Математика Алгебра Профильный уровень Задачник 10-11 класс Шабунин

■W. и. Шабунин А. А. Прокофьев Т. А. Олейник Т, В. Соколова МАТЕМАТИКА Алгебра Начала математического анализа ЗАДАЧНИК f ^ИЗДАТЕЛЬСТВО М. и. Шабунин, А. А. Прокофьев Т. А. Олейник, Т. В. Соколова МАТЕМАТИКА Алгебра Начала математического анализа ПРОФИЛЬНЫМ УРОВЕНЬ Задачник для 10-11 классов Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2009 УДК 373.167.1:51(076) ББК 22.1я721.6 Ш12 Шабунин М. И. 11112 Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень : задачник для 10-11 классов / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. — 477 с. : ил. ISBN 978-5-94774-456-9 Задачник для 10-11 классов является частью учсбмо-методического комплекта для старших классов школ с углуОлениым изучением математики. Главы задачника еоотиетствуют uiauaw учебников для 10 и 11 классов. Задачи но каждой теме расположены в порядке возрастания трудности (три уровня). В книгу включены .задачи из вариантов выпускных зкзаменов и ЕГЭ. а также варианты вступительных письменных экзаменов в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке абитуриентов. Для учащихся классов физико-математического и естествеиио-научиых профилей, учителей средних школ. УДК 373.167.1:51(076) ББК 22.1я721.6 По вопросам приобретения обращаться: «БИНОМ. Лаборатория знаний» Телефон: (499)157-5272 e-mail: [email protected], https://www.Lbz.ru ISBN 97S-.5-94774-456-9 @ БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник задач по курсу «Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень» предназначен для изучения профильного курса алгебры и начал математического анализа в 10-м и 11-м классах школ с углубленным изучением математики в объеме 6-8 часов в неделю. Задачник является составной частью учебно-методического комплекта (УМК) «Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень», в который входят также учебники для 10-го и 11-го классов (авторы Шабунин М. И., Прокофьев А. А.) и методические пособия для учителей к соответствующим учебникам (авторы Шабунин М. И., Прокофьев А. А., Олейник Т. А., Соколова Т. В.). Задачник состоит из 23 глав и приложения с образцами вариантов ЕГЭ 2005-2008 гг. Главы 1-21 и порядок их следования соответствуют главам и их расположению, принятому в учебниках для 10-го и 11-го классов. Так, в учебниках представлены следующие разделы курса. Десятый класс: «Элементы математической логики», «Числовые множества», «Функции», «Алгебраические уравнения и неравенства» и «Системы алгебраических уравнений», «Тригонометрические формулы», «Комплексные числа», «Многочлены от одной переменной», «Предел и непрерывность функции», а также «Степенная, показательная и логарифмическая функции». Одиннадцатый класс: «Тригонометрические и обратные тригонометрические функции» и «Тригонометрические и уравнения и неравенства», «Производная и ее геометрический смысл» и «Применение производной», «Первообразная и интеграл» и «Дифференциальные уравнения», «Системы уравнений и неравенств различных типов», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Делимость чисел, целочисленные решения уравнений», а также «Комбинаторика» и «Элементы теории вероятностей». Предисловие Дополнительные 22-я и 23-я главы содержат задачи обобщающего характера (в частности, задачи с параметрами, текстовые задачи и др.) и будут полезны для подготовки к вступительным испытаниям в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке абитуриентов. Непосредственно 23-я глава предназначена для подготовки к выпускной аттестации в виде ЕГЭ на этапе итогового повторения и содержит избранные задачи уровней В и С из вариантов прощлых лет. Внутри каждой из гл. 1-21 тематика задач соответствует параграфам учебников, а задачи разбиваются на три уровня сложности. В учебниках и задачнике нет совпадающих задач. В каждой главе учебников для 10-го и 11-го классов представлено больщое количество разобранных примеров, помогающих учащимся усвоить теоретический материал и познакомиться с различными методами решений и доказательств, а также задачи для самостоятельного решения. Авторы считают, что количество задач, содержащихся в учебниках для 10-го и П-го классов, является вполне достаточным для изучения курса в рамках профильного образования по математике. Однако использование в процессе преподавания только учебников предполагает достаточно однородный уровень подготовки учащихся класса. Наличие задачника позволит учителю организовать индивидуальные и дифференцированные формы работы. Несмотря на то, что данный задачник адресован учащимся классов с углубленным изучением математики, авторы считают, что его можно успешно использовать и в общеобразовательных школах и классах (в частности, задачи первого уровня сложности), а также для дифференцированной работы на уроках и занятиях кружков. Авторы выражают благодарность Царьковой Галине Георгиевне, оказавшей большую помощь в подготовке рукописи. Глава I ЭЛЕМЕНТЫ математической ЛОГИКИ §1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Первый уровень 1.1. Установить, являются ли истинными или ложными следующие высказывания: 1) /4 = {Число 54 делится на 2 или на 3}; 2) Б = (Число 54 делится на 2 и на 3}; 3) С = (Число 27 делится на 2 или на 3(; 4) D = (Число 27 делится на 2 и на 3}. 1.2. Даны высказывания Л и fi. Определить, является истинным или ложным высказывание С=(Л=>6}, если; 1) Л = {5>3}, й = {6>4}; 2) Л = {5<3}, й = (6<4}; 3) Л = (5< 3}, й = (6>4}; 4) Л = {5>3}, й = (6<4}. 1.3. С помощью таблицы истинности и диаграмм Эйлера—Венна доказать следующие свойства операций над высказываниями: 1) Л Л (й Л С) = (Л Л В) Л С; 2) Л V (В V С) = (Л V й) V С; 3) Л Л (В V С) = (Л Л В) V (Л л С); 4) Л V (В Л С) = (Л V В) Л (Л V С); 5) ]ГуВ = ЛлВ; 6) Л ЛВ = Л V В. 1.4. Выяснить смысл высказывания Л, если: 1) Л = (Число 377175 делится на 7 и на 3}; 2) Л = (Число 377175 делится на 7 или на 3}; 3) Л = (Если 377175 делится на 49, то оно делится на 7}. Глава I. Элементы математической логики Второй уровень 1.5. Даны два высказывания: А = {Число 2^^^ — 1 делится на 15}, В = {Число — 1 делится иа 3}. Является ли истинным высказывание С = {Л =?► В}? 1.6. Даны два высказывания: А = {Число 24*®® - 1 делится на 93}, В = {Число 24'®*^ — ! делится на 31}. Является ли истинным высказывание С = {А -> В}? 1.7. Истинно ли высказывание Л = {Если число 1917**^^’ делится на 19412, то оно делится на 1941}? Выяснить смысл высказывания Л. 1.8. Истинно ли высказывание Л s {Если 1921*^2^ > 1925*^21, то 1921'®25-j- 1 > 1925’®2' + 1}? Выяснить смысл высказывания Л. 1.9. С помощью таблицы истинности проверить, верны ли равенства: 1) {Л =»(ВуС)} = {(Л=;>В)7(Л =>С)}; 2) {(Л С) Л (В ^ 0} = {(Л В) ^ С}. 1.10. Построить отрицания и упростить полученные формулы: 1) ЛВ^ (Л V(B=^>Л)); 2) Л^В ^(В-Л) уВЛ. 1.11. На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышках коробок написано: «В обеих коробках лежит по табличке „Принят"». Известно, что если в первой коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке ложна. Что касается второй коробки, то там все наоборот: если в ней находится табличка «Принят», то надпись на коробке ложна, если же там табличка «Не принят», то надпись на коробке истинна. Какие таблички находятся в коробках? 1.12. На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышке первой §2. Неопределенные высказывания коробки написано; «В этой коробке лежит табличка „Не принят" или в другой коробке лежит табличка „Принят"», на крышке второй: «В другой коробке находится табличка „Принят"». Известно, что надписи либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Какие таблички находятся в коробках? §2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ. ЗНАКИ ОБЩНОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ Первый уровень 1.13. Записать с помощью кванторов следующие высказывания и установить, истинны они или ложны: 1) если некоторое число делится на б, то оно делится на 3; 2) существует число большее 10, и меньшее 9. 1.14. Выяснить, истинны или ложны следующие высказывания: 1) Vx (х > 2 V X < 2); 2) Зх (х < ЮЛх > 9). 1.15. Построить отрицания следующих высказываний, выяснить истинны они или ложны; 1) Vx (x>2Vx<3); 2) Зх (х>ЮЛх<9). Второй уровень 1.16. Пусть /(х) и g(x) — некоторые функции, заданные на множестве А" С М, A(x)s {|/(х)| >g(x)}, В{х) = {f{x) > g{x)], С{х) = {f{x) < g{x)} — неопределенные высказывания, заданные на множестве X. Доказать истинность высказывания Vx G А’ (Л(х) ~ (S(x) V С(х))). 1.17. Пусть /(х) и g(x) — некоторые функции, заданные на множестве А С К, Л (х) = {|/(х)1 :^g(x)}, fi(x) = {/(х) -g(x)} — неопределенные высказывания, заданные на множестве А. Доказать истинность высказывания VxgA (Л(х) ~ (В(х) л С(х))). 8 Глава I. Элементы математической логики 1.18. Выяснить смысл приведенных высказываний и установить, истинны они или ложны: 1) Vx3y(x + i/ — 3}; 2) Зу\/х{х + у — 3); 3) Vx (х < 1 < х); 4) Va, Ь, с (Эх (ах^ + Ьх+ с = 0) ^ — 4ас > 0); 5) Va, Ь,с {а ^ о аЗх (ах^ + Ьх + с — 0) - 4ас ^ 0). 1.19. Выяснить смысл приведенных высказываний и установить, истинны они или ложны: 1) 3х,у{х + у = 3)\ 2) Vx,t/(x + j/ = 3); 3) Vx, £/ (х < :/ ~ Зг (х < < z)); 4) Vx(x^ > 1 ~ (х > 1 V X > 0); 5) Va, Ь, с (Vx (ax^ + Ьх + с 0) ~ - 4ас < 0). 1.20. Натуральное число п является составным тогда и только тогда, когда оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Записать символически с помощью кванторов это определение 1.21. Записать с помощью кванторов неопределенное высказывание А{т,п), заданное на множестве натуральных чисел: у4(т, гг) = {Числа m и п не имеют общих делителей, отличных от 1}. 1.22. Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два различных делителя. Записать символически с помощью кванторов определение простого числа. 1.23. Записать символически с помощью кванторов высказывание, заданное на множестве целых чисел: A{z) = (Для всякого натурального числа Ь найдутся целые числа q и г такие, что 0^r I, WTT) = JTi’ 1.30. При всех натуральных значениях п доказать делимость: 1) (22«+1 ц. 1) : 3; 2) (72''- 1) i 48. Второй уровень 1.31. Доказать равенства: п 1) Е ^^(Ак-ЩАк+\) 4п+1’ 2) f: k{k + l)(fe + 2) = ; А=1 '* *2 3) Е _ п{п +I) . ^^{2k-\)(2k+\) 2(2/1 + !)’ 4) Е i + 2 _ п(п + Ъ) /('■+l)(‘+3)(i + 'l) 8(п+ !)(/!+4)’ //1\3 п п 5) 4- еО + \1=1 / /=1 (=1 1.32. Доказать равенства: 1\ ^ fe ■ (fe + 1)! _ (п + 2)! _ п. *=1 2* 2" 2) ^ fe •/г! = (« + 1)! - 1. *=! 1.33. Доказать равенства: 1) П 1- А= I V (*+>)2/ 2/1 + 2’ л -|- 2 , Ответы к главе I И 1.34. При всех натуральных значениях п доказать делимость: 1) (7"+‘ + 82"-') : 57; 2) (7 ■ + 12 • 6") : 19; 3) (з2"+2 + 2''"+‘) : 11; 4) (2^'’+з + 5" • 3"+2) i 17; 5) (52"+' • 2"+2 + ЗП+2.22п+1) : jg. 6) (22"-' +Зм + 4) i 9. 1.35. При всех натуральных значениях п доказать делимость: 1) (2^" + 1) : 3"+'; 2) {пР — п) ; р, где р — простое число. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I 1.1. 1) Истинно; 2) истинно; 3) истинно; 4) ложно. 1.2. 1) Истинно; 2) истинно; 3) истинно; 4) ложно. 1.4. 1) 4 = {Число 377175 не делится на 7 или не делится на 3}; 2) 4 = {Число 377175 не делится на 7 и не делится на 3}; 3) 4 = (Число 377175 делится на 7 и не делится на 3}. 1.5. Да. 1.6. Да. 1.7. Истинно, 4 = (Число 1917'®'" делится на 194l2 и не делится на 1941}. 1.8. Истинно. 4 = (1921'®2®>1925'®2‘ и 1921'®®® + 1 < 1925"''='+ 1}. j‘92l 1.9. 1) Равенство верно; 2) равенство неверно. 1.10. 1) /; 2) L. 1.11. В первой коробке находится табличка «Не принят*, во второй коробке — табличка «Принят». 1.12. В обеих коробках лежат таблички «Принят*. 1.13. 1) Vx(x : 6 =>■ X : 3) — истинно; 2) Эх(х > 10 Л х < 9) — ложно. 1.14. 1) Ложно; 2) истинно. 1.15. 1) Зх(х ^ 2лх ^ 3)— ложно; 2) Vx(x ^ 10 V X ^ 9) — истинно. 1.18. 1) Истинно; 2) ложно; 3) ложно; 4) ложно; 5) истинно. 1.19. 1) Истинно; 2) ложно; 3) истинно; 4) ложно; 5) ложно. Указание: при а = 0, 6 = 0, сфО высказывание Vx(ax® + 6x + C5i^O) — истинно. 6® —4ас<0 — ложно. 1.20. V«eN(4(n) = (/i— составное число} ~ (Зт € N3fe € N((/n ф\Атфп)/\п = кт))). 1.21. А{т,п) = (Va 6 N [(36 6 N (m = ah)) Л (Зс € N {п = ос))) =>■ (о = 1)}. 1.22. Зададим на множестве натуральных чисел неопределенное высказывание Я(х), означающее, что х е N — простое число; Я(х) = (За € N 36 6 N((x : а Ах ■ Ь)АафЬ) А (Vc 6 N(x : c=>(c = aVc = 6))))}. 1.23. 4(г) = (V6 6 N3i? е Z3r € Z(0 ^ г < 6 Л z = 6(?-I-г)}. 1.24. 1) Неверно; 2) верно; 3) неверно; 4) верно: 5) верно. 1.25. 1) Т\ = (Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным} = (Для того чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы он был равносторонним}; 2) Гг = (Для того чтобы все углы треугольника были равны между собой, необходимо, чтобы треугольник был равносторонним} = (Для того, чтобы треугольник был равносторонним, достаточно, чтобы все его углы были равны между собой}. 1.26. 1) Каждое число не делится на 7 и делится 21. 2) Каждый квадрат является параллелограммом. 1.27. Пусть — множество четырехугольников. 12 Глава 1. Элементы математической логики т £ М4; А(т) = {противоположные внутренние углы т равны между собой}, В{т) = (около т можно описать окружность}. Тогда теорему можно записать в виде; Vm {Л(т) =Ф-S(m)}. Обратная теорема; если около четырехугольника можно описать окружность, то его противоположные внутренние углы равны между собой. Противоположная теорема: если противоположные внутренние углы четырехугольника не равны между собой, то около него нельзя описать окружность. Теорема, противоположная обратной: если около четырехугольника нельзя описать окружность, то его противоположные внутренние углы не равны между собой. 1.28. 1) Пусть /’—множество простых чисел, Л/^i — множество нечетных чисел. Тогда теорему можно записать в виде: Уд:£М{л:£/’ЛХ7^2=>л:£Л/|}. Обратная теорема: всякое нечетное число является простым и не равным 2. Противоположная — если число не является простым или равно 2, то оно четное. Противоположная обратной: всякое четное число либо не простое, либо равно 2. Отрицание: существует натуральное число, не являющееся простым или равным 2, являющееся четным. 2) Пусть /’—множество простых чисел. Тогда теорему можно записать в виде: VxgN УабЯ {х^ : а=^х: а}. Обратная теорема: если натуральное число делится на некоторое простое число, то и его квадрат делится на это число. Противоположная: если квадрат натурального числа не делится на некоторое простое число, то и оно само не делится на это число. Противоположная обратной: если натуральное число не делится на некоторое простое число, то и его квадрат не делится на это число. Отрицание; найдется такое натуральное число, что его квадрат делится на некоторое простое число, а оно само — не делится. 3) Пусть — множество четырехугольников, Р — множество параллелограммов, Л(р), р£iM4, — неопределенное высказывание, заданное на множестве четырехугольников, А{р) = (В четырехугольнике р диагонали делятся точкой пересечения пополам}. Тогда теорему можно записать в виде: Vp € Мц{р £ Р Обратная теорема: если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Противоположная — если четырехугольник — не параллелограмм, то диагонали в нем не делятся точкой пересечения пополам. Противоположная обратной — если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения не делятся пополам, то этот четырехугольник — не параллелограмм. Отрицание — найдется параллелограмм, у которого диагонали точкой пересечения не делятся пополам. 4) Пусть Я—множество плоскостей в пространстве, L — множество прямых, 5(а, 6) — неопределенное высказывание, заданное на множестве пар {а,Ь), где а и прямые в пространстве, 5(а,6) = (Прямые а и Ь пересекающиеся}. Тогда теорему можно записать в виде: Va£Z. Vb£Z. (5(а,6) =Ф-(За £ Р(а С ал&С ОГЛ (V/3(a С/Зл 6 С |3=>-а = /3))))}. Обратная теорема: если через две прямые можно провести плоскость и притом только одну, то эти две прямые пересекаются. Противоположная; если две прямые не пересекаются, то через них нельзя провести плоскость, или можно, но не одну. Противоположенная обратной: если через две прямые в пространстве нельзя провести плоскость или можно, но не одну, то прямые не пересекаются. Отрицание: найдутся две пересекающиеся прямые, через которые нельзя провести плоскость, или можно, но не одну. Глава II МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ >0}; §1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Первый уровень 11.1. Выяснить, верны ли следующие утверждения: 1) 2е{х\х^ -2х^ -4х + 3 = 0}-, 2) 3)1С{1,2,3}; 4) {1}С{1,2,3}. 11.2. Выписать все подмножества множества М: 1) М = {1,а}; 2) М = {а,Ь,с}. 11.3. Заданы множества А — [—1;5) и В = (-2;3]. Найти множества A\JB, АС\В, А\В, В\А. 11.4. Заданы множества У1 = (—оо;2] и В = (—2;+ос). Найти множества AuB, АГ\В, А\В, В\А. - А±1 2) {0} с 0; 4) {1,2,3} GZ; Второй уровень 11.5. Выяснить, верны ли следующие утверждения: 1) 3€ (л: 3) 0€{0}; 5) (1,2,3}CZ; 6) {л:|л:2-5а: + 6<0}с{д:|д:2-9<0}. 11.6. Изобразить с помощью диаграмм Эйлера—Венна множества А, В, С, удовлетворяющие следующим условиям: 1) АсВ и ЛсС; 2) АсВ, ВсС и А\В^0\ 3) АсВ, Вес и С=АПВ; 4) ЛсВ, ВсС и ЛПС = 0. 11.7. Функции f{x) и g{x) определены на множестве R. Пусть Л = (2; 5; 7} — множество рещений уравнения f{x) — О, В = {—2; -5; 2} — множество рещений уравнения g{x) = 0. Найти множество С решений уравнения = 0. 11.8. Функции f{x) и g{x) определены на множестве М. Пусть Л = {3; 9; 10} — множество решений уравнения f{x) = 0, В = {—2;3; 10} — множество решений уравнения = 0. Найти множество С решений уравнения f{x)g{x) = 0. 14 Глава II. Множества и операции над ними II.9. Пусть Л —множество натуральных чисел, кратных 12, В — множество натуральных чисел, кратных !5. Что из себя представляет множество АПВ? 11.10. Пусть Л— множество натуральных чисел, кратных 21, В — множество натуральных чисел, кратных 28. Что из себя представляет множество АПВ? 11.11. Пусть /? —множество всех ромбов, Р—множество всех прямоугольников. Что из себя представляет множество RnP? 11.12. Пусть Л — множество четырехугольников, которые имеют хотя бы пару параллельных сторон, В — множество параллелограммов. Выяснить, что из себя представляет множество А\В. 11.13. Пусть Л — множество равнобедренных треугольников, В — множество треугольников, у которых хотя бы один из углов равен Выяснить, что из себя представляет множество АпВ. 11.14. Пусть Л — множество простых составных чисел Выяснить, что множество Лив. 11.15. Доказать следующие равенства Эйлера—Венна, таблиц истинности множеств; 1) Л\(Л\В)=ЛПВ; 2) ЛП(Л ив) =Ли(ЛпВ); 3) Л\В П (Л и В) = Л; 4) {А\С)\{В\С) С А\В. 11.16. Найти количество трехзначных чисел: 1) кратных по крайней мере одному из чисел 3 или 4; 2) кратных 4, но не кратных 3. 11.17. Найти количество трехзначных чисел: 1) кратных 4 или 6; 2) кратных 4, но не кратных 6; 3) кратных 6, но не кратных 4; 4) кратных 4 или 6, но не кратных 9. чисел. В —множество из себя представляет с помощью диаграмм и преобразований §2. Целые, рациональные и иррациональные числа 15 211. 180' 2) 77. 72' 3) 89. 44' 4) 117 Y 27. 13' 6) 29. 14’ 7) 133. 65 ’ 8) 11 120 §2. ЦЕЛЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Первый уровень 11.18. Представить периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) 1,2(7); 2) 2,13(8); 3) 1,3(48); 4) 0.(09). 11.19. Представить рациональное число в виде периодической десятичной дроби: 1) 5) 11.20. Вычислить значение выражения, ответ представить в виде периодической десятичной дроби: 1) 1,0(16) : 11,1(7); 2) 0,6(461538) ■ 1,0(6). 11.21. Доказать, что число является иррациональным: 1) v^; 2) л/7; 3) s/5; 4) 5) -Уб; 6) 11.22. Сравнить числа: 1) а = v/5 и 6 = УЗ; 3) a = 2V6-l и 6 = 4; 5) а = 6\/2-5 и 6 = 2\/3; 11.23. Записать выражение без знака модуля: 1) \-\l-V2\- 2) I^S-V^-ll; 3) |л/3+у^-4|-|-4|; 4) |^5 - ^2-1| + |1 - У2|. 11.24. Записать выражение без знака модуля: 1) |1-2л:1; 2) |a;2-4|; 3) |4 + Зл:-л:2|; 4) |л:|-|2 —л:|: 5) |х - 1| + |6 + 2х|; 6) |1+2л:| - |4л: — 2| 11.25. Записать числа без использования символов целой и дробной частей: I) 3|, (3), [-5], {-5}. [3,91. (3,9), [-5,2], {-5,2), (-0,4), ['?]• {■?}■ И1’ {-2|}’ [т]' {т}- [-“]■ {-I}-[-!]■ {-!}■ 2) а = -^ и Ь = -<УЗ] 4) а = 4\/2 + 3 и 6 = 5\/3; 6) а = у/7 и 6 = 4\/2-3. 16 Глава II. Множества и операции над ними 11.26. Записать числа без использования символов целой и дробной частей: 1) [V2], {V2}, [V7], {ч/7}, [-V2], {-V2], [-^]. {-4Y 2) [1 + n/2], + [-1-v^], [1-V^], {\-у/2}, [4-v/l5], {4-n/I5}. 11.27. Решить уравнение: 1) N = 3; 3) [5x-M] = 6; 5) [2х + 3] -Ь [2х -2] + [2х + А] = 17; 2) [5х]--2; 4) [х -Ь 1] -|- [jf -1" 2] = 7; 6) 3[Зх]-[За:-3] = 11. 11.28. Решить уравнение: 1) {х-f 1} = 0,2; 2) {л:+ 0,5} = 0,8; 3) {2л:} = 0,4; 4) {л^ + 1} + {л: — 2} + (л: + 3} 5) (Зл: + 7} = 0,5; 6) 3 {5л: + 1} + {5jc —4} = 1. = 2; Второй уровень 11.29. Представить периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) 1,(153846); 2) 2,2(285714); 3) 2,0(923076); 4) 1,9(076923). 11.30. Не выполняя деления, выяснить, в виде какой десятичной дроби представимо данное рациональное число: конечной или периодической. Если в виде конечной десятичной дроби, то сколько знаков после запятой она имеет; если в виде периодической, то сколько знаков после запятой не входят в период? 1) « ; 2) Ш. 3) Л\ 28^. М- ' 1500’ ' 550’ 800’ "" 320’ ^ 1250’ 11.31. Доказать, что число является иррациональным: 1) Vз + ^/n■, 2) v/5 + x/7. 11.32. Доказать, что число является иррациональным: 1) ^ + ^; 2) ^-2^. 6) 144’ §3. Степени и корни 17 11.33. Доказать, что число является иррациональным: 1) ^+у/2- 2) ^-\/3; 3) 3\/2 + 2^/3-v^; 4) V2 + V3 + V5. 11.34. Выяснить, является ли рациональным число: 1) 2\/3 + 2V5-v^9 + 4n/5; 2) \/14 + бУ5-\/29-12\/5; 3) y/4 + s/7+\/8-3V7; 4) \/l4 + 5\/3 +\/б-3\/3. 11.35. Сравнить числа: 1) а = \/2 —\/5 и b = V3 — 2\ 2) а = \/б-2 и Ь=ч/7-\/5; 3) a = s/7-4V5 и Ь=уД-8\ 4) a = ^Д[-2^/Ъ и b = y/6-V7. 11.36. Выяснить, при каком натуральном п выполняется неравенство: 1) Еп<П<Е + ^п-, 3) |п<52<|-ь|«; 2) f.<30[ 4х-9 11 3) [х] = 5х -14. 18 ’ 2) 4) 3jc-f 20 4л:-28 '] = 17 х+и 2х + 13 11.39. Решить уравнение: 1) {Зх} = л: - 0,5; 3) = 2) {4х — 1} = 2л:-Ь 0,3; §3. СТЕПЕНИ И КОРНИ Первый уровень 11.40. Найти числовое значение выражения: I) 2) yg--{/0T6; 3) У(-2)8.(-2)>2; 4) ^УЗ^ >У2^. 18 Глава II. Множества и операции над ними 11.41. Найти числовое значение выражения: I) \/Щ;У7729: 2) -.Ш. 11.42. Избавиться от иррациональности в знаменателе: 1 . 04 1 . Q4 \ . л\ 1) 2) 3) 4) VS-v/7’ 4-уДь' 2-^’ 11.43. Упростить выражение при заданных значениях х: 1) '^{х- при х>1,5; 2) У (За: - 1)® при ^<|- 11.44. Внести множитель под знак корня: I) х^\ 2) ху[^\ 3) х^ ■ 4) (х-2)^/^; 5) х^- 6) {х-\)^. 11.45. Упростить выражение: *) 2) 3) ; 4) 11.46. Сократить дробь: 1) Q. 4“ 2\/д + 1 а — I 2) bVb — a^ 3) s/a-'/b . a^ + bVb' Vb-a 11.47. Упростить выражение: ^x-^+Jx- ^ ^ ^д.2. ifp^+Jx- ^/х^ " ——■ 11.48. Упростить выражение: у/а_____\ а — Ь 1) у/а — у/Ь у/а+у/Ь J а^ + аЬ' 11.49. Вычислить: I) 815-За/3-35; 2) (2-5?) 3) 32S-(4\/2)^; 4) Ъу/2-2^'^ --Ш. 11.50. Вычислить: 1) (16-°-25 - {2^/Щ 'Л-( 16-0-25 + (2v^) 5 §3. Степени и корни 19 11.51. Упростить и вычислить при указанном значении х: . . 30 . _ . 21 1) при л: = 64; 2) 1 ' 2 ■ ХХ^ . Х^ 17 при X = ^/з. 11.52. Упростить выражение: V2 1) 2) (a-‘4-2-‘) (g Ь2)~‘■ ^ 11.53. Вычислить: ,, 4д2.5_25а3.5 5 1) --------ПС---------т, если а = 9; 2 + 5а°-5 а-3 ПК 121а^'®-4а*'® И _ or « е " ’ ” п » 6СЛ И С1 — Ои. llgO'5-2 0-2 11.54. Найти числовое значение выражения: - (?)"• если если 2х-‘ + //-‘ ’ 4^-* +1/-' _ 0-1 _1 _| X ^ —у ' Второй уровень Найти числовое значение выражения (II.55-11.58). 11.55. 1) 2) ^3 + ^- - Ъ/9-4\/5; 2) VisTiTil. 20 Глава П. Множества и операции над ними Упростить выражение (II.59-11.62). 11.59. 1) 2) 11.60. 1) ^sfa • -Уа^-у/а-, 2) У' \f\'' '' ^ Ул — У) _ 11.61. 1) 2) (v^-S/^) : (^+v^); 3) ^'Уа^ -'У16й52 + : (^ - v^); 4) {b\/&b - Uy/a): [2b + \j2ab + a). 11.62. 1) ay/a + bVb ^a — b . f(JZ^.^yy-bVb b 24 {Va-'/b) + + 2a^ : y/g 3\/^-3fe. a^/a + bVb a — b 4) 1+ yss/ 11.63. Доказать тождество: 1) при a>0. &>0. a^-b>0- 2) при a>0, fe>0, — b>0. 11.64. Сравнить числа Л и В, если; 1) А = у/7- 2%/Ю и В = \/3-2; 2) Л = v^gS-40n/6 и В = 5уД-Зу/2-4. 11.65. Избавиться от иррациональности в знаменателе; 3\/3 04 14л/5 1) V2 + V3+V5' 2) V^+4/5-v/7’ §4. Логарифмы 21 11.66. Решить уравнение: 1) V■ V)? - ^ху/х = 56; 2) Упростить выражение (II.67-11.69). 11.67. 1) а®-\/а'2-4б4 + 4а-'2ь8; 2) \/4с’® — - 2с®. = 240. 11.68. 1) 2) л:-25л:-' _ 2л:4-7 + 5.с-'. л®-®— 4л-9л:-' I л-4+Зл-' .' -' - i \2х^ -Ъх 2 х^ —X 2 11.69. 1) а _ I I а{х — а) 2+(д; —а)2 х аЧх + а)’^ 1 . -(л2-а2)г 4) 3^ + 3\/3- V 3 + v^^+ie^ 2v/3+^j '2У^+-И2^ §4. ЛОГАРИФМЫ Первый уровень Вычислить (II.70-II.72). 11.70. 1) log^27; 2) log^8; 4) ‘ogsv^i^: 8 5) log^ 2^-. 11.71. 1) log^(logi|); 2) Iogg(log4^). 3) 'og2v^ 12’ 6) logvs2j- 22 Глава II. Множества и операции над ними 11.72. I) log93-3 1og^0,2; 2) log25 0,2 + 0,5 1og^6; 3) logy2 8-21ogi 9; 4) 2log^27-4Ig 11.73. Решить уравнение: 2) log2 {x^ - 3a: — 6) = 2; 5) logj^_| 625 = 4; 6) 2^-3 = 7; 7) 82^-* =5; 8) 5^+‘= 1 - \/2; 9) 9'--' = 4. 11.74. Зная, что log3a = 2, log3^ = 6, найти: I) log3(a26); 2) >og3^- Найти числовое значение выражения (II.75-11.82). I) logi {2x + 1) = -3; 3) log;,i^ = 4: 4) log^i = -3; 7) 82^-* =5; 11.75. 1) log3 3,6-log3 1,4 + 1 ogalg; 2) log2 0,8 - log2 11 + log2 22,5; 3) 2 log 1 0,4 - log 1 28 + 5 log 1 4) 5 log >y8-31og2 3 ^ i 3 +1 log? 36. ^ 3 11.76. 1) 3n/3 logs -fi-r. 16 Ь4 2) log^(4N/2); 3) logyr'5^; 4) log0,4v/2-64-- П.77. 1) log25 64 + log5 5|5; 2) 31og27 8-|log9 64-log3l8; 3) log^8-21ogi 9; 4) Iog2s0,2 + 0,5 log^6. 11.78. 1) log3 9v^-logg27v/5; 2) logg 64>/3-log2 2^. 11.79. 1) ^):log^N^; 2) log9)/3^3\/3-log9^. 11.80. 1) (2 logs 3-logs 36): (logs 4 +logs 8); 2) (Iog3 200-31og3 2) :(log3 5 + log3l25). 11.81. 1) *Ogo,75 *Ogl25 2) logi,25 *Og243 31- 11.82. 1) logi,2 27:logi2 9; 2) Iog3l0-lg27. 11.83. Зная, что log2m = 9, log2« = 2, найти; 1) log„(mrt^); 2) log„-^. Вычислить (II.84-11.87). 11.84. I) log3l2 1 log4 3 ’ iog.,225’ 2) log; 49 + log2 14 ■ 4) log,g3 2) log; 2 ’ logg 2 + logg 9 ■ logs 10 -I- log; 10 logs l6-log2 10 ■ 11.86. 1) 2) 3) 27'"«з2; 4) 4-iog;.‘3. 5) 49i-if'g72_5-log-,4. 6) 0,8-(1+9''’Кз8)''’*^«5 5 I 4 Icl2-I|i3 I+Ir6 11.87. 1) 3'‘«ii3; 2) 10'"KI3'"“: 3) 6'ез+1кЗ; 4) 7Ir2s-ir4, П.88. Показать, что при всех допустимых значениях а справедливо равенство: О log3v/3'^ *oga2^=5: 2) bg^2\/2-log8a=4, 11.89. 1) Чему равен loggS, если log2 3 = a? 2) Чему равен logg0,04, если log5 2 = i>? 11.90. Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение; 1) log; {х^-8х-|-7); 2) log^ (8х-х^-15); 3) logg (2х-а;2-1): 4) logi (х2-4х+4). 11.91. Записать выражение в виде суммы или разности логарифмов: 1) log2((-7)-(-5)); 2) log3((-2)3.(-7)); 3) logs -8 (-3)5 4) Ig (~3)==(-6) (-7) • Второй уровень 11.92. Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение: 1) log^(5-3x); 2) log^(7-4x); 3) log;,_з(5-2c)^; 4) log|_,_2|(.T-l). 24 Глава II. Множества и операции над ними 11.93. Выяснить, при каких значениях а и ft справедливо равенство: 1) •oga(*-l)^=2-loga(l-ft); 2) log2_a*‘°=2-log2_a (-ft^); 3) log^2ft=0,51og_^ft; 4) logo6(ft+2)==0,51og^3(ft+2). 11.94. Записать выражение в виде суммы или разности логариф- mob: 1) log2(jCi/), если x<0, 1/<0; 2) logg (—если л:>0, y< 0; 3) logg если х<0. y<0\ 4) 2 Ig-^, если х<0, у<0. Вычислить (II.95-II.98). 11.95. 1) '°^2''J-4log2l,5; log|e7 2) Iog2 20- log2 80. logs 2 ’ 3) log'Ls >°g32-log3l62; 4) logs 4-logs 100 1 5) 6) logj 18 log36 2 log, 9 log72 2 ■ 11.96. 1) 7'g2_2lg7. 2) 2'g‘6_0lg21g6 11.97. 1) •og3lllog|i 191og,9 27; 2) log2 3-log3 4 1og4 11.98. 1) 2® '°g2v^(®“'^)+®>°6o,2s(v^ -v/2). 2) 1 7+2^Д0' Iog2o 5' •Iogi5 16. 11.99. Сравнить: I) logo_3 5 и logons; 2) loggS и loggS. 11.100. Выразить через заданные величины а и ft следующие логарифмы: 1) log[5 49, если a = log7 9, ft = log7 45; 2) Igl5, если a = \g2, ft = lg3; 3) logi2 90, если a = log24 3, ft = log24 5; 4) Iog35ol40, если a = Iogs2, ft = log7 5. 11.101. 1) Чему равен log л г/, если log_^j, (x^i/) = a? 2) Чему равен log^^(x:^), если log^j,2^=a? §5. Суммирование 25 11.102. Найти; 1) log^b, если log^2(, 2) log^a, если (а^&®) = 9; 3) loga62(ai’)- если log^ft (cfc3) = 5; 4) loga62(^^^)' если loga&-log6a=l,5. §5. СУММИРОВАНИЕ Первый уровень 11.103. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 2, а сумма их квадратов равна у. Найти эти числа. 11.104. Третий член возрастающей арифметической прогрессии равен 4, а произведение второго и щестого членов на 5 больще произведения первого и седьмого членов. Найти седьмой член прогрессии. В арифметической прогрессии 06 = ^ и 4- Найти сумму 11.105 11.106 первых шести членов прогрессии. Сумма третьего и шестого членов арифметической прогрессии равна 5, а их произведение равно 6. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии. 11.107. Произведение третьего и девятого членов геометрической прогрессии равно 16. Найти шестой член прогрессии. 11.108. Найти знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если разность третьего и второго членов прогрессии составляет 231% от ее первого члена. 11.109. Сумма двух первых членов геометрической прогрессии равна (—1), а сумма следующих двух членов равна (-4). Найти сумму первых шести членов этой прогрессии. 11.110. Разность четвертого и первого членов возрастающей 26 геометрической прогрессии равна —, а разность третьего и первого членов равна Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии. 26 Глава II. Множества и операции над ними 11.111. Второй уровень 1) Первый член арифметической прогрессии равен 111, а разность прогрессии равна (—6). Какое наименьшее число последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, надо взять, чтобы их сумма была отрицательной? 2) Первый член арифметической прогрессии равен (—100), а разность прогрессии равна 8. Какое наименьшее число последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, надо взять, чтобы их сумма была положител ьной? 11.112. Сумма первых п членов некоторой последовательности {a„},n£N, при любом п выражается формулой 5„= . Найти сумму первых пятидесяти четных членов этой последовательности. 11.113. Арифметическая прогрессия состоит из 105 членов. Сумма членов с нечетными номерами на 1 больше суммы остальных членов. Найти 53-й член прогрессии. Чему равно п, если имеет место равенство 1-|-7-1-13-Ь - • (6п-+-1) — 280? Решить уравнение 5^-5"*-5®= 0,04“^®. 11.114. 11.115 11.116 1) При каких значениях х числа 5x4-2 2 ■ 2 2 являются последовательными членами арифметической прогрессии? 2) При каких значениях х числа х’ х(1-х) 1-х являются последовательными членами арифметической прогрессии? 11.117. Найти число членов геометрической прогрессии {Ьп}, если 11.118. Я=у ь,- 121 —, а сумма членов прогрессии равна Найти число членов возрастающей геометрической прогрессии {Ьп}, начиная с первого, если известно, что Ь\=5, &5 = 405, а сумма членов прогрессии равна 1820. ii 243 И 4,5, из которых вместе с числами ^ и 4,5 можно составить геометрическую прогрессию. 11.119. Найти сумму шести чисел, расположенных между 64 §5. Суммирование 27 11.120. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 3, а сумма членов с пятого по восьмой равна 12. Вычислить сумму членов с девятого по двенадцатый. 11.121. Геометрическая прогрессия состоит из 2003 членов. Произведение членов с нечетными номерами в 3 раза больше произведения членов с четными номерами. Найти 1002-й член прогрессии. 11.122. Арифметическая прогрессия состоит из четырех различных чисел. Известно, что если заменить в ней третье число на единицу, то получится геометрическая прогрессия. Найти исходную прогрессию. 11.123. Три числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если первый член прогрессии умножить на (-3), то новые числа в том же порядке составят арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии. 11.124. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сум.ма равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. 11.125. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 3, а сумма всех членов равна 10. Найти сумму квадратов членов этой прогрессии. 11.126. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S. После того, как из этой прогрессии вычеркнули каждый пятый член, начиная с третьего (3-й, 8-й, 13-й, и знаменатель прогрессии 11.127. Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех ее членов, стоящих на четных местах, в три раза меньще суммы всех ее членов, стоящих на нечетных местах, и сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 484. 11.128. Доказать, что если Sn обозначает сумму первых п членов арифметической прогрессии {a^}. то ^п+3~ 35^+2 “Е 35^+1 ~ Sn = о. 11.129. Доказать, что если при некотором значении п для сумм первых п и 2п членов арифметической прогрессии ), сумма стала равна -^S. Найти первый член 28 Глава 11. Множества и операции над ними {a„},raGN, выполняется условие 52л=4-5л, то при любых тик справедливо равенство ~ ~ • 11.130. Доказать, что если при некотором значении п для сумм первых п и 2п членов арифметической прогрессии {an},rt6N, выполняется условие 3Sn = S2„, то при любом п справедливо равенство а4п_|=3-ал. 11.131. Сократить дробь: 1) х^-128 2) х^-1 3) 32JC-41 4) .«'‘• + 2Д + 1 х—2 ’ х — 1 ' 2х+\ ’ 11.132. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби: 2 . 04 3 1) 2) 11.133 П.134 5^-|' ■^+Г Найти пятый член разложения + > если отношение коэффициента 3-го члена к коэффициенту 2-го равно 5,5. В разложении бинома (\/1-ьа-коэффициент третьего члена разложения равен 28. Найти средний член разложения. 11.135. Найти сумму коэффициентов разложения (a-f-ft)", если известно, что наибольший коэффициент имеют пятый и шестой члены разложения. / I N 12 В разложении бинома + 11.136 11.137 наити член, не содержа- щий X. В разложении бинома X наити член, не 11.138. 11.139. 11.140. 11.141. ь содержащий а, если сумма биномиальных коэффициентов трех первых членов разложения равна 79. 17 Найти члены разложения (•УЗч-'УЗ) , не содержащие иррациональностей. Найти член разложения (^4-V^) , не содержащий иррациональностей. Сколько рациональных членов содержится в разложении При каком значении п коэффициенты 2-го, 3-го и 4-го членов разложения бинома {а + Ь)'' составляют арифметическую прогрессию? §6. Числовые неравенства 29 §6. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА Первый уровень 11.142. Доказать, что для любых действительных чисел а и Ь верно неравенство; 1) a^-8a + b^-2b+20>0] 2) a^+4b^^2a-l. 11.143. 1) Доказать, что для любых действительных положитель- ных чисел а выполняется неравенство а+-^2, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а — \. 2) Доказать, что для любых действительных отрицательных чисел а выполняется неравенство а-|--!-<-2, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = —1. 11.144. Доказать, что для любых действительных чисел а и Ь выполняется неравенство: 1) >0; 2) —aй-|-Ь^>0. 11.145. Доказать, что для любых действительных чисел а и 6 выполняется неравенство: 1) а^-|-96^-4а6^0: 2) a^-ЗaЬ-l-Зй^-l-l>0; 3) а?—2аЬ-\-Ь‘^-\-^{a-b+\)'^Q\ 4) a^-fft^-l-2a^>-2a-2fe^-2>0. Доказать (11.146-11.149). 11.146. a^-f27^3a^-t-9a, если а>0. 11.147. 2 если а>0. Л Z а 11.148. если а>0, b>Q. 11.149. “+A>l4-l если а + Ь>0, а^Ь, а^О. а О 11.150. Пусть W Ь>0, d>0. Доказать, что О а о b-Vd d 11.151. Сумма квадратов положительных чисел а и Ь равна единице. Доказать, что 30 Глава II. Множества и операции над ними Второй уровень 11.152. Доказать, что для любых действительных чисел а и Ь выполняется неравенство: 1) а^-2аЬ+2Ь^ + 2а+3>0\ 2) а^ + 5й^ + 4а6-2а-66+3>0. Доказать (II.153-II.156). 11.153. (1 — а)(1 —й)(1-с)>8аЬс, где а + &+с = 1, а>0, Ь>0, с>0. 11.154. a + b+0\/^+y/bc+y/ac, где а^О, Ь^О, с^О. 11.155. х + -^2\/а, где а>0, х>0. X 11.156. где а>0, Ь>0, neN. Доказать (II.157-II.164). 11.157. 2">п^ при всех «6N, п^5. 11.158. 2'’>п^ при всех «eN, п'^Ю. 11.159. 1 + 1 + 1 + ... + ^ при всех пб1 11.160. + + при всех neN. п^2. п + 1 п+2 л + 3 2л 48 ^ 11.161. 1 + 1+ 4при всех /leN, п^2. Z О П П~\-\ 11.162. i 3 5 2'4'б' 2п-1 1 2л v^^TT при всех rteN. п.163. 5<1+1+1+... + 5^ при всех «6N. 11.164. l + -b + -L + ... + -i>^- при всех neN, п^2. V- 3^ л^ 2л+1 ЗАДАЧИ повышенной СЛОЖНОСТИ к ГЛАВЕ II 11.165. Найти количество трехзначных чисел, кратных 1) 21, 77 и 33; 2) 8, 12 и 18. 11.166. На выпускных экзаменах по алгебре, геометрии и физике каждый выпускник получил оценку «5» или «4», причем оценку «4» каждый получил не более одного раза. Оценку «5» по алгебре и геометрии получили 55% выпускников, по геометрии и физике — 30%, по физике и алгебре —45%. Сколько процентов выпускников получили оценку «5» по всем предметам? Задачи повышенной сложности к главе II 31 11.167. Решить уравнение; 1) Гд:-31 Гх-21. 2) Гл: + 11 X — Z 2 L 3 J’ L 3 4 11.168. Решить уравнение: 1) {3л:-0,7} = 5{х} + 0,3; 2) {5л:+0,6} = 2{jc}-0,4; 3) {5д:+0,3} = 9{л:}-3,2; 4) {9л:+0,9}=3{л:}-^^. Доказать равенство [\/М] = 1\/^]-Упростить выражение: \/х^+2х+1 — \/х^ — 2х+1, Г). v/iT—2\/и -1 -h \/а+2-Уа — I 11.169. 11.170. 11.171. П.172. J ^ V I ^ — V Т I . 2^ v/x2+2x+1 f \/л2 —2х+1 \Лг2 -4а + 4 \/а2+4«—5 + \/о2-За+2 Сократить дробь Н 1) v/a2—2а f 1 Найти значение выражения: 2+V3 , 2-n/3 = + ■ 2) У2+\/3+У4 ч/2 + \/2+\/3 х/2-v^wl' v^+\/3+V^+\/8+\/r6' 11.173. Освободиться от иррациональности в знаменателе: 1) 1 2) 11.174. 11.175. Доказать, что является иррациональным число; 1) 2) s/2+^. Доказать, что является рациональным число: 242 ,3 з/ w-^-V 1) ^2+^5-^2-V5-, 2) j 11.176. Найти значение выражения: 1) ('Ш', 27 2) \/5-2у/6 (54-2л/б) (49-20у/б) \/27-3VT8f3\/i2-\/8 11.177. Упростить выражение: . JУх^+\/2- V^-2 ^-2%/2 и -----------/.....—-----------sjx,', 2J \/ + v^-3 v^^-3\/3 ■N^ 32 Глава II. Множества и операции над ними 11.178. Вычислить; 11.179. 11.180. П.181. 11.182. 11.183. 11.184. 11.185. 11.186. П.187. П (\пр 0^2 I logs 324. !£й24_1о|2^ ) [Og^y) + . Сравнить числа; 1) log3 4 и logs 6; 2) ■0^1.35675 и log4s75. Сравнить числа logg 32+log4 27 и 4. Доказать, что Ig = | (Iga + lg^). если + Ь'^ = 7аЬ. Найти сумму + +•••+(-^* + ‘1) - Х7^±1. 1) Шестой член и разность арифметической прогрессии удовлетворяют неравенствам 1<аб<3, l2 = 5, 63 = 10. 2) Последовательность {6п} такова, что разности соседних членов Ьп^\ — Ьп образуют арифметическую прогрессию. Найти 6204. если &i = 86, &2 = 88, &з = 93. Из пункта А в пункт В с интервалом в 4 минуты вышли 22 спортсмена, каждый из которых затратил на весь путь 1,5 часа. Одновременно с ними из пункта В в пункт А выезжали велосипедисты, каждый из которых затратил на весь путь одинаковое время. В пути произошло 439 встреч (без учета встреч в пунктах А и В). Какие значения может принимать время нахождения в пути каждого велосипедиста? Найти первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается Ответы к главе II 33 от суммы следующих шести членов менее, чем на 450, а сумма первых пяти членов превышает более, чем на пять, сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии. п 11.188. Вычислить сумму S=Y^k^. *=1 11.189. Пусть а^0,й^0,с>0. Доказать неравенство 3 (a^ + b^+c^"j~^{a+b+c) (а^ + Ь^+с^^ . 11.190. Пусть а>0,Ь>0,с>0. Показать, что при любом neN выполняется неравенство 11.191. Доказать неравенство + х + 2^ + X + ^ ^3 - х^^ ^х^ + X + - 1. 11.192. Доказать неравенство (2х^ + 5х — 2) (х^ + х + 2) + 16 ^ 0. 11.193. Применяя неравенство Коши—Буняковского, доказать, что при а€[1;7,5] выполняется неравенство Va-l + 2V3a - 1 + 3\/30 - 4а < uV2. При каких значениях а достигается равенство? 11.194. Найти наибольшее значение выражения а — ЗЬ — 2с, если 5q2 + + 2с2 = 70. При каких значениях а, Ь и с оно достигается? 11.195. Найти наименьшее значение выражения А — 2а} + 6&2 - 4а& + Зс^ - 6с, если 4а —26 + 3с = 43. При каких значениях о, 6 и с оно достигается? 11.196. Доказать неравенство (1 + 2а2 + 2а)^ > 240^ + 24о — 4. При каких значениях а выполняется равенство? ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ II II.1. 1) Неверно; 2) верно; 3) неверно; 4) верно. II.2. 1) 0, {1}, {а}, {1,а}; 2) 0, {а}, {Ь}, {с}, {а,Ь}, {а,с}, {Ь,с}, {а,Ь,с}. П.З. /4иб = (-2;5), ЛПВ = [-1;3], Л\/?=(3;5), 5\/1 = (-2;-1). II.4. I) Л UB = №, ЛпВ = (2;2], А\В = (-оо;—2), S \ Л = (2;+ос). II.5. 1) Неверно; 2) неверно; 3) верно; 4) неверно; 5) верно; 6) верно. II.7. С = Л\В= {5;7}. 2-5682 34 Глава II. Множества и операции над ними И.8. C = v4 иб = {-2,3,9.10}. И.9. Л П5 — множество натуральных чисел, кратных 60. 11.10. Л П В — множество натуральных чисел, кратных 84. 11.11. R П Р—множество квадратов. 11.12. Л \ В — множество трапеций. 11.13. Л П В—множество равносторонних треугольников. 11.14. ЛиВ = М\{1}. 11.16. 1) 450; 2) 150. 11.17. I) 300; 2) 150; 3) 75 4) 475. 11.18. 1) 2) 3) ||; 4) i. 11.19. 1) 1,17(2); 2) 1,069(4) J О 00 11 3) 2,02(27); 4) 16,(714285); 5) 2,(076923); 6) 2,0(714285); 7) 2,0(461538) 8) 0,091(6). 11.20. 1) 0,(09); 2) 0,68(923076). 11.22. 1) а <6; 2) я > & 3) я< 6: 4) я< 6; 5) я > &; G) а < Ь. 11.23. 1) 2 - \/2; 2) 1 + - \/5 3) -ч/3-\/5; 4) 2ч/2-А 11.24. 1) 1-2.^ с, если .v'€ (—эо;0,5); 2х—\, если Л'€ [0,5;+оо); 2) — 4, если х € (—оо; —2]U|2;+эо); 4 — если л; е (—2;2); 3) х^ — Зх - 4, если х € (—оо;-1] U |4;+оо); 4 + Зх —х"*, если х€(-1;4); 4) х^-2х, если х 6 (-оо; 0] и [2;+оо); 2х—х^, если хе(0;2); 5) -Зх - 5, если X € (-оо; —3]; х + 7, если х € (-3; 1); Зх + 5, если х € (1; +оо); 6) 2х — 3. если X € (—оо; —0,5]; 6х — 1, если х€(—0,5;2|; 3 - 2х, если х6(2;+оо). 11.25. 1) 3; 0; -5; 0; 3: 0.9; -6; 0,8; -1; 0.6; 2) 1; 1; -3; 3; -4; -1; |. 11.26. 1) 1; \/2 - 1; 2; У7 - 2; -2; 2 - v/2; -3; 3 - s/E; -1; I - 2) 2; v/2 - 1; -3; 2 - v/2; -1; 2 - n/2; 0; 4 - v/lS. 11.27. 1) (0,75; 1); 2) [-0,4;-0,2); 3) [1; 1,2); 4)[2;3); 5)[2;2,5); 6)[1;|). 11.28. 1) я-0,8, я €Z; 2)я + 0,3, ябЖ; 3)^ + £.яег; 4)я+|,я€2; 2 э о 5) — + д, /Z G - 6) ^ + «е: 2 + 1 3 6 11.30. 1) Конечная, 5 знаков; 4 знака; 4) периодическая, 3 о, 136 6Г’ 4) ' 65 11.29. 1) 1^; 2) |; 2) конечная, 6 знаков; 3) конечная, знака; 5) периодическая. 2 знака; 6) периодическая, 4 знака, 11.32. 1) Решение. Пусть v'^+v^ = fleQ, — 3v^=^eQ, € Q. Далее доказать, что это неверно. 11.33. 4) Указание. Предположить, что \/2 + n/З + \/5 = я € Q, перенести Л в правую часть, возвести в квадрат и показать, что тогда \/6 + oV5 6Q, далее доказать, что это неверно. 11.34. 1) Да; 2) нет; 3) нет; 4) да 11.35. 1) fl6; 3) я< Ь; 4) я > 6. 11.36.1)7; 2)19; 3)33 2) 139-14л2. 11.38. 1) -2; 2) -1; 3) -| 4) 17. 11.37. 1) Зд2 - 29 3 5 4) i. 11.39. 1) 2) 0,15; 3) -1; 4) -13,-|,-|,-5. 11.40. 1) 5 О О 2) 0,16; 3) 32; 4) 12, 11.41. 1) | >5 2>) 4) l,6 + 0,8 -i)^ + 0,4 -^. 11.43. 1) х- 1; 2) 1 - Зх. 11.44. 1) \/1?\ 2) —у/—х^\ 3) v^x^; 4) —^{2 — х)^; 5) s/x^y при X ^ о, -\/х^ при X < 0; 6) \/(х — \)'^у при х ^ 1, - >/(х — \ )‘^у при х < 1. 11.45. 1) у, 2) Ы; 3) 8|х|-®; 4) |х|. 11.46. 1) ^ \/а +1. Г 2) 1 а — s/aVb-^ Ь' Ответы к главе П 35 3) ^-Vb-, 4) b + as/b + a^. 11.47. 1) л:; 2) ^х. 11.48. 1) 2) 2а. 11.49. 1) -6; 2) 15; 3) -30; 4) 4. 11.50. 1) -1,75; 2) -|5. 11.51. 1) 8; 2) 3. 11.52. 1) у/2\ 2) 11.53. 1) 486; 2) 432. 11.54. 1) 2) -j. 11.55. 1) 3; 2) 4. П.56. 1) 1; 2) 0. П.57. 1) 2; 2) -И; 3) 1; 4) 1. П.58. 1) 4; 2) -2%/7. П.59. 1) 2) л:. П.60. 1) а; 2) 3) v/a; -2 П.61. 1) 2) 3) ^ 4) - ^/а. II.67. 1) 26‘*а если — О' П.71. 1) 2; 2) 16| $ 1^: 2fl*^ -26‘'a-^ если 16| > -; 2) -d^c' 4) П.62. 1) 0; 2) 3; 3) --Уб; 4) П.64. 1) Л > В; 2) Л < В. П.65. 1) ^ ^1; 2) 11.66. 1) 1024; 2) ±8. если d®c-®. если Ml >v^cl П.68. 1) 2) 9х. П.69. 1) 0; 2) хЬ 3) 4) 4. П.70. 1) 6; 2) 9; 3) -2; 4) -2; 5) -6; 6) -4. П.72. 1) 6,5; 2) 0,5; 3) 10; 4) 10. П.73. 1) 13; 2) 5, -2; 3) 0,5; 4) 2; 5) 6; 6) 3 + log2 7; 7) 8) нет корней; 9) I _ |ogg4. 11.74. 1) Ю; 2) 0.5. 11.75. I) I; 2) 4; 3) 2; 4) 2. п.76. 1) 1,5; 2) |; 3) -|; 4) -4. П.77. 1) 3; 2) -2; 3) 10; 4) 0.5. П.78. 1) 0,5; 2) 1. П.79. 1) 1; 2) -I. П.80. 1) -0,4; 2) 0,5. П.81. 1) -1; 2) -1. II.82. 1) 1,5; 2) 3. П.83. 1) 7.5; 2) -i. П.84. 1) 1; 2) 3; 3) 0; 4) 1. П.85. 1) 1; 2) 1. П.86. 1) 5; 2) 2; 3) 8; 4) 0,04; 5) 12; 6) 4. П.87. 1) 11; 2) 169; 3) 4; 4)60. П.89. 1) 2) -I;. П.90. 1) х < 1,х > 7; 2) 3 < х < 5; II.91. 1) Например, 2а' 36' 3) таких значений х не существует; 4) х / 2. ----,— log2 7 + log2 5; 2) например, log3 8 + log3 7; 3) например, logj 8 - log5 243; 4) например. Ig9 + lg6-lg7. П.92. 1) (0; 1)U(l; l|); 2) (-ll;-l)u(-l;0); 3) (3; 4) U (4; 5) U (5; +cx.); 4) (1; 2) U (2; 3) U (3; +oo). 11.93. 1) a > 0, аф\, 6 < 1; 2) a < 2, a / 1, 6 < 0; 3) a < 0, a ^ -1, 6 > 0; 4) a > 0. a Ф \, b > -2. 11.94. 1) Например, log2(-x) + log2(-y); 2) например. 21og3 x + log3(-i/); 3) например, 2 log5(-x) + 3log5(-(/); 4) например, 2lg(—(/) — lg3 — lg(—x). 11.95. 1) 6; 2) 4; 3) 4; 4) —1; 5) 2; 6) 2. 11.96. 1) 0; 2) 0. 11.97. 1) 3; 2) 4. 11.98. 1) 25; 2) 11. 11.99. 1) logo_35 < logo,25; 2) logB5 < log6 5. 11.100. 1) 2) 6-a + 1; 3) 11.102. 1) -1,25; 11.104. 8 11.105. Siz Ч- 36 + I a + 2 2) -2,5; 3 4' 121 4) 2a6 + 6 + 1 q6 + 26 + Г 3) 1= 4) |. 11.106. 28i или 2l| 11.101. 1) 3-2a' 2) 3a+ 1 2 2 11.103. i,|,l или 1,5,5. 11.107. ±4. 11.108. 2,1. 11.109. -21. 11.110. 11.111. 1) 39; 2) 27. 11.112. -12350. 11.113. 1. 36 Глава II. Множества и операции над ними II.II4. 9. II.1I5. 7. II.II6. 1) 1; 2) (-оо; 0) и (0; 1) U (1;-1-оо). 11.117. 5. П.118. 6. 11.119. 8^. П.120. 48. П.121. 3. о1 300 II 122 - -- —- —2 4> 2’ 4’ П.123. 3. П.124. 6| =&,q= -0,5. П.125. П.126. &i = l,5S,i? = = -0,5. П.127. 486. П.131. 1) + 2х^ + 4х* + 8х® + 16х^ + 32л: + 64 2) х'^ + х^ + х'^ + X + I. 3) 16.*'' - 8а:^ + Ах^ - 2х + I 4) ^д:®-л;^+л:'‘-л:^+л:2-х+1у^ П.132. I) ^ + sfTf + + ^ + I 2) ^-v^+^-v^+l. II.133. 40095Х-2. П.134. 70 (* П.135. 512. и 55080. П.136. 495 16 II.137. 7926-^ П.138. 3672 II.139. 60. П.140. 26 членов. П.141, п = 7. II.165. I) 73; 2) 175. П.166. 15. П.167. 1) [1;2) U (3;7) U (8;9); 2) [-22;-21)и[-19;-17)и[-13;-10)и(-9;-7)и[-5;-4). II.168. I) 2) ^ + Л, ft G 13 42 + ft, ft 6 + ft, ft G IL\ 1 3) I + ft, ft e 4) i + ft, ft e 2) 2v^l 11.170. 1) -, если |x| ^ 1; x, если |л'| < 1; если a > 2; „ ^ , если I ^ a < 2. 11.171. \/q 4- 5 + \Ja — 2, a-2 если 0^2; 2-q' V'-fl — 5 + %/2 — a. если a < —5. 11.172. 1) v^: 2) - 1. 11.173. 1) 0,5 (^+2^+4); 2) 7^-v^-3 11.176. I) -i/2-, 2) 1. 11.177. I) s/2\ 2) V^. 11.178. 1) 4; 2) 3. 11.179. I) log3 4>log5 6; 2) log|35 675 > log^j 75. 11.180. log9 32 + !og4 27< 4. 11.182. '^) 4. 15 11.183. 1) (-40; 12); 2) (15,75; 24,5). 11.184. 13,5. 11.185. 1) 40 402; 2) 62 001. 11.186. (48; 52] мин. _ n^(l + 11.187. 54. 11.188. S 11.193. 0 = 3. 11.194. Наибольшее значение выражения равно 28 и достигается при а = 0,5, 6 = —7,5, с = —2,5. II.195. Наименьшее значение выражения равно 77 и достигается при о = 7, 6 =г -3, с = 3. П.196, а = Глава III ФУНКЦИИ §1. ЛИНЕЙНАЯ, КВАДРАТИЧНАЯ И ДРОБНОЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИИ Первый уровень 111.1. Выяснить взаимное расположение прямых: 1) £/ = 2x4-3 и £/= 4х - 5; 2) £/ = -3x4-6 и £/=-3x4-7; 3) 2\/Зу 4-2х — 2\/2 = О и \/бу + \/2х — 2 — 0\ 4) 2у + х = 3 и £/ = -2x4-4. 111.2. Написать уравнение прямой, если эта прямая: 1) пересекает координатные оси в точках (2;0) и (0;-12); 2) проходит через точки (1;1) и (—2; 10). 111.3. 1) Найти площадь треугольника, образованного осями координат и прямой £/ = -2x4-4. 2) Найти площадь треугольника, образованного осью абсцисс и прямыми £/ = —Зх —10 и у = 0,5х — 3. 111.4. 1) Написать уравнение прямой 1\, которая проходит через точку /4(1; 2) перпендикулярно прямой /г> задаваемой уравнением £/ = -2x4-3. 2) Написать уравнение прямой /], которая проходит через точку /4(—1;3) перпендикулярно прямой /г- задаваемой уравнением у = Ъх—\. 111.5. 1) Написать уравнение прямой 1\, проходящей через точку /4(-2;3) параллельно прямой /2, проходящей через точки В(2;2,5) и С(1;3). 2) Написать уравнение прямой 1\, проходящей через точку /4(1;—2) параллельно прямой /2, проходящей через точки fi(-l;3) и С(2;9). 111.6. Построить график функции y — f{x). Указать область ее определения, множество значений, наибольшее и наименьшее значения (если они существуют), промежутки монотонности: 1) /(х) = х^ 4- 4х 4-1; 2) /(х) = -x^ 4- 6х 4-1. 38 Глава 111. Функции 111.7. 1) Найти уравнение параболы с вершиной в точке (1;-8), проходящей через точку (2;—12). 2) Найти уравнение параболы с вершиной в точке (—3;1), пересекающей ось ординат в точке (0;-8). 111.8. 1) Построить график функции у = —х^ — бх + а, если известно, что ее наибольшее значение равно 4. 2) Построить график функции у = — 2ах — За, если известно, что ее наименьшее значение равно 2. 111.9. Найти значения параметра а, при которых парабола у = ax^ — 4х + а + 3 расположена; 1) выше оси абсцисс: 2) ниже оси абсцисс; 3) пересекает ось абсцисс в двух точках; 4) касается оси абсцисс. III.10. Построить график функции y = f{x). Указать область ее определения, множество значений, промежутки монотонности; 2 . о\ _ X О = •3’ 2) fix) = K-r Второй уровень 111.11. 1) Написать уравнение прямой /[, проходящей через начало координат и пересекающей прямую /г, заданную уравнением у — —Ъх -Ь 2, под углом <р = 30 2) Написать уравнение прямой /], проходящей через начало координат и пересекающей прямую /2, заданную уравнением у = 2х+\, под углом ф = 45°. 111.12. Выяснить взаимное расположение прямых; 1) у = а^х—\. и у — [2а + Ъ)ха\ 2) у=[а^ — Щх + 2 и у = [а — \)х + а. 111.13. 1) При каких значениях параметра а функция у = ах^ -Ь 4х -1- 2 возрастает на промежутке [2; 4]? 2) При каких значениях параметра а функция ^/ = ax^-6x^-2 убывает на промежутке [-1;2]? 111.14. I) При каких значениях параметра а график функции у = х^ + ах — 2а + 10 пересекает ось Ох в двух §2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям 39 точках, расположенных по разные стороны от начала координат? 2) При каких значениях параметра а график функции у = ах^ + X — 2а пересекает ось Ох в двух точках, расположенных по разные стороны от точки (1;0)? t 4“ I 111.15. 1) При каких значениях параметра с функция I/— убывает на промежутке [—0,5;1)? 2) При каких значениях параметра с функция i'— возрастает на промежутке [—1;1)? §2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ЧИСЛОВЫМ ФУНКЦИЯМ Первый уровень 111.16. Пусть множество значений функции y = f{x) есть отрезок [—6;2]. Найти множество значений функции; \) у = 2/(х) - 7; 2) у =3- Щх)- 3) у ^ ^/[{х) + 7; 4) у = (/(х))2; 5) у = (/(х) + 7)2; 6) у ^ {[(х) - 4)2; 7)y = |/W|: 8)i/=l/W + 81: 9) у = |/(х)-3|. 111.17. Найти множество значений функции: 1) /(х) = |х + 4| - 3; 2) /(х) = 5 - |х - 21; 3) /(х) = |2х - 6| + 1; 4) /(х) = 3 - |6х + 3|. 111.18. Найти множество значений функции: 1) f{x) = |х - 1| - |х - 2|; 2) /(х) = |х + 1| + |х - 2|. 111.19. 1) Каким выражением задается функция у = /(х), если f[-^)—x + 3 при любом неотрицательном значении X? 2) Каким выражением задается функция у = /(х), если /(2+х) = 8 — 4х — x^ при любом действительном значении х? 111.20. Решить уравнение: 1) 1{х^)=[{х), если /(x)=x^^-l; 2) f {х + 6) — f [х^), если /(х) = 3 —X. 40 Глава III. Функции 111.21. Найти f{g{x)) и g(/(x)), если; 1) f{x) = 2x + l, g(A:) = |x|; 2) f{x) = )P-, g(j:) = л: + 3. 111.22. Найти функцию f{f{x)), если: 1) /(jc) = 2a; + 1; 2) /(je) =-3jc + 1. 111.23. Найти функцию f{f{x)), если: 111.24. 1) Найти /(/(1)). если /(x) = | 2jc -1,' 2) Найти /(/(6)), если /(x) = | f ' 111.25. 1) Найти множество значений функции f{x)—x + X 2) Найти множество значений функции f{x)=x — ^. Второй уровень Найти область определения и множество значений функции (III.26- III.29) III.26. *) /(■*) — \/х^ - 2х - 3; 2) /(х) = sZ-x^ Ч- X Ч- 2. III.27. 1) fix) = 2) = III.28. 1) /(х) = X Ч- \/х - 1; 2) /(х) — у/1 — X — 2х. III.29. 1) /(х) = X 4- 4\/х Ч-1 -Г 5; 2) /(х) =-X Ч-2i/x — 1. §3. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Первый уровень III.30. Найти точки, в которых непрерывна функция; '/л '/л §3. Свойства функций 41 III.31. Исследовать на четность и нечетность функцию; 3) f(x) -х^ + + I; 2) f{x)=x^ + 2x^\ 4) Цх) = х+1 х-\' 111.32. Пусть наименьшее и наибольшее значения функции y = f{x) равны соответственно А и В. Найти наибольшее и наименьшее значения функции; \) y = 3f{x) + 4: 2) у =-fix)-, 3) y = b-2f{x)- 4) y = -2-5f{x). 111.33. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке; 1) [{х) = \х-3\, [2;5]: 2) /(х) = |1 -Зх|. [1;5]; 3) /(л:) = 1^2-4|, [-1;3]; 4) /(х) = |л:(6 - х)|. [7; 9]. 111.34. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке; \) f{x)=x^ + 4x-l2, [-3;!]; 2)/(а:) = -хЧ6х+1, [-2;4]. 111.35. 1) Функция f{x) определена на всей числовой прямой, периодическая с периодом 7 = 2 и на отрезке [0; 2] задается формулой f{x) = х^ — 2х. Построить график функции 1{х) на отрезке [—4; 4]. 2) Функция f(x) определена на всей числовой прямой за исключением х cZ, периодическая с периодом 7 = 1 и на промежутке (1;2) задается формулой f{x) = x^. Построить график функции f{x) на отрезке [—4; 5]. 111.36. 1) Функция j{x) нечетная и периодическая с периодом 7 = 10. Найти значение /(1004), если /(-4) = 1,5. 2) Функция f[x) четная и периодическая с периодом 7 = 40. Найти значение /(1604), если /(—4) = —4,5. Второй уровень 111.37. Исследовать на четность и нечетность функцию; 1) f[x) = \/5 — — 4л: — ^/5 - + 4jc; 2) f{x) = \/х^ — \ - ^х^ + \\ 3) f{x) = \/х- 1 - \/х + 1; 4) /(х) = |х-1|-|х+1|. 42 Глава III. Функции III.38. 1) При каких значениях параметра а функция f{x) = __ ах +1 а'^ — а + является нечетной? 2) При каких значениях параметра а функция f{x) = ах — 2 + а + х является нечетной? что что функция функция 111.39. 1) Вычислить /(—3), если известно, g(x) = /(x)+x^ четная и /(3)=4. 2) Вычислить /(5), если известно, g(x) =/(х)-г х^ нечетная и /(-5) = 1. 111.40. Найти промежутки монотонности функции: 1) /(^) = 2) f(x) — \/х^ — X. 111.41. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке; ' [-1;2]; 2) , [-3;0]; х^ + 2х + 3 1) /(х) = 3) f(x) = x^+2' [-5;!]; 4) f(x) = 1 |х + 4| + 5’ ‘ ^ ' 3-|2-х| 111.42. 1) Привести пример двух функций, наибольшее значение суммы которых не равно сумме их наибольших значений. 2) Привести пример двух функций, наибольшее значение суммы которых равно сумме их наибольших значений. 3) Привести пример двух функций, наибольшее значение произведения которых не равно произведению их наибольших значений. 4) Привести пример двух функций, наибольшее значение произведения которых равно произведению их наибольших значений. 111.43. 1) Привести пример функции f(x), наибольшее значение модуля которой не равно модулю наибольшего значения самой функции. 2) Привести пример функции f(x), наибольшее значение модуля которой равно модулю наибольшего значения самой функции. 3) Привести пример функции f(x), квадрат наибольшего значения которой не совпадает с наибольшим значением функции /^(x). §3. Свойства функций 43 4) Привести пример функции f{x), квадрат наибольшего значения которой совпадает с наибольшим значением функции 111.44. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = f{x) на указанном промежутке: 1) f{x) = x^-х^~ 2, [-3;21: 2) f{x) = х^ + х^ + \, [2;+оо): 3) f{x) = x-6y/x-\-3, [4; 25]: 4) f{x) = 8-/ic- X, [9;+оо). 111.45. 1) Для каждого действительного числа х обозначим через f{x) наибольшее из чисел х"^х + 3 и 11-Зх. Найти наименьшее значение функции f{x). 2) Для каждого действительного числа х обозначим через f{x) наименьшее из чисел —х^, х — 2 и 2 — Зх. Найти наибольшее значение функции f{x). 111.46. Найти основной период функции: 1) Цх) = {2хУ. 2) /^ = {5}; 3) /W = {44 + 1; 4) f{x) = -{!]. 111.47. Найти один из периодов функции: 1) Дх) = {8^} + {6х}; 2) /W = {f} + {f}: 3) f{x) = {2х} • 4) f{x) = {15х} + {бл:}. 111.48. 1) Функция f{x) периодическая с периодом 3. Зная, что f (х^) = х^ - Зх‘* при л:е[0;\/3], найти /(-1). 2) Функция f{x) периодическая с периодом 4. Зная, что / (х^) = X® - 4х® при хб(0;2], найти /(-3). 111.49. 1) Известно, что f{x) — нечетная периодическая функция с периодом 4 и /(х)=х‘^ —2х® при xg(0;2]. Вычислить сумму /(1) + /(2) + ... + Д150). 2) Известно, что /(х) — нечетная периодическая функция с периодом 6 и /(х) = 3х-х^ при хб[0;3]. Вычислить сумму /(1) + /(2) + ... + /(100). 44 Глава 111. Функции §4. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Первый уровень III.50. На рисунке изображен график функции y = f{x). Построить графики функций: 1)у = /(х-2): 2)y = f{x) + 4- 3) у =/(-0,5л:); 4) г/ = 3/(л); 5) у = 0,5/(л:); б) y = -f{x)\ 7) y = f{2x + 3)- 8) y^f{4-x). = Путем элементарных преобразований графика функции построить графики следующих функций: I) у = /(Зх): 2) у = f[2x - 4); 3) у = /(1 - х); 4) у = 2/(х); 5)у = -/(х); 6) г/=/(х + 1) - 2; 7) у = /(|х - 2|); 8) у = f (1х| - 2); 9) у = 3 - |/(х)|. С помощью элементарных преобразований построить графики функций. Для каждой функции указать область определения, множество значений, промежутки монотонности (III.52-III.58). график функции ' 1, если X ^ -3, — х-2, если У -3 <х < 0, 2х — 2, если 0 < X < 2, , 2, если X > 2. III.52. 1) у = х2; 2) у = х2-4; 3) у= (х-3)2; 4) у = 0,5x2; 5) у = (0,5х)2; 6) у = -(х + 3)2 + 9 III.53. 1) y = i; X 2).-‘Г: 3)y = -i; х-3’ б) ^ х + Г §4. Графики функций 45 111.54. 1) у=—х^ + 4х + 5: 2) у ——х"^4\х\ + Ъ\ 3) у=\-х^-\-4х + Ъ\\ 4) у — \- х"^ + А\х\ + Ъ\. { —.3^ у 4- 2^^ — 1- РГЛИ у < — I ! 111.55. у^ 111.56. 111.57. .=1 4х, если JC > — 1 г —если х ^ 1; [ —2х + 2, если л:> 1. 1) У = 2) у^^/х- 2; 4) у=у/^\ 5) у = у/х-3\ 7) n=\/i- 8) 1) У=х^\ 2) у = {2xf- 3) у = \х-2\^- 4) у=[\х\-2)\ 3) у = -s/x] 6) \/W; 1П.58. На координатной плоскости построить множество точек, координаты (х,у) которых удовлетворяют указанному условию (1П.59-П1.63). III.59. I) -3){у + \) = 0- 2) 4у 2 - 9а;2 = 0; 3) — 2ху — Зг/^ = 0; 4) 2х '^-7ху- 4г/2 = 0. III.60. 1) - 4)2 + (£/+ 2)2 = 25; 2) х2 + у2 = 3) 4- 4х 4- + 6^ = 3; 4) х2 4- i/2 - 8х + 2г/ + 8 = 0 III.61. 1) х + 2у — 3> 2) 2у — Зх + 6 ^ 0. III.62. 1) I/ + 4 > — Зх; 2) у- - 6х + 9 < —х2. III.63. 1) + у2 ^ 9г/; 2) х2 + i/2 > 2х - 4у. Второй уровень Построить график функции. Для каждой функции указать область определения, множество значений, промежутки монотонности (Ш.64-П1.72) III.64. I) у = lljjcl - 3| - 2|; 2) у = |2 - |4 - |x + 3|||. 1 .о жжж .. 2х-3 III.65. у = III.67. г/ = + 3. 2х-1 2л: - 1 х+\ ■ 111.70. г/ - 1-Зу^. III.66. у = III.68. у = х-2 ■ 4у-5 2лг-4' 111.69. у - ЗИ-2 |х|-1 ■ III.71. г/ = n/5 + 2х - 3. III.72. 1) y = V9-3x-2-, 2) г/ = - 3 |х| - 2; 46 Глава III. Функции 3) г/ = \/|9 - Зх| - 2; 4) у = \,/9 - 3\х\ - 2\. Построить график функции, предварительно заменив ее тождественно равной (III.73-in.83). III.73. у= У(2л:-3)2. III.74. у = Ъ+х—4х^ ^/27xЗ + l8x^ Ш.75. у= , ^ 2х^ + х-1 П1.77. у=^/х^ + 2х+\-\/х^-2х+\. III.79. г/=(^/л;2-бл:)^-л/(36-6л:)2. Зх-6 ч/3^+2 III.76. —|х|-|-3. III.78. i/=jc2-|jc-|-l!-l. III.80. 1/-:|л:-|-2|-|л:2-1|. |л:-4|-1-2' 8л: III.81. (/ = 111.83. i/=|2;, + 5|_|2;£_5| • 111.84. Построить график функции jt 5 III.82. у^ |2х-3| У ^ \f{f{x))\ + 2, где fix) х-\' Построить график функции (III.85-III.86). 111.85. 1) у = [х]\ 2) у = [х + 2у, 3) у = [2х-2\\ 4) г/ = [3-л:]. 111.86. 1) у = {х}\ 2) г/ = {х-1,5}; 3) у = 2{х] — Ъ\ 4) ^ = {0,5х}-f-1. На координатной плоскости построить геометрическое место точек, координаты [х.,у) которых удовлетворяют указанному условию (III.87-III.91). 111.87. \у+\\^х-2. III.88. \у + 2\-\х\ = А. 111.89. 1) \у + х\=у, 2) \х-у\ = х-2. 111.90. 1) {х + Ъ){у - 2) у^ -Ъх"^ -Аху <0. 111.91. 1) |(/ - 2| < |л: -Г 3|; 2) \у\ < j.t -I-1| - 1. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ III III.92. 1) При каких значениях параметра о площадь треуголь- ника, ограниченного прямыми у=х, у = ах + 2х + Аа + А и осью Ох, равна 2? 2) При каких значениях параметра а площадь треугольника, ограниченного прямыми у = х + \, у = ах + а и осью Оу, равна 1? Задачи повышенной сложности к главе III 47 111.93. При каких значениях параметра а уравнение — (2о — 1)л: — 8 = О не имеет решений на промежутке (2;3]? 111.94. При каких значениях параметра а каждое число из промежутка [5; 7] является решением неравенства ах^ + 2(5а - 1)х - 75а + 4^0? 111.95. 1) Функция /(х) для каждого х равна наименьшему значению квадратного трехчлена g(t) = — 6t + 8 на отрезке [x + l;x + 2]. Построить график функции f(x). 2) Функция /(х) для каждого х равна наибольшему значению квадратного трехчлена g(t) = —4- 10^ — 16 на отрезке [x + l;JC + 3]. Построить график функции /М- 111.96. 1) Найти наименьшее значение функции f(x) = (4-х)(1- х)(х + 4)(х4- 7). 2) Найти наибольшее значение функции f(x) = (5 - х){х - 3)(х + 2){х + 4). 111.97. 1) При каком значении параметра а наибольшее на проме- жутке [1;2] значение функции f{x)— \—2х^ -ь 7jc — а — б| является наименьшим из всех возможных? 2) При каком значении параметра а наибольшее на промежутке [0,5; 1] значение функции f{x) = = |-8x2-f lOx-f 2а -3| является наименьшим из всех возможных? 111.98. 1) Функция f{x), определенная при всех значениях х и не равная о ни при каком значении х, удовлетворяет равенству f{x -f 3) = /(1996), если /(10) = 3. 2) Функция f{x), определенная при всех значениях jc и не равная -1 ни при каком значении х, удовлетворяет равенству /(х -|- 7) = 1 — /(11) = 4. III.99. Дана функция Я^) = 1-1-«X)- Найти /(1992), если 1, X е (-сю; -6] и [2; -l-oo), x-f 7, хе (-6;-2], 3 -X, X е (-2;2). 48 Глава III. Функции Построить графики функций: 1) y^\f(2x + l)-4\- 2) y=f{\\x-\\-2\-3). Построить график функции (II1.100-III.105) III.100. 1) \х^ - 9|jt| + 20| 21 к=^-8к|+12| ’ ^ |;с2 - 51л:| + 6] ' 111.101. 1) г/=И; 111.102. I) у = {а;2}; 111.103. 1) у = [уД\-, 111.104. 1) i/={v^}: 111.105. 2) y^[{x-2f] 2) у = {4л:2}. 2) у=[УО^Й]. 2) у={,/Щ7\}. 2) у = [х^ + 4л: + 3}. 1) у=[х^ + 4х + 3]-HI.106. Построить график функции f{f{x)), если: 1) /W I 5_2jc, л:>1; \ 2л: - ^ х^2, 4, х>2. III.107. Графики функций f{x) — 2х + 4 х+\ и g{x) симметричны относительно прямой у = х — I. Найти функцию g{x) и построить ее график. 111.108. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций f{x) = - |л: - 3| Ч- 3 и §(л:) — 2 — у/Ьх — х^ — 8. 111.109. На координатной плоскости построить геометрическое место точек, координаты (х;у) которых удовлетворяют условию х^ + 10 |х| -Г 10 \у\ 4: 119- 111.110. Построить график уравнения ||^| - 2| Ч-2 |х| — 1 = 2. 111.111. В зависимости от значения параметра а найти количество точек пересечения графиков функций f{x) = 2\\x\ — 2\ и g(x) = ах — 2а 4- \. 111.112. В зависимости от значения параметра Ь >0 найти количество точек пересечения графиков уравнений \х\^-\у\ = Ь и Ч- = -W. г ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ III III.1. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают; 4) пересекаются. III.2. 1) у = 6х - 12; 2) у = 4 - Зх. III.3. 1) 4; 2) 18|. III.4. 1) у = 0,5х-I-1,5; 2) 1/=^- 1П-5. 1) у = -0,5хЧ-2; 2) у = 2х-А. III.6. 1) £>(/) = К, £{/) = [-3;Ч-оо), /найм = -3, на (-оо;-2] функция Ответы к главе III 49 убывает, на [—2;+сх>) функция возрастает; 2) £>(/)= R, £(/) = (—оо; 10]. /наиб = 1 Of на (-оо;3| функция возрастает, на [3;+оо) функция убывает. III.7. 1) (/ = 2х^ — 4х — 2) у = —)? - 6х — 8. III.8. I) Парабола у = —х^ — 6л: — 5; 2) параболы у = х^ + 4х + 6 и у ~ х^ + 2х + III.9. 1) (1;+оо); 2) (-оо;-4); 3) (-4; 1); 4) -4; 1. III.10. 1) 0(Л = = (—оо;3) и (3;+оо). £(/) = (-оо; 0) U (0;+оо), на (—оо;3) и на (3;+оо) функция возрастает; 2) D(f) = (—оо; 2) U (2; +оо), £(/) = (—оо; 1) U (1; +оо), на (—оо;2) и на (2;+оо) функция убывает. 111.11. И у = 2) у --Ъх и у=%. 111.12. 1) При а = -1 прямые X ) S - 3‘ совпадают, при а = 3 параллельны, в остальных случаях пересекаются; 2) при а = 2 прямые совпадают, при а = — 1 параллельны, в остальных случаях пересекаются. III.13. 1) а б (—0,5;-f-oo); 2) а€(-3;1,5|. III.14. I) а е (5;+оо); 2) а е (-оо;0) U (1;+оо). III.15. 1) с € (2; 4); 2)с€(-3;3). III.16. 1) [-19;-3|; 2) 1-13;51|; 3)(1;3|; 4)[0;36|; 5) (1;81|; 6) [4; 100); 7)[0;6|; 8) (2; 10); 9)(1;9]. III.17. 1) £(/) = = 1-3;+оо); 2) £(/) = (-оо;5|; З) £(/) = (1;-|-оо); 4) £(/) = (-оо;3|. III.18. 1) £(/) = [-1; 1|; 2) £(/) = [I; +оо). III.19. I) f(x) = / + 3, х > 0; 2) f(x) = 12 - х^. III.20. 1) 0;±1; 2) 3;-2. III.21. 1) /(g(x)) = = 2|х| + 1, g(f(x)) = |2х + 1|; 2) f(g(x)) = (х + 3f. g([(x)) = х^ + 3. III.22. 1) [{fix)) =4х + 3; 2) f{f(x)) = 9х - 2. III.23. 1) [(/(х)) = х при X # 1; 2) /(/(х)) = при X ^ -0,5 и х ^ 0,25. 111.24. 1) 9; 2) -9. III.25. 1) £(/) = (-оо;-2|и(2;-1-оо); 2) £(/) = R. 1Ц.26. 1) D(f) = = (-оо;-1| и [3;+оо), £(/) = (0;-Юо); 2) D(f) = [-1;2], £(/) - [0; 1,5]. 111.27. 1) D(/) = (-oo;-3)U(3;-foo), £(/) = (-оо; 7 - 4v/3] U [7-(-4Vl;-l-oo) 2) D(f) = (-oo; -2) U (-2; -l-oo). £(/) = (-oo; -5 - 2\/6] U [-5 -I- 2^/6; +oo) 111.28. 1) Z)(/) = (I;+oo), £(/) = [!;-l-oo); 2) D(/) = (-oo; 1|, £(/) = (-2;+oo) 111.29. 1) D(/) = [-l;-foo), £(/) = (4;+oo); 2) D(/) = [0;-|-oo). £{/) = (-oo;2] 111.30. 1) Непрерывна во всех точках х 6 R; 2) непрерывна при х 1 111.31. 1) Четная; 2) нечетная; 3) общего вида; 4) общего вида 111.32. 1) /найм = ЗА -Н 4, /наиб — ЗВ -I- 4; 2) /найм = —В, /наиб — 3) /найм = 6 — 2В, /наиб = 6 — 2/4; 4) /нанм — —2 — 5В, /наиб ~ ~2 — 5/4 111.33. 1) /найм = о, /наиб = 2; 2) /найм = 2, /наиб = 14| 3) /найм = 0 /наиб = 5; 4) /нанм = 7, /наиб = 27. III.34. 1) /найм = /(—2) = —16 /наиб = /(1) = -7; 2) /найм = /(-2) = -15. /«аиб = /(3) = Ю. III.36. 1) -1.5; 2) —4,5. 111.37. 1) Нечетная; 2) четная; 3) общего вида; 4) нечетная. III.38. 1) а = 0; 2) о = 0. 111.39. 1) 4; 2) -51. 111.40. 1) Возрастает на промежутке (—3;—0,5] и убывает на промежутке [—0,5;2); 2) убывает на промежутке (-оо;0] и возрастает на промежутке [1;-|-оо). III.41. 1) /найм = = /(2) = g. /наиб = /(0) = 2) /найм = /(-3) = i. /наиб = /(~1) = 50 Глава III. Функции 3) /найм —/(I) — IQ, /нзнб —/(~4) — 4) /нанм—/(2) — III.44. 1) /нанм = CJ 1 •/ / нанм — / V*-/ — 2 , /нанб — /(4) — ^ • /наиб = 70; 2) /нанм = 21, наибольшего значения не существует; 3) /„аим = -7, /,,аиб = -2; 4) /„а„й = 16, наименьшего значения не существует. III.45. I) ,5; 2) —I, III.46. 1) Т = 0,5 2) Г=3; 3) Г = 1 4) Г=,1. 4) Г = 5. III.47. 1) Г = 0,5; 2) Г= 12; 3) 7'=3 III.48. 1) -4; 2) -3. III.49. I) -1; 2) 2. III.50. I) Рис. 1 3) рис. 3; 4) рис. 4; 5) рис. 5; 6) рис. 6; 7) рис. 7 2) рис. 2, 3) рис. 3; 4) рис. 4; 5) рис. 5; 6) рис. 6; 8) рис. 8. III.52. рис. 9. III.53. 6) Рис. 10; 7) рис. И; 8) рис. 12 III.54. I) Рис. 13; 2) рис. 14; 3) рис. 15; 4) рис. 16. III.56. рис. 17 111.57. 8) рис. 18. III.59. 1) Пара прямых х = 3 и у = —1; 2) пара прямых у=1,5х и у = —1,5х; 3) пара прямых у = —2х и у = 0,2Ьх\ 4) пара прямых у =-2х и у = 0,25х. III.60. 1) Окружность с центром в точке (4;—2) и радиусом 5; 2) окружность с центром в точке (2;0) и радиусом 2; 3) окружность с центром в точке (—2; —3) и радиусом 4; 4) окружность с центром в точке (4; —1) и радиусом 3. III.61. 1) Полуплоскость, лежащая над прямой у = 1,5 — 0,5х (прямая не включается); 2) полуплоскость, лежащая под прямой у=1,5х —3 (включая саму прямую). III.62. 1) Часть плоскости, лежащая над параболой у = — Зх — 4 (включая параболу); 2) Часть плоскости, лежащая под параболой у=—х^ + 6х —9 (парабола не включается). III.63. 1) Круг с центром в точке (0;3) и радиусом 3; 2) часть плоскости, лежащая вне круга с центром в точке (1;-2) и радиусом \/5 (включая границу круга). III.69. Рис. 19. III.71. Рис. 20. III.72. 2) Рис. 21. III.73. График функции у = |2х — 3|. III.74. Рис. 22. 111.75. Рис. 23. III.76. Рис. 24. III.77. Рис. 25. III.79. Рис. 26. III.80. Рис. 27. III.8I. Рис. 28. III.82. Рис. 29. III.83. Рис. 30. III.84. График функции у = |х| + 2, из которого выколота точка (1;3). III.85. 3) Рис. 31. III.86. 3) Рис. 32. III.92. 1) а = - J и а = — 5* 2) а = -1 иа = 3. III.93. а€ (-оо;-0,5]U (|;+оо). III.94. а€(-оо;^]. III.95. 1) /(х) =x^ — 2х, если х ^ 1; /(х) = — 1. если 1 <х < 2; /(х) =х^ — 4х + 3, если X ^ 2; 2) /(х) = —х^ + 4х + 5, если х ^ 2; /(х) = 9, если 2 < х ^ 4; III.97. 1) a = /(х) = —х"^+ 8х — 7, если X > 4. III.96. 1) —144; 2) 49. 2) а = 32’ III.98. 1) - III.106. 1) График функции у = ■ 2) -i. III.100. 1) Рис. 33; X + 4, X < -1; 1-2х, -1<х^1 4х - 5, 1 < X ^ 2; 7 —2х, X > 2. 2) рис. 34. 2) График функции Ответы к главе III 51 52 Глава III. Функции У 9 / It \ 1\\ / / / i \ 1 / I ■ ^ / -б| -3 0 1 /1) Рис. 9 , У м 3 -2-i 0 1 1 А' 1 1 1 1 i С Рис. 10 Ответы к главе III 53 Рис. 21 i Рис. 22 Рис. 23 - 2 I I I -1 1о ^ Рис. 24 54 Глава III. Функции Рис. 27 У 1 / / ^ .2. 1,5 -Ч /"Т 0 1 /1,5 3 -2 L Рис. 29 Ответы к главе III 55 Рис. 31 Рис. 32 II1.108. + I. -2х, X ^ 0; X, о < X ^ 2; —2х + 6, 2 < X ^ 3; 14х - 12, X > 3. III.111. При а ^ —2 и а ^ 2 одна, при -2 < а < —1,5 и 0,25 <а <2 две, при а =—1,5 и а = 0,25 три, при —1,5 <а< 0,25 четыре. III.112. При 0 0; л:^ + 4л: + 4, л: < 1, х>\. о /(л:)=л: + 1, если [{х) = I . Iiii' 2) f{x) = 4 - X, если f{x) — Решить уравнение (IV.3-IV.9). -2 = = 0; IV.3. 1) f^-x-2 = 0; IV.4. 1) х-\ — 4 х^ -5х +2 2) ?^i±i = 2-2x. IV.5. 1) ' 2 + X 0,25 - X IV.6. 1) 1 -л _ о2. 2) 2) 2) 2л+ 1 ■ =0. л^ + 6л — 7 1 — Зл _ 0,25 — л 1 + л 1,25 — л ' л _ 1 ^ , 1 >!■ IV.7. 1) 3) л+1 + 2+л л2 + 6л+8 х+4’ = г4т; 2) -7^- 2л 48 л + 4 л2-4л+16 л^ + 64’ л— 1 1 8 л+2 л-1 х^+х-2’ 22+л^ 2 4)__________________, _____ л2+2л+4 8-л^ л-2 2J (л2 - 16)(л2 - 9) ^ Q. \73 — л IV.8. 1) (л + 2)(л: + 5)у;с + 3 = 0; 3) (x2-7x+12)v/4^=0; 4) ~25)(4-л^) '_______. \/л2-4л- 12 IV.9. 1) (х^ — 9) Vx2"+"5x^^T4 = (23 — х^) Vx2"+5x^^l4; 2) (х^ + 2х) • \/2х + 5 • \/х 4- 3 = (х^ + 8) • у/2х^ + Их + 15. § 1. Рациональные уравнения 57 Решить IV.10. IV.11. IV.12. уравнение методом замены переменной (IV.10-IV.13). 1) х^ = 7х^ + &-, 1) ‘ ‘ 2) Jt® + 27 = 28jc3. - 2х 1) X Н--1- -й—- X х^+\ х^ -2х-у \ ^ = 2,5; 2.. 12’ 2) 21 х"^ -Ах + 10 6 + — Ах. 2) Зх + ^ = X л;2 + 2 + 8. IV. 15. IV.16. IV.13. 1) (х + 2)(х-2)х(х-4) = 20; 2) (х+1)х(х-1)(х —2) = 15. IV.14. Решить при каждом значении параметра а уравнение: 1) а(х — 1) = + 2(х — 3): 2) 2 (4 - а^) х = а + 2. 1) Найти наименьшее целое число а, при котором уравнение Зх^ —9х + а^ = 0 имеет хотя бы одно решение. 2) Найти наименьшее целое число а, при котором уравнение Зх^ —ах + 4 = 0 не имеет решений. 1) Определить, сколько общих точек имеют графики функций 1/ = х^ + 2х и у = X й в зависимости от значений параметра а. 2) Определить, сколько общих точек имеют графики функций у = ах^ - 3 и у = 2ах - 1 в зависимости от значений параметра а. 1) Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = х^-ах-а и у={\ + а)х^ + 2х имеют не более одной общей точки. 2) Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = х^ + ах + а + 2 и I/= (1 — а)х^ — 2х имеют не более одной общей точки. 1) При каких значениях параметра а уравнение х^ + Зх + а = О имеет хотя бы один общий корень с уравнением х^+х—1 = 0? 2) При каких значениях параметра а уравнение х^ + 4х + а = О имеет хотя бы один общий корень с уравнением х^ + 2х - 2 = О? IV.19. Пусть Х[, Х2 — корни уравнения Зx^ -4х-1 = 0. Используя теорему Виета, найти: 1 , 1 . /1\ „2^ . v2. IV.17. IV.18. 1) XI +хг; 2) Х] хг; 5) Х^ + 2xjX2 + Xjj 3) -г + -\ 4) xfx2+x|xi; Xl Х2 6) Х^ + 3x^X2 + SxiXg+ Х2- 58 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.20. 1) Вычислить значение выражения ^ где х\,Х2 — корни квадратного уравнения х^ — V2x -7 = 0. 2) Вычислить значение выражения У| - 1 , *2 - I Х2 "Ь 1 JCt 4* I где Х\,Х2~ корни квадратного уравнения х^ - \[2х- у^ = 0. IV.21. 1) Найти все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения Ах^ + 4{а+1)х + \ = 0 отрицательна. 2) Найти все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения — 3(2 — а)х + 1 = 0 положительна. IV.22. 1) Найти все значения параметра а, при которых произведение корней уравнения (а + 1)х + а — 2 - = 0 неотрицательно. 2) Найти все значения параметра а, при которых произведение корней уравнения 4х^ - 4(4 - а)х — 25а = 0 положительно. IV.23. 1) Определить, при каком значении параметра а справедливо равенство Xi=2x2, где Х], Х2 — корни уравнения х^ - (а + 2)х + 2а = 0. 2) Определить, при каком положительном значении р корни уравнения 2х^ — (р-Г 2)х-|-7 = обратны друг другу по абсолютной величине и противоположны по знаку. Второй уровень IV.24. Определить графически число корней уравнения; 1) {х} = -0.25х + 0,5; 2) Н = IV.25. Используя графический подход, решить уравнение: 1) х^(х-1) = 1б; 2) х^(2х + 5) + 8 = 0. Решить уравнение (IV.26-IV.31). IV.26. 1) х^ -f Юх^ -Ь 24x2 = 2) х^ — 8х^ + 15x2 + 14х, - 49 = 0. IV.27. 1) (х2 -г 6х -Ь 5) (х2 -Ь 14х + 45) = -39; 2) (х2 - 9) (8х - 7 - х2) = 23. §1. Рациональные уравнения 59 1V.28. 1) (jc2 + a: + 2)2-6jc(x2 + a: + 2)+8л;2 = 0: 2) 14х^ — 5х{х^ — 4х — 5) — [х^ - 4х — 5)^ = 0. IV.29. 1) + 5а;3 + 2jc2 + 5л: + 1 = 0; 2) 2х'‘ + ЗхЗ-4х2-Зх + 2 = 0; 3) 2х^ - ЗхЗ - 3x2 + Зх + 2 = 0; 4) х'* + 12x3 ц. 24x2 _ j2x + 36 = 0. 4х I 5х IV.30. 1) 2) 3) 4) X* + X + 3 4х + х^ — 5х + 3 , Зх 3. ’2’ 4х‘^ - 8х + 7 4х^ - 10х + 7 _____2х______________7х Зх^ - X + 2 Зх^ + 5х + 2 6х 15x2 - 20х + 4 = 1; -I; IV.31. IV.32. 15x2-16x4-4 15x2-12x4-4 ■ 1) (5-х)4 + (х-2)'* = 17; 2) (х + 4)“ + (х + З)"* = 97. При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) :L±i£----!----5^=0; 2) 2^_ti + 2х _ ^ q х4-а X - а x2-q2 х- а а - ах IV.33. 1) Пусть х\, Х2 —корни уравнения 2x2-7х-13 = О, ^ У2 — корни уравнения у а У2 = + ау + Ь = 0. Найти а и Ь, если у\ = — + Х| Х2 X; 4-Х2 2) Пусть Х], Х2 — корни уравнения 2х2-4х+1 = 0, а «/], корни уравнения у^ + ау + Ь = 0. Найти а н Ь, У2 если у1 = -Li- Х2 4- 1 а У2 = ^ IV.34. IV.35. Х2 - XI Пусть Х[, Х2 — корни квадратного 2х2 + 4х—1 = 0. Не вычисляя их, найти; уравнения 1) x2-fx2; 2) Xi - Х2', 3) xf + Xg 4) f. Х2 1) Найти а, если известно, что +-1т = 2, где Х|, Х2— Xf Х| корни уравнения 2x2 _ (б q'^x — а — 0. 2) Найти все значения а, при которых сумма корней уравнения 3x2 —(3-|-а)х-1-а = 0 равна сумме квадратов корней. IV.36. Пусть Х], Х2 — корни уравнения х^ — ах + а = 0. При каком а выражение x^-l-Xj принимает наименьшее значение? 60 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.37. 1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение - (а + 7) • + 9а — 18 = О имеет ровно два корня. 