при округлении числа 17,2397 с недостатком до тысячных, т. е. до 10“®, получаем 17,239, до сотых — 17,23, до десятых — 17,2.
При округлении положительного числа с избытком с точностью до 10“" п-й знак после запятой увеличивается на единицу, а все последующие отбрасываются. Например, при округлении числа 2,5143 с избытком до тысячных получаем 2,515, до сотых — 2,52, до десятых — 2,6.
Погрешность округления в обоих случаях не превосходит 10“".
Округление с наименьшей погрешностью: если первая отбрасываемая цифра данного числа меньше 5, то округляют с недостатком, а если эта цифра больше или равна 5, то округляют с избытком. Например, при округлении числа 8,351 до сотых получаем 8,35, а при округлении до десятых — 8,4.
Запись л: * а означает, что число а является приближенным значением числа X. Например, -s/2 *« 1,4.
Относительная погрешность — частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значения величины. Если X — точное значение, а — приближенное, то относительная погрешность равна
212
\х-а\
Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Например, если точное значение величины равно 1,95, а приближенное значение равно 2, то относительная погрешность приближения равна
= о, 25 или 2,5%.
|2|
Ж
Алгебраические выражения
8. Алгебраическое выражение — выражение, состоящее из чисел и букв, соединенных знаками действий. Примеры алгебраических выражений:
2(т + п); За + 2аЬ -1; (о - bf; _
г
Значение алгебраического выражения — число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами. Например, числовое значение выражения За -f- 2аЬ — 1 при а = 2 и Ь = 3 равно 3-2 + 2- 2*3-1 = 17.
9. Алгебраическая сумма — запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединенных знаками «+» или «—».
Правила раскрытия скобок.
1) Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы, например: .
14 + (7 - 23 + 21) = 14 -1- 7 - 23 -К 21,
a + ib-c-d) = a + b- c-d.
2) Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный, например,
14 - (7 - 23 -1- 21) = 14 - 7 + 23 - 21,
а -(b-c-d) = a- b + c + d.
10. Одночлен — алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числовых и буквенных множителей.
Примеры одночленов: ЗаЬ; ~2аЬ^с^; а^; а; 0,6ху^у^;
213
Например, числовыми множителями одночлена За^(0,4) • Ь(-5)с® являются 3; 0,4; -5, а буквенными — а^, Ь, с®.
Одночлен стандартного вида — одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями.
Чтобы записать одночлен в стандартном виде, нужно перемножить все его числовые множители и поставить их произведение на первое место, затем произведения всех одинаковых буквенных множителей записать в виде степеней.
Коэффициент одночлена — числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Например, коэффициент одночлена ^ abc^^ равен ^, коэффициент одночлена -7а^Ь равен -7, коэффициент одночлена а^Ьс равен 1, коэффициент одночлена —аЬ^ равен-1.
11. Мно гочлен — алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Примеры многочленов: 4аЬ^с® — одночлен, 2аЬ - ЗЬс — двучлен, 4аЬ + Зас — Ьс — трехчлен.
Члены многочлена — одночлены, из которых состоит многочлен. Например, членами многочлена 2аЬ^ - За^с -I- 7Ьс - 4Ьс являются одночлены 2аЬ^, -За^с, 7Ьс, -4Ьс.
Подобные члены — одночлены, отличающиеся только коэффициентами, или одинаковые одночлены.
Приведение подобных членов — упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом, например:
2аЬ - 4Ьс + ас + ЗаЬ + Ьс = 5аЬ - ЗЬс + ас.
Стандартный вид многочлена — запись многочлена, в которой все члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.
Действия над одночленами и многочленами.
1) Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены, например:
(2а^Ь - ЗЬс) + {а^Ь + ЪЪс) - (За% - Ьс) =
= 2а^Ь - ЗЬс + а^Ъ + ЪЪс - За^Ъ + Ьс = ЗЬс.
214
2) Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить, например:
{2аЬ - 3&с)(4ас) = (2afc)(4ac) + (-3fcc)(4ac) = 8а%с - 12аЪс^.
3) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить, например:
(5а - 2&)(3а + 4Ь) = (5а)(3а) + (5а)(4&) +
+(-2&)(За) + (-2Ь)(4&) = 15а^ + 14аЬ - 8Ь^.
4) Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить, например:
- 12a^fc^) : (2аЬ) = (4a®fc^): (2аЬ) + (-12а^Ь^) : (2аЬ) = 2а^Ь - баЬ^.
12. Формулы сокращенного умножения.
1) (а + bf = + 2аЬ + ;
2) (а - bf =а^ - 2аЬ + Ь^;
3) (а + bf = а® + 8а^Ь + З&^а + fc® = а® + Sab{a + b) + b^;
4) {a-bf =а^-Sa^ + Sab^-b^ = a® -3ab{a -b)-b^;
5) -b^ = {a + b)(a - b);
6) +b^ = (a + b)(a^ -ab + b^);
7) -b^ = (a - b){a^ +ab + b^).
13. Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов, например, - 9у^ = {2х + Зу)(2х - Зу).
При разложении многочлена на множители используются следующие способы.
1) Вынесение общего множителя за скобку, например:
Зал: + бау = За(л: -f- 2у).
2) Способ группировки, например:
а® - 2а^ - 2а + 4 = (а® - 2а^) - (2а - 4) =
= а^ (а - 2) - 2(а - 2) = (а - 2)(а^ - 2).
215
3) Применение формул сокращенного умножения, например:
9х^ -~у^ ={3х + - у){3х - - у);
16 4 4
27л:® + 8/ = (Зл: + 2у^ )(9лг® - бхг/^ + 41/“ );
2® -142 + 49 = (2 - 7)®.
Разложение квадратного трехчлена на множители — представление его в виде ах^ + Ьх + с = а{х — л:^)(л; - лг2), где и лг2—
корни квадратного уравнения ах^ -Ь Ьл: -f- с = О, например:
2д:2-1-Зл: - 2 = 2
-- \(х + 2).
14. Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой — алгебраические выражения.
Примеры алгебраических дробей: ° Предполагает-
с а+1
ся, что буквы, употребляемые в записи алгебраической дроби, могут принимать только такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю.
Основное свойство дроби: при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь, например:
а-Ь (а - Ь)(а -Ь) (а - Ь)®
2 .2 а -Ь
а + Ъ (а + Ь)(а - Ь)
Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель числителя и знаменателя, на-
пример:
2 ,
X - 1
~з 7
X -1
(X - l)(x + 1)
JC + 1
(л: - 1)(л:^ + л: + 1) х^ + х + 1
Сложение и вычитание алгебраических дробей проводятся по тем же правилам, которые применяются для числовых дробей.
