Учебник Алгебра 7 класс Мерзляк Полонский Якир

Алгоритм успеха ФГОС Москва Издательский центр «Вентана-Граф» 2015 ББК 22.141я721 М52 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г. М52 Алгебра : 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М. : Вентана-Граф, 2015. — 272 с. : ил. ISBN 978-5-S60-05509-9 Учебник предназначен для изучения алгебры в 7 классе обще-обра.зовательных организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к алгебре. Учебник входит в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Содержание учебника соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.). ББК 22.141я721 ISBN 978-5-360-05509-9 © Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., 2012 © Издательский центр «Вентана-Граф», 2012 От авторов Дорогие семиклассники! Вы начинаете изучать новый школьный предмет — алгебру. Алгебра — очень древняя и мудрая наука. С её азами вам предстоит познакомиться. Знать алгебру чрезвычайно важно. По-видимому, нет сегодня такой области знаний, в которой не применялись бы достижения этой науки: физики и химики, астрономы и биологи, географы и экономисты, даже языковеды и историки используют «алгебраический инструмент». Алгебра — не только полезный, но и очень интересный предмет, развивающий сообразительность и логическое мышление. И мы надеемся, что вы в этом скоро убедитесь с помощью учебника, который держите в руках. Познакомьтесь, пожалуйста, с его структурой. Учебник разделён на четыре главы, каждая из которых состоит из параграфов. В параграфах изложен теоретический материал. Особое внимание обращайте на текст, выделенный жирным шрифтом. Также обращайте внимание на слова, выделенные курсивом. Как правило, изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформления решения. К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, к которым мы советуем приступать только после усвоения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, так и трудные задачи (особенно те, которые обозначены звёздочкой 3^). Каждый параграф завершает особая рубрика, которую мы назвали «Учимся делать нестандартные шаги». В ней собраны задачи, для решения которых нужны не специальные алгебраические знания, а лишь здравый смысл, изобретательность и сообразительность. Они помогут вам научиться принимать неожиданные и нестандартные решения не только в математике, но и в жизни. Кроме того, в учебнике вы сможете прочитать рассказы по истории алгебры. Дерзайте! Желаем успеха! Условные обозначения "оА. оо V Простые задачи "❖V Задачи среднего уровня сложности Сложные задачи Задачи повышенной сложности ◄ Окончание доказательства теоремы, решения задачи Q Задачи, которые можно решать с помощью компьютера 340 Задания, рекомендованные для домашней работы 310 Задания для устной работы ^ 1. Введение в алгебру Алгебра — для вас новый школьный предмет. Тем не менее вы уже знакомы с «азбукой» этой науки. Так, когда вы записывали формулы и составляли уравнения, вам приходилось обозначать числа буквами, конструируя буквенные выражения. Например, записи а^, {х -I- уУ^, 2{а + Ь), -1-, аЬс, — являются буквенными выражениями. Подчеркнём, что не всякая запись, состоящая из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, является буквенным выражением. Например, запись 2дг -f- ) - ( представляет собой бессмысленный набор символов. Вместе с тем выражение, составленное из одной буквы, считают буквенным выражением. Рассмотрим буквенное выражение 2(а -I- Ь). Вы знаете, что с его помощью можно найти периметр прямоугольника со сторонами а и Ь. Если, например, буквы а и Ь заменить соответственно числами 3 и 4, то получим числовое выражение 2(3 -н 4). В этом случае периметр прямоугольника будет равен 14 единицам длины. Число 14 называют значением числового выражения 2(3 -I- 4). Понятно, что вместо букв а и h можно подставлять и другие числа, получая каждый раз новое числовое выражение. Поскольку буквы можно заменять произвольными числами, то эти буквы называют переменными, а само буквенное выражение — выражением с переменными (или с переменной, если она одна). Рассмотрим выражение 2д -t- 3. Если переменную х заменить, например, числом , то получим числовое выражение 2 • ^ -Ь 3 . При этом гово-1 рят, что - — значение переменной д, а число 4 — значение выражения 1 2х + 3 при X = -. Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями. Рассмотрим две группы алгебраических выражений. I группа II группа х-у^ 1 X а ah 4 {а + hf \ + Ъа т 3 л + 3 тп X р. л. 1 ^ 2 Выражения каждой группы содержат такие действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень, деление. Однако выражения первой группы не содержат деления на выражения с переменными. Их называют целыми выражениями. Выражения второй группы целыми не являются. В 7 классе мы будем изучать целые выражения. Пример. Значения переменных а, Ь vim таковы, что а - Ь = А, т = -5. Чему равно значение выражения 1Ьт - lam} Решение. Используя распределительное и сочетательное свойства умножения, получаем; 1Ьт - lam = 1т{Ъ -а) = 1 ‘ (-5) • (-4) = 7 • 20 = 140. Ответ: 140. ◄ 1. Как иначе называют буквенные выражения? 2. Какие выражения называют алгебраическими? 3. Какие алгебраические выражения называют целыми? Упражнения 2. Найдите значение числового выражения: 1) 0,72 -ь 3,018; 3) 1,8 • 0,3; 2) 4 - 2,8; 4) 5,4 : 6; Чему равно значение выражения: 1) 5) 72 : 0,09; 6) 9 : 4. 5. 6’ 4) 1-18; 7) 10: А; 10) 4| 3 7 2. 9’ 5) 46 . 23. 75 ■ 45’ 8)2|^4|; 11) 8| 7 16 ’ 8 . 35’ 6) |:4; 9) 6-l|; 5 12) if Вычислите значение выражения: 1) 3,8+ (-2,5); 2) -4,8 + 4,8; 3) -1 + 0,39; 4) 9,4 - (-7,8); 5) 4,2 - 5,7; 6) о - 7,8; 7) О - (-2,4); 8) -4,5 - 2,5; 9) 8 . (-0,4); 10) -1,2. (-0,5); 11) -48.0; 12) -3,3: (-11); 13) 3,2 : (-4); 3 14) 15) Чему равно значение выражения: п 1яА_^ 2. ^ 12 12 21 72 3’ 3) (-1,42 7 4) + 11 18 12 (-3,22)) : (-0,4) + (-6) • (-0,7); 19 48 5) I -3—-2 — ' ' 12 15 -5— I? 20 Вычислите значение числового выражения: 3) (-3,25 - 2,75) : (-0,6) + 0,8 • (-7); Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) произведение суммы чисел -12 и 8 и числа 0,5; 2) сумма произведения чисел -12 и 8 и числа 0,5; 3) частное суммы и разности чисел -1,6 и -1,2; 4) квадрат суммы чисел -10 и 6; 5) сумма квадратов чисел -10 и 6. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 4 5 14 1) частное от деления суммы чисел -- и -— на число - — 9 6 27 2) разность произведения чисел -1,5 и 4 и числа 2; 3) произведение суммы и разности чисел -1,9 и 0,9; 4) куб разности чисел 6 и 8. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Найдите значение выражения: 1) 2дг - 3 при X = 4; 0; -3; 2) 7 + Т ^ при <2 = -6, ^ = 16; 3 4 3) Ът -Ъп + Ък при т = -7, п = \ ,4, к = -0,1. Вычислите значение выражения: 1) 0,4^ + 1 при у = -0,5; 8; -10; 2) у с - 0,2 0; 2) ^ I; а о 3) а о Готовимся к изучению новой темы 26. Докажите, что: 1) число 5 является корнем уравнения Зх-ь1=21-д:1 2) число -2 не является корнем уравнения х{х -ь 4) = 4. 10 27. Решите уравнение: l)0,3x=9; 2)-2x = 3; 3)15х=0. 28. Раскройте скобки: 1) 2{х-Ъу + 42); 2) -0,4(-5 + 1,5^). 29. Приведите подобные слагаемые: 1) 4(3 + 9(2 - 18(3 + (З; 2) 1,2а - а + h - 2,lb. 30. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 1) (д: + 3,2)-(д: + 4,5); 2) 1,4(а - 2) - (6 - 2а). 31. Найдите корень уравнения: 1) 2л: - 7 = X + 4; 2) -0,7(5 - л:) = -4,9. Обновите в памяти содержание и. 27, 28 на с. 245, 246. Учимся делать \-- нестандартные шаги 32. Дано 12 натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11. Когда сделаны уроки ^------ Книга о восстановлении и противопоставлении При подготовке к новой теме вы повторили основные свойства уравнений (п. 27, 28 на с. 245, 246). Примечательно, что с одним из этих свойств связано происхождение слова «алгебра». В IX в. выдающийся арабский учёный Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми^ (что означает Мухаммед, сын Мусы, из Хорезма) написал трактат о способах решения уравнений. В те времена отрицательные числа не признавали и называли невозможными, ложными, абсурдными. Поэтому, если при решении уравнений появлялось «ложное число», его превращали в «настоящее», перенося в другую часть уравнения. Такое преобразование Мухаммед аль-Хорезми назвал восстановлением (по-арабски — «аль-джабр»). Уничтожение одинаковых членов в обеих частях уравнения он назвал противопоставлением (по-арабски — «аль-мукабала»). Мухаммед аль-Хорезми ^ Мухаммед аль-Хор>езми( IX в.) — узбекский математик, астроном и географ, в научных работах которого впервые алгебра рассматривалась как самостоятельный раздел математики. 11 Сам трактат носит название «Краткая книга об исчислении восстановления и противопоставления» (по-арабски — «Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-аль-мукабала»). Слово «аль-джабр» со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра». В XII в. труды аль-Хорезми были переведены на латынь. В средневековой Европе имя аль-Хорезми записывали как Algorizmi, и многие правила из его трудов начинались словами Dixit Algorizmi («Алгоризми сказал»). Постепенно стали привыкать, что с этих слов начинаются многие правила, а слово Algorizmi перестали связывать с именем автора. Так возник термин «алгоритм», которым обозначают процесс, даюш;ий за конечное количество шагов решение задачи. С такими процессами вы подробно познакомитесь на уроках информатики. 12 Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной в этой главе вы повторите свойства уравнений, сможете усовершенствовать навыки решения уравнений и задач на составление уравнений. Вы узнаете, что некоторые известные вам уравнения можно объединить в один класс. ^ 2. Линейное уравнение с одной переменной Рассмотрим три уравнения: 2х = -3, 0х= О, Ох =2. Число -1,5 является единственным корнем первого уравнения. Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю, то корнем второго уравнения является любое число. Третье уравнение корней не имеет. Несмотря на существенное различие полученных ответов, приведённые уравнения внешне похожи: все они имеют вид ах = Ь, где х — переменная, а и h — некоторые числа. ^ Уравнение вида ах = Ь, где х — переменная, а и Ь — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной. Приведём ещё примеры линейных уравнений: ^х = 7; -0,4х=2,8; -х=0. Заметим, что, например, уравнения = О, (х - 2)(х — 3) = О, |х| =5 линейными не являются. Текст, выделенный жирным шрифтом, разъясняет смысл термина «линейное уравнение с одной переменной». В математике предложение, раскрывающее суть термина (понятия, объекта), называют определением. Итак, мы сформулировали (или, говорят, «дали») определение линейного уравнения с одной переменной. 1) Если а Ф О, то, разделив обе части уравнения ах = h нг. а, получим X = —. Отсюда следует: если а ^ О, то уравнение ах = Ь имеет един- " ^ Ь ственныи корень, равный — . 13 2) Если а = О, то линейное уравнение приобретает такой вид: Ох = h. Тогда возможны два случая: ^ = О или h ^ 0. В первом случае получаем уравнение Ох = 0. Отсюда; если а = 0 и Ь = = о, то уравнение ох = Ь имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем. Во втором случае, когда Ь ФО, при любом значении х получим неверное равенство Ох = Ь. Отсюда: если а = 0 и Ь фО, то уравнение ах = Ь корней не имеет. Подведём итог приведённых рассуждений в следующей таблице. Значения а\лЬ а Ф 0 а = 0, Ь = 0 а = 0, Ь Ф 0 Корни уравнения ах = Ь Ь X = — а X — любое число корней нет Пример 1. Решите уравнение: 1) (3x-f-2,l)(8-2x) = 0; 2) \5х - 6\ =4. Решение. 1) Вы знаете, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и наоборот, если хотя бы один из множителей равен нулю, то и произведение равно нулю. Поэтому для решения данного уравнения достаточно решить каждое из уравнений: Зх+2Л =0, 8-2х=0. Отсюда х = -0,7 или х=4. Ответ: -0,7; 4. 2) Учитывая, что существуют только два числа, -4 и 4, модули которых равны 4, получаем: 5х - 6 = 4 или 5л: - б = -4. Отсюда х=2 или X = 0,4. Ответ: 2; 0,4. ◄ Обратим ваше внимание на то, что рассмотренные уравнения не являются линейными, однако решение каждого из них сводится к решению линейного уравнения. Пример 2. Решите уравнение: \) {а - \)х = 2\ 2) {а + 9)х = а + 0. 14 Решение. 1) При а=\ уравнение принимает вид Ojt = 2. В этом случае 2 корней нет. При \ получаем: х = ^—- . Ответ: если а = \, то уравнение не имеет корней; если а Ф 2 то X =----. а -1 2) При <2 = -9 уравнение принимает вид Ох = 0. В этом случае корнем уравнения является любое число. При а Ф -9 получаем: х = 1. Ответ: если а - -9, то х — любое число; если а Ф -9, то х = 1. ◄ 1. Какое уравнение называют линейным уравнением с одной переменной? 2. Сколько корней имеет линейное уравнение ах = Ь, если: ^) а фО] 2) а = 0, Ь фО] Ъ) а = Ь = 01 Упражнения 34. 35. 36. 37. 38. Какие из данных уравнений являются линейными: 1) Зх = 6; 3) х^ = 4; 2) X = 4; 4) |х| = 2; Решите уравнение: 1) 18 - 16х = -30х- 10; 2) -7х-ь2 = 3х- 1; 3) 10-2х= 12+х; Найдите корень уравнения: 1) 10х-н7 = 8х-9; 5) - = 2; X 6) = 7) X = 0; 8) Ох = 8? 4) 6х- 19 = -2х- 15; 5) 0,2х-ь 3,4 = 0,6х - 2,6; 6) -х-И2 = -х-2. ’ 6 4 3) 2,7-Ы,9х=2х-Ы,5; 4) —х + 13 = ^х + 8. ’ 18 12 2) 20 - Зх = 2х - 45; Докажите, что: 1) корнем уравнения 4(х - 5) = 4х - 20 является любое число; 2) уравнение 2^ - 8 = 4 -ь 2^ не имеет корней. Решите уравнение: 1) -3(х-4) = 5х- 12; 2) (16х-5) - (3-5х) = 6; Решите уравнение: 1) 4(13 - Зх) - 17 = -5х; 2) (18 - Зх) - (4 + 2х) = 10; 3) 26 - 4х = Зх - 7(х - 3); 4) -2(3 - 4х) 4- 5(2 - 1,6х) = 4. 3) 14 - X = 0,5(4 - 2х) -н 12; 4) 4х- 3(20 -х) = 10х- 3(11 +х). 15 оо V 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. Решите уравнение: 1) 0,8 - (1,5х - 2) = -0,8 + 4,5х; 2) 0,бд: - 5(0,3х + 0,2) = 0,5(х - 1) - 0,8; 3)if2^ + 7Vif2 7[8^ 4(9^ 4) ^(5,4-8,1г/) = 0,03 +^(6,8-3,4г/). Найдите корень уравнения: 1) 0,9л: - 0,6(х - 3) = 2(0,2j>: - 1,3); 2) -0,4(3х -1)4- 8(0,8х - 0,3) = 5 - (3,8х 4); 3) у(0,56 - 4,2г/) + 0,4 = ^(0,52 - 6,5г/). Решите уравнение: 1) 8(7х- 3) =-48(Зх+ 2); Чему равен корень уравнения: 1)-36(6д:-ь 1) = 9(4-2дг); Решите уравнение: 1) {4х- 1,6)(8-нх) = 0; 2) 4,5(8х 4-20) = 6(6х-н 15). 2) 3,2(3х - 2) = -4,8(6 - 2х)? 3) (Зх-2)| 2) х{5 - 0у2х) - 0; Решите уравнение: 1) (1,8-0,3^)(2^-н9) = 0; Решите уравнение: .4 5х - 4 _ 1бх + 1 , 04 ; 2 “ 7 ’ Найдите корень уравнения: = 0; 4) (2х+ 1,2)(х+ l)(0,7x-0,21) = 0. 2) (5^-н4)(1,1^-3,3) = 0. 4у + 33 _ 17 +г/ 1) 5т + 5 5т + \ 2) 5л: + 3 2 л; - 5 4 3 '5 Чему равен корень уравнения: 8 1 \ 2лг 5х__OQ. Решите уравнение: ^6 18 ” ^ ’ 04 X л: _ 7 . ^6 8 “ 36 ’ 04 ^ X _ 15 ^ 7 4 “ 14 04 Зл: 4 _ л: р ' 10 15 “ 6 ■ ^ 8 12 При каком значении переменной: 1) значение выражения 4л: - 0,2(8x - 7) равно -22,6; 2) выражения 0,2(3 - 2у) и 0,3(7 - 6у) + 2,7 принимают равные значения; 3) значение выражения 0,6г/ на 1,5 больше значения выражения 0,3(^ - 4); 16 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 4) значение выражения 5л: - 1 в 5 раз меньше значения выражения 6,5 + 2л:? При каком значении переменной: 1) выражения 6 - (2х - 9) и (18 + 2л:) - 8(л: - 3) принимают равные значения; 2) значение выражения -4(2^ - 0,9) на 2,4 меньше значения выражения 5,6 - 10:у? Решите уравнение: 1) |л:| -Нб= 13; 2) |л:| -7 = -12; 3) 7|л:| -3 = 0; Решите уравнение: 1) |л:| -8 = -5; 2) |х| -ь5 = 2; 4) |х-5| =4; 5) |9-нл;1 =0; 6) \х-4\ =-2; 7) \Sx + 4\ =2; 8) |2л: + 1| + 13= 14; 9) ||л:| -31 =5. 5) |10л--7| -32 = -16; 6) 11^1 -2| =2. 3) |х+ 121 =3; 4) |8-0,2л:| = 12; При каком значении а уравнение: 1) 5ох = -45 имеет корень, равный числу 3; 2) (а - 4)л: = -5а + 4х - 7 имеет корень, равный числу -6? При каком значении а уравнение: 1) Зах = 12 - X имеет корень, равный числу -9; 2) (5а + 2)х = 8 - 2а имеет корень, равный числу 2? Укажите какое-либо значение Ь, при котором будет целым числом корень уравнения: 1)0,1л:=/7; 2)^л:=21; 3)^х = Ь; 4) Ьх = ^ . Составьте уравнение, которое: 1) имеет единственный корень, равный числу -4; 2) имеет бесконечно много корней; 3) не имеет корней. Найдите все целые значения т, при которых корень уравнения: 1)??2Х=3; 2)(т + 4)х = 49 является целым числом. Найдите все целые значения п, при которых корень уравнения: 1) /1Г = -5; 2) (п - 6)х = 25 является натуральным числом. При каком значении Ь уравнения: 1) 7 - Зл; = 6л: - 56 и л: - 3^ = -35; 2) 2^ - 9/> = 7 и 3,6 -н 5у = 7(1,2-у) имеют один и тот же корень? При каком значении с уравнения: 1) (4л: -ь 1) - (7х +2) = X W \2х - 9 = с ч- 5; 17 2) ]jCX = х + с иб - 3(2х - 4) = -Sx + 4 имеют один и тот же корень? 61. При каком значении а уравнение: l) а\ 2) 2|<з| > |<я|? 12 стра- С_Э Учимся делать \--- нестандартные шаги 78. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра? ^ 3. Решение задач с помощью уравнений Вам неоднократно приходилось решать задачи с помощью составления уравнений. Разнообразие решённых задач является лучшим подтверждением универсальности этого метода. В чём же секрет его силы? Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удаётся записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический. Часто условие задачи представляет собой описание какой-то реальной ситуации. Составленное по данному условию уравнение называют математической моделью этой ситуации. Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приёмы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам ещё предстоит изучить. Найденный корень уравнения — это ещё не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии. 19 Рассмотрим, например, такие задачи. 1) За 4 ч собрали 6 кг ягод, причём каждый час собирали одинаковое по массе количество ягод. Сколько килограммов ягод собирали .за 1 ч? 2) Несколько мальчиков собрали 6 кг ягод. Каждый из них собрал по 4 кг. Сколько мальчиков собирали ягоды? По условию этих задач можно составить одно и то же уравнение 4х = 6, корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче ответ «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй ответ «ягоды собирали полтора мальчика» — нет. Поэтому вторая задача не имеет решений. При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий: 1) по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи); 2) решигь полученное уравнение; 3) выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и записать ответ. Эту последовательность действий, состоящую из трёх шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач. Пример 1. Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за б дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сжоль-ко деталей ежедневно изготавливал рабочий? Решение. Пусть рабочий изготавливал ежедневно х деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно (х - 12) деталей, а всего их должно было быть изготовлено 8(х - 12). На самом деле он изготовил бх деталей. Так как по условию значение выражения бх на 22 больше значения выражения 8(х - 12), то получаем уравнение бх - 22 = 8(х - 12). Тогда бх - 22 = 8х - 96; бх - 8х = -96 + 22; -2х = -74; X = 37. Ответ: 37 деталей. ◄ Пример 2. Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он ехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч? 20 Решение. Пусть велосипедист ехал д: ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал (5 - х) ч. Первая часть пути составляет \Qx км, а вторая — 15(5 -х) км. Имеем; 10х+ 15(5-д;) = 65; 10х-ь75- 15д- = б5; -5х = -10; х=2. Следовательно, со скоростью 10 км/ч он ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч. Ответ: 2 ч, 3 ч. ◄ 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. Упражнения \--- Петя купил 24 тетради, причём тетрадей в линейку он купил на 6 больше, чем в клетку. Сколько тетрадей каждого вида купил Петя? С двух деревьев собрали 65,4 кг вишен, причём с одного дерева собрали на 12,6 кг меньше, чем со второго. Сколько килограммов вишен собрали с каждого дерева? Периметр прямоугольника равен 7,8 см, а одна из его сторон на 1,3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника в 11 раз меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 144 см. Канат длиной 30 м разрезали на три части. Первая часть на 2 м длиннее второй и на 4 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части каната. Тремя крупнейшими озёрами России являются озеро Байкал, Ладожское озеро и Онежское озеро. Общий объём воды, содержащейся в этих озёрах, составляет 24 808 км'^, причём объём воды, содержащейся в Ладожском озере, па 22 707 км^ меньще, чем объём воды озера Байкал, и на 623 км'^ больще, чем объём воды Онежского озера. Сколько кубических километров воды содержится в каждом из этих озёр? В доме 160 квартир трёх видов: однокомнатные, двухкомнатные и трёхкомнатные. Однокомнатных квартир в 2 раза меньше, чем двухкомнатных, и на 24 меньше, чем трёхкомнатных. Сколько в доме квартир каждого вида? Трое рабочих изготовили 96 деталей. Первый из них изготовил в 3 раза больше деталей, чем второй, а третий — на 16 деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий? 21 оо V 87. В трёх цехах завода работает 101 человек. Количество рабочих первого цеха составляет ^ количества рабочих третьего цеха, а количество рабочих второго цеха — 80 % количества рабочих третьего. Сколько человек работает в первом цехе? 88. Велосипедисты участвовали в трёхдневиом велопробеге. Во второй 4 и третий дни они проехали соответственно 120 % и — расстояния, которое они преодолели за первый день. Какой путь они проехали в первый день, если длина всего маршрута составляет 270 км? 89. В 6 больших и 8 маленьких ящиков разложили 232 кг яблок. Сколько килограммов яблок оказалось в каждом ящике, если в каждом маленьком ящике было на 6 кг яблок меньше, чем в каждом большом? 90. В двух залах кинотеатра 534 места. В одном зале 12 одинаковых рядов, а в другом — 15 одинаковых рядов. В каждом ряду первого зала на 4 места больше, чем в каждом ряду второго. Сколько мест в каждом зале кинотеатра? 91. Расстояние между двумя городами мотоциклист проехал за 0,8 ч, а велосипедист — за 4 ч. Скорость велосипедиста на 48 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорость каждого из них. 92. За 2 кг конфет одного вида заплатили столько же, сколько за 3,5 кг конфет другого вида. Какова цена каждого вида конфет, если 1 кг конфет первого вида на 48 р. дороже 1 кг конфет второго вида? 93. Килограмм огурцов на 4 р. дешевле килограмма помидоров. Сколько стоит 1 кг помидоров, если за 3,2 кг помидоров заплатили столько, сколько за 3,6 кг огурцов? 94. В одном баке было в 3 раза больше воды, чем в другом. Когда в первый бак долили 16 л воды, а во второй — 80 л, то в обоих баках воды стало поровну. Сколько литров воды было сначала в каждом баке? 95. На одной полке было в 4 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой полки взяли 5 книг, а на вторую поставили 16 книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было сначала на каждой полке? 96. Сейчас отцу 26 лет, а его сыну — 2 года. Через сколько лет отец будет в 5 раз старше сына? 97. Сейчас матери 40 лет, а её дочери — 18 лет. Сколько лет тому назад дочь была в 3 раза моложе матери? 98. Для школьной библиотеки приобрели 50 орфографических и толковых словарей русского языка на общую сумму 11 000 р. Сколько было куплено словарей каждого вида, если орфографический словарь стоит 200 р., а толковый — 250 р.? 22 99. Предприниматель положил в банк 300 000 р. на два различных вклада, причём по одному вкладу ему насчитывали 7 % годовых, а по другому — 8 % годовых. Через год он получил 22 200 р. прибыли. Какая сумма была внесена на каждый из вкладов. 100. В кассе было 19 монет по 2 р. и по 5 р. на общую сумму 62 р. Сколько монет каждого вида было в кассе? 101. В двух хранилищах было одинаковое количество угля. Когда из первого хранилища вывезли 680 т угля, а из второго — 200 т, то в первом осталось в 5 раз меньше угля, чем во втором. Сколько угля было в каждом хранилище сначала? 102. У Пети и Васи было поровну денег. Когда на покупку книг Петя потратил 120 р., а Вася — 180 р., то у Пети осталось в 2 раза больше денег, чем у Васи. Сколько денег было у каждого мальчика сначала? 103. В одном мешке было в 5 раз больше муки, чем в другом. Когда из первого мешка пересыпали 12 кг муки во второй мешок, масса муки во втором мешке составила ^ массы муки в первом. Сколько килограммов муки было в каждом мешке сначала? В одном контейнере было в 3 раза больше угля, чем в другом. Когда из первого контейнера пересыпали 300 кг угля во второй контейнер, то масса угля в первом контейнере составила 60 % массы угля во втором. Сколько килограммов угля было в каждом контейнере сначала? Одному рабочему надо было изготовить 90 деталей, а другому — 60. Первый рабочий ежедневно изготавливал 4 детали, а второй — 5 деталей. Через сколько дней первому рабочему останется изготовить в 2 раза больше деталей, чем второму, если они начали работать в один день? В одной цистерне было 200 л воды, а в другой — 640 л. Когда из второй цистерны использовали в 2 раза больше воды, чем из первой, то во второй осталось в 3,5 раза больше воды, чем в первой. Сколько литров воды использовали из каждой цистерны? Из двух городов, расстояние между которыми равно 385 км, выехали навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили. Легковой автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, а грузовой — 50 км/ч. Сколько времени ехал до встречи каждый из них, если грузовой автомобиль выехал на 4 ч позже легкового? 108. Из первого села во второе вышел пешеход со скоростью 4 км/ч, а через 1,5 ч после этого из второго села навстречу ему выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через сколько минут после выезда велосипедист встретился с пешеходом, если расстояние между сёлами равно 14 км? 104. 105. 106. 107. 23 109. Расстояние между двумя городами по реке на 55 км меньше, чем по шоссе. Расстояние между городами теплоход проходит по реке за 6 ч, а автобус по шоссе — за 3 ч 30 мин. Найдите скорости автобуса и теплохода, если скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости автобуса. 110. Теплоход прошёл 4 ч по течению реки и 3 ч против течения. Путь, пройденный теплоходом по течению, на 48 км больше пути против течения. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна 2,5 км/ч. 111. Турист плыл 5 ч на плоту по течению реки и 1,5 ч на моторной лодке против течения. Скорость лодки в стоячей воде равна 24 км/ч. Найдите скорость течения, если против течения турист проплыл на 23 км больше, чем по течению. 112. В двух ящиках было 55 кг печенья. Когда из первого ящика перело- „ 1 жили во второй — массы содержащегося в нем печенья, то в первом 3 ящике осталось на 5 кг больше печенья, чем стало во втором. Сколько килограммов печенья было в каждом ящике сначала? 113. В двух корзинах было 24 кг груш. Когда из первой корзины перело- 3 жили во вторую — массы содержащихся в ней груш, то масса груш во второй корзине стала в 2 раза больше массы груш, оставшихся в первой корзине. Сколько килограммов груш было в каждой корзине сначала? 4 114. На трёх полках стояли книги. На первой полке стояло — всех книг, на второй — 60 % всех книг, а на третьей — на 8 книг меньше, чем на первой. Сколько всего книг стояло на трёх полках? 115. В четыре бидона разлили молоко. В первый бидон налили 30 % всего 5 молока, во второй — — того, что в первый, в третий — на 26 л меньше, чем в первый, а в четвёртый — на 10 л больше, чем во второй. Сколько литров молока разлили в четыре бидона? 116. При расселении туристов в палатки оказалось, что если в каждую палатку поселить 6 туристов, то 5 туристам места не хватит, а если расселять по 7 туристов, то 6 мест останутся свободными. Сколько туристов поселили в палатке? 117. При подготовке новогодних подарков для учащихся 7 класса оказалось, что если в каждый подарок положить по 4 апельсина, то не хватит 3 апельсинов, а если положить по 3 апельсина, то останутся лишними 25 апельсинов. Сколько имелось апельсинов для подготовки подарков? 24 118. Рабочий планировал ежедневно изготавливать по 20 деталей, чтобы вовремя выполнить производственное задание. Но он изготавливал каждый день на 8 деталей больше, чем планировал, и уже за 2 дня до окончания срока работы он изготовил 8 деталей сверх плана. Сколько дней планировал рабочий выполнять задание? 119. Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 10 задач. Но он каждый день решал на 4 задачи больше, поэтому уже .за 3 дня до экзамена ему осталось решить 2 задачи. Сколько всего задач планировал решить ученик? 120. В двузначном числе количество десятков в 3 раза больше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет на 54 меньше данного. Найдите данное двузначное число. 121. В двузначном числе количество десятков на 2 меньше количества единиц. Если цифры числа переставить, то полученное число будет 4 в 1 — раза больше данного. Найдите данное двузначное число. 122. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Через 2 ч после начала движения расстояние между ними составляло 30 км. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. 123. Есть два сплава меди и цинка. Первый сплав содержит 9 %, а второй — 30 % цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащий 23 % цинка? 124. Есть два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит 25 %, а второй — 40 % соли. Сколько килограммов каждого расгвора надо взять, чтобы получить раствор массой 50 кг, содержащий 34 % соли? Упражнения для повторения 125. Вычислите значение выражения: 1) -9,6 : 12 - 29 : (-5,8) -н 4 : (-25); 2) -3,4 ■ (4 - 4,6) -ь 12,4 • (-0,8 - 2,2); 3) 4) 0,4- — ’ 20 б4-1,75: -7-3 8 6.3 :1-11-2,6 :f-± |-0,6:(-0,.36). 126. Найдите значение выражения: 1) 14 - 6х, если X = 4; -2; 0; -0,3; ^; О 25 2) + 3, если а = 1\ -2; 0; 0,4; -1 -; 3 3) (2т - \)п, если т = 0,2, п = -0,6. 127. Заполните таблицу, вычислив значение выражения —2>х + 2 для данных значений х. X -4 ■-3 ■ -2 -1 0 4 -Зх + 2 128. Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37, чтобы полученное число делилось нацело на 6? 129. Имеет ли корни уравнение: 1) = 0; 2)х^ = -1; 3) |д:| =дг, 4)|х|=-х? В случае утвердительного ответа укажите их. 130. Может ли быть целым числом значение выражения: 1) X 2) X л: -I-1 Учимся делать \--- нестандартные шаги 131. Найдите все натуральные значения п, при которых значение каждого из выражений п -2, п + 24, /г + 26 является простым числом. 26 Задание «Проверьте себя» № 1 в тестовой форме 1. Вычислите значение выражения 5-4/) при Ь = -2. А) 3 Б) -3 В) 13 Г) -13 2. Найдите значение вырг1жения \т -\-\п , если т = 35, ?г = -18. 5 3 А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 3. Какое из данных выражений является записью разности произведения чисел а и Ь и числа с? А) а - Ьс Б) аЬ - с В) а{Ь - с) Г) {а - Ь)с 4. Среди данных алгебраических выражений укажите целое. А) Б) Ь + 5 В) Ь + 5 Ь-7 ' Ь-7 "'7 5. Найдите корень уравнения 7х + 2 = Ъх - Ь. А) 2 Б) 1 В) -2 Г) -1 6. Какое из уравнений является линейным? А) 2x-f-3 = 0 В) |д:| - 4 = 0 Г) Ь + 5 Б) - = 0 X Г) {х- 1)(д:-2) = 0 X X 7. Решите уравнение “ з” ~ А) 12 Б) 36 В) -6 Г) -1 8. Решите уравнение 2{х - 3) - (х -I- 4) = д: - 10. А) о В) д: — любое число Б) корней нет Г) 10 9. При каком значении а уравнение {а + 4)х = а - Ъ не имеет корней? А) 3 В) о Б) -4 Г) такого значения не существует 10. Известно, что 45 % числа а на. 7 больше, чем ^ этого числа. Найдите число а. А) 36 Б) 45 В) 60 Г) 90 11. Трое рабочих изготовили 70 деталей. Первый рабочий изготовил в 2 раза меньше деталей, чем второй, а третий — на 10 деталей больше, чем первый. Пусть первый рабочий изготовил х деталей. Какое из данных уравнений соответствует условию задачи? А) дч- 2дч- 2jc + 10 = 70 Б) X-ь 2д-ь д-н 10 = 70 В) д -н 2д + 2д - 10 = 70 Г) д + 2д -н д - 10 = 70 27 “X V. 12. На первом участке было в 4 раза больше кустов малины, чем на втором. Когда с первого y^iacTKa пересадили на второй 12 кустов, то на втором участке стало в 2 раза меньше кустов малины, чем на первом. Пусть на втором участке было сначала х кустов. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? А) 2(4х- Щ=х+12 Ъ) 4х+ \2 = 2{х- 12) Б) 2{4х +12)=х-и Г) 4x- 12 = 2(д:-н 12) \ Итоги главы 1 Выражение с переменной Запись, состоящую из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением. Алгебраические выражения 1) Числовые выражения. 2) Выражения с переменными (буквенные выражения). Целое выражение Выражение, не содержащее деления на выражение с переменными, называют целым выражением. Линейное уравнение с одной переменной Уравнение вида ах = Ь, где х — переменная, аи Ь — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной. Схема решения задач на составление уравнений 1) По условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи). 2) Решить полученное уравнение. 3) Выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и записать ответ. 28 "X. Решение линейного уравнения с одной переменной Значения а\л Ь а^О й = 0, 6 = 0 а = 0,Ьф0 Корни уравнения ^ OJC = Ь Ь X = — а X — любое число корней нет 29 Глава 2. Целые выражения в этой главе вы научитесь упрощать выражения, познакомитесь с формулами и приёмами, помогающими облегчить работу по преобразованию выражений. Вы узнаете, что возведение числа в квадрат и куб — частные случаи нового арифметического действия. Вы научитесь классифицировать алгебраические выражения. ^ 4. Тождественно равные выражения. Тождества Рассмотрим две пары выражений: 1) х’ - д: и - 5х; 2) 2(х- 1) - 1 и 2х- 3. В следующих таблицах приведены значения этих выражений при некоторых значениях переменной х. X -2 -1 0 1 2 х'’ - X -30 0 0 0 30 бх"* - 5х -30 0 0 0 30 X -2 -1 0 1 2 2(х - 1) - 1 -7 -5 -3 -1 1 2х - 3 -7 -5 -3 -1 1 Мы видим, что эти значения совпадают для каждой отдельно взятой пары выражений. Сохранится ли подмеченная закономерность при любых других значениях X? Для выражений, записанных в первой таблице, ответ на этот вопрос отрицательный: если, например, х = 3, то х^ - х = 3® - 3 = 240, а 5х^ - 5х = = 5 • 3» - 5 • 3 = 120. А вот значения выражений, записанных во второй таблице, совпадают при любых значениях х. Докажем это. 2(х -1)-1=2х-2-1 = 2х-3, то есть после упрощения выражение 2(х - 1) - 1 «превратилось» в выражение 2х - 3. 30 о Определение Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными. Например, выражения 2{х -1)-1и2г-3 — тождественно равные, а выражения - х и - 5л: тождественно равными не являются. Вот ещё примеры пар тождественно равных выражений: 7 {а + Ь) и 7а -1- 7Ь\ Ъх л- у и у + Ъхг, т^пр и птп^р\ а - {Ь + с) и а - Ь - с. Рассмотрим равенство 7{а + Ь) = 7а + 7Ь. В силу распределительного свойства умножения относительно сложения оно верно при любых значениях переменных а и Ь. 0 Определение Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. Из пары тождественно равных выражений легко получить тождество. Например, все равенства; Ъх + у = у + Ъх\ тп^пр - птп^р', а -{Ь +с) = а- Ь- с являются тождествами. Заметим, что с тождествами вы встречались и раньше. Так, равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел, являются примерами тождеств: а + Ь = Ь + а; (а + Ь) + с == а + {Ь + с); аЬ = Ьа\ {аЬ)с = а{Ьс); а{Ь + с) = аЬ + ас. Найдём значение выражения \\а - Ъа + 2 при а = \ . Конечно, мож- 8 но сразу в это выражение подставить вместо а число — и найти значение 8 31 числового выражения 11-^-3-^ + 2. Однако гораздо удобнее вначале 8 8 привести подобные слагаемые, заменив данное выражение 11а - Ъа + 2 на тождественно равное: 8й + 2. При ^ имеем: 8 • ^ + 2 = 3. 8 8 Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения. Приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок — примеры тождественных преобразований выражений. Упрощая выражение, мы фактически заменяем его на более простое, тождественно равное ему. ^ Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют такие приёмы (методы): • тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть; • тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение; • доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю. Пример 1. Докажите тождество: 1) 2{Ъа + Щ + Ъ{а - 1Ъ) - 1{2а - 7Ь) = -Ъа + ЪЬЬ\ 2) 0,6(х - 5) -ь 0,4(х + 1) = 0,8(х + 2) + 0,2{х - 21); 3) а{Ь - с) + h{c - а) = c{h - а). Решение. 1) Упростим левую часть равенства: 2{Ъа + АЬ) + Ъ{а - 7Ь) - 7{2а - 7Ь) = ^а + ЪЬ + Ъа- 2\Ь - \Аа -ь 496 = = -Ъа -t- 366. Тождество доказано. 2) Упростим левую и правую части равенства: 0,6(х - 5) -ь 0,4(д: ч- 1) = 0,Ъх - 3 + 0,4л: 4- 0,4 = х- 2,6; 0,8(х +2) + 0,2(х - 21) = 0,8д: ч- 1,6 -н 0,2х - 4,2 = х - 2,6. Получили одно и то же выражение. Следовательно, тождество доказано. 3) Рассмотрим разность левой и правой частей: а{Ь - с) + Ь{с - а) - с{Ь - а) = аЬ - ас + Ьс - аЬ - Ьс + ас = 0. Тождество доказано. ◄ Пример 2. Докажите, что равенство {а + 2){а - S) = а^ - 6 не является тождеством. 32 Решение. Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример: указать такое значение переменной (переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется. Например, при а = \ имеем: {а -н 2){а - 3) = {\ + 2)(1 - 3) = -6; _ б = 1 - 6 = -5. Следовательно, данное равенство не является тождеством. ◄ 1. Какие выражения называют тождественно равными? 2. Что называют тождеством? 3. Что называют тождественным преобразованием выражения? 4. Какие тождественные преобразования выражений вы знаете? 5. Какие приёмы используют для доказательства тождеств? 132. Упражнения Какие свойства действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными: 1) аЬ + cd и cd + аЬ; 2) (<2 -1-1)-1-^и<2-1-(1-ь by, Ъ) а • 4b и 4аЬ; 4) {х -I- 2)(д: -ь 3) и (3 -Н jc)(2 -I- х); 5) 7{а -4) и 7а- 28? 133. Является ли тождеством равенство: 1) 2х- 12 = 2(х-6); 2) а - Ь = -{Ь - а); 3) Зш + 9 = 3(w -f 9); 4) (а + b) ■ 1 = а + b; 5) {а + b) ■ О = а + b; 6) {а - а) (Ь + Ь) = 0; 7) За - а = Ъ; д>) 4х + Зх= 7хг, 9) а - {Ь + с) = а - Ь + с: \0) т + {п - к) = т + п - k\ П) 4а-{За-Ъ) = а + Ъ\ 12) {а - Ъ){а -ь 3) = (5 - а){3 -ь я)? 134. Являются ли тождественно равными выражения: 1) 8(<2 - ^ -I- с) и 8<2 - 86 -ь 8с; 2) -2{х - 4) и —2х - 8; 3) {5а - 4) - {2а - 7) и За - 11? 135. Сравните значения выражений а^и \а\ при а = -1; 0; 1. Можно ли утверждать, что равенство а^ = \а\ является тождеством? 136. Какому из данных выражений тождественно равно выражение -За -I- 86 - а - 116: 1)-4а-нЗб; 2)-За-н 36; 3)-4а - 36; 4)-За - 36? 137. Среди выражений -10а + 7; -10а - 7; -14а + 7; -14а - 7 найдите выражение, тождественно равное выражению -12а -f (7 - 2а). 33 138. 139. оо V Докажите тождество: 1) -5х-6(9-2х) = 7х-54; 2) I (12 - О, Ьу) + 0,3^ = О, \у + 4; 3) 3(7 -а)- 7(1 - Ъа) = 14 + ISa; 4) (блг - 8) - 5х - (4 - 9х) = 10х - 12; 5) 3(2,1ш -п) - 0,9(7/тг + 2п) = -4,8гг; 6) |^-|•^ + 6 ^38 6 24-1^х = 0. Докажите тождество: 1) -0,2(46 - 9) + 1,46 = 0,66 + 1,8; 2) (5а - 36) - (4 + 5а - 36) = -4; 3) 5(0,4г - 0,3) + (0,8 - 0,6х) = 1,4г - 0,7; 4) 1(?,у-21)-%{^у-\,ьу\у. 140. Какие из данных равенств являются тождествами: 1) (2а - 36)2 ^ (3/, _ 2^)2; 5) |«2 + 4| = ^2 + 4- 2) (а - bY = (6 - а)^\ 6) |а + 6| = \а\ + |6|; 3) |а + 5| = а + 5; 7) |а - 11 = |а| - 1; 4) I а - 61 = 16 - а I; Н) - Ь^ = {а - 6)2? 141. Запишите в виде равенства утверждение: 1) сумма противоположных чисел равна нулю; 2) произведение данного числа и числа 1 равно 1; 3) произведением данного числа и числа -1 является число, противоположное данному; 4) модули противоположных чисел равны; 5) разность противоположных чисел равна нулю. Какие из этих равенств являются тождествами? 142. Докажите тождество: 1) 4(2 - Sm) - (6 - ш) - 2(3т + 4) = -17т - 6; 2) а -I- 6 - 10а6 = 2а(3 - 6) - Зб(а - 2) - 5(а6 + а -ь 6); 3) 6(5а - 3) -I- (10 - 20а) - (6а - 4) = 5а - (За - (2а - 4)). 143. Докажите тождество: 1) (Зт - 7) • 0,6 - 0,8(4т - 5) - (-1,7 - 1,4т) = 1,5; 2) 7а(3б + 4с) - За^б + 9a{2b + Зс). 144. Докажите, что не является тождеством равенство: \) {а + 3)2 = а2 -к 9; 2) (6-1) (Ь+\) = (Ь- 1)6-ь 1; 3) (с+ 1)^ = с''-Ы; 4) \т\ - \п\ = \п\ - \т\ 34 145. Докажите, что не являются тождественно равными выражения: 1) 4 - и (2 - mY\ 2) \-т\ и ттг; 3) + 8 и (ти + 2) {тп^ + 4). Упражнения для повторения 146. 147. 148. 149. 150. Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 ч. Если одновременно с этих станций выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 8 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние между станциями? Фермер выращивал гречиху на двух участках общей площадью 24 га. На одном участке он собрал по 8 ц гречихи с гектара, а на втором — по 9 ц с гектара. Сколько всего центнеров гречихи собрал фермер, если со второго участка он собрал на 46 ц гречихи больше, чем с первого? Известно, что а > О, а + Ь < Сравните: 1) ^иО; 2) \а\ и \Ь\. Цену товара сначала увеличили на 50 %, а потом уменьщили на 50 %. Увеличилась или уменьшилась и на сколько процентов начальная цена товара? На сколько процентов увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2008 год, если в 1995 году таких театров было 138, а в 2008 году — 161? Ответ округлите до десятых процента. d-J Учимся делать нестандартные шаги 151. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 10. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными? ^ 5. Степень с натуральным показателем Как вы знаете, в математике придумали способ коротко записывать произведение, все множители которого равны. Например, | ‘ | ‘ | | Выражение называют степенью, число - — основанием степе- ни, а число 3 — показателем степени. 35 © Определение Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1у называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. Степень с основанием а и показателем п обозначают а” и читают: «а в n-vL степени». Степени с показателями 2 и 3 можно прочитать иначе: запись читают «а в квадрате», запись — «<з в кубе». Обратите внимание, что в определении степени на показатель п наложено ограничение гг > 1. И это понятно: ведь не принято рассматривать произведение, состоящее из одного множителя. А может ли показатель степени быть равным 1? Ответ на этот вопрос даёт следующее определение. © Определение \-------------------- Степенью числа а с показателем 1 называют само это число. Замечание. Это определение позволяет любое число считать степенью с показателем 1. Итак, из приведённых определений следует, что аР = аа ■ ... а, где гг > 1, п множителей |1 - a^ = а. Легко подсчитать, что, например, 2^ = 32. В таких случаях говорят, что число 2 возвели в пятую степень и получили 32. Также можно сказать, что выполнили действие возведения в пятую степень числа 2. Равенство (-3)‘^ = 9 означает, что число -3 возвели в квадрат и получили 9, а равенство (-3)^ = -27 означает, что число -3 возвели в куб и получили -27. Заметим, что алгебраическое выражение может быть сконструировано не только с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, но и с помощью действия возведения в степень. Очевидно, что если а > О, то а” > 0; если <з = 0, то 0” = 0. Итак, при возведении неотрицательного числа в степень получаем неотрицательное число. При возведении отрицательного числа в степень возможны два случая. Если показатель степени — чётное число, то при возведении в степень множители можно разбить на пары. Например, {-2)« = ((-2) (-2)) • ((-2) (-2)) ■ {(-2) (-2)). Зв Если же показатель степени — число нечётное, то один множитель останется без пары. Например, (-2)^= ((-2) (-2)) • ((-2) (-2)) • (-2). Поскольку каждые два отрицательных множителя в произведении дают положительное число, то верно следующее утверждение. 0 При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число. Можно ли, например, число 5 возвести в степень О или в степень —2? Можно. Как это сделать, вы узнаете в следующем учебном году. Пример 1. Решите уравнение {х - 10)® = -1. Решение. Так как при возведении в степень с чётным показателем любого числа, кроме 0, получаем положительное число, то данное уравнение не имеет коней. Ответ: корней нет. ◄ Пример 2. Докажите, что значение выражения 10^°® -I- 2 делится нацело на 3. Решение. Запись значения выражения 10^^® состоит из цифры 1 и двухсот цифр о, а запись значения выражения 10^®*^ -ь 2 — из цифры 1, цифры 2 и ста девяноста девяти цифр 0. Следовательно, сумма цифр числа, являющегося значением данного выражения, равна 3. Значит, само это число делится нацело на 3. ◄ Пример 3. Докажите, что значение выражения 9" - 1 делится нацело на 10 при любом чётном значении п. Решение. Если п — чётное число, то выражение 9” можно представить в виде произведения, содержащего чётное число девяток. Тогда можно записать 9" = (9 • 9)(9 • 9)...(9 • 9). Поскольку 9 • 9 = 81, то последней цифрой значения выражения (9 • 9)(9 • 9)...(9 • 9) является единица. Поэтому последней цифрой значения выражения 9” - 1 является нуль. Следовательно, значение выражения 9” - 1 делится нацело на 10 при любом чётном значении п. < 1. Что называют степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1? 2. Как читают запись: а”; а^\ а^1 37 3. Что называют степенью числа а с показателем 1? 4. Чему равно значение выражения О” при любом натуральном значении п1 5. Какое число, положительное или отрицательное, получают при возведении в степень положительного числа? 6. Каким числом, положительным или отрицательным, является значение степени отрицательного числа, если показатель степени является чётным числом? нечётным числом? 152. 