Учебник Алгебра 10 класс Муравин углубленный уровень

i. ■ 1 ;s Итак, наше утверждение доказано. Л ^ Касательную, проведенную к единичной окружности в точке Ро, называют осью тангенсов. Наверное, поэтому математик Т. Финк в конце XVI века назвал отношение синуса к косинусу «тангенсом*, что в переводе с латыни означает «касающийся*. Прямая ОС проходит через начало координат, ее уравнение, как вы знаете, у ^ kx. При х = \ получаем у = куТ, е. угловой коэффициент прямой у = кх равен ординате точки С, Значит, Л = tg ф. Угол ф, образованный в верхней полуплоскости прямой у = кх и лучом Ох у называют углом наклона прямой. Такие же углы образуют с положительным направлением оси абсцисс все прямые у = кхЛ^ Ь: угловой коэффициент прямой у = кх + Ь равен тангенсу ее угла наклона, В тршюнометрии наряду с синусом, косинусом и тангенсом рассматривают котангенс угла — частное косинуса и синуса: ctg9 COBIp fidno 116 Это равенство позволяет определить котангенс любого утла, синус которого отличен от нуля, т. е. Ф 5^ 7W (п — любое целое число). Пример 1. Найти тангенс и котангенс угла 220'’. Решение. Построим единичную окружность с центром в начале координат и проведем ось тангенсов. Отметим на окружности с помощью транспортира точку ^220° (220' - 360'’ - 140'’). Через точку Р220^ ® начало координат проведем прямую — она пересечет ось тангенсов в точке С (рис. 74). Ордината этой точки приближенно равна 0,84. Значит, tg 220*"« 0,84. Заметив, что ctg(p = _ СОЙф 8Шф siay tgy ’ cosy найдем: ctg 220^* = tg 220“ 0,84 ^==1,2. Ответ; tg 220'’ == 0,84, ctg 220'’ ~ 1,2. Можно было для определения значения котангенса воспользоваться осью котангенсов (рис. 75). Абсцисса точки пересечения прямой, касающейся единичной окружности в точке (О; 1), с прямой ОРф равна котангенсу угла ф. Доказательство этого факта аналогично доказательству, проведенному для оси тангенсов. С(1;0.84) Z)(l,2; 1) Рис. 74 Рис. 75 117 CiV, -1,2) Рис. 76 Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых ра* вен -1,2. Решение. Отметим на оси тангенсов точку С с ординатой, равной -1,2, и проведем пря-мзчо ОС. Прямая ОС пересекает единичную окружность в точкак Pqp и Рро — концах одного и тогб же диаметра (рис. 76). Углы, соответствующие этим точкам^ отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т. о; на ISO'^n (п — целое число). С помощью транспортира находим, что угол РдоОРо равен -50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен -1,2, следующий: -^50° + 180°л (п — целое число). Ответ: -50° + 180°п (л е Z). По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например, ^; 1 J 8iti30^ _ 2 _ 1 cos30° ^ " 3 * 2 __ .» Перечисленные углы довольно часто встречаются в разныз^ задачах, гГоэтому полезно запомнить значения тангенса и тангенса этих углов. tg 30' Г' а 30° 45° 60° п п П -1 (ррад 6 4 3 tg(j> Л 3 ' 1 л ■> - - . ^ ctg

2)(-1:-|) 3)(^|;-А) 4){|;|). 118 239* Определите знак выражения: 1) tg 148"; 7) ctg j tg 5 ’ 2) ctg 248"; 3) ctg 348"; 4) tg 548"; 5) tg 230" sin 130"; 6) cos 285° ctg 185"; 8) tg^ ctg^; 9) ° tg 68" - sin 68"; 10) ^ tg 125" +sin 125"; 11) ^tgl,7«-8inl,7K; 12) ^ tg 1,2k + sin 1,2k. 240. В каких координатных четвертях синус и тангенс имеют: 1) одинаковые знаки; 2) разные знаки? 241* 1) В каких четвертях тангенс и котангенс: а) положительны; 6) отрицательны? 2)^ Могут ли тангенс и котангенс одного угла иметь разные знаки? 242, С помощью оси тангенсов найдите: 1) tg 72°; 3) tg 126°: 5)° ctg 215°; 2) tg 40°; 4) tg 310°; 6)° ctg 165°. 243*^. Найдите общий вид углов, тангенс которых равен: 1)1,3; 2)0,7; 3)-0,4; 4)-1,7. 244*. Для каких углов от 0° до 360°: 1) тангенс равен котангенсу; 2) тангенс противоположен котангенсу; 3) тангенс больше котангенса; 4) тангенс меньше котангенса? 245^. Докажите, что синус острого угла меньше тангенса того же угла. 246^. С помощью единичной окружности определите, имеет ли смысл выражение: 2)lgtg4; 3)Vtg5; 4)lgtg6. 247*. Докажите, что абсцисса точки пересечения прямой ОРф с осью котангенсов равна ctg ф. ПО 248^. Заполните таблицу. a® 0° 30" 45° 60° 90° 120" 135° 150° 180°

— Л I I I 249. Вычислите: к 1) tgtt • cos 2) ctg|-f tff^; 3) cos5+tg^; 4) 2 cos у -1 tg 7C. 250. Проверьте справедливость равенства: cos 30° + tg 45° - 1 - ctg 60° (1 Ч sin^ 45°). 251^. Найдите все углы ф, при которых верно равенство: l)tg9 = 0; 2)с^еф = 0; 3)tg9=l; 4)tgф*-l. 252*. Найдите все углы ф из промежутка [0; 2л], для которых верно равенство: 1) 1дф=л/3; 4)tgф = *-^; 2) ctg ф = 5) Ig tg ф = Ig sin ф - Ig cos Ф; 3) tg9=-T3; 6) Ig ctg Ф = Ig cos Ф - Ig sin ф. 253*. Укажите все углы ф, для которых не имеет смысла выражение: tg

+r 6) Ig ctg ф. 254*. Запишите уравнение прямой, если известно, что она проходит: 1) через начало координат; 2) через точку с координатами (0; 3) и ее угол наклсша равен: а) 30°; 6)45°; в) 120°; г) 135°. 255. Что больше: 1) sin 1° или sin 1; 3)^ sin 15° или sin 15; 2) tg 1 или tg 2; 4)^ cos 3 или cos 47 120 Контрольные вопросы и задания 1. Что называется тангенсом а котангенсом любого угла <р? 2. При каких значениях ф выражение ctgфtgф не имеет смысла? Докажите, что равенство ctg ф tg ф = 1 верно при всех допустимых значениях ф. 3» С помощью оси тангенсов найдите tg (-40'^). 16, Простейшие тригонометрические уравнения в предыдущих пунктах вы уже находили угол по значению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Другими словами, вы уже решали уравнения вида • 8Шф“а, соаф = а, tgф-a, ctgф = a. Эти четыре уравнения принято называть простейшими тригонометрическими уравнениями. В дальнейшем нам будут встречаться различные тригонометрические уравнения, однако все они в процессе решения будут сводиться к простейшим. Естественно поэтому сначала выяснить, как решаются простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение sin ф ~ о Прямая у^а при -1 < а < 1 пересекает окружность в двух точках Рф и Ря - ф (рис. 77). Число ф, принадлежащее промежутку Ij, синус которого равен о, называют арксинусом а. Обозначение: arcsina («агс» означает «дуга», а целиком «arcsina» можно перевести как «угол, синус которого равен аь). Из рисунка 77 видно, что уравнение sin ф = о при -1 < а < 1 имеет две серии корней: sin 9 = а, = arcsin а + 2яп, Ф2 = я arcsin а + 2яп {п — любое целое число). Рис. 77 Ук 1 Рп Vo 0 -1 г 121 Выражение для второй серии корней можно несколько упростить» записав: <р2 =“ -arcsin а + (2 л + 1)тс. Решение каждого из уравнений sin <р = 1 и sin <р “= -1, как вы уже видели» записывается в виде одной серии корней: ein ф — 1, ф = 5 + 2кп (л — любое целое число); sin ф = —1, ф — — I 4- 2кп (л — любое целое число). Уравнение сое ф — а В данном случае нам надо рассмотреть прямую» перпендикулярную оси абсцисс, которая при -1 < л < 1 пересекает окружность в двух точках и (рис. 78). Как и в предыдущем случае» для числа ф вводят специальное название «арккосинус а» — корень уравнения cos jc = а, принадлежа' щий промежутку [О; л] (на рисунке 78 соответствующая дуга единичной окружности выделена); обозначают арккосинус числа а: arccos а (угол, косинус которого равен а). Из рисунка видно, что уравнение cos ф = = а при -1 < а < 1 имеет две серии корней: cos ф ^ о, Ф1 = агссов а + 2яп, Ф2 = ^arccos а + 2ял (л — любое целое число). Как и в случае синуса» решение каждого из уравнений С08 ф “ 1 и C08 ф = -1 записывается в виде одной серии корней: cos ф - 1, ф - 2ял (л — любое целое число); С08 ф = ’-1, ф = л(2л + 1) (л — любое целое число). Отметим, что если число а больше 1 или меньше -1» то ни уравнение sin ф *= л, ни уравнение cos ф = а корней не имеют. Уравнения 1^ф == а и ctg р = а Решения уравнений tg ф а и ctg ф «= о проиллюстрируем с помощью осей тангенсов и котангенсов (рис. 79). Рис. 78 122 Рис. 79 Ясно, что число а в этих уравнениях может быть любым. tg9 = а ф г= arctg а + ял ctg ф “ а Ф = arcctg л + ял < arctg а < |, т. е. arctg а — угол из промежутка | j. тангенс которого равен а, tg (arctg а) — а (л — любое целое число) О < arcctg а < я, т. е. arcctg а — угол из промежутка (0; л), котангенс которого равен а. ctg (arcctg а) = а Пример 1. Найти корни уравнения 2 sin х + = О, при- надлежащие промежутку {О; 2я]. Решение. Заменим данное уравнение простейшим /5 уравнением sin х = . Его корни: 1) X •= arcsin j + 2т1л, 2) X = я - arcsin j + 2лл (п — целое число). Из рисунка 80 видно, что arcsin (-а) = -arcsin а. С учетом этого можно записать: arcsin arcsin y = 123 Продолжая решение нашего уравнения, получим: 1) JC = -f 2пп; О 2) X “ я + I + 2ял. Будем подставлять в эти две серии решений целые значения п и определять, принадлежат ли получаемые при этом решения промежутку [О; 2п]. При п =* 1 имеем Другие решения этой серии выходят за границы промежутка, поскольку отстоят от Xj не меньше, чем на 2я, а границы промежутка отличаются от х^ меньше, чем на 2я. Аналогично получаем единственное решение второй серии, входящее в указанный промежуток; при л = О О т В е т: ^Y. Примечание. Получив простейшее уравнение sin х — , можно было изобразить его решения на единичной окружности (рис. 81) и сразу записать ответ. Пример 2. Найти значение arccos ^соя ^ j. Решение. Для любого а из промежутка [0; я] arccos (cos а) — а. Поскольку О < ^ < я, arccos ^cos ^ j ^, Ответ; ^. Пример 3. Решить уравнение 7 tg^ х - tg х - 6 = 0. Решение. Обозначим tg х буквой у, тогда данное уравнение примет вид 7y®-j/-6 = 0. 124 1 к1 (Г А \ \2л J -11 V /1 V ^ 2 Т -1 8п 8 2 Рис. 81 Рис. 82 Его корни: */| =■ 1, у2= . Возвращаясь к переменной х. получим: 1) tg X = 1, X = ? +пп(п — любое целое число); 2) tg X — ♦ X = arctg + пп{п — любое целое число). Заметим, что arctg ^ = -arctg | (рис. 82). Поэтому вторую серию решений можно записать так: с X = лп - arctg (п — любое целое число). It А о т в е т: I + лл, лл - arctg ^ (п — любое целое число). Упражнения 25бЧ Используя таблицу значений синусов и косинусов, полученную при вьшолнении задания 280, заполните следующую таблицу: а -1 1 0 0,5 О.б Л 2 .Л 2 Л • 2 2 arcsin а arccos а 125 257. Используя таблицу значений тангенсов и котангенсов, полученную при выполнении задания 248, заполните следующую таблицу: а -1 1 0 Л -Л л 3 S arctg а arcctgа 258. Постройте угол, равный: 1) arcsin -; О 3) arctg 2; 2) arccos ^ “1^ J 4) arcctg j 259*"^. Используя графическую иллюстрацию, определите знак разности: 1) arcsin ? - arcsin 1; 4 о 2) arccos ^ - arccos 1; 3) arctg 1 - arctg 4; 4) arcctg 3 - arcctg 1,5. 260*. В каких границах заключен угол: 1) i arcsin р; 3) § + arctg р; 2) 2 arccos р; 4) тс + arcctg р? 261. Вычислите: 14 • 1 1) arcsin -; 4) arcctg Л \ 7) arctg ^; 2)агссоБ • 5) arccos 0; 8) arcctg 0. 3) arctg (-^1); 6) arcsin 1; 262^. Найдите значение выражения; 1) arccos ^со8 4) arcctg (ctg 1); 7) tg (arctg 1); 2) arcsin ^sin ^ j; 5) cos ^arccos ^ ] * 8) ctg (arcctg 1). 3) arctg (tg 1); 6) sin ^arcsin ^ j; 126 263^. Найдите значение выра> 1) sin ^arcsin ^ + arccos 2) cos ^arccos + arcsin 3) cos (arctg 1 + arcctg 1); 4) tg ^ arcsin ^ + arctg л/З j. 264^. Может ли: 1) arcsin t; 2) arccos t; 3) arctg f; 4) arcctg t принимать значения: a) О; б) -1; в) 1; г) ^2; д) 1; e) - |; ж) J; 0 0/5 з) ; и) д; к) -2д; л) 3л/5 ? 265. Сравните аир, если _/2Л 1) 5а + I ^ arcsin * ЮР X 2) За - 5 = arccos (^^|); Зр-- Y ^arcsin (“y)- 266. Для каких значений а имеет смысл выражение: 1) arcsin а; 2) arccos а; 3) arctg а; 4) arcctg а? 267^. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [О; 2я]: 5) 28ш(|-х) = 1; 6) ctg (лг - д) - 1 = О; 7) 2со8^дг-|)+л^”0; 8) 2 sin^ Х’- sj2 ein х^О, • 1) sin л: = 0; 2) сс» X - 1 — 0; 3) 3 tg X 4- ^ = О; 4) ctg^ X - 3 — О; 268*. Верно ли утверждение, что при любом значении а: 1) arcsin (sin а) “ а; 3) arctg (tg а) « а; 2) arccos (cos а) = а; 4) arcctg (ctg а) = а? Если вы считаете, что утверждение не верно, приведите опровергающий пример. 269^. Верно ли утверждение 4arcsin (cos а) — | ^ л для лю-бого значения а*? 127 270^. Что означают слова арка, аркада! Существует ли ка* квя-нибудь связь этих слов со значением приставки «арк» в словах 4fарксинус», «арккосинус»! 271*. Решите уравнение: 1)4 sin^х + 5sinх + 1^0; 2)3 cos^х + 2cosх- 5 272. 1) Объясните цепочку равенств: Л________1______/о_________Л -О ^ — arcsin „ 3 2 arccos ~ = arctg л/З ■= arcctg ~. л 3 2) Составьте аналогичные цепочки равенств для чисел | и ^. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте ощюделения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. 2. Вычислите: ^arcsin ^ + 2 2 - arccos ^ ^ arctg ^. 3. Найдите корни уравнший, принадлежащие отрезку [0; 2п]: a)sinx - 0,5 = 0; 6)tgx-l = 0. 17. Формулы приведения Уже в древности при выполнении различных расчетов применялись таблицы, в которых были приведены значения синусов, косинусов и тангенсов острых углов. Чтобы пользоваться такими таблицами, нужно было уметь приводить тригонометрические функции к углам от O'" до 90® от 0 до т. е. выражать значения тригонометрических функций любых углов через значения тригонометрических функций углов от о® до 90®. Рассмотрим сначала, как тригонометрические функции любого угла приводятся к функциям углов от 0® до 360® (от 0 до 2л). Поскольку повороты на углы, отличающиеся друг от друга на 360®п (яа 2пп), где л — любое целое число, имеют одну и ту же конечную точку, то уменьшение или увеличение аргумен- 128 та тригонометрической функции на 2п не изменяет ее значения: sin (ф ± 2к) — sin ф; cos (ф ± 2л) в cos ф; tg (ф ± 2л) = tg ф; ctg (ф ± 2«) = ctg ф* Пример 1» Привести к углу от 0‘^ до 36(Г (от О до 2л): С08 2000% sin Решение, cos 2000® - cos (2000® - 360® • 5) = cos 200°; sin ^ sin - 2л • 5 ^ = sin ^. Ответ: cos 200°, sin ^ • D Получить следующие три формулы приведения нам помогут рисунки. На рисунке 83 точки Р,р, - ф и f ф — конечные точки поворотов на утлы ф, -ф, л - ф и л f ф. Точки и Р .ф симметричны относительно оси абсцисс, значит, абсциссы этих точек равны, а ординаты противоположны: cos (^) — cos ф; sin (-ф) * “sin ф. Точки Р„ _ ф и Р_<р, а также точки Рф и Р^ ^ ^ являются концами соответствующих диаметров единичной окружности к, следовательно, симметричны относительно ее центра — начала координат. Абсциссы этих точек противоположны, противоположны и их ординаты: cos (я — ф) — —С08 (-^) = —COS ф; cos (л + ф) — —cos ф; sin (я — ф) = —sin (—ф) = sin ф; sin (л + ф) = -sin ф. 129 Этв формулы позволяют привести к углам от О до | (от О® до 90^") си- нус и косинус любых углов. (рис. 84) — ко- Точки Рф и Р„ г-р ыечные точки поворота на углы <р и 5 - ф. Эти точки симметричны относительно прямой = лг. С симметрией относительно этой прямой вы уже встречались, рассматривая графики взаимно-обратных функций. Абсцисса точки Р- равна ординате точки P«, а ордината __Ф точки Рд равна абсциссе точки Р«,: «-ф ^ cos Ф ) — sin ф» sin " ф) = ®os ф. Полученные формулы приведения позволяют понять происхождение терминов ♦косинус» и «KOTaHreHc». В формуле sin^l ” = п + (5-ч>\ + ф^2л-[| -<р). Зя Т Формулы приведения для так* генса и котангенса легко получить, рассматривая их как частные синуса и косинуса, например: tg (Д - ф) = “EiZLzjy = Jiiw =-tg <р. ^ СОв(Я-ф) -СОЗ<р а (р+ 2яп -ф я— ф Я + Ф sin а sin ф “«Шф sin ф simp соаа соаф С08ф —008 Ф -cos ф tga tgp -tgф ’tgф tgp ctga ctgф ^itgp ctg9 а * 2~^ 1 + Р Y+

л^; 2) sinx>-l; 4)вапх<-л^. 290, Постройте график функции у = sin х и проведите несколько его осей симметрии. * Напишите общий вид уравнения оси симметрии графика функции у = sin X. 291, Постройте график функции у = sin х и отметьте несколько центров симметрии этого графика, * Укажите общий вид абсцисс центров симметрии графика функции у = sin X. 292*. Докажите» что число п является периодом функхщи: 1)1/ = sin^ XI 2)у = |sin х|. Изобразите схематически график этой функции. 141 293. Является ли периодической функция: 1) j/ =* {дс}; 2) г/ == [дс]? Если является, то какой у нее наименьший положительный период? 294*. Постройте график функции: 1) I/ = {2х)\ 2) у = {0,5jc}. Укажите ее наименьший положительный период. 295*. Укажите наибольшее и наименьшее значение функции: 1) у=‘2 sin х\ 4) р « 3 - 2 sin дс; 2) I/ **= -sin jc; 5)* у « sin^ л: - sin jc + 4; 3) ^ — sin X + 0,5; 6)* у = sin^ лг + 3 sin jc - 2. 296^. Какие из следующих функций дтляются четными, а какие ■— нечетными: 1) р = sin^ jc; 3) i/ = sin дс^; 2) p sin'^ x; 4) у ^ sin x^7 297*. Постройте в одной систиие координат графики функций: l)y = sinjc, 2)г/ = 28шлг, 3)// = sin2x; 4)^«=sin С помощью каких преобразований графика функции у = sin X можно получить графики этих функций? 298*. При каких значениях а функция у — sin^ 2х -Ь + 6 sin 2де; + а принимает только положительные значения? 299*. Найдите все значения а, при которых определенная на интервале ^ j функция: 1) у = sin^ лг - 2а sin дг - 7; 2) у = cos^ X - 2а cos х - 7 принимает свое ваименьшее значение. 300*. Постройте график функции: 1) р = |sin х|; 2) у = sin |х]; 3) у • |sin |х|(. Являются ли эти функции периодическими? 301 канс {у 1) Являются ли ф>-нкции секанс {у = sec х) и косе-cosec х) четными, если: V =: *Л- ^ , cosec X = ? cos X sin X 2) Изобразите эскизы графиков этих функций. 142 Контрольные вопросы и задания 1. Изобразите график функции у = sin х и перечислите основные свойства этой функции. 2. Сравните sin ЗОб"" и sin 215°. 3. По графику функции у sin х найдите: sin (-0,5), sin 1,5 и sin 2,5. 19. Свойства и график функции у = cos х Задачу построения графика функции у - cos х можно свести к построению графика функции у — sin х. Действительно, поскольку cos X — sin график функции у * cos х мож- но получить из графика функции у ^ sin х сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на ^ (рис. 94). Полученный график является графиком функции у — cos х (рис. 95). Основные свойства функции у — cos х 1. Аргумент функции может принимать любые значения. 2. Функция принимает любые значения от -1 до 1. 3. Функция у - С08 X четная, так как для любого значения X cos (-д:) ^ cos JC. График функции у = cos х симметричен относительно оси ординат. Ук 4. Функция у «= cos X периодическая. Ее наименьшим периодом является число 2д. 5. а) Функция возрастает на промежутках [~тс + 2пщ 2пп], где п — любое целое число. (Например, при л = О получаем промежуток возрастания [-п; О], а при п = 1 — промежуток от [7i; 2л].) б) Функция убывает на промежутках [2лп; п + 2тш], где п — любое целое число. (Так, при п = О получаем промежуток [О; л], а при л = -1 — промежуток от [~2л; --л].) 6. а) Функция принимает свое наибольшее значение, равное 1, при X = 2лл, где п — любое целое число. б) Функция принимает свое наименьшее значение, равное -1, при л: — л + 2тш, где п — любое целое число. 7. Функция у - cos X принимает значение, равное нулю, при л: *= I + лп, где п — любое целое число. Пример 1. Сравнить значения cos ^ и cos О 4 Решение. На промежутке от О до | функция у = cos х убывает. Приведем данные выражения к косинусам углов из этого промежутка: C0s|! = C08 о 5тг cos — — cos 4 сов 2. В силу убывания функции у ^ cos х на промежутке от О до •cos 4 I имеем: cos ~ > cos отсюда -cos ? < -cos 4 О 4 о Ответ: cos ^ > cos S 4 пример 2. Решить неравенство 2 cos ^3(р ~ д ) Решение. Обозначим аргумент косинуса буквой х, т. е. ^ir 1 Зф - ^ °=х. Разделим обе* части неравенства на 2: cos дг < Отметим какую нибудь часть графика функции у = cos Xj точки которой имеют ординаты, меньшие и обозначим 144 границы промежутка абсцисс выбранной части графика как XI и Х2 (рис. 96). Тогда С08ДГ1 =соах2 == Для всех X из промежутка ^ <х<^ неравенство cos лс < -5 О 3 А справедливо. Любой из промежутков, состоящих из решений неравенства cos лг < -|, отстоит от данного промежутка на целое число периодов: Щ 4- 2яп < л* < ~ + 2тт, л е Z^. В виде та-кого двойного неравенства и записывают обычно множество всех решении неравенства cos jc < Вернемся теперь к переменной (р: ^ + 2яп< 3<р - ? < ^ + 2яп, л € Z; о 4 3 3 11л 4л 19л _ 4- 7 + 2тш < Зф <^4^4 2тШу п G Z: о 4 3 4 12 +2jm<3 4, принадлежащее одновременно и промежутку возрастания, и промежутку убывания. 3) Как по графику определить четность функции? 4) Назовите наибольшее и наименьшее значения функции. 5) Назовите несколько значений аргумента, при которых функция у cos X принимает значение, равное 1,-1. Задайте общей формулой корни уравнения |соа дс| — 1. 6) Решите уравнение cos д: “ 0. 7) Найдите приближенные значения: а) cos 5; б) cos (-3); в) cos 1; V 5л г) cos 303. Постройте график функции у = cos х и выделите цветным карандашом одного цвета те его точки, ординаты которых положительны, а другим цветом — точки с отрицательными ординатами. ^ На каких промежутках функция у - cos х принимает положительные значения и на каких — отрицательные? 