Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.
Б. г. ЗИВ В. А. ГОЛЬДИЧ
Дидактические
_материалы
КГ.Зив В. А. Гольдич
ДидакФиче ские материалы по алгебре и началам анализа
для
10-11
классов
С.-Петербург
Петроглиф
2013
УДК
ББК
373.167.1:512 22.14я72 3 59
Рецензенты: Заведующий кабинетом математики Санкт-Петербургского Университета Педагогического Мастерства Л. А. Жигулев; Методист кабинета математики Санкт-Петербургского Университета Педагогического Мастерства Б. Г. Некрасов
Рекомендовано кабинетом математики Санкт-Петербургского Университета Педагогического Мастерства в качестве учебного пособия для средней школы
Издание осуществлено при участии ООО «Виктория плюс»
Зив Б.Гч Гольдич В.А.
3 59 Дидактические материалы по алгебре для 10-11 классов. — СПб. : «Петроглиф», «Виктория плюс», 2013. — 216 с.: ил. — ISBN 978-5-98712-029-3, ISBN 978-5-91673-004-3
Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по курсу «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов, составленные в полном соответствии со школьной программой. Пособие может быть использовано как в обычных школах, так и в математических гимназиях и лицеях.
УДК
ББК
373.167.1:512
22.14я72
ISBN 978-5-98712-029-3 («Петроглиф») ISBN 978-5-91673-004-3 («Виктория плюс»)
Зив Б. Г., Гольдич В. А., 2012 Е. Т. Киселев, художественное
оформление, 2012 ООО «Петроглиф», 2012
предисловие
Данная книга рассчитана на всех желающих улучшить свои знания по алгебре и составлена в полном соответствии со школьной программой.
В пособии представлено большое количество самостоятельных работ, проверочных работ на повторение контрольных работ и тестов. Сборник несколько отличается от обычных дидактических материалов тем, что самостоятельные работы в нем приведены в восьми вариантах, четырех уровней сложности.
Чем мы руководствовались? Не секрет, что в последние годы очень существенно возросла сложность вступительных экзаменов в вузы. Одновременно отмечается процесс упрощения содержания школьных учебников математики. Мы полагаем, что в 10-м и 11-м классах необходимо показывать ученикам более содержательные задачи.
Какова же структура наших дидактических материалов?
I уровень сложности (Вариант 1 — Вариант 2) — это минимум того, что должен знать ученик, — база.
II уровень сложности (Вариант 3 — Вариант 4) — «твердая четверка».
III уровень сложности (Вариант 5 — Вариант 6) — «на пятерку».
IV уровень сложности (Вариант 7 — Вариант 8) — для тех, кто всерьез увлечен математикой.
Если подходить к использованию книги формально, то рекомендуется следующее:
I или II уровень — для базовой школы;
II или III уровень — для гимназий;
III или IV уровень — для лицеев или математических школ.
Следует иметь в виду, что все самостоятельные и контрольные работы составлены избыточно. Учителю ни в коем случае не следует считать, что объем работ должен быть именно таким — мы лишь хотели предоставить ему возможность выбора.
Все контрольные составлены в четырех равноценных вариантах.
Вообще, структура книги полностью повторяет “Задачи к урокам геометрии” Б. Г.Зива, а значит, может быть использована как задачник.
Надеемся, что наша книга поможет учителям и учащимся успешно заниматься математикой.
Владимир Гольдин
Рекомендации
Весьма удачным дополнением к дидактическим материалам для 7-11 классов являются книги серии «Математика. Элективные курсы» А. X. Шахмейстера.
По существу это энциклопедия различных методов решения задач, которые чаще всего встречаются непосредственно в школьном курсе.
Это прекрасные самоучители, которые позволят ученикам и абитуриентам без репетитора подготовиться к экзаменам. Естественная логика построения материала «от простого к сложному» позволит учителю использовать эти книги с учениками различного уровня подготовки. Желательно, чтобы работа с материалами этой серии книг была постоянной и планомерной, тогда она даст наибольший эффект.
Книги серии;
Дроби.
Корни.
Уравнения.
Дробно-рациональные неравенства.
Системы уравнений.
Иррациональные уравнения и неравенства.
Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии.
Логарифмы.
Тригонометрия.
Построение графиков функций элементарными методами.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Задачи с параметрами в ЕГЭ.
Введение в мат анализ.
Комплексные числа.
Б. Г. Зив
Самостоятельные
работы
1. Действительные числа
Вариант 1
1. Запишите в виде десятичной дроби:
^ 3 а) 5,
б)
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(7), б) 1,0(21).
3. Сравните числовые значения выражений:
а) 4 и \/Г7, б) /sjb — 1 и
v/2.
4. Вычислите:
а) ^|(УЗ- \/7)(^/3 + ^/7)|,
б) \/3-2У2 + 1.
Вариант 2
1. Запишите в виде десятичной дроби:
а) б)
2. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(3), б) 3,2(36).
3. Сравните числовые значения выражений:
а) 7 и n/48, б) уД+у/2 и \/10.
4. Вычислите:
а) ^|(^/2+^/lT)(^/2-^/TT)|,
б) V3 + 2v/2- 1.
1. Действительные числа
Вариант 3
1. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(24), б) 4,11(3).
2. Сравните числа:
а) \/б + Л и v/3 + \/Т4,
б) 1 + и + %/7.
3. Вычислите:
а) (\/2 + v/3- ^2-УЗ)2,
2 . 2
б)
7+4\/3 7-4v^’
4. Упростите: \Д2 + + Vfb + \/^-
Вариант 4
1. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 0,(51), б) 3,21(6).
2. Сравните числа:
а) V2+ и уД+ \/10,
б) l + s/2i и V^+ VT5.
3. Вычислите:
а) (v^3-2\^- ^/3 + 2\^)^
O'! 3 3
^ 5-2n/6 5+2\/б'
4. Упростите: \/40 + + д/Эб + -\/^-
Вариант 5
1. Запишите в виде обыкновенной дроби 3,1(45).
2. Расположите числа в порядке возрастания: 1 + \/ТТ; \/5+\/б; V3 + V7.
3. Приведите пример рационального и иррационального чисел, заключенных между числами:
а) \/2и s/З, б) 7 и 7,01.
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Вычислите:
а) УГ^(3 +V5)(V2-VIO),
4 , 3 1
v/7+ч/З + n/6-ч/З "
Вариант б
1. Запишите в виде обыкновенной дроби 2,4(54).
2. Расположите числа в порядке возрастания: \/7 Ч- у/Е;
уД + уД2-, 1 -f \/l5.
3. Приведите пример рационального и иррационального чисел, заключенных между числами:
а) y/6ii Д, б) 5 и 5,01.
4. Вычислите:
а) \/15 + 6n/6 ■ (\/б - 3) • + Д+у/П,
2 _ 5 _ 3
' Д-у/Ъ Д+Д Д-Д'
Вариант 7
1. Определите, является ли данное число рациональным?
\/з + 2%/2+ -\/б-4\/2.
2. Сравните числа: и
3. Вычислите:
Л+7Г
б)
-ь
n/3+%/2
\/100-Ь\/^’
6-х/^
2
6+у/32 2 ’
в) 2у 3 + \/5- Vl3-t-^S.
4. Постройте на координатной прямой при помощи циркуля и линейки число у/17.
5. Докажите, что ^ + ^ + + ^ >10.
2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Вариант 8
1. Определите, является ли данное число рациональным?
\Ze + 4v^- -\/з-2У2.
2. Сравните числа: \/2 + \/ГГ и \/3 + 3.
3. Вычислите:
yT69+v/l67’
б)
в)
3-n/8
2
З+л/8 2 ’
л/3-2у^ _ \/3+2n/2
y/l7-12V2 V17+12^'
4. Постройте на координатной прямой при помощи циркуля и линейки число y/l5.
5, Докажите,что^ + ^ + ^ + -.- + ^>Ш.
2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Арифметический корень натуральной степени
Вариант 1
1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если Ьг = 9; 65 = ^.
2. Упростите: ____
а) 3\/Т2-\/75-|-\/27; б)
3. Найдите область определения выражения — 1 • у/х.
4. Сократите дроби:
ч а—Ь .-ч
10
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если 63 = 4; 65 = |-
2. Упростите:
а) \/32 - n/M - уД8] б) УЩ.
3. Найдите область определения выражения \/1 — ■ у/х.
4. Сократите дроби:
а)
'Д-у/У
х—у
б)
\Д-у/У
Вариант 3
1. Произведение первого, третьего и пятого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равно 8, а сумма второго и четвертого равна (—5). Найдите сумму этой прогрессии.
2. Упростите: ____ ______
а) • v^; , б) y/a^L ■ у/сД/а.
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
3^' «5) '
V5-^'
.1 лг Vz^-^x+9
4. Упростите:
Вариант 4
1. Произведение первого, третьего и пятого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равно (—8), а сумма второго и четвертого равна 5. Найдите сумму этой прогрессии.
2. Упростите:
а) б) Vb\/^ ■ у/¥Щ.
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
\ 6 3
3^2+4’
\j4-y/l'
, л, у/2-х-{х-5)
4. Упростите: < „ „ .
^ Уз;2-10x4-25
2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
11
Вариант 5
1. Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии таковы, что первый член первой прогрессии является знаменателем второй, а знаменатель первой является первым членом второй прогрессии. Сумма всех членов прогрессий равна 2. Найдите первый член первой про-
1
грессии, если ее знаменатель равен д.
2. Упростите:
а) ^а? б) •
3. Вычислите:
а) У8 -/УШ),
б) \/22 - 4v^ - \/22 + 4v^.
Вариант б
1. Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии таковы, что первый член первой прогрессии является знаменателем второй, а знаменатель первой является первым членом второй прогрессии. Сумма всех членов прогрессий равна 4. Найдите первый член первой про-
2
грессии, если ее знаменатель равен д.
2. Упростите:
У!.
3. Вычислите:
а) \/^: • У^Ш),
б) \/l5-4v/l4 - ЛбПТН.
Вариант 7
1. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый ее член относится к сумме всех последующих членов, как 2 к 3.
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
7
72+7з+7б+2’
12
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
3. Упростите: а) ^
+
\J а-ь2\/о-1 \/a-2\fa-\'
б) \/8 -I- v/8 -I- v/20 -Ь \/40.
4. Вычислите ^26 — 15\/3 -f ^26-1- 15\/3.
Вариант 8
1. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый ее член относится к сумме всех последующих членов, как 7 к 9.
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
3
2-\/2-Ь\/3-\/б'
3. Упростите:
&) 1 _ 1 \/ й-Ь4\/б—4 \/б—4v^—4
б) \/б + х/8 + \/Т2 +
4. Вычислите: -^9 4- 4\/S -I- ^9 — 4\/5.
3. Степень с действительным показателем
Вариант 1
1. Вычислите: а) 16~\
(125)
2. Упростите:
а) (\/а-|- \/Ь)(''Уа+ \/b)(v/a— n/Ь);
б)
i
-1
а
Ti-------г -
4 4 2
а —а а—а
Т (« +!)•
9а
-А\ 3 24
3. Упростите и вычислите I —j—5- при а = 24.
а«а^
3. Степень с действительным показателем
13
Вариант 2
1. Вычислите: а) 27 ^
(зУ •
2. Упростите: а)
б) ( -Лг - -Аг
b-h^
1 2 \ -5
5 3
3. Упростите и вычислите | —5-
при а = 125.
2а ^
Вариант 3
1. Вычислите: ( 27 ^ 8 ^ 32 * 81 **
2. Упростите:
а) (^-^)(^+^yi);
б)
5/Т\ 2
аЗ
(у' а
-3
(е^) (V^) )
/ 1 \ \/3-1 / 2 \ \/2
3. Сравните числа ( ^ ( з )
х^л/(а:+4)2-16г ^
4. Упростите и вычислите —^------------- при х = v7.
Вариант 4
3 3
2 ч 2
1. Вычислите: ( 25 ‘ 4 ‘ 625 '* 32 *
2. Упростите:
а) (^-'У7)(^+’У2Т+У49); -60
g4 I \JаЧ^
I (а^
14
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
/1 \ ■Уг-и /1 \
3. Сравните числа (2/
4. Упростите и вычислите
.Л
(2у-1)((2у+1)^-8?у)
25у^-3
при у -
Вариант 5
1. Вычислите: (2^^У ■ (2\/2Му ■ (2^^У ■
2. Упростите; i 1
22 , „ 1
X у X 1-9х~^
+х J X -3 *
3. Упростите:
\/\/5-2- ^9+4\/5-Ь у^- ^
\/7В+2- y9-4v/5-ba
Вариант б
1. Вычислите:
1-40-2
Г • a-i-2-i-
3. Упростите:
Вариант 7
q4~1
2 \/ \/3-\/2- V 5-f2\/6+i-ba'
1. Сравните числа \/37 -Ь 2 и 2у^.
2. Упростите и вычислите
■г2-Ь2х-3-Ь(х-И)Ух^-9 /j——
х^—2х—3+(х—1)\/х^—9
при X = 6 и X = —7.
4. Степенная функция и обратная функция
15
3. Упростите:
^г/-12гу+{у^-4)у/у^-16 ^ ^у^-12у-{у^-4)у/у^-16 Вариант 8
1. Сравните числа 2'^244 и + 3.
2. Упростите и вычислите
у2+2/-6-(2/-3)>/у2-4 при у = 7 и у = —6.
3. Упростите:
Зх+(х^ —4 ^ з|х^—Зх—(х^ —1)\/х^—4
4. Степенная функция и обратная функция
Вариант 1
1. Сравните значения выражений: 3,5 / /тт\ 3,5
-V2
а)(^)
2. Найдите область определения и область значения функции, обратной данной
а) у = 7х — 5, б) у = у/х — 2.
3. Изобразите схематически график функции:
2
а) у = х~'^,
б) у = х’'.
Вариант 2
1. Сравните значения выражений:
16
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Найдите область определения и область значения функции, обратной данной: _____
а) у = 8 — Зх, б) у = \/3 — X.
3. Изобразите схематически график функции:
а) у = х\ б) у = х ^
Вариант 3
1. Сравните числа:
а) (1)'’^ и , б) (3^)-3-4 и (2^)-з-4.
2. Найдите функцию, обратную данной:
а)у = 2х-7,
3. Постройте схематически график функции:
1
а) у = (х - 7г)3,
Вариант 4
б) у = |x-t-1| .
1. Сравните числа:
а)(!Ги(Г
6) if
-7,4
3
2. Найдите функцию, обратную данной:
а)у = 3-5х,
3. Постройте схематически график функции:
а) у = (тг - х)^.
Вариант 5
б) у= |х- 2|
1. Сравните значения выражений:
f УШ-З
I 4
-ч/б
f 6\/7-1оА
“ I 3 j
-ч/5
X—3
2. Найдите область изменения функции у =
-7,4
4. Степенная функция и обратная функция
17
3. Постройте схематически график функции;
j/=|t-3| -1
Вариант 6
1. Сравните значения выражений:
(44шу'„
2х-1
2. Найдите область изменения функции у =---
3. Постройте схематически график функции:
-|а: + 2| ® + 1.
Вариант 7
1. Найдите обратную функцию и изобразите оба графика в единой координатной системе:
у = х^ + 2х — 3] а:€[—4;—2].
х^+1 25
2. Найдите область изменения функции у= ——.
3. Сравните числа:
(6у/10-5 9V6+2
4у/39-3\/Г9 \ ^ /4у^9-ЗчЛ9\
12 ; Ч 12 ;
Вариант 8
1. Найдите обратную функцию и изобразите оба графика в единой координатной системе; у = —-|- 8х — 12; X € € [4; 6].
3;2-1 3
2. Найдите область изменения функции у =
3. Сравните числа:
бУГГ+уДз , ^ 8у^+4./3
16 j « 16 j
18
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Равносильность уравнений и неравенств
Вариант 1
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) з;2 - 1 = о и + ^ = 1 + ^,
б) i2_4^ + 3,o =
2. Равносильны ли следующие неравенства?
а) 2х - 3 - < ж - ^ - 4и 2х-3<х-4,
б) (х^ — 2х — 3)(—х^ -|- X — 2) < о и х^ — 2х — 3 > 0.
3. Какое из двух данных уравнений является следствием другого?
б) (х 2)(х -|- 1)^ = ^(х -Р l)^ и X -Р 2 = 3.
Вариант 2 >
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) 4 - х2 = о и х^ -р ^ = 4 +
б) х2 + 5х + 4 = о и = 0.
2. Равносильны ли следующие неравенства?
а) X -Р 3 — < 2 — и X -Р 3 < 2,
б) (-х2 + 2х - 5)(х2 - 25) > о и х2 < 25.
3. Какое из двух данных уравнений является следствием другого?
а) ^ ^ = 0и х^ + х — 2 = 0,
б) (х^ — 3)(х -Р5) = х^ — 3 и х-р5 = 1.
_ ^2
5. Равносильность уравнений и неравенств
19
Вариант 3
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) \/з;2 + 2а; + 1 = \/10 и а: + 1 = \/10,
б) — 7.Т = 8 и V4 — х‘^{х^ — 7х) = 8\/4 —
2. Равносильны ли следующие неравенства?
а) . < О и {х - 3)(х + 5) < О,
б) ^Ои х-8<0.
3. Какое из двух данных уравнений является следствием другого?
а) х2 + 2х + ^ ^ и х^ + 2х = О,
б) '/х^ — 5х — 6 = 4 и х^ — 5х — б = 16.
Вариант 4
1. Равносильны ли следующие уравнения? а) >/(.х — 2)2 = \/3 и X — 2 = v^,
б) х^ = 1 и x^^/6 — х^ = \/б — х^.
2. Равносильны ли следующие неравенства?
а) (1 - х)(х + 7) ^ О и ^ ^ О,
б) (-^!^зу2 <0и х + 1<0.
3. Какое из двух данных уравнений является следствием другого?
X = Q и (х + 3)(х + 1) = О,
б) .х^ — Зх + 2 = 9 и ч/х^ — Зх + 2 = 3.
Вариант 5
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) \/.х — 2 • \/2х + 3 = 3 и ч/2х^ — х — 6 = 3,
б) \/х — 1 • (х^ + 3) = 4х\/х — 1 и х^ — 4х + 3 = 0.
20
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Какое из двух уравнений является следствием другого:
\/ {х — 3)(т — 1)2 = {х — 3)(х — 1) и v/t — 3 ■ (ж — 1)(ж — 4) = о?
3. Равносильны ли следующие неравенства:
\/х—4\/х —4 ^3 и ж ^ 7?
4. При каких а и Ь уравнения будут равносильны:
ж^ — (2а -f- 3)ж -Ь 6а = о и ж^ — (а -Ь 2Ь)х 2аЬ = 0?
Вариант б
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) \/ж2 — 5ж -Ь 4 = 2 и \/ж — 1 • \/ж — 4 — 2,
б) \/ж — 4 ■ (ж^ -f 4) = 5ж\/ж — 4 и ж^ — 5ж -Ь 4 = 0.
2. Какое из двух уравнений является следствием другого:
\/ж — 7 • (ж/- 5) (ж — 8) = о и \/(ж — 7)(ж — 5)2 = (ж — 5)(ж — 7)?
3. Равносильны ли следующие неравенства:
\/3 —ж\/3 —ж ^ 5 и 3 — ж ^ 5?
4. При каких а и h уравнения будут равносильны
ж^ — {ЗЬ — 2а)х — баб = 0 и ж^ — (2 — За)ж — ба = 0?
Вариант 7
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) \/(х — 1)^(ж — 3) = ж — 1 и |ж — 1| • у/х — 3 = ж — 1,
б) \/х — 4\/х — 2 + \/х — 1\/ж — 2 = \/ж-|-4\/ж — 2 и >/(ж-4)(ж-2) -Ь у'(ж-1)(ж-2) = ^(ж-Ь4)(ж-2).
2. Какое из двух уравнений является следствием другого:
^ (ж-3)(ж-|-3) = (ж-1)(ж-Ы)?
6. Иррациональные уравнения
21
3. При каких а уравнения будут равносильны:
у/+ (За + 2)х + ба = 2{х + 2) и \/х-2 + Зж - За — = 2(х + 2)?
Вариант 8
1. Равносильны ли следующие уравнения?
а) ' \/х'^{х — 5) = X и |х| • \/х — 5 = х,
б) \/.х + 1\/х — 1 + \/х — 2\/х — 1= >/х + б\/х — 1 и \/(х+1)(х-1) + ^/(x-l)(x-2) = ^(х+б)(х-1).
2. Какое из двух уравнений является следствием другого
х+2 х+3
и 2х + 3 = О?
х+1 X
3. При каких Ь уравнения будут равносильны:
\Jx'^ — (26 + 1)х + 26 = 2х - 2 и \/х2 - Зх + 36 - Ь2 = 2х - 2?
6. Иррациональные уравнения
Вариант 1
Решите уравнения 1-5:
1. (х2-4)\/^ТТ = 0;
2. >/2 — X — х;
3. ^3x2 + 5х - 2 = Зх - 1;
4. \/х — 2 + \/11 — X = 3;
5. v^-4^+3 = 0.
Вариант 2
Решите уравнения 1-5:
1. (9-х2)^/2^ = 0;
2. X + \/2 — X = 0;
3. v^-2x2 + 5х + 3 = 2х + 1;
4. \/9 — ;с + \/х — 5 = 2;
5. v^— ^ —6 = 0.
22
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 3
Решите уравнения 1-5:
1. X — \/ х + 5 —1 = 0;
2. — 2а: — 1) = 0;
3. 2а;^ -f За; — Ъ\/2х'^ -Е Зх 4- 9 -1-3 = 0;
3—х
2+х
-\
“■ /
5. \/3.г- -I- 6 - ^6 - 2х = 1.
Вариант 4
Решите уравнения 1-5:
1. а; - 3 + s/2x -3 = 0;
2. Ух2~Т^7зП-~10(а:^ -f 2ж — 4) = 0;
3. х^ -Ь 2а; -f \/ж^"+"2ж"+~8 — 12 = 0;
, /2i+2 / 2+х
УТ^-У:
т_,
2х-\-2 12’
5. v'lO - 3.7; - n/7^ = 1. •
Вариант 5
/
Решите у1)авиения 1-4:
1. = ______________________
2. у/5-Ьа; — 4 у/х Ц- 1 -Ь \/l0-f-a: — 6\/х -h 1 = 1;
3. \/а;2 —'За; -f 2 -f \/—а;^ -Ь 4а: — 3 = \/—х^ -|- Зж — 2;
4. — 2 -Ь \/а: -t- 1 = 3.
5. При каких а уравнение имеет единственное решение
при каких а уравненш \/— 4а; -Ь 3 = \/Зх -Ь а?
Вариант б
Решите уравнения 1-4:
1. У5а; - \/з^-^=
2. \/х — 3 — 2\/х — 4-Ь \/х-|-8 — б\/а: -1-1 = 1;
3. \/х2 — За; -f 2 -Ь \/—х^ -|- 2х = \/—х^ -|- 5х — 6;
4. v/x -f 5 + \/х — 3 = 2.
5. При каких а уравнение имеет единственное решение
11^
VX
2 -Ь 6х •+■ 8 = \/а — Зх?
7. Иррациональные неравенства
23
Вариант 7
Решите уравнения 1-3:
1. \/4л:2 + 4;с + 1 + \/Ах^ — 4ж + 1 = 2;
2. {\Jx + 1 + \/х — 2){х — 3\/х — 2 + 2) = 9;
3. (х + 2)(7-а;)(У^^+1) = 12.
4. каких а уравнение имеет единственное решение
11ри Вариант 8
— 15 = от + 7?
Решите уравнения 1-3;
1. \/х2 — 6т + 9 + \/х^ + 6т + 9 = 6;
2. (\/т + 2 — \/т - 1)(т + 3\/т — 1 + 3) = 9;
3. (t-4)(5-t)(v/^^ + 3) = 24.
4. При каких о уравнение имеет единственное решение
При каких о уравнен! \/8т"—~т^~-^Т5 = от — 1?
7. Иррациональные неравенства
Вариант 1
Решите неравенства 1-5:
1.
2. >/т + 1 > \/3 — т;
3. \/т + 2 > т;
4. т — 3v/7 + 2 > 0;
5. \/Зт — т^ < 4 — т.
Вариант 2
Решите неравенства 1-5:
1. v^5^<2;
2. \/х + 2 > \/б — т;
3. v^2 — т > т;
4. т — 4\/т + 3 > 0;
5. \/т^ — 4т ^ 2 — т.
24
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 3
Решите неравенства 1-5:
1. (ж -f 1)\/9 — > 0;
x-2v/5-3>^'’
3. \/ж^ — 5ж -f 4 < ж — 3;
4. \/2 — ж -f \/ж -f-1 > —1;
5. \Jx — 1 -f \/ж -|- 2 > \Jx -t- 7.
Вариант 4
Решите неравенства 1-5:
1. (ж — 2) \/1б — ж^ ^ 0;
2 Е±Л^<п.
3. \/ж^ — ж-2^ж — 1;
4. \/ж -f 4 -Ь \/1 — ж > —3;
5. \/ж — 2 -f \/ж -f- 1 > х/ж^+^-
Вариант 5
Решите неравенства 1-5:
1. ж — 3 < \/ж -f 9, в ответ запишите количество целых решений;
2. ^2ж — 1 -f \/ж~+~3 < 3;
3. \/2ж2 _ 2ж -I- 5 - \/2ж2 - 2ж ^ 1;
4. \/ж -|- 3 — 4\/ж —1-|-\/ж-|-8 — 6-\/ж — 1 > 1;
5. ||ж-1-2| -3| < ^3ж2-3.
Вариант 6
Решите неравенства 1-5:
1. ж -I-1 < \/ж -р 16, в ответ запишите количество целых решений;
2. -\/5ж^^ -Ь \/Зж -Ь 1 < 3;
3. \/ж2 -I- ж -Ь 10 — \/ж2 -I- ж -f 3 ^ 1;
8. Показательные уравнения и неравенства
25
4. \/х + 2\/х — 1 + yjx — 2%/х — 1 > 1,5;
5. ||а: + 3|-2|^\/Зж2-3.
Вариант 7
Решите неравенства 1-5:
1. \/Ъх — 2x2 + 3 ^ 3 — х;
„ \/2х+9-2-\/Т+^ ^ п
3.
1
1
^/5+T ^ 2-х
4. Зх + 4 > ^9 + 4х(х + 3) + \/—2x2 — 8х + 10;
5. \/9х2 — 48х — 21 + \/9х2 — 51х — 15 < |3х — б|. Вариант 8
Решите неравенства 1-5:
1. v^3x2 -I- 5а; — 2 ^ 2 + х;
л \/Зх+1-\/Зх—14-3 , г.
/75+2 <
/2^ х+1’
4. 4х — 5 > /1 + 4х(х — 1) + /—8x2 ^ 4Q3. _ 32;
5. /4x2 — 4х — 84 + /4x2 — 6х — 85 < |2х + 1|.
8. Показательные
уравнения и неравенства
Вариант 1
1. Решите уравнение 7®^“3i+2 _
(2\® 9
ЗУ ^ 4’
3. Решите уравнение 42® — 3 • 4^ — 4 = 0.
4. Решите неравенство 4®“^ + 4® + 4^"^^ < 84.
5. Решите уравнение 22+^ — 22"^ = 15.
26
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАВОТЫ
Вариант 2
1. Решите уравнение = i.
/дч а: g
2. Решите неравенство ( ^ 1 ^
3. Решите уравнение 5^* — 4 • 5^ = 5.
4. Решите неравенство 7^‘ + -f > 399.
1 к
5. Решите уравнение
I 2^ - 2~^ =
15
4
>f-
Вариант 3
1. Решите уравнение = ^g^-
(2 \ х^—5z-t-4
5 ]
3. Решите уравнение 3 ■ -1-1.
4. Решите неравенство — 2 > 3.
5. Решите уравнение 64® = 2 ■ 27^ — 36®.
Вариант 4
1. Решите уравнение = v^-
,x+2+i
32-
/ 1 \ а
2. Решите неравенство ( 2 )
3. Решите уравнение 2 • 3~2^+2 = З"®'*'^ -Е 1.
4. Решите неравенство 4® + 2®''"^ —8^0.
5. Решите уравнение 4® + 10® — 2 • 25® = 0.
Вариант 5
1. Решите уравнение 4® — 3^-°-5 = gx+o.s _ 23х-
2. Решите неравенство \/36^ — б^'*"^ >36 — 6®.
3. Решите уравнение (^7 -Е 4\/3)® -Е (^7 — 4ч/3)® = 4.
. Г 2 \x4-ix 20-ч/Ш1
4. Решите неравенство \/ГТ/ ^-----2----‘
Г—1
8. Показательные уравнения и неравенства
27
5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней (0,2)^ =
Вариант б
1. Решите уравнение 4 • - 2 ■ ^ 32^+3 ^ д.
2. Решите неравенство — 1 >2 — 2^.