153. Упражнения Прочитайте выражение, назовите основание и показатель степени: 1) 9<^; 3) 0,35; 5) (_о,б)»; 7) 73>; 2) 2,4’; 4) (-8)2; 6) (-а)"-, 8) (Ьр)'К Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью: 6) у у ■ ...-у- 1) 5.5.5.5; 2) (-7) • (-7) . (-7); Ъ) а ■ а ' а ’ а ’ а\ 4) 2т • 2т • 2т • 2т • 2т\ 10 множителей 7) о,4-о,4 •...•0,4; k множителей 8) С ■ С • ■ С . т множителей 154. Пользуясь определением степени, представьте в виде произведения степень: 1) и®; 3)1-i 5) (-3,6)’; 6) {а + Ь)^. 155. 156. 2) 0,1-^; 4) (5с)3; Найдите значение выражения: 1) 25; 3) 1,55; 5) 2) 0,62; 4) Q6; 6) (-1)12; Выполните возведение в степень: 1) 72; 3) 1,22; 5) (-0,8)*; 4)(-1)’: 2) 0,5*; 6)l5h 7) I f Ь 7) |-fj; 8) I -Ц) 38 157. Заполните таблицу. а 2 -2 10 -10 ОД -ОД 1 2 1 2 «2 «4 158. Заполните таблицу. а -6 6 -0,4 0,4 3 0,03 1 2 -1 0 10а^ (10(3)2 159. Площадь острова Сахалин — самого большого острова России — составляет 7,64 ■ 10'^ км^. Выразите эту площадь натуральным числом в квадратных километрах. 160. Расстояние от Земли до Солнца равно 1,495 • 10** м. Выразите это расстояние натуральным числом в метрах. 161. Площадь материков и островов Земли составляет 1,49 • 10^км‘^, а площадь океанов — 3,61 • 10^ км^. Выразите эти площади натуральными числами в квадратных километрах. 162. Вычислите: 1) 82-ПО; 3) (4,2-3,8)4.252; 2) 0,3 • 24; 4) (б'^ : 200 - 0,42) . q,21 163. Вычислите: 1)4-из5; 2)0,63-0,4^; 3)0,12-54. 164. Найдите значение выражения: 1) - х^, если X = 0,1; 2) \ Ьа^, если а = 0,4; 3) {х - yY, если X = 0,8, у = 0,6; 4) а^Ь^, если а = 0,6, h = 0,5; 5) (х2 - у^) : (х - у), если х = Ъ, у = 6) (х2 - г/2) : X - у, если х = 5, г/ = 3; 7) х2 - ^2. - у), если X = 5, у = 3; 8) х^ - у^: X - у, если х = Ъ, у = ?>. 39 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. оо V Найдите значение выражения: 1) 16 - с^, если с = 2; 2) (16л:)®, если х = 0,125; 3) если а = 10, = 0,1; 4) - а, если а = 3. Не выполняя вычислений, сравните: 1) (-5,8)2 и 0; 3) (-12)’и (-6)'*; 2) о и (-3,7)3; 4)_88и(-8)3; Не выполняя вычислений, сравните: 1) о и (-1,9)10; 3) (-0,1)12 и (-12)25; 5) (-17)0 и 17®; 6) (-34)5 и (-39)5, 2) о и (-76) 15. 4)1-4^ И -4 Сравните с нулём значения выражений: 2^0; (_2)i^^; -(-2)Ю0. Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения? Сравните с нулём значения выражений: (-5)Ю1. _(_5)ioi Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения? Верно ли равенство: 1) 32 + 42 = 72; 3) 12 + 32 + 52 + 72 + 92 = 132; 2) 52 + 122 = 132; 4) (1 + 2 + 3)2 = 15 + 23 + Зз? Докажите, что 12 + 22 + 42 + 62 + 82 = Ц2. 172. Расположите в порядке возрастания значения выражений: 1) 0,3; 0,32; 0,33. 2) -0,4; (-0,4)2; (_од)3. 173. Сравните с нулём значение выражения: 1) (-4)’• (-12)0; 3) (-14)4. (-25)14; 2) (-5)0 . (-17)11; 4) . q6 174. Сравните с нулём значение выражения: 1) (-2)14 . (_3)15 . (_4)1б. 2) (-5)1’ • (-6)13 175. Запищите: 1) числа 16; 64; 256 в виде степени с основанием 4; 2) числа 0,09; 0,027; 0,00243 в виде степени с основанием 0,3. (-7) 19 8 176. Представьте число: 1) 10 000; 2) -32; 3) 0,125; 4) -0,00001; 5) 343 в виде степени с показателем, больщим 1, и наименьшим по модулю основанием. 177. Составьте числовое вырг1жение и найдите его значение: 1) квадрат разности чисел 7 и 5; 2) разность квадратов чисел 7 и 5; 3) куб суммы чисел 4 и 3; 4) сумма кубов чисел 4 и 3. 40 178. <> 179. 180. 181. 182. 183. 184. 185. 186. \____ 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8; 2) куб разности чисел 9 и 8; 3) сумма квадратов чисел 2,5 и 0,25; 4) квадрат суммы чисел 7,8 и 8,2. Сколько в 1 км содержится: 1) метров; 2) сантиметров; 3) миллиметров? Ответ запишите в виде степени числа 10. Скорость света в вакууме равна 300 000 км/с. 1) Запишите эту величину, используя степень числа 10. 2) Выразите скорость света в метрах в секунду; запишите результат, используя степень числа 10. Сколько в 1 м^ содержится: 1) квадратных дециметров; 3) квадратных миллиметров? 2) квадратных сантиметров; Ответ запишите в виде степени числа 10. Какие из чисел -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения: 1) д:^ = 1б; 3)x^ + x=2; 2) = -243; А) = 6х? При каком значении х равно нулю значение выражения: 1) (2х - 3)2; 2) {X + 4)^ 3) {6х - 1)^? Решите уравнение: 1) х’«=-1; 2) (х-5)'‘ = -1б. При каких натуральных значениях п верно неравенство 8 < 3” < 85? При каких натуральных значениях т верно неравенство 0,07 < 0,4"* < 0,5? Докажите, что выражение + {х — 1)2 принимает только положительные значения. Докажите, что выражение (х -Ь 1)2 -Ь \х\ принимает только положительные значения. Докажите, что не имеет положительных корней уравнение: 1) 2д2 + 5х -н 2 = 0; 2) + 3xV 4x2 -ь Зх -н 1 = 0. Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение: 1) Х^ - 5х^ -I- 6x2 - 7х -I- 5 = 0; 2)х^+х^+\=х'^ + х^ + х. При каких значениях х и ^ верно равенство: 1) х^ -ь ^2 ^ 0; 2) (х - 1)4 -ь -ь 2)® = о? При каких значениях х му верно равенство х^ + (^ - 3)2 = 0? При каком значении переменной данное выражение принимает наименьшее значение: 1)х2-ь7; 2) (х- 1)4-н 16? 41 194. 195. 196. При каком значении переменной данное выражение принимает наибольшее значение: 1) 102) 24 - (X-h 3)6? Докажите, что значение выражения: 1) 101*61 ^ ЮЗ*®'*! делится нацело на 2; 2) 16^ + 156 - Цб делится нацело на 10; 3) 10*6-7 делится нацело на 3; 4) б” - 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении п. Докажите, что значение выражения: 1) 10*66 ^ g делится нацело на 9; 2) 111" - 6 делится нацело на 5 при любом натуральном значении п. Упражнения для повторения ^------------ 197. Вычислите значение выражения: з|-1,3-7,2.|-9,1:3,5]:|. 198. К слитку сплава массой 400 кг, содержащего 15 % меди, добавили 25 кг меди. Каким стало процентное содержание меди в новом слитке? 199. В одном мешке было 80 кг сахара, а в другом — 60 кг. Из первого мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из второго, после чего во втором мешке осталось сахара в 2 раза больше, чем в первом. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка? 200. Решите уравнение: 1) 9(2х - 1) - 5(11 - Л-) = 3(х -ь 4); 2) Ьх - 26 = \2х - 7{х - 4). 201. Известно, что одно из чисел а, Ь и с положительное, второе — отрицательное, а третье равно нулю, причём \а\ = - с). Установите, какое из чисел является положительным, какое отрицательным и какое равно нулю. Готовимся к изучению новой темы 202. Сравните значения выражений: 1) 22 - 2^H 26; 2) 42.4* и 46; 3) (36)2 и 36. 4) И15 .12 5) 5-6.2-6 и (5 • 2)6; 6) (0,25-4)2 и 0,252.42. 42 CI3 Учимся делать \--- нестандартные шаги 203. В некотором городе с любой станции метро можно проехать на любую другую станцию (возможно, с пересадками). Докажите, что существует станция, которую можно закрыть (без права проезда через неё), и при этом с любой из оставшихся станций можно будет проехать на любую другую. ^ 6. Свойства степени с натуральным показателем Рассмотрим произведение двух степеней с одинаковыми основаниями, например а^а^. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а\ = {аа) • {ааааа) = ааааааа = сР. Значит, сР(Р = Аналогично легко убедиться в том, что, например, • сР - = а^, а • сР = ■= Прослеживается закономерность: где тип — произ- вольные натуральные числа. Однако никакое количество конкретных примеров не может гарантировать, что приведённое равенство верно для любых натуральных тип. Истинность его можно установить только путём доказательства. В математике утверждение, справедливость которого устанавливается с помощью доказательства, называют теоремой. @ Теорема 6.1 Для любого числа а и любых натуральных чисел тип справедливо равенство: а^аГ = а"* + ” Доказательство. Для m > 1 и п > 1 имеем: . -а)[аа • ... ■ а) = аа а = а _ ^,т+п т множителей я множителем т + п множителем Если, например, m = 1 и п > 1, то: а ■ а” = а ' [аа • ... • а) = аа — лП + 1 а = а п множителей и + 1 множителей Слу^1аи, когда m > 1 и п = 1 или когда т = п = 1, рассмотрите самостоятельно. ◄ 43 Тождество = <2'” + " выражает основное свойство степени. Аналогичное свойство имеет место для произведения трёх и более степеней. Например, 32 • 3^^ • 3^ = (З2 • 3^) • 3^ = 32'*'^ • 3^ = 3^2 + 3)+ 7 _ ?^2 + 3 + 7 _ <^12 Итак, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют прежним. Рассмотрим выражение : а^, где а ^ 0. Оно является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Так как а'^ • аР = a^, то по определению частного можно записать = а^, то есть : <2^ = <з Этот при- мер подсказывает, что имеет место такая теорема. О Теорема 6.2 \----------------- Для любого числа а, отличного от нуля, и любых натуральных чисел тип таких, что т > п^ справедливо равенство: а*” \ а” = а"*"”. Доказательство. Рассмотрим произведение степеней а" и а'""". Используя основное свойство степени, имеем; . а"'"" = + ("»-«) = а'^ + т-п ^ Тогда по определению частного: ◄ Из этой теоремы следует такое правило: при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним. Рассмотрим выражение {а^У. Оно является степенью с основанием и показателем 4. Поэтому {а^У = = ^з + з + з + з ^ ^з • 4 ^ ^\2 Этот пример подсказывает следующую теорему. ® Теорема 6.3 \----------------- Для любого числа а и любых натуральных чисел тип справедливо равенство: {a^*^y = а"*”. Доказательство. Очевидно, что для п = \ доказываемое равенство верно. Для п > 1 имеем: 44 п (inaiaeMbix {а^ Г = •... • а'" = п множителей Из этой теоремы следует такое правило; при возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют прежним. Например, (3^)2 = 3^'^ = Зl^ (V)^ = а^-^ = Покажем, как можно преобразовать степень произведения, например выражение {abY'. (аЬ)^ = (аЬ) • (аЬ) • (аЬ) = (ааа) ■ (bbb) = а^Ь'^. В общем случае справедлива следующая теорема. Й Теорема 6.4 \------------------ Для любых чисел а и 6 и любого натурального числа п справедливо равенство: (аЬ)** = Доказательство. Очевидно, что для п = \ доказываемое равенство верно. Для п> \ имеем: {аЬу = {аЬ) • {аЬ) ■... • {аЬ) = [аа •... ■а)[ЬЬ-... • Ь) = < п множителей п множителей п множителем Аналогичное свойство имеет место и для произведения трёх или более множителей. Например, {abcY = {{cib) • с)” = {abY • = а'^Ь'^с”. Итак, при возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают. Пример 1. Упростите выражение: 1) 2) 3) {-a'^Y- Решение. 1) Применив последовательно правило возведения степени в степень и правило умножения степеней с одинаковым основанием, получим: {a^Y • {^^'Y = 2) Так как —а'* = —1 • то, применив правило возведения произведения в степень, получим: {-a^Y = (-1 . «4)9 ^ (_1)9 . (д4)9 = _1 . ^36 ^ _^36 3) Имеем {-a^Y = ("1 • a'^Y = {-lYi^^Y = 1 • < Пример 2. Представьте в виде степени выражение 216<2^^®. Решение. Имеем: 216а^Ь^ = 6^ • • {b'^Y = {^ab^Y- ^ 45 Пример 3. Найдите значение выражения [ ^ ^ ] ‘ [ 4 1 • Решение. 1- 3 -t 4 3 3 ’ 4 16 Пример 4. Сравните значения выражений: 1) (-11)^^ • (-П)Зи 3) 53«и 920; 2) (-12)^9и (-12)15; 4) 16-^ и 652. Решение. 1) Имеем: (-И)!"! • (-ll)ii = (-1 l)i^ < 0. Значит, (-ll)i^ < 0. Вместе с тем (-ll)i® > 0. Следовательно, (-ll)i'i • (-П)^ < 2) Так как |(-12)i^| > |(-12)i5|, а сравниваемые числа отрицательные, то (-12)19 < (-12)15. 3) Так как 5-^9 = (55)Ю = 125in и = (92)19 = SV\ то > 92«. 4) Имеем: IG^ = (42)^ = (4'i)2 = 642. Следовательно, 16^ < 652. ^ Пример 5. Какой цифрой оканчивается значение выражения 219®? Решение. Имеем: 2i99 = (2^1)25 = 162^ Поскольку 6 • 6 = 36, то произведение любых чисел, оканчивающихся на 6, является числом, последняя цифра которого равна 6. Поэтому если число оканчивается цифрой 6, то любая его степень оканчивается цифрой 6. ◄ )1. Запишите тождество, выражающее основное свойство степени. 2. Как умножить степени с одинаковыми основаниями? 3. Как разделить степени с одинаковыми основаниями? 4. Как возвести степень в степень? 5. Как возвести произведение в степень? Упражнения 204. Представьте в виде степени произведение: \) Ъ) у^у^у^\ 9) 2) хх"^\ 6) с^с^с; 10) {аЬ)^ • {аЬУ^\ 3) 7) {h - c)i9 {b - c)9; 11) (2x4- Зг/)9 • (2x4- 3z/)i4; 4) 6« • 65; 8) Ц2 . W • Ц9; 12) (-x^)2 • {-хуУ • (-x^)9. 205. Представьте в виде степени выражение: 1) «5^8; 3) 5) {т 4- пУ^ • (т + п); 2) а^а^-, 4) ad^d^\ 6) {cdy ■ {cdy^ • {cd). 46 206. Замените звёздочку такой степенью с основанием а, чтобы выполня- лось равенство: 1) а б . S(! _ д14. 2) 3) а 10 * = а 18 207. 208. 209. 210. 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219. 220. Представьте выражение в виде произведения двух степеней с основаниями а, одна из которых равна: 1) 2) а\ 3) 4) ci^\ Представьте в виде степени частное: 1) : «3; 2) : Ь\ 3) : с^; 5) а. 4) {а + h)^ : {а + Ь)"^. Найдите значение выражения: 1)7^: 3) 0,6'» : 0,6^; 2) : 10 114. Выполните деление: 4)1-If 1) т 10 иг 2) 3) Представьте в виде степени с основанием т выражение: 1) 2) 4) (т'^У • Представьте в виде степени с основанием п выражение: 1) (гг2)«; 2) (п^)^; 3) ((«3)2)Ю; 4) Представьте степень в виде произведения степеней: 1) (am 3) (Зс)’; 5) (-0,2^)'*; / Q 2) {тпр)'^\ 4) {-d>xyY\ 6) . Представьте степень в виде произведения степеней: 1) {axY\ 2) {xyzY^-, 3) (7m)8; 4) (-0,36c)ii. Упростите выражение: \) -X • лг2; 3) -X • {-хУ^; 2) (-хУ^ • х; 4) {-х) • (-х)2 • (-JC). Упростите выражение: 1) (-0)2. а 2) -«2 . 3) «2 . (-о)^; 3) (-а'^У • 4) -«2. (-о)З, Упростите выражение: 1) (-0^)2; 2) {-а^У; Упростите выражение: 1) ((-а^УУ-, 2) Представьте в виде степени выражение: 1) а^Ь^; 3) 9т^п^; 5) 2) 4) 64jcY', 6) 0,0001^V Представьте в виде степени выражение: 1) х^2г/12. 3^ 2) -125m^nh 4) 1 000 000 OOOa^b^c^. 47 221. 222. 223. 224. оо V Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника): . 1) 2^ - 2^; 3) 0,2 • 0.22. 5) gis • 2«; 7) 11 ) . 99. 225. 226. 227. 228. 229. 230. 231. 232. 2) (32)3; 4) 0,512.212; 6) (3^)^ : 31^; 8) 2,5^ • 40^. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника): . 1) 22 • 2^; 3) 32.3 • З'З; 5) 7^ • I ^ 1 ; 2) (22)3; 4) 0,3» : 0,3^; 6) 12,5^ • 8^. Найдите в данных примерах ошибки: 1) aW = д12. 4) 32.52^ 154. 7) 3.4»= 12-^; 2) а ■ а = 2а; 5) 22 • ?з= 14^; 8) = {аЬУ\ 3) («3)2 = 6) {2aY = Ъа\ 9) = {аЬ)^. Вместо звёздочки запишите такое выражение, чтобы выполнялось равенство: 1) (*)4 = ^20; 2) (*)2 = с1^ 3) (*)" = 4) (*)’ = где п — натуральное число. Представьте степень в виде произведения двух степеней с основанием а всеми возможными способами. Представьте в виде степени выражение: 1) аРа^', 2) ааР\ 3) с^аР\ 4) («З)”; 5) {pPY • (<2^)”» где п — натуральное число. Представьте в виде степени выражение: 1)24.24; 2)2^^ + 2\ 3)2”-2”; 4) 2”-ь 2”, где п — натуральное число. Представьте в виде степени выражение: 1) ЗЗ-нЗ^-нЗ^; 2) 4^-н 4^ + 4*-ь 4^ где k — натуральное число. Докажите, что если сторону квадрата увеличить в п раз, то его площадь увеличится в раз. Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в т раз? Запишите в виде степени с показателем 2 выражение: 1) 2) дгЗг/1'1; 3) 5) 81с10б/32р ,44 4) Arrv^n 12^16. Запишите в виде степени с показателем 3 выражение: 1) 2) 3) 4) 0,001тЗ«и45. 48 233. 234. 235. 236. 237. 238. 240. 241. 242. 243. 244. TV Представьте в виде степени с основанием 5 выражение; 1) 125®; 2) (25^)2. Представьте в виде степени с основанием -5 выражение; 1) 625®; 2) ((-25)2)3. Представьте в виде степени с основанием 2 выражение; 1) 8^ • 4®; 2) 32 • 16® • 64^. Найдите значение выражения; 714 . (72)3 ^ ^8 3) 1) {вУ ; (6®)3; 2) 83 ; 4^; Вычислите; 1) 100® ; 10002; 2) 31® -(ЗЗ)-(3®)"^ • 3 4) 3) 4) (73)" .72 25З • 1252 510 4З • 1б2 451® 5® ■ 319 ■ 5) 6) 21^ 5® • 4® 20® Вычислите значение выражения; , \9 / ч10 1) б ^ 6 7 2) 514.0,212; 3) 239. Найдите значение выражения; 1) 10® • 0,1' 2) 1,9» 1^ 15 (_8)4и (-8)®; (-6)9 и (-6)13 Сравните значения выражений; 1) (-5)21 . (_5) ^ (_5)24. 3) (_8)5 2) (-7)®. (-7)7 и (-7)17; 4) (_б)з Замените звёздочку такой степенью, чтобы выполнялось равенство; 1) 8 • * = 2®; 2) а” • * = яЗ”+2^ рде J2 — натуральное число. Запишите выражение 32^ в виде степени с основанием; 1) 3З; 2) 312; 3) 9. 4) 81. Запишите выражение 2^1® в виде степени с основанием; 1) 2^; 2) 21®; 3) 8; 4) 64. Решите уравнение; 1)дг7 = б14; 2)л^ = 512. 245. Сравните значения выражений; 1) 23®® и 32®®; 2) 41® и 189; 3) 272® ^ 11З0. 246. Сравните значения выражений; 1) 10^® и 10 ООП®; 3)812 и 59®; 4) 31® . 5® и 15®. 2) 124^1 и 512; 4) OI'Ih 21® • 312. 49 247. 248. 249. 250. 251. 252. Известно, что сумма 625 + 625 + ... + 625 равна 5^®^ Сколько слагаемых в этой сумме? Какой цифрой оканчивается значение выражения [п — натуральное число): 1) 4100; 2) S'!"; 3) 4”; 4) 3”? Какой цифрой оканчивается значение выражения [п — натуральное число): 1) 92"; 2) 3) 72"? Докажите, что значение выражения: 1) 17® -ь 19 делится нацело на 10; 2) 64®^ - 1 делится нацело на 5; 3) 3'!” -I- 14, где п — натуральное число, делится нацело на 5. Докажите, что значение выражения: 1)440-1; 2) 20041^1-I- 17 1 2004 делится нацело на 5. Докажите, что 482^ < 344 Упражнения для повторения 253. 254. 255. 256. 257. {Задача из русского фольклора.) Кум Иван спросил у кума Степана: «Сколько у тебя уток?» Кум Степан ответил: «Уток у меня столько, что как высидят они мне ещё столько утят, да ещё куплю одну утку, да ещё трижды куплю столько, сколько этих уток и утят, то всего будет их у меня 100». Сколько уток было у кума Степана? Один маляр может покрасить комнату за 6 ч, а другой — за 4 ч. Сначала первый маляр работал 2 ч, а потом к нему присоединился второй маляр. За сколько часов была покращена комната? От пристани по течению реки отправилась на лодке группа туристов, рассчитывая вернуться через 4 ч. Скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч. На какое наибольщее расстояние туристы могут отплыть от пристани, если они хотят перед возвращением сделать привал на 2 ч? Рещите уравнение: 1) 2,5 - Зх= 3(JT- 2,5) - 2; 2) 17(2 - Ъх) - Ъ{х+ 12) = 8(1 - 1х) - 34. В щестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13. 50 Готовимся к изучению новой темы 258. Упростите выражение: 1) За • (-1,2); 3) -7а • 9Ь- 2) -0,26 • (-0,5); 4) 2,4л: • 2г/; 5) 6) (-Зс). 4 о 259. Упростите выражение 20т • (-0,3а) и найдите его значение при т = — , а = -4. 12 С—^ Учимся делать нестандартные шаги 260. Трамвайные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Номер называют «счастливым», если сумма трёх его первых цифр равна сумме трёх последних. Докажите, что количество «счастливых» билетов чётно. ^ 7. Одночлены Рассмотрим выражения: 1^.2. 2Ь; -ху^ -аЬ; (3,14)^р<7‘^ ■ Каждое из них представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленам(и. Договорились также считать одночленами все числа, любые переменные и их степени. Например, одночленами являются: -5; 0,3; л:; th 2\ Заметим, что, например, выражения 2а + Ь; д:-1; а : Ь\ у^ + у-2 одночленами не являются, так как они, кроме умножения и возведения в степень, содержат и другие действия. При взгляде на одночлен ЪаЬ'^ |-^|а6с возникает естественное желание его упростить. Имеем: • |-||айс = 3• [-'^ааЬ^Ьс = -2а^Ыс. 51 Полученный одночлен содержит только один числовой множитель, отличный от нуля, стоящий на первом месте. Все остальные множители — это степени с различньши основаниями. Такой вид одночлена называют стандартным видом одночлена. Вот ещё примеры одночленов стандартного вида: Отметим, что, например, выражения • 2Ь^ и -Ъх^ху^ не являются одночленами стандартного вида. Действительно, хотя первое из них и имеет единственный числовой множитель, но он не стоит на первом месте. Во втором — степень с основанием х встречается дваж/;ы. Однако эти одночлены легко привести (преобразовать) к стандартному виду: и -Ъх^ху^ = -Ъо^у^. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени. Так, -2; 3^; х\ — одночлены стандартного вида. Число О, а также одночлены, тождественно равные нулю, например Ох"^, ОаЬ и т. п., называют нуль-одночленами. Их не относят к одночленам стандартного вида. © Определение Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например, коэффициенты одночленов -Ъа^Ьс и 0,07х соответственно равны -3 и 0,07. Вообще, любой одночлен стандартного вида имеет коэффициент. И даже, например, у одночленов х^у и -тп, при записи которых числовой множитель не используется, коэффициентами являются числа 1 и -1 соответственно. И это понятно, ведь х^у = 1 • х^у, -тп = -1 • тп. Рассмотрим одночлены \x^yz и -2zo^y. У них одинаковые буквен- 3 ные части. Такие одночлены называют подобными. К подобным одночленам также относят и числа. Например, 7 и -5 — подобные одночлены. 2 Обратим внимание на то, что, например, у одночленов —x^y^z и -2zx^y буквенные части неодинаковы, хотя и состоят из одних и тех же переменных. Поэтому они не являются подобными. 52 Определение Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, считают равной нулю. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Например, степень одночлена -S,Srn^xy^ равна 10, а степени одночленов и 9 равны соответственно 3 и 0. Рассмотрим два одночлена и \0аЬх. Одночлен ЮаЬх яв- ляется их произведением. Упростим его: • ЮаЬх = • Ю^{аа)ф^Ь)х = Итак, произведение двух одночленов — это одночлен. Его, как правило, записывают в стандартном виде. При возведении одночлена в степень также получают одночлен. Возведём, например, в четвёртую степень одночлен —^xy-^z^. Имеем: Пример 1. Упростите выражение 0,2a^h'^ • {-Ъа^ЬУ. Решение. Имеем: 0,2а2^4 • {-ЪаЩ^ = • (-5)2 • • 2Ъа^Ь^ = = 0,2 • = Ъа^Ь^. ◄ Пример 2. Значения переменных а п Ь таковы, что = 7. Найди- 2 те значение выражения - у . Решение. Имеем: = -1^■ = -^• (4а*6^>' = -if • • 49 = 7 56 56 56 56 8 1. Какие выражения называют одночленами? 2. Объясните, какой вид одночлена называют его стандартным видом. 3. Что называют коэффициентом одночлена? 4. Какие одночлены называют подобными? 5. Что называют степенью одночлена? 53 Упражнения 261. Является ли одночленом выражение: 1) Ъху \ 2) -^а^Ь^с\ Ъ) т + п\ 4) 8; 6m2p 5) 0; 8) 6^; 6) 9) т^т-. 10) 3(^2 - ^2). 11) -2^afl2^3^6. 12) I “1^1 262. Укажите, какие из одночленов записаны в стандартном виде: 1) Ътпт^\ 3) 5) 2) l,4aZ?V; 4) -abc\ 6) • 10. 263. Являются ли подобными одночлены: 1) 5<з и 7а; 3) ^х^у^и Sx^y^; 5) и 2) Ъа^Ь^с и Ьа^Ь^с\ 4) 3^2 ^ 2у^\ 6) -0,1а^6^®и 0,la^/?^®? 264. Запишите одночлен, подобный данному, коэффициент которого в 4 раза больше коэффициента данного одночлена: 1) 1,4л:^^'^; 2) 3) 265. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень: 1) Эа'^аа®; 3) 1а • (-9ас); 5) -5x2 . о, 1x2^ • (-2^); 6) с-М)-с1». 2) Зх • 0,4^ • 6z; 4)-3|m^.W; 266. Представьте одночлен в стандартном виде, подчеркните его коэффициент: 1) bhbh 3) -о, • 4^3 . (-2/^7). 2) 1,5с^б/^ ■ 8c^d^; 4) А,Ъа^Ьс^ \^а!^Ь^с. 267. Найдите значение одночлена: 1) 5x2, если X = - 4; 2) - 4,8а^Ь^, если а = —1, ^ ~ ^ 5 3) 0,04c‘V^, если с = -10, d = 2; 4) если т = -3, п = 5, р = 268. Найдите значение одночлена: 1) Зт^, если т = -3; 2) если а = - у, Ь = 2; 54 5) -^pV'IypV; 6) Ъ^т^п^. 3) 0,Sm^n^k, если m = 0,3, n = ^, k = 2000. 269. Выполните умножение одночленов: 1) 0,6a^b^ • 4a^b\ 4) 0,7xV • 0,3xy; 2) -2,8x2^5 • 0,5x^/’; 3) 13c2ЬаН^ +а-Ъ + а‘ 2b^ - а = ЗаЬ'^ + 2аЬ^ ~^ = + 4й. Рассмотрим многочлен стандартного вида 2х^у - + Ьх^у + у - 2. Он составлен из одночленов: 2х^у; —х^у^\ Ьх^у', у\ -2, степени которых соответственно равны числам 4, 4, 3, 1, 0. Наибольшая из этих степеней равна числу 4. В таком случае говорят, что степень многочлена 2х^у — х^у^ + + Ъх'^у л- у - 2 равна 4. О Определение Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен. Приведём ещё примеры: • степень многочлена Ъх'^ - ху + Ъу^ равна двум; • степень многочлена Ъх^у"^ равна шести; • степень многочлена 3 равна нулю. Число о, а также многочлены, тождественно равные нулю (например, Ой + Ob; д: - д: и т. п.), называют нуль-многочленами. Их не относят к многочленам стандартного вида. Считают, что нуль-многочлен степени не имеет. 1. Что называют многочленом? 2. Какой многочлен называют двучленом? трёхчленом? 3. Что называют подобными членами многочлена? 4. Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? 5. Что называют степенью многочлена стандартного вида? Упражнения 292. Назовите одночлены, суммой которых является данный многочлен: 1) +3/з2-д-1-8; 3) +3t^-4Х + 5; 2) Ох^ - Юх'^у + 1ху^ +у^; 4) \,За^Ь - 3,7д^6^ -н \0аЬ'^ - Ь'^. 293. Найдите значение многочлена: 1) 2х‘^ + X - 3 при д: = о, 5; 2) д:'' + Ъху при X = 3, у = -2; 3) - 2аЬ + при я = - 4, ^ = 6; 4) у^ л- 1у^ - 2у^ - у + \0 при у = -1. 59 оо V 294. Найдите значение многочлена - Ъу'^ +4^-6 при: \)у = \\ 2)^ = 0; Ъ)у = -5. 295. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. Укажите его степень: 1) 4b‘^ +а^ + 9аЬ -18^‘^ - 9аЬ; 4) 0,9с^ + 1Дс^ +с'^ - 0,6с^; 2) 8т^ - 13тп - 9п^ - 8т^ - 2тп; 5) Зх^ + 6х - 5 - - 10х + 3; 3) 2а^Ь - 7аЬ^ - За^Ь + 2аЬ'^; 6) - ЗЬс + 3h‘^ + 8hc - 4b'^. 296. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. Укажите его степень: 1) 5x2 - 10х + 9 - 2х^ + 14х - 20; 2) -т^ + 2т‘^ - 6т^ + \ 2т‘^ - \ 8т^\ 3) 0,2а^ + 1,4й2 _ 2,2 - 0,9а^ + \М + 3; 4) 6x2^ - Х^2 - 8х‘^у + 2x^2 - ху + 7. 297. Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных: 1) -За^ -I- 4а^ + 7а^ - + \2а, если а = -2; 2) х^у - 3x^2 _ + 8x^2^ если X = -1, у = -3; 3) 0,8х'2 - ОЗх" - х2 -н 1,6 + 1,1х - 0,6, если х = 5; 4) -^<22с + -ас^ +-а^с + 1,25ас2, если й = - 4, с = 3. 3 4 6 298. Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных: 1) 2й^ + ЗаЬ - ^2 _ ^ 2^2, если а = 2, Ь = - 2) тп - дтп^ - 8тп - 6m^2, если т = 9,Ъ, п = -2; 3) 10x^2 _ 12x2^ + 9х^у - 9x^2 ^ если ^ ^ = 9. 299. Из одночленов 4й, -ЗаЬ, 7а^, -8а^, 9аЬ, 5а выберите несколько и составьте из них: 1) многочлен стандартного вида; 2) многочлен, содержащий подобные члены; 3) два многочлена стандартного вида, использовав при этом все данные одночлены. Упражнения для повторения 300. Конфеты ценой 70 р. за 1 кг сметали с конфетами ценой 95 р. за 1 кг и получили смесь ценой 80 р. за 1 кг. Сколько конфет каждого вида содержится в 1 кг смеси? 301. На почте продаются 20 разных конвертов и 15 разных марок. Сколько существует вариантов приобретени51 конверта с маркой? 60 СЭР Готовимся к изучению ------- новой темы 302. Какому из данных выражений тождественно равно выражение -9х + (4х - 7): 1) 13Х-7; 2) -5х + 7; 3)-5х-7; 4)13х + 7? 303. Какому из данных выражений тождественно равно выражение -8^-(3^-1): 1)-11^+1; 2)-5i/ + l; 3)-11^-1; 4) -5^ - 1? 304. Упростите выражение: 1) {2а + Ь)-ф- 2а); Ъ) {т + п)- {2т + п)-{т- 4п); 2) (За-4) + (3-5а); 4) (5с - 2) - (6с + 1) + (с - 8). Обновите в памяти содержание п. 24 на с. 245. Учимся делать \--- нестандартные шаги 305. Вокруг звезды вращается несколько планет, расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными. На каждой планете находится один астроном, который изучает ближайшую планету. Докажите, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга. S 9. Сложение и вычитание многочленов Пусть надо сложить два многочлена Зху^ + Ъх^у'^ — 7осу -I- х -f-11 и -2ху^^ + х'^у'^ л- 2ху + у - 2 . Для этого возьмём их в скобки и поставим между ними знак «плюс». Затем раскроем скобки и приведём подобные слагаемые (если таковые имеются). Имеем: (Ъху^ л-Ъх^у"^ -7ху + X + \ \) + [~2ху'^ л-х'^у^ +2ху-\-у -2) = = Ъху^ -I- Ъх^у^ - 7ху -I- л: -ь 11- 2ху^^ + + 2ху + У ~ ^_ = = ху^ + бх^у^ - Ъху + X + У + 9. Полученный многочлен является суммой двух данных многочленов. Пусть теперь требуется из первого из данных многочленов вычесть второй. Для этого каждый из многочленов возьмём в скобки и поставим перед вычитаемым знак «минус». Затем раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. 61 Имеем: [Ъху^ л-Ъх^у^ -1 ху + X + \ \) - [~2ху'^ + х^у^ +2ху + у-2) = = Ъху^‘^ + Ьх^у'^ - 7ху + л: + 11 + 2ху^^ - х^у^ - 2ху -у + 2 = = Ъху^ + ^х'^у'^ - 9ху + X -у + \Ъ. Полученный многочлен является разностью двух данных многочленов. Вообще, при сложении и вычитании многочленов всегда получается многочлен. Пример 1. Докажите, что разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится нацело на 9. Решение. Пусть данное число содержит а десятков и Ь единиц. Тогда оно равно \0а Ь. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно \Qb + а. Рассмотрим разность (10<з + Ь) - (106 + а) = 10а + Ь - 106 - а = = 9а - 96 = 9(а - 6). Очевидно, что число 9(а - 6) делится нацело на 9. ◄ Запись а6 является обозначением двузначного числа, содержащего а десятков и 6 единиц, то есть а6 = 10а -Н 6. Аналогично запись аЬс является обозначением трёхзначного числа, содержащего а сотен, 6 десятков и с единиц, то есть аЬс = 100а + \0Ь + с. Пример 2. Докажите, что разность (а6-1-ас + 6с) - (ба + са + сЬ) делится нацело на 18. __ ___ ___ _____ ___ ___ Решение. Имеем: (а6 -I- ас -I- 6с) - (ба -ь са + сб) = (10а -I- 6 -н 10а -I- с -ь + 106 + с) - (106 + а + 10с + а + 10с + Ь) = (20а -i- 116 -t- 2с) - (20с -i- 116 -ь -t- 2а) = 20а + 116 -f 2с - 20с - 116 - 2а = 18а - 18с = 18(а - с). Очевидно, что число 18(а - с) делится нацело на 18. ◄ Пример 3. Докажите, что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел не делится нацело на 8. Решение. Пусть первое из этих чисел равно 2п, где п — произвольное натуральное число. Тогда следующими тремя числами являются 2п + 2; 2?г -f- 4; 2а -ь 6 соответственно. Рассматриваемая сумма имеет вид 2п + (2а -ь 2) 4- (2а + 4) -н (2а + б) = = Ы+ 12. 62 Первое слагаемое 8/г суммы 8п + 12 делится нацело на 8, а второе слагаемое 12 — не делится. Следовательно, сумма 8и + 12 не делится нацело на 8. ◄ оо \ Упражнения 306. Найдите сумму многочленов; 1) -5х^ - 4 и 8д:‘'^ - 6; 2) 2д: + 16 и -х^ - 6х - 20. 307. Найдите разность многочленов: 1) 4- 8л: и 4 - Ъх; 3) 4л:^ - 7х + 3 и л:^ - 8л: + 11; 2) 2л-^ + 5л: и 4л:^ - 2х; 4) 9т^ - 5т + 4 и -10ш + + 5. 308. Упростите выражение: 1) (5<2‘* + За^Ь - Ь^) - {За‘^ - 4а^Ь 2) {\2ху - \9х^ + 9^2) - (-14л:‘^ 4-9л^-14^2); 3) {laU^-8аЬ + 4а^Ь)+ {\9аЬ-la^b)', 4) (2с^ + Зс) + (-с^ + с) - (с^ + 4с -1). 309. Упростите выражение: 1) (3x2 -2x) + (-x2 +3^). 2) (4с2 -2cd)~ (10с2 + 8сс^); 3) (12ш2 - 7ц - Зтп) - (бтп - 10ц + 14^2); 4) {Зп^ - 2тп + 4т^) - {2тп + Зп^). 310. Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену, чтобы их сумма была тождественно равна нулю: \)а + Ь-, 2) а-Ь; 3) -а-Ь? 311. Решите уравнение: 1) 3x2 _ (2;t‘2 - 8х) - (х2 - з) = х; 2) 12 - (6 - 9х - х2) = х2 + 5х -14; 3) 4у’-(^-8г/)-(6г/ + 3) = 7; 4) (г/2 _ _ 17) _ (01/2 - Зг/ -8) = 1 - ^ - 5г/2. 312. Решите уравнение: 1) (5х2-3)-(2х + 5) = 5х2; 2) х2 - (х +1) - (х2 - 7х + 32) = 3; 3) + 3Z/-8)-(5г/-+ 7) = 2у^ -2у-15. 313. Докажите тождество: 1) (а2 + 62-с2)-(А2+с2-а2) + (с2-а2) = а2-с2; 2) (4-3fl2)-fl2 +(7 + 2ц2)-(-2ц2 +11) = 0; 3) (х'^ + 4x2 ) - + 6) + (1 + X - X-'' ) = 4x2 _ 5 63 314. Докажите тождество: 1) 4а^ - (ба‘^ - 2аЬ) + {ЗаЬ + 2а^) = ЪаЬ\ 2) - 4х^) - {х^ - 9) - (8х® - Ъх^) = х^' + 9. 315. Найдите значение выражения: 1) (5^3-20^2)-(4а^-18^2), если й =-3; 2) 4/?2 - (7/?2 _ з/?с) + (3^2 - 7Z?c), если 6 =-1,5, с = 4. 316. Вычислите значение выражения: 1) (5,7й2-2,1й5 + 62)-(3,9й^-0,Зй2+2Ь2), если й = -1, 6 = 5; 2) {Ът^п-т^)+ Ъп^ -(бт^ -Ът^п), если m = - §, п = ^. 3 16 317. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной, входящей в него: 1) 1,6-7й2-(0,8-4й2) + (Зй2 _о,7); 2) 3x2 _ 9;^ _ (з _ _ (9jj; _ Здг2)) _ 318. Докажите, что значение выражения (2с2 - Зс) -I-1,8 - с2 - (с2 - Зс - 2,2) не зависит от значения переменной, входящей в него. 319. Какой многочлен надо прибавить к трёхчлену 2а^ - 5я -ь 7, чтобы сумма была равна: 1) 5; 2) 0; 3) г/; 4) -2а} 320. Какой многочлен надо вычесть из двучлена 4й^' -8, чтобы разность была равна: 1) -4; 2) 9; 3) -2й^ 4) Зй? 321. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество: 1) * - ( 3x2 _ 4^ + 2у1 ^ _ 9^2 + у2 . 2) - + 2а-{*) = а^ + 2а^ - 7. 322. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество: 1) (2x2-14x-f9)-b(*) = 20-10x; 2) (19й^ - 17й26 -ь 6-^) - (*) = 20й^ + ЪаЧ. 323. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной а\ 1) 4«2 - ^аЬ ч- 6 -I- 8 -ь *; 2) 9й^ -9а + 7аЬ'^ + Ьс + Ьт + *. 324. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы после приведения подобных членов многочлен 3x2 + Ъх^у + 1х-Ъу + \Ъ + ^ не содержал: 1) членов с х2; 2) членов с переменной х; 3) членов с переменной у. 64 325. Представьте в виде многочлена число, состоящее из: 1) 4 сотен, X десятков и ^ единиц; 2) а тысяч, Ь сотен, 5 десятков и с единиц. 326. Представьте в виде многочлена выражение; 1) сЬа\ 2) аЬс-аЬ; 3) аОс + ас. 327. Представьте в виде многочлена выражение: 1) саЬ + са; 2) аЬс + Ьса; 3) аЬ9 + 1а. 328. Докажите, что значение выражения (9 - 18«) - (6/г - 7) кратно 8 при любом натуральном значении п. 329. Докажите, что значение выражения (6т + 8) - (Зт - 4) кратно 3 при любом натуральном значении т. 330. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения {Ъп + 9) - (5 - 2п) при делении на 7 даёт остаток, равный 4. 331. Чему равен остаток при делении на 9 значения выражения (1б/г + 8) - {Ъг + 3), где п — произвольное натуральное число? 332. Представьте многочлен 3<я^6 + 8<з'^ - 6<2 + 12б - 9 в виде суммы двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменной Ь. 333. Представьте многочлен Атп^ + llm'^ - 7т^ + Ытп -9п + Ъ в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами. 334. Представьте многочлен - Ъху + Ъх -Sy + 2 в виде разности двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменной у. 335. Докажите, что значение разности двучленов 13т + 20/2 и 1т + 2/г, где mvin — произвольные натуральные числа, делится нацело на 6. 336. Докажите, что значение суммы двучленов 1б<2 — 6^ и 21Ь — 2а, где а vih — произвольные натуральные числа, делится нацело на 7. 337. Представьте многочлен - 6х + 14 в виде разности: 1) двух двучленов; 2) трёхчлена и двучлена. 338. Представьте многочлен Зх^-ь Юл: - 5 в виде разности двучлена и трёхчлена. 339. 340. Докажите, что выражение (2x‘^-I-4х - 1) - -ь 8-I-9х)-f (5х-I--- Зх^) принимает отрицательное значение при любом значении х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении X? Докажите, что выражение {ly"^ - 9^ -f- 8) - (З^^ - 6^ -I- 4) -I- 3^ принимает положительное значение при любом значении у. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y'i 65 341. Докажите, что: 1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5; 2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6; 3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8; 4) сумма четырёх последовательных на1уральных чисел не делится нацело на 4; 5) остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3. 342. Докажите, что: 1) сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3; 2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7; 3) сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4; 4) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10. 343. Докажите, что:__ ___ _ 1) сумма чисел аЬ, Ьс и са делится нацело на 11; 2) разность чисел аЬс и сЬа делится нацело на 99. 344. Докажите, что:__ ___ _____ 1) сумма чисел аЬс, Ьса и cab кратна 111; 2) разность числа аЬс и суммы его цифр делится нацело на 9. 345. Докажите, что не существует таких значений хну, при которых многочлены — бху - 7у^ и -Зх^ + бху + 8у'^ одновременно принимают отрицательные значения. 346. Расставьте скобки так, чтобы равенство стало тождеством: 1) х^ -2х + 1-х^ -2х-\ = 2; 3) -2:г +1 --2х-1 = 0. 2) х^ -2х + \ - х'^ -2х -I = -2; Упражнения для повторения 347. 348. Некоторое число сначала увеличили на 20 %, а потом уменьшили результат на 20 %. Установите, больше или меньше исходного полученное число и на сколько процентов. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую — за б ч. Сначала 2 ч была открыта первая труба, потом её закрыли, но открыли вторую. За сколько часов был наполнен бассейн? 66 7 5 349. Известно, что в парке — деревьев составляют каштаны, а — — берё- 24 18 зы. Сколько всего деревьев в парке, если их больше, чем 100, но меньше, чем 200? 350. Из села в направлении станции вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через час из села со скоростью 10 км/ч выехал велосипедист, который прибыл на станцию на 0,5 ч раньше пешехода. Какое расстояние от села до станции? Готовимся к изучению новой темы 351. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения; i' 11 р; 4 Л 3) 352. Раскройте скобки: 1) Ц2а-ЪЬ)’ 2) 0,3(9х-5^-ь7); Упростите выражение: 1) Ътп^п ■ 0,4ти'^; 2) ' S 11 353. 2) 361 1^-А + 1 ' ' 18 12 9 1 + -7 14 3) (-2,6т -н 3,5« - 7,2) • (-10); 4) -m(-w-I-8^ -12). 3) -bx'^y^z^ • (-0,8х/г/^2^); 4) -Ъ^аЬс ■ 7 25 Обновите в памяти содержание и. 11 на с. 240. dJ Учимся делать нестандартные шаги 354. Саша и Вася записывают 30-значное число, используя только цифры 1; 2; 3; 4; 5. Первую цифру пишет Саша, вторую — Вася и т. д. Вася хочет получить число, кратное 9. Сможет ли Саша ему помешать? 67 Задание «Проверьте себя» № 2 в тестовой форме 1. Какое из данных равенств не является тождеством? А) -3(а - Ь) = -За + ЗЬ В) 8а - (4а + 1) = 4а - 1 Б) 9а - 8а + а = 2а Г) -(х + Зг/) + (2х - у) = Зх + 2у 2. Найдите значение выражения (-2,4 + 0,4)'*. А) -8 Б) 8 В) 16 Г) -16 3. Упростите выражение (-а®) (-а^) . А) «20 Б) _^20 Б) д4б 4. Выполните возведение в степень: (0,) . А) 0,9«б Б) 0,9а« В) 0,09«« Г) 0,09«« 5. Какое из данных выражений является одночленом? А) 0,4х + у В) 9,4ху Б) 0,4г - у Г) нет ни одного ^ 6. Какому из одночленов равно выражение 0, la^b^^ ■ — а^Ь"^? А)7а^Ь^^ Б)7а^Ь^ Б) 0,1а^Ь^ Г) 0,\а^Ь^ 7. Квадратом какого из данных одночленов является выражение Г) ч2 1 ^64^100р А) ’ 2 Б) ’ 2 В) ifev» ’ 2 Г) ^ 2 8. Известно, что m < 0 и а < 0. Сравните с нулём значение выражения т^п^. А) = 0 В) < о Б) m-'’гг^ >0 Г) невозможно определить 9. Приведите подобные члены многочлена 2x2 ^ _ 5^2 _ + + 3^2. А) -Зху В) 3x2^2 Б) -3x2 _ ^ 3jy2 ^ ^ 3^2 10. Найдите разность многочленов х2 - Зх - 4 и х - 3x2 _ 2, А) 4x2 _ 4дл _ 2 В) -2x2 _ 2х - 6 Б) -2x2 _ 4д- _ 2 Г) 4x2 - 4х - 6 11. Какое из данных выражений принимает только отрицательные значения? А) х^ -ь 4 Б) х« - 4 В) -х*^ -Ь 4 Г) -х« - 4 12. Какое наименьшее значение может принимать выражение (х - 7)2 -н 2? А) 2 Б) 7 В) 5 Г) 9 68 S 10. Умножение одночлена на многочлен Умножим одночлен 2х на многочлен Зх + 2у - 5. Для этого запишем произведение 2х(3х + 2^ - 5). Раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения. Имеем: 2х(3х + 2у -5) =2х-Ъх+ 2х -2у -2х Ъ = 6х^ -I- Аху - 10х. Полученный многочлен 6х^ + 4ху - 10х является произведением одночлена 2х и многочлена Ъх + 2у - 5. Вообще, произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. ^ Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Для произведения одночлена и многочлена справедливо переместительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Поэтому приведённое правило позволяет умножать многочлен на одночлен. Пример 1. Упростите выражение 6х{х - 1) - 3(2х^ - Зх -I- 4). Решение. Имеем: 6х(х - 1) - 3(2х^ - Зх -ь 4) = 6х^ - ^ - 6х^ ^ -12 = Зх - 12. ◄ Пример 2. Решите уравнение 0,5х(3 -I- 4х) = 2х(х - 2) - 11. Решение. Имеем: 1,5х + 2х^ = 2х‘'^ - 4х - 11; 1,5х -I- 2х^ - 2х^ -I- 4х = -11; 5,5х = -11; X = -2. Ответ: -2. ◄ P>Y + 4 т + Ч Пример 3. Решите уравнение ——---------= 2. Решение. Умножив обе части данного уравнения на число 24, являющееся наименьшим общим знаменателем дробей, содержащихся в этом уравнении, получаем: 5х + 4 X + 3 12 8 24 = 2 • 24; с. 5х + 4 л. х + 3 24-^^-24-g- = 48; 69 2(5х + 4)-3(х+3) = 48; IOjc + 8 - Зх - 9 = 48; 7х -I = 48; х = 7. Ответ: 7. ◄ Пример 4. Докажите, что при любом значении переменной а значение выражения Ъа{а^ - 4) - 2а^{\,Ъа + 4а^) + 6{2а - 1) является отрицательным числом. Решение. Ъа{а^ - 4) - 2а\\М -ь 4й^) -н Ь{2а - 1) = - \2а - - - 8а^ -I- \2а - 6 = -8а® - 6. Выражение —8а® при любом значении а принимает неположительное значение. Следовательно, значение выражения -8а® - 6 является отрицательным числом при любом значении а. ◄ Пример 5. Остаток при делении натурального числа т на б равен 5, а остаток при делении натурального числа п на 4 равен 2. Докажите, что значение выражения 2т -н 3/г делится нацело на 4 и не делится нацело на 12. Решение. Пусть неполное частное при делении ш на 6 равно а, а при делении а на 4 равно Ь. Тогда m = 6а -Ь 5, гг = 46 -I- 2. Следовательно, 2т + Згг = 2(6а + 5) + 3(46 + 2) = 12а ч- 10 -н 126 + 6 = 12а -н 126 -н 16. Каждое слагаемое полученной суммы делится нацело на 4, поэтому и сумма делится нацело на 4. Первые два слагаемых делятся нацело на 12, а третье — не делится. Поэтому и сумма не делится нацело на 12. ◄ Как умножить одночлен на многочлен? Упражнения 355. Преобразуйте в многочлен произведение: 1) Зх(2х + 5); 2) 4х{х^ -8х- 2); 3) -2а{а^ ч- а - З); 4) 56Ч362 -76-ИО); 5) тп{т^п-п^); 6) 2аЬ{а^ -Ъа^Ь + Ь^)\ 7) (4^3-6г/-н7)-(-1,21/3); 8) - ^ху + 1 Зх"^у^); 9) (2,3а36-1,764 _з,5б)-(-10а26); 10) -4pk^ {Sp^k - р + 4k-2); 11) ^//ггг^ (бггг - 1,8гг ч-9); 3 70 оо \_ 4) + 7л: - 1); 5) -2c^б/'‘(4c^ - cV + bd'^); 6) [Ът^п - 8тп^ - 2п^) • [-4т^п^), 5) 2т{т - Sn) + т{Ът + Пгг); 6) 8х (х‘^ ■¥ у^) - 9х [х^ - у^)\ 7) ЪЬ^{2Ь - 3) - 2,5Ь‘^(4Ь - 6); 8) X (5х^ + 6х + 8) - 4х (2 + 2х + х^) 3) х^(2х -11^) - х(х^ + 14^2); 4) 5с‘Ч4с-3)-2с2(8с2-12). 356. Выполните умножение: 1) Зх(4х^ - х); 2) -5a2(fl2 -6я-3); 3) (862-106 + 2) • 0,56; 357. Упростите выражение; 1) 8х - 2х(3х + 4); 2) 7«2 +3й(9-5я); 3) 6х(4х-7)-12(2х2 +1); 4) с(с2 - 1) + с2(с - 1); 358. Упростите выражение: 1) 7х(х - 4) - х(б - х); 2) 5й6(4я + 36) - 10fl2(26 - 4); 359. Упростите выражение и найдите его значение: 1) Зх(2х - 5) - 8х(4х - 3), если х = -1; 2) 2х(14х2 - X + 5) + 4х(2,5 + Зх - 7х^), если х = 7; 3) Sab(a^ - 2б2) - 7а [а^Ь - ЪЬ'^), если а = -3, 6 = 2. 360. Упростите выражение и найдите его значение: 1) 6х(6х - 4) + 9х(3 - 4х), если ; У 2) 2т{т - п) - п{?>т - п) - п{п + 6), если т = -4, п = 0,5. 361. Решите уравнение: 1) 5х(.3х- 2) - 15х(4 + х) = 140; 2) 1,2х(4 + 5х) = Зх(2х + 1) - 9; 3) 6х(7х - 8) - 2х(21х - 6) = 3 - ЗОх; 4) 12х - Зх(6х - 9) = 9х(4 - 2х) + Зх; 5) 7x2 _ _ 5) _ 2(2,5х + 1) - 3 = 0; 6) 8(х2 - 4) - 4х(3,5х - 7) = 20х - бх^. 362. Найдите корень уравнения: 1) 0,4х(5х - 6) + 7,2 = 2х(х + 0,6); 2) х(Зх + 2)-9(х2-7х) = 6х(10-х); 3) 12(х-^-2)-7х(х2-1) = 5х-^+2х + 6. 363. Докажите тождество: 1) «6(6 - с) + ас{с -Ь)-а[Ь^ - Збс + с‘2) = «6с; 2) 4«(« + 6) - «(3« - 4б) - 8«6 = «2; 3) «(« + 26) + 6(« + 6) = 6(2« + 6) + «(« + 6); 4) «(6 + с - 6с) - 6(« + с - ас) - {а - Ь)с. 364. Докажите тождество: 1) «(« + 6) - 6(« - 6) = «2 + 62; 2) 6(« - 6) + 6(6 + с) = 6(« + 6) - 6(6 - с). 71 365. 366. 367. 368. 369. 370. 371. 372. 373. Докажите, что если: 1) а + 6 + с = о, то а{Ьс - 1) + h{ac - 1) + с{аЬ - 1) = ?>аЬс\ 2) +Ь^ = , то с{аЬ - с) - Ь{ас - Ь) - а{Ьс - а) + аЬс - 0. Докажите, что значение выражения х{\2х + 11) - х^[х^ + 8) - х(П + 4х- х^) не зависит от значения переменной. Докажите, что значение выражения 6х{х - 3) - 91^1 - 2лг + 7 не зависит от значения переменной. Докажите, что при любых значениях х значение выражения 4(л:‘^ -- 2х + 4) - 0,5д:(бх - 16) является положительным числом. Докажите, что выражение 3лг^(3 - 4л:) - 6х (l,5x - 2л:^ + ) принима- ет неположительные значения при всех значениях х. Докажите, что выражение (а + 3) - {2\а + ) принимает неотрицательные значения при всех значениях а. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: 1) * ■ {а-Ь + с) = -аЬс + - Ьс^; 2) * • [аЬ -Ь^) = а^Ь -; 3) -?,а^{*-*) = +\Ъа\ Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: 3) (1,4х-*)-Зх = *-0,6x3; 4) * (* — х^у^ + Ъу^) = 8x3^3 ^ 5x3^3 _ * 1) (х-у) ■* = х^у^ - х^у\ 2) (-9х^ + *) • ^ = * + ^^^; Упростите выражение: 1) \Ъа 6 2) 24сЗ 3) 34х - 18с2 ■ + 2с - 3 о _9 сЗ - c^ + 2 8 -45^ ■^^^р--у{<оу-Ъх). 374. 17 15 Упростите выражение: ЪЬ^ -4 3 т -\-п 375. 1) б/)2 • 2) 14т ^ 7 8 Решите уравнение: + 206 т-п 36 - 263 16и -2(т^ +п^). 1) X - 7 _ X _ 9. 4 б’“ ’ 2) X 4- 6 X - 7 = 4; 72 оч 2х + 3 , I - 4х 6) —^— + 4) Зх- 6 8 2л: + 3 I . 3 ’ л: + 6 5) 2 3 6х -7 Зл; + 1 11-л: 376. 5 6 15 Найдите корень уравнения: 1 ч 7л: + 1 4л: + 3 1) X- 6) 7) 8) 5л: - 3 4л: + 3 9 8л: - 5 3 8л:2 6 4л: + 3 = Х-\; . 2 - 9л: Зл: 4 2 бл:^ +1 = -3; 16 12 = -1. 2) 8 2л: + 1 Зл: + 1 = 2; 3) 4) 2л: + 3 5л:+ 13 ,5-2л: ^ + —— = Ь; 4л:^ + 5л: + 6 10 2л:^ = 5. 377. 378. 379. 380. 381. 14 7 При каком значении переменной значение выражения Sy{y - 7) на 15 больше значения выражения 2у{4у - 10,5)? Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника уменьшить на б см, то его площадь уменьшится на 144 см^. Найдите исходную ширину прямоугольника. Ширина прямоугольника на 8 см меньше его длины. Если длину прямоугольника увеличить на б см, то его площадь увеличится на 72 см^. Найдите периметр данного прямоугольника. За 3 дня турист прошёл 108 км. За второй день он прошёл на б км больше, чем за первый, а за третий — расстояния, пройденного за 13 первых два дня. Сколько километров турист прошёл за каждый из этих дней? Три бригады рабочих изготовили за смену 80 деталей. Первая бри- 3 гада изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая, а третья — — количества деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада? 382. Упростите выражение: 1) -1)-л:”+2(л:"+5 383. 384. 2) х^^^(х^-3)-х^(х^^^-Зх^-I), где п — натуральное число. Упростите выражение: 1) + 2х) + х(3х” - ); 2) х(4х”'*'^ + 2х”^^ “ 7) - х"'^2(4 + 2х''* - х”), где п — натуральное число. Остаток при делении начурального числа а на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа 6 на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения 4а + 2Ь делится нацело на 3. 