Учебник Алгебра 10 класс Виленкин Ивашев-Мусатов Шварцбурд Углубленный уровень

) -------7;---—:----•*“:--: cos [a - P)—2 sm a sm g cos Iq — P|—cos g Ci>5 P cos(a-'P)—sin a sill Э 1) sill (a-i-45''1=-^(cos а-4-sm a); V2 3) cos (a -f Pi cos (a — p) = cos* a — sin* p = = co5*' p —sin* a; 4) cos |аЧ" P)+5‘П (a — pi = (cos <3t -ь sin л) X X(COS P —sin P); 5) cos ‘Jr C05 x + bin 2r sin x = cos x; sin iP - T? sm IT —g) . sinra -P) ^ ^ cos p cos Y ^ ^"45 Y fos a cos a cos P ~T^----------- cos' a -i-cos* P — cos I'X Ч p) cos pi = I. ^ cos a cos P ® ^ 71 9 АЛТкбра □ иатсшгнтмлнй 257 Я: Луч снет« продлит сгтеминную пластчнку толшмной й. Огтределнтге,] каково ияралладьчое смешение этого луча, если угол падения равен а, а по-' казатсль преломления стекля ранен л (ркс- IS1). ||| 2. Тангенс м котангенс суммы и разности. Из полученных в п. 1 формул следует, что при cos(i4-s)^0 (т. е. при ^ + Ф-^^jtn, nez) sin sin t cos s -f cos r sill 5 (U coeti-f-5) cos < cos s—sill f sin s Предположим, что, кроме того, со^1Ф0 и cos (т. е. что ни Л ни S не имеют вида —+ «6^)* Тогда числитель нг знаменатель дроби в (1) можно разделить на сое / cos s'. Получаем: tg(/-f S): Sin i . sin s cos / CQ3 s sin t sin 5 I —tjT f rg 5 ’ ~COS i COS 5 Итак, ^ ' I ,_|g , (2) Заменяя в формуле (2) s иа — s и учитывая нечетность тангенса, получаем отсюда: ttf If —5) = -Аналогично устанавливаются формулы: ctg(,-sW-i!bl£iL!JJ ' Ctgs—ctgr (3) (4) (5) Пример. Вычислим Решение. По формуле (2) имеем: л л '^1Г + '®Т 2 з+,б . П . Л I — 3 — уЗ ^=2+у'3. Упражнения ) rg]5": 2| ctg 15": 3) ctg^; 4) 5) 57В. Вычнелнте: 2ЬЯ S7|. Дано: tgz=l,2, tR^=0,7. Вычислите: И 2> 3) c1g cig(x+y); 4) cIk^x—i^). 2 4 573, Дано: c1м, что в п. 3 f 2 н^кыгорые »з формул приведения были изведены с помощью геотиотрнческнх рассужденмй, основанных на симметрии. Таким же путем можно получить все формулы приведения. Например, равенства = i:osf к cos^Y —=sir / вытекакгг из тога, что то"«км М((] и симметричны отиосигельно прямой у»л, а при симметрии опгяос»с1ельно втоА прямой точна М (х, у) переходит в точку Af х) (рис. 152). Упражнении 57в. Докажите геонегрячеекм вое формулы лркведе»яя. 570. Вычислите значения: I) создКГ; 2) sinWO"; .3) tg(-7ft5^); 4) ctg U40^ sm^6-|-i\^; 6) ; 7) 8) 961 Упростите выраже*1>чя: 2) . * '3 , 25 I -dg — л dg —л 5&1. Дшажнте 'п^ждества; 2) :йз(уя -2а)-ь2соа{^ + 2<х) (4-siriajdg(-J.-^) 04 \ J 4 / ._г/ я . а \ 2sm(^yn-yjc«b(yn-Hyj 4 cos* (ft —n) — 4 sin*^y-л—+3 cos*^y Л —ct^ = 3lg*y. 4. Тригонометрические функции двойного к тройного аргумента. Если положить в формулах (2) и (7) п. 1, а также (2) и (4) п. 2 S —/. то получим формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента 2t через тригонометрические функции аргумента sin 2^ = 2 sin t cos i, cos 2/ = c05^ / — sin^ i. tg 2Г 2tg/ 1 -tfi* < • 2ds I (1) (2) (3) (4) Формулу для cos 2/ можно записать иначе, принимая во внимание тождество sin^/-f-cos^ ^ = 1. Именно cos 2^ = 2 cos^ /—1 = 1—2 srn^ /. Из зтих формул следует: l-fcos2f 2( I—C0S2J COS / = ——---------, sin / =------г----. 2 2 (5) (6) 2fi9. Тригонометрические функции от аргумента 2i можно выразить через Ig /. Для этого заметим: sin 2/= 2 $in f cos / = 2 51П I CI>5 i / Ч-С05-1 2 Если cos /^0, TO можно разделить на cos / числитель и знаме- натель. Учитывая, что sir» I С05 / tg /, получаем: sin 2/ =■ 2lg{ (7) (9) Таким же образом из равенства cos 2/ = cos^ / — sin^ / выводим: (и эта формула верна лишь прн условии, что cos/=jr^^0, т. е. что n£Z). Наконец, отметим, что dg — и потому ctg 2! При , n£Z. Выведем теперь формулы для cos 3/ и sin 3/. Мы имеем; sin 3/ = sin (2r-|-/]=sm 2i cos /-f-cos 2t sin / = = 2 sin / cos^/-f-d — 2 sm^/) sin/ = = sin U.2 cos'^ /-2siii’/ + l). Ho 2 cos^ f = 2 —2 sin* /, и потому sin 3/ = sin / (3 —4 siti^ /). Таким же образом устанавливается формула cos 3/ = cos / (4 cos^ i — 3). Упражнения 5в2- Дано; sin je =0.96 н 00 Вычнс.1кте sir»'2-к, соя2х. tg2jr. 584. Дано: tRx= —2. Вычислите Iff 2x. ^ 585. Локяжитс, НТО sin 2jr><2sin x, если 68в, Найдите sin 4x. cos 4л и tg 4.r. если ctg л =2. ] I Ш. Найдите tg(4x—|/), если lgл=—, tgir=^. (10) (Ш il 5Й8. Докажите тождества: I) I 4-sifi 2« = 2 cos*^-^ — дг j : 2) I —sin 2jt=2 ; 3) cos 2a cos a-” sni a • +sin2 "sVxVsinSt 4) cos 4л-^-4 cos 2л=8 coe* X—3; sin 3x cos Зл cos X sin X =2; 6) stn3x=4sinxsin^-y4-x^ sin^y -x^ 7) sin 4x-f-cos 4xctg 2x; t -tg’x 2tgx 693. Представьте a виде прокаведення трнгоиометркческнх функинА: i) sin х-^-cos 2x4 sin Зл 4 cos 4л, 2) соя x-f-sin 2x+oos 3x4-sin 4x; 3) sin ЗХ -5Ш 2xcos x; 4) cos д -sin x sin 2x; 5) I 4cos x-f-sin x-|-tg x; 6) tg x4-lg 2x -lg 3x; 7) -I-cos x4 VT —co$x, если 01енатель того же равенства на 2 sin выводим: '8Т= I —cos S (б) Отсюда вытекают равенства: I f соч .< Clg Sin s sin s I —cos s (7) []редостав«1яем читате,1ю определить, при каких значениях s эти равенства теряют силу. Упражнения SW. Найдите sin сое у и tgy. «^и: I) >х = 30"; 2) «=“7: 3) cos а = 0.6 н 0<а<— ; ♦ 2 3 ^) tge«3— и п<«<—л; 33G 5) sina=——и 450" < а<540®. «2.5 59Б. Найдите sin |8®, cos sin I г'', cos |2®. sin 6“ н сиз 6® see. Упростите выражеиия: I) V I +COS 4(Г 2) I —cos 2a 3) 2 sin--y j-CO.4 n; in Гу Л -— + 1 sin 22 S47, Докажите тождества; О I 4*sin «i2ccjs^^—sin 17 = 2 sill®^ у—’ 9ка 1 г 3) С06 у—51Л — COS yi-s'n-2 -tga: 4) ctgy-ig y-2clga. 6. Преобразование суммы тригонометрнчесннх функций в лронаведение и произведения атих функций в сумму. Склаль1вая почленно формулы sin 5.) =5^ sin i cos 4 +cos t sin s получаем; и потому sin (/ —s) = sin t cos 4 —cos / sin $, sin -f s) -f sin (/ — s) = 2 sin I cos s sin t cos s = y (sin (/-f-s)-|-sin (/ —s)). U) (2) (3) C помощью этой формулы можно заменить произведение sin t cos t полусуммой тригонометрнческих функций от гЧ-5 н В таком виде формула удобна при Если i-f COS « t> cos и ' cos и C03 u cos I* Ho чис;1ктель полученной дроби равен sin (и 4" t-')- Значит, ,11) ^ cos U COS У Эта формула справедлива, если определены функ](ии cos и и cos V, т. е. если ни и, ни v не имеют вида Аналогично выводятся форму.1ы: ctg иН-ctg V ctg « — ctg V- cos и cos V sin (K-f o) sin и sin V sin (y-—«) sin и sin V Пример 2. Докажем, что если то tg i^4-tg v4-lg »'=tg u tg IT tg oj. Доказательство. Мы имеем: tg «4-tg tr4-tg wf=rlg u + tg o-Mg (я—(w-h«)) = = tg« + tga-tg(u + 0) = -iiOil+a = (12) (13) (14) sin (« + t>)(cos itf-ht*)—cos Ц y) cos « cos 0 cos (« + v) ___ sin (M + y) sin U' sin V cos (a + u) cos и cos V = tg « tg 0 tg W. OIAA = —tg(«4-t^)tg «tg« = Упражнения Представьте в виде суммы трягонометрических фуикциА: I) 2 sin 15'cos |0'; 2) cos д cos (jf + J): 3) 4 sin 25' cos IS" sin 5'; 4> В cos J“ cos 2" cob 4" cos 8". 5ЙВ. Вычислите sin lO® sin 50' sin 70“. 600. Докажите, что лначсыне выражения cos'-' У + С05* {х4-^)—2 COS xcos ^ cos не эаонсит от j/. б0|. Представьте в виде произяелення и.тн отношеиия произведений: I) сов 4 6“-ь cos 34'; 4) sin 41" sin 1»®; 7) smcos; |0) cos 2ж — cos Bjc; 13) 2) cos 16'—cos 12'; 5) cos 40“—sin 45®; ft, Л . n . 8) 1|) Sin®X — sin^jr; sin Co'-f-sin 15® 14) 3) sin 7 Г —sin 38“; 6) sin 41"—cos 62®; 9) sin 6л 4-sin 2x; 12) sinx^^cosy; _ sin 9a —sin За IDJ sin G6“ —sin 15® ' sin9a+sin3« 16) sin z+sin 2x-f sin 3x+sin 4x; 17) cos x + cos 2jr+cos 3x+co5 4х; 18) sin 24*-j-sin 16® +sti) 40"; 19) sin 23'+sin 57’+ sin 40“; ^ H“ P 20) sin x + sin 2x + sin 3r; 21) sin a+sin 6 +sin—^—; 22) cos 2x—sin X — sin 5x; 23) sin^-^+x^+sfn^^——cos x; X ^ 24) sin у — sin yX + cos x; 25) sin (5x-)-jy) + sin (3x+y)+sirt 2x; 26) cos (x+^)+cos (X — y)+cos x; 27) sin x+cos 2x — sin 3x; 28) cOs^7x—уj+cos^3x—^^+sin4x. 602. Представьте в виде произяеденнИ или отношенкй лрои:^всденнй; I) VtRa + sm а+v'tg a-sin а, 0^а<у ; 2) 2 + tgx + ctgx; 3) |+cos2a; 4) I ^ cos 2а; 5) l+cosya; 3 6) I —cos у а; 7) I + sin 5a; 8) I-sin 5a; 9) i+cosBO’; 10) 1-sin 80®; И) l+tga; 12) l -tga; 13) I+ctga; 14) I .-ctg a; 13) I +COS {o — P) 16) t +sin (a -f p} 17) l+sinx+cosx; I — cos (a — ' 1 — sin (a -f P) 18) I-cos x + sin X. 19) 1-sin x+cDSx; 20) sin x+eos x—I; 21) l -sinx-cosx; 22) I+sinx+cosx+lgx; 23) i-sin x + cosx-tgx; 24) sin a+sin p-|-sin (a+p); 25) sin (7a + p}+sin (a + P)+cos 3a; 26) sin 17’ +sin 27“+sin 10“; 27) tg a+tg 2a-1g 3a. 26Э 603. Докажите тождества: 3 « -Э . 5iil(a-bP] + &in(at-P) ..... , sin (и-4-р)—sin (а — р} ^ ^ о. «:«*s(a + p| + cos{a-P) cas{a._p)-cDs(« + p) c«^+«!L2.^ COS а —Sin а ^ 4) (sin a-|-sin P)^+(cos и+cos P)*=4 cos 5) (sin 2ix -4- sin 4аУ* -4-(cos 2a -j-ous 4a)* »4 cos* a: ^ sin a.-bsin 3a-f ЯП 5a . D) ------:----я--:----=--“Iff 3a: cos a 4- cos Ja -f cos 5a 7) sin afcoso -sin^a—|-^-|-cos^a—=v'6cos^a ft) ^cos x + cos уУ 4-^ sin x-j-sin y^ =2sir»y c(Ry: srn g 4- sin jg -f sin 5a 4-sin 7g cos a + cos 3a-|-cos .5a-4-cos 7o sin a -i-sin 3a -4- sin 5a +...-f нп (2л — I) g ^ cos a-fcos 3®4-cus 5a + ~ + cns (2rt—l}a II) sin a + siii 2a-)-sin Яа-4-...-f-sin na=- 12) cos a-*-cos 2a-bcos 3a4-.,,+cos na = . fta . (Л 4-)) a siny s.n-^_ na (n 4- I) a sm—cos---— '2n 4л , ЙЯ I tJ) cos у 4-cos у 4-cos у = -y; N) cos у 4-cos-|-л=у; 15) tR 3a — lg 2« —tg a = (g 3a*tg 2a-(R a; 16) 8 cos |0" cos 20° cos 40* =clg 10°; 17) sin 20* sin 40° sin 60" sin ft0° =-^: lo 18) 1^20“ tg40” tg60° Ir80“*3; 19) cos a cos 2a cos 4a cos fta cos I6a=- sin 32a 32 sin a 20) VI + ^ 4- V1 — sin x=2 cos у. если fl ж sCy ; 21) \\ 4-sin X— )/l —sin x*2 sin если . 270 6>04. Докаж1гте. что если то: 1) sin х+sin у -j-sin 7=4 cos у cos у cos у: 2) cos* X-|-C(lS*y f cos* 7= I — 2cus XCOSi^ cos 7. 605. Вычислите суммы: 1) cos* 2a -j-cos* 4a +... 4- cos* 2я«; 2) sin* 2a4-sin* 4a 4- —+ 5Й1* 2rt«: 3) I —COS a-f cos 2a—cos 3a4-...+(— 1Г cos na: 4) sin a-sin 2a4-sin 3a—...4-( — !)*”' ла; .5) cos a-(-2 cos 2a 4-3 cos За4---4"” cos rta; 6) sin «4*2 sin 2a 4" 3 sin 3a4-->4-'i ла; 7) tg a4-2 ig 2a 4-4 Ig 4a-)-...4-2"“* tg 2'*' a-4-2* clg 2"a. 60e. ПреоОразуйгтг u произведение или отнотенис произведений с помошью введения вспймогателы1отх> угла; 1) I -Ь2 cos 2а; 2) ) —2 sin 2а; 3) I 4-^2 cn.s а; 4) I —sif 3> V3 4 2 cos 6Р; 6) \*2 sin 2а — |; 7) -у'З'и®—3 —tg*a; 9) |—4sin^a; Ю) 3 —4( Os*a; 11) 4 sin* а—3. 