3. PentHTC уравнение (\/4 — ч/Тб)^ + (\/4 -f \/l5)® = 8.
>
22-УШ
4. Решите неравенство
5. Найдите все значения параметра о, при которых уравнение не имеет корней (0,6)^ =
Вариант 7
1. Решите уравнение
212Х-1 _ 46Х-1 ^ g4i-l _ ig3x-l ^ J280.
2. Решите неравенство
З2.т^—х+2 _ g2i^—X—1 ^ g2x^—х-И з2х^—х—1
3. Решите уравнение
(2 -Ь ч/3)^'->-+1 -I- (2 - ^/3)^'-^^-' =
4. Решите неравенство ^ дт® ^ 3 _ sin^ х.
5. Найдите все значения параметра а, при которых урав-
22х+1
нение имеет единственное решение ^д_2х+1^з = о,-Вариант 8
1. Решите уравнение 9 • 4^^ -|- 64 ■ 1б®“* -f 256 • = 448.
2. Решите неравенство ^ зх^+х-1 _
3. Решите уравнение
(4 - + (4 -Ь
4. Решите неравенство 27^^^"‘'S -f- 7^** > 4 — 3tg^.r.
5. Найдите все значения параметра а, при которых урав-
32х
нение имеет единственное решение qx_3x+i^2
= а.
28
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
1.
2.
9. Системы показательных уравнений и неравенств
Вариант 1
Решите системы уравнений 1-3;
Г 3*5" = 75 \3"5* = 45
Г 2* -Ь 3" = 17 - 3"+^ = 5
ГЗ* -Е 3" = 36
4. Решите систему неравенств Г4* - 5 • 2* 4-4^0
1аГ>1
Вариант 2
Решите системы уравнений 1-3:
2*3" = 24 2"3* = 54
1
, Г5*-3"-* = ]
- ЗУ = •
, Г 2* - 2" = б
= 16 32
|2*+" = 1б
4. Ренште систему неравенств
[2* -•** < 16 Вариант 3
Решите системы уравнений 1-3: Г 642* ^ ^ 42
■ \б4*+" = 4У2
Г0
1(1) -1
Вариант 6
Решите системы уравнений 1-3:
^ Гд.у2-91/+20^ 1
2Х!/ ^ ig-6
3.
+ 3 = 10
2-3 +7^ = 13
7ХХ _ 2.3V = 31
4. Решите систему неравенств
ГЗч/^ + 3^-1 +34^-2 < 13
|4|2х-1| _2.2l2a:-i| _8>0 Вариант 7
Решите системы уравнений 1-3: Г2^(г/+1) _ 3.2^ + 4 = о -I-2’-’= 6
= а
а^{1+ЬУ) = 2а при а > 0; 6 > о
2^+у -2^ + 2У у/2^ -2У= \f¥ - \/^
4. Решите систему неравенств Г9'/^^ -f- 3 < 28 •
|з2|.г-1| + з<4.зк-1|
2.
3.
10. Свойства логарифмов
31
Вариант 8
Решите системы уравнений 1-3: 6^ + = 42
1.
30 + = 6^+1
, /а^(2 + У
'■ \а^ЬУ = а
ЬУ) = За
при а > 0; Ь> о ^ f 3^+у = 3^ _ ЗУ + 9 ■ Ду'З^ -3V= - уДу
4. Решите систему неравенств |4v'9^ ц. 2 < 9 . з%/9:^ |з1г+2| 4_з|х-1| ^28
10. Свойства логарифмов
Вариант 1
1. Вычислите:
а) log, 8-log 1 27, в)32’°ёз4.
2 3
б) log,2 3 + log'i2 4,
2. Найдите область определения функций:
а) 2/ = log2(4-3T-x2), б) у = logi ^ •
3. Дано: lg2 = a; lg3 = b. Найдите lg24.
Вариант 2
1. Вычислите:
а) logs I + logs 125,
в) 2-'°е2 5_
б) log7 2-log7|,
2. Найдите область определения функций:
а) y = logi(2-5x + 2x2), б) у = log2 .
3. Дано: lg2 = a; lg7 = 6. Найдите lgll2.
32
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 3
1. Вычислите:
а) logj
б) 12'°KH4 4 + log,2 2^
log., 27-log^ 8 logaf
2. Постройте график функции у = log2(l — х).
3. Дано: logs 2 = а; logg 5 = 6. Найдите logs 5-
/ ^ ч 1 log3(i2_6x+9)
4. Упростите: ( ^1
Вариант 4
1. Вычислите:
а) logi(27y3),
б) 7log7 3+log49 4^ ^
, log;, 64 ' logs 48-log3 3 •
2. Постройте график функции у = logi [х — 3).
2
3. Дано: logj4 7 = а; logi4 5 = 6. Найдите logs 28.
4. Упростите: 4~^og,^(x^-4x+4)_
Вариант 5
1. Вычислите:
log'27(5\/2 — 7) -|- logg(3 -f 2у/2),
, 3 logs 15 logs 9-2 log^ 15-log5 9 '' logs 9-logs 15
2. Упростите: ^ -Ь 4^+^5~‘°®a®.
3. Постройте график функции y= llogi |a:| + 21.
2
4. Сравните числа log2 5 и 2^.
11. Логарифмические уравнения и системы
33
Вариант б
1. Вычислите:
а) log.i(7 - 4v/3) + logg(26 + 15\/3),
Iog2 14 log2 7+log2 14-2 log2 7 '' log214+21og2 7
2. Упростите: ^ *°*a2.
3. Постройте график функции y= |log2|x||.
2
4. Сравните числа logg3 и g.
Вариант 7
1. Вычислите: Ig tg 1° • Ig tg 3° • Ig tg 5°.Ig tg 89° -
- (Igtg 1° + lgtg3° + lgtg5° + ■ • • + lgtg89°).
2. Сравните числа logg 9 и logg 10.
3. Дано: logy 12 = a; Iogi2 24 = b. Найдите log54 168.
4. Упростите: 5^/^ - 6^*^.
Вариант 8
1. Вычислите: Ig tg 1° • Ig tg 2° • Ig tg 3°.Ig tg 89° -
- (Ig tg 1° + Ig tg 2° + Ig tg 3° + ■ • • + Ig tg 89°).
2. Сравните числа logg 10 и Igll.
3. Дано: logg 30 = a; logjg 24 = b. Найдите logjg 60.
4. Упростите: 2^^ - 3\/^.
11. Логарифмические уравнения и системы
Вариант 1
1. Решите уравнение logg х = \ — logg 3.
2. Решите систему
Г logg X + logg 2/ = 1 + logg 2 \log25(.T + J/) = 0,5
3. Решите уравнение logg(a; + 1) + logg(2x + 1) = 1.
34
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Решите уравнение log2 х -f log4 х -f log8 х = 11.
5. Решите систему Гх^ + ip’ — 425 \\gx + \gy = 2
Вариант 2
1. Решите уравнение lgx = 2 —lg5.
2. Решите систему
Г log4 X -I- log'4 y = l + log4 9
\log2(x-Ь у) = log2 5-Ь 2
3. Решите уравнение log2 х -t- log2(x •+- 2) = 3.
22
4. Решите уравнение log3 х -Ь logg х -Ь log27 х =
5. Решите систему х^ + (р = Ь lgx-t-lg?y = lg2
Вариант 3 ----------
1. Решите уравнение log2(x^ — Зх) = 2.
2. Решите систему
Г log2 X + log2 у = 4 \21gx - Igy-Hg2 = 0
3. Решите уравнение log2 log3 log4 х = 0.
4. Решите систему Гх'°й2У = 3 \ху = 6
5. Решите уравнение logi х^ -Ь log4 х'‘ = 8. Вариант 4
1. Решите уравнение log3(x^ — 8х) = 2.
2. Решите систему
Г log3 X -f log3 у = 4 \21gy-Igx-Mg3 = 0
3. Решите уравнение log4 log2 log^x = 2-
11. Логарифмические уравнения и системы
35
4. Решите систему '.-clogs и = 64
ху = 500
5. Решите уравнение logg — logg х® + 2 = 0.
Вариант 5
1. Решите уравнение
б log 1 (-х) — log^ — 2.
2 2
2. Решите систему
I log2(xy) - I logg Х^ = 1
|log^2?/ + log2(y + 6) = 4
3. Реши'ге уравнение х'о^г^ + б'о^^^ = 10.
4. Решите систему
Г log^ у + logg X ■ logg у - 2 log^ X = 0 12х^у — ху^ = 1
5. Решите уравнение
- 5х + 1) - logi_3j.(4x2 - 4х + 1) = 2.
Вариант 6
1. Решите уравнение log^ х^ + 3 = 71og4(-x).
2. Решите систему
Г logo.5x+3(^^2/®) + 1 = log4 jlog/, ^ + |loggy2= I
3. Решите уравнение х*°®з ^ + 7*о®з ^ = 14.
4. Решите систему
Г log;, X • log'3 у + 2 log^ X - log| у = о
\ху+^ = 28
5. Решите уравнение
log:te+7(9 + 4.х2 + 12х) + loggj.+3(6xi^ + 23х + 21) = 4.
36
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 7
1. Решите уравнение = 10.
2. Решите систему
Г у • = Х2
\log^ у • logy (у - Зх) = 1
3. Сколько различных корней имеет уравнение log2(40 — 5.т^ + x^2^) = X -f 3?
4. Решите систему Jlog2(65-22+!/)=4-y
\log2 (у-2х+б) = - 1) - bg2(2 - х)
5. При каких а уравнение 21g(l — х) = Ig(ax) имеет единственное решение?
Вариант 8
1. Решите урав!!ение -Е х'°®б® = 12.
2. Решите систему
Гх • = у5 ,
\log3.Tlog^(y-2x) = l
3. Сколько ра;зличных корней имеет уравнение log3(54 — 2.т^ + х^З^) = X -Е 3?
4. Решите систему
Гlog2(x^ -Е i/) - log2 X = log2(3y -Е ж) - 1
5. При каких а уравнение 21g(l -Е х) = Ig(ax) имеет единственное решение?
12. Логарифмические неравенства
Вариант 1
Решите неравенства 1-5:
1. logi(x-Е 3) ^-2;
2
2. log^ X -Е log 1 X — 2 < 0;
2 2
3. logs(.x^ - 4х -Е 3) < 1;
12. Логарифмические неравенства
37
4. log2^
Вариант 3
Решите неравенства 1-5:
1. 108з|5г<1;
2. (5;г — 2) logi X < 0;
3
3. log 1 (х^ — Зх + 2)> log!(6 — + 4х);
2 2
4. log2(x - 1) + log2X < 1;
Вариант 4
< 100.
Решите неравенства 1-5:
2. (2х — 3) log2X > 0;
3. logi (х^ — X - 2) > log 1 (3 — х^ + 2х);
4 4
4. log3(x + 2)+ log3X < 1;
(t)
1<>Й2 *
< 4.
38
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 5
Решите неравенства 1-5:
1. |х - > 1;
2. iog| logo < 0;
3. log^.(3 - ж) ■ log2a:-l(3 - x) < log^.(3 - x) ■ log5_2x(3 ~ x);
4. yjl - log'2 -\- log2 x^ > 4;
5. (4"^' -f 3 • 2®+l)'°g7 3:-log^7-2 ^
Вариант 6
Решите неравенства 1-5:
1. |х|
x^ — '.ix+2
<1;
2. log^-logxfz|^-2;
3. logi-2(5-x) • log3._i(5 - x) < log3._2(5 - x) • log4_3.(5 - x);
4. у/7 + log'2 > log2 X® - 3;.
g (32:+2 _j_ 2-a;^31gx-lg(2x^-t-3i) ^
Вариант 7 ''
Решите неравенства 1-5:
1- logi+i(5x2 - x) > 2;
2. log2(2"-l)-Iogi(2^+i-2)>-2;
3.
4- log|2,;+2|(l-9"^) ° ’ 3 sin a—7 cos a’
6) Дано: tga = 2.
3 sin^ g-H2 sin a cos a-fcos^ a
Вычислите
sin^a-l-sinacosa-2cos2a
3. Упростите выражение, если 5 < a < тг.
1-bsina
1-sina
1—sing 1-Esina'
Вариант 7
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1 — \/ cos^ а — 2sin^a.
2. Дано: tgx-Е ctgx = а. Найдите:
а) tg^X-Е ctg^X, б) tgx —ctgx, в) cosx-Е sinx.
„гг . г> т т W sin"* а-Е5 sin^ а cos а—cos'* а
3. Дано: ctg а = 2. Найдите: ---2 а-3 cos2 а----'
15. Формулы сложения. Двойные углы
43
Вариант 8
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
1 + \/sin^ а + 2 cos^ а.
2. Дано: tg х — ctg х = Ь. Найдите: а) tg^ X + ctg^ X, б) tg X + ctg X,
в) tg'^ X + ctg'* X.
3. Дано: tga = -4. Найдите ^
, о 5 sm а—cos а
15. Формулы сложения. Двойные углы
Вариант 1
1. Вычислите по формулам сложения:
а) sin 225°, б) cos 330°.
2. Упростите:
, sin 20° cos 5° —cos 20° sin 5° cos 10° cos 5°—sin 10° sin 5° ’
sin 3o cos 3a
b)
r)
sin a cos a ’ sin(a+/3)—sin Дсоза sin(a—/3)+sin 0 cos a'
6)
sin 2a
cos^ a—sin^ a ’
Вариант 2
1. Вычислите по формулам сложения:
а) cos 240°, б) sin 210°.
2. Упростите:
а)
cos|)COS:^+sin
7тг
\ cos За ,
в) -7ТГТГ +
sm а
4тг 15 ■
sin За cos а ’
sill ^ cos ^+cos If sin 35
4тг )
. sin(45°+g)—cos(45°+g) sin(45°+a)+cos(45°+a) ■
6)
Sing
2lii7i
Вариант 3
1. Вычислите: a) sin 930°,
6) cos(-^).
b) ctg(-^).
44
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Упростите:
а)
б)
cos у COS ^ -sin I sin ^
sin
cos -bcos ^ sin
12 12 l-tgl4°t.g46° tgl4°+tg46° ’
b) cos 2n -b sin 2a ■ tg a,
r) tg rv — ctg a.
12
Вариант 4
1. Вычислите:
a) cos(-480°),
2. Упростите:
6) sin(-^),
a)
llTT
20
9тг
20'
llTT , 20
9тг
20
sin I COS ^-COS I sin ^
1-Ptgl°tg46° tgl°-tg46° ’
b) sill 2fv 4-cos 2a • ctg a,
r) ctg 2a — tg 2a.
Вариант 5
1. Упростите:
cos 64° COS 4°
6)
-cos 86° cos 26°
cos71° cos41°—cos49° cos 19° ’ cos(30°—q)-cos330° cosa sin(30°—a)-fsin 120° sin a ’
Ч .siii^ 2a—4 sin^ a
siiH 2a-l-4 sin^ a-4'
2. Вычислите:
. 4 7Г 4 I • 4 ,
sm" - + cos^ -I- sm^ -— -|- cos
О О О О
Зтг
в) tg^.
5тг
7тг
Вариант б
1. Упростите:
а)
cos 66° cos 6°+cos 84° cos 24° cos 6Г)° cos 5° 4-cos 85° cos 25° ’
16. Формулы приведения. Преобразование суммы
45
, \/2co.sa-2cos(45°+Q) . sin^ 2а—4 cos^ а
2siii(45°+a)—\/2sina ’ ^ sin^ 2а+4cos^ а-4'
2. Вычислите: cos'* | + sin'* ^ + cos'* ^ + sin"* Вариант 7
1. Упростите:
l-tg(45°+a)tg(45°+3a)
' t,g(45°+a)+ctg(45°—За) ° ’
______2 sin^ 4а-1______
2ctg(^+4a) cos2(^-4a) ’
2. Вычислите:
а) cos J cos ^ cos б) sin 18°.
Вариант 8
1. Упростите:
l-tg(60°+g) tg(30°+5a) tg(60°+a)+ctg(60°—5а) ’
tg(x~4a) sin^(^+4a)
1—2cos^4a
2. Вычислите:
а) sin cos I cos
6) cos 18°.
16. Формулы приведения.
Преобразование суммы в произведение
Вариант 1
1. Приисдите к наименьшему значению положительного аргумента:
а) cos 123°, б) tg256°, в) sin 4^.
2. Преобразуйте в произведение:
а) cos 50° + cos 20°, б) sin 2а — sin 10а.
о л 7 sin a+sin За
3. Упростите
46
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Приведите к наименьшему значению положительного аргумента:
а) sin216°, 6)tgl74°, b)cos^.
2. Преобразуйте в произведение:
а) sin 12° -Ь sin 20°, б) cos 6а — cos За.
„ ,, cos 2а—cos 4а
3. Упростите ,o3 2aW4a-
Вариант 3
1. Упростите:
cos ^а -Ь cos(37T — а) -t- sin fa
+ Щ ) sin(37T -f a).
2. Преобразуйте в произведение:
a) sin 50° -t- cos 20°, 6) tg 25° — ctg 55°.
r, Л r cos a—cos 2a—cos 4a-l-cos 5a
3. Упростите sina-sin2a-sin4a+sin5a '
Вариант 4 1. Упростите:
I
cos a -t-
/ 5тг\ . , „ . / 7тг
cos la —^ ) + sin(a — Зтг) cos I a + ■тг'
2. Преобразуйте в произведение:
а) sin 10° Н- cos 40°, б) tg 40° + ctg 20°.
о тг cosa—cos3a-f-cos5a-cos7a
3. Упростите: sin a+sin 3a+sin 5a-fsin 7а '
Вариант 5
, sin(x—7г) cos(x-27t) sin(27T-a;)
1. Упростите: •
2. Вычислите:
sin(—1,8тг) cosO,37r-t-cosO,27rsin(—1,7тг) cos0,1257tcos(-^)-cos ^ sin
3. Преобразуйте в произведение:
1 — 2 cos a -t- cos 2a.
17. Простейшие тригонометрические уравнения
47
Вариант 6
sin(a+7r)cos(^-a) tg(a-|)
1. Упростите: —rz—\—\—;-----------------:•
cos(|+aj cos^^+aj tg(7r+a)
2. Вычислите:
sill 0,3тг cos(—2,8тг)+со8 0,Зя~ sin(—2,8тг) cos 0,3тг cos 2,37г—sin 0,3тг sin(—4,3тг)
3. Преобразуйте в произведение:
1 - 2sina + cos2а.
Вариант 7
1. Вычислите: sin (—^) cos ^ tg ^ ctg (—^) .
„ ,, cos^(4a-37r)—4cos^(2a-7r)+3
2. Упростите: cos2(4a+37r)+4cos2(2a+7r)-l ’
3. Преобразуйте в произведение:
tg 6а — tg 4а — tg 2а.
Вариант 8
1. Вычислите:
( 11тг\ ( 13тг\ / 5тг
sin^ (а—7г)—4 cos^ ( ^ - f )
2. Упростите:
3. Преобразуйте в произведение:
ctg ба — ctg 4а — tg 2а.
ctg —^
5тг
3
17. Простейшие
тригонометрические уравнения
Вариант 1
1. Вычислите:
а) sin (arcsin ^), б) cos (arcsin ^) , в) sin (arccos .
2. Решите уравнения:
а) COS2.T = —б) sinaicosa; =
в) 2 sin .X + 1 = tg X + 2 sin X tg X.
48
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
в) cos (arcsin g) .
Вариант 2
1. Вычислите:
а) cos ^arccos ^ j ,
б) sin ^arccos j ,
2. Решите уравнения:
а) sin I = -
б) 2cos^a; = 1 —
в) 2cos.T — 1 = 2cosTCtga: — ctgx. Вариант 3
1. Решите уравнения:
а) cos^ (Зх - I) =
б) sin 7,T cos Зх — cos 7х sin Зх = — 1,
в) sin 2х tg X — tg X -bsin 2x = 1.
2. Вычислите:
a) tg ^arc
Вариант 4
ccos
^ j , 6) sin (2 arcsin |).
1. Решите уравнения:
a) sin^ (2x-P f) =
6) cos3xcos6x-f sinGxsin 3x = — 1,
b) cos2xtgx-f-,tgx — cos2x = 1.
2. Вычислите:
a) ctg (arcsin , 6) cos (2 arcsin g) .
Вариант 5
1. Вычислите:
а) cos (arcsin | — arcsin ^),
б) arctg (tg ^).
18. Тригонометрические уравнения
49
2. Решите уравнение sin 4х — cos 2х = 0.
3. Решите уравнение cos(arccos(4x — 9)) = — 5х + 5.
Вариант б
1. Вычислите:
а) sin (arcsin | + arccos |),
б) .arctg(tg5).
2. Решите уравнение sin 6а: + cos Зх = 0.
3. Решите уравнение sin(arcsin(x — 1)) = x^ — 4х + 5.
Вариант 7
а) tg (arcsin (—■}§) + arcsin |),
1. Вычислите:
(arcsin
б) arccos(sin 12).
2. Решите уравнение sin2x + cos4x = 1.
3. Решите уравнение arccos х = тг + (х^ — 1)^.
Вариант 8
1. Вычислите:
а) tg (arccos (-f) + arccos y|),
б) arcsin(cos8).
2. Решите уравнение cos2x — cos4x = 1.
3. Решите уравнение 2arcsinx = —тг — (x + 1)^.
18. Тригонометрические уравнения
Вариант 1
Решите уравнения 1-5:
1. sin^ X — sin X — 2 = 0;
2. 3 sin^ 2x + 7 cos 2x — 3 = 0;
3. sin X — cos X = 0;
4. sin X — sin 3x = 0;
5. cosx —sinx=l.
50
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
Решите уравнения 1-5;
1. cos^ X — 3 cos X + 2 = 0\
2. 2cos^ .т-Ь 5sin X — 4 = 0;
3. sin X Ч-cos X = 0;
4. cosx Ч-cos3x = 0;
5. cos I Ч- sin I = —1.
Вариант 3
Решите у])авиеиия 1-5:
1. 4sin^x Ч-3sinxcosx — 7cos^x = 0;
2. cos X Ч- cos 2x Ч- cos 3x = 0;
3. 3sinx — 4cosx = 5;
4. cos^ X Ч- cos^ 3x = cos^ 2x Ч- cos^ 4x;
5. cos 2x = cos X — sin X.
Вариант 4
---------- ^
Решите уравнения 1-5:
1. 2 cos^ X Ч- 3 sin 2x - 8 sin^ x = 0;
2. sin 3x -b sin 5x = sin 4x;
3. 3sinx Ч-4cosx = 3;
4. sin^ 2x Ч- sin^ 3x Ч- sin^ 4x Ч- sin^ 5x = 2;
5. cos 2x = cos X Ч- sin X.
Вариант 5
Решите уравнения 1-3:
1. 1 — sin 2x = cos X — sin x;
2. sin 2x sin 6x = cosx cos 3x;
3. tg^ X Ч- ctg'' X Ч- tg^ X -f- ctg^ X = 4.
4. Дано: —2 < x < 2.
Решите уравнение 4sin^x(l Ч- cos2x) = 1 — cos2x.
5. Установите, при каких значениях параметра а уравнение имеет решение, и решите его:
cos X Ч- cos 5х = — 2а Ч- 3 .
18. Тригонометрические уравнения
51
Вариант 6
Реиште уравнения 1-3:
1. 1 + sin 2л; = cos х + sin х;
2. cos 4.Т cos 7х = cos 6х cos Зх;
3. tg^ X + ctg^ X + tg^ X + ctg^ X = 0.
4. Дано: — 1 < x < 1. Решите уравнение
cos 7x + cos^ 2x = 2 sin^ 2x — cos x.
5. Установите, при каких значениях параметра а уравнение имеет решение, и решите его:
sin X — cos 2х = 4а^ -|- 4а -|- 3.
Вариант 7
Решите уравнения 1-4:
1. 4 sin^ X — sin X + cos х = 0;
2. 11 sin ,x-Ь 11 cosx — 5sin2x = 7;
3. cos X 4- cos 2x -f cos 3x -f cos 4x = — 2;
4. ^2-H (4 - 2cos2 4x) = 1-f 5sin2x.
5. Определите количество корней уравнения ^cosx + х
X (sin X — а) = о на промежутке [0; 2тг]. Вариант 8
Решите уравнения 1-4:
1. cos'^ 2.x — cos 2х + sin 2х = 0;
2. sin 2.x 4- 5 sin х 4- 5 cos х = 0;
3. cos 2.x 4- cos 4х 4- cos 6х 4- cos 8х = — 2;
4. (^5 4-(2 — 2sin®x) = 7 4-cos4x.
\ sin X/ ' '
5. Определите количество корней уравнения ^sinx — ^
X (cos ,х — а) = о на промежутке [0; 2тг].
52
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
19. Тригонометрические системы и неравенства
Вариант 1
Решите неравенства 1-3:
1. sin (л; - f) ^
2. cos (л; - I) > |;
3. tgT;>-].
4. Решите систему
Г sin X cos у = 0,25 [cos л; sin у = 0,75
Вариант 2
Решите неравенства 1-3:
1. cos (л: Л- I) >
2. sin (л; + ^
3. tgf|;
2. 2sin^ л; — 7sina: + 3 > 0;
3. VshT^<
4. Решите систему
Г ^
1 cos X cos у =
\tga;tg?y= 1
Вариант 5
Решите неравенства 1-3:
1. \/2 sin^ X — sin .т — 1 ^ sin ж + 0,5;
2. sin'* X + cos'* .т < |;
3. sin^.T — 5sina:cosa; + 4cos^a^> 0.
4. Решите систему f sill X + sin у = 1 [ cos X — cos у = \/3
Вариант 6
Решите неравенства 1-3:
1. \/2 cos''^ X -t- cos т — 1 < cos а; — 0,5;
Л л 5
2. sin'* .т + cos'* т < g;
3. sin^ X — 4 sin X cos x + 3 cos^ x > 0.
4. Решите систему
{sin;t — sin у = 0,5
cos X + cos у =
Вариант 7
Решите неравенства 1-3:
1 —cos 2л:
1
>0;
2 sin .XT-1
2. sin X + sin 2.x + sin 3x + sin 4x < 0;
54
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
3. \/5 — 4л: — a:2(sin 2х + sin х) ^ 0.
4. Решите систему tg.T + tgj/-l-tg2 = 6 tg .г- -t- tg у = 3
^ x + у + г = тг
Вариант 8
Решите неравенства 1-3:
1-
2COS.T+1 ’
2. cos^ X + cos^ 2х + cos^ Зх + cos^ 4х ^ 2;
3. \/5 4- 9.Т — 2x^(ctg^ X + ctg х) < 0.
4. Решите систему 4g.rtg?/tgz = 6
tg X 4- tg у = 5
I X 4- у 4- 2 = 7Г
20. Свойства
тригонометрических функций
Вариант 1
1. Установите область определения функции
~ sin(3x—2) ■
2. Найди'ге множество значений функции
/(х) = 14- 3sin(x 4-1).
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность
f/\_ х^ 4-sin Зх
4. Найдите период функции /(х) = sin^ 2х.
5. При каких значениях а возможно равенство
sin X = — 1?
6. Решите неравенство x cos3 sin 8.
7. Определите знак разности tg ^ — 1.
Вариант 3
1. Установите область определения функции
/(ж) = ^sin (2: +
2. Найдите множество значений функции
S=l-y/si.i(x-|).
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность
,, , (х—l)cosx
/(^) = ■
4. При каких значениях а основной период функции /(ж) = 3sin(a7Tx) равен 3?
5. При каких значениях а возможно равенство
CL
COSX =
а—1 ’
6. Решите неравенство |ж| • ctg3 < cos3.
7. Определите знак разности ctg j — %/3.
56
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 4
1. Установите область определения функции
fix) = ^Jcos(x-'^У
2. Найдите множество значений функции
у = 2+ Jcos(x+^y
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность
. (x-f-l)sinx
f{x)= -+Г--
4. При каких значениях т основной период функции /(.т) = 5cos(m7rx) равен 7?
5. При каких значениях а возможно равенство
sin X = 2а — a^ — 2?
6. Решите неравенство |х| • tg5 > sin 5.
\/3
7. Oпpe;^eлитe знак разности ^ — cos Вариант 5
1. Установите область определения функции
у = 3\/sin 2х — 2\/ctg2x.
2. Найдите множество значений функции
у = 2-|-2 cos 8х-|-7sin^ 4х.
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность
/(х) = \/cosx -I- 5х^ — 2.
4. Найдите период функции
у = 2 cos ^2х — ^ j -Ь 3 sin ^Зх + ^) •
5. Постройте график функции у = cos^ >/tgx -|- sin^ >/tgx.
6. Изобразите множество точек, координаты которых удо-
влетворяют уравнению |у| =
COSX
I cosxl
7. Определите знак разности sin 1 — sin 2.
20. Свойства тригонометрических функций
57
Вариант б
1. Установите область определения функции
у = 5\/cos^ + 2^/tg Зх.
2. Найдите множество значений функции
л оХ ^ , О ^ оХ
у = 3 cos + 8 sm - • cos -.
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность
f{x) = л/sinx — 5х^ + 2.
4. Найдите период функции
у = 3 sin ^Зх + + 2 cos ^5х — .