73 385. Остаток при делении натурального числа m на 5 равен 3, а остаток при делении натурального числа w на 3 равен 2. Докажите, что значение выражения Ът -f- Ъп не делится нацело на 15. Упражнения для повторения 387. 388. 386. Общая площадь трёх полей равна 46,4 га. Площадь второго поля 1 2 в 1 — раза меньше площади первого, а площадь третьего поля состав- 3 ляет 72 % площади первого. Найдите площадь каждого поля. 2 За первый день Вася прочёл — страниц книги, за второй — 64 % оставшихся, а за третий — остальные 54 страницы. Сколько страниц в книге? Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: 1) нечётное число; 2) число, которое делится нацело на 3; 3) число, которое не делится нацело на 3? 389. Велосипедист проехал первую половину пути за 3 ч, а вторую — за 2,5 ч, так как увеличил скорость на 3 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист? На одном складе было 184 т минеральных удобрений, а на втором — 240 т. Первый склад отпускает ежедневно по 15 т удобрений, а второй — по 18 т. Через сколько дней количество удобрений, оставшихся на первом складе, будет составлять ^ количества удобрений, оставшихся на втором складе? 390. СИЛ Учимся делать нестандартные шаги 391. В волейбольном турнире, проходившем в один круг (то есть каждая команда сыграла с каждой один раз), 20 % всех команд не выиграли ни одной игры. Сколько команд участвовало в этом турнире? {Примечание. В волейболе «ничьих» не бывает, обязательно одна команда выигрывает, а другая проигрывает.) ^ 11. Умножение многочлена на многочлен Покажем, как умножить два многочлена на примере произведения {а + Ь){х - у - z). Обозначим второй множитель буквой с. Тогда получаем: 74 {а + b){x - у - z) = {а + b)c = ас + be. Теперь в выражении ас + Ьс подставим вместо с многочлен х - у - Z. Запишем: ас + Ьс = а{х -у - z) + Ь{х - у - z) = ах - ау - az + Ьх - by - bz. Полученный многочлен и является искомым произведением. Этот же результат можно получить, если произведение находить по схеме. (а + Ь) {х-у-z) Сформулируем правило умножения многочлена на многочлен. GlD Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. Таким образом, при умножении многочлена на многочлен всегда получаем многочлен. Пример 1. Упростите выражение: {Ъх-^){Ъс + Ъ) - (x-2)(jT4-5). Решение. Имеем: (Зх -А){Ъс + ?>) -{х- 2){х +5) = 6j(^ + 9x-8x-12-{x^ + 5x-2x- 10) = = 6^-I-9х-^ - 12 - ^ ^-ь ^-I-10 =5х^-2х-2.< Пример 2. Представьте в виде многочлена выражение: (а + 2){а - Ь)(а + Ъ). Решение, {а + 2){а - Ъ){а -н 3) = -Ьа + 2а- 10)(а -н 3) = = (д2 _ За - 10)(а + Ъ)= а^ +^-^-^-Ш-?>9 = а^-\9а-30. ◄ Пример 3. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из них на 38 больше прои.з-ведения второго и первого. Решение. Пусть меньшее из этих чисел равно х, тогда три следующих за ним числа будут равны х + l,x-i-2, лг+З. Так как по условию произведение {х + 3)(х -Ь 2) на 38 больше, чем произведение х{х •+• 1), то: {х -н 3)(jc -I- 2) - х{х + 1) = 38. Отсюда х2 -I- 2х + Зл: -f 6 - лс2 - д: = 38; 4х = 38 - 6; X = 8. Следовательно, искомыми числами являются 8, 9, 10 и 11. ◄ 75 Пример 4. Докажите, что значение выражения {п + 39) (« - 4) - (?г + 31)(гг - 3) кратно 7 при всех натуральных значениях п. Решение. Выполним преобразование: {п + 39)(гг - 4) - (гг + 31)(?г - 3) = = п^-Ап + 39и - 156 - (гг2 - Згг + 31гг - 93) = = - 4и + 39гг - ^ ^ - 31гг + ^ = 7?г - 63 = 7(гг - 9). Данное выражение представлено в виде произведения двух множителей, первый из которых равен 7, а второй принимает только целые значения. Следовательно, при любом натуральном п значение данного выражения нацело делится на 7. ◄ (Й) Как умножить многочлен на многочлен? 392. Упражнения Выполните умножение: 1) {а-ШЬ + Ъ)- 2) {т + п){р - ky, 3) {х-8){х+4у 4) {X- 10)(jc-9); 5) (с-ь5)(с-ь8); 6) (3^-Ы)(4^-6); 393. 394. 395. 7) (-2w-3)(5-W); 8) {Ъх^ - х)(6л-2 + 4x); 9) (-c-4)(c^-h3); 10) (x-5)(x2-H4r-3); И) (2а + S)(4a^ - 4а + S); 12) а(5а - 4)(3а - 2). Преобразуйте в многочлен выражение: 1) (а + Ь)(с - cly 6) (Ъу - Ъ)(2у - 12); 2) (д:- 6)(х- 4); 7) (2х^ - 3)(д:2 -ь 4); 3) (а -Ъ)(а + iy 8) (х - 6)(д:2 -2х + 9); 4) (11 -с)(с-ь8); 9) {5х-у)(2х^ + ху-Зу^У 5) (d+ I3)(2d- 1); 10) b(6b + 1)(3b - 4). Упростите выражение: 1) (д:-ь2)(х-ь 11) -2х(3-4дг); 2) (а + 5)(а - 2) + (а - 4)(а + 6); 3) (у-9)(Зу-1)-(2у+1)(5у-7); 4) (4х- 1)(4лг- 3) - (2х- 10)(8x-b 1). Упростите выражение: 1) (а - 2)(а - 1) - а(а + 1); 2) (Ь - 5)(Ь + 10) + (Ь + 6)(Ь - 8); 3) (2с -t- 3)(3с + 2)- (2с + 7)(2с - 7); 4) (3d + 5)(5б/ - 1) - (6d - 3)(2 - 8d). 76 DO 396. 397. 398. Упростите выражение и найдите его значение: 1) {х + 2){х - 5) - (д: - 3)(х + 4), если х = -5,5; 2) {у + 9)(^ - 2) + (3 -^)(6 + Ъу), если у = -\^. Упростите выражение и найдите его значение: 1) {а + Ъ){а - 10) - {а + 1){а - 4), если а = -0,01; 2) (8с + 12)(3с - 1) + (Зс + 2)(-5с - 6), если с = 1 . Э 399. Решите уравнение: \){2х- 3)(4дг + 3) - = 33; 2) {Ьс - 6){8х + 5) + (3 - 4х)(3 + 4jt) = 55; 3) 21x2 _ (3^ _ _ 3) ^ 37- 4) (х + 1)(х + 2) - (х - 3)(х + 4) = 12; 5) (-4х + 1)(х - 1) - X = (5 - 2х)(2х + 3) - 17. Решите уравнение: 1) (2х- 1)(15 + 9х) -бх(Зх-5) = 87; 2) (14х- 1)(2 + х) = (2х-8)(7х+ 1); 3) (х+ 10)(х-5) - (х-6)(х + 3) = 16; 4) (Зх+ 7)(8х+ 1) = (6х- 7)(4х- 1) + 93х. Выполните умножение: 1) (х + 2)(х - 1)(х - 4); 4) {а + 2Ь - с){а -ЪЬ + 2с); 2) (2х+1)(х+5)(х-6); 5) {а +Ь){а^ - аЧ + аЬ^ - Ь^)\ 3) (х2 - 2х + 3)(х2 + 2х - З); 6) (х - 1)(х'^ + Х'^* + х2 + х + 1). Преобразуйте в многочлен выражение: 1) {а+ \){а-2){а-Ъ)\ 3) {а^ -2а + \)[а^ +Ъа-2)\ 2) (Зй-2)(а + 3)(я-7); 4) {а + \)[а‘^ - - а+ \), Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен: 1) (а -н 5)2; 2) (4 - 3^)2; Ъ) {a + b + cf\ 4) {а - bf . 403. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения (х -I- 3)(х2 - 4х -f 7) - (х2 - 5)(х - 1) равно 16. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения (х - 3)(х2-ь 7) - (х — 2)(х2 - X-ь 5) равно-11. Задумали четыре натуральных числа. Второе число на 1 больше первого, третье — на 5 больше второго, а четвёртое — на 2 больше третьего. Найдите эти числа, если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвёртому. 406. Задумали три натуральных числа. Второе число на 4 больше первого, а третье — на 6 больше второго. Найдите эти числа, если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему. 400. 401. 402. 404. 405. 77 407. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого. 408. Найдите три последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого. 409. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны. Найдите сторону квадрата, если его площадь на 45 см^ больше площади данного прямоугольника. 410. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 см^. Найдите стороны прямоугольника. 411. Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Если длиггу увеличить на 2 см, а ширину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 40 см^. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника. 412. Докажите тождество: 1) х2-8х-н7 = (х-1)(х-7); 2) У^{у -1){у + 2) = у^ - Ъу^ - Uyh 3) a^-S = {a- 2)(а2 -ь 2я + 4); 4) {а - 1)(а + 1)(а2-н \) = а'^~ 1; 5) -а^ + \) = 413. Докажите тождество: , 1) 3«2 -ь 10й + 3 = 3(я -ь 3)1 а -к I 2) {а + \)[с1^ ч- 5<2 -I- 6) = [а^ -ь За -н 2)(а -ь 3); 3) - а + \) = +\. 414. При всех ли натуральных значениях (гг -f- 9)(гг -ь 11) - (гг -ь 3)(гг -ь 5) кратно 12? 415. При всех ли натуральных значениях (гг -I- 29)(гг + 3) - (гг -I- 7) (гг -н 1) кратно 8? 416. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: 1) (а - 2)(* + 6) = ч- * - *; 2) (2а ч- 7)(а -*) = * + *- 14. 417. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: 1) (X ч- 3)(* ч- 5) = 3x2 ч- * ч- *; (х - 4)(х ч- *) = * ч- * ч- 24. п значение выражения п значение выражения 418. Выбрали некоторые четыре последовательных натуральных числа. Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвёртого от выбора чисел? 78 419. Выбрали некоторые три последовательных натуральных числа. Зави- сит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения первого и третьего от выбора чисел? __ ___ 420. Докажите, что значение выражения аЬ • Ьа- аЬ делится нацело на 10 независимо от значений avi Ь. 421. Оста- ГОК при делении натурального числа х на 6 равен 3, а остаток при делении натурального числа ^ на 6 равен 2. Докажите, что произведение чисел xwy делится нацело на 6. 422. Остаток при делении натурального числа а на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа ^ на 8 равен 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел <2 и ^ на 8 равен 5. 423. Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа ц на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел ттг и /7 на 11 равен 1. 424. Докажите, что если ah + Ьс + ас = то: {а - Ь){а - с) + {Ь - с){Ь - а) + {с - а){с - Ь) = а^ + -i- . Упражнения для повторения 426. 427. 425. Двое рабочих изготовили вместе 108 деталей. Первый рабочий работал 5 ч, а второй — 3 ч. Сколько деталей изготавливал ежечасно каждый рабочий, если вместе за 1 ч они изготавливают 26 деталей? Смешали 72 г пятипроцентного раствора соли и 48 г пятнадцатипроцентного раствора соли. Найдите процентное содержание соли в полученном растворе. Решите уравнение: 1) 1х + 2х = х6; 428. Докажите тождество: 1) 18^6” = 12»” • где п — натуральное число. {Старинная греческая задача.) Демохар четвёртую часть жизни прожил мальчиком, пятую часть — юношей, третью часть — зрелым мужчиной и 13 лет — в годах. Сколько лет прожил Демохар? 2) х4 -ь х8 = 1x2. 2) 75»” = 225^” ■ 625^”, 429. EI3 Готовимся к изучению ^--------- новой темы 430. Вычислите, используя распределительное свойство умножения: 1) 4,8 • 2,9-ь 4,8 • 7,1; 3) 3—• 0,3-0,3 • 1 —-ь0,3 • 1-. 9 7 5 7 14 21 6 2) 3 — • - - 2 — • ; ^ 14 9 14 9 79 431. Решите уравнение: 1)х(х + 4) = 0; 2) (дг-6)(х + 9) = 0; 3) (Зх + 5)(10 - 0,4х) = 0. Обновите в памяти содержание п. 11, 13 на с. 240, 241. СТЗ Учимся делать ^--- нестандартные шаги 432. В каждой клетке доски размером 5x5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка? ^ 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки Умножим два многочлена 2х - 1 и х + 1. Имеем: (2х - 1)(х +1) = 2х^ + 2х - X - 1 = 2х‘-^ -ь х -1. Получили тождество (2х - 1)(х + 1) = 2х^ -f х - 1, которое можно записать и так: 2х^ -Ь х - 1 = (2х - 1)(х -I-1). О такой записи говорят, что многочлен 2х‘^ -Н х -1 разложили на множители 2х - 1 и X -I- 1. Вообще, представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители. Разложение многочлена на множители является ключом к решению многих задач. Например, каждое из уравнений 2х-1=0их-1-1=0 решить очень легко, а вот уравнение 2х^ -I- х - 1 = 0 вы пока решать не умеете. Однако если воспользоваться разложением многочлена 2х^ + х - 1 на множители, то уравнение 2х^ -I- х - 1 = 0 можно переписать так: (2х-1)(х-И) = 0. Отсюда 2х - 1 = о или х Ч- 1 = 0. Искомые корни — числа 0,5 и -1. Таким образом, разложение многочлена на множители позволило свести решение сложного уравнения к решению двух более простых. Существует немало приёмов разложения многочлена на множители. Самый простой из них — вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование вам уже знакомо. Например, в б классе значение выражения 1,62 • 1,08 - 0,08 • 1,62 находили так: 1,62 • 1,08 - 0,08 • 1,62 = 1,62(1,08 - 0,08) = 1,62. Здесь использовано распределительное свойство умножения с{а -I- ^) = = асл- Ьс, записанное справа налево: ас + Ьс = с{а -I- Ь). Воспользуемся этой идеей в следующих примерах. 80 Пример 1. Разложите на множители: 1) + аЬ^\ 2) - \2аЬ'\ ?>) 10<з^ - Ъа;\ Решение. 1) Одночлены содержат такие общие множители: а, h, аЬ, и аУ^. Любой из этих множителей можно вынести за скобки. Но обычно общий множитель выбирают так, чтобы члены многочлена, остающегося в скобках, не имели общего буквенного множителя. Такие соображения подсказывают вынести за скобки общий множитель abh с^У^ -I- аЬ^ = аУ^{а ч- Ь). Чтобы проверить, правильно ли разложили многочлен на множители, надо полученные множители перемножить. 2) Если коэффициенты многочлена — целые числа, то за скобки обычно выносят наибольший общий делитель модулей этих коэффициентов (в нащем примере это число 4): ^d^h^ - I2ab^ = 4ab^{2a - Sb). 3) Имеем: lOa^ — 5a^ = 5a^(2a^ - 1). ◄ Пример 2. Представьте в виде произведения многочленов выражение: 1) а(т-3) + Ь{т - 3); 3) Ьх{х - 7) - (х - 7)2. 2) х{с - d) + y{d - с); Решение. 1) В данном случае общим множителем является многочлен 772 - 3: а{т - 3) + Ь{тп - 3) = (ттг - 3){а + Ь). 2) Имеем: х(с - d) + y{d - с) = х{с - d) + у ■ (-1) • {с - d) = х{с - d) - у {с - d) = = {c-d){x-y). 3) Имеем: 6х{х - 7) - {х - 7)2 = {х - 7){6х - {х- 7)) = {х - 7)(бх - х + 7) = = (х-7)(5х-н7). ◄ Пример 3. Вынесите за скобки общий множитель в выражении (12х- 18^)2. Решение. Имеем: (12х - 18^)2 = (б(2х - Зг/))2 = б2(2х - 3^)2 = = 36(2х - 3^)2. ◄ Пример 4. Решите уравнение: 1) 4x2 - 12х = 0; 2) (Зх - 7)(х + 4) -ь (х - 1)(х -I- 4) = 0. Решение. 1) Разложив левую часть уравнения на множители и применив условие, согласно которому произведение равно нулю, получаем: 4х(х - 3) = 0; 81 X = о или - 3 = 0; х = 3. Ответ: 0; 3. 2) (Зх - 7)(х + 4) + (х - 1)(х + 4) = 0; (х + 4)(3х - 7 + X - 1) = 0; X + 4 = о или 4х — 8 = 0; X = -4 или X = 2. Ответ: -4; 2. ◄ Пример 5. Докажите, что значение выражения: 1) 8^ - 4^ делится нацело на 14; 2) 20'^ - 4'^ делится нацело на 121. Решение. 1) Представим выражения 8^и 4^в виде степеней с основанием 2 и вынесем за скобки общий множитель. Получим: 8? - 49 ^ (23)7 _ (22)9 = 221 _ 218 ^ 218(23 - 1) = 21» • (8 - 1) = 2i» • 7 = = 21^-2-7 = 21’. 14. Данное выражение равно произведению двух натуральных чисел, одним из которых является 14. Отсюда следует, что значение выражения 8? _ 4^ делится нацело на 14. 2) Имеем: 20-з - 4^ = (5 • 4)3 - 4^^ = 5» . 4» - 4“ = 43(5» - 4) = 43(125 - 4) = = 43 . 121. Следовательно, значение данного выражения делится нацело на 121. ◄ Пример 6. При каком значении а уравнение (х -t- 2)(х -ь а) - х(х 4- 1) = = Ъа + \ имеет бесконечно много корней? Решение. Имеем: х2 и- ах -I- 2х -ь 2<2 - х2 - X = Зй + 1; ах + X + 2а = За -I- 1; ох -ь X = а + 1; (а -I- 1)х = а -н 1. При а = — 1 последнее уравнение принимает вид Ох = 0 и имеет бесконечно много корней. Заметим, что если а Ф то уравнение имеет единственный корень X = (а -I- 1) : (а + 1), равный 1. Ответ: при а = -1. ◄ 1. Поясните, что называют разложением многочлена на множители, 2. Какое свойство умножения используют при вынесении общего множителя за скобки? 82 Упражнения 433. Вынесите за скобки общий множитель: 434. 1) am + ап\ 2) 6х - 3) 4Ь + 16с; 4) их - \5у, 5) -сх - су\ 6) 4bk + 4bt\ 7) -Sa - 186; S) ах + а\ 9) 7с - 7; 10) 24г + 30^; 11) Umx - \Ъту, 12) х"^ + ху; 13) 3fi^2 -3cfif; 14) 4а^ + 16fl6; Разложите на множители: 1) За + 66; 5) ЪЬ-2ЪЬс\ 2) 12m-16w; 6) 14х^+7д:; 3) 10с6-15ср; 7) «5; 4) Ъах + 8а; 8) +т 7. 15) а® -а^\ 16) Ь^ + 6^; 17) 1р^-Ьр; 18) \ЪсЧ-Ъс(1-, 19) \4х‘^у + 2\ху'^\ 20) -2х^ + 16д:б; 21) 9>а‘^Ь^ -ЪЬа^Ь\ 9) 9л: - 27л:^ ; 10) 18г/5 +12^^ 11) 56а‘»6« - 32а‘‘6»; 12) S6mn^ + 6Sm^n^. 435. 436. 437. 438. 439. 440. 441. 2) 3) 4щ2 - 20w = 0; 4) 13х^ + л: = 0; 3) 5x2-30л: = 0; 4) 14x2 + 18х = 0. х^у^ - х^у^. если X = 4, ^ = 5. Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки: 1) 1732 + 173 • 27; 2) 214 • 314 - 2142. 3) 0.4^ + 0,42 . q,6. Найдите значение выражения: 1) 5162-516 • 513; 2) 0,7^ + 0,7 • 0,51; 3) 0,2^* -0,2^ • 1,2. Вычислите значение выражения, предварительно разложив его на множители: 1) 6,32х - х2, если X = 4,32; 2) а^ + а^Ь, если а = 1,5, 6 = -2,5; 3) т^р - т^п^, если т = 3, р = ^, п = -3, Найдите значение выражения: 1) 0,74x2 + 26х, если х = 100; Решите уравнение: 1) г/2-6^ = 0; 2) х2 + X = 0; Решите уравнение: 1) х2 - X = 0; 2) р2 + 15р = 0; Разложите на множители 1) 2х(а + 6) + у (а + 6); 2) (а - 4) - Ь{а - 4); 3) 5а(т - п) + 1Ь{т - п)\ 4) 6х(4х + 1) - 11(4х+ 1); 5) а{с - d) + b{d - с); 6) х(х - 6) - 10(6 - х); 5) 9х2-6х = 0; 6) 12х-0,3x2 =0. 7) 6(6 - 20) + (20 - 6); 8) 6а(а - 36) - 136(36 - а); 9) (т-9)2 -3(т-9); 10) а{а + 5)2 + (<2 + 5); 11) (m2 - 3) - ?2(m2 - 3)2; 12) 8с(р-12) + 7^/(р-12)2. 83 442. Представьте выражение в виде произведения многочленов: оо V 448. 449. 1) с{х - 3) - d{x - ЪУ, 2) m{p-k) - (p-k); 3) т(х -у) - п{у - х); 4) х(2-х)+ ЦХ-2); 5) 4^(2^: -у) - Ьу(у - 2х)\ 6) iy + lf-4y{y + l)-, 7) 10(д2 -5) + (fl2 -5) ; 8) (й-2)2 -6(й-2). 443. 444. 445. 446. 447. Разложите на множители: 1) 2а^Ь^ - ; 2) тп^ + Ътп^п^ - Ъп^п ; 3) ху"^ + х^у - ху; 450. 451. 4) + 4х^ - X; 5) -6т* - 8т^ - 2т^; 6) 42а*Ь-28а^Ь^ -70а^Ь^. Вынесите за скобки общий множитель: 1) т^п + тп + п; 3) 7а‘*Ь^ - Ha^h* + 2la^b-^’, 2) Ъх^ + 6х^ - 15дг^ 4) 26h^c^ - 4ЪЬ^с^ - М^с^. Найдите и исправьте ошибки в равенствах: 1) 4я + 4 = 4(<2 + 4); 3) -Ъх - \6у = -Ъ{х - 2уУ 2) баЬ -ЗЬ = Ь(6а - 2Ь); 4) х^ - х* + х^ = х^[х^ - х^ + х). Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом. Разложите на множители: 1) а{2а + Ь){а + h)- 4а{а -н Ь)‘^; 2) Зт^ {m-S) + 6т{т - 8)'^; 3) {2а -ь 3)(а + 5) + {а - \){а -ь 5); 4) {Ъх + 7){4у -\)-{4у-\){2х+ 10); 5) (5т - w)^(m -I- 8и)'^ - (5т - пУ^{т + 8тг)\ Представьте в виде произведения многочленов выражение: 1) {х-6){2х-4) + {х-6){8-хУ 2) (х2-2)(3^-ь5)-(х2-2)(^ + 12); 3) {4а - ЪЬ){Ъа -н 8^) + {ЪЬ - 4а){2а -I- Ь)\ 4) {р- 9)\2р + 1)'^ -ь (р - 9)\2р + 1)^ Решите уравнение, используя разложение на множители: 1) {х-Ъ){х + 7) - {х+7){х-8) = 6\ 2) {4х - 9) (х - 2) -н (1 - д:) (л: - 2) = 0; 3) 0,2х (х-5) -н8(х-5) = 0; 4) 1{х - 7) - (X - 7)2 = 0. Решите уравнение, используя разложение на множители: 1) (2х - 9) (х ч- 6) - х(х -I- 6) = 0; 2) (Зх-н4)(х- 10) -ь (10-х)(х-8) = 0; 3) З(3х-И)2 -4(Зх-Ы) = 0; 4) (9х- 12) -х(9х- 12) = 0. Вынесите за скобки общий множитель: 1) (2х - 6)2 ; 2) {Ъу + 5)2 ; 3) (Збх -Н 30^)2; 84 8) {Sc^ -6c^)\ 452. 453. 454. 5) [I6x^y + 'iOxy^f; 6) (22x4 -28xV f • 4) (2x + 4)4; 6) [a'^+ah) ; 5) (6x - 9yf ; 7) {-7a - Uabf; Вынесите за скобки общий множитель: 1) (4х-4г/)2; 3)(8w-10«)^; 2) (18а+ 276)2; 4) (^2 Докажите, что значение выражения: 1) 19^ + 194 кратно 20; 4) 2 • + 5.32005 + 7.32004 кратно 10; 2) 8'® - 8^ - 8^ кратно 11; 5) 274 _ 95 кратно 24; 3) 8^ + 2‘® кратно 5; 6) 124 - 4® кратно 130. Докажите, что значение выражения: 1) 252^ -2524 делится нацело на 12; 2) 104 +8^-4^ делится нацело на 10; 3) 36^ + б^ делится нацело на 42; 4) 10'’ - 5^ делится нацело на 7. 455. Докс1Жите, что если: 1) а + 6 = 2, то а^Ь + аЬ^ - 2аЬ = 0; 2) Ъа-\-АЬ = -2, то 12а-^6 +16^262 + Ъ2а^Ь = 24а^Ь. 456. Докажите, что если: 1) <2 + 6 + с = 0, то = 0; 2) -Ь^ = 2аЬ +1, то - 2а^Ь~' - = а‘^Ь‘^. 457. Решите уравнение: 1) 8x2 _ 3(j[- - 4) = 12; 3) 4х - 0,2х(х + 20) = х"^; 2) 5х^ - х(2х - 3) = Зх, 4) 9х(х - 3) + (х - 4)(х - 5) = 20. 458. Найдите корни уравнения: 1) (Зх - 2)(3х + 2) - (2х - 5)(8х - 3) = 4х - 19; 2) ^(12 + х'^) = |х2+4. 459. Упростите выргшеиие, используя вынесение общего множителя за скобки: 1) {а - \){а + 2)-{а- 2){а + 2) + {а- Ъ){а + 2) - (а - 4)(а + 2); 2) (За-2)(562 -46+ 10) +(2-За)(562 -66 + 10); 3) (4а - 76) (2а2 - 4а6 + 62) - (4а - 76) (2а2 - 4а6 - 62). 460. Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки: 1) а6(а2 + а6 + 62) - а6(а2 - а6 + 62); 2) (а + 6)(а + 1) - (а + 6)(1 - 6) + (6 + а)(6 - а). 461. Решите уравнение 4x2 _ 1^2х = а, если один из его корней равен 0,3. 462. Решите уравнение 5x2 + 8х = а, если один из его корней равен -1,6. 85 463. 464. 465. 466. 467. 468. Вынесите за скобки общий множитель {п — натуральное число): 2) - Ь"-^, гг > 3; 5) 2”^^ + 3 • 2"+^ _ 5.2«+ь 3) > 4. 6) 9«+1 + з«+2 Разложите на множители (гг — натуральное число); 1) 2) 3^”+2 _ 2^п+1 + /,П. 3) 32« + 1б2«+1. Известно, что при некотором значении у значение выражения у^ -- 4у + 2 равно 6. Найдите при этом значении у значение выражения: 1) 5^2 _ 20^+ 10; 2) ^2(^2-4^ + 2)-4у (^2-4^ + 2); 3) 3^2 _ 12^+ 8. Известно, что при некотором значении а значение выражения <22 + + 2а - 5 равно -4. Найдите при этом значении а значение выражения: 1) -2«2 -4а + 10; 2) «2(^2+2a-5) + 2a(fl2+2а-5); 3) 4й2 + 8а -16. При каком значении а не имеет корней уравнение: 1) (х + 1)(л: - 3) - х(х - 3) = ах] 2) х(5х - 1) - (х - а)(5х - 1) = 4х- 2а; 3) (2л: - 5) (х + а) - {2х + 3) (д: + 1) = 4? При каком значении а имеет бесконечно много корней уравнение: 1) {х- 4)(д:+ а) - {х+ 2)(х- а) = -6; 2) х{Ъх -2) - {х+ 2а){Ъх + 2) = 5а + 6? 469. Найдите все двузначные числа, равные произведению своих цифр, увеличенных на 1. Упражнения для повторения 470. Упростите выражение; 1) 0,42ас-^ -lyaV; 471. 472. 3) -2^т^пр^ 3 2) l,2xyz ■ 2]:х^у^; 6 4) I 3 4 -пр^ Содержание соли в морской воде составляет 5 %. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в полученном растворе составило 3 %? Для ремонта школы купили краску. В первый день потратили на 2 банки краски больше, чем половина всей краски, а во второй-ко- 8 личества банок краски, потраченной в первый день. После этого осталось 2 банки. Сколько банок краски купили? 86 473. В коробке лежат 2 красных, 4 зелёных и 10 синих карандашей. Какова вероятность того, что наугад вынутый карандаш будет: 1) красным; 2) зелёным; 3) не зелёным? Какое наименьшее количество карандашей надо вынуть, чтобы среди них обязательно был синий карандаш? 474. Существует ли двузначное число, в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц, а разность между данным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27? J Учимся делать нестандартные шаги 475. Из листа картона вырезали несколько равносторонних треугольников. В вершинах каждого написали цифры 1, 2, 3. Потом эти треугольники сложили в стопку. Может ли получиться так, что сумма чисел вдоль каждого ребра стопки будет равна 55? ^ 13. Разложение многочленов на множители. Метод ГРУППИРОВКИ Многочлен ах + Ьх + ау + by не удастся разложить на множители методом вынесения за скобки общего множителя, так как множителя, общего для всех слагаемых, нет. Однако члены этого многочлена можно объединить в группы так, что слагаемые каждой группы будут иметь общий множитель: ах + Ьх + ау + by = {ах -ь Ьх) + {ау + by) = х{а + Ь) + у{а + Ь). Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют множитель {а + Ь). Вынесем его за скобки: х{а + Ь) + у{а + Ь) = {а + Ь){х + у). Исходный многочлен удалось разложить на множители благодаря тому, что мы выгодным способом объединили в группы его члены. Поэтому описанный приём называют методом группировки. Пример 1. Разложите на множители многочлен: 1) 2ас + 2Ьс -f Ъат + ЪЬт\ 2) х^ - 2х^ - Здг -ь 6; 3) ху - 12 + 4jc - ^у. Решение. 1) Сгруппировав члены данного многочлена так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель, получим: 2ас + 2Ьс Ъат + ЪЬтп = {2ас -н 2Ьс) {Ъат + ЪЬт) -= 2с{а -ь 6) + Ът{а + Ь) = {а + Ь){2с -f- 5m). 87 Этот же результат можно получить, если слагаемые сгруппировать другим способом: {2ас + Ъат) + (2^с + ЪЪт) = а(2с + Ът) + 6(2с + Ът) = (2с + Ът){а + Ь). 2) Имеем: - 2;сЗ - Зд: + 6 = - 2х^) - (Зх- 6) =д^(дг- 2) - Ъ{х-2) = (д:- 2)(д^ - 3). 3) дс^ - 12 + 4д: - 3^ = {ху + 4х) + (-12 - Зу) = х{у + 4) - 3(4 + у) = = (у + 4){х-3). ◄ Пример 2. Разложите на множители трёхчлен + бд: + 8. Решение. Представив слагаемое 6х в виде суммы 2х + 4х, применим метод группировки: x^ + 6x+8=x^ + 2x4-4x + 8 = (x^ + 2дг) + (4д: + 8) = х{х + 2) + 4(х + 2) = = {х + 2)(х + 4). ◄ Упражнения 476. Разложите на множители многочлен: 1) та + mb + 4а + 46; Ъ) а - \ + аЬ - Ь\ 2) Зх + с^ + сх + Зг/; 6) х^ + 8г/ - 2х - 16; 3) Ъа-ЪЬ + ар - Ьр; 7) аЬ + ас - h - с, 4) 7т + тп + 7 + п\ 8) Зр - 3k - 4ар + 4ak. 477. Представьте в виде произведения многочленов выражение: 1) <2^ - 3^ - 4а + 12; 4) 8х - 8у + xz - yz\ 2) ^а + ^ - па - п\ 5) тп + т - п - \\ 3) Ьх + ау + 6г/ + ох; 6) аЬ - ас - 2Ь + 2с. 478. Разложите на множители многочлен: 1) а^ + а^ + а + 1; Ь) а^ -аЬ +ас- Ьс\ 2) х^ - Зх^ + 4х^ -12; 6) 20а^Ьс - 28ас^ + 15а‘‘^6‘^ - 21бс; 3) с® - Юс*^ - 5с‘^ + 50; 7) х^у^ + ху + аху + а; 4) у'^ -18 + ^у^ - Зу\ 8) 24x6 - 44х^^ - 18x2^'^ + ЗЗу^. 479. Разложите на множители многочлен: 1) 8с^ - 2с2 + 4с - 1; 4) 8а^ - 2аЪ - 4ас + Ьс; 2) х'^у + X + ху^ л-у\ 5) 2Ь^ - 7Ь’^с - 4б + 14с; 3) 9а26 - За^ + 36‘2 - 6; 6) бх''' + 4:Х^у^ - 9х^у - ду^. оо V 480. Найдите значение выражения, разложив его предварительно на множители: 1) 2а^- За2 - 2аЬ + ЗЬ, если а = 0,5, Ь = 2,25; 2) д:^ -I- у^ - 12х - 12^, если х = 10,8, у = -8,8; 3) 27х^ - 36x2 4- бх - 8, если х = -1 . 3 88 481. 482. 483. 484. 485. TV Найдите значение выражения: 1) 2a + b + 2а^ + ab, если а = -3, h = 2) -6х + 2, если х = ^. Вычислите, не пользуясь калькулятором: 1) 3,742 + 3 74.2,26 - 3,74 • 1,24 - 2,26 • 1,24 2) 58,7 . 1,2 + 36 • 3,52 - 34,7 • 1,2 - 2,32 • 36; 3) 2^-3^ + 1^-2,8 + 2^-3^ + 1^ ^ 9 7 7 9 7 7 2,2. 15,6; 486. 487. 488. Найдите значение выражения: 1) 34,4 • 13,7 - 34,4 • 8,7 - 15,6 • 8,7 + 13,7 2) 0,6^ - 2 • 0,62 . 03 + 0,6 • 0,82 - 2 • 0,8^. Разложите на множители многочлен: 1) ах'^ +ау - Ьх^ - by + сх^ + су, 2) а^Ь + (2 + аЬ^ +Ь + ЪаЬ + 3; 3) - Jf2 + х^у + X - ху + у, 4) т^п + тп-Ъ-Ът + п- Ът^; 5) - 2х^ + 4х^ - 8x2 10; 6) а^Ь + аЬ^^ - аЬс^ - с^с - Ьс + с'^. Представьте выражение в виде произведения многочленов: 1) аЬ ас + ad + Ьх сх + dx; • 2) 7р - 7k - рх + kx + k - р; 3) Х^у^ - х2^2 + _ 5 + _ 6x2^2. 4) а^ -а"^Ь + а^Ь^ - а^Ь^ + аЬ‘^ - Ь^. Разложите на множители выражение (гг — натуральное число): 1) + а” + <2 + 1; 2) Ь^^^-Ь- 1 + + 3) 3^” + 3-3^2_5 + 5^., + 1 Разложите на множители трёхчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых: 1) х2 +8x4-12; 3) х2 +7х-8; 2) х2 -5х + 4; 4) х2 -4х-5. Разложите на множители трёхчлен: 1) х2 + 4х + 3; 3) х2 + Зх -18; 2) х2 - 10х +16; 4) х2 - 4х - 32. 489. Докажите, что при всех натуральных значениях п значение выражения + Згг2 + 2гг делится нацело на 6. 490. Разложите на множители многочлен: «2 + ^2 + с2 + 2аЬ + 2bc + 2ас. 89 491. Докажите, что при любом натуральном значении /г, большем 1, значение выражения 3« + 2 _ 2" + ^ ^ _ 2« делится нацело на 10. 492. Известно, что при некоторых значениях хну выполняется равенство -f- = 1. Найдите при этих же значениях х п у значение выра- жения 2д:'^ + Зх^у^ + у"^ + у^. Упражнения для повторения 493. 494. 495. {Задача глз русского фольклора.) Пастушок пригнал на поляну овец. На поляне были колышки. Если к каждому колышку он привяжет по овце, то для одной колышка не хватит. Если же к каждому колышку он привяжет по две овцы, то один колышек останется свободным. Сколько овец пригнал пастушок? Пётр и Дмитрий могут прополоть огород, работая вместе, за 2,4 ч. Пётр может сделать это самостоятельно за 4 ч. Сколько времени потребуется Дмитрию, чтобы самостоятельно прополоть огород? В одном бидоне было в 4 раза больше молока, чем в другом. Когда из первого бидона перелили 10 л молока во второй, то объём молока во 2 втором бидоне составил — объёма молока, оставшегося в первом би- 3 доне. Сколько литров молока было в каждом бидоне сначала? Готовимся к изучению новой темы 496. 497. Возведите в квадрат одночлен: 1) 2а; 3) 5) 0,3л:; 7) 8) 2) «2; 4) 7д;4. 6) 0,4^5^2. Запишите в виде выражения: 1) сумму чисел а и с; 2) разность чисел mw.n\ 3) произведение суммы чисел д: и г/ и их разности; 4) квадрат разности чисел хту\ 5) разность квадратов чисел х и у. \-nfin. 3 CZ_J Учимся делать нестандартные шаги 498. В турнире, организованном по олимпийской системе (проигравший выбывает), участвовали п теннисистов. Какое количество матчей надо провести, чтобы определить победителя турнира? 90 Задание «Проверьте себя» № 3 в тестовой форме 1. Представьте в виде многочлена выражение Ъу^{у^ + !)• А) + 1 Б) + 3^2 В) 3^5+1 ' Г) Ъу^ + 3^2 2. Упростите выражение -9г/(г/ - 3) + А.,Ъу{%у - 4). А) \Ъу Б) -АЪу В) -9^ Г) 9^ 3. Какому многочлену равно выражение {х - ?>){х + 7)? К) х^ + 4х -2\ В) + Юл: - 21 Б) ^2 - 4х - 21 Г) д;2 - Юдг - 21 4. Упростите выражение (Зд: + 2)(2х - 1) - {5х - 2){х - 4). А) дг2 - 23д: - 10 В) - 21д: + 6 Б) дг2 +23дг-10 Г)д;2 + 21д: + 6 5. Вынесите общий множитель за скобки: Ътп - Amk. А) п{?>т - Ak) В) гг(4т - Ък) Б) т{?>п - Ак) Г) т{^п - Ък) 6. Разложите на множители выражение пг^п + тп^. А) т{т + п) В) тп{т + п) Б) п{т + п) Г) т^п^{т + п) 7. Разложите выражение тп - тп^ на множители. А) тп{\ - п) В) т{\ - ?г)(1 - п) Б) тп{\ + п) Г) п{\ - т){\ - т) 8. Представьте многочлен 2д:2 - 4д:^’ в виде произведения одночлена и многочлена. А) 2д:2(1 - 2х^) В) 2д;2(2 - д^) Б) 2x2(1 -2д^) Г) 2x2(2-х^) 9. Решите уравнение х2 _ 2д: = 0. А) о Б) 0; -2 В) 0; 2 Г) 2 10. Представьте в виде произведения многочлен ах - <2^ + 5х - Ъу. 11. 12. А) (х-^)(а + 5) Ь) {х-у){а - 5) Решите уравнение А) 11 Б) 1 В) (х + у){а - 5) Г) {х-¥у){а + 5) д:-1 x + l_j^ 3 В) 7 Г) 5 Значение переменной а таково, что значение выражения -1а л-Ъ равно 2. Найдите значение выражения 2а^ — 14а + 10. А) 4 Б) 12 В) 8 Г) 14 91 ^ 14. Произведение разности и суммы двух выражений Нередко в математике, помимо знания общего закона (теоремы), удобно пользоваться правилами, применимыми в частных (особых) случаях. Например, если надо умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., то нет необходимости использовать общий алгоритм умножения в столбик, а гораздо выгоднее применить правило переноса запятой. Особые ситуации встречаются и при умножении многочленов. Рассмотрим частный случай, когда в произведении двух многочленов один из них представляет собой разность двух выражений, а другой — их сумму. Имеем: {а - Ь){а + Ь) = +аЬ-Ьа- . Получили тождество {а - h){a + Ь) = Теперь при умножении разности выражений на их сумму можно сократить работу, сразу записав результат — разность квадратов этих выражений. Поэтому это тождество называют формулой сокращённого умножения. Её выражает следующее правило. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Пример 1. Выполните умножение многочленов: 1) {2а - ЪЬ){2а + ЪЬ)\ 2) + 3) {-Атп - р){Атп - р). Решение. 1) {2а - ЪЬ){2а + ЪЬ) = {2а)‘^ - {ЪЬ)'^ = - 2ЪЬ^. 2) (г/^ + 3л:^)(3;с^ - у^) = (Зл^ -I- y'^){bod^ - у^) = (Зл^)*'^ - {y'^Y = 9-^ ~ У^‘ 3) {-Атп - р){Атп - р) = {-р - ^тп){-р -ь Атп) = {-pY ~ {^TunY = : р^ - 16mW. ◄ Пример 2. Упростите выражение: 1) {h - ЩЬ -ь 3) - {2Ь -ь 1)(2^ - 1); 2) -2х{х •+ 5)(5 - jc); 3) {а^ - 2){а^ + 2){а^ + 4). Решение. 1) {Ь - 3){Ь -ь 3) - {2Ь + \){2h - \) = - 9 - {4Ь^ - 1) = : -9-4Ь^ + 1= -3^2 - 8. 2) -2х{х + 5){5-х)= -2х{25 - х^) = -50х + 2х\ 92 3) применив дважды формулу произведения суммы и разности двух выражений, получим: {а^ - + 4) = - А){а^ + 4) = _ iq ^ 1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? 2. Запишите формулу произведения разности и суммы двух выражений. 500. Упражнения 499. Какому из данных многочленов тождественно равно произведение {7a-2h){7a + 2b): 1) 7а^ - ; 3) 49^-^ - 4b^; 2) 7й2 -н 2Ь'^; 4) + 4б^ ? Выполните умножение многочленов: 1) (т - п){т + п); 6) {4а - Ь){Ь + 4а); 2) {X- 1)(д:-ь 1); 7) (5Z>-H 1)(1 - 5Ь); 3) (9-у){9 + у); 8) {Sx - 5у){3х + Ьу); 4) (3^ - 1)(3/? -ь 1); 9) (13с - Ш){\Ъс + Ш); 5) (Ют - 7)(10т ч- 7); 10) (8т + 11/г)(1Ю - 8т). Представьте в виде многочлена выражение: 1) {с-2){с + 2)\ 5) {х+7){7 -X); 2) (12-х)(12-ь:г); 6) {Ъа-Щ{Ъа + Щ; 3) (Зх + у){Ъх - у); 7) (8т + 2)(2 - 8т); 4) (6х- *9)(6х-+-9); 8) (13с- \4d){\4d + 13с). Выполните умножение: 501. 502. 503. 1) («2 -3)(я2 -ьЗ); 2) + -Ъ); 3) (Зх-2^2)(з^ + 2^2); 4) (10р-^ -7^)(10р'^ -н7^); 5) (4х‘2 - %у^) (4x2 + 8у‘^); Выполните умножение: 1) (х'^ ч- 4)(х^ - 4); 2) (аЬ - с)(аЬ + с); V +^); 4) (3m2 - 2c)(3m2 -н 2с); 6) (Па^ +5d^)(5b^ -11а^); 7) {7 - ху){7 + ху); 1 8) Sa^b -\аЬ^ 3 %а^Ь -ь - аЬ^ 3 9) (0,3m5 -f- 0,1/г^) (0,3т^ - 0,1и^); 10) -а^с -1,4^'* 9 l,4b"^ + Y У 5) (6а‘^-8б)(6а^-к8б); 6) {Ьп"^ - rrd){bn^ + rii^); 7) (0,2m« - 0,8w«) (0,2m8 -ь 0,8^6); 8) Ip’’ +—k?4—k‘> 7^ II 11 1 93 504. Упростите выражение: 1) {2а-Ь){2а^-Ь) + Ы\ 2) + {у - Ъх){у + 5х); 3) 64^2 - (8w + 9)(8m - 9); 505. Упростите выражение: 1) (9й-2)(9а + 2)-18а2; 2) 25т2 -(5m-7)(5m + 7); оо V 4) (4г- 1у){^хл-1у) + (7дг-4^)(7х + 4^); 5) {а - 2)(а + 3) + (6 - а){а + 6); 6) Ъа{а - Ь) - (За + 2Ь){За - 2Ь). 3) {Ь + 7){Ь - 4) + (2Ь - 6)(2Ь + 6); 4) 4%-(Зл: - 10^) - (4х + у)(4х - у). 506. На какое выражение надо умножить двучлен 0,3-^'^ - ху^, чтобы произведение было равно двучлену 0,09лг® - х^у"^? 507. На какое выражение надо умножить многочлен 7t‘^ и- 9р^, чтобы произведение было равно многочлену 49г^^ -81/?^^? 508. Какие одночлены надо подставить вместо звёздочек, чтобы выполнялось тождество: 1) (*-12й)(*-ь*) = 9^2 2) (*-5с)(*ч-5с) = 1бб/2-*; 3) (0,7р -ь *)(* - 0,7р) = ^т^~ 0,49р2; 4) (Зт^-ь *)(*-*) = 9т“* - и®? 509. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество: 1) (8fl2^-*)(8fl2^-b*) = *-25с®; 2) ^ -- ' 510. Представьте в виде многочлена выражение: -а* ——х^у^^ 225 144 ^ 511. 512. 513. 1) а{а - 2){а + 2); 2) -3(д: -ь 3)(дг - 3); 3) 7b^{b + 4){A-b)-, Выполните умножение: 1) 56(6- 1)(6-н 1); 2) (c-h2)(c-2) -8с2; 4) (с - d){с + d){c^ + с^)\ 5) (2й-1)(2а-н1)(4«2 -Ы); 6) (с'’ -5)(с-'^ -н5)(сб -f-25). 3) (m-10)(m2 + 100)(m-hl0); 4) -I-- l)(<3'‘ -ь l). Выполните умножение двучленов {п — натуральное число): 1) (а”-4)(а«-н4); 3) ); 2) (62” +С^”)(62” -С^”); 4) + 1 +6”-’), 72 > 1. Упростите выражение: 1) {За - 3){3а + 3) - {7а + 4)(8я - 4); 2) 0,6772(27/2 - 1)(2т72 "Ь 1) -н 0,3(6 + 5T72)(6 - 5/72); 3) (7 - 2г)(7 -н 2х) - (х - 8)(х ч- 8) - (4 - Зх)(5 -н Зх); 4) -62с(4б-с2)(4б+ с2) + 166‘‘с. 94 514. 515. 516. 517. 518. 519. 520. Л. Упростите выражение: 1) (дг + 1)(д: - 1) - (л: + 5)(х - 5) + (х + 1)(х - 5); 2) 81й^ - (За^ - )(9а'* + М’)(За^ +Ь^). Решите уравнение: 1) 8х(3 + 2х) - (4г + 3)(4х - 3) = 9х - 6; 2) 7х - 4х{х - 5) = (8 - 2х)(8 + 2х) + 27х; 3) (6х + 7)(6х - 7) + 12х = 12х(3х + 1) - 49; 4) (х - 2)(х + 2)(x^ + 4)(х^ +16) = х*^ + 10х. Решите уравнение: 1) (х - 17)(х +17) = х2 + 6х - 49; 2) (1,2х - 4)(1,2х+ 4) - {1,Ъх - 2)(1,3х+ 2) = 0,5х (8 - 0,5л:). Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) (х - 9)(х + 9) - (х + 19)(х - 19); 2) (2а - Ь){2а + Ь) + {Ь - с){Ь + с) + {с - 2а)(с + 2а). Докажите, что при любом натуральном п значение выражения {7п + 8)(7а - 8) - (5а + 10)(5а - 10) делится нацело на 12. Докажите, что не существует такого натурального числа а, при котором значение выражения (4а -ь 3)(9а - 4) - (ба - 5)(ба -Н 5) - 3(а - 2) делится нацело на 8. Докажите, что при любом натуральном а значение выражения (9а - 4)(9а -ь 4) - (8а - 2)(4а + 3) -I- 5(ба -I- 9) делится нацело на 7. 521. Найдите значение выражения: 1) 32« • 620-(18*0-2)(18*«-ь2); 2) (5-H28*'7)(5-28*M-f-1434-2-^^ 3) 7'*о • 8*2-(14*8+ 3)(14*«-3); 4) (32 - 1)(32 -ь 1)(3^ -I- 1)(3« -h 1)(3*о -ь 1)(382 + 1) - 304; 5) (2 -ь 1)(22 + 1)(24 н- 1)(28 -ь 1)(2*о + I) - 2^2. 522. Чему равно значение выражения: 1) 81*0 ,82o_(03o + iWe3o_i). 2) 524 -(58 -2)(58 -н 2)(50 -+-4)(5*2 -f 16)? 523. Сравните значения выражений, не вычисляя их: 1) 415 • 425 и 426 • 414; 2) 1 234 567 ■ 1 234 569 и 1 234 5682. 524. Сравните значения выражений, не вычисляя их: 1) 253 • 259 и 252 • 260; 2) 987 6542 ^ 987 646 • 987 662. Упражнения для повторения 525. От села до станции Вася может доехать на велосипеде за 3 ч, а дойти пешком — за 7 ч. Скорость пешком на 8 км/ч меньше, чем скорость 95 526. 527. 528. 529. движения на велосипеде. С какой скоростью ездит Вася на велосипеде? На каком расстоянии находится село от станции? В одном мешке было 60 кг сахара, а в другом — 100 кг. Когда из второго мешка взяли в 4 раза больше сахара, чем из первого, то в первом осталось в 2 раза больше сахара, чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка? Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч, другой — за 12 ч, а третий — за 15 ч. За сколько часов они смогут перевезти урожай, работая вместе? {Старинная египетская задача.) У каждого из 7 человек есть по 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей зерна ежегодно спасают благодаря кошкам? Сколько это составляет тонн зерна? Ответ округлите до сотых. Решите уравнение: 1) 4х - 1 Зх + 1 12 8 = X + 1-, 2) Зх -2 2х + 1 5-х С Готовимся к изучению новой темы 530. 531. Представьте данное выражение в виде квадрата одночлена: 1) х^; 3) 4х^; 5) а^Ы^; 7) l,21m^^w^®; 2) 4) -х"^; ’ 9 6) 0,36д:2^12; 8) Х — ’ 16 Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов выражение: 1) «2 _ 16^'^; 3) 100/?4 - 25сб; 5) -й‘2 - 49с»; 2) 25с2 + 9^2; 4) -64 4- ^10; 6) -0,01«4 -ь 0,04^4р В случае утвердительного ответа запишите эту разность квадратов. С", и Учимся делать нестандартные шаги 532. Для перевозки груза выделили 4-, 7- и 8-тонные грузовики. Каждый автомобиль должен сделать только одну ходку. Сколько требуется грузовиков каждого вида для перевозки 44 т груза? 96 S 15. Разность квадратов двух выражений Вы уже знаете два способа разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки и метод группировки. Рассмотрим ещё один способ. Формулу {а - Ь){а + Ь) = перепищем так: = {a-h){a + Ь) Это тождество называют формулой разности квадратов двух выражений. Теперь можно сформулировать правило. ^ Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Приведём примеры применения этой формулы для разложения многочленов на множители. Пример 1. Разложите на множители: 1) ^2-4; 2) 36ш2-2^?г8; Ъ)-а^Ь^+\. У Решение. 1) Имеем: - А = - 2^ = {а - 2){а + 2). 2) Збт^ - 2 ^ = Збт^ - = (6/тг)^ ~ j ~ 6w -1 -I- ^ п'^ j. 3) -а^Ы’ -1-1 = 1- = (1 - аЬ^){\ + аЬ^). < Пример 2. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов: 1) 100 ~{а + 5)2; 2) {2а + 3bf - {За - Ь)^. Решение. 1) 100 ~{а + 5)^ = 10^ - {а + 5)^ = {10 - {а + 5))(10 + {а + 5)) = = (10 - а - 5)(10 -1- <2 -I- 5) = (5 - а)(15 + а). 2) {2а + 3bf - {За - bf = {{2а -ь ЗЬ) - {За - Ь)){{2а + ЗЬ) + {За - Ь)) = = {2а + ЗЬ - За + Ь){2а + ЗЬ + За - Ь) = {АЬ - а) {5а + 2Ь). ◄ Пример 3. Решите уравнение: 1) х2 - 36 = 0; 2) {2х - 7)2 - 81 = 0. Решение. 1) Применив формулу разности квадратов и условие равенства произведения нулю, получим: {х - 6)(x -н 6) = 0; 97 Ответ: 6; -6. 2) Имеем: л: - 6 = О или X + 6 = 0; X = 6 или X = -6. (2х-7-9)(2л:-7 + 9) = 0; (2х- 16)(2х + 2) = 0; 2л: - 16 = о или 2л: + 2 = 0; л: = 8 или л: = -1. Ответ: 8; -1. ◄ Пример 4. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (6/2 + 7)^ - (2/2 - 1)^ делится нацело на 8. Решение. Имеем: (6/2-I-7)^- (2/2- 1)^ = (6/2-f-7-2/2-н 1)(6/2 + 1 л-2п-\) = = (4/2 + 8)(8/2 -ь 6) = 4(/2 + 2) • 2(4/2 + 3) = 8(/2 + 2)(4/2 + 3). Данное выражение представлено в виде произведения трёх множителей, один из которых равен 8, а два других — натуральные числа. Тогда значение выражения делится нацело на 8 при любом натуральном п. ◄ 1. Запишите формулу разности квадратов двух выражений. 2. Сформулируйте правило разложения на множители разности квадратов двух выражений. Упражнения 533. Каким из данных произведений многочленов тождественно равен многочлен -144: 1) (й-12)2; 3) {12 - а){12 + а); 2) {а - 12){а + 12); 4) (12 - а){-\2 - а)? 534. Какое из данных равенств является тождеством: 1) -49 -ь 62 = (7 - Ь){7 + by, 3) -49 -ь 62 = (7 - bf\ 2) -49 -f- 62 = (6 - 7)(6 -н 7); 4) -49 + 62 = (6 - 49)(6 -ь 49)? 535. Можно ли, применяя формулу разности квадратов, разложить на множители выражение: 1) fl2 _ 9; 4) 25 -h л^; 7) 81 -н 100р2; ю) - 25? 2) 62-hi; 5) 1-^2. 8)81-100р2; 3) 4 - с*2; 6) 16д2 - 62; 9) - 25; Если можно, то выполните разложение на множители. 536. Разложите на множители: 1) 62 - б/2; 4) 36 - с2; 7) 900 - 8162; 2) лг2 - 1; 5) 4 - 25^2; 8) 16л:2 - 121^2. 3) -л:2 -h 1; 6) 49«2 - 100; 9) ЬЧ^ - 1; 98 10) 11) -AaW +2Ъ\ 13) -1; 14) 100^2 -0,0 12) 144x2.v^ -400; 15) -b'^\ 537. Разложите на множители: 1) 16-^2; 5) 4д:2 -25; 2) с2 -49; 6) 81с2 -64^2. 3) 0,04 - «2; 7) о,09д:2 - 0,25^2. оо V 4) 538. Решите уравнение: 1) jk:2-49 = 0; 2) i - = 0; 539. Решите уравнение: 1) с2-0,25 = 0; 8) «2^4 3) х2 + 36 = 0; 4) д;2 - 0,01 = 0; 16) р2^2 _ 0,36ife2^/2; 17) -9; 18) 4д;*2 _ 1 Д^1б 25^ 9) 4fl2c2 - 9x2^2; 10) -у^\ 11) -1600 + fli2; 12) а‘«-—. 64 5) 9x2 - 4 = 0; 6) 0,04x2 -1 = 0. 2) 81x2 - 121 = 0; 3) -0,09 + 4x2 = 0. 540. Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов 1) (X + 2)2 - 49; 6) (8^ + 4)2 - (4^ - 3)2; 2) (X -10)2 - 25^2. 7) + Щ2 _ (2а _ Щ2. 3) 25 - {у - 3)2; 8) 4(й - bf ~{а + bf\ 4) {а - 4)2 - (й + 2)2; 9) (х2 + х +1)^ - (х2 - х + 2)^; 5) {т -10)2 _ _ 0)2. 10) +yf - i6x^. 541. Представьте в виде произведения выражение: 1) (х-2)2 -4; 4) Й^ -(7^-й2)^ 2) ф + 7)2 - 100с2; 5) (4х - 9)2 - (2х + 19)2; 3) 121 -0 + 7)2; 6) {a + b + cf -{а-Ь-cf. 542. Найдите значение выражения: 1) (9х - 4)2 - (7х + 5)2, если х = 1,5; 2) (5х + 3^)2 - (Зх + 5^)2, если х = 2,1, г/ = 1,9. 543. Найдите значение выражения (2,5й - 1,5^)2 - (1,5й - 2,5б)2, если а = -1,5, 6 = -3,5. 544. Чему равна площадь закрашенной фигуры, изображенной на рисунке 4? Вычислите значение полученного выражения при а = 7,4 см, Ь = 2,6 см. 545. Две окружности, радиусы которых равны R w г {R > г), имеют общий центр. Выразите через п, Ru г площадь фигуры, ограниченной этими окружностями. Вычислите значение полученного выражения при i? = 5,1 см, г= 4,9 см. 99 "❖V 546. Представьте в виде произведения трёх множителей выражение: 1)^4-625; 2)х'«-81; 3)2^”-16, где п — натуральное число. 547. Разложите на множители: 1) -Ь^\ 2) _25б. 548. Решите уравнение: 1) (Зх - 5)2 - 49 = 0; 3) {а - 1)2 - {2а + 9)2 = 0; 2) (4х + 7)2 - 9x2 ^ Q. 4) 25(3^ + 1)2 - Щ2Ь - If = 0. 549. Решите уравнение: 1) 16 - (6 - 11х)2 = 0; 2) {7т - 13)2 _ + щ2 = q 550. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения: 1) {7п + 4)2 - 9 делится нацело на 7; 2) {8п + 1)2 - (Зц - 1)2 делится нацело на 11; 3) (3/г + 7)2 - {Зп - 5)2 делится нацело на 24; 4) {7п + 6)2 - {2п - 9)2 делится нацело на 15. 551. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения: 1) {5п + 4)2 - {Ьп - 4)2 делится нацело на 80; 2) {9п + 10)2 - {9п + 8)2 делится нацело на 36; 3) (10ц + 2)2 - (4ц - 10)2 делится нацело на 12. 552. Докажите, что: 1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел; 2) разность квадратов двух последовательных чётных чисел делится нацело на 4. 553. Докажите, что: 1) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел; 2) разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится нацело на 8. 554. Докажите тождество: (т‘^ - f (f -[т^ +n^f = -4цг®ц^’. 555. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа. 556. Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7. 557. При каком значении Ь уравнение - 4)х = Ь - 2: 1) имеет бесконечно много корней; 2) не имеет корней; 3) имеет один корень? 100 558. При каком значении а уравнение - 25) х = а+ Ъ\ 1) имеет бесконечно много корней; 3) имеет один корень? 2) не имеет корней; 559. 560. 561. 562. 563. Упражнения для повторения ---------- Лодка двигалась 2,4 ч по течению реки и 3,6 ч против течения. Расстояние, пройденное лодкой по течению, на 5,4 км больше расстояния, пройденного против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения составляет 2,5 км/ч. ^ За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали — того, что продали в первый день, а в третий — столько, сколько в первые два дня вместе. Сколько килограммов апельсинов продали в первый день? В последовательности ..., а, Ь, с, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... каждое число равно сумме двух предыдущих. Чему равно число а? Решите уравнение: 1) 2х X + 2 = х\ 2) 3(2x-f 3)-2(Зд:-ь5)=-1. 8 4 Для каждой пары выражений найдите все значения а, при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения: \) aw Ъа\ 2) и 3) + 1 и -ь 3. Готовимся к изучению новой темы 564. 565. Запишите в виде выражения: 1) квадрат суммы чисел аиЬ\ 2) сумму квадратов чисел а и Ь\ 3) удвоенное произведение чисел awb\ 4) квадрат разности одночленов Ът и Ап. Найдите удвоенное произведение одночленов: \) и ЪЬ\ 2) Ъх и 6^; 3) 0,Ът и Ап\ 4) - и 6т. CZJ Учимся делать нестандартные шаги 566. Меню состоит из 101 блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя. 101 ^ 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений Преобразуем в многочлен выражение {а + bf-. Имеем: {а + bf = {а + Ь){а + Ь) = + аЬ + Ьа + + 2аЬ + Итак, {а + hY = + 2аЬ + Это тождество называют формулой квадрата суммы двух выражений. Теперь можно сформулировать правило. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. Преобразуем в многочлен выражение {а - bf-. Имеем: {а - Ь)^ = {а - Ь){а - Ь) = -ab-ba + b^ = - 2аЬ + Ь^. Мы получили формулу квадрата разности двух выражений: {а - bf = - 2аЬ + Ь"^ ^ Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. Заметим, что формулу квадрата разности двух выражений можно получить с помощью формулы квадрата суммы двух выражений: {а - bf = {а + {-b)f = + 2а{-Ь) + {-bf - - 2аЬ + С помощью полученных формул можно проще возводить в квадрат сумму либо разность любых двух выражений, не используя правило умножения двух многочленов. Поэтому их относят к формулам сокращённого умножения. Пример 1. Представьте в виде многочлена выражение: 1) (3/?-4с)2; 2) {a^ + baf. Решение. 1) По формуле квадрата разности двух выражений получаем: {ЪЬ - 4с)2 = (36)2 - 2.36.4с -н (4с)2 = 96^ - 24бс -h \6с^. 2) По формуле квадрата суммы получаем: (а^ + 5af = {a^f + 2 ■ ■ Ъа + {5af = + 25а^. < Пример 2. Преобразуйте в многочлен выражение: 1) {-a-bf; 2) (-х2-б)2. 102 Решение. 1) Имеем: {-а - Ь)^ = (-<2)^ - 2{-а) • Ь + Ь'^ = + 2аЬ + Ь^. Этот пример можно решить иначе. Так как {-а - Ь)^ = (-1 ■ {а + Ь)У^ = (-1)^ • {а + ЬУ = {а + Ь)^, то есть выражения {-а - ЬУи {а + 6)^ тождественно равны, то: {-а - Ь)^ = {а + Ь)^ = -ь 2аЬ + Ь^. 