Для нахождения алгебраической суммы двух или нескольких дробей эти дроби приводят к общему знаменателю и используют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
2 равен а^Ь^, по-
Например, общий знаменатель дробей — и
\ \ _ ь а _ъ + а о ь
этому 2 2 ~ 2.2 2.2 ~ 2.2 *
а Ъ аЪ а Ь а Ь а Ъ
аЪ
216
Умножение и деление алгебраических дробей проводятся по тем же правилам, которые применяются для числовых дробей, на-
га Ь 2аЬ
пример:-------=-------
ЗЬ 4а ЗЬ-4а
, 2 2 _ 1 . X -у
6 2ху
х + у
(х^ - у^) ■ 4х
Чх - у)
4х 2ху{х + у) У
15. Т ождество — равенство, справедливое при любых допустимых значениях входящих в него букв. Например, тождествами являются равенства:
а^ -Ь^ = (о - Ь){а + Ь), л/^ = |а|; sin^ а + cos^ а = 1,
2 ,
а -1
= 0 + 1.
Степени и корни
16. Степень числа а с натуральным показателем п,
большим 1, — произведение п множителей, равных а , т. е.
о" = а- а- ...• а.
Например, 2® = 2• 2■ 2, т® = т т т т-т .
5 раз
В записи степени а" число а — основание степени, п — показатель степени. Например, в записи степени 2® число 2 — основание степени, число 3 — показатель степени.
Первая степень числа — само число: a^= а. Например,
3^ =3, f—1
\^13 I 13
13
Действие возведения в степень — нахождение степени числа.
Основные свойства степени:
1) При умножении степеней с равными основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются:
ап. а’^ = а"+'”;
2) при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются:
а": а”' = а’'~
3) при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются:
(а")"* = а""*;
217
п раз
4) при возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель:
(а • Ь)" = а" • Ь";
5) при возведении дроби в степень в эту степень возводятся числитель и знаменатель:
17. Квадратный корень из числа а — такое число, квадрат которого равен а. Например, 6 — квадратный корень из числа 36; число -6 также квадратный корень из числа 36.
Извлечение квадратного корня — действие нахождения квадратного корня. Извлечь квадратный корень можно только из неотрицательного числа.
Арифметический квадратный корень из числа а — неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначается так: л[а. Например, л/1б = 4, Vl44 = 12.
Выражение л/а имеет смысл только для а ^0, при этом
л/а ^ о, (л/а)^ = а.
Свойства квадратных корней:
l)yfab -yfa-yfb , если а>0, &>0. Например,
л/28224 = л/144 196 = л/144 • =12 14 = 168 .
4а fl69 л/169 13
viH=' li •
3) л/а^" = а", если а>0, п — натуральное число. Например,
7^ = 3® = 27 .
Эти свойства используются при преобразовании выражений, содержащих квадратные корни. Основные из этих преобразований — вынесение множителя из-под знака корня:
4а% = ал/ь , если atO, Ь^О ; и внесение множителя под знак корня:
ajb = 7а^6 , если 0, Ь> 0.
218
Уравнения
18. Уравнение с одним неизвестным — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.
Пример уравнения: 2л: + 3 = Зл: + 2, где л: — неизвестное число, которое нужно найти.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 3 — корень уравнения л: + 1 = 7 - л:, так как 3 + 1 = 7 - 3.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Основные свойства уравнений.
1) Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
19. Квадратное уравнение — уравнениеах^ + Ьх + с = О,
где а,Ьис — заданные числа, причем а^О, х — неизвестное число.
Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а — первый или старший коэффициент, Ь — второй коэффициент, с — свободный член.
Примеры квадратных уравнений: 2л:^ - л: - 1 = О, Зл:^ -I- 7л: = 0.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0,у которого хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю.
Примеры неполных квадратных уравнений: х^ = 0, 5л:^ -f- 4 = 0, 8л:^ -Ь л: = 0.
Формула корней квадратного уравнения: х^ ^ =
I 2
-Ь ± V Ь - 4ас 2а ■
Например, квадратное уравнение Зл:^ -Ь 5л: - 2 = 0 имеет два кор-5 ±7
ня: Xi 2 =
-5 ± л/25 + 24
т. е. Х2 - -2.
о
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида
х^ + рх + q = 0.
Формула корней приведенного квадратного уравнения:
Р Р
219
D
О
Например, корни уравнения - бх - 7 = О таковы:
Xj^2 = 3 ± л/9 + 7 = 3 ± 4, т. е. Xj = 7, Xg = -1.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
Таким образом, если х^ и х^ — корни уравнения + рх + q = О, то Xj + Xg = -р, Xj • Xg = q.
Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, Xj, х^ таковы, что Xj + Xg = -р, XjXg = q, то х^ и Xg — корни уравнения х^ + рх + q = 0.
20. Система двух уравнений с двумя неизвестными — два уравнения с двумя неизвестными хау, рассматриваемые совместно.
Пример системы уравнений с двумя неизвестными:
|Зх-1/ = 5, \х-2у = 7,
[2х + у = 7; [х^ - = -35.
Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.
|4х-U = 2, 15х + у = 7
является пара чисел
Например, решением системы х= 1,1/ = 2.
Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет.
При решении систем уравнений применяются следующие способы:
1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы.
2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффи-
+ biy = с..
циентов при одном из неизвестных системы
fttiX
[OjX
по-
Х + Ь^У = С2,
членным сложением или вычитанием уравнении системы исключают это неизвестное.
220
3) Графический способ.
Строят графики уравнений системы и находят координаты точки их пересечения.
Неравенства
21.Числовые неравенства.
Неравенство а>Ь означает, что разность а-Ъ положительна.
Неравенство а<Ъ означает, что разность а-Ь отрицательна.
Если а > Ь, то Ь < а.
Неравенство — два числовых или алгебраических выражения, соединенные знаком > или < .
Примеры неравенств: 4 > 7 - 5; 2а + Ь <
Для любых двух чисел а и Ь только одно из следующих трех соотношений является верным: а> Ь, а = Ь, а <Ь.
Основные свойства числовых неравенств:
1) Если а > Ь к Ь > с, то а > с.
2) Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из них одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если а >b,Toa + c>b + cw.a-c>b — с для любого с.
Любое число можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак переносимого числа на противоположный.
3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, тогда, если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный: если а > Ь, то
^1. а Ь ^ л
ас > ос и — > -, если с > О, с с
acЬкс> d, то a + c>b + d.
Например:
+
4 >3,5
-2>-5
2,3 <3,5 -4<-3
2 >-1,5 -1,7 <0,5
+
221
Умножение неравенств. Неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, можно перемножать, при этом получается неравенство того же знака: если а > Ь, с > d и а, b,c,d — положительные числа, то ас > bd.
Например,
2,4 >2,1 1,7 <2,3
^ 4 >3 ^ 2<3
9,6 > 6,3 3,4 < 6,9
Если а > Ь W. а, Ь — положительные числа, то > Ь^, а® > Ь® и вообще при любом натуральном п выполняется неравенство а" > Ь". Например, 6^ > 5^, 6® > 5®, 6^^ > 5^^.
Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и < (меньше). Например, 5 > 3, л: < 1.
Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше или равно) и й (меньше или равно). Например, ^ 2аЬ, л: < 3.
Нестрогое неравенство а>Ь означает, что а> Ь или а = Ь.
Свойства нестрогих неравенств такие же, как и свойства строгих неравенств. При этом в свойствах строгих неравенств противоположными считаются знаки > и < , а в свойствах нестрогих неравенств — знаки ^ и < .