5. Постройте график функции у = cos^ \/sinx + sin^ л/sinx.
6. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению |у| = sin х/| sin х|.
7. Определите знак разности sin 1 — sin (l + .
Вариант 7
1. Установите область определения функции
/(х) = v^cos^ — \/Зх — 1.
2. Найдите множество значений функции /(х) = cos(sinx).
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность
/(х) = \/х2 • cos 2х • tg Зх.
4. Найдите период функции /(х) = sin | • cos^ |.
5. Постройте график уравнения х^ -Ь sin^ у = 0.
6. Установите промежуток знакопостоянства, возрастания и убывания функции /(х) = 2(1-1- sin | • cos |).
7. Постройте график функции у = Ъх\/х • \/— sin^ х. Вариант 8
1. Установите область определения функции
/(х) = 4Vsinx + \/2х — 5.
2. Найдите множество значений функции /(х) = sin(cos х).
58
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
3. Исследуйте функцию на четность и нечетность:
f{x) = ■ sin За; • ctg2x.
4. Найдите период функции f{x) = cos | ■ sin^
5. Постройте график уравнения -t- cos^ х = 0.
6. Установите промежуток знакопостоянства, возрастания и убывания функции /(х) = 2(1 — cos3x • sin3x).
7. Постройте график функции у = Зх^— cos^x.
21. Г рафики
тригонометрических функций
Вариант 1
1. Постройте графики функций:
1) y = sin2x, 3) 2/ = 2‘°62sina:^
1 -cos 2х
2) y = tgf -ctgf,
4) y =
sin2x
2. Используя графики функций, решите неравенство tgx> tgf.
Вариант 2
1. Постройте графики функций:
1) y = COs|, 3) у =
2) У = tg(-2x) • ctg 2х, 4) у =
1+COS 2х sin 2х
2. Исполкзуя графики функций, решите неравенство tgx sin
21. Графики тригонометрических функций
59
Вариант 4
1. Построй те графики функций:
1) ?у=г |cos(.T-I), 3) y = ctgx • |sina;|,
2) у = cos з: + \/cos^ х, 4) i/ = ctg|ar|.
2. Используя графики функций, решите неравенство cos (а: + I) > cos
Вариант 5
1. Постройте графики функций:
1) = sin X — \/3 cos X, 3) у =
2) у = \/lg sin тга;,
1
2. Испо.пьзуя графики функций, решите неравенство (2sin .г — l)/(sin .т) < 0; же(0;тг).
Вариант б
1. Постройте графики функций:
1) у = v^sin.T + COSX, 3) у =
2) у = v/Igcos"^,
2. Используя графики функций, решите неравенство (2COS.T — l)/(cosx) < 0; а;е(—1;|).
Вариант 7
1. Постройте графики функций:
1) y = 2sin(2a:-f), 3) У = 3;^ ^| ■
2) у = I cosx| • tg |х|,
2. Постройте г'рафик уравнения |у — sin.x| = у.
60
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 8
1. Постройте графики функций:
smx
1) l,5sin(ll-I), 3)!/=^;^
2) у=рЦ,
' |sinx| ’
2. Постройте график уравнения \у — cosx| = у.
22. Обратные тригонометрические функции
Вариант 1
1. Установите область определения функции
у = arcsin(x — 2).
2. Установите множество значений функции
у = arccos X — 3.
3. Вычислите cos (arcsin |).
4. Вычислите tg (arccos j).
5. Решите уравнение arcsin(x^ — 4) = arcsin(2x-|-4).
6. Решите неравенство arccos(2x — 1) >
Вариант 2
1. Установите область определения функции
у = arccos(x -Н 3).
2. Установите множество значений функции
у -- arcsin X — 2.
3. Вычислите sin (arccos |) .
4. Вычислите tg (arcsin | -f- .
5. Решите уравнение arccos(3x — 16) = arccos(x^ — 26).
6. Решите неравенство arcsin 2х >
22. Обратные тригонометрические функции
61
Вариант 3
1. Устаионите область определения функции
у = arccos(x — 3) + arcctg \/х — 2.
2. Установите множество значений функции
у = arcsin \/х + 4.
3. ВыМислите cos arccos |).
4. Вычислите sin(arctg(—3)).
5. Решите уравнение 2 arcsin х = arcsin 2т.
6. Решите неравенство arcsin(2 — Зх) <
Вариант 4
1. Установите область определения функции
у = arcsin(x + 2) + arctg \/х + 2.
2. Установите множество значений функции
у = arccos + 2.
3. Вычислите cos arcsin .
4. Вычислите cos(arctg2).
5. Решите уравнение 2 arcsin Зх = arcsin 2х.
5тг
6. Решите неравенство arccos(4 — 7х) <
Вариант 5
1. Установите область определения функции
у = arcsin \/1 — X + 2 arcsin \/х.
2. Установите множество значений функции
^ 1 У arcsin X'
3. Вычислите arcsin (sin .
4. Вычислите cos (arcsin | — arccos .
5. Решите уравнение arcsin х + arcsin f =
6. Решите неравенство arcsin(3x — 2) > arcsin(5x — 3).
62
10-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 6
1. Установите область определения функции
у = axccos(2x^ — 1) + arcsin х.
2. Установите множество значений функции
^ 1 ^ arccos X ■
3. Вычислите arccos (cos.
4. Вычислите sin ^arcsin | -Ь arccos .
7Г
5. Решите уравнение arcsin х -Р arcsin f =
6. Решите неравенство arctg ^ ^ arctgx.
Вариант 7
1. Установите область определения функции
у = v^arccosx — 7Г.
2. Установите множество значений функции
_ 1 ^ %/arcsin X'
3. Вычислите arctg(\/2 + 1) — arctg(\/2 — 1).
4. Постройте график функции у = cos(2 arcsin х).
5. Постройте график функции у = arcsin(sinx).
6. Решите уравнение arcsin х + arcsin f = ^^■
Вариант 8
1. Установите область определения функции
/тР
У = у 2 ~ 9-rcsin X.
2. Устано1ште множество значений функции
_ 1 ^ yarccos X'
3. Вычислите arctg |-Ь arctg у.
4. Постройте график функции у = cos(2 arccos х).
5. Постройте график функции у = arccos (cos х).
6. Решите уравнение arcsin х ■ arccos х =
Контрольные
работы
1. Действительные числа
Вариант'1
1. Вычислите:
а)
2 1
30-2'’ ~1—Г> 5'* ■81''’
2
-3
б) (32 “ +8
в) 4v/5\/48 + 3\/40v/T2 - 2\/l5v^.
2. Сократите дробь ---------------•
3. Сравните числа:
а) v/12 - \/ГТ и \/ТЗ - УТ2,
б) х/18 + \/ГТ и 4 + Vl3.
4. Упростите
8—а
“1-----1--
а" ■+2а'* +4
, 3 2о
“ «■ +1;
4 0
—а
1-----Г
-f2a^
Вариант 2
1. Вычислите: ^ 1
, 40''■2"'
а) —I-----г
б) (27 +81
10'' -64®
в) 5\/Зч/32 - 7\/15\/М + 4у/6у/Ш
)-(i)
64
10-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Сократите дробь
27х—у
9 v^-1-З
3. Сравните числа:
а) УП - v/ТЗ и - s/й,
б) 3 + \Л7 и \/Т4 + 2\/3.
4. Упростите
ah
2(а-|-2) ^а~^Ь~^-аЬ^
1—4а“^ Г-а-1-2-‘-
Вариант 3
+ \/з,
1. Вычислите:
а) 1251-625"t • 10005,
2.2.4 v/5+n/3 + ч/7+У5 + УП+У7
в) (85^-30(/| + 24yj):(2yi).
2. Упростите и вычислите:
, V^b+y/ьЩ , 5
АЬуГЬ{\+ГЬ) "Р"^-64>
1 1
3 3
^(8у-а:) . 2у\-х _ ^
v^-b2 ^^-Ь4 при X = \П и ?/ = 5.
3. Сравните числа:
а) \/^ -Ь ^/7 и УТЗ -I- /15,
б) /7 + \/10 и /З -I- /19.
Вариант 4
1. Вычислите:
3 3 5
"4 .4 „ 4
а) 64 • 4 • 16 ,
6__________4_ _ 8 _ /о
/ТЗ-ч/7 /7-ь/З /ТЗ-ь/5 ’
б)
2. Степенная функция
65
в) ^9^-+
2. Упростите и вычислите:
, Л(у:+Уз)^-^
“> (,!¥ ■ V--7з---"Р"
а (а—86)
1 \ -1 3 о 3/
^+2^.'ГЬ+4Ш'
■ ч при а = 2 и Ь= \/3.
3. Сравните числа:
а) у/12 + ^^[7 и \/и + Vlb,
б) \/П + v/5 и n/8 + /7.
а -2^
— VQ
2. Степенная функция
Вариант 1
1. Найдите область определения функции:
ч /2т^-5ж+3
i-x^ >
з/ Тх , 4/х^-8х+15 б) У= у 4-Зх-х^ + V-------^----•
2. Решите уравнения:
а) у/х — 2 = —X,
б) v'2x + 1 - у/2х -4 = 1,
в) у/х'^ — 2х + 5 — — 2х + 1 = 2.
3. Постройте график
1
- 1.
У |х-3|
4. Решите неравенство
\/х^ — X — 6 > X — 2.
66
10-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Найдите область определения функции:
\ _ / 16-ж^
У ~ \1 Ъх^-Ъх+2'
6) v=i/5^+Vi5
2. Решите уравнения: а) \/12 — X ~ —X,
4х-|-3’
б) у/А — X — \/1 — X = 1,
в) \/х^ + Ъх -\-Ъ — -у/ж^ТЗж = 5. 3. Постройте график
1
+ 1.
У |х-Ы|
4. Решите неравенство
у/х^ + 5х + А > X — 3.
Вариант 3
1. Найдите область определения функции:
ч 4/ 8х+16
V х2-10х+2Р
в/ 16-х2
У ~ \j v/x2-9x-22’
2. Решите уравнения:
а) \/2 -j- 2х -Ь Зх = 5,
б) ^4x2 - 25 ■ (х2 - Их + 18) = о,
в) 2х-2 4- \/2х2 — X = 2 4- X.
3. Постройте график
У = -у/\х\ + 1.
А. Решите неравенство
\Zx2~4-~6x < X 4- 3.
3. Показательная функция
67
Вариант 4
1. Найдите область определения функции:
X в/ 8—2х—
У~ у 2х+1’
_ , у/25^
^ V 1x4-10•
2. Решите уравнения:
а) \/з; — 1 = X — 3,
’б) \/9^^ • (х2 - 12х 4-20) = о, в) (2.Т 4- 1)(х 4- 2) — v^x^"+"5xTT = 3.
3. Постройте график
У=\ДхТТ\- 1.
4. Решите неравенство
х/х^ 4- 2х — 3 < X.
3. Показательная функция
Вариант 1
, A\/5-б^~^ A^/5-6^“
1. Сравните числа I —^— I и I —— I
2. Решите уравнения:
а) 2"'+* + 2^-2 - 2'=-з + 2^-^ = 70,
б) 4^’ + 2^+'^ = 80,
в) 3-16^' + 2-81^ = 5-36^.
3. Дано: 2'’^^ 4-2*“^ = а, найдите 2^^ 4-2“2^.
4. Решите неравенства:
а) 0,5’-' • 22^+2 < 8-2,
б) 3’+"^^ • 2^-^ 4- 3^ • 2-^ < 10,5.
, „ Г4^ • OS' - 48 = о
5. Решите систему X 4V . 31 _ 35 = q
G8
10-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Сравните числа ''
2. Решите уравнения:
а) 2-^^ + -f 23®-2 + 23^-3 = 120,
б) 3^ + 3*-^ = 4,
в) 2'*’’ - 7 • 4® • 3*-^ -I- 4 • 32"=-1 = 0.
3. Дано: 5*~^'— = 6, найдите -Ь
4. Решите неравенства:
а) > 1,
б) 2’ -5‘-^Ч-2^'+1 •5-^>2,8.
^ „ (2^ -ЗУ -2А = о
5. Решите систему 1 2^/ • З"' - 54 = 0
-1
:2i
Вариант 3
1. Сравните числа ^
4у/3-2
2. Решите уравнения:
(ш) ~
g.r 2Х+0,5 _ 21’-1-3,5 22а:—1
в) 32^'+з - 30 • 6^ + 8 • 4^ = 0.
/1\|а:-1|
3. Постройте график 2/ = ( 2 )
4. Решите неравенства:
/14 х^ + 10,г+14
а) (у) > 49,
б) 52x-;i _ 2.5Х-2 ^ 3
5. Реилите систему
'32х-2г/2 • 3^“^ - 3 = о
Зх ^ 31-г/ ^ 4
4, Логарифмическая функция
69
' 10
Вариант 4
1. Сравните числа ^ 5+2^30^
2. Решите уравнения:
а) 3^("-5) = 3ч/3,
. б) ,4 • З^"- - 2^^-^ - 3^^+^ -4^ = 0,
в) 2 • - 36^+1 - 3 • 16^+^ = 0.
3. Постройте график у = 3“1^''‘Ч.
4. Решите неравенства:
а) (0,4)2’^'< 0,4^,
б) 9-^'-‘ - 3^-2 - I ^ 0.
Г 642® + Q^2y ^ 12
5. Решите систему ^
-5+2^/Ш
6
4. Логарифмическая функция
Вариант 1
1. Вычисли'ге значения выражений: а) - log2 log2 \^F2,
б)
2 logy 6-log7 3 logy 144 •
2. Решите уравнения:
a) log'2 .'c — 4 log2 X + 3 = 0,
6) log;,(3®-8) = 2-x,
b) = X.
3. Постройте график у =
4. Решите неравенство log i (х2 — х — 2) + 2 > 0.
2
Гх'°8з!/ + 2у‘°еза: = 27
5. Решите систему <, , ,
Uog3y-log3X = l
70
10-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 2
1. Вычислите значения выражений:
а) logy logy \/Т7, logr. 64
logs 48-logs 3’
2. Решите уравнения:
а) 1о§з X — 3 log3 X -f 2 = о,
б) logy(6 + 7~^) = 1 + X,
в) X 4 = 10х.
3. Постройте график у =
4. Решите неравенство logi (х^ — 2х — 8) -f 3 > 0.
5. Решите систему
rx'og2?/ + y'og2i-^8
\log2 у - log2 X = 1
Вариант 3
1. Вычислите значения выражений:
а) log I 1.
5. Решите систему
Г bg'2 У + log2 X ■ log2 у = 2 log^ X ^9x^y — хуЗ _ 1
5. Тригонометрические формулы
71
Вариант 4
1. Вычислите значения выражений:
а) log^9 - log^
б) 252'"e5i2 + 72iog7 2
2. Решите уравнения:
а) log2(3 - т) + log2(l - х) = 3,
б)
64 \/х’
в) 91og2(2x + 1) = logsX^.
3. Постройте график у = log3 |х + 1|.
4. Решите неравенство log2.(x + 2) > 2.
5. Решите систему
Г 2 log^ X + log3 X • log3 у = logf у
\ух + ^=28
5. Тригонометрические формулы
Вариант 1
1. Дано: tga = 5; ctg/3 =|;0^а<^;0 0; х G (0;2тг).
6. Вычислите tg(2arccos 1 — 2arctg(—\/3)).
7. Вычислите arccos(cos4).
8. Постройте график функции у = cos(arccos(x + 1)) — 2. Вариант 3
1. Постройте график функции у = 2sin (х + |) .
2. Установите область определения функции
X—1
у= УС08Х+ -у/ з_^.
3. Установите множество значений функции у = 4sinx + Зсозх.
4. Постройте график функции у :
cosx I cosxl
г 2 cosx—1 ^ г. ^ Г 7Г‘
5. Решите неравенство ^ _cos^ х ^ ^ ^ I '2’ 2
76
10-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
6. Вычислите tg ^arcsin + arccos (—5) + arctg 1^ .
7. Вычислите arcsin(sin(—2)).
8. Постройте график функции у = sin(arcsin(x + 2)) — 3. Вариант 4
1. Постройте график функции 2/ = tg (х + |).
2. Установите область определения функции
2/= Vctgx-Hog3
3. Установите множество значений функции
2/ = sin X -Р \/3 cos X.
4. Постройте график функции у = sinx — | sinx|.
5. Решите неравенство ^ ^ f) •
6. Вычислите
cos ^arcctg(—\/3) arctg(—\/3) + arcsin
7. Вычислите arctg(ctg7).
8. Постройте график функции у = cos(arccos(l — х)) -Р 2.
8. Итоговая контрольная работа (2 урока)
Вариант 1
1. Упростите
sin(g—^)cos(7r-pg)
l-Pcos(g-^)
2. Решите уравнение 4^ -Р 3 ■ 2^ — 4 = 0.
3. Решите уравнение log3X -Р log3(x — 2) = log3(2x — 3).
2х—1
4. Решите неравенство logi ^ 2
5. Решите уравнение \/8х — 4 — \/4х -Р 5 = 1.
8. Итоговая контрольная работа
77
6. Решите уравнение 1 + sin х + cos х + sin 2х + cos 2х = 0.
7. Найдите область изменения функции
f{x) = 2 cos^ X + 3 sin X — 4.
8. Постройте график cos(arccos |х + 1|) = /(х).
Вариант 2,
соз(27г—a)-ctg( ?-а)
'■ -----cos(„-f) ■
2. Решите уравнение 7^^ — 8 • 7^ + 7 = 0.
3. Решите уравнение
log2(x + 4) + log2(x + 1) = 1 + log2 5.
X—3
4. Решите неравенство logi og'" i2 ^ 2.
^3 zO—X
5. Решите уравнение \/Зх + 4 — \/х + 5=1.
6. Решите уравнение
(cos X — sin x)^ — 0,5 sin 4х = sin”* х — cos^ х.
7. Найдите область изменения функции
/(х) = 2 sin^ X — cos X — 3.
8. Постройте график sin(arcsin |х — 1|) = /(х).
Вариант 3
1. Решите уравнение = 9.
2. Решите уравнение 3 sin^ х + sin х • cos х = 5 cos^ х — sin 2х.
3. PeujHTe неравенство logj._i(9 — х^) < 0.
4. Решите уравнение \/Зх^ — 2х = 2х — 1.
5. Решите уравнение 3 • 4^ + ^ = 6 ■ ^ • 9^'*‘^.
78
10-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
6. Упростите sin 40° -f- 2 sin 20° — cos 40°.
7. Решите неравенство x ^ 2 • ~ •
8. Постройте график у =
Вариант 4
1. Решите уравнение
2. Решите уравнение 3 sin^ х + sin 2ж = 2.
3. Решите неравенство log3.+i(4 — х^) < 0.
4. Решите уравнение \/2х^ -f Зх -Ь 4 = 2х 2.
5. Решите уравнение 4® — 3^~5 = — 2^^“^.
6. Упростите cos 70° -I- 2 sin 40° — \/3sin70°.
7. Решите неравенство х ^
8. Постройте график у = —3*°^^^^^^^ .
Са мостоятел ьн ые работы
1. Производная
Вариант 1
1. Найдите по определению производную функции
„2
у — Ъх — 2х + 3.
2. Решите неравенство f'{x) > —2, если f{x) =
3. Найдите скорость тела, движущегося по закону s{t) = = 2t^ — 2 MB момент t = 2 с.
4. Постройте график производной функции /(х) = |2х — 3|.
5. Установите область определения функции
/(х) = \/х2 - 4 + log2(3 - х).
Вариант 2
1. Найдите по определению производную функции
у = —4х^ + X — 1.
2. Решите неравенство f'{x) > 1, если /(х) = —
3. Найдите скорость тела, движущегося по закону s{t) = = — 5 MB момент t = 10 с.
4. Постройте график производной функции /(х) = |9 — Зх|.
5. Установите область определения функции
/(х) = 1п(9 — х^) + у/х — 2.
1. Производная
81
Вариант 3
1. Найдите по определению производную функции
у = х^ — 4.т^ + 1.
2. Решите неравенство f'{x) > 2, если f(x) =
3. Какие из функции
а)/'(5) = ^; б)/(х) = 3т;
в) /(.т) = г) /(х) =
имеют производную в точке х = О?
4. Постройте график производной функции у = \/^ — 1.
5. Установите область определения функции
/(х) = у/4- log2(x + 1).
Вариант 4
1. Найдите по определению производную функции
у = х^ + Зх — 4.
2. Репште неравенство f'{x) ^ 2, если /(х) =
3. Какие из функций
а-)/(■'^O = б)/(х) = 5(х-2);
в) fix) =
(х-2)^
г) fix) = y/ix - 2)2
х-2 ’
имеют производную в точке х = 2?
4. Постройте график производной функции
у= y/ix- 1)2 + 1.
5. Установите область определения функции
у = In ^logi(x - 2) - 2^ .
Вариант 5
1. Найдите по определению производную функции
1
У ~ 1—X ■
82
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Решите неравенство f'{x) > 1, если /(х) = \/2х.
3. Среди указанных функций выберите ту, для которой /'(0) = 0:
а)/(-'Е) = ^; б)/(ж) = 2х^ - 3;
в) /(х) = >/х; г) /(х) = 3\/Т5.
4. Постройте график производной функции
у = -f у/{х Л- 1)^.
5. Установите область определения функции
/(х) = In ((х -Ь 3) • (9 - 3^)).
Вариант 6
1. Найдите по определению производную функции
^ ~ 1+х ■
2. Решите неравенство f'{x) > 1, если /(х) = \/х — 3.
3. Среди указанных функций выберите ту, для которой /'(0) = 0:
а) /(х) = ^; б) /(х) = -3x2 ^ 5.
в) /(х) = -J/x; г) /(х) = -5\/l7.
4. Постройте график производной функции
у = \/(х + 1)2 - v^(x - 1)2.
5. Установите область определения функции
f{x) = y/{x-2){2-2-).
Вариант 7
1. Найдите по определению производную функции
у = %/2 - X.
2. Решите неравенство /'(х) <4, если /(х) =
3. Постройте график производной функции у = 2у/х-
4 = / Зз; - 2 при X # 2
■ Jv ) ^ ^ jjppj X = 2.
При каких А функция /(х) будет непрерывной в точке х = 2.
2. Правила дифференцирования
83
5. Установите область определения функции у = logs (2^ - 4 - 5 • 2-^) .
Вариант 8
1. Найдите по определению производную функции
у = \/2х — 3.
2. Решите неравенство f'{x) > —3, если f{x) = .
3. Постройте график производной функции у = 2sJ—x.
. ... Г 2.Т - 5 при хфЪ
4. /(х) = ■{ о ^ о
^ ^ ’ [Б при X = 3.
При каких В функция /(х) будет непрерывной в точке X = 3.
5. Установите область определения функции
у= \/31-=" -3^ + 2.
2. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
Вариант 1
1. /(х) = (х"* — Зх^ + 2х — 4)(х^ — 4). Найдите /^(2).
2- fix) = Найдите /' (-;^) •
3. Найдите наибольшее значение х, удовлетворяющее неравенству /'(х) < О, где
/(х) = |х^ — 2х^ + Зх + 17.
4. у = (х^ — 2х + 1)^. Найдите у'{1).
5. Прямая у = кх + Ь составляет с положительным направлением оси ОХ угол в 60° и проходит через точку А(—2;4). Напишите уравнение этой прямой.
84
11-й КЛ, САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБО.ТЫ
Вариант 2
1. f{x) = {x'^ — 3x^ — x + 5){x^ — l). Найдите /^(1).
2. у= Найдите 2/'(0,5).
3. Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворя-
ющее неравенству f'{x) < О, где/(х) = — 14х -Ь тг.
4. у = (2х'* — 4х + 2)^. Найдите у'{1).
5. Прямая у =/гх + Ь составляет с положительным направлением оси ОХ угол в 120° и проходит через точку В(2; —4). Напишите уравнение этой прямой.
Вариант 3
1. /(х) = 2xv^+ 4^. Найдите /'(1).
^ ! х~Ъ
2. Найдите производную функции у = > 5).
3. Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству /'(х)^у'(х), где /(х) = х^-f-х“\
у(х) = 6х -I- х“^.
4. /(х) = (х^ - 5) • \/х. PefiiHTe неравенство f'{x) > 0.
5. Прямая проходит через точки Л(—1;3) и 5(3;5). Напишите уравнение этой прямой.
Вариант 4
1. /(х) = З.х^У^-Ь Найдите /'(1).
2. Найдите производную функции у = ^
3. Найдите наибольшее значение
(х > 0).
х-1-1
X, удовлетворяющее неравенству f'{x) -f д'{х) < 0, где /(х) = 2х^ -f 12х^; у(х) = Э.х'^ -f 72х.
4. /(.х) = (10 — .х^)\/х. Решите неравенство /'(х) ^ 0.
5. Прямая проходит через точки М(2; —5) и /7(9; 7). Напишите уравнение этой прямой.
Вариант 5
1. у(х) = 4х^- Щ. Найдите у'(16).
2. f{x) = Найдите /'(2).
2. Правила дифференцирования
85
3. Решите неравенство f{x)^g'{x), где /(ж) =-; д{х) = —х — х^.
4. Решите неравенство /'(х) < О, где
/(х) = (2х + 1)\/1 - 4т.
5. Прямая проходит через точки А(—3;2) и В(5;6). Напишите уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку (7; —5).
Вариант 6
1- 2/ = - -р- Найдите у'(1).
2. f(x) = 5(.т -|- 1)^ • v^x — 1. Найдите /'(2).
3. Решите неравенство ^(х) ^ f'(x), где
/(х) =
2з
S1
2
+ Х- д(х) = -.
4. Решите неравенство f'{x) > О, где
/(х) = (Зх — 1)\/1 — 2х.
5. Прямая проходит через точки М(—3;7) и А^(1;3). Напишите уравнение прямой, параллельной MN и проходящей через точку (—4; —3).
Вариант 7
1. у =
9s/x
\/х-И
. Найдите у'
2. На координатной плоскости изобразите множество точек А{х;у), координаты которых удовлетворяют систе-
ме
{ У 5 у'(5. ’ = V
(2х^ — 1 \ • \/
3. Найдите производную функции у=-----------------.
4. При каких значениях а производная функции
у = {а — 4)х^ — 3\/3х^ + 3(о — 2)х -Ь 1 об1)ап;ается в нуль в двух различных точках одного знака?
5. у4(—3;5); 3). Напишите уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой АВ и проходит через середину отрезка АВ.
86
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 8
У=т,
:• Найдите у'{1).
ме
'^х+7уД'
2. На координатной плоскости изобразите множество точек В{х,у), координаты которых удовлетворяют систе-
{yt у'(х), ’ = Зх -Е д{х) = 1^3 - ^х'^.
4-ЕЗх^
3. Найдите производную функции у = ^(^2+ з^~
4. При каких значениях т производная функции
у = {т — 3)х^ + 3\/2х^ — Зтх + 2 обращается в нуль в двух различных точках одного знака?
5. М(4;—7); N{2]1). Напишите уравнение прямой, которая пе]Н1ендикулярна прямой MN и проходит через середину отрезка MN.
3. Геометрический смысл производной
Вариант 1
1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой y = 2\/3x^ —17 составляет с положительным направлением оси ОХ угол в 60°.
2. Напишите уравнение касательной к кривой
у = {х^ + Зх^ — 4х -Е 1) (^2\/х — в точке xq = 1-
3. Напишите уравнение касательной к кривой
у = —2х^ -Е Зх — 5, которая параллельная прямой у = 7х — 6.
Вариант 2
1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой у = — \/Зх^-Е 18 составляет с положительным направлением оси ОХ угол в 120°.
2. Напишите уравнение касательной к кривой
у = (.х^ — 4.х^ -Е 2х — 3) (^2у/х + в точке хо = 1.
3. Геометрический смысл производной
87
3. Напишите уравнение касательной к кривой у = 2х^ — — 5х + 3,5, которая параллельна прямой у = —За: + 1.
Вариант 3
1. Составьте уравнение касательной к кривой у = х—^ в точках ее пересечения с осью ОХ.
2. В каких точках касательная к графику функции
■ ^'х+2
у = составляет с положительным направлением оси ОХ угол в 135°?
3.. Напишите уравнения касательных к кривой
у = —2а;^ + 4.Т — 3, проходящих через точку (1; 7).
Вариант 4
1. Составьте уравнение касательной к кривой у = х—^ в точках се пересечения с осью ОХ.
2. В каких точках касательная к графику функции
■X’+l
у = —пт составляет с положительным направлением оси п 45“?
3. Напишите уравнение касательных к кривой
у = 2,г"^ — 6.Т + 3, проходящих через точку (—1; 3).
Вариант 5
1. Найдите точку пересечения касательных, проведенных
к графику функции /(ж) = — |5ж + 9| в точках с абс-
циссами xi = —4 и Ж2 = 4.
2. На графике функции у = —\j2x -f 1 найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой
у — 2ж -j- 1 = 0.
3. Найдите угол между графиками функций /(ж) — х^ — х
, ч 12
и дух) = ~ в точках их пересечения.
