Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Колягин Ткачева часть 1

Алгебра Рабочая тетрадь I Пособие для ^ащш^я ^бщеоб]^азова^льнь^ организаций В двух частях Часть 1 шт Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Упражнения тетради разделены на три раздела. Первый содержит упражнения для подготовки учащихся к изучению нового материала, второй — упражнения, дополнительные к упражнениям учебника, третий — упражнения для проверки уровня усвоения материала. Рабочая тетрадь является частью УМК авторов Ю. М. Колягина и др., также используется к учебнику «Алгебра. 8 класс» авторов Ш. А. Алимова и др. ISBN 978-5-09-032403-8(1) ISBN 978-5-09-032404-5(общ.) Издательство «Просвещение», 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены Предисловие Данная рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Алгебра, 8» авторов Ю. М. Колягина и др. Содержание тетради организовано в соответствии с главами и параграфами этого учебника. Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника. Она дополняет и то и другое, расширяя арсенал учебных средств учащихся и возможности работы учителя. Структурно материал каждого параграфа тетради расположен по трём разделам. После I раздела, который предназначен для подготовки школьников к изучению нового материала соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта черта означает, что после выполнения заданий I раздела учитель приступает к объяснению нового материала так, как он считает нужным. Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над упражнениями учебника; при этом ученики записывают решение традиционно в обычной тетради. Раздел II — это основной раздел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнительные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тетради являются подготовительными к выполнению упражнений учебника, некоторые помогают слабым учащимся в усвоении определённых алгоритмов благодаря увеличению от задания к заданию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее трудные упражнения раздела отмечены знаком *. В разделе III приведены тексты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выборочно использовать их для проверки качества домашней работы учащихся. ГЛАВА I Неравенства 1. Положительные и отрицательные числа © Заполнить пропуски в предложении. Рациональными числами называют числа где т — .....,.................., п число. Примеры. .......J .......у .•••>.«у .......у ........ Из чисел -5,8; 0; -7; 19; 1; 2,4; “12i; выписать: 1) натуральные .... 2) целые ....... 3) положительные 4) отрицательные . 5) рациональные .. Вычислить устно и записать ответ: 3 3 .................... 2) = 3) 2,03 • (-4)= .... 4) (-5) (-1,4)= .. 5) (-1,6) : (-0,8) = 6) 4,5 : (-3) = .. Даны числа -1; 0,1; 4-i; -2^; а-Ь; Записать числа: 8 5 4 о 1) противоположные данным 2) обратные данным ..... 3^ 4, У Заполнить пропуски и на числовой оси отметить: 1) точки: А(-2,5); Б (3,5); С 2) точку D (.), лежащую на единицу левее точки А; 3) точку Е (.), лежащую на единицу правее точки Б; 4) точку F (.), лежащую посередине между точками А и Б. ^^--1-h 3 -2 О Н-^^--h 5 Записать числа -2,3; 0; -4; -2,35, 2,3; -2,03 в порядке возрастания. J Записать числа 0; -6; f в порядке убывания. 15 9 3 9 5 М“ Записать два рациональных числа, заключённые между двумя данными рациональными числами. 1) 5 и 7; .. 3) о и 0,6; 5) — и —; ^7 7 . 2) -9 и-8; ... 4) -0,4 и 0; .. 6) -0,1 и 0,1; Й Не выполняя вычислений, поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 1) (-2,7)2.(0,56)3 1.10; 3) 2) -(2,7)2. (5,6)3 I.; 0; \ 0; 4) - М‘-| ЦГ! 1 [2) { 2) - l,2j 1 . 2j Поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы при х = -1 получилось верное неравенство: X + 2 :.: X - 2 1) 3) х-3 х-2^ 2 ’ 2) X + 4 х-г" 4) X 5-х X ' 2(х + 1) X + 7 Ш Разложить на множители: 1) 9х - = ............. 2) 7х^ + 5х =.......... 3) = v2 5) х^-36х = .. 6) 49х-4х» = 12 Решить уравнение, заполняя пропуски: 1) 8х + 11x2 = о, 2) ^^^ = 0, .......=0, = о, или X = х-2 I ......... о, л: =... 1 JC-........ ^ О Если X =....., то X -....= =....^0. Ответ. Xi =......., Х2 =... Ответ. х =......... 3)* 9х^-х = 0, = 0, х( И ) = 0, х =......, или ..............= о, или ...........= о, т. е. X =......, или X ......., или X ..... Ответ. Xi =............., Х2 =............, лгд =......... Определить знак числа а так, чтобы было верным неравенство: 1) (^-|ja • (-1,7) • (-3,5)2 < о, а Г] 0; 2) (-7)2 • (-Л]а • 9 >0, a[j 0. 14 Доказать, что при любом значении а значение выражения отрицательно. Д2 + 3 1) 2) + 4 -1 = -1 = 6 15 Заполнить пропуск в предложении. 1) Если произведение двух чисел — положительное число, то эти числа имеют .............. знаки. 2) Если произведение двух чисел — отрицательное число, то эти числа имеют............... знаки. 3) Если частное двух чисел — положительное число, то эти числа имеют .............. знаки. 4) Если частное двух чисел — отрицательное число, то эти числа имеют................ знаки. ie Записать все целые числа, которые расположены на числовой 7 7 оси между числами — и —. 3 3 tf Поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы при х = -1 получилось верное неравенство: 1) 7(2л:-9)!..! 0; 2) 3(-2jc+ 1)1.1 0. 18 Решить уравнение, заполнив пропуски: 4д: +3 1) (6-5л:)(Зд; + 4) = 0, .........=0, X =...... 2) 7-х = 0, = 0, ^ о. о т в е т. =.... Х2= ... 4-jc2 3) ^4- = о, X - 2 ........ =0, ........ о, ..................... =0, ..................... =0, X =........, X =........ Если X =....., то.... = 0. Если X =....., то.... 0. Ответ................... Если X =......., то .. Ответ, д: =......... 4) 3jc2-2jc = 0, X = X = = 0, Ответ. 2. Числовые неравенства © П( 1) Поставить в пустой клетке знак >, < или =. 8 17 4) 4 5 17’ ..|Г) 4 7’ 3) ^ 2^-- ^12’ 0; 5) 1,43 1,45; 6) 4,072 i 4,027; J -3,2; 8, 3 ^11’ 9) 0 1 1- -10,5. ''-Т j i Даны числа: 0,1; -20; 0; -1,9; 0,09; -1. Расположить их в порядке возрастания. # Поставить в предложении знак > или < между числами тип. п. 1) Если т - 1,2, п = -3, то т 2) Если /п = 7, п = 1, то /п |. 3) Если т = а, п = а + 1, то ш 4) Если т = п = - 3, то ш 5] Выполнить действия: 1) (а + 2)2 =.+.....+..... 3) (2 + 5а)(2 - 5а) = .... п. : п. п. 2) (1 - Зл:)2 =.. 4) (6 + Ь)(&-6) = Привести к общему знаменателю дроби: 1) 2) 3) 4) и п + 1 1 Ь-2 1 m2 - 1 5а и и п - 1 . а (Ь - 2)2 3 /п - 1 и а2 - 4а + 4 а - 2 8 с помощью определения числового неравенства сравнить числа: 1) ^ и 0,53; 2) 0,7 и |; 3) 0,9 и -|; 4) -2,4 и ZO ООО 1) = ’ 25 ТО 11 25 2) 0,7 = 0,53. то 0,7 3) ... 