Учебник Алгебра 8 класс Виленкин Сурвилло

Жу‘А^.‘ - - f-" ^ К i ■ .•' ;'"'Vv ПРОСВЕЩЕНИЕ Й1ДАТЕЛЬСТВ0 УДК :17;ип7.1:Г)12 МИК 2И.Ми72 мь Лмгпрм: II, я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло, И), А. Дробышев, И. В. Дробышева, А. И. Кудрявцев Им уммбиик получены положительные заключения Российской иммдпмии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-201/5/7д от 11.10.07) Условные обозначения: Г " - I Н - □ - текст, который нужно запомнить материал, который важно знать задания для общеобразовательных классов задания для углубленного изучения задания повышенной трудности задания с выбором ответа (углубл.) задания с выбором ответа (общеобр.) Алгебра. 8 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений и Л'15 шк. с углубл. изучением математики / [Н. Я. Виленкин, А. Н. Ви-лгпкии, Г. С. Сурвилло и др.]; под ред. Н. Я. Виленкина.. — Um изд., дораб. — М. : Просвещение, 2010.— 303 с. : ил.— IHHN 978-5-09-019502-7. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 INIIN М7Н П 011 010502-7 Издательство «Просвещение», 1995 Издательство «Просвещение», с изменениями, 2010 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2010 Все права защищены г л а в а ДРОБИ 1, ПОНЯТИЕ ДРОБИ а Определение. Запись —, в которой а я Ь о числа или кщмражения, называют дробью. Выражение а называют [^числителем дробпу а выражение Ъ — ее знаменателем. у:* у 1*азличают дроби числовые и алгебраические. Например, дроби 6 1,7 + 0,2 3 5 "~+ ““ 4 6 являются числовыми дробями, 5 ’ 3.1-0,2’ 1___4_ И 25 - л 1 4д:(х+1)+у Щ дроби -----, —^-----f—^ — 5д: + г/ 5//(у+1) + д: Алгебраические дроби могут принимать те или иные числовые мипчения в зависимости от значений входящих в них букв. Так, дробь ^ ^ при х = 2 и у = 0 принимает значение —, при х = -5 и у = -1 nmi равна — 26 и случае, когда знаменатель дроби равен нулю, эта дробь не имеет а ишчения. Например, дробь (дi)(а + 3) имеет значения при а = -3 3 алгебраическими дробями. I II л II I Д|юП|. не имеет значения ни при каких значениях пере- ев с 1итык Ь и г. Л|тО|. |mmm нулю в том и только в том случае, когда ее числи-1,4 U pniMMi нулю, а знаменатель отличен от нуля. Например, дробь ^ пПртцается в нуль при л: = 4, так как 2*4-8 = 0 и 4 + 9?^О, 2дг 8 дриПь — при х = 4 не имеет числового значения, так как при х{х 4) ‘ ЮМ иип'к'иии X не только числитель, но и знаменатель дроби обра-(|нч'ги и нуль. ^Ш^ЛЖНЕНИЯ |, Кикиг из следующих выражений являются дробями: (||. 2 а -1/л4 18аЗ« h х-у 2х 1 7 7 56 К. <4м'Т1шьте дробь, у которой: II) числитель — произведение л: на у, а знаменатель — сумма х и у; 0) числитель — разность х и у, а знаменатель — частное от деле-ппл X иа у. — а ь (I, Чем отличаются друг от друга дроби — и —? А ^ В- ^ Ь Л.. 1Снк можно понять запись “^ ? Укажите все варианты. 1 Какими числами (равными, противоположными, обратными) явим ются соответственные значения выражений: и) 1 X и ; X в) д) У 5 ж) 1 " 0) и Ь h а г) -f е) У 5 з) f- У о IliiiioiuiTc числитель и знаменатель дроби: и) ц г'* I б) 8 X** \ бх^у^ + у^ ’ в) 11x3- 8уЗ ^ г) 16х»-9у« Зх2 + 8у2 / 11|И1ИИ1ИТ1' дробь с числителем 5 и знаменателем: и) I*' у*'\ в) a^ + b^+c^-ab-ac-bc; Л) г'*) I /|(г“ о**) \ с{а^-Ь'^); г) x^ + y^-i-a^-Sxya. |.J Напишите дробь с числителем а-6 и знаменателем: X — ifi а® + Ь® а) ^ + 6; б) в) У x + Sy a-Sb Н, I Напишите дробь со знаменателем х^-у^ и числителем: д) х^-у^\ е) х^-у^. а) 8; б) ^ + Ъ\ в) а^ + Ь^\ г) ^ ^ ; Ь а + о IDi Напишите выражение, противоположное данному (т. е. выражение, отличающееся от данного только знаком): а-Ь а) х; в) а-Ь; б) -2р; г) 2х-у; Д) fc’ \ X е) g; ж) з) 3 12 я-р 3 1 ^||, Если а = 4— и Ь = 4,4, то -г = 5. Найдите при тех же значениях 5 а Ь а и Ь значение выражения: 1 а) б) а-Ь; в) Ь-а; г) Ь-а Ь-а ’ ftt. Докажите тождество: ч д-Ь - -ч у-х Ь-а х+у Найдите значение дроби: х-у х-\-у 0,75 • 0,4-5,7 . 1,86:0,31 ’ б) 1,95:1.3 + 2,5 . 3,4 • 0,8 + 3,28 ’ в) 2,5 + 3-J_____3 . 2,5-3- 3 4А^21 5 3 4,6-2- 3 [ Составьте таблицу значений дроби ~—— для значений у, равных -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3. При каких значениях у дробь обращается в нуль? При каких у она не имеет значения? X Заполните таблицу значений дроби —: 16. При каком значении переменной значение дроби: V Л--3 *> 5 равно 1; в) 3 у + 6 равно —1; б) Р-/ равно 5; г) 45 д-1 равно 9? 17. При каких X VL у дробь имеет числовое значение: а) б) 5 в) х + 4 д) 31/+1 . дг-2 ’ 2х+8 ’ y(4i/-l)’ 2х г) У . е) 48 х + 6 ’ 71/ + 4 ’ (2j/-6)(9+10j/) ’ ж) У(У + 8). 6 ’ з) y(y^S) о 6(/ 18. Напишите дробь, не имеющую значения при: а) х = 7; б) а = -9; в) ^ = 6 и у —13; г) Ь = 0 и Ь = -2. 19. При каком условии не имеет значения дробь: 4 а(Ь-2) ’ 23 а) 8 в) 1 д) Х-у’ ia-b)(a + b) ’ б) 16 а + Ь ’ г) 1 аЬ ’ е) {а-4)(Ь-6) Укажите для каждой из этих дробей пару значений переменных, при которых дробь не имеет значения. 20. Докажите, что значение дроби равно нулю: а) V 4 24 / 3 б) , 2 „ 1 1 , „ 1—:7------• 0,23 9 3 6 1,85-1,62:0,9’ ' ^1+1,2 21. Докажите, что следующее выражение не имеет числового значе ния: а) 8,3 • 1,2 + 4,2 ; б) ^5-з|-)-6-7,9 (з1-2—) • 5-7 — V 5 15/ 3 22. Всегда ли равна нулю дробь, числитель которой равен нулю? 23. Равна ли нулю дробь: 3,6:11—-2,5 а) -----—----; б) ^:9-lllii -8:-+2—• 9 lll-l:l 31 16 4 5 6 24.1 При каких значениях у равна нулю дробь: У(У-З) 81/ а) У . в) У-12 . д) 5 ’ У(У+1)’ б) J/-1 . 3 ’ г) (2i/ + 8)(y-7) . .V-1 е) (у + ЗИб + у) Обращается ли в нуль при каком-нибудь значении х дробь: 7 ... х-2^ а) б) х-2' 7 26. Решите уравнение: а) =0; 125 ■у 2х +7 л ,-2 лс) (х-4)(д; + 4) X б) бх-12 _Q. 37 \ х-5 л д) -0; з) — = 0. X в) X е) *'* + «> _0; X = 0; 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ДВУХ ОДНОЧЛЕНОВ Одночлены и 5а^&® делятся на одночлен аЬ. Именно, 4a‘V>^ ш 4а^6, : аЬ = 5а&^, так как 4а®Ь^ — аЪ • 4а^6, а - ah ■ Поэтому аЬ называют общим делителем этих одночленов. I Определение. Общий делитель двух одночленов, i ющий по каждой из переменных наивысшую возмож степень, называют наибольшим общим делителем (II Этих одночленов. Чтобы найти НОД двух одночленов, нужно взять перемсч! иходящие в каждый из них, затем из показателей, с которыми иходят в эти одночлены, выбрать наименьшие (или любой иа (»сли эти показатели равны друг другу) и перемножить полу'И' степени. р1ример 1. Найдем наибольший общий делитель одночленов ба^Ьс^ и 1 Решение. В оба одночлена входят переменные а и ft. При II первый одночлен а входит с показателем 2, а во второй i казателем 6. Поэтому в НОД эта переменная входит с показптол* роменная же Ь в оба одночлена входит с показателем 1 (напом-м, что Ы = Ь), Поэтому с тем же показателем Ь входит и в НОД IX одночленов. Таким образом, НОД для ба^Ьс^ и lla^b равен а^Ь. мнут: НОДСба^бс^; 11а^Ь) = а^Ь. Отметим, что в качестве НОД ба^Ьс'^ и lla^b можно выбрать так-» одночлены 2а^Ьу 0,Sa^b и вообще любой одночлен с буквенной (*Т1.к) а^Ь. Иными словами, НОД двух одночленов определен лишь •ппииостью до коэффициента. Одночлен Sa^b^c^ делится и на одночлен 2а^6'^с^, и на одночлен : 2a^b^c^—Aab^c\ Sa^b^c^: 1 la^b^c = иному OH кратен и первому, и второму из этих одночленов, т. е. имотся их общим кратным. И [)Оделение. Наименьшим общим кратным (НОК) lyx одночленов называется их общее кратное, имеющее I каждой из переменных наименьшую из возможных чмюней. Чтобы получить НОК двух одночленов, нужно взять все переменно* входящие хотя бы в один из них, а из показателей, с которы-1 они входят в эти одночлены, выбрать наибольшие, после чего tpoMпожить полученные степени. Если переменная входит лишь в 1ИМ одночлен, то ее берут с тем показателем, с которым она в не-иходит. I р И мер 2. Мпйдем НОК одночленов ба^Ь^с^ и Решение. В НОК данных одночленов входят переменные а, 6., и г/, При этом а входит с показателем 5 (большим из показателей и Г)), Ь — с показателем 4 (с таким показателем эта переменная юдит в оба одночлена), с — с показателем 2 (с ним она входит мерный одночлен, а во втором ее нет), d — с показателем 1 б’ьтч1ите, почему это так). Поэтому НОК(ба»Ь"с2; 8a^b"d) = a^bVd. НОК двух одночленов тоже определено лишь с точностью до ко-||фтиим{та. 8 УПРАЖНЕНИЯ тй7. Напишите все делители одночлена (положите их коэффициенты равными 1): 5 а) 17а®Ь^; б) в) 12а6с^; г) о 28. Напишите по три кратных одночлена: а) \2x^yz^\ б) 26a^x'*2^; в) 6,3х®г/^; г) о 29. Напишите по три общих делителя одночленов: а) и Ъа^х\ в) 8а6с® и 6a^bcd^; б) 5а^ и ба'^Ь; г) Z2x^y и ISax**. ;Ю. Напишите по четыре общих кратных одночленов: а) 5аЬ и бху; в) 7х^ и 8х"^; б) 25х^у и 6x1/^; г) Зхг/^2® и бх^г/г'*. Л1. Найдите наибольший общий делитель одночленов: 11. 3 в) ^х®у^г® и -^х^1/‘*2^; 26 13 3 г) 0,За^Ь'*с^ и а) 9х^ и 15х®; б) Пх^у^г"^ и 8х^у; 3^] Найдите наименьшее общее кратное одночленов: а) Зх^ и X'*; в) 5а®х**2^ и 3a^xz/^; б) и Зх^у'^; г) ^а^Ь^х^у^ и -^а^с^х^г®. 4 6 33. j Найдите наибольший общий делитель одночленов: а) Sa^b^c и 4abV; б) 5,7х‘*у^г® и 0,Зх^г/®2^. Найдите наименьшее общее кратное одночленов: а) da^b'^d и Sa^b^c^; ___ V*4if3^ тт ____ n^‘V‘^11^ “гХЧ/*"2 и — a^'x^v' 3 ^ 4 у ;i. ОСНОВНОЕ свойство дроби и ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В б классе было показано на примерах, что значение дроби не изменяется, если умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Например, 3 3-7 21 4 • 7 9 28 ’ в общем виде это свойство выражают так: если Ь VL с отличны от нуля, то выполняется равенство (1) ас Ьс • Докажем это утверждение в общем виде. Пусть — = х. По опреем делению деления это означает, что а — Ьх, Умножив обе части этого равенства на с, получим ас = (Ъх) • с=^{Ьс) • х. Так как b^Oj с?^0, то I , л ас fn а ас а ас Ьс^О, поэтому X——. Так как х—-т- и х——^ то . Ьс Ь Ьс Ь Ьс Тождество (1) называют основным свойством дроби. На нем основаны сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. Ч1ример 1. Сократим дроби: а^ Зау Решен ие. 2ах 2х б) 4(а-Ь) ■ с 7(а-Ь) • d в) 6{а + Ь)(х-у) 10(c + d)(x-y) Зау Зу • а , т. е. числитель и знаменатель имеют общий множи- 2 JC ■гель а. При а?^0 дробь moj^cho сократить на а. Получаем дробь —, Значит, 2а:с 2д: Заг/ Зу б) Общий множитель числителя и знаменателя дроби равен а— 6. Сокращая на него (при получим 4{а-Ь) • с 4с в) 6(а + г>)(д:-1/) Ua-b)'d З(ач-Ь) За+ 36 (при х^у). 10(c + d)(x-i/) 5(c + d) 5c + 5d Обычно дробь сокращают на НОД числителя и знаменателя. Пример 2. Сократим дробь 140^6» 21а®&2 ■ Решение. НОД (14а^Ь^; 21а^Ь^) = а^Ь^. Сокращаем дробь на а^Ь^. 10 ЛАп^Н^ Л Ah Тнк как 14а^Ь®:а^Ь^ = 14&, 21а®Ь^: а^Ь^ = 21а, то 'ч':о'= -:гг-. Можно 21аЧ^ 21а (юкратить дробь еще на 7. Получаем 14а^Ь® _ 2Ь 21а®г>2 - За ■ Любую алгебраическую дробь, знаменателем которой являет<41 одночлен, можно привести к новому знаменателю, кратному знамо нателю этой дроби. Пример 3. Приведем дробь ^ знаменателю 2х^у^. Решение. Так как 2х^у^ :6ху‘* = ^ ху^, то надо умножить числи толь и знаменатель дроби на дополнительный множитель -^дг1/’‘. Имеем 31.2 11а^Ь^-—ху^ —а^Ь^ху^ ПаУ 3 _ 3 а 4 i ^ 2xY оху* —ху^ " 3 Любые две алгебраические дроби можно привести к общему зиа монателю, кратному знаменателям этих дробей. Обычно их припо дит к знаменателю, равному НОК знаменателей. II ример 4. Приведем к общему знаменателю дроби 9х^у^ 2а^ ^ и Аа^Ь^ Решение. Имеем НОК (4а®&®; Zb'^y^) — a^b'^y^, Удобно заменить на 12а^Ь^г/®, так как 12 делится на 4 и на 3. Поскольку 12a®fe^y®: 4а^Ь^ = 12а^Ь'^у^: Zb'^y^ = 4а®, 10 дх'^у^ _ 9х^у^ • 3f>V _ 27b^xY Аа^Ь^ • 3&V 12a3feV 2а^ 2а^ ■ 4а® 8а® 3bV зьу * 4а® 12а®Ь'^у® ' 11 Упражнения 35. Ученик сказал, что при сокращении дробей отбрасывают одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе. Не ошибся ли он? Проверьте справедливость или ложность равенства а + с Ъл-с 36.' при: а) а = 3, Ь = 5, с = 7; б) Сравните соответственные значения выражений ^ и ^ при: о ос а) а = 3, Ь = 5, с = 7; б) а = -^, Ь = ^, с = --^. [з^ Сократите дробь: a) lOy’ в) • ’ -2q’ V ab Д) —; Ж) -ac « Sb - V 2a -Ay V -ac 6c ‘ 3) аЬх , аЬу ’ (а + Ь) • зс 38. (а + Ь) - у Представьте выражение в виде дроби со знаменателем Юл: а) -а б) в) -а -Юл ’ г) - -а Юл 40. -Юл’ " -Юл’ Сократите дробь: . а(Ь-2) . 3(л + 4) . . 15а(а-Ь) . . 35у(л + 2у) ^ 5(5-2)’ ’ с(л + 4) ’ ' 205(а-Ь) ’ ’ 42л(л + 21/) ’ В каждом случае укажите, при каких значениях переменных это сокращение неверно. Докажите, что дроби не являются тождественно равными: а) л+ 3 6 -f' б) а+ 1 1 и — а 41. Сократите дробь: a) 5(a- b). r) 22(a-3c) . Ж) ^y-^y. 8(b- a) ’ 33(3c-a) ’ 9-Зл ’ 6) a(x- 2y). Д) -455(25-7) . 3) -6pq-\-20p ^ b(2y -X) ’ 185c (7-25) ’ 3q-10 ’ b) 5x(y x(y- z£l. -X) ’ e) 8(a-12) . 12b-ab ’ и) 2a-85 12b-3a ’ 42. Сократите дробь: 8ал а) 125л ’ б) 9аЬх ^ 21асх ' в) 6(g-fb)x , 15(c + d)x ’ г) 21(q+fe)x , 28(o-f ’ 12 Ч a(.a + b)(c + d)(x + y) . b(a + b)(c + d)(x-y) ’ е) a(3a-2b)(2x-\-y) а(да-\-2Ь){2х-\-у) Вынесите за скобку общие множители в числителе и эиям и сократите дробь: а) За+ 12Ь _ г) 7т ж) а-36 6а5 ’ 7П + 21 ’ ас-36с ’ б) 156-20с , д) 2а-4 з) х + 5у . 106 * 3(а-2) ’ 3x2+ 15уг ’ в) Зх е) 5х(у + 3) . и) ах-46х 9х~6у ’ 6у + 18 ’ ау-АЬу ’ Приведите дробь к знаменателю: оЬ ■Г L а) 6Ь; б) 216; в) 36с; Сократите дробь: . 7а*х^ а) б) 6х» ’ 9х»у . в) г) г) 1056л:. 27а9д.15 15а*х^ ’ 5а*Ь^х^ Д) ГёЛ Sla^x^^ ’ д/п-2^л-8 Юху* баЬ^х^ Вычислите значение выражения: а) 5':5<; г) б) 10®: 10^; д) 10®: 10^2; в) (0,5)1®: (0,5)^; е) ж) (8®-8®):8‘^ з) (1,1®- 1,1^):(1,1 47. С помощью таблицы степеней чисел выражения: 81 • 243 . 16-32 а) ; б) 1024 ' ' 6561 48, Сократите дробь: а) в) 2 и 3 найдите т 8 • 128 ■ 27 • 729 512- 59049 вх* 8х® ’ , 6х® в) ; _1^. 5x^j/® ’ ж) 10х® 5х" ’ . 6а^6 '■> 9а»' = -2,laV 3,5а®х^ ’ з) -ia»x® 7 2 4 2 21 216а^5У 64а®6с^ 49.1 Представьте в виде степени с основанием с: а) с® • (с2)8; б) с® • (с®)®; в) (с^)® • (с®)®; г) (с®)® • (с®)®; □Я (С®)^ • (с®)® (С^)® (с®)® • (С^) 2ч7 (с®)® • (с‘) 2U1 13 50, j Представьте в виде дроби вида —: . (cV .. (cV (c¥ ^ а) —57Т ; б) (с8)3 (с®)® • (сЗ)4 51. Найдите значение выражения: 52. 54, 55, а) 5^ • 25^ б) 8' . 5»^' ■" 46 Упростите выражение: в) 9^ • 49^ г) 25' ») Г!!; (ас)* (2ах)® . ’ (46x)8 ’ . (аЧ^)* . (a®ft2)S ’ , (5а2у'»)® (Qb‘^x'^f (ЗЬ'®х®)® (10а®1/8)2 ’ б) (bcz)^ - (3axt)^ (басх)® ’ (2«®х'‘)® . ^ (3a2xY ’ (2д2х^)2 ^ (46®х'‘)® (Зау^)* ■ (15aYf ' 53. Представьте дробь в виде одночлена: а) 4х®1/ , Зху ' в) б) 7х*у^(а + Ь)^ , г) 5ху^(а-\-Ь)^ 25xV(3a-b)'‘ . 5х1/^(За-ЬУ ’ 8xU2a-xf(a + b)^ 4x(2a-xf(a + by Приведите дробь: 17x2 а) б) в) 6l/2 9,6x22® 9 к знаменателю Ьа^Ь^у"^; к знаменателю 192x"^y^z^; к знаменателю .2*2^3 -3 г) —к знаменателю 2a^b^c^x^y^^z^. Ix^y^z^ Упростите выражение: а) 7^:7®; д) б) x'^^ix^^; е) в) (2xf^:(2xf^; ж) г) i7x + yf:(7x + y)^^; с2 с" .12 д:^ • х'* 15 {2yf^ - 2у (2yf0 14 з) и) к) 8 ’ а® а® 3(2а-9Ь)® 4(2а-9Ь)^ 4. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ Правило умножения дробей было выведено в 6 классе: Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой оен произведению числителей этих дробей, а знаменатель цзведению знаменателей, В общем виде это правило записывают так: если Ь^О и то а с _ ас Ь ’ Докажем это утверждение. Пусть ^ = х и 4 = у. Тогда во|)пы о а нонства а = Ьх и c = dy. Перемножая их, получим ас = (Ьх) • {dy) = ibd) • (ху). ,, ас тт ас ас ас ас »Ишчит, ху=—. Итак, ху = - ' ^ и ху = — , а потому т . j оа о а оа о а гш Формула (1) позволяет заменить произведение любых двух др одной дробью. В дальнейшем вместо ♦умножим дробь на дробь i маним произведение дробью» будем писать короче — «умно дробь на дробь». Аналогичный смысл будут иметь слова «раадг д|)обь на дробь», «сложим дроби» и т. д. После умножения др- иолезно сократить полученную дробь, если это возможно. Пример 1. Умножим дроби Решение. Sab бсх --- и ----- bed lay Sab бсх Sab • бел: 48а6слг bed lay bed • lay Мосле сокращения на ас получаем ответ Sbaedy 4Sbx 3bdy‘ ример 2. Найдем произведение дробей а Ь - и -. Ь а Решение. Имеем Ь аЬ ту ^ аЬ J — “ —. Дробь — получается из дроби . а Ьа Ьа 1 м*м умножения числителя и знаменателя на аЬ, потому эта дробь рат • 1Н11ЧИТ, “ * — = 1, Ь а 15 Дроби — и — называют обратными друг другу. Их произведение равно 1. ^ ^ Перейдем к делению дробей. Частным от деления дроби — на с ас ^ дробь -7 называется такое лг, что -г = — * Чтобы найти это Ху ум- а о а ^ ножим обе части равенства у = ^ на дробь —. Получим Значит, х=^ * — . Ь с Чтобы разделить дробь на дробь, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Пример 3. ^сх 91ух Найдем частное от деления дроби —— на дробь 12ау lldy 5сх Решение. Чтобы найти частное, надо умножить на дробь 12ау 9Ьх _ 5сх lldy _ bbcdxy _ bbcd 9bx I2ay lldy I2ay 9bx lOSabxy 108a6 ’ lldy Tx ^cx ^ Имеем УПРАЖНЕНИЯ 56. Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь (если это возможно): б) 2 д:. 3 ' 2’ в) Ь 10 5 * 6 ’ V т Зл . • у т ж) За _ 8. 4 ’ 9’ г) 2 а Ь 7 ’ ч 2л: X . > а з) дЬс 1Ьах 5ad I8by ’ 8ху Зас 9аЬ 4ху' 57. Представьте один из множителей в виде дроби со знаменателем 1 и запишите произведение в виде дроби: а) д: -; « 57 у. в) а а ч б д) -1 -X е) У 58. Найдите произведение дробей: 5л:-Зу V 2а ЗЬ V б) -а Ь ’ х-2у х + 2у Ъх + Зу 16 в) 2а+ 36 7а-26 ’ 59. ei. A\2. на. г) Д) 2х-\-у ■ bed ’ Sab lab 6х-\-у ^ ' llab ’ е) ж) ас . 2x-Sy . х +у аЬ ’ be х^у Ь з) 4Ьл 5а+ 26 бабд: ^(5а f 2х-у llab 2х-{-2у Представьте частное в виде дроби: X . ^ 2 ш Зт а) — : б) — : —; У О 2п п t; г) 6а Ь 12d во. Упростите выражение: а) Ь:-\ а в) За; 12а г) 15дг 8(/ Ъх. Найдите частное: 66 , Ъх а) б) в) г) 19у’ За+ 6 5а-6 8д: ■ 5а-46 ^х-Ъу 2х-\-Ъу ЗаЬ За + 6 2х^11у х-2у ^ bed ’ д) ■ е) - [S] R1 Sed 3cd u-\-4v* b 2u + v be bx + by ' lx-¥ly ’ (g + 6)(2x+j/) . {2x-\-y)a (2a + 6)(x + i/) ' (2a + 6)x 2(a + 36)(x-y) . a+ 36 5(6 + 2с)(3х-г) Найдите произведение дробей: 6 + 2с а) в) 1 2 ''' - зд4 Выполните умножение дробей: М 1,7 ’ 2л:» бд:’ За» 7Ь» 6а» 4л:» 8л:» а) 8с 21d» Id , ‘ б7’ г) • 12с ^ ж) 8аЧ* ■ (- б) л:^ У^ ' у\ х^’ д) 12лг1/ 2» 252 8х» ’ з) 25xY 14а^ в) ЗаЬ Аху Юл:» 21а»Ь»’ е) 1 и) 9ху ЗаЬ bab 4уг 4ЬЧ’ ( 21а6 \ V Я 46г и Выполните указанные действия: Ваху а) 5а: баб 15а : 8а‘ 25с 18а»Ь» г) - ЗаЬ» баЬ» 5cd ' 5c»d^ ’ Д) е) ж) 2ал: ЗЬл: 9Ь»2 8а^ху ’ led \ 28а* 12а» / ЗаЬс уг ау / 8b»cd . ■ ' Zp^mq 2а»Ь» 8x»i/» ’ Z8pxy Zb^ ’ 9а»Ь»с» 17 jljl jlxxxx л. л л. ж -сжжжжжж^ ,л. ж^ж^жж Рассмотрим сначала сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Пусть надо сложить дроби — и —, где Положим ^ = х. — = у. Тогда имеем а = сх и Ь = су^ а потому с а-\-Ь = сх + су = с{х + у). (1) Из равенства (1) следует, что х-\-у — Поэтому а Ь лг-Ь1/ = —+ — и х^у = с с а_ ^____а + Ь с с с Итак, а + Ь Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сумму их числителей записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения. Пример 1. Сложим дроби и - ■. 5у Ъу Решение. 6д:-1/ _ ~(х + Ау) (6х-1/) + (-(х+4у)) бх - у - (д: + 4у) 5у 6х-у-д:-4у 5у 5у 5х-5у 5у 5(х-у) 5у 5у Х-У Если знаменатели у дробей различны, то перед сложением дроби то приводят к общему знаменателю. Так как -7- = -^ и -т = —* о оа d bd Ъ d ~ bd'^ bd~ bd (2) Лучше, однако, не пользоваться формулой (2), а каждый раз приводить дроби к общему знаменателю. Обычно в качестве общего знаменателя выбирают НОК знаменателей слагаемых. Пример 2. ^ - 4а-56 6с-7d Сложим дроби ; и ---;—. аЬ cd Решение. НОК (аЬ; cd) = abcd выберем в качестве общего зна- менателя. Имеем 4а-56 (4a-56)cd 6с-7d (6c-7d)a6 ab abed и cd abed 18 Поэтому 4а-5b 6с-7d _ {4a-5b)cd {6с-7d) аЬ _ аЬ cd abed abed (4а - 5fe) cd + (6c - 7d) ab _ 4acd - 5bcd + 6abc - 7abd abed abed Пример 3 Сложим др Решение. НОК {be; ac) — abc. Так как abc:bc = a, abciac Ь Сложим дроби и —. ос ас Чх 2ха Зу ЗуЬ 2х . Sy 2ах , 3bi/ 2ах + ЗЬу ——, — = —^ , И потому ——I--------— А—г--------г . he аЬс ас аЬс be ас аЬс аЬс аЬс Пример 4, бд: 7*/ Найдем разность дробей *^5^ и Решение. Так как НОК а®Ь) = а^&^ и : а®& = 6^, то иЗ,. И потому 6х бах 7у а^Ь^ а^Ь 6х 7У _ бах 7Ь^у а^Ь* аЧ аЧ* аЧ* ^^РАЖНЕНИЯ 05. Выполните указанные действия: в) —+ -• 5^5’ V т . п-т 12 + 12 ■ ж) f + X у . 3 3 ’ ч 2с + 7 7 . д) ; а а ч X + 3 х + у X . 9 9 ’ V а . 5с '> 6+Т’ V баб и) с 2а , 7 ’ + + 1И1. Выполните указанные действия: 5Ь + 2с-7 г? + 3 ^ + 5 х + 2, ^9 9 ’ 8jc-3 , 24-JC б) . . + г) 2Ь 2Ь ’ в) 14 14 ' 5т + 2л 5т-Зп V а-2 , 2а+ 5 3-а д) ^Г- + 8 8 8 8л 8л Зх-2у 5х-3у х-Ау ^ 2х ^ 2х 2х ’ 19 ж) з) 5х+1 Зд: + 4 а + ^> 2у + 8 аЬ а + Ь ’ Зу ^ У + 6 аЬ аЬ и) к) 2а 2& 2а 4" ЗЬ 2а + ЗЬ аЬ + ас Ьн-с Ь + с 67. Является ли тождеством равенство: а) 68. а-Ь Ъ-а' Решите уравнение: V Зх-12 , 8-д: ^ а) —77г~ + -тт;- = 0; б) - Зх-1 1-Зл: 17 17 б) 11у + 29 81/-24 41 41 = 0. [б9^ Представьте выражение в виде дроби: а) б) в) у-1 а с-3 т 1“*/’ Ь + 3-с’ 2п г) Д) е) Зр 2р Р-7 Ч-Р а+1 ^ а-2 ж) 2а-1 Дг + 4 1-2а 8-2JC з) Р-7 Ь-13 7-р’ 3 + 2Ь 10-Ь Ь-10* т-п п-т 70. Упростите выражение: Р 5 . 2р 1-Зд: Зд:-1 а) б) р-2 р-2 а + З + р-2’ 2а-1 ^ 4а-1 а-3 3-а а-3 [ 71.1 Решите уравнение: а) в) г) 2а а-Ь 2а + Ь-а а-Ь’ 3-а а + 6 2а-9 9-2а 9-2а * 2х 4х+1 7-Зд: Здс-9 9-Зд: Зд:-9 = 0; б) Зд:+15 . 7-5д: 7дг-2 2л:-10 10-2л: 2д:-10 72. Вычислите значение выражения: а + 4Ь V За + 2Ь 4а-Ь 2а-Ь 2а-Ь Ь-2а при а~2,718, Ь = 3,142; 5х-3у , 7дс + 5р . 12х-^у 1 о б) ^ +при х = -, р = 3. 4х-у 4х-у у-4х 4 ^ 73, Представьте выражение в виде дроби: а) h Ь 3’ е) X 7 л) а + Ь 3 а-Ь 2 ’ б) X 4 к. 5’ ж) 2 За м) ад: 3 ЁИ. 5 ’ в) -Р-4.-Я-, з) 3 , Н) 1 bJ_; 12 18’ Зх Ах' 15а 9а’ г) С 21 ■ d ■ 6 ’ и) Ъх 15 Ъх 10 ’ о) 3 2у’ д) а б • Ь’ к) 12 + ^-10 ’ п) ь За 5 2а • 20 74, Представьте выражение в виде дроби: а) 3 5 • 4 1 1 1 ^ бх 5х 15х 7п 28ТГШ ’ б) Ъу-З Зу-2 . 3 ' 5 ’ . х-2 . 2х + 3 Д) 2 + 4 - в) 2х-5 х-4 4 2аа-АЬ 6 5 ’ 6 2 ■ 5х-3 6 ’ 2а-15Ь 8 76. Выполните указанные действия: V За . 2л: т+т- б) 52.-^; У2 У аЪ Ъс ’ г) 25л: Ъй 18у. ас ’ Д) е) 25ад: + 1ЪЬу b(c + d) Ъ(х + у)" 2а + с _ 4а-с Зх + у Зх-у‘ 76. Выражение х-Ьу представьте в виде дроби со знаменателем: а) 1; б) 2; в) а; г) 5ху. 77. Представьте сумму или разность в виде дроби: 4,1 . а-\-2Ь п \ , л 6)b-f. г) 16л: 4х-7у т. Решите уравнение: 4; е) -г% + 51/. л:-2 а) 2х-3 ^ + 6 0- г) Х-- 5 б) 5х“6 3 6^ + 6 _п. 12 4 5х-д) е в) 30-1/ 9 -г/=0; 4 X-i 14 л;-12 = 0; 2л:-7 ^ 9 8-Зл: -л: = 0; 28 + 2 = 0. Ш9. Выполните указанные действия: 1.1 V а а а) б) 1+х 1 + 1-х’ 1 У-х' в) ---- Р-Я Р + Я г) х+у у-х p-q p+q НО. I В знаменателе каждой дроби вынесите за скобки общий мио: тель, после чего сложите дроби: . 3 . + 5 . ^______ 2х-2у Зх-Зу' ’ 4у-2 6{/-3’ ,.1,1 . ЗЬ Ь б) :гг^ + -5т-^; г) а) Ш. 4а + 46 6а + 66’ ^ 55+15 25 + 6’ Приведите к одному знаменателю дроби: 10 ' Д) е) А. ас + с * 2х аЬ + Ь X ах + ау ' bx^b\t 4 2 3 а) и —; X* X® б) -7 и с* С‘ в) —т и--------- , 8а® 28а2 17х 245* и 10 465' 21 82,1 Найдите сумму дробей: 2 7 ’ 3 ^ 2 ’ ^^6 12 аг х^ х^ у** у‘^ 83. Приведите к одному знаменателю: 3,2 „ 4,5 . ч 1 1 а) — и — ; б) г Z — и — X'' X" [84.] Сложите дроби: а) + а® а2 85. 86. б) М. 4 в) г) в) г) (а + Ь)3 5,6 и (а + й)' {2х-1Ау) 4,8 (x + yf 7,4 34 И 3,9 (2х-14уУ 2,5 0,4 (2х + ЪуУ^ (2л: + 5уУ X" д: Выполните указанные действия: 140^^:® бЬ®!/'* а) б) 96^ + 5а®д;2 6с^ . в) г) lla^b^c ^ _5а6‘*с® гОлг^у^г^ 28xy'*z2 15a:Vz 5а®х^ 45а'*д:' ' 7a^ftc® 21аЧ^с^ Представьте дробь в виде суммы дробей: х^ + 7х^ + 8х-5 . бд:^ х^’^-Ьх^ + х-М а) x2+3x + 2 дс* ’ в) б) д:®-7д: + 5 . Зх^ г) 9х^ , ах^ , Ьх^ г) ----+------ ,5 ,10 6. ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ 0 Возведем дробь — в пятую степень. По правилу умножения дробей получаем 3 3 3 3 3 3 • 3 • 3 • 3 • 3 _ 3® 4 ^аем 4 4 4 4 4 . 4.4.4.4 4® а а а а а а а ’ а • а ’ а _ а® Ь Ь Ь Ь Ь ЬЬ'Ъ'Ь^Ь Вообще при возведении дроби в степень надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и разделить степень числителя на степень знаменателя: / _ \ m /|'л (1) (±Y= — \ь/ ь"' 22 в самом деле, m раз \ь) ь *■“* Ь “ а - а Ь • Ь аг т раз m раз УПРАЖНЕНИЯ #7. Представьте степень в виде дроби: (i)“ ■> (-f)’ (^) (т)‘ 88Г| Представьте дробь в виде степени: а) б) 64а® 89. Упростите выражение: •>тш в) -8а^ (а-ЬУ ж) з) г) 2/п^ V. pVJ ’ /oVV V c^dv ’ 32jc1“ г) f6aVy ZjaV V. \7bV J Л 16bYJ ’ Z3(o+^Y /2^£-^у. ^n2(x-3y)V \3(a + 2b)V ’ b) ©)'(■ 27^3 \&a* / V; e) 2(x-3j/)® 3(a + 2b)-* (a+56)®(x-4^)^ (За-2дг)^(2Ь + 7г/У 90. Выполните указанные действия: 91 т (x-3yf Приведите одночлен к стандартному виду: а) (Здсу®)®; г) (-0,1р^д'‘)®; ж) 4а^Ь®(0,5о&'0®; б) {ba'^bf-, д) з) (^2-|-xV) ' (f ^V) в) е) (-2ab^)®; Представьте одночлен в виде куба одночлена: а) 27а®Ь®; в) 8а®х*®; д) 8а®д:*® • (За®;с^)®; б) 64a®jc^^; г) 125a^^jc®y'®; е) (Зал'*)*® • (2о®дг)*®. 23 93. 94. 95 Упростите выражение 6 V у. 2ас2 / ’ . / 6^V.Z3^V. f За^с У ( Ч 7bv)\14bV/’ V2;cvj \ g. У . Z 25аУ у. . / 5д^Ь^ V./ 2а^Ь^ \ \5a®z®/ \126V/’ \-Зх®1/®/ \ 15х®г/®/ . /l4aV У_/6^\з, ^ V 9&V / \5a®xV ’ б) + \Ъа^хЧ \^Ьа*х) Упростите выражение: /^2аУУ / \ бас^ / а) V ; в) (llS^W \20х^У^2^ б) / 16х^у^г \з )Ч / ЪаЬ*с^ V. V28xyV/ ’ 16x®yV V 27а®6®с® I 7а‘‘Ьс® Ьх^у* ) V 2х*у^ ) V. 7. ФУНКЦИЯ » = 2. X Из определения обратной пропорциональности величин вытекает, что если значению Xi первой величины соответствует значение У1 второй величины, а значению Х2 первой величины — значение У2 второй величины, то имеет место равенство Xiyi = Х2У2> Значит, произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин постоянно. Обозначим это произведение через k. Тогда для соответствующих друг-другу значений обратно пропорциональных величин выполняется равенство xy = k. Из него следует, что */=f (1) Функцию (1) называют обратно пропорциональной зависимостью переменных х и у. Пример 1. Длины сторон прямоугольника, имеющего заданную площадь S, обратно пропорциональны друг другу. Произведение этих длин равно площади прямоугольника: xy = S. Пример 2. Количество товара у, имеющего данную стоимость /г, обратно пропорционально его цене х> В этом случае выполняется равенство xy = k. Из сказанного выше вытекает следующий признак обратной пропорциональности величин, значения которых найдены из опыта: 24 если при составлении произведении соответствующих друг др; итчений этих величин все они равны одному и тому же чи(!лу 1п имеем обратную пропорциональность по правилу У = Пример 3. Измерения давления газа р и его объема V при температуре /тли следующие результаты: р, кПа 3,6 1,8 1,2 0,9 0,72 0,0 V, м* 1 2 3 4 5 6 Проверим, являются ли величины р и. V обратно пропорционалып.п Решение. Составим произведения соответствующих пар не Mitii: 3,6 • 1 = 3,6; 0,9 *4 = 3,6; 1,8 *2 = 3,6; 0,72 • 5 = 3,6; 1,2 • 3 = 3,6; 0,6 * 6 = 3,6. эти произведения равны одному и тому же числу. Зммм ап мление газа и его объем обратно пропорциональны друг другу РВм РАЖНЕНИЯ 96* Пассажирский поезд, движущийся со скоростью 80 км/ч, про дит путь между городами А и В за 11 ч. За какое время iipiiii тот же путь экспресс, движущийся со скоростью 120 км/ч? 17. Стог сена имеет объем 18 м®. Какой объем займет это сено но прессования, если при этом плотность увеличится в 4 раза? lie. Пять комбайнов, работающих с одинаковой производительиост могут убрать поле, засеянное пшеницей, за 7 суток. За каког i' мя уберут это же поле 15 комбайнов, работающих с той жо и изводительностью? Ю. На путь по течению реки теплоход затратил 18 ч. Сколько про ни потребуется ему на обратный путь, если собственная скор(» теплохода равна 26 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч? 100« Начертите прямоугольники, имеющие площадь 24 см^, lumvv' одну из вершин прямоугольников в начало координат и напри стороны по осям координат. 101. Приведите примеры обратно пропорциональных величин, отл ные от приведенных выше. 102. Рабочий изготовил 96 деталей. Сколько часов (0 он работал, i»t за час он делает х деталей? Составьте таблицу зависимости t о для следующих значений х: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 4Н, Чему равен коэффициент обратной пропорциональности А’? 25 103. Какие из следующих величин обратно пропорциональны, а какие прямо пропорциональны друг другу: а) пройденный путь и скорость (при постоянном времени движения); б) пройденный путь и время (при постоянной скорости движения); в) время движения и его скорость (при постоянном пути); г) площадь посева и урожайность (при данном урожае); д) урожай и урожайность (при данной площади посева); е) урожай и площадь посева (при данной урожайности); ж) значение дроби и значение ее числителя (при данном знаменателе); з) значение числителя дроби и значение ее знаменателя (при заданном значении дроби); и) значение дроби и значение ее знаменателя (при данном значении числителя)? 104. р процентов от числа а равны х, т. е. х= . Укажите, какие пары величин р, а, х прямо пропорциональны друг другу, а какие обратно пропорциональны (при постоянном значении третьей величины). 8. ГРАФИК ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ Если площадь прямоугольника равна 1 дм^, то длины х и у его сторон обратно пропорциональны друг дугу. Начертим график этой обратной пропорциональности. Для этого составим таблицу значе- 1 НИИ у и Ху связанных равенством если х принимает значения — i — 1 2 3 4,3,2’ ’ ’ 4. X 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 у 4 3 2 1 1 2 1 3 1 4 Изобразим на координатной плоскости точки М|^-^; 4^, 3^, 2), 1), М^{2; Ме(з; и соединим их плавной линией (рис. 1), Ясно, что при дальнейшем увеличении х значения у будут приближаться к нулю, т. е. расстояние от точки гра-(1)ика до оси абсцисс будет становиться сколь угодно малым. Например, при л: =1000 имеем у = 0,001, а при д:= 1000 000 имеем у 0,000001. Если же приближать х к нулю, оставляя значения х положительными, то значения у будут становиться сколь угодно большими. Например, при х = 0,001 имеем у = 1000, а при х = 0,000001 имеем (/=1000000. 26 Таким образом, по мере увеличения положительных значений х график функции У — ^ неограниченно приближается к оси абсцисс, а по мере приближения х к нулю этот график неограниченно поднимается иверх, приближаясь к оси ординат. В таких случаях говорят, что оси координат являются асимптотами графика функции У=—• Если на графике функции У = ^ лежит точка А(а; Ь), то на нем лежит и точка Б (-а; -Ь), симметричная А относительно начала коорди- нат (если & = —, то -6=^—). V а ~а / График функции у = ~ симметричен относительно начала координат. Он изображен на рисунке 2. Похожий вид имеет график любой функ-k ции у = — при й>0. Такой график исегда лежит в первой и третьей четвертях координатной плоскости. Если же коэффициент k для функ-k ции У = “ отрицателен, то положительным значениям х соответствуют отрицательные значения у и, наоборот, отрицательным значениям х соответствуют положительные значения у. Поэтому график функции // - “ при k<0 располагается во втором и четвертом координатных углах (рис. 3). Кривую, заданную уравнением у называют гиперболой. Она, как видим, состоит из двух ветвей, которые по мере удаления точек от начала координат неограниченно приближаются к своим асимптотам — осям координат. 27 уйЫШтяя lOO, Постройте график функции У~—- а) Найдите по графику значения z/, соответствующие значениям ж, равным -4; -3; 2; 8. 4 3 б) Найдите по графику значения х, соответствующие значениям у, 1)авным -4; -3; 2; 8. 4 3 g и) На графике У—~ есть точка А(2; 3). Какие еще точки этого графика можно указать без вычислений? Как расположены эти точки? г) При каких значениях х значения функции положительны, а при каких — отрицательны? ^ ^ л) Постройте по графику функции У= — график функции у = “ —. 0 о) Объясните, есть ли на графике функции У = — точка с абсциссой 0. Есть ли на этом графике точка с ординатой 0? ж) Найдите, при каком значении х выполняется условие 0 6 ^ - 0,006. Что можно сказать о значении х, если х>0 и -j>6000? 13 3 106. Постройте на одном чертеже графики функций ^““"х* Как можно получить второй график из первого? А третий из второго? 10?, И каких координатных углах лежат графики следующих функций: 1 4 8 . 0,1 . -0,3 о <0 .V-j; б) У = --', в) y = г) у = 4 МШ. Постройте графики функций у = х и У= —• Найдите точки пересечения этих графиков. При каких значениях х выполняется неравен- 4 4 о ство х<—, а при каких — неравенство х>—? 4 10»^ Постройте графики функций у = х и у=—. Сложив соответствующие ^ 4 ординаты этих графиков, постройте график функции у = х-\—. Как 4 ^ построить график функции у==х---? К какой прямой приближа- 4 ^ отся график у = х + — при неограниченном увеличении х? А график 4 функции г/ = х-—? Вычислите с точностью до 0,001 значение 4 функции при х = 4831. Вычислите с той же точностью ее вначоиие при х = 0,0002. 28 г л а в а МНОГОЧЛЕНЫ § 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ I. СТАНДАРТНЫЙ ВИД МНОГОЧЛЕНА В предыдущей главе мы рассматривали в основном действия с од иочленами, т. е. с алгебраическими выражениями вида 4а^Ь^, о 2Дх^а6 и т, д. Выражения, состоящие из суммы двух одночленон, называют двучленами. Например, а^б4*7аЬ®, ху~4х^у^, kx-\-b — дну члены. Если выражение является суммой трех одночленов, его наз1»1 мают трехчленом, например а + аЬ + 6^ и т. д. Однако дальнейшую аиа логию названий математики посчитали нецелесообразной и ввели еди II мй термин многочлен для обозначения любого алгебраическо1*о имражения, состоящего из суммы нескольких одночленов. М ногочленом называют алгебраическую сумму одно членов. Например, 'Лл'’у~5ху^-\-х-у, +1/^ + 2®-Зхуг, х^ * х^-\-4{х^У-\-6х * x + 1 многочлены, а выражения (х-\-уУ^ У ^-3 5t многочленами не я а '1ИЮТСЯ. Слагаемые, входящие в многочлен, называют его членами. Иа пример, членами многочлена 2х^у-Зху^-\-6 являются 2х^у^ -Зх//'**, (J. 29 ('|иу;и членов многочлена могут быть подобные, т. е. отличающи-|м »| друг от друга лишь коэффициентами. Сумму таких членов мож-11П .шмеиить одним слагаемым. Эту операцию называют приведением подобных членов. Пример 1. Приведем подобные члены в многочлене ч- 2х^у^ - Ъх^у ч- 2ху^ ч- х^у. 1*(чпение. Запишем многочлен в виде Ах^у^ Ч- 2х^у^ - бху^ Ч- 2ху^ - 5х^у ч- х^у. По распределительному закону умножения получаем, что этот многочлен равен многочлену (4ч-2)л:^1/^Ч-(-6ч-2)д:г/^Ч-(-5ч-1)х'*у, т. е. (Ь Аху'^ — Ах^у. Обычно приведение подобных членов выполняют vr riio и сразу пишут: Ах^у^ ~6ху^ Ч- 2х^у^ - 5х^у + 2ху^ + х^у = бх^у^ - Аху^ - Ах'^у, Многочлен имеет стандартный вид, если: н) все его члены имеют стандартный вид; Г)) среди его членов нет подобных. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо сначала нр»1М(Ч!ти к стандартному виду все его члены, а потом привести подобные члены. Пример 2. Приведем к стандартному виду многочлен -а^Ь-\-9аЬ • &^ч-5а • a^b-Zab^ * 6ч-8а6^. Решение. Так как 9аЬ * Ь^ = 9аЬ^; 5а * а^Ь = Sa^fe; - Sab^ • & = - ЗаЬ'^, го данный многочлен тождественно равен многочлену - а^Ь ч- 9аЬ^ ч- 5а^Ь - Sab^ + 8аЬ^, Пртюдя подобные члены, получаем стандартный вид заданного многочлена: Aa^b+lAab^. Jfea тождественно равных многочлена стандартного вида мо-отличаться друг от друга лишь порядком слагаемых, Доказа-||»л1.с*тмо этого утверждения будет дано в старших классах. Если в многочлен входит лишь одна переменная, то его слагаемые распо-'1ПГМ10Т и порядке убывания показателей степеней этой переменной. Рц(чи)яожепные по убыванию показателей многочлены тожде-vmtwtmo равны лишь при условии, что их стандартные записи сов-fiathtHirn. Чмгн (’ наибольшей степенью называют старшим членом многочлена. 30 Пример 3. Докажем, что многочлены 0,7о:^у • ху^-0^2ху^ • х^уЛ-Ъх^у^ • 0у2х^^у-Ъху^ • ~х^ и 1,6х ' 0,5х^у®-6х®у^ • 0,Zxy-\-bx^y^ • 0,3xi/-8x®j/® * у тождественно равны. Решение. Приведем оба многочлена к стандартному виду: 0,1х^у • ху^ - 0,2ху^ • х^у + Ьх^у^ ■ 0,2х^у - 8ху^' = О^Тх^у'^ - 0у2х^у'^ + х^^у^ - 2х"^у^ = 0,5л:^1/‘‘ - х'^у^, 1,6х 0,5xV-6xV ■ 0,3xy + 5xV ■ 0,dxy-8xY '\у = = О,ex'*!/® - 1у8х^у^ + 1,5х®у^ - = “ х^у^ + 0,5х^у'‘. Так как получившиеся многочлены отличаются друг от друга лишь порядком слагаемых, то они тождественно равны. Пример 4. Найдем старший член многочлена 2 (х^)^-3 (х^)® ■ х^ + 4(х^)^ • х**. Решение. Сначала приводим многочлен к стандартному виду и располагаем его члены в порядке убывания показателей степеней: 2х® - Зх^^ + 4х^** = - Зх^^ + 4х^® + 2х®. ('таршим членом является -Зх^^. Наибольшую из степеней входящих в данный многочлен слагнг мых называют степенью этого многочлена. (Напомним, что ст('-1и*нью одночлена называют сумму показателей степеней всех нхо лпщих в него переменных.) Например, степень многочлена ;ia*fc^-6a®b + 7ab^-5a^b равна 6 — такую степень имеет слагаемое Ли*Ь^, а степени остальных слагаемых меньше, чем 6. Если степени игех членов многочлена одинаковы, то этот многочлен называют од ыпродным. Например, х'^ + Зх^у-бх^у^-ьЗу'* — однородный многочлсм* гтгшени 4, а многочлен х^-ь2х^у-бх^у^Н-Зу‘^-5 не является однород имм, так как один из его членов (-5) имеет степень 0. Многочлены принято обозначать большими буквами латинского ал <1»ааита А, В, Р, Q, Д и т. д. Иногда указывают переменные, входящие и этот многочлен. Например, Р(а, b)=3a"^b^-6a^b + 7ab^-5a^b-\-9 или <Ях, у) = х2у-3ху+ 1. Многочлены, содержащие одну переменную, часто обозначают i,,(x), Р„(х) и т. д., где п — степень многочлена, и говорят: «Многочлен 71-й степени» (иногда говорят: «Полином п-го порядка»)*. ** «Полином* от греческого слова polys — многий, многочисленный 31 Произвольный многочлен п-й степени в стандартном виде, содержащий одну переменную, записывают так: Р„(х) = аоЛГ"-1-а,д:""^ -Ь... + где а,, a„_i, а„ — произвольные числа, называемые коэффи- циентами многочлена. Многочлен второй степени Р2(х) = ах^-\-Ьх-{-с, где а, с — про-ишюльные числа и ат^О, обычно называют квадратным трехчле нпм^ а числа а^ с — коэффициентами квадратного трехчлена. Заметим, что два многочлена п-й степени P„(x) и Q„(x) тожде гтаенно равны лишь в том случае, если их коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны. Пример 5. Найдем, при каком условии многочлены Рд(л:) = +7л: + с и Q.^(x) — x^-\-ax^-bx тождественно равны. Решение. Многочлены Рз(х) = :с® + 0 ■ +7 • лс + с и Q3(x) = 4-алс^ - Ьл:-ь О тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х. Коэффициенты при у них равны 1. Приравнивая коэффициенты при и х®, получим а = 0, -Ь = 7, с О. Итак, Рз(х) и Qa(x) тождественно равны при условии а = 0, h 7, с^О. УПРАЖНЕНИЯ 1. Назовите каждое слагаемое суммы и найдите степень многочлена: а) 2х2-8х-7; в) -0,25х2-2хг/ + 8у^ б) 5а^ + 8а^ • 3&-0,2а^Ь;* г) 19х^у • 6xz/-l,6x^‘* • Юх^у + бх'^у^ • х^у^. 2. Составьте из данных одночленов многочлен: а) -2а^; -5а; б) Ьх^у; 4,7ху^; -2-|xV; ~3у^. 3 Какие из следующих выражений являются многочленами: а) 2c^ — Sc-\-ll; г) 9х^у бху — Зху^; ж) а(а-Ь)4-5Ь^; б) (4р’^-д)(4д^-р); д) -^х^-х; з) (5л:-3г/)"? О х^-2х-3 а) V + - + 1; X е) •i. Назовите одночлены, из которых составлен многочлен: а) 4х^-Зх-1-6; в) -3-ь0,5х4-х®; д) у 5) -2x^-f Зх+1; г) 5p^-2pq-\-3q^; е) х^-2х2-Зх + 4. >1пляются ли многочленами следующие суммы: а) 0,9a^b(a-i-b)-l-6,la&^(a-f?); в) 7,Зх^{/'*-0,01хг/^-6,2х(/^ • 0,2x®j/; 6) 2а^х • ах^-Зах^ • 0,2а^х; г) (х + ^)®-3(х + г/)2-1-3(х + 1/)-1? 32 в. Приведите подобные члены в многочлене: а) Зх‘^ — 5х-\-7х^-8х'^ + 5х; б) 2а®н-а^-1-За^ + а^-а; 12а&2 - 63 _ баб2 + За^Ь - 5аЬ^ + 26^; 7. ^]2а^х^ - ах® - а'* + Зх^* - 2а^х® + ах® ч- 2а'*, Составьте таблицу значений многочлена Рд (х) = 2х® + 7х - 5 для значений х, равных -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3. 8. I Составьте таблицу значений многочлена Р(^» г/) = 3х®г/-3ху®+5х-5у +1, когда X и у принимают значения -2, -1, 0, 1, 2. 9. Приведите к стандартному виду многочлен: а) хххх*хн-6х*хх-3х*х*х'х-12х- хч- 5- 7х; б) 2а (- ЗЬ) - 7а® • 5Ь + бЬ® • 2а; в) 5х -X • (-3xz/)4-6z/ •[/ *х г) а-0,5а®(-2а)ч-0,2а(-5а). 10. | Приведите к стандартному виду многочлен: а) -8/72 + 2,2р^-4/7" + 8р®-2,2р^ + 3,7р^ б) 2,4а"-10а®Ьч-7а®Ь-2,4а5ч-За®&; в) -5х®1/Ч'Зх®у-6х®уч-4х®1/-7х®1/ч-1; Г г) |-а®& ч- 9аЬ® + 5а®Ь - ЗаЬ® + afc® - 5,1а®Ь. II. Найдите значение многочлена: 1 а) Р(х, г/) = -2хуч-4хч-11ху®, если х = 2 — , J/ = -y; б) QiUy Ь) —-0,08fe4-7,3a®b4-27a®fe, если а = 0,2, Ь = 4; в) R(ay Ь, с) = 100ач-10ftч-с, если а = 8, ft = 4, с=1; г) А(а, ft) = 9a®ft®"3a®ft ' aft4-70aft® ' 0,1а®, если а = 2, ft = 3. 12. Расположите члены многочлена в порядке убывания показателей степени и назовите его старший член: а) 2i/®4-52/-7z/'*“Z/®4-3^®-5; в) (4а®)'^ • а®-(3а®)® - а®4-7(а®)® • а; б) X® - 4х + 7х® - 8х" - 3; г) (5х^)® - 3 (х^)® • х + (4х*' • х®)®. i:i. I В одном баке было 46 л машинного масла, в другом — 72 л. Из первого бака ежедневно расходовали по 3 л масла, из второго ~ по 5 л. Через сколько дней во втором баке останется машинного масла в 1,5 раза больше, чем в первом? I 1.| В одной силосной яме было 62 т силоса, а в другой — 50 т. Когда из первой ямы взяли силоса втрое больше, чем из второй, то н ней осталось силоса на 2 т больше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из каждой ямы? R кл. 33 при сложении, вычитании, умножении и делении двух много-4JM4IOJI получаются выражения, которые не являются многочленами, Например, (х^ + 4у2) + (х - 3j/2); (х2 + 41/2) _ (х - Зу2); (х2Ч-4у2) . (х-3у2); (х^-К 4z/2) ; (х - 3j/2) Он.|ражение (х2 + 41/2) + (х-Зу2) не является многочленом, так как ■ и’о сумма многочленов, а не сумма одночленов). Однако сумма, разность и произведение двух многочленов тождественно равны неко-то|)ым многочленам. Поэтому будем говорить «сложить, вычесть, умножить два многочлена», подразумевая, что для получения ответа (’лсдует соответствующее выражение заменить тождественно равным ему многочленом стандартного вида. Начнем со сложения и вычитания многочленов. Если в сумме млн разности многочленов раскрыть скобки, получится многочлен. Остается лишь привести его к стандартному виду. Пример 1. (Ъюжим многочлены 5а^Ь + 2аЬ^ и Sa^b-4ab^, Решение. {5a^b-\-2ab'^)-\-(3a^b-4:ab^)~ba^b-\-2ab^ + 3a^b Ha'^b-2ab^. 4а&2 = II ример 2. В1.1чтем из многочлена + многочлен За^Ь-4аЬ'^. Решение. (5а^Ь + 2аЬ^) - {За^Ь - 4аЬ^) = ба^Ь -ь 2аЬ^ - За^Ь + 4аЬ^ АЖНЁНИЯ 15. Выполните указанные действия над многочленами: а) (l,2x-3,5i/ + 2)-(0,2x-2,5i/ + 3); б) (За2-5а) + (1 + 5а-2а2); а) (х2 +2x“) + (-x^-2x" + 5x); г) 2,7р'^-(4рЗ-2,Зр5 + 1); д) (8п^ ~Зп^)-{7-8п-2п^); (0(15a2fe - 7afe2 - 6Ь®) + (2а» -12а^Ь + 7аЬ^). Hi, INMiiHTe уравнение: а) (17-5х)-(Зх-11) = 4; б) (-10,5x-15,8)= 12,8-0,7x. *7. Найдите значение выражения: а) (6,7a2fe-3.1ab + 863)-(16,9a6-2,3a2b + 8fe®), если а = -2, Ь = 5; б) 5x2-(3x1/-7x2)+ (15x1/-12x2), если х = 0,25, i/ = 0,4. 34 18. Докажите тождество: а) х(х-у)^у{у-г)-\-х(хл-у)^^у{г + у) = 2х^ + 2у‘^\ б) (а^ + - с^) + {Ь^ + - а^) + (с^ + - Ь^) = + с^. 19. | Даны три многочлена: А = 2а^-Ь^-\-аЬ, В = 2а^ + ЗаЬ + 2Ь^, С = -4а^ + 2аЬ-ЗЬ^. Найдите А + В ^ Г’ при а = 491,5 и Ь = 4. Каким многочленом надо заменить букву к, чтобы получилос|| тождество в следующих примерах: а) ft + (12c^-15c2 + 6)=:0; б) к-\-(5х^-2ху) = 6х^-\~9ху-у^? 21. i Докажите, что значение выражения -QAxy-1,Ъу + ^ ху не зависит от значения х, 22. : Найдите значение выражения (7а^ - ба^Ь + 5аб2 - 4Ь^) + (5а^ + Та^Ъ + Заб^ - 9Ь^) - . -(10a^ + a2b + 8a6='-13fe3) при а= 2,1. 2И^ Докажите, что: а) сумма трех последовательных целых чисел делится на 3; б) сумма пяти последовательных целых чисел делится на 5. 24, Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (7х^-+ 9x2- 10х +11)-(5Д.4_ 2х^- 7х^-Зх-6)--(х^-2х2-7х+17); б) (5аЗ-4а2-7а + 10)-(За2 + 5а2-13а + 2)+(-аЗ + 8а2-2а-9) -(а»-7а2-|-12а-1). 25. Из равенства (5a^-5a + b)-M = 4fc найдите, чему равен многочлен М, 20. Найдите многочлен к из условия 2х-1)== 1. 27. Упростите: а) 12,5X2 + 1/2 - (8Д.2 _ 5^2 _ (_ IQ^2 ^ 6^2)). б) 0,6а&2 ч- (2а2 4-^2- ^аЬ ч- (а^ ч- 2,4а&2 - 20. В автобусе было к пассажиров. На первых двух остановках вышло по т человек на каждой остановке, а на третьей никто иг вышел, но вошло несколько человек, после чего в автобусе ста ло к пассажиров. Сколько человек вошло в автобус на третьей остановке? 35 л MVlПОЖЕНИВ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Но рт’пределительному свойству умножения справедливо тожде- <■ I по {a-\-b)t = at-\-bt, 'Гмкоо же тождество верно при любом количестве слагаемых, на- И|)ИМ1'р (а Ь c)t = at Ы ct. (1) Кг л и апменить в таких тождествах переменные одночленами, то получим произведение многочлена на одночлен. Например, при а = 2д:^, h с —Зху, получаем (2х’^^4у^-\-Зху) * 5х^у^ = 2х^ • 5х^у^-4у^ • 5х^у^-\-Зху • 6х^у^ = = Юх^у^ - 20xV + 15xV- Иообще, чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить МП .гтт одночлен все члены многочлена и полученные произведения ('ПОЖИТЬ. После этого следует привести полученный многочлен к стан-дпртиому виду. УПРАЖНЕНИЯ 21». 11р<юбразуйте произведение в многочлен: п) • (JC^ + JC + I); г) (г/2_7у + б) • 9,5г/; 0) ■(5Ь^-ЗЬ^ + 2У, д) lab-(|а2-1аЬ + |б2^. и) ■ ("I- - 6а - 5^; е) 2а^Ь® + I - 7ас^ • у аЬс^. Продставьте выражение в виде многочлена стандартного вида: М) - 1-у(У^-Ьу+7У, в) 5х(а-3х+ 1)-4х(а-4д:-3); б) 8а‘-3а''*(а^ + 2а-1); | г) | 6аЬ(аЬ-1^)-За'*{а^-Ь‘^)-\-5Ь^(а^-аЬ). 31. [выполните умножение: а) 17а (a-f Ьн-с); (ж7] а^Ь^-Л) 7аЬ(2а + ЗЬ); (^(1^2 4^ и) IBa'^bClSb + S); '-'V3 I ) Зл-^(5а + 6Ь + 7аЬ); (l 4 аУ - 2 у а^х*) • (~ 2 -у ах«); д) 12/^^/(^/^p-^7^); 1---1/ 1 \ / 4 1 \ .) x,,z(x^+2y^ + 3z^); tiD(-2^bV)-(-2yb«y + 2yby-llbys). 1аьЛ * а^Ь; 4 / 3 1 3 \ 3 3 2^V • jxy^; -2-а 4 V) . (- 36 Упростите выражение: а) 5{a-b)-4{2a-3b); б) (х^-1) ■ Зх-{х^-2) ■ 2х; в) 6(2t — 3n)-3(3t-2n); г) (х»-Зх + 4) • 5х-(2х^ + 5х-8) ■ Зх; д) (х^-6x2 + 1) • Зх2-(2х^ + 7х2-6) • 4x2; е) -2х^у(3х-2у)-5ху^{2у-3х); ж) 8р'^(р-3)-4р ■ р ■ р-5р^ ■ р + (р^ + 4р); з) (4а ■ а-ЗЬ ■ Ь) • 2а-(За ■ а + 4Ь ■ Ь) ■ За; и) 7р • р • р + (р + 5) ■ р2.4 _ Юр • р; к) 8t - t - t ■ t + 6t^ ■ t^-(7t^+l) ■ 4t. 0. Найдите значение выражения: а) 5а(а-4Ь)-4&(Ь-5а) при а = -0,6, Ь = -0,75; б) х(х + р + 1)-р(р + 1-х) при ^ = У = -\- 0. Докажите тождество: а) 5(4x2_2х + 1)~ 2(10x2- 5х- 2,5) = 10; б) -5(12xV-3a:^p-8) + 7,5x^p(8p2-2) = 40. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при всех значениях переменных: а) а(2а + 1)-а2(а +2) + о2-о +3; б) 4(с-1)-с2(2 + Зс) + с(5с-4) + Зс2(с-1). 0 Решите уравнение: а) 5х(12х-7)-4х(15х-11) = 30 + 29х; б) 24х-6х(13х-9) = -13-13х(бх-1); в) |(Зх+1)--|-(х-1) = х-3; г) 1,1(15-х)-1,7(9-х) = х + 6. Wf 1 Расстояние между совхозом и городом, равное 170 км, мотоциклист проехал за 5 ч. Первые 2 ч он ехал со скоростью на 10 км/ч большей, чем скорость на оставшейся части пути. Определите ско-[)Ости на первой и второй части пути. ИМ. 1 Два грузовика грузоподъемностью 5 т и 3 т перевезли 100 т груза. (Сколько рейсов сделал каждый грузовик, если всего было 26 рейсов? m3 4, ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Кгли все члены многочлена делятся на данный одночлен, то ча-» 1ИИГ от деления этого многочлена на одночлен приводится к виду мит’очлена. Для этого надо разделить каждый член многочлена на ммипмлен и привести частные к стандартному виду. 37 Пример 1. Нрипедем к виду многочлена частное (8х‘^у^-5х^у^-\-7ху^):9ху^ I Nmii е н и е. - 5х^у^ + 7ху^): 9ху^ = Н 5 2 . 7 3 - •'* --Г ^ У+тгУ • ^ 7ху^ 9ху^ 9ху^ _ ^ . гу"’. 9 9 ^ 9 1Ссли некоторые члены многочлена не делятся на одночлен, то при дглгмии получится сумма, у которой некоторые слагаемые — дроби. Пример 2. Разделим многочлен 9ху^-\-5х^у-\-4 на одночлен Зху^. Решение, (9ху^ + 5х^у + 4); 3xt/^=^ Н—= 3i/ -f 4^ Н- ^ Зд:]/^ 3x1/^ Зху^ 3£/ Зх£/2 ^ШРажнения г) (0,8x® + 0,5x"-3x3):0,2x^; д) (За^Ь - 4аЬ^): 5аЬ; е) (2c®d^ + 3c-*rf^):(-3c''d3). ли. Выполните деление: н) (6а-86+ 10): 9; б) (8х + 12у-16):(-4); в) (14т-28а + 7):(-7); 'io. Разделите многочлен на одночлен: а) (8х®-7х^“ 14х^): 2х; в) (3x^y^-0,75x'*i/^ + 9,3x'‘i/^):9x^i/^; б) (15а^о-6аЗ + За2):9а2; г) (2x^‘^"-3x^^2_^5x'”^i):2x^^4 I'll.] Замените многочленом стандартного вида: я) (~с1^Ь-\-~а^Ь~ ~аЬ^^:5аЬ; б) xV + JcV - J JcV): (- 6л:V); н) (0,01о'‘-0,02аЗ-0,04о2 + 0,002а):0,01а; г) (4” v ^ • "Г \4 5 10/5 д) (5л:'"^'^-0,2х'" + ®):0,2л:'"^®; е) блг^г/”. | ’12.1 Упростите выражение: и) (0,7л:«-0,5х5 + 0,9л:''-0,7л:2):0,1л:2-(14л:"-10л:2) • О.бл:^; б) (3,6аЗЬ«-4,5а2&в):0,9а2&з + (2Да‘'6« + 3,5аЗ&^) • ■13.1 Замените звездочки одночленами так, чтобы получилось тож дество: а) * • (4&2 - 76 + 8) = 286=^ - 496^ + 566; б) * • (Sy^ + 8«/ - 7) = Збу® + * + *; 38 в) * • (За:^-10л:-*) = 24д:®-*-40л:‘*; г) 5а^Ь^ • (* - 9Ь2 + *) - 20а^Ь^ - * + а^Ь®. ■14. Представьте выражение в виде суммы: а) (х^-Зх^-\-4х^-Зх-\-1):6х'^; б) (7х^у^-{‘9х^у + 18у^):9х^у^; в) (ОуЗба^х^- 0,72а^л:^ Н- 0,84ах®): 0,6a®x‘‘; г) а^ьЛ: ^ а®6®. \ О t7 XX / <7 46. Найдите значение выражения (10х®-ISx'*): бх** при х = 4. Шш. Найдите значение выражения (4i/'^-z/®): i/®-15у®: 2у^ при z/ = 3,l« 47. Найдите значение выражения (8а®-6а^): 2а^-(10а^-5а): 5а при а = 1 и а = 9. а. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЛХ СКОБКИ Рассмотрим примеры решения следуюш;их уравнений: (2х-8)(3х-15)(х + 2) = 0; х®-4х = 0; х(х + 5)-7(х + 5) = 0. Решить уравнение (2х-8)(3х-15)(х + 2) = 0 совсем просто. Прои;| медение может равняться нулю лишь в случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому равенство (2х-8)(3х-15)(х + 2) О может выполняться лишь в случае, когда или 2х-8 = 0, или Зх-15 = 0, или х + 2 = 0. Решая эти уравнения, получаем, что корнями заданного урашш пни являются числа 4, 5, -2, Пишут: Xi = 4, Хг = 5, Хд = -2. Уравнение х®-4х = 0 можно решить следуюш;им образом. Выио-f |'м в левой части за скобки обш;ий множитель х. Получим уранно ти» х(х-4) = 0. Его корнями являются Xj = 0 и Х2 = 4. Таким же образом решаем уравнение х(х + 5)-7(х + 5) —0. Здесь ппдо вынести за скобки общий множитель х + 5. Получаем уравио пне (х +5)(х-7) = 0. Его корнями являются Xi = -5 и Х2=7. Эти примеры показывают, что вынесение общих множителей ал * кобки полезно для решения уравнений. Его применяют также при 1 икращении дробей и приведении их к одному знаменателю. Если какая-нибудь переменная входит в один член многочлена 1 показателем 4, в другой — с показателем 5, а в третий — с показа и’пем 2, то за скобки можно вынести эту переменную с показато-*|гм 2, т. е. с наименьшим из показателей, с которыми она вхо rhun в члены многочлена. Если же хотя бы в один из членов эта ni' |и менная не входит, то за скобки ее не выносят. 39 пример 1. Иынесем за скобки общий множитель многочлена Решение, Переменная х входит в члены многочлена с показа-гелпми 5, 3> 2. Наименьшим из них является 2. Значит, за скобки можно вынести х^. Остающиеся в скобках члены равны частным от Д|*лемия членов многочлена на х^. Таким образом, / \ 4х^ - 5х^ + 7х^ = х^ (—;-— и-—) = х^ {4х^ -5х + 7). \ х^ / Обычно деление членов на общий множитель делают устно и пишут сразу: 4х^ “ 5х^ + 7х^ = х^ (4х^ -5x4- 7). 11 |>имер 2. Вынесем за скобки общий множитель многочлена бх'^1/2 - 8х^у®2 + 4х**1/г®. Решение. Переменная х выносится с показателем 3, переменная /; с показателем 1 (т. е. выносится у), а переменная z не выносится за скобки, так как она не входит в первый член. Кроме того, иыносим общий делитель коэффициентов — число 2: бх'^у^ - 8х®у®г + 4x‘*yi® = 2х^у ^ 8xV 2х^у = 2х^у (Зх^у - 4у^г + 2x2®) ®2 4x^2® 2х^у 2х^у ^й/^РЛЖНЕНИЯ 4«. Укажите общий множитель членов многочлена: а) 6а®-7а® + 8а^; в) 2a'^x^y^+ 3а^х^у^-7а^х*у^; б) 0,lxV + 0,2xV; г) 24с'" + ®-18с'"^^-12с'"^2 Вынесите за скобки общий множитель: а) 7ах + 7х; б) 22у-11ху; в) х^-х^\ г) Зл: + 6х^; д) 1/‘ + 2у^ е) &а^Ь+12аЬ^\ ж) 10а-15Ь + 15об; o'» 9/^6_1С„2. и) 120^6-18а&2_ЗаЬЗ; к) 20jc"-25a:V-10x^ 60. Найдите значение выражения: а) 3,28л:-х^ при д: = 2,28; б) а^Ь-а^ при а = -3,5, Ь = 6,5 40 М. Решите уравнение путем разложения левой части на множители: 52. а) 17x = 0; б) х^ + 8х = 0; в) 5i/(i/ + 2)-f 55(i/ + 2) = 0; Докажите, что: а) 48^-48® делится на 47; б) 24® “24^ делится на 23; г) 4{у-7)-16у(у-7) = 0; Д) J/^-8z/®-0; е) —0. в) делится на 24; г) 25^4-5^® делится на 30. 53. Разложите на множители числитель и знаменатель, после чего сократите дробь: а) За+ 126 . д) а®-6а баб ’ За2 ’ б) 156-106с . е) 51/2 106 8ху-3у^ ’ в) Ъх ж) 2а-4 . 9х-6хр ’ За-6 ’ г) 1тп з) 5ху+ 15х , 7о1 + 21тл ’ 6у + 18 ’ и) к) л) м) a~Sb а^-даЬ ’ х-¥5у ^ 3x2+15x1/ ’ а (х + 3i/2) - 26 (х + Зу2) (a + 6)(x + 3i/2) x(2a-76)-3i/(2a-76) 54. Приведите дроби к одному знаменателю: а) б) в) 4а-66 х + у ах-26х 2х+1 и и 14а-216 ' х-у . ау~2Ьу ’ 2х-1 и г) и га За+ 8 7ах® + 66х® 12х+7 2а2б®-3а®б2 и х® + у® 4а® - За®6 ' 4а6® - 36** ' '—^ 4х®у + 4ху® 55. Выполните указанные действия: 6а + 18 , 4а + 12 ^ 96 + 45 ' 46 +^ ’ 16а6 - 24ас ISby - Sy^ и а) б) га 4а6 x®-3x2i/ 2а-5 4сх'* + 2dx'* ’ 6у + 3 . 26х-3ах ’ х2-у2 6Х**у2 _|_ 6x2^** 5х2у-3X1/2 И 546® - 246г/ 166х- 24сх 5Н. Вычислите значение дроби: ср2 - 2р2 а) при р = 5, с = 4,17; га 5х^-3х^у 6а^х^-15а^х lac 8х^-20ах2 1362^2 _266i/® 6г/®-Зб1/= б) 2рс-4р 10а2х®-18ах^ 25ах'*-45х® при а = 3,15, ^ = у • 57, Сложите дроби: , 3x2 U 2х + 8 а) ------г + -5x2 х2-5х б) 2а-36 За® + 5а6 41 6а + 76 За6 + 56® в, УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ Заменим в тождестве (a + ft)c = ac + bc переменную с на х-\-у. Получим (a + 6)(x + i/) = a(x + y) + 6(x + i/). 1']ще раз применяя распределительное свойство умножения, получаем (а + Ь){х + у) = ах-\-ау + Ьх^ by. (1) Вообще при умножении суммы на сумму надо каждый член нерпой суммы умножить на каждый член второй суммы и результаты сложить. Умножение суммы на сумму выполняют так: сначала умножают 11(‘рвое слагаемое первой суммы последовательно на все слагаемые иторой суммы, потом аналогично поступают со вторым слагаемым первой суммы и т. д., а полученные произведения складывают. При положительных значениях а, ft, л:, у тождество (1) имеет простой геометрический смысл. Оно означает, что площадь прямоугольника со сторонами длины ан-6 и х + у равна сумме площадей четырех меньших прямоугольников (рис. 4). Правило умножения суммы на сумму применяют для умножения многочленов. При этом получается новый многочлен, называемый произведением данных многочленов. Его надо привести к стандартному виду. Легко показать, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей. а*х Ь *х о*у Ь«у Гие. 4 Пример 1. Найдем произведение многочленов (х^ +ху ~\-у^){х-у). Решение. Умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и складывая полученные произведения, находим (х^ + ху + у^)(х-у) = х^ ■ х-х^ ■ у + ху -х-ху -у + у^ ■ х-у^ ■ у. Заменим произведения одночленов стандартными одночленами и приведем подобные члены. Получим (х^ + ху + у^) (х-у) = х^- х^у -I- х^у - ху^ + у^х -у^ — х^- у^. 