Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Зубарева Мильштейн часть 2

Y.' I и. и. ЗУБАРЕВА М. С. МИЛЬШТЕЙН I . I---------------- I I .S. ' г ' ^ г ijiij Я L' / рдБочда N•2 тгтшп !№1?|МШ§ й§тше§шштттьшьшшшштзшщшш Под редакцией А. Г. Мордковича >4ШШк \ Москва 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 3-91 Зубарева И. И. 3-91 Алгебра. 8 класс. Рабочая тетрадь № 2 : учеб, пособие для учащихся общеобразоват. организаций / И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн ; под ред. А. Г. Мордковича. — М. : Мнемозина, 2014. — 159 с.: ил. ISBN 978-5-346-03146-8 Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом при введении новых знаний и их первичном применении в стандартной ситуации. Методика, заложенная в представленной системе заданий, обеспечивает достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям ФГОС ООО. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 ISBN 978-5-346-03144-4 (общ) ISBN 978-5-346-03146-8 (ч. 2) > «Мнемозина», 2014 ' Оформление. «Мнемозина», 2014 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ У вас в руках рабочая тетрадь для изучения курса алгебры во втором полугодии 8-го класса. Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом: при введении новых знаний и их первичном применении в стандартной ситуации. В основу разработки заданий тетради легли положения теории развивающего обучения В. В. Давыдова, Д. Б. Эльконина и теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина. Методика, заложенная в системе заданий рабочей тетради, обеспечит достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (ФГОС ООО). Последовательность и методика изложения материала соответствуют учебному комплекту* «Алгебра. 8 класс», созданному гшторским коллективом под руководством А. Г. Мордковича. При этом каждому параграфу учебника (задачника) соответствует параграф рабочей тетради^. В большинстве случаев параграф тетради начинается с заданий, позволяющих актуализировать знания, необходимые для введения нового материала. Согласно требованиям ФГОС новые знания учащиеся должны получать в ходе познавательной деятельности, выполняя учебно-познавательные задания (задачи). С этой целью в каждом параграфе рабочей тетради выстроена система таких заданий. Выполняя последовательно учебно-познавательные задания, учащиеся на основе обобщения результатов, полученных в ходе их выполнения, получают возможность самостоятельно сформулировать новое для них теоретическое знание. После того как новый теоретический факт установлен и сформулирован, следует его применение на практике. Для этого учащимся предъявляется образец решения задачи, содержащий пошаговое описание алгоритма применения новой формулы, правила и т. п. Фактически образец содержит описание того умственного действия, которое должно быть сформировано у учащихся как автоматизированный навык. Далее следует система упражнений, выстроенная на основе положений теории поэтапного формирования умственных действий. Первым предлагается упражнение, содержащее описание шагов алгоритма в соответствии с приведённым образцом. Учащимся надо только выполнить его предписания. При выполнении следующего задания надо самостоятельно записать шаги алгоритма. Завершает систему упражнений задание, содержащее требование мысленного проговаривания шагов алгоритма. После этого учащимся предлагается выполнить упражнения из задачника, также мысленно проговаривая алгоритм действий. ' Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — М.: Мнемозина; Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина. ^ Ссылки на номера страниц учебника соответствуют издгшию 2013 года. Время и количество упражнений, которые требуются для формирования автоматизированного навыка, т. е. выполнения умственного действия без речевого или мысленного проговаривания, определяются индивидуальными особенностями учащихся. Этому, в свою очередь, способствует система упражнений задачника, которая содержит достаточное количество заданий для достижения