2) Найти все значения параметра а, при которых уравнение X® — (а + 8)х‘^ + 16а — 128 = О имеет ровно два корня. IV.38. 1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение ах^ + 2(а — 1)х + (а — 3) = О имеет два различных отрицательных корня. 2) Найти все значения параметра а, при которых уравнение (1 — а)х^ + 2(а — 3)х + (4 — а) = О имеет два различных положительных корня. IV.39. Найти все значения параметра а. при которых уравнение (4 + а)х^ - 2ах + 2а + 6 = О имеет корни, и определить знаки корней в зависимости от значения параметра. IV.40. 1) Определить все значения параметра р, при которых корни уравнения 2х^+х-р = 0 меньше 1. 2) Определить все значения параметра а. при которых уравнение х^ + х + а = 0 имеет два различных корня, значение каждого из которых больше а. IV.41. Дано квадратное уравнение x^ - х + а = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение; 1) не имеет корней на отрезке [—2,1]; 2) имеет два различных корня на отрезке [—2,1]; 3) имеет ровно один корень на отрезке [-2,1]; 4) имеет хотя бы один корень на отрезке [—2,1]; 5) не имеет корней, меньших -2. IV.42. Дано квадратное уравнение —х^+4х —3а = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение: 1) не имеет корней на промежутке [—1,4); 2) имеет два различных корня на промежутке [—1,4); 3) имеет ровно один корень на промежутке [—1,4); 4) имеет хотя бы один корень промежутке [-1,4); 5) не имеет корней, больших 4. IV.43. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых ровно один корень уравнения x^ + 2{а — 3)х -I- 9 — 2а = О удовлетворяет неравенству X < 2. §2. Рациональные неравенства 61 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых ровно один корень уравнения + 2{а — 2)х -f 4 — За = О удовлетворяет неравенству х > 1. IV.44. 1) При каких значениях параметра а корни уравнения ах^ -f (2а — 1) X -|- 1 = О различны и содержатся в интервале (—1;1)? 2) Определить значения параметра а, при которых корни уравнения х^ —ax-f 2 = 0 принадлежат интервалу (0;3). §2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Первый уровень IV.45. Используя графический подход, решить неравенство: 1) х-3 ^ 2) ^ х^ — 2х -f-1. IV.46. Используя графический подход, решить неравенство: Г-1- + 1, х<-1, 1) fix) < g(x), где /(х) = X + 1; ^(х) ^ , \тгг Гх-М, х< 1, 2) /(х) >g(x). где /(х) = < х^ - 2х - 1, 1 < х < 3, [2, х>3 и g{x) = X. IV.47. Решить неравенство; 1) Уб(х-Ь 3) - Зх - 6 ^ 0; 2) (x-3)v^-3x-h2^0. IV.48. Решить неравенство: 1) (2х - 1)2 ^ 3(2х - 1): 2) (1 - Зх)2 ^ -3(1 - Зх). IV.49. Найти область определения функции: 1} У /2х-1 V х + 2 + 1; 2) г/: 1 - 4х-3 2х+1' IV.50. Найти область определения функции; 1) У = х‘^-бх + 8, 6-Зх ’ 2) у = 7х-х^ 5х- 10 10 62 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства Решить неравенство методом интервалов (IV.51-IV.57), IV.51. 1) >0; 2) (i-l)(l-2jt)>0; -I) (3-1) - Х'^ + Х - I -.«-8 IV.53. 1) ^ ‘: Зл — 1 X IV.52. 1) IV.53. 1) IV.54. 1) ^0; 2) -jl±3x^- 2x^.^fy х^ -х +30 2^ 10 х + 2 <х - 1; IV.55. 1) < Зх; 3.V+ I 2) 2} 14 2х- 1 x-t-2 2х-3 > Х — 2. IV.56. 1) IV.57. 1) А ^ 1 . х2 + Зх-Л " ’ 2) 5 + 4.t — д < 4,5; X 4) X 4 3 X х-‘-3 ^ ’ 2) 2 + х-' . 5 —х"* Найти наибольшее целое : ЧИСЛО < 1: неравенству х+\ > JC + 3. 2) Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству > 4- X. IV.59. Решить систему неравенств; Г ^ 1, 1) . . 2) {х -2){х + 3)^ < 0; IV.60. Решить совокупность неравенств; 4х - > о, х^ - 8х + 7 > 0. 1) х^ - Зх - 4 > о, х2 - 16 < 0; 2) 1 2>0, х^ + КО. IV.61. Решить неравенство; 1) Зх~*<х®; 2) 7х“^>х^. Решить неравенство методом замены переменной (IV.62-IV.65). IV.62. 1) х‘0-31x5-32^0; 2) х® + 26x3 - 27 < 0; 3) (х - 4)6 - 7(х - 4)3 -. 8 > 0; 4) 8(х- 1)6-7(1 -х)3 - 1 <0. IV.63. 1) х2 (13 - х2) > 36: 2) х2 (101 - 4x2) < 25. §2. Рациональные неравенства 63 IV.64. 1) - 12 > 0; 2) 4 - 1 < 0. х^ х^ IV.65. 1) - Зх® > 4л:; 2) + 2л:® < Зл:. IV.66. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) (jc + 3)(лс - а) < 0; 2) лс^ + ал: — 2;с — 2а ^ 0. IV.67. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) (■У-'1)(х+ 1) ^ Q. 2) (л-а)(х + 2) ^ Q X -2а ' X — а - I IV.68. При каждом значении параметра а решить систему неравенств; >,2 1)Гд:^-4<0, ух'^ а\ 1^лс + а< 1) < О- IV.69. При каждом значении параметра а решить совокупность неравенств: л: + 4 < О, х^ "Ь Зле + 2^0, а-лс^О; л-а<0. IV.70. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство (а — 3) л:^ + 2{а + 1)лс + 1 f 6а < О выподняется для всех действительных чисел лс. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство (а^ — 1)лс^ + 2(а - 1)л: + 1 > О выполняется для всех действительных чисел х. Решить IV.71 IV.72 Второй уровень неравенство (IV.71-IV.77). 1) 2) x(x^-6x4-9) (х —4)® (2-x)3(.v- 1)2 (х- 1)2 (7х- 10-х2) 1) ле® - ле^ - 8лс + 12 ^ 0; 2) 4л® + 7л® + 7л + 3 < О IV.73. 1) /(л) 0; 2) х*>-1 4х“* — 3x2 _ [ >0. 64 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.77. 1) (1+х)3 + (И-л:)2(2 + Зл:)-2(2 + Зл:)3>0; 2) (6-л:)(а:-2)(а: + 3)(;с+9) >24л;2. IV.78. При каждом значении параметра а решить неравенство: (x + g)(A;+ 1) ^ Q. 2) (^-а)(< +3) < q IV.79. 1) При каждом значении параметра а решить неравенство а-х^-1 <0. а + 2х — 4 2) При каждом значении параметра а решить неравенство (а - (2а-х-3) <0. IV.80. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство ^ ^ выполняется для всех действительных чисел х. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из у2 _ Or 4_ 9 которых неравенство ^—- - - ^ а выполняется для - Зх -f 3 всех действительных чисел х. §3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Первый уровень IV.81. Используя графический подход, показать, что уравнение не имеет корней: 1) = -х^ -Ь 6х - 8; 2) \/х -2 — 1 - у/х. IV.82. Определить графически число корней уравнения: 1) %/х -Ь 3 = —4 — х; 2) \/12 — х = 8 — х\ 3) 2\/х — 3 = X — 3; 4) Vx~+4 =’х - 8. IV.83. Решить уравнение аналитически и дать графическую интерпретацию полученного решения: 1) \/7^^-Ь2 = х; 2} 2у/Т^-7 = х. Решить уравнение (IV.84-IV.86). IV.84. 1) 3\/5^-М=х: 2) х = ^Зх-Ь7-1. IV.85. 1) v/xTS - X-Г 2 = 0; 2) \/Ю^-1-9 = х. IV.86. 1) .yrr^=V^cTT; 2) ^26-х2 = Ух^. §3. Иррациональные уравнения 65 IV.87. 1) При каких значениях Ь число 1 является корнем уравнения \/7х — 2Ь = Ь- 2х? 2) При каких значениях а число 2 является корнем уравнения \/2х — За = а + х? IV.88. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций: 1) г/ = х+1 и у = л/9 -л:2 + 2х\ 2) у = \/22 — 4х - + 2 W у = х. Решить уравнение (IV.89-IV.91). IV.89. 1) x + Vx^ -20 = 0-, 2) х + \/а;4-2л:-19 = 1. 2) У7х+ТП0 = -2. ___j!^ \/1 — X IV.90 IV. 91 IV.92 1) л: + л/х'* — 20 = 0; 1) ^10+ = 3; 1) + = 2) \/3 + X + v^6 + X — \/1 - X ' * " \/1 - X ’ у у/з + х Решить уравнение и дать графическую интерпретацию полученного решения: I) у/\ - X = \ \ 2) v/x + \/4 - X = 2\/2. IV.93. Решить уравнение и дать графическую интерпретацию полученного решения: 1) у/2х - 6 + Vx + 4 = 5; Решить IV.94. IV.95. IV.96. IV.97. IV.98. IV.99. IV.100. IV.101. IV.102. уравнение (IV.94-IV.101). 1) 2-s^+^=10; 1) 9>yir^ + 5 = 2V]^: 1) x-9>/2v^+20 = 0; 02- 2) \/Зх - 6 = 5 - \/х - 1. 2) 3-v^-5 -(/x = 2. 2) 2s/xT9-7i5^^ = 4. 2) Х'У^ + Зх Ч-\/^ + 3 = 0. 1) 1 _ X - 2, •/х — 2 у/х 3’ 1) VFr4 = 2x-7; 2) 1 + vT+T “Ь 2у/х “Ь 1 — 5. 2) \7х — 5 = X — 11. 1) х2 + ^х2 + 20 = 22; 2) х^ + v/x2+ 2х + 8= 12 - 2х. |\ \/х+ ^____л. 2) = v7x+l При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) у/х-3 = а- 1; 2) (а + 1)\/х+ а = а^- 1. 3—5682 66 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.103. При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) •^—1 = \/а — 2х\ 2) у/х - а = а^/х. Второй уровень Решить уравнение (IV.104-IV.114). IV.104. 1) у/хТЗ+у/2х^1^4\ 2) у/х + 4 + 2^у/4^. IV.105. 1) v^ + \/7^= \/2хТТ; 2) - уД = у/х^\ 3) у/2х^\^= у/2]Д^ + 2у/Зх^^-, 4) уД2^Гх — \/2Д^. IV. 106. IV.107. IV.108. IV.109. IV.110. IV.111. 1) у/х(х + 2) + {х + 2)^— л: + 4; 2) X + .< + 3 X + 3 ’ IV.112. IV.113. IV.114. IV.115. 1) ДГ^-у/х^=\/х^-и 2) 2х^ — 3jc\/3 + л: = 2(3 4- jc). 1) \/л:^ - 4а: + 24 = 4л: - - 12; 2) \/—х^ + Ъх + \Ъ = 2х^- Юл: —23. 1) 2) ДД^-ДД^=2. 1) хУ2^ГЗ + \УхТТ=1; 2) + = 1) \/л: + I + X + 2 + ^х + 3 = О; 2) Д+ — 3 = -У12(л: - 1); 3) ^+^У5ГТЗ=^24л: + 3; 4) v^+s/6jc^=^32a:-5. 1) уУМТх + \/1ТДс = 6: 2) ^'2Дс^\-у/х^\. 1) + л/2^^ + = х/^; 2) х/4.с-л:2-3+\/х2-5л: + 6=\/6д:-л:2-8. 2) i-6v^=.A2Fr2. При каждом значении параметра а решить уравнение \Л а —2 = X- а. IV.116. Определить, при каких значениях параметра а уравнение у/а + 13х = — 1 — Зх не имеет корней. §4. Урзвнения с модулем 67 §4. УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ Первый уровень IV.117. Определить графически число корней уравнения: 1) x^2|jt + l|-2 = 0; 2) (jc-2)2 = l-|x|. IV.118. Определить графически число корней уравнения: 1) |л; + 31-|л: + 1| = 2; 2) |jc-4| + |л;- М = 6. уравнение (IV.1I9-IV.132) Решить IV.119. IV. 120. IV.121. IV.122. IV.123. IV. 124. IV.125. IV.126. IV. 127. IV.128. IV.129. IV.130. IV.131. IV.132. IV.133. Решить IV. 134. 1V.135. IV.136. IV.137. 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 3) 1) 3) 1) 3) 1) 2л: — 1| =jr, Зл — 5| = 5 — Зл; 2-л:| + |л + 3[ = 6; 2 + л| = 8-|л:-6|; л^ + 5л + 4| ~л + 1; £+3|-1 ^4. л-1 ——4| =5дс; JC+4 \/х -Ь 41 = 1 -р 4 \/х', 2л2-43[ = 7; л2 + 2л:-8| = 7; 4. х-{\ = \х^ - Зл + 2|; 2------3| = -1-л:; 2) |3х-2| = 2л:. 2) 7 + 4л = |-4л-7|. 2) |5-л:| + |л:-2| = 5. 2) |а' + 3| = 2 + |л: + 5|. 2) |а2-9| + (а-2)(а + 2)-5. 2) . = -1 2) |а — 2\/а + 1| = \/а + 1; 4) |-9-v^l — 2) |27-a| = v/6-3; 4) |jc + 1| = a/7-V3-1. 2) |а-а^| + |а2ч-а-2| = 0; 4) |а2+а| + \/а + 1 = 0. 2) 4|а-6| = |а + 9|. 2) 0,25-|1+а|-|2-а| = 1. 2) |а2 + 6а + 3| = |а2+4а+5|. 2) |а2 + 2а-4| + 2а + 6 = 0. 2) I — А + 1| = 1 —. А - = -А А + 1| = -а2 — 4; а + 1| = 2|а-1|; 1) 0,125-|1-аНа-31 = 1; 1) 1) |А"-А 1) [а^ - А - 1| =А — 1; Найти абсциссы точек пересечения графиков функций; 1) у = |2а + 6| + |2а-6| и t/ = A+l2; 2) I/= |а - 1| + |а + 1| и у = 2а2. уравнение (IV.134-IV.137) 1) а-|а + 1| + |а)'(а + 1) = 4; 2) А • |а + 3| + |а| • (а + З) = -8. 1) |аЗ-2| = |а^-а + 2|; 2) 1) 13-|5-а|| = 3; 2) 1) 14у/А-2|=А + 1; 2) |v;^+i| + |v:;^-i|=4. U |3A + 2l-f| = 3. 8а-1«-4 68 Глава IV. Алгебраические уравнении и неравенства IV.I38. Решить уравнение: 1) а;2-6|х1-7 = 0; 2) (jt + 1)2 + 2[л: + 1| = 3. IV.139. Решить уравнение: 1) л;2-2л: + |л:-1| = 1; 2) ;с2 - 3 |л: - 2| = 4х. IV.140. Решить при каждом значении параметра а уравнение: 1) (а-1) • U| = 1; 2) а-|д:| = а2_а. IV.141. Решить при каждом значении параметра а уравнение: 1) \x-a\~2x\ 2) |ал:1=л:. IV.142. При каждом значении параметра а определить число корней уравнения: 1) |дс| — |дг —2| = а; 2) |л'| 4-|дс +3| = а. Второй уровень Решить уравнение (IV.143-IV.150). 1V.143. 1) д;2-4|х:+1|+5л: + 3 = 0; 2) х2- 1V.144. 1) [л: - 3| = \/х2 4- 4jc + 4 + 5; 2) \/х:2 4- 2л: 4-14- \/4 — 4х 4- х2 = 4. 1V.145. 1) |х2-1|4-|х2-4| = 3; 2) |;с2 IV. 146. 1) 1^2 4-Зл;— 10| 4- |х2 —25| =55; 2) |л;2 4- 5л: — б| — \/л:‘* — 2л:^ 4-1 = 10. 1V.147. 1) |jf2 - 6л — 1б| 4- |2л 4- 4| = 13; 2) |л;2 + Зл:-10]4-2у'х2-4л4-4 = 10. 1V.148. 1) |4л:^ - 4л: - \/2\ = 4л:^ 4- \/2; 2) 19л:^ — 6л: — \/31 = 9х^ 4- \/3. 1V.149. 1) \/2х — 7 “Ь 22 = —X “Ь |2х ~1-1|| 9| + |х + 3| =л:. 2) 3-^х+1=у/{2х-2)'^. 1V.150. 1) а/4-л: + 4У^ = 4- \/4-х-4у/^-, 2) \/х + 6\/х — 9 + л/jc — ^Vx — 9 = 6. 1V.151. При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) |л:-а| =2л:+1; 2) \х-1\ = ах. 1V.152. 1) Найти значения параметра а, при которых уравнение 2x2 - X - 6 12-х| — а — 2х имеет бесконечно много корней. §5. Ирраииоиальные неравенства 69 2) Найти значения параметра а, при которых уравнение <+^=2а2-15 \х-\ не имеет корней. IV.153. Определить, при каких значениях параметра а имеет ровно три корня уравнение: 1) (|л: - 2|-а - 4) (а 4 6 + л:^-4x) =0; 2) (а + |л: —4| —2) (l6-a-|-л:^ —8х) =0. IV.154. 1) При каких значениях параметра а уравнение 3',ic-a| + + 2а —3ч-.)с = 0 имеет корни и все корни удовлетворяют неравенству —2^х^5? 2) При каких значениях параметра а уравнение 3|х —а| + )■ а f 2 — 2х = о имеет корни и все корни удовлетворяют неравенству — 1 < л: < 4? IV. 155. Для каждого значения параметра а определить число корней уравнения: 1) |х^ —2л: —3| = а; 2) \j2\x\ -х^ — а. IV.156. 1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение |л + 31 — а |л: - 1| = 4 имеет ровно два корня. 2) Найти все значения параметра а, при которых уравнение |л: — 2| + о l-ч: + 3| = 5 имеет бесконечно много корней. §5. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Первый уровень IV.I57. Используя графический подход, решить неравенство: 1) v^6 — х< —х; 2) \/х — 5^X — 11; 3) \/1 — л < л: - 1; 4) у/х + 1 < —х - 2. IV.158. Используя графический подход, решить неравенство: 1) v/3Tx>^; 2) y/2jrn^-^. Решить неравенство (IV.159-IV.I63). IV.I59. 1) \/5-л:2^-1; 2) у/фТЩ>2\ 3) \/5-9х2>2-\/5; 4) \/л:3-11>4. IV.160. 1) - 4л ^ 1 - л/2; 2) \/Зх^<2; 3) yj—х^ — Юл < 4; 4) \/jc4- Ю< —х^ — 1. 70 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.161. 1) v^V5^<2; 2) s/3x + 2-V^^<2. IV.162. 1) л/Ьх^ + 6л: + 5,4 > + 5х + 4; 2) \/Ъх - I ■ \/х + 2> 2sfx\ 3) \J х^ — \< \/jc^; 4) \/д:^ — 4 < — + Здс + 2. IV.163. 1) \/Г+^ < 2) х-10; 2) \/7^^х-1; 3) 3v/2 —X >х —4; IV.166. 1) \/л;2 + 2х-8>х - 1; 3) \/х2 + х-2>х; IV.167. 1) ч/2^Н=9^3-х; 3) \/2х — 1 — X + 2 ^ 0; IV.168. 1) \/Зх - х2 < 4 - х; 3) \/3 + 2х — х2 ^ 4 - 2х; IV.169. I) х/^Ь2+v^+l>0; IV.170. 1) V2 + X4-\/2^>2; IV.171. 1) (х - 2) • v/xTT ^ 0; 4) \/б — 5х ^ X — 2. 2) v/2x2-18x + 40-x + 1>0; 4) \/5х2 — 20х 4-15 — X > 2. 2) X — 1 > \/5 —2х; 4) \/х + 7 —X ^ 1. 2) \/2х2 — Зх — 5 < X - 1; 4) \/2х^ + 5х — 3 < X + 1 • 2) \/хЧ~б4“\/2 — х-|“4^0. 2) vT+x^ 1 — л/1 — X. 2) (1-х2)-V'2x^<0; 3) \/х — 2 • \/4 + X ■ (х^ — 9) ^ 0; 4) -\/1-х \/х + 3-\/х + 2- (4 —х^) <0. IV.172. 1) (10-x2)-s/]^>0; 2) vTT3 >0; Решить неравенство (IV.173-IV.176). IV.173. 1) X 4 2v/jc-15>0; 2) х - 4/^ + 6 <0. IV.174. 1) IV.175. 1) 2-х/х >3; - \/2 —х< 2; 2) 2) 2) Vx-TT ^3. -4v'xTT< 1. ■ X -f — 2х + 1 ^ Q s/2^x IV.176. 1) ^0; X - 3 IV.177. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) \/2 4" X ^ fl; 2) \/х + 3 ^ 4 — Q. х + 1 §5. Иррациональные неравенства 71 IV.178. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) \/2а + х^ \/2-х; 2) у/2х — а'^ \/F+4. Решить IV.179 IV.180 IV.181 Второй уровень неравенство (IV.179-IV.197). I) (/jc + 3<-v/I; 1) \/-,т2-4л:+д: + 1 >0; 2) \/1 -х>-\/х^ — \. 2) 1-\/13-3a;2>2jc. 1) \/х'^+х'^-2х +1 IV. 182. 1) 2—х ^ л. х+3 2’ IV.183. IV. 184. IV.185. IV.186. IV.187. IV.188. IV.189. IV.190. IV.191. IV.192. IV.193. IV.194. 1) \/Зл:—х2 —28; .) ^<7+4/5-.; 1) х'^ — у/х"^ — 2х<2х + \2 1) 2) \/х2 + 34д:+64^;с^ —2jc-8. 2) 2) 18-13.V: , , 2) \j2x-x^ >jc^-10 2) 2) 2) - ^ ^/Ш 2-х- <4+\/3-л:. \/х— 1 2) 2\/х2+х—х>лс^ —8. 2х^ ----4\/5х-6+Зл:<0; 2) ----2\/3-jc-3a:^Q. VOX —6 v3 —X 1 -лг2> \/4-Jc2. 1) \/1-л:2 + 1< v/3-.t2; 2) 2-\ 1) \/5х+7—■\/За:+ 1 > \/jc+3; 2) \/а'+2-\/л:—2—\/лг—5>0. 1) %/10—2а+\/3-а^\/1+а': 2) \/4а-8+\/а-1<\/3—а. 1) л/а2-2а-\/а2-а-2<1; 2) \/.х2-4а+3--\/а2-5а+4<1. 1) \/5а+\/4-а2< v/5a+2; 2) 4а'+ ■\/25-а2< \/4а+5. 1) (а-1)-\/а2-а-2^0; 2) а-\/а2+а-2>3\/а2+а-2; 3) (2a2-3a-4)V-':^-2a2-2a+4^0: 4) (а2-9) Va;2-4a-12<(41-a2) V^2-4a-12. IV.195. 1) (а-3)\/аЩ<а2-9; 2) 4-х 3) (a+1)v'jc2-3a>a2-a-2; 4) ^^^<1 IV.196. IV.197. 1) 2) -т44-<3. \/х2—1 —I v/x^—2—1 1) 2) 7у/Сг-9 ^9 ' v/FH-l ч/F^-l ^ 72 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.198. Решить неравенство: 1) + 2) \/х-4+у/х>6-х-, 3) \/х+ v^Ji:+3+\/jf4“8< —; 4) х^-|-2х-|-\Zjc+2^3+v^. IV.199. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) \/2х+а^х\ 2) у/а—х>2х. IV.200. При каждом значении параметра а решить неравенство: п\ (л:-а)-\/х2_а2^ 1) ^ г) ^ ^и. §6. НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ Первый уровень IV.201. Используя графический подход, решить неравенство: 1) 2|х-2|<х+1; 2) |х—3|>|х+2|-5. IV.202. Используя графический подход, решить неравенство; 1) |х| + |х+2|<2х+б; 2) |х+3|-|х—3|^2х. Решить неравенство (IV.203-IV.205). IV.203. 1) |3-6х|<4-2х; 2) |х+2|<7+0,5х. IV.204. 1) |х-1| + |х-2|<3; 2) |х+31<2-х-|х+5|; 3) 1-х-1|+4>2 |х|; 4) 1х-2|+1х1<7-|х+4|. IV.205. 1) 2|х|-|х2-4х|>х; 2) |х2-Зх+2|-|2-х|^4. IV.206. 1) При каких значениях х график функции у=|2х+2| лежит выше графика функции у=3+|х-2|? 2) При каких значениях х график функции г/=|х+1| лежит ниже графика функции £/=7-|2х-5|? IV.207. Решить неравенство: 1) |4-5х|^-3; 2) |4-х|>0; 3) |3+x|3; 2) |х^-х-1|<1; 3) jx^—X—4|^2; 4) |x^-2x-l|<2. IV.209. Найти область определения функции: 1) У 2) г/= 1-т 1 3' §6. Неравенства с модулем 73 |л:^-3л:-3|>|л:^+7х-13|; IV.210. Решить неравенство; 1) |13-2л:|^|4л:-9|; 2) 3) 31х+1|^|;е+51; 4) |x-3|-|jt-2|<|jc2-3x-16|. IV.2I1. Решить неравенство: 1) х^<2|л:+1|; 2) |Зл:+5|<х^+1. IV.212. Решить систему неравенств: / к+4|^4, Г |л:4-3|^4, \ |jc+3|^5; \ |х+1К6. IV.213. Решить систему неравенств: Г |2х-0,8|<0,75, Г |4х-0,5|<0,8, ’ \ Зх+7^5(2-л:); ’ \ 6(1-х)^5-2л:. IV.214. Решить систему неравенств: 1) 4jt|<5, 2) ^+5х|<6, Решить IV.215. IV.216. IV.217. IV. 218. IV.219. IV.220. IV.221. IV.222. IV.223. IV.224. jf"M|<3; ^ |дс+1|^1. неравенство (IV.215-IV.220) I) 2|л:+1|^4л:+2; 3) 3|л:+11^х+5: 1) |л:^-x-l|<д:^-2; 3) |jc-3Hjc+1|<3a:-3: 1) (|x-l|+2)(W-3)<0; 1) (x-l)-|x-3|>|3-x|; 1) (И-_1)2>2; 1) |\/r+5-l|<3; 2) |je2-3jc-3|>3jc+4: 4) |x^-a:2-1|>x2-1. 2) |a:2-4a:-4|^jc2-4; 4) |д;3-2л:-4|^2л:-4. 2) (|jc2_3|_i)(y^+7)>o. 2) |х-21‘(л:2-9)^0. 2) (|x+1|-2)2^4. 2) |v/Ff7-2|<5. Решить неравенство: 1) 3|х-1|>(л:-1)2+2; 2) (л:-2)2-4 |x-2|>5. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) |х—2|<а—I; 2) |д:+с|<2а-3. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) |х+1|>2—а; 2) |дс-а|^1+3а. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) а|л:+1|^3; 2) (а—1) |х+31^1. 74 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства Второй уровень IV.225. Используя графический подход, решить неравенство: 1) ■^1- 2) I.V-1! ' |.t| Решить неравенство (IV.226-IV.231) IV.226. 1) ■>1; I2.V-1I IV.227. I) ||2jc+41-21<3; IV.228. 1) 2) ^5. 1 ^ -с-з . IV.229. 1) |.с-9| '''4.Г-11' .И-_2ЬИ-2| >0; .с-1 X IV.230. 1) |x2-8.t-9|+4x>3; |3-2.v| 2) ||2x+4|-21>3. 2) 4) <2. a:+3|-|jc-2| 2) |л'2+Зх-10|+7>5х. IV.231. 1) |6\/4^-8|^5-2jc; 2) |16ч/2^-25|^11-2л:. IV.232. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) |2л:-4|<3х+2а; 2) |5д:+3|^2,к:-3а. IV.233. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) lx4-a| + ijc-al<4; 2) |х-За|+|А:+За|^5. IV.234. 1) Определить, при каких значениях х оба неравенства |л:+г/|<1, |л:-3£/|<2 выполняются хотя бы для одного значения у. 2) Определить, при каких значениях х оба неравенства |2д:-гЗг/|^6, |x-2i/|<5 выполняются хотя бы для одного значения у. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ IV Решить уравнение (IV.235-IV.238). IV.235. 1) ^/х^=А-^^7-х\ 2) ^<х^+^19-х=3. IV.236. IV.237. ^Зх+5-2\/Зл:+4+ у^4д:+5+4\/^й=5\/^Ч. IV.238. 5^1h-|x2-1|=3+15jc+31. IV.239. Доказать, что не имеет корней уравнение: 1) \/Z-x+x-A=\/x-2\ 2) ^/x+A+\/3—x—x^-Sx+2\. Задачи повышенной сложности к главе IV 75 IV.240. Решить неравенство: 1) (л:+3)^^4(x^-l)v/л:+2; 2) 2(jc+l)^^(2x+l)v/4x+3. IV.24I. Решить IV.242. IV.243. IV.244. IV.245. IV.246. IV.248. IV.249. IV.250. IV.251. IV.252. IV.253. 1) Пусть g{x)=\/x. Решить неравенство /Ы^-9))^/(4). " 2) Пусть f{x)=\/2x-7, g(.y)=■ Решить неравенство /(4)^g(/(A:-|-3)). неравенство (IV.242-IV.252). 1) \Jv^6x-f 12,5-1-3,5^л:; 2) \/\/16x-b36-t-6^JC. 1) \/l6-\/l32-l^<4-x; 2) \/9-2^19+8lx^<3-b3x. •J2x^ 27д:2 + 90.\: ^ v/4x3-12x+8 , 1) / х+\ 243-1-Эх-2^2 ^\/4х-|-7; >9-\х\. IV.247. 2) х+0,5 \/-х^-2а+3 ■^0. ^Х + 3 |x2_|_2j;_3|_|;£2^5j(._|_5| 1) |■^^~5■»■^+б[-^|9-2x|-5 |х^-2хЧ-(),75|-ь|2х-н2|-5 \/l9x^—4х^—4X-I-19 \/2х^-(-2,5х^-|-2х-(-2,5 1) у^{х-3) (-x-f5)>-\/j:-3-H-\/-x-|-5; 2) Vx+7-1 6-3\/6-t-x-x2 4-k-l| ’ 1 >- 1 •»^+> 6-3\/4-Зх-л-2 1-Ь|а-И| ■ ■У2л:-х^/л-1-Ь-/«-Ь^1-2л:^0. При всех допустимых значениях параметра а определить количество корней уравнения .к**-f 2ал:^-Ьлс-|-а^-|-а=0 и наити их. IV.254. Найти все значения параметра а, при каждом из которых из неравенства (a^-|-a—2) (а-Ь5)х-2^0 следует неравенство O^x^l. 76 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.255. При всех допустимых значениях параметра а определить количество корней уравнения \/х—4а+16=2\/х-2а+4—\/х и найти их. IV.256. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение уравнение: 1) \/х ~9 = ах + 7а — 2) \/х — 8 = ах — За — 2. IV.257. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) 3(2х — а) + Ъа\/2х — а — 2сР- > 0; 2) 2(а - х) — а\/а -х - > 0. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ IV IV.1. 1) Один; ; 2) два; 3) три; 4) корней нет. IV.2. 1) Один; 2) три. IV.3. 1) -1; 2) 0,5. IV.4. 1) -2; 2) -1 IV.5. 1) -0,5; 2) 0,5. IV.6. 1) -3; 1,6; 2) 4 4 ■ 11 ■ IV.7. 1) -1; 2) -8; 3) 3; 4) 0,5. IV.8. 1) -3:- 2; 2) -4;- -3; 3) - ■2; 2; 4) -5. IV.9. 1) -7; 2; 4; 2) - -2,5; 2. IV.10. 1) -I; 2; 2) 1 ; 3. IV. И. 1) -1; 3; 2) 1; 3. IV.12. 1) 1; 2) 1; 2. IV.13. 1) I ± VTT; 2) 1 ± IV.14. 1) Если а = 2, то х —любое действительное число; если а 2, то х = а + 3; 2) если а = 2, то корней нет; если а = —2, то х —любое действительное число; если а ^±2, то х= , * . 4 — 2а IV.15. 1) -2, 2) —6. IV.16. 1) При а < -0,25 общих точек нет, при а =-0,25 одна общая точка, при а >-0,25 две общие точки; 2) при—2<а^0 общих точек нет, при а = —2 одна общая точка, при а < —2 и а > 0 две общие точки. IV.I7. 1) 1^—оо; — II и {0} и [2; Ч-оо); 2) (—оо; —2) U {0} U ||; Ч-оо). IV.18. 1) ±ч/5, 2) ±2\/3. IV.19. 1) 3’ 2) - 3’ 3) -4; 4) 5) f; 6) g. 1V.20. 1) 2) 2v/2. IV.21. 1) [0;Ч-оо); 2) (-оо; |] IV.22. 1) (-оо;-7]и(1;2]; 2) (-оо;-16| U [-1;0). IV.23. 1) 1 и 4; 2) 3 IV.24. 1) Пять; 2) одно. IV.25. 1) 2; 2) -2. IV.26. I) -2 ± v/7 -3±ч/б; 2) l,5±0,5v^. IV.27. 1) -5±\/3, -5±уТЗ; 2) 2±У2,2±2у/б IV.28. 1) 1; 2; 2) 3 ± %/Г4; IV.29. 1) -2,5 ± 0,5V^; 2) ±1 -2; 0,5; 3) 0,5±0,5^/5, 0,25±0,25л/17; 4) -3±\Д5. IV.30. I) 2) 3,5; 0,5; 3) -11± v^. 4) 14±2n/34 1V.31. 1) 3; 4; 2) -1; -6. 6 ’ ' 15 IV.32. 1) Если а ^ о и а ^ -0,5, ..то уравнение имеет корни х; = -За, Х2 = а ч- 1 (при а = -i они совпадают); если а = 0, то х = 1; если а = —0,5, то X = 1,5; 2) если а?^-1, а ^ 0 и ^ то уравнение Ответы к главе IV 77 имеет корни аГ| = — 1, = 1 — 0,5а (при а = 4 они совпадают); если 2 а = —1. то л: = 1,5; если “ = д- то д: = —1; если а = 0. то корней нет. IV.33. 1) а = -|-. 2) а =-Ю. 6 = 7. IV.34. 1) 5; 2) ±х/б; 3) 24.5; 4) -5 ± 2^6. IV.35. 1) -2; 18; 2) 0; 3. IV.36. а = 0. IV.37. 1) (-оо;2]и{11}; 2) а < 8; а = 24. IV.38. 1) а е (-1; 0) U (3;+оо); 2) а € (—оо; I) и (4; 5). IV.39. Уравнение имеет корни при а€[—12;-2]: при аб[-12;—4] корни положительны (при а =-4 корень один); при а е (—4; —3) корни разных знаков; при а = —3 один из корней равен нулю, а другой отрицателен; при а € (—3;—2] корни отрицательны. IV.40. l)pe[-i;3); 2) ае(-оо;-2). IV.41. 1) а 6 (-оо;-6)и (|; 2)ae[0;i); 3) а е [-6; 0) U { i} ; 4) а € [-6; J] ; 5)«е[-6;+оо) IV.42. I) аб(-оо;-|)и(|;+оо); 2) а € (О; |) ; 3) а € [-|:0] U {J} 4) а 6 [-|; I] ; 5) а € [0; +оо). IV.43. I) а < -0,5, а = 4; 2) а > 1 а = 0. IV.44. I) ?-^^<а<2; 2) [2\/2;Д). 1V.45. 1) [-1; 0) U [4;+оо) 2) [0;2). IV.46. I) (-ос;-1)и(-1;0); 2) (-оо; I]. IV.47. 1) (-оо; v/б] 2) (-оо;-\/2]. IV.48. 1) (-оо;0,5] U [2;+оо); 2) (-оо; |] U [|;+оо) IV.49. 1) (-оо;-2)и[-^;+оо); 2) (-0,5;2]. IV.50. I) (-ос;2) U (2;4] 2) (-оо;2) и (2;5]. IV.51. 1) (-оо;-4) U (-1; 3) U (3;+оо); 2) (0;0,5] U и[1;+оо); 3) {-0,5} и (0:0,5]; 4) (-оо;-I) U (0; I). IV.52. I) (-8; 1|; 2) [1;2] и {0}. IV.53. 1) (0;i); 2) (-ос;-0,5) U (0;оо). IV.54. I) (-4;-2)и(3;+оо); 2) (-oo;-l,5)U(0,5;4), 1V.55. 1) (-i;+oo); 2) (1,5;+оо). IV.56. 1) (-4;-1) U [|;+оо); 2) (-оо;-1) U и (-0,25; 5); 3) (-оо;0) U (0,25; 2); 4) [-2;0) U [6;-|-оо). 1V.57. 1) (-оо;0) и (О; i) U (5;+оо); 2) (-оо;0) U (0;0,2) U [^|;+оо). IV.58. 1) -4; 2) 5. IV.59. 1) (-3;-1| U (1;2); 2) (-оо;-2) U и (0;1). IV.60. 1) (-ос; 4) U (4;+оо); 2) (-оо;-1) U (0;0,5). 1V.61. 1) (-оо;0)и (^;+ооу, 2) (О; v^j. IV.62. 1) (-oo;-l]u(2;+oo) 2) [-3;!]; 3) (-оо;3) U (6;+оо); 4) (0;1,5). IV.63. 1) [-3;-2] U [2; 3] 2) (-оо;-5| и [-0,5; 0,5) U |5;+оо). IV.64. 1) [-0,5; 0) U (0;0,5] 2) (-оо;-2)и(2;+оо). IV.65. 1) (-1;0)U (-^4;+оо); 2) (-оо; - U(0; 1). IV.66. 1) Если а < —3, то лсе(а;—3); если а = —3, то решений нет; если а > -3. то X 6 (-3;а); 2) если а < -2, то х 6 (—оо;2] U [—а;+оо); если а =-2, то хб(—оо;+оо); если а > -2, то х 6 (-оо;-а] U [2;+оо). IV.67. 1) Если а < —0,5, то х 6 (2а;—1] U [4;+оо); если а = —0,5, то X 6 [4; Н-оо); если —0,5 < а < 2, то х 6 [—1; 2а) U [4; -|-оо); если а = 2, то X е [-1; 4) и(4;+оо); если а > 2, то х € [-1;4] U (2а;+оо); 2) если а <-3, то X € (а; а + 1) и (—2;+ос); если а =-3. то х G (-3;-2) U (-2;+оо); если 78 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства -3 < а < -2, то х е (а; -2) U (а + 1;+оо); если а = -2, то д: 6 (-1; +оо); если а >—2, то л: 6 (—2;а) и (а + Г,+эо). IV.68. 1) Если о ^-2, тодсб(—2;2); если -2 < а < 2, то х 6 [а; 2); если а ^ 2, то решений нет; 2) если а < —1, то X € (—со; — 1) и [1;-а); если —1 ^ а < 1, то хб(—оо;—1]; если 0^1. то х€(—эс;-а). IV.69. 1) Если а < —4, то хб(-оо;—4); если а ^ —4, то X € (—оо;а|; 2) если а ^ -2, то х 6 (—ос;—2] U [-1;+оо); если -2 < а < -1, то х е (-оо;а) U [-1;+ос); если а ^ -1, то хб(-оо;+оо). IV.70. 1) (-оо;-0,2); 2)ll;+fx>), IV.7I. 1) {-сю; 1) U и (1; 2) и {3} и [4; 5); 2) [0; 1) U (1; 2) U {3} U [4;+оо). IV.72. 1) {-oo;-3|U и {2}; 2) (-оо;-0,75). IV.73. I) (1,5; 3,5); 2) (-оо;-1) U (0,5: оо). 3-ч/3,.3 + \/3 2 ■’ 2 и (2,5;+эо). IV.74. 1) (-«.;-!) и 2) 1V.75. I) (-1-n/3;-1-v/2) и (-1 + \/2;-14-\/3); 2) (2 - ч/б;2 - >/3) U и (2 + ч/3;2 + ч/б). IV.76. 1) (-1;5); 2) (-оо;-1) U (-1; 1) U (1;+оо). IV.77. 1) (-оо;-0,5); 2) ^-6; U ^3; —. IV.78. 1) Если о < — 1, то X е (—оо; а) U (-1; —а); если а = ±\, то х 6 (—оо; — 1) U (—I; 1); если — I < а < О, то хе (—оо; — 1)и(а;—а); если а = 0. то х 6 (—оо; — 1); если О < а < 1, то X 6 (—оо; —1) и (—а;а); если о > 1, то х 6 (—оо;-а) U (—1;о); 2) если а < -3, то X 6 (—оо;а|и[—3; —а); если а = —3, то х 6 (—оо;3); если — 3 < а < О, то X е (—оо;-3] и [а; —а); если а = О, то хб(—оо;—3); если О < а ^ 3. то X 6 (-оо;-3] и(-а;а]; если а > 3, то х 6 (—оо;-а) U (-3; а]. IV.79. 1) Если а < 1, то х€ +оо^: если а = 1, то х 6 {0} U ^** ~ ^*; +эо^; если 1 < а < 2, то X 6 [—\/g — 1; %/а — 1J и 2 а = 2, то х € [-\/а — I; +оо); если 2 < п < 10, то х е [^-\/а - 1; ^ °^ U [\/а — 1; +оо); если а — 10, то X е [\/а — 1; +оо); если а > 10, то х е ~ °; —\/а — ij U [\/о — 1; +оо); 2) если а < —0,5, то х 6 (—оо;2а — 3] U — 2; —2^; если а = —0,5, то X G (—оо; —2); если —0,5 < а < О, то х 6 оо; ^ — 2j U [2а — 3; —2); если а = О, то X € [2а — 3; —2); если О < а < 0,5, то х 6 [2а — 3; —2) U Q - 2; Ч-оо^, если а =0,5, то X € [ j ~ 2; +оо^; если 0,5 < а < 1. то х € (—2; 2а — 3] U — 2; +оо^; если а = 1. то х€(—2;+оо); если а > 1, то х € 2; ^ — 2j U [2а — 3;+оо). IV.80. 1) а $ —0.5; 2) Q $ IV.82. 1) Корней нет; 2) один; 3) два; 4) один. IV.83. 1) 3; 2) -3. IV.84. 1) 4; 2) 3. IV.85. 1) 5+^; 2) IV.86. 1) 2; 2) 5. IV.87. 1) 3; 2) 0. IV.88. 1) 2; 2) 3. 1V.89. 1) -\/5; 2) -v/5. 1V.90. 1) ±2; 2) 3. 1V.9I. 1) Нет корней; 2) -2. IV.92. I) 0; 1; 2) 2. IV.93. 1) 5; 2) 5. IV.94. 1) 64; 2) 16. 1V.95. 1) 630; 2) 4087. IV.96. I) -2; 2) IV.97. 1) 0,5; 2) -3. Ответы к главе IV 79 IV.98. I) 9; 2) 3. 1V.99. 1) 5; 2) 14, IV.100. I) ±4; 2) -4; 2. 1V.101. 1) 64; 2) 0; 1. IV.102. 1) Если а < 1, то корней нет; если а ^ I, то = —2а + 4: 2) если а 6 (-эо;-1) U ( —1; 1), то корней нет; если а = —1, то Л'е [Ь foe); если и ^ 1, то А = а^ —3« + 1. 1V.103. 1) Если а <2, то корней нет; если и ^ 2. то а = U + I. 2) если а е (—эо; 0) и {1}. то корней мет; если tt = |0; I) и (1:+оо), то А= -j,. IV.104. 1) 52 — 8\/39; 2) - 2\/3. IV.105. 1) 4; 2) 5: 3) 2; 4) 2 1V.106. I) -4;^; 2) -4;-^^"-. 1V.107. 1) Л; 2) -0,75; 6. IV.108. 1) -3; 2) 3. IV.109. I) -17; 18; \/5 2) -77: 75. IV.110. 1) -1; 2) 1. IV.111. I) -2; 2) 1; 3; 3) 0; 1; 4) 0;!;:^. IV.112. 1) -24; 3;-88; 2) 1; 2; 10. IV.113. I) 0; 2) корней нет IV.114. 1) i; 2) IV.115. Если а е (-оо; - I] и (0; 2], то а = I о Т 2 если а € (-1;0] и(2;+сх>), то корней нет. IV.116. а <-^. IV.117. 1) Два корня; 2) корней нет. IV.118. 1) Бесконечно много; 2) два, IV.119. 1) 1; 2) 2; 0,4. IV.120. 1) (-ос; 2]; <5 о 2) г',+оо). IV.121. 1) -3,5; 2,5; 2) 1; 6. IV.I22. 1) [-2;6]; 2) (-оо;-5]. IV.123. I) -1; 2) [-3;3]. IV.I24. 1) 2; 2) -0,5. IV.125. 1) 1; 4; 2) 0; 9; 3) корней нет; 4) 3. IV.126. 1) ±3\/2,±5; 2) корней нет; 3) —5; 3; —l±v^; 4) корней нет. IV.127. I) Корней нет; 2) 1; 3) корней нет; 4) -1. IV.128. 1) 3; |; 2) 3; 11. 1V.129. 1) -1; 5; 2) -2; 3. IV.130. 1) 1; 3; 2) -4; -1; 1. IV.131. 1) l-v/5. -\/2; 2) -2-V2, -УШ. IV.132. 1) У2; 2) 0; v2 IV.133. 1) 0; 4; 2) -1; I. IV.134. I) 1; 2) -4. IV.135. 1) 4,-;^, 0; 2) -1, -i, i. 1. 1V.136. 1) -1; 5; И; 2) -2; |. IV.I37. 1) 9-4л/5; 1; 9; 2) 5. IV.138. 1) ±7; 2) 0; -2. IV.139. 1) 0; 2; 2) -2; 6. 1V.140. 1) Если 0^1. то корней нет; если а > 1, то А=±^^р 2) если а 6 (—оо; 0) и (0; 1), то корней нет; если а=0, то а —любое действительное число: если а> 1, ТО А = ±(а—1); если а= 1, то А = 0, IV.141. 1) Еслиа^О, то А = ^: если а < о, то А =—а; 2) если а = ±1, то а ^ 0; если а 5^ ±1, то а = 0. IV.142. 1) Если а е (—оо; —2) и (2;+оо), то корней нет; если а = ±2, то корней бесконечно много; если а €(—2; 2), то корень один; 2) если а€(—оо;3), то корней нет; если а = —3, то корней бесконечно много; если а > 3, то два корня. IV.143. 1) -1 + у^. -9- >/53. 2) 7 т sM 2 ’ 2 ■ 2 ■ 1V.I44. 1) (-оо;-2]; 2) -1,5; 2,5. IV.145. 1) [-2;-l]U[l;2]: 2) корней нет. 1V.146. I) -7,5; 6; 2) -1.5; -1; 3. IV.147. 1) -3; 4-\/^; 2) 3; IV.148. 1) 0; 2) ±^, 0. IV.149. 1) 28; 2) ; 0. О О 80 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.150. 1) [-4;0]; 2) [9; 18]. IV.151. 1) Если а ^-0,5, тох = -а-1; если а > -0,5, то х= 2) если а < — 1, то х= если — 1 ^ а < О, то корней нет; если а = О, то х = 1; если О < а < 1, то Xi = . хг ^ 1 — а ; если а ^ 1, то х=|^. IV.152. 1) -3; 2) [-2;2|. IV.I53. 1) а =-4, а = -2; 2) 0; 2. IV.154. 1) [—0,2;1|; 2) [2;3]. IV.155. 1) При а<0 корней нет; при а = 0 и о >4 два корня; при 0<а<4 четыре корня; при о = 4 три корня; 2) при а<0 и о>1 нет корней; при а = 0 три корня; при 0<а<1 четыре корня; при а = 1 два корня. IV.156. 1) -1<о<1; 2) а = ±1. IV.157. 1) (-оо;-3); 2) [5;14|; 3) {1}; 4) решений нет. IV.I58. 1) [-3;0)и(1;+оо); 2) (1;+оо). IV.159. 1) [-У5;ч/5]; 2) (-оо;-4) U (1;+оо); 3) 3 ■ 3 ; 4) (3;+оо). IV.160. 1) Нет решений; 2) [-5; 2) 3) [—10; —8) U (—2; 0); 4) нет решений. IV.161. 1) (0;1) и (4;5|; 2)[-|;i). IV.162. 1) (-00;-4] U (-1;+00); 2) [|;+оо); 3) [1;+оо); 4) -2. IV.163. 1) (-1;2|; 2) [-2;-V5). IV.164. 1) [0,5;!]; 2) [1; 1,25]. IV.165. 1) (-2; 14); 2) (-оо;3]; 3) (-оо;2]; 4) (—оо;1,2]. IV.166. 1) (—оо;—4] U (^;+оо); 2) (—оо;3] U [13;+оо); 3) (-оо;-2] и (2;+оо); 4) (-оо;0,5] U [5,5;+оо). IV.167. 1) [-4,5; 0]; 2) (2;2,5]; 3) |5;+оо); 4) [2;+оо). IV.168. 1) [0;3]; 2) [2,5;3); 3) [-!;!]; 4) [0,5; 1). IV.169. 1) [0;+оо); 2) [-6;2]. IV.170. 1) (-2;2); 2) [-1;1]. IV.171. 1) {-1} и (2;+оо); 2) [1;+оо) U {0,5}; 3) [2;3]; 4) {-2;1}. IV.172. 1) (3;v/l0); 2) (-3;-2] U [2;+00); 3) (-3;-l)U и (1;5); 4) (-6;-5) и {-5;+оо). IV.173. 1) (9;+оо); 2)(-оо;-4). IV.174. 1) [2|;4); 2) [о; ^ и (|;+оо), IV.I75. 1) (-оо; 1); 2) (0;+оо). IV.176. 1) (0}и(3;+оо); 2) (-1;1). IV.177. 1) Если а < 0. то решений нет; если а = 0. то х = —2; если а > О, то х € |^—2; а^ — 2j; 2) если а > 4, то хб[—3;+оо); если а ^ 4, то х е [а^ — 8а + 13;+оо). IV.178. 1) Если а < —1, то решений нет; если а = —1, то х = 2; если а > —1, то х 6 [1 - а; 2 2) если а ^ —8, то х € [а + 4;+оо); если а < —8, то х 6 [—4;+оо IV.179. 1) Нет решений; 2) (-оо;-1]. IV.180. 1) ^~^~^;0 2) IV.181. 1) Г. 2) [-2;3 + \/Ш]. IV.182. 1) (-3;1); 2) (1;2]. IV.183. 1) (-001-1] U [-0,2;0]; 2) [|;{|] U [f;+°o). ;з); IV.184. 1) Нет решений; 2) [0;2]. IV.185. 1) (—оо;2) U ^_3 + n/5 2) (-1;^-^) и (2;+оо). IV.18.6. 1) [0;4) U (4; 5); 2) [0; 1) U (1;3). IV.187. 1) (1-ч/Г7;0] U [2;l + v^); 2) (- 1 lV65 -1 и \/б5- О- Ответы к главе IV 81 IV.188. 1) (2;3); 2) (-оо;-1] U (2; 3). IV.189. 1) |-1; - U 1 5 + 2%/37 2) -1;-^) и . IV.190. 1) [-5;-^,); 2) IV.191. 1) 3; 2) 2. IV.192. 1) ^-оо; U[2;+oo); 2) (-00; 1) U ;0)и(0;2); 2) о) U (0;5]. IV.193. 1) 1 13' IV.194. 1) {-1} и [2;+оо); и 2) {-2;1} и [3;+оо); 3) 3- %/4Т ;V2 2;?±У^ u{-v/2}; 4) (-5;-2]U{6}. IV.195. I) (-00;-|] U (3;+00); 2) [2.5; 4) и (7;+оо); 3) (-1;0) U (4;+сХ)): 4) [-2,2;-1) U (5;+оо). IV.I96. 1) (-oo;-V^ и \Us/2) и [|:+оо); 2) (-оо;-ч/5) U (V^; 1,5) U IV.197. 1) [иЩ] и (2;+оо); 2) [2;3) и [f^;+oo). и [\/3;+оо). IV.198. 1) [0;2|; 2) [4; 4-оо); 3) (0; 1); 4) [l;+t^). IV.I99. 1) Если а < —1, то решений нет; если -1 ^ а ^ О, то х 6 [1 — \/1 + а; 1 + х/Пнг]; если о > О, то ха [-0,5а; 1 4- \ДТИ\; 2) если а < О, то хО. (-оо; а); если а ^ 0. ^----)■ то IV.200. 1) Если а^1, то;с = а; если 1 < а < 2, то дсе[1;а]; если а = 2, то дсб[1;2); если а > 2, то хб[1;2)и{а}; 2) если а < —3, то дс g (—оо;а] и [—а;+оо); если а = —3. то х g (-схз; —3) и [3;+оо); если —3 < а ^ о, то ха (-оо;-3) U [-а;+оо); если 0 < а ^ 3, то xg(-oo;-3)U[a;+oo); если а>3, TOJCg(—оо;-с]и[а;+оо). IV.20I. I) (1;5); 2) (-ос;3). IV.202. 1) (-2;+оо); 2) (-оо;3). IV.203. 1) g]', 2) [-4|;10]. IV.204. 1) [0;3]; 2) [-10;-2); 3) [-3;5|; 4) [-1;1]. IV.205. 1) (3;5); 2) (-оо; 1 - \/5] U[4;+oo). IV.206. 1) (-oo;-7)U(l;+oo); 2) (-!;§)■ IV.207. 1) (-00;+00); 2) (-оо;4) и (4;+ос); 3) нет решений; 4) ±3. IV.208. 1) (-оо;-1) и (1; 2) U (4;+оо); 2) [-1;0]и[1;2] 3) (-оо;-2| и [-1;2] и [3;+оо): 4) (-1; 1) U (1; 3). IV.209. 1) [2,4;3,6] 2) (-оо;2|] и [55;+оо). IV.210. 1) [-2;-j]; 2) (-00;-4) и (1;2) 3) (-ос;-2]и[1;+оо); 4) (-1; 5) U (11;+оо). IV.21I. 1) (1 - v^; 1 + \/3) 2) (-ос;-1) и (4;+оо). IV.212. 1) {-8} U [0;2]; 2) {-7} U [1;5] IV.2I3. 1) [|;|i); 2) [l;g). IV.214. 1) (-1;2); 2) (-2;0) IV.215. 1) (-оо;0[; 2) (-оо;-1) U (7;+оо); 3) (-оо;-2] U [1;+оо) 4) (-оо; и (2;+оо). IV.216. 1) (-1;3); 2) [1 + \/5;+оо); 3)(2;5) 4) 2. IV.217. 1) (-3;3): 2) [О; U (2;+оо). IV.218. 1) (2; 3) U (3;+оо) 2) (-оо;-3| и {2} и [3;+оо). IV.219. 1) (-оо;-1-\/2) U (l + V^;+oo) 2) (-00;-5) и {-1} и [3;+оо), IV.220. 1) [-5; 11); 2) [-7;42). 82 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства IV.221. 1) (-1;0)и(2;3); 2) {-ос;-3) U (7;+эо). IV.222. 1) Если Ж 1, то решений нет; если а = 1, то х = 2\ если а > 1, то ,« е [3 — а;а + Ij; 2) если а > 1,5, то ,т € (3 — За; а — 3); если а ^ 1,5, то решений нет. IV.223. 1) Если а < 2, то 6 (—оо;а — 3) U (1 — а;+оо); если а ^ 2, I то X —любое действительное число; I 3 IV.224. 1) Если а > О, то х G а ^ О, то 2) если а ^ то X —любое действительное число; если то х € (-оо; —2а — 1] U [4а + 1;+ос). 3 -оо; решении нет; а > 1, то X е ос: 2) (-1;0)и(0;1). IV.226. 1) j и “ 1; 2) если а ^ 1, то решений нет; если ] *V.225. 1) [0;1) и (l;-foc); -1.5; 0,5) и (0,5; 2,5]; 2) [1.4; 1,5) U (1.5; 1.6]. IV.227. 1) (-4,5; 0,5); 2) (-оо;-4,5) U (0,5;-|-ос). IV.228. 1) ^-оо; U и{4}и[8-|-х/^;-|-оо); 2) (-оо;-2)U{2}u [4 ■+• 2ч/5;-|-оо). 1V.229. 1) (0;1); 2) (-oo;-2)u(-l;l)u(v^;-foc); 3) (-4; 0) U (0;-foo); 4) (-оо;-0,5) U U(-0,25;-t-oo). IV.230. 1) (-оо;-2)U (6 - \/i2;-boo); 2) (-oo;-4-b \/33) U U(3;-boo). IV.23I. 1) {-2,5} U [1,5; 2]; 2) {-14}U(1;2]. IV.232. 1) Если a 6 (—00: -3], TO X 6 [-4 — 2a; -boc). если a€ (—3; -boo), to x € [0,8 — 0,4a; -boo); 2) если a e (—oo;-0,4), to x 6 oc; ^ j U |-a — l;-boo), если a e [-0,4;-boo), TO X G R. IV.233. 1) При |a| ^ 2 решений нет. при <2 X e (—2,2); 2) при |а| ^ 5 X —любое О действительное число, при |а| < |, X G (—оо;—2,5] и [2,5;-boo). IV.234. 1) [—1,25; 1,25]; 2) IV.235. 1) 16; 96; 2) 3; 18. IV.236. 4. IV.237. IV.238. (-оо;-1]и{0,2). IV.240. I) 1-ь 2\/2; 2) Указание: если все выражения перенести в левую часть, то левую часть можно будет представить как квадрат некоторого выражения. IV.24I. 1) [9:18)U(18;25]; 2) [8,5; 13) и (13;-boo). IV.242. 1) ^ ■ 3 ’ 3 24 ;3 : 2) 1-2,25; 4]. IV.244. [0; 5] и {6} и (7,5; 9]. IV.243. 1) 2) ^ IV.245. 1) [-l|:-l) и 1^1^ - 1;-Ьоо^; 2) [-1;0,5)U -boo IV.246. (-ос;-9) и (-1,5; 0) и (4,5; 13,5). IV.247. [-3;-2) U (-2-Ь л/З; 1]. ;1,5 . IV.249. 1) (4-v/4A^;5]; IV.248. I) 2; 3-bV^ 2) 4-v/4T 2 J' I 2 2) [-7;-6-b\/4v/5-8). IV.250. I) (-oo; l-3^/5) U {-2} U (l-b3v^;-boo); 2) (-oo;l-4y2)u{-3}u(l-b4v/2;-boo). IV.251. I) [-2;-I) U(1; 1,2) U(2;3]; 2) 1-4;-3) U (-l;-0,8) U (0:1]. IV.252. [-1;0) U (2;?) U (?;||). IV.253. Если a < -0,75, to уравнение имеет четыре корня Х]_2 = Ответы к главе IV 83 - -0,5 ± 0,5\/1 - 4а, ^3,4 = 0,5 ± 0,5V-3 — 4а; если а =-0,75, то уравнение имеет два корня х\ = —0,5 + 0,5\/1 - 4а и Х2 = 0,5; если —0,75 < fl < 0,25, то уравнение имеет два корня -<1,2 = -0,5 ± 0,5%/1 - 4а; если а = 0,25, то уравнение имеет один корень л: =-0,5; если а > 0,25, то уравнение не имеет 2 корней, IV.254. —З^а^З. IV.255. Если а е (—оо;0] и[8;+ос), то д: = ^; если ае(0;8), то уравнение не имеет корней. Указание: избавиться от иррациональности, дважды возведя уравнение в квадрат; затем сделать проверку, подставив полученное значение переменной х в исходное уравнение. IV.256. 1) Указание: после замены \/х — 9 = t задача сводится к исследованию квадратного уравнения (случай а = 0 следует рассмотреть отдельно); 2) а 6 ~ IV-257. 1) Если а < 0, то X е ^2а^ + |; 4-ooj; если а ^ 0, то х € + |; +оо^; 2) если а < 0. то X е оо; а — ; если а ^ 0, то х 6 ^-оо; а — j. Глава V ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ §1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ Первый уровень 1. Градусная и радианная меры угла V.I. Найти радианную меру угла, равного: 1) Г; 2) 15°: 3) 18°; 4) 75°; 5) 105°; V.2. Найти градусную меру угла, равного: 1) о радиан; 2) 1 радиан; 4) 2 радиана; 5) к радиан; V.3. Заполнить таблицу: 3) I радиан; 6) 2тг радиан. 6) 270' Радианы п 6 7Г 3 я 2 Зя 4 5я 6 Зя 2 Градусы 45° 120° 180° 360° 2. Точки тригонометрической окружности, соответствующие заданным числам, их декартовы координаты V.4. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам: ^ ге П' 7Г 7Г 2л: Зтг 5тг ^ 7я 5тг 4тг Зя 5я 7я Пя 6’ 4’ 3’ 2’ 3’ 4' 6 ’ 6 ’ Т’ 3’ 2’ 3’ 4 ’ V.5. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам (задача будет считаться выполненной, если точки правильно помещены в координатную четверть и верно расположены друг относительно друга): 1) 0; 2) 1; 3) 1,57; 4) 1,58; 5) 2; 6) 3; 7) 3,14; 8) 3,15; 9) 4; 10) 4,71; И) 4,74; 12) 5; 13) 6; 14) 6,28; 15) 6,30; 16) 7. V.6. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам: 1) 2к-п, л € Z; 2) к-п, л6 3) f-л, ле Зя 4) I ■ л, л € Z; 5) —^ + 2пп, neZ\ 6) - дл, л 6 Z; § 1. Тригонометрическая окружность 85 7) -^+2кп, neZ; л\ Зк , Tin 8) - + п е: V.7. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам: 1) 2лп , п G 2) лл Т’ п € Z; 3) лл Т’ Л е Z; 4) mt Т2 ’ /2 € Z; 5) 5-Ь 2 ^з", «eZ; 6) 5 + 2 neZ; д 7) к + 2 K/J г- *7? > -г-~» п G Z; 5 8) rt-b ^, neZ. □ V.8. Отметить на одной тригонометрической окружности точки, соответствующие данным числам, и указать на координатных осях их декартовы координаты: Зл. 7г. 2к, 4;г. 5л. л. Зл. 5л. 7л. л. 5л. 7л. Пл з’Т’Т’Т’ 4’Т’Т’Т’ e’T’T’l’ Отметить на тригонометрической окружности точки с заданными координатами и указать, каким числам они соответствуют (V.9-V.I2). V.9.[)(l;0); 2) (0; 1); 3) (-1;0); 4)(0;-1). V.10.1)(^;^); 2)(-^;^); 4)(^;-f). v.ll.l)(l;^); 2)(-l;f); 3)(-1;-^); 4)(l;-f)^ 2)(-^;l); 3)(-f;-i); 4)(f;-i). V.13. Отметить на тригонометрической окружности точки с заданными ординатами и указать все числа из отрезка [-2я,2тг], которым эти точки соответствуют: 1) 1; 2) -1; 3) 4) V.14. Отметить на тригонометрической окружности точки с заданными абсциссами и указать все числа из отрезка [-2д, 2тг], которым эти точки соответствуют: 1) -1: 2) I. 2’ 3) л/3. 4) 86 Глава V. Тригонометрические формулы 3. Пересечение и объединение числовых множеств, соответствующих точкам тригонометрической окружности V.15. Задать формулой пересечение множеств: 1) у. I + 7г/г. где n,/sGZ; 2) + Kk, где \ о \ 7ГГ2 Tlh I ^ ГТ7 3) у, у, где п,к&Ъ\ | где п.ке и 2 V.16. Задать формулой пересечение множеств: 1) ^ Г кп, ±1 I- 2кк, где п,к eZ; 2) + где n,feeZ. V.17. Задать одной формулой объединение множеств: 1) тт, ^ + лк, где п,к&Ъ\ 2кп , 2кк I _, 3) -у, где л,fee, 2) I + у. у. где п,к£Ъ\ 4) 7 + Дп. ^ + 7Tfe. где л,fee! 4 4 4. Аналитическое задание дуг тригонометрической окружности V.18. 1) Выделить на тригонометрической окружности дугу, ординаты точек которой положительны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 2) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы точек которой неотрицательны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 3) Выделить на тригонометрической окружности дугу, ординаты точек которой отрицательны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 4) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы точек которой отрицательны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. V.19. 1) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы и ординаты точек которой неотрицательны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 2) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы которых отрицательны, а ординаты положительны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. §1. Тригонометрическая окружность 87 3) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы и ординаты точек которой отрицательны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 4) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы которых положительны, а ординаты отрицательны, и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. V.20. 1) Выделить на тригонометрической окружности дугу, ординаты точек которой больше и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 2) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы точек которой меньше и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 3) Выделить на тригонометрической окружности дугу, ор- v/3 динаты точек которой меньше и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. 4) Выделить на тригонометрической окружности дугу, абсциссы точек которой больше и задать аналитически множество соответствующих ей чисел. V.21. 1) Задать аналитически лежащую в правой полуплоскости дугу тригонометрической окружности, концами которой являются точки с координатами (0;—1) и 2) Задать аналитически лежащую в верхней полуплоскости дугу тригонометрической окружности, концами которой являются точки с координатами и (~U0). 3) Задать аналитически лежащую в нижней полуплоскости дугу тригонометрической окружности, концами которой являются точки с координатами (ОП)- 4) Задать аналитически лежащую в левой полуплоскости дугу тригонометрической окружности, концами которой являются точки с координатами ^ 88 Глава V. Тригонометрические формулы Второй уровень V.22. Найти пересечение множеств; 1) пп Т’ жк Т’ n,k£ Ъ\ 2) ял Т’ Kk Т’ л, Й € Z; 3) 2 ял Т’ n,feeZ; 4) я-Ь пп 3 ’ nk Т' 1 ^ С Z, V.23. Найти пересечение множеств 1) ^ + f + f. n.^€Z; 2) ^ + ^ + f. n,kGZ-, Kk 6 * к . Kk 3) ll + f • il + f • -rs^T- -§+?■ §2. СИНУС, КОСИНУС ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС Первый уровень 1. Вычисление значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов V.24. Отметить на одной тригонометрической окружности точки, соответствующие указанным углам, и указать их координаты на линиях тангенсов и котангенсов: П' 77-5-15-л. ж, 5тг. 7лг. Итг з’У’Т’Т’ 4’Т’Т’Т’ e’T’T’y”' V.25. Опираясь на рисунки, выполненные при решении задач V.8 и V.24, заполнить таблицу (если значение не определено — поставить прочерк): 1 0 К 6 9я 4 К 2 2к 3 3;г 4 5я 6 4я 3 7к 6 8я 3 Зя 2 13я 6 Зя 2 11л 6 sin t cost tg^ ctg^ V.26. Найти а, если: 1) sina=-i и -^<а<0; 2) cosa=-^ и -к<а<-^ 3) sina = n/3 2 Зя 2’ Зя и -~<а<-к\ 4) cosa=^ и -2д<а<-у §2. Синус, косинус тангенс и котангенс 89 V.27. Найти Of, если: 1) tga= 1 и -л:< а< 2) ctga=-v/3 и -^cos9; 2) jj:|-tg3> - sin 3. V.42. Решить неравенство: 1) (\/л: —2-1) cos2>0; 2) sin3-\/1 - л: —tg3-\/1 — .t>0. V.43. Определить знак выражения; 1) cos 2а, если |<а<^; 3 2 2) tg3a, если ^<а<|; 3) sin^, если 2д<а<3г, 4) ctg^, если ^<а<л:. §2. Синус, косинус тангенс и котангенс 91 3. Сравнение и оценка значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов Не пользуясь калькулятором, сравнить значения выражений (V.44- V.46). О \ ^ ^ 2) cos - и cos -f; 7 D 4) ctgy и ctg|. 2) cos 2 и cos3; 4) ctg2 и ctg3. 2) sin 1300° или sin 1301°; V.44. 1) sin I и sin 3) igj и tg|; V.45. 1) sin 2 и sin3; 3) tg2 и tg3; V.46. 1) tgl500° или tgl501°; 3) cos 1700° или cos 1699°; 4) ctgl750° или ctgl751°. V.47. He пользуясь калькулятором, определить наибольшее и наименьшее из чисел: 1) cos 1000°, sin 1000°, tgl000°; 2) cos2900°, sin 2900°, ctg2900°. V.48. He пользуясь калькулятором, определить знак выражения: I) tg|-v5-, 2) + о\ 21л^ ,i\ ♦ 19/Т , , 4. Формулы приведения Упростить выражение, используя свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса (V.49-V.54). V.49. 1) sin (а + бд); 2) sin(a-4^); 4) sin (-а- д); V.50. 1) sin(| + a); 4) sin (а-|); V.51. 1) cos(a^-8д); 4) со5(-а-д); V.52. 1) cos^l + a); 5) sin(a+3д); 2) sin(-^-a); 5) sin 2) cos(6д-a); 5) cos(a^-5д); 2) cos (-f-a); 3) sin(3a^-д); 6) siп(5д-2a). 6) sin(y_4aj. 3) cos(7a^-д); 6) cos^Зд-|). 3) cos(f-2); 92 Глава V. Тригонометрические формулы 4) cos ^а-у у, V.53. 1) tg(a+37t); 4) tg(-a-f); V.54. 1) ctg(5rt+a); 4) ctg(a+^); V.55. Вычислить; 1) sin960°-cos495°-tg(-840°); 2) sin585°-cos(-930°)-ctg510°; 3) sin(-570°)-cos870°-tg945°; 4) sin 1020 ° • cos 675 ° • ctg (-1050 °). 5) cos 2) tg(a-27r); 5) 2) ctg(-2rt-a): 5) ctg( »+f); 6) COS (^y -3a^. 3) tg(-2a-7T); 3) ctg(|-3rt); 6) ctg -2a), V.56. Вычислить; 2 cos 196 ° +12 cos 164 ° 1) 3) cos 16° 2 sin 204 ° — 10 sin 156° , sin (—24°) 2) 4) 5cos70°-2sinl60°. cos 110° sin 20° — 3cos 110° sin 160° Решить неравенство (V.57-V.60) 2 ■ Второй уровень 17-V.60) V.57. Dsin^^O; 2)sin/^^: 3)sin2(<|; 4)sin (^7-^) V.58. l)cos(^0; 2)cos(<-^; 3)cos^$:-i; 4)cos (2/-|)<^. V.59.1)tgO0; 2)tg(^v^; 3)tg3/^-l; 4) tg (3(-|)^^. V.60.1)ctgt<0; 2)ctgt-^; 4) ctg (2^-^) ^-1. V.61. Найти a, если; 1) sina = cos 1812° и 90°0, лежащие в промежутке §3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 1. Зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла Упростить выражение (V.67-V.70). V 67 П sinof+tgof 1-fctgof. 2) cosa-ctga 1-tga 1+cosa l-Hga’ 1-sina 1 —ctga’ V.68. 1) 1-sin 4a4-ctg -cos4a; 2) cos(-2a)-|-ctg(-n:-2a)-cos ^y-f2a^. V69 n l-ctg^3a. Qx ctg(270°-2a) ctg^(360°-2a) + l ^ tg^Sa-l ctg3a ' ' 1 t tg2(2a-180°) ctg(180°+2a) V.70. 1) sin^ a-ctg^ a-fsin^ a —1; 2) ctg^ a-f-sin^ a—ctg^ a-cos^ a; 3) cos^ (Tr-a)-l-cos^ 4) ctg^ (y “®) +sin^ (f V.71. Вычислить: 1) cos2lO°-sin2lOO°; 2) cos2 20°-bcos2 110°. 94 Глава V. Тригонометрические формулы V.72. Вычислить: 1) sin2l3° + sin2 77°-tg2 225'’; 2) cos2 21 ° + cos2 69°-ctgl35°. V.73. Извлечь квадратный корень: 1) \/l-cos2 4; 2) 3) \/1 —sin2 5; 4) y^l+ctg2 6. V.74. 1) Найти tga, если cosa = —| и |<а<д. 1 7^ 2) Найти ctga, если sina=-^ и ;^<а<д. v5 - Зг V.75. 1) Найти sin а, если tga = 3 и п<а<~. 2) Найти cos а. если ctga=2 и к<а< Зт: V.76. 1) Найти значение выражения 5ш а 2) Найти значение выражения - sm а—cos а sin OL \Л1. 1) Найти значение выражения — sina+3cos« sin^ q;+6cos^ а sin^ а—4 cos^ а , если tga=—2. , если ctga=2. , если tga=3. 2) Найти значение выражения ^sin’ а е^ли ctga=4. sln'^ а+3 cos^ а V.78. 1) Найти значение выражения tg2a+ctg2a, если tga+ctga = 2. 2) Найти значение выражения tg2a+ctg2a, если tga—ctga=3. 2. Формулы сложения Вычислить (V.79-V.82). V.79. 1) sin25° cos35°+cos25° sin35°; 2) sin-^-sinSO® —cos-^-cos50°: lo lo 3) sin I'CoseS” —cos | sin 65°; ts • 4k . 5k . 4rc 5тг 4) sm-g-sin-jg+cos-^-cos-jg. V 80 It lglQ° + Ig20° . Q\ Ig50°+ctg80° . ’ l-tgl0°tg“20°’ ’ l-tg50°-tgl0°’ o\ tg70°-ctg50° . .4 tgl55° + tgl60° ' l+ctg20°ctg50°’ ’ H-ctgll5°lg20°‘ §3. Тригонометрические формулы 95 V.81. I) sin 15°; 2)sin75°; 3)sinl05°; 4)cos^?; 5) cos T2' 6)cos^; 7)tgl5°; 8) ctg l2’ 9) tgl05°. V.82. 1) tgl065°; 2) sin (-1335°). V.83. Доказать тождества: 1) tga+tg6=5!IlMa; 2) tga-tg/3=5ini«^. / & БГ cosacos/3 ' ^ cosacos/3 V.84. Вычислить: 1) sin 74 °-ctg 53 °-f cos 74°; 2) cos 78°-ctg 6 Упростить (V.85-V.88). V.85. 1) (cos 3a—cos a)'^ -t-(sin 3a- sin a)^ -f 2cos2a; 2) (cos a-sin 5a)^-f(sin a4-cos5a)^-)-2sin 4a. V.86. 1) sin 4actg2a-cos4a; 2) cos2a-fsin 2a-tga. V.87. 1) sin a-l-sin ^а-Ь -у ^ -|-sin ^ 2) cos(a-b^)-cos(a-^) -\/2cos a. V.88. 1) sin^ a—cos — a^ -sin ^a -1)^ 2) cos^Зa-^-cos Ty-fSaVsin (з^+т)' V.89. Вычислить; 1) sin f -t-sin ^a+если sina=— 2) cos sin если sina=-y. V.90. Вычислить: 1) cos (a bj3)+2cos -sin a, если oc-f3- 2) 2sin —0!^ sin)3—sin (a+]Q), если a-/3= —у V.91. Используя метод введения вспомогательного угла, представить выражение как косинус и как синус некоторого угла: \/2 . I 'n/S • \/3 „ I ] Зя. 'Т’ 1) -у-coscz-b-y-sin а; 2) 2 'COS а-Ь 2 -sm а; 04 V2 . \/3 . 1 3) ^-COS а-— -sin а; 4) -у-sm а—у cos а. 96 Глава V. Тригонометрические формулы V.92. Преобразовать, используя метод введения вспомогательного угла: 1) -cosa-sina; 2) cos а—sin а; 3) \/3 sin a-cos а; 4) -v/6-cosa-\/2-sin а. V.93. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения: 1) 2cosa+2sina; 2) sin а—cos а; 3) \/3 sin a+cos а; 4) — sin а—л/З-cos а. 3. Формулы кратных и половинных углов V.94. Вычислить: 1) cos^ 75°—sin^ 75°; 2) 2sin 15°-cos 15°; 3) sin2^-cos2^; V.95. Вычислить: 1) 2tg75‘ 1—tg75°-ctgl5‘ 2) 4) sin у-cos 2tgl65° tgl5°ctgl05° + r V.96. V.97. 1) Найти cos2a, если cosa=-. О 2) Найти cos2a, если cos^|-a^ = |. 1) Найти sin 2a, если cosa=| и —|cosl,4rt; 2) cos4 cos 3)tgyctg|. V.45. 1) sin2 > sin3; 2) cos2 > cos3; 3) tg2 < tg3; 4) ctg2 > ctg3. i; biHii ^ ЫИО, £.) ^ cubo, 3) tg2 < tg3; 4) ctg2 > ctg3. V.46. 1) tgl500°sin 1301°; 3) cos 1700° >cos 1699°; 4) ctgl750° > ctgl751°. V.47. I) cos 1000° — наиб., tg 1000° — найм.; 2) ctg2900° — наиб., sin2900°— найм. V.48. 1) «+»; 2) «-»; 3) «+»; 4) «+». V.49. 1) sin a; 2) sin a; 3) —sin 3a; 4) sin a; 5) —sin a; 6) sin 2a. V.50. 1) cos a; 2) —cos a; 3) — cos^^^; 4) —cos a; 5) -cos a; 6) cos 4a. V.51. 1) cos a; 2) cos a; 3) —cos 7a; 4) -cos a; 5) —cosa; 6) -cos^l^ V.52. 1) —sina; 2) 5) sin a; 6) —sin 3a. V.53. 1) tga; 5) -ctga; 6) ctg|. V.54. 1) ctga; 5) tga; 6) tg2a. V.56. 1) -14; 2) -3; 3) 12; 4) 4 2) + 2тш,-^ + 27cnj, n € Z; 4) sin a; 4) ctga; 4) -4) -n € n 6 tga; Зу/2 4 • V.55. 1) sina; 3) — sin 2) tga; 3) -tg2a; 2) -ctga; 3) ctg(g); 2) -^; 3) -^; V.57. 1) [-7c + 27cn,2rtn], n € 4) [2лп,^+2тгл] 2) (^ + 2то,|5+2т), ne 4) + ТТЛ, Л+ my n € 2) 2 + ^ "I" I Л € Z; 4) [f+ |.у + т)- « e Z. V.60. 1) [| + ял,я+1Гл], 2) + гсл,я+7ш), neZ; 3) (2;w,^+2;t«), neZ; 4) + V.61. 1) 102°; 2) 182°. V.62. 1) sin2tgl2; 4) ctg(—1) > ctg6. V.63. 1) sin2>sinO,5; 2) cos2 л- 2' 3) ^5 -J. V.78. 1) 2; 2) 11. V.79. 1) 2) 2' U 4) -1. V.81. 1) 3) 2) v^ + ^. 3) Vl+..v^. 4) v/6-t^ 7) 2-\/3; 8) 2-v/3; 9) -2-\/3. V.82. 1) ч/3-2; 2) ^+-^. V.84. 1) 1; 2) 1. V.85. 1) 2; 2) 2. V.86. 1) 1; 2) 1. V.87. 1) 0; 2) 0. V.88. 1) 2) V.89. 1) 2) -0,6. V.90. 1) - v/2. 2) V3 V.9I. 1) cos (a - I), sin^a+l^; 2) cos^a-5^, siii^a+^y, 3) cos^a+^^. sin^|-aj; 4) cos^a- |i), sin(a- ^y V.92. 1) v^cos(a-^); 2) v^cos(a+|); 3) 2sin^a—4) 2\/2соз^а+^У V.93. 1) —2\/2 —найм., 2\/2 —наиб.; 2) —\/2 —найм., v^ —наиб.; 3) -2 — найм., 2 — наиб.; 4) —2 —найм., 2 — наиб. V.94. 1) 2) i; 3) 4) V.96. 1) -i; V.99. 1) -2; V.I04. 1) V.106. 1) 1; 2) 2) 2. 2) 2) 1. V.97. 1) V.100. 1) -2; V.105. 1) V.107. 1) а 5^ л: + 2л:п, а е 2) - 24 '25 , V.98. 1) -f; 4 21 -2. 2) -2. V.I02. 1) 0.91; 2) 0,69. 1 . 16' 2) 1; 3) 4 4) 2) (X Ф КП, а 6 V.108. I) 2) 1 - v/3. V.109. 1) 0; 2) 0,5. V.I10. 1) -v/2cos4; 2) — clg3. V.lll. 1) cosa=—sina=-^^^; 2) cosa=^^i^, sina=— V.1I2. 1) cos^ = ?, sin| = :^; 2) cos | TTo- V.113. 1) 1- наим., 3—наиб.; 2) -0,5 —найм., 0,5—наиб.; 3) -1 —найм., I—наиб.; 4) —1 —найм., 1 —наиб. V.iI4. 1) tg2/3; 2) — tg2a. V.115. 1) —0,5; 2) 1. V.116. 1) |; 2) i. V.117. 1) «-*; 2) «+». V.118. 1) sin 13 > sin 12; 2) sinl2>cosl0. V.II9. 1) 1; 2) 1; 3) -1; 4) -1. V.I20. 1) -0,5; 2) 1. V.121. 1) 1; 2) 2. V.129. 2. V.130. 1. V.I31. 2tg2a. V.132. ' 2' V.133. 1) 2; 2) V . 16sm3a найм., ^ —наиб.; V.134. 1) 0,25; 2) 0,5. ^ — наиб.; 4) V.135. 1) 0,5-2) —1 —найм., 0,5 —наиб.; 3) —0,5 —найм., •найм., 1 — наиб. V.136. 1) [0; 1]; 2) (-3; I]. V.137. 1) [-2v/3;2%/3]; 2) [-2ч/2;2>/2]. V.138. 1) -1-наим.. 1 - наиб.; 2) о — найм., 5 — наиб.; 3) 2 — найм., 4 — наиб.; 4) 0,3 — найм., 1,7 — наиб. V.139. 1) 1—найм., 9 —наиб.; 2) -4 — найм., 5 —наиб.; 3) -4 —найм., о-наиб.; 4) 0,75-найм., 3-наиб'. V.140. 1) 2; 2) 2. V.I41. 1) 2®; 2) 4g. V.I43. 1) 1; 2) -3. V.144. 1) -1; 2) 1. V.145. 1) 0; 2) 0. Ответы к главе V 115 V.146. 1) \/2; 2) у/2. V.147. 1) -2; 1; 2) -1; 0,5. V.148. 1) 0,6; 2) -0,8. V.149. 1) -4v/5; 2)-^. V.150. 1) cosa= sina = 2) cosa=--^, sina=;^. V.151. 1) \/3-3 2v/To" : 2) 2 ■'Л- V.152. 1) 2) i. V.153. 1) ?; 2) |. V.154. 1) 5; 2) 4. V.155. 1) 1; 2) 1. V.156. 1) 0; 2) 1. V.158. 1) o(y!^K+2m, n € Z; 2) a фкп, n € Z. V.159. 1) a = к + 2кп, n й Z\ 2) a 7^ 7Г + 2лп. n G Z. V.160. 1) \/2sin ^2 — или sin2 - cos2; 2)-tg(l + |) или V.16I. 1) ■ cos 1 ' 2) V.162. I) [1,5]; 2) V.I63. 1) [-i;0| IJ [!;!] 2> (SU)’ 2) V.I66. 1)0.5 2) 1. V.167. 1) 1; 2) 0. V.168. 1) - iV7. 2) ч/23 V.171. I) За — 2) V.172. 1) 23. ’ 32’ 2) 1 V.173. 1) О 94 15v/3 "32' V.174. 1) 2) О 6-v/3 8 V.175. V.176. 1) 2 2) -3. V.I77. 0,75. V.178. 0. V.179. -4> . V.180. 1) 0,75; 2) 0,75, cos^ a 2) —2 — найм.. 3 — наиб.; 3) — наиб. V.190. 1) 1—найм.. 4-1 1) -1 —найм.. 1,25 — наиб.; 2) 5 —наиб.; 4) -2 — найм.. 9 8 2) 4 — найм., 9 — ■наиб. V.193 . 1) V.189. 1) —1 —найм., 3 —наиб.; найм., 7 —наиб.; найм., 1,5 —наиб.; 2) -2 —найм., 2 — наиб. V.I94. 1) 2 при а = - + 2кп, neZ, и а= ^+2от, ngZ; 2) ^ при а= 5^2;ш, nGZ. и а = —f+2лп, nGZ. Ь 2 6 6 V.195. I) 2) 0,5. V.196. 1) -0,5 при а=к + 2лп, п G Z; 2) -I при 1э а= — g+2т1п, пGZ, и 0!= — ^+2тш. лgZ. V.197. 1) —3 — найм., 7 — наиб.; 2) —9 —найм., 11—наиб. V.198. 1) 0,5 —найм., 2—наиб.; 2) 0,25 — v^. 2 ’2 2) - найм., 1-наиб. V.199. 1) [-2,5;-0,5]; 2) [-4; 3,5]. V.200. 1) 2) [-i;l]. V.201. I) [0;1]; 2) [-^4]. V.202. 1) 1; V.203. Если а = лп, то решений нет; если а Ф лп, то (cos2a;l). V.204. V.205. [-ч/5;ч/5]. V.207. 1) -^; 2) 3) v/З; 4) -V3, V.208. 1) [5;||; 2) [5;^]; 3) (-|;|); 4) V.209. 1) [li;2]; 2) [i;|]; 3) [-3;-v^ U [ч/7;3]; 4) [-2;-v^ U [^2; 2]. V.210. 1) arcsinO,25 arccos0,6; 3) arcsin(-0,l) < /29cos + arccos4) 2\/5sin ^a —arcsinV.220. 1) [~|;|] 2) [0;я]; 3) (-f I f); 4) (0;тг). V.221. 1) [-1;1]; 2) [-1;11; 3) x- любое действительное число; 4) jt —любое действительное число. V.222. 1) д - 2; 2) б - 1,5д; 3) Зд - 8; 4) 4 - 1,5д. V.223. 1) 3; 2) 2,5д - 7; 3) 2д - 5; 4) 4 - 0,5д. V.224. 1) 1,8 - д; 2) 1,5д - 5; 3) 3,5 - д; 4) 11 - 3,5д. V.22S. 1) 4 - д; 2) 6 - 1,5д; 3) 9 - 2д; 4) 3,5д-10. V.226. 1) 4^2. 2) 0,96; 3) -0,28; 4) Щ. V.227. 1) 0.8; 2) 0,8; 3) 3) v/5-4v/30. 13' 4) -0,6. V.228. 1) ^ + 0,2; IО 2) - 25 V.230. 1) 4) ^ V.229. 1) 2) Зу/iO _ ;Л. 40 8 ’ 48 - 25з/3 75’ 2) 71о’ 3) 7з’ V.233. 1) 2; 2) V.236. 1) 4’ 4) 2) V.231. 1) 0,5. + 75. V.238. 1) 39 2) ^f2. 2) 0,25. V.239. 4. V.24I. 1) 3; 2) 1; 3) 1; 4) 3. V.243. 1) arcctg0,4 > arccos 5; О 2) arccos у > arcctg0,7; 3) arcctgO,5 < arccos0,4; 4) arccos0,7 < arcctg0,9. V.248. Указание. Умножить и разделить левую часть равенства на 2sin|. затем применить формулу sinmasinйа = 0,5 (cos(m — ft)a—cos(m f fe)a). Глава VI КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ VI.I. Выполнить действия: 1) (2;-1) + (3;1): 2) (2^-1) • (3; 1); 3) (4;-1) + (2;3)-(-1;0); 4) (2; 0) ■ (3; 0) + (0; 2) ■ (0; 3). VI.2. Найти комплексное число {а\Ь), удовлетворяющее условию: 1) (3; 4) + (а; Ь) = (7; 8); 2) (3; 4) • (а; Ь) = (25; 0). VI.3. Найти комплексное число г, удовлетворяющее условию: 1) г-(-1;-1) = (1;0) (1;-5); 2) (-1;0).(-5;Ю)-г-(2;-1); 3) (2;3) z = (4;l)-(0;l); 4) 2-(3;-4) = (0;-1)-(-2;11). VI.4. Показать, что операции сложения и умножения комплексных чисел коммутативны. VI.5. Выполнить действия; 1) (l + t) + (2 + 3i): 2) 2(3-H4i); 3) (3 + 0(4 + 50; 4) (1 + 30(2 + о + 4(1 -Н i)(l + i)\ 5) {2 + i){2-i)i + {l-Ai){2 + 3iy, 6) (2 + 30(1 + 0(1 - о + (1 - 20(1 + 20- VI.6. Выполнить действия; 1) (1 + 202(1+0^; 2) (2 + 30^; 3) (3-20^; 4) (1-0^ VI.7. Решить уравнение: 1) Rez = JZ-Ь 1 4-2 Imz; 2) 5 Im Z -t- 4i Re z = (4 — 20z + 2i. 118 Глава VI. Комплексные числа VI.8. Найти действительные числа х и у из равенства: 1) (2 + 4i)jc + (5 “ = 16 + 4/; 2) (-3 + i)x + (3 - 4i)y = 18 - 18г. VI.9. Какие значения может принимать г" при различных натуральных значениях «? §2. КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ОПЕРАЦИИ ВЫЧИТАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Первый уровень VI.10. Выяснить, при каких действительных значениях х и у числа Z\ и Z2 являются комплексно сопряженными: 1) z\= х + б/ - 2xi -f- 2, Z2 = у^ + Aix\ 2) zi = г/'* + \/x ■ i, Z2 = x{A — i) -f- 2i. VI.11. Показать, что если z = z, то 2 — действительное число. VI.12. Решить уравнение: 1) z'^ + 2z + 6^0\ 2) 22-42+13 = 0. VI.13. Найти комплексные числа z и w, для которых одновременно выполняются равенства: 1) 3z + W — I, z + iw = 4i‘, 2) 2z — w = -I, 3z — w = —i. VI.14. Найти модуль комплексного числа: 1) 5-Зг; 2) 5г; 3) (3 - г) (4 + 2г); 4) (-2-5г)^. VI.15. Решить уравнение: 1) 2z = - jzj -i-2i; 2) 3i \z\ + 5z = 20\ 3) \z\-z = I+2i\ 4) 2 + |z + 1|г = 0. VI.16. Решить систему уравнений: \z+l-2i\ = l, |2 + 1 + г'( = |2 - 1 - г|. VI.17. Выполнить действия: 1) (1+2г)-(2 + Зг); 2) (2 - г)(2 + Зг) - (1 - Зг); 3) (5 + г)г-(2 + 2г)(3-г); 4) (2 - г)2 - 2(г - 2)г - 1. 1) / 1^-2‘1 = И> 2) / 1 12-г| = |2-Ц; \ §2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа 119 VI.18. Вычислить: VI.19. Вычислить: VI.20. Вычислить; ,3 2) -'-у; (l+if .4 6 + 2/ _ 3 — 5i ’ l-3i '2+^' ■> GiD' 3) (j-. /'2 +' _ 3+iV 4) f .1,_____1 ^ (1 t-/)3 V3-( 2-(/’ ' V(l+2i)2 (1-2()V IO + 5i 1 - ■ VI.21. Найти действительные значения хну, при которых справедливо равенство: 1) z=2 — 5i' 2) ~ (у + _ 4 _ 3j VI.22. Решить уравнение: 1) (г + 1)(1 - 3t) + (2 + г/)(2 - 4г) = 16 - 8г. 2) (2 - !z)(4 + Зг) + (;• - z)(2 + Зг) = 22 - Hi. VI.23. Найти пару комплексных чисел (z,w), для которых одновременно выполняются равенства: 1) Зг — 2ш = 14 + Зг, 2iz — w = —9\ 2) гг + (1 + i)w = 4г — 1, (1 — i)z - 3iw — 7- Зг. VI.24. Показать, что: 1) Re 2 = г + г 2) 1тг = 2 ’ -------- 21 Второй уровень VI.25. 1) Вычислить г*®, если число г удовлетворяет условию г - 2г + 1 + Зг = 0. 2) Вычислить г‘®, если число г удовлетворяет условию 2 - (1 — г)г = -1 - I. VI.26. Доказать, что для любых 2| € С и Z2 G С справедливы равенства: 1) Z1 + 22 = 2] + 22; 2) 21 • 22 = 21 • 22; = 4) = ^ (22 7^0). \ ^2 / 22 120 Глава VI. Комплексные числа VI.27. Найти действительные значения х. удовлетворяющие неравенству: 1) |2 + 4i +v^TTx| <5; 2) 4 + 6: + - 9 VI.28. Решить уравнение: I I 2 __ 3 “ i . 2^ 2 -Ь i 2 __ 2 4 ’ I ^ 10. 1) ____ ,2_ 3-1■ Z + 3| 5 6 + 2i ’ г — 3 2 + 3i 3 — 2i" VI.29. Решить уравнение: 1)2 = 2^ 2)z^ = -2z. VI.30. Доказать, что для любых 2i 6 С, 22 € С справедливы равенства; 1) \ziZ2 + if + \zi - Z2^ = (^|2i|^+l) (|22|^ + i); 2) \Z1Z2 - I|^ - |2i - Z2f = (|2i|^ - 1) (\Z2f - 1). §3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Первый уровень VI.31. Изобразить точкой комплексной плоскости число: 1) -2; 2) 6i; 3) 3 + 2г; 4) -2-i. VI.32. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) 1т2 = —3; 2) Re2 = 4; 3) Re2 = Im2; 4) Re2 + 2Im2 = 4. VI.33. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) 1гп2>—1; 2) Re2<3; 3) Re2<-2Im2; 4) Imz > Rez + 2. VI.34. Описать геометрически множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) Im (2 — 2 +/) =-2; 2) Re(2 + 3+ 4г) > 1. VI.35. Описать геометрически множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) |2-2 + г| = 2; 2)\<\z + i\^3. §3. Геометрическое изображение комплексных чисел 121 VI.36. Пусть 21 = 2 - 3i, 22 = 1 + 2г. Используя изображение комплексных чисел векторами, выполнить на комплексной плоскости следующие действия: 1) 21+22; 2) 21-З22; 3) (21+2^)-2; 4) 22i - З22. VI.37. 1) При повороте на угол против хода часовой стрелки и удлинении в два раза вектор 2i = с переходит в вектор 22- Найти комплексное число, соответствующее вектору 22. 2) При повороте на угол | по ходу часовой стрелки и сокращении по длине в два раза вектор 21=6 + 8/ переходит в вектор 22. Найти комплексное число, соответствующее вектору 22- VI.38. 1) При повороте на угол | против хода часовой стрелки и удлинении в три раза вектор 2i переходит в вектор 22 = —3 + 3/. Найти комплексное число, соответствующее вектору 2i. 2) При сокращении по длине в три раза и повороте на угол у против хода часовой стрелки вектор 2i переходит в вектор 22 = 1 — 3/. Найти комплексное число, соответствующее вектору 21. Второй уровень VI.39. 1) Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию 2 I ^------ = 1, наити наименьшее по модулю. г — 3 — 4/ 2) Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию I (2 — 8) (2 — 8)1 = 121т 2, найти наибольшее по модулю. VI.40. 1) Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию |2 - 2 — 2/| ^ |1 +/|, найти наибольшее по модулю. 2) Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию \z — 5/(1 + /)| < |4 + \/2/|, найти наименьшее по модулю. VI.41. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих указанному условию, найти наименьшее по модулю: 1) (|) = ^ + (f)’ Im (2(2-3))^lm (2(2-/))-6. 122 Глава VI. Комплексные числа VI.42. Среди комплексных чисел, удовлетворяющих указанному условию, найти наименьшее по модулю: 1) |z + i| = |z-3i|; 2) |z-2i| = |z4-4 + 2/|. VI.43. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) |z + 1 + i1 < |z - 1 -/|: 2) |z — 3/| > |z — 3|. VI,44. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) lz + 31 < \/2-|z-1|; 2) 2 — 6 2 + 3 > 2. VI.45. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) Re = 0; 2) Re = -1- VI.46. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: l)Re(^)^l; 2)Re(H^)<-l. VI.47. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) ^1; 2) Re (4 + 1) <3, VI.48. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) |z| 1 + Re(iz). VI.49. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) 1 < Z — 2i 1 + ( 2 + 3 + ( 1-1 ^ |3 + 4г|. <2; 2)|l-2iK VI.50. Найти действительное число а из условия, что точки Z],Z2,Z3 лежат на одной прямой: 1) Z] = 1 + 2г, Z2 = -2 + Зг, Z3 = а + г; 2) zi = -4 + ai, Z2 = 2 Ч-1. Z3 = 5 + 5г. VI.51. Задать равенством геометрическое место точек комплексной плоскости, лежащих на биссектрисе угла ziOz2, если: 1) Z] = 12 - 5г, Z2 = 3 -f 4г; 2) Zi = 2г, Z2 = 4 - Зг. §4. Тригонометрическая форма комплексного числа 123 VI.52. VI.53. §4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Первый уровень Найти аргументы комплексного числа: 1) 2 =-2; 2) z = —i\ 3) 2 = 2 —г; 4) 2=-ЗН-4г. Описать геометрически множество на комплексной плоскости, состоящее из точек, для которых выполняется условие: п l)arg2=^; 2) |5 arg2 VI.54. VI.55. VI.56. Записать в тригонометрической форме комплексное число: 1) 2 =-3; 2) 2 = 4/; 3) 2 = —1-г; 4) 2 = —1 + 2/. Записать в тригонометрической форме комплексное число; 1) 2 = - cos J - / sin о\ • 7Г I • Tt 2) 2 = sin - + г cos р. о о 9 ...9’ Найти модуль и аргументы комплексного числа 2, не вычисляя его: 1) - = (i + o(# + iOG-tO' VI.57. Записать комплексное число в алгебраической форме: 1) (v^ + /)‘®; 2) (1-УЗ/)"; 3) (1 + /)'2; 4) VI.58. Представить комплексное число в тригонометрической форме; 1) (у^-О^. 2) G + VI.59. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: 1) 1(1 + /)2 + 2/| > 4\/2; 2) 5 < |(3 + 4/)2 - (10 + 5/)| < 10. 124 Глава VI. Комплексные числа Второй уровень VI.60. Записать в тригонометрической форме комплексное число: 1) 2 = 1 + cos ~ J sin у; 2) 2 = sin у + i ^cos у - 1^ VI.61. Записать в тригонометрической форме комплексное число; 1) 2 = sin а - /cosa; 2) 2 = 1 - cosa + isin а (| < а < тг). VI.62. Найти модуль и аргумент комплексного числа; 1 + cos а +1 sin а. 1) 2 = 2\ ^ _ sin а + i(cosot - I) 1 + cos а — /sin а' '' sin а + i(l — cos а)' VI.63. Записать в тригонометрической форме комплексное число: 1) 2 = (/-Уз) (coSj^Q-/sin^): ("cos^ - ('sin f') (1 + \/3i)^ 2) 2=-^-i---------^---------. VI.64. Вычислить; 1) ____+0‘°°______■ 2) ( VI.65. Записать в тригонометрической форме комплексное число; 1)2 = (-3 + 4/)3; 2) 2 = (2/ - 1)6. VI.66. Выразить через cos а и sin ог; 1) cos За; 2) sin За. VI.67. Выразить через cos а и sin а: 1) cos 4а; 2) sin 4а. §5. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Первый уровень VI.68. Используя определение корня степени п из комплексного числа, найти: 1) У-5 + 12/; 2) УЗТ4/; 3) У7 - 24/; 4) У-21 - 20/. VI.69. Используя определение корня степени п из комплексного числа, найти: 1) где а — действительное число; 2) где а — действительное число. §6. Алгебраические уравнения 125 VI.70. Используя формулу Муавра, найти все значения корня и отметить на комплексной плоскости точки, соответствующие найденным значениям: 1) VThVfi; 2) y/^i: 3) ^4\/3 + 4i; 4) VI.71. Найти все значения корня и отметить на комплексной плоскости точки, соответствующие найденным значениям: 1) уА; 2) 3) <А-, 4) VI.72. Найти все значения корня и отметить на комплексной плоскости точки, соответствующие найденным значениям: 1) v/=4; 2) 3) 4) VI.73. Найти все значения корня и отметить на комплексной плоскости точки, соответствующие найденным значениям: 1) х/?; 2) А-, 3) 4) Vi. VI.74. Найти числа z, удовлетворяющие условию: у2 _ 7 - (• . о\ -3 _ n/З - г 1) 2^ 3 - 41 ■ 2) = у/З + I §6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Первый уровень VI.75. Решить уравнение: 1) 22 + 9 = 0; 2) 2522 + 16 = 0. VI.76. Решить уравнение: 1) 22 + 42 + 5 = 0; 2) 222 + 22 + 3 = 0; 3) 22 + 22+10 = 0; 4) 222 + 32 + 9 = 0. VI.77. Решить уравнение, разложив его левую часть на линейные множители: 1) 922 + 1 = 0 ; 2) 22 + 42 + 8 = 0; 3) 22 + 62 + 10 = 0; 4 ) 422 - 42 + 26 = 0. VI.78. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, которое имело бы корень, равный: 1) 6/; 2) 2-Зг. 126 Плава VI. Комплексные числа VI.79. Найти действительные значения а, при которых корни квадратного уравнения будут комплексными: 1) (5 - а)г^ + 2о2 - а - 1 = 0; 2) (а + 5)z^ — 4г - а = 0. VI.80. Решить уравнение, разложив его левую часть на линейные множители: 1) z2-2«2-1 = 0; 2) 4z2 +12/2-9 = 0. VI.81. Найти, при каком значении параметра а корни квадратного уравнения будут равными; 1) 22 + 2(3 + /)2 + а = 0; 2) 2^ - (6 + 2/)2 - (1 +/)а = 0. VI.82. Решить уравнение: 1) 2^ Ь б2 - 40/ = 0; 2) 2^ - 32 - 10/ = 0. VI.83. Разложить на линейные множители выражение; 1) 1б2'‘- 1; 2) 2^ + 8; 3) - 2г^ - 82 + 16; 4) z'* - 42^ + 4. VI.84. Решить уравнение: 1) 162''+22 = 0; 2) 2''+ 8z2 + 16 = 0; 3) {z2 + 22)^-16 = 0; 4) (22-z)^-9 = 0. Второй уровень VI.85. Решить уравнение; 1) (2 + /)z2 - (5 - i)z + 2 - 2/ = 0; 2) (l-/)z2 + (/-5)2+ 10 = 0. VI.86. Решить уравнение; 1) 2'' - 6z2 + 25 = 0; 2) z'* + lOz^ +'169 = 0. VI.87. Составить биквадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известны два его корня: 1) \/3 и 4/; 2) 5 и -2/. VI.88. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющее корни: 1) /, 2, 3; 2) 1 + / и —/. Задачи повышенной сложности к главе VI 127 VI.89. Решить уравнение: 1) 2'^ = 1 + i. 1 -(■’ 2) (г-г = 25.(1^)- VI.90. Решить уравнение: 1) 248z3 + 9z2 + 82+1 = 0; 2) 2z‘* + z43z^4-2 + 2 = 0. VI.91. Составить биквадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень, равный: 1) 5 —2j; 2) 3 + 5/. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ VI (zy^a). Доказать, что если г- а Z-U VI.92. Пусть аеС, lma>0, А = lmz<0, то Л>1, а если lmz>0, то А<1. VI.93. Пусть аеМ, ceR, b£C, а>0, ас<\Ь\^. Доказать, что уравнение a\z\ -\-Ьг + Ьгc — Q является уравнением окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус. VI.94. Вычислить >1. VI.95. Доказать, что \ 2 ) ^\ 2 ) \-1,гг = ЗЛ + 1,/г = ЗЛ + 2, (й = 0,1,2,3,...). VI.96. 1) Решить уравнение z^ + 25z^ - 8z^ + = О, зная, что один из его корней равен 5/. 2) Решить уравнение z^ - z'* + 4z^ - 22z^ +/г = О, зная, что один из его корней равен -2/. VI,97. Доказать, что при любом положительном действительном а, а 7^1, уравнение ^ ~ = а. где Z| б С, Z2 € С, 2 — 2] ф Z2, является уравнением окружности, а также найти центр и радиус этой окружности. VI.98. Доказать, что три попарно различные точки Z\, 22, 23 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда гз-г\ 22-21 — действительное число. 128 Глава VI. Комплексные числа VI.99. Пусть Д] — треугольник с вершинами z\, Z2, Z3. а Д2— треугольник с вершинами W2, Ш3. Доказать, что треугольник Д] подобен треугольнику Д2, если гз -г| _ В!)з -1«| 22 - 2| Ш2 — W\’ VI.100. Пусть точки Z\, 22, 23 лежат на окружности с центром в точке 2 = 0. Доказать, что треугольник с вершинами в точках 21, 22, 2з является равносторонним в том и только в том случае, когда 2| + 22 + 23 = 0. VI.101. Доказать, что точки 2], 22, 23, 24, лежащие на одной окружности, являются вершинами прямоугольника в том и только в том случае, когда 2] + 23 = 22 + 24 (точки занумерованы в порядке следования при обходе окружности). ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VI VI.1. 1) (5;0); 2) (7;-1); 3) (2;-4); 4) (6;-6). VI.2. 1) (4;4); 2) (3;-4). VI.3. 1) (2;3); 2) (4;-3); 3) 4) (1;2). VI.5. 1) 3 + 4(; 2) 6 + 8i; 3)7+19/; 4) -l + 15t; 5) 14; 6) 9+ 61. VI.6. 1) -8 - б/; 2)-46 + 9i; 3) -9 - 46i; 4) -4. VI.7. 1) -i; 2) 3 + 4/. VI.8. 1) x = 3, y = 2; 2) X = —2, у — 4. VI.9. 1 при n = 4k, i при n = 4/г + 1. -1 при n = 4k + 2, -i при n = 4k + 3, где ^eNu{0}. VI.10. 1) x = —3, i/=—1; 2) x = 4, у = ±2. VI.12. 1) 1 ± 3i; 2) -2 ± 5i. a»=5Z-.l/; 2) z=\+i,w = 3-2i. VI.14. 1) v/34; 2) 5; 3) lOv^; 4) 29. VI.15. 1) + 2) 4 + З1; 3) l,5-2i; 4) -1 - i. VI.16. 1) 1 +/; 2) -2 + 2(, -1 + 1. VI.17. 1) -1 - 2) 6 + 7i; 3) -9 + t; 4) 4. VI.18. 1) 0; 2) -3 + 8/. VI.19. 1) 1 - /; 2) -0,5i; 3) 3 - i; 4) 0,5 + 4i. VI.20. 1) i; 2) -24 + 24/; 3) 4 + 3/; 4) 2,4 - 0,8/. VI.2I. 1) X = 11, у = 2; 2)x = 3, у = 6. VI.22. 1) 2 +/; 2)3 + 2/. VI.23. 1) г = 2 + 3/, sy = 3 + 4/; 2) г = 2-/, w = 2i. VI.25. 1) 32/; 2) 128. VI.27. 1) [—1;0); 2) (—5; —3] U (3;5]. Замечание. Выражения \AT~x и у/Ж — 9 понимаются как арифметический корень из неотрицательного числа. VI.28. 1) |/; 2) 4-2/. VI.29. 1) 0; ±1; ±/; 2) 0; 1 ±/; -1±/. VI.34. 1) Прямая (/=-3; 2) точки плоскости Оху, лежащие правее прямой X = —2 (сама прямая в множество не входит). VI.35. 1) Окружность радиуса 2 с центром в точке (2,-1); 2) кольцо, заключенное между окружностями радиусов 1 и Зс центром в точке (0,-1) (включая внешнюю границу). VI.37. 1) —\/2.+ iV2-, 2) 4 — 3/. VI.38. 1) 1 +/; 2) 9 + 3/. VI.39. 1) 1,8 - 2,4/; 2) 12,8 + 9,6/. VI.40. 1) 3 + 3/; 2) -2 + 2/. VI.41. 1) 0,8+1.6/; 2) -0,6+1,8/. VI.42. 1) /; 2) -1-/. VI.43. 1) Часть комплексной плоскости, лежащая ниже прямой у = —х; Ответы к главе VI 129 2) прямая X = у и часть комплексной плоскости, лежащая над ней. VI.44. 1) Область, лежащая вне окружности с центром (5;0) радиусом 4\/2; 2) область, лежащая внутри окружности с центром (-6;0) радиусом 6, из которой выколота точка (—3;0). VI.45. 1) Окружность радиуса I с центром в точке (0;0), из которой выколота точка (1;0); 2) парабола у——х^, из которой выколота точка (0;0). VI.46. 1) Часть плоскости, лежащая выше параболы у = х^-\-\, включая саму параболу, за исключением точки (0;1); 2) часть плоскости, лежащая между прямыми х = 0 и .< = 0,5 (прямые не включены). VI.47. 1) Круг с центром в точке (0,5;0) радиусом 0,5 с выколотой точкой (0;0); 2) круг с центром в точке (-1;0) радиусом I с выколотой точкой (0;0). VI.48. 1) Парабола I/= 0,5 — 0,5лс^ и область, лежащая под ней; 2) область, лежащая над параболой у = —0,2Ъх^. VI.49. 1) Кольцо, заключенное между двумя окружностями с центром в точке (1; 1), радиусами 1 и 2 (сами окружности в искомое множество не входят); 2) кольцо, заключенное между двумя окружностями с центром в точке (1;—2) и радиусами \/5 и 5 (включая сами окружности). VI.50. 1) 4; 2) -7. VI.51. 1) 27Кег = 991тг; 2) Rez = 21mz. VI.52. 1) к + 2пп, n€Z; 2) -5+2яп, п е Z; 3) ■ arccos -7= + 2пп, п g I v5 4) 7Г—arccos г+2яп, ng О VI.53. 1) Луч, выходящий из начала координат и образующий угол ^ с положительным направлением оси Ох; 2) раствор угла между биссектрисами 1-го и 2-го координатных углов, исключая начало координат. VI.54. 1) 3(созя-Ь isin^); 2) 4 ^cos ^-Ь isin 0; 3) \/2-^cos -I-isin 4) \/5-(cos (я- arctg2)-1-isin (я—arctg2)). VI.55. 1) 1-(cosi|5-l-tsini|2); 2) 1 ■ (cos -H sin . VI.56. 1) |z| = = v/2, argz = i -I- 2nk, k g 2) |z| = 1, argz = -g + 2nk, k g VI.57. 1) 512-512v^i; 2) 1024 -f 1024v/3t; 3) -256; 4) -128i + 128v^i. VI.58. 1) 4\/2(cos^+»sini); 2) 0,25 (cos |-I-isin VI.59. 1) Об- ласть вне окружности с центром в точке (—1;-1) радиусом 4 и сама эта окружность; 2) кольцо, заключенное между окружностями с общим центром (2; —1) и радиусами 1 и 2 (окружности в область не входят). VI.60. 1) 2cos^(cos^ + -l-(sin^); 2) 2sin| (cos(-^) -i-isin (-^^). VI.61. I) l-(cos(a-^)-|- -I-(Sin (a-2) 2sina-(cos (1 - 1) -h (Sin (2 - I)). VI.62. 1) |г| = = 1, argz = a -f 2яп, n g Z; 2) \z\ — 1, argz = —a -1- 2яп, rt g Z; VI.63. I) 2 ■ (cos^-fesinl^j; 2) 128 (cos+ tsin VI.64. 1) 2) 4096. VI.65. 1) 125(cos3<^-t-x'sin3(^), ^ = я —arctg|; 2) 125(cos69J-f (sin6 . радиус равен . I - I - Глава VII МНОГОЧЛЕНЫ ОТ одной ПЕРЕМЕННОЙ §1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Первый уровень VII.1. Найти коэффициенты многочлена Р{х), если; 1) Я(л:) = 3х‘‘-ал:2 + 3х + 6. Р(0) = 4; Р(1) = 2; 2) Р{х)^ах^ + Ьх^ + 2х-\-с, Р(0) = 5; Р(1) = 6, Р(-1) = -2. VII.2. Найти свободный член многочлена: 1) Р(л:) = (л:2 + х-1)(.\: + 3)''; 2) Р(.с)=(2л2-5л: + 6) (4x^-Зл:3-2)^ VII.3. Записать в каноническом виде многочлен: 1) P(;c) = (jc + 4) (2л:2-х + 3); 2) Р(х) = (л: —1) (л: —2) (x-3)(jc-4); 3) P(jc) = (jc-l)3(x + l)3; 4) P{x)^{x-2f (jc2+2.t + 4). VII.4. 1) Найти коэффициент при jc^ многочлена Р{х)= ^Зл;2-4.)с + 5^ (jc^-2-\;2 + 3a: — 1). 