42 пример 2. Найдем произведение многочленов (2а^-4а& + 96^)(6а^-аЬ^+7ft**) Решение. {2a^-4ab + 9b^)(6a^-ab’^ + 7Ь^) — = 2а^ ■ 6а® - 2а® ■ аЬ® + 2а® • 7Ь® - 4а& • 6а® + 4аЬ ■ аЬ^ --4аЬ ■ 7Ь® + 9Ь® • 6а^-9Ь^ ■ aft® + 9b® • 7fe® = - 12а® - 2a®fe® + 14a®6® - 24а'*& + 4a®ft® - 28ab‘* + 54а®Ь® - 9ab‘^ + 63&® — = 12a® - 24a"b + 52a®b® + 18a®&® - 37 ab^ + 63b®. УП^^ЖНЕНИЯ пн. Докажите, что (Зд:-Ь)(1/+ 2a) = 3xy + 6ax-bj/-2ab. nil. Замените выражение суммой: на. 1И. а) 5(х+1)(у-2); б) (4а+Ь)(:г-Зу); в) (4х-у){2а + 5Ь); г) (7,1л: + 3,2а)(6,1у-2,5Ь); д) \x + y + z)ia-b); е) (2х + 3у-6)(а-Ь + с). но. Раскройте скобки и приведите подобные члены: д) х(х-1) + у(у + 1); е) х(х-у) + у{х-2у); ж) 2(х+1)(л: +2)-3(л: + 4)(лг +5); з) 7(2л: + 1)(Зх-1) + 5(д:-4)(2л: + 4). а) (х + 2)(д: + 3); б) (л: + 4)(х-7); в) (дг +5)(2л: + 4); г) (л-8)(д:-1); HI. Решите уравнение: а) (л:+1)(л: + 2)-(л: + 3)(л: + 4) = 2; б) (л: + 2)(д: + 4)-(л: + 1)(х + 5) = 3; в) (2л:+1)(jc + 5)-(x + 3)(2j: + 4) = -5; г) (5д: + 3)(бх- 1)-(15л: + 1)(2л: + 7) = -104. на. Выполните умножение многочленов: а) (5л:®-4л:)(х + 1); б) (4а®-За®)(а-2); в) (7р®-2р)(8р-5); Упростите выражение: а) (3b-2)(5-2b) + 6b®; б) (7р-4)(2у + 3)-13у; г) illt*-9t^)i3t-2); д) (а®-2а + 3)(а-4); е) (2д:®-Зл:-1)(5л: + 2), в) 5b®-(a® + 5b)(ab + b®); г) х®-(л:®-3л:)(л: + 3). Найдите значение выражения: а) (a-2b)(2a + i»)-2a® при а = 8, Ь = -12; 1 б) {р-3х){р + 2х)-р{р х) при x=j; 43 - Ъх-\-2Ъ^){х-Ъ)~(х^Л-2Ьх~Ъ^){х-\-2Ь) при Ь — ^(а^+4ахЧ-х^)(а-2х)-(а4-х)(а^-5ах-2х^) при а = -1-^, х = 0,27, №. <17. Решите уравнение: а) 6х2-(2х-3)(Зх + 2) = 2; б) (10х + 9)х-(5х-1)(2х + 3) = 8 iWK Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: а) (х-3)(х + 7)-(х + 5)(х-1); б) Упростите: а) сумму выражений х^Н-5x^ + 8 и (х^-6х + 4)(х-1); б) разность выражений (а^н-7а-4)(а-3) и а®н-4а^-29а-1-1. Докажите, что: а) значение выражения п(п +5)-(п-3)(л + 2) при всех целых п делится на 6; б) значение выражения (л-1)(/гч-1)-(л-7)(л-5) при всех нечетных п делится на 12. Представьте произведение или частное, сумму или разность дробей в виде дроби, у которой числитель и знаменатель — многочлены стандартного вида: 3x2 + 1 а) 2x^ + 1 5^2-4 в) х^ + 4 Зх+2 6х‘^ + 5' х^ + х+1 б) х2-2х + 3 9x^ + 1 г) а^Ь^ +12 7л: + 7 ■ х^-5 ’ а2 + г>2 -Ь х-1 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ МЕТОДОМ ГРУППИРОВКИ За скобки можно выносить не только одночлены, но и более сложные выражения. Пример 1. Разложим на множители выражение: а) 5x2(3a-7b) + 6j/2(3a-7fc); б) 12a^b(6x-5yf-4ab^ex-5yy. Решение, а) Общим множителем в данном случае является 'Ла~7Ь. Имеем 5х^ (За - 7Ь) + 6у^ (За - 7Ь) = (За - 76) (5х^ + 6у^). 44 б) в этом случае общий множитель имеет вид 4аЬ{6х-5у)^, По этому 12а^Ь (6х - 5уУ - 4аЬ^ (6х - 5уУ = = 4аЬ (6х - 5у)^ (За^ - Ь (6л: - Ъу)) = 4аЬ (6х - 5у)® (За^ - бЬл: + ЪЬу), Вынесение за скобки многочлена применяется при разложении многочлена на множители методом группировки. Для этого груи пируют члены многочлена так, чтобы после вынесения общих мио жителей за скобки в каждой группе в скобках остался один и тог же многочлен. Вынося его за скобки, разлагаем заданный mhoi'o член на множители. Пример 2. Разложим на множители многочлен 6ac + 2ad-9bc-36d. Решение. Группируем вместе слагаемые бас и 2ad, а также слагаемые -9Ьс и -3bd и выносим в каждой группе за скобки об щий множитель. Получаем бас + 2ad - 9&с- 3bd = (бас + 2ad) -(96с + 3bd) = 2а(Зс + d)- 36(Зс -f d). Л теперь в каждом из слагаемых имеем множитель 3c + d. Вьпки’я ♦м'о за скобки, получаем бас + 2ad - 96с - 3bd = (Зс -ь d) (2а - 36). Пример 3. Разложим на множители методом группировки многочлен 2ал:^ - 56л:^ - 4ау^ + ЮЬу^. Решение. Группируем члены 2ад:^ и -4ау^, а также -56л“ п \i)hy^. Имеем (2их^- 4ау^) - (56л:^- ЮЬу^) = 2а (х^ - 2у^) - 56 {х^- 2у^) = (х^ - 2у^) {2а - 56), Пример 4. Решим уравнение д:^-6л:^ +7х-42 = 0. Решение. Разложим левую часть этого уравнения на множители: »^ 6д:^+ 7л:-42 — (л:®-6д:^) + (7л:-42) = х^(х-6) + 7 (:С“6) = (л:-6)(л:^ -I- 7). Мначит, данное уравнение записывается так: (д:-б)(л:2 + 7) = 0. Мо<жольку сумма д:^+7 не обращается в нуль ни при одном знача иип X (она всегда положительна), уравнение имеет единственный К(»ронь л: = 6. 45 УПРАЖНЕНИЯ /О. 1*азложите на множители выражение: 7ft. 7в. Д) a{p + q)-p-q; е) а(2с-1-Зр) + 2с + Зр; ж) kx~^ky — 2n(x-\-y); з) 3/(s-a)-2fts-l-2fta. а) а(6 + с)н-3(Ь-Ьс); б) 5(х-у)-у(х-у); н) t/(a-c) + 5a-5c; г) 2(c-d)-\-c-d; VI. Докажите тождество: а) (Ь- с) {х^ + 4д: + 5) - (а - с) + 4х -Ь 5) = (Ь - а) (х^ + 4х + 5); б) (7х- Зу)(а2 + 2Ь2)-(4х- Зу){а^ + 2&2) = Зх(а^ + 2&2). 72. Докажите тождество a(fe-c) = -a(c-b) и с его помощью разлож! те на множители многочлен: а) a(c-6) + d(6-c); в) За(2х-7) +5Ь(7-2х); Л) X{у-5)-у(5-у); г) llp{3p^-q^)-2qiq^-3p^). V;i, Разложите на множители выражение: п) 5х(х-у) + (2х + у)(у-х); б) (7a + 4b)(a-b)-6a(b-a); н) \\b(2b-3c) + (l0b + c){3c-2by, г) (a-3k){a-\-4k)-{3k-a){2a-7k). j 7-1. Упростите выражение и найдите его значение; а) х{Ь-с) + 2{с-Ь) при х = 2, Ь = 1,007, с = -0,006; б) 2a(p-r) + (r-p)(a + b) при а=18,3, Ь = -31,7, р = 24,6, г=10.6; в) (х-у)(у + с) + у(у-х) при л: = 0,86, у = 0,26, с=1,5. Докажите тождество: а) (л: - 26)(х^- 5Ьх + 66^) + (26-х)(x^- бЬх + 66^) = 6х(х- 26); б) (а - Зс) (2а^ -7ас-с^)~ (Зс - а) (с^ +7ас-а^) = {а - Зс). Решите уравнение с помощью разложения на множители: а) х(х-7) + 3(х-7) = 0; в) (х+1)(х + 2)-5(х + 2) = 0; б) 1/(^-9)-5(9-1/) = 0; г) 21(х-6) + (х + 5)(6-х) = 0. Докажите тождество (x‘*-2i/^)(x®-6ax^ + j/®) + (2i/^-x^)(x®- 17ах^ + (/*) = 11ах^(х^-2у^). ifQ’ Разложите на множители многочлен: а) тх + ту + 10х+10у; б) 9х + 9у + ах + ау; в) 7а-7Ь + ап-Ьп; г) ас + 6с-2а-26; д) а^-а6-8а + 86; е) 11х +Иу-х^-ху; ж) х^ + ах-а^у-аху, з) а^п-апх + х^-ах; йу]5а®с + 10а^ - 66с - ЗаЬс^; ^8x1/® - 24у^ - 7аху + 21а. 46 70,j Представьте многочлен в виде произведения двучлена на трехчлен: а) ап^ + сп^-ар~ср-\-ар^-{‘Ср^; в) ху^-Ьу^-ах + аЬ-\-у^-а; б) ax^-\~ay^-bx^-by^ + b-a; г) ac^-ad-bc^-\-cd + bd~c^, МО.] Найдите значение выражения: а) 13,5 • 5,8-8,3 • 4,2-5,8 * 8,3 + 4,2 • 13,5; б) 31 ■ 82 + 125 • 48 + 31 • 43-125 • 67. eiw Разложите на множители: а) 5х® - 2х^ + 5л: - 2; в) 5 (а + Ь)^ - 4а^ - 4аЬ; б) 6а^Ьс-Зас^-4аЬ^ + 2&с; г) 3(х-7)^ + 8х-56. •Я. Найдите значение выражения, предварительно разложив его па множители: 5 8 а) а^Ь-аЬ^-а при а = -1—, ^ = [ 6)]pV+pg-g^-p^ при р = -1,5, 9 = -0,75; в) 2а + ас^-а^с-2с при с = -5 4 ^ I г) I Зл:^- 2у^- бх^у^ + ху при х=-^, у = -0,5, •В., Сократите дробь, предварительно разложив на множители числи тель и знаменатель: .2 ax+bx -^qy-bj^ . ' ’^х-7у ’ х^ + 5х-ху-5у на ху~х + у~у‘ — ; в; - X 8а + 46 1—г1 ад: + аг/ + сд: + су ^ > ИЯ 2асЬс ~ 2ad - bd •——• а"" + ас - ад: - сх Упростите выражение: ах + ау + 2х + 2у 8а-16 ^ 2а+ 4 ax + ai/-2x-2i/’ аЬ-56х + За-15х а-26 ^ 4ab^-Sb^ а-5х* Н5.| Выполните действия над дробями: 5х-а 6у + 36 а) б) ах-5а + 6х-56 ^ ay + 4a + 6i/ + 46 ’ 8а + 56 7а-36 ау + су + 2а + 2с ху + 2х + + 2у МО.] Решите уравнение: а) х^ + 8л:^ + 5х + 40 = 0; б) х^-6х^ + 9х-54 = 0, 47 o-b й 2. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Н. УМНОЖЕНИЕ СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ ИЛ ИХ РАЗНОСТЬ В ЭТОМ параграфе будут рассмотрены некоторые случаи умножения многочленов, которые встречаются чаще других. Начнем с умножения а-ьЬ на а-Ь: (а + b){a-b) = a^-ab^-ba-b^ = a^- Ь^. Итак, справедливо тождество (д + Ь)(а-Ь) = а2-Ь2. (1) Его называют формулой разности квадратов и читают так: произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений. Геометрический смысл тождества (1) виден на рисунке 5. При а>0, 6>0, а>Ь площадь прямоугольника ABCD со сторонами а-\-Ь и а — Ь равна площади квадрата со стороной а, из которого вырезан квадрат со стороной Ь, Пример 1. Найдем произведение 5,3 ■ 4,7. Решение. По формуле (1) получаем 5,3 • 4,7 = (5 + 0,3)(5-0,3) = 52-0,32=:25-0,09 = 24,91. Пример 2. Заменим в формуле (1) а на 2х^ и й на 7у^: (2х^ -f 7у2) (2x2 _ 7у2) ^ (2x2)2 - (7j/2)2 == - 49у\ II ример 3. Раскроем скобки в выражении (3x + 5j/)(3x-5y). Решение. Это выражение получается из (а + й)(а-6) заменой а им Зх и й на 5у. Значит, (3x + 5y)(3x-5i/) = (3x)2-(5i/)2 = 9x2-25i/2. 48 Формулу (1) применяют и для разложения выражений на м жители (т. е. справа налево). Пример 4. Разложим на множители 100x®-9i/®. Решение. Так как 100x®= 10^(л:^)^ = (10л:®)^, 9i/** = 3^(t/^)^ = (3t, ■I'o ЮОдг®-9t/® = (lOx®)^-(Зу*)^ = (Юд:® + 3y*){l0x^-Зу*). Пример 5. Решим уравнение 4дс^-81 = 0. Решение. Так как 4л:^-81 = (2д:)^-9^ = (2х + 9)(2д:-9), то ypai иие 4д;^-81 = 0 запишем так: (2дм-9)(2л;-9) = 0. Решая уравне! 2лЧ-9 = 0 и 2л;-9 = 0, находим Xi = -4,5, ^2 = 4,5. УПРАЖНЕНИЯ Н7. Выполните умножение; а) (д:-3)(д:-|-3); б) (2а - 5) (2а-ь 5); в) (Зр I 7)(Зр-7); г) (ЗЬ-ьс)(ЗЬ-с); д) (0,3л:-1)(0,Зх-|-1); нн. Раскройте скобки: ,2 ^,2 е) (^100-у ау^^ 100-1- ж) (а^-2) (а®-1-2); з) (ЗаЬ^-с^)(ЗаЬ^ + с^У, и) (ау^-\-Ьх^)(ау^-Ьх^У, к) (8а=>-|-3&3)(8аЗ-ЗЬ»). /а® '•з б) + ^ — ; д) Ьу За Д4г> За/’ су" dx НИ. Преобразуйте выражение в двучлен: д) (0,3x1/-2)(0,3x1/ +г); е) + а) (4-х)(4 + д:); б) (9-2ху){^ + 2хуУ, в) (0,7a-hb)(0,7a-b); г) („ + |(.)(„-|б); з) (12b2 + a)(12fe2-a), 49 IM). Иыполните умножение: н) (2а2 + Ь)(2а2-6); Л) (10x”+l)(10x»-l); ||) (0,2ax'‘ +1)(0,2ах‘‘-1); г) (с'«-3)(с1“ + 3); Д) (ж« + у>«)(хб-г/10); е) (2у + а^){2у-а^). «М. 112. НН. С помощью тождества (1) выполните устно вычисления по образцу 68 • 72 = (70-2)(70 + 2) = 70^-22 = 4900-4 = 4896: а) 37 • 43; б) 54 • 46; в) 92 • 88; г) 201 • 199. Выполните умножение: и) 4(Ь + с)(Ь-с); б) (р-8) -3 (1/ + 8); в) (Зл + 15)(дс-5); г) (г/ + 4)(1/-4)(1/2+16). Представьте, если это возможно, в виде разности квадратов выражение: н) а’‘{х-у)(х + у); е) (i/ + 3)(i/-3)(y2 + 9); (5) 49(а +1)(1-а); ж) (а + 6 + 1)(а4'6-1); и) а(Ь“с){аЬ + ас); з) {х-у + 2){х-\-у-2); г) х*(л:-1Ил:^ + х); и) (1 + х + у){1-х-у); д) (р-1)(р + 1)(р2+1); к) (а + Ь + с)(а + Ь-с). UI. Разложите многочлен на множители: а) х^-у^; б) 4-р2; д) 100-а^ е) 81c2d2-100a2; ж) 121Jt:2-49i/2. 3) 0,01а2-|; т. 041. 07.) а) а^Ь^-с^; г) 25с2-9; Найдите значение выражения: а) 472-372; г) 1262-742; б) 532-632; д) 21,32-21,22; н) 872-132; е) 50,72-50,62; Сократите дробь: и) 0,6452-0,25; к) l,44i/‘»-0,01; ч 16 4 49 в л) — X*-----и“; ^25 81 ^ м) Щ-х*у*~а^Ь^. ' 36 ^ 49 , 532-272 <0 б) 532-322 792-512 612-442 Разложите на множители; а) а'*"’-4; в) 52"-49; б) х'*«-9; г) 100с2-4". в) 382-172 472-192 г) 1012-312 1392-292 50 »8. Сократите дробь: а) р(р-я) ’ г) ЬЬх^-66Ьх ^ 25л;2-36б2 ’ ж) б) 4а^-9&^ д) а-1 3) 2a^ + 3ai> ’ a-af ’ в) дг+Зу . дг2-9у2’ е) (2х-2у)2 , 4x2-4у2 ’ и) 1И). Разложите на множители; а) (д: +3)2-1; б) 64-(Ь+1)2; в) 9-(4о-2)2; г) 25-(а+ 7)2; д) 81-(5г/-6)2; е) (х"-л:2)2-36; ж) х^-х; з) а^у-у^; и) а^-1; к) 16-ft'*; 25a2-25fe2 (5a-5b)2 У^-16 , Zy+12 ’ 15^2-92 25г2-9 л) a2(ft-l)-b+ 1; м) Ь(л;2-4) +4-^2; н) 9а® - 9а^Ъ-а + Ъ\ о) j/2_5j^2_i0j, + 8o 100. Решите уравнение путем разложения левой части на множител а) л:2_1 = 0; г) 16i/2-25i/ = 0; ж) 4дг2 + 81=0; б) 9-х2 = 0; д) у^-6у^-16у + 96 = 0; з) 16г/2 + 25у = 0. в) 4^2-81 = 0; е) у2 + 8у2-25г/-200 = 0; Разложите на множители: а) х^-у^ + х-у; д) -аЬ^-аЬ-а^; б) х^-у^-х-у; в) 4а2-2а + Ь-Ь2; г) a2 + a + 2ft-4i>2; е) b^c^-4bc-20b-25b^; ж) 81л:2-9л:-101/-100г/2; з) 16п2-20/1 + 35*-49*2. 02 ни, Вычислите наиболее рациональным способом: а) 19,7'*-8,3"-28 • 8,6; б) 46,9^-23,7^-70,6 • 13,2. Докажите, что при любом целом значении п: а) (4л + 1)^-(п + 4)^ делится на 15; б) (4,5л+ 8)^-(2,5л + 6)^ делится на 28. Выполните указанные действия: а) б) в) 2 Ь(Ь-Г)’ 3 х{х-2) х(х + 2) ’ X х^ 1 -1 ^ х-1 ___3^ b{b+l) 5 х-\-1 г) Д) е) т-3 т+3 m + 3 т 1-т^ 4п п^-9 т-З 1 + 2т т^-9 ’ 1 + m ’ 2 л-3 i05. Упростите выражение и найдите его значение: л “Ь 1 а) а + 2 ^ у + 2 —— при о = -2; б) ; а^-1 У^ + ^У б-У I Г + —-^ при 1/=1,5. У -9 51 нш. Упростите выражение: 4 3 12 х + 2 х-2 дг*-4 ^-+-5 ■ 1 у2_9 а 0) Л) и) 1) е) ^ ^ + 2л:-1 2х^ + 2х х^-1 у + г ’ ^2 а-6 2Ь 2fr+3 + д) — + у-3 3 _______. а + 6 ^ 36 - ’ 5 4Ь^ + 9. 3-2fc 4fe2_9 ’ л: 9 + Ж) з) и) к) а-1 ^ а +1 ^ 9 X 5а-1 2а+ 2 4т 4^2-1 2а + Ь З-За За^-3 2т + 1 2т-1 6т-3 16а 4т + 2 ’ 2а-Ь + 2а^-аЬ 4а^-Ь^ 2а^ + аЬ’ 10 1 5 + X х-3 x^~Sx 107^ Найдите произведение дробей и сократите его: 4а^-6^ а-Ь лг-^-25^^ Ъу^-ху х^-\-Ьху а) б) Н» а) т^-9п^ 2тп т + Зл ’ х^-х^у ху^ + у^ . Х^-У^ х^у йдите частное от m^-4n^ . (m + 2nf Зтл 9т^ в) И TCHHJ ГбЛ а^-аЬ 2аЬ-Ь^ ’ аЬ - 5Ьх + За -15л: а~2Ъ 4Ь^-а^Ь а - 5х а + 5Ь а^-256^ 4т^-49а^ 2m + 7n », ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ и РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ 1(озведем ач-6 в квадрат: (a + b)^ = (a + b)(a + b) = a^ + aft + 6a + b^. *Гмк как аЬ — Ьа^ то (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + &2. (1) 1'ождество (1) называют формулой квадрата суммы и читают так: нопдрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих вы-1шжений, сложенной с удвоенным произведением тех же выражений. Заменив в формуле (1) 6 на -ft, получим (а + (- ft))2 = а2 + 2а (- ft) + (- Ь)\ 1'ак как a-f-(-ft) = a-ft, 2a(-ft) = -2aft, (-ft)^ = (-ft)(-ft) = ft^, то (а-Ь)2 = а2-2аЬ + &2. (2) '1Ч)Ждество (2) называют формулой квадрата разности и читают 1мк: квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов .нпых выражений» из которой вычтено удвоенное произведение тех *н'с выражений. Геометрический смысл формул (1) и (2) виден из рисунка 6. 52 о-Ь |a-b)- а-Ь Пример 1. Найдем 9,1^ и 4,9^. Решение. Имеем 9Д2 = (9 + 0Д)2 = 92 + 2 • 9 • 0Д + 0Д2 = 81 + 1,8 + 0,01 = 82,81, 4,92 = (5-0,1)2 = 52-2 • 5 • 0,1+0,12 = 25-1 + 0,01 = 24,01. Пример 2. Заменим в формулах (1) и (2) а на и & на у^. Решение, + 2х^у^ + (у^)^ = х* + 2х'^у^ + j/®, (х2 - у2)2 = (дс^)2 _ 2х^у^ + (у^У = X* - 2х^у^ + I/®. Пример 3. Представим выражение (2х + 3у)^ в виде многочлена. Решение. Заменим в формуле (1) а на 2дс и & на Зу: (2х + ЗуУ = (2дс)2 + 2 • 2л: • Зу + (Зу)^ = 4л;2 + 12л:у + 9у^. Формулы (1) и (2) применяют и для преобразования трехчлена м кнадрат двучлена. Пример 4. Представим многочлен 25л:2 + 40х+16 в виде квадрата двучлена. Решение. Поскольку 25д;2 = (5л:)2 и 16 = 42, то 25л:2 + 40л: + 16 = (5л:)2 + 40х + 42. Так как 40х = 2 • 5л: • 4, то по формуле (1) имеем 25л:2 + 40л: + 16 = (5л:)2 + 2 • 5л: • 4 + 42 = (5л: + 4)2. 53 Пример 5. 11|»('д<”п>вим многочлен 9а*-ЗОа^Ь + 25Ь^ в виде квадрата двучлена. I'eiiKMiHe. 9a*-30a^b + 25b^ = (Sa^)^-2 • За^ ■ 5Ь + (5Ь)^ = (За^ - 5bf. УПРАЖНЕНИЯ 1(И1. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена: п)(дг+10)2; г) (2х + 3р)^; ж) (3-5ra)^; к) ^аЬ-bej^; Л) (»-Ь)2; д)(г/2 + 1)2; з) (а-0,5аЬ)2; л) {a^-b^f; и) (2а 4 1)^; е) и) (-х^ + 2ху)^; м) {Ъу'^ + Ах^У. I И>. Раскройте скобки в выражении: а) (0,5а-0,6&)2; г) (0,8f2-5O^; ж) (х + Ьх^)^; б) (I2ar^ + 0,4j/)^; д) {^-^ аЬ^^•, з) (-0,75а'*+ 4Ь®)^. а) (-9а^-6а^)^; е) (0,1р^- III. Представьте выражение в виде многочлена: а) 4 (5а+1)2; г) (х-\-2у){ху+ 2у^У, ж) (4л:-5)2(5 + 4д!:)2; 0) -3(2у-5)2; д) (2а-35)(20а-30&); з) (-2а-ЗЬ)2(35-2а)2. II) ЬЦЬ-хУ; е) (Зр -kf {Зр + kf; [|12.| Представьте в виде многочлена: а) (Зх + 2|/)2 + (Зх-2г/)2; ' в) 2(4x-7)2-(5x-9)2; б) (а+ 5)2-(а-35)2; р) (8г/ + 5)2-3(4у + 1)2, 11,4. Найдите значение выражения: а) (20 + 1)2; г) 1022; ж) 192 +2 • 19 • 21 + 212; б) (30-1)2; д) 982; з) 1072 - 2 • 107 • 67 + 672; а) 712; е) 2012; 9992. ^) 692. || и] Двузначное число можно представить в виде 10х + у, например, 37 10 -3 + 7. Используя этот факт, найдите квадрат числа, окан- чинающегося на 5, и сделайте вывод. Вычислите: а) 152; б) 452; g) 952. р) Ю52; д) 2052; е) 10052. lift. Докажите тождество: а) (jf-1/)2 = (г/-х)2; г) (а + 5)2 + (а-Ь)2 = 2(а2 + 52); б) {-p-qf = {q + pf\ I д) I(Д? + У?-{х-yf = 4хг/; а) а2 + 52 = (а4.{,)2_2а6; | е) |(2тге)2 + (/п2-п2)2 = (^^2^ ^2^2. I ж) (а + 5)2 - 2 (а + 5) (а - 5) + (а - 5)2 = 452; зГ1(х-1)2 + 2(х+1)(х-1) + (д:+1)2 = 4х2. 54 [l 1^ Найдите значение выражения: а) (4у - За)2 - (8у - а) (2у - 9а) при а = -—, г/= 0,54; б) (3p-g)^ + (4p + 3g)^ при р = 0,12, д = 0,16; в) (Зл:-2Ь)(Зл: + 2Ь) + (л:-ЗЬ)^-(5л:-&)(2дг-5Ь) при л: = 0,125, ^”у! г) (5а + 6)(6а + 4)-(4а+7)^-(За-5)(За + 5) при а = -1-§-. Решите уравнение: а) (6х-1)2-4(Зд: + 2)(Зл:-2) = -7; б) (10х-3)2 = 4(5д:-1)(5л: + 1)-7. Запишите квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена: а) x^-Sx-\-16; г) 0,04х^-2х + 25; :^49a2 + 126ab-i-81fe2; 100а^-100а2ЬЗ + 25Ь^ б) х2-ь20х+100; в) + 0,2x4-0,01; 10. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА ИЗ ТРЕХЧЛЕНА Выражение 4х^-12xy + 8i/^ не является квадратом двучлена. Но мерные два члена этого выражения совпадают с первыми двумя чле мпми квадрата двучлена: 4х^ = (2х)^, 12ху = 2 • 2х • Зу. Если добавить н этим двум членам слагаемое (Зу)^, т. е. 9у^, получится квадрат ралпости. Поэтому прибавляем к заданному выражению 9у^ —(Зу)^ и одновременно вычитаем 9у^: 4х^ - 12ху 4- 9у^ - 9у^ + 8у^ ^ (2х - Зу)^ - у^. Выполненное преобразование называется выделением полного аиадрата из трехчлена. В результате этого преобразования трехчлен эм писан в виде разности квадратов и его можно разложить на мно-тители: 4х2-12ху-|-8у2 = (2х-Зу)2-у2 = (2х-Зу4'у)(2х-Зу-у) = = (2х - 2у) (2х - 4у) = 4 (X - у) (х - 2у). Итак, чтобы выделить полный квадрат из трехчлена, надо: а) записать одно из слагаемых в виде квадрата некоторого выра-ИИЧ1ИЯ X; б) разделить второе слагаемое на 2Х; если частное равно У, то rtiiписать это слагаемое в виде 2ХУ; а) прибавить и одновременно вычесть квадрат выражения У; г) применить формулу квадрата суммы или разности. Пример 1. Разложим на множители трехчлен 49х®-70х**у^+1бу®. 55 Решение. Имеем = Здесь Х^7х^. Далее имеем И)х"^у^:(2 *7л:*)«5г/^ и потому У=5у^. Значит, чтобы выделить полный квадрат, надо добавить и вычесть выражение (5г/^)^. Имеем 49a:»-70xV+16i/® = (7a:")2-2 • 7х^ - 5у‘^-\^(5у^У-(5у^)^+16у^ = = (7jc^ - 5i/")2 - 251/^^ + 16у^ = (7х'* - 5г/3)2 - 9у\ Л теперь по формуле разности квадратов получаем 49д:» - 70хV + 1бу® - (7д:" - by^f -9у® = = {7х^-5у^-3у^)(7х^-5у^ + 3у^)^(7х^-8у^){7х^-2у^). Пример 2, Решим уравнение x^-8jc+15 = 0. Решение. Имеем х2-8д:+15 = х2-8х + 16-16+15 = (д:-4)2-1 = (х-5)(д:-3). Значит, надо решить уравнение {х - 5) (х - 3) = 0. Его корнями ивляются числа 5 и 3. Пример 3. Сократим дробь Збх'^-в! 36х‘^-132дгЧ117 Решение. Имеем Збх**-81 = (бх^)^-9^ = (6x^-9)(6x^ + 9) и 36х'*-132х2+117 = (6х'')2-2 • 6x2 . 11 + Ц2 _Ц2+117^ = (6x2 _ 11) 2 _ 22 = (6x2 _ 9) (6x2 _ 13) Збх^ - 81 (6^2 - 9) (6x2 + 9) 6x2 9 Поэтому 36x^-132x2 + 117 (6x2-9) (6x2-13) 6x2-13 ’ УПРАЖНЕНИЯ 119. Представьте, если возможно, в виде квадрата двучлена: а) x2-f2xy + £/2; д) 4a2-28ab + 49fc2; б) c2-2cd + d2. е) 25Ь2 + 20Ь + 4; в) а2 4- баЬ + 9&2; | ж)\ а** - 4а^Ь + 4&2; г) x2-10xi/ + 100t/2; Гз)125а*^-40а2Ь2+16Ь^ 120. При каком значении т можно представить в виде квадрата двучлена: а) 25х2 + 30х + т; б) mz/2-72£/ + 81; в) 64p2_/7ip(7 + 9(72; г) 100а2 + таЬ + 49Ь2; I дУ|81а^-36a2b + тЬ^; Г еУ|25х^ - 60х'*г/2 + ту^; [ж]]4а^® “ 36a^ft2 _|_ gi^/n. 16а® + 32a"*fc2 + 1бЬ4? 56 122. 123. 124. При каком т можно представить в виде квадрата двучлена: а) (Зх-5)2 + (4х+12)2 + тх; б) {11 x + lOf+ тх1 Запишите в виде суммы или разности квадратов двух выражений: а) + + 2Ь + 1; б) y^-2y-z^+U Разложите на множители: а) (4 + с^)^-16с^; в) 144а^-(14а^ + 9)^; б) (х2 + 9)2-36х2; г) 400л:2-(25х2 + 4)2. Разложите на множители: в) 41/2-4г/ + 1+р2; г) дг^-с^ + бс-Э; д) Ь^-6Ь + 25; е) a^ + 2ab-c^+12c + b'^-3(i. 125. а) х^-2ху + у^-2Ь; б) ЬЧбЬ + 9-Uc^; в) 4а^-4а + 1-х^; г) у^ - - 10а - 25; д) 1-х^-8ху-16у^: Решите уравнение: е) 25-а^-4Ь^ + 4аЬ; ж) у^-2у-z^ + 2zu + l-u^; з) а^+ 10а+ 24; и) 4р^- 12р + 5; к) 9x^-42x2 + 33. I20j 127. 12Н. а) (2д:-1)2-Зб = 0 б) (5-Зх)2-81 = 0 в) х^-\-2х+1 = 100 а) Jc^ + 9 = 0; б) (х-3)2 + 7 = 0; ж) х^- lOjc + 24 О; з) д:^ + 2д:-24 = 0. г) 4д;2-12д: + 9 = 49; д) л:^+ 10л:+ 24 = 0; е) 2л:-24 = 0; Докажите, что если х-\-Ь = 1, то 4Ь^ - {х'^ - Ь^ - 1Y равно нулю. Имеет ли хотя бы один корень уравнение: в) (х + 7)2+ (дг-3)2 = 0; г) (д;-2)2 + (2д:-4)2 = 0? 121). Решите уравнение: а) 4д:2-12л: + 5 = 0; б) 9д:2-24д: + 15 = 0; в) х2-Зх + 2 = 0; г) д:2-7х+12 = 0; Решите уравнение: а) д:2 + 4д:2 + 3дг = 0; д) х2+ 7д: + 12 = 0; е) x2 + 6x + 10 = 0; ж) х2 + 8д: + 16 = 0; з) х2-10дг + 25 = 0; б) дг'*-20x2+ 64 = 0. и) х^-16x2 = 0; к) х2-20х + 64 0. ПО. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сокрп- тите ее: а) а2ч-10а + 25 . а2-25 ’ . a^-f2ac + c^ 2 2 ’ а^-с^ д) д:^-12х + 35 ^ х2-10х + 25 ’ б) у2_9 , fe2_4/, + 3 -+'-9- ■ е) 2^-42-21 1/2 - бу + 9 ’ 2^-62- 7 57 mL Найдите сумму дробей: дг + 2 х-2 I а) б) х^^2х-\-1 х^-1 Х-У 2х х-\-у х^ + 2ху-\-у^ х^-у^ х^~2ху + у^ а +ЗЬ + а-36 Найдите произведение дробей и сократите его: а^-8а + 15 а^-2а-35 б) , д:*-12;с + 36 х^-16х^64 х^-64 х^-36 а^-49 а2-25 ПК1, Найдите частное дробей и сократите его: 25т^-4л^ . 25т^4-20тд + 4п^ . I 4а + 4а^ . 4а^-1 , и) -----:—:------—у 15а' 5а^ 15тп 9т' 11. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННОЙ и ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ II 1>|| мер 1. I'eiiiiiM уравнение 6х 2х + 1 Зх-1 X I й способ. Перенесем все члены уравнения в левую часть и »|римедом к общему знаменателю: бд: 2x4-1 Зх-1 = 0, 6х2-(Зх-1)(2х4-1) = 0. (Зх-1)х Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель (п личон от нуля. Значит, надо найти корни уравнения 6х2-(Зх-1)(2д:+1)-0, 11|и1 которых х(Зх-1) не обращается в нуль. Раскрывая скобки, помучаем х + 1 = 0, откуда х=1. Так как х(Зх-1) не обращается в нуль при х*1, то 1 — корень уравнения. 2 й способ. По основному свойству пропорции получаем 6х • х = (2х4- 1)(Зх- 1) и потому 6х^*=6х^4-Зх-2д:-1, 0 = х-1, х=1. Надо проверить, не обращаются ли при х=1 в нуль знаменатели Зд:-1 и х. Так как ни рдип из них при х = 1 в нуль не обращается, то 1 — корень задан-иог<» уравнения. Пример 2. 14 4 INmumm уравнение ---\- у-З 1/4-1 (t/-3)(l/4-l) 58 Решение. Приведем выражения в левой и правой частях к общему знаменателю: у+1-f4(1/-3) ^ 4 (У-ЗИ1/ + 1) (i/-3)(y+l)' Дроби с одинаковыми и отличными от нуля знаменателями равны, если равны их числители. Значит, надо решить уравнение J/+ 1 +4(г/-3) = 4 и выбрать его корни, при которых (y-3)(y-l-1) отлично от нуля. Имеем 5i/-ll = 4, откуда у = 3. Так как при у = 3 выражение (//“3)(у + 1) обращается в нуль, данное уравнение корней не имеет. УПРАЖНЕНИЯ 134. Решите уравнение: . х-2 лг + 5 ^ ^---- б) = 7 в) х^-4 2 3 + 2а:. 2 ’ г) д) е) хЧ5 ^ Зх + 10 2х 6 2x4-3 X —5 ж) з) 10у-1 2-Ьу 3 5 135. Найдите корни уравнения: а) б) у-2 3 у-3 7 у-2 у+2 У У СП 2х-\ х + 3' I + 3х _ 5-2х _ 1-Зх ~ 1 + 2х ’ 7 4-20у^ Z-Ъу 7-2у + 136. Решите уравнение: а) б) 25 х+5 ДГ+ 5 ’ 2дг^ ^ Зх 2х-3 2х-3 ll в) 2у-1 2у+1 1-4у^ у + 5 у-Ъ I/ + 25 у^-Ъу 2/-Юг/ 2г/2-50 2х^ Зх-Ъ = х: ^ Зх+1 ~ 137. Числитель дроби на 2 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то значение дроби будет равно 0,25. Найдите дробь. 138. Знаменатель дроби на 5 больше числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель оставить без изменения, то значение дроби будет равно i Найдите дробь. о 139. Моторная лодка прошла против течения реки 16 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 40 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, зная, что скорость течения реки 2 км/ч. 59 ЯВ 'Гурист проплыл на байдарке по течению реки 24 км и затем вернулся обратно. На весь путь он затратил 7 ч. Какова скорость те-•ИМ1ИЯ реки, если собственная скорость байдарки была 7 км/ч? I И.| Дм<’ землечерпалки могут при совместной работе углубить дно реки за 12 дней. За сколько дней выполнила бы ту же работу каждая землечерпалка, работая одна, если известно, что производи-птлыюсть одной из них в 1,5 раза больше, чем другой? \ П|)оизводительность станка с программным управлением в 5 раз чем производительность обычного станка. Сколько дней потребуется для выполнения задания на обычном станке, если известно, что при одновременной работе на станке с программным уп-раилением и обычном станке его можно выполнить за 3 дня? ИЗи Из города А в город В вышел поезд. Первые 450 км пути он шел медленнее, чем требовалось по расписанию, на 10 км/ч. На остав-ии»мся участке пути протяженностью 750 км поезд шел быстрее иа 8 км/ч, чем надо было по расписанию, и в результате прибыл . II город В вовремя. Какова скорость поезда по расписанию? 1М.| От деревни Дубки до села Боровково а км. Обычно мальчик тратил па путь из Дубков столько же времени, сколько и на обратный путь. На этот раз он шел в Боровково со скоростью на 1,5 км/ч большей, чем обычно, а возвращался со скоростью на 1 км/ч меньшей, чем обычно. В результате он затратил на весь путь столько же времени, как и всегда. С какой скоростью ходил мальчик от деревни Дубки до села Боровково и обратно? Покажите, что ответ не зависит от расстояния, jl'irt.j На перелет от Москвы до Красноярска самолет тратит по расписанию столько же времени, сколько и на обратный путь. Из-за встречного ветра в Красноярск самолет летел со скоростью на 60 км/ч меньшей, чем полагается. В Москву он летел со скоростью на 70 км/ч большей, чем обычно. В результате на оба рейса вместе он затратил столько же времени, сколько полагалось по расписанию. Какова скорость самолета по расписанию? 12, ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ СУММЫ и РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ Вниишем (а + Ь)® в виде многочлена: (а + Ь)^ = (а + Ь)^ (а ч- fe) = (а^ -I- 2аЬ + Ь^) (а -ь 6) = - аЗ + а^Ь + 2а^Ь + 2аЬ^ + аЬ^ + &з _ ^ 3^2^, + ^’ (а + = а» + За^Ь + ЗаЬ^ + Ь\ (1) 1)то тождество читается так: куб суммы двух выражений равен нубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение плюс утроенное произве-(Ьчше первого выражения на квадрат второго выражения плюс куб второго выражения. 60 А теперь заменим в (1) Ь на -Ь: (и - ЬУ = (а + (- 6))® = а® + За® (- Ь) + За (- 6)® + (- Ь)® = а® - За®& + ЗаЬ® - . (.так меняют слагаемые, содержащие нечетные степени Ь). Итак, (а-Ь)® = а®-За®Ь + ЗаЬ®-Ь®. (2) Пример 1. Найдем 5,1® и 9,9®. Решение. Имеем 5,1 = 5 + 0,1 и потому 5,1® = (5 + 0,1)® = 5® + 3 ■ 5® • 0,1 + 3 • 5 • 0,1® +0,1® = = 125 + 75 • 0,1 + 15 • 0,01+0,001 = 132,651. Далее, 9,9 = 10-0,1 и потому 9,9® = (10-0,1)®=10®-3 • 10® • 0,1 + 3 • 10 • 0,1®-0,1® = = 1000 - 30 + 0,3 - 0,001 = 970,299. Пример 2. Заменим в тождестве (1) а на 2л:® и Ь на Зу: (2х® + Зу)® = (2х®)® + 3 • (2л:®)® • Зу + 3 • 2л:® • (Зу)® + (Зу)® = 8л:® + 3 • 4л:" • Зу + 3 ■ 2л:® ■ 9у® + 27у® = 8х® + 36л:"у + 54ж®у® + 27у®. П |)имер 3. Представим в виде многочлена выражение (5л:®-2у®)®. Решение. Это выражение получается из (а-Ь)® заменой а на 5л"' и h на 2у®. Поэтому (5л:®-2у®)® = (5х®)®-3 • (5л:®)® ■ 2у® + 3 ■ 5л:® • (2у®)®-(2у®)® = = 125л:® - 150л: V + 60л:®у" - 8ув. Пример 4. 1<апишем многочлен 21бл:® +540л:"у® + 450л:®у® +125у® в виде куба ииучлена. Решение. Так как 216л:® = (6л:®)® и 125у® = (5у®)®, то можно пред-нпложить, что 216л:® + 540л:"у® + 450л:®у® + 125у® = (6л:® + 5у®)®. Миаиодя правую часть в куб по формуле (1), убеждаемся в справед III мости этого тождества. 61 УПРАЖНЕНИЯ 1441. Преобразуйте в многочлен: а) (x + yf\ ft) (p-qf\ а) (о f 10)®; !•) (4-Ь)®; д) (оЬ+1)®; <0 (22-3)®; ж) (ЗЬ-5)®; з) (6JC-I/)®; и) (x + 4i/)®; к) (х® + г/®)®; л) (2х®-7а®)®; м) (-а-4х)®; I н) |(5а® + аЬ)®; I о) |(x'*-t/^)®; ^ СИ](за^-|-аУ; Ш(10у‘»-32®)®; [cl](x*® + 2i/®)®; 243 ( I7J 11 [)ообразуйте в многочлен: а) {x + yf-x{x-yf-, в) (а®+1)® + (а®-1)®; ft) (а-2)® + а(а-3)®; 1-18. Докажите тождество: а) (-а-Ь)® = -(а + Ь)®; б) (а-&)® = -(Ь-о)®; I И|| Докажите тождество; а) (т +п)® = т(т-3п)® + п(я-3т)®; б) (х® + у®)® - (х® + у®)® + Зх®1/® (х + J/)® = (2x1/)® 160. 1’ешите уравнение: 1 г) (аЬ + с®)®-(Ьс + а®) в) (ах + аг/)® = а®(х + 1/)®; г) (x® + j/®) = (x + i/)®-3xi/(x + j/). б) (4i/-3)®-j/(8j/-9)® = 0, а) (j/+1)®-^j/(2j/ + 3)® 4 Д) 1002®; е) 999®; ж) 495®; з) 81®. 161. Н1.1числите: а) 1,2®; в) 4,9®; б) 0,8®; г) 19,8®; 16Н. Запишите, если возможно, в виде куба двучлена: а) т®+n® + 3/n®n + 3mn®; б) х® + 3х® + 3х + 1; а) p®-3p®g + 3p5®-qr®; г) 8а®-12a®z/ + 6aj/®-i/®; д) 1000 + 300а + 30а® + а®; е) -5®-125®-485-64; I6nj Найдите значение выражения: а) 3,7® + 3 • 3,7® • 1,3 + 3 • 3,7 • 1,3® + 1,3®; ж) -27х® + 27х«-9х®+1; з) 5®-5‘‘с + 5®с®-с®; и) X®-6х®р +12хг/®-8г/®; кГ] 27х® + 27х<у + 9х®р® + у®; лЛ 125х®- 150х®у® + 60х®у'* - 8у®; мД 216х‘® + 324х‘V + 162х®у‘" + 27у®4 б) 15,8®-3 • 15,8® • 11,8 + 3 • 15,8 • 11,8®-11,8®. 62 п 1П4. ■/ Сократите дробь: ^ x^-\-Sx^y-{-Sxy^-^y^ а) ‘ б) a®-3a^&2_^3aV-b® х^-^2ху + у'^ ' ' (а^ + 2аЬ + Ь^)(а^-2аЬ + Ь^) Выполните указанные действия: а) -------" + - 8х^ - 12х^у + бху^ - Ах^-Аху + у^ х^ + г/^ ч т б) — х^ - 12х^у + 4Sxy^ - 64у^ х^ - Sxy + 16у^ Найдите произведение дробей: х^ - Зх^у + Зху^- у^ х^ + 2х^у^ + у^ а) б) л:® + Зх^£/2 + Зх'^у^ + х^- 2ху + у'^ х^-^2у х"^ + 4х^у + 4у^^ х^у ш X® + бх^у + 12х^у^ + Sy^ Найдите частное дробей: х^-3х^у + 3ху^~у^ ^ х^-2ху + у^ ^ х^ + Зх^у + 3x1/2 + 1/^ х2 + 2ху + у2 ’ 8x2 _ ^4ху^ - 27у2 4x2 _ i2xy + 9у^ а) б) 8x2 звд;2^ _{_ ^4ху^ + 27i/2 4х^ + 12ху + 9у^ 13. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ II РАЗНОСТИ КУБОВ Перенесем в формуле (1) п. 12 слагаемые За2Ь и Заб2 в леьул) чисть равенства. Поменяв местами левую и правую части равенп'-ми» получим а2 4- 62 = (а ч- 6)2 - За^б - ЗаЬ^, И|.1нося в последних двух слагаемых за скобки -Заб, получаем а2 + 62 = (а + 6)2 - Заб (а + 6) == (а ч- 6) ((а ч- 6)2 - Заб). После этого применим формулу квадрата суммы: а2 н-^ ^ 2а6 +62-Заб) = (а-Ьб)(а2-а6 +62). Итак, мы доказали равенство а2 ч- 62 = (а ч- 6) (а2 — аЬ Ч- 62). (|) Выражение а^ — аЬ-\-Ь^ похоже на правую часть формулы квадрп та разности и отличается от нее лишь коэффициентом при а6. Это 63 11М|ЖЖГ11 MVny ( I ) 1*м ие называют неполным квадратом разности. Поэтому фор-читают следующим образом: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Заменим в формуле (1) Ь на -Ь. Так как {-ЬУ = Ь^у (~ЬУ = -Ь^у то получаем а^-Ь^ = (а- Ь) -Ь аЫ- Ь% (2) Эту формулу читают так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы (неполный потому, что коэффициент при аЬ равен 1, а не 2). Формула (2) имеет наглядный геометрический смысл. Возьмем куб со стороной а и удалим из него куб со стороной Ь (рис. 7, а). Получившееся тело разобьем на три части, показанные на рисунке 7, б. Каждая из этих частей является прямоугольным параллелепипедом, одно из ребер которого равно а~Ь. Основаниями этих параллелепипедов служат соответственно: квадрат со стороной а, прямоугольник со сторонами а и 6 и квадрат со стороной Ь. Значит, объем оставшегося тела равен а^-Ь^ (рис. 7, а) и (а -Ь)а^ + (а- Ь) а6 + (а - Ь) (рис. 7, б). Поэтому = (а - Ь) а^~\~(а- Ь) afe + (а - Ь) = = (а - ft) (а^ -\-ab~\- 6^). б) Пример 1. Разложим на множители многочлен: а) 8x3 + 271/6; б) 216а^Ь^^--125х^у^\ Решение, а) Так как 8хЗ = (2х)з, 27у^ = (3у^)^, то применим формулу (1), положив в ней а —2х, Ь — Зу^. Получаем 8x3 + 271/6-(2х)з + (Зу2)3 = (2х + Зу^)((2х)3- 2х • Зу^ + (Зу^У). Раскрывая во втором множителе скобки, получим 8x3 + 27(/б = (2х + 3f/3) (4x3 _ Q^y2 + 9^4) 64 б) Имеем 216а®6^^ = (6а®б‘‘)® и 125x®i/*® = (5j:^i/®)^. Поэтому примо-ним формулу (2), заменив в ней а на 6а®Ь'‘ и 6 на Ьх^у^. Имеем 216a^Ь^^ - 125д:®1/*® = (ба^Ь"*)® - (Sjc^i/®)^ = = (ба^б"* - Ъх^у^) ((ба®б‘‘)^ + ба^Ь* • Ъх^у^ Ч- (бдс^г/®)^) = = (ба^Ь* - 5х^у^) (Зба®&* + 30а^Ь*х^у^ + 25jt:‘‘i/^°). УПРАЖНЕНИЯ 1в8. Преобразуйте в многочлен стандартного вида произведение: а) (х-3)(х2 + Зл: + 9); в) (3i/-4){9i/2+12г/+16); б) (2х+1)(4х2-2х + 1); г) (4a + 5ft)(16a2-20a«H-25fe2). 159. Разложите на множители двучлен: а) хЗ-27; б) 8аЗ-125; в) 216-343Х»; д) сЗ-0,000001; е) 0,0086^ + 125; ж) 0,064-27xV; з) 0,125-8а»6*®; и) 729a®b^-64x®z/^®, (НО. Разложите на множители: а) (а + 6)®-1; | в) |(а®+ 1)® -а®; б) (j/-3)® + 64; [ IH1. Сократите дробь: а6® + а® + а^Ь а) б) Щ(5х" + 3)®-125х*2. 2а®-128а® а®6 - Ь* 2а* - 54а 2а®+ 6а®+ 18а’ га га (2аЧ8а + 32)(а'‘-4аЗ)’ - 16а^Ь^ + 16аЬ'* 2a^b^‘l6ab^ П2. Приведите к одному знаменателю дроби: 2х Зу 1 4 х + 3 а) -х“ х^-у-ху“ х^у + ху^ + г/^ х^-4' + 8 д:^-2д: + 4 ШН. Найдите числовое значение выражения, сначала упростив его: ; б) Здг-5 а) б) Зс^-с + 3 с-1 с^-1 + ^ а а 1 +—+-^ Ь fe2 С® + С+1 1-с 2 \ , yi при с= 1,5; ^“т)‘ ~Т~~П “ = Ь / а^-Ь^ HI4. Выполните умножение: а) (2х-\-Зу)(4х^-6ху-\-9у^); г) (9а^х^~21аху + 49у^)(3ах-^7у); б) (2х - 3) (4х^ + бх + 9); д) (х“^ + х^у^ + у^) {х^ - у^). п) (8а-11Ь)(б4а2 +88а6 + 121Ь2); ( к кл. 65 Иыполните указанные действия: Зху 8х^у^ ху + ^---г; б) и) х^-ху + у^ х^у - ху^ 9хУ х + у дс” + 1/“ Зх^ + у^ 9х*-3х^у'^+у* 27х^ + у^ Умножьте дроби и сократите произведение: 8а®-276® а + Ь н) м) Х»-уЗ х^-ху + у^ 15 Х-У 125х» + — у 27 4а^ + 10а2б® + 25б12 б) а® + За®6 + ЗаЬ® + 6® 4а‘‘ + 6а®6® + 96^ ’ 8a®-1256^® 5х® + — г/® 3 ^ <»7. (ОН. Разделите дроби и сократите частное: 216а‘® + 3436» 6а* + 76® к) а®-6® . а* + + Ъ*. ‘ а® + Ь®’ (а® + 6®)® ’ ' 0,027д:®-0,5121/®* 0,09x4 0,24х®1/^+0,64(/‘‘‘ Какими числами надо заменить звездочки, чтобы равенство (6а* + 36*) (36а‘® - 18а®6® + 96'®) = 216а'® + 276'® стало тождеством? 14. ФОРМУЛА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ИА МНОЖИТЕЛИ РАЗНОСТИ СТЕПЕНЕЙ Выражения а®-6® и а®-6® можно разложить на множители по формулам а®-6® = (а-6)(а + 6), (1) а®-6® = (а-6)(а® + а6 + 6®). (2) Г помощью формулы (1) можно разложить на множители выражение а*-Ь*\ а*-Ь* = (а®)® - (6®)® = (а® - 6®) (а® -I- 6®) = (а - 6) (а + 6) (а® -I- 6®). Коли в этом разложении перемножить а-1-6 и а®ч-6®, то получим а"-6^ = (а-6)(а® + а®6 + а6® + 6®). (3) 1’ассмотренные примеры наводят на мысль, что для любого натурального числа п верно равенство а" — 6" = (а - 6) (а" ”' -ь а" " ®6 а" " *6* “' а6" “ ® -I- 6" “'). (4) Чтобы убедиться в справедливости этого предположения, раскроем и И1)авой части равенства (4) скобки и приведем подобные члены. При раскрытии скобок будем писать вслед за произведением некоторого слагаемого на а его произведение на -6. Получим 66 {a-b){a’'~^ + a"~^b+...+ab" ^ + 6" *) = — a"- a"~^b + a"~^b -a"~'^b^ +...+ a^b" " ^ - ab"~^ + ab"~^ - b". После приведения подобных слагаемых в сумме остаются первое и последнее слагаемые, т. е. а"-Ь'‘. Равенство (4) доказано. Если п — нечетное число, п = 2т + 1, то из полученного равенст ПК можно вывести новое, заменив в нем Ь на -Ь. Так как при чет пом k имеем а''"*(-Ь)* = о"”*Ь*, а при нечетном к имеем а" *(-Ь)* = -а"“*Ь*, то получаем тождество д2т ^^ + b^'n^l^(^a + b)(a^"^-a^"^-^b+...+ (-iya^"‘-'‘b>‘+...+ b^'"). (Г>) По втором множителе правой части знаки слагаемых чередуются, причем первый и последний знаки положительны. Полагая в формулах (4) и (5) Ь=1, выводим, что а" -1 = (а- 1)(а"‘ * + а"~^+...+ а" "*+...+ 1); ‘ + 1 = (а + 1) (а^"* - а^'" " * +...+ (-1)* ~ * +...+ 1). Пример. Разложим на множители многочлен 32jc^®-243у*®. Решение. Так как 32д:’‘’ = (2л:^)*, 243i/*® = (3j/®)®, то по формуле ('1) имеем 32jc*o - 243у'^ = (2x2)s - (Зг/®)® = ^■(2x^-3y^)a2xy + (2x^f • Зу^ + (2х^У • (Зу^У + 2х^ • (Зу^У + (Зу'^У)^ = (2x2 _ 31,3) Ц0Д.8 + 24xV + 36xV + 54x2i/9 + 81i/>2). _ ^ ЖНЕНИЯ I во] Разложите на множители выражение: а) х'^-у’’; в) 2"а‘‘+ 3*'&22. б) 64х«-729{/в; г) 102402° +2432&®«. 170] Упростите выражение: а) (4х - 5у) (256х^ + 320х^у + 400х^у^ + 500ху^ + 625у*); б) (x2 + J/2)(x°-X'‘l/2 + x2l/®-I/°); в) (2fl2_0,ЗЬ®) (16а« + 2,4а«Ь° + 0,36о‘‘6« + 0,054а2Ь» + 0,0081Ь'2); г) {0,2а^Ь + 0,3ху2)(0,00032ai°b®-0,00048а®Ь"ху2 + + 0,000 72а«Ь2х2у^ -0,001 OSa^b^xY + 0,00162о2Ьх<у8 - -0,00243x®y^°). 171] Найдите значение выражения 1 + а&2 + а2Ь'* + a*fc® + о‘*&® при «-3, Ь = ~2. 67 172, 173. 1 + дг + Найдите значение дроби ------------------ 1 + X + дс^ Ч- Выполните указанные действия: 4л: (1 + 2^2) 6x3 + 1 при х = 3 1 + X + + хЗ + + х' + 1-х^ 1+х^ 15* ФОРМУЛА КВАДРАТА СУММЫ НЕСКОЛЬКИХ СЛАГАЕМЫХ Раскроем скобки в выражении (а + б + с)^: (а + 6 + с)з = ((а + 6) + с)^ = (а + Ь)3 + 2 (а + ft) • с + = = + 2аЬ + + 2ас + 26с + -ь 6^ + с^ + 2а6 + 2ас + 26с. Итак, (а + 6 + с)^ = + 6^ + сЗ + 2аЬ + 2ас + 26с. Видим, что справа стоит сумма квадратов всех слагаемых и удвоенных попарных произведений этих слагаемых. Вообще для любого п имеем (tti + tt2 а„)^ = а? + а| +...+ + 2aia2 4- 2aiaa +...+ 2a„_ia„. (1) Чтобы убедиться в справедливости этого тождества, достаточно раскрыть скобки в левой части равенства и привести подобные члены: каждый квадрат будет иметь коэффициент 1, а каждое произведение (>азличных слагаемых встретится дважды и будет иметь коэффициент 2. Пример 1. Раскроем скобки в выражении {х^-\-2у^ Решение. По формуле (1) имеем (х2 + 2г/2 + 322)2 = (х2)2^(2г/2)з +(322)2 + 2x2.2у2_,_2х2 • Зг2 + 2 • 2у2 . Зг2. Выполняя умножение одночленов, находим, что (х2 + 2y2-|_ 32г2)2 = х'* 92-4 _|_ 4д;2у2 ^ бх2г2 + 12y^Z^, Пример 2. Разложим на множители многочлен 4х^г/2_|_9д;2у4_|_ 12x3j/2_ \Qx^y ~2Аху^ л- 16. Решение. Замечаем, что Ах"^у^ = (2х^у)^у 9х2у^ = (3ху2)2^ 16 = (-4)2, I2X-V-2 ■ 2х2у *3ху2, -16x2j/ = 2 • 2x2j/ (-4), -24ху2 = 2 • Зху2 . (_4). I 1оЭТОМу 4х‘*у2 + 9х2у4 _|_ 12x3l/3- 16х2у-24XZ/2 + 16 = (2х2[/ +3X1/2- 4)2, 68 Пример 3. Разложим на множители многочлен + 9х^у* + 12х®1/®- 16jc^y-24xi/^+ 12. Решение. Используя результат примера 2, имеем 4л:‘'у^ + 9х^г/'‘+ 12х^у^~ \&х^у-24^ху^ + 12 = = Ах‘^у^ + 9х‘^у* + 12х^у^~ l&x'^y-2Аху^ + 16-4 = = {2х^у + Zxy^ - 4)2 - 22 = {2х^у + Зхг/2 _ 2) (2л;2у + Zxy^ - 6). ^ПРА МНЕНИЯ ll7^ Представьте в виде многочлена выражение: а) (1 + Зх + 2у-2)2; д) (2 + 5a2-6ft2 + 7c2)2; б) (х2-3у2 + 2г2)2; е) (а2 + Ь2 + сЗ)2 + (2а2 + Зй2 + 4с2)2; в) (1+ 2а^Ь + 4аЬ^)^; ж) + + + Р) V 4 6 11 / 17^ Представьте в виде квадрата многочлена: а) д:® + 4г/^° + 1б2^^“4х®^^-8х®2® + 16^®г®; б) 25а«Ь" + Зба^Ь» + 49х^^ + бОа^Ьб + Юа^Ь^х^ + 84а^Ь^х^. I7ej Замените букву М одночленом так, чтобы получился квадрат мип гочлена: а) x'^ + y^-\-2^~2x^y^-\-2x^z^~{'M; б) б4а^^&®+ ЮОх^у^-^М + 160a®bVi/'*-80a®&®x'‘- 100a^jc®i/^. 17т] Сложите дроби 2а& + 3&с + 4а-Ь + 2аЬ -f 2ас + 2Ьс а + 6 ч- с 1C. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В первых двух главах учебника мы изучали алгебраические дро Пи и многочлены. И те и другие состоят из чисел и букв, связан пых между собой арифметическими действиями: сложения, вычити IIИЯ, умножения, деления, возведения в натуральную степень. По атому для них в алгебре вводится единый термин: рациональног алгебраическое выражение (чаще просто: рациональное выражение). При этом многочлен — целое рациональное выражение^ т. е. это \п\ риональное выражение, в котором нет действия деления на выражо мие, содержащее буквы. Если же такое действие присутствует, то рациональное выражение называют дробно-рациональным выражена 69 . If i ill метим, что в результате сокращения дробно-рациональное вы-|н»^|\гти' может стать целым рациональным выражением. Например, 4* 1 (л: +1) (лг^ “ JC ч-1) — х^ х+1. I 1)1И I I I I д:+1 х+1 ;ггом может возникнуть вопрос: каким считать выражение дробно-рациональным или целым? Условились рациональные иырнжгиия разделять на дробные и целые по виду, в котором они за- Ч’ 1 /шмы до преобразований. Поэтому ----— дробно-рациональное выра- 2 1 а x^~x-hl — целое рациональное выражение, несмотря на то •им ати два выражения тождественно равны для всех значений х, 1|м»мг JT —1. При д: = "1 данная рациональная дробь не имеет зна-маиии. Напомним, что в 7 классе тождеством мы называли равенство, |и рмоо при любых допустимых значениях переменных, а выражении, (!тоящие в левой и правой частях такого равенства, называли юждестпенно равными. При этом условились тождеством считать и марпог числовое равенство. I’aiK^e мы встречались с многочисленными примерами тождеств. 11|ми‘тсйшими и в то же время основными алгебраическими тожде-( 1иами являются равенства, определяющие основные законы ариф-магических действий: a-i-b = b-ha, (a + b)-hc^a-h(b-i-c), ab = bUy (ab)c = a(bc)y (a + b)c = a • c-hb ^ с. (li тех случаях, когда хотят подчеркнуть, что данное равенство и м II нется тождеством, используется знак «=» вместо знака « = о.) /1р\'*'пми примерами тождеств являются формулы сокращенного ум-iiM/iviMinH, рассмотренные нами в предыдущих пунктах: (и I /))^ ia^4-2a&-l-6^, a^-b^=(a-b)(a-hb)y a^-hb^ = (a-i-b)(a^ — ab-i~b^) и др. И приведенных примерах одно выражение заменяется другим, п»1\Д(и:твенно равным ему. Такие замены называют тождественными 11[>еобразованиями. |{ги1сую замену одного выражения на другое тождественно рав-mw ему выражение называют тождественным преобразованием. К тождественным преобразованиям относятся, например, выпол-И1Ч11П* операций сложения, вычитания, умножения, а также выне-1ЧЧ11П* общих множителей за скобку, разложение на множители, приш‘дение алгебраических дробей к общему знаменателю, сокраще-МИ1* алгебраических дробей, приведение подобных членов. При этом f iuvuyi'T учесть, что сокращение дробей и приведение подобных чле-IIMII могут изменить область допустимых значений переменных. 70 Пример 1. ir 2х^^ + х , ;е + 4 Упростим выражение------1- „ 2х^ + х х + 4 Решение.--------1- ( 1 + дг-4 х-4 X х^-16 = 2х+1. лг-4 (х-4)(х + 4) х-4 =2х I В результате тождественных преобразований получили выражение 2х+1, для которого допустимо любое значение х. В то же время в исходном выражении допустимы все значения х, кроме х — О, 4С — -4, х = 4. Поэтому полученное равенство будет тождественным только для хч^Оу хч^-4у хч^4. При доказательстве тождеств используют различные приемы: 1) с помощью тождественных преобразований левую часть при^ иодят к правой или наоборот; 2) с помощью тождественных преобразований обе части приводят к одному выражению; 3) одно из выражений переносят в другую часть и доказывают, что полученная таким образом разность тождественно равна нулю. Какой из этих приемов использовать, зависит от доказываемого тождества. ^ример 2. Докажем тождество + \ X — о х^ + 1 Х^ + 1 X^-X'^l х-В 7+Т х-З Решение. Преобразуем левую часть равенства, выполнив указан тле действия в порядке, определяемом очередностью операций. Пер иыми выполняются действия умножения и деления, затем сложения и вычитания. При этом сначала производят действия в скобках: •2 д:+1 х^ + 1 л:2 + 1 х^ + 1 X х2+1 Г X^-’X+l х^-^1 (X+1)(X2-X+1) X хЧ1 (— \х- х-3 х-З х2+1 х2-Х+1 Х^-Ь 1 (х+1)(х-3) 2х2 + х+ 1 Х-З “ (х+1)(х-3) ’ х(х+1)+х2 + 1 _ 2х2 + Х+1 (х+1)(х-3) "^(х+1)(х-3) ’ 2x2-f-x+l 2х2 + х+1 х+1 Х-З /' х+1 (х+1)(х-3) (2х2 + х + 1)(х+1) _ 1 (х+1)(х-3)(2х2 + х-ь1) х~3 ■ Итак, с помощью тождественных преобразований мы левую часть рпиенства привели к виду правой его части. Заметим, что доказанпог 71 |||/11Д1Ч'тио справедливо при всех значениях х, кроме тех, при кото-|iMH лпаменатели обращаются в нуль, т. е. кроме корней уравнений х-3 = 0, + 1 = 2х^-ьх + 1 = 0, 11о<*леднее уравнение корней не имеет, так как 2x4x+l=2(x^ + jx') +1= = 2{хЧ2 ■ + + —^ ИИ при каких значениях х» Корень первого уравнения xi = 3. Для ритимия второго уравнения разложим на множители левую часть: \'\\ '(х + 1) = 0 — и решим два уравнения: х + 1=0 и »'* X ( 1 «0. Корень одного уравнения Х2 = -1, а другое уравнение корней не MMiMvi*. Итак, доказанное тождество имеет место для всех значений кроме х = 3 и х== —1. При мер 3. Докажем тождество 1 х(х + 1) + 1 + 1 Решение. Перенесем —------^ ^ X х + 3 (х+1)(х + 2) (х-1-2)(х + 3) X х + 3 в левую часть равенства и дока- к«»м, что полученная разность равна нулю: 111 + -I- х(х+1) (х+1)(х + 2) (x-f2)(x + 3) 1___• 1 1-(х+1) X х(х+1) 1 1 \х х+3/ Найдем разность х{х+1) Иатем найдем разность х+1 1 Тсмтерь найдем разность х + 2 ’ __________________1-(х + 3) (х + 2)(х + 3) х + 2 (х + 2)(х + 3) (х + 1)(х + 2) х + 1 1 1 х + 3 Окончательно получаем - 1 = 0. Доказанное тождество X Ч- 3 X ч- 3 гиранедливо для всех значений х, при которых знаменатели не обращаются в нуль, т. е. для х?^0, -1, -2, -3. \\ некоторых случаях рассматривают условные тождества, т. е. ра-жчи'тиа, верные при выполнении некоторых условий, налагаемых на ш'ремоиные. Пример 4. Докажем, что если а + Ь + с = 0, то а^ + Ь'^ + с^ = ЗаЬс. 1’(чпение. Из условия а + 6 + с = 0 находим а = -Ь-с. Тогда о" ! /»•' \ c'' = {-b-c)4b^ + c^ = -b^-3b^c-3bc^-c^ + b^ + c^ = 3bc{-b-c)= Hahr. 72 РАЖНЕНИЯ Докажите тождество: а) + X* + + х+ 1 = (л:+1)(л:^ + л: + 1)(х^~ х + 1); б) (х + у + г)^-2(ху + XZ + уг) = х^ + у^ + z^; в) (аЬ + cdf = (а^ + с^) (Ь^ + d^) - (ad - cbY\ г) (fe - с)®+ (с - а)®+ (а - Ь)^= 3 (а - ft) (& - с) (с - а); л) 1| 1 а + 1 (g+l)(b+l) (q+l)(b+l)(c+l) (g+l)(b+l)(c+l)(d . I). a ab abc abed abed e) 4 ((a^ - i>2) ed + (c^ - d^) ab)^ + ((a^ - b^) (c^ - d^) - Aabcdf = = (a2 + b2)2(c2 + d2)2; a%^d^ a^e^d^ ж) + (a-d)(b-d)(c-d) ЬЧЧ'^ + + (a-e)(b-e)(d-e) (a-b)(e-b){d-b) = abc + abd + aed + bed; (b-a)(c-a)(d-a) 3) (a + b) (b + c) (c + a) - 8abc — a(b-c)^-\-b{c-a)^~\-c(a- b)^. Докажите, что: а) если a + iM-c = 0, то (a^ - bc)^ + (6^ “ ca)^ + (c^ - ab)^ = 3 (a^ - be) (b^ - ca) (c^ - ab); б) если уг + х2 + ху = 0, то (у + 2)^ (г + х)^ (х + у)^ + 2х^у^г^ = х"*(у-\- г)^ 4- у** (д: + z)^ + (х + у)'^; ч а-Ь Ь-с с-а в) если х=-----у=-------, 2 =----, то а + Ь ^ Ь + с с + а (1 4 л:) (1 + 1/) (1+2)= (l-x)(l-i/)(l-2). 180 Упростите выражение: 4а%-4аЬ^ \ а) (а^-Ь^ д: + 7 б) в) JC + 9 1 + \ / а Ь 2аЬ \ а + 6 / \а + Ь Ь-а f х+7 x-h5 у/д: + зу. \д:2-18х + 81 д:2-81/Лд:-9/ ’ 1 1 а + 1 л н— b+i Ь 1 Ь(аЬе + а + е) ’ г) \ 4аЬ А 4аЬ / (а + Ь)^-ЗаЬ(а + Ь) (аЬ + (а - b)^)((g + Ь)^- аЬ) (а - Ь)^ + Заб (а - Ь) ’ 73 xHl/~z) + yHz-x)-hz^x-y) , ((/+ г)2 + (2 + х)2 + (х + Z/)2 еО х*-л:+1 ^ 2jc(x-1)^ ^ 2д:2(д:2-1)2 . д:^ + х + 1 + 1 1 1 + X® + х^ + 1 X £/ ж) a(x + t/) + g-x g-y (g-хГ (g-j/) 1 1 (g - z/)(g - x)2 (g - x)(g - уУ 17*. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ П1 ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Обозначим многочлен от переменных х и у через Р(х, у). Тогда f*(Ut х) означает многочлен, получаемый заменой в Р(х, у) перемен-моб X на а у на х. Например, если Р(х, у) = 6х^-3х^у + 7xy^'*-f 8у^, |<> /Чу. х)*6у'‘-3у^х-ь7ух^ + 8х'‘. I'jcaH выполняется равенство Р(х, у)==Р(у, х), то многочлен /*(х, у) называют симметрическим. Например, симметрическими п«л1потся многочлены х + у и ху. В самом деле, при замене х на у и у иа X из х + у получается равный ему многочлен у + х, а из ху — рамный ему одночлен ух. Ииедем обозначения Ох = х + у, 02 = ху и назовем и Ог элементарными симметрическими многочленами от х и у, Симметриче-п\ими являются и многочлены S„ = x" + y" — при замене х на у и у мм X они переходят в равные им многочлены у" + х". Пусть /(и, V) — любой многочлен от и и и. Заменим в этом мно-тчлмне переменную и на х + у, а переменную v на ху. Получим мно-1чи1лен Р(Ху у) = /(х + у, ху), причем ясно, что этот многочлен сим-м»^трический. Оказывается, таким образом можно получить любой симметрический многочлен от двух переменных. Иными словами, иермп теорема: 'Гсч)|>ема 1. Для любого симметрического многочлена 1*{Хп у) от X и у существует такой многочлен /(а, и) от // и Ощ что Р(х, y)=f(x-^y, ху). Таким образом, любой симметрический многочлен от двух переменных X и у можно выразить в виде многочлена от Gi = x + y и 02 = ху. Покажем, как получают такое выражение, на примере симмет-ри'ОМСКОГО многочлена Р(х, y) = 2x^-3x3y + 5xV-3xy4 2y^ 74 Сначала сгруппируем симметричные друг другу слагаемые и вынесем за скобки общие множители. Получим Я(х, [/)=(2x^+2z/^)-(3x®z/+3xz/®)+5x2y2=2 -Sxy {х^ Так как ху = С2^ х‘^у^=029 то получаем Р{х, у) = 2(х* + у*)-Зо2(х^ + у^)+5о1. (1) Нам осталось выразить через элементарные симметрические мно гочлены 01 и 02 суммы x^ + i/^ и + Так как (х + у)^ = х^ + 2ху^ //“, то х^ + у^ = (х + у)^-2ху=а\-2а2> Значит, Лг2 + 1/2 = о?-2СТ2. (2) Чтобы получить выражение для х^ + у^, умножим обе части рнн(>м ства (2) на x + y = Oi. Получаем (jc + j/)(x^ + i/^) = Oi(Ci-2a2). Значит, х‘^ +х^у +xy^+y^ = ai-2aiG2 и потому у® = of - 2aia2~ х^г/- - О'/ - 20i02- Ху (Х + у) = of - 2О1О2- 0201= of - ЗО1О2. Итак, x3 + y® = of-30i02. (3) Таким же образом находим выражение для х* + у*. Именно, ум ножим обе части равенства (3) на x + y = Oj. Получаем (х - у) (х» + уЗ) = Oi (of - 30i02). Значит, x‘‘ + x®y + xy® + y‘’ = Oi-3ofo2. Поэтому x* + y* = ai- 3of O2- x^y - xy® = of - 3of O2- xy (x^ + y^). Применяя формулу (2), получаем x^ + у-* = of - 3of 02- O2 (of - 202) = of - 4of O2+ 2o|. Итак, jc'‘ + y'» = (jf_4ofo2+2o|. (1) Применяя формулы (2) и (4), a также равенство (1), выводим, что Р (х, у) = 2 (of - 4of О2- 2о|) - З02 (of - 202) + 5о| = 2of -1 lof О2 + 1 Soij. Предоставляем читателю доказать равенства x® + y® = of-5ofo2+50i02 (Г>) и X® + у® = of - 6of О2 + 9ofo| +2о|, (б) Определим теперь понятие симметрического многочлена от Т1шх переменных х, у, z. Три переменные можно переставлять друг с другом шестью различными способами: (х, у, г), (х, г, у), (у, х, г), (у, г, х), (г, х, у), (г, у, х). 75 IlnuoHi'M многочлен P{x, у, z) симметрическим, если он не меняется при иоех перестановках переменных, т. е. если /'(.», у, г)-Р(дг, Z, у) = Р[у, X, г) = Р(у, Z, x) = P{z, х, y) = P(z, у, х). Примерами таких многочленов могут служить (5l=X + y + Z, d2==xy + xz + yz, G3 = xyz. Иге imi многочлены являются соответственно коэффициентами при I*, / и свободным членом в многочлене от t, получающемся при рмпсрытии скобок в выражении (t + x)(t + y){t-\-z). Симметрическими многочленами являются и суммы S„ = X" + у" + Z’'. ('иранедлива теорема, аналогичная теореме 1. Тиорема 2. Любой симметрический многочлен от переменных X, у, 2 может быть выражен в виде многочлена от Oi, 02, Од. Мы не будем проводить доказательство этой теоремы и укажем immi. выражения через Oj, Сг, О3 для сумм S2 = + 2^ и .S„ .г'* + В силу равенства (1) п. 15 имеем S2 = x^ + y^ + 2^= (x + y + zf-2 ixy + XZ + yz) = af- 202. (7) Да.мо(> al = (x + y + zy = ix + y + z)(x + y + zY = = {x + y + 2)(x^ + + 2^ + 2xy + 2x2 + 2yz) = X^+ y®+ 2® + 3x^y + 3xy^ + 3x^2 + 3X2^ + 3y^2 + 3y2^ + 6xy2 = = x“ + y® + 2^+ 3xy(x + y+ 2)+ 3x2(x + у+ 2)+ 3y2(x + y + 2)-3xy2 = “ x“ + y® + 2®+ 3 (x + у + 2)(xy + X2 + у2) - SxyZ = 83 + 3Ci02- З03. I loirroMy S3 = of-30,02 + 303. (8) Из формулы (8) вытекает тождество х'* + у® + 2® - Зху2 = S3 - 303 = 0? - 30|02 = 01 (01 - З02). Подставляя значения 0, и 02 и пользуясь формулой (1) п. 15, получаем тождество X* + у® + 2® - Зху2 = (х + у + 2) (х^+у^+ 2^ - Ху - Х2 - yz) . (9) 'Георемы, аналогичные теоремам 1 и 2, справедливы для симме-1'рических многочленов от любого числа переменных. 76 г УПРАЖНЕНИЯ ||[^ Выразите через Oj и О2 суммы S5, Sg, S7, Sg (для двух перемсм! — ных). ||8^ Разложите на множители (выразите через Oj и Ог): а) Юд:^-27х^у-llOx^y^-27ху^ + 10i/<; б) 2х^ + 7х^у + 9х^у^ + 7ху^ + 2у*. f 1*^ Разложите на множители: 1° а) 2x^ + 3x^y + 6xY + 3xy^ + 2y*l и б) 3х'*-8х^у+14х^у^-8ху^ + 3у‘^. I84J Сократите дробь ^ —i—5. Указание. Выразите числитель и (x + уУ-х’’-у' знаменатель через Oj и Og. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ // 185. При каких значениях х п у имеет значение выражение V X у / ху (x-2)4(y+Sf 186. При каких значениях переменных верны равенства: . 4-1 2 .1 а) — =х2“Х+ 1; х + 1 12а^-8а « о б) ---^----=За-2; Д) е) с^ + 2с+ 1 с^-1 1 с+1 ’ а^-1 а2- 1 = а2; в) 6x^-12x2 -3x2 = 4-2х; , а-1 1 2 ж) -^5---Г— — + 0-1 0^ + 1 а 2а 0^+1 . х+1 . 2 г) ---7- = 1 + х-1 ‘ ' д-1 ’ 18^ Сократите дробь: а) б) •п + 2_2д:"+д"-2 2 _ + 1 ” 1 ^ - 2 ’ + 2оЬ + 2ос + 2Ьс а^-Ь^-с^-2Ьс в) г) X* + х^у^ + у* (д-у)(д®-1/3) д«-1 х* + х^+1 ■ 188^ Выполните действия: а) 140'* ЮдУ, 5ху 21о^Ь* ’ б) дУ-4у^ Х^у 4ху 2ху - х^у 77 в) дЗ+уЗ 3^-г/ д^’-уз х + у г) Д) <0 ж) ac-i- т^-т(а + с) Ь^-т^ ^ he + т^ + т{Ь + с) а^-тп}' х*-у* х-у , х'^-\-у^-2ху ху + х^ (.! 2х ^ 2х \ 4х^ + 14дг 3^ Зу-\-1/ 9j/^ + 1-6(/’ 3i/‘ з) и) а+Ь а-6 1 1 + а+Ь а-Ь 1 1 ----+ — а_ Ь ’ х-у а х^ + у^-а’‘\^ 1 1 Л 2ху Г Х^ - Х1/^ к) л) + X® + х^у + ху^ х^-ху х-у 2 4х 2х 2 if 1 I 2 1... Vx2-4x 16-х2 16 + 4x7 \x-4 7’ / 2у _ 2i/ \ у b-\-x\{x~bf х^-<)^/ ’ 6"“J выполните действия: 3 Ь'^~Ьс + с^ а Ь + с Ь с —+ —+ — Ьс ас аЬ + (а + & + с)2. 1) 3(о2 + Ь2 + с2); 2) 2(а2 + г>2 + с2); 3) с + 6 + с; 4) (а + Ь + с)2. Ь^-С‘ 1НО,| Упростите выражение: 2 ■ Z— а Ь ' а) ------------------ fe-c ^ с-а ^ а-Ь б) + Ь^ (а-Ь)(а-с) (Ь-с){Ь-а) (с-а)(с-Ь)^ .. а^(а + &)(а + с) Ь^(Ь + с)(Ь + а) с^(с + а)(с + Ь) в*) —:------гг-^----:— + —7Т------гт^----:— + Г*) (а-Ь)(а-с) (Ь-с)(Ь-а) (а - Ь)(а л- Ь с){а Ь - с) {с-а){с-Ь) Д*) 2аЧ^ + 2а^с^ + 2Ь^с^ -а^-Ь^^с^ ИН^ Упростите выражение: (7 7)'*'"(Р^ 7) (а - Ь)^ + (Ь - с)® + (с - а)® 6 (Р + ^Г \Р р q ) 1) pV; 2) pV; З) 1 ; 4) б) (р+9)® ---"1 + (Р+яУ (р® 7О 78 {р+чУ (р^ ^О’ v-w w-x W-¥X TT X-y y-Z Z-U U-V Ittrt Пусть ni=—p=-—, g=--------, 2 =---, s=----, t — --^ ХЛ-у y-\-Z 2 + U U-¥V У + Ш Докажите, что (1 + m)(l+p)(l+ g)(l-f 2)(1+ s)(l + f) = = (l-m)(l-p)(l-g)(l-2)(l-s)(l-f) . 193^ Пусть a + b + c + d=A, a + b-c-d = B, a-b + c-d = C, a-b-c + d-Z). Докажите, что если ab(o^ + &^) = cd(c^ + d^), то AB (A2 + В2) ^ CD (C2 +1)2). |t9i*j Докажите, что из равенства (a-bb + c + d)(a-b“C + d) = (a-b-i-c-d)(a + fe“C-d) вытекает ~ = '^ (при d^Q), -- ах’^ ^-Ьу^ -^cz^ Упростите выражение ах + Ьу+ С2 = 0, Ьс (у - 2)2 4- са (2 - х)2 + аЬ (х - yV при условии « Докажите, что 4^ + (_^-Ь‘)(у‘-ь‘и.