7. Сложение гармокмческнх холебаииА. В силу формулы jvlH синуса суммы гармоническое колебание sin а) можно представить в виде t/ = A cos а sin о)/4->4 sin а cos mi. Если обозначить А cos а через Ci, а Л sin а через Cj, получим: у = С| sin cos 0)7. (I) Обратно, функцию С\ sin io7 4"C:iCOS ш/ всегда можно предста-вить в виде Л sin (*> ГГГЧ14 ЬСТЪГМ • |,Г.4Л.Т' ГВ П f> 1Л М 11 О О ое I |/Ч. I Ч-/1 nWA bAAV^r4<»..r. 4 44 »••.<«« одновременно участвует в двух гармонических колебаниях. Если эти ка1ебания имеют одинаковые ч^)СТОты, то их можно 271 представить в виде Q sin W/-I-C2 cos <х>/ и D| sin cos a их сумму ъ виде (Ci + Di) sin lat -|-{C2-f Ог) cos (jut. Из сказанного выше следует, что эта сумма является гармоническим колебанием той же частоты (о. Амплитуда этого колебания равна I "t“ iC-2-^D'y)^. Выведем формулу, выражающую амплитуду суммы двух гармонических колебаний через амплитуды и начальные фазы этих капебаний. Если С| =Л» cos Ли Сг = Л] sin 0.1, £>| = Л2 cos aj, D-i = A‘2 sin аг, то МЛ = .4i-|-2A|A2 cos (ai —аз)-|-Л2* Начальная фаза суммарного колебания определяется равенствами: С05 а sin а = Из них следует: А А С,-г О, {А I cos aj -f- /4з cos «2), ^ = —(j4, sin ai 4-Дг sin ai). (3) (4) lga = 41 sin 4-Aj sin a» 4| <4>5 cos a? (5) При сложении гармонических колебаний, имеющих различные частоты, возникают более сложные функции. Любую, встречающуюся на практике функцию с периодом Т можно представить в виде бесконечной суммы, состоящей из постоянной и гар- 2л ионических ко.тебаний, частоты которых кратны числу ш— Из вопроса о представлении функций в виде сумм гармонических ка1ебаний возник важный раздел современной математики — гармонический анализ функций. Он тесно связан с разделом оптики, изучающим спектры. Упражнения вот. ripHiwiuiTe к виду Д s.in Iwi-|-ot} выражения: I) 5 sin Зг — (2 С05 3/; 2} Tsinfa/—^-'l 4-24 cosf 3/— ^ ^ V s / ‘ “ ' 3) I ] siri^2i 4--^^-|-()0cos^2r 4--^^ • / 272 Рис. 153 15 С0& ООО. НанАнтв наибольшее н нанмекьигее зкачения и точил 9кстр«ыу|иа функций, а также построите их график: ]) 3 sin 4дс—4 cos 4ж; 2) —5 sin 2x-t 12 cos 2х, 3) sin —V3cos6x; 4) 3siii^2ji— 609. Найдкте суммы гармоккческнх коипебанкй; 1) у=3 sin 2/ и ^=2 sin^2r+-^^ ; 2) у = 2 .sifi 3/ л у=2 sin ^ЗГ—з)' 3) y=\'2sin5r н у=-у*2 сое 5<; 4> у=3 sin^2/-fи у = 3 ros^2/ .—- 610- Кривошип OP juiHMoA 15 см вращается в вертикальной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью 120 оЛоргшзн в минуту. В начальыыА момент времени он направден под углом 55® к оси aficiuici:. Определите дакин Аннжений проекций Q и S точки Р па вертикальное и горизонтальное направлении соотвстствеико. Решите задачу для случая, когда кривошип вращается по часовой стрелке. 6И. В дегтн переменного тока между сн.1ой тикв / и временем / имеется зависимость /—3,5 sin (вСКК-+-1,26} Определите максимвльног эначсние силы тока, числи иернодпи в секунду и началькуто фазу. Начертите график зввисимсктей силы тоКл ОТ времедл. 6|2. На рисунке 153 н;чображеы крявспдипииА механизм, где кривошнп АВ ДЛИНОЙ а связан с ползуном С при помощи гиатуна ВС длиной /. Найдите закон движения точки С по прямой АС\ если крнвоишо равномерно вращается вокруг точки А против часовой стрелки с угловой скоростью ш и при г=0 наклонен к оси абсцисс под углом § 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ I. Предел отношенмя длины хорды к длине стягиваемой ею дуги. Если выбрать на окружности две близко расположенные друг к другу точки М и N, то видно, что длина ограниченной ими дуги почти равна длине соединяющего их отрезка и потому MjV выполняется приближенное равенство т. е. Это равенство становится тем точнее, чем меньше длина дуги и потому очевидно, что A1.V lim .^н — о = 1. Но если радианная мера дуги MN равна 2х, то M!Sf = 2Rx, ;Vf.V = 2^ sin X. Поэтому lirn in А.ог»бт ш M&wjuimiifUHK 2Д sin X 273 1, т. е. liin 1^' ' 14' I М;' Численным подтверждением проведенных «ра с суждений» может служить следующая таблица, из которой видно, как при- ближаются к единице значения дроби отся к нулю: 61П X , когда X приближа- X ] 0.1 0.01 sin X O.tWMTl 0,09983;i-1 «.00999984 sin jc jf 0.841471 0.998334 0.999984 Равенство получено нами пока что лишь на на- глядном уровне—проведенные йы[пе рассуждения опираются на наглядность. Сейчас будет дано строгое доказательство этого равенства. Теорема. Имеет место равенство и • а X О Дт .sin (— т) sm X оказательство. Так как ---------------, то до- статочно доказать, что стремится к 1, когда х приближается к нулю, принимая положительные значения. Рассмотрим окружность единичного радиуса н дугу Af.V .этой окружности, содержа- щую 2х рад. Тогда (рис. 154) имеем: ^^^' — 2x и = 2 sin х, поскольку ордината точки М равна sin х. Наконец, 2Af/C=2tg х, поскольку i4A'=tgjc. Заметим теперь, что Кроме того, М\’<2МК, так как длина ломаной, описанной вокруг дуги окружности, больше длины этой дуги. Итак, 2 sin x<2x<2tgjr, т. е. sin х< 274 ш Решение. Из(1) следует; Итп — sin Зх X -D Зх L Поэтому I sin3x sin Зх Зх sin Зх i- Зх 3 Jim —- — = lim —^—-г"= ^т“=^* JJ. 0 ох X ^ ^ д -• о ^ X -* о ^ ^ sin Зх Пример 2. Вычислим предел Мттг . Решение. Разделим числитель и зна.менате.1ь дроби на х: sin Зх sin Зх J sin Зх Зх sin 5х sin ох sin 5х Поскольку lim = 1 и 11т • X - о Зх д _к о ОХ X 5х sin 5х 1, ТО предел числителя равен 3, предел знаменателя равен 5, предел дроби равен -j-’ sin Зх 3 lim г .. fi sin 5х 5 Упражнение в 13. Вычислите: sin 4х |) lim 5| lim ..о 4х sin 2х 2'"^ ; 3) lim ^ : 4* lim 2) lim , . х^о4х /_,(|Х х-*0 Sin Пх 6) lim r-*Q Ig^X I —cos* X Указание: положите х=п4-41; 7) sin 6iX |im -T—8) lim xclg2x; 9) lim 2Vsin;r;; t ^ a If^ZX z^4-5in a ------------------„! i 0 X sin iS) lim ^ .Указание: положите x=-^-i-у; 1—2cosx 3 16) lim v'2 cos X'- 1 18) lim X- 0 l—tg X cos X —\'C05 X 17) lim к — Л \/cos x— i Sin‘ X 19) lim (sin Ух — sin -\^x — I); 20} lim Х-Й у I 4-tgx—Vjj-tgX sin 4x 2. Производные тригонометрических функций. Вычислим производную функции sin X. Для этого найдем сначала приращение ^ ^ • гтт 9 3iuri J n.l\ixnii* sin (лЧ-Л) —sin Jf=-2cos(jc-|-^) sin 275 H Отсюда следует; 2 Перейдем в этом равенстве к пределу при h -•'0. В силу непрерывности косинуса имеем: lim cos (= cos ж. Кроме того, . А В п. I было доказано, что Пт —г ь .0 Jl 2 = \, Значит, (sin ху= Пт А ^0 Sir» (jr-i-Л)—sin X COS X. Итак, (sin jc)' = cos дг. Аналогичные рассуждения, опирающиеся на формулу cos (jf—cos x= — 2 sin sin -y, показывают, что (COS xY=^ — sfn X. Чтобы вывести производную функцию tg х, заметим, что Поэтому (I) (2) c Jin'! f Пример I. Найдем угол a, под которым синусоида пере-секдет в начале координат ось абсцисс. Решение. Так как (sin jc)' = cos jc, а cos 0=1, то tg а = I. Это значит, что искомый угол равен —. 276 Пример 2. Напишем уравнение касательной к синусоиде в точке с абсциссой ■ л -уЗ sinT=V» cos-2-=X, и потому Решение. Имеем у/з 1 / я\ уравнение касательной имеет вид: У"” 2 * Пример 3. Найдем приближенное значение для tg(^+0.0l)- Решение. Воспользуемся формулой Ио + А)»Но) + Г(о)А. 6 нашем случае /W=tg*. Поэтому •g(f+0.0l)«tgf+ 2 Л COS* -г ч 0,01 = 1 + С.01 {fr 1,02. В случае, когда угол выражен в градусах, надо переходить к радианкой мере, например: sin 32“ = sin ® = ^+^ 0,5 + 0,8660 • 0.0349 = 0,530. I Упражнения 6N. Найдлте прйнэводпы« от; 1) sin’jt; 2) sin X 3| clg4f; 4) 5(п^ ж +cos’ дг; 5) ^ ; 6) (ж*+ I) sin* х. 7) Ze sin ж —(JC* —4) cos Jt; 8) 1 —Ct» ж Э) i — sin д 4-cos ж ’ I +Ain ж ' |0) 8 sin^ Ж—5 tg^ X, II) Vcigx-f vTg^. €|5. ИсяоДи «3 определения производной, доиадкнте, что; 1) соя ж 3) (sin 2жУ = 2 С05 2л; 2) {clgx)^=~ Л ; SICI ж 4) cos Зж= — 3 sin Зж. 277 616. Найдите арнближскнме значения для: 1) ; 2) ctg(^ + 0.02) ; 31 sin(-^-0,0l^ ; 4) cos(^-0.0l2) ; 5) sin 61'^; 6) co5 29'30'; 7) tg44"30'; 8| ctff2ttW. 617. Доиажите, чго тан/ч^исоила пересекает ось абсцисс в начале координат пол углок 45". 6|$. Нантиите уравнение касательной к функцнм / в точке а: I) /(x)=3in*K, 21 Цх)=<:оъ'‘х, а=я* 619. Исследуйте на козрасгакнс в убывание с.1едуюшне функции, найдите их точки экстремумы и точки перегиба, а также их периоды и постройте графики; I) 5»п х-|- COS х; 2) 3 sin х —4 cos х, 3) sin^ X-|-cos^ ж. 4) sin^ x-fcos’ж; 5) X sin ж; 5) X + 2 sin х- 620. Докажите, что функция ж+cos х возрастает на всей числовом оси. 6ZI. Докажите, что функция \gx-x воэраспает на промежутке bi)- 3. Дкфферекцнровамие композиции функций. Функцию sin (х^) можно записать в виде sin Л где i = x \ т. с. в виде композиции синуса и функции Хотя мы уже умеем дифференцировать обе функции, из которых состав.1ена функция sin (х^), саму ее мы еше дифференцировать не умеем. Прави.1о диффереи-цировакия композиции функций дает следующая теорема: Теорема. Пусть функция / дифференцируема в точке х, а функция g — e точке / = /(х). Тогда композиция g^f этих функций дифференцируема в точке х, причем {g4y{^)=ig'‘^f)(xhnx). (I) Формулу (Г) обычно записывают так: ig(nx)r = gUHx))-r{x). (Г) Доказательство. Положим g о f=f^f (x)=L f (x-\-h) = = t-\-k. Приращение функции F имеет вид: F{x^h) — F{x) = gif{x-\-h))-g{f{x)) = g{t-^k)-g{i). Так как функция g дифференцируема в точке t, то F(x-{-h) — F (X)=(;?' (0 + о) Л = (g' (o-i- а). (/ (х -h /|) - / (х)), (2) 278 I где а бесконечно мала при причем мы считаем, что а==0. если ^г=0. Разделим обе части равенства (2) на Л и перейдем к пределу при h ^ 0. Тогда ^ 0, а потому ^ 0, и, следовательно, lim (g'(,) + a) lim -Ll£±|zm-= =«'(<)•/'(•*)=£'(fW)-/'(4 Иными словами, {g - fy {x]=r {x)^g'if{x)yr (jf)-(r о f){xyr W Теорема доказана. Доказанная теорема имеет простой наглядный смысл. Число f'(х) показывает, во сколько раз быстрее изменяется f = j(x), чем X, а (f) показывает, во сколько раз быстрее изменяется g (0, чем (. Но тогда (/ (г)) меняется быстрее, чем х, как раз в Я' (/) Г И раз. Частным случаем формулы (I) является выведенная в п. 2 § 2 главы V формула дифференцирования степени функции- В этом случае и потому g* Значит, Отметим еше один важный частный случай формулы (I). Пусть f (х) = ахТогда (х) = (сх—а, и потому формула О) приикмает вид: (g(pxffr))'=og'(ax4'^»). (2) Например, (sinx)' = CDSx и потому (sin (о>ха))'= <*) cos (шх-1-а). Пример 1. Найдем производную функции sin (x^-f-x^-h 1). Решение. Здесь ^(0 = sin/, а г = х“ + >^^+1- Так как g* (/)=cos /' (х)=3х^ -j-2x, то (sin (х'* + X* + I)}' = cos (x^ 4* x^ 4-1)• (3x^ 4-2x). Упражнения 622. Найлчте прсгаэнодные функций: j) sin &х; 2) соб^5х—: 4) --U?