Алгебра 8 класс Учебник Макарычев Миндюк Нешков Феоктистов

ЛГЕБРА КЛАСС,, , I t Г г_ V Ч ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГОС ЛГЕБРА КЛАСС УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ с приложением на электронном носителе Под редакцией С. А. ТЕЛЯКОВСКОГО Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации Москва * Просвещение » 2013 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/580 от 14.10.11) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-337 от 17.10.11) Алгебра. 8 класс : учеб, для общеобразоват. организаций с А45 прил. на электрон, носителе / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под ред. С. А. Теляков-ского. — М. : Просвещение, 2013. — 287 с. : ил. — ISBN 978-5-09-022881-7. Данный учебник является частью трёхлетнего курса алгебры для общеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС. В заданный материал включены новые по форме задания: задания для работы в парах и задачи-исследования. В конце учебника приводится список литературы, дополняющей его. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-5-09-022881-7 Издательство «Просвещение», 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены Дорогие восьмиклассники! В этом году вы продолжите изучение алгебры. Ваши представления о выражениях, числах, функциях, уравнениях и неравенствах пополнятся и расширятся. Если в 7 классе вы занимались преобразованием целых выражений, то теперь познакомитесь с преобразованием дробей. Вы впервые встретитесь с иррациональными числами, изучите свойства новых функций: обратной пропорциональности у= — и функции у = 4х — и научитесь строить их графики. Вы познакомитесь с некоторыми способами решения квадратных и дробных рациональных уравнений, неравенств с одной переменной и их систем. Вам предстоит сделать новые шаги в изучении статистики. Наглядное представление статистической информации поможет вам в восприятии сведений экономического и социального характера из газет, журнгитов, теленовостей. Весь новый материал подробно разъясняется в объяснительных текстах учебника, приводятся решения различных задач. Правила и свойства, которые нужно запомнить, даны на цветном фоне, чтобы вы обратили на них внимание. Если вы забыли что-то из ранее изученного, то можете обратиться к разделу «Сведения из курса алгебры 7 класса». Контрольные вопросы и задания помогут вам проверить, как вы усвоили изученный материал. В учебнике вам предлагаются разнообразные упражнения. Надеемся, что вы примете активное участие в выполнении упражнений под названием «задача-исследование», рассчитанных на коллективное обсуждение приёмов решения, а также в выполнении заданий, предназначенных для работы в парах. Выполняя такие задания, вы научитесь прислушиваться к мнению товарищей и отстаивать свою позицию. При работе с учебником рекомендуем использовать специальный диск, где предлагаются упражнения, которые вы можете выполнить на компьютере. Если вы интересуетесь математикой, то ваше внимание, безусловно, привлечёт материал под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше*, помещённый в конце каждой главы. Специально для учащихся, находящих радость в решении непростых задач, в учебнике даны «Задачи повышенной трудности». Решение таких задач поможет не только расширить кругозор, но и подготовиться к участию в математических олимпиадах. Конечно, многим из вас любопытно узнать, как и почему зарождался и затем развивался тот или иной раздел алгебры. Для ответов на эти вопросы в учебнике приведены «Исторические сведения». Желаем вам успехов в изучении алгебры. В учебнике используются следующие условные обозначения: — текст, который нужно запомнить — материал, который важно знать г--» • i ► < о 1L 19. ш — начало решения задачи — окончание решения задачи — начало обоснования утверждения или вывода формулы — окончание обоснования или вывода — задание обязательного уровня — задание повышенной трудности — упражнения для повторения Глава I РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ в курсе алгебры 7 класса вы много занимались преобразованиями целых выражений. Теперь вы перейдёте к преобразованиям дробных выражений. Вы узнаете, как выполняются сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей, возведение дроби в степень, познакомитесь с новым понятием среднего гармонического чисел. В этой главе рассматривается функция, которая задаётся фор-k мулой у = — при кфО и называется обратной пропорционгшьно- стью. Вас, конечно, удивит вид её графика, который существенно отличается от графиков известных вам функций — линейной функции y = kx->rb, функций у = х^ и у = х^. Советуем обратить внимание на расположение графика обратной пропорциональности при различных значениях k. Здесь вам существенную помощь окажет использование компьютера. Ии РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА 1. Рациональные выражения в курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т, е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения 7а^Ь, + п^, (х - у)(х^ -1- у^). х^у -1- 2х^у^ + Sy, /п® л® -г 2х:9. § 1. Рациональные дроби и их свойства в отличие от них выражения Ь 4а - X + у 2а + 1 ’ x^-Zxy + y^' п 5 3 + 1 , 2р:д, помимо действии сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны. Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение 10 + — не имеет смысла а при а = 0. При всех остгшьных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение х Ч- х:-у имеет смысл при тех значениях хну. когда X ^ у. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Выражение вида — называется, как известно, дробью. Ь Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью. Примерами рациональных дробей служат дроби 5 Ь- 3 X + V 3 10 X + у х^ - ху -I- у^ в рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби. 1 ИСААК НЬЮТОН (1643—1727) — английский физик, механик, математик и астроном. Сформулировал основные законы классической механики, открыл закон всемирного тяготения, разработал, независимо от Лейбница, основы математического анализа. Глава I Рациональные дроби Пример 1. Найдём допустимые значения переменной в дроби 5 а{а - 9) ► Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а{а - 9) = 0. Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме о и 9. <] (х — 2)^ — 25 Пример 2. При каком значении х значение дроби ^— рав- 2л: + 6 но нулю? ► Дробь — равна нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и Ь ^ 0. Ъ (х — 2)^ — 25 Числитель дроби ----------равен нулю, если (х - 2)^ = 25, т. е. 2х + 6 X - 2 = 5 или X - 2 = -5. Итак, числитель дроби равен нулю при X = 7 и X = -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если X Ф -3. Значит, данная дробь равна нулю при х = 7. о и Ь > 0; б) а > о и 6 < 0; в) а < о и fc > 0; г) а < о и & < 0. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: ч 3 ч (“ - 1)^ а) ^ положительно; в) , неотрицательно; б) 1 -5 У^+ 4 отрицательно; 10 ч (b-3f г) —5---неположительно. -Ь^ - 1 18. 19. Ш 1]^ 21. При каком значении а принимает наибольшее значение дробь: а) б) ,-- + 5 (а - 3f + I При каком значении Ь принимает наименьшее значение дробь: 21 ■ ' 8 Чему равно наибольшее значение дроби рите верный ответ. 18 4х^ + 9 + у^ + 4ху 1. Равно о 2. Равно 1 3. Равно 2 4. Равно 3 ? Выбе- Преобразуйте в многочлен: а) (2а + 3)(2о - 3); г) ф + 0,5)2; б) (у - 5Ь)(у + 5Ь); д) (а - 2xf; в) (0,8х +уКу - 0,8л:); е) (а6 - 1)2. 22. Разложите на множители: а) х2-25; в) а2—ба + 9; б) 16 ,2. д) а® - 8; е) Ь^ + 27. г) х2 + 8х + 16; § 1. Рациональные дроби и их свойства 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, Ь и с верно ра-а ас венство - = —. Ь Ьс Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, Ь и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при Ь ^ О и с Ф 0. • Пусть — = т. Тогда по определению частного а — Ьт. Умножим о обе части этого равенства на с: ас = {Ьт)с. На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем: ас = (Ьс)т. Так как Ьс Ф О, то по определению частного ас Ьс = т. Значит, а ас ^ 6 = 6?-° Мы показали, что для любых числовых значений переменных а, Ь и с, где Ь Ф О и с Ф О, верно равенство а 'ь ас Ьс (1) Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, Ь и с понимают многочлены, причём бис — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю. Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби I если числитель и знаменатель рациональной дроби умно-i жить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится I равная ей дробь. L_ —______________________—------------------------ Например, X -i- 2 _ (х 2)(х -I- у) х-3 (х - 3)(дг-1-у)‘ 10 Глава I Рациональные дроби Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества. \ Определение. Тождеством называется равенство, t верное при всех допустимых значениях входящих в него -I переменных. р snuBnmRBvffime Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведём примеры. 2,х Пример 1. Приведём дробь — к знаменателю 35у^. ► Так как 35у^= 1у-Ъу^, то, умножив числитель и знаменатель _ 2л: _ о 2л: 2л: • Ъу^ Юху^ ^ дроби - на Ъу\ получим: - = ■ <5 Множитель Ъу^ называют дополнительным множителем к чис- лителю и знаменателю дроби 2х 7г/‘ Пример 2. Приведём дробь к знаменателю л: - 2у. 2у- X ► Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1: 5 ^ 5 • (-1) ^ -5 2у - X (2у - л:) • (-1) X - 2у' можно заменить тождественно равным выражени- Дробь -5 X - 2у 5 ем-------поставив знак «минус» перед дробью и изменив -5 5 х-2у знак в числителе: Вообще х-2у X - 2у <1 I если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дро- I I би и знак перед дробью, то получим выражение,' тождест- j I венно равное данному. | § 1. Рациональные дроби и их свойства 11 Пример 3. Сократим дробь - 9 аЬ + ЗЬ ► Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: - 9 _ (а + 3)(а - 3) аЬ + ЗЬ Ь(а + 3) Сократим полученную дробь на общий множитель а + 3: (а + 3)(а - 3) Итак, , а- 3 Ь(а + 3) ~ Ь ' - 9 а - 3 Пример 4, Построим , - 16 функции у = аЬ + 36 Ь график 2д: - 8 ► Область определения функции - 16 у = —--------множество всех ^ 2х - 8 чисел, кроме числа 4. Сократим _ - 16 - 16 (х - 4)(д: +4) X + 4 2х - 8 2(х - 4) у. ' г . 1. 5 - 4 и __1 3 ' - > й ... “1 h~ 1 1 1 —1 -4 - 3 2 ! -1 0 - < 1 “ .. < -А И X -1 .1 1 - 1 1 X + 4 Рис. 1 Графиком функции у= является прямая, а графиком функции у = х2 - 16 2х - 8 мая, но с «выколотой» точкой (4; 4) (рис. 1). <1 — та же пря- Упра^е^шя 23. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь: , 2х б) 15х 25^' 24. Сократите дробь: . 10x2 баЬ^ а) тттг; б) в) 12 Глава I 15yz ’ 9Ьс^ Рациональные дроби 6а г) lab _ 216с’ д) -2x1/_ 5х2у ’ е) 8х*у^ 24ху ■ 2ау^ г) -бр^д. д) 24aV е) 63xV -4а^Ь ’ -2дЗ ’ Збас ’ 42х®у* ‘ 25. Представьте частное в виде дроби и сократите её: а) : (2а‘*Ь^); б) Зху^ : (вх^у^У, в) 24pV* : 26. Сократите дробь: 4а2 Тх^у ^ бас’ 21V г) Збт^п : (18mn); д) -32Ь5с : (12&^с2); е) -бах : (-18ал:). в) ЪбтЧ^ 35/пп® г) 25 p*q lOOp^q 27. Найдите значение выражения: _ч 81в . 812® 1612 ’ 27®® ■ 28. Сократите дробь: а) а{Ь - 2) 5(Ь- 2)’ б) 3{х + 4)_ с(х + 4) ’ в) аЬ(у + 3) аЧ(у + 3) ’ г) 15а(а - Ь) 20Ь(а - Ь)' 29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и со- кратите ее: , За -н 124) « и > оаЬ 15Ь- 20с б) lOfe в) г) 30. Сократите дробь: ч - 16 б) 5х - 15у х^ - 9у® ' г) 2а - 4 3(а - 2)’ 5х{у + 2)_ 6у+12 ’ (с+ 2)2 7с2 г 14с ’ 6cd-18c (d-3f '■ д) е) Д) е) а-ЗЬ 31. Сократите дробь: а® — аЬ + 4>2 а) + &® б) а® - Ь® а - Ь в) а® - ЗаЬ ’ Зх® + \5ху X + 5у а® + 10а + 25 а® - 25 У^-9 I/® - б1/ + 9 ' (а+ bf + Ь® г) а®-ft® 32. Найдите значение дроби: , 15а® - lOafe - , _ , ЗаЬ - 2Ь‘ “ = -2. * = -»•!; 9с® - 4d® 2^1 18c®d--12cd^ °РИС=-. . 6х® + 12ху 2 . в) ..... ,».,2 при X = -, у = -0,4; г) 5ху + lOi/® X® + бху + 9{/2 4х® + 12x1/ при X = -0,2, у = -0,6. § 1. Рациональные дроби и их свойства 13 33. Сократите дробь: а) х^ - 4х + 4 в) а2 -1- о + 1 х^ - 2х аЗ-1 ’ б) 31/2 + 24y г) Ь + 2 у2 + 16у + 64 ’ If+8' 34. Представьте частное в виде дроби и сократите её: а) {9х^ - у^): (Зх + у); в) (х^ + 2х + 4): (х® - 8); б) (2аЬ - а): (4Ь^ - 4Ь + 1); г) (1 + а^): (1 + а). 35. Сократите дробь: 2х + Ьх — 2у — by а) б) 1X - Ту 8а + 4Ь 2аЬ + _ 2ad - bd ’ в) г) ху - х + у- у\ 2 2 ^ + 2ас + + ас - ах - сх 36.■ (Для работы в парах.) Постройте график функции: а) «/ = х^ - 25 . 2х + 10’ б) !/ = х^ - 9х х^ - 9 37. 1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков? 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки. „ -X -X X -X Из выражении —, —, —,----------выпишите те, которые: -у У -у У а) тождественно равны дроби —; У б) противоположны дроби —. у 38. Упростите выражение: а) б) а — Ь в) (а - bf д) Ь - а Ь - а (а - Ь)2 _ г) а - Ь е) Ф- af' ф- af’ 1 14 Глава I Рациональные дроби (-а - bf а + Ь (а + bf (-а - bf [39.| Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является гра- (1 - фиком функции у = ---- Рис. 2 40. Сократите дробь: . 0 / 1 / 1 1 0 X 2 J L 2 -1 -2 . 1 . а) а(х - 2у) Ь(2у - х) ’ г) 76 - 1462 4262 - 216’ ж) б) 5х(х - у) _ х^(у - х) ’ д) 25 - а2 За - 15’ з) в) За - 36 . е) 3 - Зл: 12fe- аЬ’ л;2 - 2а: + 1 ’ 41. Сократите дробь: , ах + Ьх — ау - by аЬ - Zb — 2а+ Ь ----Ьх-Ьу ’ 15-5а— 42. Упростите выражение: а) + X' X* + I/® - ц® б) 1Г - У в) Ъ'' - г) С®-с2 - 8а2 - 2аЬ + Ь® ’ Ф - 2f {2-bf § 1. Рациональные дроби и их свойства 15 43. Найдите значение выражения: ^ а® + а® 1 и л 1 Т5~—2 “Р** ® “ ~о’ —3" при ^ = -0,1. а“ + а‘ 44. Сократите дробь: а) (2а - 2bf а - Ь б) (Зс + 9df с + 3d в) (Зх + 6у)^ . 5х + 10у ’ г) 4х^ - j/^ (10х + 5yf ' 45._1 (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях а, а^ — 4 отличных от -2 и 2, значение дроби----;--т- является отрица- 12 + а^ - а* тельным числом? 1) Выберите произвольное значение а, отличное от -2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби. 2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи. 3) Выполните это преобразование и сделайте вывод. 4в,. Докажите, что значение дроби не зависит от л, где л — натуральное число: ^ 3" + 2 - 3" le" + ^ - 2" + а) . г . . 1 . ; б) + 3 + 3" ’ 4- 2"(23" - 1) ■ 47. Приведите к знаменателю 24а^6^ следующие дроби: ЪЬ 1а I 2 8аЗ ’ зг>2 ’ 2аЬ ’ а^Ь^ ' 48. Представьте выражение 2а + & в виде дроби со знаменателем, равным: а) Ь; б) 5; в) За; г) 2а - Ь. 49. Приведите дробь: а) б) а — Ь У X - а к знаменателю (а - 6)^; к знаменателю х^- а^; в) г) а а - 10 Р р-2 к знаменателю 10 — а; к знаменателю 4 - р^. 50. Решите уравнение: а) -5х = 16; 1 б) 2х = 5’ .) зД==4; г) 4х = -2; д) 0,6х = 3; е) -0,7х = 5. 16 Глава I Рациональные дроби 51. Разложите на множители: а) ЪЬс-Ъс\ г) 5у-5х + у^-ху; б) 10л + 15л^; д) а^-9; в) 8аЬ + 12&с; е) л:^ + 10л: + 25; ж) у^-2у +1; з) а®+ 64; и) 52. Расположите выражения: 5 5 5 а) — : 6,---ОД,----(-7) в порядке возрастания их значений; 16 16 16 б) 0,8 • (-0,4), 0,8 : (-0,4), 0,8 - (-0,4), 0,8 + (-0,4) в порядке убывания их значений. Контрольные вопросы и задания I Приведите примеры целых выражений; дробных выражений. Какую дробь называют рациональной? Приведите пример. Дайте определение тождества. Приведите пример. Сформулируйте и докгоките основное свойство дроби. Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например: 5 7 2 , 3 2 + 3 7 7 - 7 Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями: а ^ fc _ а + Ь с с с где а, Ь и с — многочлены, причём с — ненулевой многочлен. § 2. Сумма и разность дробей 17 18 I Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаме- '-J I нателями, надо сложить их числители, а знаменатель оста- » I вить тем же. | Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сло- жению: а Ь _ а - Ь с с с ' -----------------------------------------------------,--- ! Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одина- | j новыми знаменателями, надо из числителя первой дроби i I вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить ■ I тем же. I L________________________________________________________! „ < /1 . За - 7Ь 2а + 2Ь Пример 1. Сложим дроби----------и----------------------------. 15аЬ 15аЬ За - 7Ь 2а + 2Ь _ За - 7Ь + 2а + 2Ь _ 15аЬ ^ 15аЬ 15аЬ _ 5а - 5Ь _ 5(а - Ь) _ а - Ь ~ 15аЬ ~ 15аЬ ~ ЗаЬ ’ ^ Пример 2. Вычтем из дроби —дробь ——. 5д 15 5а 15 а^+ 9 6а _ а^ + 9 - 6а _ (а - ЗУ^ _ а - 3 ^ 5а - 15 ~ 5а - 15 ~ 5а- 15 “ 5(а - 3) ” 5 ' ^ Пример 3. Упростим выражение х^-3 2 _ 2х- 1 х^ + 2х х’^ + 2х х^ + 2х' ^ Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно: х^- 3 2 2а: - 1 _ - 3 + 2 - (2:с - 1) _ х^ + 2х х^ + 2х х^ + 2х + 2х _ х^ - 1 - 2х + 1 _ х^ - 2х _ х(х - 2) _ X - 2 ^ х’^ + 2х х^ + 2х х(х + 2) X + 2‘ Рациональные дроби Глава I Пример 4. Сложим дроби За и 6х 2х - а а - 2х Знаменатели дробей являются противоположными выражениями. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью. Получим 6л: 6л: а - 2х 2х - а Теперь можно применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: 6л: За За ^__________ 2х - а а - 2х 6х За - 6х -3(2х - а) 2х - а 2х - а 2х - а 2х- а = -3. < Упражнения 53. Выполните сложение или вычитание: ^ X у 13fc2 , X + I/ X . 2с - X X ^ —П- 54. Представьте в виде дроби: а) б) тп т — р 2^ 2^’ а + Ь а - 2Ь ~6 6 ' в) Ту - 13 2у + 3 , Юу 10у ’ . 8с и- 25 5 - 2с г) --------------I- 6с 6с 55. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби: . 2х - Зу 11у - 2х 4ху 4ху 5а + г>® Ъа-7Ь^ б) 85 85 ,а-2 2а+ 5 3 - а в) -^ + 8а 8а 8а ’ . 11а - 25 2а - 35 а - Ь г) ----^----Ь 4а 4а 4а 56. Упростите выражение: , 17 - 12х 10-х а) --------I------; б) в) X X 12р-1 1-Зр. Зр2 Зр2 ’ бу - 3 _ у + 2 5у 5у г) ~ g + Р “ Д) 5р Ър Ър 5с - 2d 3d d - 5с 4с 4с 4с .2а 1 - 6а 13 — 8а т— § 2. Сумма и разность дробей 19 57. Упростите выражение: а) б) 58. Докажите, что: 16 в) За- 1 36-1 д) X - 4 д: - 4’ af-b^ а^-Ь^' 25 г) х-3 11 е) а + 5 а + 5’ д:^ — 64 д:^ - 64 ’ 2а + Ь 2Ь - 5а + (а -bf (.a-bf' 13х + 6у \1х + Ау (X + yf ix-vyf ’ , {а + bf (а - bf а) выражение ——---------—— тождественно равно 4; аЬ аЬ 59. (а + bf {а - bf б) выражение —-г- + —------^ тождественно равно 2. а^ + Ь^ а^ + Ь^ Найдите значение выражения: , - 43 7 , - 96 - 1 6Ь - 10 о ^ а) —— + -—^ при а = 10,25; б) —— при Ъ = 3,5. а - 6 а - 6 6^-9 6^-9 „„ „ „ а~ - 126 Заб - 4а 60. Найдите значение выражения ----------^---- ^ а^ -ЗаЬ а^-ЗаЬ Ь = -1,75. Нет ли в задаче лишних данных? 61. Упростите выражение: при а = -0,8, . д: 5 а) -------г + б) у-1 1-у' а 6 , 2т 2п в) ----+---- т — п п - т г) с-3 3-с’ 2q - р р - 2q 62. Выполните сложение или вычитание дробей: . + 16 8а Д)------’ а - 4 4 - а х^ + 9у^ ^ бху а) Юр 1 Зр . в) д: - 3 2 д) р-я Я-р’ д: - 1 1-х' б) 5а 56 г) а За — Ь е) а - 6 Ь - а' 2а-Ь Ь-2а' X - Зу Зу - X а 3 а2 _ 9 9 _ fl2 > у2 1 У-1 1-у 63. Докажите, что при всех допустимых значениях х значение выражения не зависит от х: . Зд: + 5 7х + 3 64. Упростите выражение: б) а) 25 (д: -5f (5- xf' б) 65. Преобразуйте выражение: а) 8(д: - 2) 1 20 Глава I д:* - 16 - 16 ’ Рациональные дроби б) 5д: + 1 X + 17 5д; - 20 ' 20- 5дг‘ х^ + 25 Юд: (X -5f ' (5- xf ■ 64 - 2аЬ 2а6 -а2 (а -8f (8- -af 66. Пользуясь тождеством -------= - + -, представьте дробь в виде с с с суммы дробей: а) а + Ь б) 2а^ + а в) 2ху ’ г) 12а + бау 67. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей: х^ + у^ 2х - у . + 1 ч - 3afe 68. Представьте дробь + За + 6 ^ д^де суммы двучлена и дроби. п Выясните, при каких натуральных п данная дробь принимает натуральные значения. лл т-г - 1)(^ + 1) — 10 69. : При каких целых значениях т дробь ----------------- прини- мает целые значения? т 70. Решите уравнение: а) 3(5х - 4) - 8л: = 4л: + 9; б) 19х- 8(х- 3)= 66- Зл;; в) 0,2(0,7л;-5) + 0,02= 1,4(л:-1,6); г) 2,7(0,1л;-I-3,2)+ 0,ба,3-л:) = 16,02. 71. Разложите на множители: а) 8л:‘‘-1бхЗу; г)18Ь2-98а2; б) 15л:1/8-1-10у2; д)л:3-125; B)8a2-50i/2; е) уЗ + 8; 72. Укажите допустимые значения переменной в выражении: ч За -гч 2у .5л .7а ------- ж) а& + 8а -I- 9Ь -t- 72; з) 6т - 12 - 2л + тп. 9 + у^ Зх(х + 12)’ (а + 1)(а - 4) 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю. § 2. Сумма и разность дробей 21 Пример 1. Сложим дроби и Аа% ЬаЬ* ' Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а^Ь^. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны ЗЬ® и 2а^. Имеем х 5 х-ЗЬ^ + 5-2а^ ЗЬ^х + 10а^ ^ 4а^Ь баЬ* 12а%^ 12а^Ь* fl -ь 3 Ь-3 Пример 2. Преобразуем разность ---------------5^. а‘‘ + аЬ аЬ + Ь‘‘ ^ Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители: а + 3 Ь- 3 _ а + 3 Ь-3 а? + аЪ аЬ + а{а + Ь) Ь(а + Ъ) * Простейшим общим знаменателем служит выражение аЬ(а + Ъ). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 6 и а. Имеем л -н 3 Ь-3 tz + 3 Ь-3 + аЬ аЬ + а(а + Ь) Ь(а + Ь) (а + 3)Ь - (Ь - 3)а аЬ + ЗЬ - аЬ + За 3(а + Ь) аЬ{а + Ь) аЬ(а + Ь) аЬ{а + Ь) аЬ Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей. Пример 3. Упростим выражение а - 1 - а^-3 а + 1 ► Представим выражение а - 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей: а - 1 -3 а-1 -3 (а - 1)(а -i- 1) - (а^ - 3) а+1 1 а + 1 _ -1-а^ + 3 а + 1 а -I- 1 а -ь 1 22 Глава I Рациональные дроби Упражнения 73. Представьте в виде дроби: - + ^-2 3’ в) а Ь~ а д) 5х X 4у’ ж) 5а С d . г) 3 2 е) 17у 2Ъу , 35 3) — + 4с 4 12’ 2х Зх ’ 24с 36с ’ 74. Выполните сложение или вычитание: Ь +2 Зс - 5 6|/ 41/ Зх + 5 X - 3 б) —-------+ 35х 21х ’ в) г) 15fc 45с ’ 8Ь + у 6у + Ь 40Ь ЗОу 75. Преобразуйте в дробь выражение: . 15а - Ь а - 4Ь 7х + 4 Зх - 1 а) —т^г-----^ ; б) 12а 9а Sy 61/ 76. Выполните сложение или вычитание: .51 .1 4 - 2аЗ б) а“ а 1-х п.10 1 . а + Ь а-Ь —2~ + —7Г'-х^ аЬ . 2а - 35 4а - 55 X - 2у 2у - X е) ху“ х^у 77. Представьте в виде дроби: 2ху -1 Зу - X 1 2 ~4х^ 6^^’ 5^’ а) 1-5^ 25^-1 За5 ^ 6а5^ ’ _5^_______^ бд:* Зх«' 78. Преобразуйте в дробь выражение: .1 1 1 .Ь-ас-Ьс-а а) — + — + —; в) —— + б) аЬ ас Ьс аЬ — Ъ аЪ - а аЪ аЬ Ьс ас . ЗаЬ + 25^ а + 25 а — 25 г) ------------------+ — аЬ а Ь 79. Выполните вычитание дробей: а) б) X - У X - 2 в) p-q Р + Q . ху у Х2 pV pV ' а - 25 Ъ-2а г) Зт - п 2п - т 35 За ’ Зт^п 2тп^ § 2. Сумма и разность дробей 23 80. Преобразуйте в дробь выражение: а) Х + -; в) За - д)-------а; у 4 а б) - - а; а г) 5fe- О е) 2р- 4р^ + 1 2р 81. Преобразуйте в дробь выражение: ч с ^ ч . а - 3 а) 5- в) а + Ь----— _ 2 - 1 б) Ъу^--^- ч - 1 , _ г) -----;------Ь + 5. ж) З) С- 2а (b + cf 2Ъ 82. Представьте в виде дроби: а) 1- | - г) 4а- 5 4 б) а Ь . а-2 , а-3 83. Упростите выражение: . X - у X + у а) X----- +---- ’ 2 4 ’ б) 1-2--; г) X X а - 1 а + 2 а+Ъ , Д) —:---а + Ь; а‘ + fe2 е) а + Ь - в) + 4 12 6а - 4Ь Ь + 7а - 2. 84. Представьте в виде дроби: а) Ь - С Ь в) т п д) а а ь Ь + с’ т - п т + п’ а + 2 а- 2’ б) л: + 1 X + 3 г) 2а 1 е) Р Р л: - 2 X 2а - 1 2о + 1’ Зр - 1 1+Зр 85. Преобразуйте в дробь выражение: в) " б) Ъ{х + у) 3(дг + у) а2 5(а-Ь) 4(а-Ь)’ г) ах — ау by — Ьх' 13с________12Ь Ьтп - Ьп СП — cm 86. Выполните сложение или вычитание дробей: р Р .а а а) 2л: + 1 Зл; - 2 6а 2а б) ---Г- + в) г) 5х - 10 6л: - 12 ’ 5Ь Ь L 24 Глава I X - 2у X + у’ ’ 12а - 36 48 - 16а Рациональные дроби 87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение выражения не зависит от у: 5у + 3 7у + 4^ 11у + 13 15у + 17 а) 2у + 2 Зу + 3 88. Упростите выражение: а) ах - х‘ + X - а б) Зу-3 - 4Ьу 4-41/ 4«/ 2у^ - by Ь-2у' 89. Упростите выражение: ч 1 1 —Z2' б) аг + аЬ аЬ + 1 1 — аЬ аЬ — ’ 90. Преобразуйте в дробь выражение: а) 1- а + 6 _ а — Ъ' б) ----- а - Ь в) т — п + г) а + Ъ - т + п а + Ь Д) X- е) - х-3 а* + 1 91. Выполните вычитание дробей: а) + За аЪ - ЪЪ + За - 40 Ъ + 3 б) а^-1 Зу -3; + 1, Зл; - 2 Оху + Ох - 4у - О 92. Выполните сложение или вычитание дробей: с -ЗЬс а + 3 1 а) Ь — с ' б) а^ - 1 а^ + а 93. Преобразуйте в дробь выражение: . Ь - 6 2 .X - 12а а) + —Г*; в) 4а б) 4-Ь^ 2Ь-Ь^' Ъ 1ЪЪ-2Ъа х^ - 16а2 4ах - х^ ’ аЬ - Ъа^ — 25а^ ’ 94. Упростите выражение: г) Юу а - ЗОу а^ - ЮОу^ 10ау — а^ ' а) а + 4 а в) а2 - 2а а^ - 4’ б) 4- х^ 16 - х2 х+1, X + 4’ г) (а+ bf ^ (а - bf _ а^ + аЬ а^ - аЬ’ д ;2 _ 4 + 4х + 4 5х - 10 5х + 10 95. Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5: . х+1 х + 2 х + 2 1+х а) —2—Г - Т2—т; б) х^ - X х^ - 1 х^ + Зх х^ - 9 ’ § 2. Сумма и разность дробей 25 96. Представьте в виде дроби: , 4 3 12 а) б) у+ 2 у-2 J/2-4’ 3 + а - 6 а + 6 36 в) г) X + у (X -yf 2х-2у’ Ъ а + Ь (а - bf^ - аЬ' 97. Преобразуйте в дробь выражение: 2а + Ь 16а 2а- Ь а) б) в) г) 2а^ - аЬ Аа^ - &2 2а^ + аЪ' 1 2 1 (а-3)2 а2-9 (а + 3)2 ’ х-2 6х 1 — 4- • х^+2х+ А х^ -8 X - 2 ’ 2а^ + 7а + 3 1 — 2а 3 а®-1 а^ + а+1 а-1 98. Упростите выражение: ^ 1 1 2а а) а — АЬ а + АЬ 16Ь^ - а* ’ «ч 1 1 б) т:-----^ + :г:----— + 2Ъ -2а 2Ь+ 2а а^Ь - ’ 99. Докажите, что тождественно равны выражения: а) б) а‘ и а + 3 + 9а + 3 а^ - За а - 3 а^ - За' |3 л 2 а“ а и а - 1. 1100.1 (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения: 1 а) + 3х Зх^-1Ах+16 б) у + X + 2 х^ - А 2у^ + Зу + 1 у® + 2у + 2х является положительным числом; является отрицательным числом. у"-1 у-1 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. 3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б). 26 Глава I Рациональные дроби 101. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь + 1X — 25 в виде суммы целого выражения и дроби». Были X - 5 получены ответы: 1 ЕГ о Ч О 35 1.ЛГ+5+------ 2.JC + 12 + X - 5 X - 5 Укажите неверный ответ. [102.1 Докажите тождество 1 1 ^ 2х- 25 ^ 12д: - 25 3.-л: +-------— 4.Х + X - 5 X - 5 X + п X + п + 1 (х + п)(х + п + 1) Используя это тождество, упростите выражение 1 1 1 (х + 1)(х + 2) {х + 2)(х + 3) (х + 3)(jc + 4) 103. Две речные пристани А и В расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t (ч) потребуется катеру на путь от А до В и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при: а) S = 50, V = 25; б) S = 105, V = 40. 104. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью и км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при S = 10, и = 6. 2х — 5 105. Функция задана формулой у = —-—. Найдите значение функ- О ции при X, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции равно 3; 0; -9? 106. Постройте графики функций у = -4л: + 1 и у = 2х — Ъ и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы. 107. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы? § 2. Сумма и разность дробей 27 Контрольные вопросы и задания Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах: . а + 2 Ь - 2 8 4 Ь^-аЬ' 02 _ 16 д2 _ 4д ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например: 2 4 _ 2- 4 _ 8 3'5 “ 3-5 ” 15" Таким же образом перемножают любые рациональные дроби: а Ь ас Ы' где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причём bad — ненулевые многочлены. ! Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их | J числители и перемножить их знаменатели и первое про-’-j изведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби. , Пример 1. Умножим дробь —^ на дробь - 46 а ► Воспользуемся пргьвилом умножения дробей: 66 а® • 66 = ^. < 46^ а" 46^ • 26 28 Глава I Рациональные дроби Пример 2. Умножим дробь ^ на дробь -4— - —лЛ m ^ Имеем рт + 2р рт? р(т+ 2) • рт? т? - 4i р^т т т? - А т- (т - 2)(т + 2) т - 2 X ”• 1 X Ч" 1 Пример 3. Представим произведение ------------ ----- в виде рацио- X + 2 нальной дроби. ^ „ X - 1 X + 1 (X - 1) • (X + 1) х^-1 Имеем „--------- ---------- = , . <] X + 2 (х + 2) • X х^ + 2х X + а на многочлен х^- - а‘. Пример 4. Умножим дробь X - а ^ При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби со знаменателем 1 и затем применяют правило умножения дробей: X + а (х^- а^) = X - а X - а (х + а)(х - а)(х + а) а = (х + ау. <] Правило умножения дробей распространяется на произведение трёх и более рациональных дробей. Например: а с т Ь d п ас т bd п аст bdn Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень. Рассмотрим выражение являющееся п-и степенью рациональной дроби - и докажем, что Ь а" Ь" По определению степени имеем а а ь‘ь а Ь' п раз § 3. Произведение и частное дробей 29 Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим п раз а а ь'ь а Ь аа ■ ЬЬ- а" п раз п раз Следовательно, | ^ 1 = ^ • О I Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень • I числитель и знаменатель и первый результат записать i I в числителе, а второй — в знаменателе дроби. j L____________г____—_________—_______________________________: Пример 5. Возведём дробь -г- в третью степень. Ь* ► Воспользуемся правилом возведения в степень: (2a^)3 ^ 8а® 108. Выполните умножение: ч 5 2ft 5а 7 а) За 3 8у 10 109. Представьте в виде дроби: ---- , Зх 10 2,5 4а® 4у ' Зх® ’ 2а® ■ 5ft® ’ , ft® 5 lo'ft^ в) 7а® 24ft 8ft2; 110. Выполните умножение: -® 8с® б) . 12 х“ а) 5х 12а 15т 4с -г^'> в) 11а* 12ft 6 111. Преобразуйте в дробь выражение: а) б) 25 1б1/® 112. Упростите выражение: а) б) 2i/®; в) бат^ , 18 с® 4а 3^ 48х® 49у* 7у® . 16х®’ в) 72х“ f 25у® ■ 1, 2,5у* ) 27х® )’ 18т® 22п^ г) 35ах® 8аЬ 11п® 9т® ’ 12ft®y 21ху ' г) иаь-^ -i-; г) 4п® Зт® 9т г) ^.10а®. 1 30 Глава I Рациональные дроби 113. Выполните умножение: , lOxV 27fl3 , 13л: ,2 а)-----------г—; в) т;;— б) 9а2 2т® 35а®Ь® ‘ Ъху ’ 1а^Ь\ 6т У 12т 114. Упростите выражение: 2а^Ь Зх^у бах а) Злгу 4аЬ® 15&® ’ б) 6т®л® 49л‘* 5т^р® 35р® ’ т®р® ' 42ге® 115. Возведите в степень: Ш'-’ «(т]‘ в) / 2 П‘‘ Ют г) mV 2fc® J ■ 116. Возведите в степень: . f 2а У (3a®fe® а) -F-5- ; б) р2д® S’ в) - 2а®Ь Зтп^ г) 21/^ j- 117. Представьте в виде дроби: 3fe® J ’ а) б) в) Ют® У. л®р j ’ г) - 1118.1 Зная, что а-=2, найдите значение выражения + а 119. Выполните умножение: 8а® 25 ^2 ■ а) лс® — ху у® За аЬ + 5® в) т - п 2тп тп тп — т“ г) д) е) 120. Выполните умножение: 2х б) (х^- 4) • (X + 2)® ’ 121. Представьте в виде дроби: а) ху а + >«2 _1_ /,3 + O’* 4аЬ ах + 6л: _ сх + dx 2а6 ’ та - mb 2т Зл® пЬ — па' ах - ау ( 5ху 5х^у^ by — Ьх - 12 2аЬ 2 - баЬ + 96® б) б) , 2х - 2 • (а2 - 9Ь2). - л: Зал; § 3. Произведение и частное дробей 31 122. Упростите выражение: - 16 5у а) Юху Зу + 12 ’ б) 123. Представьте в виде дроби: ^ а^-1 7а-7Ь а) -—Г--2 . : ; в) б) а - b аг + а г>2 + 2Ьс 5Ь + 15 & + 3 г>2 _ 4^ ’ Ъ - а ЗаЬ а а 2-52’ (х + 3)2 л:2- 4 2х - 4 Зл: -1- 9’ (5 - у)^ J/2-36 2у + 12 2у- 10 124. Найдите значение выражения: . Ьтп - т 16т^ - 1 -----^= 7> " = -3; 4тп + п on — 1 4 б) (X + 2)2 2jc + 6 Зх + 9 ‘ д;2 - 4 , если X = 0,5; -1,5. 125. Выполните умножение: а) -52 2а - 6 а2 - За 52 + 2аЬ + ’ 126. Представьте в виде дроби: , тх^ - ту^ Зт + 12 а) ^ б) 2т + 8 ах + ау ту + тх х^ - ху ^ х^ - 2ху + у2 7х + 7у' 127. Упростите вырг1жение: а) б) х2 - Юл: + 25 л:2 16 Зл:+12 2х-10’ 1 - а2 а2 + 4а5 + 4&2 4а + 85 3 - За б) в) г) в) г) 5л: + 35 25 - Юл: + л:2 л:2- 25 ах + За ^2 - 1/2 л:2 - 1/2 X + у х^ + л:у + у2 ’ а2 - 1 а2 - - а + 1 а2 + 1 а2 + 2а + 1‘ у2 - 25 Зу + 18 _ у2 + 12у + 36 2у + 10 ’ 52 + 8 25+3 1852+ 27Ь 52 - 25+ 4 128.; Докажите, что если дробь — является квадратом дроби, то О и произведение аЬ можно представить в виде квадрата некоторого выражения. 129. Упростите выражение: а2 - 4ас + 35с а^ - аЬ + Ьс - ас Ъ - а а + 35 а + 2с -I- ----------------I- а - с 1 32 Глава I Рациональные дроби 130. Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км/ч, а остальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько времени t (ч) затратил велосипедист на весь путь? Найдите если: а) у = 15; б) и = 18. 131. Выразите х через а и Ь: X X а) Зх + Ь = а; б) Ь — 7х = а - Ь; в) —1-1 = 6; г) 6--= а. а 10 6. Деление дробей При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например: 3 2 3 5 1^ 8 ■ 5 ~ 8'2 “ 16" Так же поступают при делении любых рациональных дробей: а с _ а d b‘d~b'7' где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причём Ь, с и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило деления рациональных дробей: I чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь . I умножить на дробь, обратную второй. 1 Пример 1. Разделим дробь на дробь Ь^ Ь ► Воспользуемся правилом деления дробей: 7а^ 14а 7а^ 6 6® 6® ■ 14о 26® . < ^ ” 2 1 Пример 2. Разделим дробь-------на дробь X + 2 ► Имеем X - 2 X + 1 X - 2 X + 2 х^ - 4 X + 2 х+1 Х^ + X . < § 3. Произведение и частное дробей 33 Пр и м е р 3. Разделим дробь а2 - 9 3«/ на многочлен а + 3. ► При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило деления дробей: а2- 9 Зу : (а + 3) = а^-9 а+3 а^-9 3«/ Зу а + 3 а — 3 ■зГ . <1 УПРЭЖ1|§Ш!||1 132. Выполните деление: . 5т 15т^ оп 8 б) 14 7х в) г) ^аЬ Ш ' 36’ Зл: 1 9д,з • 2у2 ’ joa® ” 5а^ 133. Упростите выражение: Д) = (22x2); . (9c2cf); 41/2 е) 27аЗ а) 6x2 Зх в) ЗаЬ { 2la^b Л 5«/ 10J/2’ Аху ' V \0х^у J’ б) 8с 6с2 г) 18а2г>2 ( 9аЬ^ 21^2 ■ И' 5cd ’ 1 5c^d* ISa** , 7Ь2 ’ Id 7 „3 3) Збх^у:—. 134. Выполните деление: ^ 6x2 ^ 8тх2 ^ а) •• 7г—гг; в) : (4т‘^х); б) т?п ' Зтп^ ’ 35x2i/ 7хг/ _ 12afe ’ 8afe2 ’ Зу2 г) ISa^bx: 135. Представьте в виде дроби: 3x2 ^ 9д,з s\ '^Р* 5i/2 ' 2i/2 Зх ’ б) 30x2 • б? . 10^2 14р2 47'* 136. Упростите выражение: . 11лг* 5т Ил® вх® а) ^г:^- — : ттггт; б) 4х'* 7х 6л2 6л® ■ 12/л® ’ 7j/2 ' 49i/2 ■ 1/2 137. Представьте выражение в виде дроби и сократите её: а) (х + Зг/):(х2-%2). б) (а2- баб + 9&2): («2- 9^2); в) (х2 - 49i/2) ; (49j/^ + 14x1/ + х^); г) (т - 4п)^ : (32п^ - 2лг2). 34 Глава I Рациональные дроби 138. Выполните деление: . - Зт Зт а) 8^2 ■ 8х ’ 6)Й: в) г) 66® ’ аЬ - Ь^' _ А+ Ах 11а2 бах Sax — 2т Зт - 6 ’ Д) ■ (7а - 21Ь); е) (л;2- 41/2): SfLzJ^; 4а* — аЬ^ ж) (2а - Ь)2 : з) (Ют - 15п): (2т - Зга)2 2т 139. Выполните действие: х^ - ху 2х 9у2 = б) 20® - а^Ь _ 2а - Ь 36&2 • эг»2 ’ в) (m2-16^2): Зт + 12л тп г) 9р2 - 1 1- Зр pq - 2q ' Зр - 6 140. Найдите значение выражения: а) ——^ : (2л: - 2), если л: = 2,5; -1; л + 3 2д2 _ <у,2 б) (За + 66):--------—, если а = 26, 6 = -12. а + 6 141. Выполните деление: а) Зх + бу 5л + lOi/ Х^ - У^ ‘ д;2 - 2ху + У^ ’ 142. Упростите выражение: а) б) + 4а + 4 4 - а^ 16-6^ ‘4+62 а^ + ах + л2 а® - л® л - 1 л® - 1 ар^ -9а ^ р + 3 ’ р®-8 ■ 2р- 4‘ 143. Из формулы - + г = - выразите: а Ь с а) переменную с через а и Ь; б) переменную 6 через а и с. 144. Выполните действия: 26 5 46® + 9 а) б) 26+ 3 3 - 26 46® - 9 ’ с + 66 26 ас + 26с - баб - За® а® + 2а6 ас - За® * § 3. Произведение и частное дробей 35 145. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после выхода лодки у неё испортился мотор, и её течением через 3 ч принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки? 146. Из формулы у = ^ выразите: 4иС а) переменную с через а, Ь и у; б) переменную а через Ь, с тл у. 147. В каких координатных четвертях расположен график функции у = kx, если ft > о? если ft < 0 ? 7. Преобразование рациональных выражений Рациональное выражение ^ - У ^ : (х^- Зг/^) представ- х + у X- у ^ ляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на многочлен. Деление на х^~ Зу^ можно заменить умножением на дробь —• Поэтому преобразование данного выражения сводит- - Зу^ ся к сложению дробей х-у X + у' 2у и умножению результата на дробь Вообще преобразование любого рационального выра- х^ - Зу2 жения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей. Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение 1 х^- 4 х + 1 X + 2 ► Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена л: -I-1: 1 х^ - 4 (х - 2)(х + 2) X - 2 1) X + 2 (х + 2) X _ ч X - 2 х{х + 1) - (х - 2) _ х^+х-х + 2_ х^ + 2 ^ ДС X ““ _ ■ “* • ■^1 36 Глава I Рациональные дроби Запись можно вести иначе: , 1 - 4 ^ (X- 2)(х + 2) , X - 2 X + 2 X (х + 2) X X х^ + X - X + 2 х^ + 2 Пример 2. Представим выражение Ь а \ а^Ь + аЬ^ — аЬ аЬ — + 1 в виде рациональной дроби. ► Сначала сложим дроби, заключённые в скобки, затем найден- а^Ь + аЪ^ ный результат умножим на дробь а2 + ченному произведению прибавим 1: Ъ а и, наконец, к полу- 1) 2) Ь а + с? - аЬ аЬ - а(а - Ь) Ь{а - Ь) аЬ{а - Ь) ’ а^Ь + аЬ^ _ (а^ + Ъ^) ■ аЬ(а + Ь) _ а + Ь ^ аЬ(а - Ь) аЬ(а — Ь)- (а^ + Ь^) а - Ь’ 2а ^ а + Ъ , а + Ь + а — Ь 3) -----г + 1 = а - Ь а-Ь а - Ь Пример 3. Представим выражение —----------в виде рационгшьной - + ^ - 2 « У дроби. ► Преобразование можно вести по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основным свойством дроби: £ _ i'. У X i^+^-2 У X _ _\ ху ( \ ху X у ^ • ху - ^ • ху у ^ X ^ ху + ^- ху - 2ху х^- _(х- у)(х + у) _ X + у ^ х2 + у2 - 2ху (х - yf X - у' § 3. Произведение и частное дробей 37 Пр имер 4. Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со скоростью Vi км/ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оставил дома необходимые документы, и возвратился обратно в посёлок со скоростью V2 км/ч. Взяв документы, он снова пошёл на станцию со скоростью км/ч. Выясните, какой была средняя скорость пешехода на всём пройденном им пути. ► Пусть расстояние АВ равно s км. Тогда на путь от А до В пеше- S S ход затратил сначала — ч, на путь от В до А--ч, а на повтор- ное прохождение пути от А до В-----ч. На весь путь пешеход S S S затратил — н----1--ч. За это время он прошёл 3s км. Теперь можно наити среднюю скорость пешехода на всем пути: 3s ^’ср S S S — -t- — + — у, У2 1^3 Сократив данную дробь на s, найдём, что 3 1 1 1 -- + - + - У, У2 Уз Мы получили формулу для вычисления средней скорости, если известны скорости у^, V2, Уз на каждом из трёх участков одинаковой длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость движения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей у^, У2 и У3. Она вычисляется по более сложной формуле, которую называют формулой среднего гармонического трёх чисел. Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел: 2 У1 У2 где У1 и У2 — скорости на этих участках. Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четырёх чисел: *^ср 1111 — + — + — + — V, Vo Vo у. где У1, Уг, У3, У4 — скорости на этих участках. 1 38 Глава i Рациональные дроби Вообще если мы имеем некоторый ряд положительных чисел ai, й2, , а„, то среднее гармоническое этого ряда вы- числяется по формуле ^ср П 1 1 — + — + flj 02 Эту формулу иногда записывают в другом виде: 11 1 — -I- — + ... + — 1 _ ^2__________^ ‘^cp П Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому нескольких положительных чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных. Хйезжнл^ния 148. Выполните действия ^ ( X 1 Wl 1 а) б) X 0. х]' .У а Л — + т? I ■[ тг т ~т ■*— а 149. Выполните действия: \ ( ^ I ^ 1 + л: б) 1-г/" 1- 1-г// аЬ + Ъ'^ 6® а + Ь г) в) г) X- у Ъу х^ ху 4а 2 - а х-2 X - 3 ' - а 5у а + 2 а - 2 X 150. Упростите выражение: , , 2т + 1 2т — 1 а) 2т-1 2m+lJ'l0m—5’ 4m лг + З (X + Z X - 3 ^ л:2 + 9Чл:-3''’л: + 3 151. Выполните действия: - 9 (ба+1 Ga-l'l + у 5х - у\ х^ + у^ 2а2 + 1 ' [ а - 3 а + 3 )’ \х - Ьу ^ х + Ъу] ' х^ - 2Ьу^ ' § 3. Произведение и частное дробей 39 152. Выполните действия: ,0^-25 1 а) „ . о --3—^ б) 153. Упростите выражение: а + 5 в) Ь - с аЬ - г>2 а^-с^ а2 - За ’ а + Ь а2 - ас а2 - Ь2 3 + X 4х+ 2’ г) а2 - 4 х2-9 ■ а2 - 2а ху + Zy 2-У + ^ X - 3 а) (а^+ 2а + 1) • + а+1 — 1 а — 1)' + 2 а - Sd “Ь 2 г) (у^- 4) у + 2 у-2 + 5. 154. Выполните действия: ч I 1 2 а) - + X - У X- у 2аЬ б) + Ь - в) (х^- 1) г) + 1 - а + Ь 1 + у^ X + у а - Ь Ь _ а + а 1 X - \ X + 1 1 + 1 ; 1 - m т - т“ т - 1 155. Упростите выражение: 4ху .(\ 1 1/2 - ^2 'Уу2_ ^2 ■ Д.2 + 2ху + 1/2 б) X -2у_________1______________ х2 + 2ху х2 - 4i/2 ■ (2j/ - х)‘ X + 2у \ (х + 2yf 4i/2 156. Представьте в виде дроби: ^ X + 2 Зх - 3 3 а) б) х2 - 2х + 1 х2 - 4 X - 2 ’ а-2 ( а а2+4 "I 40 Глава I 4д2 + 16а + 16 ■ 1,2а - 4 2а2 - 8 а2 + 2а Рациональные дроби 1157.1 При каком значении а выражение (0,5 (а - 1)2 - 18) I-3 + ^а- 1 а + 5 принимает наименьшее значение? Найдите это значение. 81 158 .1 При каком значении Ь выражение---- „ „ ---- (0,5Ь + 9)2 + (0,56 - 9)^ мает наибольшее значение? Найдите это значение. прини- 159. Докажите тождество: 2p-q 1 [ Р__± Я Р а) б) РЯ а + Ь р + Я а - Ъ 1. Я &2 - аЬ 2(а-Ь) 2{а + Ь) а-Ь ' 160. 161. Докажите тождество: , 1,2^2 - ху 20х а) " - 0,36x2 _ o,25j/2 6х + 5у' б) 4,5а + 4х 50 0,81а2 - 0,64x2 9а - 8х Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных: , , 2аЬ а - Ь \ 2а Ь а) а2 - fe2 2а V- а + 2Ь) а б) X® - Ху2 + ь X Ь — а х2 - у2 х-у х2 + 1/2 Цх-г/)2 162. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения / \ 9 п 3 11 ■ I 1 »1 «2 3 п S \ У \ J является натургшьным числом. 163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби: ,2 / \2 / \2 а) п + — п в) (х - + 1 у +1^-1 б) а _ 6")^, Ь а] ' г) 1^ + ^ 164. Упростите выражение: 2а — Ъ а) 1-1 X 77i X + 1 б) 2а + 6 - 1 в) Д.2 X У г) 111 — + — + — а о с _1_^ _1_ аЬ Ьс ас § 3. Произведение и частное дробей 41 165. Представьте в виде отношения многочленов дробь: 2 - а - Ь + 3 а) 2 + -д: б) а + Ь в) 1 1 -- + — л: У - 1 X 1 У г) X- У £ У У_ X 166.1 Выполните подстановку и упростите полученное выражение: а) X - а ■, если X = аЪ а + 6 ’ б) а Ь~^ ь - + X а если X = а - Ь а + Ь 116^ Выполните подстановку и упростите полученное выражение: а + Ь 1 1 а) ^—-, если а = ---, Ь = 168. 169.1 170. 171. 172. б) а - Ь’ ах Ьх а + X Ь - х’ 1-х если X = 1+ х' аЬ а - Ь Найдите значение выражения: „2 а) 9 а 12 18 2 U 1 приа = д. & = -g; б) 0,2а — Ь 25 при а = -8, Ь = 0,6. (Для работы в парах.) При каких значениях х имеет смысл выражение: ,1 о а) ----—; б) ----;—? 3 - 2 + X - 2 д: + 8 1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не являются допустимыми? 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки. Найдите среднее гармоническое чисел: а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20. Из пункта А в пункт В автобус ехал со скоростью 90 км/ч. На обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до 60 км/ч. Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования? Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за б ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно? 42 Глава I Рациональные дроби 173. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, затем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч. Какова была средняя скорость школьника на всём пути? 174. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у графика функции: в) у = -X - 2\ б) у = -0,4x -I- 2. Постройте гра-фик этой функции. 