‘-ьЬ "---' а2(а2~Ь^) Х2-Ьу2ц_22_д2_^2^ 1^ Положим + + г>2(б2_а2) = Sjfe. Докажите, что (а-Ь)(а-с) (Ь-а)(Ь-с) (с-а)(с-Ь) So = Si = 0, S2=l, 5з=а + Ь4-с, S4 = a2 + b2 + c2 4-а6 + ас + 6с, Sg = а® ч- &^ + + а2& ч- afe2 -j- а^с ч- ас2 ч- Ь^с-\- Ьс^ + аЬс, пк fyk ^ 19^ Пусть (^a-b)(a-c){a-d) (b-a)(b-c)(b-d) d" {с ~ а){с ~b){c - d) Ч- = S*. Докажите, что (d-a)(d-6)(d-c) S*=S*=S2 = 0, Sg=l, St=a + b + c + d. Вычислите a^, Cg, O3, 04, где ^ ^дш (а + 6)(ач-с) (b4-c)(fe + g) ^ (c4-a)(c + fe) (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c~b) * 2(ю\ Упростите выражение: 1.1.1 а) б) Ч- a{a-b)(a-c) b(b-a){b-c) c(c-a){c-b) ’ 111 Ч- Ч- a2 (a -b){a- c) b^ (b ~c){b- a) {c - a) (c - b) ..Й] Докажите, что b-c c-a a-b 2 Ч- Ч- + (a-b)ia-c) {b-c){b-a) (c-a)(c-6) a-b b-c c-a 79 [aouj Уп|юстите выражение a^-bc b^-ac ^ c^~ab (a + b)(a + c) {b + c)(b + a) (c + a)(c + fe) llUKwl Докажите, что из равенства i + i + i =\---- при нечетном т ' ' а о с а-\-Ь + с 111 1 пытекает равенство — н------1----------------. am |ЛИ1| Докажите, что если справедливо + + —(b-l-c)(a-l-c)(a + ft) и {Ь‘^~а^)X = (с^-\-а^-Ь^)у = (а^ + -с^)2, то л:3 + 1/3 + 2:3 = (д: + г/)(х4-2)(г/ + 2). [uo5J Докажите, что сумма дробей ^ ^ ^ ^ ^ равна их произ- ‘ 1 + 6с 1 + ас 1 + а& иедению. .Зл .2л 1 1 + х'^-1 л:" +1 х^-\ х" +1 Докажите, что выражение МО равно многочлену от х. |аоЗ I 1редставьте выражение (а^ + Ь^~ с2) + + с2 - а2) + {а^ + с^~ Ь^) аЬ Ьс ас и виде многочлена от а, Ь, с, |20н] Проверьте формулу: yV , iy^-b^)(z^~b^) ; (y^-c^)(z^-c^) *П .оо‘ .о..о Ov ' о . о Го: — тождествен- Ь^(Ь^-с^) с^(с^-Ь^) б) н) ^2^2 (д.2_^2)(^2_^2)у2 (д,2 _ ^2) (^2 _ ^2^ ^2 ^ (j^2 _ д,2) (^2 _ ^2) Ь^С^ (l/2-62)62(c2-fe2) (с2-у2) с^(с^-Ь^) ~ (/_^2у(^2 _ ^2) ’ 11.1 + 4- (а - 6) (а - с) (х + а) (Ь - а) - с) (х + ^>) (с - а) (с - Ь) (х 4 с) 1 (х +-а)(х4&)(х4с) I'iopj Упростите выражение 1 (14аЬ)(14ab4(a4ft)x) - (а4б)(а4б4(1 4а6)х) «4^4(14afe)x \2 («± V 1 + afe 4(а 4Ь)х (1 4аб4(а4б)х) Проверьте пропорцию —а + 2Ь _ _Q 46 0 4 26 0 4 36 80 0 4 36 |2i;^ S14. «15. И Докажите, что**: а) (8"-i-2“):l7; в) (19'® + 69^®)!44; б) (692-69 • 5):32; г) (3282 +1723)!2000. Упростите выражение: а) (х +21/2)2 _(^_2г/2)2; г) (4д: +1/-l)^-(4x-i/+1)^; б) {2т-п)(4т^-\-2тп-\-п^); д) (2 + х)^-(2-д:)^. Представьте в виде степени двучлена выражение: а) (х + у)^ + 2(х + у) + 1; б) x^4-y^ + 2^-2xy-2x2 + 2yz; в) (a-b)^ + 2ac + 2(a-b)-2bc + (c + iy. Вычислите: 1812-612 3192-2092 ’ Докажите, что: а) (8^-2*«)il4; б) 2562-442. в) (3681 + 10 • 3681): 99 |21Т] б) (792 + 79 • 11); 18; Представьте в виде многочлена: а) (а - Ь) (а2 + Ь^) + 2(а- Ь) (а^ + аЬ + Ь^) - За (а^ - Ь^); б) Ь (За2 - 136) + (а - 6) (За2 - 662) + 2 (а + 6) (а6 - а^); в) (а2д: - 0x8) (ах* + а2х); г) (16/n2 + 4my2 + y“)(4m-i/2); д) (у - 56) (у2 + 5ky + 2562) (12568 + уЗ); е) (т2 +2т +l)(m2-2m +l)(m‘i-2m2+1); ж) (х2" + Х"у" + 1/2л) (х" - I/") (у8" + х8"). Представьте в виде квадрата или куба многочлена: а) 4x2+ 9р2 + 25г2 +12x1/-3Oi/0-2Oxz; 2xY 16i/® 218] б) ^ + 16y2+.^-4x2j/+ g g , в) xl2-3x8l/2 + 3a;V-l/®; г) 64x18-144x1 V + 108xV-27t/8; д) x^ -y^ -3x^y + 3xy'^ + 12x1/-6x2-6i/2+ I2x- 12i/-8, Докажите тождества: a) (6-l)(6-2)(l+6 + 62)(4 + 26 + 62) = 68-968 + 8; *> Знак : читается «делится на». 81 б) (jf® + x'* + x^ +дг^ +x+ 1)^ = л:® + (1 +л: + + + л:'')Х ■» (I f X + + X® + х"* + X® + X®). Обобщите эти тождества. ап>. Докажите, что: н) (313 • 299-3132)! 7; в) (11'«®-1)! 100; б) (2»® + 1)!33; г) (47192-2734®)! 1985. UUoj Докажите, что при любом натуральном значении п имеем: п) (2л® + 3n® +7л)!6; в) (25л‘‘-2л®-л® + 2л)!24; б) (л" + 2л® + 3л® + 2л)!8; г) ((7л + 3)®-(3-л)®)!96. ,UUl| Разложите на множители выражение: а) {b^-byf-{b^ + byY-2b^-, в) a® + i>® + a®-i)®; б) (а - Ь)® - (с + d)® - а + б + с + d; г) х® - 8 + (х + 2)® - 2х. li'iuj Найдите такие а и Ь, что: а) 2х® - 8х® + 9х - 9 = (х - 3) (2х® + ах + 6); б) 2х^ + 5х® + 3х2-2х-8 = (х2 + х-2)(2х® + ах + 6); в) х®-5х® + 4х®-Зх-2 = (х-2)(х'‘ + ах® + Ьх® + 2х + 1). и2.ч] Сократите дробь: а) 6х® + 7х-3 . г) X'* - 16 2х®-х-6 ’ х‘‘-4х® + 8х®-16х + 16 ’ б) 4х®-8х® + 3х-6 д) X® + х"* + 1 _ 12х® + 4х® + 9х + 3 ’ + д: + 1 в) х®-1 е) (х + 2)^-х’’-128 х'* + X® + 1 ’ (х + 2)®-х®-32 ■ М24, 225] Докажите тождество: а) а (& + с)2 + Ь (е + а)® + с (а + 6)® - 4а6с = (6 + с) (с + а) (а + Ь); б) (а + Ь + с) {Ьс + со + аЬ) - аЬс = (Ь + с) (с + а) (а + Ь); в) (X® -1) (у® -1) (Z® -1) + (х + yz) (у + ZX) (Z + ху) = >■(1 +хуг)(х®+ y® + z® + 2хуг-1); г) (6 + c)® + (c + a)® + (a + b)®-3(b + c)(c + a)(a + fe) = 2(a® + b® + c®-3abc); д) (Ь + с)® + (с + а)® + (а + 5)® + (а + d)® + (Ь + d)® + (с + d)® = == 3 (а + Ь + с + d) (а® + Ь® + с® + d®); е) а* (6® - с®) + Ь* (с® - а®) + с* (а® - ft®) = (а® (ft - с) + ft® (е - а) + с® (а - ft)) х X (а + ft) (ft + с) (с + а). Представьте в виде многочлена: а) (x + y + z)(x® + i/® + z®-xy-x2-i/z); б) (а® + ft® + с® + ftc + ас + aft)® - (а + ft + с)® (а® + ft® + с®); 82 \1Ш\ в) (аЬс + bed + eda + dab)^ - (be - ad) {ca - bd) (ab - cd); r) {a-\-b~\-c^d){a^-\-b^-\-c^-\-d^-ab-ac-ad-bc-bd- cd). Докажите, что если a + 6 + c = s, то (as + be) (bs + ca) (es + ab) = (b + e)^ (e + a)^ (a + b)^. Докажите, что если ан-Ь + е = 0, то а) а (а + Ь) (а + е) = Ь (Ь + а) (Ь + е) = е (е + Ь) (е + а) = аЬе; б) a^-hb'^ + e^ + 3(a + b)(b + e)(a + e) = 0; в) а^ (Ь + е)^ + Ь^ (е ч- а)^ ч- е^ (а + Ь)^ ч- (а^ ч~ Ь^ ч- е^) (аЬ ч- be + еа) = 0; г) а'* ч- Ь^* ч- е^ = 2 (а^Ь^ ч- Ь^е^ ч- с^а^) = 2 {аЬ ч- be ч- са)^ = -^ (а^ + Ь^ + е^)^. Представьте частное в виде многочлена: а) х^(у-г) + у^(г-х) + г^{х-у). б) x^(y-2) + y‘^(г-x) + г* (х-у) |2;и^ 2.Ч2. х^(у-г) + у^(г-х) + г^(х-у) (у - г) + у^ (г - х) + (х - у) Разложите на множители выражение: а) (x^ + xY + 4ix^ + x)-12; б) (л:^ + д:+l)(x^ + x + 2)-12; в) (х^ + 4ж + 8)^ + Зх(л:2 + 4х + 8) + 2лг^; г) (д:^ч-х + 4)^ + 8л:(д;^ + л: + 4) +15дг^; д) (х+1)(д: + 2)(д: + 3)(л: + 4)-24; е) (д:+l)(x + 3)(jc +5)(х +7)+15. Разложите на множители первой и второй степени: а) (1 + о^-Ь^-2а)^-(4Ь-4а6)(1 + а^-Ь^-2а); б) xyz(x^ + y^ + z^)-y^2^-z^x^-x^y^\ в) а® (^ + с) + (с + а) + с® (а + &) + аЬс {а + Ь + с); г) iy-zf + {2-x)^ + {x-yf; Д) x‘^ (у^ - 2^) + у* (2^ - Х^) + 2* (х^ - у^У, е) (Ь-с)(Ь + сУ + (с-а){с + аУ + {а-Ь){а + ЬУ\ ж) а(Ь-сУ + Ь(с-аУ + с(а-ЬУ; з) ф-с)ф + сУ + {с-а){с + аУ + {а-Ь)ф + ьу. Докажите, что если x = u^-w, y = -u^ + v, z = uw-l, t = -uv+l, где u = a^ + 3b^, v = a + 3b, w = a-3b, to x^ + y^ = z^ + t^. He выполняя вычислений, определите, является ли дробь правила ной или неправильной: (327+154)2, а) ----:----г; б) 242 + 37® ; в) 852 + 16® 233. 234. 3272+ 154® 61(242 + 37®) (85 + 16)® Вычислите Р(198), если Р{х) = х^+ 4хл-4. Вычислите Р(305), если P(jc) = jc® —10x + 25 г) 1242-115® 9(1242+ 115®) 83 |Ш1п] Упростите выражение: II) (а + Ь)(а -Ь)-аЬ + Ь^)(а^ + аЬ + Ь^); б) (а^+ а +1)(а^-а +1)(а^-а^+1). |и:И|] l•вшитe уравнение: II) (л:-1)2 + (1-л:)2 = 2л:2-8л: + 9; б) (2х-1)2 + 2(2jc-1)(3 - 2л:) + (2л:- З)^ = 4х; I.) (у-5Г + 2{5-у){у + 4) + {4 + уГ = -9у; г) (л:+1)2-4(1 + л:)(л:-2) + 4(2-х)2 = (6-х)2; д) (у-1Г + {1-уГ = 2у + 5; в) (л:-1)2 + (2-л:)з = Зл:2-10л:; ж) (2л:- 1)2-(2л:-3f = 24л:^-40л:- 24. |»»7j I 'ешите уравнение: ||) х’^ + у^-2у+1 = 0; б) UI + i/2 + z2-2j/ + 4z + 5 = 0; и) 4х2-10л:1/ + 251/2 = 10л:|/-||/-2|. [u:in] Представьте в виде многочлена: н) (а + 2Ь2-Зс")2; в) (-а + ЗЬ^ - 2с* -б) (а-За^х-4хЬ^)^; Докажите, что если а + Ь + с = 0 и а^ + Ь^ + с^ = 1, то аЬл-Ьсл-са = — ^. jU'lo] Докажите тождество: н) (а2 + + с2)(л:2 + 1/2 4- ^2) = {ах + by + cz)2 + (Ьл: - ау)2 + (су - bz)2 + f (о2-сл:)2; б) (о + Ь + с)(аЬ + Ьс + ас) = аЬс + (а + Ь)(а + с)(Ь + с); н) аЬ {а-Ь)~ ас (а + с) + Ьс (2а - 6 + с) = (а - Ь) (Ь - с) (с + а). |2<1|| Разложите на множители многочлен 2а2&2 4- 2ft2c2 + 2а2с2 -а*-Ь*-с*. U-12J Пусть a^ + b^ = k и аЬ = т. Выразите через кит выражение а* + a^b^^ + b*. IU'Ih] Найдите значение а^ + За^Ь^ + Ь^, если а^ + Ь^ = 1. |'J44] Докажите тождество: а) а® + &2 4- е® - ЗаЬс = ^{а + Ь + с){(а-Ь)2 + (а - с)2 + (Ь - с)®); б) (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2-2(a2 + b® + c2-3abc) = 3(a + b)(b + c)(a + c); в) (а + Ь + с)2 - а* - Ь® - е® = 3 (а + Ь) (а + с) (Ь + е); г) (а + Ь + с)® + ЗаЬс = а® + Ь® + с® + 3 (а + Ь + с) (аЬ + ас + Ьс); д) а® + Ь® + с® + 6аЬс--i-(а + Ь + с)® = “ т ((® + ^ “ с)®с + (а-Ь + cfb + (- а + Ь + с)® а). 4 84 24б'^| Докажите, что: а) (а-Ь)(1+ ас)(1 + Ьс) + (Ь-с)(1+ аЬ)(1+ас) + (с-а)(1+6с)(1+аЛ) t 4- (а - Ь) (Ь - с) (а - с) = 0; б) аЪ (а-Ь) + Ьс (Ь-с) + ас (с - а) + (а - Ь) (Ь - с) (с - а) = 0; в) (Ь-с) + (с - а) + (а - Ь) = (а - Ъ) (Ь - с) (а - с); г) ф-а) + (с - ft) + (а - с) = (ft - а) (ft - с) (а - с) (aft + ftc -t ас); д) а (6^ - с^) + ft (с^ - а^) + с (а^ - ft^) = (а - ft) (ft - с) (с - а); е) аЬ (а^ - ft^) + ftc (ft^ - с^) + ас (с^ - а^) = - (а - ft) (ft - с) (с - а) (а + ft + с); ж) а® (ft + с) - ft® (с + а) - с® (а - ft) = (а - ft) (ft + с) (с + а) (а + ft - с); з) (а - ft) (а + ft)® + (ft - с) (ft + с)® + (с - а) (с + а)® = - (а - ft) (ft - с) (с - а); и) (а - ft) (а + ft)® + (ft - с) (ft + с)® + (с - а) (с + а)® = - 2 (а - ft) (ft - с) (с - о) х х(а + ft + c); к) а'* (ft - с) + ft** (с - а) + с"* (а - ft) = - 0,5 (а - ft) (ft - с) (с - а) х х((а + ft)® + (ft + с)® + (с + а)®). Докажите, что: а) если a = ft + l, то (a + ft)(a® + ft®)(a‘‘ + ft'‘)(a® + ft®)...(a®‘‘ + ft®‘‘) = a*®®-ft'®": б) если a® + ft® + c® = aft + ftc + ac, то a = ft = c; в) если a^ + ft^ + c^ = a®ft® + ft®c® + a®c®, то |al = lftl = |c|; г) если а® +ft® + c®+ d® = x® +i/® + z® + ^® = aд: + ftl/ + C2 + d^ = 1, то а —jr, ft = y, с = 2, d = f. ;U47.| Докажите, что если а + Ь + с = 0 и + = то а'* + ft'* + o'* = - . a-lH.j Докажите, что: а) если a + ft + c = a® + ft® + c® = a® + ft® + c® = l, то aftc = 0; б) (а + ft + с)® - (- а + ft + с)® - (а - ft + с)® - (а + ft - с)® = 24aftc; в) (а® - ftc)® + (ft® - ас)® + (с® - aft)® - 3 (а® - ftc) (ft® - са) (с® - aft) = = (а® + ft® + с® - 3aftc)®. jvs-lW.J Докажите, что из равенства (i/-2)® + (z-x)® + (x-i/)® = (j/ + 2-2ac)® I + (2 + х-2у)® + (дс + 1/-22)® следует х = у = г. IWW Докажите тождество: a) (6а® - 4aft + 4ft®)® = (За® + 5aft - 5ft®)® + (4а® - 4oft + 6ft®)® + (5a® - 5aft - 3ft®)®; 6) (p^ - q^Y + {2pq + q^Y + (2^+p®)^ = 2 (p® +pq + q^Y\ b) X® + XY + Y® = Z®, где X = g® + 3p9®-p®, Y=-Zpq{p + q), Х=р®+рд + (/®; г) (За + 3ft)* + (2a + 4ft)* + a* + ft* = (3a + 4ft)* + (a + 3ft)* + (2a + ft)*, 1, 2, 3; д) (a + ft + c + d)® + (a + ft - c - d)® + (a + c - ft - d)® + (a + d - ft - c)® = = 4(a® + ft® + c® + d®); е) (a® - ft® + c® - d®)® + 2 (aft - ftc + dc + ad)® = (a® + ft® + c® + d®)® -- 2 (aft - ad + ftc + dc)®; 85 ж) (а^ - + 2bdf + {d? -+ 2ас)^ = (а^ -Ь^ + с^- (PY + 2 (аЬ - Ьс + cd + ad)^; ii) (а f-b + c)'' + (b + c-a)^ + (c + a-b)‘‘ + (o + b-c)‘‘ = 4(a‘‘ + b'‘ + c'') + ( 24 (b^'c^ + c^a^ + a^b^). lUftl. Пусть a + b + c = 2p. Докажите, что: II) р{р-Ь){р-с)+р{р-с){р-а)+р{р-а){р-Ъ) = {р-а){р-Ъ){р-с) + аЪс; ft) a(p~aY-\-b(p-b)^ +с(p-cY-\-2{p-a)(p-b){p-с) = abc. '251. |25(i] |25t)J |2(U)j bllj Положим a-\-b-\-c — 2Sj + + = Докажите, что (a^ - a^) (o^ - b^) + (a^ - b^) (a^ - c^) + (a^ - c^) (a^ - a^) = 4s (s - a) (s - b) (s - c). Разложите на множители выражение: н) (хн-1/ + 2)®-х^-1/^-г^; б) {b-c)^-\-(c-af-\-{a-bf. Упростите выражение (а + & + с)^-(а + Ь-с)^-(Ьн-с-а)®-(с + а-Ь)^. Пусть а + Ь + с = 0. Докажите, что: а) 2(а® + Ь^ + с®) = 5аЬс(а^ + Ь^Н-с^); б) 5 (а® н- + с®) (а^ + + с^) = 6 (а® + Ь® -h с®); н) 10 (а^ + + с^) = 7 (а^ + 6^ + с^) (а® + Ь® + с®). Докажите, что куб многочлена равен сумме кубов его членов, сложенной с утроенной суммой произведений квадратов одного члена на другой и с ушестеренной суммой произведений его членов по три. С помощью результата предыдущей задачи представьте в виде многочлена следующее выражение: а) + + в) б) {х^г) (1 - + Представьте в виде многочлена: я) (1-ьх + х^ + х^)^(1-х)^; б) (1-х-|-х^-х®)^(1+х)^. Докажите, что если B = ft^ + bc + c^, C = b^c + bc^j то АВ^-27С^ = -(ft-c)2(262 + 56c + 2c2)2. Разложите на множители: а) х^-\~х^2-\-ху2-\-у^2-у^; б) xyz{x^ + y^-\-2^)-y^2^~2^x^~x^y^; н) X {у^ 4-1/2 + 2^) + и (х^ + Х2 + 2^) + 2 (Х^ + XU + U^); г) a(6 + c)2 + ft(c + a)2 + c(a + b)2-4afec. Докажите, что нечетное число, являющееся точным квадратом, дает при делении на 8 в остатке 1. 86 г л два JJJ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В 70-х гг. XIX в. немецкий математик Георг Кантор (1845—1918) гоздал новую область математики — теорию бесконечных множестн. Через несколько десятилетий почти вся математика была перестрооин im теоретико-множественной основе. Познакомимся с некоторыми разделами этой теории. 1. МНОЖЕСТВА И ИХ ЭЛЕМЕНТЫ В повседневной жизни обычно различные совокупности предметом называют одним словом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов — оркестром, группу лошадей — табуном, роди толей, детей и их родственников — семьей, большую группу людей толпой или очередью, собрание книг — библиотекой и т. д. Математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Это понятие в математике является первичным, неопределяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геом** грии,— к более простым понятиям оно не сводится. Приведем примеры множеств. 1. Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земл<». 2. Множество всех рыб в Тихом океане. 3. Множество звезд в Галактике. 4. Множество N всех натуральных чисел. 87 г». Множество всех рациональных чисел х, удовлетворяющих условию 2 < х< 10. Множество М всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от фиксированной точки О. 7. Множество пар чисел (х; у), удовлетворяющих условию ИхН-2у<0. К. Множество учащихся данной школы. II. Множество императоров Российской империи. Приведенные примеры поясняют следующие слова создателя теории множеств Г. Кантора: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Предметы, объекты, образующие данное множество, называются 1Ч'(» .моментами. Например, Александр I является элементом мно-^аос'гиа российских императоров, а число 9 — элементом множества натуральных чисел. В то же время Иван IV не является элементом . 3 \ а число — 4 не является элемен- мможества российских императоров гим множества натуральных чисел. Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами Д, В, С, Dj Ху Y, Z, W и т. д., а их элементы — строчными буквами а, by Су dy Ху Уу Zy W и т. д. Множество, состоящее из элемен-тпи а, by Су обозначают {а; Ь; с}. При этом ни один элемент не включается дважды. Например, {а; Ь; Ь; с) множеством не является, так как элемент Ь повторен дважды. То обстоятельство, что объект а является элементом множества А, записывают так: а€А (читают: а принадлежит множеству А). Если объект а не является элементом множества А, то пишут: а^А (читают: а не принадлежит множеству А). Например, если А есть множество всех нечетных натуральных чисел, В — множество всех российских писателей, то ЗбА, б^А, II, И. Гоголь ^ А, Н. В. Гоголь € В, З^В, Марк Твен^В и т. д. ^ШГРАЖНЕНИЯ б. Назовите известные вам названия множеств военнослужащих. Назовите известные вам названия множеств живых существ (например, стая). Назовите известные вам названия множеств людей (например, бригада). Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих одному семейству? Приведите примеры. Пусть А — множество всех существ, умеющих летать, В — множество всех насекомых, С — множество всех птиц, а) Назовите два элемента множества В, не являющиеся элементами множества А. 1*оссийское государство получило название «империя» в 1721 г. 11<Ч»иым российским императором был Петр I. 88 б) Назовите два элемента множества С, не являющиеся элем(М1тп ми множества А, в) Существуют ли элементы, принадлежащие всем множествам? в. Как называются линии на географических картах, изображающий множество точек земной поверхности, имеющих: а) одинаковую долготу; б) одинаковую широту; в) одинаковую среднюю годовую температуру; г) одинаковое давление в данный момент времени; д) одинаковую высоту над уровнем моря? 7. Назовите три элемента, принадлежащие множеству: а) чисел, кратных 3 и не делящихся на 5; б) полных десятков; в) квадратов натуральных чисел. 8. Как называется множество артистов, работающих в одном теат|)г? 9. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? 10. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? 1Т7| Как называется множество точек земной поверхности, равноуд41 ленных от обоих полюсов? 1) меридиан; 2) параллель; 3) экватор; 4) геодезическая линия. 13 Пусть Л — множество делителей числа 60. Верна ли запись: а) 7еА; б) 10€А; в) 20^А? Составьте список элементов множества А. Пусть А — множество корней уравнения 7д:+12 = 0. Верна ли запись: а) ЗеА; б) -5€А; в) 10 ^А; г) 4^А? Составьте список элементов множества А. 14. Пусть А — множество всех многочленов от одной переменной х, все коэффициенты которых целые. Верна ли запись: 3 а) X- 15х + беА; б) x^-f 1/2-1 €А; в) — х®-1^А; 4 г) ^х-5еА? 6 1-6. Пусть М — множество всех треугольников. Перечислите геометрические фигуры на рисунке 8, принадлежащие этому множеству. Из скольких элементов состоит множество треугольников на рисунке 8? Рис. 8 89 X xja . / 1*паличают множества конечные и бесконечные. Конечным называ* |’гг)с множество, состоящее из конечного числа элементов. Среди конеч-MI.IX множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Km называют пустым множеством и обозначают символом 0. Примерами пустых множеств являются множество людей выше трех метров |ии га, множество нечетных чисел, делящихся на два, и т, д. Множест-аи, на являющееся конечным, называется бесконечным множеством. Имеется два существенно различных способа задания множества. 11ор"Ь1Й способ состоит в том, что множество задается указанием манх (ТО элементов. В этом случае говорят, что множество задано пе-ррмислением всех своих элементов, или списком элементов. Напри-м('р, перечислением всех своих элементов задается множество кон-IIIIH4ITOB (Австралия, Антарктида, Африка, Евразия, Северная Америка, Южная Америка), множество учеников класса (списком в ютггном журнале), множество слов, использованных А. С. Пушкиным и его произведениях (списком в «Словаре пушкинского языка»). Ясно, что перечислением элементов можно задать лишь конечный множества. И даже для них это не всегда легко сделать: попробуйте перечислить все элементы конечного множества, состоящего из псех людей, живущих на Земле! Второй способ задания множества применим как к конечным, ГМК и к бесконечным множествам. Он состоит в том, что указыва-егеи свойство, которым обладают все элементы рассматриваемого множества и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство нплыпается характеристическим свойством множества. Если множе-ггио А задано характеристическим свойством Р, то пишут: A = {x|P(x)}. Dry запись читают так: множество А состоит из тех и только тех з.'И'ментов, которые обладают свойством Р. Например, для мно-жи(!тна чисел запись А = {д:|-1<х<2} означает, что множество чи-(*('л А состоит из тех и только тех чисел д:, которые удовлетворяют 1н’раиенству -1<д:<2. Для множества людей запись А = {х\а есть мать х) задает множество всех детей женщины с именем а. Для ииожества чисел запись B = {n|n€iV, п заканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7, 9} означает, что множество В состоит из всех не-чгтиых натуральных чисел. И геометрии множество точек, обладающих данным характеристи-•н'ским свойством, часто называют геометрическим местом точек г данным свойством. Например, биссектриса угла есть геометричес-hor место точек плоскости, лежащих внутри этого угла и равноуда-меимых от его сторон. А множество B = {M\FiM^-F^M где Fi, F, фиксированные точки плоскости, есть геометрическое место ■пии'к М плоскости, таких, что сумма расстояний PjM и F2M равна К). 90 Пример. Выясним, принадлежат ли числа 4 и множеству А 4 А = {—|пелг]. L л+ 16 J Решение. Множество А состоит из всех чисел, которые можно представить дробью вида —, где п — любое натуральное число. л -ь 16 ^ Чтобы проверить, содержит ли множество А число —, решим уранж» Л ^ "ие --г:г = -:г- Имеем 2п = п + 1б, п = 1б. л + 16 2 116 1 Так как 16GiV и — = —г^, получаем, что 2 16+16 2 —^77г=*т» получаем 4л = л + 16, или л + 16 4 Далее, решая уравнение 16 гп ^ ^ А л л-—. Так как n = — iN, то и —iA. о о 4 ^ УПРАЖНЕНИЯ 1Н. Приведите по три примера конечных и бесконечных множести. 17. Задайте перечислением элементов множество, заданное харак теристическим свойством: а) А = {х1л:^-8д: +15 = 0}; в) A = {x|x'‘-10л:^ + 9 = 0}; б) A = {xl-11 1 и х + у>2. Сделайте чертеж. 10. 41. Найдите решение системы уравнений 42. 98 iaj Опишите и постройте множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: а) У X-^ 2 и >—х ^ 2 1; б) у>х^ 14.1 Пусть А — множество целых чисел вида 4А + 1, а В — множество чисел вида 4А + 3. Охарактеризуйте множество AuB. Найдите объединение множества четных чисел и множества нечетных чисел. и\] Найдите множество корней уравнения, разложив предварителыи» левую часть на множители: а) х^-Зх-2 = 0; в) (x-l)3 + (2x-b3)3-27jc^-8 = 0; б) 2д;3-д:2-1=0; г) 6х^-13д:3-27л:2 + 40д:-12 = 0. 47Г| Найдите решение системы уравнений: х2_4у2_0. . 3X1/+ 21/2 = 0, I х + 4у = 5; б) х^ + бху + 8у2 = 96 ft. РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ \ Определение. Разностью двух множеств А и Б назы-мают такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В. Разность множеств А и В обозначают А\В, Диаграммы Эйлера — Ценна, соответствующие операции вычитания множеств А и В, по-г'гроены на рисунке 14. На нем заштрихованы множества А\ В. Ес-j '111 А = В, то А\В = 0, В случае, когда В есть подмножество множества А, разность А \ В называют дополнением множества В в множестве А и обозначают Миг, 14 99 (\И*К Например, дополнением множества четных чисел в множестве |и*(»х целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольников с неравными сторонами. А дополненном того же множества квадратов в множестве всех ромбов являет-ги множество ромбов с неравными смежными углами. Разность множеств использовалась нами при решении уравнений г переменной в знаменателе (гл. II, п. 11). Пусть Р(х) и Q{x) — не- которые многочлены. Рассмотрим уравнение Р(х) Q(x) = 0. Если обозна- чить через А множество корней уравнения P{x) = 0j а через В множество корней уравнения Q(x) = 0, то множество корней уравнения равно А\В. Действительно, как известно, дробь равна ну- ЛЮ, если ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. Значит, Р(х) если Хо — корень уравнения =0> то Р(Хо) = 0, а Q(xo)^0, т. е. Q(x) x^i€A, но Xq^B. а это и означает, что Xq^A\B. Верно и обратное. Если Xq€A\B, то Xq^A и Xq^B. Это значит, что P{Xq) = 0 и Q(a:o)^Oi Р{х) т, е. Хо — корень уравнения ^ -0. УПРАЖНЕНИЯ [ 4^ Что представляет собой множество: а) С^; 49 б) Сд0? 50. Пусть А = [1; 4], В = [2; -б]. Найдите множества А\В и В\А, Чему равно множество (А\В)и(В\А)? Пусть А = {х|х = 2т- 1, m — целое число}, В = {х|х = 4п + 1, л — целое число}. Опишите множество А\В. Найдите множество корней уравнения: а) б) X + - 2х^ = 0; в) (х-ь 1)(хч-2)(х + 3) = 0. 52. Зх+1 5x^-5 хЧ4х2 + Зх Найдите дополнение множества правильных треугольников в множестве всех треугольников; всех правильных многоугольников. в. АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ Алгеброй множеств называется часть теории множеств, в которой изучаются свойства операций над множествами. В предыдущих пунктах рассматривались операции пересечения, объединения и вычитания множеств. Операции пересечения и объединения множеств обладают многими свойствами, напоминающи- ** С — начальная буква слова complement — дополнение (фр.). 100 ми свойства умножения и сложения чисел. Перечислим ochobhi^h* свойства операций над множествами. 1) Свойство коммутативности (перестановочности) объединения и пересечения: AuB = BuA, АпВ = ВпА. 2) Свойство ассоциативности (сочетательности) объединения и пересечения: (А U В) и С = А U (В U С), {АПВ)ПС = АП(ВПС). 3) Свойство дистрибутивности (распределительности) пересечения относительно объединения: АП(ВиС)^{АПВ)и(АпС). (1) 4) Выполняются равенства AU0=A, АП0 = 0, т. е. роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Доказывать эти свойства мы не будем, а проиллюстрируем справедливость, например, свойства 3 с помощью диаграмм Эйлера — Венна. На рисунке 15, а заштриховано пересечение множества А с множеством ВиС, а на рисунке 15, б — объединение пересечений А с В и А с С. Эти рисунки делают равенство (1) очевидным. Однако алгебра множеств имеет и своеобразные черты. Ее основное своеобразие состоит в том, что если одно из множеств А и В является подмножеством другого, то формулы для объединения и пересечения множеств упрощаются. Именно: если А<=В, то АиВ = В и АПВ =А. Это сразу становится ясно из рисунка 16. В частности, при В=А АиА=А и АпА=А. Отметим, что для множеств есть второй «распределительный закон», аналога которому нет для чисел. Он выражается формулой б) Рис. 15 101 Ц^^Р^ЖНЕНИЯ 5Н. 54. [55. Найдите объединение множеств остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Пусть А = [1; 6], В = [2; 7], С = [-1; 3], D = [2; 5]. Найдите множество: а) А и В и С и D; в) (А П В) U (С П D); д) ((А U В) П С) UB. б) АПВПСПВ; г) (А и В) П (С и В); т.\ [5Н.| Множество А состоит из учеников данного класса, изучающих английский язык, множество В — из учеников, изучающих немецкий язык, множество С — из учеников, изучающих французский язык. Охарактеризуйте множество: а) (A\jB)nC; б) Аи(ВпС); в) (АиВ)п(ВиС). Докажите свойства 2 и 4 операций объединения и пересечения множеств. Пользуясь правилами алгебры множеств и определениями операций над множествами, упростите выражение ((АиВиС)П(АиВ))\((Аи(В\С))ПА). Докажите: (А П С) U (В П В) d (А U В) П (С U В). 7. ФОРМУЛЫ ВКЛЮЧЕНИЙ И ИСКЛЮЧЕНИЙ Проиллюстрируем теперь применение операций над множествами для решения задач о нахождении числа элементов множеств, задан-иых несколькими условиями. Ниже мы будем рассматривать только конечные множества А и через п{А) обозначать число их элементов. Задача 1. В классе 30 учащихся, 16 из них занимаются музыкой, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой, и теннисом. Есть ли и классе ученики, равнодушные и к музыке, и к теннису, и если ость, то сколько их? Решение. Если сложить число учащихся, интересующихся музыкой, с числом учащихся, занимающихся теннисом, т. е. 16-1-17 = 33, то учащиеся, интересующиеся и музыкой, и теннисом, окажутся учтенными дважды. Поэтому, чтобы определить число учащихся, интересующихся музыкой или теннисом, нужно из суммы 16-ь17 вычесть число учащихся, учтенных дважды, т. е. тех, кто интересуется и музыкой, и теннисом. По условию их 10. Таким образом, число интересующихся теннисом или музыкой равно 16 i 17-10 = 23 ученика. А так как в классе всего 30 учащихся, то 30-23 = 7 учащихся равнодушны и к музыке, и к теннису. 102 Задача 1 решена по следующему алгоритму. Пусть имеется дмм конечных множества А и В, Тогда n(A{J В) = п(А)-\- п(В}- п{АГ) В). (11 В нашем случае А — множество учащихся, интересующихся музыкой, и л(А)=16, В — множество учащихся, интересующихся теннисом, и л (В) = 17, л (Ап В) = 10, и тогда по формуле (1) л(АиВ)=16 + 17-10 2.М. Усложним задачу: пусть к тем, кто интересуется в классе музы кой,— множеству Айк тем, кто увлекается теннисом,— множ(М!т ву В добавляются еще и те, кто интересуется театром,— множестмо С. Сколько учеников увлекается или музыкой, или теннисом, или театром, т. е. чему равно число п(АиВиС)? Если множества А, В и С пересекаются лишь попарно, т. АПВГ\С==0, то подсчет можно вести, как и прежде: сначала ело жить л (А) н-л (В) + л (С), а затем вычесть число тех элементов, кото рые подсчитаны дважды, т. е. вычесть число л(АпВ) +л (А ПГ) » + л(ВпС). Если же множество АГ\ВпСр^0у то его элементы оказ41 лись неучтенными: сначала их трижды учли, когда складывали л (А) + л (В) + л (С), а затем трижды отнимали, вычитая л (АП В) \ -\-п{АГ\С)-\- п(ВпС). Таким образом, число л (А) + л (В) + л (С) - л (А П В) - л (А П С) - л (В П С) меньше истинного результата ровно на число элементов и пересечении множеств АпВпСу которое и следует добавить для получения верного результата л (А и В и С) = л (А) + л (В) + л (С) - л (А П В) - л (А П С) - л (В П С) + -\-п{АпВпС). (2) Аналогичная формула может быть получена для любого числа множеств. В формулах (1) и (2) подсчитывается, сколько раз каждый элемент включается и исключается, поэтому их называ ют формулами включений и исключений*^. Задача 2, На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитурп ентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Все три задачи рент ли 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие и и одной задачи, и если да, то сколько их? Формулы включений и исключений часто называют формулами Грас смана в честь немецкого математика Г. Грассмана (1809—1887). 103 Решение. Пусть U — множество всех абитуриентов, А — множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В — множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии, С — множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии. По условию п((/)=1000, п(А) = 800, /1(В) = 700, /г(С) = 600, д(АпВ) = 600, п(АпС) = - бОО, п(ВпС) = 400, п (А ПВпС) = 300. В множество А и В и С включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. По формуле (2) имеем п(А и В иС) = 800 + 700 +600-600-500-400 + 300 = 900. Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили n(U)- п(А и В и С)= 1000-900 = 100 (абитуриентов). Задача 3. Социологи опросили 45 учащихся девятых классов, среди которых 25 юношей. При этом выяснилось: 30 человек имеют за полугодие оценки ^4» и «5», из них 16 юношей, спортом занимаются 28 учеников, среди них 18 юношей, и 17 учеников, успевающих на ♦ хорошо» и «отлично», 15 юношей учатся на «хорошо» и «отлично» и занимаются спортом. Первый математик класса взглянул на результаты и заявил, что здесь есть ошибки. Как это ему удалось выяснить? Решение. Обозначим через А множество юношей, через В множество учеников, успевающих на «4» и «5», через С множество спортсменов. По условию задачи п(А) = 25, л (В) = 30, п(С) = 28, п(АпВ) = = 16, л(АП С) =18, л(Вп С) =17, л (А пВпС)= 15. Найдем общее число учащихся, которые или являются юношами, или занимаются спортом, или успевают на «4» и «5». По формуле (2) получаем л(АиВиС) = 25 + 30 + 28-16-18-17 + 15 = 47. Этого быть не может, так как обследовалось всего 45 учеников! Значит, в данных сведениях есть ошибки. На рисунке 17 это решение проиллюстрировано с помощью диаграммы Эйлера — Венна. В пересечении множеств А, В и С запишем число 15, так как по условию л(АпВпС) = 15. В множестве {АГ\В)\С запишем 16-15= 1, в множестве {АпС)\В — число 18-15 = 3, в множестве (ВпС)\А — число 17-15 = 2, в множестве А\(ВиС) — число 25-(1 + 15 + 3) = 6, в множестве 30-(1 + 15 + 2) = 12, С\(АиВ) —число Чтобы найти /г (А и В и С), достаточно сложить записанные числа. Получим число 47 >45, что невозможно по условию задачи. В \ (А и С) — число в множестве 28-(3 + 15 + 2) = 8. 104 Упражнения 60 61. 62. 63 59.1 Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, иемгц кий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, англий ский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного ии трех языков? На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с кол басой взяли 48 человек, с сыром — 38 человек, с ветчиной — 42 чо ловека, с сыром и с колбасой — 28 человек, с колбасой и с ветчи ной — 31 человек, а с сыром и с ветчиной — 26 человек. 25 чо ловек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько челои1М< вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли (' п» бой пирожки? Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 — физический, 10 учащихся не посещают ни одного из ;mix кружков. Сколько учеников посещают и математический, и <|)и;т ческий кружки? Сколько учащихся посещают только матемнтичг ский кружок? Каждый ученик класса либо девочка, либо блондин, либо любт математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок и один блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика-блопди на, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчикоп и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Скол», ко учеников в данном классе? В отделе института работают несколько человек. Каждый из mix знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают англпй ский, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают английский и но мецкий, 3 — немецкий и французский, 2 — французский и лиг лийский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работи ет в отделе? Сколько из них знают только английский язык? только французский? Сколько человек знает ровно 1 язык? 8*. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ Мы знаем, что каждая дробь — определяется парой чисел а и о где а — числитель, — знаменатель дроби. Если условиться пару обозначать (а; &), т. е. на первом месте написать числитель, а пи втором знаменатель, то такую пару чисел называют упорядочен мой парой (а; &), При этом числа а могут составлять некоторое м11оже<гг во А, а числа Ь — множество В. Поэтому возникает необходимо('ть i рассмотрении множеств, составленных из пар элементов некоторых мно жеств А и В. В связи с этим рассматривают еще одну операцию ни; множествами — декартово произведение множеств. 105 ||>оделение. Декартовым произведением множеств А В называют множество, состоящее из всех орндоченных пар вида (а; Ь), где а€А, be В. Дгкартово произведение множеств обозначается Ах В. Итак, АхВ = {{а; Ь)\аеА, ЬбВ}. Пример: декартово произведение множеств А = {а; Ь} и В = {1; 2; 3} К1ИТ из пар вида (а; 1), (а; 2), (а; 3), (6; 1), (6; 2), (Ь; 3), т. е. /Г ((а; 1); (а; 2); (а; 3); (ft; 1); (ft; 2); (ft; 3)}. Декартово произведе-I’ множеств A = {ui; ag; ...; а„} и B = {fci; ft2; ft*} записывается в /р' таблицы, состоящей из т строк и k столбцов: т (ai;fti) (ai;ft2) ... (a2;ft,) (a2;ft2> ... («г; ft*) (a„;fti) (a„;ft2) ... (a„; ft*) (1) 1Д1Н), что если множество A состоит из т элементов, а множество В — h элементов, то декартово произведение Ах В состоит из т - k эле-MITOU, т. е. имеет место утверждение: геми А и В — конечные множества, то множество Ах В конечно число его элементов равно произведению п(А) • п(В): п{АхВ) = п(А) • п(В), О'гметим, что если в произведении Ах В хотя бы одно из множеств А, пусто, то и произведение Ах В = 0, Поскольку /г(А) • п(В) = л (В) * п(А), то п(АхВ) = п{ВхА). Однако южества Ах В и ВхА различны, так как пары (а; ft) и (ft; а) отли-ются порядком элементов. Хорошо знакомым вам примером декартова произведения мно-м’ти является таблица умножения, которая является декартовым мшаведением множеств {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}х{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 1']оли А и в — числовые множества, то на координатной плоскости киртово произведение А X В задает некоторое множество точек плоско-II с координатами (а; ft), где а€А, ft€B. Поэтому в паре (а; ft) а обыч-» называют первой координатой, aft — второй координатой. Можно рассматривать декартово произведение не только двух мно-пгтп А и В, а любого конечного числа множеств Aj, А2, ..., А*: A.j. x ,,.xAf,, Элементами такого произведения будут так называе-.10 кортежи (Uii ag; ...; а*), где ai€Ai, а2€Аг, ..., а*€А*. 106 УПРАЖНЕНИЯ 64. 65. 67. 68. Запишите декартовы произведения множеств АхВ и ВхА, если: а) А = {1; 3; 5; 7}, В = {2; 4; 6}; б) А~{а; б; в; г}, В = {8; 9; 10}; в) А = {Абакан; Москва; Калуга}, В = {Юра; Петя; Коля}; г) А= {красная; зеленая; желтая; белая}, В = {ночь; трава; ткань; вода}. Запишите множества А и В, если: а) АХВ = {(3; х); (3; х^); (3; х^)}; б) АхВ = ih 2)- ih <'• (!■ (!• «)■ '!■ 66. в) АхВ-{(а; а); (а; &); (с; а); (с; Ь)}. Запишите множество С дробей где а€А, &€В, если: Ь а) АхВ = {(1; 3); (1; 5); (1; 7); (2; 3); (2; 5); (2; 7)}; б) АхВ = {(х2 + 1; хЗ + 2); (x^ + l; х^-\-4); (дг^ч-!; х^ + З); (х-1; х^ + 2); (х-1; х^ + 4); (х-1; х^ + З); (2; х^-\-2); (2; х^ + 4); (2; х^ + З)}; в) АхВ = {(х" + 4; х2 + 2); (x^-h4; х + 1); (x^-h4; х^ + З); (5; х=" + 2); (5; х + 1); (5; х^ + З); (х® + 5; х^ + 2); (х^ + 5; х+1); (х» + 5; х» + 3)}; г) АхВ = {(с; 2); (с; Л; (с; g); (d; 2); (d; Л; (d; g); (e; 2); (e; Л; (e; ^)}. Запишите декартово произведение Ax A, если: а) A = {1; 2; 3}; в) A = {a; 6; e; г}; б) = l) » А = {Вена; Осло; Париж; Лондон}. В весенние каникулы встречались команды шахматистов 8 А и 8 Б классов. Каждая команда состояла из 4 человек. Состав команды 8 А класса: А = {Петя; Коля; Юра; Таня}, 8 Б класса: В = {Миша; Витя; Боря; Оля}. По условию встречи каждый игрок одной команды встречался с каждым игроком другой команды. Запишите множество АхВ всех встреч. Отметьте на координатной плоскости точки, являющиеся элементами множества АхВ, если: а) А = {2; 3; -4; 7}, В = {-2; 4}; в) А = {-1; 3}, В = {2; 5; -6}; б) А = {-2; 4}, В = {2; 3; -4; 7}; г) А = {2; 5; -6}, В = {-1; 3}. 9*. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА Во многих вопросах важным является установление того или иного порядка во множестве изучаемых объектов. Например, на занятиях по физической культуре множество учащихся класса упорядочивают по росту, учитель в своем журнале упорядочивает это мно- 107 ■ivdcTiio no алфавиту. В таких случаях говорят, что во множестве введет) отношение порядка. В первом случае множество учапдихся упо-1»ндочено с помощью отношения «выше», во втором случае — с помо-щ».и> отношения «следовать за в порядке алфавита». Пусть А — множество учащихся класса, упорядоченное по росту, I , е. для любой пары (а; Ь) элементов множества А можно записать: «а мыит, чем 6». Если взять две пары учащихся (а; Ь) и (Ь; с), связанные деипым отношением, то из выполнения «а выше 6» и «Ь выше с» бу-/е'|' (следовать выполнение «а выше с». В этом случае говорят, что отно-ии'иие удовлетворяет условию транзитивности. Рассматриваемое от-иошение «выше» удовлетворяет также условию асимметричности. Гм есть если «а выше 6», то не может быть «6 выше а». И общем случае имеет место: Определение. Во множестве А определено отношение D строгого порядка^ если каким-либо характеристическим гиойством задано подмножество D декартова произведения /\ - А, удовлетворяющее условию транзитивности и асимметричности. При этом отношение D асимметрично, если и:| (а; b)eD следует, что (&; a)^D, и транзитивно, если из {fi\ b)^D и (&; c)€D следует, что (а; c)eD. Характеристическое свойство, которым определяется отношение X), 4«(vro обозначают некоторым символом. Например, для рассмотренного мтношения «а выше 6» можно ввести знак > и записывать а>Ь. Отношение D строгого порядка во множестве А называют линей’ пым, если для любых а€А й Ь^А либо (а; Ь)€Х>, либо (Ь; a)€D. Например, отношение т<п во множестве натуральных чисел N линейно. }1аряду с отношениями строгого порядка рассматривают отношении нестрогого порядка, являющиеся объединением отношения стро-1'ого порядка и отношения равенства. Примером такого отношения и математике может служить нестрогое неравенство а<Ь. УПРАЖНЕНИЯ 70. Среди следующих отношений укажите отношения строгого порядка: а) отрезок х длиннее отрезка у; б) отрезок X короче отрезка у в 2 раза; в) отрезки X и у имеют равные длины; г) у отрезков X и у есть общий конец. 71. На множестве людей заданы следующие отношения: а) быть старше по возрасту; в) быть выше по росту; б) быть сестрой; г) жить в одном и том же доме. Какие отношения являются отношениями строгого порядка? 108 72. 73, 74. В классе проведена контрольная работа по математике, за кото рую ученики получили оценки «5», «4», «3» и На множесг ве работ введем отношение «иметь оценку выше». Будет это отпо шение отношением строгого или нестрогого порядка? В множестве чисел рассматриваются отношения: больше, больше на 2, равно, непосредственно следует за, делится на. Какие из них являются отношениями строгого порядка? Среди следующих отношений укажите отношения нестрогого порядка: «число X не меньше числа у», «человек х — друг челове ка у», «человек х знаком с человеком у», «натуральное число д* кратно натуральному числу у», «дом х не выше, чем дом у», «окружность X лежит внутри окружности у». 10. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА До сих пор мы рассматривали множества с точки зрения опера ций над ними. Теперь займемся сравнением множеств по количест ву элементов. Для конечных множеств задача их сравнения по количеству элементов решается двумя путями. 1. Чтобы узнать, одинаковое ли число элементов в конечных множествах А и В, достаточно пересчитать их. Если п(А) = п(В), то в множествах А и В поровну элементов; если же л(А)<л(В), то в множестве В элементов больше. Ясно, что для бесконечных множеств такой способ не годится: начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы никогда не окончим этого счета! 2, Для конечных множеств есть и другой способ их сравнения. Например, чтобы узнать, хватит ли стульев в классе для всех учеников, совсем не обязательно их пересчитывать — достаточно попросить учеников сесть на стулья. Если все стулья окажутся занятыми и не будет стоящих учеников, то можно быть уверенным, что стульев и учеников одинаковое число. Если же оказалось, что есть незанятые стулья, а все ученики уже сидят, то ясно, что учеников меньше, чем стульев. Описанный подход может быть использован и для сравнения бесконечных множеств. Пусть нам даны два множества А и В (конечные или бесконечные). Предположим, что существует правило, которое каждому элементу абА ставит в соответствие единственный элемент Ь€В, и при этом выполняются следующие свойства: 1) Различным элементам ai€A, ag^A соответствуют различные элементы bz^By т. е. если то biT^b2* 2) Каждый элемент 6бВ поставлен в соответствие некоторому элементу а€А. В этом случае говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Пример взаимно-однозначного соответствия между множествами А и В приведен на рисунке 18, а. Соответствие между множествами А w В 109 на рисунке 18, б не является взаимно-однозначным, поскольку различным элементам аз и множества А соответствует один элемент /)з€В, а элемент не соответствует никакому элементу множества А. Существование взаимно-однозначного соответствия между конечными множествами равносильно тому, что они содержат одинаковое число элементов. Важнейшая заслуга Г. Кантора состояла в том, что он применил идею взаимно-однозначного соответствия для сравнения бесконечных множеств. Множества А и В называются эквивалентными^ если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. О множествах А и В в этом случае говорят, что они имеют одинаковую мощность. Таким образом, для бесконечных множеств слово «мощность» означает то же, что для конечных множеств «число элементов». Пример 1. Рис. 19 Пусть А — множество точек отрезка [а; Ь], В — множество точек отрезка [с; d]. На рисунке 19 показано, как установить взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В. Для этого через концы отрезков а и с, 6 и d проведем прямые, пересекающиеся в точке S. Каждой точке Q€A поставим в соответствие точку РбВ следующим образом. Соединим точку Q с точкой S отрезком прямой. Эта прямая пересечет отрезок [с; d] в единственной точке Р, которую и поставим в соответствие точке Q. Очевидно, что если Qi^Q2, то Рх^Р2-При этом каждая точка d] со- ответствует некоторой точке Мб [а; &]. 110 Для того чтобы в этом убедиться, достаточно провести прямую NS точка М ее пересечения с отрезком [а; Ь] и будет искомой. Поскольку между множествами А и В установлено взаимно-одпс» значное соответствие, они имеют одинаковую мощность. Этот пример показывает, что для бесконечных множеств nepotvrn ет быть справедливым утверждение, что «часть меньше целого* Оно справедливо для конечных множеств, но для бесконечных мт: жеств оно уже неверно. Еще один пример. Пример 2. Пусть N — множество натуральных чисел, М — множество моч ных чисел. Очевидно, что М — подмножество N. Установим можд ними взаимно-однозначное соответствие, поставив в соответстни элементу n^N элемент 2п€М: 1 2 3 4 5 ... п ... 2 4 6 8 10 ... 2п ... Это означает, что множества N и М имеют одинаковую мощноги. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел, на:и. вают счетными множествами. Более подробно такие множества mi рассмотрим в следующей главе. УПРАЖНЕНИЯ 75, Пусть А — множество всех окружностей на плоскости, В — мт жество всех квадратов на плоскости со сторонами, параллелып. ми осям координат. Каждому квадрату ставится в соответстип вписанная в него окружность. Является ли это соответствие и:и имно-однозначным? Пусть А — множество всех окружностей на плоскости, В — мм( жество всех правильных треугольников на этой плоскости. Ka>i дому треугольнику ставится в соответствие вписанная в шч окружность. Является ли это соответствие взаимно-однозначным Пусть А — множество всех окружностей на плоскости и В — мт жество всех точек этой плоскости. Каждой окружности ставите в соответствие ее центр. Является ли это соответствие взаимно-о; позначным? Каждой прямой, не параллельной оси ординат, ставится в cootimv ствие уравнение y = kx-\-b. Будет ли это соответствие взаимном); позначным? Устанавливает ли функция у = 4х-3 взаимно-однозначное соотжг ствие между отрезками [2; 4] и [5; 13]? Выберите прямую y^kx-hb и два отрезка, между которыми он __ устанавливает взаимно-однозначное соответствие. 81.1 Устанавливает ли функция у — х^ взаимно-однозначное соотио' 76. 77. 78. [т 80. ствие между отрезками: а) [-2; 4] и [0; 16]; б) [2; 4] и [4; 16]? 111 г л а в а JY ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА § 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА В 5—6 классах мы изучали свойства натуральных, целых и рациональных чисел и арифметические операции над этими числами. В основе изучения целых и рациональных чисел лежали свойства натуральных чисел и операций над ними. В самом деле, положительное рациональное число задается парой натуральных чисел (числителем и знаменателем дроби, изображающей это число) и все операции над такими числами сводятся к операциям над их числителями и знаменателями. Отрицательные числа получаются путем приписывания знака «минус» к положительному числу. Поэтому и основе всей арифметики лежат натуральные числа. По сути дела, вся теория натуральных чисел сводится к одному-единственному отношению — «следовать за». Например, 4 следует за числом 3, 17 — за числом 16 и т. д. При этом есть число 1, которое ни за каким другим натуральным числом не следует. Существуют четыре свойства отношения следования, из которых можно вывести все остальные свойства натуральных чисел и операций над ни- 112 ми. Эти свойства сформулировал итальянский математик Джулсмт Пеано (1858—1932) в 1891 г.*^ Перечислим их: • Единица — натуральное число, которое не следует ни за как и натуральным числом. • За каждым натуральным числом следует одно и только оди число. • Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одни и только одним натуральным числом. • Подмножество натуральных чисел, содержащее число 1, а им« сте с каждым числом и следующее за ним число, содержит все m туральные числа. Мы не будем показывать, как с помощью отношения следоити1 вводятся арифметические операции сложения, вычитания, умножь ния и деления для натуральных чисел и как доказываются cHoii<’' ва этих операций. Перечислим лишь некоторые основные утве[)жд< ния, с которыми мы уже познакомились ранее. а) Для натуральных чисел существуют операции сложения п y^ ножения, причем сумма и произведение натуральных чисел являю-ся натуральными числами. б) Сложение и умножение натуральных чисел обладают свой<*' вами перестановочности и сочетательности: а + Ь = Ь + а, аЬ = Ьа; (ан-Ь) + с = ан-(Ь + с), (аЬ)с = а(Ьс), в) Умножение натуральных чисел обладает свойством распрсд^ лительности относительно сложения: а (Ь ч-с) = аЬ + ас, г) Имеет место равенство 1 • а = а. Далее к натуральным числам присоединяют число О, для кот< рого выполняются равенства а-ьО = а и а'0 = 0, После чего опр<7и ляют отношение «а меньше Ь», означающее, что в последователi*m сти о, 1, 2, 3, ..., Пу ... число а встречается раньше, чем Ь, При этом а<Ь в том и только в том случае, когда найдется т| кое натуральное число с, что а + с = Ь. Число с называют раат стью чисел Ь и а и обозначают Ъ — а. Имеют место равенства а-Ь-с = а-(Ь + с), а-& + с = а-(Ь-с), {а-Ь)с^ас-Ьс и т, д,, известные из курса математики 6 класса. Мы опускаем п доказательство. Отношение а<Ъ обладает следующими свойствами; а) для любых чисел а и 6 выполняется одно и только одно из о’ ношений а = Ьу &<а, а<Ъ\ б) если а<Ь и 6<с, то а<с; В теории натуральных чисел эти свойства называют аксиомами Пени 113 н) в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число; г) если а <6, то для любого натурального числа с имеем а \ с<Ь + с и аскЬс; д) если с<а<Ь, то а-с<Ь-с. Из сформулированных выше свойств натуральных чисел можно иывести ряд утверждений, из которых отметим следующие: 1) Равенство аЬ = 0 выполняется в том и только в том случае, когда один из множителей равен нулю. В самом деле, если а = 0 или Ь = 0, то а& = 0, как отмечалось выше. Обратно, если ач^О или то а и Ь — натуральные числа, а потому их произведение — натуральное число, а не нуль. 2) Если и ak = bkj то а = Ь. В самом деле, имеем 0 — ak-bk — (a — b)k. Так как то из это- го равенства следует, что а-& = 0, т. е. а = Ь. В дальнейшем множество целых неотрицательных чисел будем обозначать NqI Nq — NU{0}, 2. ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Мы изучали его в 6 классе, но лишь разъясняли свойства делимости на примерах, а не доказывали их. Сейчас проведем доказательство этих свойств. Определение. Число делится на число беАо, ес- ли есть такое число сбА'о, что а^Ъс. В этом случае пишут а\Ъ. Так как для любого Ь имеем О • Ь = 0, то для любого b^NQ справедливо, что 0:6. Если а\Ь и Ьт^О, то существует лишь одно число сеАо, такое, что а = Ьс. В самом деле, если а = 6с, и а = 6^2, причем Г|5^С2, то 0 = 6ci-6c2 = 6(Ci-Сг), чего не может быть, поскольку 6 5^0 и Cl “С2?^0. Единственное число с, такое, что а = 6с, называют частным от деления а на Ь{Ьч^0) и обозначают а: 6 или о Из равенств а = а-1иа = 1*а следует, что для любого a€iVo имеем а\а и ail, причем а:а = 1 при и а:1 = а. Запись 0:0 не имеет числового значения, так как для всех b^N^ справедливо равенство 0 = 6*0 и потому 0:0 не определено однозначно. Не имеет числового значения запись а:0 при а;*^=0, так как и этом случае нет ни одного числа с€Ао, такого, что а = 0 • с. Кратко говорят: «Делить на нуль нельзя». Легко доказываются следующие утверждения о делимости чисел из Nq. 114 1) Если alb и а>0, то а>Ь; 2) если а\Ь и Ыа, то а = Ь; 3) если alb и blc, то ale; 4) если ale и blc, то для любых чисел т и п из N^^ им* ем (та-\-пЬ)1 с. Если, кроме того, та>пЬ, то {та — пЬ)1с\ 5) если alb и k^O, то aklbk; 6) если aklbk и k^O, то alb; 7) если albc, то {а\Ъ)1с, а если (ахЬ)1с, то albc. Докажем, например, свойство 3. Если а! 6 и 6* с, то найдутся п кие числа k и I из Nq, что a = bh и b = cL Но тогда имсм*1 a — (cl)k — c{lk). Поскольку то а-с. Чтобы доказать свойство 6, заметим, что в силу aklbk найд<»т<' такое число c^Nq, что ak = {bk)c = (bc)k. Так как k^O, то равеж-тп ak = (bc)k может выполняться лишь тогда, когда а = Ьс. Значит, а f Предоставляем читателю доказать остальные утверждения о д* лимости. При доказательстве различных утверждений о натурал1.м м числах часто используют следующие утверждения о подмножестнн множества Nq целых неотрицательных чисел: а) В любом непустом множестве чисел из Nq есть наименыж» число, б) В любом непустом конечном множестве чисел из Nq есть mm большее число. Пример 1. Докажем, что для любых двух натуральных чисел а и ft, таких что ЬКа, найдется такое натуральное число д, что Ьд<а<Ь(д 1). Решение. Рассмотрим множество А = {cIc^JV, 6с<а}. Это множа ство непусто, так как ему принадлежит число 1. В самом дела 6'1 = Ь<а. Далее, А конечно, так как все числа из А не больше, чем а Действительно, если о а, то ЬоаЬ>а, и потому ciA. По утвержда нию б) из сказанного выше следует, что в А есть наибольшее число (/ Это значит, что Ьд<а, и &(д + 1)>а. Докажем следующую теорему: Теорема. Если а и Ь — натуральные числа, такие, что а>Ь и Ь>1, то найдутся такие числа g и г из iVo» что a==bg + r, причем 0<г<Ь. Доказательство. Как мы видели в примере 1, из 6<а следу ет, что существует такое число q^N, что Ьд<а<Ь(дн-1). 06o3h«4hn разность а-Ьд через г. Тогда имеем а = 6д + г, причем ОКг<Ь, 'Гао рема доказана. Покажем, что числа д и г, для которых a — bq-hr и 0<г* Ь, од позначно определяются числами а и 6, В самом деле, iiyrri a = bqi-\~ri = bq2-^r2i причем 00. Из условия 00 среди данных чисел имеется только одно число, делящееся на ft. УПРАЖНЕНИЯ I. г. [».] ь..) и.] [«■I I ’■] н. г«: 10. Докажите, что натуральное число вида а^ + 1 делится на а+1. Докажите, что натуральное число вида л^ + 5л + б делится на л+ 2. Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37. Докажите, что четырехзначное число, у которого цифра тысяч равна цифре сотен, а цифра десятков — цифре единиц, делится на 11. В шестизначном числе совпадают цифры в классах тысяч и единиц (например, 245 245). Докажите, что это число делится на 11, на 13 и на 7. Запишите три раза двузначное число (например, 626 262). Докажите, что получившееся шестизначное число делится на 7, на 13 и на 37. Докажите, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на 6, а одно слагаемое не делится на 6, то и сумма не делится на 6. Известно, что сумма двух чисел делится на 6. Следует ли отсюда, что каждое слагаемое делится на 6? Известно, что произведение двух чисел делится на 6, Следует ли отсюда, что каждый множитель делится на 6? Известно, что разность чисел а и 6 делится на т, равно как и разность чисел бис. Следует ли отсюда, что разность чисел а и с делится на т? 116 11. Докажите, что если разность чисел а и Ь делится на т и ш / О, то разность чисел ak и bk делится на mk, [12,1 Известно, что числа а и Ь делятся на т, а разность а-Ь этих чи сел делится на с. Следует ли отсюда, что число —---------- дели1Г)1 о т т на с? 13. Заполните следующую таблицу, если а — делимое, Ь — делитсяi,, q — неполное частное, г —- остаток при делении. а 1729 5611 85 ь 381 18 я 411 701 г 7 3 6 [ 14.1 Докажите, что квадрат любого числа либо делится на 9, либо дм ет при делении на 3 остаток 1. 