304. Постройте график функции у «= cos х на промежутке от о до 2д, взяв за единицу 2,5 см. Выделите цветными карандашами те точки графика, ординаты которых: равны, и. Т*Т* ~2 * 2) больше: ^ ? 3) меньше: ^ • Каковы абсциссы выделенных точек? 305^. Сравните значения: 1) cos 0,8л и cos 0,7л; 3) cos и cos 2) cos и cos ^; V о » 5 ' 4) сое 218^ и sin 230”. 146 306^. Решите неравенство: 1) со8д:<1; 3) cos л: <-лУ2; 2) cos X > -1; 4) cos х> Js, 307. Постройте график функции у = cos х и проведите несколько его осей симметрии. * Напишите общий вид уравнения оси симметрии графика функции у = cos X. 308. Постройте график функции у = cos х и укажите несколько центров симметрии этого графика. * Укажите общий вид абсцисс центров симметрии графика функции у = cos X. 309*^. Докажите, что число к является периодом функции: t)y^tgx; 2)r/*»ctgx. 310*. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1-COSX. лч2“5С083С. OV 1 . 1 1) о\ 2“ 5COS3C. 10 * 3) 2 + COSJC 4) 3 ~ 2совдс: 311*. В одной системе координат постройте графики функций: 1) у — cos х; 3) г/ = cos 2х; 2) р I С08 х; ^)у = cos (д: + || Укажите наименьшие периоды данных функций. 312*. 1) С помощью каких преобразований графика функции у = sin X можно получить график функции у— 2 sin 1 j? 2) С помощью каких преобразований графика функции у = cos X можно получить график функции 2 cos 313*. Найдите наименьший период функции: 1) р = cos 2д:; 2) р - sin ^. 147 314*. Выберите: а) четные; б) нечетные функции: \)у = со8^ х\ 4) £/ = со8^ X + sin® jc; 2)i/ = sin|; 2 7 sin X + cos дс + 1 Г 4 sm X S)y = sin X + cos x; 6)y = S cos® x + sin® x. 315. Используя графики, решите неравенства: 1) sin X ^ ^2, ^ ^7Г"» 3) 2 sin X > -1; 2) cos X > 4) -2 cos х > J2. 31вЧ Решите неравенства: 1) 2 sin 2л: - 1 > О; 3) sin | j >0; 2) 2 8Ш^Зл: + |)<-1; 4)-2 cos (2jc - < J2. Контрольные вопросы и задания 1. Постройте график функции у = cos х и перечислите ее основные свойства. 7tr Rir 2. Сравните значения cos ^ и cos ~. ь ь 3. Найдите по графику функции у = cos х следующие значения: cos 1, cos 2,5 и cos (-2). 20. Свойства и графики функций у -tg хяу -ctg X Область определения функции у = tgx включает в себя все тг числа, кроме чисел вида ^ + лл, где п е Z. Как и при построении синусоиды, сначала постараемся получить график функции ^ — tg X на промежутке [^0; | В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса неограниченно увеличиваются (рис. 98). Графически это выглядит так, как будто график функции у = tgx прижимается к прямой л: = уходя вместе с ней неограничетшо вверх. 148 Мы уже встречались с таким свойством графика функции k y = -(k^O): при приближении аргумента х к нулю кривая как X бы прижимается к оси ординат, а при увеличении аргумента — к оси абсцисс (рис. 99). Ось абсцисс называют горизонтальной асимптотой^ а ось ординат — вертикальной Ь асимптотой графика функции у = -. Аналогично, прямая я: ^ ~ — вертикальная асимптота гра-фика функции у **• tg л:. ▼ Несколько сложнее выяснить, как выглядит график функции у = tg JC при приближении точек к началу координат. Здесь нам снова придет на помопц» ось тангенсов. На рисунке 100 с последовательным увеличением показана зона точки касания оси тангенсов и тригонометрической окружности (каждый следующий рисунок увеличивает ту часть предыдущего, которая находится внутри прямоугольной рамки). Рис, 100 149 Мы видим, что при достаточно большом увеличении дуга окружности в зоне точки касания сливается с касательной. Это значит, что при достаточно малых значениях х имеем практически tgx ^ х. Поэтому график функции у = tg х при малых значениях х сливается с прямой у = х. То же самое, кстати, происходит и с графиком функции у = sin х. На рисунке 101 изображены части графиков функций у = tgx^ у — X и у = sin X, А Получить график функции у = tgx промежутке Oj можно с помощью равенства tg(-Ar) = -tgx, говорящего о симметрии графика относительно начала координат (рис. 102). И наконец, равенство tgx = tg{x + TCn) (п € Z) позволяет размножить построенную на промежутке часть графика, сдвигая ее вдоль оси абсцисс на я, 2я, Зя и т. д. влево и вправо (рис. 103). График функции y = tgx называют тангенсоидой. 150 Основные свойства функцик у = х 1. Аргумент функции может принимать любые значения* кроме I + 7СП (л е Z), 2. Функция может принимать любые значения. 3. Функция y — igx нечетная, так как для любого значения X из области определения tg (-дг) »= -tg х. График функции у = tgx симметричен относительно нача> ла координат. 4. Функция у = tgx периодическая. Ее наименьшим периодом является число п. 5. Функция во^астает на интервалах -Ь пп; | + пп^ (л G Z). Так, при п = О получаем промежуток возрастания (-|;|],апри л = 1 —промежутоку 6. Функция у = tgx принимает значение, равное нулю, при х^кп(пе Z). 7. График функции у ^ tgx имеет вертикальные асимптоты, уравнения которых имеют вид д: = ~ + itn (п е Z). _ £ Получить график функции у — ctg х проще всего с помощью преобразования тангенсоиды, поскольку ctg х =» -tg ~ |• При этом сначала, сдвигая график функции у ~ tgx вдоль оси абсцисс на I вправо, получаем график функции р = tg | а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получается график функции у - ctg х (рис. 104). 151 Пример 1. Сравнить tg 8 и tg 12. Решение. Приведем данные тангенсы к углам от до | tg 8 = tg (8 - Зл), tg 12 = tg (12 - 4д). Сравним 8 - Зи и 12 - 4тс: 8 - Зя - (12 - 4я) = я - 4 < О, значит, 8 - Зя < 12 - 4я. Поскольку на промежутке функция y-tgx возрас- тает, имеем tg 8 = tg (8 - Зя) < tg (12 ~ 4я) = tg 12. Ответ: tg 8 < tg 12. Пример 2. Найти наименьший период функции f{x) = tg X • ctg X. Решение. Чтобы найти наименьший период функции f{x)y заметим, что ее область определения включает в себя все lt/2> числа, кроме -д- (л G Z). Поэтому для любого положительного iy Г, меньшего, чем ^, требование 1) из определения периода не выполняется ^ входит в область определения, а х + Т = значения х, х-Гих + Г одновременно входят (или не входят) в область определения. При любом значении х из области определения f{x) имеем f[x “ ij = /(л^) “ f[^ + 1^* Таким образом, наименьшим пери- ОДОМ функции fix) = tg X * ctg X является |. не входит j. С другой стороны, для Т ^ Ответ: ^. 152 Упражнения 317. Верно ли утверждение? 1) Функции у = tgxvLy — ctg X нечетные. 2) Большему значению аргумента соответствует большее значение тангенса. Рассмотрите данное утверждение при следующих значениях аргумента; л. 2« *2 = л; Х4 = 2п, 3» --а 3» 3) Большему значению аргумента соответствует меньшее значение котангенса. Рассмотрите данное утверждение при следующих значениях аргумента: *1 = |: *2 = ’'■> 2тг ^3= JC4 = 2п. у a)tg!; 318. Выполните задания, используя график функции tg дг. 1) Найдите приближенные значения; 6)tgl; B)tg2; r)tg(-l). 2) Сравните значения: 3) Запишите промежутки, на которых функция у ~ tgx принимает; а) положительные значения; б) отрицательные значения. 319. Выполните задания, используя график функции у = ctg дг. 1) Найдите приближенные значения; а) ctg ^; б) ctg 1; 2) Сравните значения: в) ctg 2; r)ctg(^l). a)ctgi Hctgi; б) ctg I и ctg ; b) ctg 1 и ctg 2. 3) Запишите промежутки, на которых функция у = ctg х принимает: а) положительные значения; 6) отрицательные значения. 153 320. Постройте график функции у = tg лс и выделите разными цветами те точки графика, ординаты которых: 1) равны 1, больше 1, меньше 1; 2) равны -2, больше -2, меньше -2. Запишите абсциссы выделенных точек. 321. Постройте график функции у = ctg х и выделите разными цветами те точки графика, ординаты которых: 1) равны 1, больше 1, меньше 1; 2) равны -3, больше -3, меньше -3. Запишите абсциссы выделенных точек. 322^. Решите графически неравенство: 1) tg X < л/З; 3) tg X -1; 5) tg х > 3; 2) tgx>-^/3; 4)ctgx<2^; 6)ctgx<-3. 323. Докажите, что: l)tg(-^) = tg5=tg^; 2)tg(a + Jt) = tg(a-2Tc). 324. Установите, какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными: 1) у = X + sin х; 5)y*tgx • |: 2) у “ tg X + ctg х; 2 6) у = cos X - 3) у = х^ cos х; 7) у = ctg X “ 23 4) у * tg"^ X + sin х; 8) у =* sin 21 3254 С помощью каких преобразований из графика функции y = tgx можно получить графики функций р — tg х + 2 и p»»tg^x + 5^? Постройте в одной системе координат графики функций: l/“tgx, у = tgx+ 2 и y»=tg^x-f|j. 326^. Как с помощью преобразований графика функции у = ctg X получить графики функций: l)i/-ctgx-l; 2)y = ctg(-x); 3) у = ctg (х - 1)? 154 327^. Сравните с помощью графика: 1) tg 1 и tg 2; 4) ctg (-2) и ctg (-3); 2) tg (-1) и tg (-2); 5) tg 3 и ctg 3; 3) ctg 2 и ctg 3; 6) ctg 1 и cos 1. 328^. Постройте график функции: 1) */ = |tg x\; 2) у = |ctg ij; 3) £/ = tg \x\. Является ли данная функция периодической? 329. Найдите корни уравнения: 1) tg дс = 1 на промежутке; 2) ctg д; = -Уз на промежутке; а) (О; д); б) (тс; 2тс); 3) tg X — 2 на промежутке: 330. При каких значениях х выполняется равенство: 1) tg X = ctg х; 2) tg X = “Ctg х; 3) {tg х| = {ctg xj? 331. Укажите, если возможно, промежутки возрастания следующих функций; 1) ^ = sin х; 2) у =» tg х; 2)у^ Jx\ 4) 1/ = ctg х; 5) I/ = х^; 6) ^ = 2х + 3. в) (2л; 4л); в) (2л; 4л); в) (2л; 4л). 332*. Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции: 1) y = coa^x+fj; 2) у ein|; 3) i/=*tg(x + 5]; 4) 1/= ctg ^х “ 5]. 333 1)1/ 2) у . Найдите наименьший период функции: = tg 2х; 3) у “ ctg^ х; 1 tg^ х; 4)у = . 2 61П X 334*. На промежутке ^ ^ решите графически неравенство: 1) tg X < х; 2) tg X > 1 - х^. 155 Контрольные вопросы и задания, 1» Сформулируйте основные свойства функции у = ctg х. Какие из этих свойств имеет функция у = tgxl 2. С помощью каких преобразований графика функции y = igx можно получить график функции у - -tg{2x - я)? 21. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргзпиента Равенства tg ф = и ctg ф = выражают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента ф* С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла. можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой равенством tg9*ctg9 = 1. Познакомимся с некоторыми другими зависимостями между тригонометрическими функциями. Уравнение единичной окружности с центром в начале координат х^ + у^ — 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности. Значит, сов^ Ф + sin^ ф = 1. Это равенство, верное при любых значениях ф, называют основным тригонометрическим тождеством. Основное тригонометрическое тождество часто используется при преобразовании тригонометрических выражений. Пример 1. Упростить выражение (1 - sin а)(1 + sin а). Решение. (1- sin аК1 sin а) = 1 - sin^ а = cos^ а + 4- sin^ а - sin^ а = cos^ а. Здесь мы заменили единицу суммой квадратов синуса и косинуса. Полезно запомнить, что t 1 — sin^ ф — cos^ Ф, 1 — cos^ Ф = sin^ ф. Эти равенства, получающиеся из основного тригонометрического тождества, также являются тождествами. 156 Разделив почленно основное тригонометрическое тождество на соа^ <р, получим: _ 1 2* 2 2*^*^^* cos <Р СОЗ Ф COS Ф 1 + ф ~ ^ 1 2 cos 9 Аналогично, делением основного тригонометрического тождества на sin^ ф получаем ctg^ ф + 1 =5 - ^ . 2 ВШ ф Зависимости между тригонометрическими функциями позволяют по значению одной из функций находить значения остальных тригонометрических функций при том же значении аргумента. Пример 2. Найти соз а, tg а и ctg а, если известно, что sin а = ^ и I < а < 2д. Решение. Из равенства cos^ а 1 - sin^ а получаем cos , 2 8ш а. Условие ^ < а < говорит о том, что а может являться углом II, Ш или IV четверти. Однако синус угла а в данной задаче положителен, значит, а — угол II четверти. Косинусы углов П четверти отрицательны, поэтому сов a = “//l - . 2 8ш а. Подставим в это равенство данное в условии значение sin а: cos а =-Л - sin^a = -- I = - 1- 25 169 12 18' 13 5 1 Далее имеем: tg а “ ctg а = ^ = "13 12 5 12 Ответ: cos а = tg а = ctg a = 5 157 Q Пример 3. Найти sin а, cos а и ctg а, если tg а = — и xD 5 < а < 2я. 15 Решение. Можно сразу найти ctg а: ctg а = -5-. О Из равенства 1 + tg^ ф = —^ следует, что cos ф 1 1 225 cos^a = 1 + tg^a 1+^1 ^89' 225 Поскольку в данной задаче | tg 65«:-tg 45\ ~ctg 295° * tg^l26“ 1 + tg 216° 1 + ctg 324 160 341^. Решите уравнение: 1) (sin X + cos х)^ - 1 ■= 0; 2) (sin X + cos x)^ = 1 + sin x cos x; 3) 8 sin^ jc - 18 sin ar + 7 = 0; 4) 4 cos^ л: - 4 cos x - 3 = 0; 5) * 3 sin X = 2 cos^ x; 6) (sin X + 1)^ = sin^ X + 1; 7) cos^ X + cos X “= -sin^ x; 8) ^ 3 cos X “ -2 sin x; 9) * sin X + cos X - 1,4; 7 10) * sin X - cos X = Yg. 342 . Докажите, что значение выражения (а sin х + Ь cos х)^ + {Ь sin х-а cos х)^ не зависит от значения переменной х. 343^. Известно, что tg а + ctg а =* 3. Найдите: 1) tg^ а + ctg^ а; 2) tg^ а + ctg^ а. 344^. Известно, что а — угол I четверти. Могут ли при од ном и том же а оказаться верными неравенства: 2) tg а < 2 и ctg а <27 1 1 1) sin а < g и cos сс < 2» 345*. Докажите, что для любого острого угла: 1) сумма его синуса и косинуса больше 1; 2) сумма его тангенса и котангенса не меньше 2. Контрольные вопросы и задания 1, Как, зная синус угла, найти тангенс этого угла? Как решить обратную задачу: зная тангенс утла, найти синус этого угла? 15 2. Найдите sin а, tg а и ctg а, если cos а — и сс — угол III четверти. 3. Упростите выражение 2^ сое а 1 2 1 - cos а tga. 161 4. Найдите значение выражения: а) Ig tg 3° • Ig tg 6° • Ig tg O'* • • Ig tg 87®; б) Ig tg 3® + Ig tg 6=^ + Ig tg 9® + Ig tg87®. 22. Синус и косинус суммы и разности двух зтлов Точки Pot 4. р, Р„ и Р_р — конечные точки поворотов на углы а + р, а и --р (рис. 105), Хорда P^j, + рРо единичной окружности при повороте на угол -0 вокруг начала координат совпадает с хордой PctP-p, значит, длины отрезков Р<^ ^ рР© и PqP_p равны. Выразим длины этих отрезков, используя формулу расстояния между точками A(xi; yi) и В(Х2г у2) координатной плоскости: _________________ АВ = J(Xi - Xzf + (У1 - У2) . Подставляя в эту формулу координаты точек Pq, Р« + р, Р^» Р_р, получим: + р V(cos(a + Р) - 1)^ + (8in(a + Р) - 0)^, Р„Р_р ^ V(cosa- cos(-p))^ + (sina*- sin( Р))^. Так как длины отрезков равны, то V( cos(a + р) - 1 + sin^(a + Р) = V(coea - созР) +(sina+8inP) . Возведем обе части этого равенства в квадрат: « (сое (а + Р) - 1)^ + sin^ (а + р) = = (сое а " сое р)^ + (sin а + sin р)^. Преобразуем левую часть полученного равенства: (cos (а + р) - 1)^ + sin^ (ot + р) = = cos^ (а + Р) ~ 2 cos (а + р) + 1 + + sin^ (а + Р) = 2 - 2 сое (а + Р). 162 Теперь преобразуем правую часть равенства: (cos а - cos + (sin а + sin - =cos^ а2 cos а cos р+cos^ р+sin^ а + 2 sin а sin р+sin^ Р- =“2-2 (cos а cos р - sin а sin Р). Следовательно, 2-2 cos (а + Р) — 2 - 2 (cos а cos р - sin а sin Р). Отсюда cos (о + Р) — cos а cos р — sin а sin р. Это равенство является тождеством. Его называют формулой косинуса суммы. Заменяя в этой формуле р на -р: cos (а - Р) = С08 а cos (-р) - sin а sin (-р), получим формулу косинуса разности: cos (а — Р) = соа а cos р + sin а sin р. С помощью формул приведения выведем формулу синуса суммы: sin (а + р) “ cos -(а + Р) j “«) ~Р) = = cos (I “ Cl ] cos р + sin (^1 ~ J P = = sin a cos p + cos a sin p. Итак, sin (a + p) » sin a cos P + cos a sin p. Заменяя в этой формуле р на -р: sin (а - р) == sin а cos (-Р) + cos а sin (~Р), получим формулу синуса разности: sin (а Р) “ sin о cos р — cos а sin р. Пример 1. Доказать тождество оо8(а ~ ~ cos(g -f р) _ sin(a + Р) - sin асов р 2 tga. 163 Доказательство. Преобразуем левую часть равенства: cos(a-Р)-со8(а + р) _ sin(a + |р)— sinacoap _ cosacoeP + sinotainp - coeacosP + ginaainP _ 2sinaainp ainacosp + cosasinp - sinacosp cosasinp 2 tga. что и требовалось доказать. Пример 2. Упростить выражение соз75”с0в65** - sin75°sin65° ein85®cos35® - cos85“sin35“ В числителе дроби замечаем правую часть формулы коси нуса суммы, а в знаменателе — синуса разности: со875°со8б5*^ - 8in75°ain65° _ сов(7б° + 65°) _ sln85®cos35^ - C0885“8in35* sin(85® - 35®) „ СО3140® _ со&(90® + 50°) _ -sin50® _ . Sin 50® ainSO® sin 50® “ Упражнеиия 346^^. Найдите длину хорды единичной окружности; 1)РоР„; 2)Р,Р2п: 3)Ро^’,: 4)Р„Рр. 2 2 2 347. Преобразуйте выражение, используя формулы сину* са и косинуса суммы и разности: 1) cos (а® + 7(Г); 6)cos (р -; 2) cos (20® + р®); 7) ^ (а -I I); 4) cos (§ - э); 9) sin - 1^; 11) cos( +450) +stop" • 360*. Докажите тождество sin (a + Э) sin (a - P) = sin^ a - sin^ p. 361. Докажите одну из формул приведения» используя формулы данного пункта. 362^. Докажите, что cos 15® - sin 15® *= sin 45®. 363*. Докажите, что: 1) если sin а = в1пр = У, 0<а<^и0<р<5» тоо + р = 5 13 5. 2’ 2) если sin « cos р = 0<а<|и|<р<д, тоа + р 364'^. Решите уравнение: 1) sin 2х cos X + cos 2х sin je — О; 2) cos 2х cos X - sin 2x sin дс = 1; 3) cos 3jc cos s + 0,5 “= sin Зд: sin J; U О 4) sin Y “ cos Y sin 2де ^ 1. K. Контрольные вопросы и задания 1. Напишите формулу длины отрезка с концами в точках и Рр — конечных точках поворотов на углы а я р. Найдите по этой формуле длину отрезка P^P^ • 2 в 2. Найдите sin (а + р), если sin а и л < р < 2п. 40 41 , cosp==-|,| <а<х 3. Упростите выражение + Р) + Ш, sin(a + р) f sin(a - р) 167 23. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов Тангенс суммы двух углов можно выразить через синусы и косинусы данных углов: tir fa + В) = gin(ct -f р) _ sinftcoBp cosasinP соэ(а + Р) cosacosP - sinasinP * Чтобы выразить тангенс суммы двух углов через тангенсы этих углов, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение соя а соя 3 (если существуют тангенсы углов аир, то произведение косинусов этих углов отлично от нуля): ainacosP + cosasinP cosacosp sinacoeP ^ cosasinP _ cosacosp cosacosp _ tga ч tgP cosacosP - sinasinP cosacosp _ sinasmP j. - tgatgP cosacosp Значит, cosacosp cosacosp tg („ + Э) = ilSLiiit. 1 - tga Igp Заметим, что если tg a tg P « 1, то tg (a + p) не существует. Формулу тангенса разности получаем, заменяя в формуле тангенса суммы р на -р: tg (а - Р) = 1 + tgotgp К rt -1Г Пример 1. Доказать, что если tg а = ^, tg р = О < а < ^ В 1о £ иО<Р<|, тоа + р~^. Доказательство. Найдем тангенс суммы углов аир: tg (а + Р) 5ч А 8 13 tgg Ч- tgp _____ 1-tgatgP 1-|-А 1. Сложив почленно неравенства 0<а<|и0<Р<|, получим О < а + Р < д. Единственным углом в промежутке от О до я, тангенс которого равен 1, является угол 5 . Значит, а + р — 2, что и требо- 4 4 валось доказать. 168 Пример 2, Упростить выражение tgg + tgp tgg - tgp tg(a + Э) tg(a-p)’ Pftmpww*» tgot + tgp . tgg - tgp _ tgg + tgp tgg - tgfi _ tg(a + p) tg{a-p) tgg + tgp tgg - tgp 1 - tggtg^ 1 + tggtgP = l- tgatgpfl+tgatgp = 2. Ответ: 2. Упражнения 365. При tg а® = 1,5 и tg р = 1,5 найдите: 1) tg (а“ + 60“); 3)tg(|-p]; 2) tg (45° - а»); 4)tg(^+p). 366. Используя известные значения тангенсов углов 30°, 45° и 60°, найдите: 1) tg 15°; 2) tg 75°; 3) tg 105°. 367. Найдите: 1) tg (а + Р); 2) tg (а - р), если: a)tga--g, tgP“ бр tg а = 1,2, sin р = -0,8 и р < 0; в)^ sin а = ^, С08 Р =» -i| и? <а<д, I <р<д. 368*. Найдите tg р, если: 1) tg(5 + p]=2; 3)tg(a + p)-3Htga-2; 2) tg(f-р)=-2; 4)tg(a-p) = 2,5Htga— 369*^. Найдите тангенс третьего угла треугольника, если тангенсы двух его углов равны: 1) I и 0,9; 2) I и 0,4. 2 370 .Тангенсы двух углов треугольника равны 5 и 1,5. О Найдите третий угол треугольника. 169 371. Найдите значение выражения; 1) 2) tg23^ + tg22° , l-tg22‘^tg23°* tg73°-tg43^ . 1 + tg73^tg43‘’' 3) 4) 1 ftg273°tg63° tg273® - tg63“ 1 -tgl61°tgl39 tgl61‘' + tgl39° 372. Какое из следующих выражений имеет значение, равное 4=: Л 1) sin 23° cos 37° - cos 23° sin 37°; 2) sin 54° cos 24° - cos 54° sin 24°; Qv tgl8°4-tgl2<^ у ^ l-tgl84gl2“ 373. Верно ли, что значение данного выражения равно 1; 1) sin 126° cos 36° “ cos 126° sin 36°; 2) cos 152° cos 28° - sin 152° sin 28°; gv tgl4° + tg31" у * 1 -tgl4°tg31° 374. Докажите тождество: 2) ctgg + tgp _ coetg^25' tg^3b° - tg^2&“ 170 378*, Укажите две пары чисел аир таких, что О < а < я, О < р < я, причем: l)tg(a + p) = tga + tgp; 2)tg(a~p) = tga-tgp. 379*. Докажите, что: 1) угол между прямыми y-2xiiy=‘^x равен 45®; 2) прямые у = 0,4а: иу = -2,5а: взаимно перпендикулярны. Как связаны между собой угловые коэффициенты ki и ^2 взаимно перпендикулярных прямых? Контрольные вопросы и задания 1. Выведите формулу тангенса разности, заменяя тангенс частным синуса и косинуса, 2. Найдите tg (135° + а°), если tg а° * - 5. 3. Упростите выражение tg (a+!)tg(a-5). 