175. Напишите уравнение прямой: а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой у = Зх; б) проходящей через 1 178. начало координат и параллельной прямой у = 8. 176. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида у = kx + Ь, если: а) А: > о, Ь > 0; в) Л < 0, 6 < 0; б) k < о, Ь > 0; г) k = о, Ь > 0. 177. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов после своего отправления он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч? 8. Функция У = — и её график Пусть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина у см, равна 24 см^. Тогда зависимость у от х выражается формулой 24 В этой задаче переменные х и у принимали лишь положительные значения. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида у = —, в которой переменные х и у могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причём k ^ 0. Такие функции называют обратными пропорциональностями. § 3. Произведение и частное дробей 43 Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида У = —, где X — независимая переменная и k — не равное нулю число. Областью определения функции у = — является множество всех o'" * чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение — имеет смысл при всех х фО. Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. Пусть х^ W. Х2 — значения аргумента {х^ фО, Х2 ф 0), а i/i и «/2 — соответствующие им значения функции. Так как k Ф 0, то Ф 0 и У2Ф 0. k Из формулы У = — следует, что х^у^ = k и Х2У2 = k, и потому верна JCj У2 пропорция — = —, т. е. отношение двух произвольных значений У1 аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции. С этим связано название функции — обратная пропорциональность. В повседневной жизни мы часто встречаемся со случаями, когда зависимость между переменными является обратной пропорциональностью. Приведём примеры. Пр и мер 1. Время t (ч), которое автомобиль, двигаясь со скоростью V км/ч, затрачивает на путь, равный 450 км, вычисляется по формуле t = т. е. зависимость ^ от и является обратной пропорционгшьностью. Пример 2. Масса т (кг) муки, которую можно купить на 85 р. 85 по цене р р. за килограмм, вычисляется по формуле т = т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональностью. 12 Построим график функции у = Для этого найдём значения у, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям х: X 1 1.5 2 3 4 5 6 8 12 у 12 8 6 4 3 2.4 2 1.5 1 44 Глава I Рациональные дроби X -1 -1,5 -2 -3 -4 -5 -6 -8 -12 у -12 -8 -6 -4 -3 -2.4 -2 -1,5 -1 Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице (рис. 3). Выясним некоторые особенности графика функции у = ^. Так как число нуль не входит в область определения функции, то на графике нет точки с абсциссой О, т. е. график не пересекает ось у. Так как ни при каком х значение у не равно нулю, то график не пересекает ось X. Положительным значениям х соответствуют положительные значения у. Чем больше положительное значение х, тем меньше соответствующее значение у. Например, если X = 10, то у = 1,2; если X = 100, то у = 0,12; если X = 1000, то у = 0,012. Значит, чем больше положительная абсцисса точки графика, тем ближе эта точка к оси абсцисс. Для достаточно больших значений х это расстояние может стать как угодно малым. Чем ближе положительная абсцисса точки графика к нулю, тем больше ордината этой точки. Например, если X = 0,03, то у = 400; если х= 0,0001, то у = 120 000. 12 График функции у = — показан на рисунке 4. Он состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна из этих ветвей расположена в первой координатной четверти, а другая — в третьей. Такой же вид имеет k график функции У= — при любом k> 0. На рисунке 5 построен график функции у = —Щ - Он так же, как и график функции у = представляет со- § 3. Произведение и частное дробей 45 бои кривую, состоящую из двух ветвей, симметричных относитель- 12 но начала координат. Однако в отличие от графика функции у= — одна из них лежит во второй, а другая — в четвёртой координатной четверти. k График функции у = — при любом k < О имеет такой же вид, что и график функции у = - X 12 I Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональ- ’ I ности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух | I ветвей. L_________________________________________________________: Упр|ркшш 179. Функция задана формулой у = —. Заполните таблицу. X -4 -0,25 2 5 16 у -4 0,4 120 180. Обратная пропорциональность задана формулой у = Заполните таблицу. X -1200 -600 75 120 1000 У -0,5 -1 0,4 181. Двигаясь со скоростью и км/ч, поезд проходит расстояние между городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу, выражающую зависимость: а) и от t; б) t от у. 182. Обратная пропорциональность задана формулой у = ^. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли графику этой функции точка А (-0,05;-200), В (-0,1; 100), С (400; 0,025), В (500; -0,02). 183. Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12. "L 46 Глава I Рациональные дроби 184. На рисунке 6 построен график функ- " " g ции, заданной формулой у = —• Найдите по графику: а) значение у, соответствующее значению X, равному 2; 4; -1; -4; -5; б) значение х, которому соответствует значение у, равное -4; —2; 8. 185. Постройте график функции, задан- "*""*'* —8 ной формулой у = Найдите по графику: а) значение у, соответствующее значению X, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5; б) значение х, которому соответствует значение у, равное 8; -2. 6 186. 187. Постройте график функции у = — и, используя его, решите уравнение: а) — = х; б) — = -х -н 6. Решите графически уравнение: а) — = х^; б) — = х®. 8 X ' ' X (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение: а) — = х^, где /г > 0; б) |- = х^, где Л < 0; в) — = X®, где /г > 0; г) -| = X®, где А < 0. 189. 190. 1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функ- k ции У = -. 3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и & см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см®. Выразите формулой зависимость Ь от а. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку: а) А(8; 0,125); б) в[^|; l|j; в) С(-25;-0,2). § 3. Произведение и частное дробей 47 t.4 16 ГГ! 1 1 _1 1 \ : - 1 1 Г14 ' ’ 1\ 1 , ilL г1л* Lin. i 1 г S i 1 V - 1 \ i - А .. 44_ 1 -2.. 1 i ^ 1 i 1 0 1 2 п ' 4 п oj 1 L. i гг г il- L ■T - - 1 i i n 1 : L ——1 - “ ^ _ 1 L- i i i 1-Г2-1 ? i T ^ f3 ^ 2 1 Л ^ 1 1 -1 ■ -2 1 . Г* L / pt -o f ; I 1 rHl —I / 1 I / £G ! I / -J Рис. 7 Рис. 8 191. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы: а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч? б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч? в) Каково расстояние между пунктами А и В? k 192. Определите знак числа k, зная, что график функции у = — расположен: а) в первой и третьей координатных четвертях; б) во второй и четвёртой координатных четвертях. 193. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций: 1. у = — " X 2. у = -~ ^ X У=х 4. у = — ^ X Укажите эту функцию. 194. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных: а) Ь{х-у)^ б) (Зх - 6у)2 48 Глава I (Зу - Зх)2 ’ 4(2у - х)2 Рациональные дроби i96.| (Задача-исследование.) При каких значениях а и Ь является 5л: + 31 а ^ о тождеством равенство-----------— =------ +----- с (х- 5)(х + 2) X - 5 дс + 2 а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи. б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её. в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ. 196. Упростите выражение 12 X 2 X - 2 4- х‘ )_ х+7 j ' х-2' Контрольные вопросы и задания Сформулируйте правила умножения и деления дробей. Сформулируйте правило возведения дроби в степень. Какая функция называется обратной пропорциональностью? В каких координатных четвертях расположен график функции \у= ^ при А > О? при й < О? Для тех, кто хочет знать больше 9. Представление дроби в виде суммы дробей Сумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и знаменатель — многочлены с переменными или числа (в частности, число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы двух дробей — неопределённая. 4х^ - 16дг + 1 Так, например, дробь -2---- можно представить в виде суммы (или разности) двух слагаемых разными способами: 4х^ - \&х1 4х^ 1 - 16л: 1 - 16д: + ——= 1 + 4лс^ 4х'^ 4х^ 4х^ - 16х + 1 4x2 + 1 16х 4x2 4x2 4x2 4x2 ’ 4x2 4 4x2 ~- Для тех, кто хочет знать больше 49 Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допускает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется представить дробь — в виде суммы двух дробей, то в качестве одного о С из слагаемых можно взять произвольную дробь —. Тогда вторая d _ _ ас ^ ad - Ъс дробь будет равна разности — —, т. е. равна дроби---. о d bd Для представления дроби в виде суммы дробей можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Разъясним на примере, в чём состоит этот метод. 7х Пример 1. Представим дробь - (х - 3)(х + 4) со знаменателями х - 3 и х + 4. ► Допустим, что 7х а Ь в виде суммы дробей (л; - 3)(х +4) X - 3 X + 4 Сложим дроби в правой части равенства: а Ь а(лг + 4) + Ь(х - 3) {а + Ь)х + (4а - ЗЬ) X - 3 X + 4 Получаем, что (X - 3)(х +4) (X- 3)(д: + 4) 7х (а + Ь)х + (4а - ЗЬ) (X - 3)(х + 4) (х- 3)(лг + 4) Это равенство будет тождеством, если а + Ь = 7 и 4а-ЗЬ = 0. Решив систему уравнений а + Ь = 7, 4а - ЗЬ = О, найдём, что а = 3, Ь = 4. Следовательно, 7х 3 4 -t- (х - 3)(х +4) X - 3 X + 4 <3 Приведём теперь примеры задач, при решении которых используется представление дроби в виде суммы целого выражения и дроби. Пример 2. Найдём все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению X - ху + Зу = 5. ► Выразим из уравнения переменную х через у: х~ ху = Ъ - Зу, х(1 - у)= Ъ - Зу, х= \х=^^ ^ 1-г/ г/- 1 50 Глава I Рациональные дроби ^ 3i/ - 5 Выделив из дроби-------целую часть, получим X = У- 1 Зу-3-2 У-1 = 3- У- 1 Значение дроби У-1 является целым числом тогда и только то- гда, когда у - 1 =-2, у-1=1, у —1=2. Отсюда у = -1; 0; 2; 3. Вычисляя соответствующее значение х, получаем искомые пары целых чисел: (4; -1), (5; 0), (1; 2), (2; 3). <3 Пример 3. Найдём, при каких значениях п значение дроби г? — 2п— 10 является целым числом. п - Ь ► Представим дробь тг — 2п — 10 в виде суммы многочлена и дроби. п - 5 Для этого многочлен - 2п- 10 разделим на двучлен л - 5. Деление выполним уголком аналогично тому, как выполняется деление натур£1льных чисел. - 2п - 10 л^ - 5л _ Зл - 10 Зл - 15 л - 5 л и- 3 В результате получаем, что частное равно л + 3, а остаток равен 5. Значит, л^ - 2л - 10 = (л - 5) (л -I- 3) + 5. Отсюда л^ - 2л - 10 _ 5 = л + З-ь л - 5 л — 5 Значение двучлена л -I- 3 при любом целом л является целым числом. Значение дроби-----является целым числом тогда и только то- л — 5 гда, когда л - 5 равно 1, -1, 5 или -5. о - л^ - 2л - 10 Значит, дробь ---------- принимает целые значения при л, л - 5 равном о, 4, 6 и 10. <1 Для тех, кто хочет знать больше 51 Угцш^е|1ия [197.J При каких значениях а и Ь равенство 6х а (х-1)(х-2) является тождеством? 5х - 1 198.1 Представьте дробь {X + 4)(х - 2) знаменателями л: + 4 и д: - 2. X - 1 X - 2 в виде суммы двух дробей со '199Г| Представьте дробь —2—- f в виде суммы двух дробей со знамена- х^ - 1 телями X - 1 и X + 1. |2М.| Выясните, при каких целых а дробь - 4а + 1 а - 2 принимает це- лые значения, и найдите эти значения. i20i.: (Для работы в парах.) Зная, что т — целое число, найдите целые значения дроби: . m^-6/n+lO (т - 4)^ а) ---------; б) т - 3 т - 2 1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби. 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки. :^2.| Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению: а) 5х + у - ху = 2; б) ху - х + у = 8. х^-6х + 1 1^03,; Найдите все точки графика функции у = ленными координатами. X - 3 с целочис- Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение 5а^ + 6 дроби + 1 не является целым числом. 26^ Найдите все пары натуральных чисел а и Ь, если известно, что сумма обратных им чисел равна у. 1 52 Глава I Рациональные дроби 20в. Найдите значение дроби Зх^ - ху + 6у^ , если х-у = 2. «л» о а + 2Ь ^^ (а-3bf 207. Зная, что-----= 11, найдите значение дроби —----- --- а Дополнительные упражнения к главе I к параграфу 1 208. Найдите значение дроби: , 51+ 1?2 3?2 + 111 а) ——; б) 10 40 209. Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд вышел из А в В и шёл со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шёл со скоростью V км/ч. Поезда встретились через t ч после выхода первого поезда. Выразите v через t. Найдите скорость v при t = 7; при t = 6. 210. Найдите допустимые значения переменной в выражении: , Зл:-8 ,9 ч 12 а) .4^ ; в) ; д) б) 25 37 2У + 7’ г) х^ -7х' 2у + 5. е) |х|-3’ 45 li/l + 2' 211. Составьте какую-либо дробь с переменной х, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме: а) л: = 2; в) л: = -3 и лс = 3; б) л: = о и д: = 3; г) д: = и х = ^. 212. Укажите область определения функции: ч 1 ггч Зх . 7х + 1 а) у =--г; б)у = ^3—в) у = X + 5 2х - 6 213. Сократите дробь: а) аООа 91 ' б) аОаО 101 214, Сократите дробь: (3a-3cf . ,, (a^-9f 9а^ - 9с^ ’ (3-af’ в) 8у« - 1 . У - ^У^' г) 5а^ - ЗаЬ - 0,36f)2 Дополнительные упражнения к главе I 53 215. Сократите дробь: а) а® - 4а + 4 в) а® + а& - 2а - 2fc ’ 6х® - Зху -ь 4х - 2у б) г) 9х® + 12х + 4 216. Выполните сокращение: а) b^‘^ - ft® + 1 ft®i + 1 ’ в) б) X®® - 1 г) X®® + Х®2 + х" ’ + 4ab + 4b^ + 8b^ ’ 27x^ - г/З 18x2 + ^ 2i/2 • xQ/ - z)- t/(x - z) x{y -zf- y(x - zf ’ a{b + 1)2 -b{a + If a(b + 1) - b(a + 1) ■ _2j/^ 217. Докажите, что если в дроби —5---------— переменные х и у заме- 3i/2 + 5 ху нить соответственно на kx и ky, где ft О, то получится дробь, тождественно равная первоначальной. 218. Известно, что а - Ь = 9. Найдите значение дроби: 36 108 ^ (5а - 5bf , а2 + аЬ + fc2 а) (а-bf' б) (Ь - а)2 ’ в) 45 г) а® - Ь® T219J Докажите, что если - = то а = Ь = с. Ь с а К параграфу 2 220. Упростите выражение: а) б) X® - 2х 4х - 9 X - 3 54 X - 3 У^ - 10________ у-8 у-8’ в) г) а® - &2 _ а2 ’ X® - 2х 2г/ - у® х®-у® у^-х^' 221. Докажите, что тождественно равно многочлену выражение: X + у _ „ У-” 6) у-Ь+1 y-fc+l’ (а + х)2 2а + 2х а+х — 2 а+х—2’ в) X® - у® X — у - 1 y-x+l’ , Ь®-9с® 2(Ь-Зс) г) :--г----г + Ь+Зс — 2 2 — Ь—Зс 12221 Докажите, что если правильная обыкновенная дробь — несо- Ь кратима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима. 1 54 Глава I Рациональные дроби 223. При каких натуральных п является натуральным числом значение выражения: .71+6 5Т1 - 12 36 - 71^ „ а) ; б) -------; в) -----з—? 224. Найдите значение выражения, зная, что — = 5: У а) £±1; 6) ,) £; г) . У у X X X и 225. Зная, что---- = 3, найдите значение выражения: У а) б) —в) У х + у х-у г) X 226. Выполните сложение или вычитание дробей: , - 5Ь - 1 5& - 3 ч 1 + с + у* а) --Ti---+ ——; в) ■ б) Ь^у by - а + 1 х^ - 1 ах 3 ’ г) с^у* с^у^ ’ + Х^ с + X с^х^ • 227. Представьте в виде дроби: х-У. а) х +у + б) т + п- 4 ’ 1 + тп в) а - аЬ + ас + Ьс а-¥ Ъ + с а^-1^ а + Ь ‘ г) а^- Ь^- 228. Упростите выражение: . тп + 1 тп - 1 дс + 4а а — 4х а) + ——:г; б) т + п т - п За + Зх За - Зх 229. Упростите выражение: а) ~ У 2у^ + У 1 У^-У+ 2 + 2 ^'"1 б) 6а 8 2,250^-0,64 6а-3,2* 230J Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю: 1 1 1 + ■ (а - Ь)(Ь - с) (с - а)(а - Ь) ф - с){с - а) Дополнительные упражнения к главе I 55 231. Упростите выражение: , 5 1 41/ - 18 а) - б) в) у-Z у + Z 2а 5 У^-9 ’ 4а^ + 9 2а + 3 3 - 2а 4а^ - 9 ’ 4т 2т + 1 2т - 1 4то^ - 1 бог - 3 4т + 2 г) Д) е) ix^yf 4а2 + За + 2 а® - 1 X - У + ху + Z/® х^ - у^ (x-yf' 1 - 2а а® + а + 1 ’ Зху х^ - I/® + X- у 232. Докажите, что тождественно равны выражения ах + by Ьх - ау а® + 6® (а - Ь)(х + у) (а + fcXx + у) ^ а^ - ' ^^233.! Упростите выражение: 1 1 а) б) + а(а - Ь)(а - с) b(jb - с)(Ь - а) с(с - а)(с - Ь) ’ (х - у)(х - Z) {у - х)(у - Z) (г - x)(z - у) 234. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: а) х® - Зл: + 6 X- 3 б) Г + 5у - 8 . у+5 ’ в) а® -I- 7а -н 2 а + 6 г) ЗЬ® - 106 - 1 6-3 ;235.1 При каком значении а тождественно равны выражения: а) б) 2х X + 3 X X - 5 и 2 + а и 1 -Ь X -ь 3’ а X - 5’ в) 2х 3-х и а . X + 2 г) ------- и 3-х а 5-х 5-х -2; - 1? 236. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: . 5х -2х ч 2х . X - 3 а) тг—б) -—в) ---------; г) ----. X + 2 X - 1 5-х 237. При каких целых п значение дроби является целым числом: , 5а® -н 2л + 3 (л - 3)® ,3л ^ 7п ^ а) ---------; б) ---------; в) -—г; г) ----------:? л + 2’ л - 4 [2М. Найдите такие значения а и 6, при которых выполняется тождество: , 5х а 6 а) ^--------гг =---г + б) X - 2 X + 3 ’ а 6 1 56 Глава i (X - 2)(х + 3) 5х -ь 31 ______________ (х - 5)(х + 2) х-5 х-1-2 Рациональные дроби 239. К параграфу 3 Упростите выражение: , + ах + аЬ + Ьх - ах - Ьх + аЬ а^ - ах - аЬ + Ьх а^ + ах - Ьх - аЬ^ х^ - Ьх + ах - аЬ ^ х^ + Ьх + ах + аЬ х^ + Ьх - ах - аЬ ' х^ - Ьх - ах + аЬ б) 240. Докажите, что если т Ф п, т Ф О vi п Ф О, то значение выра- жения — тп менных. У'П п, т^+п^ (т- nf не зависит от значении пере- 241. Докажите, что при любом целом а и дробном х значение выражения ^ а^ + х^Л (2а ^ 4а 'l а + X ) \ X а - X) 242. является четным числом. Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение выражения х+1 + ■ х+1 х^ - 5х + 3 243. 2х X + 3 ' X + 3 является отрицательным числом. Упростите выражение: . , аЬ (а + Ь а) аЬ + —— ------ - а - Ь ; а + Ь уа - Ь ) б) \Х- -f ху 2 2х У в) г) х‘ + ху 1 (2о -bf"^ 4о2 - ■ (2а + bf Ас^ ( I 1 2 X-у X + у 1 ^ 4а^ + 4аЬ + Ь^ 16а (с-2)^ Ч(с +2)2 (с-2)2 с2-4;’ 244. Упростите выражение: а) 1 ^ + У х + у 4ху Х+—^-у |; X - у б) Дополнительные упражнения к главе I 57 245. 1246:] Докажите тождество 1 6q р - 2q Aq^ - Р + 2q 2р р^ + 4q^ р^ - Aq^ + 1 Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так: а®+ Ь^ + Ь(2а^ + Ь^) а^-Ь^ а(дЗ+ 2Ь^) а® - Ь® Докажите его. 1247^ Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения |д2 - 2аЬ + |г>^ 6Ь 3 1;. Г ^2” не зависит от а и 5. [248:] Представьте в виде рациональной дроби: X - уг а - X а) У - хг X - Z б) а - X а + X в) г) а + X 1 + l.i X 1- 1+i X \Ш] При каких значениях х имеет смысл выражение: 1 X . х-2^х + 2 1 а) ---^-----; б) Зх х’^ - А 1- 1-1 X 250. 251. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч, вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили заказы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов работа была закончена? Автомобиль проехал от пункта А до пункта В. До пункта С, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из С в В — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования. "I 58 Глава I Рациональные дроби 252. ! Докажите, что если г является средним гармоническим поло- жительных чисел а и Ь, причём а ^ Ь, то верно равенство 1 111 ----I----= - + г - а Z - Ь а о 253. Известно, что точка Р(-9; 18) принадлежит графику функции, заданной формулой вида у = ^. Найдите значение k. 254. Принадлежит ли графику функции У = — точка: а) А (40; 0,025); б) В(0,03125; 32); в) С 0,016; 6 4’ г) В(0,125; 0,8)? 255. Известно, что график функции У = — проходит через точку А (10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку: а) В(1; 24); в) £>(-2; 12); д) (5; - 1,2); б) С| -р -120 I; г) £(-10; - 2,4); е) М(-2,5; - 0,6)? 256.1 Найдите область определения функции и постройте её график: 36 . 16 а) у = б) у = (л: + 1)2 -(х- 1)2 ’ 18-12Х 6 лг2 - Зд: 3-х' в) У = г) У = (2 - д:)2 - (2 + х)2 ’ 3x(x + 1) - 3x2 + 15 х(х + 5) 257.] Постройте график функции: = Ы ’ «л 2,4 . -1 б)у=|^; д) у = - е) у = 3,6 ____ 17 258. ' Докажите, что функция, зг1данная формулой у = —, является 5х обратной пропорциональностью, и укажите коэффициент обратной пропорциональности. 259. ' Изобразите схематически график функции: ч Зх яч 8 а) » = 6) » = 3^- Дополнительные упражнения к главе I 59 ! 2eOv При каких значениях ктлЪ гипербола у = — и прямая у = kx + b проходят через точку: а) Р(2; 1); б) Q(-2; 3); в) Я(-1; 1)? 2ви Могут ли графики функций У — — и у = ах+ Ь пересекаться: а) только в одной точке; б) только в двух точках; в) в трёх точках? — ■ k 262^ Могут ли графики функций У = — и у = ах+ Ь пересекаться в двух точках, лежащих: а) в одной четверти; б) в первой и второй четвертях; в) в первой и третьей четвертях? I 60 Глава I Рациональные дроби Глава II КВАДРАТНЫЕ КОРНИ в этой главе вы узнаете, что, кроме известных вам рациональных чисел, существуют ещё иррациональные, которые вместе с рациональными числами образуют множество действительных чисел. Впервые вы встретитесь с понятием квадратного корня, узнаете, как можно находить значение квадратного корня из числа с помощью калькулятора. Вы изучите свойства корней, научитесь применять их в вычислениях и преобразованиях, познакомитесь с новой функцией с её свойствами и графиком. Советуем обратить внимание на взаимное расположение графиков функций у = х^, где х'^0, \л у = Vx. Вы узнаете, что графики этих функций симметричны относительно прямой у = X. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 10. Рациональные числа в курсе математики вы встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, которые употребляются при счёте, называются натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел. Кроме целых, вам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. • Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный), • множество целых чисел — буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число), • множество рациональных чисел — буквой Q (от первой буквы французского слова quotient — отношение). § 4. Действительные числа 61 Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак е. Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2е N. Число -2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака g: -2 g ЛГ. Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А. В таких случаях множество В называют подмножеством множества А. Это записывают так: В с: А (читают: В — подмножество множества А). Ведём теперь понятие разности множеств. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Например, разностью множества целых чисел Z и множества натуральных чисел N является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля. — «-1—— — — — — Т“—— — — — I Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, мож- I но представить в виде дроби —, где т — целое число, ап — I п ■ I натуральное. Одно и то же рациональное число можно пред- , I ставить в таком виде разными способами. i________________________________________________________ Например, 1 2 2 4 10 80' -07 = ^=^ = ^ ’ 10 20 40 ' 2- - I - — - 6 ~15’ 10,3=^ = :^ — 10 309 30 515 50 ’ 10 2 £2 4 ' ! Среди дробей, с помощью которых записывается данное ра- j j циональное число, всегда можно указать дробь с наимень- i I шим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чи- • I сел такая дробь имеет знаменатель, равный 1. ^ Термин «рациональное число» произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное). Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей. 62 Глава II Квадратные корни Представим в виде десятичной дроби число —. Для этого разде- О ЛИМ числитель дроби на её знаменатель. Получим: 10 8_ _20 16 8 0,125 40 о Таким образом, — = 0,125. О 2 3 Точно так же можно показать, что — = 0,4; 1— = 1,15; = -0.025. Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу —. Делим числитель на знаменатель: О ( 8_ 80 74 _60 37 37 0,216216 230 ‘222 80 74 _60 37 _230 222 8 Первым остатком, полученным при делении, является само число 8. Второй остаток равен 6, третий равен 23. Затем опять получили в остатке 8. Продолжая деление, мы, как и раньше, приписываем к остаткам нули. Поэтому следующим остатком снова будет 6, потом получим остаток, равный 23, опять остаток, равный 8, и т. д. Сколько бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке 0. Значит, деление никогда не закончится. § 4. Действительные числа 63 Говорят, что дробь — обращается в бесконечную десятичную 0 1 дробь 0,216216...: ^ = 0,216216... Так как при делении числителя 8 на знаменатель 37 последовательно повторяются остатки 8, 6 и 23, то в частном в одном и том же порядке будут повторяться три цифры: 2, 1, 6. Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки: ^ = 0,(216). Эта запись читается так: нуль целых, двести шестнадцать в периоде. 7 Число — также записывается в виде бесконечной десятичной дроби: — = 0,5833... = 0,58(3). Эта запись читается: нуль целых, пятьдесят восемь сотых, три в периоде. Точно так же можно показать, что 5^ =5,1(6), -А = _о,(45). 6 11 Вообще каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например: 2,5 = 2,5000...; -3 =-3,000... . Таким образом, f---------------------------гг,-----—----------------------1 i каждое рациональное число может быть представлено | i в виде бесконечной десятичной периодической дроби. j I.— - -------------------------------------------------- Верно и обратное утверждение: 1 I каждая бесконечная десятичная периодическая дробь пред- >| I ставляет некоторое рациональное число. <| 64 Глава II Квадратные корни Например, 0,(3)=^; 2,(36) =2^; 0,0(945)=;^. Эти равенства легко проверить, выполнив деление. Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0: 0,(9) = 0,999... = 1,000... = 1; 16,1(9) = 16,1999... = 16,2000... = 16,2. Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9. Упражнения 263. Верно ли, что: а) -4 е ЛГ; -4 е Z; -4 е Q; б) 5,6 € N; 5,6 G Z; 5,6 е Q; в) 28 eN; 28 е Z; 28 е Q? 264. Найдите разность множеств А и В, если: а) А — множество чётных чисел, В — множество чисел, кратных 3; б) А — множество делителей числа 18, В — множество делителей числа 12; в) А — множество треугольников, В — множество прямоугольных треугольников; г) А — множество прямоугольников, В — множество ромбов. 265. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному несколькими способами числа l|; 0,3; -3^; -27; 0. 5 4 266. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа 36; -45; 4,2; -0,8; 15^; О у 267. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число: ,1 ч 1 ч 8 ч ..гг Ч 1 3 «) р >) J-. Д) ж) -17; и) -1-; ч 20 е) 10,28; 3) ’ 16 к) 2-. § 4. Действительные числа 65 268. Сравните рациональные числа: а) 0,013 и 0,1004; е) 10 11 11 12’ б) -24 и 0,003; ж) -2,005 и -2,04; в) —3,24 и —3,42; з) -1^ и -1,75; 4 г) - и 0,375; 8 и) 0,437 и 1о д) -1,174 и-1^; к) ~ и -0,13. 269. Укажите какое-либо число, которое: а) больше —, но меньше —; 8 7 б) больше но меньше -. 6 5 270. Укажите несколько чисел, заключённых между: а) 10 и 10,1; в) -1001 и -1000; б) -0,001 и 0; г) ^ и 271. Назовите пять чисел, заключённых между числами: а) 1,3 и 1,4; в) -10 000 и -1000; б) 5 и 5^; г) и 272. Упростите выражение: ^ а За 2аЬ ----Z +---Z 2—Z2 5 а - Ь а + Ь а‘ — 273. Докажите, что: а) квадрат чётного числа есть число чётное; б) квадрат нечётного числа есть число нечётное. 274. Найдите: а) |л: 1, если л: = 10; 0,3; 0; -2,7; -9; б) дс, если IX I = 6; 3,2; 0. 275. Запишите без знака модуля выражение: а) I а 1, где а > 0; б) | с |, где с < 0; в) 12Ь |, где & < 0. I 66 Глава II Квадратные корни 11. Иррациональные числа Пусть точка О — начальная точка координатной прямой и ОЕ — единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину любого отрезка. Измерим, например, длину отрезка ОВ (рис. 9). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОВ два раза, и при этом получается остаток СВ, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть приближённое значение (с недостатком) длины отрезка ОВ с точностью до 1: ОВ ~ 2. -f- О Рис. 9 Е Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей (рис. 10). Десятая часть отрезка ОЕ укладывается в остатке СВ три раза. При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка ОЕ. Число 2,3 есть приближённое значение (с недостатком) длины отрезка ОБ с точностью до 0,1: ОБ « 2,3. Е С I I I I I М I I D, ++-ь-ь4 о Рис. 10 В Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую, тысячную и т. д. доли единичного отрезка и получать приближённые значения длины отрезка ОБ (с недостатком) с точностью до 0,01, 0,001 и т. д. В процессе десятичного измерения могут представиться два случая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки будут получаться на каждом шаге. В первом случае результатом измерения окажется натуральное число или десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная дробь. Так как всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь. 7 Пример 1. Пусть отрезок ОС равен — единичного отрезка. При де- 4 сятичном измерении его длины получим число 1,75, т. е. ту же десятичную дробь, что и при делении 7 на 4. Результат измерения можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби 1,75000... . § 4. Действительные числа 67 g Пример 2. Пусть отрезок OF равен — единичного отрезка. При 3 десятичном измерении его длины, как и при делении 8 на 3, получится бесконечная десятичная периодическая дробь 2,666... . Пример 3. Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок (рис. 11). Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат (рис. 12). Из рисунка 12 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2. Рис. 11 При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что \ среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат кото- • f рого равен 2. ^ Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несо- кратимои дроби где т — целое число, п — натуральное. Так как ( — 1 =2, то^=2и/п^ = 2л^. Число 2п^ чётное, значит, и равное ему число чётное. Но тогда и само число т является чётным (если бы число т было нечётным, то и число было бы "1 68 Глава II Квадратные корни нечётным). Поэтому число т можно представить в виде т = 2к, где k — целое число. Подставим 2k вместо т в равенство = 2п^. Получим: (2fe)^ = 2п^, = 2п^, 2k^ = п^. Число 2k^ чётное, значит, число тоже чётное. Тогда и число л - m является четным, т. е. числитель и знаменатель дроби — — числа чётные. Это противоречит тому, что дробь ^ несократима. Значит, неверно предположение, что число, квадрат которого равен 2, является рационгшьным. О Итак, десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной прямой, лежащей справа от начальной точки О, ставит в соответствие положительную бесконечную десятичную дробь. Наоборот, взяв произвольную положительную бесконечную десятичную дробь, мы можем найти на координатной прямой справа от точки О единственную точку А, такую, что длина отрезка О А выражается этой дробью. --------—-----------------------------------—--------- Если к положительным бесконечным десятичным дробям J присоединить противоположные им числа и число нуль, то j получим множество чисел, которые называют действитель- | ными числами. i [ Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число. Говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие. Множество действительных чисел принято обозначать буквой R (от первой буквы латинского слова realis — реальный, существующий в действительности). Если А (Хх) и В (Х2) — две точки координатной прямой, то расстояние между этими точками, т. е. длину отрезка АВ, можно найти по формуле АВ = \х2~ J^i|. Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число можно т записать в виде отношения —, где т — целое число, ап — нату- п ральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррацио- § 4. Действительные числа 69 нальными числами (приставка «ир» означает «отрицание»). Ирра- т циональные числа нельзя представить в виде отношения —, где т — целое число, & п — натуральное. Таким образом, ,-------------------------------------------------------- I множество действительных чисел состоит из рациональных | I и иррациональных чисел. '' ■ L.________________________________— — _ — --------------I Приведём примеры иррациональных чисел: 3,010010001... (единицы разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т. д. нулями); -5,020022000222... (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу). Иррациональным числом является число тс, выражающее отношение длины окружности к диаметру: тс = 3,1415926... . Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Сравним, например, числа 2,36366... и 2,37011... . В этих положительных бесконечных десятичных дробях совпадают целые части и цифры десятых, а в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй. Поэтому 2,36366... < 2,37011... . Сравним числа 0,253... и -0,149... . Первое из этих чисел положительное, а второе — отрицательное. Поэтому 0,253... >-0,149... . Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причём действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближёнными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближённые значения, получают более точное значение результата. Пример 4. Найдём приближённое значение суммы чисел а и Ь, где = 4, Ь = 1,7132... . О ► Возьмём приближённые значения слагаемых с точностью до 0,1: а ~ 0,3, Ь ~ 1,7. Получим: а-нб 0,3-1-1,7 = 2,0. 70 Глава II Квадратные корни Если взять приближённые значения слагаемых с точностью до 0,01, т. е. а = 0,33 и Ь « 1,71, то получим: а + 6 ~ 0,33 + 1,71= 2,04. <] П ример 5. Найдём длину окружности, радиус г которой равен 5 м. ► Длина окружности I вычисляется по формуле I = 2лг. Взяв к ~ 3,14, получим Z- 2-3,14-5= 31,4 (м). <1 Упражнения 276. Приведите пример: а) рационального числа; б) иррационального числа. 277. Верно ли, что: а) каждое рациональное число является действительным; б) каждое действительное число является рациональным; в) каждое иррациональное число является действительным; г) каждое действительное число является иррациональным? 278. Среди чисел у; 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; п укажите рациональные и иррациональные. 279. Верно ли, что: а) 7,16 € N; 7,16 е Z; 7,16 е Q; 7,16 е Д; б) 409 G ZV; 409 е Z; 409 е Q; 409 е Д; в) п € N; п е Z; л е Q; л € Д? 280. Сравните: а) 7,653... и 7,563...; в) -48,075... и -48,275...; б) 0,123... и 0,114...; г) -1,444... и -1,456... . КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (1815—1897) — немецкий математик, почётный член Петербургской академии наук. Имеет многочисленные труды по математическому анализу и другим разделам математики. С его именем связано построение теории действительных чисел на основе десятичных дробей. § 4. Действительные числа у-| 281. Какое из чисел больше: а) 1,(56) или 1,56; б) -4,(45) или -4,45; в) 1 ^ или 1,6668; О 282. Сравните числа: а) 9,835... и 9,847...; б) -1,(27) и -1,272; в) 0,06(3) и 0,0624; г) -0,228 или - 22’ д) к или 3,1415; е) 3,(14) или тс? г) 2у и 2,142; д) 1,(375) и l|; е) -3,(16) и -3^. 283. Найдите расстояние между точками М и К координатной прямой, если: а) М(7,45) и 1С(1,15); б) М -4)" ЛГ13-1. 284. Какая из точек С или D координатной прямой ближе к точке М, если: а) С (4,514), D (-1,9368...), М (1,304); б) С (-2,4815...), Z) (11,454), М (4,586). 285. Расположите в порядке возрастания числа 4,62; 3,(3); -2,75...; -2,63... . 286. Расположите в порядке убывания числа 1,371...; 2,065; 2,056...; 1,(37); -0,078... . 287. Какие целые числа расположены между числами: а) -3,168... и 2,734...; в) -4,06 и -1,601; б) -5,106... и -1,484...; г) -1,29 и 0,11? 288. Найдите приближённое значение выражения а + Ь, где 0 = 1,0539... и 5=2,0610..., округлив предварительно а и Ь: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных. 289. Найдите приближённое значение выражения а — Ь, где 0= 59,678... и 5 = 43,123..., округлив предварительно о и 5: а) до десятых; б) до сотых. 290. Найдите приближённое значение длины окружности, радиус которой равен 4,5 см (число л округлите до сотых). 72 Глава Квадратные корни 291. Найдите приближённое значение площади круга, радиус которого равен 10 м (число я округлите до сотых). 1292.1 Является ли рациональным или иррациональным числом сумма а + Ь, где а= 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и &= 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)? !29i3.l Известно, что а^, Ъ^, а — Ь — рациональные числа w. а фЬ. Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма а + Ь7 294. Упростите выражение: 3x2 'i Г д. 1 - 1 - Х2 X + 1 + 1 ; а + Ь ( . а + Ь Ь ^ 1 а + Ь j ‘ [ а а + Ь ^ а) б) 295. Найдите значение выражения: а) 12х - 8 I при X = -2,5; 0; 4; 5; 9,5; б) |б - 12х| при X = -3; -1; 0; 1; 4. k 296. Известно, что график функции У = — проходит через точку А (4; -0,5). Найдите k и постройте этот график. 297. При каких значениях а и Ь графики функций у = х + Ь и у = ах - 2Ь пересекаются в точке (3; 1)? Контрольные вопросы и задания Какие числа образуют множество действительных чисел? Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному? Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является: а) рациональным числом; б) иррациональным числом. Верно ли, что: 5,46 еЛГ, -3eZ, 6,8 г Z, -11,6(3) 6 Л, 12я Д? § 4. Действительные числа 73 АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень Пусть площадь квадрата равна 64 см^. Чему равна длина стороны этого квадрата? Обозначим длину стороны квадрата (в сантиметрах) буквой х. Тогда площадь квадрата будет см^. По условию площадь равна 64 см^, значит, х^= 64. Корнями уравнения х^= 64 являются числа: 8 и -8. Действительно, 8^= 64 и (-8)^= 64. Так как длина не может выражаться отрицательным числом, то условию задачи удовлетворяет только один из корней — число 8. Итак, длина стороны квадрата равна 8 см. Корни уравнения х^= 64, т. е. числа, квадраты которых равны 64, называют квадратными корнями из числа 64. Определение. Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Число 8 — неотрицательный корень уравнения л:^= 64 — называют арифметическим квадратным корнем из 64. Иначе говоря, арифметический квадратный корень из 64 — это неотрицательное число, квадрат которого равен 64. Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень из числа а обозначают Va. Знак -J~ называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова radex — корень). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись 4а читают: квадратный корень из а (слово «арифметический» при чтении опускают). Приведём примеры нахождения (или, как говорят иначе, извлечения) арифметических квадратных корней: л/4 = 2, так как 2 — число неотрицательное и 2^ = 4; д/1,21 = 1,1, так как 1,1 — число неотрицательное и 1,1^ = 1,21; л/о = О, так как О — число неотрицательное и 0^ = 0. 74 Глава II Квадратные корни Вообще Г7-7--------------------------- I ыа = о, если выполняются два условия: I 1) Ь ^ 0; 2) Ь^ = а. j При а < о выражение 4а не имеет смысла. j Действительно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Например, не имеют смысла выражения -J-25; Из определения арифметического квадратного корня следует, что I при любом а, при котором выражение 4а имеет смысл, вер- j I но равенство — | I (4af = a. I 298. Докажите, что: а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25; б) число 0,3 есть арифметический квадратный корень из 0,09; в) число -7 не является арифметическим квадратным корнем из 49; г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6. 299. Докажите, что: а) V121 = = 11; б) V169 = 13; в) 4^ = hi i; г) 300. Найдите значение корня: а) 4^\ в) VI600; д) ж) 3 б) V^; г) VI0 000; е) л/оЖ; з) м 301. Вычислите: а) V900; б) V^; в) V^; , /121 "'Ч 64' ; д) Я- 302. Найдите значение выражения: а) 4а + Ь при а = 33, Ь = -8; а = 0,65, Ъ = 0,16; б) yJZx - 5 при X = 23; 1,83; в) х + 4х при д: = 0; 0,01; 0,36; 0,64; 1; 25; 100; 3600. § 5. Арифметический квадратный корень 75 303. 304. Найдите значение выражения: а) ^1х + у1у при х= -^,у = 0,36; б) -J4 - 2а при а = 2; -22,5. Найдите значение выражения: а) VO.09 + V0,25; в) Зл/э - 16; б) - ТоЖ; г) -7у{оМ + 5,4; д) 0,1л/400 + 0,2л/1600; е) + О э 305. 306. 307. |Ш:1 309. 310. 311. Найдите значение выражения; а) 0,6л/^; д) -V0,0036 + ^0,0025; б) -2,5л/^; е) - л/О.0001; в) .^0,49 + ^0,16; ж) ^ ^0,81 - 1; г) 7^ - л/^; 3) 4 - юТоЖ. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите: а) л/^, лЯб9, V^, V^; б) л/3.24, 72,56, 72,25; в) л/^, VI764, V3721, V7396; г) 7^. 713,69, 756,25, 777,44. Укажите натуральные значения п, при которых является натуральным числом значение выражения: а) -А 1 - п; б) V25 - п. Какая из точек — А или В — координатной прямой ближе к точке с координатой нуль, если: а) А(71^), В(-71б); б) ^[-'\/l||]? Имеет ли смысл выражение: а) ТГОО; в) -7Ш; д) 7(-25)-(-4); б) 7-100; г) 7(-10)2; е) 7-25 • 4? Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6. Найдите значение переменной х, при котором: а) у[х = 4; в) 2^[х = 0; д) Vx - 8 = 0; б) Vx = 0,5; г) 4л/х = 1; е) Зл/х -2=0. 76 Глава II Квадратные корни 312. Существует ли значение переменной х, при котором: а) л/^ = ОД; б) у[х = -10; в) у[х+ 1 = 0; г) Vx - 3 = 0? 313. (Для работы в парах.) При каком значении переменной х верно равенство: а) л/х = 11; в) -у/х = -20; д) 5- Vx = 0; б) Юл/х = 3; г) 2Vx -1 = 0; е) 2 + Vx = 0? 1) Обсудите, о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях х. Исключите их из рассмотрения. 2) Распределите, кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки. 314. Найдите значение переменной х, при котором верно равенство: а) V3 + 5X = 7; б) yjlOx - 14 = 11; в) 1315.1 Найдите натуральные значения п, при которых значение выражения + 39 является двузначным числом. 316. Постройте на миллиметровой бумаге график функции у = х^ для значений х от -3 до 3. С помощью графика найдите: а) значение у, соответствующее х = -2,5; 1,7; б) значения х, которым соответствует значение у, равное 5; 7,5; в) квадрат числа -1,4; 2,8; г) числа, квадраты которых равны 2,5; 9. 317. Найдите значение выражения 1,Ъх^у^- 6,2ху, если х= 1,25, у = 4. 318. Запишите без знака модуля: а) |а^|; б) |а®|,гдеа>0; в) |а^|,гдео<0. 