Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Миндюк Шлыкова часть 2

Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова Рабочая ЛГЕБРА Часть 2 ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова Алгебра ■r-v> 8 КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 2 3-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 М61 Рабочая тетрадь является частью учебно-методического комплекта по алгебре авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Не-шкова, С. Б. Суворовой; под редакцией С. А. Теляковского. Учебное издание Миндюк Нора Григорьевна Шлыкова Инга Соломоновна АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 2 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Е, А. Андреенкова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика К. В. Кергелен Технический редактор Е. А. Васильева Корректоры Т, А. Лебедева, Л. С. Александрова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 14.06.13. Формат 70x90 Vie* Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,56. Доп. тираж 10 000 экз. Заказ № 4721. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Тверской полиграфический комбинат детской литературы» ОАО «Издательство «Высшая школа» 170040, Тверь, проспект 50 лет Октября, д. 46. Тел.: -Ь7 (4822) 44-85-98. Факс: +1 (4822) 44-61-51 ISBN 978-5-09-031718-4(2) ISBN 978-5-09-031717-7(общ.) Издательство «Просвещение», 2011 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011 Все права защищены Предисловие Данная работа является дополнением к учебнику «Алгебра, 8» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк и др., под редакцией С. А. Теляковского (15-е, доработанное, и последующие издания). В рабочую тетрадь входит 37 работ, составленных ко всем пунктам учебника, за исключением дополнительных пунктов под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше». Каждая работа состоит из двух разделов, помеченных цифрами I и II. В первом разделе содержатся несложные задания, способствующие усвоению вводимых понятий и алгоритмов, формированию фундаментальных умений, установлению связей нового материала с ранее изученным. Во второй раздел включены более сложные задания, решение многих из которых требует свободного владения сформированными знаниями и умениями, проявления интеллектуальной гибкости и подвижности. Представленные в рабочей тетради упражнения разнообразны по форме предъявления. Учащимся предлагается закончить начатое решение, установить некоторое соответствие, проиллюстрировав его с помощью стрелок, выбрать верный ответ, обводя кружком соответствующий номер, и т. п. Наличие подготовленных таблиц, вычерченной системы координат, некоторых пояснений к составлению уравнений или систем уравнений и т. п. создаёт предпосылки для интенсификации учебного процесса. Рабочая тетрадь представляет широкие возможности для организации работы учащихся в классе и дома. Глава III КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЖШВЗЕЖЗЕ] НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ш 1. Какие из указанных квадратных уравнений являются неполными? а) 2х^ - Зх + 8 = 0; б) 7х - Зх^ = 0; в) 0,2х^ = 0; г) 5 - 2х + 7х^ = 0; д) 3 - 4х^ = 0; е) 3x^ + 5 = -2. Ответ: ...................................................... 2. Решите уравнение: а) 25х^ - 36 = 0; б) -0,3х^ + 30 = 0; в) Зи^ +12 = 0; г) 2р2 _ 4 = 0. Ответ; а) в) б) г) 3. Найдите корни уравнения; а) 2х^ - бх = 0; б) Зу + 18у^ = 0; в) |m2+|m = 0; г) -5с“ + 12с = 0. Ответ: а) б) в) г) 4. Используя таблицу квадратов, решите уравнение: а) - 3136 = 0; б) 2х^ - 2178 = 0; в) -л:2 + 12,25 = 0; г) 7203 - Зх^ = 0. Ответ: а) в) б) г) 5. Укажите с помощью стрелок, сколько корней имеет уравнение. х^=-3х 2x49 = 0 0,3x^=0 корня^^ корн^^ 5x^=0 1 0,1ж^-10 = 0 хЧ16 = 0 6. Длина прямоугольника втрое больше его ширины, а площадь равна 75 см^. Определите периметр прямоугольника. Решение..................................................... Ответ: 7. Решите уравнение и укажите все целые числа, которые заключены между его корнями: а) -2^2 + 50 = 0; б) - 3,2 = 0. Ответ; а) б) 8. Приведите пример неполного квадратного уравнения: а) не имеющего корней: .............................. б) имеющего один корень: ............................ в) имеющего два корня, являющихся противоположными числами: ............................................... г) имеющего два корня, один из которых равен нулю: II 9. При каких значениях Ь значения двучленов 0,2Ъ^ - 1,4& и 3,16 - 0,36^: а) равны; б) являются противоположными числами? Ответ: а) б) 10. Решите относительно у уравнение: а) 1/2-62 + 46-4 = 0; б) с2-^ + i-lz/2 =0. Ответ: а) б) 11. При каких значениях а данное уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите полученное уравнение: а) ISx^ + (а2 - 81)д: -2 = 0; б) (а + 2)х^ - 14х + - 4 = 0. Ответ: а) б) 12. Один катет прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Квадрат, построенный на гипотенузе этого треугольника, равновелик прямоугольнику, длина которого 52 см, а ширина равна большему катету треугольника. Определите длины катетов этого треугольника. Решение.................................................... Ответ: 8 13. Решите уравнение: а) (3/п - 2)2 - (Зт + + Зт(т + 8) = (2т - 3)(2т + 3); б) (2х -1У-6 = (х- 2)(х + 2); в) (2с - 5)2 + (2с + 5)2 + (с - 2)(с + 2) = с2; г) (5у - 2)(у + 4) + (^ - 3)(у + 3) = 9(2у + 5). Ответ: а) б) в) г) 14. Квадрат двузначного числа 10а + Ь в 294 раза превышает сумму его цифр. Определите это число, если известно, что значение а вдвое больше значения Ъ. Решение..................................................... 2 Алгебра. Рабочая тетрадь 8 кл. 4.2. Ответ: ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ах^ Ъх + с = а Ф 0; D = - 4ас. ■Ь ± yfn Если D > Оу то х = 2а ; если D < Оу то корней нет. ш 1. Заполните таблицу. Уравнение ах^ + Ьх + с = 0 а Ь с Зх^ + х-5 = 0 3 1 -5 -х^ i-2x +4 = 0 2*2 - 1 - 0,2* = 0 3* - 5*2 - 4 = 0 7лг2 - 1 = 0 -0,3 - 3* + 11*2 = 0 х^ + 19jc = 0 2. Закончите вычисление дискриминанта квадратного уравнения: а) 5х^ + 13х -6 = 0; D = 132 - 4 • 5 • ^ .................................... 10 б) 2х^ - 17х + 8 = 0; D = (-17)2 - 4 • 2 • 8 = ......................................... в) jc2 + 10х- 11 =0; £) = 1Q2 - 4 • 1 • (-11) =........................................ г) Зх^ + л: - 14 = 0. D = 12 - 4.3 . (-14) = ........................................... 3. Выясните, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько: а) 361д:2 - 38л: + 1 = 0; б) 2л:2 + 15л: + 7 = 0; в) 0,3л:2 - л: + 4 = 0; г) 0,02л:2 о,5л: + 3 = 0. Ответ: а) б) в) г) 4. Найдите корни уравнения: 24л;2-5л:-1 = 0; Z) = (-5)^-4 ‘ 24 • (-1) = 25 + 96 = 121; 5±>/т 5±11 X = 48 48 а) 15л:2 + 2л: - 1 = 0; ’ 48 5-11 _ 1 . ^ _5 + 11 _ 1 “ 8 ’ 2 48 3 б) 5л;2 - 14л: - 3 = 0; 11 в) 9х^ + 12х + 4 = 0; г) Зу^-2у-1= 0. Ответ: а) в) б) г) 5. При каких значениях х принимают равные значения: а) двучлен х^ - Зх и трёхчлен 2х^ - 12л: + 20; б) трёхчлен -х^ + 7х - 5 и двучлен 2х^ + 5л:? Ответ; а) 6. Решите уравнение: а) -9х + х^-22 = 0; б) б) Зх^ -2х+15 = 0; 12 в) 2х^-3х-3 = 0; г) -28л: + 49 + 4л:^ = 0. Ответ: а) в) б) г) 7. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения параболы у = х^ и прямой ^ = Зл: + 10. Ответ: 8. Решите уравнение, используя формулу корней уравнения с чётным вторым коэффициентом: 7л:2-22л; + 3 = 0; = И^-7• 3 = 121-21 = 100; ii + sHM 11 ±10. 