Учебник Алгебра 11 класс Нелин Лазарев

о и число R должно быть неотрицательным, то из равенства (6) получаем: R = yfr (арифметическое значение), а из равенства (7) имеем: a = ^^^,k&Z. (8) П Таким образом, y[z = t = R (cos а +1 sin а) = Vr (cos + i sin keZ. (9) \ n n I Учитывая, что функции cos x и sin x являются периодическими с наименьшим положительным периодом 2п, делаем вывод, что значения yfz, которые дает формула (9), могут повторяться только в том случае, когда значения а (см. формулу 8) будут отличаться на число, кратное 2я. Выясним, при каких значениях Аг, и ftj это может быть. Для этого разность Ф + 2яй, ш + 2пко 2n(k,-ko) _ „ „ а,-а, =--------------=-------—— должна быть кратной 2я, а разность п п п k^ - Afj должна, в свою очередь, делиться на л. Отсюда следует, что при к= о, 1, 2, ..., л-1 формула (9) дает разные значения При к = п получаем те же значения корня, что и при к = 0, при fe = л + 1 — те же значения корня, что и при Л = 1, и т. д. Следовательно, по формуле (9) мы всегда получим точно л различных значений Vz (при z * 0). То есть >/г = (cos ф + i sin ф) = \/г (cos + i sin keZ, (10) (Всего получаем л различных значений при А = 0, 1, 2, ..., л - 1.) Итак, при извлечении корня л-й степени из комплексного числа из модуля извлекается арифметический корень л-й степени, а к аргументу прибавляется 2пк (где к е Z) и результат делится на показатель корня. О 366 Раздел 4 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Пример Найдите все значения ifi. ► Запишем подкоренное число в тригонометрической форме 1 = 1 (cos О + i sin 0). Тогда по формуле (10): 1 = VI = ^1 (cos о + /■ sin 0) = Vl |cos + i sin j = i |cos ^ i sin ^j. Всего получаем 4 различных значения: При Л = о ^0 = 1 ® ' sin 0) = 1(1 + t‘0)=l. При k = 1 ^, = 1 |cos Y + i sin ^I = 1 (0 +1 • 1) = t. При А = 2 iz = 1 (^^ns n + i sin n) = 1 (-1 + i • 0) = -1. При A = 3’ is = i (*^ns ^ + i sin ^j = 1 (0 +1 • (-1)) = -i. Следовательно, Vl имеет четыре различных значения: 1; -1; i; -L <3 Замечание. Если записать формулу (10) следующим образом: ^ = Vr ^cos|- + — • а| + / sin |- + — • а||, а 6 Z (А = о, 1, 2, п - 1), то, учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что все точки, изображающие числа <*, лежат на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы 2п соседних точек отличаются на —> поэтому указанные точки делят окружность на п равных частей. То есть эти точки являются вершинами правильного л-угольника, вписанного в эту окружность. Например, точки, изображающие все значения ill (то есть ±1 и ±i), являются вершинами правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 162). Вопросы для контроля 1. Пользуясь геометрическим изображением комплексного числа, поясните смысл понятий модуля и аргумента комплексного числа. 2. Запишите формулы, по которым для комплексного числа z = а + Ы можно найти его модуль и аргумент. Приведите примеры. 3. Запишите общий вид комплексного числа в тригонометрической форме. Приведите примеры записи комплексных чисел в тригонометрической форме. 4. Объясните, в каком случае будут равными комплексные числа 2, = г, (cos ф, + i sin ф,) я 22 = (cos фг + i sin Ф2). ’ Как было обосновано выше, если подставлять другие целые значения А, то найденные значения будут повторяться: например, при А = 4 получаем: t = 1 (cos 2л + i sin 2я) = 1 (1 i • 0) = 1 = § 20. Комплексные числа 367 5. Объясните и обоснуйте геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел. Изобразите множество точек г комплексной плоскости, для которых 12 - j I = 1. 6. Объясните, как выполняются действия умножения, деления и возведения в степень над комплексными числами в тригонометрической форме. Запишите и докажите соответствующие формулы. 7. Запишите и докажите формулу для извлечения корня п-й степени из комплексного числа в тригонометрической форме. Упражнения 1. Изобразите на координатной плоскости заданное комплексное число. Пользуясь соответствующим изображением, найдите его модуль и аргумент и запишите заданное число в тригонометрической форме: 1) 3i; 2) 4; 3) -5i; 4) -7. 2. Представьте в тригонометрической форме комплексное число: 1) ^/з + /; 2) 2-I-2j; 3) 3i; 4)-3 - 3i; 5)-4; 6) -l-^Уз^; 7) -2 + 2y/3i. 3. Представьте в алгебраической форме число, заданное в тригонометрической форме: 1) 4 |cos - + / sin -); 6 6 ov e I 2я . . . 2it 2) 6(cos — + tsin — 3 3 3) 2(cos sin 5n , . 5л\ 4Г 4. Изобразите на комплексной плоскости множество точек г, удовлетворяющих условию: 1)|2-2-г| = 2; 2)|2 + i|>3; 3) |г-f 1 - i| < 2; 4) | 2 - 3 | = 4. 5. Найдите произведение и частное комплексных чисел 2, и г^, заданных в тригонометрической форме (результат запишите в тригонометрической и алгебраической формах): 1) 2, =12 |cos^ + i sin ^j, Zg = 4 |cos ^ + i sin ^|; 2) 2, = 6 |cos^ + / sin ^j, Zj =3|cos|-j|-n' sin 6. Вычислите выражение, предварительно представив числитель и знаменатель в тригонометрической форме: 1) >Уз +1 2) y/s + yfsi 3) 1 + i -1 + i 1-/ ■ i-Vi ’ ' 7. Возведите комплексное число в степень, предварительно представив основание степени в тригонометрической форме: 1) (1 + 0'®; 2) (-^/3 + iГ: 3) Ш + if; 4) (1 - 8. Найдите все значения корня п-й степени из комплексного числа: 1) т-. 2) V-l + i>/3; 3) 4) 9. Найдите все комплексные корни уравнения: 1) 2» - 27 = 0; 2) 2^ -н 81 = 0; 3) 2® + 64 = 0; 4) 2^ - 625 = 0. 368 Раздел 5 СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Раздел СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ. НЕРАВЕНСТВАХ И ИХ СИСТЕМАХ § 21. УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ Уравнения и неравенства Таблица 38 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Обллстью допустимых значений (или областью определения) уравнения (или неравенства) называется общая область определения для функций /(х) и g (х), стоящих в левой и правой частях уравнения (или неравенства). Для уравнения yJx + 2 = х ОДЗ: X -Ь 2 > О, то есть х > -2, так как область определения функции /(x) = Vx + 2 определяется условием X -I- 2 > О, а область определения функции g (х) = х — множество всех действительных чисел. 2. Уравнения-следствия Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого. Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия. При этом возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения. л/х-1-2 = х. ^Возведем обе части уравнения в квадрат: (Vx + 2f = х^, X Ч- 2 = x^ х^ - X - 2 = О, X, = 2, Xg = -1. Проверка, х = 2 — корень; X = -1 — посторонний корень. Ответ: 2. <1 §21. Уравнения, неравенава и их системы 369 Продолж. табл. 38 3. Равносильные уравнения и неравенства Определение Простейшие теоремы Два уравнения (неравенства) на-.эываются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения. То есть каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. (Схема решения уравнений с помощью равносильных преобразований приведена в пунктах 4 и 6 этой таблицы.) Если из одной части уравнения (неравенства) перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение (неравенство), равносильное заданному (на любом множестве). Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получим уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного уравнения). 4. Схема поиска плана решения уравнений © исходное уравнение; ^ — уравнение, полученное в результате преобразования исходного; i, t — символическое изображение направления выполненных преобразований Применение свойств функций к решению уравнений рассмотрено также в § 11. 370 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Продолж. табл. 38 5. Замена переменных Ориентир Пример Если в уравиеине (иеравсыство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). sin^ X - 2 sin X - 3 = о. ► Замена: sin х = t, <2 - 2t - 3 = о, = 3. = 1. При f = 3 имеем sin д: = 3 — корней нет, поскольку |3|> 1, 2. При f = -1 имеем sin X = -1, тогда X = — -I- 2nk, k в Z. 2 Ответ: — + 2nk, А е Z. <] 2 б. Схема поиска плана решения неравенств — исходное неравенство; — неравенство, полученное в результате преобразования исходного; i, t — символическое изображение выполненных преобразований (с указанием направления их выполнения) §21. Уравнения, неравенства и их сиаемы 371 Продолж. табл. 38 7. Метод интервалов (решение неравенств вида /(х) ^ 0) План Пример 1. Найти ОДЗ. 2. Найти нули фуикцин fix) = о. 3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак фуикцин f (х) на каждом цромежутке, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства. —1 Решите неравенство ------х>0. (дс + 3)^ 1*^ Пусть f(x)= ^ (х + ЗГ 1. ОДЗ: (х + 3)^ Ф о, то есть х Ф -3. 2. Нули функции: f (х) = 0. х^-1 = 0, - 1 = 0. (тг + ЗГ ДС, = -1, ^2 = 1 (входят в ОДЗ). 3. -3-11 ^ Ответ;(-oo;-3)U(-3;-l]U[l;+oo). 8. Теоремы о равносильности неравенств 2. Бели обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного). __________________ 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства).______________ 372 Раздел 5. СИанМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Таблица 39 Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля 1. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля 2. Использование геометрического смысла модуля (при а > 0) -а о а t 1. \ f {х) \ = а f {х) а или f{x) = -а. 2- = |g(-«)l « M-f) ^ g(x) или fix) = -gix). 3. I / (л:) 1 > a ^ (x) < -a или f(x) > a. \fix)>-a. ' (X) < a. \g{x)>0. 4. /(x)| fix) = g{x) или f{x) = -g{x). §21. Уравнения, неравенства и их сиаемы 373 Продолж. табл. 39 Обобщения 6. I /(ж) I > g (■*:) <^f(x)< -g (д:) или f(x)>g (х). |/W|-g(л:)-g (х), f(x) li > О. I It I = —U <=> ц < О. I It I = 1 W I it^ = и*. I It I > I и I <=> ц* > и*. Тогда I ц I - I о 1 > О <=> ц® - о* > О; знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности их квадратов. \и>0, \v>0. fit <0, [о<0. |u| + |u| = |it + i?|»iti)>0. |u| + |u| = |it — w|«uy<0. |x-al + |x-bl = b — a«a, где a Применение свойств функций к решению уравнений Таблица 40 Ориентир Пример 1. Конечная ОДЗ Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа .значений, то для решения достаточно проверить все эти значения. 2'^ +3'‘ =4^''^. ► ОДЗ ■ l2-2x>0. Тогда х>1, х<1. Итак, ОДЗ: х = 1. Проверка, х = 1 — корень (2^ + 3>=4‘-'^, 4 = 4). Других корней нет, поскольку в ОДЗ входит только одно число. Ответ: 1. <] 374 Раздел 5, СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Продолж. табл. 40 2. Оценка значений левой и правой частей уравнения nx) = g{x) fix) > а g(x)< а <=> fix)^a, g{x)-a. Если требуется решить уравнение вида / (х) = g{x) и выяснилось, что f (х) > а, g (х) < а, то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда fix) и g (х) одновременно будут равны а. 2Х* " = cos —. 2 ► Оценим значения левой и правой частей данного уравнения: /(х) = 2^* >1 (поскольку > 0); если ^(x) = cos^, то -1 < ^(х) < 1. Итак, fix) > 1, ^(х) < 1. Тогда данное уравнение равносильно си- 2*'=1, стеме cos — = 1. 2 Из первого уравнения получаем х^ = о, то есть X = о, что удовлетворяет и второму уравнению. Ответ.'. 0. О /1 (J) = о. fn (X) о. Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. \lx-2 -I-1х^ -2хI-I-(х^ -4)^ = 0. ► /,(х) = 7^>0, hix) = = I х^ - 2х I 5= о, /з (X) = (х" - 4)2 ^ о. Итак, заданное уравнение равно- Vx-2 = 0, I х^ - 2х I = о, (х=*-4)=*=0. Из первого уравнения получаем X = 2, что удовлетворяет всей системе. Ответ: 2. <1 сильно системе 3. Использование монотонности функций Схема решения уравнения 1. Подбираем один или несколько корней уравнения. 2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку значений левой и правой частей уравнения). § 21. Уравнения, неравенава и их системы 375 Продолж. табл. 40 Теоремы о корнях уравнения У‘ у = а а V 1. Если в уравнении f {х) - а функция f (х) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке. Пример Уравнение 2^ -1- 3^ = 5 имеет единственный корень д: = 1 (2* -1- 3* = 5, то есть 5 = 5), поскольку функция f (х) = 2"^ + 3^ возрастает (на всей области определения R) как сумма двух возрастающих функций. / 0 а X 0 Р * У‘ а y = g(x) ч \V 7 2. Если в уравнении f(x) = g (х) функция f (х) возрастает на некотором промежутке, а функция g (х) убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке. Пример Уравнение 5"' = 27 — х имеет единственный корень X = 2 (5^ = 27 - 2, то есть 25 = 25), поскольку /(х) = 5^ возрастает, а g (х) = 27 - X убывает (при всех х е R). L4 и. / ° а X, fi X 4. «Ищи квадратный трехчлен» Ориентир Пример Попытайтесь рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции). 4*-(7-х)-2"+ 12-4х = 0. ► Запишем 4* = 2^^ и введем замену 2^ = 1. Получаем (2-(7-x)*f-H 12-4х = 0. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно t. Его дискриминант D = (7 - х)2 - 4 (12 - 4х) = х^ -1- 2х + 1 = (х + 1)2. Тогда 2 — ~™ есть <, = 4, = 3 — х. Обратная замена дает 2"' = 4 (отсюда х = 2) или 2^^ = 3 - X. Последнее уравнение имеет единственный корень X = 1, так как /(х) = 2^ возрастает, а ^ (х) = 3 — X убывает (при всех х е R). Ответ: 1; 2. <1 376 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Системы уравнений и неравенств Таблица 41 1. Понятие сиаемы уравнений и неравенств Понятия системы и ее решений Примеры Если ставится задача найти все общие решения двух (или больше) уравнений (неравенств) с одной или несколькими переменными, то говорят, что требуется решить систему уравнений (неравенств). Записывают систему уравнений (неравенств), объединяя их фигурной скобкой. Решением системы на;1ываетсп такое значение не|)смеш10н или такой упорядоченный набор aiiaiiemiii переменных (если перемеш1ы.