24. Тригонометрические функции двойного угла 5 Задача. Тангенс вписанного угла АВС равен ^ (рис. 106). Найти тангенс центрального угла АОС. Решение. Обозначим величину вписанного угла АВС буквой а, тогда величина центрального угла АОС равна 2а, Для вычисления tg 2а воспользуемся формулой тангенса суммы; tg 2а =* tg (а + а) = - 2-5 1 - tg а 4 «_40 ” 9 * Ответ: При решении задачи мы получили фор мулу тангенса двойного угла: tg 2а = 1 - tg^a Подобным же образом из формул синуса и косинуса суммы получаем: sin 2а ~ 2 sin а cos а, со$ 2а = cos^ а — sin^ а. Пример 1 Решение. имеем: Найти sin 2а, если sin и| -^2 " “0 ^ ^ б 2 п , пп Ответ: Xj^’^ + 'f,X2 = ~l +~ (riG Z). Пример 3. Доказать тождество cos 2ос = -—. 1 + tg а Решение. Преобразуем правую часть равенства: 1 - 2 2 2 Bin а cos а - sin а 2 сов а 2 cos а I - tg^g ____________________________ 2 ^ 2 II tg а J ^ sin а cos а + sin а 2 COS а 2 соа а — со8^ а - sin^ а = cos 2а, что и требовалось доказать. Упражнения 380. Преобразз^те по формулам двойного угла выражение: 1) sin 22°; 8) sin Щ; 15) sin 3a; 2) sin 42°; 9) cos 1; 16) cos 3) cos 14°; 10) cos ; 17)^ sin (a + p); 4) cos 66°; 11) tg 0,3я; 18)^ cos (a - P); 5) tg 26°; 12) tg f; 19)0 sin (5-9) 6) tg 51°; 13) sin a; 20)P cos (j 7) sin 0,2я; 14) cos a; 173 381. Найдите значение: 1) sin 2а, если sin а = 0,8 и 0 < а < 5; 2) fiin 2а, если cos а = -0,96 и 0 < а < я; Jo 3) cos 2а, если sin а = ^; 4 Л 4) cos 2а, если cos а ^; О 5) tg 2% если tg р ~ -0,75; 6) tg 2р, если tg Р - I. 382. В какой четверти находится угол а, если: 1) sin а > о, sin 2а > 0; 3) sin а < О, sin 2а > 0; 2) sin а > О, sin 2а < 0; 4) sin а < О, sin 2а < О? 383* Преобразуйте в синус, косинус или тангенс векоторо го угла выражение: 10) сов^ 112,5® - sin^ 112,5®; 11) ^ со8^ I - sin^ I; 12) cos^ ~ » 13) 2 sin - а j cos - а^ 5) 2 cos 67,5® sin 67,5®; 14) 2 sin + a j cos + a^; 1) 2 sin a cos a; 2) 2 sin 2a cos 2a; 3) 2 sin 12® cos 12®; 4) 2 COB 12® sin 12®: 6) 2 cos 105® sin 105®; 7) cos^ 70® - sin^ 70®; 15) 16) 8) cos^ 75® sin^ 75®; 17) 9) cos^ 22,5® - sin^ 22,5®; 18) 2tgl0° . 1 2tg70” . 1 - tg®70° ' 2tg^ 174 384. Сократите дробь, используя формулы двойного угла и формулы приведения: 28lnl60^ 1) sin6e* 2sin33 О* 2J sin 50° 3) 4) sin25°’ сое 20° sin 10° + co8l0° cos 18° - einl8° COB36° 5) 6) * 7У 8)' filn40° ’ 2 sin 153°. cob36° * cos^40° - 8in^40°. 2sin5° sin 40° sln25° + cosZ5° 385. Упростите выражение, используя формулу синуса двойного угла: 1) 2 sin 10^^ cos 10^; 2) 2 sin 10® cos 10® cos 20®; 3) ^ cos 10® cos 20® cos 40° cos 80®; 4) ^ cos a cos 2a cos 4cx cos 8a cos 16a. Сколько раз вы использовали формулу синуса двойного угла в каждом случае? В чем вы видите усложнение каждого следующего выраже ния? 386. Вычислите координаты точек пересечения х^фиков функций: 1)у = ш1^х н у = со^х; 2)у — Зеобх к у = вш12х, 387. Укажите наименьшее положительное число х, при котором: 1) sin JC® - sin^ 75® - 2 sin 75® cos 75® + cos^ 75®; 2) cos jc® = cos^ 105® sin^ 105®. 388. Решите уравнение, применяя формулы двойного аргумента: 1) 2 sin X cos х=1; 2) cos^ X - sin^ 4) sin^ - - cos^ | - 1 0. 3) 4 cos I sin I -* а/З - 0; 388 . Решите уравнение, понижая его степень с помощью формул cos^ а >*= ^ и sin^ а 1 - cos2a 2 “ — 2 4 „ . —4 _ i. 2)* sin® л: + cos® л: “ 1. 1) sin^ X + cos^ дс “ 1; 175 390^. Докажите тождество: 1) cos^ а - sin^ а = cos 2а; 2) sin а сов а cos 2а = ^ sin 4а; 3) ^sin ^ + cos = 1 + sin а; 4) ^sin I - cos I р. 2* 5) 1 - 8 sin^ ^ cos^ ^ = cos а; 6) соа^ I “ 4 sin^ I cos^ ^ = cos р; 7) sin 2а - tg а - cos 2а tg а; 8) ctg I - sin Р = ctg I cos p. 391^. Проверьте равенство: 1) + |^Д+^со8а = sin ^, если л < a < 2я; a cosa = cos -T , если ic < a < 2n. 4 _ 2tga 392 , Докажите тождество sin 2a = 1 + tg"a ЗОЗ*^. Может ли при каком-либо значении х быть верным равенство: 1) sin л:'’ сов х'’ = sin 24®; 2) sin х° сов х° = sin 34°; 3) cos^ х° - sin^ х° *= 2 cos 100°; 4) sin^ х° - cos^ х° = 2 cos 130°? 394*. Докажите, что Bin За = sin а (3 - 4 sin^ а). 395*. При каких значениях аргумента функция у принимает наибольшее значение, а при каких — наименьшее? Каковы эти значения? 1) I/ = sin 2х; 2) у^ С08 2х; 3) ^ = sin X cos х; 4) у = со8^ X - sin^ х; 5) р = sin X cos X сов 2х; 6) у — sin 2х (sin^ X - cos^ х). 176 396 . Докажите тождество cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = ^ . • It) Попытайтесь прдцумать аналогичные тождества. Контрольные вопросы и задания 1. Выведите формулы синуса и косинуса двойного угла. 2. Найдите сое а, если sin ^ = -0,6. 3. Докажите тождество tg а _ 1 соа2а sin2a 25, Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование Формулы сложения, с которыми вы познакомились в предыдущих пунктах, отличаются знаком в правых частях равенства: cos (а + Р) = С08 а соэ р - sin а sin р; cos (а - р) = cos а cos Р + sin а sin Р; sin (а + р) = sin а сов р + cos а sin Р; sin (а - р) = sin а cos р - cos а sin р. Это наводит на мысль о почленном сложении или вычитании указанных пар равенств. Сложим первые два равенства: С08 (а + р) + С08 (а - р) -=* 2 cos а cos р. Делением обеих частей этого равенства на 2 получим формулу, позволяющую переходить от произведения к сумме косинусов: cos о cos Р “ I (cos (а + р) + сое (а — р)). Обозначим теперь в формуле cos (а + Р) + cos (а *“ Р) = 2 cos а cos р буквой X сумму а + р, а буквой у разность а — р: а + Р = JC, а-р = г/. 177 Из этой системы, сначала складывая ее уравнения, а затем вычитая из первого уравнения второе, найдем, что а = , Подставим введенные обозначения в формулу С08 (а + р) + соа (а - р) 2 сов а cos р: $ сое X + cos J/ - 2 cos cos Мы получили формулу перехода от суммы косинусов к их произведению. Подобным же образом из формул сложения можно получить и следующие формулы; или или sin а sin Р — I (cos (а ”■ р) — cos (а + р)), cos X — с<» у — —2 sin sin ш ш sinaсоар -1 (sin (а +р) + ^ (а -р)), sin X + sin 2/ = 2 sin cos 2 — г Заменяя в последней формуле у на -у; sin X + sin (-у) = sin х - sin у = 2 sin получим еще одну формулу: Х~у cos х + у 2 ’ sin X — sin у ~ 2 sin cos Пример 1. Упростить выражение sin 20'’ sin 40'’ sin 80^ . Решение. i sin 20'’ sin 40'’ sin 80° = | (cos 20° - cos 60°) • cos 10° *= Д cos 20° cos 10° — ^ cos 10° = 2 4 - i (cos 10° -f cos 30°) - i cos 10° = i cos 30° = ^. 4 4 4 о Ответ: . Л 8 ‘ 178 Пример 2. Доказать тождество Eiina + BinSa 4- sin5а tg За. сова + cosSa + сов 5а Доказательство. sing + sin3a einSa _ (sina + sinSa) f sinSa _ cosa + совЗа + cos5a (cosa f cos5a) + совЗа _ 2Bin3acos2a + sin3a _ 8iii8a(2co82a 4-1) _ ^ ^ 2cos3acoa2a + oos3a cos3a(2coe2a+1) * что и требовалось доказать. Пример 3. Решить уравнение ein х - cos Зх = 0. Решение 1. Среди формул перехода от суммы или разности к произведению нет соответствующей формулы, поэтому с помощью формулы приведения заменим sin х на cos 0 - дг €08 [I" ^ ~ cos Зд; = О, sin -f a:jsin ** 2х^ = 0. Произведение в левой части уравнения равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю: sin + JC j “ О или sin - 2д: j О; ^ + х^лп или 5 - 2х = лл (ге € Z), 4 4 д: - 7Ш - 5 или JC * I - (л е Z). Ответ: пп- ^ (п€ Z)^ 4 О d Решение 2. Можно было воспользоваться условием равенства синуса и косинуса^ заметив, что sin а = = cos р только в двух случаях: 1) а + р == I + 2лп% 2) а - р “ 5 -I- 2яп {п — любое це- о лое число) (рис. 107). Тогда 1) 4д: = I + 2лп в 2) -2х = | + -ь 2лп (л — любое целое число). упражненил 397. Прочитайте выведенные в этом пункте формулы, ис пользуя слова ♦ полусумма» и «полуразность*. 398. Преобразуйте выражение в произведение тригономет рических функций и, где возможно, упростите его: 1) cos 75^ + сое 15®; 7) sin За - sin 5а; 8) cos 2а + cos 4а; 2) sin 152® -1- sin 28®; 3) sin 78® - sin 42®; 4) cos 48® - cos 12®; 5) sin^ +8in^; ^ V JC Ifl 6) cos ^ - cos ; 9) “ -1 cos 40®; 10) J2 - sin a; 11) 7 - cos^ a; 4 12) 7 - sin^ a. 399. Упростите выражение: 1) cos (a + p) + cos (a - p); 2) cos j “ cos ^| + a j. 400. Упростите выражение: 1) sin (a + P) + sin (a - p); 2) sin j + Попытайтесь сформулировать словами особенности выра жений, приведенных в заданиях 399 и 400. 401. Вычислите, не пользуясь калькулятором: 1) cos 37,5® cos 7,5®; 2) sin 52,5® sin 7,5®. 402. Докажите тождество: jj Biiix - Biny ^ x~y. cosx + cosy 2 ^ 2) sino+ ainP sinacosP - cosasinP . a + P 9Ш— ____2_. . a— p* 8Ш 2 6) ctg p ± ctg p = 180 6) = tg 2a; cosa + cosSa 7) * sin a + cos a- J2 cos^j; 8) * sin a - cos ol^ J2 sin 403. Преобразуйте произведение в сумму и упростите; l)sin 45° stn 15"; о\ ^ 2п Зл. 3) cos cos ; 5 5 2) COS 75° С08 15°; 4) sin ^ sin . ZA 1:4 404*. Вычислите: 1) sin 20° sin 40" sin 60° sin 80"; 2) tg 20" tg 40° tg 60" tg 80". 405^. Решите уравнение, используя формулы суммы и разности тригонометрических функЕщй: 1) sin JC + sin3a: = 0; 3)sin 5дс=sin л:; 2) cos 4jc + cos лг0; 4)* sin Зх=cos 2дс - cos дг; 6)sin(| + jc) + sln(!-*]=i; 6) sin (x + a) + sin (x - a) = cos , получим уравнение вида си^ + buv + cv^ — 0, 184 Левая часть этого уравнения — многочлен, каждый член которого имеет вторую степень, а правая — нуль. Такие уравнения называют однородными уравнениями второй степени относительно переменных и и V. Делением на такое уравнение сводится к квадрат^ ному относительно с; Пример 3. Решить уравнение 5 ein^ X - 3 sin X cos х - 2 cos^ х - 3 О. Решение. Данное уравнение можно свести к однородному тригонометрическому уравнению второй степени относительно sin X и с<^ X. Представим с помощью основного тригонометрического тождества число 3 как 3 sin^ х -к 3 cos^ х: 5 sin^ X - 3 sin X cos х - 2 cos^ х - 3 sin^ х - 3 cos^ х =- 0. Приведя подобные члены, получим уравнение 2 sin^ X - 3 sin X cos х - 5 cos^ х О из примера 2. Пример 4. Решить уравнение 3 sin 2х -V 7 cos 2х + 3 = 0. Решение. Это уравнение тоже можно свести к однородному. Применяя формулы синуса и косинуса двойного угла, получим; 6 sin X cos X + 7 (cos^ х - sin^ х) + 3 (cos^ х + sin^ х) »= 0, 6 sin X cos X + 10 cos^ X - 4 sin^ x = 0, 2 sin^ X + 3 sin X cos x - 5 cos^ x = 0. Мы снова пришли к однородному уравнению второй степени, рассмотренному в примере 2. Примечание. В этом примере сами аргументы синуса и косинуса наталкивали на мысль о применении формул двойного угла. Но точно так же можно решить и уравнение 3 sin х + 7 cos х 4 3 - 0, если отнестись к х как к двойному углу: х - 2 • 5. В рассмотренных примерах мы имели дело с тригонометрическими функциями одного аргумента. Если же аргументы разные, то уравнение стараются или привести к одному аргументу, или свести его к виду f(x) • g(x) * О. Пример 5, Решить уравнение sin^ х - cos^ х = sin 2х. Решение. Применим в левой части уравнения формулу разности квадратов; 185 sin^ X “ cos^ X — sin 2лг, (sin^ X - cos^ ^ + cos^ л:) = sin 2лг, -cos 2x = sin 2л:. Отметим на единичной окружности углы, синус и косинус которых противоположны (рис. 108). Имеем: 2лг = + пп (л € Z). Ответ: + Z), Примечание 1. Можно было, конечно, отнестись к уравнению -С08 2х ^ sin 2л: как к однородному уравнению первой степени рассмотреть два случая; 1) если сое 2д? *= о, то sin 2аг - 0 (эти два равенства не могут быть верными одновременно); 2) если cos 2х ^ 0, то, разделив обе части на cos 2дс, ползучим: tg2x^-U2x=--~ ^ших = -1 (пЕ Z), Примечание 2. Запишем уравнение -cos2х ^ sin2лг в виде sin 2х + сое 2л: - о и преобразуем его левую часть, вводя вспаногатпель- Jn ный угол. Для этого умножим обе части уравнения на ^ и воспользуемся тем, что sin I = cos 5 ^: 4 4 4 ^ sin 2л: + ^ сое 2л: = С08 J sin 2х + sin | cos 2лс = sin [2х + J Получим:sin^2лг + 2х+ | =^тт, 2дг = -5 + jm, х—| ч- Н (п е Z). ▼ Прием введения вспомогательного угла всегда позволяет заменить синусом или косинусом выражение а sin х + Ь cos л^. Для этого кадо добиться, чтобы коэффициенты синуса и косинуса являлись соответственно косинусом и синусом некоторого утла, т. е. чтобы сумма их квадратов оказалась равной 1: f / \ ь а БШ х + Ь cos X Г2Т72 л/а + о а ^JcFTb- sin X + / 2 .' 2 л/в Ь COS X — (cos ф sin je + sin <р cos x) = + J? sin (л: + еменно sin ф = д: и cos ф = |/. 422*. Докажите, что уравнение (sin х + сое х) sin 4jc = 2 не имеет корней. 423^^. Определите, если возможно, тип уравнения. Наметьте план решения и выполните его. 1) sin^ 2jc + 2 cos^ 2х^^; 2) 3 cos^ дг + 4 sin дг = 4; 3) sin 2дг - sin jc = 2 cos д: - 1; 4) sin^ X- JZ sin X cos jc = 0; 5) cos^ (45^^ + x^) - cos^ (45° - jc°) - -1; 6) sin® X cos X - sin x cos® 7) cos д: + л/З sin дг = 1; 8) cos Зд: = cos бд:; 9) sin® д: - 10 sin x cos д: + 21 cos® д: = 0; 10) 1 + cos 3x + cos 7д: + cos Юдг *= 0; 11) 2 sin® д: = 4 5 cos x; 12) 7 sin® ДС = 8 sin x cos x - cos® дг; 13) sin 2дс cos 3jc + cos 2x sin Зд: = 1; 14) 3 sin® ДГ + 2 sin д: cos д: = 2; 15) sin (д: + x) = cos 16) сов д: - sin jc = 1; 17) cos^ 2д: - sin^ 2x = |; 18)* 1 + sin ДГ + cos X + sin 2дс + cos 2jc * 0. 424. Найдите наименьший положительный корень урав нения 4 sin Зд: sin х-2 cos 2jc + 1 = 0. 189 425*. Найдите все решения уравнения С08 2х + sin^ X — cos jc, принадлежащие отрезку (-я; п]. 426*. Найдите все решения уравнения 4 2cos^x -f соях _ _1 2C03JC + Tsin^jc ^ Принадлежащие отрезку [-я; я]. 427*. Найдите все решения уравнения: 1) sin 2х + cos X 2 sin х: = -1, удовлетворяющие условию О < д: < 5; 2) Js sin X + 2 cos X - л/З + sin 2х, удовлетворяющие условию О < X < 2, 428°. При каких значениях а наибольшее значение функции р = а sin х + cos х равно 5? 429. Решите уравнение: 1) 48шж^2; “"(г*') 2) * 5 +2**" = 3 • 4 ; 0)0 g2(8in2x-1)сО»32Г _ д(я1п X - осе Jt)* __ 4)* ctg 2^ = tg 2^ + 2 tg 2^ Контрольные вопросы и задания 1. Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете? 2. Решите уравнение: а) tg^ X - 3 — 0; б) 6 sin^ X - cos X = 5; в) sin^ X - sin 2х •= 0; г) 73 cos^ X ~ sin X cos х = 0. ГЛАВА ПОВТОРЕНИЕ Заключительная глава учебника состоит из двух пунктов. В первом — систематизируются знания о свойствах функций и преобразованиях их графиков. Вы познакомитесь также с обратными тригонометрическим функциями — последним классом функций, изучаемых в школьном курсе математики. Второй пункт посвящен уравнениям и неравенствам. При этом основное внимание в нем уделено причинам появления посторонних решений, а также оформлению решений с использованием математической символики. 27. Функции и графики Пов5ггие функции начало складываться еще в XVII в, В начале функциями называли обычные алгебраические выражения с переменными — собственно, это сегодня они обычные, а тогда Декарт только-только ввел само понятие переменной. Впрочем, и сейчас никто из математиков не удивится, услышав выражения типа «функция или «сумма функций sin х и cos X», — всем понятно, что в первом случае речь идет о функции у = а во втором — о сумме функций у = sin х и |/ = cos х, т. е. о функции у =* sin х + cos х. Существенное развитие понятие функции получило в XX в. в связи с разработкой теории множеств — стали рассматриваться не только знакомые вам числовые функции, но и функции, в которых переменные у л х принимают значения из произвольных множеств. Область определения функции За время изучения математики вы познакомились с различными функциями. Каждая функция имеет область опре- 191 деления — множество значений» которые может принимать ее аргумент. Наиболее часто приходится находить естествен' ную область определения функции» заданной аналитически* т. е. с помощью математического выражения f{x). Естественная область определения функции у = /(х) состоит из всех значений X, при которых выражение /(х) имеет смысл. Упражнение 430. Найдите область определения функции у = f(x), если /(х) равно: 8 1) л; 1 . х2-2д:+Г 4) (4х^ - 7х + 3)®; 2) • • 5)0 log^ _ 0,5 (4* - *2 3) л/5х2 +13Х + 8 ; 6)* logging,+ 0.6 coax. Область значений функции Каждсхлу значению аргумента из области определения соог* ветствует единственное значение функции. Все значения» которые принимает функция, составляют ее область значений (иногда можно вст1>етиться с термином область изменения функции или множество значений функции). Упражнение 431. Укажите области значений следующих функций: 1)у2х-17; 3) ^/ = лг^-14х + 33; 4) у — 10х - х^ - 21; 5) у = 2 sin'^ X + sin X - 1; 6)* у = 12 соз X “ 4 соз^ X - 5; 8) ^ = 2^3 - 2х - . 9) * у = г^^ 3"^. .г Непрерывность функции Важным свойством» которым обладают многие функции, является непрерывность. Мы говорили, что функция непре*. 192 рывна, если ее график можно провести, не отрывая карандаш от бумаги. Графики некоторых функций состоят из нескольких непрерывных ветвей. Говорят, что такие функции непрерывны на соответствующих числовых промежутках. Упражнение 432. Укажите промежутки непрерывности следующих функций: - 1 . „.о х^-\-2х * 1 * 2)0 J/- 3) 0 у ас J^nx; 4) * и = М + {2*}. 5_5вшх Изученные вами математические выражения /(дс), в записи которых нет целой или дробной части, задают функции у = f{x)y называемые элементарными. Полезно знать, что любая элементарная функция непрерывна на любом промежутке ив ее области определения. Важное свойство непрерывных функций — сохранение знака на промежутках области определения, на которых она не обращается в нуль. На этом свойстве непрерывных функций основано решение неравенств методом интервалов. Упражнение 433. Решите неравенство: 1) 2х+ 1 {X 3)(х - 5) >0; 2) < 0; X f 3 3)0 > 0; (jc-3)(x+5) 4) 0 > 0; 5) * 0^ > 0; 6)' C08X sinx 32х-1>1 <0 Монотонность функции Часто при решении неравенств используют свойство монотонности, т. е. возрастания или убывания функции. Некоторые функции возрастают или убывают на всей своей области определения — их называют, соответственно, воз- 193 Рис. 109 растающими или убывающими. На рисунке 109 изображены эскизы возрастающей (109, а) и убывающей (109, б) функций. Упражнение 434^. Решите неравенства: 1)3* + х- 1 \4 Здг - 2) logo,5 logo,25 л: f 4); 3) * log, ^ 4) * log^ (х-Ь)<1. Х*1 % Большинство приведенных выше функций на одних промежутках возрастают, а на других убывают (рис. 110). Упражнение 435. Укажите промежутки возрастания и убывания функций, заданных графиками: 1) рис. 110; 2) рис. 111, а; 3) рис. 111, б. Знание свойств конкретных функций часто позволяет сделать вывод о монотонности более сложных функций. Докажем, например, что функция у ^ - logo^5 х - 7 воз- растает на всей своей области определения, т. е. на промежутке (0; +00). 194 б) Пусть О < xj < л?2» тогда 1) в силу возрастания функции у^х^ш. промежутке (О; +сю): лг? <л:|; (1) 2) по правилам действий с неравенствами вычтем из обеих частей верного неравенства (1) число 7: х2-7<д:|-7; (2) 3) в силу убывания логарифмической функции с основанием 0,5» имеем: > bgo.5 ^2? (3) 4) по правилам действий с неравенствами умножим верное неравенство (3) на -1: -logons < “*ogo,5 ^2? (4) 5) по правилам действий с неравенствами сложим верные неравенства одного смысла (2) и (4): X? - 7 - logo.5 Xi ции у *= arctg X — интервал | Функция у — arcctg х Функция у = ctg X убывает и принимает все свои значе> ния на промежутке (0; tt). Здесь она имеет обратную функцию у = arcctg X (рис. 116), которая определена, непрерывна и убывает на всей числовой прямой. Область значений функции у =» arcctg X — интервал (0; тс). 199 Рассматривая взаимно обратные функции, нетрудно заметить, что: 1) область определения одной из них является областью значений другой^ 2) если одна из них возрастающая (убыеающая)у то и другая, соответственно, возрастающая {убывающая); 3) если прямая х — а служит вертикальной асимптотой одной, то другая имеет горизонтальную асимптоту у = а. Упражнения 441. Найдите значение функции: \)у — arcsin X, если х равен: а) 0,5; б) ; в)^ sin Щ; г)^ sin 10; д)^ cos 2; 2) у = arccos X, если х равен; а) -0,5; б) ; в)^ cos ~ ; г)^ сое 10; д)^ sin 1; 3) у==‘ arctg X, если х равен: а) л/З; 6) -1; в)° tg ^; г)* tg 7; д)* ctg 1. 4) у = arcctg X, если х равен: а) б) 1; в)^ ctg ~; г)^ ctg 7; д)^ tg 2. 442*. Решите неравенства: 1) “2 < arcsin {х^ - 1,5д:) < 5 J 2) б arccos^ х + 7 arccos х < 3. О о Четность и нечетность функции Иногда преобразование переводит график функции сам в себя. Так, например, поскольку значение четной функции не изменяется при перемене знака у аргумента: f{-x) = f{x), график четной функции оказывается симметричен относительно оси ординат, 200 Значение нечетной функции при перемене знака у аргумен-та свой знак меняет: f{-x) = -fix), поэтому график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Понятно, что область определения и четной, и нечетной функции должна быть симметрична относительно нуля. Упражпеиия 443*. Задайте аналитически какую-нибудь функцию, имеющую тот же самый график, что и обратная ей. Может ли возрастающая функция, отличная от функции у — х, иметь тот же самый график, что и обратная ей? 444. Определите, какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными: 1)у = X + sin х; 2) у — sin лс- cos х; 3) у = + cos х; 4) р = я: • arctg х, * Какие можно сделать выводы о четности или нечетности: а) суммы двух четных функций; б) суммы двух нечетных функций; в) произведения двух четных функций; г) произведения Двух нечетных функций; д) произведения четной и нечетной функций с одинаковыми областями определения? 