1. ^ о =----7---= —5—; х^ = -=; Х^ = 3. а) + 2х - 48 = 0; б) 112^ - 102 + 2 = 0; 13 в) 5i/2 - 22i/ + 21=0; Ответ: a) .................. б) в) ................... г) г) - Юл - 18,75 = 0. II 9. При каком значении Ъ один из корней уравнения {Ъ -3)л:^ + + X - 7 = о равен -1? Чему равен второй корень этого уравнения? Ответ: Ь =...................... х = 10. Найдите приближённые значения корней уравнения с точностью до 0,01: а) х^ - 4х + 1 = 0; б) х^ - 4х - 16 = 0. Ответ: а) б) 14 11. Решите уравнение и сделайте проверку; а) Ь(х - 7)2 =-47л: + 255; б) (Зр - 1)2 - 18 = (2р - 3)(2р + 3). Ответ; а) б) 12. Решите относительно х уравнение: а) (л: - а)2 - 2л: + 4а = 2л: + 12; 15 б) (х - 2тУ + 8т = 6jc - 4m + 7. Ответ: а) б) 13. Решите уравнение = 1,5jc + 4,5 сначала графически, а затем с помош,ью формулы корней квадратного уравнения. Ответ: 16 14. Решите уравнение: а) (Зт 1)(/п + 1) ^ {2т If ^ Зт ----= о +------- б) (р + 3)^ (р + 2)(р-3) 4 6 = (2p-lf+4. Ответ: а) б) 17 кП РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ш 1. Произведение двух последовательных нечётных чисел больше их суммы на 167. Найдите эти числа. Заполните пропуски и закончите решение задачи. Решение. Пусть последовательные нечётные числа имеют вид (2/1 + 1) и (2/г + 3), тогда их сумма равна ........., а произведение равно ............. Составим уравнение: Ответ: .............................................. 2. Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого катета на 14 см и меньше гипотенузы на 2 см. Найдите периметр этого треугольника. Решение................................................. 18 Ответ: 3. Из суммы квадратов двух последовательных целых чисел вычли квадрат следующего за ними числа. Полз^илось 165. Найдите эти числа. Решение. Ответ: 4. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, обнесён забором длиной 120 м. Определите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет 5 ар. Заполните пропуски и закончите решение задачи. Решение. Пусть длина участка равна х м, тогда его ширина равна разности половины периметра и длины, т. е................м. Площадь участка составит ...............м^, что по условию задачи равно 500 м^. 19 Составим уравнение: Ответ; 5. Разность кубов двух последовательных чётных чисел равна 296. Найдите эти числа. Решение..................................................... Ответ: II 6. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого в 2,6 раза больше одной из сторон и на 3 см больше другой стороны. Решение. 20 Ответ: Если двузначное число умножить на число, образованное перестановкой его цифр, то получится 1008. Найдите это число, если известно, что в его старшем разряде на 2 единицы больше, чем в младшем. Решение. Ответ: 21 8. Картинка, имеющая форму прямоугольника, длина которого 12 см, а ширина 7 см, наклеена на лист бумаги так, что образовалась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что площадь листа бумаги равна 176 см^. Решение..................................................... Ответ: 9. Площадь кольца, заключённого между двумя концентрическими окружностями, составляет 44% площади меньшего круга. Найдите радиусы окружностей, если известно, что один из них на 3 см больше другого. Решение.................................................... Ответ: 22 10. Высота h м, на которой через t с окажется тело, брошенное вертикально вверх, вычисляется по формуле h = v^t — где Uq м/с — начальная скорость. В какой момент времени тело окажется на высоте 60 м, если за 2 с оно поднялось на 50 м? Поясните физический смысл полученного ответа. Решение.................................................... Ответ: 11. Известно, что число диагоналей выпуклого многоугольника р п(п - 3) вычисляется по формуле р = где п — число сторон многоугольника. Если утроить число сторон некоторого выпуклого многоугольника, то число его диагоналей увеличится на 126. Найдите число сторон этого многоугольника. Решение. Ответ: 23 ТЕОРЕМА ВИЕТА ах^ + Ьх + с = 0; а ^ 0; D = - 4ас > 0. Если х^ и jCg — корни уравнения, то х^ + х^= ——, х^ - х^ = —. ш 1. Уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет корни х^ и х^^ Заполните таблицу. Уравнение ах^ + Ьх + с = 0 Л1 + Л, • ^2 - 39л: - 215 = 0 39 -215 - 14л: + 8 = 0 + л - 30 = 0 х^ - 620JC = 0 - 11 = 0 Sx^ + 16л: - 5 = 0 -4 -1 2л^ - 17л - 4 = 0 -х^ - 2х = 0 5л2 - 15 = 0 л^ - з72л + 4 = 0 15л‘‘ - 8л + 1 = 0 24 2. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета. jc2 - 6jc - 3 = 0; Dj = 9 + 3 = 12; л; = 3± Vl^ = 3±2V3; л:^=3-2^/3; х^=3 + 2у[3; 3 — 2yj 3 + 3 + 2yj 3 — 6j X,- jCg=(3-2V3)(3 + 2V3) = 9-12 = -3. a) I/" - 7i/ + 6 = 0; 6) x^-4x-21= 0; b) 20j/^ - I/ - 1 = 0; r) + 7x + 7 = 0; д) x^ +yf2x-24 = 0. Ответ: a) r) 6) Д) b) 3 Алгебра. Рабочая тетрадь 8 кл. 4.2. 25 3. в уравнении + рх - 1Ъ = О один из корней равен 5. Найдите другой корень и коэффициент р. Ответ: 4. Один из корней уравнения 2х^ - 7х с = О равен 7. Найдите другой корень и свободный член с. Ответ: 5. Разность корней квадратного уравнения х^ + Zx + с = О равна 17. Определите с. Ответ: 6. Один из корней уравнения 2Ьх^ другого. Найдите q. 2Ъх + q = О в 4 раза больше Ответ: 26 7. В уравнении 5x^ + Ьх + 12 = О один из корней равен 6. Найдите второй корень и коэффициент Ь. Ответ: 8. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, имеющее заданные корни х^ и х^. Заполните таблицу. Xi ^2 ^1 + ^2 ‘^2 ах^ -h Ьх + с = 0 3 -4 -1 -12 х‘ + х-12 = 0 -1 -8 -5 1 0,2 0,7 1 1 1 1 х‘ + 1х-^^0; 6х^ + X - 1 = 0 3 2 6 6 2 1 5 5 V3-2 ^/3 + 2 2л/3 -1 х‘ - 2^/Зл -1 = 0 I + V2 l-^/2 4 0 1 1 3 3 27 и 9. Разность квадратов корней уравнения 2х^ - 9х + с = О равна 15,75. Определите свободный член уравнения. Ответ: 10. Не решая уравнения, определите знаки его корней, если они су-пдествуют. Заполните таблицу, считая, что х^ < х^. ах^ + Ьх + с = 0 D = b^~ iac Знак х^ Знак х^ 6х^ -2х-8 = 0 4 + 160 > 0 - - 7х + 9 = 0 2x2 + 13х + 5 = 0 3x2 - 4х + 7 = 0 0,2x2 _ бх + 3 = 0 11x2 + 40х + 1 = 0 -2х^ + 73 = 0 73 • 8 > 0 - + -2x2+ Х+11 = 0 х^ - -fSx + 4 = 0 л/2х2 + 5х + 2ч/2 = 0 28 11. При каких значениях т: а) один из корней уравнения + Ъх + 9т^ -4 = 0 равен нулю; б) корни уравнения х^ + (5/п -15)дг-2 = 0 являются противоположными числами; в) корни уравнения х^ - 80х + 5т -9 = 0 являются взаимно обратными числами? Ответ: а) б) в) 12. Частное корней уравнения 2х^ + Ьх - 9S = 0 равно -4. Найдите коэффициент Ь. Ответ: 13. Определите свободный член уравнения Юл:^ — Зх + k = 0, если известно, что корни уравнения х^ и х^ удовлетворяют условию + 2х^ = 0. Ответ: 29 14. Уравнение + рх + q = 0 имеет корни х^ и х^. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни: а) и Ъх^\ б) Xj - 3 и jCg - 3. Ответ: а) ..................... б) 15. Пусть jCj и jCg — корни уравнения х^ + 9х — 15 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: х1 + х1 = (х^ + х^У - 2х^х^ = (-9)2 - 2 • (-15) = 111. а) + = *2 .................................................... б) (х,-х,г=................................................... в) xf+xl= .................................................... г) —= ^2 ^1 ..................................................... Ч Хл Хо ^2 ........................................................ 30 16. Дано квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0, имеющее корни х^ и jCg. Заполните таблицу. а Ь с ^2 1 12 -20 2 15 -1,5 3 -8 -4 8 -18 0,5 1 -2 l-^/3 1 -6 3 + 2n/2 31 32 РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ш Решите уравнение: 5-6^2 1х а) л: + 2 л: + 2 ’ б) 2у^ _г/-10 I/-5 Ь-у Ответ: а) б) 2. Найдите корни уравнения: : (3 + 2г)(г + 9) = (1 - Зг)(5 + Зг); 3z + 27 + 2^2 + 18z = 5 + 32 - 152 - 922; II22 + ЗЗ2 + 22 = 0; 22+ 32 + 2 = 0; 2^ = —2; 2д:-3 _ 4д:-9 . л:+ 5 Зл:-1’ а) 4j/-7_2j/-ll y + 2 y-6 •................... Ответ: a) ............... 6) .... 