требуемого уровня овладения тем или иным навыком. Выполнение учебно-познавательных задач способствует формированию универсальных учебных действий, как познавательных, так и регулятивных, в частности таких, как наблюдение, сопоставление, анализ и обобщение, целеполагание, планирование. В ходе выполнения упражнений, направленных на формирование умственных действий, наряду с практическими умениями формируются такие регулятивные действия, как контроль, коррекция и оценка, поскольку имеется возможность сличения способа действия и его результата с заданным эталоном (образцом). Для повышения эффективности работы рекомендуется использовать материалы электронного сопровождения к учебнику «Алгебра—8» авторов И. И. Зубаревой, М. С. Мильштейн. Дополнительную информацию по использованию пособия можно найти на сайте «Практика развивающего обучения» по адресу: www.ziimag.narod.ru. Авторы ГЛАВА 3 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ^ § 17. ФУНКЦИЯ у = кх^ ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК Функция у = кх^ 17.5. Найдите значение коэффициента к: а)г/ = к =--------; г) у = -х^, к =. б) у = -2х\к = . в) у = х^,к = — д) у = 0,5х^,к = . е) у = -0,5х^, к- 17.6. Выполните задания. 1) Заполните таблицу и постройте графики данных функций. X -3 -2 -1 0 1 2 3 X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = 2х^ X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = 0,Ъх^ 2) Запишите: • как называют полученные линии. координаты вершины каждой параболы. чем является ось у для построенных графиков функций. как называют части параболы, на которые их разбивает ось у 3) Используя результаты проделанной работы, продолжите фразу: • чем больше значение |ft|, тем ветви параболы расположены ближе к оси_____; • чем меньше значение |ft|, тем ветви параболы расположены ближе к оси_____ 17.7. 1) Заполните таблицу и постройте в одной системе координат графики функций. X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = х^ у = -х^ у = 2х^ у = -2х^ 2) Сделайте вывод, куда направлены ветви параболы, если: • й > О__________________; • k < О__________________ 3) Что можно сказать о взаимном расположении графиков данных функций? • у = х^иу = -х^ • у = 2х^ и I/ = -2х^ Свойства функции у = кх^ 17.8. Используя график функции у = kx’^ при й > О, запишите её свойства. 1) Область определения функции: 4) функция. 5) у _______ ' ^ найм 6) функция. 7) функция. 2) I/ = о при. У>0------- 1/<0------ 3)функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) (ограничена, не ограничена) ^ ^наиб (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) 8) область значений функции:__________________ 17.9. Используя график функции у = kx^ при ft < О, запишите её свойства. 1) Область определения функции: 2)у = 0 при. У>0------ у<0------ 3)функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) 4) функция. 5) у _______ ' ^наим (ограничена, не ограничена) * У наиб 6) функция________ 7) функция_______________________________________ (выпукла вниз, выпукла вверх) 8) область значений функции:_____________________ (возрастает, убывает, постоянна) 17.10. Выделите цветом часть графика функции у = 0,5jc^, соответствую щую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = 0,5jc^ на этом промежутке. а) [-4; 4] ' наиб ' У. ^наиб " 8 г) (-1;0) У ^ваим ^наиб ■ У найм ^навб' ^ наиб е)(-2; 1] ^ навм ^наиб ■ ж) [0; +О0) з)(-оо; 0) ^^наиб и) [-2; +О0) и ^наим ^наиб' Уя к)(-оо; 3] V ^наим ^наиб " 10 17.11. Выделите цветом часть графика функции у = -0,5х^, соответствующую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -0,5л;^ на этом промежутке. б) [-2; 0] у ^наим ^наиб ■ У ^наим ^наиб ■ У ^ найм ^наиб ■ У ^наям ^наиб ■ 11 Д)[0; 2) е)(-2; 1] У. Упаиб ж) [0; +00) у __________ ^наим У пъяб з) (-оо;0) Уп Уп Ун у в&аб ■ 12 и) [-2; +00) к)(-оо;3] У. У шшб' 17.12. Дан график функции у = х^. 1) Выделите цветом части графика, расположенные: а) выше прямой г/ = 4; б) ниже прямой г/ = 1. 2) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 17.13. Используя результаты предыдущего задания, запишите, при каких значениях х выполняется условие: а) I/ > 4. б) I/ < 1 13 17.14. Дан график функции у =-2д:^. 1) Выделите цветом части графика, расположенные: а) выше прямой у = -2; 2) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 17.15. Используя результаты предыдущего задания, запишите, при каких значениях х выполняется условие: а) у > -2. б)у<-8. 17.16. Решите графически уравнение, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец -х^ = х - 2. Решение. 1. Вводим функции у = -х’^ иу = х-2. 2. Строим графики этих функций (шаг 1). Шаг 2 3. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их абсциссы (шаг 2). Ответ: -2; 1. 14 а) -х^ = -х-2 Решение. 1. _________ 2___________ 3. Ответ:_______ б) 2х^ = 2х + 4. Решение. 1____________ 3_________________ Ответ:____________ в) 0,5x2 =-0,5л:-1. Решение. 1. 2_________________ 3. Ответ: г) -х^ = -2х+ 1. Решение. 1. 2_____________ 16 3. Ответ:. 17.17. Решите графически систему уравнений, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец ^ У + = О, 2х ~ у - 3 = 0. Решение. 1. Выражаем у через х в каждом уравнении: У = -х^‘, у = 2х -Z. 2. Строим графики функций у = -х^ w.y = 2x-Z (шаг 1). 3. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их координаты (шаг 2). Ответ: (-3; -9), (1; -1). а) Г " ’ [у -и 2л: = 0. Решение. 1_____________ 17 2. > 1 ; 1 i 1 i 3. Ответ б) Pei 1. у = у + X = 2. [пение. 1 1 1 2. 18 3. Ответ:. в) у = 0,5л:^ у - 4 = д:. Решение. 1___________ 2. 3. Ответ:. г) У = -2д:^ у - 2х = -4. Решение. 1. ___________ 19 2. Ответ: 17.18. Дана функция у = /(х), где f(x) = 1) Найдите: Л-4) =----------------------- /(-2) =---------------------- Я-1) =----------------------- Л0) =------------------------ Я1) =------------------------ Я2) =------------------------ 0,5х^,если -4 < X < 0; -Зх, еслиО < X < 2. 2) Запишите, каким выражением задаётся функция у = f{x) на указанном промежутке, и постройте соответствующий график. -4 < х < о — 0<х< 2 т=— 20 3) Используя построенный график, запишите: а) область определения функции:__________ б) у = О при. У>0------ у<0------- в) функция. г) функция - д) у ваял- (непрерывная; имеет точки разрыва) (ограничена, не ограничена) ^ У наиб е) функция_______ ж) функция_____________________________________ (выпукла вниз, выпукла вверх) з) область значений функции:___________________ (возрастает, убывает, постоянна) 21 §18. ФУНКЦИЯ у = -, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК ^ ' X График функции у = — 18.1. Постройте график функции у = —, выполнив последовательно следующие действия: ^ 1) заполните часть таблицы для отрицательных значений х. Отметьте полученные точки в системе координат и соедините их плавной линией; 2) заполните часть таблицы для положительных значений х. Отметьте полученные точки в системе координат и соедините их плавной линией. X -8 -4 -2 -1 1 2 1 4 1 8 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 1 у = - X 22 18.2. Запишите название графика функции у - . X 18.3. Продолжите фразу. 1) График функции у = — симметричен относительно. X 2) График функции у = — имеет асимптоты. X 18.4. Заполните таблицу и постройте графики функций. а) -4 -2 -1 1 2 1 2 V = — i к Г- i ! 1 1 I : 1 j "h i : 1 t ! : > 1 1 1 1 к ' ! 1 1 i i i i 1 . 1 i 1 1 ! : 1... 1 1 . .. i i i _ L _ 1 i ; 23 б) X -6 -3 -1 1 3 1 3 1 3 6 3 V = - X 3 У = — X 18.5. Используя результаты задания № 18.4, запишите, в каких координатных четвертях располагается график функции у = —, если: X а) k> О. б)к<0. 18.6. Сделайте вывод о взаимном расположении графиков функций k k у = - и у =--. X X 24 18.7. Используя график функции у = — при fe > О, запишите её свойства. X 1) Область определения функции:. 