445. Дополните графики на рисунке 117 так, чтобы они стали задавать: 1) четные; 2) нечетные функции. а) Рис. 201 Периодичноеть функции Ек:ли при сдвигах графика функции параллельно оси абс> цисс вправо и влево на некоторое расстояние он переходит сам в себя, то функция является периодической^ Расстоя. яие, на которое переносится график, называют периодом фзшкции. Рассматривая периодические функции, обычно указывают их наименьпшй период. Тригонометрические функции у - sin х и р *= cos X имеют период 2тс, период функций у = tgxu у ~ ctg х равен п. Периодична также и функция у — {х} ~ ее наименьший период равен 1. Упражнение 446. Достройте график функции, зная, что: 1) ее период равен 2 (рис. 118, а); 2) ее период равен 2 и она четная (рис. 118, б). Преобразование графиков Симметрии и параллельный перенос, о которых упоминалось в связи со свойствами четности, нечетности и периодичности функций, вместе с некоторыми другими преобразованиями часто используются при построении графиков функций и графиков уравнений (для графика уравнения отсутствие различных точек с одинаковыми абсциссами не является обязательным, например, окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 2, не является графиком функции, но яв- ляется графиком уравнения х ^ у =4). 202 Напомним основные изученные вами преобразования графиков. № Переход Описание преобразования от графика к графику 1 у = /(*) у = Лх) + ь Перенос параллельно оси ординат на Ъ 2 у = fix) у == /(дс - а) Перекос параллельно оси абсцисс на а 3 у = fix) у = kf(x), k>0 Растяжение от оси абсцисс в k раз 4 У = fix) у - fikx), k>0 Сжатие к оси ординат в k раз 5 У = fix) У--fix) Симметрия относительно оси абсцисс 6 У = fix) У = -fi-x) Симметрия относительно на-чала координат 7 y^fix) У = fi-x) Симметрия относительно оси ординат 8 y^fix) X “ fiy) Симметрия относительно прямой у = х 9 У = fix) У “ \fixi Симметрия относительно оси абсцисс частей графика, расположенных в нижней полуплоскости 10 У = fix) у “ /(W) Уничтожение части графика слева от оси ординат и дублирование оставшейся части симметрично относительно оси ординат 11 y^fix) Ы “ fix) Уничтожение части щ>афика под осью абсцисс я дублирование оставшейся части симметрично относительно оси абсцисс 203 Упражнения 447. Какие недосггатки вы видите в описании преобразований 3 и 4 в таблице? Что происходит с расстояниями от точки графика до осей абсцисс и ординат при этих преобразованиях? 448^, Проиллюстрируйте каждое из указанных в таблице преобразований конкретными примерами построения графика функции. 449. Какой график вы будете преобразовывать при построении графика уравнения: 2« - 3. 1) U - (2х f 1)2; 3) у Ах 2) У 3“2х 4)0 у - logo,5 (2 - 4W)? В каком порядке вы будете применять указанные в таблице преобразования? 450*. При преобразовании графика функции у = f{x) в график функции у = f{2x + 3) один ученик сначала перенес график на 3 единицы влево, а затем сжал его к оси ординат в 2 раза, другой сначала сжал исходный график в два раза к оси ординат, а затем выполнил перенос на 3 единицы влево, третий же ученик сначала сжал график в два раза к оси ординат, а затем выполнил перенос влево на 1,5 единицы. Верны ли решения этих учеников? Как бы вы выполнили преобразование графика у ~ f{x) в график функции у — f(2x - 3)? 451^. Преобразуйте храфик функции у = f(x) (рис. 119) в график уравнения: 1) if “ «1*1 +1); 2) y = rt|jc + l|) 3) р -1«*)| -1 4) у = |«Л) + 1|; 5) * у = 6«*)1 -1|: 6) * Ы = |«*)1 -1|. 204 452*. 1) Задайте аналитически функцию, график которой получается из графика функции у = в результате последовательного выполнения преобразований, указанных в таблице под номерами: а) 1, 3, 8; б) 5, 6, 2, 8; в)^1, 6, 4, 9, где б = ~1 в преобразовании 1, а = 2 в преобразовании 2. 2) Выполните эскиз графика, который должен получиться в результате этих преобразований. 3) Задайте сами последовательность каких-нибудь преобразований из первых девяти, указанных в таблице. Выполните для своей последовательности преобразований задания 1 и 2. 453^. Задайте аналитически какую-нибудь функцию, график которой симметричен относительно: 1) прямой д: — 2; 2) точки А(-2; 3). 454^. Чем отличается от графика функции у ^ {х\ график кусочно-заданной функции _ I {л:}» вели X — не целое число, ^ I 1, если X — целое число? * Какие из указанных в таблице преобразований и в каком порядке следует применить, чтобы получить этот график из графика функции у = {х}7 455. Используя идею преобразования графика, найдите наименьший период следующих функций: 1) у^ cos Здг; 3) у — tg (4л: + 1); 2) у = sin 4)0 у = {0.5* - 4). 45бО. Что произойдет с трафиком уравнения с двумя пере-менными, если в уравнении заменить: 1) X на —л; 3) JC на JC + 3; 5) д: на 2лг; 2) ^на-р; 4)|/на1/-3; 6) р на 0,5*/? Проиллюстрируйте эти преобразования на примере уравнения окружности -f = 4. 457.1) Постройте график уравнения: |х| + |р| = 2; 2)*^ Отметьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \х\ +• tpK 2. 205 458*. Решите графически уравнения: 1) 4 + 2И - == к + 1|; 2)* |л: + 3| + |л: - 1| = 4. 459*. Найдите все значения а, при которых уравнение |4 + 2|л| - х^\ = а имеет: 1) 2 корня; 2) 4 корня; 3) 5 корней; 4) 6 корней. При каких значениях а уравнение не имеет корней? Контрольные вопросы и задания 4 1. Перечислите знакомые вам свойства функций и проиллюстрируйте их эскизами графиков соответствующих функций. 2. Верны ли следующие утверждения о функциях с одинаковыми областями определения: а) сумма двух возрастающих функций возрастающая функция; б) произведение двух убывающих функций — убывающая функция; в) разность двух четных функций — четная функция; г) произведение двух нечетных функций — нечетная функция. Если вы считаете утверждение верным, постарайтесь его обосновать, если неверным — приведите контрпример. 2 cos [0,5х + С по- 3. Постройте график функции у = мощью преобразований. Укажите наимевьпхий период, наибольшее и наименьшее значения, промежутки монотонности данной функции. 28. Уравнения и неравенства Уравнения и неравенства люди решают с глубокой древвос-ти. Вы познакомились с уравнениями и неравенствами еще в начальной школе и с тех пор научились решать много разных их типов. В большинстве случаев в процессе решения исходное уравнение или неравенство заменяется более простым и так далее, пока не будет приведено к простейшему виду. При замене одного уравнения или неравенства другим могут встретиться три случая, 1. Множества решений первого и второго уравнения (нера* венства) совпадают. Понятно, что эта ситуация самая благо-при5ггпая — решения второго уравнения (неравенства) можно сразу записывать в ответ. Уравнения {неравенства) с одним и тем же множеств вом решений называют равносильными. 206 2. Множество решений второго уравнения (неравенства) содержит все решения первого. В этом случае второе уравнение (неравенство) называют следстеием первого. При этом те решения второго» которые не являются решениями первого, называют посторонними^ их стараются выявить и отбросить. Нетрудно заметить, что если следствие не содержит никаких других решений, кроме решений первого, то оно ему равносильно. Можно сказать, что два уравнения (неравенства) рае-несильны^ если каждое из них является следствием другого. 3. Множество решений второго уравнения (неравенства) содержит не все решения первого, т. е. теряются решения. Эта ситуахщя самая неприятная. Возможно, поэтому у нее даже нет специального названия. Во всех трех случаях множество решений первого уравнения (неравенства) сравнивается с множеством решений второго. Однако обычно, когда мы выполняем преобразование, решений у нас еще нет. И сравниваем мы множества решений, анализируя сами преобразования, которые применяем. Некоторые преобразования не могут изменить множества решений, — такие преобразования называют равносильными. Применение других может привести к посторонним решениям или к потере решений, — эти преобразования называют неравносильными. Так, например, к равносильным преобразованиям относится замена sin^ х тождественно равным ему выражением 1 - со8^ X. А при замене Sin х выражением Jl - соз^х будут потеряны решения (если они есть), при которых sin jc < О, следовательно, это преобразование неравносильное. Заметим, что неравносильное преобразование может привести и к равносильному уравнению или неравенству, но в этом нельзя быть уверенным, то есть неравносильное преобразование не гарантирует сохранения множества решений. В этом пункте мы повторим знакомые преобразования и проанализируем, как и почему следует поступать, чтобы записать в ответ все решения исходного уравнения или неравенства и не записать лишних. Рассмотрим сначала две основные причины неравносильности преобразований. 1. Изменение области допустимых значений переменной (ОДЗ) Наиболее часто изменение ОДЗ связано с применением формул. Некоторые формулы действуют на всем множестве 207 действительных чисел, и их применение является равносильным преобрааовавием. Таковы, например, формулы сокращенного умножения. А вот в формуле sin 2х = замена 1 + ig^x ее левой части, имеющей смысл при любом значении лг, ее правой частью приводит к сужению ОДЗ за счет всех х ~ ^ + пп {п G Z), при которых не существует тангенс. > Расширение ОДЗ влечет, например, замена суммы ло« гарифмов log2/(Jc) + \og2g{x) логарифмом произведения log2 (fix) * l^x))y поскольку последнее выражение, в отличие от первого, имеет смысл и при отрицательных значениях f{x) и g{x). Расширение ОДЗ может привести к появлению посторонних решений, а сужение — к потере решений. Чтобы этого избежать, при расширении ОДЗ следует рассматривать дополнительные условия, запрещающие решениям попадать в райой расширения. Если же ОДЗ сузилось, — нужно дополнительно поискать решения в районе сужения. На следующих диаграммах (рис. 120) схематически показаны случаи расширения и сужения ОДЗ. ОДЗ исходного % уравнения или неравенства изображено темно-серым цветом^ а ОДЗ преобразованного — светло-серым. Точками обозначе-^ ны решения. 2. Расширение сферы действия правил Использование правил действий с равенствами и неравенств) вами иногда предполагает наличие условий, при которых эти правила применимы. Так, например, вы знаете, что обе части Рвт^вя, которые каходятся в районе расширения ОДЗ. следует отброс ить Следует дополнительно искать решения в районе сужения ОДЗ / Г:. г / Г i : Рис. 120 208 равенства можно умножить или разделить на отличное от нуля число. Однако при умножении обеих частей уравнения на выражение с переменной множитель может иметь нули, которые объединяются с корнями исходного уравнения. А значит, нули множителя следует проверить отдельно — они могут оказаться посторонними решениями. Кроме того, умножение или деление на выражение с переменной может привести к сужению исходной ОДЗ, о последствиях чего уже упоминалось. Другим примером расширения сферы действия правил является возведение неравенства в четную степень. Известно, что в четную степень можно возводить неравенство с неотрицательными частями. Выполнив такое преобразование при решении неравенства, следует дополнительно рассмотреть случаи, когда части неравенства принимают отрицательные значения и, кроме того, не забыть, что возведение в четную степень могло расширить ОДЗ. Упражения 460. Является ли равносильным преобразование, связанное с заменой выражения а) выражением б)? Бели преобразование неравносильно, укажите причину неравносильности. Запишите дополнительные условия, выполнение которых следует проверить, чтобы избежать появления посторонних решений, или какие случаи следует дополни-TevibHO рассмотреть, чтобы не потерять решения: 1)а)^ X +1 ;б) д:- 1; 2)а)дг- 1;б) х^-Х х+ I 3) а) дс + 1; б) л/зс^ + 1 -Ь 2х; 4) а) + 1 + 2х; б) JC -f 1; 8) а) 1 + tg^ лг; б) 5) а) л/х^ТТТ^; б) \х +1|; 7) а) л/l - sin^jc; б) cos дс; 2 — 1 сов^х 9) а) fix) - 8ix)\ 6)iJf(x) - )( JHx) + Jg{x)); 10) a) fix) - g{x) + g{x); 6) fix); 11) a) 2 Ig fix); 6) Ig fHx); 12) a) !g fyx); 6) 3 Ig fix); 13) a) In (fix) • g{x)); 6) In f{x) + In g{x). 209 461. Является ли равносильным преобразование уравнения а) в уравнение б)? Бели преобразование неравносильно, укажите причину неравносильности. Запишите дополнительные условия, вьшол-невие которых следует проверить, чтобы избежать появления посторонних решений, или случаи, которые следует дополнительно рассмотреть, чтобы не потерять решения. 1) а) = 2л: - 1; б) - 6jc + 2 - О; . 2) а) J2x + 3 + Jx-2 = 4; ' =16; г 6)2x + S + x-2+2j2x+S - Jx- 2 3) а) J2x + S + Jx-2 -4; 6)2jc + 3 + x- 2 + 2j{2x + i){x-2) = 16; 4) a) log7 _ ^ (x^ + 9) = log7 _ д; ((x + 2){x - 1)^); 6) x^ + 9 - (x + 3)(x - 1)^; 5) a) 'sin x\ cos x = sin^ x; 6) cos x = sin x; 6) a) logcos ain X + logsj„ cos x = 2; 1 % 2; 7) e) ж = ; 6) tg2 W - ; 8) a) 2 sin 2x + cos 2x + 1 = 0; 6) 4tgx 1 - ^ 1 =* 0. 1 + tg^X 1 + tg^JC Завершите решения уравнений 1), 2), 4)—8). 462. Является ли равносильным преобразование неравенства а) в неравенство 6)? Боли преобразование неравносильно, запишите дополнительные условия, которым должны удовлетворять решения второго неравенства или какие случаи следует дополнительно рассмотреть, чтобы не потерять решения: 6) х^ - 9 > О; >0; х2-9______________ 2) а) (2х - 3)л/3х2 5х + 2 > 0; 3) а) (2х^ - Зх - 5)>УЗх *f 1 < 0; 4) а) (6х - 5)V2x2 - 7х - 9 > О; б) 2х “ 3 > О; б) 2х^ - Зх - 5 < О; б) 6х - 5 > 0; 210 5) а) (2х^ + 9х- 11) Ig^ (х-5)< 0; б) 2х^ + 9х-11< 0; 6) а) 5^^*-«* + 2 < 5Л2-6Ж + 5;б)х^-Зх + 2<х^-5х + 5; 7) а) Ig {X - 2)2 < Ig («2 4) - Ig i-x - 2); б)21g(2-дr) 1; б) cos х < sin х. Завершите решение неравенств. Рассуждения, которые вы проводили при решении уравнений и неравенств, можно при оформлении решения заменить соответствующей математической символикой. Речь идет об употреблении знаков рвыюсильности следования «=>♦, системы 4:{* и совокупности «[♦. Знак равносильности «<=>» ставится между уравнениями или неравенствами в случае проведения равносильного преобразования, а знак следования ♦=>♦ — при неравносильном преобразовании, которое может повлечь за собой появление посторонних решений. Знак системы «{» требует одновременного выполнения указанных с его помощью условий, а знак совокупности «[» показывает, что должно выполняться хотя бы одно из условий. Так, например, услсжие равенства произведения нулю можно записать символически: fix) • g(x) = О * [ fix) ■= о, ^л:) = О, X е ОДЗ. Заметим, что, если в результате неравносильного преобразования получится равносильное уравнение или неравенство, в записи решения все равно не следует ставить знак ♦<=>». Пример 1. Решить уравнение Jsx - 5 =* дг - 1. Решение. JSx—х-1=^Зх-5 = х^-2х+1=> _ „2 ^ л л [ x^2f -5д: + в-0=:>]^ дг=3. Проверка. При X == 2 имеем: х - 1 = 2 •” 1 больше нуля, следовательно, число 2 — корень данного уравнения. При X ~ 3 имеем: х - 1 3 - 1 больше нуля, следовательно, число 3 — корень данного уравнения. Ответ. 2; 3. 211 Примечание. Как оказалось» первое и второе уравнения в депочке преобразований равносильны. Однако в момент перехода ото еще не было известно, и, следовательно, ошибкой было бы поста^ вить между ними знак Если же нам захочется, чтобы все преобразования были равносильными, решение надо будет оформить, например, так: х-1>0 JBx - 5 = д; - 1 <=> I <=> «=> - 5jc + 6 - О, хР1 ^ Г х = 2, L л: ^ 3, <=>| Х>\ L х^2, X ^ 3. Оформим с помощью символов решение уравнения, с которым вы встретилвсь в № 461. Пример 2. Решить уравнение 2 sin 2х + С08 2х + I 0. Решение. Выразим синус и косинус через тангенс половинного аргумента — прием, который называют универсальной подстановкой: 2 sin 2х -1- сов 2jc + 1 = О «=> с=> Atgx + 1 -tg^x 1 + ig^x 1 + tg2x + 1-0, c=> n g + Jtn (n € Z), 2 sin (k + 2nn) + COB (it + 2ял) + 1« 0 4 tg д: + 2 = 0, _ Л 2 O-l+l-O JC = 5 + ЯП (n G Z), X = -arctg I + 7Ш, A я ДС = ^ + Ttn, (n € Z). Ответ. I + jw, -arctg | + itn (n g Z). 463*. Оформите c помощью символов решение уравнений и неравенств из № 461 и № 462, 464. Объясните, почему не нужно делать проверку корней в следующем решении иррационального уравнения: Jsx - 5 — — д:- 1, 8*}Взс~ Ъ = Зд: - 3, Зд: - 5 - sjsx- 5 +2 — 0, Jsx~- 5 =* *= 1 или УздГ- 5 = 2, Зд: - 5 — 1 или Зд: - 5 — 4, дс = 2 или дс = 3. Ответ, 2; 3. 212 465*. Обоснуйте следующие равносильности: gix) < о, fix) > О, fix) > ^ix)\ fix) > о, g{x) > О, fix) < g^ix); { 2) JfW > gix) <=> 3) JfOO < gix) 1 4) logx ^ 3 fix) > logj, _ 3 g(x) ^ 1 3 < д: < 4, О < fix) < g(x), X > 4, fix) > g{x) > 0; 5) Ig («*) • gix)) 5 «. [ )) _ 5- 6) log*(x, fix) > 0 «I f ^ |[ 7) fix) = 0, g(x) = 0, h{x) = 0 fix) = 0, h{x) = 0* gix) = 0, k(x) = 0. 466 . Обоснуйте равносильность ; ifix) - IKgix) - 1) > 0, log^x) fi^) > 0 <=> -{ f(x) > 0, 1 g(x) > 0 и используйте ее в решении неравенств 3 и 5 из № 179. 467*. Запишите, чему равносильно неравенство 1) fix) < О и решите с помощью этой равносильности неравенства 4 и 6 из № 179; 2) Jf(x) > g{x) и решите с помощью этой равносильности неравенство 7 из № 108, Контрольные вопросы и задания 1. Приведите два примера равносильных и два примера не> равносильных преобразований уравнений и неравенств, 2. Проанализируйте формулы на с. 284 учебника с позиций равносильности-неравносильности их применения в преобразованиях уравнений и неравенств. ДОМАШНИЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 1 (к п. 1—4) (90 мин) I уроееиъ 1. Является ли у функцией х, если: о) у — число учеников вашего класса» посетивших урок математики, ах — число учеников вашего класса, подгото-вившихся к этому уроку; б) у — число учеников вашего класса» посетивших школу, ах — соответствующее число сентября; в) X — натуральное число, а у — число, квадрат которого равен х; г) X — натуральное число, а у — квадрат числа х? Является ли в этих примерах х функцией у7 2. Функция у = fix) задана своим графиком (рис. 121). Найдите по графику: а) область определения функции; б) область значений функции; в) промежутки возрастания и убывания; г) значение х, при котором значение функции равно 3; ^ д) А-2); Л. -2 'J-V е) нули функции; ж) наибольшее и наименьшее значение функции. Задает ли этот график х как Рис. 121 функцию? г‘ ]. ' f и У 4 ' i I 1 • 214 3. Постройте график непрерывной функции у = /(лс), если: Щf) = (~4; 3]» ее наибольшее значение равно 3, а наименьшее -2, функция убывает на промежутке (-1; 1J, а возрастает на промежутке [1; 3]. 4. Найдите область определения функции: а)у = х^-х х2 + 2ж-3 б) р = X + Jx + 3. 5r Разрывна ли кусочно-заданная функция _ I при JC < 1, ^ ~ 1 2-х, при X > 1? Постройте ее график. 6. С помощью каких преобразований из графика функции у « - можно получить график дробно-линейной функции X 2х — 1 у = Постройте ее график. JC + 1 II уровень 7. Определите с помощью графика, сколько корней имеет уравнение: л/l - х - х^ - х + 1 =0. 8. Решите уравнение: л/х 4- 6 + Jx-Ь — 11. г III уровень 9. Найдите н£шбольшее значение функции y = -_i=. 4 6х + 9 10. Постройте график функции у =* х^ - 2|х1 + 4. Контрольная работа № 2 (к п. 5—8) (60 мин) • I I уровень 1. Докажите нечетность функции у = ^/x2 - 9 ' (х^ - х). 2. Постройте в одной системе координат графики функции у == 3 - 2х и функции, ей обратной. 215 3. Решите уравнение: а) Vjt:» + 5=2; б) j2x^ + Ax-5 «д:-2. 4. Решите неравенство > О. х-3 5. Сравните значение выражений ^6 и V4. в. Сократите дроби: а-Уа , Ь-Ах^’^ а) б) i,0,5^0.5 ^ 2лг0.75 ’ // уровень 7. Задайте функцию = g(x) обратную функции y = S-2x аналитически. 8. Решите уравнение Jx + 6 - Jx-2 = 2. 9. Решите неравенство JSx+ 7 ^ д: + 1. /// уровень 10. Упростите выражение 1 1 I {ху)‘ - ,22, х-^-х у / 4 4 2 • ^ У ~у Контрольная работа ЛГ» 3 (к п. 9—11) (90 мин) / уровень 1. Определите а, если известно, что П)афик функции у проходит через точку М(-0,25; 2). 2. Решите зфавнение: а) log2 “ 2) “ б) 11^^^ -22-lV = 9 3. Решите неравенство: a)?f^>0; 3 +х б) logo,2 (д: + 3) > -2. 216 II уроееиь 4, Решите уравнение: . 5 а)2^ + -9 = 0; 2Х-2 5. Решите неравенство: a)log^_2(5~x)>0; б) =81. 1 Л^Х + 4 ^ /1 Wx^ + Зж + 4 (I) III уровень 6. Решите неравенство log2 (2 + л:) > 1 ~ jc. 7.1) На сколько процентов возрастет вклад в банке за два года, если банк ежемесячно начисляет 3% ? 