3. Решите уравнение: ч 16 4х^-49х 3^ = -^= б) -ГГ^ = б’ в) х^+6х х + 1 X 4’ г) 2 - Зд: 4-х^ Зх 6х Ответ: а) б) в) г) 33 4. При каких значениях г значения дробей; 8 __ 7 а) гЧ8 и 11-2г2 являются противоположными числами; б) 2z2-3 и являются взаимно обратными числами? Ответ; а) б) 5. Решите уравнение: а) Зг - 1 _ Z + S 2-5 2+5 = -1; б) 2у-1 6 _ Зу-7 . У У +7 “ 1/2+71/’ 34 в) 14-5х х‘-2х х-2''' х’ г) ' и-2 и+2 Ответ: а) б) в) г) 6. Найдите корни уравнения: а) 5у-2 о_Зу-4 г/-hi 1/2-1 2у + 5 у + 18_^ б) -3- Ответ: а) б) 35 и 7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: а) у = 4х - 6 и у = JC-6 ’ 6)z/ = 3jc + 8h у = х + 1 Ответ: а) б) 8. Решите уравнение: . Xyfb-yf2 х\[Ъ + ур2 а) —^ + IZx Ху[Ъ-\->12 х4Ъ-ур2 5x^-2* 36 l + г^/3 1-гл/з 7г б) -----!= + 1 - г^/з 1 + 2ч/3 1 - 32^ ■ Ответ: а) б) 9. Решите уравнение: 1 а) 1 + 2 + 23 ’ 3 + 7-х^ 37 б) 1- 3 + 10* 2 + 6 - Ответ: а) б) 10. Найдите корни уравнения: а) 3jc2 9jc^+6jc + 1 9л:^-1’ 38 б) ____3____ V_4^ + l 4у2_1 2уЧу Ответ; а) б) 11. Найдите значения переменной 2, при которых: а) сумма дробей ^ 2 + 1 и 2-г равна их произведению; б) разность дробей 32-1 2 + 1 и 2-1 32 + 1 равна их произведению. Ответ; а) б) 39 12. Решите уравнение: 6 а) 2х-1 х^-4х^-4х + 16 х^-4 б) 2у 2у -1 _ 3 у + 3 у-3 “z/3-9z/ + 9 ’ 40 в) Х + Х‘‘ + 3 _х^+5 1 + X 1 + X 3 > г) g_+ =____1:11____ '' 2у-1 81/3-1 4у^+2у + 1' Ответ: а) ............................... б) в) ............................. г) 4 Алгебра. Рабочая тетрадь 8 кл. 4.2. 41 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ш 1. Моторная лодка проплыла 66 км по озеру и 50 км по течению реки. На путь по озеру она затратила на 1 ч больше. Определите скорость лодки при движении по озеру, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч. Решение. Заполним таблицу. Vy км/ч ty Ч Sy км По озеру 66 X 66 По реке X + 3 50 + 3 50 66 50 1 Составим уравнение:-----------= 1. X X + 3 Ответ: 2. Два велосипедиста выехали одновременно из посёлка в город, расстояние до которого 72 км. Скорость одного велосипедиста на 2 км/ч больше скорости другого, поэтому он приехал в город на 24 мин раньше. Определите скорость каждого велосипедиста. Заполните пропуски и закончите решение задачи. Решение. Пусть скорость первого велосипедиста равна х км/ч, тогда скорость второго — ................. км/ч. Время, затраченное на 42 дорогу первым велосипедистом, равно ....................... ч, а вторым —...................... ч. Второй велосипедист затра- 2 ТИЛ на 24 мин, т. е. на — ч, больше времени. 5 Составим и решим уравнение: Ответ: 3. Числитель дроби на 3 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится 2,9. Найдите исходную дробь. Решение. Ответ: 43 Два автомата должны были изготовить по 240 деталей. Первый автомат изготавливал в час на 5 деталей больше, чем второй, и поэтому закончил работу на 4 ч раньше. Сколько деталей изготавливал в час каждый автомат? Решение. Ответ; 5. Расстояние между речными пристанями А и В равно 24 км. Катер прошёл от пристани А к пристани В и вернулся обратно, затратив на весь путь 2 ч 42 мин. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч. Решение..................................................... 44 Ответ: ..................................................... II 6. Из двух населённых пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Их встреча произошла через 3 ч. Скорость туриста, вышедшего из пункта А, на 1 км/ч меньше скорости другого туриста. Если бы из пункта А турист вышел на 4 ч 30 мин позже, то встреча произошла бы на расстоянии 2 км от пункта А. Определите расстояние между населёнными пунктами. Заполните пропуски и закончите решение задачи. Решение. Пусть скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна X км/ч, тогда скорость другого туриста — ..........км/ч, скорость их сближения составляет ........................км/ч, следовательно, расстояние между пунктами А и В равно ..................км. Если бы из пункта А турист вышел позже на 4,5 ч, он затратил бы на путь до встречи .......ч, а другой турист затратил бы................ч, что на 4,5 ч больше. Составим уравнение: Ответ: 45 7. В сплаве меди и свинца содержалось 12 кг меди. После того как в сплав добавили 1 кг свинца, процентное содержание свинца повысилось на 5%. Определите первоначальную массу сплава. Решение. Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нём содержалось {х - 12) кг свинца. Заполним таблицу. Масса сплава, кг Масса свинца, кг Процентное содержание свинца в сплаве Было X х-12 X Стало х+1 х-11 *-^•100% Х + 1 Составим и решим уравнение: Ответ: 8. К некоторому количеству сплава железа с никелем, содержащему 4 кг никеля, добавили 2 кг никеля, в результате чего процентное содержание железа в сплаве понизилось на 10%. Определите первоначальную массу сплава. Решение. Заполним таблицу по условию задачи. Масса сплава, кг Масса железа, кг Процентное содержание железа в сплаве Было Стало 46 Составим и решим уравнение: Ответ: 9. Для наполнения бассейна сначала открыли одну трубу. Через 3 ч открыли ещё одну. После 5 ч совместной работы закрыли обе трубы. В результате бассейн наполнился на 75%. За какое время может наполниться бассейн через каждую трубу отдельно, если известно, что через первую трубу он может наполниться на 4 ч быстрее, чем через вторую. Решение.................................................... Ответ: 47 10. Сосуд ёмкостью 40 л наполнен серной кислотой. Из него отлили несколько литров кислоты и долили столько же литров воды. Потом отлили столько же литров смеси. После этого в смеси, оставшейся в сосуде, оказалось 25,6 л кислоты. Сколько литров кислоты отлили в первый раз? Заполните пропуски и закончите решение задачи. Решение. Пусть в первый раз отлили х л кислоты, тогда в сосуде осталось ................л кислоты. После добавления воды доля кислоты в смеси стала ................ Во второй раз отлили ............л смеси. В отлитой части содержалось л кислоты. Всего за два раза отлили л кислоты, По условию задачи в сосуде осталось 25,6 л кислоты. Значит, за два раза из него отлили (40 - 25,6) л, т. е. 14,4 л кислоты. Составим и решим уравнение: Ответ: 48 11. Два трактора могут вспахать поле на 4,8 дня быстрее, чем один первый, и на 10,8 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый трактор может вспахать всё поле? Решение..................................................... Ответ: 49 НЕРАВЕНСТВА ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА ш 1. Сравните числа а и если: а) а - Ь = (-7)11; 6) а - Ъ = (-0,2)®; Ответ: а) .............. б) ........... в) а - 2Ь = (-1)® Ъ, ... в) ............... 2. Впишите какую-либо пропущенную цифру так, чтобы получилось верное двойное неравенство: а) 1216 < 12[1|9 < 1236; б) 3,128 < 3,l[]8 < 3,143. 3. Подчеркните неравенства, которые верны при любом значении а: > 0; + 1 > 0; (а - 1)^ >0; (а -h 4)^ > 0; -1 - а2 < 0; -а2 <0; За^ + 3 > 0. 4. Пусть а — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения: а)-а2-1П0; б)а2+11бП0; в) (а - 4)2 + 11 □ 0; г) - (а - + (-1)“ □ 0. 5. Подчеркните неравенства, которые верны при всех значениях переменных; (а - 5)2 + (6 - 2)2 + 1 > 0; 112а2 + 21662 > 0; (а + 6)2 + (6 - 1)2 > 0; -а2 - (17 - 6)2 - 4 < 0. 50 6. Докажите, что среднее арифметическое чисел а и Ь, где а < Ъ, заключено между этими числами. Заполните пропуски и закончите доказательство. Среднее арифметическое чисел а и Ь равно . Требуется доказать, что ....................... Рассмотрим разность ..................................... Рассмотрим теперь разность .............................. Значит, ................................................. 7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: а(4а + 1) > (2а - 1)(2а + 1) + а. а(4а + 1) - (2а - 1)(2а -ь 1) - а = 4а^ -к а - 4а^ + 1 - а = 1; 1>0. Значит, неравенство верно при любом значении а. а) (2Ь - 1)2Ь +1>(2Ь- 1)(1 + 2Ь) - 2(Ь + 4); б) 3 + 42р2 > (6;? - 1)(1 + бр) - 17. 