1^15.1 Докажите, что число вида где n€N^ делится на 6. 116.1 Докажите, что число вида л^-З/г^-4/г, где п — натуральное чи< ____ ло, делится на 6. (17.1 Докажите, что при любых а и Ь, где а>Ь, число аЬ{а^-Ь'^) делит ____ ся на 3. 118.1 Докажите, что число п^-п при всех натуральных значениях п дг лится на 5. Докажите, что число вида аЬ(а^-где а и Ь — натуральные чш' ла и а >6, делится на 5. 120.1 Докажите, что число вида п'^-п при всех натуральных значениях п делится на 7. |21* j Всегда ли число вида п^-п делится ца 4? Всегда ли число ипда д®-п делится на 6? Из результатов этой задачи и задач 18 и 2i) сделайте предположение, когда число вида пР-п при всех п делит ся на р 19. 22. 23. Докажите, что если а — нечетное число, то а^-1 делится на 8. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9. 3. НАИБОЛЬШИЙ ОБШ.ИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ДВУХ ЧИСЕЛ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Если натуральное число а делится на натуральное число f>, то Ь называют делителем числа а, а число а назынаюг кратным числа Ь. 117 lice свойства делимости чисел (см. п, 2) можно выразить либо с помощью слова «делитель», либо с помощью слова «кратное». На-м|тмор, свойство 3 п. 2 можно выразить так: «Если Ь — делитель /I, а с — делитель 6, то с — делитель а» — либо так: «Если число а пратно числу Ь, а число Ъ кратно числу с, то а кратно с». Пусть а и Ь — натуральные числа. Число с называют общим делителем для а и 6, если оно является делителем и для а, и для Ь, Множество общих делителей чисел а и Ь конечно, так как ни один из зтих делителей не может быть больше, чем а. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел а и Ь и для его обозначения используют следующие записи: НОД (а; 6), D{a\ Ь). li дальнейшем для обозначения наибольшего общего делителя чисел а и будем использовать D(a; 6). Например, делители числа 48 составляют множество чисел {1, 2, 3, 4, б, 8, 12, 16, 24, 48}, а делители числа 60 — множество чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Пересечение этих множеств определяет множество чисел {1, 2, 3, 4, 6, 12}, являющихся общими делителями чисел 48 и 60. Наибольшим из этих общих делителей является число 12, значит, £)(48; б0)=12. Общим кратным натуральных чисел а и Ь называется натуральное число, которое кратно и а, и &. Например, число 120 является общим кратным для чисел 20 и 15, так как оно делится и на 20, и на 15, т. е. кратно и 20, и 15. Среди общих кратных натуральных чисел а и ft есть наименьшее. Его называют наименьшим об-1ЦИМ кратным этих чисел и обозначают НОК (а; ft) или К (а; ft). Предоставляем читателю составить списки кратных чисел 48 и 60 и доказать, что К (48; 60) = 240. Аналогично определяются наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. При этом справедливы равенства D(a; D(b; c)) = D(D(a; ft); с) (1) К(а; K(b; с)) = К(К(а; ft); с), (2) доказать которые мы предлагаем читателю. Составление списков делителей чисел, нахождение одинаковых чисел в этих списках и выбор наибольшего из них весьма трудоемкая процедура. Существует иной способ отыскания наибольшего общего делителя двух чисел, известный под названием алгоритм Ев-клида'^К Он основан на следующих утверждениях: а) Если а и Ь — натуральные числа, причем а-ft, то D(a; Ь) = Ь, б) Если а и ft — натуральные числа, такие, что a>ft, то D(a; ft) = eD(a —ft; ft). ** Евклид — древнегреческий математик, о жизни которого нет досто-нерных данных. Считается, что он жил в III в. в г. Александрии. Ему принадлежит выдающееся научное произведение «Начала», в котором излагаются основы всей древнегреческой математики. 118 Для доказательства утверждения а) заметим, что если а ■ Ь, то h является общим делителем а и Ь. При этом число Ь является iimi большим из общих делителей а и Ь, поскольку все делители числи Л не превосходят Ь. Утверждение же б) следует из того, что если т общий делитель для а и &, то и число а-Ь делится на т. Обритш», если т — общий делитель для Ь и а-Ь, то и число а делится пп гп, поскольку а = Ь + (а-Ь) (см. свойства делимости в п. 2). Значит, об щие делители как у чисел а и Ь, так и у чисел а-Ь и Ь одинакотл, а тогда совпадают и наибольшие общие делители этих чисел. Пользуясь равенством D(a; b) = D(a — b; b), можно последователык уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до l a кой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньше»' и< этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чиго.1 а и Ь. Вместо того чтобы вычитать Ь до тех пор, пока разность не стши'1 меньше, чем Ь, можно воспользоваться операцией деления с остатком В самом деле, если а = Ьд + г, где 0<г<Ь, то r=a-bq и потому полу чается из а с помощью последовательного вычитания числа Ь. самым мы приходим к следующему алгоритму отыскания D{a; h) Пусть а и Ь — натуральные числа, причем а>Ь. Если а делится ш Ь, то Ь и является искомым D(a; Ь). В противном случае надо разд<* лить а на Ь с остатком г^, после этого разделить с остатком Ь на г и продолжить этот процесс, пока деление не будет выполнено без or татка. Если г„ — последний отличный от нуля остаток, то D(a; Ь) г„ Пример. Найдем D(7975; 2585). Решение. Выполняя деление, получаем 7975 7755 2585 2585 2420 220 11 220 165 L65 1 165 55 165 3 о Так как последний отличный от нуля остаток равен 55 то Z)(7975; 2585) = 55. Докажем несколько свойств наибольшего общего делителя и пап меньшего общего кратного, которые будут применяться в дальнейпк*м I 1) Любое общее кратное натуральных чисел а нЬ делится на К (а; /») Докажем утверждение методом от противного. Предположим, ч'п существует общее кратное s чисел а и Ь, не делящееся на k = K{a\ h) 119 Тпгда при делении s на fe получается не равный нулю остаток г, т. е. H-ki/ hr, где 0(llaH-2b; 18a-b56)-19. Докажите, что если D(a; b)=l, то D{ab; a + b) = l. Докажите, что если П(а; b)=l, то D(a~\-b\ a^-\~ab-\-b^)=l. Докажите, что если D(n; 6)=1, то л^-1 делится на 24. Докажите, что если П(а; Ь)=1, то D{a^; Ь^) = 1. Докажите, что если D(a; Ь)=1, а т и п — натуральные числа, тп D(a^”; Ь") = 1. Какие из следующих высказываний истинны: а) если а: 7 и а-5, то а*35; б) если а: 10 и а! 15, то а-150; н) pv. ли а не делится на 3 или не делится на 5, то оно не делится на 15; г) если число не делится на 7, то оно не делится на 175? Объясните, почему утверждение г) верно для числа 14. Докажите, что если аЬ делится на с и Ь не делится на г, го D{a\ с)^ 1. Докажите, что если из 2п идущих подряд натуральных чисел мм брать любым образом a + l число, то среди выбранных чисел май дутся по крайней мере два взаимно простых числа. 123 Чтобы узнать, делится ли число а на число Ь, не всегда нужно мыиолнять письменно деление а на Ь. В некоторых случаях это мож-1м» у:1Е1ать по десятичной записи чисел. Мапись а = 6018 означает, что число а имеет вид 6 • 1000 + 0 • 100+1 ■ 10 + 8 unit, иначе, вид 6 • 10^ + 0 • 102+1 • 10 + 8 Вообще говоря, сумму а„ ■ 10" + a„_i • 10"“^ + .,. + ai • 10 + ао будем .тписывать так: (М4'рта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел dfi-iy ^0? ^ десятичную запись числа а). Если существует такое натуральное число й, что 10* делится на h, то на Ь делятся все числа Ю'*, где n>k. Поэтому число а имеет при делении на Ь тот же остаток, что и число * 10* ^ + ...+АЕо* Отсюда следует, что если 10* делится на Ь, то число а = а„...ао де-’шгпся на Ь в том и только в том случае, когда на Ъ делится число 'к I а. Выведем из этого утверждения признаки делимости на числа 2, 4, 8, 5, 25, 125. Так как число 10 делится на 2, имеем: число а = а„...ао делится на 2 в том и только в том случае, когда на 2 делится число а^ (т. е. цифра в разряде единиц). Это значит, что число а делится на 2 в том и только в том случае, когда его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, Аналогично из того, что 10 делится на 5, вытекает следующий признак делимости на 5: число а делится на 5 в том и только в том случае, когда его де-(оп’ичная запись оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Далее, число 100 делится на 4 и на 25. Отсюда вытекают следующие признаки делимости: число а делится на 4, если на 4 делится двузначное число, со-("гавленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а. Число а делится на 25, если на 25 делится число, составленное из цифр разрядов десятков и единиц числа а (т. е. если его десятичная лапись оканчивается либо на 00, либо на 25, либо на 50, либо на 75). Например, 3564:4, 6075:25 и т. д. Предоставляем читателю сформулировать признаки делимости на К и на 125. Докажем теперь следующий признак делимости, принадлежащий (французскому ученому Блезу Паскалю (1623—1662), 124 Если остаток от деления 10* на Ь равен где fe = 0, 1, л, то ov таток от деления числа a = a„a^^_i,..aiao на Ь совпадает с остатком от деления на Ь числа + + ао (в частности, если а„г„ +...+ airi-ьао делится на Ь, то и число а делится на Ь), В самом деле, так как остаток от деления числа 10* на Ь paiwii г*, то 10* можно записать в виде 10* = Ь9д, + г*. Поэтому имеем а = а„ • 10" + а„_1 • 10"*^ + ...4-ai • 10 + ао = = a„(bq„ + r„) + a„.^{bq„.i + r„.i) + ... + ai(bqi + ri) + ao = = Ь (a„q„ + а„_ 1 +... + Oig,) + (a„r„ + а„. ir„_ i + ... + a,ri + a„). Слагаемое b(a„g„ +...+ ai^i) делится на fc. Поэтому числа a и a„r„-h...-fttiTi + ao имеют одинаковые остатки при делении на Ь, Применим доказанное утверждение к выводу признаков делимо сти на 3 и на 9. Для этого заметим, что остатки при делении \и\ .4 чисел 10, 100, 1000 и т, д, равны 1. Поэтому по признаку Паскали получаем: Число a = a„a„_i...aiao делится на 3 в том и только в том случае, когда на 3 делится сумма a„4-a„_i + ...-l-ai + ao цифр десятичной зам и си этого числа. Аналогично доказывается признак делимости на 9: Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо \\ достаточно, чтобы на 9 делилась сумма цифр десятичной записи это го числа. Например, число 7128 делится на 9, так как на 9 делится чиг ло 7 + 1-1-2 + 8=18, Число 5817 делится на 3, так как 5 + 8 + 1 + 7 = 21, а число 21 делится на 3. Но на 9 число 5817 не да лится, так как 21 не делится на 9. Выведем еще признак делимости на 11. Для этого заметим, что по формуле (5) п. 14 § 2 главы II (формулы сокращенного умножа ния) имеем 102Л + 1 +1^(10+1)(102п_102п-1 + ,,. + 1)^ И поэтому число 10^""^^ + ! делится на 11. Но тогда делится на 11 и число 10^"'^“10, а потому число 10^"^^ дает при делении на 11 оа таток 10. Далее число 10^”-1 можно записать в виде 102«-l=(102)"-l=(10=^-l)(102(« l)+102("-2) + ... + l). Так как 10^-1=99, то 10^"-1 делится на 11. Но 10^" = (10^"-1)+ t, и потому 10^” дает при делении на 11 остаток 1. Применяя признак Паскаля, получаем следующий вывод: Числа и = СЕзп + 1 ’ 10^” ^ ^ + Ct2n ’ 10^” + ... + ilj ' 10 + Uq (10а2„ + 1 H-flt2„) + (10a2„_i + а2„-2) + ••• + (10^1 + ^о) имеют один и тот же остаток при делении на 11. (I) 125 Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: Для того чтобы узнать, делится ли на 11 натуральное число, надо (имбить десятичную запись этого числа справа налево на группы по Д1И* цифры (самая левая группа может содержать одну цифру) и сложит. все получившиеся числа. Число делится на 11 в том и только и гом случае, когда на 11 делится получившаяся сумма. Пример 1. Узнаем, делится ли на 11 число 237 849 568. Решение. Разбиваем десятичную запись на группы по две цифры 11 складываем получившиеся числа: 684-95 + 84 + 37 + 2 = 286. К полу-•тишемуся числу 286 применяем тот же прием: 86 + 2 = 88. Так как НИ делится на 11, то и 286 делится на 11, а тогда и заданное число ленится на 11. Существует более простой признак делимости на 11. Чтобы вывести его, заметим, что 10=11-1, а потому сумму (1) можно записать в виде + Х + ••• +fll) + (“^2n+l+^3^2n) + (“^2n-l + ^2n-2) + + ... + (~^^1 + ^о)' О'гсюда видно, что сумма (1) делится на 11 в том и только в том гмучае, когда делится на 11 выражение ~^2п+1 + ^2л “^2л-1 + ^2л-2“ ••• “ ^^1 +^q. ;Ьтчит, имеет место следующий признак делимости на 11: Чтобы узнать, делится ли на 11 натуральное число а, надо сло-|сить отдельно цифры его десятичной записи, стоящие на четных ме-ri'Mx, и цифры, стоящие на нечетных местах, и из большей суммы вы-ме<ггь меньшую. Если полученная разность делится на 11, то и число п делится на 11. II ример 2. Чтобы узнать, делится ли на 11 число 237849 568, составляем сумму 2 + 7 + 4 + 5 + 8 = 26 и 3 + 8 + 9 + 6 = 26. Так как 26-26 = 0 делится на I I, то и данное число делится на 11. Чтобы получить признаки делимости на 7 и на 13, заметим, что 7 11- 13=1001. Но 1000 = 1001-1, 1000000 = 1001 • 999+1, I 000000000 = 1001 • 999 001-1 и т. д. Применяя рассуждения, анало-1ичные проведенным при выводе признака делимости Паскаля, полу-чпем: Чтобы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», п V. четными номерами со знаком «плюс». Если значение получившегося выражения делится на 7 (соответственно на 13), то и заданное число делится на 7 (соответственно на 13). 126 I Пример 3. Проверим, что число 459348965866 делится на 7, но не делится на 13. Решение. Образуем выражение 459-348 + 965-866. Его значение равно 210. Так как 210 делится на 7, но не делится па 13, то и заданное число делится на 7, но не делится на 13. УПРАЖНЕНИЯ |56.1 Сформулируйте и докажите признаки делимости: а) на 50; б) на 8; в) на 125. 57. Среди следующих чисел найдите делящиеся на 11: 246 915 658, 371846 205, 865 914 324 015. 58.. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось число, делящееся: а) на 5: 483*, 34*0, 5*31; б) на 9: 179*, 54*7, 5*24; в) на 3: 24*, 1*6, *22; г) на 8: 257*4, 3*22, 435*5; д) на 11: 471*6, 8*31, 121*. Среди следующих чисел найдите делящееся и на 7, и на 13: 659 865 024, 251311805. 59. 60. Пользуясь равенством 73* 137=10001, докажите, что число abcdabcd делится и на 73, и на 137. § 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 6. основной ЗАКОН АРИФМЕТИКИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Напомним определения простого и составного чисел. Определение. Натуральное число р называется про стым^ если оно имеет два и только два делителя: единицу и само это число. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Из этих определений видно, что любое натуральное число, кроме 1, является либо простым, либо составным. Число 1 имеет только один делитель, а именно 1, и потому не относится ни к простым, ни к составным числам. • 127 Огиовным законом арифметики натуральных чисел является следующее утверждение: 'Гео рем а. Любое натуральное число, отличное от 1, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Два разложения натурального числа на простые множители могут отличаться друг от друга лишь порядком множителей it) Мы разобьем доказательство этой теоремы на ряд этапов. 1) Если простое число р делится на простое число д, то эти числа равны (р = д). В самом деле, так как р — простое число, то оно имеет лишь два делителя, а именно 1 и р. Но р:?, значит, д равно либо 1, либо р. Поскольку д^1у то д=р. 2) Если р — простое число, то любое натуральное число либо делится на р, либо взаимно просто с р. В самом деле, пусть числа р и л не являются взаимно простыми. Тогда у них отличный от 1 общий делитель d. Но у простого числа р лишь два делителя: 1 и р. Поскольку то d=p, и потому п делится на р. 3) Произведение натуральных чисел а и Ъ делится на простое число р в том и только в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел делится на р. В самом деле, если а или Ъ делится на р, то и аЬ делится на р. Обратно, пусть аЬ делится на р. Если при этом а не делится на р, то по утверждению 2) а и р взаимно просты. Но тогда по утверждению 3) п. 4 из делимости аЬ на р следует, что Ь делится на р. Данное утверждение верно для произведения нескольких множителей — если такое произведение делится на простое число р, то хотя бы один из множителей делится на р. Проведите доказательство этого утверждения сами. 4) Любое натуральное число, отличное от 1, является либо простым, либо произведением простых чисел. Предположим, что данное утверждение неверно. Тогда существовали бы натуральные числа, отличные от 1, не являющиеся ни простыми, ни произведениями простых чисел. Назовем такие числа «плохими». В совокупности «плохих» чисел есть наименьшее число, которое мы обозначим через т. Так как это число не является про-(‘тым, оно имеет отличный от 1 и от m делитель k и потому может быть записано в виде m = kg. Но k и д — делители числа т, отлич-1пле от т, и потому они меньше, чем т. Поскольку т — наименьшее из «плохих» чисел, то ни к, ни д «плохими» быть не могут, а потому являются либо простыми числами, либо произведениями про- Эта теорема отсутствует в знаменитых «Началах» Евклида. Впервые ее точная формулировка и доказательство приведены в книге «Арифметические исследования» великого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777—1855), изданной в 1801 г. 128 стых чисел. В обоих случаях число m = kq является произведеииом простых чисел, а потому не может быть «плохим» вопреки предпо ложению. Мы пришли к противоречию с предположением о cymcMvr вовании «плохих» чисел. Значит, таких чисел не существует, а по тому все натуральные числа, отличные от 1, являются либо просты ми числами, либо произведениями простых чисел, 5) Если натуральное число т делится на простое число /л то в любом разложении этого числа на простые множители хо тя бы один из множителей равен р, В самом деле, пусть пг — pi...pf, — разложение т на простые мпо жители. Так как т\р, то по утверждению 3) хотя бы один из этих множителей делится на р. Пусть, например, Рх -р. Тогда по утверж дению 1) выполняется равенство Pi=p- Утверждение доказано. 6) Любые два разложения составного числа на простые множа тели отличаются друг от друга лишь порядком множителей, В самом деле, назовем число «плохим», если для него это утверж дение неверно. Если бы существовало хотя бы одно такое число, то множество «плохих» чисел было бы не пусто, и потому в нем пп шлось бы наименьшее число. Обозначим его буквой т. По предпо ложению это число имеет два разложения на простые множители: которые отличаются друг от друга не только порядком слагаемых (быть может, одно из этих разложений имеет множители, не вход>1 щие в другое разложение, а может быть, один простой множит(\л1, входит в одно из разложений два раза, а в другое пять раз и т. д.). Но число т делится на Pi, а потому по утверждению 5) в разложг ние rn = qi ' этого числа на простые множители хотя бы один рмэ входит множитель pi. Пусть, например, 9i=Pi. Тогда имеем ^ ~р1 ■ Р2 ‘ Рк —pl ’ ?2 8> и потому т:рх=Р2' ••• * Рлг = 92 ‘ ••• * Но т:рх<т и, следовательпо, не может быть «плохим» числом (напомним, что т — наименьшем» из «плохих» чисел). Значит, разложения рг * ... ’ Р* и gg * ••• * Я» го числа на простые множители могут отличаться друг от дру гп лишь порядком множителей. Но тогда и разложения числа т ^=Pi 'Р2 • ••• и т=рх • 92 * ••• * 4s отличаются друг от друга лишь порядком множителей, а это протп воречит предположению. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно и «плохих» чисел не сущестиуе'т. Иными словами, для любого натурального числа, большего 1, рва ложения на простые множители могут отличаться друг от Д|>у1м лишь порядком множителей. Итак, из простых чисел с помощью умножения можно пост|)()И'11. все натуральные числа. Этим и объясняется название простых чп сел, являющихся, по выражению древних греков, первоначальными числами. Этим же объясняется то большое внимание, которое уде S Алгебра. 8 кл. 129 'ШЛИ математики всех времен изучению простых чисел. Оказалось, ч то простые числа обладают рядом загадочных свойств. Например, до сих пор неизвестен механизм расположения про-ГТ1ЛХ чисел в ряду натуральных чисел. Есть «близко» стоящие про-гп.и» числа, отличающиеся друг от друга на 2. Например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19. Такие числа называют простыми числами-бли.{иецами. И в то же время существуют сколь угодно большие промежутки ряда натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа. Например, множество {1000001!+2, 10000011+3, 10000011+4, ..., 10000011+999999, 10000011+1000000, 10000011+ I 1000001}*^ содержащее миллион последовательных натуральных Ч1и^ел, не содержит ни одного простого числа, так как первое число /р'лится на 2, второе — на 3, третье — на 4 и т. д. Однако в п. 8 мы докажем, что простых чисел бесконечно много. УПРАЖНЕНИЯ HL Составьте таблицу простых чисел, меньших 200. 02. Какое четное число простое? 03. Найдите простые числа, лежащие между: а) 2680 и 2710; в) 40 322 и 40 330; б) 2300 и 2350; г) 3 628 802 и 3 628 810. 04^ Какие из следующих высказываний истинны: а) если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы один из множителей делится на 5; б) если произведение двух натуральных чисел делится на 36, то хотя бы один из множителей делится на 36; в) если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то их произведение не делится на 11; г) если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 36, то их произведение не делится на 36; д) если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один множитель делится на 3 и хотя бы один из множителей четный; е) если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то среди этих чисел есть четное число, делящееся на 3? Докажите, что наименьшее натуральное число, взаимно простое с числами 2, 3, 4, р, где р — простое число, является простым. [ee.j Докажите, что если п — составное число, то 2"-1 тоже является составным числом. §7. Какие остатки может иметь при делении на 10 простое число, большее, чем 10? ** л! = 1 • 2 • 3 *... ■ п. Символ п1 читается «эн факториал». 130 68. вэУ Ж 1^1 ш 73. 74. 75. 76, 77* 78. 79, 80. 81 82. Докажите, что если а>1, то а'^+4 — составное число. Докажите, что если сумма и произведение двух чисел делятся на простое число р, то каждое из этих чисел делится на р. Докажите, что для любого натурального п найдется натуральное х, такое, что число пх-\-1 — составное. Известно, что числа р, р + 4ир4-14 — простые. Чему равно р? Известно, что числа р, р + 10ир + 14 — простые. Чему равно р? Известно, что числа р и 8р^+1 — простые. Чему равно р? Известно, что числа р, 2р+1, 4р + 1 — простые. Чему равно р? Найдите простое число р, если известно, что 13р+1 является точным кубом. Докажите, что если 1 • 2 • 3 • ... * (m-l)-l-l делится на т, то m — простое число. Докажите, что если р — простое число, то многочлен нельзя представить в виде произведения многочленов меньших степеней с целыми неотрицательными коэффициентами. Запишите разложение числа 1000 на простые множители. Сколько делителей имеет это число? Сколько раз входит число 2 в разложение на простые множители произведения всех натуральных чисел от 1 до 10? Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 10? Найдите числа а и &, если: а) D{a\ Ь) = 7, аЬ = 1470; б) а;Ь = 9:7, К{а\ Ь) = 693. Сформулируйте и докажите признаки делимости: а) на 6; б) на 12; в) на 18; г) на 50; д) на 33. 7. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ Чтобы избежать неоднозначности в записи разложения натурального числа п на простые множители, условились записывать эти множители в порядке возрастания. Например, разложение числа 180 на простые множители имеет вид 180 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5, или, используя обозначение степени, 180 = 2^ • 3^ • 5. Такую запись разложения на простые множители называют канонической. В общем виде каноническое разложение натурального числа п имеет вид п=р?‘ х где Pi, P2J Рн — простые числа, такие, что Pi • ... на. Найдите каноническое .разложение числа 1 858 560 на простые множители. |h7* J Найдите необходимое и достаточное условие того, что число л=р^‘ • ... • является квадратом натурального числа. |hhJ Сформулируйте условие, при котором аЬ делится на cd, если известны канонические разложения чисел а, 5, с, d. Докажите, что если р — простое число, ал — натуральное число, то л!= 1 • 2 - ... • л делится на р*, где j *+•••» ^ делится на Докажите, что если к — натуральное число, то (ft + 1) - ... - (ft-l-л-l)(ft^-л): 1 • 2 • 3 * ... - л. «П тт 1000* 91.1 Делится ли 500I500I 92. Докажите, что число на 7? (2л)! (л!)2 целое и делится на л + 1. ** Через [х] обозначена целая часть числа х, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х. 132 8. СВОЙСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В математике изучены многие свойства простых чисел. Рассмотрим некоторые из них. 1) Среди простых чисел нет наибольшего (иными словами, мно жество простых чисел бесконечно). Докажем это утверждение методом от противного, повторяя рис суждения Евклида, приведенные им в IX книге «Начал». Евклид рассуждал так: предположим, что существует лишь конечное множество простых чисел Pi, ..., р*, а все остальные натуральные числа (кроме 1) являются составными. Образуем число л= Pi • • р*4 1. Это число больше, чем любое из чисел р^, ..., р*, а потому по пред положению должно быть составным. Но тогда оно имеет хотя бы один простой множитель. Этим множителем не может быть ни одно из чисел Pi, ..., Ра, так как при делении п на эти числа кажд1.п1 раз получается в остатке 1. Так как по предположению иных про стых чисел, кроме Pi, ..., р*, не существует, мы пришли к противоречию. Это противоречие показывает, что сделанное нами предположение неверно и потому наибольшего простого числа не существует, 2) Если п — составное натуральное число, то среди его простых делителей есть хотя бы один делитель р, такой, что В самом деле, пусть р — наименьший простой делитель числа л. Тогда п=рт, причем среди простых делителей числа т нет меиь ших, чем р, и потому т>р. Но тогда п>р^^ что и требовалось доказать. Это свойство можно успешно использовать при разложении числа п на множители или при проверке его на простоту. Достаточно ограничиться проверкой делимости числа п на простые делители р, для которых р^<п. Пример 1. Проверим, будет ли число 91 составным. Решение. Так как 7^<91 <11^, то достаточно проверить делимость числа 91 на простые числа 2, 3, 5, 7. Находим, что 91 = 7 • 13, т, е. число 91 составное. Считают, что этот метод определения простоты чисел впервые опубликовал в 1202 г. Леонардо Пизанский (1180—1240), более известный под именем Фибоначчи, т. е. сын Боначчи. Некоторые утверждения о простых числах до сих пор не доказа ны, хотя по своей формулировке доступны школьникам б класса. Так, в 1742 г. петербургский академик Христиан Гольдбах высказал предположение, что каждое четное число можно выразить в виде суммы двух простых чисел (в то время число 1 относили к простым). Например, 4=1+3, 14=7+7 и т. д. Это предположение с помощью ЭВМ проверено для очень больших четных чисел, В 1937 г. советский математик академик Иван Матвеевич Виноградов доказал, что любое достаточно большое нечетное число можно представить в ни- 133 д|* суммы трех простых нечетных чисел. Число, начиная с которого докнаана справедливость этого утверждения, громадно, и проверить ||<‘с нечетные числа, меньшие этого числа, невозможно даже при ис-ж^льзовании самых быстродействующих вычислительных машин. Из п’промы Виноградова следует, что достаточно большие четные числа можно представить в виде суммы четырех простых чисел. Другой советский математик — член-корреспондент Академии наук СССР Лев Генрихович Шнирельман доказал, что все натураль-и1ле числа можно представить в виде суммы достаточно большого количества простых чисел. Сейчас доказано, что для этого достаточно двадцати простых слагаемых, Ксть еще и такое предположение: любое четное число можно представить в виде разности двух простых чисел (например, 14=127-113, 20 907-887 и т. д.), но оно тоже до сих пор не доказано. В теории целых чисел есть предположения, для которых матема-гики искали доказательство не одно столетие. Так, еще в XVII в. юрист из Тулузы Пьер Ферма (1601—1665), ('тавший одним из крупнейших математиков Франции, высказал в предположительной форме, без строгих доказательств, ряд предложений, относящихся к теории чисел. Например, известная «великая теорема Ферма», состоящая в требовании найти целые числа г, //, г, для которых выполняется равенство X" + у" = 2" для какого-нибудь натурального л>3, или доказать, что такое равенство невозможно, до конца XX столетия не имела полного доказательства. Только недавно (1993—1995) американским математиком Андрэ Вайлсом было получено строгое доказательство гипотезы Ферма, хотя для п = 3 и л = 4 невозможность такого равенства доказана знаменитым математиком Леонардом Эйлером (1707—1783) еще в XVIII в. Заметим, что им же получено доказательство так называемой «малой теоремы Ферма»: если р — простое число и л не делится на р, то число л^“^-1 всегда делится на р. УПРАЖНЕНИЯ 93.1 Какие из чисел 2*3 + 1, 2*3-5 +1, 2‘3-5*7ч-1, 2-3-5-7* 11 + 1, ___ 2*3*5*7*1113 + 1 являются простыми, а какие — составными? [94.1 Сколькими способами можно разложить число 360 в произведение двух взаимно простых множителей? 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 2. 95*.j Сколькими способами можно разложить число, имеющее каноническое разложение лг=р^> • р^“ * р^« • p5s в произведение двух взаимно простых множителей? [ 9бГ1 Исследуется вопрос, является ли простым число 1093. Уже проверено, что оно не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Стоит ли продолжать проверку? 134 98. 97, Докажите, что имеется бесконечно много простых чисел, имею щих вид: а) Zn-\-2; б) 4д + 3; в) 6/14*5. Проверьте, каждое ли четное число от 2 до 100 является либо сум ____мой двух простых чисел, либо суммой простого числа и единицьь j99.1 Проверьте, все ли четные числа от 2 до 200 являются разностями двух простых чисел. 9^. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ Мы знаем, что одно уравнение с двумя неизвестными имеет, во обще говоря, бесконечно много решений. Обычно такое уравнени<* называют неопределенным. Так, уравнение вида ах-\~Ьу = с назыви ют неопределенным уравнением первой степени с двумя неизвест ными. Но иногда встречаются задачи, в которых на неизвестные ни лагаются дополнительные условия. Например, эти неизвестный должны быть натуральными числами или в крайнем случае нулями. Задача. Найдем все способы уплаты 47 р., считая, что в обращении на ходятся только пяти- и трехрублевые купюры. Решение. Обозначим число пятирублевых купюр через л:, а чиг ло трехрублевых — через у. Тогда задача сводится к следующему: найти все натуральные или нулевые решения уравнения 5x + 3i/ = 47. Ясно, что X не может равняться нулю, так как 47 не делится на 3. Но при х=1 получаем для у уравнение 5 + 3i/ = 47, имеющее нату ральное решение у = 14. Итак, мы нашли одно решение заданного уравнения в натураль ных числах: х=1, у = 14. Чтобы найти другие решения, заметим, что при увеличении х на 3 и одновременном уменьшении у на 5 зна чение выражения 5х + 3у не изменяется. Поэтому из решения (1; 14) находим решения (4; 9), затем (7; 4). Дальнейшее продвижение нг возможно, так как при уменьшении 4 на 5 получится отрицатель ное число —1. Итак, наша задача имеет три и только три решения: 1 купюра в 5 р. и 14 трехрублевых купюр; 4 пятирублевых и 9 трех рублевых купюр; 7 пятирублевых и 4 трехрублевые купюры. Если пятирублевые и трехрублевые купюры есть не только у то го, кто платит, но и у кассира, то х и у могут принимать не толь ко положительные, но и отрицательные значения (что соответстиу ет сдаче), и мы получаем бесконечно много решений, имеющих вид: x = l4*3i, у = 14-5^, где t принимает все целые значения. Как мы видели выше, натуральным значениям х и у соответствуют липп. значения равные 0, 1 и 2. 135 Рассмотрим теперь общую задачу: пусть а, Ь и с — целые числа. Найдем все пары целых чисел {х; у), для которых выполняется ра-иеиство ах-\-Ьу = с, Как говорят, решим неопределенное уравнение ах\-Ьу = с в целых числах. Заметим, что в алгебре неопределенные уравнения, в которых неизвестные могут быть только целыми числами, называют диофантовыми по имени математика Диофанта, жившего в III в. н. э. Выясним теперь, при каком условии диофантово уравнение первой (степени с двумя неизвестными имеет решение. Пусть d=D(a; Ь). Тогда мри любых целых значениях х и у выражение ах-\-Ьу делится на d, поскольку а и Ь делятся на d. Значит, чтобы уравнение ах + Ьу^с решалось в целых числах, необходимо, чтобы с делилось на D{a; Ь), Например, уравнение 35д:-20г/=14 не имеет решений в целых (а тем более в натуральных) числах. В самом деле, ^(35; 20) —5, а 14 на Г> не делится. Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным. Иными словами, верно следующее утверждение: Если целое число с делится на D(a; Ь), то уравнение ах + Ьу=^с имеет целые решения^ Покажем, как искать эти решения, на примере решения уравнения 28дг-40г/ = 60. Это уравнение имеет целые решения, так как D{28; 40) = 4, а число 60 делится на 4. Ясно, что любое целое решение уравнения 28х-40у = 60 удовлетворяет и уравнению 7х-10у = 15, получаемому из заданного сокращением обеих частей на 4. Обратно: любое целое решение уравнения 7х-10у = 15 является и целым решением заданного уравнения. У получившегося после сокращения на 4 уравнения 7л:-10у = 15 коэффициенты при неизвестных взаимно просты, т. е. D(7; 10)= 1. Применим к этим коэффициентам алгоритм Евклида: 10 7 Мы видим, что при делении числа 7 на 3 получилось неполное частное 2 и остаток 1, а потому 7 = 2 * 3-hl. Значит, 1 = 7-2 ■ 3. Таким же путем устанавливаем, что 10 = 1-7 + 3, а потому 3 = 10-1*7. Подставляя это выражение для 3 в равенство 1 = 7-2-3, получаем 1=7-2(10 — 1*7). Раскрывая скобки, имеем 1 = 7*3-10*2. Это означает, что числа лг = 3 и у = 2 дают целое решение уравнения ** Если некоторые из чисел а, &, с отрицательны, то вместо них берем их модули. 136 7x-10i/=l. Чтобы получить целое решение уравнения 7x-10//»lft надо оба эти числа умножить на 15. Таким путем мы получили од но целое решение уравнения 7л:-10г/ = 15 (тем самым и заданпоп уравнения): :с = 45, у = 30. Другие целые решения того же уравноти имеют вид: х = 45 + 10^, i/ = 30 + 7f, где t — любое целое число. Чтобы выделить целые неотрицательные решения заданного урон нения, надо найти такие значения t, при которых 45 + 10^Х) i 30+7f>0. Из этих неравенств находим, что должны выполняты’! условия ^>-4,5 и t> - - = -А—у из которых вытекает, что t>-4. Итак, данное уравнение имеет Гим’ конечно много целых неотрицательных решений, задаваемых фор мулами д; = 45 + 10^, y = 30-\-7t, где t принимает значения, равные —4, -3, -2, ... . ^УПРА МНЕНИЯ 100 ж) 19x-5i/ = 119; з) 17jc-49j/ = -8. \т\ 102 103 104 105 Решите в целых числах уравнение: а) 8x + 14i/ = 32; г) 11х-3у = 14; б) 6х-15г/-27; д) 7х-4у = 29; в) -Зх-5у = 16; е) 9х-11у = 8; Найдите целые неотрицательные решения уравнения: а) 8х + 65у = 81; г) 17х +23у = 183; б) 19х-\-5у=119; д) 7х+10i/ = 297; в) Зх + 7у = 250; е) 13х+19у = 1170. Укажите все способы уплаты 4800 р., используя банкноты в 200 и 500 р. Возможно ли уплатить эту сумму банкнотами в 500 и 1000 р,? Найдите общий вид целых неотрицательных чисел, дающих при делении на 7 остаток 3, а при делении на 11 остаток 4. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получились соответственно остатки 5 и 4, Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 28 дает в остатке 21, а при делении на 19 дает в остатке 17. 10*. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Наряду с десятичной системой обозначения чисел, которой мы обычно пользуемся, применяются иные формы записи натуральных чисел. Докажем следующее утверждение: 137 Теорема. Пусть р>1 — натуральное число. Тогда для любого натурального числа п найдутся такие числа Ml, п,у что 1) имеет место равенство п = По + П1р + П2р^ +... + Пдр®; (1) 2) числа По» ^1» •••» принимают лишь значения О, 1, р—1, причем Доказательство, Запись требуемого вида есть у числа 1 (для 1к;го Hq—I, а остальные отсутствуют). Если бы существовало число, не имеющее требуемой записи, то среди таких чисел было бы наименьшее число k, причем оно отлично от 1, а потому k — 1 является натуральным числом. Так как k-l Пд В записи (1) определены однозначно. Запись (1) кратко выражают так: n^risris Число р называют основанием данной системы записи натуральных чисел (или, как еще говорят, системы счисления), а саму систему счисления называют р-ичной, 138 Из проведенного выше доказательства единственности записи чисел следует метод нахождения этой записи: делим число п п на р и находим остаток от деления tiq и неполное частное 9,— Далее делим это неполное частное на р и находим остаток л,. Про должая процесс деления с остатком, находим одну за другой ци<|> ры р-ичной записи числа п. Пример 1. Запишем число 147 в пятеричной системе счисления. Решение. Имеем 147 2 29 4 Значит, 147 = 10425. Пример 2. Найдем десятичную запись числа 54OI7. Решение. Имеем 54017 = 5 • 7^ + 4 * 7^ + 0 • 7 + 1 = 1912. Отметим, что для записи чисел в р-ичной системе счислеши! нужно р цифр для обозначения чисел 0, 1, 2, ..., р-1. Например, в двоичной системе счисления нужны лишь две цифры 0 и 1, в тро ичной — цифры о, 1 и 2. Если р>10, то нужны новые знаки дл)! обозначения чисел, которые в десятеричной*^ системе счисления обо значают так: 10, 11 и т. д. дор-1 включительно. Например, в пи» стнадцатеричной системе счисления, используемой в некоторых си стемах ЭВМ, кроме обычных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, нуж ны еще шесть цифр, например такие: j=10, L = ll, 11 = 12, Г = 13, Е=14, 1 = 15. В ЭВМ используется обычно двоичная система счисления. Один ко в этой системе счисления записи чисел становятся слишком гро моздкими (содержат слишком много цифр), и потому обычно перо водят числа из десятеричной записи в восьмеричную, а потом пол1. зуются следующей таблицей для перевода из восьмеричной систем 1л счисления в двоичную: в восьмеричной 0 1 2 3 4 5 6 7 В двоичной 000 001 010 011 100 101 110 111 Употребляется также название «десятичная* система счисления 139 Пример 3 Переведем число 2134 в двоичную систему счисления. Решение. Сначала с помощью деления с остатком на 8 находим иосьмеричную запись числа: 8 2134 6 266 2 8 33 1 8 Следовательно, 2134 = 41268. А теперь с помощью таблицы находим двоичную запись этого числа: 2134 = 1000010101102. Арифметические операции над числами в р-ичной записи выполняются по тем же алгоритмам, что и в десятеричной, меняются лишь таблицы сложения и умножения. Приведем эти таблицы для двоичной и троичной систем счисления: а) р = 2 б) р = 3 -н 0 1 0 0 1 1 1 10 + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 10 2 2 10 11 X 0 1 0 0 0 1 0 1 X 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2 0 2 11 - - - 1 В настоящее время десятичная система стала общепринятой во всем мире. Великий ученый Д. И. Менделеев сказал: «Число, выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и русский, и араб, и >гнки одинаково». Но в глубокой древности у многих народов складывались свои традиции записи чисел и действий с ними. Например, в древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления. Ее остатки мы находим в единицах измерения времени: 1 час — 60 минут, 1 минута — 60 секунд. 140 На Ближнем Востоке была распространена двенадцатеричная спс тема. Остатки этой системы сохранились до наших дней. Хорошо \\л вестно название для числа «двенадцать», т. е. для единицы второго разряда в двенадцатеричной системе,— дюжина. До сих пор сохранил ся обычай считать столовые приборы, стулья в мебельном гарнитуро не десятками, а дюжинами. У ряда африканских племен и в Дрешшм Китае употреблялась пятеричная система счисления. В Центральной Америке и у древних кельтов была распространена двадцатеричнми система. Перечисленные выше примеры систем счисления входят в боль Шую группу позиционных систем счисления. Кроме них, сущестнуп группа непозиционных систем счисления. Хорошо известным прими ром непозиционной системы счисления является римская система. В этой системе роль цифр играют буквы латинского алфавита: бук на I — единица, буква V — пять, буква X — десять, буква L — пя'п.д(' сят, С — сто, D — пятьсот, М — тысяча. Неверно было бы думать, что в настоящее время используют толь ко десятичную систему счисления. В современном мире особое моего занимают еще две позиционные системы счисления — двоичная и восьмеричная. Особенно многочисленны применения двоичной систо мы, использующей всего две цифры — О и 1. Она оказалась наиболее удобной при конструировании электронных вычислительных машин н устройств кодирования. Дело в том, что наиболее надежные и мини атюрные элементы, запоминающие и перерабатывающие информп цию, имеют два устойчивых состояния, которым соответствуют ци фры О и 1. Всем, кто имеет дело с ЭВМ, известна единица количества инфор мации (памяти ЭВМ) — бит (от английских слов binary digit двоичная цифра). Восемь бит составляют более крупную единицу байт. Память ЭВМ измеряют обычно в килобайтах (1 килобайт байт) и мегабайтах (1 мегабайт — 2^® байт). ш УПРАЖНЕНИЯ 1106.1 bi [l09.i 110.1 111. Верно ли записаны в семеричной системе числа: 2360;, 35721;, 6085127? Если нет, то почему? Запишите первые 38 натуральных чисел в девятеричной, двеннд-цатеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Проверьте, верны ли равенства: а) 470568=1001110001011102; б) 1010011000111012 = 514658. Запишите числа 70532з и 160346д в двоичной системе счисления, Запишите числа lOlOllOOlllllOOg и IIIOIOIOOOOIIOI2 в восьм(! ричной системе счисления. Число 10111011001IIOO2 запишите в шестнадцатеричной системя счисления. 141 112.| Иыполните действия в соответствующих системах счисления, после чего переведите числа в десятеричную систему счисления, выполните действия в этой системе и сравните результаты: н) (IOOIIOI2 + IIIOOOI2) • (IIIOOOI2-IOOIIII2); б) 212012з • 2OI3 + 2202O3 • III3; в) 76?8 • 348-2055g; г) 4 J L 5^3 — 2 L с 8j3. Осуществите переход: а) 3705l8 = Xe; б) 420315 = д:7; в) 890721 = г) 452617 = д: 10^ 1п«3 '' в каких системах счисления возможны равенства: а) 15 + 16 = 33, 314 + 45 = 403; б) 236-145 = 61, 263-214 = 46; в) 5-7 = 38, 13-5 = 63, 66:9 = 8, 347:12 = 283? Составьте таблицы сложения и умножения в восьмеричной, две-надцатеричной и четверичной системах счисления. Выполните следующие операции: а) 1543б + 42в; б) 651048 + 706458+130g; в) 7484 С 14+5769 г 14; г) 43 г J 5i8 + 3 L 6ig — 4E25i6; д) IOIOIOII2-IIOIII2; е) 2304в-405б; ж) 7830419-87605д; з) 46 1:37,3-738 L 1з; и) IOIIIII2 • IOI2; к) 42 038 • 37g; л) 32 L18 - 13 ”116; м) 1111000112:101012; н) 11411135:1435. 118 Число 59 записывается-В пятеричной системе счисления как 2145. Как записываются в той же системе счисления числа 59 -25 и 59 •125? Найдите двузначное число, которое в системах счисления с основаниями 4 и 10 записывается теми же цифрами, но в обратном порядке. 11*. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ При решении многих задач о натуральных числах оказывается полезным следующее утверждение, которое впервые явно сформулировано немецким математиком Леженом Дирихле (1805—1859), поэтому названо его именем. Принцип Дирихле. Если а и Ь — натуральные числа, причем а>Ь, то при раскладке а предметов в Ь ящиков хотя бы в одном из ящиков окажется не менее двух предметов. Справедливость этого принципа очевидна — если бы в каждом ящике было не более одного предмета, то количество предметов оказалось бы не больше числа ящиков вопреки предположению. 142 I Несмотря на такую простоту принципа, с его помощью удается ;ui казать довольно сложные утверждения (надо только удачно выбирп'и ♦ящики» и распределение ♦предметов» по этим ящикам). Докажем сначала, что среди 9 млн жителей Москвы найдутся /uui человека, имеющие одинаковое число волос на голове (считаем, что \ человека не более 400 тыс. волос на голове). В самом деле, разоб|.гм всех жителей Москвы на группы, соединив вместе жителей, имеюпи^я одинаковое число волос на голове. Так как по условию число групп не превышает 400 тыс., а жителей 9 млн, то хотя бы в одной грутк (♦ящике») окажется не менее двух жителей, т. е. найдутся два чело века, имеющие поровну волос на голове. Приведем теперь математические примеры. Пример. Докажем, что из любых 101 натурального числа можно выбрп11 два таких числа, что их разность делится на 100. Решение. Разложим наши числа по ♦ящикам», поместив в o;un ♦ ящик» числа с одинаковыми последними двумя цифрами. Так кт-последних пар цифр 100 (00, 01, ..., 99), а чисел 101, то хотя бы в одш ♦ ящик» попадут два из наших 101 числа. Но тогда у них будут одина ковые последние две цифры, и потому их разность делится на 100. УПРАЖНЕНИЯ I119J В Москве 9 млн жителей, на голове у каждого не более 400 тыг волос. Докажите, что найдется 18 москвичей с одинаковым коли честном волос на голове. Докажите, что из 73 различных натуральных чисел можно иай'п два, разность которых делится на 72. и Докажите, что из 100 натуральных чисел можно выбрать несколи ко, сумма которых делится на 100. 122^ Докажите, что из 52 разных натуральных чисел можно выбрат! два таких, что либо их сумма, либо их разность делится на 100, 123 Докажите, что для любого натурального числа п найдется дел)1 щееся на п число, в десятичной записи которого участвуют тол»! I__^ко нуль и единица. |l24*jДокажите, что есть степень числа 29, оканчивающаяся цифрами ___ 00001. |l25j Докажите, что для любого натурального числа найдется деляпрм» ___, ся на него число вида 111...1100...0. [126^ Докажите, что для любого стозначного числа п найдется число, делящееся на 1963, последние сто цифр которого составляют чпг ло п. Докажите, что из 1000 натуральных чисел можно выбрать не сколько так, что их сумма делится на 1000. Можно ли найти степень числа 3, оканчивающуюся циф1)амп 0001? 128 143 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV 129. lao. |l3l] Ем] Е^ 136 иш Допишите к 523 три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9. Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найдите все такие числа. Найдите остаток от деления многочлена х на х-1. Из чисел 1, 2, 3, ..., 200 выбрано 101 число. Докажите, что среди этих чисел есть пара взаимно простых чисел. Имеется 555 гирь массой 1 г, 2 г, 3 г, ..., 555 г. Разложите их на три равные по массе кучи. Докажите, что многочлен х^^-х^-\-х'^-х-\-1 при всех значениях х положителен. Имеется кусок цепи из 60 звеньев, каждое массой 1 г. Какое наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы из получившихся частей можно было образовать все массы в 1 г, 2 г, 3 г, ..., 60 г (раскованное звено тоже имеет массу в 1 г)? Докажите, что сумма 1® + 2®+...+ ц^ при любом п является квадратом натурального числа. Докажите тождество: а) {ах -\-by-\- czf + {Ьх + су-\- аг)^ + (сх -hay-h Ьг)^ = = {сх Л-Ьу-\- azY + {Ьх -\-ay-\- czY + {ах -\-cy-\- bzY; б) {ах -f Ьг/ + С2 + duY + {Ьх + cy-\-dz + auY + + {сх + dy + az-\- ЬиУ^ + {dx + ai/ + &2 ч- cuY = = {dx + сг/ + Ьг + auY + {сх + fti/ + а2 -h duY + -Ь {Ьх ~\-ay + dz-\- cuY + {cix -\-dy-hcz-\~ buY> Решите систему уравнений ^l-XiX2 = 0, 1“X2^3 = 0, 1 ^14^15 — [l-x^^Xi = 0. 13^ I40j Докажите, что при любом натуральном п число п^н-8п + 15 не де лится на д + 4. Докажите, что для любых натуральных чисел а и Ь имеем D{a-\-b; К{а; b)) = D{a; Ь). 144 14lJ Решите систему уравнений ' Xi + 2x2 + 2xg + 2X4 + 2x5 = 1, Xi + ЗХ2 + 4x3 + 4X4 + 4x5 = 2, Xi + 3x2 + 5xg + 6x4 + 6x5 = 3, Xj + 3xg -f 5x3 + 7X4 + 8x5 = 4, ^ Xi + 3xg + 5X3 + 7X4 + 9xg = 5. 142J Поставьте вместо звездочек такие цифры, чтобы число 30*0*03 дс лилось на 13. 143J В шахматном турнире участвовали 8 шахматистов. Никакие дип из них не набрали поровну очков. Шахматист, занявший нторог место, набрал столько же очков, сколько набрали вместе шахмп тисты, занявшие 5, 6, 7 и 8-е места. Как сыграли между собой ---1 шахматисты, занявшие 3-е и 5-е места? 144J Найдите наибольший общий делитель чисел 11111111 и 1111...111 (сто цифр, равных 1). 145 Среди чисел, все цифры которых единицы, найдите наименыпег ---1 число, делящееся на 333...33 (100 троек). 146J Если некоторое четырехзначное число умножить на число, за мм санное теми же цифрами в обратном порядке, то получится вось мизначное число, у которого последние три цифры — нули. Пай дите все такие числа, 148 149 147J Докажите, что последние цифры чисел 1-2 2-3 3-4 n(n+l) 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 периодически повторяются. В каком двузначном числе удвоенная сумма цифр равна их про изведению? Ученик ♦незаконно» сократил показатели степени, но получил правильный ответ: 43^ + 17^ ^ 43 + 17 ^ ^ ^ ^ 43^ + 26® 43 + 26 69 23* Объясните, почему так получилось. Придумайте еще примеры, когда такое «незаконное» сокращение приводит к правильному or вету. 150J Найдите все целые значения а, при которых значение дроби 151 а^ + 1 а-1 является целым числом, 152 Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу сум мы их цифр. Расстояние между деревнями А и В по шоссе равно 3 км. И до ревне А — 100 школьников, а в деревне В — 50 школьников. Пи каком расстоянии от деревни А надо построить школу, чтобы об щее расстояние, которое придется пройти всем 150 школмппспм, было наименьшим? 145 154 ^3j В гостиницу приехал человек, не имеющий денег, но обладающий серебряной цепочкой из 6 звеньев. За каждый день он платил одним звеном цепочки. Хозяин гостиницы согласился принять лишь одно распиленное звено цепочки. Может ли этот человек прожить в гостинице б дней, уплачивая за каждый день проживания? Какое наименьшее число звеньев пришлось бы распилить, если бы человек жил в гостинице 100 дней, а в цепочке было бы 100 звеньев? В одном стакане 5 ложек чая, а в другом — 5 ложек молока. Ложку молока перелили из второго стакана в первый, затем тщательно перемешали и ложку чая с молоком перелили обратно во второй стакан. Чего оказалось больше — чая в молоке или молока в чае? Как изменится ответ, если размешивали не очень тщательно? ___I если переливали не 2, а 8 раз? ISSH в шести секторах круга расставлено 6 шашек, по одной шашке в каждом секторе. Одним ходом разрешается передвинуть две шашки в соседние секторы, но при этом одну шашку по часовой стрелке, а другую — против часовой стрелки. Можно ли собрать все шашки в одном секторе? Решите ту же задачу, когда 20 шашек расставлены в 20 секторах. Можно ли нумизмату разменять 25 р., имея денежные купюры достоинством в 1, 3 и 5 р., так, чтобы получилось ровно 10 денежных купюр? Сумма цифр числа не меняется при умножении этого числа на 5. Докажите, что это число делится на 9. В какой системе счисления 75:7? 156 157 158 159 160 161 Существуют ли натуральные числа m и л, такие, что т2+1994 = д2? Определите наибольшее значение отношения трехзначного числа к сумме его цифр. Найдите все целые числа, на которые можно сократить дробь 56 + 6 при целых значениях Ь. 162 86+7 Докажите, что если л>2, то (1 • 2 /1)2 > л”. 163 164 На какое целое число надо умножить 999999999, чтобы получилось число, состоящее только из одних единиц? Дано п чисел Xi, ..., л:„, каждое из которых равно либо 1, либо “1. Докажите, что если XiX2 + o:2X3+...+ x„.iX„ + JC„Xi = 0, то п де-___ лится на 4. 165j Укажите все денежные суммы, выраженные целым числом рублей, которые могут быть представлены как четным, так и нечетным числом денежных банкнотов. Примечание. Считайте, что в обращении находятся банкноты достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 р. 146 1вв.| Имеется трехзначное число аЬс, возьмем число сЬа и вычтем \ большего меньшее. С получившейся разностью сделаем то же ei мое (приписав О или 00, если разность не трехзначная). Докяж! те, что через несколько аналогичных шагов мы получим либо чш ___ло о, либо число 495. 167.| Докажите, что среди 39 последовательных натуральных чи<м' найдется такое, что сумма его цифр делится на 11. 168. Докажите, что число 1000 0001 составное. и 170. 171, 172. 173. 174. И 176. 177, 178. 179. L81. L82. 1991 нуль Докажите, что сумма цифр числа, являющегося точным квадр! том, не может равняться пяти. Исходя из равенства 1001 = 7 • 11 • 13, выведите признаки делим* сти на 7, 11, 13. Исходя из того, что 27 • 37 = 999, выведите признак делимости н 37. Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 32, 33 на 11 групп по тр числа так, чтобы в каждой группе одно число равнялось сумм двух других? Даны 12 последовательных натуральных чисел. Докажите, что х* тя бы одно из них меньше суммы своих делителей, отличных < 1, и самого числа. Из некоторого четырехзначного числа вычитают число, состоящ* из тех же цифр, но расположенных в обратном порядке. Мож< ли при этом получиться число 1008? Существует ли такое натуральное число п, что сумма цифр чи* ла равна 100? Найдите все пары натуральных чисел (х; i/), такие, что 3 • 2^+1 = у^ Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся с ци(| ры 4 и уменьшающееся в четыре раза при перестановке этой u.v фры в конец записи числа. Назовем шестизначное число счастливым, если сумма его цифр д< лится на 7, Могут ли два соседних шестизначных числа быт счастливыми? Найдите все такие пары. Найдите все значения х и у, для которых ху + 1 = х + г/. Каких чисел больше среди первых 10^® натуральных чисел: таких в записи которых есть единица, или таких, в записи которых о нет? Докажите, что уравнение 15х^-7у^ = 9 не решается в целы числах. Докажите, что если а + — — целое число, то а”+— тоже являете. а а" целым числом. 147 I на. Можно ли каждый из 77 телефонов соединить ровно с 15 другими? IM4. Докажите, что любое целое число, большее 7, можно представить н виде суммы неотрицательных чисел, кратных 3 и 5. 1Н5^. Докажите, что если многочлен с целыми коэффициентами аоХ" + f ^+...+ а„ принимает при х = 0 и х=1 нечетные значения, то уравнение aoX" + aiX"“^+...+a„ = 0 не имеет целых корней. 