2)у>0. У<0 — 3) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) 4) функция (ограничена, не ограничена] 5)1/ ^ наиб (возрастает, убывает, постоянна) 6) функция______ 7) функция_________________________________ (выпукла вниз, выпукла вверх) 8) область значений функции:_______________ 18.8. Используя график функции у = — при k< О, запишите её свойства X 1) Область определения функции:_________________________ У‘ к 1 L у 1 о 1 - X 7^ / 1 2)у>0. У<0 — 3) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) 4) функция (ограничена, не ограничена) 5) Ун. У наиб ■ (возрастает, убывает, постоянна) 6) функция------ 7) функция_________________________________ (выпукла вниз, выпукла вверх) 8) область значений функции:_______________ 25 18.9. Выделите цветом часть графика функции у = —, соответствующую X заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = — на этом промежутке. X у ^наям ^нанб ’ ^ ванм ^наиб ' г)(-3;1] у ^ явим ^наиб ■ Уп Уналб ■ 26 и ^ найм ^ наиб' У ^наям ^наиб ■ 18.10. Выделите цветом часть графика функции у = —, соответствую- X щую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -— на этом промежутке. X У ваим Уааиб ■ У ^наим Уяаяб ' 27 ^ наии ' ^наиб ■ У £7 найм ^наиб ■ У. у. вавб * ^наим Уяйиб ■ 28 18.11. Дан график функции ц = —. X 1) Выделите цветом части графика, расположенные: а) выше прямой у = 2; б) ниже прямой у--1. 2) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 18.12. Используя результаты задания № 18.11, запишите, при каких значениях X выполняется условие: й)у>2--------------------; б)у<-1-------------------- 18.13. Дан график функции У = 1) Выделите цветом части графика, расположенные: а) выше прямой ^ = 3; 2) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 18.14. Используя результаты задания № 18.13, запишите, при каких значениях X выполняется условие: а)у>3. б)1/<-1. 29 18.15. Решите графически уравнение, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец - = х + 1. X Решение. 1. Вводим функции у = —иу = х+1. 2. Строим графики этих функций (шаг 1). Шаг 1 Шаг 2 3» Отмечаем точки пересечения графиков, находим их абсциссы (шаг 2). Ответ: -2; 1. а) - =yfx. X Решение. 1________ 2. 30 3. Ответ:___ б) - = Зх\ X Решение. 1. ______ 2________ 3. Ответ:. в) -- = -2. X Решение. 1_________ 2_________ 31 3___________ Ответ:______ г) = х + 2. X Решение. 1___________ 2___________ 3. Ответ:. 18.16. Решите графически систему уравнений, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец 3 у = -■> X у ^ х + 2. Решение. 3 1. Строим графики функций: у = — иу = х + 2 (шаг 1). X 32 Шаг 1 Шаг 2 2. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их координаты (шаг 2). Ответ: (-3; -1), (1; 3). а) 2 У = -■> X у = 3- X. Решение. 1. Ответ: 33 б) 4 У = —. X ^ = 1^-3. Решение. 1________ 2. Ответ:, в) У = X У = И|. Решение, 1________ 2. Ответ: 34 г) у = —, X у = -4х. Решение, 1_________ 2. Ответ: 18.17. Дана функция у =/(ж), где f{x) = —. Найдите: а)/(2л:) = Ь)Кх-\) = . в)/(-«) =- г)/(ж + 3) = . 35 § 19. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(x + /), ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(х) 19.1. 1) Заполните таблицу 1 и постройте график функции у = х^, 2) Перенесите полученные значения функции в таблицу 2 и найдите соответствующие им значения аргумента. Последовательность заполнения в таблице строки х обозначена цифрами в кружочках. 3) Для одних и тех же значений функции у сравните значения аргумента X в таблицах 1 и 2. На сколько они отличаются? 4) Постройте график функции у = (х + 3)^. 5) Запишите, как, имея график функции у = х^, получить график функции у = {х + 3)^____________________________________ 6) Проделайте аналогичную работу с таблицей 3 и постройте график функции у = (х- 2У. 7) Для одних и тех же значений функции у сравните значения аргумента X в таблицах 1 и 3. На сколько они отличаются? 8) Запишите, как, имея график функции у = х^, получить график функции у-(х- ________________________________________ Таблица 1 X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = х^ Таблица 2 ( f f Л 1 © ® ® Ф ® ® © X у = {х + гг Таблица 3 1 f 1 © ® Ф ® ® © X y^(x-2f 36 i i : : 1 • ! ; : : : i : : : ; i : ! : : : : : : ; ^ i - : : ■ ::г: ; :j:: 1 1 ! 19.2. 