11 0,53 =..... Так как ^ - 0,53 | j 0, 25 . Так как 0,7 - — = = 0, 3 4) Заполнить таблицу. Значение т - п -3 12 0 а2 + 4 -а2-9 Сравне- ние тип п т = п т > п т < п S2 2 Доказать, что->-, если т> 1, т-1 m + 1 Доказательство. Разность = о. Так как числитель этой дроби ......................... число и знаменатель этой дроби ............................. число 2 2 (по условию 7П > 1), следовательно,----- > т - 1 т + 1 9 Доказать, что а + - < -2, если а < О и а Ф-1, Доказательство. Разность + 2а + 1 Дробь < О, так как (а + 1)^ i 1 О при а -1 и по усло- вию ............. Следовательно, а +- < -2. а Определить, какое из двух чисел больше, если известно, что каждое из них больше 104 и меньше 113, причём первое число кратно 15, второе кратно 8. Первое число кратно 15, поэтому запишем его в виде..т, где т — натуральное число. Второе число, кратное 8, запишем в виде ..., где п — натуральное число. По условию двойное неравенство 104 <...< 113 верно только при т =...... Неравенство 104 <...< 113 верно только при п =.... Поэтому 16т =..........=....... Sn =........=.... Ответ. Первое число ........... второго. Пусть а и & — натуральные числа, причём Ь > 1. Сравнить числа , а а -1 а и о, если верно неравенство — > -—-. о 0—1 аа — 1 аа — 1 Так как — >------верное неравенство, то разность - - -—- = Ь Ь — 1 0 0 — 1 = = = — положитель- ное число. Знаменатель этой дроби......>0, так как и......., и ............ (Ь > 1). Следовательно, числитель этой дроби должен быть ............................... числом. Поэтому ...> 0. А это означает, что Ь > а. 12 Заполнить таблицу. Значение а - Ъ 4 0 Сравнение а и Ъ а>Ъ 0,8 < 1 7,6 >3,5 -6<-1 -2,3 >-3,7 10 Доказать, что при любых значениях а верно неравенство: 1) (2 + а)(а + 5) < (а + 3)(а + 4); 2) (3-а)2>а(а-6). Доказательство. 1) 2) i4 Доказать утверждение. 1) Если а > Ь и с > d, то {а — Ь) (с - d) > 0. 2) Если а > Ь и с < d, то (а - Ь)(с - d) < О, Доказательство. 1) Если а > by то а - Ь ! i 0; если о d, то с - d ! ! 0. Поэтому произведение .................. положительное число, т. е...................>0. 2) Если а>ЪуТО................; если с < 0, то а i i 0. 2) Если 6,5а > 0, то а | ! 0. 4) Если -42а > 0, то а | I 0. 0. 6) Если - > о, то а 3 S Выяснить, положительно или отрицательно произведение {т - 2){п - 3), если: 1) m > 2 и 71 > 3; 2) ттг > 2, а Т1 < 3. 11 1) Если /п > 2, то т - 2 | | 0; если п > S, то п - 3 | | 0. Следовательно, (т - 2) (п - 3) i J 0. 2) Если т <2, то ...............................; если п < 3, то .............................. Следовательно, ............................................. % Выяснить, положительна или отрицательна сумма (т - 2) + (/г - 3), если: 1) т > 2 и п > 3; 2) т < 2 и п < 3. 1) Если /тг > 2, то.......... Если /г > 3, то ............. Следовательно, (т - 2) + (п - 3) 2) Если т < 2, то............ Если /г < 3, то ............. Следовательно, (т - 2) + (п - 3) '4* Сторона квадрата равна 6 см. Периметр квадрата равен Периметр квадрата равен 48 см. Сторона квадрата равна -в Заполнить таблицы (после выполнения преобразований). 1) Прибавить к обеим частям неравенства данное число. Исходное Данное Полученное неравенство число неравенство 11 3 5 16 >8 -7 <-1 10 9 > 2 -12 а + 3 > а -10 12 2) Прибавить к обеим частям неравенства данное число. Исходное Данное Полученное неравенство число неравенство 14 + ЗЬ > 2 -Sb 14 > 2 - гь 16 - 5Ь < 1 6Ь 7а - 8 > 3 -1а 16 - 5^7 < 1 -2Ь 3) Умножить обе части неравенства на данное число. Исходное неравенство Данное число Полученное неравенство Г'.': 4 > -3 12 >-8 -2 10 < 16 1 2 а > 3 а > 0 > За b<-S Ь<0 Ь-2>1 Ь>0 4) Разделить обе части неравенства на данное число. Исходное неравенство Данное число Полученное неравенство 8 < 10 , р ... ^ >! j4<5 18 > 11 -1 -9 <-6 -3 13 Продолжение Исходное Данное число Полученное неравенство неравенство -4 <-1 1 2 16а < 14 -2 -8а > -7 а > -2а^ а > 0 а < а^ а < 0 Доказать утверждение. 1) Если 5а - 3 < 4а - 2, то а < 1 2) Если 7Ь 9 > 6Ь + 10, то Ь > 1. 3) Если (Ь - 1)(& + 6) > Ь(Ь + 4), то Ь > 6. 4) Если а(5 + а) < (а + 2)^, то а < 4. Доказать, что если а < Ь и с < 0, то ас > Ьс. По условию а - Ь | | 0 и с | | 0. Поэтому (а - Ь) с I | 0, т. е. ас - Ьс \ 10. Следовательно, ас > Ьс, 9 Доказать, что если ас < Ьс и с > 0, то а < Ь. По условию ас - Ьс | ; 0, с(а - Ь) 1 ! 0 и с ! i 0. Поэтому а — Ь \ 10. Следовательно, а <Ь. Заполнить пропуски. 1) Если сторона квадрата а такова, что 3,1<а<3,2, то его периметр Р таков: ......< Р <........ 2) Если периметр квадрата Р таков, что 60 < Р < 64, то его сторона а такова; ......< а <........ 14 Определить знак числа а, если: 1) 9а < 2а; 2) -10а > -12а. 1) 2) Ответ. 1) а 1 I 0; 2) Прибавить к обеим частям исходного неравенства число т. 1) а <Ь, т = -12; .......... 2) а > by т = -7; ............ 3) а> Ь, т = 20;............ 4) а <Ь, т = 0,5;............. Вычесть из обеих частей исходного неравенства число к, 1) -3 < о, Aj = -1; ........ 2) 7 > 4, Aj = 8; ....... М Пусть а <Ъ. Поставить в клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 1) -4а I.I -46; 3) -7’ 2) 0,5а I..i 0,56; 4) а(с2 + 2)П 6(с2 + 2); 5) а (-5 - с2) I...! 6 (-5 - с^). Щ Доказать, что если 8 - 6а < 12 - 7а, то а < 4. Доказательство. §4. Сложение и умножение неравенств И...........i.........— ........<- .....................►........... © Известно, что а> 3, 6> 5. Доказать, что: 1) а + 6 > 8; 2) а6 > 15. Доказательство. 1) Если а > 3, то.I I 0. Если 6 > 5, то.......... Сумма двух положительных чисел (а - 3) и (6 - 5)., 15 т. е. (а - 3) + (& - 5) i ] О или а - 3 + Ь - 5 i i О, а + & - 8 ; | О. Откуда .........i I ......... 2) Если а > 3, то ...... Если & > 5, то ....... Чтобы доказать, что аЪ > 15, нужно убедиться в том, что ... Рассмотрим разность а6 - 15 и преобразуем её: аЬ-1Ь = аЬ-гЪ + гЪ-1Ь = (аЬ - ЗЬ) + (ЗЬ - 15) = Ь(.. 0. + 3 (.. и ..... -.....) > О, так как Ь | I О, а - 3 0. Следовательно, аЬ > 15. О, .) + >0 2] Заполнить пропуск в предложении. Сумма длин двух сторон треугольника всегда ............... третьей стороны. ^ Каким может быть число а — длина одной из сторон треугольника, если две другие его стороны равны 3 ед. и 5 ед.? По свойству треугольника а <....-I-..... т. е. а <........ С другой стороны, а -ь 3 >., т. е. а > ................... 4 Сложить почленно неравенства: 1) 12 > 1 и 1 > -3, 2) -9 < 2 и 5 < 8, 3) -8 < -3 и -2 < 6, 4) о > -5 и 4 > -2, 5) а-3>б-1-Ьи7-2а>4-&, 6) а-1-1<2&-Зи8-2а<5-4Ь, Длина прямоугольника больше 9 дм, а ширина больше 4 дм. Доказать, что периметр этого прямоугольника больше 26 дм. Пусть а — длина прямоугольника, Ь — его ширина, тогда а 9, ЬI I 4, откуда а + Ь а периметр прямо- угольника 2{а + Ь) 16 Выполнить умножение неравенств: 1) 8>5иЗ>2 ............ 2) 12<18и|<| 3) 24 > 10 и 0,2 > 0,1 ... 4) а>2иЬ>6................. Доказать, что диагональ выпуклого четырёхугольника ABCD меньше его полупериметра. Доказательство. Рассмотрим, например, диагональ BD = /п. Из AABD следует, что т <....