2) (-Jf2 - 6)2 = (x2 н- 6)2 = + 12д;2 + 36. ◄ Пример 3. Решите уравнение {х - 10)2 = (д; + 7)2 _ i7_ Решение. Имеем: л:2 - 20х + 100 = л;2 -н 14л: 4- 49 - 17; л;2 - 20л: - л;2 - 14л: = 49 - 17 - 100; -34л: = -68; л: = 2. Ответ: 2. ◄ Пример 4. Докажите, что остаток при делении квадрата натурального числа на число 3 равен 0 или 1. Решение. Пусть п — некоторое натуральное число. Рассмотрим три случая. 1) Число п кратно 3. Тогда п = Ък, где к — натуральное число. Имеем: = (Sk)^ = 9к^. Значение выражения 9к^ кратно 3, то есть ос- таток при делении на 3 равен 0. 2) Остаток при делении на 3 числа п равен 1. Тогда п можно представить в виде п = Ък -¥ \, где к — натуральное число. Имеем: «2 = (3^ + 1)2 = 9^2 + 1 = 3(3^2 + 2к) + 1 = Зр -f- 1, где р = Ък^ + 2к — неполное частное при делении гг2на 3, а остаток при этом равен 1. 3) Остаток при делении на 3 числа п равен 2. Тогда п = Ък + 2, где к — натуральное число; = {Sk -f- 2)2 = 9к^ + 12^ -I- 4 = {9к^ -ь 12^ + 3) + 1 = = 3(3^2 + 4^ + 1) + 1, Очевидно, что и в этом случае остаток при делении на 3 равен 1. ◄ Г*1 1. Какое тождество называют формулой квадрата суммы двух выражений? 2. Сформулируйте правило возведения суммы двух выражений в квадрат. 3. Какое тождество называют формулой квадрата разности двух выражений? 4. Сформулируйте правило возведения разности двух выражений в квадрат. 103 Упражнения 567. Какому из данных многочленов тождественно равно выражение (5а + 3)2: 1) 25а2 +15а + 9; 3) 25^2+9; 2) 25^2+ S0a + 9; 4) 5«2 + 3? 568. Какое из данных равенств является тождеством: 1) (12а - hf = 144а2 - ^2; з) (i2« - bf = 144а2 - 2АаЬ + 2) (12а - bf = 144а2 + 24а/? + /?2. 4) (i2a - bf = 12а2 - 24а/? + /?2? 569. Представьте в виде многочлена выражение: 570. 571. 1) (а + х) ; 7) (7/?+ 6) 2) (х + 2)^ 8) (8х + 4^)'"; 3) (^-1)^; 9) (0,4т-0,5а/ 4) (5-pf; 10)(за + |б' 5) (4 +if; ll)(l/-13f; 6) (3a-2f; П) (IS-yf; Выполните возведение в квадрат: 6) (4х-3) 7) (5т - 4а)2; 8) (Юс+ 7<7)2; f 1 9) ( 4х--г/J ; 10) (0,3а+ 0,9/?/; 572. 573. 574. 1) (а+ 8) 2) (/? - 2)2; 3) (7 + С)2; 4) (6-^/; 5) (2т+ 1/ Упростите выражение: 1) а2 +(За-/?)2; 2) (4х + 5)2 - 40х; 3) 50а2 -(7а-1)2; 4) с2 + 36 - (с - 6)2; 5) (х - 2)2 + х(х + 10); Упростите выражение: 1) (х- 12)2+ 24х; 2) (х + 8)2 - х(х + 5); 3) 2х(х + 2)-(х-2)2; Решите уравнение: 1) (х - 8)2 - х(х + 6) = -2; 2) (х + 7)2 =(х-3)(х + 3); Решите уравнение: 1) (х + 9)2 - х(х + 8) = 1; 2) (х- 11)2= (х- 7)(х- 9); 13) (/?2 -11) ; 14) (а2 +4/?)^; 15) (х2 16) (а-^ -4/?)^ 17) (а2 +а)^ 18) (3/?2 -2/?^)1 11) (с2-6)2; 12) (15 + F)2; 13) (m2 - За)2; 14) (т'* - )2; 15) (5а^ -2а7)2. 6) 3m(m - 4) - (m + 2)2; 7) {y-9f+{A-y){y + 6y, 8) (х - 4)(х + 4) - (х - 1)2; 9) (2а - 3/?)2 + (За + 2bf; 10) (х-5)2 -(х-7)(х + 7). 4) (^ + 7)2+(^ + 2)(^-7); 5) (а + 1)(а-1)-(а + 4)2; 6) (х-10)(9-х) + (х + 10)2. 3) (2х + 1)2 - (2х - 1)(2х + 3) = 0; 4) х(х - 2) - (X + 5)2 =35. 3) (х-4)(х+4)-(х+6)2 = -16; 4) (1 - Зх)2 - х(9х - 2) = 5. 104 оо V 575. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: 1) (* + ^)2 = * + 4^^ + ^2. 3) (ф _ 5с)2 = и: _ 20^2с -Н 25с2; 2) (4х-*)2 = 16x2 -*-h 100^2. 4) (7^2 +*)2 + * + 576. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество: 1) (*-ьб^)2 =*-ь24й^-ь*; 2) (*-*)2 =9ш4 -А2т^п^ 577. Докажите тождество {а - bf- = {Ь - of . 578. Преобразуйте в многочлен выражение: \) {-х + 1)2; 3) {-5а + 3^)2; 5) (-0,7с - lOd)^; 6) 2) (-ш-9)2; 4) (-4г-8^)2; 579. Выполни'ге возведение в квадрат: 1) (-Зт-ь7?2)2; 3) {-x^-yf- 2) (-0,4r - 1,5^)2; 4) {-аЧ'^ + с^« f. 580. Выполните возведение в квадрат: 5) +-ah 8 1) (106/2 -7й^?2)^; 2) (0,8^3 ч-0,2б2с^)^ 6) 3) (ЗОЛ + 0,047/2)^; 4) (0,5xV" -20^6)^; 8) 1 а^Ь -ь 2 - 6/^2 3 4 2 х^у^ - у^х 3 ^ 14 ^ 7) +-т^ 6 Ъ-х^у^^ + — х^у^ 8 ^ 25 ^ 581. Преобразуйте в многочлен выражение 1) 6(1-2с) ; 2) -п[х + ^у 4) bb[b^ +1bf\ 5) (й-t-3)(б/-4)'^; 7) (й-5) (й-ь5) ; 8) (3д:-н4г/)2(3д:-4!у)2. 3) й(й-б^) ; 6) (2л:-ь4) (х-8); 582. Представьте в виде многочлена выражение: 1) (0,02pЗ^-h20p2^'^)^ 4) lx{x^-2xf 2) I \-тп - — т^п^ 'б 21 5) (5,v-2f(2^ + l); 3)-15(|а-1б] ; 6) (10p-fe)2(10p + yt)2. 583. Упростите выражение и найдите его значение: 1) {а + 3)2 - (й - 9)(й -f 9), если а = -2,5; 2) {Ъх — 8)2 — {4х - 3)2 + 26х , если д: = - ; 3) (Зг/2 -H4f -н (3.^2 _ 4)2 _ _ 2^2) (1 + 3^2) если у = 1. 105 584. Упростите выражение и найдите его значение: 1) 2тп{тп - 6)2 - т^{2т -15), если т = -4; 2) (2х - 5)2 - 4(x +1) (х - 7), если х = -3,5. 585. При каком значении переменной значение квадрата двучлена д: + 12 на 225 больше значения квадрата двучлена дг - 13? 586. Решите уравнение: 1) (д:- 12)(д:+ 12) = 2(д: - 6)2 - д;2; 2) (Зд: -1)2 + (4д: + 2)2 = (5д: - 1)(5д: + 1); 3) 5(д: + 2)2 + (2д: -1)2 - 9(д: + 3)(д: - 3) = 22. 587. Решите уравнение: 1) (Зд: + 2)2 + (4д: - 1)(4д; +1) = (5д: -1)2; 2) 2(т + 1)2 + 3(т - 1)2 - Ъ{т + \){т - 1) = -4. 588. Найдите сторону квадрата, если при увеличении ее на 5 см получится квадрат, площадь которого на 95 см2 больше площади данного. 589. Если сторону квадрата уменьшить на 8 см, то получится квадрат, площадь которого на 352 см2 меньше площади данного. Найдите сторону данного квадрата. 590. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел. 591. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего. 592. При каких значениях а и Ь верно равенство: 1) {а +bf = + Ь^; 2) {а - bf ={а + bf ? 593. Докажите тождество: 1) {a + bf + {а- bf = 2 («2 + ^2 j. 2) (а ч- bf - {а- bf = 4аЬ; 3) + Ь^ = {а + bf - 2аЬ; 4) [а^ + Ь^)(с2 + d^) = {ас + bdf -ь {ad - bcf. 594. Докажите тождество: 1) а^ = {а- bf + 2аЬ\ 2) {а - bf -I- {аЬ +1)2 = (fl2 +1)(^2 + 595. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) {X- 3)2 +(х + 3)2 - 2{х - 6){х ч- 6); 2) (4x3 Ч-5) ч-(2д:^^ -1)^ -4(5д:3 -ь4)(д;3 Ч-1). 596. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной х: 1) (6х - 8)2-ь (8х ч-6)2 - {\0х-1){10х+ 1); 2) 2(4х - ^)(8х ч- 5у) - (8х - 5yf - 4у{26х ч-1). 106 597. Каким числом, чётным или нечётным, является квадрат нечётного натурального числа? 598. Выведите формулу куба суммы; {а + bY = + Ъа^Ь + ЪаЬ^ + Ь^. Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение: 1) (х + З)^ 2) {2x + yf, 599. Выведите формулу куба разности: {а - bf = - ?)М + ЪаЬ^ - Ь^. Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение: 1) (1-х)3; 2) {x-byf. 600. Выведите формулу квадрата трёхчлена: {а + Ьл- cf = +Ь'^ +с^ + 2аЬ + 2bc + 2ас. Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение: 1) {a + b-cf; 2) (a-b + 4f. 601. Древнегреческий учёный Евклид (III в. до н. э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности геометрически. Пользуясь рисунками 5 и б, восстановите его доказательство. TV 602. Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8? 603. Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4. 604. Докажите, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел. 605. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16. 606. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25. 107 607. Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5. Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа? 608. Остаток при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6. Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого числа? 609. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение: 1) {а + h л- с){а + h - с)\ 2) {а + Ь + с){а - Ь - с); 3) {а + h + с + d){a Ь - с - d). 610. Используя формулы сокращённого умножения, представьте в виде многочлена выражение: 1) {а - h - с){а + Ь - с); 2) {а - Ь + с + d){a - Ь - с - d). При каком значении а уравнение (6х - а)^ + (8х - 3)^ = (Юд: - 3)^ не 611. имеет корней: 612. При каком значении а уравнение {2а - Ъх)^ + (х - 1)‘^ = 10(х - 2)(дч- 2) не имеет корней? 613. Докажите тождество: {2п +1)2 + (2г?2 +2nf = [2п^ +2n + \f. Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VI в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях п значения выражений 2?г -I- 1; 2п^ -ь 2rv, 2п^ -f + 2п \ являются длинами сторон прямоугольного треугольника. 614. {Тождество Ж.Л. Лагранжа^.) Докажите тождество: («2 + )(/^2 +п^ +k'^)- {am + hn + ckf = = {an - hmf + {ak - cm)^ + {bk - cn)^. 615. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа. Упражнения для повторения 616. 617. В корнеплодах сахарной свёклы содержится 25 % сахара, в то время как в стеблях сахарного тростника — только 18 %. Сколько тонн сахарного тростника надо переработать, чтобы получить столько же сахара, сколько из 3600 т сахарной свёклы? В магазин привезли 740 кг апельсинов и бананов в 80 ящиках. В одном ящике было 10 кг апельсинов или 8 кг бананов. Сколько килограммов апельсинов привезли в магазин? Лагранж Жозеф Луи (1736-18LS) — французский математик и механик. 108 618. В первой коробке было 45 шариков, из них 15 — белых, во второй — 75 шариков, из них 25 — белых, в третьей — 24 белых и 48 красных шариков, в четвёртой — поровну белых, красных и зелёных шариков. Для какой коробки больше вероятность наугад вынуть из неё белый шарик? 619. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение: 1) 2)^2-16; 8) (х-н4)2-ь20? 620. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение: 1) -д:2; 2) -х^+4; 3) 12-(х-1)2? 621. При каком значении переменной выполняется равенство: 1) (X - 1)2 -н (л:-Ы)2 =-10; 3) (х2 - if -н (х-И)2 =0? 2) (X - 1)2 -f-(X-И)2 =0; 622. При каких значениях переменных х и у выполняется равенство: 1) (X + 2)2 -н (^ - 6)2 = -1; 2) {х + 2)2 -н {у - 6)2 = о? Учимся делать --- нестандартные шаги 623. Известно, что натуральные числа т 1л п таковы, что значение выражения Юттг -I- п делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения (Ют -I- и)(10/2 -н т) делится нацело на 121. 6 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений Перепишем формулы квадрата суммы и квадрата разности, поменяв местами их левые и правые части. д2 + 2аЬ + ^2 ={а + hf - 2ah + /?2 = [а- Ь)‘^ В таком виде эти формулы в ряде случаев позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена. Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом. Пример 1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: 1) х2 -к 10х + 25; 2) 9а*'' - 42а^Ь^ + Решение. 1) х2 -i- 10х -н 25 = х2 -ь 2 • х • 5 + 52 = (х и- 5)2. 2) - ^2aW + = (3<я^)2 - 2 • ◄ 109 Пример 2. Найдите, пользуясь преобразованием выражения в квадрат двучлена, значение суммы 5,2^ + 10,4 • 4,8 + 4,8^. Решение. Имеем: 5,2^ -н 10,4 • 4,8 -н 4,8^ = 5,2^ -ь 2 • 5,2 • 4,8 -н 4,8^ = = (5,2 -ь 4,8)2 = 102 ^ 100. ◄ Пример 3. Решите уравнение 4x2 _ 12х -ь 9 = 0. Решение. Представим левую часть уравнения в виде квадрата разности: (2х-3)2 = 0. Так как значение квадрата равно нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю, то получаем: 2х - 3 = 0; х= 1,5. Ответ: 1,5. ◄ Пример 4. Докажите, что значение выражения (2х -I- 1)2 - 2(2х -f--I- 1)(2х - 5) -I- (2х - 5)2 не зависит от значения переменной. Решение. Имеем: (2х -f- 1)2 - 2(2х -I- 1)(2х - 5) 4- (2х - 5)2 = ((2х + 1) -- (2х - 5))2 = (2х + 1 - 2х -ь 5)2 = 62 = 36. ◄ Пример 5. Докажите, что выражение - Ах + Ъ принимает положительные значения при любых значениях х. Какое наименьшее значение принимает выражение и при каком значении х? Решение. Преобразуем данное выражение: х2-4х-1-5=х2-4х-1-4-»-1 = (х-2)2 4-1. Представление выражения в виде суммы, одним из слагаемых которой является квадрат двучлена (в нашем примере это (х - 2)2), называют выделением квадрата двучлена из данного выражения. Так как (х - 2)2 > 0 при любых значениях х, то выражение (х - 2)2 -1- 1 принимает только положительные значения. Также понятно, что (х - 2)2 -н 1 > 1. Отсюда наименьшее значение, равное 1, данное выражение принимает при х = 2. ◄ Пример 6. При каких значениях х п у значение многочлена х2 -I- Z/2 _ 12х -1- Ау -ь 40 равно нулю? Решение. Имеем: у?- + гр- - 12х + 4^ -t- 40 = х2 — 12х + 36 + + 4w -+• 4 = = (х-6)^ + (^/ + 2)^. Мы представили данный многочлен в виде суммы двух слагаемых, которые могут принимать только неотрицательные значения. Их сумма, а следовательно, и данный многочлен будут принимать нулевое значение 110 тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых будет равно нулю, то есть когда X = Ь т у = -2. Ответ: х = б, ^ = -2. ◄ оо V Упражнения \---- 624. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен (1^ - \Sa + 81: 1)(й-3)2; 2) я-9; 3) (а - 9)(а + 9); 4) (я-9)2? 625. Какое из данных равенств является тождеством: 1) я2 + 8а6 + 16^2 = [а + 3) я2 + ^аЬ + = {ah + 4)2; 2) «2 + Sab +16^2 ={а + 4б)2; 4) я2 + sab +16/)2 = (я + 2bf ? 626. Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений: 7) Ь'^ - 2b^c + с2; 1) я2 + 2я + 1; 2) х2 -12Х + 36; 3) ^2 _ 18^+ 81; 4) 100-20с + с2; 5) я2 -бя^ + 9^2. 6) 9я2 - ЗОя^ + 25^2. 8) ^ я'*; 9) Збя2/)2 -12я/? + 1; 10) + 2x2 + 1; 11) -2х^у^ +\&у^\ 12) 0,01я» +25^14 -я^Я 627. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: 1) 62 - 2Z? +1; 5) 9x2 _ 2^ху + 16^2. 2) 4 + 4я + я2; б) я<^ -2Я-’’ +1; 3) х2 - 14х + 49; 7) Збя® - 84я^6^ + 49б‘°; 4) 4я2 + 4я6 + 62; 8) 81х^^® - Ъ^х^у‘^2^ + 42^2. 628. Найдите значение выражения, представив его предварительно в виде квадрата двучлена: 1) у^ -Sy + 16, если у = -4; 2) с2 + 24с + 144, если с = -10; 3) 25x2 _ 20ху + 4^2^ если х = S, у = 5,5; 4) 49я2 + 84я6 + 3662, если я = 1 у , Ь = 2^. 629. Найдите значение выражения: 1) 62 - зоб + 225, если 6 = 6; 2) 100я2 + бОяб + 9б2, если я = 0,8, 6 = —3. 630. Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражение: 1) * - 56я + 49; 2) 9с2 - 12с + *; 111 631. 632. 633. 634. 635. 636. 637. 638. 639. 640. 3) * - 42x^ + 49^^; 4) 0,01^2 + * +iooc2; 5) ^2^2 _ 4<з3^5 ^ 6) 1,44^2^'^ - + 0,25^®; 7) 64 - 80^20 + *^40. 8) + *? 25 Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось тождество: 1) п2 -ь 60w -ь * = (* -ь 30)2; 3) 225fl2 - * + = (* _ *)2. 2) 25c2-*-f* = (*-8^)2; 4) 0,04x2-h*-h* = (*-b0,3r')l Представьте, если это можно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен: 1) -8х -Ы6 -н х2; 5) 81с2 - 54^2^ + g^2. 2) -ь AiU'^b^ -I- 4/?®; 6) - d^b^ -н 0,25<з^; 3) 2х - 25 - о, 04x2; 7) ^ х2 - х^ -f 4^2. 9 8)----rf' - Ътп^ - ' 64 4) —а^~ ХОа'^Ь^ -ь 49^^2. ’ 49 5) SOoqj + 16x2 + 25^2. 6) 6>»--i*5(; + ic2. 3 9 4) 25^2 - 15тгг + 9п^; Представьте, если это можно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен: 1) -0,8а« -0,16^8; 2) 121т2 - 44ти + 16?г2; 3) -й® -I- 4а^Ь - 4^2; Представьте в виде квадрата двучлена выражение: 1) {4:a + 3bf -8Ь{4а +by, 2) (10х + Зг/)2 - (8х + 4^)(8х - 4у). Преобразуйте в квадрат двучлена выражение: 1) {Зт - 2nf -I- Ът{4п - ту 2) (9х -I- 2(^)2 - (8х -I- 3i^)(4x - 4у). Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел, найдите значение данного выражения: 1) 1,022 - 1,02 • 1,96 -ь о, 982; 2) 242 + 95.38 + 762. Вычислите: 1) 2032 - 406 • 103 -н 1032; 2) 1,582 ^ j 53.234 + 1,422. Какое число надо прибавить к многочлену 81а2/?2 _ 35^^-|-9, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена? Какое число надо прибавить к многочлену ЮОш'^ + 120^2 + 40, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена? Решите уравнение: 1) х2 - 16х -ь 64 = 0; 2) 81x2 + J26x -н 49 = 0. 112 641. Решите уравнение: 1) ^2 + 12х + 36 = 0; 2) 25x2 _ зох + 9 = 0. 642. Является ли тождеством равенство: {а-2){а-Ъ){а + Ъ){а + 2) + а^ =(«2 _6)Ь 643. Докажите тождество: 1) (й-1)2 +2(«-1) + 1 =fl2; 2) {а + /?)2 - 2{а + Ь){а - Ь) + {а - bf = 4^2. 3) {а - 8)2 + 2{а - 8)(3 -а) + {а- 3)2 = 25; 4) (х« - 2)2 - 2(х« - 2)(х« + 2) + (х« + 2)2 = 16, где п — произвольное натуральное число. 644. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) (Зх + 8)2 - 2(3х + 8)(3х - 8) + (Зх - 8)2; 2) (4х - 7)2 + (4х - 11)2 + 2(4х - 7) (11 - 4х). 645. Докажите, что уравнение не имеет корней: 1) х2 - 14х + 52 = 0; 2) 4x2 - 2х + 1 = q 646. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х: 1)х2-6х + 10; 2) 16x2+24Х + 25; 3)х2+х + 1. 647. Может ли принимать отрицательные значения выражение: 1) х2-24Х + 144; 2) 4x2 + 20х + 28? 648. Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х; укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х: 1) -х2+4х-12; 2) 22х-121х2-2; 3) -56 - 36x2 - 84х. 649. Может ли принимать положительные значения выражение: 1) -х2 + 20х - 100; 2) -х2 - 10 - 4х? 650. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: 1) -х2 - 16х + 36; 2) 2 - 16x2 + 24х? 651. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение: 1) х2 - 28х + 200; 2) 9x2 + ^qx - 25? 81 9 652. Представьте многочлен ~ ^^У* ® виде произведения квад- ратов двух двучленов. 653. Докажите, что выражение {а - ЪЬ){а - 36 - 4) + 4 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных. 113 654. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен: 1) 2а^-2а + 1; 4) 2) + + + 2; 5) + Ъгр- + -4^ + 4; 3) + бд: + ^2 - 2^ +10; 6) 2^^ + 655. Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений: \) а‘^ + +1; 3) + 2аЬ -с^ - 8с -15; 2) + 4х - 4у\ 4) 8^2 - \2а + 2аЬ - + 4. 656. Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений: 1) + 17а2 + 16; 3) 2x2 _ + 9^2 _ gx + 9; 2) х2 + ^2 _ lox + 14^ + 74; 4) х^ - у^ - 4х - 2у + S. 657. При каких значениях хну равно нулю значение многочлена: 1) х2 + ^2 + 8х -10^ + 41; 2) х2 + 87у^ + 12д^ -2^ + 1? 658. Существуют ли такие значения хну, при которых равно нулю значение многочлена: 1) х2 + 4^2 + 2х - 4^ + 2; 2) 9x2 + ^2 _\2х + 8у + 21? 659. Значения переменных анЬ таковы, что a + h = 7,ab = 2. Найдите значение выражения 660. Положительные значения переменных а н Ь таковы, что = 34, аЬ = 15. Найдите значение выражения а + Ь. 661. Отрицательные значения переменных анЬ таковы, что + У^= 68, аЬ = 16. Найдите значение выражения а + Ь. 662. Представьте число 24 в виде суммы таких двух чисел, чтобы их произведение было наибольшим. 663. Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см. 664. Числа а н Ь таковы, что + — = \ , аЬ = 8, а > 0, Ь > 0. Найдите значение выражения а + 2Ь. 665. Числа а, Ь н с таковы, что - аЬ - ас - Ьс = 0. Чему равно значение выражения а + Ь - 2с? Г Упражнения для повторения ---------- 2 666. В первый день турист проехал 0,4 всего пути, во второй — — оставшегося, а в третий — остальные 20 км. Найдите длину пути. 667. Общая площадь двух участков, засеянных кукурузой, равна 100 га. На первом участке собрали по 90 т зелёной массы кукурузы с 1 га, а на 114 втором — по 80 т. Найдите площадь каждого участка, если с первого участка собрали на 2200 т больше, чем со второго. 668. Разложите на множители: 1) 2аЬ-ЗаЬ'^-, 4) 2а - 2b + ас - Ьс‘, 2) 8:^'* + 2х^; 5) -тп- 4т + 4п; 3) \2а^Ь^ + ба^Ь^ + \2аЬ^; 6) ах - ау + су - сх - х + у. 669. При некотором значении х значение выражения Sx^ - X + 7 равно 10. Какое значение принимает выражение 6х^ -2х + 7 при этом же значении X? 670. {Старинная болгарская задача.) Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй — через день, третий — через 2 дня и т. д., седьмой — через 6 дней. Сегодня все рыбаки пришли на озеро. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере? Готовимся к изучению новой темы 671. Запишите в виде выражения: 1) куб суммы чисел ал\Ь\ 2) сумму кубов чисел а wb\ 3) разность кубов чисел с тл d\ 4) куб разности чисел cud. 1) 3) Зй^М; 5) 6 2) 2x3; 4) 0,1т/гЗ; 6) Представьте в виде куба одночлена выражение: 1) 3) 5) 0,216ifel3p24. 2) 8x3^®; 4) 125wг*^72^^; 6) 0,008й9^18с27. С—} Учимся делать нестандартные шаги 674. Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равны? 115 Задание «Проверьте себя» № 4 в тестовой форме 1. Выполните умножение: {Ъп + 1)(3гг - 1). А) -6/2+1 В) 9/22 - 1 Б) 9/22 + 6/2 + 1 Г) 9/22 + 1 2. Какому многочлену равно выражение (4г- 1)2? А) 16д:2 + SX+1 В) 16x2 + 1 Б) 16x2 - 8х + 1 Г) 16x2 - 1 3. Разложите на множители выражение - 25. А) (2а-5)2 В) (2а-5)(2а + 5) Б) (2а + 5)2 Г) 2а(2а - 25) 4. Представьте в виде произведения выражение -0,09х^ + 81^^®. А) (0,03x2 _ 9^4)(о 03^ + 9^4) В) (9^8 _ о,Зх2)(9^® + 0,3x2) Б) (9^® - 0,03x2) (9г/» + 0,03x2) у) (9//^ - 0,3x2) (9^^ + q 3^2) 5. Какой из данных двучленов можно разложить на множители, применяя формулу разности квадратов? А) -а2 - 4^2 В) а2 - 4^2 Б) 4а2 + 62 Г) 462 + ^2 6. Представьте в виде квадрата двучлена выражение - 8а + 16. А) (а + 4)2 Б) (а - 4)2 7. Известно, что чение а? А) 3 В) (4а + 1)2 Г) ,2 - X - 3^2 2 ^ 1 — X 4 2 + аху^ + 9^'*. Г) -6 Чему равно зна- 8. Б) -3 В) 6 Упростите выражение (х + 8)(х - 8) - х(х - 6). А) 6х - 16 В) -6х - 64 Б)6х+16 Г)6х-64 9. Какому многочлену равно выражение (7т- 2)2 - {7т - 1){7т +1)? А) -14т + 5 В) -2Sm + 5 Б) -\4т + 3 Г) -28//г + 3 10. Упростите выражение (с - 4)2 - (3 - с)2. А) 2с - 7 В) 7 + 2с Б) 7 - 2с Г) -2с - 7 11. Найдите значение выражения (х - 4)2 + 2(4 + х)(4 - х) + (х + 4)2 при X = -1,2. А) 64 Б) 32 В) 48 Г) 72 Представьте в виде многочлена выражение (4 + а^){а — 2)(а + 2). А) а2 - 16 В) 16 - а'1 Б) 16 - а2 Г) - 16 12. 116 ^ 18. Сумма и разность кубов двух выражений Умножим двучлен я + 6 на трёхчлен - аЬ + . Получим: {а + Ь)[а^ - аЬ + Ь^) = + Ь'^ = + h‘^. Тем самым мы доказали тождество = {а + Ь)[а^ -аЬ + Ь^) Это тождество называют формулой суммы кубов двух выражений. Многочлен а^-аЬ + Ь^, стоящий в правой части, называют неполным квадратом разности. Такое название объясняется его внешним сходством с многочленом - 2аЬ + 6^, который равен квадрату разности а и h. Теперь можно сформулировать правило. ^ Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. Разложим на множители выражение - Ь^. Имеем: дЗ _ ^3 = + {-h)) [а^ - а{-Ь) + {-bf) = = (а- Ь)[а^ + аЬ + Мы доказали тождество ^3 _ ^3 = {а - Ь)[а} + аЬ + Ь^) Это тождество называют формулой разности кубов двух выражений. Многочлен + аЬ + называют неполным квадратом суммы. Итак, сформулируем правило. ^ Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы. Заметим, что эту формулу также можно доказать, перемножив многочлены, стоящие в правой части. Пример 1. Разложите на множители: \)Ъа^ + 21Ь^\ 2)х^-у^. Решение. 1) Представив данный многочлен в виде суммы кубов двух выражений, получим: + 2W = {2af -ь {ЪЬ)^ = (2й -ь ЪЬ){Аа^ - ЬаЬ + 9/?2). 2) Представив данный многочлен в виде разности кубов двух выражений, получим: ^) _ ^9 _ _ ^^3^3 _ ^^2 _ у^)[р(^ + + у^^). ◄ 117 Пример 2. Упростите выражение {Ау - 1)(16^^ + 4^ + 1) и найдите его значение при У — Решение. Имеем: {Ау - + Ау + \) = (4г/)^ - 1 = ЬАу^ - 1. При ^ = I 64^^ -1 = 64.^ -1= 64- --1 = 8-1 = 7. ◄ 2 J ” ”8 Пример 3. Представьте в виде произведения выражение {т - 4)"* + + 216. Решение. Применив формулу суммы кубов, получим: {т - 4)^ ч- 216 = {т - 4)^ + 6^ = (т - 4 + 6)((т - 4)^ - 6(т - 4) + 36) = = (т + 2){т^ - 8m + 16 - 6m + 24 + 36) = (m + 2)(m^ - 14m + 76). ◄ Пример 4. Докажите, что значение выражения 25^ - 1 делится нацело на 24. Решение. Применив формулу разности кубов, получим: 253 - 1 = (25 - 1)(252 + 25 + 1) = 24(25^ + 26). Данное выражение представлено в виде произведения, один из множителей которого равен 24, а другой — натуральное число. Следовательно, значение этого выражения делится нацело на 24. < А 1. Какое тождество называют формулой суммы кубов? 2. Какой многочлен называют неполным квадратом разности? 3. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений. 4. Какое тождество называют формулой разности кубов? 5. Какой многочлен называют неполным квадратом суммы? 6. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений. Упражнения ^---- 675. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен -27: 1) (а-3)(д2-Кбй-ь9); 3) {а - S)(а^ - Sa + 9); 2) {а-Ща^ -9); 4) (й - 3)(а2 -ь За-г 9)? 676. Какое из данных равенств является тождеством: 1) т-з -н 8п^ = {т + 2п^){т^ -I- 2тп^ + 4гг^) 2) m3 -t- 8w® = (m - 2п^)(т‘^ + 2тп^ + 4w^) 3) m3 + 8п^ = {т + 2п^){т^ - 2тп^ + Ап^) 118 4) ni^ + 8n^ = (m - 2n^)(m^ - 2mr^ + 4гг‘*)? 677. Разложите на множители: 1) d^^8\ 2) -64; 3) 125-6^; 4) l + x^; 6) 27а^ -1; 7) lOOOc-^ -216; 8) d^b‘^ -1; 9) +0,001; 64 a 125 10) ----тггт^ ^ 343 216 5) +1000; 678. Разложите на множители: 1) дг^-1; 2) 27 + й^; 5)а^-8; 3) 216-^3. 6) -с^; 3. 11) 8т^+27п^\ 12) 13) 0,027x21+0,125^24; 14) 0,216-8с27; 15) 1000fli2^3 ^ о,001с^<^1^ 4) \аг' + Ь^\ О 7) 8) 125cV=i+0,0085-^ 9) — - ^ 729 1000 ^1/^. 679. Представьте в виде многочлена выражение: 3) («2+ \){а^-а^+\у, 4) (0,5хр + 2)(0,25х2р2 _;о/ + 4). 1 1 и — а — о 4 5 ОО V 1) (х - 2)(х2 + 2х + 4); 2) (2fl-l)(4«2 +2а + 1); Выполните умножение: 1) (5-4)(52 +45 + 16); 2) (2а + 35) (4fl2 - бя5 + 952 Упростите выражение и найдите его значение: 1) (9^2 + За + l)(3fl -1), если а = -^ ; 2) (5р - 2)(25р2 + Юр + 4) + 8, если р = - ^. 682. Найдите значение выражения: 1) (1 - 52)(1 + 52 + 5^), если 5 = -2; 2) 2x^1 + 7-(х + 1)(х2 - х + 1), если х = -1. 680 681 3) (х-"! + 6р2)(х^ - 6х"1р2 + Збр"!); 4) + ±ab + Xl^ 16 20 25 683. Разложите на множители: 1) (а + - 27; 3) 8й‘'> - (4а - 3)'i; 2) (2х -1)3 + 64; 4) 1000 + (р -10)3; 684. Представьте в виде произведения выражение: 1) (5 - 5)3 +125; 3) (а - bf + (а + 5)3; 2) (4 - Зх)3 - 8x3; 4) + зуз _ _ 3)3^ 685. Упростите выражение: 1) (х + 1)(х2-х + 1) + (2-х)(4 + 2х + х2); 2) (х - 4)(х2 + 4х + 16) - х(х - 5)(х + 5); 3) а(а - 3)2 - (а + 3) («2 - За + 9); 4) (а - 1)(а + 1)(й2 - а + \^{^а^ -{■ а + \)[а^ +l)(ai2 +1) 5) (х + р)3 - (х - р)3; 6) (а - 2)3 + (а + 2)3. 119 686. Упростите выражение: 1) {a-5)i^a^ + Ъа + 2Ъ) - {а - \)[а^ + а + 1); 2) (у - 3)(г/2 + 3,у + 9) - у(у - 3)(г/ + 3) - (г/ + 3)*; 3) {а - Ь){а + h)[a'^ + + Ы). 687. Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество: 1) (7^ - р)(* + * + *) = 343Р - 2) (* + *) (25й^ - * + 36^2) = 125а^' + 216^-^ 3) {тп + *)(*-* + ^®) = 688. Решите уравнение: 1) (Зх-1)(9х2 +Зх + 1)-9х(Зх2 -4) = 17; 2) (х + 4)(х2 - 4х + 16^ - х{х - 7)(х + 7) = 15; 3) (X + 6) (х2 - 6х + 36) - х(х - 9)2 = 4х(4,5х - 13,5). 689. Решите уравнение: 1) (7 - 2х)(49 + 14х + 4x2) + 2х(2х - 5)(2х + 5) = 43; 2) 100(0,2х + 1)(0,04x2 _ о,2х +1) = 5х(0,16х2 - 4). 690. Док21Жите, что значение выражения: 1) 4563-156-'^ делится нацело на 300; 2) 254^ +238^^ делится нацело на 123; 3) 17^—1 делится нацело на 36. 691. Докажите, что значение выражения: 1) 34П + делится нацело на 90; 2) 2^^ + 3'^ делится нацело на 35. 692. Укажите наименьшее натуральное значение п такое, чтобы выражение х2” - можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам. 693. Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам. 694. Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело: 1) разность их квадратов; 2) сумма их квадратов; 3) сумма их кубов? 695. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4. 696. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9. 120 697. Известно, что числа хну таковы, что + у"^ =1. Найдите значение выражения х^' + Ъх^у^ + у^. 698. Известно, что числах и у таковы, что х^ - у"^ =2. Найдите значение выражения x^ - бх^у^ - у^\ 699. Докажите, что если 2а - h = \, то = Qab + 1. 700. Докажите, что если а + Sb = 2, то + 27Ь^ = 8 - \Sab. Упражнения для повторения 701. В одном ящике было на 12 кг яблок больше, чем в другом. Когда из первого ящика переложили во второй 4 кг яблок, то оказалось, что количество яблок во втором ящике составило у количества яблок в первом. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике сначала? 702. Какая последняя цифра значения выражения 3^® + 7^^? 703. Найдите значение каждого из следующих выражений при а = I н а = -1: 1) а + +... + 3) аа^с^а!^ ... 2) я + <2^ + + <2^ +... + + я^^; 4) ас^а^а!^ ... Готовимся к изучению новой темы 4) Ьх- ху -^у + у'^\ 5) 49^2 -с2; 6) /?2 +12p^ + 36F; 4) 9x2 - 6х + 1 = 0; 5) х(х + 7)(Зх-2) = 0; 6) 12х^ -2x2 ^0. 7) 100«4 -1^2. 8) 25«2 -{а- 3)2. 704. Разложите на множители: 1) 3x2 ^ \2xy-, 2) V)m^ -Ът\ 3) аЬ - ас л-lb - 1с\ 705. Решите уравнение: 1) (х-4)(х+3) = 0; 2) х2-81 = 0; 3) 7х2+21х = 0; СГ~73 Учимся делать \---- нестандартные шаги 706. Есть 100 кучек по 100 монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей. Вес настоящей монеты составляет 10 г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать, чтобы найти тсучку из фальшивых монет? 121 ^ 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители В предыдущих параграфах мы рассмотрели такие способы разложения многочлена на множители: • вынесение общего множителя за скобки; • метод группировки; • применение формул сокращённого умножения. Однако в математике при решении многих задач часто приходится использовать несколько приёмов, применяя их в некоторой последовательности. В частности, есть много многочленов, для разложения которых на множители надо применить несколько способов. Возникает естественный вопрос: какие способы и в какой последовательности надо применять при разложении многочлена на множители? Универсальных рекомендаций не существует, всё зависит от конкретного многочлена. И всё же дадим несколько общих советов: 1) если это возможно, то разложение надо начинать с вынесения общего множителя за скобки; 2) проверить, можно ли применить формулы сокращённого умножения; 3) если не удаётся применить формулы, то попробуйте воспользоваться методом группировки. Пример 1. Разложите на множители многочлен: 1) ЪаЧ - 126; 3) 24т^ -ь Зт; 2) -ЪхР- + ЗОху - 45^^; 4) + 21<2*^ - ба^Ь - 42аЬ. Решение. 1) Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов, получим: ЗаЧ - 126 = Зб(й2 - 4) = 3h{a - 2)(а -ь 2). 2) Применив последовательно вынесение общего множителя за скобки и формулу квадрата разности, получим: + ЗОху - АЪу^ = -Ъ{х^ - &ху ч- 9г/^) = -5(х - Зу)^. 3) Вынесем общий множитель за скобки и применим формулу суммы кубов: 24w'* + Зт = Зт{8т^ + 1) = Зт{2т -ь 1)(4т^ - 2т + 1). 4) Комбинируя метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки, получим: За^ + 21а^ - ба^Ь - 42ah = За{а^ + 7а - 2аЬ - 146) = = За{{а^ -ь 7а) -I- {-2аЬ - 146)) = За{а{а + 7) - 2Ь{а + 7)) = = За{а + 7){а- 26). ◄ 122 Пример 2. Представьте в виде произведения многочленов: 2) Решение. 1) - 1 = - 1)(л^ + \) = {xf^ - \){х^ + 1)(jc* + 1) = = (х2- 1)(д;2+ l)(:t^+ l)(jk^+ 1) = (х- 1)(х+ 1)(х^+ 1)(х^ + 1)(х« + 1). 2) <2^^ - = (й® - Ь^){а^ + Ь^) = {а^ - Ь^){а^ + Ь^){а^ + Ь^). Мы получили три множителя, один из которых является разностью кубов, а два других — суммой кубов. Используя соответствующие формулы, окончательно получим: ^12 _ jyU = (а - Ь){а^ + аЬ + Ь‘^){а + Ь){а^ - аЬ + Ь^){а^ + Ь'^){а!^ - а^Ь'^ + Ь'^). ◄ Пример 3. Разложите на множители: \) - \Ьп^ + 2т - 8п\ 2) + 4ху + 4у'^ - 16. Решение. 1) - 1бгг^ + 2т - 8п = {т^ - \8п^) + {2т - 8п) - = {т- 4п){т + 4п) + 2{т - 4п) = {т- 4п){т + 4п + 2). 2) х^ + 4x2/ + 4^^ - 16 = (х^ + 4х^ + 4у^) - 16 = (х + 2у)^ - 16 = = (х + 2^ - 4)(х + 2^ + 4). ◄ Пример 4. Решите уравнение х^ + х'^ - 4х - 4 = 0. Решение. Имеем: х^(х + 1) - 4(х + 1) = 0; (х+1)(х2-4) = 0; (х + 1)(х - 2)(х + 2) = 0; X + 1 = о, или X - 2 = о, или X + 2 = 0; X = -1, или X = 2, или X = -2. Ответ: -1; 2; -2. < Пример 5. Разложите на множители трёхчлен х^ + 8х - 9, выделив предварительно квадрат двучлена. Решение. Если к сумме х^ + 8х прибавить число 16, то полученное выражение х^ -f- 8х -t- 16 можно «свернуть» по формуле квадрата суммы. Поэтому, прибавив к данному трёхчлену число 16 и вычтя из него 16, получим: х^ -т 8х - 9 = х^ -I- 8х -н 16 - 16 - 9 = (х -I- 4)^ - 25 = (х -f- 4 - 5)(х -f- 4 4- 5) = = (х - 1)(х -h 9). ◄ Пример 6. Разложите на множители многочлен + 4у'^. Решение. Так как х^ = (х^)'^, 4у^ = {2у^)^, то, прибавляя к данному мрю-гочлену 4х^у^ (удвоенное произведение одночленов х^ и 2у^) и вычитая из него такой же одночлен, получим: х^ + 4у"^ = х4 + 4х^у^ + 4у‘^ - 4х^у'^ = (х^ + 2y^Y ~ 4х^У^ = = (х^ + 2у^ - 2ху){х^ + 2у'^ •+• 2ху). < 123 707. 708. 709. 710. Упражнения Разложите на множители многочлен: 1) 4) ?>аЬ'^ -21 а\ 2) сх‘^ -су^', 5) -4х; 3) 3^2-3; 6) 2у^ -\^у\ 7) - х2; 8) 0,09^4 - ^6. 9) ^аЧ*с^-ЬЧК Представьте в виде произведения многочлен: 1) 12^2-12с2; 4) 3w7?2-48w; 2) 2аЧ-2ЬЧ] 5) 1у^ -1 у; 3) 5^2-20; 6) Разложите на множители: 1) Зй2 + + 3/)2; 2) 5/тг2 + 5п^ - Ютп; 3) -3^2 + 12л:-12; Разложите на множители: 1) 8x2 \ (уху + 8^2- 2) -2^2 + 24аЬ - 72^2. - а^. 4) -7^2 -14бс-7с2; 5) Х^у + 14jt^2 + 49^3; 6) -8а^Ь + ЪЬа^Ь^ - 9Sab^. 3) -12^‘^ -1262 -36; 4) 48m^w - 12гп^п + 21тп. 711. Представьте в виде произведения многочлен: 1) <2^ - 6“^; 2) -81. 712. 713. Разложите на множители: 1)х^-16; 2) у^ Разложите на множители: 1)4б^-4б^ 3)7 + 76^; 5) 2«4 -250я; 2) 2т^ - 16; 4) -х^ + 27х; 6) 9а^ - 9а^. 714. Представьте в виде произведения многочлен: 1) Зх^^ + Ъу^\ 2) - 320rf; 3) 6с^ - 6с^. 715. Разложите на множители: \) + <я6®; 2) X® - у^\ 3) с® - 1. 716. Разложите на множители: 1)сб + с«; 2)т»-и«; ?,) - Ь\ 717. Представьте в виде произведения многочлен: 718. 1) 3«6+ 156-За - 15; 2) 84 - А2у - 1ху + 14х; 3) аЬс + бас + 8а6 + 48а; 4) - т^п + тп^ - тп; Разложите на множители: 1) 15сх + 2су - сху - 30с; 2) 35а2 - 42а6 + 10а26 - 12а62; 5) а-^ + а2 - а - 1; 6) 2х^ - 2xt/2 - 8x2 + 8^2. 7) 5а2 - 562 _ 15^3^ + 8) а262 - 1 - 62 + а2. 3) Х'*^ + х^у + х2 + ху\ 4) + mri^ - п^. 124 оо V 719. Разложите на множители: 1) {а^ + 2) 81 - (х2 + 6х)2; 3) + 2аЬ + - с^; 4) + 4с + 4 - k"^; 721. 722. 723. 724. 725. 5) 9а^ + + дас - 9; 6) -Ь^ -\0h-25-, 7) 49 - - \4х; 8) тп^ - - \2т^ - Збт. 720. Представьте в виде произведения выражение: 4) 64х^ + 48д^ + 9у^ - 144; 5) с2 -а^ + 22а- '\2\\ 6) 100 - 25.Z/2 - Ь9х‘^у - ЪЬх\ 6) -10<2 + 2Ъ-аЬл- 5b; 7) 8тр + Snp - - 2тп - п^; 8) + h‘^ - а^Ь - аЬ^\ 9) - 8п^ - + 4тп - 4rfi; 10) -4^2 +4Я-1. 1) (m2 - 2т)2 - 1; 2) 16 - (m2 + 4т)2; 3) х2 - 18д:^ + 81^2 _ 22; Разложите на множители: 1) -Ь^ -а-Ь; 2) X - у - х"^ + Z/2; 3) 4т2 - 9^2 + 2т + Ъп; 4) 6*2 -d^ +4c-4d; 5) 5х^у - 5ху‘^ - х2 + у^; Разложите на множители: 1) -п^ -т Л-п; 2) с + d -С‘^ + б/2; 3) 16x2 - 25^2 -4х - 5у; 4) 12й2^3 + Зд3^2 + 10^2 _ д2. Разложите на множители: 1) х2(х-2)-18х(х-2) + 81(х-2); 2) 4х (^2 _ 9) + 4^2 (^2 _ 9^ _ 9 + у2. 3) Ь^{а + 1)-а^{Ь + 1); 4) {а-Ь)[^2 - с'2) - (6 - с) («2 - ^2 у Представьте в виде произведения выражение: 1) х2(х + 4) - 20х(х + 4) + 100(х + 4); 2) «2 _зб_2й(36-й2)_а2(з0_д2). 3) а^ф -1) - ^2(й -1); 4) {т-п)[п^ - р^)-{п-р)[т^-п^). Решите уравнение: 5) х^ - 10x2 ц. 25х = 0; 6) + 2x2 _ 9х - 18 = 0; 7) х^ - 5x2 + 4х - 20 = 0; 21йс + За; 5) 49с2 - 14с + 1 6) 0X2 + (^у2 + 7) 27с^ - ri» + 9с2 + 8cd + d^; 8) - 2^2 -26 + 1. + 2x2^2 + у4. 726. 1) — 4х = 0; 2) х'^ - х2 = 0; 3) х^ - Збх^ = 0; 4) 9х^^ - X = 0; Решите уравнение: 1) х'’ — X = 0; 2) х'^ + х2 = 0; 3) х^ -8х‘^ =0; 8) х^ - х^ - X + 1 = 0. 4) 49х-^ + 14x2 + X = 0; 5) х-^ + х2 - X -1 = 0; 6) х^ - 4x2 _ 25х + 100 = 0. 125 727. 728. 729. TV 730. 731. 732. 733. 734. 735. 736. 737. TV Является ли тождеством равенство: 1) (а - l)i’ - 9(а -1) = (й - 1)(й - 4){й + 2); 2) (лг2 +1) -4^2 = (дг- 1)2{дг + 1)2? Докажите тождество: 1) (а + 2)3 -25(fl + 2) = (а + 2)(fl + 7)(fl - 3); 2) + 2аЬ + + 2cd - (f = {а + h + с - d){a + Ь - с + d). Разложите выражение на множители двумя способами: а) примените формулу разности квадратов; б) раскройте скобки и примените метод группировки: I) {аЬ +1)2 ~{а + bf-, 2) {а + 2bf - {аЬ + Представьте в виде куба двучлена выражение: 1) «3 + Зд2 +Sa + \; 2) Ь^ - + \2b - 8. Докажите тождество: 1) {а + Ь + с)з --Ь^ -= Ъ{а + Ь)ф + с){а + с); 2) {а - Ь)^ + ф- с)з - {а- с)3 = -Ъ{а -Ь)ф- с) {а - с). Разложите на множители выражение: 1) (х - у)(х + у) + 2(х + Ъу) - 8; 2) {2а - ЪЬ){2а + Щ - Ца + ЪЬ) - 3. Представьте в виде произведения выражение: 1) (5дг - у^){Ъх + ^2) - 2(15х - 7^2) _ 40; 2) (Зт - 2п){\2т + Ъп) 4- Ът{Ъп + 4) - 2(3^2 - 20п +12). Разложите на множители трёхчлен, выделив предварительно квадрат двучлена: 1) д:2 - 10х + 24; 4) 4^2 - 12а + 5; 2) а2 + 4а - 32; 5) 9^2 - 24^:^ + 7^2. 3) ^2 - 3^ - 4; 6) 36я?2 - ЬОтп + 21^2. Разложите на множители многочлен: 1) x^-4x + S\ 4)х^+х-6] 2) а2 + 2й - 24; 5) с2 + 8cd + Ibdh 3) ^2 + 12^ + 35; 6) 9х^ - ^ху + 16^2 Значения переменных х^ и х^ таковы, что выполняются равенства х^- х^ = 8, XjXg = 5. Найдите значение выражения: 14 'Y’ 'У’2 _ *у"2-у • 0\ ^2 у2* /у _1_ у \2* уЗ ^ уЗ X J «А» J */v 2 ^ ^1 I «А* 2 > f J I ^ * / «А/ J * Значения переменных х ^л. у таковы, что выполняются равенства X + у = Ь, осу = —3. Найдите значение выражения: 1) х^у^ Л- х^у^\ 2) {x-yf\ 3) х^^ +у‘^. 738. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (2а - 1)3 - 4^2 + 2а + 1 делится нацело на 16. 126 739. Разложите на множители: 1) х^-Ьх^+4; 4х^-\2х^+1; 5) х^ + 4; 2) х'^+х'^ + \\ 4)х^+д: + 1; 6) лг® + - 2. 740. Представьте в виде произведения выражение: 1) + 5л: 2 + 9; 2) - 8л;2 + 4. 741. Докажите, что при любом натуральном значении п, отличном от 1, значение выражения п‘^ +п^ +\ является составным числом. ^13) Упражнения для повторения 742. 743. 744. 745. Даны три числа, из которых каждое следующее на 4 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение меньщего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего. Петя сначала поднялся на гору со скоростью 2,5 км/ч, а потом спустился по другой дороге со скоростью 4 км/ч. Найдите общий путь, пройденный Петей, если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы, а время, потраченное на весь путь, составляет 4 ч. Решите уравнение: 1) |7д:-3| =4; S) 4{х - 2) + 5\х\ =10; 2) I |jc| - 10| = 8; 4) \х\ = Зх - 8. Докажите, что сумма трёхзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3. CZ3 Готовимся к изучению новой темы 746. Вычислите значение у по формуле у = 0,2л: - 3, если: 1) л: = 4; 2)х = -Ъ. 747. Найдите координаты точек Л, В, С, D, Е, F, К, М, N, изображённых на рисунке 7. 748. На координатной плоскости отметьте точки: Л (2; 3); В (4; -5) С (-3; 7); D (-2; 2); К (-2; -2) М (0; 2); N (-3; 0); Р (1; -6) F (-4; -2). 749. Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если Л (-5; -2); В (1; 4); С (-3; 2); D (2; -3). 127 750. 751. Как расположена на координатной плоскости относительно оси х точка А, если: 1) Л (2; 6); 2) А (-3; 1); 3) А (-4; -5); 4) А (-3; 0)? Найдите координаты вершины квадрата со стороной 4, если две его стороны лежат на осях координат, а произведение координат одной из вершин — положительное число. Сколько решений имеет задача? Обновите в памяти содержание п. 26, 34 на с. 245, 248-249. Учимся делать нестандартные шаги 752. Пусть х^, х^, ^25 — некоторый набор натуральных чисел, а набор у^, у^, ^25 получен из него в результате перестановки некоторых чи- сел. Докажите, что значение выражения (Xj - у-^){х^ - у^...{х,^^ - у^^) является чётным числом. 128 Задание «Проверьте себя» № 5 в тестовой форме 1. Представьте в виде многочлена выражение {х - ^){х^ 4- 6jc + 36). А)х^- 36 Б) х^ + 36 В) - 216 Г) + 216 Найдите многочлен М, если - 64 = (г/ - 4) • М. А) у^ - Sy + 16 В) у"^ - 4у + 16 Б) y^ + Sy+ 16 Г) у^ + 4^+16 Упростите выражение {с^ + 2Ь^){а* — 2а^Ь^ + АЫ'). А) + 4/?9 Б) - 46^ В) - Sb^ Г) а!^ + 8Ь^ Разложите на множители многочлен Зс^ - 48. 2. 3. 4. 5. 6. А) 3(с - 16) В) 3(с - 4)2 Б) 3(с-4)(с + 4) Г) Зс(с- 16) Разложите на множители выражение 7а^ - 42а + 63. А) 7(а-3)(а + 3) В) 7(а + 3)2 Б) 7{а - 3)2 Г) 7{а - 9)2 Разложите на множители многочлен - а®. А) а^{а - 1) В) а^{а + 1)2 Б) а^{а- 1)(а+ 1) Г) а^а - 1)2 7. Разложите на множители выражение + т + п. А) (т + п){т - /2 + 1) В) (w - п){т + гг + 1) Б) {т - п)(т - гг + 1) Г) (ггг + п){т + гг + 1) 8. Представьте в виде произведения выражение х"^ - у^ + 14^ - 49. А) (х - ^ + 7)(х + ^ + 7) В) (х - ^ + 7)(х + у - 7) Б) (х - ^ - 7)(х + г/ + 7) Г) (х - ^ - 7)(х + ^ - 7) 9. Разложите на множители многочлен Sla'^ - 1. А) (За - 1)(3а + 1)(9а2 + 1) В) (За - 1)2(3а + 1)2 Б) (За2 - 1)(3а2 + 1)(9а2 + 1) Г) (За - 1)^ 10. Решите уравнение 49х - х2 = 0. А) 0; 7 Б) -7; 0; 7 В) 0; 49 Г) -7; 7 Решите уравнение дг^ + 3x2 _ ^ _ 3 _ q А) -1; 1 Б) -1; 3 В) 1; 3 Г) -3; -1; 1 Представьте в виде произведения выражение {х^ — 2)2 - 4(х2 - 2) + 4. А) (х - 4)2 В) дГ^ Б) (X - 2)2(х + 2)2 Г) (х2 - 6)2 11. 12 129 Когда сделаны уроки ^------- Язык, понятный всем Здесь на трёх восточных языках — арабском, китайском и иврите — записано хорошо известное вам свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. .’ГОЛ ’ai 11ИХПЛ ’П л'тотЛ’ л1ллгт ps ,опэоп ’з® тлпп л©ю Но человек, не владеющий этими языками, такое простое предложение не поймёт. Тогда на помощь приходит интернациональный математический язык. На нём перевод выглядит так: а + Ь = h + а. Как и любой другой язык, он имеет свой алфавит — математические символы. Это цифры, буквы, знаки математических действий и т. д. Из них составляют «слова» математического языка, например выражения. Казалось бы, чего проще — использовать математическую фразу «2х = 4» для записи линейного уравнения. Однако даже великий аль-Хорез-ми^ записывал это предложение громоздко: «Два корня равны 4 дирхемам^». Это связано с тем, что во времена аль-Хорезми математической символики ещё не существовало. Сказанное не означает, что до IX в. учёные не предпринимали попыток создать математический язык. Ещё в I в. греческий математик Герон Александрийский начал обозначать неизвестную величину буквой (сигма). Следующий шаг в создании символики сделал в III в. Диофант Александрийский. В своём знаменитом труде «Арифметика» он ввёл обозначения не только для неизвестной величины, но и для некоторых её степеней: первая степень — а; вторая степень — Д'' (от Ашарк; — «дюнамис», что означает сила, степень); третья степень — К'' (от Кцро^ — «кубос», то есть куб). Для равенства Диофант применял знак ш — первые две буквы слова юос; — «исос», то есть «равный». ^ Мы рассказывали о нём на с. 11-12 (после § 1). ^ Дирхем — старинная арабская серебряная монета. 130 Вряд ли символику Диофанта можно считать удобной и наглядной. Например, он не ввёл никаких специальных символов для обозначения сложения и умножения. Обозначение всех неизвестных величин одной буквой с, также сильно затрудняло запись решения задач, в которых фигурировали несколько переменных. С закатом эпохи Античности алгебраическая символика Диофанта практически была забыта. Возобновление процесса создания алгебраической символики связано с трудами талантливого немецкого учёного XIII в. Иордана Неморария, который возродил в европейской математике идею буквенной символики. В XV в. широкое распространение получили символы, применявшиеся выдающимся итальянским математиком Лукой Паччоли (ок. 1445 — ок. 1515). Немало сделали для совершенствования математического языка немецкие математики XVI в. Ян Видман и Адам Ризе. Создателем буквенной символики по праву считается крупнейший французский математик XVI в. Франсуа Виет (1540-1603). Он первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины. Виет предложил: «Искомые величины будем обозначать буквой А или другой гласной, Е, /, О, и, а данные — буквами В, D, G и другими согласными». Такие обозначения позволили Виету не только решать отдельные уравнения, но и исследовать процесс решения сразу целого класса уравнений. Например, благодаря символике Виета все линейные уравнения можно записать в виде ах = Ь, з. следовательно, построить процесс решения уравнения в общем виде так, как мы это сделали в § 2. Участвовали в создании языка математики и российские учёные. Леонард Эйлер^ ввёл знаки Ф (не равно), X (сумма), скобки (совместно с Г. Лейбницем) и другие обозначения, о которых вы сможете узнать в курсе высшей математики. Эйлер использовал в своих трудах обозначения, предложенные другими учёными (например, обозначение числа тс, впервые введённое Уильямом Джонсом в 1706 году). Благодаря авторитету и широкому распространению трудов Эйлера использованные им обозначения закрепились в математическом языке. Языки многих народов продолжают развиваться. Не составляет исключения и математический язык. Новые открытия приносят в математику новые символы и термины. Франсуа Виет ^Леонард Эйлер (1707-1783) родился в Швейцарии, с 1727 по 1741 год и с 1706 по 1783 год работал в Санкт-Петербурге. 131 Итоги главы 2 Тождественно равные выражения Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными. Тождество Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. Приёмы доказательства тождеств • тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть; • тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение; • показывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю. Степень с натуральным показателем Степенью числа а с натуральным показателем ti, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называют само это число. Знак степени При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число. Свойства степени с натуральным показателем a”^a^ = ««* + " (основное свойство степени) аГ - аГ^ - ^ {аГУ = (а6)” = аГЬ^ Одночлен Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней, называют одночленом. 