2) ■ Найдите сумму, которая окажется на вкладе через два года, если начальный вклад составил 10 000 р. Контрольная работа № 4 (к п. 12—20) (50 мин) I уровень 1. Переведите 1,25л из радианной меры в градусную. 2. Переведите -150“ из градусной меры в радианную. 3. Постройте угол, косинус которого равен Выполните О измерения с помощью трвшспортира и запишите общий вид ЗЧ'лов, имеющих данный косинус. 4. Приведите к фзшкциям углов от 0“ до 45®: а) sin (-252“); б) cos 1130“. 5. Используя график функции у = sin х, укажите промежутки, на которых функция: а) возрастает; б) принимает положительные значения. 6. Найдите корни уравнения 2 sin (д: - 1) = принадлежащие промежутку [0; 2 л]. II уровень 7. Для каких углов от 0 до 2л выполняется неравенство sin <р > tg <р? 8. Найдите угол, который образует с осью ординат прямая, пересекающая оси координат в точках А{-2; 0) и JS(0; Jl2), 217 Ill уровень 9. Решите уравнение 4 cos^ х - cos д* - 5 — О 10. Чему равен arcsin (sin 5)? Контрольная работа 5 (к п. 21—26) (60 мин) I уровень 1. Найдите sin (а + р), если sin СХ = , sin ~ 13 D Z и I < р < л. 2. Вычислите sin 70“ + sin 20“ cosl0“cosl5° - sinl0°sinl5 3. Докажите тождество sinoi 1 f сова 1 + cosa eina 4. Найдите все корни уравнения 2 cos^ х принадлежащие отрезку [0; 2тс]. 81па sin X о. II уровень 5. Найдите ■ абсциссы общих точек графиков функций у = сов хку - cos 2х. 6. Можно ли утверждать, что если а® — острый угол, то sin (а® + 1^) > sin а®? 7. Вычислите: logo.i ctg 5® + logo,i ctg 15® + logQ.i ctg 25® + 4-... + logo X 75® 4 logo.l ®5®. III уровень 8. Докажите, что угол между прямыми y = 2x-lvLy—\x-\r2 О равен 45®. 9. Решите уравнение: sin^ X 4- sin^ 2х 4- sin^ Зд: + sin^ 4x = 2, 10. При каких значениях а наибольшее значение функции у = а sin X 4 cos х равно 5? 218 Итоговая контрольная работа (90 мин) I уровень ^ ^ 1. Найдите значение выражения 81^ - Зл/З • 3^. 2. Упростите выражение 2 16 1 8 . а -А а 1 ё 3. Упростите выражение 2*^*2? + jog^ 75 _ 3 4. Решите неравенство (0,25)^ ~ ^ ^ Н' 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции у — /(дс), заданной графиком (рис. 122). 6. Упростите выражение sina \2 ) 7. Решите уравнение log2 (jc + 1) = 4. 8. Найдите область определения функции ____ у- 9. Решите уравнение 2 соз^ л: ~ 3 sin jc « 0. II уровень 10. Решите уравнение J2x + 7 + д: = 2. t-i ILT я, ^ ein^27® - вш^бЗ® 11. Найдите значение выражения ~ --------- einl8® • cos 18° 12. Решите уравнение 3 • 9^ - 5 * 6* + 2 • 4^ - 0. 13. Решите уравнение 2 в1п^ х = |sin х\. III уровень 14. Найдите все значения а, при которых уравнение log2 (4^ -а) = X имеет единственный корень. 15. Найдите наименьшее и наибольшее значения, которые на отрезке [1; 4] принимает функция 1 У = - - 8* Ш Ответы ГЛАВА функции и графики 2. а—г) Нет. 3. у является функцией дг, так как каждому числу х соответствует единственная цифра в разряде десятых (поскольку в математике не рассматривают записи типа 0«9999...); х не является функцией р, так как одну и ту же 1Щфру в разряде десятых могут иметь разные числа. 4. у не является функцией х, так как одна и та же сумма цифр может быть у разных двузначных чисел, например, сумма 7 у чисел 25 и 34; х является функцией р, так как каждому двузначному числу соответствует единственная сумма цифр. 5. а) р = 300 - 50д:. б) Естественная область определения этой функции — множество действительных чисел, а реальная — натуральные числа от 1 до 6 включительно. 6.1) а) 9; б) 0,5; 2) а) -7; б) 0,25; 3) а) 22; 6) 0 и -3; 4) а) 26; б) 1 и -8. 7. а) ЩГ) = {10; 11; ...; 98; 99}; б) /(17) = 8, /(35) - 8, /(59) — 14; в) f(x) = 3 при х =* 30, х = 21 и д: - 12; г) гаах fix) = /(99) — 18, min f(x) »= /(10) = 1; д)* 9 и 10. 8. Ответы приближенные. Рис. 3: а) D(f) == [-3,5; 4,5]; б) /(-2) = 2,8; в) А-2,2) = 3; г) /(-0,25) - /(1,7) = 0; д) max fix) = 4, min fix) = -3; рис. 4: a) D(/) - [-2,4; 6,5]; 6) /(-2) - 3.2; в) /(-1,9) = /(1,5) - /(3,5) = 3; г) /(-1) = /(0,8) = /(5,8) - 0; д) тах fix) = 6, min fix) - -1,5; рис. 5: a) D(/) - (-3; 5,5]; 6)/(-2) = 0; B) /(0,2) » /(2.5) - 3; r) /(-2) = /(3,9) = 0; Д) max fix) — 4,5, min fix) = -1; рис. 6: a) Dif) = [-3; 6]; 6) /(-2) - 2,5; B) /(-1.7) = /(-0,2) = /(4.6) - 3; r) /(-2,8) = /(1) = = /(3,8) = 0; д) max fix) 5, min fix) = -2,5; рис. 7: a) Dif) = [-4,5; 5]; 6) /(-2) = 1,4; в) /(0) = /(2,6) = 3; г) /(-3,5) = /(3,3) = 0; д) max fix) = 4,5, min f(x) = -2,5; рис. 8: a) D(f) = [-3; 6]; 6) /(-2) = -1; в) Л3,5) = 3; г) /(1,3) = 0; д) max fix) = 4,5, min fix) — -3. 220 9.1) -0,7 и 2,6; 2) 2,7. 10.1) Любое число, кроме 2 и -2; 2) любое число, кроме 1 и 2; 3) любое число, кроме 1, -1, 2 и -2; 4) любое число, кроме 3 и -3; 5) JC < 0; б) д: > О. 11. 1) в) X > 2; 6) X > 2; в) X > 2; г) (-<»; -2] U [2; +<»); д) [2; 11) и (11; +оо); 2) а) д: > -3; б)х> -3; в) х > -3; г) (-5; 3]; дИ-3; l)U(l;+c>o). 12. К = 4ж(5 - х)^, ЩУ) = (0; 5). 13. Р = 8 - D(P) = (0; 3): £(Р) = (6; 8). 14. 1) а) [-1; 0]; б) (0; 0,5]; в) [1; 2]; г) {-1; 1]; д) (-оо; 0.5] е) [0; +00); ж) X > 0; 2) а) [0; 1]; б) [-0,5; 0]; в) [0; 1]; г) 0 Д) 0); е) [-0,5; +оо); ж) х > 0; 3) а) [-2; 1]; б) [-0.5; 1] в) [0; 3]; г) [-<Д; ^/2]; д) (-оо; 1]; е) [-0,5; +оо); ж) х 0 4) а) [-2; -1]; б) [0.5; 1]; в) [2; 3]; г) [-J2; -1] U [1; ^]; д) [0,5; 1] е) функция не определена; ж) х < 0. 15. а) ЛГ с Q; б) ЛГ с в) iV Л Z = iV; г) П ^ - iV. 17. 1) k = 0,3, а) / - 7; б) / = 8; в) Z = 4,4; г) I - 7,5; 2) к ^ 0,75, а) / «= -5; б) i = 6; 3) = 19. а) ft > о, / > 0; б) /г < о, / > 0; в) Af > о, 2 < 0; г) ft < о, ^ < 0. 20. 1) Да, при ft = О, / > О; 2) да, при ft < О, ^ = 0; 3) да, при ft = О, / < О; 4) да, при ft > О, £ - 0; 5) нет, график функции у = kx + l не может быть параллелен оси ординат, поскольку при этом одному значению х соответствует более одного значения у; 6) нет. 21.1) = -1,5х + 0.5; 2) J/ = |х + ?; 3) у = 13,5. 22. 1) а) (О; 9) и (-12; О); б) принадлежит Л, не принадлежат В и С, На графике есть точка с равными координатами; 2) а) (0; -8) и (-20; О); б) принадлежит В, не принадлежат >1 и С. На графике есть точка с противоположными координатами. 23.1) 1^ -21. Проходит; 2) / == 16. Не проходит. 24. |,аХ-7;6)г=1 4 7,5 60 1,5 0,8 0,12 0,5 0,25 0,125 17,5 35 70 221 3 2 25.1) 2 = -у г MIX обратно пропорЕЩональны; 2) 2 2 и х Ж дг обратно пропорциональны. 26.1) Д? = 4;2)^ = -18. 27.1) Да; 2) да. 28. Принадлежат точки: 1)Ав М\ 2) А, B^CvlP, 31.1) Две, одну или ни одной; 2) одну. 33. Областями определения. 34. Ошибки в а), г) и е). 35.1) у~ 0,5х; 2) у — -0,5х - 1,5; 3) у - 1,5. 36. у =» 37.1) (х - 2)2 + (у + 3)2 = 9; 2) (х - 2)2 + (у + 3)2 =■ 4, 38.1) (х - 4)2 + (у - 4)2 25; 2) (х - л)2 + (у - а)2 =« 25, где а — любое число; 3) (х - а)2 + (у + а)2 - 25, где а — любое число. 39. 1) (~оо; j и (-1; +О0 2) (-00; -^3), (-3; 3) и (3; +оо); 3)(~оо;-.2)и(-2; +00); 4)^-оо; l],(^l; |^и(^|;+оо^. 40. 1)0; 3 и 5; 2)-7; ~2 и 0. .< 41. 3) Разрыв при X = 1; 5) разрыв при х = 2; 6) разрыв при X = ~2 и при X == 1. 42. 5) Например, у = _ (х-2)(х-5) (х-2)(х-5)(х-9) 44.1) (-8; 0) и (1; +оо); 2) х < -3,0 < х < 7; 3) у < -3,0 < у < го 7; 4) -| < i/ < -1, I < у < 3; 5) JC < -7, -2.5 < х < 1, » > 1; 6) -К X < О, X = I. О 45.1) < < -| < О -i; 2) 2 < -3, < 2 < |; 8) X < -1, -| < X < 1; 4)х < -2, - < X < 3. 46.1) X < "2; 2) X ~ -2, х> 2, 47. Рис. 3: функция возрастает на промежутке [1; 3], убывает на промежутках [’-3,5; 1] и (3; 4,5]; рис. 4: функция возрастает на промежутке [0; 2], убывает на промежутках [-2,5; 0] и [2; 6,5}; рис. 5: функция возрастает на пхюмежутке [-2; 1,5], убывает на промежутках [-3; ~2] и [1,5; 5,5]; рис. 6: функция возрастает на промежутках [-3; -1] и [2,5; 6], убывает на промежутке [“1; 2,5]; рис. 7: функция возрастает на промежутке 222 [-4,5; 1,5], убывает на промежутке [1,5; 5]; рис, 8: функция возрастает на промежутках [-3; -2] и [0; 6], убывает на промежутке [-2; 0]. 49. Возрастающими являются функции 1), 4), 5); убывающая — 2. 54.1) 4; 2) 10. 55.1) 7; 2) 25. 58. 1) а) I < * < 2; б) I < * < |; в) | < * < 2. | < * < |; 2)а)| <Л<|;б)-2<*<-|;в)| <*<|,-2 5». 1) (0; 6); 2) (0; -2); 3) (2; -3); 4) (-3; 14); 5) (2; 11); 6) (-2; И); 7) (2.5; -12,5); 8) (-7; -24,5). 62.1) л:о > о и 1/(0) > 0; 2) xq < о и ^(0) > 0; 3) xq > 0 и Z) * 0; хо > о и ^/(0) = 0; у{0) < 0; 4) хо < О и D = О; Xq < О и у(0) = 0; i/(0) < 0; 5) -К Хо < 2, р(-1) > О, у{2) > 0,1> > 0. 63. 1) а) > 4,5; 6) k = 4,5; в) таких значений k нет; 2) а) Дг < -0,8; б) Л = '*•0,8; в) таких значений k нет. 64, а > О. 65.1) О < а < 1; 2) а = 2, а < 1. 66. 1)—4) Да. 67.1) ^/53 и ; 2) и Жь. 12 6 68. S = 4ж - 1^, Щ8) = (0; 3), E{S) = (0; 3). О 69. Уравнения асимптот: 3) == 2, х = -I; 4)у = -3, х «= 1. 72.1) ^/« Д-х + 6); 2)1/*-fix) - 10; 3)у^ 4) \у\ = -Дх); 5) [/ == -Д-х - 6) + 10; 6) 1р| - -ДНх|). ГЛАВА Степени и корни 75. Существует для точек Л, В и С, 76- 1) п * 2; 2) л = 3; 3) л ^ 3; 4) я = 4 или л = 2; 5) п * 2 или п = 4; 6) я = 2, л = 3, п == 6; 7) и = 3. 77.1) I, Ш; 2) I, II; 3) I, II, III; 4) I, II; 5) I, Ш, IV; 6) I, II. 223 78.1) Да, например: а = 0,6 — -1 и л = 2; 2) нет. 79. 1) а) I, П; б) I, II, (III), IV; в) I, II; г) I, П, III, (IV); д) I, (П). III, IV; е) III, IV; ж) (I), II. Ш, IV; з) Ш. IV. (В скобках указаны четверти, через которые график может пройти лишь при некоторых значениях ft, а и 6.) 2) а) I, П, III или I, III, IV; б) I, III, IV; в) I, П, III; г) I, П, III или I, Ш, IV; д) I, II, IV; е) I, II, IV или И, Ш, IV; ж) II, ГП, IV или I, II, IV; з) II, III, IV. 80. Четным: 1), 2); нечетным: 3). 4); нельзя определить: 5), 6). 81.1) 7П < л; 2) m > п; 3) /п > л; 4) m < л; 5) нельзя определить, 82. 1) Симметрией относительно оси абсцисс; 2) сжатием в 5 раз к оси абсцисс. Все три функции имеют одинаковую четность. 85. 1) Нечетная; 2) четная; 3) нечетная; 4) ни четная, ни нечетная. Точку разрыва имеют функции 3) и 4). 8в. 1) у = (4дг« - 4) + (5;*); 2) у = (-^) + (^). 87. в) Нет; 6) нечетными являются произведение и частное четной и нечетной функций. 88. 1) = -(|x| - 2)^ + 5, при X ^ 0. Функция возрастает на промежутках (-оо; -2] и (0; 2], убывает на промежутках [~2; 0) и [2;+оо) и имеет разрыв в точке о, 5 - (ж - 2)2. при * > о, „„ W (5 _ 1^1 _ 2)2). (х + 2г - 5, при X < о ^ ' Функция возрастает на промежутках [-2; 0) и (0; 2], убывает на промежутках (-о°; -2] и [2; +оо) и разрывна в точке 0. 89. Нет. 90.1) Р(х) = (X - ЗКх + 4Кх + 2); 2) Р(х) - (х - 1К2х - 7Клг + 1); 3) Р(х) - (х - 2К2х - \)(х + 3); 4) Р(х) - (Зх + 1){х - 4)(х + J2)X X (х - J2); 5) Р(х) — (х + 4)(2х - + !)• 91.1) Р(х) = о имеет корни: -4, -2 и 3; Р(х) < 0 при х < -4, -2 < X < 3; 2) Р(х) = о имеет корни: -1, 1 и Р(х) < 0 при X < -1, 1 ^ X < 5; 3) Р{х) о имеет корни: -3, 0,5 и 2; Р(х) < О (U при X < -3, 0,5 < X < 2; 4) Я(х) = О имеет корни: - V2, -1, J2 и 4; Р(х) < О при -J2 < х < -5, < х < 4; 5) Р(х) = О имеет О корни: -4 и 1,5 и Р(х) < О при -4 < х < 1,5. 224 2)*/ = ^ 92. Да — 1)— 4). 93. 2) “Лб: 3) -V43; 6)О; 7) 1,5; 8)-2; -0.8; 9)О; 1; 4; 5; 10) 0; 1; 8; 9. 95. Принадлежит — 1)—3). 96.1) Такого п не существует; 2) л = 7. 97.1) 2; 2) 3; 3) 3; 4) 2 и 4; 5) 2 и 4; 6) 2, 3 и 6; 7) 2, 5 и 10. 98.1) m > п; 2) m < л; 3) m < л; 4) m > л; 5) m < п. 99. l)j/ - 2)у = i; 3){/ = 0,5* + 0.5; 4)i/ = 7,5- 1,5*. 101. Да - 1), 2), 5), 6), 7); нет - 3), 4), 8). 102. 1) -V7: 2) -%/ё; 3) -Va/2 -1; 5) -?/Г+о=; 6) - V4 - 46 + 62; 8)-Я1с^-Ъс + 1. 103.1) д: > 0; 2) Jt > 0; 3) X — любое число; 4) х 5^ О; 5) х > 2,5; 6) при всех х; 7) -5 < X < 5; 8) X < -|; X > I; 9) X < -9, х > 10; 10) -4 < X < 24. 104.1) X < О, X = 16; 2) X * -243; 3) х < О, х 2; 4) х < -3, X — 3; 5) -5 < X < 5, X -13; 6) х < -7, х > 7, х-3, 105.1) gf ; 2) i; 3) -0,4992; 4) 0,3568; 5) -5 и 5; 6) -4. 106. 1) -1; -2,5; 2) вег корней; 3) 1; 4) -2; 5) 6,25; 6) 4; 9; 7) -1; 3;8)-1. 107.1) (-оо; I) и (4; 7]; 2) х - -8,5, -3 < х < 1. 108.1) 4 < X < 5; 2)-7,5 < х С 5; 3)О < х< 1; 4)х> 6; 5)х > 4; 6)1<х<2,6; 7)х<-|,0<х< И^;8)х<-1,х> 1 О О У 110. 1) 45; 2) 2.8; 3) 4,4; 4) 6; 5) 20; 6) 2; 7) 15; 8) 12; 9) О 10) 11)3; 12)1. 111. 1) 21\/2; 2) 8V8; 3) аМа\ 4) 5) db^»4jab\ 6) ~а\Га\ 7) 2хV • ^4^; 8) 2«V * V~2ab^. 112. 1) J2; 2) 73; 3) 4) 5) лДх; б) V2^; 7) а/л/5-2;8) 113.1) «лй; 2) л/а; 3) 4) л/&; 5) sJJ; 6) . 225 114.1) л/з > Vs > ; 2) < V3 < Vs; 3) л/з^ > ; 4) 1^72 - л/^vi - 115.1) V2; 2) 12Д; 3) 24Д; 4) ; 5) 1?/оЛ; 6) . 116.1) -7; 7; 2) -2; 2; 3) -4; 4; 4) -5; 2; 5) ^Js6; 6) 8; 27. 117. 1)75; 2) 27s. 118.1) 7; 2)4,7. 119. 1)0; 2) -18; 17. 120.1) Xi = l,!/j~9;x2=9,i/2^1; 2) Xy =- 1,1/1 =- 4; X2 = 4. 1/2 = 1; 3) Xi = 1, 1/1 = 27; X2 “ 27, 1/2 = 1; 4) x^ == 1, = 64; ДГ2 = 64, i/2 ^ 1' ' 121.1) a < 0; 2) a < 2, a = ? . 4 122.1) 3oJi; 2) иЩ; 3) ; 4) ; 5) i/a^; 6) воД. 123.1)-1;2) -1. 1 1 a „V 4 3 5 2 8 1 2 3 6 ач 1.6. *.4 i.»7i_7 «V ,.8i_i8. „Ч V Л 125. 1) ЛГ ; 2) y^; 3) 4) b^; 5) W ^ ; 6) Ь>Г; 7) (-a)"; 6 Л ^ 1 ® -5 8) (-yf; 9) 2 ’alM 10) \ 126. 1) V^, где a > 0; 3) jjp; 4) 5) Vc®; 6) 7) lojp, где a > 0; 8) где Jc > 0; 12) V(>^ + 2^/)^ где л: + 2i/ > 0. a w _7 ? i 127.1) X*; 2) j/“; 3) c®*; 4) ft®*; 5) a*; 6) 7) ft®; 8) c®. 128. 1) 27; 2) i; 3) 100; 4) 1000; 5) 6) A- 7) 9; 8) 2; 9) 7i;10)i. V2 129. 1) a) 2'®; 6) 2'®; э) 2®-®; г) г"®*®; д) 2* ®; 2) а) (71Г^; б) (л/^г'®; в) (72)*'®: г) д) (72)®; 3) а) 4-*; 6) 4*®>®; 2 5 в) 4® '*; г) 4"®'^®; д)41-®“; 4) а)(0,125)®; б) (0,125)®; в) (0,125) '®; 226 г) (0.125)®-*; д) (0,125) S 5) а) (Vi)'*; б) (Vi)'’'-®; в) (Vi)*'*; r)(Vi)'*®®;A)(Vi)®-*®. m. 1) а) [l)\ б) (I)-; В) ф г) (if; д) (|)'-; 8 _15 2) а) (V5 )■*; б) (V9)®; в) f; г) (VO) : д) ( V9 )®’*®; 3) а) З"*; б) 3^ В) 3^ г) 3 ^ д) 8®-®; 4) а) (i)®; б) (i) ®; в) (i) ‘®; - -- 1 г) Д) (i)®; 5) а) eMrh 6) (Vsi)®; в) (Vsif ; _25 35 г)(^) **;д)(У§1)®. 5 131. 1) (a®'V; 2) 3) ; 4) / 1 i 6) (5а®’^)2; 7) (8х®’V’^V; S) j . 6 ^ ; 5) 132. 1) Ь 8 8 ; 2) г г ^ ( 5 i'l 6) Зх® ;7) к 3 9 5fl у ; 8) 105 с* к ; V ; 31113 1 133. 1) - а*; 2) - 6®; 3) д-^ - х f - 1; 4) / - с ®; 1111 ?1 Ь) а -Ь а^Ь ^ - 1; 6) г® - х^; 7) а + 6; 8) х^ - 8 8 1 9)Аа^ + 12а^Ь^ + 96. 10 1]( “ I 10*' + а 1ч 2 1\ ;2)\ь 2 ;3) / 3\ 2 а - 5^= а^-5 - 2 . с А + 5 227 4) (дг^)2 - j »= дг^-i/^ + 5)|a^j - 3^ = a^-sjx |а'* + з|; X a +3 ; 6)5^- 5 + fe ]; 7) ^{3xy I42 1.2 /l = / = liSxf-y^ \\{3xf + y^ ^ / 1 / г 3q 1 10 X p + 3^ i\ 2 ; 9) (дг®»^)2 “ ^ 1 2SV P - 3g - 28V i\ 2 - 1л jc®»’ + 2sV ; 10) / 1 i\ 7V / I i - (o-l-V \/ 1 1 7V-0-»* 7 V + a-^•^ /V 135. 1) 2» - a / 8 / 2-e i\/ 8 /V 4 + + 3 V ? 1 ^ |б^- 35^+ 9 ; 3) IOjc i\ / i\ 3® / 8 \ ;2) 6® / к > / 1 + 3' 1 1 3 r.3 X lOOx + Юдг^-З^ + 3^ L 4) 5^ + / I l\ o3 3 2 у 8 Юд:^ - 3^ I X / 11 5 + 2^y^ I X / 11 22 25-5-2V + 2® j; 5) j^o® j +2^- + 2 - 2a® + 4 j; 6) 4 16 + 46® + 6® 1 J_w 1 11 1 ЛГ® - If x^ + 1; 8) 1 2. 1 i\ X N7 -2b c + 4 2. I/ 1 1\ 4 . 1.4 X + Ь ;4)-10. ГЛАВА № Показательная и логарифмическая функции 143. Принадлежат. 146.1) 4; 2) 4; 3) -2; 4) -3; 5) 147.1) 9; 2) Л. 148. Проходит. 151.1) ^; 2) I; 6) 7) 2,75; 8) 1,2. аЛ-ьЛ 152. J2l- Л Л‘ 4 Ь ^ 229 153.1) Четная; 2) нечетная. 155.1) 5*, 2) 2,5; 3) 3; 4) 5) 7; 6) нет корней; 7) 9; 8) 4. 156.1) ~1; 2) 3; 3) 1; 4) 4; 5) -1; 6) -2; 7) 1,5; 8) 1,5. 157.1) О; 3; 2) -2; 3) 4; 4) 6; 5) О; 6) -^1; 1. 158. 1) л: = I/ = -2; 2) JC « р - -Ц; 3) X = 4, i/ » 3; 4) Ui = Vi^ -4. W2 = t>2 ^ 3. 159.1) jc < -4; 2) jc < 6; 3) jc > О; 4) л > О; 5) л: < -3, х > -1; б) л: < -*1, 4 < л: < 5; 7) X < 2; 8) л: < О, X > 1; 9) JC < 1; 10) х > 2. 160.1) X < О, X ^ 3; 2) X <-2. 161.1) а > 1 и а ^ 2; 2) ни при каких; 3) а < 1, а — 2. 162.1) (l.OS**" *- 1)• 100%; 2)« 42,6%. 163.1) а) 2; б) 4; в) 3; г) -3; д) -3; е) 0,25; ж) -6; 2) а) 2; б) 3; в) 3; г) -2; д) -4; е) |; ж) ^9. 164. 1) а) log2 2; б) 1о^2 4; в) log2 6; г) log2 1; д) loga 0,5; е) iog2 0,25; ж) log2 0,125; з) log2 J2; и) log2 V2; к) log2 л) log2 Vi; 2) а) iogj i; б) logj Ь в) logj г) logj 1; д) logj 2; е) logi 4; ж) logj 8; з) logj и) logj —; к) log, J2; л) log, —; 2 2 2 2 2 Vi 3) а) logs I i б) log2 в) logg r) logg 1; д) logg |; e) logg -; Ъ 3 8 8 8 8 27 /2 ^2 /з П ж) logs з) logs Л; и) logs sU; к) logs Jg* ^*^^2 з/g; 4) a) iog4 4; 6) log4 16; в) log4 64; r) log4 1; д) log4 0,25; e) log4 ~; ж) log4 3) log4 2; и) log4 Vi; к) log4 л) log4 Vl6; 5) a) log 1 4; 6) log, J e) bg 1 ; r) log, 1; д) log , 27; JL 27 27 729 ’ ' "2. 27З 27 27 ^ ‘ 27 27 e) logj^ 729; ж) logj^ 27*'^; 3) log ^ и) logj^ |; к) log^ ; 27 27 27 27 ^ 27 ^ 1 ^ +1 (x +1)^; B> log^ +1 (x + 1)^; 27 r)log^ + i l;fl)logjc + i ——;e)logjc^j x + 1 («4 1)2 ; ж) log;^, ^ 1 (x+ 1)^* 230 3) logj^ + i Jx +и и) logx+iVx 1; к) + 1 л)logд^+^ ^JixTlf, 165.1) 2; 2)|;3)V5;4) 4:- ^ Я/7 166, 1) 1; 2) ^; 3) -2; 5; 4) 1; -6; 5) -|; 8; 6) |; |. 167.1) log2 S; 2) logo.5 7; 3) logs 2 - 1; 4) logj 3. 7 168. 1) jc < log, 3; 2) л: < logs 256; 3) x > log3 - ^ 6; 2 4}x> log Jig _ 3 6. 171.1) logs I > logs I > log, f; 2) logs I < logs f < log, |. 172. l)x <-l, x> -2; 2) < л; < 1; 3) < л < 1, 1<а;<|;4)л:<1, 1<ж<|;5)-2<*< -1, -2 < ас; 6) -^ <ас<1;7)| <дс<1,1<ас<3;8)| <ас<3,3<а:<4. 173. 1) log2 10; 2) I logi 2; 3) 1; logs 3; 4) 1; logj 5; 5) О; log, б; 6) О; 7)-l;logio 2-’ 3 174.1) 2; 2) 0. 175. l)o>0,a = -^2)-i 23; 2) л: > 6; 3) -2 < л: < 7; 4) 0,99 < л: < 1; 5)0<л:<3;6)л:<-2.л:>7; 7)лг>6; 8)2 9; 3) О < дг < 0,16, 1<дг<|;4)| <д:<0,81.д:>1;5)-Л0 <д:<-3. VlO <д:< 10; О 7 в)-3<х <х < Те. 179.1) 4 < л < 6; 2) 4 < д: < 6; 3) -^3 < дг < -2, дг > 2; 4) -4 < д: < <-3, -2<х<“1, 1 <д:<2;5)д:> А о 7) 3 < X < 4; 8) 2 < дс < 3, д > 6; 9) О < лс < 0,5,1<х<2, 3<х<6; 10) 1<х< 2, 2<х<3, 3<х< 5; 11) 1<х< 2, 2<х<8, 3 < X < 4, X 5. 231 180. 1) 1 < л: < 5; 2) -0,5 < jc < 0; 3) дс > 14,5; 4) лг > 4,5; О 182.1) 1; 2) -2; 3) 2; 4) 2; 5) 2; 6) 2; 7) 8; 8) 6; 9) 2. 183. 1) 4а; 2) 2а; 3) 7,5а; 4) -4а; 5) i; 6) 1 - а; 7) ; 1 - а а 8) 8 - 2fl I 184.1) За + Ь; 2) З-Зо Ь+1 185. 1) 13,5; 2) 20,25. 186. 1) 5; 2) 1023. . 188.2. 189.1) log7 8 > logg 9; 2) log7 6 < logg 7. leo. 1) 64; 2) 1®Л0; 3) ,/3; 4) 9; i; 5) 9; 6) 1; 7) 2; 8) 20; 9) 2; 10) 3; -3; 11) 1; 12) -1; 13) ,/1; 14) 4; i; 15) i; 16) 9; i; a/2 17) 16; 18) 3: i. 191. 1) 100; 0,01; 2) 2; i; 3) 3; 27; 4) 100; 0,1; 5) 3; |; 6) 0,5; 4; 7) 0,00001; 1000; 8) ; 9) ; 10) log, |; & n 11) 1; n" 12) 1; 22. 192.9. 198. ; a) 100; 6) 10. 194.1) -100; 2)-1000. 195.1) 3 < jc<4,5; 2)~1 l,5;б)0<л; 0; 7) II четверть; 8) I четверть. 222. 5) сов р > о, sin р < 0. 224. 1) а) 156° + 360°п и 24° + 360°п, п — целое число; 2) а) 45° + 360°л и 135° + ЗбО°п, п — целое число. 226. 1) сов 72° « 0,31, sin 72° - 0,95; 4) cos 215° « -0,82, sin 215° «-0,57. 228. 1) 3; 3) 1; 5) 0. 229.1) Синус равен косинусу для углов 45° и 225°; 2) синус противоположен косинусу для углов 135° и 315°; 4) синус больше косинуса для углов между 45° и 225°. 232.1) Да; 3) нет; 7) нет; 8) да. Зп 233. 3) <р = 2 233 254.1) ф ~ 7W, п — лк^е целое число. 235. 1) 5 3) 5 + 2ял, п — любое целое число. и Z 5) I + 2пк < ф < Y + 2т1Л; 6) л + 2лА < ф < 2т^к + 1), ф = | + 2пк. 239. 9) Положительное; 10) отрицательное. 242.3) -1.4; 5) 1.4; 6)-3.7. 243.1) 52.43° + 180°п; 3) -21,80° + 180°п. п — любое целое число. 244.1) Для углов 45°, 135°, 225° и 315°; 2) нет таких углов; 3) для углов между 45° и 90°, между 135° и 180°, между 225° и 270°, между 315° и 360°; 4) для углов между 0° и 45°, между 90° и 136°, между 180° и 225°, между 270° и 315°. 246.1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 249. 4) о. 251. 3) ^ + лп, п — любое целое число. 252.3) ф = ^, ф = ^; 5), 6) 2дп < ф < ^ + 2лл. О О £ 253.1) ф - к л; 3)ф= 2 + ял, ~ + ял, п — любое целое число; £ ^ £ 5) + ял < ф < ял, л — любое целое число. 254. 2)ь)у= JC + 3; в) ^/ = -.Уззс + 3. О 255. 2) tg 1 > tg 2; 3) sin 15° < sin 15; 4) cos 3 < cos 4. 259.3) Отрицательна. 260.1) ^ arcsin ^;4)я<я + arcctg p < 2я. 261. 2) 5n T* 262. l)g;3)l. 263. 3) 0. 265. l)a-p; 2)a-p. 266.1) a e [-1; IJ; 3) a e jR. 267.3) I?; 268. Нет. 234 271. 1) -f Znrif -'arcain ^ + 2тсл, тс + arcsin ^ + 2tw, n — любое целое число; 2) 2лп, n — любое целое число. 275.1) sin 34“ - cos 34“; 2) 2 ctg 20“. 276.1) -tg х; 3) ctg ф. 277.1) а) sin 120“ « 0»866, cos 120“ « -^0,5, tg 120“ -1,732. 282. 4)5 +^,ле2Г. О d 283. 2) ^; 3) 5 - 6 + 2л; 4) 10 - Зл; 5) 5 - 10 + Зя. 289.1) л: 5 4- 2тсп» п — любое целое число; 3) не имеет решения. 290. Общий вид уравнения оси симметрии лс =*= 5 -f nk, к — а любое целое число. 291. Общий вид абсцисс центров симметрии д: = ял, где л — любое целое число. 295. 1) Увлах ~ 2» ^min ~ Утах ~ 1»5, Pniin ~ ■НЗ.б; Утах ~ !/min ~ ^4 • 296.1) , 4) — нечетные; 2), 3) — четные. 298. а > 5. 299.1) -0,5 < а < 0,5; 2) а > d 301. функция у = sec х четная, а функция у = cosec х нечетная. Ф 306.1) JC 2ял, п — любое целое число; 2) х^п + 2ял, п — любое целое число; 3) нет решений; 4) нет решений. 