Вариант 6
1. Найдите точку пересечения касательных, проведенных к графику функции /(ж) = ж^ -|- |7 — 4ж| в точках с абсциссами .г'1 = —3 и Ж2 = 3.
88
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. На грас})ике функции у = \/Ах — 1 найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой
у -Ь 2х — 3 = 0.
3. Найдите угол между графиками функций f{x) = x^ — 6x
27
и д{х) = точках их пересечения.
Вариант 7
1. Найдите уравнение общей касательной к параболам
у = х'^ + 2х; у = — Ах.
2. При каких а прямая у = ах-Ь8а—1 касается графика функции у = у/х7
3. При каких а касательные, проведенные к графику функции у = х^ — а?х, в точках пересечения этого графика с осью ОХ пересекаются под углом
Вариант 8
1. Найдите уравнение общей касательной к параболам
у = -f 4т -Ь 8; у = т^ -Р 8т -f 4.
2. При каких т прямая у = тх — 5 касается графика функции у = Зт^ — 4т — 2.
3. При каких т- касательные, проведенные к графику функции у = т^ — т^т, в точках пересечения этого графика с осью ОХ пересекаются под углом
4. Производные некоторых элементарных функций
Вариант 1
1. Найдите производные следующих функций: а) /(т) = (2т — 1)^-Р 5^
^ — cos 2,
б) /(т) = ^ -Р In 5т.
4. Производные некоторых элементарных функций
89
2. /(а;) = I cos ^Зх — . Какой угол составляет касатель-
ная к графику функции /(х) с положительным направлением оси ОХ в точке хр =
3. На каких промежутках касательная к графику функции у = log2(x^ — 2х) составляет с положительным направлением оси ОХ тупой угол?
•
Вариант 2
1. На,йдитс производные следующих функций:
а) /(х) = (Зх -f 1)^ -f -t- sin 5х,
б) /(.г-) = ^ -ЫпЗх^.
2. /(х) = ^ sin ^2х -I- j . Какой угол составляет касательная к графику функции /(х) с положительным направлением оси ОХ в точке хр = ^?
3. На каких промежутках касательная к графику функции
у — log 1 (х^ — 4) составляет с положительным направле-2
нием оси ОХ острый угол?
Вариант 3
1. Найдите производные следующих функций;
а) /(х) = tg2x - ctg2x,
б) /(х) = (2х - З)'^ -f (\/3)2*-з.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
е, \ sinX 7Г
^ ^0=2-
3. При каких X fix) > д'{х), если /(х) = х -I- 1п(х — 5), д{х) = 1п(х - 1)?
Вариант 4
1. Найдите производные следующих функций:
а) f{x) = tg 2х -I- ctg 2х,
б) /(х) = (Зх + 4)^ + (ч/2)3^+'‘.
90
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
J./ X sinx Зтг
= ТТ^ а:о = у.
5®+1
3. При каких X f'{x) > д'{х), если /(ж) = “у; д{х) = 5^ + 4ж In 5?
Вариант 5
sin 2х
1. Найдите производную функции у = \п \/х^п2х'
2. В каких точках касательная к графику функции
/(х) = составляет с положительным на-
правлением оси ОХ острый угол?
3. Прямая у = 8х — 7 параллельна касательной к кривой
у = уу -Р + 3. Найдите координаты точки касания. Вариант б
Найдите производную функции у = \п
—cos 2х
1. Xl.arX/l,r4V> liJJUl'lODU.il.riJIV/ гч\и,гхгх у — ixi у l-)-COs2x'
2. в каких точках касательная к графику функции
/(х) = составляет с положительным на-
правлением оси ОХ тупой угол?
3. Прямая у = 4х + 7 параллельна касательной к кривой
2X+I
у =----у2----+ 10. Найдите координаты точки касания.
Вариант 7
1. Найдите производную функции у = х‘®^.
2. Под каким углом пересекаются в первой четверти графики функций у = tg X и у = ctg X?
3. При каких значениях а (а>1) график функции у — а^ касается прямой у = х?
Вариант 8
1. Найдите производную функции у = х‘^’^®^.
2. Под каким углом пересекаются в первой четверти графики функций у = sin X и у = cos X?
3. При каких значениях о уравнение ах^ = In х имеет один корень?
5. Исследование функции на монотонность и экстремум
91
5. Исследование функции
на монотонность и экстремум
Вариант 1
1. Исследуйте функции на монотонность и экстремум; а) 1/ = у + у - 2х; б) у = х ■ е^.
2. При каких значениях а функция у = х ■ убывает на отрезке [а — 5; а + 3]?
3. При каких значениях а функция от + cost возрастает на М?
Вариант 2
1. Исследуйте функции на монотонность и экстремум: а) у = т’^-|т2-6х + 4; б)у=у.
2. При каких значениях Ь функция 1/ = у возрастает на отрезке [6 — 5; Ь + 4]?
3. При каких значениях р функция у = а —рх +sin х убывает на Е? •
Вариант 3
1. Исследуйте функции на монотонность и экстремум:
а) f{x) = ; б)у = х\пх.
2. При каких значениях а функция у = -Ь (а — 1)х^ -Ь 2 возрастает на Е?
3. Найдите критические точки функции
у = sin X + 0,5 sin 2х -Ь 5 и укажите одну точку минимума.
Вариант 4
1. Исследуйте функции на монотонность и экстремум:
а) fix) =
хЧ4
г2 >
б) у =
1пх
2. При каких значениях Ь функция у = — ^х^ — (6 — 2)х^ — 2 убывает на Е?
3. Найдите критические точки функции
у = — 2 sin X -I- ^ sm 2х и укажите одну точку максимума.
92
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 5
1. Исследуйте на монотонность и экстремум:
а) f{x) = l,5e^^ — е® — 2х + 3; б) /(ж) = — ах.
2. Исследуйте на монотонность:
Ji)/(з-’) = 0)3'*"^®; б) у = sin ж-f-cos ж.
Вариант б
1. Исслелуйте на монотонность и экстремум:
а) /(ж) = 2,5e^^ — 2е^ — Зж -Ь б) /(ж) = ож^ — ж.
+ 2;
2. Исследуйте на монотонность:
а) /(ж) = logo_3(2T — 3); б) у = sin ж — cos ж.
Вариант 7
1. Иссле;|,уйте на монотонность и экстремум функции:
а) /(ж) = ж(^-Е 1); б) /(ж) = 8"^ - 32^.
2. При каких а функция у = (а-Ь2)ж^ —Зaж^-f 9аж —1 убывает на R? ^
3. При каких а функция у = 2е^ — ае~^ + (2а+1)х — 3 возрастает на М?
Вариант 8
1. Исслод,уйте на монотонность и экстремум функции:
а) fix) = ж(^- 1); б) fix) = 27^-А- 3^+К
а^—1
2. При каких а функция у = —^—ж^ -Ь (а — 1)ж^ -Ь 2ж -Е 1 возрастает на К?
3. При каких тп функция у = — те~^ -1- ^^^ж -1-10 воз-
растает на М?
6. Графики функций
Вариант 1
^3 -
1. Дана функция у = /(ж) = — ж'^ — Зж -Е 4.
1) Постройте график функции у = /(ж).
6. Графики функций
93
2) Сколько корней имеет уравнение
-5;5|
f{x) = a-, а€
3) Постройте график функции у = —f{x).
2. Постройте 1’рафик функции у = хе^\ хб[—2;1].
Вариант 2
1. Дана функция у = f{x) = —х^ + Ъх? — 2.
1) Постройте график функции у = f{x).
2) Сколько корней имеет уравнение
/(ж) = а; а 6 [-2; 2]?
3) Постройте график функции у = |/(а:)|.
2. Постройте график функции у = ^; х € [—1;2].
Вариант 3
1. Дана функция у = /(х) = 1 + 4х^ — Зх”*.
1) Постройте график функции у = /(х).
2) Сколько корней имеет уравнение
/(х) = а; ае(-оо;2]?
3) Постройте график функции у = /(|х|).
2. Постройте график функции у = х1пх; х£
Вариант 4
1. Дана функция у = /(х) = х'* — 2х^ + 3.
1) Постройте график функции у = /(х).
2) Сколько корней имеет уравнение
/(х) = а; о£[1;+оо)?
3) Постройте график функции у = /(—х).
-• 2 4’^
111 Л/
2. Построй'ге гJ)aфик функции у = х €
-• 3
О )
94
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 5
(х—1
1. Постройте график функции у = .
J.3
2. Постройте график функции у=-^\ сколько корней имеет уравнение ае^ = в зависимости от а?
Вариант б
(x-j-1
1. Постройте график функции у= .
а;2
2. Постройте график функции у=-^\ сколько корней имеет уравнение те® = в зависимости от ml
Вариант 7*
1. Постройте график функции у = х —
2. Постройте график функции у = '^х^ — Зх -f 2.
Вариант 8*
1. Постройте график функции у = ■ (х- 5).
2. Постройте график функции у = v^4 — х^.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции
Вариант 1
1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
У = 1].
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
7Г 7Г'
У = sin 2х — X на
2’ 2
3. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 2. Найдите наибольшее значение площади боковой поверхности призмы.
Вариант 2
1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции ■*- I на [0;2,5].
7. Наибольшее и наименьшее значение функции
95
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
7Г 7Г1
У = COS 2.Т — а: на
2’ 2
3. Оснонаиие прямой призмы — прямоугольный треугольник, а сумма длин всех ее ребер равна т. Найдите наибольшее значение площади ее боковой поверхности.
Вариант'З
1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 2- З'*’' - 4 ■ 32^ -f 2 • 3^ на [-1; 1].
2. Найдите наименьшее значение функции ?/= а; In .т — XIn 5 на (1;5].
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
у = \/1 — 2з; -Ь 4- да [—1;4].
Вариант 4
1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
у = -|- X — 5) на [—4; 4].
2. Найдите наименьшее значение функции у = xlnx-|-х1п2 на [1;2].
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
у = \/4 — 4х -Ь х^ — [—1;5].
Вариант 5
1. Найдите расстояния между графиками функций у = х^ и у = .X — 1.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
у = I cos 2х -f cos X на
0--
U, п
3. Через точку М(2; 6) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на положительных координатных полуосях, была наименьшей.
96
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант б
1. Найдите расстояния между графиками функций у = —х и у = ^.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
'тг 7г'
У = tg т -t- ctg 2х на
б’ 3
3. Через точку М(1;4) проведите прямую так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на положительных координатных полуосях, была наименьшей.
Вариант 7
1. Решите уравнение \/3 — ж + \/ж — 1 = — 4ж -Ь 6.
2. Докажите, что если /(ж) = сов^ж • зтж, то
min /(ж) >
3. Трактор, находящийся на пересеченной местности в 27 км от прямолинейного шоссе, направляется в населенный пункт, расположенный на шоссе. Расстояние от точки шоссе, ближайшей к трактору, до населенного пункта равно 45 км. По пересеченной местности трактор едет со скоростью 44 км/ч, а по шоссе — со скоростью 55 км/ч. На каком расстоянии от населенного пункта трактор должен въехать на шоссе, чтобы время его движения было наименьшим?
Вариант 8
1. Решите уравнение \/1 + ж^ -f- \/1 — ж^ = ж'* -{- 2.
2. Докажите, что если /(ж) = зтж ■ з1п2ж, то
max/(ж) < 0,77.
[7г;тг1
3. Расстояние от базы до магазина, расположенного на прямолинейном шоссе, равно 30 км. База удалена от шоссе на 24 км. На каком расстоянии от магазина должна находиться развилка дорог, чтобы время доставки грузов от базы до магазина было наименьшим, если известно, ч'1'О машина может развить по шоссе скорость 52 км/ч, а по подъездной дороге — 20 км/ч.
8. Первообразные
97
8. Первообразные
Вариант 1
1. Найдите первообразные для функций:
1)^ - |г + ^; 2)/(ж) = cos2|;
3)/(x-) = f; 4)/(ж) = 1,5".
•*•2. Для'функции /(x) = sin4x найдите ту первообразную,
7Г 1
график которой проходит через точку А{г^-,2)-
3. Постройте график кривой, которая проходит через точку Т1(1; 1) и у которой угловой коэффициент в любой ее точке равен удвоенной абсциссе этой точки.
Вариант 2
1. Найдите первообразные для функций:
\ 2 4 , 6
1) 1{х) = ^ ^
1
2) /(ж) = 8ш2|;
3)/(.г') = ^; 4)/(ж) = 0,7-.
2. Для функции /(ж) = cos 4а; найдите ту первообразную,
7Г X
график которой проходит через точку ^).
3. Пост ройте график кривой, которая проходит через точку A 0) найдите перво-
образную F{x), которая при ж = 2 принимает значение, равное 2,5.
3. При каких значениях ж < ж ^ обращается
в нуль та из первообразных функции
/(ж) = 2 cos 2ж — sin ж,
которая при ж = 7г имеет значение, равное —1.
98
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 4
1. Найдите первообразные функций:
/./ ч 9.г^-|-12.т'*—6х^-Ь7з:^—4а:-Ь2
2) /(.т) =
3) /(х) = sin Зх • cos 5х.
2. Для функции/(х) =(х>0) найдите первообразную F(x), которая при х = е принимает значение, равное е.
3. При каких значениях х (О ^ х ^ 2тг) обращается в нуль та из первообразных функции /(х) = cosx — sinx, которая при X = ^ имеет значение, равное —2.
Вариант 5
1. Найдите первообразные для функций:
1) /(.т) = \/1-5|п2з;, f’(0)=0;
2) /W = 2--(l + U); 3)f{x) = ^.
2. Найдите ту первообразную функции /(х) = х^ — х, для
которой
min F(x) = 2.
4;з]
3. CkojiijKo существует касательных к графику одной из первообразных функции /(х) = которая па-
раллельна прямой у= ^х (или совпадает с ней).
Вариант б
1. Найдите первообразные для функций:
1) /(■'-■) = \/1 + sin2x, О < X < F(0) = 1;
2) fix) = е* • (б - ; 3) /(х) =
2. Найдите ту первообразную функции /(х) = х^ -|- х, для которой
г/ ч 16 max г (х) = "о".
1-5^ ^
9*. Интеграл
99
3. Скол1жо существует касательных к графику одной из первообразных функции f{x) = ^2^5д.^д) которая параллельна прямой у = -^х (или совпадает с ней).
Вариант 7
1. Найдите первообразные функций:
l)-'/(a-) = tg2.T; 2) fix) =
о\ _ х^-\-х^+2х+\
) Jv‘)
2. Найдите ту первообразную функции f{x) = 2х -Ь 5, для К0Т01ЮИ и])ямая у = 7х — 3 является касательной.
3. Найдите первообразную функции /(.т) = |.т — 1|(2.т — 1) на М.
Вариант 8
1. Найдите первообразные функций:
1) fix) = ctg^x; 2) fix) =
Q\ f( \ .т^+х^-Зх-И
2. Найдите ту первообразную функции fix) = —4х И-1, для которой прямая у = 5х + 1 является касательной.
3. НаГщите первообразную функции fix) = [т — А\х на К.
9*. Интеграл
Вариант 1
2
1. Вычислите /(3^2 — х — 1) dx.
1
7Г
2. Вычислите fcos^xdx.
3. Найдите / |.т — 2| dx.
I
1 1
4. Cpainm-re A = fx^dx и B = f \fx dx.
0 0
100
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = + 1 и у = 2.
Вариант 2
-1
1. Вычислите f (Зх^ -Ь X — 1) dx.
-2
Л
2. Вычислите f sin^xrfx.
о
-1
3. Най;и1ТР f |х + 2| dx.
-3
1 1
4. Сравните A = Jx^dx и B = J ^dx.
о о
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^ и у = X -1- 2.
Вариант 3
1. Вычислите / (27х^ — 27х^ И- 9х — 1) dx.
\
3 /
3
2. Найди те j cos х • cos Зх dx.
п
О
3. Вычисли ГС Г /(х) dx, где /(х) = / 2 ^ ^ i
j V у I х'^ -f 2 при X ^ 1
JT 7Г
4 2
4. Сравните А = Jtgxdx и В = fctgxdx.
о f
5. Най;щ те гглощадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 cos X и у = 1; х € [0; тг].
Вариант 4
2
1. Вычислите J (8х^ — 12х^ -f 6х — 1) dx.
I
п 2 •1
2. Найдите j sinx • cosSxdx.
я
G
” ( ^ 7Г
2 I COS X при а: < 7
3. Вычислите J /(х) tZx, где /(х) = < , ^
_г у sinx при X > J
9*. Интеграл
101
4. Срашштс А = ftgxdx и В = f ctgxdx.
к п
А 6
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 sill X и у = 1\ X & [0; тг].
Вариант 5
1
1. Вычислите J |х| • (ж — 2)dx.
-2
тг
2. Найдите / (—К— — ~гт~) dx.
{сон^х знГх/
6
а
3. При каких а выполняется неравенство f(x — 5) dx < 6.
3
1 1
4. Сравните А = J 2'°^!>^dx и В = J 5‘°S2^d.T.
0,1 0,1
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком у = \Д — 3.T, касательной к нему, проходящей через точку (5;0), й прямой у = 0.
Вариант б
3
1. Вычислите f ж • |ж — 2| dx.
2. Найдите / - sin ж^ йж.
3. При каких а выполняется неравенство J(ж — 5) dx ^ 6.
а
1 1
4. Сравните А =: f 7^°^^^dx и В = J 5^°^'^^dx.
0,2 0,2
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком у= ijrrj, касательной к нему в точке жр = 2 и прямой ж = 4.
Вариант 7
2
1. Вычислите f \/2ж — ж^ dx.
X
2
102
11-й КЛ. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
In 2
2. Вычислите J (е^ + е~^) dx.
0
1
3. Вычис.пите f
о
xdx ж+1 ■
4. Вычислите j axccosxdx.
о
5. Найдите площадь заштрихованной фигуры (рис. 1) Вариант 8
1. Вычислите / \/4х — dx.
3
logs 2
2. Вычислите / (3^-l)^dx.
о
3. Вычислите f
-3
е
х-И ■
4. Вычислите fin xdx.
1
5. Найдите площадь заштрихованной фигуры (рис. 2)
Проверочные
работы
на повторение
1. Рациональные уравнения и неравенства
Вариант 1
1. Решите уравнения:
4л; , Зх
а)
4х2-8х+7 + 4х2-10х+7 б) |х — 2| + Зх = \х — 5| — 18.
2. Найдите рациональные решения системы уравнений; Г + X + у = 32
\ 12(х + у) = 7ху
= 1;
14х 9х—30
3. Решите неравенство
4. При каких а функция
<0.
/(х) = _ аз;2 ^ (2а — 6)х + 10
возрастает на R?
Вариант 2
1. Решите уравнения:
ч х^—х _ х^-х+2 _ ,. х^ —.х+1 х2—X—2 ~ ’
б) |х — 2| + |х — 1| = X — 3.
2. Решите систему уравнений:
Г X + у + х^ + у^ = 18 1 ху(х + у) = 30
104
11-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
о Т-» 52j-I-4 х-\-^ ^ г»
3. Решите неравенство ^ 0.
4. При каких п функция
f{x) = — о,х^ + (За — 6)а; - 10
убывает на
Вариант 3
1. Решите уравнения:
\ 2.7; _ 7х_______,
3.г-2-.т+2 3FT5i+2 “
б) |т:-3|-|-2|х-|-1|=4.
2. Решите систему уравнений:
-1- у2 = 17 х + ху + у = 9
3. Решите неравенство
4. При каких а функция
f{x) = g'^ - (а -Ь 1)у -Ь (а + 1)х - 15 возрастает на М?
Вариант 4
1. Решите уравнения:
. ч .х^+2.г'-|-1 x^-f2x4-2 _ 7_
.х2-|-2.х4-2 x^4-2x4-3 ~ 6’
б) |.х — 3| — |х — 1| = 6.
2. Решите систему уравнений:
Г X + У + ху = 7 1 х^ 4- 4- ху = 13
3. Решите неравенство
х-1 х4-1
<2.
X X—2
4. Найдите наименьшее целое к, при котором функция /(х) = 4- 4х^ 4- (А: 4- 4)х 4- 7
возрасгаст на
2. Иррациональные уравнения и неравенства
105
2. Иррациональные уравнения и неравенства
Вариант 1
1. Решите уравнения:
а) \/4.x + 1 + \/Ъх — 2 = 5;
йУ а. 1
' X .г-2 \/5-4х'
2. Решите неравенства:
• а) \/5.т2 — 4 > Зт — 2;
б)
у/8-2.г-х2 ^ \/8-2х—х2
Г)х+1
2х+6
3. При каких а уравнение \/х^ + 7о — 6 — х + 5 = 0 не имеет корней?
4. Установите множество значений функции
у = \/3 — X -f \/х — 1.
Вариант 2
1. Решите уравнения:
а) \/2х 5 -|- \/6 •+• X — 3j
б) I-
\/7-6х
1
v/7^'
2. Решите неравенства:
а) \/х2 — Зх — 10 < 8 — х;
б)
\/б—X —3
хЧ-3
< 1.
3. При каких а уравнение Ух^ — 9а-<-5 — х-|-4 = 0 имеет
корни;
4. Найдите наибольшее значение функции у = х+ \/2 — х. Вариант 3
1. Решите уравнения:
а) \/Зх — 2 -I- \/х — 1 = 3;
\/6—5х _ 2 1
б)
X \/6—5х'
106
11-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
2. Решите неравенства:
а) v/8 + 2х — > 6 — Зт;
^ \/6—X—д:^
-2.г-)-5 х+4 •
3. При каких а уравнение \/х'^ + 6а + 4 — х —7 = 0 не имеет корней?
4. Установите множество значений функции
у = \/х -f 4 -Н \/2 — X.
Вариант 4
1. Решите уравнения:
а) \fic -Ь 6 — \/2х — 5 = 2;
б)
= 2х — \/3 — 2х.
^/3-2x
2. Решите неравенства:
а) \/Зх — х^ < 4 — х;
б) ^ V2.
3. При каких а уравнение \/х^ — За -f 7 — х -Р 3 = 0 имеет корни?
4. Найдите наибольшее значение функции у = х+ \/9 — Зх.
3. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Вариант 1
/ о \а:+0,5 /lORXa: 31е8
1. Решите уравнение (§) •
2. Решите неравенство 5 • 4^ — 7 • 10^ + 2 • 25^ < 0.
3. Решите уравнение log2(x + 4) -Ь log2(x -Р 1) = 1 -Р log2 5.
4. Решите неравенство logi х > log^. 3 —
2fl-p3
5. При каких значениях а уравнение 0,2^' = имеет от-
рицательный корень'
3. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 107
6. Найдите наибольшее значение функции у = 10 + 4.Т In9 - 3"^-^ -
Вариант 2
1. Решите уравнение 62^+"^ = 3^^ •
2. Реши'ге неравенство (3 • 6^ + 4) • (6^ — 4)“* > 4.
3. Решите уравнение 41og4(—ж) + 21og4 ж^ + 1 = 0.
д;2 I 1
4. Решите неравенство logo i
5. При каких значениях о уравнение log2(5a — х) = log i х HNiecT единственное решение?
6. На каких промежутках убывает функция
у = logi ж + 2 log 1 ж + 60.
Вариант 3
1. Решите уравнение (|)^ • (|)'' =
2. Решите неравенство 3^*“^ + 4 ■ 2Р“* — < 0.
3. Решите уравнение logз(ж + 2) + logз(5ж + 4) = 5*°®^ з
4. Решите неравенство — log i ж — log- 32 ^ 4.
2
5. При каких значениях а уравнение 8^ = имеет положительный корень?
6. Найдите наименьшее значение функции
у = 3^ + 2-3^“^ -ж1п27-9.
Вариант 4
1. Решите у])авнение 2^ • 27®“^ = 2^ • 3®.
2. Решите неравенство (2^ — 1) • (2^ — 6)"^ > 2.
3. Решите уравнение 31gж^ — lg^(—ж) = 9.
”’2»г
4. Решите неравенство logons logg ^ 0.
5. При каких значениях а уравнение log3(4a — ж) = logi ж имеет единственное решение?
6. На каких промежутках возрастает функция
y=\^g^x + Ig^ ж.
108
11-й КЛ. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
4. Тригонометрия
Вариант 1
1. Упростите
_________2sin^ 4а-1___________
2 ctg ( ^ +4а) -cos2 ^ ^ -4а j
2. Решите уравнения:
а) sin^ X + sin^ 2.т -1- sin^ За: = 1,5;
б) 3 sill X -Ь 4 cos а; = 2.
3. Решите неравенство cos 2а: — 5 sin а; < 3.
4. При каких :шачениях а имеет решение уравнение
cos х—а \/cosa:-3a+l
= 0?
5. Найдите критические точки функции и укажите одну точку минимума у = sinx + 0,5 sin 2х + 5.
Вариант 2
1. Упростите
cos4g-H
ctgg-tga’
2. Реши те у])авпения:
а) sin^ X + cos^ X = cos 4х;
б) cos За: • cos 6.т = cos 4х • cos 7х.
3. Решите неравенство tgx>2ctgx.
4. При каких значениях а имеет решение уравнение
X
sin 2—л
COSX —1
= 0?
5. Найдите критические точки функции и укажите одну точку максимума у = ^ sin 2ж — sin х.
4. Тригонометрия
109
Вариант 3
1. Упростите
1-2 cos^ 2q
2tg(2a-|)-sin^(|+2a) ’
2. Решите уравнения:
а) cos^ X + cos^ 2.T + cos^ З.т = 1,5;
б) 3 sin 2х + 4 cos 2х = 5.
3. Решите неравенство cos2x 4-3sinx ^ —1.
4. При каких значениях а имеет решение уравнение
sinx—а
^sinx-l
= 0?
5. Найди'ге критические точки функции и укажите одну точку минимума у = 1,5 sin 2х — 3sinx — 5.
Вариант 4
1. Упростите
1—cos(8a—Зтг) tg2a-ctg2a ’
2. Решите уравнения:
а) sin"^X + cos'*а: = gj
б) sin X • sin 7х = sin Зх • sin 5х.
2
3. PeiHU'ie неравенство —< 2 — tgx.
4. При каких значениях а имеет решение уравнение
X
cos о+а
--=0?
smx
5. Найдите критические точки функции и укажите одну
1 . ,1-0
точку максимума у = — 2 ® + 4
Контрольные
работы
1. Производная
и ее геометрический смысл
Вариант 1
1. Какой угол с положительным направлением оси ОХ составляет касательная к графику функции
= " (f-v^)^ + 32
в точке .То = — 1.
2. Найдите абсциссы тЛек, в которых касательная к графику функции у = \/3sin2T — cos 2т + 2т параллельна оси ОХ.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
у — 2^ — 1 в точках ее пересечения с осью ОХ.
4. На каких промежутках касательная к графику функции у = Iog'o_7(T^ — 4т) составляет с положительным направлением оси ОХ тупой угол?
5. Решите неравенство f'{x) < О, где
/(т) = ■^ (cos^ т — sin^ т) — т -f 10.
Вариант 2
1. Какой угол с положительным направлением оси ОХ со-став.аяет касательная к графику функции
в точке .То = 4.
1. Производная и ее геометрический смысл
111
2. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к трафику <1)уикции у = cos 2х + sin 2х + 2х параллельна оси ОХ.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = (0,2)^' — 1 в точке ее пересечения с осью ОХ.
4. На каких промежутках касательная к графику функции у = log2(.T^ — Зх) составляет с положительным направле-нием,оси ОХ острый угол?
5. Решите неравенство f'{x) > 0, где
f{x) = —2sin^ X — х + \.
' ч
Вариант 3
1. Какой угол с положительным направлением оси ОХ составляет касательная к графику функции
f(x) = i=^ +
2 _
X -|-10
5-Ьх \^9 3
в точке хо = 1.
2. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = sin2x + \/3cos2x — 2х параллельна оси ОХ.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = 3^ — 1 в точке ее пересечения с осью ОХ.
4. На каких промежутках касательная к графику функции /(.т) = logo з(x^-h Зх) составляет с положительным направлением оси ОХ тупой угол?
5. Решите неравенство f'{x) > 0, где
/(х) = sin^ X — cos^ X -f- X — 20.
Вариант 4
1. Какой угол с положительным направлением оси ОХ составляет касательная к графику функции
г/ \__х-\~2 21 I о
В точке ,хо = — 1.
2. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = sin 2х — cos 2х -f 2х параллельна оси ОХ.
112
11-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
2 ] — 1 в точке ее пересечения с осью ОХ.
4. На каких промежутках касательная к графику функции у = log3(4.T — составляет с положительным направлением оси ОХ острый угол?
5. Решите неравенство f'{x) < О, где
f{x) = 2 sin X ■ cos X -Н а: — 5.
2. Исследование функции с помощью производной
Вариант 1
1. Постройте график функции у = x(x^ -1- Зх -|- 2).
2. Докажите, что функция /(х) = sin(2x + 5) — 6х убывает на R.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции /(х) = у/х — 2 Ух на [0; 100].
4. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, а каждая боковая грань имеет периметр 6. Найдите параллелепипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.
5f На графике функции /(х) = х^ — 2 найдите точки, ближайшие к точке Л(2; —1,5).