Среднее арифметическое двух чисел а и Ь — число
а + Ь
Среднее геометрическое двух положительных чисел а is. Ь —
число^аЬ Если а>О, Ь> О, то ^ у[аЬ .
2
22. Неравенство с одним неизвестным — это неравенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Примеры неравенств первой степени с одним неизвестным:
Зл: + 4<5л:-2; .
Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Например, число 3 является решением неравенства х-\-1> 2- х, так как 3 + 1 > 2 - 3.
Решить неравенство — это значит найти все ее решения или установить, что их нет.
222
Основные свойства неравенств с одним неизвестным.
1) Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при этом знак неравенства не меняется.
2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю: если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.
Система неравенств с одним неизвестным — это несколько неравенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматриваемых совместно.
Решение системы неравенств — то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все ее решения или установить, что их нет.
Функции и графики
23. Функция. Если каждому значению л: из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). При .этом л: называют независимой переменной (или аргументом), &у — зависимой переменной (ала. функцией).
Область определения функции — множество всех значений, Которые может принимать ее аргумент.
Если функция задана формулой, то считают, что ее область определения — множество значений аргумента, при которых эта форму-
ла имеет смысл. Например, функция у = yjx-2 определена при х ^ 2.
Функция у(х) называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых Xj, х^, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х^ > х^, следует неравенство у(х^) > у(х^). Например, функция у “ X® возрастает на всей числовой прямой; функция у = х^ возрастает на промежутке х ^0.
Функция у(х) называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функ-
223
ции, т. е. для любых х^, х^, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х^ > х^ следует неравенство i/(xj < i/(xj . Например, функция у = -2х убывает на всей числовой оси; функция у = х^ убывает на промежутке л: < 0; функция у = — убывает на промежутках л: < о и л: > о.
График функции у(х) — множество всех точек координатной плоскости с координатами (л:; у(х)) .
Четная функция — функция у(х), обладающая свойством у(-х) = у(х) для любого л: из области ее определения. Например, функция у = х^ — четная функция.
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция — функция у(х), обладающая свойством у(-х) = -у(х) для любого л: из области ее определения. Например, у = х^ — нечетная функция.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
24. Линейная функция — функция вида у = kx + Ь, где
k w.b — данные числа.
График линейной функции у = kx + Ь — прямая. При Ь = 0 функция принимает вид у = kx, ее график проходит через начало координат.
25. Прямая пропорциональная зависимость —
зависимость, выражаемая формулой у = kx, где Л > 0, л: > 0.
Обратная пропорциональная зависимость — зависимость, выражаемая формулой у = — , где k > о, X > о, k — коэффициент пропорциональности.
26. Функция у = — (k^O) определена при х^О, принимает все действительные значения, кроме нуля.
L Q 1
Если Л > о, то функция у = — (например, у = у =
X X 'Лх
а) принимает положительные значения при л: > 0 и отрицательные при л: < 0;
б) убывает на промежутках л: < 0 и л: > 0 .
k 1
Если /е < о, то функция у-— (например, У = ~-, 2 1^ ^ х' у-
а) принимает положительные значения при л: < 0 и отрицательные при л: > о ;
б) возрастает на промежутках л: < 0 и л: > 0.
224
ОТВЕТЫ
2. 2) jCj = О, х^=1; 4) нет таких действительных значений х, при которых значение данной функции равно -5. 3. 2) jCj = 1^ , х^= -1; 4) х^ = О, jCg = ^ .
4.2) О; 4) 1. 5. 2) Нулей нет; 4) jCj = |, ^ 5 6) нулей нет; 8) л: = 1. 6. 2)р = 3,
q = -4; 4) р = -2, q = -15. 7. х^^ = ±2. 9. В и С, 12. 2) (л/б; 5), (-л/б; 5);
4) (О; О), (2; 4); 6) (1; 1). 13. 2) Да. 14. 2) Да; 4) нет; 16. 1) л: < -3, л: > 3; 2) -5 ^ л: ^ 5; 3) л: ^ -4, л: ^ 4; 4) -6 < л: < 6. 20. 2) (-3; -4,5), (2; -2). 21. 2) Да; 4) нет. 22. 1) Возрастающая; 2) возрастающая; 3) убывающая; 4) не является
ни
возрастающей, ни убывающей. 23. 3 м/с^. 26. 2) (О; 5); 4) [g: ^ j; 6) (0,5; О).
27. 2) л: = -2; 4) л: = 2; 6) х = ^. 28. 2) Нет; 4) нет. 29. 2) (1; О), (0,5; О), (О; -1); 4) (О; О), [|; oj. 30. р = - 2л: + 3. 32. 2) k = -10. 34. 1) р = 2(х - 3)^;
2) р = 2х^ + 4; 3) у = 2(х + 2f - 1; 4) у = 2(х - 1,5)^ + 3,5. 35. 2)
4) (|:х)' 2) (1; О), (-5; О), (О; 10); 4) (О; 14). 40. 7,5+7,5. 41. 5 и 5.
42. Сторона, параллельная стене, 6 м; другие стороны по 3 м. 43. Нет. 44. 2) При X = 1 значение р = —5 — наименьшее значение; 4) при х = 1 значение у = -2 — наименьшее значение. 45. 1) а > О, & > О, с > О; 2) а < О,
& > О, с < О. 46. 1) через 5 сек. наибольшая высота равна 130 м; 2) (5 + л/26) с.
47. 2) Xj = 2, Xj = 0,5; 4) ни при каких действительных х не пересекаются.
48. 2) (1; 1), (2; 4); 4) (-5; 18). 49. 2) х < -6, х > 6. 50. 2) (5; О), (-2; О),
(О; 10); 4) (1; 0), (-у;0], (О; -1). 51. 2) (-1; 4); 4) [-|;l]; 6)
2
53. 2) Наибольшее значение равно 4; 4) наименьшее значение равно 3-^.
о
54. 150 м и 150 м. 55. 200 м и 400 м. 56. 2) р =» 1, q = О. 57. 2) р = -4, q = 3.
58. 1) Xj = 2, Xj = -5; 2) Xj = О, х^ = 1, Xg = 2. 59. 1) а = 1, & = -2, с = О; 2) а = 1, & = -2, с = 4; 2) а = -2, & = 8, с = -6. 61. 2) Зх^ - х - 1 > О; 4) 2х^ + X - 5 < О. 63. 2) 3 < X < 11; 4) х < -7, х > -1. 64: 4) х < -3, х > 3;
4) X < О, X > 2. 65. 2) -2 < X < 1; 2) X < -3, х > 1; 6) х < -7, х > i .