307. Общий вид уравнения оси симметрии х = яп, п — любое целое число. 308. Абсциссы некоторых центров симметрии х = 5, -1, -у. Общий вид абсцисс центров симметрии: ^ ^ ^ ^ — любое целое число. 310.1) 0.4 и О; 3) 1 и I; 4) 1 и 0,2. 313.1) я; 2) 4л. 314. а) Четные функции 1), 5) и 6); б) нечетная функция 2). 235 < X < Зл 315, 1) 2пп < д: < 5 + 2тсл, п е Z; 2) -h 2кп < 4 4 о ^ + 2тсл» л € Z; 3) + 2nk < х < — + 2кк, k € Z; 4) ~ + 2nk < х< ~ -h 2nk, ke Z» 4 4 316.1)~ + nn лл < X < -7 4 лл, nGZ;4)s +лл<х<л + лл, 2 4 о л G Z; 5) arctg 3 + лл<х<| + лл, л е Z; 6) arcctg (-3) + лл < < X < л 4 лл, л € Z. 9п. 13л 4'-' 4 ’“'Т'Т в) 2л + arctg 2; Зл + arctg 2. 329. 1) а) 7; б) ^; в) — ; ; 3) а) arctg 2; б) л + arctg 2; 330.1) 7 + ле Z; 2)Такиххнет;3) 7 + ле Z. 4 2 4 2 332. 1) Функция возрастает на промежутках: 2лл; + 2лл ^ и убывает на 4 2лл; ^ 4 2лл л е Z; 2) функ- ция возрастает на промежутках |^-л 4 4лл; л 4 4лл ^ и убывает на (^л 4 4лл; Зл 4 4лл^, л € Z; 4) убывает на 4 лл; ^ 4 лл^, л Е Z. 333.1) |;2)л; 3) л; 4) л. 384.1) (-|;0);2)(0,6;|). 335.1) Могут; 2) могут. 336. 1) cos а = ||; tg в » ctg а = |; 3) sin а - Щ; tg а = ctg а = 5) sin а = cos а = ctga = ^. Л . лд 11л 6 12 35 25 25 24 236 337. 5) 1 - sin p; 7) cos^ a - sin^ a; 9) tg® P; 11) sinp 13) -4o; IS) sin^ |sinoc| * 338.1) -7; 2) 0. 340.1) 0; 3) 1; 5)1- 341.5) 5 + 2nkt Л “ I + 2Tife, ke Z;S) -arctg ^|] + ne Z; S 4 5 9) ±arccos ■= + 2iin, ±arccos ■= + 2кп (n e Z); 10) arccos 2тсл, 5 D lo larccos ^ ^ j + 2тш (n € Z). 343.1) 7; 2) 47. 344.1) He могут; 2) могут, 346. 3) ; 4) л/(соБа- cosp)^ + (sina- sinP)^. 347.11) -sin cp. ОАО. i\ 117, Q\ 33. 31л/2 350.1) m;2)l^Hli^. 352.3) Л cos a, 353. 4) cos p. 354.1) Значение первого выражения больше значения второго; 2) значение первого выражения больше значения второго; 3) значения выражений равны. 355.1) 1; 2) -1. 35в.1)^;3)|. 357. ±|| + ^nk,k^Z, 358.105®. 364.3) 5 + 365.1) 3) 2-Зл/З И.5 366.1)^^-1; 3) ^^+ 1 Л-I 237 367.1) а) У;в)-Щ. 368.1) |;3)i. 369.1) 17,2. 370.90°. 375. 3)arctg2-f-тт, fig Z, 377.1) tg 55°; 2) ^ctg 10°. 379. 2) Угловые коэффициенты k\ и k2 взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением ki*k2 = -1. 380. 9) cos^ i - sln== i; 11) ^ 13) 2 sin | cos f; 15) 2 sin ^ cos ^: 17) 2 sin cos ; 19) 2 sin - |)x X cos (s-f)- 381.1) 0,96; 3) f; 5) . 4 f 383. 3) sin 24°; 5) ^; 7) -cos 40°; 9) ^; 11) cos a; 13) cos 2a; s. 2 15) tg20°;17)tg|. 384.3) cos 10° - sin 10°; 5) совйО” ; 7) cos 5°; 8) cos 25° - sin 25°. 385.1) sin 20°; 2) ; 3) 8 328ina * 386.1) ? + »Л € Z; 2) 5 *f лЛ, -arcsin 7 + 2nkj n + arcsin \ + 4 Л Й 4 4 + 2nft, kG Z, 387.1) 30; 2) 150. 388.1) ^ + ЛП, UG Z; A) n + 2nn, где л e Z. 389.1) , n e Z; 2) ^, n e Z. 393. 1) Может, так как sin 2x ^ 2 sin 24° < 2 sin 30° = 1; 2) не может, так как sin 2дг < 2 sin 34° при любом д:, так как 2 sin 34° > 2 sin 30° = 1; 3) да; 4) нет. 395. Наибольшее и наименьшее значения функции: 1) 1 и -1; 3) 1и-1;5)1и-|. 238 Tin 398. 1) 2 cos 45° cos 60° = ^; 5) 2 sin i|g cos jgg; 8) 2 cos 3a cos a. 401.1) , 2) 404.1) i; 2) 3. 405.1) ’^,ne Z;3)l + ^,^,n€ Z;5)±l+2nn,ne Z. 406.1) S+ 2nn, neZ. 407.1) sin^ 4a; 2) sin 4a sin 5a; 3) sin 7a sin 8a. 408.1) sin 8a ; 2) sin 4a cos 5a; 3) sin 8a cos 7a. 409. 1) 7; 2) sin во*" cos 70^. Аргументы слагаемых состав-4 ляют арифметическую прогрессию, а аргумент множителя равен ее полуразности. 411. l)±^+nn.^,neZ;2)^,’^.n£Z. 412.1) -я; : 0; I: я. 5х 413. 1) + 2лп, п е Я; 2) л + 2тш, п е 3) ^, л е D л 4) кп, пе Z. 414.1) л + 2пп; + 2кп, п € Z; 2) (-1)* ^ + nk, k е Z; 3) -arctg 3 + пп, arctg 2 + an, n е 4) arctg 2,5 + nn, + im, ne Z; 5) 2nn, л g Z; 6) корней нет; 8) ^ ^, n g Z. 415.1) п€ Z;2) nn, | -f лл, n e Z; 3) -arctg 2 + nn, 5 ЛЛ, Л G Z; 4) 5 + nkt ±5 + nk, ke Z, 4 do 416.1) -? -f ппу arctg I + ЛП, n E Z; 2) ? + nn, -arctg 5 + nn, 4 4 4 n G Z. 417. 1) ^ n € Z; 2) nn, л g Z; 3) ял, | + nn, n e Z; 4) nn, I + ЯЛ, ПЕ Z, 239 418.1) 2jw. rt € Z; 2) ? +тш,±| +2тсп,ле Z;3)^,±^ + -h 2тсл» Л e Z; 4) ^ + nn, ^ Z. it 0 0 4ie. 1) ?|5,(2n + l)i, ne Z; 2) ne г; 3) ne г; 4) К , „ e Z; 5) g + Й „ли ^ + 5 (2n - 1). « e Z; в) I? + i|=: bit j_ 4кл „ -51^ "T 420.1) -| - 2nn или ^ , n 6 Z; 2) i , П e Z. 423. 1) ± ^ ® i '*' arcain | + nn, n e Z; 3) 5 + 2nn, ±5 + 2тш, л € Z; 4) лл, ~ + дп, n e Z; Z О О 5)5+Kn,neZ(6)-! +!^.neZ;7)(-l)"5-! + 2»m,n6Z: 8) ^, n € Z; 9) arctg 3 + ял, arctg 7 + ял, л e Z; 10) i + = Л, 4 lu 5 f + у fc, 5 + у fe. * 6 Z; 11) ±5 + 2ЯЛ, Л 6 Z; 12) г + ял, arctg I + nn, Л e Z; 13) ^ ^ n, n e Z; 14) arctg (7§ - 1) + ял, -arctg (7з + 1) + дд, n e Z; 15) jc = лп, Z; 16) + 2лл, n€Z;17)±^ +^^,«€Z; 18)+nn,±~ +2nn,neZ. 12 2 4 3 2л 424. к 12* 425. О, ± I. 426. ± Л. 7k 427.1)д. ^^;2)5 H 5. 428,a = ±2-s/6. 429.1) (-l)'^ s + Л e Z; 2) лл, л € Z; 3) ^ + ля, ± 4? + О 4 9 + 1 ял,лeZ;4)logz(!+S), л = 0,1,2,3.. 240 ГЛАВА Повторение 430. 1)х^1;2)х^ -1; 3)х< -1,6, л: > -1; 4) (-с»; 0.75] U и[1; +00); Ь)2- Л <х< 1,5,1,5 < л: < 2 + 72; 6)+ 2т:п; ^ + 2тсл j (ё ^ 1 )’ л € Z. 431. 1) (-00; +00); 2) (-оо; Q) U (О; +00); S) у > “16; 4) I/ < 4; 5) -| < у < 2; 6) [-21; 3]; 7) О < у < 2; 8) [1; 4]; 9) [2; +оо). 432. 1) (-0°; -1), (-1; +°о); 2) + 2тго; | + 2п(п + 1)), где пе Z; 3) (2лп; п{2п + 1)], где п 6 Z; 4) Гп - 0,5; п + 0,5 где пе Z. 433.1) (-3; -0,5) и (5; +оо); 2)х< -3, -0,5 < д: < 0,5; 3) 3 < д: < < 4; 4) (-1; 1) U (1; +оо); 5) - Зт; - 2дп). (-|; -l). ^ I + 2яп; у + 2яп\ где д = 0,1,2,...; 6) (0; 0,5), (2im - я; 2яп), (-2лп; к - 2тш), где л е iV. 434.1) X < -|; 2) -1 < jc < 1; 3) 1 < JC < 2; 4) 5 < дг < —. 435.1) Функция возрастает на промежутках [а; fe] и [с; dj, а убывает на промежутках [5; с] и {d\ +<^}; 2) функция возрастает на промежутке [-2; 1,5], а убывает на промежутках [-3; -2] и [1,5; 5,5]; 3) функция возрастает на промежутке [1,5; 3,5], а убывает на промежутках [-2,5; 1,5] и (3,5; 5], 437. Убывающие! 2), 5); возрастающие: 1), 3). 438.1) Возрастает на (-оо; -1], убывает на (-1; +оо); наибольшее значение 4; 2) возрастает на (-оо; 2], убывает на [2; +о°); наибольшее значение 25; 3) возрастает на (-4; -1,5], убывает на [-1,5; 1); наибольшее значение -1,2; 4) возрастает на [-3; +оо), убывает на (-оо; -3], наименьшее значение log7 2; 5) возрастает на [2nk; K(2ft + 1)], убывает на {т{2к + 1); 2n(fr + 1)], где fe € Z; 241 наибольшее значение 9, наименьшее значенне 1; 6) возрастает на ^nk; I + убьшает на + nk; TC/jj, где ke Z; наибольшее значение наименьшее значение 0,3. 439. 1) а) Dig) » 1-3; 4], D(h) = (-3; -2) U (-2; -0,8) U и (-0,8; 3,3) и (3,3; 4); б) E{g) = [О; ], E(h) - (-00; 0) U +00); в) в(л) возрастает на [-2; 1,5), убывает на [-3;-2], [1,5; 4), h{x) возрастает на (-3; -2), [1,5; 3,3), (3,3; 4), убывает на (-2; -0,8), (-0.8; 1,5]; г) min g(x) = О, max g{x) = , у h{x) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 2) а) Dig) * [-2,5; 0,8] U [2,3; 4], Dih) = [-2.5; 0,3) U (0,3; 0,8) U и (2,3; 2,8) и (2,8; 3,7) U (3,7; 4); б) E{g) = [О; ДТВ], £(й) = = (-оо; ~; +00 в) gix) возрастает на [2,3; 3,5], убыва- ет на [-2,5; 0,8], [3,5; 4], Л(дг) возрастает на [-2,5; 0,3), (0,3; 0,8), [3,5; 3,7), (3,7; 4), убывает на (2,3; 2,8), (2,8; 3,5]; г) min g{x) = О, max ^л:) — 74,5, у hix) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения. 440.1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 11; 5) 1; 6) -3; 7) 1; 8) 2; 9) О. 441.1) а)5;б)-!;в)|!;г)Зя-10;д)|-2; 2)а)|!;б)|5; в)^;г)471-10;д)| -1;3)а)5;6)-|;в)-|;г)7-2а;д>! -1; 4)а)^;б)|;в)^;г)7-2т1;д)^' -2. 442.1) <л:<5,1<х:< ; 2) cos 1 < д: < 1. 4 6 4 о 443. Например, . Не может. 444, Нечетные: 1), 2); четные: 3), 4), Нечетная: б), д); четная; а), в), г). 447. При преобразовании (3) расстояния до оси абсцисс умножаются на k% при преобразовании (4) расстояния др оси ординат делятся на к. 450. Первый и третий ученики выполнили преобразование графика верно. 454. у = 1 - (-лс): {jc} {-jc} -{-л} + 1* Зх 8л 45б.1)|^;2) 10д;3)5;4) 2. 242 45в. 1) Симметрия относительно оси ординат; 2) симметрия относительно оси абсцисс; 3) перенос параллельно оси абсцисс на 3 единицы влево; 4) перенос параллельно оси ординат иа 3 единицы вверх; 5) сжатие к оси ординат в 2 раза; 6) растяжение от оси абсцисс в 2 раза. 459.1) а ** О» а > 5; 2) О < а < 4, а 5; 3) а = 4; 4) 4 < а < 5. Уравнение не имеет корней при а < О. 4в0, 1) ОДЗ расширилось: в него добавилось число -1; 2) ОДЗ сузилось: из него исчезло число -1; 3) следует дополнительно рассмотреть случай, когда х 4- 1 < 0; 4) следует проверить, что X + 1 > 0; 5) равносильное преобразование; в) следует дополнительно рассмотреть случай, когда х — ^ + кЛ (Л е Z); А 7) следует проверить, что cos х > 0; 8) равносильное преобразование; 9) следует дополнительно рассмотреть случаи, когда fix) < о, ^х) < 0; 10) ОДЗ могло расшириться, следует проверить, что имеет смысл; 11) ОДЗ могло расшириться, следует проверить, что /(х) > 0; 12) равносильное преобразование; 13) ОДЗ могло сузиться, следует дополнительно рассмотреть случай, когда /(х) и ^(х) одновременно отрицательны. 461. 1) Следует проверить, что значения правой части уравнения неотрицательны; 2) равносильное преобразование; 3) ОДЗ распшрилось: следует проверить, что 2х + 3 и х - 2 неотрицательны; 4) ОДЗ расширилось: следует проверить, что 7'-х>0, Ч - 1, х^ + 9>0;5) следует дополнительно рас- смотреть случаи, когда sin х = 0 и cos х = -sin х; кроме того, следует учесть, что косинус должен быть неотрицателен; б) равносильное преобразование; 7) равносильное преобразование; 8) ОДЗ сузилось: следует дополнительно рассмотреть случай х—^ Л-nkik^ Z). Ответы: 1) 3 -f л/7; 2)3; 4)-1; 5)тел, + 2пп in^Z)\b)l + 2кк (к е Z); 7) ±5 + 2пк, 2пк (к е Z): 4 4 4 8) -arctg 0,5 + nkt I + яЛ (Л е Z), 462. 2), 3) Следует учесть, что подкоренное выражение должно быть положительным; 4) подкоренное выражкше должно быть неотрицательным; 5) ОДЗ расширилось; следует рассмотреть случай равенства нулю логарифма и учесть требование положительности выражения, стоящего под знаком ло- 243 гарифма; 6) ОДЗ расширилось; следует учесть требование неотрицательности подкоренных выражений; 7) равносильное преобразование; 8) ОДЗ расширилось; следует учесть требование О существования Ioggj„ ^ cos х. Ответы: 1) jc < -3, д: > 3; 2) д:> ^; S)<х< 2»5; 4)х> 4,5, х - -^1; 5) д: = 6; 6) л: < 1; 7)нетреше- О ний; 8) “ + 2nk < д: < 5 + 21хДг. 464. Каждый переход в решении равносилен, поэтому проверку корней делать не нужно. Советы ГЛАВА т функции и графики 7. Подумайте, сколькими способами можно выбрать первую цифру двузначного числа. 13. Обозначьте вторую сторону прямоугольника буквой у, выразите больший катет треугольника о меньшим катетом х и составьте пропорцию из подобия треугольников. 14. В этой задаче аргументом функции у оказываются различные выражения, значения которых должны попадать в заданную в условии область определения функции у — /(х), т. е. вьгражение в скобках может принимать значения только из области определения функции у « /(х). Исходя из этого и определяется соответствующее множество значений х. Работая с модулями, сначала рассмотрите отрицательные, а затем неотрицательные значения х. 1в. Подумайте, какие целые (натуральные) значения х следует брать, чтобы значения у тоже оказались целыми (натуральными). 21. 3) Представьте себе, как расположена прямая по отношению к оси абсцисс. 22. Подумайте, каково взаимное расположение графиков данной функции и функции: 1) у = х; 2) у = ^х, 24. Произведение обратно пропорциональных переменных постоянно {ху = к). 27. Не нужно вычислять А, достаточно сравнить произведения координат точек. 28. 2) Должны быть равны произведения координат. 32. Предположите, что такие точки имеют абсциссы х^ = а и Х£ “ Ь. 35. 1), 2) Можно применить формулу расстояния или построить график. В 3) представьте себе, как выглядит искомый график и запишите ответ. 245 36. Расстояние от точки М{х\ у) до прямой у = -X равно \у + lies. 4) Перед тем, как применять формулу корней квадратного уравнения, попробуйте найти сумму его коэффициентов. 43. Найдите значения левой части уравнения на концах данного отрезка и воспользуйтесь свойством непрерывкой функции. 44. 2), 4), 6). При решении нестрогого неравенства нули соответствующей функции включаются в множество решений. При изображении этих нулей на координатной оси их удобно изображать не ♦пустым», а черным кружком. 54. Подумайте, какую функцию задает выражение, стоящее в левой части уравнения, и попробуйте подобрать корень. 65. Обратите внимание на характер монотонности функций, которые задаются левой и правой частями уравнения. 56. Подумайте, какую функцию задает выражение, стоящее в левой части уравнения, и какие знаки оно имеет на концах данного промежутка. 58. Попробуйте решить задачу графически — постройте на листе бумаги в клетку график функции у — [л] {у *= {л}) (за координатную единицу возьмите 4 клетки). Проведите прямые, проходяп^ие через точку (О; “1), пересекающие график только в двух точках. Затем определите их угловые коэффициенты. 59. Абсцисса вершины параболы у = а:з^ + Ьх Л- с равна , а ординату можно найти подстановкой абсциссы в уравнение. 63. Ответы на эти вопросы связаны с наличием или отсутствием корней соответствующего квадратного уравнения. Здесь лучше находить сокращенный дискриминант: ^ ~ I g I ~ 64. Подумайте, при каком значении х левая часть уравнения равна а - fe •+ с. 65.1) Сделайте эскиз соответствующей параболы и определите, какой должна быть ордината ее точки с абсциссой а. 2) Рассмотрите два случая: 1) уравнение имеет единственный корень; 2) корни имеют разные знаки. 66. Постарайтесь дать ответ устно. 67. Справа и слева от вершины параболы квадратичная функция монотонна. Выясните, принадлежит ли абсцисса вершины указанному промежутку и как ведет себя данная функция на этом промежутке. 246 68. Область определевия можно найти по рисувку, ответив на вопрос, какой может быть сторона прямоугольника. Площадь прямоугольника должна изменяться от нуля до своего наибольшего значения, причем нулем она быть не может. 72.1) и 2) Искомую симметрию можно получить в результате последовательного выполнения симметрии относительно одной координатной оси и переноса параллельно другой. 3) У нас есть преобразование f{x) —> f(W)» которое уничтожает часть г|>афика, расположенную в левой полуплоскости и дублирует оставшуюся часть симметрично относительно оси ординат. Чтобы уничтожить часть графика, расположенную в правой полуплоскости, ее сначала надо переместить влево: f{x) f{-x). 4) У нас есть преобразование у = f{x) \у\ = f{x), которое уничтожает часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, и дублирует оставшуюся часть симметрично относительно оси абсцисс. Чтобы уничтожить часть графика, расположенную в верхней полуплоскости, ее сначала надо переместить в нижнюю: f{x) -> -f{x). 5) Симметрию относительно точки можно получить как результат двух осевых симметрий. 6) Используйте результаты, полученные в 3) и 4). ГЛАВА Степени и корни 78. Утвердительный ответ на вопрос: «Может ли.,.?» — достаточно подтвердить конкретным примером, а отрицательный ответ необходимо обосновать. 88, Проще всего задать эту функцию кусочно. Чтобы задать ее одной формулой, в 1) воспользуйтесь симметрией графика относительно оси ординат. В 2) нужно сделать симметрию части графика, полученного в 1) относительно оси абсцисс. Из- менять знак у функции при х < О поможет выражение Кстати, в математике есть специальная функция сигнум (лат. )1, при х> О, О, при X = О, правда, в область -1, при X < О, опх)еделения нашей функции О не входит. 247 89. Выражение в левой части задает четную функцию. Подумайте, в каком случае множество ее нулей нечетно. 90. При подстановке целого числа в многочлен вместо Ху многочлен можно представить в виде суммы членов, каждый из которых делится на это число, и свободного члена. Если в многочлен подставляется целое число, являющееся корнем, то сумма членов обращается в нуль и, следовательно, делится на корень. В этом случае на него должен делиться и свободный член. Следовательно, если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. Для подбора корня многочлена удобно использовать схему Горнера. Покажем ее применение на подборе корня многочлена - 9х^ - 2х Ч- 6. Для вычисления значений многочлена его удобно представить в виде ((Зх -- 9)х - 2)х + 6. Сами вычисления проводятся с помощью таблицы, в верхней строке которой записываются по порядку коэффициенты многочлена (включая нули). Старший коэффициент сносится во вторую строку, и слева от него записывается значение х, которое проверяется. Мы будем проверять делители числа 6. Это числа 1, -1, 2, -2, 3, ~3, 6, ~6. Числа 1 и -1 легко проверить устно, поэтому начнем проверку с числа 2; 3 -9 -2 +6 2 3 В пустую клетку второй строки таблицы записывается произведение числа из левой клетки на проверяемое значение, сложенное с числом, стоящим в верхней клетке: 3 -9 -2 +6 2 3 -8 -8 -10 В последней клетке оказывается записанным значение многочлена. В нашем случае оно равно -'Ю, а значит, число 2 не является корнем. Строчка вычеркивается, добавляется новая строка и процедура псжторяется для числа -2, а затем для числа 3: 3 -9 -2 +6 2: 2 -8 -2 -W -2 2 -И 28 -50 3 3 0 -2 0 1 248 При jc = 3 значение многочлена оказалось равным нулю, значит, 3 — корень многочлена и многочлен можно разложить на множители (лг *- 3)(3л:^ + О • jc - 2). Коэффициенты второго множителя берутся из соответствующей строки таблицы (кроме первой и последней клеточек). Можно продолжить разложение на множители, раскладывая квадратный трехчлен: 8х^ ~ 2 — >= З^д; ^ Л ^ Л )■ образом, Зх^ - 9х^ - 2х + 6 = = 3(л.-3)(х-Л](*+У1). 100. Для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы каждому ее значению соответствовало одно единственное значение аргумента. В противном случае, ее график не будет задавать функцию х. Графически это выражается в том, что любая прямая, перпендикулярная оси ординат, либо не пересекает график функции у, либо имеет с ним единственную общую точку. После того как вы убедитесь в обратимости функции р = f(x), график функции у = g(x) легко построить с помощью симметрии относительно прямой у^^х. 106. Равенство с неотрицательными частями не нарушится, если его возвести в квадрат. Поэтому, возводя в квадрат уравнение, следует затем проверить его корни, — ведь они были найдены в предположении, что обе части уравнения положительны. Если при подстановке корня это окажется не так, его следует отбросить как посторонЕшй. В заданиях 1)—4) неотрицательность левой части гарантируется равенством, которое получается после возведения в квадрат, поэтому найденный корень можно подставить только в правую часть исходного уравншия. 107. Корень, КО1Г0ЧНО, на знак не влияет, во подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а в задании 1) оно еще не может обращаться в нуль. 108. В заданиях 1)—3), 7) и 8) следует рассматривать два случая: а) когда выражение без корня меньше нуля, достаточно, чтобы выражение под корнем не было отрицательным; б) когда выражение без корня больше или равно нулю, обе части неравенства можно возвести в квадрат. В заданиях 4)—6) не забудьте о том, что выражение под корнем должно быть неотрицательным . 111. 6) а здесь может принимать только неположительные значения, поэтому %fa^ ~ Н = 8) И здесь а принимает толь- ко неположительные значения. Поэтому 249 112, 3) Следует «подстраховаться» на случай отрицательных значений а: ~ VH- 7), 8) Подумайте, какое число, положительное или отрицательное, возводится в квадрат под знаком корня. 116. Введением вспомогательной переменной приведите к квадратному уравнению, 117. Возведите обе части равенства в квадрат. «Подгоните» данное выражение под правую часть формулы, 118. Произведение суммы на разность равно, как известно, разности квадратов. 119. Иррациональные уравнения с квадратными корнями решаются возведением в квадрат, а с кубическими — в куб. Полезно помнить, что {а + Ь)^ =< й® + + ВаЬ(а + 6). 120. Чтобы найти неизвестные по их сумме и произведению, удобно составить квадратное уравнение, корнями которого являются неизвестные. 121. Введите вспомогательную переменную. 122. Приведите корни к общему показателю. 123. Выражение под корнем с болыпим показателем постарайтесь представить в виде квадрата. 129. Представьте данное равенство в виде равенства степеней числа 2 и перейдите к равенству показателей. 138. 1), 2) Попробуйте сократить дробь на а в некоторой степени, 5), 6) Попробуйте упростить каждую дробь отдельно. 141. С помощью вспомогательных переменных сведите уравнения к квадратным, которые не должны иметь положительных корней. ГЛАВА Показательная и логарифмическая функции 148. о~® и а® можно найти, зная а^. 