Вариант 2
х'* —2.г^
1. Постройте график функции у = —
2. Докажите, что функция /(х) = х1пх убывает на (0; р).
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f{x) = e^"-'^^+^ на [-5; 5].
4. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 4. Основанием служит квадрат. Найдите параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислите этот периметр.
5f На графике функции /(х) = х^ — 3 найдите точки, ближайшие к началу координат.
3. Первообразные и интегралы
113
Вариант 3
1. Постройте график функции ?/ = + х){х — 2).
2. Докажите, что функция f{x) = cos(4 — 2х) + Ах возрастает иа R.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f{x) = 2x-y/x на [0;4].
4. Определите размеры отрытого бассейна с квадратным дном обкомом 32 м^ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
5f На графике функции f{x) — х^ + 2 найдите точки, ближайшие к точке j4(16;2,5).
Вариант 4
1. Постройте график функции у = —g—.
2. Докажите, что функция /(х) = х — 1п(2х — 1) убывает на (0,5; 1,5).
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
fix)
-х^-2х-3
на [—2; 2].
4f Найдите наибольший объем треугольной пирамиды МАВС, в основании которой лежит равнобедренный треугольник ААВС [АВ = ВС), если МBLABC и МА = v/3.
5f На Г1)афике функции /(х) = 1 — x^ найдите точки, ближайшие к началу координат.
3. Первообразные и интегралы
Вариант 1
1. Найдите первообразные для функций:
а) /(x)=xi-h(|) ;
б) /('Т) = sin X ■ cos Зх.
114
11-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
2. Найдите корпи первообразной для функции /(.х) =: Зх^ — 2х — 9, если один из них равен 1.
3. Вычислите:
2а
а) / (.х^ + 2ах) dx;
а
5
б) f \/Зх -f 1 dx;
в)* / сон'^ ipd 0), отсекающей на осях координат треуголь-
ник площадью 5 = 2^.
6. На каких промежутках возрастает функция
У—\ sin 2х — 7 sin X -I- 4х — 9^?
7. Исследуйте на монотонность и экстремум функцию
у = (2х
8. Найдите высоту конуса наибольшего объема, образующая которого равна I.
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = sjx.\ у = \/-2х; у = 2.
10. Найдите все действительные значения а, при которых уравнение 21g(x-f-1) = Igax имеет единственное решение.
Вариант 3
1. Решите уравнение 9* — 2®'*'2 = 2®"^ 5 —
2. Решите уравнение 4(1 -I- 2 log2 х) = 3 log2 х ■ log^ 4.
f ж'°8зЗ/+ ^ ^
3. Решите систему уравнений < _____" _____2
\ v'log2 X -f \/log3 у = 2
4. Решите уравнение sin 7х + sin Зх -Ь 2 sin^ х = 1.
5. Напишите уравнение всех касательных к графику функции у=\/2х"+Т, которые проходят через точку Л(1;2).
6. На каких промежутках убывает функция
у = — \/3 cos X -Ь sin X — X + 10?
118
11-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
7. Иссл(у;.уйтс иа монотонность и экстремум функцию
у = 1н(4 — Зх) — 2х^.
8. Найдите стороны параллелограмма ABCD наиболыней площади, у которого периметр равен Р, а угол А равен 30°.
9. Най;и>те площадь фигуры, ограниченной линиями
= 3 — .т и 2у — X = 5.
10. Найдите все действительные значения а, при которых
22х+1
уравпеппе .|х_2х-И-|-з ~ ^ имеет только одно решение. Вариант 4
1. Решите у|лшнение 2 • — Зб^'*'^ — 3 • = 0.
2. Решите уравнение log4(x^ — 16) -f- logi = 2.
Г V ■ = т§
3. Решите систему уравнений < f , , „ , , •
■ ' I log4 у • logj,(y - Зх) = 1
4. Решите уравнение siux — cosx = sin 2.x —
.5. Напишите уравнение касательной к графику функции у = .г * (.X ^ 0), отсекающей на осях координат треуголь-с 2
ник площадью ■8 = 3.
6. На каких промежутках убывает функция
у = 2 sin 2х — 3 sin X — X -1- 7?
7. Исследуй те иа монотонность и экстремум функцию
у = (2х-1-3)еЗ^'+2х-1
8. В равнобедренной трапеции нижнее основание равно I, угол п])и основании равен а. Диагональ трапеции nei> пепдикулярна боковой стороне. Найдите наибольшую площадь трапеции.
9. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=у/^] у = \/3х; у = 3.
К). Найдите все действительные значения Ь, при которых уравпепие 21g(l — х) = Igbx имеет единственное решение.
5. Контрольная работа Ns 2 на повторение
119
5. Контрольная работа №2 на повторение пройденного материала
Вариант 1
1.’ Вычислите
2. Упростите
34 ON
-0,5
7,5-4-2 _(_2)-4 + 81
0,25
а—1
gQ’4l , 2
q1,5_i ■
2 -f“ 1
3. Вычислите ^log i 9 — 2 Ig i 12.
4. Решите неравенство
(т-2)(х--3) х-3
5. Найдите те решения уравнения sin За; ■ cos За: = sin 2а;,
для которых определено выражение 5f(x) = tg ^2х + .
6. Решите уравнение 8 • 9® + 6*"^^ = 27 • 4®.
7. Решите уравнение lg^(4x — 5) = lg^(3x — 1).
8. Установите область определения функции
/(х) = \/—7 — 2х^ — 9х + lg(2x + 5).
9. Найдите; абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у — 2х^ + (\/3 — 8)х -Ь \/3 образует угол в 60° с осью ОХ.
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 2.т'‘ + Зз;2 - 12 - 2, х € (-2; 1].
Вариант 2
, г. 1 ^0 9 1-2°'®
1. Вычислите — 2"’^ • 2~о,3 •
6'’®-1-1 2
2. Упростите ~
-Ы <0.
1
1
3. Вычислите V 25l°g5 6 + 4glog8 7
20
10
4. Решите неравенство (д^_з)(д._4) + + 1 < 0.
120
11-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5. Найдите те решения уравнения
sin 6х • cos 6х = cos ^ — 4х j ,
для которых определено выражение g{x) = tg ^4х + .
6. Решите уравнение ^ \/5 — \/24^ + ^ \/5 -1- \/24j = Ю.
7. Решите уравнение 61ogo,5(—х) — logg^s = 2.
8. Установите область определения функции
/(X) = l0g^(^_5)f^.
9. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = в точке ее пересечения с кривой у = 4^+2.
10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции гу = 2х — у/х, X е [0;4].
Вариант 3
1. Вычислите 3°’^ : ^ Д/g-
. 1 ,1
г, 1, а—Ь а5—62 ■'
2. Упростите —з---1—г ~ “Т г
оТ-(-а265 а^-|-бт
6=1.
и вычислите для а =
16’
3. Вычисли'ге
36 *°83 6 -р 81'°*4'
4. Решите неравенство
\/17-15х-2х2
х-|-3
<0.
5. Решите уравнение sin3x ■ \/А — х"^ = 0.
6. Решите уравнение ^\/б — \/35^ + ^ \/б -f \/35^ = 12.
7. Решите уравнение log| х^ -f 3 = 7Iog4(—х).
8. Установите область определения функции
/(х) = l0g_j.2_4^(6 - х^ - 5х).
9. Найдите абсциссу точки, в которй касательная к графику функции у = (х^ -f- х)“^ параллельна оси ОХ.
10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2 s/x — X X € [0; 9].
6. Контрольные тесты
121
Вариант 4
1. Вычислите О
5 +
2. Упростите
_з 5
т
1 _.
m2—m
т
2 —т~^
т
и вычислите при
т, = 0,81 •
3. Выч'ис;1итс logi ^log3COs^ — log3sin^j .
' 4. Решите неравенство 1 < < 2.
5. Решите уравнение sin 2х ■ \/7 + 6а: — — 0.
6. Решите уравнение 2 • 3^“^ - 4 = о + а • 3^“^.
7. Решите уравнение Ig^, 2 • lg2j. 2 = lg4j, 2.
8. Найдите сумму целых значений х из области определения f{x) =-----
•' ' ’ arcsin(x-3)
9. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции /(х) = \/2х^ -V 1 параллельна оси ОХ.
10. Найдите наименьшее значение функции
/(х) = х-Мп^.
Примечание. Работы рассчитаны на 5 часов. Оценка “5” ставится за верное решение любых 9 заданий, оценка “4” — за 7-8 заданий, оценка “3” — за 4-6 заданий.
6. Контрольные тесты
Вариант 1
1. Упростите
3-2а~2+д-^
1—2 \/д-|-Зй
2. Сравните а = 1 — 2 sin 28° и Ь = 2 sin 32° — 1.
3. Решите уравнение = 2.
cos 2
122
11-й КЛ. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
4. Найдите область определения функции
У = \/(9 - 3^)log2(a: -Р 2).
5. Реиште уравнение 2 log^. 8 — 3 logg х=1.
6. Найдите 1эасстояние от начала координат до касательной, проведенной к графику функции у = л/х в точке
7. При каком значении а функция y = ax + cosx возрастает на М?
Д.З д,2
8. Найдите экстремумы функции У — 'Y ~2 ~
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f{x) на отрезке [—3;0], если
/(.т) = ^ + f -1- 2х -Р 3.
10. Вычислите fdx.
-2
11. Решите уравнение х\/2 — х = 4>/2 — х.
12. Решите неравенство J -Ь Vx'^ — Qx + 8 > 0.
13. Решите систему уравнений
-^ + -^ = 1 ^ ч/У
\/х+ •/у = А
14. Вычислите logg 2 - y^log| 3-p21og6 4.
15. Решите неравенство log2,2x>l.
16. При каких значениях а уравнение (0,2)^’ = не имеет корней?
17. Покажите, что число А целое, и найдите его:
Л = 4 cos 20° — cosec 10°.
18. При каких значениях а имеет решение уравнение
5 sin Зх — б cos Зх = а?
19. Решите уравнение arccos(—х^) + arcsinx =
20. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член равен 2, а третий
6. Контрольные тесты
J23
Вариант 2
, X, 2 а—4а“*
]. Упростите -7= —
^ \/а-2а~2
2. Вычисли те sin 60° • cos ^ 10° — 2 cos 20°.
3. Решите уравнение = 4.
Sill л
V. ^
4. Найдите^ область определения функции
logi(.T^-3) y = log2 .
5. Реши'ге уравнение
log 1 (ж - 6) - log3._6 's/х = -2.
s/x
6. На каком расстоянии от начала координат проходит ка-сател1>иая, проведенная к графику функции у= \/2 — х в точке его пересечения с осью OY1
7. При каком значении Ь функция у = а —Ьх +sin х убывает на Е?
8. Найди'1'с экстремумы функции
1 3 5 2 , с 1
у =-^х —2^' -Ьбж —1.
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
У = f{x) на отрезке [2; 4), если /(.т) = -Ь З.г Ч-1.
1 • 3
sin X
10. Вычислите Г ь . ‘ 2 i---dx.
■I 2+л."^ 4-cos X
И. Решите уравнение (2ж — 3)\/ж — 5 = х/х — 5.
12. Решите неравенство 3 4- \/12 — X — х'^ ^ 0.
Г J__ J_ = 1
13. Решите систему уравнений < \/У \/х 6 .
\^/г-уу = 1
14. Вычислиз'е
15. Решите первенство log2j.x 0.
5
15 ■
4. Решите систему уравнений
/ х'^ + у'^ =
I ж'* - т/'* =
5. Вычислите —-—т----- при а = 25.
у а 30 у
6. Установите область определения функции
у = \/|ж — 3| — 2ж°.
7. График фз'нкции у=а^ проходит через точку .
Найдите а.
8. Решите неравенство (^1 sin^.
9. Ig2 = a; lgl5 = b. Вычислите lg60.
10. Решите у])авнение logy^^: + log2 a: = 9.
11. Установите множество значений функции
у = 7Г — 2 arcsin х.
12. Расположите числа cosl; cos 5; cos|- в порядке возрастания.
13. Вычислите cos 15°.
14. Решите уравнение cos ж = cos 3.
15. Прямая у = 3х + 6 касается графика функции
у = —х^ — X + 2.
Най;1,итс абсциссу точки касания.
16. На каких промежутк^1х убывает функция
у = —х^ + 2х^ - ж -f 3?
17. Найдите критические точки функции
у = \/3 sin ж -Ь cos ж.
18. Найдите первообразные для функции у = 2x+i •
19. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
(е) ’
20. Вычислите f \/1 — ж^ dx. о
10 класс. Ответы к самостоятельным работам
1. Действительные числа
Вариант 1
1. а) 0,6, б) 0,(27). 2. а) б) 1^. 3. а) 4 < \/Т7, б) v/5 - К v/2. 4. а) 2, б) v^.
Вариант 2
1. а) 0,75, б) 0,(6^). 2. а) б) зЩ. 3. а) 7> \/48,
б) ч/З + У2 < ч/ТО. 4. а) 3, б) s/2.
Вариант 3
1.а) ^,6)4^. 2. а) ^/6+^/7< s/3+у/Ы, б) l + \/l5< < ч/б + v/7. 3. а) 2, б) 28. 4.
Вариант 4
1. а) б) 4^^. 2. а) ч/2 + ч/Тб > ч/З + ч/Ш, б) 1 + + ч/2Т< < ч/З + ч/Тб. 3. а) 4, б) 30. 4.
Вариант 5
1. 3i^. 2. 1 + /ГГ; У3 + v/7; v^+ ч/б. 3. а) 1,5 и V%5, 00
б) 7,005 и ^/Щ1. 4. а) -8, б) 0.
Вариант 6
1. а) 2^. 2. 1 + ч/Тб; ч/2 + ч/12; ч/б + ч/7. 3. а) 2,5 и ч/б;5, б) 5,005 и ч/25Д. 4. а) 2ч/2, б) 0.
2. Геометрическая прогрессия. Арифметический корень
129
Вариант 7
1. а) да. 2. 3. а) 9, б) -2, в) V6+V2.
4. Указание. Постройте прямоугольный треугольник с катетами 1 и 4. 5. Решение. Заметим, что >
> И 72^^ ^ ^ ТГоо ^
(1) + (2) 4- (3) -Ь • • • + (100) и получим искомый результат.
Вариант 8
1. а) да. 2. s/2 + \/П < \/3 + 3. 3. а) б, б) -^2, в) 2.
4. Указание. Постройте прямоугольный треугольник с катетом 1 и гипотенузой 4.
2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Арифметический корень натуральной степени
Вариант 1
1. 40,5. 2. а) 4v/3, б) 3. ж>1. 4. а) Та-ТЕ,
Вариант 2
1. 32. 2. а) -4 А б) А4. 3. о ^ X < 1. 4. а) б) <Ух- Ту.
Вариант 3
1. у. 2. а) 16, б) а.
3. а)
2(з+\/з)^ ^
4.
\/1—х'
130
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 4
1. -у. 2. а) 27, б) 6.
3. а) 3(Зч/2-4), б) 3 Вариант 5
4. —\/2 — X.
1. у 2. а) б) ^|ж-у|. 3. а) 2, б) -2\/l0.
Вариант б
1. 2. а) 6) 3, а) 3, 6) -2,/7.
Вариант 7
1. у 2. 7(ч/3-v^)(\/2-1). 3. а) Если 1 < а < 2, то
2;^; если а > 2, то б) 1 + -Ь \/5.
4. 4. Р е III е и и е. Пусть
У26-Д5\/3-Ь ^2б-Ы5\/3 = ж, (1)
тогда 52 + 3\/26- 15у/3 ■ ^26 + 15х/3 • (У26 - 15\/3 + + У2() -| 15/3) = хЗ; 52 + Зх = а;3; х = 4.
Вариант 8
1. у. 2. -3(/3 -I- V2){V2 + 1). 3. а) Если 4 < 6 < 8, то
ИГ
если I) > 8, то б) 1 + у/2 + \/3. 4. 3.
3. Степень с действительным показателем
Вариант 1
1. а) б) 25. 2. а) а- Ь, б) -1. 3. 0,25. Вариант 2
1. а) б) 8. 2. а) б) 1. 3. 6,4.
4. Степенная функция и обратная функция
131
Вариант 3
/ 1 \ '/З— 1 / 1 \ n/2
1. 36. 2. а) 3, б) а^Ь. 3. > (jj . 4. -7.
Вариант 4
1. а) J00. 2. а) -4, б) 3.
4. 1.
Вариант 5
35
G4
)“•
1. 2 - . 2. 3.
Вариант б
3 13
1. 2® •З"” -5 2. Ъ. 3. jj-.
1+а
Вариант 7
1. У37-12>2^, т.к. ^/37 + 2>^/Зб^-2 = 8, а 2^< < 2 = 8. 2. 3; -2. 3. у. Указание. Первое подко-
/2/+\/у^-16\3
рениос выражение равно (--2----'
Вариант 8
1. 2^Ш> ^ + 3. 2. 3; 2. 3. х.
4. Степенная функция и обратная функция
Вариант 1
1. а) Первое число больше второго, б) Первое число меньше второго. 2. а) К и М, б) х > 0; у'^2. 3. а) см. рис. 1, б) см. рис. 2.
Вариант 2
1. а) Первое число больше второго, б) Первое число меньше второго. 2. а) Е и R, б) х ^ 0; у^З. 3. а) см. рис. 3, б) см. рис. 4.
132
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
У‘ 1
1
0 1 3 X
рис. 2
У‘ 1
I
0 1 д:
рис. 3
рис. 4
У‘ к /
/
/
1
0 1 2 f 4 X
-1 1 (
ч
1
рис. 5
У> 1
1
1 V я
0 1 X
-1 1
1
рис. 7
4. Степенная функция и обратная функция
133
Вариант 3
1. а) Первое число меньше второго, б) Первое число меньше второго. 2. а) у = 0,5х-Ь 3,5, б) у = 3 —р
3. а) см. рис. 5, б) см. рис. 6.
Вариант 4
1. а) Первое число меньше второго, б) Первое число меньше второго. 2. а) у = 0,6 — 0,2т, б) y = l + p 3. а) см. рис. 7, б) см. рис. 8.
Вариант 5
1. а) Первое число меньше второго. 2. у < 0,5; у > 0,5.
3. у = |.т; — 3|з — 1, см. рис. 9.
Вариант б
1. а) Первое число больше второго. 2. у < 2; у > 2.
3. у — —|.т + 2|1 -1-1, см. рис. 10.
3
N
3'i 1 1
ч 0 .
-^3 -2 -1 X
рис. 9
рис. 10
Вариант 7
1. у = — 1 — \/у + 4. 2. у ^ —5; у^1. 3. Первое число больше второго. Указание.
4\/^-3\/Т9 у/Ш-л/Гп у/625-s/m . 6%/Т0-5
12 - __ 12 12 __ ~ ___7 ~
= 2.
v/360-5 у/М1-5 _ 9\/б-Ь2 _ \/Ш+2 \/Ш+2 _,
^ 7
12
12
12
Вариант 8
1. у = 4 у/4 — у. 2. у < —6; у > 2. 3. Первое число
меньше второго.
134
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
5, Равносильность
уравнений и неравенств
Вариант 1
1. а) да, б) да. 2. а) нет, б) да. 3. а) (2) следует из (1), б) (1) следует из (2).
Вариант 2
1. а) да, б) нет. 2. а) да, б) да. 3. а) (2) следует из (1), б) (1) следует из (2).
Вариант 3
1. а) пет, б) нет. 2. а) да, б) нет. 3. а) (2) следует из (1), б) уравнения равносильны.
Вариант 4
1. а) пот, б) нет. 2. а) нет, б) да. 3. а) (2) следует из (1), б) уравнения равносильны.
Вариант 5
1. а) пет, б) да. 2. (1) является следствием (2). 3. да.
4. а = () и /;=1,5; а = 3 и 6 = 3.
Вариант 6
1. а) пет, б) нет. 2. (2) является следствием (1). 3. да.
2
4. ft=—1 и 6=1; а = 0 и6=д.
Вариант 7
1. а) пет, б) пет. 2. уравнения равносильны. 3. а = —2; л = —1.
Вариант 8
1. а) пет, б) нет. 2. уравнения равносильны. 3. 6 = 1;
6 = 2.
6. Иррациональные уравнения
135
6. Иррациональные уравнения
Вариант 1
1. х = —1; х = 2. 2. ж = 1. 3.x=h; ж =1,5. 4. ж = 2; •Ж = 11. 5. .ж = 1; ж = 27.
Вариант. Я
1. .т = —3; ж = 2. 2. ж = —2. 3. ж = —|; ж = |. 4. ж = 5; ж = 9. 5. .ж = —8; ж = 27.
Ч' '
ч
Вариант 3
1. ж = 4. 2. ж=1 —-\/2; ж = 2; ж = 3. 3. ж = —4,5; ж = 3.
4. ж = -1,5; ж = 0,5. 5. ж = 1.
Вариант 4
1. .ж = 2. 2. ж = —1 + -\/5; ж = —5; ж = —2. 3. ж = —4; ж = 2. 4. ж = 7. 5. ж=—2.
Вариант 5
1. ж = ^. 2. [3; 8]. 3. ж = 1. 4. ж = 3. У к а з а н и е. 1 способ замена ^х — 2 = it; \/ж + 1 = v сводит уравие-(u + v = 3
иие к системе < ^ о п ■
-v‘‘ = -3
2 способ — ,ж = 3 корень уравнения (подбором). Поскольку левая часть уравнения есть сумма двух возрастающих функций, а правая — число, то уравнение может имет1> tojhjKO одно решение.
5. й6 {-^}и(-9;-3)и[3;-|-оо).
Вариант б
1. ж = 2. [5; 10]. 3. ж = 2. 4. ж = 3.
5. а€ {-^}u(-12;-6)U[8;-foo).
136
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 7
1.
1 1 ’2' 2
2. х :
Указание. Домножьте ле-
вую и правую части уравнения на (\/х -1- 1 — \/х — 2).
Решение. Построй-
3. Решений нет. 4.
те графики (1) у= \/—8х — — 15 (полуокружность с
центром в точке Q(—4; 0) и г = 1) и (2) у— ах + 7 (прямая, проходящая через точку А(0;7)) см. рис. 11.
1. Если прямая (2) проходит через точку 13(—5;0), то решений 2. При движении к точке £>(—3;0) решение получится единствен-
ное, то есть а€ ( (зна-
чения а легко находятся при подстановке координат точек В и D в (2)). При движении прямой от точки В к точке С будет два решения.
2. Осталось рассмотреть случай касания в точке С. Пусть ZAFO = р, тогда tgp = a. Пусть ZAQC = т, а ZAQO = n, тогда а = tgp = tg(90° — m — п) = ctg(m-f п) =
_____1_____1 -tg ?n-tg n
~ tg{m+n) ~ tgm-ftgn ■
Из геометрических соображений легко найти QC, QA,
АС, О О и О А, а также tgm=| и tgn=i. Откуда 1-1.1 . а = tg р = -
1,4 — о-
8 + 7
Вариант 8
1. [-3;3). 2, 1=
3. Решений нет.
7. Иррациональные неравенства
137
7. Иррациональные неравенства
Вариант 1
1. 2. (1;3]. 3. [-2; 2). 4. [0; 1) U (4;+оо).
5. [0;3].
Вариант 2
2. (2; 6]. 3. (-оо;1). 4. [0; 1) U (9;+оо).
5. (-оо;()].
Вариант 3
1. {-3}и[-1;3]. 2. [0;1)и(9;+оо). 3. [4;5). 4. [-1;2].
5. (2;+оо).
Вариант 4
1. {4} и [2;4]. 2. [1;4). 3. [2;3]. 4. [-4;1]. 5. (3;+оо). Вариант 5
1. 16. 2. [0,5; 1). 3. [-1;0]и[1;2]. 4. [1;5) U (10;+оо).
5. (—оо; —2] и [1;+оо).
Вариант б
1. 20. 2. [0,8; 1). 3. [-3;2]. 4. [1;+оо). 5. (-oo;-l]U и[2; +оо).
Вариант 7
1.
1 2 2’ 3
и{3}. 2. (-|;0
3. (
5.
Вариант 8
27-4ч/б6 8-\/85 9 ’ 3
и(2;+оо). 4.
7+\/Ш 27+4\/б6 6 ’ 9
и
1. {-2} и
i 3 3’ 2
. 2. (5;+оо).
3. (-оо;-1)и ( . 4. (^±^;4
5.
3-s/26i 1-\/85 3 ’ 2
и
3+\/349 З+УШ 4 ’ 3
138 10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
8. Показательные
уравнения и неравенства
Вариант 1
1. .т=]; х = 2. 2. X <—2. 3. х = \. 4. а: < 2.
5. .т = 2.
Вариант 2
1
1. ж = —ж = 1. 2. ж < —1,5. 3. ж = 1. 4. ж > 1.
5. ж = 2
Вариант 3
1. ж = |. 2. (2;3). 3. ж = 2. 4. ж <-1. 5. ж = 0. Вариант 4
х = — \у2. ж<0; 1<ж<2. 3, ж = 1. 4. ж<1. 5. ж = 0. Вариант 5
1. .ж =1,5. 2. ж > 2. 3. ж = —2; ж = 2. 4. (—2;—1).
5. а ^ —1,5; а > 5.
Вариант б
1. .ж = —1,5. 2. ж > 0. 3. ж = —2; ж = 2.
4. (—1;2). 5. а<—а > 4.
Вариант 7
1. ж = 1. 2. 3. ж = 1-\^; ж=1; ж=1 + \^.
4. ж = 0. 5. а6 (0;2]и{3}.
Вариант 8
I. [-2; 1]. 3. ж = ^; ж = 1; ж = ^
1. X 1,2о. 2* — 2> ^
4. X 7^ 0; х^7гк-\-^у xEZ. 5. а G {—8} U (0; 1].
9. Системы показательных уравнений и неравенств
139
9. Системы показательных уравнений и неравенств
Вариант 1
1. (1;2). 2. (3;2). 3. (2;3). 4. [0;1).
Вариант 2-
1. (3;1). 2. (2;3). 3. (3;1). 4. [-1;0) U (1;4].
Вариант 3
1. (У). 2. (2;3). 3. (2;3); (3;2).
4. (-10;-8) и (4; 5].
Вариант 4
1. (4;1). 2. (4;3). 3. (4;10). 4. [-3;-2) U (3;5). Вариант 5
1. (5;1); (3;3); (4;2). 2. (-10;-12); (12; 10). 3. (2;2;1). 4. [-4;0).
Вариант 6
1. (1;-4); (9;4); (10;5). 2. (6;-4); (-4;6); (-6;4); (4;-6). 3. (2;2;1). 4. [1,5; 4).
Вариант 7
1. (2;0,5). 2. Если а = 1, 6^1, тогда жбК, у = 0. Если а 7^1, /^=1, тогда х = 1, у € К. Если а = 5=1, то х и у — любые; если аф \ и b^l, то (1;0). 3. (1;1). 4. [У3;2).
Вариант 8
1. (2;1). 2. Если а = 5=1, то х и у — любые; если аф ф1 и Ьф\, то (1;0). 3. (1;1). 4. [-3;-2v^) U (2\/2; 3].
140
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
10. Свойства логарифмов
Вариант 1
1. а) о, б) 1, в) 16. 2. а) (-4; 1), б) (-3; 1) U (3;4). 3. За 4 I).
Вариант 2
1. а) 1,6) 1, в) 0,2. 2. а) (-оо;0,5) U (2;-Ьоо), б) (-4;1)и(2;4). 3. 4а + Ь.
Вариант 3
1..а) |, б) 4, в) 1,5. 2. см. рис. 12. 3. 4.
Вариант 4
1. а) —3,5, б) б, в) 1,5. 2. см. рис. 13.
Рис. 12
11. Логарифмические уравнения и системы
141
Вариант 5
1. а) О, б) 2. 2. 5а^. 3. см. рис. 14. 4. log2 5 < 2^.
Р е IIJ с IIII е. Рассмотрим
3(log2 5 - 2|) = log2 125 - 7 < log2 128 - 7 = 0.
Вариант 6
1. а) о, б) 1. 2. а? + 5. 3. см. рис. 15. 4. logsS > |. Вариант 7
1. 0. 2. log(< 9 > logg 10. Решение. Рассмотрим
И 2
<
logo И) /5--------^ ^ logq 10+logq 8 logq 80
= V^logg 10 ■ logg 8 < ^
\-\-(xb
logs 9
log!) 81 _ ^ 3
<
2 ~ a(8-56)‘ ____ _____________
4. 0. P e III e H и e. Пусть 5x/i”is6 _ 3.. g'v/iogeS _ у Тогда \/iog76 • logg 5 = logg X или V^ogJO = logg X]
v/k^5 logg6 = loggy или У log's 6 = logg у или
\/lOgg 6 = logg 2/, TO есть logg X = lOgg У И X = y.
Вариант 8
1. 0. 2. logg 10 > Igll. 3. 4. 0.