х исскатько), которые удовлетворяют всем уравнениям (неравенствам) системы. Решить систему уравнений (неравенств ) — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Если система не имеет решения, то ее называют несовместной. — система двух уравне- х-у = 4, 2х-ьу = 11 ний с двумя переменными. Пара чисел (5; 1), то есть х = 5, — решение системы. (/ = 1 x^-y-i-z = 0, хухг-ь yz = 19, — система трех x+y-z=2 уравнений с тремя переменными. \х = 1, Тройка (1; 4; 3), то есть у = 4, — 2 = 3 одно из решений системы. 2. Системы-следствия Определение Пример Если казкдое решение первой системы уравнений является решением второй системы, то вторая система на.зывается следствием первой. При использовании систем-следствий возможно появление посторонних решений, потому при использовании систем-следствий проверка подстановкой решения в начальную систему является составной частью решения системы. Решите систему: х-1 х^ = у-ь1. Решение. Из первого уравнения системы у = X - 1. Подставляем во второе уравнение системы и получаем х^ = X, JC, = О, ^2 = 1. Тогда Ух = -1. г/2 = О- Проверка. Пара(0; -1)удовлетворяет обоим уравнениям системы и является решением системы. Пара (1; 0) не удовлетворяет первому уравнению системы и не является решением системы. Ответ: (0; - 1). §21. Уравнения, неравенава и их системы 377 Продолж. табл. 41 3. Равносильность систем уравнений и неравенств Определения Две системы уравнении (или неравенств) называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые решения (то есть каждое решение первой системы на этом множестве является решением второй и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой). Если две системы не имеют решения на данном множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве. Областью допустимых значений (ОДЗ) системы называется общая область определения всех функций, входящих в запись этой системы. Все равносильные преобразования систем выполняются на ОДЗ исходной системы. Простейшие свойства равносильных систем 1. Если изменить порядок записи уравнений (или неравенств) заданной системы, то получим систему, равносильную заданной. 2. Если одно из уравнений (или неравенств) системы заменить на равносильное ему уравнение (неравенство), то получим систему, равносильную заданной. 3. Если в системе уравнений из одного уравнения выразить одну переменную через другие и полученное выражение подставить вместо этой переменной во все другие уравнения системы, то получим систему, равносильную заданной. 4. Если какое-то уравнение системы заменить суммой этого уравнения, умноженное на число а Ф О и какого-то другого уравнения, умноженного на число Р О, то получим систему, равносильную заданной. 378 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Продолж. табл. 41 4. Основные способы решения систем уравнений Способ подстановки Выражаем из одного уравнения системы одну переменную через другую (или через другие) и подставляем полученное выражение вместо соответствующей переменной во все другие уравнения системы (затем решаем полученное уравнение или систему и подставляем результат в выражение для первой переменной). Пример. Решить систему 2х-у = 3, х + у = 3. Решение. Из первого уравнения системы у = 2х - 3. Подставляем во второе уравнение системы и получаем: х + 2х - 3 = 3. Отсюда х = 2. Тогда у = 2х - 3 = I. Ответ: (2; 1). Способ сложения Если первое уравнение системы .заменить суммой первого уравнения, умноженного на число а ^ О. и второго уравнения, умноженного на число Р 7^ О (а все остальные уравнения оставить без изменения), то получи.м систему, равносильную .заданной. „ „ f5x-3i/ = 9, -2 Пример. Решить систему < [3д:-ь2«/ = 13. -3 Решение. Умножим обе части первого уравнения системы на 2, а второго — на 3 (чтобы получить как коэффициенты при переменной у противоположные числа) и почленно сложим полученные уравнения. Из последнего полученного уравнения находим значение х, подставляем результат в любое уравнение системы и находим значение у. 110х-6«/ = 18, \9х + 6у = 39. 19х = 57, х = 3. Тогда З'З + 2у = 13, 2у = 4, у = 2. Ответ: (3; 2). § 21. Уравнения, неравенства и их системы 379 Продолж. табл. 41 Графическое решение сиаем уравнений с двумя переменными Выполняем равносильные преобра.зования заданной системы так, чтобы удобно было строить графики всех уравнений, входящих в систему. .Затем строим соответствующие графики и находим координаты точек пересечения построенных линий — эти координаты и являются решениями системы. Примеры 2х-у = 3, х + у = 3. у = 2х-3, у = 3-х. Графиком КЕ1ЖДОГО из уравнений системы является прямая. Для построения прямой достаточно построить две ее точки. Например, для Решить графически систему Решение. Заданная система равносильна системе у = 2х-3: у = 3 - х: X 0 1 у -3 -1 X 0 1 У 3 2 Графики пересекаются в единственной точке М (2; 1). Итак, пара чисел (2; 1) — единственное решение заданной системы. Ответ: (2; 1). 2. Решить графически систему х^ = 2-у\ х^-у = 0. Решение. Заданная система равносильна си- и^ + «/" = 2. стеме у = х-’ х^ + у^ = 2 График первого уравнения — окружность радиуса Л с центром в начале координат, а график второго — кубическая парабола у = х®. Эти два графика пересекаются в двух точках (-1; -i)' с координатами (-1; -1) и (1; 1). Ответ: (-1; -1), (1; 1) — решение системы. 380 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ_____ Объяснение и обоснование 1. Общие методы решения уравнений и неравенств детально рассмотрены в учебнике 10 класса (см. в разделе 1 пункты: ♦Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений», ♦Применение свойств функций к решению уравнений», ♦Неравенства: равносильные преобразования и общий метод интервалов», ♦Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля», ♦ Уравнения и неравенства с параметрами», ♦Многочлены. Корни многочлена. Формулы Виета. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами»). Там же были рассмотрены и соответствующие ориентиры для использования выделенных общих методов, которые приведены в таблице 38. (Напомним, что некоторые общие методы, связанные с применением свойств функций с использованием производной к решению уравнений, также рассмотрены в этом учебнике на с. 158, таблица 17). Рассмотрение всех уравнений и неравенств из каждой темы проводилось с использованием общих методов решения. К ним при необходимости присоединялись специальные приемы решения для некоторых типов уравнений или неравенств (см., например, схему решения тригонометрических уравнений на с. 402 или схему решения показательных уравнений на с. 405). Аналогично можно организовать и поиск плана решения уравнения или неравенства. 1. Сначала выбрать общий способ решения уравнения или неравенства и вспомнить ориентиры для его реализации (см. пункты 4 и 6 таблицы 38). Например, если для решения уравнения вы решили использовать уравнения-следствия, то в конце обязательно придется выполнить проверку полученных корней (и, оформляя решение, записать либо саму проверку, либо предложение типа ♦Проверка показывает, что х = ... — корень, а X = ... — посторонний корень», которое свидетельствует о том, что проверку вы выполнили устно). 2. Для выполнения преобразований заданного уравнения (неравенства) использовать соответствующие формулы (в зависимости от вида уравнения или неравенства) или свойства соответствующих функций либо специальные ориентиры или теоремы, которые рассматривались при решении уравнений и неравенств определенного вида (целые или дробные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические). Напомним, что из определения уравнения-следствия (если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого) получаем ориентир: для получения уравнения-следствия достаточно рассмотреть .1а.танноо уравнение как нрнви.тьнос числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность обос'новать), что каждое следующее уравнение будет правильным числовым равенством. Действительно, если придерживаться этого ориентира, то, рассмотрев заданное уравнение как правильное числовое равенство, мы фактически §21. Уравнения, неравенава и их системы 381 подставили в первое уравнение вместо переменной его корень. Поскольку второе уравнение тоже является правильным числовым равенством, то рассмотренный корень первого уравнения является корнем и второго уравнения, а это и означает, что второе уравнение является следствием первого. Напомним, что в результате использования уравнений-следствий возможно появление посторонних корней и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения (см. решение уравнения yJx + 2 = х с помощью уравнений-следствий в пункте 2 таблицы 38). Аналогичный ориентир в курсе 10 класса был получен и для равносильных преобразований уравнений и неравенств. Напомним его: для выполнения равносильных преобразований уравнений или неравенств (см. определение в пункте 3 таблицы 38) достаточно: 1. Учесть ОДЗ заданного уравнения (неравенства). 2. Следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильного равенства (неравенства). Рассуждая так же, как и в случае ориентира для уравнений-следствий, получаем следующее. Если придерживаться приведенного ориентира, то на ОДЗ каждое решение первого уравнения (неравенства) будет решением второго и, наоборот, каждое решение второго уравнения (неравенства) будет решением первого. То есть на ОДЗ рассмотренные уравнения (неравенства) будут равносильны. Примеры применения этого ориентира к решению уравнений и неравенств приведены в справочных таблицах 8 и 9. Иногда удобно выполнять равносильные преобразования не на всей ОДЗ, а только на той ее части, где находятся корни заданного уравнения (решения неравенства ). Например, пусть для решения уравнения •Jx + 2=x (1) мы выбрали использование равносильных преобразований. ОДЗ уравнения (1): х -Ь 2 > 0, то есть х > - 2. На этой ОДЗ правая часть уравнения (1) может быть и положительной, и отрицательной. Поэтому при возведении обеих частей уравнения в квадрат мы можем гарантировать только правильность прямых преобразований (если числа равны, то и квадраты их обязательно будут равны), а обратных — нет (если о* = Ь^, то не обязательно выполняется равенство а = Ь, например 2^ = (- 2)2 , но 2 - 2). Попробуем рассмотреть не всю ОДЗ, а только ту ее часть, где находятся корни заданного уравнения. Для всех корней уравнения (1) должно выполняться условие х > 0 (*) (поскольку при подстановке корня в уравнение (1) оно превращается в правильное равенство, в котором левая часть неотрицательна, следовательно, для всех корней и правая часть будет неотрицательной). 382 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ При условии (*) обе части уравнения (1) неотрицательны, и при возведении в квадрат мы получаем равносильное уравнение (поскольку для неотрицательных значений аргумента функция у = является возрастающей и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, поэтому при а > О, Ь > О, если а^ = Ь^, то обязательно выполняется равенство а = Ь): X + 2 = (2) Заметим, что для всех корней уравнения (2) его правая часть х* > О, тогда и левая часть будет неотрицательной: х 2 > 0. Но это означает, что для всех корней уравнения (2) ОДЗ уравнения (1) выполняется автоматически и его можно не записывать в решение (но нужно уметь объяснять, почему мы не записали ОДЗ в решение), а записывать и учитывать только ограничение (*). Тогда х^-х-2 = 0, х, = 2 — корень (удовлетворяет условию (*)) х^ = - 1 — посторонний корень (не удовлетворяет условию (*)). Ответ'. 2. Замечание 1. Приведенное решение можно записать также с помощью знака равносильности (<=>) так: х^О, ( х>0. yJx-t-2 = X о I ^ ^ X + 2 = X х^ -х-2 = 0 о X, =-1 или Xj =2 ох = 2. Замечание 2. В приведенных выше рассуждениях по решению уравнения (1) мы фактически обосновали теорему (приведенную и обоснованную в учебнике 10 класса): которую можно использовать при решении иррациональных уравнений вида /f(x) =g(x). 2. Системы уравнений и неравенств. С понятием системы уравнений и неравенств, их решения и с основными методами решений систем уравнений, поданными в таблице 41, вы знакомы из курса алгебры 7-9 классов (и использовали их при решении систем в 10-11 классах). Напомним, что полностью аналогично к соответствующим понятиям, связанным с уравнениями или неравенствами, вводят понятие области допустимых значений системы уравнений или неравенств (см. пункт 3 табл. 41), понятие систем-следствий для уравнений (пункт 2 табл. 41) и равносильных систем уравнений и неравенств (пункт 3 табл. 41). Все приведенные определения относятся не только к системам уравнений или системам неравенств, но и к смешанным системам, в которые входят и уравнения, и неравенства. Как и для уравнений, из определения системы-следствия для системы уравнений: если каждое решение первой системы уравнений является решением второй системы, то вторая система называется следствием первой, получаем такой ориентир: §21. Уравнения, неравенства и их системы 383 для получения системы-следствия достаточно рассмотреть заданную систему уравнений как систему правильных числовых равенств и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждую следующую систему уравнений мы можем получить как систему правильных числовых равенств. Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждое решение первой системы превращает все уравнения системы в правильные числовые равенства. Но тогда вторая система тоже будет содержать все правильные числовые равенства, то есть рассматриваемые значения переменной (или упорядоченные наборы нескольких переменных) являются решением и второй системы, а это и означает, что вторая система является следствием первой. Также следует учитывать, что при использовании систем-следствий возможно появление посторонних решений, и потому проверка подстановкой решений в начальную систему является составляющей частью решения (см. пример в пункте 2 табл. 41). Аналогично обосновывается, что при равносильных преобразованиях систем уравнений или неравенств необходимо учесть ОДЗ заданной системы и гарантировать для всех уравнений системы сохранение правильных равенств на каждом шаге решения (а для систем неравенств — сохранения правильных неравенств) не только при прямых преобразованиях, но и при обратных. Этот ориентир позволяет обосновать простейшие свойства равносильных систем уравнений и неравенств, которые приведены в пункте 3 таблицы 41 (проведите такое обоснование самостоятельно). Для решения некоторых систем иногда удается использовать свойства функций (см. табл. 40 и пример 3 на с. 167-168). Следует также помнить, что для решения некоторых уравнений, неравенств и их систем бывает удобно ввести замену переменных (см., например, решение уравнения в пункте 5 таблицы 38). Иногда при решении уравнений и неравенств приходится переходить не только к равносильным системам уравнений или неравенств (см., например, формулу (2)), но и к совокупности уравнений или неравенств (или их систем). Решить совокупность уравнений (неравенств или их систем) — значит найти такие значения переменной (или такие упорядоченные наборы значений переменных, если переменных несколько), каждое из которых является решением хотя бы одного из уравнений (неравенств или их систем), которые входят в совокупность, и при этом остальные уравнения (неравенства или системы) совокупности определены, или доказать, что таких наборов чисел не существует. Из этого определения следует, что областью допустимых значений (ОДЗ) совокупности считается общая область определения для всех функций, которые входят в запись совокупности. Как и для уравнений, неравенств или их систем, две совокупности уравнений (неравенств или их систем) называют равносильными на некотором 384 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ множестве, если они на этом множестве имеют одинаковые решения. Иначе говоря, каждое решение первой совокупности на этом множестве является решением второй и, наоборот, каждое решение второй является решением первой. Если две совокупности не имеют решений на данном множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве. Совокупность уравнений, неравенств или их систем можно записывать, используя союз «или» (именно такая запись использовалась в учебнике для 10 класса). Можно также использовать специальный знак совокупности «[*. Например, уравнение >/2х + 2 (д:^ + Здс - 4) = 0 на его ОДЗ: 2х + 2 > 0 равносильно совокупности yj2x + 2 = 0 (3) или + Зх - 4 = 0. (4) Уравнение (3) имеет корень х = -1, который входит в ОДЗ заданного уравнения (тогда уравнение (4) определено). А уравнение (4) имеет корни: X, = 1 — входит в ОДЗ заданного уравнения (тогда уравнение (3) определено) и х^ = -4 — не входит в ОДЗ заданного уравнения (тогда уравнение (3) не определено). Таким образом, решением рассмотренной совокупности (а следовательно, и корнями заданного уравнения) являются только х = -1 и X = 1. Рассмотренное решение можно записывать, используя значки равносильности, совокупности и системы. Приведем несколько возможных способов такой записи (проанализируйте каждый из этих способов оформления), но такое оформление записи решения не является обязательным. I способ >/2х + 2 (хЧ Зх - 4) = о с=. v2x + 2 =0, < х^ + Зх - 4 = о ■j2x + 2 =0, х*+Зх-4 = 0,» 2х + 2>0 х = -1, х = 1. II способ yj2x + 2 (х^ + 3х-4) = 0о х>-1. 2х + 2>0, у/2х + 2=0, <=>■ х = -1, о х = 1. х^ -ьЗх-4 = 0 X = -4 х = -1, х = 1. III способ \l2x + 2 (х“ + Зх - 4) = о <=> 2х + 2 > 0, ' J 2х + 2>0, х = -1 \yj2x + 2 = 0, х>~1. V2x + 2=0, <=> о х** +Зх-4 = 0 J 2х + 2>0, * х=1, L [хЧЗх-4 = 0 х = -4 х = -1, х = 1. §21. Уравнения, неравенава и их системы 385 3. Уравнения и неравенства с параметрами. Решение уравнений и неравенств с параметрами детально рассматривалось в курсе 10 класса. Для решения таких заданий часто приходится разбивать область допустимых значений параметра на такие промежутки, что при изменении параметра внутри выбранного промежутка получаем уравнения (или неравенства), которые можно решить одним и тем же методом (и решения через параметры записывгпотся одинаково). Напомним, что методы решения заданий с параметрами в точности такие же, как и методы решения аналогичных уравнений, неравенств или их систем без параметров. Также напомним ориентир, который мы использовали для разбивки области допустимых значений параметра на промежутки. Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно. Пример. Решите уравнение ах -I-1 = , где х — переменная. Решение Комментарий ОДЗ: X 0 Выражения, стоящие в обеих частях уравнения, существуют тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю ах^ -1- X - (4а -1- 2) = 0 Умножим обе части данного уравнения на выражение х — общий знаменатель для обеих частей уравнения и получим целое уравнение, которое при условии X 5^: 0 (то есть на ОДЗ заданного уравнения) равносильно заданному 1) При а = 0 получаем линейное уравнение х - 2 = 0. Отсюда X = 2 (входит в ОДЗ) При а = 0 данное уравнение не является квадратным. Подставляем а = 0 в данное уравнение и решаем полученное уравнение (с учетом ОДЗ) 2) При а 0 решаем квадратное уравнение: D = 1 -1- 4а (4а + 2) = = 16а2 -1- 8а + 1 = (4а + 1)2; -1±(4а + 1) ^1.2 “ 2а При а*0 имеем квадратное уравнение. Находим его дискриминант. Для вычисления корней уравнения целесообразно записать общую формулу для двух корней (в этом случае знак модуля можно не записывать). 386 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Тогда X, = 2, Xj =- 2о +1 Учитываем ОДЗ: х, = 2 — корень (входит в ОДЗ) при любых значениях а. Поскольку Х2 = О при а - то 2 при этом значении параметра Xj = О не является корнем данного уравнения (однако его корнем является X, = 2). При а^-- (и а ^ 0) значе-2 2а +1 является корнем уравнения Прежде чем записывать ответ, следует обязательно выяснить, входят ли полученные значения корней в ОДЗ данного уравнения. Для корня Х2 сначала нужно выяснить, при каких значениях параметра а его значение попадает в запрещенную область (х = 0). Потом можно дать ответ для найденного значения 1) а = — и для всех других значе- 2) ний а (учитывая, что при а = 0 получили тот же ответ, что и при а= — 2 Ответ: 1) при а = 0 или а = — х = 2; 2 2) при а * о и а*-- х, = 2, х, = 2 2а+ 1 Отметим, что при решении исследовательских заданий с параметрами часто решение заданных уравнений и неравенств бывает очень сложным или невозможным. В таких случаях полезно помнить специальные приемы исследования задач с параметрами, рассмотренные в курсе 10 класса. Напомним некоторые из них. Таблица 42 ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ 1. Исследование количеава решений уравнений и их систем Ориентир Если в задаче с параметрами речь идет о количестве решений у рае нения (неравенства или системы), то для анализа данной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения Особенности использования ориентира Наиболее простым соответствующее исследование является в том случае, когда данное уравнение можно преобразовать к виду f (х) = а, поскольку график функции у = а — это прямая, параллельная оси Ох (которая пересекает ось Оу в точке а). Отметим, что, заменяя данное уравнение на уравнение f (х) = а, нужно следить за равносильностью выполненных §21. Уравнения, неравенства и их системы 387 Продолж. табл. 42 преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, чтоиданное, а следовательно, количество корней у них будет одинаковым. Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение f (х) = а, достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции у = f (х) с прямой у = а при различных значениях параметра а. (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)______ Пример Сколько корней имеет уравнение | - 4 | х | | = а в зависимости от значе- ния параметра а?________________ План Решение Построим у = \х^ = I X график функции - 4 \ X \ \ (учитывая, что х“ = I X р), построение можно производить, например, по таким этапам: х^ - 4х I X р - 4 I X I ^ ^ 1 х2 - 4 I X I 1). 2. Строим график функции у = а. 3. Анализируем взаимное размещение полученных графиков: количество корней уравнения f(x) = а равно количеству точек пересечения графика функции у = /(х) с прямой у = а. 4. Записываем ответ. Ответ: 1) при а < О нет корней; 2) при 0 = 0 три корня; 3) при О < о < 4 шесть корней; 4) при 0 = 4 четыре корня; ________5) при о > 4 два корня 2. Использование четноаи функций, которые входят в запись уравнения ____________________________Ориентир____________________________ Если в уравнении f(x) ^ О функция f(x) является четной или нечетной, то вместе с каждым корнем а мы можем указать еще один корень этого уравнения (—и)___________________________________________ Пример Найдите все значения параметра о, при которых имеет единственный корень уравнение о^ сов^ X - х^ - о = 0. (1) 388 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ Продолж. табл. 42 Решение Функция/(х) = a^cos^x - х* - а является четной (D (f) = R, f (-х) = f (х)). Если X = а — корень уравнения (1), то X = -а тоже является корнем этого уравнения. Поэтому единственный корень у данного уравнения может быть только тогда, когда а = -а, то есть а = 0. Таким образом, единственным корнем данного уравнения может быть только X = 0. Если X = о, то из уравнения (1) получаем - а = о, то есть а (а - 1) = 0. Отсюда а = о или о = 1. При а = 0 уравнение (1) превращается в уравнение X* = о, имеющее единственный корень X = 0. Таким образом, а = 0 удовлетворяет условию задачи. При 0=1 имеем уравнение соз^ X - х^ - 1 = О, то есть соз^ X = 1 -Р X®. (2) Поскольку соз^ х<1,а1-1-х^>1,то уравнение (2) равносильно системе J cos х^ -1, |l + x^=l. Из второго уравнения системы получаем X = О, что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, эта система, а значит, и уравнение (2) имеют единственное решение х = 0. Следовательно, о = 1 также удовлетворяет условию задачи. Ответ: о = 0, о = 1 Комментарий Отмечаем, что в левой части данного уравнения стоит четная функция, и используем ориентир. Действительно, если X = а — корень уравнения f (х) = о, то / (а) = о — верное числовое равенство. Учитывая четность функции f (х), имеем f (-а) = f (а) = 0. Таким образом, X = -а — тоже корень уравнения f (х) = 0. Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни а и -а совпадают. Тогда X = а = -а = 0. Выясним, существуют ли такие значения параметра а, при которых X = о является корнем уравнения (1). (Это а = о и а = 1.) Поскольку значения а = 0 и а = 1 мы получили из условия, что X = о — корень уравнения (1), то необходимо проверить, действительно ли при этих значениях о данное уравнение будет иметь единственный корень. Для решения уравнения (2) оценим его левую и правую части: f (х) = cos* X, ^ (х) = 1 -f X*. cos*x} =1-1- X* ■ <=> -->---■' " cos X* = 1, 1-нх='=1 § 21. Уравнения, неравенства и их системы 389 Вопросы для контроля 1. Что называется решением: а) уравнения; б) неравенства; в) системы уравнений или неравенств; г) совокупности уравнений или неравенств? Приведите примеры. 2. Дайте определение области допустимых значений (ОДЗ): а) уравнения; б) неравенства; в) системы уравнений или неравенств; г) совокупности уравнений или неравенств. 3. Дайте определение системы-следствия данной системы уравнений. Приведите примеры. 4. Дайте определение равносильности: а) уравнений; б) неравенств; в) систем уравнений или неравенств; г) совокупности уравнений или неравенств. Приведите примеры равносильных преобразований. Объясните, почему выполненные преобразования являются равносильными. 5. Назовите основные методы решения: а) уравнений; б) неравенств; в) систем уравнений и неравенств и приведите примеры их использования. Упражнения Решите уравнения (1—32). 