1) Заполните таблицу 4 и постройте график функции у = 4х. 2) Перенесите полученные значения функции в таблицу 5 и найдите соответствующие им значения аргумента. Последовательность заполнения в таблице строки х обозначена цифрами в кружочках. 3) Для одних и тех же значений функции у сравните значения аргумента X в таблицах 4 и 5. На сколько они отличаются? 4) Постройте график функции у = \!х - 2. 5) Запишите, как, имея график функции у = -Jx, получить график функции у - у]х - 2. 6) Проделайте аналогичную работу с таблицей 6 и постройте график функции у = yjx + 3. 7) Для одних и тех же значений функции у сравните значения аргумента X в таблицах 4 и 6. На сколько они отличаются? 8) Запишите, как, имея график функции у = 4х, получить график функции у = sjx -1- 3.___________________________________ Таблица 4 X 0 1 4 9 у= 4х 37 Таблица 5 ф ® X у= >1х-1 Таблица 6 ф ® X у = у1х + 3 19.3. Сделайте вывод о том, как построить график функции у = f(x + I), если известен график функции у = f(x), при: • г>о___________________________________________________ г<о. 19.4. Запишите, график какой функции получится, если переместить: а) параболу р = на 10 единиц влево вдоль оси х —------------------- б) гиперболу I/ = — на 7 единиц вправо вдоль оси х —--- X в) график функции р = Vx на 15 единиц влево вдоль оси х 38 г) график функции у = |х| на 20 единиц вправо вдоль оси х — 19.5. Запишите, график какой функции получится, если переместить: а) параболу у = 5х^ на 3 единицы влево вдоль оси х —___________; б) гиперболу у = — на 6 единиц вправо вдоль оси х —____; в) график функции у = -4х на 1 единицу влево вдоль оси х — г) график функции у = -|x| на 4 единицы вправо вдоль оси х — 19.6. Постройте график функции, используя параллельный перенос (сдвиг). Записывайте содержание этапов (шаги 1^—3 выполняйте на одном рисунке). Образец y = 2{x-2f. Решение. 1. Определяем, график какой функции подлежит перемещению: у = 2х^. 2. Строим тонкой линией график функции у = 2х^ (шаг 1). Us ! -4- / N if LM i 1 / / 0----------------------L_____________ У<0. г) функция - д) функция. е) у ' ” н (непрерывная; имеет точки разрыва) (ограничена, не ограничена) ___________, у _________________ ' ВЙИП ж)функция. з) функция. (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) 51 § 20. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(x) + Ш, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(x) 20.1. 1) Постройте графики данных функций, предварительно заполнив таблицу. X -3 -2 -1 0 1 2 3 у-х^ у = х^ + 4 у^х^-2 2) Для одних и тех же значений аргумента сравните значения функции у = со значениями функций у = + 4 и у = х^ -2. На сколько они отличаются? 3) Запишите, как, имея график функции у = х^, получить график функции: у = -t- 4 —__________________ у = х^-2 — . 20.2. 1) Постройте графики данных функций, предварительно заполнив таблицу. X 0 1 4 9 y=^yfx у = -4 у= -ЬЗ 52 2) Для одних и тех же значений аргумента сравните значения функции у = у[х со значениями функций у = у[х - Аъ у - у[х -1-3. На сколько они отличаются? 3) Запишите, как, имея график функции у = ых, получить график функции: У = - 4 —. <= 4х -1-3 —. 20.3. Сделайте вывод о том, как построить график функции у = f{x) -I- т, если известен график функции у = f{x), при: • т> О________________________________________________ • т<0. 20.4. Запишите, график какой функции получится, если переместить: а) параболу у = 4х^ на 3 единицы вниз вдоль оси у —______________ б) гиперболу у = — на 2 единицы вверх вдоль оси у —. X в) график функции у = - \fx на 1 единицу вниз вдоль оси у — г) график функции у - |л:| на 4 единицы вверх вдоль оси у — 53 20.5. Постройте график функции, используя параллельный перенос. Записывайте содержание этапов (шаги 1—3 выполняйте на одном рисунке). Образец у = 2x^-3. Решение. 1. Определяем, график какой функции подлежит перемещению; у = 2х^. 2. Строим тонкой линией график функции у = 2х^ (шаг 1). У‘ '8 «V -СЯ~1 II / 1 ^ 5 ~^и 1 I ¥ ^ LL — — <м -Л. — 2 1 / О X -3 Шаг1 ШагЗ Шаг 2 3. Определяем, как нужно переместить график функции у = 2х^: вниз на 3 единицы (шаг 2). 