152. Найдите квадрат искомого выражения. 155. Приведите обе части уравнения к одному основанию и приравняйте показатели. 250 15в. 1)—6) Старайтесь выносить такой множитель» чтобы в скобках остались целые числа; 7)» 8) Разнесите по разным частям равенства степени с одинаковыми основаниями. 157. Сведите к квадратным уравнениям, вводя вспомогательную переменную. 158. 1), 2) Запишите первое уравнение системы в виде равенства степеней с одинаковыми основаниями; 3) в первом уравнении системы примените формулу сокращенного умножения; 4) в первом уравнении системы разнесите переменные по разным частям равенства и подумайте о свойствах функции, значения которой равны, соответственно, левой и правой частям равенства. 159.1)—4) Запишите правую часть равенства в виде степени и воспользуйтесь монотонностью показательной функции; 5), в) примените метод интервалов; 7), 8) воспользуйтесь тем, что левая и правая части равенств задают функции с разным характером монотонности; 9), 10) степени с одинаковыми показателями можно делить друг на друга. 160. Сведите задачу к решению квадратного неравенства. 161. Речь идет о числе положительных корней уравнения - ау + а - 1 *= о, которое при всех значениях а имеет корень, равный 1. 166. 1)—4) Используйте определение логарифма. 5), 6) Решите квадратное уравнение относительно логарифма. 168. Запишите обе части неравенства в виде степеней с одним и тем же основанием. 171. Подумайте, как изменится значение логарифма, если его основание изменить на 1. 172. В 3)—8) не забывайте, что основание логарифма не может быть равно 1. 173. 5) Разделите почленно на 9“*^. 174. Обратите внимание на характер монотонности функций, задаваемых выражениями, стоящими в разных частях равенств. 175. Перейдите к показательной форме равенства и повторите решение № 161. 176. Представьте обе части неравенства в виде логарифмов с одинаковыми основаниями и воспользуйтесь свойством монотонности логарифмической функции. 177. Проверьте, что координаты найденной по рисунку точки пересечения графиков удовлетворяют уравнениям, за- 251 дающим функции* При записи ответов к неравенствам не за-будьте об областях определения функЕЩЙ — найденные решения должны принадлежать их пересечению (одновременно обеим областям). 178. Не забудьте, что выражение под знаком логарифма может принимать только положительные значения. Можно сразу выделить соответствующую часть координатной прямой, а затем уже рассматривать интервалы. 179. Рассмотрите два случая; когда основание логарифма меньше 1 и когда больше. Не забудьте об ОД31 180. Не забудьте, что выражение под знаком логарифма должно быть положительно. 1 л/2 1 182. 6) — 72 - 1; 8), 9) перейдите к 72 + 1 (л^ + 1)(^-1) логарифмам с каким-нибудь одним основанием. 186.1) Представьте обе части в виде степеней с основанием 3 и найдите сумму арифметической прогрессии; 2) перейдите к логарифмам с основанием 10. 187. Сравните отдельно с 2 и 3. 188. Достаточно рассмотреть случай, когда логарифмы положительны. Примените свойство суммы обратно пропорциональных леременЕ1ых. 189. Рассмотрите разность логарифмов. 190. Область допустимых значений переменной (ОДЗ) — зто множество чисел, для каждого из которых каждое из выражений имеет смысл. Выполняя преобразования, старайтесь получить логарифмы с одинаковыми основаниями. 191. Подумайте, по какому основанию логарифмировать уравнение. 11) д; может принимать и значение 1. 192. Представьте левую часть уравнения в виде степени с основанием 20. 193. Найдите логарифмы и по основанию Ь, 195. 1)—3) Потенцируйте неравенство с учетом монотонности логарифмической функции; 4) приведите к квадратному неравенству относительно logi (3^ - 1); 5) приведите к 8 квадратному неравенству относительно logg (4‘*^ + 1); 6), 8)—10) рассмотрите случаи, когда основание логарифма меньше и когда больше 1. 252 ГЛАВА Тригонометрические функции и их свойства 232. Используйте результаты № 229. 245. Представьте sin <р- tg

о имеем jc + |х| = 2jc, значения которого попадают в указанный промежуток при 0 < х < 1. ж) При всех х < 0 значе- ние выражения —^ равно 2 и, следовательно, попадает в указанную область определения. При х > 0 имеем ^= 0, X значит, и при таких х мы не выходим за пределы промежутка [~1; 2]. А при X = о выражение-не имеет смысла и толь- X ко зто значение х и следует исключить. 32. Пусть прямая пересекает соответствующую ветвь гиперболы в точках с абсциссами а и Ь. Тогда должно выполняться равенство: ^ + а = ^ + Ь. Отсюда а-Ь— иаЬ =*= 1, поскольку а ^ Ь. Следовательно, прямая должна пересекать гиперболу в точках ^ j и ^ i; а симметричных относительно прямой у = X. Значит, и сама секущая симметрична этой прямой и имеет угловой коэффициент Л = -1. 256 48. Доказательства. Для любых jCj и JC2, входящих в промежуток L, из условия Xi < Х2 следует, что /(xj) < /(лгг) и g{xi) < g(x2h Складывая два верных неравенства одного знака, получаем верное неравенство: f{x{) + < /(JC2) + а значит, функция у = f(x) + на промежутке L возрастает, что и требовалось доказать. 52. В № 50 вы доказали, что функция у - -fix) убывает на [а; Ь], Сумма двух убывающих на [а; б] функций убывает (доказательство аналогично № 48), значит, у = ^jc) + (~f(x)) убывает на [а; 5]. На концах отрезка зта функция принимает значения разных знаков, значит, в силу непрерывности она имеет на этом промежутке нуль. Этот нуль, вследствие монотонности функции, является единственным, т. е. уравнение f(x) = g(x) имеет на (а; 6) единственный корень, что и требовалось доказать. 53. Возможность отсутствия корней можно проиллюстрировать примером. А для доказательства единственности заметим, что из условия xj > Xq, где /(xq) = g(xQ) следует, что f(^l) > f(xo) = Ж^о) ^ ^ из условия xi < xq следует, что f(xi) < f(xo) = Жл^о) < Ж^^х)* Значит, при х^ ^ Xq f(xi) ^ Ж^х), т. е. Xq — единственный корень, что и требовалось доказать. 65.1) Точка х = а оси абсцисс расположена над параболой, значит, значение квадратного трехчлена - 2х + ав ней отрицательно: - 2fl + а < о, - а < о, а{а - 1) < 0, 0 < а < 1. 2) Уравнение будет иметь единственный положительный корень, в трех случаях: а) X) - 0 и % ^ б) корни имеют разные знаки, т. е. а - 1 < О; в) один из корней равен нулю, а второй положителен, т. е. а - 1 = О и а > 0. Имеем: а) i) = - 4а + 4 — О, (а ~ 2)^ - о, а = 2. При этом лгр “ 1 ^ что удовлетворяет требованию случая; б)а-1 <0, а<1;в)а-1 =0, а-1. При этом «2 = 1 ^ о — удовлетворяет требованию случая. Окончательно получаем: а < 1, а = 2. 67. 3) Большему положительному значению подкоренного выражения соответствует меньшее значение функции у. Свое наибольшее значение подкоренное выражение принимает при X =---= 2. Это значение принадлежит промежутку [-1; 3] 2 • f-’" •И) 257 а и равно 4. Значит, наименьшее значение у(2) = — = 3. Чем v4 дальше х от числа 2, тем меньше значение подкоренного выражения. На указанном промежутке самая удаленная от 2 точка — это левый конец промежутка. Значение подкоренного выражения при аг ~ -1, наименьшее на указанном промежут- ___^ 12 ли л' 7 6 ке, равно ^ . Значит, наибольшее значение + 2х - 3 = х^(2х - 3) + (2х - 3) - (2х - ЗХх^ + I). Окончательно получаем, что 2х^ + 5х^ - 10х^ + 5х ~ 12 = = (X + 4К2дг - 3)(х^ + 1). 259 Рис. 123 Рис. 124 х = ^1:2х-\-3 5 91.1) Многочлен имеет корни xi = -4, Х2 = ’~2, xq = 3. Неравенство решаем методом интервалов (рис. 123). Ответ: X < -4, -2 < дс < 3. 5) Поскольку + 1 ни при каких значениях X не обращается в нуль, многочлен имеет корни jcj — -4 и Х2 = Решаем неравенство (х + 4)(2jc - В)(х‘^ + 1) < О (рис. 124). Ответ:-4<д:< 106.3) Возведем обе части уравнения в квадрат. 9дг^ + 1бдг = = 4д:^ + 9 + 12л:, 5лг^ + 4л: - 9 = 0, л:1 = 1, дг2 = “|. Проверка: при л:=1:2л: + 3 = 2 + 3>0, следовательно, 1 — корень; при 18 9 + 3 < о, следовательно, --не является О 5 корнем. Ответ: 1. 7) Введем новую переменную у = х + X, тогда JSy + 4 - Jy = 2, Уединим корень: JSy + 4 - Jy + 2^ 3|/ + 4==у + 4 + 4л/у, 2л/р(л/у - 2) = О, у = О или у = 4. Проверка: при у = 0: Jif + 2 */0 +2^0, следовательно, О — корень; у - 4; Jsy-^ 4 - Jy = л/1б - Ja =2у следовательно, у^А — корень. Вернемся к переменной л:: л: + 1 = О, лс =* -1; л: + 1 = 4, л: 3. О т в е т: -1; 3. 8) Введем новую переменную у = 3 - х, тогда JX2 Ч- у + Jy - 6. Уединим корень: Jl2 + у — 6 - Jy, 12 + у S6 + у - \2jyy Jy = 2у у = А. Проверка: при у = 4: 6-л/р=6~лД>0, следовательно, А — корень. Вернемся к переменной х: 3 — X - 4, X = -1. Ответ: -1, 108. 2) Если ос ^^9 ^о(олвс1{0 быть 2л: 1 1б о, т. е. f X < О, I X < О, Если х > О, должно быть I 2х И5 > О, 1 X > -7,5. 2х+15>х^, т. е. ]х>0, 1х>0, 1 2х + 15 > х^, I х^ - 2х - 15 < О, X > О, -3 < X < 5, 260 { О < X < 5. Объединяя результаты обоих случаев. х> t, получаем -7,5 < л < 5. 4) Должно быть ч Зд: + 7 > О, (-* 2лг + 1 > Зх + 7, X > 1, X > 1, X > 6. 7) 1-й случай: л^-6х-в >0, I ас <-1 или ж > 6. (Зж-КО. 1*<|- 1 1бх +х>0, |х<-^илих>0, ® ® „ J3x-1>0, 2'й случай: ч ^ о ^ о ^ 15х^ + х>9х2 +1-бх X > 3* л: > g. 4х^ - 7х + 1 < О, 7 + ТЗЗ Прикидка показывает, что < 5 —-5^» значит, реше- О О О 1 7 + ж/33 нием системы является промежуток - < х —. Объединяя U о 1 7 "4" #4^33 результаты, получаем ответ: х<-р,0<х< —^— , 5 о 116. 2) Введем вспомогательную переменную у = %/Зх* +16, где у > %/Ы, тогда - у - 2 = 0, j/i = 2, j/2 = -1 — не удовлетворяет условию введения переменной у. Вернемся к переменной х: У3х< -г 16 = 2. Зх^ + 16 = 64, Зх^ = 48, х'* = 16, xi - -2, Xg = 2. 6) Введем вспомогательную переменную у = Ух + 2, тогда - + + = 2, - 9у + 20 = о, У1 = 4, У2 = 5. Вернемся к перемен- О ной х:Уд -1-2^4, х = 8; Уде + 2 = 5, х = 27.0 т в е т: 8; 27, 119. 2) Возведем равенство в куб: х + 10-х+9- - 3?/(ж + ЮКл - 9)(?/ж + 10 - Мх-9) - 1; 19 - + ж - 90 = 1; Ух^ + ж - 90 6; ж® + д: - 90 = 216; + х - 806 = 0; xj = -18; Х2 *= 17. О т в ет: -18; 17. 201 [JL + J- =i 120. Jy » Jy+ -/x ^ 4 3 * Поскольку из второ- ixy = 9, ixy^9, 3, имеем: I Составим I л/^у == 3. могательное квадратное уравнение, корнями которого явля> Jx^ = 1, J*l ” го уравнения вено* ются Jx и - 4г + 3 = о, zj = 1, ^2 = 3- \Уу = ^> л/^ = 3, (*2 9, 7^Г.==1. твет: д;1 = 1, i/i = 9; ^2 = 9, У2 = 1. 3) Возведем первое уравнение в куб, учитывая при этом информацию из второго уравнения: ^Jx + ^ »= 4, л + У + + +Vy)-^ 64; 2S + S^Jxy *4 = 64; ^Jxy =2;xy = 27. Произведение неизвестных 27, a их сумма 28. Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются неизвестные: - 28z + 27 = 0, = 1, Z2 “ 27, xi = l, jx2-27, i^l “ 27, tl/2 = 1- О T в e t: “ 1, уг ^ 27; xg - 27, У2 = 1. 4) Преобразуем первое уравнение системы, учитывая, что из второго уравнения ^,/ху ~2и = 4: Jy + \fy Jx = 12, + Vx^y^ = 12, %fx^y^(^Jx + %fy)= 12, 4(Vjc + ^Jy)^= 12, Jx + Vi/ = 3. Сумма корней равна 3, a их произведение равно 2. Составим вспомогательное квадратное уравнение: z^ - 3z + 2 = 0, Zi ^ 1, Z2 == 2. Хх = 1, У\ = 64, =1. Х2 = 64, 1/2 ="1- Ответ: х\ = 1, J V^ = 1, Pi =^б4; jc2 = 64, У2 = 1. 121. 1) Введем вспомогательнзчо переменную у = Jx + Jx (р > О), тогда задача сводится к определению всех а, при которых уравнение р^ + 4р + о “= О имеет единственный неотрицательный корень. Это может произойти в трех случаях; а) ког- 262 корней отрицательно: д <; 4 „ о < 0. в) Один из а <\3у да единственный корень уравнения является 1|[еотридателЬ' ным; б) когда корни уравнения имеют разные знаки и в) когда один корень равен 0, а другой отрицателен. Рассмотрим эти случаи, а) £) = о, 4 — о “ о, а = 4. Корень Xq ^ -2 отрицателен, что не удовлетворяет условию случая, б) О > 0 и произведение • 4 - а > о, а < о, корней равен 0, значит, а = О. Тогда другой корень равен -4, что удовлетворяет условию случая. Объединяя результаты, получаем о т в е т: а < 0. 2) Введем вспомогательную переменную X = ^2г + \[г + 1, где х > 1, так как г > 0. Тогда задача сводится к определению всех а, при которых уравнение х^ - Зх -Ь с = о имеет единственный корень, больший или равный единице. Это может произойти в трех случаях: а) когда единственный корень уравнения больше или равен 1; б) один из корней больше, а другой — меньше 1 и в) когда один из корней 1, а второй меньше 1. Рассмотрим эти случаи, а) D » О; 9 - 4а ■= о, а “ Корень xq = 1,5 удовлетворяет условию случая; б) 1 находится между корнями квадратного трехчлена х^ - Зх + а тогда и только тогда, когда его значение при х = 1 отрицательно: 13 + о < 0, а < 2. в) Один из корней Т1>ехчле-на равен 1 при а = 2. В этом случае, второй корень равен 2, что не удовлетворяет условию случая. Объединяя результаты, по- О лучаем ответ:а<2, а**^. 123. 2) 1W+4^ - « - Ч1Л + 2 • ^/Л-2 - Vs-4 = -1. 129. 5) в) (V4)' - Vl6, 2 2 + 2)^ • Va/З - 2 4 ,5 2 _ 4 _ в дХ X g. (У5) 140. 1) Введем новую переменную I/ — х 4- 3, где ^ ^ О, и 1 i в 2 перепишем уравнение в виде (у 4- 6) = у . Возведем уравне- 263 ние в шестую степень: у Л- Ь — у^ - у - 6 — 0. Попробуем подобрать целый корень. Видим, что уравнение имеет корень 2. Разложим левую часть уравнения на множители (у - 2)Цу^ + + 3) = 0. Поскольку квадратный трехчлен -Ь 2^/ + 3 корней не имеет, то число 2 — единственный корень уравнения у^ - у - 6 = 0, Это число удовлетворяет условию введения переменной у. Вернемся к переменной д:: jr + 3 = — 2, 2) 2 ~ ^ , Возведем уравнение в квадрат \ У У + J * ^0/ + 1)* “ !/(Zl/ + sf, V + 1V + 12у + У {у Ыг + 4 = + 12у^ + 9f/, 12р + 4 = 9р, Зр = --4, р - , 1 2 141. 1) Пусть у — X f где у > 0. Тогда нам нужно найти все значения а, при которых квадратный трехчлен у^ - 2ау - а + + 2 не имеет корней, больших или равных нулю. Найдем значения а, при которых трехчлен не имеет корней, и объединим их с теми значениями а, при которых корни трехчлена у^ --- 2ау —а + 2 отрицательны (включая возможность совпадения корней, т. е. единственности корня квадратного уравнения - 2су - о + 2 = 0), JD < О, f а — 2 < о, -2 < а < 1; 2) Сумма отрицательных корней отрицательна, а их произведение — положительно. По теореме Виета, если корни существуют, то должно быть 2а < о и -а + 2 > о. Требовать существования корней (D > 0) излишне, так как их отсутствие приведет всего лишь к дублированию найденных в (1) зна- ]2а<0, |о<0, чений I -а -f- 2 > о, 1а < 2 “ Объединяя найденные в (1) и (2) множества значений а, получаем ответ: а < 1. 264 ГЛАВА т Показательная и логарифмическая функции 154. 2^ + — - 2 «= ^ ^ ^ > О, что и требовалось до- 2“^ 2^ казать. 155. 5) = 5^, л: - Узх - 3 - 0. Зл: - З-УЗл: - 5 - -9 = 0, (Bx-b)-SjSx-b -4 = 0, л/Злг-5 = -1 или Ллг - 5 = = 4, Здс - 5 = 16, АГ“7. Примечание. Это решение несколько экаотичио — можно было решить, перенося корень в правую часть, возводя в квадрат и проверяя корни. 156. 3) 5^ " 45® - 4-5^ + 4) = 29, 5^ ■ ^ = 1, JC = 1; 6) 0,2* ■ 4о,2~2 - 3 • 0,2”^ - 6) = 500. = 125, 5* " * = 5^. X « -2; 8) 4* + 4* ■ = 3* + 3* ^ 4* " ®*42 + 1) = = 3* " ®’43 + 1), 4* ■ = 3* ” д: = 1,5. 157.4) Поскольку 2* = 4 • 2* И1^еем 4*2* ^ - 13'2 ^ ^ X -2 -12-0. Пусть у = 2 2 , где у > О, тогда 4у^ - 13^/ -12 = 0. X - 2 С учетом условия у > 0^ имеем: = 4, 2 ^ ^ 2^, д: = 6; 5) поскольку 5* ^ О, умножал данное уравнение на 5*, получаем 5 • 5^* - 2 • 5* - 3 = О, 5* — 1 или 5* = -|. Второе равенство не выполняется ни при каких значениях х, а первое дает х = 0; 6)5-5*+ А -26 = 0, 5-52^-26-5* +5 = О, 5* =5 или 5* = 5* = 5’4 д-1 = 1, JC2’= -1. ,х-2 х~2 158. 3) 117^3^-2*'] =17, ^ 3^ +2^ = 17; 3 -2*^ = 1, X 3^ + 2^^= 17; X 2 < 3-2*' = !, 2^^ = 8, 2-3^ = 18; 3^ = 9; 265 у X 3. i I/+ (л/5)“ = i; + (^/5)^ . 4) и*^ v = ~4l или tt = у = 3. - I 9 в силу возрастания, функ- I и + у = 12. ция у = JC + (л/5)'*^ принимает равные значения при одном и том же значении аргумента, т. е. и = у, следовательно, U = у, I и == + U “ 12 ” 0; 1 м “ -4 или и “ 3; 159.10) Выражение в левой части равенст- ва задает убывающую функцию, которая принимает значение 1 при X — 2. Следовательно, ее значения меньше 1 при х>2» 160,2) Должно быть: 0,5* ^ - 3 > 0; 0,5^ - 3 • 0,5* - 4 > 0; 0,5*^ 0,5* < -~1 или 0,5* > 4; 0,5* > 0,5“^. В силу убывания показательной функции с основанием 0,5 имеем х < -2. 168, 4) (Дб - 3)* < 6, (Лб - 3)* < (Л5 -Поскольку показательная функция с основанием Лб - 3 убывает (3 < ЛВ < 4, значит, о <Лб - 3 < 1), имеем: 172. 8) log X —^» Область опре- 4-х деления составляют решения системы 2-|>0, X < 6, ДС 3, 2-1^»- 3х^>0. i 4-х Используем метод интервалов (рис. 125). Зх-1 4-х >0; Ответ: | <л*<3;3<л:<4. 3 173. 5) 4* - б"' + > + 5-9* = о, (|]^' - 6-(|у +5 = 0, (1Г' “ аг “ ®’ *1 “ *8 “ ’"г? 3 176. 7) Рассмотрим два случая: а)0<х-5<1,5<лг<6: 0<д: + 2<х-5 — нет решений; б)аг-5>1, х>6:дг + 2> >х - 5 — все числа, удовлетворяющие условию случая, т. е. 266 jc > 6. 8) Посколысу значения выражения х - 2, стоящего под знаком логарифма, положительны, то х > 2. При этом основание х + 1 логарифма больше 1. Имеем: X > 2, Г X > 2, 1 1 « . 1 I *0gx + l(^'2) 2, X f 1 X > 2, (х - 2){х + 1) < 1.1 х^ - X - 3 < О, ’ X - 2 < х+ 1 X > 2, 1-Лз + 2 2 * 2<х< 1 +Лз 178. 2) Выражения, стоящие в числителе и в знаменателе дроби, существуют при х > О и обращаются в нуль при х = 4 и X 9. Отметим это на координатной прямой и проведем линию знаков (рис. 126). О т в е т: О < х < 4, х > 9, 5) Выражения, стоящие в числителе и в знаменателе дроби, существуют при X > 3 и при X < -3. Знаменатель обращается в нуль при X = ±Jl6t числитель — при х « 10 и х = -1. Отметим это на координатной прямой и проведем линию знаков (рис. 127). Ответ: - УГб < х < -3, JTO < х < 10. 179. 4) logj, + 4 2-1 < logjf h 4 1- Рассмотрим два случая: а)0<х + 4<1иб)х + 4>1. а)-4<х< -3: > 1, х^ > 4, X > 2 или X < -2. С учетом условия а) имеем -4 < х < -3; б) X > -3: о < <1, 1<х^<4, 1 <х<2 или -2 < х < -1. При всех этих значениях условие 6) выполняется. Объединяем результаты а) и б): -4 < х < -3, -2 < х < -1, 1 < х < 2; 5) log,2 + 3,_4 + 4)> logj,2 + 8,_4 1.а)0<х^ + Зх-4<1: х^ + Зх — 4 > о, х^ + Зх - 5 < 0; X < ~4 или X > 1, _ _ -S-J29 ^ ^ ^ _А -3 - Л9 ^ ^ ^ -3 4 Jw. 2 ^ ^ ^ 2 ^ 2 ’ или 1 < X < —^ . При этом: о < X f 4 < 1, -4 < X < -3. Эти 3 -1 зч^Ло Рис. 127 267 значения х не удовлетворяют условию а); б) + Зд: - 4 > 1: +• 3jc - 5 > О, JC < -3-7^ илидг> 3 + ^/^ . при этом х + 4> I, X > -3. Поскольку = 1 > ~3, с учетом условия б) имеем: х > . 6) log^. + 4 (л^ + Зд: - 4) < log^. + 4 1. а)0<д: + 4<1, -4<д:< -3. При этом: я:^ + Зд: - 4 > 1, д*^ + Зд: - или X - 5> о, х< “*3 + jJ^9 > ---—, что не удовлетворяет условию а), б) д: + 4 > 1, д: > -3. При этом О < я:^ -f 3jc - 4 < 1, д:^ + Здр - 4 > О, д:^ + Зд: - 5 < О; д: < -4 или д: > 1, -З-М___-3 + ^ <дг<-4 _^<лс<----2-, 2 I ИЛИ 1 < д: < — ^2^' ^ условия б) имеем 1 < др < 8) logx - 2 + 10) < logjf ^ 2(^ ~ 2)^. a)0 д:^ - 4х + 4, д:^ - 5jc - 6 < О, -1 < х < 6, С учетом условия а) имеем: 2 < х < 3; б) х - 2 > 1, х > 3. При этом о < X + 10 < х^ - 4х + 4, X + 10>О. fx> -10, х^ - 5х - б > 0; 1 X < -1 или х > 6. С учетом условия б) имеем; х > 6. Объединяя результаты а) и б), получаем ответ; 2 < х < 3, х > б, 9) log2jc (.х^ *- 5х + б) < < log2x (2х). а)0<2х< 1, 0<х< 0,5. При этом: х^ - 5х + 6 > >2х>0, х^ - 7х + б > о, ] ^ < 1 или X > 6, 2х>0; 1л>0; 0<х<1 или х > 6. С учетом условия а) получаем 0 < х < 0,5. б) 2х > 1, х > 0,5. При этом о < х^ - 5х 4 6 < 2х, х^ - 5х + 6 > о, \ X <2 или X > 3, 9 ^ у. у. 1<х<6’ 1<х<2 или 3 < X < 6. х^ - 7х + б < 0; I ^ ^ Эти значения удовлетворяют условию б). Ответ: О < х < <0,5; 1 <х<2;3<х<6. + - бх + 9). а) о < х^ - бх 4- 9 < 1; О < (х - 3)^ < 1; х 3 и 2 < х < 4. 268 При этом JC - 1 > - бд: + 9; - 7л: + 10 < О; 2 < х < 5. с уче- том условия а) имеем: 2 < д: < 3; 3 < л < 4; б) - 6л + 9 > 1; {x-Sy^>l;x<2 или х > 4. При этом О < л - 1 < - 6л + 9, л~1>0, 1л>1, лг<2шшл^5; 1 < л: < 2, л > 5. С учетом условия6)получим; 1 <л<2,л>5. Ответ:1<л<2,2<л<3; 3 < л < 4; л ^ 5. 180. 2) logo^e logo,5 ix + 1) > logo^Q 1. Поскольку логарифмические функции с основаниями 0,6 и 0,5 убывают, а выражение под знаком логарифма может принимать лишь положительные значения, имеем: 0 < logo 5 (л: + 1) < 1; logo.5 ^ < logo 5 (л + 1) < logo,5 0,5; 1 > л + 1 > 0,5; -0,5 < л < 0. 3) logo,2 1ов2 + 3) < logo^2 ® силу убывания логарифмической функции с основанием 0,2 имеем: log2 (2х + 3) > 5; log2 (2л + 3) > log2 32. Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, имеем; 2л + 3 > 32; л > 14,5. 