О
15 — Алгебра, 9 класс 225
66. 2) х= -;4)х< -4, х> 2. 69. Положительные значения на промежутках
О
X < —3, х> 2, отрицательные значения на интервале —3 < л: < 2. 71. 2) л: < —1, л:^4; 4) -1 < л: < 4. 72. 2) х< , х > 2; 4) х<-0,25; х^ 1. 73. 2) л: = 7; 4) ре-
о
шений нет; 6) л: — любое действительное число. 74. 2) Решений нет; 4) решений нет; 6) л: — любое действительное число. 75. 2) х < -л/т , х> -Jl; 4) х < -2,
л: > О; 6) л: < -5, л: > 3; 8) -2 < л: < 1. 77. 2) х< , л: > ^; 4) -1 < л: < 4; 6) л: — любое действительное число; 8) л: = -3. 78. 2)х — любое действительное
число; 4) ^; 6) ^ л: ^ О; 8) решений нет. 79. 2) Решений нет; 4) -0,5
< л: < 3; 6) л: — любое действительное число. 80. 2) л: = 1; 4) л: — любое
действительное число. 82. -6 < г < 2. 84. 2) -5 < л: < 8; 4) х < -5, х> 3-^.
85. 2) л: < о, л: > 9; 4) -3 < л: < 0; 6) л: < -1, л: > 3. 86. 2) <л:<0, л:> ^
4) -2 < X < 2, X > 5. 87. 2) -7 < л: < 7; 4) -4 < л: < 4, л: > 4; 6) л: = -2; 2 < л: < 5 88. 2) -3 < л: < 4; 2) -3,5 ^ л: < 7; 6) -2 ^ л: < -1, л: ^ 3. 89. 2) х < 0,5, л: > 1
4)л:<-^,0<л:<^,л:> |. 90. 2) -4 < л: < -2, л: > 3; 4) -3 < л: < -1, 4 < л: < 5
91. 2) л: < -2, 2 < JC < 6; 2) л: < -3, -1 ^ л: < 2, л: > 4. 92. 2) -^5 < х<-3 о < л: < л/Гб . 93. 1) -8 < л: < -1; 2) х < -5, л: > 2; 3) -1 < л: < ; 4) л: < -4
О
-4 < X < , X > 4. 94. 2) л: < 2, л: > 4; 4) л: < 3, л: > 4. 95. 2) х < -6, л: > 6
4) й X й 96. 2) ^ X й i ; 4) л: ^ о. 98. 2) х ^ -5; 4) х ^ ; 6) х ^ ^
99. 2) Решений нет; 4) решений нет; 6) решений нет. 100. 2)л:<-1, 1<л:<4 4) л: < -^, 4 < л: < 7; 6) л: < -^, 1 < л: < 2. 101. 2) -1 < л: < 5; 4) -5 < л: < 2
6) X ^ , X ^ 102. 2) X — любое действительное число; 4) решений нет
1 12 6) 2 <л:<1;8)л: — любое действительное число. 103. 2) х ^ ^ ^ 4) ^ ^ 3
6) решений нет.
104. 2) л: < -л/з; < х < л/з ; 4) х < -4, -1 < л: < 1, л: > 1
1 О 1 1
105. 2) -1 < л: < -^, J < X < 2; 4) - g < л: < -^, -1 < л: < 2. 106. Не мень ше 12 км/ч. 108. 2) л; ^ -3, -2 < л: < 1, л: ^ 3; 2) -3 < л: < 2, -1 ^ л: ^ 1
3) -л/2< X < -1, 1 < X < yj2; 4) X < -2, -у1з < X < у1з, х > 2. 109. 2) 32; 4) 0. 110. 2) (I)"; 4) (l)'. 112. 2) 2Г^ 4) . ЦЗ. 2) 4) 32; 6)
226
114. 2) i|; 4) -875. Ив. 2) 4) 6) 117. 2) -125: 4)
118. 2) 0,0016; 4) il. 119. 2) b«; 4) 120. 2) a«&^; 4) 3 % 121. 2)
625
4) -64a:-»Vz ®. 122. 2) 123. 2) 2,710 4) 1,25-lOe. 124. 2) 5,08610 в;
4) 1,6-10 ®. 125. 0,003. 126. 10-“. 127. 0,0001 мм. 128. 2) a\ i-. 129. 2) 0.
S2
130. 2)b - a. 132. 2) 2; 4) 15. 133. 2) 81; 4) 134. 2) -1; 4) -4; 6) -8.
81
135. 2) л: = -^; 4) JCj = -2, ~ 2. 136. 2) a: — любое число; 4) ^ ^ a: < 2.
137. 2) 5; 4) -11; 6) 138. 2) 2; 4) 4л/б . 139. 1) a:-2; 2) (3 - a:)® при
a: < 3, (a: - 3)® при a: > 3. 140. 3974. 141. 2) 36^4; 4) 20. 142. 2) 33; 4) 7.
143. 2) 0,2; 4) 2. 144. 2) 50; 4) 16. 145. 2) a®&®; 4) a®&®. 146. 2) 3a&; 4) j. 147. 2) |; 4) |. 148. 2) |; 4) 2; 6) 4. 149. 2) 3a:; 4) 2^. 150. 2) i; 4) i. 151. 2)4л/2 ; 4) 5. 152. 2) i/®; 4) a®&®; 6) 3a. 153. 2) |; 4) |; 6) 4. 154. 2) ^;
4) J; 6) a®&. 155. 2) 6; 4) ^; 6) 4. 15& 2) ab®c; 4) 2xy. 157. 2) 3a:; 4) 0. 158. 2) 7;
4) 1. 162. 2) 3; 4) 27; 6) 163. 2) 5; 4) i; 6) i. 164. 2) 49; 4) 125.
165. 2) 121; 4) 150. 166. 2) 3; 4) 2,7. 167. 2) &; 4) a; 6) 1. 168. 2) a®&.
1 1
169. 2) 1. 170. 2) 3. 171. 2) Ы; 4) a+&; 6) a^ + &^; 8) Vc -1. 172. 2) ;
j a^+b^
4) 2yfb . 173. 2) 2y; 4) 2^ . 174. 2) 2^fe ; 4) Si • 176. 2) (^) " < (0,41)'^;
(нГ =■ (яГ • 2) * - 3; 4) * - 2; в) д: - 1.178. ^(if llf > •
179. 2) a: = 4; 4) I/ = 5. 180. 2) a: = 2,6; 4) a: = 4. 181. 2) a: = -1; 4) a: = 1.
2 «3
182. 2) 6; 4) -3. 183. 2) -3; 4) 184. 2) 51; 4) 0,04; 6) -0,1. 185. 2) 1000.
16
227
186. 2) ; 4)
187. 2)х- -1; 4) л: = 1.188. 2) 4) -609^ • 189. 2) х-
yjx^-y^ 16 27
11 11
любое число; 4) л: <2, л: ^3; 6) О S л: ^2, л: ^8. 190. 2) а+1; 4) а® +&®; 6) - Ъ^.
191. 2) у = 1 при X = 2; у = 5 при x-Ovix-A',y = lQ при х = -1 и х = 5; у = 17 при х = -2и х = 6. 192. 1) у(-2) = -1, г/(0) = -5, i/(i) = -11. i/(3) = 4 ; 2) у = -3
приJC = — i; у = -2 при л: = -1; у = 13 при л: = ^; у = 19 при х = ^. 194. 2) л:<2,
л:^5; 4)-2^л:<3. 195. 1)у(-3) = 3, у(-1) = 1, у(1) = -1, у(3) = -1; 2) у = -2 при х = 2; у = 0 при л: = 0 и л: = 4; у = 2 при л: =-2 и л: = 6; у = 4 при л: =-4 и л: = 8. 196. 3) л: -1; 4) -1 S л: ^ 1, л: ^ 4; 5) -5 ^ л: ^ 1, л: > 2; 6) л: ^ 0. 197. 2) Да;
4) да. 203. 2) л: = 16; 4) a: = i; 6) л: = ^. 205. 2) л: = 32; 4) л: = 8. 208. 2) Не-
16
четная; 4) не является ни четной, ни нечетной. 209. 2) Нечетная; 4) нечетная;
6) не является ни четной, ни нечетной. 218. 2) л: = 0. 219. 2) (-1; 0).