11. Логарифмические уравнения и системы
Вариант 1
1. 2. 2. (2;3); (3;2). 3. 1. 4. 64. 5. (5; 20); (20; 5). Вариант 2
1. 20. 2. (2; 18); (18;2). 3. 2. 4. 81. 5. (1;2); (2;1). Вариант 3
1. .т = -1; ,т = 4. 2. (2; 8). 3.64.4. (3;2), (2;3). J_ _ _1_
16’ ^ “ 16’
г и 1 1
5. .г-=-4; x = -t^;x=t^; х = 4.
142
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 4
1. х = 9. 2. (27;3). 3.25.4. (4;125), (125;4).
5. X = —9; X = —3; ж = 3; ж = 9.
Вариант 5
1. ж = -0,5; ж = -^/(^;5. 2. (-^;-2); (2; 2). 3. 2. 4. 5. 0,25.
Вариант 6
1. ж = -4; x = -2V2. 2. (-2;--^); (2;0,5). 3.3. 4. (3;|); (3;9). 5. -0,25.
Вариант 7
1. ж = |; ж = 5. 2. (4; 16). 3. 3.
4. (а;-2); (1,5; 4), где 1 < а < 2.
5. {4} и (0;-роо). Решение.
(1 — .ж)^ = аж; ж^ — (а -Ь 2)ж -Р 1 = 0; D = + Аа.
D = 0 при а = о (не удовлетворяет ОДЗ) и при а = —А, ж = —1 (подходит). Z? > о, тогда а<—4 или а>0. Рассмотрим /(.ж) = ж^ — (а-Р2)ж-Р 1. Если 7)>0 и /(1)<0, то уравнение имеет 1 корень. /(1) = 1 — о — 2 -р 1 < 0, то есть а > 0.
Вариант 8
1. .ж = |;; .ж = 6. 2. (3;9). 3.3.4. (2;1);* (а; а), где а > 0.
5. (+оо;0)и{4}.
12. Логарифмические неравенства
Вариант 1
1. (-3;1]. 2. [i;4]. 3. (-1;1); (3;5). 4. (|;l).
5. (0;0,1)и(\Л0;100).
12. Логарифмические неравенства
143
Вариант 2
1. (-1;2]. 2. (|;8). 3. [0;1)U(2;3], 4. 5. (0,1;10) U(10^+oo).
Вариант 3
1. .=р >§.2. (0;0,4)и(1;+оо). 3. (-0,5; 1) U (2;4). 4. (1;2]. 5. (0;1) и(10^+оо).
Вариант 4
1. .т>|. 2. (0;1]и(1,5;+оо). 3. (2; 2,5). 4. (0;1]. 5. (0;1)и(8;+оо).
Вариант 5
1. .7,<—1; 1<ж<2; 2<ж<3; х>3.
2. (-4;-3)и(8;+оо). 3. (1,5; 2).
4. [-2-*-''>;-25)и(2§;23-5]. 5. (0;1)U{7}.
Вариант б
1. -1<.т<1; 1<х<2. 2. [3;4). 3. (2;2,5). 4. (-2;-2--*'^] и [23-5; 2). ^ (Q;3).
Вариант 7
1. -|;0^ и [1;+оо). 2. ^log2 |;log2 3) .
3. (0;i] и[1;27]. 4. (-1,5;-1) U (-0,5;0). 5. (1;5'°S2 7].
Вариант 8
1. f-1
;0)U[0,5;1). 2. [log2 14; log2 ^]. 3. (0;|] U[l;2].
4. (0;|)u(l;|). 5. (0; 1) U [\/3;+oo).
144
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАЁОТАМ
13. Определение
тригонометрических функций
Вариант 1
1. а) 2тг, б) у, в) Ц-. 2. а) 60°, б) 150°,
в) 135°. 3. а) у, А: е Z, б) 2тгА: + ^, А; € Z.
Вариант 2
1. а) |, б) у, в) 2. а) 30°, б) 270°, в) 225°.
3. а) 2тгА: + |, А: € Z, б) у + |, А: 6 Z.
Вариант 3
1. а) 315°, б) 40°, в) 150°. 3. 0.
Вариант 4
1. а) 110°, б) 105°, в) 54°. 3.
Вариант 5
2. -2. 3. а) тгА: + |, А; € Z, б) 2пк + 2пк + у, € Z. Вариант б
2. 0. 3. а) тгА: -Ь |, А; € Z, б) 2пк ± у, А: С Z.
Вариант 7
-------- 4
1. 2. Нет. Указание. 6\/5 = V'lSO > \/169 — 13;
2\/Ш = \/120 < \/121 = 11, следовательно ^2\/^ ^ 2.
3. а) у -Ь тгА: ± |, А: 6 Z, б) 2тгк -|- у; 2vrfc -27ГА-: -Ь |, А: е Z.
Вариант 8
1. у. 2. Нет.
3. а) y;7TA; + ^;7rA:+||,A:€Z, б) 2пк; 2тгА; ± у, А; € Z.
14. Тригонометрические тождества
145
14. Тригонометрические тождества
Вариант 1
1. а) выражение отрицательно, б) выражение положительно, в) выражение отрицательно. 2. —3.
3. а) — tg^2a, б) 2 sin а.
Вариант-2.
1. а) В1)1ражение отрицательно, б) выражение положительно, н) выражение отрицательно. 2. —4.
3. а) — clg^3a, б) 2 cos а.
Вариант 3
1. а) вы1)ажеиие отрицательно, б) выражение отрицательно. 2. ^2^- 3. а) 1, б) cos^a.
Вариант 4
1. а) вы])ажение положительно, б) выражение положительно, 2. —2. 3. а) 1, б) 1.
Вариант 5
1. sin.r= --i; tgx = -
\b\
2. a) 2, 6) 3. 2ctga.
Вариант 6
v/^^ictg^- -
1 I''! . a , M
l-cos.T = -^^p^;tgx = -^;ctgx = -y.
rv \ 1G ^ \ 3T Q r> i.
2. a) -Yj, 6) -j. 3. -2tga.
Вариант 7
1. 0; 2. a) a?-2, 6) в) ±\[^. 3. 0,1.
Вариант 8
1. 2. 2. a) ^2-f 2, 6) ± УРТ4, в) б'*-f 4&2 + 2.
3. 7
125
;i57 •
146
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
15. Формулы сложения. Двойные углы
Вариант 1
1. а) б) 2. а) tgl5°, б) tg2a, в) 2, г) 1.
Вариант 2
1. а) б) 2. а) cos^, б) ctg|, в) 2ctg2a,
г) tgfl.
Вариант 3
1. а) б) в) 2. а) -1, б) в) 1,
г) —2ctg2fv.
Вариант 4
1. а) б) в) 2. а) \/2, б) -1, в) ctga,
г) 2ctg4o’.
Вариант 5 ^
1. а) _-1, б) tga, в) tg'*0!. 2. |.
Вариант б
1. а) 1, б) tga, в) ctg'^a. 2.
Вариант 7
1. а) о, б) -1.
2. а) Указание, cos ^ = cos (тг — ^) =—
Затем домиожьте числитель и знаменатель выражения па Ssin^ и трижды примените формулу синуса
\/5—1
двойного угла, б) —|—. Указание. Заметим, что sin 36° = cos54°; 2sin 18° • cos 18° = cos 18°(4cos^ 18° — 3). Теперь задача сводится к решению квадратного уравнения относительно sin 18°.
Вариант 8
cos
2тт 7 •
1. а) -tg6a, б) -i. 2. а) б) \
16. Формулы приведения. Преобразование суммы
147
16. Формулы приведения. Преобразование суммы в произведение
Вариант 1
1. а) —sill33°, б) ctgl4°, в) sin-^.
2. а") 2 cos 35° • cos 15°, б) -2 sin 4а • cos 6а. 3. tg2a. Вариант 2
1. а) —sin36°, б) — tg6°, в) — cos||.
2. а) 2sinl6°-cos4°, б) -2sin^-sin^.
3. tg3a tga.
Вариант 3
1. 0. 2. а) ,/3cosl0“, 6)
3. ctg3a.
Вариант 4
1. 0. 2. a) cos20°, 6) —
’ ’ > cos 70°-cos 40°
3. tga.
Вариант 5
1. sin^:i;. 2. 2. 3. —4cosa • sin^
Вариант 6
1. ctg^a. 2. —1. 3. —4sina • sin^ (^ — I).
Вариант 7
1. 2. tg'*2a.
3. tg6a • tg4a • tg2a. Указание.
('S f*' ё g — ^Qg 6Q..COS 4a cos 2a ~
sin 2q(cos 2a—cos 6a-cos 4a) _
~ cos6a-cos4acos2a ~
_ sin 2a(cos(6a—4a)—cos 6a cos 4a) _
~ cos 6acos 4acos 2a — • • ■
148
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 8
tg'f.
3. — ctg 6ft • ctg 4a • tg 2a.
17. Простейшие
тригонометрические уравнения
Вариант 1
1. а) б) в)
2. а) 7rA;±|,A:eZ, б) ^ А; 6 Z,
в) тгА; -Т + тгА:, А: € Z.
Вариант 2
1. а) б) в) 2. а) (-l)*--+i^ + 27rfc,A;€Z,
б) тгА: ± Y’ ^ + I; 2^^" ± А; € Z.
Вариант 3
1 2тгА I 7г , 7г 2тгА , 5тг , тг , с\Т^к тг , ^
1. а) 3 ±18 + 12’^^'^’°' 2
в) тгА: ± А: 6 Z. 2. а) 1, б) Щ.
Вариант 4
I. а) f + - 11 f + (-1)‘+‘н - € 2,
б) |тгА; -I- А; е Z, в) тгА; + А; € Z. 2. а) \/3, б)
Вариант 5
63
Зтг
тгА; , 7Г тгА
1. а) Hj?,6)-^.2.^ + ^;^ + (-l)^f^,A:€Z.
3. 2. Указами е. Учтите, что |4а; — 9| ^ 1, кроме того, левая часть меньше или равна 1, а правая часть больше или itamia 1.
18. Тригонометрические уравнения
149
Вариант б
21
1. а) б) 5 - 2тг.
тхк , + 3. 2.
г. ЦП. , 7Г 7rfc
3 3
Вариант 7
1. ''а) —Ц, б) ^-12. Решение. arccos(sin 12) = = arccos (cos (I — 12)) = arccos (cos (| — 12 + 4тг)) =
= ^ — 12, так как — 12^ € [0;тг].
2. ^ + (-l)*^^,A:€Z.
3. —1. P e Ш e П и e. arccosx < 7t; tt + (a;^ - l)^ > tt, сле-догттслыю, arccos a: = тг и тг + (x^ — 1)^ = тг...
Вариант 8
1. а) б) ^ - 8. 2. ^ + I; лк ± |, fc € Z. 3. -1.
18. Тригонометрические уравнения
Вариант 1
1. 2тгА:-|,A;6Z. 2. ^ + |,A:6Z. 3.nk+f,keZ. 4. лк; ^ + j,keZ. 5. 27гА;-J± J.fceZ.
Вариант 2
1. 2лк.,кЕЪ. 2. лк + (—1)^^, к Е Z. 3. лk — ^,kEZ.
л лк
Зл
4. лк ToJ 9 + .,A;eZ. 5. 4лк + 9 i п ,к Е
Вариант 3
1. лк + лк- arctg kEZ. 2. ^ 2лк ± у, А: € Z.
3. 2тгА: + 2 arctg 3,k.EZ. 4. ^ А: € Z. 5. тгА; + |;
^ + J±f,fc€Z.
150
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
27rit±
А еК I JL еК J. Е 4. 7+14; 2 4’
Вариант 4
1. тгА: Т пк — arctg ^,к E.Z. 2, 3. 2тгк -1- 2тгк — 2 arctg j,k eZ. к e7j. 5. пк — 2тг/с; пк — ^,к Е
Вариант 5
1. тгА'-f- 27гА: - J± A:€Z.
2. ^ + fjj; ^ + f, А: € Z. 3. ^ -f f, /с € Z. Указание. Сделайте замену tg^ х ctg^ х = и, тогда
tg"^ X + ctg'^ X = V?
2...
4. —0; 5. а = 1; х = 2пк, к eZ.
Указание. Левая часть меньше или равна 2, а правая часть бо.пыне или равна 2.
Вариант 6
1. тгА:-J;27tA: + |± J,A:€Z. 2. пк\ ^,кЕ
2п _п п ^
8’ 8’ 9 •
3. тгА: -j- А; 6 Z. 4. — д 5, а = —X = 2пк -f-
Вариант 7
1. пк — j,k.EZ. Указание. Уравнение сводится к од-нороднолту - 4 sin^ х — (sin х — cos x)(sin^ х -Н cos^ х) = 0.
2. 2пк + ^ ± arccos ^,к eZ. Указание. Замените sin X + cos X = и.
2тгА*
3. , где к ф 9п, kEZ, nEZ. Указание. Домножь-те обе части уравнения на 2 sin | и преобразуйте все четыре н1)оизведения в сумму.
4. 2пк ±^,к eZ. Р е ш е н и е. 2 -Ь — > 3 и
4 — 2 cos^ 4.Т ^ 2, следовательно,
+ (4-2cos2 4t)>6,
19. Тригонометрические системы и неравенства
151
но 1-15 siii^ X < 6, поэтому 2 + J = 3, 4 — 2cos^4.Т = 2 и sin^х = \.
-Л
5. Ес.пи |а| >1, то 2 корня; если |о| = 1 или |о| = то
/о
3 корня; если |а| < 1 и |а| ф то 4 корня.
Вариант'8
^ 1. heZ.2.Trk-j + (-1)^' arcsin к е Z.
3. где к ф 9п, к Gli, п € Z. 4. 2тгк ± /с 6 Z.
/о
5. Если |а| >1, то 2 корня; если |а| = 1 или |а| = то
/о
3 корня; если |а| < 1 и |а| ф то 4 корня.
19. Тригонометрические системы и неравенства
Вариант 1
1. [2тгА-: -1- 2тгА: + , А: € Z.
2. (-| + 27rA:;27rA: + |),A:€Z.
3. |^7гА; - |^;7гА:-f , А: 6 Z.
4. ^7г(А: + п) -f |; 7г(А: - п) + ;
^7г(А; + п) — ^\п{к — п) + ^j , “к е
Вариант 2
п 6 Z.
1. (2л-А:-^;2лА:+fl) ,A:€Z.
2. + 27гА:;2тгА:-,A;€Z.
3. ^2лА: — 7г; 27r^■ — , А: 6 Z.
152
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
4. ^7г(А: t п) + 7г(^’ “ + f) ;
^7г(А: Т и) — ^;тг(А: — п) — , /с 6 Z, п 6 Z.
Вариант 3
пк -1 ^; 7г/с -f- ^ j и 1^— ^ -Ь 7г/с; тгА; -f-(2тгА- I |;27гА;-Ь у) ,fc€Z.
|;7г/с-|^и(7г/с-1-|;7г/с
7Г ^ у . V 7Г \
1,
2,
3. |^7гА:
4,
3. |^7гА: — у 7г/с — и ^тг/с-1-у 7г/с-I-
4. |^27г(А: + п) -Ь 2тг(А: - п) -Ь |^ ; f27r(A: Т п) + ?;2тг(А; - п) -f ке
я
kez. kez.
}■ п) -I- у 2тг(А; — п) + , keZ, n € Z.
Вариант 4
^2тг(к ант 4
1. ^27гА' — у 2тгА; + f) ^ 27гА:; 27гА: -Р у j ,
2. (2тгАт- у;2тгА: + |) ,A:€Z.
3. |^7гА:;7гА:-Ь и I^ttA:-Ь ||;7гА:-Ь ,А; € Z.
4. (|(A4-2n) + f;f(A:-2n)-pf);
(|(А: I- 2п) -Ь |; |(А: - 2п) -Р |) , к € Z,
риант 5
к С Z.
п € Z.
1.
27гА; — у 2тгА: -Р yj , А: € Z.
, (як , я як , Зя\ , - гу,
3. 1^—уР тгА:; тгА:-Р и ^тгА: + arctg4;7rA:-Р ^ ,keZ.
i. (я{2п + к) + - |;тг(2п - А:) -Р (—l)*'f + f) ,
t G Z, n 6 Z.
2тгА; ± у A; G Z.
Г 7tA: 7Г як я
[2 + G’ 2 3
, к G Z.
19. Тригонометрические системы и неравенства
153
I тгА;;тг/с + ^j U (пк + arctg3;тгА: + ,к€
4. ^2тгА: I-2тт + ; ^27гА: - 27гп - ,
А: е Z, 77 G Z.
Вариант 7
>1, 2пк\ 2тгк'^ и (27гА:; 27гА: + тг) U
и ^2тгА; -I- 7г; 2пк + , А: € Z.
2. (2пк — 27гА:^ U ^27гА: + 2тгА: + U
и ^2тгА7 + ^\2-пк. + 7Гj и ^27гА: + 2тгА: + ^j , Ас € Z. У к н л а п и е. Решите уравнение
sin X + sin 2х + sin Зх + sin 4.т = О
и примените метод интервалов 4тг
3. {-5} и
3 ’ ^
и
-^•0
о ,0
и{1}.
4. (тгА; -I- 7Г77, + arctg 2; тг/ + arctg З),
(тгАс + arctg 2; тг??, + ^;тг/ + arctg З), /с € Z, тг € Z. Указ а II и е. Воспользуйтесь тождеством
tg X + tg у + tg г = tg X X tg 2/ • tg г: при X -V у + z = тг.
Вариант 8
1. ^ I- 2тгА;; 2тгАс ~ j U ^2тгА: — 2лАс + U
и(2тгАс-|- f;2TrA: + , А: € Z.
4-
Зтг
и
и
3.
2. j^TrA: + ^; тгАс + и j^Tr/c + тгАс
тгАс + |^;7гА: + -^1 и |тгАс + ^ j ,Ас € Z.
"тг Зтг] , , ГЗтг с1 1 I / 1 \
4. (тгАг I- arctg 2; пп + arctg3; ^ — тг(Ас + тг));
{пк + arctg 3; тгп + arctg 2; ^ — п{к + тг)), Ас 6 Z, n€Z.
154
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
20. Свойства
тригонометрических функций
Вариант 1
7гк
1. X ^ I-t--jj-,/с G Z. 2. [—2;4]. 3. Четная функция.
4. То = ^. 5. — < а ^ \/2. 6. х > 2sin 3. 7. Плюс.
Вариант 2
1. .т 7^ I -I- J -Ь € Z. 2. [—1; 5]. 3. Четная функция.
4. То —• 5. а = 0. 6. X ^ 2cos4. 7. Минус.
Вариант 3
1. — ^ 2тгА:; ^-I-27г/с ,/cGZ. 2. [0;1]. 3. Функция об-2 1
щего вида. 4. о = д. 5. а < 2• (~°0! ~ 3);
(sin3;-|-оо). 7. Плюс,,
Вариант 4
1.
— ^ -\-2пк\-^ + 2тгк ,fceZ. 2. [2;3]. 3. Функция об-2
щего вида. 4. m = у. 5. а = 1. 6. (—со; — cos5); (cos5;-boo). 7. Л4инус.
Вариант 5
1. (^7тк\^ + пк ,k.Elj. 2. [4; 7]. 3. Четная функция.
4. 7() = 2тг. 5. 7/ = 1 при тгА: ^ X < ^ -Ь пк, /с € Z. 6. у =± 1 мри — ^ -t- 2тгА: < X < ^ -Р 2ттк, А: G Z. 7. Минус.
Вариант б
1. ^-Ь ^ ,/с G Z. 2. [2;3]. 3. Функция общего
вида. 4. То = 2тг. 5. ?/ = 1 при 2тгА: ^ х < тг2тгА;,/с € Z.
6. ?/ =± 1 при 2-кк < X < 7Г + 2тгА:, /с € Z.
20. Свойства тригонометрических функций
155
Зтг
7. Плюс. Указание. Поскольку — 1 < 1
= sm
Вариант 7
^-1
< sin 1,
1.2L
3’ 2
и
-2 + 2тгк; 2 + 2тгк 3. Нечетная функция. 4. То = 2тг. Указан и е.
,keN. 2. [cosl;l].
fix) sin ■ cos^ - =
. X X nX 1 .
= sin - • cos - • cos - = я sin ж
2 2 2 ^
_ sin x+sinx-cosj: _ “ 4 “
1+COS.T
sin x+ ^ sin 2.T
5. Множество точек ж = 0; у = тгп, п С Z.
6. /(.ж) > о при ж € R. Функция возрастает на промежутках — ^ + Зтг/с; ^-Ь Зтг/с
межу'1'ках
^ -f- Зтг/с; ^ + Зпк
, /с € Z и убывает па про-, к € Z.
7. ?/ = о при ж = 7г/с, fc С Z; ж ^ 0; при других ж функция не определена.
Вариант 8
1. [2,5; 7г] и ртгА":; 7Г-Ь 27гА';),/с € N. 2. [—sin 1; sin 1].
3. Четная функция.
4. То = 2тг. Указание. См. решение примера 4 из варианта 7.
5. Множество точек х = ^ + пк, А: 6 Z; у = 0.
6. /(.ж)>0 при жбК. Функция возрастает на промежут-
Тм ^ ^ ^ убывает на промежутках
j , А: € Z.
7. у = о при х—^-\- пк, А: € Z; при других х функция не опрсщслепа.
ках
п
12
7Г пк 12
I 7rfc п_ пк]
3 М2 3
156
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
21. Г рафики
тригонометрических функций
Вариант 1
1. 2) Прямая у = 1 с “выколотыми” точками
X = пк, к € Z. 3) Г рафик у = sin х на интервалах
(2тгА:; 7г 1- 2пк), к EZ. 4) График y = tgx\ хф к € i
2. I- тгА-; I -1- тгк'^ , А: € Z.
Вариант 2
1. 2) Прямая у =—1 с “выколотыми” точками X = ^,к eZ. 3) График у = cost на интервалах ^ -Б 2тгА;; ^ + 2пк'^ ,к eZ. 4) График у = ctgx\
X ф^,ке Z. 2. (-| + тгА:; | + тгА:) ,kEZ.
/
Вариант 3
1. 2) у = sin X -+- Vsin^ X = sin х -Ь | sin х| =
2 sin X при 2пк ^ х < тг -Ь 2пк, к EZ о при 7Г + 2-кк < X < 2тг -Ь 2жк, к eZ
3) У = I'g 'Т • I cos х| =
{sin X при — ? + 2пк < X < ? -Б 2тгк, kEZ
■к ^ 1тг
— sin X при 2 + 2жк < х < ^ -Ь 2ттк, kEZ 4) см. рис. 16.
2. ^27гА:; | -Ь 27гА;) , А: 6 Z.
Вариант 4
1. 2) у = cos .X -f \/cos2 X = cos X -t- I cos x| =
{2 cos .X при — ^ + 2тгк ^ .x < ^ -f 2жк, к E 0 при ^ -Ь 2тгА: < x < ^ -Ь 2-кк, к €
21. Графики тригонометрических функций
157
3) у = ct.g'.T • IsiiKTl =
"cos X при 2пк < X <п + 2тгк, А; € Z
— cos X при 7г + 2тгк <х <2тт + 2тгк, к
4) см. рис. 17. 2. + 2пк\2пк^ ,k.EZ.
у
Ч-
Вариант 5
1. 1) у — sin .т — cos а; = 2 sin (х — I) .
2) у = \/lgsin.T; lgsin7T.T^0; sin7r.r>l. Отсюда воз-
7Г 1
можно только sin 7Г.Т = 1; тгх = ^ -Ь 2пк\ х = 2 + 2А;, А: € Z
1 +tg
^ = I cosx'l, где X 7^ I -Ь ттк, к G
мпожсст'во точек х = ^ 2к, А; € Z, у = 0.
3) У
2.
Вариант б
1. 1) у = \/3sin X 4-cosx = 2sin (х-I-I) .
2) Множество точек х = 2к, А; € Z; у = 0. Указание.
См. решение задачи 1. 2) из варианта 5. 3) у= |sinx|,
где X ф тгк, к € Z.
9 /"_И- _nV
I, 2’ 3j ’ [З’ 2j ■
Вариант 7
1. 1) у . 2sin (2.x — ^) = 2sin2 (х — |) . Порядок построений: а) y = 2sin.x, б) y = 2siii2x, в) у = 2sin 2 (.х — ^) .
158
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
о
12:
Рис, 19
о
Рис. 20
2я
21.
71 X
22. Обратные тригонометрические функции
159
2) У=\ cos.t| • tg |а;| — функция четная. Если х ^ О, то
I sin X при cos X > О
^ ) см. рис. 18.
sm X при cos ,х < О
Не существует, если sin х ^ О
. Sin X '
см. рис. 19.
2..jT/-sinx| = ?/; у^О. у — sin X = у X = о
у — sin X = —у см. рис. 20.
если sin X < о ’
1
у = 2 sinx
X = 7г/с, /ь € Z, 1 .
у = 2 sm X
У = 0.
Вариант 8
1. 1) у = l,5sin (|х — I) = l,5sin (5 (х — I)) . Порядок построений: а) y = l,5sinx, б) y=l,5sin|, в) у =
= l,5sin (5 (х — I)).
sin |2л;| , „
2) у = I — функция четная. Если х > 0, то
У
811)2.7: f2cosx при sinx>0
= т~----1 = 'S о • ^ г, 1 см. рис. 21.
S1I1X 2cosX при sinx<0 ^
3) См. рис. 22.
2
1
y = z
sin.x+l sin.x|
, если sin X > о
sin X ’
Не существует, если sin х ^ 0
2. |y-cosx| = у; у >0.
cos X = о 1
у — cos .X = у у — cos .7; = — у
у = 2 cos X
ж = 7г + тг/с. А: € Z
Г
У-
2 cos X
у ^ о, см. рис. 23.
22. Обратные тригонометрические функции
Вариант 1
1.
6.
1;3]. 2. [-3;тг-3]. 3. |. 4. 2%/2. 5. х =-2. j) ■
160
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 2
1. [-4;-2]. 2.
5. .т = Г>, 6. (У' Вариант 3
_ О 2L _ о 2 “^’2 ^
S Ъ/1 л
3 . 4. 3 .
1. [2; 4]. 2.
в. |'| - f
4l4+f
3 3 ^ ^
• 4-/Ш
.5. а: = 0.
;1
Вариант 4
1. [-2;-1]. 2. 6
2; 2 +
3 4
7’ 7 14
-м- Л'
Вариант 5
1. [0; 1]. 2. ^-оо;—^ U 3. arcsin (sin ^) =
= arcsin (sin (тг — ^)) = arcsin (sin = ^. 4.
5. X = Решение, arcsin x = ^ — arcsin |; sin(arcsin .7;) = sin (| — arcsin |) ; x = cos arcsin |;
X = - y; X > 0; x2 = 1 - X =
Г 3x — 2 > 5x — 3
6. f;^)- Решение. <—l<3x —2<1
-l<5x-3^1
Вариант 6
1. [-1;1]. 2. [^i+oo).
3. arccos (cos = arccos (cos (2тг — ^)) = = arccos (cos = ^. 4.
22. Обратные тригонометрические функции
161
5. X— Решение, arcsin х= ^ — arcsin |; sin(arcsin х) = sin — arcsin | j ; х = cos arcsin
Ж=у1-у; х>0; Зх = \/9 - х =
6. (-ос;-1]и(0;1]. Р ejy
Вариант 7
Р ejy с и и е. ^ ^ ж; ^0; ^
1
<0.
1- {-П- 2. [V|;+cx)
3. I". Решение. tg(arctg(\/^ + 1) — arctg(\/2 — 1)) =
= следует, что arctg(\/2 + 1) —
- arctg(\/2- 1) = J.
4. у = cos(2 arcsin x) = 1 - 2x^; —l 0. x"^ = 4 - 4x^; 5x^ =4; x =
Вариант 8
Рис. 25
162
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
--f-
3. 7. Р с ш е н и е. tg (arctg | -|- arctg = 1. От-
сюда следует, что arctg | 4- arctg 7=4-
4. у = cos(2 arccos х) = 2х^ - 1; —1 < х < 1.
5. у = arccos(cos .т). Решение. То = 2тг. При 0 ^ х < тг у = х; при 7г^х^2тг y = arccos(cos(2Tr —х)) = 2тг —х. Тогда о < 2тг — X < 7Г. См. рис. 26.
6. X = ;.х = ^. Решение. arccos xj arccos х =
I \2 7Г . г>
= 7^; (arccos)^ — arccosх + = 0.
18’
Отсюда arccos х = ?; arccos х =
Х2 =
1
3-
Тогда
-Л.
XI — 2 .
10 класс. Ответы к контрольным работам
1. Действительные числа
Вариант 1
1. а) 2, б) 32, в) иГГЬ. 2.
3. а) УТ2 - \/ТТ > \/13 - yi2, б) + VTT < 4 + VTS.
4. 2.
Вариант 2
1. а) SA б) в) -’У18. 2. 3^-,3/г/.
3. а) /14 - УТЗ > Лб - /3, б) 3 + /17 < /П + 2/3.
4. а.
Вариант 3
1. а) ‘т, б) /И, в) 1. 2. а) б) 0.