+.... Из ABCD следует, что т <....+.... Складывая полученные неравенства, запишем: ........<.........+.........+.........+........, откуда 2т <.......... т <........ В d С 8] Известно, что а и Ь — положительные числа. Доказать, что: 1) если то а> Ъ; 2) если < Ь^, то а < Ь, Доказательство. 0. 1) Если то I I 0 или (а - Ь) (а + Ь) а + Ь i I о, так как а = = 0 и Ь ; = 0, но тогда а - Ь | j 0, т. е. а> Ь. 2) Если < Ъ^, то j j 0 или (а - Ъ)(а^ + аЬ + Ъ^) | 1 0. + аЬ + > о, так как a^‘ | j 0, аЬ | j 0, i ! 0, но тогда а - Ь i ! о, т. е. а < Ь, 9' Доказать, что если а>1иЬ>3, то: 1) 5а + ЗЬ > 14; 2) 4a^? + 6 > 18; 3) (а -ь ЬУ > 16; 4) > 10. 17 Доказательство. 1) а > 1, 5а >... Ь > 3, ЗЪ > 2) а 4аЬ + б 3) а 4) а Ъ \ Ь ■ слЬ ........ Ь I I ....... а + Ь : : ........ (а + by : I ......... Ъа ^ ЗЬ \ ... 4аЬ W Выполнить сложение неравенств: 1) 15 < 19 и -5 < 2, .............. 2) 4 > -3 и 6 > 3, ................ 3) а -56 >1 +2а и За + 6>8 - 2а, .. 4) 2а - 96 < а-ь 11 и За + 116<6-а, 11 Выполнить умножение неравенств: 1) 4<5 и 7<9, ... 3) 15> 10 и i>i О 5 2) 12> 11 и 3>2, 4) 10 <14 и ^<1 Доказать, что если а>4 и 6>2, то: 1) 2а6 + 8 > 24; 2) 5а2 + 6^ > 96. Доказательство. 1) а 2) а 4, 6 : : 2, а6 j : .. 2а6 j 6 I а 2 ! 2а6 + 8 I .. 5а2 •••••••••• ь* 5а2 + j 1 ........ 5. Строгие и нестрогие неравенства Заполнить пропуски: 1) ^-5 < -1 "^4 = 4 -1! ! 3 2) ^-1 > -6 ■^-5 = -5 3) -2 > -4 ■^6 = 6 4) о < 12 ■^-2 = -2 -6 Г 11 18 Заполнить пропуски: 1) 1 > -2 2) -5 < 1 ><5 = 5 3 = 3 3) -7 < -4 Х-2 = -2 4) 2 > -9 Х-7 = -7 10 15 Дописать равенства и неравенства конкретными числами. 1) 2 = i = ’ 3 6 ^>1> 3) 15<= ^ 25 4) 25 5) 10, 71 = 11; 71 ^ 42, п = 42. 1) п> 9, п = 2) 71 > 9, тг = 3) 71 > -11, п - . 5) п>-8^, п = О 4) 71 ^ -11, 71 = , 6) 71 > -1-^, 71 = 5 19 7 Отметить на числовой оси все целые числа, которые не больше 5 и не меньше -5. Н-^^^^--1-^-h 0 1 ^^^—h Найти наибольшее целое число х, удовлетворяющее данному неравенству: у<-3|-7, *<-21, * = -21. 1)|<3 2)f<-5 9 Найти наименьшее целое число д:, удовлетворяющее данному неравенству: ->-21-5, х> -10, * = -10. в- 5 1)±^-1 2)|>2 10 Записать условие задачи с помощью неравенства. 1) Рост Антона (h см) не превышает роста Коли, равного 165 см. 2) Число дней в году (т) не меньше 365. 3) Объём воды в чайнике (а л) не больше 1,7 л. itl Доказать, что если а -h ЗЬ ^ 2а -h 76, то а ^ -46. 1 12f Доказать, что ^ — при любом а. ^ + 1 2 20 13 Записать утверждение в виде неравенства. 1) За — положительное число Ъ 2)----отрицательное число 5 3) 4а^ — неотрицательное число . 4) -----неположительное число 6 5) 7 + — положительное число 6) -Ъ^ - 7 — отрицательное число 1Ш Найти наибольшее целое число т, удовлетворяющее данному неравенству: 1) т < 2,3, т = 3) m < -15, т = 2) т<, 1,6, т - 4) т < -17, т = 13 Найти наименьшее целое число тп, удовлетворяющее данному неравенству: 1) 5,6, т = .......... 2) т> 7,5, т = .............. 3) 771 >-17, /71=........ 4) т>-15, т= ................ 6. Неравенства с одним неизвестным © 1^; Выяснить, верно ли неравенство: Да (-5) . (-6) > О....... 13 • (-2) ^ О Нет 1) -7 • 3 < О 5) 1,5 • 2 - 2,7 > О 2)М>о 4) 10 • 1,2 - 15 < о 6) |-12-7>0 21 Записать утверждение в виде неравенства. 1) Сумма чисел 3 и х меньше 1 .................... 2) Разность чисел д: и 8 больше 19............... 3) Произведение чисел 10 и д: не больше 15 ...... 4) Частное чисел д: и 3 не меньше 6 ............. 5) Утроенная сумма чисел д: и 7 не больше -15 ... 6) Полусумма чисел 2 и д: не меньше их разности .... Найти значения д:, при которых верно неравенство; 1) 5д: < о при X ....... 2) -4д: > о при X ...... 3) i д:^ 4-1 > о при ... 4) (д: -f 3)2 > О при .. ^ Построить график функции и с его помощью заполнить пропуски. 1) у = 2х + 2, 1/(-2)= ......... если J/ = О, то д: = 2) у = -х + 3, У(2)=............ если у = -4, то д: = 22 Из чисел 7; 5; 2; 1,5; 0;-2 выписать те, которые являются решениями неравенства: 1) 2л: - 3 ^ 1,.. 3) 4(х- 1)<-2,. 2) 4-л:<3, .. 4) 2(1 -л:)^-1. Решить неравенство: 1) -5л: < О, ........ 3) --х^-1 <0, 2 2) 4л: > о, .. 4) (л:-3)2>0. Доказать, что при любом значении х справедливо неравенство: 1) 4л:(л: - 1) + (5л: - 1)(л: + 1) > -16; 2) (л:-4)(л: + 4)-2л:2< 1. Щ На рисунке построен график функции. С помош;ью графика заполнить пропуски. 1) Значения функции положительны при X...... Значения функции отрицательны при X....... 2) При л: > 2 значения функции ........... При л: < 2 значения функции 23 Значение функции равно О при X ..... Значения функции больше 2 при X ..... Значения функции меньше 2 при X ..... При X = 2 значение функции При X > -1 значения функции ........... 3. При X < -1 значения функции ........... 3. Из чисел 3; 0; —; -1; 1 выписать те, которые являются решения-3 ми неравенства: 1) Зх - 2 < о, ... 3) X 4- 1 ^ 4,.. 10 Решить неравенство: 1) 15х<0,.......... 2) -8х > о,........ 3) f > о, 4)^<0, 2) 1 - бх > О, 7. Решение неравенств © Умножить обе части исходного неравенства на число т и результат записать в таблицу. Исходное неравен- ство т = 2 т = -1 т =-2 т = 4 1 1 т = -- -з<-1 4 > -1 -4 < 1 24 Разделить обе части исходного неравенства на число k и результат записать в таблицу. Исходное неравенство k = A k = 9 ^=4 24 > -48 6 >-12 -5 <-1 _i<_i 4 4 Зм Упростить выражение: 1) 3(4-2л:) + 7(1 -х) = 2) 8(л:-2)-4(1-2л:) = Решить неравенство устно и записать ответ: 1) л: + 3 < 2. 2) л:-2>-3. Ответ................... Ответ......... 3) -2л: < 6. Ответ... 4) -Зл:>-18. Ответ....... И Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси: 1) Зл: + 7 < 13, 2) бл: - 5 > 13, 3) 2 - Зд: < 14, 4) 11 - 4л: > 19, 25 Решить неравенство: 1) 6(л:-5)>2(л:-3), 2) 7(у + 1)<9(г/-3), 3) < 3, .V 2л:-3.2-д: 4) —;;— > 3 ’ Щ Найти те значения аргумента х, при которых значения функции I/ = -Зх + 12: 1) большей, ... 2) меньше О, ... 3) больше-3, .. 4) не больше 6, Решить неравенство: 1) 2л: + 20 > о, 2) 1 - 2л: ^ 3, Ответ. Ответ. I; Найти наибольшее целое число, являющееся решением неравенства. 1) 5 - 6л: > 2(4 - х). 2) 6(1 - л:) > л: - 1, Ответ. Ответ. 26 J0 Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) 3,2л: - 2 > 2л: + 0,4, 2) 5,5 + 4л: > 1 + л:. Ответ. Ответ. Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси: -. л: - 6 . 1) <-1» X -1 л-2^2 “5 Г* ^15’ § 8. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки •i...........Ч...........Ч...........Ч-' . ..........I-........*...................>......