51 и 8. Из данных неравенств выберите те, которые верны при любом значении а: а) 4а^ + а > (2а - 11)(11 + 2а) + а; б) 9а(а + 2) > (За + 4)^ - 31; в) 0,5(а - 16)(а + 16) > (1,5а - 2)а; г) 2(4а -ь 1)(8а - 2) < (2а - 1) • 16 • (1 + 2а). Ответ: 9. Укажите все дроби вида ^, где а е N, которые заключены между числами ^ и i: 7 о 10. Укажите какое-либо значение р, при котором неравенству 3,9 < X < р: а) удовлетворяет единственное целое число: ................. б) удовлетворяет только два целых числа: ................... в) не удовлетворяет ни одно целое число: ................... 52 11. Докажите, что при любом значении Ь верно неравенство 2^4+4 2&2+1 ^2. 12. К числителю и знаменателю правильной дроби —, где а и Ь — натуральные числа, прибавили по 1. Кгьк изменилось при этом значение дроби? Выполните преобразования и выберите верный ответ. 1. Осталось тем же 2. Уменьшилось 4. Ответ зависит от значений а и Ь 3. Увеличилось 13. Впишите какое-либо пропущенное число так, чтобы получилось неравенство, верное при любых значениях х и у: а) - 6х + - 10у +........> 0; б) 25^2 + 121^2 _ юх - 22у -I-......> 0. 14. Докажите неравенство: а) 81л:^ + 9у^ + S6x - 6^ -h 10 > 0; 53 б) 16/?2 + 9т} > SSp - 64т - 205. 15. Моторная лодка в первый день прошла 40 км по течению реки и вернулась обратно, а во второй день она прошла 80 км по озеру. В какой из дней было затрачено больше времени? Решение..................................................... Ответ: свойства числовых неравенств 1. Если а > Ь, то Ь < а; если а < Ь, то Ь > а. 2. Если а < Ь VL Ь < с, то а < с. 3. Если а < 6 и с — любое число, то а + с < Ь с. 4. Если а < Ь и с > о, то ас < Ьс, если а < ^ и с < 0, то ас > fee. ш 1. Известно, что а < Ь. Запишите верное неравенство, которое получится, если: а) к обеим частям данного неравенства прибавить по -0,1: б) обе части данного неравенства умножить на -0,1: 54 в) обе части данного неравенства разделить на -0,1: 2. Поставьте знак > или < так, чтобы получилось истинное высказывание: а) если X < у и р — положительное число, то хр п УР'^ б) если X < у и р — отрицательное число, то хр О ур\ в) если X < у и X, у — положительные числа, то ^ Г~1 ^ ; ч 1 I—I 1 г) если X < у и Xj у — отрицательные числа, то — |_| . X у 3. Сравните с нулём число а, если верно неравенство: а) 1,2а > 1,02а; б) -а < а; в) 3,07а > 3,1а; г) -1,01а > -1,02а. Ответ: а) ..................... б) .................. в) ..................... г) .................. 4. Оцените значение дроби —: а) если 6 < JC < 11, то б) если 0,3 < X < 0,6, то < i < X < — < X 5. Зная, что а < Ъ, сравните значения выражений: а) -6,3а □ -6,ЗЬ; б) (-1)*^ а □ (-!)*'■ Ь; Ь ч CL I—I Ъ (12^ ^ VW’ г) ___^— п (-1,2)« (-1,2) 1б ■ 55 6. Известно, что а > Ь > О, Поставьте знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: а)-6,8аП-6,8Ь; б) (l-^/3)a□(l-VЗ)6; в) ь4г ,/3 3 II 7. Сравните значения выражений, зная, что а < Ь. (ур7 + л/З - 2)а и (ур7 + >/3 - 2)Ь, Так как ур7 > 2, > 1, то >/7 + 73-2>0. Значит, (^/7 + 73-2)а< (^/7 + л/З-2)6. а) (V2 + V3-ll)a и (^/2 +73-11)6; б) (V5-V2+3)a и (V5-V2+3)6; в) (3V2-Vl9-6)a и (3V2-Vl9-6)6. 8. Зная, что л: — отрицательное число, расположите в порядке возрастания числа SXy -Ху х(у1Ъ-42)у -xyfs , 4х: 56 9. Докажите, что если а и 6 — положительные числа и то а> Ь, Пользуясь доказанным свойством, сравните значения выражений: а) -v/б + V5 и Vs -ь >/3 \ б) Vl 1 + Vs и Vl2 + Vt . Ответ: а) б) 10. Верно ли, что если а> Ъ > О, то: а) 3,7a>V2fe; б) -1,5а<-л/ЗЬ? Ответ: а) б) 11. Сравните с нулём число Ь, если верно неравенство: а) 36>Л06; б) 6>(V7->/5)6; в) {2--Д)Ь>2Ь Ответ: а) б) в) 12. На координатной прямой точками обозначены положительные числа: —, 4, -, \ , Около каждой точки запишите соответству-а о с а ющее число, если известно, что а <Ь, d > Ь, с < а. 57 13. Лодка в первый день прошла некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. Во второй день она прошла такое же расстояние по реке с более быстрым течением и также вернулась обратно. В какой из дней было затрачено на весь путь больше времени? Решение. Пусть х км/ч — скорость лодки в стоячей воде, у км/ч — скорость более медленного течения, z км/ч — скорость более быстрого течения. Обозначим через ч — время, затраченное на весь путь в первый день, t^4 — время, затраченное во второй день, s км — расстояние, на которое отплывала лодка. Тогда ^1 = ^2 “ Преобразуем разность h~h = Ответ: СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Если а < Ь и с < d, то а + с < Ь + d. Если а < Ь и с < d, где а, Ь, с, d — положительные числа, то ас < bd. ш 1. Сложите почленно неравенства: а) -6,1 < -5,7 и -0,3 < -0,2:.. б) 4,11 > 3,65 и -1,06 > -2,07: 58 3) 7i>5i и 6i>4i:........................................ г) 2|<3| и -lf<2i:....................................... 2. Перемножьте почленно неравенства: а) 6 > 2 и 18 > 11:...................................... б) 2,6 > 2,1 и 8,4 > 6:.................................. в) 120 < 124 и 1,2 < 1,3:................................ 3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел а и 6, если 5<а<6 и 2 < Ь < 3. 4. Известны границы длин сторон треугольника: 16 < а ^ 18, 24 < Ь < 26, 20 < с ^ 22. Оцените его периметр. 5. Пользуясь тем, что 3,3<л/1Т<3,4 и 2,6<>/7<2,7, оцените значение выражения: a)Vn + V7; б)ЛТ-л/7; в)ЗЛТ-2л/7; г)^/44+V63. 59 6. Измеряя (в метрах) длину а и ширину Ь садового участка, нашли, что 36,4 ^ а ^ 36,5 и 12,4 < Ь < 12,5. Оцените площадь этого участка и длину забора, ограждающего его. Ответ: II 7. Ребро куба равно а см, где 1,3 ^ а ^ 1,4. Оцените объём V и площадь поверхности S этого куба. Ответ: 8. Радиус основания цилиндра равен г см, где 9 ^ г < 10, а его высота равна h см, где 20 ^ Л < 21. Оцените объём V цилиндра, воспользовавшись формулой V = лг^/г, где 3,14 <л< 3,15. Ответ: 60 9. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите неравенство 1 + >8 10. Воспользовавшись соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что если xyz = 9, л: > О, у > О, z > О, то (1-н jc)(l + г/)(1 + 2) > 24. 61 ПОГРЕШНОСТЬ И точность ПРИБЛИЖЕНИЯ ш 1. в каких границах заключено число р, если: а) р = 3,8 ± 0,1; б) р = 1,72 ± 0,13? Ответ: а) б) 2. Округлите число 26,273: а) до единиц; б) до десятых; в) до сотых и найдите абсолютную погрешность а каждого из приближённых значений: а) 26,273 б) 26,273 в) 26,273 а = а = а = 3. При выполнении вычислений дробь — заменили дробью 0,3. Какова абсолютная погрешность этого приближения? Ответ: ....................................................... 4. На рулоне обоев написано, что его длина (в метрах) равна 16 ± 0,3. Укажите, в каких границах заключена длина рулона: Может ли оказаться, что длина рулона равна: а) 15,9 м; б) 16,5 м? Ответ: а) б) 62 5. Зная, что р = 3,7 ± 0,2, найдите, в каких границах заключено число р:............................................... Из данных чисел выберите возможные значения р и подчеркните их: 3,64; 3,589; 3,61; 3,484; 3,814; 3,679. II 6. Начертите произвольный треугольник АВС и измерьте его углы (с точностью до 1°): ZA ZC Вычислите сумму углов треугольника и найдите абсолютную и относительную погрешности полученного результата. 7. В качестве приближённого значения каждого из чисел а и Ь взято их среднее арифметическое. Чему равна в каждом случае точность приближения? 