3. а) /27 + А < /13 + /15, б) А + /10 < А + /ТЭ.
Вариант 4
1. а) 4, б) А, в) 7. 2. а) -0,8, б) 0.
3. а) /12 +/17 А+А.
2. Степенная функция
Вариант 1
1. а) (-2; 1] и [1,5; 2), б) (0; 1) U (1; 3] U [5;+оо). 2. а) решений нет, б) 4, в) 1. 3. См. рис. 27. 4. х ^ —2; х > 3^.
164
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 2
1.а) [-4;§)и(1;4], б) [0; 1)U(1; 2)U(3;-Ьоо). 2. а) -4, б) о, в) —4; 1. 3. См. рис. 28. 4. х ^ —4; х ^ —1.
Вариант 3
1. а) ( оо;3)и{4}и(7;4-сх)), б) [-4;-2). 2. а) 1, б) -—2,5; 2,5; 9, в) -|;1. 3. См. рис. 29. 4. х~^0.
Вариант 4
1.а) [-4;1)и(1;2], б) [-5; 1) U {5}. 2. а) 5, б) -3; 2; 3, в) —3; 3. См. рис. 30. 4. 1 ^ х < 1,5.
3. Показательная функция
Вариант 1
1.
4/5-6
< • 2. а) 5, б) 3, в) 0;^.
3. у - 2. 4. а) X ^ -2; х ^ 4, б) х < 1. 5. (2; 1).
Рис. 29
4. Логарифмическая функция
165
Вариант 2
1, ("зуыуч (зф!
2. а) 2, б) 0;1, в) 0;1. 3.|^ + 2.4. а) (-2; 1)U (3;+оо), б) (-оо;1). 5. (3;1).
Вариант 3
ь
2. а) —б) 1,5, в) -2; —1. 3. См. рис. 31.
4. а) [-8;-2], б) [2;+оо). 5. (0;0)(1;1).
Вариант 4
2у/30-5А , ( 2х/30-5 \ ”
>
V 6
2. а) 8, б) 0,5, в) —0,5. 3. См. рис. 32. 4. а) х < х>1, б) х^1. 5. (|;i)
Рис. 31 Рис. 32
4. Логарифмическая функция
Вариант 1
1. а) 4, б) 0,5. 2. а) 2; 8, б) 2, в) 3;27. 3. См. рис. 33. 4. (-2;-1)и(2;3). 5. (|;|)(3;9).
Вариант 2
1. а) -2, б) 1,5. 2. а) 3;9, б) 0, в) 10-'^;10. 3. См. рис. 34. 4. (-5;-2) и (4; 7). 5. (^;|)(2;4).
166
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Рис. 34
Рис. 35
Рис. 36
Вариант 3
1. а) -1, б) 1,6. 2. а) о, б) |;2, в) 1. 3. См. рис. 35. (з! 2) (2’2)(2’‘^)'
Вариант 4
1. а) 12, б) 16. 2. а) —1, б) ]^;8, в) 3. См. рис. 36. 4. (1;2). 5. (3;|)(3;9).
5. Тригонометрические формулы
Вариант 1
1. п I- ft = 3. а) - tg2a, б) -1, в) 5. 4.
6. Тригонометрические уравнения
167
Вариант 2
1. O' -I /1= 3. а) tg4o, б) -i, в) 51^^. 4. 1.
Вариант 3
1. sino = |. 3. а) tg"*Q, б) 4. а) б) -3.
Вариант 4
1. cosf = -|. 3. а) tg3o, б) 4. а) б) 1.
16’
6. Тригонометрические уравнения
Вариант 1
1. 7гА;-| |;2тгА:, keZ. 2. тгА: + {-1)''|; 2тгА: + |, fc € Z.
3. пк — тгА: + arctg 3, /с € Z.
4. ТТЛ’; ^ fj ’ 0 , fc €
5. 2тгА: — ^\пк ^
. ^ 21П ^
^ + (—1)*"'arcsin /с € Z. 6. (тгА: -}• у; тгА; - I) , keZ. 7.^- 10.
Вариант 2
1. 7гА:;2тгА: + |, А: € Z. 2. тгА: + (-1)'=+Ч, А: € Z.
оТгА:,1 ^ п 1 ^ >7, . ттк 2тгк , п тгк п i ^ г?
3. 2 Т 2 f^rctg 2, к 6 Z. 4. ^ ^ 10 ’ 2 — 2 > ^ ^
5. 2тгА;; тгА: — тгА; + А: € Z. 6. ^тгАг; —ттк + §■) > А: £ Z.
7. - 15.
Вариант 3
1. A-eZ.
2. А; £ Z. 3. тгА; тгА + J, А £ Z.
168
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
л 7ГА* , 7Т 7г/с I 7Г 7 I ^ 1 ^ *77
~ 8 ’ + 4)^^+^) /cGZ.
- 2тг 7тг 3 ’ 12 ’
6, fceZ. 7,f.
Вариант 4
1. ^ i А: 6 Z. 2. тг/с ± 2ттк ± (тг — arccos |), к €
е Z. 3. 4тгА^ - f ± т-
keZ. 4. fc€Z. 5.
R (ик I ZL , /■ ZE с nfeZL^ 7
I, 2 Г) 6’ 2 “ 6 10 •
7. Тригонометрические функции
Вариант 1
2. (2;тг]. 3. [-5; 5].
Г1 при 2-кк < а; < 7г -Р 2тг/с, А: 6 Z
4. •(/ = <
1^ — 1 при — тг -Р 27гА: < X < 2пк, /с € Z
8. у = .т + 1; 1 < ж ^ 3.
Вариант 2
2. (-];()]. 3. [-2;2].
Г 2 cos ж при — ? + 2тгА: < ж ^ ? -Р 2тгА;, /с € Z
4. у = < ^ 3_
[о при 2 + 27ГА: < ж < ^ -Р 2тгА;, А; € Z
5. 7rj и ^7г; —\/3. 7. 2тг — 4.
8. у = X — 1; —2 ^ ж ^ 0.
Вариант 3
. 3. [-5; 5].
1 при — ^ + 27гА: < ж < ^ -Р 2ттк, А: € Z -1 при ^ + 2пк < ж < ^ -Р 2тгк, А; € Z
8. Итоговая контрольная работа
169
5. . 6. -у/Ъ. 7. 2 - тг.
8. у = —X + 3; О ^ а: ^ 2.
Вариант 4
. 3. [-2;2].
Г О при 2пк < X < тг + 2Trfc, к
^ 2 sin X при — тг + 2тгА; <х < 2пк, к El>
5.
_ 5тг _тг\ . . /тг п 4 ’ 2^ 2М_
8. у — —X + 3; О < X ^ 2.
. 6. 7. 2,5тг - 7.
8. Итоговая
контрольная работа
Вариант 1
1
1. sin о — 1. 2. 0. 3. 3. 4. 2 <а:^2; х< —10. 5. 5. 6. тгк-2тг
- -|;2тгА'± Y,fc6Z. 7.
—7‘ -
8
. 8. См. рис. 37.
-1
1 0 X
-1
Рис. 40
170
10-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 2
1. -1. 2. ();1. 3. 1. 4. х^-13; 3<х^4. 5. 4. 6. тг/с + -h ^;тгА:/с € Z. 7. |^—8; —4| . 8. См. рис. 38.
Вариант 3
1.^.2. тгА: + arctg /с € Z.
3. К л: < 2; 2\/2 < .т < 3. 4. 1. 5. 6. 0.
7. х = —2; .X > 2. 8. См. рис. 39.
Вариант 4
1. 2; 64. 2. 7г/с-f arctg(—1 ± \/3),/с € Z. 3. —1<а;<0; ^Д < X < 2. 4. 0. 5. 1,5. 6. 0. 7. ж = 0; X > 3.
8. См. рис. 40.
11 класс. Ответы к самостоятельным работам
1. Производная
Вариант 1
1. у' = 6х-2. 2. (“005“;^) и (-^;+оо^ . 3.8 м/с.
4 _ / 2 при а: > 1,5
•' ^ \ -2 при а: < 1,5 '
5. (-оо;-2]и[2;3).
Вариант 2
1. ?/ = -8,т+1. 2. (-1;0) и(0;1). 3. 20 м/с. "•№>={-3 Вариант 3
1. у' = Ъ:^-8х. 2. (-1;0). 3. у = 3х.
5. (-1;15].
при X < о ^ '
/'(»■) = {_1 Вариант 4
1. у'= 3x^ + 3. 2. (—оо;0) и [1;+оо). 3. у = 5(х —2).
I- /'(-г-) = { _J
при ж > 1 при ж < 1
1. (2; 21).
172
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 5
3, /(.7.) = 27;2 - 3; f{x) = 3v/l5.
{—2 при z < —1
О при -1 < Z < О . 5. (—3;2).
2 при I > О
Вариант б
= (3;3|). 3. /(z) = -3z2 + 5, f{x) =
{0 при X < —1 2 при —1 < X < 1 . 5. [1; 2].
О при X > 1
Вариант 7
~2n/I-x‘ (i’ ■^°°) ■
4. А=Л. 5. (log2 5;-t-oo).
Вариант 8
1. у' = *^ (§’ • 3- см. рис. 2.
4. /? = 1. 5. (-оо;1].
рис. 2
2. Правила дифференцирования
173
2. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции
Вариант 1
1. -32. 2. -26. 3. 3. 4. 0. 5. у = \/Ъх + А + 2s/Z. Вариант 2
1. 4. 2. 0,48. 3. -1. 4. 0. 5. у =-^/2x-\-2s/b - А. Вариант 3
2(х"'2р?^- 3. 1. 4. (I; +00). 5. !,= ix + ^.
Вариант 4
1. 16,5. 2. 1 3. -3. 4. (0; ✓З]. 5. у =
_ 12 59
- 7 •''' 7 •
Вариант 5
1. 11. 2. 3. [—1;0). Указание. Зх^ — х + 2 = (х +
+ 1)(3.г^ - Зх + 2). 4. (о; . 5. у = |х - ^.
Вариант б
1. 0. 2. 39. 3. (0;1]. Указание. 2х^ — + х — 2 =
= (.т — 1 )(2х^ + X + 2). 4. (—оо; |). 5. у = —х — 7.
Вариант 7
1. 4. 2. см. рис. 3.
3. . Решение.
x‘'vx4 —1 _________ _______________
Пусть и = (2x^ — 1) ■ \/1 + х^, тогда и' = 4хуТП? + X _ 4х(И-х^)+2х^—X _ Зх(2х^+1)
v/1+а
174
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
/ V 1
У = ------------9x6--------------=
_ 9х^ (2.x'* +х^—2х*^ +х^ - 2х^ -И)_1
9х®-\/х^+Т x^-Vx^+I'
4. ае (1;2)и(4;5). Ъ.у = \х + \.
7-Ь2>Ух
32-
8
1. —Указание, у'= —
2. см. рис. 4. 3. - „ „ г.-----
х^ ^(2-t-x^)6
Р е III о и и е. Пусть и = х ^(2 -Ь x^Y = х(2 -Ь х^) з. Тогда и' = (2 + х‘^)з -f X- |(2-Ь х^)~5 -Зх^ = (2-|-х^)з -f- ~
2+.x'*-f 2х'* 2+3x6
У =
(2+.х-*)з (2+х-З)^ ■
9.х2 X ^(2+хЗ)2-(4+Зх6)•
x2(2+x6)i _ 9х-*(2+хб)-(4+Зхб)(2+Зхб) _
.х^(2+хб)з
^ 18.хб+9хб-8-6хб-12хб-9хб ^ 8
,х2(2+хб)^ х2 i^(2+x6)6
4. m € (0; 1) U (2; 3). 5. у = jx -
3. Геометрический смысл производной
175
3. Геометрический смысл производной
Вариант 1
у = 7х — 6. 3. у = 7х — 3.
1-2
1.
Вариант 2
1.'|Г 2. у = -9х-3. 3. у = -3х + 3.
Вариант 3
1. у = 2х-2] у = 2х + 2. 2. (0;2); (-2;0). 3. у = -8х + + 15; у = 8з; — 1.
Вариант 4
1. 2/ = 2.г + 4; у = 2х-4. 2. (-1;0); (-3;2). 3. у = —2л; + 1; у = —18х—15.
Вариант 5
1. (3;—16). 2. (1,5;—2). У к а з а н и е. Если касательная перпендикулярна прямой у = 2х — 1, то ее угловой коэффициент /с = —I и значение производной в точке 1 7
касания равно — 2- arctg jg. Решение. Угол меж-;;у гра())иками равен углу между касательными, проведенными в точке их пересечения. Найдем абсциссы то-
12
чек пересечения: х^ — х = —. Отсюда Тц2 2. f'{x) =
= 3x^ — 1; д'{х) = —-^. Тогда угловые коэффициенты
касательных в точке их пересечения равны A:i = 11;
/с2 = — 3. Первая касательная составляет с осью ОХ
угол 2 = п — arctg 3. Если
а — угол между касательными, то tga = tg(<^2 ~ <^i) =
- - .Г-З-П - X Отсюла ft - arctp-^
“ l+tgwi-tg 0. При его решении нужно учесть, что In 0,2 < о и > о. Тогда
—2 sin 2.x — 1 < о и — ^ -Н тгА: < X < ^ + тгк, /с € Z.
„ (. И) , З^+ЧпЗ 3*-^1п3
V'^h^+V- Указание.|/= 1^3 - =
_ _ 3I-T Теперь решите уравнение З^^-' _ 3*-^ = 8.
178
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 6
sill 2х
Указание. См. пояснения к задаче 1 ва-
рианта 5. 2. ^ + 7г/с; ^ + nkj , к Указание.
См. решение задами 2 варианта 5. 3. (0;10). У каза-н и е. См. пояснения к задаче 3 варианта 5.
Вариант 7
1. / lux
\ COS^ .' с X /
y = x}i'- '■ = (е‘ ni^tga; _ gl
у'{х) = "•(^tga:
2. arctg ip. ; III e H и e.
Решение.
ресекаются в точке х= Пусть <р\ — угол, составленный касательной с положительным направлением оси ОХ к кривой y = tgx, а у>2 — к кривой y = ctgx.
t;g' X =
COS'^X
2 т 1
tgV’l =
COS
2 Д
= 2.
cXg! x = — -.-К ; tgu>2 = ——=—2.
^ sin^x’ sin^l
= arctg 2; = тг — arctg 2.
Пусть угол между касательными д. Тогда
gi g((/?2 V’l) — i-ftg(p,.tg О уравнение имеет один корень, когда графики касаются в некоторой точке М = (.то;;//о). Уравнение касательной к кривой у= ах^ имеет вид
У = Уо + 2ахо{х - хо), а к кривой у — 1пх —
У = Уо + - Хо).
В точке М = {хо]Уо) значения рассматриваемых функ-
ций равны. Тогда Отсюда .'Со = а =
2ато = ^ —axQ = Inxo—1
5. Исследование функции
на монотонность и экстремум
Вариант 1
1. а) Возрастает на (—оо;—2]; [1;+оо); убывает на
10 7
[ 2; 1]; Ушах ~ у{ 2) — j/niin ~ У(1) ~ gi Убывает на (—оо;—1]; возрастает на [—1;-|-оо); Ут\п=у{—^) = — 2. а € (—оо; —4). 3. а € [1; +оо).
J80
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 2
1. а) Возрастает на (—оо;—1]; [2;-рею); убывает на
[-1;2]; ?Ушах = у(-1) = 7,5; Утш = 2/(2) =-6; б) Возрастает на (-оо; 1]; убывает на [1 : +оо); 2/тах = 2/(1) =
2. 6б(—оо;—3). 3. рС[1;+оо).
Вариант 3
1. а) Возрастает на оо;—; |^|;-|-оо^ ; убывает на [-i;0); (0;|]; /„ах = /(-!)=-7; /„;„ = /(|)=5; б) Убывает на ^0; g j ; возрастает на ^;-foo^ ; 2/min =
= у 2. а = 1. 3. ± ^ -Р 2жк, к тг -Р 2жк,
kez-
Вариант 4
1. а) Возрастает на (—оо;0); [2;-Роо); убывает на (0;2); /mill =/(2) = 3; б) Вбзрастает на (0;е]; убывает на [е;+оо); /„^х =/(е) = 2. 6 = 2. 3. ± у-Р 27гА:, fceZ;
2пк, кеТ.- Y-
Вариант 5
1. а) Возрастает на [0;-Роо); убывает на (—оо;0]; /mill = /(б) = 3,5; б) При а<0 возрастает на К; при
а>0 возрастает на оо; —^^;-pooj; убывает на [-у^; • /max = / = у /min =
= /) = ~уУказание, /'(x) = 3x^ —а. При
я ^ о f'i^) ^ 0) т.е. функция возрастает. При а > 0 нужно решить неравенства Зx^ — а ^ 0 и Зх^ — а ^ ^0. 2. а) возрастает на К. Решение, /'(х) = —2х х0,3'*“^^ • 1п0,3. 0,3'*~^^ > 0; 1п0,3<0. В таком случае
/'(х) > о на R. б) возрастает на — ^ + 2ттк-, j -Р 2тг/:| ,
/с 6 Z и убывает на
[f
-Р 27rfc; ^ + 2як
к е
5. Исследование функции на монотонность и экстремум
181
Вариант б
1. а) Возрастает на [0;+оо); убывает на (—оо;0]; /min = /(()) = 2,5; б) При а ^ О убывает на R; при
а>0 возрастает на 3^“-
ваетиа •^'"“‘ = /(-\/^) = з\/^;/min =
=-^(Vife) =-|\/Е- 2- убывает на (|;+оо).
Р е HI о II и с. /'(.т)=^2х-3^1п0 3’ — 3>0; In 0,3 < 0. От-
сюда cjuviyer, что /'(х) < о при т > б) возрастает на Зтг , п_1.1^ keZ и убывает на
-f 2,ттк, Вариант 7
-■J 4-27гА:; + 27гА:
, A:€Z.
^ + 2nk-J-f +
1. а) Убывает на ; возрастает на [“Hi+oo);
/шш=/(-Ц)=-^; б) Возрастает на ^-оо; logj У|];
убывает па ^logj ^|;+оо^; /max=/(log2 = ^У|.
Р е III е II и е. f'{x) = 3 • 2^^ 1п2 - 5 ■ 2^* In2 = 2^^ 1п2(3 --5•2^•'). f(x) = 0, 2^^ = |, x = \og2\j\- /'(х)>0, если .T\og2\j\- В таких случаях функция достигает максимума в точке х = log2 \J\\
а iog2
/max = 2''‘”-V5-2®'°e2\/5 = ^^|.2. (-оо;-3]. Указан II о. у'{х) = 3(о 2)x^ — бат -Ь 9а. у'{х) < 0, если
Г ft "Ь 2 <[ о
\ W < о *
3. а ^ 0. Р е III е н и е. у'{х) = 2е® -|- ^ + 2а -I- 1 =
_ 2е^^+а+2ае^+е’^ _ 2е^{е^+а)+(е^+а) _ (е^+а)(2е^+1)
“ “ е* “ е® ■
2с'’ I 1
Т.к. —J— > о, то е* -I- а > о при любом х, если а ^ 0.
182
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 8
(27 —оо; ^
; возрастает на
27 , \
64>+°°j ’
fmm-f (Ц) = 2) убывает на (-оо;logg 2]; возрастает па [log3 2;-t-oo); =/(logs 2) =-16. 2. (-оо;-3];
[1; -foo). Указание. у'{х) = (a^ — 1)а: + 2{а — 1)ж -Ь 2.
При а=1, у' = 2>0. Кроме того, ^ ^ J0 < О ’
3. m ^ 0. Указание. Представьте f'(x) в виде (е^+т){е^+2)
2с'-
6. Графики функций
Вариант 1
2
1. 1) см. 1)ис. 6; 2) Если а = 5з — два корня, если а 6 2
6 (—5; 5з) —гри корня, если а = —5 — два корня; 3) см. рис. 7. 2. см. рис. 8. ^
Вариант 2
1. 1) см. рис. 9; 2) Если а = 2 — два корня, если а Е (—2; 2) — три корня, если а = —2 — два корня; 3) см. рис. 10. 2. см. рис. 11.
5-1.
- / /-Г
- ^ 3
U =-/( 4-
4'
рис. 7
6. Графики функций
183
рис. 1 1
рис. 12
рис. 13
184
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
рис. 16
Вариант 3
1. 1) см. рис. 12; 2) При аб(—оо;2) — два решения, при 0 = 2— одно решение; 3) см. рис. 13. 2. см. рис. 14.
Вариант 4
1. 1) см. рис. 15; 2) При о€ j^l; — корней нет, при
о = 1^ — один корень, при о€^1^;+оо^ — два корня; 3) см. рис. 16. 2. см. рис. 17.
Вариант 5
(Х“ 1
1. /(.т) = , D{f) : I ^ —1, нуль функции х = 1.
6. Графики функций
185
рис. 18
f'{x) = Критические точки: х = —3; а; = 1.
-3
max
--------1
-II
функция не определена
- О -Г fix)
1
min
fix) X
Ушах = /(-3) = -8; y„,i„ = /(1) = 0. f{x) = x-3 + при X —+± oo f{x) —> ж — 3 — наклонная асимптота. См. рис. 18.
7'*
2. у='-р, D{y) = R, нуль функции ж = 0. у'{х) =
е^-ж^(3-.г-) .г•^(3-ж) г. о
=---------- = —Критические точки: ж = 0; ж = 3.
-I- о -Г о
У'{х)
3
max
у{х) X
186
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
рис. 19
27
2/(0) = 0; у(3) = 73- sa 1,34, при х +оо у ^ 0; при
X —оо у ■
-З
—оо. См. рис. 19. Уравнение а - = х^\
27
27
— а. При а > 75- — корней нет, при а = 73- — один ко-27
рень, при о < а < 73 — два корня, при а ^ 0 — один ко-
рень. Вариант 6
1. Аналогично примеру 1 из варианта 5. D{f):x^l, нуль функции .т = -1. г/тах = 2/(-1) = 0; Утш = У(3) = 8. у = X + 3 — наклонная асимптота. Функция возрастает на (—оо;—1] и [3;-t-oo). Функция убывает на [—1;—1) и
(1;3]. 2. у=^, D{y) = R, нуль функции т = 0. у'{х) = 2х-е^-х^-е^ х(2-х'
gi
о
. Критические точки: а; = 0; ж = 2. + о - у'(х) ^
о
min
2
max
У(х)
2/min(0) = 0; ?/max(2) = ^«0,54, при T-^-foo у^О; при X —> —оо у —»-foo. См. рис. 20.
Уравнение те^ = х^; ^ = т. При m > ^ — один корень,
4 4
при m = 72 — два корня, при 0 < m < 7^ — три корня,
при тп = 0 — один корень, при m < 0 — корней нет.
6. Графики функций
187
Ti к
1
-2 -1 -I 1 2 X
рис. 21
Вариант 7*
1. у = х— v^; D(y) = Е, нуль функции ж = О, ж = 1.
2 8 у' — 1 — 3^- Критические точки ж = ^ и ж = 0.
I производная не определена - О + у'
о:
max
_8_
27
min
вторая производная не определена
+
W о1
Утах — ?У(0) — 0; Уп\т — У^2т'^— 27'^ —
9.тЗ
■жу^О. См. рис. 21. 2. у = у^ж^ — Зж + 2, D{y) = Фу.,кц,™ х = 2; X=L =
3 ^
Критические точки; а: = 1; ж = 2.
у" >О при нуль
производная | не определена i 1 0 + j производная 1 не определена
1 \l У X
тт
188
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
_ 1 ч — х^-Зх+3
J/.i.iM - VK^) - ~щ- у - 9 • (а;2_3з;_,.2) •
X =1 II X — 2— критические точки.
вторая производная | не определена \
\ вторая производная j не определена
-t-
-h
\\ W |2 ГЛ
точка перегиба точка перегиба
у(1) = (), ?/(2) = 0, у(0)= v^wl,26. См. рис. 22.
Вариант 8"
1. 1\ч11Я01'ся аналогично заданию 1 из варианта 7. См. рис. 23. 2. Реилается аналогично заданию 2 из варианта 7. См. рис. 24.
2 3 а
'
0 .2 ;
и ч S
-2
рис. 23
рис. 24
7. Наибольшее и наименьшее значение функции
)89
7. Наибольшее и наименьшее значение функции
Вариант 1
1. шах(_^.1) у = 1/(-4) = 16, min(_4.i] у = у{0) - 0.
2. тах(_|.|1 у = у(-|) = |, тш[_|.|] у = у(|) =
3. .§ = 6.
Вариант 2
1. шах[„.2,5) У = у(0) = 2, miii[o.2,5) у = у(1) = 1,5.
2. шах[_|.|] у = 1 + |, у = у(|) = -1 -
3. 5 =
Вариант 3
ILL
2А'
1. 1шп|..|.,|у = у(0) =0, max[_i.j]y = y(l) = 24. 2.
3. 1шгх[_1.4) у = 8, min[_i.4j у = 4. Решение. у=|.т — — 11 I- |.7; — 5|. Из рисунка следует, что тах[1.4]у = 8, miii[,;.,)y = 4.
Вариант 4
1. miii[. 4..,)y = y(-2) = 3е^, шах|_4.4] у = у(-4) = 7е'‘.
2. In 2. 3. inax[_x.5| у = 2, min(_i;5] у = —4. Указание. За;;ача 1)ошается а'налогично задаче 3 из варианта 3.
190 11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 5
1. Решение. См. рис. 26. РМ РК
3 . .го ъй — 7 Sin 45 =
8 •
2. тах(о;|]/(ж) = 1,5, ти\щ] f{x) =
3. у = — \/Зх -f 2у/3 -f 6. Решение. Уравнение прямой, проходящей через точку (2; 6) (см. рис. 27), имеет вид у = кх — 2к -f 6. Очевидно, что к<0. Если ж = 0, то у =
— 6 — 2к>0, ОЕ = 6 — 2к. Если у = 0, то .т = ^ OF =
= х= l = OE + OF = e-2k + 2-^ = S-2k-^; - ■ 6 2(4/3+fc)(v^-fc)
I \Х) — + 1^2 — ^5 )
\/3 — к. > 0. 1'{к) = о при к = — \/3.
о + Л 1\х)
-V3
min
о 1(х) X
В точке к = — \/3 функция достигает наименьшего значения, тогда у = —у/Зх + 2\/3 + 6.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции
191
Вариант 6
1. \/2. Указание. См. реиюние задачи 1 из варианта 5. 2. 1пах[|.|] /(ж) = min[-.|] f{x) = 1.
3. у = —2.Т -Ьб. Указание. См. решение задачи 3 из варианта 5.
Вариант 7
1. .'С = 2. Р е ш е н и е. 1) Рассмотрим функцию /(ж) = = >/3 - ж -t- х/ж - 1; £)(/) = [1;3]. /'{х) = —^^д^ +
1 \/3-ж—Уа:-1 гп \ r^ г.
+ =ivFBVCT 1 ° "Р" ^ = 2.
+ 0 - /'(т) ^
1 3 /W ж
тах[1;з] /(ж) = /(2) = 2. 2) Рассмотрим функцию д{х) = = ж^ — 4.Т -Ь б = (ж — 2)^ + 2. min[i.3] у(2) = 2. Учитывая пункты 1) и 2), можно сделать вывод, что ж = 2 — решение данного уравнения. 2. Решение, /(ж) = sin ж — — sin'^x; sinж = ^, -1<ж^1. p{t) = t — t^\ p'{t) = l —
= i\/3)(l -(-i\/3). p'{t) = 0 nput — --^ =
It -1 1 ~^/з 1 v/3 1
P{i) 0 2ч/3 9 2х/3 9 0
min[_i.i]p(0-- 9 __
Следовательно, min[_^.^-] /(ж) > —Jg-3. Ha расстоянии 9 км от населенного пункта.
Р е ш е и и е. Пусть А — трактор, С — населенный пункт,
М — место выезда на шоссе. Пусть ВМ = ж км. AM =
18
18-
= х/2?2 + ж2; ti = , 45—.ж
^2 = -55-
х/729+.х2 44
рис. 28
192
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
t = Ц -I-1.2 = .//„ч .г-
УТ29±х2 , 45-х
44 + “5^
1 55.T-444/729-fx2
* 44ч/729+.г-2 55 44-55V^29+^ ■ i (х) О при
X = 36.
- 0 + t’(x) ^
0 ^ Ц ^ 45 t{x) X
тт
Следоиательно, ВМ =■ 36 км, т.е. на шоссе нужно въехать на расстоянии 9 км от населенного пункта С.
Вариант 8
1. .X = 0. Указание. Задача решается аналогично задаче 1 из варианта 7. 2. Указание. Задача регнается А аналогично задаче 2 из варианта 7. 3. На шоссе нужно въехать на расстоянии 8 км от магазина. Указание. Задача решается аналогично задаче 3 из варианта 7 (см. рис. 29). А — база, С — магазин, рис. 29 М — место выезда на шоссе.
8. Первообразные
Вариант 1
1. 1) + С-, 2) F(x) = |х-|- |sinx-bC;
3) Fix) = 31.1 |.т| + С; 4) F{x) = + С.