1 (МИРЭА). 1) x = j3x + 40; 2) x = V10x-h24; 3) x = yj5x + 36-. 4) х = у!Зх + 2Ъ. 2 (МИРЭА). 1) Vl0-x = 4-x; 2) -s/jc-l =JC-3; 3) yJl + x=2x-A-, 4) yJx + 7 =4x-5\ 5) x + 3yjx-5 = 5; 6) x + 2yJx-6=6; 7) yjx* ~3x~l = x^-1; 8) +x-9=x^-l\ 9) у1х{х-2)(х + 3) = 3-х; 10) ^Jx(x + 4)(x-3) = 6-x. 3 (МГУ, геогр. ф-т). 1) ■j3x + 3 = 2x-3; 2) yj3x + 2=2x-4; 3) x + l = 2->Jx-l; 4) l-yjx-2 = x-l. 4 (МИРЭА). 1) x"-13x + 30 = (V3x-18f; 2) x^-9x + 13 = {’j5x-35f 3) x"*-8x + 10 = (V7x-40f; 4) jc^-15x-(-55 = (>/jc-8) . 5 (МИРЭА). 1) yj3x - 5 = 3 - 2x; 2) \l4x^ +4:X + l=x^ +X-1; 3) yjx^ +x + 4+^x^ +x + l=yj2x‘^ +2x + 9; 4*) il629-x + ^77 + x=8. 390 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ 6 (МГУ, социол. ф-т). 1) yjy-1 =6-у; 2) Jx + 1 =А-х\ 3) ^l2p?~^8x + 5=x-2; 4) yj2x^-8х + 6 =х-2. 7 (МГУ, геогр. ф-т). 1) Ъу}х-2 +3-Jx + 1 +2х = П; 2) ^j3x-2 + 2yfjn + 5x = 14. 8.1 ) sin2дг = >Уз cos jc; 2) sin 2х = Vasina:. 9.1) sin 2х-ь V2 sin д; = 0. Укажите все корни, которые принадлежат от-Зл Зя резку 2 2 2) sin 2х + \[3 cosx = 0. Укажите все корни, которые принадлежат отрезку [-я; 2я]. 10. 1) sin (0,5я -I- х) -Р sin 2х = 0; 2) cos (0,5я -Р х) -Ь sin 2х = 0. 11.1) sin 4х + >/з sin Зх + sin 2х = 0; 2) cos Зх + sin 5х = sin х. 12 (МИРЭА)*. 1) sin 2х -t- tg X = 2; 2) sin х + sin Зх = 4 cos® х; 3) ctg® X -f tg® X = 16 cos 2x. 13 (МГУ, почв. ф-т). 1) sin 2x = cos x; 2) cos 2x = sin x. 14. 1) л/зsin*x-i-0,5sin(K+2x) = 0; 2) >/зcos*x-0,5cos^^ + 2xj = 0. 15*. 1) Найдите все решения уравнения cos 2х = 2 tg® х - cos® х, которые 1 удовлетворяют неравенству cosx<—; 2 2) Найдите все решения уравнения 4 sin'* х + sin® 2х = 2 ctg® х, которые 1 удовлетворяют неравенству cos х < —. 2 16 (МИРЭА). Найдите все решения уравнения: 1) cos X + cos 5х - cos 2х = 0, которые принадлежат отрезку [-я;я]; Ctg2x CtgX „ - rr> о 1 2) ------t------t-2 = 0, которые принадлежат отрезку [0; 2 я]. ctg X ctg 2х 17 (МГУ, геогр. ф-т). 1)3 cos 2х I- 4 sin х = 1; Зя я 2) cos X - cos 2х - sin 2х = 1, хе „ 7з 1 3) cos3x = — cosx=-sinx. 2 2 6. 18 (МГУ, биол. ф-т). 1) cos^2x-^j-sinx = -^; 2) sin X = 2 ctg х; 3) cos х + cos Зх = л/З cos 2х. § 21. Уравнения, неравенства и их системы 391 19. 1) 3 X — 7 4 2, 5 X — 8 20 (МИРЭА). 1) I 14 - д: I = - 196; 2) j 16 - х | = х" - 256; 3) I 19 - X I = х== - 361; 4) 1 17 - X I = х= - 289. 21 (MlV, хим. ф-т). 1)х^ + 1 + |х-1| = 2|х|; 2) X* + 1 + 1 X + 1 I = 2 I X |. 22. 1) х"* - 6 I X I - 2 = 0; 2) х^ + 4 | х | - 1 = 0; 3) I х^ - 2х - 1 I - X + 1 = 0; 4) I х=* - 2х - 1 I + X - 4 = 0; * 6) 1-£] + 2х = х"+1. X 5) -^ + х = х’‘ +1; \х\ 23 (МГУ, экон. ф-т). 1) 24* (МГУ, почв. ф-т). 1) х^ - 8х -f 15 I = I 15 - х^ |; 2) | 2х -f 3 | = х^ COSX — = sin X—; 2 2) sin X--- 2 = cosx—; 2 f9’^ 1 1 — + x 1 = 1. I 2 3) I COSX |--Уз sin 25*. 7|2x + 1|=1-2|x|; 26. 1) (2х-7)л/Зх"-5х-2 = 0; 3) (3x"-8x-ll)V3x-5=0; 2) Jl-3x|=l-3|x|. 2) (2x-3)V4x*-5x-9=0; 4) (4x^ +3x-22)V3X-15 = 0. 27(МГУ, ФНМ). 1) (7sinx-4^/з)(7sinx-5^/2) = 0; 2) (5 COSX- з7з)(5 COSX- 2Тб) = 0. 28* (МГУ, хим. ф-т). 1) (sin x + cosx-^2)>/-11^с-л:^ -30 =0; 2) {cosx + sinx + -j2)yJ-x^ -7x-12=0. 29* (МГУ, мехмат). 1) (2sin^ x-3sin XH-l).ytg^ = 0; 2) (2 cos^ X - cos X -1) yjcig x = 0; 3) V4x-x"-3(V2 cos x-yll + cos 2x) = 0. 2) X* - cos 2x^ -f 1 = 0. 6x-7 30* (МГУ, хим. ф-т). 1) arcsin--= 2я-)хх; 2x-3 31*. 1) log^„, (3 sin X - cos x) = 0; 2) 2-6x = 1. 392 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ 32* (РЭА). Найдите наибольший корень уравнения: 1) (^4->/15Г+(^4 + >Я5Г=8; 2) (2^/3-2)Ч2^*’=2{^/3 + l)^ Решите неравенство (33—57). 33. 1) Зх^ + 2х+1> 0; 34. 1) х" - Зд: - 2 < 0; ос -5х + 6 35. 1) ------<0; х*+5х + 6 36. 1) —->х; 2) х> 5 2) -х^* + 2х - 3 > 0. 2) X® - Зх" + 4 > 0. 2) X -бх + 18 -хЧ8х-12 >0. х-2 37 (МФТИ). 1) 2 3) >1 — 2-х 3 >1 + х-1 3 04 1 .4 2х-1 3) ----<1; 4) ----<х + 3. х + 5 х + 2 3-х х+2 38(МИРЭА). 1) >/12х-11<л/10х-9; 3) Vl0x-7x-2; 41* (МГУ, псих. ф-т). 1) ^ <1; 2) V7X-4 42. 1) 3 logs (Зх 4- 2) < 2; (1-Зх)>2; “зГ 5) logo.5 (3 - 2х) > -logo 5 3; 43. 1) logo 4 (3.5 - 5х) > 2 logo 4 0,2 - 1; 44*. 1) log’^(5**‘-25")<4; 3) log, (6'*‘-36')>-2; 75 2) 4) x + 4 7 <1 + x-3 1 <1 + 4-x 2 x+5 5-x 2) V11x-92. <1; 3) ylx^-Sx + 12>x-5. 3x-2 VSx-2 2) 4 log,o (4x + 3) < 3; 4) log ^ (2x-l)>2; T 6) logj (2x - 5) < -logj 3. 2) 1 + 2 logg 0,3 > logj (1,5 - 3x). 2) log^(7"*‘-49")<2; 4) log, (2"*^-4*)>-2. 1 § 21. Уравнения, неравенства и их системы 393 45. 1) tg Зх > 0; 2) tg| х + - |<1; 4) ctg 2д: < 0; 5) ctg[ 2x-^j>>/3; 6) ctg|^x-^j> 1. 46*. 1) 5 sin X - sin 2x > 0; 2) 5 cos X + sin 2x < 0. 47* (МГУ, МСАиА). 1) 2sinx-K^6sin^ jc-6sinx-12; 2) 16 sin^ X + ctg® jf < 7; 48 (МГУ, биол. ф-т). 1) 2x > I л: I + 1; 4 3) |x + 2| >3-x; 3) 16 sin® j: + 9 ctg® x < 15. 2) X® - 6 > I X I; 3 4) x-1 ■>2x + 5. 49* (МГТУ). 1) r^-h-2|<0; 4lx| 3)|x®-8x + 15|<|l5-x®|. 4* -4 50*. 1) -----<0; 2^ -2 2) ---^>0; 2+x x-2 51. 1) (x^ -9) Vx + 6 >0; 3) yjx^ -9 (x + 8)>0; 52. 1) (x-2)(x-3)yjx-l<0; 3) (x-4)(x + 3)>/x >0; л/б + 5х- 2^—2 3) -—^<0. x + 2 2) (16-x^)V8-x<0; 4) {x-4)\Jx^ -4 <0. 2) (x + 2)(x + 3)Vx + ll <0; 4) (x-8)(x + 7) Vjc >0. 53 (МГТУ). 1) 1-x 4) \l2 + x~x^ x-2 <0; <0; 2) 5) >/з + 2х-; x-2 3x + 2 <0; 3) V2-X-; >0; 6) V4-3x-x^ x + 3 x-1 л/з + 2х-х^ 2) |x-l|-Vx + l ^---- ... 4) 2v11-^: + ^-12 |x-3|-vx + 3 55* (МГУ, почв. ф-т). 1) 2*-н2'*1 >2^2; 2) З^ -h 3'*1 < 3; 3) 3-4'^+3<10-2'^; 4) 2*9'^-ь2<5-3'^. >0; <0. 54, 1) l^ib'^.^O; 4V10-X +Х-13 3) 394 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ 56* (ГУУ). 1) 2) lg^ + 9 3) Л<1; 4) lg(2x + 3r 57* (МГУ, биол. ф-т). 1) log, дг-З 6 log, 2-1 Решите систему уравнений (58—62) 'х-3у^=8, X =15; х-7у^ =9, х + 2у^ =18; 4"‘'+3'"=82, 3"-4*'=8; 3'^'-‘*"‘'=1, 2 logj (у + 2) = logj (5д: - 2); < 2; 2) log(, _ 2, л: < log,, . 2, 4. 58(МИРЭА). 1) 3) 59. 1) 60. 1) 2) 4) 2) 2) х-Ъу^ =10, х + Зу^ =18; х-2у^=\2, x + 7j/*=21. 3‘'+5""=26. дх_з0.5у Г2у-з=8х-2 61.1) l21og3 (i/-Jc)-log3 х = 1; 2) 62* (МГУ, геол. ф-т). 1) ху 2 2х + у-ху 2х + у + — = 4 + ху; ху |2И-з*1,=1, [2 log2 (jf -Ь1) = log2 (Зг/ -5). ^2‘'=4"'^ [2\ogf^(x-y)-\og^y = l. = 5, 2) 9•2"•5‘'-5•3‘'**=3^•5^ д-г-г 3" -*^».5'-‘'=1. Решите задачи с параметрами (63—71). 63 (МИФИ). При каких значениях сей для действительных корней х, и Хг уравнения х^ + (4с - х + 2с^ -1=0 выполняется равенство X, ч- Хз = 6 ? 64. 1) Постройте график квадратного трехчлена у = х'^ + Зх + а, если известно, что его корни связаны соотношением xf -t-Xj = 5 . 2) Постройте график квадратного трехчлена у = х^ — х — а, если известно, что его корни связаны соотношением xf + х| =4. §21. Уравнения, неравенава и их системы 395 65* (ВШЭ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение: 1) 2|д: + 1|-2|д:-2| + |д:-б| = л: + За имеет ровно один корень; 2) 2|д: + 3|-2|л:-2( + |л:-4| = лс + 2а имеет ровно два корня; 3) |jc^-8x-a| = 4x имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 11,5; 4) I - 4 д: + а I = X имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 4. 66 (ВШЭ). Для каждого значения параметра Ь найдите число корней уравнения: 1) 2 х"' + 10 X + I 6 X + 30 I = б; 2) 6 х^ + 18 X + I 12 X + 36 I = б; 3) 4 х^ + 12 X Ч- I 8 X -f 24 I = &; 4) 4 х^ + 8 х + | 24 х + 48 | = 6. 67* (МИФИ), Для каждого значения параметра с решите уравнение: 1) J^ + 2 = c + J^-3 ; 2) yjx^ -4х +4 =c-yjx'‘ -бхн-9 ; 3) sinj Су1х-1 -t- ^ I = 0,5 ; 4) (2''+4 + Зс)(5-с-2 '') = 0 68 (МГТУ). Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение 8 4 р (х - 2) = (х - | х |) х имеет единственное решение. Найдите все решения при каждом р. 69*. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 144-12^4 _2'12"'^'''''+ 12а = о имеет хотя бы один корень. 70. Для каждого значения параметра а решите неравенство. 1) (МГУ, ВМиК) |2х + а|<х + 2; 2) (МГУ, физ ф-т) 3(2х-а) + 5а \l2x-a - 2а^ >0. 71. При каких значениях параметра а уравнеш1е |2х + 6| + |2х — 8| = ах-)-12 имеет единственное решение? Решите задачу (72—93). 72 (МГУ, почв. ф-т). Какое количество воды нужно прибавить к 1 литру 10%-ного водного раствора спирта, чтобы получить 6%-ный раствор? 73 (МГУ, почв. ф-т). Имеется 1 .титр 6%-ного раствора спирта. Сколько литров 3%-ного раствора спирта нужно прибавить к первому раствору, чтобы получить 5%-ный раствор? 74. Из пункта А выехал колесный трактор со скоростью 25 км/час. Через час вслед за ним одновременно выехали грузовик и легковой автомо- 3 биль. Скорость грузовика постоянная и составляет - скорости легково- 4 го автомобиля. Найдите скорость грузовика, если известно, что он догнал трактор на 10 минут позже, чем легковой автомобиль. 396 Раздел 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ_____ 75. От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч отправилась яхта. Через полтора часа от той же пристани за яхтой отправились два катера с постоянными скоростями, причем скорость первого катера составляла — скорости второго. Найдите скорость первого катера, если известно, 3 что он догнал яхту на 15 минут раньше, чем второй. 76. Двое рабочих выполнили определенную работу за 20 дней. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый из них, работая отдельно, если известно, что первому пришлось бы работать на 9 дней больше, чем второму? 77. Двое рабочих, работая вместе, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в два раза быстрее, а второй в два раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы всю работу первый рабочий? 78. Заполнение бассейна водой через первую трубу требует на 3 часа меньше времени, чем его освобождение от воды через вторую. За какое время заполняется бассейн через первую трубу, если известно, что при открытых двух трубах бассейн заполняется водой за 18 часов? 79. Товарный поезд был задержан в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 60 км наверстал упущенное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти начальную скорость поезда. 80. На протяжении 7 часов 20 минут судно прошло вверх по реке 35 км и вернулось назад. Скорость течения равна 4 км/ч. С какой скоростью судно шло по течению? 81. Поезд вышел из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 230 км. Через час навстречу ему вышел из пункта В второй поезд, скорость которого на 15 км/ч больше первого. Определить скорости поездов, если известно, что они встретились на расстоянии 120 км от пункта А. 82 (СПбГУТиД). Смешали 20%-ный и 40%-ный растворы соляной кислоты и получили 25%-ный раствор. Найти отношение масс начальных растворов. 83 (НГУ). Имеется два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в дру- гом — 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить из них 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова? 84. В смеси пшеничной и ржаной муки содержится 55% ржаной муки. Если к этой смеси прибавить еще 36 кг ржаной муки, то ее содержание в смеси достигнет 75%. Найти массу начальной смеси. 85. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 60 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней составляло 3% ? 86 (СПбУЭФ). Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие — 12% воды. Сколько получим сухих грибов из 22 кг свежих? 7 1 87. В траве влага составляет — от общей массы, а в сене--. Сколько 10 10 нужно скосить травы, чтобы заготовить 1 тонну сена? § 21. Уравнения, неравенава и их сиаемы 397 88* (СПбГЭТУ). Задано двузначное натуральное число, у которого число десятков на единицу больше числа единиц, а произведение его цифр на 45 больше утроенного числа его десятков. Найти это число. 89* (МГТА). Тете сейчас 40 лет. Она вчетверо старше, чем была ее племянница тогда, когда тете было столько лет, сколько сейчас племяннице. Какой возраст племянницы? 90* (СПИКиТ). В двух домах более 31 квартиры. Число квартир в первом доме, увеличенное на 21, более чем в три раза превышает число квартир во втором доме. Удвоенное число квартир в первом доме меньше утроенного числа квартир во втором доме, увеличенного на единицу. Сколько квартир в каждом доме? 91* (МТУСИ). Есть три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% марганца, второй — 10% марганца и 90% меди, третий — 15% никеля, 25% марганца и 60% меди. Из них приготовили сплав, масса которого 15 кг, который содержит 40% меди и 42% марганца. Какое количество первого, второго и третьего сплава взяли для этого? 92* (МГУ, эк. ф-т, ВШЭ). Жидкость налита в бутыли емкостью по 40 литров, при этом одна из бутылей оказалась не совсем полной. Если эту жидкость перелить в бутыли вместимостью по 50 литров, то такие бутыли будут заполнены полностью, но при этом понадобится на 5 бутылей меньше. Если эту же жидкость перелить в бутыли вместимостью по 70 литров, то понадобится еще меньше на 4 бутыли. При этом опять одна бутыль будет не совсем полной. Сколько было литров жидкости? 93* (МГУ, эк. ф-т). Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение произ- 2 водства составило на первом этапе 4%, на втором — 6- %, на третьем — 3 1 2 б- % и на четвертом — 14- % в месяц. По окончании реконструкции 4 7 начальный объем производства на предприятии сократился на 37%. Определить длительность периода реконструкции. 