—; 5) sin* 6lx + cos^ 6x; cos 6x 7) cos(i*4-J); 8) S^Jf4-5i); 10) 5 Уз’П(х^). 14) lg’x-|-^tg"2x-|-y tg"3x; Hit I*! И 62S> Н2и1ишите ур!1£!н«нне кас^Т1>льной к фунхцнм / в точке а: I) ^Гдг) = я1Т1{д:^). a=^-j: 2) /(j:)=lg (-у'к). а=я^; 3) . в=0; 4> / W=ct«(x^+y^ . с—О. в24. Найдите приблмжезжые значения функций {с точностью по 0,001). I) !^in+0.001 ^ ; 2) 005^^^-0,002^ ; 3) tg^^ + 0.004^ ; 4) sinSr; 5) C05 44W; 6) tg60®l8'. «25. Исследуйте функцию j и постройте ее график, если: 1) /(x}=sin K + -^sin 2л: + ^ sin Здр; 2) fw —cos Х+-у С05 2дг+-~ cos Зж. «26. Кана.1, лолводящий воду к турОнне, инегг в сечении равкобомную тралению (рис. l5a. О), длина лкжнего осноиании которой равна d. Найдите, при каком наклоне боковых стенок канала к горизонту' смоченный перннетр окажется нанменылнм, если глубина канала равна h гтакан форма является нннвыгодненшей с тоник эреыня гндроднначнкн)> Какова наивы-годыейшан глубина канала, ести угол а задан? «27. Из полосы жести шириной о требуется согнуть открытый желоб, нмеющнн в сечекнн равнобочную трапецию АвС£К такую, что AB=AD = RC (рис. 155,6), Найдите угол лрн основании трапеции, нря котором вместимость желоба будет накбольшей. 628. Докажите, что из веек равнобедренных троугольнмкоа, вписанных в дахшую онружность, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник. 629. Найдите треугольник наибольшей плосцадк, имеющий данное основание а и данный угол при вершине ip. Ппнснмте геометрический смысл сголученнот ответа. 630. Найдите прямоугольный треугольник периметра 2р, имеющий наибольшую площадь. Решите задачу двумя сггособамн, выбирая в качестве аргумента; а) ве.1нчину острого у г.та. б) длину гипотенузы. О) Рис. 'ЖП вЗ|. Картниа висит на стене таи, что ее нижннй край находится выше глаза зрителя на о ы, а верхний — на Ь м. На каком расстнннн должен находиться зритель огг картины, чтобы угол зрения был нвнбо.1ьшкм? 632- Груз массы т, лежащий на горизонта л ьнок плоскости, должен быть сдвинут с места приложенной к нему силой F (рис. 156). Под каким углом а к горн-зо1ггальной плоскости следует приложить при наличии трения эту силу, чтобы модуль се был наименьший (коэффициент трения раней р, 0<р< 1)? бЭД. Э.тектрнческам лампочка R может перемещаться (i^artpMMep, на блоке] по вертикальной прямой О В {рис. 157). На каком рассгояими от гориаон' тальной плоскости ее следует повесить, чтобы освещенность в точке А этой плоскости была наибольшей, если рлсстоянне ОА равно а? Указание. Освешенность F. в точке А выражается формулой С=С-^. г где г — расстояние пт точки А до источника света, а ip угол между лучом света и гори.юитальной плоскостью; в кнчесгве аргумента выберите угол <р. I § 5, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРЛВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В этом параграфе мы изучим уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции (тригонометрические уравнения и неравенства). Решение таких уравнений и неравенств заканчивается отысканием значений аргумента по заданному значению тригонометрической функции. Поэтому мы и займемся сначала этой задачей. I. Решение уравнений вида sin t=m. Арксинус. Так как ^in i является ординатой точки М (/) координатной окружности, то для решения уравнения sin (^т надо сначала найти на этой окружности точки, имеющие ординату т, т, е. точки пересечения этой окружности с прямой у-=т. Если [mid, то таких точек на окружности две. если |т| = I — одна, а если |т| > I. то таких точек не существует (рнс. 158). После отыскания этих точек остается найти множества чисел, которым они соответствуют, и объединить эти множества. Полученное объединение и будет решеннем уравнения sin l = m. Пример i. Решим уравнеНяе ■ i • $ш / = ■ 2 ’ 281 Р е ш € н м е. Прямая У = у пересекает координатную окружность в двух точках: Точка М соответствует всем числам вида -^-1-2^л, fc£Z, а точка N — а всем числам вида —я-\-2кп, k^Z. Объединяя множества чисел R указанных двух видов, получим решение уравнения {|-4 2Ая! *€г}и{-|-л+2*л| *62}. Ответ можно записать также в виде k^Z\ k^Z. Пр и мер 2- Решим уравнение sin/ = 1. Решение. Ординату, равную I. имеет только од|[д точка координатной окружности — точка ^(у) — верхний конец вертикального диаметра (рис. 160). Она соответствует числам вида k^Z. Значит, множество корней уравнения таково: 2В2 • Ответ можно записать также а виде t = =f+2Ы k^Z. Аналогично выглядит решение уравнения sin i = — I: |ул-|-2^я{йб^| или, иначе, /=г=-|-л-4-2Ал, k£Z. Пример 3. Решим уравнение sin / = 0. Решение. Ординату, равную нулю, имеют две точки координатной окружности — концы горизонтального диаметра А (0) и С (л) (рис. 161). Точка А соответствует числам вида 2^л, fe£Z, а точка С — числам вида nJf.2kn, k^Z. Итак, i = 2kn, k^Z\ / = л + 2^гл. k^Z. Вместо двух формул можно написать одну формулу f — ттк. m^Z. В самом деле, если /и — четное число, т. с. т=2п, то nojiynacM первую формулу, а если т — нечетное число, т. е. т = 2^4-|, то iiaiynaeM вторую формулу. Для записи решений уравнения sin t = m, где 1т|т^1, введем понятие арксинуса числа т. Для этого заметим, что при |т|т^1 одна к только одна из точек пересечения координатной окружности с прямой у = т принадлежит правой полуокружности DAB (рис. 162), Иными словами, если |т|тС1, то существует единственное число такое, что sin (ц = т и Это число называют арксинусом' числа т. Определение. Если lml ^ I, то арксинусом т называют такое число что sin (о=^т и — Арксинус числа m обозначают а resin т. ' От латинского агси» — дута, ar<;$it> « — дуга, сниус которой равен (имеется в виду дуге 4.WJ. » i! Из данного определения следует, что если то sin (arcsin m)=m (1) (2) — arcsin m < . Обратно, если sin t = m и —то / = arci>in m. Пример 4. Вычислим: а) aresin-—; б) . Решение, а) Так как sin-J-=4- и —то ^ 0 2 2 Ъ 2 arcsin-^=-^. б) Так как = ^ то arcsin ^ ^—^ • На рисунке 163 показано, как связаны друг с другом числа т и arcsin т\ Из этого рисунка видно, что arcsin ( — т)=—arusin (3) Докажем это равенство без опоры на рисунок. Если arcsin m = h, то sin to = m и Но тогда sin ( —/о) = = —sinfo=:—m и —^ значит, что arcsin ( —гп)= — fo= —arcsin т. Запишем с помощью обозначения arcsin т решение уравнения sin t = tn. Одним из корней этого уравнения при 1т| ^ I является число arcsin т. Так как sin(n —0 = sin^ то х|исло я —arcsin m тоже является решением уравнения sin ( = т (совпадающим с arcsin т, если 1т| = 1). Других корней на отрезке [0; 2д] уравнение sin t = m не имеет. Учитывая периодичность функции sin t, получаем, что решение уравнения sin ^ при |ml ^ I является объединением множеств (arcsin mи {я — arcsinm-f -|-2Ал I/f £ Zj. Пишут также: < = arcsin т-1-2Агл, А^Z; (4) (=л —arcsin/n-|-2fen, *£Z. (5) Заметим, что формулы (4) к (5) можно объединить в одну: (=(—1)" arcsin т + лл, «fZ. (6) Действительно, при четном п [п = 2к) из формулы (6) получаем формулу (4), а при нечетном п (n = 2fe-|-l) — формулу (5). Пример 5. Решим уравнения: а) sin ^=4*, б) sin г= — О 7 D о TII ^ U |Ч ГЗла ■ ■/ь tFr» А t ч ^ ^ d if л. vwvuriv ^ уаап^ппл 9i|l 4 —' nmtXi «ИД. I arcsin —|-2^^|A^z|u|3i —arcsin ~-}-2А'л|Л^/|. 9fU I Его можно laKxce записать в виде < — ly* агс51П-|-Ч-лл, n^Z. б) Так как arcsin (—= —arcsin то искомое решение является объединением множеств [ — arcsin -^-|-2fen|A6-2} и {л +arcsin.I|. Решение можно также записать в виде Г =(—arcsinn^Z. Упражнения В34. Налксать общий вид таких чнсил х, что: I) sinх= — I; 635. Найдяте значения: 2) sin^=—Y И arcsin^ -у) ; 2) arcsin(-^^ . 636. Вычкслите sin ^arcsin ^ 637. Найдите значение (устно) Bin ^ arcsin ^ -)- arcsin (— 1)^ . 638. Решите уравнения: sin —и' 639. Может ли arcsin ( принимать эначеннп: I) 2) -2я; 3) -j: 4) 5) -Т = 6) ч(2; 7) 8) 5 V77 Найдите ^наченкм: I) arcsin (sin J5"}: 2) arcsin ^ sin; Э) arcsin (sin 3); 4) arcsin (sin 10). 9«.»> t I, 2. Р«шекй« уравнений вида co5/=m. Арккскниус. Так как cos ( — абсцисса точки М (/) координатной окружности, то для решения уравнения cos/=rn надо сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу гп, т. е. точки пересечения окружности с прямой х — т. Если то получаются две точки пересечения; если |mj = l. то одна, а при |т|>1 точек пересечения не существует {рис. 164). После отыскания указанных точек находят множество чисел, которым они соответствуют, и объединяют эти множества. Пример К Решим уравнение cos/ = -^. Решение. Прямая ^ = ^ пересекает координатную окружность в двух точках М и Л‘, симметричных относительно оси абсцисс (рис. 165). Так как cos-|-=-^, то = и потому А = . Точка М соответствует числам вида -^-Ь -\-2kn, k^Z, ^ точка — числам вида —-^-(-2frri, k^Z. Объеди-ияя эти два множества чисел, получаем решение уравнения *^”**”~’ {f+2*nift'€^u{-f+2AalAez}. Это решение можно также записать в виде / = 2Лп, k^Z, •U Рис. 167 I Пример 2. Решим уравнение cos ^ = I. Решение. Абсциссу, равную |, имеет только одна точка координатной окружности — точка А (0) (рис, 166). Ока соответствует числам вида 2fejt, k^Z. Значит, решением уравнения cosf=| является множество чисел вида ^kn\k^Z\. Пишут: 1 = 2кк, k^Z. Аналогично находят решение уравнения cos ^ = — I. Им является множество чисел вида п-\-2кл, k^Z, т. е. вида (2*-р1)п, fe6Z. Пример 3. Решнм уравнение cos / =0. Решение. Нулевую абсциссу имеют две точки координатной окружности — концы вертикального диаметра (рис. 167). Точка