8. При измерении (в сантиметрах) длины а металлического стержня и диаметра Ь его поперечного сечения нашли, что а = 17,9 ± 0,1, Ь = 3,1 ± 0,05. Найдите с помощью калькулятора относительную погрешность приближения и определите, в каком случае качество измерения выше. Ответ: 63 9. Фирма решила снять под офис помепцение плош;адью не менее 80 м^. Подойдёт ли для этого помещение, состоящее из двух комнат, длина первой из которых равна а м, ширина — Ь м, а длина второй равна с м, ширина — d м, где а = 7,7 ± 0,1, Ь = 6,2 ± 0,1, с = 8,2 ± 0,1, d = 5,7 ± 0,1? Ответ: 10. Для перевода дюймов в сантиметры воспользовались равенством 1 дюйм ~ 2,5 см. Найдите абсолютную и относительную погрешности, допущенные при замене табличного значения дюйма: 1 дюйм = 2,54 см. 11. Решая графически уравнение = 12 — х, ученик нашёл его корни: х^ ~ -3,8, х^ ~ 2,7. Решив это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения, определите, с какой точностью был найден каждый корень при графическом способе решения. 64 12. Можно ли на трёхтонном грузовике перевезти за один рейс 12 плит, масса каждой из которых равна т кг, где т = 250 ± 10, если известно, что не допускается перегрузка более 500 кг? Ответ: ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ Принятые обозначения: АПБ — пересечение множеств А и В, лив — объединение множеств Л и В. ш 1. Известно, что А — множество простых однозначных чисел, В — множество натуральных чисел, не превосходящих 13. Задайте перечислением элементов множества Л, В, X и У, где х = лпв, у = лив. А = ............................................ В = ............................................ Х= ............................................. У = ............................................ 2. Пусть Q — множество рациональных чисел, I — множество иррациональных чисел, R — множество действительных чисел, 0 — пустое множество. Закончите запись: Q П / = QU/ = 65 3. Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые используются в записи слов: а) биология и геология; б) математика и грамматика. Пусть А — множество букв в записи первого слова, В — множество букв в записи второго слова. а) А = ... А П В = б) А = ... А П В = В =.. А и В = В =.. А и в = 4. Известно, что А — множество простых двузначных чисел, В — множество натуральных чисел, не превосходящих 30. Укажите наименьший и наибольший элементы множеств X и У, где Х = АПВ, y = AUB. Ответ: .................................................. 5. Известно, что А — множество целых чисел, кратных 6, В — множество целых чисел, кратных 18. Подчеркните верные равенства: А ПВ = В; AUB = B; АПВ = А; А и В = А. 6. На рисунке изображены прямоугольники ABCD и EFKL, Определите, какая фигура является: а) пересечением множеств точек, принадлежащих этим пря- моугольникам: ........... б) объединением множеств точек, принадлежащих этим прямоугольникам: .......................................... 66 7, Пусть А — множество простых двузначных чисел, не превосходящих 50, В — множество двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 1 и не превосходящих 70. Задайте перечислением элементов множества А, В, ЛПБ, АУБ. А = ............................................. В =.............................................. А П Б = ......................................... А и Б = ......................................... II 8. Известно, что точки А, Б, С и Б расположены на одной прямой, X — множество точек отрезка АБ, У — множество точек отрезка CD, причём а) X П У = АБ; б) X П У = СБ. Для каждого случая сделайте чертёж и укажите отрезок, который является объединением множеств X и У. '1 ^ а) б) ^ 1 I ; ХиУ:: ХиУ: 9. Начертите два каких-либо прямоугольника, пересечением множеств точек которых является: а) прямоугольник; в) отрезок; б) треугольник; г) точка. 10. Известно, что А — множество двузначных чисел, кратных 7, В — множество чётных двузначных чисел, X = А П В. Укажите наибольший и наименьший элементы множества X. Ответ: наибольший элемент: ..наименьший элемент:....... 11. Из 60 участников международной конференции каждый владеет английским или немецким языком, причём 45 человек владеют английским языком, а 36 человек — немецким. Найдите число участников конференции, владеюш;их английским и немецким языками. Решение. Общее число участников конференции, владеющих английским или немецким языком, равно .............. Это число больше 60 за счёт того, что в него вошло число участников Имеем: ............. Значит, двумя языками — английским и немецким — владели ......... участников. Проиллюстрируем ситуацию с помощью кругов Эйлера. ■ 1 i - 1 ' ! J i_ j I 1 1 t 1 1 1— 1 ^1' ’ i j i ^ Ответ: 68 ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ Неравенство Обозначение и название числового промежутка а ^ X [а;Ь] — числовой отрезок а < X <Ъ (а; Ь) — интервал а ^ X < Ь [а; Ь) — полуинтервал а < X < Ь (а;Ь] — полуинтервал X > а [а;+с») — числовой луч X > а (а;+оо) — открытый числовой луч X а (-оо;а] — числовой луч X < а (-оо;а) — открытый числовой луч ш 1. Обозначьте промежуток, изображённый на рисунке, и назовите его. -4 (-4; 1] — полуинтервал а) б) 10 в) 16 -2 8 9 г) 11 д) ► 14 2. Назовите числовой промежуток и изобразите его на координатной прямой: а) (-3;7)- ..............................................^ б) (-оо;4) — ...................... —-------------------- 69 в) [6; 10] -........................ .......................^ г) [7;+оо) — ............................................ ► 3. Изобразите на координатной прямой множество точек, удовлет- воряющих неравенству, и обозначьте его: а) X > -2,5: ....................... .......................► б) д:^-1: ............................................... ► в) X > 6: .......................... ....................... г) д: < 0: .............................................. ► 4. Обозначьте числовой промежуток, задаваемый двойным нера- венством, и укажите все целые числа, принадлежащие этому промежутку: -2<х< 3,5, [-2; 3,5), -2, -1, 0, 1, 2, 3. а) -3 < д: < 1,5, .......................................... б) -1,5<х<4, ............................................... в) -2,6 ^ д: < о, .......................................... г) -4,2 ^ д: < 1, .......................................... 5. Укажите два положительных и два отрицательных числа, принадлежащие промежутку: а) (-7,5;3,4): б)(^-2|;3^; в) (-2Д; 1,1); г) (-0,1;0,2). Ответ: а) ................... б) ........................... в) ................... г) ........................... 70 6. Изобразите на координатной прямой промежутки и укажите их пересечение: [2; 6] П [-1; 5] = [2; 5]. —----^ -1 2 5 6 а) (4;1)П[0;2]= ................ ............................ б) [-1; 1] П (-3; 3] = ......... ............................ в) (2;+оо) П (1;+оо) = ........ ............................ г) (-оо;2) П (1,5;+оо) = ...... ............................ 7. Изобразите на координатной прямой промежутки и укажите их объединение: [-1; 2] и [-2; 3] = [-2; 3]. --^-4: -----------------^ -2-1 23 а) [-3; 4] и [-2; 1] = ......... ............................^ б) (-оо;2] и [1;+оо) = ......... ............................► в) (-СХ); 3] и [2; 4] = ........ ............................^ г) (-оо;0) и [-1; 1] = ........ ............................^ 8. Укажите все дроби вида , где а е N, принадлежащие интер- оО валу Ответ: ...................................................... 71 д 9. Подчеркните числа, принадлежащие интервалу (-3,5; 7): -3,6; -2V5; Vl5; ЮТЗ; -л/б; 6V2; 2^/T^. 10. Укажите все целые числа, принадлежащие промежутку: а) (-6,03; 0]: ........................................ б) (-Vl5;V5):.......................................... в) [-1;VI7):........................................... г) (-VTT;VTT):......................................... 11. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов (-^/T5;^/3) И (-6; 2)? Выберите верный ответ. 1. Два 2. Три 3. Четыре 4. Пять 12. Укажите все целые числа, принадлежащие промежутку [-Л1;7з + ^7]. 