13. Уравнение х^ = а Рассмотрим уравнение х^ = а, где а — произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая. Если а < о, то уравнение х^ = а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу. § 5. Арифметический квадратный корень 77 Рис. 14 Если а = О, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю, так как существует единственное число О, квадрат которого равен нулю. Если а > О, то уравнение имеет два корня. Чтобы убедиться в этом, обратимся к графику функции у = (рис. 13). Прямая у = а при а > О пересекает параболу у = в двух точках. Обозначим абсциссы точек пересечения Xi и Xz- Тогда xf = а и х^ = а, значит, числа Xi и Х2 — корни уравнения х^ = а. Так как Х2 есть положительное число, квадрат которого равен а, то Х2 является арифметическим квадратным корнем из а, т. е. Х2 = 4а. Так как х^ есть число, противоположное Х2, то х^ = —4а. Например: уравнение х^ = 49 имеет корни х^ = -V49 и Х2= л/49, т. е. = -7 и ^2 = 7; уравнение х^ = 6,25 имеет корни Xj = ~4б,25 и Х2 = ^6,25, т. е. Xi = -2,5 и Х2 = 2,5; уравнение - д имеет корни х^ = и Х2 = , т. 2 и Хо = —. Уравнение х^ = 2 имеет корни х^ = -42 и Х2 = 42. Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х^ легко найти приближённые значения этих корней: 42 « 1,4 и -42 ~ -1,4 (рис. 14). Уравнения х^ =3, х^ = 5, х^ = 6,5 имеют соответственно корни --Уз и 4s, -4ъ vi 4ъ, -^6,5 и д/б,5. Эти корни также являются иррациональными числами. 1 78 Глава II Квадратные корни Вообще, при любом а ^ О уравнение = а имеет неотрицательный корень л/а; иными словами, какое бы число а ^ О мы ни взяли, найдётся неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что I выражение л/а имеет смысл при любом а> О. JUm мм мр ам шм «м-мм ^ ... м-Mi ям «м «м ^ к 1 Упр^1ХЦ1ет1^ 319. 320. 321. 322. 323. 324. 325. 326. 327. Имеет ли корни уравнение: а) jc2 = 81; б) х2 = 18; в) = 0; г) х2 = -25? Решите уравнение: а) = 36; в) х^ = 121; д) х^ = 8; б) х^ = 0,49; г) х^ = 11; е) х^ = 2,5. Решите уравнение и с помощью графика функции у = х^ найдите приближённые значения его корней: а) х^ = 3; б) х^ = 5; в) х^ = 4,5; г) х^ = 8,5. Решите уравнение: а) 80-1-1/2 = 81; в) 20-^2=-5; б) 19-fc2 = 10; г)Зл:2=1,47; Найдите корни уравнения: а) 16-1-л:2 = 0; в) 0,5^2=30; б) 0,3x2 ^ 0,027; -5x2 ^ 1 . 20 д) -а2 = 10; 4 е) -5j/2= 1,8. д) х2 - Зх = 0; е) х2-11х = 0. Решите уравнение: а) (х - 3)2 = 25; в) (х - 6)2 = 7; б) (X + 4)2 = 9; г) (X -I- 2)2 = 6. Имеет ли смысл выражение J8 - 5х при х = -3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4? При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) 3-у/а; б) -б-^х; в) г) ^-10Ь7 При каких значениях переменной х имеет смысл выражение: а) б) д/-х? § 5. Арифметический квадратный корень 79 328. Найдите квадрат числа: л/2; 73; -лД; -Уб; -Тб; ТСз- 329. Найдите значение выражения: а) (л/7)2; в) -2Vl4-Vl4; д) 0,5(-yf8f; б) (->/^)2; г) (Зл/5)2; е) (-2лЯб)2; в) (2л/б)2 + (-Зл/2)2; 330. Вычислите: а) 0,49 + 2(VM)2; / 1 \ 2 б) (ЗлДТ)2 - V6400; г) -0,1(л^)2- . V 2 J 331. Вычислите: а) (2- л/5)2 + 4л/5; в) (2- 75)2 +(2+>/5)2; б) (5 + 7з)2 - юТЗ; г) (5 + 73)2 + (5 - 73)2. 332. Найдите значение выражения: а) 2л/б-(-Тб); в) 7М4-2(706)2; б) -(375)2; г) (0д7^)2+.Д;69. ж) з) 7з 7з 7б I ^ 1 333. Найдите значение выражения -—при х = -8; -5; 1; 7; 128. X ti 1^1 Чему равно значение выражения ■—если: X а) л: > 0; б) jc < 0? 334. Найдите значение выражения: а) ----при X = -0,5; б) -------- 1+1 X при X = -0,4. 1 + 1 + 1 X 335. Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций у = — и у = Юл:. Имеют ли эти графики 80 Глава II общие точки и если имеют, то сколько? Квадратные корни 14. Нахождение приближённых значений квадратного корня Рассмотрим, как можно находить приближённые значения арифметического квадратного корня. Найдём, например, приближённое значение л/2 с тремя знаками после запятой. Так как меньше 2, а 2^ больше 2, то число V2 заключено между целыми числами 1 и 2 (рис. 15, а). Значит, десятичная запись числа л/2 начинается так: л/2 = 1,... . Найдём теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; ..., пока не получим число, большее двух. Имеем 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42= 1,96; 1,52 = 2,25. Так как 1,42 меньше 2, а 1,52 больше 2, то число л/2 больше 1,4, но меньше 1,5 (рис. 15, б). Значит, л/2 = 1,4... . Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; ... . Так как 1,412 _ а 1,422 _ 2,0164, то число л/2 больше 1,41 и меньше 1,42 (рис. 15, в). Значит, л/2 = 1,41... . Продолжая этот процесс, найдём, что десятичная запись числа л/2 начинается так: 1,414... . Поэтому л/2 « 1,414. а) V2 1 1 fc- 1 1 t —. 2 б) V2 1 t 1 —i t t— 1 1.1 1,2 1 М 1 1 t— 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 в) V2 111111 M 11 M m 1 ] 111 m 111 1 1*^^4Г1,42 2 Рис. 15 § 5. Арифметический квадратный корень 81 Рассмотренный приём позволяет извлекать арифметический квадратный корень из числа с любой точностью. В практических расчётах для нахождения приближённых значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику. Для извлечения квадратных корней с помощью калькулятора используют клавишу, на которой помещён знак -J~. Чтобы извлечь корень из некоторого числа, нужно ввести это число в калькулятор и затем нажать клавишу ^ . На экране высветится приближённое значение корня. Пример 1. Найдём ^/42,5. ^ Введём в калькулятор число 42,5 и нажмём клавишу со знаком На экране высветится число 6,5192024 — приближённое значение -J42,5. Полученный результат округляют до требуемого числа знаков. Округлим, например, результат до сотых, получим « 6,52. <] 336. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число: а) в) л/120; д) ж) yfl67; б) ViO; г) е) Vl5; з) 337. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррационального числа 7б. 338. С помощью калькулятора вычислите значение выражения: а) yfx при X = 16; 0,25; 3; 245; 0,37; б) л/л: + 4 при X = 8,5; 14,1; 0,2549. 339. Сравните числа: а) л/5 и 2; б) л/7 и 3; в) -Дэ и л/^. i340.' Имеет ли смысл выражение: а) a/V5- 3; б) ^|4-y/l27 82 Глава II Квадратные корни 341. Площадь квадрата равна 18 см^. Найдите с помощью калькулятора его сторону с точностью до 0,1 см. 342. Какой записью выражения удобнее пользоваться для вычисления его значения на калькуляторе: а) -Jia + Ь)с или -Jc{a + Ь); б) а + ^/ь или S + a? 343. Представьте выражение в удобном для вычисления на калькуляторе виде и найдите его значение (ответ округлите до сотых): а) 748,5-7,3+ 39,6- 7,3; б) 8,567-нТЙ. 344. Найдите с помощью калькулятора (ответ округлите до сотых): а) 6 + у1г7; г) Тб2 - 748; б) 12- 734; д) 73,4-4,9; в) 7i0 + 7l5; е) 6,5+ з7^- 345. Длина стороны Og правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле ag = R-J2 - 7з. Найдите Og с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если: а) R = 9,4 см; б) Д = 10,5 см. 346. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве прохо- дит S см за ^ с, где t= S — ускорение свободного падения, ^ « 10 м/с^. Пользуясь калькулятором, вычислите ^ с точностью до 0,1 с, если: а) s = 175; б) s = 225. 347. Время t (с) полного колебания маятника вычис- Т 348. ляется по формуле t = 2л у—, где I (см) — длина маятника, ^ ~ 10 м/с^, л ~ 3,14. Найдите t с помощью калькулятора с точностью до 0,1 с, если I равно: а) 22; б) 126. Решите уравнение и найдите с помощью калькулятора приближённые значения его корней (ответ округлите до сотых): а) = 30; в) (х - 3)^ = 12; б) 7jc2 = 10; г) (JC + 1)2 = 8. § 5. Арифметический квадратный корень 83 349. Вычислите: а) зТоДб-ОдТ^; в) 0,Зд/1^-л/400; б) 0,2V^ + 1,8^; г) 5: д/0,25-^0,81. 350. Найдите значение выражения х + |дг |, если х = 7; 10; 0; -3; -8. Упростите выражение х + |х |, если: а) X ^ 0; б) X < 0. 351. Сократите дробь: , 4а^ - 20а + 25 25 - 4а^ ’ б) 9x2 4у2 _ 12ху 4у2 _ 9д;2 15. функция I/ = у[х и её график Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь равна S см^. Каждому значению длины а стороны квадрата соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от длины его стороны выражается формулой S = а^, где а 5* 0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение длины стороны а. Зависимость длины стороны квадрата от его площади выражается формулой а = Vs. Формулами S = а^, где а ^ о, и а = Vs задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является длина а стороны квадрата, а во втором — площадь S. Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы и х^, где X ^ о, У = Vx. 84 Глава II Квадратные корни Мы знаем, что графиком функции у = х^, где О, является часть параболы — её правая ветвь (рис. 16). Построим теперь график функции у = yfx. Так как выражение л[х имеет смысл при х ^ О, то областью определения функции у = 7х служит множество неотрицательных чисел. Составим таблицу значений функции у = 4х (приближённые значения у для значений х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти с помощью калькулятора). X 0 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 у 0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точки плавную линию так, как это показано на рисунке 17, получим график функции у = 4х. Рис. 17 Сформулируем некоторые свойства функции у = 4х. J-----------------------—------------------—------------- i 1. Если де = О, то у = О, поэтому начало координат принадле- j [ жит графику функции. ! I 2. Если X > О, то у > О; график расположен в первой коорди- I I натной четверти. j 3. Большему значению аргумента соответствует большее • I значение функции; график функции идёт вверх. | Например: ^2,6 > ^1,5; л/б > л/з. § 5. Арифметический квадратный корень 85 График функции у = 4х, как и график функции у = х^, где х ^ О, представляет собой ветвь параболы. Эти графики симметричны относительно прямой у = х (рис. 18). Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (а; Ь) и (Ь; а) симметричны относительно прямой у = х. • Пусть точка М(а; Ь) принадлежит графику функции у = х^, где х > 0. Тогда верно равенство Ь = а^. По условию а — неотрицательное число, поэтому а = -Jb. Значит, при подстановке координат точки N ф; а) в формулу у = ^fx получается верное равенство, т. е. точка N ф; а) принадлежит графику функции у = л/х. Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежит первому графику. Таким образом, каждой точке М(а; Ь) графика функции у = х^, где X ^ О, соответствует точка N ф-, а) графика функции г/ = Vx и наоборот. Так как точки М (а; b)\i N ф\ а) симметричны относительно прямой у = X, то и сами графики симметричны относительно этой прямой. О Упра^|Щ1ения 352. Площадь круга может быть вычислена по формуле S = пг^, где г — радиус круга, или по формуле S = , где d — диаметр 4 круга. Задайте формулой зависимость: а) г от S; б) d от S. 353. Задайте формулой зависимость: а) площади поверхности куба S от длины его ребра а; б) длины ребра куба а от площади его поверхности S. 354. Площадь поверхности шара радиуса R вычисляется по формуле S = 4пД2. Задайте формулой зависимость R от S. 355. Пользуясь графиком функции у = Vx, найдите: а) значение 7х при х = 2,5; 5,5; 8,4; б) значение х, которому соответствует Vx = 1,2; 1,7; 2,5. I 86 Глава II Квадратные корни 356. С помощью графика функции у = у[х найдите: а) значение функции при х = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2; б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3. 357. Принадлежит ли графику функции у = у[х точка А (64; 8)? точка В(10 000; 100)? точка С(-81; 9)? точка В(25; -5)? 358. Пересекает ли график функции у = 4х прямая: а) у = 1; в) у = 100; б) у = 10; г) у = -100? Если пересекает, то в какой точке? 1359.1 Докажите, что графики функций у = 4х и у = х -н 0,5 не имеют общих точек. [Зв0.1 (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций: а) у = 4х и у = х; в) у = -Jx и у = х +10; б) у = л[х и у = 1000; г) у = -Jx и у = -х -I-1,5? При положительном ответе укажите координаты этих точек. 1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки. 3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции у = л[х; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров. Какой из графиков линейных функций не пересекает графика функции у = Vic? 1. у = -х + 2 3. у =—X 2. y = -x + Q,\ 4. у = -д:-0,1 362. Решите графически уравнение: а) Vx = 6-x; б) -Jx =—; в) -х-5=у[х. 363. Что больше: а) или л/ГТ; г) 7 или л/50; б) 70Д2 или д) л/б0 или 8; в) Vso или л/б0; е) V2 или 1,4; ж) л/з или 1,8; з) или 5,2; и) 9 или л/^? § 5. Арифметический квадратный корень 87 364. Сравните числа: ____ а) 4^ и л/^; г) д/б.25 и 2,5; ж) 4о^18 и 0,4; б) ylhS и yjhb; в) Vt и 3; “ vl' if ” е) и 1; и) 7^ и 365. Расположите в порядке возрастания числа: а) 4^> лДМ, 7^. 40^; б) Vis, Vl2, 4, Vm, лДб^; =) v5:h, 1, Jl. 2j. fl; r) 0,7, VV7, -1, Vl7 ,04. 366. Найдите значение выражения: а) 0,5д/1^ + 370,81; (-ii] 1 - 1070,64; б) Vl44 • V900 • V0,01; - (-i; 1 -бТоДб; в) V^-(4VoT5)2; [-«ill 1 - 47о,36. 367. Имеет ли смысл выражение: а) V(-9)2; б) (7=9)2; д) г) -^|f^ 368. Решите уравнения: а) х2 = 11 и 7х = 11; б) 2x2 = - и 2 Контрольные вопросы и задания Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а выражение -Ja имеет смысл? Имеет ли уравнение х^= а корни при а > 0, а = 0, а < 0, и если имеет, то сколько? Покажите на примере, как извлекается квадратный корень с помощью калькулятора. Какова область определения функции у = Vx? Как расположен график функции у = 4х в координатной плоскости? Пересекает ли этот график прямую у = 25; у = 100; у= 10 000? 1 88 Глава II Квадратные корни СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ 16. Квадратный корень из произведения и дроби Сравним значения выражений V81 • 4 и л/^-Vi: V81-4 = л/з^ = 18, Vsl • Vi = 9 • 2 = 18. Мы видим, что V81 • 4 = V^ • Vi. Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел. ТЕОРЕМА 1 Если а ^ О и 6 > О, то -Jab = Va • 4b. • Каждое из выражений Va • 4ь и 4аЬ имеет смысл, так как а ^ О и 6 ^ 0. Покажем, что выполняются два условия: 1) 4а • 4ь > 0; 2) (Va • 4ь)^ = аЬ. Так как выражения 4а и 4ь принимают лишь неотрицательные значения, то произведение 4а ■ 4ь неотрицательно. Используя свойство степени произведения, получим (Va • 4ъ)^ = (4а)^ • (4ь)^ = аЬ. Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и 6 верно равенство л/аЬ = 4а • 4ъ. О Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух. Например, если а ^ 0, & ^ 0, с ^ 0, то Va6c = 4а • 4ь ■ 4с. Действительно, 4аЬс = .J(ab)c = 4аЬ • 4с = 4а • 4ъ • 4с. Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством: I корень из произведения неотрицательных множителей ра- | |) вен произведению корней из этих множителей. j § 6. Свойства арифметического квадратного корня 89 Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби. ТЕОРЕМА 2 Если а > О и & > О, то . и ^ Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Проведите доказательство самостоятельно. Итак, справедливо ещё одно свойство арифметического квадратного корня: --------------------------- -г.-гг ----- ---- I корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаме- | I натель положителен, равен корню из числителя, делённому ■ I на корень из знаменателя. I Пример 1. Найдём значение выражения .^64 • 0,04. ► Воспользуемся теоремой о корне из произведения: V64 • 0,04 = V64 • = 8 • 0,2 = 1,6. < Пример 2. Вычислим значение выражения л/32 • 98. ► Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа, и применим теорему о корне из произведения: л/32 • 98 = V(16 • 2) • (49 • 2) = Vl6- 49 -4 = 4 • 7 • 2 = 56. <1 I 00 Пример 3. Найдём значение выражения ► По теореме о корне из дроби имеем 6 ^ ---- [ИГ - V169 “ л/Гб9 Поменяв в тождествах Той = Та • -Jb и — И Vfc у/ь yfa местами их ле- вые и правые части, получим Va • 4ь = 4аЬ Л Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней. 1 90 Глава II Квадратные корни Пример 4. Найдём значение произведения • Vs. ► Имеем • Vs = V20 • 5 = VlOO = 10. < Пример 5. Найдём значение частного ^ Имеем V80 V5 = Vie = 4. <1 Vso V5 ' 369. Найдите значение выражения: а) VlOO-49; в) V64-121; б) V81 • 400; г) V144-0.25; 370. Вычислите значение корня: д) Vo,01 • 169; е) V2,25 0,04. 121 25 ’ 371. Найдите значение корня: «Ч /36 ч te’ '■> а) ^81 • 900; 6) V0.36-49; 372. Найдите значение выражения: в) г) =) iR- а) V9-64-0,25; б) V1.21-0,09-0,0001; 373. Найдите значение корня: 25 81 ’ 49 ’ 9 ’ а) VO.04-81-25; б) V0,09-16-0,04; в) г) ll.-i* 9 25’ V144 4‘ 374. Вычислите значение корня: а) V810-40; в) V72- 32; д) V50-18; б) VlO-250; г) V8-98; е) V2,5-14,4; ж) VOO- 6,4; з) Vl6,9-0,4. § 6. Свойства арифметического квадратного корня 91 375. Найдите значение выражения: а) V75-48; б) ^45-80; в) ^4,9-360; г) Vl60-6,4. 376. Вычислите значение выражения: а) Vl3^- 122; в) 7з132- 3122; б) д/вЧб^; г) V1222- 222; 377. Извлеките корень: ________ а) 82; в) ^822- 182; б) 7з^+42; V1I72- 1082; д) 745,82 - 44,22; е) 721,82- 18,22. д) 76,82 - 3,22; е) 16 v!’ vl- 378. Представьте выражение в виде произведения корней: а) б) в) Тта; г) 7^. 379. Представьте выражение в виде частного корней: <0 380. Докажите, что при любом неотрицательном а: а) 10^/^ = б) 7^ = 1381.! Укажите натуральные значения л, при которых 7^2 - 75 является натуральным числом. 382. Используя приближённое равенство ~ 8,7, найдите приближённое значение выражения: а) 77500; б) 7750 000; в) 7^; г) 70,0075. 38^ Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов, помещённой на форзаце учебника, значение выражения: а) 757 600; в) 7152 100; д) 720,25; ж) 70,0484; б) 7230 400; г) 7129 600; е) 79,61; з) 70,3364. 384. Найдите значение выражения: а) 744 100; б) 7435 600; в) 70,0729; г) 715,21. 385. Найдите значение произведения: а) 72-78; в) 728-77; д) ^-7^; ж) 7^-7^5; 92 Глава II б) л/^-ТЗ; г) 42-Ш’, е) 7бЗ • V7; Квадратные корни з) а) 386. Найдите значение частного: ^ . 4ь2 б) ; в) -^=г; Vl8 yj2300 yJU7 387. Найдите значение выражения: а) V10-V40; в) ■ ^2; б) Vl2-V3; г) yi2 500 Д) ^/7^ ,1500 ’ д) VTIO-VM; е) ж) з) Vm’ yis 388. Значение выражения V2 • 7з с помощью калькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения V2 и 7з и результаты перемножить или згиченить прюизведение V2 • выражением л/б и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления. 389. Найдите значение выражения л/х^, если X = -4; -3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение 4^ имеет смысл? 390. Представьте в виде квадрата некоторого выражения: а) а"*; в) д) а^&®; б) а»; г) е) 391. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а см, высота параллелепипеда равна Ь см, а его объём равен V см^. Выразите переменную а через & и F. 392. Решите уравнение: ^ 5 6 30 - 1 2х -I- 1 б) -^ + —Г— Зл: - 1 17. Квадратный корень из степени Найдём значение выражения при х = 5 и при х = - 6: 4¥ = 4^ = 5, yji-6f = 4^ = 6. в каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа: V5^=|5|, V(-6)2 = |-б|. § 6. Свойства арифметического квадратного корня 93 ТЕОРЕМА При любом значении х верно равенство (1) • Рассмотрим два случая: л: ^ О и дс < 0. Если х> О, то по определению арифметического квадратного корня -Jx^ = х. Если д: < 0, то -X > О, поэтому = -у/(-х)^ = -X. Мы знаем, что |дс |= х, если X ^ о, и I д: I = -X, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения | х |. О Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1). П р и м е р 1. Упростим выражение . ► Представим степень в виде (а®)^ и воспользуемся тождеством (1): 7^ = 7^ = |а®|. Так как а® ^ 0 при любом а, то |а®| = а®. Итак, va^® = а®. -О Пример 2. Преобразуем выражение ^fx^, где х < 0. ► Представим х^® в виде (х®)^, получим л/х^® = = IX® I. Так как х < 0, то х®< 0, поэтому |х® |= -х®. Значит, при X < о л/х^® = -X®. -о Пр и м е р 3. Найдём значение выражения -J89S 025. ► Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим V893 025 = 73® • 52 • -47^ = = 7(3^ • 5 • 7 = 3® • 35 = 27 • 35 = 945. <1 Пример 4. Упростим выражение 4(47 - 12)® + 47. ► Имеем 7(77 - 12)® -ь 77 = |Т7 - 12| 77 = 12 - 77 -к 77 = 12. <1 94 Глава II Квадратные корни Упражи§!Щ!я, 393. Вычислите: а) V(0,l)2; г) 7(1.7)^; ж) 2yj(-23f; б) 7(-0,4)2; д) V(-19)"; 3) SV^; в) у1(-0,8)^; е) 7^; и) 0,27(-61)2. 394. Найдите значение выражения: а) 7л^ при X = 22; -35; -1§; 0; О б) 2^[а^ при а = -7; 12; в) ОдТ^ при р = -15; 27. 395. Замените выражение тождественно равным: а) б) 7^; в) з7^; г) -0,2^; д) -J25a^. 396. Упростите выражение: а) у[а^, если а > 0; д) у]36х^, если л: ^ 0; б) 7й^, если п < 0; е) --^9у^, если у < 0; в) 3-Jc^, если с ^ 0; ж) если х> 0; г) -б7^» если у > 0; з) 0,5-Jl6a^, если а < 0. 397. Упростите выражение - 4а + 4, зная, что: а) о ^ а < 2; б) а ^ 2. [398.] (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения при X, равном: а) 2,71; б) 12,62. 1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование. 2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений. 399. Верно ли равенство: а) 74- 2л/з = V3- 1; б) 7э - 4>/5 = 2 - л/б? [400.1 Упростите выражение: а) 77 + 4л/3; б) 7б- зТб; в) 75 + 2л/б; г) 7з-л/8. § 6. Свойства арифметического квадратного корня 95 401. Найдите значение корня: а) в) д) ^(-5)^; ж) -5^; б) 7^; г) е) 7(-2)^; з) 7з® •7'‘. 402. Вычислите: _____ _________________ а) г) У(-6)'>; ж) ^7^-2^; б) У^; д) 72» -3^; з) 7з« • 5^ в) 7(-3)®; е) 73'‘ -5®; и) У»'* -5®. 403. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей: а) V20 736; б) ^50 625; в) ^28 224; г) Уб80 625. 404. Вычислите: а) 72304; б) 7l8 225; в) ^254 016. 405. На рисунке 19 изображены графики функций г/ = 2л: + 2, X у = —7 - 3 И I/ = -2дг + 2. Для 4 каждой функции укажите её график. 406. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = TiR^H, где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н. Рис. 19 Контрольные вопросы и задания Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби. Докажите тождество 7х^ = I Jc |. Покажите на примере выражения 7о^, как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем. 96 Глава II Квадратные корни ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ 18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня Сравним значения выражений и б-^З. Чтобы решить эту задачу, преобразуем -JbO. Представим число 50 в виде произведения 25* 2 и применим теорему о корне из произведения. Получим So = V25-2 = yf25-S= 5л/2. Так как 5л/2 < б>/2, то So < 6л/2. При решении задачи мы заменили So произведением чисел 5 и л/2. Такое преобразование называют вынесением множителя за знак корня. Значения выражений So и 6л/2 можно сравнить иначе, представив произведение 6л/2 в виде арифметического квадратного корня. Для этого число 6 заменим So и выполним умножение корней. Получим бл/2 = л/Зб-V2 = S2. Так как 50 < 72, то < -J72. Значит, So < бл/2. При решении задачи вторым способом мы заменили бл/2 выражением S2. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. Пример 1. Вынесем множитель за знак корня в выражении Va^. ► Выражение S^ имеет смысл лишь при а ^ 0, так как если а < 0, то < 0. Представим подкоренное выражение в виде произведения а® • а, в котором множитель а® является степенью с чётным показателем. Тогда __ ^^___________ S^ = Va® • а = • S = = 7(0®^ • Va = |а®| • Vo = o®Vo. <1 § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 97 Пример 2. Внесём множитель под знак корня в выражении ~4.4х. ► Отрицательный множитель -4 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня, и поэтому множитель -4 нельзя внести под знак корня. Однако выражение -4л/х можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 4: -4л/х = -1 • а4х = -1 • лЯб • 4х = —yll&x. <] Пример 3. Внесём множитель под знак корня в выражении aV2. ► Множитель а может быть любым числом (положительным, нулём или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая: если а ^ О, то aV2 = | а | V2 = Vo^ • V2 = л/Зо^; если а < О, то aV2 — -1 а | V2 = -л[а^ • 42 = -л/2а^. <1 Упражнения 407. Вынесите множитель за знак корня: а) 412\ в) л/80; д) л/1^; ж) л/363; б) 418; г) л/48; е) Vl08; з) 4^. 408. Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное выражение: а) ^4^; в) ~^4Ш; д) 0,lV20 000; А i б) §745; г) -§7т; е) -0,05728 800. О 5 409. Вынесите множитель за знак корня: а) 7^; в) 4Ш; д) 0,27^; б) 7^; г) 4Тбд; е) 0,7Т300; 410. Внесите множитель под знак корня: а) tTIO; в) б4х; д) з7^; б) бТЗ; г) 10^7; е) 57^. ж) -0,12571^; з) -§7i^. О 1411.1 Какое из выражений не имеет смысла? 1. ^2717 - 4 3. д/б7з - 772 2. V2T2- 77 4. VsTS- 14 98 Глава II Квадратные корни 412. Представьте выражение в виде арифметического квадратного корн^или выражения, ему противоположного: а) 3 \1з’ г) -10V0^2; ж) -0,1-у/1,2а; Д) 5^; з) ~у1о,9а; лЯ8; е) -^yjl2x; и) -6yf^. 413. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным: а) 2^2; б) 5^; в) -Т^З; г) -6^; д) е) -0,1^200с. О 414. Сравните значения выражений: а) З^Iз и лЯЗ; в) 5л/4 и 4-\/5; д) -^JiЛ и -Зл/2; б) и Зл/5; г) 2л/5 и зТЗ; е) -7Т0Д7 и -И^О^. 415. Сравните значения выражений: а) и в) л/^ и б) ^V54 и ^лЯ^; г) 3 5 |V72h7|. 416. Расположите в порядке возрастания числа: а) Зл/З, 2л/б, V^, 4л/2, 2лЯГ; б) 6л/2, л/58, ЗТ7, 2лЯ4, 5л/3; в) -лЯТ, -2л/5, V2, -2л/б, г) -л/83, -9л/2, -лЯ7, -5л/8, -;^лЯ8. О 417. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства Выясните, каким должно быть соотношение между числами а и Ь, чтобы было верно равенство ^ а е N и Ь е N. 1) Возведите в квадрат обе части равенства. 2) Установите, каким должно быть соотношение между числами а и Ь. 3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах. § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 99 418. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см^ со сторонами а см, & см и с см можно вычислить по формуле Герона: S = yjpip- а)(р- Ь)(р- с), где р — полупериметр треугольника. Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны: а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см. 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления. 2) Проверьте друг у друга правильность вычислений. 3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования. 419. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — — числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе? 420. Решите уравнение: , 4л:- 1 7 5- л: а) -I- — = -----; -^12 4 9 б) 2л:-9 2(5л: + 3) 6 15 19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни Мы рассмотрели ряд преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни. Пример 1. Упростим выражение З-^ба - -^200 + 4д/45а. ^ Вынесем за знак корня в выражении -^20а число 2, а в выражении ^45а число 3. Получим Зд/^ - д/20а + 4^45а = Z^jba - 2.^^ -i- 12.yj5a = = V^(3-2-fl2)= 137^. <] 100 Глава И Квадратные корни Заменив сумму - 2yj^ + 12-J^ выражением 13д/^, мы выполнили приведение подобных слагаемых. Запись можно вести короче, не выписывая промежуточный результат. — 3 Пример 2. Сократим дробь------—. х+ 43 ► Так как 3 = (-УЗ)^, то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений. Поэтому х^ -3 -(>/3)2 X + -^/з X + Уз (X + 73)(х - л/З) + л/З = X — -Уз. <] п ример 3. Преобразуем дробь — так, чтобы знаменатель не со- У2 держал квадратного корня. ► Умножив числитель и знаменатель дроби на -Уз, получим :у/2 cV2 л/2 (>/2)2 . /2 - Зл/З); в) (лЯГ -I- л/2)2; ж) (6 - л/2)2 + Зл/^; г) (л/З - Vx)2; 3) (V2 + Vl8)2 - 30. 427. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов: а) х2- 7; в) 4а2- 3; д) у - 3, где у ^ 0; б) 5-с2; г) 11-16^2; е) л: - у, где х > О и у > 0. "L 102 г лава II Квадратные корни 428. Разложите на множители выражение: а) З+л/З; г) ж) VTi-V?; б) 10-2л/10; д)л/а-д/^; з) + л/^. в) у[х + х; е) ■yJSm + -Jbm; 429. Сократите дробь: а) - 5 . в) 2-S _ д) а - Ь Ь-ч/5 ’ X - 4 ’ S + S б) m + ч/б _ г) Ь-9 е) 2S - Зу[у 6 - ’ S + з’ 4х - 9у 430. Сократите дробь: а) х^-2 в) S - 5 д) 5 + ч/То х + ч/2 ’ 25-х' чЯо ’ б) S — а г) ч/2 + 2 е) 2ч/3 - 3 5-а2 ’ ч/2 ’ 5ч/з 431. Освободитесь от иррационгшьности в знаменателе дроби: а) б) в) X л’ 3 S’ 2 г) д) е) ■^а + Ь 1 ж) з) и) 2л/3 ’ 8 Зл/2 ’ Зл/б ’ ^а-ь ’ 5л/2 432. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: т в) 5ч/с д) 3 s' 2ч/з ’ 1 ч “ . 2ч/3 ’ е) 5 s' 4ч/15 433. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: Ч 4 ,1 Ч 33 а) -р-; в) —------—; д) б) ч/З + 1 1 г) е) 7- Зч/З ’ 15 I-V2’ 4а + S' ' 2S+5 § 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 103 434. Докажите, что значение выражения: а) ——-------— есть число рациональное; б) Зл/З - 4 Зл/З + 4 1 1 5 - 2л/б 5 + 2л/б есть число иррациональное. 435. Найдите с помощью калькулятора приближённое значение выражения с точностью до 0,01: ,1 йч 2 ,3 , 5 + Зл/З а) -;=---; б) -р--------;:г; в) ----------—; г) V5-2’ >/5 - л/З л/1о + V? S+2 436. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: X 4 9 а) ----в) д) б) X + д/у Ь a-Vfc ’ VlO - V2 ’ 3 - 2V2 ’ г) 12 >/3 + л/б ’ е) 14 1+ 5л/2 437. Докажите, что: а) Л = 0,2л/15; б) Л = V5 \а а 438. Докажите, что числа 2 - л/З и 2 -I- л/З являются взаимно обратными, а числа 2л/б - 5 и------------противоположными. 2л/б + 5 439. Среди чисел 15л/3- 4л/2, 6- л/12, л/80- 5л/3, л/Т5 - 4Vs, ^ ^ 2V3-6 V675-V32 есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары. 440. Упростите выражение чение при х = -2,5. 441. Решите уравнение: .Зх-1 2-х , ^ а) —— -(-1 = 0; 9- х2 8х 4х + 6х + 9 - 2 и найдите его зна- 104 Глава II Квадратные корни 442. Площадь кольца вычисляется по формуле S = п (i?^ - г^), где R — радиус внешнего круга, а г — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и г. 443. Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 20, уравнение, графиком которого является эта прямая. Контрольные вопросы и задания На примере выражения sVa покажите, как можно внести множитель под знак корня. На примере выражения VSa покажите, как можно вынести множитель за знак корня. 1 На примере выражений и покажите, как можно осво- Va Va + л/ь бодиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для тех, кто хочет знать больше 20. Преобразование двойных радикалов Сторона С5 правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле Од = ^Д-у/ю- 2л/5. Выражение -у/ю ~ 2л/б, входящее в эту формулу, имеет вид ■^а + ь4с, где а, Ь, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом. В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности. Для тех, кто хочет знать больше 105 Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении V41- 12л/5. ► Попытаемся представить выражение 41 - 12л/б в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12л/5 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12V5 можно представить, например, как 2- e-V^ или как 2*3-2л/б. Проверка убеждает нас, что именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и -Уб равна 41. Значит, V41- 12л/б = V36- 2-6-Vs + 5 = 7(6- л/5)2 = |б - VS| = 6- л/5. <1 При мер 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении 7б1 + 28л/3. Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов. ► Пусть 7б1 + 28-Уз = а + Ь-Уз, где а и Ь — некоторые числа. Тогда (а + Ь-УЗ)^ = 61 + 28-Уз и а + б-Уз ^ 0. Значит, а2 + 2аЬл/3 + 36^ = 61 + 28л/3. Отсюда fa2 +362=61, fa2 +362 = 61, < т. е. i I 2а6 = 28, I аЬ = 14. Выпишем все пары целых чисел (а; 6), для которых аЬ = 14: (-14; -1), (-7; -2), (-2; -7), (-1; -14), (1; 14), (2; 7), (7; 2), (14; 1). Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям о2 +362 = 61 и а + бУз>0. Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит, 7б1 + 28л/3 = 7 + 2ТЗ. < В тех случаях, когда а ^ 0, 6 ^ 0 и разность - Ь равна квадрату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в выражении -^a±4b можно с помощью формулы двойного радикала: I----7^ а + Ja^ - Ъ а - Ja^ - Ь = -----------------------. 106 Глава II Квадратные корни в правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а±4Ь’. а + -Ja^ - Ъ ^ ja - b _ а + b ^ 2-y/a^ - (a^ - b) a - - b _ Jh Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении л/57 - л/2024. ► По формуле двойного радикала имеем V57- л/2^ = 57 + VS7^ - 2024 _ /57 - ^57^ - 2024 _ _ J57 + Vl2^ J57 - л/12^ _ ^57 + 35 ^57 - 35 ^ ^ <] Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы. Пример 4. Упростим выражение л/а - 2, где а > 2. ► Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде (а -I- 2) - 2yja^ - 4 -I- (а - 2). Получим ^(а -I- 2) - 2yja^ - 4 + (а - 2) + л/а - 2 = -^(л/а + 2 - л/а - 2)^ + л/а - 2 = = I л[а~+~2 — -Ja — 2 \ -I- -Ja~-~2 = л/а + 2 — л/а — 2 + -Ja — 2 = -Ja 2. <3 Упражнения [444.] Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата: а) V6 + 2V5; б) у/и - 4лр7. [445.1 Найдите значение выражения: а) V1I + 6V2 - л/2; б) V27 - 5л/8 + V2. Для тех, кто хочет знать больше 107 l446jJ Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала: а) л/ббТТИб; в) Vl7 +л/^; б) VS6- л/5460; г) л/32 - V1008. [44Й Упростите выражение, вычислив предварительно значение а^, если: _______ __________ а) а = л/и +V85 - Vn- VSS; б) а = л/з + Тб -I- л/з- Vs. 14^.1 Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения: а) V13 + 4V3 - Vl3- 4л/3; б) Vl9- 2ТЙ + yll9 + 2yfU? 1449.I Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) V4- уп, V4+угт ’ •^л/б -|- л/з VVs - 2 108 :45<^ Найдите значение выражения: л/2 + л/З • V2 + л/2 + Уз • ^|2-^I2 + y^i. Докажите, что верно равенство: а) Ую -1- У24 -ь У40 УбО = У2 -1- Уз -н Уб; б) л/э + - У^ - УбО = И- Уз - Уб. i452.1 Упростите выражение: а) - Vb' - -1- Уб, где 6^1; б) ~ ГД® с ^ 4. 463.J Освободитесь от внешнего радикала в выражении: а) д/а -ь 2-Уа - 1, если а ^ 1; б) у]а + Ь + 1 + 2Уо”+^ - -^а -f- Ь ч-1 - 24а + Ъ, если а + ft ^ 1. Квадратные корни 1 Глава II Дополнительные упражнения к главе II К параграфу 4 454. Известно, что числа а и 6 натуральные. Является ли натуральным число: а ^ а) а+ Ь; б) а-Ь; в) аЬ; г) -? о 455. Известно, что числа а и 6 целые. Является ли целым число: а) а + Ь; б) а - 6; в) аЬ; г) ^ ф ^ 0)? о 456. 457. 458. 459. Известно, что числа а и 6 рациональные. Является ли рациональным число: а) а+ Ь', б) а -Ъ', в) аЬ\ г) ^ ф ^ 0)? О Докажите, что если числа хну чётные, то чётным будет число: а) х~ у; б) ху; в) Зх + у. Известно, что числа хну нечётные. Будет ли чётным или нечётным числом: а) сумма х + у\ б) разность л: - у; в) произведение ху1 Назовите: а) пять положительных чисел, меньших 0,002; б) пять отрицательных чисел, больших ; 11 в) пять чисел, больших ^ и меньших -i. О ^ 460. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: а) 23. 64’ Тз’ " h- . 23 30’ б) 7 . 25’ г) -h ч 12 461. Назовите два рационбшьных и два иррациональных числа, заключённых между числами 10 и 10,1. 462. Известно, что число а рациональное, а число Ь иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число: а) а -I- 6; б) а - Ь? Дополнительные упражнения к главе II 109 к параграфу 5 463. Найдите значение выражения: а) 0,3л/^; в) ^ - 1; б) -4V0,81; г) д) 2^0,0121 + -Jim; Vl44 е) 7^. л/^ л/б4 ’ 464. Найдите значение выражения: а) -^5х - 10 при X = 2; 2,2; 5,2; 22; б) -J6- 2у при у = 1; -1,5; -15; -37,5; в) ^ ^ при X = 0; 1; 16; 0,25; 3 - л/лг г) -^2а - Ъ при а = о, 5 = 0; при а = 4, Ь = 7. 465. Решите уравнение: а) 5^^x = 3; в) =2; д) 1 + 7^ = Ю; 4-Jx б) = 1; г) л/л: - 5 = 4; е) зТх -5=4. 466. Решите уравнение Vi + 72 + Т^ = 2. 467. Может ли: а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом; б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом? 468. Приведите пример уравнения вида х^= а, которое: а) имеет два рациональных корня; б) имеет два иррациональных корня; в) не имеет корней. 469. Укажите допустимые значения переменной х в выражении: а) 7^; в) -Jx^ +1; д) 7-х^; б) Tjc^; г) 7(4 - х)^; е) 7-x®. 470. При каких значениях а и Ь имеет смысл выражение: а) -Jab; в) 7а^б; д) yj-ab^. б) л1-аЬ; г) 7а^&^; е) 7-а^&^? Т 110 Глава II Квадратные корни 471. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение: а) б) ^ ; в) ^ - ? у/х у/х + 2 VX - 1 472. Найдите значение выражения: а) VSl6 + (2V^)^; г) (з73)2 + (-373)2; б) (0,2y/l0f + 0,5л/1б; д) (5л/2)2 - (2VEf; в) лЯ44 - 0,5(лЯ^)2; е) (-Зл/б)^ - 3(7б)2. 473. Расстояние между двумя точками координатной плоскости A(Xj; i/i) и В(х2’, у2) вычисляется по формуле d = ^(Xi- X2f + (У1~ • Вычислите расстояние между точками А (-3,5; 4,3) и В (7,8; 0,4) с помощью калькулятора. 474. Сравните числа: а) и г) и б) и V0,01; в) .^1 и VM; “ л/0.(3); ж) ур7 и 2,6; з) 3,2 и д/9,8; и) ^1,23 и 1,1. 475. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях Ь уравнение: а) у/х = X + Ь; б) у[х = -х + Ь. К параграфу 6 476. Вычислите: а) V196-0,81-0,36; б) в) V0,87-49 + 0,82-49; г) 71,44-1,21- 1,44-0,4. 477. Найдите значение корня: в) а) б) 1652 - 1242 164 1492 - 762 4572- 3842’ 98 1762 _ 1122 ’ г) <145,52 - 96,52 "V 193,52- 31,52 ■ Дополнительные упражнения к главе II 111 478. Вычислите: а) 15V^-0,lV45; в) 8л/5 б) 0,Зл^-0,2л/15-0,5л/б; г) 5V12 479. Известно, что а < О и 6 < 0. Представьте выражение: а) -Jab в виде произведения корней; б) ^ в виде частного корней. 480. Найдите значение выражения (если оно имеет смысл): а) V(-12)2; в) V-102; б) г) -V(-ll)2; 481. Вычислите: д) V-(-15)2; е) -V(-25)2. а) 37^2^; б) -2лЯ^; в) -зТб^; г) 0,1л/21®; д) 0,lV(-3)8; е) ЮОТОД^; ж) -V(-2)i2. 3) 2,5V(-0,1)^ 482. Найдите значение выражения: а) г) ж) V750-270; б) 7^; д) л/8-162; з) >/194-776. в) >Яб5; е) >/96• 486; 483. При каких значениях д: верно равенство >/^ = (>/х)2? 484. При каких значениях переменной верно равенство: а) 7^ = в) >Я® = д) >/о^ = -а'^; б) >/х^2 = д;6. pj _ _р5, _ fjif 485. Постройте график функции, заданной формулой: а) i/ = —; йч -2>/1^ б) !/ =-----; в) у = х4о^\ V) у = -х4о^. 1 112 Глава N Квадратные корни ,486.' Постройте график функции у = -^\х\. 487. Преобразуйте выражение: а) б) где Ь ^ 0; Д) в) Vl6xV2; г) -Jo,25p^y^, где р> О, у ^ 0; е) ж) з) 16а'2 ^10 , где 6 > 0; —где X < о, у < 0; [z: \9fl2’ где с < о, а > 0. [488.1 (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натураль-ном п значение выражения (п + 1) (п + 2) (п + 3) + 1 является натуральным числом? 1) Выберите произвольное значение л и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня. 2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении л (л + 1)(л + 2)(л + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата. 3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи. 489. Упростите выражение:_______ а) 4^-af-, б) К параграфу 7 490. Вынесите множитель за знак корня: а) 0,5д/б0а^; в) 0,1-Jl50x^; д) а-^18а^Ь; б) 2,1-у/зООх^; г) 0,2-у/225а®; е) -т^АЪат*. 491. Сравните числа: а) 0,2л/^ и lOVS; б) 7J— и 0,8л/50; V 49 в) 0,бЛ08 и 9>/3; г) |л/бЗ и 4,5л/^. 492. Расположите в порядке возрастания числа: а) л/^ и 7л/2; в) 8^^, V41 и \ О О б) бД, л/17и^7б2; г) 1270^, 789и§7Гб0. Дополнительные упражнения к главе II 113 493. Выполните умножение: а) 7л(7а-л/б); д) (у/х + у[у){2у[х - б) (л/х + Ту)Vx; е) (Та - ^)(зТа + 2S); в) yjab [у[а + у[ьу, ж) (ЗТа + Тй)(ЗТа - 2-Тб); г) (Tm-Tn)Tmn; з) (4л/х - Т^)(Тх - Т^). 494. Упростите выражение: а) (1 - Тх)(1 + Тх + х); в) (Тт - yfn)(m + п + yjmn); б) (Та + 2)(а - 2л/а + 4); г) (х + yjy)(x^+ у - хТу). 495. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:^________ а) X - 4у!х -1-1-3; б) y + 2-Jy~^^ + 3. 496. Докажите, что: а) Тб + 4л/2 = 2 -ь Т2; б) ТвТз -hl9 = Тз -f- 4. 497. Найдите значение выражения: а) 6 при X = 1 -I- Тб; в) х^- 4х -н 3 при х = 2 ч- ТЗ; б) х^- 6х при X = 3 - ТЗ; г) х^- Зх -I- 5 при х = 498. Докажите, что значения выражений Т7 -1- 4л/3 + Т7 - 4л/3 и Т^ + 4л/3 • Т7 - 4л/3 являются натуральными числами. 499. Докажите, что значение выражения есть число рациональное: 1_______1 1 3V2- 5 з42+ 5’ ^ 7 -t- 2л/б ^ 7 - 2Тб ' 500. Найдите значение выражения: а) б) 11-2V^ II+2V30’ 5 5 3 -н 2V2 3 - 2V2 ’ Vs - л/з Vs -и V3 Vs +V3 Vs-Vs ’ 11-h V^ ^ 11- V^ 11- V^ 11 + V^ ' 501. Найдите значение дроби I/ = 3 - V5. X* - Зху -I-X + у + 2 при X = 3 + yfE и 114 Глава II Квадратные корни 502. Сократите дробь: x^fx - ^-fy ' 4а + ^ а) б) а4а + ь4ь 503. Сократите дробь: , 4l0- V30 а) б) в) 4^- 4ТЕ 415 - 5 V6 - Vio ’ 2л/То - 5. 4- 4l0 ’ в) г) г) Д) е) 242 - х4х 2 + 4^ + X а — 43а + 3 а4а + з4з 9- 2л/з Зл/б - 2л/2 ’ 2л/3 + з42 - Уб 2 + S- 42 (ViO -1)^-3 Ло + л/з - 1 ‘ 504. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) б) 1+ 4а ~4Г’ у+ byjy , bfy ъ) г) X - 4ах ~~^4Г~’ а4ь + ь4а 4аЬ ' д) е) 24з - 3 54з ' 2 - з42 4л/2 505. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: х-у[^ + у 1-24х + 4х 4^-Гу ’ 9 + з4а + а а) б) 3 + 4а в) г) 1-24^ ’ а^Ь + 2а4ь + 4 а4ь + 2 1506.1 Освободитесь от иррациональности в числителе дроби: 4х - у[у _ 1 - 4а а) б) VI а+ 4ь ^ а4ь в) г) 49 - 74а + а 4тп + 1 тп + ■утп + 1 1507.1 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) ^ ; б) ^ 42 + 4з + 1 4Е- 4з + 2' Дополнительные упражнения к главе II 115 i 508J При каком значении х дробь ——— принимает наибольшее X - 2 значение? 509. Упростите выражение: а) 15 - V160; в) 6^1^ - Л-Ш; б) л/т + юД^; г) 0,57^ + 10^. 510. Упростите выражение: а) f 1 . 1 1 у-К ^ з: + зсД д: - д; Д ^ 2 ’ б) Г ^ Т^ ) (ft - а)2 ^ Та - Vft Та + Tft j 2 !51lJ Докажите, что значение выражения Д + 49 - 14 Д + Д + 49 + 14 Д при о ^ ft ^ 49 не зависит от ft. 1 116 Глава II Квадратные корни Глава КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Вам уже приходилось решать линейные уравнения. Теперь вы сделаете новый шаг в изучении алгебры — научитесь решать квадратные уравнения. Вы познакомитесь с формулой корней квадратного уравнения и сможете применять её не только на уроках алгебры, но и на уроках геометрии, физики, информатики. Ваше внимание, безусловно, привлечёт зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Формулы, выражающие эту зависимость, вывел французский математик Франсуа Виет в конце XVI в. Вы научитесь решать дробные рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или квадратным уравнениям. Впервые вы встретитесь с понятием постороннего корня, убедитесь в необходимости исключать посторонние корни, если они появились в ходе решения дробного рационального уравнения. Расширится круг текстовых задач, которые вы сможете решать с помощью уравнений. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 21. Неполные квадратные уравнения Каждое из уравнений имеет вид + 6д: + 1,4= О, Ьх^-1х=0, л;2-- = 0 ах^ + Ьл: + с = О, где X — переменная, а, Ъ w. с — числа. В первом уравнении а = -1, & = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, 4 Ь = -7 и с = о, в третьем а = 1, Ь = Оис=-. Такие уравнения на- У зывают квадратными уравнениями. § 8. Квадратное уравнение и его корни 117 Определение. Квадратным уравнением называется |/ уравнение вида ах^ + Ьх + с = О, где х — переменная, а, Ь „ и с — некоторые числа, причём а ^ 0. ■- Числа а, & и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число Ь — вторым коэффициентом и число с — свободным членом. В каждом из уравнений вида ах^ + Ьх + с = О, где а Ф О, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение. Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х^ равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения х2-11х + 30=0, х2-6х=0, х2-8 = 0. Если в квадратном уравнении ах^ +Ьх + с О хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х^ + 7 = 0, Зх^ - 10х = о и -4х^ = 0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них Ь = о, во втором с = о, в третьем Ь = 0 и с = 0. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах^ + с = о, где с 0; 2) ах^ + Ьх = о, где Ь 3) ах^ = 0. Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов. Пример 1. Решим уравнение-Зх^+15 = 0. ► Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3: -3x2 ^ _15^ х2= 5. Отсюда X = V5 или Ответ: х^ = л/б, Хг = -4ь. -О X = -Vs. Пример 2. Решим уравнение 4х^ + 3=0. ^ Перенесём свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4: 4x2 ^ _з^ 3 4' Х2 = —. 118 Глава III Квадратные уравнения Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х^ + 3=0. Ответ: корней нет. <1 Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах^ + с = о при с ^ о переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение а равносильное уравнению ах^ + с = 0. С Так как с ^ 0, то — 0. а Если — > о, то уравнение имеет два корня: а Если — < о, то уравнение не имеет корней. а Пример 3. Решим уравнение 4х^ + 9х = 0. ► Разложим левую часть уравнения на множители: х(4х + 9) = 0. Отсюда л: = о или 4д: + 9 = 0. Решим уравнение 4х + 9 = 0: 4х = -9, о т в е т: jCj = о, Хз = -2 . < Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах^ + Ьх = о при Ь ^ о раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение X (ах + Ь)= 0. Произведение х {ах + Ь) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: X = о или ах + 6 = 0. § 8. Квадратное уравнение и его корни 119 Решая уравнение ах + Ь = О, ъ котором а Ф О, находим ах = -Ъ, Ъ X - —. а Следовательно, произведение х(ах + Ь) обращается в нуль при jc = О и при X = —. Корнями уравнения ах^ + fejc = О являются числа а О и а Значит, неполное квадратное уравнение вида ах^ +Ьх = О при Ь Ф О всегда имеет два корня. Неполное квадратное уравнение вида ах^ = О равносильно уравнению = О и поэтому имеет единственный корень 0. 512. Является ли квадратным уравнение: а) 3,7х^ - 5х + 1 = 0; б) 48x2 -х^-9=0; в) 2,1x2 ^ 2х - - = 0; г) X -I- х2 - 1 = 0; д) 7x2 _ 13 = 0; е) -х2 = о? 513. Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты: а) 5x2 _ 9x + 4 = 0; г) х2 -ь 5х = 0; б) х2 + Зх - 10 = 0; д) 6x2 _ 30 = 0; в) -х2 - 8х -I-1 = 0; е) 9x2 _ q. Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями? 514. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов. 515. Найдите корни уравнения: а) 4x2 - 9 = 0; -0,1x2-ь 10 = 0; б) -х2 3 = 0; г) = 0; д) 6y2 -ь 24 = 0; е) 3/п2 -1 = 0. 516. Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором): а) 2x2 _ 17 = 0; б) 3t^ - 7,2 = 0; в) -р^ + 12,6 = 0. 517. Решите уравнение: а) 3x2 _ 4х = 0; в) 10x2 + ^x = 0; д) 6^2 - г = 0; б) -5x2 + бх = 0; г) 4ц2 - За = 0; е) 2у + = 0. 1 120 Глава III Квадратные уравнения 518. Решите уравнение: а) 2х^ + Зх = 0; в) 5и^ - 4и = 0; д) 1 - 4i/^ = 0; б) Зх^ -2=0; г) 7а - 14а^ = 0; е) 2х^ -6=0. 519. Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней? 1. х2-19=0 2. «2+19=0 3. «2_19д:=о 4. 520. 521. При каких значениях а уравнение (а - 2)«2 + 15дс + а^ - 4 = 0 является неполным квадратным уравнением? Выберите верный ответ. 1. а = -1 2. а = 1 3. а = -2 4. а = 2 522. 523. 524. 525. 526. 527. 528. в) 10- 3«2 = л:2 + 10- «; г) 1-21/ + Зу2 = у2_2у + 1. в) 3«(2« + 3) = 2х{х + 4,5) + 2; г) («- 1)(« + 1)= 2(«2 _ 3). в) 6а2 - (а + 2)2 = -4(а - 4); г) (5у + 2)(1/-3)= -13(2 + у). Решите уравнение: а) 4«2 _ Зх + 7 = 2«2 + х + 7; б) -5у2 + 8у + 8 = 8у + 3; Найдите корни уравнения: а) (« + 3)(«- 4)= -12; б) l|f + (2t + l)[^|f-lj = 0; Решите уравнение: а) х^ - 5 = (х + 5)(2х - 1); б) 2«- (« + 1)2 = 3«2 _ 6; Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа. Теннисный корт представляет собой прямоугольную площадку, длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м2. Найдите длину и ширину корта. Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см2, площадь оставшейся части будет равна 85 см2. Найдите сторону квадрата. Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км? Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле s =-, 2 где t (с) — время, S' ~ 10 м/с2, s (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м? § 8. Квадратное уравнение и его корни 121 529. Ширина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, составляет 75% его длины, а его площадь равна 4800 м^. Найдите длину забора, ограждающего этот участок. [530.] Телевизор имеет плоский экран прямоугольной формы, в паспорте к телевизору указано, что длина экрана относится к ширине как 4 : 3, а диагональ равна 25 дюймам. Найдите длину и ширину экрана в дюймах; в сантиметрах (1 дюйм = 2,54 см). 531. В каких координатных четвертях расположен график функции: а) у = (1 - л/2)ж; б) у = (Т35 - 5,7)х? 532. Найдите значение выражения и при X = 49. 9 + 6х + X + 3 ^Гх при х= 0,36 22. Формула корней квадратного уравнения Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Начнём с примера. Решим уравнение 1х^ -бх-1= 0. Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение 26 1 _ х^ - —X - — = 0. Выделим из трёхчлена - у х - у квадрат двучлена. Для этого 6 3 разность х^ — —X представим в виде х^ - 2 - —х, прибавим к ней вы- ражение v7y и вычтем его. 1 122 Глава III Квадратные уравнения Получим - 2-—х + Отсюда ;с2-2х.^+^ = pi ' 1 3 г 16 ^ 7 I ~ 49' Следовательно, X----= -, 7 или X-----= 7 3 4 X - — = или 7 7 X----= —, 7 7 X = — или л: = 1. 7 Уравнение имеет два корня: -у и 1. Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение ах^ -I- Ьл: + с = 0. (1) Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение 9 b с ^ х^ + - х + - = 0. Преобразуем это уравнение, используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись в рассмотренном примере: х2 + 2х-^ + \^ - 2а 2а ^ Ь Y с ^ ~ ~ 2а ] а х^ + 2х-----------I- 2а 2а 2а с а § 8. Квадратное уравнение и его корни 123 д: + 2аj 4д2 v2 с а ^ Ь У' - 4ас iC + — = 2а 4а^ (2) Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней - 4ас ^ п л 2 зависит от знака дроби------. Так как а О, то 4а^ — положитель- 4а^ ное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения - 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ал:^ + -ь с = О («дискриминант» по-латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т. е. D = b^~ 4ас. Запишем уравнение (2) в виде х -I- 2а D 4а^ Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от значения D. 1) Если D > О, то ь 4d ь Ув х-\- — =-—— или д:-н —= --—, 2а 2а 2а 2а ь Уо ь УБ X = -----— или X = -I- , 2а 2а 2а 2а -ь-Ув -Ь+ 4в X = —----- или X = 2а 2а Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня: -Ь-Ув -Ъ-уУв ^ = - о - - и ^2 = 2а 2а Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения: -Ъ ± VD г\ l2 а X = -------, где D = - 4ас, 2а (I) 2) Если П = О, то уравнение (2) примет вид: / . ^2 X + 2а ) 124 Глава III Квадратные уравнения Отсюда х + -— = О, 2а X = - 2а В этом случае уравнение (1) имеет один корень - —. м CL Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при!) = О формула (I) принимает вид -Ь± Vo X = 2а откуда х= -- 2а 3) Если Z) < О, то значение дроби уравнение X + 2а D 4а^ D отрицательно и поэтому 4а^ а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней. Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0). При решении квадратного уравнения по формуле (I) целесообразно поступать следующим образом: 1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём; 2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет. Пример 1. Решим уравнение 12д:^-I-7л: + 1 = 0. ► Найдём дискриминант: Z) = - 4-12-1 = 1, П > 0. Применим формулу корней квадратного уравнения: -7 ± VT -7 ± 1 X = ———, X — 24 ’ Ответ: Xi = -|, лг2=--^. <3 24 § 8. Квадратное уравнение и его корни 125 Пример 2. Решим уравнение - 12х + 36 = 0. ^ Имеем Z) = (-12)2-4-1-36= о, X = 12 ± л/о X = 12 ± О Ответ: 6. < Пример 3. Решим уравнение 7х^ - 25х + 23 = 0. ^ Имеем D = (-25)2 - 4 • 7 • 23 = 625 - 644, Z>< 0. Ответ: корней нет. О Из формулы (I) можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом. Рассмотрим квадратное уравнение ах^ + 2kx + с = 0. Найдём его дискриминант: D = 4k^ - 4ас = 4(k^ - ас). Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения ^2 _ ас. Обозначим это выражение через Д. Если Z)j ^ о, то по формуле корней квадратного уравнения получим -2к±^[Щ -2k ±2^1 -k±^i 2а 2а а ’ X = -к±Ж р. е. X =--—, где Di = - ас. Значит, если квадратное уравнение имеет вид ах^ + 2kx -I- с = о, то при Д ^ о его корни могут быть найдены по формуле I X = _ -k±^ а , где Di = - ас. (П) Если D^ < о, то уравнение корней не имеет. Пример 4. Решим уравнение 9x2 _ + 5=0. ^ Имеем Z>i = (-7)2 -9-5=4, 7 ± Vi 7 ± 2 X = —-—, X = 9 Ответ: Xi = -, Хп = 1. <] 1 g ’ .i 1 126 Глава III Квадратные уравнения Удваашения 533. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней: в) 9х^ + 6л: + 1 = 0; г) л:2 + 5л: - 6 = 0. а) 2л:^ + Зл: + 1 = 0; б) 2д:2 + л: + 2 = 0; 534. Решите уравнение: а) Зл:2 - 7л: + 4 = 0; б) 5x2 - 8л; + 3 = 0; в) 3x2 _ 13д; + 14= 0; г) 2i/2 - 9г/ + 10= 0; 535. Решите уравнение: а) 14x2 _ 5д; _ 1 = 0; б) -г/2 + Зг/ + 5 = 0; в) 2x2 + X + 67 = 0; д) 5р2 - б1/ + 1 = 0; е) 4x2+ д; _ 33 = 0; ж) у2 _ 10у - 24 = 0; з) р2 + р _ 90 = 0. г) 1- 18р + 81р2 = 0; д) -11у + 1/2_152= 0; е) 18 + 3x2 _ = 0. 536. Найдите корни уравнения: а) 5x2 - Их + 2 = 0; г) 35x2 + 2х - 1 = 0; б) 2р2 + 7р - 30 = 0; д) 21/2 - р - 5 = 0; в) 91/2 _ зор + 25 = 0; е) 16x2 _ 8х + 1 = 0. 537. При каких значениях х: а) трёхчлен х2 - 11х + 31 принимает значение, равное 1; б) значения многочленов х2 - 5х - 3 и 2х - 5 равны; в) двучлен 7х + 1 равен трёхчлену 3x2 _ 2дс + 1; г) трёхчлен -2x2 + 5д; + о равен двучлену 4x2 ^ 538. При каких значениях х принимают равные значения: а) двучлены х2 - 6х и 5х - 18; б) трёхчлены 3x2 -4х + Зих2+х + 1? 539. Решите уравнение, используя формулу (II): а) 3x2 _ 14д. + 16=0; д) 4x2 _ 35^ + 77 = 0; б) 5x2 _ ^ 3 _ 0; в) х2 + 2х - 80 = 0; г) х2 - 22х - 23 = О; 540. Решите уравнение: а) 8x2 _ 44д, + 5=0; б) 12x2 + 16х - 3= 0; в) 4x2 + 4д; + 1 = 0; г) х2 - 8х - 84 = 0; е) 151/2 _ 22у-37 = 0; ж) 7г2 - 20z + 14=0; з) г/2 - 10у - 25 = 0. д) х2 + 6х - 19 = 0; е) 5x2 + 2бх - 24 = 0; ж) х2 - 34х + 289 = 0; з) 3x2 + 22х + 80 = 0. § 8. Квадратное уравнение и его корни 127 541. Решите уравнение: а) 2х^ - 5jc - 3 = 0; б) Зл:2 _ 8л: + 5 = 0; в) Ъх^ + 9х + 4 = 0; г) 36i/^ - 12у + 1 = 0; 542. Решите уравнение: а) 5л:^ = 9л: + 2; б) -х^ = 5х - 14; в) 6л: + 9 = л:^; г) Z - 5 = 2^ - 25; 543. Решите уравнение: а) 25 = 26л: - б) 3x2= 10- 29х; в) у^= Ау + 96; д) 3t^ - St+ 1 = 0; е) х2 + 9х - 22 = 0; ж) 1/2 - 12у + 32 = 0; з) 100x2 - 160х + 63 = 0. д) у2 = 52у - 576; е) 151/2 - 30 = 22у + 7; ж) 25р2 = Юр - 1; з) 299x2 ^ 100л: = 500 - 101x2. г) Зр2 + 3 = Юр; д) х2 - 20х = 20х + 100; е) 25x2 - 13х = 10x2 - 7. 544. Найдите корни уравнения: а) (2х- 3)(5х + 1)= 2х + |; 5 б) (Зх- 1)(х + 3) = х(1 + 6х); 545. Решите уравнение: а) (х + 4)2 = Зх + 40; б) (2х-3)2= Их-19; в) 3(х + 4)2= Юх + 32; г) 15x2 + 17 = 15(х + 1)2; в) (х - 1)(х + I) = 2 5х - 10- \ 2 г) -х(х + 7) = (х - 2)(х + 2). д) (х + 1)2= 7918- 2х; е) (х + 2)2= 3131- 2х; ж) (Х + 1)2 = (2х - 1)2; з) (х- 2)2 + 48 = (2- Зх)2. 546. Решите уравнение: — 1 а) б) 8х - 7 4jc^ — 1 в) ^ = х(10х- 9); г) 3 о 2 4 о 3 -л:--л:=-х'^ + -. 547. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01: а) 5x2 _ л: - 1 = О; в) 3(у^ - 2) - у = О; б) 2х2 + 7х + 4=0; г) р2 + 8(р - 1) = 3. 548. Решите уравнение х2=0,5х + 3 сначала графически, а затем с помош;ью формулы корней. 128 Глава III Квадратные уравнения 549. (Для работы в парах.) Решите графически уравнение: а) - 2х - 1 = 0; б) - 4л: + 2 = 0. 1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение. 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении. 550. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором): а) - 8ж 9 = 0; б) 2у2-8г/ + 5=0. 551. Решите уравнение: а) 0,7х^ = 1,3х + 2; б) 7 = 0,4i/ + 0,2i/2; в) х2-1,6х-0,3б= 0; г) - 2z + 2,91 = 0; д) 0,2г/2_10у + 125= 0; е) |х2 + 2х- 9= 0. 552. При каких значениях х верно равенство: а) ух2= 2х- 7; б) х^ + 1,2 = 2,6х; в) 4х^ = 7х+ 7,5? 553. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если существует, то найдите его): а) За + 0,6 = 9а^ + 0,36; б) 0,4а + 1,2 = 0,16а2 1,44? [5547] (Задача-исследование.) Решите уравнения: а) х^ - 5х -f- 6 = о и 6х^ - 5х -t-1 = 0; б) 2x2 - 13х -ь 6 = о и _ 13;с -I- 2 = 0. 1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б). 2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ах^ -t- 6х с = 0 и сх^ + 6х + + а = 0. 3) Докажите, что ваше предположение верно. [55571 Существует ли такое значение а, при котором уравнение х2 - ах -f а - 4 = 0: а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня? § 8. Квадратное уравнение и его корни 129 556. Найдите значение выражения: 2а- 1 а - 1 - а За при а = -1,5. 557. Упростите выражение: а) (V^ + у!ы- 2л/^) • ^ + V20; б) (л/5 + 73 - Vl5)(V5 - V3) + V^. 558. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: а) 1/=7л:-1иг/ = 2х; в) у = 5л:-1-8и1/ = Зл:-1-2; б) у = Зх - 11 и у = 4; г) у = 4-хиу = Зх. 23. Решение задач с помощью квадратных уравнений Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью квадратных уравнений. Задача 1. Найдём катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см. ► Пусть меньший катет равен д: см. Тогда больший катет равен (х + 4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е. х^ + (х + 4)2 = 202. Упростим это уравнение: х^ +х^ + 8х + 16= 400, 2л:2 + 8л:- 384= 0, х2 + 4х- 192= 0. Решив полученное квадратное уравнение, найдём, что Xj = -16, Х2 = 12. 1 130 Глава III Квадратные уравнения По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т. е. число 12. Ответ: 12 см, 16 см. < Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м? ► Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h (м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t (с), может быть найдена по формуле , . gt^ h=Vot- —, где Uq (м/с) — начальная скорость, g — ускорение свободного падения, приближённо равное 10 м/с^. Подставив значения Л и Uq в формулу, получим 60 = 40i - Отсюда 5^2 - Ш + 60 = о, ^2 - 8^-1-12= 0. Решив полученное квадратное уравнение, найдём, что = 2, <2 = 6. На рисунке 21 дан график зависимости h от t, где h = 40f -Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня. Значит, ответ на вопрос задачи таков: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с. О »м - г~ I l! .ол. Гч, ~1 / к ■ / п — 60 / 1 \ ГГ" / \ .fin. / ' j / : \ ' / Г ■ / Я “Г т .20 / i л 1 1 1 / 1 Я / д I ' - 0 ( 1- _1 J- -4- _L_ 1 _1 -6- --1- - Г- -8- _1_1 t. _J С Рис. 21 559. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. 560. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см^. § 8. Квадратное уравнение и его корни 131 561. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м^. 562. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м^. 563. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см2. 564. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа. 565. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см2. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см. 566. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см2. Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертеж (в масштабе 1 : 2). 567. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой — на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. 568. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нём имеется 884 места? 569. Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян? 570. Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян? 571. Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется га (п - 3) по формуле р=--------, где п — число сторон. В каком выпук- лом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон? 1 132 Глава ill Квадратные уравнения 572. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше? 573. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии. 574. От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60 см, а ширина — 40 см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна 800 см2. 575. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869. 576. Сократите дробь: 8аЗ - 27 - 12а + 4а2 ’ б) ах - 2х - Аа + S За - 6 — ах + 2д: 577. Найдите значение выражения: (4а + Sf - Ь -----при о = 5, 5 = 2. 2\аЬ + 2Ь + 1 578. Решите уравнение: а) = 6 2 х(х + 1) , 8 + X _ ^ б) ^ -Н — - 2. 579. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции i/ = 13х - 2,6 с осью х и осью у. § 8. Квадратное уравнение и его корни 133 24. Теорема Виета Приведённое квадратное уравнение - 7л: + 10 = О имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. ТЕОРЕМА Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. • Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q: + рх + q = 0. Дискриминант этого уравнения D равен р^ - 4q. Пусть П > 0. Тогда это уравнение имеет два корня: -р - -Id -р + --- и л:о =--;;--• Найдём сумму и произведение корней: -р - ^[d -р + Jb -2р Xi+X2=----------4---= -р; Хо = 2 2 2 -р - >[d -р + 4d {-р)^ - р^ - (р^ - 4q) 4q = 9- Итак, Xi + Х2 = -р, Xi - Х2= q. Теорема доказана. О При D = о квадратное уравнение х^ + рх + q = 0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D - О корни уравнения также можно вычислять по формуле -р ± 4d X = _---. 1 134 Глава III Квадратные уравнения Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты. Пусть квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = О имеет корни х^ и х^,-Равносильное ему приведённое квадратное ургшнение имеет вид х^ + - X + - = 0. По теореме Виета Ь с Xi + X2 =---, *1*2 = а а Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: ТЕОРЕМА Если числа тип таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х^ + рх + q = 0. • По условию т + п=-р, а mn=q. Значит, уравнение х^ + рх + q = О можно записать в виде х^ - (т + п)х + тп = 0. Подставив вместо * число т, получим: - {т + п)т + тп = т^ - т^ - тп + тп = 0. Значит, число т является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число п также является корнем уравнения. О Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский математик, ввёл систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни 135 Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения Зх^-5х + 2= 0. ► Дискриминант Z)=25-4-3>2=l — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение х^ - — х + — = 0. Значит, сумма О О корней уравнения Зх^ - 5х + 2 = 0 равна —, а произведение рав-но < По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения. Пр и м е р 2. Решим уравнение -I- Зх — 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. ► Найдём дискриминант: £> = 32 + 4 • 40 = 169. По формуле корней квадратного уравнения получаем X = -3 ± Vl69 X = -3 ± 13 Отсюда jCj = -8, Х2 = 5. Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении -и Зх - 40 = о коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения Зх - 40 = 0. < Пример 3. Найдём подбором корни уравнения х2-х-12= 0. ► Дискриминант D = 1 - 4 -1 • (-12) — положительное число. Пусть Xj и Х2 — корни уравнения. Тогда Xi -t- Х2 = 1 и Xj • Х2 = -12. Если Xi и Х2 — целые числа, то они являются делителями числа-12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что Xi=-3hX2=4. < 1 136 Глава III Квадратные уравнения Упражнения 580. Найдите сумму и произведение корней уравнения: а) - 37х + 27 = 0; д) 2х^ - 9х - 10 = 0; б) 1/2 + 41у _ 371 = 0; е) 5x2 + i2x + 7 = 0; в) х2 - 210х = 0; ж) -z2 +2 = 0; г) 1/2 - 19 = 0; 3) 3x2 _ 10 = 0. 581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) х2 - 2х - 9 = 0; в) 2x2 + 7х - 6 = 0; б) 3x2 - 4х - 4 = 0; г) 2x2 + 9х + 8 = q. 582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) х2 - 15х - 16 = 0; г) х2 - 6 = 0; б) х2 - 6х - 11 = 0; д) 5x2 _ igjj. _ 0; в) 12x2 _ 4х - 1 = 0; е) 2x2 _ 41 = о. 583. Найдите подбором корни уравнения: а) х2 - 9х + 20 = 0; в) х2 + х - 56 = 0; б) х2+ 11х-12= 0; г) х2-19Х + 88 = 0. 584. Найдите подбором корни уравнения: а) х2 + 16х + 63 = 0; б) х2 + 2х - 48 = 0. 585. В уравнении х2 + рх - 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р. 586. Один из корней уравнения х2 - 13х + g = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент д. 587. Один из корней уравнения 5x2 + Ьх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент Ь. 588. Один из корней уравнения 10x2 - ЗЗх + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с. 589. Разность корней квадратного уравнения х2 - 12х + g = 0 равна 2. Найдите д. 590. Разность корней квадратного уравнения х2 + х + с = 0 равна 6. Найдите с. l591. Разность квадратов корней квадратного уравнения х2 + 2х + д= 0 равна 12. Найдите д. 592.J Известно, что сумма квадратов корней уравнения х2 - Зх + а = 0 равна 65. Найдите а. § 8. Квадратное уравнение и его корни 137 593. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки: а) + 7х - 1 = 0; г) 19^2 - 23x + 5 = 0; б) д;2 _ + 1 = 0; д) + бТЗх + 11 = 0; в) 5л:2 + 17х + 16 = 0; е) - 9х + 7 - sV2 = 0. 1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней. 2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их, 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допуш;ены. 594. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков: а) 3x2 + цзд. _ 7 = 0; б) 5x2 _ 391^: - 16 = 0. 595. (Для работы в парах.) Уравнение х2 + 5х -I- m = 0 имеет корни Xi и Х2. Найдите, при каком значении т: а) сумма квадратов корней равна 35; б) сумма кубов корней равна 40. 1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б). 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки. 596. При каких значениях х верно равенство: а) (Зх -Ь 1)2 = Зх -I-1; г) (Зх -I- 4)2 = 4(х -I- 3); б) (Зх + 1)2 = 3(х 1); д) 4(х -I- 3)2 = (2х -Н 6)2; в) (Зх + 1)2 = (2х - 5)2; е) (6х + 3)2 = (х - 4)2? 597. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника. 598. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному 13 из катетов равно —, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника. 599. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см. 1 138 Глава III Квадратные уравнения Контрольные вопросы и задания Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Напишите формулу корней квадратного уравнения. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ах^ + Ьх + с= О? Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета. №1 ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25. Решение дробных рациональных уравнений в уравнениях 2х + 5= 3(8-х), X - — = -Зх + 19, X X - 4 X - 9 2х+ 1 левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным. Так, уравнение 2х-1-5= 3(8-х) целое, а уравнения 5 ”■ 4 л ” 9 X----= -Зх + 19 и ---=-----дробные рациональные. X 2х + 1 X Пример 1. Решим целое уравнение X - 1 2х 5х "б“ 3 ► Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т. е. на число 6. Полупим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей: 3(х - 1) -г 4х = 5х. Решив его, найдём, что х = 1,5. <] § 9. Дробные рациональные уравнения 139 Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение л:-3^1_ X + 5 X - 5 X х(х - 5) (1) ► По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на выражение х(х - 5). Получим целое уравнение х(х-3) + х-5=х +5. (2) Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1). Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение х^-Зх-10= 0. Его корни — числа -2 и 5. Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения (1). При X = -2 общий знаменатель х(х- 5) не обращается в нуль. Значит, число -2 — корень уравнения (1). При X = 5 общий знаменатель обращается в нуль и выражения X — Зх-1-5 _ ---- и —---— теряют смысл. Поэтому число 5 не является кор- X - 5 х(х - 5) нем уравнения (1), Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2. <0 Вообще при решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом: 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить получившееся целое уравнение; исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 2) 3) 4) I______ Пример 3. Решим уравнение ► Имеем ^ ^ х^ - 4 х^ - 2х 4-х 4 — X х^ ч- 2х (х - 2)(х ч-2) х(х-2) х(х ч-2) Общий знаменатель дробей х(х - 2)(х ч- 2). 1 140 Глава III Квадратные уравнения Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим 2х - (х + 2) = (4 - х)(х - 2). Отсюда 2х~х—2=4х-х^-8 + 2х, х2 - 5х + 6 = О, £) = 25- 24= 1, 5± VI X = X = 2 5 ± 1 Xi =2, Х2= 3. Если X = 2, то х(х - 2)(х + 2) = 0; если х = 3, то х(х - 2)(х + 2) 0. Значит, корнем исходного уравнения является число 3. Ответ: 3. <1 Упражнения 600. Найдите корни уравнения: а) _ У . е) у + 3 у + 3’ б) X* 5х - 6 ж) х2 - 4 ■ х2-4’ в) 2x2 X - 2 “ -7х + 6 2 - X ’ з) г) y^-Qy 5 и) у - 5 5-у’ д) 2х - 1 X + 7 _ Зх + 4. X - 1 ’ Решите уравнение: 2х - 5 ^ к 4=0; X + 5 д) б) 12 = х; е) 7-х в) х2- 4 4х Зх - 2 2х ’ ж) г) 10 = X - 1; з) 2х- 3 2у + 3 _ у- 5. 2у- 1 У+3’ 5у + 1 _ у + 2, У+1 У 1 + Зх _ 5 - Зх 1 - 2х “ 1 + 2х X - 1 2х - 1 2х + 3 3 - 2х = о. - = Зх + 2; X х^ + 4х _ 2х X + 2 “ Т 2x2 _ 5;с + 3 10х - 5 4х® - 9х = 0; = 0. X + 1,5 § 9. Дробные рациональные уравнения 141 602. Найдите корни уравнения: а) б) в) г) х2 7 X д) х2 + 3 9» х2 + 1 х2 + 1 ’ х2 + 1 у2 4(3 - 2у). е) 3 у^ - Зу у(6 - у) ’ х2 + 2 “ > X X- 2 х + 3 ж) X + 2 = 15 X + 2 X - 4’ 4х + 1’ 8у - 5 ^ 9у з) х2 - 5 7х + 10 У У + 2’ X - 1 “ 9 603. Решите уравнение: а) б) в) Зх + 1 ^ - 1 _ 1. г) 4 X + 2 X - 2 х + 3 2у-2 1 У + 3 - д) 3 4 у + 3 X X - 4 4 5. е) Зу-2 9у2 - 1 Зу+1“ 1-Зу’ У Z — X X - 3 5-х 1; 604. При каком значении х: а) значение функции у = б) значение функции у = 2х- 1 X + 6 х^ + X - 2 X + 3 1 ^ Зу+ 4 у - 2 у^ - 2у' равно 5; -3; 0; 2; равно -10; 0; -5? 605. Найдите корни уравнения: . X - 4 X - 6 _ а) ---г +----- = 2; X + 5 б) в) - 1 = 6-х X - 5 1 2-х 7у-3 ____________ y-y^ у-1 у(у-1)' г) у-2 у + 2 12. У ' X - 2 3x2-12 1 5 .х+3 х-3 „1 е) 5х + 7 X - 2 2х + 21 о 2 ------ = О — . X + 2 3 606. Найдите значение переменной у, при котором: , ^ „ Зу + 9 2у - 13 а) сумма дробей -----и --------равна 2; Зу - 1 2у + 5 ^ „ 5у + 13 4-6у _ б) разность дробей------и-------- равна 3; 5у + 4 Зу - 1 . _ „ у + 1 10 в) сумма дробей------ и---- равна их произведению; у - 5 у + 5 г) разность дробей 6 и У п 142 Глава III у - 4 у + 2 Квадратные уравнения равна их произведению. 607. Решите уравнение: -ч 5 4 1. у-3~ у' 1 1 б) 2(д: + 1) х + 2 х + 3’ в) + х + 2 х^ - 2х х^ - 4х ч 10 1 г) ------ + у^ - у у -у^ 1 + у’ д) 1 + е) 45 14 д:2-8л:+16 д:-4’ ^ ^ =3. х-1 3 - 6л: + 3^2 608. Решите уравнение: а) б) в) 10 + (х - 5)(д: +1) лг+1 X ~ 5 17 1л: (д: - 3)(л: +4) х - 3 л:+4’ 4 1 ^ - о- (x+lf (x-Vf'^x^-l 4 ч 4 1 г) , „ . + 9дс^-1 Здс^-д: 9д:^-6л:+1" 609. Найдите корни уравнения: 21 16 6 а) б) в) г) л: + 1 л: - 2 д: ’ 2 1 5 у^-Зу у-3 у^-9у’ 18______________1__ _ 6 4д:^ + 4дс + 1 2дс^ - х 4х^ - 1 ’ 3(4i/^ + 10{/- 7) Зу - 1 6г/+ 5 16у2 - 9 3- 4у 3+ 4у 1610.1 (Для работы в парах.) Решите уравнение: а)1 +-----------Ц-----= 1^; 6)1---------^ 3 + 2 + 2 + 5 - л:2 1 + 3 5' 10- х^ 1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения. 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение. § 9. Дробные рациональные уравнения 143 611. Решите графически уравнение: а) — = х; X б) — = -дг + 6. X 612, С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение ах+ Ъ, где а к Ь — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа а и Ь. 613. Найдите значение выражения х^ - 2ху + при д:=3-1- S, у = 3-у[б. 614. Принадлежат ли графику функции у = х^ + 2х + 5 точки А(1,5; 7,25), В(-3,2; 9)иС(л/3-1; 7)? 615. Упростите выражение: а) —^-4х; б) у[х - ^ ^ 'fx - -Jy yfx + ,Jy 616. Сравните с нулём значение выражения: \ 3af> л 1, г» а) -7—-^7, где а > О, о < 0; б) Ъа^Ь^ а + Ь , где а < О, Ь <0. 26. Решение задач с помощью рациональных уравнений Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям. Задача 1. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч? ► Пусть X км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х + 3) км/ч, а против течения (х - 3) км/ч. 1 144 Глава III Квадратные уравнения По течению реки 25 км лодка прошла за 25 д; + 3 ч, а против тече- ния 3 км — за равно ч. Значит, время, затраченное на весь путь. 25 х-3 ч. По условию задачи на весь путь лодка затратила 2 ч. Следовательно, 25 = 2. X + 3 л: — 3 Решив это уравнение, найдём его корни: Xj = 2 и лг2 = 12. По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет второй корень — число 12 и не удовлетворяет первый. Ответ: 12 км/ч. <3 Задача 2. К сплаву меди и цинка, содержащему 10 кг цинка, добавили 20 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве уменьшилось на 25%. Какова была первоначальная масса сплава? ► Пусть первоначальная масса сплава была равна х кг. Тогда меди в нём было (jc - 10) кг и она составляла • 100% от массы сплава. Масса нового сплава, полученного после добавления 20 кг цинка, оказалась равной (х + 20) кг, а медь в нём составила д: - 10 X + 20 100%. По условию задачи содержание меди уменьшилось на 25%. Следовательно, Отсюда X 10 X 10 ±—— . 100% - ^—— • 100% = 25%. X X + 20 (X - 10) • 4 (X- 10) • 4 X + 20 = 1. Решив это уравнение, найдём, что оно имеет два корня: Xi = 20 и Х2 = 40. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Ответ: 20 кг или 40 кг. <] § 9. Дробные рациональные уравнения 145 .УпрашшУ! 617. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на —. Найдите эту дробь. 2 618. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля. 619. Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой. 620. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км. 621. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию? 622. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году? 623. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»? 624. Предприниматель приобрёл акции одинаковой стоимости на 110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена одной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько акций приобрёл предприниматель? 625. Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало? "1 146 Глава III Квадратные уравнения 626. Сотрудники отдела решили совместно приобрести холодильник за 7200 р. Однако трое отказались участвовать в покупке, и остальным пришлось уплатить на 200 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников работает в отделе? 627. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру. 628. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки? 629. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки. 630. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли. 631. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве? 632. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за б ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму? 633. Два автомата разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый автомат, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму автомату? 634.1 Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч? 1635.1 Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч? § 9. Дробные рациональные уравнения 636. Докажите, что: ч 1 1 а) + = 22; ll+2^I^ 11-2ч/30 637. Найдите значение выражения: Vs - 2 Vs + 2 а) б) х + у при х= 5 + 2V6, у = 5- 2V6; при * = Vn + 7з, y = jn-S. ху 638. Найдите значение q, при котором разность корней уравнения - 10х + g = О равна 6. 639. Составьте квадратное уравнение, зная его корни: ^Vs-l Vs + l счо fTi 1 а) —-— и —-—; б) 2- V3 и--—. ^2 2 - V3 Контрольные вопросы и задания Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения. 6.2 3 На примере уравнения -1 = Х^-1 X - 1 х+1 решают дробные рациональные уравнения. объясните, как Для тех, кто хочет знать больше 27. Уравнения с параметром Каждое из уравнений 7х = 5, -Зх = 5, Ох = 5 имеет вид ах = 5, где а — некоторое число. Первое уравнение, в котором а = 7, имеет корень Второе урав- 5 „ нение, в котором а = -3, имеет корень —. Третье уравнение, в кото- “О ром а = О, не имеет корней. 148 Глава III Квадратные уравнения Вообще, уравнение вида ах = 5 при а ^ О имеет единственный 5 _ корень —, а при а = О не имеет корней. а Рассматривая уравнение ах = Ъ, мы придавали буквам а и д: различный смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное число, а буквой а — некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром, а ах = 5 — уравнение с параметром. Для уравнения ах = 5 мы выяснили, что при любом значении параметра а, не равном нулю, корень уравнения можно найти по 5 формуле д:= —, а при а = О это уравнение корней не имеет. В таких а случаях говорят, что мы решили уравнение с параметром. Вообще решить уравнение с параметром — это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет. Рассмотрим примеры. Пример 1. Решим уравнение ъх-гх = ь^+ АЪ-12 с параметром Ь. ► Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. Получим {b-Z)x=b^-гЬ^+ АЪ-12. Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при х или равен нулю. Если 6 - 3 it О, т. е. Ь ^ 3, то уравнение имеет единственный корень - ЗЬ^ + 4Ь~ 12 X = -------------. Ъ-3 Разложив числитель дроби на множители, получим, что (6 - 3)(fo2 + 4) X = ъ-3 Отсюда X = + 4. Если Ь - 3 = О, т. е. Ь = 3, то уравнение принимает вид Од: = 0. В этом случае любое число является корнем уравнения. Итак, мы нашли, что при Ь ^ 3 уравнение имеет единственный корень Ь^ + 4, а при Ь = 3 любое число является корнем уравнения. < Для тех, кто хочет знать больше 149 Пример 2. Решим уравнение ах^ + (а^ - l)x + (а - 1)^ = О с параметром а. ► Данное уравнение при а = О является линейным, а при а О — квадратным. Рассмотрим каждый из этих случаев. Если а = О, то данное уравнение обраш;ается в линейное уравнение -X + 1 = 0, которое имеет единственный корень х = 1. Пусть а ^ 0. Тогда мы имеем квадратное уравнение ах^ + (а^ - 1)х - (а - 1)^ = 0. Найдём его дискриминант: D=(a^- 1)2 - 4а (а - 1)2 = (а - 1)2((а + 1)2 - 4а) = (а - 1)'*. Так как D > 0 при любом значении а, то это уравнение при любом а имеет корни. Если а = 1, то Z) = о, и это уравнение имеет единственный корень. Найти его можно, подставив в уравнение вместо а число 1. Получим х2 = 0. Отсюда х = 0. Если а ^1, то Л > о, и уравнение имеет два корня: 1-а2-(а-1)2 -2а^+2а . ~ = 1 — а. X, = Хп = 2а 1 - + (а - 1)2 2а 2а -2а +2 1 - а 2а Итак, мы нашли, что данное уравнение имеет корень 1 при а = о, корень 0 при а = 1, корни 1 - а и-- при а^^Оиат^:!. < 640. Какие случаи надо выделить при решении уравнения Ьх + 2х = = ЗЬ + 6 с параметром Ь? Найдите корни уравнения в каждом из этих случаев. 641. Решите относительно у уравнение: а) рг/ - р - 1 = 0; б) РУ - Зу - Ар + 12 = 0. ‘642.1 Решите уравнение с параметром а: ах - 2х = а® - 2а2 - 9а + 18. Решите уравнение с параметром Ь: 2x2 - 4х + Ь = о. I 150 Глава III Квадратные уравнения 644. ть] Ш12 649. Решите относительно х уравнение: а) - бах + 4а^ = 0; б) Зх^ - Юал: + За^ = 0. При каких значениях параметра t имеет единственный корень уравнение: а) Зх^ + + 3 = 0; в) tx^ - 6х + 1 = 0; б) 2х^ - tx + 50 = 0; г) tx^ + х - 2 = 0? Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения д:^-ал: + а- 3= 0 принимает наименьшее значение, и найдите это значение. Решите относительно х уравнение (а - 1)х^ + 2ах + а +1 = 0. Решите уравнение с параметром k: х^ - (4fe + 1)л: + 2(2й2 + /г - 3) = 0. Выясните, при каких значениях параметра Ь равна 7 сумма корней уравнения -(2Ь-\)у+ Ь^-Ь-2 = 0. Дополнительные упражнения к главе III К параграфу 8 650. Решите уравнение: а) (X + 2)2 + {х- 3)2 = 13; б) (Зх - 5)2 - (2х + 1)2 = 24; в) {х - 4)(л:2 + 4л: + 16) + 28 = л:2(л: - 25); г) (2л: + 1)(4х2 - 2х + 1) - 1 = 1,6л:2(5л: - 2). 651. Решите относительно х уравнение; а) л;2 = а; в) л;2 + 4Ь = 0; б) л;2 = а2; г) х^ + 9Ь^ = 0. 652. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно: а) а24а-I-11; в) т^-4т + 51; д) 2&2 - 8&-t-20; б) -2х+ 7 19 г) - 6р + 18 рП ’ е) 2с2 + 18 с2 -t- 12с + 40' Дополнительные упражнения к главе 151 653. Используя выделение квадрата двучлена: а) докажите, что наименьшим значением выражения - 8х + 27 является число 11; б) найдите наименьшее значение выражения - 4а + 20. 654. Решите уравнение: а) 4х^ + 7х + 3= 0; б) х^ + X - 56 = 0; в) - X - 56 = 0; г) 5x2 _ 18л: + 16=0; д) 8x2 + л: - 75 = 0; е) 3x2 _ 11л; _ 14= 0; ж) 3x2 + Их - 34 = 0; з) х2 - X - 1 = 0. 655. При каких значениях х верно равенство: а) (5х + 3)2 = 5(х + 3); д) (5х + 3)2 = 5х + 3; б) (Зх + 10)2 = 3 (X + 10); g) (5д. ^ 3)2 ^ (3^ g)2. в) (Зх - 8)2 = 3x2 _ 8д.. jj^) 5)2 _ 4(х + 5)2; г) (4х + 5)2 = 5x2 + 4д.. 3) (2х + 10)2 = 4(х + 5)2? 656. Решите уравнение и выполните проверку: а) х2 - 2х - 5 = 0; б) х2 + 4х + 1 = 0; в) Зу2 - 41/ - 2 = 0; г) 5у2 _ 7у + 1 = 0; д) 2у2 + 11у + 10=0; е) 4x2 - 9х - 2 = 0. 657. Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01: а) х2 - 2х - 2 = 0; б) х2 + 5х + 3 = 0; в) 3x2 _ 7х + 3 = 0; г) 5х2 + 31х + 20= 0. 658. Выясните, при каких значениях переменной: а) трёхчлен а2 + 7а + 6 и двучлен а + 1 принимают равные значения; б) трёхчлены 3x2 _ х + 1 и 2x2 + 5х - 4 принимают равные значения. Найдите эти значения. 659. При каком значении а один из корней уравнения ах2 - Зх - 5 = 0 равен 1? Найдите, чему равен при этом значении а второй корень. 660. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних. 661. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа. 662. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа. 152 Глава III Квадратные уравнения 663. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см^. Найдите стороны прямоугольника. 664. Фотографическая карточка размером 12 х 18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см^. 665. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна 3,25 м^. 666. Старинная задача. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил? 667. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м^ меньше площади боковых стенок. 668. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом 6080 см®, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона. 669. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа. 670. Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа. 671. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) — 5^2х + 12 = 0; в) г/® - бу 7 = 0; б) X® -I- 2л/3х - 72 = 0; г) р® - Юр + 7 = 0. 672. Найдите Ь и решите уравнение: а) 2х® -I- Ьх - 10 = о, если оно имеет корень 5; б) Зх® + Ьх + 24 = о, если оно имеет корень 3; в) ф - 1)х^ - ф + 1)х = 72, если оно имеет корень 3; г) ф - 5) х^ ~ ф - 2) X + Ь = о, если оно имеет корень -. 673. Докажите, что уравнение 7х® + Ьх - 23 = 0 при любых значениях Ь имеет один положительный и один отрицательный корень. Дополнительные упражнения к главе III 153 674. 675. 676. 677. 678. ) 679. ] 680. 681. 682.; б8з; 684,! 685J 686. 687. 688. Докажите, что уравнение 12л:^ + 10х + + 1 = О при любых зна- чениях а не имеет положительных корней. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = о равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение: а) 2л;2 - 41л: -I- 39 = 0; б) 11 х^ + 243х - 260 = 0. Разность корней уравнения Зх^ + 10 = 0 равна 4^. Най- дите Ь. Один из корней уравнения 5х^ - 12х-f-с = 0 в 3 раза больше другого. Найдите с. Частное корней уравнения 4х^-I-6х - 27 = 0 равно -3. Найдите Ь. Квадрат разности корней уравнения + рх 4- 90 = 0 равен 81. Найдите р. Разность квадратов корней уравнения 2х^ - 5х + с = 0 равна 0,25. Найдите с. Один из корней уравнения 4х^ + Ьх -ь с = 0 равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите Ь и с. Известно, что коэффициенты Ь и с уравнения х^ Ч- Ьх -I- с = 0, где с ^ о, являются его корнями. Найдите Ь и с. Выразите через р и q сумму квадратов корней уравнения х^ + рх + q = 0. Известно, что сумма квадратов корней уравнения х^ - 15х -I- g = 0 равна 153. Найдите q. Квадрат разности корней уравнения х^ 4- px-f- 405 = 0 равен 144. Найдите р. Известно, что Xj и Х2 — корни уравнения Зх^ + 2х + k = 0, причём 2xj = -3x2. Найдите k. Известно, что Xj и Х2 — корни уравнения х^ - 8х + /г = 0, причём 3xj + 4x2 = 29. Найдите k. Зная, что уравнение х^ + рх + q = 0 имеет корни Xj и Х2, составьте квадратное уравнение, имеющее корни: а) ЗХ) и 3x2; л:1 + 2 и Х2 + 2. 689.> Известно, что уравнение х^ + рх + 9 = 0 имеет корни х^ и Х2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и 1 154 Глава III Квадратные уравнения к параграфу 9 690. Решите уравнение: , л: + 1 20 а) +--------7 = 4; 6 X - 1 б) в) 4 12____________ X - I л: + 1 X + 2 8 = 1; , 16 30 _ г) ------г + -------= 3; д: - 3 1 - д; ч 3 1 Д) ^------+ 28 е) 1-д: 1+д: 1-д:^’ 5 3 20 д:-2 X + 2 ~ х^ - 4’ . X + 2 д: + 3 ж) ------------г + 29 з) д:+1 дг-2 (д:+ 1)(д: - 2) ’ х + 2 д:+1_ 4 д: + 3 дс-1 (дс + 3)(дс - 1)" 691. Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой: , 2д: — 5 . — 5д: + 6 а) У = .. . о ; в) г/ = б) у = X + 3 ’ (X - 4)(3х - 15) X - 9 692. При каком значении х: г) У = X - 2 хЗ - 7x2 + 12х X - 3 Ьх — 7 а) значение функции у = —z----равно -6; 0; 0,8; 0,56; б) значение функции у = х2 + 1 х2 - 2х + 6 X + 4 равно 1,5; 3; 7? 693. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: \ о о 34 а) у = 2х + 3 ш у = б) у = х2 - 5х X + 3 X - 5 ’ п у = 2х. 1б94^ Решите графически уравнение: а) г^ = 1,5х-2; б) в) j-^=x + l; г) х^ = \х\ |:с| к1 [6^ Найдите корни уравнения: , хч/з + ч/2 хч/з - ч/2 10х а) -------^ + Хч/З - ч/2 хч/З + ч/2 3x2 - 2 ’ б) ^ ~ 1 + У'^ _ 9у ^ 1 + 1/ч/5 1 - уч/5 1 - 5i/2 ■ Дополнительные упражнения к главе 155 Решите уравнение: а) 2х + 1 3(2х - 1) 8 2х - 1 7(2х + 1) 1 - 4х‘ б) У 1 3 у2-9 у'^ + 3у 6у + 2у2 в) г) д) е) ж) з) 2у- 1 141/2 + rjy 3 8 121/2 _ 3 1 л:2 - 9 Q - Qx + 9х + 12 дгЗ - 64 1 = 0; = О; 2у+1 . б1/2 - Зу ’ 3 2дг2 + 6х ’ 1 81/2 +1 2у + 1 32 - 2д;2 _ д; + 2 л:2 + 4х + 16 X - 4’ 1 у + 3 4у2_ 2у+ 1’ 1 + (х - 1)(д: + ■ 2) 1 х + 1 3(х-4) 2(д:2 + 3) дг®-4x2+Зд: - 12 = 0. 697. Найдите значения переменной у, при которых: а) сумма дробей----- и —равна их произведению; б) сумма дробей г/+ 1 2 и г/- 2 6 у-3 у + 3 равна их частному; . у + 12 в) разность дробей -----г и у - 4 у + 4 равна их произведению. 1 698. На перегоне в 600 км после прохождения — пути поезд был за- 4 держан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути? 699. Туристы совершили три перехода в 12,5 км, 18 км и 14 км, причём скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы? 700. Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. 2 В результате на обратный путь было затрачено на — ч меньше, 5 чем на путь от А до В. С какой скоростью шёл автомобиль из А в В? 156 Глава III Квадратные уравнения 701. Расстояние от А до В, равное 400 км, поезд прошёл с некото- 2 рой постоянной скоростью; - обратного пути из В в А он шёл 5 с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч. 702. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч. 703. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч. 704. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч? 706., Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв б км, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки. 706. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в 27 км от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В равно 44 км. 707. Теплоход отправился от пристани А до пристани В, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на - ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, А увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода. 708. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё 2 время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые — ч 4 ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город В вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Дополнительные упражнения к главе 157 709. Автобус проехал расстояние между пунктами А is. В, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько времени затратил автобус на обратный путь? 710. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами. 7^11.J Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 4 — ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В. 7\^.\ Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за б ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 713. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехгш с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта М в пункт N? 714. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см. 715. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня? 716. Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану? 158 Глава III Квадратные уравнения 717. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит б кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором. 718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава? 719. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано - поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым? 1720.1 Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок? 1721.1 Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы? 1722.1 Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? 1723.1 При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности? Дополнительные упражнения к главе 159 Глава IV НЕРАВЕНСТВА В ЭТОЙ главе вы познакомитесь со свойствами числовых неравенств, научитесь применять их при сравнении выражений, доказательстве неравенств. Впервые вы встретитесь с понятиями абсолютной и относительной погрешностей, точности приближения, узнаете, какой смысл имеет запись a±h, которая часто используется на продукции разного рода. Основное содержание главы составляет решение неравенств, сводящихся к виду ах + Ь>0 или к виду ад: + & < О, и их систем. Неравенства такого вида решают аналогично тому, как решают уравнения вида ад: + & = О, но при этом следует учитывать знак коэффициента а. Геометрическая интерпретация множеств решений неравенств и вводимые понятия пересечения и объединения множеств помогут вам при решении различных задач. § 10 ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА 28. Числовые неравенства Мы можем сравнить любые числа а и & и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки = , <, >. Для произвольных чисел а и fe выполняется одно и только одно из соотношений: а = 6, а < Ь, а > Ъ. Рассмотрим примеры. 5 4 1. Сравним обыкновенные дроби — и —. Для этого приведём их 8 7 к общему знаменателю: 5 8 56 4 7 56 5 4 Так как 35 > 32, то — > —. 8 7 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных "L 160 Глава IV Неравенства в первой дроби стоит цифра 4, а во второй — цифра 5. Так как 4 < 5, то 3,6748 < 3,675. 9 3. Сравним обыкновенную дробь — и десятичную дробь 0,45. 9 9 Обратив дробь — в десятичную, получим, что — = 0,45. 4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е. -15 > -23. В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулём. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении: Определение. Число а больше числа Ь, если разность а — Ь — положительное число; число а меньше числа Ь, если разность а - Ь — отрицательное число. Заметим, что если разность а — Ь равна нулю, то числа а к Ь равны. На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее — точкой, лежащей левее. Действительно, пусть а и & — некоторые числа. Обозначим разность а - Ь буквой с. Так как а - Ь = с, то а = Ь + с. Если с — положительное число. с>0 Ь + с с < о Ь + с Рис. 22 с координатой Ь + с отрицательное чис- то точка лежит правее точки с координатой Ь, а если с -ло, то левее (рис. 22). Значит, если а > 6, то точка с координатой а лежит правее точки с координатой Ь, а если а < Ь — левее. Покажем, как приведённое определение используется при решении задач. Пример 1. Докажем, что при любых значениях переменной а верно неравенство (а - 3)(а - 5) < (а - 4)2. ► Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её: (а - 3)(а - 5) - (а - 4)^ = = - За — 5а + 15 - + 8а — 16 = -1. § 10. Числовые неравенства и их свойства 161 При любом а рассматриваемая разность отрицательна и, следовательно, верно неравенство (а-3)(а-5)<(а-4)2. <3 Пример 2. Пусть а и 6 — положительные числа. Как известно, а + Ь число —-— называется средним арифметическим чисел а и Ь, число ■Jab — средним геометрическим, число средним 1 1 - + -а Ь гармоническим. Докажем, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел а и Ь связаны следующим соотношением: 2 ^ г~г ^ а + Ь 1 1 - - а Ь < -Jab < ► Докажем сначала, что yfab > 1 1 — + -а Ь Преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: Jab - 1 1 - + -а Ь - Jab - 2аЬ ajab + bjab - 2ab а b а + b ■Jab (а + b - 2jab) -Jab {Ja - ■Jb)^ a-¥ b a + b При a > 0 и 6 > 0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство 2 ■Jab > 1 1 — + -а Ь Рассмотрим теперь разность ■Jab - а ■¥ Ь Jab - а + Ь 2л/аЬ - а - Ь {Ja - ■Jb)^ При а > О и ft > О составленная разность либо является отрицательным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство 162 Глава IV Неравенства Итак, мы доказали, что если а > О и Ь > О, то 2 /—г а + Ь . ----^ ЫаЬ ^ ——. <] 11 2 - + -а Ь Упц^жнен^ 724. Сравните числа а и Ь, если: а) а - Ь = -0,001; б) а - Ь = 0; 725. в) а - Ъ = 4,3. Известно, что а <Ь. Может ли разность а - Ь выражаться числом 3,72? -5? о? 726. Даны выражения За (а + 6) и (За + 6) (а -и 4). Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго. 727. Даны выражения АЬф + 1) и (2iM-7)(2b-8). Сравните их значения при Ь = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении Ъ значение первого выражения больше, чем значение второго? 728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: а) 3(а + 1) + а < 4(2 -н а); в) (а - 2)^ > а (а - 4); б) (7р-1)(7р + 1) < 49р2; г) (2а-Ь 3)(2а-И) > 4а(а-и 2). 729. Докажите неравенство: а) 2Ь^-&Ь + 1> 2Ь(&- 3); б) (с + 2)(с -и 6) < (с -ь 3)(с + 5); в) р(р + 7) > 7р- 1; г) 8y(3y-10)<(5p-8)2. 730. Верно ли при любом х неравенство: а) Ах{х + 0,25) > (2х + 3)(2л: - 3); б) {Ьх - 1)(5д: + 1) < 25x2 + 2; в) (Зх-н8)2 > Зх(х + 16); г) (7 + 2х)(7 - 2х) < 49 - х(4х + 1)? 731. Докажите неравенство: а) а(а -f- Ь) ^ аЪ‘, б) m2 - тп + > тп; в) 10а2 - 5а + 1 + а; г) 2Ьс К: + с2; д) а(а - &) ^ 6(а - Ь); е) а2 - а ^ 50а2 - 15а + 1. § 10. Числовые неравенства и их свойства 163 732. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь —, Ь где а и 6 — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1? 1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь (Одному Ь учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.) 2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая. 3) Проведите доказательство: один — для случая а < Ь, а другой — для случая а > Ъ. 4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений. 733. Докажите, что при а > О верно неравенство а 2 Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2. 734. 735. 736. 737. 738. Докажите неравенство: с 1 а)—>с: Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) - 6а -ь 14 > 0; б) + 70> 16&. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а. 3. 4а - 4 < а^ 4. 8а- 70< а2 739. 1. а‘ > 2а - 3 2. а^ -I- 6 > 4а (Для работы в парах.) Докажите, что если а и Ь — положительные числа и а^ > то а > 6. Пользуясь этим свойством, сравните числа: а) Тб + л/Зи>/7-ь>/2; в)л/5-2ил/б-л/3; б) Vs + 2 и л/б + 1; г) лЯо - V7 и - V6. 1) Проведите доказательство приведённого утверждения. 2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены. Докажите, что при а > 0 и & > 0 верно неравенство а + Ь ^ 1а^ + Г- 164 Глава IV Неравенства 740. Что больше: а® + или аЬ(а + Ь), если а и Ь — неравные положительные числа? 741. К каждому из чисел О, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов. !742.; Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию? 743. Найдите значение дроби 744. Сократите дробь: а) а;2 - 10а: + 25 б) 35 - 7а: Решите уравнение: а) 5 „ 3 а: а:- 2’ б) - 6х + 3 X + 2 4х^ - 12х + 9 (3 - 2х)^ 3 при X =-- 2а: - 1 = 5х - 9. 29. Свойства числовых неравенств Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств. ТЕОРЕМА 1 Если а > Ь, то Ь < а; если а < Ь, то Ь > а. Действительно, если разность а - Ь — положительное число, то разность Ь — а — отрицательное число, и наоборот. О ТЕОРЕМА 2 Если а < Ь и 6 < с, то а < с. • Докажем, что разность а - с — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа Ь и -Ь и сгруппируем слагаемые: а-с=а-с + Ь- Ь = (а-Ь) + ф-с). § 10. Числовые неравенства и их свойства 165 b с с b Рис. 23 По условию а < Ь и Ь < с. Поэтому слагаемые а - Ь и Ь - с — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а < с. О Аналогично доказывается, что если а > Ь и Ь > с, то а > с. Геометрическая иллюстрация этих свойств дана на рисунке 23. ТЕОРЕМА 3 Если а <Ь и с — любое число, то а + с < Ь + с. Преобразуем разность {а + с) - (Ь + с): (а + с) - (Ь + с) = а - Ь. По условию а <Ь, поэтому а - Ь — отрицательное число. Значит, и разность (а + Ь)~ (Ь + с) отрицательна. Следовательно, а + с < Ь + с. О Итак, ^ ——--------------- ——---------------— ------------т-Г----1 I если к обеим частям верного неравенства прибавить одно | I и то же число, то получится верное неравенство. | ТЕОРЕМА 4 Если а < Ь и с -г— положительное число, то ас < Ьс. Если а < Ь и с — отрицательное число, то ас > Ьс. Представим разность ас - Ьс в виде произведения: ас - Ьс = с {а - Ь). АРХИМЕД (287—212 гг. до н. э.) — древнегреческий математик, физик и механик. Разработал новые математические методы, в частности методы вычисления площадей криволинейных фигур и объёмов тел. Дал образцы применения математики к задачам естествознания и техники. 166 Глава IV Неравенства Так как а <Ъ, то а - Ь — отрицательное число. Если с > О, то произведение с(а-Ь) отрицательно, и, следовательно, ас<Ьс. Если с < О, то произведение с(а- Ь) положительно, и, следовательно, ас > Ьс. О Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления. Итак, I если обе части верного неравенства умножить или разделить I на одно и то же положительное число, то получится верное I неравенство; I если обе части верного неравенства умножить или разделить I на одно и то же отрицательное число и изменить знак нера-I венства на противоположный, то получится верное нера-! венство. ■ СЛЕДСТВИЕ ^ ^ X. 1 1 Если а и о — положительные числа иа<6, то — >-. а о • Разделим обе части неравенства а < Ь яа положительное чис- ^ а Ь ^ ^ 11 11^ ло аЬх — < —. Сократив дроби, получим, что - <- ,т. е. — > - . О аЬ аЬ Ь а а Ь Приведём пример использования рассмотренных свойств неравенств. Пример. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2 < а < 54,3. ► Периметр равностороннего треугольника со стороной а вычисляется по формуле Р = За. Умножим на 3 обе части каждого из неравенств 54,2<аиа<54,3и запишем результат в виде двойного неравенства: 54,2 • 3 < За < 54,3 • 3, 162,6 < За < 162,9. Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм. < yngg^KSlgilSJS 746. Отметьте на координатной прямой точки, имеющие координаты а, Ь, с, d я е, если а < Ь, о Ь, с < d, а > е. 747. Пусть т, п, р и q — некоторые числа, причём т > р, п > т, п < q. Сравните, если это возможно, числа р я п, р и q, q и т. При сравнении чисел воспользуйтесь координатной прямой. § 10. Числовые неравенства и их свойства 167 748. Известно, что а < Ь. Сравните, если возможно, а иЬ +I, а — 3 иЬ, а-5иЬ + 2, а + 4иЬ-1. 749. Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и Ь, если известно, что верны неравенства: а)а-3>6-3и6>4; в)7а>7&и6>—; 2 б) а-8>Ь-8иа< -12; г) -2а > -26 и 6 < —? 3 750. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если: а) к обеим частям неравенства 18 > -7 прибавить число -5; число 2,7; число 7; б) из обеих частей неравенства 5 > -3 вычесть число 2; число 12; число -5; в) обе части неравенства -9 < 21 умножить на 2; на -1; на —; г) обе части неравенства 15 > -6 разделить на 3; на -3; на -1. 751. Известно, что а <Ь. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если: а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4; б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5; в) обе части этого неравенства умножить на 8; г) обе части этого неравенства разделить на —; О д) обе части этого неравенства умножить на -4,8; е) обе части этого неравенства разделить на -1. 752. Известно, что а <Ъ. Поставьте вместо звёздочки знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство: а) -12,7а * -12,76; в) 0,07а * 0,076; а 6 . а Ь б) — * —; г) — * —. 3 3 2 2 753. Каков знак числа а, если известно, что: а) 5а < 2а; б) 7а > За; в) -За < За; г) -12а > -2а? 754. Известно, что о d. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство: а) -7с < -7d; г) 0,01с - 0,7 > 0,01d - 0,7; б) ^>^; д)1-с<1-с(; 8 8 в) 2с-н11 > 2d+ 11; е) 2- I < 2-2 2 168 Глава IV Неравенства 755. Известно, что а, Ь, с и d — положительные числа, причём а > Ь, d < Ь, о а. Расположите в порядке возрастания числа 1 1 1 i abed '756.1 (Для работы в парах.) Известно, что а — положительное число. а) Расположите в порядке возрастания числа: 2а, аТз, -а, а(л/3- V2), За. б) Расположите в порядке убывания числа: 6а, -ал/б, a(V? - -s/б), -а, -5а - 1. 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки. 757. Известно, что 3 < а < 4. Оцените значение выражения: а) 5а; б) -а; в) а + 2; г) 5 - а; д) 0,2а + 3. 758. Зная, что 5 < х <8, оцените значение выражения: а) 6х; б) -10х; в) х - 5; г) Зх + 2. 759. Пользуясь тем, что 1,4 < V2 < 1,5, оцените значение выражения: а) л/2 + 1; б) л/2-1; в) 2-л/2. 760. Пользуясь тем, что 2,2 < V5 < 2,3, оцените значение выражения: а) Vs+ 2; б) 3- Vs. 761. а) Оцените периметр квадрата со стороной а см, если 5,1 < а < 5,2. б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен Р см, если 15,6 ^ Р ^ 15,8. 762. Оцените значение выражения —, если: У а) 5 < г/< 8; б) 0,125 < г/< 0,25. 763. Найдите значение многочлена - 4х -I-1 при х = -7; -3; 2 - V§. 4 764. Решите уравнение: 8x^-3 5-9x2 „ ,10 3 1 а) —-----------— = 2; в) б) 2________1_ _ 2х - 1 x2-X-t-l Х+1 X^-l-l’ г) X - х2 - 4 2х - 4 2 ’ х2 - 17 _ 5 X - 3 X ’ § 10. Числовые неравенства и их свойства 169 30. Сложение и умножение числовых неравенств Рассмотрим теперь, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств. ТЕОРЕМА 5 Если a -у > -3, т. е. -3 < -у < -2. Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств: 15 < X < 16 -3 < -у < -2 12 < X - у < 14 3. Оценим произведение ху. Так как каждое из чисел х и у заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим 15 < X < 16 2 < у < 3 30 < ху < 48 § 10. Числовые неравенства и их свойства 171 4. Оценим частное —. У Для этого представим частное — в виде произведения х • -. Сна- У У чала оценим выражение Так как 2< и < 3, то т. е. у 2 у 3 1 1 1 гг По теореме о почленном умножении неравенств имеем 15 < X < 16 111 - < — < — 3 у 2 5< - < 8 У УПРШШН1№ 765. Сложите почленно неравенства: а) 12 > -5 и 9 > 7; б) -2,5 < -0,7 и -6,5 < -1,3. 766. Перемножьте почленно неравенства: а)5>2и4>3; б)8<10и-<^. 4 2 767. Верно ли для положительных чисел а и Ь, что: а) если > Ь^, то а® > б) если а® > Ь®, то 768. Пусть 3<а<4и4<Ь<5. Оцените: а) а + 5; б) а - 5; в) аЬ\ г) О 769. Зная, что 6<х<7 и10<г/< 12, оцените: а) х +у; б) у - х; в) ху; г) 770. Пользуясь тем, что 1,4 < V^<1,5 и 1,7 < 7з<1 ,8, оцените: а) V2 + л/З; б) л/з — >/2. 771. Пользуясь тем, что 2,2 < S<2,3 и 2,4 < S < 2,5, оцените: а) л/б + VH; б) 7б - л/5. 772. Известны границы длин основания а и боковой стороны Ь равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах: 26 ^ а < 28 и 41 < 5 < 43. Оцените периметр этого треугольника. 1 172 Глава IV Неравенства 773. Измеряя длину а и ширину Ь прямоугольника (в см), нашли, что 5,4 < а < 5,5 и 3,6 < & < 3,7. Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника. 774. Известны границы длины а и ширины Ь (в м) комнаты прямоугольной формы: 7,5 < а ^ 7,6 и 5,4 < Ь ^ 5,5. Подойдёт ли это помещение для библиотеки, для которой требуется комната площадью не менее 40 м^? 775. Пусть а и Р — углы треугольника. Известно, что 58° ^ а ^ 59°, 102° $ р ^ 103°. Оцените величину третьего угла. 776. (Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при а^О, & >0, с>0 верно неравенство: а) (а -1- Ь)(Ь -I- с) (а -ь с) > 8а5с; б) ^ 16 1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел а и 6. 2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства. 1777.1 Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы длин его диагоналей. 778. (Задача-исследование.) Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром. 1) Начертите произвольный треугольник АВС и проведите медиану ВО. 2) На лзгче ВО отложите отрезок OD = ВО и соедините точку D с точками А и С. Какой вид имеет четырёхугольник ABCD? 3) Рассмотрите треугольник ABD. Сравните 2т^ с суммой ВС -I- АВ (т^ — медиана ВО). 4) Составьте аналогичные неравенства для 2т^ и З/п^. 5) Используя сложение неравенств, оцените сумму Ша + ть + т^. § 10. Числовые неравенства и их свойства 173 779. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм^. Каковы размеры первоначального листа жести? 780. Упростите выражение 8л: 16- 9л:2 ■' Зл: -4J4 ^+Sx)' 781. Докажите, что: а) 9а + - > 6 при а > 0; б) 256 + - < -10 при 6 < 0. а о 31. Погрешность и точность приближения По графику функции у = нашли приближённые значения этой функции при X = 1,5 и JC = 2,1: если X = 1,5, то у ~ 2,3; если X = 2,1, то у ~ 4,4. По формуле у = х^ можно найти точные значения этой функции: если X = 1,5, то у = 1,5^ = 2,25; если X = 2,1, то у = 2,1^ = 4,41. Приближённое значение отличается от точного значения в первом случае на 0,05, а во втором на 0,01, так как: 2,3 - 2,25 = 0,05; 4,41-4,4 = 0,01. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т. е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью. \ Определение. Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений. Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность приближённого значения, равного 2,3, есть 0,05, а абсолютная погрешность приближённого значения, равного 4,4, есть 0,01: I 2,25 - 2,3 I = 1-0,05 I = 0,05; | 4,41 - 4,4 | = 0,01. 174 Глава IV Неравенства Найти абсолютную погрешность ^ не всегда возможно. Пусть, например, при измерении длины отрезка АВ, изображённого на рисунке 24, получен результат: В 1111111 III 11 m 111 ир 111'г |-|Т1Тгтглттртп11 iti (- 10 1 2 3 4 5 АВ ~ 4,3 см. Рис. 24 Мы не можем найти абсолютную погрешность приближённого значения, так как не знаем точного значения длины отрезка АВ. В подобных случаях важно указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. В рассматриваемом примере в качестве такого числа можно взять число 0,1. В самом деле, цена деления линейки 0,1 см, и поэтому абсолютная погрешность приближённого значения, равного 4,3, не больше чем 0,1, т. е. |ЛВ-4,3|<0,1. Говорят, что число 4,3 есть приближённое значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1. Вообще, если х ~ а и абсолютная погрешность этого приближённого значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближённым значением х с точностью до Л. Пишут: а с точностью до Л. X Используют также такую запись: X = а ± h. -so = i-40 гЗО •20 rlO г о Запись X = а± h означает, что точное значение переменной х заключено между числами а - h и а + h, т. е. a-h<:X^a + h. Например, на рулоне обоев написано, что его длина равна 18 ± 0,3 м. Значит, если I — истинное значение длины рулона (в метрах), то 18 - 0,3 < 18 + 0,3, т. е. 17,7 < I < 18,3. Точность приближённого значения зависит от многих причин. В частности, если приближённое значение получено в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Например, на медицинском термометре деления нанесены через 0,1°. Это даёт возможность измерять температуру с точностью до 0,1°. Комнатный термометр, на котором деления нанесены через 1°, позволяет измерять температуру с точностью до 1°. На торговых весах, у которых цена деления шкалы 5 г, можно взвешивать с точностью до 5 г. § 10. Числовые неравенства и их свойства 175 Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения. Определение. Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближённого значения неизвестна, а известна только его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности. Рассмотрим такой пример. При измерении (в сантиметрах) толщины Ъ стекла и длины I книжной полки получили такие результаты: 6 = 0,4 ±0,1; /=100,0 ±0,1. В первом случае относительная погрешность не превосходит ^ • 100%, т. е. 25%, а во втором не превосходит • 100%, т. е. 0,1%. Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точностью до 25%, а во втором — с относительной точностью до 0,1%. Качество второго измерения намного выше, чем первого. 782. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближённых значений. 783. Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления: а) числа 9,87 до единиц; в) числа 0,453 до десятых; б) числа 124 до десятков; г) числа 0,198 до сотых. 784. При выполнении вычислений дробь у заменили десятичной дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения? 785. В каких границах заключено число у, если: а) у = 6,5 ±0,1; б) у =1,27 ±0,2. 786. На упаковке простокваши написано, что её надо хранить при температуре 4 ± 2 °С. В каких границах заключено значение температуры t °С, допустимое для хранения? "L 176 Глава IV Неравенства 787. На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%. В каких границах заключена масса а г этого товара? 788. На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре 16 ± 3 °С. Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная: а) 18°; б) 21°; в) 14,5°; г) 12,5°? 789. Определяя массу мешка картофеля с точностью до 1 кг, нашли, что она равна 32 кг. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до 0,1 кг, оказаться равной: а) 31,4; б) 32,5; в) 33,2; г) 30,7? 790. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата? 791. При измерении длины стержня пользовались линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления 0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом были получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений и какую точность даёт каждый инструмент? 792. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении. 793. Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6 г/см^. Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см®). 794. Поверхность Земли равна 510,2 млн км® (с точностью до 0,1 млн км®). Оцените относительную погрешность приближённого значения. 795. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны I. Получили с? ~ 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и ( ~ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности. 796. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты: 1. 3V2-V7>0 3. 4л/7-э72<0 2. б73-3л/б>0 4. 7>/ТТ - 6>/l2 < о При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте. § 10. Числовые неравенства и их свойства 177 797. Докажите неравенство: а) 6а(а + 1) < (За + 1)(2а + 1) + а; б) (2р - 1)(2р + 1) + 3(р + 1) > (4р + 3)р. 798. а) Разность корней уравнения - Зх + q = О равна 16. Найди-те q. б) Сумма квадратов корней уравнения x^-lx+q = 0 равна 29. Найдите q. Контрольные вопросы и задания Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел а и 6, если известно, что 4<а<5и9<&<10. Что называется абсолютной погрешностью приближённого значения? Объясните смысл записи х= a±h. Что называется относительной погрешностью приближённого значения? § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ 32. Пересечение и объединение множеств Пусть А — множество натуральных делителей числа 12, а В — множество натуральных делителей числа 18. Зададим множества А и В путём перечисления элементов: А = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, В = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Обозначим буквой С множество общих делителей чисел 12 и 18, т. е. общих элементов множеств А и В. Получим, что С = {1, 2, 3, 6}. Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В, и пишут: А П В = С. 1 178 Глава IV Неравенства Вообще пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств. Соотношение между множествами А, В к С можно проиллюстрировать с помощью специальных схем, называемых кругами Эйлера. На рисунке 25 множества Aw. В избражены кругами. Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С. Заметим, что если некоторые множества X и У не имеют общих элементов, то говорят, что пересечением этих множеств является пустое множество, которое обозначают знаком 0, и используют такую запись: X П У = 0. Введём теперь понятие объединения множеств. Вернёмся к рассмотренному примеру множеств натургшьных делителей чисел 12 и 18. Пусть D — множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В. Для того чтобы задать множество D путём перечисления элементов, выпишем сначала все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}. Говорят, что множество D является объединением множеств А и В, и пишут: В = Л и В. Вообще объединением двух множеств называют множество, состоя-щее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из | этих множеств. j - 1 ■' , Г -. ■-- i ■------1-* На рисунке 26 с помощью кругов Эйлера показано соотношение между множествами А, В w D. Фигура, закрашенная на рисунке, изображает множество D. * §11. Неравенства с одной переменной и их системы 179 УШШШ& 799. Известно, что X — множество простых чисел, не превосходящих 20, а У — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества X и У перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение. 800. Задайте путём перечисления элементов множество А двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств. 801. Найдите пересечение и объединение: а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321; б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»; в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел; г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19. 802. Пусть А — множество квадратов натуральных чисел, В — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли: а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64; б) объединению множеств А и Б число 16; 27; 64? 803. На рисунке 27 изображены отрезки АВ и CD. Какая фигура является: а) пересечением этих отрезков; б) объединением этих отрезков? А Рис. 27 D 804. Множеством каких фигур является пересечение: а) множества прямоугольников и множества ромбов; б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников? 805. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством N натуральных чисел, множеством Z целых чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение: а) множества натуральных и множества целых чисел; б) множества целых и множества рациональных чисел; в) множества рациональных и множества иррациональных чисел. 806. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов? 180 Глава IV Неравенства 807. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В и найдите пересечение и объединение этих множеств, если: а) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 5; б) А — множество целых чисел, кратных 3, В — множество целых чисел, кратных 15. 1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств А и В. 3) Исправьте ошибки, если они допущены. 808. Найдите пересечение и объединение множеств X и У, если: а) X — множество простых чисел, У — множество составных чисел; б) X — множество целых чисел, кратных 5, У — множество целых чисел, кратных 15. 809. Термометр показывает температуру с точностью до 1 °С. Измеряя им температуру воздуха, нашли, что она равна 16 “С. С какой относительной точностью выполнено измерение? 810. Решите уравнение 1- 6-х 811. 2-х Зх^-12 х-2 В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве? 33. Числовые промежутки Пусть а и Ь — некоторые числа, причём а <Ь. Отметим на координатной прямой точки с координатами а и Ь (рис. 28). Если точка расположена между ними, то ей соответствует число х, которое больше а и меньше Ь. Верно и обратное: если число х больше а и меньше Ь, то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами а и Ь. Множество всех чисел, удовлетворяющих §11. Неравенства с одной переменной и их системы 181 Рис. 28 . ■//у/ууууУУУУуУ/'У/у'УУ//.УУу^ Рис. 29 Рис. 30 УуУУуУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ^ Рис. 31 Рис. 32 gV/y. / .> ‘.y,w. /.\ условию а^х^Ь, изображается на координатной прямой отрезком, ограниченным точками с координатами а и Ь (рис. 29). Это множество называют числовым отрезком или просто отрезком и обозначают так: [а; 6] (читают: отрезок от а до Ъ), Множество чисел, удовлетворяющих условию а < X <Ъ, называют интервалом и обозначают так: (а; Ъ) (читают: интервал от а до Ъ). На рисунке 30 это множество показано штриховкой. Светлые кружки означают, что числа а и i) не принадлежат этому множеству. Множества чисел х, для которых выполняются двойные неравенства а ^ X < Ь или а < X К: Ь, называют полуинтервалами и обозначают соответственно [а; Ь) и (а; Ь] (читают: полуинтервал от а до Ь, включая а; полуинтервал от а до Ь, включая Ь). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 31 и 32. Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками. Приведём другие примеры числовых промежутков. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ^ а, изображается лучом с началом в точке а, расположенным вправо от неё (рис. 33). Это множество называют числовым лучом и обозначают так: [а; -Юо) (читают: числовой луч от а до плюс бесконечности). Множество чисел, удовлетворяющих условию X > а, изображается тем же лучом, исключая точку а (рис. 34). Его называют открытым числовым лучом и обозначают так: (а; +оо) (читают: открытый числовой луч от а до плюс бесконечности). На рисунках 35 и 36 изображены множества чисел х, для которых выполняются неравенства х а и. х < а. Эти множества обозначают соответственно (-оо; а] и (-со; а) (читают: числовой луч от минус бесконечности до а; открытый числовой луч от минус бесконечности до а). Рис. 33 ■■'у'у’уУууУ’^ Рис. 34 Рис. 35 а а Рис. 36 182 Глава IV Неравенства Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают так: (-оо; +оо). Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице. Неравенство, задающее числовой промежуток Обозначение и название числового промежутка Изображение числового промежутка на координатной прямой X ^ Ь [а; Ь] — числовой отрезок а < X <Ь (а; Ь) — интервал ^///////////////^ а ^ X < Ь [а; Ь) — полуинтервал ^///////////////^ а< X ^ Ь (а; Ь] — полуинтервал У////////////////_ х> а [а; -1-оо) — числовой луч ////////////////////////^ х> а (а; +оо) — открытый числовой луч .'///////////////////////^ X а (-оо; а] — числовой луч ///////////////////////_ X < а (—оо; а) — открытый числовой луч //////////////z///////^ Выясним, какое множество является пересечением и какое объединением некоторых числовых промежутков. Пример 1. Найдём пересечение и объединение числовых промежутков [1; 5] и [3; 7] (рис. 37). а...... > ► Имеем 1 3 5 7 [1; 5] П [3; 7] = [3; 5]; [1; 5] и [3; 7] = [1; 7]. < Пример 2. Найдём пересечение и объединение числовых промежутков [-4; -1-оо) и [3; -(-оо) (рис. 38). ► Имеем [-4; -1-оо) П [3; +оо) = [3; -(-оо); [—4; -(-оо) и [3; -(-оо) = [-4; -(-оо). <3 Рис. 37 /////////.'////. '//■'. Z//// -4 Рис. 38 §11. Неравенства с одной переменной и их системы 183 Рис. 39 О Рис. 40 4 6 10 Заметим, что если числовые промежутки не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество. Например, [1; 4] П [7; -1-оо) = 0 (рис. 39). Следует иметь также в виду, что объединение числовых промежутков не всегда представляет собой числовой промежуток. Например, множество [0; 4] U [6; 10] не является числовым промежутком (рис. 40). 812. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его: а) [-2; 4]; г) (-4; 0); ж) (-оо; 4]; б) (-3; 3); д) (3; -Юо); з) (-оо; -1); в) [0; 5]; е) [2; +оо); и) (-оо; +оо). 813. Назовите промежутки, изображённые на рисунке 41, и обозначьте их. а) -2 в) -1 б) -1 Рис. 41 г) У/УУУУуУ'УУУУУУУ. 814. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его: а) (3; 7); в) (-оо; 5); д) (-оо; 3]; б) [1; 6]; г) [12; +оо); е) (15; -Юо). 815. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству: а) X ^ -2; в) X > 8; д) х > 0,3; б) X ^ 3; г) X < -5; е) х ^ - 8,1. 816. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству: а) -1,5 < X < 4; в) -5 < х < б) -2 < X < 1,3; г) 2 < X ^ 6,1. 184 Глава IV Неравенства 817. а) Принадлежит ли интервалу (-4; 6,5) число: -3; -5; 5; 6,5; -3,9; -4,1? б) Принадлежит ли отрезку [-8; -5] число: -9; -8; -5,5; -5; -6; -7,5? 818. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку: а) [-1,5; 6,5]; б) (3; +со); в) (-оо; -1]? 819. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число: а) л/2; б) V3; в) V5; г) Л? 1820.1 Укажите все дроби вида —, где а е N. принадлежащие проме- 54 жутку 1 1. 9’ 6 821. Какие целые числа принадлежат промежутку: а) (-4; 3); б) [-3; 5]? 822. Какие целые числа принадлежат промежутку: а) [0; 8]; б) (-3; 3); в) (-5; 2); г) (-4; 9]? 823. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку: а) [-12; -9]; б) [-1; 17); в) (-оо; 31]; г) (-оо; 8). 824. Принадлежит ли промежутку (-оо; 2) число 1,98? Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число? 825. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1; 8) и (5; 10); в) (5; -1-оо) и (7; -Юо); б) [-4; 4] и [-6; 6]; г) (-оо; 10) и (-оо; 6). 826. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов (-3,9; 2) и (-4,3; 1)? Выберите верный ответ: 1. Три 2. Четыре 3. Пять 4. Шесть 827. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков: а) [-7; 0] и [-3; 5]; в) (-оо; 4) и (10; +оо); б) (-4; 1) и (10; 12); г) [3; -(-оо) и (8; +оо). §11. Неравенства с одной переменной и их системы 185 828. Используя координатную прямую, найдите пересечение и единение промежутков: а) (-3; +оо) и (4; +оо); в) (-оо; 6) и (-оо; 9); б) (-оо; 2) и [0; +оо); г) [1; 5] и [0; 8]. объ- 829. Упростите выражение: 1 + а — X -Ь^ а) ах б) - 1 830. Докажите неравенство + 5 > 2а. 831. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше. Зл: — 1 832. При каком х значение функции, заданной формулой у = равно -1? х-2 34. Решение неравенств с одной переменной Неравенство бдс- 11 > 3 при одних значениях переменной д: обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5-4-11>3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5 - 2 - 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5дс- 11 > 3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства. Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными. 186 Глава IV Неравенства При решении неравенств используются следующие свойства: 1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство. 2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. Например, неравенство равносильно неравенству 18 + бх > О 6л: > -18, (1) (2) а неравенство 6л: > -18 равносильно неравенству х > -3. Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств. Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 -f 6а > 0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18 ч- 6а - 18 > о - 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число а является решением неравенства (2). Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными. Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде. Приведём примеры решения неравенств. П ример 1. Решим неравенство 16л: > 13л:-I-45. ► Перенесём слагаемое 13л с противоположным знаком в левую часть неравенства: 16л — 13л > 45. Приведём подобные члены: Зл > 45. §11. Неравенства с одной переменной и их системы 187 15 Рис. 42 Разделим обе части неравенства на 3: X > 15. Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый числовой луч (15; -1-оо), изображённый на рисунке 42. Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; -f-oo) или в виде неравенства jc > 15, задающего этот промежуток. < Пример 2. Решим неравенство 15х- 23(дг-I-1) > 2лс-f 11. ► Раскроем скобки в левой части неравенства: 15х - 23д: - 23 > 2x -н 11. Перенесём с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части в правую и приведём подобные члены: 15дс - 23д: - 2jc > 11 -I- 23, -Юх > 34. Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства на противоположный: х< -3,4. -3,4 Рис. 43 Множество решений данного неравенства представляет собой открытый числовой луч (-С»; -3,4), изображённый на рисунке 43. Ответ: (-оо; -3,4). <1 X X Пример 3. Решим неравенство —---------<2. 3 2 ► Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на 6. Получим -•б-^-6<2-6, 3 2 П 188 Отсюда Ответ: (-12; -1-оо). <] Неравенства 2х - Зх < 12. -X < 12, X > -12. Глава IV в каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах > Ь или ах < Ь, где а к Ь — некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной. В приведённых примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Может случиться, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида О - X > Ь или О - х < Ь. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число. Пример 4. Решим неравенство 2 (л: + 8) - 5л: < 4 - Зх. ► Имеем 2х + 16 - 5х < 4 - Зх, 2х - 5х + Зх < 4 - 16. Приведём подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде О • х: 0-х< -12. Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении х оно обращается в числовое неравенство О < -12, не являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство. Ответ: решений нет. 2(р - 1) -t- 6 значение //, равное: а) 8; б) -2; в) 1,5; г) 2? 834. Укажите два каких-либо решения неравенства 2х < х + 7. 835. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) х + 8>0; в) х-|-1,5<0; б) X - 7 < 0; г) X - 0,4 > 0. §11. Неравенства с одной переменной и их системы 189 836. Решите неравенство: 837. а) Зл; > 15; д) 12у < 1,8; и) 0,5у > -4; б) -4х<-16; е) 275 ^ 12; к) 2,5а > 0; в) -X ^ 1; ж) -6л: > 1,5; л) > 6; г) 11у ^ 33; з) 15л: < 0; м) -уУ < -1- Решите неравенство и изобразите множество его решений координатной прямой: 1 а) 2л: < 17; д) ЗОдс > 40; и) -л: < 2; б) 5л: > -3; е) -15л: < -27; к) -^л:<0; в) -12х < -48; ж) -4л: > -1; л) 0,02л: > -0,6; г) -X < -7,5; з) 10х < -24; м) -1,8л: < 36. 838. Решите неравенство 5л: + 1 > 11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства. 839. Решите неравенство 3jc - 2 < 6. Является ли решением этого не- 4 4 равенства число: 4; 2 — ; 2 — ? 5 7 840. Решите неравенство: а) 7л:-2,4 <0,4; д) 17 - л; > 10 - 6л:; б) 1 - 5у > 3; е) 30 -ь 5л: < 18 - 7л:; в) 2л: - 17 ^ -27; ж) 64 - 6у ^ 1 - у; г) 2 - За ^ 1; з) 8 + 5у ^ 21 + 6у. 841. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) lljc - 2 < 9; д) Зу - 1 > -1 -(- 6у; б) 2-Зу>-4; е) 0,2л: - 2 < 7 - 0,8л:; в) 17 - л: ^ 11; ж) 6Ь - 1 < 12 -Ь 75; г) 2-12л:>-1; з) 16л: - 34 > л: + 1. 