В соответствует числам вида -|--р2Ля, k^Z, а точка D — fe£Z. Решение уравнения является Оно состоит из числам вида объединением этих двух числовых множеств, чисел вида k^Z. Для записи решений уравнений вида cos^ = m, где введем понятие арккосинуса числа т. Для этого заметим, что при |т|^1 одна и только одна из точек пересечения прямой х = т с координатной окружностью принадлежит верхней полуокружности АВС (рис. 168). Иными словами, если то существует единственное число /о. такое, что cos fo —ffi, причем 0<<'(|5^л. Это число называют арккосинусом числа т. Определение. Если | m К I, то арккосинусом т называют такое число Ь. что cos/o = t« и 0^/о^п. Арккосинус числа т обозначают arccos m. Из данного определения следует, что при |тК1 имеем: cos (arccos m) = rrt (1) и 0^arccos ^л. (2) Обратно, если cos jt = m и то / = arccos т. ТЯ7 Щу 1- Пример 4. Вычислим arccos Решение, Так как cos и 4 j£ 4 ТО arccos V2_____я_ На рисунке 169 показано, как связаны друг с другом числа m и arccos m. Из этого рисунка видно, что arccos (—ffi)=л —arccos т. (3) Чтобы доказать это равенство без опоры на рисунок, заметим, что если arccos m = i, то имеем: cos/ = m и Поскатьку cos (л —Л= — cos —/и. Причем О^л —то получаем, что arccos ( — т) = л—arccos т. Запишем с помощью обозначения arccos т решение уравнения cos^=m. Одним из корней этого уравнения является число 654. Может ли arcctg х приникать значения: I) 0; -Ь 3) 2 • 4) щ 5) \/2; 6) 7) 4; 6) 4. Основные методы решекня тригонометряяеских уравнений. Решение произвольных тригонометрических уравнений сводится в конечном счете к решению простейших тригонометрических уравнений разобранных выше видов. Чтобы выйолнитъ такое сведение, применяют те же основные приемы, которые были ОПИ’ саиы ранее для решения алгебраических уравнений,— введение нового неизвестного (подстановка) и разложение ка множители левой части уравнения вида F {t) = 0. Разберем некоторые частные случаи этих общих приемов. Ради краткости будем иногда применять букву Т как общее обозначение для тригонометрических функции: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. а) Уравнение вида Г(/(0)=0- В уравнениях такого вида под знаком тригонометрической функции стоит выражение, зависящее от /. Для решения такого, уравнения надо обозначить f (/) через ж, решить получившееся простейшее тригонометрическое уравнение 7*{х) = 0 и, найдя его корни, решить уравнение J [/)—а. где а пробегает множество этих корней. Пример 1. Решим уравнение cos Решение. Положим 5/ ——=x. Мы V для получили уравнение cosx = ^, из которого находим, что x=±-“+2An, k^Z. Так как х = 5/ —то лля отыскания i тюлутсаем уравнения о 4 из которых кахоДпм: 291 Можно записать так: '=^+¥- или tfZ. Замечание. Учащиесй часто делают ошибку стрн решении урааненнй укааячного вида — находят частные значения t и подставляют их в формулу общего решения. Например, решая уравнение сов^5/—-пишут: потом по формуле общего решения «выводят>, что t= AfZ. Этот ответ отличается от полученного выше правильно- го ответа. Пример 2. Решим уравнение = 1. Решение. Полагая дг^+ 4дс + -^=г, сводим это уравнение к простейшему уравнению tg2 = l н получаем из него, что k^Z. Отсюда получаем, что x"4-4jf4-x=f+ и потому -\-4х — У^л = 0, fe£Z. Следовательно, __ JC = — 2 :i fe£Z. Для того чтобы значения t были действительными, должно выпол* пяться неравенство 4-ffen^0. Из него находим, что ^ , т. е. /г = — I, О, I, ... . Л Итак, решение данного уравнения имеет вид: X — —2 ±, ^/4-\-кл, й £ Z. ^ — I. б) Уравнение вида 7'(<р<0)=7'(4> (Г)), Результаты пп. 1—3 можно сформулировать следующим о6ра.зом: если sin/ = sjna, то ^ = (—1)* a-f Ля, k^Z, если cos/ —cos а, то kiZ, и, наконец, если tg/=tga, то /=a-|-J^n, k^Z. Пользуясь этим, будем решать уравнения вида 7'(ip (/)) = Г (ф (/)), в которых слева и справа стоит одна и та же тригонометрическая функция 7’, под знаком которой стоят некоторые выражения от t. Пример 3. Решим уравнение sin(6/--^) = sin(2/+-2-) . (1) Решение. Из сказанного выше выводим, что уравнение (I) выполняется в том и только в том случае, когда выполняется равенство 6/--^=(—l)*(2/-f+ k^Z. 292 Решая это ураанекие, находим / = Имеем две серин решений: 6^(—1)*-2 ~ fe£Z. Пример 4. Решим уравнение cos ж® — cos (4ж — 3). Решение. Из данного уравнения выводим, что = rt(4ji; —3)-f 2Лгд. Решая эти квадратные уравнения, получаем: Ж|.2 = 2±л''^1 -|-2Агл, k^Z, jcj_4= — 2rt k^—\. Пример 5. Решим уравнение tg x‘ = tg (4x — 3). Решение. Из данного уравнения выводим, что л^^ = 4х — — 3H-fen, k^Z. Решая эти квадратные уравнения, находим: х^2±^Т-^кИ, k^Z, в) Уравнение вида /(Г(/))=0. В этих уравнениях тригонометрическая функция стоит под знаком другой функции. Для решения уравнения надо ввести новую неизвестную, положив Г(/)=2, и решить уравнение ^(г) = 0. Если корнями являются числа zi, Zn, то задача сводится к отысканию решений для уравнений 7 (/)—Zi,,,., Г(/)=га и объединению этих решений. Пример 6. Решим уравнение б sin^/ — 5 sin г 4-1 == О* Решение. Полагая sin / = z, получаем квадратное уравнение — 5г 41 = 0. Его корнями являются числа Zi = -|-. Z2 = —. Поэтому данное уравнение сводится к простейшим трн гонометрическим уравнениям sin/=4-и sin/ = -|-. Решая их 4 о нахедкн, что / = ^л4( —I)*k^Z, или / = Лл4(-^ о* arcsin 4“» ^€Z. Пример 7. Решим уравнение 2 cos^ / — 7 cos^/—4 = 0. Решение. Подстановка cos^ / = z сводит данное уравнение к квадратному уравнению —7г —4 = 0. Его корнями являются числа Z| = -—zj=4. Так как 0 sin’f-Hcos’/= 1. Па1учаем однородное уравнение sin^ / — 4 sin / cos I -|- 2 cos’ / — 3 (sin’ /+cos’ /), которое решается, как описано выше. Упражнения 6S7. Решите олноролиые нлн прнаодящкеся к однородным ур^ец£иня: 1) а sin Jf-b/i cos лг=0. ОФЬ; 2) sir»* лг-}-2 х-сов JC^-cos^ ж=0; 3) 5 sin* X — 3 cos* X = 0; 4) sin* л —10 sin jcTOs x-f 21 cos* x=0: 5) 6 cos" X —2 sin* x= 5; 6} sin* X —2 cos* z +2x=0; 7) cos* 5x-f 7 sin* 5x= В ms 5x sin 5x; if 8) sin® x-f sin* x-cos* x=sin*x*cos'x-f sin x»cos* x; 9) sin* x-cos* X — (0 sin X-cos* X+21 cos*x = 0; 10} В .sin*-j —3 sin X —4=0; 11) sin* X— CHS* x=sin‘' x; 12) I —3cos* x = 2 sin x-c<»5 X. t58. Решите методом подстановки урапнення: 1) sin* х +Y=sin X; 2) 2 sin* x-cos x-j-1 =2 sin* x-j-cos х; Я) 4 fiiti* jt+ 4 ms* X — sin X — 3=0: 4} 4 cos^x—4 sin* X —3 cos x-j-1 =0; 5} —6 sin ХСОЭ* X — 1.3 sin* x + 7 sin x + 2=0; 6)2+ cos* 2x={2 — .-sin* x)*. eS9. Решите уравнения: I) sin 2j: + 5in х = 0; 2) sin ni = sm 2/-J-sin jr; 3) sin(p-|-jr)+sin jr=2cos y; 4) + = 5) sin x4 sin 3x-|-sin 9lc=0; 6) rns 4r + cos 2д;-|-cos X = 0; 7) a sin cos x=u sin 2jc—t cos 2x, 8) igx-Hg 2x + ig 3x=0: Э) sin x + sin lc + st« 5jc=0; 10) sill x-l-sin 3x-|-cos x-i-coe 3lC=0; 11) cOs x — rcis 2x = sin 3x, 12) cas 6lX cos 3x —cos 7x cos 4x -«0; iS) -^l + C05*X-|c«»>X+yi + COS’ X-y cos* X = y . 6. Универсальная подстановка. Подстановки, которые мы до сих пор рассматривали, годились лишь для специальных видов уравнений. Существует подстановка, позволяющая превратить в рациона.1ьиое алгебраическое уравнение любое уравнение вида /? (sin/; cos 0 = где, как и выше, R (г\ ш) — рациональная функция от Z и ш. По формулам (7) и (8) п. 4 $ 3 имеем при i=^{2k-\- [] л, k^Z: ып ( = ; 1 ftg^y (1) 1 “tg'y cos ( = (2) Значит, если положить tg-y=^. то уравнение /?(sin t\ cos = 0 принимает вид: Чт^^-|Т7)=«- Левая часть зтого уравнения является рациональной функцией от г, т. е. наша подстановка привела уравнекке к рациональному виду. Замечали е. Формулы (I), (2) аерни линсь при услопнм, что /ч^л-|--)-2лл, rt^Z, По^гтому после решения уравнения с иаиотыо уиияерсалькой надо еще провернть, не являются лн чнс.'за вида < = л4-2лл подстановки tc решением snoru ураянркня. Пример I. Решим уравнение 3 sin / — 4 cos t — — , 2 (3) I г Решение. Заменим sin г и cost по формулам (]). (2) м рационам и положим Получаем рациональное уравнение 6г l+z" l + 2 ’ которое преобразуется в квадратное уравнение Zz^-\-]2z—13 = 6 ^ * г5 = 0. Корнями этого уравнения являются числа 2|.j =-------— Поэтому задача свелась к решению двух уравнений tg-^= = —Находим, что / = 2лл-Н2 arctg—Зна- 3 3 чение вида 1 = л-^2яп уравнению (3) не удовлетворяет. Замочнике. Урави«!лие (3) можно решить нным способом. Разделки обе части ?того уравнения на .S (т. е. иа у'З* 4"( —4?): ^ * .1 у 51П /-^ COS t =у . / 3 / 1 \* 3 Гак как 1-^1 т-1 —<=1. то сушествует такое число а. что eosa=y, sina=*y. Позт<1му уравнение принимает аид; cos а sm/ —sin ot cos/ = у. или sin (/— а) = sir. Отсюда находим, что / = а-|-{ —1)"-^ + нл. n^Z. о о Упражнения 660. Решите уранненне « sm X Ч- ^ COS х = £ с ПОМОЩЬЮ универсальной подстановки. Выве-днте условие. связыЕ1ак1шес параметры а. Л и с, прн котором сушествуют действительные решения уравнения Решите уравнения: I) а sir x-j- i cos x= V«* + I -I- X J ~T’ 661 2) 2 sin X—9 cos x = 7: 3) 4-coe X 4) \Л sin X 4-cos x= v'2; .S) v'Ssin^x—4-5in(^x-f--^)=\^- 7. Использование формул для кратных углов при решений тригонометрических уравнений. Если а тригонометрическое уравнение входят тригонометрические функции не только от t, но и от кратных ему значений аргумента 2f, 3/ и т, д., то применяют формулы, позволяющие выразить лга трнгономстркческие функции через тригонометрические функции от ^ После этого можно применить методы, описанные в предыдущих пунктах. 29У П ш Пример I. Решим уравнение cos 3^ cos/4-sin^ 2Г— *1 О Решение. Так как cos 3^=4 cos^ ^ — 3 cos/, sin 2/==] =2 sin t cos t, TO имеем уравнение i4 cos^ / — 3 cos i) cos t H- 4 sin^ t cos^ / —cos t —i-=0. i о Заменим в нем sin^/ на 1—cos* ^ и упростим получающееся] выражение. Мы получим уравнение cos* / —L cos / —^ о, 1 Й которое после подстановки cosi = z преобразуется & квадратно^ уравнение г*—|-z—Корнями квадратного уравнения] являются числа ?i=-^, -?2=—Отсюда имеем, что cosf=j = 4~, или cos/=—а потому ^=нь^+2лл, или| /= iarccos-^4-(2rt-f I) д, rt^Z. Пример 2. Решим уравнение cos 5/ cos 2/ — cos 7( cos 4/ =0.1 Решение. Здесь замена тригонометрических функций кратных значений аргумента тригонометрическими функциями от /] привела бы к очень громозлякому алгебраическому уравнению. В данном случае целесообразнее заменить произведения косинусов суммами. Патучаем: -^{cos 7f-|-co.s 3?)