220. 2) у = I при X = -4; 4) у < 1 при л: < 0 и л: > 2.222. 2) (-2; 4) и (2; -4);
4) (-4; -2) и (1; 3). 228. 2) л: < 3; 4) у < 5; 6) л: < -5, х > 5. 229. Ребро куба больше 7 дм. 232. 2) л: = 10; 4) х = 5. 233. 2) л: = 2; 4) л: = 2; х = -7. 234. 2) л: = 4;
4) л: = 0,2. 235. х = ^ . 236. 2) х> -3; 4) л: < 2; 6) л: < 1, х>7. 238. 2) х = -2;
о
4) х^ = 1; х^ = 3. 239. 2) х = 2,25. 240. 2) л: = 1; 4) л: = 5. 241. 2) х = 4. 242. 2) 2 й X йЗ; 4) 1 < л: ^ 2; 6) л: S 1. 243. 2) л: ^ ; 4) л: — любое число.
А
248. 2) -л/2), /2^; 4) (-1; -1); (1; 1). 249. 2) л: > 2; 4) хй-2.
250. 2) X = 16; 4) х^ ^2 ~ 3? 8) ^ = ~1* 251. 2) х — любое число;
4) 2^ л: S11; 6) л:<-7,-3 ^л:<-1, л:^3. 252. 2) Убывает; 4) убывает. 253. 2) Нечетная; 4) не является ни четной, ни нечетной. 255. 2) —2^хй^.
а
256. 2) jCj = -1, Xj^ = 7; 4) л: = 81; 6) a:j= 3, х = 7. 257. 1) л: < -1, л: > 9; 2) -1< л: < 0, 3^л:<4; 3) | <л:<6; 4)л:^4. 258. 2) ^;4) ^;6) ^; 8) 259. 2) 20°;
4) 135°; 6) (^)°; 8) (^)°- 260. 2) 4,71; 4) 2,09. 261. 2) 2л < 6,7; 4) М < 4,8; 6) - ^ < -VI6.263. 0,4 м. 264. 2 рад. 265.^ см®. 266. 2 рад. 267. 2) (-1; 0); 4) (0; -1); 6) (1; 0). 269. 2) Вторая; 4) четвертая; 6) вторая.
270. 2) (0; 1); 4) (-1; 0); 6) (0; 1). 271. 2) 2л/е, /е = 0, ±1, ±2, ...;
228
4) ~ + 2nk, k = 0, ±1, ±2, .... 272. 2) Вторая; 4) четвертая. 273. 2)х = 1,8к, ft=4; 4) а: = ^ те, ft=3; б) д: = ^ ТС, А=2.276.2) (О; 1); 4) (О; -1). 27в. 2) f + 2тсЛ,
О О Ь
А=0,±1,±2, ...;4) ^ + 27сА,*=0,±1,±2, ....277.2) - ^;4) -1; 6) -1; 8) .
279. 2) -1; 4) -1; 6) 1. 280. 2) О; 4) -1. 281. 2) 4) -1.
282.2) ж = § + Tcft, А=0, ±1, ±2,...; 4) х = ^ + 2тсА , *=0, ±1, ±2.284.2) - ^;
4) . 286. 2) ж = к + 2тсЛ, ft = 0, ±1, ±2, ...; 4) ж = к+ 2тсЛ, А = 0, ±1, dh2, ...;
Л
6) Ж = |*я, Л = 0, ±1. ±2.286. 2) ж = 2лЛ-1, Л = 0, ±1, ±2, ...; 4) ж = Лл-1,
О
ft=0, ±1, ±2,...; 6) Ж = +1, fc*0, ±1, ±2,.... 287.2) Вторая; 4) вторая; 6) вто-
О
рая. 288. 2) Плюс; 4) плюс; 6) плюс. 289. 2) Минус; 4) плюс; 6) минус.
290. 2) Плюс, плюс; 4) минус, минус; 6) минус, минус; 8) плюс, плюс.
291. 2) вша<0, cosa>0, tga<0, ctga<0; 4) slna>0, cosa>0, tga>0, ctga>0.
292. 2) sinS > 0, cos3 < 0, tg3 < 0; 4) sin(-l,3) < 0, cos(-l,3) > 0, tg(-l,3) < 0.
293. 2) Минус; 4) плюс; 6) плюс; 8) минус. 294. Знаки чисел sin а и cos а совпадают, если о < а < ^ или тс < а < ^; числа sina и сова имеют противо-
Z
положные знаки, если^ < а < ТС или ^ < а < 2тс. 295. 2) Минус; 4) плюс. 296. 2)cos l,3>cos 2,3. 297.2) x = ^ + kn, k=0, ±1, ±2,...; 4) x=n+2kn, ft=0, ±1,
±2...... 298. 2) Bo второй. 299. Acosa ддо. 2) cosa = -|, tga = -|;
4) cosa^-^, tga = ^, ctga = ^; 6) sina = --^, cosa = ^,
301. 2) Могут; 4) не могут. 302. 2) He MorjT. 303. coea = :^, tga = ^^^.
304. i. 305. cosa = ±^. 306. 2) sina = ±-^. 307. 2) i; 4) 2. 308. 1)
3 4 V5 о e
2) И. 309.1) ж =nk, k=0, ±1, ±2,...; 2) ж = - 5 + 2Ttk, k=0, ±1, ±2,...; 3) ж=2тсА, ft^O, ±1, ±2,...; 4) ж = ^ + Tcft , ft = 0, ±1, ±2,.... 311. 2) 0; 4) 1 -ь sina. 312. 2) 3; 4) 4. 316. 2) 317. A. 318. 319. 1) ж = Tift, ft = 0, ±1. ±2, ...;
2) ж = 5 + 2лЛ , ft=0, ±1, ±2.320. 2) i; 4) -3. 321. 2) 2cosa; 4) 2. 323. 2) 2.
324. 2)-2coeo. 325. 2) 4) -1. 326. 2) -fc; 4)-l. 327. 2) 328. 2)cos3P;
4) -1. 329. -sina sinp. 330. 2) ^; 4) 1. 331. 2)-^±^ . 332. 2) -sina cos p;
229
4) sin a cos B. 333. cos(a + p) = M ; cos(a - P) = . 334. - ff . 335. 2) 0;
oo oo o5
4) tgatgp. 338. 2) 4) 339. 2) ^; 4) -1. 340. 2) 341. 2)
25
25
342. 2) I sin 2a; 4) 1. 343. 2) 2ctga; 4) ctg^a. 345. 2) |. 347. 2) ; 4) ^.