13. а) Принадлежит ли промежутку [0;9,8) число 9,78? б) Укажите два каких-либо числа, больших, чем 9,78, принадлежащих промежутку [0;9,8). Ответ: а) б) 14. Известно, что А = (-6;13); Б = [-8;11]. Укажите, если возможно, наибольший и наименьший элементы множеств X и Y, если Х = АП В, У = ЛиВ. 72 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ш 1. Подчеркните числа, которые являются решением неравенства 5-Зл:> 1: 6; -4; 0; 1; 1,5; -2,5; 101. 2. При каких значениях х: а) двучлен бд: - 1 принимает положительные значения; б) двучлен 66 - 11л: принимает отрицательные значения? 3. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: а) 5л: - 15 > 0; в) Зл: - 11 ^ -2; б) -6у -I- 2 > 0; г) 1 - 5л: ^ 3. а) в) б) г) 4. При каких значениях х функция, заданная формулой у = —7х+11, принимает отрицательные значения? Выберите верный ответ. 1. л: >-1 X<-lf 3. x>lf 4. л:<1 73 5. При каких значениях переменой имеет смысл выражение Ответ; 6. Найдите множество решений неравенства и укажите три каких-либо числа, принадлежащих этому множеству; а) 1,2(а- l)-0,3(a-f2)< 11; б) 0,1 (& - 4) - 0,7(2Ь - 1) - 4 < 0. Ответ; а) б) 7. При каких значениях pi \ <г«Р“4 2р-1 а) сумма дробей — и — положительна; б) разность дробей ^ и отрицательна? о 1о Ответ; а) ..................... б) 74 8. Решите неравенство: , 17/7-1 3-/7 а) + <р; 2т+ 1 т-5 б) т-5—<—5— Ответ: а) б) II 9. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 21/-4 У +1 , aj g ^^15’ 3 5 Ответ: а) б) 75 10. Существует ли такое значение а, при котором неравенство ах < Ах - 1 не имеет решений? Ответ: 11. Найдите множество значений р, при (2р - 3)л:^ - 7jc + 1 = о не имеет корней. которых уравнение Ответ: 12. Найдите область определения функции: _ ^/^2 а) у 6х Зх + 1 б) У = 15 у15-х + 2 Ответ: а) б) 76 13. При каких значениях а: а) множеством решений неравенства 5х - 1 < а является числовой промежуток (-оо;6); б) множеством решений неравенства 9х < 0,2а + jc является числовой промежуток (-оо;8]? Ответ: а) ..................... б) 14. Найдите наибольшее целое значение а, при котором разность - „ 14-2а 4-а дробей —г— и —-— положительна. Ответ: 15. Для награждения выпускников школа решила приобрести красочные папки. Их можно купить в магазине по цене 32 р. за штуку или заказать в мастерской, которая берёт по 20 р. за папку и еш;ё 210 р. за оформление заказа. Укажите наибольшее число папок, при котором их выгоднее купить в магазине, чем заказать в мастерской. Решение................................................... Ответ: 77 Q РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ш 1. Подчеркните числа, которые являются решениями системы не- J5x-ll<0, 13л: + 7>4: -3; -2; -1; 0; 2; 2,1; 3. равенств 2, Решите систему неравенств: f0,6a: < 4, l0,l* + l>0; 2л:-1<0; |Зл:--4>0, [6-2х > 0; г) [-Зх-КО; Ответ: а) ... г) 78 3. Решите систему неравенств и укажите все целые значения переменной, которые являются её решением: а) [Зх 12- -1<16, 5х < 0; б) |18-6д:^0, [3 + 12JC ^ 1; в) 2-11л:^0, Злг + 4^16. Ответ: а) б) в) 4. Найдите область определения функции; а) у = уГх + yj2-x ; б) у = у/7-х -у/4х-11. Ответ; а) б) 5. При каких значениях р: а) значение дроби больше соответствуюпдего о значения дроби 6р-1 12 79 л - Зр б) значение дроби =—— меньше соответствующего значения дроби 2-р 15 в) значение двучлена 12р - 1 больше соответствующего значе-2-Р . ния дроби 15 ’ ч ^ 11-2р г) значение дроби —-г—^ меньше соответствующего значения двучлена 1 - р? Ответ: а) ...................... б) в) г) 6. Решите двойное неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой; а) -2 < 5л: - 4 < 4; б) 1,1 < 2 - jc < 1,7; 80 в) 2,9 ^ 2,7 -2х^ 4,8; г) 1,9 < 1,1 - 0,1л: < 3,1. Ответ: а) в) б) г) 7. Если к некоторому натуральному числу прибавить его половину, то сумма будет больше 30, а если из этого числа вычесть ^ его, то разность будет меньше 17. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющ;ие этому условию. Решение. Обозначим через х число, удовлетворяющее условию задачи. Тогда должны выполняться два неравенства: ............................... и ............................ Решим систему неравенств: Из условия, что X — натуральное число, находим искомые значения х:...................................................... Ответ: ....................................................... 81 II 8. Решите систему неравенств: ч Г0,6(2-л:)-1,4л: < 2,6л:-8, 11,5(л: + 2) + 0,5д:<6д: + 4,6; g |2,4(:с + 1) l3,5(jc-2) + l,5(2jc 1,9(л:-4)< Зл: + 6, 1)>л:-8,5. Ответ: а) .................... б) 9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12,4 см. Какую длину может иметь основание треугольника, если известно, что длина основания выражается целым числом, причём периметр треугольника больше 46 см? Решение...................................................... Ответ: 82 10. Решите систему неравенств: а) 2JC-1 > 8, 16-л: >0, Зл: + 5>14, б) ■ 2л:-9 < 5, в) ^ 9-л:>1; л: + 16>11; 8-Зл: > о, 6-л: < 6, 5л: + 1 >6. Ответ: а) б) в) 11. Укажите наименьшее и наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству: а) -43 ^ 8 - 11л: ^ 34; б) -10 < Зл: - 1 < 11. Ответ: а) .................... б) 83 12. Найдите значения р, при которых не имеет решений система неравенств: . [2х + ^>р-2, \Ъх-Ъ<р-, б) j3jc-4 > р-6, \Ъх-1<р. Ответ: а) б) 13. При каких значениях а решение системы уравнений |4л: + ^ = а-2, \х — у = а + 1 удовлетворяет условию л: > О, у <01 Решение. Выразим через а значения х и у. Получим 84 Учитывая, что л: > О и ^ < О, составим систему неравенств с переменной а и решим её. Ответ; 14. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяюш;ее системе неравенств 5х-4 х + 1 <0, 3 2 {4х -1)2 +11 < (8л: - 1)(2л: +1). Ответ: 85 Глава V СТЕПЕНЬ с ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Если а 7^: о и п — целое отрицательное число, то а"= —. а‘" ш 1. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем: а) 5-^ = б) (-0,3)-з = в) г/-^ = г) (2а)-* = Д) (х - уУ^ = •) ЙГ= 2. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: а) 1 8» б) 1 (-2)" в) 1 0,45 JL_ д) 1 е) 1 _ (а + 26)® 12 3. При каком значении х верно равенство — 211 Выберите верный ответ. 1. JC = 3 2. д: = -3 3. х = | 4. JC = - 4. Представьте число в виде степени с основанием 7: а) 49 =............ б) 7 =.............. в) 1 = . г) i = д) 343 е) 49 86 5. Вычислите: а) 5-* = ... »'Г= в) (-4)-" = Г ("s) - ("г) = .. ■ 6. Поставьте знак >, < или = так, чтобы получилось верное неравенство или равенство: а) 8-“^ П 8-^; б) Щ в) ОД-" □ ОД"; г) 5-‘ □ 0,2^ д) (-3)-* □ 3-‘; е) (-0,1)-^ □ (-0Д)-». 7. Найдите значение выражения: >-2_ 1 _ 1 (-0,4)- (-0,4)* 0,16 = 6,25. а) -5-* =.... в) (-0,2)-* = б) -0,1-" = «-(-1Г 8. Покажите с помощью стрелок, каким числом (положительным или отрицательным) является значение выражения. 5-« (-4)* -(-2)* (-13)2 положительное отрицательное число (-15)-»° (-0,2)-2 -(-3)-* (-15)-» 87 д 9. Вычислите: а) 9 • 3-^ = . б) 100 (4Г= в) 3-‘ + 2-« = .. г) 0,2“ - 0,1-“ д) 36 • (-3)-“ = -S е) 15:11| = 10. Представьте в виде дроби выражение; а-“+Ь-“ =-V + TT = 1 1 6“+а“ а“ 6“ ■ а) xif^ - ху-^ = ....... б) (а - ЗЬ ‘Ца-' - 36) = в) (с-“ - d-“)(c - d)-* = г) (лг"“ + а-“)(д: + a)-^ = 88 11. Вычислите: б) 37.6--3.(|)"+5.(l|]'‘ 12. Упростите выражение: а)4^ = -у^ (ab)-^(a-bf ........ [bj -(b) =.......... . cd~^-c~^d 89 13. Корни уравнения 2х^ - пх + 3 = О связаны соотношением х,^ + Хо^=1^ * Определите п. Закончите решение: ^1 ^2 ~ 2 ’ 3 2 „-2 , „-2 _ 1 , 1 _ + ^2 _ (^1+ ^2>^ - 2X^X2 . Xj -Г ^2 - 2 ■*" ^2 “ “ Xi Xg (*1^:2 f Ответ: .............................. 14. Вычислите: а) (3-* + 5-*)2 : (3-' - = ........ б) (16-' - 12-') : (16-' + 12-') = . в) 9,2-' • (7-' + 4-2) =............ г) (0,2-' - 0,4-') : (3 • 0,1-' + 0,3 ') 90 15. Найдите значение выражения {а~^ + Ь~^)(а ^ + + Ь~^) 1 1 при a=g, ^ = -3* Ответ: СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Для каждого а ^ О и любых целых тип am , а"*: а” = а'”"”; (а'”)" = а'"". Для каждого а ^ О, Ь ^ О и любого целого п {аЪу = Г а Y _ а" ш 1. Вычислите: а) 2^:2»= б) (7V • 7" = в) 5^ ■ 5-^ • 5" = г) М'( i) / \-4 / ч- д) (0,2-^ = е) (!)