2) Найти коэффициент при х^ многочлена Р(л:) = (л; — l)2(x^ + 3A;2_jt + 3). VII.5. Найти числа а, Ь, с, при которых равны многочлены Р{х) и Q{x): 1) Р(л:) = 2а:'' + 3.тЗ-5л:-2, Q{x) = {ax + 3) {х^-Ь) -3jc+c; 2) P(x) = 3x‘’ + 7x^ + 3x2 + x + 2, Q(x) = (х + 1) (ах® + Ьх^ — х + с). VII.6. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти частное Q(x) и остаток Р(х) при делении многочлена Р(х) на Т’(х): 1) Р(х) = 2х2 + Зх-3, Г(х) = 2х-1; 132 Глава VII. Многочлены от одной переменной 2) Р{х) = х'^-2х^-х-2, Т(х) = х^ + х+2\ 3) Р(л:) = л:® —5х^ + 15л: —6, Т{х)=х-3-, 4) Р{х)^х"^-1, Т(х)^х^-\-2х-1. VII.7. Используя способ деления «уголком», найти частное Q(x) и остаток Р(х) при делении многочлена Р(х) на Т(х): 1) Р{х) = х^-2х^ -5х-7, Т{х) = х-4\ 2) ——л:^ + 10х —3, Т{х)=х^-Зх+\\ 3) Р{х) = 2х'^+х^— х^— Ъх—\, Т{х) = х'^ -\-2х + 2\ 4) Р{х)^8х'^-4х^-16х^-4х + 9, Т{х)^2х'^ - х-\. VII.8. Выяснить, при каких целых значениях х принимает целые значения выражение: 1) 3) 2х^ —7х+4, x‘* + 3.r^ + 2;i:‘‘^+.< + 2. х^+х + 1 2) 4) X® — Зх + 6. х + 2 2х‘‘-Зх2+4 Второй уровень VII.9. Найти значение многочлена Р(х) при x = Xq, если: 1) Р(л:) = л:3 + 9л:2+27х + 29. хо = -3-^; 2) P(x)=x‘‘-8a;2 + 20, xq = U\/3. VII.10. Найти сумму коэффициентов многочлена Р{х), если: 1) P(x) = {x-\)^{x + 3f-, 2) Р(х) = (1 + 2х-4л;2)^‘’® (l-5x + 3д:2)^^ VII.И. Найти а Vi by при которых многочлен Р{х) делится на многочлен Т{х) без остатка: 1) Р{х)=х^^ах"^ — х + Ь, Т{х) = х^ + 2х + 5\ 2) Р{х) = х"‘-\-ах^-2х^ + Ьх + 4у Т{х) — х^-2х4-\. VII.12. 1) При делении многочлена Р{х) на двучлен х — 4 получается остаток 6, а при делении на двучлен х + 3 получается остаток 27. Найти остаток от деления многочлена Р{х) на многочлен (х-4)(д: + 3). 2) Остатки от деления многочлена Р{х) на х + 1, л: —2, л: —3 равны соответственно 3, 1, —1. Найти остаток от деления многочлена Р{х) на многочлен Т{х) = {х-\- 1)(л:-2)(.с-3). §2. Схема Горнера 133 VII.13. При делении многочлена Р{х) на многочлен (х + 1)(д: —2) получается остаток 2х+1, а при делении на многочлен х — 1 получается остаток 5. Найти остаток от деления многочлена Р{х) на многочлен (х + 1)(л:-2)(х:-1). VII.14. Не проводя деления, найти остаток от деления многочлена + 4 на многочлен ^(а:) = - 1. VII.15. Решить уравнение: 1) X* +2х^ + 2х + 9 2^ х‘*-2х^-3х^4-4х—10 | х^+х + 1 х-2 VII.16. 1) Доказать, что при любых nCN, meN многочлен = —х:”-х'” + 1 делится на (х-1)^. 2) Доказать, что при любых nCN, meN многочлен Р(д:) = — 1 делится на х^ — 1. 3) Доказать, что при любом пеН многочлен P(^) = x"+^-2x"+'+х''-х^ + 2х —1 делится на (х—1)®. 4) Доказать, что при любых ncN, mcN многочлен Р(х) = -|-х” Ч-х'” Ч-х - 1 делится на (х — 1)®. VII.17. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов Р(х) и Т’(х): 1) Р(х) = Зх'‘-12х2, Г(х)=х4-1б; 2) Р(х) = х‘*Ч-а:®Ч-2х^Ч-хЧ-I. Р(х)=х‘'-3x^-4. VII.18. Используя алгоритм Евклида, найти наибольший общий делитель многочленов Р(х) и Т’(х): 1) P(x) = Зx®Ч-4x^Ч-7xЧ-2, Г(х) = 3х'* —8x®Ч-12x^-13x —6; 2) Р(х)=х‘* Ч-а:®Ч-Зх^ч-хч-2, Г(х) = х®-2х^-Зх®-4хЧ-2. §2. СХЕМА ГОРНЕРА Первый уровень VII.19. Используя схему Горнера, найти частное и остаток при делении многочлена Р(х) на двучлен Р(х): 1) Р(х)=х'*Ч-2х®-Зх2-4х-15, Р(х) = х-2; 2) Р(х) = х®-ЗхЧ-2, Р(х) = хЧ-2; 3) Р(х)=х^-30х®-Ь81x2-10x4-271, Цх) = х-27-, 4) Р(х) = х®-2х2-5хЧ-6, Г(х) = х-1. 134 Глава VII. Многочлены от одной переменной VII.20. Проверить, что многочлен Р{х) делится на двучлен Т{х) без остатка, и найти частное от деления: 1) Я(х) = х® ——8jc+12, Т{х) = х-2\ 2) Р{х) = 2х‘^ уЪх^+х-^, Т{х)=х + 2\ 3) Р{х) = х^ — -Ъх — \2, Т{х) — Ъ~х\ 4) Я(д:) = За:5-х'‘-83л:3-17л:2-8х + 10, Т{х)=х + Ъ. VII.21. Используя схему Горнера, найти частное Q(x) и остаток R{x) при делении многочлена Р{х) на Т{х): 1) Я(л:)=х^ - 1,5x^ + 1, Т{х) = 2х+1\ 2) Р{х) = 6х^ + 5х^-4х-4, Т{х) = 2х + 3- 3) Р{х) = 6х^~4х^-\-12х, Т{х) = Зх — 2-, 4) Р{х)^4х‘^ + 2х^ + ^х'^+х, Т{х) = 7х + 3. Второй уровень VII.22. Доказать, что многочлен Р{х) делится на многочлен Т{х) и найти частное от деления: 1) Я(дс) = л:'^ + 4д:^ —Зх^ —IOjc + 8, 7’(x) = (jc —1)^; 2) Я(л:) = — 5jc^ Ч-5л;^ —д:—12, 7’(л:) = (х —4)(д:+1); 3) Р{х) = 2х^-х^+х^-х-1, Т{х)=х^-\; 4) Р{х) = х^-Зх^ - л:'* + \3х^ -54^2 + I40x- 120, 7'(x) = (x-2)3(x + 3). VII.23. Применяя схему Горнера, доказать что многочлен Р{х) делится на квадратный трехчлен Т'(х): 1) Р{х) = х'^+4х^-х^ + 4х-2, Т{х) = х^ + 4х-2; 2) Р{х) = х'' + 2х^-х^ + х^-5х + 2, Т{х)=х^+ 2х-\. VII.24. Применяя схему Горнера, доказать 'что многочлен Р(х) делится на квадратный трехчлен Т{х): 1) Я(х)=х'‘-2д:3 + 12л:2-18а- + 27, 7'(а)=а2 + 9; 2) Я(а) = 2а6 + ЗаЧ8а'‘-6аЗ-а2-За + 5, 7’(а)=а2 + 2а + 5. VII.25. I) Найти а и Ь, если известно, что многочлен х^+ах“^-\-bx-20 делится на —4. 2) Найти а и Ь, если известно, что многочлен оа'^-f-йа^ +1 делится на (а —1)2. §3. Теорема Безу. Корни многочлена 135 VII.26. Разложить многочлен Р(х) по степеням двучлена x-Xq: 1) Р(х)=х^-7х^ + 18х-32, л:о = 3; 2) Р{х) = 2х^-\Ъх^-\-3\x-2b, хо = 2~, 3) Р(д:) = 2л:'‘ + 9л:^+5л:^ + 20а;+1, Хо = -1; 4) Р{х)=-х‘*-7х^ + 18х^-20х, xq^-2. §3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА Первый уровень VII.27. Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена Р{х) на двучлен 7'(л:): 1) Р{х)^4х^-3х^ + 5х-6, Т{х)=х-2\ 2) Я(х) = (л'3-2л:Ч5)^(2л:-|-1)'\ Т{х)=х+\. VII.28. Используя схему Горнера, доказать, что числа —2 и — i являются корнями многочлена Р{х)^Зх^ + 7х^ + 2х^ + Зх^+Юх‘^ + 9х+2. VII.29. Определить кратность корня .vq многочлена Р{х): 1) Р(х)=х^-|-х^-10х-|-8, хо = 2; 2) P(x)=x'^-|-7x^-I-13a'''^-3x-18, xq = -3; 3) Я(а)=4х‘’ч-4хЗ + 5аЧ4х-ь1. Хо = -0,5; 4) Я(х) = х5-ь4хЧ2х^-8х2-11х-4, xq = -1. VII.30. 1) Записать в канонической форме многочлен Р(х) 3-й степени со старшим коэффициентом 2, имеющий простой корень -5 и двукратный корень 1. 2) Записать в канонической форме многочлен Р(х) 4-й степени со старшим коэффициентом 4, имеющий двукратный корень -0,5 и двукратный корень 3. VII.31. Разложить многочлен Р(х) на линейные множители, выписать его корни и указать их кратность; 1) Р(х)=х‘*-18x2-1-81; 2) Р{х)=х^-3х‘^+ 3х^-х^\ 3) Р(х)=х^-х2-х-|-1; 4) Р(х)=х^-|-2х^-2х-1. VII.32. Представить многочлен Р(х) в виде произведения квадратных трехчленов: 1) Р(х)=хЧбх2-1-8; 2) Р(х) = 2хЧ7х2-|-3. 136 Глава VII. Многочлены от одной переменной VII.33. Разложить многочлен Р(х) на линейные множители: 1) Я(л:)=л:Ч 13x436; 2) Р(х) = хЧ 4х^ - х - 4-. 3) P(x) = x'‘ + 2x41; 4) Р(х)=х^ - х^ - х'^ ■+■ 1. Второй уровень VII.34. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен Т(х), не выполняя деления: 1) Р(х) = 8хЗ + 2х43х-1, 7’(х) = 2х+1; 2) Р(х)=Зх2^+х‘9-7х + 1. Г(х) = Зх+1; 3) P(x) = (x^-x-6f (х-3) + 2, Т(х) = -х+3; 4) Р(х) = х®-12x448x464, Г(х) = (1-УЗ) х + 2. VII.35. 1) Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корень 3 кратности 2 и корень 1 — 2/ кратности 1. 2) Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корень 1 кратности 3 и корень 1-Ь/ кратности 1. VII.36. Представить многочлен Р(х) в виде произведения квадратных трехчленов: 2) P(x) = x4x4l; 4) Р(х) = 4х48х2-ь9. 1) Р(х)=х4б4; 3) Р(х)=х42х49; VII.37. Решить уравнение: I , 1 х^-1-5х^-ь9 х'* +2х^ +х^ — 9 ‘ + 2 И-х^Ч-бх-Э’ х'* - ЗхЗ -1-7x2 _ 9д; +12 х"* -3x2 +6x2 -14x4-24 ■ 1) 2)_________ х49х2 + 18 VII.38. 1) Разложить на линейные множители многочлен Р(х) = х“^ -f х^ + 2х^ + 4х — 8, если известно, что один из его корней равен —2/. 2) Разложить на линейные множители многочлен Р(х) = х‘*-4х9 + 14х9-4х+ 13, если известно, что один из его корней равен 2-f3/. VII.39. Разложить на множители с действительными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов многочлен: 1) Р(х)=х'* + 5х9 + 5х^-4х-2: 2) Р(х)=х4х43х2+32х-Ю; §4. Алгебраические уравнения 137 3) P{x) = x'^-2х^ + 2х^-Пх + 4- 4) Р{х)=х^-Зх^-7х^-8х + 2. VII.40. Разложить на множители многочлен Р{х,у): 1) Р{х,у):^ух^ + Зух+х-4у-1; 2) Р{х)=ху^ + 5ху+6х-у-2', 3) Р{х,у)^х‘'-2ух^-х+у^-у; 4) Р{х,у) = х^+х^+2ух'^ + ху+у^. VII.41. При каких значениях параметра а уравнение Зх^ + Зах + 4а + 9 = О имеет два различных действительных корня, удовлетворяющих условию x^+Xg^SG? VII.42. Доказать, что между корнями хьХ2,хз многочлена ax^ + bx^ + cx + d и его коэффициентами существует следующая зависимость: Xi-i-X2-|-X3 = -^, XiX2-|-XiX3-|-X2X3 = ^, Х|Х2Хз = -^. VII.43. 1) Пусть Xi, Х2, Хз — корни многочлена х^ — 2x^ + х + 1. Составить новый многочлен, корнями которого были бы числа £/1=Х2'Хз, У2=Хз-Х\, Уз = Х\ Х2. 2) Пусть Х[, Х2, Хз —корни многочлена х^ — х^ — 1. Составить новый многочлен, корнями которого были бы числа У\-Х2 + Хз, У2=Хэ+Х\, УЗ=Х\+Х2- §4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Первый уровень VII.44. Решить уравнение: 1) х^ - 2х^ - X -I- 2 = 0; 2) х^ -f 2х^ - Зх - 6 = 0. VH.45. Найти действительные корни уравнения: 1) хЗ - 3x2 - 4х-I- 12 = 0; 2) х^-2x2-9 = 0; 3) х^ — 5х^ — х2 -I- 23х — 6 = 0; 4) х'‘-хЗ-5х2 + Зх-ь2 = 0; 5) х"* + ЗхЗ - 12x2 - 20х -I- 48 = 0; 6) х**-ь 2x^-1-2x2-ьх-6 = 0. 138 Глава VII. Многочлены or одной переменной VII.49 VII.50 VII.46. Найти все корни уравнения: 1) 4- 5л: + 6 = 0; 2) л”* + + 7л^ + 5л + 6 = 0. VII.47. Найти все корни многочлена: 1) Р(х) = л“* + л^ Ч- 2л'^ + 4л - 8; 2) Р(л) = л'* - 4л^ - 17л^ - 26л - 14. VII.48. Разложить многочлен на множители: 1) Р(л) = л'* + ЗлЗ - Зл2 - 11л - 6; 2) Р(л) = л^ + л'* - 5лЗ - л2 + 8л - 4. Один из корней уравнения л^ — 6л^ + ал — 6 = 0 равен 2. Найти а и два других корня этого уравнения. 1) Уравнение ал'^ - 2л^ — 5л + ft = 0 имеет корни Л) = 1, Х2 = —2. Найти а, ft и третий корень этого уравнения. 2) Уравнение 2л^ + ffгл^ + лл + 12 = 0 имеет корни Л] = 1, Л2 = 2. Найти т, п и третий корень этого уравнения. Второй уровень VII.51. Найти рациональные корни многочлена: 1) Р(л) = 2л'" - л'* + 4л - 2; 2) Р(л) = + 2л® - 5л® + Зл® — л^ - 7л + 5. VII.52. Решить уравнение: 1) Зл® + 5л^ + 16л -6 = 0; 2) бл'*+л®+5л2 + л-1 = 0; 3) Зл'* + 2л® - Зл2 + 16л + 12 = 0; 4) 2л® + 4л^ - 9л® - 17л2 + 8л + 12 = 0. VII.53. 1) Известно, что один из корней уравнения л'* - 2л® + Зл'® - 2л + 2 = о равен г. Найти остальные корни. 2) Известно, что один из корней уравнения л® + 25л® — 8л^ + ft = о равен 5г. Найти остальные корни. Задачи повышенной сложности к главе VII 139 VII.54. Найти все значения Л. при которых два уравнения - л:^ — X — (Л + I) = О, — X — (Л + 1) О имеют общий корень, и найти этот корень. VII.55. Доказать, что корни уравнения х^ — (а + й + c)x^ + (аЬ + ас + Ьс)х — аЬс = О равны а, й и с. VII.56. Решить систему уравнений; x + i/ + z = 9, ( х + у + Z — 1) ^ ху + хг 4-(/Z = 26, 2) < хг/+ xz+ yz = —13, хг/z = 24; I xyz = 2\. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ VII VII.57. Сократить дробь: + х'^ + - 2х + 6 . 2) 2х^ - 2х^ + Зх^ - 5х^ + X — 2 Зг'^-3,1''+4д:3-7х2+х-2‘ 1) - 2х5 + 2;г‘’-хЗ + 7л-2_л + з’ VII.58. 1) Число 1 + у/З является корнем уравнения х^ + ах^ + Ьх:^ + 6х + 2 = 0. Найти остальные корни уравнения, если известно, что а и /? —рациональные числа. 2) Число 1 + V2 является корнем уравнения х^ + ах^ + Ьх^ + 5х + 2 = 0. Найти остальные корни уравнения, если известно, что а и ft — рациональные числа. VII.59. Пусть Х], х-2, хз — корни уравнения х^ + рх + ^ = 0. Доказать, что х® + Xg + Xj = ЗХ1Х2Х3. VII.60. Пусть известно, что все корни некоторого уравнения х^ 4-рх^ + рх + л = О положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p,q,r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник? VII.61. Решить кубическое уравнение х^-f ах^ 4-6х-Ьс = О (ау^О), если его корни образуют убывающую арифметическую прогрессию. 140 Глава Vll. Многочлены от одной переменной VII.62. Пусть л:1, Х2, Х3, JC4 — корни уравнения 4х* — х^ — 12х^ + 2л: Ч- 5 = 0. Найти значение выражения Л1Л2Л3 Л1Л2Л4 Л[Лзл4 Л2Л3Л4 Л4 лз Л2 Х| VII.63. Дано биквадратное уравнение ал:^ + бл:^ + с = 0 (а^О). Найти; 1) сумму его корней; 2) сумму квадратов корней; 3) сумму кубов корней; 4) сумму четвертых степеней корней. VII.64. При каком условии многочлен Р(х) = х^ + рх + (f имеет два равных корня? VII.65. Доказать, что если действительные коэффициенты уравне- 2 3 ния х^+рл: +^ = 0 удовлетворяют условию ^(з) то уравнение имеет ровно один действительный корень. VII.66. Доказать, что при любом действительном с уравнение х^ — x^-l-x-t-c = 0 имеет только один действительный корень. VII.67. Используя формулу Кардано, найти действительные корни уравнения: 1) л;3 - Зл;2 - 12л: - 16 = 0; 2) Зх^ + 18х^ + 45л: + 50 = 0; 3) л;3 - 6л;2 + бл: - 2 = 0; 4) 4х^ - \2х^ -9 = 0. VII.68. Доказать, что иррационально число: 1) VV^l-2-VV^\ + 2) 2) ^ VII.69. Доказать, что рационально число: Л_ 2916 _ZZ. + i. 2916 ^ 6 1) ^2 + v/5+\/2-V^; 2) V7 + 5V2 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ VII VII.1. 1) а = 8, 6 = 4; 2) а = 2, 6 =-3. с = 5. VII.2. 1) -243; VII.3. 1) Р{х) = 2л^ + 7л^ - л + 12; 2) Р{х) = л'* - 10л^ + ЗЗл^ - 2) -192. 50л + 24; ■ л - 1; 4) Р{х) = VII.5. 1) а = 2. 6=1, с=1; 2) а = 3, 6 = 4, с = 2. VII.6. 1) <3(л) =л+ 2, й(л) =-1; 2) Q(x) = x-3, 3) Р{х) = л“ - о • л= - Зл’ + о • л'’ + 3 + о 2-л^ + 0 л2-8 л+16. VII.4. 1) 22; 2)1. Ответы к главе VII 141 R(x) = 4; 3) Q{x) = х^ -2х + 9, R{x) = 21; 4) Q(x) = х^ - 2х^ + 5л: - 12. R{x) = 29л - 13. VII.7. 1) Q(x) = л^ + 2л + 3, /?(л) = 5; 2) Q{x) = л^ - 2. R(x) = 4л - 1; 3) 0. Указание. Рассмотреть выражение (Х1+Х2-ХЗ)(Х2 + ХЗ-Х,)(ХЗ+Х,-Х2). vn.6i. X, = 26. X2 = ^3 —a? — \/a* — 27ac 3a VII.62. 6,2. VII.63. 1) 0; 2) 3) 0; 4) VII.64. 4p3+27p^ = 0. VII.67. 1) 1 + ^ 2)4^-^-2; 3)2 + ^+^; 4) 1 + i + ^. Глава VIII СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Первый уровень Решить VIII.1. VIII.3. VIII.5. VIII.7. VIII.9. VIII.11. VIII.13. VIII.14. VIII.15. VIII.17. систему уравнений (VIII.1-VIII.32) - 74. VIII.2. (х^-у^= 16. х + у =\2. U-t/ = i. х + у = Ъ. VIII.4. (ху-2{хА-у) = 2, ху — 15. [ху А- X А- у = 29. + г/^ = 10, VIII.6. 1 х^ + Аху А- у^ = 94, ху = 3. \ху= 15. х^ - 2ху + Ау'^ = 7, VIII.8. j х'^ -хуА- у^ = 19, х^ + 8t/^ = 35. \х^ А-ху + у"^ = 49. х^ + Ъху — 54, VIII.10. Г(х-1)(«/-1) = 3, Ау"^ А- ху — 115. \{хА-2){у + 2) = 2А. х + у^\, VIII.12. ( х^ А- у^ ^ X А- у. + у^ = 19. ху 1 х + 2у -у х + 2у ~ ху ’ ^ - 2У _ 4 х-2у ху \xUy^=^^{xA-yf. х^ - ху Ат \^у'^ + X - \у = 2, А-ху А-у^ А-2у А- X = 3. \х - \ \ - 2>у — 2х - Ъ, VIII.16. Г 2х-у = 2\уА-\\А-2 хА-2\у\ = 6. \ 2|л:1 - 3t/= 4л: + 12. 5(л: + 1)2 + £/2 = 21, VIII.18. Г 2x2 + (г/ + 4)2 = 6, хуА-у — 2. [Ах А- ху = 2. 144 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений VIII.19. VIII.21. VIII.23. VIII.25. VIII.27. VIII.29. VIII.31. 2£ + 3^ + 6 = А, ух ху ^ ^ — 1 = X у ху' х+у х-у , ху = -2. i + i = 5. у ^ 4 = 13. x^-y^ = S, + ху + — 7. у^ - х^ — Ах + 4, х^ + у^ = А — Ъху. 2х + у ■= Зл:^, л: f 2г/ = 3/. х-ху^ = 7, ху"^ — ху = 3. VIII.20. VIII.22. VIII.24. VIII.26. VIII.28. VIII.30. VIII.32. 2х^ Л-ху + 8t/^ = 11, - Ъху + 4г/^ -- 2. ^±1 4- J^ = 2 ху х + у ’ х-у ху _ 5 ху X — у 2' ху + Х-у^Ъ, Х^у - ху^ = 2. (х-1)(у-1) = -8, (л: + 2)(£/+ 2) = 7. у^ - \ — 4л:^ + Ах, Ах^ + г/^ = 1 + Зхг/. х^ — ху — 6, ху + у'^ = А. 2у^ — Аху + Зх^ = 17, у"^ - х^ = 16. Найти действительные решения системы уравнений (VIII.33-VIII.43). ((хг - VIII.33. \ ) ц^- ^ + х + \){у‘^+у + \) = 3, 1)(г/-1) = 6. VIII.34. Гi-i=i 1 X у 6’ VIII.35. VIII.36. 1 ху^ —х^у = Ь. ( хА-уА-ху = 5, 10 0 VIII.37. VIII.38. [ х^А-ху + у^ = 7. ( хА-у = 3, VIII.39. VIII.40. 1 jc-'+/ = 33. Г — 7х —г/+11 = 0, VIII.41. \ у^-Зх-уА-15 = 0. { х^ А-ху^ = \Q, \у^+х^у = Ъ. I х^А-у^ + х^у^^и, \ ху + хА-у = Ъ. j х^-Ах~2у~\ = 0, [у^-2х + Ьу + \А = 0. J х^ = ЗхА-Ау, \у^=Ах + Зу. Глава VIII. Системы алгебраических уравнений 145 V,,1.42. vl.1,43. = {ху{х-у) = 6. [ху + х + у = 5. Найти действительные решения системы уравнений (VIII.44-VIII.52). VIII.44. у/х-у^'^/х-у, ( [u±l+2xf^=Z, V—— , г_________ VIII.45. V !/+> s/x+y^=^/xTy ^х+у+ху—7. 'Jx + y/y+Jx-^=2, VIII.46. { ^^___________ VIII.47. .\Jy+'/x-\Jy-\fx = \. ■ + \/je-y-3=3, VIII.48. П У V 2x-i/-i=8. У x^y+\Jxy^ — 7S. VI1I.50, /»' + \/3!,'-2^+3=|^+5. 13х—2г/=5. VIII.49. 2 ’ [{х+у)\/х^3у/у. VIII.51 Хл/х-уД^Уу/у + 8у/у, (у^+^=Ь\/х-ХуД, у+5. VIII.52. \;с=1/-1-3. Решить систему уравнений (VIII.53-VIII.56). VIII.53. VIII.55. ' х+у+г^2, JC-I- 2г/+3д=5, ^ х^ ^-^/^-Ь2^=6. ху=6, ^2=15, VIII.54. < 2JC=10. ' x‘^+xy+xz-x=2, (x+y=xyz, y'^+xy+yz-y=~2, VIII.56. < y+z=xyz, , z^+xz+yz—z—G. \z+x—xyz. Второй уровень Решить систему уравнений (VIII.57-VIII.71). ''i! 4-^-9 X 2’ \х^-у^ = Щх-у\ [(.jc + l)(i/4-l) = 12. VIII.57. VIII.58. i-pl = 3. и у 2 146 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений VIII .59. = [,ху=2(х “ ' ■■^ = l7(x+yf. VIII.61. VIII.63. VIII.65. VIII.66. VIII.68. +у)- fл:^(I+г/+г/^+/)=I60, tv2(I-y+//2V) = -80. \x^y+xy^=^^{x+yf, \x'^y+xy^^\{x-Vyf. VIII.60. VIII.62. VIII.64. ['х2+г/2=,с-г/. V^+y‘'=\{x-yf- j 2х^у^-Зу^+5ху—6=0. [Зл;2г/2 - 4f/2-I-Зл:г/- 2=О. Г-<(у2 + 1)_з хЧу^ 5’ ^х_2-1)_4 Л/' 5- |л:2+хг/-21/2+8д: + 10(/+12=0, \x'^-\-3xy + 2y‘^-x-\-y-b=Q. %{Ъ-\-2х) — Ъу-х. [г/2 Ч- 2ху=3х^ - 2у. \х^ -\-х^у'^ -\-у^=%{, \х^-ху+у^=7. VIII.67. X V l4-i = -‘- <х у 3 :12. {ху+х+3у=1, ? 9 л;^(/Ч-Злгг/"^ Ч-Зл: Ч-9£/=4. VIII.69 VIII х^-у^^19(х-у), х^+у^=7(х+у). (2ху+4х+3у=2, [4 a;2 {/ч-Зху 2 Ч-12х Ч-9г/=8. Найти действительные решения системы уравнений (VIII.72- VIII.83) VIII.72. VIII.74. хЧу^=1, х^у+2ху^+у^ — 2. ■ Зл:2=^''ч-^, 5x=| + i/2. Г (х4-у)(х^-у^)=9, VIII.76. ^ ^ ’ \ +(/ )=5- f V)^=6, VIII.78. < У \ х^Ч-4г/=«^Ч-16х, VIII.80. ' VIII.73. VIII.75. 8x2j/—Зх'*=4, 8у^-3х^у^=2. 4i/2=x‘*4-x, 10г/=^-х2. У VIII.77. ((^" + ')(г/“ + 1) = 10, I {х+у){ху-\)=3. Г {х-у){х'^-у^) = 7, VIII.79. ^ ’ \ {х+у){х^+у^) = \7Ъ. х^+у^+х^у+ху’^^Ъ, VIII.81. х^у'^-\-у‘^х^=29. Глава VIII. Системы алгебраических уравнений 147 VIII.82. х4--зЦ=л:^г/+-^, ху^ -+A:'V^ + 10iy^ = 0. VIII.83. у'^+2у^+3x^=0, 4 .<3 ,v2 У -ху=-,-~. У Найти действительные решения системы уравнений (VIII.84-VIII.97). VIII.84. 1^/7х+у+у/х+у^6, \\/х+у-у+х=2. ft/4l9=20(x+y), VIII.86. Г ,_______ ' [y/x+\/x+2y=v2. VI1I.88. {7^/y^+6y—2&x=l. VIII.85. VIII.87. VIII.89. VIII.90. VIII.91. VIII.93. VIII.94. ^ ^ ху sjb^y \ХУ ху -4-3\/2х-у. VIII.92. 2х-у Ы^[^^^2{хЧу\ |з'У4^=4(у2-л:2). у + Ух‘^-\2у+\ = ^{хЧ\7), •-Н .8у 3 Ix-I- 2 = J± + i_JL VIII.96. Зу 4 2х' X _ 42 х-у х-у' ху —4х = 9. 2у/ х‘^-\Л-у'^=3, 2у 3{х-у)-\- 'Jx'^ — i—x з/=0. '^-^+2s/JV\^y'^=3, VIII.97. У Х-Ь х/х^Ч-х +Г=о. \/Зу-х+х+у=2, \/Зу-х-\-х—2. \3+2\х=У+А^у-Зх, ,\Jy-\/y-'^x=y+7x-2. \+ху-. 2(/2 , 2х -1 х:ж. ■ + 2х—у ху ' УУ- >/2i^=A-3xy. [5^/х^=4(х2+у2), \3^ ху'^=х^-у^. VIII.95. \у- у _ 42 х+у х+у' Uy-y=i6. 148 Глава VIll. Системы алгебраических уравнений Решить систему урав[1еиий (VIII.98-VIII.114). Г(4х+г/)(2+1)+42=0, VIII.98. 1ху-\-у-х= — \, \ху-уг+2г=\+х. {3jc-^—5z—2t/z=0, a;-5/7). (-v/7;-v/7). (v/i9;-v/l9). {-^Д9■,^Д9). (2;3) (-2;-3), (3;2). (-3;-2). VIII.70. (-1; 1), (3;-|). VIII.71. (-i;2) VIII.72. VIII.73. 1), (-У2;1) 154 Глава Vlll. Системы алгебраических уравнений VIII.88. VIII.91. (0;0), VIII.93. ^5;^), VIII.95. (5;4), VIII.74. ^2 ^;2 ^-2-11 5;Ц 5^. VIII.75. ^3 3;_з 9^ VIII.76. (2:1), (-1;-2). VIII.77. (2;1), (1;2), (-3:0). (0:-3). (1;-2), (-2;1). VIII.78. (;!/^: (Уг), (-N^8;-^^), Н'З)- (3;4). VIII.80. (0:2), (0:-2), (1:-3). (-1;3). VIII.81. (2;-1), (-1;2). VIII.82. VIII.83. (-125:-5). (9^3;-3), (-9\/3;-3). VIII.84. (2:2). VII1.85. (-1:1). VIII.86. (0; 1). (2;-1). VIII.87. VIII.89. (1;1), (--2:-2). VIII.90. (1;1), (-^i 2) (-2:4), (2; 4). VIII.92. (0:0), (4:2), (4;-2) (-3;-^). VIII.94. (9:5). ^2- \/б2: v„..96. (М). VIII.97. (0;-1). VIII.98. (0;-1:^), (-2;3:-5). VIII.99. (|;3;2). VII1.100. (0:0,0). (-|;-il-l). (-|i-|;-|). VIII.101. (0;0;0), (4; 12;-4). (1;6:-4). VIII.102. (-I'-S'i)- VIII.104. (-5:-3:0), (3;1;-2). VIII.105. (3;4;1), (-3;-4:-1). VIII.106. (0;0:0), (2:3:4), (-2;-3;-4). V1II.107. (4;3;1), (f-f /f). ?). VIII.108. (2;3;4). (3;2;4). VIII.109. (1;2:3), VIII.110. (0;0:0). VIII.111. (с;2с;3с), где с —любое число. VIII.112. (0:0:0), (0;\/2:^/2), (0:-ч/2;-х/2), (\/2:0:\/2), (-\/2; 0:-v/2), (v/2;n/2:0), (-n/2;-^;0), (1;1;1), (-1;-1;-1). VIII.113. v/2; 2ч/2^. (^-^;-ч/^;-2ч/2^, (-2;1;-4), (2;-^:4). VIII.114. (5;3;1), (5;-1:1), (-1;3;1), (-1;-1;1), (4:1 + v/2:-1), (4;1 - v/2;-l), (0:1 + v/2;-1), (0;1 - У2;-1). VIII.115. (1;2:3), (2;1;3), (3:1; 2), (3;2:1), (1;3;2^ (2;3;1). VIII.116. (-2;-4;1), VIII.117. (2;-1;3). VIII.118. (-1;3;2). VIII.119. --З^;-2). VIII.120. (1;-1;0), VIII.123. (0;0;0), (-1;1;0). Ответы к главе VIII 155 17-у^, 1 + \/37. 1 + У37\ ^\/37 + 17. у/57-1. \/37-Г VII1.124. (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), (2;2;2); Vin.l25. (-3;-|;|), (-3;|:-l), (0;0;1). (1;0;0), (0:1; 0). (0;1;0), (1;0;0), (5:|;§). VIII.126. (0;0;0). VIII.127. (0;0;0), (0;0;1) VIII.128. (0;0;0). (2;2;0). (4;0;4), (0;6;6), VIII.129. (0;0;0), (0;0;3), (0;2;0). (1;0;0). VIII.130. (0;0;0), (1;2;5), (1;-2;-5). (-1;2:-5), (-1;-2;5). VIII.131. (а;0;0), (0;/>;0). (0;0;с), где а,6.с-любые числа. VIII.132. (а;0;0), (0;ft;0), (0:0;с), где а,ft,с—любые числа, (2;1;-1), (2;-1;1), (-2;!;)), (-2;-1;-1). VIII.133. (1;3;1). (-1;-3;1). (-1;3:-1), (1:-3;-1). VIII.134. (1;1;-2), (-1;-1;2), (1;-2;1). (-1;2;-1), (-2;1;1), (2;-1;-1). VIII.135. (2;1;0). (-2;-1;0). VIII.136. (1;2;-1), \V7'^/7’ Vl)' (3\^;Зч/2:4л/2), У^+У^;у/4б). -\/46+ v/ЗО. f V46-S/30 \ 2 -\/46- \/30 . (-1:-2;1). VIII.137. (1;2;-1), (-1;-2;1), ^-У^+\/30. -ч/46-у/^. V1II.139. (0;1:2). VIII.140. (2;-1;-1). (-5;|;5). (с;0;0). где с —любое число. VIII.141. (0;0;0). VIII.142. ^ - |2^ ;-7^ . (^2"^25;lj. (а;0;0), где а € Ж —любое число. VIII.143. (1;1;-2), ^1; 15 ®:5 15 ^5; 15 ^:25-15 (0;а;0), где а € Ж —любое число. VIII.144. (-1;-1;-1). ^-2-t--5-Ь . ^-2-VI1I.145. (-1:-1;-1), (6-v/2;3-v/2:-2-|-v/2), (6-Ь v^;3-Ь n/2;-2 - v/2). VIII.146. (-i;-1; l), (0;a;0), где аеЖ- любое число. VIII.147. (-1;-1;-2), (а:0;0), где а € Ж —любое число. 156 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений VIII.148. (i;2;l). (-5;1;2)- VIII.149. (2;i;l), (-2;-i;-l), (-1;^;-2), (—1;—1;1). VIII.150. Нет действительных решений. VIII.151. (0;0;0), VIII.152. (0;0;0), (-1;2;3). VIII.153. (0;0;0), I _ 2 1_ 'W Wh, Z з/32._5 з/32 35’4 V 35’ 4V35 VIII.154. (2; 2; 2), (2;-2; 2). (-2;2;-2), (-2;-2;2). VIII.155. (0;0;0), (0;-1;1). VIII.156. Глава IX ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ §1. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Первый уровень 1. Способы задания числовых последовательностей IX.1. Выписать шесть первых членов последовательности {л,,}: 1)Хя=со5 у; 2) Xn = [s/h\. Ггл-Э! 3) Xfi — 4) JCn = Е (^- !)■ А=1 IX.2. Написать формулу общего члена последовательности {хп}: 1) {3,7,11,15,19,...}; 2) {1,-1,1,-1,1,...}; 3) {3,6,12,24,48,...}; 4) {-2, -1,... }. IX.3. 1) Задать формулу общего члена последовательности натуральных чисел, дающих при делении на 4 в остатке 3, 2) Задать формулу общего члена последовательности натуральных чисел, дающих при делении на 5 в остатке 2. IX.4. Выписать первые шесть членов последовательности {Хп}. заданной рекуррентно: 1) х„+\ = 2х„ - 3, х\= 2; 2) Xfj^2 ~ 2.^/г Ь “ 9, Х‘2 — 1, 3) х„^2 = J^rfXn+i, xi^-l, Х2 = 3; 4) х„+] =xi +Х2 + ... +х„, XI - 2. IX.5. Выписать первые пять членов последовательности {л:^} с указанным общим членом, а также задать последовательность рекуррентно: 1) д:„ =3(п-1)-|-2; 2)л:„=2"+>; 3) Хп = 1- 6п; 4) Хп = (-1)" • 22"-''. 158 Глава IX. Предел и непрерывность функции 2. Исследование числовых последовательностей на монотонность IX.6. 1) Доказать, что последовательность с общим членом Хп = Л- п — А является возрастающей. Дать геомет- рическую иллюстрацию. 2) Доказать, что последовательность с общим членом jc,i = 6 — — 4п является убывающей. Дать геометри- ческую иллюстрацию. IX.7. 1) Доказать, что последовательность с общим членом х,1 = является убывающей. Дать геометрическую гг иллюстрацию. 2) Доказать, что последовательность с общим членом О х„ = — ^ ^ является возрастающей. Дать геометрическую иллюстрацию. IX.8. Исследовать на монотонность последовательность с указанным общим членом. Дать геометрическую иллюстрацию. 2п -ь 1. 1) Хп = cos (тш); 2) Хп = 3) у„ _ (-1)". 4) х„ - -h I п ' п IX.9. 1) Привести примеры двух немонотонных последовательностей {х„}, {(/,(}, произведение {хп-уп} которых является последовательностью монотонной. 2) Привести примеры двух немонотонных последовательностей {хп}. {Уп}. частное которых является последовательностью монотонной. IX.10. Привести пример двух последовательностей {.«„} и {уп}, одна из которых убывающая, а другая возрастающая, таких что: 1) {х„ +Уп} является возрастающей последовательностью; 2) [хп+Уп] является убывающей последовательностью. IX.I1. Привести пример двух последовательностей {х,,} и {£/«}, одна из которых убывающая, а другая возрастающая, таких что: 1) {хп—Уп] является возрастающей последовательностью; 2) {хп—уп} является убывающей последовательностью. § 1. Числовые последовательности и их свойства 159 3. Исследование числовых последовательностей на ограниченность IX.12. Доказать, что последовательность {хп} ограничена сверху: 1) Хп = 4 — {п - 3)^; 2) jc„ = 8 — — 4п. IX.13. Доказать, что последовательность {дСп} ограничена снизу: 1) Хп — 2п^ — 12п - 7; 2) = (п — 2)(п - 6). IX.14. 1) Доказать, что последовательность с общим членом Хп = -2п^ + 9« - 4 ограничена сверху, дать геометрическую иллюстрацию. Найти наибольший член последовательности. 2) Доказать, что последовательность с общим членом х„ = 2п^ - 13п + 12 ограничена снизу, дать геометрическую иллюстрацию. Найти наименьший член последовательности. Доказать, что последовательность {хп} ограничена, дать геометрическую иллюстрацию этого факта, указать наибольший и наименьший члены этой последовательности (если они существуют) (IX.15-IX.17). IX.15. 1) := 0,5"-2-ь 2; 2) х„ = 1-3"-‘. IX.16. I) Хп = 1 2а-5’ 2) Хп = j- 2п' IX 17. 1) Хп = sin -Ь -1-2; 2) х« = 3 - \/2sin -Ь IX.18. Доказать, что последовательность {хл} ограничена: 2) хп = 3 + !^-. 1) Хл = 1 + ^ 3) Хл = 5) Хл 1 6) Хл = sin Л -f cosn. -Ь 4' sin п. Зл^ ’ IX.19. Доказать, что последовательность {хл} не является ограниченной: 1) Хп = х/л; 2) Хл = 10 - 160 Глава IX. Предел и непрерывность функции Второй уровень IX.20. Написать формулу общего члена последовательности {х„}: {4’7’То’13’Тб’” }’ {0,1,0,-1,0,1,...}; 31 Л 1 1 i i I i i i i V 41 /1 i 1 ± ± \ ' \ ’ ’ ’ 2’2’2’2’2’3’3’" ■J ’ ' l2’6’12’20’30’’■ ■ IX.21. Задать рекуррентно последовательность {jc„}; 1) Xn - n^\ 2) Xn = sin 3) Xn — -2n + 'i\ 4) JC„ = 4 cos^ ^. О IX.22. Доказать, что последовательность является возрас- тающей; 3" . = „ + 4- 3) Хп = п — s/n\ 4) х„ - 2) jt„ = 2"4-2-"; п v/n+2' IX.23. Доказать, что последовательность {л:п} является убыва- ющей: - „2 ,3. 1) х„ = 10м - 4” ; 2) Хп IX.24. Исследовать на монотонность последовательность {х„}: 1) =-0,5"+2; 2) хп = ^; 3) Хп = Vn + 1; 4) Хп = Vn + 2 — л/п ■+- 5. IX.25. 1) Доказать, что сумма двух последовательностей, одна из которых возрастающая, а другая неубывающая, есть возрастающая последовательность. 2) Доказать, что сумма двух последовательностей, одна из которых убывающая, а другая невозрастающая, есть убывающая последовательность. Доказать, что последовательность {х„} является ограниченной (IX.26-IX.28). IX.26. 1) Хп = Vп + 3 — v/n; 2) Хп = - п. sin лп + Зп -1-6 ' ' '* -I- 5п +10 IX.27. 1) х„ = 2) -I- f . ^ . ..ч _ л -I- 3 . IX.28. 1) Хп = + Ап' 2) х„ = (-1)" + ^ -f-5 §2. Предел последовательности 161 Указать наибольший и наименьший члены последовательности (если они существуют) (IX.29-IX.32), IX.2 1) Хп - . (п . 2кп\ 2) Хп = cos(^- 1) Ап - 10 2) 6«-23 Хп = 2п-1 ' Хп Зп- 10' 1) Хп - - -f 8 — д; 2) Хп = \/п^ — 1) Хп = _гр- +\. ” » 2) Хп _ «2 + 8 §2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Первый уровень 1. Определение предела последовательности IX.33. Пусть ■^п = 3+^-^. Для числа г указать наименьшее число Ne такое, что |д:„ — 3| < £ при каждом п > Ng, если: 1) £ = 0,2; 2) £ = 0,02. 9 IX.34. Пусть Хп = -S'. Для числа £ указать число Ng такое, что \х„ — 0| < £ при каждом п > N^, если: 1) £ = 0,1; 2) £=0,001. IX.35. Используя определение предела последовательности, показать, что: 1) число 2 является пределом последовательности с общим 2п-Н членом Хп =----; п 2) число 3 не является пределом последовательности с общим членом х„ = . п IX.36. Используя определение предела последовательности, показать, что: 1) число 4 является пределом последовательности с общим in-3 членом Хп =---- п + 2 2) число 1 не является пределом последовательности с общим членом х„ = Ап — 3 п + 2 ‘ 6—5682 162 Глава IX. Предел и непрерывность функции IX.37. Привести пример двух различных последовательностей, каждая из которых имеет своим пределом число: 1) 3; 2) -2; 3) 0; 4) -1,5. IX.38. I) Доказать, что если предел последовательности {хп} равен 2, то, начиная с некоторого номера, каждый ее член меньше 2,1. 2) Доказать, что если предел последовательности {х„} равен 1, то, начиная с некоторого номера, каждый ее член больше 0,8. IX.39. 1) Опираясь на определение предела последовательности, показать, что —1 не является пределом последовательности с общим членом = (—!)"• 2) Опираясь на определение предела последовательности, показать, что 2 не является пределом последовательности с общим членом Хп = 1 —(—1)". IX.40. 1) Известно, что каждый член некоторой последовательности положителен. Может ли предел такой последовательности быть равен О? 2) Известно, что каждый член некоторой последовательности меньше 3. Может ли предел такой последовательности быть равен 3? IX.41. Известно, что предел последовательности равен нулю. Могут ли в этой последовательности: 1) все члены быть отрицательными; 2) бесконечное число членов быть больше 0,01? IX.42. Привести пример ограниченной последовательности {хп} такой, что: 1) {Хп} не имеет предела; 2) {х„} имеет предел. IX.43. Привести пример знакопеременной последовательности {хп} такой, что: 1) {хп} не имеет предела; 2) {х„} имеет предел. IX.44. Привести пример возрастающей последовательности {х„} такой, что: 1) {хп} не имеет предела; 2) {х„} имеет предел. §2. Предел последовательности 163 IX.45. Привести пример убывающей последовательности {л:п} такой, что: 1) {хп} не имеет предела; 2) {Хп} имеет предел. IX.46. Привести пример последовательностей {а„} и {Ьп}, каждая из которых не имеет предела, но: 1) сумма {Оп + Ьп} которых имеет предел; 2) разность [ап — Ьп) которых имеет предел; 3) произведение {ап-Ьп} которых имеет предел; 4) частное которых имеет предел. IX.47. Привести пример ограниченных последовательностей {а„} и {Ьп}, каждая из которых не имеет предела, но: 1) сумма {un + bn} которых имеет предел; 2) разность {йп — Ьп} которых имеет предел; 3) произведение {оп-Ьп} которых имеет предел; 4) частное которых имеет предел. 2. Вычисление предела последовательности IX.48. Известно, что lim а„ = 2, lim Ь„ = 3. Применяя свойства Л->00 П—¥00 СХОДЯЩИХСЯ последовательностей, найти; 1) lim (a„ + 36„); 2) lim (а^-2а„Ь„)-, 3) lim п—^оо Qn 2Ьп 4) lim -2М «->•00 af, + bf, IX.49. Известно, что lim а„ = 3, а„ Ф 3. Применяя свойства п->оо сходящихся последовательностей, найти: 1) lim - 9. п-^оо йп — 3 Вычислить (IX.50-IX.57). IX.50. 1) lim 3) IX.51. 1) lim 2) lim п-юо а,1 — 3 1) 3) п + 7 . fi-»oo 2« — 3’ 3п^-2п + 3. 2«3 4- „2 ’ п + 2 . lim л—»-ос П—>ОС — 6 ’ lim п->оо + 1 2) lim п-»оо 4) lim л-»оо 2) lim л—>оо Зп^ + 1. (п-3)(5-6й) 2п^ + 5 2 -Ь « - 4п^ «3+1 4) lim л->оо (п + 1)^ 164 Глава IX. Предел и непрерывность функции IX.52. IX.53. IX.54. IX.55. IX.56. IX.57. IX.58. IX.59. IX.60. 1) lim ^------------—— n->oo\2rt + 2 5 ^ 2fj — / 3) lim (I +»)(*-2л)(1 + 3л), л->оо I) 3) 1) 1) 3) 1) 3) lim n-i-OO П + I lim lim -----------; VЛ + 2 4- 3 .'is. Им' 3«+i _ I _ lim n->oo 3" * + I lim П—>tX) lim f 1 + n->oo \ n J 1 Л+2 2) 4) 2) 4) 2) 2) 4) 2) 4) lim (_|!------ 1->оо\2я^ + 1 1-4л^/ lim (1^)'. \3/j + I / Л-J-OO lim lim n—S’oo 4 lim —7= П—>OC 2\/n + 2« 1-2 VSn 2 -l- 3\/If lim n—>oo 1) lim Л-^ОО G + IV 3'7’ lim „„ ,, Л—>oo 2^ 4- 1 22n+l ^ 2 ~4« _X • lim >oo \ Л / lim i-)-oo \ n / 2)Jim (1-^' Л-ЮО + -in 2" ;• a предел суммы членов геометрической прогрессии 1) При каком значении бесконечно убывающей 2) При каком значении а предел суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 2а + а\/2 + а + ... равен 8? 1) Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 3, а сумма членов равна 3,5. 2) Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 66, а сумма членов равна ПО. 1) Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой в 10 раз больше суммы всех членов, следующих за ним. 2) Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма первых шести членов которой состав- ляет - суммы всех членов последовательности. О §2. Предел последовательности 165 Второй уровень IX.61. Используя определение предела последовательности, доказать справедливость равенства: 2) lim п I 2у/п 1) lim 4^=4; П—>00 у/п I 2 3) lim _ п-^оо \/п cos л _ Q. sin п 4- cos/г = 0: 5) lim ‘ + УГ. = 0; п—2п -f- \/п 7) 4^-1: = 0; 4) lim rt—»оо 6) lim -Vt-L = 0; п-»оо П-* 4- 9 8) lim J.'lt V^-. = 2. n-¥oo n + -Jn 4- 2 fi->oo o'* 4-Зл IX.62. Используя определение предела последовательности, доказать справедливость равенства; 1) lim (\/п + 4- v/n) ■ 0; 2) lim (\/п^ + \. — п\ = 0. п->оо л—>оо V, / IX.63. 1) Опираясь на определение предела последовательности, показать, что 0,5 не является пределом последовательности с общим членом = sin -Ь л:«^. 2) Опираясь на определение предела последовательности, показать, что 1 не является пределом последовательности с общим членом Xn^cos ’^"-. IX.64. Пусть {6„} — некоторая последовательность. Можно ли утверждать, что lim (а„Ьп) = 0, если lim а„ — 0? Ответ «—»^оо п—>оо обосновать. IX.65. Известно, что в любой окрестности точки 2 находится бесконечно много членов последовательности {хп}- Следует ли отсюда, что: 1) lim Хп = 2; Л—>оо 2) последовательность {Хп} ограничена? IX.66. 1) Пусть lim |Хп1 = |а|. Следует ли отсюда, что lim Хп = а? п->оо п->оо 2) Пусть lim |хп| = а. Следует ли отсюда, что {х„} п—¥оо сходится? IX.67. Известно, что lim ап = 2. Применяя свойства сходящихся Л—►ОО последовательностей, найти: 1) lim (2а„+2-Ьа„+1-1-3); 2) lim i ' rt-чоо' ' п-юо2а„^з + а„ 3) lim П-ЮО On + о 4) lim п-юо 2а ■•п+2 166 Глава IX. Предел и непрерывность функции IX.68. Известно, что lim а„ = 2, lim Ь„ = 3. Применяя свойства п—юс п—уоо сходящихся последовательностей, найти: 1) lim 2) lim n—юо On + zn п—упо гп ■ On + a,i 3) lim ((Зоп — • sin «); n—^oo 4) lim ((a„-*„+2-6) ■cos(n +1)). n — Вычислить (IX.69-IX.76). n + 2y/n. v/n — Зя ’ Ay/E - ^ + 1' IX.69. 1) lim rt—ЮО 3) lim n—>OCj 5) lim Л—>oo IX.70. 1) lim n—yoo 3) lim Г7—ЮО IX.71. 1) lim 3) lim «—►oo IX.72. I) lim n—ЮО 3) lim n^oo IX.73. 1) lim П“>ОС 3) lim Л-+00 5) lim n—¥oo IX.74. 1) lim rj—►oo IX.75. 1) lim 2) lim n—¥0O IX.76. 1) lim П—УСС 2) lim n-yoo \/^n -Г4 ■v/n + \/An + 5 ’ 3" + 4. 6” + I ’ 6«-‘ + 2-«, 3" + 6" ’ [тгГ' о+ (-!)". я + 2 ■ Зя + 2 cos п. ^Т2 ’ (\/3n+6 — >/Зп): ^ \/Ап?‘ + п — 2nJ; \/п + 4 — \/п, sfn — %/я + 5 (v^rt - 1 - s/n); 2) lim 4) lim rt—>oo 6) lim П—УОО 2) lim ri^ + 1 2v4i~+~T + \/я "b 2 ^ ^+1 + ^8n + 5 v^l — я 3" + 4" Я-ЮС 2" + 5" ’ i:.^ 6"+3-2" 4) lim —П--------• П—УОО 5”"^ +7'' / rt _i_ 1 \ 2“3л 2) lim 4) lim 2) lim л->оо Я 4) lim sin y/n — n (я2 я^2 (J f—+ — V2-4 4-6 (— + — Vl -3 3-5 л-^оо \/n + 2я 2) lim f\/n2"+^ — rt); n-yoo \ / 4) lim (— \/2r^^\ Л—ЮО \ / 6) lim (\AT^-\/rt). Л—ЮС ' 2) lim frt - + sV П—)-oo \ / + ... + — + — + + ,2 ^ „2 + • ■ • + + ... + ... 2я- 1\ я2 )' 2n ■ (2я + 2) + (2я-1)-(2я + 1) §3. Предел функции 167 3) 4) lim (^'-7 !->0С • С 5-8 + ... + lim -I • 11 и • 18 + ... + (3/1 — 1) • (3/г -1 + 2))’ (7п - 3) • (7п + 4) )• IX.77. Найти lim х„, если: п—юс- 1) х„ = О.Н_^; 2) = 0,3333... 33. Хп 2И IX.78. Задать формулой общего члена бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, второй член которой равен 6, а сумма членов равна ’ суммы квадратов членов. О IX.79. Обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную: 1) 0,373737...; 2) 0,23(345). IX.80. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии. IX.81. В равносторонний треугольник со стороной 2 вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник. В этот треугольник тем же самым образом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности. Чему равна сумма периметров этих треугольников? IX.82. В квадрат со стороной 4 вписан посредством соединения середин его сторон новый квадрат. В этот квадрат тем же самым образом вписан новый квадрат и так далее до бесконечности. Чему равна сумма периметров этих квадратов? §3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Первый уровень 1. Определение предела функции на бесконечности IX.83. Дана функция f{x) = 3 - х-|-2‘ 1) Построить график f{x). Какие выводы, опираясь на график, можно сделать относительно пределов этой функции при стремлении х к Ч-оо и —ос? 2) Обосновать, опираясь на определение предела, предположение о поведении функции f{x) при л:->-foe. 168 Глава IX. Предел и непрерывность функаии IX.84. Дана функция f{x) = -— 1) Построить график f(x). Какие выводы, опираясь на график, можно сделать относительно пределов этой функции при стремлении х к +оо и -оо? 2) Обосновать, опираясь на определение предела, предположение о поведении функции [{х) при х -э -foo. IX.85. Нарисовать эскиз графика функции f{x), определенной на всей числовой прямой и удовлетворяющей следующим условиям: 1) lim f{x) = —3, lim f{x) = 2; JC—>+00 X-¥—00 2) lim /(;c) = 4, /(2) = -l, /(-3) = 5. X—¥00 Используя определение предела функции, доказать справедливость равенства (IX.86-IX.90). IX.86. IX.87. IX.88. IX.89. IX.90. 1) 1) 1) 1) 1) lim 4 = 0; Х-¥00 lim — х-юо 4д: "im 2) lim —f^ = 0. X-^OO (x + 1)2 4’ = 0; JC-4--bOO y/x — I lim 4= = 0; X-^-OO V~X 2 _ 2) 2) 2) lim ?^ = -3. x + 4 lim - ■ ■ X^-l-OO y/x^+ 1 lim 1 lim X Х—ЮО +сю; x-^—oo л/2 — 3x 2) lim (x + 3)“* = = 0. = 0, -foo. 2. Вычисление пределов функции на бесконечности IX.91. Вычислить; 1) lim ((л;-2)2-(л:-4)2-4а:); 2) lim + + х->оо ' ' 3) lim 1, Х-+00 1 - 4) lim 4*^ х->+оо X х-*-оа л'* — 1 ’ IX.92. Вычислить: 1) lim 7x-2v^ + 5. 2) lim ^ ^±-'; X—Н-ОО X— I ;(_>_оо Ъ—у—х 3) lim v5_zj5^; 4) lim . Зх + 1 X—)- + оо •/х — 1 х-*—оо 3\/^ — 5х ^ §3. Предел функции 169 Рис. I Рис. 6 3. Определение предела функции в точке IX.93. Среди функций, графики которых приведены на рис. 1-6, указать функции, имеющие предел в точке х — 2. IX.94. Нарисовать эскиз графика функции /(х), определенной на всей числовой прямой и удовлетворяющей следующим условиям; 1) lim/(x) = 3, lim/(x) = l, lim /(х) = 4, /(1) = 3, /(3) = 0; х->3 дг-Н-оо 2) lim /(х) = 0, lim/(x) = -3, lim /(х) = 2, /(4) = —3. х-4—2 .t->4 х-у-оо 170 Глава IX. Предел и непрерывность функции IX.95. Построить график функции '2х—\, х<2, ,5л;+ 2, л: >2. Для е=1 и с=0,5 отметить на оси Ох проколотые й-окрестности точки х = 2, для точек которых график функции y—f{x) лежит внутри полосы 3-e \2x-A, х>Ъ. Для е=1 и е = 0,5 отметить на оси Ох проколотые Й-окрестности точки х = 3, для точек которых график функции y — f{x) лежит внутри полосы 2 — е<у<2 + €. Доказать, что Пт/(л:) = 2, указав правило выбора <5 по е. .«-♦з IX.97. Используя определение предела функции в точке, доказать справедливость равенства: 1) Игл (4л: —2) = 10; л^З 3) Ит ^^=2; JC-+1 х-\ 2) Ит(4-Зл:) = -2; л->2 4) Игл ^^ = -4. л+2 4. Вычисление предела функции в точке IX.98. Известно, что 11гп/(л;) = 3, lim £г(л:) = -1. Используя свой- JC-HJ дс-ю ства пределов функций, найти; 1) lim (4/(x)-g(x)/(x)); 2) \\т {f^{x)-5g{x)f{x))' 3) ]im (/(x)-2)(g(x)+4); 5) x-^a f(x) — 3 IX.99, Вычислить: 1) lim „ ; X-+3 2-ЛГ 2-x + x^. x-*a 4) Hm x-^a /(•<) +4g(x) 6) lim A-^a\g(x) + l g^(x)+g(x) 3) lim x->l 5) lim .<->1 1+Л ’ 2д;2-Зл + 1, JC-l 2) lim Л-+2 4) lim x-4- 6) lim x^+x-6. jc^-25. х'-Ц-Ь Л + 5 x^-27 x-^3 x'^-9 §3. Предел функции 171 IX.100. Вычислить: 2) lim ^-2. 4) lim x^-\ l + x 5. Различные типы пределов IX.101. Указать, чему равны односторонние пределы функций, графики которых приведены на рис. 1-6, в точке х = 2. IX.102. I) Построить график функции > \V^ + 3, л:^2. Что можно сказать о значениях односторонних пределов этой функции при стремлении jc к 2, —1, 5? 2) Построить график функции Г4, х<-2, = -2<х<4, 1о,5х + 2, х>4. Что можно сказать о значениях односторонних пределов этой функции при стремлении х к -2, 4, 6? IX.103. Дана функция f{x)= . 1) Построить график f{x). Какие выводы, опираясь на график, можно сделать относительно пределов этой функции при стремлении х к 1, 3, +оо, —оо? 2) Обосновать, опираясь на определение одностороннего предела, предположение о поведении функции /(х) при X —^ 1. IX.104. Нарисовать эскиз графика функции /(х), определенной на всей числовой прямой и удовлетворяющей следующим условиям: 1) lim /(х) = 2, X-t'+OO 2) lim /(х) = 0, х—^оо lim /(jc) = -3, Л'“► —оо lim /(х) = 2, ->-3-0 lim /(х) = 5, y->2+0 lim /(х) = 3, х^-3+0 lim /W = -2. Я4) = 1. х—^4 172 Глава IX. Предел и непрерывность функции 2) lim (\/ х^ + \+Л\ д:->-оо \ / 4) lim (2х + . оо \ / Второй уровень IX.105. Вычислить: 1) lim (х/х^АЗ-х); х-^оо \ / 3) lim f х/а:^+9х-х); X—>+оо X / 1Х.106. Найти р а q, если: 1) lim f£-li±l+x-2) = -l; х^ао \ qx + 2 / 2) lim +рх + А = 1. .1->оо X л: + 1 / IX.107. Используя определение предела функции в точке, доказать справедливость равенства: 1) limx^ = 9; 2) limx^ = 8. Л-+3 дс->2 IX.108. Используя определение предела функции в точке, доказать справедливость равенства: I) lim (х2-8х) = -16; 2) lim (4х2-4х) = -1. л-^4 ^ ' х-40,5 ^ ‘ IX.109. Используя определение предела функции в точке, доказать справедливость равенства: 1) lim = 2) lim \/х + 6 = 3. jc—^3 Вычислить (IX.110-IX.113). IX.110. 1) lim ■3;t + 2 д;->1 (х®— 1) (х^ —I) 3) lim х>0-х^ 5) lim 1 х8_1 ■ ax'*-4x2 + 1 х^1 х'^—х'^ —х+1 IX.111. 1) lim IX.112. 1) lim х->64 }fx-^ х-^2 у/^-2' ■у/х-8 . I ^-4’ IX.113. 1) lim х->1 х-1 2) lim х->2 7х-Зх2-2 4) lim -----------Ц-); Х-+-1 Vx^ + l х + 1/ 6) lim x->-3 х^+3х2+х + 3 v2 1 2) lim x-^1 ^-l 2) limi^. x-*l ^—1 2) lim x->l x-1 § 3. Предел функции 173 IX.114. Известно, что Ит f{x) = 0, limg(x) = 0. Привести примеры X—>3 х-*3 таких функций f{x) и g{x), для которых справедливо равенство; 1) lim Щ=2\ 2) lim Щ = 0\ х->3 gw g(x) 3) lim = +оо; x->3g(^) 4) lim = x->3gH IX.115. Известно, что Мт/(х) = +оо. limg(x) = +oo. Привести Х->1 ,(-»] примеры таких функций /(х) и ^(дс), для которых справедливо равенство: 1) lim 4^ = 4; 2) lim ^, =+oo; и 3) lim (/(A:)-g(x)) = 0; х->1 Х->| g(x) 4) Um (f(x)-g(x)) = +oo. IX.116. Найти значение a, при котором существует конечный предел функции /(х) в точке Xq, если: 1) 2) f{x) = - (x + l) х2-1 . д:о = -1; хо = 2. х”-8 х^ — 4' IX.117. Используя определение одностороннего предела, доказать справедливость равенства: 1) lim (у/х-2) = -2; х-^0+0 2) lim (л/х- 1 +3) = 4. х->2+0 IX.118. Найти односторонние пределы функции /(х) в точке Xq и выяснить, существует ли конечный предел функции в этой точке, если; f 2д:^ “Ь Зх "Ь 2, х2, хо = 0; 5) /(х)=| Т:Т’ xo = 3; 1б, х = 3, 6) f(x) = х + 4 к + 4| .2, хо - -4; 7)/М = (^. -^-2. [2, х = -2, хо = -2; 8) f(x) = х^-8х-9 х»0. хф9. — 10, х = 9, IX.123. Имеет ли точки разрыва функция: 1) /(x) = x !д:-1]; 2) f{x) =х + \/х^ — 4х + 4? IX.124. Найти точки разрыва функции: 1) = 2) f{x)^ • 3) /W = Х"- —X —6 х^ + 8, х + 2 ’ 4) /(х) = |х-3|-2' 1 \/бл--1-9л-2' §4. Непрерывность функции 175 IX.125. 1) Имеет ли уравнение -Зл:^—9 = 0 корни на отрезке [0; 2]? 2) Имеет ли уравнение —-4л: +16 = 0 корни на отрезке [1;3]? IX.126. Доказать, что уравнение имеет хотя бы один действительный корень; 1) r^-3jt^-f6л:-7 = 0; 2) -9 = 0; 3) д;5-Ьд: + 8 = 0; 4) х®-Зг’-л--27 = 0. Второй уровень IX.127. При каком значении Ь функция /(х) будет непрерывной в точке хр, если: 1) fix) __ Г X “Ь ft, . "I ^2-4, х>3. Хо = 3; ( |х-6|, х<3, 2) /(jc)=<{ уДЦ^-4 ^0 = 3? I IX.128. Можно ли доопределить функцию /(х) до непрерывной в точке Хр, если; 1) /(x) = 2x-i^, Хр = 0; 2) /М = т4п^. ^0 = 1? IX.129. Найти точки разрыва функции: •) fix)'- х-2 А |а —3| —|а| ’ ' ■' л;2_4^^|д:_з|^з IX.130. Найти точки разрыва функции: 1) /(х) = {х + 3}; 2) /(х) = [х]-х. IX.131. Доказать, что уравнение на указанном отрезке имеет хотя бы один действительный корень; 1) хЗ-9х2-|-24х-17 = 0, [3;5]; 2) 12х‘‘-16хЗ-|-1=0, [0;1,5]. IX.132. Решить неравенство, используя обобщенный метод интервалов: 1) (х-1) (\/25-х2-4) <0; 176 Глава IX. Предел и непрерывность функции 2) (4-^/FPЗ) 3) (х + 4) (У25-л;2-з)^0; 4) (^2-9) (\/Fri3-4)<0. IX.133. Решить неравенство, используя обобщенный метод интервалов: 1) (хЗ-1)(|а:-Н|-2)^0; 2) (з-\/д:2-1б) (|л: + 4|-9)^0; 3) (|д: —3|-|2л: —1|) (3л:^ —д:-4) ^0; 4) (|х| + 2л:) \/36^>0. §5. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ Первый уровень Вычислить (IX.134-IX.137). IX.134. 1) lim х^-\ х^ + Зх 3) lim дг->1 Х\/2 — х 2) lim \/2 + Зх^-, x-iO IX.135. 1) lim х->5 /F+4-З. X —5 3) lim д:-»-1 д:'^ + 5а:-|-4 IX.136. I) lim 3-х 4) lim у/\/10 + 31с-1-5. х-»2 2) lim х->2 х'^ —4 4) lim х->-4 х^ —16 •З^х^-2 х->3 ^GT^-1 2) lim х-»9 х-9 IX.137. 1) lim х->—оо 1/^— \. х + 2 ' 2) lim х->—оо З-Ьх Второй уровень IX.138. 1) lim IX.139. 1) IX.140. 1) (IX. 138-IX.143) lim V3+x^-2x, 2) lim x^l I -X X-+2 lim ^^xTЗ-l, 4) lim X—¥ — 1 \/5-t-x-2 x->3 lim 3x + 5 у/—X + 2 _ 2) lim 4 JC-l-4 X-+-' lim + ЗЧ- ^X-h 1 , ..2) lim • X—> — 2 л:-1-2 X-+2 lim \/x + 7-3. 4) lim ■ x-»2 ^x+6-2’ X-fl \/х2 —I —-\/х2-|-х —3 х2-4 ■\/3 + X — \/9 — X хЗ-4х-15 3 —2х —7%/^ Х-+—9 ^ +2у/—х + 3 х^-х^-х-2 Зх2-2х-1 x-^i ^/'27^- ^^7^’ Задачи повышенной сложности к главе IX 177 IX.141. 1) Ит (v/Fh4-v/^); х-*+оо IX.142. 1) lim X—*•—оо 1 — \/х^+1 _ 3) lim (х+\/х^—Ах\, оо \ / IX.143. 1) lim (v^+')cosx. Х-++0О х + 4 2) lim (^у/х'^+4х—\/х^+5х^. Vx^ + 2x-3. 2) lim Л—> —ОО 4) lim х-^—оо 2-х \/л'2 + 2 + ^ 8дс^ + 3 (l-v^-jc)sin(j: + -) 2) lim -----------. jc->+oo х^+2 ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ IX IX.144. Используя определение предела последовательности, доказать равенство: 1) lim ^4=^ = ^; 2) lim 45LlL^2. л-4оо2л^ —9л 2 л-»оо л^-)-6л —2 IX.145. Доказать, что отбросив, добавив или заменив конечное число членов сходящейся последовательности, получим последовательность, имеющую тот же предел. IX.146. Доказать, что отбросив, добавив или заменив конечное число членов расходящейся последовательности, получим последовательность, которая также является расходящейся. IX.147. 1) Пусть liman=a. Доказать, что lima2ft=^ и lima2*+i=^i- л—»оо k-t-oo k-*oo 2) Пусть последовательность {сп} такова, что lim a^k—a k-юо и lim Доказать, что lim ап=а. k-bOO n-b IX.148. Пусть последовательность {а„} такова, что lim 02* = а k-¥00 и lim а2к+[ — ^< причем а^Ь. Доказать, что последова- k-*oo тельность {дл} расходится. IX.149. Используя определение предела последовательности, доказать, что если lim ап—а, то lim |ап| = |а|. П—ЮО 71—>00 IX.150. Доказать, что последовательность {a^}, где ап = ‘ + 1 I \/Arfi + \ \/^rfi + 2 у/4п2 + л 1 ’ СХОДИТСЯ, и найти ее предел. IX.151. Доказать, что последовательность {Хл}, где а" Хл = (И-а)(И-а2)... (1+аЛ) ’ а > О, 178 Глава IX. Предел и непрерывность функции сходится, и найти ее предел. IX.152. Доказать, что последовательность {ал}, где а„ = ■ ■ ■, I сходится, и найти ее предел (здесь (2п + 1)!! — произведение всех нечетных чисел от 1 до 2«-|-1 включительно). IX.153. Доказать, что последовательность {а„}, где а„ = ~^(2л)!!~’ сходится, и найти ее предел (здесь (2rt — 1)!! — произведение всех нечетных чисел от 1 до 2а — I включительно, (2а)!! — произведение всех четных чисел от I до 2а включительно). IX.154. Используя определение предела функции в точке, доказать: 1) lim(x^ - 4) =-3; 2) lim (2x^ - 1) = 3. ,v-»l x-i2 IX.155. Используя определение предела функции в точке, доказать: 1) iim - = i; х^2х 2’ 2) iim --Ц = 1. л-->3 х-2 IX.156. Пусть функции /(х) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х = а, причем функция /(х) ограничена в этой окрестности, а g(x) при х —> а имеет предел, равный 0. Доказать, что Iim |/(x)g(x)| = 0. IX.157. Пусть функции /(х) и ^(х) определены в некоторой окрестности точки х — а, причем в этой окрестности функция g{x) совпадает с функцией /(х) всюду за исключением конечного числа точек, а функция /(х) при X -> а имеет предел, равный А. Доказать, что функция g(x) при X-¥ а также имеет предел, равный А. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ IX IX.1. 1) |, -i, -1, -i, i, 1; 2) I, 1, 1, 2, 2, 2; 3) -3, -2, -1, -1, 0, 1; 4) 0, 1, 3, б, 10, 15. IX.2. 1) х„ = 3 + 4(я-1); 2) х„ = (-1)'‘+'; 3) х„ = 3-2'’-'; 4) х„ = 2-^|". IX.3. 1) х„ = 4(п-1)-(-3; 2) х„=5(п-1)+2. IX.4. 1) 2, 1, -1, -5, -13, -29; 2) 0, -1, 1, -3, 5, -И; 3) -1. 3, -3, -9, 27, -243; 4) 2, 4, 6, 12, 24, 48. IX.5. 1) 2, 5, 8, 11, 14; Xi = 2, х„+| = Хл + 3; 2) 4, 8, 16, 32, 64; Х[ = 4, х„+| = 2 • Хл; 3) 1, -5, -11, -17, -23; XI = 1, Хл+1=Хл-6; 4) - J, 1, -4, 16, -64; х, = Хл+| = (—4) • Хл. IX.8. 1) Последовательность не является монотонной; 2) последовательность убывает; 3) последовательность не является монотонной; 4) последовательность возрастает. IX.14. 1) хг = 6 — наибольший Ответы к главе IX 179 член; 2) хз = -9 — наименьший член. IX.15. 1) ;ici = 4 — наибольший член; наименьшего члена нет; 2) Х| = О — наибольший член; наименьшего члена нет. IX.16. 1) Х2 =-1 — наименьший, хз = I — наибольший член; 2) Х4 =-2 —наименьший, хз = 2 — наибольший член. IX.17. 1) X2,j = 2,5 — наибольшие. X2„_i = 1,5 — наименьшие члены (п е N); 2) X2„_i =4 — 2rt — 1 наибольшие, Х2„ = 2 — наименьшие члены (« € N). IX.20. 1) х» = f-2) например, Хя =—cos3) х„ = . L ; 4) хп =-7—^—гг. IX.21. 1) xi = l. Ш' п(п + I) ■ Х2 = 4. х„,| 2 = 2х„+1 - х„ + 2; 2) Х| = JC2 = 1, х„ у2 = ' -«/i+i ~ 3) х\ =2, Х2 = 3, х„+2 = 2х„.,.1 - х„ + 2; 4) Х| = 2 -I- у/2. х^ - 2, х„.^2 = '/2-а:„ ц —Х/1 —2\/2 + 4. IX.24. I) Последовательность возрастающая; 2) последовательность возрастающая; 3) последовательность возрастающая; 4) последовательность возрастающая. IX.29. 1) хз„=:хз,„ 2 = 0,5 — наибольшие, а хз„_1 =-I — наименьшие члены последовательности (теП); 2) ^8т-1 = —— наибольшие, а хз„^з = - ^ — наименьшие члены последовательности (т £ N). IX.30. 1) хз =—2 — наименьший, Х4 = 4— наибольший член последовательности; 2) Х4 = 0,5 — наименьший, хз = 5 — наибольший член последовательности. IX.31. 1) Х| = 2 — наибольший, наименьшего члена нет; 2) Х2 = Х3 = \/2 — наименьшие члены, наибольшего члена нет. IX.32. 1) Х[ = 2 — наименьший член, наибольшего члена нет; 2 2) хз = 55 — наименьший член, наибольшего члена нет. IX.33. 1) 3; 2) 48. О IX.34. 1) Любое натуральное число, не меньшее 4; 2) любое натуральное число, не меньшее 44. IX.40. 1) Да, например х„ = 2) да, например хя = 3-^. IX.41. 1) Да; 2) нет. IX.48. 1) 11; 2) -8; 3)-^; 4)4. IX.49. 1)” 6; 2) 1. IX.50. 1) 0,5; 2) 3; 3) 1.5; 4) -3. IX.51. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0. IX.52. 1) 1,5; 2) -i; 3) -6; 4) ~. IX.53. 1) 0; О о1 2) 2; 3) 0; 4) - v/5- IX.54. 1) 0; 2) О, IX.55. 1) 0; 2) 4; 3) 9; 4) 2. IX.56. 1) е; 2) е; 3) 4) е^. IX.57. 1) 0,5; 2) ^ IX.58. 1) а = 20; € О 2) а = 2(2-ч/2). IX.59. 1) i; 2) 0,4. IX.60. 1) Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 2) любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 2+0 X-I lim ,JW = 5. lim f(x) = 0; рис. 5 x-42-0 X-+2+0 lim f(x) = lim f(x) = -3; рис. 2: X-+2-0 .X-+2+0 m f(x) = 4, lim f(x) = —oo; рис. 4: 2-0 x->2+0 lim f(x) = +00, lim f(x) - -oo; X-+2-0 X-+2+0 рис. 6; lim /(x)= lim f(x) = —3. IX.102. 1) lim /(x) = 4, lim /(x) = —3. x-^2-0 X-+2+0 Л-+2+0 x->2-0 lim f(x) = lim J{x) = 4; ->4-0 X-+4+0 lim /(jt) = -4, x->-2-0 lim J(x) = lim fix) = -+6-0 X-+6+0 lim f{x)= lim f(x) = 3, lim f(x)= lim f(x) = 5\ 2) X-+- 1-0 x->-l+0 x->5-0 X-+5+0 lim f(x) = -2 x-y-2+0 = 5. IX.103. 1) lim f(x) = 4-00, lim f(x) = I. lim f(x) - lim f(x) = 0. X-»l A-+3 X-+-00 Х-И-00 IX.105. 1) 0; 2) 0; 3) 4,5; 4) -0,25. IX.106. I) p=-2, q = 2\ 2) p = -2 q = Z. IX.107. Указание: полезно использовать геометрическую интер претацию предела функции в точке. IX.110. 1) оо; 2) -0,6; 3) 0,75; 4) 1 5) оо; 6) -7,2. IX.I11. 1) 0,8; 2) IX.112. 1) 3; 2) U О 2) -7|. IX.113. 1) i Ь IX.116. 1) а = 2; 2) а = 3. IX.118. 1) Существует; 2) не существует; 3) существует; 4) не существует. IX.119. 1) iirn /(х) = -1 = -2; 2) lirn f{x) = I. lim f{x) = 0; 3) lim }{x) = 3 x->-2-(-0 X-+-4-0 x-+-4-(-0 x->3-0 lim fix) = 4; 4) lim fix) = 1, lim fix) = 0. IX.120. 1) a = 2,5 a'~+5”*0 x-~+5+0 2) a = 0 и 0 = 1. IX.I21. Функция, график которой изображен на рис. 1 IX. 122. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) нет; 8) нет IX.123. 1) Не имеет; 2) не имеет. IX.124. 1) х=-2, х = 3; 2) х=1. х = 5 3) х = -2; 4) х=|. IX.125. 1) Да; 2) да. IX.127. 1) 5 = 2; 2) 5 = 2,25 5 = 3,75. IX.128. 1) Нельзя; 2) нельзя. IX.129. I) х = О, х = 2, х = 4 2) х = 0, х = 2; х = 3. IX.130. 1) х = «, п € Z; 2) х = п, л = ±1,±2, ±3,... 1Х.132. I) (-3;1] и [3;5]; 2) [-3; 1] U [13;-foe); 3) {-4} U (4; 5] 4) 1-13;-3). 1Х.133. 1) (-оо;-3)и{1}; 2) (-оо;-13]U [-5;-4)U [4;-foo) 3) {1} и |-2;-1|; 4) {-6} и [0;6]. IX.134. 1) 1,5; 2)v/2; 3)1 4) 3. IX.135. 1) i; b 2) 1 3) ! 2) 0. 16’ ' 12 IX.I38. 1) -1,25; 4) 48' 2) IX.136. 1) -3; 2) — ’ 12 3) 4; 4) 138 IX.137. 1) 0; 1X.I39. 1) 1\ 2) -1,25. IX.140. 1) 2) 3; 3) 2; 4) 12. IX.141. 1) 0; 4 «5 Ответы к главе IX 181 2) -0,5. IX.142. 1) -1; 2) -1; 3) 2; 4) -1. IX.143. 1) 0; 2) 0. IX.150. 0,5. Указание: полезно использовать теоремы о пределах последовательностей, связанные с неравенствами. 1X.15I. 0. IX.152. 0. IX.153. 0. IX.154. Указа ни е: полезно использовать геометрическую интерпретацию предела функции в точке. IX.155. Указание; полезно использовать геометрическую интерпретацию предела функции в точке. Глава X СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ §1. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ Первый уровень В одной системе координат построить графики функций (Х.1-Х Х.1. 1) у = 2) у = х^; 3) у — х'*; 4) у — х^. Х.2. 1) у = х~'\ 2) у = х~^\ 3) у = х-3; 4) у = х~^. Х.З. \) у = 2) У=^\ 3) y= 'ifx\ 4) У = уД. Х.4. 1) у = х^\ 2) £/ = хЗ; 3) у = х^\ 4) y = xi. Х.З. 1) у = х-3; 2) у = х“з; 3) г/ = х~3; 4) у = х~1. Х.6. Найти область определения функции: 1) у = v^l — 4х + л/2х + 1 + 1 2) у = V2- \/2х + V'/S- X — 3) y = (x-3)U^ + (x-4)5; -3 4) у={2х-\)-^+^^+{\-х) Х.7. Используя свойства степенных функций, сравнить значения выражений: 1) /(13)+/(14) и /(15)+/(16), если /(л:) = -1; 2) /(11)—/(10) и /(12) —/(9), если /(х) = х+ Х.8. Используя свойства степенных функций, сравнить значения выражений: 1) 0,3“з и 0,5“з; 2) 4 —3-45 и 1—3-6з. Х.9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке (если они существуют): 1) Пх) = х~1 [8;20): 2) f{x) = -\, [1;2]; 3) /(х) = ч/2]Гь6. (-2; 15]: 4) /(х) = 3-^. [1;3]. Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 183 Построить график функции и с его помощью исследовать функцию (найти ее область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной, четной (нечетной, общего вида); определить ее наибольшее и наименьшее значения) (Х.10-Х.12). Х.10. 1) t/ = 0,5(2 + Jc)3; 2) у = (1-х)‘^. Х.12. 1) у^у/^х-4; 2) (2-..)■> 2) у = ^2х - 4. Х.13. Построить график функции у = /(х) и с его помощью определить число корней уравнения a = f{x) при указанных значениях параметра а: 1) /(^) = 3 — \/Щ\ а = -2, а = 3, а = 5; 2) /(х) = |\/х + 3 - 2|; а =-4, а = 0, а = 2\ а — 2>. Х.14. Решить графически уравнение; 1) (3-х)“'5 = (х-1)3; 2) = (х - 2)3 + 0,5. Х.15. Решить графически неравенство; 1) (х + 7)3 < 2) < \/х — 1 — 1. X — 0,5 ’ X — 3 Х.16. Оценив значения левой и правой частей уравнения, доказать, что уравнение не имеет корней; 1) ^х + 4 - 1 - л/х; 2) \/х- 1 + ^/x = 2х^ Второй уровень Х.17. Используя свойство монотонности функций вида у = х'' (г — положительное нецелое рациональное число), доказать, что; 1) функция у = (5 — 2х)з убывает на всей области определения; 2) функция у = (Зх - 7)5 возрастает на всей области определения. Х.18. Среди функций /(х) = \/Зх + 4, g(x) = ^х +5, /г(х) = (3 + 7х)т, р(х) = 1 -X, q{x) = (х - 3)^, ш(х) = (2х — 5)3, и(х) = (х — 3)'^, д(х) = (6х + 3)“^ указать те, которые: 1) возрастают на всей своей области определения; 2) убывают на всей своей области определения. 184 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функиии Х.19. 1) Найти наименьшее и наибольшее значения выражения £/^ + 6^, если —1,2<дг^1,8 и ^^£/<5. 2) Найти наименьшее и наибольшее значения выражения л;2 + За:+если ^ У-З Х.20. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке; 1) 1{х) = - Д£^ - 1, [1,8]; 2) /(х) = 4-^5 +4х^^ [8,27]. Х.21. Решить уравнение: 1) + 2л: + 1; 2) Ух+ 2+ -г~ +х^ + 2х- 1 = 0. Vx + 2 Х.22. Построить график функции у = f{x) и с его помощью определить число корней уравнения a—f{x) при указанных значениях параметра а: 1) /(•«) = 2) / W- (1—х)5—2|; ££ = -2, а = О, а —2, а = 3; У2х — б] - А, а — -6, а = -4, а = 1. Х.23. Решить уравнение: 1) ]х + 4] + 1х-41 = ^; 2) ];с-2] + ]х + 2] = ^. Х.24. Решить неравенство; 1) X? + д;5 + ^ 1 -|- 2; 2) Н—^, < у/х + 0,5. Х.25. При каждом значении параметра а определить число корней уравнения: 1) (2]х] + 1)з=а; 2) ] - 3 - 1] = а. Х.26. Используя графический подход, определить, при каких значениях параметра а имеет решение неравенство: 1) (д£ + 1)^ < ££ - х; 2) л/6 — 2х < Зх + а. §2. Показательная функция 185 §2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Первый уровень Х.27. В одной системе координат построить графики функций: 1) у = 2^\ 2) у = 3) y = V- 4) ,= (!)'. 5) ■, = (!)'; 6),= (i)^ Х.28. Исследовать на монотонность функцию; 1) (/ = (8 - 2VnY; 2) у = - V2)\ Х.29. Используя свойства показательной функции, определить знак выражения; 1) 2) 2’’'-3*0''1; 3) 0,25’’'-32-0’^2; 4) ^27 _ 3 . дО.з _ 3-0,001 Х.ЗО. Исследовать функцию на четность: 1) t/-4-2-'' + 2''+2; 2) 1/ = 3‘-‘+3'-^ З) у = 2- 2^-1^1; 4) г/ - 1Q2^ - 0,0И; 5) у = 51^+3]. б) у = 5^+ 5-^+ 2. Х.31. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке: 1) f{x) = 2^-\ [-2;3]; 2) = [-1;2]; 3) /(;c) = 2 + 4 0,i2-^ [1;3]: 4) /(л:) = 4 - 33^+2, Построить график функции и с его помощью исследовать функцию (найти ее область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной, четной (нечетной, общего вида); определить ее наибольшее и наименьшее значения) (Х.32-Х.ЗЗ). Х.32. 1) у = г-(0,5У\ 2) у = 0,5 • 3^+2 - 2; 3) у = 22’^-2; 4) г/ = 30’5^+'-5. Х.ЗЗ. 1) г/ = 0,з1^1-2; 2) г/ = 14-2^|-1; 3) у = 31-'=+2| -3; 4) у = 0,5 • |1 - 3-^|. Х.34. Построить график функции у = f{x) и с его помощью определить число корней уравнения a = f{x) при указанных значениях параметра а: 186 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 1) f{x) = \2^ — A\ + \\ а =-3, а = 1, а = 2, а = 5, а = 6; 2) /(л:) = — 2; а = —3, а = -1,5. а = —1, а = 4. Х.35. Решить графически уравнение: 1) 2-'^ = 2х + А\ 2) 0,5^-‘ -3 = 5-5''; 3) 2^ -2х = \ .2. 4) 2'’ + 3"+' - 1.5 = 0. Х.36. Решить неравенство: 1) 3"+' ^ 10 - л:; 2) 0,5" + 1 < 3"+'^. Х.37. Доказать, что не имеет решений неравенство: 1) 5" - К-0.5"; 2) 3" + 3-" < 1.5. Х.38. При каждом значении параметра а определить число корней уравнения; 1) 0,5 • 3‘--" - 4 = а; 2) 52" + 0,2“2''= а - 3. Второй уровень Построить график функции и с его помощью исследовать функцию (Х.39-Х.40). Х.39. \) у = 21-"-2|+1^'-И1 _ 1; 2) у = 2 - 0,51-"''-^1“2|д:|-д: Х.40. 1) у = 5-2-31°’5"-2|; 2) у = 3-|0.5|2"-'Ч-4|. Х.41. Исследовать на монотонность функцию: 1) y = 0,3W-‘‘; 2) у = 22-1"-Ч; 3) ^z=22W-I-"+3|; 4) у o,6l""21-k+l|--t. Х.42. Доказать, что функция ограничена: 1) y = 0,5l"l-2; 2) у = 2'‘-("-3)“; 3) у = 2-W • 3-1"+Ч; 4) у = 0,42"+-"^ + 7. Х.43. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке: 1) /W = 0,1‘-I''-2I. ji-s], 2) /(л:) = 3 • 0,52|"+3|-з, [-2; 2]. Х.44. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке; 1) f{x) = |2"-‘ -4|. [2;6];'- 2) /W = |4-0.5l"l|, [-3;1]. §3. Логарифмическая функция 187 Х.45. Найти наименьшее и наибольшее значения функции (если они существуют): 1) /(х) = 3*-‘‘: 2) /(л:) = 0,ЗИ + 1; 3) f{x) = 4) f{x) = Х.46. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке: 1) /(л:) = 4'^-6-2’' + 1. [1;3]; 2) /(х) = 0,25^ - 4 • 0,5^'+ 3. [-4,-1]. Найти наименьшее значение функции у = + а”*- (а > 0,а / 1). Х.47. Решить Х.48. Х.49. Х.50. Х.51. Х.52. уравнение (Х.48-Х.51), 1) (v/rPi71)""-^ = 3; 1) 2^'^+4jc+5^_,,2_4jj,_2; 1) 4^+6-' = 10; / /------=\COSX 2) (\/9 + 4\/5j =5. 2) фх^-2.х'^ ^^‘2 + 2) 2'+ S'" = 0.7. 1) + x^ = 3-^ + 3- 2) l + x'» = lO'^ + O.H. Решить неравенство: 1) З*^ + 4^ + 5^ < 3; 2) 3^ + 5-* ^34. X.53. Решить неравенство: 1) 0,5^ + 0,5^2-уД\ 2) 0,25^ > 4^'5-1‘1 - 4-^ Х.54. Определить, при каких значениях параметра а функция f(x) = —^ является нечетной. ' ' а — б*' 2 §3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Первый уровень Х.55. В одной системе координат построить графики функций: I) y = \og[X\ 2) y = \ogix-, 3) y = logix; 4 ;i -i 4) У = log2 x; Ъ) у = log3 x; 6) i/ = log4 x. X.56. Найти область определения функции: 1) i/ = log2(9-x) + log3(x-7); 2) i/= х logg (х - х^); 3) i^ = log2fff; 4) j/==log2(|x + 3|-4) + logo,(l-4x). 188 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Х.57. Исследовать на монотонность функцию: 1) V = 1о?8-Зч/6 2) ^ = log^_yy л:. Х.58. Исследовать на монотонность функцию; 1) i/ = log5(^ + 3); 2) г/= logo,2(2A: +1); 3) £/ = log4(l-л:); 4) г/= log^з(1 -4л:). Х.59. Определить, какие значения может принимать а, если известно, что функция убывает на всей области определения; 1) «/ = loga(2x-M); 2) £/ = log2_a(l-л:). Х.60. Используя свойства логарифмической функции, сравнить значения выражений: 1) log4 15 и logons 0,24; 2) log^j 0,015 и log|2 146. Х.61. Расставить числа в порядке убывания: 1) logs 4, logo,2 10, log2s2; 2) log3 2, logo,3 3, loggS. X.62. Исследовать функцию на четность: I) = log2 (|л:| - 1): 2) I/ = log2 lx - 1|; •V -И I 3) i/ = logo,5 к - M + logo,5+ 11: 4) I/ = logi X.63. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке (если они существуют): 1) f(x) = log2X, [2; 64]; 2) /(x) = log;(2x-3), (2; 14]; 3) f(x) = 1 - 2 • logo,! (4 - л:), [-96; 3]; 4) /(;^) = -3•log2(4л;-^-12)-2, [-1;29]. Построить график функции и с его помощью исследовать функцию (найти ее область определения. Множество значений, промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной, четной (нечетной, общего вида); определить ее наибольшее и наименьшее значения) (Х.64-Х.65). Х.64. 1) у = 1-ь log2(A:-I-3); 2) £/= 3 - 2 • logo,s 3) t/ = - log3(2x - 4); 4) £/ = logi (6 - Зл:) - 4. X.65. 1) £/= log2(]A:]-Ь 1); 2) y= logi(2A:-4) 3) £/=-logo.sk+ 3]; 4) i/ = |log3(2-.)c)l. §3. Логарифмическая функция 189 Х.66. Решить графически уравнение: 1) + 3) = 3 — х; 2) log2 X = |х - 4| — 1; 3) logg д: + 2 = 20 • 0,5'^; 4) Х.67. Решить уравнение: 1) cos гсд; - log3(l + а;^) = 1; 2) (sinx + cosA:)^ = log5 (|4а: - + 25). Х.68. Решить неравенство: 1) log2 (а: — 1) ^ 2а: - 15; 2) 3' < 10 - log2 х. Х.69. Построить график функции ^ = /(х) и с его помощью определить число корней уравнения a — f{x) при указанных значениях параметра а: 1) /(а:) = |log3(l — х) — 2|; а =-3, а = 0, а = 2, а = Ъ\ 2) /(jc) = llogo,5(2-*^ - 6)| - 4; а — -%, а —-А, а=0. а = 1. Второй уровень Х.70. Исследовать на монотонность функцию: 1) i/ = 2-log3(4-2x); 2) у = 1 - logo_,(l + Зх). Х.71. Исследовать на монотонность функцию: I) i/ = log3 |2х - 4|; 2) у = logg g (1х| + 1). Х.72. Используя свойства логарифмической функции, определить знак выражения: 2) logo.2 (*°So,2 0>007 + 2) + 1; logo,! 0,0002 + 6 I \ 1 3 + logo 40 1) iog2— 3) logo i(0,5 1og2 63- 2); 4) log2 X.73. Построить график функции: 1) y = log3(x2 + 6x + 9); 2) г/ = logo s (x2-4x + 4). X.74. Построить график функции и с его помощью исследовать функцию: >) (/ = log2(|Ai-31 + |x + 31); 2) У = logo,5 (к + 2| + |х - 1| + х). Х.75. 1) Построить график функции г/ = log2 (|3 - 2 |х|| - 3), указать промежутки возрастания и убывания функции. Найти наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке [5; 7]. 190 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 2) Построить график функции г/ = log4 (8 - |3 |а:| — 8|), указать промежутки возрастания и убывания функции. Найти наименьшее и наибольшее значения этой функции на отрезке ;4]. Х.76. Найти наименьшее и наибольшее значения функции (если они существуют): I) у = log2 (к| + 4); 2) у = logo 2 + 4л: + 6); 3) I/— logi (л:^ - л: + 1) - 4; 4) «/= 2 - 3 • log2 (]а: + 5| + 8). Х.77. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке: 1) /(^) = |log2(^ + 4)-4|, [0;28]; 2) /(x) = logo,5(k-l| + 2)-5. [-29;7]. Х.78. 1) График функции I/= 1 — log2 (2х + 3) отразили симметрично относительно прямой t/ = 4. График какой функции получился? 2) График функции iy = logi (1 — 5л:) отразили симметрично относительно прямой л: = 4. График какой функции получился? Х.79. Определить число корней уравнения: I) л:^ - 2л: — log2 |1 - л:| = 3; 2) log,3 (|л:| - 2)-f ||л:| - 1| = 0. Х.80. Решить неравенство: 1) 5-f sin (1,5ти) < logo д: ■ (4 — log5л:); 2) log2 (4 -Ь v/r^) -Ь 14 -h 4^ < Х.81. Определить, при каких значениях параметра а уравнение Зх Ig д: = 1 -Ь а Ig X имеет: 1) один корень: 2) два корня. §4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Первый уровень Решить уравнение (Х.82-Х.89). Х.82. 1) 2^-^ = 5; 2) 5^+‘= log2 0,3. Х.83. 1) 5-‘+з = 0,2^+'; 2) = УПЗ; .2^ 3) (0,2)^‘^2^ = (0,04) \16—а:. 4) 25- ^ 2х^ = (0,04) 21.V-42 §4. Показательные уравнения 191 Х.84. Х.85. Х.86. Х.87. Х.88. Х.89. Решить Х.90. Х.91. Х.92. Х.93. Х.94. Х.95. Х.96. Х.97. Х.98. Х.99. 1) 4"- -|-4^-' =4-'+' - 11; 1) 7-"+® • 3-^+® = 21®•^ ; 3) 100^-'•2,7*-^ = 0,09; 1) 5^’^ ■ 4^+2 = 16 ■ 10^"2"; 2) 13'+'* • 5'+'* = (0,2)“-^' • 13®''; 3) (1)''''* = 32-' -(0,25)-®"; 4) (0,2)~'^“^ • 3"+^ - 5®-’'-' • 1) 2--'' • 5'+' ~ 22--'-'. 5*-' = 10,5; 2) З''-’•5•••■'■^-3''-2.5^--^■ = 0,32. 1) 2^ + 2' " = З-^’ - 3'-2; 2) 2"^+® - 7-" '‘ = 2" + 7"-2; 3) 2" + 4-5'-‘ =2 - (5''-2'-); 4) 4* — = 2’''+о,5 _ 1) 2 '+® - 2 ‘' = 5"+2 - 5-'+‘ + 5 "; 2) 7''+2 + з « 1 = 3-V + 7-t+i ^ ЗД.-+2 уравнение (Х.90-Х.99). 1) 32-'--8-З-'-9 = 0; 3) 9--''- б • З"-''= 27; 1) 3-52-'->-2-5'-‘= 0,2; 3) 0,04-'-'+52-''= 6; 40,5.t 4- 10 _ 9 2Л-2’ 2) 5-'+2 + 0.2--'-' + 4 ■ S'-' *■' = 2. 2) 100®-'• 5®-'= 2500; 4) 10-'-' • 0,42--' = 0,08. 2) 4" + 3-2" = 10; 4) (0,25f + 2 • (0,5)'' = 3. 2) 1-3-2'-" + 2®-2' = 0; 4) 0,25-'-® = 9-5-22--'. I) 2) •128 = 0; 1) 5'^ - s'"* =24; 1) 2^ -6-V¥= 16; 1) 2-'+ 10 = 36 •22-"; 1) 8"-4-'= 2"; 1) 32"+ 2-'+''= 8 -2®-'; 1) 3-25"+215"-5-9-' = 0; 3) 36" = 2-12"+ 3-4"; 5) 5-25"-30"-6-36" = 0; 1) 9"+ 11 •2''" = 12"+'; 1^-“I = 3(0.4)'. х+7 ± 2) 4"^ +4'^ =68; 1 3+5 4) 64' -2 л- +12 = 0. 2) (^)Ч4-(’^)""'°=20. 2) 10'+-''^ - 10'= 99. 2) 125" + 25" = 0,2-". 2) 27"+ 3-'+''= 82-9". 2) 2 • 9" + 6" = 3 • 4"; 4) 16-'+®-®-20"-5-25" = 0; 6) з2-'+'‘+45-6"-9-22-'+2 = 0. 2) 16"+ 52-'+'=6-20". 192 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции X.IOO. Определить, при каких значениях параметра а имеет решение уравнение: 1) 2’^ = а2_4; 2) (а + 1)-5-’' = а2_1 Х.101. Определить, при каких значениях параметра а имеет ровно два корня уравнение: 1) (25^' — 5) — а^) = 0; 2) (4^-5-2-’^ + 4)(х-а) = 0. Х.102. Определить, при каких значениях параметра а имеет ровно один корень уравнение: 1) 4^-(4 + За) -2-' + 12а = 0; 2) 25^ - (20 + а) • 5^ + 25а - 125 = 0. Х.103. При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) 9^-(И-а)3^ + о = 0; 2) 4^ + а• 2^ - 2а2 = 0. Второй уровень Решить уравнение (X.I04-X.I08). Х.104. 1) = 3-*-®; 2) 25 • = 16 • 3) = 7''-'; 4) 27 • = 125 • 3^ X.I05. 1) 18^-9'+'-2^+2+ 36 = 0; 2) 12^-4’'+2-3^+’+48 = 0. X.I06. 1) 16^ = (6 • 0,8^'+ 7) ■ 52^: 2) 2-(0,5)" (б2^-' + 1)=7-3-'-'. Х.107. 1) (5 + \/24)" + (5-v/Й)" = 10; 2) (\/2 - Vs)"" + (v/2 + = 4. Х.108. 1) з2х^-1 _ 3(>r-i)(.t+5) _2,з8(.(г-1) = 0; 2) 42'^-> - - 3 • 1б2(-^+0 = 0. X.I09. На йти все значения параметра а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение: 1) 25-' + а -5' + а + 3 = 0; 2) 4"^ + а ■ 2'+ 8 - а = 0. Х.ПО. На йти все значения параметра а, при каждом из которых не имеет корней уравнение: 1) 9'^-(6 + 2а) - З'-а-! = 0; 2) 25* + (а + 4) • 5-' + 4а + 1 = 0. §5. Показательные неравенства 193 Х.111. Определить, при каких значениях параметра р имеет ровно один корень уравнение; 1) 3^ + 3"^ = р: 2) 3^+2+ 3-^ = Р- Х.112. При каждом значении параметра а решить уравнение; 1) 4"'-(1+а)-2^ + 4а2 = 0; 2) 36-* — (4 + 2а) • 6-^ + а^ + а = 0. Х.ИЗ. При каждом значении параметра а определить число корней уравнения; 1) + 2 = а; 2) = 1 - а. §5. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Первый уровень Решить неравенство {Х.114-Х.121). 2) 0,1'-^ <0,01; Х.114. 1) 2^-' ^ ‘ 3) < 16: Х.115. 1) лг^+7 > rt^^-3^+2; Х.116. 1) (2УЗ-3)'''"^''< 1; Х.117. 1) 2^ <4"; 3) (|)'^32+^; 16—лг 4) 0,2'+^^ ^ ±. 2) (3-2V2)^^ ^ < 1. (О 4) 4 х±2 X -3 5-f4.c 2—х ^ 25; 16’ Х.118. 1) (0,16)’‘^^ •'•(6.25)^^ 1; 2) 52х-5 > 0,04 • ( 25\2 ч/5/ 3) (!)■' <9'‘-2*-81; 4) 163-2- ‘ • 0,25 < 1 (!)*■" Х.119. 1) 5^+2 ^5х+1 ^6; 2) 3^ + 3^+2 ^ 90 Х.120. 1) 122д:+3 _ 144^+0’5 < 1716; 2) 5'-^- - (0,2)^-' ' < 4,8; 3) 25^+1,5 _ 52.«+2 > 2500; 4) (0,5)- -4д;-8 _ Jg.t-+1,5 > 70g Х.121. 1) дх _ 2Х+0,5 2-^+3,5 _ з2х- 1. 2) 5-''+' + 2 . 3^ ^ З-^+з _ 2.5•^■ -1 7—5682 194 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Решить неравенство (X.122-Х.124). Х.122. 1) 2^+'* - 4-^ < 15; 2) - 25'' ^ 4; 3) 9" + 8 > 3''+2; 4) 4--’'+0’^ - 7 ■ 2~'‘ - 4 < 0. Х.123. 1) 5 ■ 4" + 2 • 25' > 7 • 10'; 2) 2 ■ 4' - 5 • 6' + 3 • 9' < 0. Х.124. I) >4'; 2) 5' + 15 . <0. 4'+1 -4 " * ’ ' 2-5' Х.125. Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любых X выполняется неравенство; 1) а • 3' + а > 1; 2) а - 5“' + а > 2. Х.126. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) (а + 1) • 0,5' ^ а2 - 1; 2) [а^ — 4) • 2' < с 4- 2. Х.127. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) О" - а • 3" - 2q2 >0; 2) 5 • + а ■ 4^~^' —а^^О. Второй уровень Решить неравенство (Х.128-Х.135), Х.128. 1) 2'-2 > 5а;^'-8а-Н2. g) 7'-'‘ > З-^'^+'-зо Х.129. 1) {Ю-\/2У ^73^- 2) (4 + ^7)''<43^. Х.130. 1) 2^+4' ^6; 2) (0,5)2'^^ + 2 > 3 ■ (0,5)^". Х.131. 1) 72^-33-(1,4)"-14-5‘-2'^0; 2) з2^-35-(1.5)'-9-4'-''<0. Х.132. 1) Х.133. 1) 4-7-5^ 52.v+1_i2.5.v + 4 ^ 3' 4х <4; 24 _^^±i+U_<3 ’ 22*+'+ 2' -15 ^ 2) + 4A^_3f ' -- 4'-3-^ Х.134. 1) 9^^ ^ 6 • 9" - 5 • З'^ • 3-'; 2) 25v^' < 4 • 25' - 3 ■ 5^^ • 5". Х.135. 1) {у/5 + 2У+ {V5-2Y <2Vb\ 2) (^3 + \/&У + (^3 - v^)'" > 6. Х.136. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 4-' — а • 2-' — а + 3 ^ 0 имеет хотя бы одно решение. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство а • 9' + 4{а — 1) • З-' + а > 1 справедливо для любого X. §6. Логарифмические уравнения 195 §6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Первый уровень Решить Х.137. Х.138. Х.139. Х.140. Х.141. уравнение (Х.137-Х.145). 1) 3 log3je — loggj: = 5; 3) log|gA: + log4X + log2;c = 7; 1) log,+,2 = 2; I) log;c-3(4'^-15) = 2; 3) 21og,_,(A:-3) = l; •) logo,25(5 log3Ji:-6) = -l; 2) 51og^;c-log5A:= 18; 4) 1,5 log4 ^-0,5 log2A: = 1. 2) log,_,3 = 2. 2) log, (3;t^ - X — 3) = 2; 4) 2 log8_ , (x - 2) = 1. 2) log2 (1 +31og2 a:) = 2. ') logo,7 - 6a: + 2) = logo 7 (7 - 2x); 2) log3 2!;,^'og3(l-^); 3) log5(JC-l) + logo,2 4) >0g3 -logi X x + 1 2a- - 1 0; - = 0. 3a — 4 ° 3 A - 5 X.142. 1) log2(3A:-l) = log2(3-A:) + l; 2) log4(A: + 4) = 2-iog4(A:-2); 3) log5(x - 9) = logo,5 4 - logs (a: - 5) + 3; 4) logi(-«-l) + logi(jc + l)-logj (7-a:) = 1. 2 2 X.143. I) 21g(A: + 0,5)-lg(A:-l) = lg(jc + 2,5) + lg2; 2) ^ log3 + log3 = 3 log27 (a: + 4) - 3 logs 2 X.144. X.145. Решить X.146. X.I47. X.148. X.149. X.150. 5 A+l 1) 2 log2(x + 6) - log2 (a: - 4)'' = 2; 2) 2 logs(A + 3) - 2 = log3 (a - 5)^. 1) log,_, 0,001 + log(_,_|)2100 = 0,5; 2) log2_., 27 - Iog(_,_2)t 9 = 0,625, уравнение (X.I46-X.148), 1) lgA:-(lgx —2) = 3; 2) log2x + 3 log2X-4 = 0. 1) log2X-log2 (4x)-15 = 0; 2) (log4x)^^-20 = 61og4 (16x). 1) log, x = 31og_,^-0,5; 2) 21og4(3x-2)+2log3^_2 4 = 5. 9 При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) (x + 2a)-log5(x + l) = 0; 2) (x-2a) log5(x-a) = 0. При каждом значении параметра а решить уравнение: 1) log3(2x-4) = log3(a-3x); 2) log2(aA'-4) = log2(a-x). 196 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Решить X.I51. Второй уровень уравнение (X.15I-X.170) 1) (log9(7-x) + l)-log3_,3=l; 2) (log4(2A: + 9) + l)-log,,,.2 2-=l. Х.152. 1) log3log2(2x~l) + logi logi ^^ = log3 2; 2.C- JC+ 1 _ 1 X.153. X.154. X.155. X.I56. X.I57. X.158. X.159. X.160. X.161. X.162. X.163. X.164. X.165. 2) log2log3(2x + 3) + logi log, 2;,+3-‘- •) logie (JC^-2A:-3)^-21og,б + л:-2) = 0,5; 2) Ig (x^ + 27) - 0,5 Ig (x^ + 6x + 9) = 3 Ig 1) log2X + log3X + log4X = l; 2) log2X-log3X-log2X-2log3X = 0. •) •og2X^-i0.2=-logi-3^5; 2) 0,5-log3^_8 9 = log^2_3.,3. 1) log2X-log2(x-3) + l = log2 (x^-3x); 2) lg(x -10) ■ lg(x+10) = Ig (x2 -100) -1. 1) log2X + (x-1)log2X==6-2x; 2) (x + l)log3X + 4xlog3X—16 = 0. 1) lg^(x+l) = lg(x + l) lg(x-l) + 21g2(x-l); 2) lg^(4 - x) + lg(4 -x) • Ig (x + 0,5) = 2 lg^(x ч- 0,5). 1) log'^x + 40-yiogfx-48 = 0; 2) У4 log4 X - ■^log2 X - 2 = 0. 1) ((log2^)^ + 3) (3log8X-l) = 2log2^-log2x2; 2) (log3x)^(l+21og9x) = log3 9x-logi log2 + 7) = 5 + log2 X-----------^. log2(x+-j 1) !og^2 1og2^2 = log4 2; 2) log^25 + log,25,.5 = log25^625. 1) log^ (9x2)-log^x = 4; 2) 31og3_,x = 2log9^x2. •) log^+i (jc-0^5) = log,_o_5(x + l); 2) log^_i (x2+x+l) = log^2+^+i (x-1). 1) 21og5_^(x + l) = log5__,(6-2x); §6. Логарифмические уравнения 197 Х.166. X.I67. Х.168. Х.169. 2) 21og^_2(A:-l) = log^_2(5 + x). 1) l + log;t(5-A:) = log7 4-log,7; 2) l + log^(4-x) = log5 3-log^5. -3; 1) log2.v (f-16^) = 2) logsb 2^ _____\ _ , 2J°j;o,25(4--«) ^ j log6(3 + 4 log2(3 + -<) 1) (jc4-5) log4_^ (x^-4) = 2x+10; 2) (1 —4^:) log^^i (х^ + Зл:^) =3—12jc. 1) = 2) log2^.A:+log8y>A: = 0. X.I70. 1) 2x-Jc^ = log2 (x^ + 1)-log2;c; 2) ~+x = log2 (A:^ + A:) + log2 X.171. 1) Найти все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства logo5л:^5=logo5(Jt^-2) яв-тяется решением неравенства 49л:^-4а'^ ^0. 2) Найти все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства log3(21 —х) ^log3 (2х^) является решением неравенства 9а'*—64х^^0. Х.172. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log5X + 4 (l-a^) log25^.5-2 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми 24 больше —. О 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых расстояние между корнями уравнения С 2 logo X + 3 loga_,-2 а + 5 = О меньше Х.173. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет ровно один корень уравнение: 1) log2 (ах) = 2 log2(2x + 1); 2) 2 Ig (х - 2) = Ig ((а — 3)х — а^ — а + 12). 198 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Х.174. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет два различных корня уравнение: 1) log3 (3 + х) = 1о5з(а - л:) + 1о^з(х - 1); 2) logo,5 (1 - + >ogo,5(-1 logs (а(2л: - а - 3) - 4х- 1). Х.175. 1) При каких значениях параметра а все корни уравнения logs (л: — 2) + (6 — 5а) • log3(x - 2) + 4а^ - 9а + 5 = О больше 11? 2) При каких значениях параметра а хотя бы один корень уравнения log^ (х + 3) + (3 - 5а) • log4 (,с + 3) + ба'^ - 7а + + 2 = 0 меньше 13? §7. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Первый уровень Решить Х.176. неравенство (X.I76-X.179). 1) l°go,5 (2'’^ + б) > logons {х + 8); 2) logg (За: - 1) - logg (3 - х) > 0. Х.177. 1) log^(x2-8)>Iog^(7x); 2) logo,5 + 4) ^ logo.r, (7дс - 8). Х.178. 1) logo,5 {^~) > log2 (Зх - 5); 2) logo,36(3-^ + 4) ^ logo,6Jc. Х.179. 1) logo 5 (За: - 4) >-1; 2) 8>logo,5 1 1 X.180. Найти все целые решения неравенства: 2-х' Ьх + 7 1) '°go,25 > 0; 2) logo,5 > о Решить Х.181. Х.182. Х.183. 4а-5 неравенство (Х.181-Х.184). 1) logg АС - logg 7 > -1: 2) logo,5 (ас + 2) > log4 (g) + U 3) 1-logioo 4 < logo,1 (7-ас); 4) logi (ас + 5) ^ loggy 8 - 2. 3 1) \ log2 (ac + 1)^ < - log2'3; 2) 2 logo.g Vx+l < - logo,,^ 5. 1) log2 log i (ac - 1) > 0; 2) log2 logs (j*^ + 2) > 0. § 7. Логарифмические неравенства 199 Х.184. Х.185. 1) Ig.v:'® - Igx® + 1^0; 2) log2 + log2 - A> 0. 1) Известно, что неравенство log^ (jc^ —Зх) >log^ (4x— выполняется для x = 3“. Найти решение этого неравенства. 2) Известно. что неравенство log^ (x^ — х — 2) > > logg (—х^ + 2х + 3) выполняется для х = Най решение этого неравенства. Решить неравенство (X.186-Х.188). X.I86. 1) log^+2(5-x) < 1; 2) log2,_3X ^ 1. Х.187. 1) log,._i 9 I; 2) log^_g2 > log^-g2. ити X.188. 1) log,, 2 log2;;<2; 2) logei + 4>,;ij Решить X.189. X.190. неравенство (X.189-X.191). 1) log2X + 3log2X^2,5 1og4y2l6; 2) log2 X 4- 3 log2 X ^ 5 • log2 v^. 1) Г-- >1: l0R3-« 2) -V <1. log2-<-(- 1 X.191. 1) log, 3-b logg X < 0; 2) log2 x + logj, 2 > 2. X.I92. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) (а - 1) • log5(x + a) < 0; 2) (а-f 2) • logg.sCx - 4а) ^ 0. Х.193. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) log3(x-fa)>log3(4-x); 2) log3 (х-2а) $ log3 (2х-|-1). Второй уровень Х.194. Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству: о >og3 2) log6(4-x)^log^i + |). Решить Х.195. неравенство (X.195-Х.198). 1) 21ogi (x-2)-logi (х2-х-|-2)^1; 2) i-lg(2x-I)>l-lgv/Fl9. X.I96. 1) (x^ —3)•lgx^>x■lgx‘*; 2) х(х-2) logo 5X^^-2 log2X®<0. 200 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функиии Х.197. 1) x-lgx"^-3^[2 ]gx-x: 2) log2 (x^-4jc+4)+2a:>2-(a:+1) logi(2-A:). X.198. 1) logs logi (л:+1)^0; 2) log2 log3 (x+2)<0. X.199. Найти область определения функции: 1) l/=log2>ogi log4(;c-l); 2) i/=logi logs logi (2-д:). 3 2 3 Решить неравенство (X.200-X.207). X.200. 1) logs (log2 (2—log4x) —1)<1; 2) log. (4-logs (1-logo,5x))^-l. X.201. 1) log, 2) log,_, ^-:^>l. 3д:-3 ' ■■ -“ьд^-1 2.,_б X.202. 1) 2+logj,_, I0^1og,_, (6л;2-15); 2) 2 + log2^_,3^1og2^_i (8x2-6). X.203. 1) log^ (log2x)>0; 2) log, (log, \/6-x)>0. В X.204. 1) log2 4 + logj,2-5>0; 2) log^49-3 log, 7-1^0. X.205. 1) 21og3X—log, 27<5; 2) log2X—log, 32<4. X.206. 1) log2 (j;2-8) >1; 2) log2(5-Jc2) 2' X.207. 1) Uslti->lg(x'^)+5; lg3T-2lg2 3: ^ 2) X.208. При каждом значении параметра а решить неравенство: 1) 2 +logs X 2) l±i£^>i. l + logaX' X.209. При каждом отрицательном значении параметра Ь решить неравенство fc-logs x+logs, З+й^О. Х.210. 1) Найти все значения параметра с, при каждом из которых неравенство l-Tlog2 (2х^+2х+3,5) ^log2 (сх^+с) имеет хотя бы одно решение. 2) Найти все значения параметра с, при каждом из которых неравенство, 1+ logs (х^ + 1)^logs (cx^^-4x^-c) справедливо при всех х. §8. Смешанные уравнения и неравенства 201 §8. СМЕШАННЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Первый уровень Решить уравнение (Х.211-Х.217). Х.211. 1) 5l'-^l=25; 2) 9|Зд:-1|=38^-2 Х.212. 1) 5-2^-®=25v^‘+2; 2) 2'/^=(0,5)~-‘. Х.213. I) 2) 9'‘’&^('+2)^yogi(2^^+3.v+2) Х.214. 1) 3-5'"S2-': + io=5'“2^/^^; 2) 22'г’'-'е(б-->:) = 1. Х.215. I) Зд/iog^—log2 8л:+1=0; 2) 33/log3X-log3 3x-l = 0. Х.216. 1) log7(6+7--') = l+A:; 2) jc (2-lg25) = lg(2"^ + 12). X.217, 1) 31og8(A:-2) = log2 \/2x^; 2) logi(jc-3) + log3 \/3x+l=0. 3 Решить показательно-степенные уравнения (X.2I8-X.220). X.2I8. 1) (x^-4)^''~^ = i, 2) {2-xY'-'^ = l. X.219. 1) Jt'g'‘ = 100x; 2) = lg.t+7 3) 0,1л:'е''-2 = 100; 4) x < =10'8^+‘. X.220. 1) jc'°gi^7=7; 2) Решить неравенство (X.221-X.223). X.221. 1) ii'-giai >0; 8 —5x 2) 6-c-ll ^0 ' 2-(-Iog I X 3 X.222. X.223. X.224. 1) (2-5^) (7x2-Юл:-1-3)<0; 2) (3^-2) (5x2+22x-15) >0. 1) Q) •(x-b2)2>(2-fx)2; 2) log2x |x-3|>|3-xl. 1) При каких значениях параметра а уравнение |3'*-|-а|=4 имеет хотя бы один корень? 2) При каких значениях параметра а уравнение |2’^-|-а| = |2а—4| не имеет корней? 202 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Х.225. При каждом значении параметра а определить число корней уравнения: 1) Iog3A' = v/a—х; 2) logo ^{х—\) — \/2х+Аа. Решить Х.226. Х.227. Х.228. Х.229. Х.230. X.23I. Решить Х.232. Х.233. Х.234. Х.235. Х.236. Второй уровень уравнение {Х.226-Х.231). 1) (л-2 'K'^-0,0U')yigx=0; 1) logg (3+\/;й^) = у^^^: 2) log^+20 (2л-\/а-+20) = 0,5. 1) log^(4'-6)-log^5(2-^-2)=2; 2) log2(9"-5) = 2-logo,5(3^-2), 1) loge(3-4^4-2-9^)-x=log6 5; 2) logs (3-2-^+'-2-^-52-'^+>)-x=log5 13. 1) logi2 (4^^+3x—9)=3x-x logi227; 2) lg(2-'+x-l)=x(l-lg5), 1) 3-|log2^(x-l)|=41og4 (3,5-x); 2) 5-|logg^s/F^| = log3^ (3,5-0,75л). неравенство (X.232-X.248). 1) log3(25+2)-logg(2’'-12)>l; 2) log,6(3-^-5)-Iog4 (35+5)^-1. 1) 4-xlog3 (26+3“'). 1) log2(2-'^ + l)-logi (2-’^+'+2)>-2; 2) Iog4(3«-l)-logj(2^)<|. 1) logo (x-3v/x+2)2logo^2(^-0- §8. Смешанные уравнения и неравенства 203 Х.237. 1) |л:|'1ое5(2+Зл:)^А:; 3) |1о5зл:-2|+2л:^л;-1оезд:; 4) < logo,2 ^ 2) \2^-\\+х^х-2=^\ ogs -^l 1 — 5х Х.238. Х.239. 1) |log2 j|>|log2Jcl; 2) log2JC—5 1) bg^5A:-|log2A:|-2<0; 2) lg^JC-4|lgA:|+3>0. X.240. 1) 52-v-io-3v/^=2_4.5.v-5<5i+3v^^. 2) 4i-5.t_(_2A:->A<3.2' ■-'■■-2'A X.241. 1) yiog2A:+>/logj,2^^; 2) \/iog^+2yio^^3. X.242. 1) yiog^(9^c+T8)^log3(A:+2); X.243. X.244. X.245. X.246. X.247. X.248. X.249. 2) \/21og,oox>log,o ^fx. 1) ;l«g5(f-5-")>l; 2) ilogo.,(6,5-310-"K-l. 2) log3 2) llog^9-3|>l. 2) log^2 |3x4-l|<0,5. logQ.2 v'.t + lO ’ \ogo,2(x-2) ' 1) |logH-l|^3; 1) logl2^+l|^^>2; 1) (1x1+0,5)3'^-‘>(|x|+0,5)2-^ 3) |х-3|2-‘"’-^-Ы; 1) |x + l|2"^<|x+l|'“-'; 4) 2) ki 1^ I 2+^ >2+^ <1; 25 2) lx-2|^'^<|x-2|■'~■^ Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет решение уравнение: 1) log3 (\/a+4-x)+log^(x-a-l)=logg4; 2) logs ('v/a+3—x) + logi(x-a—2) = 21og5 2. 5 X.250. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение уравнение; 1) log; (7-*-!og7a) = 2x; 2) logs (25-"-logs а) =х. 204 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ X Х.251. Сравнить: 1) logs6 и logs?; 2) log?8 и loggD. Х.252. Определить число корней уравнения 31'^1-12-|л:|1 = 1. Х.253. Решить уравнение: 1) ;iog7(2x-r3)| = log7(l-|x + l|) + log7(l + |x+l|); 2) llog2 (8.t + 9)|==log2(l-|4x+4|)4-log2(l + |4x+4|). Решить неравенство (Х.254-Х.265). Х.254. \/13'^+3-У|13^-41<1. Х.255. 3^(V9‘-’f-l + l)<3|3'-l|. Х.256. v/0,5-(15'^ + 9)^%/15' + 12-v'0,5-(15'^-9). Х.257. logs^+,(25A:)-2 log25^(6j: + I)>l. X.258. log^+i log2(4-'-48)0. X.262. logRJt ^Ipg2^1-f2x log2(l-f2A:)log2X X-263. (log|^3_0,5| (0,25-x)-1) • logis (0,25-x) >log4 X.264. I |log27-'n-2 -I X.265. log^-log2g^^2. X.266. При каких значениях параметра р имеет решение уравнение 4дс^2"=+Ч7=р-4--"-2-2‘--"? Х.267. При каждом значении параметра а решить неравенство; 1) 2'*^ + (х - 4 - а)2'^’‘ + (5а + X - 5 - ах) ^ 0; 2) 1 - 3^-‘(х 4- 2а + 11) 4- 3'*-'(20а 4- х 4- Ю 4- 2ах) ^ 0. Х.268. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет решение уравнение: 1) logs + \/2-а) 4- logo,2(а - 1 - х) = log2s 9^ 2) logs (х 4- \/5 - а) 4- logi (а — 2 — х) = logg 4. Ответы к главе X 205 Х.269. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение уравнение: 1) Iog4, (1 + ах) = 0,5; 2) logj,., (х - а) = 0,5. Х.270. Найти все значения параметра о, при каждом из которых уравнение logax-6 (4-^ - = 2 имеет единственное решение. Х.271. 1) При каких значениях параметра а каждое решение неравенства log^_,.i (3 — ах) > 0 удовлетворяет также 2 , 2а • неравенству х + 5 >0? 2а 2а 2) При каких значениях параметра а каждое решение неравенства х^ Ч- (3 - 2а^) х - 2a^ + 2 < 0 удовлетворяет также неравенству log|_a^ (х + 2) < 0? Х.272. При каких значениях параметра а любое решение log^ (х^ — Зх + 7) , неравенства log (Зх + 2) ^ будет также решением неравенства х^ + (5 — 2а)х < 10а? Х.273. При каждом значении параметра а решить неравенство log, (1-8-а-") > 2(1-х). Х.274. При каких значениях параметра а на отрезке [16; 32] найдется хотя бы одно значение х, удовлетворяющее неравенству Ig ^3 log, х — log^ х + 4^ > Ig (8 — 2 log, х)? Х.275. При каждом значении параметра а решить неравенство xiog,x+i > ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ X Х.6. 1) [-0,5; 0.5) и (0.5;+оо); 2) (-0,5;v/2l; 3) (3;+оо); 4) (0,5; 1)и и(1;+оо), Х.7. 1) /(13)+/(14)>/(15) + /(1б); 2) /(11)-/(10) 0,5 3; 2) 4 - 3-43 > 1 - 3 • 63. Х.9. 1) Наименьшего значения не существует, 0,25 — наибольшее значение; 2) —2 — наименьшее, —0,25 — наибольшее значение; 3) наименьшего значения не существует, 80 6 —наибольшее значение: 4) 2 — наименьшее, 2-^ — наибольшее значение. о1 X.I0. 1) D{y) = R, Е{у) = R, возрастает на D{y), не ограничена сверху, не ограничена снизу, функция общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 2) D(y) = R, £(i/) = |0;+оо), убывает на (-оо;1], возрастает [1;+оо), ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наименьшее значение 0. X.II. 1) D(i/) = (—c»;-l)U(—1;+ос), £((/) = (0;+эо). 206 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции возрастает на (—ос;—1), убывает на (—1;+оо), ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 2) D(y) = (-ос;2) и (2;+оо), £(у) = (—ос;0) U (0;+оо), возрастает на промежутках (—оо; 2) и (2;+оо), не ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наименьшего и наибольшего значений не имеет. Х.12. 1) £)((/) = (—сю;-4], £(у) = [0;+оо), убывает на D{y), не ограничена сверху, ограничена снизу, функция общего вида, наименьшее значение О, наибольшего значения не имеет; 2) D{y) = R, Е(у) = R, возрастает на R, не ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наименьшего и наибольшего значений не имеет. Х.13. 1) При а = —2 два корня, при а = 3 один корень, при а = 5 корней нет; 2) при а=-4 корней нет, при а = 0 один корень, при а = 2 два корня, при 0 = 3 один корень. Х.14. 1) 2; 2) 2. Х.15. 1) (0,5; 1); 2) (1;3)U(5;+оо). Х.!8. 1) f{x), g{x), h{x), w{x)\ 2) р{х). X.I9. 1) —15 — наименьшее, 7,75 — наибольшее значение; 2) —22 — наименьшее, -1,65 — наибольшее значение. Х.20. 1) —2 — наименьшее, О — наибольшее значение; 2) 64 — наименьшее, 319 — наибольшее значение. X.2I. 1) 1; 2) —1. Х.22. 1) При о =-2 корней нет, при а = О один корень, при о = 2 два корня, при о = 3 один корень; 2) при о = —6 корней нет, при о = —4 один корень, при о = 1 два корня. Х.23. 1) 1 1^' 2) Х.24. 1) (0;1); 2) (1;+оо). Х.25. 1) При о < 1 корней нет, при о = 1 один корень, при о > 1 два корня; 2) при о < О корней нет, при о = О два корня, при О < о ^ 1 четыре корня; при о>1 два корня. Х.26. 1) (-1;+оо); 2) (-9;+оо). Х.28. 1) Функция возрастает на всей числовой оси; 2) функция возрастает на всей числовой оси. Х.29. 1) Выражение положительное; 2) выражение положительное; 3) выражение положительное; 4) выражение отрицательное. Х.ЗО. 1) Четная; 2) общего вида; 3) четная; 4) нечетная; 5) общего вида; 6) четная. Х.31. 1) 1 — наименьшее, 32 — наибольшее значение; 2) -99997 — наименьшее, 2,9 — наибольшее значение; 3) 2,4 — 2 наименьшее» 42 — наибольшее значение; 4) -239 — наименьшее, Зх— о наибольшее значение. Х.32. 1) D(y)=R, £(у) = (-оо;3), возрастает на D(i/), ограничена сверху, не ограничена снизу, функция общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 2) £>(y) = R, £(у) = (—2;+оо), возрастает на 0(у), ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 3) D(y) = R, £(у) = (0;+оо), возрастает на £>((/), ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 4) Z)(i/) = R, £(у) = (—5;+оо), возрастает на D(y), ограничена снизу, не ограничена сверху, функция общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет. Х.ЗЗ. 1) £>(y) = R, £(i/) = ^0;-уI, возрастает на (-оо;0], убывает на (0;+оо), ограничена, четная, у — наибольшее значение, наименьшего значения нет; 2) D(y) = R, £( —4 один корень; 2) при я ^ 3 корней нет, при я > 3 один корень. Х.39. 1) £>(у) —R, £■{(/) = [7;+ОС,). убывает на {-оо;-1], постоянна на [—1;2], возрастает на [2; +оо), ограничена снизу, не ограничена сверху, общего вида, 7 —наименьшее значение, наибольшего значения нет; 2) D{y)=R, £(у) = (—оо; ■—], постоянна на (-ос;—3], возрастает на (—3;0], убывает 15 8 на [0; +оо), ограничена сверху, не ограничена снизу, общего вида, наибольшее значение, наименьшего значения нет. Х.40. 1) D(y) — R, Е{у) — (—ос;3], возрастает на (—оо;4], убывает на [4; I оо), ограничена сверху, не ограничена снизу; 3 — наибольшее значение, наименьшего значения нет, общего вида; 2) D(y) = R, £(у) = (-1;0], возрастает на (—оо;2], убывает на [2; +оо), ограничена, общего вида, О — наибольщее значение, наименьшего значения нет. Х.41. 1) На (—эо;0) функция возрастает; на (0;+ос) функция убывает; 2) на (—оо; I] функция возрастает; на |1;+ос) функция убывает; 3) на (—оо;0] функция убывает; на [0;+оо) функция возрастает; 4) возрастает на R. Х.43. 1) 0,1 — наименьшее, 100 — 3 наибольшее значение; 2) — наименьшее, 6 —наибольшее значение. Izo Х.44. 1) О — наименьшее, 28 — наибольшее значение; 2) О — наименьшее, 3,875 — наибольшее значение. Х.45. 1) Наименьшего значения не существует, 3 —наибольшее значение; 2) наименьшего значения не существует, 2 —наибольшее значение; 3) наименьшего значения не существует. 0,5 — наибольшее значение; 4) наименьшего значения не существует. 1 — наибольшее значение. Х.46. 1) —8 — наименьшее, 17 — наибольшее значение; 2) —1 — наименьшее, 195 — наибольшее значение. Х.47. 2. Х.48. 1) Корней нет; 2) корней нет. Х.49. 1) -2; 2) 1. Х.50. 1) 1; 2) -1. Х.51. 1) 0; 2) 0. Х.52. 1) (-оо;0); 2) [2;+эо). Х.53. 1) [0;4-ос); 2) (-оо;0) U (0:+эо). Х.54. 1. Х.56. 1) (7;9); 2) (0;1); 3) (2;5); 4) (—оо;—7). Х.57. 1) Функция убывает на всей области определения; 2) функция возрастает на всей области определения. Х.58. 1) Функция возрастает на всей области определения; 2) функция убывает на всей области определения; 3) функция убывает на всей области определения; 4) функция возрастает на всей области определения. Х.59. 1) О < а < 1; 2) а < 1. Х.60. 1) log4 15 < logo j 0,24; 2) logo I 0,015 < log|2 146. X.6I. I) logj4; log25 2; logo 2 Ю; Iogo3 3. X.62. 1) Четная; 2) общего вида: 3) четная; 4) нечетная. Х.63. I) 1 — наименьшее, 6 —наибольшее значение; 2) —2 — наименьшее значение, наибольшего значения не существует; 3) 1 — наименьшее, 5 — наибольшее значение; 4) —23 — наименьшее. —11 — наибольшее значение. 208 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Х.64. 1) D{y) = (—3; +схз). £((/) =К, возрастает на не ограничена, общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 2) D(y) = (0; +св), £{(/) = R, возрастает на D{y), не ограничена, общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 3) D(y) = (2-, Уоо), £{(/) = R, убывает на D(y), не ограничена, общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет; 4) /)((/) = (—оо; 2), £((/) = R, возрастает на D(y), не ограничена, общего вида, наибольшего и наименьшего значений не имеет. Х.65. 1) D(y) = Ж, £({/) = (0;+оо), убывает на (—oo;0j, возрастает на [0; 4-сю), ограничена снизу, не ограничена сверху, четная, наибольшего значения нет, наименьшее значение 0; 2) D(y) = (2; +С»), Е(у) = [0; +оо), убывает на (2;2,5], возрастает на [2,5;+оо), ограничена снизу, не ограничена сверху, общего вида, наибольшего значения нет, наименьшее значение 0; 3) £>(у) = (—оо;-3)и(—3;+схэ), Е(у)—Ж, убывает на (—оо;—3), возрастает на (—3;+с»), не ограничена, общего вида, наибольшего и наименьшего значения не имеет; 4) D{y) = [—oo\2), £((/) = [0;+оо), убывает на (—oo;lj, возрастает на [1;2), ограничена снизу, не ограничена све|)ху, общего вида, наибольшего значения нет, наименьшее значение 0. Х.66. I) 2; 2) 2; 8; 3) 3; 4) 3. Х.67. 1) 0; 2) 5 Х.68. 1) (1;9); 2) (0;2). Х.69. I) При а =-3 корней нет, при а = 0 один корень, при а = 2 и а = 5 два корня; 2) при а = —6 корней нет, при а = -4 один корень, при а = 0 и а= \ два корня. Х.70. 1) Функция возрастает на всей области определения; 2) функция возрастает на всей области определения. Х.71. 1) Функция убывает на (—оо;2), возрастает на (2;+оо); 2) функция возрастает на (-оо; 0], убывает на [0; +оо). Х.72. 1) Положительное; 2) отрицательное; 3) положительное; 4) положительное. Х.74. 1) D{y) = R, Е{у) = [log2 6;+oo), убывает на (—оо;—3], постоянна на [—3;3], возрастает на [3;+оо), ограничена снизу, не ограничена сверху, четная, наибольшего значения нет, log26 — наименьшее значение; 2) 0{у) = Ж, £({/) = (—оо;0), возрастает на (—оо; —2], убывает на [—2;+оо), ограничена сверху, не ограничена снизу, общего вида, наименьшего значения нет, 0—наибольшее значение. Х.75. 1) Функция убывает на (—оо;—3), возрастает на (3;+оо); 2 — наименьшее, 3 —наибольшее значение; 2) функция возрастает на (“5^;—2|J и ^0;2^|, убывает на 2|;0^ и [2^15^)'. о — наименьшее, 1,5 — наибольшее значение. Х.76. 1) 2 — наименьшее значение, наибольшего значения не существует; 2) наименьшего значения не существует, —1 — наибольшее значение;' 3) —5 — наименьшее значение, наибольшего значения не существует; 4) наименьшего значения не существует, —7 — наибольшее значение. Х.77. 1) 2 — наибольшее, 0 — наименьшее значение; 2) —6 — наибольшее, —10 — наименьшее значение. Х.78. 1) i/ = 7 + log2(2x+3); 2) 1/= log, (5х - 39). Х.79. I) 4; 2)2. Х.80. 1) 25; 2) 2. Х.81. 1) (-оо;0); 2) (0;+оо). Х.82. I) log2 5 + 3; 2) корней нет. Х.83. 1) -2; 2) -0,25; 3) -8; 4; 4) 3; 6. Х.84. 1) 1; 2) -2. Х.85. I) 3; 2) 3) 4) 0.5. Х.86. 1) 1; 2) 2; 3) |; 4) 4. 2) 2. Х.88. I) 3; 2) З;" 3) 1; 4) 1,5. Х.89. 1) logo 4 3; Х.87. 1) 1; 2) logs 6. Х.90. 1) 2; 7 2) 1; 2) 3; 3) 1; 4) 1,5. 3) -2; 4) 0. Х.9!. 1) 0; 2) 1; 2; 3) 1; Ответы к главе X 209 4) 2. Х.92. 1) 3; 2) logo,4 4. *.93. I) 8; 2) 14; 3) 4) 3; logg 8. Х.94. 1) 6; 2) 10. Х.95. 1) 3; 2) ±1. Х.96. 1) logj (1 + \/5) - 1 2) log,r,2) 0=4. Х.98. 1) 0; 2) 0; 3) 1; 4) -1; 5) -1 6) -2. Х.99. 1) 0; logojsll; 2) 0; logons. X.IOO. 1) {-сю;-2)U(2;+oc) 2) {-1} U (1;+сю). X.ioi. 1) a = ±0,5 иа = 0; 2)а = 0иа = 2. X.102. 1) (-сю;0] и |l|}; 2) (-ос;5] U {30}. Х.ЮЗ. 1) При я ^ 0 и я = 1 а: = о, при я € (0; 1) U (1; +оо) .« = 0 и л = Iog3 я; 2) при я < О X = log2(—2я), при я = О корней нет; при я > О х = log2Я. X.I04. 1) 3; log20,75; 2) 1; 2-log4 25; 3) I; log363; 4) 3; log53-l. X.I05. 1) log3 2, log2 9; 2) log4 3, logj 16. X.I06. 1) logo,g 7; 2) O-l- X.107. 1) ±2; 2) ±2. X.108. 1) 1; 3; 2) -1; 3. X.109. 1)’a e (-oc;-2]; 2) я € (-oc; -8] U (8; +oo). X.IIO. 1) я 6 (-oc; -2); 2) я € (-0,25; ±oo). X.lll. 1) 2; 2) 6. X.1I2. 1) При я e oo;U Q;+oo^ корней нет, при я = О л = О, при 1 1 2 при а — —ц ,< = log2 5’ при я = i л: = log2 ^ 3’ я€ (~g;0ju^0; -<:i,2 = log2 * + За)(1+5а). при я = 0 ,\c = log6 4; при я = — 1 а: = logo2; при “ = -'^ = 1о&б|. при я€^—ос;—корней нет, при я 6 —1^ и (0;+оо) .1:1,2 = logo (2 ± я ± \/ЗаТ^), прияб{ —1;0) ^1,2 = logo (2 + я ± \/Зя ± 4). Х.113. 1) Если я € (-ос; 2) U (4;+оо), то корней нет; если 2 < я < 4, то два корпя; если я = 4, то один корень; 2) если я€(—эо;—I), то два корня; если я = —1, то один корень; если яе(-1;±оо), то корней нет. Х.114. 1) 2) (-00;-1); 3) (2;5) 4) |-1;1]. X.I15. 1) (-1;5); 2)(-8;4). Х.116. 1) (-оо;0) U (2;+оо) 2) (0;3). Х.117. 1) (-оо;-4) U (0;4); 2) [|;3); 3) (-оо;0) 4) (-оо;-4,5]и(2;+оо). Х.118. 1) (-оо;-1|; 2) (0,75; ±ос); 3) (-ос; 9) 4) (-оо;8|. Х.119. I) (-1;+оо); 2) [2;±оо). X.I20. 1) (-оо;0) 2) (0;±ос); 3) (1;+оо); 4) (0,5;+оо). X.12I. 1) (^;+оо); 2) (3;+оо) X.I22. I) (-oo;0)U(log2l5;±oo); 2) (0; logo 4]; 3) (-00; 0) U (logo 8;+00) 4) (-2; ±00). X.123. 1) (-oc;0)U(l;+oo); 2) (-1,0). X.I24. 1) (0;0,5) 2) (logo 2; 1). X.125. 1) я ^ 1; 2) я ^ 2. X.126. 1) При я <-1 решений нет, при —1 ^ я ^ I неравенство выполняется при любом значении X, при я > 1 л € (-oo;logo о (п - 1)]; 2) при я ^ -2 решений нет, при —2 < я ^ 2 неравенство выполняется при любом значении х, при я > 2 X € {-оо; — log2 (я — 2)). Х.127. 1) При я < О х е (log3(-fi); +00), при я = О неравенство выполняется при любом значении х, при я > О X €. (log3(2fl);+оо); 2) при я < О .т € (—оо;log4(—я)|, при я = О неравенство не имеет решений, при я > О .< € ^-oc;log4|j. Х.128. I) (2;logo2 + 6); 2) (log37-6;5). Х.129. I) (0;±оо); 2) (-оо;0). X.I30. 1) (-оо;0)и(1;±оо); 2) (0;±оо). X.I3I. 1) (-оо;1]; 2) (-оо;2). 210 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Х.132. 1) (logj 0,4; logg 0,8] и (logr, 2;+ос); 2) (—с»; log2 2,5) U [logj З,,^;+оо). X.I33. 1) (-'х>;0)и(1;+ос): 2) (0; logo,75 0.25). X.I34. 1) [l;+oc)U{0}; 2) [l;+oc)U{0}. Х.135. 1) (-1;1); 2) (-оо;-3)и(3;+эо). Х.!36. 1) а^2; 2) а>1. Х.137. I) 9; 2) 25; 3) 16; 4) 1. Х.138. 1) -1 + V2; 2) I + v/З. X.I39. 1) 6; 2) 1.5; 3) 5; 4) 4. Х.140. 1) 9; 2) 2. X.I41. 1) -1; 2) -1; 3) 4) 8. X.I42. 1) 1,4; 2) 4; 3) 10; 4) 3. Х.143. I) 1.5; 2) 2. X.I44. I) |; 14; 2) 9; 3. Х.145. 1) 1.0001; 2) -79. X.I46. 1) 0,1; 1000; 2) 2; 0.5. Х.147. 1) 3*2; 8; 2) 16; 256. Х.148. 1) 81; 2) 6; 3’ Х.149. 1) При а < 0,5 .с = 0 и х =—2а (при а = 0 корни совпадают); при а ^ 0,5 X = 0; 2) при а ^ 0 .х = о + 1; при а > 0 х = о + 1 и х = 2о (при а = I корни совпадают). Х.150. 1) При я ^6 корней нет, при а>6 х—-~~: О 2) при а 6 (-оо;-2] и [-1;2] корней нет; при а 6 (-2;-l)U(2;+oo) Х.151. 1) -9; 2) 8. X.I52. 1) 2 + v/2; 2) V2. Х.153. 1) -2 - \/5 у^; 2) 1; 2. X.I54. 1) 2'“‘’'"in‘-'; 2) 1; 0,75. Х.155. 1) -2 Х.156. I) 5; 2) 20. Х.157. 1) 2; 0.25; 2) 3; 81 ■ 2) 4 Х.158. 1) V2: 3; 2) 0 1,5+v/6. X.I59. 1) 3; 2) 256; 0,5. X.160. 1) 2; 8; 2) 9; X.16I. 1;7 X.I64. I) 1 2) 3 X.170. 1) 1 1. X.171. 1) При a ^ -V7 и a ^ \/7; 2) при a ^ ^ X.172. I) (-oo;-l)U(-l;-0,5)U(0,5;l)U(l:+oc); 2) (|; 1) U(l; |)U(|;+oo) X.162. 1) 2; 0,25; 2) 5+2V/5 X.163. 1) i. 3; 2) 1; 9. 2) X.165. 1) 1; 2) 4. X.166. 1) 4; 2) 3. X.I67. 1) X.I68. 1) 2,5; -5; 2) 1. 1 4’ 3' X.169. 1) 1; 0.8; 2) 1; -U. 2v^ 2) X.173. 1) a < 0, a = 8; 5- 2) ae(- oc; — 2) -2 < a < 3 -5 + У37 )u(z-=+^,l). X. X.I74. 1) a 6 (6;+00) X.175. 1) (3;+oo); 2) (-00; 1,5) 2 ) \ 2 X.I76. 1) (-3;2|; 2) (1;3). X.177. 1) [8;+00); 2) (?;3] U(4;+oo) X.178. 1) (|;2); 2) [4;+00). X.179. 1) (|;2); 2) (1;257| X.I80. 1) -2; 2) 0;1. X.181. 1) [gi+oo); 2) (-2;-0.5); 3) [6,8;7) 4) (-5;-0.5]. 2) (-1;1). X.184. 1) X.182. 1) (-1;-|): 2) (-0,8;+00). X.183. 1) (+; ' ;0 и 0;^ Ш ) V ^ 2) (-oc;-v/2) U + 00^ X.185. 1) (3,5:4); 2)(2;2,5). X.186. 1) (-2;-1) U (1,5;5); 2)(2;3| X.187. 1) (1;2) U |10;+oc); 2) (9; 10). X.188. 1) (0; 1) U (l;2j; 2) (0;1) U (1:36]. X.I89. 1) [1;2]; 2) [1;2]. X.190. 1) (1;9]; Ответы к главе X 211 2) (0;0,5)и[1;+оо). Х.191. 1) (0; 1); 2) (1; 2) U (2;+оо). Х.192. 1) При а < 1 X е (1 - а; +оо), при а = 1 решений нет, при а > 1 х 6 (-а; 1 - а); 2) при а < -2 X 6 (4а;4а + 1). при а = —2 х 6 (-8; +оо), при а > —2 х € [1 + 4а; +--х>). Х.193. 1) При а ^ —4 решений нет, при а > —4 х g (2 - 0,5а; 4); 2) при а < —0,25 X € [-2а — 1; +оо), при а ^ -0,25 х 6 (2а; -t-oo). Х.194. 1) 2 2) -1. Х.195. 1) (2;6); 2) (13;+сх>), Х.196. 1) (-оо;0) U (0; 1] U [3;+ос) 2) (-ос;-2) и [-1;0) U (0; 1] U |4;+оо), Х.197. 1) (О; и [3; +оо) 2) (-оо;-2)и(1;2), Х.198. 1) 2) (-1,4;-1), Х.199. 1) (2;5) 2) (l|;2). Х.200. 1) 2) (0,5; 16]. Х.201. 1) (0,25; 1) U (2,5;3) 2) (1,5;2) и (3;4), Х.202. 1) (У2,5;2) U {2,5}; 2) U {|}. 4 \ Х.203. 1) (2;+<х>); 2) (2;5), Х.204. 1) 2'5; 1 J и(1; 2|; 2) [? ^l)u(l;7]. Х.205. I) (0;;^^)и(1;27); 2) (0;0,5) U (1;32). Х.206. 1) (-4;-3) U (3: 4); 2) [-\/5;-2)и[-1;1]и(2;У5]. Х.207. 1) (О; ~j и (l; х/ю); 2) (0;0,25)U 2“'’^;2j, Х.208. 1) При 0 < а < 1 х € ^а“*; при а > 1 х 6 и при а ^ о и а = 1 решений нет; 2) при О < а < 1 х е (0;а) U (1; -) _j_ ГТт / ,. Н при а>1 X 6 (^; 1) и (а;+:»). Х.209. (0;3 V и I Х.210. 1) О < с ^ 8; 2) 2 < с ^ 3, Х.211. 1) 3; -1; 2) Х,212. 1) -9; 2) 4. Х.213. 1) 3; 2) -1;2. Х.214. 1) 2; 2) 2 Х.215. 1) 2; 16; 2) 3; 81. Х.216. 1) 0; 2) 2. Х.217, 1) 5 2) 8. X.2I8. 1) ±\/5; 2) I; -2. Х.219. 1) 100: 0,1; 2) 100 0,1; 3) 1000; 0,1; 4) 10; 0,0001. Х.220. I) 7; 2) 6, ^ О Х.221. 1) (0,25;1,6); 2) (О; 11] и (9;+оо). Х.222. 1) logg 2^ U (1;+ос) 2) (-5;0,6)и(1оез2;+оо). Х.223. 1) (-ос;-2)U(-2;0); 2) (2;3)U(3;+ос) Х.224. 1) (—оо;4); 2) Х.225. 1) Если а < 1, то корней нет; если а ^ 1, то корень один; 2) если а < — 1, то корней нет; если а ^ —1, то корень один. Х.226. 1) 1; 100; 2) 7; 14 Х.227. 1) 6; 2) 5. Х.228. 1) 2; 2) 1. Х.229. 1) 0; 1; 2) -1 Х.230. 1) 3; 2) 1. Х.231. 1) 1.5; 2,25; 2) |; ^. Х.232. 1) (log2l2;4) 2) (log3 5;2j. Х.233, 1) (1;+эо); 2) (0;+оо). 2) (0;1] и |2;+оо). Х.235. 1) |0;1) U (4; 16); 4 ^-Г Х.234. 1) (-ос;0) 2) Х.236. 1) 9' 2) (1,04;+оо). Х.237. 1) U [0; 1] 212 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 2) 3) (9;+оо): 4) (0,2; 1). Х.238. I) (0;2); 2) (0;8] Х.239. 1) (|;4); 2) (0;0.001) и (0,1; 10) и (1000;+оо). Х.240. 1) [2; 18); 2) [0;0,25). X.24i. I) (l; U [8;+оо); 2) (1;2) U (16;+оо) Х.242. 1) [7;+оо); 2) (I; 10000). Х.243. 1) (logs 0,3; - logs 3) U (0; log^ 3); 2) (lg]|;lg5] и (0;lg6], X.244. 1) (2;3) U (6;+oo); 2) [-3;2) X.245. I) (0;0,5] U [\/2;+oo); 2) (0;1) U (l; \/3] U |3;+oc) X.246. 1) [—3-;0); 2) (-I;-0,5)U(-0,25;0)U(0;1), X.247. 1) |-05;0,5]U U[0,75;+oo); 2) (l;2); 3) (-oc;0)U(2;3,5)U(4;+oo); 4) (-oo;-9]u[-5;-3]U U[5;+oo). X.248. 1) l-3;-2) U (3-2v/5;-l) U (-1;0); 2) (1;2) U (2;3) U .4. ’ 2 2) -3;-' v/5-3 U (5 + 2v^;+oo). X.249. 1) X.250. 1) a = <У7. 0 < a < I; 2) a = a ^ 1. v5 < logs 6; 2) logg9 < logy 8. X.252. 4. 2) -1. X.254. (^-oo;log,3iJ:^) U (l;+oo). X.256. [21og,s3;l]. X.257. (±; ±) U (i;i). X.259. (0;|)u(l;|). X.260. (4;5)U(6;7). X.261. (--J;-|)u(-?;0)u U (0;+oo). X.262. (0;0,5] U (l;+oo). X.263. (-2;-1,5) U (-0,I25;0). X.251. I) logs7 < X.253. 1) -1; X.255. (logs2,4; 1). X.258. (log,, 48; 3]. X.264. (i;l) U [3;9) U (9;+00). X.265. (^;0,5], X.266. p ^ 17. X.267. 1) При a 6 (—oo;l]x € (-00; 1|, при a 6 (1;5) x 6 [log4(o — 1),1], при a = 5 X = 1. при a € (5;+oo)x 6 [1; log4(o — 1)); 2) при ae(—oo;—0,5) xG(-oo;-l], при a G (-0,5; 4) x G (—00; -1] U [-logg (1 + 2a);+00), при a = 4 xG(-oc;+oo), при a G (4;+oo) x G (-00; - logg (1 + 2a)] U |-1;+00). X.269. 1) a < 0, a = 1; X.268. I) (^-=2^;2j; 2) 2 ’ J’ 2 2) a > 1, a = 0,75. X.270. (6; 14) u"(14;+oo). X.271. 1) [-2,5;0); 2) (®> ~ • X.272. [2,5;+00). X.273. При a ^ 1 решений нет, при a > 1 X G [2-log2 (\/16 + а2-2) ;+oo). X.274. (2;32). X.275. При 0 < a < 1 X G при a > 1 x G ^0; a~'^^ U ^a'^; +00^. Глава XI ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ хм. 1) 2) 3) 4) XI.2. 1) 2) 3) 4) Построить XI.6) XI.3. 1) XI.4. 1) XI.5. 1) XI.6. 1) §1. ФУНКЦИИ СИНУС и КОСИНУС Первый уровень Построить график функции у = sin л: на отрезке [-2п\ 2тг]. Указать промежутки знакопостоянства функции y = s\nx на отрезке [-2ге;2л:]. Указать промежутки монотонности функции у = sin л: на отрезке [-2гс;2тг]. Найти корни уравнений sinA: = -2, sinx = —1, /15 \/я sinA: = —sinx = -0,5, sinj: = 0, sinjr = 0,5, sinj: = -^, sinA: = l, sin л: = 2 на отрезке [-2л:; 2л:]. Построить график функции у = cosx на отрезке [-2тг; 2 л]. Указать промежутки знакопостоянства функции y = cosx на отрезке [-2л;2л]. Указать промежутки монотонности функции y = cosx на отрезке [—2л; 2л]. Найти корни уравнений cosa: = -2, cosjc = —1, cosx = -^, cosx = —0.5, cosx = 0, cosx = 0,5, cosx=^, cosx = l, cos л: = 2 на отрезке [-2 л; 2 л]. график и указать основные свойства функции (XI.3- f{x) = 2 cos л:; f{x) = sin 2л:; f{x) = ]sin х]; f{x) = sin^ л:; 2) /(л:) = cos 0,5л:. 2) f{x) = — sin л:. 2) /(лг) = ]cos,t|. 2) /(л:) = cos^x. 214 Глава XI. Тригонометрические функции XI.7. Найти область определения и множество значений функции: V^(cosT^ny(coi^t+T); 2) f{x) = \/2 sin л: cos х - 1. XI.8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции и указать значения х, при которых они достигаются; 1) y = -3sin5x + 2: 2) у —4-3 cos 0,5х. XI.9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции и указать значения х, при которых они достигаются: 1) (/=^3-5 |sinx|; 2) у = 3 |cosx| -1. Найти множество значений функции (XI.10-XI.13). XI.10. 1) /(х)—cos2A:-\/3sin2x; 2) /(x) = -cos5x-sin5.\:. XI.И. 1) /(х)—5+4 cosx-sin^х; 2) /(х) = 10 —9cos^x—6sinx. XI.12. 1) /(х)=3—2sinx-2cos^x; 2) /(x)=2cosx+cos2x. XI.13. 1) /(x)=2cosx-sin^x; 2) /(x)=2cos2x—8sinx-5. Исследовать на четность и нечетность функцию (XI.14-XI.17). XI.14. 1)/(x) = cosx+sinx; 2) /(х) = —cos2x sin6х. 3) /(x)=(cosx+sinx)^ —1; 4) /(x)=cosx-sin3x sin5х-2. XI.15. 1) /(х) = 3) /(х)= 2sin.<-l' 1 2) f{x) = -^-, ' ' sin.t 4) f{x) = — . 2 cos .c — I ’ XI.16. 1) /(x)=\/cosx; 2) /(x) = \/sinx. XI.17. 1) /(x)=sin (2cosx); 2)/(x)=5cos(sinx). XI.18. 1) Доказать, что число 2л является периодом функции /(x) = sinx+cos7x. Указать несколько других периодов этой функции. 2) Доказать, что число к является периодом функции /(х) = cos4x + sin2x. Указать несколько других периодов этой функции. XI.19. Установить, является ли периодической функция: 1) /(x) = cos(yx); 2) /(x) = sin^. XI.20. Найти один из периодов ..функции: 1) /(x) = sin I+COS 2) /(x) = sin5x + cos 10х. Глава XI. Тригонометрические функции 215 XI.21. Найти один из периодов функции: 5х 1) /(jc) = 4cos2 ^ + sin у; 2) /(j:) = 6sin2 ^ + sin у XI.22. Найти нули и указать промежутки знакопостоянстпа функции: 1) /(л:) —sin 2л:; 2) f(x) = c.os + 3) /(,<) = sin + 4) /(a:) = 1-cos3a;. XI.23. Найти нули и указать промежутки знакопостоянстпа функции: 1) /(л:) = \/За1пл:-созл:; 2) /(л:) = —созл: —\/3sinx. XI.24. Построить график функции: 1) z/=(x/cosx)‘’ + (\/s!nx)''; 2) у— (у/- cosх)'^ + (\/sin а) XI.25. 1) Найти все значения х из промежутка [д;2гт], удовле- 2lcosx| творяющие уравнению 2лс—П = - 2) Найти все значения х из промежутка творяющие уравнению -*^^~6л:+9=|— XI.26. Указать промежутки монотонности функции: 1) f{x)=cos(^x + ~y. 2) /(x)=sin (2х-|). Построить график функции (XI.27-XI.30). XI.27. 1) (/=2sin 2) y—l-cos(^x+y^. XI.28. 1) i/=sin ^2х + ^у, 2) i/=cos ^0,5л;-|У XI.29. 1) j/=-4cos^^; 2) y=(sinл:+созл:)^; 2’ Т удовле- 0 4 0*2 3) г/=351п‘у; 4) j/=l-sin g-cos у XI.30. 1) //=sin Ia:); 2) i/=cos |x —д|. XI.31. Изобразить на плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: 1) со5л:<у<Зсозл:; 2) sinA:<(/^2sinA:. 216 Глава XI. Тригонометрические функиии Второй уровень Найти область определения и множество значений функции (XI.32-XI.35). XI.32. I) /(л:) = (51пл:+со5х)2-.'"^°^^'' 2 sin 2х — cosx: 2) /(^) = COSX , l+sinx H-sinx COSJC XI.33. 1) /(^:)=cos^ ^ + cos2 За:; 2) /(л:):=sin^ ^ + \/- sin^ 3j:. XI.34. 1) /(x)-Vl-2cosjc; 2) /(A:) = v/-l-2sinA:. XI.35. 1) /(x) = log3 (l+2sin jc); 2) f{x) = \g sin ^ . Найти множество значений функции (XI.36-XI.39). XI.36. 1) /(л:)=со5(Зл:+^)+соз(Зл:+^); 2) /(x) = sin -sin + XI.37. 1) /(л:)=sin'* 2л:+cos'* 2л:; 2) /(л:)=sin® x+cos® л:. XI.38. I) /(х) = 2sin х + 1, 2) /(х) _ COSX+2 sinx + 2 ’ ' 2cosx + r XI.39. 1) /(x)=8sin^ 4x+5sin8x; 2) /(x)=6cos^ 2x+6sin 4x-5. XI.40. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: 1) /w=- 2) f{x) = - 4sin^x + 3sinA: + 2’ 4 —3sin^ х —cosx XI.41. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: О /(x:)=sin®x+cos®x; 2) /(x)=sin^ x+sin^ x+cos‘* х. Доказать, что функция периодическая, и найти ее основной период (XI.42-XI.45) XI.42. I) /(x)=sini±^; 2) /(x)=cos^. XI.43. 1) /(х)=2sin^x+cos2x; 2) /(x)=sin‘*x^-sin^x•cos^x^-cos^x. XI.44. 1) /(х)=2 |sin 6х|; 2) /(x) = |sin 4х|; cos 3) /(x) = lcos0,25x|; 4) /(x) = XI.45. 1) /(x)=sin 2x —|cosx|; ,2) /(x)=cos^2x-|sin 2x|. XI.46. Построить график функции; 1) У = cosx . |cosx( ’ 2) у- Глава XI. Тригонометрические функции 217 Найти промежутки монотонности функции (XI.47-XI.49). XI.47. 1) f{x)=3-4cos‘^2x\ 2) /(x)=(sin 3a:+cos3a:)^. XI.48. 1) /(A:)=-v/3sinx-cosx; 2) /(A:)=sin ^2x+|^+cos (^2x-^'j. XI.49. I) /(x) = 2 |cosa:|-cosx; 2) /(jr) = |sinx|-cosx. XI.50. Построить график функции: 1) y=l,5sin ^2.\:-|^; 2) y:=2-cos XI.51. Построить график функции: 1) i/=cos(^7Vc-^y. 2) //=cos ^7г1х|-|); 3) ^=|cos(rtx-|)|; 4) y=cos(|n:x-||). XI.52. 1) Построить график функции y=sin 1л:|-|sinл:|. Определить. сколько корней имеет уравнение sin |л:| —|sinx|=a Зл на отрезке 4л , если а=—3;-2; —0,5; 0; 1. 2) Построить график функции y=cos |—A:|-|-jsin Определить, сколько корней имеет уравнение cos|-xl-f-|sin на отрезке [-л;2,5л] в зави- симости от значения параметра а. XI.53. Изобразить на плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) у (y-cosx)^O; 2) у (y+sinx)^0. XI.54. Изобразить на плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) |i/-|-2|^sinx; 2) |^-31< —cosx. XI.55. Изобразить на плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: 1) sinx^^^cosx; 2) cosx^z/5. §2. ФУНКЦИИ ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС Первый уровень XI.61. 1) Построить график функции y=tgx на отрезке \—2щ2к\. 2) Указать промежутки знакопостоянства функции на отрезке [-2щ2п]. 3) Указать промежутки монотонности функции y—tgx на отрезке [-2д;2д]. 4) Найти корни уравнений tgA:=-l, tgA'=0, tgA= v/3’ tgx=\/3 на отрезке [-2д;2д]. XI.62. 1) Построить график функции y=ctgx на отрезке (-2д;2д!. 2) Указать промежутки знакопостоянства функции y=ctgjc на отрезке [—2к\2к]. 3) Указать промежутки монотонности функции y=c\gx на отрезке [-2к\2к]. 4) Найти корни уравнений ctgA=-\/3, ctgA= —1, ctgA=0, dgx = ;^ на отрезке [-2к;2к]. XI.63. Построить график и указать основные свойства функции: 1) f(x)=2tgx: 2) /(A:>=tgO,5x; 3) fix) = -cigx\ 4) /(x)=ctg2x. §2. Функции тангенс и котангенс 219 XI.64. Построить график и указать основные свойства функции: О f{x)==\^gx\; 2) /(x)=lctg;c|. XI.65. 1) Найти наибольшее отрицательное число, не входящее в область определения функции f{x) = tg3nx. 2) Найти наименьшее положительное число, не входящее в область определения функции /(j:)=ctg (0,5л:л:). XI.66. Найти область определения и множество значений функции: 1) f{x) = igx-c\gx\ 2) f{x) = -^^^-ctg2x. XI.67. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке: 1) /(^) = tg .'’^'^ 2) /(x)=ctg(jc4-?^), 4 ' I ■’ J- V'" ' 4 / * L 2’ 12J XI.68. Найти область определения и множество значений функции: О /(л:) —|ctgx|-sin2A:; 2) /(x) = ltgxj-(l+cos2x). XI.69. Исследовать на четность и нечетность функцию: 1) /(Ji:)=ctg 2) /(x)=tg2x+cos6л:. XI.70. Исследовать на четность и нечетность функцию: 1) /(л:)=ctgЗл:■>/cosл:+2•siпл:■, 2) /(л:)=tgл:-ctgл:; 3) /(x) = tg5x+sin4x; 4) /(;c)=tg -ctg (х-у). XI.71. Указать один из периодов функции: 1) /{x)=ctg3x+tg5x; 2) /(x)=cos ^-tgg. XI.72. Найти нули и указать промежутки знакопостоянства функции: 1) /(x)=ctgx-tgx; 2) /(x) = -2ctg(x-|). XI.73. Указать промежутки монотонности функции: *) /W = tg3x; 2) /(x)=ctg(2x+j). 220 Глава XI. Тригонометрические функции Второй уровень XI.74. Найти область определения и множество значений функции; 1) /(A^) = (tgA:-dgx)-sin2л:; 2) /(A:) = tgA: + ctgA;. XI.75. Доказать, что функция периодическая, и найти ее основной период: 1) /(x)=8siп^л:•cos^.v:-Иgл:; 2) /(A:)=3tg2A:+ctg3A:+cos5x. XI.76. Доказать, что функция периодическая, и найти ее основной период: О f{x) = \^gx\-, 2) Ял) = lctg2л:|. XI.77, Построить график функции; 2) у- |ctgx| ctg.v XI.78. Построить график функции: 1) z/ = sin^ ■v/tgл:^-cos^ \/tgA:; 2) i/=-sin^ i/ctg^-cos^ x/ct^. XI.79. Найти промежутки монотонности функции: 1) /(x)=ctg2A:; 2) /(x)=tg2 XI.80. Построить график функции: 1) i/=-2tg(|-2x); 2) i/=l + ctg(|-bf). XI.81. Построить график функции: (и-:) sin(|x| + |) cos 1) У= V.. ^ 2) у^. sin л cos л XI.82. Определить, а на отрезке 1) Построить график функции y=\g сколько корней имеет уравнение tg [-2д;2д], если а = -0,5; 0; 0,5; 1. 2) Построить график функции y=ctg ^2 |л:| —Определить, сколько корней имеет уравнение ctg ^2|л:| — на отрезке [-2д;2д], если а =—2; —\/3;-1; 1. §3. Обратные тригонометрические функции 221 XI.83. Изобразить на плоскости Оху множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: 1) ctgAT^y^tgx; 2) tgx^y^cigx. XI.84. Определить графически число решений уравнения: 1) tg- -2-\^х+1; 2) |ctgrex:|=3->/2-|д:| XI.85. Решить неравенство: О tg y-fctg —^2\/2jc-x:2; 2) tg §3. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Первый уровень Построить график и указать основные свойства функции (XI.86- XI.88). XI.86. 1) /(jc)=arcsin2x; 2) /(x:)=arcsin(^:-b3); 3) /(A:)=arccos0,5x; 4) /(jc) = arccos(A:-2). XI.87. 1) /(A:)=arctg(^); 2) /(x) = arcctg4x. XI.88. 1) /(x) = Iarcsinx|; 2) /(x) = |arccosx:|; 3) /(x)=arcsin |jc|; 4) /(x)=arccos |x|. XI.89. Найти область определения функции: 1) /(х)=агссо5(4-д:) \/л:2-Зл:-4; 2) arcsin(l4-2x) XI.90. Найти область определения и множество значений функции: 1) /(х)=2arccos(2—5х): 2) /(x)=3—arcsin(3-b2;c). XI.91. Найти область определения и множество значений функции: 1) /(x) = arcsin(2-2A:)-f-arccos(2-2jt:)-|-arccosx; 2) /(A:)=arcsin(4A:-l-3)-barccos(4x:-|-3)4-4arcsinх. XI.92. Указать значения, которые может принимать выражение: 1) arcsin (2л:^-1-1); 2) arccos (-Зх'* —1); 3) arcsin (-5л:'' — 1); 4) arccos (5jc'*-|-1). 222 Глава XI. Тригонометрические функции XI.93. Построить график функции и указать ее область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения; 1) у=2arccos (х—3): 2) i/=arcsin |4-i-2;c|. Второй уровень XI.94. Найти область определения и множество значений функции: 1) /(jc)=arcsin^ 3x-f arcsin 3j:; 2) /(л:) = агссо5^(.с —1)-|-2агс51п(д:— 1). XI.95. Найти область определения и множество значений функции: 1) /(A:)=arcctg (л:^-|-l); 2) /(x)=arctg (\/3-3-1-2\/Зл:-х:^). XI.96. Исследовать на четность и нечетность функцию: О /(jj) = arcsin (O.Ssinx) —arccos (sinjc); 2) /(,T)=sin (2arcsinx)-l-cos(arccosA:). XI.97. Построить график функции: 1) y=sin(arcsinx); 2) y=cos (arccos2A:). XI.98. Решить графически уравнение: 1) arccos2A:=^-barctgJt: 2) arcctg(A:-l) = arcsinx. XI.99. Решить графически неравенство: 1) arcsinxorccosx; 2) arcclgx^arctgx. XI.100. Решить неравенство; 1) агссо5 3л:^агссо5(1-2д:): 2) arcsin(l,5-x)^arcsin0.5x. §4. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ Первый уровень Вычислить (XI.101-XI.104) XI.101. 1) lim д^_^0 sin 0,5л: ’ 2) lim sin Зх ,(_>0 sin 4х Задачи повышенной сложности и главе XJ 223 XI.102. 1) Игл sin^ Зл. XI.103. 1) lim .v->0 3) lim л_>0 tg0,5;f 2) lim -* sin O.o.v 2) lim sin 3x x-iO [g2x ' 4) lim iig9.v XI.104. 1) lim A- >0 I — cos 2a .(->0 ctg6x’ 2) lim X-)0 A sin 3a Второй уровень Вычислить (XI.105-XI.110). sin.3A+sinr)A. XI.105. 1) lim A-»0 2a tgA+sin A. XI.106. 1) lim „ , f _И) sin 2a XI.107. 1) lim -“-f: A->0 I-cos2a 2) lim A->0 2) lim cos 4 a—cos 6 a sin^ 5a tg2A-sin2.v A->0 sin^ 3a 2) lim - 1 - cos 8a д-_>0 sin 6a —sin 4a ' XI.no. 1) lim lim А-^З 1 —ctgf^ A 2) lim •*^+*''’^'■■2 2 —ctgA-ctg^ a’ A^ 1 COS^ A lim X~>ii COS 1 2) l;„ l+Sin6A lim . n '■ l-sin2.v lim A-.-J cos 2a 2) lim A->-f COs(a-J) sin jc—cosx ’ ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XI XI.111. 1) Показать, что функция /(x)=2sin^je+12sinxcosA: + +4 cos^ х —принимает только отрицательные значения. 2) Показать, что функция /(x)=3sin^jc-bl6sinA'cosjH- -i-cos^ x-|-2v''^—1 может принимать отрицательные значения. XI.112. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: 1) /(x)=sinJc4-cosj:-|-sin,A-cos.v:; 2) /(A:)=sinA:-cosx-|-sin,t-cosx. XI.ИЗ. Доказать, что функция /(л:)=со5.^-|-со5 (\/Зл:)-|-со5 (\/5л:) непериодическая. 224 Глава XI. Тригонометрические функции XI.114. Доказать, что функция не является периодической; 1) /(x)=sin (|;с|); 2) /(A:)=sin (л:^); 3) /(x) = cos(yjx|); 4) /(x)=cosi. XI.115. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых график функции /(х)=а^+а —sin^х —2аcosx лежит выше прямой у—\. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых график функции /(x) = cos^x+2asinx —а^-а лежит ниже прямой у=—2. XI.116. Построить график функции: 1) t/=cos{x}, где {х} — дробная часть х; 2) i/=sin{x}, где {х}—дробная часть х. XI.117. Построить график функции: 1) l/ = tgk|-|ctg(A:-^)|: 2) i/=ctg|x| + |tg(x-f)|. XI.118. 1) Дана функция /(х) = Цх| —|х+2||-3. Сколько решений имеет уравнение cos/(x) = 0,2? 2) Дана функция /(х)=1 —Цх—4| —|х||. Сколько решений имеет уравнение sin/(x)=—0,6? XI.119. Построить график функции: I) i/=arcsin(sin2x); 2) t/=| —arcsin (созЗх); 3) £/=arctg(tg4x); 4) i/=arcctg(ctgSx). Вычислить (XI.120-XI.122) XI.I20. 1) lim I —2cosjc XM2I. 1) lim tg^x-3tgA:. XI.122. 1) lim x->f cos(x+f) ’ 2sin^x—3sinx+l. I if 1 2 cos(x-5) 2) lim —§2.. „_,2jr 1+2 COS X X > 3 2) lim x->§ sin (x + ^j 2cos^x+cosx —I 2) lim x->5 x-5 3 Ответы к плаве XI 225 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XI XI.7. 1) D(f) = {nk\k е Z} , £(/) = {0}; 2) D(/) = { 5 + е z} . £(/) = {0}. XI.8. 1) у„аим = -1 при X = ^ + у, keX; УнаиО =5 при •* = “^ + у-k € Z; 2) (/найм = I при лс = 4кк, ft € Z; 1/„анб = 7 при лс = 2rt + 4я/г. А 6 Z. XI.9. 1) (/найм = -2 при л = J + та, п е Z, i/|,a„6 = 3 при л: = та, п е Z; 2) (/найм = -1 при X = I + та, п 6 Z, (/„аиЛ = 2 при х = яп, пе1. XI.10. 1) [-2;2); 2) [~у/2-,у/2]. XI.11. 1) (1;9); 2)[0;16]. XI.12. 1) (0,5; 5); 2) (-1,5; 3). XI.13. 1) [-2; 2]; 2) [-15; 1). XI.14. 1) Общего вида; 2) нечетная; 3) нечетная; 4) общего вида. XI.15. 1) Общего вида; 2) нечетная; 3) общего вида; 4) четная. XI.16. 1) Четная; 2) общего вида. XI.17. 1) Четная; 2) четная. XI.18. 1) Все числа вида 2яА, где А 6 N. являются периодами, в том числе 4я, 6я, 8я и т. д.; 2) все числа вида яА, где А 6 N, являются периодами, в том числе 2я, Зя, 4я и т. д. XI.19. I) Нет; 2) нет. XI.20. 1) Например, п 24я; 2) например, XI.21. 1) Например, 8я; 2) например, 16я. XI.22. I) п е Z. — нули; /(х) > О на промежутках ^яп;^-)-яп^. п е Z; /(х) < О на промежутках ^ ч-яп;яп^, п 6 Z; 2) ^ -f яп. я 6 Z,— нули; /(х) > О на промежутках -I-2ял; ^ н-2яя^, п 6 Z; /(х) < О на промежутках +2яп; ^ +2яя^, я 6 Z; 3) — ^ -t- 2яя, я е Z,— нули; /(х) > О на промежутках у ч-4яя; ^4яя^, я G Z; /(х) < О на промежутках ^-у Ч-4яя; — у-f 4яя^, я G Z; 4) я g Z. — нули; /(х) > О при всех ху^^у, я g Z. XI.23. I) g ч-яя, я g Z. — нули; /(х) > О на промежутках ч-2яя; у ч-2яя^, я g Z; /(х) < О на промежутках ^-у Ч-2яя; g Ч-2яя^ я g Z; 2) -g Ч-яя, я g Z, — нули; /(х) > О на промежутках у ч-2яя; — g ч-2яя^ я g Z; /(х) < О на промежутках (-g Ч-2яя; у Ч-2яя), ngZ. XI.25. 1) 4,5; 2) 2. XI.26. 1) Функция возрастает на каждом отрезке [~ у + 2яя; - ^ -1- 2яяj, я g Z, и убывает на каждом отрезке ^ Ч-2яя; у ч-2яя|, я g Z; 2) функция возрастает на каждом отрезке |^—g ч-яя; у Ч-яя|, я g Z, и убывает на каждом отрезке [у+ял;у ч-яя],яgZ. XI.29. 1) Рис. 1; 2) рис. 2; 3) рис. 3; 4) рис. 4. 8—5682 226 Глава XI. Тригонометрические функции XI.32. 1) Функция определена при всех хфЩ-, ft € Z; £(/) = (0; 1) U (1; 2); 2) функция определена при всех хф^-Упк, й е £(/) = (—ос;—2)и [2;+оо). XI.33. 1) £)(/) = {g + f}. A6Z. £(/) = {0,5±0,25ч/3;0,5}; 2) Z)(/) = {^}, к&г. £(/) = {0,5±0,25\^;0;0,25;0,5;0,75;1}. XI.34. 1) Область опреде- ления — объединение промежутков ^ -t- 2т\ ^ -|- 2яп|, п е Z; множество Ответы к главе XI 227 значений — [0; \/3]; 2) область определения — объединение промежутков j^—^ + 2т:п;+ 2дп|. л 6 Z; множество значений — [О; \/3]. XI.35. 1) Область определения — объединение промежутков g-ь 2дл; ^ + 2дл^, лбй; множество значений — (—оо; 1]; 2) область определения — любое значение А', кроме А = о и где п = ±1,±2,±3,...; множество значений — (—оо;0]. XI.36. 1) [-у^;л/2]; 2) [-\/3;v/3]. XI.37. 1) [0,5;!]; 2) [0,25; 1], XI.38. 1) [-1;!]; 2) (-оо;-1) U [1; Ч-оо). XI.39. 1) [4 - v/41;4 + v^]; 2) [-2-3a/5;-2-p3V5], XI.40. 1) /„аим = g. /наиб = all 2) /„аим = 12 /наиб — XI.41. 1) /найм — 0,125, /наиб — И 2) /найм — 0,875, /наиб — 2. XI.42. 1) 12л; 2) 6л. XI.43. I) Основного периода нет; 2) основного периода нет. XI.44. 1) 2) |; 3) 4л; 4) л. XI.45. 1) л; 2) |. XI.47. 1) /(а) убывает на каждом отрезке возрастает на каждом отрезке + 'г € Z; 2) /(а) убывает на каждом отрезке [Й Т’ ? т] возрастает на каждом отрезке [“j| + у! -^ + у]-я е Z. XI.48. I) /(а) убывает на каждом отрезке ч-2лл; g-Ь 2лл| и возрастает на каждом отрезке Ч-2лл; ^ Ч-2лл|, л € Z; 2) /(а) убывает на каждом отрезке [^g Ч- лл; ^ Ч- лл| и возрастает на каждом отрезке ^ Ч-тгл; g Ч-лл|, л 6 Z. XI.49. 1) /(а) убывает на каждом отрезке |^2лл; g Ч-2лл|, |^лч-2лл; ^ ч-2лл| и возрастает на каждом отрезке 1^5+2ти; лч-2лл|, Ч-2лл;2лч-2лл|, л 6 Z; 2) /(а) убывает на каж- дом отрезке Ч-2лл; ^ Ч-2лл|, |^лч-2лл; ^ Ч-2лл|, Ч-2лл; 2л Ч-2лл| и возрастает на каждом отрезке |^2лл; ^ + 2лл|, ч-2лл; л ч-2лл|, 1^^ Ч-2лл; ^ Ч-2лл|. я 6 2. XI.52. 1) График представлен на рис. 5; если 228 Глава XI. Тригонометрические функции Рис. 5 Рис. 8 а = —3 и а = 1, то корней нет; если а = —2, то 3 корня; если а = -0,5, то 5 корней; если а = 0, то бесконечно много корней. 2) График представлен на рис. 6; если а < 0 и а > 2, то корней нет; если а = 0, то корней бесконечно много; если 0 < а < 2. то 4 корня; если а = 2, то 2 корня. XI.53. 1) Рис. 7. XI.54. 1) Рис. 8. XI.56. I) 2; 2) 1.5. XI.57. 1) - " XI.58. 1) -^;5;±^-2reft,ft£N:±^ + 2~fe,Ael 2) 2) (-1)*5 + лй (й= 1,2,.. 3 ’ 2’ );(-l)*+'f+ л* (й = 0,-1.-2,...). XI.59. 1) 0; Ответы к главе XI 229 2) О, XI.60. I) 2; 2) ч/2. XI.65. 1) -i; 2) 2. XI.66. 1) Функция ь определена при всех х ф л е Z; £(/) = {1}; 2) функция определена при всех X ф л € Z; £(/) = {0}. XI.67. 1) /найм = -1. /наиО = U 2) /найм = -^/3, /нанб = I. XI.68. 1) £>(/)= R \ {дл}. Л 6 Z. £(/) = (-2; 2); 2) D(/) = R \ + дл|, пеЪ, £(/) = |-1;1]. XI.69. I) Функция общего вида; 2) функция общего вида. XI.70. 1) Четная; 2) нечетная; 3) нечетная; 4) четная. XI.71. 1) Например, д; 2) например, 24д. XI.72. 1) + ~ нули; /(х) > О на промежутках п е Z-, f(x) < О на промежутках п € Zi; 2) х = + дя, я € 2, — нули; /(х) > О на промежутках + дя; ~ + дя^ я е Z; /(х) < О на промежутках ^^ + дя;^ + дл^, я 6 Z. XI.73. 1) /(х) возрастает на промежутках (~g +'"j !'*€2; 2) /(х) убывает на промежутках (-| ++ y). п^ъ. XI.74. I) £>(/) = К\{И}, яеа. £(/) = (-2:2); 2) D{f) = R \ |и|, лег, £(/) = (-ос;-2] U (2;+оо). XI.75. I) д; 2) 2д. XI.76. 1) д; 2) XI.79. 1) /(х) убывает на промежутках ^дя; ^ + дя| и возрастает на промежутках 4 дя;дя^, л е Z; 2) /(х) убывает на промежутках ^ 4-дя: 5 4-дяj и возрастает на промежутках 4-дл; ^ 4-дя^, я 6 Z. XI.82. 1) Если а = —0,5, то уравнение имеет 1 корень; если а = О, то 2 корня; если а = 0,5, то 3 корня; если а = 1, то 2 корня; 2) если а — —\/3, то уравнение имеет 9 корней; если а = -2;-1,1, то уравнение имеет 8 корней. XI.84. 1) Четыре; 2) восемь. XI.85. 1) 1; 2) 0. XI.89. 1) [4;5); 2) [-1;0). XI.90. 1) Z)(/) = [0,2;0,6], £(/) = [0;2д]; 2) D(/) = 1-2;-1], £(/)= [з- |;3 + |]. XI.91. 1) D(/) = [0,5; 1]. £(/)=[5lf]; 2) /)(/) = [-!;-0,5]. £(/)=[-|Е;-5]. XI.92. 1) f; 2) д; 3) —^; 4) 0. XI.93. 1) График представлен на рис. 9; D{y) — ^\A]\ £((/) = [0; 2д|; функция убывает на всей области определения; наибольшее значение функции равно 2д, наименьшее — 0; 2) график представлен на рис. 10; D(i/) = [-2,5; —1,5]; £((/)= функция убывает на отрезке [—2,5:—2) и возрастает на отрезке [—2;—1,5]; наибольшее значение функции равно наименьшее равно 0. XI.94. 1) D(f) — 230 Глава XI. Тригонометрические функции Рис. П •9-> Рис. 12 У sin I -3-2-1 0 1 2 3 Рис. 14 £{/)=|-JiT + f R. 2) 1. XI.99. 1) ; 2) О(/) = (0;2],£(/)=[л-1;л2-;г]. XI.95. 1) D{f) = ^(Л = (0;^]; 2) D(/)=R, £(/)= ^-|; jj. XI.96. 1) Функция общего вида 2) функция общего вида. XI.97. 1) Рис. 11; 2) рис. 12. XI.98. 1) О -1;^); 2) [1;-И»). XI.100. 1) [0;i]; 2)(1;2] XI.101. 1) 2; 2) 0,75. XI.102. 1) 2,25; 2) 8. XI.103. 1) 0,8; 2) 1,5 3) 8; 4) |. XI.104. 1) 2; 2) 6. XI.105. 1) 4; 2) 0.4. XI.106. 1) 1 2) А. XI.107. 1) 4; 2) 16. XI.I08. 1) 0,75; 2) -1,5. XI.109. 1) 8 2) 9. XI.1IO. 1) -V2- 2) 2. XI.I12. 1) /,,аим = -1, /„аиб = s/2 + 0.5 2) /найм = — \/2 — 0,5; /наиб = •• XI.ИЗ. Указание. Достаточно пока- зать, что функция f{x) принимает значение 3 только в точке х = 0. XI.115. 1) 2) U(2; Ч-оо). XI.116. 1) Рис. 13; 2) рис. 14. XI.II7. 1) Рис. 15; 2) рис. 16. Ответы к главе XI 231 Рис. 15 Рис. 19 XI.118. 1) 2; 2) 4. XI.119. 1) Рис. 17; 2) рис. 18; 3) рис. 19; 4) рис. 20. XI.120. 1) 2) XI.121. 1) -24; 2) 36. XI.122. 1) 0; 2) Глава XII ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА §1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Первый уровень XII.1. Решить уравнение: 1) sin3x = 0; 2) cos =-1; 3) sin 1^ = 1; 4) cos5x = 0. Решить уравнение, записав ответ в виде совокупности двух серий решений (XII.2-XII.4). XII.2. 1) cos ^x+ _ n/3. 2 ’ 2) sin ^х - I) _ 1. 2’ s/i 4) cos ^х - Зл:^ \ л/2 3) Sin(^--xj 2 ’ 4 > ) 2 ■ XII.3. 1) sinx = 2) cos2x = 1 . 3’ 3) cosx = 4) sin 0.5х: 1 5’ XII.4. 1) sin(2 — x) - \/3 = 0; 2) cos ^х + ё') 1. 5’ 3) 3 sin (x — 2) = 1; 4) 2 cos Т л:'' 4 > ) +\/5 = 0. XII.5. Решить уравнение: 1) tg Зх Н- 5 = ( ); 2) 4 - ctg ) = 0. ХП.6. Найти нули функции: 1) ^ = \/2sin (. ш) + 1; 2) у- = tg3x — \/3; 3) ^ = \/3 cos ^ 4) у- = 1 + \/3ctg ^2х + XII.7. Решить уравнение: 1) (1 — ctgx) • cosO.Sx = 0; 2) sinx • cosx • (tg0,5x + 1) = 0; § I. Простейшие тригонометрические уравнения 233 3) (1 + ctgA:) ■ tg2x = 0; 4) (1 — tgj;) • sin4;c • (2со5л: - 1) = 0. Решить уравнение (XII.8-XII.13). XII.8. 1) sin(2x--|) =sini^; 3) tg (4x + f) = ctg XII.9. 1) sin^ 5 — cos^ I = cos <5 «5 ij XII.10. I) 4 cos • sin (3rt +л:) + 3 = 0; 2) tg(f+ x)-tg(|-x)+3 = 0; 3) ctg (^1 - • tg (.jc + л:) - 3 = 0; 4) 2 cos (тс-jc) • sin (2,5rt +Jt) + I = 0. 2) cos ^5л: ~ = t^os 4) ctg(3x + ^) =tgl^. 2) 4—18sin3xcos3x = cos~. XII.11. 1) |sinx| = yl- 2 ’ 3) l-cosx| = XII.12. 1) sin^ a: - 3cos^a: = 1; XII.13. 1) (sinA:+ cosjc)^ = 1; 2) |ctgjc| =2; 4) |tg(-A:)| = 2) 5 sin^ a: + 3 cos^ X = 4. 2) (sin2x — cos2x)^ = 1. n/3‘ XII.14. 1) Найти наименьший положительный корень уравнения sin'* X - cos'* л = 1. 2) Найти наибольший отрицательный корень уравнения sin'* — X = I. XII.15. Решить уравнение; I) \g^x+-^ = 7-, 2) ctg2jc+^=5. Г С1П* V XII.16. 1) Найти корни уравнения sin3x = ~, удовлетворяющие условию tg3A:<0. /о 2) Найти корни уравнения cos2a: = --^, удовлетворяющие условию sin2x<0. 234 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства XII.17. Воспользовавшись тригонометрической окружностью, найти корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку: I) cos-v^i, х€{0\2л)\ V3 2)со5д: = -^, х£{—к\п)\ 0\ Vj - ( Ъп п\ iS • '/I ^ ( к Зл\ 3)smx=—, 4)smx = -^; XII.18. Воспользовавшись тригонометрической окружностью, найти корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку; 1) tgx = \/3, ;се(0;2л:); 2) tgx = -l, 3) ctgj: = \/3, -«^(-1;-^); 4) ctgx = -~, ;с€(-л:;л:). Найти значения х, удовлетворяющие указанным условиям (XII.19- XII.23). XII.19. 1) cos2x = 0, 0<л:<л; 2) sin3.x = l, ~к<х<0\ 3) sin2x = 0, 2д<х^3л; 4) cos4x = -l, -1,5д<л:^—0,5д. XII.20. 1) cos(0,5roc) = l, 2<х^5; 2) ctg(2^x) = l, -1<;с<-0,5; 3) sin (37ас) =—1, -0,5<л:^0,5; 4) tgTOc^v^, 1<л:<3. XII.21. 1) cos^x-|^=0 и х>к\ 2) cos3x = -^ и х>0; 3) sin^4A: —= l и д:<0; 4) sin2x=—^ и х<2к. XII.22. 1) cos(x-|E)=-^, 2) sin2.r = i, х€[^;тг); 3) cos3x = -|, хе rtj; 4) sin (^0,5х-у^ хб(0;тг]. XII.23. 1) sinx-cos l+cosx’Sin ^ = |, 04 'Г 1 ■ . к \ к Эл! 2) COSX-COS -+sinxsin - = §1. Простейшие тригонометрические уравнения 235 XII.24. Решить уравнение: ________ 1) ctgx- —л;2 = 0; 2) sin л: ■ \/9^^ — 4x2 — Q; 3) tgx- >/2571^-4x2 = 0; 4) cosx-х/47^^-^ = 0. XII.25. Решить уравнение: 1) \/3sin,x: + cosA: = \/2; 2) sinjc + \/3cosA: —2 = 0. XII.26. Найти сумму корней уравнения sin Зл —cos3x = \/2, принадлежащих промежутку |^-д; | . 2) Найти сумму корней уравнения sin3x + cos3.x: = \/2, у; Зд . Решить уравнение, воспользовавшись условиями равенства одноименных функций (XII.27-XII.29). XII.27. 1) sin2x = sin|; 3) sin5x = sin2x; 2) cos3x = cos|: э 4) cos4x = cos9x. 2) ctg0,5x = ctgy; 4) ctg3x = ctg2x. 2) cosx = sin4x; 3) cos ^x-y^=sin 4) sin ^y-x^=cos XII.28. 1) tg4x = tg|; 3) tg3x = tg2x; XII.29. 1) sinx = cos7x; Второй уровень XII.30. Найти корни уравнения, лежащие в указанном промежутке: 1) sinx=^, sinx=--: 3) cosx=0,2, хе(-к,к); 4) cosx=-0,6, 5) tgx = -4, 6) ctgx=-2, хб(0;2д). XII.31. Найти корни уравнения, лежащие в указанном промежутке: 1) tg3x=3, ; 2) ctg2x=-2, хе[0;д]; 3) sin2x=0,2, хе [^0; у ; 4) cos4x=0,3, хе[0;д). 236 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства Решить уравнение (XII.32-XII XII.32. 1) sin 3) tg(0,5jc)V9-4,x:2= ХП.ЗЗ. 1) sin (2Ttcos.>c) = l; 3) cos (2л: sin a:) —1; 1) sin (rtarccosA:)=0; 1) ,cos2x arcsin A=0; 36) =0; 0; XII.34. XII.35. 3) sin Sjc arccos ^=0; XII.36. 1) 3 cosx4-4 sin x=2; 3) 7sinx-3cosx=4; Решить уравнение, используя функций (XII.37-XII.39). XII.37. 1) 2cos^x—l=cos6; XII.38. 1) tgx=tg3x; 3) tgx=tg5x; XII.39. 1) tg6x=tg(^|-5x); 3) ctg3x=tg8x; 2) cos ^2x-y) "\/2-|x|=0; 4) ctg^3x+|) VM^=0. 2) tg(7csinx)=-N/3; 4) ctg(7,5n:cosx)=\/3. 2) cos (2Ttarcsinx) = l. 2) ctgx-arctg(0,5x-3Ti)=0; 4) tg4x arcctg(3x+Ti)=0. 2) 4 cosx+8sinx=3; 4) Scosx—6sinx=3. условия равенства одноименных rt 2) (sinx+cosx) —1+coslO. 2) ctgx=ctg3x; 4) ctgx=ctg5x. 2) ctg(|-2x)=ctg5x; 4) tg4x=ctg5x. §2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ Первый уровень XII.40. Решить уравнение: 1) cos2jc-2cosx-3=0; 2) sin2.ic-5sinx+4=0. ХП.41. Решить уравнение: 1) cos^x+3sinx—3=0; 2) 3sin^ 2x+7cos 2х-3=0; 3) 2sin^ 9cos^+3=0; 4) 8cos^ j+6sin 3=0. XII.42. Найти точки пересечения графиков функций: 1) y—2{gx и i/=ctgx-l; 2) j/=ctgx и t/=10tgx-3. §2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим заменой 237 XII.43. Решить уравнение: 1) 4 sin"* х+12 cos^ х=7; 2) 4 sin"* х—4 cos^ х+1=0. XII.44. Решить уравнение: 1) tg^x+2ctg^x-3=0; 2) ctg^ х+4 tg^ х-5=0. XII.4S. I) Найти корни уравнения 2cos^x+5sinx=4, удовлетворяющие условию cosx^O. 2) Найти корни уравнения 2sin^x—5cosx-|-l=0, удовлетворяющие условию ctgx<0. XII.46. i) Найти корни уравнения tgx-3ctgx-b2=0, удовлетворяющие условию sin2x<0. 2) Найти корни уравнения tg^ x-fctg^ х=2, удовлетворяющие условию sin2x>0. Решить уравнение (XII.47-XII.49). XII.47. 1) sinx—5cosx=0; 2) 3 sin 2x4-7 cos 2x=0. XII.48. 1) cos^ x-3sinx■cosx-|-2sin^x=0: 2) sin^x—7 sinx-cosx-|-12cos^ x=0 3) cos^ x-l-3 sin x cosx-4 sin^x=0; 4) 2 sin^ x4-3 sin x-cos x-l-cos^ x=0. XII.49. 1) 6 sin^ X—3 sin X cos x-cos^ x=l; 2) 26 sin X cos X—2 sin^ x=6; 3) 7 cos^ 2x4-5 sin 2x cos 2x=l; 4) 6sin^x4-sinx cosx-cos^x=2. Второй уровень Решить уравнение (XII.50-XII.55). XII.50. 1) соз4х-(2-Ь\/3) со5 2х-Ы-Ь\/3=0; 2) 2cos4x-|-2 (\/2-1) sin 2х+\/2-2=0. XII.51. 1) 3 tg^x-4 cos^x=8; 2) 2 cos^ х-ЬЗ=4 ctg^ х. XII.52. 1) tgx—15ctgx=2, если x€(—л;тг); 2) 20sin^x-btg^x=20, если хб(0;2тг). XII.53. 1) 8-1-9 sin 2x=4cos^x; 2) 5sin^x-l-4sin2x-|-cos^x=7. XII.54. 1) l-f2sinxcosx-l-2 (sinx-|-cosx)=0; 2) 6sin 2x-|-sinx-|-cosx=6; 238 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства 3) lOsln2x+29sinA:-29cosA:=31; 4) 5sin2A:—12(sinje—cosx)+12=0. XII.55. 1) tg^JC+ctg^JC—3(tg>:+ctgJc)+4=0; 2) 2+^ (tgx-ctgx)=tg2x+ctg2x. Решить уравнение (XII.56-XII.58). XII.56. tgj:+l=2sin (1,5тс+2д:). XII.57. sin x+ctg^—2. XII.58. ctgjc-l = . cos 2x lgx+1' § 3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ. ТИПИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Первый уровень Решить уравнение, используя метод разложения на множители (ХН.59-ХП.66). XH.59. 1) 2cosxcos2x=cosx; 2) 2 sin 2xcosx=\/3sin 2x. XII.60. 1) 3cosx-|-2sin2x=0; 2) sin2x=\/3sinx; 3) sinx—%/2cos 1=0; 4) sinx=\/5cos XII.61. 1) cos 8.c-tgx=tgx; 2) sin 3x-ctgx=sin 3x. XII.62. 1) cosx-fctgx=0; 2) sinx+tgx=0; 3) \/2cos5x=-ctg5x; 4) 2 sin 4x=\/3 tg4x. XII.63. j) =i-cosx; 2) -i+sinx. l4-eos.r l-sinx ХП.64. sin 2x=sinx-(sinx+cosx). ХП.65. 2 cos^ x-sin X sin 2x=2 cos X. ХП.66. cos 2x—sin x-|-cosx=0. Решить уравнение, изменив степень входящих в него тригонометрических функций (XII.67-XII.70). XII.67. 1) cosx-2sin^ 1=0; 2) 2cos^x+cos2x=0. XII.68. I) 1-6 sin^ 4x=cos 27 д-cos 8x; 2) 6cos^ 3x+sin 3,5д=-cos6x. §3. Метол разложения на множители 239 XII.69. 1) 16sin^-8cos^+7-0; 2) 8cos k + 16cos "=-7; 5 5 2 4 3) 2 sin ^ = 1—cosjc; 4) cos |=2cos ^ — 1. О b XII.70. 1) (1—cosЗA:)ctgл:=2sin^ 1,5л;; 2) ctg2x-sin^ 4x=-^-(l-cos8x). XII.71. Решить уравнение, преобразовав произведение в сумму иди разность: 1) 2sin5x-sin3j:=cos2x; 2) 2 cos 6x cos 8x=cos 14.v; 3) sin;c cos7x+0,5sin6A:=0; 4) 2 cos SAT-sin 4a:—sinx=0. XII.72. Решить уравнения, преобразовав сумму или разность в произведение: 1) sinx+sin3A:=cosA:; 2) cosa:+cos5a:=cos (TC+2.t); 3) sin 5A:-sin 7A:=sin а:; 4) cos2a—cos3ac=2cos Решить уравнение (XII.73-XII.76). XII.73. 1) sin ^A:-y)-cos 2) cos(A:-^)-sin(.v4-f)=|. XII.74. 1) cos ^|-AC^-sin AC^=;cos-<; 2) sin ^|4-a;^-cos ^|+A^='y3cos-v:. XII.75. 1) 2sin (2Ar+y^ = y3cos2A-; 2) v^cos ^3a+^^+cos 3a=0. XII.76. 1) cos‘*A:-sin'‘A:=2sin2A:cos2A; 2) sin'* 7-cos"* 7=sinx. 4 4 XII.77. Найти корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку: 1) 2cos2 ^-l=sin3A:, 2) cos^ 2A=sin^ 2a+cos2a:, 240 Глава XII. Тригонол1етрические уравнения и неравенства XII.78. Найти корни уравнения, принадлежащие указанно.му промежутку: 2 1) l-sin3jc=^sin|-cos0 , 2) 1-sin5x=(sin |+cos|) , XII.79. Решить уравнение: 1) 2sin^-t:+5cos^x4-2sin.t-5=0; 2) 2cos^A:+3sin^A:-2cosx—3=0. XII.80. 1) Найти все решения уравнения sin 2х—cosx+2sinx=l, удовлетворяющие условию 0<л:<5. 2) Найти все решения уравнения \/3sin л:4-2 cosa:=\/3+ +sin2x, удовлетворяющие условию 0<х<2. XII.81. Решить уравнение: 1) l+sinx =1; 2) зтд: I —COSX :1. Второй уровень Решить уравнение (XII.82-XII.87). XII.82. 1) cos(-3x)+tgx-cos3x=0; 2) cos5x=tgx-cos5x. XII.83. (2sinx—cosx) (l+cosx)=sin^x. XII.84. sinx+cosx= cosx sinx cos X—sin X XII.85. ctgx —tgx= . . ^ ^ 0,5 sin 2x XII.86. cos3x—sinx=\/3 (cosx—sin3x). XII.87. 1 -sinx=cosx-(sinx+cosx). XII.88. В интервале ^0; найти наименьший корень уравнения tg5x+2sin 10х=5 sinSx. XII.89. Найти корни уравнения, принадлежащие указанному промежутку: 1) 2sin2x=sinx—v^cosx, х€^— 2) \/2cos2x=sinx+cosx, х€(0;тг). XII.90. Решить уравнение двумя способами (преобразованием к однородному и методом введения вспомогательного аргумента): 1) 10cos^x-5sin2x=4; 2) 8+9sin2x=4cos^x. §3. Метод разложения на множители 241 XII.91. 1) Найти все корни уравнения sin^;t—\/3sin 2a:-cos^ дс= =—2, удовлетворяющие условию 0<л:<4. 2) Найти все корни уравнения 5cos^A:-\/3sin2jc+3sin^A:= =2, удовлетворяющие условию 0<л:<5. Решить уравнение (XII.92-XII.94). XII.92. 1) sin^ jc-cos^ x-sin X cos j;=l; 2) sin^ x+cos^ x= 1+0,5 cos (2л:+4,5д). XII.93. 1) sin"* jK+cos^ x=sin a:-cosa:; 2) sin"* jc+cos'* ^j=sin 2a:-0,5. XII.94. 1) sin®2A:+coi5^2jc=^; 16 2) sin® 2x+cos® 2jc—cos^ 2jc=-^. 16 Решить уравнение (XII.95-XII.99). XII.95. 1) sin^x+sin^2.ii:=sin^3j:+sin^4x; 2) cos^ Sjc+cos^ 4jc=cos^ 5л:+cos^ 7a:. XII.96. 1) 4sin‘‘A:+sin2 2A:=l; 2) 8 cos'* a:=11 cos2a:-1. XII.97. 1) 4sin'*2.t+16cos‘‘2;c-5; 2) 4sin‘* a:+cos4a:=1 + 12cos'*a:. XII.98. 1) cos 2a:+4 sin'* a:=8 cos® x\ 2) 2+cos4A:=5cos2A:+8sin®x. XII.99. 1) cos8A:=l-2sin^ 2a:; 2) cos 10a:=1—6cos^2,5x. XII.IOO. 1) Ha интервале ^0; найти корень уравнения sin^2x+sin^4A:=l. 2) На интервале ^0; найти корень уравнения 4 cos^ 2х+1б cos^a:—13=0. XII.101. 1) Найти наименьший положительный корень уравнения sin^x+sin^ 2а:=1. 2) Найти наибольший отрицательный корень уравнения 4 cos^ 6а:+16 cos^ За:=13. 242 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства Решить уравнение (XII.I02-XII.I05). XII.102. 1) sin A: sin Зл:=|; 2) 2cosx cos3a:=-1. XII.103. 1) sinx cos5x=sin 9a: cos3^:; 2) sinA: sin 3A:+sin 4л: з1п 8д:=0; 3) cos3a:-cos6ji:=cos4;c cos7a:; 4) sin 2.<-sin 6x=cos.t cos3A:. XII.104. 1) 2sin cosa:=cos4a:; 2) sin ^|-3x^sin 4^=sinje. XII.105. 1) cos 3x+cos 2x=sin 5jt+sin 4дг; 2) sin jc+sin 2x+sin 3jc+sin 4дс=0. Решить уравнение (XII.106-XII.118). XII.106. 1) 4cos4jt+6sin^2x+5cos2A:=0; 2) l4-2cos^A:+2\/2sinx+cos2A:=0. XII.107. 1) 2-4 sin^ x—y/2 (sin Jt-cos Jt); 2) 2—4cos^x=\/2(sinA:+cosA:). XII.108. 1) sin^ A:-cosx-cos3jt=i; 2) 12 cos^ ^=9—4 cos ^-cos y. XII.109. I) tg3;c tg4j:=l: 2) ctg2Aj-ctg9AJ=l; 3) tg5A:-tg8x=-l: 4) ctg2x-ctg3jc=l. 2sin2x+2cos2 XII.no. I) ---------- \ '---=0; 2) s/bx-x"^ 2-y3cos^x-2sin^ •Jlx—x^ -=0. XII.lll. tgx+ctgA:= — sin 4x XII.112. tgx—tg2x=sin jc. XII.113. sin x-tgJc+cosje-ctgji:=sinx+cosjc. XII.114. sin^ JC-(l+ctgx)+cos^ x-(l+tgA:)=cos2x:. XII.115. tgx: (4+3cos2A:)=2 (cos2a:—1). §4. Метод оиенки левой и правой частей уравнения 243 XII.II6. ?‘"^^=4cos2x. sin jc XII.117. =-2. XII.118 sin^A: cos^jc tg^AC ctg^ x . Sin (;u-A:)+ctg (^^+x^ = --^-cos {2k-x). XII.119. Найти корни уравнения tgjt-ctg(3Ac-2)=l, принадлежащие / Зд\ промежутку XII.120. Найти тот корень уравнения 4 cosx-sin Q-асj=\/3, для которого выражение 2д:^+ас—3 принимает наименьшее значение. §4. МЕТОД ОЦЕНКИ ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ Первый уровень Решить уравнение (XII.121-XII.124). XII.121. 1} cosac+cos4x=2; 2) cosx-cos 4ас=2; 3) sin Ac+cos 4ас=2; XII.122. 1) sin Ac-cos 4a:=1; XII.123. 1} sin у=л;2-2л:+2; XII.124. 1) cos rtA:=-v/x+l; 4) cosac+cos4ac=—2. 2) sinAc cos4AC=—1. 2) cos^ = 12a:-37-jc2. 2) 2cos2tzx=x+-. Второй уровень Решить уравнение (XII.125-XII.131). XII.125. 1) cosac+cos3a:=-2; XII.126. 1) cos 4ас4-sin ^=2; XII.127. 1) sin7x-cos4x=-l; 3) sin 3ac-cos4a:=—1; XII.128. 1) tgAC+ctgAc=2cos8A:; 2) (sinAC-coSAc) \/2=tgAC4-ctgAC. XII.129. 1) v/cosjc-0,9-v'sinA:-0,5=i; 2) cos AC-COS 3ac=-2. 2) sin 7ac+cos2x=-2. 2) sin 3Ac-sin 5ac=1; 4) sin Ac sin 3Ac-sin 7ac=1 2) \/sinx-0,9 i/cosx-0,6 = 10. 244 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства XII.130. 1) sin^ 3x=cos3x-\/2; 2) 3sin5jf+\/2sin^ ^ai+^^=3cos5jj-3v/2. XII.131. 4siп^ j:+sin^ Зл:=4sinx•sin^ 3x. §5. ОТБОР КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАКИ МОДУЛЯ, КОРНИ И ЛОГАРИФМЫ Первый уровень Решить уравнение (XII.132-XII.134). XII.132. 1) I sinj:|=sinx+2cosjii:; 2) |cosx|=-cosA:-2\/3sinjt. XII.133. 1) tgx |cosx|=^; 2) ctgJC'Isin XII.134. 1) |lgA:|=-ctgA:; 2) |cosA:l=-2sinA:; 3) |sin Ac|=cosx; 4) |sinx|==-5cosx:. XII.135. Решить уравнение, сделав подходящую замену переменной: 1) 2cos^x-|cosJt|=0; 3) 6sin^ x-|-|cosjc|-5=0; XII.136. Решить уравнение: 1) (х^-4хЧ-3) Vcosx=0; XII.137. Решить уравнение: 1) 2) \/sinx=\/2cos2 х-1. XII.138. Решить уравнение, сделав подходящую замену переменной: 2) 2cos^x-|-|-sinx|=2; 4) 4-cos2x—5|sinx|=0. 2) -х-2) Vsin х=0. 1) 8 sin x-t-2v^sin х—1=0; 2) cos x—\J- cosx+2=0. Второй уровень Решить уравнение (XII.139-XH.143). XII.139. 1) (а;-3)2-:П£4; Igx 2) (x-2)^-cosx=\/l-sin'^x. XII.140. 1) |sin 2x|=—\/3cosx; 2) |sin2x|=\/2sinx. XII.141. 1) cosx-|sin x|=0,25; 2) 1 1 smx- cosx =- —. 4 XII.142. 1) sin 3x+|sin x|==siii 2x; 2) |cosx|-cos3x=sin 2x. XII.143. 1) sin 2x-5 |sin x+cosx|-|-5==0; 2) 6+sinx-cosx=6 |sinx-cosx|. Решить уравнение (XII.144-XII.148). XII.144. 1) (x^-4x-21)Vcosx-sinx=0; 2) (x^-6x-40) Vcosx-f sinx=0. XII.145. 1) \/14 sin^ x+3 sin x-1—2 sin x; 2) y/21 cos^ X—4 cosx—l=3cosx. XII.146. 1) 2) XII.147. 1) \/ЗЧ-2 sin^ х=\/б cos ^; 2) ■\/2-cos2x=\/7sin XII.148. 1) \J 3,5-3 sin^ x=sin x-j-cos x; 2) \/l,5-l-cos2x=:sinx-cosx. §5. Отбор корней уравнений 245 XII.149. Найти корни уравнения tgxVl+cos2x=sin 2х, принадлежащие промежутку (0; 7г). Решить уравнение (XII.I50-XII.154). XII.150. 1) log4 (cos 2х—0,l)-f l=log2 2) log^ctgx=H-log6 (l,5-cos2x). XII.151. 1) log2 (—sinx)—log4 cosx=-0,5+log4 3; 2) log3 (—cosx)—loggsinx-l-0,25=-log9 2. XII.152. 1) logy[::^(-\/2cosx) = l; 2) 21og2sin2o.5x(-^sinx)=l. 246 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства XII.153. 1) logi25 (sin2x—sinA:)+^=log5(—2sinA:); 2) log27 ^sin 2x—i coSA:^ = |+log3(—cos.t). XII.154. 1) log3 (sin3j:-sinA:)=2log9(17sin2A:)-l; 2) logs (cosA:+cos3A:)=21og36(sin2;c)-l. §6. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ Первый уровень XII.155. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет решение уравнение: 1) 2 sin л:+2 cosx=a; 2) sinx—v^cosj;=l-2a. XII.156. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет решение уравнение: 1) sin^x^o—1; 2) cos^ 3A:-a=sin^ 3x-f2. XII.157. Найти все значения параметра а, при каждом из которых не имеет корней уравнение: 1) а^-со52л:=1; 2) (а—l)-|sinx|=2. XII.158. 1) Определить, при каких значениях параметра Ь уравнение cos^x—(2+3fo) cosx+66=0 не имеет корней. 2) Определить, при каких значениях параметра Ь уравнение sin^ 2л:+(2й-4) sin 2л:-86=0 имеет корни. XII.159. 1) Определить, при каких значениях параметра Ь уравнение cos^ jc-b(56-3) sin Jc-f 156-1=0 не имеет корней. 2) Определить, при каких значениях параметра Ь уравнение 2 siп^ л:-г(86—3) cosx-M26—2=0 имеет корни. XII.160. 1) Определить, при каких значениях параметра Ь уравнение cos^ jc-l-(l-26) cos Jc-i-6^—6=0 не имеет корней. 2) Определить, при каких значениях параметра 6 уравнение cos^x-f26sinjc—6^=0 имеет корни. §6. Тригонометрические уравнения с параметром 247 Второй уровень XII.161. Определить, при каких значениях параметра а имеет хотя бы один корень уравнение; 1} sin л:+2со5л:=а; 2) \/3o cosjc-sinA:=2. XII.162. Определить, при каких значениях параметра а имеет хотя бы один корень уравнение; 1) 12sinx-3cosx|=a; 2) |4cosA;+3sinAJ-a|=2. XII.163. Определить, при каких значениях параметра а уравнение sin^x4-3sinj:cosJc—2cos^Aj=a имеет хотя бы один корень. XII.164. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет решение уравнение; 1) sin^x+3cosA:=a; 2) 4 cos6;t-sin3jr=a+8. XII.165. Найти все значения параметра о, при каждом из которых имеет решение уравнение; 1) |5sin^x+cosx;-7|=a; 2) |8—9sin^д:-6созд:|=а. XII.166. Определить, при каких значениях параметра а уравнение 4 (sin'* x+cos”* х)=а^+а+3 имеет хотя бы один корень. XII.167. При каждом значе[1ии параметра а решить уравнение sin”* jc+cos"* x+sin 2x+a=0. XII.168. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 2sinx tg;c--y/a=-v/a-tgx:-2sinj; имеет единственный корень на отрезке • XII.169. I) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения \/3-sinA:—cosx=l и sin^=a имеют хотя бы один общий корень. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения \/3-со5л;+5!пд:=\/3 и cos^=a имеют хотя бы один общий корень. XII.170. На йти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 8а sin ^ — (а^—16) cos ^=12а—16 имеет корни. О О XII.171. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение siп^ At-|sin дссо5дс|=а имеет хотя бы один корень. 248 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства §7. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Первый уровень Решить неравенство (XII.172-XII.175). XII.172. 1) sinx^O; 3) cos2x<0; XII.173. I) sin 3x^-1; 3) cos4x^l; XII.174. 1) sin| + ^>0; 2) tg(^-|)>0; 4) ctg^x+I^^O. 2) cosx>-l; 4) sin;c0; 3) 4) sin x:!-2 ’ 5) 2cos (jc-~)+\/3>0: 6) 2sin (Зх-2)-1<0. XH.175. 1) l-tg2A:>0: 2) ctg ^УЗ; 3) l-v/3ctg(x+|)^0; 4) tg(4.«)+v/3^0. XII.176. 1) Найти все значения x, при которых график функции t/='\/2cos ^|-2л:^ —1 лежит выше оси абсцисс. 2) Найти все значения х, при которых график функции |/=2sin — 1 лежит ниже оси абсцисс. XII.177. Решить неравенство: 1) cos^2x—sin^2x^|; 2) sinx-cosx<— 3) sin'* X—cos'* 4) (sin тгх—cos тсх)^^|. XII.178. 1) Найти все значения х, при которых график функции г/=2cos^| —^ лежит ниже прямой у=\. 2) Найти все значения х, при которых график функции у=3—4sin^3x лежит выше прямой у=-2. XII.179. Решить неравенство, используя метод введения вспомогательного угла: 1) л/З sin Зх-1-cos 3x^—2; 2) cos4x—sin4x^\/2; 3) \/3sin 2х-3 cos2x^2\/3; 4) cos6x-sin 6x^-\/2. §7. Решение тригонометрических неравенств 249 XII.180. Решить неравенство, используя метод введения вспомогательного угла: 1) \/Зсо5д:-Ь51пд:<1; 2) cosx^sinx. XII.181. Решить неравенство, используя метод оценок: 1) \/3sinЗх-Ьсоз3x^-2; 2) cos4x—sin4jc>\/2. XII.182. Найти все значения параметра а, при которых имеет решение неравенство: 1) со5^дг<—8а^: 2) cosAC-b\/3sin х>а—4. Второй уровень Решить неравенство (XII.183-XII.186). XII.183. 1) 4соз(2л:-у)-3<0; 2) 2-3sin (Зл:-|) <0. 2) 2-fsinjc-b^-T^ 2s!rijc-4 X1I.184. 1) cosjc-b^i^^^O; cosJt-2 XII.185. 1) IcosxK^; 3) |tgx|^\/3; XII.186. 1) |созл:|<|; 3) |tgx|<3; 2) |sin2x|< 2 ’ 4) 2) \sinx\^j; 4) |ctgx|$:4. >1. Решить неравенство (XI1.I87-XII.189). XII.187. 1) cos5jc-cos3a:<0, если 2) sinx-sin2A:7sinx; 2) 2cos^a:-|-3cosa:>2; 3) 3sinjc>2cos^x; 4) 2cos^;c-fsinx—1<0. XII.190. Решить неравенство: 1) |cosx|<|sinxl; 2) Isinxl^'v/Sjcosxj. XII.191. Решить неравенство: 1) jv^cosjcl^sin 2) 1cosa:|>—sin jc. XII.192. Решить неравенство: 1) \/3-2cos2 x<-2cosx; 2) \/5—4 sin^x<—4sinx. 250 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства §8. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Первый уровень Решить уравнение (XII.193-XII.196). XII.193. 1) arcsinx^=arcsin(7jc+8); 2) arccos (x^-x)=arccos(3A:^-8x+3). 2x+e 5-jc^ _ n 2x~3 2' X11.194. 1) arccos 2) arcsin X11.195. 1) arccos^ x-8 arccos x4-15=0; 2) 2arcsin^x—5arcsinx-12=0; 3) arcsin^x-2arcsinx-3=0; 4) arccos^X—8arccosx+12=0. X11.196. 1) arccos (4x^-x)-arcsin (4x^-x)=|; 2) 2 arcsin (x'^—x+0,5)=arccos (x^—x+0,5). Второй уровень Решить уравнение (ХН.197-Х11.201). Х11.197. I) arcsin Q + |cosx^+arccos ^i+|sinx^ = |; 2) arcsin (l+2cosx)+arccos(l+3tgx)=^. X11.198. 1) arccos X \/3+arccos x=I; 2) arccosx=arcsin 2x; 3) arccos (x-l)+arcsinx=rt; 4) arcsin 6x+arcsin бл/3х=-^. X11.199. 1) 2 arccos x=arcsin 7x. 3 ’ 2) 2 arcsin 2x=arcc.os 7x. X11.200. 1) arctg3x=arccos8x; 2) arcsin 5x=arcctg6x. Задачи повышенной сложности к главе XII 251 XII.201. 1) arctg ^^^+arcsin 2) arcctg-^■*+агссо5 2д:=|. XII.202. Решить неравенство; 1) arcsin.)c<\/x2—1; 2) arccos ~ ^ \/х'^+х—Ь. XII.203. Решить уравнение: 1) arccos ^^~|^^—4rt-2roi:; 2) arcsin XII.204. Решить неравенство; 7ZX Т' 1) arccosx^arcsin Зх; 2) arccosx^arcsin2х; 3) arcsin x>arccos3jc; 4) arcsinx^arccos2x. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XII Решить уравнение (XII.205-XII.2I1). XII.205. (cosjc—sinx) (l+0,5 sin 2x)+sin x=2cos^x. XII.206. 2 cos2x-1=(2 cos2x-f-1) tgx. XII.207. 8cos4a: cos2a: cosjc=L ХП.208. sin x+2 sin 3jc=3 cosx. XII.209. cos 4x=cos^3x. XII.210. cos 4x4-5 cos 2x+3=sin 3a:. XII.211. 3 sin 5x=cos2x—cosSx—sin 15x. XII.212. Найти все корни уравнения sin ^4x-f-|^-l-cos ^4x-t-y^=\/2, удовлетворяющие неравенству Решить уравнение (XII.213-XII.219). XII.213. ctg2x-ctgx=2ctg4x. XII.214. 2ctg2x-ctgx=sin2x+3sinx. XII.215. + cos2x ^ 1 cos 2—sin 2 2’ 1 I 1 cos A cos.ic-cos2a sin a cos 2a■ cos 3a" 252 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства XII.216. XII.2I7. XII.218. С05^Х+51П^Л \/8sin v/8sin^jc— tg2.c ctg3.ic _ tg3;c-ctg4Ai: tg2^:+ctg3.c tg3.c+ctg4j:' , 1-2 cos'* 2x sin2jc 1) tg ^|cosjK^-ctg(7rsin jc)=0; 2) tg(^cosx)-ctg(^sin.)c)=0. XII.219. sinx+cos8A:-cosA:=\/2. Решить уравнение (XII.220-XII.230). XII.220. I) tgjt+8 |ctgx|-fclg2jc=0: 2) ctg.ic-ctg2x+18 |tgx|=0. XII.221. 1) |cosA:4-2sin2^:-cos3x|==H-2sin.i(:-cos2x; 2) 11 —2 cos a:+cos 2j:|=sin jc—2 sin 2A:+sin 3x. XII.222. 2\/3sinx=-4^--------v^S. 2у'51пл:—1 XII.223. cos 2jc- л/15 cos jc=sin jc-sin 3.«c. XII.224. 1) \/3sin2x=4x/—sinx tgA:; 2) \/6 sin x-cos2jc=V—7 sin 2x. XII.225. 1) \/5—cos 2jj=cosa:-3 cosjc; 2) sin 2x:=3cosa:—5sin jc. XII.226. 1) \/3sin 2a:-2cos^x=2\/24-2cos2a:: 2) 2tg;c-4ctg;c=^tg2|-2-Ktg2|. XII.227. 1) tg^ 6^;4-cos^ 6л:+1=\/1—2 cos2x-4 cos л:; 2) ctg^3x+sin^3x+l=\/r4^^os2x^^lInx. XII.228. v/tgx+sinjc+x/tgjc-sinк—^ЪtgA:. ' XII.229. sinл:+\/l+sin 2x-cos^:=0,5. XII.230. 1) logy7(sinA:—cosA:) + l=log7(7+3cos4x); 2) logyfjsin (x+j)=logi,(6+cos4j;)-l. XII.231. Решить неравенство: 1) bg2sin;tCosx<2; 2) logy2cos.cS'"^<2-XII.232. Решить уравнение; 1) arctg ^^-barcsin 3x=|; 2) arcctg ^^^+arccosA:=^. 2. X 2 Ответы к главе XII 253 XII.233. Решить уравнение; 1) 2,25—5 cos^ юс+3 sin кх— \/5-24л;-36л:2; 2) 3,25-7sin^ nx+4cos7ix=y/—l5x~9x^—4. XII.234. Решить неравенство: 1) (дс^+2х+2)-со5(a:+1)^2jc^+4jj+3; 2) 4x+5)-cos 8л:+9. XII.235. Решить неравенство: 1) бтс^ ^cos ^-2cos —^<24лх-2х^-817Г^; 2) 2тг^ ^2 sin ^-cos <28лд:-2а:^-101я^. XII.236. Найти все тройки чисел {x,y,z), удовлетворяющие усло-3eosx+4sinji:4-5jr+5 ВИЮ 3sini/+4cos(/+5 -=arccos l+arcsin XII.237. При каждом значении параметра а решить уравнение sin X ■ tgjc + 2 cos j: = a. XII.238. При каждом значении параметра а решить уравнение sin 3jc + sin 2х — as\nx = 0. XII.239. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (1 — а) ■ tg^x - + 1 + За — О имеет более одного корня на интервале (^0; 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4 cos2x — (4а — 2) sin х — а — 3 = О имеет единственное решение на интервале |;0j. XII.240. 1) Определить, при каких значениях параметра а равносильны уравнения sinx = 1 + 2а |х| и 10sinx + 4asinx — cos2x = 11 - 10а. 2) Определить, при каких значениях параметра а равносильны уравнения cosx = 2а|х| — 1 и 5 + cos 2х + 8а cos х + б cos х + 12а = 0. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XII XIU. 1) ^,neZ\ 2) ^+2nn,neZ\ 3) ^+2zn,n&z- 4) ^ + ^,пб: i a к lU ^ XII.2. 1) -5+2тт. 2тш. «eZ; 2) + 2кп. 2кп, neZ\ 3) ^ + 2кп,л+2лп. 254 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства neZ; 4) у+2то, 2кп, п&Ъ. XII.3. 1) агсз1п|+2;ш, тг—arcsin i ч-2л-«, п 6 Z; 2) I arccos | + 'гя. arccos - + кп, п eZ\ 3) тг - arccos + 2кп, arccos j + 2^, я 6 Z; 4) -2 arcsin i + 4;ш, 2rc — 2arcsin ^ + 4л’п, neZ. XII.4. 1) Корней нет; 2) ^ - arccos i + 2лгг. — ^ + arccos g + 2лл, n еж нет. XII.5. 