132 Стандартный вид одночлена Одночлен, содержащий только один числовой множитель, отличный от нуля, который стоит на первом месте; все остальные множители — это степени с различными основаниями. Коэффициент одночлена Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Степень одночлена Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, который является числом, отличным от нуля, считают равной нулю. Многочлен Выражение, которое является суммой нескольких одночленов, называют многочленом. Многочлен стандартного вида Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида. Степень многочлена Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен. Умножение одночлена на многочлен Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Умножение многочленов Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. Произведение разности и суммы двух выражений {а - Ь){а + Ь) = "ШЕ 133 X V Разность квадратов двух выражений = {а - Ь){а + Ь) Квадрат суммы двух выражений {а + Ь)^ = «^ + 2аЬ + Квадрат разности двух выражений {а - hf = - 2аЬ + Сумма кубов двух выражений л- = {а •¥ Ь)(а^ - аЬ + Ь^) Разность кубов двух выражений ZZ (а - Ь){а^ •¥ аЪ Ь^) 134 Глава 3. Функции в этой главе вы будете изучать связи между величинами. Познакомитесь с особым видом правила, определяющим эти связи, — функцией. Изучите основные способы задания функции. ^ 20. Связи между величинами. Функция Учитель пишет на доске. При этом меняются длина мелового следа, масса, объём и даже температура кусочка мела. Работает школьная столовая. В течение дня меняются количество посетивших её учеников, расходы электроэнергии и воды, денежная выручка и т. п. Вообще, в происходящих вокруг нас процессах многие величины меняют свои значения. Понятно, что некоторые из этих величин связаны между собой, то есть изменение одной величины влечёт за собой изменение другой. Многие науки, такие как физика, химия, биология и другие, исследуют зависимости между величинами. Изу^шет эти связи и математика, конструируя математические модели реальных процессов. С понятием математической модели вы уже встречались в § 3. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Изменяется сторона квадрата. Понятно, что при этом будет меняться и его периметр. Если длину стороны квадрата обозначить а, а периметр — Р, то зависимость значения переменной Р от значения переменной а (коротко говорят: зависимость переменной Р от переменной а) задаётся формулой Р = 4а. Эта формула является математической моделью связи между такими величинами, как длина стороны квадрата и его периметр. С помощью этой формулы можно, выбрав произвольную длину стороны, найти соответствующее значение периметра квадрата. Поэтому в этой модели переменную а называют независимой переменной, а переменную Р — зависимой переменной. Подчеркнём, что эта формула задаёт правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной. ◄ 135 Пример 2. Семья положила в банк 100 000 р. под 10 % годовых. Тогда через год величина М — сумма денег на счёте — станет равной М = 100 '^*^ = 110 000 (р.). Через 2 года эта сумма составит М = ПО 000 + = 121 000 (р.). Аналогично можно установить, что через 3 года М= 133 000 р., через 4 года М = 146 410 р., через 5 лет М = 161 051 р. В таблице показано, как зависит сумма денег, находящихся на счёте, от количества прошедших лет. Количество лет, п 1 2 3 4 5 Сумма денег на счёте, М, р. ПО 000 121 000 133 100 146 410 161 051 Эта таблица является математической моделью зависимости величины М от величины п. Здесь п выступает в роли независимой переменной, а М — зависимой. Подчеркнём, что эта таблица задаёт правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной. ◄ Пример 3. На рисунке 8 изображён график зависимости температуры воздуха от времени суток. Используя этот график, можно, выбрав произвольный момент времени t, найти соответствующую температуру воздуха Т (в градусах Цельсия). Таким образом, величина t является независимой переменной, а величина Т — зависимой. Этот график можно рассматривать как математическую модель зависимости величины 7’(температуры) от величины t (времени). Подчеркнём, что этот график задаёт правило, с помощью которого по значению независимой переменной можно однозначно найти значение зависимой переменной. ◄ Несмотря на существенные различия моделей зависимостей, описанных в этих трёх примерах, им всем присуще следующее: указано правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной. Такое правило называют функцией, а соответствующую зависимость одной переменной от другой — функциональной. Итак, правила, описанные в примерах 1, 2 и 3, являются функциями. Не всякая зависимость одной переменной от другой является функциональной. Например, пусть длина маршрута автобуса равна 15 км. Стоимость проезда определяется следующей таблицей. Стоимость проезда, р. 30 60 90 Длина пути, который проезжает пассажир, км До 5 От 5 до 10 От 10 до 15 Ясно, что переменные величины «стоимость проезда» и «длина пути, который проезжает пассажир» связаны между собой. Однако если считать стоимость проезда независимой переменной, то описанная зависимость не является функциональной. Действительно, если пассажир заплатил 30 р., то нельзя однозначно установить длину пути, который он проехал. Если в примере 3 температуру Т считать независимой переменной, то не всегда возможно по значению величины Т однозначно найти значение величины ^. Поэтому приведённая зависимость времени t от температуры Т не является функциональной. Обычно независимую переменную обозначают буквой х, зависимую — буквой у, функцию (правило) — буквой /. Если переменная у функционально зависит от переменной х, то этот факт обозначают так: у = f{x) (читают: «игрек равен эф от икс»). 137 Независимую переменную ещё называют аргументом функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Так, в примере 1 областью определения функции являются все положительные числа; в примере 2 — натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5; в примере 3 — все неотрицательные числа, не превосходящие 24. Для функции / каждому значению аргумента х соответствует некоторое значение зависимой переменной Значение зависимой переменной ещё называют значением функции. Значение функции /, которое соответствует значению х^ аргумента х, обозначают /{х^). Например, /(7) — это значение функции при х = 7. Так, если каждое из правил, описанных в примерах 1, 2 и 3, обо.зна-чить буквой /, то в первом примере /(2) = 8, во втором /(2) = 121 000, в третьем /(2) = 0. Вообще, запись f{a) = Ь означает, что значению а аргумента соответствует значение Ь функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. В примере 1 область значений функции — это все положительные числа, в примере 2 — числа, записанные во второй строке таблицы, в примере 3 — все числа, не меньщие -5 и не большие 7. 1. Какое правило называют функцией? 2. Какую зависимость одной переменной от другой называют функциональной? 3. Как читают запись у = /(х)? 4. Что называют аргументом функции? 5. Что такое область определения функции? 6. Что называют значением функции? 7. Как читают запись /(3) = 6 и что она означает? 8. Что такое область значений функции? Упражнения 753. Связаны ли между собой периметр равностороннего треугольника и его сторона? Если сторона треугольника равна а, а периметр — Р, то какой формулой задаётся зависимость переменной Р от переменной (3? Является ли эта зависимость функциональной? 754, Связаны ли между собой площадь квадрата и его сторона? Если сторона квадрата равна а, а площадь — S, то какой формулой задаётся зависимость переменной S от переменной <з? Является ли эта зависимость функциональной? 138 755. 756. 757. 758. 759. 760. 761. 762. 763. 764. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Как зависит длина пройденного им пути S от времени движения t} Задайте эту зависимость формулой. Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа назовите аргумент соответствующей функции. В цистерне было 300 л воды. Через открытый кран каждую минуту из цистерны выливается 2 л воды. Задайте формулой зависимость объёма V воды в цистерне от времени t, в течение которого из неё выливается вода. Является ли правило, с помощью которого по значению переменной t находят значение переменной V, функцией? В случае утвердительного ответа укажите область определения и область значений этой функции. Пусть а — длина ребра куба, V — его объём. Задайте формулой зависимость переменной V от переменной а. Является ли эта зависимость функциональной? Автомобиль проехал 120 км со скоростью v. Какой формулой задаётся зависимость времени движения t от скорости v автомобиля? Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа укажите, что является аргументом соответствующей функции. Пусть градусные меры двух смежных углов равны а и р. Задайте формулой зависимость р от а. Является ли эта зависимость функциональной? В случае утвердительного ответа укажите, что является аргументом соответствующей функции, её область определения и область значений. В вашем классе была проведена контрольная работа по математике. 1) Каждому ученику поставили в соответствие оценку, которую он получил. 2) Каждой оценке поставили в соответствие ученика, который её получил. Какое из этих правил является функцией? Рассмотрим правило, согласно которому каждому натуральному числу соответствует противоположное ему число. Является ли такое правило функцией? Каждому неотрицательному числу поставили в соответствие само это число, а каждому отрицательному числу — число, ему противоположное. Является ли такое правило функцией? Каждому рациональному числу, отличному от нуля, соответствует обратное ему число. Является ли такое правило функцией? Пользуясь графиком зависимости температуры воздуха от времени в течение суток (рис. 8), определите: 1) какой была температура воздуха в 4 ч? в 6 ч? в 10 ч? в 18 ч? в 22 ч? 2) в котором часу температура воздуха была 5 °С? -2 °С? 139 765. 3) в котором часу температура воздуха была равной нулю? 4) какой была самая низкая температура и в котором часу? 5) какой была самая высокая температура и в котором часу? 6) в течение какого промежутка времени температура воздуха была ниже О °С? выше О °С? 7) в течение какого промежутка времени температура воздуха повышалась? снижалась? Составьте по графику таблицу изменения температуры воздуха в течение суток через каждые 2 ч. На рисунке 9 изображён график изменения температуры раствора во время химического опыта. Рис. 9 1) Какова была начальная температура раствора? 2) Какой была температура раствора через 30 мин после начала опыта? через полтора часа? 3) Какой была самая высокая температура раствора и через сколько мину!' после начала опыта? 4) Через сколько минуз' после начала опыта температура раствора была 35 “С? Составьте по графику таблицу изменения температуры раствора через каждые 10 мин в течение первых двух часов после начала опыта. 766. На рисунке 10 изображён график изменения температуры воздуха в течение суток. Пользуясь этим графиком, определите: 1) какой была температура воздуха в 2 ч? в 8 ч? в 12 ч? в 16 ч? в 22 ч? 2) в котором часу температура воздуха была -3 °С? -4 °С? 0 “С? 3) какой бьша самая низкая температура и в котором часу? 140 4) какой была самая высокая температура и в котором часу? 5) в течение какого промежутка времени температура воздуха была ниже О °С? выше О °С? 6) в течение какого промежутка времени темперазура воздуха повышалась? снижалась? Составьте по графику таблицу изменения температуры воздуха в течение суток через каждые 2 ч. 767. Мотоциклист совершил поездку от дома до дачи и обратно. На рисунке 11 изображён график изменения расстояния от мотоциклиста до дома в зависимости от времени {график движеним мотоциклиста). Пользуясь графиком, определите: 1) какое расстояние проехал мотоциклист за первый час движения? 2) на каком расстоянии от дома мотоциклист остановился в первый раз? во второй раз? 3) сколько времени продолжалась первая остановка? вторая остановка? 4) на каком расстоянии от дома был мотоциклист через 5 ч после начала движения? 5) с какой скоростью двигался мотоциклист последние полчаса? 141 768. На рисунке 12 изображён график движения туриста. 1) На каком расстоянии от дома был турист через 10 ч после начала движения? 2) Сколько времени он потратил на остановку? 3) Через сколько часов после выхода турист был на расстоянии 8 км от дома? 4) С какой скоростью шёл турист до остановки? 5) С какой скоростью шёл турист последние 2 ч? 769. Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Поясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой/, найдите/(2), /(-5), /(0). 142 770. Рассмотрим функцию g, заданную следующим правилом: каждому однозначному натуральному числу поставили в соответствие последнюю цифру его квадрата. Найдите: 1) область определения и область значений функции; 2) g(7); g(3); g(l); g(9); g(4). 771. Рассмотрим правило, по которому числу О ставятся в соответствие все чётные числа, а числу 1 — все нечётные числа. Является ли это правило функцией? 772. Придумайте функцию/, областью определения которой являются все натуральные числа, а областью значений — три числа: 0; 1; 2. Найди-те/(7);/(15);/(101). 773. Рассмотрим правило, по которому каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 7. Является ли это правило функцией? В случае утвердительного ответа найдите область определения и область значений этой функции. 774. В таблице приведены измерения температуры воздуха в течение суток через каждый час^. Постройте по этим данным график изменения температуры. Время , суток, ч 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Температура, °С 2 3 1 0 -2 -3 -5 -4 -2 0 1 4 7 Время суток, ч 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Температура. °С 8 9 7 5 4 3 2 1 0 -2 -3 -6 Пользуясь графиком, найдите, в течение какого времени температура повышалась и в течение какого времени снижалась. 775. Велосипедист выехал из дома на прогулку. Сначала он ехал 2 ч со скоростью 12 км/ч, потом отдохнул час и вернулся домой со скоростью 8 км/ч. Постройте график движения велосипедиста. ^ в приведённой таблице значение аргумента в каждом следующем столбце на 1 больше значения аргумента в предыдущем столбце. В таких случаях говорят, что таблица составлена с шагом 1. 143 776. В таблице приведены данные об уровне воды в реке по отношению к ординару (среднему уровню воды) с 1 по 15 мая. Дата Уровень воды, см Дата Уровень воды, см Дата Уровень воды, см 1 8 6 20 11 4 2 10 7 18 12 0 3 12 8 14 13 -3 4 15 9 10 14 -5 5 16 10 8 15 -6 Постройте график изменения уровня воды в реке за указанный период. 777. В начале нагревания температура воды была 6 °С. Во время нагревания температура воды повышалась каждую минуту на 2 “С. 1) Запишите формулу зависимости температуры Т воды от времени t её нагревания. 2) Составьте таблицу значений температуры Т за время нагревания от О мин до 10 мин с шагом 1 мин. 3) Постройте график изменения температуры воды в зависимости от изменения времени нагревания в течение первых 10 мин. 778. Прямолинейная дорога проходит мимо туристического лагеря. Турист, находясь на расстоянии 5 км от лагеря, начал двигаться по этой дороге со скоростью 4 км/ч, удаляясь от лагеря. 1) Найдите расстояние s от лагеря, на котором будет находиться ly-рист через t ч после начала движения. 2) Заполните таблицу значений s. t, ч 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 S, км 3) Пользуясь заполненной таблицей, постройте график зависимости расстояния до лагеря от времени движения. 779. В экономических исследованиях часто используют кривую спроса. Кривая спроса — это график, показывающий, как зависит спрос на товар от его цены. В таблице приведена зависимость спроса на кар- 144 тофель в некотором регионе (в тысячах тонн) от цены 1 кг картофеля. Цена 1 кг картофеля, р. 12 14 16 18 20 22 Спрос, тыс. т 15 12 10 6 4 1 Представьте данные, приведённые в таблице, графически. Соединив полученные точки отрезками, постройте кривую спроса на картофель. 780. В городском совете Солнечного города представлены две партии: партия Знайки и партия Незнайки. Всего в городском совете 20 мест. В таблице приведено количество депутатских мест, полученных партией Знайки в течение 8 последних выборов. Выборы 1 2 3 4 5 6 7 8 Количество депутатов от партии Знайки 14 12 10 16 18 15 14 10 1) Составьте аналогичную таблицу для партии Незнайки. 2) В одной системе координат представьте данные каждой таблицы графически. Соединив полученные точки отрезками, постройте «кривые популярности» каждой партии. 781. В баке было 8 л топлива. Каждую минуту в бак вливается 4 л. 1) Запишите зависимость количества у литров топлива в баке от времени X, в течение которого топливо заливалось в бак. 2) Начертите график изменения у, придавая х значения от 0 до 10. 3) Пользуясь графиком, определите: а) сколько литров топлива будет в баке через 3 мин, через 5 мин; б) через сколько минут в баке будет 40 л топлива. 4) Через сколько минут бак будет наполнен, если его ёмкость — 80 л? 782. На складе было 100 т угля. Ежедневно на склад привозили по 20 т угля. 1) Выразите формулой зависимость количества т угля на складе от времени t. 2) Начертите график этой зависимости. 783. Какой из данных графиков (рис. 13) иллюстрирует зависимость переменной у от переменной х, приведённую ниже: 1) стоимость проезда в автобусе возрастает на 5 р. через каждые 10 км пути {х км — длина пути, ^ р. — стоимость проезда); 145 2) металлическую пружину растянули и отпустили {х с — время, ^ см — длина пружины); 3) цена клубники на рынке в течение мая — июня {х дней — время, ^ р. — цена)? Упражнения для повторения 784. Решите уравнение: 1) -1,2д: +7,2 = 0; 2) -1д:-6 = 0: О 3) Зд:+ 1,5 = -2,5; 4) 6-0,5х= 16. 785. Разложите на множители выражение: 1) - — п^-Ътп^-\Ьт^п^\ ’ 64 2) 202^ + Ъху -\bocz - 4yz; 3) 0,027fli2 + b^. 786. Найдите такое наименьшее натуральное значение а, при котором выражение х^ - 4х + 2а принимает положительные значения при любом значении х. 787. {Задача из «Теоретического и практического курса чистой математики» Е. Войтяховского^.) Капитан на вопрос, сколько у него 2 2 в комманде людей, ответил, что ^ его команды в карауле, у — на работе, "4 ~ в лазарете и 27 человек в наличии. Вопрос: сколько человек было в его команде? ^ Ефим Войтяховский — российский математик-педагог XIX в. Его «Теоретический и практический курс чистой математики» выдержал много изданий и в течение 40 лет был одним из самьпс распространённых пособий для школ того времени. 146 CZ3 Учимся делать \---- нестандартные шаги 788. Натуральные числа xviy таковы, что 34л: = 43^. Докажите, что число X + у составное. ^ 21. Способы задания Функции Примеры, рассмотренные в предыдущем параграфе, показывают, что функцию можно задавать различными способами. Функция считается заданной, если указаны её область определения и правило, с помощью которого можно по каждому значению независимой переме71ной найти значение зависимой переменной. Вам не раз приходилось формулировать различные правила. Поскольку функция — это правило, то её можно задать словами. Такой способ задания функции называют описательным. Приведём несколько примеров. Пример 1. Пусть независимсш переменная принимает любые значения. Значения зависимой переменной находим по такому правилу: каждое значение независимой переменной умножим на 2 и из полученного произведения вычтем 1. Очевидно, что таким способом значение зависимой переменной находится однозначно. Следовательно, мы задали некоторую функцию/, областью определения которой являются все числа. Например, /(2) = 2-2-1 = 3: /(i] = i.2-1 = 0; /(-13,4) = (-13,4) • 2-1 =-27,8 И т. п. ◄ V ^ ^ Пример 2. Пусть независимая переменная принимает любые значения, кроме 0. Соответствующие значения зависимой и независимой переменных — взаимно обратные числа. Здесь задана функция /, область определения которой — все числа, кроме 0. Например, /(1) = 1; /(3) = ^; -2 иг.п.м Рассмотрим самый распространённый способ задания функции: задание функции с помощью формулы. Если в примере 1 независимую переменную обозначить буквой х, а зависимую — буквой у, указать область определения, х — любое число, то формула ^ = 2л: - 1 задаёт вышеописанную функцию. 147 Понятно, что функцию из примера 2 задаёт формула у - где х — любое число, кроме 0. Замечание. Если функция задана формулой, правая часть которой — целое выражение, и при этом не указана область определения, то будем считать, что областью определения такой функции являются все числа. На- пример, формулы у = у = х-?> 5 \ у = х^ - X+ 2 задают функции, областью определения каждой из которых являются все числа. Если, например, функция задана формулой у - ос', то просто говорят, что задана функция у = х^. Если хотят подчеркнуть, что формула, например, У = ^~—, задаёт JC некоторую функцию /, то пишут /(х) = 5 - —. Если хотят подчеркнуть, что, например, формула s = lOz^ -f 2 задаёт функцию с аргументом t и зависимой переменной 5, то пишут s{t) = \0t +2. Рассмотрим функцию f{x) = х^ - 2х, областью определения которой являются числа -1; 0; 1; 3. Имеем: /(-!) =-3;/(0) = 0; /f|l=0; /(D =-1: /(3) =-15. Полученные результаты занесём в таблицу. X -1 0 1 2 1 3 fix) t -3 0 0 -1 -15 Все числа, записанные в первой строке этой таблицы, составляют область определения данной функции /. Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Следовательно, эта таблица — ещё один способ задания функции /. Его называют табличным. Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда область определения функции состоит из нескольких чисел. Пример 3. Функция задана формулой у = 5х+ 2. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 12. Решение. Подставив в формулу у = 5х + 2 вместо у число 12, получаем уравнение 5х + 2 = 12, откуда х = 2. Ответ: 2. ◄ 148 Пример 4. Функция / задана таким образом: f{x) = х + 1, если х < и /{х) = 2, если X > -I. Найдите значения функции /, соответствующие аргументам: 1) -2; 2) -1; 3) 1. Решение. 1) Так как -2 < -1, то значение функции вычисляется по формуле f{x) = X + 7. Следовательно, /(-2) =-2 + 7 = 5. 2) Так как -1 < -1, то/(-1) = -1 -ь 7 = 6. 3) Так как 1 > -1, то/(1) = 2. Для задания данной функции используют форму записи с помощью фигурной скобки: , fjf-f 7, если X <-1, 2, если X > -1. Пример 5. Функции заданы формулами у = Ах+ \ и г/ = 2х - 7. При каком значении аргумента эти функции принимают равные значения? Решение. Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение 4х -I- 1 = 2х - 7. Имеем: 4х - 2х = -7 - 1; X = -4. Ответ: при х = -4. ◄ Что надо указать, чтобы функция считалась заданной? 2. Какие способы задания функции вы знаете? Упражнения 789. Прочитайте следующую запись, укажите аргумент функции и зависимую переменную: 1) 5(^) = 70/^; 3) V{a) = а^; 2) у{х) = -2х -ь 4; 4) /(х) = х^ - 4. 790. Функция задана формулой у = 10х -I- 1. Найдите значение у, если: 1)х = -1; 2) X = 3; 3)х = -1; 4) X = 7. 791. Функция задана формулой у = х"^ - 3. Найдите значение у, если: 1)х=5; 2)х = -4; 3)х = 0,1; 4)х=0. 792. Функция задана формулой ^ - ^ х -I- 2. Найдите: 1) значения функции для значений аргумента, равных 12; 6; -6; 0; 1; 2; -4; -3; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно 4; 3; 0;-1. 149 793. Функция задана формулой f{x) = 3 - 4л:. Верно ли равенство: 1)/(-2)=-5; ^^/[1]=!’ 3)/(0) = -1; 4)/(-1) = 7? 794. Функция задана формулой/(х) = 2х - 1. 1) Найдите /(3); /(-4); /(0); /(“0.5); /(3,2). 2) Найдите значение х, при котором f{x) = 7; f{x) = -9; f{x) = 0; fix) = -2,4. 3) Верно ли равенство: /(5) = 9; /(0,3) = 0,4; /(-3) = -7? 795. Функция задана формулой у = х{х + 8). Заполните таблицу. •V* ’ ^ •Л' -2 -1 0 1 2 3 1: ^ :i 796. Функция задана формулой 1/ = - - х. Заполните таблицу. ’ X -9 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 6 у ■ оо V 797. 1Саждому натуральному числу, которое больше, чем 10, но меньше, чем 20, поставили в соответствие остаток при делении этого числа на 6. 1) Каким способом задана эта функция? 2) Какова область значений этой функции? 3) Задайте эту функцию таблично. 798. Область определения некоторой функции — однозначные натуральные числа, а значения функции в 2 раза больше соответствующих значений аргумента. 1) Каким способом задана эта функция? 2) Задайте эту функцию формулой и таблично. 799. Задайте формулой функцию, если значения функции: 1) противоположны соответствующим значениям аргумента; 2) равны утроенным соответствующим значениям аргумента; 3) на 4 больше квадратов соответствующих значений аргумента. 800. Задайте формулой функцию, если значения функции: 1) на 3 меньше соответствующих значений аргумента; 2) на 5 больше удвоенных значений соответствующих аргументов. 801. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой у = х^ — 2х, где -1 < X < 3, с шагом 0,5. 150 802. 803. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой у = - I, где -3 < дг < 2, с шагом 1. Функция задана формулой у = 0,2х - 5. Згшолните таблицу соответствующих значений х и у. X Г-; 4 -1,5 -3 у 1 2 -1,4 804. Дана функция у = 8 - — х. Заполните таблицу. ^ X 14 -1,4 У 0 9 805. 806. 20 Даны функции g{x) ~ и h{x) = 8 - Зх. Сравните: 2) g(5) и А(2); 3) g(-2) и /!(6). /W = 807. 808. Дана функция -2х -н 1, если X < -2, если -2 < X < 3, 6, если X > 3. Найдите: 1)/{-3); 2)/(-2); -3)/(2); 4)/(3); 5)/(2,9); 6)/(8,1). {-2х + 4, если X > О, ^ ^ ^ ^ ^ соответству- ющие аргументам: 1) 3; 2) 0,001; 3) 0; Функция задана таблично. 4) -8. X 2 4 6 8 У нЬ 5 7 9 11 809. 1) Какие числа составляют область определения этой функции? 2) Задайте эту функцию описательно и формулой. Функция задана таблично. ■ X 1 3 5 7 9 у ц 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 151 1) Какие числа составляют область определения этой функции? 2) Задайте эту функцию описательно и формулой. 810. Функции заданы формулами у = - 8х и у = 4 - 8х. При каких зна- чениях аргумента эти функции принимают равные значения? 811. Функция задана формулой f{x) = 8х + 5. При каком значении х значение функции равно значению аргумента? 812. Функция задана формулой у = х^ +2х При каких значениях х значение функции равно удвоенному значению аргумента? 813. Функция / задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превосходит соответствующего значения аргумента’. Найдите/(3,7);/(0,64); /(2);/(0); /(-0,35);/(-2,8). Упражнения для повторения 814. Какое из следующих уравнений: а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет бесконечно много корней; г) не имеет ни одного корь1я: 1) 3,4(1 -ьЗх) - 1,2 = 2(1,1 +5,lx); 3) 3(|х - 1| -6) -ь21 =0; 2) |2х-Ц = 17,3; 4) 0,2(7 - 2дг) = 2,3 - 0,3(х-6)? 815. Даны три числа, из которых каждое следующее на 10 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел. 816. Докажите, что если а + с = 2Ь, то + 8bc = (2h + cf. 817. Известно, что х + у = —\ у + z = -а\ х л- z= 1. Докажите, что выражение X у л- Z принимает только неотрицательные значения. Готовимся к изучению новой темы 818. Постройте прямую, проходящую через точки А (-2; ?>) 1л В (4; 3). Чему равны ординаты точек этой прямой? 819. Постройте прямую, проходящую через точки С (3; 0) и D (3; -4). Чему равны абсциссы точек этой прямой? Обновите в памяти содержание п. 34 на с. 248, 249. ’ Для данной функции существует специальное обозначение у = [х] (читают: «у равен целой части числа х»). 152 i..J Учимся делать \--- нестандартные шаги 820. Докажите, что в любом 60-значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001. ^ 22. График Функции Рассмотрим функцию у = х^ - Ах, где -1 < д: < 4. Составим таблицу значений этой функции при целых значениях аргумента. X -1 0 1 2 3 4 у 5 0 -3 -4 -3 0 Рассмотрим пары чисел, записанные в каждом столбце этой таблицы, как координаты {х\ у) точек координатной плоскости. При этом значение аргумента является абсциссой точки, а соответствующее значение функции — её ординатой. Эти точки изображены на рисунке 14. Очевидно, что, придавая аргументу другие значения (отличные от целых) из области определения и находя соответствующие значения функции, можно отметить всё больше и больше точек на координатной плоскости (рис. 15, 16). Рис. le Рис. 17 Все точки координатной плоскости, которые можно отметить, действуя таким способом, образуют график функции. 8 Определение \--------------------- Графиком функции f называют геометрическую фигуру, состоя1цую из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции f. Очевидно, что описанный метод построения графика функции г/ = на практике реализовать невозможно. Ведь точек, которые сле- довало бы отметить, бесконечно много. Однако если отметить достаточно много точек, а затем соединить их плавной линией, то полученная кривая (рис. 17) будет тем меньше отличаться от искомого графика, чем больше точек мы отметим. Поскольку описанный метод построения графика функции требует значительной технической работы, то существенную её часть может взять на себя компьютер. Сегодня существует много программ, предназначенных для построения графиков. Так, на экране монитора (рис. 18) изображён график функции у = х^, где -2 < х < 2. 164 Подчеркнём, что если какая-то фигура является графиком функции /, то выполняются два условия; 1) если Xq — некоторое значение аргумента, а/{Xq) — соответствующее значение функгцги, то точка с координатами f{x^) обязательно принадлежит графику; 2) если (х^; — координаты произвольно выбранной точки графи- ка, то XqU у^ — соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции/, то естьу^ =/(Хд). Графиком функции не обязательно является линия. На рисунке 19 изображён график функции, заданной таблицей. X 1 -2 У 3 0 Он состоит из двух точек. Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21 : ' i \ 1 ' ! 1 - 1 ! i 1 1- ! 1 ' 1 11" ’ ; 1 1 1 t 1 0 1. ^ 1— \ У 1 < 4 I -- i 1 1 0 X \ 1 ^ 1.... Рассмотрим пример построения графика функции, заданной описательно. Область определения данной функции — все числа. Для каждого положительного аргумента значение функции равно 1; для каждого отрицательного аргумента значение функции равно -1; если аргумент равен нулю, то значение функции равно нулю. График этой функции изображён на рисунке 20. Он состоит из трёх частей: точки О (0; 0) и двух лучей, у каждого из которых «выколото» начало. Далеко не всякая фигура, изображённая на координатной плоскости, может служить графиком функции. Например, окружность не может являться графиком функции (рис. 21). Здесь по заданному значению переменной X не всегда однозначно находится значение переменной у. 155 Рис. 22 Замечание. Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки. Рисунок, схема, фотография какого-то объекта или процесса дают о нём наглядное представление. Ту же роль играет для функции её график. Так, изучая график, изображённый на рисунке 22, можно, например, найти: 1) область определения функции: все х такие, что -3 < д: < 6; 2) область значений функции: все у такие, что -2<у < 4; 3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю: X = -Ъ или л: = 1; 4) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения: 1 < х < 6; .5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения: -3 < д: < 1, и т. д. После изучения материала этого параграфа становится понятно, почему в технике, медицине, экономике и многих других сферах человеческой деятельности так широко используются компьютерные программы, которые позволяют строить графики различных функциональных зависимостей. Пример 1. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой у = X - точка: \) А (8; 2); 2) В (2; 4)? Решение. Чтобы установить, принадлежит ли точка графику функции, найдём значение функции при значении аргумента, равном абсциссе данной точки. Если значение функции будет равно ординате данной точки, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит. 1) При X = 8 имеем ^ = 8-6 = 2. Следовательно, точка А принадлежит графику данной функции. 2) При X = 2 имеем ^ = 2- 6 =-4 4. Значит, точка В не принадлежит графику функции ^ = х — 6. ◄ Пример 2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции ^ = х^ - 4 с осями координат. Решение. Точка принадлежит оси абсцисс тогда, и только тогда, когда её ордината равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пере- 156 сечения графика данной функции с осью абсцисс надо решить уравнение х~ - 4: = 0. Имеем х=2 или х = -2. Следовательно, график данной функции имеет с осью абсцисс две общие точки; Л (2; 0) и В (-2; 0). Точка принадлежит оси ординат тогда, и только тогда, когда её абсцисса равна нулю. Поэтому для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат надо найти значение данной функции при X = 0. Имеем у = -4. Следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке С (0; -4). ◄ 1. Что называют графиком функции? 2. Какие два условия должны выполняться, чтобы фигура была графиком функции /7 3. Может ли график функции состоять из одной точки? 4. Всякая ли фигура может служить графиком функции? 5. Приведите пример фигуры, которая не может являться графиком функции. 6. Сколько общих точек может иметь с графиком функции любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс? Упражнения 821. Пользуясь графиком функции у = f{x), изображённым на рисунке 23, заполните таблицу. X -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Лх) 822. На рисунке 24 изображён график некоторой функции. Пользуясь графиком, найдите: 1) значение у, если х - -3,5; -1,5; 2; 4; 2) значения х, которым соответствуют значения у = -3; -1,5; 2; 3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю; 4) область определения и область значений функции; 5) значения аргумента, при которых значения функции положительные; 6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные. 823. На рисунке 25 изображён график функции у = f{x). Пользуясь графиком, найдите: 1) /(-4),/(-2,5),/(0,5),/(2); 2) значения х, при которых f{x) = 2,5; f{x) = \\f{x) =0; 3) область определения и область значений функции; 4) значения аргумента, при которых значения функции положительные; 158 Рис. 25 5) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные. 824. Принадлежит ли графику функции у = о^ Л-'i. точка: 1)Л(0;2); 2) В (-1; 1); 3) С (-2; 6); 4) D (-3;-7)? 825. Назовите координаты нескольких точек, принадлежащих графику функции: 1)^ = 7л:-4; 2)^ = дг^+1; 3)г/ = 4-|л:|. X 826. Принадлежит ли графику функции у = - — точка: 1) Л(9;-3); 3) С (-1; 3); 2) В (6; 2); 4) D (-12; 4)? 827. Какие из фигур, изображённых на рисунке 26, могут быть графиком функции? 828. Какие из фигур, изображённых на рисунке 27, Moryi' быть графиком функции? Рис. 27 У1 / 1 0 X 7 Х X в \ б оо \ 829. 830. 831. 832. 833. Графиком некоторой функции является ломаная ABCD с вершинами в точках Л (-3; 6); В (-1; 2); С (3; -2); D (9; 0). 1) Постройте график данной функции. 2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 2; 6. 3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0. Может ли ломаная АВС быть графиком некоторой функции, если: 1) Л (-4; -1);Б(1;2);С(2; 4); 2) Л (-4; -1);В(1;2);С(1;3)? Графиком некоторой функции является ломаная МКЕ, где М (-4; 1); К (2; 4); Е (5; -2). 1) Постройте график данной функции. 2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 3. 3) Найдите значение х, при котором у = -2; 0; 2. Функция задана формулой у - у?- - 1, где -2 < х < 3. 1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1. 2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей. 3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля. 4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции. Функция задана формулой у = А - где -3 < х < 2. 1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1. 2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей. 3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля. 4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции. 160 834. Значение функции у - f{x) равно О при значениях аргумента, равных -5 и 4. Какое из следующих утверждений верно: 1) график функции имеет с осью ординат две общие точки (0; -5) и (0; 4); 2) график функции имеет с осью абсцисс две общие точки (-5; 0) и (4; 0)? 835. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: 1) ^ = - 1бх; S) у = х^ -9х; 2) у = \х\ - 2; У = 0,8х. 836. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: 1) ^ = 36 - 9лг, 2) у + х; 3) у = 49 - х^. 837. Задана функция у = \ - х, областью определения которой являются все однозначные натуральные числа. Постройте график этой функции. 838. Постройте график функции f{x) = 1,5дг+ 1, областью определения которой являются целые числа, удовлетворяющие неравенству -4 < х < 2. 839. Постройте график функции, областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение 1 при чётных значениях аргумента и значение -1 при нечётных значениях аргумента. 840. Функция / задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превышает соответствуюшее значение аргумента. Постройте график этой функции. Упражнения для повторения 841. Упростите выражение: 1) (с-ь2)(с-3) - (с+ 1)(с-ьЗ); 2) (р + 4){р-П) + (р + &Г-, 3) 3(д:-5)2 -(8лг2 -Юдг); 4) 7(2г/-5)2-2(7у-1)2. 842. Докажите тождество: 1) (4«2 -н 3)^ -ь (7 - 4а2 )^ - 2(4^2 -ь 3)(4д2 - 7) = 100; 2) («2 - баЬ -I- 9^2) (^2 + Qab -i- 9b^ )-[а^ - 9b^)^ = 0. 843. Докажите, что при любом нечётном значении п значение выражения {4п + 1)2 -{п + 4)2 кратно 120. 844. Найдите какие-нибудь три натуральных значения переменной х таких, чтобы выражение - 2х можно было разложить на множители по формуле разности квадратов. Полученные выражения разложите на множители. 161 845. {Задача Бхаскарьд.) Есть кадамба цветок; на один лепесток пчёлок пятая часть села. Рядом росла вся в цвету симендга, и на ней третья часть разместилась. Разность их ты найди, затем трижды её сложи, на кумай этих пчёл посади. Только пчёлка одна не нашла себе места нигде, всё летала туда и сюда, запахом цветов наслаждалась. И скажи мне теперь, сколько пчёлок всего здесь собралось? Готовимся к изучению новой темы 846. В таблице приведены соответствующие значения величин хну. Установите, являются ли эти величины прямо пропорциональными. 1) 2 5 7 9 6 15 21 27 2) 1 х‘} Б .-й 0,4 1,8 2,3 3,1 id 0,8 3,8 4,6 6,2 847. Заполните таблицу, если величина у прямо пропорциональна величине X. р X ■ ■ дя 0,3 8 3,2 9,6 2,7 42 Обновите в памяти содержание п. 33 на с. 247. Учимся делать ^--- нестандартные шаги 848. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое количество клеток, вырезали по линиям квадрат, содержащий целое количество клеток, так, что осталась 71 клетка. Сколько клеток содержал исходный лист бумаги? * Бхаскара II (1114-1185) — индийский математик и астроном, автор трактата «Венец системы» (ок. 1150), в котором содержится изложение методов решения ряда алгебраических задач. 162 ^ 23. Линейная Функция, её график и свойства Рассмотрим два примера. Пример 1. В бассейне было 200 л воды. В течение t мин в бассейн каждую минуту поступало 80 л воды. Тогда объём V воды в бассейне вычисляется по формуле: V = 80^ + 200, где ^ > 0. Эта формула задаёт функциональную зависимость переменной V от переменной t. ◄ Пример 2. Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было х рабочих. Обозначим число всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой у. Тогда зависимость переменной у от переменной х выражается формулой у = 2х + 25, где X — натуральное число. ◄ В этих примерах мы сконструировали функции, описывающие две разные реальные ситуации. Однако эти функции похожи тем, что формулы, их задающие, имеют вид у = kx Ь. Q Определение Функцию, которую можно задать формулой вида у = kx •¥ где k ^ Ь — некоторые числа, х — независимая переменная, называют линейной. Вот ещё примеры линейных функций: у = -2х -1-1; у = \- х\ у = 5х; у = 2. Заметим, что областью определения линейной функции являются все числа. Построим график функции у = -2х ч- 1. Состгавим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента. X -3 -2 -1 0 1 2 3 ^ у 1. 7 5 3 1 -1 -3 -5 Точки Л (-3; 7); Б (-2; 5); C(-1;3);D(0; 1); Б (1;-1); Б(2;-3); G (3;-5) принадлежат искомому графику (рис. 28). Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции у = —2х + 1 (рис. 29). 163 в курсе геометрии 9 класса вы докажете, что графиком линейной функции является прямая. Заметим, что эта прямая не может быть вертикальной, то есть прямой, перпендикулярной оси абсцисс. Действительно, вертикальная прямая не может служить графиком функции (см. замечание на с. 156). Поскольку прямая однозначно задаётся любыми двумя своими точками, то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции, имеющую лишь два столбца. Пример 3. Постройте график функции у = -Ъх 2. Решение. Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента. X 0 1 у 2 -1 Отметим на координатной плоскости точки (0; 2) и (1; -1) и проведём через них прямую (рис. 30). Эта прямая является графиком линейной функции у = -Ъх -Ь 2. ◄ 164 в формуле у = kx + Ь, задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда k = Q или Ь = 0. Рассмотрим случай, когда ^ = О 1Л k Ф 0. Тогда формула приобретает вид у = kx. Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что и ^ Эта формула показывает, что для функции у = kx при хфО отношение соответствующих значений зависимой и независимой переменных остаётся постоянным и равно k. Напомним, что в курсе математики 6 класса вы уже познакомились с подобными зависимостями между величинами. Такую зависимость называли прямой пропорциональностью. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой у = kx, где k Ф О, называют прямой пропорциональностью. Функции у - 2лг; у - Х\ у = -х; У = ~ — х — примеры прямых пропорциональностей. Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции (это выражает схема, изображённая на рисунке 31), то её график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом значении k проходит через точку О (0; 0). Действительно, если в формуле у = kx положить X = о, то получим у = 0. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эзу точку и точку О (0; 0). На рисунке 32 изображены графики прямых пропорциональностей, которые приводились выше в качестве примеров. Рассмотрим ещё один частный случай линейной функции. В формуле у = kx + Ь положим k = 0. Получим у = Ъ. Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента. Рис. 32 165 Пример 4. Постройте график функции у = 2. Решение. Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например равные -2 и 0. Остаётся провести прямую через точки А (-2; 2) и В (0; 2) (рис. 33). Эта прямая параллельна оси абсцисс. ◄ Рис. 33 Vi ^ ^ ' А , 4- В ' 0 1 '• х\ Заметим, что графиком функции у = 0 является ось абсцисс. Графиком функции у = Ь, где Ь фО, является прямая, параллельная оси абсцисс. Пример 5. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке 34. Решение. График данной функции пересекает ось ординат в точке (0; 4). Подставив координаты этой точки в формулу у = kx + Ь, получаем 4 = ^ • 0 -н 6, откуда Ь = А. Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3; 0), то, подставив её координаты в формулу у = kx + А, получим: ?>k + А = 0\ k = - — . 4 ^ Ответ: у = -~х-\-А. < ^ 3 Г^1 Какую функцию называют линейной? 2. Что является графиком линейной функции? 3. Какую функцию называют прямой пропорциональностью? 4. Что является графиком прямой пропорциональности? 5. Что является графиком функции у = Ы 6. Графиком какой функции является ось абсцисс? 7. Существует ли функция, графиком которой является ось ординат? Упражнения \) у = Ъх-2\ 2) у = 8-7х; 3) i/ = f+ 2; 4) g(^); 2) /(х) < g(x). При каком значении независимой переменной функции /(х) = 5 - 2х и g(x) = 2х - 3 принимают равные значения? Построив на одной координатной плоскости графики данных функций, установите, при каких значениях х: 1) /(^) < g(^); 2) /(х) > g(x). 169 878. Задайте формулой функцию, являющуюся прямой пропорциональностью, если её график проходит через точку М (2; -5). ^ 879. Найдите значение Ь, при котором график функции у = - — х ■¥ Ь проходит через точку А (-27; 4). 880. При каком значении k график функции у - kx - 15 проходит через точку 5 (3; —6)? 881. График функции у = кхл-Ъ пересекает оси координат в точках С (0; 4) и D (-8; 0). Найдите значения k vs. Ь. 882. График функции у = kx + Ь пересекает оси координат в точках М (3; 0) и /С (0; -1). Найдите значения k vs h. 883. Все точки графика функции у = kx + Ь имеют одинаковую ординату, равную -6. Найдите значения k vsb. 884. График функции у = kx + Ь параллелен оси абсцисс и проходит через точку А (-2; 3). Найдите значения k vs Ь. 885. Один из графиков, изображённых на рисунке 35, отображает процесс наполнения одного бака водой, а другой — вытекания воды из другого бака. 1) Каким процессам соответствуют графики на рисунке 35? 2) Сколько воды было сначала в каждом баке? 3) Сколько воды было в каждом баке через 2 мин после открытия кранов? через 6 мин? 4) Через сколько минут после открытия кранов в каждом баке было по 30 л воды? 5) Сколько литров воды каждую минуту наливается в один бак и сколько выливается из другого? 6) Задайте формулой зависимость количества воды в каждом баке от времени. Рис. 35 170 886. Какая из прямых, изображённых на рисунке 36, является графиком функции: ^ ^ \)у = дс, 2)^ = 4х; 3) у^-х\ 4) у = --х} 887. Какая из прямых, изображённых на рисунке 37, является графиком функции: \)у = -х\ 2)у = Ъхг, У = -^х\ 4) ^ = -2х} Рис. 36 Рис. 37 888. Задайте формулой какие-нибудь две линейные функции, графики которых проходят через точку: \)А (0;4); 2) Л (1; 3). 889. Графики функций у = 0,5л: -Ъ,у - —Ах + Ь vi у = kx пересекаются в одной точке. Найдите значение k. Постройте в одной системе координат графики этих функций. 890. При каком значении Ь графики функций у = 1,5л: - Ъ, у = 2,5л: -ь 1 wy -=Ъх л- Ь пересекаются в одной точке? 891. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина которого равна 8. Длина отрезка АС равна х, длина отрезка ВС — у. Постройте график зависимости ^ от л:, О < X < 8. Отметьте на этом графике точку, соответствующую случаю, когда С — середина отрезка АВ. 892. Периметр прямоугольника ABCD равен 12, АВ = х, AD = у, 0 < х <Ь. Постройте график зависимости у от х. Отметьте на этом графике 171 точку, соответствующую случаю, когда прямоугольник ABCD является квадратом. 