••f* © Поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 1) -2 • 3 □ 1 • (-3); 2) о ■ (-4) I..I 5 • (-4); 3) ^ (-10)1. (-10); 4) ' 1' V 5, 151 2 Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси: 1) 9л: >27, 2) 7л: < 21, 27 3) 5jc<-40, 4) 6д:^-36, 5) -4л: ^-9, 6) -8л: ^-3, Из чисел, записанных во второй строке, выбрать те, которые являются решениями данного неравенства, и подчеркнуть их. 1) 4л: < Зл: + 4; 10; -2; 0; 4; 1; 5; 2) 2 (л:+ 4) <-16; 4; -4; -12; -14; 0; -9. ® Щ1 Из чисел, записанных рядом с системой неравенств, выбрать нужные и заполнить таблицу. Система 1 2 3 4 Данные числа -2; -1; 0; 2 -3: 2; 1; 4 -3; 0; 1; 3 -4; 0; -1; 2 Решения 1-го неравенства -2; -1; 0; 2 Решения 2-го неравенства -1; 0; 2 Решения системы -1; 0; 2 28 Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств. 1) \х > -2, \х < 8. ^ —4. Ответ. ... 3) ^ ’ [хСО. Ответ. ... 2) Ответ. 4) Ответ jx < 3,7, \х > -2,5. 6,1 Изобразить на числовой оси множество чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству. 1) -7<х<-3, 2) О < X < 3,5, 3) -2| ^ ic < 1,5, 4) -4^ 1, д: - 3 < О, Xq= 1. 2- X >1, 2) Ь - X <4, 4jc - 7 > 1, дго = 3. Зд: + 6 > О, Ответ. Ответ. 10* На одной координатной плоскости изображены графики линейных функций 3 о 1 у = 2^“^ и I/ = jX + 1. Заполнить пропуски в предложениях. 1) Значения обеих функций положительны при х .... 2) Значения обеих функций отрицательны при ... 3) Значения функции ^ ^ д: +1 не меньше 0 и не больше 3 при А 30 4) Если -2 < л: < 2, то значения функции у = - х-3 А (положительны, отрицательны) 5) Если -2 < л: < 2, ТО значения функции у = —х + 1 6) Если л: > 4, то значения функции у = - х- 3 Lk соответствующих значений функции у = — х + 1. (больше, меньше) 7) Значения функции у = - х + 1 больше соответствующих зна- 3 чений функции у = - х -3 при .......................... А И* Одна сторона треугольника равна 2,4 дм, а другая 5,2 дм. Какой может быть длина третьей стороны, если она выражается целым числом дециметров? Пусть длина третьей стороны треугольника х дм, тогда по свойству сторон треугольника имеем: < л: < < л: < Ответ. 1? Из чисел, записанных справа от системы, выбрать нужные, [б-л:<10, ^ ^ ^ \S-2x>l, . ^ ^ ^ г. \2х + 7> 1. \зх + 2> -1. 4-15 О Решения 1-го неравенства: Решения 1-го неравенства: Решения 2-го неравенства: Решения 2-го неравенства: Решения системы: Решения системы: 31 13 Заполнить таблицу. Двойное неравенство Числовой промежуток Изображение на числовой оси -9 < л: < О (“9; 0) 3<х <7 -0,5 < л: < 6 -11 11 (-5; 5] (1,2; 3,5) 1 1 ^5’ -^5 [0,6; 9] -2,5 -3,7 2,7 6,5 32 9. Решение систем неравенств ..........4...........4...........4............. • +....................+.......................>■....................4....................>.....................4- © Решить неравенство: 1) -9л: ^ 81, ........ 2) -15л: ^ -30, ...... 3) 14 > 7л:, ........ 4) 64 < -8л:, ....... 5) 2л: - 3 > 7л: - 5, ... 6) Зл: + 4 < 5л: + 3, ... 2J Изобразить на числовой оси множество чисел х, удовлетворяю-ш;их данному неравенству или системе неравенств. 1) л: <8,5. 2) х>-7^, 3) л: ^-2,7. 4) л: <6. 5) л: ^ 1, л: < 5. 6) л: > 3, л: ^ 7. 7) X < -2, X > -6. 8) [л: > -4 Раскрыть скобки и привести подобные члены: 1) (2л: + 10) - (Зл: - 12) = ............... 2) (Зл: - 7) + (1 - л:) = ................. 3) 2(4л: + 1)-3(2 + л:)=................... 4) 7(л:-2) + 2(-5-6л:)= ................... 33 © Щ: Изобразить решения данной системы неравенств на числовой оси и записать ответ. X <4, X < -4. -4 Ответ, л: < -4. 1) X > Sy X > 1. 2) X ^ -5, д: ^ ~1. 3) \х < -5, \х ^ -1. Ответ. 4) и>2, \х < 9. Ответ.... X < -4, 5) JC > -8. Ответ. Ответ. Ответ. Решить систему неравенств; 5д: + 10 > о, 1) |3д: + 9 ^'0, |4д: - 8 < о, 2) 2jc - 3 < О, 3) 15-Зд:>0, 1 - JC < -3, Ответ. Ответ, Ответ. Решить систему неравенств: 2д: - 3 > д: - 5, Зд: - 2 > 4д: - 3; (1) 2д: - 3 > д: - 5, 2д: - д: > 3 - 5, д: > -2. (2) Зд: - 2 > 4д: - 3, Зд: - 4д: > 2 - 3, д: < 1. Ответ. -2<д:<1. 34 1) 5л: - 12 > Ху л: - 15 > Зл: + 1, 2) |5(л: + 1)<2( |зл: + 2< -1, 2(2л: + 1), I Длина основания равнобедренного треугольника равна 16 см. Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, что периметр треугольника меньше 90 см? Пусть л: см — длина боковой стороны треугольника, тогда его периметр равен ..................... По условию ..........<90, по свойству сторон треугольника ...+.....> 16. Получаем систему неравенств: Решаем систему неравенств: Ответ. Длина боковой стороны может быть любым числом из интервала ....................... 35 Ъ\ Если бы велосипедист проезжал в день на 10 км больше, чем на самом деле, то за 6 дней он проехал бы меньше 420 км. Если бы он проезжал в день на 5 км меньше, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы больше 420 км. Сколько километров в день проезжал велосипедист на самом деле? Пусть за один день велосипедист проезжал х км. Если бы он проезжал в день на 10 км больше, т. е............км, то за 6 дней он проехал бы..... км. По условию............< 420. Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км меньше, т. е. ..... км, то за 12 дней он проехал бы ................. км. По условию .............> 420. Получаем систему неравенств Ответ. Велосипедист проезжал в день больше меньше ...км. км, но Решить систему неравенств: л: + 3 < о, 1) U-x>0, 6л:+ 12^ о, 2) 4jc - 8 > о, л: - 4 > о, л: +1 <0, Ответ. Ответ. Изобразить решение системы неравенств на числовой оси и записать ответ. л: < о. 1) (х > о, \х > 6. 2) л: ^ -7. Ответ. Ответ. 36 3) л: < 1, X > -2. 4) X > -2, X < 1,5. Ответ..................... Ответ. и Решить систему неравенств: l)i7 . 2) \l6x - 30 > о, [2х + 7> О, |2-Зл: <0, \бх +1 < О, 3) |л: - 3 < О, [4jc + 9 > о. 4) £.з<6-|, 7(2д:-5) <5(л:-7). §10. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль .......►......... © Щ Заполнить таблицы. 1) Данное число 7 -3 6 11 -2,1 д + 3 2а - 7 Число, противоположное данному 3 2) Данное число 4 -4 0 3 -8,7 д2 Значение модуля данного числа 4 37 Изобразить на числовой оси множество чисел: 1) О < JC < 5. 2) -5 < л: < 0. 3) 1,5 < л: <4,5. 4) -2,5 < л: <-0,5. Решить систему неравенств: X > 11, 1) л: >17. 2) X < 11, л: <17. Ответ...................... Ответ. .. Ответ...................... Ответ. .. '0^ Решить уравнение: 1) -х = Ъ ................. 2) -JC = -3,2 ............. 3) -Зл: = 63 .............. 4) ~х = ~1 ............... 4 Заполнить пропуски: {а, если ............ -а, если ........... ....., если о ....., если m < о 38 ‘6j Вычислить устно и записать ответ: 1) |5| + |-5|= ............ 2) |-6|-|б|= .............. 3) 9 • |5 - 7| = .......... 4) |10- 10| • 7 = ......... 5) -3 |-4|= ............... 6) 1-181 :|3| =............ Дописать утверждение: 1) Если а > О, то а + |а| = 2) Если а < О, то а + |а| = 3) Если а < О, то а -\а\ = 4) Если а > О, то а -\а\ = 5) Если а > О, то ^—- = а 6) Если а < О, то Решить уравнение: 1) |7-14л:| = 0, 2) 8|л:| + |-5| = 5, Ответ. ... 3) \х\ = 1. Ответ...... 4) |5л:|= 15, Ответ. Ответ, 39 5) 3|2-Зл;| = -15, 6)* 5|6-д:| = 6-л:, Ответ. Ответ. Решить уравнение: |7-6л:| = 1 (1) 7 - 6л: = 1, —Gx — ~6, X = 1, 4 Ответ. л:1 = 1, л:2 = -. (2) 7-бл: = -1, -6л: = -8, 4 ^ = Г 1) |7 + 4х| = 5. 