398 Справочный материал справочный материал Разложение алгебраических выражений на множители Таблица 1 1. Формулы сокращенного умножения (а + by = + 2аЬ + Ь~ (а - ЬУ = — 2аЬ + = (а — Ь) {а + Ь) а-* - = (а — Ь) + аЬ + Ь‘) а* + = (а + Ь) (а^ — аЬ + Ь'^) (а + ЬУ = + За^Ь + ЗаЬ^ + {а + ЬУ = а* + Ь‘ + ЗаЬ (а + Ь) (а - ЬУ - а-' — 'За”Ь ч- ЗаЬ^ — Ь* (а - ЬУ = - Ь* - Зоб (а - Ь) (а + Ь + с)'- = а- + + 2аЬ + 2ас + 2Ьс 2. Основные приемы разложения многочлена на множители Вынесение общего множителя за скобки 8а^ + lOa^iy-6аЬ = 2а(4а^ + batP - ЗЬ) Способ группировки ху + 3yz - х^ - 3x2 = = U (х + Зг) - X (х + Зг) = = (X + 32) (у - X) Применение формул сокращенного умножения а*-64 = (а^У - 8^ = (а^ - 8) {а^ + 8) 3. Разложение на множители квадратного трехчлена ах^ + Ьх + с (а ^ 0) ах'^ + Ьс + с = а (д: - дс,) (х - х^), где X, и Xj — корни квадратного трехчлена, то есть корни уравнения ах^ + Ьс + с = 0 Поскольку 2х^ + Зх - 5 = 0 1 5 при X, = 1 и Х2 = --, то 2х"+Зх-5 = 2(х-1)(х + || = (х-1К2х + 5) 4. Обобщение некоторых формул сокращенного умножения а" — Ь" = (а — Ь) (а"" ‘ + а" -Ь + а" + ... + а*Ь"' + аЬ" + Ь" ') Примеры. а* - Ь* = (а - Ь) {а^ + а^Ь + аЬ^ + Ь^) = (а - Ь) {а* + а*Ь + + аЬ^ + Ь*) При Ь =1 а" — 1 = (а — 1) (а" ~ ' + а" • + а" ■•+... + + а + 1) Для нечетных натуральных п а" + Ь" = {а + Ь) (а"'' — а" Ъ + а" ~ — ... + а^Ь" ~ ® — ah"' - + Ь" ') Примеры. а* + Ь‘ = (а 4- Ь) (о^ - а^Ь + aW - аЬ^ + Ь*) При Ь = 1 (ил = 2й+ 1) а“ * ' + 1 = (а + 1) (а^ - а" ' + а" - - ... + о‘ - а + 1) Справочный материал 399 Таблица 2 Свойства корней п-Л степени Основные формулы корня л-й степени (только для неотрицательных значений а и б, то есть при •{ lfc>0 ) Можно ли применять основные формулы для любых а и б из ОДЗ левой части формулы (если нельзя — дается обобщенная формула) корень нечетной степени корень четной степени 1. можно только для неотрицательных а 2. = а можно ^^ = \а\ 3. Корень из корня VVa ="Va можно можно 4. Корень из произведения можно и произведение корней можно 5. Корень из частного можно и 2^1 и частное корней ^-f.il !fb~yb можно 6. Основное свойство корня: и наоборот можно, если все корни нечетной степени (то есть переход нечетная нечетная) Переход четная —> четная можно Переход нечетная четная ^^j-^npHa"- >0, при o'" <0 7. Вынесение множителя из-под знака корня можно V^ = |o|Vb 8. Внесение множителя под знак корня a 0 400 Справочный материал Свойства логарифмов Таблица 3 1. Логарифм числа Определение Примеры Логарифмом положительного числа Ь по основанию а (а > 0, я ^ 1) называется показате^ть степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить Ь. 1) log^ 16 = 2, поскольку 4^ = 16; 2) logyV? = i, так как 7*=>/7; 3) Ig 1000 = 3, поскольку 10® = 1000. 2. Основное логарифмическое тождество а>0, 05^1, Ь>0 1) 3‘“**® = 5; 2) 10'*® = 2. 3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования (а > о, а 1) 1) log„ 1 = о 2) log„a = l При х>0,у> о Обобщения 3) log„ (ху) = log, X + log, у При ху > о iog^xy) = log,|^| + log,li/| 4) log,- = log,oc-log,i/ При ->0 у log,- = log, IJCI-log, I у I 5) log,x" = Л log,3; При X фО log, л®* = 2k log, 1XI 4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием logb® а>0, a?il, Ь>0, Ь^1,х>0 Следствия log.b = -^ log, Ь = log , 6* Справочный материал 401 Таблица 4 Тригонометрические формулы и уравнения 1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента Основное тригонометрическое тождество sin^ а + cos^ а = 1 tga = - ctg а = - l + tg^a = ^- tg а • ctg а = 1 1 + ctg* а = \ sin а 2. Тригонометрические функции двойного аргумента sin 2а = 2 sin а cos а , „ 2 tg а tg2a = —=-5- l-tg*a COS 2а = cos^ а — sin* а = 1 - 2 sin* а = 2 cos* а - 1 3. Значение тригонометрических функций некоторых аргументов градусы 0“ 30" 45" 60* 90” 180" 270" 360” а радианы sin а cos а tg а ctg а 71 6 1 2 2 3 л/З 4 2 А 2 я 3 2 1_ 2 7з Т 3 2 -1 2я -1 402 Справочный материал Продолж. табл. 4 4. Косинус разноаи и суммы cos (а — Р) = cos а cos Р + sin а sin Р cos (а + Р) = cos а cos Р — sin а sin Р 5. Синус суммы и разности sin (а + Р) = sin а cos Р + cos а sin Р sin (а - Р) = sin а cos Р — cos а sin Р 6. Тангенс суммы и разности 1 - tg а tg Р tg (а-Р) = tg а - tg р 1 + tg а tg р 7. Формулы суммы и разноаи тригонометрических функций sin а + sin Р = 2 sin cos^^—^ 2 2 sin a - sin P = 2 sin ^ cos 2 2 cos а + cos Р = 2 cos^^^ cos^^^ 2 2 a о • a + 6 . a-6 cos a - cos P = -2 sin—- sin — 2 2 tga + tgU. COS a cos p , , о sin (a - в) tga-tgp = — COS a cos p 8. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму sin а sin Р = ^(cos (а - Р) - cos (а + р)) 2 С08 а cos Р = -(сов (а -Р) + cos (а + Р)) 2 sin а cos Р = -(sin (а - Р) + sin (а + Р)) 2 9. Формула преобразования выражения а sin а + Ь cos а а sin а + Ь cos а = + Ь^ sin (а + ф) где аргумент ф определяется из соотношении а Ь COS ф = -/===, ЗШф = - Va^ + i yja^ +1 Справочный материал 403 Продолж. табл. 4 10. Решение уравнений sin х = о и cos х = а sin X = а COSX =а |а|>у^\^|а|<1 1 а 1 > 1 / \. 1 о| < 1 Корней нет \ Корней нет \ \ \ X = (-l)*arcsinа +пп,пе Z X =± arccosa + 2лп, пе Z Частные случаи sin X = о X = nk, А 6 Z sin X = 1 ^ ^ k е Z sinx = -l х = -^ + 2дА, keZ cos х = 0 х = - + лА, AgZ 2 cos X = 1 X = 2лА, А € Z cos X = -1 X = я + 2лА, А е Z 11. Решение уравнений tg х = а и ctgx = a tg X = а ctg X = а X = arctg а + пп, п е Z X = arcctg а + пп, п е Z Частный случай tg х = 0 X = пп, п е Z Частный случай ctg х = 0 X = - + пп, п е Z 2 12. Схема решения более сложных тригонометрических уравнений 1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу. 2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции. 3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет, тогда пробуем привести уравнение к однородному. 4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить произведение или используем специальные приемы решения. 404 Справочный материал Таблица 5 Простейшие показательные уравнения 1. Основные формулы и соотношения (аЬУ = а'‘’Ь“ — = 0““", (—I = — а“ ’ \Ь/ ь“ (а“)” = а"" Va" =а" График функции у = а-' (а > 0) а > 1 О < о < 1 уп 1 у-а‘ О X убывает а = 1 1 пост 0 X оянная 2. Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений Ориентир Пример При а > О и а / 1 аПх) - f (х) = g (х) J = 9. 2х + 4 = 2. X = -1. Ответ: -1. <] 6"^® = -36. ► Корней нет (поскольку 6' > О для всех t) Ответ: корней нет. 1 3. Приведение некоторых показательных уравнений к проаейшим Ориентир Пример 1) Если в левой и правой частях показательного уравнения стоят только произведения, частные, корни или степени, то целесообразно с помощью основных формул попробовать записать обе части уравнения как степени с одним основанием. 16' 3л:-3 = --4дс, х = ~, 2 2 Ответ: -. <] 2 2) Если в одной части показательного уравнения стоит число, а в другой все члены содержат выражение вида а*' (показатели 5"- 2-5"® = 23. ► - 2) = 23, 5' ®-23 = 23, 5'*® = 1, Справочный материал 405 Продолж. табл. 5 степеней отличаются только свободными членами), то удобно 5 = 5®, дг - 2 = 0, дг = 2. в этой части уравнения вынести за скобки наименьшую степень а Ответ: 2. <3 Таблица 6 Решение более сложных показательных уравнений Схема поиска плана решения показательных уравнении Ориентир Пример 1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями, приведенные в табл. 5). 4"*' - 3-2' - 10 = 0. ► 4'-4* - 3-2* - 10 = 0. Учитывая, что 4' = 2^, приводим все степени к одному основанию 2: 4 • 2"^ - 3 • 2^ - 10 = 0. 2. Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной. Замена 2^ = t дает уравнение 4i^ - 3f - 10 = 0, = 2, <2 = -f- Обратная замена дает 2^ = 2, тог-да д: = 1 или 2* = - - — корней нет. Ответ: 1. <] 3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение {которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных). 4"^ + 3 • 6^ - 4 • 9* = 0. ► Приведем все степени к основаниям 2 и 3: 2^"^ -I- 3 • 2^ • З"' - 4 • 3^"' = 0. Имеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — 2х). Для его решения разделим обе части на 3^^?t 0: Замена и- t дает уравнение + 3« - 4 = о, = 1, -4. Обратная замена дает 2Y . „ 1Л''-л -1 = -4 — корней нет или j =1, тогда х = о. Ответ: 0. <' 406 Справочный материал Продолж. табл. 6 4. В других случаях переносим все 6^ - 9-2^- 2-3^ + 18 = 0. ► Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки члены уравнения в одну сторону обпщй множитель, то получаем: и пробуем разложить получен- 2"(3" - 9) - 2 (3^ - 9) = 0. ное уравнение на множители или Теперь можно вынести за скобки применяем специальные приемы общий множитель 3^ - 9; решения, в которых использу- (3^ - 9) • (2" - 2) = 0. ются свойства соответствуюн]1их Тогда 3^ - 9 = 0 или 2'’ - 2 = 0, функций. Получаем два уравнения: 1) 3* = 9, тогда X = 2; 2) 2'' = 2, тогда х = 1. Ответ: 2; 1. <] Таблица 7 Решение показательных неравенств 1. График показательной функции у = (а > 0 и а ф1) а > 1 0 < а < 1 У1 У = а^ Ъ i . \ 0 возрас' X тает У 0 X бывает 2. Схема равносильных преобразований проаейших показательных неравенав а > 1 0 < о < 1 д/(Х) > Q»(I) ^ Дд.) > j fl/u) > а*(х) знак неравенства сохраняется знак неравенства меняется на противоположный Примеры 2'"® > 4. ► 2**® > 2®. Функция у = 2‘ является возрастающей, следовательно: лс - 3 > 2, X > 5. Ответ: (5; +о°). <1 (0,7)";® > 0,49. ► (0,7)"'® > (0,7)®. Функция у = 0,7‘ убывающая, следовательно: X - 3 < 2, X < 5. Ответ: (-о°; 5). ■ 1 Справочный материал 407 Продолж. табл. 7 3. Решение более сложных показательных неравенств Ориентир Пример I. С по.мощью равносильных преобразований (по схеме решения показательных уравнений, табл. 54) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и т. д.). После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам. + 7-2* - 2 > о, ►4*-4 -f 7-2'^ - 2 > о, 2^* • 4 + 7 • 2^ - 2 > 0. Замена 2^ = t дает неравенство + It - 2 > Q, решения которого t < —2 или ^ > — 4 (см. рисунок). Обратная замена дает 2* < -2 (решений нет) или 2' >-, откуда 4 2"' > 2’*, то есть х > -2. Ответ: (-2; -t-oo). О t 4 II. Применяем общий метод интервалов^, приводя данное неравенство к виду f {х) ^ о и используя схему: 1. Найти ОДЗ. 2. Найти нули f {х). 3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак f{x) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак неравенства. 3" -Ь 4^ > 7. ► Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству 3" -t- 4* - 7 > 0. Обозначим / (х) = 3^ -I- 4* - 7. 1. ОДЗ: R. 2. Нули функции: f(x) = 0. 3"' -Ь 4"' - 7 = 0. Поскольку функция / (х) = S'" -f 4* - 7 является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения: х = I (/(1) = 3‘-I-4* - 7 = 0). 3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак f{x) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства f{x) > 0. Ответ: (1; -Ь°о). <] 408 Справочный материал Таблица 8 Решение логарифмических уравнений 1. Решение простейших логарифмических уравнений Ориентир Пример Если а — число (а > 0 и а 1), то ► log3(x - 1) = 2. X - 1 = 3^ X = 10. Ответ: 10. 3 !bg„/(a;) = c «/(дс) = а' (используем определение логарифма ) 3. Использование уравнений-следствий Ориентир Пример Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то гарантируем, что получаем уравнения-следствия. При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения. log,(x + 2) = 2. ► По определению логарифма получаем X -Ь 2 = x^ х^ - X - 2 = 0, X, = -1, Хз = 2. Проверка. х = -1 — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число); X = 2 — корень (log2(2 ч- 2) = 2, log2 4 = 2, 2 = 2). Ответ: 2. 3. Равносильные преобразования логарифмических уравнений Замена переменных Ориентир Пример Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). Ig" X - 2 Ig X - 3 = 0. ► Замена: Ig х = t, - 2< - 3 = 0, = -1, *2 = 3. Следовательно, Ig X = -1 или Ig X = 3. Тогда X = lO ' = 0,1 или X = 10® = 1000. Ответ: 0,1; 1000. Справочный материал 409 Продолж. табл. 8 Уравнение вида \ogJ[x) = log„g(jc) (а > О и а 1) Ориентир Пример f(x) = g(x), log„/(*) = log.g(A:)o f{x)>0, g{x)>0 ОДЗ ОДЗ: (учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов ) log3(a;2 - 2) = log,.,(4x - 5). д:^-2>0, 4х-5>0. На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям: д-2 - 2 = 4х - 5, - 4х + 3 = о, = 1, Х2 — 3, X = 1 — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ); X = 3 — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 3. О Равносильные преобразования уравнений в других случаях Ориентир Пример ОДЗ: 1. Учитываем ОДЗ данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ). 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлении с сохранением верного равенства. log^ix + 1) = 3 - log2(x + 3). д: +1 > о, х + 3>0. На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям: log2(x + 1) + \0g2ix -I- 3) = 3, log2((x + 1)(д: + 3)) = 3, (X + 1){х ч- 3) = 2», х^ + 4х - 5 = о, Xi = 1, ^2 = -5. X = 1 — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ); X = -5 — посторонний корень (не удовлетворяет ОДЗ). Ответ: 1. <3 условиям 410 Справочный материал Таблица 9 Решение логарифмических неравенств 1. График функции у = log„ дг (а > 0; а 1) а > 1 0 < а < 1 У‘ У‘ к о~Л ? возрастает убывает 2. Равносильные преобразования проаейших логарифмических неравенств а > 1 0 < а < 1 •og./(*)>log.g(x)<=> JfM>B 1«(*)>0 f(x)>g{x), /(х)>0, о ^(л:)>0 [х). log.f(x)>log,g(x)<=> ^|g(x)>0 /(x)0, <=> ^(х)>0 (х). Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ. Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ. Примеры logj((x - 5) > 3. ОДЗ: X - 5 > 0, то есть х > 5. logjCx - 5) > log2 2^ Функция у = logj t — возрастающая, тогда X - 5 > 2", X > 13. Учитывая ОДЗ, имеем х > 13. Ответ: (13; -Гоо). <] log, (х-5)>3. 2 ► ОДЗ: X - 5 > 0, то есть х > 5. log,(x-5)>log,(i) . 2 Функция y = \og^t — убываю-2 щая, тогда х-5<|^| , ^<5^. Учитывая ОДЗ, имеем 5<х<5-. 8 Ответ: ^5; ^ Справочный материал 411 Продолж. табл. 9 3, Решение более сложных логарифмических неравенств Ориентир Пример I. С ипмошью раппосильвых преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вила. Схема равносильных преобразований неравенства: 1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ). 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Ig^(10x)-lg3;>3. ► ОДЗ: X > 0. На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: (Ig 10 + Ig хУ - Ig X > 3, (1 -f Ig xf - Ig X > 3. Замена \gx = t. Тогда (1 -I- 0^ “ ^ ^ 3, то есть У t — 2 > 0. Решение этого неравенства f < -2 или t < 1 (см. рисунок). Обратная замена дает -2 Ig X < -2 или Ig X > 1. Тогда Ig X < Ig 10“* или Ig х > Ig 10. Учитывая, что функция у = Ig х является возрастающей, получаем: х < 10“* или х > 10. С учетом ОДЗ имеем: о < X < 0,01 или X > 10. Ответ: (0; 0,01] U [10; -1-оо). <1 II. Применяется общий метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству f (х) ^ 0) и используется схема: 1. Найти ОДЗ. 2. Найти нули /(х). 3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак f (х) на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак неравенства. 1. ОДЗ: log^(2x -I- 3) < 2, ► Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству log,(2x -I- 3) - 2 < 0. Обозначим f(x) = log^(2x 3) - 2. 2х -I- 3 > о, [^>0, х>0, то есть 1 , \х*\. Х5С1, ^ 2. Нули функции: f(x) = 0. log^(2x -t- 3) - 2 = 0. Тогда log^(2x -ь 3) = 2. На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению 2х -t- 3 = х* (полученному согласно определению логарифма). То есть х^' - 2х - 3 = о, X, = -1, х, = 3. В ОДЗ входит только X = 3. Итак, f (х) имеет единственный нуль функции X = 3. 3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак f (х) на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства f{x) < 0. 0 1 3 Ответ: х е (0; 1) U (3; -1-оо). <1 412 Справочный материал Таблица 10 Преобразование графика функции у = f (х) № Формула зависимости Пример Преобразование 1 2 3 4 1 y = -f (JC) У \ \ \ \ \ \ \ к V t! / Симметрия относительно оси Ох / 1т 2 У = f (-Х) У> 4 9 Симметрия относительно оси Оу 0 X 3 y = f(x- а) У‘ \ V V\ Vt л V' Параллельный перенос графика функции у = f (х) вдоль оси Ох на а единиц -3 0 2 JC 4 y = f{x) + с \ \ 1 \ '• V 2 \ % \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ч CV/ '*■ ' Я» / • ' / / V //; Параллельный перенос графика функции у = f (х) вдоль оси Оу на с единиц -1 0 / i 5 y = kf (х) (k>0) У‘ % V\i V ИФ' Ц t / Ilf / I^r Растяжение или сжатие вдоль оси Оу (при k> 1 — растяжение, при 0 < А < 1 — сжатие) -1 0 1 X Справочный материал 413 Продолж. табл. 10 У = f (ах) (а>0) Растяжение или сжатие вдоль оси Ох (при а > 1 — сжатие, при о < а < 1 — растяжение) y = lf(x) у = \2х-1\ Выше оси Ох (и на самой оси) график функции у = f (х) — без изменений, ниже оси Ох — симметрия относительно оси Ох У = 2х-1/ y = f(\x\) \ к л= \о 1\ 2 ' /1 X ' 2 2х - 1/ / / Справа от оси Оу (и на самой оси) — без изменений, и эта же часть графика — симметрия относительно оси Оу Таблица 11 Графики уравнений и неравенств с двумя переменными 1. Определение Графиком, уравнения (неравенства) с двумя переменными хну называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства). 1. Графики некоторых уравнений и неравенств У в II н о а х>а х<а 414 Справочный материал Продолж. табл. 11 У‘ ■Г > у‘ X* + у* - 1 х^-^у^Ж^ ■"'ч V. У‘ к + у2 < Д2 V ^ ч 0 • X $ 9 9 1 » % % % 0 ,* X 9 9 9 3. Геометрические преобразования графика уравнения F (д:; у) = О Преобразование Пример \F(x-a;y-b) = 0 Параллельный, перенос графика уравнения F(x-, у) = 0 на вектор п (а; Ь). F(|x|; у) = 0 Часть графика уравнения F (х; у) = о справа от оси Оу (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Оу. F(x;\y\) = 0 У> . У- к Часть графика уравнения 1 у=1-д* 1 |y|=l-x» F {х; у) = 0 выше оси Ох (и на самой оси) остается без из- менений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Ох. / V -11 Q у X Ответы и указания к упражнениям 415 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УГ1Р/\ЖНЕНИЯМ Раздел 1 » 1. 5. 1) -1-; 1; 2) -1; 2; 3) 0; ±2; 4; 4) -5,5; -0,5; ±2,5. 6. 1) [3; 4]; 3 2) (^;-4)U[^^;+ooj; 3) (-оо; -0,5] U [1,5; +оо); 4) (-5.5; -3,5) U (0; 2). § 2. 3. 1) -3; 2) 9; 3) 0; 4) 1. 4. 1) 11; 2) 1; 3) 4) -8. 5. 1) (0; 1] U [2; ±оо); 6 2) (-оо; 0) и (0.5; +оо); 3) (1; 2); 4) [1; 3] U (4; +оо). 6. 1) (-1; 0] U (1; +оо); 2) [0,5; 1) и (1; +оо); 3) (-оо;->^] U [-1; 1] U [>/3;+оо) или д: = 1,5; 4) (1; 2) U и (2; +00). §3. 1. 1)6; 2)7; 3)5.2. 1) ЗДх; 2) 3XoA^:(Xo + Ад:) + (Дд:)®; 3) Ax(2x„ + Дд:-1); 4) Ах + —-----5. а) f(x,) = >/3; Г (х,) = 1; б) = f {х^) = 0; Хд+^Х Хд V3 B)f (x,)= 0; Г(х,) = 0; г) f (д:,) = 0; f'(x,) = -^. 6. 1) 6; 2) 1; 3) -1; 4) 1. 7.1) у = 2д: - 1; 2) I/ = 0; 3) I/ = д: - 0,25; 4) i/ = -6х - 9. 8. 1) I/ = 0,5дс + 0,5; 2)у=х + 0,25; 3) у = 0,25х + 3; 4) у = ^д: + li. 9. 1) 1; 2) 13; 3) 75; 4) 0,25. 6 2 2 — 1 — § 4. 1. 1) 8д:’; 2) -5дг"«; 3) -д: *; 4) 20х‘»; 5) -ЗОх ^*; 6) —х ^ 2. 1) 1; 3 2 2) 5х^ - 1; 3) -^--Зх"; 4) 2х + -^. 3. 1) бх^ + 3; 2) 2х + 5; 3) 4х® - 4х; X 2yjx 1 1 4) ^ + 12х^ 4. 1) 6x2 + 0^5. 2) -6^2 + 2х + 2; 3) -4х^ + 6х^ - 3; 4) --- 2у1х Г. 5. 1) д +6х (х + 3)* ;2) - 11 ---------2-: 3) - (Зд - 2У (5ж + if ; 4) 2д -2д 6. 1)Г (-2) = -2; - =3; 2) Г (2) = 28; П-1) = -8; 3) /'(0) = --; f'(-3) = --; 4) f'{-yf2) = l,5; 9 81 л (0,1) = 101. 7. 1) 1; 2) -2; 0; 3) ±0.5; 4) 0,25. 8. 1) (1; +оо); 2) (-2; 0); 3) (-2; 0) и (0; 2); 4) (-оо; -1) U (1; +оо). 9. 1) f (и)~4й; и(х) = sinx; 2) f{u) = u®; u(x) = 2x + x^; 3) / (u) = Vu; u (x) = x® - x; 4) f(u) = cos u; и (x) = 2x--. 10. 1) R\ 4 2) [-3; +oo); 3) (4; +oo); 4) (-oo; -2) U (2; +oo); 5) [2nfe; n + 2яА], ft e Z; 6) (0; 0,5]; 7) - + 2iik; — + 2rtft 3 3 ^ 2)-10(2x - l)-«; 3) 4(^x-ij (l + 4) ^) ^^=5 ^) , fteZ; 8) [0,1; 10]. 11. 1) 3 (x" - x)“*(2x - 1); 3 4 X- 4^3х(2 + >/зх) (22^-0® 12. 1) у = 7x - 4; 2) t/ = 26x + 54; 3) у = -0,5x + 1,5; 4) у = 7x + 6. 416 Ответы и указания к упражнениям S о. 1. 1) -sinx; 2) 2 cos л: - 3; 3) г . 24) С08 X Б1П X 2. l)tgx + —2) ctgx------------%-•, 3) sinj:[l + —^ 4) -cosx|l + 2 С08 X . 2 Sin X 2 COS X sin X 1 . 2 sin X Л XCOSX-SinX COSX+XSinX ЛХ . « -V . Л - -X «.V Л . Л 3. 1)-----5-----; 2) -----5----; 3) sin 2x; 4) -sin 2x. 4. 1) cos x; 2) -6 sin 6x; 2 cos X 3) 2 cos 2x\ 4) -4 sin 4x. 5. 1) 2yJlTi r; 2) -2x sin x^; 3) -sin x cos (cos x); 4) —-—^ 6. 1) 3e^; 2) e^-—; 3) -e * + 5x*; 4) —-—. 7. 1) e®* (5 cos a: - cos^ exsjtg6x X 2x -1 1-lnx Igx -sinx); 2) —; 3) 2^fx ^Jx\nlO ; 4) a:*(31og2a: +—I 8. 1) 0; 2) 2; 3) -1; V ln2 / 4) -8. 9. 1) 4; 2) 1,5; 3) 0; 4) 0. 10. 1) Нет; 2) ±- + 2ti*, k e Z; 3) k e Z; 3 4 4) - + 7ift;(-l)*- + nft, k e Z. 11. 1) -2; 2) 0; 3) e; 4) -~ + nk, ft e Z. 2 6 4 12. 1) (0,5 In 0.5; +*); 2) (-oo; 0) U (0,5; +oo); 3) [-;+«]; 4) (1,5; +oo). ; 2) a) 1; 6) (1; +oo); в) (0; 1); 3) a) e; 13. 1) a) -=; 6) Г1 ^ (п 1 1 \yje J ; в) 0; Tt + 4 6) (0; e); в) (e; +oo); 4) a) e'*; 6) (e +oo); в) (0; e'% 14. 1) i/ = —-=x + —=, yJ2 4V2 2) y = 4x + l-~; 3)1/= 2; 4)j/ = -l. 15. 1) - +—, ft e Z; 2) 1; 3)0. 16. t/ = 5x + 2. 2 4 2 17. y = 3x-l. § G. Пункт 6.1. 1. a) Возрастает на [-6; -4] и [-2; 2]; убывает на [-4; -2] и [2; 6]; б) возрастает на [-7; -4] и [-2; 2]; убывает на [-4; -2] и [2;7]. 2. Возрастает на (-«з; -5] и [5; +аз); убывает на [-5; 5]. 3. Возрастает на [-3; -1]; убывает на (-6; -3] и [-1; 3). 6. 1) Возрастает на [1; +с»); убывает на (-оо; 1]; 2) возрастает на (-<в;-2-У2] и [2V2; + оо); убывает на [-2>/2; 2'72]; 3) возрастает на [-1; 0] и [1; -н»); убывает на (-оо; -1] и [0; 1]; 4) возрастает на (-оо; -1] и [1; +оо); убывает на [-1; 0) и (0; 1]. 7. 1) Возрастает на [0; Ч-оо); убывает на -оо; 0); 2) возрастает на [1; +оо); убывает на (0; 1]; 3) возрастает на -i-2Ttft; - + 2nk 6 6 на - + 27tft; — + 2nk 3 L3 , ft е Z; убывает на , ft 6 Z; убывает на - + 2кк; — + 2nk 6 6 ---i-27tft; - + 2кк 3 3 , ft 6 Z; 4) возрастает , keZ.S. l)(-oo; 0]; 2) [1; +00); 3) [0; 9]. 9. 1) 1; 2) 0; 3) я; 4) 1. 12. 1) Возрастает на (-оо; -2] и [1; +оо); убывает на [-2; 1]; 2) х = -2 — точка максимума; х = I — точка Ответы и указания к упражнениям 417 минимума. 16. 1) Возрастает на [3; +оо); убывает на (-оо; 3]; х = 3 — точка минимума; f (3) = -4; 2) возрастает на [-1; 0] и [1; +оо); убывает на (-оо; -1] и [0; 1]; зс = ±1 — точки минимума; /(-1) = Д1) = -1; д: = 0 — точка максимума; /(0) = 0; 3) возрастает на (-оо; -2] и [2; +оо); убывает на [-2; 0) и (0; 2]; X = -2 — точка максимума; /(-2) = -4; х = 2 — точка минимума; f(2) = 4; 4) возрастает на [1; 2]; убывает на [2; 3]; зс = 2 — точка максимума; f (2) = 2. 17. 1) Возрастает на [е; +оо); убывает на (0; 1) и (1; е]; х = е — точка минимума; f(e) = е; 2) возрастает на [-0,5; 0] и [0,5; +«); убывает на (-оо; -0,5] и [0; 0,5]; х = +0,5 — точки минимума; /(-0,5) = /(0,5) = -1,25; з: = 0 — точка максимума; /(0) = -1; 3) возрастает на (-оо; +оо]; 4) возрастает на я ---i-27tfe; - + 2nk 3 3 , ft G Z; убывает на - + 2nk; — + 2nk .3 3 , ft G Z; X = — -1-2лА, 3 ftG Z, — точки минимума; /f-- + 2nftl = -^^, ft g Z; x = - + 2nk, ft G Z, — V 3 ; 4 3 точки максимума; ^ + 2nft j = ft e Z. Пункт 6.2. 4.1) 6) (-oo; -4] U [4; -Ьхз); в) при a < -4, a > 4 — два; при a = ±4 — один; при -4 < а < 4 — нет; 2) б) [-2; +оо); в) при а < -2 — нет; при а = -2, а > 0 — один; при -2 < а < <0 — два; 3) а) график функции изображен на рис. 180; б) —; +оо|; в) при 2 2 2 а<— — нет; при а = —, а> 0 — один; при —<а<0 — два; 4) а) график ее е функции изображен на рис. 181; б) (-оо; 0) U [е; +оо); в) при с < 0, а = е — один; при о < а < е — нет; при а > е — два. 5. 1) 2; 2) 2; 3) 1; 4) 1. 6. 3), 4) Графики функций изображены на рис. 182 и 183 • а • Рис. 182 Пункт 6.3. 1. 1) = 9, = 5; 2) fmia fmtx ^raln 4) -1,и = -31. 2. 1) = 4, и= -4; 3) /_ = О =1--, 3. 2) = 1, = -3; 4) /_ = 1п2 + 5, /^ = 1п4 - 2. 4. 1) = 5. = -52; 4) = 78, /min - -53- 5. 5; 5. 6. 3,5; 0,5. 7. 6; -2. 8. Квадрат со стороной 5 см. 9. —. 6 12. 4. 13. Равнобедренный треугольник с боковой стороной — и углом а при 2 kR^ вершине. 14. —16. 13. 17. 367. 18. 14 + 2я. 19. К точке отрезка АВ, уда-V2 ленной от В на 1 км. § 7. 4. 1) -3; 2) ±2; 3) 2; 4) -3; 1. 5. 1) -3; 2) 25; 3) 4) 14; 5) 5; 6) -3; 7) 0,25; 6 8) 2V2; 9) 3; 10) 2; 11) 0; 12) -1-; 13) -; 14) 1; 15) 1,25; 16) 4-. 'I Ь 3 а 1) (-^; 0) и (2; -Ню) или х = 1; 3) (-3; -2] U [3; 4); 5) {-ю; -1] U (8; +оо); 8) [-2; 3]. § 10. 1. 1) бд: - 6; 2) 12х^1пд: -I- 7х^; 3) -2sinj: - xcosx; 4) (2 - ;с“)зшд: + Ответы и указания к упражнениям 419 + 4XCOSX. 2. 1) Выпуклая вниз на (-оо; -1) и (1; +оо); выпуклая вверх на (-1; 1); дс = ±1 — точки перегиба; 2) выпуклая вниз на и V 4 4J f п Гзп'1 л Зл — ; выпуклая вверх на -л;------, —; - и —; л ; х = ±-, х = ±----- V44y V 4 ) \ 4 4J \ 4 J 4 4 точки перегиба; 3) выпуклая вниз на (—оо; -1) и (0;1); выпуклая вверх на (-1; 0) и (1; +оо); х = 0— точка перегиба; 4) выпуклая вниз на (е>/ё; +оо); выпуклая вверх на (0; e-Je ); х = е4ё — точка перегиба. § 11. Пункт 11.1. 1. 1) 3; 2) 5. 2. 1) ±1; 2) 0. 3. 1) 2; 2) 0; 3) 2. 4. 1) 0; 2) 0; 3) 1. Указание. При х < 0 выполнить оценку значений левой и правой частей уравнения. 5.1) 1; 2; 2) 1; 3; 3) -2; 0. 6. 1) 0; 1; 3; 2) 0; 1; 2; 3) 0; ±1. § 12. 1. а < -3 или а > 1. 2. а = 1. 3. ft = 2. 4. х = 1, а = 3. 5. 1. 6. а = 3, ft = 1. 7. а = -23,25. 8. 5-Зл/з <а<5 + 3>/3.9. а<-32 или а > 32. 10. а < - 7 или а > 11. 11.-7 < о < 0 или 0 < а < 7. 12. 0 < а < 9. 13. а = --. 3 Допо.тнмтельные упражнения. 2. 1) 8; 2) 6. 3. 1) 8. 9. 1) 0,25. 27. 7) Указание. Прологарифмировать равенство у = (tgx)^* по основанию е и взять производную от обеих частей полученного равенства (учитывая, что 1п I/ — сложная функция), затем из последнего равенства найти у'. Раздел 2 § 14. 4. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет. 5. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да. 6 2 7 6. 1)2х- —+ С; 2) —+ sinx + C; 3) 2х“ + С; 4) -8х + С; 5) —+ С; 5 2 7 6) -^-2х + С; 7) Х + Л- + С; 8) —+ С. 7. 1) 2х-^^-^ + С; 2) —+ -Л- + Зх® 4 4 Зх"* 2 2х + sinx + C; 3)-—+ COSX + C; 4) -х®-х + С; 5) —(2х-8)®+С; 6) --cos2x + C; X 3 12 2 1 7)---(4-5х)"+С; 8) —sin х— +С; 9) 40 15(4-15х) ■ + С; 10) -2tg —X +С; 11)---------+ С; 12) -^ + itg(3x-l) + C. 8. 1) x--sin3x + 2cosf--xl + C; 3(Зх-1) 2х'' 3 3 V3 у' 1 2) -ictg 4х-2>/2-х -X® +С; 3) itg(3x + l)-3cos(4-x) + x*+С; 4) 4 3 4 (3 - 2х)‘ -V5X-2 +2sinf--xVc. 9. 