1ЖК В клетках таблицы с 7 строками и 7 столбцами записаны числа от 1 до 49: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 44 45 46 47 48 49 Выбирают одно число и вычеркивают строку и столбец, в которых оно стоит. Затем выбирают еще одно число и т. д. Найдите сумму всех выбранных чисел. IH7. \\ клетках таблицы с 7 строками и 7 столбцами стоят числа -hi и -1. Берутся произведения чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке. Докажите, что сумма этих 14 произведений не мо-_ жет равняться нулю. 188J Найдите все двузначные числа, которые делятся на произведение - - своих цифр. Одна из цифр многозначного числа 0. При вычеркивании этого нуля число уменьшается в 9 раз. а) На каком месте стоит этот нуль? б) Найдите все числа,-удовлетворяющие условию задачи. Найдите все целые Z, при которых дробь сократима. Докажите, что у числа, являющегося точным квадратом, произведение двух последних цифр четно. Найдите все возможные значения для D(a-^b; а-Ь), если а и Ь — взаимно простые числа. ^3. Найдите такие 12 натуральных чисел, что их сумма равна их про-изведению. Укажите все решения. 194j Найдите четырехзначное число, если его цифры — последовательно идущие числа, а после перестановки первых двух цифр полу-. — чается точный квадрат. 10^ 12 человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет 2 хлеба, каждая женщина — ~ хлеба, а ребенок — по четверти хлеба. Сколь- ко было мужчин, женщин и детей? МИЦ Студент за 5 лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвертом курсе? 148 197 И 199 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. ^3 Запишите каноническое разложение на простые множители для числа 15! = 1 • 2 • 3 • 4 • • 14 • 15. Существует ли такое натуральное число л, что 2"+ 15 — составное число? Пятизначное число, являющееся точным квадратом, записывается с помощью цифр О, 1, 2, 2, 2. Найдите это число. Докажите, что десятичная запись любого натурального числа заканчивается той же цифрой, что и пятая степень этого числа. Какими цифрами заканчиваются десятичные записи следующих чисел (х и у — натуральные числа): 1) 135^ + 3P + 56"^i^; 3) 34^ + 34^^4342^? 2) 142+ 1422+1424...+ 14220; Докажите, что десятичные записи чисел 12 + 22 + 32+.,,+л2 не могут заканчиваться цифрами 2, 3, 7 и 8. При каких значениях натурального числа п сумма n2_j_(^_|_ | + (л+2)2 + (л + 3)2 кратна 10? Докажите, что: 1) 100 0024 9997^ 3) 76410^5. 2) 3147^^ Докажите, что если р — простое число, причем р^2у то р^-5 иг делится на 8. Докажите, что если п — натуральное число, не равное 1, то число 2"-1 не может быть точным квадратом. Вычислите наиболее рациональным способом: 7^^-1 2 402000(4941)' Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. Глава у ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 1. ЧИСЛА И КООРДИНАТЫ I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН В основе применения математических методов для решения практических задач лежат две операции — счет и измерение. При пересчете совокупностей различных предметов получаются натуральные числа, о которых шла речь в главе IV. Результаты измерений часто выражаются не только натуральными числами, но и дробями. Например, при измерении отрезков сначала выбирают отрезок АВ, который называют единичным. Его длина считается равной единице. Если отрезок CD состоит из т частей, каждая из которых равна единичному отрезку, то считают, что длина этого отрезка равна т (рис. 20, а). Если же единичный отрезок разбит на п рав- 6 Mitt А В Рис. 20 CD = 3 а) 150 I I I I I I I I : D CD = f б) ных частей f то длину каждой из них выражают дробью Нако нец, если отрезок CD состоит из т равных отрезков, каждый из ко торых равен п-й доле единичного отрезка АВ, то длину отрезка С/> выражают дробью ^ и пишут: (рис. 20, б). Напомним, что дроби и -у равны, если выполняется равеис^т- 6 9 во mq=pn. Например, — = —, так как 6-12 = 9-8 = 72. Две раннии' 8 12 дроби являются записями одного и того же положительного раци опального числа. Длину любого отрезка можно с любой степеш.ю точности выразить положительным рациональным числом. Однак<» в теоретических исследованиях появляются отрезки, длины кото рых не выражаются такими числами. г.'_ Пример 1. Построим прямоугольный треугольник АВС, катеты которого имеют длину 1. Из рисунка 21 видно, что площадь квадрата, пост роенного на гипотенузе этого треугольника, равна сумме площад(^й квадратов, построенных на его катетах, а потому должно выпол няться равенство АС^ = 2. Покажем, что не существует положитель ного рационального числа, квадрат которого равен 2. В самом дело, если бы имело место равенство —2, где ^ — несократима)! дробь, то мы имели бы т^ — 2п^. Но квадрат нечетного числа неч(» тен, а 2п^ — четное число. Значит, число т четно и имеет вид т=2Л, где k — натуральное число. Поэтому имеем (2ft)^ = 2n^, отку да n^ — 2k^. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что и л ян ляется четным числом, а тогда дробь т о — можно сократить на 2 вопреки предположению. Полученное противоречие показывает, что не существует положительного рационального числа, квадрат которого равен 2. А отсюда вытекает, что длину гипотенузы нашего треугольника нельзя выразить рациональным числом. Если длину отрезка нельзя выразить рациональным числом, то говорят, что он несоизмерим с единичным отрезком. Мы обнаружили существование несоизмеримых отрезков. Чтобы иметь возможность выражать длины любых отрезков числами, надо расширить имеющу- 151 lool у нас совокупность чисел и ввести числа нового вида, которые мы назовем иррациональными. Чтобы ввести такие числа, заметим, м го при измерении отрезков возможны два случая: а) длина измеряемого отрезка выражается конечной десятичной д|)обью По, (например, 4,806); б) длина измеряемого отрезка не может быть выражена конечной десятичной дробью. Во втором случае длину отрезка можно измерять со все возрастающей точностью с помощью конечных десятичных дробей. Если обозначить через приближенное значение длины отрезка с точно- (!тью до по недостатку, то десятичные дроби Оп, ..., ... 10* будут иметь вид: (Хо=По; CXi=no,ni; CC2~fl09^\^2y = ••• (1) Идесь По является натуральным числом или нулем, а Hi, Пг, ..., п*, ... принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, при измерении длины диагонали единичного квадрата получаем последовательно числа 1; 1,4; 1,41; 1,414. Это следует из того, что 12=1, 22 = 4, а 1<2<4; 1,42 = 1,96, 1,52 = 2,25, а 1,96<2<2,25; 1,412 = 1,9881, 1,422 = 2,0164, а 1,9881< 2 < 2,0164 и т. д. Вместо того чтобы писать бесконечную последовательность (1) десятичных дробей со все возрастающим числом десятичных знаков, пишут одну бесконечную десятичную дробь а = По,П1П2...П;^... (например, 1,4142...) и говорят, что она обозначает длину данного отрезка. Каждая такая дробь задает последовательность пар конечных десятичных дробей: 1 (Оо; осо)> (oti; а;), ..., (а*; где a* = no,nin2...n*, а^-а^ч- 10' Число а* (соответственно а^5) называют десятичным приближением бесконечной десятичной дроби а по недостатку (соответственно по избытку) с точностью до 10* Любую конечную десятичную дробь Hq, П1П2...П;, можно записать и виде бесконечной десятичной дроби По,П1П2...п^^ОО...О..., оканчивающейся «хвостом» из нулей. При этом, например, дроби 0,5 = о,500...0... соответствует последовательность пар десятичных приближений (0; 1), (0,5; 0,6), (0,50; 0,51), (0,500; 0,501) и т. д. Все приближения по недостатку для этой дроби, начиная со второго, одинаковы: 0,5 = 0,50 = 0,500=... . Рассмотрим теперь бесконечную десятичную дробь 0,499...9... . Для нее последовательность пар десятичных приближений имеет вид (0; 1), (0,4; 0,5), (0,49; 0,50), (0,499; 0,500) и т. д. 152 в этом случае совпадают десятичные приближения по избытку: 0,5 = 0,50 — 0,500=... . Последовательность приближений по недо статку для первой дроби совпадает с последовательностью десятим ных приближений по избытку для второй дроби. Это означает, что обе дроби выражают длину одного и того же отрезка, которая ран на половине длины единичого отрезка. Иными словами, обе эти дрп би являются десятичными записями одного и того же числа. Чтобы не обозначать двумя способами одно и то же число, уело вились при их записи не использовать бесконечные десятичные дро би, оканчивающиеся «хвостом» из девяток. Такие дроби всегда» можно заменить конечной десятичной дробью, заменив девятки из «хвоста» нулями и увеличив на 1 стоящую перед этим «хвостом» цифру. Например, 3,7299..,9...= 3,7300...0... . Основываясь на ска занном выше, введем следующее определение. Определение. Положительным действительным час лом а называют бесконечную десятичную дроб|. ВЯТОК. Число === /Iq,71j/12 Пишут: Til не оканчивающуюся последовательностью до По . Tlf^ * * * 9 называют а 0,niTi2 целой rif, частью числа а — его дробной частью. ^0 = [0t]» 0,П1П2...П(1...= {(Х}. Например, если а= 14,271502..., то [а] = 14 и {а} = 0,271502... . Множество положительных действительных чисел обозначают R.. Замечание. На самом деле бесконечная десятичная дробь ям ляется не самим числом, а лишь его записью (это же число можно записать, например, в двоичной системе счисления, где получито! бесконечная двоичная дробь). Но мы не будем делать сейчас разлп чия между числом и его записью, тем более что в десятичной сиг теме счисления эта запись однозначно определена. С помощью положительных действительных чисел можно выра зить результат измерения любой величины (длины, площади, об'ь<* ма, массы и т. д.). Например, как мы видели выше, в процессе из мерения отрезков со все возрастающей точностью получаются napi.i чисел, являющиеся приближениями по недостатку и по избытку од ной и той же бесконечной десятичной дроби, т. е. некоторого поло жительного действительного числа. Это и означает, что длина лю бого отрезка (при заданной единице измерения) выражается одним и только одним действительным числом. Верно и обратное утворж дение: для любого положительного действительного числа а пай дется отрезок, длина которого выражается этим числом. (Мы nv приводим доказательства этого утверждения.) 153 llu вышесказанного следует, что между множеством положи-1г)м,ных действительных чисел и множеством длин отрезков можно VIшмовить взаимно-однозначное соответствие. Аналогично выражаются положительными действительными числами результаты измерения площадей и объемов. Лишь вместо единично-14» отрезка надо брать единичные квадраты или соответственно кубы. Чтобы выразить изменения величин (их увеличение или уменьше-IUH'). кроме положительных действительных чисел, нужны отрицательные действительные числа и нуль. Назовем отрицательным действительным числом бесконечную дробь без «xBocTa» из девяток со .таком «минус» перед ней: |3 = -• Это число называют противоположным числу а=Ло,Л1П2...л*... и пишут: Р = -а, а = -р. Тем самым определено множество отрицательных действительных чисел, которое обозначают Д_. Число О имеет две десятичные записи: 0*00...0... и -0,00...0... . Из них мы будем пользоваться лишь первой. 'Гаким образом, 0 = -0 — единственное действительное число, которое противоположно самому себе. Для любого числа а верно равенство а —-(-а). Если а положительно и Р = -а, то полагают Р* = -(х*, Р* = -а* и называют число р* (соответственно Р*) десятичным приближением числа Р по недостатку (соответственно по избытку). Далее, если Р не является целым числом, полагают [р] = -[а]-1 и {Р} —Для целых р полагают [Р] = -а и {р} = 0. Например, если Р = -2,71828..., то р,«-2,719, р^ = -2,718, [р] = -3, {Р}=1-0,71828...= 0,2817... . Если IU-3, то [р] = -3, {р} = 0. Научимся сравнивать действительные числа. Положительные действительные числа сравнивают друг с другом так же, как числа, выражаемые конечными десятичными дробями. Именно: если (х=По,Л1П2...л*... и P=mo,/nim2...m*..., то считают, что а=Р, если ^1=^1 и т. д. U считают, что а<Р в следующих случаях: а) б) Ло = то и п^кт^, в) п^ — т^ и существует такое k€N, что ni — m^y . Пи — т но п* +1 < т^^ +1 Пример 2. Выясним, какое из чисел больше: а= 1,4142... или Р—1,4146... . Решение. Так как равны целые части обоих чисел и первые 3 ци-фры после запятой, а четвертая цифра больше у числа Р, 2<6, то а<р. Если а — отрицательное число, а Р — положительное число, то считают, что а<0<р. Если а w Р — отрицательные числа, то (Х<Р в том и только в том случае, когда ~Р<-а. Объединение множеств i2+, R_ и {0} составляет множество всех действительных чисел, которые принято обозначать буквой R: д=д_и{о}и/г+. Для этого множества мы определили отношение равенства и отношение строгого порядка меньше: а<р. Некоторые свойства этого отношения мы рассмотрим в § 3 этой главы. 154 УПРАЖНЕНИЯ I 1. I Докажите, что не существует рационального числа, квадрат кото рого равен: 3; 5; 6; 2,1. I 2. I Докажите, что не существует рационального числа, куб которог*» равен: 2; 3; 4; 6; 2,1. I 3. I Докажите, что целое число, не являющееся квадратом целого чис- ____ ла, не может быть и квадратом рационального числа. I 4. I Докажите, что целое число, не являющееся кубом целого числи, не может быть и кубом рационального числа. 5. Найдите для следующих чисел их целые и дробные части, а так же приближения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 и до 0,0001: 1) 71 = 3,1415926...; 3) 0,5189773...; 5) 0,0063754; 2) -7г; 4) -0,5189773...; 6) -0,0063754. н 7^ 8. 9. Докажите, что если для положительной бесконечной десятичпоА дроби все приближения по недостатку, начиная с k-vo, совпадают, то все ее цифры, начиная с некоторой, равны нулю. Сформули руйте аналогичное утверждение для приближений по избытку. Существует ли наименьшее число, которое больше 0,52? Найдите наибольшее действительное число, которое меньше 0,9 и в десятичную запись которого не входит цифра 9. Найдите наименьшее действительное число, которое больше ч(»м 7,6, причем в его десятичную запись не входят цифры 0, 1 и 2. 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Любое рациональное число является действительным, т. е. мо жет быть записано в виде бесконечной десятичной дроби. Чтобы по т лучить такую запись для числа —, надо разделить уголком т на п. Например, деля 1 на 3, получаем бесконечную десятичную дробь 0,33...3... . Значит, — = 0,33...3... . Если взять десятичное прибли жение числа — по недостатку, то после умножения на 3 получа<ш число, меньшее 1, например 0,3333 • 3 = 0,9999. Если же взять при ближение по избытку, то после умножения на 3 получаем число, большее чем 1, например 0,3334*3 = 1,0002. Вообще, при обршцс НИИ числа — в бесконечную десятичную дробь а для любого k верпы неравенства /га*<т<па*. Если обратим в бесконечную десятичную дробь числа — и ^ , то 7 45 получим — = 0,142857142857... и —=0,1777... . В каждом из par 7 45 155 смотренных выше примеров получается десятичная дробь, обладаю-|ц«)| следующим свойством: начиная с некоторого места, в ней по- иторяется одна и та же группа цифр (для i — цифра 3, для у — группа цифр 142857 и т. д.). Введем следующее определение. Определение. Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если она, начиная с некоторого места, образована повторением одной и той же цифры или группы цифр. Повторяющуюся цифру или повторяющуюся наименьшую группу цифр называют периодом, а число цифр в периоде — длиной периода. Если период дроби стоит сразу после запятой, дробь называют чисто периодической, в противном случае — смешанной периодической. 1 8 Таким образом, для дробей — и — длина периода равна 1, при 2 3 45 :»том для — период 3 начинается сразу после запятой, и потому 3 0,33...3.,. чисто периодическая бесконечная десятичная дробь. g Дробь же 0,177...7..., соответствующая —,— смешанная периодиче-1 45 ская дробь. Для ~ соответствующая периодическая дробь образована повторением периода 142857. Она является чисто периодической дробью с длиной периода 6. Обычно период дроби пишут один раз, заключив его в скобки: 0.33...3... = 0,(3); 0,142857142857... =0,(142857); 0,177...7... = 0,1(7). Бесконечная десятичная дробь, соответствующая дроби всегда периодична. Это следует из того, что при делении m на п может получиться не более чем п различных остатков: 0, 1, 2, ..., п-1. Поэтому среди п идущих подряд остатков должны быть по принципу Дирихле хотя бы два одинаковых. Но повторение остатков означает и повторение соответствующих цифр в частном, т. е. периодичность получающейся бесконечной десятичной дроби (если остаток равен нулю, то эта дробь может быть записана и как конечная десятичная дробь). Мы доказали, что рациональные числа выражаются перидиочес-кими десятичными дробями. Поэтому непериодические десятичные дроби выражают числа нового типа, не являющиеся рациональными. Числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными. Например, иррациональное число 0,101001000100001..., поскольку число нулей, следующих за единицей, все время увеличивается. Ниже мы покажем, что каждой периодической десятичной дроби соответствует рациональное число, а потому любое иррациональное число выражается непериодической бесконечной десятичной дробью (см. п. 4). 156 УПРАЖНЕНИЯ 10. j Докажите, что следующие бесконечные десятичные дроби вырнжп* ют иррациональные числа: 1) 0,73773777377773...; 2) 0,5655655556555555556... . 1^1.1 Следующие рациональные числа запишите в виде конечных или периодических десятичных дробей: 12. »!•« Ш’ 19 , 3449 . 4 625’ 3125’ 7 0\ 15.. _L. з) е) Ж) 3} , . (о 21 - - 5 \ - 1 17 п)=Ч + Т2’ fl3i-2—-10-) • 230—+ 46-Ч 4 27 6/ 25 4 К) Докажите, что длина периода бесконечной десятичной дроби, со ^ g, т - ответствующеи дроби —, является делителем числа п-1. 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Определим во множестве R операции сложения, вычитания, ум ножения и деления. Чтобы определить сумму действительных чисел, надо указа'п. правило, позволяющее по десятичным записям слагаемых найти до сятичную запись суммы. При этом достаточно рассмотреть случай, когда оба слагаемых положительны. Пусть а = /По,т1/П2...т*... и P = rto,ni/i2...nft... . Образуем десятичные приближения чисел а и (5 с избытком: о(,, а\, ..., а;, ..., Ро, р;, р;, ... и сложим с Ро, а; с р;, 0^ с р2 и т. д. Получаем последовательность таких сумм: (Хо + Ро> cti + pj, (х^ + р2> ...» (х]^ + р*, ... . Так как ai>a*+i и Pi^Pi+i> то + ai + i + P*+i, а потому каждый следующий член этой последовательности не превосходит предыду щего. Тем же свойством обладают и целые части этих сумм: [о;)+ро]>[а;+р;]>..^ж+р;]>.- (I Эти целые части являются натуральными числами, и поэтому с])о ди них есть наименьшее число. Тогда все числа, идущие за этим паи 157 моньшим числом в выражении (1), одинаковы. Как только это достигнуто, начинаем следить за цифрой десятых. По тем же соображениям она тоже начнет с некоторого места повторяться, и мы перейдем к слежению за цифрой сотых. Так одна за другой будут по-яиляться цифры суммы чисел а и р. Пример. Найдем первые пять цифр суммы 3,14159... + 2,71828... . Решение. Суммы приближений по избытку имеют вид 4 + 3; 3,2 + 2,8; 3,15 + 2,72; 3,142 + 2,719; 3,1416 + 2,7183; 3,14160 + 2,71829; ..., т. е 7; 6,0; 5,87; 5,861; 5,8599; 5,85989; ... . Целые числа 7, 6, 5, 5, 5, ... стабилизируются на числе 5, сразу после этого цифра десятых стабилизируется на числе 8, потом цифра сотых — на числе 5, цифра тысячных — на числе 9, а если продолжить сложение, то увидим, что цифра десятитысячных стабилизируется на числе 8. Поэтому имеем 3,14159...+ 2,71828... = 5,8598... . Аналогично определяется вычитание положительных действительных чисел, только здесь надо рассмотреть последовательность Otj —Pi, ... , Ctj^ —pjt, ... . Далее для определения' произведения положительных действительных чисел а и Р берем последовательность произведений ^1р1> ••• » ^^*Рл» ••• и тоже следим за тем, как одна за другой стабилизируются цифры этих произведений. ^ Наконец, определяем частное — с помощью последовательности чисел Р щ а\ a'fg каждое из которых надо еще превратить в бесконечную десятичную дробь. С помощью операций над положительными действительными числами выражаются некоторые геометрические утверждения. Например, справедливы следующие утверждения: а) если С — точка, лежащая внутри отрезка АБ, то длина этого отрезка равна сумме длин отрезков АС и СВ; б) если фигура состоит из нескольких частей, то ее площадь равна сумме площадей частей; 158 в) площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон; г) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его ребер. Доказательство этих утверждений проводится в геометрии (в ih'ko торых аксиоматиках утверждение «а» принимается за аксиому), при чем эти доказательства опираются на приведенные определения apncj) метических действий над положительными действительными числами. После того как введены операции над положительными дейстпи тельными числами, их распространяют на отрицательные числа и нуль. Тем самым эти операции определяются для всех действитель ных чисел. Можно доказать, что так введенные операции обладают всеми свойствами операций над рациональными числами, а именно: 1) Арифметические операции определены для любых пар действительных чисел, исключая операцию деления, которая определена, если делитель не равен нулю. 2) Как сложение, так и умножение обладают свойствами переста новочности и сочетательности: а+Р = Р4-а, ар = ра; (a + p) + Y=a + (P + Y), (ap)Y=a(PY). 3) Умножение обладает свойством распределительности относи тельно сложения: a(P + Y) = otp-t-otY* 4) Имеет место «правило знаков»: (-а)р = а(-р) = -ар, (-а)(-р) = ар. 5) Для каждого отличного от нуля числа а существует такое чис- ло что а а 6) Выполняются равенства ач-0 = а и а* 1=а. Из этих свойств, лежащих в основе школьной алгебры, вытекают остальные свойства операций над числами. В частности, из них следует, что равенство ар = 0 имеет место в том и только в том слу* чае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Этим свойством мы пользовались при решении уравнений. В заключение определим понятие модуля действительного числа: Модулем числа а называют такое число 1а1, что а, если а>0, -а, если а<0. |а| = Из определений операций над действительными числами вытека ют следующие свойства модуля: а) 1а + РК|а| + |Р1; б) |aPI = |al • IPI; в) = -^, a?tO; |а| г) |а-Р1>|а|-|Р|. 159 Докажем, например, свойство «а». Если а и Р имеют одинаковые анаки, то модуль их суммы равен сумме модулей (и сумма имеет тот же знак, что и слагаемые). В этом случае |а + р| —|а| + |Р1, Если же знаки аир различны, то модуль числа а + Р равен разности большего и меньшего из модулей чисел а и Р и потому меньше суммы модулей этих чисел. В этом случае |a-hPl<|a|-i-ipi. Наконец, если хотя бы одно из чисел а, Р равно нулю, равенство |а-)-р| = 1а|н-|Р1 очевидно. Таким образом, во всех случаях имеем 1а + рК|а1-ЫР1. Обозначая в неравенстве «а» а + Р = у* получаем, что lyl^ly-PI-l-iPI, т. е. 1У“Р1^1у1“1Р1 • Тем самым доказано свойство «г». УПРАЖНЕНИЯ 15. 13. Запишите с помощью знака модуля неравенство: а) -3<х<3; в) -4<х + 1<4; д) -3<х<5; б) “7<х<7; г) -5<а:<3; е) -8<х<4, 14. Решите неравенство: а) |х-4|<5; г) \х-^2\ + \х-2\>12; б) \х + 3\>2; д) |х-41 + |х + 41< 10; в) |х|<л: + 1; е) ||3-д:1-2|<|х-1|. Число а иррационально. Докажите, что число тоже иррационально. [1в7| Укажите два иррациональных числа, сумма которых рациональна. [Т77[ Укажите два разных иррациональных числа, произведение которых рационально. 118 I Пусть числа аир иррациональны, а число г рационально. Какие из следующих чисел могут принимать рациональные значения: а) ач-р; б) аР; в) ач-г; г) аг? А ОБРАЩЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ В ОБЫКНОВЕННЫЕ Операция умножения действительных чисел на 10, 100, 1000 и т. д. выполняется так же, как и для конечных десятичных дробей,— путем переноса запятой. Пользуясь этим замечанием, легко обратить любую периодическую десятичную дробь в обыкновенную. Обратим, например, в обыкновенную дробь периодическую дробь х = 0,(246) = 0,246246...246... . 160 Если умножить обе части равенства на 1000, получаем 1000х = 246,246246...246... = 246 + 0,246246...246... = 246 + л:. 246 Отсюда находим, что 999л: = 246, и потому х = 999 Десятичная дробь 0,00(246) в 100 раз меньше, чем 0,(246), и потому 0,00(246) = : 100 = . ^ ^ 999 99 900 Дробь же 0,78(246) можно записать в виде суммы 0,78(246) = 0,78+ 0,00(246), и поэтому она равна: 78 ^ 246 78 • 999 + 246 78246-78 100 99900 99 900 99 900 После сокращения получаем, что 0,78(246) = 6514 8325 Общее правило обращения периодических десятичных дробей и обыкновенные формулируется следующим образом: Чисто периодическая правильная*^ десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой записан период, а зиа менатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде. Смешанная правильная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой стоит разность между числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до нача ла второго периода, и числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до начала первого периода; знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода. Например, 0,(142857)= 0,24(617)= 999 999 99 900 99900 В пункте 2 мы уже показали, что любому рациональному числу соответствует периодическая десятичная дробь, не оканчивающаяся последовательностью девяток. Сейчас мы установили, что любой периодической десятичной дроби, не оканчивающейся последоия тельностью девяток, соответствует некоторое рациональное число. Таким образом, между множеством периодических десятичных дробей, не оканчивающихся последовательностью девяток, и множост вом рациональных чисел установлено взаимно-однозначное соотш*т ствие, т. е. эти множества эквивалентны. Десятичную дробь называют правильной, если ее целая часть рапип нулю. 6 Алгебра, 8 кл. 161 Если не исключать периодические десятичные дроби, оканчивающиеся последовательностью девяток, то взаимно-однозначное соответствие нарушится. Например, числу соответствуют две периоди- ческие десятичные дроби 0,4999... и 0,5000... . УПРАЖНЕНИЯ 19. 20. Обратите в обыкновенную дробь: а) 0,(2); б) 0,(23); в) 1,(7); г) 3,5(72). Вычислите: а) 0,(2) + 0,(3); га б) 0,(2) + 0,(37); га в) 0,(73)-0,(487); га (1+0,131^ :0,25 0,09837(8): 0,0925 0,725 + - + 0,175 +0,421(61) +0,12(83) 5 0,128 ■ 6,25-0,0345:0,12 0,8341(6) + 0,17(1) , 0,8(5) + 0,1(6) 0,8341(6)-0,17(1) 0,8(5)-0,1(6) ■ 5. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ ЛИНИИ И НА ПЛОСКОСТИ Выберем на прямой линии I точку О (начало отсчета), направление и, кроме того, зададим единичный отрезок (рис. 22, а). Тогда каждой точке А этой прямой соответствует отрезок ОА. В пункте 1 мы установили существование взаимно-однозначного соответствия между множеством длин всех отрезков и множеством R+. Поэтому каждой точке А можно поставить в соответствие действительное число х по следующему правилу: взять х равным длине отрезка ОА со знаком «плюс», если направление отрезка совпадает с выбранным направлением на прямой Z, и со знаком «минус» в противном случае. Точке О поставим в соответствие число х = 0. Тогда между множеством точек прямой I и множеством R действительных чисел будет установлено взаимно-однозначное соответствие. Поэтому прямую Z, на которой выбрано начало отсчета О, направление и единичный отрезок, называют коорди-натной прямой^ а число д:, соответствующее точке А, называют коор- А(х,) —h— В(Х2) — 22 а) б) 162 динатой точки А и пишут А{х) (читают: точка А с координатой х). Точка О имеет координату, равную нулю. Модуль числа х равен длине отрезка ОА, где А — точка с координатой X. Если A(xi) и BCxg) — точки координатной прямой, то расстояние между этими точками равно |x2“Xil. Для доказательства надо разобрать шесть взаимных положений точек О, А и В и показать справедливость нашего равенства во всех случаях. Например, для рисунка 22, б имеем АВ = ОВ — ОА = Хг - Xj = IХ2 - Xi |. Аналогично определяют систему координат на плоскости. Для этого выбирают на плоскости точку О — начало координат — и проводят через нее две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу (оси координат, рис. 23). На каждой из этих прямых выбираем направление и, кроме того, выбираем единичный отрезок. Получаем систему прямоугольных координат на плоскости. Такую систему координат называют декартовой, в честь французского математика и философа Рене Декарта (1596—1650), который впервые ввел такие системы координат. Каждой точке М на плоскости поставим в соответствие два числа х и у, называемые соответственно абсциссой и ординатой этой точки. Для этого опустим из точки М перпендикуляры МА и МВ на оси координат (рис. 24). Абсцисса X точки М — это координа-I та точки А на прямой Ох, а ордината 1 у для М — это координата точки В на прямой Оу. Этим правилом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством точек М плоскости и декартовым произведением {х}х{у} множества абсцисс и множества ординат точек М. Точку М с абсциссой X и ординатой у обозначают М(х; у). Числа х и у низы вают координатами точки М. Оси координат делят плоскость на 4 части, называемые квадран* тами или координатными четвертями (рис. 25). Рис. 24 Рис. 25 163 Мы знаем из курса алгебры 7 класса, что уравнение вида y^kx-\-b задает прямую линию на плоскости, не параллельную о(!и ординат, а уравнение х = а — прямую линию, параллельную оси ординат. Если надо задать отрезок на плоскости, то, кроме уравнения прямой, на которой лежит этот отрезок, указывают границы изменения координат его точек. Например, отрезок биссектрисы пер-1ЮГО и третьего координатных углов, имеющий концы А(-3; -3) и /<(4; 4), задается так: г/ = х, -3<х<4, а отрезок прямой х = 6 с концами А(6; — 4), В(6; 2) — так: х = 6, -4) 166 случае говорят, что множество N замкнуто относительно операции сложения, но не замкнуто относительно операции деления. В общим случае имеет место Определение. Если для любой пары чисел множества Л результат некоторой арифметической операции принадле жит множеству А, то множество А называют замкнутым относительно этой операции. Ясно, что множество N замкнуто также относительно операции умножения, но не замкнуто относительно операции вычитания. Множество Z замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и не замкнуто относительно деления. Множество Q замкну то относительно всех арифметических операций, но не замкнуто относительно операции извлечения корня, которую мы рассмотрим немного позже. Важным отличием бесконечных числовых множеств от конечных является то, что любое конечное множество имеет наибольший и на именьший элементы, а для бесконечных числовых множеств этот факт может и не иметь места. Например, множество N натуральных чисел имеет наименьший элемент 1, но не имеет наибольшего элемента, так как для всякого числа л€ЛГ число п + 1>п. Множество Z не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Множество Д, и{0} не имеет наименьшего элемента, но имеет наибольший элемент 0. Если числовое множество А имеет наименьший элемент а, то для любого элемента х£А выполняется неравенство а<л:. Если Ь — наибольший элемент множества А, то для каждого элемента х^А вы полняется неравенство х<Ь. Если в множестве А одновременно ест1> и наименьший элемент а, и наибольший элемент Ь, то, очевидно, а<х<Ь для всех элементов х^А. В первом случае говорят, что мио жестпво А ограничено снизу (числом а), во втором — множество Л ограничено сверху^ в третьем случае — множество А ограничено. Произвольное числовое множество А называется ограниченным, ос ли существует положительное действительное число а, такое, что для всех х^А выполняется неравенство |дг|<а. Например, множест (-1Г п воА = |^—У- n€ivj ограничено, так как <2 для всех n€N. УПРАЖНЕНИЯ Найдите множество значений переменной, при которых имеет смысл уравнение: 1 ’ 1 I 1 1. 2(х-1) 2{х + 1) х’ а) х^ + Ъх + 1 + х^-х = 1 + б) л;2 + ЬЧ х^ - 4а‘ = 0. 167 Найдите множество корней уравнения: 12д:-ь1 9д:-5 108д:-36д:2-9 а) 6х-2 Зд: + 1 4 (9x^-1) -V д:^ + 2л: + 2 , х^ + Вх + 20 б) -------------:----+ в) г) л: + 4 2д:2-8х + 6 х + 5 х + 4 х-3 2-2x2 х-7 х2 + 4х + 6 ^ х2 + 6х+12 х + 2 х + 6 х^-^Зх^-х+г + X Ч" 3 = 0. 2х2 + 6х-8 ■ 64-4x2 х2-х2-1бхч-16 Совпадают ли множества корней для пары уравнений: 2 1 1 х(х + 2) а) х2-6х + 9 = 0 и , х^-4 х(х-2) б) л;2 + бл: = 0 и |л: + 7| = 1; в) л;2-6х + 8 = 0 и =0? 5 Даны множества: Ai = {-1; 0; 1}, А2 = {-1; 0; 1; 2}, A^ = {2k\k€Z}, A4 = {2fe4-l|ft€Z}, А5 = |-|-jftezj, Ae = Q\Z. Исследуйте замкнутость каждого из них относительно сложения и умножения. 7. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА Для сравнения бесконечных множеств по количеству элементов мы в пункте 10 главы III ввели понятие взаимно-однозначного соответствия, Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, назвали эквивалентными. Такие множества имеют как бы одинаковое количество элементов. Но слово ♦ количество» плохо подходит для бесконечных множеств, поэтому эквивалентные множества называют равномощными или имеющими одинаковую мощность. В этом пункте мы рассмотрим бесконечные числовые множества, эквивалентные множеству натуральных чисел. Такие множества называют счетными. Пусть множество А счетно. Тогда каждому его элементу может быть поставлено в соответствие какое-либо натуральное число, каждое один раз, и при этом все натуральные числа будут израсходованы. Если это натуральное число считать номером данного элемента, то каждый элемент множества А получает некоторый номер, причем различные элементы получают различные номера. Поэтому можно сказать: бесконечное множество счетно, если его элементы можно перенумеровать. Простым примером счетного множества служит множество натуральных чисел N = {1; 2; 3; 4; л; Здесь число п само является своим «номером». Если взять множество {2n\n^N} четных на- 168 туральных чисел, то это множество нетрудно Для этого каждому числу 2п дадим номер п: ♦ перенумерошп' i. • Четное число Номер 2 4 6 8 2п 12 3 4 п Вообще любое бесконечное подмножество А множества N нату ральных чисел счетно. В самом деле, расположим числа множестпп А в порядке возрастания. Тогда какое-то число станет первым, и, начиная с него, занумеруем остальные. Например, счетными являются: множество нечетных натурал!. ных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5. Хотя ;mi множества являются подмножествами множества iV, для нумерации их элементов будут израсходованы все натуральные числа. В этом проявляется удивительное свойство бесконечных мио жеств: существует бесконечная часть множества, равномощная со всем множеством, т, е. множество и его бесконечное подмножестио имеют как бы одинаковое ♦ количество» элементов. Никакое конеч ное множество таким свойством не обладает. В этом принципиаль ное отличие конечных и бесконечных множеств. Рассмотрим множество Z всех целых чисел: ..., ^ ТЪ у ***9 ~1> ^9 1> ^9 ^9 ***9 ^9 •••'• На первый взгляд кажется, что это множество перенумеровать нел1. зя, так как все числа, «нужные» для нумерации, будут израсходони ны в правой части множества. Однако эту нумерацию можно ocyщe^vг вить, поступив следующим образом: двигаться по множеству Z не в од ном направлении (вправо или влево), а все время меняя направление, каждый раз пересекая число 0. Иными словами, будем нумеровать так: .-3-2-10123 IL Номер 2п +1 3 12 4 6 2п При такой нумерации число п (л = 1, 2, 3, ...) получит номер 2л, а число -л (п = 0, 1, 2, 3, ...) — номер 2/1 + 1. Рассмотрим множество положительных несократимых дробей вида т I Ч ^ , т. е. множество А = |— /neiV, n^N, D(m, п) = l|. Каждой дро* ffl л rt m TtXy би — поставим в соответствие число 2”^ • 3". Тогда, если — ^ П ^2 . з'*^ 2"*^ * 3"^. Значит, в силу единственности разложения нату^ ральных чисел на простые множители (§ 2, п. 6, гл. IV), разным дробям будут соответствовать разные натуральные числа. Если эти натуральные числа расположить в порядке возрастания и перенумеровать, то тем самым будут перенумерованы все элеменгы множества А. При этом будут израсходованы все натуральные числи. т, то 169 Гл«»довательно, множество положительных несократимых дробей и и да — счетно. п Этим же способом можно доказать счетность множества {М(п, т)) точек плоскости, имеющих координатами натуральные числа. В десятом классе вы узнаете, что существуют не только счетные множества, но и так называемые несчетные множества, т. е. такие множества, элементы которых нельзя пронумеровать. Множество положительных рациональных чисел есть бесконечное подмножество множества А, так как дроби — могут опреде- п 12 3 лить одно и то же рациональное число. Например, тг =-г = "S" = ••• • 2 4 6 Значит, множество можно перенумеровать. Для этого запишем множество А в порядке возрастания номеров и вычеркнем повторяющиеся рациональные числа. Оставшееся множество перенумеруем в том порядке, как оно записано. Множество всех рациональных чисел Q = Q-U{0}uQ^ можно занумеровать, используя тот же прием, что и при нумерации множества целых чисел. Описанный способ нумерации множества А можно использовать для нумерации различных множеств, например для нумерации множества всех квадратных трехчленов с натуральными коэффициентами {ах^ + Ъх-¥с\ау ft, c€iV}. Каждый трехчлен + с однозначно определяется своими коэффициентами а, ft, с. Возьмем три простых числа 2, 3, 5 и каждому трехчлену поставим в соответствие натуральное число Ясно, что различным трехчленам будут поставлены в соответствие различные натуральные числа. Расставляя затем элементы множества {З"" * s'"' 5*"|а, ft, c€iV} в^порядке возрастания и нумеруя их, мы тем самым занумеруем и множество {a^:^ + ftx + c|a, ft, c€iV}. Этим же способом можно доказать счетность множества {М(п; т)} точек плоскости, имеющих координатами натуральные числа. Например, возьмем простые числа 2, 3 и каждой точке М(л; /п), n€iV, m€iV, поставим в соответствие натуральное число 2"* • 3". Повторяя предыдущие рассуждения, мы занумеруем все точки плоскости с натуральными координатами, а значит, множество {М(п; m)\n^Ny m^N) счетно. Выше показано, что множество натуральных чисел и множество рациональных чисел имеют одинаковую мощность. Однако на числовой оси элементы этих множеств расположены с различной плотностью. Пусть т Vi п — произвольные натуральные числа и т<л, тогда на интервале (т; п) может находиться лишь конечное множество натуральных чисел. Например, на интервале (3; 7) расположено множество чисел {4; 5; 6}. Другое дело, если рассматривать интервал (а; ft), где а и ft — рациональные числа. На этом числовом промежутке расположено бесконечное множество рациональных чисел. 170 Действительно, середина интервала а-\-Ь — рациональное число, i'v ( /а+Ь Л редины полученных половин уа; —- j и —; bj также рациошип. ные числа. Это деление мы можем продолжать бесконечно. Чтобы различать множества по плотности расположения их :>ле* ментов на числовой оси, математики используют понятия дискретны л и плотных множеств. Так, множество натуральных чисел и различ ные его подмножества называют дискретными множествами, а мпож!» ство рациональных чисел называют плотным множеством. УПРАЖНЕНИЯ 28. Докажите, что следующие множества можно пронумеровать: т а) множество всех рациональных чисел вида —, т, п ^N; б) множество квадратных трехчленов а, Ь, с 6iV} 129.1 Докажите, что множество точек (х; у) плоскости, где х, счетно. § 3. НЕРАВЕНСТВА и ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 8. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ В пункте 1 ВО множестве R действительных чисел введено отнопм* ние строгого порядка «меньше» и отношение «равенства», с помопи.ю которых мы можем сравнить действительные числа. Поэтому в матр матике значительное место занимает изучение неравенств. Некоторые свойства числовых неравенств были указаны в курсах математики 5 и б классов. Мы докажем эти свойства. При этом бу-дем использовать следующие свойства положительных чисел: 1) Сумма ал-Ь и произведение аЪ двух положительных чисел а и Ь положительны: 2) Число обратное положительному числу а, положительно. Кроме того, будем использовать следующее утверждение, непосрод ственно вытекающее из определений неравенства действительных чн сел и операции вычитания: 3) Неравенство а<Ь имеет место в том и только в том случае, когда разность Ь~а положительна, т. е, Ь-а>0. Справедливы следующие свойства неравенств: 171 II) Если a0. |и с а>0, и потому а<с. то 6-а>0 и с-Ь>0, Но то-Так как (с-&) + (Ь-а) = с-а, б) Если а<Ь, то а + с<Ь + с. 1)то утверждение вытекает из того, что (&ч-с)-(а + с) = Ь-а. в) Если а<Ь и о О, то ас<Ьс. В самом деле, если а<Ь, то 6-а>0. Поскольку и о О, то в силу утверждения 1) произведение (Ь-а)с положительно, (&-а)с>0. Но (b-a)c — bc-acj и потому Ьс-аоО. Это и значит, что ас<Ьс, Итак, при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется. г) Если а<Ь и с<0, то аоЬс. В самом деле, имеем Ь-а>0 и с<0, а потому произведение {Ь а)с отрицательно, (Ь-а)с<0. Но (6-а)с = Ьс-ас, и потому he ас<Оу т. е. ас-ЬоО, Это и означает, что аоЬс. Итак, при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный. д) Если 0<а<Ь, то -т-<—• Ъ а о 11 ь-а В самом деле,------ = —— а Ь аЬ Так как по условию а<Ь и а>0, то h а ^ 11лА 11 -->0, т. е.--->0, А это и означает, что — < — . ah а Ь Ъ а Из основных утверждений а) — д) следуют другие свойства неравенств. е) Если а<Ь и c0 выводим, что bcd>0, то -<4-. Иными словами, при увеличении поло с а жительного числителя и уменьшении положительного знаменатс ля дробь увеличивается. Например, О<3,6 <4,5, О <2,3 <2,8, и по 3,6 4,5 УПРАЖНЕНИЯ Какие из следующих неравенств верны: 30. а) -5<0; е) -8,52>-8,49; ч 5 1 12^2' б) -7>-11; ж) 0,0024 <-1243; м) ^>0Д7; в) 15<15; 3) -0,0035 >-0,00035; н) ^<0,35; г) 0<-1; и) -0,0015<0,0012; О) -^<-0,075; 40 д) 3,819<3,817; к) 2 • 10в<35 • 10®; „ч 8.1 ^ 97 , 10® 10^ ^ Какие из нижеследующих чисел неотрицательны и какие положительны: -148,3; 215; 0; 1-24,1|; 173,11; (-311,8)2; (-74,6)3; |(28)5|? Поставьте вместо звездочки знак <, > или = так, чтобы получи лось верное неравенство: V 22 355 а) — *-------; ^7 113’ б) -3|*-3^; в) 0,04*^; г) 3,0001*3,001; д) -0,0018*-0,0016. J~33j При каких значениях х положительны числа: а) |jc|; г) -х; ж) -л-1; к) -1л|+16; б) -|л|; д) л-4; з) -л + 5; л) |л|-12; в) л^ + 4; е) л+1; и) -л-10; м) л^-49? f34.] Как расположены на координатной прямой относительно друг друга точки А (о) и В{Ь), если: а) а-Ь = -7; б) 0-6 = 30,6; в) 6-о = -1,3; г) 6-0 = 0? 173 i-7 прибавить число: а) -5; б) 2,7; в) -18; г) 7. 1йц Напишите неравенство, которое получится, если обе части нера-иенства -9<21 умножить на число: а) 2; б) -6; в) 0,5; г) ;17. Запишите неравенство, которое получится, если из обеих частей неравенства 5>-3 вычесть число: а) 2; б) 12; в) -3; г) ан. Запишите неравенство, которое получится, если обе части неравенства 15 >3 разделить на: а) 3; б) -3; в) -1; г) (-|)*. .чв. Запишите неравенство, которое получится, если вычесть обе части неравенства - 6 <11 из числа: а) -6; б) 11; в) 15; г) -11; д) 0. io. Запишите неравенство, которое получится, если разделить на обе части неравенства 3<12 число: а) 3; б) -12; в) 6; г) (-6)^ 41. Запишите неравенство, которое получится, если разделить на обе части неравенства -3< 12 число: а) -3; б) 12; в) (-1)^ г) (-24)^ -12. Запишите неравенство, которое получится, если разделить на обе части неравенства -12<-3 число: а) -3; б) -12; в) (-3)^ г) (-12)2. 44.^ Запишите четыре неравенства, которые можно вывести из неравенств 3<10 и 2 <5. 44. i Докажите следующие утверждения: а) если а>Ь и cа>0 и 0-2. Известно, что а<Ь, Замените звездочки одним из знаков >, <, — в записи; 49. 50. 63. и 55. а) - 12,7а *-12,76; д) О • а * О • 6; О О б) 0,07а *0,076; г)-|-*-|-; е)-с*-6. м А Положительно или отрицательно число а, если известно, что: а) 5а<2а; б) 7а>3а; в) -3а<3а; г) -12а>-2а? Известно, что а <2. Докажите, что За <7. Известно, что ж >8. Докажите, что 5х>30. Известно, что а + 6<4. Докажите, что 2а+ 26<17. Докажите числовое неравенство: а) 651+ 381 <425+ 684; в) 376 • 859 <911 • 584; б) 2654-1167 <3125-1148; г) 38 304 : 56 <38 335 : 5. Расставьте в порядке возрастания числовых значений следующие выражения: а) 4258 + 9165, 10278 + 4281, 4179 + 9034, 9027 + 4175; 11315 + 4473, 4262 + 9837; б) 389 • 743, 715 ■ 364, 737 • 381, 815 • 425, 405 • 787, 805 • 344; в) 10941-3459, 10738-3615, 10845-3519, 10642-3824, 10695-3741, 10627-3898; г) 9216:64, 9362:62, 9108:66, 9961:63, 9045:67, 9516:61. Докажите числовое неравенство: а) 15000<8516 + 7911<17000; в) 180000<956 • 247<300000; б) 400<875-321<600; г) 20<648 : 27<35. 9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВЕННЫХ НЕРАВЕНСТВ Некоторые буквенные неравенства верны при любых значениях входящих в них букв. Например, при всех значениях х верно, что х^>0 (если X положительно или отрицательно, то х^ положительно, т. е. х^>0, а при х = 0 и х^ = 0). Значит, при всех значениях х верны и неравенства (х-1)^>0, (д:^-8л;+1)^>0 и т. д. 175 Пример 1. Докажем, что при всех значениях а верно неравенство + Sci “1“ 3 > п (л + 8). Решение. Образуем разность левой и правой частей этого нера-мснства: 2а^ + 8а + 3 - а (а + 8) = 2а^ + 8а + 3 - - 8а = + 3. Но выражение а^ + 3 положительно при всех значениях а как Зна- сумма неотрицательного числа и положительного числа 3. чит, для всех а имеем 2а^ + 8а + 3>а(а + 8). Пример 2. Докажем, что при любых значениях хну верно неравенство ZxyKx’^ + y^. Решение. Образуем разность правой и левой частей этого неравенства: х^ + у^-2ху = (х-у)^. Так как она неотрицательна при любых значениях х и у, то 2ху<х^ + у^. Заметим, что равенство имеет место лишь в случае, когда (x-i/)^ = 0, т. е. когда х = у. Если же х^у, то 2ху<х^ + у^. Так же как и при доказательстве тождественных равенств, иногда требуется доказать тождественное неравенство при некоторых условиях, налагаемых на переменные, входящие в неравенство. Пример 3. Докажем, что {a-\-b){b-\-c){c + a)>Sabc, если а>0, Ь>0, оО. Решение. Перенеся 8аЬс в левую часть, докажем, что (а -1- ft) (6 -ь с) (с -I- а) - 8aftc = а (ft - с)^ -f- ft (с - а)^ -f с (а - ЬУ (см. упр. 178, гл. II). Так как правая часть равенства всегда неотрицательна, если а>0, ft>0, об, то отсюда и следует верность доказываемого. ^ УПРАЖНЕНИЯ ев. Докажите, что при всех значениях переменных верно неравенство: а) х^-ь 5>0; ж) 15ли-56>/n(m-i-15); б) 1-|-а^>0; з) (7т-1)(7т-I-1)<49т^; в) (а-3)^>0; и) (2m + 3)(2m +l)>4m(m-l-2); к) (2m + 3)(2m + l)<(2m + 2)2; л) 3m(m-t-6)<(3m-i-6)(m-i-4); м) a(a-l-ft)>-aft-2ft^. г) -р^-2<0; д) 2х2 + 7>0; е) 3(ач-1)-|-а-4(2-|-а)<0; 57. Докажите, что при любых положительных значениях переменных верно неравенство: а) а^+ 7а>а{а + 6); б) За(а-|-4)-ь8>а(За-1-2)-1-1; в) x^ + Sxy + 2y^>(x + y)(x + 2y); г) (2х + 2у){х + 5у)>{х + гу){2х-Ьу). 176 58. Докажите справедливость неравенства: а+Ь а . Ь а) < 1-f а4-Ь 1 + а + 1 + Ь , если а>0, Ь>0; б) + £j-g- 4- > 6, если x>0, г/>0, г>0. 10. СТАНДАРТНАЯ ЗАПИСЬ ЧИСЛА Любое число, большее или равное 10, можно записать в виде а = Ь'10", где 1<&<10. Например, 476 = 4,76 • 10^; 9726,51 = 9,72651 • 10^. Если же поло жительное число а меньше чем 1, то его можно записать в виде 1 а — Ь , где 1 <Ь< 10. Например, 0,786 = 7,86 1 1 0,008965 = 8,965 Обычно вместе» 10" пишут 10“", так что 0,786 = 7,86 * 10^^; 0,008965 = 8,965 • 10 Запись числа в виде а = Ь*10" или а = 5-10“", где Kft<10, называют стандартной. Для чисел а, таких, что Ка<10, стандарт ная запись совпадает с обычной. Иногда при Ка<10 вместо а ntt шут а • 10^. В 9 классе мы детальнее рассмотрим степени с отрицательными и нулевыми показателями и изучим их свойства. Там будет показа но, что для таких степеней остаются верными равенства = а™: а'* = а'"-", (а'")" = а'"", (аЬ)’‘ = а"Ь\ (-У =— V о / Ь" и другие известные нам свойства степеней. УПРА МНЕНИЯ 59. Представьте в стандартном виде число: 1 1 1 1 а) 10® • 10^; 10® 10® во. 10^ ’ 10® 10® ’ 10® ’ б) 13 000 000; 89 000000; 75 500 000; 29 680000; в) 0,0035; 0,6381; 1,72; 3,149. Запишите в стандартном виде значение выражения: а) (2,15 • 10®) ■ (3,2 ■ 10®); г) (8,52 • 10^): (7,1 • 10®); б) (4 ■ 10®) ■ (1,1 ■ 10®®); д) (9,8596 • 10®): (3,14 • 10»); в) (1,2 • 10®): (4 • 10®); е) (5,7 • 10®)®. 61. Луч света за 1 с пробегает расстояние 2,998 • 10® км. В году 3,156 • 10^ с. Какое расстояние пробегает световой луч за год (:т) расстояние называют световым годом)? 177 Туманность Андромеды удалена от нас на 2,3 • 10® световых лет. Сколько километров до нее? П 32 г кислорода содержится 6,06 * 10^® молекул. Сколько молекул содержится в 1 кг кислорода? Длина прямоугольника равна 2,5 • 10® мм, а его ширина — 2,2 • 10® мм. Чему равна площадь прямоугольника? Представьте в десятичной записи число: а) 2,3 ■ 10^ б) 1,05 • 10^; в) 8,12 • г) 1,45 ^ 10»’ 10» 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти пкличины. Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближенными значениями измеряемой величины. Пусть истинное значение измеряемой величины равно х, а изме-|1М1ие дало результат а. Разность х — а называют абсолютной по-1'решностью измерения. Значение абсолютной погрешности чаще ж’его неизвестно, но обычно известна ее оценка сверху — например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 см, а при юшешивании на весах с гирями 100 г, 200 г, 500 г и 1 кг абсолютная погрешность взвешивания не превышает 100 г. Число h называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство \x-a\<,h, т. е. истинное значение измеряемой величины лежит между a-h и a + h: a-hЯЧ 7 Решение. Так как а-Л = 89,1, а + Л = 89,7, то а=—= 89,4 и Л = 89,7-89,4 = 0,3. На производстве границы, между которыми лежит диаметр круглого стержня, находят с помощью двух отверстий. Если изготавли-иают стержень диаметром 50 мм, то он должен свободно входить и отверстие диаметром 50,1 мм и застревать в отверстии диаметром 178 49,9 мм,— тогда 49,9 <х< 50,1. Таким же образом с помощью двух измеряющих стержней определяют правильность диаметра высверленного отверстия. С приближенными значениями чисел приходится иметь дело при вычислениях. Например, длина окружности выражается формулой C = 2nR, где R — радиус окружности, а тс = 3,141592... . На практике округляют значение я до 3,14 или до 3,1416 в зависимости от того, с какой точностью измерен радиус окружности. Разность между числом X и его приближенными значениями называют абсолютной погрешностью приближения. Число Л, такое, что \x-a\^^niocumeльныx погрешностей слагаемых. Абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных по-грешностей уменьшаемого и вычитаемого. Иными словами, если .г a±h и 2/ = b±ft, то x-y — a-b±{h-\-k), В самом деле, по условию имеем a-hнн дежны. Поэтому надо еще до сложения округлить слагаемое 9,5081. Чтобы ошибка округления не дала большой добавочной по грешности, округлим это слагаемое не до десятых, а до сотых. Имеем я: + 1/ = 67,8+ 9,51 = 77,31, причем абсолютная погрешность мн ло отличается от 0,1. Округление ответа до десятых увеличит ее eipe на 0,05. Значит, Jc + i/= 77,3±0,15. Итак, при сложении чисел, имеющих различную абсолютную по грешность, надо выбрать слагаемое, для которого эта погрешность сн мая большая, и округлить остальные слагаемые так, чтобы в них 6i,i ло на один знак после запятой больше, чем в выбранном слагаемом. После этого складывают полученные значения и округляют ответ, оставляя в нем столько цифр после запятой, сколько их в выбранном слагаемом. Если число слагаемых невелико, то в полученном ответе все цифры, кроме последней, будут надежными, а последняя цифра ненадежна на 2—3 единицы. Пример 2. Найдем приближенное значение суммы 75,4 + 8,9572 + 81,264. Решение. Меньше всего знаков после запятой у первого слагаемого — у него ненадежна лишь цифра десятых. Поэтому округлим остальные слагаемые до сотых и после сложения округлим ответ до десятых: 75,4 + 8,9572 + 81,264 » 75,4 + 8,96 + 81,26 = 165,62 s: 165,6. Поскольку в настоящее время арифметические операции обычно выполняют на калькуляторе или компьютере, этим правилом не поль зуются, а учитывают лишь погрешность получившегося ответа. РАЖНЕНИЯ ^8. Найдите сумму чисел х и у, если: а) x= 5,387 ±0,0005, у = 6,915 ±0,0005; 183 fi) д:-8,615±0,0001, у ==3,219±0,0001; и) x-0,473±0,0005, у = 0,2961 ±0,00005; г) jc-l,66±0,0005, у = 0,9835±0,0001. Найдите периметр трапеции, если известны длины ее сторон (в м): а = 16,219±0,0005, Ь = 6,818±0,001, с = 8,3156±0,0001, d-5,6153±0,0002. Найдите разность чисел д: и у, если: а) х = 9,6 ±0,1, у = 3,3 ±0,1; б) х = 117±0,5, у = 98,6±0,1; в) д: = 10,442±0,001, у = 5,42±0,005; г) х = 0,0267±0,0001, у = 0,008±0,0005. Н1. Вычислите значение выражения x + y-z-t, если х = 9,674±0,0001, у = 5,317±0,0005, ^=11,316±0,001, ^ = 2,6193±0,0001. 82.] Объем дерева с корой 0,36 ±0,005 м®. Объем снятой коры равен 0,042 ±0,001 м^. Каков объем полезной древесины? М, ОЦЕНКА ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СТЕПЕНИ II ЧАСТНОГО Пусть x = a±h и у = Ь±А, причем числа a-h и b-k положительны. Найдем приближенное значение произведения ху и оценим его абсолютную погрешность. Имеем 0<а-Л<д:<а±Л и 00, а>0^ НА а + Л b-k bh + ak 0,9ft2 H4.J Учащийся, вычисляя значение выражения 6,89 • 9,51 + 3,96 • 5,07 + 4,96 • 9,17, получил ответ 152,3679. Проверьте с помощью оценки выражения, правилен ли этот ответ. 86. Успеет ли рабочий сделать за семичасовой рабочий день 16 деталей, каждую из которых надо обрабатывать по 15,25 мин, и 23 детали, каждую из которых надо обрабатывать 10,15 мин? Успеет ли он выполнить этот заказ, если потратит 45 мин на изготовление приспособления, позволяющего обрабатывать детали первого вида за 12,7 мин, а детали второго вида за 7,75 мин? Пусть 3<а<4, 4<&<5. Найдите границы, между которыми лежит выражение: а) а + &; б) а-5; в) аЪ\ \ ^ 87. Пусть 6<х<7 и 10 <у<12. Оцените значение выражения: а) хч-у; б) х-у; в) у-х; г) ху; ч X 88. Пусть 5о«1 + 10 ■ 0,0036 = 1,036, 0,99253 = 1-8 • 0,0075 = 0,94. Поэтому 1,0036^® +0,99253= 1,976. Далее, 1,0024® = 1 + 5 • 0,0024 = 1,012, 1,00323=1 + 3 • 0,0032 = 1,0096, и потому 1,0024® +1,00 323 = 2,02 1 6. Значит, (1,0036*3 + 0,99 253); (1,0024® + 1,0032») = 1,976: 2,0216 = -0,988:1,0108 = 0,988 ■ 0,9892 = 1-0,012-0,0108 = 1-0,0228 = = 0,9772. Более точное значение данного выражения равно 0,9975636. § 4. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ И ИХ СВОЙСТВА l(i. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ЧИСЛА Зная время tj можно найти путь при свободном падении по формуле: S —4,9^^. Решим обратную задачу. Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м? Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение 4,9#^=122,5. Из него находим, что f^ = 25. Теперь осталось найти такое положительное 190 число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является б, так как 5^ = 25. Значит, камень будет падать 5 с. Искать положительное число по его квадрату приходится и при ро* шении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение: Определение. Неотрицательное число, квадрат которого ^авен неотрицательному числу о, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают Va. Таким образом, (\/а)^ = а, Va>0 и а>0. Пример. Так как 0^ = 0, 1^=1, 2^ = 4, 3^ = 9, то \'0 = 0, VT=1, Vi=2, V9 = 3. Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение V-25 не имеет числового значения. В записи \'а знак V” называют знаком радикала**, а число а — под коренным числом. Например, в записи V25 подкоренное число равно 25. Так как (10")^ = 10^", то Vl0^"=10". Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2п нулями, равен числу, записываемому единицей и п нулями: Vl00...0...0 = 100...0. 2л нулей п нулей Аналогично доказывается, что V0,00...0...01 = 0,0...01. 2л нулей п нулей Например, V10000=100, Vl000000= 1000, VO,0001 = 0,01, V0,000001 = 0,001 МНЕНИЯ 99. Докажите, что: а) Vm=ll; б) Vi00= 20; в) V0,25=0,5; г) Vo^=0,3 100. Найдите значение корня: а) V49; в) \/Ш; д) V2500; б) Vl6; г) VI000000; е) V90000; От латинского ♦радикс* — корень, 191 ж) \/0,01; к) V0,16; Н) \1о ^ • г 4^ з) v'o,000001; л) v'o^; о) <1Г’. и) V0.81; м) V 4 ’ п) г 25 tOl. Найдите значение выражения: а) • УТб; б) г) V0,04-V^^; ж) ОД V49 + 0.2 V1600; Д) 3 V^; в) V0,09 + V0,25; !02. Вычислите: е) -7 V0,01; 3) ^Vo,36+iV^, 3 5 а, б) в) + VI55; г) 103. Составьте таблицу квадратов чисел от 10 до 20 и с ее помощью найдите: а) V^; б) V225; в) Vl69; г) V361; д) V144 + V256; е) V4^-V324; ж) Viii • Vise; з) \&;\/225. 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ В пункте 1 § 1 мы убедились, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что \2 не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т. е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414... . Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять числа 1,414л:, где X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше чем 2, но следующий за ним квадрат больше чем 2. Таким значением является д: = 2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной V2. Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью калькулятора можно найти значение восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в калькулятор число а>0 и нажать клавишу ^ на экране высветится 192 8 цифр значения Va. В некоторых случаях приходится использо вать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже. Если точность, даваемая калькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой: Теорема. Если а — положительное число и Xi — приближенное значение для по избытку^ то — — при- г ближенное значение для ул тю недостатку. Доказательство. ^ 2 2 По условию х^>\а и потому х\>а, — <1. Но (—) = — = а •. Xi \Xi / xf x'i Так как — <1, то а • — <а. Значит, (—) <а, и — — приближенное Х\ V 1 / 1 значение для \а по недостатку. Аналогично доказывается, что если Xi — приближенное значение для Va по недостатку, то — — приближенное значение \'а по избытку. Хх Поскольку Xi и — являются приближенными значениями для Va по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т. е. число + А чтобы получить еще более точное значение для Va, надо взять среднее арифметическое чисел лгг и —, т. е. число Х2 Хз=(дг2+Так вычисляются одно за другим все более точные приближенные значения для Va. Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения и х„^х не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков. Пример 1. Уточним по формуле + приближение JCi =1,414 для Vs. Решение. В нашем случае а = 2. Поэтому I (1,414 +1(1,414 +1,4144271) = !,4142135... . 7 Алгебра, 8 кл. 193 Иыполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т. е. число верных знаков удвоилось. Пример 2. Найдем приближенное значение для Vs с точностью до 0,0001. Решение. Выберем за первое приближение для Vs число 2. Тогда второе приближение вычисляется так: (2 + 1)-2,26. Далее имеем I + 2^)- Значит, с точностью до 0,0001 имеем Vs= 2,2361. Правило нахождения приближенного значения квадратного корня из любого натурального числа а было известно еще математикам древнего Вавилона (более 4000 лет назад). Оно выглядит так: подбором находят число Xj, такое, чтобы Xi0, верно в том и только в том случае, когда а, причем д:Х). Заменяя в равенстве а переменную х на V^, полз^аем тождеств!) (\а)2 = а, (1) верное для всех а>0. Заменяя в равенстве \ja = x переменную а на получаем тождество V^^=x, (2) которое верно для всех х>0. Например, (V25)2 = 25; (Vi)2 = 8; (V04T)2 = 0,11; \/б2=6; Vo,242=0,24. 197 Формулы (1) и (2) показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны: если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то чис-мо не изменится. Ксли а — отрицательное число, то равенство (1) неверно, так как \а не имеет числового значения. При отрицательных значениях х немирно и равенство (2). Например, V(-5)^ = V^= 5, а не -5. Так как i-x)^, а при х<0 имеем -х>0, то при х<0 верно равенство V^=V(-x)2 = -x. (3) Итак, Но мы знаем, что \/^=| если х>0, ^ ~{-х, если х<0. I 1_ Г X, если х>0у ' ^~\~~х, если х<0. Поэтому для всех чисел х верно равенство V?=|x|. Например, \/82=|8| = 8, V(-12)=* = |-12|= 12. (4) Пример 1. Упростим выражение (V3 + V2)2 + (V3-V2)2. Решение. Так как (V3)^ = 3, (V2)^ = 2, то + = (V3)2 + 2V3 • V2 + (V2)2 + (V3)2-2V3 • ^ + (\/2f = 2 • (Vs)^ + 2 • фу = 10. Пример 2. Найдем значение выражения ^(а-Ь)^ при а = 2,1, & = 3,б. _ Решение. При любом значении х выполняется равенство \G^=|x|. Поэтому у/(а-ЬУ = \а-Ь\. Но |2,1-3,6|=|-1,5|=1,5. Значит, при а ' 2,1, fc=3,6 имеем )J{a~b)^= 1,5. УПРАЖНЕНИЯ 121. Решите уравнение: а) Vx=10; в) Vy=l; б) Vx=9; \ \' ^ г) V2=y; д) 8Vf =8; е) 5VJ=0; ж) Ъ\[х= 1; з) 12Vy = 5. 198 Объясните, почему уравнение не имеет корней: а) Vx=-5; в) -Vx = 2; д) \Gc + V^r + 2 = -3; б) \/^+1 = 0; г) 5Vx = -l,5; е) Vx+2-V^: + 3= 18. Имеет ли числовое значение выражение: а) VTT; в) -у/Ш; д) \Z^-Vj6; б) V83,l; г) V-186; е) VsT-V'e? 124. При каких значениях х имеет числовое значение выражение: а) )[х; б) yj-x; в) V-25jc:; г) V17x; д) \[х^; е) V-9x^? j|t25. Найдите область допустимых значений переменной выражения: а) Vx-3; б) Va + 2; в) \1ь-^; г) -pL=. V 2 у/х-4 бЗ Представьте число в виде квадрата: а) 9; в) 6; д) 2,5; ж) 0,25; и) а, где а>0; б) 169; г) 10; е) -2,5; з) к) 45, где Ь>0. 49 127j Разложите на множители двучлен: г) -11;с2 + 31; 2 2 4 д) 0,3x2-0,29; Ч 2 5 е) x^-j; ж) а) *’-7; б) -4л:^ +19; в) 5х^-36; Решите уравнение: а) х2-5 = 0; б) -9x2 + 17 = 0; |29j Найдите квадраты чисел: V25; Vsl; \Ъ, VS; -Vi; VS; -VO; -Vm. 130. Найдите значение выражения: ч 2 о 3 л Д) 0,7x2-^ = 0; г) 0,02x2-0,15 = 0; е) +х^-0,2 = 0. 1о а) (V7)2; б) (-V7)-V7; в) (-V^)'; г) (-V^)-V26; д) IOV2 • V2; е) (3V5)^ ж) (0,5 •V8)^ з) »(f л ■'(-S' 199 j.il Сократите дробь: 2 . 10 а) V^’ в) б) - /5’ г) - 3VI0 ’ а 3V^’ д) е) 2-V2 . ^ ’ V12+12 . 7V12 ж) з) :-\[с 5)Гс ’ ^-4х^ \х 132, Докажите, что выражение имеет рациональное числовое значение: а) (1 +V2H1-V2); г) (\/7 +V6)(V6-vT); д) (2\/3-1)(2\/з+1); е) (V5 + 2Vl0)(V'5-2VT0). V" ' ?“/» б) (\/6-2)(V5 + 2); в) (\/7 + V2)(V7-V2); |33. Сократите дробь: с2-6 - 4 a-Y’ б) в) х-2 Vx + \f2’ г) \1а‘~\1ъ c-Ve^ 134. Вычислите: а) У(0Д8)^; г) ж) У(-23)^; б) V(-0,4)2; д) VI-1,91^; 3) VH^; в) V(-0,8)2; е) V^; и) Vl-65|2. 135. Найдите значение выражения: а) при х = 22; -35; 0; б) 2V(-o)^ при 0 = 7; 12; -8; 0; в) 0,lVi^ при 1/ = -1б; 77; 0. 136. | Замените выражение тождественно равным ему выражением, не содержащим знака радикала: а) б) \fy^\ в) V^; г) V36x2; д) V0,01o2; е) V0,0462. 137. Запишите выражение без знака радикала, если переменные принимают неотрицательные значения: а) Vc2; б) V^; в) Via2; г) V0,25b2. 138. Запишите выражение без знака радикала, если переменные принимают неположительные значения: а) V^; б) в) г) V0,0004c2. 139. Замените выражение тождественно равным ему выражением, не содержащим знака радикала: а) V(a- 1)^; в) + 2х+ 1; б) V(c + 2)2; р) V4J/2-4// + 1; 200 д) V(x- 4)^, если х>4; з) У(7 + у)^, если у<-7; е) V(a- 2)^, если а<2; и) V(10 + c)^, если с>-10; ж) \/^ -т)2, если m>3; к) V(* + 1)^, если к<-1, [l4oj При каких значениях переменных верно равенство: а) ^Jx^- 2х-\- 1 = дг-1; в) \с^-6с + 9 = 3-с; б) V4a^ ч- 4а + 1 = 1 + 2а; г) V^:'* 4-+1 = + 1? [l41,. Запишите лишь с одним знаком радикала выражение: а) V(VF-lf; б) \/(1-^^ )'; в) V(Vn-Vio)'; г) \/Ы5-У/з?. 20. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ П1ЮИЗВЕДЕНИЯ, ДРОБИ И СТЕПРШИ Выражения V9 • V4 и V9 • 4 имеют одно и то же значение 6. В самом деле, V9 = 3, V4 = 2, V^=6, поэтому • \'4 = 3 • 2 = 6 и V9 • 4 = У36-6. Равенство • V4= V9 • 4 — частный случай общего утверждения: Теорема 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т. е. при а>0, Ь>0 имеем = Va • Vb. (1) Доказательство. Пусть числа а и Ь неотрицательны. Тогда по правилу возведения произведения в степень имеем (Va • = ■ {\ЪТ = а • Ь. Кроме того, Va • Vb — неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел и \Ь. Поэтому '/а • \Ъ=^[аЬ. Пример 1. Найдем значение выражения V625 -256 • 0,0001. Решение. Мы имеем Уб25 = 25, V256= 16, VO,0001 = 0,01, и потому V625 -256 • 0,0001= Уб^ V^ • V0,0001 = 25 • 16 0,01-4. 201 Пример 2. 7 Запишем ^ в виде произведения рационального числа на корень (как говорят, избавимся от иррациональности в знаменателе). Решение. Имеем — = Замечание. 7V6 _ 7V6 _7У6_ 7 ^ V6 Ve • Ve б 6 Если числа а и Ь отрицательны, то их произведение аЬ положительно, и поэтому существует квадратный корень ^/аЬ. Но квадратные корни Va и \'Ь в этом случае не имеют значений, и потому равенство (1) ложно. НельзЯу например, писать Vrj. VT9 = V(_4)(_9) = v^=6. Теорема 2. Квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен квадратному корню из числителя, деленному на корень квадратный из знаменателя, т. е. при а>0, Ь>0 имеем Гъ- Уа (2) Доказательство. По правилу возведения дроби в степень имеем (Vaf а _ vyftj т ГМ \'а уа .Га 1ак как, кроме того, -= — неотрицательное число, то — = \/--. УЬ УЪ V Ь Пример 3. Имеем у1 - I; \/Ш- ^ -0,2. Наконец, докажем следующее утверждение: Теорема 3. Если а — положительное число, ап — натуральное число, то имеет место равенство (3) 202 Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из того, что — а" > 0. Пример 4. Имеем: N/7!*= 71^ = 5041; V0,03®= 0,03» = 0,000027. УПРАЖНЕНИЯ 142\ Найдите значение выражения: л)][\Ти а) VlOO • 49 б) Vl21 • 64 в) V676 • 64 г) VSI • 400 и) VI,44 • 0,0256; е) к) V2,25V0,0016. ж) V0,36 • 169; з) V12I • 0,49; 143. Найдите значение корня: а) УЗЮ • 40; в) V75 • 48; б) V72 ■ 32; г) V4,9 • 360; . Вычислите: а) V132-122; б) V3132-3122; 15. Сравните значение выражений: д) У2,5 • 14,4; е) УЭО • 6,4. 1) У172-82; г) У1172-1082. а) V5"+iF и 5 + 12; б) Ую^-б^ и 10-6. |14в|^ Найдите длину катета прямоугольного треугольника, если дли» его гипотенузы равна 41 см, а длина другого катета — 40 см. Найдите площадь прямоугольника, если длина одной из его ст рон равна 56 см, а длина диагонали — 65 см. Представьте выражение в виде произведения корней: а) УГб; б) У21; в) \7а; г) У^ jl_49.| Разложите на множители, вынеся за скобку корень: а) УТо+Уз; б) V6-V10; в) V18 + V22; г) З-УП. 160. Сократите дробь: а) уТо-Уб УЕ б) V6-V18. У2Т+У14. УТ5-5 г- > /— » Г’~ * V6 YT Уб-Ую 203 161. Вычислите: а) V2« • 3^; б) V'5" • 2*; в) V'2® • 5^ 162. Вычислите значение выражения, предварительно разложив подко ренное выражение на множители: а) Vi^; б) V1225; в) УТэЗб; г) \/l9600. 163. Запишите выражение без знака радикала: а) где а>0; д) Vo^, где а>0 и оО; б) где оО; е) Vo,36bV, где 6<0; в) Vo,36b^, где б<0; ж) где а<0; г) VsT^, где «/<0; з) где о>0 и х<0. 164. Найдите значение произведения: ___ а) V2 • VS; г) V27 • V3; ж) V63 • V7; и) VU • уз|; б) VIO • ViO; д) \/^ • \/^; 3) к) У/ЫА • VlO. в) VT2 • \/3; е) \/Тз • \/^; 165. Найдите значение корня: а) ^ [Л. / 25’ в) 1 а-’ д) 1 АбГ. V 49 ’ ж) ^ /121. / 25 ’ б) ^ / 169’ г) ^ 1 225 . / 256 ’ е) ^ 3) у 156. Представьте выражение в виде частного корней: V?- VI' '■> v^- 167, Представьте в виде где а — рациональное число, а. Ь — нату- ральное число, выражение: д) - 3 4V5’ iVI- с) 4V12.1; б) п е) - 21 2vT4 ’ “> iVn’ т) 4-V^- О в) V3 ж) ^ И-’ л) 9^; п) 2\/0Д; г) ^ • ^ 2V3’ 3) У 6’ м) 20][1; р) 12VM; 204 158, Упростите выражение: б) . V18 ’ в) V333 Viii ’ д) V15 V45’ ж) V20 . V35 ’ и) v^. V2300 ’ г) \/35 . е) V52. V65 ’ 3) . \'256 ’ к) V26 V65 ‘ |l59.| Вычислите: а) V(l-V7f-V(V^-2f; б) V20 + 2V19 • V20-2v1^; в) Vi6+\^ • Vie-Vsl; г) Vl5 + 2V^ • V4 + Vl + 2V^• + 2V^. leo. Вычислите: а) б) V2 + V3 \2-\Ъ . V2-V3 V2 + \/3 ’ 1.11 b) 10 4 + Vll vTq-Vh VT9 + 3* V2 + I ' V3 + V2 ' V4 + v'3 . VTOO+V99 ’ 161. Сделайте подстановку ® выражении: a) uv-^ju^- 1 ■ Vf^-1; 6) uv + \'u^~ 1 • Vf^-1. I162J Упростите выражение: a) \lx^y*; 6) V256a^ft®; в) 16ЛГ' WSJ Упростите выражение: 2x(l-x^) a) 25j/» при |x|l; r) .. Д21^ V 225u‘® ‘ (1 + л;2)\/1_2л;2 + л;^ 6) —10x + 25 +Vx^ + 6a;+9 при x<-3, -35. 1^. He используя знака модуля, запишите выражение: а) -|-(х-|х|); б) -|-|х-|х||; в) 1х + 3| + |х + 2|; г) |x2-5x + fJ|. 165j Определите, при каких значениях х верно равенство: а) ix{x-l) = '^ • Vjc - 1; 1) х>0; 2) х> 1; 3) х>\\ 4) 0<х< 1; б) \/л:(х-1) = \Гл-\/ьГх; 1) х<0; 2) х<0; 3) х>0; 4) I. 205 \1Ш\ Уничтожьте иррациональность в знаменателе: 2-v"^ ^ а) б) Н7 \[Е-\/б+\17' Va + Vb Упростите выражение: а) \4 —4а + а^ а-2 а-2 а^~4 Vx + 2Vi/ ^ + 2 Vy \Gc-2 \у ’ в) ^Д ^ 1_______g ^ 1-g . \ Va a-\fa Va + 1/ 1+а’ ж-\/у , x^-x\fy X + Vy 4xVy г) -----:z;H-----;=-------=r + X + Vy ' X-Vy X-Vy x^-y 21*. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ Va ±\S При преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула: (1) где А^>Б (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» или «минус»). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А>0, В>0, Л^-В>0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства (1) в квадрат. В левой части имеем A±Vb» в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем в ±2 A + \U^-B А-\А^-В ^ А-Уа^-В =А±2 (А + \1а^-В)(А-Уа^-В) -A±zJ а^-{\]а^-в)‘ =А±2 / А^-(А^-В) =А±2\1^=А±У[В Таким образом, квадраты обеих частей равенства (1) оказались одинаковыми, а поскольку эти части — неотрицательные числа, то равенство (1) доказано. Пример. Упростим выражение Vs-WT. 1-й способ. В данном случае имеем А = 5, В = 21, А^-В = 5’^-21 = 4, и потому по формуле (1) 206 2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному книд-5-V^=|(10-2V^)=-|(10-2V7 • V3) = = 1(7 + 3_2V7 • V3)= = Петому V5-V^-J(^7-^- I УПРАЖНЕНИЯ Упростите выражение: a) V2+W; 6) V2-V3; 169.[ Докажите, что: 2 + v'3 в) Vi2 + \/6F; г) Vo"±Va^^P^. a) _ +^2^-V2; V2+V2+V^ V2-V2-V3 6) \Jx + 2 Vjc-1 +Vjc-2 \Gc-^= 170. 2 при 1 2. Упростите при о>0, fe>0, с>0 выражение Va + b + c + 2 \[ас + ftc+Va + & + c- 2 Vac + ftc. |l71.| Вычислите: а) V28-10\/3+V28 + IOV3 ; б) Vll2V3-21|-\/l2V3 + 21; B) Vl-18-8V^I-Vl8V^-181--^V32; r) V2-v'3+ 1 V2+V3-I ОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V Докажите, что следующие числа иррациональны: а) +V 3; б) V 2 + \^+. .73. Известно, что а, Ь, Va + V^ — рациональные числа. Докажите, что \а и \& тоже рациональны. 207 174. I75j Докажите, что число, полученное последовательным приписыванием после О с запятой всех натуральных чисел начиная с 1, т. е. число 0,123456789101112.,., иррационально. Установите, какие из нижеследующих чисел рациональны, а какие иррациональны: 17в.| 17^ 17^ 1179 180. 181 182 183 а) Ve + Vir-V6-Vn; в) Vt+IW4-V7-4V^. б) V9+V^ + V9-V^; Докажите, что если aad. Докажите, что для положительных значений Ь и х выполняются неравенства: а) (a + b)f—+>4; б) a^-\-b^>a^b-\-ab^; в) л:+ — >2. \а Ъ J X Докажите, что для любых действительных чисел а и 5 верно неравенство: а) а2 + 62+1>аЬ + а + Ь; в) {a^-\-b^){a^-\-b^)>{a^-\-b^f. б) 5а^-6а5 + 55^>0; Докажите, что если а, by с — положительные числа, то Ьс , ас , аЬ ^ . — + -Г + — >а + Ь + с. а Ь с Указание. Воспользуйтесь неравенством а^ + Ь^>2аЬ, Докажите, что если а>0, &>0, с>0, то (а + &)(& + с) (а + с) > 8аЬс. j^q1992_(_j 10'®®^+! Какое из двух чисел больше: --------- или --------? ^ 10^®^®+ 1 10‘®®^ + 1 Докажите, что если а>0 и 6>0, то (а + Ь) (а^ + Ь^) > {а^ + Ь^) (а^ + Ь»). Пусть т = а-\-Ь + с и f = ab-l-bc + ca, где а, 5, с — длины сторон треугольника. Докажите, что Указание. Рассмотрите разности m^-3t и 184. Докажите, что (а + Ь)‘*<8(а'* + Ь'‘), 185 Докажите, что при любом действительном значении а выполняется неравенство: 3(1 + а2 + а'*)>(1 + а + а2)2. Указание. Разложите 1 + а^ + а^ на множители. 208 Дано: 1<а<Ьн-с<а + 1, Ь<с, Докажите, что Ь<а. СГ*” 1 ^2 ^3 187.; Докажите, что если > ’г’ > -г- и bi, feo> одного и того же ; 1 I Н. /1- п- 1Ш1 d I ^ do ^3 ка, то т—г—г“ заключено между наибольшим и наименьшим и с?1 + + С?з записанных отношений. ^8^ Докажите, что утверждение задачи 187 справедливо для выраже miai + mgaa + ffisaa ^лг/- i о оч ния ---------------, где rUi^N (г = 1, 2, 3). rriibi + /П2&2 + ^3^3 Докажите справедливость неравенства VbTa-Vb<—^ (Ь>0, а>-Ъ, аФО). 2\Ь ^90.| Докажите, что при а>0, Ь>0, с>0, d>0 верно неравенство V(a + c)(b-\-d)> )Jab -f Vc^. Докажите, что если x + у + 2 = 8 и х > О, г/ > О, 2 > О, то \ х + Vy + V-г < Гз ^92] Докажите, что VlO + + V40 + V60 = V2 + V3 + V5. jl93.j Преобразуйте подкоренное выражение к полному квадрату и иу влеките корень: а) V6-V20; б) Vt + V48; в) Vn-2Vn-l, п>2 эостите: . V2+V3; j^4 .! Упростите а) V2-V3 б) Vv^+2V3+V2+|; в) V2+V3 • V^+V2+W • V2+V~2+V2+V3 • V2-V2 +V2+\/3 . |l9^ Вычислите: V192 -2,5\/-^- —^ ^98^- 7V. ^ lo V 75 234 196J Разность VI40V2-57I-V4O V2 + 57 является целым числом. Hat* дите это целое число. 209 U7j Упростите выражение Va-l Va-1 Va-l (a-l)Va+l-(a + l)Va-l Va+1 Va-l 1) a(a-l); 2) a(a + l); 3) Vol^; 4) V^. Il9^ Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1 1 г) а) б) в) V'2 + V3 + V5 ’ 1 vi+Va-Vs ’ 1 ■ V2-V3+V5 ’ д) V2-V3-V5 ’ г+у'з V6-V3+V2-1 * 199. Сравните два числа: а = Vir-V2 и 6 = 3-V3* Гл а в а YI КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ КОРНИ Рассмотрим движение тела, подброшенного вверх с начальной скоростью 1^0- Если в начальный момент (т, е. при io = 0) тело нахо дилось на высоте Ло над поверхностью Земли, то, как выводят в кур се физики, в момент ^ оно будет находиться на высоте Л, где h==ho’hVot-4,9t^. (1) По этой формуле*^ можно определять высоту тела Л, зная момент времени f. Артиллеристам-зенитчикам приходится решать обратную задачу: определять, через сколько времени выпущенный ими снаряд окажется на данной высоте. ** Формула (1) верна для значений t, меньших, чем промежуток време ни от броска до падения тела на Землю. 211 ЦЛдача. (Снаряд выпущен вертикально вверх с начальной скоростью Оц Н92 м/с. Через какой промежуток времени он окажется на вы* ГОТ1* Л— 5880 м? Решение. Для решения этой задачи положим в формуле (1) 5880, 1?о = 392, Ло = 0 (так как снаряд летит с поверхности Зем-ми). Получаем 5880 = 392^-4,9^2. (2) Задача свелась к решению уравнения (2). Оно имеет те же корни, что и уравнение ^2-80^ + 1200 = 0, (3) получаемое, если перенести все члены уравнения (2) в левую часть и разделить обе части этого уравнения на коэффициент 4,9 при Чтобы решить уравнение (3), выделим в левой части полный квадрат и разложим получившееся выражение на множители: /2 - 80f + 1200 = - 2 • Ш + 402-402+1200 = (t-40)2_ leoo + 1200 = = (^-40)2-400-(^-40)2-202 = (^-20)(^-60). Итак, надо решить уравнение (^-20)(^-60) = 0. Оно имеет два корня: ^1 = 20 и ^2 = 60. Это значит, что снаряд побывает на высоте 5880 м дважды: через 20 с (после выстрела) и через 60 с, первый раз поднимаясь вверх, а второй раз падая вниз. Уравнение (2), к решению которого свелась задача, называется квадратным уравнением, потому что неизвестное t входит в него в каадрате и не входит в более высоких степенях. Квадратными уравнениями являются такие: х2-16 = 0, 5д:2 + 10д: = 0, 7л:2-бх + 1 = 0 и т. д. Умение решать задачи с помощью квадратных уравнений можно обнаружить уже у математиков древнего Вавилона, в «Арифметике* Диофанта, в трудах индийских математиков. Однако впервые запись квадратных уравнений в буквенных обозначениях появилась только в XVI в. благодаря трудам французского математика Ф. Виета (1540—1603), и в общем виде можно дать такое определение: Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение ал^ + Ьл: + с = 0, (4) где X — неизвестное, а^ by с — действительные числа, причем а^О (иначе уравнение было бы линейным). Другими словами, квадратным называют уравнение, у которого .1ИЧШЯ часть — квадратный трехчлен, а правая часть — нуль. 212 Условимся число а называть коэффициентом при квадрате нен;1 вестного в уравнении (4), число Ь — коэффициентом при неи;иич*т ном, число с — свободным членом (свободным от неизвестного). Число, при подстановке которого вместо неизвестного в уравт» ние получается верное числовое равенство, называется, как мы зим ем, корнем этого уравнения. В решенной выше задаче квадратпоо уравнение f^-80f-h 1200 = 0 имело два корня: 1^ = 20 и ^2 = 60. Квадратное уравнение ал:^ + Ьл: ч-с = 0 имеет те же корни, ч'1*о Ь с и уравнение —хл— = 0, в котором коэффициент при равен 1, а а так как для любого числа а^О, + Ьх + с = а{х^ + — х + — \ а а / Определение 2. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при равен 1, называется приведенным. Например, 6x4-5 = 0, 0,07 = 0, х^ + —х-1 = 0 — приведенные 4 квадратные уравнения. Обычно приведенное квадратное уравнение обозначают так: -Ь рх 4-q = о. Чтобы решить уравнение (3), мы разложили левую часть его нн множители: ^^-80# 4- 1200 = (f-20)(#-60). После этого, решив уравнение (^ —20)(#-б0) = 0, нашли корни ^1 = 20 и #2"=60. Вообще верна следующая теорема: Теорема. Если выполняется тождество ах^ + Ьх + с = а(х- Xi)(x-X2)t (5) то квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 при х^ Ф лгг имеет два корня Ху и Х2, а. при х^ = Х2 — лишь один корень Xj. Доказательство. Правая часть тождества (5) обращается в нуль при x = Xi и x — Xg и не обращается в нуль при других значениях х (так как при других значениях х оба множителя x-Xi и x-Xg отличны от нуля). Это и значит, что числа х^ и Xg и только они являются корнями уравнения а(л: —л:,)(л:-Ж2) = 0, т. е. уравнения ах^ + Ьх + с = 0. Если jCj — jCj, т. е. если ax^ + bx + c = a(x-xi)^, то принято говорить, что Xj является для уравнения ах^ + Ьх + с = 0 корнем второй кратности (или корнем кратности 2). С помощью доказанной теоремы легко составлять квадратные уран нения, имеющие заданные корни и заданный коэффициент при х'*. 213 Пример 1. (доставим квадратное уравнение, корнями которого являются чис-т\ 9 и -16, а коэффициент при равен 5. Решение. Одним из уравнений с корнями 9 и -16 является (X 9) {х +16) = 0. Раскрывая скобки, получаем уравнение х^-\-7х-144 = о. Чтобы сделать коэффициент при х^ равным 5, умножим обе ча-<*ти этого уравнения на 5 (корни уравнения от этого не изменятся). Получаем +35а:-720 = 0. 11 ример 2. Составим квадратное уравнение, имеющее корень 4 второй кратности, причем коэффициент при х^ равен -6. Решение. Искомое квадратное уравнение имеет вид -6(jc-4)2 = 0. Раскрывая скобки, получаем уравнение -6д:2 +48а:-96 = 0. Не всякое квадратное уравнение имеет корни. Не имеет их, напри-уравнение а:^ + 4 = 0 — выражение х^ принимает положительные аиачения при всех х, отличных от нуля, и значение 0 при х = 0, а потому сумма х^ + 4 положительна при всех значениях х. Значит, ни при одном значении х не выполняется равенство х^ + 4 = 0. Точно так же по имеет корней уравнение x^-f 8x4-25 = 0. В самом деле, выделяя полный квадрат, записываем его в виде (хн-4)^ + 9 = 0 и замечаем, что выражение (х4-4)^ + 9 принимает лишь положительные значения. УПРАЖНЕНИЯ 1. Назовите коэффициенты а, fc, с в уравнении: а) 4х^ + 5х + 7 = 0; г) х^-4 = 0; ж) 4x^-5-fx = 0; б) 8х^-3x4-4 = 0; д) 3х^-х = 0; з) 5-6х4-х^ = 0; в) -Зх^ + х-5 = 0; е) 13х^ = 0; и) 4-2х^-х = 0. 2. Приведите уравнение к виду ах^4-&х4-с = 0: 2х-4 9х+1 а) 4x2-2x + 5 = 7-f2х; б) 7х^-6х-3 = х^ + 5х4-1; в) (х-3)(2х + 4) = -10; г) (8х-1)(4х + 2) = (7х + 4)(Зх-8); 214 д) Зх-5 5х + 4’ е) |£+|. + 4^ = 1; ж) Зх-2 1 kx-S 4х-5 1 йх + 4 13 = 1; з) 10 + тх=-- тх-\0 Найдите корни квадратного уравнения или докажите, что оно но имеет корней: е) 2х^-8 = 0; ж) 4(х + 3)^ + 9 = 0; а) (х + 2)(х + 4) = 0; б) 3(х + 5)(х-7) = 0; в) -5(х-8)(х-2) = 0; г) (7 + 4х)(3-5х) = 0; д) х^ + 6х = 0; з) 3x^-2 4x^-3 2 3 64 = 0. = л; и) (х + 4)' Н Решите уравнение, используя выделение полного квадрата и pa;i ложение на множители: д) х^-х-6 = 0г е) (2х + 3)^ + (х-2)2 = 13; ж) (2х+7)(7-2х) = 49 + х(х + 2); X + S Зх а) 12x4-35 = 0; б) х2 + 4х-5 = 0; в) х^-9x4-14 = 0; г) х^4- 5х-14 = 0; з) х-5 х-4 в Сократите дробь: аЧба- 91 а) б) х^ 4- 4х 4- 3 в) 2а2 + 8а-90 ; г) ба2-7а-3 а2-ь8а-105’ х2 + Зх4-2 ’ За^-Зба-Ь 105 ’ 2а2-а-3 Составьте квадратное уравнение, имеющее: а) коэффициент при х^, равный 3, а корни 5 и 6; б) коэффициент при х^, равный 1, а корни -3 и 2; в) коэффициент при х^, равный -4, а корни, равны 7; г) коэффициент при х^, равный -3, а корни, равны -5; д) коэффициент при х^, равный 2, а корни 0 и ^ ^ ; е) коэффициент при х^, равный 1, а корни — и - п п 2. ФОРМУЛА РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Выделять каждый раз полный квадрат и разлагать на множители левую часть квадратного уравнения слишком громоздко. Мы сделаем это один раз для уравнения с буквенными коэффициентами и получим формулу для решения любого квадратного уравнения. Сначала разделим обе части уравнения ах^ + Ьх + с = 0 (I) на а — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения , х^+ — х + — =0 (2) а а выделим в левой части полный квадрат 215 I f’ V b^-^ac 2a) 4«2 • Для краткости обозначим выражение b^-Aac через D. Тогда помученное тождество примет вид 2 , ^ , с ( г Ь \2 D х^Л---х-\---=л:Ч--— - —-. а а \ 2а / 4д2 (3) ia (2а)= Возможны три случая: «) Если число D положительно (£)>0), то в этом случае можно из-илечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (Vd)^. Тогда П {Wf (\Ъ\2 - ^\“о“/ ’ ^ потому тождество (3) принимает вид Но формуле разности квадратов выводим отсюда: 2, ft ,с f , Ь V5\/ft, 2а ) (4) И силу теоремы пункта 1 из тождества (4) следует, что уравнение (2) (а тем самым и уравнение (1)) имеет два корня: Хл = -Ь+л/Б -b-\fD 2а ' " 2а Обычно эти корни записывают одной формулой -ь±\[Б Xi.2 = 2а или, вспоминая, что D = b^-4^ас, в виде -b±Vb^-4ac Л^1,2 = 2а (5) (5') Пример 1. Решим уравнение 4х^-7х + 3 = 0. Решение. В данном случае а = 4, Ь = -7, с = 3, и потому D = -(-7)^-4 • 4 * 3 = 49-48=1. Значит, Xi, 2= 2 • 4 Имеем -^ = 1, ^2= 216 б) Если число D равно нулю (£> = 0), то тождество (3) принимает нид а а \ 2а/ Отсюда следует, что при D = 0 уравнение (1) имеет один кореш. х = --^ кратности 2. Его можно получить и по формуле (5), полосе» жив в ней 0 = 0. Пример 2. Решим уравнение 4х^ + 12х + 9 = 0. Решение. Имеем а = 4, 6 = 12, с = 9, и поэтому 0 = 6^-4ас= 12^-4х Х4 *9 = 0. Значит, Ху = - ^ =- =-4~» ^ 2а 2-4 2 в) Если число О отрицательно (О<0), то -О>0, и потому выражение (3) является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение (2) не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение (1). Пример 3. Решим уравнение х^ + 4х-1-7 = 0. Решение. Имеем а=1, 6 = 4, с=7, и поэтому D = 4^-4-l*7 = = 16-28= —12. Уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, по знаку числа D = b^~4ac можно узнать, сколько корней имеет уравнение ax^-f-6x-fc = 0: 1) при £)>0 уравнение имеет два корня; 2) при D — 0 уравнение имеет один корень кратности 2; 3) при jD<0 уравнение корней не имеет. Поэтому число D = b^ -Аас называют дискриминантом*^ уравнения ад:^-1-6д:-ьс = 0. Для приведенного квадратного уравнения + рд:-Ь q = О дискри- минант Z)=p^-4g, а формулы вычисления корней имеют вид Л^1.2 = -р± Vp^-4^ (6) Заметим, что не всегда целесообразно при решении квадратных уравнений пользоваться формулами (5) и (6). Пример 4. Решим уравнение: а) -2^2 + 12 = 0; б) 3x2 + 7x = 0. ** От латинского discriminatio — различение. По знаку дискриминанта различают, сколько корней имеет уравнение (1). 217 Г<'шение. а) Выразим перенеся свободный член в правую мпп ь уравнения и разделив обе части получившегося уравнения на -2: 2^’ -12, х^ = 6. Отсюда 1jc:| = V6, т. е. Xi = V6, ДГ2 = -У^. б) Разложим левую часть уравнения на множители: х(Зх-|-7) = 0. 7 0|ги)да х-=0 или Зх 4-7 = 0. Значит, Xi = 0, Х2 = --^. о Квадратные уравнения, рассмотренные нами в примере 4, назы-мают неполными квадратными уравнениями. В обш;ем случае неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, у которого или коэффициент при неизвестном, или свободный член, или они оба равны нулю. Такие уравнения могут иметь вид ах^ + с = 0, нх^4-Ьх = 0, ах^ = 0. Уравнение ах^-ьс = 0 имеет те же корни, что и уравнение —= 0. а с с с Ксли >0, то уравнение корней не имеет; если —<0, то---->0 и а ___ _________ _______ а а x'i+±=x^-(J^y = (x-J^'^(x + f^. Значит, уравнение х^+^ = 0 имеет два корня: х, , = ± /- —• V а ^ Уравнение ax^-f-fex = 0 имеет два корня: Xi = 0, Х2 =-* а уравне- а |1ие ах^ = 0 — один корень кратности 2: Xj = 0. УПРАЖНЕНИЯ 7. Назовите коэффициенты а, Ь и с, вычислите дискриминант и укажите число корней уравнения: а) 2х^ + Зх+1 = 0; б) х^ + 5х-6 = 0, Я. Не решая уравнения, скажите, сколько корней оно имеет: а) Зх^ + 7х + 2 = 0; в) 4x^-f-4x-f 1 = 0; д) 9х^-6х + 1=0; б) 2х2 + х-|-1 = 0; г) х2 + 2х + 2 = 0; е) 4х2-7х-2 = 0. оГ] Выведите формулы решения приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при х. i 0. Решите уравнение: в) 5х2-8х + 3 = 0; д) 3x2-13x4-14 = 0; г) 2x2-Зх-2 = 0; е) у2„i0j/-24 = 0. а) х24-6х + 8 = 0; б) 7x2-2х-329 = 0; 11. Решите уравнение: а) 5х2 = 6х-1,75; б) Vi^:2-10x = -8V2; в) 251/2 + 1 = 10у; г) *2 _ 28/2 = ft-100; д) m^ + 5m + 4 = -6-2m; е) (х-1)(х-2)-(х-2)(д:-3) = 2(х-2)(д:-4); ж) 11ж^ +7х-Y =4я:(д: + 1) + 1. 218 * 12. Решите уравнение: а) 5х^-4х = 0; е) (ж+ 3)(л:-4) = -12; б) 1-4х2 = 0; ж) (Зу-1)'*-1 = 0; в) 2 + Зх2 = 0; 3) (а-1)(а + 1) = 2(а2-3); г) 4а^ + 3а = 0; и) x^-5 = (jc + 5)(2x-l); д) 21/2-6 = 0; к) (2i/ + 3)(3i/+l)=llj/ + 30. 113.1 Решите уравнение с буквенными коэффициентами: а) х^-2ах + а^-Ь^ = 0; б) х^-2(а + Ь)х + 4аЬ = 0; в) х2-3ах +2а2 = 0; г) х^-ах-2а^ = 0; д) л:(х + 3) + а(а-3) = 2(ах-1); е) {х-аУ + {х-ЬУ = (а-Ь)^; ж) х+ — = а + —; а X з) —+ -А--2. х-а х-Ь [l4,1 Выясните, при каком значении параметра а уравнение: а) (а^-2а-3)д: + ач-1 = 0; в) (а^-а-2)х + а^-2а-3 = 0 б) (2а +6)х-а2-|-а-б = 0; имеет один корень; бесконечное множество корней; не имеет кор ней. 15. Определите т так, чтобы выражение было полным квадратом а) д:^-2(24-т)л:+12 + т^; б) 2mx^ + (2m-4)x4-т + З. 16. 18. 19. Докажите, что квадратное уравнение не имеет действительных корней ни при каких значениях переменных й, а, Ь\ а) (1+ + 2 + = б) (1-ьа^)х^ + 2аЬх-|-1+ 6^ —0. 117.1 При каком значении т уравнение имеет равные корни; а) (m-l)x^H-2(m + l)x-f(т-2) = 0; в) х^-4Ьхч-4аЬ + т^-2тх-0? б) x^ + 2(/7i-4)x-i-m^ + 6/7i + 3 = 0; Докажите, что если коэффициенты а и с имеют противоположные знаки, то уравнение ах^ч-6х + с = 0 имеет два различных корня. В уравнении 3x^-6x-l-m = 0 определите параметр т так, чтобы левая часть уравнения представляла: а) сумму двух квадратов; б) разность двух квадратов; в) точный квадрат. При каких значениях т квадратное уравнение (2т-1)х^-2(т +l)x-f0,5m = 0 имеет: а) действительные различные корни с одинаковыми знаками; б) действительные равные корни? При каких рациональных значениях k корни уравнения являнгг ся рациональными числами: а) (А + 1)х2 + (2Л-3)х + /г-1=0; б) х^-(2к-{-1)х^ k^-3 = 0? 20. 21. 219 Мм доказали в пункте 2 при D>0 тождество 2 . Ь , С { + — хн— = 1х-а а \ -Ь + \Р 2а X--- -b-Vn 2а и иыноли из него, что корни квадратного уравнения ах^-\-Ьх-\-с = 0 име- -b + VB -ь~\Гв „ ют вид Xi = —^---и Xg——^ . Поэтому это тождество можно за- писать в виде Х^ + — Х + — =(X-Xi)(X-X2). а а Умножая обе части получившегося тождества на а, получаем адс=^ + Ьл: + с = а(дс-л:,)(л:-Д£;2). (1) Таким же образом устанавливаем, что при D = 0 ax^ + bx + c = a{x-xi)^, (2) где л:, — единственный корень уравнения ах^ + Ьх + с = 0. Если же I) ■ О, то квадратный трехчлен не разлагается на множители, так как и зтом случае уравнение ал:^ + 6лг + с = 0 не имеет корней, а уравнение, разложенное на линейные множители, всегда имеет корни. Итак, доказана следующая теорема: Теорема. Если квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет корни Xi и Х2, то справедливо тождество (1). В случае, когда уравнение имеет лишь один корень х^, справедливо тождество (2). Если уравнение не имеет корней, то квадратный трехчлен ах^ + Ьх + с не разлагается на множители. Пример 1. Разложим на множители трехчлен 4х‘^-7х + 3. Решение. В примере 1 п. 2 были найдены корни уравнения 3 1х^-7х + 3 = 0: числа 1 и —. Поэтому 4 4л;2 - 7л: + 3 = 4 (л: - 1) (х - . 1)то разложение можно представить в виде 4х^-7х + 3 = (х“1)(4х-3). 220 Пример 2. Разложим на множители трехчлен 4jc^-12x + 9. Решение. Решая квадратное уравнение 4л:^-12х + 9 = 0, находим, g ЧТО уравнение имеет один корень = — кратности 2. Поэтому о 4x2 - 12x + 9 = 4 (х -= (2л: - 3)2. Пример 3. Разложим на множители многочлен 9x2-30xi/ + 24i/2. Решение. Решим уравнение 9x2-30xi/ + 24i/2 = o относительно х. Коэффициенты уравнения о = 9, Ь = -30у, с = 24у2 и, следовательно, D = b2-4ac = (-30y)2-4 • 9 ■ 24i/2 = 900i/2-864i/2 = 36i/2. „ 30y±V36y2 30ы±6ы*) „ о 4 Поэтому X,, 2=----^ . Значит, х^ = 2у, Х2= — у и 9x2 _ 20ху + 24у2 = 9 (х - 2i/) ^х - у = (х - 2у) (9х - 12у). РАЖНЕНИЯ 22.1 Разложите на множители квадратный трехчлен, предварительно решив соответствующее квадратное уравнение: н) х^ч-Зл:-108; о) z^ + 5,9jc + 8,5; п) 30л:2 + 37х + 49; р) 6х2-7х+1. ж) 2х^ + 3х-6,48; з) 2i/2_y_6; и) 16х2-56х + 45; к) -х2 + 6х + 27; л) 4x2 + 28x4-49; м) 9х2-48х + 64; 23. Разложите на множители трехчлен: а) у^ - ау - (аЬ + Ь^); в) + ах-(a\fb+b); б) 22-(2оЬ + с)г + 2а&с; г) (1-а2)х2-4ах-(1-а2). [24.1 Разложите на множители квадратный трехчлен относительно х и //: а) х2-6х + 7; б) х2-15х + 26; в) х2 + 7х-44; г) х2 + 25х + 100; д) х2 + 7х + 10; е) х2-17х + 72; а) 5x2-7ху +2l/2; б) 6x2+17X1/+lll/2; в) x2-2xi/-3z/2; г) x2-3xj/-40i/2. *• Поскольку ±|6l/| = ±6l/. 221 ■jin ('ократите дробь: и) у^ + у-12 б) 4т^ + 12т + 9 в) а^ + а^-а-1 y'* + 8iH-16’ ' 2т^-т-6 ’ ^ а^ + 2а+1 У». I Пусть Xi — корень уравнения ах^ + Ьх + с = 0, т. е. пусть axl + bxi + + с»=0. Докажите, что тогда ax^ + bx + c = a(^x + xi + (х-х^). I. ГКОРЕМА ВИЕТА Мы вывели в пункте 3 тождество х^ + — х + — = (x-Xi){x-X2), а а ГД1? Xi и Х2 — корни квадратного уравнения ах'^ + Ьх + с = 0. Раскроем скобки в правой части этого тождества: ,г“ X -I- -^ = - XjX - Х2Х + XiXo, т, е. х^ ч- X -t- -^ = х^ - (х. ч- X,) X -f х.х,. а а а а Отсюда следует, что х, ч-Х2 = --^ и х,Х2=-^. Мы доказали следующую а а теорему, впервые установленную Ф. Виетом: 'Георема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х^\ произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при х^: Xi + X2 =--, а XiX2=—. а Справедливо и обратное утверждение: (1) (2) Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства , Ь с ^1 + ^2 = “— И , а а то числа Xi и Х2 являются корнями квадратного урав пения ах^ + Ьх + с = 0. Доказательство. Из равенств Xi4-X2 = — X* - (Xi Ч- Xj) X Ч- Х1Х2. Ь с •> V Ь , с ----и ХхХ2=— следует, что хч— а а а а 222 Но X^-(Xi + X2)x-\-XiX2 = (х - Xi) (х - Х2) И ПОЭТОМУ —Х+ —=(х - Xi) {х - Хо). а а В силу теоремы пункта 1 отсюда следует, что Xi и Xg — корни ураи-Ь с нения х^Н—хН—=0, а поэтому и уравнения ах^ + 6х + с = 0, а а Замечание. Формулы Xi-l-X2 = -— И х,Хо=— остаются верными и в случае, ког- а а да уравнение ах^ + &х + с = 0 имеет один корень Xi кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = Xj. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня. Теоремы Виета могут быть использованы при исследовании корней квадратного уравнения по коэффициентам и дискриминанту. Например, исследуем корни приведенного квадратного уравнения х^ч-рх + д = 0 в зависимости от знаков р и д. Если д<0, то D=p^-4g>0, значит, уравнение имеет два различных корня Xj и Xg. А так как Xi*X2 = g<0, то корни имеют разные знаки. При этом Xi + X2 = -p. Отсюда следует, что при р>0 отрицательный корень имеет большую абсолютную величину, а при р<0 положительный корень имеет большую абсолютную величину. Если же р = 0, то корни равны по абсолютной величине. Аналогичные исследования корней можно провести для случаев д = 0, д>0. Пример 1. Не решая уравнения, выясним, сколько оно имеет положительных и сколько отрицательных корней: а) х2-373х-111 = 0; б) 3х2-11х + 435 = 0; в) 2х2 + 7х+1 = 0. Решение. а) Так как д = -111<0, то D>0 и уравнение имеет два корня; один отрицательный и один положительный. б) Так как уравнение 3x^-11x4-435 = 0 имеет те же корни, что и 2 11 . 435 л п /ll^^ >4 435 121 . л уравнение х^ - — x-h —^ = 0, а х) = 1 — I -4 • —— = --—4 • 145<0, то о о \ о / о у данное уравнение корней не имеет. в) Уравнение 2х^н-7x4-1 = 0 имеет те же корни, что и уравнение 2.7.1лгг гл/7\2.1 49 on ^ 4- —X4-“ = 0. Так как = -4--— = —— 2>0, то уравнение имеет два различных корня. Из того, что Xi - Хг=\>0, заключаем, что корпи 223 импют одинаковые знаки, а так как ^ri4-X2 = -—, то данное уравне-НПО имеет два отрицательных корня. 1*ассмотрим пример построения квадратного уравнения, корни кото|)ого заданы некоторыми условиями. Пример 2. Составим приведенное квадратное уравнение, корнями которого ииляются квадраты корней уравнения 12х +5 = 0. Решение. Пусть Xi и Х2 — корни уравнения 12л:+ 5 = 0, тогда искомое уравнение имеет коэффициенты р = -(xf + X2) =-(xf +2X1X2 + I x'i-2xyX2) = 2x^X2-(Xi + X2)^y 9 = ^1 • ^2 = (-^1 ’ ^2)^- Так как по теореме Виета Xi + X2 = 12^ Xi*X2 = 5, то р = 2 • 5 - 12^ = -134, д = 5^ = 25. Искомое квадратное уравнение имеет вид 134л:+ 25 = 0. УПРАЖНЕНИЯ 27. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение корней, если корни существуют: 1 г) ^z^ + 2-7 = 0; а) 4г/2_15 = 0; б) 2л;2-24л: = 0; д) л:2-9л: + 20 = 0; в) 2x2-9д:-10 = 0; е) х2 + 2х-80 = 0. Сформулируйте теорему Виета и обратную к ней для приведенно го квадратного уравнения. 28. Составьте квадратное уравнение по его корням: 1 а) 5 и 2; б) -0,5 и 10; в) 1 ч 4 и--; г)-- 4 29. Решите уравнение и проверьте ответ по теореме Виета: а) Зх2-4х-4 = 0; в) 2х2 + 7х + 6 = 0; б) х2-2х-9 = 0; г) 2х2 + 9х + 8 = 0. 30. Могут ли числа: V а Ь а) т- и - ; О а б) аЬ и аЬ быть корнями уравнения ах2 + 6х + с = 0? ^2 а) Один из корней уравнения х2+рх-35 = 0 равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р. б) Один из корней уравнения х2-х + а = 0 равен 2. Найдите другой корень и коэффициент а. 224 в) Один из корней уравнения 5x^-fbx-f 24 = 0 равен 8. Иайдито другой корень и коэффициент Ь. г) Один из корней уравнения 10х^-32х + с = 0 равен 5,3. Найдито другой корень и коэффициент с. д) Один из корней уравнения ах^-6х + 15 = 0 равен 10. Найдитг другой корень и коэффициент а. е) Разность корней уравнения х^-12хн-д^ = 0 равна 2. Найдите значение д. ж) Разность корней уравнения х^ + х + с = 0 равна 6. Найдите <\ з) Найдите подбором корни уравнений х2 + 16х + 63 = 0 и х2-19х + 88 = 0. 32. Не решая квадратного уравнения, найдите знаки его корней (если корни существуют): а) х^ + 7х-1=0; в) 5^2 +17х +16 = 0; д) 2х^+ ][3х+П-=0; б) х2-7л: + 1 = 0; г) 19л:2-23л: + 5 = 0; е) 11лг2-9л: +7-5\^-0. 133.1 Дано уравнение л:^ + 5л:-4 = 0 с корнями и Xj. Составьте квадратное уравнение с корнями: 11 .1 1 Д) У1^^1 + — и У2 = ^2 + ^2 Л> 1 л 1*1 е) !/1 = -^ и 1/2=-j; ж) i/i = Xi + 2x2 и У2 = Х2 + 2х1; з) У1=х\ и У2 = Х*2. 34. 35. а) У1 = — и у2= ^ Xi Х2 б) yi = Xi- х1 и 1/2 = ^2 • х|; в) !/l=-J и 1/2= -2 ; Х2 Xi г) J/l=— и У2= Х2 Xi Не решая уравнения х^н-4х-5 = 0, составьте новое уравнение, корнями которого были бы кубы корней данного уравнения. 1) 1/2+ 1241/-125 = 0; 3) i/^-124i/+120 = 0; 2) у2 + 12у + 25 = 0; 4) z/2 + i24y+125 = 0. Не решая уравнения х2-Зх + 1 = 0, найдите сумму четвертых степеней его корней. 36*J Выразите через Oj и Og симметрические многочлены: а) х® +4x2^+ 4x1/2 +^2. 5^ х® +бх'*у-Юх^у^-Юх2г/3 +бху'* ч-у®. 37, 38. Дано квадратное уравнение 2x2 +Зх-5 = 0, имеющее корни а и (i. Составьте новое квадратное уравнение, корнями которого были бы ai = 2a+|- и Pi = 2p + —. Р а Решите предыдущую задачу в случае: а) 3x2 + 7х + 4 = о, tti = -р^ и Pi = ; Р б) х2-4х + 3 = 0, aj = 8 Алгебра, 8 кл. 2а + р 2р + а 225 Иа этого равенства следует, что 28(х +1)-i-25jc-12x(x+1) = 0, причти дг(лч-1)?^0. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем уравнение -12x^4-41x4-28 = 0. Корнями этого уравнения являются MiHvia = Х2==4. Однако условию задачи может удовлетворять X А только положительный корень х = 4. Следовательно, первая часть капитала приносит 4%, а вторая — 5%. УПРАЖНЕНИЯ 46. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше его ширины, а площадь равна 60 см^. 47. Периметр прямоугольника 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м^. 48. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа. 49. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа. 50. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8:15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника. 51. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к его катету равно 13:12, а другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника. 52. Найдите на оси Оу точки, удаленные от точки А (8; 3) на 17 единиц. 53. Решите уравнение: . х^ 4-1 л а) —-—-х = 2; б) X в) 3- х-И 6 х + 2 -2х = 2; х = х4- 5; г) Д) е) 3x4-4 х2-4х-б 5 iy+lf 12 3-У 5 10 7-у У . 4 2 ’ у-2 (y-2f 4 8 --1; ж) з) и) к) л) м) 2х^ хЧбх X — 5 2х-1 Х47 5у-И X х-2 3x4 1 Х42 4- 7х-6 . х-2 ’ 5 5-х ’ 3x44 . х-1 У+2 У 5 8 Х42 х-1 ' х-2 х^-4 = 1. 54. Решите уравнение: 4 4 г/ а) б) 91/2-1 4 X 4 3 3(/4 1 5 1-Зу = 0; х-3 -1; = 0; У “Зу у^ + Зу 228 55. 56. 57. 58. 59. При каких значениях у сумма дробей —г и 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. J/-5 6 х-4 равна их про и х + 2 равна их про изведению? При каких значениях х разность дробей изведению? Числитель дроби на 1 больше ее знаменателя. Если прибавить к числителю 3, а к знаменателю 18, то полученная дробь будет im 1 меньше исходной. Найдите исходную дробь. Велосипедист проехал расстояние 67 км за 4 ч, причем на послед них 27 км пути его скорость была на 2 км/ч больше, чем на прс^ дыдущем участке пути. Сколько времени затратил велосипедист на последние 27 км пути? Велосипедист выехал из города в поселок по дороге, длина кото рой 24 км, а возвратился по другой дороге, длиной 30 км. Несмо тря на то что на обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч, на обратный путь он затратил на 6 мин больше, чем на путь и;* города в поселок. С какой скоростью возвраш;ался велосипедист? Повысив скорость поезда на 10 км/ч, удалось сократить на 1 ч время, затрачиваемое на прохождение пути в 720 км. Найдит(‘ первоначальную скорость поезда. Из пункта А в пункт В, расстояние до которого равно 33 км, од повременно выехали два велосипедиста. Один из них, двигаясь <м> скоростью, превышающей скорость другого велосипедиста на 4 км/ч, прибыл в пункт В на 48 мин раньше, чем другой. Сколько времг ни находился в пути каждый велосипедист? Теплоход прошел 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если ско рость течения реки равна 3 км/ч. Турист проплыл на лодке 6 км по реке против течения и 15 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдип» скорость лодки при движении по озеру. Моторная лодка прошла 45 км по течению реки и 22 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость лодки при движении против течения реки, зная, что скорость течения речей 2 км/ч. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению реки за 3 ч. Найдите скорость течения реки. Урожай с участка сначала убирал один комбайн. Через 4 ч после начала работы к нему присоединился второй, и, проработав совмп-стно 8 ч, они закончили уборку урожая с участка. За сколько чп сов мог бы убрать урожай с участка каждый комбайн, работая от дельно, если известно, что первому понадобилось бы на 8 ч больше, чем второму? 229 П7 no. 7оГ| 71. 72. 74. 1.75: i 7tt. 77. Д|»о машинистки получили для перепечатки рукопись. После 2 ч соиместной работы одна из них получила другое задание, и вторая, оставшись одна, закончила рукопись за 1 ч 20 мин. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, если второй на это понадобилось бы на 1 ч 10 мин больше, чем первой? Ученики школы по ее окончании обменялись карточками каждый с каждым. При этом всего потребовалось 210 карточек. Сколько учеников окончили школу в этом году? Парус имеет форму прямоугольного треугольника. На его изготовление пошло 15 м^ ткани, длина его, считая по большему катету, на 3,5 м больше ширины. Какова длина и ширина паруса? В ромбе одна диагональ длиннее другой на 8 см. Сторона же ромба 2 дм. Определите площадь ромба. Некто открыл счет в банке, положив на него 30000 р. Через год он положил на свой счет еще 50000 р. В конце второго года на счете оказалось 103 200 р. Сколько процентов в год платил банк? Существует ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются тремя последовательными четными или нечетными числами? Из поселка расходятся две дороги под прямым углом друг к другу по направлению к двум железнодорожным станциям. Расстояние между станциями по прямой линии равно 37 км, если же идти с одной станции на другую через поселок, то придется пройти 47 КМ- Сколько километров от поселка до каждой станции? Ученик купил 2 подержанных учебника в букинистическом магазине, из которых первый стоит по номинальной цене на 150 р. дороже второго. При покупке была сделана скидка в размере 150 р. на каждый учебник, при этом на первый учебник была скидка на 5% меньше, чем на второй. Сколько заплатил ученик за обе книги? Предмет первоначально стоил 50 р. После двух последовательных снижений цен он стал стоить 36 р. При этом процент снижения во второй раз был в 2 раза больше, чем процент снижения в первый раз. На сколько процентов снижалась цена каждый раз? Продано некоторое количество ученических тетрадей на 144 р. и на ту же сумму продано карандашей на 16 штук больше, чем тетрадей. Карандаш на 1,5 р. дешевле тетради. Сколько продано тетрадей и карандашей? Покупатель приобрел в магазине на 480 р. несколько метров материи. Если бы он заплатил за метр двадцатью рублями меньше, то на ту же сумму мог бы купить двумя метрами больше. Сколько метров материи куплено? 230 § 2. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, СВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ 6. УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ Многие уравнения приводятся к квадратным с помощью удачной подстановки. Пример 1. Решим уравнение 13x2 +36 = 0. (1) Решение. Так как — то это уравнение можно записать следующим образом: (х^)^-13x2 + 36 = 0. Положив х2 = г/, получаем квид ратное уравнение относительно у: y2-l3i/ + 36 = 0. (2) Решим это уравнение по формуле корней квадратного уравнения: Z) = (-13)2-4 • 1 • 36=169-144 = 25, 13±V25 _ 13±5 2 2 • Значит, уравнение (2) имеет два корня: Ух = 9 и 1/2 = 4. Но у = х^. Поэтому, чтобы найти X, осталось решить два уравнения: х2 = 9 и х2-4. Из первого уравнения находим два корня Xi = 3 и Х2 = -3, а из второго — еще два корня Хз = 2 и Х4 = -2. Значит, уравнение (1) имеет четыре корня: Xj = 3, Х2 = "3, Хз = 2, Х4 = -2. Уравнения вида ах'* + Ьх2 + с = 0, где называют биквадратны- ми. Видим, что для решения биквадратных уравнений надо сделать подстановку x2 = i/, найти корни ух и у^ квадратного уравнения ai/2 + bz/ + c = 0 и решить уравнения х^ = ухИ х^ — у2> Они имеют решения лишь в случае, когда i/i>0 (соответственно у2^9). Пример 2. Решим уравнение х" + 5х2-36 = 0. (3) Решение. Сделаем подстановку х^ = у. Получим квадратное уран-нение 1/2+ 5j/“36 = 0. Его корнями являются числа Ух = 4 и У2 = ~9. Для нахождения х осталось решить уравнения х2=4 и х2= -9. Первое из них 231 I MOOT корни 2 и -2, a второе уравнение не имеет действительных кор-1ИЙ, !1пачит, уравнение (3) имеет два корня: Xi = 2 и Х2 = -2. 1’опкм1ие биквадратных уравнений приводит к выражениям вида Л I л., рассмотренным нами в пункте 21 предыдущей главы, В самом решая уравнение ay^ + 6i/ + c = 0, получаем yi 2 = -b±yjb^-4ac 1'етая затем уравнения х^ = -Ь±"^Ь^~4ас 2а 2а , получаем, что биквад- ратное уравнение может иметь четыре корня: х — ± -b±yjb^-4ac 2а » V- —± у 2а Ь^- 4ас Ь Ь^ — 4ас ----- . Полагая А =-----, В=-------, видим, что реше- 4а^ 2а 4а^ мне биквадратного уравнения привело к выражению Va±Vb. По фор- a-^Ja^-b муле (1) пункта 21 главы V имеем ,п л2 гэ Ь^-4ас с Гпк как =------------= — 4а^ 4а^ ^ иычисления корней биквадратного уравнения: то получаем следующие формулы Конечно, нет смысла запоминать эти формулы, но они могут быть полезны при исследовании связей между коэффициентами и корнями Пнкнадратного уравнения. Подстановкой, т. е. переходом к новой неизвестной, можно привести к решению квадратного уравнения не только биквадратные уравнения. Это можно сделать во всех тех случаях, когда уравнение является квадратным относительно некоторого выражения, содержащего неизвестное. Пример 3. Решим уравнение (2л:-1)"-25 (2л:-1)2+ 144 = 0. Решение. Сделаем подстановку {2х-1У = у. Тогда имеем J/2-25J/+144 = 0. (4) (5) 1Сорнями уравнения (5) являются числа j/i = 16, Уг = 9- Чтобы найти корни уравнения (4), надо решить два уравнения: (2л:-1)2=16 и (2х-1)2 = 9. 232 Решим уравнение (2л:-1)^ = 16. Его можно записать следующим образом: (2х-1)^-4^ = 0, т. е. (2x-5)(2jc-i-3) = 0. Решая это квадратное 5 3 уравнение, получаем, что Xi=— и Х2 = - — . Точно так же находим А корни уравнения (2х-1)^ = 9. Ими являются числа Хз = 2, х^ = -1, 5 3 Итак, уравнение (4) имеет корни Xi = —, Х2 = -—, Хз = 2, Х4 = -1. f УПРАЖНЕНИЯ 78. Применив подстановку, решите уравнение: а) (5х-Ы)2 + 6(5х-|-1)-7 = 0; б) (х2-9)2-8(х2-9) + 7 = 0; в) (2х2 + Зх)2-7(2х2 + Зх) = -10; г) (х-1) -з(х--1)-4 = 0; + 18 18 д) -------- x^-h2x-3 х^ + 2х + 2 х^ + 2х+1 е) (z/2 + 2i/ + 4)2-7(i/2-b2i/ + 4)+12 = 0; ж) (x2-hx+l)2-3x2-3x-l = 0; з) ^2+^ + 2(x-fi) = i|2. 79. Решите биквадратное уравнение: а) x'*-f-x^-2 = 0; д) Хбх"*-Юх^-Ь 1 = 0; б) х‘‘-8х^-9 = 0; е) х'*-|-15х^-1-50 = 0; в) 1/^-71/2-144 = 0; ж) j/^-8z/2+16 = 0; г) 36z<-13z2 + l = 0; Докажите, что уравнение 2х^ + Зх^ +1 = 0 не имеет действительных корней. Найдите точки пересечения с осями координат графика функции: а) г/ = х‘‘-10x2 + 9; в) г/ = х‘‘-2х2-3; б) j/ = x‘* + 2x2 + 6; г) 1/ = х'* + 36х2. Почему биквадратное уравнение, имеющее корень, равный т, имеет также и второй корень, равный -т? з) 9г/^-6у2+1 = 0; и) х^-25x2 = 0; к) х^ + 0,16х2 = 0. 80 81. 82. [83.1 Один из корней биквадратного уравнения равен 2, а другой корень 2\2. Составьте уравнение. 1) х^ +12x2+ 32 = 0; 2) х"-12x2+ 32 = 0; 3) х^ +12x2-32 = 0; 4) х^-12x2-32 = О. 84. Составьте биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого равна 26, а произведение равно 36. 233 I Н5.1 Сократите дробь: а^-11аЧ24 а) а^-17а2 + 72 б) x^-2(a462)jc2-H4a2ft2 x^-2(2a2 + b^)x48aV на. Иная, что тип — корни уравнения -\-px-\-q = 0, найдите биквадратное уравнение, имеющее корни -т, -п, m и п. Н7.| Докажите, что если х^ Xg, лгз, х^ — корни биквадратного уравнения х^ + х^-2 = 0, то они связаны соотношением Xi-\-X2-^Xq-\-Х4 = 0. /л. ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И этом пункте мы рассмотрим еще одно уравнение четвертой степени, решение которого можно свести к решению квадратного уравнения. Рассмотрим уравнение четвертой степени ах^-\-Ьх^ + сх^ + bx + a = 0j (1) Обратим внимание, что в этом уравнении коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны. Такие уравнения в алгебре называют возвратными уравнениями. Так как а?^0, то д: = 0 не является корнем этого уравнения. Разделив обе части уравнения (1) на х'* и сгруппировав члены с одинаковыми коэффициентами, получим Сделаем теперь подстановку 2 = jc-h—. Тогда =х^ + 2 + -^, -^ = 2^-2. 2^= ЛГ + Значит, предыдущее уравнение принимает вид a(2^-2)-f б2 + с = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем его корни Zy и 2g. Чтобы найти X, необходимо решить уравнения .1 .1 Х+~=2у и Х4- —=2g. Каждое из этих уравнений также сводится к квадратным урав-ИОИИЯМ X^-2iX-fl = 0 и Х^-22Х+1=0. Пример 1. Решим уравнение бх'^-Збх^-Ь 62x^-35x-f 6 = 0. Решение. Разделим обе части на х^ и сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами: б(*‘ + ^)-85(*+7) + 62-0, 234 Сделав подстановку г = х+ —, получим б (г^- 2)- 352 + 62 — 0, ил и 622-352 + 50 = 0. Г> 5 10 Решая последнее уравнение, находим 2i = —, 22=—. 2 3 Чтобы найти множество корней исходного уравнения, надо рг шить два уравнения х+-^ = 4 ^ л:+ —= ^, или 2х2-5х + 2 = 0 и Зх^-10jc + 3 = 0. X 2 X 3 Решая их, находим множество корней исходного уравнения 2* 3* — ’ 2’ ’ 3 Аналогично решаются уравнения вида ах'* + &х^ + сх2-Ьх + а = 0, которые отличаются от возвратных уравнений лишь тем, что коэффициенты при нечетных степенях имеют противоположные знаки. поло- Представив это уравнение в виде а^х2 +j + &^х-+ с = 0, жим 2 = х——. Тогда 22 = (х- —) =х2-2 + —, откуда х2 + —= 22 + 2. Поэтому получаем квадратное уравнение а(22 + 2) + б2 + с = 0. Пример 2. Решим уравнение х^ —Зх®-х2 +Зх + 1 = 0. 