■ [1] 2. Представьте выражение в виде степени с основанием 5 и найдите его значение: а) 125 • 5-2 = .......................................... б) 25-.(1)". 91 в) 0,22 . ^ ......................... г) 52 : (125-‘)-2 = ..................... 3. Найдите значение выражения: (32)«.(3^)2 ’ 92 б) 16^ ■ 4® : 2-2 =...................... ■' ....................................... г) (0,04 V • 125-1 • (25"V = ............ 4. Упростите выражение: а) 0,8/п"^д® • 5т^д-1 = ................. б) 2|а-'Ь‘»:(7а-«620) = в) 0,5jc“V^ • 4^:“V = ................... г) |p-^g-^:(0,6p°g-') = 5. Найдите значение выражения: а) 0,3c“^d® • при с = -0,2, d = 10; 92 б) (8a“^Ь'^) при а = 0,6, ^ = ^5 в) 6(х-^)-^ • (у2)-2 • 0,1ху-^ при л: = 12 , У = 0,5; г) 0,2т-"п2.8(т-2)-": при /п = 150, п = -0,5. Ответ: а) б) в) г) 6. Сократите дробь (п — целое число): 15" 5"*3" 5"-3" Зп+1.5«-1 _ о,2• 3" 3"^^ • 5"-^ - 5" • 3" 3" • 5""^ (3-5) -2 = Л = -2,5. а) 3"^4 3 б) в) г) v9; 7^ + 1 _ 7-" + 1 “ 21" 0Л+3, ул 4~п^ 42-п 51 93 и 7. Представьте в виде рациональной дроби выражение: а) (cd-2 - с-Ч) ‘ (d-i - с-1)-^ =..................... б) (а-2 (а-Ь)- Ь-2 (а - г?)) • аЬ (а - Ь)~^ = 8. Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных (т, п — целые числа): а) Зт+1. о,2 "-3-3'”-2. 0,2- Опг-2. к я+1 л-5 б) 7"- 0,5 Зп i^m-1. g n _'Jm . 23л-1 9. Упростите выражение: -1-2!/- j- + 2x-^i/■^ : + 2i/-') = 94 10. Найдите значение выражения (За + Ь)-2-(За-Ь) (За-6)-2+(За + &) ® л с т при -^ = 0,5, Ответ: 11. Докажите тождество --------------—---------^ — целое ОО 5/57 число. 12. Корни и уравнения пх^ - 5л: + 3 = 0 связаны соотношени- Q ем: лг1‘^ + л:2®= 1^ . Определите п. Ответ: 95 СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА Стандартный вид числа а: а = а • 10", где 1 < а < 10, п — целое число. Число п называется порядком числа а. ш 1. Подчеркните числа, которые записаны в стандартном виде: 3,1618 • 10=; 0,14 ■ 10^ 25,4 • 10 5,6; 518 • 10-'; 6,15 • Ю^. 2. Запишите число в стандартном виде: а) 75 000 =............ б) 612 000 000 = в) 11,16 =............. г) 0,902 =......... д) 0,000047 =.......... е) 5 =............. 3. Укажите порядок числа у, если: а) 10 < I/ < 100; б) 1000 « г/ < 10 000; в) 0,001 <у< 0,01; г) 0,00001 <.у< 0,0001. Ответ: а) б) в) г) 4. Сравните значения выражений: а) 4,3 • 10» □ 5,2 • 10’; б) 2,6 • 10'^ □ 3,7 • Ю'П в) 1,4 • 10’ □ 1,5 • 10’; г) 3,8 • 10^ □ 2,2 • Ю"". 5. Представьте число в стандартном виде: а) 81 • 10^ =.............. б) 906 • 10’ =..... в) 0,28 • 10® =............ г) 0,009 • 10'® = д) 77 • 10-* =............ е) 0,014 • Ю'® = 96 6. Порядок числа а равен -10. Определите порядок числа: а) ЮООо; б) о ■ 10^ в) 0,001а; г) ^. Ответ: а) ........ б) ......... в) ........... г) ... II 7. Выполните умножение. Результат запишите в стандартном виде: а) (5,16 • 10<) • (7,2 ■ 102) ^ ....................................... б) (5,8 • 10-'^) • (6,1 ■ 10’) = ...................................... в) (7,1 • 10-2) . (5 2 . 10-4) = ...................................... г) (6,3 • 102) . (2,4 • 10-45) = ...................................... 8. Выразите: а) 7,82 • 10-^ т в килограммах: б) 6,1 см в километрах: .... в) 1,3 кг в миллиграммах: .. г) 3 мм в метрах: .......... 9. Представьте в стандартном виде сумму чисел; а) 2,4 • 10-2 + 7 0 . 10-2 = ................. б) 3,1 • 10^+ 2,8- 102= ...................... в) 1,5 • 10-2 + 3^2 • 10-2 ^.................. г) 7,2 • 10-* + 2,3 • 10-2 = ................. 97 10. Выразите время в секундах и запишите результат в стандартном виде: а) 10 мин =................................................. б) 2 ч = ................................................... в) 12 ч =................................................... г) 1 сутки = ............................................... 11. Плотность свинца равна 11,4 г/см^. Найдите массу свинцовой плиты, длина которой 1,8 м, ширина 5 • 10"^ м и толп^ина 1,5 • 10"^ м. Решение. 11,4 г/см^ = 11,4 т/м^, так как 1 г = 10~® т, 1 см^ = 10”^ м^. Ответ: СБОР И ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ш 1. Подсчитывая число заданий, верно выполненных восьмиклассниками в итоговом тесте по алгебре, получили такие данные: 8, 10, 7, 7, 5, 6, 8, 4, 3, 3, 3, 7, 5, 5, 5, 4, 6, 10, 9, 9, 8, 8, 8, 5, 5, 4, 3, 3, 4, 5. Представьте эти данные в виде таблицы частот. Число верно выполненных заданий 3 4 5 6 7 8 9 10 Частота 98 2. В дачном посёлке провели учёт площади участков (в арах). Получили такие данные: 6,3, 6,0, 7,6, 8,3, 6,7, 6,9, 7,5, 6,7, 8,1, 8,5, 7,6, 7,3, 6,9, 7,1, 8,0, 6,7, 8,0, 8,4, 8,3, 7,8, 6,4, 7,9, 6,3, 7,5. Представьте эти данные в виде интервального ряда с длиной интервала 0,5. (Здесь и далее будем считать, что граничное справа число относится к последующему промежутку.) Площадь участков, ар 6,0—6,5 6,5—7,0 7,0—7,5 7,5—8,0 8,0—8,5 Число участков 3. При оценке качества продукции, изготовленной рабочими цеха, выбрали произвольно 100 ящиков с деталями и подсчитали число бракованных деталей в каждом из них. Получили такую таблицу: Число бракованных деталей 0 1 2 3 Число ящиков 31 29 26 14 Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного ряда данных. Общее число бракованных деталей равно 0*31-ь1*29-1-2*2б-ь + 3-14=.................................................. Число ящиков равно ...................................... Среднее арифметическое равно ............................ Размах ряда равен ....................................... Мода ряда равна ......................................... 99 4. При подведении итогов выполнения восьмиклассниками контрольной работы по алгебре составили таблицу частот. Число верно выполненных заданий 1 2 3 4 5 6 7 Частота 0 0 4 9 10 8 7 Для представленного ряда данных найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей? Среднее арифметическое равно Оно показывает Размах ряда равен Он характеризует . Мода ряда равна Она показывает . 5. Учащихся двух восьмых классов попросили отметить время, которое они затратили в определённый день на просмотр телепередач. На основе полученных данных составили такую таблицу: Время, ч 0—0,5 0,5—1 1—1,5 1,5—2 2—2,5 2,5—3 Число учащихся 4 12 16 20 10 8 100 Заменив каждый интервал его серединой, представьте эти данные в виде таблицы частот. Время, ч Частота Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое, моду и размах. Среднее арифметическое ряда равно Мода ряда равна ......................................... Размах ряда равен ....................................... 6. Проводя опрос учащихся, решили получить данные о времени (в часах), которое они затрачивают на дорогу от дома до школы. Для этого опросили: а) учащихся сельских школ, проживающих в тех деревнях или посёлках, где расположена школа; б) учащихся сельских школ, обучающихся в соседнем селе или городе и добирающихся до школы пешком. Укажите, какие ещё категории учащихся следует, на ваш взгляд, включить в выборку, чтобы она была представительной. 101 II Известно число сотрудников предприятия, прошедших переподготовку в различных организациях. 1. На самом предприятии — 60 человек. 2. В компаниях-партнёрах — 70 человек. 3. На курсах повышения квалификации — 130 человек. 