2) |9-2*1 = 3, Ответ. Ответ. 1:0* Дописать утверждение. Если 1<л:<2, тол: + |1-л:| + 2|л:-2| = 40 J.1 Заполнить таблицу. Неравен- ство с модулем Запись неравенства с модулем в виде двойного неравенства или двух неравенств Изображение множества решений неравенства на числовой оси |л:|<7 -7 < л: < 7 х\< 15 -3,4 < X < 3,4 ■7^ <х <7^ 2 2 -6 6 -1 1 1 1 -ъ. Q -V. О Q х\> 5 X < -4, X > 4 -3 3 41 Решить неравенство: 1) |х+ 1|< 1 ...... 2) |3-д;|«2........ 3) |1 + 2д:| > 1 .. 4) |3 - 4л:| ^ 9 .. 5) \5-2х\>-4....... 6) |б-л:|<0........ ХЯ* Найти такие значения а и Ь, чтобы решениями неравенства |л: - а| < ft был отрезок -5 < jc < 9. Запишем неравенство | jc - а | ^ ft в виде ................. Это двойное неравенство означает то же самое, что и система неравенств X - а ^ -ft, X > откуда ] х-а<Ь, \х^ По условию а - Ь = -6 и.. Решаем систему уравнений: = -9. Ответ, а =..... , ft = 14 Решить уравнение: 1) 72 + 9|л:| = 0, 2) |8х- 1| = 9, Ответ. Ответ. 42 16 Решить неравенство: 1) |5x-7|<3, Ответ. 2) |6jc+ Ответ. ■Si ГЛАВА II Приближённые вычисления 11. Приближённые значения величин. Погрешность приближения © Вычислить устно и записать ответ: + 1) 2) 3) |-0,73|-|-0,23| = 4) |-1,27|-|2,47|= . 5) 6) 2 3 3 7 • 9_ 14 Ш; Вычислить; 1) |3,5-3,6831 = 2) 1-7,6 + 7,381 = 3) |-М7 3 4) -7 ^-(-7,8) 44 Решить уравнение: 1) к-3| = 7, (1).............. (2).............. Ответ............ 2) |4-л:| = 9, (1).............. (2).............. Ответ............ 3) \2х - 3| = 3, (1).............. (2).............. Ответ............ 4) |7-2л:1 = 9, (1).............. (2).............. Ответ............ Погрешность приближения: 1) числа 23 числом 20 равна ... 2) числа -16 числом -20 равна Погрешность приближения числа х числом а равна Ь. Найти: 1) X, если а = 3,27, Ь = 0,03; 2) а, если х = -5,47, Ь = 0,007. 1) Решим уравнение \х - 3,271 = 0,03. (1)........................................................ (2)........................................................ Ответ. Xi =.... , Х2 = 45 2) Решим уравнение |-5,47 - а\ = 0,007. (1) (2) Ответ. Oj =.... , а£ = С помонцью графиков получили, что прямые у = 5х - 4 и у = 2 пересекаются в точке с абсциссой х = 1, Найти погрешность этого приближения. Ответ. Найти число X, если погрешность его приближения числом 4 в 10 раз меньше числа х. Решим уравнение \х - 4 \ = (1)........................................^................. (2).......................................................... Г\ А 4 О 7 Ответ, л:, = 4-, лго = 3 —. ^ 9 11 Пусть у — погрешность приближения числа - числом 0,83. 6 Найти погрешность приближения числа у числом 0,01. Ответ. 150 9' Погрешность приближения: 1) числа — числом 0,5 равна 2) числа -17,89 числом -17,9 равна 46 Ш Что больше: погрешность приближения числа ^ числом i или 11 7-6. числа - числом -? 5 6 Ответ. 3 Верно ли, что погрешность приближения числа — числом 0,3 3 меньше Ответ. 12 С помощью графиков получили, что прямые ^ = 8л:+10и^ = 1 пересекаются в точке с абсциссой х = -1. Найти погрешность этого приближения. Ответ. 12. Оценка погрешности ...............................Н.........А..... ..................►................................ © Записать утверждение в виде неравенства. 1) Погрешность приближения числа i числом 0,4 меньше 0,1: 3 2) Погрешность приближения числа -- числом -0,6 не боль- О ше 0,025: ................................................. 47 Записать неравенство в виде двойного неравенства и системы двух неравенств. 1) |л:-3|^8, 2) |5-jc|^2, 3J Записать двойное неравенство в виде неравенства, содержащего знак модуля. 1) -З^х + 7 I I ^ 2) -2<г-5х<2, Щ Решить неравенство: 1) |*-2,7|«0,7, 2) 1* + 3,4| ^ 0,4, S' Найти устно наибольшее и наименьшее значения х и заполнить таблицу. X Наибольшее значение Наименьшее значение х=193±3 л:= 7^ ±1 7® 7i 2 3 6 6 л: = 231 ± 2 л: = 0,322 ± 0,002 i 48 Ш Пусть л: = -6,3 ±0,1. Выяснить, может ли точное значение х быть равным данному числу (записать «да» или «нет»). 1) 6,2 3) -6,35 2) -6,4 . 4) -6,15 i.7J Доказать утверждения. Число -13,4 является приближённым значением числа -13,423 с точностью до 0,1. Доказательство. 1-13,423 - (-13,4)1 = 0,023 < 0,1. 1) Число -8,5 является приближённым значением числа -8,367 с точностью до 0,3. Доказательство. 2) Число -0,27 является приближённым значением числа -— 40 с точностью до 0,01. Доказательство. 8^ Найти такие значения а и Л, чтобы запись х = а ± h означала, что 9,01 < JC ^ 9,05. {а - h = .............. a+h = ................ Ответ. а = 9,03, h = 0,02. 49 Диаметр планеты Марс равен (6776 ± 5) км, а диаметр Юпитера равен (141 700 ± 100) км. Какими могут быть точные значения диаметров этих планет? Ответ. Диаметр Марса: ............... Диаметр Юпитера: .....^ х ^..... 10 Записать утверждение в виде двойного неравенства: 1) jc = 6,23 ±0,17 .................................... 2) лг = 71 + i 3 6 3) л: = -17,27 ±0,13 11 Выполнив вычисления устно, записать в первой клетке наименьшее, а во второй — наибольшее значение х. 1) х = 217±5 2).. = 12|±| 3) л: = -187 ±4 4) л: =-3,23 ± 0,03 12 Пусть X = -3,7 ± 0,3. Выяснить, может ли число х быть равным данному числу (записать «да» или «нет»). 1) -3,95 .... 2) -4,1 ..... 3) -3,3 ..... 4) -3,4 ..... 50 13. Округление чисел © Округлить число 7,473: 1) до единиц ....... 2) до десятых ...... 3) до сотых ...... Выяснить, какое приближение числа 5,384 точнее (погрешность приближения меньше): 1) числом 5 или числом 6; 2) числом 5,3 или числом 5,4; 3) числом 5,38 или числом 5,39. 1) |5,384 - 5| = |5,384 -б| = 2) ............ 3) Ответ. 1) Первое; 2).................; 3) При округлении числа л: = 2,73... до сотых получили jc ~ 2,74. Какая цифра в записи числа х может стоять в разряде тысячных? Ответ........ Ж: При округлении числа л: = 4,76... до сотых получили х ~ 4,76. Какая цифра в записи числа х может стоять в разряде тысячных? Ответ........ 3 Округлить число до единиц, десятых и сотых долей. 1) 53,725 ...................................... 2) 68,453 ...................................... 51 Щ''' Округлить число до десятых и до сотых, найти в каждом случае погрешность приближений. 1) 17,836 2) 23,584 7j Найти приближение смешанного числа десятичной дробью с одним и с двумя знаками после запятой так, чтобы погрешности приближений были наименьшими. 3^ = 3,833... . По правилу округления чисел 6 3|«3,8, 3|«3,83. О 6 1) 21 2) 4 15 Найти приближение обыкновенной дроби десятичной дробью с одним и с двумя знаками после запятой так, чтобы погрешности приближений были наименьшими; записать результат в виде обыкновенной дроби. .................................................... ................................................... [U Округлить до единиц, десятых и сотых долей число 23,347. 