350. . 351. 2) л/з . 352. 2) 0; 4) 0; 6) -1. 353. 2) ;
348. 2) cosOa; 4) . ««w. . oux. vo . u, •±j v, vf -x. ou«. x./ ^
4) 6) 354. 2) 4) 355. 2) 4) 6) V3.356. 2) -V2;
4) -1. 357. 2) cos2a. 358. 2) 4) 6) 359. 2) 1; 4) --A-.
362. л: = | + 2яА:,Дг=0,±1,±2, ...;4)jc=n+2nft,fc=0,±l,±2, ....363.2) V2sinP; 4) sin2a. 364. 2) 0; 4) 6) f. 365. 2) 4sin(^-1)cos(^ +1);
4) 2sin(j + |)cos(j-|). 367. 2) 2sina. 370. 2) 2л/з sin g sin |. 371. 2) 0. 372. 2) 2 cos a(cos a - 1) ; 4) (sin a + cos a) (in—Lj. 373. 2) Третья; 4) вторая; 6) вторая. 374. 2) 0; 1; 4) 1; 0; 6) 0; -1. 375. 2) 2; 4) -1. 376. 2) ;
4) - . 378. 2) 3; 4) tg^a. 379. 2) -1.380. 2) - ^; 4) . 381. 2) sin2a;
4) tg2a. 382. 2) 1; 4) 383. 2) 4) 384. 2) cos0>sin5.
385. 2) Плюс; 4) плюс. 386. 2) ; 4) ; 6) - i. 387. 2) ^.
388. cosa = -|; tga = -^; ctga = -^; sin2a = -^^; cos2a = -|.
389. 2) tga. 390. 2)
.4)-
391. 2) 1; 4) 1. 392. 2) -7. 393. 2) cos4a.
sin 4a' ' cos 2a
395. 2) -3, -1, 1, 3, 5. 397. 2) 79; 4) -42. 398. 2) =29 -4n; 4) a, = 6 -5n.
399. 12. 400. Да, n = 11. 401. n = 11 , нет. 402. 2) 0,5. 403. 2) —13. 404. 2) —100. 405. 2) = 5n - 17. 406. n S 9. 407. n < 25. 408. 2) = -57, d = 7; 4) = -1,
d =-15; 409. 44,1 m. 410. 10 дней. 411. 30. 412. 60. 413. 2) 10050; 4) 2550. 414. 4850. 415. 4489. 416. 2) -192. 417. 2) 204,. 418. 2) 240. 419. 4905; 494550. 420. 2) 2900. 421. 10. 422. 2) = 15|, d = |. 423. 2) =-88,
d = 18. 424. 78 бревен. 425. 44. 426. a, =5, d =4. 429. 2) -3, 12, -48,192, -768. 431. 2) 4) i. 432. 2) b„ = 3 ; 4) fc„ =з (-|)"“'. 433. 2) 5; 4) 8.
434. 2) 3; 4) -i. 435. \ = 2374, n = 5. 436. = З/З, Q = 437. = 6,
^i=20f или fc =-6, fcj=-30f . 438. 65910 сумев. 439. 0,25 см^. 230
440. 2) 4) -Щ; 6) -400. 441. 2) 2186. 442. 2) Ь, =-1, Ь. = 128.
443. 2) п=7; 4) п = 5. 444. 2) п = 9, = 2048; 4) п = 4, g = 7. 445. 2) 364; 4) 305.
446. 2) bg = 4802, = 800. 447. -1|| • 449. 2) q=b,b^ = 300 или g = -6,
Ьз = 432. 450. 2) g = 2 или g = -2; 4) Sg = 781 или Sg = 521. 452. 2) Да; 4) да. 453. 2) 7,2; 4) -8i. 454. 2) 4) f. 455. 2) Нет; 4) да. 456. 90^?.
457. 2) 6 + 4л/3 . 458. 2) |; 459. 2а. 460. 461. 2) 1; 4)
462. 2) d = -|,a^ = 2, Og =l|;4)d=-3, а^ = V2-9, Og =^2-12.464. -б|. 465. 2) -1080. 466. 143. 467. 2) -22. 468. 2) g--i,
Л о4
4)д = -л/2,&4 =-10л/2,&5 =20.469. 2) Ь„ =-0,5 ■ (-2)"‘\ 470.2) Ь„ =^-471. 2) Sio = 1t^; 4) Sg =5. 472. 2) 242; 4) ||. 473. 474. 24|i
256
74
475. 2) 14, 11, 8, 5, 2. 476. 477. 2) а^^ = 0, а^ =-108. 478. 2)
4) х.=-4. 480. 14. 481. 2) =-l|, d = -^. 482. 2) 27. 483. 2) -27;
4) ± i. 484. 6. 485. 2) Нет; 4) да. 487. В среду. 488. = 8 , d = -3 или а^ = 2,
d = 3. 489. Oj = 5, d = -5 или а^ = -5, d = 5. 490. 180 раз. 495. 2) -15 < дс < - 4; 4) JC ^ 12, JC ^ 13; 496. 2) 0<дс< S; 4) х < -yfs ; х > л/з. 497. 2) -9 < дс < 6; 4) -2 < дс < 0,1; 6) дс < ^ , дс ^ 2. 498. 2) дс = -12; 4) дс — любое действительное число; 6) нет решений. 499. 2) дс — любое действительное число; 4) дс — любое действительное число; 6) 2) дс — любое действительное число. 500. 2) -0,7 < дс < I; 2) -2 5 дс ^ 1. 501. 2) дс ^-2, дс = 1; 4) дс < -i, О < дс < 2. 502. 2) -0,5 <дс< 2; 4) -3 < дс<О, дс> 1. 503. Высота больше 3,1 см, средняя линия больше 6,2 см. 504. Больше 8 с. 505. Больше 5 см. 506. 2) дс < -7, -1 < дс< 2; 4) -1 ^ дс < -i, дс > i . 507. р = 5, g = -14. 508. 2) р = 14, g = 49.
509. у = -2х^ + Идс - 5. 510. = • 511. 2) а = -1, Ь-1, с = 2.
512. Указание. 1) Обозначая ^ = А® , - = В®, - = С® и учитывая равенство
оса
АВС=1, запишите данное неравенство в виде А® + В® + С® S ЗАВС , которое преобразуйте к виду (А + В + С)(А® + В® + С® - АВ - АС - ВС) S О . Неравенство (А® + В® + + С® > АВ + АС + ВС получается сложением неравенств А® + В® ^ 2АВ,
231
t 2АС, ^ 2ВС ; 2) сложите неравенства для среднего
арифметического и среднего геометрического: ^ + ^S2c, ^ + ^S2a,
^ ^ S 2Ь; 3) вычтите из левой части неравенства правую и числитель полученной дроби запишите в виде: (а + Ь)(а - bf + (6 + с)(Ь - cf + (а + с)(а - cf. 515. 1) JCj 2 = -2; 2) AJj 2 = ±1, ^ = ±3; 3) = -1, ^^2 = 2; 4) JCjg =
5) JCj = О, ДС2.3 = =^2; 6) = ±4, = ±6. 516. 2) 2i; 4) ^ . 517. 2) 3 - ^
4) бл/7. 518. 2) {2^,5f’\{2j0,5)'’'“. 519. 2) 7дс ; 4) 9Ь \ 520. 2) babjb 4) ИаЬл/^. 521. 2) -л^; 4) . 522. 2) -si . 523. 2)-l|. 524. 2) х = ^
4) дс = 0. 525. 2) Нет. 526. 2) Нет. 527. 2) 1,5 < дс ^ 7; 4) дс S -7,5; 6) О ^ дс < 2 дс > 2. 530. -1. 531. 2) Отрицательно. 532. 2) -0,8. 533. 2) 2sin ^ cos j 4) sma(sina 2cosa). 534. sin а = ^, cosa = - ^, tga = . 535. 2) =
= 47,5, Sj3 = 537; 4) Oje = ll|, Sj^ = 108. 536.1220. 538. 2) = 5. 539. 2) b, = 125,
= 156; 4) bg = 81, S3 = 61. 540. 15|. 541. 2) 4^; 4) 1; 6) -J(l + >/5).