9 2 Решение. Разделим обе части на и, положив 2 = х-—, получим (22 +2)-Зг—= 0, или 22-Зг + -^ = 0. Решая полученное квадратное уравнение, находим Zi — ^ и 22 — 3 о Затем решаем два уравнения х - ^ = ^ и x-^ = -§, или 3x2-7х-3^q X 3 X 3 и 3x2-2х-3 = 0. Решая эти уравнения, находим множество корней 7±V85 1±V10 исходного уравнения ' УПРА МНЕНИЯ 88., Решите уравнение: а) х'* + х®-4х2 + х +1 = 0; б) 6х^ + 5х»-38х2 + 5х + 6 = 0; 89. в) 5х^-12х2+14х2-12х + 5 = 0; г) х‘‘ + 5х2 + 6х2 + 5х+1 = 0. Докажите, что если а — корень возвратного уравнения, то тоже корень этого уравнения. 235 (X 1*|'|1мчше некоторых задач приводит к уравнениям второй степени, содержащим два неизвестных, т. е. таким уравнениям, которые еидгржат квадраты одного или двух неизвестных или произведение 4i*vx неизвестных. В общем виде такие уравнения можно записать е тушующим образом: ах^ Ч- Ъху 4- су^ 4- dx ч- 61/ 4- / = 0. 'Гакого вида уравнения называют неопределенными уравнениями 1ги»|1ой степени. В задачах, приводящих к таким уравнениям, дают-('II, как правило, дополнительные условия, по которым можно соста-иить еще одно уравнение и затем решить систему двух уравнений. Задача. 11айдем длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м^. 1*ешение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполняться равенства 2х4-2у=16, т. с», хч-1/ = 8 и ху = 15. Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений fx + z/ = 8, [х1/=15, г, о, к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба урав-1ИЧ1ИЯ системы обращает их в верные числовые равенства. Из первого уравнения находим, что г/=8-х. Подставляя это значе-IUIP во второе уравнение, получаем х(8-х)=15, т. е. 8х-х^ = 15, или х2-8х+15-0. (1) 1'(мпая это уравнение, находим Xj = 5, Х2 = 3. Поскольку у —8-х, то при Xi = 5 получаем z/i = 3, а при Хг = 3 имеем У2 = ^- В обоих случа-»1ч получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого рпины 3 м и 5 м. «Замечание, Уравнение (1) можно вывести быстрее, используя п'орему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и г/ равна Н, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями ураннения 2^-82 4-15 = 0. Рассмотрим некоторые случаи систем, содержащих уравнения а горой степени с двумя неизвестными, решения которых можно свести к решению квадратных уравнений с одним неизвестным. I. Если в одно уравнение системы какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить гго неизвестное через другое и подставить полученное выражение во 236 второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизнест ным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом мо ним находим значения оставшегося неизвестного. Пример 1. _ „ f2x-fy = ll. Решим систему уравнении *^2 2 ко у — оо. Решение. Из первого уравнения находим, что у~11-2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем д:2 + (11-2д:)2 = 53. Раскроем скобки и приведем подобные члены: д:2+121-44д: + 4д:2 = 53, и потому 5д:^-44д: + б8 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение 5х‘^ - 44х + 68 = 0. Решая его, находим П = (-44)^-4 • 5 • 68 = 1936-1360 = 576, 44 ± V 576 44 ±24 2-5 10 Итак, Xi = 6,8, ^2 = 2. Но если Xj = 6,8, то yi — 11 — 2 * 6,8 = -2,6, а если = 2, то 1/2 = 11 -2 • 2 = 7. Ответ: Xi = 6,8, j/i = -2,6; Ха = 2, = 2. Если оба уравнения системы имеют вторую степень по каждому неизвестному, но из них можно вывести уравнение первой степени. Пример 2. о ^ {х^-\-у^-2х-Зу = -1, Решим систему уравнении 2_jq Решение. Если вычесть второе уравнение из первого, получим -2jc-3i/ = -11, т. е. 2х + Зг/ = 11. Значит, надо решить систему уравнений Г 2x±3i/ = 11, \х^-\- у^=10. И-Зу Из первого уравнения находим, что х уравнение, получаем 11-31/ Подставляя х во второе + у^ = 10, 237 (и кудп 121-66//4-9z/^ + 4i/^==40, т. e. 13i/^-66y + 81 = 0. Корнями это- 27 п» киндратного уравнения служат yi = 3, У2=То* ®^ли i/i = 3, то из 13 11 Зу 1 „ 27 31 ^ находим Xi = l. Если же 1/2=^, то ^2=у^- 31 Ответ: Xi = l, t/i = 3 или -*^2=^3. У2 13 Пример 3. Решим систему уравнений г Х1/ = 12, [х2 + у2 = 25. Решение. Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым. Получаем х^+г/^+2ху=49, т. е. (х+у)^=7^. Значит, х+у=7 или >■ I (/ — -7. Нам надо теперь решить две системы уравнений: \ху = 12, Г [х+у=7 и\ ху=12, х+у=-7 и объединить их решения. Проще поступить иначе: умножим обе части первого уравнения си-ггемы на 2 и вычтем из второго уравнения. Получим x^ + i/^-2xj/= 1, т. о. (х-уУ — 1. Отсюда следует, что х-у = 1 или x-i/ = -l. Комбинируя каждое из уравнений х-г/ = 1, х-у = -1 с каждым из уравнений X I у•=7, х + у = -7, получаем четыре системы линейных уравнений: Гх-у=1, \х-у = \, Гх-1/ = -1, Гх-1/ = -1, [х + «/ = 7, [х + у = -7, [х + г/ = 7, [х + у = -7. Р(чпая первую систему, получаем Xi = 4, J/i = 3. Из второй системы следует, что Х2 = -3, 1/2 = ~ 4, из третьей — что Хз = 3, Уз = 4, а из четвертой — что Х4 = -4, j/4 = -3. Ответ: Xj = 4, i/i = 3; Х2 = -3, i/2 = -4; Xg = 3, Уз = 4; Х4 = -4, У4 = -3. 3. Если одно из уравнений системы является однородным уравнением второй степени, т. е. все члены уравнения имеют степень 2, то его можно представить в виде квадратного уравнения относительно (или —). Затем из найденного отношения — (или —) выражаем одно X Ух и;| неизвестных и подставляем во второе уравнение. Пример 4. о “ [3х^-%ху + у^ = 0, Решим систему уравнении 1 д.2^у2_ д 238 Решение. Первое уравнение системы однородное, так как исо его члены с ненулевыми коэффициентами (8х^\ ~^ху; у^) имеют степень 2. Заметим, что для решения системы выполняется условие у^О, В сн мом деле, если у = 0, то из первого уравнения системы следует, что и л: = 0, но пара чисел х = 0, у = 0 не удовлетворяет второму уравнению. Разделим обе части первого уравнения почленно на у^. Получим уран нение .2 8^-6- + 1-0. у‘ Применим подстановку г Тогда предыдущее уравнение при мет вид 8г^-б2 + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим 2i = “, Таким образом, из первого уравнения находим —-г* 2 4 У 2d или “ = Выражая из этих равенств у через х и подставляя но второе уравнение, получаем два уравнения: х^ + (2х)^ = 5 и х^-ь(4д:)^ = 5. Из первого уравнения находим Xi = l, Х2 = -1, а из второго уравнения — Этим значениям неизвестного х соответствуют четыре значения неизвестного у: z/i = 2, i/2 = -2, = J/4 = “4^y^. Встречаются случаи, когда ни одно уравнение системы не является однородным, однако путем сложения или вычитания уравнений можно свести ее к системе, содержащей однородное уравнение второй степени. Пример 5. Решим систему уравнений {у^-ху = \х^-‘ху = -ху = -12, 28. Решение. Ни одно из уравнений не является однородным. Действительно, в первом уравнении члены и ху имеют степень 2, а - 12 имеет нулевую степень: -12 = -12х® * По той же причине не явля- ется однородным и второе уравнение. Но если умножить первое уравнение на 7, а второе на 3 и затем их сложить, то получим однородное уравнение 7у^-10ху +3x^ = 0. Решая теперь систему уравне-7у2 - Юху -f Зх^ = о, х^“ху = 28, исходной системы: ^1 = 7, j/i = 3; Хз = -7, У2 = -3. НИИ так же, как в примере 4, находим решен 239 УПРАЖНЕНИЯ 1Ю. 1Чмпите систему уравнений: н) х^-2ху = 7, г) \xy + Zy^ = \2, х-2у = -2\ [х + Зг/ = 4; б) 1бху-у^ = 9, д) (2х^-3у^ = 24, {2х-у = -1; [2х-3у = 0\ в) \х^-Ьху=\0, е) Г4х^-9у^= 15, |x-5i/=l; |2л: + 3у = 5; 1И. Решите систему уравнений: а) \х + 10у = П, б) 1хЧ4у2 = 53; 02. Решите систему уравнений: а) Г(х + 1/)(л:-у) = 0, в) \2х-у^и б) { х^ + у^ = 25, г) [ х^ + у^ = 50, 1(л:-3)(1/-5) = 0; \х^-у^ = 0. О.Ч, Решите систему уравнений: а) Гж^ + 1/^ = 20, в) \х^ + у'^-ху = \9, 1x1/ =-8; 1ху = 15; б) Гх^ + 1/^ = 100, г) \х^-у^-ху = 44, 1ху = 48; \ху = -24. 94. Решите систему уравнений: Гх + г/=1, \х’^ + у^ + 5у = 0. г. \х^ + у^ = 100, 1х(у + 6) = 0; а) Г x^^-I/^ = 29, 1x2-1/2 = 21; б) Г4х2 + 3у2 = 31, \Ъх^-у^ = -4\ в) + 2у — 7; г) I х2 + _ 2д: + 4у = 20, { х2 + у2_бх + 8{/=1, х^ + у’^-8х + 6у = -5; д) е) ж) з) х + у = 10, l+i=-A. ^ у 12’ х-г/==6, 1-1= А. ух 20’ 2л: + у = 5, ^1=1.5; i-i=01 X У у-2х = 3. ж) з) -1/2=11 г х^ + ху-у \х-2у = и f x2 + xy-3i/ = 9, \Зх-\-2у = -1. U5. Периметр прямоугольника равен 82 м, а длина его диагонали 29 м. Найдите площадь прямоугольника. 240 fieT) 97. 98. и s Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а длина vvn гипотенузы равна 37 см. Найдите длины катетов этого троу|’оль ника. Длина участка прямоугольной формы равна 60 м, а ширина 8 м. На сколько метров надо уменьшить длину и на сколько ширину участка, чтобы его площадь уменьшилась вдвое, а норн метр уменьшился на 44 м? Периметр прямоугольника равен 80 м. Если одно из измерена и й прямоугольника увеличить на 8 м, а другое — на 2 м, то его пло щадь возрастет в полтора раза. Какие измерения имеет прямо угольник? Длина диагонали прямоугольника равна 17 дм, а его площадь 120 дм^. Найдите длины сторон прямоугольника. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 26 см, м его площадь — 120 см^. Найдите периметр этого треугольника. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В, ра<‘ стояние между которыми 28 км, и встретились через час. С какой скоростью двигался каждый велосипедист, если один из них при был в пункт В на 35 мин позже, чем другой в Л? Два поезда выходят одновременно из М и расстояние между которыми 45 км, и встречаются через 20 мин. Поезд, вышедший из М, прибывает на станцию N на 9 мин раньше, чем другой по езд в М. Какова скорость каждого поезда? ^ „ |2д:2 + (у-4)2 = 6. Решите систему уравнении i _о I 4ДГ ” ^. [w4j Дана система уравнений а) Решите систему при а = 3. б) Решите систему в общем виде. в) При каких а система имеет единственное решение? г) При каких а система имеет решение (х; у), такое, что x-i/V 2х^-\- у^~3ху~0у [lOsJ Решите систему уравнений I--1 Г х^ 31/^ 7 [lOeJ Решите систему уравнений ’ Решите систему уравнений [lOs] Решите систему уравнений (х~^уГ--^У^ = -2. х^-ху = 6у ху + у^ = 4. 9 Алгебра. 8 кл. 241 ■ * ж ж Л-4ЛЖ ЖА JLA. Напомним, что в пункте 17 главы II мы назвали симметричес КИМ такой многочлен Р(лг, у), для которого Р(д:, у) —Р(г/, х). При решении систем уравнений вида гPi(x, у) = 0, [Р2(л:, у) = 0. где Р, (х, у) и у) — симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = Uy xy = v* Напомним, что любой симметрический многочлен Р(х, у) можно представить как выражение от и и V, Пример 1. {х^ Ч' хи НК z/^ = 49 ^ ^ OQ ' X У ху — Zu • Решение. Сделаем замену неизвестных: х + у = и, xy^v. Система примет вид и^-и = 49, u + u = 23. { Сложив эти уравнения, получим уравнение -К и-72 = О с корнями «1 = 8, «2 = “9. Соответственно Ui = 15, «2 = 32. Остается решить системы уравнений fx-Kz/ = 8, [xH-z/ = -9, \ху= is и [хг/ = 32. Гх + у = 8, о к к о [ху—15 решения Xi = 3, z/i = 5; X2 = o, У2 = о, [^ + {/ = -9, \xy = Z2 Система Система действительных решении не имеет. Пример 2. Решим систему Решение. Сначала введем неизвестные X и У: Х=—, У = —, 11 1 У >1 затем и viV: U = X + Y=- + ~, F=XY= —. X у ху 242 Получается система из которой U = 5, К—(5. Дилс<», решая систему и=ь, U^-2V=13, ГХ + У=5, 1ху=б, находим Xj = 2, У1 = 3; Х2 = 3, Уг = 2, откуда получаем 1111 2’ З’ 0 > У 2 2 * Можно сразу ввести неизвестные U и V: и = х + у, V=xy, получится система i [/2_2V—13]/2 приводящая к тем же решениям исходной системы. I УПРА МНЕНИЯ „ ^ \ х^-ху += 7, Решите систему уравнении 1 I Х^ + XIJ + ' Решите систему уравнений Г ~ 28 Решите систему уравнений j ^ ’ ^ ^ У • 112 13, Решите систему уравнений: а) [ {х^ + у'^) (х + у) = ^ (х^ + г/2), Uf/ = -3; ^ =>1 ' х^ + у^ = 7, х‘^у-\-ху^ = -2’. б) (х + у = 5, \х'^-ху + у'^=7; ж) Г х^-ху + у^ = 19, \х-ху + у = 7'. в) (х + у = 7. з) "2 2 V + f = 18. 1г/'^л: 12’ > у л: ^д: + £/ = 12; г) [ х + у = 5. и) л:^у + лг1/^ = 30, \ х^ + у'^ = 65; 6’ д) {х + у + ху = 7, \х^+ у^ + ху = 13', к). f (Х-у)(х2-1/2)=16, [ (х + у){х^ + у^) = 40. 243 Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты не заданы кон-к 1»о'||||.1ми числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т. е. одно уравне-1ПИ* с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров). Например, линейное уравнение ах~\-Ъ = с с неизвестным х можно раг(^матривать как уравнение с параметрами а, Ь, с. Его решением при с — ъ и / {) является Если а = 0, то получается «уравнение» & = с, и (ЮЛИ действительно 6 = с, то корнями данного уравнения являются псе действительные числа. Если же при этом а = 0, то дан- ное уравнение корней не имеет. Решить уравнение с параметрами означает следующее: 1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров; 2) найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действи-т(»льно определяет корень уравнения. Ответ к задаче «решить уравнение с параметрами» должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет корни ..., при таких-то значениях параметров — корни ..., при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет. II ример. Решим уравнение рх = 6 с неизвестным х и параметром р. Если го можно разделить обе части уравнения на р, и тогда мы находим ко- 0 р(П1ь уравнения: х=—. Если р —О, то уравнение корней не имеет, по- р тому что О • х = 0 для любого X, Ответ: при р^О уравнение имеет ('динственный корень х=—; при р = 0 уравнение корней не имеет. Р Аналогично выглядит ответ к задаче «решить систему уравнений параметрами». УПРАЖНЕНИЯ |ГТЙ] При каких а уравнение а^ + а{х-1) = 2+~ имеет два различных корня JCi и Х2, таких, что Xi + X2 = 0? i.TTl u ^ 3-2а 2х |114J Найдите все целые значения а, при которых уравнение ——^ = — имеет решение. 244 115. При каких т уравнение т + 3 5 —3/п тх + 3 имеет рсмпеиие? х+1 х-2 х^-х-2 При каком т это уравнение имеет решение х = П 116. Уравнение х^-(а + 3)х + 2а = 0 имеет корни и Xg, такие, что Xi = 4x2. Найдите а. ---1 15 117. При каком а один из корней уравнения х^——х + а = 0 равен киид 118, 119. рату другого? При каких р квадрат разности корней уравнения х^-2х + р = 0 равен 16? При каких k корни уравнения x^-(3ft-l-2)x + ft^ = 0 удовлетворяют соотношению Xj = 9x2? 120. Найдите целые Ь, при которых корни уравнения 5х^ + Ьх-28 0 удовлетворяют равенству бх^ч-2x2=1. 121. При каких а и Ь квадратное уравнение х^ + ах + Ь = 0 имеет своими корнями а и Ь? 122.| Найдите все значения параметра а, при которых уравнения х2 + (а2-5а + 6)х = 0, х2-|-2(а-3)х + (а2-7а +12)-0 ____ имеют одни и те же решения. Определите т так, чтобы уравнения х^ + х + /п = 0, х^ + тхн-1 = 0 имели общий корень. Найдите этот корень. x2-i-j/2 = 2a. 123 124. При каких а система уравнений -шения? 125j При каких а система уравнений шений? ах-4у = а + 1, 2х + (а + 6)у = а + 3 имеет ровно два рг не имеет \)v* 4х 4си = 1 “Ь с 4 0 о ’ не имеет решений? (1 + с)х + 2г/ = 3 + с ^ (/п-2)х + 27^ = 4,5, 127. При каких т система уравнений \ ^ V ^ имеет бес- Л [2хч-(т + 1)1/ = -1 конечно много решении? 128. При каких k система уравнений два решения? rx^-fz/^ = j {(х + уГ = = 2(1 + й), 14 имеет рошю 129. Решите систему уравнений Г х + г/ + 2 = а, |j/ = x2-4. 245 ("истемы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решить графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Нам уже известны графики следующих уравнений: а) ах + Ьу + с = 0 — прямая линия; б) xy — k — гипербола (рис. 34). Выведем еще уравнение окружности с центром А (а; Ь) и радиусом R. Пусть М(х; у) — точка этой окружности (рис. 35). Тогда AM = i?, и потому AM^ = R^, Но (см. п. 18 гл. V) AM2 = (jc-a)2 + (i/-6)2. Поэтому уравнение окружности с центром А (а; Ь) и радиусом R имеет вид (х-а)2 + (г/-6)2 = Д2. (1) 1C этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов уравнения вида -I- у2 _ 2ах - 2Ьу + с = 0. Пример. Найдем графически корни системы уравнений x2 + i/2-2x + 4y-20 = 0, 2х-[/ = -1. { 246 Рис. 36 Решение. Выделяя полные квадраты, получаем д;2 ^ y^-2x->r4ty-2Q = (x^-2x+ 1) + (i/^ + 4i/ + 4) - 1 - 4- 20 = = (ж-1)2 +(у+ 2)2-25. Значит, систему уравнений можно записать так: Г(х-1)2 + (у + 2)2 = 25, l2x-y = -l. Графиком первого уравнения является окружность с центром А(1; 2) и радиусом 5. А 2х-у = -\ — уравнение прямой, проходящей чер((и точки В(0; 1) и С(2; 5). Строим окружность радиусом 5 с центром в точке А и проводим прямую через точки В и С (рис. 36). Эти ли НИИ пересекаются в двух точках М(1; 3) и N(-3; -5). Значит, j)o-шение системы уравнений таково: Xi=l, у^ = 3 и лг2 = -3, У2 = -Ь. ПРАЖНЕНИЯ Решите графически систему уравнений: а) б) л:2 + у2 = 25. в) Д) ]x2 + y2_6x + 8y = 0. х-у = Ъ\ Uy = 8; \л:2 + 1/2 = 25. л;2 + у2 = зб. г) [дг2 + у2 = 25. у-0,5х = 0; [д:у = -12; 13lj Найдите графически координаты точек пересечения окружности с центром А(-2; 2) и радиусом 5 и прямой, проходящей через том ки В(0; -1) и С(2; 3). Найдите графически координаты точек пересечения двух окружностей, имеющих соответственно центры А (3; -4) и В (-1; 6) и |)i> диусы 10 и 6. 247 12, УРАВНЕНИЯ, ГОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ Дна числа, модули которых равны, либо равны между собой, ли-По отличаются лишь знаком: если |а| = |Ь|, то либо а = 6, либо а — -Ь. Применим это замечание к решению уравнения |3х -1 | = |2д:-1-3|. И силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 1\х 1= 2x4-3, либо Зх-1 = -(2х +3). Корнем первого уравнения яв- 2 мястся число 4, а второго — число - Итак, решение исходного . 2 ® У|)авнения имеет вид Xi = 4, Х2 = -—* 5 В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежуки знако-постоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке. Пример 1. Решим уравнение |д:| = |3-2л:|-д:-1. Решение. Выражение х обращается в нуль при л: = 0, а выраже- 3 3 ние 3“2х — при х = —. Точки О и — разбивают числовую ось на и и промежутки (-оо; 0), |^0; -|-j и н-оо^. При -оо<л:<0 имеем х<0 и 3-2х>0. Поэтому на этом промежутке |х| = -х, |3-2х| = 3-2х и у[>авнение принимает вид -х = 3-2х —х-1. Решая его, получаем, t|xo х=1. Но это значение х не лежит на (-оо; 0), и потому на этом 3 промежутке уравнение корней не имеет. При 0<х<— имеем х>0, а .4 2х>0, поэтому |jc| = x, |3-2x| = 3-2jc и уравнение принимает вид X S-2X-X-1. Решая его, находим х=^. Так как это значение х принадлежит промежутку |^0; |-j, то является корнем заданного уравнения. Наконец, на промежутке +оо^ имеем л:>0, 3-2д:<0, а потому |л:| = д:, |3-2л:| = -(3-2л:) и уравнение принимает вид X -{2-2х)-х-1, т. е. 0 = -4. Значит, на этом промежутке нет кор-||(?й заданного уравнения. Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а именно х = —. 2 248 в некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет богк<1 нечно много решений. Пример 2. Решим уравнение |8-5jc| = |3 + x|4-|5-6a:|. Решение. Выражения 8-5х, 3 + х, 5-6х обращаются в нул1. ('о 8 5 ответственно в точках —, -3, —. Эти точки разбивают числовую o(*i. 5 о на 4 промежутка. При этом устанавливаем, что на пpoмeжyтк^lX (_оо; -3), -l-j, +оо^ уравнение корней не имеет, а на проме -3; ^1 оно обращается в тождество 8-5л: = 3 + х +5-6х. Но [-Ч]- жутке этому ответ имеет вид Несколько сложнее решаются уравнения, если знак модуля мод знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на про межутки знакопостоянства позволяет решить уравнение. Пример 3. Решим уравнение 2x-3-|x + 2|| = 8x-f 12, Решение. Выражение дгн-2 обращается в нуль при х = -2. Если дг<-2, то х-ь2<0, и потому |д:-|-2| = -(л:ч-2). Значит, на промежутке» (_оо; -2) заданное уравнение принимает вид |2х-3 + (л: + 2)| = 8х t 12, т. е. |3д:-11 = 8д:+12. Но при х<-2 имеем Зл:-1<0, и потому |3л:-1 | = -(Зх-1). Получаем уравнение -(Зл:-1) = 8л:+12, имеющге» корень х = -1. Так как это число не лежит на промежутке (-оо; -2), то заданное уравнение не имеет на этом промежутке корней. Пусть теперь х>~2. Тогда |x + 2| = x-f 2, и мы получаем уравнемт» |2х-3-(л: + 2)| = 8x-f 12, т. е. lx-51 = 8л: + 12. Здесь надо рассмотреть дна случая: х<5 и х>5. В первом случае |х-5| = “(х-5), и потому полу' 7 чаем уравнение -(х-5) = 8х +12. Его корень равен . Поскольку 7 7 ^ _2<-—<5, то - — является корнем заданного уравнения. Если же х>5, то |х —5| = х-5 и уравнение принимает вид х-5 = 8х-ь12. Корном полученного уравнения является число —Поскольку оно не лежит на луче [5; +со), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, 7 решение имеет вид х = - —. 249 УПРАЖНЕНИЯ lilK. Решите уравнение: а) |2-Зл:| = |5-2л:|; б) |3x2 + 8| = U2-16x + 6|; в) \4х^-29х + 51\ = \2х^-19х + 39\; г) |9-2x| = |3-3x| + |6 + x|; д) |Зх + 2| = |х-1| + 2х-5; i:i4. Начертите график функции: а) у = \х\\ б) 1/ = |х-4|; L_ai е) в) 1/ = |Зх-6|; г) у = 1х|-2; з) е) |х+1| + |2-х|-|х + 3| = 4; ж) ||х-3| + 2| = Зх-5; з) Ц2х-5| + |х|-1| = 8; и) х^ = | 1 - х^|. г/ = |х| + х; у = 2|х + 1|-|х|; 1/ = |х + 4|-2хч-1; i/ = lx-4| + |x + 4|. 1Нб. Решите графически уравнение: а) \х\ = х+1; г) |7-х|==|9 + х|; б) |3л:-1| = 3-д:; | д)||2а:"4| = 2|хч-3| + 6; в) |х| + |х-1|=1; Г е) ||х^ + 9х|= 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI 136. Составьте приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен 2 + \3. 13т] При каких значениях а уравнение х^ + 2ах - 3 + 4 = О имеет ко- рень кратности 2? 138. При каких значениях параметра k сумма квадратов корней уравнения 4x^-28x + ft = 0 равна 22,5? 13&*1 Докажите, что если а, Ь и с — длины сторон некоторого треугольника, то при любом значении х верно неравенство Ь^х^ + (Ь^ + - а^) X + > 0. 14()] При каких значениях а уравнение (а® - За + 2) х^ - (а^ - 5а + 4) X -h а - = о имеет более двух корней? 141. Докажите, что при любых значениях х и у верно неравенство (x-3y)2 + 10(x-3z/) + 26>0. 142. Докажите, что если —несократимая дробь, являющаяся корнем уравнения ах^ + 6х -f с = 0 с целыми коэффициентами, то р ~ делитель с, q — делитель а, 250 143. 144. 145. 146. 147* Докажите, что если уравнения ах^-\-Ьх-\-с = 0 и + а = 0 (а?^0) имеют общий корень, то он равен 1. Докажите, что если уравнения ах^ + 6х + с = 0 и &х^-|-сх + а = 0 (а?^:0) имеют общий корень, то и уравнение сх^ + ах + Ь = 0 имеет тот жо корень. Уравнение х^+рх + д = 0, где p€Z, g€Z, имеет рациональные кор ни. Докажите, что эти корни — целые числа. Докажите, что уравнение х^ + (2т-|-1)х +2д + 1 = 0 не имеет рацио нальных корней, если m€Z, neZ. Составьте кубическое уравнение, имеющее корни: а) о, 1, -1; б) о, 3, в) 4, -1, ^ 148. 149. 150. 151. Определите свободный член уравнения 6х^-7х^-16х +т = 0, если известно, что один из его корней равен 2. Найдите остальные дна корня. Зная, что 2 и 3 являются корнями уравнения 2х^ + тх^ - 13х + л = о, определите типи найдите третий корень уравнения. Составьте квадратное уравнение, сумма корней Xj и Xg которог'о равна 2 и ~—^ + -7——=2а^ а?^1. I + X2 1+Xi При каких значениях а биквадратное уравнение x'^ + ax^ + a-l 0 имеет два различных корня? 152. Чему равна сумма всех корней любого биквадратного уравнении х‘‘-|-рх^ + д = 0, имеющего корни? Составьте биквадратное уравнение, сумма квадратов корней кото рого равна 50, а произведение корней равно 144. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях заработная плата суммой в 40 000 р. обратилась в 90 000 р. Опре делите, на сколько процентов повышалась заработная плата. Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов те перь ее надо снизить, чтобы получить первоначальную ctohmocti. товара? Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, во;ц)н<' тает к концу года на определенный процент (свой для кажло1‘о банка). В начале года некоторого количества денег положили в первый банк, а остальную часть — во второй банк. К концу гп 153 154. 155. 156. 251 1Л7] тв] да сумма этих вкладов стала равна 540 денежным единицам, к концу следующего года — 696 денежным единицам. Было под-л 3 считано, что если бы первоначально — исходного количества де- 5 ног положили во второй банк, а оставшуюся часть — в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равна 600 денежным единицам. Какова в этом случае была бы сумма вкладов в эти банки к концу второго года? Сумма площадей двух квадратов равна 313 см^. Сторона одного 2 квадрата на 5 единиц больше — стороны другого квадрата, Вычис- U лите сторону каждого квадрата. Решите систему уравнений: а) 2х-^у X Н" X = 3, «-4; б) в) Пдс| + |1/| = 5, \ху = -6. I5U и1о] х^-ху + у^ = 21, 1/2-2XJ/+ 15 = 0; = - 4: I 2х + у Найдите все значения т, при которых система уравнений 2х + (9/п^ -2)у = Зт, х + у = 1 не имеет решений. Найдите такое значение Ь, чтобы при любых а система уравнений Зх +1/ = а, ах-у=Ь { Hit Тв2. имела хотя бы одно решение. При каких значениях Ь система уравнений конечное множество решений? Решите графически систему уравнений: x-hby = 2y 3x-2i/==6 имеет бес- а,| ' х^ + у^ = 4, х-2 = 0; в) {х^ = 25-у\ lx + i/-7 = 0; д) ■ х^ + у^-10х + 2у=10. б) х^ + у^ = 25. г) [ х^ + у^ = 25. L10 10 • 3 у = — х; Г 4 [(X-13f + J/2 = 144; Решите уравнение: а) (Зх-8)2 + 5(Зх-8)-150 = 0; г) б^ + уНу+7У = б5у^(у + 7У; g- 2х-6 Зх-4 _ 17. д) (a + 5V-13(a + 5)^a^ + 36a'* = 0; Зх-4 2х-6 4 ’ е) x-6\Gc + 5 = 0; 15х _g_Q. ж) (х^ + 6х)^ + 8(х^ + 6х)-9 = 0. ч лг-20 , в) — + х-20 252 г л а в а РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ 1. НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Решим задачу. Задача. От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд отходит от станции в 11 ч. В каком часу человеку, живущему в деревне, пн до выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со ско ростыо 5 км/ч? Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч утра, то до 11 м он шел бы 11-х ч. За это время он прошел бы 5(11-х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11-х)>20. Мы еще не уме ем решать такие неравенства. Но можно рассуждать так. Найдем, м котором часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на по езд. Для этого должно выполняться равенство 5(11-х):=20. Peiimii это уравнение, получаем 11-х = 4, и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 ч утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет im него, выйдя из дома еще раньше. А если он выйдет из дома п<к1д нее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд, надо ный 253 t и и;« дома не позднее чем в 7 ч утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11-х)>20 имеет вид х<7, Мпог’ие другие задачи приводят к решению неравенств, содержащих iM'iuiiiecTHoe. Решением неравенства^ содержащего неизвестное, называ-И1ГИ множество всех чисел, при подстановке которых в это неравенст-ио вместо неизвестного получается верное числовое неравенство. пример 1. Докажем, что числа 9, 11, 15 входят в решение неравенства Нд* 15>6x-f 1, а числа О, 1, 8 не входят в это решение. В самом деле, при подстановке чисел 9, 11, 15 вместо х получаются верные числовые неравенства: 8 • 9-15>6 • 9 + 1, т. е. 57>55, 8 • 11-15>6 * 11 + 1, т. е. 73>67, 8 • 15-15>6 • 15 + 1, т. е. 105>91. К(;ли подставить в неравенство числа О, 1, 8, то получатся неверные числовые неравенства: 8 0-15>6*0 + 1, т. е. -15>1, 8 • 1-15>6 • 1 + 1, т. е. -7>7, 8 • 8-15>6 • 8+1, т. е. 49>49. Свойства числовых неравенств, рассмотренные нами в пункте 8 главы V, позволяют при нахождении решений неравенств применять утверждения, похожие на те, которыми мы пользовались при решении уравнений: а) Решение неравенства не изменяется, если перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть, изменив его знак на противоположный. б) Решение неравенства не изменяется, если умножить (или разделить) обе части этого неравенства на одно и то же положительное число; при умножении (или делении) обеих частей неравенства на отри-10»тельное число надо поменять знак неравенства на противоположный. Применим эти утверждения для решения неравенств первой степени с одним неизвестным, т. е. неравенств вида А(х)<В(х) (или Л (х)> В(д:)), где А{х) и В(х) — многочлены первой степени. Пример 2. Решим неравенство 8х-15>6х+1. Решение. Перенеся члены, содержащие х, в левую часть, а числа и правую часть, получим 8х-6ж>1 + 15, т. е. 2д:>16. Значит, х>8, Рошением неравенства является промежуток (8; +оо). Теперь ясно, почему числа 9, 11, 15 принадлежат решению, а числа О, 1, 8 ему не принадлежат. 254 Пример 3. Решим неравенство 4(6x-l-5)+1 >3(9x-1) + 9. Решение. Сначала приведем выражения слева и справа к стандартному виду: 24х-\-21 >27x-h6. Это неравенство можно заменить неравенством 24x-27x>6-21, т. е. -Зх>-15. Так как число -3 отрицательное, то после деления на -3 надо изменить знак неравенства на противоположный: х<5. Значит, ответ имеет вид х<5, или (~оо; 5]. Пример 4. в одном бассейне налито 100 л воды, а в другом — 150 л воды. Каждый час в первый бассейн вливается 15 л воды, а во второй — 5 л. В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором? Решение. За х ч в первый бассейн вольется 15х л воды и в нем станет 100-f 15х л воды. Так же находим, что через х ч во втором бассейне будет 150-ь5х л воды. Надо найти такие значения х, для которых выполняется неравенство 100-|-15х>150 + 5х, т. е. решить неравенство с переменной х. Это неравенство решается так: 15х-5х> 150-100, т. е. 10х>50. Но если 10х>50, то х>5. Итак, в первом бассейне окажется больше воды, чем во втором, при х>5, т. е. после 5 ч с начала вливания воды. УПРАЖНЕНИЯ 1. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси: а) 12х>18; д) 7х-2,4<0,4; б) -6х<1,5; е) 1,2х>1,8-5х; в) -11х>“33; ж) 17-х> 10-6x-f 7; г) 10<15х; 3) 12х + 0,5<13х-1. 2, Докажите, что любое число х принадлежит решению неравенгтип х+7>х + 4. 3. Докажите, что неравенству х+1Кх + 7 не удовлетворяет пи одно число. 255 й.. Рошите неравенство: м) б(л:-1) + 7<1-3(л: + 2); б) 4(о + 8)-7(а-1)<12; н) 4(Ь-1,5)-1,2>6Ь-1; г) 1,7-3(1-т) <-(т-1,9); Решите неравенство: 5л:-1 д) а(а-4)-а^> 12-ба; е) (2д:-1)2х-5х<4д:^-л:; ж) (д:-1)^-(х-7)(х-3)<2х + 0,8; з) (Зл:-1)2-Зх(1,2 + Зх)>8д: + 177. а) б) в) г) 4 3-2л: 2 2 + Зд: 18 12-7х 42 >2; <1; <0; >0; ■^^6 12 ’ . 4,5-21/ 2-Зу . 5 10 ’ V 3 + х , 2-х ж) _ + — <0; з) V л:-3,2д:-1 . и) X---—+ <4; к) 5 (2л:-1)2 10 3(;с-1) л) >х 2. м) 12 -у>о. 7. 8. С помощью графика функции j/ = l,2x-6 решите неравенства 1,2х-6>0, 1,2х-6<0, 1,2л:-6>6, 1,2х-6<6. С помощью графика функции у = 3-1,5х решите неравенства 3-1,5х>0, 3“1,5х<0, 3-1,5х>-3, 3-1,5х<-3. Решите неравенство: а) 15(х + 4)-5х<10х; в) Зх +7>(х +2) + (2х+1); б) 31(2х+1)-12х>50х; г) 12х-1 >3(4х-3). 9. Найдите натуральные решения неравенства: а) (2-1,2л)-(0,5п-6,5)>0; б) (-27,1+ Зл)-|-(7,1+ 5л)<0. 10. Найдите положительные решения неравенства: а) 0,75-х<1,5-0,5х; б) l,2(z/-5)<0,5i/-l-0,l. Найдите отрицательные решения неравенства: 10; II ч 3 к 5 б) - у х +4 <х +15. 12 Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше, чем периметр квадрата со стороной 4 см? 13. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объем был меньше объема куба с ребром 9 дм? uj На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, а за каждый промах с него снималось одно очко. Успешным считалось выступление, при котором стрелок получал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен был попасть в мишень, чтобы его выступление было сочтено успешным? 256 115.1 Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и дол ж ны были возвратиться обратно к стоянке. Скорость течения \ичи\ 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч. На какое рнг стояние могут отъехать туристы, чтобы прогулка продолжалась ип более 3 ч? 16, Найдите значения jc, при которых имеет числовое значение ныри жение: а) УЗх-З; б) V5X+2; г) Vs-4лг; Д) е) V4-8x 1 Ve + Зл:’ з) yfx~\~yJx-4; и) \9-х ч 1 1 к) \^2х-7 V8-3X' 2. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В п, 1 главы VI мы установили, что снаряд, пущенный верти кально вверх с начальной скоростью 392 м/с, дважды побывает пн высоте 5880 м — в конце 20-й секунды и в конце 60-й секунды по еле выстрела. Отсюда следует, что он будет находиться на высоте', превышающей 5880 м, когда t больше чем 20 с, но меньше ч(»м 60 с, т. е. в течение промежутка времени (20; 60). Поскольку высота подъема снаряда в момент времени t ранпн 392f-4,9f^, задачу отыскания промежутка времени, в течение кото рого снаряд находится на высоте, большей чем 5880 м, можно ;ui писать в виде неравенства 392f-4,9f^> 5880, или, что то же самоо, в виде неравенства -4,9f^4-392f-5880>0. Решением этого нершич! ства оказался, как мы видели, промежуток (20; 60). Определение. Неравенство, левая часть которого многочлен второй степени, а правая часть равна нулю, называют квадратным неравенством. Таким образом, квадратные неравенства имеют вид ах^ + 6jc 4- с < о, ах^ + Ьх-\-о0у ах^ + + с < о, ах^ 4- бх -I- с > 0. Неравенства вида ах^4-&х4-с<0 и ах^4-6х4-с>0 называются строги* ми, а неравенства вида ах^4-Ьх4-с<0 и ах^ + Ьх-\-с>0 — нестро1'ими, Так как неравенства ах^4-Ьх-|-с>0 и -ах^-&х-с<0 имеигг 1>ди наковые решения, то в дальнейшем будем считать, что а>(). 257 INnaeiiHe квадратных неравенств зависит от знака дискриминан-тп, Разберем возможные случаи. а) Пусть £) = &^-4ас<0. Мы знаем, что квадратный трехчлен It \ * Ьх-\-с можно записать так: <.»> + 6дг + с-а((*+А)“_£.) ,1) (('м. II. 2 гл. VI). Так как всех значениях х неотрица- гально, а>0 и —^>0, то для всех х имеем 4а^ Итак, если а>0 и Z)<0, то неравенство ах^ + Ьх + оО выполняется при всех значениях х^ а неравенство ах^-\-Ьх + с<0 не выполняется ИИ при одном значении х. б) Пусть D = 0. В этом случае равенство (1) принимает вид ах^ Ьх + с = а ^х + ! >то выражение при а > О неотрицательно при всех значениях х и обращается в нуль лишь при х = --^. Следовательно, при D = 0 и а>0 не- рнненство ах^ + Ьх + с>0 выполняется для всех х, неравенство «.r“ + fex + c<0 не выполняется ни при одном значении х, неравенство ых‘‘ + Ьх + оО выполняется при всех хт^--^, а неравенство ах’^ + Ьх + ( с < о — только при х = - . ^С1 н) Наконец, рассмотрим случай, когда D>0. В этом случае, как б1.1Ло показано в п, 3 главы VI, имеем ах^ + Ьх + с = а{х-Xi){x - Хг), (2) где Хх и Х2 — корни уравнения ax^-ffcx + c = 0. Положим для опреде-иемпости, что Хх<Х2> При х<Хх множитель х-Хх в (2) отрицателен, а при x>Xi этот множитель положителен. Множитель же х-Х2 от-пт^ателен при х<Х2 и положителен при х>Х2-Отсюда делаем вывод: Ксли D>0 и а>0, то при х<Хх имеем ах^-\-Ьх-\-оО (один мно-аситоль в (2) положителен, а два отрицательны); при Хх<х<Х2 име-С.М ах^-\-Ьх-\-с<0 (два положительных и один отрицательный множитель); при х>Х2 имеем ах^-\-Ьх + оО (все множители в (2) положительны). Jina4HT, при а>0 и D>0 решение неравенства ах^-\-Ьхл-оО является объединением промежутков (-оо; Хх) и (Xg; -1-оо), а решение неравенства ах^-\-Ьх-\-с<0 — промежутком (Xxl Xg). 258 Предоставляем читателю записать решения неравенств ах^ + Ьх-\-с>0 и ах^-\-Ьх-{-с<0, Пример 1. Решим неравенство: а) ~2х^~2х-\-12<0; в) л:^-6л: + 9>0; д) x^ + 4x + 5>0. б) х^ + х —6 <0; т) х^-\-4х~\-5<0; Решение, а) Делим обе части неравенства на - 2 и меняем знак неравенства на противоположный: x^ + x-6>0. Уравнение + —О имеет два корня: дг^ —-3 и Х2 = 2, Значит, неравенство -2д:^-2д:+12<0 выполняется на объединении промежутков (-оо; -3) и (2; н-оо). б) Корнями уравнения д:^ + д:-6 = 0 являются числа Xi = -3 и Х2=*2. Поэтому неравенство д:^ + Х“6<0 выполняется на промежутке (-3; 2). в) Уравнение д:^ - бд: + 9 = О имеет единственный двукратный корень Xi = 3, так как £) = 0. Поэтому решением неравенства д:^-6хч-9>0 является объединение промежутков (-оо; 3) и (3; +оо). г) Уравнение д:^ + 4д: + 5 = 0 не имеет корней, так как для него D<6. Неравенству х^-ь4д:-|-5<0 не удовлетворяет ни одно значение х, д) Уравнение д:^-|-4д:4'5 = 0 не имеет корней. Решением неравенства х^-1-4х + 5>0 является множество всех действительных чисел. Замечание. При решении нестрогих неравенств надо присоединить к решению соответствующего строгого неравенства корни уравнения ад:^ + &х + с = 0. Пример 2. Решим неравенство х^ + 7х-8<0. Решение. Корнями уравнения х^-\-7х-8 = 0 являются числа -8 и 1. Значит, неравенство х^ + 7х-8<0 выполняется на интервале (-8; 1). Решение неравенства х^ + 7х-8<0 получается присоединением к этому интервалу его концов -8 и 1. Получаем отрезок [-8; 1]. Рассуждения, проведенные нами в пункте «в», можно наглядно представить с помощью числовой оси. Отметим на числовой оси корни Xi и Xg. Тогда вся числовая ось разбивается на два луча (-оо; х,), (Хз; +оо) и интервал (х^; Хг) (рис. 37). 259 Дли чисел X, расположенных левее Xi, обе разности x-Xj и x-Xg рпцательны. Для чисел х, расположенных между Xj и Хг, имеем * X, О, х-Х2<0. Наконец, для чисел х>Хг обе разности x-Xj и I X.. положительны. Следовательно, произведение (x-Xj)(x-X2) на иОпих лучах положительно, а на интервале отрицательно. Значит, дли р1чпения квадратного неравенства ax^ + ftx-hoO (ах^ + &х + с<0) н глучпе, если дискриминант Z)>0, можно пользоваться следующим принилом: I. Найти корни уравнения ах^ + &х-ьс = 0. ‘4, Найденные корни нанести на числовую ось. И, И каждом из полученных трех промежутков расставить знаки квадратного трехчлена ах^ -Ь &х + с = а (х - Xj) (х - Xg). I. Fibi6paTb нужный по условию неравенства знак и записать ответ. Описанный способ решения квадратных неравенств называют ме-шоОом интервалов. Этот метод широко используется при решении рациональных неравенств и более детально будет рассмотрен нами и 9 классе. УПРАЖНЕНИЯ 17. Решите неравенство: а) х^-х-90<0; д) 25x^-10x-f 136>0; б) 6х2-7х + 2>0; е) 49х2-28х + 4<0; в) -х^-2х-1-48<0; ж) -х^-12х-160<0; г) 8х2-ь10х-3>0; 3) 4х2-4х + 15<0. 18. Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству: а) х^-бх<0; б) х^-4>0; в) 3х + х^<0; г) х^-5<0. 19. Найдите значения х, при которых имеет числовое значение выражение: а) V2x -х^; б) 24 ; в) V-8х^ + х-9; г) Vx^- 17х + 16. Vx^ + 4x + 3 90.1 При каких значениях х многочлен -х^ + 8х + 2 принимает значения, большие чем 9? р.) [1; 7]; 2) (-1; 7); 3) (1; 7); 4) (-7; 1). 91. При каких значениях х многочлен 2х^ + х-6 принимает значения, меньшие чем 4? 99. Решите неравенство: а) (у-9)2(г/2 + 9)>0; в) (12-3j/)(1 + 6j/2)<0; б) (у2-б1/ + 8)(г/Ч1б)>0; г) (y-2)2(j/-3)<0. 260 л.%1 .ПК. л ЛД JuVJLlVX XXJbiX JT%.. ж. хх^~жх*д Для решения неравенств, в обеих частях которых имеются ноко* торые многочлены, можно применять утверждения «а» и «б», при веденные в пункте 1. Если эти многочлены степени не выше второй, то, перенося все члены неравенства в левую часть и привод>| подобные члены, мы получаем неравенство либо первой, либо второй степени. Так как проведенные преобразования являются тождс»-ственными (см. п. 16, гл. II), то решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства. Пример 1. Решим неравенство л:^-2д: + 3>1. Решение. Перенеся все члены в левую часть и приведя подобные члены, получим х^-2х + 3-2л:^-д:-1>0, -л:^-Зл:-1-2>0. Разделим обе части последнего неравенства на -1, получим неравенство с положительным коэффициентом при х^: х^ + Зх-2<0. Так как дискриминант трехчлена х^ + Зх-2 положителен: D = 9 + 4 * 2 — = 17, то корни уравнения х^-\-Зх-2 = 0 имеют вид; Хл = -3-V17 Хо = 3 + V17 Воспользовавшись методом интервалов, нанесем найденные корни на числовую ось и расставим знаки квадратного трехчлена х^-\-Зх~2 (рис. 38). Рис. 38 Неравенство -f Зх - 2 < О выполняется для всех х € 3-УГ7 . -S + yfil 2 ’ 2 )• следовательно, решением данного неравенства является интсфинл (-3-yfl7 -3 + VT7 261 к |ичпению квадратных неравенств сводится и решение нера-жчи‘Т11 вида >0, которые называют дробно-линейными нера- cx + d 1ич1гтнами. И самом деле, если Xq входит в axQ-¥b MBiKvrua, т. е. >0 решение данного нера-верное числовое неравенство, то двучле- cxo + d мы + Ь и cxo + d имеют одинаковые знаки, и, значит, произведе-пив iaXo + b){cXo + d)>0. 1^<фно и обратное, т. е. если для Xq выполняется неравенство (ахо + b){cxQ + d) > о. то выполняется и неравенство ахо + Ь >0. cxQ + d Эти рассуждения приводят к выводу, что решения неравенств — — >0 и {axQ + b){cXfy-\-d)>0 cxQ-\-d совпадают* Следовательно, для нахождения решения неравенства достаточно решить неравенство (ax + b)(cx-fd)>0. Раскрыв скобки в последнем неравенстве и приведя подобные члены, получим квадратное неравенство. На практике обычно не раскрывают скобки, а используют метод интервалов. Пример 2. Решим неравенство >0. ^ 5х + 25 Решение. Рассмотрим неравенство (6-3x)(5x-f 25)>0. Вынесем за скобки в первом множителе -3, а во втором 5, получим неравенство -15(х-2)(х + 5)>0. Разделим обе части последнего неравенства на -15, тогда получится неравенство (х-2)(х +5)<0. Нанесем на числовую ось корни уравнения (х-2)(х + 5) = 0 и рас-с/гнвим знаки произведения в каждом из полученных промежутков (рис. 39). 262 Из рисунка видим, что решением неравенства (х-2)(лг5) ■ О значит, и исходного неравенства является интервал (-5; 2). \УПРАЖНЕНИЯ Решите неравенство: а) б) 12 х-7,2 1 >0; в) 1,75 Зх-0,75 <0; -7- 5-х ^ , -0,27 ^ <0; г) —г—>0. 12-Ъх [ 24. [ Решите неравенство: . 0,5х-1 п \ а) ^—^<0; в) X- О Юх-З >0; д) 10х-1 V 2х-1 л 5х-2 е) М±^<о; <0; ж) 4х-3 2-Зх 3) < 4х+ 1 25. При каких значениях у значение дроби 26. При каких значениях р значение дроби 27. Решите неравенство: V 5-х а) 71/ 1/ + 1 5р р-1 больше, чем 7? меньше, чем 1? 3-2х <0; б) в) -^^<2; г) ^^>1. 4х-1 у у^2 [28^1 Решите неравенство: . 2х-7 ^ х + 9,5 ^ . 27-х ^ . Зх-8 ^ а) —--<0; б) —г—>0; в) —~<0; г) ---г>0. х^ + 4 3x2+ 6 ix-7f 29. Найдите, при каких значениях х имеет числовое значение ш> жение: V л / Зх + 6 А / 8 - 4х V д / -14 н-7х \ л f ■■'V -2x-10 5X+15 30. Решите неравенство: a) x2>10x-5; г) -^х2-2хн--|->х(х-1) + 4; 6) 2x^ + 1 >x; д) (2x +2)(x-1)< 5x +5. b) x-2 >4- 263 ШХ. 1^чпите неравенство: rt) (0,5л:-1)(3д:-4)>(3д: +1)(0,5х-1); б) (5f/-6)(-|-i/ + 2)<(-|-z/ + 2)(2y-l). Xi. 1*(мпите неравенство: 1\) (z-8)(z + 2)>2z^-6z + l; fi) 3^2 + 5^-3>(^ + 9)(^-4). Я. Решите неравенство: а) (2x2 + 9)(jc-l)(x + 2)<0; б) (jc^-2л: +1)(а:^ +10x4-25)>0; в) (j/‘'4-4i/2 4-4)(3i/2-7i/-5)<0. 1 СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ ( ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Решим следующую задачу. д ача. Человек выехал в 6 ч утра на автомашине из города А в город В чирез город С. В городе С он должен взять пакет, который привезут 1Ж поезде, приходящем в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть пн поезд, отходящий в 17 ч, С какой скоростью он должен ехать, ес-Hi! расстояние от А до С равно 400 км, а от С до В — 480 км? Решение. Так как в город С автомобилист должен приехать не imnee 10 ч (до этого времени пакет еще не привезен в С), а 10-6 = 4, гп скорость X км/ч должна быть такой, что 4д:<400. С другой стороны, за 17-6 = 11 ч он должен приехать в В, т. е. покрыть путь п 400 + 480 = 880 (км). Поэтому должно выполняться неравенство 11х>880. Итак, надо найти значения х, для которых выполняются оба неравенства 4х<400 и Их >880. Эту задачу записывают в виде системы неравенств Г4х<400, [Их >880. Из первого неравенства находим, что х<100, а из второго — что х^НО. Значит, должно выполняться двойное неравенство 80<х<100. Ответ: 80<х<100, или х€[80; 100]. Автомобилист должен ехать <'о скоростью не большей, чем 100 км/ч, но и не меньшей, чем 80 км/ч. Вообще, если даны несколько неравенств с неизвестным х, то решить систему, состоящую из этих неравенств,— значит найти все иилчения X, удовлетворяющие каждому из данных неравенств. Для атого решают каждое из неравенств в отдельности, изображают пплучепные множества на числовой оси и находят их пересечение. 264 Пример 1. „ Г5х-30>0, Решим систему неравенств | 4^ _ 43 < q Решение. Решая неравенство 5л:-30>О, получаем промежуток (6; 4-со), а решая неравенство 4х-48<0 — промежуток (-оо; IiJ|. Решением системы является пересечение полученных множести: (6; +оо)п(-оо; 12] = (6; 12]. Ответ: (6; 12], либо, иначе, б<л:<12. Пример 2. Г ^2_^_ХЗ'^О Решим систему неравенств i 2 , л ^ ос I ос vl • Решение. Решением неравенства х^-х — \2<0 является промQ — объединение промежутков (“Оо; -1) и (0; +оо). Изображаем эти множества на чис ловой оси. Решением системы является объединение интервалов (-3; -1)и(0; 4). Ответ: (-3; -1)и(0; 4). \РАЖНЕНИЯ 34.! Решите систему неравенств: а,| х>17, в) х>12; Гд:>0, 1л<6; д) г х>-1, \ X ^ 3; е.| х<1, г) х<5; Г л<-3,5, Ijc>8; е) Гх>8, 1х< 20. 35. Решите систему неравенств: . 2х-12>6у Зх>9; б) Г4г/<-4, 15-у>0; [ Зх-10<0, [2х>0; . 6^ >42, 4i/ + 12<0. 36. Решите систему неравенств: а)| л:-0,8>6, ^-5х<0; б) Г2“ЛС<0, 1л:-4<0; в)) 1 >3х, ^ 5х -1 >0; г) г 10х<2, lx>0,l. 37. Решите систему неравенств: а) б) в) Г 5(л:-2)-л:> 2, \1-3(х-1)<-2; Г 2л: “(х-4) <6, U>3(2x-1)+18; 7х + 3 > 5лс-19, 4jc + 1 < 22 “Зх; { г) г3(2-3л:)-2(3-2л)>х, 6<л^-л:(л-8); д) Г17л-5(л + 0,6)<3л, 12(3,5-х) + 5(2л-2,4)>л-26; е) Гл<39 + 3,6(5л-1)-2(2л-1,8), 1бл(2,5л: - 1)-Зл>л(15л + 2) - 1. 265 ;ш. Найдите целые решения системы неравенств: в) Гб-4л:>0, [ 1зл:-1>0; а) |i/>0, l7,2-i/>4; Д) о 2х------>Xj X-1 <3 х + 1 б) Г 12х-37>0, 1бх<42; г) [3-18х<0, 1о,2х-0,1 >0; х-1 х-ь1 - -----+------< 1, 2 3 1 —X б) |0,7(5х+1)-0,5(1 + д:)<Зд;, L2x-(x-l,7)>6,7. 39г Решите систему неравенств: а) |2,5jc-0,5(8-x)0, г) Гх^- ,х2-12х + 27<0; [х^- AV. При каких значениях х имеет числовое значение выражение: ^77-Ах-х^ 15х + 50<0, 12х + 27>0; -15х + 50>0, 12х + 27>0. а) Vl5-3x • Vx46x-7; г) V21 + 7X . \х^-8х-20 в) V2x-х^; е) Уб + 5х-х^ Уз0-7х-х^ V2x2-5x + 3 . Ух^ + 4х + 3 ’ ж) V-8X2 + X-9; 1 з) Vx^l7x + 16 43. 42,. При каких значениях х функция i/ = -x^ + 8x + 2 принимает значения, большие, чем 9? При каких значениях х функция у — 2х^-\-х-6 принимает значения, меньшие, чем 4? 1) (-00; --2)U(2; -ьоо); 2) (-2,5; 2);73) (-2; 2); 4)1^2; 2]. 44. Решите неравенство: а) iy-9fiy^ + 9)>0; в) (12-Зу)(1 + 6j/2)<0; б) (у2_б1/ + 8)(1/2 + 16)>0; г) {у-2)Ну-3)<0. 45, При каких значениях х верно равенство: а) V(x2-9)2 = x2-9; б) У(х^-7x + 6f = -x^ + 7x-6? 266 Задача. Цена 1 м сатиновой ленты 20 р., а цена 1 м капроновой ленты 40 р Сколько метров сатиновой ленты и сколько метров капроновой jwm u можно купить, чтобы общая цена покупки была не более 200 p.V Решение. Обозначим число метров сатиновой ленты через х, а чио ло метров капроновой ленты через у. Тогда общая стоимость по купки равна 20x + 40z/. По условию задачи должно выполняться но равенство 20х + 40у< 200. При этом числа х и у должны быть im отрицательными. Обе части данного неравенства можно разделит! на 20. Таким образом, чтобы решить задачу, нужно сначала |»о шить неравенство x+2y<10, а потом отобрать из полученных ро шений неотрицательные. Неравенство x + 2i/<10 имеет бесконечно много решений. Напри мер, можно взять х = 0, у = 0, или х=1, у = 2, или х = 5, у = 2 и, конем но, х = -б, z/ = -9. При всех этих значениях х и у выполняется пера венство x+2i/<10. Итак, из неравенства с двумя неизвестными x + 2j/<10, как и п уравнения с двумя неизвестными, нельзя найти значения этих uv\u\ вестных, поскольку они имеют бесконечное множество решений. Од нако можно дать наглядное представление о множестве всех peiiuMiiii такого неравенства. Для этого используют изображение множестн то чек плоскости, заданных характеристическими свойствами. Напри мер, рассмотрим точки М плоскости, для которых сумма расстояни! от них до двух заданных точек Fi и Fg равна 2а: MFi+MF2 = 2a. Это множество точек называется эллипсом, а точки F^ и Fg — фоку сами эллипса (рис. 40, а). Все планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Точки для которых MFi + AfF2<2a, лежат внутри эллипса, а точки, для к<» торых MFi-hMF2>2a, лежат вне эллипса (рис. 40, в). Множество точек на координатной плоскости можно задать с по мощью равенства или неравенства, связывающего их координаты Рис. 40 а) 6) 267 Пни ример, равенству (х - aY {у - Ь)^ = удовлетворяют координаты ю'к'К окружности (рис. 41, а) с центром в точке А(а\Ь) и радиусом R (гм. и, 11, гл. VI). Координаты точек (рис. 41,6, в), расположенных И1И' окружности, удовлетворяют неравенству (х - aY + (у - bY > н [жсположенных внутри окружности, — неравенству (х-а)2 + (у-Ь)2<Д2. Видим, что график уравнения с двумя неизвестными F(x, у) = с разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей выполняет-<'л неравенство F(x, у)>с, а в другой — неравенство F(x, у)<с. Для определения знака неравенства в каждой части надо взять пробную точку и подставить ее координаты в неравенство. Если при этом получится верное неравенство, то все точки этой части входят в решение данного неравенства, в противном случае ни одна точка этой ча-<*ти не входит в решение неравенства. Например, возвращаясь к задаче, изобразим на координатной плоскости решение неравенства хн-2у< 10. Графиком уравнения х + 2у=10, или у = --^х + 5, является прямая, которая разбивает плоскость на две части. В качестве пробной точки возьмем начало координат. Так как при подстановке координат пробной точки 0(0; 0) в неравенство х + 2у< 10 получаем верное неравенство О <10, то неравенство х + 2у<10 выполняет-('я в той полуплоскости, в Которой расположена точка 0(0; 0), т. е. неравенство х+2у<10 выполняется для точек нижней полуплоскости, включая и точки прямой x-f2y=10 (рис. 42). Мы отмечали, что числа х и у должны быть неотрицательными. По неотрицательные координаты имеют точки первой четверти. По-;п’ому решение задачи изображается общей частью найденного множества и первой четверти, т. е. треугольником АОВ (рис. 43). Риг. 41 а) 6) 268 Фактически на рисунке 43 изображено решение системы трех неравенств: х + 2у< 10, х>0, у>0. Приьгер 1. Изобразим на координатной плоскости решение неравенства х^ + у^<25. Решение. Уравнение х^ + у‘‘^ = 25 задает окружность радиусом 5 с центром в начале координат. Полагая х = 0, у = 0, получаем верное неравенство 0^ + 0^<25. Значит, точка 0(0; 0), а с ней и весь круг при надлежит решению неравенства x^ + i/^<25. Окружность лг^ + у^-25 также ему принадлежит. На рисунке 44, а показано решение неравенства лс^ + у^<25, на ри сунке 44, б — неравенства х^ + у^<25, а на рисунке 44, в — неравен ства х^ + у^>25. Рис. 1 ! б) 269 в) Пример 2. Изобразим на координатной плоскости решение системы неравенств \у>х. Репдение. Решением этой системы является множество всех точек круга радиусом 5 с центром в начале координат, которые лежат выше прямой у=х или на этой прямой (рис. 45). УПРАЖНЕНИЯ 'Ш. Какие из точек А(1; 0), В(-3; 1), С(0; 3), D(8; 4) лежат в полуплоскости 4x-2z/ + 6>0? 47. Каким из указанных ниже полуплоскостей принадлежит точка А(5; 2): а) Зх“4г/ +1 <0; б) 7х + у-16>0; в) -4д: + 5у - 11 >0; г) 15д:-121/ + 71<0? 48. Принадлежит ли точка А(1; -6) решению системы неравенств: 48. ПО. 51 52. а) 3x-4j/ + 1 >0, 2x + 5i/ + 7>0; б) 4х-б^ + 1 >0, -f 3^ + 8 < о? Изобразите решение неравенства: а) х^-ьу^<36; в) у>3х^; б) (x-l)^ + (z/-4)2>25; г) ху<-4. Изобразите общую часть решений неравенств х^ + у^<100 и г/-2х+1>0. В магазине 1 м шелка стоит 300 р,, а 1 м сукна стоит 400 р. Сколько шелка и сукна можно купить, затратив не более 2000 р.? Изобразите ответ множеством точек плоскости. Требуется перевезти 120 т груза на пятитонных и восьмитонных грузовиках. Сколько нужно грузовиков той и другой грузоподъем- 270 ности, если общее число грузовиков не превышает 20? Состаньто систему неравенств и изобразите ее решение на чертеже. Перечне* лите все ответы. ! Изобразите на плоскости решение системы неравенств: а) б) в) г) х^ + у^<36. Д) 1 \х^-\-у^<25. х^ + у^> 16; 1 [xy^i; х^ + у^>36. е) 1 \х^ + у^<36. х^ + у^> 16; 1 [х’^ + у’^-2х-4у х^ + у^>36. ж) Г 3x-2i/ + 5 = 0, + 16; \2х + у-4>0', х^ + у^<: 36, 3) 1 \ху>4. х^ + у^< 16; 1 [л:^ + г/^<25. л МРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ (. Разложите на множители: а) + Л) а* + а^+ 1; в) х^у + ху'^ + х^г + xz^ + y^z + yz^ + 2xyz\ г) x^y + xy‘‘' + x'^z + xz^ + y'^z + yz^ + 2xyz', д) x* — x^{a’^+l) + a^. a. I xl 4. ] «И 7. Докажите, что если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа. Докажите, что при всяком натуральном х числовое значение выражения + 1)^-1 делится на 24. Докажите, что если а + Ь + с —О, то а^-\-Ь^-\-с^ = ЗаЬс, Докажите, что если а + Ь + с = 4- = а® + -h с® = 1, то аЬс = 0. Докажите, что если a-fb = 0, то = Решите уравнение: а) (k-Z)x = 4; в) (2*2 +3)д: = 2с + 1; б) (* + 1)д: = 0; г) (2* + l)x = 3m2 + 4. Для каких значений параметров * и /п не имеет решения уравнение: а) (2*-7)г/=1-Зт; б) (3* + 4)x = m2+l; в) {к^-\'6)х = т-3; г) (*- 1)х = *2_4? Я. Для каких значений параметров Ь и р уравнение имеет решением любое действительное число: а) (26-1)х = 5-3р; в) (Ь‘^ + 1)х=р-\-2; г) ^^у=р^ + 5? 10. II. б) (^-6- -6j z = 2 + 5p; Существуют ли значения параметров т, к и р, такие, что каждое из уравнений: а) (т^+ к‘^)у=р-1; б) (k-m)z = (k~m)p имеет один и только один корень; один корень, равный нулю; не имеет решений? Решите уравнение: а) 6(2х + 3) = 0; б) (д: + 3)(2д:-5) = 0; в) (х + 3)(2х-5)(х2 +1) = 0. 272 12. Решите уравнение: а) |3х| = 6; б) |2х-3| = 7; в) а\а-х\ = 2; г) |2|х|-1| = 3. 13. В двузначном числе цифра единиц на 3 больше цифры десяткой, разность же квадратов обеих цифр равна 39. Найдите это число. flSTl Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если из квадрата этого числа вычесть квадрат обраш;енного числа (т. е. числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке), то останется 891. Найдите это число. 115.1 (Старинная китайская задача.) В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на 1 фут над поверхностью воды. Если его притянуть к берегу, к середине стороны пруда, то он достигнет своей верхушкой берега. Какова глубина пруда? 16. Одному человеку а лет, другому Ь лет. Через сколько лет отношение их возрастов будет равно k fa = 50, fe = 30, = или a = 32, b^44, k = 117 ] Из города выехал автомобиль, движущийся со скоростью а м/мин. Спустя t мин вдогонку ему выехал второй автомобиль, проезжающий Ь м/мин. Через сколько минут после своего выезда второй автомобиль догонит первый? 18.