10 Округлить число до сотых долей и найти погрешность приближения. 1) 7,453 ................................................ 2) 8,587 ................................................ 52 §14. Относительная погрешность © Найти: 1) 20% от числа 235 ................................... 2) 15% от числа 150 ................................... % Выяснить, сколько процентов составляет: 1) число 17 от числа 272 .............................. 2) число 78 от числа 65 ............................... 3 Найти с точностью до 0,1%, сколько процентов составляет: 1) число 3 от числа 78 ................................ 2) число 0,2 от числа 17 .............................. [4;* Найти абсолютную погрешность приближения, если: 1) длина стола равна 1,4 м, а при измерении получено 1,6 м; 2) расстояние между пунктами А и В равно 6,8 км, а при измерении получено 6,6 км. Ответ. 1) ............. 2) [Sj Число |jc - 3,2| составляет 2% от числа 3,2. Найти х. Ответ. ............ С точностью до 0,1 найти относительную погрешность приближения: ,,12 1) числа - числом— 3 7 ........................ 04 1 4 2) числа -- числом — 2 9 53 [т] Выразить в процентах относительную погрешность приближения: 2 1) числа 0,2 числом - 4 2) числа 0,4 числом — Выразить в процентах относительную погрешность измерений, приведённых в задаче 4: Ответ. 1) ................ 2) ^ Число 4,72 является приближённым значением числа х с относительной погрешностью 3%. Найти абсолютную погрешность этого приближения. Ответ.................................................. < Найти число X, если его приближённое значение с недостатком равно 5,3 и относительная погрешность этого приближения равна 10%. Ответ. X = 5,83. li- Диаметр планеты Уран равен (50 700 ± 100) км. Длина рулона обоев равна (18 ± 0,5) м. Какое измерение более точное? / 54 12 Найти абсолютную и относительную погрешности приближения: 1) числа 0,26 числом - 4 ................................. 04 2 1 2) числа — числом — 5 3 .................................... |3 с точностью до 0,1% найти относительную погрешность приближения: g 1) числа — числом 0,4 7 2) числа — числом 0,6 Какое измерение точнее: х - (600 ± 1) км или у = (8 ± 0,1) см? §15. Практические приёмы приближённых вычислений ..\..<..ч..ч..ч.Ч..ч..+•.+..+..+.+..►..►..^..... © 1 Записать данное число в виде степени с основанием 10. 1) 100 = ............................................. 2) 10 000 = .......................................... 3) 10 = .............................................. 4) 1= ................................................ 5) 0,01 = ............................................ 6) 0,0001 = .......................................... 55 Округлить число последовательно до сотых; до десятых; до единиц; до сотен. 1) 4553,6829 ............................................... 2) 7596,398 ................................................ 3) 18067,023 ............................................... 4) 9305,401 ................................................ Записать в виде двойного неравенства: 1) л: = 20 ± 1 ............................................. 2) г/= 38,9 ±0,1 ........................................... 3) 2 = 2,8 ± 0,05 .......................................... 4) р = 0,6 ±0,05............................................ Ш Стандартный вид числа — запись а • 10*, где 1 < | а | < 10, k — целое число; k — порядок числа. Записать число в стандартном виде, 1) 238 = ...................... 2) 10675 =..................... 3) 40,3 = ..................... 4) 60,07= ..................... 5) 0,36 = ..................... 6) 0,805= ..................... 7) 0,00843 = .................. 8) 0,000092= .................. ^ Результат выполнения действий записать в стандартном виде. 1) 5,8 • 10-3 + 6,7 • 10-3 = (.+....). 10-3 =.... 10-3 = . ю-4; 2) 1,28 ■ 105 _ 1^6 • 105 = .....................................; 3) (3,5 • 10^) • (4,1 • 10-4) = (3,5 • 4,1) • 107 • 10~4 = .• 10 = =..... • 104; 4) (6 • 10-3) • (2,08 • 105) = .................................. 56 Щ Подчеркнуть верные цифры в приближённом значении числа. X = 2 7,05 ± 0,03, так как 0,03 > 0,01, но 0,03 < 0,1, 0,03 ^ 1, 0,03 < 10. 1) л: = 68,37 ±0,2 ....................................... 2) л: = 50,482 ± 0,03 .................................... 3) р = 3,68 ± 0,1 ........................................ 4) д = 0,967 ±0,01 ....................................... Ь) у = 7,86 ± 0,004 ....................................... 6) I/= 2,39 ± 0,008 ...................................... 7) 2 = 0,7 ±0,005 ........................................ 8) 2 = 0,022 ± 0,0005 .................................... 9) л: = 0,38 ±0,01 ....................................... 10) JC = 109,6 ± 0,01 .................................... [т] Запись приближённого значения числа х представить в виде X = а ± h, где все цифры числа а являются строго верными. X ~ 6,3; X = 6,3 ± 0,05. 1) JC ~ 3,29 ............................................. 2) л:-0,14 ............................................... 3) д: ~ 35 ............................................... 4) д: ~ 120 .............................................. Запись приближённого значения числа х представить в виде X = а ± h, где все цифры числа а являются верными. JC ~ 32; д: ~ 32 ± 1. ; д: « 4,15 • 10-5, ; _ д: « (4,15 ± 0,01) • 10-5. : , 57 1) 156 ...... 2) х-49 ........ 3) л: ~ 7,2 .... 4) л: « 39,35... 5) jc « 3,10 ... 6) д:« 0,720.... 7) л: « 500 .... 8) л: « 830 .... 9) X- 7,9 • 10-4 .. 10) X « 6,81 • 106 9] Найти приближённое значение х у с точностью до верных десятичных знаков (с помощью правила 1). X « 3,28, у « 5,1; х ■¥ у - 3,28 + 5,1 = 8,38 « 8,4. 1) JC « 25,038, у « 6,25; х + у ^............................ 2) X « 18,72, у « 3,3 ....................................... S) X- 0,039, у « 0,6 ........................................ 4) л: « 0,08, у « 0,019 ..................................... 10 Найти приближённое значение х — у с точностью до верных десятичных знаков. 1) л: « 8,091, у « 3,6; х - у 2) JC « 45,8, у « 7,32 ....... 3) JC « 0,71, у « 0,325 .... 4) X- 1,098, у « 0,9......... Д; Найти X + у. JC « 5,0 • 10-2, у « 2,461.10-2; X + I/ « 5,0 • 10-2 + 2,461 • 10-2 = (5,0 + 2,461) • 10"2 = 7,461 • 10-2 « 7,5 • 10-2. 58 1) X “ 1,2 • 105, у « 4,83 • 1Q5 ........................... 2) х~ 2,66 • 10-3, у^з,д. 10-3 ............................. 3) д: « 9,0 ■ 10-«, у « 3,112 • 10-« ....................... 4) д: = 3,587 • 10^ у ~ 2,10 • 10^ ......................... 12* Найти X - у. X ~ 4,85 • 10-5, у-9- 10-в; х-у^ 4,85 • Ю-® - 9 • 10-« = = 4,85 • 10-5 - А . 10-8 = (4,85 - 0,9) • 10-5 = 3,95 • 10-5 « * 4,0 • 10-5. 