842. а) При каких значениях х двучлен 2х - 1 принимает положительные значения? б) При каких значениях у двучлен 21 - Зу принимает отрицательные значения? в) При каких значениях с двучлен 5 - Зс принимает значения, большие 80? 843. а) При каких значениях а значения двучлена 2а - 1 меньше значений двучлена 7 - 1,2а? б) При каких значениях р значения двучлена 1,5р- 1 больше значений двучлена 1 -t-l,lp? “L 190 Глава IV Неравенства 844. Решите неравенство: а) 5(х - 1) + 7 ^ 1- 3(д: + 2); б) 4(а + 8)- 7(а-1)<12; в) 4(й-1,5)-1,2> 6Ь-1; г) 1,7 - 3(1 - т)< -(т - 1,9); 845. Решите неравенство: а) 4(2 - Зх) - (5 - х) > 11 - х; б) 2(3- 2)- 3(2 +Z) ^ 2; д) 4х > 12(3х - 1) - 16(х + 1); е) а + 2< 5(2а + 8) + 13(4-а); ж) 6у - (г/ + 8) - 3(2 - г/) ^ 2. г) 2,5(2-г/)-1,5(г/-4)^ 3-1/; д) х-2> 4,7(х-2)-2,7(х-1); в) 1 > 1,5(4 - 2а) + 0,5(2 - 6а); е) 3,2(а - 6) - 1,2а < 3(а - 8). 846. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений: а) а (а - 4) - а^ > 12 - 6а; в) Ъу^ - 5у (у + 4) ^ 100; б) (2х - 1)2х - 5х < 4х^ - х; г) 6а(а - 1) - 2а(3а - 2) < 6. 847. Решите неравенство: а) 0,2х^ - о, 2(х - 6)(х + 6) > 3,6х; б) (2х - 5)2 - 0,5х < (2х - 1)(2х + 1) - 15; в) (12х - 1)(3х + 1) < 1 + (6х + 2)2; г) (4у - 1)2 > (2у + 3)(8у - 1). 848. Решите неравенство: а) 45(1-35) -(5- 1252) <43; в) 2р(5р + 2)-р (Юр+ 3)< 14; б) Зу2 -2у- Зг/(у - 6) ^ -2; г) а (а - 1) - (а2 + а) < 34. 849. Решите неравенство: . 2х , Зх - 1 а) > 1; г) . > 2; 5 4 , 12- 7х ^ ^ ж) ^ б)|<2; 4 0 6-х д) 2> ^ ; 3) ^(х + 15)>4; в) ^ ^ 0; , 2 + Зх -е) <0; и) 6< |-(х + 4). 850. Решите неравенство: . 9х . _ 5 + 6х а) ^ ^ 0; в) 2 ^ д) уХ ^ 2; , Зх б) К—; Г) < 0; 4 е) ^(х-4)<3. 851. При каких значениях у: 1чения Зу- 7 ^ 7 - 2у ^ а) значения дроби ----- больше соответствующих значении дроби 12 §11. Неравенства с одной переменной и их системы 191 « 4,5-21/ б) значения дроби------- меньше соответствующих значении дроби 2-Зр 10 в) значения двучлена Ъу больше соответствующих значе- ^ Зу-1 НИИ дроби -----; 4 Ч « 5-21/ г) значения дроби ——-— меньше соответствующих значении 12 двучлена 1 - 6р? 852. Решите неравенство: X X ^ X + тг < б; 2 3 .XX - в) 2x ^ ^ > 2-2 3 ’ г) !/ +1 > 3; . Зд: Т 853. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений: 13л: - 1 ч ^ ^ ^ г. а) —^ < 4х; в) - - - ^ 2; б) ^ ^ 2о; 854. Решите неравенство: .З-нл: 2-д: - а) —+ —<0; б) ^ - 5г/ ^ 0; в) у - — - ^ ^ 1; , X - 3 2х - 1 . . , у - 1 , 2у - 1 е) р-£^-£±1>2. 855. Решите неравенство: , 2а - 1 За - 3 -2-------- 6) , 5д:-1 X + 1 ^ в) 192 856. а) При каких значениях а сумма дробей ——^ и -—^ поло- 4 3 жительна? СЧ ТТ L ^ „ 35 - 1 1 + 5Ь о) При каких значениях Ъ разность дробей -------- и ------ 2 4 отрицательна? Неравенства Глава IV 857. Решите неравенство: а) 31(2x + l)-12x> 50а:; . X 2х б) X + 4 - — < в) За:+7>5(х + 2)-(2а: + 1); , 12х - 1 . _ г) —----< 4х - 3. 858. 859. При каких значениях х функция, заданная формулой у = 2х + 13, принимает положительные значения? отрицательные значения? При каких значениях переменной имеет смысл выражение: д) V-3(l - 5х); а) ^2х - 4; б) д/4- 6а; в) г) 1 + За 25 f- - 5а 8 е) у1-(6-х)? 860. 861. Найдите область определения функции: б) !/= ® , д/7 - 14х ^4- X - 1 Найдите: а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1,6-(3-2р)<5; б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 8(6-1/)< 24,2- 7р. 862. При каких натуральных значениях п: а) разность (2 - 2п) - (5п - 27) положительна; б) сумма (-27,1 + Зл) + (7,1 + 5л) отрицательна? 863. ; Найдите множество значений а, при которых уравнение (а + 5)х2 + 4х - 20 = о не имеет корней. 864. Найдите множество значений А, при которых уравнение (А-4)х2 + 16х-24= о имеет два корня. 865. Длина стороны прямоугольника б см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см? 866. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объём был меньше объёма куба с ребром 9 дм? §11. Неравенства с одной переменной и их системы 193 iM7.| Одна из переплётных мастерских берёт по 48 р. за книгу и ещё 140 р. за оформление заказа, а другая — по 56 р. за книгу и 90 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской. 8^.; За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе берётся плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести. 869.J Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч? 870. Найдите значение дроби Ре а) 871. Решите уравнение: - 4 X _ X - 4 2 ~ 3 6 х^ + X - 5 х-1 при х= 1- л/з. ^,2x2-1 1 ^ б) —-------X -I- - = 0. 2 2 12 872. Решите графически уравнение — = х . X 873. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч. 35. Решение систем неравенств с одной переменной Задача. Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 20 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 4 ч он пройдёт расстояние, большее 20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 5 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста? ► Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со скоростью (х -I-1) км/ч, то за 4 ч он пройдёт 4(х + 1) км. По условию задачи 4(х-1-1)>20. Если турист будет идти со скоростью (х - 1) км/ч, то за 5 ч он пройдёт 5(х - 1) км. По условию задачи 5(х- 1) < 20. Требуется найти те значения х, при которых верно как неравенство 4(х-1-1)>20, так и неравенство 5(х-1)<20, т. е. найти 194 Глава IV Неравенства общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись [4(л: + 1) > 20, 5(л:-1)< 20. Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим систему \х > 4, [л: < 5. Значит, значение х должно удовлетворять условию 4 < л: < 5. Ответ: скорость туриста больше 4 км/ч, но меньше 5 км/ч. <] Определение. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. • Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Пример 1. Решим систему неравенств [2л: - 1 > 6, ► Имеем Отсюда 5- Зл: > -13. 2л: > 7, -Зх > -18. X ^ 3,5, X < 6. Решениями системы являются значения х, удовлетворяющие К81ЖДОМУ из неравенств х > 3,5 и х < 6. Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству X > 3,5, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < б (рис. 44), найдём, что оба неравенства верны при 3,5<х<6. Множеством решений системы является интервал (3,5; 6). Ответ можно записать в виде интервала (3,5; б) или в виде двойного неравенства 3,5 < х < 6, задающего этот интервал. <1 Рис. 44 3,5 6 §11. Неравенства с одной переменной и их системы 195 9 Пример 2. Решим систему неравенств 'Зл: - 2> 25, 11 - л: < 0. ► Имеем Зх > 27, -X < -1; х> 9, X > 1. Изобразим на координатной прямой множества решений каждого из полученных неравенств (рис. 45). Оба неравенства верны при х > 9. Ответ можно записать в виде неравенства X > 9 или в виде открытого числового луча (9; -foo), задаваемого этим неравенством. <] Пример 3. Решим систему неравенств [ 2 - X > о, [0,2х- 1 < 0. ► Имеем -X > -2, 0,2х < 1; X < 2, X < 5. Рис. 45 <««««««■' Используя координатную прямую, найдём общие решения неравенств X < 2 и X < 5, т. е. пересечение мно-Рис. 46 жеств их решений (рис. 46). Мы ви- дим, что пересечение этих множеств состоит из чисел, удовлетворяющих условию х < 2, т. е. представляет собой открытый числовой луч (-оо; 2). Ответ: (-оо; 2). <1 Пример 4. Решим систему неравенств ;1- 5х > 11, I 6х - 18 > 0. 196 Глава IV Неравенства ^ Имеем 'Л'Л«.Ч"Л‘ -2 -Ъх> 10, бдг > 18; X < -2, X > 3. Используя координатную прямую (рис. 47), найдём, что множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < -2, и множество ^ис. 47 чисел, удовлетворяющих неравенству X > 3, не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система неравенств не имеет решений. Ответ: решений нет. <] Пример 5. Решим двойное неравенство -1 < 3 -I- 2л: < 3. ► Двойное неравенство представляет собой иную запись системы неравенств '3 -I- 2л: > -1, 3 + 2л: < 3. Решив её, найдём, что оба неравенства верны при -2 < л: < 0. В этом примере запись удобно вести так: -1 < 3 -I- 2х < 3, -4 < 2х < о, -2 < X < 0. Ответ: (-2; 0). <3 Упражнения 874. Является ли число 3 решением системы неравенств: а) f 6х - 1 > X, б) 17х < 5х -I- 7, в) 15х + 4 < 20, 4х-32<3х; |зх-1>5-х; |з-2х>-1? 875. Какие из чисел -2, 0, 5, 6 являются решениями системы неравенств Зх-22<0, 2х - 1 > 3? §11. Неравенства с одной переменной и их системы 197 876. Решите систему неравенств: а) Jjc > 17, в) > О, [x>12; |x<6; б) [дг<1, г) |х<-3,5, lx <5; 1х>8; д) \х> -1, [х ^ 3; е) |х > 8, 1X < 20. 877. Решите систему неравенств: а) J2x - 12 > О, в) |3х - 10 < О, [Зх>9; [2х>0; б) j4i/ < -4, г) (бу > 42, 6-у>0; [4г/ + 12^0. 878. Решите систему неравенств и укажите несколько чисел, являющихся её решениями: "1 X - 0,8 > 0, -5х<10; в) |1 > Зх, [5х - 1 > 0; 2 - X < 0, х-4< 0; "1 10х < 2, X > 0,1. Решите систему неравенств: а,| 0,4х- 1 < 0, 2,3х ^ 4,6; в) 0,3х > 4, 0,2х + 1 < 6; б) • 0,7х - 2,1 < 0, |д:>1; г) * |х-10^ 0, 3x^ll. 880. Решите систему неравенств: а) 0,6х + 7,2 > 0, в) 0,2х < 3, 5,2 ^ 2,6х; |д=>0; б) 1,5х -ь 4,5 < 0, г) 2х - 6,5 < 0, - 1x^1; •« 198 Глава IV Неравенства 881. Решите систему неравенств: а) |2л:-1 < 1,4-X, в) Jl7x- 2 > 12х- 1, |зх-2>х-4; [3-9х<1-х; б) [5x4-6 г) |25 - 6х ^ 4 4-X, [3x4-12^x4-17; |3х4-7,7 > 14-4х. 882. Решите систему неравенств: а) |57-7х>Зх-2, в) [22х - 1 < 2х 4- 47; б) [1 - 12у <31/4-1, г) 2 - 6г/ > 4 4-4у; 102 - 73z > 2z 4- 2, 81 4- llz > 1 4- z; б4-6,2х ^12- l,8x, 2 - x> 3,5 - 2x. 883. Укажите допустимые значения переменной: а) д/З- 2х 4- д/l - х; в) у]б - х - д/Зх - 9; б) .Jx - -у/Зх - 1; г) ^2х 4- 2 4- .^6 - 4х. 884. Найдите область определения функции: а) у = X - 2 д/х 4- 6 - б) у = ^2х - 1 - + 1 885. Решите систему неравенств: а) 15 (х - 2) - X > 2, в) [1- 3(х- 1)< -2; б) [2у - (г/- 4) < 6, г) [у > 3(2у-1) + 18; [7х + 3 ^ 5(х - 4) 4-1, [4x4-1 ^ 43- 3(7 -нх); '3(2- Зр)- 2(3- 2р)> р, 6 < р2 - р(р- 8). 886. Решите систему неравенств: а) |2(х - 1) - 3(х - 2) < X, |бх - 3 < 17 - (х - 5); б) |3,3 - 3(1,2-5х)> 0,6(10x4-1), [1,6- 4,5(4х- 1) < 2x4-26,1; в) |5,8(1 - а) - 1,8(6 - а) < 5, [ 8 - 4 (2 - 5а) > - (5а 4- 6); г) IX (х - 1) - (х^ - 10) < 1 - 6х, |з,5 - (х - 1,5) < 6 - 4х. §11. Неравенства с одной переменной и их системы 199 887. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями: 3- 2а < 13, в) |2-б1/<14. 5а < 17; [1 < 21 - 5у; 12- 6л: < 0, г) |3- 4х < 15, Зх 1 ^ 25-х; [1-2х>0. 888. Найдите целые решения системы неравенств: а) ^ 0. в) j 6 - 45 > 0, [7,2-у ^4; [36 - 1 > 0; б) |12а- 37 > 0, г) |3- 18х<0, [ба ^ 42; |о,2-0,1х>0. 889. Решите систему неравенств: а) |2,5а - 0,5(8 - а) < а + 1,6, б) |0,7(5а-I-1) - 0,5(1-f а) < За, [1,5(2а - 1)- 2а < а -I- 2,9; [2а - (а - 1,7) > 6,7. 890. Решите систему неравенств: а) в) х<2 2х-|^1; б) г) - |2р-'’/>4, 11 Решите систему неравенств: а) - х-1 ^-3 2 3 ’ в) 13Х-1 -2 б) Зх+1 2 г) - 5а+ 8 g 2а, , 6-15а^ 1 ^ а. 892. Решите двойное неравенство: а) -3 < 2л: - 1 < 3; в) 2 < 6 - 2у < 5; б) -12 < 5 - д; < 17; г) -1 < 5у 4 < 19. 200 Глава IV Неравенства 893. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями: а) -6,5 < < 20,5; в) -2 < < 0; б) -1 < < 5; 8 г) -2,5^ ^ 1,5. 894. Решите двойное неравенство: а) -1 ^ 15х -I-14 < 44; в) -1,2 < 1 - 2у < 2,4; б) -1 ^ < 1; ч « 4д: - 1 ^ „ г) -2 < —-— < 0. 895. а) При каких у значения двучлена Sy - 5 принадлежат промежутку (-1; 1)? 5-2fc б) При каких Ь значения дроби —-— принадлежат проме- 4 жутку [-2; 1]? 89в. При каких значениях а уравнение + 2ах + а^ - 4 = о имеет два корня, принадлежащие промежутку (-6; 6)? 897. При каких значениях Ь уравнение - бЬд: + 9fe2 _ 16 = о имеет два отрицательных корня? 898. Решите систему неравенств: а) лс > 8, б) У < -1, в) m > 9, г) х> 7, • У < -5, • т > 10, - X > -4; У < 4; т < 12; g < 6, q<5, q <1. 899. Решите систему неравенств: 900. а) л: - 4 < 8, б) 2x - 1 < X + 3, 2х + 5 < 13, - 5х - 1 > 6 - 2х, 3 - X > 1; X - 5 < 0. Решите систему неравенств; а) 3- 2а < 13, б) 6 - 4а < 2, в) а - 1 > 0, • 6 - а > 2, 5а - 35 < 0; За - 1 < 8; 5а - 8 > 7, 4 — а < 3, 2 - За > 10. §11. Неравенства с одной переменной и их системы 201 901. Укажите допустимые значения переменной: 1 а) yi2 - 25х 6 б) у/5х - 11 в) 4х у1(Зх - 2f 902. Найдите все натуральные значения п, при которых значение 9д2 ^ j2n + 12 дроби ------------ — натуральное число. п 903. а) Выразите переменную h через S и а, если S = — ah. б) Выразите переменную р через sum, если — = 0,5т. ^ at^ в) Выразите переменную t через s и а, если s = и f > 0. 904. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности? Контрольные вопросы и задания Что называется пересечением двух множеств? объединением двух множеств? Изобразите на координатной прямой числовые промежутки различного вида, назовите и обозначьте их. Что называется решением неравенства? Является ли решением неравенства Зх-11>1 число 5; число 2? Что значит решить неравенство? Что называется решением системы неравенств? Является ли ре- (2х -н 1 > 3, шением системы неравенств \ ’ число 3? число 5? Что [Зх < 10 значит решить систему неравенств? Для тех, кто хочет знать больше i 36. Доказательство неравенств Один из приёмов доказательства неравенств состоит в том, что составляют разность левой и правой частей неравенства и показывают, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных. Этот приём вам уже приходилось применять в простых случаях. Покажем его применение на более сложном примере. 202 Глава IV Неравенства Пример 1. Докажем, что 24а + 1 > 4а + 4а + 2 при о ^ 0. ► Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её: 2-yja + 1 — 4а — 4а~4~2 = (Vfl + 1 ~ 4а) -(■ (Vfl + 1 ■" 4а ■¥ 2). Для того чтобы оценить составленную разность, каждое из выражений, записанных в скобках, представим в виде дроби со знаменателем 1 и освободимся от иррациональности в её числителе. Получим , /---7 , /---7 /---г. Ja+ 1 - 4а Ja + 1 - Ja + 2 (4а -I-1 - л/а) (va -f-1 - Va -Ь 2) = --j------+ ---------------= (■\ja -h 1 — 4а)('у]а + 1 + 4a) ^ (-Ja + 1 — -Ja + 2)(i^a + 1 + ■^o~+~2) _ ■y/a + 1 + 4a ^Ja 1 + ■^a -i- 2 _ 1_____________________1______ ‘Ja + 1 + 4a Ja *+• 1 + Ja + 2 Так как функция у = 4х является возрастающей, то знаменатель первой дроби меньше, чем знаменатель второй, т. е. первая дробь больше второй. Следовательно, разность дробей является положительной. Заданное неравенство доказано. < Ещё один приём доказательства неравенств состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна. Пример 2. Докажем, что (а^ -I- Ьс)(Ь^ -ь ас)(с^ + аЪ) ^ Sa%^c^, если а > 0, 6 > 0, с > 0. ► Из соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел следует, что при указанных значениях переменных а^ + Ьс Ja^bc, I/ + ас 4Ь‘ ас. + аЬ 2 - -------- 2 ' ------------ 2 Перемножив эти неравенства, получим, что а^ + Ьс I/ + ас с^+аЬ / л, л л —-----------------— ^ Ыа*Ь^с*. 2 2 2 Jc^ab. Для тех, кто хочет знать больше 203 Отсюда (а^ + bc)(b^ + ас)(с^ + аЪ) > 8а^Ь^с^. Неравенство доказано. <] В отдельных случаях удаётся доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения. В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: (1 -f- а)^ >1 + 2а при любом а, не равном нулю, —^ < - при с > О, -Jx + 2 > + 1 при с + 1 с дг ^ -1 и т. п. Пример 3. Докажем, что двойное неравенство у/х + 1 - у[х < < 4х - ^Х-\ верно при любом х~^ ► Заменим разности -Jx + 1 - -Jx и соответственно равными им дробями ^ — и ——^ Тогда данное не- + 1 + 4х 4х + д/х - 1 равенство примет вид fjx + 1 + 4х 24х 4х + -Jx - 1 Так как •Jx + 1 > 4х и 4^> Jx - 1 при X ^ 1, то и Jx + 1 + 4х 2jx 4х + -^х - 1 2jx т. е. ■^х + 1 + 4х 2jx 4х -Ь - 1 Неравенство доказано. < Пример 4. Докажем, что при любом натуральном п>1 верно неравенство 1 1 1 1 га+1 п + 2 2п-1 2п 2’ ► Очевидно, что при любом натуральном л > 1 верны следующие неравенства: 1 1 > 1 1 > л + 1 2п ’ л + 2 2л » • • • » 1 1 > 2л - 1 2л 204 Глава IV Неравенства Складывая почленно эти неравенства и прибавляя к левой и правой частям полученного неравенства по —, будем иметь 2п 1 1 1111 1,1 --- + -— + ... + —-h —— > -г— + ~— + ... + ~— + ~— • п + 1 п + 2 2п - 1 2п 2п 2п 2п 2п Отсюда л + 1 п + 2 Неравенство доказано. <1 п раз 11 111 + -г + ... + --7 + — > 2л — 1 2п 2 Упраишения 905. Докажите неравенство: а) + 4> 2{а + Ь + 1); б) 4а^ +Ь^>4(а + Ь- 2). 90в. Докажите, что если х > О и у > О, то: X у ух 907. Докажите, что при а > О и 6 > О верно неравенство: а) (а + Ь)(аЬ + 16) ^ 16afe; б) (а2 + 4Ь)(4Ь + 25) ^ 80аЬ. 908. Докажите, что: . а + Ь Ь + с а + с . _ г, i. п. п а) --н----н—;— > 6, если а > О, Ь > О, с > 0; cab б) (1 + а)(1 + Ь)(1 + с) > 24, если а>0, 6>0, с>0и аЬс = 9. 909. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов. 910. Докажите, что ■J(a -ь с)(6 + d) > -Jab + -Jed, если а > О, 6 > О, с > О, d > 0. 911.i Докажите, что при а>0, 6>0, с>0 верно неравенство 3 111 ----- < -- -+• - + - • а+о+с a+fe 6+с с+а Для тех, кто хочет знать больше 205 91^ Докажите, что если х + у + z = 1, то ■J4x + 1 + yj4y + 1 + ^/4z + 1 < 5. Докажите, что при любом а, большем 1, верно неравенство -р < л/а + 1 - л/а - 1. ■1а i914J Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на 2 км/ч большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку? Дополнительные упражнения к главе IV к параграфу 10 915. Докажите неравенство: а) (6у - 1)0/ -1- 2) < (Зу + 4)(2у -н 1); б) (Зу - 1)(2у + 1)> (2у - 1)(2 + Зу). 916. Докажите неравенство: а) (X -I-1)2 ^ 4х; в) 4 (л: -f 2) < (х + 3)^ - 2х; б) (36 -ь 1)2 > 66; г) 1 -ь (т -t- 2)2 > 3(2m - 1). 917. Верно ли неравенство: а) л/7 -1- 2л/5 < 2 -t- б) 4>/б -и 2 > 2>/з -н 4^^2? 918. Докажите неравенство: а) 02-1-62-1-2^ 2(а + 6); б) о2 -I- б2 -f с2 -f- 5 > 2(а -ь 6 -1- с). l9i9.J а) Докажите, что при а > 3 значение выражения l^a-i-3 a-sJv a) отрицательно. П 206 Глава IV Неравенства б) Докажите, что при г/ > 1 значение выражения у^ + 2 У-1 2 У 1 Ку^-у У-З - 1 положительно. 920.1 В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде? (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день ^ некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени? 1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе. 2) Введите обозначения: х км/ч — скорость лодки в стоячей воде; у км/ч и z км/ч — скорости течения первой и второй рек; S км — расстояние, на которое отплывала лодка. 3) Запишите формулы для вычисления времени ч и <2 ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней. 4) Найдите разность - t2 и, оценив её, ответьте на вопрос задачи. 5) Подтвердилось ли ваше предположение? 922. Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше? 923^1 Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон. 924? Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр. !925. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство: а) а^ аЪ 0; б) а^ - аЬ + Ь^ ^ 0. 926. Докажите, что при а > 0 и Ь > 0 верно неравенство: а) (а -н Ь) I i -f- i а b -..л а Ь ^ 1 1 Дополнительные упражнения к главе IV 207 927. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при а>0, & >0, с>0 верно неравенство: а) ас + -> 2л/о&; б) fl -f- —1 1 -i- —1 fl —1 > 8. с \ be )\ ас )\ аЬ) !9282 Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если а — наибольшее число в пропорции г = 4* Ь а d — положительные числа, то верно неравенство а + d > Ь + с. 929. Известно, что 12 < i/ < 16. Оцените значение выражения: а) -0,5i/; б) 42-2у; в) --I-2. У 930. Оцените значение выражения: а) а -I- 2Ь, если 0<а<1и-3<&< -2; б) ^а - Ь, если 7<а<10и14<&< 15. 931. Оцените длину средней линии треугольника АВС, которая параллельна стороне АВ, если 10,4 < АВ < 10,5. 932. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями а см и с см, если 3,4 < а < 3,5 и 6,2 < с ^ 6,3. К параграфу 11 933. Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9? Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число? наименьшее число? 934. Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число? наибольшее число? 935. Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку: а) [12; 37]; б) [8; 13); в) (11; 14); г) (3; 19]. 936. Верно ли, что: а) (-5; 5) П (-3; 2) = (-3; 2); б) (4; 11)U(0; 6) = (4; 6); в) (-оо; 4) и (1; -(-схэ) = (-оо; -t-c»); г) (-сх>; 2) П (-2; +оо) = (-2; 2)? 208 Глава IV Неравенства 937. Найдите пересечение и объединение: а) множества целых чисел и множества положительных чисел; б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел. 938. Является ли число Vl9 решением неравенства х < 57 Укажите какое-нибудь число, большее л/Гэ, удовлетворяющее этому неравенству. 939. Является ли число -ЛТ решением неравенства х > 3? Укажите какое-либо число, меньшее ЛТ, удовлетворяющее этому неравенству. 940. Решите неравенство: а) 0,01(1 - Зх) > 0,02х -ь 3,01; б) 12(1 - 12х) + ЮОх > 36 - 49х; в) (0,б1/ - 1) - 0,2(Зу -Ы) < 5у - 4; г) |(6х-1-4)-i(12x-5)^ 4-6х; 3 6 д) (За -t- 1)(а - 1) - За^ > 6а -I- 7; е) 15x2 - (5х - 2)(3х -н 1) < 7х - 8. 941. При каких значениях а верно неравенство: ^а-1 . а-1-1 „ ,1-2а _ 1-5а а) —------1 > —— -I- 8; в) —;-------2 < б) 4 За - 1 а - 1 >0; г) 8 5а За-1 2а-1 -------— + —-— < 1? 942. Решите неравенство: . X - 0,5 X - 0,25 X-0,125 _ а) ^^—^ + —^<0; б) 5-х 1-х > 1. 943. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: а) 3(5 - 4х) -I- 2(14 х) > 0; б) (х + 1)(х - 1) - (х^ - Зх) < 14. 944. При каких значениях х: Зх — 8 а) значение дроби ——— больше соответствующего значения 12 дроби X - 1 б) значение дроби ---- меньше соответствующего значения 3 с 2х -н 3 „ дроби —-—? Дополнительные упражнения к главе IV 209 945. Решите неравенство: а) 2(41/ 1)- 5у < 31/ + 5; б) 6(1 -у)-8{3у + 1) + ЗОг/ > -5. 946. Найдите, при каких значениях а уравнение имеет положительный корень: а) Зх = 9а; в) л: - 8 = За -1-1; б) X -I- 2 = а; г) 2х - 3 = а -ь 4. 947. Найдите, при каких значениях Ь уравнение имеет отрицательный корень: а) 10х = ЗЬ; в) Зх - 1 = 6 + 2; б) X - 4 = 6; г) Зх - 3 = 5Ь - 2. 948. При каких значениях т верно равенство: а) |2т - 1б| = 2т - 16; в) | m •+• б| =-т - 6; 6) 12 - 6m |l0m-35| ^ ’ 10m - 35 949. Найдите промежутки, в которых функция j/ = -6x-)-12 принимает положительные значения; отрицательные значения. Ответ проиллюстрируйте на графике. 950. Со склада вывозят болванки: железные массой по 500 кг и медные массой по 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 т, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок? 951. С турбазы в город, отстоящий на расстояние 24 км, вышел первый турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город? 952. От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км (рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через ферму по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию? 20 км __А__ 40 км Деревня Рис. 48 Ферма Станция 953. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его периметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом сантиметров? 210 Глава IV Неравенства 954. Решите систему неравенств: а) 10,3л: - 1 < л: + 0,4, [2 - Зх < 5л: + 1; б) [2,5х - 0,12 > 0,6х + 0,07, 1 - 2х > -X - 4; Ъх-1 в) 2х + 1,4 < 2х> 3- 5 г) 13(х - 2)(х + 2) - Зх^ < X, [бх - 4 > 4 - 5х; д) |(х - 4)(5х - 1) - 5х^ > X + 1, |зх - 0,4 < 2х - 0,6; 1 + X 2х - 1 е) 1 + Зх - ^ > 4. 4 6 -2, 955. Найдите целые решения системы неравенств: а) J 6х (х - 1) - Зх (2х - 1) < X, |0,5х - 3,7 < 0,2х - 0,7; б) f0,7x-3(0,2х + 1)^ 0,5х + 1, 10,3(1-х) + 0,8х ^ х + 5,3; в) г) 1(Зх-2) + ^(12х + 1)>0, О О i(14x-21) + |(9x-6)<0; 0,2(5х - 1) + ^(Зх + 1) < X + 5,8, О 8х-7-^(бх-2)>х. 956. Решите двойное неравенство: а) -9 < Зх < 18; в) 3 ^ 5х - 1 ^ 4; б) 1 < —-— <2; г) о ^ ^ 1. 957. а) При каких х значение выражения 2х - 4 принадлежит интервалу (-1; 5)? х - 5 б) При каких X значение дроби —^— принадлежит числовому отрезку [0; 5]? в) При каких X значения функции р = --х + 8 принадлежат интервалу (-1; 1)? г) При каких X значения функции у = -2,5х + 6 принадлежат числовому отрезку [-6; -2]? Дополнительные упражнения к главе IV 211 958. Найдите положительные значения у, удовлетворяющие системе неравенств: а) \Ну- 1)- 4(г/ -1-8) < 5(у + 5), [1,2(1 + 5у)-0,2<5(1- Зу)- - Зу; б) 15(1/ -4)-14(у-3)<у (У- 9)-у2. - 5-у 3 -.>14-^; в) 1(2у- 1)(3у + 2)- 6у(у- 4)< 48, I ко. 4 959. Найдите отрицательные значения у, удовлетворяющие системе неравенств: а) 5у-1 2у-1 6 2 >0, б) Uy+ 6)(5-у) + у (у-1)> о, [0,3у (Юр + 20) - Зр2 + 30 > 0. 960. При каких значениях а уравнение - 4ах + 4а^ - 25 = О имеет два корня, каждый из которых больше 2? '961. При каких значениях Ь уравнение - (2Ь-2)х + Ь^ -2Ь = 0 имеет два корня, принадлежащие интервалу (-5; 5)? 962. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, чем сейчас, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы? 9^. Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч? 212 Глава IV Неравенства СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ в этой главе вы познакомитесь со степенями с целыми отрицательными показателями, научитесь выполнять умножение и деление степеней с целыми показателями, возведение в степень произведения и частного. Вы убедитесь, как удобно использовать запись чисел в стандартном виде. Записав, например, в стандартном виде данные о массах Юпитера и Земли, нетрудно вычислить, что масса Юпитера почти в 317 раз больше массы Земли. Вы узнаете много нового из статистики: как организуются массовые исследования, в каких случаях сплошное исследование заменяют выборочным и каким условиям должна удовлетворять выборка. Впервые вы встретитесь с такими способами наглядного представления статистической информации, как полигоны и гистограммы. Новые сведения из статистики помогут вам лучше разбираться в информации, представленной в печати и на телевидении. § 12 СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА 37. Определение степени с целым отрицательным показателем в справочной литературе можно найти сведения о том, что масса Солнца равна 1,989 • 10^® г, а масса атома водорода равна 1,674 • 10“^"* г. Запись 10®® означает произведение тридцати трёх множителей, каждый из которых равен 10, А каков смысл записи Ю”®"*? Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. § 12. Степень с целым показателем и её свойства 213 Получим строку 10°, 104 1Q2, 103, (1) В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз. Продолжая строку (1) по тому же закону влево, перед числом 10° 11 1 следует нгшисать число — = —г, перед числом —~г — число 10 10^ 10^ 11 1 1 „ — = перед числом ^ — число и т. д. Получим ^ ^ _i_ 10° 10^ 10^ 103 ■"■’Ю»’ 102’ iQi’ ’ ’ ’ ’ (2) В строке (2) справа от числа 10° показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 10°, их записывают в виде степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо пишут 10“^, вместо пишут 10“3, вместо пишут 10~з и т. д. Получают ..., 10-3, 10-2, 10-1, 10°, 101, 102, 103, ... . Итак, 10-1 означает 10-2 означает —10“3 означает —^ 10' 10^ 10® и т. д. Такое соглашение принимается для степеней с любыми основаниями, отличными от нуля. Определение. Если а ^ Ои п — целое отрицательное число, то , a'^= —. Пользуясь этим определением, найдём, что 5-2 = J-. ^ 52 25 ’ (-3)-'! = -3 (-3)“* 81 ’ = -8. 214 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Р* ■.тг*1К>’.'ГТ1 .ЛТЗ I Выражению О" при целом отрицательном п (так же как | ■ и при л = 0) не приписывают. никакого значения; это j I выражение не имеет смысла. I Напомним, что при натуральном п это выражение имеет смысл и его значение равно нулю. Вернёмся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь мы знаем, что запись 1,674-10“^^ г, выражающая массу атома водорода, означает 1,674 • 10-24 J, ^ 1 674. J_ J, ^ 1 674 :1024 г = 0,000.. .01674 г. 1Q24 •---^----• 24 нуля Упражнения 964. 965. 966. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью: а) 10"®; б) 9"2; в) а~^-, г) х"2°; д) (аЬ)"®; е) (а + Ь)"4. Замените дробь степенью с отрицательным показателем: >) 1^; ® i; >) г) д) i 6^ ’ Представьте числа: а) 8, 4, 2, 1, -, и - в виде степени с основанием 2; 2 4 8 111 б) --, —, 1, 5, 25, 125 в виде степени с основанием 5. 125 25 5 967. Представьте числа: а) —, —, , 1, 3, 9, 27, 81 в виде степени с основанием 3; 81 27 9 3 б) 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 в виде степени с основанием 10. 968. Вычислите: а) 4-2; б) (-З)-З; в) (-1)-»; г) (-1)-2«; д) 1| ж) llj о) 1-2- -2 и) 0,01-2; к) 1,125-4. е)|-| -3 969. Найдите значение выражения: а) -10-4; 3) (_0,8)-2; д) -(-2)-3; б) -0,2-3; г) (-0,5)-3; е) -(-3)-2. § 12. Степень с целым показателем и её свойства 215 970. Вычислите: а) (-4)-3; в) -?г д) -0,4-^; б) 2,5-1; Dllj -3 е) -|2- -2 971. Сравните с нулём значение степени: а) 9-5; б) 2,6-^; в) (-7,1)-б; г) (-3,9)-з. 972. Верно ли, что: а) если а > о и п — целое число, то а" > 0; б) если а < о и л — чётное отрицательное число, то а" > 0; в) если а < о и л — нечётное отрицательное число, то а" < О? 973. Найдите значение выражения хР, если: а) лг = -7, р = -2; в) jc = 2, р = -6; б) д: = 8, р = -1; т) X = -9, р = 0. 974. Какое значение принимает выражение -хР, если: а) д; = -1, р = -2; в) д: = 2, р = -1; б) д; = 0,5, р = -2; т) х = 0,5, р = -5? 975. Найдите значения выражений дс" и x~'^, если: а) дс = -, л = -2; б) дс = -1,5, л = 3. О 976. Найдите значение выражения: а) 8 • 4~5; б) -2 10-5; в) 18(-9)-1; г) 10. (4)"; 977. Вычислите: а) б-12-1; б) -4-8-2; д) 3-2 + 4-1; е) 2-3 - (-2)-'!; ж) 0,5-2 + !^^ з) 0,3"+ 0,1-'* в) 6-1 - 3-2; г) 1,3" - 1,3-1; -1 Д)12-|ё е) 25 + 0,1-2. ^-l 978. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем: а) Здс-5; в) ЪаЬ~’’\ д) д:-1с-3; ж) 2{х + у)~*\ б) х~^у\ г) 5(аЬ)~'^; е) -9уг~^; з) 10д;-1 (д; - у)"". 216 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 979. Представьте в виде произведения дробь: а) А. в) —• д) —• ж) б) -; у л “ W ’ е) (а + bf з) (с + Ь)® ь^c* ’ гса-г»)"* 980. Представьте в виде дроби выражение: а) а"^ + Ь~^\ в) (а + - 6); б) ху-^ + XI/-2; г) (х - 2у-^){х-^ + 2у). 981. Преобразуйте в дробь выражение: а) (а-1 + &-1)(а + Ь)~^; б) (а - &)-2(а"2 - Ь"2). -1 982. Найдите множество значений х, на котором функция у = (х- 2) принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения. (п - 7)^ 983. При каких натуральных п дробь---------принимает натураль- п ные значения? 984. Найдите коэффициент обратной пропорциональности, зная, что её график проходит через точку: а) А (1,5; 8); б) В (0,04; -25). 38. Свойства степени с целым показателем Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю). Для каждого а ^ 0 и любых целых тип а"* • о" = a"^ ", I i (а"*)" = а*”"; , для каждых а ^ о, Ь ^ 0 и любого целого п i (ай)" = а"&", I' f I (1) ] (2) (4) 1 (5) § 12. Степень с целым показателем и её свойства 217 Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем. Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа. Иначе говоря, докажем, что если Лир — нату- ральные числа W. а Ф О, то а * Имеем а -р= а -к а~Р= = а* аР ,*+р Заменяя степени а * и а~Р дробями и — и дробь степенью а" аР аР*Р мы воспользовЕшись определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение а*а^ степенью мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем. Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями. Пример 1. Преобразуем произведение ► При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем = o'*. <1 Пример 2. Преобразуем частное : Ь^. ► При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Имеем f,-3 Для степеней с натуральными и нулевым показателями мы могли применять правило деления степеней с одинаковыми основаниями в том случае, когда показатель степени делимого был не меньше показателя степени делителя. Теперь, после введения степеней с целыми показателями, это ограничение снимается: показатели степеней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами. Пр имер 3. Упростим выражение (2а ► Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем (2аЗ&-5)-2= 2-2 . (a2)-2(fe-5)-2 = < 4 218 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Упражнения 985. Найдите значение выражения: а) 3-4-36; б) 24-2-3; в) 10» • 10-6 -10-6; 986. Вычислите: а) 5-46-546; "(ГГ г) 246 . 212; д) 5-»: 5-3; е) 3-4; 3; в) 4-»: 4-6; г) 1^1: ж) (2-4)-4; з) (52)-2-53; и) 3-4.(3-2)-4. Д) (2-3)-3; е) (ОД-3)-4. 987. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны. 988. Докажите, что /' \-П а 989. Вычислите: “ ■> (Г' «I! -1 Гь^п — при любом целом п, а Ф 0 тя. Ъ Ф 0. в) 0,01-3; г) Ilf Д) 0,002-4; е) 990. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: а) 27-3-4; б) (3-4)6.812; в) 9-2: 3-6; г) 813: (9-2)-з. 991. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение: а) -^-246; б) 32-(2-4)2; в) 8"4 - 4З; г) 4б -10-2. 16 992. Представьте выражение, в котором т — целое число, в виде степени с основанием 5: а) 5т. 5/П + 4.51-т. б) (5'")2 • (б-З)™; в) 625: 54'"-2. 993. Вычислите: а) 8-2-4»; в) 106. IQ-3. д) 2-21 ж) 4-6.4-6 ’ б) 9-6-276; г) 125-4 : 25-6; е) 4-2.8-6 2-22 ’ з) -10 -9» (-3)2 ’ 5-® • 25I6 125® § 12. Степень с целым показателем и её свойства 219 994. Найдите значение выражения: а) 125-1-252; в) (б2)б: б) 16-2-46; г) 12°:а2-1)2; Д) е) (23)5 . (2-в)2 42 (3-3)3.04 (32)3 • 995., (Для работы в парах.) Зная, что т — целое число, сократите дробь: . 2Ъ"' б"* а) б) >т - 1 от + 1 * 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. 3) Исправьте ошибки, если они допупдены. 996. Представьте какими-либо тремя способами выражение в виде произведения степеней. 997. Представьте выражение а^^, где а ^ О, в виде степени: а) с основанием o'*; б) с основанием а~^. 998. Представьте в виде степени с основанием х частное: а) xi":xi2; б) х-б; в) х" -1 : Х-®, где п — целое число; г) х°: X 6 . v'l + 2 , где п — целое число. 999. Упростите выражение: а) l,5afe-2 - 6а"2&; г) 3,2х-1у-б--х1/; б) 2; д) ip-ig 4 ^ О в) 0,6c2d^ - ^c-2d“^; е) 3^a®b-i6 - 0,6а-1ь20_ О О ККЮ. Найдите значение выражения: а) 0,2а-2Ь'* • Ъа%~^ при а = -0,125, 6 = 8; б) ^а-1б-б • 81а2б‘‘ при ^ ~ КЮ1. Упростите выражение и найдите его значение: а) 1,6х-1г/12.^ _ _о,2, t/ = 0,7; б) -х-ЗуЗ . ЗОх^г/--* при х = 127, у = -■ 220 Глава V б ^ ^ 5 Степень с целым показателем. Элементы статистики 1002. Представьте степень в виде произведения: а) в) (0,5а-Зь5)-12; б) г) (-2т5л"3)2; 1003. Преобразуйте в произведение: д) l§P'V е) (-0,5x-3i/4)3. -3 а) (6а-5Ь)-1; б) в) (-0,Зх-5у'*)-2. г) I 1004. Представьте в виде степени произведения выражение: а) 0,0001д;-‘‘; в) 0,0081а8&-^2. б) 32j/“^; г) где п — целое число. 1005. Упростите выражение: а) 12х-® У . в) 5x'V 9х® 36х-в ’ 3 —2 ^ У ^ 63 а^ 1852 г) 1бр-^у^ 25р® 25-® 7а ’ 5 64у-’ б) 1006. Преобразуйте выражение: 8 • а) 13х -2 ,12 39х -3 ,,, 5а® 75-3 б) ^ Зс-2 р-2’ 26x1^ у г) 1007. 25а ' у Упростите выражение: а) (0,25x-^y-^f . I ^ -8 13^.25 • -3 [юа®5з] -2 (5аЗ&с2)-2; 2 б) 1008. Преобразуйте выражение: , 2х-^^~^ а) Зу -2 б) 4а^Ь ^ • 1 ^ 12jcy5; в) (2a-^b^f • I I I ; -6 -1 г) 1^1 1009. Известно, что и Xg — корни уравнения 8х^ - 6х + п = О и + ^2^ - б. Найдите п. § 12. Степень с целым показателем и её свойства 221 1010. Решите уравнение 2х -1 Зх + 2 _ +-------г- = 7. х+1 х-1 1011. Нгшдите область определения функции: а) У = i--------; б) у = 1^1 \х\ + X ас 1012j Сократите дробь зная, что Ь = а + с. аЬс 39. Стандартный вид числа в науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объём Земли — 1 083 000 000 000 км®, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м. В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а • 10”, где п — целое число. Например: 125 000 = 0,125 • 10®; 0,0031 = 3,1 • 10”®; 0,237 = 23,7-10-2. Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключённого между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10: 1 083 000 000 000 = 1,083 • 0,0000000003= 3-10-Ч Говорят, что мы записали числа 1083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число. Стандартным видом числа а называют его запись в виде | а ■ 10", где 1^а<10ип — целое число. Число л называется j I порядком числа а. I Например, порядок числа, выражающего объём Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен —10. 1 222 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это означает, что 1000 < а < 10 000. Если порядок числа а равен -2, то 0,01 ^ а < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало. Пример 1. Представим в стандартном виде число а = 4 350 000. ► В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 10® раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 10® раз. Отсюда а = 4,35-10®. <1 Пример 2. Представим в стандартном виде число а = 0,000508. ► В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число а в 10^ раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 10“* раз. Отсюда а = 5,08 : Ю'* = 5,08 ■ = 5,08 • 10 1Q4 -4 Упр^^нен^!я 1013. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде: а) 1,2 -10»; в) 2,7 -10"3; д) 4,42-10®; б) 3,6 -10®; г) 6,3 -10-1; е) 9,28-Ю”'!. 1014. Запишите в стандартном виде число: а) 52 000 000; в) 675 000 000; д) 0,00281; б) 2 180 000; г) 40,44; е) 0,0000035. 1015. Запишите в стандартном виде: а) 45-10®; б) 117-10®; в) 0,74-10®; г) 0,06-10®. 1016. Представьте число в стандартном виде: а) 1024 000; в) 21,56; д) 0,000004; ж) 508-10-1; б) 6 000 000; г) 0,85; е) 0,000282; з) 0,042-10®. 1017. Масса Земли приближённо равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода. 1018. Выразите: а) 3,8 -10® т в граммах; б) 1,7 -10“^ км в сантиметрах; в) 8,62-10 ^ кг в тоннах; г) 5,24-10® см в метрах. § 12. Степень с целым показателем и её свойства 223 1019. Представьте: а) 2,85 • 10® см в километрах; б) 4,6-10“^ м в миллиметрах; в) 6,75 • 10^® г в тоннах; г) 1,9 • 10“^ т в килограммах. 1020. Выполните умножение: а) (3,25-102). (1,4-10®); б) (4,4-10-®). (5,2-Ю'*). 1021. Какой путь пройдёт свет за 2,8.10® с (скорость света равна 3.10® км/с)? 1022. (Для работы в парах.) а) Масса Земли 6,0.102^ кг, а масса Марса 6,4.10®® кг. Что больше: масса Земли или масса Марса — и во сколько раз? Результат округлите до десятых, б) Масса Юпитера 1,90.10®^ кг, а масса Венеры 4,87.10®"* кг. Что меньше: масса Юпитера или масса Венеры — и во сколько раз? Результат округлите до единиц. 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены вычисления. 3) Исправьте допущенные ошибки. 4) Расположите указанные планеты в порядке возрастания их масс. 1023. Плотность железа 7,8.10® кг/м®. Найдите массу железной плиты, длина которой 1,2 м, ширина 6.10“* м и толщина 2,5.10“^ м. 1024. Найдите значение выражения (2- л/3)-У7 -(- 4л/3. 1025. При каком значении т сумма корней уравнения Зд:® - 18д: + т=0 равна произведению этих корней? 1026. Найдите целые отрицательные значения х, которые являются решением неравенства —----х < 11. 1027. Замените а каким-либо натуральным числом так, чтобы система неравенств: Г3х>40,8, fl-6x<19, а) 1 б) S [5х-а<0; [4х-а<6 не имела решений. 224 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Контрольные вопросы и задания Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем. Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями. Как возвести степень в степень? Как возвести произведение и частное в степень? Какую запись числа называют его стандартным видом? Покажите на примере, как представить число в стандартном виде. § 13 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ 40. Сбор и группировка статистических данных При изучении различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Заметим, что проведение любого массового исследования требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Например, перепись населения страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений. В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выбирается некоторая её часть, т. е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, т. е. достаточной по объёму и отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности. Пусть, например, работники телевидения решили выяснить, какие коррективы следует внести в составляемую программу передач. Для этого надо опросить более полутора тысяч человек, причём в выборку должны быть включены мужчины и женщины, люди разного возраста, в том числе дети и пенсионеры, зрители с различным социальным положением и образованием. Для обобщения и систематизации данных, полученных в ходе статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты, характеризующие каждую группу, сводят в таблицы. § 13. Элементы статистики 225 Рассмотрим такой пример. Восьмиклассникам была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 7 заданий. Работу выполняли 25 учащихся. При проверке учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате была составлена таблица, в которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, в нижней строке указывалось соответствующее число учащихся, выполнивших столько заданий, т. е. указывалась частота появления этого числа в общем ряду полученных данных: Число верно выполненных заданий 1 2 3 4 5 6 7 Частота 1 1 2 7 5 5 4 Такую таблицу называют таблицей частот. В рассмотренном примере сумма частот равна 25, т. е. общему числу проверяемых работ. Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду. При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются такие известные вам статистические характеристики, как среднее арифметическое, размах, мода, медиана. Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, т. е. на 25. Получаем 1-1 + 2-1-I-3-2-I-4-7 + 5-5-I-6-5+7-4 120 25 25 = 4,8. Значит, в среднем учащиеся верно выполнили по 4,8 задания, т. е. примерно по 5 заданий. Наибольшее число верно выполненных заданий равно 7, а наименьшее равно 1. Размах рассматриваемого ряда данных равен 7 - 1 = 6, т. е. различие в числе верно выполненных заданий велико. Из таблицы видно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено четыре задания, т. е. мода ряда равна 4. Найдём медиану ряда. Так как упорядоченный ряд, составленный по данным таблицы, содержит 25 членов, то медиана равна тринадцатому члену. Вычислим, к какой группе относится тринадцатый член. Суммируя последовательно частоты и сравнивая результат с числом 13, находим, что 1-1-1 + 2-)-7 = 11 и 1-|-1-1-2-1-7-1-5 = 16. Значит, тринадцатый член попадает в ту группу, которую составляют учащиеся, верно выполнившие пять заданий, т. е. медиана ряда равна 5. Иногда в таблице для каждого данного указывают не частоту, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это число, вы- 226 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики раженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу — таблицей относительных частот. В рассмотренном выше примере таблица относительных частот выглядит следующим образом: Число верно выполненных заданий 1 2 3 4 5 6 7 Относительная частота, % 4 4 8 28 20 20 16 Нетрудно убедиться, что в данном случае сумма относительных частот составляет 100%. Вообще сумма относительных частот, полученных в результате любого исследования, равна 100%. Заметим, что если в ряду имеется большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот теряют наглядность и становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5—10) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, его не превосходящее. Для каждого интервгша указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности данных. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу. Пусть, например, на партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения (в часах). По результатам составили такую таблицу: Продолжительность горения, ч Частота До 200 1 200—400 3 400—600 5 600—800 9 800—1000 16 1000—1200 9 1200—1400 5 1400—1600 2 Пользуясь составленной таблицей, найдём среднюю продолжительность горения. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой. § 13. Элементы статистики 227 Продолжительность горения, ч Частота 100 1 300 3 500 5 700 9 900 16 1100 9 1300 5 1500 2 Для полученного ряда данных найдём среднее арифметическое: 100 1+ 300-3+ 500-5+ 700-9 + 900-16+ 1100-9+ 1300-5+ 1500-2 50 ~ 870 (с точностью до десятков). Значит, средняя продолжительность горения электроламп приближённо равна 870 ч. Уп£а)1Ш£ния 1028. Можно ли считать выборку представительной, если при изучении времени, которое затрачивают на выполнение уроков восьмиклассники: а) опрашивали только девочек; б) опрос проводили только по четвергам; в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев? Дайте ответы на поставленные вопросы и обоснуйте их. Обсудите, какие категории учащихся следует включить в выборку, чтобы она была представительной. 1029. В ходе опроса предстоит определить, строительству каких культурных и спортивных сооружений отдают предпочтение жители района. Какие категории жителей должны быть включены, на ваш взгляд, в составляемую выборку? 1030. в ходе опроса 40 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные: 5, 1,5, о, 2,5, 1, о, о, 2, 2,5, 3,5, 4, 5, 3,5, 2,5, о, 1,5, 4,5, 3, 3, 5, 3,5, 4, 3,5, 3, 2,5, 2, 1, 2, 2, 4,5, 4, 3,5, 2, 5, 4, 2, 2,5, 0, 0, 3. Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот. Т_ 228 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 1031. При проверке 70 контрольных работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот. Число ошибок 0 1 2 3 4 5 6 Частота 4 6 15 26 12 4 3 Каково наибольшее различие в числе допущенных учащимися ошибок? Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся? Какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы? 1032. Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, приобретённых сотрудниками лаборатории, представлен в виде таблицы частот. Число акций Частота 2 20 5 12 10 7 25 4 100 2 Найдите для этого ряда данных среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей? 1033. При изучении качества продукции, выпущенной инструментальным цехом машиностроительного завода, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Получили такую таблицу: Число бракованных деталей 0 1 2 3 4 Число ящиков 8 22 13 5 2 Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного ряда данных. Что характеризует каждый из этих показателей? § 13. Элементы статистики 229 1034. Определяя степень засорённости цветочных семян, выясняли, сколько семян сорных растений содержится в каждом из 100 произвольным образом выбранных пакетов с одинаковым числом семян. Получили такую таблицу: Число семян сорных растений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Число пакетов 3 16 26 17 18 10 3 5 1 1 Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое и моду. Что характеризует каждый из этих показателей? 1035. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания. Число выполненных заданий Число учащихся 0 — 1 27 2 53 3 87 4 223 5 146 6 89 Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%). 1036. При изучении учебной нагрузки учащихся некоторой школы попросили 24 восьмиклассника указать время (с точностью до 1 мин), которое они затратили в определённый день на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные: 27, 25, 31, 32, 34, 16, 18, 39, 26, 34, 32, 29, 19, 15, 37, 36, 31, 29, 28, 15, 31, 34, 22, 28. Представьте полученные данные в виде интервального ряда с интервалами длиной 5 мин. 1 230 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 1037. Имеются следующие данные о среднесуточной переработке сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона: Суточная переработка сахара, тыс. ц 12—15 15—18 18—21 Число заводов 4 6 3 Заменяя каждый интервал его серединой, найдите, сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки каждый завод региона. 1038. В уравнении - Зрх + (-2)® = 0 один из корней равен 4. Найдите р. wm Найдите сумму квадратов корней уравнения -I- 12лс + 30 = 0. 1040. Решите систему неравенств 0,5(2 - х) - 1,5х < 6х - 1, 1,3(2 + х) -1- 0,7х < Зх -I- 2,4. 1041. Упростите выражение 2>/5(л/2 - л/б)- (Vs + V2)^. 41. Наглядное представление статистической информации Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения. Одним из хорошо известных вам способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы. Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования. В таблице показан расход электроэнергии (с точностью до 5 кВт • ч) некоторой семьёй в течение года. Месяц I II III ГУ V VI VII VIII IX X XI XII Расход электроэнергии, кВт • ч 110 100 110 85 70 65 10 70 90 100 100 105 § 13. Элементы статистики 231 Соответствующая столбчатая диаграмма построена на рисунке 49. Она состоит из 12 прямоугольников, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Равные основания прямоугольников выбирают произвольно, а высота каждого из прямоугольников равна (при выбранном масштабе) расходу электроэнергии в указанном месяце. Если в ходе статистического исследования проведена группировка одинаковых данных и для каждой группы указана соответствующая частота (или относительная частота), то каждая группа изображается на столбчатой диаграмме прямоугольником, высота которого при выбранном масштабе равна соответствующей частоте (или относительной частоте). Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы. Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определённым для каждой группы данных. Построим, например, круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, представленное в следующей таблице: Разряд Относительная частота, % 3 12 4 42 5 29 6 17 232 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Так как 360° : 100 = 3,6°, то одному проценту соответствует центральный угол, равный 3,6°. Учитывая это, определим для каждой группы соответствующий центральный угол: 3,6° • 12 = 43,2°, 3,6° • 42 = 151,2°, 3,6° • 29 = 104,4°, 3,6° • 17 = 61,2°. Разбив круг на секторы, получим круговую диаграмму, изображённую на рисунке 50. Заметим, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности. В противном случае её применение малоэффективно. Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами — соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют полигоном. Имеются, например, следующие данные о производстве заводом приборов в первом полугодии 2006 г. (по месяцам): Месяц I 11 III IV V VI Число приборов, тыс. шт. 2,3 2,2 2,5 2,6 2,8 1,9 Полигон, иллюстрирующий производство заводом приборов в первом полугодии 2006 г., построен на рисунке 51. § 13. Элементы статистики 233 Рис. 52 Полигоны используют также для наглядного изображения распределения данных, полученных в результате статистического исследования. Если данные представлены в виде таблицы частот или относительных частот, то для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические данные, а ординатами — их частоты или относительные частоты. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон распределения данных. Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота — частоте или относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала. Построим, например, гистограмму для интервального ряда, характеризующего продолжительность горения 50 электроламп, воспользовавшись таблицей, приведённой на с. 227. Пусть единица на горизонтальной оси соответствует продолжительности горения в 200 ч, а единица на вертикальной оси — частоте, равной 1. Гистограмма представляет собой фигуру, составленную из восьми сомкнутых прямоугольников (рис. 52). Сумма высот прямоугольников равна общей численности исследуемой совокупности, т. е. 50. 234 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики У-ШШШШШ 1042. По четвертным оценкам по геометрии учащиеся одного класса распределились следующим образом: «5» — 4 ученика, «4» — 10 учеников, «3» — 18 учеников, «2» — 2 ученика. Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую распределение учащихся по четвертным оценкам по геометрии. 1043. Изучая профессиональный состав рабочих механического цеха, составили таблицу: Профессия Число рабочих Наладчик 4 Револьверщик 2 Сверловщик 1 Слесарь 8 Строгальщик 3 Токарь 12 Фрезеровщик 5 Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую профессиональный состав рабочих этого цеха. 1044. В фермерском хозяйстве площади, отведённые под посевы зерновых, распределены следующим образом: пшеница — 63%, овёс — 16%, просо — 12%, гречиха — 9%. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение площадей, отведённых под зерновые в данном фермерском хозяйстве. 1045. В результате статистического исследования были получены следующие данные о распределении пассажиропотока в московском авиаузле в 2003 году: Внуково — 12%, Домодедово — 40%, Шереметьево — 48%. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение пассажиропотока. § 13. Элементы статистики 235 1046. В таблице показано распределение 43 хозяйств района по урожайности зерновых в некотором году. Урожайность, ц/га Число хозяйств 18 3 19 9 20 13 21 11 22 7 Постройте полигон распределения хозяйств по урожайности зерновых. 1047. При изучении распределения семей, проживающих в доме, по количеству членов семьи была составлена таблица, в которой для каждой семьи с одинаковым числом членов указана относительная частота. Количество членов семьи Относительная частота, % 1 10 2 18 3 35 4 26 5 и более 11 Пользуясь данной таблицей, постройте полигон относительных частот. 1048. В таблице приведены значения среднемесячных температур воздуха (в градусах Цельсия) в городе за год. Месяц I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Среднемесяч ная температура, °С -16 -10 -6 4 8 16 22 19 10 6 -3 -11 Постройте полигон, иллюстрирующий изменения среднемесячных температур за год. п 236 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 1049. (Для работы в парах.) На рисунке 53 построен полигон, иллюстрирующий производство растительного масла в России в 1992 и 1993 гг. (по кварталам). Пользуясь рисунком: а) охарактеризуйте динамику изменения производства растительного масла в 1992 и 1993 гг.; б) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда произошло наибольшее падение производства растительного масла; в) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда произошёл наибольший прирост производства растительного масла. 1) Письменно ответьте на поставленные вопросы. 2) Обсудите ответы на вопросы. Исправьте ошибки, если они допущены. 1050. В таблице показано, сколько курток изготовила мастерская за каждый квартал 2004 и 2005 гг. Год 2004 2005 Квартал I II III IV I II III IV Число курток 780 625 645 810 850 760 720 910 Постройте полигон, иллюстрирующий выработку мастерской в 2004 и в 2005 гг. (по кварталам). Используя полигон: а) охарактеризуйте динамику изменения производства курток в 2004 и 2005 гг. (по кварталам); б) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда произошло наибольшее увеличение выработки. § 13. Элементы статистики 237 1051. На рисунке 54 построены полигоны, иллюстрирующие продажу магазином в течение недели компьютеров (сплошная линия) и телевизоров (пунктирная линия). Укажите два дня, следующие друг за другом, когда во второй день по сравнению с первым: а) число проданных телевизоров возросло больше, чем число проданных компьютеров; б) число проданных телевизоров возросло, а число проданных компьютеров уменьшилось; в) число проданных компьютеров возросло, а число проданных телевизоров осталось тем же. 1052. На основе опроса была составлена следующая таблица распределения учащихся по времени, которое они затратили в определённый учебный день на просмотр телепередач: Время, ч Частота 0—1 12 1—2 24 2—3 8 3—4 5 238 Глава V Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму. Степень с целым показателем. Элементы статистики 1053. В таблице показано распределение призывников района по росту. Рост, см Частота 155—160 6 160—165 10 165—170 28 170—175 36 175—180 48 180—185 26 185—190 16 190—195 8 Постройте гистограмму, характеризующую распределение призывников по росту. 1054. На гистограмме (рис. 55) представлены данные о распределении рабочих цеха по возрастным группам. Пользуясь гистограммой, найдите: а) число рабочих цеха в возрасте от 18 до 23 лет; от 43 до 48 лет; б) возрастную группу, к которой относится наибольшее число рабочих; в) возрастную группу, к которой относится наименьшее число рабочих; г) общее число рабочих цеха. 18 Н О Н и 08 24 20 16 12 8 4 Рис. 55 18 23 28 33 38 43 48 53 58 Возраст § 13. Элементы статистики 239 1055. (Для работы в парах.) В оздоровительном лагере были получены следующие данные (с точностью до 0,1 кг) о весе 30 мальчиков: 21,8, 29,3, 30,2, 20,6, 23,8, 29,5, 28,6, 20,8, 28,4, 30,7, 23,9, 25,0, 25,5, 28,2, 22,5, 21,4, 24,5, 24,8, 29,6, 31,3, 26,3, 26,8, 23,2, 27,5, 28,8, 23,6, 22,8, 30,3, 23,5, 27,3. Используя эти данные, заполните таблицы: Таблица 1 Таблица 2 Вес, кг Частота 20—22 22—24 24—26 26—28 28—30 30—32 Вес, кг Частота 20—23 23—26 26—29 29—32 1) Распределите, кто заполняет таблицу 1, а кто — таблицу 2, и заполните их. 2) Проверьте друг у друга, правильно ли заполнены таблицы. 3) Постройте по данным своей таблицы гистограмму. 4) Сравните построенные гистограммы. Обсудите, что общего у этих гистограмм и чем они различаются. 1056. Наблюдая за работой бригады токарей, установили, сколько времени тратили они на обработку одной детали. Обобщая полученные данные, составили таблицу: Время, мин Число токарей 10—12 2 12—14 6 14—16 11 16—18 7 18—20 5 Пользуясь таблицей, постройте гистограмму, характеризующую распределение токарей бригады по времени, затрачиваемому на обработку одной детали. 1 240 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 1057. Докажите тождество: а) б) { а+ 1 + 1 V f “ V + 1 - 2а ' а -1) U-iJ ' 1+ X + ] ( х^-у ^х^- ху У^~ ху) t Х^у - у^ -1 а- 1 -1 = 1; = 0; f 1 с с^ + с^ + ас^ (Л ^ _ 1058. Найдите значение выражения при а = -1,2. 1059. Решите систему неравенств То "б 10 ^ 30 ’ X X + Ь ^ X X - 5 1 12“ ^ I 1060. Сравните значения выражений: а) 5V2 + Зл/5 и Зл[7 + л/45; в) 5>/3 + зТб и V75 + 7>/2; б) 6л/2 - 2л/7 и 4V'3 - л/^; г) VTl2 - 2л/б и 4л/7 - >/23. 1061. Сравните числа: а) 0,987-1 и 1; б) 1,074-1 и 1. Контрольные вопросы и задания В каких случаях генеральная совокупность при исследовании заменяется выборочной? Каким условиям должна удовлетворять выборка? Объясните на примере, как по таблице частот находят среднее арифметическое, размах и моду. Какие способы наглядного представления статистической информации вам известны? Объясните, в чём состоит каждый из этих способов. Что называется гистограммой? Как изображается на гистограмме общий объём исследуемой совокупности? § 13. Элементы статистики 241 Для тех, кто хочет знать больше 42. Функции у = х~^ и у и их свойства — ^-2 Функции, которые можно задать формулой вида У = л:", где X — независимая переменная ил — целое число, называют степенными функциями с целым показателем. Со степенными функциями у = и г/ = х® вы познакомились в курсе алгебры 7 класса. Вам знакома также степенная функция у = X, которая является частным случаем прямой пропорциональности у = kx (при k = 1). Рассмотрим теперь функции у = х~^ и у = х~^, выясним свойства этих функций и особенности их графиков. Отметим сразу, что областью определения каждой из этих функций является множество действительных чисел, кроме нуля. Перечислим свойства функции у = х~^ и особенности её гра- фика. 1. Если х > О, то у > О; если X < О, то у < 0. Это следует из формулы у = x~h значения х и у одного знака. Так как X то графиком функции является гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях координатной плоскости (рис. 56). 2. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Действительно, если Xq и -Xq — значения аргумента, то соответствующие им значения функции xj^ и (-Xq)"^ также являются противоположными числами, так как Х-1--1 и 242 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Если точка М (xq; Уо) принадлежит графику функции, то точка M'(-Xq; -Уо) также принадлежит графику этой функции. Значит, каждой точке М (х^; уо) графика соответствует точка М'{-Xq\ -уо) того же графика. Точки, имеющие противоположные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно начала координат. Следовательно, график функции у = х~^ симметричен относительно начала координат. 3. Если значения аргумента при х > О неограниченно возрастают (х —»• -1-оо), то соответствующие им значения функции убывают, т. е. стремятся к нулю (г/ —*■ 0). Если значения аргумента при ж > О убывают, т. е. стремятся к нулю (х —» 0), то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (г/ -»• +оо). Если X < о и X —»■ -оо, то I/ -> 0. Если х<0их—>0, TOI/—> -оо. Таким образом, точки графика, удаляясь от оси у вправо или влево, всё ближе приближаются к оси х, а удаляясь от оси х вверх или вниз, всё ближе приближаются к оси у. Отметим ещё одно свойство функции у = х~^. 4. Значения аргумента и соответствующие им значения функции являются взаимно обратными числами. Действительно, при любых значениях аргумента х верно равенство ху = 1. А это означает, что значения хну являются взаимно обратными числами. Если точка М (а; Ь) принадлежит графику данной функции, то точка М' (6; а) также принадлежит графику этой функции. Точки М (а; Ь) и М' (Ь; а) симметричны относительно прямой у = х. Значит, график функции у = х~^ симметричен относительно прямой у = X. Выясним теперь свойства функции у = х ^ и особенности её графика. 1. При любом значении аргумента значения функции — положительные числа. Это следует из того, что х~^ > о при любом X ^ 0. Значит, график функции у = х~^ расположен выше оси X. 2. Любым противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Действительно, если Xq и -Xq — значения аргумента, то Xq^ и (—Хо)“^ — соответствующие им значения функции, но ^0^ = Для тех, кто хочет знать больше 243 Отсюда следует, что каждой точке М (дго; Уо) графика функции соответствует точка М'{—Xq\ у^) того же графика. Значит, график функции у = х~^ симметричен относительно оси у. 3. Если X —*• +00 или X —»• -оо, то у —» О; если л: —► О, то у -* +оо. Действительно, если |дг| неограниченно возрастает (|х|—► +сх>), то \х~^\ убывает, оставаясь положительным числом, т. е. у стремится к нулю. Если |х|—*• О, то х~^ неограниченно возрастает, т. е. ..-2 +00. Основываясь на этих свойствах, можно построить график функции у = х~^. Вычислим значения у для некоторых положительных значений аргумента. X 1 3 1 2 1 2 3 4 у 9 4 1 1 4 1 9 1 16 Построим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице. Соединив эти точки плавной непрерывной линией, получим одну ветвь графика функции. Вторую ветвь, расположенную во второй координатной четверти, построим симметрично первой относительно оси у. График функции у = х~^ изображён на рисунке 57. Упражнения 11бв2.1 Известно, что точки А а; 247 и В (843; Ь) принадлежат ги- перболе у = X Найдите а и Ь. 10в3.1 Постройте в одной системе координат графики функций у = х и у = х~^. Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство х = х~^ и неравенства х > х~^ и х < х~^ в случае, если; а) д: > 0; 244 Глава V б) х<0. Степень с целым показателем. Элементы статистики I1064.I Докажите, что прямая у = -х + I, где L — некоторое положительное число, и гипербола у = х~^: а) имеют две общие точки, если 1> 2\ б) имеют одну общую точку, если 1=2; в) не имеют общих точек, если I < 2. 11065.1 Постройте график функции f X, если X < о. У = I если х > 0. Найдите: а) значение у, если х = -2; 2; б) значение х, при котором у = -4; 4. 11066.1 Постройте график функции у = 1 |. Как расположен этот график относительно оси у? 11067.1 Постройте в одной системе координат графики функций у = х~^, где л: > о, и у = х~^, где jc > 0. Сравните значения и X если: а) о < X < 1; б) X > 1. [1068.1 Известно, что точки А а; 2601 и В (0,0625; Ь) принадлежат графику функции у = х Найдите а и Ь. .0 -2 11069.1 Расположите в порядке возрастания числа Хц, Xq, Xq, Xq , Xq , зная, что: а) о < Xq < 1; б) Хц > 1. 11070.1 Постройте график функции У = х~^, если -2 ^ X < -1, х^, если -1 < X < 1, \ если 1 < X ^ 2. Х-2 Сколько общих точек имеет этот график с прямой у = а в случае, когда: а) а = 2; б) а = 1; в) а = -; А г) а = о? Для тех, кто хочет знать больше 245 Дана функция У = X если X < —, 2 Ах, если < JC ^ , 1 X если л: > —. 2 Сколько корней имеет уравнение: а) у = 2; б) у = -; в) у = 0; г) у = -3? 43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение При анализе результатов наблюдений полезно иметь сведения о разбросе данных в ряду. Некоторое представление об этом даёт размах ряда, но он является слишком грубой оценкой. Поэтому известные вам статистические показатели дополняют ещё одним понятием, называемым дисперсией. Разъясним смысл понятия дисперсия на примере. Пусть имеется ряд данных 7, 5, 10, 6, 5, 15. Среднее арифметическое этого ряда равно: 7-I-5-I-10H-6 + 5+15 о --------6---------= Для каждого члена ряда найдём его отличие, или, как говорят, его отклонение от среднего арифметического: 7 - 8 = -1; 5 - 8 = -3; 10 - 8 = 2; 6 - 8 = -2; 5 - 8 = -3; 15-8 = 7. Нетрудно подсчитать, что сумма отклонений равна нулю: (-1) + (-3) + 2 + (-2) + (-3) -1-7 = 0. Вообще для любого ряда данных сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю и потому не может характеризовать разброс данных в ряду. Для того чтобы судить о разбросе данных в некотором ряду, поступают следующим образом: составляют ряд квадратов отклонений и вычисляют среднее арифметическое этого ряда, которое называют дисперсией заданного ряда данных. 246 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Дисперсией ряда чисел называется среднее арифметическое квадратов их отклонений от среднего арифметического этого ряда. Дисперсия является мерой разброса чисел в ряду. В приведённом примере дисперсия ряда равна: (-1)2 + (_3)2 + 2^ + (_2)2 + (_3)2 + у2 ^ ^ Рассмотрим такой пример. При подготовке к соревнованиям по стрельбе из пистолета спортсмены Петров и Смирнов произвели по 8 серий выстрелов. Подсчитывая для каждой серии, состоящей из 10 выстрелов, число попаданий в цель, получили такие данные: Петров: 10, 10, 9, 7, 10, 7, 10, 9; Смирнов: 10, 9, 10, 9, 10, 8, 8, 8. Для каждого ряда данных найдём среднее арифметическое: 10 + 10 + 9 + 7 + 10 + 7 + 10 + 9 _ 72 _ 8 8 10+9+10 + 9+10+8 + 8 + 8 8 Вычислим дисперсию для каждого ряда данных. Для ряда результатов, показанных Петровым, имеем 12 + 12 + о + (-2)2 + 12 + (-2)2 +12+0 12 , ^ ------------------------------ = —— = 1,0. 8 8 Для ряда результатов, показанных Смирновым, имеем 12 + о + 12 + о + 12 + (-1)2 + (-1)2 + (-1)2 6 ^ -------------------------------= — = и,7о. 8 8 Мы видим, что, хотя среднее арифметическое числа попаданий в обоих случаях одинаково, разброс данных во втором ряду меньше. Следовательно, Смирнов показал на тренировке более стабильный результат. Одна из особенностей дисперсии состоит в следующем: если в ряду, содержащем большое число данных, есть лишь несколько данных, значительно отличающихся от среднего арифметического этого ряда, то дисперсия такого ряда обычно бывает невелика. Необходимо отметить, что дисперсия как характеристика ряда данных имеет существенный недостаток. Он заключается в следующем. Если величины измеряются в каких-либо линейных единицах, например, в метрах, часах, килограммах и т. п., то дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. в мерах, некоторые из которых не имеют реального смысла. Поэтому, при оценке разброса данных дисперсию часто заменяют другим показателем, называемым средним квадратичным отклонением. Для тех, кто хочет знать больше 247 Средним квадратичным отклонением числового ряда называют квадратный корень из дисперсии этого ряда. Для результатов стрельбы, показанных Петровым и Смирновым, дисперсия, согласно расчётам, равна соответственно 1,5 и 0,75. Среднее квадратичное отклонение в первом случае равно а во втором оно равно -^0,75. Среднее квадратичное отклонение принято обозначать грече-ской буквой о (сигма). В рассмотренном примере Ох = ^1,5 ~ 1,2, 02 = Vo. 75 = 0,9. 11072.1 Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите: а) среднее арифметическое; б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического; в) сумму квадратов отклонений; г) дисперсию ряда. 1073.1 Вычислите дисперсию ряда чисел: а) 6, 8, 10, 12, 9; б) -4, -1, -2, 7, 5, 4. 11074.1 Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него: а) среднее арифметическое; б) дисперсию; в) среднее квадратичное отклонение. 1075.] В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет. Месяц Москва Хабаровск Январь -9,3 -22,3 Февраль -8,6 -17,2 Март -3,4 -8,5 Апрель 5,1 3,1 Май 12,4 11,1 Июнь 16,7 17,4 I 248 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных: а) среднее арифметическое месячных температур; б) отклонения температур от среднего арифметического; в) дисперсию. Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии. :i(^6.| Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел: а) -5, -8, 6, 7, 4, 3; б) 1, О, 3, О, 6, 4. Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение. |Ж8] Как изменится дисперсия ряда чисел Xi, Х2, Хд, Х4, ЛГд, JCg, если каждое число увеличить на положительное число а? Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и а = 4. Выскажите предположение и проведите доказательство. Дополнительные упражнения к главе V к параграфу 12 1079. Вычислите: а) -0,25-2-100; г) 0,1-41,10; V-2 Ж) (-0,21)2. (-0,1)2;; 3 б) 0,01-(-0,5)-2; д)з|•j^|j -0,5; з) - б-^-Зб2 - j ; е) -4-’-5 + 2,52. и)-(-1)0- - в) 0,2-^ - (-1,6); 1080. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями: а) am -2 а'^Ь б) (а + Ь)Ь (а - Ь)' в) 2а-^Ь^ (а + Ь)~^ 1081. Представьте в виде дроби выражение: а) ДС1/-2 — х~^у; в) тп(п - т)~^ - п(т - п)-^; г) (х-4у-1)(л:-1-г/-1). 1082. Упростите выражение: , + у* - fl-* b а) . . .2 ; б) ix + у)^ - Ь~^ Дополнительные упражнения к главе V 249 1083. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (п — целое число): а) 100"; б) 0,1-100" + з. в) 0,01"-Ю^-2", 1084. Упростите выражение (п — целое число): ч 49" 15" а) б) у2п - 1 КП + 1 ’ {1085.1 Докажите, что значение выражения (т — целое число) не зависит от ТП’. 2im б"" ■ ‘ 3т - 1 , jm -f- 1 ’ ' • 15^ ~ * 1086. Представьте выражение х~^ + х~^ + х в виде произведения двух множителей, один из которых равен: а) х; б) в) х~^. В выражении а~^ + а~^ вынесите за скобки множитель: а) а~^; б) а“®. 1087. 1088. Упростите выражение: а) + x^ б) 1089. Докажите, что при любом целом п верно равенство: а) 2" + 2" = 2" +б) 2 • 3" + 3" = 3" + 1090. Сократите дробь {п — целое число): 3" + 1- 3" 2" + 2-" ----2---• 1091. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных: O'" . 3« - 1 - 2'" ■ * • 3" 5'" 4" а) ------------------; в) б) 2"* • 3" 5л + 1. 2" - 2 + 5П - 2.2" - 1 г) gm - 232» ^ 22л - 1 ’ 21" ri092j 1093. 10" - 2 ’ 3л - 17л + 1 ^ 3П7Л Корни Xj и Х2 уравнения дх^ - 5х + 1 = 0 связаны соотношением xf^ -I- Xg^ =13. Найдите п. Выразите время в секундах и запишите полученное число в стандартном виде: а) 1ч; б) 1 сутки; в) 1 год; г) 1 век. 1094. Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде: а) (3,4 • 10^5) • (7 ■ 10-12). в) (9 6. iq-12) ; (3,2 • Ю'^®); б) (8,1 • 10-23) • (2 • 1021); в) (4,08 • Ю”): (5,1 • 10-^). 250 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 1095. Расстояние от Земли до звезды а Центавра равно 2,07 • 10® астрономическим единицам (астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, которое равно 1,495 • 10® км). Выразите это расстояние в километрах. 1096. В 1 ккал содержится 4,2-10®Дж. Сколько килокалорий в 1 Дж? 1097. В таблице даны обозначения кратных и дольных приставок и соответствующие им множители. Приставка Кратность Обозначение Приставка Кратность Обозначение мега 10® М деци 10-* Д кило 10® К санти 10-® С гекто 10® г милли 10® м дека 10* да микро 10-® мк Используя таблицу, выразите: а) 2,5-10^ Мт в тоннах; б) 3,1 • 10^® мг в килограммах; в) 1,5 • 10“^ гл в литрах; г) 7 • 10’'^ м в микрометрах; д) 8,4 •10’“* ккал в калориях. 1098. Масса Земли 6,0-10^^ т, а масса Луны 7,35-10^® т. На сколько тонн масса Земли больше массы Луны? К параграфу 13 1099. Работники телевидения решили провести опрос зрителей, чтобы выяснить, каким телевизионным передачам в вечерние часы они отдают предпочтение. Какие категории зрителей должны быть включены, на ваш взгляд, в составляемую выборку? 1100. В таблице частот, характеризующей распределение членов артели по числу изготовленных изделий, одно число оказалось стёртым. Число изделий Частота 12 1 13 3 14 — 15 6 16 2 Восстановите его, зная, что в среднем члены артели изготовили по 14,2 изделия. Дополнительные упражнения к главе V 251 1101. Проведя учёт бракованных деталей в контрольной партии ящиков, составили таблицу, в которой два числа оказались стёртыми. Число бракованных деталей Число ящиков 0 12 1 28 2 — 3 — 4 7 5 2 Восстановите их, зная, что ящиков с двумя бракованными деталями оказалось вдвое больше, чем ящиков с тремя бракованными деталями, а в среднем в каждом ящике было по 1,85 бракованной детали. Для рассматриваемого ряда данных укажите моду. Чему равен размах этого ряда данных? 1102. Проведя подсчёт числа орфографических ошибок, допущенных учащимися, составили таблицу частот, в которой три числа оказались стёртыми. Число ошибок Частота 0 4 1 — 2 — 3 — 4 7 5 4 Восстановите их, зная, что среднее из этих чисел на 4 больше предыдущего и на 3 меньше последующего, а в среднем учащиеся допустили по 2,5 ошибки. Для рассматриваемого ряда данных укажите моду. Чему равен размах этого ряда данных? 1103. По данным таблицы распределения призывников по росту, представленной в упражнении 1053, составьте новую таблицу с интервалом в 10 см. "1 252 Глава V Степень с целым показателем. Элементы статистики 1104. Имеются следующие данные о годовых удоях молока на молочной ферме: Годовой удой молока, л Число коров до 1000 2 1000—2000 8 2000—3000 23 3000—4000 13 4000—5000 2 Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний годовой удой молока от одной коровы на этой ферме. 1105. В ходе статистического исследования были опрошены 80 учащихся, которых попросили указать время (в минутах), затраченное на дорогу от дома до школы. По результатам исследования были составлены два интервальных ряда: один с интервалом длиной 5 мин, другой с интервалом длиной 10 мин. Для каждого интервального ряда построили гистограмму. Чем различаются эти гистограммы и что у них общего? Дополнительные упражнения к главе V 253 ЗАДАЧИ повышенной ТРУДНОСТИ |110в.| Сократите дробь: а) б) 16а" + 4а п + 2 + а" |1107.| Решите систему уравнений: x + y + z + u= 5, i/ + z + u + v=l, z + u + v + x= 2, u + v + x + y = О, v + x + y + z = 4. ;1108.| Докажите, что уравнение х'^ - 5х^ - 4х^ - 7л: + 4 = О не имеет отрицательных корней. [1109.1 Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключённую между дробями ^ |1110.| Какой цифрой оканчивается сумма 54^^ + 28^^? [ТПП Решите уравнение х^ - 2х + - 4у + 5 = 0. I1112J Найдите корни уравнения х^ 2л: - - + Л- 13 = 0. \ПШ) Найдите все дознанные числа аЬ, где Ь > а, при которых зна-, аЬ чение дроби-- равно целому числу. а + о X 11114.1 Найдите три различные обыкновенные дроби вида-, сум- ‘л; + 1 254 ма которых равна натуральному числу. Задачи повышенной трудности 11115.1 Найдите целые значения х, при которых функция у = - -^2о'-2^Г+^6ж^-^^ принимает целые значения. [1116.1 Найдите все целые значения функции у = ^/12 + 2735+ 2х-х^ - yll2 - 2у1^+2х - х^ , которые она принимает при целых х. [1117.1 Представьте многочлен л:® + х"* + 1 в виде произведения четы- рех многочленов ненулевой степени 11118.1 Упростите выражение 2 1 Р 2 1 Р - -Я д-р •^-7) h? —. Укажите допус- р - я 11119. тимые значения переменных. Функция у от X задана формулой у = ^ ^, где ad—ЬсФ 0. сх + а Пусть значениям аргумента х^, Х2, х^ и Х4 соответствуют значения функции у1, у2, Уз и 1/4. Докажите, что Уз - У\ . У* - У\ ^ . х^- Xi Уз - Уг ‘ У4-У2 Xs- Х2‘ x^- Х2’ [1120.1 Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению х^ - у^ = 69. [1121.1 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида а + 6л/2, где а и Ь — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде. [112271 Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения (х + 1/л/2)(х - 1/V2) = 1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению. 11123.1 При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х^ + X + т = о равна 13? [1124.1 Решите уравнение (х^ - = 4ах -1-1 относительно х. [1125.1 Найдите наименьшее значение выражения (а - 1)(а - 2)(а - 5)(а - 6) -I- 9. Задачи повышенной трудности 255 [1126.1 Сумма квадратов корней уравнения + рх +1 = О равна 254. Найдите коэффициент р. 11127:1 При каком значении а сумма квадратов корней уравнения + (а - 1)лг - 2а = О равна 9? Г1128.1 Докажите, что при любом натуральном п, большем 2, корни уравнения л: + — = п — иррациональные числа. X [1129J Докб1жите, что функция у = + 2-j2x + 2 + -Jx^ - 2-j2x + 2, где -л/2 < X ^ V2, линейная. 11130.1 Из города М в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую автомашину. Эта машина доехала до города М, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами М я N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч. 256 11131.1 Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика? Г1132.1 Расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения за 6 ч. За сколько часов проплывает по течению это расстояние плот? [1133.1 Катер прошёл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывёт плот? [1134.1 Из пунктов А я В одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта В. Прибыв в пункты А я В, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Найдите расстояние между пунктами А я В. [1ТЗ§:| ИзАвВиизВвА выехгши одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист? [ПЖ] Из АвВиизВвА выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого? Задачи повышенной трудности [1137.1 Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 7 — ч больше, чем при одновременной рабо- 3 те обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал? |1138.1 Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь? |1139.[ Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число. ill40j Найдите члены пропорции : Х2 = : х^, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793. I114ij Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 25 км? jll42J Докажите, что если а + с = 2Ь и 2bd = с (Ь + d), причём Ь ^ 0 J л ас и а 5* о, то - = —. о а Постройте график функции, заданной формулой у = ——. ■Jx Постройте график функции, заданной формулой: а) 1/ = |д:-1-2|-(-|х-2|; б) г/ = |л:-1-1|-|х-1|. [114б;1 1146. Постройте график функции, заданной формулой у = х + ^ Пересекает ли график функции у = ^ прямую: а) л: = 0; 6) у = 0; в) х = 3; г) [1147^ Постройте график функции: ' , 2л: + 3 , 12 а) у = ------; в) J/ = X !/ = 3? б) у = X 4- 5х V) у =- X - 4 6 д: + 3 Задачи повышенной трудности 257 iii^.| Докажите, что графиком уравнения ху - 2х + Зу - 6 = О является пара пересекающихся прямых. 1149^ Докажите, что графиком уравнения {у - 2)(у + 3) = О является пара параллельных прямых. 11150.1 Постройте график уравнения: а) ху + 3х= 0; г) (х - yf + (.х- if = 0; б) (х - у)(у - 5) = 0; д) - 4 = 0; в) {ху - 6)0/ - 3) = 0; е) г/2 _ 9 = 0. |1151.| Докажите, что если числа а, Ь и с таковы, что а + Ь Ф 0, Ь + с ^ о, с + а ^ о, то при X = а - Ь а+ Ь’ У = Ь - с Ь + с' Z = с - а с + а верно равенство (1 + х){1 + у){1 + 2) = (1 - х)(1 - у){1 - Z). ^1152:1 На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых? ! 1153.1 Докажите тождество + баЬ + 2ЬЬ^ г— гг ------—--------АЬ = ыа + V&. а - 2ыаЬ + 5Ь 258 Задачи повышенной трудности ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О дробях Простейшими дробями пользовались ещё в древности (2 тыс. лет до н, э.). Так, древние вавилоняне имели специальные обозначе--„112 ния для дробей g’ 3’ з' В Древнем Египте пользовались единичными дробями, т. е. дробями вида —, где п — натуральное число. Если в результате измере-п 7 ния получалось число —, то его записывали в виде суммы единич- О ных дробей: 111 2 4 8' Такой способ представления дробей был удобен в практическом отношении. Например, при решении задачи «Разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами» этот способ подсказывал, что нужно иметь 8 половинок, 8 четвертинок и 8 осьмушек, т. е. 4 хлеба нужно разрезать пополам, 2 хлеба — на четвертушки и один хлеб — на осьмушки и распределить доли между лицами. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби, т. е. дроби, у которых числителями могут быть любые числа, а знаменателями — степени определённого числа (например, десяти, двенадцати, шестидесяти). Шестидесятеричные дроби использовались вплоть до XVII в. До сих пор единицы времени выражаются в шестидесятеричной системе: 1 минута = — часа, 1 секунда = часа. Систематическими дробями являются и десятичные дроби. Исторические сведения 259 Дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми натуральными числами, появляются в некоторых сочинениях древнегреческого учёного Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Древние греки практически умели производить все действия над обыкновенными дробями. Однако современной записи дробей с помощью черты не было. Такая запись дроби была введена лишь в 1202 г. итальянским математиком Л. Фибоначчи (1180—1240) в его произведении «Книга абака*. До этого дроби выражбши словесно, применяли особую запись, в которой около числа, обозначающего знаменатель дроби, справа ставился штрих, использовались и другие способы записи. Долгое время дроби не называли числами. Иногда их называли «ломаными числами*. Только в XVIII в. дроби стали воспринимать как числа. Этому способствовал выход в 1707 г. книги английского учёного И. Ньютона (1643—1727) «Всеобщая арифметика*, в которой дроби не только признаются равноправными числами, но и происходит расширение понятия дроби как частного от деления одного выражения на другое. В этой книге, в частности, говорится: «Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обозначает частное или же величину, воз- 0 пикающую при делении верхней величины на нижнюю. Так, - озна- ^ 5 чает величину, возникающую при делении 6 на 2...,-величину, 8 с о “ возникающую при делении о на 8..., - есть величина, возникающая . аЪ - ЬЬ при делении а на о...,--означает величину, получающуюся при а + X делении аЬ — ЬЬ па а + х, тл т. д. Величины такого рода называются дробями*. О действительных числах 260 Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению. Необходимость выполнять измерения привела к положительным рациональным числам. Решение уравнений привело к появлению отрицательных чисел. Необходимость наряду с положительными числами рассматривать и отрицательные числа хорошо видна в задачах о прибылях и убытках. Впервые отрицательные числа появились в Китае. Долгое время отрицательные числа считали «придуманными* и «ложными* и истолковывали их как «долг*, как «недостачу*. Не сразу появилось и число нуль. Возможно, что специальный знак для нуля появился только в XIII в. Исторические сведения Правила действий над положительными и отрицательными числами длительное время рассматривались лишь для случаев сложения и вычитания. Например, индийские математики VII в. так формулировали эти правила: «Сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов есть долг, сумма имущества и долга равна их разности». Лишь в XVII в. с использованием метода координат, введённого Р. Декартом и П. Ферма, отрицательные числа были признаны в качестве равноправных с положительными. С появлением отрицательных чисел операции сложения, вычитания и умножения чисел стали выполняться всегда. Целые и дробные числа являются рациональными числами. Эти числа удобны для вычислений: сумма, разность, произведение и частное (при условии, что делитель отличен от нуля) двух рациональных чисел являются рациональным числом. Рациональные числа обладают свойством плотности, поэтому всякий отрезок можно с любой степенью точности измерить отрезком, принятым за единицу, и его долями и выразить результат измерения рациональным числом. Поэтому рациональные числа долгое время вполне обеспечивали (и обеспечивают до сих пор) практические потребности людей. Тем не менее задача измерения величин привела к появлению новых, иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора (VI в. до н. э.) было доказано, что нельзя выразить рациональным числом диагональ квадрата, если за единицу измерения принять его сторону. Такие отрезки, как диагональ квадрата и его сторона, назвали несоизмеримыми. В дальнейшем (V—IV вв. до н. э.) древнегреческими математиками была доказана иррациональность л/л для любого натурального л, не являющегося точным квадратом. Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако долгое время не признавали их за равноправные числа. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта. На координатной прямой каждое рациональное или иррациональное число изображается точкой, и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует некоторое рациональное или иррациональное, т. е. действительное, число. С введением иррациональных чисел все «просветы» на координатной прямой оказались заполненными. Имея в виду это свойство, говорят, что множество действительных чисел (в отличие от множества рациональных чисел) является непрерывным. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической). В XVIII в. Л. Эйлер (1707—1783) и И. Ламберт (1728—1777) показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Непериодическая бесконечная десятичная дробь представляет иррационгшьное число. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К. Вейерштрассом (1815—1897). Исторические сведения 261 Другие подходы к изложению теории действительного числа были предложены немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831—1916) и Г, Кантором (1845—1918). О квадратных корнях с давних пор наряду с отысканием площади квадрата по известной длине его стороны приходилось решать и обратную задачу: «Какой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась а?» Такую задачу умели решать ещё 4 тыс. лет назад вавилонские учёные. Они составляли таблицы квадратов чисел и имевшие большую точность таблицы квадратных корней из чисел. Вавилоняне использовали метод приближённого извлечения квадратного корня, который состоял в следующем. Пусть а — некоторое число (имеется в виду натуральное число), не являющееся полным квадратом. Представим а в виде суммы + с, где с достаточно мало по сравнению с Ь^. Тогда ■Ja = -Jb Например, если а = 112, то -ДТ2 = ■уДо^'+Т2 ~ 10-f — = 10,6. Проверка показывает, что 10,6^ = 112,36. Указанный метод извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим учёным Героном Александрийским (I в. н. э.). В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), а затем сокращённо буквой R (отсюда произошёл термин «радикал», которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить ромбик ♦, впоследствии знак v и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современная запись корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Ролля (1652—1719). 262 О квадратных уравнениях Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х^ ± х = а) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики. Исторические сведения сводя их решение к геометрическим построениям. Задачи на построения с помощью циркуля и линейки сводятся по существу к решению квадратных уравнений и рассмотрению выражений, содержащих квадратные корни. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах = Ь или ах^ = Ь. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду ах^ -¥bx= с, где а > О, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений, записываемых в современных обозначениях как уравнения вида = Ьх, ах^ = с, ах^ + с = Ьх, ах^ + Ьх = с, Ьх + с = ах^ (буквами а, Ь и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали), и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду х^ + Ьх = с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487—1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595—1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так: корнями уравнения (а + Ь)х - х^ = аЬ являются числа а и Ь. О неравенствах Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счётом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа п: 3^< л <з|. 71 7 Исторические сведения 263 Ряд неравенств приводит в своём знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенство 2 В «Математическом собрании» Паппа Александрийского (III в.) доказывается, что для положительных чисел а, Ь, с л d ас , , если — > — , то аа > ос. о d Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII—XVIII вв. Знаки < и > ввёл английский математик Т. Гарриот (1560—1621), знаки ^ и ^ — французский математик П. Буге (1698—1758). 264 Исторические сведения СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА Выражения и их преобразования 1. Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а: п раз Степенью числа а с показателем 1 называют само число а: a^ = а. Степень числа а ^ О с показателем О равна 1: а° = 1. 2. Свойства степеней с натуральными показателями: а) o'” • а" = а'" ". При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают. б) а'^ : а" = а™ " ", где а ^ О, т > п. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. в) (o'”)" = а"*". При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. г) (а&)" = a"fc". При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. Сведения из курса алгебры 7 класса 265 3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, ба^дс, -За^&^, 4, х, — одночлены. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена -8а%* равна 6. 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, Зл:® - 4х^ -I-1, 7а^Ь - аЬ^ + аЬ + & — многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена Ъх^у + Зх^у^ + ху равна степени одночлена Зх^у^, т. е. равна 7. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например, (ЗаЬ + 5с^) -I- (аЬ - с^) = ЗаЬ -ь 5с^ + аЬ - = 4аЬ + 4с^. При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например, (6х^ - у) - (2х^ - 8у) = 6х^ - у - 2х^ + 8у = 4х^ + Чу. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например, (ЗаЬ - +1) = ЗаЧ - + а^. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например, (5х - 1)(3х + 2) = 15х^ - Зх + 10х~ 2 = 15х^ + 7х - 2. 266 6. Формулы сокращённого умножения: а) (а + Ь)^ = + 2аЬ + Ь^. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. Сведения из курса алгебры 7 класса б) (а - bf = - 2аЬ + Ь^. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. в) (а + Ь)^ = + За^Ь ЗаЬ^ -f- Ь^. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. г) (а - Ь)^ = а® - За^Ь -I- ЗаЬ^ - 6®. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. д) (а - Ь)(а + Ь)= - Ъ^. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. е) = (а + Ь){а^ - аЬ + Ь^). Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. ж) = {а - Ь)(а^ + аЬ + Ь^). Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы. 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов. Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5лг® - х^у можно разложить на множители, вынеся за скобки х^: 5jc® - х^у = х^ (5х - у). Многочлен Зх - Зу - ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки: Зх - Зу - ах + ау = (Зл: - Зу) - {ах - ау) = = 3{х-у)-а{х-у) = {х- у){3 - а). Многочлен o'* - 25л:^ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений: а^ - 25x2 ^ (д2)2 _ (5д.)2 ^ (д2 _ 5^)(д2 + 5д.)_ Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов. Сведения из курса алгебры 7 класса 267 Уравнения 8. Корнем уравнения с одной переменной называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 8 — корень уравнения Зх + 1 = 5дс - 15, так как верно равенство 3-8 + 1= 5-8 - 15. Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. 9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнения = 25 и (х + 5) (х - 5) = О равносильны. Каждое из них имеет два корня: -5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства: если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. 10. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ах = Ь, где х — переменная, а и 5 — числа. Если а о, то уравнение ах = Ь имеет единственный корень —. 2 “ Например, уравнение 7х = 2 имеет корень —. Если а = о и Ь ^ о, то уравнение ах = 5 не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 7 не имеет корней. Если а = о и б = о, то корнем уравнения ах — Ь является любое число. 11. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х=-1, у = 4 — решение уравнения 5х + 3у = 7. Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными. В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному. 12. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах + by = с, где х иу — переменные, а, Ькс — числа. 13. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. 268 Сведения из курса алгебры 7 класса Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая. 14. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращаюпдую каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = -1 — \х +у = 6, решение системы < так как является верным каждое [2х- I/ = 15, из равенств 7 (-1) = 6 и 2 • 7 - (-1) =15. Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными. 15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения. При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение: если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы; если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом: выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую; подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом: умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами; складывают почленно левые и правые части уравнений системы; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной. Сведения из курса алгебры 7 класса 269 функции 16. функциональная зависимость, или функция, — это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. 17. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + Ь, где х — независимая переменная, k VI Ь — числа. Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + Ь. Если к ^ О, то график функции у = кх + Ь пересекает ось х; если ft = О и & it О, то прямая — график функции у = кх + Ь, параллельна оси х; если ft = О и & = О, то график функции совпадает с осью х. Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы. Линейную функцию, задаваемую формулой у = кх при ft О, называют прямой пропорциональностью. График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При ft > О график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при ft < О — во второй и четвёртой координатных четвертях. 18. График функции у — х^ — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у. График функции у = х^ проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начета координат. 270 Статистические характеристики Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Сведения из курса алгебры 7 класса Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Например, медиана ряда чисел 17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел 28, 43, 54, 56, 58, 62 равна 55. Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответствующего упорядоченного ряда. Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Сведения из курса алгебры 7 класса 271 Список дополнительной литературы 1. Агаханов Н. X. Математика. Районные олимпиады. 6—11 классы / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский. — М.: Просвещение, 2010. 2. Баврин И. И. Старинные задачи / И. И. Баврин, Е. А. Фрибус. — М.: Просвещение, 1994. 3. ВолошиновА. В. Мудрость Эллады / А. В. Волошинов. — М.: Просвещение, 2009. 4. Всероссийская олимпиада школьников по математике. Смотрите в Интернете по адресу: www.problems.ги/ 5. Галкин Е. В. Задачи с целыми числами: 7—11 кл. / Е. В. Галкин. — М.: Просвещение, 2011. 6. Глейзер Г. И. История математики в школе: VII—VIII кл. / Г. И. Глейзер. — М.: Просвещение, 1982. 7. Государственная (итоговая) аттестация выпускников 9-х классов в новой форме. 9 класс. Смотрите в Интернете по адресу: www.fipi.ru 8. Дорофеева А. В. Страницы истории на уроках математики / А. В. Дорофеева. — М.: Просвещение, 2007. 9. Игнатьев Е. И. В царстве смекгшки, или Арифметика для всех. Кн. 1 / Е. И. Игнатьев. — М.: Просвещение, 2008. 10. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех. Кн. 2 / Е. И. Игнатьев. — М.: Просвещение, 2008. 11. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех. Кн. 3 / Е. И. Игнатьев. — М.: Просвещение, 2008. 12. Кордемский Б. А. Великие жизни в математике: кн. для учащихся 8—11 кл. / Б. А. Кордемский. — М.: Просвещение, 1995. 13. Кордемский Б. А. Удивительный мир чисел: мат. головоломки и задачи для любознательных: кн. для учащихся / Б. А. Кордемский, А. А. Ахадов. — М.: Просвещение, 1996. 14. Московский центр непрерывного математического образования. Смотрите в Интернете по адресу: www.mccme.ru/ Рекомендуем рублики: «Олимпиады для школьников», «Журнал ,,Квант“». 15. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия / Я. И. Перельман. — М.: ACT, Астрель, 2002. 16. Пичурин Л. Ф. За страницами 5шебника алгебры / Л.Ф.Пичурин. — М.: Просвещение, 1999. 272 Список дополнительной литературы I i I i предметный указатель Абсолютная погрешность 174 Внесение множителя под знак корня 97 Выборка 225 Вынесение множителя за знак корня 97 Выражение дробное 6 — рациональное 6 — целое 5 Генеральная совокупность 225 Гипербола 46 Гистограмма 234 Двойной радикал 105 Дискриминант квадратного уравнения 124 Дополнительный множитель 11 Допустимые значения переменных 6 Дробь бесконечная десятичная 64 ------- непериодическая 69 ------- периодическая 64 — рациональная 6 Интервал 182 Интервальный ряд 227 Корень квадратный 74 ----арифметический 74 Ненулевой многочлен 10 Неравенства равносильные 186 Неравенство линейное с одной переменной 189 Обратная пропорциональность 44 Объединение множеств 179 Основное свойство дроби 10 Относительная погрешность 176 Пересечение множеств 179 Период десятичной дроби 64 Подкоренное выражение 74 Подмножество 62 Полигон 233 Полуинтервал 182 Пустое множество 179 Порядок числа 222 Решение неравенства 186 — системы неравенств 195 Среднее арифметическое 162 — гармоническое 39 — геометрическое 162 Стандартный вид числа 222 Степень с целым показателем 214 Теорема Виета 134 ---- обратная 135 Тождество 11 Уравнение дробное рациональное 139 — квадратное 118 ---- неполное 118 ----приведённое 118 — с параметром 149 — целое 139 Формула корней квадратного уравнения 124 Формула среднего гармонического 39 Число действительное 69 — иррациональное 70 — рациональное 61 Числовой луч 182 — отрезок 182 — промеясуток 182 Предметный указатель 273 ±d=fcl ±d ОТВЕТЫ Глава I ■; a) 2,5 ч; б) 2 ч. 12. д) Все числа, кроме 6 и -6; 4. а) -10; б) 2,5. 8. t =— Щ + V2 е) все числа, кроме 0 и -7. 18. а) При а = 0; б) при а = 3. 19. При Ь = 0; б) при Ь = 2. 25.&)Щ; б)^; в)^; г) 2т; а)~; е)|. 27. а)1; 0“= 2х^у 2 Зс 3 б) 3. 29. а) б) в) г) д) 1; е) Зх. 30. а) б) — 2ао 2Ь 3 6а 3 д: + Зу Д)^^; е)^^. 31. а)-^; б)а2 + аЬ + Ь2. 32. а) 100; 7с а-3 а-5 у-3 а + Ь б) 1,5. 33. а) б) в) г) У + 8' а - 1 _ 2ь + 4 ^ . 34. а) Зх -у; б) “ 2Ь- 1 В)^--; г)1-а + а2. 35. а)Ц^; б)B)i^; г)-^. 38. а)-1; б) 1; х~г 7 Ь-а х+у а-X в)Ь-о;г)—Ц-;д)а + 6; е) 1. 40. в) г) д) е) —ж) а-Ь Ь 3 3 1-х Ь-а з)Ъ-2. 41. а) б) - ^. 42. а) х^; б)-у*; в)-Ь®; г) с® + с^. 43. а)--; Ь о 8 6)0,01. 44. а)4а-4Ь; 6)9c + 27d; в) ; г) ~ У . 50. а) -3,2; 5 50х + 25у б) 0,1; в) 12; г) -0,5; д) 5. 56. а) 27-13Х. 15р-2. j/-l. 2p-llg Зр^ ; в) г) 5р д) -—; е) 59. а) 16,25; б) 6. 60. Нет, т. к. необходимо убедиться, что с Ь -ЗаЬФО. 82. а)6)5; в) 1; г)-1; д)-^—; е)у+ 1. 64. а) p-q а+3 х-5 б) . 65. а) ; б) . 68. При л = 1, 2, 3, 6. 70. а) 7; б) 3; в) 1; г) -20. Х-5 X + 4 8 - а 74. б) А; r)Vzi^, 75.a)ii^±l^; б)^^^^. 76. д) ~ За5 ~ 35^ 45’ 1205р ’ 36а ^ 24J/ аЧ^ х2 - хр-2р2 2x^-3 ,,, 25-1 ,50^-6 ^Ь^х-2Ь „„ , ,, ,а е)----Г2—^-77. а) ;б) , ; в) ; г) —. 78. в) 0; г) -. х^у^ 12х^ 6а5^ 15а® 6х® Ь 274 Ответы руп \2-у ^ Р^+Я^ ^Зт‘-2п^ on \ ^ ч 1 79. а)----б) ; в)^ ; г) . 80. д) -; е) -—; ж) —------; у 2 ЗаЬ бт^п^ а 2р 2 а . Ь^+с^ ач .2а + ЗЬ+3 .Ь^ + 5Ь-1 „„ .а-6 ,41а-5 .5Ь-За З)-г;—.81. в)----; г)------.82. в)—— ;г)——;д) 2Ь 12 _^аЬ-Ъ^ ап _чЗл: + 31/. 2л: + 2. _^Зб-Ъх+1у _ 17о+17&+30 е) . оо. а) ; о) > bj * г) 4 X 12 15 а 84-д)—1^; е) 2р г) 86 PX-Sp . g. 8ал: + 2ау . . Па . 9р2_1- бл;2 - л: - 2 ’ - ху - 2у^ ' ^30х-60' оо ч а + л: 2у - & .1 1 „„ , - 6х . 2 ®)-----------•89.а) —;б)—-.90. д)-—;е)—^—7‘ 48а -144 X и аЬ аЬ х - 3 - 1 - 4 23Ь 91. а) 8а ■; б) 2i^ (а - 5)(& + 8) {2у + 3)(3х - 2) 92. а)?—б) Ъ+с б) Ь- 5а аЬ + 5а^ ' в) X - 4а х^ + 4ах ’ 93. а) Зх г) • 94. а)б) , а^ + lOai/ а-^ - 4а х^ — 16 2-Ь Ь^+2Ь’ в) 2; г)0. 95. а)б)96. а) б) 15 27 у + 2 а-6 х^+ ц2 в) 4 г) 2{x-yf' 'b(b-af‘ 97. а) - 8 б) 36 ; в) 2х - 4 .1 аа \ 2 -; г)-----. 98. а) 2a + ft’ (а-3)2 (а+ 3)2 х2 + 2х + 4 а-1 ; 6)i. а - 4Ь Ь 103. t = —:Д^4г; а) 4 ч 10 мин; б) 5 ч 20 мин. 104. t = 6 ч 40 мин. у2 - 25 ,,, . 8а2 .45 „ . 4 111. в)--; г)—. 112. в)-——; т а 15ху . 10а2х . г) - , ■ 113. в) v{v-2) 13тх 114. а) т 55® ’ б)^^. 115. в) п” ЮООт® ; г) 951/2 81а^ 4Ь* ■ За ч 4а^52 116. в)---—г) - 9oi2n® 117. в) г) 118. 14. 120. в) г) 20^5+^ ’ п^р^ Ч4а« 31/+ 6 а-35 аху 11x2 За5 27х^ 8г/« 1 б) 4. 122. а) б) -^. 123. в) £Е!±5£±6. У^^Иу+ЗО ^^4. а) 1; х2 6х а + 5 6 4 , 1 2 . 2а-25 5х-55 а-45 б) -1 —;-. 125. а)—5-;б)-----. 129.----. 130. а) 3 ч; б) 2 ч 31 мин. 9 21 + аЬ ах + 5а а-5 1Z1. а) X = 6) X = в) X = аЬ-а; г) x=10t-10a. 194. ъ) ■ 1Жв)^; 6)Ц. 137. а) аЬ Зп° 3my2 ’ 1 -.0-35 - OQ . ах2 . 9 X — Зу а + ЗЬ 44 4т _а_. Д?’’ + 2ху . . 6а - 35 . ^^215’ ^ 5 ’^2а2 + а5’ ^2ог-Зп . 139. г) 140. а) —; -1; Я 11 б) 0,42. 142. а) х+ 1 б) 2ар — 6а р2 + 2р + 4’ 143. а) с = аЬ а + Ь' б) 5 = ас а -с 144. а) 25-3 ; б) ас с-Ь — За2 145. 2 км/ч. 148. а) ——б) в) тгС (а + 5)2 52 Ответы 275 г) 0. 149. а) ^ ; б) —в) -о; г) х. 150. а) 10 б) 10. 152. а) 2ж- 1 16 9-а 2 ’ б) J/+1 бдс - 1 2т + 1 ; б) х-2 151. а) 6; , с . 2а + 2ц , . 1 + а —7» в)—; г)------------153. а):;----------; б) 1,5дг; Ах^ -1 а ах - За 1-о в) ^ ; т) у - 5.154. а) 1; б) а; в) х^ + 1; г) -т. 155. а) 2х^+ 2ху; б) —— а + 2 2ху 156. а) 1-х ;б) —° 157.Приа=1; 36. 158. При 6 = 0; -. 163. в) +V 4а + 8 2 У .аЬ + Ьс + ас ,2jc-a ,.а-Ъ+Зс г) 4. 164. а) - ^; б) 1; в) —^;г)——; . -. 165. а) —;б) х+ 1 х^-у^ а + Ь + с 2х + а а + Ь- с в)^^; г)-^. 166. а) б)-. 167. а)б) а+ 6. 168. а) 3; б)-1. Ь X У-х х + у 170. а) 3,75; б)3у; в) 9,6. 171. 72 км/ч. 172.4,8 ч. 173. «10,2 км/ч. 175. a)y = 3x+4;б) {/ = -—X. 177.12 см и 32 см. 178. Через 4 ч. 190. а) г/ = i; 2 X Л\ \ б t ПС ^ 6)j/ = —;в)у = —.196.------ X X X + 7 197. а = -6, Ь = 12. 200. При а, равном -1, 1, 3, 5. 201. а) -2; 2; б) -9; -8; 0; 1. 205. а = 8 и 6 = 56; а = 14 и 6 = 14; а = 56 и 6 = 8. 206. 30. 207. 7|i. 209. у = 60(10-2Ю. д) Все о о \ \ а - с (а + 3f , 4u^ + 2u + 1 числа, кроме -3 и 3; е) все числа. 214. а)-----; б) ^в) —-—---------------- а + с 3 - а 2у^ + у 25а 1 . 215. а) б) il—M., 216. а) , 5а + ЗЬ а+Ь Зд: + 2 6^+1 ; б) г11 -1 ; в) ху- г) 1-а6. 218. а) i;6) 1^; в) 45; г) ^ 223. а) При л = 1, 2, 3, 6; б) при л = 3 %7 О У 4, 6, 12; в) при л = 1, 2, 3. 224. а) 6; б) 4; в) 0,2; г) 1,4. 225. а) 2; б) - 3 в) 1; г) 0,5. 229. а) 2у+1 ; б) 20 8 . 231. а) б) 15а+ 8 у^-9 3-2а ; в) 2т + 1 12Л1-6 г) 4у^ , 6а* + 3 , д)-'я , ;е) 2х 233. а)-^;б) 1. 235. а) При а =-6 х^ + ху + у^ аЬс (х^ - y^f ' а’’ - 1 б) при а = 5; в) при а = 6; г) при а = 7. 237. а) При л = ±1, ± 3; б) при л = ±1, ±3; ±9; в) при л =-8, -5, —4, -3, -1, 0, 1, 4. 238. а) а = 2, 6 = 3; б) а = 8, 6= 3.239. a)5^i|g-;6) 243. а)5)-ху, в) ^ ° ; (a-bf (x + bf a-b (2а - bf 276 г) 244. а) х2- б) -а. 248. а) б) (с - 2г у - г а“- х^ 250. «9,4 ч. 251. «68,6 км/ч. Ответы ; в) х+1 2х+\ ; г) д: + 1. Глава II 267. в) 0,(142857); г) -2,(2); д) -0,5(3); и) -1,075(0). 272. а) 4а ;б) а + Ь' ' (х+If ' 288. а) 3,2; б) 3,11; в) 3,115. 289. а) 16,6; б) 16,56. 290. 28,26 см. 291. 314 294. б) - . 304. д) 10; е) 6,2. 305. д) -0,01; е) 0,09; ж) -0,7; з) 3. Ь 308. а) Точка А; б) точка В. 314. а) При х = 9,2; б) при х = 13,5; в) при X = 1,5. 322. г) -0,7 и 0,7; д) -Vio и л/iO; е) корней нет. 323. а) Корней нет; б) -0,3 и 0,3; в) -л/^ и 7б0; г) корней нет; д) 0, -Тз и л/З; е) 0, -VIT и Vn. 324. а)-2 и 8; б)-7 и -1; в) 6 - л/7 и 6 + V7; г)-2-л/б и -2 + >/б. 330. а) 1,29; б) 19; в) 42; г) -17. 331. а) 9; б) 28; в) 18; г) 56. 332. а) -12; б)-45; в)0; г) 2. 334. а)-3; 6)3. 337.л/б = 2,44.... 341. 4,2 см. 342. &)^(а + Ь)с; 6)S + a. 344. а) 10,12; б) 6,17; в) 7,04; г) 0,95; д) 4,08; е) 14,88. 348. а)-5,48 и 5,48; б) -1,20 и 1,20; в) -0,46 и 6,46; г) -3,83 и 1,83. 349. а) -0,3; 6) 6,6; ^б) . 366. а) 8,2; 6)36; в) 12; г)-5. 5 + 2а 2р + Зд: в) 6,6; г) 9. 351. а) 372. а) 12; 6) 0,0033; в) 1 —; г)3-. 373. а) 9; 6)0,24; в) г) l|. 27 2 1о о 374. а) 180; б) 50; в) 48; г) 28; д) 30; е) 6; ж) 24; з) 2,6. 375. а) 60; б) 60 в) 42; г) 32. 376. д) 12; е) 12. 377. д) 6; е) 383. д) 4,5; е) 3,1; ж) 0,22 16 з) 0,58. 384. в) 0,27; г) 3,9. 385. ж) 15; з) 2. 392. а) 130; б) 7. 396. в) Зс г) -Ъу, д) -бд:; е) Зу; ж) —Юдг; з) —2а. 401. ж) 45; з) 392. 402. д) 48; е) 1125 ж) 112; з) 675. 403. а) 144; б) 225; в) 168; г) 825. 404. а) 48; б) 135; в) 504. 419. В первый день переплели 36 книг, во второй день — 48 книг, в третий — 60 книг. 420. а) -2,5; б) -7,2. 421. б) 7>/2; в) Зл/2; г) >/3; д) 2-У2. 422. д) -3V2; е) Зл/2. 424. в) 6; е) 42 - 8Vs. 425. а) 14; б) 8. 426. д) 6; е) -19; ж) 38; 3) 2. 429. в)-^—; е)-----------. 430. д) ^ ; е) • 440. 20. ■Jx + 2 2yfx+3,Jy V2 ® 441. а)-1; 6)8^. 444. а) Vs + 1; б) л/7 -2. 445. а) 3; 6) 5. 446. а) л/М + 1; 8 б) -Job-4^. 447. а) л/ГО; б) VlO. 449. б) 450.1. 452. а) -л/2; б) 2. 2 453. а) Va-1 + 1; б) 2. 460. в) 0,(846153); г) 0,(037); д) 0,0(571428); е) -0,3(18); ж) 0,7(6); 3)0,2(18). 463. г)^;д) 10,22. 465. б)|;д) 40,5. 466. 49. 471. а) При 8 3 X > 0; б) при д: > 0; в) при д: > 0, кроме д: = 1. 476. в) 9,1; г) 1,08. 477. а) 8,5; б) ^;в) ^;г) ^.478. а) 45; б) 0,9; в) 100; г) 0,04. 481. г) 3,2; 96 29 135 4а® 2д: д)8,1; е) 0,001; ж)-64; з) 0,025. 487. г)-0,5pi/3. е) ж) з) Ьг у За Ответы 277 490. а) |a|Vl5; б) 21дг^л/3; в) 0,5xV^; т)Ъа^4а\ д) 3a|alV2&; e)-4m®V§a. 493. 6)х + ф^; г) т4п~п4т\ е) За-4аЬ-2Ь; з) 6x~5x~j2. 494. в) m-Jm - n-Jn; г)л:3 + уХ. 497. в) 2; г) 3^. 501. 2. 502. а) х + + у; б)----------; 4 а- -Jab + Ь в) л/2 - г) -7=^-7=. 503. а) V2; б) в) г) д) ч/З; е) VIo - 7з - 1. va + л/З V2 V2 V2 505. а) б) 27-ал/^ в)1±^; S06.a)-i^£=; х-г/ 9-а 1-4д: a2fe-4 х + ^ a^-fc , 49-а , mn -1 , 2+V2-V6 >/5-3>/3+2л/15 + 4 а?у[Ь-аЪ 343 + aVa тп-\1тп-1 4 22 508. При л: = 0. 509. а) -VlO; б) sVIS; в) 73; г) 3,5>/б. 510. а) -i; б) •Jab (а - Ь). Глава III 512. г) Уравнение равносильно квадратному уравнению х^ + х - 1 = 0. 518. а) 0; -1,5; б)-|л/б; |>/б; в) 0; г) 0; i; д)е)-л/З; 7з. 521. а) 0; 2; б) -1; 1; в) 0; ^;г) 0. 522. а) 0; 1; б)-|л/б; ^7б; в)-1л/2;^л/2; г) -VS; л/б. 523. а) 0; -9; б) -VS; в) -2; 2; г) корней нет. 524. 2 и 3. 2 2 525. 40 м и 20 м. 526. 12 см. 527. = 2,5 ч. 528. «4 с. 529. 280 м. 530. 20 и 15 дюймов; « 50,8 см и « 38,1 см. Указание. Обозначьте стороны прямоугольника через Ах и Ъх. 532. 3,96; 59. 534. а) 1; 1 — ; б) 0,6; 1; в) 2; 2 — \ 3 3 г) 2; 2,5; д) 0,2; 1; е) -3; 2|;ж)-2; 12; з)-10; 9. 535. а)-|; |;б) ^; 3 + <^2д 1 -------; в) корней нет; г) —; д) -8; 19; е) корней нет. 536. а) 0,2; 2; 2 9 б) -6; 2,5; в) if; г) -|; д) е)537. а) При х = 5 и 3 5 7 4 4 4 с а\ 7 “ V41 7 + V41 V л о ч -I л: = о; б) при х =------и л: =-----; в) при х = 0 и д: = 3; г) при д: = -1 и 2 2 ле = 1. 538. а) При х = 2 и л: = 9; б) при х = 0,5 и ле = 2. 539. а) 2; 2 — ; 3 б) 0,2; 3; в) -10; 8; г) -1; 23; д) 3,5; 5,5; е) -1; 2-^; ж) 15 7 7 з)5-5л/2; 5-(-5л/2; 540. a)i; 1^; 6)-l|; в)-i; г)-6; 14; д)-3-2л/7; 2 4 2 о 2 278 Ответы -3 + 2л/7; е) -6; 0,8; ж) 17; з) -б|; -4. 541. а) 3; б) 1; if; в) -1; -0.8; О Z о г) —; д) корней нет; е) -11; 2; ж) 4; 8; з) 0,7; 0,9. 542. а) -0,2; 2; б) -7; 2; 6 в)3-3>/2; З+Зл/2; г)-4; 5; д) 16; 36; е)-1;2:^; ж) |; 15 5 4 543. а) 1; 25; б) -10; -; в) -8; 12; г) 3; д) 20 - loVS; 20 + lOVS; е) корней 3 __ 3 ___ нет. 544. а)-0,2; 1,7; б) ; b)5-VS; 5+^/5; г)-4; 0,5. 6 6 545. а)-8; 3; 6)1^; 4; в)-2^; -2; г)-^; д)-91; 87; е)-59; 53; ж) 0; 2 4 3 15 з)-2;3. 546. а)-1; 23; б) 2; 2-; в)—;1; г)-5;-3. 547. а) лг! ~-0,36 3 26 Х2 = 0,56; б) ~ -2,78, Х2 « -0,72; в) ~ -1,26, У2 ~ 1,59; г) у^ ~ -9,20 J/2 “ 1,20. 550. а) « 1,35, = 6,65; б)«/, = 0,78, Уг 3,22. 551. а) -1; 2® б) -7; 5; в) -0,2; 1,8; г) корней нет; д) 25; е) -9; 3. 552. а) 7; б) 0,6; 2 3 1 в) -—; 2 — . 555. а) Не существует; б) не существует; в) а — любое число 556. 7,5. 557. а) л/з + V2; б) 2 + Зл/5. 560. 32 см. 561. 140 м. 563. 8 см, 15 см 564. 11 и 12. 565. 30 см. 566. 5 см или 8 см. 567. 15 см. 568. 26 рядов 569. 16 или 48 обезьян. 570. 50 обезьян. 571. В десятиугольнике. 572. 9 ко манд. 573. 10 участников. 574. 10 см. 575. 16, 17, 18 или -18, -17, -16 576. б) 577.1. 578. а) 0; 6; б)-1-;0. 585.-5; р = -2. 586.0,5 3 - л: 4 д = 6,25. 587. 0,6; Ь = -43. 588. -2; с = -106. 589. 35. 590. -8,75. 592. -28 597. 9,6 м^ 598. 90 см. 599. 16 см и 30 см. 600. г) 1; д) -27; -1; е) -0,2 ж) -0,5; 1; з)|; и) 0; |. 601. а)-12,5; б) 3; 4; в) 6; г)-1; 3,5; д)-2; U 9 6 о е) 0; -8; ж) 1; 1,5; з) 0; 1,5. 602. в) г) 1; 10; д) -1; 1; е) 1; 2; ж) -3^; 1 11 4 з) -3,5; 5. 603. а) 3- -У5;3+ VS; б) -6; 5; в) -4^; г) -9; 1; д) корней нет; е) 4 О 605. а) 6; б) -3; в) корней нет; г) 5; д) -6; 6; е) -4; 4. 606. а) 2; б) 1 О в) -11; г) 6. 607. а)-3; 6)-l|;0; в) 3; г)-3; 3; д) 9; 13; e)l|; 2|.608.а) 1; 7 6)1-7П; в09.6)=1^;=1^ 596. а) 0; б) в) -6; 0,8: г) -2; д) при любом х', е) -l|; ^ ООО 9 О ( 4 4 9 2 2 610. а) -V2; л/2; б) -3; 3. 615. а) б)^. 617. | 10 10 5 618. 60 км/ч и 40 км/ч. 619. 12 км/ч и 10 км/ч. 620. 80 км/ч и 70 км/ч Ответы 279 621. 80 км/ч. 622. 30 ц с гектара. 623. 20 р. 624. 220 г1кций. 625. 7 человек. 626. 12 человек. 627. 6 км/ч или 5 км/ч. 628. 2,5 км/ч. 629. 2 км/ч. 630. 500 г. 631. 60 г. 632. 15 ч и 10 ч. 633. 7 ч. 634. 10 км/ч. 635. 50 км/ч. 637. а) 0,1; 6) 3,5. 638.16. 642. При а=2 х — любое'число; при аФ2 2± л/4-26 „ —------ при о < 2; 1 при 0=2; корней нет при о > 2. х = а^-9. 643. 644. а) 4а и а при 0; 0 при а = 0; б) За и — при а 0; 0 при а = 0. О 645. а) 6 и -6; б) 20 и -20; в) 0 и 9; г) 0 и - —. 646. 5 при а = 1. 647. -1 при 8 а= 1; -1 и^^приачл 1. 648. 2k-2,2k + 3. 649. Ь = 4. 650. а) 0; 1; б) 0; 6,8; 1 “ а в)-1,2; 1,2; г) 0. 654. а)-1;-^; б)-8; 7; в)-7; 8; г) 1,6; 2; д)-3^; 3; 4 8 е) -1;4|; ж)-б|; 2; з) Ц^; 655. а)-1,2; 0,2; 6)-4|;-l|; О О А ^ о о 2 3 3 2 ®)2-;4; г)-2 — ; -1; д)--; —е)-1; 1; ж)-2,5; 2,5; з) при любом х. О 11 5 5 660. 10, 11, 12, 13, 14 или -2, -1, о, 1, 2. 661. -2, 0, 2 или 6, 8, 10. 662. 7 и 8. 663. 4 см и 10 см. 664. 1 см. 665. 0,25 м. 666. 60 или 40 пистолей. 667. 0,36 м^ или 0,81 м^. 668. 54 см и 36 см. 669. 18 и 17. 670. 13 и 11. 671. а) 2^2; З-УЗ; б) -6>/3; 4л/3; в) 3 - V2; 3 + Vl; г) 5 - Зл/2; 5 -I- Зл/2.678. 5 = ±12. 679. 21 или -21. 680. с = 3,12. 681. & = -2, с = 0. 682. 5 = 1, с = -2. 684. 36. 685. 42 или -42. 688. а) х^ + Зрх + 9q = 0; б) х^ + {р - 4)х + {q - 2р + 4) = 0. 689.qx^-{p-2q)x + q = 0. 690. а) 11; 13; б)-14; 5; в)-3; 7; г)-5; 4-; 3 2 д) 12; е) корней нет; ж) -5; 3; з) корней нет. 695. а)-; 1; б) 0,4; 0,5. ___ ___ 3 696. а) ^ у б)-1,5; 1; в) корней нет; г) 9; д) 0; е)-1; 4 4 3 ж) 2-л/^;2н-з) 0; -1,5. 698. 10 ч. 699. 9 ч. 700. 50 км/ч. 701.60 км/ч. 702. 2 км/ч. 703. 3 км/ч. 704. 3 км/ч. 705. 2,4 км/ч или 3 км/ч. 706. 3 км/ч. 707. 50 км/ч. 708. 40 км/ч. 709. 4 ч 40 мин. 710. 160 км или 200 км. 711. 450 км. 712. 18 км/ч. 713. 48 км/ч или 9 км/ч. 714. 60 см и 80 см. 715. 10 костюмов. 716. 32 пылесоса. 717. 24 кг и 36 кг. 718. 25 кг или 12 кг. 719. 15 дней и 10 дней. 720. 15 дней и 10 дней. 721. 12 ч. 722. 25 ч и 20 ч. 723. 15 мин и 10 мин. Глава IV 739. Указание. Сравните квадраты левой и правой частей неравенства. 742. Коля. 743. 3-^.744. а) ^^;б) 1. 745. а) 1; 5; б) 0,3; 2. 763. —; 22; 0. 15 7 16 764. а) -1; 1; б) 2; в) -6; 3; г) -1; 5. 779. 6 х 6 дм. 780. -. 783. а) 0,13; б) 4; 6 280 Ответы в) 0,047; г) 0,002. 787. 407,4 $ а ^ 432,6. 792. « 1%. 798. q = -48. 803. а) Отрезок С5; б) отрезок AD. 807. б)АПВ = В; А U В = А. 810. -3; О 811. 12 ц и 10 ц. 823. а) -9; б) 16; в) 31; г) 7. 825. а) (5; 8); б) [-4; 4]; в) (7; -t-oo); г) (-оо; 6). 829. а) б) —831. 40 км/ч; 45 км/ч. 832. —. 2а* 4 836. а) (5; -Юо); б) (4; -Ьс»); в) (-оо; -1]; г) (-оо; 3]; д) (-оо; 0,15); е) -(-оо j; ж) (-оо; -0,25); з) (-оо; 0]; и) (-8; н-оо); к) (0; н-оо); л) (18; -(-оо); м) (7; -(-оо). 837. а) (-оо; 8,5); б) [-0,6;-(-оо); в) (4;-(-оо); г) (7,5;-Юо); д) |^1^; ч-оо j; е) (1,8; -(-оо); ж) ^-оо; i ; з) (-оо; -2,4]; и) (-оо; 12); к) (0; -(-оо); л) [-30; -(-оо); м) [-20;-(-оо). 840. а) (-оо; 0,4); б) (-оо;-0,4); в) [-5;-(-оо); г) i; -(-ooj; д) (-1,4; -(-оо); е) (-оо; -1]; ж) (-оо; 12,6]; з) [-13; -foo). 841. а) (-оо; 1); б) (-оо; 2); в) [6; -(-оо); г) ^-оо; ij; д) (-оо; 0); е) (-оо; 9); ж) (-13; -юо); 842. а) При X > —; б) при у > 7; в) при с < -25. 843. а) При 2 a)(2i;+oo) а < 2,5; б) при р> Ъ. 844. а) ^-оо; б) (9; +оо); в) (-оо; -3,1]; г) (-оо; 0,8]; Д) оо; 22,5); ж) (-оо; 2]. 845. б) [0; +оо); в) (1; -(-оо); г) 2^; -(-оо j; О (-3; -(-оо). -оо; 14|]; г)(3; -Юо); д) (-4;-(-оо); е) |^-оо;-|j; ж) |^-оо; 1у . 850. а) [0; Ч-оо); 6)|^l|; +оо j; в) 1^^; -(-ooj;r) |^-оо; 2^ ;д) [14; Ч-оо); е) (-оо; 20,5). 851. а) При j/ < 3; б) при д) (-оо; 4,7]; е) [4,8; -юо). 846. а) (6; -Юо); б) (0; ч-оо); в) (-оо; -5]; г)(-3; ч-оо). 847. а) (-оо; 2); б) (2; ч-оо); в) (-0,4; ч-оо); г) [^-оо; А). 848. а) б)'^ ' у > 7;в) приу > уу;г) при1/ < 0,1. 852. а) (-оо; 6); б) 1у; ч-оо |; в) (-оо; 12); г) (2; Ч-оо); д)|^-1|; Ч-оо j; е) (0; Ч-оо). 853. а) (-оо; 0,2); б) (-оо; 0,5]; в) (-оо; 40]; г)(-оо;-10]. 854. б)|^-оо; А ; в) [1,5; Ч-оо); г)(-оо;3,5]; д) (-оо;-10); е) (9; Ч-оо). 855. а) |^-oo;ij;6) [-5; ч-оо); в) (-оо; -0,6]; г) |^-оо; -3^j.856. а) При а > 0,7; Ответы 281 б) при 6 < 3. 857. а) X — любое число; б), в), г) решений нет. 859. а) При 2 1 х^2;б) при а < —; в) при о ^ ; г) при а $ 1,4; д) при х > 0,2; е) при х> 6. О 3 860. а) (-оо; -8) U (-8; 0,5]. 861. а) 3; б) 24. 862. а) 1; 2; 3; 4; б) 1; 2. 863. (-С»; -5,2). 864. |^1^; 4j U (4;+оо). 865. Меньше 2 см. 866. Меньше 12,15 дм. 867. 7 книг. 868. 755 р. 869. Не более 26- км. 870. 3. 871. а) 1; 4; 3 б) 0; 1. 873. 12 км/ч. 877. а) (6; +оо); б) (-оо; -1); в) ^0; г) решений нет. 878. а) (0,8;+СЮ); б) [2; 4]; в)Г|;|1; г) (0,1; 0,2). 879. а) [2; 2,5]; б) (1,5; 3); в) [^1з|; 25^; г) (^-оо; | . 880. а) (-12; 2]; б) решений нет; в) (0; 15); г) (-оо; -3). 881. а) (-1; 0,8); б) (-оо; -1,5]; в) +оо |; г) [3; 6,7). 882. а) (-оо; 2,4); б) решений нет; в) б) ■) -8; 1| |; г) [1,5; +оо). 883. а) (-оо; 1]; |; +00 |; в) [3; 6]; г) [-1; 1,5]. 884. а) [2,5; 11) U (11; +оо); б) [0,5; 2) U и (2; +оо). 885. а) (3; +оо); б) (-оо; -3); в) [-11; 3]; г) решений нет. 886. а) 1^2; 3yj; б) (0,1; +оо); в) (-0,24; +оо); г) (-оо; -1,8). 887. а) -4, -3, -2, -1, о, 1, 2, 3; б) 2, 3, 4, 5, 6; в) -1, 0, 1, 2, 3; г) -2, -1, 0. 888. а) 0, 1, 2, 3 б) 4, 5, 6, 7; в) 1; г) 1. 889. а) (-оо; 2,8); б) решений нет. 890. а) (-оо; 6) б) (1; 15); в) [0,6; 5]; г) (2; 16]. 891. а) \ б) (-2; -1); в) решений нет г) 11 ;2 892. а) (-1; 2); б) (-12; 17); в) (0,5; 2); г) (-1; 3). 893. а) |^-2|; 5 ; б) [-11; 7); в) г) f-ii;i i 4 4 -Ч ; г) -2- 2 3’ ^ 894. а) [-1; 2); б) [3; 9]; в) (-0,7; 1,1); . 895. а) При 1— 2,2; в) л: —. 902. 1,2,3, 4, 6, 12. 904. 10 км/ч и 15 км/ч. 907. У к а-3 3 а н и е. Можно воспользоваться соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел. 910. Указание. Сравните квадраты левой и правой частей неравенства. 912. Указание. Воспользуйтесь соотношениями вида -J4x+ 1 < ^4х+ 1+ 4х^ = 12д;1|. 913. Указание. Можно воспользоваться тем, что VoTT - Va - 1 > ^Ja+ 1 - 282 Ответы - л/а при а > 1. 914. Не успел. 922. Смирнов. 930. а) -6 < а + 2Ь < -3; б) -11,5 < < ia - fe< -9. 931. 5,2 < ^ < 5,25. 932. 4,8 < ^ 4,9. 940. а) (-оо; -60); 2 2 2 ; д) (-оо; -1); е) 1 б) (4,8; +оо); в) (0,56; +оо); г) 941. а) (-оо;-115); б) (0,2; +оо); в) (-оо; 15); г) (-оо; 1,4). 942. а) (-оо; 0,325); б) (-1; +оо). 943. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 4, 5. 944. а) Таких значений нет; б) при любом значении х. 945. а) (—оо; +оо); б) (—оо; +оо). 946. а) При а > 0; б) при а > 2; в) при а > -3; г) при а > -7. 947. а) При Ь < 0; б) при Ь < -4; в) при Ь < -3; г) при Ь < -0,2. 948. а) При лг > 8; б) при лг < 2; в) при т ^ -6; г) при т < 3,5. 950. а) Не более 5. 951. Более 6 км/ч. 952. Более 18 км/ч. 954. +ooj; б) (0,1; 5); в) решений нет; г) (0,8; +оо); д) (-оо; -0,2); е) 1^1^; +00 j. 955. а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) -10; в) 1; г) 2, 3, 4, 5. 956. а) (-3; 6); б) (1,5; 2,5). 957. а) При 1,5 < л: < 4,5; б) при 5 « х < 15. 958. а) ^0; ij; б) положительных решений нет. 959. а) (-1; 0); б) (-5; 0). 960. а > 3,5. 961. -3 < Ь < 5. 962. Более 10 км, но менее 16— км. 963. Более 4 60 км/ч, но не более 90 км/ч. Глава V 970. г) g; д) -39i; е) -±. 977. а) 6) в) г) А, д, О; в) 125. 980. в) ^ ~ f ; г) ~ Зху - 2 а) б) 982. а) (2; +оо); аЬ ху аЪ (о - а) б) (-оо; 2). 983. При л = 1 и п = 49. 986. б) 3; г) 25; е) 0,001. 991. а) 64; б) -; 8 в) 8; г) 4. 993. а) 1; б) 27; в) 1000; г) —; д) 2; е) 1; ж) 81; з) 15 625. 25 994. а) 5; б) 1; в) г) 144; д) е) ^.995. а) 5; б) |. 998. а) б) х®; иО Z о1 о b)x"-^^; г)х^-". 1000. а)-1; 6)6. 1001. а) 0,224; 6) 125. 1005. а)-xV; 3 б) 81а6^; в) 15х®1/®; г) — 1006. а) — б) —в) 5с®р®; г) 2х“®р®. 4 3 5 1007. а) 4х; б) 36; в) 4a'‘6V; г) \х~^у^г. 1008. а) 27х®р; б) 20а®6-®; в) 4a-i°6*®; О r)ix-®p®. 1009. л =1. 1010.-4; 2. 1011. а) (-оо; 0); б) (0; +оо). 1012.-^ 2 X ~у~. 1WU». п = L. iuxu. —ч; .i. iuix. а) оо; uj; o^ (.и; -t-ooj. xuxas. 1020. а) 4,55 • 10®; б) 2,288 • 10®. 1023. 1,404 • 10® кг. 1024. 1. 1025. При т= 18. Ответы 283 1026. -3, -2, -1. 1032. ~ 10 акций; 98 акций; 2 акции. 1034. ~ 3; 2. 1039. 84. 1040.(0,25; +оо). 1041.-17. 1058.-0,36. 1059. [0,5; 15). 1068. а) а = 51, Ь = 256. 1069. а) Xq, х§, Xq^, Xq^; б) Xq^, Xq^, х§, Хд, х^. 1070. а) Общих точек нет; б) две точки; в) четыре точки; г) одна точка. 1071. а) Один; б) два; в) один; г) не имеет корней. 1079. а) -1600; б) -0,08; в) -1000; г) 11; д) 7; е) 5. 1081. а) ; б) ; в) ; г) у^-х^ . 1082. а) Д,2у2 ’ JJ.2 ’ {m-nf' х^у^ " " х^у + ху^ ’ б)-(а + Ъ). 1088. а) х”; б) Ю90. а) 3"; б) 2 ". 1092. п = 6. 1094. а)2,38• Ю"»; б) 1,62 • 10-^ в) 3 • 10»; г) = 8,67 • 10*^ Задачи повышенной трудности 1106.а)^1±^^;б) X + а 4о® + 2а^ + а . 1107. X = 2, у = 1, 2 = 3,и= -1, V = -2. 1109. 1110. Цифрой 2. 1111. д: = 1, у = 2. 1112. |(-3 ± VS), |(5 ± V^). 1113. 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48. 1114. Указание. Докажите, что сум- 2 3 6 ма этих дробей больше 1, но меньше 3, т. е. равна 2. 1115. -7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13. 1116. о, 2, 4. 1117. (х2 + д: + 1){х^ -х+ IHx^ + дгТз + 1)(д;2 - дгТз + 1). 1118. 1^1 , где р и q — целые числа, причём р 5^ О, g э* О, |р| 1, ^ 1. 1120. X = 35, р = 34 или X = 13, у = 10. 1122. Указание. Возведите обе части уравнения (х + y-j2)(x - у^2) = 1 в п-ю степень (п е N). 1123. При т= -6. 1124. х^= а-1, Х2= а+1. 1125. 5 при а = ^(7 ± Vl7). 1126. р = -16 А или р = 16. 1127. При а = 2. 1130.160 км. 1131.10 м. 1132.60 ч. 1133. 10 км. 1134. 72 км. 1135. 4,5 ч или 3,6 ч. 1136. В 1,2 раза. 1137. За 12 ч и 15 ч. 1138. За 28 ч и 21 ч. 1139. 41. 1140. Xi= 18, Xj = 12, Хд = 15, Х4 = 10 или X, = -12, д^=-18, Xj=-10, Х4=-15. 1141. Через 2 ч. 1152. 10 точек. 284 Ответы ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ § 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА.............. 5 1. Рациональные выражения....................... — 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей... 10 § 2. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ........................ 17 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями..................................... — 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 21 § 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ ................ 28 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. — 6. Деление дробей................................ 33 7. Преобразование рациональных выражений......... 36 k 8. Функция J/ = — и её график................... 43 X Для тех, кто хочет знать больше 9. Представление дроби в виде суммы дробей...... 49 Дополнительные упражнения к главе I................. 53 ГЛАВА II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ § 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА........................... 61 10. Рациональные числа............................ — 11. Иррациональные числа......................... 67 § б. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ............... 74 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень — 13. Уравнение = а................................ 77 14. Нахождение приближённых значений квадратного корня 81 15. Функция у = л/х и её график ................ 84 § 6. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ 89 16. Квадратный корень из произведения и дроби... — 17. Квадратный корень из степени................. 93 Оглавление 285 § 7. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ.................................. 97 18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня......................... — 19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни............................................. 100 Для тех, кто хочет знать больше 20. Преобразование двойных радикалов.............. 105 Дополнительные упражнения к главе II................. 109 ГЛАВА III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 8. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ ............... 117 21. Неполные квадратные уравнения................... — 22. Формула корней квадратного уравнения.......... 122 23. Решение задач с помощью квадратных уравнений .... 130 24. Теорема Виета................................. 134 § 9. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ................... 139 25. Решение дробных рациональных уравнений.......... — 26. Решение задач с помощью рациональных уравнений . . . 144 Для тех, кто хочет знать больше 27. Уравнения с параметром........................ 148 Дополнительные упражнения к главе III ................ 151 ГЛАВА IV. НЕРАВЕНСТВА § 10. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА............. 160 28. Числовые неравенства............................ — 29. Свойства числовых неравенств ................. 165 30. Сложение и умножение числовых неравенств ..... 170 31. Погрешность и точность приближения............ 174 § 11. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ 178 32. Пересечение и объединение множеств.............. — 33. Числовые промежутки........................... 181 34. Решение неравенств с одной переменной......... 186 35. Решение систем неравенств с одной переменной.. 194 Для тех, кто хочет знать больше 36. Доказательство неравенств..................... 202 Дополнительные упражнения к главе IV.................. 206 286 Оглавление ГЛАВА V. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ § 12. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА 213 37. Определение степени с целым отрицательным показателем...................................... — 38. Свойства степени с целым показателем.......... 217 39. Стандартный вид числа......................... 222 § 13. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ............................. 225 40. Сбор и группировка статистических данных........ — 41. Наглядное представление статистической информации 231 Для тех, кто хочет знать больше 42. Функции у = X'* и р = х~^ и их свойства....... 242 43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение... 246 Дополнительные упражнения к главе У .................. 249 Задачи повышенной трудности .............................. 254 Исторические сведения..................................... 259 Сведения из курса алгебры 7 класса........................ 265 Список дополнительной литературы.......................... 272 Предметный указатель...................................... 273 Ответы.................................................... 274 Оглавление 287 I ! Учебное издание Макарычев Юрий Николаевич Мивдюк Нора Григорьевна Нешков Константин Иванович Суворова Светлана Борисовна АЛГЕБРА 8 КЛАСС УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ С ПРИЛОЖЕНИЕМ НА ЭЛЕКТРОННОМ НОСИТЕЛЕ Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, С. В. Дубова Художники В. А. Коршунов, В. В. Костин Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика К. В. Солоненко Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская Корректоры Н. И. Князева, И. П. Ткаченко Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 23.01.13. Формат 70х 90‘/ij. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 14,24-ьО,52 форз. Доп. тираж 50 000 экз. Згисаз № 6841. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Тульская типография» ОАО «Издательство «Высшая школа». 300600, г. Тула, пр. Левина, 109. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ а"’ • а" = а"’^" (аЬ)" = а"* Ь" дГП • Qp — дГП~П /а\" а" (ат)п ^а'"" 1ь1 Ь" (тип- целые числа, а ^ О, Ь О) СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ Va^ = |а| =Va*Vb, где а>0,Ь>0 ^ = |,гдеа^0,Ь>0 ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ах^ + Ьх + с = 0, а?=^0 D = b^- 4ас -b±VD п. V. г> х= — при D>0 ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 99 ДЕСЯТКИ ЕДИНИЦЫ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801