1) 3) 2 + arcsin i + 2;rra; 2 + тг — arcsin + 2кп, n e Z\ 4) корней <5 о 1 3 arctgS + n e Z; 2) ^ + 0,5arcctg4, neZ. XII.6. 1) -0,25 + 2n,-0,75 + 2n. «eZ; 2) ^ + i^,n6Z; 3) f + тш,+ 9 u Z <3 neZ\ 4)-|5 + ^,neZ. XII.7. 1) 5 + ;r«. Л e Z; 2) I + ЯП, 2тш. n e Z; 3) ^4" Kfi, n e & - Y + Л-П. n e 4) 7 + ±7 + 2m, nn, neZ. XII.8. I) + nn. 94 Л , 2nn ' 20 30 5 ’ 23я '24 n 6 О \ 3) -^ + T- 4)g + ^. «6Z. XII.9. I) ±5+Зя«. neZ; 2) ^ ^ н 6 Z. XII.IO. 1) ±5 + nn, neZ\ 2) I + nn. 3 b 5я 36 + m, n e 3 ’ 16 3) + nn. n e 4) ±^ + nn, neZ. XII.II. I) ±^ + ял, neZ; 2) ±arcctg2 + ял. Л e Z; 3) ±| + яп, neZ-, 4) ±| + ял, neZ. XII.12. 1) 1+ЯЛ, neZ; 2) ^ + y,H6Z. XII.13. 1) Щ-.neZ-. 2) ^,лez. XII.14. 1) 2) -я. XII.15. 1) ±| + ял, neZ\ 2) ±5+ял. neZ. XII.16. 1) | я € Z; 2) -^ + ял, neZ. XII.I7. 1) 2) 3) XII.18. 1) y; 2) -y. 5я Зя 3) I. f. 4) 4я я. д. _я ^ ■ 3 ’ 3’ ^ 4’ 4 у. XII.19. I) 7. 04 1 1. .,4 4 7 2) -f: 3) ^ XII.21. 1) ^ + ял. л 6 Z. л ^ I; 2) ^ я 6 Z. л > 0. —+ ‘ _.3я; 4) XII.20. 1) 4; 2) -i; 3) -i. i; 4) kez, k^v. Q\ К . Kf\ — 3) g + y. я e 2nn 18 ' 3 Л < -1 2j^ 18 ' '3 ’ 4) —+ ЯЛ. n eZ, Л ^ 2. ^ + яй. feez. XII.22. I) 2я; 2) i. Щ-, 3) 4) 12 XII.23. 1) i. Зя. З^я, ' 24 ' 2) я 11я 61я 30’ 30’ 30'' 3 • XII.24, 1) f; 2) 0;±я, 7к ±^; 3) 0;±я. ±2я; 4) ±|. ±^;±2я. XII.25. 1) ^+2ял. ^+2ял. лeZ; 2) ^+2ял, л6Z. XII.26. 1) 2) XII.27. 1) ^ + яЛ. ^ + я*. 6 6 t> 1о У kez- 2) ±^ + ?f-. keZ- 3) ^ + neZ-, 4) neZ. XII.28. 1) ^ + л е Z; 2) ^+2яя, яeZ; 3) ял, Л6Z, 4) корней нет. oZ 4 I XII.29. 1) i + H. + „eZ; 2) 1 + ^. i + лб2; 3)| + ял, neZ: 4) I + ял. л e Z. XII.30. 1) arcsin i, -Я-arcsin 2) -arcsin^. Ответы к главе XII 255 ;r + arcsin^; 3) arccosO,2, 2я-arccos0,2; 4) -;r-arccos0,6, arccosO,6 — тг, 5) — arctg4, Я’—arctg4; 6) я-arcctg2, 2я-arcctg2. XII.31. I) iarctg3±’^ ij 3’ ^arctg3, 2) ^ —iarcctg2, я-garcctg2; 3) 0,5arcsin0,2. я+0,5arcsin0,2, 6,5я-0,5arcsin0,2, 1,5я-0,5агс81п0,2; 4) 0,25arccos0,3, 0,5я±0,25агссоз0,3, я-0,25агссоз0,3. XII.32. 1) ±3; 2) ±2; 3) ±1,5; 0 |5 о о Q 0; 4) ±1; XII.33. 1) ± arccos i ± 2я/г, ± ^я —arccos ± 2я^г, keZ; 2) keZ; 3) (-1)*+'arcsin | ± яй. (-1)* arcsin | ± яЛ, A € Z; 4) ± arccos ± 2яп. n,A € Z и |A| ^7. XII.34. 1) 1; cosl; cos2; 2) 0; ±sinl cos 3; XII.35. 1) ±^. 0: 2) I + ЯЯ, ne Z; 3) 0. ±|. 2; 4) n e Z. XII.36. 1) ±arccosf + arccos I + 2яп. n 6 О 5 2) (—l)"arcsin 575 -arcsin ■^±яп, я€Z; 3) (-l)"arcsin±arcsin± яя, 'Tsl' я 6 Z; 4) ± arccos— arccos-^ + 2яя, яб2. XII.37. I) ±3±яя, яб1 2) ±5 -1- ^ ± яя. я е; \/б1 XII.38. 1) яя. n€Z; 2) |+яя, neZ; 3) | + у. КП, пег-. 4) ^±яя. яег. хп.зэ. i) ^ + neZ; 2) ^ + Щ- п е; о\ ^ I я €Z; 4) пег. XII.40. I) я±2яя, я 6 2) 2±2яя, пе^ 18 9 XII.41. 1) ^+2яя. neZ; 2) ^ + !^,neZ: 3) ±я + 6яя. я € я 6: 4) (-1)"+‘у +4яя. я € XII.42. 1) ± яя. arcctg0,5 ± яя, 2) arctg0,5±яя, - arctg0,2 ± яя. пе‘, XII.43. 1) I ± у. пег-. 2) ^ + f. пе: ± arcctg2 + rcfe, ke XII.44. I) ±^ + 7Tfe, ±arctg\/2 7с/г, k€‘ bn nk 2)|±2 XII.45. 1) ^±2яя, пег-. 2) -5 + 2яя, яб2 О J XII.46. 1) — arctgЗ±яя, neZ-. 2) ^ + ял, я 6 Z. XII.47. 1) ardg5 + ял; 2) -0,5arctg + 0,5яя; я е Z. XII.48. 1) arctg0,5 ± яя, ^ + яя, я 6 Z; 2) arctg3 ± яя, arctg4 + яя, я € Z; 3) ^ ± яя, -arcctg4 + яя, я 6 Z; 4) + яя, -arctg| ± яя, я 6 Z я 6 Z; 2) arctg0,25 ± яя, arctgS + яя. я € я е Z; 4) -5±яя, arctg|±яя, пе\ XII.49. 1) I + яя, — arctg? + яя, о\ к , пп arctg6 , ял 8 2 ’ 2 2 • 12 ЯП 2 ■ XII.50. 1) яя; ±^±яя, пе\ я е; XII.5I. 1) ±| + яя, ngZ; 2) |±у. XII.52. 1) — arctg3, я —arctg3, arctgS, arctg5 —я; 2) arccos-^, 1 _ , „ I о_ - J_ я—arccos-^, я+arccos^, 2я - arccos XI1.53. 1) -arctg0,25 ± ял. • arctg2 ± ЯЯ. я e 2) 2 ± ЯЯ, arctgS± ЯЯ. ne‘. XII.54. 1) -^ + л:я, 256 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства л е Z; 2) —+ (-1)" arcsin + т, л € Z; 3) ^ + (-1)" arcsin + ел, лей; 4) е + 2ел. |+2ел, лей. XII.55. 1) ^ + ел, л е Z; 2) ^ + § + -^ + 7ГЛ, лей. XII.56. -7 +ЕЛ, лей. XII.57. ^+2кп. лей. <3 0 4 2 XII.58. ? + ЕЛ, лей. XII.59. I) $ + Eft, ±2+ еЛ, йей; 2)^, ±^ + 2Е/г, 4 2 6 2 6 Лей. XII.60. I) | + ггл, (-1)''+'arcsin ? + ЕЛ, лей; 2) ±^+2ел, кп, лей; 3) е+2ел, (-1)"^+ 2ел, лей; 4) е + 2ел, лей. XII.61. 1) ^ + у, ЕЛ, лей; 2) ^ + ЕЛ, ±| + Ел, лей. XII.62. 1) ^ + т:к, Лей; 2) лк. к е k Kk 3) (-1)*+'^ + XII.63. 1) 5+2ел, 2ел, лей; 2) -5+2ел, 2ел, лей. XII.64 -Е. 4- — 5 ' 10 5 "‘^24 2 тЦг 4 ’ Лей. 2 ■ -.. -................. 4+’'"' лей. XII.66. 7+ЕЛ, -^ + 2ел, е+2ел, лей. 2 4 2 ХП.67. I) ±^ + 2ел, лей; 2) + ел, лей. XII.68. 1) +—. «3 О 24 4 ЕЛ, лей. XII.65 I) ±f + лей; 2) + л е: XII.69. I) (-1)" .5arcsin^!!^%^+5ел, ле 9 ' 3 ’ 2) ±4 arccos ^ ~ - + 8ел, лей; 3) 2ел, е+4ел, лей; 4) 12ел, Зе+6ел, л е й. XII.70. 1) 2 + ЕЛ, + 2ел, л е 4 о XII.71. 1) ^ + лей; 2)5 + |1, «eZ; 3)^, ле: 2) il + y-i + f. 4) лей. л\ ^14+2' XII.72. 1) 1 + ЕЛ, (-1)"^ + И, пей; 3) ЕЛ, ±5 + ^. лей; 4) 2ел, лей у о DO , 2к . 2кп ^-9 + —■ л е XII.73. 1) ±^+2ел. лей; 2) ±~+2ел, л ей. XII.74. 1) ^ + ЕЛ, лей; 2) ? + ел, л е й. 6 6 4 XII.75. 1) л е й; 2) л е й. XII.76. 1) 7 + ^, 2 о 4 А 1 * А лей; 2) е+2ел, -2 + 4ел. -^ + 4ел, лей. XII.77. 1) 2) 2 XII.78. 1) ±^,0,^; 2) |. XII.79. 1) ел; (-1)"| + ел, лей; 2) ^ + ел; ±^+2ел, лей. XII.80. 1) I, е; 2) О 0 0 0 2 XII.81. 1) 2ел, лей; 2) 5 + 2ел, лей. XII.82. 1) -^ +ЕЛ, ±2 +ЕЛ, лей; 2) ^ + ел. ±^ + ел, 2 4 6 «■ 4 10 ±|^+ЕЛ, лей. XII.83. (-1)''| + ЕЛ, е+2ел, лей. XII.84. -| + ЕЛ. лей. XII.87. ЕЛ, 3;: 10 лей. XII.85. 7 + ЕЛ, лей. 4 XII.86. ^ + ЕЛ, 1 + Н, + 2ел, л е 1 XII.88. ^ arccos г. 5 4 XII.89. 1) - 2е XII.90. 1) arctg0,5 + ел, — arctg3 + ,тл, л е — arctg2 4- ЕЛ, л е: 2)^^ 4 __ 9 ’ 3 * 2) — arctg0,25 + кп XII.91. 1) 2) 5 XII.92. 1) J + 2ел Ь Ь >5 О 2 Е + 2ел, лей; 2) ^ + ЕЛ, л е 2) ^ + 2ел, 2ел, п е 'i XII.94. 1) + ^, л е XII.93. 1) ^ + ЕЛ, лей; 2) ±^ + f. «ez. Ответы к главе XII 257 XII.95. 1) —, ^Н-тг/г, /ее 2; rt е 2; 2) i— + 7zri, ti 6 ' о X1I.98. 1) Я + Н, п 6 ±1+^. пб 2) ^ + f, «€2. XII.96. 1) ±| + яп, XII.97. I) 1 + ^. пей; 2) ±| + ;от, я е Z. 2) 5 + Н. ^ „ е 2) 1 + 2^. ±^ + 2яп ,,^2. XI1.99. 1) XII.100. 1) 2) Xll.lOi. 1) 2) XII.102. 1) ^ + у, ±g + ?r«, я € Z; 2) ^ + 7ГЯ. я € Z. XII.103. 1) я 6 Z; 2) М, „ е Z; 3) □ О / 5 Ю я G: f + f- 4) |+у. i^+y- XII.104. 1) ^ + у. п&7а 2) 2лл XII.105. 1) ^ + ;гя, ^ + , 4 14 7 я 6 Z; 2) 2;гя I + ш. я+2л:я, я€2. XII.106. 1) ±5 + WI. я € Z; 2) (-1)"+'| + тгя. я е Z. XII.107. I) ^ +2кк, -5 + ^. й в Z; 2) + 2nk, 7 + * е Z. 4 4 а 4 4а XII.108. 1) + КП, я € О 2) ±1 + 2пп. я 6 XIM09. 1) + у. ят^Зн-?*, я,Уi>€Z; 2) i + я^5+11*, я,/г€Z; 3) 5 + ^ i + з^. я,йeZ; 4) A + i^. я^2 + 5*. я,fe6Z. XII.110. 1) 2) XII.111. ±g + 7ГЯ, я е XII.114. -7 + jr«. я е 4 XII.117. ±7 + 71я, яег 4 XII.112. ля, я € Z. XII.115. ля, я 6 Z. XII.113. ? + я € Z. 4 2 XII.116. + ;:я, я £ Z. D XII.118. ля, яег. XII.119. л+1 XII.120. XII.121. 1) 2ля, я £ Z; 2) корней нет; 3) | + 2ля, я € нет. XII.122. 1) 5 + 2ля. я £ 2) ~ 2 2ля. я £ 6' 4) корней XII.123. I) 1; 2) 6. XII.124. 1) 0; 2) 1. XII.125. I) л + 2ля, я € Z; 2) корней нет. X1I.126. 1) у Нбля. я€Z; 2) ^ я £ Z. XII.127. 1) |+2ля, я € Z; 2) корней нет; 3) ^Ч-2ля, я € Z; 4) ^+2ля. я £ Z. XII.128. 1) 7 + яя. 2) — 7 + 2ля, я £ 4 XII.129. I) Корней нет; 2) корней нет. я £ : XII.130. 1) ~-^ + 2ля, я£г; 2) -^+2ля. я£Z. XII.131. ля, (-I)"^ +ля. 12 2U О fl£Z. XII.132. I) ^ + 2ля, -7+2ля, я€Z; 2) - ^ + 2ля, л + 2ля, я £ Z. 2 4 6 XII.133. 1) ^ + ;:гг, nG 2) + ля. я 6 XII.134. 1) + яя. я £: 2) — arcctg2 + 2ля, л + arcctg2 + 2ля, я £ Z; 3) ±^+2ля, я £ Z; 4) — arctg5 + 2ля, л + arctgS + 2ля, я£! я £ Z; XII.136. I) 1 XII.135. 1) I + ЯЯ. 2) ± 7 + ля. ля, я £ : О 3) i ^ Н“ КП, ft G Н- ял, п 6 ; 4) ^ + ля. я £ Z. XII.137. 1) ±? + яя, 4 я £ 2) + яя. я £ 2) 2. ля, я £ Z XII.138. 1) (- I)" arcsin ^ + ля, я £ Z; 6 ........ ............. ' ^ ' 16 2) л + 2ля, я£Z. XII.139. 1) 4; 2) I. 5+яя. я£Z. XII.140. 1) ^ + яя. 9—5682 258 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства + 2лп, п € ; 4- 2тш, п 6 2) лп, (—1)” J + лп, п е XII.142. 1) лп, ^+2лп. ^+пп, пе XII.I43. 1) н, n€Z\ 2) пе; XII.I41. 1) -У2лп. 2) I + 2лп. + 2лп, I + 2лп. ^ + 2лп, п € Z. 2) 2лп, ^ + КП, ^ + лп, пе Ъ. XII.144. 1) 7. !^+лп. neZ\ 2) -4, 4 п е п е + лп, п е XII.145. 1) (-1)" arcsin i + 7Ш. п е и XII.146. 1) -? + 2лп, § + 2лп, п € I О 2) ±1 + 2лп, XII.147. 1) ±1 + 4лп. п е 2) л + 2лп, 2 + 2лп. 2) ^ + 4лп, I + 4лп, п е XII.148. 1) 5+ 2лп, л—arctg5 + 2лn, neZ; 2) ^+2лл, л-arctgЗ + 2лn, n€Z. XII.149. XII.150. 1) arctg\/0^ +лп, neZ; 2) arcctg\/5 +лп, neZ. XII.I5I. 1) -| + 2лп, neZ; 2) у + 2лп. пе п е Z; 2) + 2лп, п е Z. XII.I53. 1) arccos0,25 XII.152. 1) -^+2лп. О л + 2лп, 2) arcsin I 4- л + 2лп. п е I XII.154. 1) arccos т- — л 4- 2лп. 6 п е Z п е Z; 2) arcsin 0,75 4- л 4- 2лп, arcsin | + 2лп, п е Z. XII.155. 1) [-v/^;y29]; 2) (-0,5; 1,5]. XII.156. 1) [1;2); 2) |-3;-1]. XII.157. 1) (-1;1): 2) (-оо;3). XII.I58. 1) (-оо;-|) U (5i4-oo); 2) (-0,5;0,5]. XII.159. 1) (-оо;-0,2) U (0,2;4-оо); 2) [-0,25;0,25). XII.160. 1) (-ос;-1)и(2;4-оо); 2)[-2;2]. X1I.161. 1) -v/5 ^ а < \/5; 2) а ^ 1. XII.162. 1) о ^ а ^ \/13; 2) -7 < а < 7. XII.163. -3v^-J 3%/2-1 XII.164. 1) -3<а<3; 2) -13^а<-3|^. 39 XII.165. 1) ^ ^ а ^ 8; 2) О < а ^ 14. XII.166. -\-VE, -1 + VE XII.167. При а6 (—ос; —1,5)и(0,5;4-с») корней нет; при а = —1,5 д:=^4-лп; при -1,5<а^0,5 JC = (-')* ^ XII.168. {2}u[4;4-oo). X1I.169. 1) ±1, ±0,5; 2) ±1, ± v/3 XII.170. (-oo;-121U[0;4]U[8;±oo). XII.171. n е Z; 1-V2 ij. XII.172. 1) [2лп;л±2лп], neZ; 2) ± лп; ^лп). 3) ± "I" ^^) ’ n e Z\ 4) ± лп; у ± лп), n e z. 2) X —любое действительное число за 4) X —любое действительное XII.173. 1) 4- ^1^, п е Z исключением л±2лп, п е Z; 3) у, п G число за исключением ^±2лп, neZ. XII.174. 1) у ± 4лп; у 4-4лп), пег-, 2) (-^±6лп;^±6лп), п G Z; 3) ± 2лп;± 2лп’ Ответы к главе XII 259 п е 4) ^7г + 2кПу —(- 2яп^, л в 5) ^— g 4- 2кп.\ + 2tw^ , nez; 6) + nez. xii.175. i) + + rt € 2) + TTfi; " Ч-. fi € -ч/л,лл к , кп] ^4-8 + t--T2 + tJ- n 6 n g я 6 : n g 2) - 2) ^2та;^ + 2;т^. n g 2) (-5+;гя:-2+лл), я g 3) + 7ГЯ; g + дя|, я XII.176. 1) g + m) XII.177. 1) [^ + |i;g + |l] 3) [-§ + '^«;ff + H XII.178. 1) (I+2;гя; +2тгя) К ■ кп 16 2 2) при любых X. Sk XII.179. 1) ч7 *5 я g 3) ^ + 7ГЯ, Я g 4) I + f. я g п 6 XII.180. 1) +2;cfl;-g+2;гя]. я g Z; 2) [-^ + 2то; ^ + 2;гя]. яgZ XII.181. 1) -^ + ^. «eZ; 2)-т^ + ^, яgZ. XII.182. 1) (-ос;0,5) У о 10 Z 2) (-оо;6). XII.183. I) (1 + 5 arccos j + ?гя; ^ - 5 arccos j + кп] я g Z; + t)' я € Z. X1I.184. '> — ^ 2тгл; ^ + 2тг/х1, ti ^ Z', 2) 1-J + ”' f + ля]. fl € XII.185. 1) [| + ля;^ + ля], я g Z; 2) Г 7Г , Л/? 6 2 ’ ^ _L ^^4 6 2 J‘ n ^ Z', 3) j + 7ш; ~2 ■+* [*3 2 , я g Z; 4) (f+ ля; I + ля^ и (тгч-яя; ^ + я g Z. XII.186. 1) [^;г-arccos |-+ тгя arccos ^ + ^п я g 2) [а 1 -г]. п j^arcsin ^ + тгя; тг — arcsm ^ + ?гя 3) [—arctg3 +ля; arctg3 +ля]. яgZ; 4) (ля; arctg4 + ля| и[л—arctg4 + ля л+ля), я g Z. XII.187. 1) (-^;0) U (0;|); 2) (0;|) U (|^; |) XII.188. 1) (2ля;|+2ля) U (л + 2ля; ~ + 2ля]. я g Z; 2) (|+2ля | + 2ля)и(|^+ 2ля; у+ 2ля). яgZ. XI1.189. 1) (|^ + 2ля; ^ + 2ля) яgZ; 2) (-^+2ля; | + 2ля), я g Z; 3) (^ + 2ля; у+2ля). яgZ 4) (_|Е + 2л:я; -|+2ля). я g Z. XII.190. 1) (f + у + ля), яgZ 2) [5 + 7гп; |Е + ля]. я g Z. XII.191. 1) [| + 2л^^; ^+2лА:], fegZ 2) ^_5 + 2л/г; ^+2л*>]. k € Z. XII.192. 1) (^ + 2ля; у + 2ля), яgZ 2) (-^ + 2ля;-|+2ля), яgZ. XII.193. 1) -1; 2) 0,5. XII.194. 1) -2 0; 2) -4, 2. XII.195. I) cos3; 2) -sin 1,5; 3) -sinl; 4) cos2 XII.196. 1) -0,25; 0,5; 2) 0; 1. XII.197. 1) -^ + 2л/(!, fegZ; 2) |-+2л^ 260 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства к 6 XII.198. I) 0,5; 2) корней; 2) i. XII.200. I) n/5- 1 бТ2' 3) 0; 1; 4) - 1 2) XII.201. I) 0,8 XII.199. 1) Нет 2) 0,4. XII.202. 1) -I; 2) 2. XII.203. 1) 1,5; 2) -3. XII.204. I) XII.205. ^ + ;т. п£ XII.206. (-1)”^ + Н, -5 +ЯП. пе (другая форма ответа; а 3 а н и е: восполь- п € Z). XII.207. ^ + neZ. k&Z. п^7р. 2к+1^ 9т,р е Z, m е: Указание: преобразовать уравнение к виду sin8;c = sinx (учесть, что sin JC 0). XII.208. ^ + кп: arcctg ^ + тгп, п 6 Z. У к зоваться формулой тройного угла. XII.209. 7ГП +у. Ука- зание: воспользоваться формулами понижения степени и тройного угла. XII.210. ^-Ь2дл; ±^-|-Дл, n€Z. Указание: воспользоваться формулами sin3;c = sinx(l-1-2cos2.k), cos4jc = 2cos^ 2х — 1, и преобразовать уравнение к виду (2cos2x-t-l)(cos2,v —sin^-i-2) = 0. XII.211. —^+2пп, п 6 Z. О Z XII.212. .5 я + КП, п е XII.213. -Ь ял, л G ь л б Z. XII.215. -^ + ял. ^ Ч- ял. л € XII.214. ±|^-f2ял. X1I.217. ±^ + Y XII.216. + у. п б л б: XII.218. 1) ял —arccos0,6 л б Z; 2) ±^+2кп. л б XII.219. Ч- 2ял, л € XI1.220. 1) - arccos i Ч- ял, л б 2) - arcsin i Ч- ял, л б О 5;г XII.221. 1) ^ч-2ял. ^Ч-2ял, ял. -5ч-2яя, О О Z fi € 2) л Ч" Ttfit ——(" 27Crt, 2тсл, “ ^ Н" 2ТГЯ, п в t Zb о 17^ 18 XII.222. ^+2яп; ~-^2кп, Ь 1о 4" 2ял, п € XII.223. Ч-2ял;-агссо51ч-2ял, лб2. XII.224. 1) ял, 4 4 яч-arcsin 5 Ч-2ял, n6Z; 2) ял, — arccos^ Ч-2ял, n6Z. XII.225. 1) —^ч-2ял, •3 О О 2) ч- 2ял. Ч- 2ял, л б Z. XII.226. 1) ^ + к«. S 7Г “*4“ 2тш, /2 € о 8 8 л G 2) г 4" “ 7 ^ ^ 3 4 2) (_1)«-И| + я:л, л б: Ь Ч- 2ял, я - arccos 0,25 Ч- 2ял, л б XII.227. 1) ч- 2ял, л б XII.228. ял, ^+т. пе: О XII.229. arcsin 0,25 Ч- я — i arcsin I Ч- 2ял, л б л € : XII.231. I) ^2ял; arccos XII.230. I) f + I arcsin i ч- 2ял 2) ^ — I arcsin i Ч- 2ял, | arcsin ^ ч- 2ял \/б5- 1 8 Ч- 2ял^ f '*■ ^ ^ 2) (^2ял; 5 ч- 2ял) U ^arcsin ‘ Ч- 2ял; | Ч- 2ял^. л б Z. XII.232. I) 0,2 2) 0.6. XII.233. 1) 6’ 2) XII.234. I) -1; 2) 2. XII.235. 1) 6я 2) 7я. XII.236. = у ~ arcsin | ч- 2ял. л б Z; у = arcsin - + 2пк, к б Ответы к главе XII 261 г е (-3;3| ХП.237. При а € (-оо; -2) х = ± arccos ° ~ + 2лп, п € Z; при а = -2 д: = л + 2ля, л € Z; при а е (-2; 2) корней нет; при — /2^4 а = 2 ;с = 2лл, л 6 Z; при а е (2; +оо) д: = ± arccos “ -----f- 2лл, л G Z. XII.238. При я 6 (—оо;—1,25) U (5;+оо) х = лл, л € Z; при а € [-1,25; 1] х = кп, х — ± arccos ^ + 2лл, лей; при яе(1;5] X = лп, X = ± arccos + 2лл, лей. Указание: вос- пользоваться формулами sin3x = sinx — 4sin^x, з1п2л' = 2 sin д: cos х и преобразовать уравнение к виду sinx ^3 - 4sin^ х Ч-2 cosx — я^ = = 0. XII.239. I) и Q;l): 2) (-оо;1) U {1,5} U |3;-f-oo). XII.240. 1) (0}и(з1;-|-оо): 2) (-оо;-0,6) U {0]. Глава XIII ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ §1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ SINX, COSX Первый уровень Для функции у = f{x) заполнить таблицу, указав для данного приращения аргумента ■= х ~ xq соответствующее приращение функции Дг/=/(л:) - / (jco) (XIII.1-XIII.3). Д X 0.4 -0,4 0,1 -0,1 0,01 -0,01 0,001 -0,001 йу Д(/ Ах XIII.1. 1) у = 4л: — 6, Хо = 2; 2) г/= 3 - л, лр = 3. XIII.2. 1) у = 2 — х^, ло = -1; 2) у = 2х + х^, xq = 2. XIII.3. 1) г/ = лЗ-1, лр = 1; 2) (/ = (л-1)3, xq = -2. Рассмотреть приращение Ау функции у = /(л) в точке х = xq как функцию от приращения аргумента Ал и построить график функции Ау{Ах) {XIII.4-XIII.5). XIII.4. 1) 1/ = Зл + 9, ло = 1; 2) у = 7-4х, лр =-2. XIII.5. 1) г/= 2л^ — 8л, лр = 3; 2) у=1+4л —л^, лр = —1. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции y — f[x) в указанной точке л = лр (XIII.6-XIII.8). XIII.6. 1) /(л) = 2л - 4, Лр = 3; 2) /(л) = 2 - 5л, Лр = 1. XIII.7. 1) /(л) = 1 - л2, Лр = 0; 2) /(л) = Зл - л^. Лр = 4; 3) /(л) = Зл^-2л-l-2, Лр = -2; 4) /(л) = 2(л - 3)^, Лр = 1. XIII.8. 1) /(л) =г 2^, Лр = 4; 2) /(л) = лр = 9. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции у = f{x) в точке л = лр (XIII.9-XIII.10). XIII.9. 1) /(л) = 2(л - 3)2; 2) /(л) = (Зл + 1)2 - л. XIII.10. 1) /(л) = -(л + 1)3; 2) /(л) = (2л - 5)3 ч-1. §1. Определение производной. Производные функций х", sin.t, cosx 263 Используя формулы для производных функций Х", SinX, COSX, вычислить значение производной функции у = /(х) в указанной точке х = хо (XIII.11-XIII.12). Xlll.ll. 1) /(х) = х^, хо = -2; 3) /(х) = х“^, Хо - 2; 5) !{х) = х Хо = 0,25; X111.I2. 1) /(x) = sinx, Хо = 2) /(х) = х*°°, Хо = -1; 4) /(х) = X®, Хо = 27; 0) /(^) = J'c = 32. 2) /(х) = COSX, JC0 = 3) /(х) = sin Зх cos2x — cos3xsin 2х, хо = 4) /(х) = 2cos2 ^ - 1, Хо = 1е-' 6 ’ 4л 2 ’ 3 • Второй уровень Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции у — /(х) в каждой точке хр ее существования (X111.13-X111.17) 2) /(х) - ' • Х111.13. 1) /(х) = ^-Ь4; _ J_. V-2’ 3) /(х) Х111.14. 1) /(x)-v/3^; 3) /(х) = Х111.15. 1) /(x) = cos2x; Х111.16. 1) /(x) = sin|; Х111.17. 1) /(x) = tgx; x-f-3’ «/«“йття- 2) fix) - 2/Г^; 4) fix) = ^2^. 2) fix) = 4 sin^ 3x. 2) /(x) = (sinx-bcosx)^. 2) /(x) = ctgx. Пользуясь определением производной, выяснить, существует ли производная функции у —fix) в точке х = 0 (X111.18-X111.19). >^2 V п ч" X®, X ^ о, X < 0. ХШ.18. 2)/«={!>; Х111.19. 1) /(х) = 2|х|4-1; 2) /(х) = х|х|. Х111.20. Пользуясь определением производной, выяснить, существует ли производная функции у = fix) в точке х = 0: о /(х) = |х| • sin х; 2) /(х) = |х| • cosx; 3) /(х) = х| sin2x|; 4) /(х) = 2х| cosx|. 264 Глава XIII. Производная и дифференциал XIII.21. Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции у = 1{к) в каждой точке ее существования: О /(jc) = а: - 1|; 2) /(^) = |jc^ - 4|. XIII.22. Подобрать коэффициенты а \л Ь так. чтобы функция y = f{x) была непрерывной в точке x = xq и имела в этой точке производную: х^, х^ 1, 1) /(^) = <1 , ^0 = 1; [ах + о, л: < 1, §2. ПРОИЗВОДНЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ Первый уровень Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции y=f{x) в указанной точке .<=л:о (XIII.23-XIII.24). XIII.23. 1) f{x) = 2^ xq = 1; 2) f{x) = 3^, xq = 0,5. XIII.24. 1) [{x) = \og2X, Xq = 4; 2) /(x) = logo3л:, Xq = 5. Используя формулы для производных показательной и логарифмической функций, вычислить значение производной функции y = f{x) в указанной точке х = Xq (XIII.25-XIII.26). XIII.25. 1) fix) = 0,5\ xo = -h 2) f(x) = 2'^\ xq =-3; 3) fix) = 5-\ xo = 2; 4) f{x) = 2'‘ • 3^ xq = 1. XIII.26. 1) /(jc) = logo.5x:, JCo = 2; 2) /(x) = log2 , xq = 4; 3) fix) = 2Iog9X. Xq ^ 5; 4) fix) = Ig ix- -x) - lg(A: - 1). Xg = 3. Второй уровень Пользуясь определением производной, вычислить значение производной функции у = fix) в точке х = xq (XIII.27-XIII.28). XIII.27. 1) /(х) = 10^-2; 2) /(х) = -f 3. XIII.28. 1) /(х) = 21п(х-|-5); 2) /(х) - log3(x 4-1) - 2. §3. Правила дифференцирования 265 XIII.29. Пользуясь определением производной, выяснить, существует ли производная функции у = f{x) в точке х = 0: х^О, X <0. 1) /(.«) = 2)/(;с) = |^^ XIII.30. Подобрать коэффициенты а и Ь так, чтобы функция y = f(^x) была непрерывной в точке д: = л:о и имела в этой точке производную: е^, X ^ О, 1) fix) = I ах + Ь, X <0, хо == 0; V 1 log9 X, X 4, 2) fix) = \ ах+ b, х< 4, ^0 = § 3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Первый уровень XIII.31. Найти производную функции у = fix): 1) ^ = 3-2x-t-x^; 2) у — х^-2х^ + 8-, 3) i/ = |x'‘-b|x3-|-ix2-x-2i; 4) у 4л'' -ь Зх^ -f Ь^-хЗ-гх'*. XIII.32. На рис. 1 и 2 изображены график функции /(х) = ах^ -Ь -f 6х Ч-с и четыре прямые. Одна из прямых — график производной данной функции. Указать номер этой прямой: I) для /(х) на рис. 1; 2) для /(х) на рис. 2. XIII.33. Найти производную функции у = fix): 1) y = 2\/x + f^\ 2) у = \/х + ^\ 3) у^ 4) у = + У у XIII.34. Найти значение производной функции у = [{х) в точке Xq: \) у — бх^ - 14х^ -1- 4х — 4, Хо = 1; 2) у = х^ — Зх^ Ч- 2х - Ау/х Ч- 5, Xq = 4; 266 Глава XIII. Производная и дифференциал 3) £/= v^-■; + 4-5. хо^-1; X 4) у = \/^ "Г ~ •*•0 ~ ^• х'^ XIII.35. Найти производную функции у = f{x): I) y = xcos;t; 2) y = x^cosx\ 3) г/= COS.AC — 2а:51пл:; 4) y — x\.gx\ 5) г/= x^ctgx: - 2л: tgA:; 6) г/= (2x - I) sin x. XIII.36. Найти значение выражения: 1) /'(2д) + 2/'(f), где /(jc) = (1 - 2л:) cos х\ 2) + , где f{x) = 3x^s'mx. XIII.37. Найти значение производной функции y = f{x) в точке a:q: 1) г/ = л:^(3x-1)(л: + 1), ло = -1; 2) у = {х— 2){2х 4-Ъ)х’^, л:о = 2; 3) у = х'^{х’^ - \){х'^+ 2), дсо = -1; 4) г/= (2х - 2)(3 - л^)(4л:^ - 32), xq = 2. XIII.38. Найти производную функции у = f{x): I) У = У = 7) У = X COSX 2) у="-^; 3) У = х^ + 2х sityc ’ 2х-1 ' + л + 1 . — .к + 1 ’ 1 —Х^ G) У = 1 + у/х . 1-v^’ х^” - 1 §4. Производная сложной функции и обратных функций 267 XIII.39. Найти значение выражения: 1) /'(0)-/'(-2). где = 2) /'(2)-/'(-2), где = XIII.40. Найти производную функции у = f{x)\ 1) у = х\п х + 2’^\ 2) у = 3-*^^ 4-3“^; 3) у ^ In X . х + 7^’ 4) y = x\og2X--. XIII.41. Вычислить производную функции y = f{x) в точке xq\ У = -«0 = 0; 2) у = (4 + log4 х){4’‘ - 2), xq = 1. XIII.42. Найти значение выражения: 1) Г(0)-/'(1), где = 2) где /W = [^; 3) (i) , где f{x) = 1^; 4) f{x)=x\nx. XIII.43. Решить данные уравнения и неравенства: 1) f'{^) = g'{x), где f{x) = 3 + 2х^, g{x) = Зх^ -- (5л:-3)(2-л:); 2) fix) = g!{x), где f{x) = л:^ - Ах^, g(x) = у л:^ - 180л:; 3) f{x)=f'{x), если /(дс) = 2со5х; 4) f'W > О, где f{x) = 4- \Ьх^ - 2х^, g(x) = 2х^ + 18дс + 1; 5) f'{x)^g'{x), где f[x) = K g{x) = x-x^\ 6) f'{x.) +g'{x) < О, где f{x) = g{x) = §4. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ Первый уровень XHI.44. Найти производную сложной функции y = f{ax + b)-. 1) у = соз(2л: + 13); 2) у = sin(3x - 1); 3) f{x) =cos{l-2x)\ 4) у=у/{1 -Зл:)3; 5) у = 1п(1-5^); 6) у = 6^^+2. 268 Глава XIII. Производная и дифференциал XIII.45. Найти производную функции у = f{x): 1) (/= (2л: + 1)'^: 2) t/ = sin^2x; 4) = 5) £/= sin(4x — 1)^; 7) у = \/l - 8) 1/ = v/1 — cos л; 3) у = xcos^x-, 6) y = л^tg2л; 9) у . ' — е ^х^. Второй уровень XIII.46. Найти производную функции у = /(л): 1) 1/ = |пс1д2л; 2) = log2(x^ - + 1); 3) у = (log5(x2+ 1))^; 4) ^ = tg v/^ - (л + 2)е^-'^ + In 4л + 2. XIII.47. Найти производную функции у — f{x): 1) 1/ = агс51п2л; 2) у = arcctg(2л + 1); 3) г/= arcsin Ул; 4) y^arctgV^; 5) XIII.48. Выразить как функцию от л производную функции, обратной данной; 1) (/= л^ 4-Зл; 2) у = \/л + 2 (л > —2); 3) 1/ = 2л^ —л^ (л > 1); 4) у = 0,1л —л^ (л > 0,05); 5) у = х^ - X (л < 0,5); 6) г/= arccos ^ (л > I). §5. ОДНОСТОРОННИЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Второй уровень XIII.49. Доказать, что функция недифференцируема в указанных точках; | 1) /(л) = л + |л - 11, ло = 1; 2) /(л) = |л^-4л|, Ло = -2, Л]=0, Л2 = 2; 3) /W = ( f' 7“ ^ \ „ ^0 = 0; ' ^ 1 — 2л, при л ^ о, 4) /(л) -- v^, ло = 0. §6. Дифференциал функции 269 XIII.50. Найти точки, в которых производная функции f{x) не существует. Найти в этих точках левую и правую производные: 1) /(х) = 12х-11; 2) /(х) = |15-8х + х2|; 3) !{х) = \/l6-8jt + x2; 4) f{x) = \/l6-8x2+x''; 5) f{x) = л/1 - cos2x; 6) /(x) = In |^2 — 4x + 3|; 7) /(x) = arcsin(sinx); 8) /(x) = arcsin XIII.51. Найти производные данных функций; 1)г/ = 1п|х1; 2) (/ = а resin 2.»: + .г2 §6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Первый уровень XIII.52. Обосновать приближенную формулу; 2) г2, /(jc) = 2x—Inх; 2) у=\—х, f{x)=x-\-e -2х X1II.89. Найти расстояние от начала координат до касательной к графику функции у=х\пх, параллельной оси абсцисс. XIII.90. Найти расстояние от оси абсцисс до касательной к графику функции у=4\п{х~\)—х‘^, параллельной оси абсцисс. XIII.91. При каком значении k касательная к графику функции y—kx^ образует с осью Ох угол, равный и отсекает О от 4-й четверти треугольник с площадью, равной й Задачи повышенной сложности к главе XIII 275 ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XIII XIII.92. Найти производную функции y=f{x): ,_о\/ sin^x. 1) у=2\«х\ 2) y=V 3) y=i/arcctgv^; 4) //= x/logg In л:; 5) f{x)= \/\—л =+ln XIII.93. Найти значения параметра а, при которых касательные к данным параболам образуют в точке их пересечения угол (р: 1) у=х'^+х+а\ и а> —I; О 2) у=х^+Зх-4, у=х^—х+а\ и а>—2. XIII.94. Окружность радиуса I с центром на оси Оу {у>0) касается параболы у—х^. Найти координаты точки касания М и центра окружности С. XIII.95. В какой точке параболы у=ах'^+Ьх+с {а^О) нужно провести касательную к ней для того, чтобы касательная проходила через начало координат? XIII.96. Определить значения коэффициентов pay, при которых: 1) парабола у=х^ +рх+у касается прямых у=Ъх4-\ и у=-х—2\ 2) парабола у=-Ъх^Л-рх-1-q касается прямых у——Ъх+4 и у=1хЛ-4. XIII.97. Найти уравнение касательной к кривой У—~^^ если известно, что касательная проходит через точку М={а,Ь). Сколько существует решений в зависимости от выбора точки М = {а,Ь)? Найти эти решения. XIII.98. Две касательные к графику функции y—\/l7{x^ + [) пересекаются под прямым углом в некоторой точке на оси Оу. Написать их уравнения. XIII.99. 1) Найти кратчайшее расстояние от параболы у—х^-Ъх+\% до прямой у=—2х+\. 2) Прямая I проходит через точки (3;0), (0;4). Точка А лежит на параболе у=2х—х^. Указать координаты точки Л, при которых расстояние от нее до прямой / будет наименьшим. 276 Глава XIII. Производная и дифференциал XIII.100. В каких пределах изменяется величина х^—2>у при условии log 2 (-i/-2)>l? ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XIII XIII.4. I) Д|/ = ЗДл:; 2) Д^ = -4Д.<. XIII.5. 1) Д1/= 2(Дх)^ + 4Д.«; 2) Ау = 6Д.С - (Axf. XIII.6. 1) 2; 2) -5. XIII.7. 1) 0; 2) -5; 3) -14; 4) -8. XIII.8. I) 0,5; 2) -i. XI1I.9. 1) /'{-«о) = 4 (xq - 3); 2) /' (хо) = 18x0 + 5. XI1I.10. 1) f (хо) = -3 (xq + 1)^ 2) f (xq) = (2xo - 5)^. XIII.ll. I) -192; 2) -100; 3) 4) 4; 5) -4; 6) XIII.12. 1) 0; d4 oil) 2) -0,5; 3) 4) XIII.13. 1) - ‘ ,xo?^0; 2) (x() + 3) 2 • ■’^0 7^ 3)-4, Xo/0; 4) (X() + I) I -4-, X0 2^-l. XIII.14. I) /'(.xo) = - 2\/3-д:„' Xo<3; 2) /'(хо)=^д^. Xo>2; 3) /'(xq) = Xq # 0; A) f {xo) = 3,7x; xo#-l,5. XIII.15. 1) /'(xo) = -2sin2xo; 2) /(x) = I2sin6x. XIII.16. 1) /'(xo)=^cos^; 2) /'(xo) = 2cos2xq. XIII.I7. 1) f'{xo) = —^. Л * COS д:о 3 ^(2X0+ 3)2’ III.16. 1) /'(. Xq f + ЯП. П e Z; 2) /' (xo) = —nl—. Xo / ЛП. n e Z. XIII.18. 1) He Sin* Xq существует; 2) существует и равна 0. XIII.19. 1) Не существует; 2) существует и равна 0. XIII.20. 1) Существует и равна 0; 2) не существует; 3) существует и равна 0; 4) существует и равна 2. {2х 1 X 1 1 — 2х' X < I- ® точке х = 1 производная не существует; 2) /■ X 6 (—00; —2) и (2; +оо), х€(-2;2); в точках X = ±2 производная не существует. XIII.22. 1) а = 2, 6=-1; 2) а=12, 6 = -16. XIII.23. 1) 21п2; 2) У31п3. XIII.24. 1) 41п2’ smr '12) 2In0,5’ Th8' 5in3’ SltTio' 3) 0,04In0,2; 4) 6In6. XIII.26. I) XIII.22 1) 10^0-2 In 10; 2) XIII.28. 1) 2) 7, ' ’ xo + 5’ ' (xo + l)ln3 XIII.29. 1) He существует; 2) существует и равна 1. XIII.30. 1) а = 1 /?=1; 2)“ = ^- * = 2~йГ2- XIII.31. 1) -2 + З.х^; 2) 5х^ - 4х 3) Зх^ + 2х^ + х2-1+24; 4) - 4 - Л + х - Зх^ - 8х^ XIII.32. I) № 3 х^ 1___2 5 %/2 2)№1. ХШ.ЗЗ. 1) 2)^-^; 3) ' 4) + + XIII.34. 1) 4; 2) 25; 3) 8^, 4) -18,25. Ответы к главе XIII 277 XI1I.35. I) COSX — xsinx; 2) 3;c^cosa: — ;c^sinx; 3) —x^sinjc — 2sinx; sin'^ X ■2lgx- 2x COS^ X ’ 6) 2sinx + (2x - I) cosx. 4) tgx+ —j-i 5) 2x ctgA:-cos'^a; XIII.36. 1) 2k - 4; 2) 0. X1II.38. 1) 2) ; 3) 4) ' ^ XIII.37. 1) -4; 2) 28; 3) -6; 4) -96. СЧ -2a:(1-jc3) + 3a:2(1-jc2) “ (1-x^ ’ 6) 1 s/x{\ - y/x)'^ ' (2jt- 1)2 7) „2n-l , (;c2_,V+17' (a;3" - За:" - 2) ,2n _ 1л2 ■ (x2" - 1)^ XIII.39. 1) -0,96; 2) -1^. XIII.40. 1) l+lnx + 2^ln2; 2) 3*ln3-3-^ln3; (I +7^ln7)lnx- -!-(x + 7^) {xyVf ’ 4) In X (-1 e^(x — 1) In 2 ' XIII.41. 1) -2 13 2) r; о+32 In 2. XIII.42. 1) -3e; 2) 0; 3) -2e+ 4) 3. XIII.43. 1) In 2 2) ±2;±3: 6) (0;3) U (3;6). 3) 2sin(l - 2x); 3) + 7Ш, n 6 4) (-5;0); XIII.44. 1) -2sin(2x + 13); ,i -«✓пгз;; 5) -^5-., 5) 1-1;0) U (0; I] 2) 3cos(3x - 1) 6) 9 • ■ In 6 XIII.45. 1) 20(2x4-1)®; 2) 6sin^2x cos2x = 3sin2x sin4x; 3) cos3x-3xsin3x 4) 15x^sin^x®cosx^; 7) -- 8) 5) 8(4x sinx , . x2’ 2x/l-cosx’ „V Зx^ - 2x 6х(1обд(х^-H))‘ ■’ (x»-x2 + l)ln2’ ^ (х2-И)1п5 ’ ' 1 XIII.47. 1) 2) I) cos(4x — l)^; 9) e--*(2x - X®) 2 2v/x • cos^ \/x 3) 6) 2x tg2x -I- ^ 1 cos"^ 2x XIII.46. 1) sin4x 2xe^-‘ - Se*' 4- 2x2 2x -I- Г 2s/x 4) 5) •^~('+-^ XIII.48. I) x2(l+x2 I 3(x2 -t-1) ’ 2) V^+2; 3) 3yA' . 2(1-i-x^)’ I 4x(l — x2) ’ 4) 5) 6) x\/x2- 1. XIII.SO. 1) X| = 0,5, /L(xi) = -2, 0,1-2x’ ' 2x-l’ /V(x,) = 2; 2) x,=3, /^(x,) = -2./V(x,) = 2;x2 = 5. /L(x2) = -2. Д(х2) = 2; 3) .^1=4, /1(х,) = -1. /V(X|) = 1; 4) x,=-2. /L(x,) = -4. /;(x,) = 4; X2 = 2, /L(x2) = -4, /+(хг) = 4; 5) Xn = 7Ш. n 6 Z. fL{xn) = -v^, f'jrixn) = v^; 6) xi = 1, X2 = 3 — точки разрыва функции; 7) Хп=^-Укп, п€ Z, /L(xn) = 1, /+(х„) =-1; 8) XI = -1, /1(х|) /;(х2) = -1. XIII.51. 1) i; 2) 1. /V(x,) = 1; Х2 = 1. /1(Х2) = I. XIII.53. 1) и0,485; 2) «5,833 1,938; 5) «1,995; 6) «0,02; 7) «-0,1; 8) «0,0174 10) «1; 11) «0,01; 12) -0,8. XIII.54. 1) «0,97 3) « 10,955; 4) 9) «2,93; 2) «1,0016; 3) «0,003; 4) «3,98; 5) «1,995. XIII.55. 1) 2\/a^-x-dx 2) xsinxdx; 3) arctgxdx; 4) Inxrfx. XIII.56. 2 сл<. XIII.57. Ъ см XIII.58. М^. XIII.59. 1) у = 2х-2; 2) ^^ + 3. XIII.60. 1) tg(j> =-1 278 Глава XIII. Производная и дифференциал 2)tg = 1; 6)tgij£>=3. XIII.61. 1) A =-9; 2) *=1,5; 3)*=?; 4) * = I. XIII.62. 1) (-1;0), О (3;0), (0;-3), (0; 1); 2)(1;0). (0;-8), (0; 19), (-^;0); 3)(0;-8), (4;0), (0;|), (-|;0); 4) (0;0), (0;±), (-^;0). XIII.63. 1) (0;0), (3;-30); 2) (1;0), 3) (2; |), (3; 3,5); 4) (-2 + to; o), « € Z. XIII.64. 1) i/=2,25; 2) i/=-4; 3) у=~6,у = Щ. XIII.65. y=-2x + Z4. XI11.66. 1) (U); 2) (3;-2).(-h|): 3) 4) ’^5/I)' У-2 = 0. XIII.68. I [.69. XIII.67. 1) л: - I/ + 2 = 0; 2) 3jc - i/ - 2 = 0. XIII.68. 1) 3x + 9y - 8 = '3Vl! + 2rt. = 0; 2) 2x-2y - lb = 0. XIII. XIII.71. При p = 0,5. XIII.72. 1) 1/= |; 2)y=-3x-4. XIII.73. < € (0;4) U (8;+oo). XIII.74. 1) 20 Ж. 2) XIII.75. 1) <>9. 2) / > 4. XIII.76. Через 2 c на высоту 80 л£. XIII.77. 2,5 с. XIII.78. 12л о в точках с = 0 в точке (0;0), при ас < 0 решений нет. XIII.96. 1) р = 3, р = 2; Ответы к главе ХШ 279 1 2 2 2) р=\, <7=1. XIII.97. Одна касательная у = —к-хн----hi, где л:о=7—г 4-^0 * - 1 при 0 = 0 и Ьф\, ^0=1 при а^О и 6=1; Xq= при а^О и 6=1 +i; две касательные О, J^Q -^0 1—0 6/1, 6 I + i. В остальных случаях (о = О, 6=1, о > О, 6 > 1 + <2 < О, 6 < 1 + i) искомой касательной не существует, XIII.98. \ ' л•^ + 5 XIV.25. 1) /(х) = л:-hcosx; ' 2) /(х) = 2 — х + sin х. XIV.26. 1) у = х- е-^^; 2) у = (2х - I) ■ X XIV.24. 1) = XIV.27. 2) у ^ X Второй уровень Найти точки экстремума функции (XIV.28-XIV.31). XIV.28. 1) /(л:) = 2sin'^ + sin л: + л: f 3; 2) /(х) = (1 + cosx) sin.x. XIV.29. 1) /(x) = \/3cos| + sin^-^; 2) /(^) = ^ sin 2х + I cos2х — ^. XIV.30. 1) /(х) = x2-ln(l+2x); 2) /(x) = 21n^+д:(0,5л:-3). XIV.31. 1) г/= - 2e" - 4x + 2; 2) у =-2- 3-'’^' - 2 • 3-*^' + 3-2^' + 1. XIV.32. При каждом значении параметра а найти критические точки функции f[x) = (2х - 1) ■ у/х — а. XIV.33. При каких значениях параметра Ь точка XQ = b является точкой максимума функции у=^х^— {Ь — 2)х^— 4Ьх + 3? XIV.34. При каких значениях параметра а функция f{x) = + 3(а — 7)^2 + 3 (а2 — 9) X + 1 имеет положи- тельную точку максимума? XIV.35. Пусть XI, Х2 — соответственно точка максимума и точка минимума функции f{x) = 2х^— 9ах^ + \2а^х + \- Найти значения параметра а, при которых х2 = х2- 284 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций §4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Первый уровень Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке (XIV.36-XIV.38), XIV.36. 1) /(х) = - Зх^ + Зх + 2. хе [-2; 2]; 2) /(х) = Зx'^ + 4x3 + 1, X € [-2; -0,5); 3) /(x) = 4x-i^-^, хе[0,5;1]; 4) /(х) = ЗхЗ -5x3 + 1, X е [-2; 2]; 5) /(х) = х^ (х2-8)-9, хе[-1;3]; 3;-1]. 6) /(х) = ^+х2 + 1, XG XIV.37. 1) У = ~, ^€[-3;0]; 3) У=~2~- х€ [-4;0]; 2) у = х+^ 4-х2 4 + л'^ хб [-2;-1]; х€ (-1;3]. XIV.38. 1) у = х + COS^ X, X е 2) у = ^+ sin2x, хе л, п '2’ 2 XIV.39. 1) Число 18 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так. чтобы сумма их квадратов была наименьшей. 2) Число 10 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма половины квадрата / первого слагаемого и куба второго была наименьшей. 3) Число —10 представить в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наибольшей. 4) Число 12 представить в виде сумма двух слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей. XIV.40. 1) Число 180 разбить на три положительных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение трех слагаемых было наибольшим. 2) Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей и чтобы второе слагаемое было втрое больше первого. §4. Наибольшее и наименьшее значения функции 285 XIV.41. 1) Периметр прямоугольника равен \2 м. Какими должны быть длины сторон, чтобы его площадь была наибольшей? 2) Из всех прямоугольников площади 100 найти тот, периметр которого наименьший. XIV.42. В зоопарке куском веревки длиной 100 м огораживают загон для зверей, имеющий форму равнобедренного треугольника, основанием которого служит стена павильона. Каким следует выбрать основание треугольника, чтобы его площадь была наибольшей? XIV.43. Определить размеры открытого бассейна объемом 32 с квадратным дном, на облицовку дна и стен которого затрачивается наименьшее количество материала. XIV.44. Среди всех равнобедренных трапеций с острым углом 45° и суммой длин высоты и большего основания, равной а, найти трапецию наибольшей площади. XIV.45. Сумма двух сторон треугольника равна а, а угол между ними равен 30°. Каковы должны быть длины сторон этого треугольника, чтобы его площадь была наибольшей? XIV.46. Н айти минимум суммы квадратов длин всех сторон параллелограмма, если известно, что сумма длин диагоналей этого параллелограмма равна 8. XIV.47. Найти наименьшее значение площади круга, описанного около прямоугольного треугольника площади 10. XIV.48. В полукруг радиуса 2 вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его площадь. XIV.49. Найти радиус круга, в который можно вписать прямоугольник наибольшей площади с периметром, равным 56 см. XIV.50. Найти длину бокового ребра, при котором объем правильной четырехугольной призмы наибольший, если диагональ ее боковой грани равна 6. XIV.51. 1) Найти наибольшее значение объема цилиндра, площадь полной поверхности которого равна бтг. 2) Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 16тг. Какими должны быть его размеры, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала? 286 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций XIV.52. 1) Найти наименьшее значение диагонали осевого сечения цилиндра, площадь боковой поверхности которого равна 50тг. 2) Найти наибольшее значение объема цилиндра, диагональ осевого сечения которого равна \/3. XIV.53. 1) Найти наименьшее значение длины образующей конуса, объем которого равен Штг. 2) Найти наибольший объем конуса, образующая которого имеет длину 3. XIV.54. По двум взаимно перпендикулярным дорогам к перекрестку движутся две машины со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч соответственно. В данный момент они находятся от перекрестка на расстоянии 20 км и 30 км соответственно. Через сколько времени расстояние между машинами будет наименьшим? XIV.55. Движение первой и второй материальных точек вдоль одной прямой заданы, соответственно, уравнениями s,(^) ^ + 3t + 2 и «2(0 = где t- и время в секундах, 5|(^) и «2(0“ пути в метрах. Найти наименьшую скорость первой точки в промежутке убывания скорости второй точки. Второй уровень Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке (XIV.56-XIV.60). XIV.'56. 1) /(х) = х-21пх. хе[];е]; 2) f(x) = 1п(2х) — х^ + X, а:€[0,5;2]. XIV.57. 1) £/=xe[0;l]; 2) у = X + \/3 - X, хе[—6;3]. XIV.58. 1) f(x) = (3x^--7x + 7)e\ е [О; | ; 2) f(x) = + 2 ■ -I-7X-3. хе [0,14; 1). XIV.59. 1) (/= 24х - cos 12х — 3sin 8х, 2) г/= 18л: - sin 9х 4-3sin бх, хе ^ L 18 18 XIV.60. 1) г/= X In X — X In 5, X 6 [1; 5); 2) у = 2х^ —Inx, хб[1;е]. §4. Наибольшее и наименьшее значения функции 287 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке (XIV.61-XIV.64). XIV.61. 1) у = 2 • 2^^ - 9 • 2^^ + 12 • 2\ х € [-1; 1]; 2) !/ = 2 • - 4 • + 2 • 3•^ а: е [-1; 1]. XIV.62. 1) у = 1п^ а: — 61п^л: — 151пх, х 2) ^ = 2 log2X - 15 log| АС + 36 log2->^. АС 6 [4; 16]. XIV.63. 1) у = 3\/3 • sinx ■ sin 2ас, 2) у— 2 sin 2а: + cos 4х, х € [^0; |j . XIV.64. 1) £/ = (а:-2)2- >/х2-4х + 6, хе (1;4|; 2) i/ = (а: + 1 \/ас2 + 2ас + 3, ас е[-3;0]. XIV.65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции и указать все значения ас, при которых они достигаются: 1) /(ас) — 3sin^ а: - 2 cos а: + cos^ АС - 4; 2) /(х) = 3 - 2sin^ 2ас - 2cos2x. XIV.66. Найти множество значений функции на указанном отрезке: 1) c/ = 2cosx-sin2x, хе : 2) у = sin^ X + 2 cos^ X, X € j^O; |j . XIV.67. Найти множество значений функции: 1) /(х) = sin X • cos2x; 2) /(х) = COSX • sin 2х. XIV.68. 1) Найти наименьшее значение функции у = — |2х^ + 15х^ + Збх — 30| на отрезке (—3;2]. 2) Найти наибольшее значение функции у= (х+1)(2х —5)^ на отрезке [-5; 4]. XIV.69. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке: 1) г/= 4х^ — х]х - 2|, хе[0;3|; 2) у = 2х\х+ 2\ — х^, xg[—3;0]. XIV.70. Найти множество значений функции /(х) = |х^ + 2х — 3| + + 1,5-1пх на отрезке [0,5;4]. 288 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций Найти наименьшее значение функции на указанном промежутке (X1V.71-X1V.72) X1V.71. 1) у = 2x3 ^ 3^2 _ 120л: + юо, х е (-4; 5]; 2) У = ; +^е(0;1). X1V.72. 1) // =-’^-х. X G [1;+оо); 2) ^е[-5;0). + 1 X1V.73. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном промежутке (если они существуют): 1) г/ = Зх - tgx, X е [О; ; 2) у = Зх + 2 ctgx, X е (О; . X1V.74. Определить, в какой точке промежутка ^0; функция у = tgx + 0,75ctgx принимает наименьшее значение. X1V.75. Определить, при каком значении параметра а функция у = (\/3ctgx + а^) • tgx достигает наименьшего значения на промежутке (О; в точке X1V.76. Доказать справедливость неравенства на указанном промежутке: 1) 2х + i > 5, О < X < 0,5; 2) х^ -хЗ < i X ^ 0; 3) x^ - 1 > 21пх, X > 1; 4) 6х — 41пх > x^, О < х < 4; 5) 8х - 61пх > х^, О < X ^ 4; 6) In (1 +х) < х, х > 0; 7) 2\/х>3-~ при х>1; 8) е-^>1+х при х^О: 9) 1 - Y ^ COSX, X ^ 0; 10) X — ^ ^ sinx, X > 0. X1V.77. Даны точки Л = (0;3) и fi = (4;5). Найти на оси Ох точку М такую, чтобы S = AM + МВ было наименьшим. X1V.78. На координатной плоскости даны точки Л = (—2;0), В=(0;4) и прямая Z: у — х. При каком положении точки М на прямой / периметр треугольника АВМ будет наименьшим? X1V.79. Корабль стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега. С корабля можно послать матроса в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу, от ближайшей к кораблю точки берега (лагерь расположен на берегу). §4. Наибольшее и наименьшее значения функции 289 Если матрос передвигается пешком со скоростью 5 км/ч, а на веслах — 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? XIV.80. На графике функции у = у/х, хб[1;9], найти такую точку М, для которой имеет наибольшее значение площадь треугольника АМВ, где А и S —точки графика с абсциссами 1 и 9 соответственно. XIV.81. В равнобедренной трапеции меньшее основание и боковая сторона равны а. Найти большее основание трапеции наибольшей площади. XIV.82. Длина всей границы кругового сектора равна I. Каким должен быть радиус сектора, чтобы площадь сектора была наибольщей? XIV.83. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной длине / медианы, проведенной к его боковой стороне. XIV.84. В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Какова должна быть высота прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь? Найти эту площадь. XIV.85. 1) На окружности радиуса 2 дана точка А. Хорда ВС проведена параллельно касательной к окружности в точке А так, что площадь треугольника АВС наибольшая. Найти расстояние от точки А до хорды ВС. 2) Найти угол при вершине равнобедренного треугольника наибольшей площади, вписанного в окружность радиуса R. XIV.86. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади S, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим? XIV.87. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 10-5682 290 Глава XIV. Применение производной к иссдедованию функций XIV.88. Найти углы прямоугольного треугольника, в котором отношение радиусов вписанной и описанной окружностей будет наибольшим. XIV.89. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна Л. Какую наименьшую длину может иметь медиана, делящая пополам больший катет? XIV.90. Среди всех конусов, периметр осевого сечения которых равен 8, найти конус с наибольшим объемом и вычислить этот объем. XIV.91. Определить наибольший объем правильной треугольной пирамиды, у которой апофема равна 2\/3. XIV.92. Объем прямой треугольной призмы равен V. В основании призмы лежит равносторонний треугольник. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей? XIV.93. Диагональ прямоугольного параллелепипеда имеет длину d и образует с двумя смежными боковыми гранями равные углы, величина которых равна а. Найти значение а, при котором объем параллелепипеда будет максимальным. XIV.94. Рассматриваются всевозможные треугольные призмы, у которых все боковые грани имеют периметр, равный а. Найди среди них призму с наибольшим объемом (в ответе указать боковое ребро призмы). XIV.95. Рассматриваются всевозможные правильные четырехугольные призмы с площадью боковой поверхности а?. Какой наибольший объем может иметь такая призма? XIV.96. Одно из оснований цилиндра является сечением шара, а другое основание принадлежит большому кругу этого шара. Радиус шара равен R. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим? XIV.97. Прямоугольный параллелепипед вписан в шар радиуса /?. Найти площадь поверхности параллелепипеда, если он имеет наибольший возможный объем. XIV.98. Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности. XIV.99. Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь полной поверхности. §5. Производные второго порядка 291 XIV.100. Определить высоту конуса, описанного около шара радиуса R и имеющего наименьший объем. XIV.101. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса R = \/3 так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара. XIV.102. Вокруг шара радиуса г описана правильная треугольная пирамида с высотой Н. При каком значении Н площадь боковой поверхности пирамиды наименьшая? Найти это наименьшее значение. XIV.103. Все вершины правильной треугольной призмы принадлежат сфере радиуса R. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? XIV.104. Найти высоту треугольной пирамиды наибольшего объема, вписанной в шар радиуса R. XIV.105. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус высотой Н с радиусом основания R. XIV.106. В правильную четырехугольную пирамиду с высотой Н и стороной основания а вписан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат со стороной Ь, так, что его нижнее основание лежит на основании пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах пирамиды. При каком значении Ь объем вписанного параллелепипеда будет наибольшим? Найти объем при этом значении Ь. §5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫПУКЛОСТЬ и точки ПЕРЕГИБА Первый уровень XIV.107. Найти производную второго порядка функции: I) у = х‘^-Зх^-Зх + 2\ 2) у = Ху/х + -~-^] 3) и — .£+А-2х-А' 5) у = (jt -t- 1) sin 5х; 7) у^х\п (1 -а;2) ; 4) у = sin 2х — созЗл:; 6) у = -f- -Ь Зе"''; 8) у = 1М±1. XIV.108. Найти вторую производную функции в указанной точке: \) у = х^+х = 2- 2)г/=-^, х=1; х'^ 1-1- 2х'^ 292 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций 3) i/ = tg2x-x, х = ^; 4) у = {Зх + 4)2^, х = 0. XIV.109. 1) Точка движется по закону s{t) = ^ + (s измеряется в метрах, / — в секундах). Найти ее ускорение через Зс после начала движения. 2) Точка движется по закону s(^) == 9v7 (s измеряется в метрах, t — в секундах). Найти величину ее ускорения через 9 с после начала движения. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции (XIV.110- XIV.111) XIV.no. 1) у = л:'* - бл:2 + 4; 2) у ^ 2х^ - 9х^ + 8х\ 3) У = ^х---, XIV.ni. 1) i/=-sinx: 4) у = 3х^- ]6 .2- 2) у = X + COSX. Второй уровень Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции (XIV.112-XIV.114) XIV.112. 1) y = x^ + ^/x■, XIV.113. 1) у = ^{х-2)^ + 4; 3) У =/^(1 -x)2 + ^(1 +х)2; XIV.114. 1) t/ = arctgi; 2) у= 2) у = ^х+1- ^х- 1; 4) у = ^1 + 2) у = XIV.115. Найти интервалы выпуклости, точки перегиба и угловые коэффициенты касательных в точках перегиба функции: 1) у = хе'^^ + 1\ 2) у — х^\пх4-\. §6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Первый уровень Найти асимптоты графика функции y = f{x) (XIV.n6-XIV.ll7). X1V.116. \) у = 3) У = 5) г/ = ■ Зх X 2х - 1. 3-х ’ 4 cos X - Зх. 7) у — х^ — Зх; 2). = ^- с\ ' 4-Sxcosx 6) у=---------; 8) у = -х'* + 5х - 3. §6. Построение графиков функций 293 XIV.117. I) у = 3) {/ = JC-5’ х^+х + 3. х + 1 ' 2) у = 4) у = 5-х^_ х + 2 ’ 2х^ + 4х-\ Исследовать функцию и построить ее график (XIV.118-XIV.I21). XIV.118. 1) у = Зх^-х + 2; 2) у = х^ - Зх'^ + 2] 3) у = -х^ + 4-г, XIV.119. 1) у - - 2л;2 + 5; 3) y = x'^-fx^ + 8x'^■, 5) у = х^ — 8л:^ — 9. 4) у = х^ - + 24х - 1. 2) г/-- 6л;2 + 9; 4) y = x‘^{x-\f-, х^ -\-2х+ 1 2 + х х^ + X —2 ~+Т~' Найти асимптоты графика функции y = f{x) (XIV.122-XIV.123). 2 -h х^ 1+л-''’ 1-л2. XIV.120. 1) + 2) «/- ъ)у 4) у = XIV.121. 1) = 2) у = Второй уровень XIV.122. 1 +Х^ 2) Q\ j;2 - 9. 3) »- , 4) У = 2х2+х-Г 6) У = 7) 1/ = ’ • ' ^ 1 + JT3’ 8) У = XIV.123. 1) 1/ = ^; 2) У = 3) у = х + sin л:; 4) У^ X х^-Ъх-У2 х'^ (И-д:)'* COS-t 4д;2 + X - 5 sin(4.t2 4- х) X Исследовать функцию и построить ее график (XIV.124-XIV.138). XIV.124. \) у XIV.125. 1) у = XIV.126. \) у = х^ . 1+х' 2) i/ = 3-л;2 л + 2 ■ X х^-\' 2) У = х-\ х^ ■ 2лг2 + Зх — 4 х^-2х- х2 У (х- 1)' л: + 2) 4 (х-1)2 + х. 294 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций XIV.128. \) у = '' XIV.129. 1) ^ = XIV.130. \) у = XIV.131. \) у = XIV.132. \) у = XIV.133. \) у ^ XIV.134. 1) y^{x-\)^{x-2f\ XIV.135. 1) y = {3-x)^/x^, 3) у = ¥^-х- XIV.136. 1) у = 2sinx + sin2j£:; 3) у = sin^^r + cos^x; XIV.137. J) у = xarc\.gx\ XIV.138. 1) 1/ = е"х; 1+х2’ 2) У = л -г 1 л;2 + JC 4- 1 . 2) ;.2-1 х2 + 3’ У J.2 -1- 4 Х'2 . 2) У = х2-9 х2-4’ д;2-4’ X 2) 3 — X х2-Г у х2 - бд: + хЗ . 2) ..2-4’ у 2(..+ 1)2' д:Н2. 2) У^ 2х ' 1-2х ■ 2) у=\х\х’^-Ъ). 2) у = ^Ух(4 + х); А) у = x\JА — х^\ — -Л I 3) у 5) у = х^\х\х. 6) у — \^x~-f~i + \Ух — I. 2) г/= sinxcos2x. 4) ^ 2 + 51пд: 2) у = 2х + 4 arcctgx. 2) у = хе~^\ А) у = 1п(х + 1) -х; В зависимости от значений параметра а определить число корней уравнения (XIV.139-XIV.140). XIV.139. 1) i+4x = a; 2) ±-х = а. XIV.140. 1) хЗ - 3x2 - а = 0; g) 4х^ - ISx^ - 18х - 3 = а. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XIV XIV.141. При каких значениях параметра а функция /(х) = (1 + а)х + 2sin I — (8а + 4) sin ^ ^ имеет на интервале х£(-5д; 11д) четыре экстремума? XIV.142. Доказать, что функция у = Зх** — 4х^ + 6x2 _|_ ^ ^ любых а и Ь имеет только одну точку экстремума. Задачи повышенной сложности к главе XIV 295 XIV.143. 1) При каких значениях параметра а функция f{x) — ° ~ + 2х + имеет на промежутке О £0 (—2;0) ровно один экстремум? 2) При каких значениях параметра а функция \{А = а + 8 Л 2 XIV.144. XIV.145. X + имеет на промежутке (0;2) ровно один экстремум? 1) При каких значениях параметра а функция f{x) = х^ - 1,5aл:^ - Зба^л: + является монотонной на отрезке [-1;2]? 2) При каких значениях параметра а функция /(х) = — ~ах^ — ^а^х + не является монотонной на отрезке [-0,5;!]? 1) При каждом значении параметра а (а > 1) найти д2 , наибольшее значение функции f{x) = —— ——^ на отрезке [3;4]. 2) При каждом значении параметра а найти наименьшее значение функции f{x) = I на отрезке XIV.146. XIV.147. XIV.148. jf"' - 4ax2 + 5^2 Доказать справедливость неравенства 1п^ X > 1п (х - 1) 1п(х + 1) при X > 2. Решить неравенство: 1) Vx + 7 + \/П - X > З-Ух^ - 4х + 20; 2) V30 + 2х + n/42 - 2х ^ 4^x2 - 6х + 90. 1) В две бочки были налиты различные растворы соли, причем в первую бочку налито 16 кг, а во вторую — 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в п раз в первой бочке и в m раз во второй. О числах п и т известно только, что тп = т + п + 3. Найти наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе. 2) В два сосуда налиты различные растворы соли, причем в первый сосуд налито 25 кг, а во второй — 36/сг. 296 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в т раз, а во втором сосуде — вп раз. О числах тип известно только, что тп + т = 4. Какое наибольшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе? XIV.149. 1) При каких значениях параметра р наименьшее на промежутке [-1;0] значение функции f(x) = x^ — 2px^ + l достигается на правом конце промежутка? 2) При каких значениях параметра р наибольшее на промежутке [0; 1] значение функции f{x) — х^ — 4px:^ — 10р'^ достигается на левом конце промежутка? XIV.150. 1) На координатной плоскости дана точка М = (2;4). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = Зx^, выделяемой условием — 1 ^ х ^ 1, а точка М является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь. 2) На координатной плоскости даны точки i5 = (3;l) и С=(5;1). Рассматриваются трапеции, для которых отрезок ВС является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у = {х—\)'^, выделяемой условием 0^л:<2. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь. XIV.151. 1) На координатной плоскости рассматриваются всевозможные треугольники АВС, у каждого из которых Z/4Ci5 = 90°, вершина А имеет координаты (1;0), вершина С лежит на отрезке [0; 1] оси Ох, а вершина В лежит на параболе у — х — х^. Какие координаты должна иметь вершина В, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей? 2) На координатной плоскости рассматриваются прямоугольные треугольники АВС (Z/1CB = 90°), у каждого из которых вершина А имеет координаты (—4;0), вершина С лежит на отрезке [0;4] оси Ох, а вершина В лежит на параболе у = 4х — )г. Какие координаты Задачи повышенной сложности к главе XIV 297 должна иметь вершина В, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей? XIV.152. 1) Найти координаты точки, лежащей на графике функции у — \ + COSX при О < л: < д и наименее удаленной от прямой х\/Ъ -\-2у Л- А = 0. 2) Найти координаты точки, лежащей на графике функции у = 1 — sin а: при | ^ ^ ^ у и наименее удаленной от прямой а — \/2^ — 5 = 0. XIV.153. 1) Криволинейная трапеция ограничена параболой у — х’^Л-Х и отрезками прямых y = Q, л: = 1, л: = 2. Найти координаты точки М на кривой у = х^ + \, а:€[1;2], через которую следует провести касательную, отсекающую от данной криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади? 2) Найти координаты точки А на кривой у—-х^Л-2х, через которую должна проходить такая касательная к этой кривой, что трапеция, образованная этой касательной и отрезками прямых у — 0, х = 0, х = 1 имела наименьшую площадь? XIV.154. В сферу вписана правильная четырехугольная пирамида; в пирамиду вписана правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины другого основания принадлежат боковым ребрам пирамиды. Длина высоты призмы равна Ь, а ребро ее основания имеет длину 2Ь. При какой высоте пирамиды радиус описанной около нее сферы будет наименьшим? Найдите это наименьшее значение радиуса. XIV.155. В замкнутую фигуру, ограниченную графиком функции у — 27-&х — х‘^ и осью абсцисс, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две вершины прямоугольника лежат на графике функции, а две другие — на оси абсцисс. Найти координаты вершин и площадь прямоугольника. XlV.iSe. В фигуру, ограниченную линиями у = х^, у = 2х^, х = в, вписан параллелограмм наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой x = 6, а две другие — 298 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций на параболах г/ = г/ = 2х’^. Найти значение этой площади. XIV.157. I) Касательная к графику функции у = х~^ такова, что абсцисса с точки касания принадлежит отрезку [5; 9]. При каком значении с площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и вертикальной прямой л: = 4, будет наибольшая и чему равна эта наибольшая площадь? 2) Касательная к графику функции у = такова, что абсцисса с точки касания принадлежит отрезку [0,5; 1). При каком значении с площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и вертикальной прямой х = 2, будет наименьшая и чему равна эта наименьшая площадь? XIV.158. Определить количество корней уравнения = 4а в зависимости от значения параметра а. XIV.159. 1) Найти все действительные числа х такие, что при всех положительных у выполнено неравенство Ъх^у^ — Ъх'^у. \ 2) Найти все действительные числа х такие, что при всех положительных у выполнено неравенство х'^Ъу'^ - х'^у^. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XIV XIV.2. 1) с = 2,5; 2) с = -1; 3) с = 9; 4) с = -1; 5) с = 5-Нч/97 12 XIV.5. Нет. XIV.6. Указание. Используя теорему Лагранжа, можно доказать, что функция [(х), определенная на отрезке [а,6], постоянна на этом отрезке тогда и только тогда, когда она дифференцируема на [а,Ь] и ее производная равна нулю при всех хе {а, Ь). XIV.7. Указа н и е. Применить теорему Ролля к функции /(х) = — 26х - 29. XIV.9. 1) На (-оо;0) и j^|;-boo^ возрастает, на [О; || убывает; 2) на ^-oo;-|j и [2;-|-оо) возрастает, на убывает; 3) на [0;-1-оо) возрастает, на убывает; 4) на оо;-^| убывает, на ^^;-|-оо^ возрастает. XIV.IO. I) На (-оо;-3] и [1;-|-ос) возрастает, на [-3;-1) и (-1;1] убывает; 2) на [0; 1) возрастает, на (—оо;0] и (l;-foo) убывает; 3) на (-оо;—2] и [—1;-|-оо) возрастает, на [—2;—1,5) и (—1,5;—1] убывает; 4) на [-3 —4>/5;—3) и (—3; —3-I-4\/5] возрастает, на (—оо; —3 — 4>/5] Ответы к главе XIV 299 и [-3 + 4\/5;+оо) убывает. XIV.H. 1) На ( —оо; 1^1 убывает, на |^|^;+оо^ возрастает; 2) на (-оо;—I] и (1;+оо) возрастает, на [-1;1] убывает. XIV.12. 1) Убывает на (0;2], возрастает на [2;+оо); 2) на (О; убывает, на |^^;+оо^ возрастает; 3) на (2;3] возрастает, на [3;+оо) убывает; 4) на ^0; || убывает, на |^|;+оо^ возрастает. X1V.14. 1) На возрастает, на 1^-1;—и [;^;|] убывает; 2) на [0,5; 1] возрастает, на (1;+оо) убывает. XIV.I5. 1) Возрастает на |е;+оо), убывает на (0; 1) и (1;е[; 2) возрастает на (0;+оо). XIV.I6. 1) Убывает на - 1); + l)j, k€Z, возрастает на |^^(6fe + 1); |(6fe + 5)j, ksZ; 2) убывает на возрастает на j^—^ + ;rfe; —+ n’fej,/г e Z. XIV.17. 1) Ha (—oo;-1] и [1;+oo) возрастает, на [—1;1] убывает; 2) на (l;e) возрастает, на (0; 1] и на [е;+оо) убывает, XIV.18. 1) На (—оо;0) и j^^2;2j убывает, на [^0; v^j и [2;+оо) возрастает; 2) на (—оо;-1], и убывает; на возрастает. XIV.19. 1) £7б(—оо;—3JU[l;+oo); 2) а е (-оо;-3]. XIV.20. 1) а ^ 0; 2) с ^ 3. XIV.2I. 1) х; = | + пк, Х2 = -^ + як, keZ; 2) x = (-l)'‘+'^ + ^,k€Z. XIV.22. 1) jc = 0 - точка локального максимума, /(0) = 0; х = ±\/2 —точки локального минимума, /(\/2) =/(—\/2) =-1; 2) х=—3 —точка локального максимума, /(-3) = 28; Л х=1—точка локального минимума, f(l) =-4; 3) л: =5—точка локального максимума, /(|^ ~ ~ 0 —точка локального минимума, f(0) = 0; 27 4) д: = -3 —точка локального минимума, /(—3) = — — ; 5) х =-2 —точка локального максимума, /(—2) = 25; x=l—точка локального минимума. /(1) = -2; 6) х = 2 — точка локального максимума, /(2) = 16; д: = 0 и д: = 4 — точка локального минимума, /(0) =/(4) = 0. XIV.23. 1)д: = 1—точка О локального минимума; 2) дс = 0 — точка локального минимума, jc= ^ — точка локального максимума. XIV.24. 1) д:=-1—точка локального максимума; д:= I — точка локального минимума; 2) д: = 5 —точка локального максимума; д: = —1 —точка локального минимума. XIV.25. 1) Точек экстремума нет; 2) точек экстремума нет. XIV.26. 1) х = точка локального максимума; 2) jc = |—точка локального минимума. XIV.27. 1) х — е — точка локального минимума; 2) дс = е —точка локального максимума. XIV.28. 1) ;г + 2л:л. «eZ, —точка локального максимума; + 4лга, п € Z, —точка локального минимума; 2) д: = | + 2т, п 6 Z, —точка 300 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций локального максимума, х =+ 2лп, п € О точка локального минимума. 4л XIV.29. 1) X = 4кп, nGZ, —точки локального максимума, д: = —+ 47гп, о п 6 Z, — точки локального минимума; 2) х = ^ + пп, п 6 Z, —точки локального максимума, х = —^ + тги, «eZ, —точки локального минимума. X1V.30. I) х= i—точка локального минимума; 2) а:= 1 — точка локального максимума; jt = 2 —точка локального минимума. X1V.31. 1) х = 1п2 — точка локального минимума; 2) x^2 = i\/21о§з2 — точки локального максимума, л: = 0—точка локального минимума. XIV.32. а: = 0,8а + 0,1 при а < 0,5; если о > 0,5, критических точек нет. XIV.33. При Ь<-2. XIV.34. (-оо;-3)и (З; у) . XIV.35. 2. XIV.36. I) = 4, 49 48 и Унаим — ~ 12’ (/ианм — —24; 2) — 17, Унанм — 0; 3) Унаиб 4) Умаиб = 57 И уманн = —55; 5) Унаиб = О И унаим = —25; 6) Унаиб — д> I 3 Унанм = 1- XIV.37. I) Унаиб = Г Унанм = —у 2) Унаиб = 7. Унаим = 1 5 л 5) .Унаиб =0, Унанм = —4) (/цанб — К Унаим = ~73 XIV.38. 1) Уцаиб .Уиаим — I; 2) Унаиб ~ ^ .1/наи + -24 ^ 2 4 X1V.39. 1) 18 = 9 + 9; 2) |0=| + 2|; 3) -10= (-5) +(-5); 4) 12 = 6 + 6. XIV.40. 1) 40; 80; 60; 2) 4; 12; 10. XIV.4i. 1) По 3 м\ 2) квадрат со стороной Юле. XIV.42. 50\/2. XIV.43. Дно —квадрат со стороной 4 ле, глубина —2 ле. XIV.44. Большее основание равно 0,75а, высота и меньшее основание — 0,25а. XIV.45. |,у xiV.46. 32. XIV.47. 10д. XIV.48. 4. XIV.49. R = 7-I/2. XIV.50. 2^3. XIV.5I. 1) 2щ 2) R = 2, Н = 4. XIV.52. 1) 10; 2) XIV.53. 1) Зч/З; 2) 2у/3к. XIV.54. ч. XIV.55. 0. XIV.56. 1) 1 2(1п2 - 1); 2) In 2 23 41 2{1п2 - 1). XIV.57. I) Унаиб — 2, Унаим — \/2; 2) Унаиб — 3,25, Унанм — —3. X1V.58. 1) и 5^; 2) е + ^ + 4 и XIV.59. 1) i/наиб = = 4д - 1 + 1,5\/3. Унаим = -1 - 4д - 1,5\/3; 2) Унаиб = 7Г - 1 + 1,5\/3, Унаим =—1 — 7д—1,5\/3. XIV.60. 1) .Унаиб = о, Унаим— — Унаим = 2. X1V.61. 1) 5 И 4; 2) 24 и 0. — 2) .Унаиб —2е — 1, XIV.62. 1) 8 и -13; 2) 32 и 27. XIV.63. I) 4 и 0; 2) 1.5 и 1. X1V.64. 1) у„аиб = 4\/б. Унаим =0; 2) Унаиб = 4\/б, Уиаим = 0. XIV.65. 1) 1,5 — наибольшее значение, достигается при х=±^ + 2яп, яGZ; —3 — наименьшее значение, достигается при х = 2лп, neZ; 2) 5 —наибольшее значение, достигается при х=^ + дя, п & Z\ 0,5 — наименьшее значение, достигается при х = ±| + дя, я 6 Z. X1V.66. 1) 0; ЗуД 2) 2ч/5 ;2 XIV.67. 1) [-1; 1]; 2) 4у/3. 4ч/3 ■ 9 ’ 9 Ответы к главе XIV 301 XIV.68. 1) i/наим = -118; 2) £/„а„б = 900. XIV.69. 1) //„а,,о = 105, 2) 1/„а„б = 21, (/„аим = -|у. XIV.70. [0; 21 + 31п 2]. XIV.71. 1) ^„аим = -204; 2) (/„анм = 64. XIV.72. 1) г/„а„б =-2; 2) у,„„о = = 0,5. XIV.73. 1) 1/„аиб = 3arccos(-^) - \/2,//|,аим не сущестоует; 2) //„аис не существует, //паим = 3arcsin ^ + \/2. XIV.74. arctg^. XIV.75. ±\/2. XIV.76. Указание. 1) Исследовать поведение функции 2х+-^ на промежутке (0;0,5) с использованием производной; 3) Исследовать поведение функции /(х) = — 1 — 2 InJC на промежутке [1;-|-оо) с использованием производной. XIV.77. М = (1,5;0). XIV.78. Л4 = (0; 0). XIV.79. В 3 кж от лагеря. XIV.80. Л4 = (4;2). XIV.81. 2а. XIV.82. XIV.83. 0,8. XIV.84. XIV.85. I) 3; 2) 5. XIV.86. XIV.87. 12 см л л л 4' 4’2' и 3v/3 см. XIV.88 XIV.91. 16v/3. XIV.92. ,3 XIV.89. 1,5Л. XIV.90. XIV.93. с< = arctg^. XIV.94. “ 6' XIV.97. Указание. Следует XIV.95. ^^12. XIV.96. доказать, что основанием прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема является квадрат. XIV.98. |/?. XIV.99. /?. XIV.100. 4R. XIV.101. 3. XIV.102. Н=(2+\/2)г, . XIV.103. H = 2RV3. XIV.104. |/?. Указание. Следует доказать, что пирамида наибольшего объема — правильная. XIV.105. ^kHR^. XIV.106. 6= |а. . = XIV.107. 1) у" = 12х'‘^ = 4^ + 41^ - 3) у" ~ (/'^ = -4sin2x-h9cos3x; 5) //" = 10cos5x - 25(х + l)sin5x; 6) у" = 4е" -1- Ч- Зе 7) у" = - 2х XIV. 108. 1) 2) О Ах (ГГ?р’ 8) у” = 21пх- 1 3) 16; 4) 61п2-|-41п^2. XIV.109. 1) \8 м/с\ 2) — м/с. XIV.110. 1) На (—оо;-1) и (1;-1-оо) выпукла вниз, на (—1;1) выпукла вверх; х = —1, х = 1—точки перегиба; 2) на (—оо;1,5) выпукла вверх, на (l,5;-t-oo) выпукла вниз; х= 1,5 —точка перегиба; 3) на (—оо;0) выпукла вниз, на (0; ч-оо) выпукла вверх, х = 0 —точка перегиба; 4) на (—оо;—2) и (2;Ч-оо) выпукла вверх; на (-2;0) и (0;2) выпукла вверх; х=-2 и х = 2 —точки перегиба. XIV.111. 1) На (2лй; л Ч-2л/г) выпукла вверх, на (лЧ-2л*:;2лч-2л1:) выпукла вниз, х = лй, ^ € Z, — точки перегиба; 2) на Ч-2лй; Y Ч-2л^^ выпукла вниз, на Ч-2лЛ; ^ + 2лй^ выпукла вверх, х=|ч-лЛ, точки перегиба. XIV.112, 1) На (0;0,25) выпукла вверх. 302 Глава XIV. Применение производной к иссдедованию функций на (0,25;+оо) выпукла вниз, х = 0,25 —точка перегиба; 2) на + *) выпукла вверх, на ^^ + l;+ooj выпукла вниз, х=^ + 1—точка перегиба. XIV.113. 1) На (—оо;2) выпукла вверх, на (2;+оо) выпукла вниз, х = 2 — точка перегиба; 2) на (—оо;—1) и (1;+оо) выпукла вниз, на (—1; 1) выпукла вверх, х = — 1 и х = 1 — точки перегиба; 3) выпукла вверх на R. 4) на (—оо; —I) и (0;+оо) выпукла вниз, на (—1;0) выпукла вверх. х = -1 и х = 0 —точки перегиба. XIV.1I4. 1) На (-оо;0) выпукла вверх, на (0;+оо) выпукла вниз, точек перегиба нет; 2) на (—оо;0,5) выпукла вниз, на (0,5;+оо) выпукла вверх, х = 0,5 —точка перегиба. XIV.II5. 1) На (—оо; —I) выпукла вверх, на (-1;+оо) выпукла вниз, ,s -1—точка перегиба, к =—е 2) на (0;е **) выпукла вверх, на {е '';+оо) выпукла вниз, М 1е 3 ^ точка перегиба, к = —2е XIV.116. 1) х = 0,(/ = -3; 2) х=1,1/ = 2; 3) x = 3..v=-2; 4) У = ~^\ 5) х = 0, (/=—3; 6) X = 0; 7) асимптот нет; 8) асимптот нет. XIV.117. 1) х = 5, (/= X + 5; 2) X = —2, (/ = —х + 2; 3) х = —I, у = х\ 4) х = 2,(/ = 2х+8. XIV.1I8. I) 0(у) = Ш. Функция возрастает на ^-оо;-^| и j^|;+ooj; убывает на jj- -^ = “5 — точка локального максимума, — точка локального минимума; х = 0 —точка перегиба; на (—оо;0) выпукла вверх, (0;+оо) выпукла вниз; асимптот нет; 2) D{y) = R. Функция возрастает на (—оо;0) и [2;+оо), убывает на (0;2); х = 0 —точка локального максимума, х = 2— точка локального минимума; х=1—точка перегиба; на (—оо;1) выпукла вверх, (1;-|^оо) выпукла вниз; асимптот нет; 3) 0{у) = Ш.. Функция нечетная (график симметричен относительно начала координат), на убывает, на возрастает; точка минимума, X точка максимума; х = 0 —точка перегиба; на (—оо;0) выпукла вниз, (0;+оо) выпукла вверх; асимптот нет; 4) D{y) = R. Функция возрастает на (—оо;2] и (4;+оо), на [2; 4] убывает; х = 2 —точка максимума, X = 4 —точка минимума; х = 3 —точка перегиба; на (—оо;3) выпукла вверх, (3;+оо) выпукла вниз; асимптот нет. XIV.I19. 1) D(i/) = R. Функция четная; возрастает на [—1;0] и [1;+оо); убывает на (—оо;—1] и [0;1]; i/max = ,у(0) = 5, (y) = R\{l}. Функция возрастает на (-оо;0] и [2;+оо), убывает на [0;1) и (1;2]; //„ах = (/(0) = 1, (/„,,„= (/{2) = 3; на (-оо;1) выпукла вверх, на (1;+ос) выпукла вниз; асимптоты х=1 — вертикальная и у = х —наклонная; ^ ~ ^ ^ ~ v4”)' £>((/) = R\ {0}. Функция возрастает на и y^^ieaeT на 2 ’ о) и (^0;^ ; i/max = (/(-^) =-%/2, (/min = (/(^) = ^; на (—оо; 0) выпукла вверх, на (0;+оо) выпукла вниз; асимптоты х = 0 — вертикальная и 1/= х — наклонная; 4) // = (х + 2) + 2 + х ■2. D(i/) = R\{-2}. Функция возрастает на (—оо;—3] и [-1;+оо), убывает на [—3;-2) и (—2; — !]; (/max =(/(-3) =-4, (/min =^(-1) = 0; На (-оо;-2) выпукла вверх, на (—2;+оо) выпукла вниз; асимптоты х =—2 — вертикальная и (/ = х — наклонная. XIV.12I. 1) D(y) = R \ {0}. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат; на (—оо;0) и (0;+оо) возрастает; на (—оо;0) выпукла вниз, (0; +оо) выпукла вверх; х = 0 — вертикальная асимптота у = X—наклонная асимптота; 2) D(^) = R \ { —1}. Функция возрастает на (—оо;—1) и (—1;+оо); на (—оо;—1) выпукла вниз, (—I; too) выпукла вверх; X = —1 — вертикальная асимптота, (/ = х — наклонная асимптота. XIV.122. 1) (/=1; 2) 1/ = 0; 3)х = 0, // = 1; 4) х = ±2, у =-1; 5)х = -1. х = 0,5, (/ = 0; 6) х = 1, х = 2, у = 0\ 7) х = —1. у = х; 8) х = -1,(/ = х —2. XIV.123. 1) ^ = 0; 2) X = о, (/ = 0; 3) асимптот нет; 4) (/ = 4х + 1. XIV.124. 1) £>(у) = R\ {—1}. Функция возрастает на (—оо;—2] и [0;+ос), убывает на [-2;-1) и (-1;0]; (/„щ = (//) = R \ {-2}. Функция убывает на (—оо;-3] и [—1;+оо), возрастает на [—3;-2) и (—2; — !]; 304 Глава XIV. Применение производной к иссдедованию функций ({/) = R. Функция нечетная (график симметричен относительно начала координат;), на (—оо;—1] и [1;+оо) убывает, на [—1;1] возрастает; х = —1—точка минимума, х = I — точка максимума; x = ±v^, х = О —точки перегиба (на (-оо;—\/3) и (0; \/3) выпукла вверх, (—v^;0) и (\/3;+оо) выпукла вниз); {/ = 0 — горизонтальная асимптота; 2) £>({/) = R. Функция убывает на (-оо;—2] и [0;+оо), на (-2:0) возрастает; {/min =i/(—2) = —^, {/max = {/(0) = 1;х = о — точка максимума; {/ = 0 — горизонтальная асимптота. XIV.129. 1) £)({/) = R. Функция четная (график симметричен относительно оси ординат); на (—оо;0] убывает, на (0;+оо) возрастает; {/min = у(0)=0; на (—оо;—1] и jl;+oo) выпукла вверх, на [—1;1] выпукла вниз; (±1;0,25) — точки перегиба; у = \ — горизонтальная асимптота; 2) D(y) = R. Функция четная (график симметричен относительно оси ординат); на (—оо;0] убывает, на [0;+оо) возрастает; //mm = /2;2] убывает, на [-у/2;\/2] возрастает; i/min =‘/("'/З) = ~2. 1/тах = i/(v/2) = 2; (0;0) —точка перегиба, на [-2;0) выпукла вниз; на (0;-2] выпукла вверх; асимптот нет; 5) 0{у) = R-, (0;0) —точка пересечения с осями координат; функция возрастает на R; (0;0) —точка перегиба; на (-сх:;0] выпукла вниз, на [0;+оо) выпукла вверх, у =—\, у=\ — асимптоты; 6) D((/) = К; (0;0) — точка пересечения с осями координат; функция возрастает на R; (0;0) и (±1; — точки перегиба; на (—оо; — 1] и [0; 1] выпукла вниз, на [—1;0] и [1;+оо) выпукла вверх; асимптот нет. XIV.I36. I) D{y) = R\ имеет период 2д; (д/г;0), йбй, —точки пересечения с осями координат; в пределах отрезка [0;27г] возрастает на [О; и [у; 2т:| , убывает на ^ j ^ у ^ выпукла вверх ^а j^O; д — arccos |j и тг + агсеоз , выпукла вниз на Jn'-arccos 7г| и |^п’+агееоз |;2д| ; точки перегиба агееоз i; 3vl5\ (;г;0) и ^7г+ агееоз J ; асимптот нет; 2) D(y) = период 2тг, (кк\0), + ^ € Z, —точки пересечения с осями координат; в пределах отрезка [0;2л] /б. Зл] V 6’ 2 J” 2; Л — агееоз Л л + агееоз, возрастает на 2л — агееоз 0; агееоз Л / 5 /5" у; 2л-агееоз^ на arccos J 5. я 6’ 2 ;г — arccos J g: л + агееоз И О Ут« — 1^(2) ~ У'™" ~ У + агееоз Л 3?г, о Л) убывает Утах Ответы к главе XIV 307 = (/ ^arccos (/max = У ^7Г- arccOS yij = t/max = У (у) = 1; точки перегиба (^arcsin . (п - arcsln (2;r-arcsin^;|-yf). (;г +arcsin ; асимптот нет; 3) D(i/) = R; имеет период 2д; + д/г;oj ,fe € Z,— точки пересечения с осями координат; в пределах отрезка [0;2д) возрастает на - ,6ы.а.т н, [!;!], (,;f] „ [|;2ф = 1,(Ь”) - = “"!• J/min — у J ~ Цтлх “5^ (2} X = :и: X = ^ X Ч|г I 9 X =-2—i arcsin I — абсциссы точки перегиба; асимптот нет; 4) D(//) = R; имеет период 2д; (д/г;0),Л 6 Z. — точки пересечения с осями координат; в пределах отрезка [0;2д] возрастает на [О; и убывает на н [у;2д]; {/min =//(^^) = 0. {/max = {/^^ + Д^^ = J, {/max = {/^у += I. /гей; асимптот нет. XIV.137. 1) D({/) = R; {/min = {/(0) = О, //=—у —1 — левая асимптота; {/ = у — 1 — правая асимптота; выпукла вниз при всех xeR; 2) D(i/) = R; {/min = {/(О = 2 +/г, {/max = {/(-1) =-2 + Зд; у = 2х + 4ж — левая асимптота; {/ = 2х —правая асимптота; (0;2д)—точка перегиба. XIV.138. 1) D({/) = (—оо; 0) и (0;+оо); {/>0 при всех х € D{y)\ функция возрастает на (—оо;0) и (0;+оо); на (—оо;0) и (О; выпукла вниз, на |^|;+оо^ выпукла вверх; х = О — вертикальная асимптота, {/—>+оо при X ^ —0; lim {/ = 0;{/= 1 — горизонтальная асимптота при х —>•+оо; + О 2) D({/) = (-оо;0) и (0;+оо); {/max = {/(-1) =-е, на (-оо;-1] и (0;+оо) возрастает, на (—1;0) убывает; на (—оо;0) выпукла вверх, на (0;+оо) выпукла вниз; х = О — вертикальная асимптота; 3) D(//) = R; {/max ={/(1) = е, —точки перегиба; на (—оо;1] возрастает, на (1;+ос) убывает; на выпукла вверх; {/ = О — горизонтальная асимптота; 4) D(//) = (-1;+оо), {/тах={/(0) = 0, х=—1 — вертикальная асимптота; на (—1;0] возрастает, на (0;+оо) убывает, выпукла вверх при всеххеО({/); 5) D({/) = (0;+oo); (1;0) —точка пересечения с осью Ох; функция на (Oi'^] убывает, на возрастает; {/min={/(;;^) = -^. (^;-^)-точка перегиба; на (О; выпукла -'arcsin|. ^ ^ arcsin |, X = ~ ~ arcsin 2-V2] [2 + \/2 , N \2-V2 2 + V2] оо; —2— И ^ ;+оо1 выпукла вниз» на 2 ’ 2 308 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций вверх, на выпукла вниз; Игл !пх) = 0. XIV.139. 1) При х->0+0 а6 (-4;4) нет корней; при а = ±4 — один корень; при а€ (-эо; —4)U(4;+oo) — два корня; 2) два корня при всех а. XIV.140. 1) При а < —4 и а > О один корень; при а = О и а = —4 два корня; при —4 < а < О три корня; 2) при а < —84 и а > 1,75 один корень; при а — —84 и а = 1,75 два корня; при —84 < а < 1,75 три корня. XIV.I4I. а € {—ос: —1) U (1;+эо). XIV.143. 1) а^|; 2) а > 8,5. XIV.144. 1) а € (-оо;-|] U {0} U (0,5;+оо); 2) а е (-3;0) U (0;1,5) — 3 2 < а < 3, XIV.145. I) при а ^ 3; 2) при 1 < а ^ 2, -- при а < 1, 1 5сг при при а ^ 1. 16а + 16 XIV.146. Указание. Переписав неравенство в виде 1»-*^ + U In (дг - I) 1п дг рассмотреть функцию f(x) = ~ jy- ^ ^ (2;+ос), и исследовать ее поведение с помощью производной. XIV. 147. 1) 2. Указание. Можно рассмотреть функцию /(дс) = \АТТ + УИ — ^ и найти ее наибольшее значение на области определения функции; 2) 3. XIV.I48. 1) 80 кг\ 5. 2) 24^ кг. 4 XIV.I49. 1) (-оо;-0,5]; 2) [0.25;+эо). XIV.I50. 1) 3 9’ 2) lA, XIV.151. 1) (i;|); 2) | (v/З - l)) . XIV.I52. 1) (0;2); 2) XIV.153. 1) 2) ^ = XIV.I54. Наи- меньшее значение радиуса равно при высоте 36. XIV.155. (—3-1-2\/3;0), (-3 + 2v^;24). (-3-2\Л;0), (-3 - 2ч/3;24); площадь прямоугольника равна XIV.157. 1) Наибольшее значение площади ^ о 96л/3. XIV.I56. 32. получается при с = 8; 2) Наименьшее значение площади 1,92 • ^1,25 получается при с = 0,8. XIV.158. Один корень при а = О, два — при а = 1, четыре —при О < а < 1; при а < О и при а > 1 корней нет. XIV.159. 1) [—\/^;0]. Указание. Можно рассмотреть функцию fiy) — ~ ^>^У —5дс (х выступает в роли параметра) и переформулировать задачу следующим образом: найти все значения параметра х, при каждом из которых на множестве (0;-f-oo) функция f[y) принимает неотрицательные значения; 2) j^v^;+oo^. Глава XV ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ §1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ Первый уровень XV.1. Показать, что функция F{x) является первообразной функции f{x) на всей числовой прямой: 1) r(x) = i sin(2x 4-3), f{x) = cos{2x+ 3)-, 2) F(x’) = — ^ cos4x - 2, /(л^) = 3sin4A:; 4) F{x) = 3) F(x) = |e3-^ + 8, f{x) = e' 1 4in3 = 3'‘^ /(x) = 3^^ 5) F{x) = 0,2(x + 1)5 + 10x2, f{x) = {x + O'* + 20x; 6) F{x) = 2\/x + 9 + 3x, f{x) = + 3; 7) F{x) = fix) = 8) F(x) = In (x + \/l +x2j, fix) = yy=^' Написать общий вид первообразных функции (XV.2-XV.4). XV.2. 1) /(х)=х2 + 5х4; 2)/(х) = ^- 3) fix) = 7^/х + ij/x; XV.3. 1) /(х) = cos(5x-3); 3) fix) = 3 - 2sin4х; XV.4. 1) /(х)= (sin| + cos|)^ Найти первообразную функции /(х), график которой проходит через точку Mq (XV.5-XV.8), XV.5. 1) /(x) = -L, Мо= (5;-l); COS^ X \ 4 / I 12. 2) fix) = (2x + 3) 4) f{x) = \/4x + 1. 2) fix) = (sinx - cosx)^ . 2) fix) . 2 Sin X M, o = H;2). 310 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.6. 1) Пх) = 4\ Mo=(log4 3;j±); 2) f(x) = 5\ Mo = (\og^4-^). XV.7. i)/W = y^. «."(i;!); 2) = "o = (V3;S). XV.8. 1) fix) = Уг '' «'> = 7ГЬ' "» = (t!^5)- Второй уровень Написать общий вид первообразных функции (XV.9-XV. XV.9. 1) i[x)- _ j£ - 3 . jt + 4’ 2) fix)- 6x — 1 X + 5 ’ XV.IO. 1) f{x) _ 1 x(x + l)’ 2) fix)- 1 x2(l+x2) ■ XV.ll. 1) fix) = cos^ 2x; 2) fix) = sin^ 5x. XV.12. 1) fix) = sinx • cos 3x; 2) fix)- sin 3x • sin 5x. XV.13. 1) fix) = (e^ + 2) fix)- (2x_2-^)3_ §2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первый уровень Используя таблицу интегралов, вычислить интеграл (XV.14-XV.18). XV.14. 1) J (5^ + 6г^ - 2л: + 6) dx; 2) j{x-3)^xdx-, 3) T{x + ±ydx-, 4) j(i-2)'dx. XV.15. 1) J(^-A:yjc + l)dA:: 3) XV.16. 1) j 4^dx\ + I 3) J JC^ + I dx\ XV.17. 1) J (sinx + 2cosjc)dx; 3) J xdx\ 2) J — 2)“^ й(л:; 2) 2^ ’ (l+x2) ... г — 3 J 2) V sin'^.v/ 4) Jctg^A:dA'. §2. Неопределенный интеграл 311 XV.18. I) /3^(1-3--')dx; 3) j(2-‘ + ^)V 2) 4) Вычислить интеграл, используя линейную замену (XV.19-XV.24). XV.19. 1) ;(х-5)‘'й(х; 3) Jsin(4x + 3)£ix; dx 5) / XV.20. 1) J \/l - 4a;2 _ dx 4дг2 -f .5 ’ 2) J (4 - 3jt)^d^:; 4) 6) f-.... •' l + (2.r + 3)2 2)Ь-4, . XV.21. 1) ]■ 3) J clx )/б’-(х+1)2 dx 4) Syi 2) J x^ + 4^ + 5 dx — 6jc + 18 dx \/Ъ — 4jc^ dx y9-(l-x)2’ XV.22. 1) Jcos^xd^:; 3) J (1 + cosjc)^cf.ic; XV.23. I) f—iL; 2 I + cos 2дг XV.24. 1) Jcos6jjcos4xc(a:; 3) J cos 8a; sin 5л: dx; 4) у'|6-(Зл + 1)2 2) J sin^ 3xdx; 4) J (1 + sinx)^dл. 2) 1 - cos X 2) Jsin 2x sin 5xdx; 4) JcosxsinxcosSxdx. Второй уровень Вычислить интеграл (XV.25-XV.32). XV.25. 1) Jx(x+ 1)® dx; XV.26. 1) Г ,____4л XV.27. 1) 3) J XV.28. 1) J 4x — 2 2л + 1 1 л(л-1) 3) J ' 5) J dx; dx; dx; dx; 2) Jx(2 —x)^dx. 2) Jx^%/l — xdx. 4) 1 Л — 6 1 4) J dx; 2 - 4x + 3 dx; 2x2 + j; _ 1 6) J X + 3 x2 + X - 2 dx. 312 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.29. 1) J XV.30. 1) J 1 1 13а:^ f- 36 dx y/S- 2х-х2' XV.31. 1) siirjccos^jc x^ +2x2-3 dx dx. dx-, 2) J 2) J ,_________________ y/22 + 8x - 2x2 2) J XV.32. 1) Jcos^xrfx:; 3) J (cos'* 2x + sin'* 2x) dx-, 4) J (cos® 2л: + sin® 2x) dx. sln2 XC0s2 X 2) J sin'* л:£?л:; Вычислить интеграл, сделав подходящую замену (XV.33-XV.40). dx-, х® + 4 XV.33. 1) f xdx . •* l+x2’ 2) 3) J x'^Vl + x"! dx; 4) XV.34. 1) J ^ 2) 3) г dx J x(2 + lnx)’ 4) XV.35. I) 2) 3) J" + 1 4) XV.36. 1) Jcosx\/sinxdx; 2) 3) J dx; 4) XV.37. 1) J sin^xdx; 2) 3) J sin® xdx; 4) XV.38. in '‘"4' dx- 2) XV.39. 1) Jtgxdx; 2) XV.40. 1) sinx 2) \/1б^ dx . xinx’ 9x4 ; dx. dx xlnx(lnx •2)- \/?TT dx-, — 1 dx. sin 2x 1 + cos2 2x dx. dx cosx ’ dx. Вычислить интеграл, используя метод интегрирования по частям (XV.41-XV.45). XV.41. 1) ^{x + 2)e^dx-, 2) /л:1пл:сгл:; 3) ^ хе^’^ dx-, 4) Jx 1п(л; + 1) dx. XV.42. 1) Jxlnxdx; 2) .Jx ln(x + 1) dx. XV.43. 1) J (x — 1) sinx dx; 2) Jxcos3xdx; 3) Jxsin^xdx; 4) Jxcos^xdx. § 3. Определенный интеграл 313 XV.44. I) /1п(л: + 3) JarcsinxcfA:; 2) \axc\gxdx\ 4) Jarccosjcrfx. §3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первый уровень Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислить интеграл (XV.45-XV.47). 4 I XV.45. 1) I {2 Л-х) dx\ 2) J {\-x)dx. I -3 1 2 XV.46. 1) J |jc + 3|dA:; 2) j [2-\x\)dx. ~4 -2 1 ^_____________ 2 ^_____ XV.47. 1) J \/l - л:2 dx\ 2) J \/2x - x^ dx. 0 0 XV.48. Выяснить, какое из чисел больше; 2 2 1) ^{x + 2)dx или J(jc + 6)dA:; 1 i 6 б 2) J x^dx или J x^ dx\ 2 2 1 ____ 2 3) J \/x + Zdx или J (1 — a;2) dx\ 0 1 Л n A A 4) Jcosjcdx или Jsinjtdjc. 