1) ---10; 2)tgx- 1; 3) —+ 1-; 4)-cosx-2. 5 W / X 4 4 2 . 3 „ 2 . 10. l)x" + x; 2)x"-x2 + 4; 3) —+2x + -; 4)-+ ——4-. 11. 1) 2 sin x + 3; 2 2 3 2 3 420 Ответы и указания к упражнениям 2) x-— + Z\ 3) -cosfx + -l-2; 4) —V + 5-. 12. 1) 2х"-- + 1; 2) —+ 2х + 3; 3 \ Z) Зх 3 X 4 1 t 3) х-х^ + 8;4)---2хЧЗх + 5. 13. - + 14. 4sin- + 2. 15.+ 2t* + 2f + 7. X 3 2 § 15. Пункт 15.1. 1. 1) 6,6: 2) 1; 3) 20; 4) 1; 5) —; 6) 6; 7) 0,9; 8) 0,5. 3. 1) 3; 15 2) 2; 3) 973; 4) 4; 5) —+ 1; 6) 78; 7) —; 8) 9.5. 4. 1) 0,4; 2) 1,6; 3) 9^; 3 12 3 4) 10-. 5. 1) 0,75; 2) 2; 3) 7^; 4) 5^. 6. 1) 4,25; 2) 2^3-—; 3) 2-; 4) Vs 3 3 3 3 3 3 Пункт 15.2. 7. 5-. 8. 4,5. 9. 2) —; 3) -; 4) —. 10. 1) —; 2) lln; 3) —; 4) -. 3 2 2 15 5 3 6 § 16. 1. 1) 68 м; 2) 21-. 2. 1) у = Зх - 2х^ + С; 2) у = 2х® - 4х^ + х + С; 3 3) у = 1,5е*^ + С; 4) у = 2 sin 2х + С. 3. 1) у = 1 - cos х; 2) у = 2 sin х + 1; 3) у = х^ + 2х* - X - 4; 4) у = 2х + х2 - х« + 2; 5) у = е* + 1 - е; 6) у = + 3. Раздел 3 § 17. Пункт 17.1.1. 1. 12. 2. 1) 16; 2) 60. 3. 1) 2052; 2) яблоко. 4. 1680. Указание. Целесообразно в качестве мест выбрать экзамены и размещать по ним заданные дни. 5. 24. 6. 870. 7. 336. 8. 210. 9. 2730. 10. 26-25-24-23-22. 11. 120. 12. 96. 13. 544 320. 14. 1) 24; 2) 12. 15. 1) 5; 2) 6. Пункт 17.1.2. 1. 24. 2. 5040. 3. 120. 4. 6. 5. 1) 720; 2) 600. 6. 1) 6; 2) 6. 7. 384. 8. 240. 9. 5!'81. 10.101; (51)^. Пункт 17.1.3. 1. 21. 2. 56. 3. 210. 4. 1) 55; 2) 165. 5. 400 400. § 18. Пункт 18.1. 1. 1) Случайное; 2) невозможное; 3) случайное; 4) невозможное; 5) случайное; 6) невозможное; 7) случайное; 8) невозможное; 9) достоверное; 10) случайное; 11) случайное. 3. 0,03. 4. 0,002. 5. 0,998. 6. 0. 7. 1. 8. 1) 1; 2) 0. 9. —. 10. . 11. 0,04. 12. 0,75. 13. —. 14. 0,95. 24 1250 12 2 15. 1) 0,5; 2) 0,5; 3) 16. Выигрыши равновозможные. 17. Нет. 18. 1) Крас- 3 ное; 2. а) 1; б) 0; в) 0,4; г) 0,52. 19. Любую. 20. 1 красная, 5 желтых. 21. Зеленая, р = ~. 22. 1) —; 2) 0; 3) -; 4) 11. 23. —. 24. -. 25. —. 6 15 3 36 3 120 Пункт 18.2. 4l. I) 2) 3) А^+А^+А^; 4)Ац-А2’А^; 5) Aj • А^ • А^. 5. А и В; А и С; В и М; С и D; С и М; С и Т; D и К; D и М; D и Т. 6. А и В; С и D; С и М; D и М; К и М. 7. —. 8. —. Пункт 18.3. 2. 1) 0,42; 16 13 --------- Ответы и указания к упражнениям 421 2) 0,51; 3) 0,49. 3. 1) 0,43; 2) 0,1; 3) 0,9. 6. 1) 0,71; 2) 0,71; 3) 0,51; 4) 0,49; 5) 0,96; 6) 1. 7. 1) 0,53; 2) 0,9; 3) 0,47; 4) 0,76. Пункт 18.4. 1. Шансы оди- 2 2^3 каковы. 2. В кино. 3. Шансы одинаковы. 4. -. 5. -------. 6. 0,5. 7. 0,4375. л Зл Пункт 18.5. 1. 1) i; 2) -; 3) —; 4) -. 2. 1) 0,5; 2)0,625. 3. 0,2375. 4. 0,2. ----------- 3 9 30 3 5. —. Пункт 18.6. 1. 0,64. 2. —. 3. 0,0012. 5.1)0,42; 2) 0,985; 3) 0,14; 203 -------- 12 4) 0,425. 6. 0,714. 7. 0,126. 8. 0,5. 9. л > 4. Пункт 18.7. 4. 1) Три из четырех; 2) не меньше пяти из восьми. Пункт 18.8. 1. 3. X 1 2 3 4 5 6 р 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 X 1 2 Р 1 6 5 6 Z 1 2 р 0,5 0,5 X 0 1 2 Р 0,25 0,5 0,25 4. X 0 1 2 3 Р 0,125 0,375 0,375 0,125 6. 3,5. 8. Игра несправедливая. 10. Игра несправедливая. 11. 2 :1. 12. Первый игрок должен получить 157,5 ливров, второй — 52,5. 13. 11 : 5. Пункт 18.9. 2. 240. Цвет черный красный синий серый белый желтый зеленый Количество кепок 9600 6000 4800 4200 3300 1500 600 3. 4. Жирность 0 0,5 1 1,5 2,5 3,5 5 Количество литров 400 240 160 200 480 280 240 Пункт 18.10. 5. 1) Д = 4; Мо = 2; Me = 2; Х = 2-; 2) Д = 8; Мо = 2; Me = 1; ------------- 3 Х = 0,6. 6. 1) Л - 3; Мо - 3; Me “ 3; Х = 3-^; 2) Л = 8; Мо, = 4; Мо, = 5; 11 Me = 4; Х = 3-. 7. Мо, = 135; Мо, = 140; Me = 135; Х = 129-^. 7 11 § 19. Пункт 19.2. 1. 1) 28 560; 2) 180 000. 2. 2 980 000. 3. 140 625. 4. 1) 504; 2) 16 848; 3)34 992; 4) 6561. 5. 1) 40; 2) 60. Указание. Учесть остатки от деления заданных цифр на 3. 6. 2520. 7. 16*®®. 8. 91. 9. 1) С,®^; 2) QV10. с;. 422 Ответы и указания к упражнениям Дополнительные упражнения. 1. 729. 2. 2916. 3. 24. 4. 48. 5. 210. 6. 816. 7. 72. Указание. Учесть остатки от деления заданных цифр на 3. 8. 126. Указание. Можно сначала расположить в ряд 8 белых шаров и занумеровать 9 мест, которые могут занимать черные шары (чтобы выполнялось условие задачи), а затем выбрать 4 из полученных номеров, которые и укажут места расположения 4 черных шаров. 9. С|’2 + С• С,^ + Cf,, • + + Cfo-Cf2 =23562. 10. 480. 11. 900. 12. 54. 13. 45. 14. 11. 29. Нет. 30. С Наташей. 31. г). 32. Вероятность выздороветь у этого больного меньше, чем 0,01, поскольку, судя по предыдущим результатам, этот врач хуже среднего. 33. Нет. а)-г) возможны. Раздел 4 § 20. Пункт 20.1. 2. 1) JC = 3; у = -4; 2) х = 3; у = 8; 3) х = -3; у - -2; 4) X = 1; J/ = 0. 3. 1) 8 - 2i; 2) -2 + i; 3) 3 - 4t; 4) 4. 4. 1) 4 - 5i; 2) 2 -t- 19i; 3) -11 - 5t; 4) 6 -I- 4i. 5. 1) 18 -I- 16i; 2) -16 - 28i; 3) -18 + 14i; 4) 65. 6. 1)3 - 4i; 2) 5 + i; 3) 2,96 - 0,28i; 4) 0,5 - 0,5i. 7. 1) i; 2) i; 3) 1; 4) 0. 8. 1) -5 - 12i; 2) -2 - 2i; 3) -7 + 24i; 4) 2 -i- Hi. 10. 1) 2±iS\ 2) 0,5 ± 0,5i; 3) ^ ; 4) Пункт 20.2.2.1) 2fcos--Hisin-l; 2) 2-У2 fcos- + isin-l; 2 6 \66/ \44/ 3) 3| cos- + isin-1; 4) 3>/21 cos—-i-isin— ; 5) 4 (cos я + isinn); V 2 2; V 4 4 ) 6) 2|^co3-^ + /sinyJ; 7) 4 |^cosY + isinyJ. 3. 1) 2S + 2i; 2) -3 + 3yf3i; 3) —У2-/-У2. 5. l)z,Z2 =48| cos—+ isin—| = -24>/з-24i; — = 3[ cos- + isin-j = 3i; \ 0 0 / 2^ \ 2 2 / 2) z.z, =18| cos- + isin-l = 18i; — = 2(cosx + isinn) = -2. 6. 1) V2|cos—+ \ 2 2j Ч 12 [sf f . ■ f V3-3 л^ + 3. . . 5я) у/з-1 >Уз + 1 . + isin— =------+------г; 12У 2 2 04 • • 1 .*4 1 f 11я . . Ия"! л/з+1 4/3-1. _ ,, 3) cos л -I- 131пя = -1; 4) -= cos— + isni— =---------------+---------1. 7. 1) 256; V2 V 12 12 у 4 4 2) 32 768i; 3) 4096; 4) -1024. 8. 1) ±- + -Ц -i; 2) + 2 2 4/2 \2 4/2 \2 3) ±4/2114/2; 4) ±i; ±—±U. 9. 1) 3; 2 2 ±4/3 + i; 4) ±5; ±5/. -3± Зл/ii 2) 3 3) ±2i; Ответы и указания к упражнениям 423 Раздел 5 § 21.1. 1) 8; 2) 12; 3) 9; 4) 7. 2. 1) 1; 2) 5; 3) 3; 4) 2; 5) 5; 6) 6; 7) 2; 8) -2,5; 2; 9) ^9 ; 10) ^ . 3. 1) ; 2) ; 3) 1; 4) 2. 4. 1) 12; 2) 8. 8 8 5. 1) корней нет; 2) -3; 2; 3) -1; 0; 4) 4. 6. 1) .3) 2 + л/з ; 4) 2 +V2.7. 1) 3; 2) 2. 8. 1) - + пт, т е Z-, (-1)*- +лЛ, k&Z; 2) лт, т е Z; 2 3 , л „ П 14 /ч . . Зл , 5л . Л Зл 2л л 4л 5л 4 4 4 2 2 3 33 3 10. 1) - + лт, т е Z; (-!)*** —+ лА, keZ; 2) лт, т е Z; ±—+2nk, keZ. 2 6 3 -.4 I гг , 5л _ л nk , rw у ^ I ^ 11. 1) —, keZ; ±— + 2лл, neZ\ 2) — + —, keZ; (-1) — +—, heZ. 6 3 12 2 15. 1) ±arccosj^-y|J + 2лA, fteZ; 2) ±^ + 2nn, nsZ. 21. 1) 1; 2) -1. 23. 1) 0; 4; 2) -1; 3. 24. 1) ^ + 2лл, nsZ; ^ + 2лА, ksZ; 2) ^ + 2лга, neZ; 2nk, keZ; 3) ±агссоз-7^ + 2лл, neZ. 28. 1) ; - 6; - 5; 2) - 4; —; - 3. V3 + 1 4 4 29. 1) - + 2лА, keZ; nn, neZ. 30. 1) 1,5; 2) 0. 32. 1) 3; 2) 1. 38. 1) 6 n 12 ;i ; 2) -;ll. 41. 1) 4 37 + л/б9 50 ; 2) 2 П + у1тЗ 18 ; 3) (-oo; 2]U[6,5; +co), . 62. 1) (1; 5); 2) (2; 1). 63. c = -1. 69. 0;-^ 12 43. 1) (0,68; 0,7); 2) (0,44; 0,5). 46. 1) (2лА; л + 2лА), keZ. 50. 2) (-00; 0)U(1; 2) . 72. — Л. 73. 0,5 Л. 74. 75 км/ч. 3 75. 40 км/ч. 76. 45 и 36 дней. 77. 10 дней. 78. 6 часов. 79. 60 км/ч. 80. 15 км/ч. 81. 40 км/ч и 55 км/ч. 82. 3:1. 83. 3 кг и 7 кг. 84. 45 кг. 85. 40 кг. 86. 2,5 кг. 87. 3 тонны. 88. 98. 89. 25 лет. 90. 19 и 13 квартир. 91. 7 кг; 4 кг; 4 кг. 92. 850 л. 93. 6 месяцев. 424 Обозначения, встречающиеся в учебнике Обозначения, встречающиеся в учебнике N — множество всех натуральных чисел 2 — множество всех целых чисел 2^ — множество всех неотрицательных целых чисел Q — множество всех рациональных чисел R — множество всех действительных чисел, числовая прямая — множество всех положительных действительных чисел [а; Ь] — отрезок (замкнутый промежуток) с концами аяЬ,а<Ь (а; Ь) — интервал (открытый промежуток) с концами а я Ь, а < Ь полуоткрытые промежутки с концами а я Ь, а < Ь (а; Ь]. [а; Ь) - (а; +00), [а; +00), (-оо; ы (-ОО; Ь) -(-00; -fOO) - (о - 8, а + UI- W-{^} -f(x)~ D(f)~ - бесконечные промежутки — бесконечный промежуток, числовая прямая 8) — 8-окрестность точки а модуль (абсолютная величина) числа X целая часть числа х дробная часть числа х значение функции f в точке х область определения функции f Е (f) — область значений функции f Ах — приращение аргумента х Af{x^ Af— приращение функции / в точке Хо f' (*о) — производная функции f в точке х^ sin — функция синус cos — функция косинус tg — функция тангенс ctg — функция котмгенс arcsin — функция арксинус arccos — функция арккосинус arctg — функция арктангенс arcctg — функция арккотангенс Га ^ -— log„ — Ig — In — max/ — [«:« min/ — (o:M \f(x)dx -]f(x)dx - арифметический корень из числа а арифметический корень 2к-я степени из числа а (А е N) корень (2А+1)-й степени из числа а (к е N) логарифм по основанию а десятичный логарифм (логарифм по основанию 10) натуральный логарифм (логарифм по основанию е) наибольшее значение функции / на отрезке [а; 8] наименьшее значение функции / на отрезке [а; Ь] ■ неопределенный интеграл функции / определенный интеграл функции / в пределах от а до 8 Список использованных сокращений 425 Список использованных сокращений ВГУ — Воронежский государственный университет Волгу — Волгоградский государственный университет ВШЭ — Государственный университет Высшая школа экономики ГАСВУ — Государственная академия сферы быта и услуг ГФА — Государственная финансовая академия при Правительстве Российской Федерации ГУУ — Государственный университет управления ДВГУ — Дальневосточный государственный университет ЕГЭ С — Единый государственный экзамен (по математике) часть С (задания с развернутым ответом) ЛТА — Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия МАИ — Московский авиационный институт (государственный технический университет) МАМИ — Московский государственный технический университет (Московский Автомеханический Институт) МАТИ — Российский Государственный Технологический Университет нм. К. Э. Циолковского МГАТХТ — Московская государственная академия тонкой химической технологии МГСУ — Московский государственный строительный университет МГТУ — Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана МГУ — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; ВМК — факультет вычислительной математики и кибернетики биол. ф-т — биологический факультет геогр. ф-т — географический факультет геолог, ф-т — геологический факультет ИСАА — институт стран Азии и Африки мехмат ~ мехаинко-математическнЙ факультет физ. ф-т — физический факультет хнм. ф-т — химический факультет дк. ф-т ~ экономический факультет МГУИЭ — Московский государственный университет инженерной экологии МГУЛ — Московский государственный университет леса МГУПБ — Московский государствеиный университет прикладной биотехнологии МИИТ — Московский государственный университет путей сообщения МИРЭА — Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (техни- ческий университет) МИФИ — Национальный исследовательский ядерныЙ университет МИСиС — Московский явстнтут стали и сплавов МИЭМ — Московский государственный институт электроники и математики (технический универ- ситет) МПГУ — Московский педагогический государственный университет МТУСИ — Московский технический университет связи н информатики МФТИ — Московский физико-технический институт (государственный университет) МЭСИ — Московский государственный университет экономики, статистики и информатики ННГУ — Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского ОмГУ — Омский государственный университет ПГУ — Пермский государственный университет РЭЛ — Российская экономическая академия мм. Г. В. Плеханова СПбГИЭУ — Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет СПбГУ — Санкт-Петербургский государственный университет СПбГУКнТ — Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения СПбГУНиПТ — Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий СПбГУТ — Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций СП6УЭФ — Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов СПбГУ АП — Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения СТАНКИН — Московский государственный технологический университет УрГУ — Уральский государственный университет 426 Предметный указатель ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аксиомы вероятности 277 Асимптота 88, 136, 137 — вертикальная 83, 88, 136, 138 — горизонтальная 89, 137, 140 — наклонная 84, 89, 137, 140 биномиальные коэффициенты 251-253 Бином Ньютона 250-252 Карианта 310 Вариационный ряд 310 Вероятность произведения событий 290-291 — события 257, 258, 261, 275-277, 280, 283 ----достоверного 258, 262 ----невозможного 258, 262 ----противоположного 268, 270 — суммы несовместных событий 269,272 событий 273 — того, что произойдет хотя бы одно из независимых событий 291, 294 — условная 286, 287 Выборка 310, 311 — репрезентативная 311 Выборючный метод 314 Гармонические колебания 227 ----, амплитуда 227 ----, начальная фаза 227 ----, угловая частота 227 Генеральная совокупность 310, 311 Геометрическое изображение комплексных чисел 349, 355 Геометрический смысл дифференциала 184 ----модуля 7, 11 ----определенного интеграла 208 ----производной 31, 38 Действия над комплексными числами 