—^(cos ] l^-pcos 3f) = 0, T. e. cos 7/ —cos l]/ = 0. A теперь преобразуем разность косинусов снова в произведение 2 sin 9t sin 2^ = 0. Задача свелась к решению уравнений sin 9/ = 0 и sin 2l = 0,' из которых находим, что /=-^, или «62. Упражиение Ь62. Решите урарнення: И tg‘2XM*ctgx; 2) I -ЬсС1« X + COS 2j(a>0. 3) 005* X sin Зх^-sm^ г cos Зх=-^: 4) cos x=cos 2х—cos Зх. 4 8, Доказательство трв го ко метрических иерввекств. Задачи на доказательство тригонометрических неравенств с аомошью соответствующих подстановок сводятся к задачам на доказательство алгебраических неравенств. Пример 1. Докажем неравенство 3 cos ^ —4 sin 1^5. 0) Решение. Применяя универсальную подстановку л62, заменим данное неравенство на 3 (I —г^) ___ 1 + г* 8г <5. Оно равносильно неравенству 8z*-h8г2 ^0> которое выполняется тождественно для всех г, так как 8z* + 8z4-2 = 2 (2z-f-1)^* Неравенство верно и при ^=я-|-2лп, n^Z. Замечание. Это перавеиство можно дoк9явtь иначе В намечапни к 3 примеру I я. 6 было покаааио, что сутестьует число а, для которого -g- А =:&ina, -^=йсов а. Поэтому, вынося а левой части нерааснстаа (|) эа скобки число 5=-у^^+?, лолучаем: sin а cos < —cos« sin1. т. с, sin ( —f-f аХ I. Оно очеинлиым образом выпсшняется для асел значений t- Пример 2. Докажем неравенство <2) Решение. Раскроем в левой части неравенства скобки, применим формулу sin* / 4-cos^ ^ = I и приведем дроби к одному знаменателю. Получим неравенство 5 + sin't cos*^ t >9. (3) j равносильное заданному. Так как sin* ^ cos*/ = -^sin^ 2f, то (3) принимает вид: sin* 2i ^1- Это неравенство выполняется для всех значений /, кроме так как sin*2?^l. При этом ясно, что равенство достигается лишь в точках, где sin*2f=l, т. е, t = f+f,niZ. Упражнения 663. Докажите неравенстве: I.) +Hg а. П<«<Гя; 2) {i — 3tg*x)(l4lgiiJttg3jr)>0 для любых л из области опре- деления функций tgx, lg2x, tg3x; 30| ,1) «нЯ51пДг)>0 ДЛЯ всех действительных дг; 4) sin* X-f cos'* X < 1 дли всех х-\ 5) 4 sin За-1-5^4 cos 2а+5 sin в при любом а; 6) |tg x-j-clg х| ^2 для любого X из области определения; 7) ISsin X •+'2 сое х1 <6 Ллн всех х; Й) 13 sin x-f 12 cos 13 дли всех х; 9) jeos х+3 sin х1^ Y iO для всех х; 10) |3cosx —2 sin х1<4 для всех х; 11) I sin а| |со5 а\ > 1 для всех а; |2) smactisa^Y лля всех а; 13) sin a-f-cos a2 Д1я всех а нз области определекня. Ifi) ^CQS аС ^'2 cosдля всех а, при которых cosa^O и cos Докажите неравенство 8 sin X —sin 2x^2^ 8 sin -sin х^ . Пользуясь этим неравенствон, дшажите, что 4/’5а—Я„>4Я4п —где — периметр правильного 1^-угси1ьника, вписанного в единичную окружность. 66S. Докажите, что — у/^<2 sin jt + sin^x-i--^^ r«, cosf>fn, igOm и т. д. проводится или с помощью координатной окружности, или с помощью графиков тригонометрических функций. Пример К Решим неравенство sin Г>0. Решение. Построим график функции sin I и выберем на оси те промежутки, на которых график лежит выше оси абсцисс. Одним из таких промежутков является (0; л) (он выделен на рис, 171, а), а остальные промежутки получаются из него сдвигом на 2^л, k(iZ. Таким образом, решение неравенства sin Г>0 ямяется объединением бесконечного множества промежутков вида (2^л: д + 2/£л), k^Z, Это решение можно записать так: 2Jfen0 означает, что ордината точки М (/) положительна. Из рисунка 171,6 видно, что точки с паюжительными ординатами заполняют дугу АВС (за исключением точек Л и С), откуда сразу находим, что t удовлетворяет одному из двойных 302 неравенств вида 2Ллm. Если m^l, то это неравенство не выполняется ни при каком Л а если r?j< — I, то выполняется при всех t. Пусть теперь —'l^rnCl. Из рисунка 172 видим, что если arcsinm = a, то точки окружности, ордината которых больше, чем т, лежат на дуге МВЛ, где М = М(а) к N = N {п — а), точки М и N исключаются. Иными словами, на отрезке [0; 2л] решением неравенства sin f>m служит интервал (а; л —а), т. е. интервал (arcsin т; л—arcsinm). Учитывая периодичность sin f, получаем ответ в виде и (arcsin лч-|-2лЛ, д —arcsin т + ^^лА), (2) или, иначе, в виде arcsin т 2лк < i С л — arcsin т -Ь 2лк, k(^Z, (2') Неравенство сводится к разобранному выше под- становкой (=—Z. Имеем: sin( —откуда — з1п2- — m. По {2') получаем: arcsin ( — /я)+2Ая<г<л~arcsin { —пг)4-21Ьл, k^Z: учитывая, что arcsin (—Л1)=— arcsin m и z= —(, получаем: — я — arcsin т -f 2ifejL< f < arcsin m + 2^л. k^Z. I Пример 2. Решим неравенство cos Решение. Так как cos / = sin^*|—то решение данного неравенства сводится к решению неравенства Поскольку arcsin '*'0 ® соответствии с формулой (2') 1 Т я Ь получаем ответ в виде Г <-^л4-2^^л, k£Z. Откуда выводим, что —— ? <:-^-|-2А:л, Jb£Z, т. с., меняя знаки i5 V чисел и знаки неравенств, --i+2tn<»<-i+2tn, kiZ (если k цеатое число, то —k — целое). Вспоминая, что = arccos можем записать ответ в виде — агссо» л < t < arccos -^4- 2*я, k^Z. А ^ Аналогично решается любое неравенство вида cosf>m. где 1 I. Как и в примере 2, получаем ответ: — агссоя т-\-2кп1 неравенство не имеет решений, а при — I ему удовлетворяют все значения t. Неравенство cos / —л. Отсюда выводим, ^гго — arccos (—/п)4-2А!л<Сд< arccos (—т)4-4-2^л, k^Z, и поскольку г = л —arccos ( — т) = п —arccos от. имеем: (4) arccos т4-2jfeлт. Значит, решение неравенства igtm—вид: arctg m4-fen0; 4) sinjT:)^ V3 . 5) tg2* — 1. 10. Решение трнгонометрическиx неравенств. В более общих случаях, чем рассмотренные в п. 9, тригонометрические неравенства, как и алгебраические, решаются методом интервалов. Чтобы решить неравенство / (/)>0 (или /(i)<0), находят основной период t функции [, после чего ищут корни уравнения f(/) = 0, лежащие на промежутке [0; f), а также точки разрыва функции / на этом промежутке. Найденные точки делят промежу- ТЛк ГП- Л иэ T'3wat» L-'t - ta/'-ru Trw^ uo «/о'шгтг/'.'Ь мо uuv Лч.гио'пыА f mmxi. .... -- - --- ----------- - -f - 5---- ^ j kli-bMXAH J 81 ет постоянный знак. Определив этот знак методом пробных точек, отбираем те части, где он имеет требуемое по условию значение. В решении данного неравенства каждому такому промежутку соответствует бесчисленное множество промежутков, получаемых из него сдвигами на кратные /. Иными словами, если неравенство /(0>0 выполняется на интервале f*+i), то в решении ему соответствует множество интервалов вида ^*-1-1rt£Z. Пример I. Решим неравенство sin 2^ — sin 3/>-0. (1) Решение. Период функции, sin 21 равен л, а период функции sin 3/ равен ~ . Наименьшее общее кратное этих периодов равно 2л. Поэтому 2я — период функции sin 2/ — sin 3/. Так как функция sin2i —5]пЗ^ непрерывна на всей числовой оси, надо найти лишь корни тригонометрического уравнения .sin — sin3/ = О, лежащие на промежутке [О; 2п). Перепишем это уравнелне в виде sm3/ = sin2f, откуда получаем, что 3/ = ( —1Г-2/+ На [0; 2я) лежат корни, соответствующие значениям л=0, I, 3, 5, 7, 9, а именно 0, -?-п, л, i-л, -|-д. Они разбивают от- S л 5 о резок [0; 2л] на части: h f ]• [f ^ fj- »]• h т"1- [т"= X"]- ff"= 2п]. На отрезке |^0; ^ выберем пробную точку Так как =sin 2-^—sin 3'-^=sin —sin -^<0, то на всем отрезке |^0; ^ выполняется неравенство sm2/ — — sin3^^0. С помощью пробных точек устанавливаем, что требуемое неравенство (1) выполняется на промежутках ^л; —-л), решение данного неравенства является объединением всех промежутков вида (^-Ь2ял; Ал4.2лп). ^я-|-2лл; -^л4-2ял^. ^-|-л-|-2лл: 2л(л-{-1)^, где n^Z. Пример 2. Решим неравенство (2) I Решение, Основной период функции tg равен 2л, а основной период функции tgравен Зд. Наименьшим общим кратным чисел 2л и Зп является 6л. Это число является периодом для функции Итак, будем решать неравенство (2) на отрезке [0; 6д]. Найдем корня уравнения tgf-tgl-=D, <3) лежащие на этом отрезке. Из (3) имеем: откуда t =блл. На отрезке [0; 6п] лежат корни 0 и бл. В точках, где cos-^=0 или cos^=0, функция tg-^—'^4" Разрывна. На от- резке (0: бп] лежат точки разрыва л, -|-л, Зл, -|-я, 5я. Найденные точки разбивают отрезок [0; 6л] ка части: [0: л], [я; -I"”]» Т’']' [т^’’ Методом пробных точек убеждаемся, что решение неравекства (2) состоит из всех интервалов вида (где (блл; л+блл), (^-|-я-|-6ля; Зл-|-6дл^, 5л-(-6пл^. Решение тригонометрических неравенств облегчается нсполЬ' зованием четности или нечетности функции f. Еслк / — четная функция и она положительна внутри промежутка [лг*: + то и внутри промежутка [—x*4.i; —она положительна. Аналогично, если функция / нечетна и положительна внутри промежутка (jc;t; jTi + i], то внутри промежутка [—+ — .т*| она отрицательна. Б разобранном выше примере функция была нечетной. Поэтому было бы удобнее рассматривать ее не на отрезке [0; 6я], а на отрезке [ —Зд; Зя], убедиться методом пробных точек, что она положительна на промежутках (0; я) и ^ отрицательна ка промежутке ^л; “|"^)’ после чего заключить, что она положительна еще на промежутке ^—|-д: сразу дает ответ в виде (блл; л4-6«я), ^—|-л+6лп; — л-|-6лл^ , n-f6rt3i;3n-f бпл j , который лишь по форме отличается от полученного выше. 307 Упражнениа бв7. Puiuiitc неравекствг: I ) sin 2jc> — cos 2дг; 2} sin 2х < соя 2x; .1| sill х cos ж < 0; 4) sin z ctg x>0; 5) tgxco5x<0; 6) ctg5x> 3 • 7) IK ЯХ 4{x+l) J; 8) sin X sin 2x>sin 3x sin 4д" 9) sin"'x +cos'* x<—; lO) cos^xOgr^-l»!; M) slnx + 2c^jf ’ sin x + cosa->I;! 13) sin'* X-tR ( ll*. Некоторые неравенства для тригонометрических функций.^ Мы знаем, что при выполняются неравенства со$Т' С • < I (см. [т. I § 4) и потому X cos x<;s»injt I— — 2f-j4 =l——, а потому для sm х имеем неравенства X—-^ >х —Для этого образуем вспомогательную функцию ^(x) = sinx —x-f^. Эта функция обращается в нуль при х = 0, а ее производная равна: (x)^cos х—1Но мы уже доказали, что cosx>“ >-1—— и потому ср'(х)^0. Значит, функция if возрастает на nvu»:» Ш- -1-ГК-1 ^ U лorlmлккv гг, ffll—П ппинимяет на этом л\’че неотрицательные значения. Это и значит, что smx>-x — _fL 3! ‘ Последовательно применяя это рассуждение к фуккциям sin X и cos X, получаем следующее утверждение: Теорема I. Иа луче [0; •+<») шполняются нераеенстеа: ,5 ^ ,,<4-1 ^sinx^ X’ Ж® 3! + 5! " . ж* зГ + 5Г “■■■ X* X* 1 —— -I- —...• 2! ^ 4Г (4л-I)! ж**-' (4гг - \у. „и—й + X* < I —— + -------------------... ^ ^ 4! (4л-2)1 (4 л-|- I)! ^ COS X < (2) (3) г + {in -2)* ■ (4л)1 Разность правой н левой частей в неравенствах (3) равна и„= f''., . Покажем, что для любого х эта разность стремится (4n>! к нулю при п оо. Для этого найдем отнощение Ц«4-1 «л Ж” (4« + 4)1 ’ (4л)! (4л + 1)(4« + 2)(4л+3)(4л-|-4} ’ Таким образом, что если 4п+1>2х, то это отношение меньше, чем Значит, начиная с такого п, значения разности на каждом шагу уменьшаются по крайней мере в 16 раз, а потому стремятся к нулю при п <х. Отсюда видно, что с возрастанием п как в (2), так и в (3) левые и правые части приближаются соответственно к значениям sin X и cos X. Это выражают, записывая, что sin х к cos х являются суммами бесконечных рядов: sinx = x-^ -I- ^ и cosx^l-||^ + . Пример 2. Найдем значения sin 0,12 и cos 0,21 с точностью до 0,0001. Решение. Так как <0,0001, то имеем: 0,12—<$т 0,12<0,12—+ 0,12’' 5! Вычисления показывают, что 0,1197...ноч метрическими функциями. Мы знаем (см. л. [ $ 4), что] lim ^ =1. Положим в этом равенстве sinar = /. Тогда имеем; arcsine, причем ^О при Следовательно, равенство принимает вид: t ^0 t !im . , I arrsin / = 1. Аналогично из равенства lim = 1 (см. п. I §4) ВЫВОДИМ.1 что lm ж-^о ari:tg/ Пример 1. Вычислим предел lim Решение. Имеем; arcs in Зх о ftin 7х \1^ arcsinix i:_ arcsin Зх lim —— = lim--------------г----- ж sm 7х , - л Зх 7х ^ ^ sifT 7х 7х arcsin Зх 7х Зх Ит . , ,_р sm 7х Пример 2. Вычислим предел tim ' ,.-0 arcsm9x Решение. Имеем: lim = iim-212^. ,-►0 arcsin9x г .0 9x arcsin 9x = |im.»:£i£±.. li;n x-i-a 4x 9x __________ J_____J_ *-►0 arcsin 9x 9 9 Пример 3. Наилем точки разрыва функции ц = агс(? (tg х). Решение. Так как функция arclg х непрерывна, то точками разрыва могут быть лишь точки разрыва функции tg х, т. е. точки х^-^+лл, n^Z. в72. Вычислите предел: arclg 9х П lim arcsin 6r Упражнение 2) lim ж- о arcsin вх tgSx 3. Дифференцирование обратных трмгомомстр1Песккх функций. Поскольку графики взаимно обратных функций ф и ф сим* мегрнмны относительно прямой у=х, то из дифференцируемости функции ф в точке Xq следует диффсренцкруемость функции Ф в точке уо = ф(хо). В самом деле, дифференцируемость ф в точке Ха означает существование касательной к графику этой функции а точке Mi (хо, Уо)- Но прямая, симметричная с этой касательной относительно прямой у —х, касается графика обратной к Ф функции в точке iVi (уо. (рис. 179). А это и значит, что функция ф дифференцируема в точке уо (в более подробных курсах анализа это утверждение доказывается без ссылки на геометрическую очевидность). Применим доказанное утверждение к выводу формул дифференцирования обратных тригонометрических функций. Мы знаем, что если y = arcsmx, то siny = x и —Продифференцируем обе части равенства sin у=х по х, считая у промежуточным аргументом (см. п. 3 S 4). Получаем, что cosii-y"=l. т. €. у'= ' Но cos у cos у= ± sin'y — ± —Л ь; 1 —X . Поскольку —Поэтому у == CW у VT-: Итак, (arcsin х)' = ——(I) VI —X* Аналогично выводится формула (arccos х)' VF^x^ - (2) 313 Теперь наедем производную от функции arctg х. Если г/=-= arclgjc. то lg y = ;c и потому ^ -у* = \^ т. е. у'—соъ^ у. Но cos^ у=- 1 . Итак, (arc(gx)' = 1+.г^ Аналогично устанавливается формула (arcclg*r=—j^. Иэ полученных формул вытекает, что d (arcsin дг) = dx d (arccos дг)= — d (arctg x)—-^(arcctgjr)= - Vi — X* _^x + x^ ’ dx Пример L Найдем производную функции: a) arctg^ Зле; б) arcsin 4jf; в) -----!—r— ^ arccos 2x r) arcsin дг-arclg ДГ. Решение, a) По формуле (3) имеем: (arctg^ Ъху = 2 arctg Зх n__ 6 arylg 1+{ЗхГ 1+9г' 6) По формуле (1) имеем: 4jt* (х^ arcsin 4хУ = 5х‘‘*arcsin 4x4— V'l — 16jc^ в) По формуле (2) имеем: (____!---У= ' \ arccos 2х / arccos 2к (---- г*\ /4ъ«г%гъ»в«г га ч Л) MAKJ jirtviJM <1 щ^.ч.гга* (arcsin X* arctg лс)^ = -3££1^ _j_ VI 1 + (3) (4) г Пр к м е р 2. Напишем уравнение касательной к графику функции ^ = arctg 4х в точке с абсциссой Решение. Имеем: х<>=—, 1,го = arctg 4-—=-^, У =- 1+(4х)- + 1бх^ . уЬ- J + J6 (I) = 2. Значит, уравнение касательной имеет вид; Пример 3. Вычислим с точностью до 0,001 значения arcsin 0,52 и arctg 0,97. Решение. Если положить ^(x)=arcsmx; х = 0,5; Л = 0,02, то arcsin 0,52—W+f' (jf) Л. Поскольку f (0,5)=arcsin 0,5 = -|-, _J_______ M Г(0.5)^ VI-0,? , TO arcsin 0,52»-f-4-~^^ «0,02 = 0,5467. b .» Более точное значение равно 0,5469. Аналогично при /(x) = arctgx; x=l; /i=—0,03, имеем; arctg 0,97 = f (x) h. Поскольку /(l)s= arctg 1=-^. arctg 0,97^5?^--^*0,03 « 0.770* Для более точного вычисления arctg х при UK^l применяют неравенства: X —4- ч- ” jr = arcsin i/, — 1 1 означают одно и то же. Заменяя в равенстве y=sin х переменную х ка arcsin у, получаем тождество sin (arcsin у) Аналогично выводятся тождества: cos (arccos t^}=y, — (О tg(arctg t/) = y, — «>0, если —^-|-2лп<х<-^-|-2лп, cosx<0, если -^-|-2лл<х<^л-1-2яя. при —^-|-2лл<:х<-^-1-2лп, у'= — \ при -^4-2ял<:г<:-^л4-2ял. ^0 значит, чгго график функции arcsin (аш ж) является ломаной, звенья которой поочередно наклонены под углами и ^ к оси абсцисс. Поскольку arcsin (sin йл)=агсзт 0 = 0, легко т^лучаем формулу (10). Упражнения 675. ДокажЕГге следующие таждссгва: П arctt; j-i-arccig z=Y: 2» агсм *= I- ' — arccos yj —x^, ^ I <0: 3) arcsin X » arclg ~T~~p ~ , — oc 0 для всех х, при которых определены функции / (х) н то неравенства ^(х)<1Ч|(х) и f (х) А (х)<<р (х) А (х) равносильны. 2. Докажите, что при а>0 имеет место неравенство (o-f3)(a + 6)(a-42)(o-H)>96fl^ 3. Решите неравенство (ж^-ьах-]8)(4х"-4х-н) {;г^_5х + 6)(ЗУ'-8^+|4) 4. Решите уравнение Зх 3 ■?п -.3 2-2х 5. Докажите, что при любых действительных значениях х w у имеет место неравенство х^ +1 —вх^ -j- Юх — 2бу -f 30>” 0. Контрольная работа 5 ). Докажите, что произведение двух вечетных функций есть функция четная на нх общей области определения. 2. Дана функция y = а) Найдите наибольшее значение функции. б) Докажите, что на промежутке [3; 4-“>) функция убывает. 3. Исследуйте на четность к кечетность функцию / (х)=^ IX -21 4-3UI 4* V?T^ + 4. 4. Даиы функции * (х) = 2х^ — I и ф (x)=-V^~' !• Найдите f (ф (х)); 5. Найдите наибольшее значение функции — 4-25. 1. Дана функции ЙСокгра«ькая работа Aft б при х^2. { 1-1-2i Найдите пределы этой функции при х-► — «> и х-^ -j-оо 2. Найдите (im —Цг—^ ^ ) . 3. Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрес-сии, если ее сумма равна 8, сумма второго и третьего членов равна 3, а знаменатель нрогрессии является числом рациональным. 4. Найдите lim / И-^ + 7+- --Н{Зл-2}_ я -»ей V 2и 1 4 / КонтролАнал работа № 7 1. Найдите преде.1ы: а) ----; б) tim ^’ + 7+»^+з 2. Дана функция / 2х-Ь1 , I при х< — I, /(^)= \ 2—х^ при — 1 <дг<2, —3 [фн х^2. а) Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график. б) Найдите lirri /(х), lim/(г). 3- Докажите, что уравнение — 5хЦ-3 = 0 на промежутке ( — 3; —2] имеет корень. Найдите значение этого корня с точностью до 0,1 (используйте микрокалькулятор). 4. Докажите, что функция ^ (д:)=х^ —6jr-|-10 необратима. Найдите функцию, обратную g (х) на промежутке [3; Н-оо), и постройте ее график. 5. Найдите lim , л -*• ос- 4л — 3 6. Найдите значения параметров а и из условия Контрольная работа М 8 I. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению .s'(7) = r-^-f2/-l (см). а) Найдите ее скорость в момент времени / = 3 с. б) В какой момент времени ускорение будет равно 9*-^? г Найдите /'(Ui если / (л)=^* • Дана функция ф(л) = 4^- К ее графику в точке х^ = 2 проведена касательная I, а) Напишите уравнение касательной t. б) Существует ли касательная к графику функции ф, отличная от / и параллельная /? Если существует, найдите ее уравнение. Дана функция = (2д —1)^ Найдите все значения л, при которых: а) g'(x)=0; б) ^'’(л)>0; в) Дифференцируема ли функция у — | ] в области ее оп- ределения? Известно, что (jt — 2)"Н- oi V® -f... 4- a4«jc -(- Обо- Найдите сумму 50оо 4-49C|-f2o4«-|-cJ49. Контрольная работа М 9 t. Дайте определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Докажите теоремы о непрерывности суммы и произведения двух непрерывных в точке функций. 2. Исследуйте функцию и постройте ее график: p = 3. В арифметической прогрессии шестой член равен 3, разность прогрессии d^0,5. При каком значении d произведение первого, четвертого и пятого членов будет наиб^ьшим? 4. Докажите, что функция у=0,2х^ 4-дг^4~2х^ -|-2х^4"^'* возрастает на R. Контрольная работа М 10 1. Известно, что tga=—^и %<а<2л. i О Найдите значения sin ос и ctg а. 2. Упростите выражение I -Ч-соа а sin^ а <'+(^У) 3 3 3. Дана функция f (x) = sin-^j:4"5 cos-^х. а) Найдите f {0), f (7л), f{—\2n). б) Покажите, что число 8п является периодом этой функции. в) Найдите основной период функции f. г 4* Исследуйте на четность и нечетность функцию (х) = х^^-\-2 sin дсН-ctg X, б. Решите уравнение 2 sin^ sin^ дг—2 sin х = 0. 6. Найдите амплитуду, частоту, период и начальную фазу гармонического колебания, заданного формулой x/ = sin^2x-f . Постройте график этой функции. 7. Докажите, что sin^ а ([-fctg a)4-cos^ а (I 4-tg Контрольная работа МП 1. Докажите тождество 3 -Iga sin(^-t-a) . 2. Найдите sin 2ot, cos 2a, tg 2a, если ctg a=V2-j- 1. 3, Решите уравнение cos x —cos 2x=sin 3x. 4. Проверьте равенство -------4 sin 70* = 2. $in 10^ 5, Найдите угол между асимптотой графика функции у = д^_2хЧЗ . ^ ^ , = —— И касательной к этому графику в точке с абсциссой Хо= I. в. Докажите тождество 1 -f-2 cos 2а + 2 cos 4а-f-2 cos 6а = sin 7а Контрольная работа М 12 1. Решите уравнение 2 sin (5х-|-2)-|-3 cos^(5x-|-3)=3.25. 2. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у = = sin (4х — 2) и у = — CO.S (Зх -f 5), 3. Решите уравнение sin’* x-f-sin^ 2jc-fsi^i^ Зж = 2. 4. Докажите, что при О О, уравнение а sin 5х-|- 2 -\Job cos 5х -|-2u = — 46 не имеет решений. 5. Найдите a-fP, если ctga=0,75, tgp = 7; ОСаС—, 2 ПС Л. 2 5, Решите уравнение COS^ X СО$* 2Х + С05"' Зх -I- cos^ 4х = I —. 4 llm Ti—2x У arcsini 2. Вычислите; a) ain^2 arcsin-jl) ; 6) arc sin (sin 5). 3. Решите неравенстве cos-^cos 2x-Hsin ^sin 2x^^. 4. Решите неравенство arcsin x-sln 5x. Контрольная работа М 14 Q_jr» 2 1. Решите неравенство ^ 2. Установите промеж\тки монотонности, экстремумы, нули функции f{x)= . Найдите асимптоты и постройте график этой функции. 3. Разложите на множители многочлен х*-j-8х-f-24. 4. Докажите, что при всяком число Ю'Ч‘45л —I кратно 27. 5. Найдите все решения уравнения sin 2x-|-cos x-f-2 sin х= — I, удовлетворяющие условию 0<х<5. ОТВЕТЫ глАеж i 5. b^ — 4ac — точный хаадрнт. 7. 2) —4; 0.85Й40.... 12. Нет. |3. 0,8W... .20. I ) (0; в]: 2) (-4; II); Ц (-4; 0)U[9; И); 4} (-4: -2)Ut0; И). 21. I) )15я+2| nfAF); 2) {(krt f 5|л€ЛГ|; 3^ {Зйп-|-]7|я£ЛГ); 4^ |30п-)-2|й^ A?}UC. 23. Раэделйющне чнелд; 2) [V3; уЦ 3) 2лЛ; 5) 2. 24. 3) |дг+1|<4; 4) 1л’ + 11<4. 25. I) (—1; 0); 2) -5JUI-1: +“=); 3) (-0.5; +®); 4) (-1; 0); 5) {—>*>: -y^U U( - v'3; v’3)U(-v‘7; + oo): 6) (_ I; 3); 7) (0; I2); 8} (- oe; _ 6JU(6; + ^); 9) [-5; .Si 10) #t.26. I) |^|;3);2) {-oa; -l)U[l; +«);3)(-*.to;2]u(3; +oo>. 4);5: + ■^}- i* 'y * ^ Щ - 0.(240886): 4) 7; 5) 4: 6) 3. 40. Cfl4) и D(b). 41. M(3.25). 43. |) C(0). 44. ,4(0; -4-\^) и Я (0; -4+л^). 45. 2,.S, 48, 6%^. 43, 0(2.5; 0,5); (3; 4), 25. 49. (2; -2) 50.-М^-1; -i|. ГЛАВА II 56, I) 2: 2) ]й. SO, I) 2} 0.5; 3) 0.25; 4) -1. в1. |) ^ + 2) 24аЬс. 70. + . 94^ 1\. ое. а=-т, Ь^2В. 102. 5) (х-1)(д* + 1>(хЧх-1): 8) (jf^-бЛ-1в)(*Чбх+]в); |2; (дс'-^^ж + ])(х» + У'Зх-)-1)(х^-;с +|)Х X(jf^4-Jf+]1. ИМ. 2) дг‘-14дг^ + 49х_36. 105. 3 |0в. 3. Ю7. 0 = 32,25; ]бх'® ’ «4-1 ^ ; 3) 0.25. 117. ж,=-2; Ха=-3. 119. I) х,=0; »«49. ИЗ. О пг: 2) а.г Х2»*4: 3) х=-рг; 4) xi»—1; xa.g = ±Vl —4m (лрн 171 <0,25): ]0) 5; 13- .............. 2 II) Х|--1; Х1Л=±2: указания; 6) Xi»0; 8} ж, =0; |3) х,ш^т; 17} подстановка у^т Ж1=а; 14) xi.j=—1,5: |5) Ж1«го; 16) х, = . \-р ' =жц-о; ]8) подстановка у=х—0,5, 120. ]) Подстановка ^*эх-|-—; 2) 6±:\24; 3) подстанс^ака у=х-^—; 4} подстановка v=x(l—ж); 5) привести к виду ж^(ж-Ь2д)^ = <г’(о—2жУ; ]0| ||) Ж1да«±а^5; ]3) ж, = 1: 14) |2; 0,5; -3, -у|; 15) ж,--|; ж,., = 2±#. 16} |-|; 3; -1-J ; }7) подстановке {^=.г+-^; ]8) Xi*—-1±л'5; дга,,= -з±уТз ^ , -----2----• -<)U(3: 4). ГЛАВА III 145. -4ж" + ВжЧ-3 148. S(o)=-~^. 155. ^>(S)=(0; 2/?). 2V 158. S(H}=-jj-+2ynVH. 150. V'(//)=- л w' vPTT’TbS 188. p (x)«2jt-f 4 ^\2Й —h-\-x) (A—jrJ, 5 (х}=2ж V(2/?—A 4»ж) (A —ж). ,es. ,W=^^. 1И. p(|_i)“. ,70. 2(x4l) _l_(jr»+l)»; 2J l)i 3) 4) (x*+l)*; 5) ж'+l; 6) (x-fl)*+ ^(л-+1)*+]. !«. 1) (-1; IJ; 2) {0; I); 3) ['0,5; Q\ 4) f-w. 0); 5) (-■»; 0]; 6) (—1; +0£>). |«4. I) Д$=г3й; 2) Л5 —(2б=30; 3) fli®=0,5; 4) ar, 5) aw 198. Ch. № 84. 2M. (( . 205. M'(3; 2); A'{6; -10); p, (_7; jy, Q, (4; _3>. 208. A4’(-d: \2y iV" (0; 5); Pi (6; -3); Qi (13; - Ю). 2И. I) ГомоФетин c коэффмиикнтом 2 и иентрои 0(3; ]); 2) 1'омотетня с коэффициентом 2 и центром 0(4; —3). 214. |) —4; 2) 2; 3) не существует; 4) о 2J8. У—4Х-1-23. 219. *=—0.5; -O.Sx-f 1,5; у= _0,3* + 4. 22в. Xi = * . ______ х+] ,,, -7х-47 .1»» ^:^з+уТз. =——лв; *=2ах. 229. 1J у= 2) у=----------- .233 ' ^ 5л + 13 л-1 -1 + . 234. [0.5 —V0-S; —0.5 + У0,5]. 237. Четные 3, 4 и 7; нечетные | н 2 238. I) (Зх^ + 7)-1-(-ж); 2) д.у j + i х" + 4 4> 240. 0. 245. Функция у=/(л-(.а) четна. 248, Функция |/=^ А нечетна. 247. I) л=3; 2) л =1,5 248. () (2; -6); 2) О(—4; — ]}. 250. I) Вмарастает на |2; -)• о»), убыикет на ( — оо; 2); 2) возрастает на (— оо; 2J; убывает на [2; + оо); .1) воорастает на ( — аз; Oi убывает на (0; -f оо); 4) возрастает ИЯ [3; 4) н (4; -f <»), убывает на { — ел; 2) и (2; З]. 251. |) Воарасгает на (-<»; 2) н [3; 4), убывает на (2; 3] н (4; + ^л); 2) «зарастает ня [0; +<л), убывя1гт на (—оо; О]; 3) возрастает на [4; +<=), убывает на (—с»; 41. 252. 1) Возрастает на [0; -}- убывает на (—оо; 0} 2) во;чрастает на |2; 4* убывает ча (—оо; 2\ 253, В 250, I) I; в 25], 2) ~ll * 252, 1) 7. 254, В 250, 2) 1; в 250, 3) в 251, 1) нет. Г Л А8А IV' 268. Нет; при 2л —1<ж<2й. n^N функция равна |. 272, Например. |) .М = 10“; 2) М=7. 277. Нет. 282. 1.2, 4 и 5. 289. Да. 291. ]) Э; 2} -f-: 3) 3; 4) I; 5) V-3; 61-1: ** е 2 Р 7 7) 0; 8) 0; 9) 0,25; Ю) 0. 292. I) 0; 0.5; 2) 0; 0.4. Ш. I) ^ 2) 3) р>1; 4) р<2; 5) р<ж-1-3. 300. ]) ^=ж^_8; 2) у-ж= + 4х-Н7; 3) i, = x^-9x4-8l: 4) У=Д^ 302. 1) 3; 2) --1-; 3) 0; 4) -2; 5) 0; 6) 3. 7) -|; Я) 2; 9) |. 305. I) 0; 2) 0; 3) 1; 4) I; 5) I. 306. Нет. 31Я, I) 3, 2) 2; 3) 3. 319. I) у; 2) 1,4; 3) -1; 4> |0|. 322. 327 ш. I) 1 + 2) ^а. ZZ7, 328. i-Vi-лаа». -1 3». i) 2) y^i. «1- J-. 337. m H 0. MS. I) 3s 2) 4; -I; 4J 0,8; 5) 0; 6) |; 7) 1,5; 8| 6; 9) -I; |0) .1; ||) ; ]2} 13) -4; |4) -4. 382. I) 2) 1;3) y = 2—1; 4) tf=V —I +V* + l: 5) W7. 1) Нет; 2) да. 370. I) У^-У^ 2) 24-2-^ 371. |) -3JU|4; +<=); 2) -3}U(-3; -2)0(4; +<=»^ 372. I) |; 2) y; 3) 0. ГЛА8А V 403. 4,3375 M, 404. I) v^3jr->2; 2) y=—2z —I (a точке Л(|; —3)) м У=2х_9 (в точке в(3; —3)). 416. I) у=|9дг —П; 2) у»—I и #=9*4-17. 4|(. йгЦ пр. 417. 2. 4Э1. I) : 2) ** 4М. I, 8,^«. 2, 2flr-_l«,: 75 -)8jc*+24 _ 2 I.V-72*^-l6 , 8> 72(к"_|44; 9) 0; 10) 42*. 434. (-|)* л1 4х 7*(л:^4-4)* й+вГ" ■ (iT+^^irnT^) • I) 1 Н 3; 2) ~1; о я I; 3) I; 6 Н 3; 4) _ I и 1; 5) -1 и Э; 6) О н 2; 7) I; 8) -1; О и J. 440. -?-Х-^. 441. Сто»«иа 4 i основякия равна у. 456и |) 3) —^-у^; 4) 0. 457. Нет. 461. I) (-со: 2]: 2) нет; 3) [-6; 0) и |6; -f оо); 4) 1-т/З; 0| К fV5. ^3 + 2^3] 4«2. I) 2; 2) не имеет; 3) -$; О я 6; 4) V^+2-Д 473. I) н-г—': 2) (я 4-2).2—'; 3) (п-2) 2*"’ц-1; 4) (a4-l).2*. 478. I) -2.49; 0.66 и ],83; 2) -2.49; -0,29 и 2,78; 3) —0,674; 4) ±0.826, Г Я Aft А VI 402. у=/?(|-совО; x=/?--1; ^ х=(Л —r)cos/—rcos-----/: #= =>«(/?—r) sin 1 —rsin P-r .. , J?* sin a J ® ■«—5-+------5---«27.95 и. >тх=317 t. /?>г. 498. /? 0,5; 5) 10; 6) I; 7) (; 8) lO. Siz! cos* x. w 513. I) —; 2) — 61A 1) 2stnx;2) —14cos *; 3) 9(siii х-|-оов x)c 4) — I4C0S2x+l2c«wiЛ. 516. Четные 2, 3 и 4; нечетные i н 7. 517. |) 2л: 2) 80л; 3) у : 4) я; 5) 20п; 6) 2л: 7) 6л; 8) 20л. 6Я. 3. 529. 530 SS2. 1) 2: 2) I; 3) 537. 1) ; 2) 0,75; 3) L* ; 4) Б. 542. I) аЧу; 2) За"+у; 3) ЗЬ^ + с*: 4) _й; 5) О: Б) у. 545. sinx= ; cosx=-5^4-- 550. I) 0; 2) О: 3| —!— яЧ'?' рЧГ ' cosa ; 4) Ь64, I) т^-2; sin а 17 . .. .. 25 17 _________ 7^3, 2) Л1^-ЗЯ1; 3) (я1='-2)’-2 555. I) ^; 2} 4,8: 3) jg . 4) yj. SS9. 1) - 2) 3) 0.5; 4) ОД 503. |) jSi^; 2> -VLp/R; 3) -0.5: 4) 507. П C«s 2р; 2) sin 2«: 3) 0.5; 4) Lg ос; 5) tg(и + 5): 6) -ctg а dg Р: 7) tg «, tg р 509. ДЛ=*^ь1ла(|----) . 574. |) |; 2) V^: 576. 1| ig а; 2) ctg р. V \<ГГ—\М (X ' 3) tgx; 4) clg.3x. 577. 1} 0J5; 2) 4V2; 3) не пй[>еделен (90“) •* ^• В80. I) 2) ~^~ . 507. I. 591. I) Г, 2) соку ; 3) COSy *. 4) ctts4a, .5) I: Б) \fr^ ^(уфлк: 7) tg x(lgx:,t - I); 8) tg* a. 593. I) 4cosxX >"'“(т-т)'=“(т+т)' *'“”Чт-т)'^“(т~т)' 2 t/2 слл*у sin^x +у^ 3) sin X cos 2z; 4} cos x cos 2x; S) cos X ; 6) — igxlg2xtg3x; 7) 2sin^y iy^ . 595. sin 18-=>= * . 596, 1) |cos 2o|; 2}. у21сов 4x): 3) I; r- I . el -.V.. Л ^ . sin 2nx l-Os2(H 4-|)x n 4) Ige: 5) I tgyl . 599. 0,125. W3. ]) y+--------^; 2) -- sin 2ftx cos 2 (я ± I) X sin 2x {-l)*cos(na + y^^ : 3) --------------— 2c.«| + 2 * 4) "2 J+ ^_iy sinf na±y j cos я a —I-I-2я sin у bin -------1——Li^x 6)--------------=— 2л+1 2 ens 2 2Я + 1 4 sin"^ — sin na—2я sin у cos 4 -7Г % 7) Ctg a. 607. 1) 13 ^in (3l4-e), a= — arccos ; 2) 25 sin (З14 aX a=arccos^—^; 3) 6l sin {2/д-а), a=arccos ^4--^ - 613. J) I; 2b 4 Ы J Д — (7t 2) L25;3) l;4)y:5) -l;6)y;7) 3; 8) 0.Б; 9) x: lO) у; 11) 0„5; 12) i 2 1 1 13) -- : 14) -iiufl; |5) —; 16) 0,25; 17) -0,25; |d) -4-; 19) 0. 20) 0,25. я 3 ] ei4. I) 3sin*xcosx; 2) —; 3) 5in^ X 5in‘ X COS' X 5) —6) 2x sin^x+3(x^-f ])sin* X cosx; 7) (/ —2)sinx; 8) -------------------y, siri*x ^ ' ' '' '' (I + LOS xy 91 - ,0, II) *’.iil. (1 -I- SJn Xf COS X .1 (sid 2xY 2) —Ssin^Sx—3) 24 5in^^6x+-^^ cos^6x + -^^ ; 4) I) 8cos8x; 24 .sin fix 5) 24 sin 6x cos 6x (sill* 6x —cos* fix); cos X 6) cos л[х 2 cos" fix • 7) — 4r’sin (X* V I); Я1 2x—3 cosx sin2Vx *> 'со^^ж^-зи + а] ■ cos’(»m.i • '** II) — X cos {X*) 12) —p==5^: 13) cos x-i-cos 2X-1-COS 3x; ]4) —(—' ^ '—1-------у v'sin (x^) 2 vjf 3 tg' X ^ Э 2x ^ 3 1R‘ 3ix cos^ 2x cos’ 3x P cosx — 2siti2x 15 sm 5x Ls7x^0; 2) -C08 5x = sin^^ + 5x^ : 3) 4х = -у+лА, AfZ; 5) 6х=±{л + а)+ + 2лЛ. A-eZ; 6) 5x=Y + ^Jf-b^*< 8) tR (7a+x) = te X. — ctg^x—= = lg(x + -^) ; 12) x*= ±(л + 5х*) + 2л*. kiZ; ]5) ^-3xf nfc, kiZ: Ifi) siTi2x=l; 17) tg4x = l или tg4x=—4; |fi) cos3x=-^ нлн cos3x 3x=^ -v'2 , =-^; 19) cos 2x*0.75; 20) ра:^делите чис.иггсль к знаменатель на cos Зх. 657. Указания; 2| sin х-1-cos х = 0; 4) Ig х=3 нлн i}ix=7; 6) lgx=| или 1gx=—2. 9) cosx = 0 клн lgx=3 или |gx = 7; ||) cOsx=fl. 668. I) х = (-П‘-^ + лА. fttZ; 2) Х|=:2яЛг, Xj-±4f"ft. k^Z: 3) Xi = О 4 = -^-|-2л4, xy=i-^4jji, k£Z; 4) X| = nib, Х5=л-|-2лА, b^Z: 5) Xi — =( —1)*-^ + л4, xa=(—arcsiii ^4 лХг. *^Z; 6) x= ±arcsin'^^^4«A. ki^Z. 659. 2) x,**?^, хз*л^, k(_Z; 3) при cosy=0 (t. e. при p вида T ?.. *. ^) ^ ^ <^"5 •*■ (s'n X — COS x); 2 sin X 1 р=л + 2лп. n£Z) X — .ою(к)е. при остальных р 4) XI ^ . fc^Z. кф + ^ РДР 5J sin5jf=0 или cos4x= 2р = —0,5: 7) cos^ = 0 нли о sin^ cos частности, при и =40 tgy=—jj; 8) xt*= i^rctB'^+ni, 9j sifi3x=0 нлн co5 2x=_0,6: JO) х,==-^-|-я*. + И) sin y«0 НЛН sin-^=cos^: |2) cos9x = coe I |x: 13) 0,26cos*x^0,75. 687. У казан н r; 1) —7) свести к простейшему неравенству тождественным Дрс-ойраэованием; 8) приведите к виду cos3x-0; 12) приведите к виду sin^x-f--^^ вв9. I) 0,3429; 2) 0.9131; 3) 0.1511; 4) 0.5299; 5) 0,9063; 6) 0,3(f67. 672. I) 1,5; 2) ]Д 676 I) хг=^: 2) х, = 0. х,«=-|т; 3) 0; 4) х,=1, • А А -и2 ^ 1 677. ]) Х|=0, XI—3; 2) х, = 1, Х2 = 3- 67S. I) У к а .