- Не решая следующих систем, определите, имеет ли каждая из них единственное решение, бесконечное множество решений или сов- { не имеет решений: 2х-5у = 3, г) ( x-f 2i/ = 5, 4лг+ 10j/ = 6; 1 2х + 3у = 8; 6х + 8у= 10, Д) 1 f х-у-3 = 0, 3jc + 4j/ = 5; 1 [ — х4-1/-ьЗ = 0; 9х-6у = 3, е) 1 х-0,1у + 2 = 0, Зх-2у = 2; 1 10х-у + 3 = 0. а) б) в) 19. При каких значениях а и Ь прямые 3x-(/-hft = 0 и ах-2у-10 = 0: а) пересекаются в точке (2; -1); б) параллельны; в) сливаются в одну прямую? [20.] При каких значениях т система уравнений Г 2x-5j/= 10, 1 3x-2y = m 10 Алгебра, 8 кл. 273 имеет решение? При каких значениях т это решение лежит в области: а) дг>0, у>0; в) х>0, у<0; б) х<0, у<0\ г) х<0, £/>0? 21.1 Определите, при каких значениях а и Ь следующие системы уравнений имеют бесконечное множество решений; не имеют решений: а) |5х + (а-1)г/ = ЗЬ, б) p + = —2^ = 3; I-----—ь (д — 3) у = fl +1. лноже< [а-1 22.1 Исследуйте следующие системы относительно параметра т: а) Г(т + 3)х-2у = 5, б) f(m-5)x-2y = /n-7, |(тн-1)х-1-у = 7; |(т + 1)х + /п«/ = 3/п. 23. J Один покупатель купил а м сукна и Ь м шелка и за всю покупку заплатил d р.; другой покупатель по той же цене купил m м сукна и л м шелка и заплатил также d р. Сколько стоит метр сукна и метр шелка отдельно? 24. ] На участке в с км поезд шел х ч со скоростью 50 км/ч и у ч со скоростью 60 км/ч. Известно, что если бы поезд шел х ч со скоростью 60 км/ч и у ч со скоростью 50 км/ч, то он прошел бы путь в 210 км. Найдите х и у. При каких значениях с задача имеет решение? ^ (Ста ринная задача о двух пастухах.) Один пастух гово-“ рит другому: «Дай мне одну из твоих овец, и у меня будет вдвое больше овец, чем у тебя*. А второй отвечает ему: «Нет, лучше ты дай мне одну из своих овец, тогда у нас будет поровну». Сколько овец было у каждого пастуха? 2бГ] Поезд шел 12 ч сначала со скоростью 50 км/ч, потом со скоростью 40 км/ч и прошел за все время 550 км. Сколько часов шел он с первой скоростью и сколько со второй? 27. Постройте график функции, если известно, что: а) у —ftx-5 и графику принадлежит точка А(3; 7); б) у = -Зх + Ь и графику принадлежит точка В(2; -12). 28. Постройте на одном чертеже графики функций: а) у = 3х, у = Зх + 2, у = 3х-3, у = Зх + 0,5; б) у = -х, у = -х-1, у = -х + 2, у = -х + 3,5. Каково взаимное расположение графиков соответствующих функций в каждом случае? 29. Используя вывод из предыдущей задачи, найдите параметр fe, если известно, что графики функций параллельны: а) у —2х-1-4, y = fex-l,5; б) у = -кх~1, у= — х + 5. 4 274 31. 30. Задайте линейную функцию, если известно, что ее гра(|>ик парил лелен графику функции j/ = -0,2x + 7 и проходит череп точку ж* ресечения графиков функций ^ = х-2 и г/ = -Зд:+18, Найдите параметр т, если известно, что через одну и ту же точ ку с абсциссой х=1 проходят графики функций: а) у = ~4:Х + т и у = 2х-3; 2 б) y = 2x-/n и у = -х+—. о Постройте график функции: 1 при х<- 1, а) 1/ = -{-2д:+1 при -1<л:<0, - 1 при д:> 0; 32. -2х при д:<- 1, б) «/ = •{ 2 при 2л: при л:> 1. 33. 34. Докажите, что для любых действительных чисел а, Ь, с спрамод ливо неравенство: а) + аЬ-\-ЬС’\~ ас; б) а^Ь'^ н- > аЬс (а + 6 + с). Преобразуйте выражение: г) ^ал-Ъ-2 \аЬу а>0, Ь>0; д) Vfl + 2ft+VSab, а>0, Ь>0. а) Vl5 + V29; б) Vll-2 V10; в) Vl6 + Vl56; 35. Докажите равенство V9 + V54 + V450 + V^ 5 + Vi = 3 V2 + V3. 36. После двух последовательных повышений зарплата достигла 37. 16 Н по сравнению с первоначальной. На сколько процентов пои1»км1 лась зарплата в первый раз, если второе повышение было нд1им больше (в процентном отношении) первого? Решите систему уравнений: X а) 2х1/-3^ = 15, Ху-\-^ = 15; У б) Г4х2 + у2_2ху = 7, [(2х-у)у = у. Решите графически систему уравнений: а) |x^-hy^ = 25, б) ( лг^ + 1/^ + 8х-6у + 34 = 0. + У' = 25, 2 + у2 + х + 7у= 50; {x^ + y^ + i [д: + 1/ = 1. 275 I HU, I 1'(!шите уравнение: (х + 3/ 61(x + 3)2 ^ ii) ----^-----^----^ + 900 = 0; B) (V^-5)(V^-7) = 3; 5y + 15 ^-33y----14 = 0; r) (x2-8)2 + 4(x2-8)-5 = 0. У y^-5y + 15 iO.| Решите уравнение с параметрами: 2 а) + 2jc= 7-^+—^—; е) 6(х-а)^-13х(х-а) + 6х^ = 0; р-2 2+р 4-р^ 6) р-1 р^-1 1+Р , 2х , (Р+1)х в) ---Г- + ж) —----2а = а^ + 1; х-2р х^-рх-2р^ х+р . X , а + х х-а-4а^ г) + = 2; 3) Х-1 ах+1 х{х-\-а) = 1. а + х а-х Д) тх~п 2 2 + Зх (m-2)n(x-l) n(m-2) (/n-2)(x-l)’ [4|Т] Вычислите: а) f — V v's -1 + v's-l \/3-2 \fs У- V3+5’ 1) 2) -2; 3) 1; 4) 2; б) ^ -V21^ ^ V'^-Vl8 '/l5-V18 / vTs -VS; 2) ViS; 8) -1; 4) в) (-1^+ l^ + (Vn+VT?)) ■ \m+vn Vll-Vl7 / 2-V17 |VIT; 2) -|Vn; 3) VTT; 4) 2VHi r) V25 • 49-V169 • 0,04+Vl96 • 0,09; 36; 2) 36,9; 3) 36,6; 4) 38j Д) 2,83-3 • 2,82. 11,8 + 3 • 2,8 • 11,82-11,83; 1) -243; 2) 243; 3) 245; 4) -241. 276 42. Выполните действия и укажите правильный ответ: л; У б) ( —+2 У X 49 1) 1; 2) 3) 4) I х + у х + у X I I/ ЬЧ27 ЬЧ9-ЗЬ Ь + 3 ^ Ь{ЬЧ27) ^ 4-9Ь-Ь^ 16-fe2 Ь + 4 f) )i, + 3; 2) 3) 1; 4) J , 25jc^~ V . 25хЧ20ху + 4:у^ _ (3x-2yf ® 15ху ■ 9у (Зх^-2ху)(5х + 2у) 1) 5х(5х + 2у) / \'2а®Ь^ N-i / 2а*Ь^ V / 26^ ; 2) 5x + 2y 4 \3 ; 3) _____. 4) д:(5л: + 2{/) ’ ' ' ^f\2a‘^b*y /2а*Ь“у ( 2Ь^ у ( ху*у 4 3^V/ Ivw/ V “6“’ ■ 6:c^ • 43. Упростите: a) —^ 5x^Va 6 ' 6x^ \[Щ+24 x\a-5\’a+ bx-5b \fay + 4\[a + b\fy + 4b _ llar-V^-30 \\x-\^ 11д:-30 Va i :<(t 1) ------------; 2) -------------; 3) --------; 4) - (Va + ft)(a:-5) (\/fl + b)(x-5) (x-5) \[7t \ h 6) V(g-l)^ + \/(a + 2)^ Vl -a + Vl +a 1) (a + |)(vT^-\/r+^); 2) -(a+-|^(\T^ + vT+^); 3) |(Vr^-\Tl4a); 4) -|(VT^o VI ) “)i VV0,09l.‘-V0,36l,V-b0,lV9.< b-c 1) V3; 2) V3(fc-c); 3) -V3; 4) V3(b r)j 277 . x-8}fxjjb x-2\x-35. x-49 x-25 ’ Уж — 3 . + 3 . Уж -ь3 . \^ —3. \^+7 Уж+7 X -5 д: +5 Д) x + 2\f^ x^-^6x^y + 12xy + Sy\y x^ + 4xV^4*4y V^+Vy 1) уж+^. 2) У^....>:.У . 3) Ж + 2У^. 4^ e) ar-b‘ x-hy a + b + ^ ^ x-2\/y "{x-sly \ 9а2 + 6аЬ + 2Ь2 8o®-12o2fe + 6ab2-fe3 4а^-4а6 + б2 27a®-8b® 1) a + fe ; 2) a-fe ; 3) a + 6 ; 4) 6® 2a-b’ 2a-b’ (2a-b)® ’ "" (2a-b)» ’ Ж) 2ж ж® + 15ж® ж® + Зж + 9 ж-3 ж®-27 1) ; 2) ; 3) 2ж ; 4) 1. ж-З' ж-3' ■' ж®-27 44.J Найдите все целые неотрицательные решения уравнения: a) Зж-81/ = 5; 1) ж = 15, у = Ъ\ 3) ж=15 + 8<, i/ = 5 + 3f, i = 0, 1, 2, ...; 2) х = 1Ы, t>0; 4) x = l5-8t, y = 5-3t, t>Q\ 6) 4ж+ 12i/ = 32; 1) ж = 2, y = 2\ 3) ж = 2-3^, y = 2 + t, t>Q\ 2) x = 2 + 3<, y = 2-t, t>Q\ 4) ж = 2 + 3^, y = 2-t, t — 0, 1, 2; b) 7x-5y = 8; 1) ж = 4, y = 4; 3) x = 4 + 5t, y = 4 + 7t, f = 0, 1, 2, 2) ж = 4^, y = 4t, t>0\ 4) ж = 4-5г, y = 4-7t, t>0. 4ft. Упростите: а) (а®у®-аЬж1/ + 6®ж®)(Ьж + 01/); б) {ах-у(х + у)) (а®ж® + аху (ж + г/) +1/® (ж + у)®); в) (а®ж® + аЬх (ж - а) + Ь® (ж - а)®) (ж (а - Ь) + аЬ); г) (а® (ж +1/)® - аЪ (ж® - у®) + Ь® (ж - у)®) (ж (а + Ь) + у (а - 6)). 4tt.| Обратите в обыкновенную дробь: а) 0,(3); 1) 2) 1-. 3) 4) 278 б) 0,32; в) 0,3(24); г) 3,5(176); 100’ ^25’ 91)’ 1»1М1 324. 324 3^, MIV 999’ 1000’ ' 999’ ЗМП’ о 5176 . о 5176. „ч о 5176 . ftI VM ^ 10000’ ^ 9999 ’ 9990 ’ 990(1 ’ 47. 48. 49. 50. Даны множества: А = [-3; 7]; В = [-4; 10]; С = [-1; 8]. Найдито множества: а) АПВПС; б) AUBUC; в) (АГЦЗ)иС; г) (АиВ)ПС, Докажите справедливость неравенства при всех значениях пера менных: а) (3х-2)(3х + 2)<9л:2; г) (5т-10)(т-2)> 15; б) (5х-7) (5л:+7) >-49; д) 3x(x-f6)<(3x + 6)(x + 4); в) 9а^-6а + 2>0; е) х-6\/х + 10>1. Сравните два числа: ч 5 6 йч 3 1 а) ■^--- и —б) и ----. V7-V2 3-V3 V5+V2 2 + V3 Освободитесь от внешнего радикала: а) V5-V24; 1) у/5-2\3; 2) VS-W; 3) V2-V3; 4) Vs-V:*: б) Уз-\Ч; 1) )[3-2\[2; 2) 3) V^-1; 4) 1 Yi!; i) yjn — 6yfn~9 j n>9; ji) \^-бУд-9; 2) V^ 9-3; 3) 3-Vn-9; 4) \^-Уб(л 9). 151.1 Исследуйте, при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня: а) х^-2ах + а^ = 0; [|) а>0; 2) fl<0; 3) а — любое; 4) ни при каком значении «; б) х(х + 3)-|-а(а-3)==2(ах- 1); ---------■-----X. а — любое число; 2) а>0; 3) а<0; 4) а / 0; в) —+ -^- = 2; х-а х-1 jt) а>з|~2) g<3; 3) 4) п 3{ г) (а-3)2л:2 + 2(а-3)д:+1 = 0; 1) а?^3; 2) g>3; 3) о<3; 4) ни при каком знач(чти и. 279 UlttliJ'lbl uiiia I 1 9 ^9 I. n) -5; 6) 0,2; в) -0,2; г) 13. a) -0,9; 6) |; в) -7; г) 10 о 17 i\. ii) ДГ-8; 6) p = 22; в) ^ = -9; г) g = 6. 17. a) При всех x, кроме x*2 {x^2)\ 4 1 9 \) » / Q; b) x^~4; t) y^-—; ц) y^O и y^—; e) и уч^-—; ж) при всех у; 7 4 10 I) V / 0. 19. а) х = 1/; б) а = -&; в) а = Ь или а = -Ь; г) а = 0 или Ь = 0; д) а = 0 или г-2; о) а»4 или 6 = 6. 23. а) Нет; б) да. 24. а) 0; б) 1; в) 12; г) -4; 7; д) 3; е) нужного значения дробь не имеет. 26. а) х = 8; в) х = 3; д) нет решений; ж) х = 4 1ЛИ Х--4. 29. а) а; ах; а^х; в) а; аЬ; ас. 30. а) а^Ь^ху; а^Ьху; а^Ьх^у; аЬсху I) X®; X®; ах\ 31. а) х®; в) x^y^z^. 32. а) х^ б) в) a®xV^^. 33. а) аЬ^с ; б), .) 41. 4) -| 14. а) a®6Vd. 35. а) Ложно; б) ложно. 38. а), г) 10х X ; ж) - 42. а) в) 43. а) в) «1 3 36 4у 2аЬ Zx-2y О ТГГ'^ Ю тгпг*» г) -хт—• 46. а) 25; г) —; ж) —^ = 36с 2х® 66х 3 2а . -9ах® ” “■ *> 4?' ** ~W~ 27 8® 262144 49. а) с“; в) с^®; д) ^ . 50. а) с® 47. а) -. 51. .) i 1) 27. 52. а) 6® ас в) 21168x8 Д) 6® ж) Ъу* >1. а) 6 аЧ^х^у^ ЪаЧ^у"^ ; в) -a®62ciV 3_________ 4a®c®i®x^® • 55. а) г) ЗЬ^х 1 53. а) в) 5х^у. (7х + у) ; ж) 4у®; к) баЬ ... V ^ ч 26 . сх . ах . л ч а ел ч М\, а) -; г) —; ж) —. 57. а) —; в) 2; д) -. 58. а) 3 7а ау 6 6 35хр ; г) 4 (2а-96)^* (2х + у)(х-у) ■К) 59. а) 1^; в) 60. а) аЬ-, в) ^ 2 2у 3q 4 15a6cd 10(x + 4i/)cd 3a6(x-2i/) , (а + Ь)л: ч 2 , 5х'“ „„ ^ ■и) , , . 62. а) в) ——. 63. а) а(х + у) х^ 9a^® г) j; ж) -6a®ft. 64. а) г) 9са 4 3 Ь •О ж) 2x-3 з‘ —Ь — .0 ». 68. а) *-2. 69. а) г) -52-; ж) 70. а) в) 1. 71. а) -4. ч О ч За + 26 V 2c-7d . 13 . 67у ч 3 . 12т-5 . 3 ■" —6—’ eJ’ W • ■> Ibi- -28^' lol- m, 25ас«-1854» „ а«+1 28^. by abed 1 а а 4х-7у 7Н. п) д:=14; г) х = -3. 79. а) , ^ ^; в) ^ . 80. а) :! г) ^ 1-г Р^-Я' ^(х-у) 10(5 + 3) 282 fli ч 2л:® 3 . 28 81. а) -g- и -g; в) X® X® 56а® и 10а® 56а® 82. а) а®Ь-1 ; в) аЬу^ - cd с* I 83. а) ■ II , I с* с* , 3,2 (а+ 5)® в) ----------- И 4,5 (а + ЬУ (а + ЬУ а’’ ’ ' 1/»2 . . . 3 + 2а® ^ 4,8-2,5(х + у)® _ ^ 70а®х®-54М)/' 84. а) ----г—; в) -----^----------. 85. а) —.. - I 77a^b^cy + 25ab*c^xz 4^3. в) г) иОх^у^г^ (х + у)® X® 7 т‘ 64т®° / 2а6® 6 /~2а® \® (а-Ь ) 6х® Зх® 49л® ; 5К) 88. а) ; в) I Т—Г ) • 89. а) в) 2а; д) р®4д»® 45a®5^x®v'' с -II -^.87.11) 6х^ Ну' 9 (а I 2/))® i(x-3v)"’ “ 07Q л л 90. а) —g-; в) -g-g-^. 91. а) 27x®j/®; д) ^ т^®л®; ж) ^ а^Ь'\ 92. а) (За/))®; 4,ois,s W.O • „1 по , 96 -2430 при х • О. р<0 при х<0; е) нет; ж) х = 1000; х<0,001. 107. а) В I и III; б) во II и IV. 4 4 108. А{2; 2) и В(-2: -2); х< — при х<-2 и при 0<х<2; х> — при х>2 и при -2<х<0. ^ ^ Глава II 5. а) Нет; в) да. 6. а) - 5х® + 7х®; в) 6® + а6® + За®6. 9. а) х® - Зх® + 6® - 12х® - 7х ( 5. 7Q 10. а) -0,3р^ в) -llx^p+l. 11. а) 12^; б) 5,168. 13. Через 6 дней. 14. 15 и 5 т. 196 16. а) х = 3. 17. а) 360; б) 1,2. 19. 11764. 22. 18,522. 24. а) х®-6х® t 1Нх®. 27. а) -5,5x® + 12z/®. 28. k-h + 2m. 33. а) -0,45. 36. а) х = -1,5; в) х-Н. 37. 40 км/ч, 30 км/ч. 38. 11 • 5 р. +15 • 3 р. 39. г) 4х® + 2,5х®-15х. 40. а) 4х®- -3,5х®-7х; в) 41. а) 0,1а®+а-^ Ь®; в) a®-2a®-4^-49; г) 9Ь^-с^; д) 0,09х^-1; е) 10000--7 aV; ж) а®-4; з) 9а^Ь^-с^; 4 я2 д4 ^4 —6 дв и> к) б4а®-9Ь®. 88. а)--------; б)---------; в)-------1; г) ----=- 4 9 16 49 9 16&2 (!!_ «17 а^х* ^2 4 „10 Д) ®) —-16. 89. а) 16-х2; б) 81-4xV: в) 0,49а2-г>2; 52 .2.,2 I) а“ ~ —^2; д) 0,09^2^2-22; е) а2-; ж) —----3) 144Ь^-а2. 90. а) 4а^-&2; 100 9 9 ..... “ ' 9 б) I00x®-1; в) 0,04a2x®-l; г) с2®-9; д) дг'^-^го. gj Ау^-а^^. 91. а) 1591; б) 2484; в) 8096; г) 39999. 92. а) АЬ^-Ас^\ б) 3j^2-192; в) Зх^-75; г) /-256. «3. а) (ax-ai/)(ax + ay) = (ax)2-(ai/)2; б) (7 + 7а)(7-7а)=72-(7а)2; в) (аб-ас)х <(iih + ac) = iab)^-(acf; г) (x^)^-(x^f; д) е) (/)^-9^; ж) (a + bf-1^; II) x^-{y-2f-, и) l^-(x + yf\ к) (a + bf-c^. 94. а) (х-у)(х + уУ, б) (2-р)(2+р); п) (аЬ-с)(аЬ + с); г) (5с-3)(5с + 3); д) (lO-a^HlO + Z); е) (9cd-10a)(9cd+10а); ж) (11х-7р)(11х+7р); з) ^ОДа-Y^ ^0,1а+Y^; и) (0,8Ь-0,5)(0,8Ь + 0,5); к) (1,2р®-0Д)(1,2р® + 0,1); л) (у (у ^ ■(' " 6 xV+yfl^j- 95- а) 840; б) -1160; в) 7400; г) 10400; д) 4,25; е) 10,13; ж) 1з4-; 3) 50^. 96. а) б) 1; в) г) 97. а) (а“-2)(а®» + 2); б) (х»®-3)х О 11 * О ^ 2 ЗЬ (х*ЧЗ); в) (5”-7)(5" + 7); г) (10с-2")(10с+2"). 98. а) б) ——; п) ; г) Их ; д) 1 х — и а + Ь I/ —4 Sz ;е) ---^;ж) —V;3) -^;и) --------------.99.а)(х + 2)х а-6 5г + 3 х-Зу Ьх + ЬО а-1 х + у к(х + 4); б) (7-fe)(9 + 6); в) (5-4а)(1+4а); г) (12 + а)(-2-а); д) (15-5р)(3 + 5у); о) (х^-х^-6)(х^-х2 + 6); ж) х(х-1)(х+1); з) у(а-у)(а + у); и) (а-1)(а + 1)(а‘^ + 1); к) (2-fe)(2 + fe)(4 + fe2); л) (Ь-1)(а-1)(а+1); м) (х-2)(х + 2)(5-1); н) (а-5)х г.(За-1)(За+1); о) (р-5)(у-4)(р + 4). 100. а) х,-1, Хг = -1; б) Xi=3, Х2--З; и) х,-4,5, Х2 = -4,5; г) Pi = 0, Р2=1>25, Рз = -1,25; д) Pi = 4, Р2 = “4, 1/3 = 6; о) I/, --8, У2 = -5, Рз = 5; ж) 0; з) у = 0. 101. а) (х-р)(х + р+ 1); б) (х + р)(х-р-1); И) (2а-5)(2а-ь5-1); г) (а+ 25)(а-25 +1); д) а(5 +1)(а5-а-5); е) 5(с + 5)(5с-55-4); д() (9x+10y)(9x-10i/-l); з) (4n-7^e)(4n-h7fe-5). 102. а) 78,4; б) 706. 103. а) 15(п-1)(га+1); б) 14(л+1)(п + 2). 104. а) б) в) 0; 5(5—1) лг(х — 4) Г) Ют ; д) ^2-9 1-т2 : е) —105. а) - —; б) 0. 106. а) л + 3 ' 6 х + 2 1 6у + 19 : б) , ; в) /-9 а-6 ’ 284 г) 26-3 8 ^ 2х ^ ; Д)---е) б) в) дг-3 2а+ 6 аЬ 1 , 2д:(х-1)’^^ б 6(2т-1) 2т+ 1 . 2 1 ; и)--; к)---. 107. п) а ху -fe-3 ^m(m^ ^ 6(26 + а) ' n(m + 2a) ^ 2(т iUi) тп _____ 1 (2m-7fi)(fi 5/t) 109. а) :с^ + 20д:+100; б) 6^-186 + 81; в) 4а^н-4а+1; г) 4д:^ + 12л-р4^9р''*: д) у* i + 2^^ + 1; е) -z^-z+1; ж) 25п^-30п + 9; з) а^-а^6 +0,25аV; и) х"^-4х^у i 1 * к) —аЧ^ + ab^c + b^h л) а^-2аЧ^ + Ь^\ м) 251/'‘ + 40хУ + 16л:‘'. 110. п) 4 -0,6а6 + 0,36б2; б) 144х'* +9,6^21/+ 0,161/2; 81а®+108аЧ36а‘‘; г) 0,64f‘*-H/‘* * Ш''\ д) а^®+а®6^+а^б®; е) 0,01p^~2p^q^+ 100q^; ж) х^-^2Ьх‘^ -^Ь^х^; з) 2 16 16 -6aV+16ft'®. 111. а) 100а2 + 40а + 4; б) -12i/2 + 60j/-75; в) Ь*-2Ь^х + ЬЧ^-, г) щ* I + 4ху^ + 4у^; д) 40а2-120аЬ + 906^ е) 81р*-ISp^k^ + к*; ж) 256л:^-800х'‘i (126; 3) 81b*-72b^a’‘ + 16a*. 112. а) 18х^ + 8у^; б) 10а+ 25 +бай-96^; в) 7лг^-22.г i I7i г) 16уЧ56у + 22. 113. а) 441; б) 841; в) 5041; г) 10404; д) 9604; е) 40401; ж) ККИ); з) 1600; и) 998001; к) 4761. 114. а) 225; б) 2025; в) 9025; г) 11025; д) 42025; е) 1010025. 116. а) -3; б) 0,9616; в) 1,5; г) 12,8. 117. а) 2; б) у. 118. а) (д- 1)'; б) (д;+10)2; в) (д: + 0,1)2; г) (0,2х-5)2; д) (7а + 95)2; е) (Юа^-бй^- И9. а) (х + .v)-*: б) (c-d)2; в) <а + 3й)2; г) нет; д) (2а-7й)2; е) (55 + 2)2; (а^-2Ь)^; з) (ба» 4/)“)', 120. а) 9; б) 16; в) 48; г) 140; д) 4; е) 36; ж) 6; з) 3. 121. а) 64; б) 302. 122. а) х2 + (й+1)2; б) (j/-l)2-z2; в) (2y-lf+p^; г) х^-Сс-З)^ д) (Й-З)М 4^ е) (а+ 5)2-(с-6)2. 123. а) (с-2)2(с + 2)2; б) (х-3)2(х + 3)2; в) (14a2 + 12ai0)-х(-14а2+12а-9); г) -(5х + 2)2(5х-2)2. 124. а) (х-у-5)(х-у + 5); б) (5 + 3 Лс) -х(5 + 3 + 4с); в) (2а-х-1)(2а+х-1); г) (y-a-5)(i/ + a + 5); д) (1-х 4//)' x(l+x + 4i/); е) (5-а + 26)(5 + а-26); ж) (1/-г + и-1) (у + г-и-1); з) (а4 4)(а \ (I); и) (2р-1)(2р-5); к) (Зх2-3)(Зх2-11). 125. а) Xi = 3,5, Xj — 2,5; б) х, ‘ 2 Х2 = 4 —; в) Xi = 9, Х2 = -11; г) Xi = -2, Хг = 5; д) Xi = -4, Х2 = -6; е) Xi = -4, х^ - 6; О ж) JCi = 4, ^2 = 6; з) д^1 = 4, Х2 = -6. 127. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да. х-2, 128. а) {2,5; 0,5}; б) fl; Ц; в) {1; 2}; г) {4; 3}; д) {-4; -3}; е) 0; ж) {-4}; а) (Г.|; ^ а » О и) {0; 4; -4}; к) {16; 4}. 129. а) {0; -3; -1}; б) (-2; 2; 4; -4}. 130. а) ^ ; 3 б) У + З у-В в) а + с а-с г) 6-1 Д) х-7 дг-5 е) 2 + 3 2+1 131. а) 2х (х-\){х I I) 6 + 3 132 а) (Д?-6)(х-8) . Q-3 а(2а I), (а-6)2(а + 6) ’ (jc-i/)^(x + i/)^' ‘ ^ (jc + 8)(x + 6)’ ^ а + 7* * ' 3(2а i И' П 6, .) б) 134. а) 35; б) 11; в)-2^-. г) 1,5; д) -0,2; е) ж) ‘ ; а) од(5т + 2п) 3 11 о 16 135. а) -3; б) 5; в) {0; 1}; г) 15. 136. а) {5}; б) {0}; в) {0; 5}; г) {| j. 137. j!. 138. 285 t:iU К) км/ч. 140. 1 км/ч. 141. За 20 и 30 дней. 142. 18 дней. 143. 64 км/ч. Ill II itM/ч. 145. 840 км/ч. 146. а) + Zx^y + ^xy^+ у^\ б) -3p^q + 3pq^-д^; и) (|“ I ЗОкЧ300а+ 1000; г) 64-485+12г>2-&з. д) а®5ЧЗа^ + За5+1; е) 8г®-3б2^ + 1 г^1,- 27; ж) 2753-13552 + 2255-125; з) 216л:3-108л:21/+18x1/2_уЗ. „) х^ + 12х^у + I Жх//2 ч 64//'; к) х® + ЗхУ+ Зх2(/'‘ + |/б; л) 8х® - 84хV + 294х2а^ - 343а®; м) -аЗ-12а2х- •1Нах“ 64x2; н) 125а® + 75а®5+15а“52 + а352; о) х^^-Зх^у* + Зх*у^~У^^> п) 27а®- W«® + a^-J^a2; р) 1000у^°-900у^г^ + 270у^°г^-27г^-, с) :^ + 6x’^y^+l2x^Y + 8y^; Н Q 27 г) ^ а'Ъ^-^2а^Ь^- — аЬ^+—Ь^. 147. а) + + i/^; б) 2а®-12а^ + 21а-8; в) 2а® + 6а^; 27 2 о I ) «2/,з+за/,с'‘+с®-52с2-За'‘5с-а®. 150. а) {8}; б) {1}. 151. а) 1,728; б) 0,512; в) 117,649; г) 7762,392; д) 1006012008; е) 997002999. 152. а) (m + nf; б) (x+l)®; и) (p-qfl г) (2а-1/)2; д) (10+а)®; е) -(5+4)®; ж) (-3x2 +1)®; 3) и) (х-2|/)2; к) (Зх2 + 1/)2; л) (5x2-2j/2)3; м) (6х®+ 3i/^)2. 153. а) 125; б) 64. 154. а) х +у. Зх2 + х1/-2//2 5i/2 + 4x2//- х//‘ П) a2-ft2. 155. а) —б) (2х-1/)2 (Х-4//У . 156. а) х-у х2 + //‘ :б) х+ у . 158. а) х^- 27; б) 8х®+ 1; в) 27//3-64; г) 64аЗ + 12552. 159. а) (х-3)(х2 + Зх + 9); б) (2а-5)х ‘ (4а2 + 10а + 25); в) (6-7х)(36 + 42х + 49х2); г) + ■ (1-3 +0,01с+ 0,0001); е) (0,25 + 5)(0,0452 - 5 + 25); ж) (0,4-Зх//2)(0,16 +1,2х//2 + I »х2//"); 3) (0,5-2а®5®)(0,25+ а25® + 4а®5*°); и) (9а52-4хЗ//®)(81а25® + 36а52х2//® + I 16х®(/'2). 160. а) (а + 5)(а2+13а + 43); б) (//+1)(//2-10// +37); в) (За‘‘ + За2 + 1) • 1; I) 3 • (75х® + 45хЧ9). 161. а) тт^-гг; б) «-3; в) 1; г) ^(а-25) 2х^у Ь(а-Ь) а2 + 2а5 + 452 (у^-х^)ху 3//(|/2 + ху + х2) х(у-х) б) 4(х2-2х+4) (х+3)(х-2) (Зх-5)(х2-4) (у^-х^)ху ' х1/(//2-х2)’ (х-2)(х® + 8)’ (х-2)(х® + 8)’ (х-2)(х® + 8) 163. а) -^; б) -1. 164. а) 8хЗ + 27у2; б) 8хЗ-27; в) 512аЗ-133152; j.) 27aY + I 343//2. д) 165. а) 4x2// 0) 6) 2а2-352 (а+ 5)2 36а«-42а“52 + 495® х2 + //2 9x*-ЗxY + У‘^ ; в) (2а2-55®)^25х®-у х2у® + -1//'®^. 167 . 166. а) а) х2 + Х// + //2 х + у а*-Ь* а* - aY + 5 « о .2 г, о 7 • 1®®- (ЛГ-//)(Х® + Х*// + ХУ+ х2//2 + дг2у‘'.^д.у5^^^в). 0,3x2-0,8//^ б) (2х-3//)(32х® + 48х‘'//+72х2//2 + 108х2//2 + 162х//‘‘ + 243//®); в) (2а + 352)(2‘®а'°-3 • 2®а®52 + 2® • З^аЧ* - 2’’ ■ З^аЧ^ + 2® ■ 3^а®5® - 2® • 3®а®5'° + 2“ • 3®а‘‘5'2 - 2* X ■ 3^а25'^ + 22 • 3®а25'®-2 • 3®a5'® + 3'®52®); г) не разлагается. 170. а) 1024х®-3125//®; б) х®-//'2; в) 32а'®-0,002435'®; г) 0,000064а'25® + 0,000729х®//'2. 171. 22621. 172. 3^. 173, 40 14х® + 4х‘‘+ 3x2 - х2 + 5х -1 1-х® 286 174. а) 1 + 9х2 + 4//2 + г2 + + 6x-\-4y-2z-\-12xy-6xz-4yz; б) x^+ 9y^-\-4z^— бх^у^-^4х^г^-12у^ж*\ n) I t 4dVi* | + 16a^b* + 4a^b + 8ab^ + 16a4^; r) ■^+|f ^ + "f 33 *' + 25a‘‘ + 36b449c‘‘ + 20a2-24fe2 + 28c2-60a2b2 + 70aV-84ftV; e) 6a«+l^ ^(у + ^)(х-у) (х + у)(х-г)(х + 2); ж) {a-\-b + c)(a~b)(b-c){c-a), 232. а) Неправиль нал. 233. 40000. 234. 90000. 235. а) а®-5®. 236. а) х=-; в) j/ = -9; д) I/--2.5; 4 ж) 6,25. 237. а) х=0, у=1. 241. {a + b + c)(a-\-b-c)(b+c-a)(c+a-b). 242. k'^ /л“. 243. 1. 253. а) S{x-\-y){y+z)(x + z); б) 3(а-5)(5-с)(с-а). 254. 24аЬс. 258. а) -х'** t + Зх®-Зх^+1. 260. а) (х-^ + г)(х^ + х^/ + 1/^); в) (х + 1/ + г)(х1/ + хг+1/2). Глава III 1. Взвод, рота, ... . 4. Династия. Романовы, Габсбурги, ... . 5. а) Жук*ол*»п11, светляк; б) страус, пингвин; в) нет. 6, а) Меридиан; б) параллель; в) и(1отпрми| г) изобара; д) изогипса. 8. Труппа. 9. Флотилия, эскадра, крейсеры, , 287 10. Иукрт. It. Экватор. 12. a) Нет; б) да; в) нет. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 00. 14. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 15. Из 12 элементов. 17. б) А~0; м) А-{ 3; -1; 1; 3}. 18. б) 4€D, 5€А; в) ЗЫу З^В, З^С, 3^D и т. д. 20. б) Круг (тдиуг.а И с центром в точке О; г) множество точек прямой, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину. 21. б) Множество параллело-( раммон. у которых углы прямые. 22. а) Многоугольники, круг; б) хищники, 2 17 1 5 г I о слои. 23. — - —iAy —iA, 25. а) ^ 5 20 7 6 27. г), е), ж). 28. Сон, сомнительный, сожалеть, ... . 29. А = {-3; -2; 1}. 30. Л—1-1; “‘I’l' б)> Равенством всех углов. 34. Живорождением. 30. а) ВсгС<=А<=£); г) F<=-D^E^C<=^A^=^B. 37. а) Достаточно; б) необходимо; г) необходимо и достаточно. 38. Множество всех равносторонних треугольни-кон. 39. а) [1; 4]; б) 0; в) множество натуральных чисел, делящихся на 6; г) множество натуральных чисел, делящихся на 12; д) {!}; е) {x1jc = 6At + 5, k — целое число}. 41. {(2; 7); (7; 2)}. 44. Множество нечетных чисел. 45. Множест- по целых чисел. 46. а) {-1; 2}; б) {1}; в) l-l-: ~ з|; г) |-2; -|; з|. : б) {(-4; -2); (4; 2)}. 48. а) 0; б) А. 49. А\В = [1; 2), 47. а) (1^ 1| /I\i4**(4; 6]. 50. {x\x = 4k + Sy k — целое число). 51. а) б) {0}; в) {-2}. 54. а) [-1; 7]; б) [2; 3]; в) [2; 6]; г) [1; 5]; д) [1; 5]. 55. а) Множество учеников, изучающих французский и английский или немецкий язык или все три изыка; в) множество учеников, изучающих или один немецкий язык, или два |131лка — английский и французский, или все три языка. 57. В\А, 59. 20. 80. 24. 61. 6; 14. 62. 32. 63. 11; 1; 3; 4. 64. а) АХБ = {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (3; 2); (.4; 4); (3; 6); (5; 2); (5; 4); (5; 6); (7; 2); (7; 4); (7; 6)}. 65. а) А = {3}, В = {х-, х^-, х\ {|’ 7’ f ’ I' 7’ I’ 7’ 7’ f }■ (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)}. 70. а), б). 71. а), в). 72. Отношение нестрогого порядка. 73. Все, кроме отношения «paBHO». 75. Да. 76. Нет. 77. Нет. 78. Да. 79. Да. 81. а) Нет; б) да. Глава IV Н. Нет. Например, (1 + 2):3, но 1 и 2 не делятся на 3. 9. Нет. Например, (2 ’ 3): 6, но 2 и 3 не делятся на 6. 10. Да, поскольку а-с = (а-5) + (Ь-с). 12. Нет. Контрпример: а =18, &=12, т = 3, с = 6. 13. а 1729 7405 5611 85 ъ 381 18 8 79 я 4 411 701 1 г 205 7 3 6 288 15. л^-л = (л —1)п(л + 1). 16. -Зп^-4п = л(п-1)(л-2)-6л. 21. Нет. 2‘*-2 = 14 не делится на 4; 2®-2 = 62 не делится на 6. 24. 1Н; ;Ж; 144. 25. D(180; 240) = 60. 29. а) АГ(846; 246) = 34686; б) К{\9(\0; МН) f.MHO л(л+1)(п + 2) 32. 9 ч, 8 ч, 6 ч. 33. 600. 34. 36. 11. (ДоПмиим при четных л; л(л+1)(лн-2) при нечетных л. 31. Н ьм/м 11 35 1776 13607 16' ■ 337920 ^ 337920 еще одну книгу. Тогда их можно будет связать и по 2, и по 3, и по 4.) 38. ;iUI. 39. а) 20; б) 4; в) 16 = 20-4; г) 8; д) 32 = 60-20-12 + 4. 40. а) 55 и 15; и) 12 и Ч или 21 и 14; д) 3 и 915 или 15 и 183. 43. 4; 732. 44. 78 399 653. 53. а. и. i 57. 246 915 658. 59. 659 865 024. 62. 2. 63. а) 2683, 2687, 2689, 2693, 2(ИМ», 2707; б) 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347; в) нет; г) нет. 64. а, в, д. 67, I 3, 7, 9. 68. аЧ4 = (а2-2а + 2)(а2 + 2а + 2). 70. л(л+ 2)+1 =(л + 1)^ 71. 3 72. р = 3. 73. р = 3. 74. р = 3. 75. 2; 211. (13p = fe3_i, отсюда \ h \ \ ). 77. Подставьте д: = 1. 78. 16 делителей. 79. 8. 80. Двумя. 81. а) 210 и 7; 35 п и др.; б) 99; 77. 83. аЬ = 2® • 3^° • 5^ • 7^ • 11; D(a; Ь) = 2^ • З** • 5; К{а\ 3^'- Х5^ • 7^ • 11 = 314 344800; а не делится на Ь. 85. (aj + 1)(а2 + 1) * t И 86. 2^® * 3 • 5 • 11^. 87. Все — четные. 91. Нет. 94. 4 способа. 9Л. Н 96. Нет (37^>1093). 100. а) х = 4-7<, y = 4f (t — целое); г) лг - I t 3/( у = -1 + 11л (л — целое); ж)д:=1 + 5р, р = -20+19р (р — целое). 101. а) х- 2 у = 1; г) д: = 4, у = 5. 102. д: = 24-5^г, y = 2k, й = 0, 1, 2, 3, 4. Нево;*м(»>кии 103. x = 77A + 59, где k — целое неотрицательное. 104. 185+15, 119 i HI 53+147. 105. 245. 106. Цифр 7 и 8 в семеричной системе нет. 108. п) lit'imu б) нет, получается 51435g. 109. lllOOOlOlOllOlOg; 001110000011100110, 110. 53174g; 724158. SrOCje* И2. а) 6460; в) 13015. 113. а) 201 10|„ в) 33135418. 114. а) В восьмеричной, в шестеричной. 116. а) 2025е; г) 3 i336,„ ж) 684335э; к) 203735g. 117. 214OO5; 214OOO5. 118. 314 = 13ю. 119. Кглп Па с каждым вариантом числа волос на голове (400 тыс.) было не более 17 М4и ь вичей, то всего москвичей было бы не более 6,8 млн человек. 120. Среди дай ных чисел найдутся два, дающие одинаковые остатки при делении на 72. 121 Пусть равно сумме первых k данных чисел. Либо некоторое делится иа 100 либо некоторые и дают одинаковые остатки при делении на 100, т<ид( надо взять их разность. 122. Пусть А — наибольшее из данных чисел. Рассми трите 102 числа вида А-а^,, A + a^t» ^=1» 2, ..., 51, где aj^ — данные числа, м*чн. шие А. При делении на 100 по крайней мере два из них имеют одинакот.и* ш татки (см. принцип Дирихле), их разность делится на 100. Разность чисел itn;p A + Cj^, А-а^ дает сумму или разность данных чисел 123. Рассмотрите остит ки при делении на п чисел вида 11... 1 {k единиц), разность таких чисел имес вид 11...100...0. 124. Если 29* и 29"* оканчиваются одинаковыми пятеркам! цифр, то 29*“"* оканчивается цифрами 00001 (k>m). Здесь используется, чго 21 взаимно просто с 10. 125. См. упр. 123. 126. См. упр. 124. 127. См. упр. 131 128. См. упр. 124. 129. 152 или 656. 130. 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92. 131. 6 135. 3 (5-е, 14-е, 31-е). 138. д:,= 1 либо х, = -1, 139. /г2 + 8л + 15 = (п + 4)(л i 3)Н + П + 3. 141. Хх=1, дг2 = -1, Хз=1, X4 = -l, ДГ5=1. 142. 3000803, 3030703 и д[1 143. 3-й выиграл у 5-го. Шахматисты, занявшие 5—8-е места, вместе имПра.'и не менее 6 очков (в играх между собой), а занявший 2-е место набрал ие Пи лее 6 очков (если он набрал 6,5 очков, то занявший 1-е место должен иабрат! 7 очков, т. е. выиграть у всех; тогда занявший 2-е место не мог nanpa i к 6,1 очков). 144. 1111. 145. Число, состоящее из 300 единиц. Если А 333...33 (101 троек), x = kA — искомое число (k — целое), то Зл:= SkA записано одними трмИ ками и делится на А. Отсюда следует, что Зд: записано целыми coTiniivm i pneK 3fe= 1 + 10^®® + 10^°® (это — наименьшее делящееся на 3). 146. 6125, 6375, 16И[> 289 '1Й не изменится. 150. а^ — З, 02 — 2, 03 = 0, 04 = -!. 151. 27. (Искомое дву- 1Н7Г), 5784, 5264, 5736, 5216. 147. Если к п добавить 20, то последняя цифра чис-п(п ь 1) 2 niii'iKoe число должно быть кубом целого числа.) 152. В деревне А, 153. Может ((тгииливается 3-е звено). 154. Поровну (если в первом стакане х молока и 5-д: чмн, то на второй стакан остается 5-д: молока и х чая, так как чая и молока МО 5 ложек). 155. Нет. Занумеруем сектора подряд числами от 1 до 6 и будем мм каждой шашке писать номер сектора, в котором она в данный момент стоит. Сумма чисел, стоящих на шашках, при перемещении шашек либо не меня-|’тги. либо меняется на 6. В начальный момент эта сумма равна 21. Если все шатки соберутся в одном секторе, то эта сумма будет кратна 6. 156. Нет. (Если ум4Ч1ьшить ценность каждой купюры на 1 р., то получится, что 15 р, (нечетное число) составлено из купюр ценностью О, 2, 4 рублей.) 159. Нет. (1994 делится на 2, но не делится на 4.) 160. 100. 161. 13. 164. При замене некоторого дгц —-1 на д:*=1 сумма либо не меняется, либо меняется на 4. Если заменить иго Х| на 1, то сумма станет равна п. 165. 10 р. (10; 5 + 5) и более (добавлять МО 1 р.). 166. Цифра Ь значения не имеет, положим Ь = 0. Пусть а>с, числа аОс и (а-с)00 дают одинаковый результат. Поэтому надо проверить лишь числа 100, 200, ..., 900. 168. 10^®®^ + ! — сумма кубов. 169. Рассмотрите остаток от деления исходного числа на 3. 172. Нельзя. Сумма чисел в каждой группе будет четной, но сумма всех 33 чисел нечетна. 174. Нет. 175. Да. Такое число можно составить из десяти единиц и больших групп нулей между ними. 176. Х\ «З, 1/1 = 5; Хз = 4, 1/2*= 7. (Если хч^О, то у нечетно, т, е. i/«2/j + l.) 177. 410 256, (Цифры уменьшенного числа находятся последовательно с конца умножением пн 4, последняя цифра равна 4.) 178. Таких пар двенадцать: 950000 и 949999, 250000 и 249999, 860000 и 859999 и т. д. 179. х = 1, у произвольное; у—1, х произвольное. 180. Чисел без 1 будет 9'®-1 = 3 486 784400, чисел с 1 будет И)'®-9^® = 6 513 215 600, почти вдвое больше. 181. 15х^ делится на 5, а 7у^ + 9 не делится. 183. Нет. Число кабелей связи получается не целым: 77 • 15:2. 184. 8, 9 и 10 можно (проверяется непосредственно), дальше надо добавлять числа, кратные 3. 186. 175. Для доказательства того, что сумма не зависит от выбора чисел, надо представить таблицу в виде суммы (почленной) двух таблиц: 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 и 1 2 3 4 5 6 7 42 42 42 42 42 42 42 И таблицах будет взято по одному числу из каждого столбца и из каждой строки. 187, Произведение чисел, стоящих в столбце, может быть равно +1 или — 1. Сумма 7 произведений (по столбцам) может принимать значения ±7, ±5, ±3, I I. То же справедливо для строк. Чтобы сумма 14 произведений была равна пулю, нужно, чтобы суммы произведений по столбцам и по строкам были про-типоположными числами. А это невозможно. Например, +7 (по столбцам) поручается только тогда, когда количество -1 в столбцах четное, а - 7 по строкам голько тогда, когда количество-1 в строках нечетное. Общее же количество I в строках и столбцах одинаково. 188. 11, 12, 24, 36, 15. Если число запи-1’ппо цифрами а, Ь, то Ь кратно а и либо & = а, либо Ь = 2а, либо Ь = 5а. 189. 405. 2025, 6075, 10125, 30375, 50 625, 70875. (В конце можно дописывать любое число нулей, их естественно отбросить.) Пусть нуль стоит в k-u разряде, тогда число можно записать в виде х*10* + г/, причем i/<10*"^ Из условия г • Ю* +1/ = 9(х ■ 10*'^ + у) получаем уравнение х *10^"^=8у. Отсюда х<8, » У кратно делителям 10* ' и не оканчивается нулями, т. е. i/i = 5, «/2 “25, 290 ^3 = 75, 1/4 = 125, 1/5 = 375, 1/6 = 625, */7 = 875. 190. /=13лч4 (п целой) II скольку 8(5Z + 6)-5(8Z+7)= 13, дробь может быть сокращена только им 13, ti ли числитель и знаменатель делятся на 13. Из соотношений 5/И1-111 a = 5fe + 5, Ь — 2 (единственный вариант, когда I — целое) находим отпет. IUU. I, 193. 2, 2, 2, 2; 2, 12 (остальные числа — единицы). Расположим дммные чи ла по возрастанию: < а2<... 12; м) х<-7 или х>7. 36. г) 3>-7. 41. а) 1 - г) - • 59. в) 3,5 ■ 10-®; 6,381 • Ю'*; 1,72 • 10®; 3,149 • 10®. 61. 9,46 1()'“ к 3 12 64. 5,5 10® мм2. 05 23000; г) 0,0145. 70. 9,71; 9,99. 73. 0,002; 0,001 77. Нет. 78. а) 12,302 ±0,001; г) 2,6435 ± 0,0006. 79. 36,967910,0018. .. выражение округляют до 36,96810,002. 84. Нет, ответ не превосходит 7 10 + 4 ■ 64-5 ■ 10=144. 85. Нет, надо более чем 16 • 15 + 20 ■ 10«440 (мим 90. а) 5<За + 75<7. 97. а) 207000<689 • 315 + 94 • 314<320000. 100. м) I е) 300; и) 0,9; м) п) 101. в) 0,8; е) -0,7. 102. а)4-|; и) 1(1 ‘ 104. Количество верных цифр зависит от типа калькулятора, а) 178,4572778., в) 4985,621426... . 105. а) 1,847759065...; в) 3,368695591...; д) 10,83182200,. 106. 5,71052; 1,52250; 25,40315; 75,00733. 107. 41 см; 20,5 см. 108. 5 см, 10 25 м (без учета провисания провода). 110. 12 см. 111. 8 см. 112. и) 5; и) 113. V^, 8V2, VT^. 115.11 или -1. 116. 15 + 5V5. 117. а) Дм; П) д 121. а) х=100; в) i/=l; д) Z = l; ж) 124. а) При х>0; в) при »ч) д) при всех X, 125. а) х>3; в) Ь>--. 126. а) 3^; г) (\Т0)^; ж) 0,5'**; к) (2^М 127. а) (;,-V7)-(a: + V7); г) С'' * Vl I ] 128. а) Xi^\fb; X2 = -V5; г) х^^М^; X2 = -V^. 130. а) 7; г) -26; ж) 2; к) 5 131. а) \2; г) ж) ж) 133. а) а + 2; в) \fx-yj2. 134. а) 0,18; г) 1.7; ж) 2 3 291 In. и) 22; 35; 1 0. 136. a) |j3|; в) 31b|; д) 0,l|a|. 137. a) c; в) 2a. 138. a) -x; О ) , 139. a) \a-l\; r) \2y-l\; ж) m-3; к) -k-1. 140. a) при x>l; в) при ;i. 141. V2-I; 6) V3-I. 142. a) 70; r) 180; ж) 7,8. 143. a) 180; в) 60; д) 6. 44. a) б; в) 15. 146.9. 147. 1848 см^. 148. а) Vs • VH”; в) V7 • Va. 4», a) V2(V5+1); в) v'2(3 + VIT). 150. a) V2-1; 6) l-Vs. 151. a) 72; в) 400. na. a) 24; в) 44. 153. a) 3a; r) -9i/®; ж) -aV. 154. a) 4; r) 9; ж) 21. О 5П. a) |; e) ж) 157. a) |Vl0; r) | \/3; ж) ^VTT; к) I) \/з¥; p) |^Vl30. 158. a) r) ж) 159. a) 1; в) 15. 160. a) 2\[з. 02. м) |л:| ■ в) —г. 163. а) -----г при |л:|<1; ----г при |х|>1. 164. а) 0 ||>и jc>0; X при х<0; в) 2х + 5 при х> — 2; 1 при -3<д:<-2; -2х-5 при x<-S, 65. а) При х>1, 166. а) ~ . 167. а) при а>2; —^ при Vs 4-1 V3(V74-1) ;— I 2; в) -1. 168. а) —в) ----------z=---. 170. 2Va + b при о + &>с; 2Vc при V2 V2 М 6* с. 171. а) 10; в) 0. 175, а) Иррационально; б) иррационально; в) рацио-la,>11.110. 184. Воспользуйтесь неравенствами (о -\-Ь)^<2 (а^ -f Ь^) и (о^ + < 2(0^ + ^'*). 191, Возведите выражение Vx4-Vy + V^ в квадрат и воспользуйтесь и’|твенством х + у>2\[^, 193. а) Vs-l; 6) V3-f2; в) Vл -1 - 1. 194. а) 1; J) ' (2V3+V2 + 2); в) 1. 195.0. 196.-10. 197. а (а+1). 198. а) ы \.ш (2\/3 + 3V2-\/30); д) 4 (\/б + V3+\^+1). 199. а<Ь. А ji;i иа \ ! I. а) о«4, b = 5j с=7; г) о=1, Ь = 0, с = -4; д) о = 3, Ь = -1, с = 0; е) о=13, Ь=0, -0; и) о = -2, 6 = -1, с = 4. 2. а) 4х^-4х~2 = 0; б) 6х^-11х-4 = 0; в) 2д:^-2д:-2-0(х2-х-1 = 0); г) 11хЧ56х + 30 = 0; д) -17х2 + 30х-11 = 0; е) 11х2-12х-7 = 0; ж) ^fV-fex-13 = 0; з) mV-113 = 0. 3. а) {-2; -4}; б) {-5; 7}; в) {8; 2}; г» j-j; -|}; д) {0; -6}; е) {2; -2}; ж) 0; з) {0; 6}; и) {-12; 4}. 4. а) {5; 7}; ft» ( 5; 1}; в) {2; 7}; г) {-7; 2}; д) {-2; 3}; е) {о; -|}; ж) (о; --|}; з) (6; 1}. к \ 04-13 X-f3 ^ 2(о4*9) ^ h* ») —гг; б) ——г; в) ----~е; г) . 6. а) Зх2-ЗЗх + 90-0; б) х2 4- 0 + 15 ' х + 2' ' 3(0-7)’ ' 2(0 + 1) I х-6 —0; в) -4х^ + 56х-196 = 0; г) -Зх^-30х-75 = 0; д) 2х^-(о-Ь)х = 0; е) х^- '^0, 7. а) 0 = 2, Ь = 3, с=1, D=l, 2 корня; б) о = 1, Ь«5, с«-6, D —49, 292 2 корня. 8. а) 2; б) 0; в) 1; г) 0; д) 1; е) 2. 10. а) {-4; -2}; б) j 1^ 1 в) {0.6; 1}; г) {-0,5; 2}; д) [2; 2-|-}; е) {-2; 12}. 11. а) {0,5; 0,7}; б) {V^2; 4\аЦ в) {0,2}; г) {4; 25}; д) {-2; -5}; е) {2; 5}; ж) у}. 13. а) {а | /г, „ /.); б) {2а; 2Ь}; в) {а; 2а); г) {-а; 2а}; д) {а-1; а-2}; е) {а; Ь); ж) |«; ' || з) I" л + 14. а) Если то 1 корень; если а = -1, то беско1и'чи1м> множество корней; если а = 3, то корней нет; б) если то 1 корень; если а = -3, то корней нет; в) если \а^2. то 1 корень; если а = ~1, то бескомеч 2 1 111 ное множество решений; если а = 2, то корней нет, 15. а) 2; б) 17. а) ~; б) * \ 5 5 Ы в) т = а~Ь, если Ьт^О; т — любое, если &=*0. 19. а) любое /п€(3; +оо); б) ли» /1 \ 13 / бое т€(-оо; 3); в) 3. 20. а) /п€(-0,4; +ooj; б) -0,4. 21. * р2_13 , р — рациональное число; б) =------—, р — рациональное число. 22. а) (д:-3 V2) ■ 4 x(x-3+V2); б) (jc-13)(jc-2); в) (л:-4)(лг+11); г) (jc + 20)(a: + 5); д) (x+5)(jr ( 2); е) (х-8)(д:-9); ж) 2(х-1,2)(д: + 2,7); з) 2(i/-2)(j/+-|); и) 1б(х--|)(д:--|); к) -{х 1») - х(д: + 3); л) (2л: +7)(2дс+7); м) (^-9)(л:+12); о) (л:( 2.б)- х(д:+3,4); п) не разлагается; р) 6(х-l)^x-23. а) (у + Ь)(у-а-Ь); б) (г с) • x{z-2ab); в) (jc-V&)(x + a + Vb); г) (1-а^)(х- )(^-т—~ )• 24. а) 5(х у) ■ \ 1-а/\ 1+а/ Х(х-0,4у); б) 6(дс + 1/)(д!:+^ I/); в) (х + у)(х-3у); г) (х-8у)(х + 5у). 25. а) ^ '| | \ О / 1/4 4 2ти “h 3 15 б) -----—; в) а-1. 27. а) j/i + i/2 = 0, J/i-J/2 = - —; б) Xi + X2 = 12, дг, jr,-0i т — 2 4 9 в) Xi+X2=-^, Xi ■ jc2 = -5; г) Zi + 22 = -2, Zi • 22 = -14; д) JCj + Xa-Q, д-, • х^-'ИУ, e) X1+X2 — 2, x^-X2—80. 28. a) д:2-7а:+10 = 0; 6) д:2-9,5д:-5-0; и) 1Я." -д:-1 = 0; г) 25д:2 + 40д;+16 = 0. 29. а) |з; -|-|; б) {1+VTO; 1-V10}; в) j 2; J || -9 + уТ? . -9-УГ71 4 ’ 4 J' 30. а) Нет; б) нет. 31. а) лг2 = -5, р««-2: б) 1, 3 9 10 а = -2; в) ^2=—, 5 = -43; г) Х2 = -2,1, с = -111,3; д) ДГг- „ ; •') Э Аи о ж) с = -8,75. 32. а) Корни различных знаков; б) корни положительные; и) ((нр ней нет; г) корни положительные; д) корней нет; е) корни различных .тпиим 293 :i:i. II) 4)/^ 5i/-l-=0; 6) j/^-20i/-64 = 0; в) 16i/^+185i/-4 = 0; r) 4i/^ + 33i/ + 4 = 0; lO ti/ ( IГ)//-50-0; e) 16y^ - 33y + 1 = 0; ж) 1/^+15i/ + 46 = 0; з) y2-1057i/ +256 = 0. il4. (/" I I24y-125 = 0. 35. 47. 36. a) of + OiOz; 6) of + afoa - 230ioi. 37. 5^:^ + 6a: - 8 = 0. ]|H. It) 2lar“-23a; + 6 = 0; 6) 35x2-22x + 3 = 0. 39. a) 7-^; 6) -194в) -2-^; г) 60 ^ О ol V . о A 1 -чГ-64 + 3\/^ -64-3V^l Ч ^ Ч о ..o 1 10. II) k,-2; *2 = -!; 6) I------; ------—----к 41. a) 0; 6) 0; в) 2. 42. —. 13, ii) ax’‘ + (b + 2a’^)x + {a^ + ab + c) = 0; 6) a:^ + ba: + ac = 0; в) cx^ + bx + a = 0\ r) acx^-hx t 1 -0. 45. Oi = -3; аг = 9. 46. 32 см. 47. 10 и 21 м. 48. 11 и 12. 49. 7 и 8. 50. 9,6 м*. 51. 90 см. 52. В(0; 18); С(0; -12). 53. а) {-1; 3}; б) {-1; 12}; м) ( 2; -4}; г) {-2; 12}; д) {-4; 5}; е) {-2; 2,4}; ж) {1,5}; з) {-1; -5}; и) {-1; -27}; К) |l: л) {-9}; м) {3 + V5; 3-V5}. 54. а) {l; ||; б) {1; -9}; в) 0; г) 55. -11. 56. 6. 57. 58. 1,5 ч. 59. 12 км/ч. 60. 80 км/ч. 61. 2,2 ч и 3 ч о 62. 27 км/ч. 63. 6 км/ч; 5 км/ч. 64. 11 км/ч. 65. 2 км/ч. 66. 24 ч и 16 ч 67. 4 ч и 5 “ ч. 68. 15 учеников. 69. 7,5 и 4 м. 70. 384 см^. 71. 4%. 72. 6 3 6 к. 10. 73. 35 и 12 км. 74. 1050 р. 75. 10%. 76. 32 тетради. 77. 6 м. 78. а) |о; --|| -1-V5 -1+\/5 5) {-\/10; -4; 4; Vio}; в) -2; l|; г) {2-VS; ; 2+V5J 2 ’ 2 д) (-4; -I + 2V2; -I-2V2; 2}; е) {0; -1; -2}. 79. а) {-1; 1}; б) {-3; 3}; в) {-4; 4} Л 1 1 1 И V'21 _ wool ЛV^ ' 1“ 2 ’ 3 ’ 3 ’ 2 j’ 2 ’ 4 . 4 . 2 j’ 3 ’ 3 J 11) (-5; 0; 5}; к) {0}. 81. a) (0; 9); (1; 0); (-1; 0); (-3; 0); (3; 0); в) (0; -3); (-V3; 0) (V3; 0). 83. a:^-12a:2 + 32 = 0. 84. a:‘'-13a:2 + 36 = 0. 85. a) a^-3 a2-9 ; 6) -2fl2 x^-4a^ M6. x*-(p^-2q)x^ + q^=^0. 88. a) {l; 6) {2; i; -3; -1-| •I) {!}; Г) {-2 + V3; -2-V3}. 90. a) (7; 3); (-3; 6) (1; 3); (-1,25; -1,5) II) (10; 1,8); r) (-5; 3); д) (6; 4); (-6; -4); e) ^2; ж) (-3; -2); (3; 1) .1) (5; -8); (3; -5). 91. a) (7; 1); (-Ц; ||); 6) (2; -1); (1,5; -0,5). 92. a) (1; 1) (i’ "i)’ (-5; -5); (-5; 5); (5; -5). 93. a) (4; -2); (-2; 4); (-4; 2); (2; -4); 6) (8; 6) (6; 8); (-8; -6); (-6; -8); в) (-5; -3); (3; 5); (5; 3); (-3; -5); г) (6; -4); (-6; 4) 04. a) (5; 2); (5; -2); (-5; 2); (-5; -2); 6) (-1; 3); (-1; -3); (1; -3); (1; 3) M) (1; 3); (5; 1); r) (8; -5); (2; 1); д) (12; -2); (-2; 12); e) (-4; -10); (10; 4) ^•<) (2; 1); (|-; з|-^; з) (6; 15); (-2,5; -2). 95. 420 м^. 96. 35 и 12 см. 97. 20 и 294 2 м. 98. 28 и 12 м; 24 и 16 м. 99. 15 и 8 дм. 100. 60 см. 101. 12 и 16 км/ч. 102. 60 и 75 км/ч. 103. (1; 2); (-1; 6); (V2; 4-V2); (-V2; 4 + V2). 104. б) (а 1; I); (1; 1-а); в) а = 2; г) а = 0. 106. (2; 1); (-2; -1); ЮН. (I; 1!); (-1; -2). 109. (2; -1); (-1; 2). 110. (1; 3); (3; 1). 111. (1; 3); (3; 1). 112. п) (3; 1)| (-1; 3); (-3; 1); (1; -3); б) (2; 3); (3; 2); в) (3; 4); (4; 3); г) (4; 1); (1; 4); д) (И 3); (3; 1); е) (2; -1); (-1; 2); ж) (3; -2); (-2; 3); (1+V6; 1-V6); (l-Vo; 1 ( v/5l)l 3) (4; 8); (8; 4); и) (2; 3); (3; 2); (1; -6); (-6; 1); к) (3; 1); (1; 3). 113. a-\i, 2 18 114. ai = l; 02 = 2. 115. При всех т, кроме /м=—, /п = -6 и т=-—; лс—1 при о % о 19*i 97 М т = 4. 116. 01 = 2; 117. ^2=-^* 118. р = -3. 119. А,- ; ^2 = 6. 120. 5 = -13. 121. Oi = 0, &1 = 0; 02 = 1, Ь2 — ~2. 122. Oi = 3; Оз = 4. 123. т- 2. х^1. 124. а=^. 125.а = -4. 126. с = -2, с=1. 127. т = -7. 128. к ~ 133. а) {-3; 1,4}; б) {-4-vT5; -4 + Vl5}; в) {2; 3; 5}; г) любое xe[-6; I |; и) Г_ v|_. { 2 ’ 2 1 136. х^-4х+1 = 0. 137. а, = 2; аг = -2. 138. Л = 53. 140. и-1. 142. Подставьте корень Xq= — в уравнение и воспользуйтесь свойствами доли Я мости. 145. Пусть л:=— —рациональный корень уравнения, причем miZ, п 771^ n^N и------несократимая дробь. Тогда —5-+Р---hg = 0 или m{m-^pn)^-t/n^, п п Воспользовавшись свойствами делимости, покажите, что п=1, 146. Восполь 2 3 зуйтесь утверждением упражнения 145. 148. /тг = 12, Х2=“, лгз = --—. 149. т - Л, о 2 л = 30, лгз = --|. 150. (1-а)л:2-2(1-а)х + За + 1=0. 151. а<1. 152. 0. 153. х* Л -25x^ + 144 = 0. 154. 50%. 155. 20%. 156. 848 денежных единиц. 157. 12 и 13 ом, 158. а) (-1; (4; -9); б) (-4; -5); (4; 5); (-3v5; -v"!!); (3V8; \3); ») (2; :И: д <1 I ,4 4, . 4«. ,r-7±V^ -7±\^ -7±Vl7 „ J ,( ,2... {1; 4); в) {-5; -10}; г) |---; --------; -------; -8; 1|: Д) | ' ‘ (-2; 3); (3; -2); (-3; 2). 159. т = --|. 160. 5 = 3. 161. 5 = -|-. 163. а) О о г 'т б) -1 2-|J; е) {1; 25}; ж) {-3; -3±VlO} 295 f jimill V 11 I, a) (1,5; +c»); 6) [-0,25; +oo); в) (-oo; 3); r) +oo^; д) (-oo; 0,4]; ") ( : +oo^; ж) (0; +C30); 3) [1,5; +oo). 4. a) ^-oo; 6) (9; +сзо); в) (-oo; -3,1]; I) ( oo; 0,8); Д) (6; +oo); e) (0; +oo); ж) ^-oo; 3 з) (-oo; -10]. 5. a) (1,8; +oo); 0) (0,5; +oo); b) ^-oo; - r) ^-oo; 1 yj; д) (-oo; 3); e) (7; +oo); ж) (17; +oo); lO ( °o; и) (-oo; 3,5); к) ^-oo; л) (0,25; +oo); m) ^-oo; 1 H. n) 0; 6) (-oo; +oo); в) (-oo; +oo); r) (-oo; +oo). 9. a) {1; 2; 3; 4}; 6) {1; 2}. 10. a) (0; +00); 6) ^0; 8-|j. 11. a) (-oo; 0); 6) (-12-Ц-; 0^. 12. Меньше 2 см (((); 2)). 13. Меньше 12-^ дм |^0; 1214. 7, 8, 9, 10. 15. Не более 26км ((о; 261-]^. 16. а) [1; +с»); б) [-0,4; +оо); в) [2; +со); г) (-с»; 2]; д) (^-<х>; ||) (-2; +оо); ж) [-2,5; +оо); з) [4; +оо); и) [2; 3)0(3; +оо); к) 0. 17. а) (-9; 10); 5) ^-оо; +оо^; в) (-оо; -8]U[6; +оо); г> (“°°’ "Д) f}‘ ж) (-оо; +оо); з) 0. 18. а) (1; 2; 3; 4; 5}; б) {..., -4; -3; -2; 2; 3; 4, ...}; -3; -2; -1; 0}; г) {-2; -1; 0; 1; 2}. 19. а) [0; 2]; б) (-с»; -3)и(-1; +оо); и) 0; г) (-оо; 1]и[16; +оо). 20. (1; 7). 21. (-2,5; 2). 22. а) (-оо; 9)и(9; +оо); Л) (-оо; 2)и(4; +оо); в) [4; +оо); г) (-оо; 2)U(2; 3). 23. а) (7,2; +оо); б) (-оо; 5); а) (-оо; 0,25); г) (2,4; +оо). 24. а) (2; 5); б) (-оо; -0,6)и(3,5; +оо); а) (-оо; 0)и(0,3; +оо); г) (-оо; -l)u(0,5; +оо); д) (0,1; 0,4); е) (-0,6; 0 (I’ f]’ ["т ’ "т)' (“т' О’ 1 а) (0; 7]; г) (-оо; -2)U +oo^ 28. а) (-оо; 3,5); б) (-9,5; +оо); в) (27; +оо); I ) (^2 -|; 7^ и (7; + оо). 29. а) (- оо; - 7] и [- 2; + «>); б) (- 3; 2]; в) (- ~; 2] и [3; + оо); I ) [-5; 3). 30. а) (-оо; 5-2\^)U(5 + 2VS; +оо);б) (-оо; +оо); в) (-оо; -6)и(3; +оо); г) 0; д) (-1; 3,5). 31. а) (-оо; 2); б) ^-4; -|^. 32. а) 0; б) (-оо; +оо). 33. а) [-2; 1]; б) Н\{-5; 1}; в) 34. а) (17; +оо); б) (-сх>; 1); в) (0; 6); г) 0; л) 1-1; 3]; е) (8; 20]. 35. а) (9; +оо); б) (-оо; -1); в) ^0; з|-); г) 0. 36. а) (6,8; +оо); 6) |2; 4]; в) у); г) (0,1; 0,2). 37. а) (3; +сх>); б) (-оо; -3); в) [-11; 3]; г) 0; 296 а) д) (0; 1; 2}; е) {-6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1}. 39. а) (-сх>; 2,8}; б) 0. 40. а) (5; 9); б) (3; 5); в) (9; 10); г) (-оо; 3)U(10; +оо), 41. а) (-оо; -7]U и[1; 5]; б) [-3; -2]и(10; в) [0; 2]; г) (-1; б) ; д) [-10; 1)и(1,5; 3]; е) (-оо; -3)и(-1; +<х)); ж) 0; 3) (-оо; 1)U(16; +оо). 42. (1; 7). 43. (-2,5; 2). 44. а) (-оо; 9)U(9; +оо); б) (-оо; 2)U(4; Ч-оо); в) [4; +00); г) (-оо; 2)0(2; 3). 45. а) (-оо; -3]0 и[3; +00); б) [1; 6]. 46. А; С; D. 47. Полуплоскости б). 48. а) Не принадлежит; б) принадлежит. 49. Рис. 46. 50. Рис. 47. 51. Рис. 48. Г5хч* 8w> 120, 52. \ Рис. 49. 53. а) Рис. 50, а; [хч-у<20. б) рис. 50, б; в) решений нет; г) рис. 50, г; д) рис. 50, д; е) точки окружности д:^ + 1/^-2ж-4у = 0. Рис. 50, е; ж) точки луча АВ. Рис. 50, ж; з) рис. 50, 3. г) Рис. 46 Рис. 48 297 а) б) Y^ 1 м чД “Y^o X V ^ \nXn^ д) У> I \ ] У 1 - V ° 1 )6 ^ е) ж) з) 1>||.. 50 Упражнения для повторения 1. а) {х^ + ху + у^)(х^-ху + у^У, б) (а^ + а + 1)(а2-а + 1); в) (х+ у){у + z){z +х)\ г) (х^у+ z)ixy+ yz+ ZX)-, д) (д:-1)(д:+1)(х-а)(х + а). 7. а) Если А = 3, то 0; 4 «ели то х==----; б) если = то любое x^R\ если к^-\у то х = 0; /г —3 . 2с+1. ,1 ^ 3m^ + 4 а \ t, 2*^ + 3 2 2 2ft+ 1 2 1 4 т;л—; 6)ft = -—. тбД; в) имеет решение при всех ft€H, т€й; r)ft=l. 3 3 298 9. а) 6) & = р = 0; в), г) нет таких значений h и /I, [ Г/е?йО, 10. а) Если то корень единственный; если |р—1 k = 0, то решений нет; б) если то решение единственное; если р;^1. {кФШу Р=о, то 2 = 0; уравнение имеет решение при всех значениях т, />* 11. а) {-1,5}; б) (-3; 2,5}; в) {-3; 2,5}. 12. а) (-2; 2}; б) {-2; 5}; в) если ачО, то 0; если а>0, то х = а±^; г) {-2; 2}. 13. 58. 14. 54. 15. 12 футов. 16. Морон -—— лет (через 10 лет; через 4 года). 17. Через минут (5>а>0). 18. «), k-l Ь~а г) Единственное решение; б), д) бесконечное множество решений; в), о) по имеют решений. 19. а) а = 4, Ь = -7; б) 0 = 6, Ь^-5; в) а = 6, & = -5. 20. При любых значениях т, а) т>15; б) т<4; в) 4<т<15; г) ни при каких ;mn fa = -9, \а = -\ чениях т, 21. а) Если то решений нет; если а = -5. 0 = 0 беско11(‘Ч11оо множество решений; б) если а=1; решений нет; если а = -9, > 1ет 5 И» а— t>, то бесконечное множество решений. 22. а) Если ------------, то х=— , 3 3/п f Л у= ; если т = - —, то решений нет; б) если т*1, то бесконоч1то Зт + 5 3 m?tl, т множество решений; если т = 2, то решений нет; если 1 « то х- , m2 2т-7 оо Т7 а ^ (n-b)d 1 (a-m)d у=-------. 23. Если —, то ------— р.— цена 1 м сукна, ^-— р.— цопп т-2 Ъ п ап-Ьт ап-Ът 1 м шелка, если — = —, то решений нет (при а^т) или решений бесконо<1ио Ь п ^ ч 252 —с 1,2с —210 . « много (при а = т). 24. х=——— ч, у=--------- ч; 175 км<с<252 км. 25, 7 22 22 и 5 овец. 26. 7 и 5 ч. 29. а) k = 2; б) Л = -—. 30. £/ = -0,2х + 4. 31. м) т-)1| 4 б) т = 2|-. 34. а) б) VIO-l; в) Vl3 + \/3; г) |V^-Vfc|: д) \fn I 3 ^2 36. 25%. 37. а) (-6;-2); (6; 2); б)(-1;-3); (|; з); (-^:о)! ( ^!^ ''О' 39 299 im Г *2, p*-2, (p-2f о 3 ^ _ 3 TO x=--------; если p = 2; p — — 2\ p=—, to 0; 6) если P*-z, 2p4p-6 2 P^O, p?t 1, p^-1. TO X — P +p-3 ; если p = -l; p = 0; p=l, to 0; в) если P“0, то любое r€(-oo; 0)U(0; +oo); если • p ^ 2, p^-_ A X - TO д: = -~ (2p+1); если p = 2; p^-—y to 0; X 5 7 Г) если TO любое :ce^-oo; - U^-если to 0; Д) если ‘ m;ib2, Зл —2 m^6n, *^0 m^3n-2' 1л=-,т^ Дг€(-оо; 1)U(1; +oo); mTi3n + 2, ^ «»сли « 2; Л * 0; m = 6n, Г/п = Зл + 2, 2 J 2 to 0; e) x = -2a или x = 3a; ж) если a — О, 3’ г^з’ TO 0; если то Xi—a+ly з) если то х=1; если а?ь1, то х = -1, •45. а) feV + аЗ^з. gj х^а^-ЬЦх-а^. 47. б) [-4; 10]; г) [-1; 8]. 54. а) т=1; б) 55. а) (х-р + 3)(5х-2р+15); б) (2х-Зр-16)(2х + р + 4). 56. а) у^+1496у- 125-0; В) Z/2- ^^-1 = 0. 57. а) {-2; |}; б) |-2±\/3: j; в) {-4; 2; -1±V2}. 58. '(4‘ 4> ^w)l- *"■ (-Р "”)■ U1 JlAHJLtljtlkUlj !ABA J. ДРОБИ......................................... 1. Понятие дроби................................... 2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее крат! двух одночленов .............................. 3. Основное свойство дроби и его применение...... 4. Умножение и деление дробей.................... 5. Сложение и вычитание дробей .................. 6. Возведение дроби в степень.................. 7. Функция у = —................................. 8. График обратной пропорциональности IABA II. МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Операции над многочленами ........................ 1. Стандартный вид многочлена...................... 2. Сложение и вычитание многочленов ............... 3. Умножение многочлена на одночлен ............... 4. Деление многочлена на одночлен.................. 5. Вынесение общего множителя за скобки............ 6. Умножение многочленов........................... 7. Разложение многочленов на множители методом группи|и>1 § 2. Формулы сокращенного умножения.................... 8. Умножение суммы двух выражений на их разность , 9. Возведение в квадрат суммы и разности двух выражп 10. Выделение полного квадрата из трехчлена ....... 11. Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби 12. Возведение в куб суммы и разности двух выражений 13. Разложение на множители суммы и разности кубоп 14. Формула для разложения на множители разности стет 15. Формула квадрата суммы нескольких слагаемых . 16. Тождественные преобразования................ 17*. Симметрические многочлены от двух переменных Дополнительные упражнения к главе II................ 1АВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ . 1. Множества и их элементы....... 2. Характеристическое свойство множества 3. Подмножества..................... 4. Пересечение и объединение множеств 5. Разность множеств................ 6. Алгебра множеств................. 7. Формулы включений и исключений . пи ИЙ 7 (I 16 1Н ЯВ 21 М 2U ;t 1 м\ 37 31) 12 11 1М бИ бб бн 00 ом 00 он 01) 7 1 77 И 7 00 u;i 00 00 too 102 301 8*. Декартово произведение множеств ....................105 9*. Отношение порядка...................................107 10. Эквивалентные множества..............................109 1ЛИЛ JV. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА 112 # 1. Делимость чисел......................................... — 1. Натуральные числа и их свойства........................ — 2. Делимость целых неотрицательных чисел.................114 3. Наибольший общий делитель двух чисел и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида.............................117 4. Взаимно простые числа и их свойства ..................122 5. Признаки делимости....................................124 § 2. Простые числа..........................................127 6. Основной закон арифметики натуральных чисел .... — 7. Каноническое разложение натурального числа на простые множители ...........................................131 8. Свойства простых чисел ..............................133 9*. Неопределенные уравнения первой степени.............135 10*. Системы счисления ..................................137 11*. Принцип Дирихле.....................................142 Дополнительные упражнения к главе IV .......................144 ПЛВА V. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА...................................150 § 1. Числа и координаты...................................... — 1. Действительные числа и измерение величин............... — 2. Рациональные и иррациональные числа .........Х55 3. Арифметические операции над действительными числами 157 4. Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные ..................................................160 5. Координаты точки на прямой линии и на плоскости . . . 162 § 2. Бесконечные числовые множества и их свойства ......165 6. Числовые множества..................................... — 7. Счетные множества ....................................168 § 3. Неравенства и приближенные вычисления..................171 8. Свойства числовых неравенств........................... — 9. Доказательство тождественных неравенств...............175 10. Стандартная запись числа ............................177 11. Приближенные значения величин........................178 12. Относительная погрешность ...........................179 13. Оценка суммы и разности .............................181 14. Оценка произведения, степени и частного..............184 15*. Приближенные формулы ...............................187 § 4. Квадратные корни и их свойства.........................190 16. Квадратный корень из числа............................ — 17. Вычисление квадратных корней.........................192 18. Геометрические приложения............................195 19. Основные тождества для квадратных корней ............197 302 20. Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени..........................................U0I 21*. Преобразование выражений ^/а±\[в...............200 Дополнительные упражнения к главе V....................207 ТЛВА VI. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.............................UII § 1. Решение квадратных уравнений...................... 1. Квадратные уравнения и их корни.................. 2. Формула решения квадратного уравнения ...........21 б 3. Разложение квадратного трехчлена на множители . . . , 220 4. Теорема Виета...................................... 222 5. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям ......220 § 2. Уравнения и системы уравнений, сводящиеся к квадраттам уравнениям.............................................201 6. Уравнения, приводимые к квадратным ............. 7*. Возвратные уравнения...........................21И 8. Системы нелинейных уравнений, сводящиеся к квадратным уравнениям.......................................200 9*. Решение симметрических систем уравнений ...... 242 10*. Уравнения и системы уравнений с параметрами .... 244 11. Графический метод решения систем нелинейных уравшмтй 240 12. Уравнения, содержащие знак модуля ..............24М Дополнительные упражнения к главе VI ..................200 1ЛВЛ VII. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ .............................200 1. Неравенства первой степени с одним неизвестным .... 2. Квадратные неравенства...........................207 3. Решение неравенств, сводящихся к квадратным неравеистпмм 201 4. Системы неравенств с одним неизвестным ..........204 5. Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными 207 Упражнения для повторения..............................272 Ответы .................................................. 2Н2 Учебное издание Виленкин Наум Яковлевич Виленкин Александр Наумович Сурвилло Геннадий Станиславович и др. АЛГЕБРА 8 класс Учебник для общеобразовательных учреждений и школ с углубленным изучением математики Зав. редакцией Г. А, Бурмистрова Редактор Я, Б» Грызлова Младший редактор Н. В. Ноговицына Художник А. С. Побезинский Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор С. Я. Терехова Корректор Г. М. Махова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—9£ Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 21.07.09, Формат 70X1 Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 15,49+форз. Тираж 5000 экз. Заказ № 28605. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат*. 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ JT ах^+Ьх+с = О, а ^ О Дискриминант D = Ь^ ” 4оС Корни X, «=— Ь±УР , если D>0 2q Дейавительных корней нет, если D<0 Х^ + рх + С| = о (приведенное), Х^ 2” ах^ + Ьх + С = а(х “ Х^)(х ” Х2), если D>0 ах^ + Ьх + с = а(х “ Х^)^, если D = О ТЕОРЕМА ВИЕТА А КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 1 yt ах^ + Ьх + оО, q>Oj^ у| ///////// /А, J/////////^ 01 Х^-^Х2 X у! i44jini4 D>0 хе (-оо; xju(x2; +<») ) Х, = Х2 К •Л1 X € (-оо; X])u(X|; + ‘« D<0 Х€ (-оо; + оо) yt ах^ + bx + с < О, а > О 0 Х"^--^Х2 Х' yt О •Х'-л D>0 х€ (xi;x2) Х,-Х2 D-0 Х€0 D<0 Х€0 i_______L J____U__L ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ |a ■ cj* I ?ub f b'* (ci.ta^ ♦ ,M ♦ uj^*a,''' + a24... + a„^ + ф2а,а|^2с1,(1з + ...+ 2a„.,a„ (o i b|*«(i4 3a^b + ЗаЬЧ а’фЬ‘и((1 tb)(a'4ab + b^) (|'.Ь!.(аФЬ|(а-Ь) n"» b" ■ (a-b)(a"*'Ф a"'2b +... + a"V4 I ,мФаЬ"^*фЬ'”'| (Г-1 ■(o-l)(a" 'фа'’*^+... + а'^'‘ + ... + а+1) u^"”' I/'*'"'’ ■ (a Ф b)(a^"’- a^'"“’b+... + fH|V”'^b4n.-ab^"’-’ + b2'") Ф ) ■(аФ 1)(а^"’-а^'"''ф...ф(-1)‘'а^"’“Ч...-а + МОДУЛЬ ЧИСЛА а 'll 1Д| = i ОС, если “ ОС, если ОС ^ О СВОЙСТВА МОДУЛЯ la + Puiai + iPi |a-pl>lal-lpl la-pl = laMpI I a _ J_ lai a?^0 штт СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЗ У? = 1x1 Гь=У^.Уь, если а ^ о, Ь ^ о если а ^ о, Ь > о Ь Vb X. \ ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ 2=££,еслиЬ?^0, c?iO Ь Ьс штт \ ш Mi ческий комплект ^ углубленного изучения алгебры^ И классах содержит; Чббники для 8 и 9 кл^фв торы: Н.Я.'Вил1нкийи до. [идактические материалы ь олгебре для 8-9 класгав] ит()1)ы: Г.С. Сурвил;й?^Др борник задач по алгебре 1ля 8-9 классов ^ торы: М.Л. Галицкий и др. глубленное изучение алгебры 8 и 9 классах ышев и др: т. HttN М7Н-5-09-019502-7 ; ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО