Математика 7 класс Учебник Петерсон часть 3

\ ✓ \ л. г. Петерсон, Д, Л. Абраров, Е. В, Чуткова ШКОЛА Учебник для средней школы УДК 373:51 ББК 22.1я721 П29 Ассоциация «Школа 2000-.* Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...* АПК и ППРО РФ Институт системно-деятельностной педагогики 5:' Ш1 ' -г миадтънА* «гс<«ммя« Программа математического развития для дошкольников, начальной и средней школы , « УЧУСЬ УЧИТЬСЯ » I г 1 I ""Г А Научный руководитель ib-—£----- доктор педагогических наук Л. Г. Петерсон Петерсон Л. Г., Абраров Д. Л., Чуткова Е. В. П29 Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 3 / Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова. — М.: Издательство «Ювента», 2011. — 216 с.: ил. ISBN 978-5-85429-513-0 Учебник ориентирюван на развитие мышления, интереса к математике и творческих способностей учащихся, формирование ключевых деятельностных компетенций и готовности к саморазвитию. Содержит большое количество разноуровневых заданий, позволяющих сформировать прочную систему математических знаний, соответствующих соврюменным требованиям ГИА, ЕГЭ и дающих возможность качественной подготовки учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам (на урюках и во внеурючной деятельности). Реализует дидактическую систему деятельностного метода обучения Л. Г. Петерсон («Школа 20(Ю...»). Является непосрюдственным прюдолжением непрерывного курса математики для дошкольников, начальной школы и 5—6 классов средней школы прюграммы «Учусь учиться» (Премия Президента РФ в области образования за 2002 год). Апрюбация учебника прюведена в 2(Ю9/2010 учебном году. Учебник рекомендован Ученым советом Академии повышения квалификации и прюфессиональной переподготовки работников образования для использования во всех типах школ и для индивидуальной работы с учащимися. УДК ББК 373:51 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педагогики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 8, корп. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: [email protected] Интернет: www.sch2000.ru ISBN 978-5-85429-513-0 Издательство «Ювента*, 2011 Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова, 2011 г % л. г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова М4 ТЕМА ТИКА АЛГЕБРА. ФУНКЦИИ. АНАЛИЗ ДАННЫХ Учебник ДЛЯ 7 класса Часть 3 К ЮВЕНТА 2011 J Чтобы учебником было удобно пользоваться, в нем введены следующие обозначения: О о - задачи по новой теме для работы в классе, - задачи для домашней работы, повторение ранее пройденного. задачи на смекалку. О □ - задания базового уровня. □ - более сложные задания по новым темам и темам повторения. U* - задания, требующие умения находить нестандартные способы решения; - завершение доказательства теоремы. ©©© - материал для тех, кому интересно. Глава 5 Введение в теорию функций § 1. Понятие функции и ее практическое применение 1. Функциональная зависимость между величинами Понятие функции такое же основное и первоначальное, как понятие множества. Феликс Хаусдорф (1868-1942), немецкий математик В обычной жизни мы постоянно сталкиваемся с разнообразными величинами: температурой, стоимостью, массой, количеством предметов, длиной, площадью, объемом и т. д. При этом, рассматривая некоторую конкретную ситуацию, мы можем обнаружить, что одни величины меняются, а другие остаются неизменными. Мы уже знаем, что величина, которая может принимать различные числовые значения, называется переменной величиной. Так, например, если вы решили проехать на автобусе несколько остановок, то скорость автобуса, масса бензина в его баке и количество пассажиров будут переменными величинами, а количество его колес и окон в течение поездки не изменится, останется постоянным. Среди переменных величин различают независимые и зависимые величины. Например, длина пути, проходимого вами со скоростью 50 м/мин, зависит от времени прогулки, которое вы выберете. При этом она однозначно определяется выбранным временем: за 5 мин вы пройдете 250 м, за 12 мин - 600 м, за 20 мин -1000 м и т. д. Похожая ситуация возникнет, если вы захотите купить несколько одинаковых тетрадей или распечатать несколько страниц текста на принтере. Во всех этих примерах мы можем точно и однозначно находить конкретные значения переменных величин с помощью изученных нами формул - в данном случае формул пути, стоимости, работы. Зависимости между величинами, которые позволяют однозначно определять значение искомой величины, занимают среди всех других зависимостей особое место, так как помогают, например, осуществлять планирование, давать прогноз поведения различных величин в тех или иных условиях. Ведь даже в быту нам важно уметь рассчитать стоимость покупки или время, необходимое на ту или иную работу. Что же касается современного производства, то именно точность прогнозирования во многом определяет его результативность и конкурентоспособность. В связи с особой значимостью таких зависимостей возникает необходимость изучать их отдельно от всех остальных. Для того чтобы выделить их среди всех других зависимостей, их назвали функциональными зависимостями, или функциями. Глава 5, §1, п.1 Прежде чем дать определение функции, вспомним предыдущий пример. Как мы определяли длину пути S м, пройденного за данное время t мин со скоростью 50 м/мин? Мы брали некоторое конкретное значение t мин (5 мин, 12 мин, 20 мин и т. д.), затем, пользуясь правилом S = oOt, умножали t мин на 50 м/мин и получали искомое значение s м (250 м, 600 м, 1000 МИТ. д.). Возможные значения переменной t в мин образуют некоторое множество Т. При этом t не может принимать любые значения. Так, например, прогулка не может длиться 1 000 000 мин или (-24) мин. Если же она длилась, например, 30 мин, то множество Т можно задать следующим образом: T = {f€Q:0► л •ш* J1V м 3 н и О й п к р л —► с м т н у О ф п X р —► ц с —► ч т ш у щ ф ъ X ы ц —► ь ч —► э ш —► ю щ —► я ъ А ы Б ь в э —► г ю д я —► Е Отметим, что знаки препинания и пробелы в шифровках обычно не ставятся. Имеющему ключ это не помешает прочитать текст, а тем, кому он не предназначен, создаст дополнительные трудности и, значит, сделает шифр более надежным. При этом текст передаваемого сообщения должен быть составлен таким образом, чтобы он понимался однозначно. Однако при желании можно зашифровать с помощью указанного шифра и знаки препинания, и пробелы. Для этого к алфавиту надо просто добавить желаемые символы и после этого производить сдвиг. Для того чтобы разобраться с тем, как кодируется текст с использованием шифров этого типа, зашифруем с помощью шифра сдвига с ключом 6 следующую фразу: КАЖДОМУ ЧЕЛОВЕКУ СВОЙСТВЕННО ОШИБАТЬСЯ, НО НИКОМУ, КРОМЕ ГЛУПЦА, НЕ СВОЙСТВЕННО УПОРСТВОВАТЬ В ОШИБКЕ. 20 Глава 5, §1, п.З Получим следующую шифровку: РЁМЙФТЩЭКСФЗКРЩЧЗФПЧШЗКУУФФЮОЖЁШВЧЕУФУОРФТи], РЦФТКИСЩХЬЁУКЧЗФПЧШЗКУУФЩХФЦЧШЗФЗЁШВЗФЮОЖРК. Зашифрованная фраза мало похожа на оригинал, однако расшифровать ее несложно. Ведь букв русского алфавита всего 33, а значит, существует всего 32 возможности сдвига. Поэтому, проверяя на первых буквах кода разные варианты сдвига, достаточно быстро можно найти ключ шифра. Попробуем, например, прочитать зашифрованную с помощью шифра сдвига фразу: ЖСФХГХСЪРСТУСФХСМНСЖ Предположим, что ключ кода 1. Тогда букве Ж должна соответствовать стоящая перед ней буква Ё, букве С - буква Р, букве Ф - буква У. Начало нашей фразы получится ЁРУ. Судя по всему, ключ 1 не подходит. Положив ключ кода 2, получим начало фразы ЕПТ, которое также не напоминает никакое слово русского языка. А взяв ключ кода 3, мы получим следующую фразу: ДОСТАТОЧНО ПРОСТОЙ КОД Таким образом, основным недостатком шифра сдвига является простота его расшифровки. В целях устранения этого недостатка был придуман тип шифров, называемый шифром замены. В нем каждой букве русского алфавита произвольным образом ставится в соответствие некий символ: буква, цифра, картинка и вообще произвольный знак. Например, возможен следующий ключ: А —► 1 Б С В 2 Г Р Д —► 3 Е —► А Ё —► * птл yiv 5 3 Б и ) Й К В Л —► 7 м 0 н ( О 4 п —► Г р —► 6 С —► т д у ъ ф 8 X —► ! ц —► 3 ч —► 9 ш № Щ Е ъ И ы —► К ь —► @ Э —► # ю $ я —► & Шифрование состоит в том, что буквы первоначального сообщения заменяются символами согласно ключу. Для тех, у кого есть ключ, написание и расшифровка сообщений достаточно просты. А вот без ключа расшифровать их непросто, так как количество возможных вариантов такого шифра равно 33! = 1 • 2 • 3 • ... • 33 * 9 • 10^«, поэтому даже с помощью быстродействующего компьютера па дешифровку перебором вариантов будет потрачено столько времени, что сообщение уже будет неактуально. И тем не менее такие шифры научились расшифровывать. Идея дешифровки состоит в том, что различные буквы русского языка встречаются в осмысленных текстах с разной частотой. Например, гласная А встречается чаще согласной М. Проанализировав частоту появления в текстах разных символов, были составлены таблицы средней частоты появления каждой буквы. Так, в приведенной ниже таблице указана средняя частота появления букв русского алфавита в тексте из 1000 букв. Из нее, например, видно, что на 1000 букв русского текста приходится в среднем 28 букв П. 21 Глава 5, §1, п.З Буква Частота 1 Буква Частота Буква Частота Буква Частота Буква Частота А, И 75 Е-1-Ё 88 Л 42 Р 48 Ц 5 Б, Ы-Ъ 17 ЛГУ» 9 М 31 С 54 Ч 15 В 46 3, ы 20 Н, Т 63 У 25 Ш, Ю 7 Г 16 й 12 О 109 Ф 2 1 Щ, Э 4 Д 31 к 34 0 П 28 X 11 1 Я 22 Анализируя с помощью данной таблицы частоту появления символов в зашифрованном тексте, а также их взаимное расположение и учитывая особенности построения слов русского языка, можно существенно сократить количество возможных вариантов ключей, а значит, сократить время перебора и в конечном счете расшифровать сообщение. В связи с этим ученые-криптографы до сих пор продолжают создавать разные виды шифров. Одним из видов шифров, позволяющих усложнить расшифрювку, являются шифры перестановки. В них исходный текст разбивается на группы, состоящие из одинакового числа букв. Внутри каждой группы буквы определенным образом переставляются. Если группа достаточно длинная, то число возможных перестановок букв достаточно велико. К тому же пытающемуся расшифровать зашифрованные сообщения такого вида без ключа неизвестно, на группы какой длины разбивался текст. Поэтому расшифровка таких сообщений дело более сложное, хотя и возможное. Зашифруем с помощью шифра перестановки следующую фразу: УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИЛАГАТЬ ЗНАНИЕ НА ДЕЛЕ Начиная с первой буквы фразы, разобьем текст на группы по 10 букв в каждой. Затем нарисуем таблицу с 10 столбцами и в первой ее строке запишем числа от 1 до 10 в произвольном порядке. Теперь запишем в клетках таблицы по строчкам, начиная со второй строки, буквы шифруемого текста без пропусков и знаков препинания: 2 5 9 3 1 8 4 7 10 6 У м 3 А к Л ю Ч А Е Т с Я Н Е Т О Л Ь К О в 3 Н А н и И н О и в У м Е н и И п Р и л А г А т Ь 3 н А н и Е н А д_ Е л Е И наконец, выписывая буквы этой таблицы по столбцам в указанном порядке (сначала из столбца, отмеченного числом 1, затем - числом 2 и т. д.), мы получим следующую шифровку: КЕАЕААУТОИИНАННМГНЮОИИЬЕМСВВЛИЕКОРАЧЛИИЗЛ ЛТННТДЗЯЗУАЕАЬНПНЕ Ключом к расшифровке текстов данного типа является набор цифр, указанный в первой строке таблицы. Зная его, получатель без труда расшифрует текст. Если же ключ не известен, восстановить исходный текст достаточно сложно, ведь буквы остались теми же и анализ частоты встречаемости букв здесь не поможет. Тем не менее математические методы помогают расшифровывать и такие шифры без знания ключевого слова. Мы с вами пока этими методами, к сожалению, не владеем. Но для желающего что-то узнать не существует препятствий, и тот, кто захочет научиться этому, с радостью пройдет весь путь обучения и научится решать множество полезных и красивых задач. 22 о Глава 5, §1, п.З [lO Выполните вычисления и расположите ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Вы узнаете название профессии, которая в буквальном переводе с итальянского языка означает «кладущий в ящик»: [к] 5 • 7 • 3 - 35 • 4 |~С] (104 - 28) : 4 [о] 52 + 68 - 22 [т] 13 • 21 - 29 • 7 |~а| (125 - 75) : 25 33 • 34 - 34 • 35 0 127 - 91 + 23 + 111 0 37 : 4 - 17 : 4 0 (999 - 459): 9 0 98 • 21-21 • 128 Q4] 1) Прочитайте на стр. 20 учебника, как называется наука о шифрах и их дешифровке, что означает данное слово в переводе с древнегреческого. 2) Зашифруйте название науки о шифрах и их дешифровке, сопоставляя каждой букве этого слова некоторый вычислительный пример. 3) Прочитайте на стр. 20-22 учебника, как шифрование связано с понятием функции, что называется ключом шифра, какие бывают виды шифров. Зашифруйте шифром сдвига с ключом 4 следующее высказывание великого древнегреческого философа и ученого Аристотеля: ВСЕГО ПРИЯТНЕЕ ДЛЯ НАС ТЕ СЛОВА, КОТОРЫЕ ДАЮТ НАМ КАКОЕ-НИБУДЬ ЗНАНИЕ Расшифруйте высказывание одного из семи особо чтимых древнегреческих философов (семи мудрецов) Бианта Приенского, если известно, что оно зашифровано с помощью шифра сдвига: ИШСЕГМЕЧЙСИЙОЦЧЖШГ. Шифр замены задан следующим ключом: А —► © Б —► * В —► а Г Р Д —► 0 Е —► У Ё —► 8 •ш* g^2 Д) е) 81д54533^65 27^56^34^65 . 32х^р^ - 40х«г/» ЗЪа^Ъ^ ’ 56xY ~ 24xV а) Два числа относятся одно к другому как 5 к 7. Если меньшее из них разделить на 3, то результат будет на 16 больше частного большего числа и числа 9. Найдите эти числа. б) Отец завещал трем своим сыновьям крупную сумму денег. Наследство было разделено между старшим, средним и младшим сыновьями в отношении 9:7:3. Какую сумму денег завещал отец своим сыновьям, если младший получил 270 тыс. р.? 24 Глава 5, §1, п.З Ш И о ж) 4 • 9, m = 13; з) 48 • 52, т = 17; и) 6^, т = 19. в) а = 351'®*, 5 = 6. ~8Т| Выполните указанное действие по модулю т: а) 9 + 7, = 4; г) 74 - 11, m = 5; б) 11 + 15, m = 9; д) 35 - 96, m = 6; в) 26 + 38, m = 7; е) 49 - 85, т = 11; Найдите остаток от деления а на Ь: а) а = 298»»2, 5=11; б) а = 564''®^, 5 = 7; [^8^ Зашифруйте шифром сдвига с ключом 7 следующее высказывание известного французского математика Рене Декарта; ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ УСОВЕРШЕНСТВОВАТЬ УМ, НАДО БОЛЬШЕ РАЗМЫШЛЯТЬ, ЧЕМ ЗАУЧИВАТЬ Расшифруйте высказывание итальянского физика, философа и математика Галилео Галилея, если известно, что оно зашифровано с помощью шифра сдвига. КЦЙЦШРЪДЧЫЪЗХХЦЫФММЪЙЩЖТРСКЦЙЦШРЪДЖЩХЦХМФХЦКРМ Шифр замены задан следующим ключом: A —► 1 Б 2 В —► 3 Г —► 4 д 5 E —► 6 Ё —► 7 yfjAi 8 3 9 И —► j Й A к —► В Л c M D H —► E 0 F П G p —► H C —► I T J у к Ф —► L X M Ц —► N Ч —► 0 Ш p Щ —► Q ъ R Ы s b —► T Э —► и Ю V я —► w Зашифруйте с его помощью высказывание известного английского физика Уильяма Грове: ИСТИННАЯ НАУКА НЕ ЗНАЕТ НИ СИМПАТИЙ, НИ АНТИПАТИЙ: ЕДИНСТВЕННАЯ ЦЕЛЬ ЕЁ - ИСТИНА Зашифруйте шифром перестановки с ключом 951427836 высказывание известного немецкого философа Фридриха Ницше: КТО ХОЧЕТ НАУЧИТЬСЯ ЛЕТАТЬ, ТОТ ДОЛЖЕН СПЕРВА НАУЧИТЬСЯ СТОЯТЬ, И ХОДИТЬ, И БЕГАТЬ, И ЛАЗИТЬ, И ТАНЦЕВАТЬ: НЕЛЬЗЯ СРАЗУ НАУЧИТЬСЯ ПОЛЕТУ Расшифруйте высказывание древнегреческого философа Платона, зная, что оно зашифровано шифром перестановки с ключом 3572461. ИВНТНСМИНБОЖСЛНОСЕЕЕВАТУАСГЕТООСОСНВАЧИДНТОСЬ ИЙТЗОНЕЕАНР Расшифруйте высказывание известного итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи, если известно, что оно зашифровано шифром замены и символ А обозначает букву Т, символ В - букву А, а символ Т - букву С: АВС D© СВС FGHIGJ©KL© FLJL N©0 PQGRGISTARLV FW©RWBJB©ATV R TCPXKG© FLABKL© ABC OBKVAL© KBPCGY N©0 TAWBTAL OBTGWV©A FBZVAS CGAGWBV TABKGRLATV K©TFGTGNKGY PTRBLRBAS AG XAG GKB FGHIGJB©A 25 Глава 5, §1, п.З И [92] Упростите выражение: а) (2а + Ь)^ - (2а - Ь)^; б) 5р2 - q(p + q)~ (3(-q^ + ~ 2pq) - (~4pq - 4(q^ + 2pq))). Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) 18а»6^ + 24а^&9 б) 7Ът^’’п^^к^^ гба'^Ь^ ’ 25fe39/nV ’ 21х’’у‘ - 63jcV В пончиковой компании Антона и Ксюши часть прибыли за 2010 год решили потратить на выплаты дивидендов собственникам. Было принято решение разделить ее между Антоном, Ксюшей и прочими акционерами в отношении 5:4:2. Какую сумму денег получил Антон, если выплаты прочим акционерам составили 120 тыс. р.? 45x^.^/^ - Ъ4х’11^ [«I 94 Выполните указанное действие по модулю т: а) 12 -Ь 16, т = Ъ; в) 26 - 51, /п = 8; д) 21 • 19, т = 15; б) 39 + 41, т = 9; г) 44 - 97, m = 7; е) 4\ т = 11. Найдите остаток от деления а на Ь: а) а = 417■l^ Ь = 7; б) а = 318813, Ь = 11; 97 в) а = 596883, & = 5. Встретились два бывших одноклассника - биолог и математик. Биолог предложил математику определить возраст его сыновей и сообщил, что произведение полных лет трех его сыновей равно 36. Математик на это ему ответил, что этих данных ему недостаточно, чтобы определить возраст каждого из его детей. Тогда биолог сообщил, что сумма возрастов его детей равна номеру школы, в которой они учились. Математик на это ответил, что и этих данных ему мало. Хитрый биолог добавил тогда, что старший его сын рыжий. После этого математик правильно определил возраст сыновей биолога. Сможете ли вы определить возраст сыновей биолога и номер школы, в которой учились биолог и математик? В университете имени М.В. Ломоносова преподаватели Антонова, Бирюкова, Кузьмина, Дудкин, Иванов и Филатов преподают шесть разных предметов: высшую математику, физику, программирование, отечественную историю, общую психологию и английский язык. Известно, что: 1. Преподаватели программирования и общей психологии - женщины. 2. Иванов старше Филатова, но преподавателем он работает меньше, чем преподаватель высшей математики. 3. Будучи студентами, Антонова и Бирюкова учились в педагогическом институте. Все остальные преподаватели окончили университет имени М.В. Ломоносова. 4. Филатов - отец преподавателя физики. 5. Преподаватель английского языка старше всех, при этом преподавателем он работает дольше всех. 6. Преподаватель английского языка работает в университете им. М.В. Ломоносова с того момента, как окончил его. Преподаватели психологии и отечественной истории - его бывшие студенты. 7. Антонова старше преподавателя программирования. Определите, кто какой предмет преподает. 26 Глава 5, §2, п.1 § 2. Линейные процессы и линейная функция 1. Прямая пропорциональность Математика - это наука о связи величин. Герман Гюнтер Грассман (1809-1877), немецкий физик, математик и филолог Решая задачи и наблюдая за поведением различных величин на практике, мы видели, что между некоторыми из них существуют определенные зависимости. Так, пройденный путь зависит от скорости и времени движения, площадь круга зависит от его диаметра, площадь квадрата зависит от длины его стороны и т. д. При этом мы замечали, что у многих зависимостей, описывающих, казалось бы, совершенно разные процессы, имеется много общего. Например: 1) Если мы движемся с постоянной скоростью 70 км/ч, то при увеличении времени движения в два раза пройденный нами путь тоже увеличится в два раза. 2) Если мы покупаем помидоры по цене 70 р. за килограмм, то, увеличив массу покупки в два раза, мы заплатим за нее в два раза больше. 3) Если некоторый рабочий производит 70 деталей в час, то, увеличив время своей работы в два раза, он заметит, что количество сделанных им деталей также увеличилось в два раза. И таких примеров можно привести огромное количество. Общее же у них то, что с увеличением (уменьшением) одной из величин в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Обобщенное описание и последующее исследование зависимостей между величинами позволяет создать общие способы решения разнообразных задач данного вида. Подобно тому, как изучение чисел позволяет нам применять их свойства, не задумываясь о том, что именно мы считаем - тетради, деньги, размеры дома или скорость ракеты. Мы уже знаем, что рассмотренный тип зависимости называется прямо пропорциональной зависимостью. Такая зависимость может быть записана с помощью единой формулы: У = kx, где л; и у - соответствующие значения независимой и зависимой величин, а число k называется коэффициентом пропорциональности. При положительных ft и х данное равенство показывает, что при увеличении (уменьшении) значения х в несколько раз значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Итак, мы можем дать следующее определение прямо пропорциональных величин. 27 Глава 5, §2, п.1 Xi Xi Определение 1. Две величины х и у называются прямо пропорциональными, если они связаны формулой у = kx, где k - некоторое число. Число k называется коэффициентом пропорциональности. Напомним, что название данной зависимости связано с тем, что, в соответствии с равенством у = kx, если у, = Лх,, Sl у^ = kx^, то ^ = ^ Ml Xi Х2 Таким образом, величины у^, х^, у^ и х^ образуют пропорцию. Прямо пропорциональная зависимость является одной из самых простых. Но большинство величин в реальной жизни ведут себя иначе. Например, сторона квадрата не прямо пропорциональна его плошали: если увеличить сторону квадрата в 2 раза, его площадь увеличится не в 2, а в 4 раза. Но чтобы изучить поведение более сложных зависимостей, нам надо сначала разобраться с более простыми. Во-первых, заметим, что, согласно равенству у = kx, каждому рациональному числу X сопоставляется единственное число у. Значит: Прямо пропорциональная зависимость у = kx, где k - произвольное число, является функциональной зависимостью, или функцией. Областью определения данной функции являются все известные нам числа. Построим график прямой пропорциональности, взяв в качестве примера зависимость у = 1,5х. Для этого составим таблицу соответствующих значений переменных X и у: X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у -6 -4,5 -3 -1,5 0 1,5 3 4,5 6 Затем отметим точки с вычисленными координатами (х; у) на координатной плоскости Оху (рис. 1). Можно доказать, что все полученные точки принадлежат некоторой прямой (рис. 2), то есть верна следующая теорема. Теорема. Графиком функции у = kx является прямая линия. Доказательство данной теоремы будет получено позднее в курсе геометрии, пока нам для этого не хватает знаний. 28 Глава 5, §2, п.1 Так как график прямой пропорциональности - это прямая, а через две различные точки можно провести ровно одну прямую, то для построения графика функции у = kx нам достаточно найти лишь две точки, принадлежащие этой прямой. Заметим, что при любом коэффициенте пропорциональности k, если л: = О, то и у = 0. Значит: График функции у = kx всегда проходит через начало координат - точку О (0; 0). Следовательно, чтобы построить график у = kx, нам надо найти еще лишь одну точку, принадлежащую этому графику. Например, чтобы построить график функции у = -0,5л:, можно взять значение х^ = 4, найти соответствующее значение j/j = -0,5 • 4 = -2, а затем провести прямую через полученную точку (4; -2) и начало координат (рис. 3). Таким образом, мы можем записать следующий алгоритм построения графика прямой пропорциональности. Алгоритм построения графика функции у = kx 1. Отметить на координатной плоскости Оху точку О с координатами (0; 0). 2. Выбрать некоторое значение х, ф 0. 3. Вычислить значение y^ = kx^. 4. Отметить на координатной плоскости Оху точку А с координатами (х,; y^). 5. Через точки О и А провести прямую. Расположение графика функции у = kx на координатной плоскости зависит от знака коэффициента k. Так, если й > 0, то знаки соответствующих значений хну всегда одинаковы, поэтому график у = kx располагается в I и III координатных четвертях (рис. 4). Аналогично при /г < 0 знаки х и у всегда различны, поэтому график данной функции располагается во II и IV координатных четвертях (рис. 5). Если k = о, то при всех значениях х значение у = 0. Значит, графиком прямой пропорциональности в этом случае является ось Ох. Наблюдая за тем, как при изменении k ведет себя график прямой пропорциональности, можно заметить различные закономерности, например: 1) Если k о, то областью значений прямой пропорциональности является множество всех известных нам чисел, а если = 0, то область значений состоит из одного числа 0. 29 Глава 5, §2, п.1 2) График функции у = х (у = -х) является биссектрисой I и III (II и IV) координатных углов. 3) С увеличением | k | острый угол между графиком у = кх и осью абсцисс Ох увеличивается (график становится «круче»), а с уменьшением | А | - уменьшается (график более «пологий»). Можно наблюдать и многие другие закономерности расположения графика прямой пропорциональности у = кх: например, его симметрия относительно начала координат; особенности его расположения относительно координатных осей и другие. О 98 I Функции заданы таблично. Задайте эти функции формулами и постройте их графики в одной системе координат Оху. а) б) в) г) X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 У 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 У -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 У 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Чему равно множество значений каждой из этих функций? Через какую общую точку проходят все их графики? 99| 1) Запишите формулу зависимости длины пути в км, пройденного с постоянной скоростью 3 км/ч, от времени движения в часах. Приведите примеры других величин, связанных аналогичной зависимостью. Является ли данная зависимость функциональной? 2) Запишите формулу зависимости стоимости в р. пользования Интернетом по цене 500 р. в месяц от количества месяцев подключения к Интернету. Приведите примеры других величин, связанных аналогичной зависимостью. Является ли данная зависимость функциональной? 3) Зачем нужны обобщенные описания процессов? Задайте предыдущие две зависимости единой обобщенной формулой. Как называется такая зависимость? Почему? Какие ее общие свойства вам известны? Найдите ее область определения и докажите, что она является функцией. 4) Сопоставьте свои выводы с определением и выводами на стр. 27-28 учебника. Выберите из предложенных зависимостей те, которые являются прямой пропорциональностью, и укажите коэффициент пропорциональности к. а) у = -2х; б) у = X + 3; в) у = 0,5х; г) у = о • х; д) у = X : 1-, е) у = 2 : х; ж) у = Зх^; з) у = 5х; и) у = о • X + 4; к) у = о - Зд:. 30 Глава 5, §2, п.1 1) Запишите формулу зависимости стоимости покупки яблок по цене 1,5 тыс, р. за центнер от массы купленных яблок. Докажите, что данная зависимость является прямой пропорциональностью, и постройте ее график. Что вы замечаете? 2) Какое минимальное количество точек нужно отметить на координатной плоскости для построения графика прямой пропорциональности? Почему? Какие точки лучше взять? 3) Исходя из своих наблюдений, составьте алгоритм построения графика прямой пропорциональности. 4) Сравните свои выводы и алгоритм с выводами и алгоритмом на стр. 28-29 Згчебника. Пользуясь алгоритмом построения графика прямой пропорциональности, постройте на одной координатной плоскости графики зависимости у = kx, если: А; = 6; = |; б) /г = -1; k = -3; k = -4; k = -6; k = 8.) k \\ k 3, rv VJ, TV \Jf n- X, IV XI, IV g, IV VI, IV 0 Что вы замечаете? Сравните свои выводы с выводами на стр. 29-30 учебника. Не строя графика зависимости у = kx, определите, в каких координатных четвертях он будет расположен, если: а) А = 2,3; б) /г = -6,7; в) k = -1,9; г) ft = 5,6; д) ft = -6,4. Определите коэффициент пропорциональности функции у = kx, проходящей через точку А. Опишите расположение ее графика в координатной плоскости. а) А (2; 10); в) А (0,5;-2); д) А (-4; 0,5); ж) А (1,2; 6); б) А(-3;12); г) А (-0,4;-8); е)А(3;-1,5); з) А (-7;-1,4). 1) Постройте на одной координатной плоскости графики функций у = хиу = -хи два графика прямой пропорциональности, один из которых проходит через точку А, а другой - через точку В. Задайте данные функции аналитически (формулой). Что вы замечаете? а) А (4; 1), В (4; -1); в) А (4; 10), В (-4; 10); д) А (-3; -8), В (3; -8); б) А (-2; 8), В (2; 8); г) А (5; -2), В (-5; -2); е) А (4; 1,5), В (-4; 1,5). 2) Проанализируйте расположение на координатной плоскости каждого из построенных графиков и их взаимное расположение. 1) Прямая пропорциональность задана таблицей. Определите коэффициент пропорциональности данной зависимости и найдите недостающие в таблице значения. Задайте зависимость аналитически (формулой) и постройте ее график. а) б) X -5 -1 0 2 4 у -6 0 4 X -8 -2 0 2 6 у 9 3 0 в) г) X -6 -2 2 5 У 1,5 1 -0,75 X -4 -1 3 5 6 У 6 -15 2) При каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля? 31 Глава 5, §2, п.1 |107| График прямой пропорциональности проходит через точку А (р; q). Найдите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной плоскости. Затем постройте график и проверьте свои выводы. а) р = 2, 9 = -2; в) р = -5, q = 2,5; д) р = 1, 9 = 0,3; б) р = 3, g = 1,5; г) р = -8, 9 = -1,6; е) р = 0,25, q = -2. 10^ Для прямой пропорциональной зависимости у = kx найдите: 1) значение у при X, равном а; 2) значение х при у, равном Ь, если: а) k = 0,5; а = 6,5; Ь = -1,5; в) к = а= 1,4; 6 = -2; д) /г = 3; а = 4; 6 = 15; б) к = -2; а = -2,5; 5 = 8; г) к = -0,4; а = -2,5; 5 = 4; е) 5 = -^; а = -1,8; Ъ = -3,5. Щ Принадлежат ли графику функции у = кх точки А и В, если: а) к = 2, А (0; 2), В (-3; -6); г) к = -3, А (-2; 6), В (3; 9); б) к = 0,4, А (0,4; 0), В (-2; 0,8); д) Л = -1, А (-4; 4), В (0,5; -0,5); в) й = 4, А (0; 0), В (-1,5; 6); е) к = -0,5, А (-0,5; 2), В (4; 2). Щ Задайте аналитически (формулой) каждую из функций, представленных на графике: ТТ^ График прямой пропорциональной зависимости проходит через точку А. Проходит ли он через точку В? а) А (4; 2), В (-6; 3); в) А (8; -2), В (12; -3); д) А (-2; -0,5), В (-4; -1); б) А (-9; 4,5), В (7; 3,5); г) А (-1,5; 6), В (-2; -8); е) А (5; 1), В (-6; -1,2). 112| Прямая проходит через начало координат и точку А. Является ли эта прямая графиком функции у = кх, если: а) ft = 3, А (2; 6); в) ft = 4, А (-2; -8), д) ft = -1,5, А (3; -4); б) ft = -2, А (-1; -2); г) ft = -0,5, А (2; -1); е) ft = 2,1, А (3; 6,3)? 32 о Глава 5, §2, п.1 Ш Вычислите отношения: а) 2,6 : 5,2; б) 9 : 0,06; в) 0,7 : 2^; г) 2,25 : 0,9. Точка С принадлежит отрезку АВ. Что показывают АС АВ^ тл отношения ^7 Какие еще отношения можно составить? Измерьте длины сторон треугольников АВС и DBE и DB BE DE вычислите отношения (рис. 6). Что вы замечаете? Как можно назвать данные величины? Рис. 6 Прочитайте пропорцию разными способами: 5 : 10 = 6 : 12. Назовите ее крайние члены, средние члены, основное свойство пропорции. Докажите, что опять получится пропорция, если: а) поменять местами крайние члены; б) поменять местами средние члены; в) заменить каждое отношение обратным. Какие еще преобразования помогут получить из этих же чисел новую пропорцию? Дана пропорция: ^ Какие другие пропорции, членами которых являются те же числа а, Ь, с и d, можно записать? Решите уравнение: а) 0,8 0,21 7 ’ 8 б) 3,6 : ^ = 0,44 : у; в) ^ 2а - 1 40 ’ г) 2d + 16 3d d 6- т Решите задачу методом пропорций: а) На пошив 12 одинаковых платьев израсходовали 49,8 м ткани. Сколько таких же платьев можно сшить из 74,7 м этой ткани? б) Для окраски 15 м^ пола требуется 2,1 кг краски. Сколько краски потребуется для окраски пола прямоугольной комнаты длиной 6,3 м и шириной 4,5 м? в) Из 158 л молока получается 3,2 кг сливочного масла. Сколько нужно взять молока, чтобы приготовить 16 кг сливочного масла? г) Маятник часов делает 198 качаний за 2 мин 24 с. Сколько качаний он сделает за 3 мин 12 с.? Не проводя вычислений, сравните значения числовых выражений: а) I 195 - 271 I • I 189 - 193 | и (195 - 271)(189 - 193); б) I 512 - 415 I • I 277 - 396 | и (512 - 415)(277 - 396); в) (213 - 378) • I 567 - 613 I и | 213 - 378 | • (567 - 613); г) I 476 - 245 I • (345 - 678) и (476 - 245) • | 345 - 678 j. 2—Петерсон, 7 кл., ч. 3 33 Гпава Ь, §2, п.1 Решите уравнение: а) I л: - 2010 , + i 2010 - л: ] = 2012; б) | jc - 365 | + | 2x - 730 | = 36. Определите, какой цифрой оканчивается число: а) 399»®"; б) 514«*‘®. Выберите из предложенных зависимостей те, которые являются прямой пропорциональностью, и укажите коэффициент пропорциональности k. а) у = 1,2д:; в) у = 0 • л:; д) у = 8 : л:; ж) у = -4х^; и) у = 5л: + 6; б) у = -2х +1; г) у = Зл: + 0; е) у = х : 15; з) у = л:; к) у = -0,8л:^. Пользуясь алгоритмом построения графика прямой пропорциональности, постройте на одной координатной плоскости графики зависимости у = kx, если: •1; k = 2, k = -2, Л = ^; k = k = V, k Какие закономерности в расположении данных графиков вы наблюдаете? Не строя графика зависимости у = kx, определите, в каких координатных четвертях он будет расположен, если: а) k = 7,8; б) h = -3,5; в) А: = -9,6; г) Аг = 2,4. Т2б| 1) В таблице задана прямая пропорциональность. Определите коэффициент пропорциональности данной зависимости и найдите недостающие в таблице значения. Задайте зависимость аналитически (формулой) и постройте ее график. а) X -5 -1 0 3 4 у -12 -3 0 б) X -8 -4 -2 1 3 У 9 3 2) При каких значениях д; значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля? 127| График прямой пропорциональности проходит через точку А (р; q). Найдите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения данного графика на координатной плоскости. Затем постройте график и проверьте свои выводы. а) р = -5, у = 5; б) р = 3, у = -9; в) р = -4, у = -1,6. 128| Определите коэффициент пропорциональности функции у = kx, проходящей через точку А. В каких координатных четвертях расположен ее график? а)А(3;12); б) А (1,5;-3); в) А (-7; 3,5); г)А(1,8;9). 129| Для прямой пропорциональной зависимости у = kx найдите: 1) значение у при X, равном а; 2) значение л: при у, равном Ь, если: а) /е = 3; а = 4; 6 = -5; в) k = -0,8; а = -1,5; & = 3; б) k = -1,5; а = -3, 5 = 6; г) Ае = 5; а = 2; Ь = 7. 130| Принадлежат ли графику функции у = kx точки А и В, если: а) Аг = 0,3, А(0; 4), В(-1; -0,3); в) Аг = -0,4, А(-2; 8), В(3; -1,2); б) Ае = 1,2, А(0,5; 0,6), В(-1; -1,2); г) Ае = -2,1, А(-3; 6,3) В(0,7; -0,3). 34 Глава 5, §2, п.1 Задайте аналитически (формулой) каждую из функций, представленных на графике: дит ли он через точку В? а) А (6; -2), В (-12; 4); б) А (5; 2,5), В (-7; 3,5); в) А (-4; -1), В (2; 0,5). ШДана пропорция: — = —. Какие другие пропорции, членами которых являются У ^ те же числа Xj у, т и п, можно записать? Т34| Решите уравнение: а) X : 2,8 = 1^ : 3,6; б) 25 ^ У в) k + 1 8 г) с + 4 15с + 24 10,8 0,54’ ^2 k + V ^ 2 9с • Т35) Решите задачи методом пропорций: а) В пончиковой компании Антона и Ксюши для выпечки 270 кг пончиков расходуют 217,5 кг муки. Сколько муки нужно приготовить для выпечки 801 кг пончиков? б) Из 0,3 тонны свежего винограда изготавливают 35 кг изюма для пончиков. Сколько изготовят изюма из 2,1 тонны свежего винограда? Тзб| Решите уравнение: а) 1 л: - 3 I -I- I 3 - л: I = 16; б) I л: - 516 I + I 516 - л: I = 1032 Тз^ Определите, какой цифрой оканчивается число: а) 429«^"; б) Збб”^»". Щ Найдите остаток от деления А на В: ш Кого больше, спортсменов или школьников, и во сколько раз, если каждый десятый школьник - спортсмен, а каждый сотый спортсмен - школьник? jT^' Андрей и Толик весят вместе 40 кг, Толик и Миша - 50 кг, Миша и Ваня - 90 кг, Ваня и Дима - 100 кг, Дима и Андрей - 60 кг. Сколько весит Андрей? 2* 35 Глава 5, §2, п.2 2. Линейная функция и ее график Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. И если эти узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей. Годфри Харолд Харди (1877-1947), английский математик Разобравшись с прямой пропорциональностью, рассмотрим теперь более сложную зависимость между величинами. Для этого решим следующую задачу. Задача. Тане надо купить х тетрадей и альбом. Одна тетрадь стоит 25 р., а один альбом - 200 р. Сколько денег должна заплатить Таня за всю покупку? Решение: Чтобы узнать стоимость Таниной покупки, надо сложить стоимость тетрадей и альбома. Тетради стоят 25л: рублей, а альбом - 200 р. Значит, всего Таня должна заплатить 25л: + 200 рублей. Анализируя полученное выражение, мы замечаем, что зависимость между количеством купленных тетрадей и стоимостью всей покупки не является прямой пропорциональностью - она не может быть описана формулой у = kx. Но ее можно записать в виде у = kx + Ь, где k и Ь - произвольные числа. Зависимости такого вида называются линейными. Определение 1. Зависимость между величинами л: и у называется линейной, если данные величины связаны формулой у = kx + Ь, где k и Ь - произвольные числа. В рассмотренной нами выше задаче для каждого натурального значения л: мы можем найти соответствующее значение стоимости покупки: если X = 1, то 25л: -f 200 = 25 • 1 -Ь 200 = 225 рублей; если л: = 2, то 25х + 200 = 25 • 2 + 200 = 250 рублей и т. д. В общем случае равенство у = kx + Ь каждому рациональному числу л: сопоставляет единственное число у. Значит, линейная зависимость является функциональной (то есть функцией). А областью определения данной функции, которая получила название линейной, являются все известные нам числа. Определение 2. Функция вида у = kx + Ь, где k и Ь - произвольные числа, называется линейной функцией. Рассмотрим частные случаи функции у = kx + Ь, когда k и (или) Ь принимают значения, равные нулю: Зваченпя коэффициентов Вид функции Особенности функции Ь = 0 у = kx Прямая пропорциональность й = 0 у = ь Графиком является прямая у = Ь, параллельная оси Ох. ft = 0, ft = 0 у = 0 Графиком является ось Ох. Таким образом, если 6 = 0, то линейная функция превращается в прямую пропорциональность, а если = о, то графиком линейной функции является прямая у = Ь, 36 Глава 5, §2, п.2 параллельная оси абсцисс Ох. Если же к = О и Ь = О одновременно, то ее графиком является сама ось абсцисс Ох. Согласно определению, линейными являются, например, следующие функции: у = 0,5х + 3; у = 2х; у = -0,7х; у = -4х - 1; у = 2; у = -0,1. Чтобы построить график функции, например, у = 0,5х + 3, построим сначала знакомый нам график прямой пропорциональности у = 0,5х. Это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (2; 1) (рис. 7). у = 0,5x + 3 Уо) Для того чтобы построить график функции у = 0,5л; + 3, заметим, что он получается сдвигом графика у = 0,5х вдоль оси Оу на 3 единицы вверх (рис. 8). Действительно, найдем значение этих функций в произвольной точке Функция Значение аргумента Значение функции Соответствующая точка графика у = 0,5х Уо = ^ Уо) у = 0,5х + 3 ^0 0,5Хц -1- 3 = (/ц -ь 3 В (х„; 1/, -1- 3) Таким образом, ордината любой точки В графика у = 0,5х -I- 3 на 3 единицы больше, чем ордината точки А графика у = 0,5х с той же абсциссой х^. Значит, если мы сделаем параллельный перенос графика у = 0,5х на 3 единицы вверх вдоль оси Оу, то получим график у = 0,5х 4- 3. Аналогично рассуждая, можно показать, что График линейной функции у = кх + Ь, где к иЬ - произвольные числа, может быть получен из графика функции у = кх путем его параллельного переноса вдоль оси Оу на Ъ единиц вверх, если Ъ - положительно, или на | & | единиц вниз, если Ь - отрицательно. Итак, график линейной функции также является прямой. Значит, как и в случае прямой пропорциональности, для его построения нам достаточно найти лишь две точки, принадлежащие этому графику. Построим, например, график функции У = “3 ~ Мы можем построить этот график двумя способами. 37 Глава 5, §2, п.2___________________________________________________________ Способ 1 X Этот способ удобен, когда нами уже построен график у = -д. Так как коэффициент Ь нашей линейной функции равен -1 < О, то график функ-ции у = -д - 1 получается из графика функции J/ = “д параллельным переносом вдоль оси Оу на I - 1| = 1 единицу вниз (рис. 9). Этот способ удобен для построения произвольного графика линейной функции. X Найдем две точки, принадлежащие графику функции у = -д - 1. Обычно выбирают одну точку с абсциссой О, а вторую -произвольно, с учетом удобства вычислений, например: если д: = О, то у = g • О - 1 = -1, 3 - 1 = -2. если д: = 3, у = -д Значит, указанный график проходит через точки с координатами (0; -1) и (3; -2). Построим эти две точки и проведем через них прямую. Полученная прямая и будет являться графиком указанной зависимости (рис. 10). Таким образом, мы можем записать следующий алгоритм построения графика линейной функции. Алгоритм построения графика функции у = kx + Ь 1. Выбрать два различных значения х: Xj и х^. 2. Вычислить значение у^ = kx^ + Ь. 3. Вычислить значение у^ = kx^ + Ъ. 4. Отметить на координатной плоскости Оху точку А с координатами (Xj; у,). 5. Отметить на координатной плоскости Оху точку В с координатами (Xg; у^. 6. Через точки А и В провести прямую. Отметим, что данный алгоритм построения графика линейной функции может использоваться при любых к и Ь. А значит, с его помощью может быть построен и график прямой пропорциональной зависимости у = кх (случай, когда Ь = 0), и график прямой у = 6 (случай, когда к = 0). 38 Глава 5, §2, ti.2 1) Из приведенных ниже функций выберите те, которые являются прямой пропорциональностью: у = 4х - 2; I/ = У = 5x2; у ^ д . у = х; у = -х + 1; у = 2х. 2) Для каждой из выбранных функций назовите коэффициент пропорциональности и опишите особенности расположения ее графика на координатной плоскости. Постройте все данные графики на одной координатной плоскости и проверьте правильность своих рассуждений. 1) а) На овощной базе было 5 т картофеля. Ежедневно на базу привозили по 2 т картофеля. Запишите формулу зависимости количества картофеля на базе в тоннах от количества дней завоза картофеля. б) После того как Михаил прошел 4 км, он пошел со скоростью 3 км/ч. Запишите формулу зависимости длины пути в километрах, пройденного Михаилом, от времени его движения со скоростью 3 км/ч (в часах). в) До начала наполнения бассейна в нем было 3 м^ воды. Пос.пе включения насоса в него ежечасно стало поступать 0,5 м^ воды. Запишите формулу зависимости объема воды в бассейне в м® от времени работы насоса в часах. г) Температура воды в чайнике равна 20 °С. После того как чайник поставили на огонь, температура воды в нем стала ежеминутно повышаться на 10 °С. Запишите формулу зависимости температуры воды в чайнике в °С от времени его нагревания в минутах. 2) Что общего во всех построенных вами формулах? Запишите их все с помощью одной общей формулы. Является ли эта зависимость функциональной? 3) Рассмотрите частные случаи построенной зависимости, когда один или сразу оба коэффициента равны нулю. Что вы замечаете? Сравните свои наблюдения и выводы с выводами на стр. 36 учебника. Выберите из предложенных зависимостей между переменными у и х линейные функции, запишите их в виде у = kx + Ь я определите коэффициенты k и Ь. Найдите область определения и область значений этих функций. а) у = -X + Ъ; б) I/ = 4 - Зх; в) I/ = 12х; г) у = X : 2; д) I/ = 7 : X - 2; е) у = 0,5х + 1; ж) у = -8; з) у = х2 -h 5; , 5 - 8х и) У = —5—. 1) Постройте на одной координатной плоскости графики функций у = 0,5х и у = 0,5х -Ь 3. Что вы замечаете? Сопоставьте свои выводы с выводами на стр. 37 учебника. 2) Найдите два способа построения графика линейной функции и примените их X для построения графика функции у = -о ~ 1- О 3) Используя свой опыт построения графика функции у = - 1, составьте общий алгоритм построения графика линейной функции и сравните его с алгоритмом, приведенным на стр. 38 учебника. 39 Глава 5, §2, п.2 11451 Линейная зависимость задана аналитически (формулой). Заполните таблицу и постройте ее график. В точках с какими координатами этот график пересекает ось абсцисс, ось ординат? В каких координатных четвертях он расположен? а) б) у = х + 2 X 0 -4 у г/ = -лг + 4 в) г) у = -2х + 3 X 0 -2 У у = Зх - 5 Д) е) у = 0,4л: - 2 X 0 5 У у = -2дл: - 4 X 0 4 У X 0 2 У X 0 -3 У 11461 Пользуясь формулой, задающей линейную зависимость, заполните пустые клетки таблицы: а) у = Зх-9 б) у = -6х + 7 в) 1/ = 0,5л:-х -1 -6 X 2,5 у 0 -2 ТзЛ Для функции у = f(x) найдите ДО), /(2), f(-2). Найдите значения л:, при которых fix) = о, fix) = 1, fix) = -1. Составьте таблицу и запишите в ней результаты вычислений. а) fix) = 2л: + 7; в) fix) = 9 - 4л:; д) fix) - 1,5л: - 2; ж) fix) = 6л: - 13; б) fix) = -Зл: + 8; г) fix) = 0,5л: + 3; е) fix) = 11 - 3,5л:; з) fix) = 15 - 9х. Постройте график функции у = fix). При каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля? а) fix) = X - 2\ б) fix) = -2х + 3; в) fix) = -0,5х + 1,5; г) fix) = 0,8х - 4. Постройте график функции. Найдите: 1) значение у при х, равном а; 2) значение X при у, равном Ь, если: а) fix) = X - 3; а = -5; Ь = -2; в) fix) = -0,5х + 4; а = -2; Ь = 6; б) fix) = -2х - 1; а = -2; Ь = 5; г) fix) - 1,5х + 2; а = 4; 6 = -2,5. Постройте график функции у = fix), заданной на множестве а < х < 6. Отметьте цветным карандашом на оси Ох область определения, а на оси Оу - область значений данной функции. а) fix) = 4х + 3, если а = -2, 6 = 1; в) fix) = -Зх -I- 1, если а = -2, 6 = 3; б) fix) = 5 - 2х, если а = -1, Ь = 5; г) fix) - 0,5х + 2, если а - -4, 6 = 2. Постройте на одной координатной плоскости графики трех данных функций. Что вы замечаете? а) у = -х; у = -X -I- 1; у = -X - 2; б) у = 2х; у = 2х + 3; у = 2х - 4. Определите по графикам, на сколько единиц изменяется (уменьшается или увеличивается) значение функции, если значение аргумента увеличивается на 1, уменьшается на 2. 40 Глава 5, §2, п.2 1) Как расположены относительно прямой у = 5х графики функций: у = 5х - 1; у = Ьх + 2; у = 5х - 6; у = 5х + 4? 2) Как расположены относительно прямой у = -7х графики функций: у = 6 - 7х; у = -7х - 9; у = -7х + 11; у = -3 - 7x7 15^ 1) Как по графику функции у = kx найти значение коэффициента k7 2) Проанализируйте взаимное расположение графиков линейных функций на рис. 11 и задайте данные функции аналитически (формулами). 155 [Т^ 1571 Tssl Постройте график прямой пропорциональной зависимости у = kx. Используя получившийся график, постройте график линейной зависимости у ^ kx + Ь, если: а) ft = 1, 6 = -4; в) ft = -3, ft = 2; д) ft = 4, ft = -2; б) ft = 0,5, ft = 6; г) ft = -1, ft = -3; e) ft = -1,5, ft = 8. Определите no графикам, на сколько единиц изменяется значение функции, если значение аргумента увеличивается на 2, уменьшается на 1. Задайте формулой каждую из функций, графики которых представлены на рис. 12. Не строя графика функции у = f{x), определите, проходит ли он через точку А. а) fix) = -6л: - 11, А (-2; 1); в) f(x) = 2,8л: 10, А (5; 4); б) fix) = -7х + 30, А (-4; 2); г) fix) = -5 + 9л:, А (6; 49). При каких значения ft график функции у = Зх + Ь проходит через точку А7 а)А(1;4); б) А (-1;-5); в) А (2; 12); г) А (-3; 0). Не выполняя построение графика функции у = fix), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу. а) fix) = 2х + 12; в) fix) = 2,8х - 7; д) fix) = 1,1л: + 4,4; б) fix) = -Зх + 21; г) fix) = -6л: - 4,2; е) fix) = -15л: - 4,5. На одной координатной плоскости Оху постройте графики линейных функций У = fix) и у = gix) и найдите координаты их точки пересечения. а) fix) = 2ж - 1, ^(л:) = -х + 2; в) fix) = - х + 3, gix) = 1,5л: - 2; б) fix) = 6 - Зл:, ^'(л:) = 2х - 4; г) fix) = -0,5л: + 1, ^л:) = -5 - 2л:. 41 Глава 5^ §2, п.2 1б0| Постройте график функции г/ = 2л: - 4 и определите по графику, как изменяется значение функции у, когда: а) X возрастает от 2 до 5; в) х убывает от 3 до -2; ____ б) X убывает от 1 до -1; г) л: возрастает от -3 до 4. ТбЦ В одной координатной плоскости постройте графики линейных функций: а) у = 2; у = - 1; у = 5; у = -1,7; у = 0; б) у = 1; у = 4,2; у = -3,6; у = -2,5. Для каждой функции определите значения коэффициентов k и Ь. Найдите три точки, принадлежащие графику функции у = f(x), координаты которых являются целыми числами. а) f(x) = 0,5л: + 1,5; б) f{x) = 4,2л: - 3,6; в) f{x) = 2,7л: + 8,1. 163 в каких координатных четвертях расположен график функции у = kx + Ь, если: а) k > о, Ь > 0; в) k < о, Ь > 0; д) k > 0, Ь = 0; ж) /г = 0, 5 > 0; б) А: > о, 5 < 0; г) Аг < 0, 6 < 0; е) /г < 0, 5 = 0; з) А: = 0, 5 < 0. Определите знаки k и Ь, если график линейной функции у = kx + Ь расположен в следующих четвертях координатной плоскости: а) в I, II и III четвертях; в) в I, III и IV четвертях; б) в I, II и IV четвертях; г) во II, III и IV четвертях. Может ли график линейной функции располагаться на координатной плоскости только: а) в I и II четвертях; в) в I и IV четвертях; д) во II и IV четвертях; б) в I и III четвертях; г) во II и III четвертях; е) в III и IV четвертях? В таблице значений некоторой линейной функции два из пяти значений заданы неверно. Найдите неверные значения и исправьте их. а) X -2 -1 0 1 2 у -4 -2 -1 4 1 б) д: -2 -1 0 1 2 У -4 7 -2 -1 5 Постройте на одной координатной плоскости Оху графики: у = 4л:; у = 2 - 5х; у = 4х - 3; у = -2 - 5л:; у = 4х + 3; у = -5х. Какие из этих прямых пересекаются? Какие прямые параллельны друг другу? 16S Вычислите рациональным способом: а) Ig + 3^2* а) 3^ г)7|. . 7 + 2^ . 9; 5 - • 8; д) Зб| ; 5 + 42^ ; 7; а) 54^:9- 72^ : 8. м Используя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность логического вывода: а) Если некоторые решения уравнения Зл: -f 5 = 0 отрицательные числа, то некоторые отрицательные числа - решения уравнения Зл: -Ь 5 = 0. 42 ____________________________________________________Глава 5, §2, n.2 б) Если все решения неравенства х - 2 > О положительные числа и некоторые положительные числа - четные, то некоторые четные числа - решения неравенства л: - 2 > 0. в) Если ни одно решение уравнения (дг - 3)(л: + 5)(jt: - 7) = 0 не является четным числом, а некоторые четные числа делятся на 9, значит, некоторые деляш;иеся на 9 числа не являются решением уравнения {х - 3)(д: + 5)(х - 7) = 0. г) Если ни одно решение неравенства х -I- 7 < 0 не является положительным числом, то ни одно положительное число не является решением неравенства X 4- 7 < 0. Выберите признак и проведите классификацию множества А по данному признаку (разбейте А по этому признаку на непересекающиеся подмножества, объединением которых является все множество А): а)А = {-2; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 8}; б) А = {-45; -36; -15; 18; 24; 25}. т\ ш Проведите классификгщию множества А по остаткам от деления его элементов на Ь: а) А = {-14; -12; -9; -4; 5; 18; 21}, ft = 4; б) А = {-7; -6; 2; 4; 11; 21; 28}, ft = 3. Запишите в стандартном виде многочлен, противоположный данному; а) 2а 4- 3ft 4- 4с 4- (2ft — Зс 4- 4d) — (2с 4- 3d — 4л); б) 4,25р^д - 3,lbpq^~ (~\,3pq^+ 2,8p^q); в) Зт^ - 1 4- (бт"* - 6т^ + 2) - (2т* - Зт^ - 5); г) 0,751/2+ (0,75x1/2 - 0,8i/x2- 1,2у^) - (0,3ху^ - 0,2ух^ + 0,25x1/2). Найдите сумму многочленов Р и Q и запишите получившийся многочлен в стандартном виде: а) Р = 2,1x2 + 3 + (6 - 4x2), Q = (0,5x2 + q,4x2) - (0,4x2 _ о,5x2); б) Р = 0,2а2 + 0,25ft2 - (5,1а2 + 0,5ft2), Q = (0,ба2 + 0,7ft2) + (0,4а2 - 0,3ft2); в) Р = 5р2 4- 6pq + 4^2 - (7р2 4- gpg 4. 5q^), Q = 4р^ - Qpq + 9q^ + (-Зр^ + 7pq - 8^2); г) P = Зх^у + Зу^х - 3{/2 - (2х2{/ + у^х - 2i/2), Q = бх^у + 7у^х -9у^~ (Ъх^у + 7у‘^х - 6i/2). Решите уравнение: ч ,2х-7 Зх + 1 „ х + б а) X + —-------— = 5 - б) - 5 у_+_2 ^ Ъ_^2у _ 6-7У _ ^ 6 4 3 4 в) г) х-4,Зх-2 2х+1 10 - 7; 17 + ЗУ - 17 ^ у + 5 4 2 ■ а) Смешали 300 г воды и 60 г соли. Сколько воды надо добавить к этому раствору, чтобы получить раствор, концентрация соли в котором 10% ? б) Смешали 30 л 45% -го раствора кислоты с 10 л 60% -го раствора той же кислоты. Определите процентную концентрацию кислоты в получившемся растворе. в) Сумма двух рациональных чисел равна 2490. Найдите эти числа, если 6,5% одного из них равны 8,5% другого. г) Разность двух рациональных чисел равна 438. Найдите эти числа, если 2,25% одного из них равны 8% другого. 43 Глава 5, §2, п,2 1761 Решите уравнение: ___а) 3| л: - 2 I + 5| л: - 4 I = 10; б) б| х + 4 | + 7| д: - 3 | = 15. 1^Т| Определите, какой цифрой оканчивается число: а) 9188*®'®; g) 676«^e". О ш Линейная зависимость задана аналитически (формулой). Заполните таблицу и постройте ее график. В каких точках этот график пересекает ось абсцисс, ось ординат? В каких координатных четвертях он расположен? а) у = -X - 2 б) у = 2х - 5 в) у = -0,6х + 4 X 0 -3 у X 0 3 У X 0 -5 у Для функции у = f(x) найдите ДО), Д1), Д-1). Найдите значения х, при которых Дх) = о, Дх) = 2, Дх) = -2. Составьте таблицу и запишите в ней результаты вычислений. а) Дх) = 6х - 8; б) Дх) = -0,4х + 2; в) Дх) = -Зх - 7. Постройте график функции у = Дх). При каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля? а) Дх) = X + 3; б) Дх) = -2х - 4; ш 0 в) Д^) = 0,5х + 2. Постройте график функции. Найдите по графику: 1) значение у при х, равном а; 2) значение х при у, равном Ь, если: а) Дх) = -Зх - 6; а = -3; 6 = 9; б) Дх) = 1,5х + 5; о = -4; 6 = 11. Проверьте точность своих ответов с помощью вычислений. Постройте график функции у = Дх), заданной на множестве о < х < 6. Отметьте цветным карандашом на оси Ох область определения, а на оси Оу - область значений данной функции. а) Дх) = -X -Ь 1, если а = -4, 6 = 3; б) Дх) = 1,2х - 3, если о = -5, 6 = 0. Не строя график функции у = Дх), определите, проходит ли он через точку А. а) Дх) = 6х - 7, Л (3; -11); в) Дх) = -Зх + 12, А (-5; -3); б) Дх) = 4,2х + 3,А (1; 7,2); г) Дх) = -9х - 7, А (-6; -47). Постройте график прямой пропорционгшьной зависимости у = kx. Используя получившийся график, постройте график линейной зависимости у = kx + Ь, если: а) k = -2, 6=1; б) /г = 1, 6 = 4; ъ) k = -g, 6 = -3; г) 6 = 0, 6 = 2. При каких значениях 6 график функции у = -2х -Ь 6 проходит через данную точку? а) А (1; 2); б) В (-1; -4); в) С (2; 3); г) D (-2,5; О). Не выполняя построение графика функции у = Дх), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) Дл;) = Зх + 15; б) Дх) = 3,2х - 16; в) Дх) = 1,3х + 3,9. 44 Глава 5, §2, п.2 В таблице значений некоторой линейной функции два из пяти значений заданы неверно. Найдите неверные значения и исправьте их. а) X -2 -1 0 1 2 у -13 5 -3 -2 7 б) X -2 -1 0 1 2 У -1 -2 5 4 11 Ш| Используя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность логического вывода: а) Если некоторые решения уравнения 9х - 3 — О положительные числа, то некоторые положительные числа - решения уравнения 9х - 3 = 0. б) Если все решения неравенства х -Ь 3 < 0 отрицательные числа и некоторые отрицательные числа - нечетные, то некоторые нечетные числа - решения неравенства X 3 < 0. в) Если ни одно решение уравнения (х - 4)(х + 6)(х - 8) = 0 не является нечетным числом, а некоторые нечетные числа делятся на 5, значит, некоторые делящиеся на 5 числа не являются решением уравнения (х - 4)(х -f 6)(х - 8) = 0. г) Если ни одно решение неравенства х - 9 > 0 не является отрицательным числом, то ни одно отрицательное число не является решением неравенства х - 9 > 0. Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на Ь: а) А = {-9; -7; -5; -3; 4; 15; 23}, 6 = 5; б) А = {-7; -5; 0; 6; 14; 37; 42}, 6 = 3. Найдите сумму многочленов Р и Q и запишите ее как многочлен стандартного вида: а) Р = 4а2 - 7 + (8 - 2а^), Q = (7о + 4а^) - (4а - 7а^); б) Р = 362 + _ (3^,2 _ 2Ьс - 462), Q = _5^2 _ 2Ьс -I- (962 _ 7^^ _ 5^,2) Решите уравнение: а) Зх - 2 _х 3 Зх - 5 5х - 3 б) 5у + 1 ^ Зу - 1 ^ 9у + 1 _ 1 - у ту о 11 37 9’ '"'б 'б 8 3 а) Для приготовления глазури для пончиков в пончиковой компании Антона и Ксюши смешали 500 кг воды и 200 кг сахара. Сколько воды надо добавить к этому раствору, чтобы получить раствор, концентрация сахара в котором 5%? б) Сумма выручек двух филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши за март была равна 765 тыс. р. Найдите выручку каждого из этих филиалов, если известно, что 15% выручки одного филиала равно 10% от выручки другого. Решите уравнение: 7|х-1-4|-9|х-7| = 21. 31 Определите, какой цифрой оканчивается число: 217~^^ . Постройте график функции у = Ах В, где А = (0,1955 + 0,187) : 0,085 + 15,76267 : (100,6 -I- 42,697) - 1,51; В = (86,9 + 667,6) : (37,1 -Ь 13,2) : 3 -f (9,09 - 9,0252) • (25,007 - 12,507) - 0,81. Докажите, что среди любого количества людей в некотором зале хотя бы двое имеют одинаковое число знакомых среди присутствующих. 45 Глава 5, §2, п.З : 3. Кусочно-линейные функции Математика - это то, посредством чего люди управляют природой и собой. Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), русский математик, один из основоположников современной теории вероятностей В предыдущем пункте мы познакомились с линейной функцией у = кх + Ь, где к и Ь - некоторые числа, научились строить ее график. При этом процессы, которые описывает данная функция, характеризовались двумя постоянными величинами к и Ь, которые не меняли своих значений на всей области определения линейной функции (множестве всех известных нам чисел). Однако на практике цены на товары, скорость движения автомобиля и другие величины обычно со временем меняются, поэтому для описания таких процессов нам нужны будут уже другие функции. Тем не менее, если в течение некоторых промежутков времени данные величины к и Ь все же сохраняют свое постоянное значение, процесс на каждом из этих промежутков остается линейным, и поэтому он может быть описан целиком так называемой кусочно-линейной функцией. Для того чтобы пояснить сказанное, рассмотрим следующую задачу. Задача. Пешеход вышел из пункта Айв течение первых двух часов шел со скоростью 3 км/ч. Затем он остановился у кафе и обедал в течение часа, а потом продолжил путь и следующие 2,5 часа шел со скоростью 4 км/ч. Запишите формулу зависимости пути пешехода s (в километрах) от времени его движения t (в часах) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost. Решение: Формула зависимости пути s пешехода от времени движения t позволит нам определить, какой путь он прошел в каждый указанный в задаче момент времени. Для того чтобы вывести данную формулу, разобьем все время движения пешехода на три временных промежутка, на каждом из которых его скорость была постоянной и, значит, процесс движения был линейным: 1) движение в течение первых 2 часов: 0 < f < 2; 2) обед - отсутствие движения, или движение со скоростью 0 км/ч: 2 < f < 3; 3) движение в течение следующих двух с половиной часов: 3 < < < 5,5. Далее для каждого промежутка построим формулы зависимости пути s км от времени движения f ч и вычислим пройденный путь: № Время движения Скорость движения Формула зависимости пути 8 км от времени движения tч Путь, пройденный в конце данного промежутка времени 1 0 < t < 2 3 км/ч 3^ 3-2 = 6 (км) 2 2 5 н---н о 1 (5; -ьоо) Замкнутый луч х>5 О 1 [5; +00) Интервал 2<л:<5 О 1 (2; 5) Полуинтервал 2 < х < 5 О (2; 5] Отрезок 2<х<5 О [2; 5] Заметим, что новым для нас в этой таблице является лишь название числовых промежутков ; их обозначение: знаки -1-оо и -оо обозначают соответственно плюс бесконечность и минус бесконечность, круглая скобка говорит о том, что числовой промежуток является открытым (соответствующая точка ему не принадлежит), а квадратная - о том, что он замкнутый (соответствующая точка ему принадлежит). 47 Глава 5, §2, п.З Теперь, систематизировав информацию о числовых промежутках, дадим определение кусочно-линейной функции. Определение. Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков, объединение которых дает всю область определения, и на каждом из этих промежутков функция линейная, то такая функция называется кусочно-линейной. Пользуясь определением и гшгоритмом построения графика линейной функции, запишем алгоритм построения графика кусочно-линейной функции. Алгоритм построения графика кусочно-линейной функции у = fix) 1) Выделить непересекающиеся числовые промежутки, составляющие всю область определения функции, на каждом из которых функция является линейной. 2) Для каждого числового промежутка выбрать два значения х, принадлежащих ему. 3) Вычислить значения у, соответствующие выбранным значениям х. 4) Записать выбранные значения х и вычисленные значения у как упорядоченные пары - координаты точек, принадлежащих графику у = fix). 5) Построить на координатной плоскости Оху полученные точки; 6) Для каждого числового промежутка провести через построенные точки, соответствующую часть прямой - график у = fix) на этом промежутке. Построим теперь с помощью данного алгоритма на координатной плоскости Ost график нашей зависимости S от t: f3f, если О < t < 2; S (<) = j 6, если 2 < f < 3; [4f - 6, если 3 < f < 5,5. 1. Областью определения Т функции s (О является множество всех t, для которых О < ^ < 5,5. Значит, Т = [0; 5,5]. Вся область определения Т разбита на 3 числовых промежутка: = [0; 2], = (2; 3], Т, = (3; 5,5]. При этом: Tj П = 0; Tj П Гз = 0; П Тд = 0; Г, U U Гд = Т. 2. Выбираем для каждого промежутка Т^, Тд и принадлежащие ему два значения t‘. 1) = 0; tg = 2; 2) = 2,5; = 3; 3) = 4; = 5,5. 3. Вычислим значения функции s (i) в выбранных точках; 1) s, = 3 • о = 0; 2) Sg = 6; 3) = 4 • 4 - 6 = 10; Sg = 3 • 2 = 6; «4 = 6; = 4 • 5,5 - 6 = 16. 4. Запишем координаты точек, принадлежащих графику функции s (f): 1) Aj(0; 0); Ag(2; 6); 2) В,(2,5; 6); Bg(3; 6); 3) Cj(4; 10); Cg(5,5; 16). 48 Глава 5, §2, п.З 5. Построим на координатной плоскости Ost полученные точки. 6. Для каждого числового промежутка проводим через построенные две точки соответствующую часть прямой - график функции s (f) на этом промежутке (рис. 13). У = • Таким образом, наша задача полностью решена. Рассмотрим еще один пример кусочно-линейной функции - зависимость у = \ х\. Вспомним определение модуля числа, докажем, что данная зависимость является функцией, и построим график этой функции. По определению, модуль числа х равен х при л: > О и равен -х при л: < 0. Значит, согласно определению, мы можем записать зависимость у = \ х \ ъ виде: X, если X > 0; -X, если л: < о Данная зависимость каждому числу х ставит в соответствие единственное число у. Значит, эта зависимость является функцией, областью определения X которой является множество всех известных нам чисел. А так как модуль числа всегда больше или равен нулю, то областью значений У этой функции являются все известные нам неотрицательные числа: X = (-00; +00), у = [0; -ьоо). Для того чтобы построить график функции у = \ х \, воспользуемся нашим алгоритмом. 1. Разобьем область определения X на два промежутка: х < 0 и х > 0: X, = (-оо; 0), = [0; +00). При этом: X, П Xg = 0; Xj и Хз = X. 2. Выберем для каждого числового промежутка Xj и Х^ по два принадлежащих ему значения х: 1) х^ = -1; х^ = -2; 2) х^ = 0; = 1. 49 Глава 5, §2, п.З 3. Вычислим значения у, соответствующие выбранным значениям х: 1) = -(-1) = 1; у, = -(-2) = 2; 2) у^ = 0;у, = 1. 4. Запишем координаты точек, принадлежащих графику функции у — \ х \\ 1) А,(-1; 1); А,(-2; 2); 2) В,(0; 0); В,(1; 1). 5. Построим на координатной плоскости Оху полученные точки. 6. Для каждого числового промежутка проводим через две точки часть прямой график у = I л: I на этом промежутке (рис. 14). О |197| На рисунке изображен график движения автомобилиста по дороге из пункта А в пункт В. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы: а) Чему равно расстояние от А до Б? За сколько времени автомобилист проехал этот путь? б) Сколько остановок он сделал в пути? На каком расстоянии от пункта А? Чему равна их продолжительность? в) Чему была равна скорость автомобилиста на каждом участке пути? На каком участке она была наибольшей, наименьшей? г) Какой путь проехал автомобилист за первые 3 часа своего пути? д) С какой средней скоростью передвигался автомобилист из А в Б? е) Является ли зависимость пути автомобилиста от времени его движения функциональной? Является ли она линейной? 50 __________________________________________________________Глава 5, §2, п.З ш 1) Пешеход вышел из пункта А и в течение первых двух часов шел со скоростью 3 км/ч. Затем он остановился у кафе и обедал в течение часа, а потом продолжил путь и следующие 2,5 часа шел со скоростью 4 км/ч. Запишите формулу зависимости пути S км пешехода от времени его движения t ч. Является ли данная зависимость функциональной? Является ли она линейной? 2) Сравните полученную вами формулу зависимости с формулой на стр. 47 учебника. Прочитайте определение кусочно-линейной функции и объясните, почему зависимости подобного вида получили такое название. 3) Используя определение кусочно-линейной функции, данное на стр. 48, запишите алгоритм построения графика кусочно-линейной функции. 4) Сравните полученный вами алгоритм с алгоритмом, приведенным на стр. 48 учебника, и примените его для построения на координатной плоскости Ost графика движения пешехода в рассматриваемой задаче. 1991 Используя неравенства, задайте промежутки, изображенные на рисунке. Как называется каждый из этих промежутков? Запишите их обозначения. а) г) О 4 X О 1 3,5 X б) д) 1 -2 О 1 X О 1 5 С X в) е) 7 3 О 1 X О 1 2 10 X На числовой прямой Ох изобразите указанные промежутки и запишите их обозначения: а) X < 2; в) X > 4,5; д) -5,4 < х < -2,3; ж) -7,6 < х < -0,9; б) X > -3; г) X < 6,7; е) 3,1 < х < 7,4; з) -1,2 < х < 6,3. Какие из чисел а, Ь, с и d расположены в указанном промежутке? а) -6,3 < X < 2,1, a = -7,b = -6,c = 0,d = 2,4; б) -7 < X < о, а = -7, Ь = -4, с = 0, d = 1; в) 5 < X < 11,5, а = 5, 6 = 9, с = 11, d = 12; г) 1 < X < 7, а = 1, 6 = 3, с = 5, d = 7. Постройте график кусочно-линейной функции: а) в) У = ■ ' X + 2, если X > -3; . -X - 4, если X < -3 5, если X > 3; 4 пХ Ч- 1, если X < 3 б) г) У = У 3, если X ^ -1; . 1 - 2х, если X < -1 -X -t- 6, если X > 4; 2, если 1 < X < 4; . 2х, если X < 1 51 Глава 5, §2, п.З д) Г 3, если X > 3; у = ' X, если -1 < ж < 3; . -1, если ж < -1 е) У = ■ -2х, если X > -1; 2ж + 4, если -2 < ж < -1; -ж - 2, если ж < -2. 203 Принадлежат ли графику кусочно-линейной функции точки А и В, если: а) б) в) г) Д) е) 2ж - 1, если ж > 0,5; если ж < 0,5 Г 2ж - 1, ^ ~ I 1 - 2ж, Г ж Ч- 1, ^ = 1 1 - ж, Г ж - 1, ( ^ = I -ж - 1, г Зж - 6, ^ ^ I 6 - Зж, Г ж, есл ^ = 12-ж, С 2ж - 1, ( ^ = 1-2ж-1. ж Ч- 1, если ж > 0; если ж < о ж - 1, если ж > 0; если ж < о Зж - 6, если X > 2; если ж < 2 ж, если X > 1; если ж < 1 2ж - 1, если ж ^ 0; если ж < О А (1; 1), В (-4; -9); А (2; 3), В (-5; -4); А (5; 4), В (-7; 6); А (4; -6), В (-2; 12); А (3; 3), В (-2; -2); А (0; 1), В (-4; -9). Постройте графики этих функций, 2041 а) Туристы в течение первых 4 часов похода шли со скоростью 5 км/ч. После этого они сделали привал и отдыхали в течение 1 часа. Следующие 3 часа после привала они шли со скоростью 4 км/ч. Запишите формулу зависимости пути s туристов в км от времени их движения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost. б) Бассейн в течение первых 2 часов наполнялся со скоростью 2 м® в час. В течение следующих 3 часов скорость наполнения увеличили до 4 м® в час, а последние 2 часа он наполнялся со скоростью 5 м* в час. Запишите формулу зависимости объема воды в бассейне F в м^ от времени его наполнения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости OVt. в) В течение первых 3 часов своего рабочего дня рабочий выпускал детали со скоростью 6 деталей в час. Затем, поняв, как ускорить выпуск, он в течение двух часов до обеденного перерыва выпускал 10 деталей в час. Обеденный перерыв длился час, а после обеда рабочий в течение 3 часов выпускал детали со скоростью 8 деталей в час. Запишите формулу зависимости количества выпущенных рабочим деталей п от времени его работы t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ont. г) Температура воздуха в сауне до нагревания была равна 20 °С. После того как воздух в сауне начали нагревать, температура его повышалась в течение первых 10 минут на 2 °С в минуту, а в течение следующих 15 минут - на 3 °С в минуту. Запишите формулу зависимости температуры воздуха в сауне Т в °С от времени его нагревания ^ в минутах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости OTt. 52 Глава 5, §2, п.З Для функции у = f(x) найдите /(0), /(4), /(-5). Найдите значения х, при которых fix) = О, fix) = 5, fix) = -4. Постройте график функции: а) У = ' Г X - 1, если X > 1; [1-х, если X < 1 г) У = ' Г 1 - X, если X > -1; [ X -1- 3, если X < -1 б) У = ■ Г X -Н 3, если X > -3; [ -3 - X, если X < -3 д) У = ^ Г X + 4, если X > -2; [ -4 - Зх, если X < -2 в) У = ■ Г 2х — 2, если х > 1; [ 2 - 2х, если X < 1 е) У = - Г 2х + 4, если х > -1,5; [ -2х - 2, если X < -1,5 Постройте график кусочно-линейной функции. Определите по графику, при каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля. а) Г 2х, если х > 1; у = \ 2, если -1 < л: < 1; L -2х, если л: < -1 б) f 2х + 4, если X > 0; у = ■ 2, если -1 < л: < 0; . X -I- 3, если X < -1 в) Г -X, если X > 3; у = \ 12 - 5х, если 2 < х < 3; L -X -f 4, если X < 2 г) f 2х - 1, если X > 3; {/ = -I X -I- 2, если -2 < X < 3; [ 4 Ч- 0,5х, если х < -2 д) Г Зх - 3, если X > 2; у = ■ X -f 1, если 0,5 < X < 2; . 3 - Зх , если X < 0,5 е) Г 4, если х > 0,5; у = \ 4х -i- 2, если -1,5 < х < 0,5; [ -5, если X < -1,5 Постройте график функции у = fix). Найдите: 1) значение у при х, равном а; 2) значение х при у, равном Ь, если: а) fix) = I X - 4 I, а = 3; 5 = 5; г) fix) = 2| х | - 5, о = -8; Ь = -1; б) fix) = |x-t-l|-l, а = -2; 6 = 6; д) fix) = |х-9|-+-1, а = 1;6 = 0; в) fix) = I 3 - X |, а = -7; 6 = 1; е) fix) = |1-х| + х, а = -6; Ь = -4. Определите, не строя график функции у = fix), проходит ли он через точку А. а) fix) = I 4х - 5 |, >1(1; 1); г) fix) = | 6х -Ь 9 | - х, >1(“4; 19); б) Ях) = I 4 - 7х I + 1, А(2; 11); д) fix) = 2х - | Зх + 5 |, А(-3; -2); в) Ялг) - I 9х - 8 I I 3, А(0; 5); е) Я^;) = х -Ь 2 - | 2х -I- 7 |, А(-1; -2). При каких значения Ь график функции у = \ Ъх + Ь \ проходит через точку А? а)А(1;6); б) А(-1;-3); в) А(2; 7); г) А(-3; 4). Определите, какие из точек А, В, С и D принадлежат графику функции У = fix): а) fix) = I Зх - 5 I, А (0 б) Ях) = - I X + 7 I, А (0 в) fix) = 21 X - 0,5 I, А (0 г) fix) = - I 5х - 2 I, А (0 -5), В (1; 2), С (-1; 8), D (-2; -11); -7), В (2; 9), С (-1; -6), D (-2; -5); -1), В (1; 1), С (-1; 3), D (-0,5; 0); 2), В (-1; -7), С (1; 3), D (2; -8). 53 Глава 5, §2, п.З 211| Не выполняя построение графика функции у = f{x), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) fix) = I д: + 3 I; в) f{x) = | д: + 1 | + 5; д) f(x) = | д: + 6 | + 2; б) fix) = \ X - 2 \ + 1; г) Яд;) = -2| д: - 4 | - 6; е) = -| д: - 7 1 - 4. Постройте график кусочно-линейной функции: 212 а) б) в) У = У = 2, если X > 2; г) д:, если О < д: < 2; -X, если -2 < д: < 0; 3, если д: < -2 2д: - 5, если х > 2; д) -1, если 1,5 < д: < 2; 5 - 4х, если о < X < 1,5; 5 -I- 2х, если X < О X + 5, если X > 2; е) 2х + 2, если О < X < 2; 2, если -2 < X < 0; 6 + 2х, если -4 < X < -2; -X - 6, если X < -4 У = У = У = \ 213 О Постройте графики функции у = fix): а) Ял:) = I л: -t- 1 I - I X - 2 I; б) Ял:) = I X - 3 I + I 1 - X I; в) fix) = |2-х|-13-х|; г) fix) = х-Ь|х-Ь2|-1х-1|; -1, если X > 3; о - 2х, если 0,5 < х < 3; 2х + 3, если -1 < X < 0,5; 4, если X < -1 X -I- 1, если X > 5; 3, если -2 < X < 5; 2х + 10, если -3 < X < -2; -2х - 2, если X < -3 X - 3, если X > 5; -X + 7, если 4 < X < 5; X - 1, если 3 < X < 4; -X + 5, если 2 < X < 3; X -Ь 1, если 1 < X < 2; . X + 3, если X < 1 Д) fix) = -|1-х|-|х-2|; е) fix) = |х-Ь1|-|5-х|; ж) fix) = |4-х|-(-|3-х|; з) fix) = |5-Ьх|-|х-3|. [^1^ Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Если высказывание ложно, постройте его отрицание. а) V а, Ь & Q: ia + Ь)^ = (а -Ь 6)(о^ - аЬ + Ь^); б) 3 а, Ь е Q:ia- Ь)^ = - Ь»; в) V а, 6 е Q: (а - Ь)^ = (а - &)(а^ + аЬ + Ь^); г) 3 а, Ь е Q: + Ь'^ = ia + Ь)^; д) 3 а, 5 € Q: = (а - Ь)^-, е) \/ а, Ь е Q: а* - Ь'* = ia - b)ia + ЬУ, ж) 3 а, Ь е Q: а* - = ia - b)ia -Ь Ь). 21^ Вычислите: а) (4,32 кг : 1,35 + 1,3 ц : 26 - 0,04 т • 0,0225) : (10,01 кг : 13 - 40 г); б) (0,08 т • 0,18 -Ь 0,025 кг - 3,05 кг : 2) : (1,2 кг -2,7 + 1 кг 60 г); в) 40 м • 0,6 - 40см • (15,8 - 12,3) + 0,0005 км • (13,4 + 15,4); г) 10 м • (5,463 - 4,908) + 0,1 см • (19,4 - 17,4) - 5мм • (14,7 - 11,6). 54 Глава 5. §2, п.З щ Запишите разность многочленов Р и Q как многочлен стандартного вида: a) Р = + 2ху^ + Зх, Q = 2х^ + 4ху'^ + 5х; б) Р = 9р^ - Ipq - + (-4р^ + 5pq + 4q^), Q = 2p^ - 2pq - 7q^; b) P = 6m^ + Smn + 2n^ - (3m^ + 4mn + 3ra^), Q = 3m^ - 4mn - n^; r) P = 5a^b - 3a2&2 - ab^ - (8a^b - 2a^b^ - 2ab% Q = 2a^b + 4a^b^ - 2ab^ - (3a^b + 4a^b^ - 5ab^). Найдите значение выражения: а) б) a“ a“ • o'® • (a^y • (ЗаУ^ , г n n ----------^ . (Зд)11 + 5a” при a = 2; (3a)^“ • (a®^ : • a 756 ■ ^^,36 ; fc21) ■ gl5 ^39 • (be) ,24 £.12 . ^19 . ф14 . ^,9) . (^5)3 . (7£.)55 . £.10 - 9(6c)® при b — -0,4; c — He вычисляя остатков, докажите, что числа а и fe дают одинаковые остатки при делении на с: а) о = 59 615, 6 = 59 783, с = 14; в) а = 151 213, Ь = 152 293, с = 36; б) а = 98 516, 5 = 99 096, с = 29; г) а = 214 329, Ь = 216 649, с = 58. Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом а по модулю пг: а) а = 2456, т = 7; д) о = “36 148, т = 56; б) а = 76 513, m = 12; е) а = 65 475, т = 79; в) а = 97 342, m = 17; ж) а = -112 764, т = 111; г) а = -34 952, m = 23; з) а = 314 517, т = 213. Решите уравнение: а) х" - 36 = 0; в) (5г - 2У - 16 = 0; д) (Ь + 3f - (36 - 4f = 0; б) 121 - J/2 = 0; г) 81 - (6а + 5)^ = 0; е) (2с - 3)=' - (4с + 5У = 0. а) В результате переработки молока получают сливки, масса которых составляет 4 ^ от первоначального веса молока. А в результате переработки сливок получа-ло 2 ют сливочное масло, масса которого равна g от первоначальной массы сливок. Сколько надо взять молока, чтобы получить 100 кг сливочного масла? 5 б) Когда в магазине в течение месяца продали первоначального запаса картофеля, то его осталось на 500 кг больше половины первоначального запаса. Сколько килограммов картофеля продали в этом месяце? 9 в) В городе N мужчины составляют jg от числа проживающих там женщин. Какую часть составляют мужчины от всего населения города N7 Решите уравнение: а) х^ - Зх- 18 = 0; в) -z^ -I- lOz - 24 = 0; д) 6^ -Ь 46 - 32 = 0; б) J/2 - 2у - 35 = 0; г) а2 -I- 12а -Ь 27 = 0; е) - 4с - 77 = 0. 55 Глава 5, §2, п.З ш Найдите три значения х, таких, что: а) д: S 3 (mod 9); в) л: = 7 (mod 12); д) д: s 16 (mod 19); б) д: = 5 (mod 11); г) х = 14 (mod 31); е) х = 21 (mod 45). Запишите в семеричной системе счисления числа: а) 5; б) 12; в) 29; г) 42. 225| На числовой прямой Ох изобразите указанные промежутки и запишите их обозначения: а) X < 4; в) X ^ -6,3; д) -2,7 < х < 0,4; ж) -9,2 < х < -2,5; б) X > -7; г) X < 2,4; е) 1,5 < х < 5,1; з) -2,7 < х < 4,6. Какие из чисел а, Ь, с и d расположены в указанном промежутке? а) -9,4 < X < 0,2; а = -9,5; Ъ = -9,3; с = 0; d = 0,3; б) -3,5 < X < 2,1; а = -3,6; Ь = -3,3; с = 2-, d = 2,1; в) 6,7 < X < 9,8; а = 6,6; Ь = 6,9; с = 9,3; d = 9,8; г) 5,3 < X < 11,6; а = 5,2; Ь = 5,3; с = 11,4; d = 11,6. Постройте график кусочно-линейной функции: а) У = “ ■ 2х - 6, если X > 3; б) 1 ■ 3 - 2х, если X > -1; . 6 - 2х, если X < 3 5, если X < -1 в) ' 2х -f 1, если X ^ 3; г) '2-х, если X > -1,5; У = ^ 7, если -4 < X < 3; У = ■ Зх -1- 8, если -5 < X < . -2х - 1, если X < -4 . X - 2, если X < -5 Принадлежат ли графику кусочно-линейной функции точки А и В, если: 5х - 2 , если X > -1; если X < -1 а) б) в) г) Г 5х ^ = I -7, 3, если X > 0; 7х + 3, если X < о _ Г 5х - 6, если X > 1,2; ^ ~ t -3,6 + Зх, если X < 1,2 4х + 8, если X > -2; _ Г 4х + -1-8- У I -Я - 4х, если X < -2 Постройте графики этих функций. А (1; 3), В (-2; -12); А (1; 10), В (-3; -18); А (2; 4), В (1; -1); А (0; -8), В (-3; 4)? |229| а) Велосипедист в течение первых двух часов ехал со скоростью 10 км/ч. Доехав за это время до прекрасного озера, он решил остановиться и полюбоваться видами. Через 30 минут он продолжил свое путешествие и в течение следующих трех с половиной часов ехал со скоростью 15 км/ч. Запишите формулу зависимости пути велосипедиста s в км от времени его движения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost. б) Бассейн в течение первых 4 часов наполняли со скоростью 30 м® в час, в течение следующих 2 часов скорость наполнения увеличили до 40 м^ в час, а последние 2 часа он наполнялся со скоростью 50 м^ в час. Запишите формулу зависимости объема воды в бассейне F в м^ от времени его наполнения t в часах и постройте график этой зависимости на координатной плоскости OVt. 56 Глава 5, §2, п.З Ш Для функции у = f{x) найдите /(0), f(2), f(-7). Найдите значения х, при которых f(x) = О, f{x) = 3, f(x) = -2. Постройте график функции: а) X - 6, если X > 6; _ Г X + 7, если X > -7; б) Г х - б, ^ [ -7 - X , если X < -7 ^ ~ \ 6 - х, если х < 6 Постройте график кусочно-линейной функции. Определите по графику, при каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля. а) Г 5, если х > 3; в) у = -I X -I- 2, если -7 < X < 3; [ -6, если X < -7 б) Г 4х -I- 8, если х > -2,5; г) у = - X - 4,5, если -4 < х < -2,5; [ 2х б, если X < -4 У = Зх - 14, если X > б; X - 3, если 2 < X < б; Зх - 7, если X < 2 -4х -I- 7, если X > 2; 2х - 5, если -3 < X < 2; -Зх - 20, если X < -3 233| Постройте график функции у = /(х). Найдите: 1) значение у при х, равном а; 2) значение х при у, равном Ь, если: а) f(x) = I X - 2 |, а = 1; 6 = б; в) f{x) = 3| х | - 4, а = -2; Ь = -1; б) /(х) = I X -I- 3 I - 1, а = -3; 6 = 3; г) /(х) = | х - 5 | 1, о = 4; 6 = -3. Определите, не строя график функции у = f(x), проходит ли он через точку А: а) fix) = I 5х - 1 I, А(-1; 4); в) Дх) = | 7х + 2 | - Зх, А(-2; 18); б) Дх) = I б - 2х I 5, А(1; 4); г) Дх) = 2х - | 5х - 4 |, А(-3; -5). Не выполняя построение графика функции у = Дх), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) fix) = I X -f- 5 I; в) Дх) = | 2х -I- 3 | -Ь 4; б) Дх) = I X - 3 I; г) Дх) = -3| X - 7 I - 3; Постройте график кусочно-линейной функции: д) Дх) = I 5х + 4 1 -(- 3; е) Дх) = -| 4х - 9 I - б. а) Г 4х - 5, если х > 2; X -I- 1, если -2 < X < 2; у = - -2, если -3 < X < -2; -4х - 13, если -4 < X < -3; . 3, если X < -4 б) X - 8, если X > 5; -X + 2, если 2 < X < 5; X - 2, если 1 < X < 2; -X, если -3 < X < 1; -Зх - б, если -4 < X < -3; -2х - 2, если X < -4 б) Дх) = -I 2 - X I -ь I X - 3 |. 238) Постройте графики функции у = Дх): а) Дх) = |х-Ь5|-|х-4|; Вычислите: а) 42,2 кг - ((б + 97,28 : 32) • 2500 г - 0,016 ц) • 1,2 - 15 т : 1000; б) 1 км • (0,1509 - 0,1379) -Ю,1 м • (9,1 - 7,5) - 60 см • (27,7 - 24,2). Запишите разность многочленов Р и Q как многочлен стандартного вида: а) Р = Зр^ -t- 5ру® - 4у, Q = 5р‘* + 7pq^ - 2q; б) Р = -7х® -I- 4ху -1-5у® - (2у® + 5ху - 9х^), Q = 2х® - 2ху -Ь 2у®. 57 Глава 5, §2, п.З 2391 Найдите значение выражения: ш ш 244 245 246 а) б) ^25 ,31 232 . . д,34) . д,о„ , д, • (г/59 . yZ-,^ . ^27 . ^37 • ’ 36 . ^46 + Зл:“ при X = -3; .35 SMI1 61 (у97 . ^^63) . (24)10 . (52)49 . у ,23 - ll(i/z)° при у = -5,6; 2 = 4. Не вычисляя остатков, докажите, что числа а и 6 дают одинаковые остатки при делении на с: а) а = 75 928, 6 = 76 468, с = 27; в) а = 125 468, Ь = 127 108, с = 41; б) а = 93 459, 6 = 94 479, с = 34; г) а = 236 547, Ь = 239 997, с = 69. Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом а по модулю т\ а) а = 5917, m = 9; в) а = -43 619, т = 43; б) а = 34 215, m = 17; г) а = -56 793, т = 61. Решите уравнение: а) д:" - 64 = 0; в) (Зг - Af - 100 = 0; д) (6 + If - (56 - 3)^ = 0; б) 144 - £/^ = 0; г) 49 - (4а + 6)=^ = 0; е) (6с - l)^ - (2с + 8)2 = 0. а) В краснодарском филиале пончиковой компании Антона и Ксюши женщины составляют ^ от числа работающих там мужчин. Какую часть составляют женщины от всех работников краснодарского филиала пончиковой компании? 7 б) Когда в магазине в течение недели продали jg первоначального запаса пончиков, то пончиков осталось на 50 кг больше половины первоначального запаса. Сколько пончиков продали на этой неделе? Найдите три значения х, таких, что: а) JC = 4 (mod 7); б) х s 12 (mod 15); в) х s 21 (mod 32). Запишите в пятеричной системе счисления числа: а) 4; б) 19; в) 27; г) 38. в) - 19а -ь 60 = 0; г) -62 - 36 4- 70 = 0. ш Решите уравнение: а) х2 - Зх - 54 = 0; б) {/2 4- 15у -ь 56 = 0; Докажите, что | А | = | В |: (4,561 -Ь 5,439) • 0,1 (4,45 - 2,2) : 0,3 ^ (7,01 - 5,01) : 0,5 (0,823 + 0,177) • 30’ Ф Г 6 : (0,4 - 0,2 ^ • [2,5 • (0,8 + 1, -ь (34,06 - 33,81) • 4 ]-8. 249 2) 3,42 : (28,57 - 25,15) Три бегуна участвовали в соревнованиях. В момент, когда первый и второй бегун были в одном месте, третий отставал от них на 6 км. А когда третий догнал первого, второй отставал от них на 3 км. На сколько километров первый бегун обогнал второго в тот момент, когда второго бегуна догнал третий? Число 100 разделили на некоторое натуральное число и получили в остатке 4. Число 90 разделили на то же самое число и получили в остатке 18. На какое число делили эти числа? 58 Задачи для самоконтроля к Главе 5 Задачи для самоконтроля к Главе 5 Зависимость у от х задана таблицей. Найдите ее область определения и область значений. Определите, является ли эта зависимость функцией. а) X -4 -1 0 2 5 у -1 4 -1 9 6 б) X 1 2 3 2 4 У 1 2 3 4 5 252| Задайте зависимость пути s (в километрах), который проехал автобус с постоянной скоростью 60 км/ч, от времени движения t (в часах). Укажите ее область определения и область значений. Определите, является ли данная зависимость функцией. Найдите значение величины зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной: а) f = 5 ч; б) t = 2 ч 30 мин; в) f = Зч 20 мин; г) i = 4 ч 45 мин. Функция задана словесным описанием, найдите ее значения в точках х^, х^, и х^. а) Всем целым чис.там, кратным 6, поставлено в соответствие число 2, а всем целым числам, которые не делятся на 6, поставлено в соответствие число -2. jCj = 25; х^ = -48; х^ = -216. б) Всем положительным рациональным числам поставлено в соответствие число 10, а всем неположительным числам - число 5. Xj = -7,3; Xg = 19,6; х^ = -21,7. Найдите область определения и область значений этих зависимостей. Являются ли данные зависимости функциями? Функция задана с помощью таблицы. Задайте ее графически. а) X -5 -3 0 2 4 у 6 4 2 0 -2 б) X -9 -4 0 3 5 У -5 -3 2 4 6 Функция задана формулой. Найдите ее область определения. а) У 2х — 7’ д) ~ (у _ Зх -I- 6 а) у = х^; 4 ^ X -Ь 3 ^ 6(х - 4) ж) у = 0^7—ЙГ б) у = -5х + 4; г) у = (X - 4)(2х -I- 6)’ 5 2х(х -I- 8)* з) у = 12 : х^. 2^ 5 ’ 8х»’ Функция задана формулой. Найдите ее значение в точках х,, х^ и х^. а) у = -Зх -I- 4; Xj = 0; х^ = 2; Хд = -2; в) у = 4х®; х, = 0; Хд = 1; Хд = -2; б) У = —_ 0 ; = 0; Хд = -3; Хд = 5; ^ 8х - 2 г) у = 4 ; д:, = 0; Хд = 4; Хд -6. 25^ На координатной прямой Ох изобразите следующие промежутки: а) X < 6; 6) X > -3; в) -2 < х < 5; г) -7 < х < -4; д) -9 < х < 2. Как они называются? Запишите их обозначение. Какие из чисел а, Ь, с к d расположены в промежутке: а) -9,7 < X < 5,6, а = -9,8, Ь = -9,6, с = 5,5, d = 5,6; б) -4,8 < X < 2,7, а = -4,8, Ъ = -4,9, с = 2,8, d = 2,7? Задачи для самоконтроля к Главе 5 258| Постройте график прямой пропорциональной зависимости у = kx, если: а) /г = 2; б) k = -3; в) k = -0,5. Точка А (р, д) принадлежит графику функции у = kx. Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции, если: ____ а) р = 4, 9 = -1; б) р = -3, q = 7,5; в) р = -2, q = -8. 2601 Принадлежат ли графику функции у ^ kx точки А и В, если: а) А = 4, А(0; 4), Б(-2; -8); б) k = -5, А(-2; 10), В(3; 15)? Не строя графика зависимости у = kx, определите, в каких координатных четвертях он будет расположен, если: а) k = 6,7; 6) k = -9,4; в) k = -5,9; г) А: = 11,8. 262| Постройте график функции у = f{x). а) fix) = -2х - 3; б) f(x) = 0,5х + 4; в) fix) = 5 - Зх. Не строя графика функции у = fix), определите, проходит ли он через точку А: а) fix) = 9х - 11, А(1; 7); в) fix) = -12х -Ь 14, А(-4; -34); б) fix) = 4,3х + 9, А(-10; 34); г) fix) = -7х - 8, А(-2; 6). Постройте график прямой пропорциональной зависимости у = kx. Используя получившийся график, постройте график линейной зависимости у kx + Ь, если: а) /г = -1, 6 = 3; б) k = 4, Ь = -2; в) k = 2,5, Ь =-4; г) k = -1,5, 6 = 6. ш При каких значения Ь график функции у = -4х + Ь проходит через точку А? а)А(2;5); б)А(-3;-8); в)А(1; 7); г)А(-6;3). 26^ Не выполняя построение графика функции у = fix), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) fix) = 6х -ь 7; б) fix) = -Зх + 5; в) fix) = 8х - 9. Постройте график кусочно-линейной функции: а) 1 ■ .X -ь 5, если X > -2; б) ' -2х •+• 5, если X > 3; У = ■ . -X -f 1, если X < -2 У = ■ -1, если -1 < X < 3; . 2х -f- 1, если X < -1 Прииадлслсат ли графику кусочно-линейной функции точки А и Б, если: а) Г 4х - 1, если X > 2; 1/Н 9-х, если X < 2 А(1; 3), В(-2; -9); б) ■ 2х -1- 1, если X > -2; у = " -5-х, если X < -2 А (2; - 5), Б(- 3; -2)? Определите, не строя график функции у = fix). проходит ли он через точку а) fix) = = 1 2х - 4 1, А(1; -2); б) fix) = 1 Зх -Ь 5 1 + 7, А (-4; 14). 270| Не выполняя построение графика функции у = fix), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) /(X) = I X + 7 !; б) fix) = | х - 11 |; в) /(х) = | х - 3 | -Ь 2; г) /(х) = | 9 - х | + 5. 60 Задачи для самоконтроля к Главе 5 1ш1 27^ Постройте график функции у = f(x). а) f(x) = I дг - б I; б) fix) = | х + 5 |; в) f(x) = 3| х | - 4; г) f(x) = | х - 6 | + 3. Решите уравнение: а) 10,2 - (4,3х - 5,3) + 5,6 = 4,2х - (3,5 - 0,5х) + 0,8х - (3,9х - 4,8) + 0,7х; б) 3,4у - 12,5 - 4,6 + (6,4 - 1,2у) = 12,3 + 6,5у - (9,3 - 3,6у) - 5,8; в) (а + 8)=* - 25 = 0; г) (ЗЬ - 9)^ - 36 = 0; д) 16(с + 6)^ - 9с^ = 0. Упростите выражение: а) а^{Ь - с) + с(а^ - Ь) + Ь(ас + с) - аЬ(с + 3); б) (т + 3)(4 - от) + (5 - от)(от + 5) + (от - 6)(от + 6). в) 8х^^ - 2у* - (бх^у - Зх^у^ - 2ху^) - (9х-^ + Axif - 4х^г/ - у*) - (-4х*у + Зх^ “ 2ху^); г) Зр"* + bp^q - (7р^г - bpq) + 4g^ - {3p^q - Зр'^г + 6pq) + (-4р^ - 2p^q + 4p^r). а) Из Москвы и Астрахани, расстояние между которыми 1400 км, выехали одновременно навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда. Через 2 ч расстояние между ними было равно 1100 км. Найдите скорости обоих поездов, если скорость пассажирского поезда в 1,5 раза больше скорости товарного. б) Из Москвы в Волгоград вышел теплоход со скоростью 25 км/ч. Через 4 часа из Москвы в том же направлении вышел второй теплоход, который передвигался со скоростью 20 км/ч. Чему равно расстояние между Москвой и Волгоградом, если в Волгоград второй теплоход прибыл на 13,5 часа позже первого? в) Машины в пробке движутся со скоростью 5 км/ч. Водитель машины, двигавшейся по встречной полосе со скоростью 70 км/ч, заметил, что путь от начала и до конца пробки занял у него 15 минут. Определите длину пробки. г) Смешали 700 г воды и 50 г сахара. Сколько воды надо добавить к этому раствору, чтобы получить раствор, концентрация сахара в котором 5%? д) Смешали 60 л 25%-го раствора соли с 70 л 10%-го раствора соли. Определите процентную концентрацию соли в получившемся растворе. Ответ округлите с точностью до десятых процента. Сократите дроби при допустимых значениях переменных: 21х^У^^г^^ 40p^^q^^ - 56p^^(7^^ ч 42а®6^® - 49a^®6^ 14x2VV^’ 64p^^q^'‘^ ’ от) 28а12&9 - бЗа»&‘2 • Не вычисляя частного, определите, делится ли число о на Ь: а) а = -38 765, Ь = -15; в) а = -113 256, & = 12; д) а = 565 695, Ь = -45; б) а = -115 218, 6 = 6; г) а = -198 514, Ь = -18; е) а = 754 264, Ь = -24. Докажите, что числа а и Ь дают одинаковые остатки при делении на с: а) а = 58 673, 6 = 59 513, с = 28; в) а = 29 378, 6 = 32 318, с = 49; б) о = 63 457, 6 = 65 207, с = 35; г) а = 87 439, Ь = 100 839, с = 67. Приведите дроби к общему знаменателю: 3 3 5 ч 4 5 ч _2_ 469 “ 737’ ^ч 5 793 “ 1159’ в) 1219 “ 1643- 61 Задачи длч самоконтроля к Главе 5 28lll 279| а) в торговом центре 56 магазинов, в которых работают 282 человека. Докажите, что в этом торговом центре есть хотя бы один магазин, в котором работает не менее 6 человек. б) Девять врачей посетили 35 больных. Докажите, что хотя бы два врача посетили одинаковое количество больных. Зависимость задали следующим образом: каждому рациональному числу а поставили в соответствие наименьшее целое число, большее этого числа. Определите, является ли данная зависимость функциональной. Найдите значение зависимой переменной для указанных значений независимой переменной а. а) а = 10,2; б) а = 8,4; в) а = -9,6; г) а = -3,1; д) а = -5,7. Каждому рациональному числу х поставили в соответствие некоторое число у по следующему правилу: у = - 15. Найдите область определения и область значений этой зависимости. Определите, является ли данная зависимость функцией. Существуют ли значения независимой переменной х, при которых значение зависимой переменной у равно -18? Для функции у = f{x) найдите /(0), ДЗ), Д-6). Найдите значения х, при которых Дх) = о, Дх) = 7, Дх) = -3. Постройте график функции. ' -Зх - 1, если X > 1; У = ■ L -X - 3, если X < 1 Постройте график кусочно-линейной функции: '' X - 5, если X > 7; -X + 9, если 5 < X < 7; X - 1, если 3 < X < 5; -X -I- 5, если 1 < X < 3; X -I- 3, если -1 < X < 1; . -X -t- 1, если X < -1 284| Постройте графики функции у - Дх): а) Дх) = |х + 4|-|х-5|; б) Дх) = I X - 2 I + I 3 - X I; Докажите, что: а) а® - 5а® -ь 4а делится на 120 при любом целом а; б) число 8 не может быть корнем уравнения ах® + 56х® -Ь Зх -I- 5 = 0 при любых натуральных а и Ь. Выполните указанное действие по модулю т: а) 16 + 29, m = 7; в) 54 - 96, т = 17; б) 35 -t- 64, m = 11; г) 25 - 124, т = 21; Найдите остаток от деления а на 5: а) а = 341»^®, 6 = 17; б) а = 967'«», 5 = 7; 128 У = в) Дх) = -|7-х|-1х-6|; г) Дх) = I X -Ь 2! - I 5 - X |. 287 д) 56 • 39, т - 19; е) 4®, т = 9. в) а = 853®®8, Ь = 11. 62 Глава 6 Введение в теорию линейных уравнений и неравенств § 1. Линейные уравнения 1. Линейные уравнения и их решение Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным. Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), русский математик, создатель одной из неевклидовых геометрий Прежде чем начать изучение линейных уравнений, вспомним, что такое уравнение и что значит решить его. Мы знаем, что если между двумя числами или двумя алгебраическими выражениями стоит знак «=», то получившееся математическое предложение называют равенством. Если равенство верно при любых значениях входящих в него букв или если это верное числовое равенство, то его называют тождеством. Тождествами, например, являются следующие равенства: 4 + 5 = 9; + 2aft + В тождествах с переменными вместо знака «=» часто используют знак «=», для того чтобы подчеркнуть, что данное равенство верно при всех значениях переменных. Так, а^ 4- 2аЬ + = {а + ьу. Если равенство с переменными не является тождеством, то оно верно лишь при некоторых значениях букв. Такие равенства мы и будем называть уравнениями. Буквы, входящие в уравнение, называют неизвестными. Уравнения могут быть с одним неизвестным, двумя, тремя и т. д. Решить уравнение - это значит найти все значения входящих в него неизвестных, при которых равенство становится тождеством. Эти значения неизвестных называют корнями уравнения. Уравнение может иметь один корень, два корня и так далее, а может вообще не иметь корней. Решая уравнения, мы производим преобразования, заменяя одно уравнение другим, до тех пор, пока не получим уравнение самого простого вида, например, X = а. После чего мы говорим, что число а является корнем исходного уравнения. Но утверждать это мы можем только тогда, когда уверены, что все уравнения, полученные в результате проведенных преобразований, имеют одни и те же корни. Такие уравнения называются равносильными. 63 Глава б, §1, п.1 Определение 1. Два уравнения равносильны, если корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а корни второго уравнения являются корнями первого уравнения. Так, например, уравнения 4д: -Ь 5 = 1 и 4л: = -4 равносильны, так как имеют один и тот же корень л: = -1. А уравнения 4л: + 5 = 1 и л:^ = 1 не равносильны, так как первое имеет только один корень л: = -1, а второе - два корня, л: = 1 и л: = -1. Определение 2. Преобразование уравнения называют равносильным, если оно приводит к уравнению, равносильному данному. Правила равносильных преобразований уравнений основываются на известных нам общих свойствах равенств - рефлексивности, симметричности и транзитивности - и правилах преобразований числовых равенств (правилах «весов»): V а, Ь, с е Q: а = Ь<^а + с = Ь + с а = Ъ ас = Ьс а = Ьоа-с = Ъ- с а = Ь о а : с = Ь : с (с 0) То есть если два равных числа увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число (исключая деление на 0), то мы вновь получим два равных числа. Из данных свойств чисел непосредственно следуют правила равносильных преобразований уравнений. При этом необходимо учесть, что при умножении обеих частей уравнения на 0 равносильность может нарушаться. Так, например, уравнение л: = 2 имеет один корень - число 2, а корнем уравнения х • 0 = 2 • 0 является любое рациональное число. Поэтому умножение обеих частей уравнения на 0, наряду с делением на о, так же следует исключить. Правила равносильных преобразований уравнений 1. Если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число (выражение), то получим уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (выражение), отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Из первого приведенного выше правила следует уже известный способ решения уравнений: Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, меняя при этом его знак на противоположный. Теперь, уточнив понятие уравнения и сформулировав правила равносильных преобразований уравнений, перейдем к изучению общего способа решения одного из видов уравнений. Ранее, при решении задач, мы часто сталкивались с уравнениями вида: X -Ь 6 = 0; -2х = 0; 0,3х -5 = 0. Каждое из этих уравнений содержит одно неизвестное х. Левую их часть можно записать в виде kx Ь, где k и Ь - некоторые числа, а их правая часть равна нулю. Уравнения данного вида получили название линейных уравнений по аналогии с названием линейной функции у = кх Ъ, которая задается выражением аналогичного вида йх -I- Ь и график которой представляет собой прямую линию. Определение 3. Линейным уравнением с одним неизвестным х называется уравнение, которое при всех значениях х может с помощью равносильных преобразований быть представлено в виде fex 4- Ь = 0, где к, Ь - некоторые числа, 64 ___________________________________________Глава 6, §1, п. Число к называют коэффициентом при неизвестном, а число Ь - свободным членом линейного уравнения. Так, в приведенных выше уравнениях значения к и Ь равны: Уравнение Значение к Значение Ь X -1- 6 = 0 1 6 -2х = 0 -2 0 0,3х -5 = 0 0,3 -5 Решим линейное уравнение йх + Ь = О в общем виде. Для этого перенесем слага емое Ь в правую часть равенства, поменяв его знак на противоположный: кх + Ь = О кх = -Ь При решении полученного уравнения возможны два случая: к Ф О и к = 0. 1) Если к ^ О, то обе части уравнения можно разделить на к, тогда: ^ ^ к к^ ^ к' Ь Значение к Значение Ь Корень уравнения кФО Ь - любое число k к = 0 Нет корней fe = 0 6 = 0 Корень - любое число Запишем теперь алгоритм решения линейного уравнения с одним неизвестным, обозначив для простоты -Ь = с. Тогда: кх + Ъ = 0<^кх-с = 0окх = с Следовательно, при к ф О линейное уравнение имеет единственный корень 2) Если fe = О, то уравнение кх = -Ь равносильно уравнению О • х = - Ь, которое при Ь ^ О яе имеет решений, а при 6 = 0 становится тождеством (то есть его решением является любое число). Таким образом, в зависимости от значений к и Ь уравнение кх + Ь = 0 имеет следующие корни: 3—Петерсон, 7 кл., ч. 3 65 Глава 6, §1, п.1 Заметим, что с помощью равносильных преобразований к виду kx = с могут быть приведены самые различные уравнения, например: 6ж - 5 = 4д: + 3; 7х - (2х - 4) = 5х - 1; 4х 2х - 1 9 4,5 • Следовательно, все подобные уравнения также будут линейными. Поэтому для их решения можно воспользоваться полученным выше алгоритмом. Пример 1. Решите уравнение 6л: - 5 = 4х + 3. Решение: 6д:-5 = 4х + Зо6л:-4л: = 5 + 3<=>2л: = 8<=>л: = 8:2ол: = 4 Ответ: {4}. Пример 2. Решите уравнение 1х - (2х - 4) = 5х - 1. Решение: 1х - (2х - 4) = 5х - 1 о 7х - 2х + 4 = 5х - 1 о 7х - 2х - 5х = -1 - 4 о О • X = -5 Ответ: 0. 4х - 2 2х - 1 Пример 3. Решите уравнение Решение: 4,5 4х - 2 2х - 1 ,, 9(4х - 2) 9(2х -1) . « г./« . г. . « ^ —g— = ^ ^ о —g—‘ = ^ ^ g—‘ о 4х - 2 = 2(2х -1)<»4х-2 = 4х-2о0х = 0. Ответ: х - любое число. О [28^ 1) Решите уравнения: х + 5 = 2; 7 = 8-г/; 4т = 36; п : 3 = 9; 5р - 3 = 17. Какими правилами равносильных преобразований вы пользовались при решении этих уравнений? 2) Дайте определение равносильных уравнений и равносильных преобразований уравнений. Сравните свои определения с определениями 1 и 2 на стр. 63-64 учебника. 28^ Используя правила равносильных преобразований, докажите, что все приведенные ниже уравнения равносильны между собой: 5х = 36 - 7х; X : 0,5 -ь 11 = х -Н 14; 18х - 3 - 12х -f 2 = 2 -I- 4х -f- 3. 2^ Равносильны ли уравнения? а) 6х 5 = о и 6х = -5; д) х(4 -х) = 0их-4 = 0; е) = 9 и (у - 3){у -ь 3) = 0; ж) 2(г - 7) = о и yiy -ь 3) = 0; з) z(z + 5) = о и х(х -Н 5) = 0. б) 2^-1 = 0иу = -0,5; в) 2 - 2г = о и 2х - 2 = 0; г) -4z -1 = 0h1-4i/ = 0; 2911 1) Запишите в общем виде уравнения: X + 6 = 0; -2х = 0; 0,3х -5 = 0. Как вы предложили бы назвать уравнения данного вида? Почему? Дайте определение уравнений указанного вида. 2) Сравните свое определение с определением 3 на стр. 64 учебника. 66 Глава 6, §1, п.1 Пользуясь определением, найдите линейные уравнения с одной переменной среди уравнений, приведенных ниже. Запишите их в виде kx + Ь = О и определите значения k и Ь: -3,2х = 4; 8-д = 5; 2х + у = 7; 3:х-1-12 = 0; 0*а = -2; х^ — 1. 1) Решите линейные уравнения. Какие случаи могут возникнуть при их решении? 4х - 13 - 8х = -1; 8х - 24 - Зх = 5х Ч- 6; 9 - х -I- 7 -I- 4х = Зх -Н 16. 2) Используя результаты предыдущего задания, решите в общем виде линейное уравнение kx + Ь = О, где k, Ь е Q, и предложите свой алгоритм решения произвольного линейного уравнения с одним неизвестным. 3) Сравните свое решение и алгоритм с таблицей и алгоритмом, приведенными в учебнике на стр. 65. ш Найдите корни линейного уравнения (устно). Сделайте проверку. а) 7х = -2,8; г) -6 - i; ж) -2 ч- 5= 0; к) и - б) -Зу = 0,15; д) -6 = 0,3с; з) 0 = 0,6# ч- 6; л) 2 - в) 2,5а = 0; е) 0 = |d; и) -| - - 0; м) Y = Решите линейное уравнение: а) 8 - 2а = а - 4; г) 7d + 0,9 - 2rf = -1,6; ж) -| + 8 = 13; к) ^ -I- ^ б) 36 - 46 = 15 - 6; ^ ^ 1 _ 5 ^ 1. д) тп g 6 ^ 2 * в) -2 - 0,5с = с - 2; е) 3,8л - ^ = 4л -I- 1,4; з) 5 = -10; и) I -Ь I = 5 ; Ч ^ ^ I о 3 “ 5 м) I + 5 = I - 1. При каких значениях переменной равны значения указанных выражений? а) 8х - 3 и 5х Ч- 6; в) 5г - 9 и 7г - 13; д) 20 - 26 и 6 - 1; б) 2^ - 19 и 7у Ч- 31; г) 10а - 3 и а Ч- 3; е) 19 - с и 100 - 10с. Решите уравнение: а) Зх Ч- 42 Ч- 7х = 15х - 68 ч- 10; б) -35у + 8 + ЗОу = 47 - 20у - 39; в) -22 Ч- 225 + 2 - 50 = 100 - 2; г) 7а Ч- 6 - 5а = 4 - За ч- 1 - а; д) 106 - 24 - 26 + 18 = -6 -Ь 9; е) -12с - 9 -Ь 8с = 15 - 4с - 6; При каких значениях переменной: а) значение выражения 9а - 5 равно 31; б) значение выражения 15 - 46 равно 3; в) значение выражения 7с - 5 равно значению выражения Зс Ч- 3; г) значение выражения 14d Ч- 23 противоположно значению выражения 2 - 19d? ж) -1,4k Ч- 8,7 = 2,5k - 2,1 Ч- 1,5А:; з) 0,8л1 - 1,2 + 0,3т = 2,4 + 1,1т - 3,6; и) -Зл - 2,7 Ч- 0,2л - 0,5 = 2,8л - 3,2; к) -4 Ч- 2,4s -h 1,6s = -0,9 -ь 3,4s - 4,06; л) о,Ip - р Ч- 1,8 = -6,2 - 0,9р ч- 8; м) 7,5д - 0,15 = 1,6 Ч- 1,8у - 2,2 Ч- 1,2д. 3* 67 Глава 6, §1, п.1 а) На какое рациональное число нужно уменьшить 785 и увеличить 587, чтобы получить одинаковые числа? б) Найдите рациональное число, среднее арифметическое которого с числом 916 равно 619. в) Найдите натуральное число, которое больше своей четверти на 81. г) Найдите целое число, которое на 48 больше противоположного себе числа. Составьте задачу, решение которой может привести к следующему уравнению: а) 8 + л: = 3; б) 6 - л: = 4; Найдите корни уравнения: а) л: - (5 - х) = 3; б) -2у - (-6 + г/) = 1; в) (2 - 2) - (22 + 3) - (5 - 2) = 0; г) 12 - (А - 4) = (3/г + 9) - (4А - 7); в) л: : 4 = 5; г) Зл: = 7. д) 8(4 - 5а) = 7 - 5а; е) 2(35 - 4) = -4(6 + 3); ж) 36 - 5(с + 8) = Зс - 4; з) 6(2 - d)- 2(5 - М) = lOd. Решите уравнение, предварительно упростив его: а) 3{х + 8) = 36(л: - 3); г) 8(2f + 5) - 72(15 - 2t) = 0; б) 14(12 - г/) = 7(у - 3); д) 45(15 - 4а) - 15(7а - 12) = 0; в) -5(35 - 2) = 15(2 - 9); е) 0 = 3(47 - 56) - 42(10 - 76). При каких значениях переменной: а) значение выражения 112 - 6 на 2 меньше значения выражения 52 + 8; б) значение выражения 9t - 1.4 на 6 больше значения выражения 5 - 6f; в) значение выражения 2л: + 41 в 7 раз больше значения выражения л: + 3; г) значение выражения 7 - у в 3 раза меньше значения выражения 5у + 5? Составьте уравнение и решите задачу: а) Матери 36 лет, а ее дочери 15 лет. Сколько лет назад мать была в 4 раза старше дочери? б) В двух автобусах едет 45 человек, причем в одном из них едет в 2 раза больше людей. Сколько человек едет в каждом из этих автобусов? в) В трех спортивных секциях, футбола, баскетбола и волейбола, занимается 55 человек. Известно, что футболом занимается в два раза больше человек, чем баскетболом, а волейболом занимается на 5 человек меньше, чем футболом. Сколько человек занимается в каждой из этих секций? г) В четырех подъездах дома живут 128 человек. Известно, что в первом подъезде живет на 12 человек больше, чем во втором, и на 15 человек меньше, чем в третьем. В четвертом подъезде живет в 2 раза больше людей, чем в первом. Сколько человек живет в каждом из этих подъездов? Докажите, что: а) уравнение 5х = 5(л; + 2) не имеет корней; б) корнем уравнения Зу - 4 = 4(у - 1) - у является любое число; в) число 1 является корнем уравнения 2 - 7(1 - 2) = 92 - 4(1 -I- г); г) число (-2) не является корнем уравнения 6(6 -I- 2) -ь 4 = 6 - 5(2 - 6). 68 Глава 6, §1, п.1 Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень: а) 10s + 2(7s - 2) = 5(4s + 3) + 3s; б) 8(3< - 2) - 13t = 5(12 - dt) + It. Докажите, что данное уравнение не имеет корней: а) + 1) + 6(x + 2) = П(х + 3); в) 7(3г + 6) + 5(2 - 3) - 13(2г - 3) = 0; б) б(у - 1) + 3(8 -у) = 3(у + 2); г) 4(5t - 2) - 2(5t + 2) - 10(? + 4) = 0. Докажите, что решением данного уравнения является любое число: а) 8(3х - 1) - 9(5х - 11) = 91 - 21х; в) 7(6г - 1) + 3(2г + 1) = 4(12г - 1); б) 10(8 - Зу) + 1Цу - 4) - 36 + 19у = 0; г) 3{2t + 1) - 4(1 - 3t) + 1 - 18f = 0. С помош;ью равносильных преобразований запишите уравнение в виде kx = с и решите его: а) (р - 3)(8 - р) = (р - 6)(2 - р); г) (т + 5)(2 + т) - 3(4т - 3) = (т - 5)^; б) {д - 5X9 +!) + (? + 2)(6 - 9) = 7; д) 12 - 2(п - If = 4(п - 2) - (га - 3)(2га - 5); е) (6А - ЗХ2/г + 1) - (life - llXfe + 1) = (fe - If. 1^ в) (г - 3)(4 + г) = 2(3г - 2) + (4 - rf; Решите уравнение: 5х - 4 16jc + 1 а) б) в) г) 2 7 ’ 1 - 9у ^ 19 + Зу е)1-Зс 26-5 3-6 5 5-2 ^ 8 4t + 33 21 8 18 - 52 12 ’ 17 + t ж) з) 6 2 4 d + 17 = 2- 4 ’ 5с - 7 л) 2-3 2-25 ^ ^ _ 2 + 2 м)3 3- 7t^t + 1 . Н---— = 4 - 4 ’ 7 - 3t 10 3d - 7 = 3,5; ч а - 1 , н) а = —S—Ь 2 2а - 5 а + 8 + 7; ч 5а + 4 „ Д) —^------2 14 ’ За - 7 ч д: + 2 , 2дс + 1 £ 6’ 6 4 6 + 4 к1 ~ ^ ^ = -^ - 2- б 15 4 ч 6 - 2 , 6-3 о) —9— + —Q— 7d-2 4(d + 3) 3(d + 2) п^ 3 5 ^ 2 • а) Три человека разделили между собой некоторую сумму денег. Первый получил ^ часть этой суммы и еще 190 р., второй - ^ часть суммы и еще 170 р., а третий - g часть суммы и еще 160 р. Какую сумму денег разделили? б) Число строк на странице на 15 меньше, чем число букв в каждой строке. Если уменьшить число букв в каждой строке на 3 и убрать после этого 5 строк, то число всех букв уменьшится на 300. Сколько строк на странице и сколько букв в каждой строке? в) Переднее колесо повозки, длина окружности которого равна 2,4 м, сделало на некотором расстоянии на 2900 оборотов больше, чем заднее колесо, длина окружности которого равна 3,2 м. Найдите, чему равно это расстояние. г) Из Москвы в Смоленск отправился со скоростью 40 км/ч товарный поезд. Через 1 час после его выхода из Смоленска в Москву со скоростью 80 км/ч отправился пассажирский поезд. На каком расстоянии от Москвы встретятся эти поезда, если расстояние между Москвой и Смоленском 400 км? 69 Глава 6, §1, п.1 зТ^ При каком значении а уравнение 2а + 5х = 7х - 6 имеет корень, равный: а) л: = 1; б) х — -2; в) д: = 0; г) х = 0,5? 31^ Запишите три уравнения, корнем которых является число а: а) а = 2; б) а = -3; в) а = 3,5; г) а = -2,5. Имеет ли уравнение корни при указанном значении а? а) 4х - а = 2(2х - 3), а = 4; г) 2(х + 6) - а = 2х + 7, а = -5; б) X + 2а = X + 8, а = 4; д) Зх - а = 5(х - 2) - 2х, а = -10; в) 5(х + 3) = 5х + 5а, а = -3; е) 6(х - 3) - Зх = Зх + 6а, а = -3. При каком значении а уравнение будет иметь корни? 315| Какое число нужно подставить вместо а, чтобы уравнение имело указанный корень? а) ах - 5 = 4х - 3, если корень уравнения х = 1; б) 2ау - 6 = 9у - 4, если корень уравнения у = -1; в) г) 2 1 2 а 5 16 t 1 а 5 20 , если корень уравнения z = 5’ 1 зТб1 Найдите ошибку в решении следующего уравнения: «Дано уравнение бх - 14 = 15х - 35. В правой части уравнения выносим за скобки общий множитель 2, а в левой его части - общий множитель 5. Получаем 2(3х - 7) = 5(3х - 7). Делим правую и левую части уравнения на одно и то же выражение Зх - 7. Получаем, что 2 = 5 (неверно). Значит, уравнение не имеет решений». При каком значении х указанные равенства не имеют смысла? а) 5 = -з 4’ б) Ш) Решите уравнение: а) - = 9; д) ..,5 3 6 “ 4у' е); 2 1 «)2 + 5 = 1’ ж) 3); X - 9 2 а - 3 1 Ь - 1 1 = 2; в) а - 2’ 2 Ь + Г 2с + 5 4 8с + 3’ 7 d + 3 3d - 1’ 2 + 4 и) к) л) м) = 11; , 13 7 Т “ 9- р + 3 ^ 5 р - 3 2’ Q d - 2. д-5 г+1 г - 1 6 д-& г - 5 г - 3’ 2 7(8 +1) 8 + 9* а) Если от загаданного рационального числа отнять 5, результат умножить на 7, к полученному произведению прибавить 2, результат разделить на 6, а к полученному частному прибавить 4, то снова получится загаданное число. Какое число загадали? б) Какое рациональное число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 26 , 1„ чтобы она стала равна 70 Глава 6, §1, п.1 |320| Какое число можно подставить вместо Ь, чтобы корнем уравнение было целое число? ч X + 1 , OV - 3 , а) = Ь; б) — = 6; в) b{z + 4) = 15; г) bit - 2) = 0,5. 321| Какое число можно подставить вместо с, чтобы корнем уравнения было четное число? ч 2л: - 1 а) —о— = с; ,-4 7i/ + 3 б) — = с; |3221 3 ^’2 Решите уравнение: . т т т т т ^ _ лл ^^ 2 3 4 6 8 12 Зп , ^ 2п , . , Ъп вп , 6)n-Y + 9- y + 4 + -g--5 + в) c(z - 5) = 20; г) c{t + 6) = 1,5. 10’ Д) л: - е) у + 2 - . _ Зх 9 _ £ ^2^4 = 2; 7у _ IjlA f) + К'' f)) ■ 5 " ®> ж) 2 - щ 8 1 ■|+ (? + |))-7-42; 3) 1 - 15 Z _ 3 + Z 2 t - 2 1 + t = 3- - Ч^) 2t - 2 10 - It ±_______________ 2 2 323| Найдите корни уравнения: а) (х + 5)2 - (X - 9)2 = 140; д) 5(6 - 1)2 - 2(6 + 3)2 = 3(6 + 2)2 - 7(66 - 1); б) (у - 3)2 - (у - 4)2 = 37; е) 2с2 + (с + 5)2 - 2(с + 7)2 = 2(3с - 72,5) + (с - 6)2; в) (2 - 6)2 = 75 + (2 - 7)2; ж) (d + 1)^ - (d - If = 6(d^ + rf + 1); г) 55 + (f + 3)2 = (f + 2)2; 3) (a + 8)2 + (a - 5)2 = (a - 4)2 + (a - 6)2 + 93. 3241 Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению: д) 5х + d = 5; а) X + а = 4; б) 2 - X = 6 + 3; в) X - с = 5; г) X + а = 6 + 2; е) 2х - с = а + Зх; ж) 5х + За = 7х - 4с; з) 9с - 6х = За - 5х; ^ |з^ и) X = —1-6 а к) X - а = -д л) —^ т = с 'а 6 м) ---т = d. ’ а 6 325| Прочитайте высказывания и сформулируйте высказывания, обратные данным. Определите истинность первоначальных высказываний и обратных к ним. Для ложных высказываний постройте их отрицания. 1) (х - 3)(х -5) = 0=>х = 5 или X = 3; 2) у2 = 49 у = 7; 3) 2« = -64 => 2 = -4; 4) I X I > 7 => X > 7; 5) I X I < 6 => -6 < X < 6; 6) а > 6 => 6 < а. 71 Глава 6, §1, п.1 3^ Найдите значение выражения при данных значениях переменных: а) -(5а + 7)(4а - 3) + (2а + 2,5)(10а - 6) при а = 198,56; б) (Ь + 5)(9Ь - 3) - (7 + Sbf при Ь = -215,436. 3271 Докажите высказывание: а) Если а, Ь, с делятся на п, то За - 4с + 5Ь делится на п (а, Ь, с, п s Z). б) Если а делится на 4, Ъ делится на 5, то 5а + 46 делится на 20 (а, Ь € Z). в) Если число д: + ^ - целое, то число \ также целое (х е Q, х Ф 0). г) Если число ^ ^ ~ целое, то число ^ также целое (дс € Q, х 0). в) + 2^ - z'^ - 1; г) - 9а + 9; 3281 Найдите множество целых решений неравенства: а) X - 6 > 5; в) 5 < 2 < 9; д) | а - 3 | < 5; б) г/ + 7 < -2; г) -4 < ^ < -1; е) | 6 + 5 | > 2. 3291 Разложите многочлен на множители: а) х'* - х^ + X - 1; д) + 8с® + 6® - 26с + 4с®; б) I/® + 27 + 7i/® + 21у, е) d® - 4d® - 12d + 27; ж) - 6т® - бтп - 6п®; з) р® - 8р® - 32р + 64, j^30j Среди следуюш;их пяти множеств найдите все пары «множество - подмножество». Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В, С, D, Е. 1) А - множество целых чисел, делящихся на 3; 2) В - множество целых чисел, делящихся на 5; 3) С - множество целых чисел, делящихся на 15; 4) D - множество целых чисел, делящихся на 9; 5) Е - множество целых чисел, делящихся на 45. |зд| а) В магазине имеются пряники по цене 30 р. за кг и по цене 50 р. за кг. В течение дня было продано тех и других пряников на одинаковую сумму. Чему была равна средняя цена за килограмм проданных в этот день пряников? 6) Средний возраст 20 спортсменов и одного тренера равен 25 годам. А средний возраст этих спортсменов - 24 года. Сколько лет тренеру? |33^ Докажите следующие утверждения: а) Не существует наибольшего четного числа. б) Существует бесконечно много натуральных чисел вида 7п + 3, где п е N. в) Не существует целого числа, которое при делении на 8 дает остаток 6, а при делении на 16 дает остаток 4. Разбейте множество {1, 3, 7, 9, 25, 65, 70} на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой. 72 Глава 6, §1, п.1 О 334 Решите уравнение: а) I - 6 = 12; б) ^ = 7- Л * > в) 3,92 + 4,32 = 1,22 + 28,8 - 7,42; г) 4,7^ - 3,8 = 0,3t - 0,7^ - 7,2 + 3,4t. Щ Бб1 г) (а + 8)(1 - а) = 8 - а(а - 11); д) (2 - Ь)(4 -Ь) = 17-(Ь + 2)(7 - Ь); е) (11 - 2с)(5с - 6) = 80 - 10(с - 3f. Найдите корни уравнения: а) 5(х - 9) = 3(х + 7); б) 6(9 - {/ ) = 7(4 - у) ; в) 2(2 - 3) = (4 + 2)(2 - 5); При каких значениях переменной: а) значение выражения 5а - 38 равно 12; б) значение выражения 2с + 45 равно значению выражения 6с + 17; в) значение выражения 7 4; в) 1 < 2 < 7; д) | а - 5 | < 2; б) у + 2 < -3; г) -6 < t < -2; е) | 6 + 3 | > 5. Разложите многочлен на множители: а) X* - Вх^ + 4дс - 12; в) а® + 64c^ + - 4ас + 16с2; б) 1/2 + 64 + 8t/2 + В2у; г) 6® - 7Ь^ - 96 + 63, В пончиковой компании Антона и Ксюши продаются пончики двух сортов: по цене 60 р. за кг и по цене 30 р. за кг. В течение месяца было продано тех и других пончиков на одинаковую сумму. По какой средней цене продавали пончики в этот месяц? Разбейте множество {1, 11, 13, 19, 22, 44} на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой. Докажите, что А делится на В: А = 241,5 : 2,3 - 36 • (l7,2 • 0,125 - (2Ц - 1^)) + 25 : |; В = (0,5 - 0,375) : | - (з| - 3j^) : (0,358 - 0,108) + 15. Глаза 6, §1, п.2 Вызвал царь трех богатырей - Илью Муромца, Добрыню Никитича и Алешу Поповича и спросил их, кто из них убил Соловья-разбойника. Илья Муромец сообщил, что Соловья-разбойника убил Добрыня Никитич. Добрыня Никитич сказал, что Соловья-разбойника убил Алеша Попович, а Алеша Попович сообщил, что Соловья-разбойника убил он. Сможет ли царь определить, кто убил Соловья-разбойника, если он знает, что только один богатырь сказал правду, а остальные соврали? К переправе подошли три странника и три людоеда. Оказалось, что на переправе имеется только одна лодка, которая может вместить лишь двух человек. Странники боятся остаться в меньшинстве. Только один странник и один людоед умеют грести. Каким образом они могут переправиться с учетом их пожеланий и возможностей? 2. Решение уравнений с модулями Подлинно, мы по призванию поэты, только удел наш - все, что свободно творим мы, строго потом доказать. Леопольд Кронекер (1823-1891), немецкий математик При решении многих задач возникает необходимость рассматривать несколько разных вариантов возможной взаимосвязи величин. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующую задачу: Задача 1. Частное двух рациональных чисел равно 5. Известно, что одно из этих чисел на 16 больше другого. Найдите эти числа. Решение: Обозначим одно из чисел через х, где х е Q, тогда второе число равно 5х. Для того чтобы составить математическую модель задачи, мы должны записать, что разность между большим и меньшим числом равна 16. Возможны два случая: если 5х > X, то мы получим, что 5х - х = 16; если же 5х < х, то х - 5х = 16. И так как в условии нет уточнения, какой из этих случаев имеется в виду, мы должны рассмотреть оба. Эти два случая можно объединить в единой записи, используя понятие модуля числа. Выражение | 5х - х | как раз по определению и будет означать, что: _ Г 5х - X, если 5х > х; \ ~ X \ ~ X X - 5х, если 5х < X Теперь мы можем записать математическую модель нашей задачи короче: -----► 5х = ? X = ? 5х - X I = 16 X е Q 76 Глава 6, §1, п.2 в итоге исходная задача свелась к решению уравнения | 5л: - л: | = 16, содержащего модуль. Пользуясь определением модуля числа, решение этого уравнения можно записать следующим образом. 1) Если 5х > X, то 5л: - X = 16 <» 4х = 16 о X = 4 <=> 5х = 20 2) Если 5х < X, то X - 5х = 16 о -4х = 16 <=> X = -4 <=> 5х — -20 Следовательно, задача имеет два решения: первое — искомые числа равны 4 и 20, второе - искомые числа равны (-4) и (-20). Ответ: 4 и 20 или -4 и -20. Рассмотрим теперь общий способ решения линейного уравнения вида \ kx Ь\ = с, где X - переменная величина, & k, Ь, с е Q и h Ф 0. Если с < о, то уравнение | /гх -I- Ь | = с не имеет решений, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения. Если с = о, то уравнение принимает вид kx + Ь = 0. Значит, при k фО оно имеет Ъ единственный корень х = Если же с > о, то выражение под знаком модуля может принимать значения с и -с. Значит, возможны два случая: l)kx + b = cox = с - Ъ 2) /гх + 6 = -с о X = -с - Ь Алгоритм решения уравнений данного типа можно записать следующим обра- зом. Алгоритм решения уравнения \ kx + Ъ \ = с {k Ф О) Рассмотрим теперь более сложное уравнение вида | ах -Ь & | = | сх -)- d |, где а, Ь, с, d - некоторые числа. Сначала разберем решение конкретного уравнения такого типа, а затем запишем общий алгоритм. 77 Глава 6, §1, п.2____________________________________________________________ Задача 2. Решите уравнение: | 2х - 5 | = | Зх + 6 |. Решение: Согласно определению модуля указанное равенство возможно в следующих случаях: 1) 2л: - 5 = Зл: -Ь 6; 3) -(2л: - 5) = - (Зл: + 6); 2) 2х - 5 = - (Зл: + 6); 4) ~(2х - 5) = Зх + 6. Заметим, что уравнения 1) и 3) равносильны, значит, они имеют одинаковые корни. Аналогичное наблюдение может быть сделано относительно уравнений 2) и 4). Значит, для решения исходного уравнения нам достаточно найти корни двух уравнений 1) и 2): 1) 2х - 5 = Зх -ь 6 о 2х - Зх = 6 -I- 5 о -X = 11 «• X = -11; 2) 2х - 5 = -(Зх -I- 6) <=> 2х - 5 = -Зх - 6<=>2x-l-3x = 5- 6o5x = -l<»x = -0,2. Ответ: {-11; -0,2}. Общий алгоритм решения таких уравнений можно записать следующим образом. Алгоритм решения уравнения вида \ ах + Ь \ = \ сх + d где о, Ь, с, d — некоторые числа 1. Найти корни уравнения ах -I- & = сх + d. 2. Найти корни уравнения ах -t- Ь = —(сх + d). 3. В ответе записать множество найденных корней. Линейные уравнения с модулями могут иметь более сложный вид, например, включать более двух модулей, содержать выражения вне знака модуля. При решении таких уравнений сначала выделяют промежутки, на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак, а затем уже ищут решения на каждом из выделенных промежутков. Задача 3. Решите уравнение: |x-ll-f|x-l-4| = 5. Решение: Сначала, пользуясь определением модуля, запишем, что означают выражения, содержащие знаки модуля. X -Ь 4, если X > -4; если X < -4 1, если X > 1; если X < 1 X -Н 4 Г X -Ь 4, ( I Х-х-4, Точки 1 и (-4) разбивают числовую прямую на три промежутка: (_оо; -4), [-4; 1) и [1; +оо). Отметим выделенные промежутки на числовой прямой: Числовые промежутки (-оо; -4) X < -4 [-4; 1) -4 < X < 1 [1; +°°) X > 1 -4 О 1 78 Глава 6, §1, п.2 На каждом из указанных промежутков данные выражения с модулем можно записать без знака модуля: Промежутки Выражения (-00; -4) [-4; 1) [1; -1-00) |х- 1 1 1 - X 1 - X X - 1 |х-Ь4 1 -X - 4 X 4- 4 X -1- 4 Будем искать решение нашего уравнения на каждом из выделенных числовых промежутков. 1) X < -4, или X е (-О0; -4) На этом промежутке |х-1| = 1-х, а|х + 4| = -х-4. Значит, исходное уравнение может быть записано в виде: (1-х) + (-х-4) = 5<=>1-х-х-4 = 5о -2х = 8 о х = -4. Однако полученное число -4 не принадлежит рассматриваемому промежутку: -4 г (-00; -4). Поэтому на данном промежутке уравнение не имеет корней. 2) -4 < X < 1, или X е [-4; 1) В этом случае уравнение может быть записано в виде: (1-х)-*-(хЧ-4) = 5<г>1-дг-Ьл’-1-4 = 5^0 • х = 0. Полученное уравнение верно при любом значении х. Следовательно, любое число, принадлежащее промежутку [-4; 1), является корнем исходного уравнения. 3) X > 1, или X е [1; +о°) На данном промежутке уравнение принимает вид: (х-1)-Ь(х-Ь4) = 5ох-1-)-х + 4 = 5о2х = 2ох = 1. И так как 1 € [1; -1-оо), то число х = 1 является корнем исходного уравнения. Таким образом, множество корней исходного уравнения представляет собой объединение всех чисел полуинтервала [-4; 1) и числа 1, то есть числовой отрезок [-4; 1]. Ответ: х е [-4; 1]. Заметим, что при решении задачи мы использовали числовую прямую лишь для того, чтобы определить на ней взаимное расположение чисел (-4) и 1 и понять, на какие числовые промежутки эти числа разбивают всю числовую прямую. Поэтому при решении уравнений с модулями в дальнейшем мы будем использовать «упрощенную» модель числовой прямой. На этой модели мы будем отмечать лишь взаимное расположение интересующих нас точек относительно друг друга и не будем фиксировать точные координаты данных точек. Обобщая рассмотренный нами способ решения уравнения с модулями, приходим к следующему алгоритму. 79 Глава 6, §1, п.2 Алгоритм решения уравнения с модулями 1. Найти в уравнении все выражения, содержащиеся под знаком модуля. 2. Приравнять каждое из этих выражений к нулю и найти корни полученных уравнений. 3. Отметить найденные корни уравнений на «упрощенной* модели числовой прямой и определить непересекающиеся числовые промежутки, на которые данные точки разбивают числовую прямую. 4. Проверить, что объединение найденных числовых промежутков составляет всю числовую прямую. 5. Установить для всех числовых промежутков, чему равно значение каждого модуля - самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или выражению, противоположному ему. 6. Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без знаков модуля. 7. Проверить, что полученные корни принадлежат числовому промежутку, для которого было записано уравнение. 8. В ответе записать множество всех получившихся корней. ©©© Рассмотрим, как с помощью данного алгоритма можно решить более сложные уравнения, содержащие модули. Задача 4. Решите уравнение: x-2|-f|^:-t-6|-|-x-9| = -2х - 7. Решение: 1. Под знаком модуля нгсходятся выражения: х-2,л:-1-6и-д:-9. 2. Найдем корни уравнений: л:-2 = 0 л:-1-6 = 0 -х-9 = 0 X = 2 д: = -6 л: = -9 3. Отметим найденные корни уравнений на «упрощенной* модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки, на которые данные числа разбивают числовую прямую. I [-6; 2) I I -6 < X < 2 I 4--------------*- Числовые промежутки (_оо; -9) л: < -9 I I I I -4- [-9; -6) -9 < X < -6 [2; +00) X > 2 -9 -6 2 4. Проверим, что объединение найденных числовых промежутков составляет всю числовую прямую: (_оо; -9) и [-9; -6) и [-6; 2) U [2; +оо) = (-оо; +оо). 5. Установим для всех числовых промежутков, чему равно значение каждого модуля. Для этого можно воспользоваться определением модуля каждого из выражений. X - 2, если X > 2", . = + если х > -6; если X < 2 ' ' I. -X - 6, если х < -6 X + 9, если X > -9; если X < -9 I ^ I =; ^ - 2. I 12-х, I ^ Г X + 9, € ~ 1-х-9, 80 Полученные результаты запишем в таблице: Глава 6, §1, п.2 ■ Промежутки Выражения (-00; -9) [-9; -6) [-6; 2) [2; +с») |х-2| 2-х 2-х 2-х X - 2 1х + 6| -X - 6 -X - 6 X + 6 X -1- 6 1 -X - 9 1 -X - 9 X + 9 X + 9 X + 9 6-7. Теперь для каждого числового промежутка запишем и решим уравнение, равносильное исходному и не содержащее знаков модуля. Каждый из полученных корней проверяем на принадлежность рассматриваемому числовому промежутку. 1) л: < -9, или X 6 (-00; -9) {2 - х) + (-Х - 6) - {-X -9) = -2х - 7 2 - / - л:-6+^+9 = -2х - 7 -л: + 2л: = -2 + 6 - 9 - 7 X = -12 -12 е (-00; -9) X — -12 - корень уравнения 2) -9 < X < -6, или X е [-9; -6) {2- х) + {-X - 6) - (X + 9) = -2х - 7 2-х-х-6-х-9 = -2х - 7 -Зх + 2х = -2 + 6 + 9- 7 3) -6 < X < 2, или X е [-6; 2) (2 - х) + (х + 6) - (х + 9) = -2х - 7 2-/ + /+ 6- х- 9 = -2х - 7 -X + 2х = -2 - б + 9 - 7 X = -6 -6 6 [-6; -2) X = -6 - корень уравнения 4) X > 2, или X е [2; +оо) (X - 2) + (х + 6) - (х + 9) = -2х - 7 х-2+^+6-^-9 = -2х - 7 х + 2х = 2- 6 + 9- 7 2 X = -т: X = -6 -6 ^ [-9; -6) Нет корней Таким образом, корнями нашего уравнения являются х = -12 и х = -6. 8. Ответ: {-12; -6}. -д ^ [2; +00) Нет корней О [36^ 1) Найдите расстояние от начала координат О до точек А и В координатной прямой: а) Л(3), В(8); б) А(-3), В(8); в) А(3), В(-8); г) А(-3), В(-8). 2) Как с помощью модуля можно записать расстояние от точек А и В до начала координат? 3) Запишите с помощью знака модуля расстояние между точками А и В и вычислите его. 3641 Найдите значение выражения: а) I -5 I -Ь I -7 I; г) | -3,2 | • | 2 |; б) - I 4,2 I + I 3,6 I; д) I -6,4 I • I -0,5 |; в) - I 1,8 I - I -3 I + I -1,5 I; е) I 8,1 I : I -3 |; 3651 Решите уравнение, пользуясь определением модуля: а) I X I = 5; в) I -г I = 2,1; д) | 2а | = 0; б) I у I = -4; г) I I = -3,4; е) | -ЗЬ | = 0; ж) I -1,1 I • I -5 I : 11; з) 3,9 : I -1,3 I • I 4,1 I; и) I -7,6 I • I -7 I : I -1,9 |. ж) -| d I = -7; з) -| 2,1s I = 3. 81 Глава 6, §1, п.2 ж) I U + 6 - 4и I = 3; з) -I -3 - 5rf + 11 I = 12; и) -| - 2 + 7А + 1 - 3fe I = -7. ш 372) 1) Решите уравнение, содержащее переменную под знаком модуля: а) i X - 4 I = 2; б) | 2х + 9 | = -1; в) | -3 - 6х | = 0. 2) Предложите свой алгоритм решения уравнения , кх + Ь \ = с при к ^0, а затем сравните его с алгоритмом, предложенным в учебнике на стр. 77. Найдите корни уравнения: а) I Зд: + 5 1 = 2; г) | 3 + 2а | = -4; б) I 2у - 7 I = 5; д) -I Зс - 18 I = 0; в) I -3 - 52 I = 0; е) -| -66 - 4 | = 3; Докажите, что: а) число (-2) является корнем уравнения | х - 3 | = 5; б) число 1 не является корнем уравнения |i/ + 6| = |3-i/|; в) уравнение |а-2| + 1= 0не имеет корней; г) уравнение | 56 | = | 56 + 10 | имеет единственный корень; д) уравнение | с - 4 = | 4 - с | имеет по меньшей мере 10 корней; е) уравнение \2d-l\ = \d-2 \ имеет ровно два корня. Найдите корни уравнения: ж) I 4а - 5 I = I За + б |; з) -I 106 - 27 I = I 20 - 46 I; и) -| 7с - 6 - 5с I = -| 4 - Зс + 2 - с I; к) I 12d + 16 - 8d I = I 5 - 4d + 3 I; л) I 3m + 12 I = -| 8m + 3 - 9m - 7 |; m) -| 14 - 5n - 10 + 8n 1 = -| 6 - 4л + n - 10 |. При каких значениях переменной равны значения указанных выражений? а) I 7х - 1 I и ] Зх + 4 1; в) | 5г + 2 | и | 5г - 2 |; д) | 12 + 26 | и -| 6 - 1 |; б) I 2р - 9 I и ! 4у + 3 i; г) | 3 + 8а | и | -8а - 3 |; е) -| 8 + с j и -| 10 - Зс |. При каких значениях переменной: а) значение выражения | а - 7 | равно 3; б) значение выражения | 28 - 46 | равно -5; в) значение выражения | 2с — 6 | равно значению выражения j Зс + 3 |; г) значение выражения | 5d + 4 | противоположно значению выражения | 2 - 9d |? Составьте уравнение и решите задачу: а) Частное двух рациональных чисел равно 2, при этом одно из этих чисел на 8 больше другого. Найдите эти числа. б) Разность двух рациональных чисел равна 3, при этом модуль одного из этих чисел в 2 раза больше модуля другого числа. Найдите эти числа. в) Сумма двух рациональных чисел равна 8, при этом модуль одного из этих чисел в 3 раза меньше модуля другого числа. Найдите эти числа. г) Одно рациональное число на 5 больше другого, при этом модуль одного из этих чисел равен модулю другого. Найдите эти числа. а) I X + 12 I = I X - 10 б) |г/-8| = |4-г/1; в) I 2 + 9 I = -| 2 + 3 I; г) -| S + 5 I = I -S - 5 д) -| 3 - г I = -| г - 6 е) I 15 - И = U - 15 I 82 Глава 6, §1, п.2 378 2; д) 1 7-q\ + \q-0\ = 4; 7; е) - '14 + г|-|г+11| = 17; ж) 1 9 - S 1 - 1 11 - S 1 = 10; 5; з) 1 8 + f 1 - 1 4 - f 1 = -6. Ш Найдите корни уравнения: а) |х-1| + |х-3 б) |1/ + 5| + ||/-2| = 7; в) i 2 I - I 2 - 2 I = 3; r)|p-6|-ip-4| = 5; Докажите, что: а) число (-1) является корнем уравнения |л:-3| + |л: + 4| = 7; б) число 2 не является корнем уравнения |2г/-1|-|г/ + 3| = 2; в) уравнение | 2а + 5 | = 1 4 - 2а | + 1 не имеет других корней, кроме а = 0; г) уравнение | 32 - 8 | - | З2 - 2 | = -6 имеет по крайней мере 5 корней. Решите уравнение: ш а) I 5x - 4 I - I 6л: - 9 1 = 1; б) 1 1 - 4г/ I - I Зг/ + 9 1 = 5; в) I 5 - 122 1 + I 52 + 18 1 = -7; г) i 2? + 8 I - I 7 - ? I = -1; д) I 5а + 4 I = 2 + I За - 6 I; е) 3 - I 25 - 2 1 = I 5 - 25 I; ж) I 2х + 2 I - 1 = I 2л: + 1 I - 1; з) I 21/ - 4 I + 4 = 3 - I 7«/ + 13 1; и) I 42 - 3 I - 7 = 2 - I 12 + 42 I; к) 3 - I 3 - 5< I = 4 - I 5 - 5^ |; л) I 2а — 5| + 7 = |а + 8| + 4; м) 1 66 - 4 I - 2 = 3 + I 25 + 9 1. Имеет ли уравнение корни при указанном значении а? а) 1 Зх - а I = I 2л: - 3 I, если а = 3; г) | 2р + 6 - а | = | 2р + 6 |, если а = -2; б) I г/ + 2а I = I г/ + 8 I, если а = -2; p)\Zq - а\ = \ bq - 2 - 2q\, если а = -9; в) I 52 + 3 I = I 52 + 2а |, если а = -1,5; е) | 6г - 3 - Зг | = | Зг + а |, если а = 3. При каких значениях переменной: а) значение выражения | 2х + 4 j на 3 больше значения выражения | х + 5 |; б) значение выражения | \2у - 6 | на 7 меньше значения выражения \ 5у + 20 |? Найдите корни уравнения: г) I а — 15 I + I а — 21 | + | а + 19 | = —7; д) |5 + 7|-|11-5| = |5 + 4|-6; е) |с-12| = 4- |с-2| + 1с-3|. Докажите, что данное уравнение не имеет корней: а) I Зх - 6 I + I 8х - 4 i + I 5х + 10 I = 3; г) 6 + | 75 - 5 | = 5 - | 25 + 7 | - | 4 - 155 |; б) I 41/ + 1 I - I 2у + 5 I + I 6у - 12 I = -4; д) -| 7 - 6г | - | 9г + 5 | - | 4г - 9 | = 5; в) I 22 + 7 I - I 52 - 12 I - ! 32 + 9 I = 4; е) | 7f - 21 | + | 9^ - 36 | + | Ilf + 22 | = -1. При каких значениях переменной указанные равенства являются истинными высказываниями? а) |х + 8| + |х-3| + |х + 2| = 1; б) \у - 5\-\у + 1\ + \у - 4\ = -2; в) |2 + 4|-|2-6|-|2 + 9| = 5; а) I 5х + 10 I + I 6х - 12 I = 1 9х + 3 I; б) I 6а + 3 I - I 13 - 2а I = I 4а + 12 I - 2; в) I 62 - 2 I = I 22 + 1 I + I 42 - 8 |; г) 6 - I 5d - 1 I - I 2d + 3 I = I 2d - 7 |. 83 Глава 6, §1, п.2 Докажите, что данное уравнение имеет не менее десяти решений: а) I 5д; - 12 I - I 3^ - 1 I = I 11 - 2х I; в) | 2с - 9 | + 7 = | 9 - 6с | - | 4с - 7 1; б) I 8 - Зу I - I Ну - 4 I + I 3 + 8у I = -1; г) | 3< + 5 | = | 1 - | - | 6 - 3^ |. Решите уравнение: а) |x + 4| + |x-l| + |x + 2| + |jc-2| = 3; б) |у-7|-|у + 2| + |у-3|-|у + 5| = -6; в) |г + 3|-|2-9|-|2 + 7| + |2 + 8| = 13; r)|s + 2|-|s-4|-|s + ll|-|s-14| = 7; д) |о — 17| + |а — 3| + |а + 1| + |а + 12| = —4; е) |Ь + 5|-|8-6|-|4-&| = |& + 7|-6; ж) |с-1| = 9- |с-3| + |с-2| + |с-6 1; з) |р + 8|-|р-7| = |р-11|-|р-6|+14. Найдите корни уравнения: а) I 2х + б I - I Зх - 9 I + I 5х + 5 I + I 4л: - 6 I = 5; б) I Зу - 12 I + I 2у + 6 I + I 4у - б I - I 5у + 8 I = 4; в) I 52 + 15 I + I 22 - 7 I - I б2 + 6 I - I 72 + 14 I = 9; г) I 5а - 20 I + I 9а - 4 I + I ба + 1 I + I 7а + 15 I = -12; д) I 36 + 1 I - I 4 - 2Ь I - I б - 125 I = I 45 + 8 i - 1; __ е) I 4с - 1 I - I 5с - 10 I = I Зс - 12 I + I 7с + 14 I - 48. Найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению: а) I X + а I = 2; б) | х - р | = 6; в) | 7х - с | = 4; г) | 5х + d | = -9. 383 3851 Вычислите рациональным способом: 254-399 - 145 .„11 „2 ,„13 /,. 3 558\ ,.15 , „ 5 „14 /937 i«9\ о1^ oq7 ^98 ■ ^93 ■ ( 58 ^®58/ ’ ^^93 ' ^^14" а) б) 254 + 399 • 253’ бЗО -137 + 2 316 + 315 - 136’ 3861 а) Целое число а кратно 7. Может ли остаток при делении этого числа на 14 быть равен 5? б) Целое число 6 при делении на 36 дает остаток 3. Найдите остаток при делении числа 6 на 2, 3, 4, 6, 9, 12. в) Число т - четное, а число п - нечетное. Какой остаток при делении на 2 дают числа: + п, т + + п^, 387| На координатной плоскости Оху постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) X > 5; у < -2; в) -5 < х < 6; 2 < у < 9; д) л: < -4; -2 < у < 7; б) X < -1; у > -3; г) 4 < X < 9; у > -6; е) | х | < 5; | у | > 3. 84 Глава 6, §1, п.2 ШИ Упростите выражение: а) а - (56 + (Зс - За - (а + 6)) + 2а - (6 + Зс)); б) Здг + 4{/ + ((х + 2ху - у) + (2х + 2ху - (~4ху + 3i/))); в) {2т - Зп + к) - (2s - (4п + 3s - (3m + 2k)) - т - {k - s)); г) 6p + (4p - (8(7 - (2p + 4q) - 2q)) - {4q + {9p - {3q + 4p) + 8q) + 6p). Разложите многочлен на множители: а) а® - 2а®Ь + 6^; д) п® - бп^р + 12пр^ - 8р®; б) 9р'® + 30р®д® + 2Ъ<^'^\ е) 8х® + 60x^z + 150x2^ + 1252®; в) 49д:^ - 25г/«; ж) 27л:® - 8у^\ г) 4т® - 81г®п®; з) т®п® + 64р®д®. Числа 1712, 1807 и 1940 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число, большее 1. Чему равно это натуральное число? а) Автомобилист за 3 часа проехал 4 часть своего пути. Сколько времени после этого он должен едать, нтобь. ему оралось проехать | часть пути, если он едет С постоянной скоростью? б) Поезд, двигаясь со средней скоростью 60 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 10 часов. На сколько км/ч должна увеличиться средняя скорость поезда, чтобы расстояние между этими городами поезд проезжал за 8 часов? в) Для того чтобы проехать на автомобиле 75 км, необходимо 4,5 литра бензина. Сколько потребуется бензина, чтобы проехать 650 км, если известно, что расход бензина постоянный? г) Бригада из 5 землекопов выкопала за 8 часов котлован объемом 20 м®. За сколько времени могла бы выкопать котлован объемом 100 м® бригада из 12 землекопов, если все землекопы работают с одинаковой постоянной производительностью? Докажите следующие утверждения: а) Если pq + rs делится на р + г, то ps + qr также делится на р + г {р, q, г, s & Z). б) Если число ^ ~ целое, то число “ целое. Докажите, что 1® -ь 2® -Н 3® -Ь ... -Ь 8® -Ь 9® -f 10® делится на 11. 3941 Решите уравнение: а) j д: -t- 9 I = 4; в) | 2 - 14 | = 8; д) | 4а - 12| = 7; ж) | Зс - 6с -ь 3 | = -5; б) |у-4| = -9; г)|ll-^| = ll; е) | 9-ь 26 | = 2; з) | 5d + 2d - 4 - 6d | = 3. 3^ Найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению: а) I л: - а I = 2; б) | 6 - д: | = -7; в) | бд; -f с | = 4; г) | 9дс - d | = 8. 85 Глава 6, §1, п.2 д) -| 9Ь - 18 I = -I 16 - 86 I; е) I 8с + 2 - 4с I = I 5 + Зс + 4 |. 3961 Найдите множество решений уравнения: а) I дг + 7 I = I л: - 9 I; в) ^ 2 + 3 | = -| 2 + 12 |; б) I I/ - 5 I = 1 11 - г/ I; г) - 5а - 1 I = I -4о + 0,8 При каких значениях переменной: а) значение выражения | а + 7 | равно 6; б) значение выражения | 25 - 56 | равно 11; в) значение выражения | Зс - 18 | равно значению выражения | бс + 24 |; г) значение выражения | 2Ы + 35 | противоположно значению выражения 112 - 6d |? 39^ При каких значениях переменной равны значения указанных выражений? а) I бд: - 3 I и I 5д: + 7 I; б) | Зг/ - 15 | и | 5 - г/ |; в) | 92 + 27 | и -| 2 + 3 |. 39^ Найдите корни уравнения: а)1дс-5| + |дг-2 =3; б)|!/ + 4| + |у-31 = 2; 4001 Решите уравнение: а) I 7д: - 2 I + I 5л: + 2 I = б; б) I 3 - 6г/ I - I 51/ + 10 1 = 4; в) I 9 - 142 I + I 112 + 19 I = -11; г) 1 3^ + 15 I - I 4 - t I = -3; в) I 9 - 2 I + I 2 + 1 I = 12; г) -| б + i I - I f + 12 I = 28. д) I Зх + 5 I - 2 = I Зх + б I - 3; е) 1 5«/ - 2 1 + 3 = 7 - I б1/ + 12 I; ж) |б2-3| + 8 = 5- |3 + г|; з) 9-|7-2^| = 8- |2-^|. 401| При каких значениях переменной; а) значение выражения 1 4х + 5 | на 12 больше значения выражения | 2х - 3 |; б) значение выражения | 4«/ - 8 | на 2 меньше значения выражения | 2у + 10 |? 4021 Составьте уравнение и решите задачу: а) Частное двух рациональных чисел равно 8, при этом одно из этих чисел на 21 больше другого. Найдите эти числа. б) Одно из двух загаданных рациональных чисел на 10 больше другого, а сумма их модулей равна 16. Найдите эти числа. Найдите корни уравнения: а) |х + 3| + |х-1| + |х + 5| = 3; в)|2-14| + |2-9| + |2 + 18| = -5; б) |1/-6|-|у + 4| + |1/-7| = -7; r)\t + 6\-\5-t\ = \t + 7\-n. 4041 При каких значениях переменной указанные равенства являются истинными высказываниями? а) I 2х - 8 I + 1 Зх - 18 I + I 7х + 14 I = 38; в) | З2 + 9 | - | 12 - 42 | = | 52 + 2 | - 4; б) I 51/ + 4 I - I Зу + 21| + I 7у - 28 I = -2; г) | 4i - 20 | = 8 - | 9t - 2 | + | 10^ - 7 |. 86 Глава 6, §1, if.2 Ш д) л: > 3; -9 < у < -2; е) > 7; I у I < 5. Решите уравнение: а) |х + 9| + |ж-3| + |л: + 7| + |х-4| = 8; б) i!/-o|-|y + 4i + |y-l|-|y + 21 = -6; в) I 2 - 14 I + I 2 - 13 I + I 2 + 12 I + I Z + 11 I = -10; г) |^ + 4|-|^-6| = 6- |^-8|^-|^-2|; д) ! 4д: + 16 I - I 7х - 14 I + I бх + 12 1 + I Зх - 9 I = 57; е) I 8у - 24 1 + I 2у + 10 I + I 5у - 10 I - I у + 7 I = 11; ж) I 112 + 22 I + I 32 - 15 1 - I 2 + 5 I - 1 42 + 24 I = 32; з) I 2f - 4 I - I б^ - 30 I = 7 + I 9< - 36 I + I 8f - 64 |. а) Целое число а кратно 9. Может ли остаток при делении этого числа на 27 быть равен 11? б) Целое число Ь при делении на 14 дает остаток 8. Найдите остаток при делении числа Ь на 2, на 7. На координатной плоскости Оху постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) X > -3; у < 4; в) 2 < х < 9; -3 < у < 5; б) X < 5; у < -1; г) -8 < х < -1; у < 1; Упростите выражение: а) 8т - (5т + (7т - (Ют - 2т))); б) а + (46 - (а - (Зс - 36) + 2с + (а - 26 - с))); в) X - (2у + (32 - Зх - (х + 2))) - (2х - (у + 32)); г) 7р - (2р + (д - Зр + (5у - 2р) - 4р) - 2д). Разложите многочлен на множители: а) т® + 6mV + Д) 27р® - 27р^д + 9рд^ - д-’ б) 4р*2 - 20р®2® + 252»®; е) 125п® + 7Ъп^т + \Ъпт^ + т®; в) 16п® - 81т»®; ж) 8х® + 125у®; г) 160^6=» - 12\сЧ*\ з) 216а®х® - 1256V- Числа 257, 374 и 478 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число, большее 1. Чему равно это натуральное число? 4й\ а) Пекарь за 2,5 часа выполнил часть полученного заказа. Сколько времени он должен после этого работать до того момента, когда ему останется сделать ^ часть О заказа, если он работает с постоянной производительностью? б) Для того чтобы испечь 16 порций блинов, необходимо 4 яйца. Сколько потребуется яиц, чтобы приготовить 28 порций блинов? Докажите, что 3® -Ь 4® + 5® + ... + 8® -Ь 9® + 10® делится на 13. .,3. 87 Глава 6, §1, п.З Решите уравнение ах + Ь = О, где: — «3 5 , , 75 /. 1 1 , . „о\ 485 • 6^ • ^2 + ^94 ■ (^2 ■ 3 =(4 4^4- «I 15. 414 Двенадцать школьников съели на празднике 44 пирожных. Каждый мальчик съел по 4 пирожных, а каждая девочка - по 3. Сколько пирожных на этом празднике съели девочки? Четверо друзей, Миша, Ваня, Петя и Коля, съели вместе 55 конфет, при этом каждый из них съел хотя бы одну конфету. Миша съел больше всех конфет, а Ваня и Петя съели вместе 35 конфет. Сколько конфет съел Миша? 3. Решение линейных уравнений в целых числах* Математика является отнюдь не только делом рассудка, но и суш,ественным образом - делом фантазии. Феликс Клейн (1849-1925), немецкий математик Нам часто приходилось сталкиваться с тем, что самые разные практические задачи приводили к уравнениям, в которых неизвестные по своему смыслу являлись целыми числами. Уравнения, решениями которых являются целые числа, интересовали ученых еще в древности. Так, в III веке новой эры появляется сочинение «Арифметика» александрийского математика Диофанта, которое становится поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. И не только потому, что Диофант здесь впервые вводит буквенную символику - язык алгебры. В этой книге он предлагает новые способы решения задач, имеющих большое практическое значение. В чем же особенности задач, рассмотренных Диофантом? 1. Математическими моделями его задач являются уравнения, имеющие целые коэффициенты, с двумя и более неизвестными. 2. В задачах требуется найти целые решения таких уравнений. По имени Диофанта уравнения с целыми коэффициентами, которые требуется решить в целых числах, назвали диофантовыми уравнениями. Рассмотрим задачу, приводящую к таким уравнениям, и решим ее. Задача 1. Внук спросил у бабушки, сколько ей лет. Она ответила, что если сложить число ее полных лет и обе цифры этого числа, то получится 83. Сколько лет бабушке? Решение: Пусть X - количество десятков, at/ - количество единиц числа полных лет бабушки. При этом, так как хну- соответственно первая и вторая цифры ее возраста, то л:, у € Z, О < л: < 9, О < у < 9. 88 Глава 6, §1, п.З Теперь мы можем записать математическую модель нашей задачи: ------► Юдг + у = ? { 10х + y + x + y = SS X, i/gZ, 0<х<9, 0<у<9 Для решения полученного уравнения вначале упростим его: 10х + y + x + z/ = 83ollx+2i/ = 83 Заметим, что 2у - число четное, а 83 - нечетное. Поскольку сумма двух четных чисел всегда число четное, то Их должно быть нечетным, а значит, и число х - нечетное. Так как у > О, то из уравнения Их -Ь 2i/ = 83 следует, что Их < 83. А поскольку у < 9, то Их = 83 - 2у > 83 - 2 • 9 о Их > 65 Таким образом, 65 < Их < 83. Неравенство сохранится, если каждое из чисел ХО 0 65, Их и 83 мы разделим на И, поэтому 5^ < х < 7^-^- По условию X - целое число. Целыми решениями полученного неравенства являются х = 6их = 7. И так как мы выяснили, что число х - нечетное, то, значит, X = 7 является единственным решением исходного уравнения. Теперь найдем соответствующее ему значение у. Для этого подставим значение X = 7 в уравнение Их -Ь 2у = 83. Получаем: И • 7 -J- 2у = 83 о 77 Н- 2у = 83 о 2у = 6 <=> у = 3 Найденное значение у удовлетворяет условиям, заданным в математической модели: 3gZhO<3<9. Следовательно, решениями нашего уравнения являются X = 7, у = 3. Ответ: бабушке 73 года. Решая задачу 1, нам удалось не только найти некоторое ее решение, но и доказать, что данное решение единственное. Однако уравнения в целых числах часто имеют несколько решений. Иногда в этом случае задачу можно решить, осуществляя перебор всех возможных вариантов. Задача 2. Для перевозки зерна используются мешки, в которые входит либо 80 кг, либо 60 кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для перевозки 1 тонны зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Решение: Пусть понадобится х мешков по 80 кг и у мешков по 60 кг. По условию задачи х, у g N^, где - множество неотрицательных целых чисел. Запишем математическую модель нашей задачи: 80х + бОу = 1000 { х=?у=? Наибольшим общим делителем чисел 80 и 60 является число 20. Число 1000 делится на 20. Поэтому мы можем упростить уравнение, разделив на 20 обе его части: 80х -f бОу = 1000 о 4х -Н Зу = 50. 89 Глава 6, §1, п.З Теперь заметим, что поскольку у > О, то из равенства 4х + Зу = 50 следует, что 4х < 50. Разделив обе части данного неравенства на 4, получим х < 12,5. И так как по условию X е то х может принимать лишь целые значения из промежутка о < л: < 12. С другой стороны, равенство 4дс + Зг/ = 50 мы можем записать в следующем виде: 4л: + Зу = 50 <=> 4х = 50 - 3j/ о 4л: = 48 - Зр + 2 о 4л: = 3(16 - у) + 2 Это означает, что 4л: при делении на 3 дает остаток 2. Среди целых л: от 0 до 12 таким свойством обладают лишь числа 2, 5, 8, 11. Значит, переменная х может принимать лишь следующие значения: л: = 2, л: = 5, л: = 8, л: = 11. Теперь из уравнения 4л: + Зу = 50 для указанных значений л: найдем соответствующие им значения у. л = 2 л = 5 X = 8 X = 11 4 • 2 -ь Зу = 50 4 • 5 + Зу = 50 4 • 8 -1- Зу = 50 4 • 11 -н Зу = 50 у = 14 е No У = 10 6 No у = 6 е No у = 2 е No Так как все полученные значения у являются неотрицательными целыми числами, то все найденные пары л: и у являются решениями нашей задачи. Ответ: мешки можно заготовить четырьмя различными способами: Вид мешков Количество мешков 1-й вариант 2-й вариант 3-й вариант 4-й вариант Мешки по 80 кг 2 5 8 11 Мешки по 60 кг 14 10 6 2 Линейные уравнения с двумя переменными х и у, полученные при решении двух рассмотренных задач, в общем виде можно записать так: ах + by = с, где а, Ь, с е Z. Используемый нами алгоритм решения таких уравнений в общем виде можно записать следующим образом. Алгоритм решения уравнений вида ах + by = с, где а, Ь, с & Z, в целых числах методом перебора 1. Найти области значений переменных. 2. Используя свойства делимости, найти все возможные значения одной из переменных. 3. Вычислить соответствующие значения второй переменной. 4. Выбрать из найденных решений уравнения те, которые удовлетворяют условиям задачи. Однако далеко не всегда при поиске целых решений таких уравнений удается выполнить второй шаг - отыскать все возможные значения какой-либо из переменных. Поэтому спектр задач, которые можно решить таким способом, весьма ограничен. 90 Глава 6, §1, п.З Александрийский математик Диофант еще в III веке нашей эры придумал и обосновал общий способ поиска целых решений данных уравнений. Способ Диофанта дает возможность после нахождения всего лишь одного произвольного решения исходного уравнения записать сразу все остальные его решения. А это, в свою очередь, позволяет существенно расширить возможности решения многих задач. ©О© Прежде чем описать данный способ, рассмотрим две теоремы, которые позволяют сразу же определить, имеет ли целые корни уравнение вида ах + by = с, где а, Ь, с е Z, или не имеет. Например, имеет ли смысл искать целые корни следующих уравнений: 5х - 7у = -11, 4х + 6у = 9, или сразу можно сказать, что они не имеют целых решений? Первую из этих теорем мы приведем без доказательства, так как для ее обоснования у нас пока недостаточно математических знаний, зато вторую - сможем доказать. Теорема 1. Целое решение уравнения ах + by = с, где а, Ь, с е Z, всегда существует, если с делится на d = НОД (| а |; | ft |). Коэффициенты уравнения Ъх - Ту = -\\ удовлетворяют условию теоремы 1: действительно, НОД (5; 7) = 1, а число -11, как и любое целое число, делится на 1. Значит, мы сразу можем сказать, что уравнение Ъх - Ту = -11 имеет хотя бы один целый корень. Однако данная теорема не позволяет сделать никаких выводов о втором уравнении, ведь его коэффициенты не удовлетворяют условию этой теоремы: НОД (4; 6) = 2, а число 9 не делится на 2. В этом случае на помощь приходит теорема 2. Теорема 2. Уравнение ах + by = с, где а, Ь, с е Z, не имеет целых решений, если с не делится на d = НОД(| а |; | ft |). Доказательство: Так как d = НОД (| а |; | ft |), то числа а и ft можно представить в виде а = d • а^, Ь = d • Ь^, где Oj, ftj е Z и при этом НОД (| а, |; | ftj |) = 1. Подставим полученные выражения для а и ft в исходное уравнение: ах + by = с о d • а^х + d • Ь^у = с <=> d (а^х + Ь^у) = с Левая часть полученного равенства делится на d, а правая - нет, так как по условию с не делится на d. Следовательно, не существует таких целых х w. у, при которых это равенство было бы возможно, что и требовалось доказать. Т Теперь на основании теоремы 2, не решая уравнение 4х + &у = 9, мы можем утверждать, что оно не имеет целых решений. Таким образом, мы научились по коэффициентам линейных уравнений с двумя неизвестными сразу выделять те из них, которые имеют хотя бы одно целое решение. Идея поиска всех целых решений уравнений рассматриваемого вида заключается в следующем: сначала надо найти одно произвольное решение данного уравнения. После этого, используя свойства уравнения и найденное решение, можно будет выразить значения х vi у через некоторую единую переменную величину (обозначаемую, например, к), принимающую целые значения. Подставляя затем вместо к в зависимости X и у от к все возможные целые значения к, получим все целые решения исходного уравнения. Проиллюстрируем общий способ поиска целых решений уравнения вида ах + by = с, где а, Ь, с s Z, на примере уравнения Ьх - Ту — -11. Мы уже убедились в том, что оно имеет хотя бы одно решение. Попробуем его найти. 91 Глава 6, §1, п.З Перебирая различные варианты, убеждаемся в том, что одним из решений данного уравнения является пара чисел х^ = 2, у^= Z. Действительно: 5-2-7-3 = -11 (истинно). Теперь подставим в исходное уравнение вместо числа (-11) полученное выражение 5 • 2 - 7 • 3 и выполним цепочку равносильных преобразований: 5х - 7у = 5 • 2 - 7 • 3 о 5д: - 5 • 2 = 7t/ - 7 • 3 о 5(x - 2) = 7(«/ - 3). Так как НОД (5; 7) = 1, то из полученного равенства следует, что для всех целых X и у, являющихся решением исходного уравнения, (л: — 2) кратно 7, а {у — 3) кратно 5. Поэтому если мы разделим обе части последнего равенства на 35, то получим в левой и правой части некоторое целое число. Обозначим его k\ 5{х - 2) = 7{у - 3) о X - 2 _ У - 3 = к, где к & Z. Проведенные преобразования показывают, что выражения X 7^5 одному и тому же целому числу к. А значит, приравняв к числу к каждое из выражений, мы сможем получить множество всех решений исходного уравнения: равны = к <=> X = 7к + 2 = к <=> у = 5к + 3. 7 - -- -V - 5 Итак, решениями исходного уравнения являются пары чисел вида х = 7к + 2, у = Ък + 3, где к & Z. Проверим, что эти пары чисел действительно являются решениями первоначального уравнения ох - 7у = -11: 5(7к + 2) - 7{5к -I- 3) = -11; 35 + 10 - 35к - 21 = - 11; -11 = -11 (истинно). Например, при к = 0 решениями будут уже известные нам числа х = 2, у = 3: при к = 10 - числа х = 72, у = 53; при к - -100 - числа х = -698, у = -497 и т. д. Понятно, что простым перебором, который мы использовали при решении задач 1 и 2, множество решений данного линейного уравнения получить просто невозможно, так как каждому целому числу к будет соответствовать своя пара целых х и у, удовлетворяющих исходному уравнению. Иногда по условию задачи на х и у накладываются некоторые ограничения. В этом случае полученные зависимости х и у от к будут решениями уже не при всех целых значениях к. Поэтому для полного решения задачи из ограничений на х и у надо получить ограничения на к н найти все возможные значения к. После этого для каждого найденного значения к надо найти соответствующие значения х и у. Например, если в рассмотренном выше уравнении значения х и у должны принадлежать промежуткам -10 < х < 10, 0 < i/ < 20, где х, у е Z, то к может принимать лишь целые значения, удовлетворяющие следующим неравенствам: -10 < д: < 10 о -10 <7fe-f-2<10 0 -if < к< Л о к е {-1; 0; 1} о < 5ft -Ь 3 < 20 о -3 < 5ft < 17 о ft е {0; 1; 2; 3} Поскольку ft должно удовлетворять обоим условиям одновременно, то следует взять пересечение двух полученных множеств. Значит, к е {0; 1}. Теперь найдем значения хну, соответствующие найденным значениям ft. 92 Глава 6, §1, п.З Если А = 0, тол:=7-0 + 2 = 2, 1/ = 5*0 + 3 = 3. Если fe=l, тох = 7‘1 + 2 = 9, 1/ = 5‘1 + 3 = 8. Значит, уравнение 5х - 7у = -11 при условии -10 < л: < 10, 0 < у < 20, где х, у е Z, имеет два решения: х = 2, у = 3их = 9,у = 8. Обобщая рассмотренный способ поиска целых решений линейных уравнений вида ах + by = с, где а, Ь, с е Z, приходим к следующему алгоритму. Алгоритм решений уравнения ах + Ьу = с, где а, Ь, с е Z 1. Найти d = НОД(| а \; \ Ь |). 2. Если с не делится на d, записать, что данное уравнение не имеет решений. 3. Е]сли с делится на d, разделить правую и левую части исходного уравнения на d: ах + by = с о a^x + 6,у = с^, где а^ = а : d; Ь^ = Ь : d; = с : d. При этом НОД(а^ ^,) = 1- 4. Используя свойства делимости целых чисел, найти одно из решений х^, у^ уравнения а^х + Ь^у = с,. 5. Записать, что а^х + Ь^у = а^х^ + Ь^у^. 6. Записать полученное уравнение в виде ^ ^ = к, где к & Z. Oi Cl 7. Выразить X и у через к: х = - Ь^к + х^; у = а^к + у^. И, подставив полученные выражения для х и у в исходное уравнение, сделать проверку. 8. Если на X и у наложены ограничения, то определить множество значений, которые может принимать А. 9. Если множество значений к конечно, то для каждого значения к найти соответствующие значения хну. 10. Записать ответ. О TTsl 1) Ваня загадал натуральное число и сообщил своим друзьям, что загаданное им число двузначное. Если сложить его с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 44. Могут ли Ванины друзья узнать, какое число он загадал? 2) Какой метод решения уравнений был использован при решении данной задачи? В каких случаях можно использовать этот метод? Решите уравнения методом проб и ошибок: 1) х(2х -I- 5) = 18, где х е N; 2) х(2х - 9,.6) = 70, где х е Q. Чем данные уравнения похожи и чем отличаются? Можно ли решить данные уравнения методом перебора? Где и почему возникают затруднения? 1) Составьте математическую модель задачи: «Катя задумала двузначное натуральное число, сумма которого с утроенной цифрой его единиц равна 74. Какое число задумала Катя?» 2) Проанализируйте полученное уравнение и докажите, что его можно решить методом перебора. Как сократить перебор, используя свойства делимости? Найдите ответ на поставленный в задаче вопрос. 3) Запишите в общем виде тип уравнения, которое вы решали. Запишите алгоритм его решения, используемый вами, и сравните его с алгоритмом, приведенным на стр. 90 учебника. 93 Глава 6, §1, п.З Ш| Ш 425 а) Задумали два натуральных числа. Известно, что сумма удвоенного первого числа и увеличенного в пять раз второго числа равна 49. Найдите загаданные числа. б) Задумали два натуральных числа. Известно, что утроенное первое число равно разности между 58 и вторым числом, увеличенным в четыре раза. Найдите загаданные числа. в) Сумма увеличенного в семь раз первого натурального числа и удвоенного второго натурального числа равна 39. Найдите эти числа. г) Разность между 98 и увеличенным в девять раз первым натуральным числом равна увеличенному в пять раз второму натуральному числу. Найдите .эти числа. Можно ли набрать сумму 1000 р., если имеются купюры достоинством 10 р. и 100 р. и необходимо использовать ровно: а) 10 купюр; б) 19 купюр; в) 27 купюр; г) 37 купюр? На складе имеется кофе, упакованный в мешки по 20 кг и 40 кг. Отгрузка кофе происходит без вскрытия мешков. а) Может ли кладовщик отгрузить клиенту 140 кг кофе? б) Какие мешки с кофе должен отгрузить кладовщик и в каком количестве при отгрузке 260 кг, чтобы количество мешков с кофе было минимальным? в) Какие мешки с кофе должен отгрузить кладовщик и в каком количестве при отгрузке 380 кг, чтобы количество мешков с кофе вместимостью 40 кг было минимальным? У продавца на рынке есть только гирьки весом 100 г и консервные банки весом 450 г. Как продавцу с их помощью отвесить за одно взвешивание на чашечных весах 2,5 кг сахара, используя в общей сложности наименьшее количество гирек и банок, если он ставит их на одну чашу весов? На станцию привезли 420 тонн угля в вагонах вместимостью 15 т и 20 т. Могло ли их быть в сумме: а) 26; б) 20; в) 22; г) 29? У бабушки есть стеклянные банки вместимостью 0,7 и 0,9 л. Бабушка разливает в банки сок, заполняя все банки полностью. а) Сколькими способами она может разлить в эти банки 20,5 л сока и какие банки она должна при этом приготовить? б) Какое количество и каких банок надо заготовить, чтобы разлить 15 л сока, чтобы при этом количество всех банок было минимальным? в) Какое количество и каких банок надо заготовить, чтобы разлить 12 л сока, чтобы при этом количество банок по 0,9 л было минимальным? а) Целое число дает при делении на 5 остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2. Найдите остаток от деления этого числа на 15. б) Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 4 — остаток 3. в) Целое число при делении на 7 дает остаток 2, а при делении на 8 - остаток 3. Найдите остаток от деления этого числа на 56. г) Найдите все числа, которые при делении на 4 дают остаток 2, а при делении на 9 - остаток 5. 94 Глава 6, §1, п.З 43Л У вкладчика разорившейся фирмы было более 240 ее акций. Поняв, что акции уже ничего не стоят, он разорвал каждую из своих акций на 8 кусочков. Не удовлетворившись этим, он разорвал один из получившихся кусков опять на 8 кусков и рвал таким способом акции далее. Сколько акций у него должно было быть, чтобы на некотором этапе у него получилось 2010 кусков? Мише и Маше сейчас вместе 26 лет, причем Маше в три раза меньше лет, чем будет Мише тогда, когда им вместе будет в пять раз больше лет, чем Юре сейчас. Сколько лет сейчас Юре, если ему меньше 14 лет? 89 Числа т, га, о in dm + 7га рых это будет верно. - натуральные. Найдите все пары чисел тип, для кото- ш ш Используя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность логического вывода: а) Если некоторые функции являются прямо пропорциональными зависимостями, то некоторые прямо пропорциональные зависимости - функции. б) Если ни одна ломаная линия не является графиком линейной функции, то ни один график линейной функции - не ломаная линия. в) Если все уравнения вида kx + Ь = сх - линейные и некоторые линейные уравнения не имеют решений, значит, некоторые уравнения вида kx + Ь = сх не имеют решений. г) Если все решения уравнения | х -Ь 5 | = 3 отрицательные числа и некоторые отрицательные числа четные, то некоторые четные числа не являются решениями уравнения | х -Ь 5 | = 3. д) Если ни одно решение уравнения | х - 3 | = 1 не делится на 5, а некоторые числа, кратные 5, делятся на 10, значит, некоторые числа, кратные 10, не являются решениями уравнения | х - 3 | = 1. е) Если все натуральные числа являются целыми и ни одно натуральное число не является отрицательным, значит, все целые числа не являются отрицательными. Докажите, что: а) число 7Т...779 делится на 9; б) число 44...44264 делится на 12. '------' '-------------------------------,----' 1234 цифры 2010 цифр В числе 3 985 1бП стерли последнюю цифру. Какой могла быть эта цифра, если число делилось на: а) 2; б) 3; в) -4; г) 5; д) -6; е) 8; ж) 9; з) -10; и) -12; к) 18? а) В магазине имеются велосипеды и мотоциклы. Известно, что разность между количеством велосипедов и 20% количества мотоциклов равна 40% от суммы количества мотоциклов и 50% количества велосипедов. Чего в магазине меньше - велосипедов или мотоциклов, и на сколько процентов? б) Как изменится цена товара, если сначала ее увеличили на 20%, затем уменьшили на 10%, а затем уменьшили еще на 5%? в) Один из множителей увеличили на 5%, а другой уменьшили на 5%. Как изменилось произведение? г) Сторону квадрата изменили так, что его периметр сначала увеличился на 60%, а затем уменьшился на 60%. Как изменилась сторона квадрата? 95 Глава 6, §1, п.З Ш Постройте график функции. Найдите: 1) значение у при х, равном а; 2) значение X при у, равном Ь, если: а) f (х) = -X + 5; а = -2; Ь = -8; б) f (х) = Зх + 4; а = -4; 6 = 6; ш Найдите значение выражения: • (а^)« • (За)** _ в) f (л:) = -2,5л; + 7; а = 4; 6 = 3; г) / (л:) = 4,5х + 2] а = 2; Ь = -5. а) б) а Ж: 56 (За^)^ • (а®« : • а Зо° при 0 = 2; 756 ■ (с28 . рЗ) . fj21 ■ ^63 . 68 Ь34 - 2{ЬсУ при Ь = -6, с = 2. т о (^72 . ^,53) . (^,6)9 . ^,51 . (7^)56 ^ Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию, графиком которой является эта прямая, и постройте ее график: а) А(1; 4), Б(-2; -23); в) А(4; 5), В(-2; -7); д) А(0; 1), В(-1; -6); б) А(3; 26), Б(-4; -16); г) А(1; -16), В(-4; 9); е) А(3; 4), В(-2; 9). Докажите, что 5'® - 2*® делится на 21. 14371 Можно ли набрать сумму 5000 р., если имеются купюры достоинством 100 р. и 500 р. и необходимо использовать ровно: а) 14 купюр; б) 9 купюр; в) 26 купюр; г) 35 купюр? И 441] На складе имеется мука, упакованная в мешки по 30 кг и 60 кг. Отгрузка производится без вскрытия мешков. а) Может ли кладовщик отгрузить клиенту 210 кг муки? б) Какие мешки с мукой и в каком количестве при отгрузке 270 кг должен отгрузить кладовщик, чтобы количество мешков с мукой было минимальным? в) Какие мешки с мукой и в каком количестве при отгрузке 390 кг должен отгрузить кладовщик, чтобы количество мешков с мукой вместимостью 60 кг было минимальным? У продавца на рынке есть только гирьки весом 200 г и 500 г. Как продавцу с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 4 кг конфет, используя ровно 14 гирек, если он ставит их на одну чашу весов? Папа привез на дачу стеклянные банки емкостью 0,5 и 0,7 л. Мама раскладывает в эти банки варенье так, чтобы все они были полными. а) Сможет ли мама разложить в эти банки 12 л варенья? б) Какое количество и каких банок должен был привезти папа, чтобы мама могла разложить в них 25 л варенья так, чтобы количество всех банок было равно 44? в) Какое количество и каких банок должен был привезти папа, чтобы мама могла разложить в них 17 л варенья так, чтобы при этом количество банок было равно 30? На станцию привезли 650 тонн нефти в цистернах вместимостью 20 т и 25 т. Могло ли их быть в сумме: а) 25; б) 29; в) 32; г) 35? 96 Глава 6, §1, п.З 4^ а) Целое число дает при делении на 8 остаток 3, а при делении на 5 - остаток 1. Найдите остаток от деления этого числа на 40. б) Найдите все числа, которые при делении на 9 дают остаток 2, а при делении на 7 - остаток 4. 19 Числа k, р, ^ - натуральные. Найдите все пары чисел k и р, для которых это будет верно. Докажите, что: а) число 22...226 делится на 3; б) число 55...554 делится на 18. ' , ' '---^--' 2344 цифры 1991 цифра В числе 7 654 32Q стерли последнюю цифру. Какой могла быть эта цифра, если число делилось на: а) 2; б) 3; в) -4; г) 5; д) -6; е) 8; ж) 9; з) -10; и) -12; к) 18? а) Сторону квадрата сначала уменьшили на 40%, а затем увеличили на 40%. Как и на сколько процентов изменилась его площадь? б) В коллекции имеются марки и значки. Известно, что разность между количеством значков и 40% количества марок равна 60% от суммы количества марок и 20% количества значков. Чего меньше в коллекции, значков или марок, и на сколько процентов? в) Как изменится цена товара, если сначала ее уменьшили на 60%, затем увеличили на 20%, а затем увеличили еще на 50% ? г) Один из множителей уменьшили на 10%, а другой уменьшили на 30%. Как изменилось произведение? Постройте график функции. Найдите: 1) значение у при х, равном а; 2) значение X при у, равном Ь, если: а) f (х) = 2х - 9; а = -3; Ь = -6; Найдите значения выражений: б) f (х) = -5л: + 3; а = 2; 6 = 4. а) а’’ • a^° • • (a^f • (5а)^ (5а^)® • (а®‘* : ■ а*® • а®® а® при а = -4; е,____11«» ■ (с»» : с»«) ■ 6»' ■ Ь‘> ■ (Ьс)“_ . пои 6 - 7 с - -1 Прямая проходит через точки А и В. Задайте аналитически линейную функцию, графиком которой является эта прямая, и постройте ее график: а) А(1; 5), В(-1; 3); б) А(0; 4), В(-2; 0); в) Л(2; 4), В(-1; -8). Докажите, что любой предмет, вес которого выражается целым числом килограммов, большим 7, можно взвесить на чашечных весах, имея лишь 3-килограммовые и 5-килограммовые гири в достаточном количестве. Решите уравнение \ ах Ъ \ = Ь, где: <’-(2^ + 2§-3-64,5:e + 4f-2,l + l,3-4i-|. 3g 1 4”Петер)Сон, 7 кл., ч. 3 97 Глава 6, §2, п.1 Докажите, что 9®^ - 4®^ делится на 65. [45^ в ассортименте магазина имеется 40 подарочных наборов 6 различных на-именований. Сможет ли покупатель купить в этом магазине 7 одинаковых ____подарочных наборов? т Наташе 12 лет, а ее дедушке 60 лет. Через сколько лет дедушка станет в 4 раза старше Наташи? § 2. Линейные неравенства 1. Линейные неравенства и их решение в математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Николай Егорович Жуковский (1847-1921), русский ученый, создатель аэродинамики Между двумя числами или алгебраическими выражениями могут стоять знаки >, <, > или <. Получившиеся таким образом математические предложения называют неравенствами. При этом если между выражениями стоят знаки > или <, то неравенства называют строгими, а если в них используются знаки > или <, то неравенства называют нестрогими. Неравенства могут быть всегда истинными или всегда ложными. Примерами таких неравенств являются верные и неверные числовые неравенства, а также неравенства, верные или неверные для любых значений входящих в них букв: 5 > 4 (истинно); | За - 26 | < 0 (ложно); (а + Ь)'^ > 0 (истинно). Но есть неравенства, которые при одних значениях переменных истинны, а при других ложны. И тогда появляется необходимость найти те значения переменных, при подстановке которых неравенство превращается в истинное высказывание. Такие значения переменных называют решениям-и неравенства. Значит, решить неравенство - это найти множество всех его решений либо доказать, что решений нет. Ранее мы уже решали простейшие неравенства с помощью числовой прямой. И знаем, что решениями неравенств четырех простейших видов х> а, х<Ь, x>cvi JC < d, где а, Ь, с, d е Q, являются следующие числовые промежутки: Неравенство X > а X < Ъ X ^ с X ^ d Решение неравенства Открытый луч (а; -ьоо) Открытый луч (-оо; Ъ) Замкнутый луч [с; 4-00) Замкнутый луч (-00; d] -1 а ь с d 98 Глава 6, §2, п.1 А можно ли найти способы решения более сложных неравенств, аналогичные способам, используемым нами при решении уравнений? То есть можно ли с помошью равносильных преобразований привести исходное неравенство к одному из четырех указанных выше простейших видов? Ведь тем самым мы укажем все значения переменной, при которых неравенство истинно. А это и будет означать, что мы решили исходное неравенство. Прежде чем ответить на этот вопрос, уточним, что имеют в виду, когда говорят о равносильных преобразованиях неравенств. Определение 1. Два неравенства равносильны, если все решения первого неравенства являются решениями второго неравенства и, наоборот, все решения второго неравенства являются решениями первого. Например, неравенства хЧ-3>-1ил:-1-5>1 равносильны, так как оба будут верными в том и только в том случае, если х > -4. А неравенства х-+-3>-2их-1-5>1 не являются равносильными, так как, например, при х = -4 первое неравенство верно, а второе - нет. Определение 2. Преобразование неравенства называют равносильным, если оно приводит к неравенству, равносильному данному. Правила равносильных преобразований неравенств основываются на известных нам свойствах чисел: V а, Ь, с е Q: a>h=>a + c>h + c a>b=>a-c>b-c a>b, с>0=> ас > be с с а>Ь, с<0=>ас<Ьси-<- с с То есть если число а больше числа Ь, то при сложении и вычитании этих чисел с некоторым числом с, а также при умножении и делении их на положительное число с знак неравенства не изменится. Если же данные числа а и & умножить или разделить на отрицательное число с, знак неравенства изменится на противоположный. Данные свойства неравенств верны и для всех других видов неравенств, строгих и нестрогих. И из них непосредственно следуют правила равносильных преобразований неравенств. Правила равносильных преобразований неравенств 1. Если к обеим частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число (выражение), то получим неравенство, равносильное данному. 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (выражение), то получим неравенство, равносильное данному. 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (выражение) и изменить знак неравенства на противоположный, ТО получим неравенство, равносильное данному. Заметим, что первое свойство равносильных преобразований неравенств полностью совпадает с аналогичным свойством равносильных преобразований уравнений. Поэтому правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую можно распространить и на неравенства. 4* 99 Глава 6, §2, п.1 Правило переноса слагаемых из одной части неравенства в другую Слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом их знаки на противоположные. Рассмотрим теперь неравенства: -2х + 1 < 0; 0,4х - 9 > 0; -д: > 0; 5д: + 2 < 0 Общее во всех этих неравенствах то, что левая их часть является выражением вида kx + Ь, где k, Ь - рациональные числа. При этом в каждом из этих неравенств левая часть сравнивается с 0 с помощью знаков >, <, >, <. Такие неравенства называют линейными неравенствами с одним неизвестным х. Определение 3. Линейным неравенством с одним неизвестным х называется неравенство, которое может быть представлено в одном из четырех видов: kx + Ь > о, kx + Ь < о, kx + Ь > о, kx + Ь <: о, где k, Ь - рациональные числа. Решим линейное неравенство в общем виде, рассмотрев для определенности неравенство kx + Ь > 0. Вначале перенесем слагаемое Ь в правую часть данного неравенства: kx + Ь > о о kx > -Ъ Для простоты рассуждений обозначим с = -Ъ. Тем самым мы переходим к решению неравенства kx > с. Это решение будет зависеть от значений А и с. При этом возможны три случая: ^ = 0,й>0ий<0. 1) Если А = о, то неравенство kx > с преобразуется в неравенство 0 • д: > с. Тогда при неотрицательных значениях с данное неравенство не будет иметь решений, а при отрицательных - его решением будет любое число. 2) Если > о, то обе части неравенства мы можем разделить на k, сохранив знак неравенства. Получаем: kx > с с^> X > т. k Значит, решениями неравенства будут все значения х из интервала (j^; -1-оо), 3) Если k < о, то обе части неравенства мы можем разделить на k, изменив знак неравенства на противоположный. Получаем: kx > с о X < Т' k Следовательно, решениями неравенства будут все значения д: из интервала (-оо; |). Таким образом, как только мы представили линейное неравенство с одним неизвестным X в виде kx > с, мы сразу можем найти его решение. В случае, если неравенство kx ^ с нестрогое, то при k Ф 0 число ^ также будет являться его решением. Поэтому в ответе получится не открытый, а замкнутый чис-С с левой луч [^; Ч-оо) или (-°о;^]. Если же А = 0, то неравенство 0 ■ х > с будет истинно при любом с < о и ложно при с > 0. 100 Глава 6, §2, п.1 Таким образом, все полученные результаты решения неравенств kx > с я kx > с в зависимости от значений ft и с представим в следующей таблице: Значение к Значение с Решения неравенства кх > с Решения неравенства кх ^ с ft = 0 с < 0 (-СХЭ; +00) (-00; +00) ft = 0 с = 0 0 (Нет решений) (-00; +СХ5) ft = 0 с > 0 0 (Нет решений) 0 (Нет решений) ft > 0 с - любое (|; +-) [f; +00) ft < 0 с - любое (—; f) (-0О; f] Аналогично рассуждая, можно получить следующую таблицу решений неравенств kx < с я kx <: с: Значение ft Значение c Решения неравенства kx < с Решения неравенства кх К с ft = 0 c < 0 0 (Нет решений) 0 (Нет решений) ft = 0 c = 0 0 (Нет решений) (-00; +00) ft = 0 c > 0 (-00; +00) (-00; +00) ft > 0 c - любое (-оо; f) (-оо; ft < 0 c - любое (f; +00) [|: +00) В итоге мы получили все решения неравенств вида kx > с, kx < с, kx > с, kx < с, где к, с - рациональные числа. Таким образом, задача решения линейных нергшенств преобразовалась в задачу приведения их с помощью равносильных преобразований к одному из четырех указанных видов. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Решите перавспство 2лг - 4 < 5л; -1- 8. Решение: Приведем данное неравенство к виду кх < с, где к, с & Q. Для этого слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а числа - в правой и упростим полученные выражения: 2д:-4<5д: + 8 <=> 2д:-5л:<4-1-8<=> -Зх <12 Здесь ft = -3, а с = 12. Разделим обе части полученного неравенства на отрицательное число (-3), изменив при этом знак неравенства на противоположный: -Зл: <12 <=> л: > -4 Значит, решением нашего неравенства является открытый луч (-4; -foo). Ответ: (-4; -foo). 101 Глава 6, §2, п.1 Пример 2. Решите неравенство 3(х + 4) - 2(х - 8) > х - 5. Решение: Приведем данное неравенство к виду kx > с, где k, с е Q. При этом результаты равносильных преобразований будем записывать друг под другом: 3(х - 4) - 2{х - 8) > X - 5 Зх - 12 - 2л: + 16 > л: - 5 __ i. Зх - 2х - X > - 5 + 12 - 16 О • X > -9 Здесь А: = О, а с = -9. Неравенство О • х > -9 верно при любом значении х. Значит, решением исходного неравенства является вся числовая прямая. Ответ: (-°о; -1-оо). 1-ж г,т^ 2х-1^6-2х Пример 3. Решите неравенство —g— ^ —3—• Решение: Приведем данное неравенство к виду kx < с, где к, с е Q, используя правила равносильных преобразований: 2х - 1 ^ 6 - 2х < о 3(2х - 1) < 2(6 - 2х) о 6х - 3 < 12 - 4х « 10х < 15 о 2 3 о X < 1,5. Значит, решением исходного неравенства является замкнутый луч (-о°; 1,5]. Ответ: (-оо; 1,5]. Установленные способы решения линейных неравенств для каждого иэ четырех выделенных в определении случаев можно представить в виде алгоритма. Рассмотрим пример такого алгоритма для линейного неравенства, приводящегося к виду kx > с, где к, с е Q. Алгоритм решения линейного неравенства, приводящегося к виду kx > с, где k, с е Q 102 о Глава 6, §2, п.1 4бП ж) а > Ь, Ь > С з) а < Ь, Ь <: с - > а > с; а < с. Запишите в виде неравенств следующие высказывания: а) сумма чисел 2 и б больше 5; б) разность квадратов чисел а и Ь меньше 8; в) квадрат суммы чисел cad больше или равен 25; г) разность кубов чисел хну меньше или равна 32. Найдите верные высказывания: а) а > а; в) а > Ь о 6 < а; д) а > fe о Ь < а; б) а > а; г) а > 6 «> 6 > а; е) а > Ь Ь < а; Известно, что а > Ь, с < Ь. Используя свойства неравенств, запишите еще четыре различных неравенства. На числовой прямой Ох изобразите указанные промежутки и запишите их обозначения: а) л: < 4; в) д: > 3; д) -5 < л: < -2; ж) -9 < л: < -6; б) дс > -5; г) дс < -2; е) 3 < л: < 7; з) -2 < дс < 6. Изменится ли знак неравенства 2 < 5, если в левой и правой его частях выполнить следующие преобразования: а) прибавить число (-1); в) умножить на число 3; б) вычесть число 4; г) разделить на число (-2)? Запишите полученное неравенство и проверьте свои предположения с помощью вычислений. 1) Найдите множества решений неравенств: X > 2; X + S > 5; х - 2 > 0; 7х > 14; -2дс < -4; д: : 2 ^ 1; ^ 3' Что вы замечаете? Являются ли данные неравенства равносильными? 2) Предложите свои варианты определения понятий «равносильные неравенства» и «равносильное преобразование неравенства». Сравните свои определения с определениями, приведенными на стр. 99 учебника. 3) Проанализируйте преобразования, выполненные вами при решении данных неравенств, и сформулируйте правила равносильных преобразований неравенств. Сравните их с правилами преобразований, приведенными на стр. 99-100 учебника. Равносильны ли неравенства: а) д:-1<3идг<4; б) 1/-1-1>6и1/>7; в) 2 < 8 и -2 > -8; г) < > о и 4f > 0; д) 5а < 20 и -а > -4; е) 2 - 6fe < 5 и 66 - 2 < -5; ж) 8с - 6 > 10 и 4с > 8; з) -5d+ 7 < -8 и -3d < -3? 462\ Используя правила равносильных преобразований, докажите, что все приведенные ниже неравенства равносильны между собой: - 5 > - 2д: -Ь 3; -5 > - 2дс -I- 3; -2х -Н 3 < -5; -2х < -8; д: > 4. Составьте по три неравенства, множеством решений которых служит числовой промежуток: а) (4; -1-00); б) [-2; +00); в) (-ОО; -5); г) (-оо; 6]. 103 Глава 6, §2, п.1 464) Решите неравенство, пользуясь правилами равносильных преобразований: а) 7х < -28; б) Зу > 36; в) -5г < -45; г) -9р > 63; д) -| < -Зд; е) |г > -32; ж) 4а - 2 > -10; з) 106 + 7 < 8; и) 6 < 4 - Зс; к) 12 > 5d - 9; л) -12k + 4 > -5; м) 7 - 5т < -16; н) -Зп + 5 > -Юл - 9; о) 6р - 2 < 8р + 11; п) Пд + 7 > 9д + 13; р) -7г - 9 > 6г + 17; с) 8s + 7 < -12s - 33; т) -12t - 4<-9t + 26. 4^ 1) Является ли число 1,5 решением неравенства 4л; + 3 > 9? Найдите два решения этого неравенства, большие 1,5. Существуют ли решения этого неравенства, меньшие 1,5? 2) Является ли число -6 решением неравенства Зл: - 6 < -24? Найдите два решения этого неравенства, меньшие -6. Существуют ли решения этого неравенства, большие -6? 46б| Известно, что а > 7. Докажите, что: а) -6а < -42; в) За - 2 > 19; д) 9 - 4а < 5а - 54; б) I > 3,5; Какие правила равносильных преобразований неравенств вы использовали при доказательстве каждого из утверждений? Решите неравенство 9л; -Ь 5 > 6л: - 11. Является ли решением этого неравенства число: г) 3 - f < I; е) у - 3 > 11 - ж) 5|? а) -7; б) -6; в) -5; г) -5у д) 0; е) 5; И68| Решите неравенство: а) о • л: > 5; в) 0 • 2 > -3; д) 0 • р < -9; ж) 0 • г < 6; б) о • г/ > -7; г) о • f > 8; е) 0 • q' < 11; з) 0 • s < -15. 4691 1) По аналогии с определением линейного уравнения с одним неизвестным, дайте определение линейного неравенства с одним неизвестным. Сравните его с определением, приведенным на стр. 100 учебника. 2) Решите в общем виде линейное неравенство: а) kx > с; б) kx > с; в) kx < с; г) kx < с. Представьте полученные результаты в таблице в зависимости от значений кис. Значение k Значение c Решения неравенства kx> с kx > с kx < с бл: < с k = 0 c < 0 k = 0 c = 0 k = 0 c > 0 k> 0 c - любое k<0 c - любое Сравните свою таблицу с таблицами, приведенными на стр. 101 учебника. 104 Глава 6, §2, п.1 Решите неравенство и изобразите множество его решений на числовой прямой Ох: а) 8х - 3,6 < 4,4; в) Зл: + 16 > - 5; д) 7л: + 12 > 9л: - 14; б) 9 - 4л: > -7; г) -5л: - 14 < -19; е) 6 - 8л: < -12 - 11л:. Предложите свой алгоритм решения произвольного линейного неравенства с одним неизвестным. Сравните его с алгоритмом, предложенным в учебнике на стр. 102. При каких значениях переменной истинно неравенство? Ё23 ж) 4х - (32 + 6л: - 16) + Зх < -10; з) 9х - 37 - (4х - 25) > 11; и) 7х - (6 - 5х) > 4 - (Зх - 2) - х; к) 12х - (9 + 8х) < 5 + (4х + 2); л) Их + (12 - Зх) < 14х + 13 - (6х + 4); м) 7 - (4х + 9) + 5х < (15 - Зх) + (х + 7). а) 8х + 23 - 2х > 10 - 6х - 17; б) 15х + 3 - 17х < 7 - 5х - 19; в) 30 > Зх - X + 8х + 7х - 2х; г) 5х + 8 < 6х + 12 + Зх + 2; д) 4х + 18 + 7х < 17 + Их -8 + 10; е) 16 - 9х - 23 + 7х < 22 - 2х - 34; При каких значениях переменной: а) значение выражения За - 7 больше И; б) значение выражения 12-26 меньше 8; в) значение выражения 9с - 5 больше или равно значению выражения 6с + 4; г) сумма значений выражений 4d + 3 и 2 - 9d не больше 2; д) разность значений выражений 2х + 4 и х + 3 меньше 15; е) значение выражения Иг - 4 больше утроенного значения выражения 2г + 3; ж) удвоенное значение выражения 7 - I/ не меньше значения выражения 5у + 3; з) удвоенное значение выражения 3^ - 5 меньше или равно утроенному значению выражения 5 - 6^? Решите неравенство: а) 2х - 3(5 - х) > 3; б) 4(6у - 1) < 19 + 3(8у - 9); в) 7(3 + 5г) + 6 > 2(3z - 7) - 17; г) 8s - 2(2 - 7s) > 5(4s + 3) + 3s; д) -6(3t - 7) + 13t < 5(9 - 30 + 100 е) 5r - 3(4r - 2) + 7r > -4(2 - 3r); Ш Ж) 2,5a - 4(2a + 1,5) + 0,35 > 4,6(a + 1) - 6a; з) 2,2(26 - 1) - 1,6 > 3,1(3 + 6) + 4,3(6 + 2) - 2,7; и) l,2(c - 4) - 0,5 < 0,2(2c - 27) - 0,6c + 1,4c; к) 5,7d + 8(0,9 - 0,lcO > 3 - 1,3(6 - 3d); л) 7,3p - 7(0,6p - 1) + 1,3 < -10,5 - ll,9(p - 2); m) -(2,5r + 1) - 3(2,3r - 2; < - 2(4,7r - 1,2). Докажите, что данное неравенство не имеет решений: а) 5(х + 1) + 6(х + 2) > И(х + 2); в) 7(3г + 6) + 5(г - 3) - 13(2z + 3) > 0; б) 6(1/ - 1) + 3(8 - I/) < 3 (1/ + 2); г) 4{Ы + 2) - 2{5t + 2) - 10{t - 4) < 0. Докажите, что неравенство верно при всех значениях переменной: а) 5(х + 1) - X + 10 > 2 - 4(х - 3) + 8х; г) 3 - 4(а - 2) - 5а + 4 > 5 - 3(а - 3) - 6а; б) 12 - 6(j/ + 2) + 5у + 9 < б1/ - 7(1/ - 3); д) -2(6 + 8) + 66 + 8<3-76-9 + 116; в) 7г + 5 - 4(2 + 5) < -1 - 2(2 - 7) + 5г; е) 9с - 6 + Зс + 7 > 2(5 - 6с) - 15 + 24с. 105 Глава 6, §2, п.1 477 При каких значениях переменной значение выражения: д) 3(с - 4) - (-5с + 4) отрицательно; е) 4(8 - т) + 3(6 - 2т) неотрицательно; ж) -5(3л - 1) - 7(3 - п) неположительно; з) 2{-2р + 3) - 5(4 - р) + 6р положительно? а) 9л: - 45 положительно; б) Ьу + 38 отрицательно; в) 5 — 4а неположительно; г) 7Ь + 28 неотрицательно; Укажите, если это возможно: а) наибольшее решение неравенства 2л: - 7 + 9х < 4л: - 5 + Зх; б) наименьшее решение неравенства 5 — 9у + 6 + 15г/ > 41/ - 12 - 2у; в) наибольшее решение неравенства 3 + 4z - 11 + 6г < 2г - 9 + г; г) наименьшее решение неравенства 5t - 3t + 7 + 13^ > St - 16 - 7t + 6t; д) наибольшее целое решение неравенства 18 - Зр + 9 - 19р > 8р - 7 - 9р; е) наименьшее целое решение неравенства 9 - 2д - 12 + 17^ >99-11+ 3q. Докажите, что: а) неравенство 6л: > 6(л: + 3) не имеет корней; б) решением неравенства 111/ - 5 < 9(у + 1) + 2у является любое число; в) число ^ является решением неравенства 2z - 5(2 - 2) < 2(4г - 3) - 5г; г) число (-1) является решением неравенства 4(3f + 1) - 7^ > 15 - 9(f + 3); д) число 6 не является решением неравенства 4а - 7(3 - а) - 6 > За - 2(7 - За); е) число (-5) не является решением неравенства 16 - 3(6 + 2) + 66 < 116 + 5(1 - 6). Решите неравенство: а) 1 + 4 > 3; Д) f + 2 < 1 - 6; ч Зл: - 2 ^ 6л: + 1 2 ^ 3 ■ н) - 1 < ^ б) 1 - 5 < 9; е) 4 - 1 > 1 + 7; 2 - Sy 9±у, К) 5 ' 4 • в) -| + 3 < 5; ж)|-3<-| + 4; ^ 5 - 2 ^ 8 - З2 -2 ^ 5 ’ ., 2 - 3 ,; п) 1 < - г) 6 - 1 > -4; 3)3-|>-f-2; , 4i + 7 ^ 10 + f м) _4 > _9 ; . 3 - 7t ^ , Р) _8 <1 4811 При каких значениях переменной: а) значение выражения 2л: - 5 меньше значения выражения 7 + Зл: 6 ’ IL±1. 5 ’ 2+2 4 ’ 7 - 3t -5 ' 3 + 4i/ 11 - 2i/ б) значение выражения —g—^ меньше или равно значению выражения------- в) значение выражения 9л: 8 11 , 4 - 7л: ---h 3 больше или равно значению выражения 5-z—; , 2 - 3t ^ 6i + 5 , „о г) значение выражения 2 Н--^— больше значения выражения —2-------- |48^ Запишите три неравенства, решением которых является число с: а) с = 4; б) с = -5; в) с = 2,3; г) с = -3,5. 106 Глава 6, §2, п.1 ш Запишите три неравенства, равносильных неравенству 4х - 3 < 2{/ + 1. 484 Известно, что 5а+ 4 >166-11. Докажите, что: 489 а) а > 3,26 - 3; в) -1,66 > -| - 1,5; .а . ^ 166 о 3 ■ * ^ Тб" “ Ш б) 7,5а + 22,5 > 246; г) - а + 1,4 < 4,4 - 3,26; е) ^ >66-6. Найдите все значения а, при которых неравенство 2а + 5л: < 7л: - 6 истинно при: а) л: = 3; б) л: = -1; в) л = 0; г) л = 8. Имеет ли неравенство решения при указанном значении а? а) 5л - а > 2(3л - 2), а = 5; б) 2у + За < 2г/ + 7, а = -3; в) 4(2 - 7) < 42 + За, а = -10; Решите неравенство: а) 4(л + 5) > 28(л - 9); б) 8(у - 5) < 24(7 - у); в) 6(48 - 22) > -48(3 - 2); г) 5{t + 3) - За < 5< + 2, а = -7; д) 9г - а > 7(г - 4) + 2г, а = -4; е) 8(s - 7) - 4s > 4s + 7а, а = 6. г) + 12) < 49(6 - 7ty, д) -18(6а - 15) > -63(7 - За); е) 15(21 - 46) < 60(11 - 56). а) Длина одной стороны прямоугольника на 8 см больше длины другой. Какой может быть длина большей стороны, если периметр этого прямоугольника меньше 32 см? б) Длина прямоугольника равна 5 см. Какой должна быть ширина этого прямоугольника, чтобы периметр прямоугольника был меньше 18 см? в) От дома Вгши до школы более 1,6 км. С какой средней скоростью должен идти Ваня, чтобы дойти до школы за 24 минуты? г) Коля и Наташа проплыли в лодке 10 км. При этом часть маршрута они проплыли по течению реки, а оставшуюся часть - против течения реки. Собственная скорость лодки равна 7 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч. Сколько километров проплыли Коля с Наташей по течению реки, если на всю дорогу они потратили менее 1,5 часа? д) Плата за аренду офиса состоит из первоначального взноса и платы за каждый день аренды. На сколько полных дней можно арендовать помещение и заплатить при этом менее 15 000 р., если первоначальный взнос составляет 8000 р., а плата за каждый день аренды составляет 800 р.? е) Какое количество целых мешков с чаем можно перевезти за один раз на машине грузоподъемностью 3,5 тонны, если масса каждого мешка равна 60 кг? Найдите все неотрицательные решения неравенства: а) I -Ь 6 > I - 7; б) Зу + 5; в) 9 - 52 - ^ < 6 - ^ - 42; г) 4< -I- 12 -f ^ - St. Глава 6, §2, п.1 h^90| Определите знак числа а, если: а) а-5<Ь-5иЬ< -7; в) 7-с + 4<а-10ис< 19; б) За + 4 > Зс - 8 и с > 5; г) 4-а-9>с + 6ис> -10. 4911 При каких значениях переменной истинно неравенство: ч За + 2 « ^ 4а - 9 а) —7^-2а > ; ^4 0,. Ь - 9 ^ 5 - 2Ь б) ЗЬ - < -f-; чбс-5^^ 7с-11 в) —^— < 5с - г) 4.4,. 3 d + 6 3d-11 ч ^а-2,За-4 4а- 3 д) а < — + —--- ч6-4,&-2 Ь- 1^ Ь + 3 “2“ + ^----4“ ^ “6“’ Зс - 7 _ 8 - 9с ^ 6с + 4 3 - 2с. > d; 3) 10 14 ' 5 7 6d - 2 _ 2(d + 1) ^ Ш + 5) Решите неравенство: чт_/п_ш_т о. ^ 2 4 6 8 ’ . 4л: „ бд: ^ 3 5 д) + — -----------;;— > 4; 1 о 4Л I гч ^ 2Л , л 5Л , Зл , X ч о I д б) 2 л ^ ' 20’ ^ + 4 — 5г/ _ 1L в)((зр+^) + ^2д + ^))-8<7; ж) 4г '■)((4'?-f)i-(35-f))-7>12; 3)6- 4 2 _ 3 + 2 2 о.ф - 2 1 + f > 5 10 2t - 2 9- It ш Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: а) 7-|>^ + 9;х€ (-11; 4); б) 5у + ^ <4 + ^-,у е [-2; 7); Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству: а) л: + а < 5; д) 6х + с( > 12; б) 3-х>5 + 4; е)3х-с<а + 8х; в) л: - с < 3; ж) 9х + За < бд: - бс; г) д: + а > 6 + 7; з) 8с - 4д: > 5а - 7дг; |49^ Сравните значения числовых выражений: в) 4 + 32 - ^ < ^ - 22; 2 е [-9; -1]; г) 7 - ^ - 2i; t е (-3; 7]. л 1 J. 1 1 2 4 ” 8’ 5 1 4 б) 9 3 и д. 4 1 11 13 1. ^ 12 ** 12 и) X <---Ь; к) X + а > ^; л) - + -г < с; ' а Ъ м) --T>d. 'а Ь ч 5 6 7 8 ^^6 7^8 9’ 108 Глава 6, §2, п.1 4^ ш Какие высказывания являются общими, а какие - высказываниями о существовании? Докажите истинные высказывания, а для ложных высказываний постройте их отрицание и убедитесь в истинности отрицаний. а) Все элементы множества {-2; 0; 4; 5; 9} являются решениями неравенства х + 4>0. б) Все решения неравенства л: -I- 4 > 0 являются элементами множества {-2; 0; 4; 5; 9}. в) Неравенство 2у + 7 < 15 имеет натуральные решения. г) Все решения неравенства 2г/ 7 < 15 - натуральные числа. д) Некоторые положительные числа являются решениями неравенства ба + 4 > 0. е) Все положительные числа являются решениями неравенства ба + 4 > 0. Приведите дроби к общему знаменателю: 5 7 ^,3 4 .72 а) 1391 ” 2033’ б) 2921 “ 3683’ в) 5215 “ 19817’ а) Строительная компания получила заказ на облицовку здания декоративной плиткой. Первая бригада может выполнить этот заказ за 75 рабочих дней, а вторая может выполнить 20% заказа за 12 рабочих дней. Сколько рабочих дней потребуется этим двум бригадам для выполнения всего заказа, если они будут работать вместе с указанной производительностью? б) На шоколадной фабрике имеются 18 фасовочных линий, работающих с одинаковой производительностью. Они выполняют дневное производственное задание за 14 часов. Сколько нужно добавить фасовочных линий, чтобы выполнить эту же работу за 9 часов? в) Для наполнения бассейна используются три трубы. Через первую трубу пустой бассейн наполняется за 27 часов, через вторую - за 18 часов, а через третью -за 54 часа. За какое минимальное время можно наполнить этот пустой бассейн? г) На заводе по производству мороженого работают 420 рабочих. Профсоюз рабочих принял решение сократить рабочий день с 8 часов до б часов. Сколько рабочих необходимо будет принять на завод для того, чтобы сохранить неизменным ежедневный выпуск продукции, считая, что все рабочие работают с одинаковой производительностью? Постройте график кусочно-линейной функции. Определите по графику, при каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля. а) б) У = Зл:, если х > 1; 3, если -1 < X < 1; -Зх, если X < -1 4х + 5, если X > 0; 5, если -1 < X < 0; X + б, если X < -1 в) г) У = ■ бх - 5, если X > 2; X -Ь 5, если -2 < X < 2; 7 -I- 2х, если X < -2 -2х + 5, если X > 3; X - 4, если о < X < 3; . -Зх - 4, если X < о 109 Глава 6, §2, п.1 В первые пять дней месяца дорожная бригада ремонтировала дорогу со скоростью 5 км в день. Затем, получив дополнительное оборудование, она в течение 10 дней ремонтировала 15 км в день. После этого в течение 5 дней бригада не работала. В последующие 10 дней бригада ремонтировала дорогу со скоростью 12 км в день. Запишите формулу зависимости длины отремонтированной дороги S (в км) от времени работы бри1ады t (в днях) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost. Найдите сумму многочленов Р, Q п R: а) Р = - (9fl2 + Зс), Q = 7с - (Юа^ + 5с), Д = 50^ - (2с - 4а^); Разложите на множители: а) х" + + 1; б) у'^ + 27 + 7у^ -I- 21у; в) а^Ь'^ -Н а^Ьс^ - - а^с*; 6) Р = х^ + гху + 2у^ - (Зл:» - 2ху + Ъу^), Q = Зл:^ - Ъху - Зу^ - (5л:® -I- 7ху + 4г/®), R = -4лг® - 5ху - 2у^ - (Зд:® - 7ху - 6г/®). г) х^у*г^ - х^у'^2* + x*y^z^ - x‘*z“' О д) (р® -Ь Зрд + 4q^f - (р^ + 4д®)®; е) (7п® - 4п® + Зп®)® - (Зп® - Зга®)®. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) Зга и Зга -f- 3 (га € Z); в) 24га -I- 18 и 24га 4- 12 (га е Z); б) 6га и бга -Ь 2 (га G Z); г) 7га и 14га 4- 7 (га е Z). Постройте график функции у = f (д:). Определите по графику, при каких значениях X значение у больше нуля, равно нулю, меньше нуля. а) f(x) = |д:4-3|-|д:-4|; в) f(x) = -|7-д:|-|д-3|; б) f(x) = |д:-5|4-|6-д|; г) Дд:) = |д:4-4|-|8-д:|. Разложите на множители: в) гаг®(га - к) - п\т - к) + к\т - га); г) р®(д - г) 4- q\r - р) 4- г®(р - q). а) ху(х - у) - хг(х - z) - yz(z - у); б) аЬ(а 4- 6) 4- ас(а - с) - Ьс{Ь + с); |50^ Решите неравенство: а) 4д: < -32; б) 7у > 28; л 3 . в) -Ё < г) > • -6г; ■24; д) За - 4 > -13; е) 85 4- 5 < 21; ж) -14с 4- 9 > -47; з) 9 - 5d < - 26; и) -5т 4- 3 > -9тга - 17; к) 8га - 6 < 9га 4- 14; л) 5р + 10 > -9р - 18; м) -6q - 5 < -8q 4-11. Равносильны ли неравенства? а) д: - 5 < -2 и х < 3; б) 2у > 12 и -у > -6; в) За < 27 и -а > -9; г) 125 - 15 < 21 и -45 > 12. 110 Глава 6, §2, п.1 зТз! зТз! з1б| Является ли число: а) 2,4 решением неравенства 1х- 2> 19? Найдите два решения этого неравенства, большие 2,4. Существуют ли решения этого неравенства, меньшие 2,4? б) -3,5 решением неравенства 4л: + 17 < 3? Найдите два решения этого неравенства, меньшие -3,5. Существуют ли решения этого неравенства, большие -3,5? Решите неравенство и изобразите множество его решений на числовой прямой Ох: а) 9х - 7,8 < 10,2; в) -2л: - 33 > 8л: - 28; б) 9,3 - 4х < -14,7; г) 12х + 26 < Зл: - 1. При каких значениях переменной истинно неравенство? а) 8х + 12 - Зл: < 16 - 7л: - 8; д) 8х - 7(3 + х) + 26 + 4х < -18; б) 5х + 3 - Их > 9 - Зх - 4; е) 11(х - 2) - 8х + 24 > 29; в) 27 > 4х - Зх + 9х + 5х - 12х; ж) х - 15 + 7х > 1 - 5х + 7(2 - х); г) 6х + 14 < Зх + 17 + 9х + 8; з) 3(5х - 7) + 4х < 8(4 - х) + 28. При каких значениях переменной: а) значение выражения 4а - 9 больше 5; б) значение выражения 14-35 меньше 11; в) значение выражения 6с - 8 больше или равно значению выражения Зс + 9; г) сумма значений выражений 5d + 2 и 7 - lid меньше или равна -6; д) разность значений выражений 9х + 8 и 5х + 7 не меньше 12? Решите неравенство: а) Зх - 4(7 - х) > 7; г) 3,6а + 6(а + 1,4) > 5,3а + 11,4 - 7,7а; б) 5(3г/ - 2) - 9 < 15 - 2(3у - 11); д) 5,8(5 - 2) > 9,2(1 + 5) + 6(1,15 + 0,7); в) 6(2 + 72) + 12> 4(52 - 9) - 17; е) 3,4(2с - 1) < 5,7с - 4(с + 3,1) + 4,1с. Докажите, что: а) неравенство 7х < 7(х - 5) не имеет корней; б) решением неравенства 6у + 12 > 9у + 3(2 - у) является любое число; в) число является решением неравенства 52 - 6(1 - 2) < 92 - 2(3,5 + г); г) число 3 не является решением неравенства 3(6 - а) + 9 + 4а < 3(а + 3) + 2(а - 1). Докажите, что неравенство верно при всех значениях переменной: а) 6(х + 9) - Зх + 12 > 5 - 5(х - 6) + 8х; б) 8 - 9(г/ - 2) - 4i/ + 4 < 9 - 5(г/ - 8) - 8у. Докажите, что данное неравенство не имеет решений: а) 7(х + 9) + 2(х + 8) < 9(х + 5); б) 4(22 + 3) + 6(2 - 7) - 7(22 - 4) > 0. Решите неравенство: ^ + 5 > 7; в) 12 - i > -3; д)|- -| + 2 < -8; г) i + 5 < 5 - 7; е) 9 - 6 < + 4; 2 < -2 - 11 3 8 111 1^ Решите неравенство: ч 4д: - 3 .. 2х + 3 а) 4 > 5 ; в) ^ - 7 < - ДЧ 1 - 3j/ 8 + 7г/. о; 3 " _4 > rjSt^ 16 > - 12; 16. 5181 Имеет ли неравенство решения при указанном значении а? а) 7д: - о > 2{4х - 3), а = 2; б) 3(22 - 4) < б2 + 2а, а = -3; 15191 Решите неравенство: а) 7(2х + 6) > 35(3д: - 4); б) 9(3у - 7) < -3(12 - 5у); в) 6{2t + 4) - 2а < 12t + 12, а = -5; г) 9(s - 3) - 5s > 4s + За, а = 4. в) 12{Ы + 3) < -24(16 - 90; г) -25(7а - Ъ)> -40(2 - 4а). 520| а) Длина одной стороны прямоугольника на 3 см больше длины другой. Какой может быть длина этой стороны, если периметр этого прямоугольника меньше 24 см? б) От офиса компании до склада менее 27 км. Сколько времени понадобится для того, чтобы проехать на автомобиле от офиса до склада, если средняя скорость движения равна 36 км/ч? в) Сколько мешков с картошкой можно разместить на складе вместимостью 50 тонн, если масса каждого мешка 28 кг? 5211 При каких значениях переменной истинно неравенство? ч4а + 7 г ..За-11 а) —о---5а > б) 36 - < 2 8-6 ....2а-1,3а-1,4а-1,п в) 5а > —5-1----1- —^-Ь 2; , 6 + 3 . г) + 3 6 + 4 4 6 + 5 4 ' 5 ’ 7 ' 5 3 5221 Найдите все неположительные решения неравенства: 5 6-7 21 • . Зд: . с ^ 2д: . г, а) -^ + 6 > -ijT + 9; Решите неравенство: б) 11 - б2 + ^ > 9 - ^ - 2г. а) т т 4 т 3 т < 53; в) Зх + 0-1^ ^ 6 4 б) (б? - • I + (б? - . 11 < 5; 3t - 4 + t г) 7- < 6 Ы > 5; 2t - 11 - 4t 5241 Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: а) 9 - I > ^ + 11, где д: е (-15; 2); б) 5 + 82 - ^ < ^ + 72, где 2 € [-3; 27]. 525| Разложите на множители: а) - 64 + 9дс^ - Збх; б) а®6® - - а^с^', в) (3d® - 5d® + 8d«)2 - (3d® - 8d®)2. 112 Глава 6, §2, п.1 Найдите сумму многочленов Р, Q и R: а) Р = 6/пЗ - (5/га2 + 2т), б) Р = + аЬ + - (а^ - аЬ + Ь% Q = бт — (Вт^ + 2т), Q = 4о^ - 2аЬ + - (8а^ + 2аЬ + 66^), R = 8m^-im- 2т^); R = -За^ + 2аЬ -Ь^+ {2а^ - АаЬ + ЬЬ% 527| а) Мастерская по реставрации картин получила заказ от своего клиента. Первый реставратор может выполнить эту работу за 30 рабочих дней, а второй может выполнить 40% заказа за 18 рабочих дней. Сколько рабочих дней потребуется этим двум реставраторам для выполнения всего заказа, если они будут работать вместе и производительность будет та же? б) В пончиковой компании работают 8 поваров. Они могут выполнить дневное производственное задание за 14 часов. Сколько поваров надо принять в компанию, чтобы они могли выполнить то же самое дневное задание за 8 часов, если производительность всех поваров одинаковая? Первые три часа пути турист прошел со скоростью 4 км/ч. Затем он увеличил скорость и в течение 2 часов шел со скоростью 5 км/ч. После этого он сделал привал и отдыхал 2 часа. После привала турист шел четыре часа со скоростью 3 км/ч. Запишите формулу зависимости длины пути s (в км), пройденного туристом, от времени t (в часах) и постройте график этой зависимости на координатной плоскости Ost. Постройте график кусочно-линейной функции. Определите по графику, при каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля. а) У ' 4х, если X > 1; 4, если -1 < л < 1; -Ах, если X < -1 б) Г Зх - 5, если X > 2; р = X - 1, если -2 < X < 2; [ 3 -Ь Зх, если X < -2 530 53П Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 2л и 2л -t- 2 (л е Z); б) 5л и Юл -Ь 5 (л е Z). Постройте график функции у ^ f (х). Определите по графику, при каких значениях X значение у больше нуля, равно нулю, меньше нуля. а) / (л:) = I X -Ь 2 I - I X - 5 I; б) / (х) = -| 9 - х | - | х - 2 |. Решите неравенство ах > Ь: Л. _ 4,06 • 0,0058 -ь 3,3044895 - (0,7584 : 2,37 -Ь 0,0003 ^ 0,03625 • 80 - 2,43 . 5,7 • 16,2 , 127,68 • 0,5 . 34,68 • 15,4 ^ ^ ■ 20,52 + 4,56 + е;8 ■ 3,57 ' Найдите девять последовательных целых чисел, сумма первых трех из которых равна сумме шести последних. В трех домах живут Винни-Пух, Пятачок и Сова. На первом из этих домов находится табличка «Винни-Пух», на втором - «Сова», а на третьем - «Винни-Пух или Пятачок». Известно, что в каждом из домов живет кто-то один, при этом в нем живет не тот, чье имя указано на табличке. Кто в доме с какой табличкой живет? 113 Глава 6, §2, п.2 2. Решение неравенств с модулями* Стремиться найти истину - заслуга, даже если на этом пути и блуждаешь. Георг Кристоф Лихтенберг (1742-1799), немецкий ученый и публицист В предыдущих пунктах мы с вами научились решать линейные уравнения и неравенства, уравнения с модулями, сводящиеся к линейным. Разберемся теперь с тем, как решать неравенства с модулями. Прежде всего, вспомним, какие числовые промежутки являются решениями простейших неравенств с модулями: | л: | > с, | л: | > с, | л: | < с, | дс | < с (с е Q). с > 0 с < 0 Неравенство Схема Множество решений Неравенство Множество решений 1 X 1 > с (_оо; -с) и (с; -Ьоо) |х1>с (-00; +СХ)) А А 1 -С С 1х\>С (_оо; -с] и [с; -1-00) \х]>с (-0О; +00) -С с |х|<с А 1 (-с; с) \х\<с 0 -с с 1 ,, 1 [-с; с] |х|<с Если с < 0, то 0 Еслис = 0, то{0} -с с Рассмотрим теперь неравенства, в которых под знаком модуля стоит не х, а выражение вида kx + Ь, где к, Ь е Q. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Решите неравенство: | Зж -1- 2 | > -2. Решение: I Зх -1- 2 I > О, а (-2) < 0. И поскольку неотрицательное число всегда больше отрицательного, то данное неравенство верно при любых значениях х. Ответ: (-°о; -1-оо). Пример 2. Решите неравенство: | 7х - 9 | < -5. Решение: I 7х - 9 I > о, а (-5) < 0. И поскольку неотрицательное число не может быть меньше или равно отрицательному числу, то данное неравенство всегда неверно. Ответ: 0. 114 Глава 6, §2, п.2 Пример 3. Решите неравенство: 1 4x - 6 | > 10. Решение: Модуль числа больше или равен 10, если это число либо больше или равно 10, либо меньше или равно (-10). Значит, I 4л: - 6 I > 10 о 4л: - 6 > 10 или 4л: - 6 < -10 Решим каждое из двух полученных неравенств, а затем найдем объединение множеств их решений. 1) 4л: - 6 > 10 о 4л: > 10 + 6 о 4л: > 16 » д: > 4 о д: е [4; +оо) 2) 4л: - 6 < -10 о 4л‘ < -10 + 6 о 4л: < -4 о д:<-1 <=> дсе (-о°; -1] Ответ: (-о°; -1] U [4; +о°). Пример 4. Решите неравенство: | 5х + 1 | < 3. Решение: Модуль числа меньше 3, если это число принадлежит открытому интервалу от -3 до 3. Значит, I 5х + 1 I < 3 о —3 < 5х + 1 < 3 Решим полученное двойное неравенство: -3<5х+1<3<=>-3-1<5х<3-1о-4<5х<2<=> -0,8 < х < 0,4 Ответ: (-0,8; 0,4). Что касается неравенств с несколькими модулями, то способ их решения аналогичен способу, который мы использовали при решении уравнений с модулями: сначала надо выделить числовые промежутки, на которых выражения под знаком модуля не меняют свой знак, а затем найти решения неравенств на каждом из выделенных промежутков. Решением неравенства будет объединение всех полученных решений. Однако прежде чем приступать к решению неравенств с модулями указанным способом, надо внимательно посмотреть на неравенство, так как иногда только лишь по виду неравенства можно сделать вывод о множестве его решений. Пример 5. Решите неравенство: |бх-1-12|-1-|4х-9|< -7. Решение: Заметим, что сумма двух модулей всегда число неотрицательное, поэтому она не может быть меньше или равна отрицательному числу. Следовательно, данное неравенство не имеет решений ни при каких значениях х. Ответ: 0. Пример 6. Решите неравенство: |Зх-4|-1-| 7х-2|>-11. Решение: Сумма двух модулей всегда число неотрицательное, а поэтому всегда больше отрицательного числа. Значит, данное неравенство верно при всех значениях х. Ответ: (-оо; -1-оо). 115 Глава 6, §2, п.2___________________________________________________________ Пример 7. Решите неравенство: |л:-3| + |х + 4|>9. Решение: Решим неравенство способом, аналогичным тому, который мы использовали при решении уравнений с модулями. 1. Под знаком модуля находятся выражения: х - 3; дс + 4. 2. Найдем корни уравнений: х-3 = 0«»х = 3 х14 — 0<=>х------4 3. Отметим найденные корни уравнений на «упрощенной» модели числовой прямой и определим непересекающиеся числовые промежутки, на которые данные числа разбивают числовую прямую. Числовые промежутки (-00; -4) X < -4 [-4; 3) -4 < X < 3 [3; +00) 3 < X < +00 -4 3 4. Проверим, что объединение найденных числовых промежутков составляет всю числовую прямую: (-оо;-4) и [-4; 3) и [3; +оо) = (-оо; +оо). 5. Выпишем определение модуля каждого из выражений и установим для всех числовых промежутков, чему равно значение модуля. ■ X - 3, если X > 3, 3-х, если X < 3 1х-3| = -I X + 4 I = - ' X + 4, если X > -4, X - 4, если X < -4 ' Промежутки Выражения с модулем ' (-00; -4) [-4; 3) [3; +00) |х-3| 3-х 3-х X - 3 |х + 41 -X - 4 X + 4 X + 4 6. Теперь для каждого числового промежутка згшишем и решим неравенство без знаков модуля, равносильное исходному. 1) X < -4, или X 6 (-00; -4) 2) 4 < х < 3, или х € [-4; 3) 3) х > 3, или х е [3; +оо) (3 - X) + (-Х - 4) > 9 3-х-х-4>9 -2х >9-3 + 4 -2х > 10 X < -5, или X € (-00; -5) (3 - X) + (х + 4) > 9 3 - У+У + 4 > 9 7 > 9 (ложно) Нет решений 0 (х - 3) + (х + 4) > 9 х-3+х+4>9 2х > 9 + 3 - 4 2х > 8 X > 4, или X е (4; +°о) 116 Глава 6, §2, п.2 7. Найдем пересечение каждого числового промежутка и соответствующего ему множества решений. _________-5-4 3 4 1) (-оо; -5) П (-оо; -4) = (-00; -5); 2) [-4; 3) П 0 = 0; 3) [3; +оо) П (4; +оо) = (4; +оо). Решением исходного неравенства является объединение множеств решений, полученных на всех числовых промежутках. 8. Ответ: (-о°; -5) U (4; -1-оо). Итак, обобщая способ решения неравенства с несколькими модулями, сводящегося к линейному, приходим к следующему алгоритму. Алгоритм решения неравенств с модулями 1. Найти в неравенстве все выражения, содержащиеся под знаком модуля. 2. Приравнять каждое из этих выражений к нулю и найти корни полученных уравнений. 3. Отметить найденные корни уравнений на «упрощенной» модели числовой прямой и определить непересекающиеся числовые промежутки, на которые данные точки разбивают числовую прямую. 4. Проверить, что объединение найденных числовых промежутков составляет всю числовую прямую. 5. Установить для всех числовых промежутков, чему равно значение каждого модуля: самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или выражению, противоположному ему. 6. Для каждого числового промежутка записать и решить исходное неравенство без знаков модуля. 7. Найти пересечение полученных множеств решений и соответствующих числовых промежутков. 8. В ответе записать объединение всех получившихся множеств решений. О [53j Сравните значения числовых выражений: а) I -4 I -Н I -9 1 и (-4) -I- (-9); г) | -4,3 | • | 9,4 | и (-4,3) • | 9,4 |; б) -I 2,4 I + 7,2 и (-2,4) + I 7,2 |; д) | -8,2 | • | -3,6 | и | -8,2 | • (-3,6); в) -6,8 - I -5 I и I -6,8 I - (-5); е) | 7,14 | : | -4,5 | и (7,14) : | -4,5 |. 536| Решите неравенство, пользуясь определением модуля: а) I дс I > 5; в) | 2 | < 3; д) | -г | < -7; ж) | п | < 0; и) | а | > 0; б) I у I < 7; г) I -t I > 6; е) | -р | > -3; з) | m | < 0; к) | Ь | > 0. 537| Решите неравенство: а) I л: -f 1 I < 5; б) I у - 2 I > 4; в) \ -2 + 3 \ > 3,6; г) I -i + 1 I > 9,4; д) I 2а - 5 I < 11; е) I -36 -I- 1 I < 26; ж) -| 9с - 7 I < 36; з) -| 5d + 2 I > -40; и) -| 2,1s - 4 I > 21. 117 Глава 6, §2, п.2 Докажите, что данное неравенство будет истинным при любых значениях переменной: а)|х + 5|>-7; б) Н I/- 6 | < 4; в)-| 9 + 2г 1 < 11; г) | 29 - 4s | >-51. Докажите, что данное неравенство не имеет решений: а) I а - 9 I < -17; 6)-\ Ь + 12 \ > 15; в) -I 18 -I- Зс | > 25; г) | 38 - 4d | < -29. При каких значениях переменной указанные неравенства являются истинными высказываниями? а) I бд: -Ь 7 - 2л: I < 13; г) -| -7t - 16 + 4< | < -2; б) I 2у - 9 -1- г/ I > 5; д) | 5а - 11а 4- 7 | > 8; в) I 12 - 4я - 4 I > 18; е) -| -17 - 96 4- 23 | < -6; Решите неравенство: ж) I 14с 4- 2с - 8 - 21с I < -3; з) I -2d + 7d-lSd\< 0; и) I 5р + 12 4- Зр I > -12. ж) I 2а - 8 I > I 6а 4- 9 I; з) -| 46 - 28 I < I 15 - 36 I; и) I 11с - 5 - 6с I < I 12 - 4с + 2 - Зс I; к) I 15d 4- 21 - 8d I > I 13 - 4d 4- 3 I; л) I 8m 4- 24 I > -| 7m 4- 4 - 9m 4- 8 |; M) -| -4 - 7n - 16 + 22a I > I 14 - 2л + 8a + 10 |. a) 1д:-1-7|<|д:-9|; 6) I y - 5 I > I 11 - {/ I; b) I 2 4- 12 I > -| 2 4- 4 I; r) -| s + 13 I > I s - 2 I; Д) -I 8 - r I < -I r - 6 I; e) I 3 - n < I 14 - ^ I; При каких значениях переменной: а) значение выражения | а - 9 | больше 6; б) значение выражения | 47 - 56 | меньше 12; в) значение выражения | 7с - 21 | меньше или равно значению выражения | 6с 4- 24 |; г) значение выражения | 3d 4- 27 | больше или равно значению выражения | 42- 6d |; д) сумма значений выражений | 2л: 4- 16 | и | д: 4- 9 1 не больше 20; е) разность значений выражений | бу - 48 | и | 5у 4- 20 | не меньше 8. При каких значениях переменной значение выражения: а) I 2д: - 1 I 4- I Зд: 4- 12 I положительно; г) | 4а - 8 | - | 5а 4- 15 | отрицательно; б) I 6у - 12 I - I 9у 4- 36 I неотрицательно; д) | 14 4- 26 | - | 6 - 7 | неположительно; в) I 52 4- 2 I 4- I 92 - 6 I отрицательно; е) -| 8 4- с | - | 10 - 2с | положительно. 5441 Докажите, что: а) число (-1,5) является решением неравенства | 4д: | > 1 4д: 4- 8 |; б) неравенство |у-7|4-9<0не имеет решений; в) неравенство | 52 - 8 | > -27 верно при всех значениях переменной; г) неравенство |<4-5|4-|2-i|<-12He имеет решений; д) число 3 является решением неравенства |2а4-5|>|4-2а|4-1; е) число 2 является решением неравенства | 46 - 16 [ < | 36 - 45 |. ш Найдите все значения а, при которых неравенство | За 4- 4д: | < | бд: - 2 | истинно при: а) д: = 5; б) д: = -3; в) X = 7; г) X = -2. 118 Глава 6, §2, п.2 Решите неравенство: а) |x-2| + |x-4|>2; б) \у + 9\ + \у-7 <7; в) I г I - I 2 - 5 I < 11; г) |р-3|-|р-4|>5; д) I б + f I - I 4 - f I < -1; е) \ г - q \ + \ q - 9 \ > ж) -|3 + г|-|г + 7|> 21; з) j 4 - S I - I 9 - S I < 1; и) |д1 + 2|-8<|/п+1|-3; к) |п-5| + б>17-|тг-15| л) I ЗЬ - 9 I + I 26 + 8 I > 18; м) 4а + 12 I < 9 + I За - 6 I; н) I 1 - 2с I - I Зс + 9 1 < 6; о) I 2d - 10 I + 6 > I d + 7 I + 4; п) I 5 - 2/г I + i 7/г + 14 I > -13; р) I Заг -21|-9>5-|6 + т|; с) I 5п + 15 I - I 11 - п I < -4; т) 12 - I 21 - Зр I < 14 - I 12 - р I; у) 5 - I - 18 ! > I 9 - g I; ф) I г - 13 I - 9 < 4 + I 7г + 28 |. Докажите, что при указанном значении а неравенство имеет не менее десяти решений: г) 1 Зр + 9 - а I < I 7р + 14 |, а = 6; д) I 2^ - а I > I 9? - 8 - 7? I, а = -8; е) I 15г - 21 - 8г I < 1 5г + а I, а = 15. 5481 а) I 4х - а I < I 5х - 2 I, а = 12; б) I р + 2а I > I р + 7 I, а = -3; в) I 5г + 10 I > I б2 + 2а I, а = -4; Найдите все решения неравенства: а) 1л: + 9| + |л:-6|<|л: + 5|-4; б) |р-7|>|р + 2 +|р-3|-15; B)l2 + 5|-|2-8|>!z + 7| + 2; г) |с-10|<9-|с-5| + |с-3!; д) |а-6| + |а-8| + |а+10|< -19; е) I 6 + 4 I > 1 15 - 6 I - I 6 + 9 I - 14; ж) I 4f - 8 I + I 3t - 9 I + I б< + 12 I < 30; з) 18 + I 6d - 3 I - 9 - I 2d + 8 I > I 4 - 16d |. При каких значениях переменной указанные неравенства являются истинными высказываниями? а) I 6л: + 12 I + I 7л: - 14 I < I 8л: + 4 б) I 7а + 2 I > I 14 - 2а I - I 5а + 15 1 в) I 5х - 12 I - I Зл: - 1 I > I 11 - 2х I г) I 4 - 16р I + I 12р - 5 I < I 12 + 4р Решите неравенство: а) |х + 5| + |х-4| + |х + 3| + |х-2|<15; б) |г/-8|-|р + 1| + |р-4|>|р + 6|-12; в) |2 + 9|>|2-3|-|2 + 11| + |2 + 7| + 21; г) I i + 7 I - I ^ - 9 I < I ^ + 8 I + I i - 12 I - 18; д) |а — 12| + |а — 6| + |а + 5|>|а+10| — 24; е) |6 + 2|-|8-6|<|9-6|-|6 + 8|-12; ж) |с-4|<20-|с-2| + |с-7| + |с-3 1; з) |d + 3|-|d-5|>|d-6|-|d-2| + 10. д) I 7г - 2 I ^ I 22 + 1 I + I 32 - 6 I - 9; е) 11 - I 2d - 8 I - I 3d + 15 I < I 6d - 18 I; ж) I Зс - 9 I + 4 < I 8 - 2с 1 - 1 5с - 10 I; з) I + 4 I + 19 > I 1 - 3f I - I 5 - 2И. 119 Глава 6, §2, n.2 551 Ш г) I 8дс + d I < 6. 553 Ф Найдите все неотрицательные решения неравенства: а) I Зх + 9 I - I 6х - 12 I + I 5д: + 10 I + I 2д; - 7 1 < 16; б) 1 4у - 14 I + I 7у + 21 I > I у - 7 I - I 9«/ + 18 I + 21; в) I 82 + 24 1 > I 32 - 15 I - I б2 + 6 I - I 112 + 22 I - 36; г) I 12а - 48 I + I 9а - 45 I + I 7а + 49 I < I 2а + 11 I - 9; д) I 26 + 1 I > I 5 - 2Ь I - I 7 - 146 I - I 9& + 27 I + 95; е) 1 6с - 3 I - I 9с - 2 I < I 2с - 8 I + I 5с + 25 I - 40. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству: а) I X + а I < 5; б) | х - 6 | > 9; в) | 6х - с | > 8; Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: а) I 2у + 5 I - I Зу + 6 I + I 6у - 12 I < 7, где у е (-°о; 25]; б) -| 3 - 22 I > I 42 + 8 I - I б2 - 12 I - 5, где 2 € (-41; +оо); в) I 5х + 10 I - I 4х - 12 I + 19 > I Зх + 9 I, где х е [-1; 58); г) I 8f - 24 I + I 7< - 28 I > I 6t + 12 I - 14, где f е [-7; 14]. Прочитайте высказывания, записанные на математическом языке с помощью кванторов общности (V) и существования (3). Докажите истинные высказывания, а для ложных - постройте их отрицания. а) Эх е Z: 5х < 2; д) Vn е N: 8п - 9 > 0; б) Vm, п е Q: I I -Ь I п I > 0; е) Зр, q е Z: \ 2р \ < -\ Зд \; в) V/? € Q: 7р > -| 7р| ; ж) 36 е Q: 6 -ь /г < | 6 -Н /е |; г) 36 е Z: 3| 6 I + 2 < 9; з) Vd е Q: 3d + 3 < 5d -I- 5. Переведите в указанные единицы измерения и вычислите: а) в килограммы: в) в часы: 0,563 т -I- 71,52 кг -I- 3480 г - 0,09 ц; 90 мин + 1,25 суток - 10,5 ч -Ь 90 000 с; б) в сантиметры: г) в рубли: 25,9 м + 428,5 мм -ь 10,15 см - 16,8 дм; 12,5 тыс. р. - 19 500 коп. ■+■ 129,8 р. - 80 коп. Какие остатки дают натуральные степени числа а при делении на 6? а) а = 3, 6 = 7; в) а = 7, 6 = 3; д) а = 9, 6 = 5; б) а = 3, 6 = 8; г) а = 7, 6 = 8; е) а = 9, 6 = 7. [55^ а) Два бегуна выбежали одновременно из двух пунктов навстречу друг другу и встретились через 1,5 ч. Найдите расстояние между этими пунктами, если скорости бегунов были равны 12 км/ч и 15 км/ч. б) Два поезда выехали одновременно в одном направлении из двух разных городов, находящихся на расстоянии 160 км друг от друга. Скорость одного из поездов равна 60 км/ч. Чему равна скорость другого поезда, если поезда встретятся через 8 часов? 120 _____________________________________________________Глава 6, §2, п.2 в) Из пунктов А и в, находящихся на расстоянии 420 км друг от друга, выехали одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Скорость первого гштомобиля равна 80 км/ч. С какой скоростью ехал второй автомобиль, если через 6 часов расстояние между ними стало равно 1440 км? г) Миша вышел из дома и увидел, что его друг Коля уходит гулять без него. Миша побежал за Колей и через 4 мин догнал своего друга. Какое расстояние было между Мишей и Колей в тот момент, когда Миша побежал за Колей, если скорость Миши была равна 170 м/мин, а скорость Коли - 80 м/мин? Функция задана формулой. Найдите ее область определения: 5 . Ь + Зх . 2х + 4 а) у = х^ + 8; б) у = 5х - 7] в) У = 9л. - д) У = ж) у = г) У = 2л - б’ Зл -ь 9 {X + 2)(х + 7)’ 5^ , 4л - 7 , 3(х - 2)(х + 5) ®) У fiv-Q’ У уЗ{9у л- - 4)’ 7 ’ ^ 6л - 9 ’ ' ^ л*(2л + 10)(л Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) (л -f Зу) - ((5у - 6л) + 7) - (9л + 8у - 12); б) -(7р - 8д) + {-9р - {4д + 9)) - (9д - (8 + 14р)) - (5р - 11у); в) 4s + 2(3t - (Зг - 6s)) - (5s - 3(s - 4(t - 2r))) + 2{4t -f 2r - 2{3t + 5s)); r) • (4bc : 5) : (bab^c) ■ (-6bc^a) • {bab : 21c2) : {2ab) • {-be) : (- c% 5^ Найдите остаток от деления а на Ь: а) а = 333®5^ Ь = 5; б) а = 999^”, 6 = 7; Найдите три значения л, таких, что: а) л S 4 (mod 11); в) л = 12 (mod 49); б) л = 9 (mod 35); г) л s 15 (mod 51); Функция задана формулой. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно yj, Уг и у^. 5л + 6 2л - 11 12л - 7 а) У = 2 - У^. = 2; Уг = 6; Уд = -7; в) а = 597^®% 6=11. д) л S 21 (mod 62); е) л = 37 (mod 79). в) У = У1 = 2; Уд = -1; Уз = 9; О б) у = Пу 1 о; у, = 1; Уг = -3; Уз = 5; г) у Зл + 14 д) -I 11с + 6 I > 28; е) -| 6d - 12 I < -42. 565| 9л - 3 [56^ Решите неравенство: а) I л I < 7; в) \ -Z + 3 \ > 5; б) I у I > 9; г) I 5 + а I < 15; Докажите, что данное неравенство будет истинным при любых значениях переменной: а) I а + 21 I > -12; в) -| 14 -I- 8а | < 25; б) -I 6 - 9 I < 0; г) I 53 - 66 I > -65. Докажите, что данное неравенство не имеет решений: а) I а - 12 I < -6; в) -| 32 -t- 11с | > 39; б) -| 6 -f 29 I > 31; г) I 47 - 17d | < -44. ; У1 = 1; Уз = 2; Уд = -1. Глава 6, §2, п.2 При каких значениях переменной указанные неравенства являются истинными высказываниями? 92 - 132 + 25 I > 16; -3s + 12s - 33 - 15s > 3. д) I За - 12 I > I 7а + 21 I; е) I 15ft - 24 - 96 I <1 19 - 75 + 3 - 4ft |; ж) I 8c + 32 I > —I 4c + 8 — 11c + 13 |; з) -| -9 - lid - 29 + 26d I < I 21 - 6d + 14d + 19 |. а) I 7x + 211 < 14; в) б) -| 9г/ - 36 I < -18; r) Решите неравенство: а) I л: + 11 I < I д; - 8 I; б) I У + 7 I > -I у + 3 I; в) -I 14 - 2 I < -I 2 - 9 I; r)!5-^|<|2-f|; При каких значениях переменной: а) значение выражения | а - 7 | больше 11; б) значение выражения ] 56 - 8ft | меньше 8; в) значение выражения | 6с 30 | меньше или равно значению выражения | 8с I 48 |; г) значение выражения | 4d + 16 | больше или равно значению выражения | 63 - 7d |; д) сумма значений выражений | Зх + 15 | и | 2х + 3 | меньше 17; е) разность значений выражений | 5у - 45 1 и | 2у + 10 | больше 29. Найдите все значения а, при которых неравенство | 4а + 5х | < | Зх - 2 [ истинно при: а) X = 2; б) X = -4; в) х = 5; г) х = -6. Решите неравенство: а) |х-7| + |х-5|>9; б) i У + 4 I + I // - 9 I < 12; в) \ 2 - Z \ + \ 2 - 3 \ > 4; r)-16 + i|-|i + 8|> 12; д) |9-з|-|7-з|< 21; е) 1 /г - 3 I + 14 > 19 - I ft + 11 I; ж) I 2а — 3 I + I За + 2 | > 7; з) I 5ft + 10 I < 5 + I 8ft - 16 I; и) I 7с - 28 I - 2 > 9 - I 12 + с I; к) i 9d + 18 I + I 17 - d I < -8; Л) 15 - ! 25 - 5p I < 27 - I 12 - p M) I у - 9 I - 15 < 2 + I 6y + 30 |. Докажите, что при указанном значении а неравенство имеет не менее десяти решений: в) I 2р + 11 - а I < I 4р + 24 |, а = 9; г) I 7у - а I > 1 11у - 12 - 5у |, а = -14. а) ! 5х - а I < I 5х - 6 I, а = 10; б) I р + 2а I > I у + 8 I, а = -2; Найдите все решения неравенства: а) |х + 11 i + |x — 3|<|х + 7| + 9; б) |у-5|>|у + 4| + 1р-2|-5; в) |2 + 6|-|2-9|<|2 + 8+2; 5^ г) I За - 11 I + I 6а - 1 I + I 7а + 9 I < -31; д) I 2ft + 7 i > 1 12 - 3ft I - I 4ft + 10 I - 6; е) I 5c - 15 i + I 4c - 20 I + I 8c + 16 I < 28. При каких значениях переменной указанные неравенства являются истинными высказываниями? в) I 42 - 16 I > I 32 + 15 I + I 52 - 35 I - 28; г) I 7i + 14 I - 7 > I 5 - 4^ I - I 9 - ЗМ- а) I 8х + 24 I + I 5х - 22 I > I Зх + 6 I; б) I 9 - 2у I + i Зу - 27 I < I 18 + 6у I; 122 Глава 6, §2, п.2 izil 5^ 5^ Решите неравенство: а) 1х+7| + |х-11| + |л:+10| + |х-б|< 36; б) |j/-4|-|i/ + 8| + |i/-5|>|i/ + 3|-24; в) |2 + 12|>|2-9|-|2 + 7| + |2 + 6|-5; г) I ^ + ll|-|f-2| I р - б I - I Зр + 12 I + 2; в) I 2с - 15 I - I Юс - 9 I > I Зс - 27 I + I 6с + 18 I - 37. Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: а) I Зх + 9 I - I 7л: + 14 I + I 2х - 5 I > -6, где х е [-4; +оо); б) 9 - I 5 - 2г/ I < 1 Зг/ + 21 I - i 7г/ - 14 I, где г/ е (-17; 12]. Переведите в указанные единицы измерения и вычислите: а) в килограммы: в) в часы: 1,79 т + 123,4 кг + 7600 г - 0,12 ц; 150 мин + 4,5 суток - 25 ч + 5400 с; б) в сантиметры: г) в рубли: 142,3 м + 517 мм - 29,7 см - 14,3 дм; 56,9 тыс. р. - 27 430 коп. + 516,9 р. - 130 коп. Какие остатки дают натуральные степени числа а при делении на Ы а) а = 2, 6 = 9; б) а = 4, 6 = 7; в) а = 11, Ь = 5. а) Два туриста вышли одновременно с двух туристических стоянок навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Найдите расстояние между этими туристическими стоянками, если скорости туристов были равны 5 км/ч и 4 км/ч. б) Из пунктов А и Б, находящихся на реке на расстоянии 130 км друг от друга, отплыли одновременно в противоположных направлениях два катера. Скорость первого катера равна 25 км/ч. С какой скоростью плыл второй катер, если через 5 часов расстояние между катерами стало равно 405 км? в) Увидев нарушителя, милиционер побежал за ним и догнал его через 15 мин. Какое расстояние было между милиционером и нарушителем в тот момент, когда милиционер начал погоню, если скорость милиционера была равна 200 м/мин, а скорость нарушителя - 180 м/мин? Функция задана формулой. Найдите ее область определения. а) г/ = - 4; б) J/ = 6х - 8; в) У = г) у = Д) У = 5х + 9 ж) у Зх - 15 4х - 5 ’ ^ 5x2 ’ -V г/ _ 5). 6x4-7. . Зх - 12 , _ 8(х - 6)(х 4- 9) У 9v-11’ ^>У v2r.4v 4- 97V-r - 14)- 12 ’ ^ 2х-11’ х2(3х 4-27)(х Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) 2х 4- 5у - ((у - 7х) 4- 7у) - (2х - 6у) - (Зх 4- 9у); б) (5а - ЗЬ- (95 - 2а)) + (-За - (76 + 4а)) - (6а - (86 - 4а)) - (За - 76); в) 2(4р - Зг) - (6< - (5г - 3s)) - (7s - 2(s - 3(t - 5г))) - (7t + Зг - (5t 4- 9s)); г) (9mn : 7) : (Зпт^р^) • (-7mn^p) • (3pm : 15p2) : (6mn) : (-mpn^) • (-5mp^). 123 Задачи для самоконтроля к Главе 6 582 Найдите остаток от деления о на Ь: а) а = 777“11, Ь = 5; 6) а = 259^^\ Ь = 3; Найдите три значения х, таких, что: а) X S 5 (mod 17); б) х = 34 (mod 51); в) а = 623^26^ Ь = 11. в) X = 47 (mod 73). 584 Функция задана формулой. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно y^, у ^'а У у а) у - Hi - 1; Уг - 2; у, - -2; 6) у - у, - 3; у, - -2; у, - 4. Решите неравенство | 6х 4- 3 | < а, где: а Ь = ^23 "^96 /в . 3 ,16 , 3 20 + 1 _ J_\ 2 15/ .Щ 49 ^16 ^ i+ie|-9:2| - «4 •64 э - 4 + 2^ "^3 2—- 25 27' 587 в актовом зале школы несколько рядов. Если пришедшие на спектакль школьники сядут на каждый ряд по 12 человек, то на последний ряд сядет лишь один школьник. Если же школьники сядут на каждый ряд по 11 человек, то двум школьникам места не хватит. Сколько рядов в актовом зале этой школы и сколько школьников пришло на спектакль? Разбейте число 168 на три не равных друг другу натуральных слагаемых так, чтобы сумма любых двух этих слагаемых делилась на третье. Задачи для самоконтроля к Главе 6 5881 Решите уравнение: а) 17х + 14 - 25х = 36 - 15х - 29; б) 30 = 12у - 5у + Ау - 7у - iy + 30; в) 9г + 3,2 + 12г — 27z - 4,8 + 1,4; г) lot - 27 - 4t + 21 = 8; д) 7,3s + 14,7s = 8,3s - 11,3s; е) 23,2r - 10 = 65 + 29,9r - 6,7r - 43; 58^ Найдите корни уравнений: a) I X - 5 I = 7; 6) I у - 9 I = -12; b) -| 7 - 2m I = -9; r) -| -Sn - 4 + lln I = 0; ж) 6p + 3(4p - 5) = 1 + 8(5p + 7) + 2p; з) 4(2g - 6) - lly = 2(3 - 6q) + 9q; и) 4(/n + 7) 2S{m — 2); к) 12(3ra - 14) = 48(9 - 5ra); Л) 15(2s + 4) = 30(2 - 9s); m) 14(2r - 6) = 21(r - 4) + 7r. д) 1а + 9| = |а-5 1; е) I Ь + 3 I = -| & + 18 i; ж) -| 3c - 6 I = -| 7c + 14 I; з) I 9/e - 8 - 7ft I = I 5 - 3/г + 4 - 6/г |. 124 Задачи для самоконтроля к Главе 6 Равносильны ли уравнения? а) 4 - 8л: = О и 9x = 4,5; б) -б1/ - 18 = О и 15 - 5г/ = О; Найдите корни уравнения: а) в) Зг(2 - 2) = О и 2(г - 2) = 0; г) + 5) = О и # + 5 = 0. в) г) f - 2 = 9; д) У. - У. _ о + iR, 5 9 45’ е) 2г - з| Зг - 5 3 3 2 ’ ж) 6 - t 12- 2t 4 ' 5 ’ з) 2s - 1 = 3 - 2s - 3 Зр - 5 _ 2р - 2 + 1; 9 б 3(7 + 4 _ 5(7 + 6 ^ _2_ 3 { г - 1 , г - 2 + '*■ 15’ г - 3 _ г + 4 15 ’ и) к) л) м) р + 7 5 q-2 1 4’ (7-4’ 2 ' т -2’ _______ п + 4 л + 3 п - 2’ т т - 2 га - 1 7 ' 5 3 а) В трех седьмых классах, 7 «А», 7 «Б» и 7 «В», учится 76 школьников. Известно, что в 7 «А» школьников на 5 больше, чем в 7 «Б», и на 3 меньше, чем в 7 «В». Сколько школьников учится в каждом из этих классов? б) В четыре коробки положили 91 пирожное. Известно, что во второй коробке пирожных оказалось в 2 раза больше, чем в первой, и на 2 больше, чем в третьей. А в четвертую коробку положили на 3 пирожных больше, чем в первую. Сколько пирожных в каждой из этих коробок? в) Частное двух рациональных чисел равно 7, при этом одно из этих чисел на 9 больше другого. Найдите эти числа. г) Одно из двух загаданных рациональных чисел на 4 больше другого, а сумма их модулей равна 12. Найдите эти числа. При каких значениях переменной: а) значение выражения 7а - 19 равно 9; б) значение выражения 116-9 равно значению выражения 56 + 7; в) значение выражения 9с + 21 противоположно значению выражения 15 - Зс; г) значение выражения 2cf + 17 в 5 раз больше значения выражения d + 2-, д) значение выражения 8 - л: в 6 раз меньше значения выражения 12л: + 18; е) значение выражения 9i/ - 5 на 11 меньше значения выражения 2у + 34; ж) значение выражения 3f - 8 на 8 больше значения выражения 14 - 7f; з) значение выражения | z - 3 | равно 5; и) значение выражения | 3s - 9 | равно значению выражения | 5s + 10 |; к) значение выражения | бр + 12 | на 8 больше значения выражения | р + 7 |; л) значение выражения | Зд - 15 | на 12 меньше значения выражения | 7д + 21 |. Докажите, что: а) уравнение 17л: = 17(л: + 9) не имеет корней; б) корнем уравнения 9г/ - 60 = 12(г/ - 5) - Зг/ является любое число; в) уравнение | Зг | = | Зг + 6 | имеет единственный корень; г) уравнение |^-3| + 2 = 0не имеет корней; д) уравнение |6s-9| = |6s + 3|-12 имеет не менее 10 корней. 125 Задачи для самоконтроля к Главе 6 595 Решите уравнение: a) I л: - 5 I + I д: - 7 I = 14; б) -I 11 + 1/ I - I I/ + 19 I = 28; b) |9 + z|-|2-2| = -9; г) -| б - 18i I - I 2f + 8 I = 7; д) 4 - I За - 6 I = I 4 - а I; е) I 5ft - 15 1 = I 15 - I; ж) |х + 3| + |д:-5| + |х + 4| = -15; з) |i/ + 2|-|6-i/| = |j/ + 3|-8; и) |г-2|-|г + 4| + |г-9| = -5; к) |s-10| = 9- |s-3| + |s-7|; л) |5-д|-|9-4| = 7; м) I 2ft + 6 I + I 7ft - 14 I = I 5ft + 2 |. 596 у Миши есть только консервные банки весом 350 и 420 г. Как ему с их помощью отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 9,1 кг гвоздей, используя в общей сложности наименьшее количество банок, если он кладет банки на одну чашу весов. На фабрике по производству соков имеются пакеты вместимостью 0,8 и 1,2 л. Сок разливают в пакеты так, чтобы все пакеты оказались полными. а) Можно ли разлить в эти пакеты 9,8 л? б) Какое количество и каких пакетов надо приготовить, чтобы разлить 76 л сока так, чтобы количество всех пакетов было минимальным? 59^ На станцию привезли 542 тонны бензина в цистернах вместимостью 18 т и 20 т. Все цистерны были полностью загружены. Могло ли получиться так, что цистерн в сумме было: а) 26; б) 28; в) 30; 5991 Равносильны ли неравенство: а) д:-7<9ид:< 16; б) у + 2>12иг/ + 1> 15; 6001 Решите неравенства: а) 9д: < -12; д) -8а - 7 < -6а + 17; б) Ьу > 8,5; е) 5ft - 2 + ft > -7 + 6ft; в) < -2г + 1; ж) 7(4 - 11т) > -56(2 + т); г) 1,2ft + 1 > -3; 3) -5,2(7 - 2га) > -1,3(7га + 4); г) 32? в) 2с - 9 > 17 и - с < 13; г) 5 - 9ft < 14 и 3ft - 2 > -1? и) 11с + 5 - 19с > 37 - 8с - 9; к) 8d - 15 + lid < - 5d + 10 - d; л) 9p + 3(4p - 5) < 6{Sp + 1) + Sp; m) 2,8q - 0,6(8 -q)< 0,5 - 2,3(-2q + 3). И Найдите множество решений неравенства: а) g + 7 > 9; в) g + 2 < у - 1; , 5а - 7 . 2а + 9 , 2с + 8 ^ 7 - Зс Д) —Q— > —г—; ж) ~Zo"' ^ т т б) -| + 7 < -2; г) - J - 1 > 2 - j; е) 3 3 - 4ft ^ 7Ь -9 S 2d < —=—; з) -12 ’ --3<^^^-2. 4^7,о;3 6021 Докажите, что неравенство верно при всех значениях переменной: а) 7(x + 2) - Зх + 10 > 5 - 2(х - 8) + 6х; в) | а + 12 | > -43; б) 10 - 5(у - 3) - 6у + 7 < 1 - 7(у - 8) - 4у; г) -| ft - 34| < 5. 126 Задачи для самоконтроля к Главе 6 Докажите, что данное неравенство не имеет решений: а) б(х + 2) + 8(х + 1) < 14(х + 1); в) j а - 26 | < -32; б) 9{2у + 7) + 4(у - 5) - 11(21/ + 4) > 0; г) -| 6 + 14 | > 18. Решите неравенство с модулем: а) I л: + 2 I < 7; б) I I/ - 5 I > 6; в) -I Зг - 9 I < 42; г) -| 6а + 7 I > -5; д) I 96 + 11 - 3& I < -1; е) I -4с + 7 - 5с - 4 I > 3; ж) |6 + 8|<|/г-4|; з) I 5т - 25 I > I -7т - 21 |; и) -I Зга + 21 I < I 9п + 5 - 12п + 7 I; к) I 6р - 18 I + I Зр + 27 1 > 36; л) I X + 12 I + I л: - 7 I < I а: + 9 I + 14; м) 13 + I 7у - 14 I - 9 - I Зг/ + 12 ! > I 5 - 2р |. При каких значениях переменной: а) значение выражения 7а - 3 больше 4; б) значение выражения 9-46 меньше или равно (-6); в) значение выражения 5с - 12 больше или равно значению выражения 7с + 4; г) разность значений выражений 5d + 7 и 6 - d меньше 5; д) удвоенное значение выражения 3 - 2х не меньше значения выражения Зх - 1; е) утроенное значение выражения у - 7 не больше значения выражения 6г/ + 15; ч „ „ 22 -35 + 2 ж) сумма значении выражении —— и —отрицательна; з) разность значения выражения | а + 12 | и числа 7 положительна; и) сумма значения выражения | 19 - 66 | и числа (-1) неположительна; к) разность значений выражений | Зс - 8 | и | с + 6 | неотрицательна; л) сумма значений выражений |4х-17|и|-х-111 меньше (-30); м) произведение значений выражений | г/ - 6 1 и | 2г/ + 21 | больше или равно (-12). а) Длина одной стороны прямоугольника на 12 см больше длины другой. Какой может быть длина этой стороны, если периметр этого прямоугольника меньше 60 см? б) Оплата за Интернет включает в себя месячную абонентскую плату и плату за каждый скачанный мегабайт. Месячная абонентская плата равна 250 р., а плата за 1 мегабайт равна 17 коп. Какое количество мегабайт можно будет скачать в течение месяца, чтобы плата за Интернет не превысила 319 р.? а) На катке дают напрокат коньки и клюшки. Известно, что разность между количеством клюшек и 20% количества коньков равна 60% от суммы количества коньков и 20% количества клюшек. Чего на катке больше - коньков или клюшек, и во сколько раз? б) Как изменилась пена товара, если сначала ее увеличили на 40%, затем уменьшили на 20%, а затем еще раз уменьшили на 25% ? в) Один из множителей увеличили на 10%, а другой уменьшили на 10%. Как изменилось произведение? Задачи для самоконтроля к Главе 6 6081 а) Два переводчика получили заказ на перевод. Первый переводчик может выполнить этот заказ за 5 рабочих дней, а второй может выполнить 40% заказа за б рабочих дней. Сколько рабочих дней потребуется этим двум переводчикам для выполнения всего заказа, если они будут работать вместе с указанной производительностью? б) Для наполнения бассейна используются три трубы. Через первую трубу пустой бассейн наполняется за 32 часа, через вторую - за 24 часа, а через третью - за 48 часов. За какое минимальное время можно наполнить этот бассейн? в) Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии 25 км друг от друга, выехали одновременно в противоположных направлениях два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста равна 20 км/ч. С какой скоростью ехал второй велосипедист, если через 3 часа расстояние между ними стало равно 130 км? г) Таня, увидев, что ее подруга Наташа идет по направлению к кинотеатру, побежала за ней и через 5 мин догнала ее. Какое расстояние было между Таней и Наташей в тот момент, когда Таня пустилась вдогонку, если скорость Тани была равна 120 м/мин, а скорость Наташи - 50 м/мин? 6091 Решите уравнение: + + 6)3- в)|г + 5|-1-|2-6|-1-|2-1-4|-1-|2-7| = 8; 2 + и У- 4 JL 12 г) I 3fe -Ь 9 I - I 2й - 8 i -f I 5/г + 10 I + I 6/г - 12 I = 19. Найдите все значения х, удовлетворяющие уравнению: &) X + а = б) 4х + 2Ь= 11; бП1 Решите неравенство: в) 2х = —h &; ’ а г) Зх- 2Ь = -. ^ с 4у 7-8.V 2 _ 4M+J 3^7 —--<--:-: 612 \ о 1 ^ 3jc , „ 9х , 5х 3 д, с , о а)3х —Y^^^^~4^^~14^~2— 2 “ в) |2 + 6|-1-|2~9|-Ь|2-1-4|-1-12~8|< 33; г) |/е+1|-4>|/г-11|-|*-Ь8| + |й-1-6|. Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: а) 9 + у > у -Ы2; X G (-28; +оо); б) 5 + 7г/ - ^ ^ - 2i/; у е [-37; 49]; в) j 32 + 12 I - I 22 + 18 I -Ь I 72 - 14 I < 12, где 2 е 3]; г) -1 7 - 4/г I > I 5Л + 15 I - i 2й - 14 I - 18, где fe е [-18; 2). бЩ а) Целое число дает при делении на 7 остаток 2, а при делении на 9 - остаток 3. Найдите остаток от деления этого числа на 63. б) Найдите все числа, которые при делении на 8 дают остаток 5, а при делении на 5 дают остаток 2. 41 ш Числа т, п. 2т -Ь 5п рых это будет верно. натуральные. Найдите все пары чисел тип, для кото- 128 Глава 7 Введение в комбинаторику, теорию вероятностей и статистику § 1. Элементы комбинаторики j_ 1. Задача подсчета числа вариантов Необычайная красота господствует в царстве математики, красота, подобная не столько красоте искусства, сколько красоте природы... Эрнст Эдуард Куммер (1810-1893), немецкий математик На практике нам часто бывает нужно решать задачи, связанные с перебором вариантов. При этом возникает необходимость среди всех возможных комбинаций выбрать оптимальную по некоторым заданным признакам. Например, играя в шашки, шахматы или какую-нибудь компьютерную игру, требуется выбирать ходы, ведущие к выигрышу. Область математики, которая изучает общие законы комбинирования различных объектов - их перестановки, сочетания, размещения, - называется комбинаторикой. В частности, комбинаторика ищет методы решения задач, в которых надо найти число всех возможных вариантов выбора объектов с заданными свойствами. При этом речь, как правило, идет о конечных множествах элементов. Рассмотрим, например, следующую задачу подсчета числа возможных вариантов. Задача 1. Сколько различных паролей, состоящих из четырех различных цифр, можно составить, если в пароле могут быть использованы только цифры 1, 2, 3, 4? Решение: Рассмотрим сначала случай, когда на первом месте нашего пароля стоит цифра 1, и составим для этого случая дерево возможностей. 1- я цифра 2- я цифра 3- я цифра 4- я цифра Из схемы ясно видно, что в этом случае на втором месте могут стоять только цифры 2, 3 и 4. Если на втором месте стоит цифра 2, то на третьем месте могут стоять только цифры 3 и 4, а на четвертом, соответственно, цифры 4 и 3. Аналогично 5*-Петерсон, 7 кл., ч. 3 129 Глава 7, §i. п.1 по два варианта получается, если на втором месте стоят цифра 3 и цифра 4. Таким образом, общее число возможных вариантов в случае, когда на первом месте стоит цифра 1, равно шести: 1234 1324 1423 1243 1342 1432 Поскольку, согласно условию задачи, никаких ограничений на способ расположения цифр в пароле не наложено, то каждая из цифр 1, 2, 3 и 4 может стоять на любом месте пароля. Следовательно, мы также получим по шесть различных паролей и в случаях, когда на первом месте будут стоять цифры 2, 3 или 4. Итак, общее число возможных паролей равно 6 • 4 = 24. Ответ: всего можно составить 24 различных пароля. При решении задачи 1 мы, подсчитывая количество возможных паролей из различных символов, использовали метод систематического перебора, который для задач данного типа состоит в следующем. Метод систематического перебора (подсчет числа комбинаций из различных символов) 1. Закрепить на первом месте комбинации один из символов, принадлежащих множеству заданных в задаче символов. 2. Для выделенного случая вычислить число возможных вариантов, используя дерево возможностей, таблицу и др. 3. Если по условию задачи каждый из символов может занимать любую позицию, то общее количество возможных вариантов равно произведению полученного числа на количество заданных символов. 4. Если на символы наложены какие-либо ограничения, то надо вычислить количество возможных вариантов отдельно для всех символов с различными свойствами, а затем сложить полученные числа. Рассмотрим теперь, как с помощью метода систематического перебора можно решить задачу, в которой на заданные символы наложены некоторые ограничения. Задача 2. В гардеробе у Маши есть красные и синие брюки, черная и синяя юбка, а также белая, голубая и зеленая кофты. Еще у Маши есть два платка - шелковый и шерстяной. Сколько различных нарядов, состоящих из юбки, кофты и платка либо из брюк, кофты и платка, сможет составить Маша из этих вещей, если зеленая кофта не подходит под красные брюки, а шерстяной платок - под голубую кофту? Решение: Составим дерево возможностей, обозначая цвета вещей первыми буквами соответствующих слов, а шелковый и шерстяной платки соответственно цифрами 1 и 2. При этом учтем те ограничения на составление комплектов одежды, которые заданы в условии задачи. Брюки Юбки 130 Глава 7, §1, п.1 Количество вариантов равно количеству точек в последней строке. Значит, получилось 8 различных вариантов с брюками и 10 с юбками, а всего - 18 комплектов. Ответ: Маша может составить из своих вещей всего 18 различных нарядов. Задача 2. Расположите числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в клетках квадрата размером 3X3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? Решение: Напомним, что квадрат называют магическим, если сумма чисел, стоящих в его клетках по столбцам, строкам и диагоналям, одинаковая. Заметим, что магический квадрат можно составить далеко не из любых девяти чисел, поэтому соверщенно не очевидно, что данная задача имеет решение. Чтобы выяснить, можно ли составить из указанных чисел магический квадрат, установим ограничения, которые накладывает на данные числа это условие. Прежде всего, вычислим, какой должна быть сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали искомого магического квадрата. Для этого найдем сумму всех данных чисел и разделим ее на количество столбцов (строк) в квадрате, то есть на 3: (0-(-1 + 2 + 3 + 4-)-5 + 6 + 7 + 8):3 = Зб:3 = 12 Следовательно, сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали нашего магического квадрата должна быть равна 12. Значит, первое ограничение состоит в том, что нам надо выбрать из данных чисел группы по три слагаемых, сумма которых равна 12. Методом перебора устанавливаем все такие комбинации (с точностью до порядка слагаемых): 0-t-4-(-8= 12 1 + 3 + 8 = 12 2 + 3 + 7 = 12 3 + 4 + 5= 12 0 + 5 + 7 = 12 1 + 4 + 7 = 12 2 + 4 + 6 = 12 1 + 5 + 6 = 12 Таким образом, выбрать из указанных чисел группы по три слагаемых, сумма которых равна 12, можно лишь указанными 8 способами. Второе ограничение состоит в том, что число строк квадрата 3X3 равно трем, столбцов - трем, а диагоналей - двум. Значит, всего в указанном квадрате должны быть равными 3 + 3 + 2 = 8 сумм. Так как мы имеем всего 8 комбинаций чисел, сумма которых равна 12, то, следовательно, каждая из них должна занять в искомом магическом квадрате ровно одну позицию - строку, столбец или диагональ. И наконец, необходимо учесть, что в магическом квадрате числа должны встречаться в определенном числе комбинаций. Ведь числа в квадрате расположены на пересечении строк, столбцов и диагоналей (рис. 15). LJ Ч / ' ' V « • Рис. 15 Так, число, стоящее в середине магического квадрата, должно встречаться в четырех комбинациях, в углах квадрата - в трех комбинациях, а остальные числа - в двух комбинациях. Подсчитаем частоту появления чисел в наших комбинациях: Число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Частота появления в комбинациях 2 3 2 3 4 3 2 3 2 131 Глава 7, §1, п.1 Из таблицы видно, что в центре магического квадрата может находиться только число 4, а в углах - числа 1, 3, 5, 7. И так как сумма чисел, расположенных в каждой из диагоналей, должна быть равна 12, то на диагоналях могут стоять лишь две комбинации: 1 + 4-Ь7 = 12 3-Ь4-Ь5 = 12 Поэтому на диагоналях квадрата могут располагаться лишь числа 1, 4, 7 и 3, 4, 5. Таким образом, мы получаем следуюш;ие восемь возможных расположений центрального и угловых элементов в магических квадратах: 7 5 4 3 1 5 1 4 7 3 Поскольку сумма чисел в каждой строке и столбце равна 12, то расположение остальных чисел определяется однозначно. Так, в первом квадрате в верхней строке следует поставить число 12 - (1 + 3) = 8, в нижней - число 12 - (5 + 7) = О, в левом столбце - число 12 - (1 + 5) = 6, а в правом - число 12 - (3 -Ь 7) = 2. При этом получается, что сумма чисел средней строки и среднего столбца также оказывается равной 12: 8-1-4 + 0 = 12 6 + 4 + 2 = 12 Поистине «необычайная красота господствует в царстве математики». Аналогичным образом можно заполнить клетки и всех остальных квадратов: 1 8 3 6 4 2 5 0 7 3 8 1 2 4 6 7 0 j б 1 6 5 8 4 0 3 2 7 5 6 1 0 4 8 7 2 3 4, 5, 6, 7 7 2 3 0 4 8 5 6 1 7 0 5 2 4 6 3 8 1 3 2 7 8 4 0 1 6 5 5 0 7 6 4 2 1 8 3 размером 3X3. ю1^ а) Флаг составлен из трех одинаковых горизонтальных полос разного цвета: красного, белого и синего. Сколько различных флагов удовлетворяют этому условию? б) По дороге домой Боря встретил по очереди трех своих друзей - Ваню, Колю и Мишу. Сколькими способами он мог это сделать? в) Сколько различных трехзначных чисел, цифры в которых не повторяются, можно составить из цифр 5, 4, 8? 132 Глава 7, §1, п.1 бгП ш! а) В обувном магазине продается 12 моделей зимних сапог и 5 моделей туфель. Сколькими способами можно купить в этом магазине одну пару сапог и одну пару туфель, если имеются все нужные размеры? б) В почтовом отделении продается 15 видов открыток и 9 видов конвертов. Сколькими способами можно в этом почтовом отделении купить одну открытку и один конверт? в) У Наташи имеются красный, синий, желтый, оранжевый, фиолетовый и зеленый шары. Сколькими способами она может выложить все эти шары в ряд? г) Пятеро друзей купили билеты в кинотеатр. Сколькими способами они смогут в этом кинотеатре разместиться на своих местах? а) В некоторой стране всего четыре города: А, В, С и В. Есть 7 дорог из города А в город В, 9 дорог из города В в город С и 5 дорог из города С в В. Дорог из А в В нет. Сколькими способами можно добраться из города А в город В? б) В меню ресторана 6 видов первых блюд, 14 видов вторых блюд и 8 десертов. Сколькими способами можно заказать в этом ресторане обед из первого, второго блюда и десерта? в) Сколькими способами можно выбрать из 15 книг по истории, 12 книг по математике и 9 книг по биологии три книги: одну по истории, одну по математике и одну по биологии? г) Сколько различных восьмизначных паролей из цифр 5, 6, 7 и 8 и букв А, В, С, В можно составить, если цифры и буквы в пароле не должны повторяться? а) В седьмом классе одной из школ в расписании занятий в понедельник должны быть следующие предметы: алгебра, русский язык, история, физика, география. Учитель математики попросил составителя расписания, чтобы его урок алгебры был первым или вторым. Учитель физики высказал пожелание, чтобы его урок был вторым или третьим. Учитель географии попросил, чтобы его урок был первым или четвертым. Учителя истории и русского языка не высказали никаких пожеланий. Сколькими способами и как можно составить расписание, удовлетворив все просьбы учителей и заняв уроки с первого по пятый? б) Сколькими способами можно разместить в одном ряду двух мальчиков и трех девочек так, чтобы все девочки сидели рядом? в) В автомобиле семь мест. Сколькими способами могут разместиться в этой машине семь человек, если за руль могут сесть только трое из них? г) Сколько пятизначных чисел, делящихся на 2, можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в искомом числе не повторяются? д) Сколькими способами можно поставить на книжной полке собрание сочинений из 5 томов, чтобы тома 2 и 3 стояли рядом? а) Расположите числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в клетках квадрата размером 3x3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? б) Расположите числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 в клетках квадрата размером 3X3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? в) Расположите числа 1, 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67, 73 в клетках квадрата размером 3x3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? 133 Глава 7, §1, п.1 О а) Учащиеся седьмого класса изучают 8 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы в этот день было 6 различных уроков? б) Сколькими способами можно раскрасить флаг, состоящий из трех одинаковых горизонтальных полос различного цвета, если имеются краски 5 цветов? в) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться? Сформулируйте утверждения, обратные к данным, и определите истинность прямых и обратных утверждений. Найдите равносильные высказывания. Приведите два своих примера равносильных высказываний. а) Если каждое из двух целых чисел делится на некоторое целое число, то и их сумма делится на это число. б) Если произведение двух целых чисел делится на некоторое целое число, то хотя бы один из множителей делится на это число. в) Если целое число а кратно 3, то число 12а кратно 3. г) Если а - целое число и 5а кратно 7, то число а кратно 7. д) Если целое число а кратно 2 и целое число Ь кратно 6, то число За + Ь кратно 6. е) Если целое число а кратно 7 и целое число Ь кратно 14, то число 2аЬ кратно 14. ж) Если целое число а делится на 3, то число а(а + 1) делится на 6. з) Если целое число а делится на 4, то число а(а -t- 2) делится на 8. Сравните числа: ч ^ Ш 31 ^ 121’ «ч 15 137 17 “ 153’ , 156 155 157 “ 156’ , U9 1^ 300 301’ 934 935 г) и 935 936’ 183 363 е) и 193 387’ ч 45 4^ 97 ^ 973’ . ^ 671 73 " 737’ 6^ Й51 Известно, что остаток от деления числа А на 23 равен а, а числа В на 23 - равен Ь. Найдите остаток от целения на 23 числа: \) А + В\ 2) А - В\ 3) А • В, если: а) а = 4, 5 = 8; в) а = 7, 5 = 9; д) а = 15, Ь = 18; б) а = 6, Ь = 5; г) а = 11, 6 = 8; е) а = 21, Ъ = 17. На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) л: + 1 > 7, у - 3 < -5; в) -3 < 4л: + 9 < 1; -14 < 5у - 4 < 6; б) 2х + 3 < 9, Зу - 5 > 4; г) -13 < 2л: - 11 < -7; 2 < 7у -1- 16 < 23. а) Двигаясь по реке, катер прошел расстояние от города А до города В за 5 часов, а на обратный путь ему потребовалось 7 часов. Найдите собственную скорость движения катера, если скорость течения реки равнялась 2 км/ч. Найдите с точностью до десятых среднюю скорость движения катера. б) Расстояние от Астрахани до Санкт-Петербурга по водному пути составляет 3600 км. За сколько времени проплывет теплоход путь от Астрахани до Санкт-Петербурга и обратно, если собственная скорость теплохода будет равна 27 км/ч, скорость течения реки равна 3 км/ч, а остановки составят 10% от всего времени движения? 134 Глава 7, §1, п.1 в) Плот плывет по течению реки. Его догоняет лодка. Собственная скорость лодки равна б км/ч. Через какое время лодка догонит плот, если в данный момент расстояние между ними 18 км? г) Две яхты плывут по реке навстречу друг другу. Собственная скорость первой яхты равна 25 км/ч, а второй - 30 км/ч. Через какое время они встретятся, если в данный момент расстояние между ними 220 км? та 626 Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) б4а^ - 256^ г) 4ц2 - 12W 8а + 56 ’ 4р^ + 44рд + \2\q 1бх^ - 72хи + 81у2 1бр^ - 9о^ 4х-9у А) б4рЗ + 27 q^' в) 18zt - 21<2 е) 27- 86^ -84zt + Збг^ + 49^" ’ 9а^ - 12а6 + 46^’ 2> ж) з) и) д; + 3j/ + 9х^у + 27ху^ + 27г/^’ 64дЗ - 48а^ + 12а - 1 1ба^ - 8а -Ь 1 ’ с® + 1ЪсЧ + 7Ъс(Р -)- 125d^ с" - 2Ъ(Р Найдите наименьшее натуральное х, такое, что: а) Зд: = 2 (mod 4); б) 2х = 3 (mod 5); в) 5д: = 3 (mod 6); г) бд; = 1 (mod 7). На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: г) г/ > Зд: - б. а) у < X + А-, б) у > X - 5; в) г/ < 2д: -Н 4; бп) а) Яхта плывет из пункта А в пункт В в течение шести часов, а обратно - в течение четырех часов. Сколько времени будет плыть плот из Б в А? б) Из города А против течения реки вышел теплоход с постоянной собственной скоростью, равной 25 км/ч. Через некоторое время из города В по течению реки вышла яхта и встретила теплоход, пройдя половину расстояния, которое было между теплоходом и яхтой после начала движения яхты. Чему была равна собственная скорость яхты, если скорость течения реки 3 км/ч? [бЗ^ а) В магазине спортивных товаров продается 8 видов теннисных ракеток и 5 различных наборов теннисных мячей. Сколькими способами можно купить в этом магазине ракетку и набор теннисных мячей? б) У Коли есть синий, зеленый, оранжевый и фиолетовый мячи. Сколькими способами он может выложить их в ряд? а) Между городами Б и А имеется б дорог, а между городами А и С - 9 дорог. Сколькими способами можно добраться из города Б в город С через город А? б) В меню школьной столовой 4 вида салатов, 3 вида первых блюд и 7 видов вторых блюд. Сколькими способами можно купить в школьной столовой обед из салата, первого и второго блюда? в) Сколько различных шестизначных паролей из цифр 2 и 7 и букв А, Б, С, D можно составить, если цифры и буквы в пароле не должны повторяться? 135 лава 7, §1, п.1 а) В седьмом классе одной из школ в расписании занятий одного дня должны быть следующие предметы: геометрия, литература, информатика, физкультура, биология. Учитель физкультуры попросил составителя расписания, чтобы его урок был четвертым или пятым. Учитель биологии высказал пожелание, чтобы его урок был третьим или четвертым. Учитель информатики попросил, чтобы его урок был третьим или пятым. Остальные учителя не высказали никаких пожеланий. Сколькими способами и как можно составить расписание, удовлетворив все просьбы учителей и заняв уроки с первого по пятый? б) Сколькими способами можно разместить в одном ряду шесть мальчиков и двух девочек так, чтобы все мальчики сидели рядом? в) Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 3, 5, 6, 8, если цифры в искомом числе не повторяются? а) Расположите числа О, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 в клетках квадрата размером 3X3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? б) Расположите числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 в клетках квадрата размером 3X3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? а) Сколькими способами можно раскрасить квадрат, состоящий из четырех одинаковых клеток различного цвета, если имеется 5 красок? б) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 5, 6, 8, 9, если цифры не могут повторяться? Сравните числа: 41 59 259 260 . 17 153 83 ” 117’ 259 260 260 “ 261’ 23 ^ 206’ 89 ^ 899- Известно, что остаток от деления числа А на 13 равен а, а числа В на 13 - равен Ь. Найдите остаток от деления на 13 числа: 1) А + В; 2) А - В; 3) А • В, если: а) а = 2, 5 = 7; б) а = 5, 5 = 6; в) а = 11, 6 = 9. На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) д: + 2 > 9, у - 8 < -3; в) -4 < Зд: -(- 2 < 5; -7 < 2г/ - 11 < 3; б) 2х -I- 7 > 3, 4у - 7 > 1; г) -24 < 5д: - 9 < -4; -3 < 4р -Н 13 < 1. а) Теплоход при движении по реке прошел расстояние от города А до города В за 12 часов. На обратный путь ему потребовалось 15 часов. Найдите собственную скорость движения теплохода, если скорость течения реки равнялась 2 км/ч. Найдите с точностью до сотых среднюю скорость движения теплохода. б) Расстояние от Самары до Волгограда по водному пути составляет 1890 км. За сколько времени проплывет теплоход путь от Самары до Волгограда и обратно, если собственная скорость теплохода будет равна 24 км/ч, средняя скорость течения реки составит 3 км/ч, а остановки составят 20% от всего времени движения? 136 Глава 7, §1, п.2 6391 Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) Зба^ -6а - 46 ’ в) 25р^ - 49q^ 25р2 - 70р9 + 49д 2 > 64х'^ Н- 48x1/ + ч 27р^ + 64cf^ ------Вх + 1у ’ 9р* - 16,“ ’ д) е) 5х + и 125х^ + 1Ъх^у + 15x1/2 + yz> 8а® - 12а® + 6а - 1 4а® - 4а + 1 640 Найдите наименьшее натуральное х, такое, что: а) 2х S 1 (mod 3); б) Зх = 1 (mod 4); в) Зх = 2 (mod 5); г) 2х = 3 (mod 7). Ш На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству: а) у < X + 2; б) «/ > х - 3; 16421 Решите уравнение | ах + 6 | = с: в) г/ < 4х + 8; т)у>Ъх- 10. а (Sg + 182 72^ • ^ 28|:1з|4-б|:| 16 4 644 " - ('4 + >1 - + 2|) ^ (гИ - !)• 64зТ Баскетбольный матч российской суперлиги между ЦСКА и «Динамо» (Москва) окончился победой ЦСКА со счетом 77 : 53. В этом матче был момент, когда ЦСКА уже забросил столько мячей, сколько «Динамо» (Москва) забросил после этого момента. Сколько мячей к этому моменту было в сумме заброшено обеими командами? Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 2517? L. 2. Комбинации с повторениями в математике, как и в других науках, не растеряться перед лицом удивительности некоторых доказательств часто значит не менее чем половина нового открытия. Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859), немецкий математик В предыдущем пункте мы подсчитывали количество возможных вариантов в случаях, когда элементы в искомых комбинациях не повторялись. Так, цифры искомого пароля должны были быть различными, числа в магическом квадрате не повторялись, а комплекты одежды Маши не могли содержать одновременно, например, две кофты. Теперь мы рассмотрим способы решения задач на вычисление количества комбинаций, в которых возможны повторения элементов. Решим, например, следующую задачу. 137 Глава 7, §1, п.2 Задача 1. Сколько существует паролей, состоящих из четырех цифр, в которых не используются цифры 1 и 3? Решение'. Согласно условию задачи, подсчитывая количество возможных паролей, мы должны учитывать и те пароли, в которых цифры будут повторяться. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, выпишем сначала все возможные пароли, состоящие из одной цифры и не содержащие цифр 1 и 3. Таких паролей всего восемь, а именно: 0245678 9. Все пароли из двух цифр, не содержащие цифр 1 и 3, можно получить из указанных однозначных, если перед каждым из них мы напишем одну из цифр О, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В итоге мы получим следующие двузначные пароли; 00 02 04 05 06 07 08 09 20 22 24 25 26 27 28 29 40 42 44 45 46 47 48 49 50 52 54 55 56 57 58 59 60 62 64 65 66 67 68 69 70 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 86 87 88 89 90 92 94 95 96 97 98 99. 1ЫХ двузначных паролей 8 • 8 = 8^. Действуя далее таким же способом, припишем слева к каждому из указанных двузначных паролей одну из цифр О, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Тем самым нами будет получено 8^ - 8 = 8® трехзначных паролей. Аналогично мы получаем, что количество паролей, состоящих из четырех цифр, в которых не используются цифры 1 и 3, равно 8‘‘ = 64 • 64 = 4096. Ответ: всего имеется 4096 паролей из четырех цифр, если цифры 1 и 3 в паролях не используются. Заметим, что в процессе нашего решения нам было не важно, какие именно из цифр в четырехзначном цифровом пароле не должны быть использованы. Поэтому мы можем сделать вывод о том, что если в цифровом пароле не используются какие-то две из десяти цифр, то количество таких четырехзначных паролей будет равно 4096. Способ подсчета вариантов, использованный в задаче 1, состоит в следующем. Способ подсчета числа комбинаций с повторениями Сначала мы считаем количество комбинаций, содержащих один символ (то есть комбинаций длиной 1). Затем, приписывая последовательно перед каждой полученной комбинацией по одному из возможных символов, мы вычисляем число комбинаций, состоящих из двух символов. Далее, аналогично рассуждая, проводим вычисления до того момента, пока не получим количество комбинаций требуемой длины. Используя данный способ подсчета вариантов в комбинациях с повторениями, решим следующую задачу. 138 ___________________________________________________________Глава 7, §1, п.2 Задача 2. При кодировании информации используется только два символа - ^ и ★ . При этом правило кодирования таково: каждой букве алфавита ставится в соответствие некоторая комбинация из данных символов, длиной от одного до четырех символов. Можно ли с помощью указанных комбинаций зашифровать все буквы русского алфавита? Решение: Вычислим количество комбинаций длиной от одного до четырех символов, которые можно составить из данных символов. Так как букв русского алфавита 33, то если полученное количество будет больше или равно 33, то буквы русского алфавита можно будет зашифровать с помощью таких комбинаций. В противном случае это сделать будет невозможно. Из данных символов могут быть составлены лишь 2 различные комбинации длиной в один символ: <$> и Комбинации длиной в два символа можно получить, приписывая и ^ перед комбинациями длиной в один символ. Получим следующие возможные комбинации длиной два: <$><$> Таким образом, число комбинаций длиной два равно 2-2 = 2^. Аналогичным образом получаем, что число комбинаций длиной в три символа равно 2^ • 2 = 2®, а число комбинаций длиной в четыре символа равно 2* • 2 = 2^. Значит, общее число возможных комбинаций длиной от одного до четырех символов равно: 2 -Ь 2^ -f 2^ -t- 2^ = 2 -I- 4 + 8 + 16 = 30 Число букв русского алфавита равно 33. Значит, комбинаций из символов и * длиной от одного до четырех символов не хватит для того, чтобы зашифровать все буквы русского алфавита. Ответ: зашифровать все буквы русского алфавита с помощью указанных комбинаций невозможно. а) Сколько различных четырехзначных паролей можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, если цифры в пароле не повторяются? б) Сколькими способами можно выложить в ряд четыре кубика красного, синего, черного и зеленого цвета? в) Сколькими способами четыре человека могут разместиться на четырех местах? |646| а) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречаются только цифры 1, 2, 3, 5, 7, 9? б) Алфавит туземного племени состоит из букв П, Л, К, М. Словом в этом языке является любая последовательность из шести букв. Сколько слов в языке этого туземного племени? в) Каждая клетка квадратной доски размером 3x3 клетки может быть покрашена в синий или белый цвет. Сколько различных досок, раскрашенных указанным образом, может быть получено? г) Монету подбрасывают шесть раз подряд и каждый раз записывают, что выпало - «орел» или «решка». Сколько различных последовательностей «орлов» и «решек» можно получить в результате такого подбрасывания? 139 Глава 7, §1, п.2 0 а) Аборигены некоторого острова используют для записи чисел только цифры 2, 4, 6 и 8. Числом является любая последовательность, состоящая не более чем из пяти цифр. Сколько всего чисел у аборигенов этого острова? б) Какое максимальное число квартир может быть в доме, если номера квартир состоят не более чем из четырех цифр и не содержат цифры О, 5 и 9? в) Известно, что код сейфа является последовательностью цифр длиной не более шести символов. Сколько существует вариантов такого кода? г) Иногда родители называют своих детей несколькими именами. Сколькими способами можно назвать ребенка, если всего имеется для выбора 30 имен, а каждому ребенку дают не более 4 имен? а) Сколько четных номеров, состоящих не более чем из шести цифр, можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 6? б) Для нумерации книг в библиотеке используется пять цифр 1, 2, 3, 4, 5. Можно ли с их помощью пронумеровать 2500 книг, поставив в соответствие каждой книге свое нечетное число, состоящее не более чем из пяти указанных цифр? в) Автомобильный номер некоторого государства устроен следующим образом: номер начинается с одной, двух или трех букв, а затем идут пять цифр. Какое максимальное количество автомобильных номеров, оканчивающихся на 75, может быть, если в алфавите этого государства 26 букв и в номере могут быть использоваться все десять арабских цифр? г) Игральный кубик, на каждой из шести граней которого написаны числа от 1 до б, бросают пять раз и записывают подряд все выпадающие числа. Сколько различных последовательностей чисел могло быть в результате этого получено, если при третьем броске всегда выпадает число 4? |б49| Запишите следующие выражения и найдите их значение при а = 2, & = -1, с = 5: а) Модуль разности квадратов а и с; б) Сумма модулей а, Ь и с; в) Модуль разности кубов а и Ь; г) Разность модулей а и Ь; д) Произведение модуля а и суммы Ь и с; е) Частное модуля разности а и Ь и модуля -с. ж) Произведение суммы квадратов & и с и модуля разности квадратов о и &. з) Частное квадрата разности а и с и модуля разности квадратов а и Ь. Зная, что 1 сентября 2011 года четверг, определите, каким днем недели будет: а) 31 октября 2011 года; в) 23 февраля 2012 года; б) 31 декабря 2011 года; г) 8 марта 2012 года. Множества заданы характеристическим свойством. Задайте их перечислением элементов: а) А = {а: а е Z; -3 < 2а + 5 < 6}; в) С = {с: с е 7 < 4с + 9 < 15}; б) В = {6: & G N; -5 < 36 - 9 < 11); г) D = {d:-12 <2d + 1<8и d = 7п +3; п е Z}. 140 Глава 7, §1, п.2 Множества А, В и С заданы характеристическим свойством: А = {х: X е ЛГ; -4 < 4л: - 3 < 12}; В = {у: у е Z; -9 < 2у - 5 4}; С = {г: 2 е 9 < 5г + 8 < 18}. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П В; в) В и С; д) (А U В) П С; ж) В П С П А; б) А и С; г) А П С; е) В U (А П С); з) (А П В) U С. а) Шеф-повар, повар и помощник повара получили за проведенный банкет 21 390 р. Как им надо разделить заработанные деньги, если они работали одинаковое время и их часовые ставки оплаты приведены в таблице: Шеф-повар - 500 р./ч Повар - 350 р./ч Помощник повара - 80 р./ч б) В бизнес-центре расположены офисы 4 компаний. Расходы каждой из компаний на электроэнергию относятся как 2 : 5,5 : 4 : д. Рассчитайте сумму, которую должны заплатить за электроэнергию за апрель эти четыре компании, если известно, что компания, которая платит за электроэнергию меньше всех, заплатила за апрель 3500 р. в) Прямоугольный участок земли изображен на плане, выполненном в масштабе 1 : 7000. Чему равна реальная площадь этого участка, если большая сторона 2 прямоугольника равна на плане 9,3 см, а меньшая составляет g от большей? г) Прямоугольный участок земли, площадь которого равна 30 000 м^, изображен на плане. Известно, что меньшая сторона прямоугольника равна g большей, а большая равна на плане 5 см. Определите масштаб данного плана. 6^ Упростите выражение при допустимых значениях переменных (п е N): . 95x^^i^ff^. 19х*®1/^‘‘2®^’ а) : (-6)2; б) —с®": с'*" ■ 2; в) (-х)2" : + 3 . г) д) е) а • о2" “ 1 • а®’ Х*2 • ■ х« • ■ х»" X»" ■ . Д.32 . • Х2»’ убл + 5 . у- "ЗЛ а у2п . уТ . у6 Определите, не вычисляя частного, делится ли число а на 11: а) а = 215 526; в) а = 579 997; д) о = 10 157 567; б) а = 279 708; г) а = 4 319 289; е) а = 23 118 403. Определите, делится ли число а на 6: а) а = 512227 + 6 = 3; в) а = 343*^ - 4, 6 = 5; б) а = 7121 + 6 = 9; г) а = ЗЗ3222 + 444”®, 6 = 7. з) 16а276®'‘с®® 12а2«6®®с®^’ . 90m2»p72fe^i 27/г”т>^“- 141 Глава 7, §1, п.2 О 7| Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств Л и В. Найдите их пересечение и объединение: а) А = {а: а = 2 (mod 5); -9 < а < 11}; б) А = {а: а = -3 (mod 7); -11 < о < 12); В = {Ь: Ь = 1 (mod 3); 1 < & < 11}; В = {Ь: Ь =-1 (mod 2); -4 < т < 6}. а) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречаются только цифры 3, 4, 8, 9? б) Некоторый алфавит состоит из трех букв - В, Г, Д. Словом в этом языке является любая последовательность из четырех букв. Сколько всего слов в этом языке? 6591 а) В гостинице номера комнат состоят не более чем из пяти цифр и не содержат цифр О, 1, 3 и 9. Какое максимальное количество номеров может быть в этой гостинице? б) Код банковской ячейки является последовательностью цифр длиной не более семи символов. Сколько всего возможно вариантов такого кода? 0| а) Игральный кубик, на каждой из шести граней которого написаны числа от 3 до 8, бросают четыре раза и записывают подряд все выпадающие числа. Сколько различных последовательностей чисел можно в результате этого получить, если при втором броске всегда выпадало число 7? б) Идентификационный номер налогоплательщика (ИНН) в некотором государстве устроен следующим образом: номер начинается с двух, трех или четырех цифр, а затем идут три буквы. Какое максимальное количество ИНН может быть в этом государстве, если ИНН начинаются на 12, в алфавите этого государства 32 буквы и в номере могут использоваться все десять арабских цифр? бб1) Зная, что 1 января 2012 года воскресенье, определите, каким днем недели будет: а) 25 мая 2012 года; в) 30 сентября 2012 года; б) 1 июля 2012 года; г) 7 января 2013 года. 662| Множества заданы характеристическим свойством. Задайте их перечислением элементов: а)А = {а:а е Z;-7 <2а + 4< 9}; в) С = {с: с е 4 < 5е + 3 < 22}; 5) В = {5: 6 Е N; -6 < 35 - 2 < 7}; г) В = {d: -9 < 6d + 4 < 18; d = 4п + 1; га е Z). 663| Множества А, В и С заданы характеристическим свойством: А = {х: X Е -8 < Зх + 7 < 18}; В = {у: г/ е iV; -4 < 7у + 5 < 26}; С = {z: Z Е Z; -18 < 62 - 9 < 16}. 1) Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А, В и С и отметьте на ней элементы данных множеств. 2) Найдите: а) А П В; в) В и А; д) (А U В) П С; ж) В П С П А; б) А и С; г) А П С; е) В U (А О С); з) (А П В) U С. 142 Глава 7, §1, п.2 а) Расходы столовой крупного металлургического комбината на приготовление 5 завтрака, обеда, полдника и ужина относятся как 3 : 8,2 : ^ : 6. Сколько денег тратит столовая в день на приготовление завтрака, обеда, полдника и ужина, если известно, что приготовление полдника обходится в 55 тыс. р.? б) Прямоугольный участок земли изображен на плане, выполненном в масштабе 1 : 9000. Чему равна реальная площадь этого участка, если большая сторона 5 прямоугольника равна на плане 5,6 см, а меньшая составляет ^ от большей? 6651 Упростите выражение при допустимых значениях переменных (п е N): а) : (-а)®; б) 65П-4. в) а®" • а® д) 102д:*®у^^в д6 . д5л - 3 . д7 7 17л:^V®2” ’ г) ^19 ( ^38 ■ е) 45а8®6^*с8® JJ.7* . jj45 . jjl) * 27а®26^2^9^ • Определите, не вычисляя частного, делится ли число о на 11. а) а = 314 712; б) а = 767 283; в) о = 1 516 121. Определите, делится ли число а на Ь. а) а = 416"«‘ -f 361"'«, 6 = 3; б) а = 5172*8 - 4, & = 7. 6681 Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств Aw. В. Найдите их пересечение и объединение: А = {а: а = 2 (mod 4); -12 < а < 20}; В = {6: 6 = 3 (mod 5); 2 < 6 < 21}. 6691 Решите неравенство \ ах ■¥ Ъ \ < с: а = 4| -I- 0,039 : • (2,31 : 0,077)) - 2,526; Ф с - 7 : 0,2625 (б8,1 : 7,5 - 7|^ + IgL) + 4§ ■ Три путника решили устроить привал и вместе пообедать. У первого было 5 бутербродов, у второго - 4 бутерброда. У третьего бутербродов не было, поэтому он подарил первым двум за съеденные им бутерброды 36 орехов. Все путники ели поровну. Как следует распределить между первым и вторым путниками орехи, подаренные третьим, чтобы взнос каждого из путников в совместную трапезу был одинаковым? В конструкторе имеются три вида фигур: кубики, шары, параллелепипеды. Все фигуры одного вида одинаковые. Шесть шаров, четыре кубика и три параллелепипеда весят 1200 г, а шесть кубиков, четыре шара и семь параллелепипедов весят 1700 г. Сколько весят кубик, шар и параллелепипед вместе? 143 Глава 7, §2, п.1 § 2. Сбор и анализ информации 1. Способы упорядочивания информации Измеряй все, поддающееся измерению, и сделай таковым все, не поддающееся измерению. Галилео Галилей (1564-1642), итальянский физик, математик и философ В современном мире наличие необходимой информации в нужный момент времени является важным конкурентным преимуществом как для успеха отдельного человека, так и для различных коммерческих и некоммерческих организаций. Большой поток информации обрушивается на нас из всевозможных печатных изданий, радио- и телевизионных передач и, конечно, из Интернета. Для того чтобы информация приносила пользу, ее нужно уметь систематизировать, анализировать и делать на ее основании выводы, приводящие к достижению поставленных целей. Одним из хорошо известных нам способов наведения порядка в информации, с которым мы часто встречаемся и в учебе, и в жизни, являются таблицы. Составление таблиц помогает нам проанализировать условие задачи, построить график заданной в таблице зависимости, систематизировать информацию, быстрее найти ответ на интересующий нас вопрос, - например, нужную телевизионную передачу, ведь программа телевидения - это та же таблица. Для того чтобы вспомнить, как с помощью таблиц можно ответить на самые различные вопросы, рассмотрим следующую задачу. Задача 1. В одной из школ города Москвы с 1999 по 2003 год велись наблюдения за погодой. Ежедневно в 12 часов дня школьники измеряли температуру воздуха. На основании полученных данных была составлена следующая таблица: Среднемесячная температура воздуха в Москве (в °С) Месяц Год А О. СО » X А Ч СО а X 0) © н а со л ч ф о. с с се л X 2 Я .а Ч 2 я О >> и X < А CL хо X н X о о А Ск \о X 6- X о А О. ю X о Д А О. ХО со X о п 1999 -3 -4 +1 +12 +11 +25 +23 +17 +14 +9 -4 -1 2000 -4 -1 -1 +13 +13 +18 +21 +19 +12 +8 + 1 -2 2001 -2 -6 -1 + 13 +13 +18 +24 +18 +12 +6 +1 -9 2002 -4 +1 +3 +9 + 14 +19 +25 +18 +13 +4 -1 -12 2003 -7 -8 -2 +5 +16 +13 +22 +18 +13 +8 +2 -2 Пользуясь представленной информацией, определите: 1) Какой была среднемесячная температура воздуха в Москве в августе 2000 г.? 2) В какие месяцы среднемесячная температура воздуха была равна -Ы4 °С? 3) В какие месяцы среднемесячная температура была наибольшей, наименьшей? 144 Глава 7, §2, п.1 4) В какие месяцы среднемесячная температура была больше +20 °С? 5) На сколько градусов Цельсия отличалась среднемесячная температура в феврале 1999 г. по сравнению с февралем 2002 г.? Решение'. 1) Для того чтобы определить значение температуры в августе 2000 г., находим в таблице строку, соответствующую 2000 г., и находим столбец, соответствующий августу. На их пересечении мы получаем необходимую для нас информацию: в августе 2000 г. среднемесячная температура воздуха была равна +19 °С. Месяц Год Си СС (0 X Л Сб а Ф е а се § .в ц ф о. с < =я ей § л я S S 4) ч 2 Я О Ьч Л а ю с? t- X ф и Л а ю X н X о Л а ю X о Д Л а ю X X ф 1999 -3 -4 +1 +12 -ш +25 +23 + 17 +14 +9 -4 -1 2000 -4 -1 -1 +13 +13 +18 +21 +19 +12 +8 +1 -2 2001 -2 -6 -1 +13 +13 +18 +24 +18 +12 +6 + 1 -9 2002 -4 +1 +3 +9 +14 +19 +25 +18 + 13 +4 -1 -12 2003 -7 -8 -2 +5 +16 +13 +22 +18 +13 +8 +2 -2 2) Для того чтобы определить, в какие месяцы среднемесячная температура воздуха была равна +14 °С, находим все клетки таблицы со значением температуры, равным +14 °С, и определяем, на пересечении какого столбца и какой строки они находятся. Получаем, что среднемесячная температура воздуха была равна +14 °С в мае 2002 г. и в сентябре 1999 г. Месяц Год Л а X X X о:? Л а PQ Ф е Н а X ч ф а а С ей я 2 Я я ч 2 Я О >> t-, X < Л а VD X Ен X ф о д о. ю к ё- и о Л а VO X о к Л а ю X X Ф 1999 -3 -4 +1 +12 +11 +25 +23 + 17 +14 +9 -4 -1 2000 -4 -1 -1 +13 +13 +18 +21 +19 +12 +8 +1 -2 2001 -2 -6 -1 +13 +13 +18 +24 +18 +12 +6 +1 -9 2002 -4 + 1 +3 +9 +14 +19 +25 +18 +13 +4 -1 -12 2003 -7 -8 -2 +5 +16 +13 +22 +18 +13 +8 +2 -2 3) Сравнивая значения температур в таблице, определяем, что наибольшее среднемесячное значение температуры было равно +25 °С. Такая температура была в июне 1999 г. и в июле 2002 г. А наименьшее значение -12 °С было в декабре 2002 г. 4) Анало1’ичным образом выбираем из таблицы значения температуры больше +20 °С и определяем соответствующие год и месяц: июнь 1999 г. и июль 1999-2003 гг. 5) Для ответа на последний вопрос находим по таблице температуру в феврале 1999 г. (-4 °С) и в феврале 2002 г. (+1 °С). Значит, в феврале 2002 г. среднемесячная температура была на +1 - (-4) = 5 °С выше, чем в феврале 1999 г. Таким образом, при решении задачи 1 таблица помогла нам быстро ответить на поставленные вопросы. Если бы данная информация была представлена в виде обычного текста, то поиск ответа занял бы гораздо больше времени. Тем не менее анализ таблиц не позволяет наглядно показать соотношения между различными величинами. Быстро определить наибольшие и наименьшие значения величин, сравнить данные в разные периоды времени, а также ответить на многие аналогичные вопросы 5*/4“Петерсон, 7 кл.» ч. 3 145 Глава 7, §2, п.1 позволяют такие уже известные нам способы графического представления информации, как графики зависимостей, столбчатые и круговые диаграммы. Для того чтобы уточнить алгоритмы построения столбчатых и круговых диаграмм, решим следующую задачу. Задача 2. В понедельник книжный магазин получил выручку в размере 10 тыс. р., во вторник - 45 тыс. р., в среду - 70 тыс. р., в четверг - 25 тыс. р., а в пятницу - 30 тыс. р. По указанным данным постройте столбчатую и круговую диаграммы. Решение'. В задаче дана информация о величине выручки в каждый из дней недели с понедельника по пятницу. Упорядочим эту информацию с помощью таблицы: День недели Пн Вт Ср Чт Пт Выручка, тыс. р. 10 45 70 25 30 Мы знаем, что столбчатая диаграмма показывает зависимость между значениями величин с помощью высоты столбиков. Для того чтобы их построить, отметим на горизонтальной оси дни недели, в которые подсчитывалась выручка магазина, а на вертикальной - значение выручки в эти дни. Затем поставим в соответствие каждому дню недели столбик соответствующей высоты (рис. 16). ' ‘ Выручка в тыс. р. Рис. 16 Таким образом, алгоритм построения столбчатой диаграммы включает в себя следующие шаги: Алгоритм построения столбчатой диаграммы 1. Отметить на горизонтальной оси значения независимой величины. 2. Отметить на вертикальной оси соответствующие значения зависимой величины. 3. Для каждого значения независимой величины построить столбик, высота которого равна соответствующему значению зависимой величины. Что касается круговых диаграмм, то они показывают зависимость между значениями величин с помощью величин центральных углов круга. При построении круговой диаграммы предполагается, что сумма всех зависимых величин составляет 360°, а доля каждой зависимой величины в их общей сумме 146 Глава 7, §2, п.1 отображается с помощью соответствующего центрального угла. Поэтому алгоритм построения круговой диаграммы состоит из следующих шагов: Алгоритм построения круговой диаграммы 1. Найти сумму всех зависимых величин {S = а^ + а^ + ... + aj. 2. Найти долю каждой зависимой величины в общей сумме (^, i = 1, ... , п). 3. Вычислить величину центрального угла, соответствующую доле каждой зависимой величины (360° • 360° • .. , 360° • 4. Построить центральные углы, соответствующие каждой зависимой величине. Пользуясь данным алгоритмом, построим круговую диаграмму по условию нашей задачи. Вначале вычислим сумму S (в тыс. р.) всех зависимых величин: S = 10 + 45 -f 70 + 25 + 30 = 180. Для того чтобы записать результат поиска доли каждой зависимой величины в общей сумме, используем исходную таблицу: День недели Пн Вт Ср Чт Пт Выручка, тыс. р. 10 45 70 25 30 Доля выручки, S 10 1 180 18 45 1 180 4 70 7 180 18 25 5 180 36 30 1 180 6 Величина соответствующего центрального угла 360°- :^ = 20° 1о 360°-i = 90° 4 360° • ^ = 140° 360°-^ = 50° 360° • I- = 60° 6 После построения указанных центральных углов мы получаем круговую диаграмму, приведенную на рис. 17. О |672| в таблице приведены данные о численности населения Российской Федерации в 2002-2009 гг. Численность населения Российской Федерации на 1 января, млн. человек Год Федеральный округ 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Центральный 38,1 37,9 37,7 37,5 37,4 37,2 37,2 37,1 Северо-Западный 14,1 13,9 13,8 13,7 13,6 13,5 13,5 13,5 Южный 22,9 22,9 22,8 22,8 22,8 22,8 22,8 22,9 Приволжский 31,3 31,1 30,9 30,7 30,5 30,3 30,2 30,2 Уральский 12,4 12,4 12,3 12,3 12,2 12,2 12,2 12,3 Сибирский 20,2 20,0 19,9 19,8 19,7 19,6 19,6 19,5 Дальневосточный 6,7 6,7 6,6 6,6 6,5 6,5 6,5 6,5 Всего 145,6 145,0 144,2 143,5 142,8 142,2 142,0 141,9 б'А* 147 Глава 7, §2, п.1 Пользуясь представленной информацией, определите: 1) Какой была численность населения в Сибирском федеральном округе в 2007 г., в Приволжском федергшьном округе в 2003 г.? 2) В каком из федеральных округов и на какую дату численность населения была равна 6,5 млн. человек, 12,4 млн. человек? 3) В каком из федеральных округов численность населения была наибольшей в 2009 г.? 4) В каком из федеральных округов численность населения была наименьшей в 2005 г.? 5) В каких федеральных округах и на какую дату численность населения была больше 31 млн. человек? 6) В каких федеральных округах и на какую дату численность населения была меньше 13 млн. человек? 7) Как изменилась общая численность населения РФ с 1. 01. 03 по 1. 01. 09? В таблице приведено расписание вылета авиарейсов из аэропорта Домодедово (Москва). Прилет всех указанных рейсов происходит в день их вылета. Расписание вылета авиарейсов из аэропорта Домодедово (Москва) Номер рейса Пункт назначения Время вылета (московское) Время прилета (московское) OS606 Вена 05:35 08:50 НН335 Барселона 08:40 13:20 UN255 Алматы 10:50 15:20 S716 Челябинск 11:10 13:25 С7905 Ереван 11:55 14:55 UA965 Вашингтон 12:20 23:15 UN353 Лондон 15:00 19:10 LH3199 Дюссельдорф 16:10 19:40 ЕК314 Дубай 16:55 22:00 LX1337 Женева 18:30 22:20 LH3187 Франкфурт-на-Майне 19:35 22:55 Пользуясь представленной информацией, определите: 1) В какое время вылетает рейс в Челябинск? 2) В какое время вылетает рейс LH3199? 3) Чему равно московское время прилета в Дубай рейса ЕК134? 4) Чему равна длительность полета в Барселону? 5) Какие рейсы улетают из Домодедово в период с 16:00 до 22:00? 6) Какой рейс среди представленных имеет наименьшую длительность полета? Чему равна длительность этого полета? 7) В каком рейсе среди представленных длительность полета наибольшая? Чему она равна? 8) Какой рейс длится 4,5 часа; 3 часа? 9) В какие города надо лететь больше 3 часов, но меньше 5 часов? 10) Полет в какие города занимает более 5 часов? Постройте столбчатую диаграмму, иллюстрирующую зависимость длительности полета от выбранного пункта назначения. 148 Глава 7, §2, п.1 6^ в таблице представлена информация о проданных в течение одного рабочего дня товарах. Отчет о продажах в магазине канцелярских товаров 21. 04. 2011 № Наименование Единица Цена единицы Количество продан- п/п ассортиментной позиции измерения товара ных единиц товара 1 Бумага «Снегурочка» пачка 125 р. 15 2 Тетрадь общая 48л. штука 38 р. 40 3 Ручка шариковая, синяя штука 5,2 р. 75 4 Дырокол штука 60 р. 30 5 Фломастеры (6 цветов) набор 40 р. 45 6 Карандаш с ластиком штука Зр. 120 7 Файлы (100 шт.) упаковка 159 р. 35 Используя представленную информацию, определите: 1) Какой из проданных товаров является самым дорогим, самым дешевым? 2) Какую сумму денег полумили за продажу тетрадей? 3) За какой товар была получена самая большая выручка, самая маленькая выручка? 4) Сколько денег было получено от всех продаж в этот день? 5) Сколько единиц товара было продано в этот день? 6) Какой товар составил самую большую долю в продажах, самую маленькую долю в продажах (в установленных единицах измерения)? Постройте круговую диаграмму, показывающую долю продаж каждого наименования (в установленных единицах измерения) в общих продажах магазина канцелярских товаров 21. 04. 2010. б75| В таблице приведены данные о температуре морской воды в некоторых городах в 14 часов 10. 03. 2010. Температура морской воды 10. 03. 2010 № Название Название города, в котором Температура, “С п/п моря проводились измерения 1 Адриатическое море Пескара 12,8 2 Азовское море Приморско-Ахтарск 1 3 Балтийское море Гданьск 3,1 4 Ионическое море Кротоне 13,5 5 Ирландское море Ливерпуль 6 6 Критское море Ираклион 16 7 Лигурийское море Сан-Ремо 12,8 8 Мраморное море Стамбул 9 9 Средиземное море Родос 16,4 10 Тирренское море Неаполь 13,4 11 Черное море Сочи 9,5 12 Эгейское море Наксос 15,7 6“Петерсон, 7 кл., ч. 3 149 Глава 7, §2, п.1 Ш Используя приведенные данные, определите: 1) Какой была наименьшая температура морской воды, в каком море это было и в каком городе? 2) Какой была наибольшая температура морской воды, в каком море это было и в каком городе? 3) В каком городе и в каком море температура морской воды была равна 13,5 °С? 4) В каких городах и в каких морях температура воды была больше 10 °С? Меньше 12 °С? 5) Какой была температура воды в Ирландском море в Ливерпуле? Постройте столбчатую диаграмму, иллюстрирующую связь температуры морской воды и городов, в которых проводили ее измерение. В Интернете был проведен социологический опрос, посвященный вопросам образования, Постройте круговые диаграммы, иллюстрирующие результаты, полученные после анализа ответов участников опроса. а) Вопрос: Какие школьные предметы кажутся вам наиболее важными? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Математика, физика, информатика 20% Физика, химия, биология, география 10% Русский язык, литература, иностранные языки 25% Все предметы одинаково важны 45% б) Вопрос: В какой момент можно прекращать свое образование? Вариант ответа Доля выбравщих данный вариант ответа После окончания школы 5% После окончания профессионального училища 5% После окончания высшего учебного заведения 20% Образование не до.пжно прекращаться 70% в) Вопрос: Есть ли у вас высшее образование? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Да 35% Нет 15% Учусь в вузе 40% Имею два высших образования 10% г) Вопрос: Что является для вас наиболее важным при выборе будущей профессии? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Интерес к будущей деятельности 50% Престиж и доходность будущей специальности 20% Возможность последующего трудоустройства 15% Советы родителей и друзей 10% Другое 5% 150 о Глава 7, §2, п.1 6^ И Найдите ошибки в следующих рассуждениях: а) Рассмотрим уравнение 3(л: - 5) = 0. Разделим обе его части на х - 5, получим: ^ Правая часть равенства равна 0, а левая после сокращения на X О X О X - 5 равна 3. Значит, 3 = 0, б) Рассмотрим равенство 70 - 34 - 36 = 175 - 85 - 90. Вынесем за скобки в правой и левой частях равенства общие множители. Получим: 2 • (35 - 17 - 18) = 5 • (35 - 17 - 18) Разделив обе части данного равенства на общий множитель (35 - 17 - 18), получаем, что 2 = 5. в) Мы знаем, что 1 см = 10 мм. Умножим левую часть равенства на 10 см, а правую часть - на 100 мм. Так как 10 см = 100 мм, то при умножении равенства на одно и то же число оно не изменится, значит: 1 • 10 см = 10 • 100 мм, или 10 см = 1000 мм Разделив последнее равенство на 10, получаем: 1 см = 100 мм. Таким образом, мы получили, что 1 см одновременно равен 10 мм и 100 мм. г) Рассмотрим равенство 6х : 6х = lli/ : 11у. В каждой части равенства вынесем за скобки общий числовой множитель, получим: 6 • (х : х) = 11 • (у : г/). А так как X : X = у : у = I, то 6 = 11. Сравните значения величин: а) 56 м 9 дм 43 см и 562 дм 415 мм; б) 9 км 468 м 15 дм и 9300 м 1860 дм; в) 9 сут. 15 ч 98 мин и 220 ч 183 мин; Найдите неполное частное и остаток при делении на (-6) следующих чисел: а) 0; в) 15; д) 22; ж) 37; и) -35; л) 58; б) 11; г) -9; е) -14; з) -22; к) 44; м) -52. а) Инвестор разместил свои сбережения сроком на четыре года в инвестиционные фонды А и В. В инвестиционный фонд А он вложил 25 000 р. под 10% годовых, а в инвестиционный фонд В - 20 000 р. под 12% годовых. В каком из фондов инвестор заработает больше денег и на сколько? б) Какую сумму денежных средств нужно положить в банк, чтобы получить через 3 года доход в размере 40 492,8 р., если банк предлагает разместить вклады под 12% годовых? в) Выручка компании за последние 5 лет ежегодно увеличивалась на 20%. Определите, на сколько процентов увеличилась годовая выручка компании за эти 5 лет? г) Коммерческий банк выплачивает доход по вкладам на следующих условиях: г) 32 т 236 кг и 310 ц 112 кг 1500 г; д) 9 ц 1200 кг 400 г и 2 т 2 ц 400 г; е) 18 а 156 м^ и 0,19 га 3 а 18 м^ Срок вклада 6 месяцев 1 год 1 год 6 месяцев 2 года Годовая процентная ставка 10% 12% 14% 16% Какой процентный доход может получить вкладчик, разместивший на депозите 50 000 р., через: 1) 6 месяцев; 2) 1 год; 3) 1 год 6 месяцев; 4) 2 года? (Считать, что в течение указанного срока вкладчик не снимает деньги со своего счета.) 151 Глава 7, §2, п.1 ш! Не выполняя построение графика функции у = f{x), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график: а) fix) = 5х + 10; в) f{x) = 4,5х - 9; д) f(x) = 2,2х +11; б) fix) - -Sx + 6; г) fix) = -lx - 3,5; е) fix) - -18л: - 9. Упростите выражения, выполняя равносильные преобразования: а) “7г/ - (-4л: - (5у - 6л: - 72» - (8л: - 9г - Зу); б) (8а - ЗЬ) - ((5с - 6а) - 26) - (-4с - (76 - 11а»; в) (14а - 186) - (9а - 156) - ((66 + 8а) - (12а + 76»; г) -(5/п + 9л) - (13л - (8т + 4л)) + (7т - (Зл - 8т)) - (12т - Юл). В таблице значений некоторой линейной функции два значения из пяти заданы неверно. Найдите неверные значения и исправьте их. а) X -2 -1 0 1 2 у 7 -2 3 -4 -5 б) X -2 -1 0 1 2 У -9 5 3 1 7 Найдите значение буквенного выражения при указанных значениях букв: a) (2л: - (Зу - 7л:)) - 6х + 2у - (Зх - (5у - (4х - (2х + 7у)) - 2у)), если х = 3, у - -1; б) Зр + 2(р - 3q) - 5р^ - Iq^ + 5pq - i6pq + 5р^ - 7q^) +pq -6q- 5p, если p = 2, q = -1; b) 26 - 0,5a + (5c - (2d - a)) + (3c - 7d) - (-1,5a - lOd + 7c), если a = l,6 = 3, c = -1, d = -3; r) X - ((5x - Ay) - 2г) + 6x - 2(6y - (9x - 7z)) + 4y + (3y - 4(-Зг + 5x)), если x = 0,2; у = 0,1; 2 = 0,4. [б8^ В таблице приведено расписание движения автобусов от московского автовокзала. Прибытие всех указанных маршрутов в пункт назначения происходит в день их отбытия из Москвы. Расписание движения автобусов от московского автовокзала № п/п Пункт назначения Отправление из Москвы Прибытие в место назначения Длина маршрута, км 1 Алексин 08:15 12:15 195 2 Рыбинск 09:00 17:00 348 3 Переславль 09:30 12:30 134 4 Брянск 10:00 19:20 448 5 Гусь-Хрустальный 11:00 16:10 253 6 Иваново 12:00 18:00 290 7 Муром 13:30 19:50 313 8 Десногорск 15:50 23:50 402 9 Гаврилов-Ям 16:45 22:00 258 10 Касимов 18:20 23:50 301 11 Владимир 19:45 28:15 178 Пользуясь представленной информацией, определите: 1) В какое время автобус отправляется в Десногорск? В какое время прибывает автобус во Владимир? 2) Чему равна длительность поездки в Брянск, в Переславль? 3) Какие автобусы отходят от автовокзала в период с 14:00 до 19:00? 152 ___________________________________________________Глава 7, §2, п.1 4) Поездка в какой из указанных городов требует меньше всего времени, больше всего времени? 5) В какой город надо ехать 5,5 часа? 6) В какие города поездка длится больше двух часов, но меньше 5 часов? 7) С какой средней скоростью (с точностью до единиц) движется автобус по маршруту Москва-Муром? 8) На каких маршрутах средняя скорость движения (с точностью до единиц) больше или равна 50 км/ч? Постройте столбчатую диаграмму, иллюстрирующую зависимость длительности поездки от выбранного пункта назначения. В таблице представлена информация о проданных в течение одного рабочего дня товарах. Отчет о продажах в магазине бытовой техники 30. 04. 2011 № п/п Наименование ассортиментной позиции Единица измерения Цена единицы товара Количество проданных единиц товара 1 Чайник электрический штука 570 р. 130 2 Мясорубка штука 2590 р. 55 3 Блендер штука 660 р. 30 4 Тостер штука 1140 р. 45 5 Весы кухонные штука 680 р. 35 6 Пресс для цитрусовых штука 820 р. 40 7 Миксер штука 900 р. 25 Используя представленную информацию, определите: 1) Какой из проданных товаров является самым дорогим, самым дешевым? 2) Какую сумму денег получили за продажу тостеров? 3) За какой товар была получена самая большая выручка, самая маленькая выручка? 4) Сколько денег было получено от всех продаж в этот день? 5) Сколько единиц товара было продано в этот день? 6) Какой товар составил самую большую долю в продажах, самую маленькую долю в продажах (в штуках)? Постройте круговую диаграмму, показывающую долю продаж каждого наименования (в штуках) в общих продажах в течение рассматриваемого дня. В таблице приведены данные о температуре воздуха в некоторых городах в 13 часов дня 12. 03. 2010; Температура воздуха 12. 03. 2010 № п/п Название города Температура, °С № п/п Название города Температура, °С 1 Алжир -НЮ 8 Лиссабон -(-10 2 Афины -Ы4 9 Мадрид +5 3 Брюссель -ь4 10 Минск -1 4 Вена +3 11 Москва 0 5 Дублин +7 12 Неаполь -(-9 6 Кёльн +2 13 Ницца +18 7 Лимассол +22 14 Цюрих -2 153 Глава 7, §2, п.1 Используя приведенные данные, определите: 1) В каком городе была наименьшая температура воздуха и чему она была равна? 2) В каком городе была наибольшая температура воздуха и чему она была равна? 3) В каком городе температура воздуха была равна +10 °С? 4) В каких городах температура воздуха была больше +5 °С, меньше +2 °С? 5) Какой была температура воздуха в Вене? 6) На сколько градусов отличалась температура воздуха в Мадриде от температуры воздуха в Цюрихе? 7) В каких городах температура воздуха отличалась на 2 °С? Постройте столбчатую диаграмму, иллюстрирующую зависимость температуры воздуха от города, в котором проводили ее измерение. В Интернете был проведен социологический опрос, посвященный вопросам, связанным с киноискусством. Постройте круговые диаграммы, иллюстрирующие результаты, полученные после анализа ответов участников опроса, а) Вопрос: Какая из перечисленных кинокомедий вам нравится больше всего? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа ♦ Операция Ы» и другие приключения Шурика» 50% ♦Джентльмены удачи» 35% ♦ Ширл и-мырли » 10% Другие комедии 5% б) Вопрос: Хотели бы вы, чтобы ваш ребенок был актером, актрисой? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Конечно, буду настаивать на этом 10% Ни за что не позволю ему это сделать 10% Да, если ребенок захочет этого 55% Пусть сначала получит нормальную профессию 25% в) Вопрос: Если бы вы были режиссером, то какой фильм сняли? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Экранизацию произведения классиков литературы 10% Комедию 20% Фильм о человеке 40% Фильм для детей 10% Другой фильм 20% г) Вопрос: Хотели вы когда-нибудь сниматься в кино? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Да, очень сильно, в детстве, сейчас уже нет 25% Хотелось, но не очень 15% Нет, никогда 20% Да, и сейчас хочу 40% 154 Глава 7, §2, п.1 м Сравните значения величин: а) 23 м 7 дм 56 см и 231 дм 928 мм; г) 54 т 417 кг и 539 ц 235 кг 3600 г; б) 12 км 593 м 27 дм и 12 500 м 963 дм; д) 7 ц 3200 кг 1200 г и 3 т 5 ц 800 г; в) 6 сут. 9 ч 129 мин и 154 ч 13 мин; е) 29 а 356 м^ и 0,3 га 5 а 12 м^. Найдите неполное частное и остаток при делении на (-8) следующих чисел: а) 0; в) 14; д) 23; ж) 35; и) -39; л) 53; б) 12; г) -7; е) -15; з) -27; к) 44; м) -59. а) Какую сумму денежных средств нужно положить в банк, чтобы получить через 2 года доход в размере 12 720 р., если банк предлагает разместить вклады под 12% годовых? б) Коммерческий банк выплачивает доход по вкладам на следующих условиях: Срок вклада 6 месяцев 1 год 1 год 6 месяцев 2 года Годовая процентная ставка 8% 9% 10% 12% Какой процентный доход может получить вкладчик, разместивший на депозите 70 000 р., через: 1) 9 месяцев; 2) 1 год; 3) 1 год 6 месяцев; 4) 2 года? (Считать, что в течение указанного срока вкладчик не снимает деньги со своего счета.) Не выполняя построение графика функции у = f(x), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу и после этого постройте график: а) f(x) = 6jc + 9; б) f(x) = -S,5x - 7; в) f(x) = -5х + 2,5. Упростите выражения, выполняя равносильные преобразования: а) -((17а - 125) - (5а - 75)) - ((145 - 9а) - (15а + 85)); б) 4т + Qn - {7п - 2(3т + 5а)) - (6т - (5п - 2т)) - (4т + 8л). В таблице значений некоторой линейной функции два из пяти значений заданы неверно. Найдите неверные значения и исправьте их: а) X -2 -1 0 1 2 У 2 -4 6 8 1 б) X -2 -1 0 1 2 у 10 -2 4 1 8 Найдите значение буквенного выражения при указанных значениях букв: а) 5х - (8у - 5х) - 9х + 6у - (7х - (8у - (2х - (6х - 4у)) - 5у)), если х = 2, у = -2; б) 4р + 5(р - 2q) - 6р^ - 8q^ + 7pq - 2{2pq - 3pi^ - 4q^) - 3pq - 9p, если p = 3, q = -1. Решите неравенство |д: + а|-|л:-5|<с: a = ((2779,6 + 8024,4) : (1,98 + 2,02) - 701) • 0,001; 5 = (14,068 + 15,78) : (1,875 + 0,175) : (0,325 + 0,195) : 4; e = f —90^09 • 91 + 3,774 : 0,34— _ ^ 04^3). jq ^ l232,31 : 17,87 + 186,85 : 5,05 yjj в цистерне больше 10 л воды. Как отмерить 6 л воды, если имеются канистра емкостью 5 л и ведро емкостью 9 л? В вазе лежит 50 конфет: ириски и шоколадные конфеты. Среди любых 22 из них хотя бы одна конфета шоколадная, а среди любых 30 из них хотя бы одна конфета ириска. Сколько ирисок и сколько шоколадных конфет в этой вазе? 155 Глава 7, §2, п.2 2. Статистические характеристики Если аксиоматический метод является стилем современной математики, то потребности практики... являются ее фундаментом. Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918), русский математик и механик Изучение информации настолько важно для развития общества, что этому процессу посвящена отдельная наука, занимающаяся сбором, измерением, обработкой и анализом разнообразных количественных и качественных данных. Эта наука получила название статистика от латинского слова status («положение вещей»). Статистика изучает, в частности, динамику численности населения и производства продукции, объемы запасов полезных ископаемых и многое другое. Одним из ее разделов является математическая статистика, изучающая математические методы систематизации и анализа данных. В математической статистике для описания и анализа имеющихся числовых данных используются статистические характеристики. С одной из них - средним арифметическим - вы уже знакомы. В этом пункте мы познакомимся с некоторыми другими важными характеристиками систем числовых данных. Но прежде всего уточним понятие среднего арифметического нескольких чисел. Определение 1. Средним арифметическим нескольких чисел называется результат деления суммы этих чисел на их количество. Вычислим, например, среднее арифметическое ежегодного производства мопедов в Российской Федерации в 1999-2008 гг. Для этого используем данные следующей таблицы. Количество мопедов, произведенных в Российской Федерации за год Год 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Количество мопедов 4816 3761 3143 2515 1699 1470 2211 768 4662 4347 Чтобы найти среднее арифметическое чисел, представленных в таблице, надо сумму этих чисел разделить на их количество. Сумма данных чисел равна: 4816+ 3761 + 3143 + 2515 + 1699 + 1470 + 2211 + 768 + 4662 + 4347 = 29 392, а их количество 10. Следовательно, среднее арифметическое данных чисел равно 29 392 10 = 2939,2 ~ 2939 Значит, если бы с 1999 по 2008 г. выпускали ежегодно примерно 2939 мопедов, то тем самым обеспечили бы заданный реальный объем производства. Среднее арифметическое является своеобразным критерием эффективности работы производства. Так, например, если выпуск продукции в какие-то годы ниже среднего 156 Глава 7, §2, п.2 арифметического, то необходимо проанализировать причины этого и выработать программу действий, предотвращающую спады в будущем. Однако данная характеристика не является достаточной для полноценного анализа числового набора. Так, например, она не дает представлений о том, в каких пределах изменяются значения исследуемой величины. Поэтому в статистике для наборов чисел вводятся и другие характеристики: наибольшее и наименьшее значение набора чисел, размах набора чисел. Определение 2. Размахом набора чисел называется разность между наибольшим и наименьшим числом из этого набора. Таким образом, размах дает представление о разбросе числовых данных, то есть показывает максимальное значение, на которое числа в некотором наборе отличаются друг от друга. Например, из приведенной выше таблицы выпуска мопедов мы можем сделать следующие выводы: 1) наименьшее ежегодное производство мопедов в 1999-2008 гг. равно 768, а наибольшее - 4816; 2) размах данного числового набора составляет 4816 - 768 = 4048 мопедов. Рассмотрим теперь следующую задачу. Задача 1. В результате диспансеризации, проведенной в седьмых классах, школьный врач получил следующую информацию о весе семиклассников: Вес, кг Количество учащихся Вес, кг Количество учащихся с указанным весом с указанным весом 35 1 45 3 36 1 46 3 38 3 47 2 39 1 48 3 40 3 49 1 41 3 50 3 42 3 51 1 43 3 52 1 44 14 55 1 Вычислите средний арифметический вес семиклассников в этой школе, наибольшее и наименьшее значение их веса, размах в указанном числовом наборе. Решение: Наименьшее значение веса семиклассников равно 35 кг, наибольшее - 55 кг, а размах числового набора равен разности между наибольшим и наименьшим значением, то есть 55 - 35 = 20 кг. 157 Глава 7, §2, п.2 Для того чтобы найти среднее арифметическое, надо вычислить общий вес всех семиклассников и разделить его на число семиклассников. Общий вес всех семиклассников равен: (35 + 36 + 39 + 49 + 51 + 52 + 55) 1 + 47 2 + (38 + 40 + 41 + 42 + 43 + + 45 + 46 + 48 + 50) • 3 + 44 • 14 = 317 + 94 + 1179 + 616 = 2206 (кг). Количество семиклассников равно 50. Значит, среднее арифметическое равно 2206 50 = 44,12 (кг) Ответ: средний арифметический вес семиклассников равен 44,12 кг. В данной задаче в таблице весов также обращает на себя внимание значение 44 кг, так как в отличие от других значений веса оно встречается чаще всего - у 14 учащихся. Такую статистическую характеристику, дающую представление о наиболее часто встречающемся в числовом наборе значении, также бывает важно знать. Ее называют модой набора чисел. Определение 3. Модой набора чисел называется число, наиболее часто встречающееся в числовом наборе. У набора чисел может не быть моды, если все числа в наборе встречаются одинаковое число раз. Так, например, в наборе чисел, характеризующем ежегодный выпуск мопедов в РФ с 1999 по 2008 г., моды нет, так как все числа встречаются в нем по одному разу. В некотором наборе чисел может быть несколько мод. Действительно, в наборе чисел: 1, 9, 39, 39, 9, 45, 58 две моды - число 9 и число 39, так как и то и другое число встречаются в указанном наборе по два раза. А остальные числа встречаются лишь один раз. На практике вычисление среднего арифметического, наибольшего и наименьшего значения, размаха и моды наборов чисел мы производим очень часто. Так, мы определяем, кто пробежал дистанцию быстрее, а кто медленнее и какой была разница между этими результатами. Тем самым мы вычисляем наибольшее и наименьшее значения и размах числового набора. Нам интересно, каких оценок за контрольную было больше всего, .:5-и тем самым мы вычисляем моду набора чисел. А получив, например, на соревнованиях команд школьного КВН различные оценки пяти судей, нас интересует средний балл, который мы в итоге заработали, поэтому мы вычисляем среднее арифметическое полученных оценок. Тем не менее рассмотренных нами статистических характеристик иногда бывает недостаточно для того, чтобы получить интересующую нас информацию о числовом наборе. Рассмотрим, например, следующую задачу. 158 Глава 7, §2, п.2 Задача 2. Пять авиакомпаний предлагают следующие цены на билет от Москвы до Киева. Название авиакомпании Стоимость билета ♦Аэросвит» 3500 р. «Белавиа» 3965 р. «Трансаэро» 5050 р. «Сибирь» 7515 р. «Аэрюфлот* 7945 р. Какая авиакомпания предлагает билет из Москвы в Киев по средней цене и сколько он стоит? Решение: Стоимость билетов, предлагаемых различными авиакомпаниями, образует следующий набор чисел: 3500; 3965; 5050; 7515; 7945. Среднее арифметическое указанного числового набора равно: (3500 + 3965 + 5050 + 7515 + 7945) : 5 = 27 975 : 5 = 5595. Однако по цене 5595 р. ни одна компания не продает билеты. Тем не менее на вопрос задачи мы сразу можем ответить. Очевидно, что билет по средней цене предлагает компания Трансаэро. Ведь среди указанных предложений пяти компаний два билета стоят меньше, чем билет Трансаэро, а два других - больше. Ответ: билет по средней цене стоимостью 5050 р. предлагает компания Трансаэро. Полученный нами при решении задачи результат приводит нас к еще одной статистической характеристике набора чисел, называемой медианой. Способ нахождения медианы числового набора и ее определение зависят от того, четно или нечетно количество чисел в наборе. Определение 4. Медианой набора, состоящего из нечетного количества чисел, называют число, расположенное на месте с номером (л - 1) : 2 -I- 1 после упорядочивания данного числового набора по возрастанию (л - количество чисел в наборе). Для того чтобы понять, как находить медиану в этом случае, рассмотрим следующую задачу. Задача 3. Найдите медиану числового набора: 567; 214; 27; 789; 415; 1023; 599. Решение: В указанном наборе 7 чисел. Значит, л = 7 и л - нечетно. Расположим числа набора в порядке возрастания: Число 27 214 415 567 599 798 1023 Место 1 2 3 4 5 6 7 На месте с номером (7 - 1) : 2 -I- 1 = 4 находится число 567. Значит, по определению, медианой этого набора является число 567. Ответ: 567. 159 Глава 7, §2, п.2 Определение 5. Медианой набора, состоящего из четного количества чисел, называют число, равное среднему арифметическому чисел, стоящих на местах п : 2 и п : 2 + 1, после упорядочивания данного числового набора по возрастанию {п -количество чисел в наборе). Рассмотрим задачу, иллюстрирующую алгоритм нахождения медианы числового набора в этом случае. Задача 4. Найдите медиану числового набора: 923; 138; 915; 6; 13; 57; 149; 61. Решение: В указанном наборе 8 чисел. Значит, п = 8 и п - четно. Расположим числа набора в порядке возрастания: Число 6 13 57 61 138 149 915 923 Место 1 2 3 4 5 6 7 8 На месте с номерами 8:2 = 4и8:2-1-1 = 5 находятся числа 61 и 138. Найдем их среднее арифметическое: (61 -f 138) : 2 = 99,5. Значит, по определению, медианой этого набора является число 99,5. Ответ: 99,5. В результате мы приходим к следующему алгоритму. Алгоритм нахождения медианы набора чисел 1. Определить п - количество чисел в наборе. 2. Записать числа набора в порядке возрастания. 3. Пронумеровать подряд все числа упорядоченного набора, обозначив номером 1 меньшее число. Полученные номера - это места чисел в наборе. 4. Если п - нечетно, то медиана равна числу, расположенному в упорядоченном наборе на месте с номером (л-1):2-1-1. 5. Если п - четно, то медиана равна среднему арифметическому чисел, стоящих в упорядоченном наборе на местах с номерами п : 2 и га : 2 -f 1. 6. Записать ответ. Заметим, что если в числовом наборе имеются одинаковые числа, то способ нахождения медианы не изменится. Просто при упорядочивании набора мы должны будем записать одинаковые числа одно за другим. Нахождение медианы числового набора бывает полезно в тех случаях, когда необходимо определить среднюю цену, по которой продается некоторый товар в магазинах; компанию, получившую среднюю прибыль за год среди всех компаний некоторой промышленной отрасли; спортсмена, показавшего средний результат, и т.д. 160 Глава 7, §2, п.2 о |б99| Вычислите с точностью до десятых среднее арифметическое чисел: а) 26, 35, 37, 42, 43; в) 12, 32, 44, 68, 95, 112, 139, 215; б) 8, 48, 51, 63, 78, 95; г) 8, 24, 25, 31, 32, 33, 48, 52, 69, 72, 85. 1) В таблице приведены данные о ежегодном производстве в Российской Федерации в 1998-2008 гг. паровых турбин в штуках. Год 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Турбины паровые 26 25 19 19 28 26 32 37 24 35 38 Вычислите среднее годовое производство паровых турбин с точностью до единиц. 2) Какие еще характеристики указанного набора чисел вы могли бы предложить? Сравните свои варианты со статистическими характеристиками, приведенными в учебнике на стр. 157-160. В таблице представлена информация о численности (млн. человек) постоянного населения в некоторых регионах Российской Федерации на 1 января 2002-2009 гг. Год 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Владимирская область 1,54 1,52 1,50 1,49 1,47 1,46 1,45 1,44 Ивановская область 1,16 1,14 1,13 1,11 1,10 1,09 1,08 1,07 Костромская область 0,74 0,73 0,73 0,72 0,71 0,70 0,70 0,69 Курская область 1,25 1,23 1,21 1,20 1,18 1,17 1,16 1,16 Московская область 6,61 6,62 6,62 6,63 6,63 6,65 6,67 6,71 Орловская область 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,83 0,82 0,82 Смоленская область 1,06 1,05 1,03 1,02 1,01 0,99 0,98 0,97 Тверская область 1,49 1,47 1,44 1,43 1,41 1,39 1,38 1,37 Ярославская область 1,38 1,36 1,35 1,34 1,33 1,32 1,32 1,31 г. Москва 10,27 10,39 10,39 10,41 10,43 10,44 10,47 10,51 1) Вычислите среднегодовую численность населения (с точностью до сотых миллиона) в каждом из представленных регионов за 2002-2009 гг. 2) Вычислите среднее число жителей в каждом из этих регионов: а) в 2003 г.; б) в 2006 г.; в) в 2008 г.; г) в 2009 г. 3) В какие годы численность населения была наибольшей, а в какие - наименьшей в следующих регионах: а) в Ивановской области; в) в Орловской области; б) в Московской области; г) в Москве. 4) Вычислите размах численности населения: а) в указанных регионах в 2002 г.; б) в указанных регионах в 2009 г.; 161 Глава 7, §2, п.2 в) в Московской области в 2002-2009 гг.; г) в Ярославской области в 2003-2008 гг. 5) Вычислите моду численности населения в каждом из представленных регионов в 2002-2009 гг. 6) Вычислите медиану численности населения в указанных регионах в 2002-2009 гг. 702| В таблице приведены данные о производстве в Российской Федерации сгущенного молока с сахаром (в млн. банок) в 2001-2008 гг. Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Молоко сгущенное с сахаром, млн. банок 275 306 361 419 456 471 485 492 В результате анализа представленной информации были вычислены следующие статистические характеристики: а) 492; б) 275; в) 217; г) 408,5; д) 439. Определите, какую статистическую характеристику могли вычислять в каждом из пунктов. 17031 а) В течение учебного года Коля несколько раз участвовал в соревнованиях по прыжкам в длину. По итогам всех соревнований он показал следующие результаты: Результат Зм 80 см Зм 90 см 4 м 4м 10 см 4м 20 см 4м 30 см 4м 40 см Количество раз 2 5 4 7 3 3 1 Найдите средний результат Коли по прыжкам в длину (с точностью до единиц сантиметров), моду, размах и медиану представленного числового набора. б) Шесть подружек. Катя, Маша, Таня, Полина, Настя и Наташа, собирали в течение года открытки. Катя собрала 56 открыток. Маша - 48, Таня - 35, Полина - 48, Настя - 62, а Наташа -36. Найдите среднее арифметическое собранных девочками открыток (с точностью до единиц), моду, размах и медиану представленного числового набора. в) В социологическом опросе приняли участие 275 человек. На вопрос: «Сколько детей, по вашему мнению, должно быть в семье?» - были получены следующие ответы: Количество детей 0 1 2 3 4 Количество человек, выбравших этот ответ 4 12 166 87 6 Найдите среднее арифметическое (с точностью до единиц), моду, размах и медиану представленного числового набора. 162 Глава 7, §2, п.2 г) в социологическом опросе приняли участие 310 человек. На вопрос: «Сколько раз в неделю вы занимаетесь спортом?» - были получены следующие ответы: Количество раз в неделю 0 1 2 3 4 Количество человек, выбравших этот ответ 55 82 75 46 52 704 Найдите среднее арифметическое (с точностью до десятых), моду, размах и медиану представленного числового набора. 1) Зарплатная ведомость компании, занимающейся фасовкой сушеных морепродуктов, выглядит следующим образом: № п/п ФИО Зарплата к получению № п/п ФИО Зарплата к получению 1 Алдошина Е.А. 20 100 р. 7 Мысина И.И. 35 200 р. 2 Балыкина В.Н. 19 400 р. 8 Плотникова Л.Н. 29 300 р. 3 Баранов Т.И. 18 100 р. 9 Соловьев Ю.А. 95 600 р. 4 Емельянов А.Г. 35 200 р. 10 Старикова Ю.Г. 19 400 р. 5 Казанцева И.С. 67 300 р. 11 Федоров А.Д. 48 400 р. 6 Кирюшкин Л.С. 21 500 р. 12 Чернов П.К. 56 200 р. а) Вычислите среднюю зарплату (с точностью до копеек), моду, размах и медиану представленного числового набора. б) Какой стала бы средняя зарплата, мода, размах и медиана, если бы все зарплаты увеличились в 2 раза, уменьшились в 1,5 раза? 2) В интернет-магазине продаются ноутбуки по следуюшим ценам (в долларах): Модель № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Цена 699 890 950 990 1099 890 1199 699 1299 О а) Вычислите среднюю цену ноутбука в этом интернет-магазине (с точностью до копеек), моду, размах и медиану представленного числового набора. б) Какой стала бы средняя цена, мода, размах и медиана, если бы все цены увеличились в 4 раза, уменьшились в 2,5 раза? И Сформулируйте утверждения, обратные к данным, и определите истинность прямых и обратных утверждений. Для ложных высказываний постройте их отрицания и убедитесь в истинности отрицаний. а) Если с > а и с > &, то с > а -Ь 6; д) Если а < й, то 11 - 2а < 11 - 26; б) Если л: -1- б < 7, то X < 7; е) Если | х — 5 | < 4, то х < 9; в) Если 2х -I- 4 > б, то X > 3; ж) Если | х - 3 | > 2, то х < 1; г) Если а > 6, то 6а -Ь 9 > 66 -Ь 9; з) Если а > 0, то | а -I- 1 | -f- 5 > 0. 163 Глава 7, §2, п.2 706 Известно, что целое число а делится на целое число Ъ. Сократима ли дробь: !711 а) 1а - 2Ь 4а + 3&’ б) За^ + 2аЬ ЪаЬ - 7&2’ в) а - 2Ъ + Ъа^ гы-ь ' , 4а^ + 2Ьп Решите неравенство: , 4дс - 3 ^ 7х + 2 а) —Е— > —5—; в) Зл: + 2 5 < 4х + 1 7; б) 4 - Зу 2 + и 5 ’ г) . 5 » 4. Щ Постройте математическую модель и решите задачу: а) Сумма двух натуральных чисел равна 17. Первое число при делении на 9 дает остаток 3, а второе число при делении на 9 дает остаток 5. Найдите эти числа. б) Величина первого угла треугольника на 10“ больше второго и в два раза меньше третьего. Найдите величину большего угла этого треугольника. в) Длина ломаной ABCD равна 16 см. Известно, что длина АВ равна трети расстояния между ее началом и концом, ВС - на 0,8 см больше АВ, а CD - на 1,8 см меньше ВС. Чему равна длина звена АВ этой ломаной? г) Сумма цифр загаданного четырехзначного числа равна 22. Вторая цифра этого числа на 1 больше первой, третья - в 4 раза больше второй, а четвертая - на 3 больше первой. Какое число загадали? Разложите многочлен на множители: a) г) 16с^ - 9d^ +36dk - 36k^; б) 12p*q^ - 36p^q^ + 27p^q*; д) ab - 2bc - + 4ac - 4c^; b) 25r^ - lOrs -I- - 64; e) -t- 2st + - 4k'^ - 12kc - 9c^. Постройте график кусочно-линейной функции: а) , Г Зх - 1, если х > 0; в) у = - -1, если -2 < X < 0; . 2х -ь 3, если X < -2 б) Г -2х, если X > 1; г) у = \ 2 - 4х, если -1 < X < 1; I -X -Ь 5, если X < -1 {2х - 1, если X > -1; 4х -1- 1, если -2 < X < -1; -9 - X , если X < -2 -X -f- 5, если X > 2‘, Зх - 3, если о < X < 2; -3, если X. < о а) Наташа пронумеровгила подряд, начиная с первой, все страницы своего блокнота из 48 листов. Ее брат Ваня вырвал из ее блокнота 17 листов и сложил без ошибок номера указанных на них страниц. Может ли он получить в сумме число 324? б) Катя разложила свои 456 фотографий в альбом по 4 фотографии на страницу и пронумеровала их все подряд, начиная с первой. Затем она верно посчитала сумму номеров фотографий на 9 подряд идущих страницах своего альбома. Могла ли она получить в сумме число 4213? 164 __________________________________________________________________Глава 7, §2, п.2 j7^j Постройте графики функции «/ = / (л:): а) f (л:) = I д: + 3 I - I X - 4 I; в) f (дс) = -| 7 - д: | - | х - 9 |; б) / (Jc) = 1 X - 5 I + I 2 - X |; г) / (х) = I X + 6 I - I 8 - X |. |713| в таблице приведены данные о ежегодном производстве в Российской Фе-дерации в 1998-2008 гг. электрических плит (тыс. штук). Год 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Плиты электрические 192 288 343 346 339 535 522 556 459 454 443 Вычислите среднее годовое производство электрических плит (с точностью до тысяч), моду, размах и медиану представленного числового набора. 714| в таблице представлена информация о количестве государственных и муниципальных высших учебных заведений в федеральных округах Российской Федерации на 1 января 2002-2009 гг. Федеральный округ Годы 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Центральный 197 200 203 204 206 209 212 212 Северо-Западный 74 74 76 75 77 77 78 79 Южный 80 80 81 79 80 77 77 77 Приволжский 118 121 124 123 121 120 119 120 Уральский 54 53 53 51 52 53 53 53 Сибирский 86 85 86 85 86 84 84 84 Дальневосточный 46 39 39 38 38 38 37 37 1) Вычислите среднее количество высших учебных заведений (с точностью до единиц) в каждом из представленных федеральных округов за 2002-2009 гг. 2) Вычислите с точностью до единиц среднее количество высших учебных заведений в каждом из указанных федеральных округов в: а) 2002 г.; б) 2005 г.; в) 2007 г.; г) 2009 г. 3) В каком году количество высших учебных заведений было наибольшим, а в каком - наименьшим в федеральных округах: а) Центральном; б) Северо-Западном? 4) Вычислите размах количества высших учебных заведений: а) в указанных федеральных округах в 2002 г., 2009 г.; б) в Приволжском федеральном округе в 2002-2009 гг. 5) Вычислите моду количества высших учебных заведений в каждом из представленных федеральных округов в 2002-2009 гг. 6) Вычислите медиану количества высших учебных заведений в указанных федеральных округах в 2002-2009 гг. 165 Глава 7, §2, п.2 715| в таблице приведены данные о производстве в Российской Федерации кукурузных палочек (в тоннах) в 1997-2006 гг. Год 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Кукурузные палочки 6086 7307 5378 4982 5944 5715 6186 5970 6385 5657 В результате анализа представленной информации были вычислены следующие статистические характеристики: а) 4982; б) 7307; в) 5961; г) 5957; д) 2325. Определите, какую статистическую характеристику могли вычислять в каждом из пунктов. а) В течение учебного года Ирина несколько раз участвовала в соревнованиях по метанию мяча. По итогам всех соревнований она показала следующие результаты: Результат 24 м 25 м 26 м 28 м 29 м 31 м 32 м Количество раз 1 6 4 8 9 5 1 Найдите средний результат Ирины по метанию мяча (с точностью до десятых метра), моду, размах и медиану представленного числового набора. б) Пять друзей - Ваня, Саша, Валера, Гоша и Антон - собирали в течение года значки. Ваня собрал 45 значков, Саша - 59, Валера - 63, Гоша - 59, а Антон -54. Найдите среднее арифметическое собранных мальчиками значков, моду, размах и медиану представленного числового набора. В интернет-магазине продаются МРЗ-плееры по следующим ценам: Модель 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Цена, руб. 1190 1490 1590 1190 1990 1590 1890 2190 1590 1) Вычислите среднюю цену (с точностью до копеек) МРЗ-плеера в этом интернет-магазине, моду, размах и медиану представленного числового набора. 2) Какой стала бы средняя цена, мода, размах и медиана, если бы все цены увеличились в 2,5 раза, уменьшились в 3 раза? tTsI Известно, что целое число а делится на целое число Ь. Сократима ли дробь? а) в) За - 55 5а + 35’ За - Ь + 12а^ 11а^ -1- аЬ АЪ^ - ЪЬ ’ Решите неравенство: 2х б) 5а - 85" 2аЪ - 95"’ 9а" -I- 35 а) б) 1 ^ Зл: 4- 5 л « \ Ах -Ь 1 , ^ 5х 9 , 1 г*, в) —о— -I- 9 < —о— + 12; 3 - 8а 7 -ь а. г) За - 6 _ 2 > + 1 _ 3. 166 Глава 7, §2, п.2 ш Постройте математическую модель и решите задачу: а) Сумма двух натуральных чисел равна 38. Первое число при делении на 11 дает остаток 7, а второе число при делении на 11 дает остаток 9. Найдите эти числа. б) Величина первого угла треугольника на 40" меньше второго и в три раза больше третьего. Найдите величину большего угла этого треугольника. Постройте график кусочно-линейной функции: а) ' 6х - 2, если X > 1; У = ■ -X + 5, если -2 < л: < 1; . X -t- 9, если X < -2 б) ■ 4х -f- 1, если X > -1; -1 -2х - 3, если -3 < X < -. X -I- 6, если X < -3 7^ Разложите многочлен на множители: а) + 8аЬ^ + 2fc«; г) 81с^ - +16dk - 64*2; б) 18c®d'* - 12c^d® + 2c^d®; д) Зой - ас - 9Ь^ -Ь бЬс - с^; в) 16г2 - 24rs + 9s2 - 49; е) -f 4st + 4t^ - - 10*c - 25c^. Ольга разложила свои 570 марок в альбом по 6 марок на страницу и пронумеровала их все подряд, начиная с первой. Затем она верно посчитала сумму номеров марок на 11 подряд идущих страницах своего альбома. Могла ли она получить в сумме число 6512? Постройте графики функции у = f (х): f (х) = I X + 4 I - I X - 7 I; б) f (х) = -I 10 - X I - I X - 1 I. Решите уравнение \ х + а\ -\ х + Ь\ = с\ ,4 ^5 ‘А а = О 11^ 3 19 ^ 99 2— • — -1- 24- » ^ 11’ 14 - 15| : 2^ О О 7| - 157| : 24 j726| Задумали два натуральных числа. Третье число получили, сложив первое и второе число. Четвертое число получили, сложив второе и третье. Таким же образом получили пятое, шестое и седьмое число. Найдите сумму всех полученных семи чисел, если шестое число оказалось равно 16. Пятеро друзей купили видеокамеру. Первый заплатил половину суммы, заплаченной остальными. Второй -треть суммы, заплаченной остальными. Третий - четверть суммы, заплаченной остальными. Четвертый -пятую часть суммы, заплаченной остальными, а пятый заплатил 450 р. Сколько стоила видеокамера? 167 Глава 7, §3, п.1 § 3. Элементы теории вероятностей 1. Частота и вероятность случайных событий Я глубоко почитаю математику, потому что знакомые с нею видят в ней средство к пониманию всего существующего. Бхаскара (1114-1185), индийский математик и астроном В жизни происходит множество самых разнообразных событий. Некоторые из них происходят независимо друг от друга, другие же взаимосвязаны. Так, если сегодня, например, первое мая, то мы можем с абсолютной уверенностью сказать, что завтра будет второе мая, а послезавтра - третье мая. События, в наступлении которых мы уверены, называются в математике детерминированными событиями. Однако чаще мы имеем дело с событиями, наступление которых мы не можем предсказать. Например, если сегодня солнечный день, то мы не можем с абсолютной уверенностью утверждать, даже опираясь на метеопрогноз, что завтра будет солнечно или, наоборот, пасмурно. Подбрасывая монету, мы не можем точно знать, что выпадет - «орел» или «решка». События, результат которых зависит от случая, называют случайными событиями. Наука, изучающая случайные события и закономерности их поведения, называется теорией вероятностей. Исследуя различные события, мы прежде всего интересуемся тем, насколько часто то или иное событие приводит нас к нужному результату. Чтобы определить частоту появления того или иного случайного события, мы будем многократно повторять наш опыт и наблюдать за тем, какие результаты будут получаться. При этом анализ частоты имеет смысл только тогда, когда все опыты проводятся в одних и тех же условиях. Такие опыты в теории вероятностей называются испытаниями, а результаты этих испытаний - исходами. Если в результате испытания мы получим желаемый результат, то мы будем называть его благоприятным исходом. Например, с точки зрения теории вероятностей, шахматная партия - это испытание, результат партии (выигрыш, проигрыш или ничья) - это исход, а наш выигрыш - это благоприятный для нас исход. Чтобы вычислить частоту случайного события, необходимо количество благоприятных исходов в серии испытаний разделить на общее количество проведенных испытаний. Определение 1. Частотой случайного события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу проведенных испытаний. Для того чтобы потренироваться в нахождении частоты случайного события, решим следующую задачу. 168 Глава 7, §3, п.1 Задача. Игральный кубик подбросили 100 раз. При этом число 1 выпало 20 раз, число 2-15 раз, число 3-25 раз, число 4-10 раз, число 5-12 раз, а число 6-18 раз. Вычислите частоту наступления следующих случайных событий: а) выпадение числа 1; в) выпадение числа 3; д) выпадение числа 5; б) выпадение числа 2; г) выпадение числа 4; е) выпадение числа 6. Решение: Для решения задачи удобно использовать следующую таблицу: Случайное событие Общее число испытаний Число благоприятных исходов Частота случайного события Выпадение числа 1 100 20 0,2 Выпадение числа 2 100 15 0,15 Выпадение числа 3 100 25 0,25 Выпадение числа 4 100 10 0,1 Выпадение числа 5 100 12 0,12 Выпадение числа 6 100 18 0,18 Заметим, что частота одного и того же случайного события будет зависеть от количества проведенных испытаний. Так, например, если при подбрасывании монеты «решка» выпадает 4 раза в серии из 10 испытаний, то частота ее выпадения равна 0,4. Если же «решка» выпадает 54 раза в серии из 100 испытаний, то частота этого события будет равна уже 0,54. Увеличивая количество испытаний, можно заметить, что частота выпадения «решки» будет все ближе к 0,5. Число 0,5, или называют в данном случае вероятностью выпадения «решки» при подбрасывании монеты. Вообще, вероятность некоторого случайного события А - это числовая характеристика возможности наступления события А в условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. Вероятность события принято обозначать буквой Р. Например, вероятность события А записывают как Р(А). Каким же образом можно вычислить вероятность события? В рассмотренном примере при бросании монеты возможны только два исхода: выпадает «орел» (событие А) или выпадает «решка» (событие В). При этом если монета «идеальна», то есть абсолютно симметрична, то возможности реализации того или другого исходов одинаковые: половина на половину. Поэтому, как мы уже видели. Р (А) = |, Р (В) = 2‘ Аналогично при бросании «идеального» игрального кубика существует шесть исходов. И так как возможность реализации каждого из этих исходов одинакова, то к 1 вероятность каждого из них, например, выпадения числа 5, равна g. Определение 2. Случайные события, вероятность наступления которых одинакова, называют равновозможными. 169 Глава 7, §3, п.1 Обобщая закономерность, которую мы наблюдали, приходим к выводу: Правило вычисления вероятности равновозможных событий Если результатом некоторого испытания могут быть лишь п равновозможных исходов, то вероятность каждого из исходов равна п Например, вероятность угадывания одного из 32 загаданных чисел равна а вероятность того, что ученик на экзамене вытащит один «желанный» билет из 58 1 возможных, равна gg. Заметим, что частота и вероятность одного и того же случайного события связаны между собой. Так, частота случайного события в серии из большого числа испытаний будет близка к вероятности этого события. Поэтому по значению вероятности случайного события мы можем сделать предположение о приблизительном значении частоты его появления в серии испытаний, и наоборот. Вместе с тем, зная, например, что при бросании игрального кубика вероятность выпадения числа 5 равна g, мы не можем сделать вывод о том, что число 5 будет выпадать при каждом шестом броске. Может оказаться, что пятерка не будет выпадать достаточно долго, а потом выпадет несколько раз подряд. Но если кубик бросать очень много раз, то частота выпадения числа 5 будет близка к g. В реальной практике и кубик, и монета, да и другие предметы далеки от «идеальных». А значит, исходы событий уже не будут равновозможными. Поэтому вычислить точное значение вероятности такого случайного события удается достаточно редко. В этом случае вероятность вычисляют приближенно. Для этого проводят испытание достаточно много раз, вычисляют частоту появления случайного события, которая и будет являться приближенным значением вероятности этого события. О [72^ Игральный кубик подбросили 770 раз. При этом число 1 выпало 158 раз, число 2 - 100 раз, число 3-115 раз, число 4 - 146 раз, число 5 - 129 раз, а число 6 - 122 раза. Используя калькулятор, вычислите (с точностью до сотых) частоту наступления следующих случайных событий: а) выпадение числа 1; б) выпадение числа 2; в) выпадение числа 3; г) выпадение числа 4; д) выпадение числа 5; е) выпадение числа 6. а) Проведите 20 испытаний по подбрасыванию монеты в 1 р. и запишите, сколько раз у вас выпал «орел» и сколько раз выпала «решка». Используя калькулятор, вычислите с точностью до сотых частоту выпадения «орла» в проведенной серии испытаний. б) Проведите 40 испытаний по подбрасыванию монеты в 1 р. и запишите, сколько раз у вас выпал «орел» и сколько раз выпала «решка». Вычислите частоту выпадения «орла» в проведенной серии испытаний. Как изменилась частота выпадения «орла»? Сравните свои результаты с результатами ваших одноклассников. 