з а н и е: ——; ОТВЕ7Ы К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ /2 4 ^ К—I. I. «) Используйте теорему косинусов; 6) D^4—; 2. x^J. К-2. 3. fri=3; 6j= 4 К—3. I. a = l0. i=a —4. 2. xi»=2; ху=«—3; x$——4; x««»5, 4, (x* —4x-f J}X X(jr'-6x42). Б. (x*4x’-lHx*-x*-l). I I K—4. 3. —6y ; tf{f (х))=^6х’—4. 5. -5, К-6. I. -2; 1.5 2. -у. 5. 0.5. 4. -у. К_7. I. а) у; 5) I. ?. б) 1.3; 2. 3. хяс —2,4. 4, 3-f 5- —0,5. 6. ti= — 3; * = 1,6. К—8. I. а) 20 м/с; б) 2 с. 2. 2. 3. а) у = 5х—6; б) 5х—26. 4, а) •‘=у^ х=у; 6) ^<х<у или Jf>yl в) ”ля ^=*у- 6. Не существует у'(-]У 6. -50. К—9. 3. 2.4. 331 Предметный указатель Абсцисса точки 30 аргумент функинн 62 £1рккосикус. график 31 ] числа 287 аркхотангсйс, график 2] ] — числа 290 арксинус, график 310 — числа 283 арктангенс, график 311 числа 289 асимптота горнэоктя.пьиая 129 — наклонная 137 Бернулли нерявенстао 47 бесконечная лссягичыая дробь 9 бе^'коночнаи геометрическая прогрессия 143 -------, сумма 143 босконсчно болыиая последовлгтелы«*сть 14,3 ----функиня при X 4- оо 134 ----------х-*' а J50 — ма.1ая последовательность (30 ----функция при X -► -I- оо 119 — — - X — во |27 ----------X оо |27 ----------х-»-с14б бином Ньютона 2]i биномиальный коэффициент 212 Величина направ.пе1ШОГО «ттреэка 24 Внета формулы 57 ьоэрастающа я функция 11б нинсанная в дугу ломаная 221 вторая производная 1S5 вмлуклость графика 200 Гариоиическке млпебвння 245 ----. амплитуда 246 ----, начальная фаза 246 ----, угловая частога 246 геометрический смысл пронзводноД 175 график функции 69 Деление отрезки я отношении Я 27 десятичная дробь 9 — периодическая 12 десятичное нрнближенке числа по из^ бытку 9 -------по недостатку 9 Дирихле функция 87 дифференциал функции 17( дифференцируемая функция 166 длина дуги 223 л<Н10лнекие миожсстаа 16 дробная часть числа ]0 ;фобно-лннсйная функция |08 Индукция математическая, — неполная 40 —' полная 40 интервал Числовой 16 кнтеряялоя мс;т(»д 71 иррациональные числа ]3 иссЛедовыиие функции 204 метод 42 Касательная |73 —, уравнение 175 квадратическая функция ]07 квадратное ураоиение G7 компоэииия функций 93 функции н выражения 93 координата точки 26, 30 координатная окружность 226 — плоскость 29 прямая 26 корень многочлена 56 ------кратности к 57 — д-й степени 160 ^ уравнения 62 косинус числа, косинусоида 229. 244 котангенс числа 247 кота нп'нсоида 254 Лагранжа теорема 106 лннейнсн^ выражение 35 линейнай функция |04 -----, график J04 -----, угловой кгьгффицкент 104 Максимума точка 186 мгновенная скорость 172 метод интервалов 71 ггя n 1 Г; ■ I ^ г. — леопреде.чемных иоэффниислтоь 54 гшлймктрльное деАсг^кгслькое число fO минцчуид точна IS6 V расположено справа от Х 16 модуль числа iil монотонна и функция 116 Н ail ра вдел мая прямая 24 направленный отреэох 24 натуральные числа 8 |1С11р1;рыякня в точке функции 152 нерааснотаа тождественные 74 иеравенстао Бернулли 47 HepauiHCTfto линейное 70 — с нерешенной 62 нестрого возрастающая функция — монотонняя функция 116 — убмяающая функция ]]6 нечетная функция 112 ]б Ойласгь (множество) значений фу икни и 62 определкния функции 82 — существования выражении 36 ойрагниаи функция ]58 обратнаи функция |56 обратное число |9 обьедннение множеств ]5 односторонний предел функции при ж -N й 147 односторонняя иелрерывность функции в точке 147 одночлен 33 окрестность точки 144 ----- проколотая ]47 ордината точш 30 ось абсцисс к ось ординат 30 отрезок числовой 15 отрицательное действительное число 10 — рацкональнос число 10 описанная №^круг дуги ломаная 2?] Параллмьный перенос перегиба точка 202 — формулы мересечеяис множеств 15 период дроби 12 — фу([кини 232 основной 233 периодическая функция 233 “ рациональное число 8 подкножсстио 14 последоватьльиость 94 — Фибоначчи 95 предел постсдовательностн 139 — функнии при X-f а ]4б ------ж— -1-эо 127 -----_Ж-^—ос ]27 -------ж^ оо 127 приведения формулы 259 приращение аргумента функции — функции 163 прогрессия арифметическая 43 — геометрическая 43 -----бесконечная, сумма 142 произведение действителькык чисел 19 производная функции |68 -----л-го порядка 165 прогнаоположное числа 10 пустое множество 14 163 Равнсюнльность неравенств 63 — уравнений 63 радиан 224 радиус окрестности точки 144 рааность действительных чисел 19 — множеств 15 расстояние между точками 29, 3| растяжение плоскости от прямой 98 рациональное выражение 34 рациональные чнепа 8 рекуррентное задание последовательности 95 решение неравенства 62 — уравненмя 62 квадратного 67 Свойство функции выпомткено вблизи точки 145 сиредяна отрезка 27, 3! скиус числа 229 синусоида 244 скячок функции 154 скорость изменения функции 17? сравнение действительныл чисел степень числа 23 - ^ Сумма действительных чисел 19 20 г __ п членов арифмсгической пропрес- сни 43 --------— гсомстрнческой прогрессии 43 Таблица Значений синуса и косину са 230 — — тангенса н котангенса 247 тангенс числа н тангежч>иля 247. 253 теорема Безу 56 — Лагранжа 35 — Шаля 25 тождсгтм'ннос преобразование выражений 59 — равенство выражений 59 ---рациональных выражений 39 точка разрыва функции 153 — перегиба 202 треугольник Паскаля 2М УбыИИХ>|С13Н функции I |6 угол между кривыми 259 урииыснне бнкнидрлтноо 68 — аозврагиос 69 — книдратнос 67 — с переменной 62 ускорение |85 п факториал. д1 46 формулы приведения 259 Целая часть числа |0 целое раикональное выражение 34 центр масс 3| центральная симметрия 98 Чястжж 20 частное функций 92 четверти I, II. ]11, IV 238 •кггнан функция 112 число разделяет множества 17 чнс.ювая последовательность 94 — функция 82 числовое значение выражения в точке 36 — МНОЖОСТЯ11 13 --- ограниченное 14 числовой луч |4 ------- открытый 16 член послеловательн1Х’тн 94 Экстремума точка |86 М'.кнз графика функции 90 Уяебяос кадаввА Вилетжн Наум Як4)влевнч Ивашев'Мусатов Олег Сергоевич Шварцбурв Семен Исааковш АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 10 класс УЧЕБНИК для угл^^бленного изучепия математики в о6щео6рязователы1ых учреждениях СанЕ^дрво-эпидемеолотческор звключение № 77.99.02.аКЗ.Д.000380.01.Ofi от 25.01.06 Подансдии в печать 15,06.2006. Формат 60x90 1/16 Буиага офостидя № 1. Гарвлггура «Лнтературлая». Почать офсетная Уел. пвч. л. 21,0. Тираж 20 000 экз. Заказ ^401 ИОЦ «Мнеиозвна*. 105043. Москва, ул. б-я Парковая, 29 5. ТЧм!.: (49S) 867*54-18. 367-56 27, 867-67-81; фшсс: (495) 165-92 18. E-mail: хос^в'шпелюхша.ги Отпечатано с готовых дпаноинтивов. ОАО «ИПК “Ульановск1Н^ Дом печати’'*. 482980, г. Уяълвопск, уд. Гончарова, 14. I I =ii ,___L-LLLrcrCrT LL_LL! .LLLLl «I._L CQ .LLinl ■ .Ll .1 U« LL^ -S LL LL* “ 'L Lit Й LmI LLIlLLiii L LLg ‘■jg -LL^i. Li:;^LJ L Ll f 1® ILL « LL5:l.1? ^ LTILLLLll-'., LLLL'_L_ LJ-4JaJXULLLLLL * •. » t l * t i * ! i Л L LL +-9} LLL-LLLC iL Л._ в' LLL AH ^«LL L Lri J I .L l; L L ILL.0 g X _S..LLS Ll. " “ .LLLL L^ mI .LLLL LL.S о .lL-h.L LL“ ".LL*.I „ Ll l .iLLLLS LL^ ^ LL *5 * -L .|j_l—-|| _Ll. _L LL + +L .L L " L:-^ l_ M LL-_ , ILI ^ L H LLH|_________Ъ' LH L ';5' » I a ' . *i ' ^ S O'” I i"*® I ^ 'Й ,§ ILLjlL iJi LL Li .L..L.LL: LLLLLLLLLLLLLLLi III g.LlLLi'^ й, ■‘«LLLL LLJiL \ LIIILLLL ,LLS-..l^l ’^-L Ll .LL^.^ eLcS- I L’ .LLI^ \J^ LL .Ll IL _1__LLL •LLei>, -H L LLLLLL LLI—^L.L LLLL .LLI _LLLLLL -.LLi 1^, гс; -LLLLLLL LL ............ ».l. .LL-L |_L_,. Ll I \ I ULLlLLLLSlLlL LLLLLLI__________ .llll -kLL ,L L L L L I- L , _______llI LL LLLLLLLl&s^: LLLLLLLLLL?^ ILLLLLLLLL- 1 t LLLLLLL' .Ll ILLLLL LLLLL Li_LLL LLLLLLLLLL llllllllll L&tiLL" L -L-» 'й±уи tr ttt ,!4V L L L L LLLLLL L Ll ‘ L^ ! H L I L L^ 1?LlL .'^L.L r ^ ‘^LlL k, I j ' f-n LL LLL LLL LLL L LLL I-LLL LLL +l Llll i^l LLL II LLL —LL '00 LLLL +| LLLLLL V. LLLLLL LLLLLL LLLLLL L LLLLLL L.L. LLLLL LLI LLLLLL i о Lll LLLLLL LL LLL 4 LW LLLLL LLLLLL ! LL ' ___ LLLLLLLL LLLLLL.LL -«к. + :l L -LL LL ПРЕДЛАГАЕТ УЧЕБНЫЕ ИЗДАНИЯ fiO МАТЕМАТИКЕ Учебно*методические комплекты для 5—11 классов МАТ1МАТИКА. УЛ4АДП» 5, 6 массо* У'кбних OL Я- Bit.WHKUH и др,\ рс<6о*|ая тстра.чь, «з-пгмлти^'скгю анилзяты. л<«Г|хи11Н»ос ряботы, А4йС1Чг.мзТ1*’ахкиГ1 Ty«:jdLiAei>. ,*л<-тлич1ХК11е pcxt.v4«!n,v»UMH- У'кбнмк (И. И, Jji6ape6a> А. Г. Ш>р&)оо6ин). рябсгах иптпщь л«гг>имтлкх*глиидН^е. АЛГТБ^А. УМ< дл« 7 Д 9 КЛОГС01 Ч. 1 — ynctntHK {А. Г. X н. 2 - (А. Г. Шр^кобич и Ар.\ рибочхл TfTji^Ab. АС)Гф»’АЪКиС JXIWtJ bl, CilJWOCTt'jmriXbHbir jW(Xn-N,AOnOAKUie.\kHNC ллрягуцм|ш к курсу :».М1?ЬрЫ («Собкхтя! В*^1ггносп4, CraracTM'ttXK.'ui обраОстеа дД1гны1»-Х тесид, GAvnpnpcx, мпшичгскос iwAxiWte- Углублвммве мзучвимФ Учс<Ч1кк гю. R Имсарыче^и др,) — 7,^,9 кл.; упсбмик (А, Г. .Мор4?кжлйг«) S, О кл.; ■AuaqiTMK (А И. Зва^чч, А Л PejiWodirKwi) — 8,9 кл. АЛГЕБРА м НАЧАЛА АНАЛИЗА. YMK/v*10-U клос^<м Базовый уро1*нь Ч. I —уч«г6инк { А. Г. Sit)pi^xo6u4), ч 2 —.^ддзчнил (А Г. Siopi^tidM W др.\ ксжтро/олы^ potom.caMCvmoTc.thKwe р’.?бсгт,тсл4лтич<хкис тлты м А^спидичесхос гтскобие, Учеб4ЛИК (Ю. А4. Коляя/н и (fp.\ AiiAiiir.^Mei. кпс мятерна-ш (W. И. Ша6уш»н w ifp.), mctcv днчесхмс рс«и1Мсч<Адц>1й (Н. L ^dopodit, М. Я. Ткачева). ПрофиЛ»НЫМ уровонъ ч 1 — учебник {А- Г. П. В. Омена^). ч2~ яданник (Л. Г. Mopi^Kodin и Эр.), 1кжтро1\ьниг рлГоты, MtTtjAHKwKix: гтосгбис. Углублвииов и^уиани! Учебник «Алкгбря и AKncMifT44ei.KHM знялш« (Н, Я. Лгикнким и Эр.). МДТ1МАПЖА. УМКщгя Ю - J f хласго. Базовый уровень Учебник (А. Г. МорЭковгеч, И- М- Смирнова), дИАЛктичсские материялы, мтмичеекос ггос^ис ПОМПРИЯ. УМКДА97-9кломое Учебник (И. М. Сла/рнова, S. А. CMUpw(7). рабочая тетрадь, дидакчичеосис A^ajtfpKWAM. курсы по вы6|.»ру, уче(нкх почхюие *H«crAKAapjKiiur м йкслсдоватеАНКИ^ .Ньачн поггдаиетрии»* (7 — 11 хл,> /йетпднчсскис рекомС1тдягр1и ГЕОМЕТРИЯ. YMKof^M ГО - П клоссоа Баэовмй уровень Учт01П1Ь- (И. М. Смириоба, Б, А. Слшрио^), рвЮочая ivn».\b. дидОАТНЧеУКне мятермЗлЫ, .г«!кт«ннс к|'рсы,м«тХ1АМчсск»е pe*cwt'.fi,viSffn*«. Профильный Уровень Учебник (И. хМ, Смирнова), дидяктичеккие Maivpiiai>M, мепмичл-дие рскоменддции Учебьюе сособие ♦IToeitjpflCJH и CHnt:.btnu.«cp¥Ciu Есгешьиый ку^х: reoAbc-jpuitbCfl. С. КрЛМОрУ ISBxN 5-346*00678-8 785346«00678?