—v0,37
542. 2) 2ab^ ; 4) a+ 3. 543. 2) -1; 4) -i. 544. Первое. 545. 2) .
Jc a -b
4) 0,1(5 - V5)-v/5 + Vs . 546. 2) -^; 4) Va + Vb . 547. Убывает. 548. 2) дс ^ 0, ДС > 6; 4) ДС ^ ; 6) ДС 5 -3, 0 < дс < 2, дс > 3. 550. 2) дс = 61; 4) дс = 0,5; 6) = О,
дс„ = -3, дс. = 2. 551. 2) \ 4) 4. 552. 2) сов^дс. 553. 2) дс = ^ + лп,
дс = л + 2лп, пе Z. 556. 557. 39|. 558. 7, -28, 112, -448 или
О <а 2 а
-и|;-4б|;-18б|;-74б|. 559. bj = 5, bg = 405. 560. J. 561. 8, 13, 18 или 20, 13, 6. 562. 1)——j 2) . 563. 1) 1 —Vo; 2)a®+b®.
565. sina = -i|^,coea = -^.567.10, 4, -2, 1 или
232
Упражнения
для повторения курса алгебры 8—9 классов
569. 2) 4; 4) 4|. 570. 2) 5,8; 4) 571. 2) jc = 7; 4) зе = 0,5; 6)х = 2,25.
572. 2) 3; 4) 0,1125. 573. 2) 300; 4) 3600. 574. 2) 5%; 4) 1б|%. 575. 2) 5а"Ь;
<3
4) 4а»Ь^ 576. 2) 35 - 2зс - 2зс»- зс®; 4) 8а^ + 4Ь^ + 36а + 36. 577. 2) 4,9; 4) 2
578. 2) 6" - 7а^Ь®. 579. 2) 4) (Ь- л/зХЬ + л/3)(Ь^ + 3). 580.
4) (1 + 9Ь)^ 581. 2) (а + 1)(а - зс); 4) (а - зс)(5а - 7). 582. 2) 2аЩа - If 4) (а - Ь)2(а + 5)2. 583. 2) 2(зс - З)^; 4) (зс - 1)(зс + 2). 584. 2) ^; 4) ^
.г+4
г-1
Зс^
15о
ЗЬ ’ 4х
6-5о
^5 ; 2) 2'”" 4) 6) 8) (зс + 1)(зс - 2). 586. 2) ^
ЗЬ-а^ 1 2 1 JC
о(ь2-о2) • 2) 2о+з ’ 4) 5 + а — 1. 588. 2) о(о+2) > 4) 589. 3) у
10
4) 590. 2) -0,25; 4) 1^. 591. 2) 3. 592. 2) -^;4)-^. 593. 2) 4
4) 8. 594. 2) -2; 4) О; 6) 7. 595. 2) 2; 4) 14. 596. 2) 4) 6л/2. 597. 2) 2-10 »;
4) 1,2 10 ». 598. 2) 1,25. 599. 2) 3,5. 600. 2) -3cV; 4) зсу». 601. 2) -1;
4) 1 + л/т. 602. 2) зс = 1; 4) зс = -0,5. 603. 2) зс = 12^; 4) зс = -13,5. 604. 2) 33 = 3; 4) 33 = -9. 605. 2) = -2, зс^ = 3; 4) х^ = 5, зс^ = -1.
606. 2) 33^ = О, 3^2 = 5; 4) х^ = 0, 3^2=-^; 6) х^^ = ±2; 8) ЗС12 = ±2л/2 .
607. 2) 3Cj = -1, 3^2 = 1,5. 608. 2) зс^ =5, ~ 2) зс^ = 1, 3^2 = 4,5;
4) 33^ = -5, 3^2 = 0,5. 610. 2) 33^ = -3, х^ = 5; 4) х = -1; 6) х^ = 4,3, 3^2 = -11,7. 611. 2) зс = 3; 4) зс = -4. 612. 2) зс^ 2 = ±1. ^^3 4 = ±6. 613. 2) зс = 33 4) зс = 9;
6) 33^ = 1, 3^2 = 4. 614. 2) 33 = -2; 4) зс = 1,5. 615. 2) зс = -1; 4) зс^ = 1, 3^2 = -0,5;
6) зс = 4. 616. 2) (3; 7); 4) (2; 3); 6) (-2; -3). 617. 2) (14; 10); 4) (2; 2).
618. 2) (5; 3), (-3; -5); 4) (4; -9), (-9; 4); 6) (4; 5), (-4; -5), (5; 4), (-5; -4).
619. 2) зс < ||; 4) зс> 1. 620. 2) зс < 1; 4) зс < 3 J ; 6) зс < 2. 621. 2) зс ^ 1,5;
4) 3CS 3. 622. 2) 1; 2; 3; 4. 623. 2) -1; О; 1; 2; 4) -1; О; 1; 2; 3. 624. -4; - 3; -2; - 1. 625. 2) -1 ^ 33 ^ 3; 4) ^ х^ ; 6) решений нет; 8) зс < -li ,
33 > 1. 626. 2) -li < л: < з4; 4) -1 ^ зс ^ 3. 627. 1) -4 < зс < 2; 4) О < зс < 7,
233
х>8; 6) X ^ -3, -0,5 ^ JC ^ 0,5. 628. 2) 9 > 4>/5 ; 4) 5л/б < 6>/5 ;
6) 2^<л/2-^. 629. 62,5 и 57,5. 630. 5 км/ч. 631. 4 км/ч. 632. 12,5 км/ч, 2,5 км/ч. 633. 26 см, 2см. 634. 48 мин. 635. 20 мин. 636. 35 ц, 40 ц.
637. 5 ч, 7 ч. 638. 2) Да; (0; -4), (8; 0), у(-2) = -5; 4) нет; (0; 6), (4; 0), у(-2) = 9. 641. 2) (5; -10); 4) 642. 2) 23; 4) 6^. 643. 2) JCj = -2,
х^ = -5. 645. 647. 2) ^ + 2пп, пе Z; 4) ^ + 2кп, neZ. 648. 2.