170 Глава 7, §3, п.1 а в) Занесите результаты всех испытаний по подбрасыванию монеты в вашем классе в одну таблицу и вычислите с точностью до сотых частоту выпадения «орла». Как изменилась частота? Что вы замечаете? а) При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Кто является вашим любимым русским композитором?» Ответ «Петр Ильич Чайковский» выбрали 78 человек. После подсчета оказалось, что частота данного ответа среди всех ответов, полученных на данный вопрос, равна 0,26. Сколько человек принимало участие в этом опросе? Сколько человек назвали других композиторов? б) При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Какой вид отдыха вы предпочитаете?» Ответ «туризм» выбрало 85 человек. После подсчета оказалось, что частота данного ответа среди всех ответов, полученных на данный вопрос, равна 0,17. Сколько человек принимало участие в этом опросе? Сколько человек назвали другие виды отдыха? а) Вероятность угадать 1 цифру из 37 равна примерно 0,03 (с точностью до сотых). Можно ли утверждать, что, сделав 100 попыток, мы угадаем загаданное число? б) В 2002 году было вычислено, что вероятность дожить до возраста 80-90 лет у мужчин равна 0,25. Оцените, какое примерно количество мужчин из 10 млн. доживет до указанного возраста. в) Мама купила Маше 3 заколки, одна из которых оказалась сломанной. Можно ли на основании этой информации утверждать, что вероятность купить сломан- ную заколку равна ^? г) В результате многочисленных наблюдений над новорожденными было вычислено, что вероятность рождения девочки с точностью до сотых равна 0,49. Оцените, сколько девочек можно ожидать среди 10 000 новорожденных. д) При проверке качества продукции на шоколадной фабрике среди 1000 шоколадок было выявлено 5 шоколадок, не соответствуюш;их требованиям качества. Можно ли утверждать, что: • Среди любых 200 шоколадок 1 шоколадка бракованная? • Среди любых 200 шоколадок нет бракованных? В задании приведен отрывок из романа «Золотой теленок» Ильи Ильфа и Евгения Петрова, содержащий 583 буквы. Используя калькулятор, вычислите (с точностью до тысячных) частоту появления букв «О», «И», «Т», «К». Сравните полученные результаты с таблицей частот букв русского алфавита, приведенной на стр. 22 части 3 учебника. Почему полученные вами частоты не совпадают с данными, приведенными в таблице? «Пешеходов надо любить. Пешеходы составляют большую часть человечества. Мало того - лучшую его часть. Пешеходы создали мир. Это они построили города, возвели многоэтажные здания, провели канализацию и водопровод, замостили улицы и осветили их электрическими лампами. Это они распространили культуру по все.чу свету, изобрели книгопечатание, выдумали порох, перебросили мосты через реки, расшифрова.ш египетские иероглифы, ввели в употребление безопасную бритву, уничтожили торговлю рабами и установили, что из бобов сои можно изготовить сто четырнадцать вкусных питательных блюд. И когда все было готово, когда родная планета приняла сравнительно благоустроенный вид, появились автомобилисты^. 171 Глава 7, §3, п.1 тБ| Являются ли равновозможными события А и В: а) А: при бросании идеального игрального кубика выпало число 2; В: при бросании идеального игрального кубика выпало число 5. б) А: при бросании идеального игрального кубика выпало нечетное число; В: при бросании идеального игрального кубика выпало четное число. в) А: при бросании идеального игрального кубика выпало число, делящееся на 3; В: при бросании идеального игрального кубика выпало число, не делящееся на 3. г) А: Миша выигргш 100 р. при игре в моментальную лотерею; В: Миша не выиграл 100 р. при игре в моментальную лотерею. д) А: Наташа угада.та одну из 34 цифр, загаданную ее подругой; В: Наташа не угадала одну из 34 цифр, загаданную ее подругой. е) А: из 30 экзаменационных билетов мне попадет счастливый билет № 5; В: из 30 экзаменационных билетов мне попадет несчастливый билет № 22. Чему равна вероятность: а) Купить выигрышный билет мгновенной лотереи, если известно, что каждый 100-й билет содержит выигрыш? б) Вытащить на экзамене билет № 3, если всего билетов 24? в) Взять наугад нужную книгу с полки, на которой стоит 50 книг? г) Угадать одно число из 49? д) Выбрать, не глядя, из 10 разноцветных шаров шар определенного цвета? е) Выбросить комбинацию «орел» - «решка» при подбрасывании двух идеальных монет? а) Сколько различных комбинаций «орлов» и «решек» может выпасть при одновременном подбрасывании трех идеальных монет? Запишите все возможные исходы данного испытания. б) Проведите 40 испытаний и внесите результаты проведенных испытаний в таблицу, в первой строке которой укажите все возможные исходы, во второй -общее количество проведенных испытаний, в третьей - количество испытаний, завершившихся указанным исходом, а в четвертой строке вычислите с точностью до сотых частоту появления каждого исхода (используйте калькулятор). в) Составьте общую таблицу, внеся в нее результаты испытаний, проведенных вашими одноклассниками. Что вы замечаете? г) Являются ли при одновременном бросании трех монет равновозможными событиями выпадение каждой из комбинаций? д) Чему равна вероятность выпадения комбинации «орел» - «орел» - «решка»? fm Используя диаграммы Эйлера-Венна, определите правильность логического вывода: а) Если некоторые четные числа больше 3, то некоторые большие трех числа -четные. б) Если ни одно решение неравенства | дг -Ь 2 | < 5 не является решением неравенства дс > 7, то ни одно решение неравенства д: > 7 не является решением неравенства | д: -Ь 2 | < 5. 172 Глава 7, §3, n.1 в) Если все решения неравенства х - 4 > 8 положительные числа и некоторые положительные числа делятся на 7, то некоторые делящиеся на 7 числа - решения неравенства х - 4 > 8. г) Если все неравенства вида kx + Ь < сх + d линейные и некоторые линейные неравенства имеют более пяти решений, значит, некоторые неравенства вида kx + Ь < сх + d имеют более пяти решений. д) Если ни одно решение неравенства | х - 2 j < 6 не больше 10, а некоторые большие 10 числа делятся на 5, значит, некоторые делящиеся на 5 числа не являются решениями неравенства | х - 2 | < 6. е) Если все положительные числа являются рациональными и ни одно положительное число не может быть меньше нуля, значит, все рациональные числа не могут быть меньше нуля. Существует ли такое целое число, которое: а) при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 18 дает остаток 15; б) при делении на 7 дает остаток б, а при делении на 21 дает остаток 12; в) делится на 11, а при делении на 22 дает остаток 13; г) делится на 9, а при делении на 54 дает остаток 43? а) Лыжник пробежал 15 км, что составило 60% всей дистанции. Сколько километров составляет вся дистанция? б) В театре 300 мест. На спектакль продали 250 билетов. Какой процент свободные места составят от общего количества мест, если на сеанс придут лишь 80% зрителей, купивших билеты? в) При проведении распродажи цену на мобильный телефон установили в размере 11 203 р. Сколько стоил мобильный телефон до распродажи, если размер скидки составил 15% ? г) В произведении трех чисел первый множитель увеличили на 30%, второй увеличили на 45%, а третий уменьшили на 50%. Как изменилось произведение? Зависимость у от х задана таблицей. Найдите ее область определения и область значений. Определите, является ли данная зависимость функциональной, и обоснуйте свой ответ: а) б) X -3 -2 2 4 7 у 3 2 3 2 0 X 1 -1 2 3 4 У 0 1 2 3 4 в) г) X 5 4 5 3 5 У 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 У 4 4 4 4 4 д) 8х^ + + бх^у + Zxy^; е) т* - 21тп^ - т^п -Ь 9га®. Разложите многочлен на множители: а) 2а -Ь 6 -I- 4о® - 6®; в) 9гагга® + Ат - 4/га® - 6га; б) 25<® - 42® - 22 - Ы-, г) 36^“ - 49 - 12d®r® - 14г®; Найдите сумму многочленов Р, Q и R: а) Р = Зр® - (р®-f д®), б)Р = (х-у)®, Q = 5^® - (^® - 4р®), Q = -(х® + 5х®г/ + Аху'^ - 2у®), R = 8^® - (10^® + 5р®); R = -4х®г/ -I- 4хг/® -Ь у® - (-9x®i/ + бху® -Ь Зу% 173 Глава 7, §3, п.1 ш ш 746 в) 2^ - 48 + 8z = 0; г) + 19г + 78 = 0. О тЩ Решите уравнение: а) {X + 3)(х“ + 8) - л:» - 27 = 0; б) {у - 4)(г/2 - 5) - г/З + 64 = 0; Докажите, что: а) если р G Z и - 1 делится на 2, то - 1 делится на 8; б) если р е Z VL - 4р делится на 2, то р® - 4р делится на 48. а) Изюм содержит 10% воды. Из 80 кг винограда получается 5 кг изюма. Какой процент содержания воды в винограде? б) Абрикосы при сушке теряют 80% своей массы. Из какого количества свежих абрикосов было получено 7 кг сушеных? в) Клубника при сушке теряет 65% своей массы. Решили засушить 60 кг клубники. Сколько получится сушеной клубники? а) Проведите 30 испытаний по подбрасыванию игрального кубика и запишите в таблице результат каждого испытания. Используя калькулятор, вычислите с точностью до сотых частоту выпадения 5 очков в проведенной серии испытаний. б) Проведите 60 испытаний по подбрасыванию игрального кубика и запишите в таблице результат каждого испытания. Вычислите частоту выпадения 5 очков в проведенной серии испытаний. Что вы замечаете? а) При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Кто из актрис российского кино вам больше всего нравится?» Ответ «Алиса Фрейндлих» выбрали 95 человек. После подсчета оказалось, что частота этого ответа среди всех ответов, полученных на данный вопрос, равна 0,19. Сколько человек принимало участие в этом опросе? б) При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Кто из актеров российского кино вам больше всего нравится?» Ответ «Дмитрий Харатьян» выбрали 171 человек. После подсчета оказалось, что частота этого ответа среди всех ответов, полученных на данный вопрос, равна 0,09. Сколько человек принимало участие в этом опросе? В задании приведен отрывок из романа Жюля Верна «Двадцать тысяч лье под водой». Используя калькулятор, вычислите (с точностью до тысячных) частоту появления букв «А», «Е», «Н», «П». Сравните полученные результаты с таблицей частот букв русского алфавита, приведенной на стр. 22 части 3 учебника. Почему полученные вами частоты не совпадают с данными, приведенными в таблице? «Соприкасаясь постоянно с кругами нашего ученого мирка при Ботаническом саде, Консель и сам кое-чему научился. Он специализировался в области естественнонаучной классификации, наловчился с быстротой акробата пробегать всю лестницу типов, групп, классов, подклассов, отрядов, семейств, родов, подродов, видов и подвидов. Но его познания на этом и кончались. Классифицировать — это была его стихия, дальше он не шел. Сведущий в теории классификации, но с.габо подготовленный практически, он, я думаю, не сумел бы отличить каша.юта от беззубого кита!» 174 Глава 7, §3, п.1 7481 П 7^ Чему равна вероятность: а) купить выигрышный билет лотереи, если известно, что каждый 240-й билет содержит выигрыш; б) вытащить на экзамене билет № 7, если всего билетов 36; в) угадать одно число из 52 чисел; г) выбрать, не глядя, из 15 разноцветных шаров шар определенного цвета? а) Сколько различных комбинаций могут выпасть при одновременном подбрасывании двух обычных игральных кубиков? Запишите все возможные исходы. б) Проведите 60 испытаний и внесите в таблицу результаты испытаний, в которых выпадал один из кубиков с двумя очками. В первом столбце таблицы укажите все возможные исходы, во втором - общее количество проведенных испытаний, в третьем - количество испытаний, завершившихся указанным исходом, а в четвертом столбце вычислите с точностью до сотых частоту появления каждого исхода (используйте калькулятор). Существует ли такое целое число, которое: а) при делении на 5 дает остаток 7, а при делении на 20 дает остаток 13; б) делится на 13, а при делении на 39 дает остаток 27? а) Пловец проплыл 500 м, что составило 40% всей дистанции. Сколько метров ему еще надо проплыть? б) Во время распродажи телевизор стал стоить 23 855 р. Сколько стоил телевизор до распродажи, если размер скидки составил 35% ? в) В произведении трех чисел первый множитель уменьшили на 20%, второй увеличили на 65%, а третий уменьшили на 30%. Как изменилось произведение? Зависимость у от х задана таблицей. Найдите ее область определения и область значений. Является ли данная зависимость функцией? Обоснуйте свой ответ. а) X -5 -1 3 9 11 у 2 7 7 2 7 б) дс 6 3 6 3 4 У 2 5 9 13 17 Разложите многочлен на множители: а) За -I- 6 -I- 9а^ - Ь^; в) тп^ 24т - 64/п® - Зл; д) 27х^ + + 12х^у + 4ху'^; б) 36<2 - г^-22- I2t\ г) 2bd* - 81 - 15dV - 27i^\ е) /л'* - &4тп^ - т^п + 16л^ Найдите сумму многочленов Р, Q и R: а) Р = 5а^ - (За^ - 2Ь^), б) Р = 8р^ - 4р^д + брд^ - 2д\ Q = lb^ - (66^ + 4а% Q = -(Юр* -Ь 7р*9 + брд^ - Зд% R = Зо* - (66^ - За*); R = -Ьр^д + 9рд^ + (f- {-\3р^д + 7рд^ + 2д% Решите уравнение: а) (X + 5)(x* - 7) - л:* - 125 = 0; в) г* -I- 63 - 16г = 0; б) (у - 2)(у* + 9)- у^ + 8 = 0; г) г* -I- 7г - 44 = 0. а) Сено содержит 10% воды. Из 157,5 кг свежескошенной травы получается 35 кг сена. Какой процент содержания воды в свежескошенной траве? б) Чернослив при сушке теряет 70% своей массы. Из какого количества свежих слив было получено 12 кг сушеных? 175 Глава 7, §3, п.2 757[ Решите уравнение |л: + а|-|х-6| = |л'-с|: а = (2,04 + Щ • 70,84 : 2,3 - (2,025 - l|) : 4||) • 0,1; Ь = (l7^ • 3,6 - 0,476 : и) : (о,09 • 870 - 120 : 4|) + 0,834 : 0,3; - И • - 4)) ■ (й ^ + 1,34) : i Ф * 9' Если к половине возраста Сашиного папы прибавить 8, то получится его возраст 15 лет назад. Сколько лет Сашиному папе? В офисе одной компании работает 150 человек. Причем часть сотрудников этой компании всегда говорят правду, а все остальные всегда лгут. Каждому из сотрудников компании был задан вопрос: «Если не считать вас, то кого больше среди остальных сотрудников компании - лжецов или тех, кто говорит правду?» Когда 76 участников на этот вопрос ответили, что лжецов больше, опрос прекратили. Можно ли по результатам этого опроса определить, сколько в компании лжецов? 2. Классическая схема определения вероятности Чем более трудной является задача определения того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука, которая достигает этого результата, представляется удивительной. Христиан Гюйгенс (1629-1695), голландский математик и физик Как мы уже обсуждали в предыдущем пункте, в некоторых случаях мы можем вычислить вероятность того или иного случайного события. В частности, если при проведении некоторого испытания мы имеем п равновозможных исходов, то веро- 1 ятность каждого из них равна -. Рассмотрим серию из п испытаний, в которых все исходы равновозможны. Пусть теперь число благоприятных исходов для события А равно некоторому натуральному числу п (А) ^ 1. Тогда вероятность его наступления будет в п (А) раз больше, чем -, aiM И, следовательно, равна Поэтому при определении вероятности случайного со- бытия А в этом случае используют следующую, так называемую классическую, схему. Классическая схема определения вероятности случайного события А 1. Определить число п всех возможных исходов рассматриваемого испытания. 2. Определить число п (А) благоприятных исходов, при которых наступает событие А. 3. Вероятность события А равна отношению п (А) к п: Р{А) = 176 Глава 7, §3, п.2 Заметим, что если для некоторого испытания все исходы равновозможны и какое-то событие не происходит ни при каком повторении испытания, то число благоприятных исходов для него равна нулю: п (А) = 0. Поэтому вероятность такого невозможного события равна Р(А) = ^ =2 = 0. ' п п Например, невозможным событием является выпадение числа 7 при бросании обычного игрального кубика. Нели же какое-то событие происходит при любом повторении испытания, то есть если событие является достоверным, то число благоприятных исходов для него п{А) = п. Тогда вероятность такого события равна Р(А) - аШ _ 2.1. Поскольку число благоприятных исходов больше или равно нулю и всегда меньше или равно числу всех возможных исходов, то вероятность любого случайного события всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1. о < п{А) < л о о < Р(А) < 1. Используя классическую схему определения вероятности, решим следующие задачи. Задача 1. Бросают два обычных «идеальных» (абсолютно симметричных) игральных кубика. Вычислите вероятность выпадения шести очков на каждой из верхних граней этих двух кубиков. Решение: Пусть А - событие, при котором на верхних гранях обоих кубиков выпадает число 6. Поскольку кубики «идегшьные», то выпадение на верхних гранях каждого из них одного из шести чисел события равновозможные, и мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности. 1. Вначале определим общее число п возможных исходов при бросании двух кубиков. Для этого вычислим число всех комбинаций, которые при этом могут возникнуть. Если на первом кубике выпадает число 1, то всего имеется шесть различных вариантов выпадения двух кубиков, так как на втором кубике могут выпасть числа от 1 до 6. Аналогичный вывод можно сделать и при выпадении на первом кубике чисел 2,3, 4, 5 и 6. В итоге мы получаем 36 возможных вариантов выпадения кубиков (рис. 18). Следовательно, п = 36. 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 : 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 : 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 : 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 : 6 Рис. 18 177 Глава 7, §3, п.2 2. Благоприятный исход, при котором на обоих кубиках выпадает шесть очков, возможен только в одном случае. Поэтому п (А) = 1. 3. Вероятность события А равна отношению п (Л) к л: ШЛ) = йШ п 36- Ответ", при бросании двух кубиков вероятность выпадения шести очков на каж- 1 дои из их верхних граней равна 36* В последующем для краткости под игральными кубиками мы будем понимать обычные «идеальные» игральные кубики. Задача 2. Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме восьми очков. Решение: Пусть А - событие, при котором на верхних гранях обоих кубиков в сумме выпадает восемь очков. Поскольку вероятности выпадения на верхних гранях кубиков одного из шести чисел равны, то мы можем воспользоваться классической схемой определения вероятности. 1. Общее число п возможных исходов при бросании двух кубиков мы вычислили в задаче 1, оно равно 36: п = 36. 2. Для того чтобы определить число благоприятных исходов, составим таблицу возможных исходов при бросании двух кубиков и выделим в ней те случаи, в которых сумма очков на двух кубиках равна восьми (рис. 19). 1 : 1 1 2 1 : 3 1 : 4 1 : 5 1 : 6 2 : 1 2 2 2 : 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6 3 : 1 3 2 3 : 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6 4 : 1 4 2 4 : 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6 5 : 1 5 2 5 : 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6 6 : 1 6 2 6 : 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6 1 1 1 2 1 3 1 : 4 1 : 5 1 : 6 2 1 2 2 2 3 2 : 4 2 : 5 2 : 6 3 1 3 2 3 3 3 : 4 3 : 5 3 : 6 4 1 4 2 4 3 4 : 4 4 : 5 4 : 6 5 1 5 2 5 3 5 : 4 5 : 5 5 : 6 6 1 6 2 6 3 6 : 4 6 : 5 6 : 6 Рис. 19 Рис. 20 Мы видим, что сумма очков на двух кубиках равна восьми в пяти случаях. Следовательно, число благоприятных исходов для события А равно 5: л (А) = 5 3. Вероятность события А равна отношению п (А) к п: п 36’ Ответ: при бросании двух кубиков вероятность выпадения на верхних гранях 5 в сумме восьми очков равна Задача 3. Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме десяти очков. 178 Глава 7, §3, п.2 Решение: Пусть А - событие, при котором на верхних гранях обоих кубиков в сумме выпадает десять очков. Решая задачу аналогично задаче 2, получаем, что п = 36, а п (А) = 3 (рис. 20). Поэтому вероятность события А будет равна: Р(А) - - -2- - 1 п 36 12’ Ответ: при бросании двух кубиков вероятность выпадения 1 на верхних гранях в сумме десяти очков равна Сравнивая решения задач 2 и 3, заметим, что вероятности выпадения на верхних гранях кубиков различных сумм не совпадают. А значит, данные события не являются равновозможными. О 7бЛ И а) Задумали однозначное натуральное число. Найдите вероятность того, что случайно названное однозначное натуральное число окажется равным задуманному. б) Задумали двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что случайно названное двузначное натуральное число окажется равным задуманному. в) Задумали трехзначное натуральное число. Найдите вероятность того, что случайно названное трехзначное натуральное число окажется равным задуманному. а) Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме пяти очков. б) Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность выпадения на верхних гранях этих кубиков в сумме семи очков. в) Предложите свой способ вычисления вероятности случайного события в случаях, когда все исходы равновозможные. Сравните его с классической схемой вычисления вероятности, рассмотренной на стр. 176 учебника. г) Как изменяется сумма очков на верхних гранях двух кубиков при их одновременном бросании? Являются ли равновозможными исходами выпадение на верхних гранях двзтх кубиков в сумме 3 очков и 6 очков? 2 очков и 12 очков? Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность того, что: а) сумма очков на верхних гранях нечетная и на одном из кубиков выпало 4 очка; б) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не больше 6; в) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не меньше 5 и не больше 8; г) сумма выпавших на верхних гранях очков равна пяти, а модуль разности очков равен трем; д) сумма выпавших на верхних гранях очков равна семи, а их произведение равно десяти. а) Сахар и сахарная пудра были расфасованы в одинаковые мешки. В машину загрузили 40 мешков с сахаром и 10 мешков с сахарной пудрой. При перевозке мешки перемешались, а один мешок был утерян. Вычис.пите вероятность того, что был утерян: 1) мешок с сахаром; 2) мешок с сахарной пудрой. 179 Глава 7, §3, п.2 Ш И б) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают. Вычислите вероятность того, что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана: 1) гласная буква; 2) одна из букв слова «МАТЕМАТИКА». в) На экзамене по истории 45 билетов. Соня не успела выучить 5 билетов. Вычислите вероятность того, что, взяв экзаменационный билет наугад, Соня вытащит билет, который она не успела выучить. г) В лотерее 1000 билетов без выигрыша и 20 билетов с выигрышем. Чему равна вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет? д) Пирог разделили на 15 кусков, в двух из которых находятся сюрпризы. Чему равна вероятность получить пирог с сюрпризом, взяв кусок пирога наугад? На шарах написаны целые числа от 1 до 100. Шары положили в мешок и перемешали, а затем, не глядя в мешок, из него вытащили один шар. Вычислите вероятность того, что число на вытащенном шаре: а) делится на 10; в) делится на 3 и на 7; б) делится на 5; г) простое. а) В ряд выложили красный, синий и зеленый шары. Чему равна вероятность того, что красный и синий шары окажутся рядом? б) Наугад выбрано число от 1 до 400. Чему равна вероятность того, что оно окажется точным квадратом? в) Из цифр 5, 7, 9 случайным образом составили трехзначное число, используя все цифры. Чему равна вероятность того, что полученное число: 1) делится на 5; 2) начинается на 7? а) Чему равна вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число: 1) состоит из одинаковых цифр; 2) больше 35 и меньше 52? б) Чему равна вероятность того, что первая же карта, вытащенная из обычной карточной колоды, содержащей 36 карт, окажется: 1) дамой; 2) пиковой масти; 3) дамой, королем или тузом? в) В мешок положили четыре буквы: «О», «Р», «М», «Е». Из мешка их вытаскивают по одной букве и записывают вытащенные буквы подряд. Чему равна вероятность того, что в итоге записи получится слово «МОРЕ»? а) Монету бросают три раза подряд. Вычислите вероятность того, что «решка» выпадет хотя бы два раза. б) В коробке лежит б разноцветных шаров: красный, синий, желтый, зеленый, белый и черный. Из нее наугад выбирают 3 шара. Вычислите вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется синий шар. в) В конверте 12 фотокарточек, и среди них одна разыскиваемая. Из него наугад вытаскивают 7 фотокарточек. Вычислите вероятность того, что среди вытащенных фотокарточек окажется нужная. г) В экзаменационные билеты по математике включены 40 вопросов. Каждый из экзаменационных билетов содержит 2 вопроса. Гоша, готовясь к экзамену, не успел выучить 5 вопросов. Билет он взял наугад. Вычислите вероятность того, что Гоше попадется билет, в котором оба вопроса он не успел выучить. 180 ______________________________________________________________ Глава 7, §3, п.2 [Т6^ Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Если выска-зывание ложно, постройте его отрицание и докажите истинность отрицания: а) V а, 6, с G Q; а > 6: с - а > с - в) V а, 6, с е Q; а < с: ЗЬ - 2а > 36 - 2с; б) 3 а, 6, с G 2а + 36 = 6с; г) 3 а е Z : 4(а + 3) = 7 - 3(а - 2). С помощью алгоритма Евклида найдите НОД чисел а и 6: а) а = 851, 6 = 2627; б) а = 767, 6 = 2537; в) а = 2201, 6 = 3763. 770| Три книжных магазина приобрели одинаковое количество экземпляров новой книги популярного автора. Первый магазин купил книги в упаковках по 20 штук, второй - в упаковках по 15 штук, а третий - в упаковках по 35 штук. Сколько экземпляров данной книги приобрел каждый из магазинов, если общее количество экземпляров было меньше 1300 штук? Докажите, что: а) а^ -I- 7 не делится на 3 для любого целого числа а; б) если целое число а не делится на 5, то а"* -Ь 4 делится на 5. |Т7^ а) Пробка растянулась на 2500 м. Автомобилист, двигавшийся по встречной полосе со скоростью 60 км/ч, отметил, что путь от начала и до конца пробки он проехал за 2 минуты. С какой средней скоростью двигались машины в пробке? б) Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, находящихся на расстоянии 420 км друг от друга. Скорость одного из поездов равна 50 км/ч. Чему равна скорость другого поезда, если встреча состоится через 3,5 часа? в) Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии 135 км друг от друга, выехали одновременно в противоположных направлениях два автомобилиста. Скорость первого автомобилиста равна 75 км/ч. С какой скоростью ехал второй автомобилист, если через 9 часов расстояние между ними стало равно 1530 км? г) Машина ДПС догоняла машину нарушителя, двигаясь со скоростью 110 км/ч. В начале погони расстояние между машинами равнялось 2 км, а через 15 мин погони расстояние между ними стало 750 м. С какой скоростью двигалась машина нарушителя? |т^ Упростите выражение: а) 48 + 2(5(7 - а) - За) + 6а - 3(8а - (4а - 40)) - За - 8 -I- 21а; б) -(3(7х - Ау) - 52 - 9) - 4(0,5(4 - 2{3у - 7х) - 4(3л: - 7у)) - 1) - 19jc - 3(5л: - 7у); в) {5тп^) : {^тп1) • (-2т^п1) : (АтпЧ) : (Втп) • 774} На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) 5л: -ь 4 < 19; Зу + 7 < -8; в) -14 < 6л: - 8 < 10; -7 < 8у + 9 < 25; б) 4л: - 7 > 5; 2у - 9 < 1; г) -23 < 9л: -f 4 < -5; -14 < 11у - 3 < 30. 6'/^“Петерсон, 7 кл., ч. 3 181 Глава 7, §3, п.2 Т1й ~fii\ Ф Две подруги, Таня и Марина, отправились одновременно из города А в город В, одна на велосипеде, а другая на мотоцикле. Через некоторое время оказалось, что если бы Марина проехала в четыре раза больше, то ей остгиюсь бы проехать в три раза меньше, чем сейчас, и что если бы Таня проехала в три раза меньше, то ей осталось бы проехать в четыре раза больше, чем сейчас. На чем ехала Таня, если девочка, которая ехала на мотоцикле, передвигалась с большей скоростью, чем велосипедистка? Определите, какой цифрой оканчивается число: а) 4679»™“'“; 6) 59 347=*''^’“; в) 999"«; г) 777 7775»''31з_ Решите уравнение: а) - 9х^ + X - 9 = 0; в) 5г* + 552^ + Юг + 110 = 0; б) - 6«/» + Ъу^ - 48у = 0; г) + 18t^ +7f^ + 63t = 0. [Т7^ Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность того, что: а) на верхних гранях этих кубиков выпало в сумме четырех очка; б) сумма очков на выпавших гранях четная и на одном из кубиков выпало 5 очков; в) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не больше 7; г) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не меньше 4 и не больше 6; д) сумма выпавших на верхних гранях очков равна семи, а модуль их разности равен пяти. е) сумма выпавших на верхних гранях очков равна шести, а их произведение равно восьми. а) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают. Вычислите вероятность того, что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана: 1) согласная буква; 2) одна из букв слова «СТАТИСТИКА». б) На экзамене по литературе 45 билетов. Вася не успел выучить 6 билетов. Вычислите вероятность того, что, взяв экзаменационный билет наугад, Вася возьмет билет, который он успел выучить. На шарах написаны целые числа от 1 до 100. Шары положили в мешок и перемешали, а затем, не глядя в мешок, один шар вытащили из него. Вычислите вероятность того, что число на вытащенном шаре: а) делится на 7; б) делится на 5 и на 4. а) В ряд выложили три пирожных: эклер, корзиночку и бизе. Чему равна вероятность того, что эклер и бизе окажутся рядом? б) Из цифр 3, 4, 8 случайным образом составили трехзначное число, используя все цифры. Чему равна вероятность того, что полученное число: 1) делится на 2; 2) начинается на 8? 182 Глава 7, §3, п.2 а) Чему равна вероятность того, что случайным образом выбранное трехзначное число: 1) состоит из трех одинаковых цифр; 2) больше 121 и меньше 148? б) В мешок положили пять букв: «Е», «Ч», «А, «М» и «Т». Из мешка их вытаскивают по одной букве и записывают вытащенные буквы подряд. Чему равна вероятность того, что в итоге записи получится слово «МЕЧТА»? а) Монету бросают два раза подряд. Вычислите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет «орел». б) В коробке лежит 5 разноцветных карандашей: сиреневый, синий, зеленый, красный и оранжевый. Из коробки наугад выбирают 2 карандаша. Вычислите вероятность того, что среди извлеченных карандашей окажется зеленый. в) В конверте 14 открыток, и среди них одна нужная. Из конверта наугад вытаскивают 6 открыток. Вычислите вероятность того, что среди вытащенных открыток окажется нужная. г) В экзаменационные билеты по физике включены 60 вопросов. Каждый из экзаменационных билетов содержит 3 вопроса. Антон, готовясь к экзамену, не успел выучить 7 вопросов. Вычислите вероятность того, что, взяв экзаменационный билет наугад, Антон вытащит билет, в котором все три вопроса он не успел выучить. С помощью алгоритма Евклида найдите НОД чисел а и 6: а) а = 533, Ь = 1517; б) а = 1411, Ь = 1909. Четыре киоска заказали одинаковое количество экземпляров одного и того же журнала. Первый киоск заказал журналы в упаковках по 14 штук, второй - в упаковках по 21 штуке, третий — в упаковках по 42 штуки, а четвертый - в упаковках по 28 штук. Сколько экземпляров данного журнала приобрел каждый из киосков, если общее количество экземпляров было меньше 400 штук? Докажите, что а? Л- За для любого целого числа а либо делится на 4, либо при делении на 4 дает остаток 2. а) Колонна демонстрантов растянулась на 800 м. Велосипедист, двигавшийся навстречу колонне со скоростью 10 км/ч, проехал от начала и до конца колонны за 4 минуты. С какой средней скоростью двигалась колонна демонстрантов? б) Две электрички выехали одновременно навстречу друг другу с двух станций, находящихся на расстоянии 22,5 км друг от друга. Средняя скорость одной электрички равна 40 км/ч. Чему равна средняя скорость второй электрички, если они встретятся через 15 мин? в) Из пунктов А W. В, находящихся на расстоянии 12 км друг от друга, вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Скорость первого пешехода равна 3 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход, если через 2 часа расстояние между ними стало равно 28 км? Упростите выражение: а) 5а + (2(3 - За) - 4а) - 7а - 5(3а - (6а + 3)) - 7а - 12 + 9а; б) 4(2х - Зу) - б2 - 8 - 2(-7 - 9(у - х) - (бд: - 9у)) - 4 - 6х - 4{2х - 5у); в) (7рд^) : (|ууг) • {-Зр'^дг) : (-63pyV) : (рдг^) • (дг^). 6'Л* 183 Задачи для самоконтроля к Главе 7 789| На координатной плоскости Оху изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенствам: а) Зх + 7 > 28; 5j/ - 3 < -18; б) -11 < 2х - 9 < 7; -14 < 6р + 4 < 28. Решите уравнение: а) X® - 5х^ + 2х - 10 = 0; б) 2у‘* - 8у^ + Зу^ - 12у = 0. Определите, какой цифрой оканчивается число: а) 7523=’"='"”'; б) 95 217">"‘’\ Решите неравенство |х-а| + |х-6|< 7 оЗ , .2 „ 7 \ /, 5 11\ X + с ^=(ifs • а - 4: й): т - 4)- [Т9^ Имеется 17 чисел, равных 2,3, и 19 чисел, равных 2,33. Можно ли их разбить на две группы так, чтобы сумма чисел в одной группе равнялась сумме чисел в другой группе? Два пловца стартовали одновременно от одного бортика бассейна и стали плавать по одной дорожке вперед и назад без остановки до того момента, пока оба одновременно не оказались у того бортика, от которого стартовали. Первый проплывал от одного конца бассейна до другого за 3 минуты, а второй - за 5 минут. Сколько раз за время этого плавания первый пловец обогнал второго? Задачи для самоконтроля к Главе 7 а) Флаг составлен из четырех одинаковых вертикальных полос разных цветов. Сколько различных флагов удовлетворяют этому условию? б) Сколько различных пятизначных чисел, цифры в которых не повторяются, можно составить из цифр 7, 9, 3, 2, 1? а) В интернет магазине продается 17 моделей компьютеров и 8 моделей принтеров. Сколькими способами можно купить в этом магазине компьютер и принтер? б) У Кати имеются шесть различных значков. Сколькими способами она может положить все эти значки в ряд? в) Сколько различных шестизначных паролей из букв А, В, С, D, Е, F можно составить, если буквы в пароле не должны повторяться? а) В меню кафе 7 видов кофе, 5 видов пирожных и 6 видов мороженого. Сколькими способами можно заказать в этом кафе кофе с пирожным и мороженым? б) Сколькими способами можно выбрать из 9 детективов, 11 классических произведений и 7 книг о приключениях три книги: детектив, классическое произведение и книгу о приключениях? 184 Задачи для самоконтроля к Главе 7 а) Сколькими способами можно разместить в одном ряду три бутылки минеральной воды и четыре газированных напитка так, чтобы все бутылки с минеральной водой стояли рядом? б) Сколько шестизначных чисел, кратных 4, можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, если цифры в искомом числе не повторяются? а) Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых встречаются только цифры 2, 3, 5, 7, 8, 9? б) Алфавит туземного племени состоит из букв «А», «В», «О», «У». Словом в этом языке является любая последовательность из шести букв. Какое максимальное количество слов может быть в языке этого туземного племени? а) Номера квартир в доме состоят не более чем из трех цифр и не содержат цифры О, 7 и 8. Может ли в этом доме быть 400 квартир? б) Известно, что код сейфа является последовательностью цифр длиной не более четырех символов. Сколько существует вариантов такого кода? В таблице приведено расписание вылета авиарейсов из аэропорта Домодедово (Москва). Прилет всех указанных рейсов происходит в день их вылета. Расписание вылета авиарейсов из аэропорта Домодедово (Москва) Пункт назначения Время вылета (московское) Время прилета (московское) Владивосток 05:00 13:45 Абакан 07:15 11:45 Ижевск 09:55 12:00 Бухара 10:25 14:15 Геленджик 12:05 14:00 Караганда 16:10 19:40 Красноярск 18:20 22:50 Магнитогорск 20:30 22:40 Пользуясь представленной информацией, определите: 1) В котором часу отправляется рейс в Геленджик? 2) Чему равна длительность полета в Караганду? 3) Какой рейс имеет наименьшую длительность полета и чему равна длительность этого полета? 4) В каком рейсе длительность полета наибольшая и чему она равна? 5) Какой рейс длится 2 часа 5 мин? 6) В какие города надо лететь больше 4 часов, но меньше 8 часов? 7) Полет в какие города занимает более б часов? Постройте столбчатую диаграмму, иллюстрирующую зависимость длительности полета от выбранного пункта назначения. 7“Петерсон, 7 кл., ч. 3 185 Задачи для самоконтроля к Главе 7 802| в Интернете был проведен социологический опрос, посвященный коллекционированию. Постройте круговые диаграммы, иллюстрирующие результаты, полученные после анализа ответов участников опроса, а) Вопрос: Что вы коллекционируете? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Монеты 20% Марки 15% Картины 10% Другое 25% Ничего 30% б) Вопрос: Почему люди становятся коллекционерами? Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Чтобы отвлечься, отдохнуть 45% Чтобы расширить свой кругозор, узнать новое 40% Чтобы, вложив деньги сейчас, получить доход в будущем 10% Другое 5% |803| В таблице приведены данные о производстве в Российской Федерации автоматических стиральных машин (в тыс. штук) в 2001-2008 гг. Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Автоматические стиральные машины 3,6 169,3 197,4 287,9 434,1 1022,1 1794,3 2067,7 В результате анализа представленной информации были вычислены следующие статистические характеристики: а) 3,6; б) 747,05; в) 2067,7; г) 2064,1; д) 361. Определите, какую статистическую характеристику могли вычислять в каждом из пунктов. 804| а) В течение учебного года Миша несколько раз участвовал в соревнованиях по бегу на 500 м. По итогам всех соревнований он показал следующие результаты: Результат 1,5 мин 1,45 мин 1 1,4 мин 1,35 мин 1,3 мин 1,25 мин Количество раз 3 2 5 8 3 1 Найдите средний результат Миши по бегу на 500 м (с точностью до сотых минуты), моду, размах и медиану представленного числового набора, б) Семь друзей, Саша, Коля, Сережа, Петя, Костя, Дима и Иван, собирали в течение года постеры. Саша собрал 7 постеров, Коля - 9, Сережа - 12, Петя - 7, Костя - 7, Дима - 14, а Иван - 16. Найдите среднее арифметическое количества собранных мальчиками постеров (с точностью до единиц), моду, размах и медиану представленного числового набора. 186 Задачи для самоконтроля к Главе 7 щ При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Кто является вашим любимым русским писателем?» Ответ «Николай Васильевич Гоголь» выбрали 280 человек. После подсчета оказалось, что частота данного ответа среди всех ответов, полученных на данный вопрос, равна 0,14. Сколько человек принимало участие в этом опросе? Сколько человек назвали других писателей? Являются ли равновозможными события А и В? а) А: при бросании двух идеальных монет выпала комбинация «орюл» и «решка»; В: при бросании двух идеальных монет выпала комбинация «орел» и «орел». б) А: при бросании идеального игрального кубика выпало 2 очка; В: при бросании идеального игрального кубика выпало 5 очков. в) А; при бросании идеального игрального кубика выпало число, кратное 4; В: при бросании идеального игрального кубика выпало число, не кратное на 4. г) А: Вася угадал одну из 56 цифр, загаданных его другом; В: Вася не угадал одну из 56 цифр, загаданных его другом. д) А: из 48 экзаменационных билетов Ира вытащила счастливый для нее билет № 7; В: из 48 экзаменационных билетов Ира вытащила несчастливый для нее билет № 23; е) А: Саша выиграл 20 р. в моментальную лотерею; В: Саша не выиграл 20 р. в моментальную лотерею. Чему равна вероятность: а) купить выигрышный билет лотереи, если известно, что каждый 50-й билет содержит выигрыш; б) вытащить на экзамене билет № 13, если всего билетов 39; в) взять наугад нужную книгу с полки, на которой стоит 340 книг; г) угадать одно число из 78; д) выбрать, не глядя, из 20 разноцветных шаров шар определенного цвета? Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность того, что: а) сумма очков, выпавших на верхних гранях кубиков, равна 11; б) сумма очков на выпавших гранях нечетная, и на одном из кубиков выпало 2 очка; в) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не больше 7; г) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не меньше 3 и не больше 5. а) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и карточки тщательно перемешивают. Вычислите вероятность того, что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана: 1) одна из букв слова «ВЕРОЯТНОСТЬ»; 2) одна из букв слова «КОМБИНАТОРИКА». б) На экзамене по информатике 53 билета. Андрей не успел выучить 2 билета. Вычислите вероятность того, что, взяв экзаменационный билет наугад, Андрей получит билет, который он успел выучить. На шарах написаны целые числа от 1 до 100. Шары положили в мешок и перемешали, а затем, не глядя в мешок, из него вытащили один шар. Вычислите вероятность того, что число на вытащенном шаре: а) делится на 9; в) делится на 9 и на 2; б) делится на 12; г) делится на 11 и на 3. 7* 187 Задачи для самоконтроля к Главе 7 Сравните числа: . ^ 273 41 “ 289’ 314 315 315 “ 316’ . 199 198 400 “ 395’ 83 “ 837' 8131 а) Моторная лодка при движении по реке прошла расстояние от города А до города В за 4 часа, а на обратный путь ей потребовалось 6 часов. Найдите собственную скорость движения моторной лодки, если скорость течения реки равнялась 3 км/ч. Найдите среднюю скорость движения лодки. б) Расстояние от Твери до Нижнего Новгорода по водному пути составляет 810 км. За какое время проплывет теплоход путь от Твери до Нижнего Новгорода и обратно, если собственная скорость теплохода будет равна 28,5 км/ч, скорость течения реки равна 1,5 км/ч, а время на остановки составит 20% от всего времени движения? в) Склад арендуют 4 компании. Расходы каждой из компаний на отопление скла- 2 да относятся как 3 : 4,2 : 5 : Рассчитайте сумму, которую должны заплатить за отопление за апрель эти четыре компании, если известно, что компания, которая платит за электроэнергию больше всех, заплатила за апрель 17 500 р. г) Прямоугольный участок земли изображен на плане, выполненном в масштабе 1 : 6000. Чему равна реальная площадь этого участка, если большая сторона прямоугольника равна на плане 5,6 см, а меньшая составляет ^ от большей? д) Инвестор вложил свои сбережения на три года в инвестиционные фонды А и Б. В инвестиционный фонд А он поместил 100 000 р. под 12% годовых, а в инвестиционный фонд В - 120 000 под 8% годовых. В каком из фондов инвестор заработает больше денег и на сколько? е) Какую сумму денежных средств нужно положить в банк, чтобы получить через 2 года доход в размере 14 144 р., если банк предлагает разместить вклады под 8% годовых? ж) Во время распродажи пылесос стал стоить 4252,5 р. Сколько стоил пылесос до распродажи, если размер скидки составил 30% ? з) В произведении трех чисел первый множитель увеличили на 40%, второй уменьшили на 65%, а третий увеличили на 20%. Как изменилось произведение? Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) б) в) Зба^ - 81Ь^ 6а -ь 96 ’ 25jc^~ 110xg+ 121а" 5х - 11у __________2х + Ъц___________ 8х^ + бОх^у 150хг/2 + 125уЗ’ г) 216а" - 108а^ -I- 18а - 1 36а" - 12а + 1 64а" - 276" 16а" -Ь 12а6 -Ь 96"’ 25а" + 40а6 + 166" е) 125а" + 646" а) Расположите числа 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 в клетках квадрата размером 3X3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? б) Расположите числа 5, 17, 29, 47, 59, 71, 89, 101, 113 в клетках квадрата размером 3X3 так, чтобы квадрат стал магическим. Сколько таких квадратов можно составить? 188 Задачи для самоконтроля к Главе 7 а) Учащиеся восьмого класса изучают 9 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы в этот день было 6 различных уроков? б) Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, если цифры не могут повторяться? а) Сколько нечетных номеров, состоящих не более чем из пяти цифр, можно составить из цифр 3, 4, 7, 8, 9? G) Для нумерации ячеек в камере хранения используется четыре цифры: 5, 6, 7, 8. Можно ли с их помощью занумеровать 160 ячеек, поставив в соответствие каждой ячейке свое четное число, состоящее не более чем из четырех указанных цифр? в) Автомобильный номер некоторого государства устроен следующим образом: номер начинается с одной, двух или трех букв, а затем идут четыре цифры. Сколько существует автомобильных номеров, которые оканчиваются на 9, если в алфавите этого государства 32 буквы и в номере могут использоваться все десять арабских цифр? 1) Зарплатная ведомость компании, занимающейся продажей канцтоваров, выглядит следующим образом: № п/п ФИО Сумма к получению № п/п ФИО Сумма к получению 1 Антонова Б.В. 25 200 р. 6 Митрохина А.А. 27 500 р. 2 Белоконь С.Г. 32 400 р. 7 Проскуряков Б.П. 32 400 р. 3 Владимирова П.С. 15 600 р. 8 Солдатова К.В. 105 200 р. 4 Ершов Д.К. 27 500 р. 9 Суханов Р.Т. 36 900 р. 5 Калинин В.В. 75 300 р. 10 Ушакова М.Н. 57 300 р. а) Вычислите среднюю зарплату, моду, размах и медиану представленного числового набора. б) Какой стала бы средняя зарплата, мода, размах и медиана, если бы все зарплаты увеличились в 4 раза, уменьшились в 1,2 раза? 2) В интернет-магазине продаются телевизоры по следующим ценам: Модель № 1 2 3 4 5 6 7 8 Цена 15 840 19 400 20 900 30 150 21 100 22 500 33 550 19 400 а) Вычислите среднюю цену телевизора в этом интернет-магазине, моду, размах и медиану представленного числового набора. б) Какой стала бы средняя цена, мода, размах и медиана, если бы все цены увеличились в 2,4 раза, уменьшились в 1,3 раза? а) Монету бросают четыре раза подряд. Вычислите вероятность того, что «орел» выпадет хотя бы три раза. б) В экзаменационные билеты по биологии включены 50 вопросов. Каждый из экзаменационных билетов содержит 3 вопроса. Олег, готовясь к экзамену, не успел выучить 7 вопросов. Вычислите вероятность того, что, взяв экзаменационный билет наугад, Олег получит билет, в котором все 3 вопроса он не успел выучить. 189 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса : Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса Вычислите (устно): а) в) -2§ • д) 0,7 : (-0,02); " ^5’ ”9 = ("4)’ ■ (-0,06); 3) (I + 0,75) • 2; к) (б,8 - : 2. ж) 0,25 : и) 3,6 • (-|); 820| Найдите значение выражения: а) 41 513 - 95 729 + 63 729 + 58 487; б) 38 + 23 + 64 + 37 + 51 + 55 + 42 + 36 + 29 + 25; г) 423 • 190 + 190 • 77; д) 925 : 7 - 295 : 7; в) (397 + 1168 - (197 - 432)) : (726 - 814 - (526 - 914)); е) з| • 2^ : 2g • 2^; ж) 2 : I + I : 9 + l| : 6 + 6 : l| - l| : 2|; з) 2— • 6— + 1-^^— 1— • (б— - 5—V и) (1,238 + 2,762)• 0,1 + (4,37 - 3,12) • 0,8 (36,987 - 34,487) : 3,125 0,2 • (47,8 - 45,55) : 0,225’ 53 68 к) ((4,625 - 1| . : 2i + 2i : 1,25 : б|): 1 Л) (I - 0,375) : I - (з| - 3^) : (0,358 - 0,108); м) н) 1 5 • 9 1 + 1 + + 1 + 1 27’ 1 9 • 13 13 • 17 17 • 21 21 • 25 1,1,1 25 • 29’ + + + 11 • 18 18 • 25 25 • 32 32 • 39 8^ Постройте математическую модель и решите задачу: а) Длина ломаной ABCD равна 54 см. Известно, что длина АВ в 5 раз меньше расстояния между началом и концом ломаной, длина ВС - в 3 раза больше АВ, а длина CD - на 1 см меньше, чем АВ. Чему равна длина CD7 б) Величина первого угла треугольника на 30 градусов меньше второго, а длина третьего - в 4 раза больше, чем второго. Найдите величину большего угла этого треугольника. в) Выручка компании за год составила 974,8 тыс. р. В первом квартале выручка была на 56,1 тыс. р. больше, чем во втором, в третьем - в 1,5 раза больше, чем во втором, а в четвертом была равна среднему арифметическому выручки первых трех квартгиюв. Сколько денег компания получила от покупателей в четвертом квартале? г) На складе лежит 245 ящиков с абрикосами. Их средний вес нетто равен 10,3 кг. После того как на склад поступило еще 20 ящиков с абрикосами, средний вес нетто ящика с абрикосами стал равен 10,5 кг. Сколько кг абрикосов поступило на склад? 190 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса Проверьте правильность следующих выводов, используя диаграммы Эйлера- Венна: а) Все решения неравенства х > 7 положительные числа. Единица - положительное число. Значит, единица - решение неравенства х > 7. б) Все решения неравенства х > 7 положительные числа. Число (-6) не является положительным числом. Значит, число (-6) не является решением неравенства X > 7. в) Все решения неравенства х > 7 положительные числа. Число (-6) не является решением неравенства х > 7. Значит, число (-6) не является положительным числом. г) Все решения неравенства х > 7 положительные числа. Число 8 является решением неравенства х > 7. Значит, число 8 - положительное. Определите истинность следующих утверждений: а) Если целое число а делится на 7, то число За делится на 7. б) Если целое число Ь делится на 5, то число 4Ь делится на 20. в) Если целое число Зс делится на 8, то число с делится на 8. г) Если целое число а не делится на 11, то число 4а не делится на 11. д) Не существует наибольшего целого числа, которое при делении на 7 дает остаток 2. е) Если целое число при делении на 21 дает остаток 8, то при делении на 7 оно даст остаток 1. Определите, делится ли: а) 40^ • 8Р на 12, 15, 17, 18, 35, 36, 54; б) 25^ • 36" на 10, 11, 45, 48, 65, 90, 100. Найдите первое простое число, следующее за числом: а) 40; б) 90; в) 115; г) 132; д) 144. Запишите в каноническом виде разложение чисел на простые множители: а) 675; б) 810; в) 1008; г) 2160; Представьте дроби в несократимом виде: д) 3510. а) 161 яч 259 407’ , 697 943’ г) 1247 д) 1739 1927' 253’ 407’ 943’ 1333’ Запишите три целых отрицательных числа, дающих: а) остаток 4 при делении на 6; в) остаток 13 при делении на 21; б) остаток 12 при делении на 19; г) остаток 19 при делении на 25. Отметьте на числовой прямой три положительных и три отрицательных целых числа, которые: а) при делении на 5 дают остаток 3; в) при делении на 6 дают остаток 4; б) при делении на (-3) дают остаток 2; г) при делении на (-7) дают остаток 1. Найдите неполное частное и остаток при делении на (-12) следующих чисел: а) 29; б) -36; в) -42; г) 134; д) -218; е) -287. Разбейте множество целых чисел на классы по их остаткам при делении на: а) 4; б) 7. 191 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса Сравните значения числовых выражений: а) 94 97 189 “ 193’ г) 0,416 и , 27 11 27 41 “ 41 ■ 10’ 1 2 1235 " 2467’ д) -0,(53) и -0,535; з) и 5у • |; 198 197 199 “ 198’ е) -0,(636) и -^; и) 567,99 • 1,01 и 567,99. б) Запишите рациональное число в виде периодической десятичной дроби; 56 а) 5,8; б) 33’ г) -ЗЩ; . 23 Д) 24’ ч 1 5 е) l^g. Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: а) 0,(4); в) -4,(541); д) -6,24(6); б) -1,(27); г) 5,0(39); е) 3,579(31). а) Два почтальона, работая вместе, разнесли все телеграммы за 5 часов. Зная, что производительность первого почтальона составляет 150% от производительности второго, определите, сколько часов потребовалось бы первому почтальону, чтобы разнести эти телеграммы самостоятельно. б) Для погрузочно-разгрузочных работ на складе используются 2 погрузчика. Первый погрузчик может выполнить заданный объем работы за 8 часов. Производительность второго погрузчика на 60% больше первого. Сколько времени понадобится этим двум погрузчикам на выполнение данного объема работы, если они будут работать вместе? в) Катя съедает банку варенья за 8 часов, Марина - за 6, а Коля - за 4. За какое время съедят эту банку варенья Катя, Марина и Коля вместе? г) Первый насос наполняет пустой бассейн за 8 часов, а второй насос выкачивает всю воду из бассейна за 18 часов. Считая, что скорости работы насосов постоянны, определите, за какое время будет наполнен этот бассейн, если он пустой и оба насоса начнут работать одновременно. д) В переплетной мастерской все мастера работают с одинаковой производительностью. Семь стажеров и три мастера выполняют за 5 часов тот же объем работы, что десять стажеров и восемь мастеров за 2 часа. Во сколько раз производительность мастера больше производительности стажера, если производительность всех стажеров также одинаковая? Переведите в указанные единицы измерения и вычислите: а) в килограммы: 0,4 т • 35,6 - (5,6 -I- 11,2) : 8000 г + 0,9 ц • (35,3 - 24,7) + 8,1 кг; б) в миллиметры: 9,26 м : 0,4 -Ь 21,645 см : 1,3 + 29,5 мм 4,3 дм • 0,2 - 0,000032 км; в) в минуты: 928,5 мин : 5 -I- 14,2 ч • 1,5 - 32 568 с : 4. 192 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса в) 49 т 627 кг и 514 ц 26 кг; г) 25 а 79 и 0,2 га 7а 53 м^. 8?n Сравните значения величин: а) 59 м 28 дм 56 см и 601 дм 576 мм; б) 4 сут. 14 ч 95 мин и 112 ч 15 мин; Упростите выражение: а) -(2а - 116) - (4 - 3(6 - За)) - 2(3а + 46 - 3); б) 7с - lid + ((-Зс - 4(2d + 3)) - (4d - 2(7 + 4с))) - 3(с - 5d); в) 9р + {7р - 11^) + 3(4р + Sq - (2р + 3(-д + 2р)) - Зр); г) -4k + 2(3m - 0,5(6n - 8ft)) - (7ft - 3(ft - 2(m - n))) + 2(4m + 2n - 3(2m + ft)); Д) (|rs - 5|r^) - (^rs - 3^/^) - (-^rs - l,25r^). Определите, каким числом - положительным или отрицательным - является выражение: а) {-21Г-, б) (-^)'; в) (-5,9)1^« • (-2,36ГН Сравните степени рациональных чисел: а) 9-и 9- в)(|)%(|)”; б) (-9)'» и (-9)“; г) (-|f и (-|) Найдите значение выражения: а) а-4Г+(-1у- 7) : (-3)^; / 6 \101 г)(-^) :(-76,9)*^^ \26 д) 8,27» и 8,2710; е) (-8,27)10 и (-8,27)1^ б) -3 • (-2)0 : l| + (-7» : (Iff; г) в) 0,5 • (-0,1)0 . 