893. Постройте график функции: f л: - 4, если дг > О, У = \ г. -ZX - 4, если X < 0; 3) у = 2, если X 5^ 2, 2) ^ = Зх - 2, если X < 1, 1, если X > 1; 894. Постройте график функции: У = 3, если X = 2; 2х, если X < -1, 4) у = \ \, если X = -1, X -н 3, если X > -1. 2) у = 5-х, если X < 3, X -I-1, если X > 3. -Зх, если X < -1, 3, если - 1 < X < 1, 2х + 1, если X > 1; 895. Постройте график функции: 1) ^ = |х|; 2) ^ = |х| +х; 896. Постройте график функции: 1) у = -\х\; 2) у = х- |х|; 897. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой является изображённая на рисунке 38: 1) прямая а; 2) прямая Ь. 898. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой является изображённая на рисунке 39: 1) прямая т\ 2) прямая п. 3) ^ = 4х - |х| +2. 3) ^ = Зх -I- 2|х|. ■^V 899. Функция задана описательно: значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента^. Постройте график этой функции. Упражнения для повторения 900. Найдите значение выражения: 1) (2 -ь Зй)(5 - <з) - (2 - Ъа){Ъ + а) при а = -1,5; 2) {Ъа -н bf - {Sa -bf при а = -31, ^ = 0,3. 901. Решите уравнение: 1) {Ъх+ 1)(2х- 3) = (Юд:- 9)(х-ь 2); 2) (7х- 1)(х-ь 5) = (3 -ь 7дг)(х+ 3). 902. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3. 903. В двух кадках было поровну воды. Объём воды в первой кадке сначала увеличили на 10 %, а потом уменьшили на 10 %. Объём воды во второй кадке, наоборот, сначала уменьшили на 10 %, а потом увеличили на 10 %. В какой кадке воды стало больше? 904. Известно, что х'^ + = а, ху = Ь. Чему равно значение выражения х'^ + -I- у‘^} 905. Докажите, что при любом значении х значение выражения \х\ - х больше соответствующего значения выражения 2х - х^ - 2. CZ3 Готовимся к изучению новой темы 906. Найдите значение выражения: 1) 0,1л: -I- Бу, если х = -4, у = 0,6; 2) х^ -Ъу + 7, если X = Б, у = -2; 3) |л:| -I- 1^-61, если л: = -10, ^ = 2; 4) (2^ - ЗУ'^ -{х + 4)^, если х = -4, у = 1,5. 907. Изобразите на координатной плоскости все точки (х; у) такие, что: 1) X = -3, у — произвольное число; 2) у = 2, X — произвольное число; Ъ) X = о, у — произвольное число. * Данную функцию называют «дробная часть числа», и для неё существует специальное обозначение: у = {х}. По определению {х} = х - [х], где [х] — целая часть х. Например, {3,2} = 0,2; {-3,2} = 0,8; {-0,16} = 0,84; {2} = 0. 173 С—5 Учимся делать ^--- нестандартные шаги 908. Есть два печатных автомата. Первый по карточке с числами {а; Ь\ с) а + Ь Ь + с а + сЛ выдает карточку с числами —-—; ——; —— , а второй по карточке 2 2 2 ^ с числами {а; Ь; с) — карточку с числами {2а — b\2b - с\ 2с - а). Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (2,8; -1,7; 16) получить карточку (1,73; 2; 0,4)? 174 Задание «Проверьте себя» № 6 в тестовой форме 1. При каком значении аргумента значение функции у = -1,5л: + + 4 равно -2? А) 4 Б) -4 В) 2 Г) -2 2. Среди данных функций укажите прямую пропорциональность: А) у =\2+ X V») у =\2 3. Какая из данных функций не является линейной? Г) ^ = 12л: А) ^ = -2л: + 9 В)^ = -|+ 9 Б) г/ = -^ + 9 Г) ^ = 9 - 0,2л: 4. Через какую из данных точек проходит график функции ^ = л^ - 8? А) А (-3; 0) В) С (-3; 3) Б) В (-3; 6) Г) D (-3; -12) 5. Утром ученик пошёл в школу, а после уроков вернулся домой. На рисунке 40 изображён график зависимости расстояния между учеником и его домом от времени движения. Сколько часов ученик находился в школе? Рис. 40 А) 5 ч Б) 4,5 ч В) 4 ч Г) 3,5 ч 6. Графиком какой из данных функций является прямая, проходящая через начало координат? А) ^ = 20 н- л: Ъ) у = 2^ - X Ь) у = 20х Г) ^ = л: - 20 7. Графиком какой из данных функций является горизонтальная прямая? А) У = ^ Б) .У = - - л: Б) у = -х + \ Г) ^ = 175 8. 9. 10. В какой точке график функции у = х - 2 пересекает ось ординат? А) А (0; -2) Б) В (0; 2) ' В) С (2; 0) Г) D (-2; 0) Определите абсциссу точки пересечения графиков функций у = д)-Ах'и.у = х+ 14. А) -2 Б) 2 В) -1,2 Г) 1,2 На каком из рисунков изображён график функции у = 0,2х (рис. 41)? 11. График какой функции изображён на рисунке 42? А) у = Ъх В) ^ = X + 3 Б) ^ = -X + 3 П У = \^ 12. При каком значении т график функции у = тх + 2т - 5 пересекает ось х в точке с абсциссой -1? А) 5 В) -3 Б) -5 Г) 3 176 Итоги главы 3 Функция Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией. Область определения функции Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Область значений функции Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Способы задания функции Описательный; с помощью формулы; табличный; графический. 11рафик функции Геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции У) называется графиком функции f. Линейная функция Функцию, которую можно задать формулой вида у = kx-¥b, где k и Ь — некоторые числа, х — независимая переменная, называют линейной. График линейной функции Графиком линейной функции является прямая. Прямая пропорциональность Линейную функцию, которую задают формулой у где называют прямой пропорциональностью. = kx, 177 Глава 4. Системы линейных уравнений с ДВУМЯ переменными в этой главе вы познакомитесь с уравнениями с двумя переменными и их системами. Изучите некоторые методы их решения. Вы узнаете, что уравнение с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации. Овладеете новым эффективным методом решения текстовых задач. ^ 24. Уравнения с двумя переменными Рассмотрим пример реальной ситуации. Пример 1. Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом равно 634 км. Из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью х км/ч выехал автомобиль. Через 1 ч навстречу ему из Санкт-Петербурга со скоростью у км/ч выехал второй автомобиль. Они встретились через 3 ч после выезда второго автомобиля. Построим математическую модель этой ситуации. Путь, пройденный вторым автомобилем до встречи, равен Зу км. Поскольку первый автомобиль находился в пути на 1 ч дольше второго, то есть 4 ч, то он до встречи проехал 4х км. Вместе автомобили проехали 634 км. Отсюда: 4х + 3у = 634. Это равенство с двумя переменными является математической моделью вышеописанной реальной ситуации. ◄ Рассмотрим ещё несколько примеров ситуаций, математическими моделями которых служат равенства с двумя переменными. Пример 2. Площадь квадрата со стороной 10 см равна сумме площадей двух других квадратов. Площадь квадрата со стороной 10 см равна 100 см^. Если длины сторон двух других квадратов обозначить д: см и ^ см, то получим равенство х^ + у^ = 100. ◄ Пример 3. Дан прямоугольный треугольник. Если градусные меры его острых углов обозначить х и у, то можно записать: 178 X + ^ = 90. ◄ Пример 4. Дан прямоугольник, площадь которого равна 12 см^. Обозначим длины его сторон х см и ^ см. Тогда = 12. ◄ Пример 5. Купили 5 ручек и 7 тетрадей. За всю покупку заплатили 290 р. Если одна ручка стоит х р., а одна тетрадь — ^ р., то 5х -I- 7^ = 290. ◄ Как видим, каждое полученное в примерах 1—5 равенство 4х -н 3^ = 634, х^+у'^ = 100, X -I- г/ = 90, ху = 12, Ъх л-1у - 290 содержат по две переменные х и у. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными. Если, например, в уравнение хг/ = 12 вместо х и ^ подставить числа 2 и 6, то получим верное равенство 2 • 6 = 12. В этом случае говорят, что пара значений переменных х = 2, ^ = 6 удовлетворяет данному уравнению или что эта пара является решением этого уравнения. Определение Пару значений переменных, обращающую уравнение в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными. Так, для уравнения х^ + у'^ =100 каждая из пар чисел X = 8, у = 6; X = -6, у = 8; X = 10, у = о является его решением, а, например, пара х = 5, у = 9 его решением не является. Обратим внимание на то, что данное определение похоже на определение корня уравнения с одной переменной. В связи с этим распространена ошибка: называть каждое число пары или саму пару, являющуюся решением, корнем уравнения с двумя переменными. Тот факт, что пара х = а, у = Ь является решением уравнения, принято записывать так: {а\ Ь) является решением уравнения. В скобках на пер- 179 BOM месте пишут значение переменной х, а на втором — значение переменной Используя такое обозначение, можно, например, записать, что каждая из пар чисел (5; 85), (40; 50), (50; 40) является решением уравнения X + у = 90. Три указанные пары не исчерпывают все решения этого уравнения. Если вместо переменной у подставлять в уравнение х-ь ^ = 90 любые её значения, то будем получать линейные уравнения с одной переменной, корнями которых будут соответствующие значения переменной х. Понятно, что так можно получить бесконечно много пар чисел, являющихся решениями уравнения х + у = 90. Уравнение с двумя переменными не обязательно имеет бесконечно много решений. Например, уравнение \х\ -I- \у\ =0 имеет только одно решение — пару чисел (0; 0). Действительно, поскольку |х| > 0 и \у\ > 0, то при X ^ о или у ^ о левая часть уравнения принимает только положительные значения. Уравнение х:^ + у"^ = -2 вообще решений не имеет. Заметим, что мы решили каждое из уравнений |х| -I- \у\ = 0 и -I-•f у"^^ = -2, но при этом уравнение х -ь ^ = 90 нами не решено. & Определение Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений. Свойства уравнений с двумя переменными запомнить легко: они аналогичны свойствам уравнений с одной переменной, которые вы изучали в 6 классе. • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. * Если переменные в уравнении обозначены буквами, отличными от д; и то, записывая решение в виде нары, надо договориться, значение какой переменной с тавится на первое место в паре, а какой — на второе. Как правило, принимается во внимание порядок букв латинского алфавита. 180 Рассмотрим уравнение + 2 = 2х - 2у. Преобразуем его, ис- пользуя свойства уравнений. Имеем: -2х + + 2 = 0; х"^ -2х + \ +у^ +2у + \ = 0\ {X - If -f- {у +1)2 = 0. Поскольку (х -1)2 > о и (г/-1-1)2 > 0, то левая часть уравнения обращается в нуль только при одновременном выполнении условий: х -1 = 0 и у + \ = 0. Отсюда пара чисел (1; -1) — единственное решение данного уравнения. Изучая какой-то объект, мы стремимся не только описать его свойства, но и составить о нём наглядное представление. График функции — характерный тому пример. Поскольку решением уравнения с двумя переменными является пара чисел, например {а;Ь), то совершенно естественно изобразить это решение в виде точки М {а; h) на координатной плоскости. Если изобразить все решения уравнения, то получим график уравнения. © Определение \--------------------- Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения. Например, рассмотренное выше уравнение х2 л- у^ л- 2 = 2х - 2у имеет единственное решение (1; -1). Поэтому его графиком является единственная точка М (1; -1) (рис. 43). На рисунке 44 изображён график функции у = 2х Поскольку формула, задающая линейную функцию, является уравнением с двумя перемен- ными, то также можно сказать, что на рисунке 44 изображён график уравнения у = ^2.х -\. Подчеркнём, что если какая-то фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия: 1) все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику; 2) координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, которая является решением данного уравнения. Графики уравнений очень разнообразны. Со многими из них вы познакомитесь в курсе алгебры. Например, в 8 классе вы узнаете, что графиком рассмотренного в начале параграфа уравнения ху = является фигура, изображённая на рисунке 45. Её называют гиперболой. А в 9 классе вы сможете доказать, что графиком уравнения х^ + у^ = А является окружность (рис. 46). Рис. 45 Рис. 46 Пример 6. Постройте график уравнения осу + Ъу = 0. Решение. Запишем данное уравнение в виде у{х + 3) = 0. Отсюда у - ^ или х + + 3 = 0. Следовательно, решениями данного уравнения являются все пары чисел вида (х; 0), где д:— произвольное число, и все пары чисел вида (-3; у), где у — произвольное число. Все точки, координаты которых имеют вид {х; 0), где х — произвольное число, образуют ось абсцисс. Рис. 47 182 Все точки, координаты которых имеют вид (-3; у), где у — произвольное число, образуют прямую, проходящую через точку (-3; 0) параллельно оси ординат. Следовательно, графиком данного уравнения является пара прямых, изображённых на рисунке 47. ◄ 1. Что называют решением уравнения с двумя переменными? 2. Что означает решить уравнение с двумя переменными? 3. Сформулируйте свойства уравнений с двумя переменными. 4. Что называют графиком уравнения с двумя переменными? 5. Может ли график уравнения с двумя переменными состоять только из одной точки? 6. Какая фигура является графиком уравнения у -kx -\-Ы 909. оо V Упражнения 910. 911. Какие из данных уравнений являются уравнениями с двумя переменными: \)2x + y = S\ 4) «2-3^ = 8с; 7)хЗ-8х = 100; 2) x + y + z = 0', Ъ)ху+\ = г, 8) 8^ = 100; 3) «2 - 36 = 8; 6) Ът-Ъп = 6; 9) х^ -8ху = 100? Является ли пара чисел (-2; 3) решением уравнения: 1)4г-1-3^=1; 2)х‘^+5 = у^‘, 8) ху = 6? Какие из пар чисел (0; 1); (5; -4); (0; 1,2); (-1; 1); (1; -1) являются решениями уравнения: 1) лг2 -f 5^ - 6 = 0; 2) ху + х = о? 912. Принадлежит ли графику уравнения 2х^ - у + \ =0 точка: 1) Л (-3; -17); 2) В (2; 9); 3) С (-2; 9); 4) D (-1; 4)? 913. Докажите, что график уравнения ху - 12 = 0 не проходит через точку: 1) Л (3; -4); 2) В (-2; 6); ' 3) С (7; 2). 914. Проходит ли через начало координат график уравнения: 1) 12х + 17у = 0; 2) х^^ - ху + 2 = 0; 3) х^ - 4у = у^ + Sx? 915. Укажите какие-нибудь три решения уравнения: 1)х-^=10; 2)х = 4у; 8)2х^+у = 20. 916. Укажите какие-нибудь три решения уравнения: \)х-\-у=\\ 2)Ъх-у = 2. 917. График уравнения 4г -f 3^ = 30 проходит через точку А (6; 6). Чему равно значение 6? 918. График уравнения 7х - Ъу = 47 проходит через точку В {а\ -1). Чему равно значение а} 183 919. 920. 921. 922. 923. 924. 925. 926. 927. 928. 929. 930. 931. He выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения: \)х + у = 2\ 2)х^-у = \\ ?>)х^+у^ = 9\ А)\х\-у = Ъ. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения: 1) 2х - 3^ = 6; 2) + г/ = 4; 3) \х\ + \у\ =7. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел: \)х=\,у = 2\ 2) л: = -3,^ = 5; 3)x=10, ^ = 0. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку: 1) Л(-2;2); 2)Б(4;-1); 3) С (0; 0). Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку М (6; -3). Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку К (0; 4). Принадлежат ли графику уравнения х'^ - у = -2 точки, имеющие отрицательную ординату? Проходит ли график уравнения х + у'^ = -А через точки, имеющие положительную абсциссу? Имеет ли решения уравнение: \)у'^=х‘^- А)х^+у^=2Ъ\ 7) |:г| -ь 1^1 = 1; 2) у^ = -х2; 5) -ь г/2 = -25; 8) 1х| + \у \ = 0; 3) = 0; 6) - -9; 9) |д:| + \у\ = -1? В случае утвердительного ответа укажите примеры решений. Решите уравнение: 1) -ь ^2 ^ 0; 2) {х + 2)2 +(у- 3)2 =0; S) + у^ = -4. Сколько решений имеет уравнение: 1) x^+{y-2f =0; Ъ)ху = 2\ 2) (х-t-3)2 + Сг/- 1)2 = 0; 6) \х+\\ + \у\ =0; 3) 9x2-Hi6^2 ^0; 7) х2+|;у|=-100; 4) (х2-н ^2"j^ = 0; 8)х + г/ = 2? Приведите пример уравнения с переменными х и у: 1) имеющего одно решение; 2) не имеющего решений; 3) имеющего бесконечно много решений; 4) решением которого является любан! пара чисел. Что представляет собой график уравнения: 1) (х - 1)2 ч--н 5)2 = 0; 3) 4х-Н ^ ^ + 4х; 2) |х-н9| -н |^-8| =0; 4) (х- 1)(^-н 5) = 0? 184 932. 933. 934. 935. 936. 937. 938. 939. 940. 941. Постройте график уравнения: 1) (х + 2Y + = 0; 4) (х + 1)(^ - 1) = 0; 2) |х|+(^ - 3)2 = 0; 5) - 2^ = 0. Ъ) ху = 0\ Постройте график уравнения: 1) |х- 4| + 1^ - 41 = 0; Ъ)ху + х=0. 2) (х-4)(^-4) = 0; Найдите все пары (х; у) на1уральных чисел, являющиеся решениями уравнения: 1) 2х + Ъу = 5; 2) X + 5^ = 16, Найдите все пары (х; у) целых чисел, являющиеся решениями уравнения |х| + \у\ = 2. Найдите все пары (х; у) целых чисел, являющиеся решениями уравнения х^ -V у^ =5. Кате надо заплатить за брошюру 29 р.; у неё есть только монеты по 2 р, и но 5 р. Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачи? Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре насчитывалось 2 балла, а за задачу по геометрии — 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24. Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и но геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача? Найдите все возможные ответы. Решите уравнение: 1) х‘2 -I- ^2 + 4 = 4^. 3) д-2 ^ ^2 ^ ^ ^ 0^ 5 _ Q. 2) х2 4- ^2 + 2х - 6у -f 10 = 0; 4) 9x2 + ^2 + 2 = 6х. Решите уравнение: 1) х2 + 10^ -ь 30 = 10х - у^ - 20; 2) 4x2 + + 4д; = 2^ - 3. Графиком уравнения (х2 + ^2 + ^)2 = + у^ является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 48). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат. Рис. 48 Рис. 49 к ^ г У^ 1 1 X 185 942. Графиком уравнения ^ ^ ~ ^ является кривая, которую называ- ют эллипсом (рис. 49). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат. Упражнения для повторения 943. В ёмкость, содержащую 150 мл восьмипроцентного раствора кислоты, добавили 90 мл воды. Чему равна концентрация кислоты в полученном растворе? 944. В мешке 7 красных, 10 зелёных и 12 жёлтых яблок. Какое наименьшее количество яблок надо вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью, равной 1, среди вынутых яблок хотя бы одно было зелёным? 945. Найдите корень уравнения: 1) 4д: + 1 2х -Ъ = д: - 4; 2) Зх - 5 5х - 2 = X -I- 9. 946. 947. 948. 5 3 ” “’'4 3 Из города А в город В одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Легковой автомобиль прибыл в город В через 3,5 ч после выезда, а грузовому осталось ещё проехать 77 км. Найдите расстояние между городами, если скорость грузового автомобиля в 1,4 раза меньше скорости легкового. Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении п значение выражения {Ъп 4- - (2« -I- 4)^ делится нацело на 84? Известно, что при некоторых значениях т, п w k значение выражения Ът^п равно 2, а значение выражения равно 3. Найдите при тех же самых значениях m,nvik значение выражения: 1) 2) • (0,5ц‘^^)^. Учимся делать нестандартные шаги 949. Сравните значения выражений (1 • 2 • 3 • ... • 999 • 1000)^и 1000^®®®. 6 25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график @1 Определение Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах Ъу - где х ул у — переменные, а, Ь, с — некоторые числа. 186 Уравнения 4х + 3^ = 634; л: + ^ = 90, знакомые вам по предыдущему параграфу, являются линейными. Вот ещё примеры линейных уравнений: X + у - Ол: + 5^ = -1; -Зл; + 0^ = 5; Ох + 0^ = 0; Ох + 0^ = 2. Выясним, какая фигура является графиком линейного уравнения. Для этого рассмотрим три случая. Случай 1. Пусть задано линейное уравнение ах + by = с, в котором Ь Ф Q. Это уравнение можно преобразовать так: by = -ах + с. Поскольку Ь ^ то, разделив обе части последнего уравнения на Ь, получим ^ ^ , с y = -V*-b- Введём обозначения: -^ = к, ^-Р’ Теперь можно записать у = кх + р. Мы получили формулу, задающую линейную функцию. Графиком линейной функции является невертикальная прямая. Значит, графиком уравнения ах + by = с, где Ь Ф 0, является невертикальная прямая. Пример 1. Постройте график уравнения X - Ъу = -2. Решение. Графиком этого уравнения является прямая. Поэтому для построения графика достаточно определить координаты двух любых её точек. Имеем: если х = 1, то ^ = 1; если х = -2, то ^ = 0. Теперь через точки М(1; 1) и N (-2; 0) проведём прямую (рис. 50). Эта прямая и является искомым графиком. ◄ Рис. 50 Случай 2. Пусть задано линейное уравнение ах + by = с, ъ котором а Ф Q, Ь = 0. Получаем ах + Qy = с. Построение графика уравнения такого вида рассмотрим в примере 2, Пример 2. Постройте график уравнения Зх -I- Ог/ = 6. Решение. Легко найти несколько решений этого уравнения. Вот, например, четыре его решения: (2; -1); (2; 0); (2; -i); (2; -100). Ясно, что лю- 3 бая пара вида (2; t), и только она, где t — произвольное число, является решением уравнения Зх -I- 0^ = 6. Следовательно, искомый график содержит 187 все точки, у которых абсцисса равна 2, а ордината — любое число. Все эти точки принадлежат прямой, перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку (2; 0) (рис. 51). При этом координаты любой точки этой нр51мой — пара чисел, являющаяся решением данного уравнения. А значит, указанная прямая и является искомым графиком. ◄ Рассуждая аналогично, можно показать, что графиком уравнения ах -f- Ог/ = с, где а ^ о, является вертикальная прямая. Теперь можно сделать такой вывод. Рис. 51 ^ В каждом из двух случаев: 1) Ь ф 0\ 2) Ь - О ^ а О — графиком уравнения ах л- by - с является прямая. Часто, например, вместо предложения «дано уравнение у = 2х» говорят «дана прямая у = 2х». Случай 3. Пусть задано линейное уравнение ах + by = с, ъ котором а = h = 0. Имеем: Ох + Оу = с. Если с о, то это уравнение не имеет решений, а следовательно, на координатной плоскости не существует точек, которые могли бы служить графиком уравнения. Если с = о, то уравнение принимает вид: Ох -I- 0^ = 0. Любая пара чисел является его решением. Значит, в этом случае график уравнения — вся координатная плоскость. Следующая таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом параграфе. Уравнение Значения а, Ь, с График ах + by = с Ь Ф 0, а \л с — любые Невертикальная прямая ах + by = с Ь = 0, а Ф 0, с — любое Вертикальная прямая ох + by = с а = Ь = с = 0 Вся координатная плоскость ах + by = с а = Ь = 0, сфО — 188 Пример 3. Выразите из уравнения Ъх -2у = Ь переменную х через пе-ремен1гую у и найдите какие-нибудь два решения этого уравнения. Решение. Имеем: ?>х = 2у -ь 6; 2^ + 6 . X = 9 X =- у + 2. Придавая переменной у произвольные значения и вычисляя по полу-2 ченной формуле х = — у + 2 соответствующее значение переменной х, мо-3 жем найти бесконечно много решений данного уравнения Ъх - 2у = 6. Например, ^ если ^ = 6, то х = — - 6-1-2 = 6, 3 2 2 если у = -2, то X = — ■ (-2) -t- 2 = --. 3 3 Пары чисел (6; б) и | ^; -2 1 являются решениями данного уравнения. ◄ V У Пример 4. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, графиком которого является прямая, проходящая через начало координат и точку А (3; -12). Постройте график этого уравнения. Решение. Так как график искомого уравнения проходит через точки О (0; 0) и Л (3; -12), имеющие разные абсциссы, то он является невертикальной прямой. Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде ^ = ^ -t- 6, где k и Ь — некоторые числа. Из того, что график проходит через начало координат, следует, что Ь = 0. Так как график проходит через точку Л (3; -12), то -12 = 2k, откуда k = -4. Значит, искомое уравнение имеет вид у = -4х или 4г -I- ,;^ = 0. График этого уравнения изображён на рисунке 52. Ответ: Ах + у = 0. < 1. Какое уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными? 2. Что является графиком уравнения ах + by = с, если h Ф 0 или если Ь = 0 \л а^01 189 3. Что является графиком уравнения ах + by = с при а = Ь = с = 07 4. При каких значениях я, 6 и с уравнение ах + by = с ие имеет решений? Упражнения 950. Является ли линейным уравнение с двумя переменными: 1) 7х+ 11^ = 36; 3) 12х- 17у = 0; 2) +4у = 6; 4) -Ъх + ху = 10? 951. Какие из пар чисел (7; 1); (0; -2); (8; 2); (-7; -5); (10; 3) являются решениями уравнения Ъх - 7у = 14? 952. Решением каких из уравнений является пара чисел (3; -2): 1)4х + 5у = 2; 2) Зд:-2^ = 5; 3) 0,2д:-0,5^= 1,6? 953. Известно, что пара чисел (-5; у) является решением уравнения 2х + + 9у = 17. Найдите значение у. 954. Известно, что пара чисел (х; 6) является решением уравнения 8х - Зу = 22. Найдите значение х. 955. Графику какого из уравнений принадлежит точка М (1; 4): 1) 4у-2х = -4; 2) 6х + 11^ = 50? 956. Проходит ли график уравнения Зл: -I- ^ = -1 через точку: 1) М (-3; 10); 2) N (4; -13); 3) К (0; -1)? 957. Выразите из данного уравнения переменную х через переменную у и найдите какие-нибудь три решения этого уравнения: \)х + у=\2\ 3)ic + 8^=16; 2) х-7у = Ь\ 4) -6х ч- 5у = 18. 958. Выразите из данного уравнения переменную у через переменную х и найдите какие-нибудь два решения этого уравнения: 1)4х-^ = 7; 2)-2х + у=П; 3)5:г-3^=15. 959. Найдите какие-нибудь три решения уравнения: 1) дг-^= 10; 2) 2у-Ъх= 11. 960. Найдите какие-нибудь три решения уравнения: \) Ох + у = 7\ 2) 2х - Ъу = -4. 961. Постройте график уравнения: \)х-у = ^\ Ъ)х-Ъу = Ъ\ 2) + ^ = 3; 4) Зд: -I- 2^ = 6. 962. Постройте график уравнения: 1) д- -I- ^ = -3; 2) Ох + у = 0\ 8) 2х - Ъу = 9. 963. Какие пары чисел являются решениями уравнения: 1) Од -ь 4^ = 20; 2) -Зд + 0у^ 27? 964. Постройте график уравнения: 1) 4^ = -8; 2) 1,2д = 3,6. 190 оо V 965. Постройте график уравнения: 1) -0,2л: = 1; 2) 0,5^ = 2. 966. В какой точке прямая 1у -Ъх= 21 пересекает: 1) ось Х', 2) ось у} 967. Найдите координаты точек пересечения прямой 0,3л: + 0,2^ = 6 с осями координат. 968. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел (—2; 1). 969. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел (3; 5). 970. Найдите решение уравнения 7л: -ь 8^ = 30, состоящее из двух равных чисел. 971. Найдите решение уравнения -12r -f 17^ = -87, состоящее из двух противоположных чисел. 972. При каком значении а пара чисел {а\ 2а) является решением уравнения 2х + Ту = 16? 973. При каком значении а пара чисел 2) является решением уравнения: 1) Зл: -н Ъу = а\ 2) ах-\-Ъу = 18? 974. При каком значении а график уравнения 11л: - \Ъу = а + А проходит через начало координат? 975. При каком значении а через точку А (5; -3) проходит график уравнения: 1) 4г - 9^ = <2; 2)Ъх- ау - 15? 976. При каком значении а график уравнения ш: + 4^ = 0 проходит через точку: 1)Л(12;-4); 2) Л (0; 2); 3) О (0; 0)? 977. При каком значении Ь график уравнения Ъх + by = 0 проходит через точку: 1)М(-4;-10); 2)ЛГ(0;1); 3)/С (-2; 0)? 978. Графиком каких уравнений является та же прямая, что и график уравнения 2л: - Ъу = 3: 1) 4г-10^ = 6; 3)2г-5^ = б; 5) л: - 2,5^ = 1,5; 2) 4л: - 10^ = 3; 4) 5^ - 2л: = -3; 6) -0,4л- -у = 0,6? 979. Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию: 1) длина прямоугольника равна х м, ширина — у ы, периметр — 18 м; 2) автобус ехал 4 ч со скоростью лкм/чиЗч — со скоростью у км/ч, проехав всего 250 км; 3) тетрадь стоит х р., а ручка — ^ р., 2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р.; 4) кусок сплава массой х кг, содержащего 12 % меди, и кусок сплава массой у кг, содержащего 20 % меди, сплавили вместе и получили новый сплав, содержащий 9 кг меди; 191 5) в одном ящике было х кг конфет, а в другом — ^ кг; после того как из первого ящика переложили во второй 8 кг конфет, в обоих ящиках конфет стало поровну. 980. Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию; 1) боковая сторона равнобедренного треугольника равна а см, основание — Ь см, периметр — 32 см; 2) один автомобиль проехал со скоростью х км/ч за 6 ч на 32 км меньше, чем другой автомобиль со скоростью ^ км/ч проехал за 7 ч; 3) в одном магазине было х ц яблок, а во втором — ^ ц; за день в первом магазине продали 14 % яблок, а во втором — 18 % яблок, причём во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше, чем в первом. 981. Докажите, что прямые Ъу - х = Ь и Ъх - Ту = ^ пересекаются в точке А (9; 3). 982. Докажите, что прямые 4х — Ъу = 12 и Зл; + 4w = -66 пересекаются в точке В (-6; -12). 983. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, графиком кото- рого является прямая, проходящая через начало координат и точку: 1) Л (2; 8); 2)(-6; 15). 984. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, графиком которого является прямая, проходящая через начало координат и точку С (8; -12). 985. Докажите, что не существует такого значения а, при котором прямая ах — Ъу =12 проходит через начало координат. 986. При каком значении а точка пересечения прямых 2х - Ъу = -6 VI Ах + у = а принадлежит оси абсцисс? 987. При каком значении Ь точка пересечения прямых ^х + Ту = 35 1л X + by = -20 принадлежит оси ординат? 988. При каких значениях а w h пр^шая ах by = 2А пересекает оси координат в точках А (-6; 0) и В (0; 12)? 989. На каком из рисунков 53, а-г изображён график уравнения х + у = Ъ} 192 990. На каком из рисунков 54, а-г изображён график уравнения х-у- -5? TV 991. Какая из прямых, изображённых на рисунке 55, является графиком уравнения: 1) Ох-\-у = -3; 3) Зх + 0^ = 6; 2) 2х-у=\\ 4)х+2^ = 0? 992. Принадлежит ли графику уравнения \Ъх+ 17у = -40 хотя бы одна точка, у которой обе координаты — положительные числа? 993. Принадлежит ли графику уравнения 4х - 8у = 7 хотя бы одна точка, у которой обе координаты — целые числа? 994. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого пересекает оси координат в точках: 1) Л (-4; 0) и 5 (0; 2); 2) С (0; -3) и D (5; 0). 995. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точки М (6; 0) и /С (0; 6). 996. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 56. Рис. 55 Рис. 56 193 997. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 57. 998. Сколько существует пар простых чисел (jc; у), являющихся решениями уравнения 5х - 6г/ = 3? Упражнения для повторения 999. Две бригады изготовили 840 деталей, причём одна бригада изготовила на 80 % больше деталей, чем другая. Сколько деталей изготовила каждая бригада? 1000. Известно, что 4 одинаковых экскаг^атора могут вырыть котлован за 12 ч За какое время 6 таких же экскаваторов выроют 3 таких котлована? 1001. Докажите, что значение выражения 2^® -+- 4*®® - 2^‘^ - 4®® кратно чис Рис. 57 1002. Решите уравнение; -ЧЧ.Ц J и,,,.. Рис. 58 1) {х -{х - 4) (д: + 4) = 0; Т Vi 2) (4д: - 5)(4д: -ь 5) - (4х -1)2 = 9 - 2д:. 1003. Разложите на множители: / 1 1) дх^ - 8д:^ -1- Зд^ - 4у; 2) х'^ - бх^у + 9у^ - 16; ох 125дг'* ■\ - 27 - 64 ■ Y-у ^ / 4) -2с--4b- 3. — уО- ■У 1 » ^9 Готовимся к изучению у/| 0 1 новой темы 1 L ! - ■ • 1004. Какая из пар чисел (3; 3); (-3; 3); (-3; -3) является решением каждого из уравнений + у^ = и х + у = 0} 1005. На рисунке 58 изображены графики уравнений ^ = лг^их-^-н2 = 0. Пользуясь этим рисунком, найдите все пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений. СЭ Учимся делать нестандартные шаги 1006. Сумма 100 разных натуральных чисел равна 5051. Найдите эти числа. 194 (HD Когда сделаны уроки \--------- Как строили мост между геометрией и алгеброй Идея координат зародилась очень давно. Ведь уже в древности люди изучали Землю, наблюдали звёзды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы. Во II в. до н. э. древнегреческий учёный Гиппарх впервые использовал идею координат для определения местоположения объектов на поверхности Земли. Лишь в XIV в. французский учёный Никола Орем (ок. 1323-1392) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбит ваш тетрадный листок) и стал задавать положение точек широтой и долготой. Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты только в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма (1601-1665) и Рене Декарта (1596-1650). В своих трудах эти учёные показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре. Несмотря на то что П. Ферма опубликовал своё сочинение годом раньше, чем Р. Декарт, ту систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Это связано с тем, что Р. Декарт в своей работе «Рассуждения о методе» изобрёл новую удобную буквенную символику, которой с небольшими изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за ним мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита х, у, z, а коэффициенты — первыми: а, Ь, с, ... . Привычные нам обозначения степеней х^, х’, и т. д. также ввёл Р. Декарт. Рене Декарт Пьер Ферма S 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными Легко проверить, что пара чисел (-2; 0) является решением как уравнения х'^ + у^ = 4, так и уравнения ^ - 4. В таких случаях говорят, что пара чисел (—2; 0) — общее решение указанных уравнений. 195 Рис. 59 На рисунке 59 изображены графики уравнений -6х +5у = 9и4х+3у= 13. Они пересекаются в точке М (1; 3). Эта точка принадлежит каждому из графиков. Следовательно, пара чисел (1; 3) является общим решением данных уравнений. Если поставлена задача найти стороны прямоугольника, площадь которого равна 12 см‘^, а периметр 14 см, то надо найти общее решение уравнений ху = \2 VI 2х + 2у = 14, где х см и ^ см — длины соседних сторон прямоугольника. Если требуется найти все общие рещения нескольких уравнений, то говорят, что нужно решить систему уравнений. Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки. Так, запись ху = \2, 2х + 2у = 14 является математической моделью задачи о поиске сторон прямоугольника, площадь которого равна 12 см‘^, а периметр 14 см. Система -бх + by = 9, 4х + Sy = 13 — это математическая модель задачи о поиске координат общих точек двух прямых (рис. 59). Оба уравнения этой системы являются линейными. Поэтому эту систему называют системой двух линейных уравнений с двумя переменными. @ Определение Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Из примера, приведённого в начале параграфа, следует, что пара чисел (-2; 0) является решением системы J х^ + у^ =4, [^ = х^ - 4. Однако это совершенно не означает, что данная система решена. 196 Ш Определение Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Пара чисел (-2; 0) не исчерпывает всех решений последней системы. Например, пара чисел (2; 0) — тоже её решение. Эту систему, как и систему, полученную в задаче о прямоугольнике, вы научитесь решать в 9 классе. А вот систему , 1 = -4, [у = х^ -4 мы можем решить уже сейчас. Очевидно, что первое уравнение этой системы решений не имеет, а значит, не существует и общего решения уравнений, входящих в систему. Отсюда можно сделать вывод: данная система решений не имеет. Также можно считать решённой систему -6х + 5у = 9, Ах + Ъу = 13. Действительно, графики уравнений системы пересекаются в точке М (1; 3) (рис. 59). Её координаты являются решением каждого уравнения системы, а значит, и самой системы. Других общих точек графики уравнений не имеют, а следовательно, не имеет других решений и сама система. Вывод: пара чисел (1; 3) — единственное решение данной системы. Описанный метод решения системы уравнений называют графическим. Его суть состоит в следующем: • построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему, • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков-, • полученные пары чисел и будут искомыми решениями. Не всякую систему уравнений выгодно решать графически. Напри-/ 1 36\ мер, если пара —; - — является решением какой-то системы, то понят-\17 85 / но, что установить этот факт графически крайне сложно. А потому графический метод обычнее применяют в тех случаях, когда решение достаточно найти приближённо. А то, что пара чисел (1; 3) является решением системы -6х + Ъу = 9, 4х -I- 3^ = 13, подтверждает непосредственная подстановка этой пары в каждое из уравнений системы, то есть проверка. 197 Графический метод эффективен в тех случаях, когда требуется определить количество решений системы. Например, на рисунке 60 изображены графики некоторых функций у = f{x) и у = g{x). Эти графики имеют три общие точки. Это позволяет нам утверждать, что система У = fix), У = g{x) имеет три решения. Выясним, сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными. • Если одно из уравнений системы не имеет решений, то очевидно, что вся система решений не глмеет. Рассмотрим случай, когда каждое из уравнений системы имеет решения. • Если графиком одного из уравнений системы является вся плоскость, то очевидно, что система имеет бесконечно много решений. Действительно, плоскость и нарисованная на ней прямая имеют бесконечно много общих точек. Например, система Ох + 0у = 0, 2х -Sy = 15 имеет бесконечно много решений. • Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости: 1) если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; 2) если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений; 3) если прямые параллельны, то система решений не имеет. Пример, соответствующий случаю, когда система имеет единственное решение, мы уже рассмотрели выше. Это система -Ох + Ъу = о, 4iX + Ъу = 13. Теперь обратимся к примерам, которые иллюстрируют случаи 2 и 3. Так, если в системе 198 |-г/ = 1. X -iy = 2 обе части первого уравнения умножить на 2, то решения этого уравнения, а значит, и всей системы не изменятся. Имеем: х-2у = 2, X -2у = 2. Очевидно, что решения этой системы совпадают с решениями уравнения X -2у = 2. Но это уравнение имеет бесконечно много решений, а следовательно, и рассматриваемая система имеет бесконечно много решений. Приведём пример системы, которая не имеет решений: 2 х + у = 2, 2х + 3у = 7. Действительно, умножим обе части первого уравнения системы на 3. Получим: 2х + 3у = 6, 2х + Ъу = 7. Понятно, что не существует такой пары значений х viy, при которых выражение 2х + Ъу одновременно принимает значения и 6, и 7. В завершение подчеркнём, что именно графический метод нам подсказал, что не существует системы линейных уравнений, имеющей, например, ровно 2, или ровно 3, или ровно 100 и т. п. решений. 1. В каком случае говорят, что надо решить систему уравнений? 2. Что является решением системы уравнений с двумя переменными? 3. Что означает решить систему уравнений? 4. В чём суть графического метода решения систем уравнений с двумя переменными? 5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? 6. Каково взаимное расположение прямых, являющихся графиками двух линейных уравнений с двумя переменными, составляющих систему уравнений,если: 1) система имеет единственное решение; 2) система не имеет решений; 3) система имеет бесконечно много решений? 199 Упражнения 1007. Какая из пар чисел (-2; 1); (2; —1); (6; 4); (8; -4) является решением системы уравнений Зх -Sy = -14, 4х -ь ^ = 28 ? 1008. Решением каких систем является пара чисел (-5; 2): \7x + 2y = Sl, \Ъу-2х = \^, \х-2у = -% \4х -Ъу = -30; ^ \бх + 7у = -16; |ю^ -х = 15? 1009. Определите координаты точки пересечения прямых, изображённых на рисунке 61. Запишите соответствующую систему уравнений, проверьте найденное решение системы, подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы. Рис. 61 1010. Решите графически систему уравнений: 1) \х-у = \, \х + 2у = 7; 3) \х л- у = -Ъ, [4х -у = -5; 5) 2) \х ^ у = 0, 13х - у = 4\ 4) \2х + Ъу = Ь, [Зх -у = ^\ 6) 2х + у = 8, 2х-у = 0\ 7х-Ъу = -26, у -2х = S. 1011. Решите графически систему уравнений: х-ь2^ = 0, ^ J2x-5^ = 10, Ъх + у = -т, \ах-у = 2‘. 1) 200 3) х-2у = \, у - X = -% 4) X у = -Ъ, х-у = -1. оо V 1012. Составьте какую-нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара значений переменных: \)х=Ъ,у = 2\ 2) X =-А, у = \\ Ъ) х=Ъ,у = 0. 1013. Составьте какую-нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел (2; -2). 1014. Пара чисел (6; 4) является решением системы уравнений: \ах + 2у = J 5х -н by - 6, ^ [4^: + Ьу = 14; уах + Ьу = 0. Найдите значения а и Ь. 1015. При каких значениях а и h пара чисел (-2; 3) является решением системы уравнений ах -Ъу = -13, 7х -I- by = 1? 1016. Имеет ли решение система уравнений: 2х - 7у = 6, \2х + у = -2, 8х - 2Sy = 24; |бд: -н 3^ = 9; 1017. Имеет ли решение система уравнений: х-у = ^, Гх-1,5^ = -4, Зх -Ъу = 6; I Зг/ - 2х = 8; 1) 1) 3) 3) X + 2у = 0,5, 2х + 4у = 2? 9х + 9у = 18, X + у = 2? 1018. К уравнению 2л: - 3^ = 6 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая: 1) имеет единственное решение; 2) имеет бесконечно много решений; 3) не имеет решений. 1019. К уравнению x- iy = 2 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая: 1) имеет единственное решение; 2) имеет бесконечно много решений; 3) не имеет решений. 1020. При каких значениях а не имеет решений система уравнений 8х -I- 9^ = 7, 8х + 9у = а? 201 1) 1) 2) 1021. При каком значении а имеет бесконечно много решений система уравнений: ^х + Ъу = А, \Ъх + ау-\2, Ах + 20у = а\ [Эх - \5у = 36? 1022. При каких значениях а система уравнений: 7х - 12у = 14, 7х -\2у = а не имеет решений; блг + ау = А, , Ъх -Ъу = 2 имеет бесконечно много решений? 1023. Подберите такие значения а и Ь, при которых система уравнений \х-2у = 3, [ах + Ау = Ь: 1) имеет бесконечно много решений; 2) имеет единственное решение; 3) не имеет решений. 1024. Подберите такие значения тип, при которых система уравнений X + у = 5, Ъх - ту = п: 1) имеет бесконечно много решений; 2) имеет единственное решение; 3) не имеет решений. 1025. Решите графически систему уравнений: '\х\-у=0, +1x1=0, х-^=-4; 1х + ^=2; 1) 2^|Ы-г/=0, ^^\х-\у\=0. х + Ъу=А\ ' [2х-^=3. 1026. Решите графически систему уравнений: ■д;2-^2=0, \х^ -2ху+ у^ =А, х + 2у = Ъ\ [|х + у\ =2. ■|г/-2х|=3, X - 2^ = 0; 202 Упражнения для повторения ^--------- 1027. Кусок сплава меди и олова массой 5,5 кг содержит меди на 20 % больше, чем олова. Найдите массу меди в этом сплаве. 1028. Из Перми в Соликамск, расстояние между которыми равно 200 км, выехал автобус. Через 32 мин после выезда автобуса навстречу ему из Соликамска выехал автомобиль со скоростью, на 20 км/ч большей, чем скорость автобуса. С какой скоростью двигался автобус, если они встретились через 1,2 ч после выезда автомобиля? 1029. Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164. 1030. Докажите, что если х + у = а-\, то ах + х + ау-\-у-\-\=а^. 1031. Остаток при делении числа <2 на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа Ь равен 3. Докажите, что значение выражения кратно 5. Готовимся к изучению новой темы 1032. Выразите у через хтлх через у из уравнения: 1) х + у=\{)\ Ъ)у-х = -А\ 5)5^-4х=0; 2) 2л:-1-^ = 7; 4) л:-6^=1; 6) 4л: + 3^ =-12. Учимся делать \--- нестандартные шаги 1033. Десятичная запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3, а другого пятизначного числа — только из цифр 3 и 4. Может ли запись произведения этих чисел состоять только из цифр 2 и 4? 27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки Если математикам встречается новая задача, то, как правило, они пытаются её решение свести к уже знакомой задаче. Покажем, как решение системы линейных уравнений с двумя переменными можно свести к решению линейного уравнения с одной переменной. А последнюю задачу вы умеете решать. Решим систему уравнений: 2х-у = 8, Зл: -н 2^ = 5. 203 Из первого уравнения выразим переменную у через переменную х. Имеем: у = 2х-д>. Подставим во второе уравнение системы вместо переменной у выражение 2х - 8. Получим систему 2х - у = 8, 8х + 2{2х -8) = 5. Эта и исходная системы имеют одни и те же решения. Примем здесь этот факт без обоснований. Вы можете рассмотреть доказательство этого факта на занятиях математического кружка. Второе уравнение последней системы является уравнением с одной переменной. Решим его: Зх -к 2{2х - 8) = 5; Зх -н - 16 = 5; 7х = 21; X = 3. Подставим найденное значение переменной х в уравнение у = 2х - 8. Получим: у = 2-8-8; у = -2. Пара чисел (3; -2) — искомое решение. Описанный здесь способ решения системы называют методом подстановки. Итак, чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, нужно: Qj 1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую; 2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге; 3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге; 4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге; 5) вычислить значение другой переменной; 6) записать ответ. Эту последовательность действий можно назвать алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки. 204 Упражнения 1) 2) 3) 4) Нс 1) 2) 3) оо \ 5) 6) 7) 8) ‘ем1 4) 5) 6) 1034. Решите систему уравнений: у = Ъх-\, 2х + у = 9\ X = 2y-S, X -4:у = 4; X - 6г/, х + 5у = 88; 2х + у = 10, \x-ly = 2; 1035. Найдите решение системы 4х + V = 12, 1х + 2у = 20; X -2у = 5, Ъх + 8у = 1; 4^ - X = 11, 5х-2^ = 17; 1) 2) 3) Ре 1) 2) 1036. Решите систему уравнений: '4х -Ъу = 15, J Здг - 4^ = 6; I 2х -Ъу = 2, I 5х + 2^ = 24; | 5^ - 6х = 4, J 7х - 4у = -1; I 1037. Решите систему уравнений: Ъх + 2у = 15, 8х + Ъу = 20; + 4^ = 5, Ъх + 2у = 3; Ъу - X = 8, Ъх -Ау = 23; Ъх + ^у = О, 2х -Ъу = 46; 15 - X = 2у, Ах -Ъу = 27; Ъх - у = 8,2, 0,8х + 3^ = 13. уравнений: 8х -у = -1, 2х -Ъу = -11; X + у = 7, 9у -2х = -25; Ъх -Ъу = О, 15х + 2^ = 55. 4х + 5^ = 1, 8х -2у = 38; 5д - 4^ = 3, 2й-3^ = 11; 8т -2п = \\, 9т + Ап = 8. 8р-Ъд = -\\, Ър-Ад = -6; бм - Ъу = -38, 2u + 7v = 22. 205 1038. Найдите решение системы уравнений: 6 - 5{х -у) = 7х + 4у, 1) 2) 3{х +1) - {6х + 8у) = 69 + Sy, ± _ = 9 2 3’ Ъх -у = 34; 1039. Решите систему уравнений: 'бд: + 3 = 5х-4(5^ + 4), 1) 2) 3) 3{2х -8у)-6х = 8-у; X + 3 г/ - 4 _ 2 7 “ ’ 6у - X = 5; X + у X - у + = 4, 8 6 Зх + у 2х -Ъу = 5. 3) 4) 6у -Ьх = 1, X -I ^Зу - X =-4 2 4 1,5д:-3 ^ 7-Зу 3 6 Упражнения для повторения \--------- 1040. Найдите значение выражения: 1) т{т - 3){т + 3) - {т - 2)(т^ + 2w + 4) при т = Э 8 3 2) (6т - п)(6т + п) - (12т - Ъп){3тп + п) при п = У 4 1041. В школе 50% учащихся занимаются в спортивных секциях, из них 6% поют в хоре. Сколько процентов учащихся школы одновременно занимаются спортом и поют в хоре. 1042. Функция задана формулой у - 8 - kx. При каком значении k график функции проходит через точку А (4; -2)? 1043. Докажите, что значение выражения 2“*” - 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении п. 1044. Найдите три последние цифры значения выражения 2376'^ + 1624’*. 1045. Остаток при делении на 6 числа а равен 2, а числа Ь равен 3. Докажите, что значение произведения аЬ кратно 6. 