650. 2) 2 cos^a. 651. -tg 2а. 653. 2) ^. 654. 2) 0,5. 655. 2) |. 656. 7. 657. 1) 0;
2) о. 658. -sina - cosa. 659. -2. 660. -0,5. 661. 2) = 201, = 2737.
662. п = 39. 663. 682. 664. 2) 0,5; 4) 1. 665. 189. 666. 2) = 1, d = 3;
4) Oj = 2, d = 3 или Oj = 14, d = - 3; 671. или .
672. = 12, g = -2 или = -12, Q = 2. 673. 1; 3; 9; 27 или -1;
3; -9; 27. 674. 2) = 0,384, д = 0,25 или = 0,6, q = -0,2.
675. 2) bj 37,5, q = 0,6 или = 48, q = 0,25.
Ответы к заданиям «Проверь себя»
Глава I. 1. Рис. 84. 2. х^ = 0, х^ = 2. 3. у>0 при -1<дс<1;1/<0 при х < -1, дс > 1. 4. Функция возрастает при дс > 0; функция убывает при jc < 0.5. (3; 0); рис. 85.
Глава II. 1. 1) -1 < л: < 4; 2) дс — любое действительное число; 3) решений нет; 4) дс = -10. 2. дс S 1; -2 ^ дс ^ 0.
Глава III. 1. 1) в|; 2) 16. 2. 8,6 • 10»; 7,8 • 10 »; 6,708 lOi; 1,1 • 10®.
3 £ £ 1 ^
3. 1) 6; 2) (у + х)ху. 4. а*27. 5. (0,78)» >(0,67)»; (3,09) » <(3,08)'».
Рис. 84
234
Глава IV . 1. 1) дс ^ 1; 2) -3 < дс < 3. 2. а) 1) у - 1,4; 2) I/ = 3; 3) I/ = -2,5; 4) у = 8; б) 1) дс = 9; 2) дс = 2; 3) дс = - ^; 4) дс = ^3 ; в) у{х) > О при: 1) дс> 0;
о
2) дс>0; 3) д:<0; 4) дс>0; I/(дс)< 0 при: 1) нет таких промежутков; 2) дс< 0;
3) дс>0; 4) дс<0; г) функция возрастает при: 1) дс> 0; 2) таких промежутков нет; 3) дс> о, дс< 0; 4) дсе Л; функция убывает при: 1) таких промежутков нет; 2) дс> о, дс < 0; 3) нет промежутков; 4) нет промежутков. 3. 1)Четная; 2) нечетная. 4. 1) дс = 28; 2) дс = 1.
Глава V. 1. cosa = -|, tga = -|, sin2a = -||. 2. 1) 1; 2) 3)
4) - л/з ; 5) ^ . 5. 1) sina cos (3; 2) cos^a; 3) 2sin a.
Глава VI. 1.а^„ = -25, 5^„ = -115. 2. be = |, «6 = . 3. g = i,S = l,5.
Ответы к тестовым заданиям Глава I
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D Е
Глава II
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D Е
Глава III
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D Е
Глава IV
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D Е
Глава V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D
Глава VI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
А В С D Е А В С D Е А В С D Е А В С D
235
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аргумент 76
Арифметический корень п-й степени 53
Вершина параболы 8 Гипербола 90 График функции 11 Единичная окружность 109 Квадратичная функция 5, 16 Квадратное неравенство 29 Квадратный корень 53 Корень 5
Кубический корень 53 Метод интервалов 38 Нули квадратичной функции 6 Область определения 76 Ось симметрии параболы 8 Парабола 7 Поворот 109 Прогрессия
— арифметическая 157
— разность 158
— сумма п первых членов 162
— геометрическая 166
— знаменатель 167
— бесконечно убывающая 176
Степень
— с иррациональным показателем 81
— с нулевым показателем 48
— с отрицательным показателем 48 Сумма и разность косинусов 146 Сумма и разность синусов 146
Тождество 128
— тригонометрическое 124
Угла:
— косинус 115
— синус 115
— радианная мера 106
— тангенс 117
Фокус параболы 9 Формулы приведения 141 Функция 76
— периодическая 143
— степенная 76
— четная 85
— убывающая 82
— нечетная 87
— тригонометрическая 119
— возрастающая 82
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абу Райхан Беруни 75, 104, 124, 155,156, 186
Абул Вафа аль Бузджани 155 Аль Каши 52, 75, 150,186 Лейбниц Г. В. 104
Мирза Улугбек 156
Ньютон И. 75
Эйлер Л. (1707-1783) 75
236
ОГЛАВЛЕНИЕ
Повторение курса алгебры 7-8 классов..................3
Г л а в а I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 1. Определение квадратичной функции.................5
§ 2. Функция у = 7
§ 3. Функция у = ах^.................................. 10
§ 4. Функция у = ах^ + Ъх + с .........................14
§ 5. Построение графика квадратичной функции.......... 18
Упражнения к главе I...................................24
Тестовые задания к главе 1.............................26
Г л а в а II. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 6. Квадратное неравенство и его решение............. 29
§ 7. Решение квадратного неравенства с помощью графика
квадратичной функции............................. 33
§ 8. Метод интервалов................................. 38
Упражнения к главе II................................. 43
Тестовые задания к главе II...........................45
Глава III. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 9. Степень с целым показателем...................... 48
§ 10. Арифметический корень натуральной степени....... 53
§ 11. Свойства арифметического корня.................. 56
§ 12. Степень с рациональным показателем..............60
§ 13. Возведение в степень числового неравенства......66
Упражнения к главе III................................ 70
Тестовые задания к главе III.......................... 72
Глава IV. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
§ 14. Область определения функции..................... 76
§ 15. Возрастание и убывание функции..................80
§ 16. Четность и нечетность функции ..................86
§ 17. Функция у = - ..................................90
§ 18. Неравенства и уравнения, содержащие степень.....94
Упражнения к главе IV..................................98
Тестовые задания к главе IV.......................... 101
237
г л а в а V. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕГГРИИ
§ 19. Радианная мера угла...............................105
§ 20. Поворот точки вокруг начала координат.............109
§ 21. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
угла...............................................115
§ 22. Знаки синуса, косинуса и тангенса ................121
§ 23. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом
одного и того же угла..............................124
§ 24. Тригонометрические тождества......................128
§ 25. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов а и -а..131
§ 26. Формулы сложения..................................133
§ 27. Синус и косинус двойного угла.....................138
§ 28. Формулы приведения................................140
§ 29. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов ...145
Упражнения к главе V....................................148
Тестовые задания к главе V..............................152
Глава VI. ПРОГРЕССИИ
§ 30. Арифметическая прогрессия.........................157
§ 31. Сумма п первых членов арифметической прогрессии...162
§ 32. Геометрическая прогрессия.........................166
§ 33. Сумма п первых членов геометрической прогрессии...171
§ 34. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ...175
Упражнения к главе VI ..................................181
Тестовые задания к главе VI.............................184
Упражнения для повторения курса алгебры 9 класса ..... 187
Упражнения для повторения курса алгебры 7-9 классов ....197
Краткие теоретические сведения по курсу алгебры
7-9 классов.............................................210
Ответы................................................ 225
Предметный указатель....................................236
Именной указатель.......................................236
238
Свободная продажа запрещена