0,001 - (0,9» : (-0,9)*)^ (250 : 50) ■ 31^ • 70 • (70)» • - 78“. 719 . (712 . 78) . 322 . 59 Представьте выражение в виде степени с показателем, отличным от 1, при целых значениях переменных: а) 51 • 5“ • 5; д) (-а6)® • (-а6) • (-об)» • (-а6)® • (-abf; б) д:1о : X*; е) : сЮ • сЮ • с^ : с»; в) ((-р)^9. ж) ЫУ • Ы) : ЫУ ■ i-df: (-d)ii; г) ((-g)^)0; 3) (6т - 7п)оо : (6т - 7nf^: (6m - 7л)о. Запишите многочлен в стандартном виде, определите его степень, старший и свободный члены. Найдите его значение при указанных значениях переменных. а) -5д;0 + Sx^y - 2у + бх® - 9х^у -1- 7 при х = -1, у = -1; б) 9а1 - 12а6 - 116® 4- (-7а^ -I- 15а6 - 36®) - 8 - 2а’' - 4а6 + 146® при а = 2, 6 = -1. Найдите сумму и разность многочленов Р и Q: а) Р = а^ 4- 2а06 - - 4аЬ\ б) Р = ^т» 4- l|mn 4- ^дО, Q = а* - ЗаОб 4- aofto 4- 2а6*; Q = ~ l|mn - l^rtO. 193 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) (3i/2 + 2ху - у'^){2х^ - ху); б) (5р^ + 6р + 2)(Sp'^ - 2р - 7); в) (тп^ + 1тп + 2п^)(Ат - 5л); г) (2q^ + 89 + l)(q^ - 4q + 1). 8461 а) Стоимость производственного оборудования после 10 лет эксплуатации равна 600 тыс. р., что составляет ^ его первоначальной стоимости. Чему была равна первоначальная стоимость этого оборудования? б) Бананы при сзтпке теряют Щ своего веса. Сколько сушеных бананов получится из 68 кг свежих? в) В ассортименте книжного магазина среди 5250 наименований продукции имеется всего 210 наименований журналов. Какую часть в ассортименте этого книжного магазина составляют журналы? 2 г) На празднике по поводу окончания учебного года концерт занял ^ всего празд- 5 1 ‘ ника, праздничная дискотека - праздника, игры на улице - ^ часть праздника, а оставшееся время было посвящено поздравлению школьников. Сколько времени проходил праздник, если школьников поздравляли 30 мин? а) Переводчик перевел 156 страниц, что составило 39% полученного для перевода текста. Сколько всего страниц в полученном тексте? б) Продавцу надо разложить 585 коробок конфет на две витрины так, чтобы число коробок с конфетами на одной витрине составляло 56% числа коробок на другой витрине. Сколько коробок конфет должен положить продавец на каждую из этих витрин? в) В театре вместимостью 680 зрителей на вечернем спектакле оказались занятыми лишь 476 мест. Какой процент от общего количества мест составили на этом спектакле свободные места? г) При проведении распродажи товара цену на него сначала снизили на 30%, затем новую цену снизили еще на 25%, а затем провели снижение еще на 10%. Как изменилась цена товара? Решите уравнение: а) Пх + 18 - 23л: = 39 - 17л: - 41; б) 45 = 23у - 9у + Ту - 6у - 15у, в) 5,72 + 12,32 = 5,92 + 66 - 9,92; г) 17,4г - 16 = 32 -f 67,8г + 4,6г - 53; д) 5(4? - 3) - 8? = 21q - Z{Zq + 5); е) Зр - 2(3р - 4) - 4р = 19р - 5(2р + 4); ж) 13(п + 9) = 39(2 - Зп); з) 28(т - 9) = 35(4 + 2т); и) I -5,6 \а - (0,3а - 7) = | -3,4 | • (а - 2) + | -1,1 к) 5 - ((5 - 4) - 2(6 Ч- 3)) - 46 + 3(46 - 5(6 (-а); (36 - 2))) = 24. 194 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса 8491 Найдите корни уравнения: а) I - 9 = 11; ч За - 5 ^ 2z + 7 в) —=— = б - б) 21/ - 3 _ 7ц + 6 . г - 5 , г - 3 г) + —5— 2 ’ г - 1 г + 7 12 ’ Д) е) q-3 9-5’ п - 2 ^ га + 3 га + 5 га - 4‘ а) Из четырех чисел первые три относятся как 1,4 : 2,6 : 7, а четвертое составляет 25% третьего. Найдите эти числа, если известно, что третье число на 55 больше суммы всех остальных. б) В зоопарке живут только медведи, гепарды и антилопы. При этом число медведей, гепардов и антилоп в зоопарке относится как 3,5 : 5,2 : 6,3. Сколько гепардов в этом зоопарке, если в нем всего 150 животных? в) Имеется два куска сплава меди и олова с процентным содержанием олова 10% и 25% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 21% олова? г) В каком отношении нужно смешать 20%-й и 15%-й раствор соляной кислоты, чтобы получить 17%-й раствор соляной кислоты? Возведите двучлены в квадрат: а) (2а + Ibf-, б) (-Зс - Ыу-, Возведите двучлены в куб: а) (Зл: -I- 1У; б) (2а - 5&)»; Запишите выражение как многочлен стандартного вида: а) 4Ь(Ь + 9X9 - ЬУ, ж) (а + 5)(-а - 5)^; б) уЧ~у - 6)(6 -I- у); з) 8(-1/3 - 2)(]У - 2iy + 4); в) (-5л: 9)2; в) (-гаг -I- 6)®; г) (8гаг® 4- 6га)2. г) (-4га - ЗуУ. в) 3t(-t -I- 2){-t - 2)(У - 4) г) (Зс - d)(3c + d)(9c2 - d2) д) + 16)(дг - 4)(4 -I- х) е) (а 4- 7)(а2 - 7а 4- 49); и) х:\х'^ - 6)(д:^ 4- 6х'^ 4- 36); к) i-b - 3)(9 - ЗЬ 4- ьу, л) (t + 2){t - 2){t* 4- 4- 16); м) (z 4- IXz - l)(z* 4-14- z2). Представьте трехчлен как квадрат двучлена: а) 4х^ - ЗЬху 4- 811/2; б) 49а^ 4- 84а6 4- ЗдЬ^; в) -24cd 4- 9с2 + 16^2. Какие одночлены можно подставить вместо А, В и С, чтобы получившееся равенство стало тождеством? а) (5х + А)2 = В 4- С + 1211/2; б) (9г - ЛУ = В - 126zt 4- С. Подберите А таким образом, чтобы трехчлен можно было записать в виде квадрата двучлена: а) х2 - Юху + А; б) 36z2 -А + 81У; в) А + 16а2 + 48а&; г) -А 4- 49с2 4- 25^2. Представьте многочлен как куб двучлена: а) 64а® 4- 48а2 + 12а + 1; б) 60c2d - 8с® - 150crf2+ 125^2. 195 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса 8581 Сократите дробь при допустимых значениях переменных: а) б) в) 121а^ - 1446^ 11а + 126 ’ 4х'~ + 28д;,а + 49t/^ 2х + Ту ’ аЬ + Та - ЗЬ - 21 62 + 146 + 49 г) Д) е) 25р2 - 81д2 25р2 + 90pq + 81^2’ 64р2 + 8(/2 1бр2 - 4q'^' 27а2 - 12562 ж) з) и) 6х + и 216x2 + 108x2p + 18x1/2 f уЗ’ 8g2 - 12g2 + 6а - 1 4g2 - 4g + 1 ’ c2 + 9c4 + 27cc/2 + 27rf2 -.2 _ 9rf2 1^ 9g2 + 15a6 + 2562’ Разложите многочлен на множители: а) Их + lip + 9x2 + 9yz; е) х2(х - 7) + 5х(х - 7) + 6х - 42; б) 2pq + 3qr + Srs + 2ps; ж) y%y + 3) + бу(у + 3) + 8p + 24; в) 8г2 - 122 - 8гх + 12х; з) 27д2б« + 2TaW + 9аЬ^с* + с®; г) 9х2р + р2 + дху2 + ^2; и) 4/п2 - р2 + 9^2 - 16^2 _ 12тп - 8pq; д) 6рр2 - ^3 - Qp2q + рз. 25x2 + 4р2 - 3622 - 49f2 + 20хр + 842t. Разложите многочлен на множители, выделяя полный квадрат: а) д2 - 16а + 63; б) х2 + 13хр + 36р2; в) р® + р2 - 55^ Представьте выражение в виде произведения многочленов степени, большей 0: а) (а + 3)2 - 9; г) 216 + р®; ж) 49(х + 9)® - х®; б) (6 - 6)2 - 49; д) -6® - 64г®; з) р2(р - 12)® - 25р'*; в) 64 - (2с - 7)2; е) (р + 3)® - 8; и) (76 + 5)® + 64. а) Теплоход при движении по реке прошел расстояние от города А до города В за 8 часов. На обратный путь ему потребовалось 6 часов. Найдите собственную скорость движения теплохода, если скорость течения реки равнялась 2 км/ч. Найдите с точностью до сотых среднюю скорость движения теплохода. б) Два катера плывут по реке навстречу друг другу. Собственная скорость первого катера равна 26 км/ч, а второго - 24 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если в данный момент расстояние между ними 350 км? в) Две лодки одновременно отплыли от одной речной пристани и поплыли с одинаковой собственной скоростью в противоположных направлениях. Через 4 часа лодки развернулись и поплыли навстречу друг другу. Через какое время после старта они встретятся? г) Из пункта А вниз по течению поплыл пловец, через некоторое время он развсрпулся и через 1 час после старта приплыл обратно в пункт А. Сколько километров проплыл этот пловец, если его собственная скорость равна 5 км/ч, а скорость течения равна 1,5 км/ч? Найдите значения выражения: 57® - 23® а) 612; б) 19,92; в) 12| • п|; г) 1332 - 672; . 3252 - 152 309® - 1 ’ е) 482 + 96 • 52 + 522; ж) 34 972 + 54 132 23; 1052 - 212 + 94 62® + 58® и) 120 84’ - (622 + 532). 196 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса 864 Решите уравнение, используя формулы сокращенного умножения: е) т® + 12т^ + 48т + 64 = 0; ж) га® + 8 = 0; з) (X® - 1) + (д: - 1)® = 0; и) 1/^ - (г/ + 5)® = 75 - 15i/®; к) 82®(г - 2) - (22 - 3)® = 108 + 20г®. ж) |х-6| + |х-2| = 12; з) I 7 + 2 I - I 3 - 2 I = -4; и) \7k-9-m\ = \6-2k + 3-k\. а) а® - 6а + 9 = 0; б) (3& + 4)® - 64 = 0; в) (с + 8Кс - 8) - (с + 6)2= -12; г) 12х(3х - 1) - (6х + 4Х6х - 4) = -2; д) 2{у +7f + (Зу - 5)® - 11(у + ЗХу - 3) = 0; Решите уравнение с модулем: а) I X + 4 I = 9; г) -| 5 - За | = -11; б) I 2у - 3 I = -5; д) I 6 + 5 I = -I 6 - 12 I; в) -I 7 - 42 I = 0; е) I Зс - 8 I = I 8 - Зс I; Решите уравнение, выделяя полный квадрат: а) а® + 2а - 15 = 0; б) 5® - 12fc + 35 = 0; в) с® + 11с + 24 = 0; г) d® + 8d + 17 = 0. а) На прямоугольном участке земли, длина которого на 18 м больше его ширины, построили дом, занимающий площадь 210 м®. Найдите длину этого участка, если известно, что площадь участка, не занятая домом, равна 70 м®. б) Найдите периметр прямоугольника, ширина которого на 8 см меньше длины, а площадь равна 240 см®. На координатной прямой Ох изобразите следующие промежутки, назовите их и запишите их обозначения: а) X < 7; б) X > -2; в) -3 < х < 6; г) -8 < х < -1; Какие из чисел а, Ь, с и d расположены в промежутке: а) -6,9 < X < 7,3, а = -7, Ь = -6,9, с = 7,2, d = 7,3; б) -9,5 < X < 3,4, а = -9,6, Ь - -9,5, с - -9,4, d - 3,4; в) -12,6 < X < -1,4, а - -12,8, Ь = -12,6, с = -1,3, d = -1,5? Решите неравенство: д) -5 < X < 4. а) 0,3х < -6; б) -| > -10у; в) 112 - 3 < 41; г) 7 > -3 - 2k\ д) -Зг -11>г-5-4г; е) 4s + 8 - 9s < 19 - 5s - 11; ж) 4(5а -1- 7) -1- 7 < —11 — 3(3а -ь 4); з) 7Ь + 2(55 - 3) < 4(26 + 3) + 96; и) 5,3с - 2,1(3с + 2) > -3,4(2 - 5с) - 5,4; к) 2,6d - 3(l,4d - 1,2) < 7,2 - 2,7(d + 2); л) 9(5 - 17гаг) < -54(3 - /га); м) -17(9га - 21) > -68(4 - 2га). 197 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса 8711 Найдите множество решений неравенства: а) I + 5 > 11; б) -йи + 11< -у - 1; в) -| + 3 > - 2; г) 7-| <1 + 9; ^ За - 4 ^ 2а + 5 д) —5— < — S 2 - 2& 1 ^ 46 + 1 ^ е) —J- - 3 >-g— - 6. д) I 4а - 12 I > I 5а + 20 I; е) I 126 + 2 - 96 I < I 4 - 36 - 10 |. 8721 Решите неравенство, содержащее модули: а) I л: + 5 I < 9; в) | 3 - 4г | < -17; б) I 2г/ - 7 I > 3; г) -| 6р - 93 | < | 64 + 8р |; а) Проехав половину пути, автомобилист уменьшил скорость на 15% и поэтому прибыл в пункт назначения на 0,5 часа позже запланированного. Сколько времени он ехал? б) Два грузовика выехали одновременно в одном направлении из двух городов А и В, находящихся на расстоянии 160 км друг от друга. Скорость одного грузовика была равна 50 км/ч. Чему была равна скорость другого грузовика, если встреча грузовиков состоялась через 8 часов? (Рассмотрите все возможные варианты.) в) Расстояние между пунктами Ап В равно 1500 м. Два велосипедиста выехали одновременно в противоположных направлениях из А и из В. Скорость первого велосипедиста была равна 15 км/ч. С какой скоростью ехал второй велосипедист, если через 3 часа расстояние между ними стало равно 76,5 км? г) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 2 часа после этого из В в А выехал автомобиль, который встретил пешехода через 3 часа после своего выезда из В. С какой скоростью ехал автомобиль, если расстояние между А и В равно 274 км? 8^ Упростите выражение при допустимых значениях переменных и найдите его значение: а) (За - (5а6 + 8а)) - 9а6 + 5а - (11 - (17 - (9 - 14а6))) + 5, если а = -6,7, 6 = 8,4; б) 9х'^и - 7х(/^ - (8х/а - 8ху‘^) ^ бдх^у-^ 7х^у‘* (9л: + 9у) , если X = 6, у = -12; в) W5 752 . (^4S . ^20) . gl2 . g23 . ^5 . (,37 . ((.46 . (.29) . ((,3)7 . (.31 . (7(^)51 . ^39 ll(cd)®, если d = 17, с = 3; г) • (4р^ - 5р^ - 7рд - 9) - 5p^q • (p^q - p^q - 2pq^ - 2q), если p = -1, 7 = 1; д) -(За + 7)(3a + 5) + (За + 6)^, если а = -95,638; е) 125а® - 225а® + 135а - 27, если а = 2; ж) 6(6 + 7)(6 - 7) - (6 - 5)(6® + 56 + 25), если 6 = -^; з) 6(с + 1)® + (с + б)(с® - 6с + 36) - (с + 2)®, если с = -749; и) 7q + р^ - pq - 7р, если р = 0,5; q = -2,5; к) 4/п® + За - 4mn - 3m, если т = -1,5; п = 1,5. 198 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса 8^ Определите, при каких значениях переменных имеет смысл выражение: 1 - -ч 1 1 -S р - 5 а) б) в) 8^ , т^п* (т - 3) (р + 6)(р - 5)’ {п - 11) т^п 6х ■ 9у' 5а*Ь‘^ (а - 7){Ь - 4)’ Упростите выражение при допустимых значениях переменных: ёр • Щ’ «) W ■ (S ■ is?) ^ ^ <«*' - • 5;у<-3; б) - < -4; р > 6; в) 2 < л: + 7 < 8; -9 < I/ - 4 < 2. Зависимость у от х задана таблицей. Найдите ее область определения и область значений. Определите, является ли эта зависимость функцией, и обоснуйте свой ответ. а) X -5 -2 1 3 7 у 9 8 0 8 9 б) X 1 2 0 1 2 У 5 6 0 6 5 ш Задайте зависимость пути s (в километрах), который проехал автомобиль с постоянной скоростью 80 км/ч, от времени движения t (в часах). Укажите ее область определения и область значений. Определите, является ли данная зависимость функцией. Найдите значение величины зависимой переменной при указанных значениях независимой переменной: а) i = 4 ч; б) < = 3 ч 10 мин; в) i = 5 ч 15 мин; г) i = 6 ч 30 мин. Функция задана словесным описанием. Найдите ее значения в точках х^, х^ а х^ а) Всем числам, кратным 7, поставлено в соответствие число 0, а всем числам, которые не делятся на 7, поставлено в соответствие число -1. х^ = 46; JCg = -42; х^ = 0. б) Всем отрицательным рациональным числам поставлено в соответствие число (-2), а всем неотрицательным числам - число 2. Xj = -9,7; JCj = 15,8; х^ = 0. Функция задана формулой. Найдите ее область определения: 5 . ___ л: + 9 , _ 2(х - 12) а) I/ = х^; а) у = б) у = -7х + 3; т)у = Зх - 6’ 7х + 14 Д) У = (ж - 3)(2х + 5)’ 8х^ ^ Зх(х + 12)’ з) у = 17 : х^. 9 ’ ^ Их' Функция задана формулой. Найдите ее значение в точках х,, х^ и х^. а) у = -2х + 5; х^ = 0; х^ = 2,5; х^ = -1; в) у = 5х^; х^ = 0; Xg = 2; х^ - -1; б) «/ = х-3’ ^ ^2 ^ “2» ^3 ^ г) J/ = Xj = 1; х^ = 1,25; Хд = -1. Постройте график прямой пропорциональной зависимости у = kx, если: а) А = 4; б) А = -2; в) /г = -1,5. 199 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса Точка А (р; q) принадлежит графику функции у = kx. Найдите коэффициент пропорциональности k и постройте график данной функции, если: а) /? = 1, g = -5; б) р = -2, g = 6; в) р = -3, g = -1,5. Принадлежат ли графику функции у = kx точки А и В, если: а) /г = 6, А(0; 3), В(-1; -6); б) k = -4, А(-1; 4), В(2; 8). Не строя графика зависимости у = kx, определите, в каких координатных четвертях он будет расположен, если: &) k = 12,8; б) k = -21,3. Постройте график функции у = f{x). а) fix) = -4х - 5; б) f(x) = 1,5х + 3; в) fix) = 6 - 4х. Не строя графика функции у = fix), определите, проходит ли он через точку А: а) fix) = бх - 1, А(2; 5); в) fix) = -7х + 2, А(-4; -26); б) fix) = 5,2х + 9, А(-5; 35); г) fix) = -Sx - 8, А(-4; 4). Постройте график прямой пропорциональной зависимости у = kx. Используя получившийся график, постройте график линейной зависимости у = kx + Ь, если: а) й = -2, 6 = 3; б) /г = 3, 5 = -2; в) А = 1,5, Ь =-4; г) /г = -2,5, 6 = 2. Не выполняя построение графика функции у = fix), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) fix) = 9л: -f- 12; б) fix) = -4х + 22; Постройте график кусочно-линейной функции: а) _ Г ^ + 3, если х > -4; б) 1 -л: - 5, если л: < -4 У — в) fix) = 7л: - 28. У -4х Ч- 1, если л: > 2; -7, если -2 < л: < 2; 2л: - 3, если л < -2 Принадлежат ли графику кусочно-линейной функции точки А и В, если: а) _ Г 5х - 2, если л ^ 3; ^ ~ 1 16 - л:, если х < 3 б) Г 9л -ь 6, если X > -1; А (2; 8), В (-1; 17); Г 9л -ь 6,......... У = {-4-х, если л < -1 ^ (1’ 15), В (-2; -2). Определите, не строя график функции у — fix), проходит ли он через точку А: ____ а) fix) = I Зл - 11 I, А(1; -8); б) /(л) = | 5л + 7 | - 12, А(-3; -4). |89^ Не выполняя построение графика функции у = fix), найдите координаты его точек пересечения с осями координат Ох и Оу: а) fix) = I л -f 9 I; б) fix) = | л - 16 |; в) fix) = | л - 4 | -Ь 3; г) fix) = | 11 - л 1 - 7. Постройте график функции у = fix). а) Ял) = I л - 5 I; б) fix) = | л -I- 8 |; в) fix) = 5] л | - 6; г) fix) = | л - 7 | Ч- 4. 896| а) В компании 12 отделов, в которых работает 80 человек. Докажите, что в этой компании есть хотя бы один отдел, в котором работает не менее 7 человек. б) Девять плотников сделали 35 столов. Докажите, что хотя бы два плотника сделали одинаковое количество столов. 200 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса а) У продавца есть гири весом только 150 г и 180 г. Как отвесить на чашечных весах за одно взвешивание 3,9 кг яблок, используя в общей сложности наименьшее количество гирь, если класть гири на одну чашку весов? б) На складе имеются мешки вместимостью 12 кг и 16 кг. Какие мешки надо приготовить, чтобы положить в них 252 кг морковки так, чтобы все мешки оказались полными и чтобы при этом количество всех мешков было минимальным? а) Сколько различных шестизначных цифровых кодов, цифры в которых не повторяются, можно составить из цифр 9, 7, 5, 3, 2, 1? б) В магазине продается 12 видов блокнотов и 8 различных наборов красок. Сколькими способами можно купить в этом магазине блокнот и набор красок? в) У Кости семь различных наклеек. Сколькими способами он может положить все эти наклейки в ряд? г) В библиотеке 9 книг о путешествиях, 6 книг о животных и 4 книги по авиамоделированию. Сколькими способами можно взять в этой библиотеке книгу о путешествиях, книгу о животных и книгу по авиамоделированию? д) Сколькими способами можно разместить в одном ряду три различных значка и пять различных марок так, чтобы все марки лежали рядом? е) Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 2, можно составить из цифр 2, 5, б, 7, 9, если цифры в искомом числе не повторяются? а) Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых встречаются только цифры 1, 4, 7? б) Алфавит туземного племени состоит из букв «П», «Ю», «Я», «Е», «У». Словом в этом языке является любая последовательность из четырех букв. Какое максимальное количество слов может быть в языке этого туземного племени? в) Номера квартир в доме состоят не более чем из четырех цифр и не содержат цифр о, 2, 5 и 6. Может ли в этом доме быть 1500 квартир? г) Известно, что код сейфа является последовательностью цифр 1, 4, 9, 0 длиной не более шести символов. Сколько существует вариантов такого кода? Таблица, приведенная ниже, является отчетом о дневных продажах в некоторой компании. Пользуясь представленной информацией, определите: 1) Какую выручку получили от продаж кофе в зернах? 2) За какой продукт была получена наибольшая выручка и чему она равна? 3) За какой продукт была получена наименьшая выручка и чему она равна? 4) Какую выручку получили в этот день от всех продаж? Отчет о продажах Наименование продукта Единица измерения Цена за единицу Продано (в установленных единицах) Кофе в зернах килограмм 350 р. 12 Кофе молотый килограмм 420 р. 15 Кофе в вакуумной упаковке килограмм 540 р. 24 Кофейная смесь килограмм 180 р. 10 Кофе растворимый килограмм 800 р. 20 Выберите единицы измерения и постройте столбчатую диаграмму, иллюстрирующую зависимость полученной выручки от вида продукта. 201 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса При проведении опроса старшеклассников одной из школ на вопрос: «Какую специальность вы хотели бы получить в будущем?» - были получены следующие ответы: Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Вариант ответа Доля выбравших данный вариант ответа Инженер 5% Педагог 5% Ученый 10% Врач 15% Экономист 20% Рабочий 10% Юрист 15% Другое 20% 90б| По представленным данным постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую ответы участников данного опроса. Команда КВН по результатам различных конкурсов получила следующие баллы: Конкурс Баллы Приветствие 5,3 Конкурс капитанов 4,6 Видеоконкурс 6,2 Музыкальный конкурс 5,3 Домашнее задание 6,8 Найдите средний результат этой команды, моду, размах и медиану представленного числового набора. При проведении социологического опроса был задан вопрос: «Кто является вашим любимым писателем, мастером детективного жанра?» Ответ «Агата Кристи» выбрали 56 человек. После подсчета оказалось, что частота данного ответа среди всех ответов, полученных на данный вопрос, равна 0,35. Сколько человек принимало участие в этом опросе? Сколько человек назвали других писателей? Бросают два игральных кубика. Вычислите вероятность того, что: а) сумма очков на выпавших гранях нечетная и на одном из кубиков выпало 3 очка; б) сумма очков, выпавших на верхних гранях, не больше 9. а) Каждую из 33 букв русского алфавита записывают на отдельной карточке и тщательно перемешивают. Вычислите вероятность того, что при вытаскивании одной карточки на ней будет написана одна из букв слова «ГОЛОВОЛОМКА». б) На экзамене по географии 64 билета. Ваня не успел выучить 6 билетов. Вычислите вероятность того, что, взяв экзаменационный билет наугад, Ваня вытянет билет, который он успел выучить. в) На шарах написаны целые числа от 1 до 250. Шары положили в мешок и перемешали, а затем, не глядя в мешок, из него вытащили один шар. Вычислите вероятность того, что число на вытащенном шаре делится на 12 и на 5. Сумма двух натуральных чисел равна 26. Первое число при делении на 9 дает остаток 3, а второе число при делении на 9 дает остаток 5. Найдите эти числа. 202 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса 908 909 !2£ |ц] 913) 914| Ш 917] Запишите на языке сравнений следующие высказывания и докажите их истинность: а) Число 62 458 делится на 11. б) Число 100 851 при делении на 17 дает остаток 7. в) Числа 125 000 и 441 800 дают одинаковые остатки при делении на 99. Найдите наименьшее натуральное число, сравнимое с числом 214 по модулю: а) 3; б) 4; в) 5; г) 7; д) 9; е) 11. Выполните указанное действие по модулю т: а) 11 + 17, т = 3; в) 19 - 67, m = 3; д) 16 • 25, m = 11; б) 94 - 56, т = 5; г) 5 • 28, m = 9; е) 5'*, m = 3. Найдите простые числа, лежащие между числами а и Ь: а) а = 1200, Ь = 1210; б) а = 1320, Ь = 1330. Докажите утверждение: а) Если натуральное число делится на 7, то оно не может при делении на 21 давать остаток 5. б) Если натуральное число при делении на 36 дает остаток 4, то оно не делится на 6. Проведите классификацию множества А по остаткам от деления его элементов на 3: А = {-46; -32; -25; -6; 0; 14; 29; 64; 93} Найдите остаток от деления а на Ь: а) а = 7777»»», 6 = 3; б) а = 8S8*^\ 6 = 9. Определите, какой цифрой оканчивается число: 131 '<>01 а) 333 333 б) 125 787®»»^; в) 3599»'» ; г) 12»' . Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна для множеств А и В. Найдите их пересечение и объединение: А = {а: а = 5п + 2; п в N; 1 п < 6}; В = {6: 6 = 7т + 5; т в N; 1 < т < 4}. Известно, что точки А и В имеют соответственно координаты (—9) и 18. Найдите координату точки С, если известно, что: а) АС = ВС; б) АС = 0,5ВС; в) АС = 2ВС; г) АС = 8ВС. а) Сушеная клюква содержит 20% воды. Сколько воды надо выпарить из 20 т свежей клюквы, содержащей 75% воды, чтобы получить сушеную? б) Кусок сплава меди и цинка массой 586 кг содержит 60% меди. Сколько меди надо добавить к этому куску, чтобы новый сплав содержал 90% меди? Задачи /^ля самоконтроля по курсу 7 класса ___________________________ [918| На сколько процентов число А меньше числа В? На сколько процентов число В больше числа А? А = (I + 2,708(3)) : 2,5 _________________________________1. (1,3 + 0,7(6) + 0,(36)) • Щ В = (^1 - А) ^ • 0,(26) (18,5 - 13,(7)) • ^ Определите, является ли число рациональным: а) 0,345; в) 6,060060006; д) -9,09090909...; б) -9,(12); г)-11,011001100011...; е) 3,324324324... ш Найдите все значения х, удовлетворяющие равенству: а) 22* = 256; б) 3^* = 729; в) 4* ^ ^ = 1024; г) 5*-“= 625. ш 1| Замените х степенью так, чтобы выполнялось равенство: а) 41® • 422 = 3) (2®)2 : X = 4*; д) х ■ (З®)^ = З^Ч б) 9®2 • X = 9®2; г) X : 6^2 = 62; е) х : (122)» = 12‘^ Докажите, что для любых целых о: а) если а + 4 делится на 7, то 3 + 6а делится на 7; б) если а - 5 делится на 9, то 7 + 4а делится на 9. Каким многочленом можно заменить К, чтобы указанное выражение стало многочленом степени п? а) 9с^ - 13с - 6с2 - 5с2 + 12с^ + 4с‘ + К, если л = 2; б) 10а62 - б&2а - 14?>2а2 + 4а& + 12а262 - к, если л = 3. Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) (-5x1/2) . у2 . (-3^2) : (-15хг) • (2ху) : (ху2); 35 б) - аЬс 1st (4ас : 5) : (752с) • (-2а252) • (Зс : 252); ^tw - 5s • stw + Ss^tw - 4swt'^ - (9 + 5p - 12r) + 5p + 9 - 12r 925]| b) - Докажите, что: a) 721 + 71® делится на 25; 4su;(s + t) 6) 812 _ 39 делится на 13. 926! Найдите значение выражения х2 + ^, если известно, что: а) X + ^ = 6,5; б) X - ^ = 17,5. 927| Докажите, что данный многочлен при любых значениях входящих в него букв принимает только положительные значения: а) х2 - 14х + 50; б) - 12у - 82 + 55. Найдите наименьшее значение выражения: а) (5а - 3)(5а + 3) + 45(45 - 10а); б) 20с2 - 24cd + 9rf2 - 20с + 28. Найдите наибольшее значение выражения: а) 2(х - 51) - (X - 3)(х + 3); б) -13у^ - 20уг - 25г^ - 24у - 12. 928 204 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса В 932 937 Найдите значение выражения: а) 3(4 + 1)(42 + 1)(4^ + 1X4» + 1) - 4‘в; б) 9» - 8(9 + 1)(92 + 1)(9^ + 1). Постройте график кусочно-линейной функции: X - 7, если X > 9; -X + 10, если 6 < X < 9; X - 2, если 2 ^ X < 6; -X -Ь 2, если О < X < 2; X -н 2, если -3 < X < 0; -X - 4, если X < -3 Постройте график функции у = Дх): а) Ях) = i X -f- 6 I - I X - 7 I; б) Я^) = “I 9 - х | - | х - 5 Решите уравнение: У = ((г!'+ ^) ■ П +1) ■ i) • *3 - 39; 2у _ 7_±л - 15 936] Решите уравнение с модулями: а) |х-1-61-)-|х-7|-1-|х-1-11| = 25; б) |x-f4|-l-|x-9|-l-|x-t-8|-b|x-5| = 17; в) I 3i - 6 I + I 4f + 12 I + I 2< - 18 I - I 5f + 10 I = 37. а) Целое число дает при делении на 4 остаток 2, а при делении на 7 - остаток 5. Найдите остаток от деления этого числа на 28. б) Найдите все числа, которые при делении на 11 дают остаток 9, а при делении на 3 - остаток 2. 47 Числа 7П, п, о I г-’ ’ Зт -f- 7п торых это будет верно. Решите неравенство: 46 - 2 ^ 7 - 46. натуральные. Найдите все пары чисел тип, для ко- ^381 ... 6 - 7 . 6-5 б) —5— + -д- 6-1 ^ 6+11 6 ^ 18 ' а)26- _з , 5 , 3 Решите неравенство, содержащее модули: а) I Зл - 18 I + I 2л - 8 1 + I Зн + 15 I < 40; б|х + 12| + 1х-6| + |х + 3| + |х-7|> 30. а) В школе имеется 6 различных кружков. Сколькими способами можно составить расписание кружков на один день так, чтобы в этот день проходили занятия 4 различных кружков? б) Сколько четных номеров, состоящих не более чем из четырех цифр, можно составить из цифр 2, 5, 6, 7, 9? в) Автомобильный номер некоторого государства устроен следующим образом: номер начинается с одной, двух, трех или четырех цифр, а затем идут четыре буквы. Каково максимальное количество автомобильных номеров, которые оканчиваются на две буквы этого алфавита АВ, если в алфавите этого государства 33 буквы и в номере могут быть использованы все десять арабских цифр? 205 Ответы _______________________________________________________________________________________ 10.а)0,7;б)-1;в)1,5;г)-1,5.И.а)6и30,или17и19,или28и8;б)70°.12.г)-^-^.23.а)1;б)-20. 24.а)2и53,или16и39,или30и25,или44и11;б)110°.25.а)2Ае^т-^/г/^лг;б)^-^-^.31.Анжела. 49. а) {-9; -5}; б) l|}; в) {-б|; -4}. 50. а) + Ь*; б) Зх^у + 4х^г; в) а" - 2аЬ^ + б»; г ) 0. 52. а) Ил-96-870 км/ч, Су-34 - 1740 км/ч; б) 360 км; в) 600 м. 64. а) {1; 13}; б) {-2,4; 1,2}; в){1^; 12}. 65. а) х"* -I- х^у^ - у*; б) у^ - х^. 67. а) 60 км/ч, 90 км/ч; б) 13 км. 80. а) 4; б) -54х^у - 2у^; в) г- рд; г)-т^ -Ь 4т - 6.81. д) ^; е) • 82. а) 90 и 126; б) 1710 тыс.р. 83. а) 0; б) 8; в) 1; г) 3; д) 5; е) 8; ж) 10; 3) 14; и) 9.84. а) 1; б) 1; в) 3.91. а) 240^5-н 26^ б) 2р2 - 7рд - 2?2.92. а) б) ^; в) • 93. 300 тыс.р. 94. а) 3; б) 8; в) 7; г) 3; д) 9; е) 9. 95. а) 1; б) 10; в) 1. 113. а) 0,5; б) 150; в) 0,3; г) 2,5. 118.а){з|-};б){1};в){-4,5;4,5};г){-4;8}.119.а)18шт.;б)3,969кг;в)790л;г)264раза.121.а){1004;3016}; б) {353; 377}. 122. а) 9; б) 4. 134 а) {!}; б) {1,25}; в) {-5; 3}; г) {-з|; 2}. 135. а) 645,25 кг; б) 245 кг. 136. а) {-5; 11}; б) {0; 1032}. 137. а) 1; б) 6.138.3.139. больше спорт, в 10 р. 140.20 кг. 168. а) 4^; б) |; в) 46; г) -13,5; д) 13,25; е) -2Щ. 173. в) -р^ + 4рд; г) 2х^у + 2ху^ - 4у\ 174. а) 3; б) 1; в) 34; г) 15.175. а) 240 г; б) 48,75%; в) 1079 и 1411; г) 600 и 162 или -600 и -162.176. а) {2; 4,5}; б) 0.177. а) 8; б) 6. 190. а) 13а2 -)- За -Ы; б) ЗЬ^ - 4Ьс. 191. а) -3; б) 7.192. а) 3300 кг; б) 306 тыс. р. и 459 тыс. р. 193. {3,5; 35}. 194.1.209. а) {-11; 1}; б) 0; в){-17; -3}; г) {11; 19}. 215. а) 10; б) 3; в) 37 м; г) 553,65 см. 216. в) Зтп; г) -2а^Ь - - 2аЬ\ 217. а) 17; б) -44.219. а) 6; б) 1; в) 17; г) 8; д) 28; е) 63; ж) 12; з) 129.220. а) {-6; 6}; б) {-11; 11}; в) {-0,4; 1,2}; г) {-2^; |}; д) {0,25; 3,5}; е) {-4; -|}. 221. а) 2812,5 кг; б) 2,5 т; в) 222.а){-3;6};б){-5;7};в){4;6};г){-9;-3};д){-8;4};е){-7;11}.224.а)5,;б)15,;в)41,;г)60,.237.а)2кг; б) 11,06 м. 238. а) -2р^ - 2рд^ - 2д; б)у» -ь ху. 239. а) -9; б) -7.241. а) 4; б) 11; в) 26; г) 59.242. а) {-8; 8}; б) {-12; 12}; в) {-2; -4|}; г) {-3,25; 0,25}; д) {-|; 2,5}; е) {-0,875; 2,25}. 243. а) б) 175 кг. 245.а) 4,; б) 34^; в) 102^; г) 123,. 246. а) {-6; 9}; б) {-8; -7}; в) {4; 15}; г) {-10; 7}. 248. 2 км. 249. 24. 265. а) 13; б) -20; в) 11; г) -21. 272. а) {3}; б) {-!}; в) {-13; -3}; г) {1; 5}; д) {-24; -з|}. 273. в) -х* - у^ + 2х^у; О г) -р^ + - рд. 274. а) 60 км/ч и 90 км/ч; б) 950 км; в) 18,75 км; г) 250 г; д) «16,9%. 275. а) — У б) в) 286. а) 3; б) 0; в) 9; г) 6; д) 18; е) 1. 287. а) 1; б) 1; в) 4. 295. б) 0; е) -8; л) 15. 296. б) -10; д) 7; е) 9. 297. г) -|; ж) 2; к) -1,6; м) -0,1. 298. б) 3; в) 2; г) 5. 299. б) 322; в) 108; г) 24. 301. б) l|; д) |; е) -0,4. 302. б) 9; г) 6,5; д) 3; е) 1. 303. а) 2; в) 4; г) 2. 304. а) 8 лет; б) 15 и 30 чел.; О I в) фут. - 24 чел., баск. - 12 чел., вол. - 19 чел. 309. г) 1,2; д) 3; е) -3,5. 310. б) -1; г) -3; е) 13; ж) 2; и) 5; к) 8; л) 10; о) 4; п) 2.311. а) 2400 р.; б) 30 стр., 45 букв; в) 27 км 840 м; г) 160 км. 312. б)-5; г)-2,5. 315. в) 4; г) 1.318. б) 0,9; в) 1; г) 7; е) 3; з) 5; к) 10; л) 2; м) 5.319. а) 9; б) 17.322. а) 264; б) 6,125; в) 17|; г)з||;д)1||;е)3|^;ж)3;з)^.323.б)22;г)-30;д)4;е)3;ж) -|;з)2^.326.а)6;б)-64.331.а)37,5р.; ро б) 45 лет. 334. в) 2; г) -2. 335. б) - 26; в) 10; д) 5; е) 8. 336. б) 7; г) 10; д) 3; е) 5. 338. а) 5; б) Ц; ,50 ч 2 40 2 206 Ответы в) 3; г) -2; д) 1; е) 6; ж) 5; з) -17.339. б) 1о|; в)-2|. 342. а) 7; б) 12; в) 6; г) -17.343. а) 6174; б) 72; в) 1. 345. в)-3;г)1-|;д) -6;е)4.346. в)1^; г)-||.349.а)8лет, 16лет,24года;б)48км/ч;в)21с,Змин9с 352. а) 24,5; б) -^; в) 1; г) 2.353. б)-7; г) 5.354. а) -190; б) -169.358.40 р. 364. ж) 0,5; з) 12,3; и) 28 365. д) {0}; е) {0}; ж) {-7; 7}; з) 0.367. б) {1; 6}; д) {6}; ж) {1; 3}; и) {-0,6; 0,8}. 369. а) {-!}; г) {-5}; д) {4,5} ж) {-^; 11}; 3) 0; и) {0; 2}; л) {-4}. 370. б) {-6; 1}; в) {0}; г) (-оо; +оо); д) 0; е) {0,5; 9}. 371. в) {-9; 0,6} г) 0. 372. б) —2 и 1 или -6 и -3 или 3 и 6 или -1 и 2; в) -4 и 12 или 6 и 2; г) -2,5 и 2,5. 373. б) [-5; 2] д) {4,5; 8,5}; ж) 0; з) {-5}. 375. б) {-l|; 15}; в) 0; д) {-6; 0,5}; е) [1; 2,5]; ж) {-0,75}; л) {0; 10} м) {-1,25; 4,5}. 377. а) {-4; 4}; б) {-2у}. 378. б) {з|; 8}; г) 0; д) {2; 20}; е) {9; 15}. 380. а) {1,9; 2,5} б) {5}; в) {1,375}; г) 0. 382. б) {2,25}; в) [9; +оо); д) 0; е) [4; 8]; з) {8}. 383. а) {-1,75; -0,5}; б) {1,2; 6} в) {-2^; -0,7}; д) 0; е) ("З^; 5}. 385. а) 1; б) 2; г) 0. 388. в) п;г)р- I4q. 391. а) 8 ч 15 мин; б) 15 км/ч в)39л;г)16ч4Омин.394.в){6;22};е){-5,5;-3,5};ж)0;з){1;7}.395.б)0;г){^^-±-^;^^}.396.б){8} в) 0;г){О,2};д){2};е){-1|;7}.397.в){-14;-|}.398.а){-^;1О};б){5};в){-3}.399.а)[2;5];в){-2;1О};г)0 400.б){-1;17};г){-8;-3,5};д)[-1|;+оо);з){2|;6}.401.а){-10;2};б){0;8}.402.а)Зи24или-Зи-24 б) 3 и 13 или -3 и -13. 403. а) 0; б) {б|; 10}; г) {-7; -5; 15}. 404. б) {2,6; 4|}; в) {0,5; 3|}; г) {3,4; 7|} 4О5.а)0;б){2};г){1;7};д){-15;4};е){3};ж){-з|^;6};з)0.4О8.в)Зх-;/+2;г)14р-4(7.411.а)23ч45мин б) 7 яиц. 413. -5^. 414.12 шт. 415.19 шт. 419. а) (22; 1); (17; 3); (12; 5); (7; 7); (2; 9); б)(18; 1); (14; 4) (10; 7); (6; 10); (2; 13); в)(1;16); (3; 9); (5; 2); г)(2; 16); (7; 7). 422. 7гирек, 4банки. 424.б)6б. по0,7 л и12б.по0,9л;в)12б.по0,7ли4б.по0,9л.425.а)11;б)12л+7, л е0;в)51;г)36л+14, л eZ.426.246uiT. 427. 6 лет. 428. (4; 11); (11; 8); (18; 5); (25; 2). 432. а) вел. на 25%; б) ув. на 2,6%; в) ум. на 0,25%; г) ум.на36%.434.а)3;б)0.439.10гирекпо200ги4гирькипо500г.440.б)29б.по0,5ли15б.по0,7л; в) 206. по 0,5ли10б.по0,7л.442.а)11;б)63л+11,л eZ. 443.(3;2).446.а)ум.на29,44%;б)марокна12%; в) ум. на 28%; г) ум. на 37%. 448. а) -21; б) 5.451. {-23; 13}. 454.4 года. 464. е) [-24; +оо); к) (-оо; 4,2]; н) (-2; +00); о) [-6,5; +°о); с) (-оо; -2); т) [-10; +°о). 472. б) (-°о; -5]; г) [-1,5; +оо); д) (-оо; +оо); з) (4,6; +00); м) (-оо; 8). 473. б) (2; +00); в) [3; +00); д) (-оо; 14); 3) (-оо; 1^]. 474. в) [-2; +0О); г) (-оо;-19); е) (-оо; li); 3) (-оо; -б|]; к) (-12; +оо); м) (-оо; +00). 477. б) (-оо; -7,6); г) [-4; +оо); е) (-оо;5];з)(2;+оо).478.а)0,5;г)-2,875;е)-2.480.в)[-4;+оо);е)(-оо;-б|];ж)(-оо;25,2];з)(-оо;4б|); л)(-оо; 3^]; н)[-4|; +оо); п)(2^; +оо); р)(-оо; l||].481.б)(-оо; 1^];г)(-оо; -^). 485.6)(-оо;-4); г)(-°°;5).487.б)(-оо;б,5);г)(-оо; i^];e)(-oo; 1^].488.а)больше8смименьше12см;б)больше0см и меньше 4 см; в) больше 4 км/ч; г) более 5,625 км; д) меньше или равно 8 дней; е) менее 59 мешков. 489. б) [0; l||); в) (4^; +оо); г) [0; +оо). 491. а) (-оо; -3,4375); б) (-оо; 0,75); в) [-4^; +°°); г)(-оо; 2||];ж)(-3^; +оо); з)(-оо; -27§). 492.б)(з||; +оо); в)(-оо; ^]; д)[4^; +оо);з)(-оо; -в|]. 207 Ответы 493. в) [-9; -2у); г)(-3; 7]. 494. е)( +оо); и) при а > 1: (-°о; приа = 1,6<0:(-оо; +°о) при а = 1,6 > 0:0; при 0 < а < 1: ( ; +°о); при о < 0: (-оо; ). 498. а) Зз4 раб. дня; б) 10 линий JL и 1 Q. о в) 9 часов; г) 140 чел. 501. б)-Пх^ - Ьху - 6i/^ 503. а) 3; б) 2; в) 6; г) 7. 506. в) (-оо; 0,1]; г) [-36; +оо) ж)(-оо;4);и)(-5;+оо);м)(-оо;8).510.б)(-оо;-|];г)[-1|;+сзо);е)(9;+оо);з)(-с»;3).511.в)[5|;+оо) д) [2,75; +00). 512.6И-00; 2|);г)(0,25; +оо); д)(-оо; -2,5]. 516. в)(-оо; 30]; г)(-оо; -144); е)(96; +оо) 517. а) (2,25; +оо); б) (-оо; -з1); в) 0; г) [-1,5; +оо). 519. а) {-оо; 2); б) (-оо; 2,25); в) (-оо; -4^] г) 0у]. 520. а) больше 3 см и меньше 7,5 см; б) менее 45 мин; в) меньше 1786 мешков 521. а)(-оо; l||); б)(-оо; И); +00); г)[-2,75; +00). 522.6)(-оо; О]. 523а)(-60; +оо); б)(-оо; i] в) [l||; +0О); г) (5^; +оо). 524. а) (-15; -3,2); б) (2||; 27], 526. а) -50^ - 4аб - Ь\ 527. а) 18 дней б) 6 поваров, 530. а) 2; б) 5. 532. [6,25; +оо), 536. б) (-7; 7); г) (-оо; -6] U [6; +оо); д) 0; е) (-с»; +оо) и) (-оо; 0) и (0; +00). 537. а) (-6; 4); в) (-оо; -0,6] U [6,6; +оо); г) (-оо; -8,4) U (10,4; +оо); е) (-8^; 9) ж) (-оо; +00); 3) (-8,4; 7,6); и) 0. 540. а) (-5; 1,5); в) (-оо; -2,5] U [6; +оо); д) (-оо; -1) и (2,5; +оо) ж) 0; 3) {0}; и) (-оо; +оо). 541. б) (8; +оо); д) (-оо; 7]; ж) (-4,25; -|); и) (-оо; 1^] и [4,5; +оо) к) (-оо; -12|] и [-А; +00). 542. в) [-^; 45]; д) [-15; -l|]; е) (-оо; 1^] и [76; +оо). 543. б)[-16; -1,6] г) (-оо; -23) и (-|; +00); Д) [-21; -2^]. 545. б) (-2|; 1о|); г) (-2; 7|). 546. д) (-оо; 1,5) е) (-оо; 2] и [10; +оо); к) (-оо; 4,5] U [15,5; +оо); м) (-27; |); о) (-оо; l|] U [15; +оо); с) (-5,5; -l|) Ф) (-оо; -4|) и (-3,5; +оо). 548. б) (-21; 9); г) [3; 21]; е) (-оо; -14) U (-4; +оо); ж) [-1; 2|]; з) [0; |] 549.б)(-оо;-3,1)и(-А;+оо);в)(-оо;|]и[5,5;+оо);г)[-^;|];ж)0;з)(-оо;+оо).55О.а)(-3,5;2,5) б) (-оо; 4,5); г) (-оо; 2] и [19; +оо); д) (-оо; +00); е) (-оо; -1,25); з) [5; +оо). 551. а) [0; ^]; в) [0; +оо) д) (3; +00); е) [1; +оо). 552. б) (-оо; Ь - 9 ] U [6 + 9; +оо); г) [^^^; ^]- 553. а) [|; 4]; б) (-41;0,75) в) [-1;16); г) [-7; 2у] и [б|; 14]. 555. а) 629 кг; б) 2475 см; в) 46 ч; г) 12 434 р. 557. а) 40,5 км б) 80 км/ч или 40 км/ч; в) 90 км/ч; г) 360 м. 559, в) -6s - lOt + 22r; г) 560. а) 2; б) 6; в) 1 562.в)-28; |; 563.г)[-20; 10];е)(-оо; -5)U (9; +оо). 566.в)(-оо; 2,25) U (10,25; 4-оо) г) (-оо; -6] и [-5; +0О). 567. а) (-оо; -1,5); б) 0; в) (-оо; ц,5]; г) (3,5; +оо); д) [-8,25; -0,9] е) (-оо; -0,4) и (2^; +оо); з) (-оо; +оо). 568. в) (-оо; -39] U [-l|; +оо); г) [4^; 2б|]; д) (-7; -0,2) е) (-оо; -|) и (28; +°о). 569. в) (-9,5; -3); г) (2,5; 12,5). 570. в) (-оо; 0,5] U [4,5; +оо); е) (-оо; +оо) ж) (-оо;-1,2) и (1,6; +оо); з) (-оо; И) и (7; +оо); к) 0; м) (-оо; +оо). 572. а) (-2; 8); б) (-12; 2|) в) (-оо; +00); Д) (-оо; -7|) U (-l|; +00); е) 0. 573. б) (-оо; -54] U [1^; +оо); в) [-6;-3] U [6^; 8] г) (-оо; _2|] и [-l|; +00). 574. а) (-8; 7); б) (-°о; +оо); в) [-4,5; +°о); г) (-°о; -0,5). 575. а) [-1,4; 0] б) (-оо; 0]. 576. а) [-4; 1); б) [-|; 10,5]. 577. а) 1909 кг; б) 14109 см; в) 87 ч.; г) 57 141,3 р. 579. а) 27 км б)30км/ч;в)300м.581.в)8р + 26г-14< + 8;г)-^.582.а)3;б)1;в)4.584.б)д;, = 1,2;д;2=-^;:Сз=|у. 208 Ответы 585. [-2; -1]. 586.13 рядов, 145 шк. 587.28; 56; 84.588. б) (-«>; +°о); в) {1,1}; г) {2|}; ж) {-3}; и) {3,5}; к) {2^}; л) {0}. 589. в) (-1; 8}; г) (0,5); д) {-2}; е) 0; ж) (-5; -0,8); з) (i; 1^}. 591.6) 0; г) {6}; ж) (-00; +00); з) {3^}; к){-3}; л) 0; м) {-!}. 592. а) 7А- 26чел.; 7Б - 21 чел.; 7В- 29 чел.; б) в I - 15, воП-30,вШ-28,в1У-18;в)1,5и10,5или-1,5и-10,5;г)4и8или-4и-8.593.б)2^;е)4;и)(-9,5;-^}; к) {-3|; 0,6}; л) {-12; 0,6}. 595. а) {-1; 13}; в) {-8}; г) 0; д) {1,5; 3}; е) (-оо; +оо); з) {-3; -1; 13}; и) {8; 10}; к) {-3; 15}; м) {1,8; 2,5}. 600. г) [-з|; +оо); ж (-оо; б|]; з) (1,6; +оо); м) (l|; +оо). 601. в) (-оо; -63); д) (3^; +°о); ж) (-оо; -2^]. 604. г) [-2; -|]; е) (-оо; 0] U [|; +оо); ж) (-оо; -2); з) [-23; |]; и) (-оо; +оо); к) (-оо; 3) и (3; +оо); л) (-4; 18); м) (-оо; |] и [8,5; +оо). 605. г) (-оо; |); ж) (5,4; +00); з) (-00; -19) U (-5; +оо); к) (-оо; 0,5] U [7; +оо). 606. а) больше 12 см и меньше 21 см; б) не более 400 Мб. 607. а) коньков в 1,1 раза; б) ум. на 16%; в) ум. на 1%. 608. а) 3,75 раб. дня; б) 10 часов 40 мин;в)15км/ч;г)350м.609.б){-3^};г){-2ф.610.в)приа9^0,5:л: = 2~^3“^>приа = 0,5 иЬ = 0: X е (-оо; +оо), при а = 0,5 иЬ фО: 0. 611. а) (-оо; Ц); б) (-оо; -^); в) (-6,5;10); г) [6; +оо) 612. б) [-37; -^); в) (-|; 3]; г) (-б|; 2). 613. а) 30; б) 40л + 37, л е Я. 614. (3; 7), (8; 5), (13; 3), (18; 1) 616.а)60;б)135;в)720;г)120.617.а)315;б)672;в)1620;г)40320.618.а)8;б)36;в)2160;г)72;д)48 620. а) 20 160; б) 60; в) 360. 623. д) 1) 10; 2) 20; 3) 17; е) 1) 15; 2) 4; 3) 12. 625. а) 12 км/ч, 11,7 км/ч б) 12сут. 9ч; в) 3ч; г)4ч. 626.ж) , з)4а- 1; и) |^)'.б27.а) 2; б)4; в) 3; г)6.629. а)24ч б) 19км/ч.630.а)40;б)24.631.а)54;б)84;в)720.632.а)4;б)4320;в)6.634.а)120;б)360.636.б)1)11 2) 12; 3) 4; в) 1) 7; 2) 2; 3) 8.638. а) 18 км/ч, «17,78 км/ч; б) 8 суток. 639. в) г) ^ V Ьр - 7q Зр - 4q д) /г—1—Гг; е) 2а - 1. 640. а) 2; б) 3; в) 4; г) 5. 642. {-74,5; -42,5}. 643. 53 мяча. 646. а) 216; б) 4« (од: -г у) в) 2»; г) 2«. 647. а) 1364; б) 2800; в) 1 111 110; г) 837 930. 648. а) 7812; в) 18 278 000; г) 1296. 653 а)шеф-повар - 11500р; повар-8050р; помощник -1840р;б) 124 250р; в)28га25а34м^; г) 1:6000 654. ж) 1^: 3) и) 658. а) 64; б) 81.659. а) 9330; б) 11 111 110.660. а) 216; б) 3 637 248.664 а) 622,6 тыс.р.; б) 18 га 14 а 40 м^ 665. д) 6xyz\ е) 669. (-60,5; -33,5). 670.1 - 24 ор.; II - 12 ор 671.290 г. 680. а) в А на 132 р. 11 коп.; б) 100 000 р; в) 148,832%; г) 1) 2500 р.; 2) 6000 р.; 3) 10 990 р. 4)17280р.682.в)9а-2Ь;г)6л1-11л.684.а)-15;б)-28;в)4;г)-0,1.691.а)50000р.;б)1)4200р.;2)6300р. з) 10 850 р.; 4) 17 808 р. 693. а) 12а - Ь; б) 6л - 2т. 695. а) 2; б) 10. 696. (-°о; 3,5). 698. 21 ириска и 29 шоколадных. 699. а) 36,6; б)« 57,2; в)« 89,6; г)« 43,5.707. а) (-оо; “Ц); б) (^; -ьоо); в) (-оо; -16]; г) [14,5; -1-00). 708. а) 3 и 14,12 и 5; б) 95°. 719. а) (-оо; -3,4); б) (-Ц; -foo); в) (-оо; 2^]; г) [10; +<»). 720. а) 7 и 31,18 и 20,29 и 9; б) 100°. 725.0.726.66.727.9000 р. 738. а) 25 км; б) Зз|%; в) 13 180 р.; г)ум.на5,75%.741.б)-Зх2//-Зх«/2-1/^742.а){-3;|};б){-5,25;4};в){-12;4};г){-13;-б}.744.а)94,375%; б) 35 кг; в) 21 кг. 746. а) 500; б) 1900. 751. а) 750 м; б) 36 700 р.; в) ум. на 7,6 %. 754. а) 4а^ - ЗЬ^; 209 Ответы ____________________________________________________________________________________ б) -2p3-3p2Q,+3pq,2 755 а){-5;б,4};б){2;2,5};в){7;9};г){-11;4}.756.3)80%;б)40кг.757.{3:;^;и,6}. 758.46 лет. 761. а) б) 762. а) б) в) |; г) д) 763. а) 1) 0,8; 2) 0,2; б) 1) 2) в) г) д) 764. а) о, 1; б) 0,2; в) 0,04; г) 0,25. 765. а) |; б) в) 1) 2) 766. а) 1) 0,1; 2) б) 1) 2) i; 3) |; в) 767. а) |; б) 0,5; в) г) 770. 420 шт. 772. а) 15 км/ч; б) 70 км/ч; в) 80 км/ч; г) 105 км/ч. 775. на мотоцикле; 776. а) 1; б) 3; в) 9; г) 7. 777. а) {9}; б) {0; 6}; в) {-11}; г) (-9; 0}. 778. а) б) в) г) е) 779. а) 1) 2) б) ]|. 780. а) 0,14; б) 0,05. 781. б) 1) |; 2) 782. а) 1) 0,01; 2) б) j^. 783. а) |; б) 0,4; в) |; г) 785. 84 шт. 787. а) 2 км/ч; б) 50 км/ч; в) 5 км/ч. 790. а){5}; б) {0; 4}. 791. а) 3; б) 1. 792. (1; 11). 794. 1 раз. 795. а) 24; б) 120. 796. а) 136; в) 720. 797. а) 210; б) 693. 798. а) 576; б) 96. 799. а) 6'; б) 4®. 800. б) 11110.808. а) б) i; в) г) 809. а) 2) б) ||. 810. а) 0,11; б) 0,08; в) 0,05; г) 0,03. 812. б) 68,4 ч.; в) 44 100 р.; г) 6 га 45 а 12 м^; д) в А на 9327,36 р.; е) 85 000 р.; ж) 6075 р.; з) ум. на 41,2%. 815. а) 60 480; б) 15 120. 816. а) 2343; в) 33 824 000. 818. а) б) 819. в) -1,5; е) 0,09; з) 3; к) 2,5. 820. а) 68 000; б) 400; г) 95 000; д)90; е) 10; ж) 6; з)0,5; к) 1; л)0; м) 821. б) 140°; в) 243,7 тыс.р.; г) 259 кг. 835. а) 8 часов 20мин; б) 3^ ч.; в) 1ч.; г) 14,4 ч; д) в 15 раз. 836. а) 15 200 кг; б) 23 400 мм; в) 1328 мин. 841. а) 1; б) 96; в) 4; г) 14. 846. а) 5600 тыс. р.; б) 20 кг; в) г) 4 ч 40 мин. 847. а) 400 стр.; б) 375 кор., 210 кор.; в) 30%; г) ум. на 52,75%. 848. а){-4}; б) 0; в){3}; г){^}; д) (-оо; +оо); е) {1,75}; ж) {-0,3}; з) {-9^}; и) {-4,6}; к) {!}. 849. а) {60}; б) {-l|}; в) {2,25}; г) {7}; д) {1,4}; е) {-0,5}. 850. б) 52; в) 4 : 11; г) 2 : 3. 862. а) 14 км/ч, * 13,71 км/ч; б) 7 ч.; в) 8 ч.; г) 4,55 км. 863. в) 14з||; г) 13 200; д) 1^; е) 10 000; ж) 6400; 3) 0,5; и) -3596; к) 1000. 864. а){3}; б) {-4; l|}; в) {-7|}; г) {1,5}; д) {111}; е) {-4}; ж) {-2}; 3) {-2; 0; 1}; и) {-2|}; з) {-1,5}. 865. а){-13; 5}; г){-2; 5^}; д) 0; е) (-оо; +оо); ж) {-2; 10}; з) {-4}; и) {0}. 866. а){-5; 3}; б){5; 7}; в){-8; -3}; г) 0. 867. а) 28 м; б) 64 см. 870. а) (-оо; -20]; б) (^; +оо); в) (-оо; 4); г) [-5; +00); д) 0; е) (-ОО; +О0); ж) (-оо; -2); З) (-оо; +0О); и) (-0О; |); к) (-°0;-lj^]; Л) [1; +0О); м)(-оо;2^).871.а)(18;+оо);б)(-оо;-42];в)(-оо;36];г)(-2|;+оо);д)(_оо;+оо);е)0.872.а)(-14;4); б) (-00; 2] и [5; +00); в) 0; г) (-оо; +оо); д) (-32; -^); е) (-оо; -1-^]. 873. а) 6 ч. 10 мин.; б) 70 км/ч или 30 км/ч; в) 10 км/ч; г) 83 км/ч. 874. а) 2; б) 216; в) 10; г) -1; д) 1; е) 343; ж) 130; з) 214; и) -19,5 к) 27. 898. а) 720; б) 96; в) 5040; г) 216; д) 2880; е) 48. 899. а) 243; б) 625; г) 5460. 904. а) б) | 905.а)^;б)||;в)^|^.906.(3;23),(12;14),(21;5).913.а)1;б)0.914.а)9;б)3;в)1;г)8.916.а)С(4,5) б) С(0) или С(-36); в) С(9) или С(45); г) С(15) или C(2l|). 917. а) 13,75 т.; б) 1758 кг. 926. а) 40,25 б) 308,25. 928. а) -9; б) 3. 929. а) -92; б) 4. 930. а) -1; б) 1. 933. а) {0,6}; б) {-15,75}. 934. а) {-и|; 1} б) 0; в) {-3,75; -2,25; -l|; 14,75}. 935. а) 26; б) ЗЗп + 20, ге е Z. 936. (11; 2) и (4; 5). 937. а) (-оо; 0,5) б) [15; +0О). 938. а) [0,5; 6,375]; б) (-оо; -4] и [7; +оо). 939. а) 360; б) 312; в) 12 098 790. 210 Предметный указатель Абсцисса ................... стр. 13 Аргумент ................... стр. 11 Величины: зависимые .................. стр. 3 независимые ................ стр. 3 переменные ................. стр. 3 прямо пропорциональные ... стр. 27 Вероятность случайного события ... стр. 169 График функции ............. стр. 13 Диофантовы уравнения ....... стр. 88 Задание функции: аналитически ............. стр. 12 графически ............. стр. 12-13 словесным описанием ...... стр. 11 таблицей ................. стр. 12 Интервал ................... стр. 47 Испытание ................. стр. 168 Исход ..................... стр. 168 благоприятный ........... стр. 168 Классическая схема определения вероятности ............... стр. 176 Ключ шифра ................... стр. 20 Комбинаторика ............. стр. 129 Корень уравнения ........... стр. 63 Коэффициент пропорциональности .. стр. 27 Криптография ............... стр. 20 Кусочно-линейная функция ... стр. 47-48 Линейная зависимость ....... стр. 36 Линейная функция ........... стр. 36 Линейное неравенство ...... стр. 100 Линейное уравнение ......... стр. 64 Луч: замкнутый ................ стр. 47 открытый .................. стр. 47 Медиана набора чисел ...... стр. 159 Мода набора чисел ......... стр. 158 Наибольшее значение ....... стр. 157 Наименьшее значение ....... стр. 157 Неравенство .............. стр. 98 строгое .................. стр. 98 нестрогое ................ стр. 98 Ордината ................... стр. 13 Отрезок .................... стр. 47 Полуинтервал ............... стр. 47 Прямая пропорциональность .. стр. 27 Равенство .................. стр. 63 Равносильные неравенства ... стр. 99 Равносильные уравнения ..... стр. 63 Размах набора чисел ........ стр. 157 Решения неравенства ........ стр. 98 События: детерминированные ....... стр. 168 достоверные ............. стр. 177 невозможные ............. стр. 177 равновозможные .......... стр. 169 случайные ...........'.... стр. 168 Среднее арифметическое .... стр. 156 Статистика ................. стр. 156 Теория вероятностей ........ стр. 168 Тождество ................... стр. 63 Уравнение .................. стр. 63 Функция ...................... стр. 4 Частота случайного события .... стр. 168 Числовой промежуток ........ стр. 47 Шифр: замены ................... стр. 21 перестановки ............. стр. 22 сдвига ................... стр. 20 211 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ДО 1000 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 212 ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ДО 100 V 1 212 441 412 1681 612 3721 812 6561 22 4 222 484 422 1764 622 3844 822 6724 32 9 232 529 432 1849 632 3969 832 6889 42 16 242 576 442 1936 642 4096 842 7056 52 25 252 625 452 2025 652 4225 852 7225 62 36 262 676 462 2116 662 4356 862 7396 72 49 272 729 472 2209 672 4489 872 7569 82 64 282 784 482 2304 682 4624 882 7744 92 81 292 841 492 2401 692 4761 892 7921 1Q2 100 302 900 502 2500 702 4900 902 8100 Ц2 121 312 961 512 2601 712 5041 912 8281 122 144 322 1024 522 2704 722 5184 922 8464 132 169 332 1089 532 2809 732 5329 932 8649 142 196 342 1156 542 2916 742 5476 942 8836 152 225 352 1225 552 3025 752 5625 952 9025 162 256 362 1296 562 3136 762 5776 962 9216 172 289 372 1369 572 3249 772 5929 972 9409 182 324 382 1444 582 3364 782 6084 982 9604 192 361 392 1521 592 3481 792 6241 992 9801 202 400 402 1600 602 3600 802 6400 1002 10000 213 ТАБЛИЦА КУБОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ДО 60 V 1 213 9261 413 68 921 23 8 223 10 648 423 74 088 33 27 233 12 167 433 79 507 43 64 243 13 824 443 85 184 53 125 253 15 625 453 91 125 63 216 263 17 576 463 97 336 73 343 273 19 683 473 103 823 83 512 283 21 952 483 110 592 03 729 203 24 389 403 117 649 1Q3 1000 303 27 000 503 125 000 ЦЗ 1331 313 29 791 513 132 651 123 1728 323 32 768 523 140 608 133 2197 333 35 937 533 148 877 143 2744 343 39 304 543 157 464 153 3375 353 42 875 553 166 375 103 4096 363 46 656 563 175 616 173 4913 373 50 653 573 185 193 183 5832 383 54 872 583 195 112 103 6859 303 59 319 503 205 379 203 8000 403 64 000 603 216 000 214 СВОЙСТВА СТЕПЕНИ а™ • а" = а”* " (аЬУ = ’ Ъ'" (а"»)" = а' дт , дП — д/П ~ П (а : ЪУ = : Ъ'^ /а\" _ а" \Ь1 b'^ ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ (а + Ь)^ = + 2аЬ + - формула квадрата суммы (а - Ь)^ = - 2аЬ + — формула квадрата разности = (а - Ь)(а + Ь) — формула разности квадратов (а + Ь)^ = + За^Ь + ЗаЬ^ + — формула куба суммы (а - bf = - За% + ЗаЪ^ - Ы - формула куба разности ■¥ = {а + Ь)(а^ - аЬ + Ь^) — формула суммы кубов = (а - Ь){а^ + аЬ + Ь^) — формула разности кубов РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА: у = kx + Ь Значение k Значение Ъ Корень уравнения k ^ 0 Ь - любое число Ъ k k = 0 Ъ^О Нет корней k = 0 Ъ = 0 Корень - любое число РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Решения Решения Решения Решения Значение k Значение c неравенства неравенства неравенства неравенства kx > с kx ^ с kx > с kx с ft = 0 c < 0 (-00;+00) (-0О-+СО) 0 (Нет решений) 0 (Нет решений) ft = 0 c = 0 0 (Нет решений) (-оо;-ьоо) 0 (Нет решений) (_0О;+О0) ft = 0 c > 0 0 (Нет решений) 0 (Нет решений) (-00;+00) (_00;+00) ft > 0 c - любое Ф [f; -ьоо) (-оо; f) (—; |] ft < 0 c — любое (-оо; |) (-оо; f] (f; +00) [f; +00) 215 Оглавление Глава 5. Введение в теорию функций .................................... 3 § 1. Понятие функции и ее практическое применение ..................... 3 5.1.1. Функциональная зависимость между величинами ............. 3 5.1.2. Способы задания функции ................................. 11 5.1.3. Функциональная зависимость и кодирование информации ..... 20 § 2. Линейные процессы и линейная функция ............................. 27 5.2.1. Прямая пропорциональность ....................................... 27 5.2.2. Линейная функция и ее график ................................... 36 5.2.3. Кусочно-линейные функции ........................................ 46 Задачи для самоконтроля к Главе 5 ..................................... 59 Г.тава 6. Введение в теорию .ншейных уравнений и неравенств ........... 63 § 1. Линейные уравнения ................................................ 63 6.1.1. Линейные уравнения и их решение ......................... 63 6.1.2. Решение уравнений с модулями ............................ 76 6.1.3. Решение линейных уравнений в целых числах ............... 88 § 2. Линейные неравенства .............................................. 98 6.2.1. Линейные неравенства и их решение ....................... 98 6.2.2. Линейные неравенства с модулями .........................114 Задачи для самоконтроля к Главе 6 ..................................... 124 Глава 7. Введение в комбинаторику, теорию вероятностей и статистику ...129 § 1. Элементы комбинаторики ............................................ 129 7.1.1. Задача подсчета числа вариантов ......................... 129 7.1.2. Комбинации с повторениями .................................137 § 2. Сбор и анализ информации ......................................... 144 7.2.1 Способы упорядочивания информации ..........................144 7.2.2. Статистические характеристики .............................156 § 3. Элементы теории вероятностей ..................................... 168 7.3.1 Частота и вероятность случайных событий .................. 168 7.3.2. Классическая схема определения вероятности ................176 Задачи для самоконтроля к Главе 7 ..................................... 184 Задачи для самоконтроля по курсу 7 класса ...............................190 Ответы ..................................................................206 Предметный указатель ....................................................211 Приложения: Таблица простых чисел ............................................212 Таблица квадратов натуральных чисел до 100 ......................213 Таблица кубов натуральных чисел до 60 ............................214 Справочная информация ............................................215 Петерсон Людмила Георгиевна Лбраров Дмитрий Леонардович Чуткова Елена Валериевна МАТЕМАТИКА Алгебра. Функции. Анализ данных Учебник для 7 класса Часть 3 Ответственный за выпуск Ю. И. Веслинский Художники С. Ю. Гаврилова, П. А. Северцов Художественный редактор Т. С. Шаляпина Технический редактор Е. В. Бегунова Компьютерная верстка Р. Ю. Шаповалов Корректор О. Б. Андрюхина одписано в печать 11.04.2011. Формат 84x108/16. Объем 13,5 печ. л. 22,68 уел. печ. л. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Школьная. Тираж 25 000 экз. Заказ № 28564 ск Вш). Издательство «Ювента» (структурное подразделение ОСЮ «С-инфо») 125284 Москва, а/я 42 Тел.: (495) 796-92-93 Факс: (495) 796-92-99 E-mail: booksale(o’si.ni Адрес в Интернете: www.book-4.si.ru Приобрести книги можно в магазине по адресу: Москва, ул. 1905 года, д. 10 А. Телефон: (499) 253-93-23 Часы работы: с 10 до 19 часов. Выходные: воскресенье, понедельник Отпечатано в ОАО «Смоленский по.лиграфический комбинат», 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.