206 дамеиму ■1‘H^Tvi itTrrrii г Учимся делать ^--- нестандартные шаги 1046. Найдите все целые числа хну, при которых выполняется равенство X + у ■=■ ху. 6 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения Рассмотрим ещё один способ, позволяющий свести решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными к решению линейного уравнения с одной переменной. Решим систему уравнений: 2х - Ъу = 7, 4л: + 5^ = 5. Поскольку в этой системе коэффициенты при переменной у — противоположные числа, то уравнение с одной переменной можно получить, сложив почленно левые и правые части уравнений системы. Запишем: 2л: - 5^ -н 4л: 4- 5^ = 7 -h 5; 6л: = 12; л: = 2. Подставим найденное значение переменной х в любое из уравнений системы, например в первое. Получим: 2 • 2 - 5^ = 7; -Ъу = 3; у = -0,6. Итак, решением системы является пара чисел (2; -0,6). Описанный способ решения системы называют методом сложения. Этот метод основан на следующем утверждении: если одно из уравнений системы заменить уравнением, полученным путём сложения левых и правых частей уравнений системы, то полученная система будет иметь те же решения, что и исходная (примем этот факт без дока-зательства). \2х-Ьу = 1, Так, решая систему < I 4л: I Ъ, мы заменили её системой 2л: - 5^ -I- 4л: -f- 5^ = 7 -I- 5, 2х-5у = 7. 207 Решим ещё одну систему: 2х-Ъу = \\, 6х + 5^ = 19. Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений системы, то вновь получим уравнение с двумя переменными. Данная система ещё «не готова» к применению метода сложения. Умножим обе части первого уравнения на -3. Получим систему, решения которой совпадают с решениями исходной системы: -6х + 9у = -33, 6х + 5у = 19. Для такой системы метод сложения уже является эффективным. Имеем: -6х -ь 9у + 6х + 5у = -33 + 19; 14^ = -14; у = -\. Подставим найденное значение у в первое уравнение исходной системы. Получим: 2х-3(-1) = 11; 2х = 8; X = 4. Пара чисел (4; -1) — искомое решение. Рассмотрим систему, в которой сразу два уравнения нужно подготовить к применению метода сложения: 7х + 8у = 9, Ъх + Ъу = 7. Чтобы исключить переменную у, умножим обе части первого уравнения на число 5, а второго — на число -8 и применим метод сложения: ЪЪх + 40у = 45, -24л: - 40^ = -56; 35х + 40у — 24х — 40у = 45 - 56; 11д: = -11; X = -1. Подставив найденное значение х в первое уравнение данной системы, получим: -7+ Sy = 9; у = 2, Следовательно, пара чисел (—1; 2) — решение данной системы. 208 Алгоритм решения системы уравнений методом сложения можно записать так: ^ 1) подобрав «выгодные» множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге; 3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге; 4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы; 5) вычислить значение другой переменной; 6) записать ответ. Упражнения 1047. Решите систему уравнений методом сложения: 1) 2) 3) X + у = 6, х-у = Н; Зх + у = 14, 5х-у = 10; 2х -9у = \ \, 7х + 9у = 25; 4) 5) 6) -6х + у = \6, бх + 4^ = 34; 8х + у = 8, 12х + у = 4‘, 1х-Ъу = 29, 7х + 8у = -10. 1048. Решите систему уравнений методом сложения: 1) 2) 4х-у = 20, 4х -I- ^ = 12; 9х + \7у = 52, 26х-17г/ = 18; 3) 4) -Ъх + 7у = 2, 8х + 7у = 15; 9х -6у = 24, 9х + 8у = 10. оо V 1049. Решите систему уравнений методом сложения: х-8у = 5, |Зх-2^ = 1, 4х + 9у = 41; [12х + 7у = -26; 10х-1-2^ = 12, ГЗх-1-8^ = 13, -5х + 4у = -6; 12х - 3^ = 17; 1) 2) 209 5) 6) 1) 2) 1) Зх-4^ = 16, j5M-7i; = 24, Ъх = 14; \1и + 6v = 2; '2х + 3у = 6, |0,2х + 1,5.^ = 10, Sx + 5y = S\ ^ [0,4х - 0,^у = 0,2. 1050. Решите систему уравнений методом сложения: 5х + у = 1, Гбх - 2^ = 16, 7х - 4^ = -1; [8x + Sy = 38; бл: - Ъу = 23, J5x - 4^ = 10, 2jc - 7^ = 13; [2л: - 3^ = -3; 1051. Решите систему уравнений: |2(4x-5)-3(3 + 4^) = 5, 7{6у -1) - (4 + Зх) = 21у - 86; 5) 6) 4а + бЬ = 9, За -5Ь = 2; 9т - ISn = 22, 2т + 3п = -1. 3) ±-^ = я 2 3 ^ ^ = 4-4 6 2) -2(2х + 1) + 2,5 = 3(^ + 2) - 8х, 8-5(4-х) = 6^-(5-х); 4) X + 2 6 х + 2,5 У-3 15 -УЦ = 1 6 3 1052. Решите систему уравнений: 0,2х-0,3(2^ + !) = 1,5, 1) 3(х +1) + 3^ = 2^ - 2; 2) 15х - 3^ Зх + 2у _ g 4 6 ” ’ Ъх + у 3 х-Ъу _ 2 = 6. 1053. Найдите решение системы уравнений: (х - 3)2 -4у = {х + 2)(х +1) - б, (х-4)(^ + б) = (х + 3)(^-7) + 3; (х - у){х + у) - х(х +10) = у{Ъ -у)-¥ 15, (х + 1)2 +{у - 1)2 = (х + 4)2 +{у + 2)2 -18. 1054. Решите систему уравнений: (2х +1)2 - (2х - у){2х + у) = {у + 8)(^ -10), 4х(х - 5) - (2х - 3) (2х -9) = ^у -104; (х-2)(х2 +2х + 4)-х(х-4)(х + 4) = 20-20^, (Зх - 2) (4^ + 5) = 2г/(6х -1) - 58. 1055. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых: 1) ^ = 2 - Зх и 2х + 3^ = 7; 2) 5х + 6^ = -20 и 2х + = 25. 210 1056. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых: 1) 2x-?>y = 9)Vilx-by = -5; 2) 9х + у = Ъ и Sx ■¥ Ъу = -10. 1057. При каких значениях avib график уравнения ах + Ьу = ^ проходит через точки А (1; 3) и Б (2; -4)? 1058. При каких значениях ттлп график уравнения тх - пу = & проходит через точки С (2; -1) и D (-6; 5)? 1059. Запишите уравнение прямой у = kx + Ь, проходящей через точки: 1) М (2; 1) и /С (-3; 2); 2) Р (-4; 5) и Q (4; -3). 1060. Запишите уравнение прямой у = kx + Ь, проходящей через точки: 1) А (3; 2) и Б (-1; 4); 2) С (-2; -3) и D (1; 6). 1061. Имеет ли решение система уравнений: 2х + у = 5, 2х ч- 3^ = -1, 1) 'Ъх-\у = 24, 2) 'Ъхл-Ъу = 1, х-%у = Ъх + ^у = Ъ} 1062. Решите систему уравнений: 6д:-1-5^ = 10, х-2у = \, 1) ^ Ъх -Ъу = 32, 2) *1хл-у-1, Зх + 10^ = -7; \х + у-\\. 1063.Запишите систему линейных уравнений с двумя переменными, графики которых изображены на рисунке 62. 211 1064. Запишите систему линейных уравнений с двумя переменными, графики которых изображены на рисунке 63. Рис. 63 1065. При каком значении k прямая у = kx + 2 проходит через точку пересечения прямых Ъх + Ьу = Ъ 1л 7х - 4у = 43? 1066. При каком значении а имеет решение система уравнений: 8х -7у = 21, Ъх-Ъу = 20, ах + 2у = 24? 212 1067. Решите уравнение: 1) (х + ^^)2+ (лг-3)2 = 0; 2) {х + 2у - 3)2 + х2 - 4ху + 4^2 = О; 3) 1х - 3.V - 6| + (9х + е>у - 32)2 = 0; 4) jf2 + у^ + Юд: - 12^ + 61 = 0; 5) 25^2 + 10^2 _ зод^ + 8^ + 16 = О, 1068. Решите уравнение: 1) (д;-2^)2 + (^-5)2 = 0; 2) (4д:+2^-5)2+ |4дг-6^ + 7| = 0; 3) 50д;2 + 4^2 _ 2Sxy + 16х + 64 = 0. 1069. Решите систему уравнений: 1) 2 5 - + - = 15, д: у - + - = 23; X у 2) 10 2х - Sy 20 Зх - 2у 15 = 3, Зх -2у 2х - Sy = 1. 1070. Решите систему уравнений: 1) 1-1 = 6, X у 2.3 .. X у 2) 6 X + 4у 3 Ъх - у 18 = -2. X + 4^ Ъх - у = 1. Упражнения для повторения 1071. Найдите значение выражения: 1) («2 -I-1)2 + - 1)(<22 + 1) - а^, если а = -2; 2) {а - 1)(а2 + 1)(а + 1) - {а^ + 1)2, если ^ 1072. На математической олимпиаде участникам было предложено решить 12 задач. За каждую правильно решённую задачу начисляли 5 баллов, а за нерешённую — снимали 3 балла. Сколько задач решил правильно ученик, получивший всего 36 баллов? 1073. {Задача из немецкого фольклора.) За какое время лев, волк и собака могут съесть трёх овец, если лев один может съесть овцу за 1 ч, волк — за 3 ч, а собака — за 6 ч? 1074. Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3. 1075. В саду деревьев больше, чем 90, но меньше, чем 100. Треть всех деревьев — яблони, а четверть всех деревьев — сливы. Сколько деревьев в саду? 213 1076. Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении х: 1)-х^-4х + 6; 2)16ДГ-64; 3)_ 18? r-.' W JU ^ ■________________ Учимся делать \---- нестандартные шаги 1077. Клетки таблицы размером 101 х 101 заполнены числами так, что произведение чисел в каждом столбце является отрицательным. Может ли оказаться, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно 51? ^ 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений Рассмотрим задачи, в которых системы двух линейных уравнений с двумя переменными используют как математические модели реальных ситуаций. Пример 1. На пошив одного платья и 4 юбок пошло 9 м ткани, а на 3 таких же платья и 8 таких же юбок — 21 м ткани. Сколько ткани надо для пошива одного платья и одной юбки отдельно? Решение. Пусть на одно платье идёт х м ткани, а на одну юбку — ум. Тогда на одно платье и 4 юбки идёт {х + Ау) м ткани, что по условию составляет 9 м. Следовательно, х + Ау = ^. На 3 платья и 8 юбок надо (Зл: + Sy) м ткани, или 21 м. Значит, Зх + 8у = 21. Имеем систему уравнений: X + Ау = 9, Зх + 8у = 21. Решив эту систему, получаем: х= 3, у = 1,5. Следовательно, на пошив одного платья пойдёт 3 м ткани, а одной юбки — 1,5 м. Ответ: 3 м, 1,5 м. ◄ Пример 2. Из города А в город В, расстояние между которыми 264 км, выехал мотоциклист. Через 2 ч после этого навстречу ему из города В выехал велосипедист, который встретился с мотоциклистом через 1 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 2 ч мотоциклист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист за 5 ч. Решение. Пусть скорость мотоциклиста равна х км/ч, а велосипедиста — у км/ч. До встречи мотоциклист двигался 3 ч и проехал Зх км, а ве- 214 лосипедист соответственно \ ч vl у км. Всего они проехали 264 км. Тогда Ъх -V у = 264. Велосипедист за 5 ч проезжает Ъу км, а мотоциклист за 2 ч — 2х км, что на 40 км больше, чем Ъу км. Тогда 2х - Ъу = 40. Получили систему уравнений: Ъх + у = 264, 2х - Ъу = 40, решением которой является пара чисел х = 80, у = 24. Следовательно, скорость мотоциклиста равна 80 км/ч, а велосипедиста — 24 км/ч. Ответ: 80 км/ч, 24 км/ч. ◄ Пример 3. Стол и стул стоили вместе 4100 р. После того как стол подешевел на 20 %, а стул подорожал на 10 %, они стали стоить вместе 3670 р. Найдите первоначальную цену стола и первоначальную цену стула. Решение. Пусть первоначальная цена стола составляла х р., а стула — у р. Тогда по условию д: + ^ = 4100. Новая цена стола составляет 80 % первоначальной и равна 0,8х р. Новая цена стула составляет ПО % первоначальной и равна \Лу р. Тогда 0,8x4- 1,1^ = 3670. Получили систему уравнений: \х + у = 4100, [0,8x-hl,l^ = 3670. Решением этой системы является пара х = 2800, у = 1300. Следовательно, первоначальная цена стола была 2800 р., а стула — 1300 р. Ответ: 2800 р., 1300 р. ◄ Пример 4. Сколько граммов 3-процентного и сколько граммов 8-про-центного растворов соли надо взять, чтобы получить 500 г 4-процентного раствора? Решение. Пусть первого раствора надо взять х г, а второго — у г. Тогда по условию X + у = 500. В 3-процентном растворе содержится 0,03х г соли, а в 8-процентном — 0,08^ г соли. В 500 г 4-процентного раствора содержится 500 • 0,04 = = 20 (г) соли. Следовательно, 0,03х -I- 0,08^ = 20. Составили систему уравнений: \х ■¥ у = 500, 10,03х -н 0,08^ = 20, 215 решив которую получим X = 400, у = 100. Значит, надо взять 400 г 3-процентного раствора и 100 г 8-процентного раствора. Ответ: 400 г, 100 г. ◄ Пример 5. У Петра были монеты по 2 р. и по 10 р. Он говорит, что купил книгу за 240 р., отдав за неё 30 монет, а Василий говорит, что такого быть не может. Кто прав? Решение. Пусть было х монет по 2 р. и ^ монет по Юр. Тогда X + у = 30, 2х + 10у = 240. Решением этой системы является пара {х; у), в которой у = 22,5, что не соответствует смыслу задачи, так как количество монет может быть только натуральным числом. Ответ: прав Василий. ◄ Упражнения 1078. Найдите два числа, если их сумма равна 63, а разность равна 19. 1079. Найдите два числа, если их разность равна 23, а сумма удвоенного большего из этих чисел и второго числа равна 22. 1080. {Задача из рассказа , а 50 % числа на 10 больше, чем ^ числа а. Найдите числа а w Ь. 1107. Известно, что 25 % одного числа равно 20 % другого числа, а — первого числа на 4 меньше 40 % другого. Найдите данные числа. 1108. Имеем два сплава меди и цинка. Один сплав содержит 9 %, а другой — 30 % цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащий 23 % цинка? 1109. Имеется два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит 25 %, а второй — 40 % соли. Сколько килограммов каждого раствора надо взять, чтобы получить 50 кг раствора, содержащего 34 % соли? 1110. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если поменять его цифры местами, то получим число, которое меньше данного на 9. Найдите данное число. 1111. Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 24 см‘^. Найдите стороны данного прямоугольника. 1112. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 45 см^. Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 17 см^. Найдите стороны данного прямоугольника. 1113. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они встретились бы через 2 ч после выхода пешехода. С какой скоростью двигался каждый из них? 219 ■^V 1114. Из пунктов А VI В, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Через 2 ч после начала движения они ещё не встретились, а расстояние между ними составляло б км. Ещё через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта Л на 4 км меньше, чем другому до пункта А. Найдите скорость каждого зуриста. 1115. Велосипедист проехал из пункта А в пункт В за намеченное время, двигаясь с некоторой скоростью. Если бы он увеличил скорость на 8 км/ч, то прибыл бы в пункт .В на 1 ч раньше, а если бы он проезжал за час на 2 км меньше, то прибыл бы на 1 ч позже. Найдите скорость велосипедиста. 1116. Груз перевезли на некотором количестве машин с одинаковой грузоподъёмностью. Если бы на каждой машине груза было на 1 т больше, то машин понадобилось бы на 3 меньше, а если бы на 2 т больше, то машин понадобилось бы на 5 меньше. Найдите массу перевезённого груза. 1117. Расстояние между двумя станциями пассажирский поезд проходит на 3 ч быстрее, чем товарный, а поезд-экспресс — на 1 ч быстрее, чем пассажирский. Скорость товарного поезда на 25 км/ч меньше скорости пассажирского, а скорость экспресса на 15 км/ч больше скорости пассажирского. Найдите скорость каждого поезда и расстояние между станциями. 1118. Автобус и маршрутное такси выезжают ежедневно навстречу друг другу по расписанию в 8 ч из городов Вишнёвое и Яблоневое, расстояние между которыми 18 км, и встречаются в 8 ч 10 мин. Однажды автобус выехал по расписанию, а такси — с опозданием в 8 ч 9 мин. Поэтому в тот день они встретились в 8 ч 15 мин. Найдите скорости автобуса и маршрутного такси. 1119. Из города Солнечный в село Весёлое в 9 ч 5 мин и в 9 ч 45 мин выехали с одинаковой скоростью два автобуса. Из Весёлого в Солнечный в 9 ч 30 мин выехал велосипедист, который встретился с первым автобусом в 9 ч 45 мин, а со вторым — в 10 ч 15 мин. Найдите скорости автобусов и велосипедиста, если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км. 1120. Масса смеси, состоящей из двух веществ, составляла 800 г. После то- го как из неё выделили ^ первого вещества и 60 % второго, в смеси 8 осталось первого вещества на 72 г меньше, чем второго. Сколько граммов каждого вещества было в смеси сначала? 220 1121. в куске сплава меди и цинка последнего было на 48 кг меньше, чем 8 меди. После того как из сплава выделили — содержавшейся в нём меди и 80 % цинка, масса сплава стала равной 10 кг. Сколько килограммов каждого вещества было в сплаве первоначально? 1122. Сумма цифр двузначного числа равна 9, причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. При делении данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2. Найдите данное число. 1123. Разность цифр двузначного числа равна 6, причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц. Если же разделить данное число на сумму его цифр, то получим неполное частное 8 и остаток 3. Найдите данное число. 1124. В одном баке было 12 л воды, а в другом — 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объёма. Если второй бак долить доверху водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Найдите объём каждого бака. 1125. В двух бочках ёмкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется у количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется ^ количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала? 1126. Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям: цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна: 1) 20; 2) 18? Если такое число существует, найдите его. 1.1.27.{Задача Л.Н. Толстого.) Вышла в поле артель косарей. Она должна выкосить два луга, из которых один в два раза больше другого. Полдня вся артель косила больший луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать больший луг, а вторая начала косить меньший. До вечера больший луг был скошен, а от меньшего остался участок, который скосил на следующий день один косарь, работавший целый день. Сколько косарей было в артели? 221 Упражнения для повторения \---------- 1128. В равенстве 4(0,5л: - 3) = Зл: + * замените звёздочку таким выражением, чтобы образовалось уравнение: 1) не имеющее корней; 2) имеющее бесконечно много корней; 3) имеющее один корень. 1129. Постройте график функции: \) у = {Ъс- 1){4х^ -I- 2лч- 1) -2) ^ = (л: -I- 1)(л: ■+ 4) - (л: -+- 3)^; Ъ)у = (0,5л: -н 2)2 - (0,5л: - 1)(0,5л: -н 1). ИЗО.Представьте выражение \2аЬ в виде разности квадратов двух многочленов. Сколько решений имеет задача? 1131. Докажите, что при любом целом значении а значение выражения {а - 3)(й2 - ал-2) - а (а - 2)2 + 2а делится нацело на 3. 1132. Докажите тождество {а - bcY — - а^) Л- {Ьс л- а)^ = 1133. Разложите на множители выражение: 1) 4kn л- Qak л- ban + 9^2; 3) ^'‘(л:2 -i- Зл' -н 16) - а^; 2) - 4b‘^ л- 12^2 - 9; 4) 9л:2 — 6л: - 35. 1134. Известно, что х л- у = а, ху = Ь, л- у^ = с. Найдите зависимость между <2, и с. 1135. Точки Л (2; 3) и Б (5; а) принадлежат прямой у = kx. Найдите значение а. 1136. Найдите такие значения х, при которых выражение {а - 1)2 -f 4{а -- \) - X можно представить в виде квадрата суммы. 1137. Графики функций ^ = аг-1-12и^ = (3- а)х л- а пересекаются в точке с абсциссой 2. Найдите ординату точки их пересечения. СИЗ Учимся делать нестандартные шаги 1138. Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей. 222 Задание «Проверьте себя» № 7 в тестовой форме Какая из приведённых пар чисел является решением уравнения 5л: + Ъу = 4? А)(2;1) Б)(1;0) В) (2;-2) Г) (-1; 2) Каковы координаты точки пересечения графика уравнения Ъс - Ъу = 10 с осью абсцисс? А) (0; -2) Б) (-2; 0) В) (0; 5) Г) (5; 0) 5х - 4^ = 11, 2л: + 4^ = 10. В) (1; 2) Г) (2; 1) \Ъх + 2^ = 7, 2х -у = ^. В) (-5; 41) Г) (-1; 11) Пусть пара чисел (а; Ь) является решением системы уравнений X + у = \, Найдите значение выражения - Ь^. Решите систему уравнений А) (3; 1) Б) (1; 3) Решите систему уравнений А)(3;-19) Б)(1;-4) Ъх-у = 1. А) 5 Б) -5 В) 3 Г) -3 При каком значении а система уравнений решений? Зх + у = 4, X -ау = -6 не имеет В) - ^ 3 Г) --^ 3 А) 3 Б) -3 При каком значении h система уравнений 4х + Ьу = 10, 2х -Зу = Ъ имеет бесконечно много решений? А) -6 В) 3 Б) б Г) такого значения не существует 8. График линейной функции проходит через точки Л (1; 4) и В (-2; 13). Задайте эту функцию формулой. А) ^ = Зх + 1 В) ^ = -Зх + 1 Б) ^ = -Зх +7 Г) ^ = Зд: ч- 7 9. Мать и дочь слепили вместе 104 вареника, причём дочь работала 2 ч, а мать — 3 ч. За 1 ч мать делает на 8 вареников больше, чем дочь. Пусть дочь за 1 ч делает х вареников, а мать — у вареников. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии? 223 А) Б) \. 2х + Ъу = 104, \2х + Ъу = 104, х-у = 8 |^-х = 8 'Зх + 2^ = 104, ГЗх + 2.^ = 104, X - у = 8 ^^|^-дг = 8 10. Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, выехали одновременно грузовая и легковая машины. Если они поедут навстречу друг другу, то встретятся через 30 мин. Если они поедут в одном направлении, то легковая машина догонит грузовую через 3 ч после начала движения. Пусть скорость грузовой машины равна х км/ч, а легковой — у км/ч. Какая из следующих систем уравнений соответствует условию задачи? А) Б) 0,5х + 0,5у = 60, 8у - Зх = 60 SOx + SOy = 60, Ъу -Ъх = 60 В) Г) ЗОд: -I- 30^ = 60, Ъх - 3^ = 60 0,5х + 0,5у = 60, Ъх - Ъу = 60 11. Телевизор и DVD-проигрыватель стоили вместе 12 600 р. После того как телевизор подорожал на 10 %, а DVD-проигрыватель подешевел на 10 %, они стали стоить вместе 13 140 р. Пусть телевизор стоил сначала д: р., а DVD-проигрыватель — у р. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? \х + у = 12600, В) * ^ \х + у = 12 600, А) \ ’ [110x-h90^ = 13 140 0,1х-ь0,1^ = 13140 хл-у = 12600, 0,9д:-Ы,1^ = 13140 12. \х + у = 12600, Б) ^ Г) ’ [l,lx-h0,9^ = 13140 Рещите уравнение + 12х - 2г/ -Н 37 = 0. А)(6;1) В)(-6;-1) Б) (-6; 1) Г) уравнение не имеет решений 224 Итоги главы 4 Решение уравнения с двумя переменными Пару значений переменных, обращающую уравнение в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными. Решить уравнение с двумя переменными Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений. Свойства уравнений с двумя переменными • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное. График уравнения с двумя переменными Геометрическую фигуру, состоящую из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения, называют графиком уравнения с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными Уравнение вида ах by - с, гдех^у — переменные, а, 6, с — некоторые числа, называют линейным уравнением с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными В каждом из двух случаев: 1.) Ь ф О; 2.) Ь = О а ф О — графиком уравнения ах by = с является прямая. Графиком уравнения Ол: + 0^ = О является вся координатная плоскость. 225 Решение системы уравнений с двумя переменными Пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство, называют решением системы уравнений с двумя переменными. Решить систему уравнений Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Решение системы уравнений методом подстановки: 1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую; 2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге; 3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге; 4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге; 5) вычислить значение другой переменной; 6) записать ответ. Решение системы уравнений методом сложения: 1) подобрав «выгодные» множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге; 3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге; 4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы; 5) вычислить значение другой переменной; 6) записать ответ. 226 Упражнения для повторения курса 7 класса 1139. Заполните таблицу. а -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 а"^ + а2 1140. Представьте в виде степени выражение: 1) (а*)«: 4) (а®)®; 7) а®а®а®; 10) (а^)® : а^; 2) а®а'*; 5) а^а^а\ 8) (а®а®)®; 11) (а2)9 : (а®)3; 3) а®а®; 6) (а2)3«4. 9) (а®)®а®; 12) (а®а7) : a^l 1141. При каком значении х верно равенство: 1) 5^г. 56 = 524; 3) 2^ . 2"* = 2^^”; 2) (S'” у = 3^'”; 4) (4"^)-'^'” = 4^'”\ где т — натуральное число? 1142. Являются ли тождественно равными выражения: 1) -а^ и (-аУ; 4) 9а • и (ЗаУ • а\ 2) -а^ и (-а)"*; 5) (а^У и (а^У\ 3) (а?У и 6) (2аУ • (9,ЪаУ и 2а^а? Представьте в виде степени выражение и вычислите его значение: 1)81-32; 2)43-82; 3) 1002 . lOOO^. Сравните значения выражений: 1) 15^ - 2® и 2^ - 15®; 2) 2® • 3^ - и 2^ - 3® • 5®. Сравните значения выражений: 1) 102® и 10П®; 2) 10^® и 9990®. Упростите выражение: 1143 1144 1145 1146 1) 4а - (-ЗаЬ); 2) -2т2 - ОДт'^гг - {-ЪгУ)\ 3) 9,За^Ь^ • \,2а^Ь\ 4) -6xV® - 1,5л^; 5) -14^2^®^9 6) - (-12й2сЗ) . 1,8а‘^6®; У 7) 3:с® - (-4х^уУ\ 8) {-ХуУ - (-2^^2)4 1147. Представьте данный одночлен А в виде В”, где В — некоторый одночлен, если: 1) Л = а®^9, п = 3\ 3) А = 81«2^V, и = 2; 2) Л = 32а1®, гг = 5; 4) Л = -8ai2^i8^ „ = 3. 1148. Упростите выражение: 1) 4а^аЬ - ба^Ь^Ь^ - ЪаЬ - За + 7а^Ь - 0,2М; 2) 11т2 - 2тп - 9тп - бтп^ + Ютгггтг; 227 3) Sxr'^xj+18л^^ • 4) 9x‘^xy^ - Нху^у^ + I2x^y ■ 4y - 0,4xy^ • 6x^y^. 1149. Найдите сумму и разность многочленов: 1) 2,8^-0,75^2 и 4 5 2) l|x2 +2|^v и 2^х^ -\^у. 1150. Докажите, что значение выражения Зх‘2 - 9х - (8 - Ьх^ - (9х - 8х^) j не зависит от значения переменной. 1151. Какой многочлен надо прибавить к многочлену - ЪаЬ, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену + 2аЬ} 1152. Какой многочлен надо вычесть из многочлена Зс^ - 2с'* + 14с^ - 4с'2 + + с, чтобы их разность была тождественно равна многочлену 5с'^ + + с2 - 7с? 1153. Какой многочлен на;;о прибавить к многочлену — т^п + тп^ -чтобы их сумма была тождественно равна 5? 1154. Существуют ли такие значения х и г/, при которых многочлены -4x2 _ \^2ху + 7^2 и Qx'^ + \2ху — Ъу^ одновременно принимают отрицательные значения? 1155. Найдите значение выражения: 1) 2а{Ъа - 5) - 4<з(4а - 5), если а = -0,2; 2) 1аЬ{2а - ?>Ь) + 2а{ЪаЬ -I- 10^2), если а = -3, ^ = 5; 3) 2<2'*(Зя2 + д _ 8) _ если а = - 1156. Решите уравнение: V* 4) 1) 2) 3) Зх-1 6 Зх -н 1 2 X -I- 5 X _ ' 3 ~ 5х _ 4 1 + X 5-2х . 9 ’ _ 3 - 2х . 3 ’ 2х и-1 5) 6) 3 9х - 7 4 6х -ь 7 6 2х + 1 Зх - 9 6 4 _ 9х + 13 _ 3-х 8 “ 2 . 5х-8 9 = 3. 8 2 3 1157. Решите уравнение: 1) Зх(4х- 1) - 6х(1,5 + 2х)= 4,8; 2) 0,2х(5х - 8) -н 3,6 = х(х - 0,7); 3) х(9х - 4) - 3х(3х - 1) = 8 - х; 4) 18x2 - 6х(3х -f 2) = -12х. 1158. Докажите тождество: 1) -0,2х-'*(2,5х - 4)(б - х2) = 0,5х*^ - 0,8х^ - Зх'* -к 4,8х-^ 2) {а - 2) (fl2 + За - 18) = (а - 3) (^2 ч- 4а - 12). 1159. Какое число можно подставить вместо а, чтобы равенство (5х-Ь -I- а) (х - 2) = 5x2 _ 7х - 2а было тождеством? 228 1162. 1163. 1160. Какое число можно подставить вместо Ь, чтобы равенство (^ix + + /?) (х + 3) = Зх‘^^ + 5х + 3^ было тождеством? 1161. Разложите на множители; 1) ^ т 2 4 2) bm^n^k^ + ЪЪт'^п^и\ 3) - 2xy^z^ + Ъх^у^г, 4) где п — натуральное число. Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки, значение многочлена: 1) <3^ -I- 4,72<з - 32,8, если а = 5,28; 2) 12,Зх - 12,3^ -f- 4,7, если х = 8,14, у = 8,04. Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки: 1) 2,49 • 1,35 - 1,35 • 1,84 -ь 1,35'-^; 2) 0,25'-^ • 1,6 -н 0,25 • 1,62 - 0,25 -1,6 • 0,85; 3) 3,24 ■ 18,7 - 3,24 • 16,4 -ь 2,3 • 6,76; 4) 5,12 • 9,76 -ь 5,12 • 5,36 - 5,122. 1164. Докажите, что значение выражения: 1) 17^+172-17 кратно 61; 2) 25^ - 1252 кратно 40; 3) 5 • 2‘'^*’2 — 3.-I- 2^®® кратно 60. .Докажите, что число: 1) abba делится нацело на 11; 2) aaabbb делится нацело на 37; 3) ababab делится нацело на 7; 4) abab - baba делится нацело на 9 и на 101. При каком значении а уравнение (х -ь 2)(х - 4) - (х - 2)(х + А) = ах имеет бесконечно много корней? При каком значении а уравнение (Зх - 1)(х -I- <з) = (Зх - 2)(х -ь 1) не имеет корней? Разложите на множители: 1) хт - хп + ут - уп\ 2) 3<з - ЪЬ л- ас - Ъс\ 3) 9<з - - 9 -н Ь; 4) л- 2^2 + 2; 1165. 1166 1167 1168 1169. ^ 1170. 5) 6а^2 _ 3^2 ц. 2а^Ь - аЬ\ 6) 2с'’ - ЪсЧ - 4с -ь 7) хУ - x-k- х^у^ - у\ 8) <3x2 _ fly _ hjfp. ^ _ hy Вычислите значение выражения: 1) 1,662 + 1^66.4,68 -н 2,342; 2) 1,042 _ i^04 • 1.28 -н 0,642. При каких значениях а, Ь, с w d выполняется равенство аЬ ■ cd = ad ■ сЬ? 229 1172. 1173. 3)2f-3i; 1171. Упростите выражение: 1) 6^2 + {2у - Ъх){2у + Ъх)\ 2) {а + 2)(а - 3) - (4 - а){а + 4); 3) (5 - 2х)(5 + Ьс)-{Ъ- 2дг)(4 - 2х); 4) {2аЬ + \){2аЬ - \){\Ьа^Ь^ + + 1). Вычислите значение произведения, используя + Ь) = а^ - Ь^\ 1) 19 • 21; 2) 98 ■ 102; Решите уравнение: 1) 4д:(7 + 9х) - (бд: + 5)(6х - 5) = 39; 2) {х - 8)(д: + 10) - (д: + 7)(д: - 7) = 5д: - 31. 1174.Докажите, что значение выражения {а + Ь - с){а -Ь) + {Ь + с - а){Ь - с) + {с-¥ а - Ь){с - а) тождественно равно нулю. Найдите значение выражения: 1) 432-232; 2) 2562 - 2442; Вычислите: 392-3.S2. 5,32-1,72 формулу {а - h) {а + 4) 7,9 • 8,1. 1175 1176 3) 7,22 - 2,82. 1) 2) 242 -122 ’ 2,652 _ 0,852 ■ 1177. Решите уравнение: 1) 36jc2 - {Ъх - 27)2 ^ 0; 2) (4д: - 7)2 - (2д: + 17)2 = 0. 1178. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения: 1) {4п + 19)2 - (Sn - 5)2 делится нацело на 7; 2) {2п -1- 5)2 - {2п - 3)2 делится нацело на 16. 1179. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения (гг2 _ + 1)2 _ 7^4 _ + 3/7 + 5 кратно 6. 1180. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения 16/г^ - (4^2 - 2гг - 1)2 -I- 8гг -h 1 кратно 4. 1181. При каком значении а уравнение {а - S){a + 5) х = - 9: 1) имеет бесконечно много корней; 2) не имеет корней; 3) имеет один корень? 1182. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите: 1) 692; 2) 912; 3) 522. 4) 972. 5) 2992; g) 10,22. 1183. На сколько значение выражения (Зд2 - 2)2 - (3<г2 - 1)(3а2 -н 1) + 12^2 больше числа 2? 1184. Докажите, что не существует натурального значения п, при котором значение выражения (8п + 5)(2?г -Ь 1) - {4п + 1)2 делилось бы нацело на 5. 230 1185. 1186 1187 1188 1189 1190 1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199 Существует ли такое натуральное значение п, при котором значение выражения {2п - 2>){2п + 3) - (w + 3)^ не делилось бы нацело на 3? Решите уравнение: 1) 3(д:-7)2 -2(х + 7)(д:-2) = (д: + 11)(л:-4) + 101; 2) 2х{х + 3)2 - Ъх{х - 1)(д: + 8) = x'^i-x - 9) + 21; 3) ^(2г^ - 5) (22/ + 5) - iy(y + 6)^ = 13 - 4»уК Представьте в виде квадрата двучлена выражение: 1) (а + 4)2 - 2{а + 4) + 1; 3) {Ъу + 8)2 + (4^ + 6)2 + 4^; 2) {ЪЬ + 2)2 -I- 4(3^ + 2) + 4; 4) {х - 5^)2 + {х + 12^)2 - х{х - \2у). .Сумму какого одночлена и трёхчлена 4<з2 - ioab + 9^2 можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена? Найдите ещё три таких одночлена. Докажите, что не имеет корней уравнение: 1) д:2- 8л:-Ы8 = 0; 2) j»;2 + ^ + i = о. Разложите на множители: 1) ^<2*^ -Ь^\ 64 3) Д:21;^24 _ ^12^15. 2) -h 8; 4) + 1. ,На сколько значение выражения 21 + А - (9а^ -Sa + 1){3а + 1) мень- ше числа 10? , Решите уравнение: 1) (х - 2)(дг2 + 2х-\- А) =х^ + 2Ах\ 2) (3 - 2х)(9 + 6х + 4г2) - 2х(5 -2х)(Ь + 2х) = 7. Делится ли значение выражения 37^ -I- 23^ нацело на 60? Делится ли значение выражения 654^ - 554^ нацело на 200? Разложите на множители: 1) (я - Ь){а + Ь) - с{с - 2h); 2) {Ь - с){Ь + с) - а{а + 2с). Из следующих четырёх выражений только три можно разложить на множители. Найдите эти выражения и разложите их на множители: 1) 9тх - 6?гх -I- бту - Any] Ъ) х^ - Ах + у^ л-2у л-Ъ] 2) 36д:2 -2Ах + А-у'^] А) Аа + Ъ + + 2Ь - Ь^. Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение: 1) а^-а^- 16(2-h 16; 2) - b^” - «2” + 1, где п — натуральное число. Найдите значение выражения: 1) 1,872 - 1,132 -ь 6 . 1ДЗ. 2) 1,628-^ - 1,2 • 1,628 • 1,228 - 1,228»; 3) 0,79» + 3 • 0,79 • 0,21 - 0,21». Докажите, что значение выражения 17^® - 3 • 72^ -ь 3 • 72» -|- 17^ делится нацело: 1) на 18; 2) на 36. 231 1200. Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6. 1201. Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа. 1202. Пусть X + у = а, ху = Ь. Докажите, что: \) х^ + у"^ = - 2h; 2) х^ + у^ = - ЪаЬ\ 3) -I- у"^ = а'^ - 4а^Ь + 2Ь^. 1203. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения п{п -I- 1)(гг -ь 2)(w -f 3) -I- 1 равно квадрату некоторого натурального числа. 1204. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения п{п + 2){п + А){п + Ь) + 16 равно квадрату некоторого натурального числа. 1205. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3. 1206. Докажите, что при любом натуральном значении п, не кратном 5, значение выражения - 1 делится нацело на 5. ^ 1207. Можно ли утверждать, что значение выражения + 2п делится нацело на 3 при любом натуральном значении гг? 1208. Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения гР —п кратно 42. ^ ^ 1209. Даны функции f{x) -2хи g{x) = ~ . Сравните: X l)/(2)Hg(-l); 2)/(0)Hg(2); 1210. Функция задана таблично. 3)/(l)Hg{l), X 5 3 1 -1 -3 У 1 3 1 -1 -3 -5 Задайте эту функцию описательно и формулой. 1211. При всех положительных значениях аргумента значение функции f равно -1, при всех отрицательных — равно 1, а /(0) = 0. Постройте график функции /. 1212. Найдите координаты точки графика функции у = Qx - 5: 1) абсцисса и ордината которой равны между собой; 2) сумма координат которой равна 30. 1213. При каком значении а через точку М (3; -2) проходит график функции: \) у = ах - S-, 2)у = -х-а} 232 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 Является ли линейной функция: 1) /(^) = (л: - 1)(л: + 1) - х(х - 3); 2) /(х) = (2х - 3f-(х + 4)(х-2); 3) f (х) = (х + 3)^ - х(х + 6)? В случае у^гвердительного ответа постройте её график. Графики функций у = {Ъ - а)х ■¥ а vi у = ах + 2 пересекаются в точке, абсцисса которой равна -3. Найдите ординату этой точки. Постройте график функции = 2х + 3. Пользуясь графиком, найдите значения аргумента, при которых значение функции: 1) равно 5; 2) больше 5; 3) меньше 5; 4) больше -3, но меньше 7. Не выполняя построения графика функции у = 12х- 6, найдите координаты: 1) точек пересечения графика с осями координат; 2) точки пересечения графика данной функции с графиком функции у = Ьх + 24. Постройте график функции: 1) у= |х| - 3; 2) |х- 3|. При каком значении а пара (а; -а) является решением уравнения: 1) 6х -н Ъу = 7; 3) х^ -Ъу = 0\ 2) 8х - 2^ = 4; 4) х н- \у\ = -2? Постройте график уравнения у + 1,5х = с, если он проходит через точку А (-2; 1). Составьте систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел: 1) (1; 1); 2) (-3; 5). Решите систему уравнений: 1) 2) Зх ч- 7^ = 1, Ьу -Ъх = 16; Зх -Ъу = 19, 2х -t- Ъу = 0; 3) 4) 3(2о - 1) -ь 6(7 -Ь) = 51, 2(fl -ь 6) - 7(1 ч- 6^) = 49; Ъх-2у 4х ч- 5 4 бд: - Ъу + .Я 2х + у 5 = -5, = 9. ^ 1223. При каком значении а сумма х Ч- ^ принимает наименьшее значение, если: \2х + Ъу = 2а^ -12а+ 8, I Зх - 2^ = Ъа^ ч- 8а ч-12 ? 233 1224. При каком значении а разность х — у принимает наименьшее значение, если: \х - Ъу = + 10а -i-1, [4х + ^ = АаР- - 2а + 4? 1225. По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся? 1226. Сплавили два слитка. Масса одного из них была 105 г, и он содержал 40 % меди. Масса другого слитка составляла 75 г. Найдите процентное содержание меди во втором слитке, если полученный сплав содержал 50 % меди. 1227. Сколько надо взять 4-процентного и сколько 10-процентного растворов соли, чтобы получить 180 г б-процентного раствора? 1228. В первом бидоне было молоко жирностью 3 %, а в другом — сливки жирностью 18 %. Сколько надо взять молока и сколько сливок, чтобы получить 10 л молока жирностью б %? 1229. С одного поля собрали по 40 ц ячменя с гектара, а с другого — по 35 ц с гектара. Всего собрали 2600 ц. На следующий год )рожайность первого поля увеличилась на 10 %, второго — на 20 %, а в результате вместе собрали на 400 ц больше. Найдите площадь каждого поля. 1230. С одного поля собрали по 45 ц пшеницы с гектара, а с другого — по 40 ц с гектара. Всего собрали 1900 ц. На следующий год в связи с засухой урожайность первого поля уменьшилась на 20 %, второго — на 15 %, а в результате всего с двух полей собрали меньше на 330 ц. Найдите площадь каждого поля. 1231. Половину конфет расфасовали в мешочки по 500 г в каждый, а вторую половину — в меньшие мешочки по 300 г в каждый. Всего получилось 32 мешочка. Сколько было конфет? 1232. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получим число, записанное теми же самыми цифрами в обратном порядке. Найдите данное число. 1233. К некоторому двузначному числу слева и справа дописали цифру 1. В результате получили число, которое в 21 раз больше данного. Найдите данное двузначное число. 1234. Сумма двух чисел равна 28, а разность их квадратов составляет 112. Найдите эти числа. 234 1235. Разгадайте кроссворд. По горизонтали: 6. Функция «прямая 7. Третья степень числа, 8. Предложение, раскрывающее суть нового термина, 13. Числовой множи- тель одночлена, записанного в стандартном виде, 14. Геометрическая фигура, являющаяся графиком уравнения + {у - = 0. 15. Вторая степень числа, 16. График линейной функции, 18. Одна из координат точки на плоскости, 20. Выражение отношения между величинами, записанное с помощью математических знаков, 23. Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, 24. Мухаммед ибн Муса аль-... . По вертикали: 1. Независимая переменная, 2. Разложение многочлена на множители методом ,,, , 3. Равенство, правильное при любых значениях переменных, 4. Решение уравнения, 5. Произведение равных множителей, 9. Геометрическая фигура, состоящая из всех тех, и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента функции, а ординаты — соответствующим значениям функции, 10. Ось ,,, . 11. В выражении 7'* число 7 — ,,, степени, 12. Французский математик, в честь которого названа современная система координат, 17. Выражение, 235 являющееся произведением чисел, переменных и их степеней. 19. Термин, которым обозначают процесс, позволяющий за конечное количество тагов получить peuieime задачи. 20. Правило, с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной. 21. Расстояние от точки координатной прямой до начала отсчёта. 22. В выражении число п — ... степени. 236 Сведения из курса математики 5-6 классов Числа и действия над ними 1. Основное свойство дроби •/ Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной: а _ а ■ п Ь h ■ п' •/ Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель, то получим дробь, равную данной: а ■ п _ а Ь • п Ь' 2. Сокращение дробей |/ Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби. ^ Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой. •/ Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь. 3. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю |/ Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьший общий знаменатель данных дробей; 2) найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. 4. Целые числа. Рациональные числа •/ Все наиуральные числа, противоположные им числа и число О называют целыми числами. Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1; -2; -3; ... называют целыми отрицательными числами. |/ Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулём, получим целые числа. 237 Целые числа Целые отрицательные числа 0 Натуральные числа \/ Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа. Рациональные числа Целые числа Дробные числа 5. Модуль числа ^ Модулем числа а называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа <2 обозначают так: \а\ (читают: «модуль <2»). ^ Модуль положительного числа равен этому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному. |0| =0. ^ С помощью фигурной скобки свойство модуля числа а можно записать так: а, если й > о, <2 = -а, если <2 < 0. Модуль числа принимает только неотрицательные значения. ^ Модули противоположных чисел равны: \а\ = \-а\. в. Сложение. Свойства сложения ^ Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат сложения — суммой. ^ От перестановки слагаемых сумма не изменяется: а + Ь = Ь + а — переместительное свойство. •/ Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел: {а + Ь) + с = а + {Ь + с) — сочетательное свойство. 238 7. Вычитание. Свойства вычитания ^ Из числа а вычесть число Ъ — значит найти такое число, которое в сумме с числом Ь даёт число а. ^ Равенство а - Ь = с верно, если верно равенство Ь + с = а. ^ В равенстве а - Ь = с число а называют уменьшаемым, Ь — вычитаемым, с — разностью. ^ Разность а - Ь показывает, на сколько число а больше числа Ь или на сколько число Ь меньше числа а. \/ Для любого числа а верны равенства: - О = а, поскольку О + а = я; а - <3 = О, поскольку ал-^ = а. 8. Сложение и вычитание дробей »/ Чтобы сложить две дроби с равными знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. \/ При вычитании дробей с равными знаменателями надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же самый. Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить правило сложения (вычитания) дробей с равными знаменателями. 9. Сложение рациональных чисел %/ Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) найти модули слагаемых; 2) из большего модуля вычесть меньший модуль; 3) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем. ✓ Чтобы сложить два о трицательных числа, надо: 1) найти модули слагаемых; 2) сложить модули слагаемых; 3) перед полученным числом поставить знак «-». Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Для любого рационального числа а: а + 0 = 0 + а = а. 239 10. Вычитание рациональных чисел \/ Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. 11. Умножение. Свойства умножения %/ Произведением числа а на натуральное число Ъ, не равное 1, называют сумму, состоящую из h слагаемых, каждое из которых равно а: аЬ = а + а + а + ... + а. Ь СЛ<1 агаемых Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю: т ‘ \ = \ ' т = т. ✓ Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю: m • О = О • m = 0. ^ Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. ^ От перестановки множителей произведение не изменяется: аЬ = Ьа — переместительное свойство. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел: (аЬ)с = а{Ьс) — сочетательное свойство. ^ Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить: a{h + с) = аЬ + ас — распределительное свойство. 12. Умножение обыкновенных дробей ✓ Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения: а ап h-" = ~r- Считают, что ^0 = 0; 0-^ = 0. Ь п %/ Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: 240 а с_ _ а • с Ь d Ь■d' ✓ Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а потом воспользоваться правилом умножения дробей. 13. Умножение рациональных чисел ^ Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «—». ^ Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули. Для любого рационального числа а: а • (-1) = -а, (-1) • а = -а. \/ Если произведение аЬ — положительное, то числа avib имеют одинаковые знаки; если произведение аЬ — отрицательное, то числа avih имеют разные знаки. 14. Деление. Свойства деления Разделить число а на число Ь — значит найти такое число, произведение которого с числом h равно а. %/ Следовательно, равенство а \h — с верно, если верно равенство Ь ■ с = = а. %/ В равенстве а \ Ь = с число а называют делимым, Ь — делителем, с — частным. При любых значениях а верно равенство: а : \ = а. |/ Если а не равно О, то справедливы такие равенства: О : й = О, а \ а = \. ^ На нуль делить нельзя! 15. Делимость натургтьных чисел \/ Если натуральное число а делится нацело на натуральное число />, то число а называют кратным числа Ь, число Ь — делителем числа а. 241 \/ Для любого натурального числа а каждое из чисел а ■ а ■ 2, а ’ Ъ, а • 4, ... является кратным числа а. ^ Наименьшим делителем любого натурального числа а является число 1, а наибольшим — само число а. \/ Среди чисел, кратных а, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число а. \/ Если каждое из чисел а vs. h делится нацело на число k, то и сумма а + Ь также делится нацело на число k. %/ Если число а делится нацело на число k, а число Ь не делится нацело на число k, то сумма а + Ь также не делится нацело на число k. ^ Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число. ^ Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным. ^ Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители. ^ Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми. 16. Признаки делимости натуральных чисел ^ Если запись натурального числа оканчивается цифрой О, то оно делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от о, то оно не делится нацело на 10. Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа. ^ Цифры о, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. ^ Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно делится нацело на 2. ^ Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой, то оно не делится нацело на 2. ^ Если запись натурального числа оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится нацело на 5. 242 Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от О или 5, то оно не делится нацело на 5. ^ Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9. ^ Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9. ^ Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3. |/ Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3. 17. Деление с остатком \/ Не всегда одно натуральное число делится нацело на другое. В таком случае можно выполнить деление с остатком. Например, при делении числа 43 на 8 получим неполное частное 5 и остаток 3. Остаток всегда меньше делителя. Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток. В буквенном виде это записывают так: a = bq л- г, где а — делимое, Ь — делитель, q — неполное частное, г — остаток, г <Ь. 18. Деление обыкновенных дробей Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю: а . £ _ а ^ Ь ’ d h с * 19. Деление рациональных чисел Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «—». Чтобы разделить два отрицательных числа, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. 243 20. Нахождение дроби от числа |/ Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь. %/ Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь. 21. Нахождение числа по его дроби ✓ Чтобы найти число по значению его дроби, можно это значение разделить на эту дробь. Чтобы найти число по его процентам, можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь. 22. Степень числа ✓ Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а\ аР = а • а ■ а ... ■ а. п множителем Число а при этом называют основанием степени. ✓ Степенью числа а с показателем 1 называют само число а: а} = а. Вторую степень также называют квадратом числа. Например, запись читают: «а в квадрате». Третью степень называют кубом числа, а запись читают: «а в кубе». Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом другие действия. Выражения. Формулы. Уравнения 23. Числовые и буквенные выражения ^ Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением. Поскольку (19 - 7) : 3 = 4, то число 4 называют значением выражения (19-7) : 3. ✓' Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением. Подставив вместо х в выражение 5 + Зл: число 2, получим: 5 -н 3 • 2 = 11. Число 11 называют значением буквенного выражения b + Sx при х=2. 