5) Поскольку логарифмические функции с основаниями 3 и 82 возрастают, а с основанием 0,2 убывают, имеем: logs ^So,21<>в^82 у- 1 у Hh 5 > logs 1; logons 1об32 тт\ ^ 0,2; 0 < logs2 ж + о ж * D log821 < 1овз2 Т-ГТ < *овз2 2; 1 < < 2; у ^ 5 у + 5 6 у + 6 У+ 11 у + 5 <0. X < ”11. >0, 182.6)logjg , (73 - 1/8) + logj5_j (л/З + V§) = log^.,(3- -Л) = Jogjj., (2-272 + 1) = \ogj^_^(j2 - if = 2; 7) log, 10 + + 4 log5 10 + 3 logs 10-8 logs 2 = 8 (logs Ю - logs 2) = 8 x X logs 5 = 8; 8) logs 49-log^ 5*log2s 27 = 1^_з27 _ IoggV7 * log825 = '«вз 4-iog4 5-logs 6-log6 7-log7 8 X 0,51о£з7 * 2Jog35 X logg 9 - logs 4 loga^ ^ log 8^ 1овз4 iogsS logs^ log 38 = logs 9 = 2. 269 183. 6) loge 3 =* loge (6 : 2) * 1 - о; 7) logg 2 = »0g23 _ log^M _ loge6 + \oge?^ __ 1____ ^ ^ _a_. «V. K4 ^ ^ logeo + loge^^^ ,6-1 l_j l-a* ^ log648 loge6 + loge2^ Jog 26 1 Ч 21og63 ^ l+2(l-g) ^ 3-2a 1 + 31o£52 1 + 8fl 1 + 3a 184. 2) logao 8 = 3(lgl0-lg6) _ З-З0 Ig3 + Igl0 Ig3 + 1 b+1 186.1)3 2 + 5 - + Эл - 1 _ 340^ 2+ (8n 1)^^ Зл^ + n - A - 80 = 0, «5; 2) Jg3 - Jg4 ;J.g5 • ... ■ lg(n +1) ^ j 4. = Ig2 • lg3 ' lg4 • ... • Ign - 10 Ig 2, Л + 1 = 2^®, n = 1024 - 1 = 1023. 187- log3 2 -h log2 3 - 2 «log3 I + log2 I > loga | + loga | = =- logs 1 = 0, logs 2 + log2 3 < logs 3 + log2 4 * 1 + 2 = 3, что и требовалось доказать. 188. Сумма обратно пропорциональных переменных минимальна, когда значения переменных равны, logj^ 7 = logy л:, logf X » 1, logy X 1, log-f 7 + logy x= 2, Перемена знаков у логарифмов (они имеют одинаковые знаки) на модуль их суммы не влияет. 189. 1) logy 8 -- logg 9 = (logy 8'1) - (logs 9 - 1) = logy | - - bgg I > logs f ~ logg I > logg I - logg 1 = 0, значит, logy 8 > logg 9. 190. 4) logs X- ~ logg X• I logs X• ^logs X = I, log |x » 16, logg X = 2 или logg X = -2, X = 9 или X = i; 8) Ig (5^ + x - 20) = == 5"" + X - 20 = 5^ X = 20; 10) 3x - Sxlogg 2 = loge(^ + + X^-9), 3x(t0ee 6 - logs 2) - log* (3^ + _ 9)^ 3З* ^ + + x^ - 9), 3®* = 3®* + - 9, JC* - 9 = 0, Ж1 = -3, *2 = 3; 14) 2 log;^ 2 + 6 logs* 2 = 3. +ГГГ------- “ 3, 2 + 2 logg дг + log^x 1 + log2X + 6 log2 X = 3 Jog2 X + 3 log| X, 3 log| X - 5 log2 x ~ 2 = 0, 270 log2 x = 2 или log2 л: = -i, л: = 4 или x = —; 18) (2 -Ь 2 log^^ 3) X ^ %[2 X log| X = 4, j log| X 2, log| X + logs л: - 2 = 0, logs X =* 1 или logs ^ ~ ^2, X *= 3 или ^ | • 191,6) Iog| X *= 2 + logs ^082 = ~1 или logs л: = 2, x = 0,5 или X - 4; 10) 5^ • 5 « 3^^ + b 5"^ + 2 ^ g2jc +1 ^ 2) logs ^ = ^ l-2log^5 , 3 = 2x + 1, X = -------- == ---^ = logs ; 11) нужно найти loggS - 2 |og3& p «7 положительные корни уравнения. Рассмотрим два случая: а) X - 1 и б) X 1: а) )^ — верное равенство, значит, 1 — корень уравнения; б) логарифмируем по основанию х: 1_1 "Jx - ^,Л-Х ",Л*Х ” ,Х=л”"^; 12) logg (х + 3) • logs ^ = logs ^ X = О или I logs (х + 3) - logs 5» х = 1 или х = 22. 8 2 195, 2) ОДЗ неравенства - - < х < ^. Для этих значений х: 2 о log^ _ J {-2х^ + 5х + 12) < log^ -1 (2 - Зх). Поскольку л/З - 1 < 1, логарифмическая функция с основанием 73 - 1 убывающая, следовательно, -2х^ + 5х + 12 > 2 - Зх, 2х^ - 8х ~ 10 < О, -1 < X < 5. с учетом ОДЗ ползд1аем ответ: -1<х<5, 4) -logi (3^ - 1К2 + logi (3* - 1» + 3 > 0. Неравенство 3 8 -2 logj (3* ~ 1) “ logf (3* - 1) + 3 > о решаем как квадратное А 3 относительно logj (З"*^ ' 1): -3 < logj (З"*^ - 1) < 1. Учитывая 8 3 убывание логарифмической функции с основанием |, получаем 5 < 3^ - 1 < 27, I < 3^ < 28. Учитывая возрастание О 3 показательной функции с основанием 3, получаем ответ: 271 logs 3 ^ ^ неравенства: 0<дс<1, l 2-х . Поскольку 2 - X > О, имеем: (х + 1X2 ~х)-1>0, х^-х-1 <0, <х< ^ , С учетом условия а) получаем: 0 < х < 1; б) 1 < х < 2. Логарифмическая функция с основанием х возрастает, значит, х 4-1 < —, 2-х Поскольку 2 - X > о, имеем: (х +1)(2 -х)-1<0, х^-х-1>0, X < ^ или X > ^ t ^. с учетом условия б) получаем: < <х<2. Ответ: О < х< 1, —< х < 2. 7) ^ log2 log2 ^ + log2 [|log2 X j < о, I log2 log2 X - 1 + log2 ^ < 0» I logs logs ^ < 2 2 < 1, log2 logs ^ I * l<^g2 logs X < log2 2^, 0 < log2 X < 2^ 1 < X < < 2^. 8) log;p log2 (4^ - 12) < logjc X. ОДЗ: x > log413 > 1. При этом логарифмическая функция с основанием х возрастает, значит, log2 (4^ - 12) < X, log2 (4^ - 12) < 2*. Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, значит, 4^ - 12 < 2^; 4^ - 2^ - 12 < 0; -3 < 2* < 4; 2^ < 2^. Показательная функция с основанием 2 возрастает, значит, х < 2. С учетом ОДЗ получаем о т в е т: log4 13 < X < 2. 9) logons log2 logjp - 1 9 > logo 5 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает, а выражение под знаком логарифма должно принимать положительные значения, имеем: 0 < log2 logjj., j 9 < 1, log2 1 < < log2 logj. - 1 9 < log2 2, Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, имеем: 1 < logj^ _ i 9 < 2. Рассмотрим два случая: а)0<х-1<1,1<х<2: log^. _ i (х “ 1) < < logj^ _ 1 9 < logjc -I (x - l)^. Поскольку логарифмическая функция с основанием х - 1 убывает (условие случая), име- ем: 272 Х“1>9, 9 > (х - 1)^; X > 10, X - 1| < 3; нет решений; б)х-1>1,х>2: log^ _ 1 (лс - 1) < - 1 ® _ 1 (лг - 1)^. Поскольку лога- рифмическая функция с основанием х - 1 возрастает (условие Х-К9, случая), имеем: ' 9 < (л: “ 1)^; X < 10, X - 1| > 3. С учетом условия случая получаем: 4 < х < 10. Ответ: 4<х< 10, 10) Заметим, что log 2 = 2. Имеем logg logj^.2 2 > logs 1. Поскольку лога- рифмическая функция с основанием 3 возрастает, то log 2 2 > 1, log 2 2 > log 2 Рассмотрим два случая: а) х^ < 1. Поскольку X JC логарифмическая функция с основанием убывает, имеем х^ > 2, что не удовлетворяет условию случая; б) х^ > 1. По- р скольку логарифмическая функция с основанием х возрастает, имеем: х^ < 2. С учетом условия б) имеем 1 < х^ < 2, откуда получаем ответ: -J2 < х < -1, 1 < х < ГЛАВА Тригонометрические функции и их свойства 207- 1) 360 : (30 + 45) =» 4,8 (с). За время между двумя последовательными встречами первая точка поворачивается вокруг центра окружности на 30° • 4,8 ■= 144°. Пусть че рез X поворотов на 144° точка оказалась на месте старта, тогда 144° • X = 360° • л. Найдем наименьшее натуральное значение X, удовлетворяющее этому уравнению: 144х =» 360* л, 2х = 5л, значит, х делится на 5. Наименьшее натуральное число, кратное 5, — это 5: 2 • 5 5 • 2. Таким образом, каждая пятая встреча точек происходит в стартовой точке. Значит, кроме нее есть еще 4 точки встречи, т. е. всего 5 точек встречи. 3) Через 4,8 • 5 = 24 (с), 217. Вокруг своей оси Земля поворачивается примерно за 24 часа. 2я : 24 = 3,14 : 12 ^ 0,26 (рад/ч). 273 222. 5) р = 5,5 5,5 • 180' 315°. Угол Р в IV четверти, зна- агссов JCOS (cos (4я - = ЗД4 чит, С08 Р > о, sin р < о. 264. 2) в) Общий вид уравнения прямой р = Лл + 6, где /г = tg а, а а — угол между заданной прямой и осью абсцисс. а =» 120°, tg 120° = ‘-^/3 . Если прямая проходит через точку, заданную координатами, то в уравнение прямой подставляем ее координаты и находим значение Ь: S = —Js • О + 6, 6 * 3. Уравнение прямой у = ~л/3 х + 3. 271.1)4 sin^ X + 5 sin х + 1 = О. Решим это уравнение как квадратное относительно sin х: sin х *= -1 и sin x = -i,x==-J + 4 d + 2пп, X - -arcsin \ + 2ял, х = я + arcsin ^ ч- 2пп, п — любое 4 4 целое число. 283. 2) arccos ^cos ~ ; 3) arccos (sin 6) = arccos (cos (| - в = (|-6 + 2,i))=|-6 + 2n. 298. Решением будут те и только те значения а, при которых функция t = + 6г + а принимает только положитель- ные значения на промежутке [-1; Iv] (z — sin 2х). Абсцисса вершины параболы t = + а равна -3. Для выполнения тре- бования задачи достаточно, чтобы значение функции t в точке Z — -1 было положительным: (~1)^ + 6(-1) + а > 0, а > 5. 299, 1) Чтобы на интервале у квадратного трехчлена было наименьшее или наибольшее значение, абсцисса вершины соответствующей параболы должна принадлежать этому интервалу. Находим границы интервала; sin (-? j , sin | | • Абсцисса вершины параболы равна а, значит, Ч),5 < а < 0,5. 2) Рассматриваем правую часть равенства как квадратный трехчлен относительно косинуса на промежутке значений косинуса (^; l]» Чтобы трехчлен на этом промежутке имел наименьшее значение, абсцисса вершины соответствующей па-274 — arccos l^cos у arccos l^cos раболы должна или принадлежать этому промежутку» или Л быть больше его правой границы. Значит, а > ^. 316. 1) sin 2jc > I, ^ + 2лл <2х< ~ + 2тсл, — +пп< х< Л D О < || + 7Ш, пе Z; 2) sin ^Зд: | ^ • По формулам приведем ния sin ^Зх + I ) ~ сов Зх, сов ^ ^ < Зх < ^ + 2яЛ, ^ + ~Л<х< ~ Z. 9 0 9 0 333.1) Соседние нули функции отстоят друг от друга на |, значит, период функции не может быть меньше ^. Проверим, является ли данное число периодом, т. е, выполняется ли равенство tg 2^х - I ^ = tg 2х - tg 2^х + I Равенства верны, следовательно, ^ — период функции у— tg2x. А 341.9) Возведем уравнение в квадрат и после упрощения по- 12 лучим: sin х • cos х ~ . По теореме, обратной теореме Виета, 5п 25 12 sin X и cos X — корни квадратного уравнения ^ if + — О, О 4UU 3 4 ^, «2 = g. Один ИЗ корней — косинус, а другой — синус, 4П Л ИЛИ наоборот. Имеем: cos^ ^ или cosх = g. Ответ: iarccos I + 2izn, ±arccos - + 2ял (л ^ Z). О о 345.2) Рассмотрим разность (tg х + ctg х)- 2 = tg х + ^ - 2 = _ ^ ^ — > о, поскольку тангенс острого уг- ла положителен, значит, для любого острого угла х полученное неравенство верно, т. е. tg х + ctg х ^ 2. Что и Т1>ебовалось доказать. 360, sin (а + Э) * sin(a - р) = (sin а • cos р + cos а • sin pKsin а х X cos Р - cos а • sin р) = sin^ а • cos^ р - cos^ а • sin^ Р == 275 _ l^2 = (sin^ ot cos^ Э + sin^ a sin^ p) - (cos^a sin^ p + sin^ a sin^ p) = = sin^ a(co9^ P + sin^ P) - sin^ p=0; (1 f cos 2x) + sin 2x + (sin x + cos x) = 0; 2 cos^ x + 2 sin x cos x + + (sin X + cos x) = 0; 2 cos x (cos x + sin x) ^ (sin x f- cos x) ~ 0; (sin X + cos x)(2 cos x f 1) = 0; cos x~ или sin x = -cos x. ^ » 276 424. 4 sin Зх sin x ~ 2 cos 2jc + 1 = 0. Поскольку 2 sin 3x x X sin X “ cos 2x - cos 4x, имеем 2 cos 2x - 2 cos 4x - 2 cos 2x + 1 == = 0; 2 cos 4x - 1 = 0; cos 4x = 5,4x = ± 5 f 2icn, x = 4* A 3 12 2 ne Z. Искомый корень уравнения x = ^. 426. 2co8^x + cosx 1. 4coe^ ДС + 2 cos x + 2 cos ж + 7 sln^ ж 0, 2cosx + Tsin^x 2* 2(2 cos ж+7 ein^ ж) 4 cos^ X + 4 cos X + 7 ~ 7 cos^ x ~ 0, 3 cos^ x - 4 cos x - 7 == 0, cos X == -1. Ha отрезке я] cos x = -1 при x = ±д. Эти значения не обращают знаменатель в нуль. 427. 2) Js sin X + 2 cos х = л/З + 2 sin х cos х; Js +2 sin х х XC0S X - 2 cos X - sin X = 0; 73(1 - sin х) - 2 cos х(1 - sin х) = 0; (1 - sin x){JS 2 cos x) = 0; sin x = 1 или cos ^ ~ ^ ^ | ■*" + 2тш или X = ±2 + 2ял, n € Z. Из множества решений выбираем ь те, которые удовлетворяют условию 0 < х < 2: х^ |, Х£ = |. fi-') ^ sin. 429. 2) •J2 СО8 ж (cos ж - sin ж) . -----------i (l-tg*),5 + 2‘«* V2 cos X ^ = 3.4 '/Осоеде ;5 + 2*«^ = 3 • 4^^' + = 3 2^6 ^ — 6 • 2“ ^ +5 — 0. Обозначим 2*^ ^ = yn найдем положи^ 6 л тельный корень уравнения у - - + 5 = 0; + 5^/ - 6 *= 0; р 1. а Вернемся к переменной х: 2^ •*^=l;tgx — 0;х = пп, п g Z\ 4) пусть 2^ - у, где у > 0, тогда - tg у = 2 tg 2у; ^ = Щ У у — 2 tg2у; ctg2у = tg 2у; 2у - ~ ^ поскольку значе- ния у должны быть положительными, п~ 0, 1, 2,..., у = 5 + О + ^ (п = о, 1, 2, ...). Вернемся к переменной х : 2^ = ^ ^ 4 о 4 п . кп (л - о, 1, 2, 3, ...), X - log2 (I « == о, 1, 2, 3,.... 277 ГЛАВА т Повторение 434. 4) Должно выполняться условие л: - 5 > О, т. е. д: > 5. х + 4 Заметим, что для этих значений х основание логарифма большим 1. log^^4 (х - 5) < I. log^^4 (X - 5) < log^^ 4 jc + 1 х + 4 х+1* х+1 х+1 х+1 в силу возрастания логарифмической функции с основанием . х>5, больше 1 имеем: О < х - 5 < -----, 1 (х ~ 5Хх + 1) < X + 4, X > 5, х^ - 5х - 9 < г X > о, 5- X > 5, 5 <х< 5 + ^/^ 2 — 2 441. 1) г) sin 10 - sin (Зя + (10 - Зя)) - -sin (10 - Зя) - ^ sin (Зя -10). Поскольку < Зя -10 ^ 5 имеем: arcsin (sin 10) = = arcsin (ain (Зя - 10)) = Зя -10; 4) д) arcctg (tg 2) = arcctg ^ctg - -2)) = f-2. 442. 1) arcsin < arcsin (x^ - l,5x) < arcsin Поскольку арксинус является возрастающей функцией, имеем: 1 л *1-^1 ^ «2 2х^ - Зх + 1 > О, \х<05«лпх>1, 1 ЫИ<,<з±Л7. -Г- 4 4 < X < 0,5 или 1 < X < 3 +Лт 3 1 2) - 5 < агссоз X < ;=. С учетом области значений арккоси- fc О нуса имеем: О < arccos < | * arccos 1 < arccos х < arccos cos |. Поскольку функция арккосинус убывает, окончательно получаем: cos i < X < 1. 3 278 461. 4) logj - * + 9) - log7 - j, ((it + 3K* - 1)*); ж* + 9 = - (X ~f* • ITjpu этом должны оыподнятъся условия* 7-л:>0;7-д:5^1;л:^ + 9>0. Далее получаем: х^~5х~6=*0; х=-6 илиX = -1. Проверка: х=*б, 7-6>0 — верно, 7 -61 — неверно, следовательно, 6 — посторонний корень; jc ■== -1, 7 - (~1) >0 — верно, 7 - (-1) — верно, (-1)^ + 9 > О — верно, следовательно, -1 — корень исходного уравнения, О т в е т: -1. Г в) log С08 X sin X + log COAX sinx — 2. Поскольку ни при каком зиа< чении X logcoe X si*' ^ равен нулю, имеем: logf^g,. sin х -- 2 log^j^jg X sin дг + 1 = 0; logc^>g ^ s**' х — Х; sin х = сое х при условии, что cos JC > о и cos X 5^ 1. с учетом этого условия окончательно получаем: х =* ? + 2лА {k е Z). 7) tg^ jx| — ^, 4 1 - 8in|jt| вьуж| ^ 1 ^ ^ Jjpjj условия С08^ |х| о, 1 - sin |х1 5* о, по- cos^ljcj 1 - sinlar! лучаем: sin^ \х\ - sln^ \х\ - cos^ |х| - cos^ |х1; (cos (xj - sin |x|) x X (cos |x| + sin lx|) (cos |x| - sin |x|Xl + cos |x| sin |xj); (cos |x| - sin |x|) x X (1 4- cos lx! sin |xj - cos [xj - sin jx|) = 0; (cos lx| - sin |x|Kl - sin |x|) x X (1 - cos |x|) = 0; cos |xl - sin |xj “ 0 или 1 sin jxj =* 0, или 1 - cos |xj “ 0. Условию удовлетворяет только первое и третье равенство; cos |х| — sin |х| или cos 1х| ^ 1, |х1 »= | + 2пк или |х| = 2лАг, X = ± J + 2nk или X =* 2пк (Л е 2). О т в е т: ±1 + 2тгЛ, 2nk (к е Z). 8) 2 sin 2х + cos 2х + 1 = 0. Рассмотрим 2 случая: а) х = 5 + + лЛ (А € 2) и б) --1^ + ^ f 1 = о. а) 2 sin (я + 2яА) + 1 + tg^x 1 + tg-^x + со8(л + 2т1А!)+ 1“0;0- 1 +1 = 0,следовательно,| + дА(Дге Z) — корни исходного уравнения, б) 4 tg х 4 1 - tg^ х 4 1 4 tg^ х — 0; tg X = -0,5; X == -arctg 0,5 4 nk. Объединяем результаты обоих случаев и записываем ответ: | 4 пк, -arctg 0,5 4 nk {к € Z). 279 462. 4) (6ж - 5)j2x‘-7x-0 > О <=> j 2л* - 7д: - 9 > О. х**-1 или х^4,5. 2х^-7х-9-0, 12х^- .1бх-5>0 X <-1, ЕЛих > 4,5 i:: Г дг - -1, L х>4,5. 7) 1е (X - 2)* < Ig (л* - 4) - Ig (-Х - 2); Ig (X - 2)* < Ig ((-х - 2) х X (2 - х)) “ Ig (-Х - 2). Должно вьшолняться условие ^х - 2 > О; т. е. X < -2. Тогда 2 - х > 0.2 Ig (2 - х) < Ig (2 - х). Ig (2 - х) < 0. Ig (2 х) < Ig 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, получаем 0<2^х<1, 1<х<2, что не удовлетворяет условию х < ~2. Ответ; нет решснид. 463. 2) JZxTb + = 4c^2x^ 3 + Х- 2 + + 2 JZx + 3 • л/х - 2 ^ 16 2jix + 3 • Jx~ 2 ^ 15 - Зх « 2x + 3 > о, x-2>0, 45“3x>0. . 8x2 - 4^ - 24 - 225 + 9x^ - 90x 2 < X < 5, 2 (ГХ-3, !Lx-83 <=> X *“ 3. .8 4) l<^7 - Д. (x** + 9) - log7 '7-x>0, 7-xi^l, ^^x3 + 9>0, x^ + 9-(x+3Kx-l)^ «=>x»-l. 5) lain x| coe X — ain^ x <=> bin x| coe x *■ (sin x|^ «• 7 - X > 0, 7-x^l, X® i 9 > 0. x^ - 5x - 6 — 0 , «X + ЗКд: - t)2) « 7-x>0, 7-x^ t, X* f 9 > 0, X--1, ,x •» 6 fsmx*0, ГХ COB X - lain x] ^ [Х-7СЛ, . Г « («e Z). X “ > 2пл, 4 280 l-ain|jH coe^W I “ einiact } C08 |jt| ^ 0, «^ 1 - Bin 5^ 0, <=> * (cos |xl - sin ,x|Kl - sin |x|)(l - cos |х|) - 0; 'COsW’^O» 11 - sin |xi 5* 0, * о ■!rcoe'*l’=sinU|t Z). l-sin|x|»0, 1х"2к/г» L1 - COS ,x| “ 0 4e&3)log^.,(x t 4)>0<=> x^ - 1 > 0, x + 4 >0. <=J> r-4i. c=> (X h гцх - 2Kx + 2) > 0 г ~30« x^ + 3x - 4 > 0, X f 4 > 0, <=> (x^ + Зх-5Кл:^ 3)>0 ((X ^ 4)(x-l)>0. X + 4 > 0, (*+ 1+^ ?-=^)(x + 3)>0 X > 1, zh^3 4 729 467.1) fix) <0^ I f(x)> 0, !g(x:)>0. 4)iog,44--^ <0« 2S1 зс* - 1 > 0. X + 4 > 0. |(x + 3)(£f^-i)0. о X + 4 > О, ^ 1 (х^ + Зх-6Кх + 3)<0 (X f 4)(х-1)>0. х + 4>0, Г-4<х<-1. Lx>l, (X + ЗКх - 2Кх + 2) < о (х f « (х+® к 2 J V 2 j х> 1. Чх^З^-./5в> V ^ 2 > V. 2 [ Х>1, -8-72» -8 h 729 « I < X -3 t 72» ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Кореи квадратного ураввеяня ах^ + 6х н с - 0 (о ^ 0) ~Ь i 4ас 2а ох^ f 2кх + с ^ 0 (а ^ 0) -к + ijk^ ~ас *1:2 ^бх + с* 0(в ^0)а + Ь + с*=0 ах^ -^6х + с--0(о^0)а — Ь + С“0 1 С Х1--1.Х2--- Формулы Виета X*+рх + 9 “ 0 Х1 + Х2--Р, Xi-X2-<7 Разложение квадратного трехчлена на множители • Ьх + с *» а{х - xjX^ “ JPd) Координаты вершины параболы — графика квадратного трехчлене у ах^ h бх + с л^о- ^.Уо------- Разложение на множители многочлена n-R степени, нмеЮ' щего корень х^ (следствие из теоремы Безу) Р„(х) - (X - xi)P„ _ з(х) 283 Свойства корней квадржткых степенв n Jab • Ja • Jb "Jab "Ja -"Jh fa Ja n/® - •ib fb ^0 "Л Ja^ =iJaY^ ***Ja = "M nkj^mk Степени и логарифмы m a" “ "J^,a>0 logfl fe •= C 6 (6 > 0, a > 0, a 1) -b el ~a^~y qU log(. {ah) = log^ a + logf b logo (ЬП = c loga Ь el - feV b* U/ ^logo^ I, - Тригонометрия Некоторые звачеввя трнгонометринеских функций 0* 30" 45" eo" 00" 180^ 270" 360* a 0 R Л n Л R 3r 2n 6 4 3 2 2 8lna 0 1 72 V3 1 0 -1 0 2 2 2 coea 1 Л 1 0 -1 0 1 2 2 2 284 продолжение табл. а 0* 30" 46* 60* во* 180* 270* зво* 0 к 6 п 4 к 3 к 2 п Зл 2 2л tgo 0 Л а 1 л — 0 — 0 ctg о — л 1 л 3 0 — 0 — Формулы приведения а 0+ 2лл -е Л - ф л + ф я 2'* Зл Т“^ у + Ф sin а sin

1 - 2 sin^ а sin 2пс'» 2 sin а сов а tg 2а 2tgg ] - tg*a 285 Переход от суммы к произведению ain а ± sin р » 2sin сое сова + совР = 2со8 cos cos а - cos |5 “ -2ain sin sss Переход от произведения к сумме sin а sin р » 5 (cos (а - Р) - сое (а + Р)) С08 а сое Р = I (cos (а - р) + сое (а + р)) sin а cos р ^ (sin (а- р) ** sin (а + Р)) Формулы повнження степени 2 cos-a-l±^ ^ IV coe2o 2 —’ 2 Вспомогательный угол aeinx сое X *» ve* + sin (jc + 9), Ь а где ЯП ф * , , cos ф * -г- 7РТР Универсальная подстановка 2lga sin 2а 1 I Ig^a cos 2а- 1 1 tg^a tg2a 2tgg l-tg2a Решение уравнений sin jr » a, *а| < 1, x•»(-1)” arcsin a + кп, n^Z cosX -fl, |fl,< 1, X•“ ±arcc08a 4 2лл» n^Z tgX**> o, X*• arctga + лл, n^Z ctg X » a, X — arcctg a + ял, л s z Предметный указатель Аргумент функции 9 Арккосинус 122 Арккотангенс 123 Арксинус 121 Арктангенс 123 Асимптота 17 — горизонтальная 17,149 вертикальная 17,149 Вспомогательный угол 186. 286 Геометрическое место точек 18 Гипербола 16.18 Дробная часть числа 25 Единичная окружность 109 Корень л-ой степени 48 Косинус угла 109 Косинусоида 143 Котангенс угла 116 Котангенсоида 151 Координаты вершины параболы 34, 283 Корни квадратного уравнения 283 Линейная скорость 106 Логарифм 82 — десятичный 93 — натуральный 93 Логарифмическая функция 83 Мантисса ло1'арифма 95 Метод интервалов 26 Область значений функции 9,192 — определения функции 9, 191 Обратные три гоиометрические функции 198, 199 Объединение множеств 10 Окрестность точки 24 Основное логарифмическое тождество 82 — тригонометрическое тождество 156, 285 Ось котангенсов 117 — тангенсов 116 Парабола 18 Пересечение множеств 10 Период функции 137, 202 Подкоренное выражение 49 Подмножество 10 Показатель степени 49 — дробный 62 — рациональный 62 Потенцирование 91 Прямая 18 Преобразование графика 35, 202 Промежуток знаколостоявства 26 — монотонности 28 287 РазЕОСильвое преобразование ----неравенства 207 ----уравнения 207 Радиан 105 Радианная мера угла 106 Раз^южевие многочлена на множители 283 Синус угла 109 Синус числового аргумента 110 Синусоида 138 Свойства корней 57, 58, 284 — логарифмов 00( 91, 284 — степени 73, 284 Скорость линейная 106 — угловая 106 Таблица значений тригонометрических функций 2^, 285 Тангенс угла 115 Тангенсоида 150 Теорема Безу 45 Теорема о промежуточном значении 26 Точка разрыва 26 Тригонометрия 100 Угловой коэффициент прямой 15 Угол поворота 101 — отрицательный 101 — положительный 101 — наклона прямой 116 Универсальная подстановка 212, 286 Уравнение иррациональное 52 — тритоЕометрическое 121 Уравнения равносильные 206 Характеристика логарифма 95 Формулы двойного угла 171.172, 285 — перехода от суммы к произведению 177,178, 285 ----от произведения к сумме 177,178, 285 — понижения степени 172, 286 — приведения 129, 130, 285 — сложения 163,168, 285 Функция 9 — возрастающая 28 — константа 15 — косеканс 142 — кусочно'задавная 24 ~ логарифмическая 83 — монотонпая 28,193 — непрерывная 23,192 — нечетная 44, 201 ^ периодическая 137, 202 ~ показательная 71 — секанс 142 — степенная 42 — четная 48, 200 — убывающая 28 Функцив — взаимно обратные 51, 197 — обратимые 51 Целая часть числа 25 ш Учебник входит в комплект по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов авторов Г. К. Муравина. О. В. Муравиной и содержит: — обязательный и дополнительный теоретический материал, соответавующий базовой и профильной программам; - разноуровневую сиаему упражнений; — контрольные вопросы и задания к темам. - ответы, советы и решения к заданиям; - домашние контрольные работы. - справочный материал и предметный указатель. Учебник предназначен для качественного изучения курса алгебры и начал математического анализа на базовом и профильном уровнях. г f