1) д: ~ 6,2 • 10S у-3,8- 103; х-у~ ......................... 2) X - 3,8 • 10“^, у ~ 2,39 • 10"®; х - у ^ ................ 1$ Найти приближённое значение ху (с помощью правила 2). х-2Ъ,у^ 111; ху-2Ъ- 111 = 2775 ~ 2800. 1) л: ~ 64, ^ ~ 2; ху ~ .................................... 2) X ^ S, у ^ 76; ху - ..................................... 3) ~ 73, у ~ 0,3 .......................................... 4) л: ~ 0,4, у ^ 81 ........................................ 5) л: ^0,154, 1/^53 ........................................ 6) X ~ 34,7, у - 21 ........................................ 14 Найти приближённое значение х : у. X ~ 425, у «*0,08; д; : I/ « 425 : 0,08 = 5312,5 « 5000. 59 1) X ^ 40, у ~ 0,25; х : у 2) X ^ 10, у ~ 16; X : у ^ 3) JC ~ 23, у ~ 0,6 ..... 4) X ^ 0,71, г/ ~ 9 ..... № Записать число в стандартном виде. 1) 26,3 =..... 2) 0,0078 16 Найти приближённое значение суммы х + у, 1) JC ~ 35,1, у ~ 2,38 ................. 2) л: ^ 8,2 • 105, у ~ 4,567 • 10^ ..... Найти приближённое значение произведения ху. 1) X ~ 2,03, у ~ 7,1........................... 2) х^ 3,4 • 10-2, I/ ~ 7 • 10-2............... ГЛАВА III Квадратные корни 20. Арифметический квадратный корень © Вычислить: 1) Ц2= ... 3) V ‘ у 2) (0,1)2 = 4) Из чисел 3; -2; - выписать те, которые являются корнями уравнения: 1) Зл: + 7 = 1 2) 5-4x = S 3) (д:-3)(д: + 2) = 0 4) (2х- l)(jc-3) = 0 5) - 1 = 8 6) х^ = 4 3j Решить уравнение: 1) (д:-4)(л: + 5) = 0. Ответ............ 3) - 16 = 0. Ответ............ 2) (х + 7)(2л:-3) = 0. Ответ............. 4) л:2 + 5 = 0. Ответ............. Найти положительные корни уравнения: 1) (л:-3)(д;-4) = 0 ................ 2) (х + 5)(х- 7) = 0 ............... Найти отрицательные корни уравнения: 1) л;2 _ 36 = о .......................... 2) (4 + л:)(;с - 4) = 9 .................. 61 ® Найти число, квадрат которого равен: 1) 169; 2) 144; 3) 0; 4) 36. 1) Решим уравнение = 169, т. е. уравнение - 169 = 0, откуда (х - 13) (л: +.) = 0, =...... Х2 =... 2) ...................................................... 3) 4) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1) 0,64; 2) 0,16; 3) 196; 4) 625; 5) 256. Ответ............... Вычислить: 1) 3® +5-л/81 =..... 2) 4-л/225-3-л/1б9 = 3) л/82 +15^ =...... 4) Vl2^ - 5-42 = ........ Найти значение выражения: 1) при а = 65 .............................. 2) Зл/За-50 при а = 38 ............................ 10^ Выяснить, при каких значениях х выражение имеет смысл. 1) л/х-3 + л/2д:-3, 2) ■Jx + 3-^IS-2x, jx-3>0............................................. \2х-3>0; .......................................... Ответ. Ответ. I Выяснить, верно ли равенство (записать «да» или «нет»): 1) V81 =9 ...... 2) 7121= 11 .................. 3) 7^ = -6...... 4) 7^ = 5 .................... 62 Найти арифметический квадратный корень из числа: 1) 324; 2) 361; 3) 144; 4) 0,09. Ответ. Щ Вычислить: 1) = ............... 2) (Vii69)2 = . 3) 5-л/^= ................ 4) 4 + 2л/49 = 5) 3-70164= .............. 6)6:7^ = §21. Действительные числа •<........................................4......... © 3 5 1 2 Даны числа 0; -7; -13; -; —; 2-; 3; 3-; 8; 15. Выписать числа: 8 7 3 5 1) натуральные....................................... 2) целые ............................................ 3) рациональные................................. Вычислить, заменив десятичные дроби обыкновенными; 1) (о,7.А+1.6.2]:2.9. 2)(2.6:g.3,e.|].2,7.f- Результат деления записать с точностью до 0,1. 1) 763 : 24 « .............. 2) 883 : 37 ~ 763 24 883 37 63 Дано: IOOjc = 2. Найти: 1) 10х = ........... 3) 0,1х= ........... [1^ Дано: X = 0,3. Найти: 1) 10х = ........... 3) 0,1х= ........... 2) л:= .... 4) 9х= .. 2) 100л: = 4) 9х = .. Записать в виде конечной или бесконечной периодической дро- 3 7 1 7 би рациональное число: 1) 2) -5 — ; 3) —; 4) -6—. 8 1о 45 18 1) 3 8 2) 7 16 Ответ. - = 8 3) 1 45 Ответ. 4) 7 18 Ответ. Ответ. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1) 3,(8); 2) 1,(81); 3) 0,1(6); 4) 0,2(15). 1) х = 3,888 10л:= ....... 9л: = ....... X =.......... 2) л = 100л = 99л = . л =... 64 3) х = 10х= . 100л: = 90л: = , X = ... 4) л: = . 10л:= .. 1000л: = 990л: = . X = .... Й Даны числа 3,7; -2,9; ^JlЗ; 0,(16); Vl7; 3 0,515115111... (число единиц после очередной цифры 5 возрастает). Выписать числа: 1) рациональные......................................... 2) иррациональные ...................................... 5] Вычислить на МК с точностью до 0,1: 1) л/15+л/Гг»............. 2) ............ 3) 5,lVl9+V^ = ........... 4) yffr - 3,4^|Ы ~........... 10 Даны числа 6; 29; -7; -4-^; 3,21; -4,(2); -Jl7; §л/^: Вы- 16 13 3 писать числа: 1) натуральные... 2) целые......... 3) рациональные ... 4) иррациональные 11 Представить число в виде десятичной дроби: 9 16 65 |2 Представить в виде обыкновенной дроби число: 1) 9,(27); 2) 0,3(63). 1) ........................ IOOjc =.................... 99jc= ..................... X = 2) х = . 10х= .. 1000л: = 990л: = . X = 1В Вычислить на МК с точностью до 0,01: 1) VT7 2) л/45 ~ 3) « ..................... 4) 22. Квадратный корень из степени ©■ Вычислить устно; 1) +2-4^ = ............ 2) л/8^ - 3-42 =.............. 3) ............. 4) ....:.... Найти значение выражения + 4а + 4 при а, равном: 1) 3; 2) 0; 3) -2; 4) -5. 1) Если а = 3, то -у/а^ + 4а + 4 = . = .................. 2) Если а = о, то ....................................... 3) Если а = -2, то ...................................... 4) Если а = -5, то ...................................... Поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство. 1) 7,4 I.I 7,(4); 3) 6,32 Г] 6,(3); Найти: 1) |91= ......... 3) |0|= ......... 5) -1у 2) 3,(51) I..I 3,51; 4) 2,78 □ 2,(7). 2) |-3|= .... 4) |3,4|= ... 6) 1-0,531 = 66 Решить уравнение: 1) |л:| = 12. Ответ............. 2) |х- 1| = 3. Ответ..... # Решить неравенство: 1) \х\^4. Ответ. 2) |л:|>4. Ответ. .. Вычислить: 1) л/т^ = ............. 2) V(-7)" = 3) ^ = ................ 4) -Л^ = .. 5) ............. 6) V(^ = Сравнить числа: 1) 4,2 и 2) ^/56,2 и 7,5. Сравнить числа 3,3 и ^ 3,3 = у1(3,ЗУ = д/3,3 • 3,3 = ^10,89. Так как 10,89 < 11,' то ^10,89 < -Jli, т. е. 3,3 < ^IT^. 1) 4,2 = 2) 7,5 = '0 Показать, что: 1) лЯ7+>/19>8; л/17 > 4 "^л/Гэ > 4 2) л/37+л/^>13. Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: 1) yfES; 2) Vl33. 1) ...<^I^ <..... 2) ....................... Упростить выражение - 4а + 4 + +6а +9 при условии: 1) а < -3; 2) -3 ^ а < 2; 3) а ^ 2. yja^ - 4а +4 -н д/а^ -I-6а -1-9 = |.| -ь |.|. 1) Если а < -3, то .......................................... 67 2) Если -3 < а < 2, то 3) Если а > 2, то . (пр 12 Вычислить; 1) л/б^ = ... 4) = .... Ш Сравнить числа: 1) 3,7 I i лДз, 2) V(-6)^ = ........ 3) VP” = 5) V(-3)® = ........ 