0 0 XV.49. Вычислить интеграл, используя формулу Ньютона—Лейбница; 3 О 1) J (3a;^-4x-3)2) J [2^—\)dx\ 1 -1 3) j cos^ ^ dx\ 0 ^ 6 . 4) f ■ 0,5 5) J s/\-2xdx\ 0 ^ / 0,25 . 7) J { 2-Ux- 8) J (l- ^ -18 V 3 Q V COS"^ ш dx 2х~\' 314 Глава XV. Первообразная и интеграл Вычислить (XV.50-XV.53). О 1 XV.50. 1) J д:(1 + л:)‘°й?х; 2) J jc(1 + -1 О XV.51. 1) f^dx; х+ 1 ’ 2) J~-^dx. ^ 2х + 1 XV.52. 1) JJ(x)dx, где /(jc) = | ° О ^ JC < 1, 1 < а: ^ 4; 2 < Jt < О, 4 2) J f{x)dx, где f{x) — I 2х, О ^ л: ^ 1, -2 I 3, 1 < л: <4. XV.53. 1) l\x-\\dx\ О 2) J 15л: — \ \dx. I XV.54. Найти числа Л и В, при которых функция f{x) удовлетворяет заданным условиям; 2 1) f(x) = А ■ s'm кх + В, /'(1) = 2 и J/(x)dx = 4; 2) f{x) = А-3^ + В, /'(0) = 2 и Jf{x)dx = 12. 1 XV.55. Найти все числа а > О, удовлетворяющие условию: а а 1) J(2x - l)dx > 12; 2) 4. О ^ О Второй уровень Вычислить (XV.56-XV.66). ^ . XV.56. 1) J х^ + Зх-4 0,5 dx XV.57. 1) J ^ Q Х^ - Х+1 XV.58. 1) J 2 1 XV.59. 1) J О 3 2,0 + 3 х + \ x^dx 1 dx\ 10 ' 3 2) J 2 I dx -Ъх-4 dx I 4д2 + 4х + 5 ■ 2) i X +1 2) J x^dx 1 +x' 8' §4. Применение интеграла к вычислению площадей 315 XV.60. 1) J (4sin^ JC +cosx) djt; 2) J (6cos^ 2л: + sinSx) dx. n n 3 6 7Г t: XV.61. 1) J (sin"* X + cos^л) 2) J (cos*^ x + sin^ л) dx. XV.62. XV.63. XV.64. 1) J |1jc|-1|c?a:; -0,5 Зл 1) J \/l + cosx dx; 0 I ___________ 1) J x^\Zx^ + 3dx; 0 2) J (|x + 2|-|x-l|)dx. -3 4л 2) J \/l - cosxdx. 0 2 ,______ 2) Jх\/4-Г?й?х. 0 XV.65. 1) Jsin^xdx; /V 2) J cos® X dx. XV.66. 1) Jsinxsin2xsin3xdx; 2) J cosx sin 2x cos3x Jx. 0 0 XV.67. Применяя формулу интегрирования по частям, найти: 1) Jlnxdx; 2) j хе dx\ о 3) Jxsinxdx; 4) Jxarctgxdx. §4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ Первый уровень Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями (XV. 68-XV. 86). XV.68. 1) у = £/ = 0, х = 2, х = 4; 2) г/ = \/х + 1, X = 3, у = 0. XV.69. 1) г/= 1-х^, у^0\ 2) г/ = 20 — 6х - 2х^, у = 0. 316 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.70. XV.71. XV. 72. XV.73. XV.74. XV.75. XV. 76. XV. 77. XV.78. XV.79. XV.80. XV.81. XV.82. XV.83. 1) У = 2) у = 1) У = 2) У = 1) У = 2) у = 1) У = 2) у ^ 1) У = 2) у = 1) У = 2) у = \) У = 2) у = 2>) у = 4) = 1) У = 2) у = 1) У = 2) у = 1) у^ 2) у ^ 1) У = 2) У = 1) У = 2) у = 1) У = 2) у = 1) У = 2) у ^ —x^ + 4-^c —4, £/ = 0, X =—I, — \/2 — X, х = —7, у = 0. 4; cos"^л: — sin'^х, у = 0, х = 0, l+sinjt, у —О, х = 0, x, = j. х'^ + 2. у = \ — х'^, х = 0, X = 1; х^, у = -2jc^, х = 2. л:^, у = 2 — х\ 5 + Зл: - 2д:^, г/ =.« + 1. s/x, х-Ъу^-2 — Q-, Vx + 1, у = ^ + \. х^ - 4, у = 4 - х^\ - 2л: + 2, у = 2 4- 4х - х^. !■ = л:^, у = s/x] х“^, I/ = ^; л:^, у = 2V^. е-'‘, у = е~^, X = 1; 2^ у = 4\ х = 1. 0,5’^, X - 2у + 2 = о, X = 2; 2~’‘, у = —х^ + 3,5х + 1, х = 2 (х ^ 2). х^, у = \; 5 — х^, у = \-у/х, у = 2, д: = 0; \/х + 2, г/ = 2, X = 7. кх\ sin кх, у = 4 {х^ — л:) . У = \< У = 0, х = е] У = р «/ = 0. х = 2. у/х, у = \/8 — X, у = 0, лс = 1; у/х + 2, ^ = 4-jc, y — Q. sin л:, у = х^ §4. Применение интеграла к вычислению площадей 317 XV.84. 1) У = sin 2х, у = 0, X — 0. X = 7Г; 2) У = cos Зх, £/ = 0, X = п 6’ X = К 2' XV.85. 1) У = sinx, у = COSX, У = 0, X = А 0, х=- 2) У^ sinx, у = COSX, X = 0, X = 7Г 2* XV.86. 1) У = (/-0. X - = 0, х = : 2) У^ |х2-4|, £/ = 4. Второй уровень Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (XV.87-XV.92). XV.87. 1) у = 2 + s\nx, j/=l + cos^x, jt = 0, х = к\ 2) у — sin 2х, у = I - sin 2х, ^ х = XV.88. 1) t/ = sinjc, y = cosx, х = 0, х = 2к; 2) г/= sin 2а:, г/= cos ас, ас = О, х — к. XV.89. 1) у —'I , у = 7-\х\-, 2) у = 2-\2-х\, у^± XV.90. 1) у=^, у = А-х, х=\\ 2) у = \/х — 3, у = 0,5ас - 1, у = 0. XV.91. 1) y = igx, г/= sin АС, 2) c/ = ctgAc, y = cosx, х: = ^, х = ^. XV.92. I) £/ = 2x2 + 1, у = х + 2, £/ = 1,5; 2) y = x~Y’ у = 2-х, у = 0,5; 3) £/ = 2-х2, у = 0, £/= 1; 4) £/= х2 — 6х + 5, у = 2х~7, у = 0 (у ^ 0). XV.93. Вычислить площадь криволинейного треугольника, расположенного в 1-й четверти и ограниченного следующими линиями: 1) £/=12 + 4х —х2, £/= Зх, £/= 8х; 2) Х£/ = 4, у = X, у = 2х. 318 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.94. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = — 2х + 2, касательной к этому графику в точке М = (3;5) и осью ординат. XV.95. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х^, осью Ох и касательной к графику функции у = 2x^ в точке с абсциссой х = 2. XV.96. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями I/ = - + 1, X = \ и касательной, проведенной к кривой 1 XV.99. у=^-\-\ в точке с координатами (2; 1,5). XV.97. Из точки с координатами (1,5;0) к параболе у = 2х‘^ — Ьх + 9 проведена касательная, образующая острый угол с положительным направлением оси Ох. Определить площадь фигуры, заключенной между параболой, осью Оу, осью Ох и этой касательной. XV.98. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^ + \ и касательными, проведенными к этому графику в точках с абсциссами х = 0 и х = 2. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^ — Ах + Ъ и касательными, проведенными к этому графику в точках с абсциссами л: = 1 и х — 4. 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х'^ — 2х + 2 и касательными, проведенными к этому графику в точках с абсциссами л: = 0 и х = 3. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х — х^ и касательными к этой параболе, проходящими через точку М = (2,5;6). 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у — Ьх — х^ и касательными к эГой параболе, проходящими через точку М = (2;12). Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями XV.100 у = х^ - Зх, у = X. XV.I01. XV.I02. Вычислить площадь фигуры, заключенной между графиком функции у = х^ — X и касательной к нему в точке с абсциссой х = — XV.103. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями у — х'^ — Юх^ -1-9, у — О, X — 0. § 5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам 319 XV.I04. Вычислить площадь фигуры, заключенной между графи- ками функций у = х , у 2 „ — х — 2 , у = 0, X = 4. XV.105. Через три точки Л = (0;4), В = (1;9), С—{3\7) проведена парабола у = ах^ + Ьх + с. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А так, что площадь фигуры, ограниченной этой прямой и параболой, равна XV.106. 1) Найти все значения параметра Ь {Ь> 0), при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной кривыми у — Ьх'^, равна числу с. При каких с задача имеет рещение? 2) Найти все значения параметра Ь {Ь> 0), при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной кривыми у — hy/x, у — 2 — у/х и осью Оу, равна числу с. При каких с задача имеет решение? XV.107. Обозначим через S{k) площадь, заключенную между параболой у — х"^ 4-2х — 3 и прямой y = kx + \. Вычислить наименьшее значение S{k). §5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ Первый уровень XV.108. Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v{t) = 15-1- 0,2л Вычислить длину уклона, если поезд прошел его за 20 с (путь измеряется в метрах). XV.109. Скорость автомобиля при торможении выражается формулой v{t) = 18 — 1,2л Вычислить путь, пройденный автомобилем, если он остановился через 15 с после начала торможения (путь измеряется в метрах). XV.110. Скорость прямолинейно движущегося тела равна u(i) = 4^ — Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до полной остановки (путь измеряется в метрах). XV.111. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,05 л«, если известно, что для ее растягивания на 0,01 м нужна сила в 1 //? 320 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.112. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила в 10/У. XV.113. Для сжатия пружины на 0,03 л« необходимо совершить работу \6Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу 144 Дж? XV.114. Вычислить массу стержня, длины 6, если его линейная плотность задается формулой р{х) = + 3, где х — расстояние от начала стержня. Второй уровень XV.115. Вычислить работу, необходимую для запуска ракеты весом Р = 2 \0'^Н с поверхности Земли на высоту /г = 1500клi. Радиус Земли /? = 6400/сл<. XV.116. Под действием электрического заряда величиной q электрон перемещается по прямой с расстояния а до расстояния Ь. Найти работу силы взаимодействия зарядов в двух случаях: \) а < Ь, q < 0] 2) а > Ь, q > 0. Считать коэффициент пропорциональности в формуле, выражающей закон Кулона, равным у > 0. XV.117. Треугольная пластина с основанием 0,3 м и высотой 0,6 погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно \ ей. Вычислить силу давления воды на пластину, приняв плотность воды р= 1000 кг/м^, а ускорение свободного падения g = 9,807 м/с^. XV.118. Треугольная пластина с основанием 0,9 м и высотой 0,12 ж погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на 0,03 лг ниже поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластину, приняв плотность воды р=1000 кг/м^, а ускорение свободного падения g = 9,807 м/с^. XV.119. Вычислить общую силу давления воды на дно и стенки аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 0,9 м и 0,6 лс, а высота равна 0,4 м. Аквариум доверху наполнен водой. Задачи повышенной сложности к главе XV 321 XV.120. XV. 121. XV. 122. XV.123. XV.124. XV.125. XV.126. XV. 127. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции, верхнее основание которой 38 м, нижнее 20 л« и высота 12 м. Уровень воды доходит до верха плотины. Цилиндрический бак, высота которого равна 5 м, а радиус основания равен 0,8 м, заполнен водой. Определить, за какое время вытечет вода из бака через круговое отверстие радиуса 0,1 ж в его дне, если скорость вытекания воды v зависит от высоты столба воды h и вычисляется по формуле Бернулли v = 0,6y/2gh, где g = 9,8 м/с^. Жидкость плотности р, гюдаваемая с плоскости основания в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определить затраченную при этом работу, если высота и радиус основания бака равны соответственно h и г. Найти работу против выталкивания при погружении шара радиуса R в жидкость плотности р. Найти координаты центра масс однородной фигуры С, ограниченной линиями y = 2s/x, у = 0, х = 0, х = 4. Найти координаты центра масс однородной дуги полуокружности +у“^ = 25, расположенной над осью Ох. Найти координаты центра масс однородной дуги кривой \^+ (астроиды), лежащей в первой четверти. Найти центр масс однородного прямого кругового конуса. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XV Вычислить (XV.128-XV.132). XV.128. 1) 2) XV.129. 1) J cos^ X sin^ X d.v:; 2) Jcos^xsin^xclx. XV.130. 1) ----dx] 2) —dx. XV.131. 1) JxVx4 -b2filx; 2) ^x^y/x^ldx. XV.132. r + £24^) dx. Vcos'^.v sm^xJ XV.133. При каком значении a прямая у = a делит площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0 и у = 2 + х — х“^, пополам? 11—56X2 322 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.134. Через начало координат провести прямую, делящую криволинейный треугольник с вершиной в начале координат, ограниченный линиями у = 2х-х‘^, У = 0, ,с = 1, на две равновеликие части. XV.135. 1) Найти все значения параметра а (1^а<4), при каждом из которых плон;адь фигуры, лежащей в полуплоскости и ограниченной прямыми у = 2, у = 3 и графиками функций у = ах'^, у—^ах‘^, будет наименьшей. Найти эту площадь S. 2) Найти все значения параметра а {а ^ 2), при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной прямыми у = I, у = 2 и графиками функций у = у/ах, у = 0,Ьу/ах, будет наибольшей. Найти эту площадь S. XV.136. Найти все положительные значения параметра о, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной параболой у = {\ + а?)‘^х‘^ и прямой у = а, будет наибольшей. XV.137. Найти все положительные значения параметра а, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной параболой 1 (^2 , , Q.2^ ,. ..._L ‘-i-i у = -j-!— + 2ах -t- Зa^) и прямой у = — {а^ — ах). й** ч-1 ^ й’ -I-1 ' ' ' будет наибольшей. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XV XV.2. 1) F{x) = ix* -Ь X® -I- С; 2) F{x) = х -Г In |х| + С; 3) F{x) = 4) F{x) = 2у/7х + + С. XV.3. 1) F{x) = = i sin(5x - 3) + С; 2) F{x) = ^ (2jf -Г 3)''^ 4- С; 3) F{x) = Зх + i cos 4х -I- С\ = '-^ху/х |Х^ + С; 4) F(x) = i(4x + 1)л/47+Т + С 2) F{x) = X + ^cos2x + С. XV.4. 1) F(x) = X - cosx + С; XV.5. 1) F{x) = tgx - 2; 2) F{x) = ctgx -1- 1. XV.7. 1) Fix) = arctgx + 5ti: XV.6. 1) Fix) = JJ^(4" + |); 2) Fix) := rf.(5'^-2). 2) Fix) = arctgx - In 5 XV.8. 1) F(x) = arcsinx + ^; 2) F(x) = arcsinxXV.9. 1) F(x) = x - 7In |x-H 4|-(-C 2) Fix) = 6x - 31 In |x -b 5| + C. ,XV.10. 1) F(x) = In |x| - In |x -b I| -t- C 2) F(x) = -i — arctgx + C. XV.ll. 1) F(x) = ^x + 5sin4x + C X 2 о 2) Fix) = 5-* “ ^ sin lOx + C. XV.12. 1) F(x) = -| cos4x ^ cos2x + C Ответы к главе XV 323 2) F{x) = i з1п4д: - ^ sinSx + С. XV.13. 1) F{x) = t- 2х I С; -3-f4 + f4+C. XV.14. 1) / + 1,5л:^-л2 + 6д: + С; In 2 ^3 2) 1х''-хЧ|д:ЧС; 3) ^ + 2lnH-ji- + C; 4) ^ J + I2ln |х| — 8х + С. 2) — 3a£v^ + 4х + С; D XV.15. I) \х^ - \x'^^/x + X + С-, и О 3) 1п|д:|+4v/3c + ^: + C; 4) +2\/х +^Ху/х + С. XV.16. 1) л: — arctg;c + С; 2) — - arctg^: + С; XV.17. 1) — cosx + 2sinx + С; 4) -АС — CtgAC + С 3) ja:^ - ас + arctg АС + С; 4) 2л: — 5 arctg л: -f С. 2) 2л: + 4CtgAC + С; 3) -х + tgAC + С; XV.18. I) ^ - X + С-, 2) + С; ^ _ з(0-5)^ !ч2 1п2 (0,125) 31п2 1пЗ - + С; 4, iir _ (Г '"Ш '"(г) + С. XV.I9. 1) i(x - 5)5 + С; 2) -1(4 - 3;с)® + С; 3) cos(4x + 3) + С; 4) -i ■ 2х\ + С; XV.20. I) + С; 18 5) ^агсзт2л: + С; 4) i arctg ^ Н- С. 6) i arctg(2x + 3) + С. 2) arctg(AC + 2) + С; 3) | arctg у + С; 2) ^ arcsin ^ + С] XV.2I. 1) arcsin + С; VO 3) arcsin С; 4) | arcsin + С. XV.22. 1) ^ ^ sin2x: + С; 2) ^- — lsin2AC + C; 3) l,5AC + 0,25sin2A: + 2sinAC + C; 4) 1,5л: —0,25sin2AC —2cosac + C. XV.23. 1) jtgx + C; 2) -ctg| + C. XV.24. 1) 1 sin Юл: + | sin 2x + C 2) ^sin3Ac - lsin7Ac + C; 3) — 1cos13ac + ^cos3ac + C 6 14 26 6 4) -lcos7x + 1cos3a: + C. XV.25. I) \{x + 1)^ - g(A: + 1)® + C 2) i(x - 2)5 + - 2)5 + C. XV.26. 1) i(;c + l)i + i(A: - 1)2 + C |(1 - х)л/Г^ + C 2) -|(1 - xf^/V^ + g(l - xf^ XV.27. 1) AC+ ln|x-3| fC; 2) 2x - | In |1 - 5x| + C; 3) 2л: - 21n |2x + 1| + C 4) 2л: + 11п13х-2| + С. XV.28. 1) In|л:-1| - In|x|+ C; 2) In W-1п|л: + 0,5|+C 3) 0,2 In lx - 3| - 0,2 In lx -I- 2| + C; + i In |x - 0,5| + C; 4) 2 In lx 3| - iln|x - 1| + C 5) -jln|x 4- 6) 4 In |x + 2| + I In |x - + c ’‘''•2®' ■> Я'"|!т1|-Я'"и XV.30. 1) arcsin 11^+C; 2) 4s arcsin +C. XV.31. 1) -tgx-ctgx + C •i v2 VI 2) tgx - ctgx + C. XV.32. 1) 8 + ~ sin 2x + 1 sin 4x + C 2) ^-|sin2x+lsin4x+C; 3) ^ + 1 sin8x + C; 4) 1 sin8x + C. 324 Глава XV. Первообразная и интеграл XV.33. 1) 0,51п + l) ; 2) i arctg у + С; 3) i (l + х'’) л/ГГ? + С 4) iarcsin^ + С. XV.34. 1) 0,25 In'* х + С; 2) 1п|1пх| + С 3) 1п|2 + !пх|4-С; 4) 0,51п |1пх| - 0,51п [Inx + 2| + С. XV.35. 1) 1п(е-'+2) + С 2) 2ч/ГТ^ + С; 3) X - 1п(в" + 1) 4- С; 4) \п{е' 1)^ XV.36. 1) |sinix + C; ‘...... ‘ X sinA: 2) --(cosx + 2)^х + С; 3) ---1- С 4) -0,5arctg(cos2x) + С. XV.37. 1) —cosx + + С; 2) sinx — + С 3) -COSX + I'COs’^x — icos^x + С; «J ^ XV.38. I) + С; 2) ctg^ X О А I р 4) sinx — •gSin'^x + gSin'^x + С + С. XV.39. 1) -ln|cosx| + С 2) ln|sinx| + С. XV.40. 1) ln|tgi| ) С; 2) -|n|tg(^-^)| + С XV.41. 1) хе" -Г + С; 2) ^ D '2''®^' “ ''' ^ 4) £^10(£-+11 _ |(а- - 1)2 - 4. с. XV.42. 1) ^ (inx- i) + С 2) _ I (д: _ 1)2 _ !l] LU-Ji 4 с. XV.43. 1) (1 — х)cosx + sinx + С; 2) ixsin3x + ”COs3x + С; 4) ~ 4 -*-xsin2x + 5Cos2x + С. 4 4 8 2) xarctgx - 0,51n(x^ + 1) + С; 3) у — |xsin2x — ~cos2x + С XV.44. 1) (1 + x)ln(x + 1) - X + С 3) xarcsinx 4- \/l - x2 4 C 4) xarccosx - a/I -x2 4 C. XV.45. 1) 13,5; 2) 8. XV.46. 1) 8,5; 2) 4 2 2 ® о ® о XV.47. 1) f; 2) f. XV.48. 1) J(x 4 6)dx > J (x 4-2)rfx; 2) ^x^dx>^x^dx I ,_____ 2 , . 7 7 3) J y/x + 3dx > jfl—x^jrfx; 4) Jcosxrfx > jsinxdx. XV.49. 1) 4; A I ' ' A A 0 2) -0,5; !n3 2 ■ 3) 4- J; 4) 2-; 5) 6) 9; 7) 33,75; 8) -0,75; 9) XV.50. 1) 2) M. ' 14 XV.51. 1) 2 - In 3; 2) 2 - In 1,4. XV.52. 1) 12,5; 2) 8. XV.53. 1) 1; 2) 8.2. XV.54. 1) Л =В = 2; К 2) л = Д, B=12--!|-. XV.55. 1) [4:4-00); 2) (0,4]. XV.56. 1) ^In^; In 3 3 5 7 2) lln?. XV.57. 1) 2) Jarctgl. XV.58. 1) |-l-41n^; 2) 4-ln3. XV.60. 1) 5 4-1; 2) XV.61. 1) 2) XV.62. 1) 2I; 2) 6. XV.63. I) 6%/2; 2) 8л/2. XV.64. 1) 2) О 5 3 XV.59. 1) 2) XV.65. 1) i. 2) - — -e“^■ i 4® • 2) -!• 3) л; XV.66. 1) i; t>- I -2 4) - 4- — — ^ 2 ^ 32 2) - — . ’ 32 XV.67. 1) 2 In 2 - 1; 16 XV.68. 1) 4 In 2 2) 3 ■ Ответы к главе XV 325 XV.69. 1) ‘5' 2) Il4i. XV.70. 1) И|; 2) 18. XV.71. 1) 0,5; 2) f + . XV.72. 1) >5- 2) 12. XV.73. 1) 4,4; 2) 9, XV.74. 1) 2) 1 XV.75. 1) 64. 3 ’ 2) 9. XV.76. 1) 12-5 In 5; 2) ' 12’ 3) А; XV.77. 1) е + - - 2; е 2) —. ’ 2 111 2 XV.78. 1) 3 - 3 4 In 2’ 2) б1 - 3 41п2 XV.79. 1) '1^ 2) 10^, XV.80. 1) 2|; 2) |. XV.81. 1) 2+'^-. 2) - + ? п 3 2) 5+1п2. XV.82. 1) 1,5; XV.85. 1) 1; 2) 2V2-2. XV.86. 1) 2 XV.83. 1) 10 2) 22 XV.84. 1) 2; 2) 2) 1). XV.87. 1) 1+2; ,3' 2) ч/З- п 3' XV.1 88. 1) 4ч/2; 2) 2\/3- -2. XV .89. 1) 32; 2) 2-0.5 In 27. XV.90. 1) 41п2- 2,5; 2) XV.91. 1) |(1п2- 2) 5(1п2-1) + -^. XV.92. 1) 19. 24’ 2)1; 3) 8v/2-4. 3 ’ 4) б|. XV.93. 1) у; 2) 21п2. XV.94. 9. XV .95. |. XV.96. 1п2 5 я ■ XV.97. 11,25. XV.98. XV.99. 1) 2.25; 2) 2,25. XV.99. 1) 2,25. 2) 2,25 XV.100. 1) 2,25; 2) f. XV.101. 8. XV. 102. 4 XV. 103. 88 15' XV.104. 14,5 + In 16. XV. 105. ■ у = Зх + 4 И (/ = Их + 4. XV. 106. 1) 0 < 2) 0<с< 2 Ь: •5 XV.107. 32 3 ■ XV.108. 340 л. XV.109. 405 ж. XV.no. 10| м. XV.ni. 0,125 (Дж). XV.112. 0.8 (Дж). XV.113. 0,09 л. XV.114. 162. XV.115. W 24.3 • 10'° (Дж). Указание. Сила / притяжения тела Землей есть функция от расстояния х до центра Земли: fix) = где X = Р ■ Нг XV.1I6. Y4 (^ - ^) • XV.117. й 353 (Н). Указание. Р = gp \ hf{h)dh, где /(Л) —ширина пластины на глубине h. «I XV.118. 58,25 (Н). XV.119. « 4472 (Н). XV.120. « 13 557 197 (Н). XV.121. 108 с. XV.I22. XV. 123. XV. 124. хс = 2,4, 2 1/, = 1.5. XV.125. xc = 0, = XV.126. x<; = j/<;=y. XV.127. Центр масс находится в точке, делящей высоту конуса в отношении 3:1, считая от вершины. XV.128. 1) |ln(^x'* + l) + iarctg/ + C; 2) iarcsinx'’- 1\/Г^^+С. XV.129. 1) icos*x - 1со5®.с + О Ь XV.130. I) i (;с2 - Зх + 5 |п (2x2 + Зх + 2) + ^ arctg + С; С: 2) j^cos'^x — ^соз*х + С. хЗ 2) Т + + ^ - i In (х2 - X + l) - ^ arctg ^ + С. XV.131. 1) (х^ + 2) ^ + 326 Глава XV. Первообразная и интеграл + 10 +С; 2) + С. XV.132. Xgx - ctgx -Зх + С. XV.133. а = | ^1 - . XV.134. у = |л:. XV.135. 1)0 = 4, S = '3n/2-10v/^. 2) о = 2. S = 3,5. XV.136. а = %/3. О XV. 137. а = ■Уз. Глава XVI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Показать, что функция у[х) является решением дифференциального уравнения (XV1.1-XV1.3). XVI.1. i/ — Зх + у + 5; у{х) = е'^ - Зле - 8; XVI.2. у' + 2у = е-'‘; у{х) = XVI.3. у" + 2у' - 2 = 0; у{х) = 2 + + л:. Показать, что функция у{х) является решением задачи Коши (XVI.4-XVI.6). XVI.4. х + у-2 + {\-х)у' = 0, г/(2) = 1; у(л:) = 1 + (л:-1) 1п(л:-1); XVI.5. х{х — \)у' +у=х^{2х-1), ^/(2) = 6; «/(-че) = XVI.6. л:г/' = г/(1п £/-1пле), е/(—0,5) = -0,5; у(лс) = лсе*'^^'’. Показать, что при каждом действительном значении параметра С функция у{х) является решением дифференциального уравнения (XVI.7-XVI.9) XVI.7. ху' +у—у^\п х\ у(х) -- I Ч -С.г + 1пл:’ XVI.8. xf/ — 2у = х^ cosx\ y{x) — Cx^+x'^s\nx\ XVI.9. £/'-у cosA: = sin 2,\:; у(л:) = Се^'"-‘-2(1+51пл:). §2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Найти общее решение дифференциального уравнения, а также указать его частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию (XVI.I0-XVI.14). XVI.10. у' = 2х, 1/(1) = 3. XVI.И. 1/' = 4л:-3, t/(0) = 0. XVI.12. у' = Я-, г/(5) = 10. XVI.13. у'^2{у-3), г/(0) = 4. 328 Глава XVI. Дифференциальные уравнения XVI.I4. у'-. .(1)=0. XVI.15. Найти функцию, удовлетворяющую условию у' —-к. гра- У фик которой проходит через точку М = (4;3). XVI.16. Найти функцию, удовлетворяющую условию ху' — {х+\)у, график которой проходит через точку М = (\\е). XVI.17. Вывести уравнение кривой, проходящей через точку М = (-1;0) и всюду имеющую касательную с угловым коэффициентом 2. XVI.18. Вывести уравнение кривой, проходящей через точку М=(1;0,5), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания. XVI.19. Вывести уравнение кривой, проходящей через точку Л1 = (0;2), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания. XVI.20. При прямолинейном движении тело удаляется от некоторой фиксированной точки. Скорость тела в любой момент 1 времени численно равна ^ пройденного пути. Найти •О путь S (ж), скорость V {м/с) и ускорение а {м/с^) как функцию времени t, если в начальный момент скорость равна е м/с. Найти общее решение дифференциального уравнения (XVI.21-XVI.30) XVI.21. у + у' {\-y)x = Q. XVI.22. f \)dy-\-dx = {2x-x’^)dx-\-2ydy. XVI.23. 2{ydy — xdx) = -^dy—\rdx. XVI.24. y'^e^+y. XVI.25. [\+x)ydx+{\-y)xdy^Q. XVI.26. ydy- \+e'‘ dx = 0. XVI.27. {xy^+x)dx + {x'^y-y)dy — 0. dy dx = 0. XVI.28. y^f'y XVI.29. x{y^-XVI.30. JS^dx + -^dy = 0. COS^X l)dx+y{x^ - = cos^ (/ §3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 329 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию (XVI.31-XVI.33) XVI.31. 'Mdu=-^, w(0) = l. XVI.32. e'-^^+’‘\\-x)dx + ctg ydy^O, i/(l) = |. XVI.33. = i/(0) = 0. 1 +e^'‘ §3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Найти общее решение дифференциального уравнения, а также указать его частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию (XVI.34-XVI.37), XVI.34. 1) у' = -2у + 4, у{0) = 5; 2) у'-4у = 8, i/(0)-4. XVI.35. 1) у’-у = 2х, «/(0) = 3; 2) у’ + Зу=1-Ьх, у{0)^-2. XVI.36. 1) y'-2y = cosx, у(0) = -1; 2) y'-y = sin2x, у{0) = 0. XVI.37. 1) у> + у = е^, £/(0) = 2; 2) у'-3у^2е‘^\ £/(0) = 1. Найти общее решение дифференциального уравнения (XVI.38- XVI.40). XVI.38. 1) у"-Ъу' + 8у = 0\ 2) у"-4у'-Ъу = 0. XVI.39. 1) г/" + 4уЧ41/ = 0; 2) у"-Щ' + 2Ъу = 0. XVI.40. 1) у"-4уЧ13у = 0; 2) y"-|-6i/'-|-10£/ = 0. XVI.41. Н айти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям: 1) у" + 3у' = 0, i/(0) = 2, у'{0) = Ъ-, 2) 4у"-4у' -\-у = 0, //(0) = 0, £/'(0) = 2. XVI.42. Найти общее решение дифференциального уравнения; 1) у"-9у = 3- 2) у"-7у' + \2у^-6. 330 Глава XVI. Дифференциальные уравнения XVI.43. Найти общее решение дифференциального уравнения: 1) у"-2у'+у = 2х\ 2) у"-у'-&у = х + 2. XVI.44. XVI.45. XVI.46. XVI.47. XVI.48. XVI.49. XVI.50. XVI.51. XVI.52. Найти уравнение гармонических колебаний, которому удовлетворяет функция; 1) x(^) = 2sin3^ + cos3<; 2) j;(/) = 2sin ^2^+^^ . Пусть ,t(/) — решение уравнения х" + оу^х = 0, причем при некотором t = tQ выполняется условие л:(/о) = л^Ч^о) = 0. Доказать, что в этом случае ,'с(^) = 0 при всех t. Пусть xi(^) и ^2(0 ~ решения уравнения х" + оРх = 0, причем при )!екотором t = tQ выполняются равенства -'^|(^о) = ''^2(^)- Доказать, что в этом случае X[{t)=X2{t). Пусть X\[t), X2{t) — решения уравнения х" + ОУ^х = 0. Найти 0) (щ>0), амплитуду А и начальную фазу <ро решения •^|(0 + -'^2(0=^ + если; 1) д:|(/) = 4 sin 2/, x:2(0 = 3cos2/; 2) A:i(/) = sin ^3/ + |^, j:2(0 = sin Тело, масса которого равна т, свободно падает с некоторой высоты. Вывести закон, по которому изменяется скорость u = v{t) падения тела, если на него кроме силы тяжести Р действует сила f| сопротивления воздуха, пропорциональная скорости падения. Найти зависимость от времени массы колонии бактерий при условии, что скорость размножения бактерий в любой момент времени положительна и пропорциональна их массе. На материальную точку массой т действует постоянная сила направленная в сторону движения, и сила р2, пропорциональная скорости и направленная против движения. Вывести закон движения точки. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массой т под действием постоянной силы F. Найти функцию, график которой обладает тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания. Ответы к главе XVI 331 XVI.53. Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 жг. Через сколько лет распадается половина имеющегося количества радия? XVI.54. Материальная точка массой в 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента ^ = 0 и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент t=\Q с скорость равнялась 50 см/с, а сила — 4 дин. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения? XVI.55. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет 8л1/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с? XVI.56. По закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой Т тела и температурой воздуха Tq- Если температура воздуха равна 20°С и тело в течение 20 мин охлаждается от 100°С до 60°С, то через сколько времени его температура понизится до 30 °С? XVI.57. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие определяется формулой v = 0,6^2gh, где h — высота уровня воды над отверстием, g —ускорение свободного падения (принять £=10л4/с^). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R=\ м и высотой Н = \,Ъм через отверстие в дне диаметром 2г=0,05.м? XVI.58. Некоторое количество нерастворимого вещества, содержащее в своих порах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится 99% первоначального количества соли? ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XVI XVI.10. у = х^-\-С, у = х^ + 2. XV1.11. у = 2х^ -Зх +С, у = 2х^ - Зх. XVI.12. у = Сх, у = 2х. XVI.13. у = Се^’‘ + 3, i/ = e"-t-3. XVI.14. arctgj» = = arctgx -t- С, arctgi/ = arctgx — 4' XVI.15. у = •УбГ+3. XVI.16. у = 332 Глава XVI. Дифференциальные уравнения = хе\ XVI.17. р = 2х + 2. XVI.18. у = XVI.19. у = 2е^. г-х' XV1.20. s{t) = Зе‘' 3 ж. v(t) =е'^^ м/с. a{t) = 3 ж/с^. XVI.21. = 1 + : 1+1 XVI.22. {у - 1)^ + {х - 1)^ = С. = С. XVI.24. = С. XVI. 23. - 1 = ух XVI.25. ху = Се"-*, XVI.26. у^ = 2ч/, „2ч _ /- -V4/I по ___'' = 1п(1 -t- + с. XVI.27. (I + /)(1 - х^) = С. XV1.28. у = е XVI.29. (х^ - 1)(/ - 1) = С. XVI.30. tg .< • tg = С. XVI.31. У = + j) I. XVI.32. 2 In I sin y\ = e(*-‘>^ - 1. XVI.33. arctg e* = = ln|tg( = ^ + Я 3^4' /,4дг XVI.34. 1) у = 2 + Ce-2*, у = 2 + Зе -2х. 2) у = Се''* - 2. у = 6е^* - 2. XVI.35. 1) (/ = Се* - 2х - 2, у = 5е* - 2х - 2; 2) у = i cos X + i ! О Ь = Се-3*-2х+1, ^=-Зе-^*-2.х+1. XVI.36. 1) (/ = Се^* - | cosx + | sinx. 3 2х 2 , . у = -=-е — ^cosx + pSin-x; ^ Ь 5 5 ’ = ?e*-|cos2x-i 2) (/ = Се^* - 2е^*, у = Зе^* - 2е^*. 2) у = Се* - gC0s2x — gsin2x, у — sin2x. XVI.37. 1) (/ = Се-* + 0,5е*, //= 1,5е-* + 0,5е*; XVI.38. I) // = C|e^* + Сге"'*; 2) г/ = = Cie"* + Сге^^*. XVI.39. I) у = Cie'^* + Сгхе”^*; 2) i/ = Cie'^* + Сгхе®*. XVI.40. I) = e^* (С| cosЗх + Сг sinЗх); 2) i/= е“^* (Cj cosx + C2sinx). XV1.41. 1) i/ = 3-e-^*; 2)y = 2xe°'^\ XVI.42. 1) (/= C,e^* + Сге"''* - i; 2) (/ = Cie''* + Сге^* - 0,5. XVI.43. 1) = Cie* + Сгхе* + 2x + 4; 2) r/ = XVI.44. 1) x" + 9x = 0; 2) x" + 4x = 0. = C,e3* + Сге-2* - ix _n 36 ■ XVI.47. 1) Ы = 2, A = 5, фо = arccos 2) со = 3. -4 = 9o = f • XVI.48. 0 = Ce " + ^ — решение уравнения — mg - kv, где Л — коэффициент пропорциональности в условии F\ = -kv. XVI.49. т = Се*' — решение уравнения ^ XVI.50. х(/) = С|е-'й + + Cj — решение уравнения mx"{f) = F\ — kx'{t). XVI.51. x{t) = + Cl^ + Cj — решение 2m ' = уравнения mx"{t) = f. XVI.52. У — ~ ~ решение уравнения у' XVI.53. Через 1575леот. XVI.54. о = 10\/725 сж/с. Указание: уравнение dV пп t имеет вид -р =20-. at и dv • имеет вид m • — = —kv at XVI.55. t = c. Указание: уравнение XVI.56. t = 60 мин. Указание: уравнение имеет вид ^ = /г(7 - Го). Г = 20 + 80(0,5)^. XVI.57 . яа 365 мин. Указание: уравнение имеет вид ш{Н)Ш =—S(h)dh. где со —площадь отверстия, о(А) — скорость истечения воды. Л —уровень жидкости, S{h) — площадь поперечного сечения сосуда, f —время. XVI.58. 32,2 ж«н. Глава XVII СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ И НЕРАВЕНСТВ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ §1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Первый уровень Решить систему уравнений (XVII.1-XVII.10). = 125, -I ^ 1 - 32 ■ 2У, XVII.1. 1) J4.V-V ^ 128, I53X+2.V- 3 = 1- 2) XVII.2. 1) /з'-2" = 5. \y-x = 2\ 2) XVII.3. 1) r 3-’^'^ V = 9. 1; 2) XVII.4. 1) Г5а: + 2y = 100, llgjc-lgt/ = lgl.6; Г8' \2; 2х + у — log2 32. -64 r^2+\0g^{x-y) ^ i25_ Ug (^ - i/) + + ^) = 2 - Ig 5. XVII.5. 1) + , \2Igx-lgy + lg2 = 0; 2) /log3('og2'»^) + log^logi = 1, [ log2 a: + 2 logg i/= 2. XVII.6, I) 2) Я»а,5(-*)-1о«0,25 {2 334 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов 'х^+у^ 50, XVII.9. 1) < log, 0,5 LlOg5X + 21og5 = 3 3 ; 2) Л°е2 + =5, l21og4(-;c)-logo,5i/ = 4. XVII.IO. 1) + 2) 1^л:г/ = 8; flog^;f+ log^y = 2, [x^ -2y = 8. Решить систему уравнений методом замены переменных (XVII.11- XVII.18) XVII.ll. 1) r2^' + 2i' = 4, \2-^-!'-3; 2) XVII.12. 1) Г9^ -25^/ = 56, \3^ + 5^^ = 14; 2) XVII.13. 1) p2x+l +52j/+1 ^ ,52^ \3^ + 5!^ = 8; 2) XVII.14. 1) f3A^4-V = 11, |9a + 2'‘-V = 3^+‘ -4^ + 31; 2) Г7^' + 2" = 9, \72^4-4;^ = 2«/-7^+‘- 45. XVII.15. 1) fi/2 = 4^ + 8, \2^+‘+£/ + 1 = 0; 2) XVII.16. 1) riog2X + log3i/2 = 0, jlogjx^-log, y = 5; 2) XVII.17. 1) flog_,10-i-iog^l0 = 5, \lgj: + lgi/= 1,25; 2) XVII.18. 1) f2-5‘-!' = log3 (x-2), \5-^ + log3X = 4; 2) Г3^-31' = 1, \3^+!/ = 6. г (2А _ 22.V) (4^ - 24v) = 45, \2^ +4i/ = 5. Г52а ^32;/+1 ^36^ \5^-ЗУ = 4. л: + 2^'+^ =3, 4х + 4!^ = 32. 2log4(-x) + log, £/^ = -1, . 5 log4 х'’ - log, £/ = 5. \l0g3x'’ + log^£/ = 5. /log5v^ = -7~-', \7^ + log5£/ = 6. Второй уровень Решить систему уравнений (XVII.19-XVII.25). . 22 logj X ^ 32 2 logs X _ 4log., у ^ 3 XVII.19. 1) 2) |252log5A+24'°g3й(«+_?)-1огз(лг-(,) = |, у — 04 /logf2^i/ + 4log4(A:-//) = 5, U2^//2 = 20. XVII.25. 1) I log3(3 + xy)-2- logg у = log3(^ - I); —^=5 + log,(s). 2) ] 2 log4 (1 + I/) + log2 у = l0g2 (-2 + ^ j . XVII.26. Найти все числа x и у, для которых [2^+> -4 = //2, 12"-' ^ -у. 2^+‘ = 4//2 + 1, ^ 2г/; 2) 1) M.V XVII.27. Найти все числа х и для которых j41og^(-;c) +1 = 2log2//, \log2x2 ^ log2i/; 2) Jlog^X + I = log2//^ \l0g2X^l0g2(-I/). Решить систему уравнений (XVII.28-XVII.33). XVII.28. 1) 1'^ // 2) ^ ilg2(//-3x) + lgxlgt/ = 0: log4 8 _ log4 ^ ________________8 log4 у >0g4 ’ log4 f = У log4 Л- 336 Глава XVll. Системы уравнений и неравенств различных типов XVII.29. 1) 2) XVII.30. 1) 2) XVII.31. 1) 2) Jog4^-log4X-log4i/ = 0; Jlog8;ci/ = 3 1og8xlog8(/, Ulog8;c2 = !^. V logeJ/ 11082^^4^ =2, |iogj^iog2(!/ + i)* = |; {, д; 20 logo X '“fe; = wl,-' (log21/• logi 2 = 1 - log^2, \logv^2-log^x= 1; rig2 1g(2;c) = lg3 1g(3^), \lgA:lg3 = lg:/lg2. XVII.32. 1) /'°й0-^) + 1ог2г/ = з, + £/2 = 2x + 64; 2) XVII.33. 1) 2) ' (j) +log5(l -y) = ^> + / = 40 + 2y. (2\og2(x + y)~ Iog2 jc = 2log42 + log2(3i/ - x), '0&2-2 xy + 3 x^ - у+ 3x + 'log2(65-2"+!/) = 4-£/, 2 log4 ^ = 0; log2 2x+y ^ у — 2x + 6 = log2(j;-l)-log2(2-j:). XVII.34. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение система: (3 - 2n/2)^ + {3 + 2V2f - За = х2 + 6х + 5, 1) ^ г/2 - (а2 - 5а 4-6) ^2 = О, -б^х^О; (2 - Vsy + (2 + - 5 = а - 2i/ + £/2, 2) ^ д;2 + (2 - а — а2) у^ = О, .0 ^£/^2. §2. Тригонометрические системы 337 XVII.35. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых любое решение системы (х-а^ log^y = 1, \х + За log31/ = 1 удовлетворяет неравенству у > I — х. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых любое решение системы h-a^ log2JC = 3, \£/- а log2 X = 3 удовлетворяет неравенству у > 3 — х. XVII.36. 1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений Uog^{2x-y) = 1 + log3X, [x(2x + у + 2а) = а — 2 имеет два решения. 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений (\og2{x-y) = 1 + loggX, \(х - а)^ + (jc + i/ + а)2 = 1 имеет единственное решение. XVII.37. Решить систему уравнений riog^_2 {2х^ - 4х + у + I) = 2, \х+у — 3 = а-а^. §2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Первый уровень Решить систему уравнений (XVII.38-XVII.42). Г cos(x — у) = 0,5, \cos(a: 4-1/) = -0,5. 2х + 3у= 1,5 л:, 3cos4x 4- sin Ъу = 4. XVII.38. 1) Г sin(2x 4- Зу) = 0, \cos(3x - 2у) = 1; 2) XVII.39. 1) Гх-г/ = 2л:, \ cos 4x4-sin 2г/ = -2; 2) XVII.40. 1) ( Ьк и- = 0,5, rtgjt 4-ctgi/= 2, ,.sin^.v: 4-siп^y = 1,5; \ctgx + tg i/= 2. XVII.44. 1) Найти все решения системы "sinx 4-cosy = О, sin^x + cos^y = 0,5, удовлетворяющие условиям 0<х<д, О < у < к. 2) Найти все решения системы Jsinx + tgy = О, \sin2x4-tg2y = 1, удовлетворяющие условиям 0<х<д, О < у < к. Второй уровень Решить систему уравнений (XVII.45-XVII.50). 2) (х + 2у = к, ^3sin3x4-cosy =-4; ^ \4cos3x-cos2y =-5. 'sinx = sin 2у, ,2 sin(4x 4- 8у) sin(3x 4 Юу) 4- cos(7x 4 2у) = 4; "cos3x = cosy, ,2cos(9x + 3y) 4 9sin(15x — 2y) = 4. 'tgx + tgy = I, XVII.47. XVII.48. 1) 2){ cosx • cosy = tgJ: + tgy = 1 - tgxtgy, sin2y — \/2sinx = 1; tgy-tgx= 14-tgx-tgy, cos 2y 4 %/3 cos 2x = -1. §2. Тригонометрические системы 339 XVII.49. 1) ' + sinx • sin у = cos х, ,2sinA: • ctgy + I = 0; 2) XVII .50. I + sinx • sin у = cos y, 2 sin у • ctgx + \/b = 0. sin л: J- sin у = sin(x 4- y), W + M = 1- Решить систему уравнений (XVII.5I-XVII.54). ("cos 2a- - 2tg'*y = -4, XVII.5!. 1)<^ . 1 о 2) M sinA+ - =3; V cos-^ у {cos A - COS у = -1,5, , . .V v/3 , 2) cos I + sin 2 = - 1; ' 3 cos 2a - 6 ctg"* у = -19, cos A-----------—- = -5. » sin*^ I/ 'COSA + cosy = -1,5, sin X у , 1 + sin ?- = ~ + 1. .53. I XVII XVII.54 sin A + sin у = sin^ a + sin^ y, sin^ A + sin^ у = sin'* a + sin'* y. cos(a - y) — 2 cos(a 4- y), COSA • cosy = 0,75. Решить систему уравнений (XVII,55-XVII.58). 2 sin A cosy = 2ctgA + ctgy, 2sinycosA = ctgA + 2ctgy. „ l + \/2 XVII.56. ■ ....... XVII.55. COSA ■ cosy = [ctgA • ctgy = 3 + 2\/2. f cos A + 3 sin A = 2 cos y, 1-57. < , „ l^cosу + 3 siny = 2 cos a. A sin^ = у cos^ (i/ + l) , ACOs2(A-|)=ySin2 (y + ^). Решить систему уравнений (XVII.59-XVII.62). \/2sin A — sin у = 0, \/2 cos A — \/3 COS у = 0. XVII. XVII.58. XVII.59. XVII.60. 1) 'sin у = 3sin A, ^2 cos A + cosy = 1; 2) 3cOSA + cosy = 2, г 3 cos A Isiny = 5 sin A. 340 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов XVII.6I. XVII.62. XVII.63. XVII.64. 1) sin^ д: = sin г/, cos'* X = cos у. - 4 cosy = 5, {6 cosx 3sinjc 2sin jc + 4 cosy = 3, + 2sini/ = 0; (.cosj: - 2sin^ = 0. Решить систему уравнений {< tgx + ctgj: = 2sin (.у - l) , Решить систему уравнений: tgi/ + ctgi/ = 2sin(^x + |j. I) 2) sin X — arcsin у = —I — КЦ • X к cos -jf — arcsm - = тг; \ Z 7Г о 'sin X 4- arccosу — — sin ^ — arccos - = 1 — fsin л: ■ sin £/= a, fsinA:-cost/ 1) ^ 2) ^ [x-y = n; \x-y=^. XVII.65. При каждом значении параметра а решить систему: 'sin л: • cos у— а, - У-2- XVII.66. При каждом значении параметра а решить систему; fsinx-cosr/= а, |2sinA: • cos2i/= (о - 1)*^, \cosjc • sin г/ = а — 1; \cosx • sin 2^^ = а + 0,5. XVII.67. Определить, при каких значениях параметра а система 4- ах 4- 3 == О, sin^ ап 4- cos^ у 4- 2^^^ = sin |х имеет решения, и найти все эти решения. XVII.68. Определить, при каких целых значениях k система имеет решения, и найти все эти решения; {(arctgx)^ 4- (arccosy)^ = Tt^k, arctgx 4- arccos У = |i 2) arccos X 4-(arcsin r/) (arcsiny)^ • arccosX = ^ 16’ Задачи повышенной сложности к главе XVII 341 XVII.69. Определить, при каких значениях параметра а система (х^ + = а, \cos(x —(/) -j-xi/ = I имеет единственное решение. XVII.70. Определить, при каких значениях параметра а система (х^ + 2ах + Зa^ + За -Ь 3 ^ 3 sin I/ - 4 cos у, \0 < I/ < 2л: имеет единственное решение. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XVII Решить систему уравнений (XVII.71-XVII.75). r5 + logj,x2 = -log^i/, XVII.71. 1) 2) XVII.72. 1) 2) XVII.73. 1) 2) XVII.74. 1) 2) >og»(10i/-9A:) = 2- 5 + = 4/й - | + п 6 Z; если 0 = 1, то ^g + OT;OT^, о е Z. XVII.66. 1) Если о € (—оо; 0) U (1;+оо), _ (—1)" arcsin(2a — 1) . к то решений нет; если о е [0,1]. то х У ^ (-iyarcsin(2o-l) _ I ^ от _ ^ g. g) если а ^ 0. то решений г\ ^ ^ . (2«+Л)я нет; если а = 0, то jc = - + i—5~--i 4 у=1+ 0,1^ £ XVII.67. Система имеет решения при о = ±4; если о =-4, то л:=1,// = 0; если 0 = 4. то X = -3,ху — 2у^ — 0; XVIII.2. 1) х2-Ь г/2 = 2л:; XVIII.3. 1) sin(y-x) = 0; XVIII.4. 1) \у\=х + д; XVIII.5. 1) \у\ + у = \х\ + х\ XVIII.6. 1) |у-2| = 4-х2; XVIII.7. 1) |г/- 1| = 2cosx; XVIII.8. 1) |y-t-l| = log2A:; 2) х^ - 2ху - Зу^ — 0; 4) х^ - 2ху - 4х -Ь 8г/ = 0. 2) х^ + у'^ - 6х Ау — 12. 2) cos(x + у) = -1. 2) |у-3|-1х + 2|. 2) \у\ -\х\ = х-\-у. 2) \у\^А\х\ 2) |yl = sin|x|. 2) li/1 = logo.5 х2. Найти на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству (XVIII.9-XVIII.14) XVIII.9. 1) Зх-4у-1- 12 > 0; 3) г/ 4- 3 > х2 Ч- 2х; XVIII.IO. 1) |Зх-21; XVIII.11. 1) (х-1)(г/ + 2) >0; XVIII.12. 1) log2(3x-i/-l) ^0; XVIII.13. 1) 4г/2 > х2 Ч-4х 4-4; 2) 2х-5(/-10<0; 4) г/ < -х2 4- 4х - 4. 2) |у| <2|х+1|-3. 2) (|;|-2)(у-И)^0. 2) logo,5(2 0-2) 9i/2 ^ х2 - 6х 4- 9. 2) х2-|-у2 <4(х-г/- 1). XVIII.14. 1) (х 4-1)2 4-(у-3)2 >4; XVIII.15. Найти на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих системе неравенств; 1) х2 4- у2 ^ у ^ г/ > 0; 2) х2 4- — 4х ^ 5, у 4- X ^ 2, у ^0. §1. Геометрическое описание решений уравнений 347 XVIII.16. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств: 1^1-1. 2^ iy-^2\x\ + \, 1г/<3-2|л:1; + 1) XVIII.17. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости неравенством: 1) 1-^1 + li/l < 3; 3) 1-^1 + 1у + 3| 4; 2) |л:-2| + |1/К5; 4) |jc + 3H-|i/-l|^2. XVIII.18. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств: 1) + Г < 1; 2) -(- Ч- 4 < 2л; -Ь4у. Второй уровень XVIII.19. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению у — ^л: — 3^ -f 1 = О при всевозможных действительных значениях k из отрезка —1 1. XVIII.20. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению л:^ -Ь — 2 (л: cos ог -f у sin а) -Ь 0,75 = 0 при всевозможных действительных значениях а. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению (XVIII.21-XVIII.24). XVIII.21. 1) |у-f л:| = л: + 3; XVIII.22. 1) л:^ - 2л:2 = г/^ -Ь 2у\ XVIII.23. 1) = 1; ’ (х-Ь4)8 (У 2) \х-у\ + \х + у\ = 2. 2) л:2-2|х|-у''-1-2г/2. 2) {х + 2Y 3) 1^ = 1-fi 4) (У-^Г =1 ’ (х2-2)^ XVIII.24. 1) bg2^ = -3; 3) = 2) bgo,5^=4; ctg(0,25x) 4Ы 4) logo,! = 3. 348 Глава XVIll. Уравнения и неравенства с двумя переменными XVIII.25. Найти на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: 1) у^х + 2, у~^х-2\ 2) ху — 2^0, у-2х ^ О, 2у - х'^0. XVIII.26. Найти на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) |2'^ + г/|<2’‘+'; 2) |0,5'^ - i/| > 0,5'=-2; 3) > 3'^-'; 4) |0,5^-‘+ г/| < 0,5'. XVIII.27. Найти на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) logi^.y(l+ sinx) > 1; 2) log,^_y(l - cosx) ^ 1. XVIII.28. Найти на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) г/ ^ \/б|х + 6| - (х + б)2; 2) у ^ ^2|х-2|-(х-2)2. Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, и найти площадь получившейся фигуры: ^ [х -|- 2| — 1. Гу ^ |х -Ь 4| — 2, XVIII.29. 1) [у \х2 -1- у2 + 4д; + 3 ^ 0; 2) х^ + у^ + 8х + \2^ 0. XVIII.30. 1) Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств х^ -Ь у^ ^ 2х, х^7у —4, и найти площадь получившейся фигуры. 2) Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств x^ 4- ^ -6х, у ^7x4-6 и найти площадь получившейся фигуры. XVIII.31. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости неравенством: 1) |3 - |х|| + |5 - |у|| ^ 6; 2) ||х| - 4| -г ||у| - ЗК 5. XVIII.32. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств: fx2 4- 25у^ ^ Юху 4-144, Гу2 4-4х^ ^ 4ху 4-9, 1) к1 ^ |f/l; 2) |х| ^ |у|. §1. Геометрическое описание решений уравнений 349 XVIII.33. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств: 1) ({x-\x\f \a: + «/ ^ 0; ■{2-\x\f + {2-\y\f^\, 2) ^|хК2, ,1‘/1 ^ 2. f Л А> в XVIII.34. I) Пусть тах(Л,5) = <о’ о С л' Вычислить площадь ^ о ^ А • фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств тах{х,у) ^1, х^ + у^ 1, х^О, у^О. 2) Пусть min(/4,S) = Вычислить площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств min(x,f/) ^ 1, x^ + ^/^ + 1 ^ 2х + 2у. XVIII.35. 1) Изобразить на координатной плоскости множество точек (х^у), для каждой из которых существует остроугольный треугольник со сторонами 1, 2 + х, \Д-У- 2) Изобразить на координатной плоскости множество точек {х,у), для каждой из которых существует остроугольный треугольник со сторонами \J\ + г/, 2, 1-х. XVIII.36. 1) При каких значениях х оба неравенства |х + ^ 1 и |х —Зу| < 2 выполняются хотя бы для одного значения у? 2) При каких значениях у оба неравенства |3х + 2^?|^6 и |2х — г/| ^ 5 выполняются хотя бы для одного значения х? XVIII.37. Найти все значения переменной х, удовлетворяющие неравенству |г/ —х^| < 2 1) при любом у из отрезка [1; 3]; 2) хотя бы при одном значении у из отрезка [1;3]. 350 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными XVIII.38. Найти все значения переменной х, удовлетворяющие неравенству |xi/ —51^3 1) при любом у из отрезка [1;2]; 2) хотя бы при одном значении у из отрезка [1;2). XVIII.39. Решить систему неравенств; '•{ х^ + у^ + 4х + 2у ^ 20, х^ + у^ - 8х — \4у ^ -40; 2 + г/2 + 4х - 8 x^ Ч- а, 2) Г £/ < ах - х2 X > г/^ Ч- а; \х ^ау-у^ у^у'х-а, 4) (у^ х^-а, X ^ \х ^ у^ - а. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XVIII XVIII.54. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости двойным неравенством: 1) 4- |2х| < \2у - 3| < \/16-4х2; 2) 1 — |х — 3| ^ \у\ < \/бх — а;2 — 8. XVIII.55. Найти на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) log|^| cos 1 > logj^ cos 1; 2) log^ у > log^ x. XVIII,56. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых yдoвлeтвopяюt неравенству: 1) |г/ + 2| • (х2 Ч- Зх + 2) > |х -ИМ^ + 2| • (0,5) ■И-7 х-Зг 2) |«/ + 3| • (х2 ч- X - 12) > |х Ч- 4| ■ |х - 31 • (0,25)" XVIII.57. 1) Найти наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать выражение 2у — х, если х и у одновременно удовлетворяют условиям 3 |г/| < 8 — 4х и \у\ ^ -8 - 4х. Задачи повышенной сложности к главе XVIII 353 2) Найти наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать выражение 2у + 6х, если х и у одновременно удовлетворяют условиям 2 |^/| < л: + 3 и 21^1 ^ 3^ Ч" 1. XVIII.58. 1) Найти все значения у, при которых равенство Ьх^ + 28x2 + 42х + 20 logs -by + 9j = 2х^ + 9x2 i3j( 0 выполняется хотя бы при одном значении х. 2) Найти все значения у, при которых равенство log„.35(/H-IO» + 25) = ^5f^ выполняется хотя бы при одном значении х. XVIII.59. Определить, при каких значениях параметра а равносильны системы уравнений; 'х-\-у = —к, Гсо5(л:-f у) =-1, -Ь Ч-4у = а 1 A:^ Ч-Ч-4г/= а; 'х-у^О, Jcos(x-£/) = 1, 4x = а I Ч- - 4х = а. XVIII.60. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечно много решений: |х Ч-0,5а Ч-1| = г/, {\х- + <^ + Ц=У, I) [у Ч- За - 3| = х; 2) £/+1 + = X. XVIII.61. 1) При каких значениях параметра а площадь фигуры, заданной на координатной плоскости Оху условием Г2|г/| <хЧ-8; 4 I , „ равна 100? у\у\^ах-2, 2) При каких значениях параметра а площадь фигуры, заданной на координатной плоскости Оху условием f3M О координаты хотя бы одной точки отрезка АВ, если /1(0,9) и В(3,6)? 12—5682 354 Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными 2) При каких значениях параметра а решением системы (2х + у — 2а О, \2у -Ъх - а < Q будут координаты хотя бы одной точки отрезка АВ, если А(2,2) и В(4,8)? XVIII.63. 1) Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе нера- 2 ^ у, „ ^ Определить, при каких венств (х^ — (а — 2)х — \2х + г/ — а < 0. значениях параметра а множество М содержит отрезок [—1; 0] оси Ох. 2) Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе нера-+ 4(а - 1)л: - 2 ^ i/, „ венств < ; , , ^ п Определить, при \х + 2у + {а-\-2)^0. каких значениях параметра а множество М содержит отрезок [0; 1] оси Ох. 1) В каких пределах изменяется величина х^ — Зу при условии, что log 2 i~y ~ 2) ^ 1? 2) В каких пределах изменяется величина х'^ — 8х + 9у при условии, что log2_, (3^/— 3) <-1? 1" XVIII.65. Найти все действительные значения у такие, что при всех положительных х выполнено неравенство: 1) Ъу ^х^ - Зу^х\ 2) £/ > Зл:^ - у^)^. XVIII.64. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XVIII XVIII.1. 1) Рис. 1; 2) пара прямых; у = —х- и (/ = |; 3) рис. 2 4) рис. 3. XVIII.2. 1) Окружность с центром в точке (1;0) радиусом 1. 2) рис. 4. XVIII.3. 1) Совокупность прямых у = = .< + 7ГП, п 6 Z; 2) совокупность прямых у — —х Л- г. 2пп п е Z. XVIII.4. 1) Рис. 5; 2) пара прямых: 1/ = л: + 5 и у = \ - х XVIII.5. 1) См. рис. 6; 2) см. рис. 7. XVIII.6. 1) См. рис. 8; 2) см. рис. 9 XVIII.7. I) См. рис. 10; 2) см. рис. И. XVIII.8. 1) См. рис. 12 2) см. рис. 13. XVIII.9. 2) См. рис. 14; 4) см. рис. 15 XVIII.10. 1) См. рис. 16; 2) см... рис. 17. XVIII.11. 1) См. рис. 18 2) см. рис. 19. XVIII.12. 1) Прямая у = Zx — 2 и часть плоскости расположенная под ней; 2) см. рис. 20. XVIII.13. 1) См. рис. 21 2) см. рис. 22. XVIII.14. 1) Часть плоскости, лежащая вне круга Ответы к главе XVIII 355 Рис. 7 радиусом 2 с центром в точке (—1;3); 2) круг радиусом 2 с центром в точке (2;—2). XVIII.15. 1) См. рис. 23; 2) см. рис. 24. XVIII.16. 1) si; 2) 4. XVIII.17. 1) 18; 2) 50; 3) 32; 4) 8. 356 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными Рис. 12 Рис. 14 XVIII.18. I) 2) XVIII.19. См. рис. 25. XVIII.20. См. рис. 26. XVIII.21. 1) См. рис. 27; 2) см. рис. 28. XVIII.22. 1) Совокупность парабол у = —х^, у = х^ — 2\ 2) см. рис. 29. XVIII.23. 1) См. рис. 30; Ответы к главе XVIII 357 У и -2 1 А- Рис. 18 Рис. 25 Рис. 26 2) см, рис. 31; 3) см. рис. 32; 4) см. рис. 33. XV1I1.24. 1) См. рис. 34 2) см. рис. 35; 3) см. рис. 36; 4) см. рис. 37. XVIII.25. 1) См. рис. 38 2) см. рис. 39. XVIII.26. 1) См. рис. 40; 2) см. рис. 41 358 Глава XVlIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными Рис. 27 у 1 -1 0 -1 1 Л' Рис. 28 у \ 1 ‘ i 1 1 R 1 А\ \ -0,5 \ / / ' V*/ ' ш\ X -2,25 \ Рис. 33 Ответы к главе XVIII 359 Рис. 35 Рис. 37 3) см. рис. 42; 4) см. рис. 43 XVII1.28. I) См. рис. 46; Зтг XVIII.27. I) См. рис. 44; 2) см. рис. 45 2) см. рис. 47. 2) 2z + 4. 2) 180. XVIII.32. 1) 12; XVIII.30. 1) ^ + 2- 2) 6. 2) 6,75л: + 4,5. XVIII.33. 1) 1 + |; XVIII.29. 1) 1 + 5; XVIII.31. 1) 248; 2) 16 - 4я. 360 Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными I 10 0^- ^3 -6 I'll -И ll'i ч\ и i / ! Рис. 41 О 2 Рис. 42 Рис. 43 / ! 1 У -1 1 \ .Ъ____________ -0',5я / / I N / I \ ^------1----Л. О 0,5л А. /-2 л -1,5л 1,5л ^^2л \ I / Рис. 44 Ответы к главе XVIII 361 XVIII.34. 1) 1-0,25тг; 2) 0,25л:. XVII1.35. 1) См. рис. 48; 2) см. рис. 49. XVIII.36. 1) [-1,25; 1,25]: 2) XVIII.37. 1) [-%/3;-1] U [1; v/З]; 2) [-ч/5;%/^. XVIII.38. 1) [2;4]; 2) [1;8]. XVIII.39. 1) (1;3); 2) (6;-2). XVIII.40. 1) (1;-3); 2) (2; 2). XVIII.41. 1) (0;0); 2) (±%/2;кп), п е Z; 3) (i;2 + 2m), п € Z; 4) (5 + ,тп;2), п е Z. XVIII.42. 1) (0;| + 2;t«). п € Z; 2) f; п,к,т € Z. XVIII.43. 1) (,тл;0,5), п 6 Z; 2) (| + у;3), п 6 Z. XVIII.44. 1) (1;^-Ц-лл), (-1; 5 + 1 +лл) л € Z; 2) (-3 + | + лл;-з), (з+| + лл;3)лег. XVIIL45. 4. XVIII.46. (-2; 1,5). XVIII.47. 1) 4; 2) 3. XVIII.48. 1) (jc;6), где х < 0; (0;у), где (/€ R; {х\у), где х > 0, у € (-оо; 18 - 6\/б] и [18 + 6\/б;+оо); 2) (х;4), где х > 0; (0;(/), где у 6 R; (х;|/), где х<0, у G (-оо; 12 - 4v^ U [12 + 4\/б;+оо). XVIII.49. I) 2,5; 2) I. XVIII.50. 1) [-0,5;+оо); 2) (-оо;-40|. XVIII.51. I) [-12;+ос); 2) [0,1;+оо). XVIII.52. I) (21;+оо); 2) (-оо;1,2). XVIII.53. 1) 0.25; 2) 1 ± 2v/3; 3) 0,25; 4) -0,25. XVIII.54. 1) 4,- - 8; 2) л - 2. XVIII.55. 1) См. рис. 50; 2) см. рис. 51. XVIII.56. 1) См. рис. 52; 2) см. рис. 53. XVIII.57. I) 20; -12; 2) 10; -18. XVIII.58. 1) уфЪ. уф ф-2, уфЪ, уфЪ±Ъу/Ъ, уф-22, уф2Ь, 2) уф-Ъ,уф-Ъ±-Х v4 ^ иф—Ъ:к -га-, уф-Ъ±-^. XVIII.59. 1) 2) (-оо;2л^ - 4л-2). XVIII.60. 1) 1; 2) -1,5. XVIII.61. 1) 1; 2) -1. XVIII.62. 1) [-7,2; 9); 362 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными Л: Рис. 51 -2-1J) ----- J-6 10 Рис. 52 Рис. 53 2) [-6;8]. XVIII.63. I) [0;3]; 2) [-2;0.5). XVIII.64. 1) [21,+оо); 2) [8,+ос). XVIII.65. 1) [-Л^;0]. Указание. Если ввести функцию j{x)=x^ — Ъу^х — Ъу (у выступает в роли параметра), то можно переформулировать задачу следующим образом: найти все значения параметра у, при каждом из которых на множестве (0;-Ьоо) функция }(х) принимает неотрицательные значения. Для решения задачи в новой формулировке нужно исследовать функцию/(х) на множестве (0;-t-oo) с помощью производной. 2) |^^;-f-ooj. Глава XIX ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ §1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ Первый уровень XIX.1. Доказать, что число является составным: 1) 3478 - 23‘8; 2) 2712'' - 522°; 3) 2525-32^2; 4) 291^-33®. XIX.2. Доказать, что: 1) число 2^^ + 16'^ делится на 17; 2) число Ю'® + 10 делится на И; 3) число 444®® + 888'*'' делится на 148; 4) число 21'“' —441 делится на 442. Доказать, что число является составным при любом натуральном п (XIX.3-XIX.4). 2) /г'* - 529; 4) + 8д2 + 15. 2) 7" - 1; 4) 729^-64^. Доказать, что при любом натуральном значении п (XIX.5-XIX.6): XIX.5. 1) п? — п делится на 3; 2) — п делится на 6. XIX.6. 1) «® + 20«+10® + 2 делится на 3; 2) «® + 11п делится на 6; 3) - 25« + 2® + 2 делится на 6; 4) п® + 15«2 -I- + 3 делится на 3. XIX.7. Написать каноническое разложение числа: 1) 2520; 2) 13 230; 3) 13 200; 4) 52 650; 5) 930 930; 6) 6 019 530. XIX.3. 1) /г®-243; 3) п® + 64; XIX.4. 1) 27"+ 1; 3) 125"+8"; 364 Плава XIX. Делимость целых чисел XIX.8. 1) Доказать, что если целое число делится на 3 и 40, то оно делится и на 120. 2) Доказать, что если целое число делится на 12 и 90, то оно делится и на 180. XIX.9. Найти наименьшее общее кратное [а,6] чисел а и 3, если; 1) а = 204 и Ь=120; 2) а = 240 и 6=1512; 3) с = 420 и 6 = 650; 4) а = 3675 и 6 = 880. XIX.10. Найти наибольший общий делитель (а. 6) чисел а и 6, если: I) а = 165 и 6 = 1386; 2) а = 600 и 6 = 1260; 3) а = 6930 и 6=10 296; 4) а = 16 170 и 6=11781. XIX.11. Найти все такие натуральные числа а и 6, где а ^ 6, что: 1) а + 6 = 432 и (а,6) = 36; 2) а6 = 864 и (а,6) = 6; 3) (а,6]=840 и (а,6) = 15; 4) а + 6 = 165 и [а,6] = 420. Второй уровень XIX.12. Найти натуральное число d^I, если известно, что оно является делителем следующих натуральных чисел: 1) 5п + 6 и 8п + 7; 2) Зц + 8 и 7« + 11. XIX.13. Указать все натуральные числа, на которые может оказаться сократимой при целом п дробь: 1) 2л "П 9 , 2) л + 3 . 3) 4л + 7. Зл + 4’ 4) 5л+ 8 Зл + 5' 7л + 25’ ’ 2л + 7’ XIX.14. Доказать, что: 1) число 100^° —50-16^ делится на 49; 2) число —1 делится на 100. ' 3) число 10^®+37^ —2 делится на 9; 4) число 10®+ 28^ — 2 делится на 9; 5) число Ш^+ЗН —17 делится на 15; 6) число 39®+ 77“*+ 36 делится на 19. XIX.15. Доказать, что при любом натуральном значении п 1) 16" + 1000” —2 делится на 6; 2) 400" + 256" - 9'* - 1 делится на 323. Глава XIX. Делимость ивлых чисел 365 XIX.16. Доказать, что при любом натуральном значении п 1) «^ + (« + 1)^ + (п + 2)^ делится на 9; 2) 2n^-3ri^ + 7n делится на 6. Доказать утверждение (XIX.17-XIX.23). Х1Х.17. При любых натуральных тип число {5m + 3k + 7)^{3m-\-+ 5п + 2)^ делится на 16. XIX.18. Не существует таких целых чисел тип, что m2-«2 = 20790. XIX.19. Число + делится на 120 при любом натуральном значении п. XIX.20. Если р —любое простое число, большее 3, тор2_1 делится на 24. XIX.21. Число п^-п делится на 5 при любом натуральном значении п. XIX.22. Число п^ — п делится на 7 при любом натуральном значении п. XIX.23. Если m2 делится на «2 (m,«€Z), то m делится на п. XIX.24. Определить, каким количеством нулей оканчивается десятичная запись числа; 1) 40!; 2) 1001. XIX.25. Доказать, что: 1) если число п составное, то у него есть делитель, не превосходящий у/п и больший 1; 2) если d —наибольший делитель составного числа п, меньший «, то число ^ простое; 3) составное натуральное число п, большее 4, является делителем числа (« — 1)1; 4) среди натуральных чисел от 1 до 30т (т = 1,2,3,...) не более Ют простых чисел. XIX.26. Привести пример п последовательных составных чисел в натуральном ряду, если; 1) « = 6; 2) п = 9. XIX.27. Найти все целые п, при которых данное число является целым: IJ л^-+-8. 2^ Зл^-Ь28^ пЧ2’ 5п^ +10 ’ о\ 2л^ + 4. 2л^ + л^ + 5л+6 - о ~ > 6«2-3’ п^+п + 3 366 Глава XIX. Делимость целых чисел XIX.28. Найти наибольший общий делитель d чисел а и Ь и представить его в виде d — ax + by, где x,y€Z: 1) а = 24 и 6 = 378; 2) а = 30 и 6 = 4851; 3) а = 882 и 6 = 528; 4) а = 204 и 6 = 372. XIX.29. Найти все тройки последовательных нечетных чисел, каждое из которых является простым, XIX.30. Найти все простые числа р, для которых: 1) число 4р + 1 является квадратом некоторого целого числа; 2) число 4р + 1 является кубом некоторого целого числа; 3) число 5р+1 является кубом некоторого целого числа; 4) число 7р + 1 является кубом некоторого целого числа. XIX.31. Найти все простые числа р такие, что следующие числа также являются простыми: I) р + 10 и р + 14; 2) р+4 и р+14; 3) 4р2 + 1 и 6р2 + 1; 4) 8р2 + 1. §2. СРАВНЕНИЯ Первый уровень Найти остаток от деления числа а на m (XIX.32-XIX.33). XIX.32. 1) 0 = 225®. ;„=10; 3) а = 3‘2'*, т = 4; XIX.33. 1) а = 2-3‘”, т=10; 3) а = 45‘‘ + 2 1328. т = 5; XIX.34. Решить сравнения: 1) 2х + 1 = 0 ( mod 7); 3) 2x2 + 3x + 1 = 0 (mod5); 5) х^ + 4х^ = — \ (mod9); 2) а = 4®', т = 7; 4) 0 = 5*2®, = з 2) о = 5®2+4*®. т = 7\ 4) о = 2-6*® + 3-520, т = 8. 2) 2л:+3 = 0 (mod6); 4) 4х^ + Ъх = Ъ (mod И); 6) 7^2 —4л:® = 2 (mod6). Второй уровень Найти остаток от деления числа о на m (XIX.35-XIX.36). XIX.35. 1) о = 255+3^'*+75^ т = 10; 2) о = 2б25.61“-17‘®, т = 3; §3. Решение уравнений в целых числах 367 3) а = 86*'*-225-58®, ш = 13; 4) а = 2‘27 + 35‘9, т = \7. XIX.36. 1) 0 = 522^5 + 632“”, те = 5; 2) а = 92525 + 27‘35, т = 7; 3) а = (51-40)‘® + (53-77)‘5, те=13; 4) 0 = 2-52'+9-б'0, ^^13 XIX.37. Решить сравнение; 1) 12л: = 15 (mod35); 2) 21x=10 (mod25); 3) 15л: = 21 (mod 18); 4) 18jc=12 (mod30). XIX.38. Решить систему сравнений: : = 3 (mod 5), (mod 8); 1) Г х = 3 I х = 1 2) 3) Зл: + 4 = 0 (mod 14), 2х- 4) I 4х+1 = 0 ( mod 7), 2 (mod 15), 3 (mod 8); XIX.39. XIX.40. 3 (mod8). л, что числа л + 1, 1 = 3 ( mod 5); Найти все такие натуральные числа л+ 71, л —66 — простые. Доказать, что: 1) числа 2” — 1 и 2" +1, где л — натуральное число, большее 2, не могут быть одновременно простыми; 2) если р и 8р-1 —простые числа, то 8р +1 — составное число. XIX.41. Доказать, что уравнение х®+л:+ 10^ = 20004 не имеет решений в натуральных числах. §3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Первый уровень XIX.42. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах; 1) 20л: —10г/ = 19; 2) 3x: + 9t/=14; 3) 22л: + 6у=133; 4) 5х+10^ = 21. XIX.43. Найти все целочисленные решения уравнения: 1) Зл: + 8г/=1; 2) 4х + 7у = 9\ 3) 5л: + 4^=11; 4) 11л: + 8£/=1; 5) 7х + 9^/ = 10; 6) Ъх-^7у = 4. 368 Глава XIX. Делимость целых чисел XIX.44. 1) Пусть Л — множество целых чисел, имеющих при делении на 3 остаток 2, а S — множество целых чисел, имеющих при делении на 8 остаток 6. Найти все числа, которые одновременно входят в оба множества. 2) Пусть А — множество целых чисел, имеющих при делении на 7 остаток 3, а S — множество целых чисел, имеющих при делении на 17 остаток 13. Найти все числа, которые одновременно входят в оба множества. 3) Пусть А — множество целых чисел, имеющих при делении на 5 остаток 4, а 5 —множество целых чисел, имеющих при делении на 7 остаток 1. Найти все числа, которые одновременно входят в оба множества. 4) Пусть А — множество целых чисел, имеющих при делении на 8 остаток 2, а S — множество целых чисел, имеющих при делении на 7 остаток 5. Найти все числа, которые одновременно входят в оба множества. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (XIX.45-XIX.51) XIX.45. 1) x^-y^ = m2; 2) x^-y^ + 2y = 8. XIX.46. 1) x^-xy-2y^^l8; 2) x^ + 3xy + 2y^ = 3. XIX.47. 1) 5a:i/-20x^=4£/—16x + 16; 2) 2xi/+4x^ = 5i/-i-l0x + 21. XIX.48. 1) x^+xy+y^ = l; XIX.49. 1) 2ху+у-8х + 2 = 0; 3) Зху+!/-х-2 = 0; XIX.50. 1) х2-2х^ + 2/ = 9; XIX.51. 1) х^-у^ = 19; 2) x^-л:г/^-3^/^ = 5. 2) 3x-xy-2i/ = 4; 4) 3ху+у-2х = 3. 2) 2х’^А-4ху+Ъу^ = \\. 2) у^-х^ = 9\. Второй уровень XIX.52. Найти все пары натуральных чисел х и у, удовлетворяющих уравнению; 1) 2х'^-2ху-\-х + Зу = 38\ 2) 2х“^ + 2ху — х+у = И2. XIX.53. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению: 1) 8х^у — Зх^-Ъху — 2х+у + \ = 0\ 2) Зх^у^-^х"^-Ъху+8х-2у4-\ = 0. §4. Текстовые задачи с целочисденными неизвестными 369 1) 2) XIX.54. Найти все пары целых чисел хну, удовлетворяющих системе уравнений: х'^+ху — у^ = 4, {х-2)Ч{у-1)^ = Ь, -Зх^ + ху+у^ = 9, {x-l)4{y + 3f = l. XIX.55. Найти все пары целых чисел хну, удовлетворяющих системе неравенств: 1) 2) л:^ + г/^ < 12х — 18у-103, + Юг/ + г/^ <26х-172; J х^ \х^ '+у^ < \0х-\Ьу-7Ъ, <24х —138. XIX.56. Найти все пары целых чисел хну, удовлетворяющих условиям: Зу — х<Ъ, л: + у>26, Зх-2у XIX.57. Найти наименьшее значение переменной х, удовлетворяющей уравнению: 1) Зл:^ = 2у^, при условии, что X и у — натуральные числа; 2) 5г2 = 2уЗ. (!og5_^_,o^^,4-blog„^,0y_5j,9), при условии, что д£,^, Z — натуральные числа. §4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ Первый уровень XIX.58. Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из полученной дроби данную дробь, то получится Найти эту дробь. XIX.59. После деления натурального двузначного числа на произведение его цифр в частном получилось Бив остатке 2. Найти это двузначное число. XIX.60. После деления натурального двузначного числа на произведение его цифр в частном получилось 3 и в остатке 8. Найти это двузначное число. 370 Глава XIX. Делимость целых чисел XIX.61. Ученику дали задание, состоящее из 20 задач. За каждую правильно решенную задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решенную — вычитают 5 баллов; если же он задачу не решил, ему ставят О баллов. В результате ученик получил 13 баллов. Сколько задач решал ученик? XIX.62. Партию деталей решили поровну разложить по ящикам. Сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась одна деталь. Тогда из од)юго ящика вынули все детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей? Второй уровень XIX.63. Поменяв местами две первые цифры натурального четырехзначного числа п, получили четырехзначное число k. Разность n — k оказалась в 100 раз больше суммы цифр числа п. При каком наибольшем п выполнено сказанное? XIX.64. Поменяв местами первую и последнюю цифры натурального четырехзначного числа п, получили четырехзначное число k. Разность n — k оказалась в 111 раз больше суммы цифр числа п. При каком наименьшем п выполнено сказанное? XIX.65. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами; (1) первая цифра числа в три раза меньше суммы двух других его цифр; (2) разность между самим числом и числом, получающимся из него перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 81 без остатка. XIX.66. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами: (1) первая цифра числа в три раза меньше последней его цифры; (2) сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой второй и третьей его цифр, делится на 8 без остатка. XIX.67. Заданы четыре натуральных числа. Сумма первых трех чисел не превосходит трети четвертого числа. Сумма первого числа, умноженного на 7, и третьего числа на 58 меньше четвертого. Если к четвертому числу прибавить 11, то эта сумма будет равна сумме первого, второго и пяти §4. Текстовые задачи с целочисденными неизвестными 371 третьих чисел. Найти четвертое число, если оно на 52 больше суммы первого, удвоенного второго и третьего. XIX.68. Компания владеет гостиницами трех типов. В каждой гостинице первого типа работает 114 горничных и 62 рабочих, второго типа —20 горничных и 28 рабочих, третьего типа —21 горничная и 5 рабочих. Общее число горничных — 537, рабочих —337. Найти количество гостиниц каждого типа, если общее число гостиниц превосходит И. XIX.69. В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора оказалось, что 52% из них —белые. Если отложить 3 самых мелких гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине? XIX.70. В пачке письменных работ абитуриентов — не более 75 работ. Известно, что половина работ в этой пачке имеют оценку отлично. Если убрать три верхние работы, то 48% оставшихся работ будут с оценкой отлично. Сколько работ было в пачке? XIX.71. Поселок N застроен лишь двухэтажными, трехэтажными и пятиэтажными домами. В каждом двухэтажном доме 3 однокомнатные и 15 двухкомнатных квартир, в пятиэтажном — 29 однокомнатных и 87 двухкомнатных квартир. Общее число однокомнатных квартир равно 244, двухкомнатных— 669. Найти число двухэтажных, трехэтажных и пятиэтажных домов, если их общее число не превыщает 13. XIX.72. Двум рабочим и ученику поручили изготовить некоторое количество деталей. За одну смену они выполнили меньше половины задания. Заканчивать работу пришлось второму рабочему, который затратил на это еще две смены. Если бы им помогал еще один рабочий с той же производительностью, как у первого, то за смену они сделали бы на 23 детали меньше задания. Если бы производительность ученика была вдвое больше, то после одной смены работы им осталось бы сделать 32 детали. Сколько деталей надо было изготовить? 372 Глава XIX. Делимость целых чисел ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XIX XIX.73. Доказать, что дробь — несократима ни при каком +3п^ +1 целом значении п. XIX.74. Найти различные между собой натуральные числа k, т и п такие, что I + — + - = k т п 2 XIX.75. Найти все пары целых чисел х \л у, удовлетворяющих уравнению х^ + 19'°°- 9l'°°i/'^ = 0. XIX.76. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению; 1) {х’^-\-у'^){х+у-Ъ)=2ху\ 2) {х^+у^){х+у-2>) = 2ху. XIX.77. Найти все тройки целых чисел x,y,z, удовлетворяющих уравнению 5-^c^^-г/^^-Зz^ —2г/г = 30. XIX.78. Найти два действительных корня данного уравнения, если известно, что это различные целые числа: 1) -5,t + a = 0; 2) л:'' —41д; + а = 0. XIX.79. Четырехзначное число а оканчивается цифрой 1. Двузначное число, образованное цифрами тысяч и сотен, число десятков и число единиц числа а представляют три последовательных члена арифметической прогрессии. Из всех чисел а, удовлетворяющих указанным условиям, найти то, у которого разность между числом десятков и числом сотен имеет наименьщее возможное значение. XIX.80. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А больще 7. Наименьщее общее кратное всех чисел из А равно 390. Наибольщий общий делитель любых двух чисел из А больше единицы. Произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А. XIX.81. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в Л не меньше 8. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 330. Никакие два числа из А не являются взаимно простыми. Сумма всех чисел из А равна 755. Произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А. Ответы к главе XIX 373 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XIX 4) г-З"* • 13; XIX.7. 1) 2^ • 3^ • 5 • 7; 2) 2 • 3^ • 5 • 7^; 3) 2^ • 3 ■ б2 • 11; 5) 2 • 3 • 5 • 7 ■ II • 13 • 31; 6) 2 • 3 • 5 ■ И • 17 • 29 • 37. XIX.9. I) 2040; 2) 15 120; 3) 27 300; 4) 646 800. XIX.10. 1) 33; 2) 60; 3) 198; 4) 231. XIX.H. I) а = 36 и 6 = 396 или а = 180 и Ь = 252; 2) а = 6 и 6 = 144 или tt = 18 и = 48; 3) а = 15 и Ь = 840 или а = 105 и 6 = 120; 4) а = 60 и Ь = 105. XIX.12. I) d = 13; 2) d = 23. XIX.13. 1) 13; 2) таких чисел нет; 3) 5; 4) таких чисел нет. XIX.24. 1) 9; 2) 24. XIX.26. 1) 5042..... 5047; 2) 3 628 802_____________________________ 3628810. XIX.27. 1) -2;-1;0;1;2; 2) -3;3; 3) 1;-1; 4) -3;-1;0;2. XIX.28. 1) d = 6 = 24 • 16 + 378 ■ (-1); 2) d = 3 = 30 • (-485) + 4851 • 3; 3) d = 6 = 882 ■ 3 + 528 • (-5); 4) d = 12 = 204 ■ II + 372 • (-6). XIX.29. 3. 5, 7. XIX.30. 1) p = 2; 2) p = 31; Указание: Если 4p-i-1 = a'\ to 4p = (c2 - l)(a^ + 0+1). Отсюда a- \ =Ak или p = k(a^ + a + 1); 3) p = 43; 4) p = 73\ XIX.31. 1) p = 3. Указание. Рассмотреть числа вида p = 3ft+1 Hp = 3ft + 2; 2) p = 3; 3) p = 5; 4) p = 3. XIX.32. I) 6; 2) 1; 3) 1; 4) I. XIX.33. 1) 6; 2) 1; 3) 3; 4) 3. XIX.34. 1) .< = 3(mod7); 2) нет решений; 3) X s 2(mod5); 4) x = 5 (modll); 5) x = 7 (mod9); 6) x = 2 (mod6). XIX.35. 1) 4; 2) 1; 3) 10; 4) 14. XIX.36. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0. XIX.37. 1) x=10(mod35); 2) x = 10 (mod25); 3) x = 5 (mod 18), x= 11 (mod 18) или x = l7 (inodl8); 4) x = 4 (mod30), x = 9 (mod30). x=13 (mod30), x=l7 (mod30), x = 21 (mod30). x = 25 (mod30). XIX.38. 1) xH33(mod40). Указа {js? (^8);^{5^ = мКо?’ Отсюда 3x= 19 (mod40); 2) x= 107 (mod 120); 3) x = 36(mod70); 4) x = 19(mod56). XIX.39. n=2. Указание. Данные числа сравнимы по модулю Зс числами пЧ-1, п + 2. п соответственно. Следовательно, имеют различные остатки от деления на 3. Но различных остатков при делении на 3 всего три: О, 1, 2. Значит, одно из чисел делится на 3, а так как это число простое, то оно равно 3. XIX.40. 1) Указание. 2” не делится на 3, следовательно, либо 2” = l(mod3), либо 2" = 2(mod3). В первом случае 2” - 1 s 0( mod3), во втором 2" + 1 = 0(mod3). 2) Указание. Если р = 3, то утверждение верно. Если р — простое число, большее 3, то либо р=1 (mod3), либо p = 2(mod3). В первом случае 8р — 1 = 1 (mod3) и 8р+1н0 (mod3), т. е. 8р+1 делится на 3. Во втором случае 8р — 1 = О (mod3), что противоречит условию. XIX.41. Указание; Предположим, что найдется пара натуральных чисел (х,у), удовлетворяющих уравнению. Тогда х* + х + Юу (modIO) = 20004 (mod 10), откуда х^+х (mod 10) = 4 (mod 10). Но нетрудно показать, что для числа х^+х реализуется один из следующих вариантов: х^ + х (mod 10) = О (modlO), или х^ + X (modIO) = 2 (modlO), х^ + x(modlO) = 8 (modlO). XIX.43. 1) X = 3 + 8/, y=-\-3t, / e Z; 2) x = 4 + 71, у = -1 - 4/, 1 € Z; 3) X = 7 + 41, у = —6 — 51, 16Z; 4) x = 3 + 81, у = —4 — 111, 16Z; 5) x = 4 + 9l, y = —2 —71, teZ; 6) x = 5 + 71, y = —3 — 5t, 1 e Z. XIX.44. 1) Числа вида 14 + 241, l€Z; 2) числа вида 115+1191, 16Z; 3) числа вида 29 + 351, 16Z; 4) числа вида 26 + 561, IgZ. XIX.45. 1) Решений нет; 2) (4;—2), (-4;—2), 374 Глава XIX. Делимость целых чисел (4;4), (-4;4). XIX.46. 1) (4;-1), (-4;1), (5;1). (-5;-1); 2) (1;-2). (-5;2), (-1;2), (5;-2). XIX.47. 1) (4;17), (1;20). (0; 1); 2) (3;15), (4;-1), (6;-9). (2;-25). (-8;15), (1;5), (-1;-1). XIX.48. I) (1;0), (-1;0), (0;1), (0;-1), (-Ill); 2) (2;1), (-2;-1). XIX.49. 1) (0;-2), (-1; Ю). (1:2), (-2;6); 2) (-1;-7), (-3;13), (0;-2), (-4;8), (3;1), (-7:5), (8;2). (-12;4); 3) (0;2), (-2;0); 4) (0;3), (2; 1). XIX.50. 1) (3;3), (-3;-3), (-3;0). (3;0); 2) (1;1), (-1;-1). (3;-1), (-3;1). XIX.51. 1) (3;2), (-2;-3); 2) (5:6), (-6;-5). (-3;4). (-4;3). XIX.52. 1) (9; 9), (1;33); 2) (1;37). XIX.53. 1) (0;-1), (2Л), (1;2), (-1;0); 2) (3;-10), (1;4), (9;-4), (-5;-2). Х1Х.54. 1) (2;0), (2;2); 2) (1;-4), (0;-3). Х1Х.55. I) (9;-7); 2) (8;-6). XIX.56. (20;8). XIX.57. 1) 24; 2) 11. XIX.58. 5. XIX.59. 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. XIX.60. 53. XIX.61. 13. XIX.62. 169. XIX.63. 9720. XIX.64. 2061. XIX.65. 233, 390, 466, 699. XIX.66. 153, 226, 379. XIX.67. 90. XIX.68. 2, 6, 9. XIX.69. 25. XIX.70. 28. XIX.71. 3, 3, 5. XIX.72. 64, или 71, или 78. XIX.74. С точностью до обозначений имеем 6 троек таких чисел: 1) 3, 9, 18; 2) 3, 8, 24; 3) 3. 10, 15; 4) 3,7,42; 5) 4,6,12; 6) 4,5,20. XIX.75. (0;0). XIX.76. 1) (0;0), (3;3), (5;0), (0;5): 2) (0;0), (2;2), (3;0), (0;3). XIX.77. (1;5;0), (-1;5;0), (1;-5;0), (-1;-5;0). XIX.78. 1) -1;2; 2) -4;5. XIX.79. 1791. XIX.80. Л = = {15,30,39,65,78,130,195,390}. XIX.81. А = {6,15,30.33,66,110,165,330}. Глава XX ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ §1. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ ПОДСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ В КОНЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ Первый уровень 1. Правило произведения ХХ.1. Семья Ивановых в полном составе (мама, папа и их дети Таня, Оля, Лена, Ваня, Игорь, Боря и Андрей) принимает участие в игре «Дружная семья». Один из конкурсов игры — эстафета, на первом этапе которой соревнуются взрослые, на втором — мальчики, на третьем — девочки. Сколькими способами Ивановы могут сформировать команду для участия в эстафете? ХХ.2. Из города А в город В ведет шесть дорог, а из города В в город С —три. Сколько путей, проходящих через В, ведет из А в С? ХХ.З. К концу первого года обучения в кулинарном колледже Иван научился готовить четыре первых блюда, пять — вторых и три —третьих. Сколько вариантов комплексных обедов, состоящих из 1-го, 2-го и 3-го блюд, может приготовить Иван? ХХ.4. Сколько различных двузначных чисел можно получить, выкладывая в ряд две карточки с цифрами от 1 до 9 так, чтобы на первом месте стояли «четные» (2,4,6,8), а на втором — «нечетные» (1,3,5, 7,9) цифры? ХХ.З. Из города А в город В ведут четыре дороги. Сколькими способами можно съездить из А в В и обратно, если; 1) путеществие туда и обратно совершается по разным дорогам? 2) дороги туда и обратно выбираются независимо друг от друга? ХХ.6. 1) Сколько имеется четырехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, в десятичной записи которых все цифры различны? 376 Глава XX. Элементы комбинаторики 2) Сколько имеется четных четырехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5, б, 7,8,9, в десятичной записи которых соседние цифры различны? ХХ.7. 1) Сколько имеется шестизначных чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, у которых соседние цифры различны? 2) Сколько имеется нечетных шестизначных чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, у которых все цифры различны? ХХ.8. У Саши десять марок, а у Вани — двадцать. Сколькими способами можно осуществить обмен одной Сашиной марки на одну Ванину? ХХ.9. Сколькими способами можно рассадить за шестью партами 6 девочек и 6 мальчиков так, чтобы за каждой партой слева сидел мальчик, а справа — девочка? XX.10. В классе двадцать человек — десять девочек и десять мальчиков. Сколькими способами можно составить график дежурств по классу на десять дней так, чтобы каждый день дежурил один мальчик и одна девочка, и при этом никто из ребят не дежурил дважды? 2. Правило суммы и формула включений и исключений XX.11. Сколько имеется натуральных чисел, меньших 10 000, в десятичной записй^ которых все цифры различны? ХХ.12. Сколько имеется шестизначных чисел, в десятичной записи которых «четные» (0,2,4,6,8) и «нечетные» (1,3,5,7,9) цифры чередуются? ХХ.13. 1) Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи которых встречается цифра 5? 2) Сколько имеется шестизначных чисел, в десятичной записи которых встречается хотя бы одна из цифр 1, 2, 3? XX.14. Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых встречаются одинаковые цифры? XX.15. Сколько имеется шестизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы одна цифра «нечетна»? §1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 377 3. Перестановки ХХ.16. 1) У Ивана есть десять карточек, на которых записаны цифры от О до 9. Сколькими способами он может выложить их на столе в ряд? 2) У Ивана есть десять карточек, на которых записаны цифры от О до 9. Сколькими способами он может выложить их на столе в ряд так, чтобы непосредственно за цифрой пять следовала цифра шесть? ХХ.17. 1) У Ивана есть десять карточек, на которых написаны цифры от О до 9. Сколькими способами он может выложить их на столе в ряд так, чтобы карточки, на которых записаны цифры 1,2,3, лежали рядом? 2) У Ивана есть десять карточек, на которых написаны цифры от О до 9. Сколькими способами он может выложить их на столе в ряд так, чтобы карточки, на которых записаны цифры 8 и 9, не лежали рядом? XX.18. 1) Сколькими способами на одной полке можно разместить шесть книг по физике и шесть книг по математике так, чтобы книги по физике стояли правее всех книг по математике? 2) Сколькими способами на одной полке можно разместить шесть книг по физике и шесть книг по математике так, чтобы книги по физике чередовались с книгами по математике? XX.19. Сколько существует перестановок цифр 0. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в которых цифра 2 занимает одно из первых четырех мест, а цифра 0 —одно из пяти последних? ХХ.20. Сколькими способами можно рассадить на стоящих в ряд 12 стульях 4 мальчика и 8 девочек так, чтобы на крайних стульях ряда сидели мальчики? 4. Перестановки с повторениями ХХ.21. 1) Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «фартук»? 2) Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «физика»? 3) Сколько разных восьмибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «черчение»? 378 Глава XX. Элементы комбинаторики 4) Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы в слове «комбинаторика»? XX.22. Сколько имеется девятизначных чисел, в десятичной записи которых цифра 4 встречается три раза, цифра 5 — четыре раза, цифра 8 — два раза? XX.23. У мамы четыре одинаковых яблока и три одинаковых груши. Каждый день в течение семи дней она выдаст сыну по одному фрукту. Сколькими способами она может распределить фрукты по дням? XX.24. Сколько различных семибуквенных слов можно составить, переставляя буквы в слове «потолок», если в полученных словах три буквы «о» не должны стоять рядом? XX.25. У Ивана восемь шаров: три синих и пять красных. Сколькими способами он может разложить их по восьми занумерованным коробкам так, чтобы в каждой коробке оказалось ровно по одному шару? XX.26. Мама привезла в дом отдыха кулек, в котором оказалось 24 карамельки, в том числе 7 малиновых, 4 яблочных, 5 лимонных, 6 персиковых и 2 апельсиновых. Каждый день в течение 24-х дневного отпуска она решила давать сыну по одной конфете. Сколькими способами она может это сделать? ^ Второй уровень ХХ.27. 1) Сколько различных натуральных делителей имеет число 23.3“* • 5^? 2) Сколько различных натуральных делителей имеет число 10!? ХХ.28. 1) Сколько имеется подмножеств множества {1,2,3,...,п}? 2) Сколько имеется подмножеств множества {1,2,3,..., п}, содержащих элемент 1, но не содержащих элемент 2? 3) Сколько имеется непустых подмножеств множества (1,2,3,...,«}, содержащих только четные числа? 4) Сколько имеется подмножеств множества (1,2,3,...,«}, содержащих хотя бы одно четное число? ХХ.29. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. § 1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 379 Сколько среди них чисел, содержащих одновременно три цифры — 1, 2, 3? ХХ.ЗО. Сколько имеется четных четырехзначных чисел, в десятичной записи которых все цифры различны? XX.31. Сколько существует целых положительных чисел, меньиаих 10 000 и делящихся на 4, в десятичной записи которых встречаются только цифры 0, 1, 2, 3, 5, причем ни одна цифра не повторяется дважды? ХХ.32. Сколько существует положительных шестизначных чисел, в десятичной записи которых используются только три цифры, одна из которых повторяется четыре раза? ХХ.