244 24. Раскрытие скобок ^ Если перед скобками стоит знак «—», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, изменить на противоположные. Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменений. 25. Приведение подобных слагаемых ^ Рассмотрим выражение 7<2 - 9а + Ъа. Оно состоит из трёх слагаемых 7а, - 9а, 5а, имеющих одинаковую буквенную часть. Такие слагаемые называют подобными. \/ Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. 26. Формулы \/ Равенства вида у = Ъх, Р =2{а + Ь), S = называют формулами. Равенство s = vt, где s — пройденный пучь, v — скорость движения, 3-t — время, за которое пройден путь s, называют формулой пути. 27. Уравнения Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, \/ Уравнение не обязательно имеет один корень. Например, уравнение X -х = О имеет бесконечно много корней, а уравнение х - х = 1 вообще не имеет корней. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Поэтому корень часто называют решением уравнения. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. \/ Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 245 %/ Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное. ✓ Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное. 28. Свойства уравнений \/ Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное. Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обеим частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней. ^ Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же самые корни, что и данное. ✓ Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное. Отношения и пропорции 29. Отношения ✓ Частное двух чисел а и не равных нулю, ещё называют отношением чисел avih или отношением числа а к числу Ь. ✓ Числа а п Ь называют членами отношения, число а — предыдущим членом отношения, а число Ь — последующим. Отношение положительных чисел а и Ь показывает, во сколько раз число а больше числа Ь или какую часть число а составляет от числа h. ^ Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 246 30. Пропорции ✓ Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так: 1 1 Q. с а : п = С : а или -j- = т • о а Числа а VI d называют крайними членами пропорции, а числа Ь w с — средними членами пропорции. 31. Основное свойство пропорции ✓ Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: если ^ , то ad — be, b d ✓ Если a, b, с VL d — числа, не равные нулю, и ad = be, то отношения ^ с ^ ас и -J равны и могут обра.зовать пропорцию ^ ^ • 32. Процентное отношение двух чисел ^ Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого. ✓ Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента. 33. Прямая пропорциональная зависимость Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. ✓ Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для этих величин числу. ✓ Если величины у vi х прямо пропорциональны, то их соответствующие значения удовлетворяют равенству — = к, где к — число, постоянное для данных величин. 247 Координатная плоскость 34. Прямоугольная система координат %/ Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так, чтобы их начала отсчёта совпадали (рис. 64). Эти прямые называют осями координат, точку О их пересечения — началом координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают буквой X, вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой у. Рис. 64 Рис. 65 и четверть —>---1---1-- -3 -2 -1 О -1 III четверть -2-- -3-- I четверть Л—► 1 2 3 X IV четверть Ось абсцисс называют также осью х, а ось ординат — осью у, они вместе образуют прямоугольную систему координат. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью. \/ Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвераями и нумеруют так, как показано на рисунке 65. ^ На координатной плоскости обозначим точку М (рис. 66). Прямая, прохо-дя1цая через точку М перпендикулярно оси абсцисс, пересекает её в точке А, а прямая, перпендикулярная оси ординат, пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси X имеет координату 3, а точка Б на оси у — координату -2. Рис. 66 l:^ J Vi 3- 2- 1- 1 1 1 1 r -2 -1 0 -1- -2- -3- 12 |3 ^ В 1 " V 248 %/ Число 3 называют абсциссой точки М, число -2 — ординатой точки М, Числа 3 и —2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости. Поэтому их называют координатами точки М и записывают: М (3; —2). \/ Записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату — на второе. \/ Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю, а если точка лежит на оси ординат, то нулю равна её абсцисса. 249 Проектная работа Эта рубрика адресована, прежде всего, тем, кто хочет научиться приобретать знания самостоятельно, творчески мыслить, формировать, выражать и отстаивать свою точку зрения, выдвигать гипотезы, находить наиболее рациональные и нестандартные решения. Первый шаг, который может помочь в реализации этих целей является участие в проектной работе. Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме, которое может выполняться как индивидуально, так и группой учащихся. Дадим несколько советов по организации работы над проектом и оформлению результатов исследования. 1. При выборе темы необходимо учитывать её актуальность, наличие источников информации в литературе и интернет ресурсов. Здесь важно ваше желание проявить себя в качестве исследователя в работе именно над выбранной темой. 2. Работа начинается с составления предварительного плана, в котором отражается замысел и этапы реализации задуманного. После знакомства с основными источниками и литературой с помощью руководителя проекта составляется окончательный план. 3. Важно чётко сформулировать цели исследования. Они могут быть записанными в такой форме: изучить, описать, проанализировать, доказать, сравнить и т. п. 4. Работа завершается подведением итогов исследования, делаются выводы, намечаются перспективы дальнейшего изучения темы. 5. Примерный объём работы — 10-15 страниц. Дополнительно может прилагаться иллюстративный материал. 6. Работа может быть оформлена в виде реферата, доклада, компьютерной презентации. Ниже приводится рекомендуемый список тем, которые могут быть выбраны для проектной работы. 1. Л.Ф. Магницкий и его «Арифметика» Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: https://virtmuseum.aonb.ru/z6/z6_arifm.html — «Арифметика» Магницкого. Галанин Д.Д. Магницкий и его арифметика. — Вып. II. — М., 1914. Каменева Т.Н. К истории издания «Арифметики» Магницкого / Книга. Исследования и материалы. 1984. Шикман А.П. Деятели отечественной истории. Биографический справочник. — М., 1997. 250 https://ru.wikipedia.org/wiki/ Магницкий Леонтий Филиппович. Волков А. Арифметика Леонтия Магницкого // Квант. — 1991. — № 7. Энциклопедия для детей. Том 11 : Математика. — М. : Аванта +, 2003. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». 2. Аликвотные дроби Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы; Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. — М. : Наука, 1967. Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. — Саранск : Мордовское гос. изд-во, 1977. https://ru.wikipedia.org/wiki/ — папирус Ахмеса. https://ru.wikipedia.org/wiki/ — египетские дроби. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике. — М. : ИЛЕКСА, 2007. Гаврилова Т.Д. Занимательная математика. 5-11 классы. — Волгоград : Учитель, 2008. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. — М. : Айрис-пресс, 2005. 3. Системы счисления Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: https://sdo.uspi.ru/mathem&:inform/— системы счисления. https://pmi.ulstu.ru/new_project/ https:// umk.portal.kemsu.ru/uch-mathematics / Фомин С.В. Системы счисления. — М. : Наука, 1987. Яглом И. Системы счисления // Квант. — 1970. — 6. Факультативный курс по математике. 7-9 / сост. И.Л. Никольская. — М. : Просвещение, 1991. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». 4. Сравнения по модулю Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: Факультативный курс по математике. 7-9 / сост. И.Л. Никольская. — М. : Просвещение, 1991. 251 Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М. : Наука, 1965. Виленкин Н.Я. Сравнения и классы вычетов // Квант. — 1978. Егоров А. Деление с остатком и сравнения по модулю // Квант. — 1991. - № 6. Кудреватов Г.А. Сравнения // Квант. — 1972. — № 9. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005. Уфнаровский В.А. Математический аквариум. — М. : МЦНМО, 2010. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». 5. Признаки делимости Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: Факультативный курс по математике. 7-9 / сост. И.Л. Никольская. — М. : Просвещение, 1991. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М. : Наука, 1965. Виленкин Н.Я. Сравнения и классы вычетов // Квант. — 1978. Кудреватов Г.А. Сравнения // Квант. — 1972. — № 9. Абрамович В. Признаки делимости на / // Квант. — 1978. — № 10. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005. https://www.edu.ru/ — российское образование. Федеральный портал. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». 6. Тайны простых чисел Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005. https://www.edu.ru/ — российское образование. Федеральный портал. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Савин А.П. Математические миниатюры. — М. : Детская литература, 1991. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984. Гальперин Г.А. Просто о простых числах // Квант. — 1987. — № 4. 252 Васильев И.В., Гутенмахер В.Л. Арифметика и принципы подсчёта // Квант. — 1983. — № 1. 7. Игры и стратегии Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: Савин А.П. Математические миниатюры. — М. : Детская литература, 1991. Магия чисел и фигур / авт.-сост. В.В. Трошин. — М. : Глобус, 2007. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». https://www.edu.ru/ — российское образование. Федеральный портал. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. — М. : МЦНМО, 2007. 8. Математические софизмы Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: Энциклопедия для детей. Том 11 : Математика. — М. : Аванта +, 2003. https://www.math.ru/lib/ — электронная библиотека книг по математике. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. Правдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным утверждениям. — М. : Просвещение, 2003. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Конфорович А.Г. Математические софизмы и парадоксы. — Киев : Рад. шк., 1983. 9. Математические фокусы Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы: Лонге Б. Математические фокусы. — М. : ACT : Астель, 2006. Савин А.П. Математические миниатюры. — М. : Детская литература. 1991. Магия чисел и фигур / авт.-сост. В.В. Трошин. — М. : Глобус, 2007. Энциклопедия для детей. Том 11 : Математика. — М. : Аванта -I-, 2003. Гарднер М. Математические фокусы и головоломки. — М.: Наука, 1978. https://www.math.ru/lib/ — электронная библиотека книг по математике. https://trick.fome.ru/ — математические фокусы. https://goodmagic.ru/ — фокусы и трюки. 253 Дружим с компьютером Изучая математику в 5 и 6 классах, вы уже пользовались компьютером и оценили, каким надёжным помощником он может быть. Поможет компьютер и при изучении алгебры. Вы, наверное, уже умеете: • пользоваться калькулятором для вычислений; • набирать и оформлять несложные тексты в текстовом редакторе (например, Microsoft Word)-, • составлять таблицы с помощью редактора таблиц (например, Microsoft Excel)-, • рисовать с помощью графического редактора (например. Paint)-, • пользоваться глобальной сетью Интернет — искать в ней информацию. Все эти умения вы будете совершенствовать и при изучении алгебры. Существуют специализированные математические пакеты программ, которые помогают школьникам и студентам выполнить техническую работу при решении задач. Это, например, MathlAB, MathCAD. Если вы хотите в будущем стать математиком, программистом, инженером, то есть широко использовать математику в своей работе, то вам будет полезно освоить такие пакеты. Также важно научиться пользоваться графическим редактором, с помощью которого можно работать с геометрическими фигурами и строить чертежи. Примерами таких редакторов могут быть CorelDraw, Visio и т. п. А если вы захотите сделать доклад или интересное сообщение, то удобно пользоваться программой для построения презентаций (например, PowerPoint). С помощью неё можно даже сделать мультфильм с математическим сюжетом. Кроме этого, существует много программ, созданных специально для школьников. Эти программы тоже помогают в изучении математики. Вот ссылки на некоторые из них: https://www.pcmath.ru/ — компьютерные программы по математике; https://obr.1c.ru/catalog.jsp?top=3/ — образовательные программы по математике; https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Конечно же это далеко не всё, что есть на просторах Интернета. Ищите, интересуйтесь, общайтесь со своими сверстниками, и вы найдёте много интересного. А может, став постарше, вы и сами разработаете полезные программы, помогающие лучше осваивать математику. 254 Задания с элементами информатики в этом разделе приведены задания, которые встретятся вам на уроках информатики. Некоторые из этих заданий — продолжение и развитие упражнений этого учебника, которые вы будете решать на уроках и дома (такие упражнения в тексте учебника помечены значком « »); в этом разде- ле указан номер соответствующего задания. На уроках информатики вы будете изучать элементы программирования. Главное в программировании — это придумать алгоритм, то есть последовательность шагов, с помощью которой из входных данных можно получить выходные данные, В этом разделе вы найдёте много таких заданий. Эти задания не являются обязательными для выполнения. Они в первую очередь адресованы тем, кто уже познакомился с элементами программирования. Но со временем по мере приобретения новых знаний на уроках информатики многие из этих заданий вы сможете выполнить. Самые сложные задания, требующие много времени, отмечены звёздочкой. К § 2 «Линейное уравнение с одной переменной» Запишите алгоритм, для которого входными данными являются значения чисел а п Ь, г. выходными — решение линейного уравнения ах = Ь. Какие случаи надо предусмотреть, чтобы этот алгоритм выдавал правильный ответ для любых значений а и Ы К § 3 «Решение задач с помощью уравнений» Некоторые задачи этого параграфа похожи. Это значит, что их математическая модель одинакова. Найдите такие задачи. Создайте для них математическую модель и напишите алгоритм для их решения. Какие величины будут для этого алгоритма входными данными, а какие — выходными? К § 4 «Тождественно равные выражения. Тождества» Можно ли с помощью компьютера доказать тождество, «перебрав» все возможные значения входящих в него переменных и вычислив при этих значениях переменных значения левой и правой частей тождества? К § 5 «Степень с натуральным показателем» Запишите алгоритм, входными данными для которого являются основание степени а и показатель степени п, а выходными — степень числа а с показателем п. Для какого значения показателя надо рассмотреть отдельный случай? 255 к § 11 «Умножение многочлена на многочлен» 426. Сформулируйте эту задачу в общем виде. Какие данные являются для этой задачи входными, а какие — выходными? Создайте математическую модель этой задачи. Запишите алгоритм решения этой задачи в общем виде. К § 12 «Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки» 460. Упростите выражение, приведённое в этом упражнении. Выберите какие-нибудь значения переменных. Вычислите с помощью калькулятора сначала значение исходного выражени51, .затем — значение упрощённого выражения. Насколько упрощение выражения облегчило работу по вычислению его значения? Запишите алгоритм для решения этой задачи перебором всех двузначных чисел. Сколько времени заняло бы решение этой задачи «перебором» без компьютера и калькулятора? Запишите алгоритм для решения этой задачи перебором всех двузначных чисел. 469. 474. К § 13 «Разложение многочленов на множители. Метод группировки» 494. Сформулируйте эту задачу в общем виде. Какие данные являются для этой задачи входными, а какие — выходными? Создайте математическую модель этой задачи. Запишите алгоритм решения этой задачи в общем виде. К § 15 «Разность квадратов двух выражений» 535. Можете ли вы сформулировать алгоритм, которым пользовались при решении этой задачи? 544. Запишите алгоритм для решения этой задачи. 545. Запишите алгоритм для решения этой .задачи. Каким образом вы зададите число к? К § 16 «Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений» 588, 589. Можно ли для задач 588 и 589 создать общую математическую модель? Запишите общий алгоритм для решения этих двух задач. К § 17 «Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений» 626. Можете ли вы сформулировать алгоритм, которым пользовались при решении этой задачи? 256 к § 18 «Сумма и разность кубов двух выражений» 677. Запишите алгоритм, с помощью которого можно разложить на множители сумму или разность кубов двух одночленов. Какие входные данные надо предусмотреть, чтобы этот алгоритм работал для как можно более разнообразных одночленов? К § 19 «Применение различных способов разложения многочлена на множители» Каким образом можно изобразить координатную плоскость на экране компьютера? Найдите средства для этого в графическом редакторе, которым вы будете пользоваться. К § 20 «Связи между величинами. Функция» В упражнениях этого параграфа описаны разнообразные функциональные зависимости между величинами. Для каждой из этих зависимостей определите независимую переменную и запишите алгоритм, для которого входными данными будет значение независимой переменной, а выходными — значение зависимой переменной. 756. Запишите алгоритм для вычисления зависимости объёма V воды в цистерне от времени t, в течение которого из неё выливается вода. Не забудьте, что рано или поздно вода в цистерне закончится. Какой ответ должен выдавать этот алгоритм после того, как вся вода из цистерны выльется? К § 21 «Способы задания функции» Создайте в текстовом и/или табличном редакторе таблицу, которая задаёт некоторую функцию. Изучите инструменты этого редактора, которые позволяют заполнить таблицу с помощью формулы, задающей функцию. Выполните с помощью этих инструментов какие-нибудь задания данного параграфа. К § 22 «График функции» Освойте инструменты текстового и/или табличного редактора для построения графика функции, заданной таблично. Какие элементы оформления позволяют сделать график наглядным? Знаете ли вы какие-то компьютерные программы, которые позволяют построить график произвольной функции? 257 К § 23 «Линейная функция, её график и свойства» Запишите алгоритм, который по входным данным k и Ь определит, какая прямая является графиком функции у = kx + Ь: горизонтальная или не горизонтальная, проходящая через начало координат или нет. Создайте в текстовом и/или табличном редакторе таблицу, которая задаёт какую-либо линейную функцию. С помощью средств этого редактора постройте график этой функции. К § 25 «Линейное уравнение с двумя переменными и его график» Запишите алгоритм, который по входным данным а, Ь и с определит, какая фигура является графиком уравнения ах + by + с = 0. К § 2в «Системы уравнений с двумя переменными. П1афический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными» Освойте средства графического редактора, позволяющие изобразить точку с заданными координатами. Научитесь проводить прямую через две точки. Выберите какую-либо систему уравнений из данного параграфа и проиллюстрируйте её решение графическим методом с помощью этого инструментария. К § 29 «Решение задач с помощью систем линейных уравнений» Предположим, что заданы координаты некоторых двух точек А и В на координатной плоскости и через эти точки проведена прямая. Задаётся абсцисса некоторой точки С и сказано, что точка С лежит на этой же прямой. Напишите алгоритм, который находит ординату точки С. Всегда ли этот алгоритм «сработает»? Какую ситуацию надо рассмотреть отдельно и какую проверку для этого надо выполнить? Какие выходные данные для .этой ситуации должен выдать алгоритм? 258 Ответы и указания 4. 1) 17^; 2) l|; 3) -0,3; 4) -l|; 5) 1. 5. 1) ll|; 2) l|; 3) 4,4; 4) 23. 110 пудов. 37. 1) 3; 2) 3) корней нет; 4) корнем уравнения яв- 10 3 ляется любое число. 38. 1) 5; 2) 0,8; 3) корнем уравнения является любое число; 4) корней нет. 39. 1) 0,6; 2) —; 3) -10; 4) -0,9. 40. 1) 44; 2) ^; 3) -5,2. 9 ^4 41. 1) 2) корнем уравнения является любое число. 42. 1) - — 2) корней нет. 43. 1) 0,4; -8; 2) 0; 25; 3) |; -12; 4) -0,6; -1; 0,3. 44. 1) 6; -4,5 ^ 2 1 2) -0,8; 3. 45. 1) 10; 2) -3. 46. 1) 1; 2) -1,4. 47. 1) 12; 2) 4^; 3) 2. 48. 1) ^ 3 б 2) 2;3) 4,8.49. 1)-10; 2) 3; 3) 1; 4) 0,5. 50. 1) -12; 2) -0,2.51. 7) --|;-2;8) 0 -1. 52. 4) -20; 100; 5) 2,3; -0,9; 6) 0; 4; -4. 53. 2) 55. 54. 2) 57. 2) -53; -И 31 ^ -5; -3; 3; 45. 58. 2) 7; 11; 31. 59. 1) 14; 2) -^.60. 1) -17; 2) 3,5. 61. 2) 3; 3) 2. 43 62. 2) 2; 3) -5. 63. I) а ^ 5; 2) а Ф -7. 64. 1) Если Ь Ф то х = , —-; если 4 0 + 1 6 = —1, то корней нет; 2) х = ———. 65. Если т Ф -8, то х = 1; если тп = -8, то л: — любое число. 68. 1) 3; 2) -1,8; 3) -1; 2. 69. 1) 2) корней нет. 3 70. \) а — чётное число; 2) а — нечётное число; 3) число а кратно 4; 4) таких значений не существует. 71. 1) Число Ь кратно 3; 2) число Ь при делении на 3 даёт остаток 1; 3) таких значений не существует. 72. 1) При Ь > 2) при Ь < 0. 73. 1) При < 0; 2) при б/ > 0. 74. 1) 18 ч; первый выполнит 2 3 — задания, а второй — ^ задания. 75. 240 страниц. 76. 1) Чётным; 2) нечёт-5 5 ным; 3) чётным. 77. 1) Нет, 2а < а при < 0 и 2а = <2 при а = 0; 2) нет, 21а| = \а\ при а = 0. 83. 12 м, 10 м, 8 м. 84. 23 615 км\ 908 км^ 285 км^. 87. 20 человек. 88. 90 км. 89. 20 кг, 14 кг. 90. 264 места, 270 мест. 91. 12 км/ч, 60 км/ч. 92. 112 р., 64 р. 93. 36 р. 96. 4 года. 97. 7 лет. 98. 30 словарей, 20 словарей. 99. 180 000 р., 120 000 р. 100. 11 монет, 8 монет. 101. 800 т. 102. 240 р. 103. 40 кг, 8 кг. 104. 600 кг, 200 кг. 105. 5 дней. 106. 40 л, 80 л. 107. 4,5 ч, 0,5 ч. 108. 24 мин. 109. 50 км/ч, 20 км/ч. 110. 30,5 км/ч. 111. 2 км/ч. 112. 45 кг, 10 кг. 113. 14 кг, 10 кг. 114. 60 книг. 115. 160 л. 116. 71 турист. 117. 109 апельсинов. 118. 8 дней. 119. 100 задач. 120. 93. 121. 24. 122. 55 км/ч, 65 км/ч или 70 км/ч, 80 км/ч. 123. 100 кг, 200 кг. 124. 20 кг, 30 кг. 125. 1) 4,04; 2) -35,16; 3) l|; 4) -б|. 128. 4. 129. Ъ) X — любое неотрицательное число; А) х — любое неположительное число. 146. 24 ч. 147. 206 ц. 148. 1) 0; 2) \а\ < \Ь\. 149. Уменьшилась на 259 25 %. 150. 16,7 %. 162. 3) 16; 4) 115. 163. 3) 75. 185. 2; 3; 4. 186. 1; 2. 191. 2) X = \ 1л у = -2. 193. 1) X = 0; 2) X = 1. 194. I) х = 0; 2) х = -3. 195. 2) Указание. Докажите, что последняя цифра значения выражения равна 0; 3) Указание. Значение выражения — это число, последняя цифра которого равна 3, а остальные — 9. 196. 1) Указание. Докажите, что сумма цифр значения выражения равна 9; 2) Указание. Докажите, что последняя цифра значения выражения равна 5. 197. 3. 198. 20 %. 199. 60 кг, 20 кг. 200. 1) 3,8; 2) корней мет. 201. а — отрицательное число, Ъ — положительное число, с = 0. 227. 2) 2^; 3) 2‘^”; 4) 2”^ 244. 1) 36; 2) 125; -125. 247. 59^. 248. 1) 6; 2) 1; 3) 4 или 6; 4) 1, или 3, или 7, или 9. 249. 1) 1; 2) 1; 3) 1 или 9. 250. 1) Указание. Последней цифрой степени 17® является 1; 2) Указание. Последней цифрой степени 64®^^ является 6; 3) Указание. Последней цифрой степени S'*" = 81" является 1. 251. 1) Указание. Последней цифрой степени 4^** является 6; 2) Указание. Последней цифрой степени 2004*^* является 4, а степени 17Г'^****'* — 1. 252. 48^^ < 49^® = 7-'® < 7®* = (7®)*^ = = 343*^ < 344*^. 253. 12 уток. 254. 3,6 ч. 255. 9,6 км. 256. 1) 2; 2) корнем уравнения являетс51 любое число. 257. Указание. Данное число можно представить в виде ЮООа + а= 1001а. 283. 3) -43,2. 284. 3) -р. 285. 2) 24,5; 3) 30. 286. 2) 1350; 3) -486. 287. 600. 288. 36 гусей. 300. 600 г, 400 г. 301. 300 вариантов. 311. 3) 5; 4) корней нет. 312. 2) 6; 3) корнем уравнения является любое число. 315. 1) -45; 2) 24. 316. 1) 11; 2) |. 331. 5. 339. -9 при х = 0. 340. 4 при у = 0. 344. 1) аЬс + Ьса + cah = 100а +10^ -ь с -I- 100^ -I- 10с + а + -1- 100с + 10а + Ь = 111а -I- 111^-1- 111с = 111 (а + Ь ^ с). 345. Указание. Рассмотрите сумму данных многочленов. 347. Меньше на 4 %. 348. 4 ч. 349. 144 дерева. 350. 10 км. 361. 1) -2; 2) -5; 3) -0,5; 4) корнем уравнения является любое число; 5) корней нет; 6) 4. 362. 1) 2; 2) 0; 3) 6. 374. 1) 7^2; 3 . !-j\ 1_9 , J34 20 ’ ^ 34 ’ ^ ii 9 376. 1) -1; 2) 0. 375. 1) 45; 2) 0; .3) 4) 2,1; 5) 3; 6) 2) - —; 3) -4; 4) 10. 377. 378. 8 см. 379. 64 см. 380. 36 км, 42 км, 30 км. 4 7 381. 22 детали, 34 детали, 24 детали. 382. 1) 2) xf^~^ - х2«+2 + 383. 1) 2) - 7лг. 384. Указание. Из условия следует, что а = За -+- 1, h = 9m -ь 7, где т vi п — натуральные числа. 386. 20 га, 12 га, 14,4 га. 387. 210 страниц. 389. 90 км. 390. 8 дней. 398. 1) -7; 2) -2; 3) 1; 2 4) -1; 5) корней пет. 399. 1) 2; 2) корнем уравнения является любое число. 405. 6; 7; 12; 14. 406. 8; 12; 18. 407. 7; 8; 9; 10. 408. 16; 17; 18. 409. 15 см. 410. 18 см, 12 см. 411. 14 см, 12 см. 425. 15 деталей, 11 деталей. 426. 9 %. 427. 1) 3; 2) 9. 429. 60 лет. 447. 1) -а(а -ь Ь){2а -ь 3/;); 260 2) Ът{т. - 8)(3t7z - 16); 3) {а + 5)(3« + 2); 4) {Ay - 1)(х - 3); 5) (5ш - - п)‘^{т + 8гг)‘^(4ш - 9/г). 448. 1) (х - 6)(х + 4); 2) {х^ - 2){2у - 7); 3) {4а - - ЪЬ){Ъа + 7hy, 4) {р- 9f{2p + 1)ЦЗр - 8). 449. 1) -7; 2) 2; 2§; 3) 5; -40; 4) 7; 111 ^ 14. 450. 1) -6; 9; 2) 10; -6; 3) 4) 1^; 1. 451. 7) 49я2(1 + 2hf 3 9 3 8) 81с'2(с - 2)'’. 452. 5) 64xV(2x + 5^)2; б) 32x'‘«(llx2 - 14^=')^ 457. 1) 0; | 1 ^ 2) 0; 0,4; 3) 0; -0,2; 4) 0; 3,6. 458. 1) 0; 6; 2) 0; 459. 1) 2а + 4; 2) баЬ - 4Ь Э 3) 8а/?2 _ 14^3 460. 1) 2а^ЬУ 2) 2аЬ + 2h^. 463. 1) а^{а + 1); 2) - 1) 3) с”-4(сб + 1); 4) - 1); 5) 2"+^ • 5; 6) 3"^2(3” + 1). 464. 1) а^{а^ - 1) 2) 6"(3^2 - 2Ь + 1); 3) 2-'^”(1 + 2^”^). 465. 2) 24; 3) 20. 466. 2) -4; 3) -12. 467. 1) 1; 2) 0,8; 3) 5. 468. 1) й = 3; 2) а = - ^ . 469. 18. Указание. Пусть дан- ное число аЬ. Тогда ah= Юа + Ь = {а + \){h + 1), отсюда 9а = ah 4- 1, а{9 - h) = 1. Отсюда а = 1, Ь = 8. 471. 20 кг. 472. 28 банок. 474. Нет. 482. 1) 15; 2) 72; 3) 25. 483. 1) 250; 2) -1. 486. 1) {а^ + \){а + 1); 2) {Ь + 1){Ь^^^ - 1); 3) (^"+1 - l)(3jy2 + 5). 487. 1) (х-I- 6)(х 4- 2); 2) (х- 4)(х- - 1); 3) (х- 1)(х4-8);4) {х+ 1)(х-5). 488. 1) (х-ь 1)(х-ьЗ); 2) (х-2)(х-8); 3) (х 4- 6)(х - 3); 4) (х - 8)(х 4- 4). 489. Указание, 4- Ъп^ + 2п = n{rd- 4- 8п 4- 4- 2) = n{rd- 4-/2 4-2/7 4-2)= п{п{п 4- 1) 4- 2{п 4- 1)) = п{п + \){п + 2). 490. {а + Ь + с)^. Указание. Представьте каждый и.з членов 2аЬ, 2Ьс и 2ас данного многочлена в виде суммы аЬ 4- ah, he 4- he, ае 4- ае соответственно и примените метод группировки. 491. Указание. З"'^^ - 4- 3” - 2” = = 3”(32 + I) - 2"(2‘^ -h 1) = 3” • 10 - 2" • 5 = 3" • 10 - 2”"' • 2 • 5 = 3" • 10 - - 2"“* • 10 = 10(3” - 2”“^). 492. 2. Указание. 2х^ 4- Ъх^у'^ 4- у"^ + у- = 2х^ 4- 4- 2х^у'^^ + х^^у^ 4- у'^ 4- г/^ = 2х^(х^ 4- у"^) + у^{х^ 4- у'^) 4- у‘^. 493. 4 овцы. 494. 6 ч. 495. 40 л, 10 л. 510. Ь) 16а'’ - 1; 6) - 625. 511. 4) а» - 1. 512. 3) ^^«+4 _ 4) а2и+2 _ ipn-ч. 51з_ 3) 4^2 + 3^ + 93. 4) ^2^5 \) - 4х + 19; 2) 6’^. 515. 1) -1; 2) корней нет; 3) корнем уравнения является любое число; 4) -25,6. 516. 1) -40; 2) -3. 521. 1) 4; 2) 25; 3) 9; 4) -1; 5) -1. 522. 1) 1; 2) 256. 524. Указание. 253 • 259 = (256 - 3)(256 -н 3), 252 • 260 = (256 - 4)(256 4- 4). 525. 14 км/ч, 42 км. 526. 20 кг, 80 кг. 527. 4 ч. 528. 7^ = 16 807 горстей, 1,34 т. 529. 1) -1 — ; 2) 6-. 542. 1) -150; 2) 12,8. 543. -40. 547. 1) (а -2.5 6 - Ь){а + Ь)(а^ + h‘‘)(a^ + h')-, 2) (d‘ - 2){а^ + 2)(а* + 4)(в» + 16). 548. 1) 4; 2) -1; -7; .S) -10: э -2—• 4) -!-• 549 1) — • 2) -16- - — ^3 ’ ^ S ’ 23 ■ ■ Ml ’ П ’ ’ 8 ■ 553. \) {2п + 2У^ - (2/7)2 = (2п + 2- 2/7)(2/7 + 2 + 2п) = 2(4/7 -ь 2). 555. 43 и 34. 557. \) h = 2-, 2) Ь =-2; 3) h ^2 и Ьф-2. 559. 8 км/ч. 560. 45 кг. 561. а = -3. 5 562. 1) - —; 2) корнем уравнения является любое число. 563. 1) а > 0; 8 261 2) а Ф O’, Ъ) а- любое число. 585. 5. 586. 1) 9; 2) -0,6; 3) -5. 587. 1) 2) 7. 588. 7 см. 589. 26 см. 590. 12; 13; 14. 591. 19; 20; 21; 22. 602. 1. 603. о или 1. 607. 7. 608. 3. 611. а = \. 612. а = . 615. Пусть п — третье из данных чисел, тогда данные числа равны соответственно п - 2, п - 1, п, п + 1, п + 2, где п > 2. Докажите, что сумма квадратов этих чисел равна Ъ{п^ + 2). Чтобы полученный результат мог быть квадратом некоторого натурального числа, значение выражения ч- 2 должно быть кратным 5, то есть его последней цифрой должна быть цифра 0 или цифра 5. Так как последней цифрой значения выражения может быть одна из цифр О, 1, 4, 5, б, 9, то значение выражения -t- 2 не может оканчиваться цифрой 0 или цифрой 5. 616. 5000 т. 617. 500 кг. 618. Одинаковая. 621. 2) таких значений не существует; 3) х = -\. 634. 1) (4й - Ь)^’, 2) (6х -н 5г/)^. 635. 1) {2тп + 2гг)^; 2) (7дг + 4^)2. 636. 1) 0,0016; 2) 10 000. 637. 1) 10 000; 2) 9. 640. 2) 641. 2) f. 645. Указание, - 14г -\- Ъ2 = х^ - 14л: -н 49 -I- 3 = (х - 7)^ + 3. ^ Q Q 1 646. 1) 1 при х=Ъ’,2) 16 при д: = - ^; 3) ^ при ^ ~ ~ 2' ^ ^ х=2’, 2) -1 при X = ^; 3) -7 при х = - ^ . 650. 1) 100 при х = -8; 2) 11 при х = ^. 651. 1) 4 при X = 14; 2) -50 при х = - ^ . 653. Указание, {а - ЪЬ){а -ЪЬ - 4) + 3 + 4 = (<з - 36)2 _ + 4 = (д _ 3^ _ 2)2. 654. б) Указание. 2а^ -I- 262 _ = {а^ -ь 2аЬ + 62) + {а^ - 2аЬ + 62). 655. 1) {а^ ■¥ \ - а){а^ + \ + а); 2) (х - - у){х + у + 4)’, 3) {аЬ - с - Ъ){аЬ ч- с ч- 5); 4) {2а ч- 6 - 2)(4<я - 6 - 2). 656. 1) («2 ч- 4)2 -н (За)2; 2) (х - 5)2 + {у + 7)2; 3) (х - Ъу^ -ь (х - 3)2; 4) (х - - 2)2 -{у л- 1)2. 657. 1) X = -4, ^ = 5; 2) X = -6, .V = 1. 658. 1) х = -1, ^ = 0,5; 2) таких значений не существует. 659. 45. 660. 8. 661. -10. 662. 24 = 12 ч- 12. Указание. Пусть одно из слагаемых равно х, тогда второе равно 24 - х, а их произведение: х(24 - х) = 24х - х2 = 122 - 122 ч- 2 • 12х - х2 = 144 - ^)^- 663. 5 см, 5 см. 664. 4. Указание. + аЬ - аЬ = { Ь + —\ - аЬ. 4 4 I 2 J 665. 0. Указание. Обе части данного в условии равенства умножьте на 2, а затем представьте в виде {а - 6)2 ч- (6 - с)2 + {а - с)2 = 0. 666. 100 км. 667. 60 га, 40 га. 669. 13. 670. 420 дней. Указание. Чтобы узнать, через сколько дней рыбаки снова соберутся на озере вместе, надо найти НОК (1, 2, 3, 4, 5, б, 7). 685. 1) 9; 2) 25х - 64; 3) -6^2 ч- 9<2 - 27; 4) ^24 - 1. 686. 1) -124; 2) -^2 4- Зг/ - 36; 3) а^ - 6®. 688. 1) 0,5; 2) -1; 3) 8. 689. 1) 6; 2) -5. 695. Указание. Пусть данные числа равны 2п - \ vi 2п + \. 696. Указание. Эти числа можно представить в виде Зт2 Ч- 1 и Зц Ч- 2, где п — произвольное натуральное число. 697. 1. Указание, х^ ч- ЪхР-у^ + У^ = {^^ + У^){У^ - 262 Рис. 67 Уп 1 -- Н----1-----1---1----1-----h 1 2 3 4 5 6 X Рис. 68 - jrV + У^) + 698. 8. 701. 18 кг, 6 кг. 702. 2. 705. 4) 6) 0; 3 6 725. 6) -2; -3; 3; 7) 5; 8) -1; 1. 726. 5) -1; 1; 6) -5; 5; 4. 732. 1) (х-у + 4){х + + у-2); 2) {2а - ЪЬ - Ъ){2а + ЪЬ + 1). 733. 1) (5х - у"^ + 4){Ъх + у^ - 10); 2) 4(3w -2п + 3)(3т + 2п- 2). 734. 4) {2а - Ъ){2а - 1); 5) {Зх - 7у){3х - у); 6) 3(2т - п){6т - 7п). 735. 4) {х + 3)(х - 2); 5) (с + 3d){c + 5d); 6) {Зх - - 8у){3х - 2у). 736. 1) -40; 2) 74; 3) 84; 4) 632. 737. 1) 54; 2) 48; 3) 1746. 739. 1) {х - 1)(л: + 1)(х - 2){х + 2); 2) {х:^ + х + 1)(л-^ - х + 1); 3) (2х^ - - 4х + 1)(2х^ + 4х + 1). Указание. 4х^ - 12х^ + 1 = (4х^ + 4х^ + 1) - 16х^; 4) (х^ + X + 1)(х^ - х^ + 1). Указание, х^ + х + 1 = (х-’’ - х^) + (х^ + х + 1); 5) (х2 - 2х + 2)(х2 + 2х + 2); 6) (х - 1)(х + 1)(х2 + 1)(х^ + 2). 740. 1) (х2 - X + 3)(х2 + X + 3); 2) (х^ - 2х - 2)(х2 + 2х - 2). 742. 14, 18, 22. 743. 13 км. 744. 2) -2; 2; -18; 18; 3) -18; 2; 4) 4. 786. а = 3. 787. 420 человек. 815. 12, 22, 32. 817. Указание. Сложите левые и правые части данных равенств. 839. Рис. 67. 840. Рис. 68. 845. 15 пчёл. 873. А | — 13 3 874. 1) (-10; -27); 2) (-14; 8). 875. (3; 5). 879. 1. 880. 3. 881. k = 0,5, Ь = 4. 882. ^ = 1 ^ = -1. 887. 1) п\ 2) к 3) ш; 3 4)р.889.У^ = -1.890.^=11.897.1)р = х-ь -н 3; 2) р = -0,5х - 1. 898. 1) у = -|х; 2) р = 2х - 4. 899. Рис. 69. 900. 1) -39; 2) -12. 901. 1) f; 2) 1,4. 902. Указание. 8 Пусть второе из этих чисел равно п, тогда первое число будет равно п — \, Рис. 69 // 1 -2 -1 ^ г Г Г Г г ► 1 2 3 4 5 ^ 263 а третье — т? + 1. Разложите на множители сумму кубов первого и третьего чисел. 904. - Ъ^. Указание. + у'^ = + Ъс^у"^ + у"^ - х^У^ = {х^ + + - х^у^. 905. Из определения модуля следует, что \х\ > х, поэтому |л:| - X > 0. Вместе с тем 2х - х'^ - 2 = -х^ + 2х - 1 - 1 = -{х - 1)^ - 1 < 0. 917. 2. 918. 6. 919. 3) (-3; 0); (3; 0); (0; -3); (0; 3); 4) (5; 0); (-5; 0); (0; -5). 934. 1) (1; 1); 2) (1; 3); (6; 2); (11; 1). 937. 3 способа. 938. 9 задач по алгебре и 2 по геометрии, или 6 задач по алгебре и 4 по геометрии, или 3 задачи по алгебре и 6 по геометрии. 939. 1) (0; 2); 2) (-1; 3); 3) (-0,5; -0,5); 4) решений нет. 940. 1) (5; -5); 2) решений нет. 941. (0; 0); (-1; 0); (1; 0); (0; -2). 942. (0; 4); (0; -4); (5; 0); (-5; 0). 943. 5 %. 944. 20 яблок. 945. 1) 6; 2) -5. 946. 269,5 км. 948. 1) 12; 2) -—. 986. -12. 987. -4. 988. а = -А, Ь = 2. .3 991. 1) б/; 2) с; 3) h-, 4) а. 994. 1) г/ = 0,5х -Ь 2; 2) ^ = 0,6х - 3. 995. х + у = 6. 998. 1 пара (3; 2). 1000. 24 ч. 1002. 1) 5; 2) 3,5. 1003. 2) {х^ - Ъу - 4){х'^ --Ъу + 4); 4) {с-Ь- 3)(с -к -ь 1). 1014. \) а = ?>, Ь = -2,5; 2) а = 4, Ь = -6. 1015. a = 2,h = 5. 1020. При а Ф 7. 1021. 1) 16; 2) -5. 1022. 1) При а Ф \4\ 2) при а = -10. 1025. 1) (-2; 2); 2) (-2; 2); (1; 1); 3) решений нет; 4) (1; -1); (3; 3). 1026. 1) (1; 1); (-3; 3); 2) (2; 1); (-2; -1); 3) (2; 0); (-2; 0); (0; 2); (0; -2). 1027. 3 кг. 1028. 60 км/ч. 1029. 3; 5; 7; 9. Указание. Обозначьте наименьшее из этих чисел 2k - 3, где k — произвольное натуральное число, большее, чем 1. 1036. 1) (6; 3); 2) (4; 2); 3) (1; 2); 4) (4; -3); 5) (-5; -7); 6) (1,2; -0,7). 1037. 1) (-5; 20); 2) (-1; 3); 3) (-2; -1); 4) (-3; 4). 1038. 1) (0; -6); 2) (8; 6); 3) (-5; -4); 4) (4; -3). 1039. 1) (1; -1); 2) (-2; 0,5); 3) (14; 2). 1040. 1) 14; 2) 0,25. 1041. 3%. 1043. 2'^” - 1 = (2'^)” - 1 = 16” - 1. Последней цифрой степени 16" является 6. Тогда последней цифрой данного выражения является 5. 1049. 1) (8; 1); 2) (1,2; 0); 3) (-1; -2); 4) (7; -1); 5) (4; -1); 6) (6; -2); 7) (2; -2); 8) (5; 6). 1050. 1) (1; 2); 2) (3; -1); 3) (4; 2); 4) (6; .5); 5) (1,5; 0,5); 6) (1; -1). 1051. 1) (-3; -4); 2) (1; -0,5); 3) 5-- --4’ 8 4) (2; -2). 1052. 1) (-0,6; -3,2); 2) (1; 3). 1053. 1) (1; 1); 2) (-3; 3). 1054.^1) (-20; -0,5); 2) (-10; 5). 1056. 1) (-5; -6); 2) (1; -6). 2) (-2; 3). 1055. 1) -у;2| 1057. а = 5,6, Ь = 0,8. 1058. ттг = 9, /г = -12. 1059. \) у = -0,2х -н 1,4; 2) у = -х+\. 1060. 1) = -0,5х -ь 3,5; 2) ^ = Зх + 3. 1062. 1) (3; -1,6); 2) ре- шений нет. 1065. -0,8. 1066. 2. 1067. 1) (3; -3); 2) (1,5; 0,75); 3) | 4; -| |; V ^ ) 4) (-5; 6); 5) (-2,4; -4). 1068. 1) (10; 5); 2) (0,5; 1,5); 3) (-8; -28). 1069. 1) (0,2; 1); 2) (1; -1). 1070. I) fi; 11; 2) (2; -2). 1071. 1) 6; 2) -2,.5. 1072. 9 задач. 1073. 2 ч. 1075. 96 деревьев. 1080. 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного. 1081. 7 четырёхместных лодок и 3 шестиместных. 264 1082. 9 кг, 7 кг. 1083. 8 га, 6 га. 1084. 9 деталей, 6 деталей. 1085. 4 ц, 5 ц. 1086. 140 р., 120 р. 1087. 15 р., 18 р. 1088. 58 км/ч, 70 км/ч. 1089. 60 км/ч, 40 км/ч. 1090. 4 км/ч, 16 км/ч. 1091. 84 км/ч, 79 км/ч. 1092. 80 л, 60 л. 1093. 28 пассажиров, 36 пассалшров. 1094. 18 км/ч, 2 км/ч. 1095. 25 км/ч, 2,5 км/ч. 1096. 5 мешков, 7 мешков. 1097. 40 рупий, 170 рупий. 1098. 42 года, 15 лет. 1099. 60 лет, 12 лет. 1100. 45 костюмов, 30 костюмов. 1101. 600 р., 900 р. 1102. 30 р., 40 р. 1103. 100 р., 40 р. 1104. 12 000 р., 9000 р. 1105. 18 000 р., 12 000 р. 1106. а = 120, Ь = 100. 1107. 12; 15. 1108. 100 кг, 200 кг. 1109. 20 кг, 30 кг. 1110. 87. 1111. 6 см, 8 см. 1112. 5 см, 7 см. 1113. 3 км/ч, 12 км/ч. 1114. 5 км/ч, 4 км/ч. 1115. 12 км/ч. 1116. 60 т. 1117. 50 км/ч, 75 км/ч, 90 км/ч, 450 км. 1118. 48 км/ч, 60 км/ч. 1119. 48 км/ч, 16 км/ч. 1120. 320 г, 480 г. 1121. 63 кг, 15 кг. 1122. 72. 1123. 39. 1124. 24 л, 40 л. 1125. 28 л, 42 л. 1126. 1) Такого числа не существует; 2) любое двузначное число, у которого цифра десятков на 2 больше цифры единиц, на 18 больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. 1127. 8 косарей. 1133. 2) - 2h'^ + 3)(// + 2Л‘^ - - 3); 4) (Зх - 7){3х + 5). 1134. = с + 2Ь. 1135. 7,5. 1137. 8. 1154. Не су- ществуют. Указание. Найдите сумму данных многочленов. 1156. 1 2) 3) -0,2; 4) 5; 5) 3; 6) ^. 1157. 1) -0,4; 2) 4; 3) решений нет; 4) корнем уравнения является любое число. 1159. 3. 1160. -4. 1162. 1) 20; 2) 5,93. 1163. 1) 2,7; 2) 0,4; 3) 23; 4) 51,2. 1166. -4. 1167. |. 1169. 1) 16. Указание. 3 Представьте второе слагаемое в виде суммы двух слагаемых: 1,66 • 4,68 = = 2 • 1,66 ■ 2,34; 2) 0,16.1170. При а = с или h = d. 1173. 1) 0,5; 2) 0.1176. 1)1; 2) 4. 1186. 1) 2; 2) 0,5; 3) 1192. 1) -]•; 2) |. 1198. 1) 9; 2) 0,064; 3) 1. 13 3 5 1204. Указание. п{п + 2){п + 4)(гг -I- 6) -I- 16 = {п^ -I- 6/г) (гг^ -н бгг -н 8) -ь 16 = = {rfi + Ьп + А - 4) (?7^ -I- 6/2 -I- 4 -f- 4) -н 16 = {п^ -I- 6/2 -f 4)- 4^ -1- 16 = {п^ + + 6/2 + 4)^. 1205. Указание. Пусть п — данное натуральное число. Надо рассмотреть два случа51: п = Ък + \ или /г = 3^ + 2, где k — целое неотрицательное число. 1206. Указание. Рассмотрите четыре возможных случая: \) п = Ък+ \\ 2) п = Ък + 2; 3) п = Ък + 4) п = Ък + 4, где к — целое неотри- цательное число. 1207. Можно. Указание. Рассмотрите случаи, когда п = Ък, п = Ък + \ W п = Ък + 2, где к — целое неотрицательное число. 1«- 7’ 37 1215. - — 7 1222. 1) (-2; 1); 2) (3; -2); 3) (1; -1); 4) (4; 2). 1223. 2. 1224. -1. 1225. 15 м/с, 10 м/с. 1226. 64 %. 1227. 120 г, 60 г. 1228. 8 л, 2 л. 1229. 30 га, 40 га. 1230. 20 га, 25 га. 1231. 12 кг. 1232. 29. 1233. 91. Указание. Если данное число равно X, то полученное число равно Юл: -I- 1000 -I- 1 = 10х -ь + 1001 или 21х. 1234. 16; 12. 265 Ответы к заданиям «Проверьте себя> в тестовой Форме Задание № 1 1 2 3 4 5 6 й. ... 7 8 9 10 11 12 в А Б В В А Б В Б В Б Г Задание № 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Г В г Г В В Б В Б А Г А Задание № 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Г Г А Б Б В А Б В А А В Задание № 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В Б В В В Б Б Г В Б А Г Задание № 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В Г г Б Б Б А В А В г Б 266 Задание № 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 А Г Б Б В Б А А В В Б А Задание № 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В Г А Б В Г А Б В А Б Б 267 Предметный указатель Аргумент 138 Возведение в степень 36 -----произведения 45 -----степени 44 Вынесение общего множителя 80 Выражение алгебраическое 5 — с переменными 5 — целое 6 — числовое 5 Вычитание многочленов 62 График линейного уравнения с двумя переменными 188 — линейной функции 164 — прямой пропорциональности 165 — уравнения с двумя переменными 181 — функции 154 Двучлен 58 Значение выражения 5 ---с переменной 5 --- числового 5 — функции 138 Квадрат неполный разности двух выражений 117 ---суммы двух выражений 117 — разности двух выражений 102 — суммы двух выражений 102 — числа 36 Корень уравнения 13, 245 Коэффициент одночлена 52 Куб числа 36 Метод группировки 87 — подстановки 204 — сложения 209 Многочлен 58 Область значений функции 138 — определения функции 138 Одночлен 51 — стандартного вида 52 Основание степени 35 Основное свойство степени 43 Переменная 5 — зависимая 135 — независимая 135 Подобные члены 58 Показатель степени 35 Приведение подобных членов 58 Произведение разности и суммы двух выражений 92 — степеней 43 Разложение на множители многочлена 80 -----разности квадратов 97 -----разности кубов 117 -----суммы кубов 117 Разность квадратов 97 — кубов 117 — многочленов 62 Решение системы уравнений 196 — уравнения 13 ---с двумя переменными 179 Свойства степени 43 — уравнений 180 Сложение многочленов 61 Стандартный вид одночлена 52 Степень 35 — одночлена 53 268 Тождественно равные выражения 31 Тождество 31 Трёхчлен 58 Умножение многочлена на многочлен 75 — одночлена на многочлен 69 Уравнение линейное с двумя переменными 186 -----одной переменной 13 — с двумя переменными 179 Формула квадрата разности 102 --суммы 102 — разности квадратов 97 кубов 117 — сокращённого умножения 92 — суммы кубов 117 Функция 137 — линейная 163 — прямая пропорциональность 165 Член многочлена 58 Содержание От авторов.................................................. 3 § 1, Введение в алгебру................................ 5 Книга о восстановлении и противопоставлении ........ 11 Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной § 2. Линейное уравнение с одной переменной............. 13 § 3. Решение задач с помощью уравнений................. 19 Задание «Проверьте себя» № 1 в тестовой форме....... 27 Итоги главы 1 ...................................... 28 Глава 2. Целые выражения § 4. Тождественно равные выражения. Тождества.......... 30 § 5. Степень с натуральным показателем ................ 35 § 6. Свойства степени с натуральным показателем........ 43 § 7. Одночлены......................................... 51 § 8. Многочлены........................................ 57 § 9. Сложение и вычитание многочленов ................. 61 Задание «Проверьте себя» № 2 в тестовой форме....... 68 § 10. Умножение одночлена на многочлен.................. 69 §11. Умножение многочлена на многочлен ................. 74 § 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки................ 80 § 13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки................................... 87 Задание «Проверьте себя» № 3 в тестовой форме....... 91 § 14. Произведение разности и суммы двух выражений ..... 92 § 15. Разность квадратов двух выражений ................ 97 § 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений ..102 § 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений.........................109 Задание «Проверьте себя» № 4 в тестовой форме.......116 § 18. Сумма и разность кубов двух выражений ............117 § 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители ............................122 Задание «Проверьте себя» № 5 в тестовой форме ......129 Язык, понятный всем.................................130 Итоги главы 2 ......................................132 270 Глава 3. Функции § 20. Связи между величинами. Функция ..................135 § 21. Способы задания функции ..........................147 § 22. График функции ...................................153 § 23. Линейная функция, её график и свойства............163 Задание «Проверьте себя»- № 6 в тестовой форме......175 Итоги главы 3 ......................................177 Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными § 24. Уравнения с двумя переменными ....................178 § 25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график .... 186 Как строили мост между геометрией и алгеброй........195 § 26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными ......................195 § 27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки ................................203 § 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения .... 207 § 29. Решение задач с помощью систем линейных уравнений.214 Задание «Проверьте себя» № 7 в тестовой форме.......223 Итоги главы 4 ......................................225 Упражнения для повторения курса 7 класса ...........227 Сведения из курса математики 5-6 классов............237 Проектная работа....................................250 Дружим с компьютером................................254 Ответы и указания...................................259 Ответы к заданиям «Проверьте себя» в тестовой форме ... 266 Предметный указатель................................268 Учебное шдшше Мерзляк Аркадий Григорьевич Полонский Виталий Борисович Якир Михаил Семёнович Алгебра 7 класс Учебник для учащихся общеобразовательных организаций Редактор Н.В. Самсонова Художественный редактор Е.В. Чайко Макет, внешнее оформление Е.В. Чайко Рисунки Н.К. Вааониной Компьютерная вёрстка О.В. Поповой Гехнические редакторы Е.А. Урвачева, Л.В. Коновалова Корректоры Л.С. Цибулина, О.Ч. Кохановская Подписано в печать 15.09Л4. Формат 70x90/16 Гарнитура NewBaskervilleC. Печать офсетная Бумага офсетная № 1. Печ. л. 17,0 Тираж 5000 экз. Заказ В-886. ООО Издательский центр «Вентана-Граф» 127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 1, стр. 3 Тел./факс: (499) 641-55-29, (495) 234-07-53 E-mail; [email protected], https://vmw.vgf.ru Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета в типографии филиала ОАО «ТАТМЕДИЛ» «ПИК „Идел-Пресс" 420066, г. Казань, ул. Декабристов, 2 E-mail: [email protected] Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99 Десятки Единицы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 График линейной функции у = kx + ШГ Шт1 ш X k Ф о, b Ф о у X кфО, Ь = Q У к ^ = 0, 0 х^ Ьф{) :5«?*Ж # Mi т- т