6) = 2) 4,3 [;;;] Ш Упростить выражение -12аЬ + 96^, найти его значение при; 1) а = 1, Ь = 2; 2) а = -1, Ь = S. -12аЬ+9Ь^ =....................................... 1) при а =............................................ 2) при а =............................................ §23. Квадратный корень из произведения ч............л............•!•••........4.» 'I*................►..................................................... © [Т] Вычислить устно: 1) 4-Ш =...... 3) • л/1б =. 5) 3 • Vi = .. 2) = 4) V49-V64 = 6) V^ = ..... ^ Вычислить: 1) V27-3 = ................ 2) V32-8 = 3) =................. 4) V(-4)-(-4) S Умножить числитель и знаменатель дроби на л/з 5 _ V3 3) 5л/з 2) 4) 4^ 5л/3 68 Щ Вычислить с помощью теоремы о корне из произведения: 1) л/Зб • 64 = ............. 2) д/0,25 144 = ................ 3) V16-25-49 = ............. 4) д/0,04‘225-81 =.............. Вычислить, разложив подкоренное выражение на множители. 1) л/5184 =................. 2) V2304 =...................... 2304 5184 = 64-81 5184 1296 324 81 4 4 4 81 3) V7744 = 4) л/9801 = 01 Вычислить: 1) л/8-л/8 =................ 2) V5-V45 = ........... 3) ,/б-л/8-л/^=............. 4) д/бД-л/П--У440 = Вычислить: 1) V(30 + 12)(60-18) = .... 2) V552 - 442 =............ 3) (7П+7б)(л/1Т-л/б)=...... 4) (2л/^ + з7ГГ)(Зл/Г7-2л/15) = 5) (л/ГГ - Ш? = ........... 6) + л/104)2 =......... Упростить: 1) 2^-S0= ................. 2) Зл/^+2л/^= ............. 3) ^л/^ + |л/45-л/^ = 4) л/24 + л/54 - л/^ = .... 69 fo] Сравнить числа: 1) 8 и Зл/7; 2) зТз и 2,7. Сравнить числа 9 и 2>/^. 9 = >/^, 2yfn =^22 21 =л/84. Так как VsT < л/84, ТО 9 <2л/^. 1) ................................................... 2) ................................................... 10 Упростить выражение при а > О, ?? > 0. ................................... 2) -Vo^-fVa^ = а о .................................... J1# Упростить выражение при а < 0, 6 < 0. ...2л/^-^л/^ = а Ь ....................................... 12 Доказать, что: 1) (л/З)® = ^^¥; 2) (V7)® = Vt® . Доказать, что (Vs)^ = л/^. ___ (V5)^ = л/5-л/5-л^-л/5 = л/5-5-5-5 = л/^ = 25. л/^ = л/б^ • 5^ = л/^ • л/^ = 5 • 5 = 25. , Доказательство. 1) ................................................... 2) ................................................... 13* Вычислить с помощью формулы (л/а)" = л/^, где а > 0, п — натуральное число. 1) (V2)® =............................................ 70 2) (Vn)'* - (Vs)® = 14* Упростить выражение: (л/18)® - фу = ......... 16 Вычислить: 1) V16-81 = 3) л/16-49-225 = . 5) S-Ш =....... 7) V7-Vt®’= ... 9) л/3-л/18-л/Й = 2) V(-36)-(-49) = 4) ^0,36-64-25 = 6) Ф-Ш= ....... 8) л/з®’-л/з®’= .... 16 Сравнить числа: 1) 7 и 4>/3; 2) 6л/з и 4л/т. 1) 7= .................................. 2) б7з = ............................... 17 Упростить выражение - 4aFb - - л1аЬ^, если а > 0, Ь > 0. а & § 24. Квадратный корень из дроби М......................^....................<.....................^.....................4....................'(.................+........................+....................+.........................+ •*................(•...................1г.................4........................►....................►....................V- © 1! Вычислить: Уб4 ^ 4 “ .... 8 1) 3) 5) Vi6 V9 2) 4) 6) Vel V36 ' Viii л/1б 71 Вычислить: 2) 4) /(-4)" _ V (-4) с помощью теоремы о корне из дроби вычислить, записав результат в виде десятичной дроби: 1) м = ^ \ 25 . 3) /Ж = V625 ^Чш- Вычислить: ........ 2)ЛбТ49-Л| *'#1 =........... 5) 7) ■/32 V2 у/т^ 4) ^ л/45 ■ 33 ^64 = 6) 8) у/Е У(^ у/^‘ ^ Исключить иррациональность из знаменателя дроби: у/ё-у/2 1) 2) у/8 +у/2 у/27 +УЗ /27 -S Упростить: 1) ^ 2) Vl7 - 4 л/Тт’+ 4 У? +л/3 _ У? -л/З У?-Уз У?+Уз 72 Упростить выражение Р \ а 4а^ - 4аЬ + '2 + баЬ + 9&2 1) а = -4, Ь = -8; 2) а = Ъ, Ь = -2. и наити его значение при: 1) 2) Ответ. 1) 2) Найти разность между средним арифметическим и средним геометрическим чисел; 1) 3 и 27; 2) ^ и 1) 3 + 27 _ ^ 2) Ответ, 1) ...................; 2) ..................... Найти произведение двух чисел, если их сумма равна а разность равна л/18. P + J/ =.... р-г/ =....... 10 Упростить выражение при а > О, Ь>0. 1) ^4аЬ - 24аЬ +Ь^ - 4аЬ = 2) - 2л/а+^ + ^ 14 Вычислить; 1) л/^ = V25 ... 3) Vm V2 2) pj =. 4)fT7^. 73 5) V56•135 Vl4•15 6) гш Исключить иррациональность из знаменателя: 1) 3) 6 V7 Vl2-V7 4) 15 Vii+Ve Упростить выражение при а > О, Ь > 0: 1) (24а +sSf - (3-Ja +2Sf = .......... 2) (6л/а + 2л/Ь)2 + (24а - 94bf = 74 для ВЫЧИСЛЕНИИ 75 76 77 78 Оглавление Предисловие ............................................ 3 ГЛАВА I. Неравенства § 1. Положительные и отрицательные числа................. 4 §2. Числовые неравенства................................. 8 § 3. Основные свойства числовых неравенств...............11 §4. Сложение и умножение неравенств .....................15 § 5. Строгие и нестрогие неравенства.....................18 §6. Неравенства с одним неизвестным......................21 § 7. Решение неравенств..................................24 §8. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки ................................27 § 9. Решение систем неравенств ..........................33 § 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль...................................37 ГЛАВА II. Приближённые вычисления §11. Приближённые значения величин. Погрешность приближения.............................44 § 12. Оценка погрешности.................................47 §13. Округление чисел....................................51 § 14. Относительная погрешность..........................53 §15. Практические приёмы приближённых вычислений.........55 ГЛАВА III. Квадратные корни § 20. Арифметический квадратный корень...................61 §21. Действительные числа................................63 § 22. Квадратный корень из степени.......................66 § 23. Квадратный корень из произведения..................68 § 24. Квадратный корень из дроби.........................71 Учебное издание Колягин Юрий Михайлович Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. Н. Сорокина Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко Художник О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика К. В. Кергелен Компьютерная вёрстка и техническое редактирование Н. К. Румянцевой Корректоры М. А. Терентьева^ Т. А. Лебедева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 09.10.12. Формат 70xl00Vie* Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookC. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,39. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3024 Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография» Филиал «Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская обл., г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1