ЗЗ. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 составляются всевозможные числа, десятичная запись которых не содержит одинаковых цифр. Сколько среди них чисел, содержащих цифры 2, 4, 6, одновременно? XX.34. На каждой стороне треугольника АВС отмечено по 7 точек, разбивающих ее на 8 равных частей. Рассмотрим всевозможные треугольники с вершинами в отмеченных точках (по одной на каждой стороне) Сколько среди этих треугольников таких, у которых ни одна из сторон не параллельна стороне треугольника АВС? ХХ.35. У Ивана есть десять карточек, на которых написаны цифры от о до 9. Сколькими способами он может выложить их на столе в ряд так, чтобы карточка с цифрой 0 лежала левее карточки с цифрой 1? XX.36. Сколькими способами можно рассадить за двенадцатью партами 12 девочек и 12 мальчиков так, чтобы каждый мальчик сидел рядом с девочкой? ХХ.37. Сколькими способами можно рассадить в два ряда по шесть человек шесть мальчиков и шесть девочек так, чтобы никакие два мальчика не сидели рядом и никакие два мальчика не сидели друг за другом? ХХ.38. Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9, в которых цифра 2 занимает одно из семи первых мест, а цифра 0 — одно из семи последних? XX.39. Сколько существует перестановок цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, в которых цифра 0 занимает одно из шести первых мест, а цифра 9 —одно из первых восьми и между цифрами о и 9 расположены две другие цифры? 380 Глава XX. Элементы комбинаторики XX.40. Сколько различных каруселей можно сделать, расположив по окружности фигурки десяти зверей (карусели считаются одинаковыми, если фигурки идут друг за другом в одинаковом порядке)? XX.41. 1) Сколькими способами можно рассадить 12 человек за круглым столом, если для каждого человека учитывать не место, которое он занимает, а то, кто является его соседом справа и кто является его соседом слева. 2) Сколькими способами можно рассадить 12 человек за круглым столом, если для каждого человека учитывать не место, которое он занимает, а лишь то, кто является его соседями (при этом не важно, кто из этих соседей сидит справа, а кто —слева). §2. СОЧЕТАНИЯ И РАЗМЕЩЕНИЯ Первый уровень XX.42. У Ани есть семь цветных карандашей. Мама нарисовала на листке бумаги девочку и предложила Ане раскрасить ее шапочку, платье и туфельки, используя для каждого предмета одежды^один цвет. 1) Сколькими способами Аня сможет раскрасить картинку, если она решила, что шапочка, платье и туфельки должны быть раскрашены в разные цвета? 2) Сколькими способами Аня сможет раскрасить картинку, если она готова раскрашивать шапочку, платья и туфельки как в разные, так и в одинаковые цвета? XX.43. В магазине продаются воздушные шары семи цветов. Саша решил купить для праздника три шара. 1) Сколькими способами Саша может выбрать шары, если он хочет, чтобы шары отличались по цвету? 2) Сколькими способами Саша может выбрать шары, если ему все равно, будут они отличаться по цвету, или нет? XX.44. 1) Сколькими способами Маша может выбрать два предмета из восьми для сдачи экзамена по выбору? 2) Маша должна сдать два экзамена за восемь дней. Сколькими способами она может составить расписание §2. Сочетания и размещения 381 экзаменов, если нельзя сдавать больше одного экзамена в день? XX.45. 1) Сколькими способами можно разместить пять занумерованных шаров по девяти пронумерованным коробкам, если в одну коробку можно положить не более одного шара? 2) Сколько пятибуквенпых «слов» можно составить в алфавите из девяти букв, если буквы в «словах» не должны повторяться? ХХ.46. 1) Сколькими способами можно разместить пять занумерованных шаров по девяти пронумерованным коробкам, если в одну коробку можно положить неограниченное число шаров? 2) Сколько пятибуквенных «слов» можно составить в алфавите из девяти букв, если буквы в словах могут повторяться? ХХ.47. Десять различных ящиков нужно доставить на шесть этажей строящегося дома. 1) Сколькими способами можно распределить ящики между этажами? 2) Сколькими способами можно распределить ящики между этажами так, чтобы на шестой этаж попал хотя бы один ящик? XX.48. 1) Сколько различных наборов из восьми пирожных можно составить, имея четыре вида пирожных? 2) Сколько различных букетов из семи гвоздик можно составить, имея в распоряжении гвоздики трех цветов? ХХ.49. В киоске продаются 10 видов рождественских поздравительных открыток. Тане нужно купить 8 открыток. Сколькими способами Таня сможет это сделать, если: 1) она решила купить открытки только разных видов; 2) она решила купить по две открытки четырех видов; 3) Тане все равно, какие открытки покупать; 4) одна из открыток понравилась Тане больше других, и она решила купить хотя бы одну такую открытку? ХХ.50. Сколько различных шестизначных чисел можно получить, выкладывая в ряд карточки с цифрами от 1 до 9 так, чтобы 382 Глава XX. Элементы комбинаторики ХХ.51. ХХ.52. ХХ.53. ХХ.54. ХХ.55. ХХ.56, ХХ.57, на первых трех местах стояли четные, а на последних трех — нечетные цифры? В классе учатся 14 девушек и 10 юношей. Сколькими способами можно выбрать состав исполнителей для школьного спектакля, если в сценарии 5 женских и 4 мужские роли? У Саши десять марок, а у Вани — двадцать. Сколькими способами можно осуществить обмен трех Сашиных марок на три Ванины? В классе учатся 12 девушек и 10 юношей. Сколькими способами можно сформировать группу из четырех девушек и трех юношей для участия в субботнике? Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски? 1) Собрание из 50 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов счетной комиссии. Сколькими способами это можно сделать? 2) Собрание из 30 человек выбирает президиум в составе пяти человек и делегацию в составе 6 человек. Сколькими способами может быть произведен выбор, если в делегаци1о должны войти два члена президиума? Сколькими способами можно выбрать из 10 человек рабочую группу, состоящую из б человек, если среди них есть двое, которые не должны работать вместе? В классе учатся 20 человек. Сколькими способами можно в течение двух дней выбирать из его учеников группы по 12 человек для дежурства по школе так, чтобы эти группы не полностью совпадали по составу? Второй уровень XX.58. 1) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке убывания? 2) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых каждая следующая цифра меньше либо равна предыдущей? XX.59. 1) Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке возрастания? §2. Сочетания и размещения 383 2) Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи которых каждая следующая цифра больше либо равна предыдущей? ХХ.60. На конференции должны выступить 8 человек. Сколькими способами можно расположить их в списке выступающих, если Иванов должен выступать не раньше Петрова? ХХ.61. В классе учатся 9 девушек и И юношей. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 человек для участия в спортивном состязании, если в нее должно войти не менее трех юношей? ХХ.62. 1) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно составить график дежурств по классу на шесть дней так, чтобы каждый день дежурили по три человека, причем никто не дежурил дважды? 2) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно разбить его учеников на 6 одинаковых по численности групп? ХХ.63. 1) Сколькими способами из 5 мужчин и 6 женщин можно составить 4 танцевальные пары? 2) В школьном спортивном празднике принимают участие 7 первоклассников, 8 второклассников, 6 третьеклассников и 5 четвероклассников. Сколькими способами можно составить из них 3 команды по 4 человека в каждой так, чтобы в каждую команду вошло по одному ребенку из каждой параллели? ХХ.64. Сколько имеется семизначных чисел, в десятичной записи которых цифра 5 встречается трижды, а цифра О — дважды? XX.65. 1) Сколькими способами можно распределить обязанности между 10 туристами, если двое из них должны собирать дрова, трое готовить ужин, а остальные ставить палатки? 2) Сколькими способами можно разместить 10 туристов в трех одинаковых двухместных и одной четырехместной палатке? ХХ.66. Для 16 мальчиков, занимающихся в спортивной секции, для проезда в лагерь на сборы были забронированы места в четырех купейных вагонах. Сколькими способами тренер 384 Глава XX. Элементы комбинаторики может разместить в поезде членов секции, если один из мальчиков может ехать только на полке, расположенной по ходу поезда (не важно, верхней или нижней), а еще двое не могут ехать на верхних полках. ХХ.67. В классе три ряда парт: в каждом ряду по четыре парты. За каждой партой могут сидеть два человека. Сколькими способами учительница может рассадить девять девочек и девять мальчиков, если мальчики должны сидеть рядом с девочками. Машу нужно обязательно посадить за первую парту, а Ваню нужно разместить за партой в левом ряду? XX.68. 1) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров по трем занумерованным коробкам так, чтобы ни одна из коробок не осталась пустой? 2) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров по трем занумерованным коробкам? XX.69. 1) Сколькими способами можно 12 одинаковых конфет распределить между пятью детьми так, чтобы каждому ребенку досталось хотя бы по одной конфете? 2) Сколькими способами можно 12 одинаковых конфет распределить между пятью детьми (варианты, при которых некоторые дети остаются без конфет, не исключаются)? ХХ.70. Двадцать одинаковых банок с красками нужно доставить на пять этажей строящегося дома. Сколькими способами это можно сделать, если на каждый этаж нужно доставить не менее трех банок? XX.7I. 1) Иван должен покрасить за 3 дня 24 заборных столба. Сколькими способами он может распределить работу по дням, если он решил красить не менее пяти столбов в день? 2) Иван должен покрасить за 3 дня 24 заборных столба. Сколькими способами он может распределить работу по дням, если максимальное число столбов, которое можно покрасить за один день, равно 20? §3. Комбинаторные соотношения 385 §3. КОМБИНАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Первый уровень Доказать тождество (XX.72-XX.75). ХХ.72. I) А^, = п- 2) Л* = - /г + 1); 3) ХХ.73. 1) С*+бС2 + 6СЗ = лЗ. 2) С° + 7С‘ + 12С2 + бСЗ = {п + 1)3. ХХ.74. 1) С* = С"-*; 2) С„ = + С*_| (тождество Паскаля). ХХ.75. 1) n-k-\ + г* = С* л-/г’ 2) C^C"_-‘ = C^CГ; 3) »(q„-q:‘)=q:'i I) (Cl - с;) q:i=* ((С*)' - c;:i ■ cj;]). Второй уровень ХХ.76. Используя тождество Паскаля, доказать тождество: ■'л—I л—I ’ 2) =с;"+3 ■ С5+3 ■ с;^1+cj-i- ХХ.77. Используя бином Ньютона, доказать тождество: 1) 1 + С'+C2 + .. + C;J-2"; 2) 1-С'+С2-.. + (-!)"• q = 0: 3) 1 + 2С‘ + 2^С2 + .. + 2" • с;; = З"; 4) 1+4С‘+42с2 + .. + 4"-С^ = 5". ХХ.78. Найти такое число к, при котором число сочетаний из п элементов по k наибольшее, если: 1) п —четное натуральное число; 2) « — нечетное натуральное число. ХХ.79. Доказать, что для любого нечетного п выполняется равенство: 1) Е (-l)"v^ = 0; 2) ёйС*=«-2"-'; k=0 А=0 13—56«2 386 Глава XX. Элементы комбинаторики п гп-ь1 / ,ч£, 3) i:(-l)‘-'*c;=0; 4) Е J=1L=0. *=' *=» к+|) ХХ.80. Доказать тождество: __/^т-\ I ^-n+m — ^п+т-\ ^п+т-\' 2) С^,+С), + ...+С-., = С„\,. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XX XX.8I. 1) Сколькими способами можно представить число п в виде упорядоченной суммы k положительных целых чисел? 2) Сколькими способами можно представить число п в виде упорядоченной суммы k неотрицательных чисел? XX.82. Сколько шестизначных чисел имеют в своей десятичной записи точно четыре различные цифры? XX.83. Семь различных ящиков нужно доставить на четыре этажа строящегося дома. Сколькими способами можно распределить ящики между этажами, если на каждый этаж должен попасть хотя бы один ящик? ХХ.84. По 10 различным урнам распределены 6 белых и 6 черных одинаковых по размеру шаров, причем в каждой урне имеется хотя бы один шар. Сколько существует различных вариантов распределения щаров? ХХ.85. Доказать, что при любом натуральном п выполняется равенство: 1) = (c?)^ + + (C2)^ +... + (c;|)2; 2) E(-i)McS) A=0 XX.86. Доказать тождество pO r>m j_ p\ pm — \ I ' '^n—p ‘ '^p ' '^n—p ' ' 0, n нечетно, (—n четно. + C* • + ... + CT cP ^n-p nm XX.87. Доказать тождество ^ i^n)^ = Ъ^2п- k=o k XX.88. Доказать равенство ')=/4*^„. i=0 Ответы к главе XX 387 ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XX ХХ.1. 24. ХХ.2. 18. 2) 16. ХХ.6. 1) 3024; ХХ.8. 200. ХХ.9. (6!)^ ХХ.12. 5® 4- 4 • 5® - 28125. ХХ.14. 9 ■ 10^ - 9 • 9 • 8 • 7 ХХ.З. 60. ХХ.4. 20. ХХ.5. 1) 12; 2) 2048. ХХ.7. 1) 9®; 2) 33600. = 518400. ХХ.10. (10!)^. XX.I1. 5274. ХХ.13. I) 3168; 2) 9 ■ 10® - 6 • 7® = 799158. 6 = 62784. ХХ.15. 9 ■ 10® - 4 • 5® = 887500. ХХ.16. I) 10!; 2) 9!. ХХ.17. 1) 6 • 8!; 2) 8 • 91. ХХ.18. 1) (61)" 2) 2 • (6!)^ ХХ.19. 4 ■ 5 • 8! = 20 • 81. 4) 2) I = 360; 3) ^ = 3360; ХХ.24. 720. ХХ.25. 56. ХХ.26. ХХ.28. 1) 2"; ХХ.20. 12 13! (W 24! 7!-4!-5!-61-2! 101. ХХ.21. 1) 61 = 720; ХХ.22. 1260. ХХ.23 . 35. 2) 2‘ Л—2, 3) 2^ нечетное; 4) 2“ —2J, если п —четное; ХХ.29. 1800. ХХ.ЗО. 2296. ХХ.31. 31 ХХ.34. 216. ХХ.35. 45-81. ХХ.36. (12!)^-2 1, если л — четное; 2~^ Я4Ч 2" - 2 2 ХХ.27. 1) 60; 2) 270. П —I - 1, если п — ХХ.32. 12 , если 9720. п — нечетное. ХХ.ЗЗ. 1158. ХХ.38. 45 ■ 81. ХХ.42. 1) 210; ХХ.39. 8 • 81. 2) 343. ХХ.43. ХХ.37. 2• 61-6! = 1036800. 1И 2 ■ 1) 35; 2) 84. ХХ.44. 1) 28; 2) 56. ХХ.40. 91. ХХ.41. 1) 111; 2) ХХ.45. 1) 15120; 2) 15120. ХХ.46. 1) 9® 2) 9 5 ХХ.47. 1) 6 10. ХХ.48. 1) С? = 165; 2) Й = 36. ХХ.49. 1) С?п = 45; 2) С?л = 2) б'®-5'®. = 210; 3) Cfo = 24310; 4) - С| = 11440. ХХ.50. 1440. ХХ.51. ХХ.52. Cfo • С?п = 136800. ХХ.ЗЗ. Cf, '20 С^О = 59400. ХХ.54. С ‘'20 ХХ.ЗЗ. 1) 42 375 200; 2) 30 <^5- ХХ.37. C'2l- (4o-l)' ХХ.38. 1) 252; 2) 2001. 2) С^ = 495. ХХ.60. 20160. ХХ.61. 69 630. ХХ.62. 1) ХХ.63. 1) 1800; 2) 4 233 600. ХХ.64 . 9600. ХХ.63. 1) = 2520 ХХ.36. Cfo - = 140 ХХ.39. 1) = 126 18! o^ 18! (3!)® 2) (3!)®6! ('2 . (-2 , ^2 2) =3150. 2) 55. ХХ.69. 1) 330; 2) 1820. fl «—I ft+1 XX. 78. 1) c|; 2) и XX.66. 392 131. XX.67. 768-8! 111. XX.68. 1) 21; XX.70. 126. XX.71. 1) 55; 2) 295. XX.79. Указание. 1) За- g __ пишем сумму Sn = двумя способами —в прямом *=0 и обратном порядке; \/^ — \/^ -I- \/Щ — ... + \[с^ — \/Щ = 0 и -\/Щ + - \JCn~^ -Н... - \/^-I- \/^ = 0. Сложим два полученных выражения; (\/^- Ч-... -I- = 0. Так как Сп — С^' то выражение в Следовательно, 2Sn = 0, откуда Sn = 0 каждой скобке равно I. "л—I ’ ХХ.81. 1) С^:|; 2) ^ нулю. I +1* 388 Глава XX. Элементы комбинаторики ХХ.82. 294 840. ХХ.83. 8400. ХХ.84. 23 100. Указание. Возможны два варианта размещения шаров: либо в какой-то урне 3 шара и в 9 урнах — по 1 шару, либо в каких-то двух урнах — по 2 шара и в 8 урнах — по 1 шару. XX.86. Указание: Каждое сочетание без повторений из п элементов по т можно составить в два этапа: сначала взять некоторое число элементов из каких-то р элементов, а потом недостающие взять из остальных п—р элементов. XX.87. Указание: использовать тот же прием, что и в номере 79. а также воспользоваться тождеством из номера 85 1). XX.88. Указание. Рассмотреть алфавит из т «гласных» и п «согласных». Тогда /-й член СуА'т A^i~' суммы из левой части равенства представляет собой число размещений i «гласных» и ft- / «согласных». Глава XXI ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ §1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Первый уровень 1. Множество элементарных исходов эксперимента XXI.1. Иван проводит следующий эксперимент: два раза подбрасывает монету и после каждого броска записывает на листе, что выпало —герб или цифра. Описать множество элементарных исходов данного эксперимента. XXI.2. В урне лежат два белых и два черных шара. Из урны наудачу последовательно и без возвращения извлекаются три шара. Описать множество элементарных исходов данного эксперимента. XXI.3. Из урны, содержащей три белых и один черный шар, наудачу последовательно и без возвращения извлекается по одному шару до появления черного шара. Описать множество элементарных исходов данного эксперимента. XXI.4. Саша проводит следующий эксперимент: подбрасывает монету до тех пор, пока не выпадет герб, после каждого броска фиксируя на листе, что выпало — герб или цифра. Описать множество элементарных исходов данного эксперимента. XXI.5. Маша проводит следующий эксперимент: рисует в тетради отрезок ОА длиной 10 см, произвольно ставит на нем точку В, после чего измеряет длину отрезка ОВ. Описать множество элементарных исходов данного эксперимента. XXI.6. Оля проводит следующий эксперимент: рисует в тетради отрезок ОА длиной 5 см, произвольно ставит внутри него две точки В и С, после чего строит прямоугольник со сторонами, равными по длине отрезкам ОВ и ОС. Описать множество элементарных исходов данного эксперимента. XXI,7. В коробке лежат три шара: красный, синий и белый. Рассмотрим четыре эксперимента, состоящие в последовательном извлечении из коробки двух шаров и фиксации 390 Глава XXI. Элементы теории вероятностей их цветов. Эксперименты различаются по условиям проведения; 1) в эксперименте А шар, извлеченный из коробки первым, откладывается в сторону; порядок, в котором были извлечены шары, фиксируется; 2) в эксперименте Б шар, извлеченный из коробки первым, откладывается в сторону; порядок, в котором были извлечены шары, не фиксируется; 3) в эксперименте В шар, извлеченный из коробки первым, возвращается в коробку перед извлечением второго ш'ара; порядок, в котором были извлечены шары, фиксируется; 4) в эксперименте Г шар, извлеченный из коробки первым, возвращается в коробку перед извлечением второго шара; порядок, в котором были извлечены шары, не фиксируется. Описать множество элементарных исходов каждого эксперимента. XXI.8. В городе N проводится следующий опыт: наугад выбирается семья с тремя детьми и выясняется, сколько мальчиков и сколько девочек растет в этой семье. Построить множество элементарных исходов опыта так, чтобы исходы были равновозможными. XXI.9. В коробке лежат 4 белых и 2 черных шара. Эксперимент состоит в одновременном извлечении пяти шаров и регистрации числа черных шаров среди извлеченных. Построить множество элементарных исходов эксперимента так, чтобы исходы были равновозможными. XXI.10. Подбрасываются две одинаковые игральные кости и фиксируются очки, выпавшие на этих костях. Построить множество элементарных исходов опыта так, чтобы исходы были равновозможными. 2. События и действия над ними XXI.11. Каждая из цифр 1, 2, 3 записана на отдельной карточке. Наугад вытягивается одна карточка, на листок записывается находящаяся на ней цифра и карточка возвращается обратно в стопку. Затем вытягивается вторая карточка, и ее цифра записывается справа §1. Основные понятия теории вероятностей 391 ОТ первой цифры. Наблюдаемый результат —двузначное число. События: А = {число четное}, В — {количество десятков не равно количеству единиц}. 1) Построить множество элементарных исходов эксперимента. _ 2) Задать перечислением элементов события А, В, А, В, АВ, А+В, АВ. 3) Определить, какие события, упомянутые в пункте 2, попарно несовместны. XXI.12. Эксперимент состоит в однократном подбрасывании игральной кости. События; А = {число выпавших очков кратно трем}, В = {число выпавших очков нечетно}, С — {число выпавших очков больше 3}, D = {число выпавших очков меньше 7}. £ = {число выпавших очков нецелое}, F= {число выпавших очков меньше 1,5, но больше 0,5}. 1) Описать множество П элементарных исходов эксперимента. _ _ 2) Задать перечислением элементов события В, С, АВ, А + В, АС, E + D, EF. 3) Определить, какие события, упомянутые в пункте 2, попарно несовместны. XXI.13. На отрезке [2,8] числовой оси наудачу ставятся две точки М и N. Пусть х и у — координаты точек М и N соответственно. Событие Л = {точка Л/ ближе расположена к правому концу отрезка, чем точка М}, а событие В = {расстояние между точками М \л N меньше половины длины отрезка}. 1) Описать множество элементарных исходов эксперимента и изобразить его ^а плоскости Оху. 2) Описать события А, В, А, В, АВ, А + В и изобразить их на плоскости Оху. XXI.14. Используя свойства операций над событиями, доказать тождество: 1) (Л^В) (Л + В)=Л; 2) (Л-ЬВ) (Л + В) (Л + В)=ЛВ; 3) А + В = А + АВ\ 4) А + В=АВ + АВ+АВ. 392 Глава XXI. Элементы теории вероятностей XXI.15. Пусть А и В —события, наблюдаемые в данном эксперименте. Выразить, используя операции над Л и В, следующие события: С={из двух событий не произойдет ни одного}, В={из двух событий произойдет ровно одно), В={из двух событий произойдет ровно два}, В=(из двух событий произойдет хотя бы одно}. XXI.16. Опыт состоит в трех выстрелах по мишени и фиксации факта попадания (промаха) при каждом из них. Событие = {попадание при ^-м выстреле} (ft =1,2,3). 1) Построить множество элементарных исходов данного эксперимента и выразить каждый элементарный исход через события Л*. 2) Выразить через следующие события: Л = (ровно три попадания}, В = {ие меньше двух попаданий}, С= (промах не раньше, чем при втором выстреле}, В=(хотя бы одно попадание}. 3. Классическое определение вероятности XXI.17. Один раз бросают игральную кость. 1) Какова вероятность, что выпадет четное число очков? 2) Какова вероятность, что выпадет число очков кратное 3? XXI.18. Четырехтомное собрание сочинений поставили на полку в случайном порядке. 1) Какова вероятность, что тома будут стоять слева направо в порядке возрастания их номеров? 2) Какова вероятность, что третий и четвертый том окажутся рядом? XXI.19. Учительница попросила Сашу написать в тетради двузначное число, используя цифры от 1 до 9. 1) С какой вероятностью написанное Сашей число окажется кратным 5? 2) С какой вероятностью в написанном Сашей числе количество десятков будет отличаться от числа единиц? § 1. Основные понятия теории вероятностей 393 XXI.20. Бросают три игральные кости. 1) Найти вероятность того, что на всех гранях выпадет одинаковое число очков. 2) Найти вероятность того, что на всех гранях выпадет четное число очков. XXI.21. Одновременно бросают две игральные кости. Найти вероятности следующих событий; Л = {сумма выпавших очков равна 10}; В = {произведение выпавших очков равно 10}; С = {сумма выпавших очков меньше, чем их произведение}. XXI.22. 1) Какова вероятность, что шестизначный цифровой пароль состоит из разных цифр? 2) Какова вероятность, что шестизначный цифровой пароль не содержит нулей? XXI.23. В семье пятеро детей. 1) Какова вероятность того, что среди них три девочки и два мальчика? 2) Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы один мальчик? XXI.24. В лотерее 20 билетов, из которых 5 выигрышных. 1) Какова вероятность выигрыша для того, кто имеет один билет? 2) Какова вероятность выигрыша для того, кто имеет три билета? XXI.25. Какова вероятность, что хотя бы у одного из 25 учеников класса, рожденных в високосном году, день рождения будет 29 февраля? XXI,26. Цифры от 1 до 7 написаны на семи карточках. Наугад последовательно вытягиваются три карточки и выкладываются на столе слева направо. 1) Найти вероятность того, что выложенное число будет нечетным. 2) Найти вероятность того, что в записи выложенного числа будет хотя бы одна цифра 5. XXI.27. На семи карточках написаны числа 4, 5, 6, 8, 7, 13 и 16. Наугад берутся 2 карточки. Определить вероятность того, что дробь, которую можно составить из чисел, записанных на карточках, сокращается. 394 Глава XXI. Элементы теории вероятностей XXI.28. В спортивной секции занимаются 6 девушек и 10 юношей. Между ними путем жеребьевки разыгрываются 4 путевки в зимний лагерь. Какова вероятность, что три путевки достанутся девуш(^м, а одна — юноше? XXI.29. В спортивной секции занимаются 6 девушек и 10 юношей. Между ними путем жеребьевки разыгрывается 1 путевка в лагерь под Москвой и три путевки — в лагерь под Новгородом. Какова вероятность, что путевка в подмосковный лагерь достанется юноше, а остальные путевки достанутся девушкам? XXI.30. 1) Из колоды в 36 карт наугад выбирают десять карт. Найти вероятность того, что среди них окажутся две дамы, три короля и один валет. 2) Из колоды, состоящей из 36 карт, случайным образом отбирают восемь карт. С какой вероятностью среди отобранных карт окажется ровно три туза и ровно две дамы? 4. Геометрическая вероятность XXI.31. На участке АВ телефонной линии протяженностью 2 км произошел разрыв. 1) Чему равна вероятность того, что точка разрыва удалена от точки Л меньше, чем на 600 м? 2) Чему равна вероятность того, что точка разрыва удалена от точек Л и Б на одинаковое расстояние? XXI.32. На отрезке, длина которого равна 6 см, наудачу поставлена точка. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до левого конца отрезка будет отличаться от расстояния от нее до правого конца не менее чем на 2 см? XXI.33. На перекрестке установлен автоматический светофор, на котором одну минуту горит зеленый свет и две минуты — красный, затем вновь одну минуту — зеленый и две минуты — красный и т. д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? § 1. Основные понятия теории вероятностей 395 XXI.34. Луч локатора перемешается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена в угловом секторе ^ радиан, если появление цели по любому направлению одинаково возможно? XXI.35. На окружность радиуса 1 случайным образом поставлены две точки. Какова вероятность, что меньшая из дуг, заключенных между ними, не превосходит XXI.36. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная внутри круга, окажется и внутри квадрата. XXI.37. На отрезке [-2; 4] наудачу взяты два числа. 1} Какова вероятность того, что их сумма окажется меньше единицы? 2) Какова вероятность того, что сумма их квадратов окажется больше 4? XXI.38. На отрезке АВ, длина которого равна 10 см, наудачу поставлены две точки С и D. Какова вероятность, что плошадь квадрата, построенного на отрезке CD, не превосходит 36 сж^? XXI.39. В куб вписан шар. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу внутрь куба, окажется и внутри шара. XXI.40. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу внутрь шара, окажется вне куба. Второй уровень XXI.41. У Вани—15 марок, у Пети—10. Ваня отдал Пете одну из своих марок, а Петя Ване —одну из своих. Спустя некоторое время они вновь осушествили обмен: каждый отдал другому одну из имевшихся у него марок. 1) Какова вероятность, что после второго обмена у каждого мальчика будет исходный состав марок? 2) Какова вероятность, что после второго обмена хотя бы у одного мальчика будет исходный состав марок? XXI.42. Четыре школьника случайным образом выбираются из группы, состояшей из 4 первоклассников, 3 второкласс- 396 Глава XXI. Элементы теории вероятностей ников и 2 третьеклассника. Найти вероятность того, что 1) среди них окажется ровнОкЛва первоклассника; 2) в выбранную четверку входят школьники каждой параллели. XXI.43. На батарее сушатся 14 пар варежек. Из них случайным образом отбирают 6 варежек. Какова вероятность, что среди выбранных варежек отсутствуют парные? XXI.44. Из коробки, в которой лежат 2 белых, 3 синих и 5 красных шаров, наугад вынимаются три шара. 1) Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут одного цвета. 2) Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут различаться по цвету. XXI.45. Класс, в котором учатся 12 девочек и 8 мальчиков, разбивается на две группы по 10 человек в каждой. Какова вероятность, что все мальчики окажутся в одной группе? XXI.46. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируется две подгруппы по 9 команд в каждой. Среди участников чемпионата имеются 5 лучших команд прошлогоднего первенства. Какова вероятность, что все они попадут в одну группу? XXI.47. Карты из колоды, содержащей 36 карт, раздают четырем игрокам, по 9 карт каждому. С какой вероятностью каждому из них достанутся карты одинаковой масти? XXI.48. Колоду, состоящую из 36 карт, случайным образом делят пополам. С какой вероятностью в каждой половине окажется хотя бы один король? XXI.49. Десять школьников, среди которых 5 юношей и 5 девушек, случайным образом группируются попарно. Найти вероятность того, что каждая из пяти пар состоит из лиц разного пола. XXI.50. На отрезок ОА длины 9 см наудачу поставлена точка В. Найти вероятность того, что наименьший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую, чем 3 см. §2. Сложение вероятностей 397 XXI.51. На отрезке длиной 6 см наудачу выбраны две точки А и В. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше 2? XXI.52. Две баржи должны подойти к одному и тому же причалу для погрузки. Время прихода каждой из барж равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одной из барж придется ожидать освобождения причала, если время, необходимое для погрузки первой баржи —четыре часа, а второй — тесть часов? XXI.53. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата 3 см наудачу бросается монета радиуса 1 см. Найти вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата. XXI.54. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит /, будет меньше /? XXI.55. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета диаметром 2 см, в результате чего установлено, что в 25% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить размер сетки. §2. СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ XXI.56. Каждое их трех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,05, 0,2 и 0,24. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий. XXI.57, События А и В могут произойти соответственно с вероятностями 0,7 и 0,4. Кроме того, известно, что вероятность наблюдения хотя бы одного из этих событий равна 0,9. Определить вероятность того, что оба этих события произойдут одновременно. XXI.58. События А, В и С могут произойти соответственно с вероятностями 0,3, 0,4 и 0,6. Кроме того, известно, что вероятность одновременного наблюдения событий А, В равна 0,15, В и С —0,3, г А и С —0,2. Все три события можно наблюдать с вероятностью 0,1. Определить 398 Глава XXI. Элементы теории вероятностей вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий. XXI.59. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты; 60% всех студентов занимается спортом, 40% участвуют в научной работе на кафедрах и 20% занимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному студенту. Найти вероятности следующих событий; 5 = (студент занимается хотя бы одним из двух указанных видов деятельности}, С = (студент занимается только одним видом деятельности}. XXI.60. Статистика, собранная среди работников фирмы, показала, что 70% из них —мужчины, 80% —имеют машину, 60% —состоят в браке. Помимо этого, выяснилось, что 50% мужчин состоит в браке, 90% из них имеют машину, причем 20%> мужчин состоят в браке и имеют машину одновременно. Кроме того, оказалось, что среди сотрудников, состоящих в браке, машину имеют 80%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы окажется женщиной, не состоящей в браке и не имеющей машины? XXI.61. Из урны, содержащей 9 красных шаров, 6 белых и 5 синих шаров, извлекают два шара. Какова вероятность, что оба шара одного цвета? XXI.62. При изучении группы, состоящей из 150 школьников, оказалось, что 70 школьников успешно занимаются по математике, 70 —по литературе, 100 — географии. Кроме того, было обнаружено, что 30 школьников успешно занимаются как по математике, так и по литературе, 40 —как по математике, так и по географии, 50 — как по литературе, так и по географии. И только 20 школьников преуспевают сразу по трем предметам. Из группы в 150 человек случайным образом выбирается школьник. 1) Определить вероятность того, что он успешно занимается ровно по двум предметам. 2) Определить вероятность того, что он успешно занимается более чем по одному предмету. §3. Условная вероятность. Независимость событий 399 XXI.63. Из ящика, содержащего 6 белых и 8 черных шаров, одновременно вынимают пять шаров. Найти вероятность того, что количество белых и количество черных шаров в выборке различаются не менее чем на два шара. §3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Первый уровень 1. Условная вероятность XXI.64. Маша участвует в розыгрыше призов, который организован следующим образом. Десять карточек, на которых записаны натуральные числа от 1 до 10, сложены в коробку. Ведущий, действуя случайным образом, достает из коробки одну карточку. Чтобы получить приз. Маша должна угадать, какое число, четное или нечетное, записано на карточке. Есть два варианта правил, по которым проводится розыгрыш: 1) при игре по первым правилам ведущий, вытянув карточку, не сообщает игроку никакой информации; 2) при игре по вторым правилам ведущий, вытянув карточку, сообщает игроку кратно или не кратно трем записанное на карточке число. По каким правилам выгоднее играть Маше? XXI.65. Один раз подбрасывается игральная кость. События: Л = {выпало число очков, большее 2}, б = {выпало четное число очков). Вычислить: 1) Р{А\ВУ, 2) Р{В\А). XXI.66. Известно, что при броске двух игральных костей на каждой из костей выпало четное число очков. С какой вероятностью можно утверждать, что сумма выпавших на костях очков равна 8? XXI.67. Пусть вероятность рождения мальчика равна 0,5. Известно, что в семье двое детей, причем как минимум один ребенок — мальчик. С какой вероятностью можно утверждать, что оба ребенка — мальчики? XXI.68. Из колоды в 36 карт вытаскивается карта черной масти. Из оставшихся 35 карт случайным образом выбираются 400 Глава XXI. Элементы теории вероятностей 9 карт, причем оказывается, что все они одного цвета. С какой вероятностью можно утверждать, что они красной масти? 2. Формула умножения вероятностей XXI.69. Из коробки, содержащей 6 белых и 4 красных шара, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления красного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если каждый извлеченный шар; 1) откладывается в сторону: 2) возвращается обратно в коробку. XXI.70. Школьник подготовил на зачет 10 вопросов из 15. Учитель задает ему последовательно три вопроса. Найти вероятность того, что: 1) он не знает ответ на первый и третий вопрос, но знает ответ на второй; 2) что он знает ответ на один вопрос из трех. XXI.71. На полке стоят двенадцать книг, из которых три книги по математике, семь —по физике, и две — по химии. Ваня наугад достает с полки три книги подряд. Какова вероятность, что; 1) первые две книги будут по математике, а третья — по физике; 2) книги будут по разным предметам? 3. Независимые события XXI.72. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. Наблюдаемые события: >4 = {вынутая карта — дама}, S = {вынута карта красной масти}, С = {вынутая карта —фигура (т. е. валет, дама, король или туз)}. Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий: Л и В, Л и С, В и С. Выяснить, являются ли события Л, В и С независимыми в совокупности. XXI.73. Статистические исследования, проведенные в городе N, показали, что 80% детей любят шоколад, 50%— бананы, 60% — йогурт. Кроме того было установлено, что 40% детей любит как шоколад, так и бананы. §3. Условная вероятность. Независимость событий 401 30% —как бананы, так и йогурт, 48% —как шоколад, так и йогурт. И только 10% любит и шоколад, и бананы, и йогурт. Случайным образом из всех детей города выбирается ребенок и рассматриваются следующие события: /4 = {ребенок любит шоколад}, iB = {pe6eiioK любит бананы), С= (ребенок любит йогурт). Установить, зависимы или независимы следующие три пары событий: А и В, А а С, В if С. Выяснить, являются ли события А, В и С независимыми в совокупности. XXI.74. Три пушки производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первой пушки равна 0,8, для второй —0,7, для третьей —0,4. С какой вероятностью в мишени окажется ровно две пробоины? XXI.75. Три члена команды по очереди пытаются поразить мишень. Первый спортсмен может это сделать с вероятностью 0.8, второй —0,6, третий —0,3. По условиям соревнований второй спортсмен делает свой выстрел только в том случае, если первый промахнулся, а третий стреляет только в случае промаха первых двух спортсменов. Найти вероятность того, что команде удастся поразить мишень. XXI.76. Над изготовлением изделия работают последовательно трое рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью 0,1, второй —0,2, третий —0,05. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак. 4. Формула полной вероятности XXI.77. На складе хранятся 2000 деталей, изготовленных на первом станке и 3000 деталей, изготовленных на втором станке. Известно, что первый станок дает в среднем 0,1% брака, второй —0,2%. На сборку берется одна деталь со склада. Какова вероятность, что она окажется бракованной? XXI.78. В тире имеются 8 ружей одного типа, 7 ружей второго типа и 5 ружей третьего типа, вероятности попадания из которых в мишень соответственно равны 0,5, 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что, взяв одно из ружей наугад, стрелок попадет в мишень. 402 Глава XXI. Элементы теории вероятностей XXI.79. Три машины производят болты. Первая из них производит 10% всей продукции, вторая — 40%, третья — 50%. Доля брака в продукции первой машины составляет 5%, в продукции второй — 10%, в продукции третьей — 2%. Какова вероятность, что наудачу взятый болт окажется качественным? XXI.80. На сборку приборов поступили три партии однотипных деталей. В первой партии было 40 деталей, во второй — 60. в третьей — 20. Вероятности того, что деталь не проработает расчетное время, для этих партий равны, соответственно, 0,05, 0,1 и 0,2. Найти вероятность того, что выбранная наудачу деталь проработает расчетное время. Второй уровень XXI.81. Двадцать учеников класса писали самостоятельную работу по математике, включавшую две задачи. Положительная оценка ставилась, если хотя бы одна задача была решена правильно. После проверки оказалось, что первую задачу правильно решили 70%, вторую —60%, обе задачи — 40% учеников класса. С какой вероятностью можно утверждать, что ученик правильно решил первую задачу, если известно, что он получил за самостоятельную работу положительную оценку? XXI.82. Известно, что при броске двух игральных костей не выпало ни одной единицы. С какой вероятностью можно утверждать, что хотя бы на одной кости выпала шестерка? XXI.83. 1) Показать, что если А и В — независимые события и Я(Л)/0, Р{В)фО, то Р{А\В) = Р{А), Р{В\А) = Р{В). 2) Показать, что если выполняется одно из равенств Р{А\В)=Р{А) или Р{В\А) = Р{В), то Л и В-независимые события. XXI.84. Проводится эксперимент, состоящий в подбрасывании игральной кости до тех пор, пока на одной из ее граней не выпадет число очков, кратное трем. Какое минимальное число бросков следует запланировать, чтобы с вероятностью большей 0,8 можно было ожидать, что его хватит для завершения эксперимента? § 3. Условная вероятность. Независимость событий 403 XXI.85. В ящике лежат 16 теннисных мячей, в том числе 10 новых и 6 иг[)аных. Для игры из ящика берут два мяча наугад, а после игры их возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что оба меча будут играными. XXI.86. Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успещной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и дополнительный вопрос. Какова вероятность, что Иванов успещно сдаст экзамен? XXI.87. Статистические данные показывают, что 95% всех изделий некоторого производства удовлетворяет стандарту. Предлагается упрощенная система контроля качества, которая с вероятностью 0,03 классифицирует стандартное изделие как бракованное и с вероятностью 0,06 расценивает бракованное изделие как стандартное. Какова вероятность, что изделие, прошедшее упрощенный контроль с положительным результатом, удовлетворяет стандарту? XXI.88. Прибор может работать в двух режимах: стандартном и экстремальном. Нормальный режим наблюдается в 70% всех случаев работы прибора. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в условиях нормального режима равна 0,2, а в условиях экстремального — 0,6. Прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что при этом он работал в нормальном режиме. XXI.89. Ученики восьмых и девятых классов поехали на экскурсию. Известно, что 20% из них — восьмиклассники, причем среди учеников восьмых классов девочек и мальчиков поровну, а среди девятиклассников девочек втрое больше мальчиков. Во время посещения музея экскурсовод обратился с вопросом к выбранной наугад девочке. Какова вероятность, что ею оказалась девятиклассница? XXI.90. На склад поступили изделия от трех поставщиков с процентным содержанием брака 3%, 5% и 6% соответственно, причем от первого поступило в 4 раза больше продукции, чем от второго, а от второго в 2 раза больше, чем от третьего. Наудачу взятое изделие оказалось качественным. С какой вероятностью оно поступило от второго поставщика? 404 Глава XXI, Элементы теории вероятностей XXI.91. В урне лежал шар неизвестного цвета — с равной вероятностью белый или красный. В урну опустили один белый и один красный шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекли из нее один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остались шары одного цвета? §4. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ XXI.92. Пара игральных костей бросается 8 раз. Какова вероятность, что ровно пять раз сумма очков, выпавшая на костях, окажется четной? XXI.93. На сборку поступили 12 деталей из партии, в которой 10% всех деталей не удовлетворяет стандарту. 1) Найти вероятность, что в партию попадет меньше двух бракованных деталей. 2) Найти вероятность, что в партию попадет хотя бы одна бракованная деталь. XXI.94. Монету бросают 6 раз. Какова вероятность, что герб выпадет: 1) четыре раза; 3) ни одного раза; 2) менее двух раз; 4) хотя бы один раз? XXI.95. Для стрелка, выполняющего упражнения в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предществующих выстрелов и равна i. Спортсмен сделал пять выстрелов. Найти вероятности событий; /4 = {ровно одно попадание}, Д = {ровно два попадания}, С={хотя бы одно попадание}, £>={не менее трех попаданий}. XXI.96. Внутри квадрата со стороной см нарисован круг радиусом 1 см. Шесть человек по очереди внутри квадрата отмечают точку. Найти вероятности событий: Л = {ровно три точки попадут в круг}, В= (все точки попадут в круг}, С = (в круг попадет нечетное число точек}. §5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 405 §5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1. Понятие случайной величины XXI.97. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости и фиксации выпавшего на верхней грани числа. Задать на множестве элементарных исходов этого эксперимента какие-нибудь две случайные величины. Для каждой из них записать закон распределения. XXI.98. Эксперимент состоит в подбрасывании двух монет и фиксации выпавшей стороны (герба или цифры). Задать на множестве элементарных исходов этого эксперимента какие-нибудь две случайные величины. Для каждой из них записать закон распределения. 2. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины XXI.99. Из ящика, содержащего 3 красных и 5 синих шаров, случайным образом и без возвращения отбираются 2 шара. Случайная величина if—число синих шаров в выборке. 1) Задать таблицей закон распределения f. 2) Найти P{f3}. 3) Найти функцию распределения случайной величины f и построить ее график. 4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию f. XXI.101. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго —0,6. Случайная 406 Глава XXI. Элементы теории вероятностей величина i; —суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. 1) Задать таблицей закон распределения 2) Найти Я{(^<0,5} и 3) Найти функцию распределения случайной величины ^ и построить ее график. 4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию XXI.102. На полке стоят десять книг, из которых две — книги по геометрии. Ваня наугад снимает с полки две книги. Случайная величина число книг по геометрии, снятых Ваней с полки. 1) Задать таблицей закон распределения 2) Найти Р{^<3} и Я{|^>2}. 3) Найти функцию распределения случайной величины ^ и построить ее график. 4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию f. 3. Биномиальное распределение XXI.103. Монету бросают 3 раза. Случайная величина —число выпадений герба. 1) Задать таблицей закон распределения 2) Найти функцию распределения случайной величины 3) Вычислить математическое ожидание и дисперсию XXI.104. Четыре игрока по очереди бросают кубик. Случайная величина число игроков, у которых выпадет менее пяти очков. 1) Задать таблицей закон распределения 2) Найти функцию распределения случайной величины 3) Вычислить математическое ожидание и дисперсию XXI.105. Имеется 1000 семей, в каждой из которых два ребенка. Случайная величина if—число семей, имеющих двух мальчиков. Найти математическое ожидание и дисперсию f. XXI.106. В продукции завода брак составляет 5% от общего количества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 20 деталей. Случайная величина f—число бракованных деталей в партии. Найти математическое ожидание и дисперсию f. Задачи повышенной сложности к главе XXI 407 ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ К ГЛАВЕ XXI XXI.107. На окружность единичного радиуса наудачу ставятся три точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС окажется остроугольным? XXI.108. Школьник знает 20 из 25 вопросов к зачету по геометрии. Зачет считается сданным, если школьник ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, школьник обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что он сдаст зачет? XXI.109. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу независимо одна от другой внутрь круга, четыре попадут в квадрат, три —в один сегмент и по одной — в оставшиеся три сегмента? XXI.110. в одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, а игра шла до тех пор, пока один из участников не набирал 6 очков (выигрыш —1 очко, проигрыш или ничья —О очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает К очков. XXI.111. Два игрока бросают по очереди монету. Выигравшим считается тот, у кого первого выпадет герб. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков, если игроки договорились, что каждый сделает не более 100 бросков. XXI.112. Баллотируются два кандидата, причем за первого в урну опущено п бюллетеней, а за второго — т бюллетеней {п>т). Какова вероятность того, что в ходе подсчета бюллетеней число подсчитанных голосов, поданных за первого, все время будет больше числа голосов, поданных за второго? XXI.ИЗ. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью выжить с вероятностью | и разделиться на две с вероятностью i. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от 408 Глава XXI. Элементы теории вероятностей XXI.114. ее «происхождения» происходит то же самое. Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к концу второго промежутка времени, если к началу первого промежутка имелась одна амеба? На шахматную доску ставят двух слонов, белого и черного. Какова вероятность, что слоны побьют друг друга? ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XXI XXI.1. 52={гг, гц, цг, цц} (г —выпал герб, ц —выпала цифра). XXI.2. 12={ббч, бчч. бчб, ччб, чбб, чбч) (б — извлечен белый шар. ч — извлечен черный шар). XXI.3. S2 = {ч, бч, ббч. бббч] (б—извлечен белый шар, ч — извлечен черный шар). XXI.4. П = {г. цг, ццг. цццг,...}. XXI.5. S2 = {х|х е [0; 10]}. XXI.6. S2 = {(л:,1/)|л:е (0;5),(/€ (0:5)}. XXI.7. I) А: {2д = [кс, ск,кб, бк,сб, бс}: 2) Б: 12б — {кс, кб, сб)\ 3) В; 12в = = {кс, ск, кб, бк, сб, бс, кк, сс, бб}\ 4) Г: S2p = {кс, кб,сб,кк,сс, бб]. XXI.8. 12 = {ммм, ммд, мдм, дмм, мдд, дмд, ддм, ддд}. XXI.9. Если пронумеровать все шары числами от 1 до 6, то в качестве элементов множества элементарных исходов можно взять сочетания из 6 по 5 (или размещения из 6 по 5) элементов множества {1,2,3,4,5,6}. XXI.10. Пометим одну из игральных костей. Множество элементарных исходов S2 составим из упорядоченных пар ((,/), где 2 —число очков выпавших на помеченной кости, а / — число очков выпавших на непомеченной кости. Таким образом, элементами множества $2 являются размещения из 6 по 2. Заметим, что если в качестве элементов S2 взять сочетания из 6 по 2, то получится множество с неравновозможными исходами. XXI.11. 1) {И, 12,13,21,22,23,31,32,33}; 2) Л = {12,22,32}, В={12,13,21,23,31,32}, Л = {11,13,21,23,31,33}, {11,_22,33}, ЛВ={12,32}, Л-|-В= {1^13,21,22,^,31,32}, ЛB={22J•. 3) А и А. В и В, В и АВ. А и АВ. А и_АВ, В и АВ. АВ и ЛВ. XXI.12. 1) П = {1,2,3,4,5,6}; 2) В={2.4,6}^С={1,2,3}, ЛВ = {3}, Л-|-В=^{1,3,5,б}. ЛС={3}, £ + D=Q. EF = 0\ 3) В и АВ, В и АС, В и_ЕР, С и ЕЕ, _АВ и ЕЕ, АС и ЕЕ, E + D и ЕЕ. XXL15. Например, С = Л-В, 0 = АВ + АВ, Е = АВ, Е = А + В или Е — АВ + АВ + ВА. XXI.16. 1) Обозначим попадание цифрой I, а промах — цифрой 0, тогда каждому элементарному исходу опыта можно сопоставить упорядоченную тройку этих цифр. Например, запись 011 будет означать, что при первом выстреле имел место промах, а при втором и третьем — попадание. Множество элементарных исходов опыта: S2 = {000,001,010,100,011,101, ПО, 111}. Элементы множества J2 можно представить через события Л* следующим образом: 000 = Л[ • Лг • A3, 001=Л7_^-Лз. 010 = Л;’_Л2 • Л^. 100 = Л| -^ А5, 0П=^ Л2-Лз. 101 =Л 1 • Л2 • Л3, 110=Л 1-Л2• Л3. 111 = Л] • Л2 • Л3. 2) Например, Л =Л]-Лз Л3; В = ЛI • Лг • Лз -t-ЛI ■ Лз • Лз -f ЛI • Л2 • Лз -1-Л| • Лг • Л3 = Л: • Л2 -I-Лi • Л3 -f Л2 • Л3; Ответы к главе XXI 409 ■^2 Ai С = А{ ■ А2 ■ А} + А] • А2 ■ Аз + А\ D = А\ • А2 • A3 + А[ ■ <42 • A3 + А[ • ^2 ■ Аз + Ai Л2 • Л3 + <4] • Л2 • Лз = Л] 1. Лз + _Л] Лз + Л| ■ Л2 Лг • Лз = Л, Лз + Л| 2) 2) 3. XXI.18. 1) 2) 1. XXI.19. 1) д. 2) XXI.17. 1) ХХ1.20. 1) XXI.21. Р{А) = 1_, 12’ Р{В) = р(С) = 18 ХХ1.23. 1) А; 2) |1. 2) 0,9° = 0,531441. XXI.25. 1 - XXI.26. 1) XXI.29. XXI.30. I) и 2) 0. XXI.32. Л2 ■ Лз 8 9......... ■' 36 XXI.22. 1) 0,1512 XXI.24. I) i-. 2) 7' 0,004; 2) Г XXI.27. 7' XXI.28. m 91 ■ г'Л . г2 , гЗ 2) ^ as 0.0036. С?, 561 XXI.31. 1) 0,3; XXI.36. к XXI.40. 1 XXI.43. XXI.47. XXI.37 3 я\/2 ^6 34.5' 4! • (9!)“’ 36! " 107 1) —• ' 72’ XXI.41. 1) 3 XXI.33. I XXI.44. 1) XXI.48. 150’ 2) XXI.62. XXI.53. XXI.57. 0.2 XXI.58. 0,75. 61 69 77' XXI.54 .36 XXI.34. а 25' XXI.42. 1) 4199' I XXI.50. |. XXI.55. 4 см. XXI.56. 0.445 ± 25' XXI.45. XXI.50. XXI.35. XXI.39. 2) ю. 21 ’ I XXI.61. XXI.62. 1) 0,4; 2) выгоднее играть по вторым правилам 3 3. Awx.a,. i. 2) 1 - XXI.38. 2) 109 120' XXI.49. I 6' XXI.59. Р(б) = 0,6, P(C) = 0,6. XXI.60. 0.85. 8 XXI.46. XXI.51. 15- XX..6S. i|. XXI.64. Маше XXI.67. i. XXI.68. 2) f. XXI.71. 1) 4; независимые, Л XXI.65. 1) ?; 2) XXI.66. I XXI.69. 1) D XXI.70. 1) 20 2) — ’ 110- 2) 0,216. ....... 2^3. XXI.72. Л и 6 независимые, В н С и С зависимые. Л, S и С не являются независимыми в совокупности. XXI.73. Пары ЛиВ, биС, ЛиС независимые, Л. В и С не являются независимыми в совокупности. XXI.74. 0,488. XXI.75. 0,944. XXI.76. 0,316. XXI.77. 0,0016. XXI.78. 0,645. XXI.79. 0,945. XXI.80. 0,9. XXI.85. и 0,1906. XXI.86. 0,5. XXI.8I. i. XXI.82. XXI.84. Четыре. XXI.89. ~. XXI.90. XXI.91. i lOb 3 XXI.87. s XXI.92. 0,9968. ]_ 32’ XXI.88. XXI.93. 1) 7_ 16' 0,659; 2) «0,7176. Р(В) и 0.2637 XXI.94. 1) g; 2) 3) 4) ||. XXI.95. Р(Л)«0,3955, Р(С) « 0,7627, P(D) й Р(В) = 0,000064; Р(С) = 0.476672. 1 . 44 М 64' 0.1035. XXI.96. Р(А) = 0,08192, XXI.99. 1) X, 0 1 2 Pi 3 15 5 28 28 14 410 Глава XXI. Элементы теории вероятностей 2) Р{?<1} = ^ 4) D(?) = ^. = i. Р{^>2} = i. 14’ XXI. 100. 1) 3) F^{X) = . О, л: ^ о, 28 О < л: ^ 1, JC; 1 2 3 4 Pi 1 4 1 4 1 4 1 4 1<х^2, . 1, х>2. 2) Р{?<2} = 3) F^{x) fO, JC ^ 1, 1 4’ 1 < л: ^ 2, I 2’ 2 < .t ^ 3, 4) M(0 = |; 3 4’ 3 < jc ^ 4, ч, л: > 4. D{^ = XXI.101. 1) j^i 0 1 2 Pi 0,08 0,44 0,48 'О, л:^0, , 0,92. 3) fj(2) = .1, Х>2. D(^ = 0,4. XXI.102. 1) Xi 0 1 2 Pi 28 45 16 45 1 45 2) Р{?<0,5} = 0,08; 4) М(^ = 1,4; 2) Р{?<3} = 1 и Я{^>2} = 0. 3) F^(x) = < О, X < О, 28 45’ О < .< < 1, <х 11, х>2. g 1<х<2, 4) М(^ = 0.4; D{^ 64 225' XXI.103. 1) Xi 0 1 2 3 Pi 0,125 0,375 0,375 0,125 2) F^(x) = О, л: ^ О, 0,125, 0<х<1, 0,5, 1 < .V ^ 2, 0. 875, 2 < а: ^ 3, 1, ;с > 3. 3) М(?) = 1,5; D(0 = 0.75. Ответы к главе XXI 411 XXI.104. 1) •<( 0 1 2 3 4 Pi 1 8 24 32 18 _8L 81 _8i_ 3) М(?) = D(0 2) = О, X < О, 81’ О < д: ^ 1, 33 8Г 81 ’ '• 1, д:>4. 2 < дс ^ 3, 3 <д: ^ 4, XXI.105. М(^ = 250, 0(f) = 187,5. 228 XXI.107. 0,25. -к-Ь XXI.108. 2^3 XXI.111. Ве- XXI.106. М{^ = 1, D(^ = 0,95. XXI.109. .'1^ . (I)' (l - D®. XXI.llO. ■ 2 роятность выигрыша первого игрока равна [ 3 амебы соответственно с вероятностями XXI.114. ^1-0,5'®°^, второго — (l -0,5'°®). XXI.112. XXI.113. Могут существовать О, I, 2, 3, 4 Глава XXII РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ §1. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Первый уровень XXII.1. Товар продавался в течение двух дней: в первый день по цене 20 руб. за 1 кг, а во второй — 90 руб. за 1 кг. Какая часть общей выручки была получена за товар в первый день, если средняя цена товара оказалась равной 60 руб. за 1 /сг? XXII.2. 16 кг огурцов на 20 руб. дешевле, чем 13 кг помидоров, а 24 кг огурцов на 24 руб. дороже 15 кг помидоров. Определить общую стоимость 6 кг огурцов и 13 кг помидоров. XXII.3. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число. XXII.4. Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. XXII.5. Турист проехал расстояние между городами за 3 дня. В первый день он проехал пятую часть всего пути и еще 00 км, во второй — четвертую часть всего пути и еще 23 20 км, а в третий день — — всего пути и оставшиеся 80 25 км. Найти расстояние между городами. XXII.6. Площади трех участков земли относятся как 4:3:5. Урожайность всех трех участков одинакова и составляет 28 центнеров с гектара. Известно, что со второго и третьего участков вместе было собрано на 336 центнеров больше, чем с первого. Определить, какова площадь каждого из участков. XXII.7. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в него в соотношении 1 : 2, а другой содержит те же §1. Текстовые задачи 413 металлы в отношении 2 ; 3. Сколько частей каждого сплава надо взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 ; 27? XXII.8. Поезд был задержан ввиду неисправности пути на 10 мин, а затем на расстоянии 75 км наверстал потерянное время, развив скорость на 15 км/ч больше предполагаемой по расписанию. Определить скорость поезда, с которой он двигался после задержки. XXII.9. Поезд должен пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан на 10 мин у светофора. Увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определить первоначальную скорость поезда. XXII.10. Рукопись в \20 cmр. отдана двум машинисткам. Если первая машинистка начнет печатать через 1 ч после второй, то каждая из них напечатает по половине рукописи. Если же обе машинистки начнут работать одновременно, то через 4 ч останутся ненапечатанными 32 стр. За какое время может перепечатать рукопись каждая машинистка в отдельности? XXII.11. Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого объема) за 11ч. Если бы три насоса наполнили первый танкер, а затем один из них наполнил четверть второго танкера, то работа заняла бы 18 ч. За сколько часов три насоса могут наполнить первый танкер? XXII.12. Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 12 ч. Первая труба наполнит бассейн на 10 ч раньше второй. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба? XXII.13. Начав движение одновременно из пунктов Л и S навстречу друг другу, велосипедист и бегун встретились через 30 мин. За какое время бегун преодолеет расстояние между пунктами А ч В, если велосипедисту для этого потребовалось 45 мин? XXII.14. Два каменщика разной квалификации, работая отдельно, могут выложить стену за 4 и 6 ч соответственно. За какое время они выложат ее, работая вместе? 414 Глава XXll. Разные задачи XXII.15. По реке из пункта А в пункт В выплыл катер. Одновременно из пункта В в пункт А выплыла моторная лодка. Пройдя четверть пути от В к Л, лодка встретилась с катером. Катер, достигнув пункта В, повернул обратно и прибыл в пункт А одновременно с лодкой. Во сколько раз скорость катера больше скорости лодки? XXII.16. Пароход вышел из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, и, дойдя до пункта В, сразу же повернул обратно, затратив на весь путь 5 ч. Сколько времени идет пароход от пункта В до пункта Л, если известно, что плоты сплавляются от Л до В за 12 ч? XXII.17. Первую половину пути поезд двигался со скоростью АО км/ч, а вторую —со скоростью ^0 км/ч. Найти среднюю скорость поезда на всем пути. XXII.18. Расстояние в 160 км между пунктами Л и В автомобиль проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а другую часть, по бездорожью — со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние автомобиль проехал по ровной дороге? XXII.19. Из пункта Л в В и из пункта В в Л вышли одновременно два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй пешеход прошел половину пути, то первому осталось пройти 15 км. Определить, сколько километров осталось пройти второму пешеходу, когда первый закончил свой путь. XXII.20. Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как первый проработал 2 ч, его сменил второй, который за 3 ч закончил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 ч быстрее, чем один первый экскаватор. За какое время выроют котлован оба экскаватора, работая вместе? XXII.21. Дорога от пункта Л до пункта В длиной 11,5/сж идет сначала в гору, затем по ровному месту, а далее под гору. Пешеход, идя из пункта Л в пункт В, прошел всю дорогу за 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу затратил 3 ч 6 мин. Скорость его передвижения составляет при ходьбе в гору 3 км/ч, по ровному месту 4 км/ч и под гору 5 км/ч. На каком протяжении идет дорога по ровному месту? §1. Текстовые задачи 415 XXII.22. Автомобиль проходит путь с постоянной скоростью. Если бы он увеличил скорость на 6 км/ч, то затратил бы на 4 ч меньше, а если бы уменьшил на 6 км/ч, то затратил бы на 6 ч больше. Найти длину пути. XXII.23. Располагая некоторой суммой денег, фирма могла купить 44 телевизора равной стоимости. Сколько телевизоров смогла бы купить фирма на эту сумму денег, если бы стоимость телевизоров была снижена на 12%? XXII.24. Из 50 тонн руды выплавляется 20 тонн металла, содержащего 12% примесей. Каков процент примесей в руде? XXII.25. Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие — 12% воды. Сколько килограммов сухих фруктов получится из 40 кг свежих фруктов? XXII.26. Из молока, жирность которого 5%, делают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 т молока. XXII.27. В начале года в банк было положено 1000 руб., а в конце года было взято обратно 900 руб. Еще через год на книжке снова оказалось 900 руб. Сколько процентов в год начисляет банк? XXII.28. В результате реконструкции завода объем его производства в течение года снизился на р%, зато в следующем году вырос на (р + 30)%. Оказалось, что за два года объем производства вырос на 20%. Найти р. XXII.29. Имелось два водных раствора соляной кислоты, содержащих 800 г и 600 г неразведенной кислоты соответственно. Их смешали и получили 10 кг нового раствора. Определить массы растворов, если известно, что в первом процентное содержание кислоты на 10% выше. ххп.зо. в связи с неблагоприятными погодными условиями фермер собрал зерна на 10% меньше, чем в предыдущий год. Как изменилась в процентах по сравнению с предыдущим годом его выручка от продажи зерна, если закупочная цена на зерно по сравнению с прошлым годом повысилась на 15%? 416 Глава XXII. Разные задачи Второй уровень XXII.31. Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет ^ скорости грузовика. Через 30 мин вслед за ними выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найти скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч раньше, чем легковой автомобиль. XXII.32. Из городов Л и fi, расстояние между которыми 70 км, навстречу друг другу выехали одновременно автобус и велосипедист и встретились через 1 ч 24 мин. Продолжая движение с той же скоростью, автобус прибыл в город В и через 20 мин после прибытия отправился в обратный рейс. Найти скорости автобуса и велосипедиста, если известно, что автобус обогнал велосипедиста через 2 ч 41 мин после первой встречи. XXII.33. Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на 1 ч раньше других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и вторая свечи стали одинаковой длины, а через 2 ч после этого одинаковой длины стали первая и третья. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 8 ч, а третья за 12 ч? XXII.34. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А \л В навстречу друг другу. Через 4 ч после встречи велосипедист, ехавший из А, прибыл в В, а через 9 ч после встречи другой велосипедист прибыл в А. Сколько часов был в пути каждый велосипедист? XXII.35. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу: первый — из пункта А, второй из пункта В. До встречи первый пешеход прошел на 1 км больше, чем второй. Через 45 мин после встречи первый пешеход пришел в В, а второй пешеход прибыл в пункт А через 1 ч 20 мин после встречи. Найти расстояние от А до В. XXII.36. Часовая и минутная стрелки часов совпадают в 12 ч. Какое время будут показывать часы при следующем совпадении стрелок? §1. Текстовые задачи 417 XXII.37. Найти угол между часовой и минутной стрелками часов, когда часы показывают 2 ч 20 мин. XXII.38. Города А и В расположены на берегах реки. Два парохода, имеющие в стоячей воде скорость 21 км/ч, вышли одновременно из городов А и В навстречу друг другу. Каждый из них, достигнув второго города, сразу поворачивал обратно и прибывал в пункт отправления через 18 ч после начала движения. Известно, что вторая встреча пароходов произошла через 13 ч после первой. Найти скорость течения реки. XXII.39. От пристани А одновременно отправились вниз по течению реки катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, а затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А. XXII.40. Пассажирский поезд обгоняет товарный, идущий по параллельному пути. Мимо машиниста товарного поезда пассажирский проходит за 10 с, а мимо машиниста пассажирского поезда товарный проходит за 40 с. Если бы эти поезда двигались навстречу друг другу, то полное время встречи (от встречи локомотивов до расставания хвостовых вагонов) было бы 16- с. Во сколько раз скорость пассажирского поезда больше скорости товарного? XXII.41. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один из них тратит на 5 с меньше другого. Если они начинают бег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях? XXII.42. По круговому маршруту из одного и того же места одновременно в разных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист. До момента их первой встречи расстояние в 6 км, измеряемое по меньшей из дуг 14—5682 418 Глава XXII. Разные задачи маршрута, было между ними дважды: в первый раз через 5 мин после старта, когда велосипедист проехал ^ часть маршрута, второй раз, когда мотоциклист проехал I части маршрута. Через какое время после старта расстояние в 6 кл1 было между ними во второй раз? XXII.43. Два тела движутся равномерно по окружности в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 3 с быстрее второго и догоняет второе тело каждые полторы минуты. За какое время каждое тело проходит окружность? XXII.44. Из точки Л, лежащей на окружности, выходят одновременно два тела, движущихся равномерно по этой окружности в противоположных направлениях. Через некоторое время они встретились, и оказалось, что первое тело прощло на 10 см больше второго. После встречи тела продолжили путь, причем первое тело пришло в точку А через 9 с, а второе — через 16 с после встречи. Найти длину окружности, по которой двигались тела. XXII.45. Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если первый рабочий проработает 2 ч, а затем они вместе будут работать 3 ч, то они вместе выполнят 75% всей работы. Какие значения может принимать время выполнения всей работы двумя рабочими вместе? XXII.46. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций Л и В, расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию В на 3 ч раньше, чем второй на станцию А. В каких пределах заключено время движения первого поезда, если известно, что скорости поездов отличались более чем на 10 км/ч, а максимальная скорость на перегоне не должна превышать 60 км/ч? XXII.47. Расстояние между пунктами А и В равно 100 кл<. Из А а В одновременно отправляются два велосипедиста. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго. В пути первый велосипедист делает остановку на 50 мин, но в пункт В прибывает первым. В каких пределах заключена скорость второго велосипедиста, если известно, что в дороге он провел меньше 4 ч? §1. Текстовые задачи 419 XXII.48. Первая и вторая бригады, работая вместе, могут выполнить задание не более чем за 9 дней. Первая и третья бригады, работая вместе, могут выполнить то же задание не менее чем за 18 дней. Первая и третья бригады, работая вместе, могут выполнить то же задание ровно за 12 дней. За какое минимальное количество дней может выполнить это задание одна третья бригада? XXII.49. Из пункта А по направлению в сторону пункта В выехали автомобиль и мотоциклист. Одновременно с ними из пункта В в том же направлении выехал велосипедист. Автомобиль догнал велосипедиста и сразу же повернул назад. Проехав четверть своего обратного пути, автомобиль встретил мотоциклиста и вернулся в пункт А в тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста. Найти отношение скоростей мотоциклиста и велосипедиста. XXII.50. Автобус и мотоцикл выезжают одновременно навстречу друг другу; автобус — из пункта А в пункт S, мотоцикл — из пункта В в пункт Л, и встречаются в 10 ч. Если скорость автобуса увеличить в 2 раза, оставив неизменной скорость мотоцикла, то встреча произойдет в 9 ч 10 мин. Если же увеличить в 2 раза скорость мотоцикла, оставив скорость автобуса прежней, то встреча произойдет в 8 ч 50 мин. Во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости автобуса? XXII.51. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько построено пяти-и девятиэтажных домов? XXII.52. На стоянке находятся мащины марок «Москвич» и «Волга». Общее число их менее 30. Если число «Волг» увеличить вдвое, а число «Москвичей» — на 27, то «Волг» станет больше. Если, не изменяя число «Волг», увеличить вдвое число «Москвичей», то «Москвичей» станет больше. Сколько «Москвичей» и сколько «Волг» находятся на стоянке? 420 Глава XXII. Разные задачи XXII.53. При подведении итогов шахматного турнира оказалось, что на первое место претендуют сразу несколько ^ но спортсменов. Их количество оказалось больше ЗГ меньше ^ от общего числа участников соревнований. Какое минимальное количество шахматистов принимало участие в турнире? XXII.54. После сдачи студентами факультета сессии оказалось, что количество отличников меньше —, но больше ~ от общего числа студентов факультета. Какое наименьшее число студентов может быть на факультете? XXII.55. Вся семья выпила по чашке кофе с молоком, причем Катя выпила четвертую часть всего кофе и шестую часть молока. Сколько человек в семье? XXII.56. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идет с той же скоростью, но по неподвижному эскалатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? XXII.57. Интервалы движения морских катеров по трем маршрутам, начинающимся на общей пристани, составляют 30, 36 и 45 мин соответственно. Сколько раз с 7^^ до 1730 того же дня на этой пристани одновременно встречаются катера всех трех маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 11'^? XXII.58. Для получения смеси было взято 18 г одной жидкости л Л и 30 см^ другой, в 5 раза более плотной. Определить «J плотности этих жидкостей, если известно, что 22,5 г полученного раствора занимают такой же объем, как вся первая жидкость. XXII.59. Из 2 кг первого металла и 2,4 кг второго изготовили сплав. Найти плотности металлов, если известно, что деталь, изготовленная из полученного сплава, имеет массу 550 г, а такая же деталь, изготовленная из первого металла, имеет массу 400 г, и плотность второго металла на 4 г/см^ больше плотности первого. XXII.60. Скорость товарного поезда линейно зависит от числа его вагонов, а скорость состава из 60 вагонов равна §1. Текстовые задачи 421 I скорости состава из 40 вагонов. Паровозная бригада выподняет план перевозок на 100% при наибольшем грузообороте (грузооборот есть произведение числа вагонов на скорость поезда). На сколько процентов выполняет план перевозок паровозная бригада, составляя товарный поезд из 40 вагонов? XXII.61. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их продала на общую сумму 7 млн 680 тыс руб., получив при этом 28'Х> прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продаже первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже второго — 20%? Третий уровень XXII.62. Три бегуна стартуют одновременно из трех точек круговой беговой дорожки, являющихся вершинами правильного треугольника, и бегут в одном направлении. Первый бегун обгоняет второго, стартовавшего перед ним, через 4 мин после старта, а третьего — через 5 мин после старта. Через какое время после старта второй бегун догонит третьего? XXII.63. Автомобили марок «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге, | часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна 2у. а за пределами города равна Скорость «Крайслера» в городе равна у, а за пределами города равна Зу. Автомобили одновременно въезжают в город. Через какое время один из них впервые совершит обгон другого, и какое расстояние он для этого проедет, если длина городского участка кольцевой дороги равна S? XXII.64. По дороге, имеющей форму окружности, из двух диаметрально противоположных точек А » В выбегают одновременно два спортсмена и бегут с постоянными скоростями навстречу друг другу. Первая их встреча произошла через t с в а м от В, а вторая — в 2а м. от А (под расстоянием понимается длина кратчайшего пути по дорожке). Найти скорости спортсменов. 422 Глава XXII. Разные задачи XXII.65. Пароход по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта А в пункт В и совершают безостановочное движение между А и В. Первая встреча их произошла, когда пароход прошел ^ всего пути от Л до В, а вторая встреча — когда пароход после первого захода в В прошел пути В до О A. На путь от Л до В и обратно пароход затрачивает 9 - ч. Через сколько часов после начала движения автобус и пароход первый раз окажутся одновременно в пункте B, если скорость парохода в неподвижной воде и скорость автобуса постоянны? XXII.66. Бассейн был наполнен несколькими насосами, которые включались один за другим через некоторые промежутки времени. Большую часть времени насосы работали все вместе и вторую половину бассейна наполнили на t ч быстрее первой. На сколько быстрее будет заполнен бассейн, если промежутки времени между включениями насосов уменьшить в п раз при той же последовательности включения (производительность каждого насоса постоянна)? XXII.67. Две бригады с одинаковым количеством косцов получили задание скосить траву на двух полях равной площади. На первом поле все косцы бригады начали работу одновременно, а на другом члены второй бригады приступали к работе один за другим через равные промежутки времени, и далее каждый работал до окончания работы. Какая бригада выполнила работу быстрее и во сколько раз, если производительность косцов второй бригады в | раза выше и первый из приступивших к работе членов второй бригады работал в 5 раз дольше последнего? XXII.68. Из пункта А в пункт В с интервалом 10 мин выехали 24 велосипедиста, каждый из которых затратил на весь путь 5 ч. Одновременно с ними из пункта В в пункт А выехали мотоциклисты, каждый из которых затратил на весь путь одинаковое время. В пути произошло 498 встреч (без учета встреч в пунктах А и В). Какие §1. Текстовые задачи 423 значения может принимать время нахождения в пути каждого мотоциклиста? XXII.69. Из пункта А в пункт В с интервалом 2 мин вышли 20 спортсменов, каждый из которых затратил на весь путь 1 ч. Одновременно с ними из пункта В в пункт А выехали велосипедисты, каждый из которых затратил на весь путь одинаковое время. В пути произошло 355 встреч (без учета встреч в пунктах А и В). Какие значения может принимать время нахождения в пути каждого велосипедиста? XXII.70. Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем, первый из них начисляет проценты ежеквартально на всю лежащую на счете сумму, второй — начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на два года треть имеющейся у него суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть — во второй, то его прибыль составит 66% от первоначальной суммы. Если же наоборот, две трети исходной суммы — в первый, а оставшуюся часть — во второй, то через два года прибыль составит 76%. Какую бы сумму получил клиент через два года, если бы положил на этот срок сумму денег в размере 1000 условных единиц в равных долях в оба банка? XXII.71. Вклад, находящийся в банке в течение года, возрастает на определенный процент, свой для каждого банка. D 3 В начале первого года - некоторой суммы положили t) в первый банк, а оставшуюся часть —во второй. К концу первого года сумма вкладов составила 1140 единиц, а к концу второго—1302 единицы. Если бы в начале 2 первого года в первый банк положили - исходной суммы, а оставшуюся часть во второй, то в конце первого года сумма вкладов составила бы 1160 единиц. Какова стала бы сумма вкладов к концу второго года? XXII.72. Вклад, находящийся в банке в течение года, возрастает на определенный процент, свой для каждого банка. В начале первого года треть некоторой суммы положили в первый банк, а оставщуюся часть —во второй банк. К концу первого года сумма вкладов составила 424 Глава XXII. Разные задачи 350 единиц, а к концу второго года —409 единиц. Если бы в начале первого года в первый банк положили две трети, а во второй банк —треть исходной суммы, то в конце первого года сумма вкладов составила бы 340 единиц. Каким станет вклад в конце второго года, если в начале первого года всю сумму положить 1) во второй банк; 2) в первый банк? XXII.73. Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом /о 100 этапе 4%, на втором —12,5%, на третьем—у 50 и на четвертом — ■— %. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на 64%. Определить продолжительность периода реконструкции. XXII.74. Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом 50 этапе 4%, на втором — 10%, на третьем —-% и на четвертом — 65%. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на 93%. Определить продолжительность третьего этапа реконструкции. XXII.75. На деньги, размещенные в трех банках, за год начисляется определенный процент, свой для каждого банка. Если пятую часть некоторой суммы положить в первый банк, а оставшуюся часть — во второй банк, то через год сумма вкладов превысит исходную сумму на 106%. Если же четверть суммы положить в первый банк, а остальные деньги — во второй банк, то через год сумма вкладов будет такой же, как и при размещении половины исходной суммы во втором банке, а остальных денег — в третьем банке. Наконец, при размещении всей суммы во втором банке через год вклад станет на 5% больше, чем сумма вкладов в первом, втором и третьем банках, §1. Текстовые задачи 425 если разместить в них деньги в равных долях. Найти процент, начисляемый на вклады во втором банке. XXII.76. На деньги, размещенные в трех банках, за год начисляется определенный процент, свой для каждого банка. Если четверть некоторой суммы положить во второй банк, а оставшуюся часть — в третий банк, то через год сумма вкладов превысит исходную сумму на 130%. Если же половину суммы положить в первый банк, а остальные деньги — во второй банк, то через год сумма вкладов будет такой же, как и при размещении трех четвертей исходной суммы во втором банке, а остальных денег —в третьем банке. И, наконец, при размещении долей суммы в первом, втором и третьем банках в отношении 1 ; 1 ; 3 через год сумма вкладов станет на 14% больше, чем стала бы, если бы положили всю сумму во второй банк. Найти процент, начисляемый на вклады в третьем банке. XXII.77. Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем, первый из них начисляет проценты ежеквартально на всю лежащую на счете сумму, второй начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на два года четверть имеющейся у него суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть —во второй, то его прибыль составит 40,08% от первоначальной суммы. Если же наоборот, три четверти исходной суммы — в первый, а оставшуюся часть —во второй, то через два года прибыль составит 70%. Какова будет его прибыль в процентах от первоначальной суммы, если он положит все деньги на один год в первый банк? XXII.78. Два банка начисляют определенные проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем, первый из них начисляет проценты ежеквартально на всю, лежащую на счете сумму, второй начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на два года третью часть имеющейся у него суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть — во второй, то его прибыль составит 65,04% от первоначальной суммы. Если же наоборот, две третьи исходной суммы — в первый, а оставшуюся 426 Глава XXII, Разные задачи часть — во второй, то через два года прибыль составит 75%. Какова будет его прибыль в процентах от первоначальной суммы, если он положит все деньги на один год в первый банк? XXII.79. В соревнованиях по легкой атлетике 82% от числа участников выполнили норматив П-го разряда по прыжкам в высоту, 65% — по прыжкам в длину и 70% — в тройном прыжке. Оказалось, что каждый участник выполнил норматив хотя бы по двум дисциплинам. Выполнившие норматив по всем дисциплинам мечтают стать мастерами спорта, а выполнившие норматив только по прыжкам в высоту и длину мечтают получить П-й разряд в тройном прыжке, остальные собираются остановиться на достигнутых результатах. Какой процент юношей мечтает получить И-й разряд в тройном прыжке, если известно, что 22% юношей и 63% девушек собираются остановиться на достигнутых результатах, а 15% девушек мечтают выполнить норму И-го разряда в тройном прыжке? XXII.80. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на 3. Завод стал выпускать 11 200 деталей. Сколько прессов было первоначально? XXII.81. Сорок девять колхозников, работающих с одинаковой производительностью, были разбиты на две бригады, каждая из которых собрала одинаковое количество картофеля. Первая бригада закончила работу на 1 ч позже второй. Обе бригады работали с перерывами на О отдых, причем вторая бригада отдыхала не менее - ч и не 4 более X ч. Если бы обе бригады работали без перерывов, О то первая бригада могла бы собрать картофеля в ^ раз больше, а вторая — в | раз больше. Сколько колхозников в каждой бригаде? XXII.82. Из пункта А в пункт В по железной дороге нужно перевезти 20 больших и 250 малых контейнеров. Один §2. Многочлены от одной переменной 427 вагон вмещает 30 малых контейнеров, вес каждого из которых 2 т. Большой контейнер занимает место 9 малых и весит 30 т. Грузоподъемность вагона 80 т. Найти минимальное число вагонов, достаточное для перевозки всех контейнеров. XXII.83. Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день месяца 29 телевизоров. Каждый следующий рабочий день дневная продажа возрастала на одно и тоже число телевизоров ежедневно, и месячный план продажи — 497 телевизоров был выполнен досрочно, причем за целое число рабочих дней. После этого ежедневно продавался 71 телевизор. На сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи телевизоров, если в месяце было 26 рабочих дней? XXII.84. Девятизначное натуральное число Л, записанное в десятичной системе счисления, получается из числа В перестановкой последней цифры на первое место. Известно, что число В взаимно просто с числом 18 и 5^ 222 222 222. Найти наибольшее и наименьшее среди чисел Л, удовлетворяющих этим условиям. (Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы.) §2. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Второй уровень XXII.85. Функция у = —7х^ Ч- 18д:^ — 12jc является суммой кубов двух линейных функций. Найти эти функции. XXII.86. Функция у = -Ь 24х-f-26 является суммой кубов двух линейных функций. Найти эти функции. XXII.87. Все корни многочлена Р{х) = х^ +px + q с действительными коэффициентами и ^ 0 — действи- тельны. Доказать, что р < 0. XXII.88. Доказать, что уравнение х^ -f ах"^ - Ь = 0, 428 Глава XXII. Разные задачи XXII.89. где а€К, и Ь > О, имеет один и только один положительный корень. Доказать, что при любом натуральном п справедливо равенство С1х[\ - х)" ‘+2С^.т^(1 - .<) ^л-l 2 „2/ \п-2 + ... ... + /гС*.1С*(1 - х)" * + ... + пС^х" = пх. XXII.90. Показать, что если каждый коэффициент в разложении х(1+д:)" разделить на показатель степени х, при которой этот коэффициент стоит, то сумма полученных частных будет равна 2"+' - 1 л +1 XXII.91. Выразить свободный член с кубического уравнения д:^ + ах^ + 6,\: + с = О через коэффициенты а и Ь, зная, что корни уравнения образуют арифметическую прогрессию. XXII.92. Уравнения Третий уровень х^ + Pix + q\ = О, х^ + р2Х + = О (Р\ Ф Р2> Ql Ф Й2) имеют общий корень. Найти этот корень, а также остальные корни обоих уравнений. XXII.93. Найти все значения Л, при которых два уравнения - X — (А + 1) = О, Ах^ - X — (А + 1) = О имеют общий корень, и найти этот корень. XXII.94. Пусть известно, что все корни некоторого уравнения х^ + рх~ + qx + г^О положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p,q,r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник? Указание: Рассмотреть выражение (Х1 -I- Х2 - хз){х2 + л:з - -«l)(-«3 +Х]~ Х2). §3. Грзфики функций 429 XXII.95. Найти все вещественные значения а и Ь, при которых уравнения + ах^ + 18 = 0, х^ + 6.V + 12 = о имеют два общих корня, и определить эти корни. XXII.96. Найти общие корни уравнений + 2х^ + ax'* + 2х-3 + 3x2 + 2х + 2 = 0. х'' + Зх'^ + 6x2 Ц. б.КГ + 4 0. XXII.97. Найти общие корни уравнений х*' + X''’ + 2х'‘ + х^ + 2x2 ^ ^ ^ 1 _ 0^ + 2х‘* - х^ + 3x2 - 2х + 2 = 0. §3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ Второй уровень XXII.98. Рассматриваются всевозможные параболы, симметричные относительно прямой х = -2 и касающиеся прямой ^ = 1 - 8х; ветви парабол направлены вверх. Найти уравнение той из них, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. XXII.99. В прямоугольном треугольнике АВС точка D —середина гипотенузы АВ, а медианы треугольника пересекаются в точке Е. Треугольник АВС расположен на координатной плоскости Оху так, что точка А лежит на оси Оу, точка D симметрична точке С относительно оси Оу, а точки С, D и Е лежат на графике функции у = (х^ — 5)^. Найти уравнение прямой CD и площадь треугольника АВС. XXII.100. Через точку М(5;6) проведена касательная / к параболе у = ;=х2, пересекающая ось абсцисс в точке N, а ось ординат —в точке Р. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник NOP (О —начало координат). о XXII.101. Через точку М(2: -) проведена касательная I к гиперболе О У — Найти радиус окружности с центром на оси ординат, касающейся прямой I и оси абсцисс. Найти все решения. 430 Глава XXII. Разные задачи XXII.102. Две параллельные касательные к графику функции у = + \ пересекают оси координат; первая — в точках А и В, вторая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если известно, что она в 4 раза меньше площади треугольника COD. XXII.103. Фигура М на плоскости {х,у) ограничена графиками функций у — 9е~‘^'‘ и г/=15 —и имеет единственную общую точку с прямой у=-18,т + 9. Найти а и площадь фигуры М. XXII.104. Из точки М(1;1) проведены касательные к двум ветвям гиперболы У=^^ (^<0), касающиеся этих ветвей в точках А и В, причем треугольник УИЛД — правильный. Найти коэффициент k и площадь треугольника МАВ. у2 XXII.105. К параболе у = + х + I проведены касательные в ее вершине и в“двух точках, лежащих по разные стороны от вершины. Треугольник с вершинами в точках пересечения этих касательных является правильным. Найти площадь этого треугольника. XXII.106. в точке М, принадлежащей параболам у = -х^ + 2х-6 и у = х^ + ах + 2 (а < 0), эти параболы имеют общую касательную, которая пересекает ось абсцисс в точке N. Из точки N проведена еще одна касательная к первой параболе, касающаяся ее в точке Р Найти коэффициент а и расстояние между точками М и Р. XXII.107. Из точки М проведены касательные к двум ветвям у гиперболы У = ^ (k > 0), касающиеся этих ветвей в точках Л и Д, причем ЛД = 3^/37 Найти коэффициент k и длину медианы треугольника МАВ, проведенной из вершины М. XXII.108. Из точки М, расположенной на положительной полуоси ординат, проведены касательные к графику функции О у — -ц, пересекающие ось абсцисс в точках К а L. Найти радиус окружности, описанной около треугольника MKL, если известно, что угол KML равен 2arcsin-^. v5 §3. Графики функций 431 XXII.109. Касательная к графику функции у = образует О с осью абсцисс угол, равный arctg ^ и пересекает в точках С и D окружность с центром в начале координат. Найти радиус этой окружности, если известно, что CD = 24 Третий уровень XXII.110. Парабола II2 симметрична параболе П| у = ах^, сг < О, относительно точки К{Ь\аЬ^), где А>0. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке; П] в точке В\, II2 — в точке Во так. что угол В\В2К — прямой. Касательная к параболе И], проведенная в точке К, пересекает отрезок В\В2 в точке L. Определить, в каком отношении точка L делит отрезок В\В2- Найти значения параметров а и Ь, при которых длина отрезка KL минимальна, если площадь треугольника В1В2К равна |. XXII.111. График функции у=Цх), где f{x) = -2x^-Sax"^-4а'^х + 5, а < О, и прямая /, заданная уравнением у = ^а^х + 5, имеют ровно две обилие точки. 1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной 27 графиком функции у = f{x) и прямой I, равна у. 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = Цх) в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату. XXII.112. Графику функции у ~ х^ + ах^ + Ьх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой X = —2. Касательные к этому графику в точках А у\ В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0;5). Найти значения а, Ь и с. XXII.ИЗ. Графику функции у =—х^ + ах^ + Ьх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой X = —2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных 432 Глава XXII. Разные задачи проходит через точку (0;—2), а другая —через точку (0;—6). Найти значения а, Ь а с. X- 9 XXII.114. К графику функции У = — х + - проведена касательная, пересекающая график функции у — ^-2\х + 2\ в точках Л и В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках Л, S и 2;|^, если /.СЛВ — 2arccos XXII.115. Графики функций у — v/5 J_ 2л: + zcвл. 17 и 1/=-5--2x. рассматриваемые О в первой координатной четверти (л: > 0, у > 0), пересекаются в точках А \л В. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника перпендикулярна оси Ох, две его вершины лежат на первом графике, а третья — на отрезке АВ. Найти длины сторон треугольника. XXII.116. График функции у = х^ + ах^Ьх-\-с, с < О, пересекает ось ординат в точке Л и имеет ровно две общие точки М и с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку Л. Найти а,Ь,с, если площадь треугольника AMN равна 1. ХХ11.117. График функции у =—х^ + ах'^ + Ьх +с, с<0, пересекает ось ординат в точке М и имеет ровно две общие точки Л и В с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке Л, проходит через точку М. Найти а,Ь,с, если площадь треугольника АВМ равна 1. §4. ЗАДАЧИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ Второй уровень XXII.118. На координатной плоскости даны точка Л (4; 2) и прямая у — -2л: -1- 5. Найти координаты точек, лежащих на этой прямой и удаленных от точки Л на расстояние 5. XXII.119. На координатной плоскости дан круг радиуса 8 с центром в точке (3;7). Найти все точки этого круга, координаты которых удовлетворяют системе уравнений logs ■+■ 1оез(1/ + 2) — 1, 2 §4. Задачи на координатной плоскости 433 XXII.120. На координатной плоскости дан круг радиуса \/Г4 с центром в точке (—1; —1). Найти все точки этого круга, координаты которых удовлетворяют системе уравнений Г 2"=+' + 2^^ = 10, \(2л:-«/)2 = 9. XXII.121. Из точки Е, расположенной на положительной полуоси ординат, проведены касательные к графику функции ы = пересекающие ось абсцисс в точках А и В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ЕАВ, если известно, что угол АЕВ равен 2arcsin УП)' XXII.122. На координатной плоскости Оху задан треугольник с вершинами >1(0;0), fi(0;4), С(2;4). К графику функции 2 1/ = 2х + “, X > О, проведена касательная, отсекающая от треугольника АВС четырехугольник, около которого можно описать окружность. Найти координаты центра этой окружности. XXII.123. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (л';£/) которых удовлетворяют системе неравенств f ^°Шу+х(‘^ху + 2х) ^ 2, I \х\ + \у\ ^ 2. Найти площадь фигуры Ф. Третий уровень XXII.124. На координатной плоскости рассматривается множество N всех точек, координаты {а\Ь) которых удовлетворяют условиям; а < Ь, 1а| <3, |А| < 3 и таковы, что уравнение Ь^)х'^ + (За + Ь)х^ + = О не имеет корней. 1) Принадлежит ли точка Р(-2;—1) множеству N? 2) Найти площадь многоугольника, внутренней областью которого является множество N. 434 Глава XXII. Разные задачи XXII.125. Множество М состоит из точек (а; 6) координатной плоскости, для которых уравнение (8а -156 - 135)x'‘ + (36 - 4а + 27)л:2 +1&2 - 9| + б2 - 9 = О имеет ровно одно решение. Доказать, что в многоугольник, которым является множество М, можно вписать окружность, и найти координаты центра этой окружности. XXII.126. На координатной плоскости изображена фигура М, состоящая из точек, координаты (х;у) которых таковы, что выражение 4 + р^[2у - + 14) - р~^{х^ + Ах + 2у) неотрицательно при всех р ^0. Из точки А проведены лучи а\ и аг, а из точки С —лучи С] и С2, каждый из которых касается границы множества М. Лучи а\ и с\ пересекаются в точке В, а лучи аг и Сз — в точке D, причем ABCD— прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна оси Ох. Изобразить на координатной плоскости фигуру М, найти координаты центра прямоугольника ABCD и его площадь. XXII.127. На координатной плоскости даны две параболы: у = х^ + 5х + 7 и у = х^ — х — Ъ. Найти: 1) значения а и 6, при которых прямая у = ах + Ь касается обеих парабол; 2) координаты точек касания; 3) площадь фигуры, ограниченной этими параболами и касающейся их прямой. XXII.128. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а; 6) которых таковы, что система уравнений ах + 4^f = 2, Ьх + ay — (6 + 3)х + (а -1- 8)г/ = -3 имеет решение. §4. Задачи на координатной плоскости 435 Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (—6;4) и имеет с фигурой Ф единственную общую точку. XXII.129. На координатной плоскости расположен квадрат ABCD. Вершины А и В квадрата лежат на графике функции у = х^, а вершины С и D — на графике функции ^ = х —4. Определить длину стороны квадрата. XXII.130. На координатной плоскости даны две прямые: у = —л' и у — Ьх — %. Найти: 1) значения а и 6, при которых обе данные прямые касаются параболы у = ах -‘г Ь\ 2) координаты точек касания; 3) площадь фигуры, ограниченной найденной параболой и данными прямыми. XXII.131. Для каждого числа р на координатной плоскости рассматривается множество М всех точек, координаты (а; ft) которых удовлетворяют условиям: а > О, ft > О, а + ft < 2, 2ft > а + Зр и таковы, что система уравнений { х'^ -2ху + ру^ = а"^, \х-2у = Ь имеет два различных решения. 1) Найти площадь многоугольника, внутренней областью 1 которого является множество М, если р — - 15' 2) Найти все действительные р, при которых множество М является внутренней областью многоугольника. XXII.132. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты (х\у) которых удовлетворяют системе неравенств f^2x-y, > г i/^-64 ' 10' Найти площадь фигуры М. 436 Глава XXII. Разные задачи XXII.133. Найти площадь фигуры УИ, которая задается на координатной плоскости системой неравенств \J4- 4jc + 4 ^ 2л: + 1, , л:^ + < 4. §5. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Второй уровень XXII.134. Найти все значения а, при которых вершина параболы у = + ах + \ принадлежит множеству точек на плоскости, заданному неравенством |л: —4^|^1. XXII.135. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между корнями уравнения 2 log„ л: + 3 log„^2 а + 5 = О меньше 25' XXII.136. Найти все значения параметра а, при которых парабола у{х) = л:^ — 8 ctg О! • X + 5 cos 2а касается прямой г/ = -7, причем абсцисса точки касания отрицательна. XXII.137. На координатной плоскости даны точки Л(2;—3) и В(4;0). При каких значениях параметра р, р >-5, ближайшая к графику функции у—\/^ + р1очкг прямой АВ лежит на отрезке ЛВ? XXII.138. Найти все значения параметра а, при которых уравнение logg_,(l +йх) = 1 имеет единственное решение. XXII.139. Найти все значения параметра а, при которых уравнение — 9 = Ъ- ах -7а имеет единственное решение. XXII.140. Найти все значения параметра а, при которых уравнение log2(x + л/3 - а) + log I (а + 1 - х) = log4 9 имеет решение. §5. Задачи с параметрами 437 XXII.141. Найти все значения параметра а, при которых уравнение ах"^ + (2а - 5)x + а - 6 = О имеет на отрезке [0;2] единственный корень. XXII.142. При каких значениях параметра а уравнение 2х - (x^l + а = О имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных значений а. XXII.143. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение, XXII.144. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (а - 2 - |х + 3|)(а + + бх) = О имеет; 1) ровно три корня; 2) ровно два корня. XXII.145. Найти все значения параметра а, при которых квадратичная функция x2sma-f2xcosa-pE£15L^ является квадратом линейной функции. XXII.146. Найти все значения параметра а, при которых квадратичный трехчлен х2 sin 2а - x(sin2 2а - 4 cos® а) -t- 1 cos а XXII.147. имеет два одинаковых по абсолютной величине корня разных знаков. Найти все значения параметра а, при которых вершина параболы у = х^ + 2ах -Ь За^ принадлежит множеству точек на плоскости, заданному неравенством \у — 2х - 6\ > 6. XXII.148. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между вершинами парабол у = 2х^ -|- Зах -1- 1 9 \/5 И у — х^+ах—— меньше О 2 438 Глава XXII. Разные задачи XXII.149. Найти все значения а, при которых уравнение sin л: = (2а - 2)^ 16(1 -2а) имеет корни, а числа —^—т—^ являются целыми. 27а’ XXII.150. Найти все значения параметра Ь, при которых для любого значения параметра а существует тройка действительных чисел (x,y,z), удовлетворяющая системе уравнений I ax+4y = z^ + 1, \x + ay = z — b. XXII.151. Числа X и у являются решениями системы уравнений J - X + ау = 2а, \ ах - у — За — 5, где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение х^ + у^? При каком а это происходит? XXII.152. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств Г Зх^ - 6jc + 2а < О, \ + 4л: - 4а ^ О имеет единственное решение. Третий уровень XXII.153. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 4 4 4(cosx)5 +(з1пл:)з =а имеет единственное решение на отрезке • XXII.154. Найти все значения параметра а, —к<ос<к, при которых система уравнений Г (4 - х^ - у^){у'^ - 4л: Ч- 28) — О, I X cos а + г/sin а = 2 и.меет ровно три решения. XXII.155. Найти все значения параметра а, при которых наибольшее значение величины х'^+2у на множестве пар действительных чисел {х;у), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам у < \/9 - л'2 и у -|- |2л: — а[ < 3, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение. §5. Задачи с параметрами 439 XXII.156. Найти все значения параметра а, при которых уравнения 2л:"' - 5л^ - 16ал^ + 25л — 10 О и 2л"' + 2ал^ - 11л^ - 5л 4- 5 = О имеют общие корни. Найти эти корни. XXII.157. Найти все значения параметра а. при которых уравнения 22л"' + ЗЗл'^ — 16ал^ — Зл + 2 = 0 11л'* + ЗЗл^ + 21л^ - 2ал — 2 = 0 имеют общие корни. Найти эти корни. XXII.158. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а;Ь) которых таковы, что каждое решение неравенства л^ + (a^ — Зfe^)л - 2a^(a^ + 36^) ^ 0 является решением неравенства л2 + (a^ - 2&2 - 15)л - (а2 + 1)(2Ь^ + 16) < 0. Найти площадь фигуры Ф. XXII.159. Вершины А, В, С треугольника имеют соответственно координаты (2;9), (6;—3), (—2;3). Найти: 1) все значения а, для которых координаты точки пересечения медиан треугольника АВС являются решением системы неравенств J л — 2у + а ^ о, \х+у-а'^0; 2) все значения а, для которых координаты хотя бы одной точки отрезка АВ являются решением этой системы. XXII.160. Найти все такие значения р, чтобы к графику функции г/ = л"* - 4\/Зл2 + р - 5^-'’ можно было провести касательную, пересекающую ось ординат в точке (0;а), где а^24+р-5^. XXII.161. Для каждого значения параметра ае [—?г;0] найти максимальное значение g(a) функции /(л,у) = л(л+ 1) + р(г/-6) 440 Глава XXII. Разные задачи тс. к 2’ 2, наити на множестве точек (х;у) таких, что 4-1/^ ^ 4{х cos а + у sin а). Найти значения параметра а€[-я;0], при которых g(a) принимает наибольшее значение. XXII.162. Для каждого значения параметра а 6 максимальное значение g(a) ({тункции /(х,у) = х(х- 1)+у(у4-2) на множестве точек (х;у) таких, что х^ + ^ X cos а + у sin а. Найти значения параметра а б при которых g(a) принимает наименьшее значение. XXII.163. Корни уравнения - (loge p)x^ log4P 1Ё 8 -О являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения — длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь треугольника. XXII.164. Найти все значения параметра р, при которых сумма всех корней уравнения (.< - 12р)'^ - 6р(р - l)(x - 12р)^ + р^(р + 4) = О меньше -р^ + 48р + 25. XXII.165. Числа X ^ О, г/> О —решения системы уравнений 4р^ + 9 х^ — Ъху + = 10 4р^ + 9 р — параметр. При каких р выражение х^ + г/^ принимает: 1) наибольшее значение; 2) наименьшее значение? Вычислить эти значения. Ответы к главе XXII 441 XXII.166. При каких значениях р каждое решение неравенства х^ + {3- 2р^)х - 2р2 -t- 2 < О удовлетворяет также неравенству logi-pxU + 2) < О? ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XXII XXII.1. i XXII.6. 12. 9 XXII.9. 50xV‘- XXII.13. 90.иы«. XXII.2. 207 руб. ХХП.З. 63. и 15 га. XXII.7. XXII.10. 10 ч и 12 ч. XXII.14. 2,4 ч. XXII.4. 24 9 : 35. XXII.II. 8 ч. XXI1.15. 5. XXII.19. %км. ХХП.З. 400 км. XXI1.8. 90 км/ч. XXII.12. .30<(. XXII.16. 3 ч. XXII.20. 2 .( XXII.17. 48 км/ч. XXII.18. 106^ км. 40 мин. XXII.21. 4>с/<. XXII.22. 720 »сл«. XXII.23. 50 телевизоров. XXII.24. 64,8%. XXII.25. 10 хе. XXII.26. 300 хг. XXII.27. ,50%. XXII.28. 20%. XXII.29. 4 и 6 хг. ХХП.ЗО. Возросла на 3.5%. XXII.31. 72 км/ч. XXII.32. 35 и 15 км/ч. ХХП.ЗЗ. 16 ч. XXI1.34. 10 и 15 ч. ХХП.ЗЗ. 7 км. ХХП.36. 13 ч Ъу^мин. ХХП.37. 50”. ХХП.ЗЗ. 14 км/ч. ХХП.39. 14 км/ч и 2 км/ч. XXII.40. В 2 раза. ХХП.41. 6 с. ХХП.42. 15и<ын или 20 мин. XXII.43. 15 и 18 с. ХХП.44. 70 см. ХХП.43. 4 < < < 6? ч. XXII.46. От 10 до 12 ч. ХХП.47. (25; 30) км/ч. ХХП.48. 24 дня. ХХП.49. 3. 2 + %/39 ХХП.ЗО. в XXII.52. 19 ХХП.ЗЗ. 5 XXII.38. 1.8 раз. ХХП.31. 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных. !) Волг* и 10 ♦Москвичей». ХХП.36. 56 с. ХХП.37. 4 раза (в 8' 3 VVTT CQ /1 .. о ,/„..3 ХХП.ЗЗ. 13. XXII.34. 15. ll‘^ 14'^ 17'”). и 2,4 г/сА*% ХХП.39. 4 и 8 г/см\ XXII.60. 96%. XXII.61. 2 млн 400 тыс руб. и 8 млн 600 тыс руб. XXII.62. 6 мин ес с XXII.63. «Рено» обгонит «Крайслер» через проехав 10 полных 40 с кругов и еще ^ XXII.67. Вторая ХХП.64. ^ I раза быстрее. 3 и '^5. ХХП.64. ХХП.63. 6 ч. ХХП.66. " ' я - Г ХХП.68. (ПО; 120] жмн. XXII.69. (20; 22] мин. ’ ХХП.70. 1710 у. е. XXII.71. 1348 единиц. XXII.72. 1) 432 единицы; 2) 363 единицы. XXII.73. 8 месяцев. XXII.74. 7 месяцев. XXII.73. 110%. XXII.76. 140%. XXII.77. 36%. XXII.78. 36%. ХХП.79. 76.5%. ХХП.80. 5. ХХП.81. 21 и 28 человек соответственно в 1-й и 2-й бригадах. XXII.82. 15 вагонов. ХХП.83. 342|%, 271у% или 17l|%. ХХП.84. /?п /4гаа.х = 999 999 999. ХХП.83. у = (-2.x -1- 2)^ + (х - 2)” ^min ^3 = {х + 3)'^ -Р (-Х - 1)^ XXII.91. = 122 222 224. ХХП.86. у = XXII.92. .X 1.2 = 442 Глава XXII. Разные задачи + ХХП.93., = И-', XXII.94. -4pq + 8r>0. XXII.95. д:,,2=1±(А ХХП.96. .t, = -)+■/. Х2 = -1 - /. XXII.97. лг| = i(l + (\/3). Х2 = i(l - 1Ч/З). XXII.98. у = = 2(jc + 2)2 + 25. XXII.99. (/= 16. 5 = 18\/3. XXII.100. 1. XXII.101. 27' 12. XXII.102. 5, = 2- ^ + 2, =: S2 = ^ (у = Зх - 2 1 о _ ^3 'Г .Со = 1). XXII.103. а = 2. S=151n2-9. XXIM04. /г = -S XXII.105. 5 3v/3 XXII.106. о = -6, МР = 6\/i7. XXII.107. /г = 2; is/37. XXII. 108. ;?= 3 4 а = -3, Ь : XXII.109. XXII.110. BiL : B2L = \ : \: i. XXII.111. а ^„lin =-11. XXII.112. а = 6; 6=-11; 6-=6. XXII.113. а =-6; 6=-И; с=-6. 7ч/2 XXII.114. Зч/5 XXII.115 XXII.116. а -4. 6 = 5, -2. XXII.117. а = 4, 3’ 6 = 5, с = 2. XXII.118. (0;5), (4:-3). XXII.119. (-2;1). XXII.120. (0;3). XXII.121. й=|. XXII.122. (2\/5-4:2). XXII.123. 5. XXII.124. 1) Да, 2) J. XXII.125. (у;0). XXII.126. S=y\/i7. Фигура М ограничена параболами У ~ \^ ” У ~ ~+ 2- Центр прямоугольника — точка (-1;-|). XXII.127. 1) о =-2. 6=-|; 2) [-1,1), Q 1 9 3) J. XXII.128. Фигура Ф — парабола 6=т^(а — а + 6) с исключенной /304 135 точкой (2’16У' п =—6 — параллельная оси, ~)2^~2~ касательная, —4 “' проходит через искомую точку. XXII.129. 5v2, 3v/2 XXII.130. 1) а = О, 6=1; 2) (-1,1), (|,^); 3) |. XXII.131. I) 5 = 2) р € (-оо;0) U (^0;i±|^^. XXII.I32. S = :32(arctg|+arctg3) - |д. XXII.133. \/з+у. XXII.134. -2 < а $ XXII.136. а = XXII.I38. п < О, 3 + vT7 ^ ^ о ----к— < я $ 3. 2 ^ а ^ XXII.135. |<а<1, 1<а<|, а>|. = - arctg2 + пп, п € 9 4' XXII.137. < р ^ 1. 2 16’ ± 16’ XXII.141. у ^а^б. XXII.142. х = XXII.143. а ^ 1 XXII.144. 1) о = 2. я = 9; 2) я < 2, я > 9. я = 3+ Ответы к главе XXII 443 XXII.145. а = ^ + 2пп, а — п — arctg2 + 2лп, п е XXII.146. а = = (-])"+‘arcsin \/5- 1 + ,т/1, rt€Z. XXII.147. пб(-оо;-3)и(-1;0)и(2;+эо). 2 I XXII.148. 1п| < 2. XXII.149. ^ XXII.150. 6 = 0. XXII.151. 2 «у Z я = 1. XXII.152. я = о, я = |. XXII.153. 1 ^ я < 4, я = (1 + 2®)^ XXII. 154. -я + arccosi/2sin -arctg XXIII XXIII.7. 1) При каком значении x из множества (1, 2, 3, .. .,98, 99} значение выражения ‘f-f- 2 х+2 \ + - + X____9 ближе всего к 73? 2) При каком целом положительном значении х значение выражения (“ ~ х)\/х^ — З.г — 10 — 4 ^ + 2 .v2-(.r + 5)V^^.<“^-25 ближе всего к —0,7? §2, ФУНКЦИИ XXIII.8. Найдите значение функции |cosx — 3|, если |,t| ^ 1, fix) I s> sin(-A:), если |,t| < 1 при х = ~. XXIII.9. Найдите нули функции f{x) = / 2'"' -\ sin л: 21-^1 - 1, если х ^ 3, JC + 3. если JC > 3. XXIII.10. 1) Укажите наибольшее целое число из области определения функции £/= In (35 - |3х - 11(). 2) Укажите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции ^ = In (х - 2 |х - 3|). XXIII.11. Найдите наибольшее целое значение функции; 1) у — ~\/4 cos2X -Ь 4 cosX + 8; 2) у — 3\/(sinx - cosx)2 -t- 0,25. XXIII.12. 1) Нечетная функция y = f{x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g{x) = х(2х 1)(х - 2)(х - 3). Сколько корней имеет уравнение /(х) = 0? 446 Глава XXIll. Избранные задачи из вариантов ЕГЭ 2) Найдите значение функции у = 2g(x)-3g(~x) в точке д:о> если известно, что функция y=f{x) четная, а функция y — g[x) нечетная, /(л:о)=5, g(jco) = 1- XXIII.13. Даны четная функция у = f{x) и нечетная функция y = g{x). Найдите сумму корней уравнения i{x) = g{x), если для всех действительных значений х выполняется равенство: 1) f{x)+g{x)=x'^-8х-6\ 2) f{x)+g{x) = x^ ~9х-4. XXIII.14. '/ - - L 1 \ 0 1 / X \ / Рис. XXIII.15. XXIII.16. 1) Функция y = f{x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 6. При —2<л:<4 она задается формулой /(х) = |х-21 —3. Найдите значение выражения 4/(11)-2/(-15). 2) Функция y=f{x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рис. 1 изображен график этой функции при —1^х<3. Найдите значение выражения /(-9)-/(2)-|-/(5). Найдите наименьший положительный период функции: 1) /(x) = sin^4x —cos^4x; 2) g(x) = 0,2sin ЗхсозбхсозЗх. 1) Укажите количество промежутков возрастания функ- __\/1—с заданной на отрезке [0; 2д]. ции /(х) 2) Укажите количество промежутков убывания функции /(x) = -2cos^x-cos2x, заданной на отрезке [0;2д]. XXIII.17. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции: I .2 I 1) у = 2з^ на отрезке [—3;1]; 2) г/= >/81 -х2 на отрезке [-3\/5; 4\/2]. XXIII.18. Найдите наименьшее значение функции: 1) i/ = Iog3 (16—x^) на промежутке [0;>/7]; 2) £/ = logo,5 (2-JC^); §2. Функции 447 3) i/ = 4\/3sin на промежутке 4) У = -^_у на промежутке [-2;1]. Найдите множество значений функции (XXIII.19-XXIII.21). XXIII.19. 1) ^ = sin2x, если jc€ [arctg0,5; arctgS]; 2) i/ = sin2.t, если xe 3rccos^;5| XXIII .20. 1) i/=2arccos(^-.^;"^^-:^:); 4v/2 2) y=- arccos (v^0,125(cos.v:-sinA;)). XXIII.21. 1) J/ = logoil--— ‘V‘ + lg(*00+;f2) y- 2) y = .^+3l■^■| при x^-l. XXIII.22. 1) При каком наибольшем отрицательном значении а функция y = sin ^25л:+ имеет максимум в точке Хо = К? 2) При каком наименьшем положительном значении а функция г/ = со5 ^24.<+2^^ имеет максимум в точке хо = л? XXIII.23. 1) Найдите точки минимума функции i/=(0,6^°^-2x) (о,6^0^+2.^)+2.И-0,36^ 2) Найдите точки максимума функции у = 48л;2 - Зх"^ - 9.v^ + О,Г . XXIII.24. Найдите наименьшее значение функции 5-х /(х) = у/4 -х^ — 6 + \/4 +л:‘* - 4х^. jf3 „2 I XXIII.25. Найдите максимум функции у + &х - 4-. О JL ^ L XXIII.26. Найдите наибольшее значение функции y = 2Je^ на отрезке [1;3]. 448 Глава XXIII. Избранные задачи из вариантов ЕГЭ XXIII.27. Найдите наибольшее значение функции /(х) = 50 (0,5л'- 1)^ - (0,5л'- 1)'* при |x-3|<3. XXIII.28. 1) Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции h{x) = = 1 — 2sin^x равен 2. 2) Найдите абсциссы точек графика функции у = = JC + --—касательные в которых параллельны прямой у~2Ьх или совпадают с ней. XXIII.29. 1) При каком значении аргумента равны скорости изменения функций f{x) — y/Zx - 10 и g{x) — \/14 + 6.t? 2) Найдите наибольшее положительное значение аргумента из промежутка [0;2д], при котором скорость изменения функции f{x) = tgx не меньше скорости изменения функции ^(л:) = 4л:-ь 23? XXIII.30. При каком наибольшем значении Ь функция f{x) = = х^ + Ьх^ + Zbx — I возрастает на всей числовой оси? XXIII.31. Найдите длину промежутка возрастания функции 5.V У^-3 + 1 XXIII.32. 1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у ~ 3\/5 — X и у = -^л:-Ьб. 2) Найдите значение выражения 2S, если S — площадь фигуры, ограниченной линиями у = х’^+\ и у -\-x = Z. XXIII.33. Найти все значения параметра а, при каждом из которых не имеет решений неравенство: I л (log2 лч- 3\/3 ■ log, 2 - 6) - й ^ ^ fl-(2sin7F^-4) 2) i - (а-4 -f 2v/5-.v-“T -5) <0. (3 sin \/x — 16 — 4) — 0 XXIII.34. Решить уравнение: 1) jc® + 98 cos(4x -Ь 3) = 98 cosx^ + (4,\; -f 3)'*; 2) - (12-b8x)® = 32 sin |12-b8x| -32sinx2. §2. Функции 449 XXII1.35. 1) Решите уравнение f{g{x)) + g{3 + f{x)) = 30, если известно, что f{x) = 0,5х'* — 4л: + 5 25, если X > 4, если X < 4. noDccinu, mi {25, если X 2‘ + 5“Ь. 2) Решите уравнение f{g{x)) = g{f{x)), если для каждого действительного числа х известно, что /(л) = |д:^ 4-2л:| + 1 и равно наименьшему из чисел 1 и 2''^ + 4-*^“* — 2. XXIII.36. Решите уравнение /(/(л:)) = / + 4^ , где ...Г 8-/ + 2|/-4|, если г > о, '4^3 - Зi^ + 2(. если f ^ 0. XXIII.37. 1) Найдите все корни уравнения 10л:^ — 63л:^4-48x-9 = 0, при подстановке каждого из которых в уравнение (7л: - 1,1) sin I/ + ? — 9 = (л: + 3,7)l/^ + + - 100л;2 + 160х - 169 • cos 2г/ получится уравнение относительно у, имеющее более одного корня. 2) Найдите все корни уравнения бл:^ + 28л;^ + 39л: + 15 = 0. при подстановке каждого из которых в уравнение 51ов,о+з.(я-8 + 7)-3=^^^^ + +\1^- Ъх{7 + гх) + 5 ■ 1п(у + 5) получается уравнение относительно у, имеющее более одного корня. XXIII.38. Докажите, что система уравнений не имеет решений: ' 10л:3 + 47/^ + 52л: + 12 = о, 1) j 1=й,5,(!,+Д+6^ = ^±^ + + ^^-5х(7 + 5х)+24Ле(у + \): 15 -5682 450 Глава XXIll. Избранные задачи из вариантов ЕГЭ 2) бд:^ + 22х^ + 21х + 6 = 0, sin ^ + cos ((бд: + 5)i/) = —4у ~ + + + 8 — Зх (1 + Здг) • cos 2у. XXIII.39. 1) Для чисел а\, 02, .... 039 верны равенства й/1-t 1 = К<^п)< п = I, 2, .... 38. Найти й4, если известно, что 039 = О, а 8 _ J 3'^ -f 5 — 10, если X < —5, 105 X + 5 _• — 5, если X > -5. 2) Для чисел а\, а-2....... агв верны равенства a„^.l=/(a„), п = 1, 2, 27. Найти 09 + 07-06, если известно, что й28 = О, а Г Зх - 3 ^ о —, если д: < 3, fix) = X - 3 х-2 + /27х - 17 V Зх + 7 ’ если X > 3. §3. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ XXIII.40. 1) Пусть (xo;«/o) — решение системы уравнений Г I/ + 2 — \/х + 4, I г/ + |д:-5| = 1. Найдите отношение Уо 2) Пусть (д:о;г/о) ~ Решение системы уравнений Г у = \/х^ + Qx + 9 — 3, \ Зх — 2у + 3 = 0. Найдите произведение XQ-yQ. XXIII.41. Решите уравнение: 1) 2-Зх+х^ = 2{x — l)s/x\ 2) 40 —14х+дс^ = 2(д:-4)\/х. XXIII.42. Решите уравнение: 1) д:^ —6а' + 5=—3\/х —3; 2) —Зу/х— 1 =х^ —2а —3. §3. Уравнения и системы уравнений 451 XXIII.43. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций: 1) 1/=х^ + х и 1/ = 0,5(6—;с) + \/2х^ + 3jc + 2; 2) c/=x^-j-l и с/= 0,5 (2 + 6х+4\/2х^-&х + 5^. XXIII.44. 1) Найдите все значения х, при каждом из которых выражения 4^/х-9'^Ч-3-3‘ и v'x-3'*-fпринимают равные значения. 2) Найдите все значения х, при каждом из которых выражения Зх^log3(2-|-3j:)-6jclogi ^2"+Зх-6хlogi. ^2-f-3x и Зл:^-|-2д: принимают равные значения. Решите уравнение (XXIII.45-XXIII.53). XXIII.45. У49 + 9ТПс + 4]-2х = 7. XXIII.46. V^-‘^x + x^+\/26 + 3x-5x‘^=x-l. XXIII.47. lg(jt-Hl)+\/lg®(4x-b7) = 0. XXIII.48. -----1—2®*" •‘-1 = 0. 2 + у/2 XXIII.49. 1) 32^+3.зЗ.^+1.025а:+2^0Оо-'=+7; 2) 3-‘+'^-4^+^-53‘-^ = 25-540“-^. XXIII.50. sin I = (v^25-x2) Vjc2-25. XXIII.51. sin^-cos|Vl6-Jc2 = 0. XXIII.52. 1) ^/16-1-(2л:-3)2 = 4-со52^; 2) 3(v/2-sinl5;r.t)(4^+sinl5^x)^jg^30j^ + 25;c2. XXIII.53. 1) sin 2x |cosx| = 2sinx —2; 2) |sinx|-cosx = ^sinA:. XXIII.54. Найдите нули функции: 1) i/ = sin^ ях-fln* (x2-fjc+1); 2) £/ = ln^ (дс^-Зл: —9) + —8дс-8. 452 Глава XXIII. Избранные задачи из вариантов ЕГЭ XXIII.55. Определите количество корней уравнения: 1) (sinx + cosx)^-vx^^ = 0; 2) (^l-2sin2 ^)-log2 (4-х2)=0. XX1II.56. Найдите наименьший корень уравнения cos (Эти:)+ tg(5n:x) sin (9mi:) = cos (4тис) на промежутке (3;4]. XXIII.57. Найдите сумму корней уравнения in (Зл-^) 4siп^77u:•cos^7л:x+sin^ Ч-14тис^ = /Зл , 57Г.с'\ „..о / cos(-3- < _ принадлежащих отрезку [3;5]. XXIII.58. Найдите значения х, при каждом из которых выражения sin^x + 9 и 9cos^ I - Gsinxsin принимают равные значения. Решите уравнение (XXIII.59-XXIII.66). XXIII.59. \J(sin Зх - 2f - \/9 sin^ Зх - 24 sin Зх + 16 = -4. XXIII.60. sin^x + 6 sin X sin + 9 = 9 cos^ j. XXIII.61. 4 cosx ctgx + 4 ctgx + sinx = 0. XXIII.62. logjifij. (\/3cosx + 2sinx) = 1. XXIII.63. -------!-----^ = i sin 3x. (sin д: + \/3cos.t) XXIII.64. cosx + cos ISxsinx = \/2. ХХШ.65. 4 loge (3 + j;^) = 3 loge (2 - ,-)з) + 4. XXIII.66. log25-9,i (625 - 8U4) = 2 + ■ XXIII.67. Найдите сумму корней уравнения 22.Х- + 6.Х-9 _j_ ^ . jg.<^+3.v-5 _ 2.52x'+6j:-9 XXIII.68. При каких значениях а выражение 2 + cosx(5 cosx + а sinx) будет равно 1 хотя бы при одном значении х? XXIII.69. При каких значениях а сумма log^ ^cos^ X + 1'^ + log^ ^cos^ X + 5 j равна I хотя бы при одном значении х? §4. Неравенства 453 XXIII.70. Найдите все целые значения параметра а. при каждом из которых среди решений уравнения - Зх + 4 — а есть XXIII.71. XXIII.72. -2х +2 уравнение целые числа. Найдите все значения р, при которых 2 cos 2x + - —12 имеет решение. SIllX 1) Найдите все значения параметра а, для которых при каждом X из промежутка {—3;—1] значение выражения х'* —8л:^ —2 не равно значению выражения ах^. 2) Найдите все значения параметра а, для которых при каждом X из промежутка (2; 4] значение выражения log^x + 31og2X — 7 не равно значению выражения а log2 X. XXIII.73. Найдите количество всех решений системы уравнений ( у{] — х)“^ + х^ = О, 10 §4. НЕРАВЕНСТВА XXIII.74. 1) Найдите количество целочисленных решений неравенства 6 — 5х - ^ О, удовлетворяющих условию 1 + tg2 > 0. 2) Найдите количество целочисленных решений неравенства log2 (x^ -f 5х - 5) < О, удовлетворяющих условию 1 + со5(лцс) > 0. XXIII.75. Найти все значения х, при каждом из которых произведение выражений и — 5-1 120 положительно. Решите неравенство (XXIII.76-XXIII.78). XXIII.76. (х2 - 4,2х -I- 4,41) • logo,5 - 4) > 0. XXIH.77. logj (log, > 0. ХХШ.78. log4 |л: - 7| - 1 454 Глава XXIII. Избранные задачи из вариантов ЕГЭ XXIII.79. 1) Найдите все значения х, для каждого из которых 4^ - 18 • 2^ точка графика функции у = 20-Зх лежит ниже -32 XX1II.80. соответствующей точки графика функции у = -^—о-' 2) Найдите все значения х, для каждого из которых точка графика функции У ~ лежит выше соответствующей точки графика функции у ~ ё '* л ■ ~ D ” Ох 1) Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f{x) — 5х-5 и g{x) — 1 меньше, чем 0,5. XXIII.81. XXIII.82. 4х-6 2) Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f{x) = log^(5x -1-14) и g(x) = 10 меньше, чем 2. При каких значениях х соответственные значения функций f{x) = \og2X Hg(x) = log2(3 —х) будут отличаться меньше, чем на 1? 1) Найдите все положительные значения а, при каждом из которых наименьшее из двух чисел Ь — 6а^ (2а~^ — а) - а® и с — - ба“^ -Ь 1 не меньше -4. 2) Найдите все значения а, при каждом из кото- рых наибольшее из двух чисел У = 4“ -Ь 2^'^“ — 3 и с = - 4“° - 9 меньше 6. Из области определения функции г/= log; — о ^ взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все значения а, при которых такая сумма будет больше 7, но меньше 11. XXIII.84. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство {х - 2)а^ — (х^ — 2х Ч- 8) а -f- 8х < 0 верно хотя бы для одного значения переменной хе [4; 6]. XXIII.85. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции у = Ig (а"+2 • x3'°g. “ + . х5 - содержит ровно одно целое число. XXIII.83. §5. Текстовые задачи 455 XXIII.86. Найдите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства -|- 8а < —— х{х — 2а - 4) содержит какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка длиной 3. XXIII.87. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа а ■ 2“~^ и За ■ 2“ - 4а^ • 4“~^ — 27 являются решениями неравенства log_^_5 5 ^log4 ^ ~ ^ О- XXIII.88. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства ^°So,5c-l g ) ^ 3 остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена такой прогрессии. §5. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ XXIII.89. На рынке костюм, состоящий из пиджака и брюк, на 20% дешевле, чем такой же костюм в магазине, причем брюки стоят на 35% меньше, чем в магазине, а пиджак — на 10%. Сколько процентов стоимости этого костюма в магазине составляет стоимость пиджака? XXIII.90. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся соответственно как 7 ; 6 ; 5. Планируется уменьшить годовую добычу из первой скважины на 4%, а из второй — на 2%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился? XXIII.91. Два фермера, работая вместе, могут вспахать поле за 25 ч. Производительность труда первого и второго фермеров относятся как 2; 5. Фермеры планируют работать поочередно. Сколько времени должен проработать второй фермер, чтобы это поле было вспахано за 45,5 ч? XXIII.92. Найти двузначное число, если количество единиц в нем на 4 больше количества десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 90. XXIII.93. После двух повышений зарплата увеличилась в 1,43 раза. При этом число процентов, на которое повысилась 456 Глава XXlll. Избранные задачи из вариантов ЕГЭ зарплата во второй раз, было в 3 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов повысилась зарплата во второй раз? XXIII.94. Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Сколько километров в час проезжает мотоциклист? XXIII.95. Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав — 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве? XXIII.96. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т. е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50 000 руб., который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? XXIII.97. Катер прошел 5 км против течения реки, а затем 21 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч. XXIII.98. Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 1296 дм^ в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка —в стенку цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в пол или в стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ XXIII XXIII.1. 1) 0,2; 2) 144; 3) -4; 4) -6. XXIII.2. 1) 16; 2) 14 3) -3.5; 4) -3. XXIII.3. 1) 14; 2) 2. XXIII.4. -6,5 XX1II.5. 1) 0,5 2) 24, XXIII.6. 1) 4; 2) 7. XXIII.7. 1) 72; 2) 18. XXIII.8. 3 XXI1I.9. 0. XXIII.10. 1) 15; 2) 12. XXIII.11. 1) Э; 2) 4 XXIII.12. 1) 5; 2) 1. XXIII.13. 1) -8; 2) -9. XXIII.14. 1) 4; 2) -6 XXIII.15. I) 2) XXIII.16. 1) 2; 2) 2. XXIII.17. 1) 3,5; 2) 3 О XXIII.18. 1) 2; 2) -1; 3) -6; 4) 8. ХХП1.1Э. 1) [0,6; 1); 2) [о,5; Ответы к главе XXIII 457 XX1II.20. 1) [0:3]; 2) [1;2|. XXIII.21. 1) (-2;+оо); 2) (-4;-2)U(6;+oo). XXIII.22. 1) -50; 2) 50. XXIII.23. 1) -1; 2) 2. XXIII.24. -10. XXIII.25. 9. XXIII.26. 2,7. XXIII.27. 184. П £ XXIII.28. 1) 4- кп, 2) -3. XXIII.29. 1) 9; 2) XXIII.30. 9. XXIII.31. 2. XXIII.32. 1) 4; 2) 9. XXIII.33. 1) [-2;2 v^-6); 2) [-1;2-^-5). XXIII.34. I) 2 ± v/7; -1;-3; 2) 4 ± 2а/7; -2;-6. XXIII.35. 1) -1; 2) log2(\/3-l) + 1. XXIII.36. у; 8. XXIII.37. 1) 0,3; 2) -у XXIII.39. 1) 16; 2) 2. XXIII.40. 1) 5; 2) 9. XXIII.41. 1) 1; 4 + 2v4; 2) 4; 12 1 2vTf. XXIII.42. 1) 4; 2) 2. XXIII.43. 1) -3,5; 2; 2) -2: 5. XXIII.44. 1) 9; XXIII.46. 2,6. XXI1I.47. -0.75. XXIII.49. 1) 3; 2) 5. XXIII.50. 0 2) 0; i. XXIII.45. -1,6; 0. XXIII.48. (-1) I + nn. XXIII.51. -4. -7Г. n £ 1. 0, ;r, 4. XXIII.52. 1) 1,5; XXIII.53. I) 2nk, к £ 2) 2 + 2nk. + 2r.k. 2) -0,6. Kk, k £l. XXIII.54. 1) -1; 0; 2) -2. XXIII.55. 1) 2; 2) 4. XXIII.56. 3,125. XXIII.57. 8. XXIII.58. 2nn. n £ г. XXIII.59. -I + n £ 1. ХХП1.60. 2nn, n £ 1. О .5 XXIII.61. ±(rt-arccos|) + 2кк, к £ Z. XXIII.62. + 2nn, n £ Z. XXIII.63. + 2кп, n £ 5V2 XXIII.64. 5 + 2h«, n £ XXIII.65. -2. XXIII.66. ±2^. XXIII.67.-3. ХХШ.68. (-oc;-2v/6] U [2\/6;+oo). ХХ1П.69. [5; 12). XXII1.70. 1; 2. ХХ1П.71. [-10; 0) U (0: 10]. XXII1.72. 1) (-oc;-9) U [5;+=>c); 2) (-oc;-3) U (1,5;+oo). ХХШ.73. 2. XXIII.74. 1) 6; 2)4. XXIII.75. (0; 1 + л/5). XX1II.76. (-\/5;-2) U (2; 2,1) U (2.1; ч/5). XXIII.77. (3; 4] U (5.5; 6.5). XX1II.78. |1;3) U |9;11). XXIII.79. 1) (1; 4) U (б|:+oo); 2)(-l|;5^). XXIII.80. 1) (-oo;|) U (4;+oo); 2) (0,4; 10). XXIII.81. (1;2). XXIII.82. 1) 2) (-oo;-log2 5) U (-log2 3;0). XXIII.83. (4;4|]. XXIII.83. [2; 6]. XXIII.85. (2;3) U (5; 6]. XXIII.86. |l;2)U(2;3]. XXIII.87. 3. XXIII.88. (2; 2,5). XXIII.89. 60%. XXIII.90. Ha 8%. XXIII.91. 28 ч. XXIII.92. 15. XXIII.93. Ha 30%. XXIII.94. 60К.И. XXIII.95. 430 г. XXIII.96. IG 550 руб. XXIII.97. 24 км/ч. XXIII.98. 12 Ли, 12 дм, 9 дм. приложение МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ § 1. ЕГЭ 2005 Г. 3 А1. Найдите значение выражения ~--j при «= 8. 1) 8-?; 2) 64; 3) 16; 4) 8"5. А2. Упростите выражение I/2*'*^?’'*. 1) 22‘<721; 2) 2^(7^ 3) 2^8(73»; 4) 22^72. АЗ. Вычислите значение выражения log5(5ab), если log5(a^) = 0,7- 1) 1.7; 2) 3.5; 3) 5.7; 4) 4. А л \г . 7ot . 5а . , 7а 5а А4. Упростите выражение sin — sm — + cos а — cos — cos —. 1) cos a + cos 6a; 2) 0; 3) 2 cos a; 4) cos a-cos 6a. A5. Найдите производную функции г/= — la® + За"* — 14. 1) у' = -7х^ + x^-Ux\ 2) у'= ~^-х'' + х^-\Ах\ 3) у' = -7х^ + 20х^\ 4) £/' = -7х8 + 9д;8. А6. На каком из следующих рисунков функция, заданная графиком, убывает на промежутке [0,3|? §1. ЕГЭ 2005 г. 459 А7. Найдите множество значений функции у = 7 +cos л:. 1) [6,8]; 2) [7,8]; 3) (-оо,+оо); 4) [-1,1]. А8. Решите уравнение cosx-l = 0. 1) | + 27г/г. feeZ; 2) ^ + лк, keZ\ 4) 2кк, keZ. х+и <0. 3) кк, fe G Z; А9. Решите неравенство , (х- 8)(3х + 2) 1) [-11,-|)и(8,+оо); 2) (-00,-11]; 3) (-00,8); 4) (_оо,-11]и(-|,8). А10. Найдите область определения функции f{x) = II 2 + logj X 1) (0,9)u(9,+oo); 2) ^-оо, U Q,+оо); 3) (0,4-00); 4) (O,i)u(i,+oo). Bl. Решите уравнение y/2x‘^ + 2x — 3 + 1 = -x. / , \ j.ic+1 B2. Решите уравнение (^-j^j = 8. B3. Точка движется по координатной прямой согласно закону jf(/) = 7 + 5^ — где x{t) — координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки при / = 4. Часть 2 6. В4. Вычислите: ^11,2 ^64v/8 - 3,2 \/8v^^ " . В5. Найдите значение функции у = \/3sin2/ + sin 1 Отг в точке t = —. 460 Приложение. Материал для подготовки к ЕГЭ 13 -- - • \ f А Рис. 1 В6. Функция y — f{x) определена на промежутке (—5,7). График ее производной изображен на рис. 1. Найдите промежутки убывания функции y = f{x). В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков. В7. Найдите наибольший корень уравнения (32'5-2^'' _ v/3) log5(3 - lOx) = 0. В8. Найдите значение функции у{х) — в точке хр, если известно, что функция у = /(х) — четная, функция у = g(x) — нечетная, /(хр) = 1, g(x:p) == —3. В9. Двум сотрудникам издательства поручили отредактировать рукопись объемом 560 страниц. Один сотрудник, отдав второму 80 страниц рукописи, взял остальные себе. Второй выполнил свою работу за время, в 8 раз меньшее, чем первый свою. Сколько страниц рукописи первый сотрудник должен был сразу отдать второму (взяв остальное себе), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время? В10. Через образующую ВС цилиндра проведено сечение BCDE. Объем цилиндра равен 1440тг, BE = 8, тангенс угла между прямой СЕ и плоскостью основания равен 1,25. Найдите площадь осевого сечения. В11. Дан ромб ABCD с острым углом А. Высота ВН. проведенная к стороне CD, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите площадь треугольника СМН, если высота ромба равна 8, а площадь ромба равна 80. §1. ЕГЭ 2005 г. 461 Cl. Найдите все значения х, для которых точки графика функции лежат ниже соответствующих точек графика 3 У_ logQ.2(20 - 5х) 12-4л функции у = 12-4л‘ Часть 3 С2. Решите уравнение v^l6 - 8х + + \/— 13х — 17 = х — 4. СЗ. Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее из двух чисел Ь = 9“ + 3^+“ —1 и c = 3^~“ —9~“—5 меньше 9. С4. Отрезок PN, равный 8, — диаметр сферы. Точки М \л L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите площадь треугольника KLT, где К и Т —середины ребер РМ и NM соответственно. Даны два уравнения log7(x(12 + = р(р — 1) - 6х + 3 25 — (Ъо — + 15 и2х — — =----|)~--------- ■ Значение параметра р выбирается так, что р < О, 1 и число различных корней первого уравнения в сумме с числом р + 5 дает число различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранного таким образом. С5. ОТВЕТЫ А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 64 22^2 1.7 cos а — cos ба —7х^ + 20x^ Рис. 1 [6. 8] А8 А9 АЮ 2кк, keZ (-00, -11]и(-|, 8) (о, i)u(l,+оо) В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 -2 -3,5 6 8 2 4 0,2 0,8 320 240 9 С1 С2 СЗ С4 С5 (-00, -21)и(3,4) 17 4 а е (-00, - log3 7) и (- log3 2, 0) 4У5 7 2 462 Приложение. Материал для подготовки к ЕГЭ §2. ЕГЭ 2006 Г. 72,8 А1. Упростите выражение 1) 2.1 2) 3) 7'^ 4) 4 А2. Найдите значение выражения 12logg(6^). 1) 2'2 2) 144 3) 24 4) 14 АЗ. Вычислите ^125 • 0,027 1) 1,5 2) 0,15 3) 15 4) 0,015 А4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке [—1,2]? 4) F 1 ч. \ Q 1 л V X \ > \ / % А5. Найдите множество значений функции у = -cosx. О 1) [-1,1] 2) [-1,1] 3) [О,^] 4) (-00.+00) От А6. Найдите область определения функции f{x) = -— 1) [0,256) и (256,+оо) 2) (-0О, 256) и (256,+оо) 3) [0,4)и (4,+оо) 4) [0,+оо) А7. На рис. 2 изображены графики функций y = f{x) и y = g{x), заданных на промежутке [—3,6]. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство /(x)^g(x). 1) [-1,1] 2) [-2,2] 3) [-3,-1] и [1,6] 4) [-3,-2] и (2,6] §2. ЕГЭ 2006 г. 463 А8. Найдите производную функции и = - 5x'^ — 17. 6 1) (/ = 7х^ - 20х^ - ‘ 3) г/ = 7х^ —х^~ 17л: 4) t/' = 7х^ - А9. Решите уравнение tg4;t = —1 1) —к + Акп, п е пп 2) £/' = ^х^ -х^ - 17;с 2) + т, п G 1о 3) « е Z 4) ~^ + лп, n^Z Id 4 'l AlO. Решите неравенство Iogi(5x — 6) > 1одх(4л:). 7 7 1) (-00,6) 2) (1,2,6) 3) (1,2,+оо) 4) (6,+ос) В1. Решите уравнение 4-*^"*'^ — 11 • 4^^ = 80. В2. Решите уравнение 4 • = 2х Ч-3. ВЗ. Найдите значение выражения 3cos +sin(rc—o'), если sin а = 0,3. Часть 2 В4. Вычислите 71ogg щГпЩ. В5. К графику функции у — f{x) в точке с абсциссой Xq = 4 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рис. 3 изображен график производной этой функции. В6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции у = на отрезке [0,3]. В7. Решите уравнение 1Ьх^ - 24х + 12= (уз- sin (^3 + sin . В8. Найдите значение функции y=f{x)g{—x) + 2f{—x) в точке лсд, если известно, что функция у = f{x) — четная, функция У = §{х) - нечетная, [(xq) = 2. g{xo) = -3. 464 Приложение. Материал для подготовки к ЕГЭ В9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 4:5:7. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 7% и из второй — тоже на 7%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился? В10. Основание прямой призмы ABCDA\BiC[Di — параллелограмм ABCD, в котором АВ — 4, ZABC = 30°. Высота призмы равна 3. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ADC\. ВИ. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна 8, а синус угла между диагональю и основанием равен 2 \/1з' CI. Решите уравнение sin 0,8л: = ^\/4 — —3. С2. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций /(х) = log36(9x + 27) и g(x) = 1,25 меньше, чем 0,25. Часть 3 СЗ. Требуется разметить на земле участок ABCDEFGH площадью 2000 м^, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рис. 4, где FG — ВС = 20 м, EF = \0 м и CD ^ 15 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и CD, при которых периметр является наименьшим. С4. В пирамиде FABC грани ABF и АВС перпендикулярны, FB:FA = i3.3. Тангенс угла между прямой ВС и плоскостью ABF равен 1,5. Точка М выбрана на ребре ВС так, что §2. ЕГЭ 2006 г. 465 ВМ :МС = 2:3. Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и В. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре АВ, площадь этой сферы равна 4тг. Найдите объем пирамиды АСМТ. С5. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа а • 4“ и 4 (а • 4““®'^ — + 1) являются решениями неравенства log^_o,s (log4 ^ 0. ОТВЕТЫ А1 А2 АЗ А4 А5 Аб 72.1 24 1.5 Рис. 4 7 7' . 3’ 3. [0, 256) и (256, +оо) А7 А8 А9 АЮ [-1, 1] 7х^ - 20x3 7Г 1 ТТЛ — ^ (1,2. 6) В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 2 1.5 -0,6 10 -2 1,875 0,75 10 9 1.5 96 С1 С2 СЗ С4 С5 5тг 8 (1, 21) 200 м, 50 м, 50 м, 15 м 416 325 1 2 466 Приложение. Материал для подготовки к ЕГЭ § 3. ЕГЭ 2007 Г. А1. Упростите выражение ■ 56®’^. 1) 56-3’® 2) 5°’2-6-3’2 3) 56“3’2 4) 5^>2 • б"®’® ^Т89 А2. Вычислите 1) 1 2) { 3) 9 4) 27 «5 АЗ. Найдите значение выражения 3 -2’°®2^. 1) logglS 2) 125 3) 30 4) 15 А4. Функция задана графиком (рис. 5). На каком из указанных промежутков она возрастает? 1) [1,4] 2) [2,5] 3) [0,5] 4) [-2,1] А5. Найдите производную функции у=12х^ — е^. J - ____ 1) у' = 15х^ - хе^ ’ 2) у' = Ъх л: + 1 3) у' — Збх^ — хе^ ’ А) у' = Збх^ -А6. Найдите множество значений функции t/ = 3sinx. 1) [-3,3] 2) [0,3] 3) [-1,1] 4) (-оо,+оо) А7. Функция задана графиком (рис. 6). Укажите промежуток, на котором она принимает только отрицательные значения. 1) (3,6) 2) (3,5) 3) (-2,-1) 4) (-2,0) А8. Решите неравенство 5 + X (а:-7)(х-4) 1) (-00,-5] 2) [-5,4)и(7,+оо) 3) (-00,7) 4) (-00,-5] и (4,7) <0. §3. ЕГЭ 2007 г. 467 У - -- - 1 0 1 3 5 'х Рис. 6 А9. Решите уравнение sinx —| = 0. 1) ±^ + 2кк, k е 6 2) l + 2nk, ke. О 3) + к€Ж 4) (-1)*^+ 2rtfe, ftez AlO. Решите неравенство 5'^'^'^® ^ 125'^. 1) (-00,-6] 2) (-00,-2] 3) [-2,+оо) 4) [-6,+оо) В1. Найдите значение выражения Ssin^a- Scos^a, если COS«=-2- В2. ВЗ. Решите уравнение + б • З'* = 5. Решите уравнение \/2х'^ — х — 6 = —х. Часть 2 В4. Найдите значение выражения sin^, если известно, что В5. В6. В7. В8. у 7 cos X — 3sin £/ = 9. Функция у — f{x) определена на промежутке (—6,7). На рис. 7 изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, параллельные прямой у = 3 — X (или совпадающие с ней). Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные. Найдите значение выражения y(37-20V^^ + 2х/3. Решите уравнение log7(3jc + 5) + у log; (2л: + 5) = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.) Функция у = /(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рис. 8 изображен 468 Приложение. Материал для подготовки к ЕГЭ Рис. 8 график этой функции при —2 ^ jc ^ 1. Найдите значение выражения /(—5) —/(—1) +/(12). В9. Две бригады, работая вместе, ремонтировали дорогу в течение 6 дней, а затем одна вторая бригада закончила ремонт еще за 10 дней. За сколько дней могла бы отремонтировать дорогу одна первая бригада, если она может выполнить эту работу на 6 дней быстрее, чем вторая бригада? Точки К и М лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла наклона прямой КМ к плоскости оснований цилиндра равен 0,6, КМ — 10, объем цилиндра равен 150д. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 15, а его площадь равна 67,5. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты BE и АН, пересекающиеся в точке О. Найдите площадь треугольника ВОН. В10 ви С1. Найдите точки минимума функции f{x) = 3x^ + 3х^ -72х^ + 2 г - log I (дс^-ь8) С2. Решите уравнение х'^ + х — ^ (6 - х) Ч- \/2л:^ + Зх + 2. §3. ЕГЭ 2007 г. 469 Часть 3 СЗ. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (-3,-1] значение выражения x‘^ — 8х^ — 2 не равно значению ах^. С4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D] с боковыми ребрами АА], ВВ\, СС\, DD\ на сторонах AD, /liSi, В\С\ его оснований лежат соответственно точки L, К, М ^ AL 2 Л^К 2 В\М Ъ ^ й так, что тг. = = я- -црг = Во сколько раз объем Lu J ло| о /у1С| 2 параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной К и основанием LDMB\1 С5. Докажите, что система уравнений 15x3-b36x2-f22.t-|-4 = 0, 9sin -4-cos((5x:-f 1)у) = — у + y ^-H6-t-5A;(l-5x)-sini/ не имеет решений. ОТВЕТЫ А1 А2 АЗ А4 А5 А6 А7 56- 3-2 15 [2, 5] 36Jt:2 - [-3, 3] (3, 5) А8 А9 А10 (-00, -5] и (4, 7) (-СЮ, -6] В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 1 -1 -2 -0,9 3 5 -1,5 -4 18 60 24 С1 С2 СЗ С4 3 -3,5; 2 а 6 (-С50, -9) и -1-00^ В семь раз 470 Приложение. Материал для подготовки к ЕГЭ §4. ЕГЭ 2008 Г. С1. Найдите наибольшее значение функции /(х) = 3(2х - 4)^^ - (2х - 4)5 при |jc — 2| < 1. С2. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения 5xlog2(3 - 5х) + 9л:^ logj, ^3 — 5х и 5х ~ Зx^ принимают равные значения. ^ СЗ. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство а - (logo X + 2-Уб log. 3 - 5) „ —" , ——^< О не имеет решении. (3 cos v/7^ - 4) - а С4. Дан конус с вершиной М, радиус основания которого равен ii n/6' В основание этого конуса вписан четырехугольник ЛВСО так, что углы ВМА, СМВ, DMC, AMD равны а каждый, 1 причем ^ —2‘ окружности основания конуса, не содержащей точки А, выбрана точка F так, что объем пирамиды MABFCD наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ. С5. Для чисел ai, ог, йп+\ = /(Ол), /X = 1, 2, .. Зх — 6 «23 == О, а /(х) = < х-3 ’ + ь X- х-2 023 верны равенства 22. Найдите 05 + 03, если если X < 3, 18х — 53 V. о еслих^З. ОТВЕТЫ С1 С2 СЗ С4 С5 80 0; 0,2 -1 ^а<2'У24-5 11 2, ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие........ ........ ...................... Глава I. Элементы математической логики .... .... §1 Высказывания и операции над ними................ §2. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования ....................................... §3. Некоторые приемы доказательства................ §4. Метод математической индукции.................. Ответы к главе 1................................... Глава II. Множества и операции над ними ........... §1. Операции над множествами....................... §2. Целые, рациональные и иррациональные числа..... §3. Степени и корни................................ §4. Логарифмы ..................................... §5. Суммирование................................... §6. Числовые неравенства........................... Задачи повышенной сложности к главе II............. Ответы к главе II ................................. Глава III. Функции.......... §1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. §2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям §3. Свойства функций............................... §4. Графики функций ............................... Задачи повышенной сложности к главе III .... .... Ответы к главе III................................. Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства §1. Рациональные уравнения......................... §2. Рациональные неравенства....................... §3. Иррациональные уравнения . ....... §4. Уравнения с модулем............................ §5. Иррациональные неравенства..................... 5 5 7 Я 10 II 13 13 15 17 21 25 29 30 33 37 37 39 40 44 46 46 56 56 61 64 67 69 472 Оглавление §6. Неравенства с модулем ............ Задачи повышенной сложности к главе IV Ответы к главе IV .................... Глава V. Тригонометрические формулы §1. Тригонометрическая окружность.................... 1. Градусная и радианная меры угла (84); 2. Точки тригонометрической окружности, соответствующие заданным числам, их декартовы координаты (84); 3. Пе- ресечение и объединение числовых множеств, соответствующих точкам тригонометрической окружности (86); 4. Аналитическое задание дуг тригономет- рической окружности (86). §2. Синус, косинус тангенс и котангенс. ...... 1. Вычисление значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (88); 2. Определение знаков синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (90); 3. Сравнение и оценка значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов (91); 4. Формулы приведения (91) §3. Тригонометрические формулы. ..................... 1, Зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла (93): 2. Формулы сложения (94); 3. Формулы кратных и половинных углов (96); 4. Формулы преобразования суммы в про- изведение и произведения в сумму (98). §4. Преобразование тригонометрических выражений.. §5. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс Задачи повышенной сложности к главе V ............ Ответы к главе V.................................. Глава VI. Комплексные числа §1. Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения. ............... -.................. §2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления комплексных чисел .......................................... §3. Геометрическое изображение комплексных чисел..... §4. Тригонометрическая форма комплексного числа 72 74 76 84 84 98 106 ПО m 118 120 123 §5. Извлечение корня из комплексного числа............ 124 Оглавление 473 §6. Алгебраические уравнения.......... Задачи повышенной сложности к главе VI Ответы к главе VI .................... Глава VII Многочлены от одной переменной §1. Основные определения.............. §2. Схема Горнера .................... §3. Теорема Безу. Корни многочлена . §4. Алгебраические уравнения....... Задачи повышенной сложности к главе VII Ответы к главе VII.................... Глава VIII. Системы алгебраических уравнений Задачи повышенной сложности к главе Vllt . Ответы к главе VIII ....................... Глава IX Предел и непрерывность функции §1. Числовые последовательности и их свойства.. (.Способы задания числовых последовательностей (157); 2. Исследование числовых последовательностей на монотонность (158); 3. Исследование числовых последовательностей на ограниченность (159). §2. Предел последовательности....................... 1. Определение предела последовательности (161); 2. Вычисление предела последовательности (163). §3. Предел функции ................................. 1. Определение предела функции на бесконечности (167); 2. Вычисление пределов функции на бесконечности (168); 3. Определение предела функции в точке (169); 4. Вычисление предела функции в точке (170); 5. Различные типы пределов (171). §4. Непрерывность функции........................... §5. Техника вычисления пределов..................... Задачи повышенной сложности к главе IX .. Ответы к главе IX................................... Глава X. Степенная, локазате.яьная и логарифмическая функции .................... ....................... §1. Степенная функция . ... ................ §2. Показательная функция........................... §3. Логарифмическая функция......... ............... 125 127 128 131 131 133 135 137 139 140 143 149 152 157 157 176 177 178 182 182 185 187 474 Оглавление §4. Показательные уравнения............ §5. Показательные неравенства.......... §6. Логарифмические уравнения.......... §7. Логарифмические неравенства........ §8. Смешанные уравнения и неравенства . Задачи повышенной сложности к главе X . Ответы к главе X....................... Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. ......................... §1. Функции синус и косинус..................... §2. функции тангенс и котангенс ................... §3. Обратные тригонометрические функции........... §4. Первый замечательный предел ................. . Задачи повышенной сложности к главе XI............. Ответы к главе XI........ ............. ........... Глава XII Тригонометрические уравнения и неравенства §1. Простейшие тригонометрические уравнения.......... §2. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим путем замены переменной. ...... Метод разложения на множители. Типичные преобразования, используемые для упрощения тригонометрических уравнений ........... .................... Метод оценки левой и правой частей уравнения..... §5. Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения. содержащие знаки модуля, корни и логарифмы 244 Решение тригонометрических уравнений с параметром Решение тригонометрических неравенств............ Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.......... ........ Задачи повышенной сложности к главе XII..... ..... Ответы к главе XII.......................... . ... Глава XIII Производная и дифференциал................ §1. Определение производной. Производные функций х”, sinjc, COSJC..................................... §2. Производные показательной и логарифмической функций ................................................. §3. Правила дифференцирования........................ §3. §4. §6. §7. §8. 190 193 195 198 201 204 205 213 213 218 221 222 223 225 232 232 238 243 246 248 250 251 253 262 262 264 265 Оглавление 475 §4. Производная сложной функции и обратных функций. 267 §5. Односторонние и бесконечные производные...... 268 §6. Дифференциал функции......................... 269 §7. Геометрический и физический смыслы производной .. 270 Задачи повышенной сложности к главе XIII........... 275 Ответы к главе XIII................................ 276 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций..................................... 280 §1. Основные теоремы для дифференцируемых функций . 280 §2. Возрастание и убывание функции............... 281 §3. Экстремумы функции........................... 282 §4. Наибольшее и наименьшее значения функции..... 284 §5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба ., 291 §6. Построение графиков функций.................. 292 Задачи повышенной сложности к главе XIV ........... 294 Ответы к главе XIV 298 Глава XV. Первообразная и интеграл............... §1. Первообразная функции ......... §2. Неопределенный интеграл..........-........... §3. Определенный интеграл........................ §4. Применение определенного интеграла к вычислению площадей.................................... §5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам..................................... Задачи повышенной сложности к главе XV . Ответы к главе XV................................ Глава XVI. Дифференциальные уравнения........ §1. Основные понятия................. §2. Уравнения с разделяющимися переменными §3. Линейные дифференциальные уравнения первого и вто-рого порядков с постоянными коэффициентами . . Ответы к главе XVI........................... 309 309 310 313 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов................ .... ........... §1. Показательные и логарифмические системы......... §2. Тригонометрические системы...................... 319 321 322 327 327 327 329 331 333 333 337 476 Оглавление Задачи повышенной сложности к главе XVII Ответы к главе XVII...................... 341 343 §1- §2. Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными ................... ............. .. , , Геометрическое описание решений уравнений, неравенств и систем с двумя переменными....... Аналитические приемы решений уравнений и неравенств с двумя переменными...................... §3. Использование геометрического подхода для решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными, содержащих параметры .... ........ ......... Задачи повышенной сложности к главе XVIll........... Ответы к главе XVIII. . Глава XIX. Делимость целых чисел. Целочисленные решения уравнений . . §1. Делимость чисел............ .................... §2. Сравнения....................................... §3. Решение уравнений в целых числах................ §4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными .. Задачи повышенной сложности к главе XIX............. Ответы к главе XIX ................................. Глава XX. Элементы комбинаторики.................... §1. Основные схемы подсчета элементов о конечном множестве...........-.............- ............ I. Правило произведения {375); 2. Правило суммы и формула включений и исключений (376); 3. Перестановки (377); 4. Перестановки с повторениями (377). Сочетания и размещения ........... §3. Комбинаторные соотношения ... Задачи повышенной сложности к главе XX Ответы к главе XX..................... §2. Глава XXI. Элементы теории вероятностей. §1. Основные понятия теории вероятностей . 1. Множество элементарных исходов экспери мента (389); 2. События и действия над ними (390) 3. Классическое определение вероятности (392) 4. Геометрическая вероятность (394). 351 ЗГ>2 354 363 363 366 367 369 372 373 360 385 386 387 389 389 Оглавление 477 §2. Сложение вероятностей............................. §3. Условная вероятность. Независимость событий........ I. Условная вероятность (399); 2. Формула умножения вероятностей (400); 3. Независимые события (400); 4, Формула полной вероятности (401). §4. Формула Бернулли................. ................. §5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики..................................... I, Понятие случайной величины (405); 2. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины (405); 3. Биномиальное распределение (406). Задачи повышенной сложности к главе XXI Ответы к главе XXI.................. 397 399 Глава XXII. Разные задачи . §1. Текстовые задачи................ §2. Многочлены от одной переменной, §3. Графики функций.......... §4. Задачи на координатной плоскости §5, Задачи с параметрами........... Ответы к главе XXII........... Глава XXIII. Избранные задачи повышенного и высокого уровней сложности из вариантов ЕГЭ........... §1. Преобразование и вычисление значений выражений §2. Функции ................. - . §3. Уравнения и системы уравнений. §4. Неравенства................ §5. Текстовые задачи........... Ответы к главе XXIII.............. Приложение Материал для подготовки §1. ЕГЭ 2005 г. ЕГЭ §2. §3. §4. Часть 2 (459) ЕГЭ 2006 г.. Часть 2 (463); ЕГЭ 2007 г, Часть 2 (467); ЕГЭ 2008 г.. . Часть 3 (461). Часть 3 (464), Часть 3 (4G9). 407 408 412 412 427 429 432 436 441 444 444 445 450 453 455 456 458 458 462 466 470 Учебное издание Шабунин Михаил Иванович Прокофьев Александр Александрович Олейник Татьяна Анатольевна Соколова Татьяна Владимнровна МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА. НАЧАЛА МАТЕЛиТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Задачник для 10-11 классов Ведущий редактор М. С. Стригунова Художник С Инфантз Технический редактор Е. В. Денюкоеа Корректор £. Н. К.1шпина Подписано в печать 27.08.09. Формат 60x90/16. Уел. печ. л. 30. Тираж 1000 вкз. Заказ 5682. Издательство «БИНОМ Лаборатория знаний» 125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Теле^: (499) 157-5272 e-mail: [email protected], https://www.Lbz.ru Отечатако в ООО ПФ «Полиграфис1>». 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев. 3. ЕчпаП: forma^^fpoligrafud.com ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ШКОЛ ■ МАТЕМАТИКА ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ; Шабунин М. И. Математика. Алгебра. На-чала математического анализа. Профиль^ ный уровень : учебник для 10 классе / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — 2-е изд., испр. и доп. — 2009. — 424 с. : ил. Учебник для Юкласса является частью учеб* на-методического комплекта для старших классов школ с углубленным изучением математики. Представлены разделы: элементы математической логики, числовые множества, (зациональ* ные функции и графики, многочлены и системы уравнений, комплексные числа, степенная, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические формулы, предел и непрерывность функции. Каждый параграф учебника содержит теоретический материал, примеры с решениями и упражнения для самостоятельной работы. Для учащихся классов физико-математического и естественно-научных профилей. ИЗДАТЕЛЬСТВО 'БИНОМ Лаборатория знаний» 125167. Москва, проезд Азропорта, д. 3 Твпвфом (49a>l5J’-5272 e-mail: btaom^Ltu.ru. nttpv/vmw.LDz.ru Оптовые гюставки: {499)174-7616, 171-19S4, 170-6674 ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ШКОЛ ■ МАТЕМАТИКА ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ; А ^ МАТЕМАТИКА Шабунин М. И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень : учебник для 11 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. — 2008. — 391 с. : ил. Учебник для 11 класса является частью учеб-нО'методического комплекта для старших клас* сов школ с углубленным изучением матема* тики. Представлены разделы: тригонометрические, показательная и логарифмическая функции, производная и ее применение, элементы комбинаторики и теории вероятностей. Каждый параграф учебника содержит теоретический материал, примеры с решениями и упражнения для самостоятельной работы. Для учащихся классов физико-математического и естественно-научных профилей. ИЗДАТЕЛЬСТВО •БИНОМ Лаборатория знаний» I25t67, Мос«ва. проезд Аэропорте, д. 3 Тплафон. («99)157-5272 в-тв«: Ыпопте>1.Ь2.ги. htip./Avrvw Lbz.ru Оптовып постааки: (499)174-7616. 171-1954. 170-6674 Задвчмик янлйе1си частью учвбно-метидичсоиго комплекта AitH преподавания математики в старших классах физико-математического и естественно-научных профилей. Комплект включает в себя: • учебник для 10 класса • учебник для 11 класса • методическое пособие и дидактические материалы для 10 класса • методическое пособие и дидактические материалы для 11 класса • задачник для 10-11 классов ’J Мил и).‘ >тчано^м' — доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики МФТИ. Автор свыше 200 научных и учебно-методических работ, один из авторов учебников алгебры для 7-11 классов средней школы, учебных пособий для студентов. Алекс;-идр Александрович— доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики МИЭТ, преподаватель математики физико-математического лицея №1557 Зеленоградского округа г. Москвы, учитель высшей категории. Автор более 40 книг, в том числе для школьников и студентов. Олейник Тать*5на Ачкотольевна — кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики МИЭТ. Автор более 20 учебных и методических пособий по математике для старшеклассников, абитуриентов и студентов. Щ Соколсса Татьяна Владимировна — ^ кандидат физико-математических наук, доцент. 1 доцент кафедры высшей математики МИЭТ. ’ Автор более 25 научных статей и методических пособий -, по математике для старшеклассников и студентов. ISBN 978-5-94774-456-9