348, 351-355 Дифференциал 184 Дифференцирювание 30, 36 Дополнение множества 271 Достаточное условие возрастания функции 62, 67, 74 — — существования точки перегиба функции 148, 155 ----убывания 62, 67, 74 ----экстремума 63, 73, 74 Чакон больших чисел 296, 298, 299 — распределения случайной величины 301, 302 Интеграл определенный 206, 208, 211, 214 — —, вычисление объемов 219, 221, 222 ----, площадей 217-220 ----, свойства 207, 212 — неопределенный 196, 199 Интегральная сумма 208, 214 Исследование функции 64, 69, 75, 82-84, 149-152, 156 Касательная к графику 30, 31, 34, 37 Комбинаторика 233, 235 —, схема решения задач 235 Комплексная плоскость 349, 355 Комплексное число, алгебраическая форма 347, 351 ----, аргумент 358, 361 ----, возведение в натуральную степень 352, 359, 364 ----, действительная часть 347, 351 ----, извлечение корня 359, 364 ----, мнимая часть 347, 351 ----, модуль 358, 361 — —, тригонометрическая форма 358, 360 Криволинейная трапеция 207, 209 Критические точки 63, 69 Максимум функции 63, 70 Математическое ожидание 304 Мгновенная скорюсть 30, 31, 33, 39 Медиана 317, 323 Меры центральной тенденции 324 Предметный указатель 427 Метод интервалов 21, 24 Механический смысл производной 31, 39 Минимум функции 63, 70 Мнимая единица 347, 350 Многочлен 23, 90, 91 Множество — упорядоченное 233, 236,237 Мода 317, 322 Модуль действительного числа 7, 11 Наибольшее и наименьшее значения функции 100, 102-105 Необходимое и достаточное условие постоянства фунции 62, 68 Необходимое условие существования точки перегиба 148, 155 ----экстремума 63, 72 Неравенство Чебышева 296, 299 область определения функции 85-86 Определение вероятности геометрическое 280, 281, 283 ----классическое 257, 258, 261 ----статистическое 275, 276 Оценка значений левой и правой частей уравнения 158 Первообразная 195, 197 —, основное свойство 195, 198 Перестановки без повторений 233, 241 — с повторениями 327, 332 Первый замечательный предел 130 Полигон относительных частот 318 — частот 318 Последовательность! 28 Правила дифференцирования 45-49 — интегрирования 196, 199, 200 — нахождения дифференциалов 185 Правило произведения 234, 236 — суммы 234, 235 Предел последовательности 128 Предел функции 19, 22, 112, 114 ----бесконечный 127 ----, критерий существования 122 ----левосторюнний 122 ----на бесконечности 126 ----односторонний 121 ----правосторонний 122 Признак максимума функции 73 — минимума 74 Применение производной к доказательству неравенств 172 ---------тождеств 143, 145 -------исследованию функций 82 ------решению задач с параметрами 177 ---------уравнений и неравенств 158 Приращение аргумента 29, 32 — функции 29, 32 Произведение событий 269, 271 Производная 30, 35 — вторая 147, 152 — произведения 45, 46 — п-го порядка 152 — сложной функции 45, 49 — суммы 45, 46 — частного 45, 47 Производные обратных тригонометрических функций 143-145 — элементарных функций 45, 46, 48, 54 Пространство элементарных событий 257, 261 Работа силы при перемещении тела 229 Равенство комплексных чисел 347, 351, 359, 363 Размах выборки 316, 322 Размещение без повторений 233, 237, 242 — с повторениями 327, 329 Ранжирование ряда данных 316, 318 Распределение вероятностей дискретное 303 Случайная величина 302 ----дискретная 303 ----закон распределения 302 Событие достоверное 257, 260 — невозможное 257, 260 —, относительная частота 275, 276 — противоположное 268, 270 — случайное 256, 258 —, частота 275, 276 — элементарное 257, 261 События независимые 290, 291 , свойство 291, 292 — несовместные 256, 257, 260 — равновозможные 256, 260 428 Предметный указатель Соединения 233, 235 Сочетания без повторений 234, 245 — с повторениями 327, 334 Среднее значение выборки 323 Статистика 308 — математическ£1я 309 Степени числа i 348, 352 Сумма бесконечно убывающей геометрической прюгрессии 130 Сумма событий 269, 270 Схема Бернулли 295, 297 аблица неопределенных интегралов 196, 200 — распределения значений случайной величины по их вероятностям 301 Теорема Вейерштрасса 103 — о единственности предела 120 — умножения вероятностей 286, 287 Теоремы о пределах функции 112,115-119 — о корнях уравнения 159 Теория вероятностей 258 Точка максимума 62, 70 — минимума 62, 70 — перегиба графика функции 147, 154 функции 147, 155 — разрыва непрерывной функции 23, 124 Треугольник Паскаля 246, 251 Угловой коэффициент касательной 31, 38 Уравнение дифференциальное 225 ----, решение 225 — касательной 31, 38 Ускорение прямолинейного движения 31, 39 '1'ормула Бернулли 295, 297 — Лагранжа 67 — Ньютона-Лейбница 206, 211 Функция бесконечно большая 128 — малая 113, 116 , свойства 113, 117 — возрастающая 62, 65 — выпуклая вверх 147, 148, 153, 154 вниз 147, 148, 153, 154 — дифференцируемая 31, 35, 39 — интегруемая на отрезке 211 — монотонная 62, 65 — непрерывная 20, 23, 123 , свойства 20, 24, 125 — нечетная 86, 94 — периодическая 86 — постоянная 23, 62, 67, 143, 145 — разрывная 23, 124 — убывающая 62, 65 — четная 86, 94 Тисла действительные 6, 10, 193, 194, 350, 351, 354 — дробные 6, 8 — иррациональные 6, 10, 350 — комплексные 347, 351, 358, 360 сопряженные 347, 348, 352 — натуральные 6, 8, 349 — рациональные 6, 8, 350 — целые 6, 8, 349 Число нуль 6, 8 — чисто мнимое 351 • )ксперименты случайные 256, 258 — независимые 295, 296 Экстрюмум функции 63, 70 локальный 71 Содержание 429 СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ § 1 Действительные числа и их свойства...........................6 § 2 Понятия предела функции в точке и непрерывности функции...18 § 3 Понятие производной, ее механический и геометрический смысл......................................................29 § 4 Правила вычисления производных. Производная сложной функции................................45 § 5 Производные элементарных функций............................54 § 6 Применение производной к исследованию функций...............62 6.1. Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции и экстрюмумов функции...............................................62 6.2. Общая схема исследования функции для построения ее графика...............................................82 6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции.............100 § 7 Понятия и основные свойства предела функции и предела последовательности........................................112 7.1. Доказательство основных теорем о пределах............112 7.2. Односторонние пределы................................121 7.3. Непрерывные функции..................................123 7.4. Предел функции на бесконечности. Бесконечный предел функции. Предел последовательности...................126 7.5.,Предел отношения при дс 0 .......................130 X 7.6. Практическое вычисление предела функции..............132 § 8 Асимптоты графика функции..................................136 § 9 Производные обратных тригонометрических функций. Доказательство тождеств с помощью производной.............143 § 10' Вторая производная, производные высших порядков. Понятие выпуклости функции ...............................147 § 11 Применение производной к решению уравнений и неравенств..............................................158 11.1. Применение производной к решению уравнений и неравенств.........................................158 11.2. Применение производной к доказательству неравенств.172 430 Содержание лт Применение производной к решению задач с параметрами.......177 Ц[13Л Дифференциал функции......................................184 Дополнительные упражнения к разделу 1...........................187 Сведения из истории.............................................192 РАЗДЕЛ 2. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ § 14 Первообразная и ее свойства.............................195 § 15 Определенный интеграл и его применение..................206 15.1. Геометрический смысл и определение определенного интеграла...........................................206 15.2. Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов.............................217 иЯ81Ш Простейшие дифференциальные уравнения.....................225 Дополнительные упражнения к разделу 2...........................230 Сведения из истории.............................................232 РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ § 17 Элементы комбинаторики и бином Ньютона..................233 17.1. Элементы комбинаторики.............................233 17.1.1. Правила суммы и произведения. Упорядоченные множества. Размещения...........235 17.1.2. Перестановки................................241 17.1.3. Сочетания...................................245 17.2. Бином Ньютона......................................250 § 18 Основные понятия теории вероятностей....................256 18.1. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности................256 18.2. Операции над событиями. Свойства вероятностей событий.......................268 18.3. Относительная частота случайного события. Статистическое определение верюятности .............275 ДУ4? Геометрическое определение верюятности..............280 >90.^. Условные верюятности..............................286 18.6. Независимые события................................290 Содержание 431 18.7. Схема Бернулли. Закон больших чисел................295 18.8. Понятия случайной величины и ее распределения. Математическое ожидание случайной величины..........301 18.9. Понятие о статистике. Генеральная совокупность и выборка.................308 18.10. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных...............316 § 19 Соединения с повторениями. Решение более сложных комбинаторных задач................327 19.1. Соединения с повторениями..........................327 19.1.1. Размещения с повторениями...................328 19.1.2. Перестановки с повторениями.................332 19.1.3. Сочетания с повторениями....................334 Цв.2 . Решение более сложных комбинаторных задач.........336 Дополнительные упражнения к разделу 3...........................340 Сведения из истории.............................................343 РАЗДЕЛ 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА $20 Комплексные числа.........................................347 20.1. Алгебраическая форма комплексного числа............347 20.2. Тригонометрическая форма комплексного числа........358 РАЗДЕЛ 5. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ СВЕДЕНИЙ ОБ УРАВНЕНИЯХ, НЕРАВЕНСТВАХ И ИХ СИСТЕМАХ § 21. Уравнения, неравенства и их системы................368 Справочный материал.............................................398 Таблица 1. Разложение алгебраических выражений на множители .................................398 Таблица 2. Свойства корней л-й степени ..................399 Таблица 3. Свойства логарифмов...........................400 Таблица 4. Тригонометрические формулы и уравнения........401 Таблица 5. Простейшие показательные уравнения............404 Таблица 6. Решение более сложных показательных уравнений.....................................405 Таблица 7. Решение показательных неравенств..............406 432 Содержание Таблица 8. Решение логарифмических уравнений............408 Таблица 9. Решение логарифмических неравенств...........410 Таблица 10. Преобразование графика функции у = f (дс)...412 Таблица 11. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными ........................413 Ответы и указания к упражнениям...............................415 Обозначения, встречающиеся в учебнике.........................424 Список использованных сокращений .............................425 Предметный указатель..........................................426 Нелин Евгений Петрович Лазарев Виктор Андреевич Алгебра и начала математического анализа 11 класс Подписано в печать 03.02.2012. Формат 7(к<90/16. Усл.-печ. л. 31,59. Тираж 5000 экз. Заказ 4875. СЮО «Илекса», 105187, г. Москва, Измайловское шоссе, 48а, сайт: www.ilexa.ru. E-mail: [email protected], факс 8(495) 365-30-55, телефон 8(495) 984-70-83 Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных издательством материалов в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбиват детской литературы им. 50-летия СССР». 170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября. 46. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА arcsin (- а) = — arcsin а arccos (- а) = я - arccos а arctg (- а) = - arctg а arcctg (- а) = я - arcctg а ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ у' = lim — Ах f (^о) = tg ф = /г (ft — угловой коэффициент касательной) Уравнение касательной ^0 ^ у = f(x^) + f - X,,) ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ с' = о (с — постоянная) х' = \ = ПХ'' ~ ^ X (е^У = (sin х)' = cos X 1 Ш'-Д- 2у1х ш'= (tgA:) = соа^л: (а*)' = а"' In а (cos х)' = —sin X (ctgx)' =— sm X (Inx)’ = — X (log„x)'=-^ xlna ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ {сиУ = си' + v'u {u + v)’ = u' + v' lu\_uv-v'u \vl Производная сложной функции Если у = f (и) и и = и (х), то есть у = f (и (х)), то (Ц«(^с))) =/„'(u)-u;(x).