2. F{x) = — ^ cos4.T -f |. 3. у = .т^.
Вариант 2
1. 1) F(x) = -^ + - is + С"; 2) F(x) = ^x- |sinx-l-
0,7*
-Ь С; 3) Fix) = 11.1 |х| -Ь С; 4) F(x) = ^
2. Fix) = j siii4.T -f 3. y = x^ — l.
+ C.
9-й кл. Самостоятельная работа N«8
193
Вариант 3
1.1) F(x) = 2.т^ - 4.т2 - 4х -Ь 3 In |а;| -Ь I -Ь С; 2) F{x) = = |.т\/х — eyi-f С; 3) F(x) = I sin 2х — ^ sin 12х-Ь С; 2. Fix) = -X - log4 хЧ- 5. 3. f;
Вариант 4,.
1. 1) /''’(х) = Зх^-Ьбх^-6х-Ь71п |х|-|-^-J? + C; 2) F(x) = = |х‘^ • \/х + 3 ^ -f С; 3) F(x) = ^ cos 2х — ^ cos 8х С;
2. F(x) = X-f In X — 1. 3. 0; 2тг.
Вариант 5
1. 1) F(x) = sinx-I-COSX — 1; Указание, /(х) =
= \/1 — sin 2х = у/(cos X - sin х)^ = | cos х — sin х| = cos х — — sin X, т.к. при - ^ ^ X < ^ cos X ^ sin х. 2) F(x) = +
-+•4^ +С; 3) F(x) = X-t-I In I -I-С. Решение.
Y\ _ _ x^-1 + 1 _ 1 , 1_1,1 _ _1_\ .
/И1-^-2_i - ^ +^ + 2 \x-l x+l)'
F(x) = X -b |(in |x - i| - In |x -f i|) = X -I-1 In + C.
,j.3 1 о /у.3 Л.2
2. F(x) = + Решение. F(x) = -^---------^ + C”.
Критические точки x = 0 и x = 1.
X 1 2 1 3
Fix) п L ^ 12 С — -^ 6 с + 1
miiiji,.jj F(x) = C — |. По условию С — g = 2, C=^.
^ X—1
3. Две. P e III e H и e. F (x) = • Если xq — абс-
цисса точки касания, то угловой коэффициент касатель-
Тп“"1 1
ной R — F(.xo) = условию F = ^, тогда
х^-ЬЗз^+11 ^ + 32 = 0; хо = 16 или хо = 2,
т.е. две касательные.
194
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант б
1. 1) F{x) = sin X — cos ж + 2; Указание. См. решение 1 1) из варианта 5. 2) F{x) = 5е^ + ^ + С; 3) F(x) = ^ + -|- .г -t- 2 111 1^+11 F С. Указание. См. решение 1 3) из
Д.З Д.2 2
варианта 5. 2. F(x) = '^ + '^ + з- Указание. См. решение примера 2 из варианта 5. 3. Одна. Указание. См. решение примера 3 из варианта 5.
Вариант 7
1. 1) F(t) = tg X — т-Ь С. Решение. /(x) = tg^x = = Отсюда F(x) = tgx-x-hC. 2) F(x) =
COS^ X
= I In I I -f C. Решение.
Ч _ 1___________■ 1 _ 1 /_!_ _ 1 \
.x^-t-5x-f4 (.T-f-l)(x-f-4) 3 \x-t-l x-b4/ ■
Отсюда
F{x) = |(ln|x + 1| - ln|x-f 4|) + 0" = |ln||^| + C.
3) F(.x) = ^-|-2x — ln|x-fl|-f-C. Указание. Выра-
.г•^-)-x^-f2x-|-l . n 1
жеиие -------------- представьте в виде х^-f-2 — .
2. F(.x) = x^-f 5х — 2. Решение. F{x) = x'^ + 5x + -Н С. Пусть хо — абсцисса точки касания. Тогда уравнение касательной имеет вид у = х^ + 5хо + С -f (2хо + 5) х X (х — .х'о) = (2хо + 5)х — Хд + С. Т.к. у — 7х — 3
/ 2x0 + 5 = 7
является касательной, то < 2 , п т > отсюда
—Xq -г о — —3
— -3 ’ ^ ~ Тогда F(x) = х^ + 5х — 2.
-х^ — ^х^ + X + С X > 1
х+^+Сх<1
D \ / -2x^ + Зх — 1 X < 1
Реше„ие. /М = |2хЗ-Зх+1 х>1
Самостоятельная работа N‘9*
195
Fi (х) = + 2Х^ -x + Ci] X < 1; F^ix) = 3-^ “ 2
V-ix2 +
;) =+ |x^
+ X + С<2; X ^ 2. Найдем соотношение между Ci и С2,
при котором Fi(l) = F2(1), Cl = I + С2. Тогда
+ X + C X > 1 I — x + ^ + C'x 4
Указание. См. решение примера 3 из варианта 7.
9*. Интеграл
Вариант 1
1. 4,5. 2. |. 3. 1. 4. В> А. 5. |.
Вариант 2
1. 4,5. 2. |- |. 3. 1. 4. В>А. 5. |.
Вариант 3
1. З4Ц. 2. 3. -67|. 4. А = В. 5. 2УЗ- у.
Вариант 4
1. 10|. 2. 3. n/2-Ц. 4. А = В. 5. 2\/3- у.
196
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 5
1. -у. 2. 0. 3. аб(1;9). 4. А> В. Решение. >Kr..<:=;^logr,2. 5log2a:,^3.log2 5. log^2l,
с.м. рис. .‘Ю. 5. 7у Вариант б
4 "
1. 2. 2. 3. R. 4. Л < J3. Указание. См. решение
iiiHiMopa 1 из варианта 5. 5. In 9.
Вариант 7
1. ^ t Р с ш е II и е. у = \/2х — х^\ у^О, у^ = 2х —
- х^, - 2х -ь = о, (т - 1)^ -1- = 1. 5i = 1^ • I =
52 = ^ • 1 у sin I = -у, 5 = 5i-l-52 = |-by (см. рис. 32).
Самостоятельная работа Ns 9*
197
1
2. 3. 1 - In2. Решение./ ^ ^ dx =
-7и)^^а; = (.т-1п|х + 1|)|^ = (1-In2)-0=1-
1 2
-1п2. 4. 1. Решение. Jaiccosхdx = Jcosхdx =
о о
1. 5. Решение. Строим график
1
х+1—1
= sm X
2 -О
функции, обратной функции у = х‘‘. Очевидно, что 5] = = 5). S‘2 = J х^ dx = ^ 1^ = — |, см. рис. 31.
Вариант 8
1. ^ ~ Указание. См. решение примера 1 из
варианта 7. 2. log3 2 — 3. 1 + In 2. У к а з а н и е.
См. решение примера 3 из варианта 7. 4. 1. Реше-е 1 1
и и с. I \n xdx = e — J dx = e — e^ \q = 1. 5.11т. У к а -1 о
3 а н и е. См. решение примера 5 из варианта 7.
11 класс. Ответы к проверочным работам на повторение
1. Рациональные
уравнения и неравенства
Вариант 1
1. 1) Указание. Числитель и знаменатель каждой дроби разделите на х {х^О). , 7 +
X
+ 4д._Н),|-^ = 1; 4т + I = i и т.д. 2) -5. 2. (3;4); (4; 3).
3. (-1;1)и(4;6). 4. а€ (4;-foo).
Вариант 2
1. 1) {0;1}; Указание, — т принять за t. 2) 0.
2. (2;3); (3;2). 3. (-3;1). 4. аб(-оо;1,5).
Вариант 3
, .S Г-Ш-\/97
1.1) <--g---;---— >; Указание. См. реше-
ние примера 1 1) из варианта 2. 2) {—1}. 2. (4; 1); (1;4).
3. —2^ и (3; -foo). 4. о € -Ьоо^ .
Вариант 4
1. 1) {0;—2}; Указание, х^-Ь 2х-Ь 2 принять за t. 2) 0. 2. (1;3); (3; 1). 3. (-оо;-1) U (0; 1) U (2;+оо).
4. А: = 5.
2. Иррациональные уравнения и неравенства
199
2. Иррациональные уравнения и неравенства
Вариант 1
1. 1) .г = 2; 2) х = 1. 2. 1) (-оо;U (1; 2).
2)*{4} и ^—3; —и 2 . 3. (“у! +оо^ . Решение.
/-у—-=-^ + 7а - 6 = - 10.г- + 25
у/х^ + 7а-6 = ж- 5-<=>< ;
[ X ^ 5
{
10.Т = 31 - 7а •т > 5
X =
X ^ 5 31-7а
31-7а
Уравнение не будет
19
< 5, при а> —-Y-
иметь решения, если
4. Е{у) = [\/2-,2]. Решение. D(2/) = [1;3],
,/ = ___1__I 1 у/^-ует. .
У 2у/х-1 2у/^ уД^' У О при X 2.
X 1 2 3
у У2 2 \/2
тах[1.з] у = 2; minji.3] г/= v^. Отсюда следует, что
ад = [х/2;2].
Вариант 2
1. 1) х = -2; 2) х = 1. 2. 1) (-оо;-2)и 5; ;
. 3. о G +оо^ . Указание. См. реше-
2)
-i-2
ние примера 3 из варианта 1.4. д. Решение. D{y) =
J 2у/2—х—\ 3
= (-оо;2], у = = ; у' = 0 прих = 14.
+ 0 - /(т) ^
l i 2 у(.х) X
Отсюда таху = y(l|) = |.
200
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К ПРОВЕРОЧНЫМ РАБОТАМ
Вариант 3
-•2
3’
и
1. 1) .х = 2; 2) х = 1. 2. 1) (1;4]; 2)
и{—3}. 3. а е^—^;оо^. Указание. См. решение примера 3 из варианта 1. 4. Е{у) = [\/б; 2\/3]. Указа-н и е. См. решение примера 4 из варианта 1.
Вариант 4
. 3. ае
1. 1) л.- = 3; 2) х = 1. 2. 1) [0;3]; 2) (-5;-|
€ ^;|-оо^. Указание. См. решение примера 3 из
варианта 1.4.^. Указание. См. решение примера 4 из варианта 2.
3. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Вариант 1
1. -1. 2. (0;1). з/l. 4. (0;1) и(\/3;9). 5. (|;5).
6. 1шгх у = у(3) = 24 In 3.
Вариант 2
1. 4. 2. (Iog6 4iloge20). 3. -0,5. 4. (1;-Ьоо). 5. а =
= 0,4. 6. (0;2]. Решение. ?/' = 21ogiX-^^;j^-b^;^ =
2(logi .x'+l) 2(logi+l) . ■ 2 2
^ —ЫпТ ’ у' x.inl" ' < Нужно учитывать,
что .т > о и In А < 0. Тогда logix-|-l>0 и 0<ж<2.
^ 2
Вариант 3
1. 3. 2. (1;+оо). 3. 1. 4. (0;|) и(1;32). 5. (|;4) . 6. min у = у{2) = 6(1 — In 3).
Вариант 4
1. 3. 2. (log2 6;log2ll). 3. -1000. 4. (3;4] U [6;+оо).
5. а = 0,5. 6. (0;0,1]; [1; Ч-оо). У к а з а н и е. См. решение примера 6 из варианта 2.
4. Тригонометрия
201
4. Тригонометрия
Вариант 1
1. -1. 2. 1) 1 + ^, A:€Z; ± f + тгп, п 6 Z.
2) 2arctg А; € Z.
8
3±\/^
+ 2тгА:, А: € Z. 3. + 27гА:; ^ + 2тгА;) ,
4. -1 < а < 2-
Решение.
cos X = а cos а; > За — 1
7Г
1 < а ^ ] 0.|.(;юда —1<а<4. 5. ±-т + 2тгк, к е Z;
п + 2тгА:, А' G Z; —
Вариант 2
1. ^sin4a. 2.1) A;eZ. 2) А: 6 Z.
3. ^arctg \/2 + тгА;; ^ + тгА:^ U (— arctg \/2 + тгА:; тгА;) , к € GZ. 4. -1^0. <0; 0<а<1. 5. ± | + 27гА;, А: € Z; ± arccos + 2пк, А; € Z;
Вариант 3
1. 1. 2.1) ^ + A;GZ; ± ^ + 7гп, n€Z. 2) arctg | ТтгА;,
G 3.
-J + 2пк; Ц- + 27гА:
А: € Z. 4. I < а ^ 1.
6 ’ 6
Указание. См. решение примера 4 из варианта 1. 5. 2тгА;, А; € Z; ± у + 2тгА:, А: G Z; у или ^
Вариант 4
1. sin 8а.
2.1) ±^ + f.
A:€Z. 2) A:GZ.
3. ^ -Ь тгА;; — ^ + тгА:^ U ^тгА;; j + тгА:^ , А; € Z. 4. —1 <
< а < 0; О < а < 1. Указание. Если а =± 1, то sin х =
2тг
= о, чего быть не может. 5. ± -^ + 2пк, к € Z; 2тгк, к G Z; 2тг 2ттк
~Т “•
11 класс. Ответы к контрольным работам
1. Производная
и ее геометрический смысл
Вариант 1
1. 60°. 2. х = —^ + жк, keZ и ж = + тг/с, k€.Z.
3. у = (—41п2) • .т; 2/= (4In 2) • ж — 16 In 2. 4. (4;оо). 5. + 7rfc; ^ , fceZ.
Вариант 2 •'
1. 45°. 2. ж = ^ + тгк, /cgZ иж=^ + тгк, /с € Z. 3. у = = (21п0,2)-ж; 2/= (—21п0,2) • ж — 41п0,2. 4. (3;+оо). 5. + , keZ.
Вариант 3
0>7г
1. 150°. 2. х = тгк, /с € Z и ж =-^ + тг/с, /с € Z.
3. 2/= (~21пЗ) • ж; 2/= (21п 3) ■ ж — 41пЗ. 4. (0;+оо).
5. ^ + тг/с; + тгА:^ , fc € Z.
Вариант 4
1. 135°. 2. ж=—j + Tr/c, /с € Z и ж = ^ + 7rfc, k&Z. 3. 2/= (~3 In i) • ж; 2/= (3 In i) • ж — 9 In 4. (—oo;2).
5. + тгк\^ + Tvk'j , keZ.
2. Исследование с|)ункции с помощью производной
203
2. Исследование функции с помощью производной
Вариант 1
3. тах[„.1оо)/(а;) = /(100) = 10-2уТ0, min[o;ioo)/И = = /(1) = -1, 4. V = 4. 5. (1;—1). Решение. d{x) =
= У (л; - 2)2 + - | j - Ах + 4|. /(ж) = -
— 4.т + 4|, f'{x) = Ax^— А = А{х^— 1). /'(ж) = 0 при х = 1.
о + /'(X) ^
1
Дх) X
Отсюда .т = 1; у — —I. Вариант 2
1. Л(-1;-|), В(+1;-|) (см. рис. 34)
3. тах[_5;5] f{x) = /(-5) = e‘^^, min(_5.5j f{x) = f{2) =
4. P = 6. 5. Указание.
Cm. решение задачи 5 из варианта 1.
204
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 3
1.
(см. рис. 35).
ТА
2
1 5
/ ■S S У / \
-3 / -1 0 1 \ 3
/ -1 \
L -2
рис. 36
3. шах[о;4] /(х) = /(4) = 6, min[o;4] /(х) = /(]^) = “|-
4. а = 4 м, Л. = 2 м. 5. (2; 6). У к а з а н и е. См. решение задачи 5 из варианта 1.
Вариант 4
1. (см. рис. 36).
3. шах(_2.2] fix) = /(-1) = е-2, т1п(_2;2] /(х) = /(2) = = 4. = ^- Решение. МБ = \/3 — 0<
< X < Уз. Р = i • ^УЗ — = ^УЗх'* — X® (см. рис. 37).
/(.т) = З;;:'* — .т*'; f'{x) = 12.т^ — 6х^ = 6х‘^(2 — х^).
о -
V2
max
/\х)
V3 fix) X
3. Первообразные и интеграл
205
ЛВ = ВС = sf2, МВ = 1,
М
:г
5 r^.iV
\ 2 '2)' \ 2'2)-
У к а 3 а II и е. См. решение задачи 5 из.шяшапта 1.
3. Первообразные и интеграл
Вариант 1
1.1) Г(.г) = + Щ + С-.2) F{x) = + «^ +
16а^
+ С. 2. 1; ±3. 3. 1) 2) 12^; 3) ^тг. 4. 12-51п5.
2. 7Г.
Вариант 2
1. 1) /’(.т) = if + С; 2) F(x) = i tg (2х + f) + С.
2. -1; .1.4. 3. 1)2х'‘-Ьу;2) 3) |.4. 5 = з|.2. J.
Вариант 3
2 2 , (I)"
1. 1) F{x) = ^х-2 +Щ + С-,2) Fix) = +
+ С. 2. -1; 2; 5. 3. 1) 2x^4-у; 2) 48,4; 3) у. 4. 1,5--2 In 2. 2. 2тг.
Вариант 4
1. 1) Fix) = |jxf + С; 2) F(x) = ctg (J -f- 2x) + C.
2. F(x) = fx-2 - X -h 5|. 3. 1) 4x'^ 2) 3; 3) 4. S =
в^-3 о 7Г - 2 ■ 4-
206
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
4. Контрольная работа М* 1
на повторение пройденного материала
Вариант 1
1. 0. 2.
3. (5; 4). Решение. ОДЗ х > 1; у>1. +
+ У~ ^) з:‘°84 у + = у. Отсюда х'°84 У =
= 5 или .x'°84!/ = y чего быть не может. Из того, что .г-'"*^4 2/ = 5^ следует, что log4 у • log4 х = log4 5. Тогда 1/= Подставив это выражение
во второе уравнение, получаем vlog^ + —— 2,
V logs ^
yiogr, x = t>0. t+^ = 2, -2t+l = 0, t=l. yiogs X = 1
и X = 5; у = 4.
ТгА: , ^ n, , 7Г 7ГП
18 3 ’
4 - +
8 ^ \
к e
(-1/+^^ + "^, nez.
11
5. y-2.r- l;y= FX-f 6.
^ + 2nk; у -E 2тгА:| , к i
1 31
7. Фупкции возрастает на промежутке g J 2 ^ убывает
на промежутках f-oo; g , |i|b!/,iiax = yf|l=lii| + = » (I) = In I + i^. 8. I V2W5. 9. 36.
+ 2 ’ .Vniin
Указание. Необходимо найти площадь равновеликой фигу pin, ограниченной линиями х^ = у -Ь 3 и у -f 2х = 5, т.е. у = .х^ — 3 и у = —2х -f 5.
10. /; € (0; 1] и {—8}. Решение. 3^ = ^>0; ~
= 1) (fc/-0). (l-b)t‘^ + 3bt-2b = 0. D = b‘^ + 8b:D = 0 при b = 0 и 6 = —8, но 6 0. При Ь = —8 урав-
нение имеет одно положительное решение. При Ь = = 1; 1 = ц, т.е. уравнение 3^ = ^ имеет одно peiue-
ние. При Ь^ 1; /(^) = t^ + ■ t — = 0. Уравне-
ние имеет один положительный корень в том случае, если /(0) < о и Z) = 6^-Е 86 > 0. /(0) = — =
26
4. Контрольная работа 1 на повторение
207
26
<0
= < 1-6 . Отсюда следует, что 0 < 6 < 1. Учи-
\ 6 < -8; 6 > о
тьшая псе условия, имеем, что 6 € (0; 1] U {—8}.
Вариант 2
1. log? 6. 2. —10. 3. (16;4). Решение. Прологарифмируем первое уравнение по основанию х. Имеем (l - I 'og..r yj ■ logj, ?/ = I и 2 log2 у - 5 logj, у + 2 = 0 (1).
Из второго уравнения имеем ж ^1 — =4, т.е. ж —Зу =
= 4 (2). Уравнения (1) и (2) образуют систему. Дальнейшее решение очевидно. 4. — ^ -f пк, /с € Z; (—1)” j — — \ + 7ГП, п € Z.
5. у = —2.х-ьЗ. Решение. Уравнение касательной
2 3 3
в точке жо имеет вид у = --5-ж-Ь-г-жо>0; у(0) = -и;
Xq Xq Xq
= ^- Saob = I ■ ^ ^ 38).
По условию Отсюда жр = 1. Тогда у = —2.ж + 3.
6. ^ 4- 2тгк; ^ + 27г/с| , /с 6 Z. 7. Функция возрастает на промежутках оо;—^ , |^^;-|-оо^ и убывает
Г 1. 11 _ 7 l^ _ 1 I.
3 I 2 1 • Ушах — У у 3J — 3^*’ —
на промежутке
2е 4. 8.
208
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
9.
5 = 4. Решение. 5ф„рур,^, = 5лвсс --S'! - 5г
(см. рис. 39). 5i = / \/—2xdx= 5г = / \/xdx=^. 5i +
-f- S2 8. S/\fjQiy 12. ТоГДЭ.
10. а G (—оо;0) и {4}.
16
= Ig ах <
(ж-М)
2 _
ах
Р е ш е II и е. 2 lg(.-E + 1) = /(ж) = ж^ — (а — 2)ж 4-1=0;
ж > —1 аж > о
D ■= [а — 2)^ — 4. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Тогда а = 4 и о = 0, но а 0. Если а = 4, то X = 2. D = a^ — 4а. D > 0 при а < 0 и а > 4. При а > 4 уравнение имеет два решения, что противоречит усло-.ж > — 1
ВИЮ. При а < о
ж < о
т.е. — 1 < ж < 0.
Уравнение будет иметь одно решение, если парабола пересекает промежуток (—1; 0) в одной точке. Это возможно, если /(0) > 0 и /(—1)<0. /(0) = 1>0, /(—1) = = 1-|-а — 2-Ь1<0. Отсюда а<0. Итак, уравнение будет иметь одно решение при а < 0 и а = 4.
Вариант 3
1. |,2. 2; 5^,3, (2;3).
А 7Г , 7Г71
4. 4 +-^, П
1 , i2 й
= зЖ+1з-6-
растает на промежутке
€Z; (-l)'^-^-P^, kez. 5. у = х+1; у =
4тг
— -^4- 2тгк; 2тгк , k€Z. 7. Функция воз-•оо;—^ и убывает на про-
(-
межутке
_1 4\ _ 9_Х я £ £
6> 3j ~У\ б) 2 18 4 ’ 4 •
9. 36. К). а€ (0;2] U {3}.
Вариант 4
1. -I- 2. 6. 3. (4; 16). 4. (-1)'‘'+1| 4-7гА;, ке
+ 2тгп, п G Z. 5. у = Зх — 2.
±- + 3 ^
6.
4-2тг/с; у 4-27гА:
ке
5. Контрольная работа 2 на повторение
209
2/тах —
31^
16 ’
7. Функция возрастает на промежутках оо;—| 1^—|;+ос^ и убывает на промежутке — |
= 2/(-|) = |е5; Утш = У (-f) =2e~t. 8.5 =
= |. 9. 12. 10. б€ (0;+оо)и{-4}.
Задачи ва|)иаптов 3 и 4 решаются аналогично задачам первых двух вариантов.
5. Контрольная работа N^2
на повторение пройденного материала
Вариант 1
7Г . тгк
1. 3. 2. «-М. 3. 2. 4. (-5;1)и(2;3). 5. ±^ + ^, keZ. 6.1. Пояснение. 8-(|)'' + б(|)'"-27 = 0. (§)'' = /8/.2-6i-27 = 0 , 3 3
= /.>0. , откуда i= 2, и (^2j =2’
х= 1. 7. 4, |. 8. • 9- х = 2.
10. шах ?у = у(—1) = 5; min у = у(1) = —15.
[—2:1] |—2;1]
Вариант 2
1. 3. Рстенне. \/2 + 1 - (1 - \/2)\/2 = v^+1 - ^2 +
+ 2 = 3. 2. 5+1. 3. 10. Решение. \/25‘85б + 49^78 =
7Г жк 24"^ 4
= v/36 + 64 = 10. 4. (-2;-1)и(3;4). 5. ± ^ + ^, где А:€
6 Z. 6. .1:2. Решение. (\/5 — + 7—.■ ^ . у =
= К), f v/5- i > 0. A + 7 = 10. ^2 - lot + 1 = 0.
/. = 5:1 \/^.
а) (x/rf-Vl^y = 5-V24. x = 2.
б) (/5= 5 + У24 = = (5 - , от-
сюда X = — 2.
210
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
7. —0,5; — v/0^. Решение. ОДЗ ж < 0. logons = = 2logo 5(—ж). В таком случае уравнение имеет вид 6 logo,5(-T) - 4log^_5(-T) = 2; logo,s(-T) = t; 2t^ - 3t + -1-1 = 0; ^1 = 1; <2 = 0,5. Тогда logo,5(—ж) = 1, ж = —0,5; logo,= 0,5; a; = -v^.
8. -4;
)-V^
U
5-^/29
;0
ж-Ь4 2-ж
>0
Пояснение. ■( ж(ж - 5) > 0 ж(ж — 5) 7^ 1
9. 2/= 10 + ж(481п2).
10. mill7/= —4; max77 = 6.
[0;4) • » [0;4]
Вариант 3
1. -4. 2. 3. 5. 4. [-8,5;-3). 5. 0;±|;±2. 6. ±2.
7. -4;-2\/2. 8. (-4;-2 - \/3) U (-2 - v^;-2-Н х/3)и и(—2 Ч-\/3;0). 9. —0,5. 10. miny = —3; тахт/ = 1.
[0;9] " [0;9] ^
Вариант 4
1. 8. 2. 0,8. 3. 1. Решение.
Ig'i lg:i otg I = logi lg3 x/3 = logi 1 = 1.
тгк
4. (1;6). 5. —1;7;-^, где fc G (0; 1; 2; 3}. 6. при a 6
G (—oo;-4] U [2;-l-oo) 0; при aG(-4;2) ж = 3-t-lgз|^.
7.2'^; 2“'^. П о я c H e H и e. i^ \ ; r-^ •
igj X lg2 2x lg2 4ж ’ lg2 ж
= iiTtf2’ находим lg2Ж.
Гж>0 Гж>0
8. 6. Решение. < —1^ж —3<1 < 2^ ж <4 .
[^ж^З |^Жт^З
Отсюда целые решения ж = 2, ж = 4, их сумма равна 6.
9. ж = 0.
6. Контрольные тесты
211
10. mill f{x) = /(3) = 3. Решение. ОДЗ х>2\ f'{x) — 1 х-3
= 1
х—2 х—2 ■
+ /'(X)
3
min
fix) X
Отсюди c.Jie;iyex, что min = /(3) = 3.
(2;+оо)
6. Контрольные тесты
Вариант 1
1^
1. а 2. а>Ь. 3. ± 2arccos + 4тгА:, А: € Z.
4. [-1;2]. 5. ж = 4; .т = |. 6. 7. п€[1;+оо).
Ушах “ У(“'2) = , Уппп = У(1) ~ ~Q' ^ ~ ^3’
min / - я. 10. 0. 11. х — 2. 12. (—оо; 2] U [4;+оо).
13. (4;4). 14. -1. 15. (1;+оо). 16. я€(-оо;-| U и(5;+оо). 17. -2. 18. -v/бГ ^ а ^ v/бТ. 19. {0;-1}. 20.
7 •
Вариант 2
1. —х/«. 2. —1. 3. (—l)*■*■^2aгcsin(^/2 — 1) + 2тгА:, А: € € Z. 4. (—оо; -2)и(\/3; 2)и(2;+оо).
5. ж = 9. 6. 7. б€ [1;+оо).
8. ?Ушах — У(2) = Зд, Уп11п — у(3) ~ ^2'
9. шах/■ = 24, min/ = l. 10. 0. 11. х = 5. 12. [—4;3].
[2И]-' -5’ [2;4]^
13. (9;4). 14. 10. 15. (|;+оо). 16. а€(|;5). 17. 3. 18. -х/58^а:^ %/58. 19. {0;sinl}. 20.
212
11-й КЛ. ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вариант 3
1. ±20. 2. .Г1 = -1; Ж2 = 2. 3. х = -3.
Г
5.
4. (-2;-1);(-2;1);(2;-1);(2;1). 5. 6. [5; ±oo)U
и(—оо;())и(0; 1]. 7.^.8. ^|;±оо^. 9. 2m±n. 10. .'Г = 9.
Г_— 1 о о ^ ZL ^ i 10 /
1. ’ 3.
11
12. sin 3 < sin ^ < sin 1. 13. ^
Ч^/з-l).
14. = 7Г — 2 ± 2тг/с, А: € х = 2тгп + 2, п € Z. 15. х’о =
, .3
= 3. 16.
19. 5 = 120.'2тг.
1-^
3
17. ±7гА:, keZ. 18. ± С.
Вариант 4
1. 20%. 2. ;г; = -1. 3. х = 4. 4. (1;-2); (2;-1). 5.
6. [-5;0)и(0;1]. 7.^.8. Q;±oo). 9. 6±2а. 10. х =
= 8. П. [0;2тг]. 12. cos5