4. В вузах и средних учебных заведениях — 40 человек. Пользуясь указанными данными, заполните таблицу относительных частот. Место переподготовки 1 2 3 4 Относительная частота, % 8. Проводя учёт числа деталей, обработанных токарями цеха за смену, составили таблицу. Одно число в этой таблице оказалось стёртым. Число деталей 20 21 22 23 24 Число токарей 3 6 8 4 Восстановите это число, если известно, что в среднем токари обрабатывали по 22 детали. Решение. Обозначим через х число токарей, которые обрабатывали за смену 23 детали. Выразим через х среднее арифметическое ряда: 102 Составим уравнение, воспользовавшись тем, что среднее арифметическое равно 22, и решим его. Ответ: 9. Данные о числе холодильников «Электролюкс», проданных в ноябре магазином «Техносила», были представлены в таблице. Одно число в этой таблице оказалось стёртым. Число проданных холодильников «Электролюкс» 13 14 20 Число дней 5 5 10 10 Восстановите пропущенное число, если известно, что в среднем магазин продавал в день по 16,5 холодильника этой марки. Ответ: 103 10. Для того чтобы определить степень засорённости цветочных семян, выбрали произвольным образом несколько пакетов с семенами и подсчитали число семян сорных растений в каждом из этих пакетов. Результаты подсчёта были представлены в виде таблицы частот. В таблице два числа оказались стёртыми. Число семян сорных растений Частота 10 Восстановите пропущенные числа, если известно, что пакетов с тремя семенами сорных растений оказалось на 3 больше, чем с четырьмя, причём в среднем в каждом пакете было по 2,6 семени сорного растения. Решение. Допустим, что было х пакетов с тремя семенами сорных растений. Тогда число пакетов с четырьмя семенами сорных растений равно............... Выразим через х среднее ариф- метическое числа сорных растений в пакетах: Ответ; .................................................... 104 Q НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ш 1. в таблице приведены данные о расходе семьёй холодной и горячей воды в течение полугодия. Месяц янв. фев. март апр. май июнь Расход холодной воды, 5,1 5,3 5,6 4,7 4,4 2,8 Расход горячей воды, 6,2 6,5 6,8 6,6 6,4 3,1 Продолжите построение столбчатой диаграммы, характеризующей расход холодной и горячей воды. 1 -- ! - 1 — - 1 S - - 1 1 1 а fcC § 5 -- ' 1 D ! - - - • — о ой _ Рн' — -- — — - _ - — - — — - - — — — сгттт> жж с - 1 '| -1 [Л X -LL 1 'сххх ^• _1. . 1тха.хх 1 1 .1 1 1 rxxv/xxo 1 1 1 _ I I холодная вода | | горячая вода 105 2. В ходе интернет-опроса родителей выяснялось, сколько времени проводит их ребёнок в Интернете. Всего было собрано около тысячи голосов, которые распределились следующим образом: 4—5 ч — 33%, 3 ч — 23%, 1—2 ч — 15%, не более 1ч — 15%, не пользуются Интернетом — 14%. Проиллюстрируйте результаты опроса с помощью круговой диаграммы, выполнив необходимые расчёты. 3. Имеются следующие данные об уровне образования сотрудников некоторого предприятия: выпускники вузов — 40%; выпускники учреждений среднего специального образования (техникумы, профессиональные колледжи) — 23%; выпускники учреждений начального профессионального образования — 29%; сотрудники, не имеющие профессионального образования — 8%. Проиллюстрируйте с помощью круговой диаграммы распределение сотрудников предприятия по уровню образования, выполнив необходимые расчёты. 106 4. За сезон юношеская футбольная команда города провела 15 встреч, в которых она 6 раз победила, 3 раза потерпела поражение, а остальные встречи свела вничью. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую результативность встреч, проведённых командой, выполнив необходимые расчёты. 5. Выполнение контрольной работы по алгебре учащимися двух восьмых классов оценивалось в баллах, которые выставлялись за каждое задание с учётом его сложности. По итогам проверки была составлена таблица, в которой отмечалось число учащихся, получивших указанное число баллов. Число баллов 4—8 8—12 12—16 16—20 20—24 Число учащихся 8 12 18 17 10 Постройте гистограмму, характеризующую распределение учащихся по итогам выполнения контрольной работы. 20 16 12 12 16 20 24 Число баллов 107 Речные круизы, отправлявшиеся из Москвы летом 2010 года, распределялись по своей продолжительности следующим образом: Продолжительность Число круизов от 1 до 4 дней 10 от 4 до 7 дней 11 от 7 до 10 дней 5 от 10 до 13 дней 10 Постройте гистограмму, характеризующую распределение круизов по их продолжительности. 10 m о со ft о к о Ч------1-------------- 10 13 Число дней II 7. При изучении возрастного состава членов туристической группы каждого из них попросили указать полное число лет. Получили следующие данные: 42, 28, 26, 34, 39, 45, 54, 36, 48, 16, 19, 21, 30, 35, 44, 39, 37, 38, 42, 52. 108 Составьте интервальный ряд, характеризующий возрастной состав группы, заполнив таблицу. Возраст, лет 15—25 25—35 35—45 45—55 Число членов группы Постройте соответствующую гистограмму. 3 а и >> л Сн m о ш 0) сг о i=j о X 15 25 35 45 55 Возраст 8. В ходе статистического исследования был проведён учёт времени, которое каждый из 40 токарей цеха затрачивал на обработку детали нового образца. По результатам исследования были составлены два интервальных ряда, один с интервалом 15 мин, а другой с интервалом 20 мин. Для каждого интервального ряда была построена гистограмма. Укажите: а) чем различаются построенные гистограммы; б) что общего у построенных гистограмм? 109 9. В таблице показано, сколько изделий изготовила артель в каждом квартале 2009 и 2010 годов. Год 2009 2010 Квартал I II III IV I II III IV Число изделий 260 275 195 310 320 345 290 385 Постройте полигон, иллюстрирующий выработку артели. Укажите два квартала, следующих один за другим, когда произошло: а) наибольшее увеличение выработки: б) наименьшее увеличение выработки: —^^ Л nr\ . 1 11 ! 1 Г 1 — 4UU" i t ! i ! ! 1 - 1— 1 - Л : 1 j OUU" i 1 1 t 1 t t I - I " Is _ t a fc (Г _ IS C u t c - IS IT i OKJKJ- 3 1 1 f 25 : i 1 - U“ > ■ ' \ 200- i 1 1 - —h“ 150- 1 1 ■ 1 1 ! - -- f 1 1 —ГЛ 10 if\ 1 ■ 1 ^ ly- —^^—' ■ , 1 : 1 r~ 1 -t5 i 1 1 i ^^ t •ui 1 1 1 1 ; ^ Г r~ г 1— i_ —1— _in I II_ I V / I_ i _I :i_ _i; ii_ _i v_ ackj ifri: 1 TT - ! 1 1 1 — V 1 i-y» 1— ki 1 ' * 1 1 1 1 1 —p 2009 2010 1 110 10. На рисунке построены полигоны, иллюстрирующие продажу магазином «Техносила» в течение недели кондиционеров (сплошная линия) и вентиляторов (пунктирная линия). Укажите два дня недели, следующие один за другим, когда в последующий день по сравнению с предыдущим: а) число проданных кондиционеров уменьшилось, а число вентиляторов не изменилось: б) число проданных кондиционеров не изменилось, а число проданных вентиляторов возросло: в) число проданных кондиционеров увеличилось, а число проданных вентиляторов уменьшилось: 111 Содержание Предисловие.....................................................3 Глава III. Квадратные уравнения 19. Неполные квадратные уравнения...........................4 20. Формула корней квадратного уравнения...................10 21. Решение задач с помощью квадратных уравнений...........18 22. Теорема Виета..........................................24 23. Решение дробных рациональных уравнений.................32 24. Решение задач с помощью рациональных уравнений.........42 Глава IV. Неравенства 25. Числовые неравенства...................................50 26. Свойства числовых неравенств ..........................54 27. Сложение и умножение числовых неравенств ..............58 28. Погрешность и точность приближения ....................62 29. Пересечение и объединение множеств.....................65 30. Числовые промежутки....................................69 31. Решение неравенств с одной переменной..................73 32. Решение систем неравенств с одной переменной...........78 Глава V. Степень с целым показателем. Элементы статистики 33. Определение степени с целым отрицательным показателем .... 86 34. Свойства степени с целым показателем...................91 35. Стандартный вид числа..................................96 36. Сбор и группировка статистических данных ..............98 37. Наглядное представление статистической информации.....105