4. Строим жирной линией график функции у - 2х^ - 3 (шаг 3). а) у = 2х^ -1. Решение. 1___________ 2___________ 54 4. 6)у=4х + 3. Решение. 1. ________ ' : ' 3. 4. ж......Г" 55 20.6. Запишите, график какой функции изображён на рисунке. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. а)[-2;0] б)(1;2] У = -у ^ найм У наиб “ У = - Унаим Унаиб- У = - у ^наим У наиб ■ «/ = -У ^наим У наиб " 56 у-У. J/наиб- с)(-3;-1] У- У. Уивяб ' ^ з)[1;+оо) У = - У Шйяой Уяаяб ■ У у, J/наиб- 57 и) (0; +00) к)(1;9] У Уш Уяаяб ■ У = - у ^наим У наиб ■ л)(1;4] У = - у ^ найм У наиб ' м)[0; 7) У = - У найм' Уиаиб ~ 20.7. 1) Запишите, график какой функции изображён на рисунке. 2) Выделите цветом части графика, расположенные выше прямой у = 2. 3) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 4) Запишите, при каких значениях х выполняется неравенство у <2. 58 У = - у <2 при. У = - у <2 при. 20.8. 1) Запишите, график какой функции изображён на рисунке. 2) Выделите цветом части графика, расположенные выше прямой У = -3. 3) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 4) Запишите, при каких значениях х выполняется неравенство У<-3. У =------- у < -3 при. У^------- у < -3 при. 59 20.9. Решите графически уравнение, проговаривая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец 2 2 i — = + 1. X Решение. 1. Вводим функции у= — ии = х^+1. X 2. Строим графики этих функций (шаг 1). 3. Отмечаем точку пересечения графиков, находим её абсциссу (шаг 2). Ответ: 1, а) 2х^-3^-1. Решение. Ответ: 60 б)---3 = -зс. X Решение. t i . i : i L : 1... . ; \ г- -- ■ : ! Ответ: в) yfx-2 = х^~ 2. Решение. ■; “■ Г t 1 .. i.. i... 1 i ■ i ! ! : i ; .i ^ ^ ; ! i : 1 : i ' • ■ : : i i : : ! ; i : : ; S ! i ! : J. I i 1 : ! Ответ: 61 г) \х\ + 1 = х’‘ + 1. Решение. Ответ:. 20.10. Решите графически систему уравнений, проговаривая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец у = 2х^ - 3, У = 5. Решение. 1. Строим графики зфавнений у = 2х^ - 3 и у = 5 (шаг 1). 2. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их координаты (шаг 2). Ответ: (-2; 5), (2; 5). 62 а) у =^2х^ + 1, У = 3. Решение. 1 ( Ответ:. б) ^ [у = о. Решение. = 4х -2, Ответ:. 63 в) у =-------3, X [у = -1. Решение. Ответ:. г) \у = - 2, у = |л:| - 2. Решение. Ответ: 64 20.11. Дана функция I/= Ях), где f{x) = 1) Найдите: Я-3) =------------------, Я-2) =------------------, ДО) =-------------------, \-х^ + 2, если -3 < X < 1; если 1 < X < 9. Д1) = - Д4) = . Д9) = . 2) Запишите, каким выражением задаётся функция у = Дх) на указанном промежутке, и постройте соответствуюп^ий график. -3<х<1 Кх<9 т=. Дх) = . 3) Используя построенный график, запишите: а) область определения функции:_________ б) область значений функции:___________ в) у = О при___________________________ У>0------------------------------------- У<0-------- г) функция _ д) функция Унаим---- (непрерывная; имеет точки разрыва) (ограничена, не ограничена) ж) функция з) функция - (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) 65 §21. КАК ПОСТРОИТЬ ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(x + /) + ш, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ГРАФИК ФУНКЦИИ у = f(x) 21.1. 1) Постройте график функции у = 2) Запишите, как надо переместить график функции у = х^, чтобы получить график функции у = (х- 2)^___________________ 3) Постройте график функции у = (х-2У. 4) Запишите, как надо переместить график функции у = (х-2У, чтобы получить график функции у = (х-2У-3_____________________ 5) Постройте график функции у = {х - 2У - S. 21.2. 1) Постройте график функции р= ^/x. 2) Запишите, как надо переместить график функции у = 4х, чтобы получить график функции у = Vx + 1_________________________ 3) Постройте график функции у = Vx+T. 4) Запишите, как надо переместить график функции у = л/х + 1, чтобы получить график функции у = Vx + 1 + 2--------------- 66 5) Постройте график функции у = \jx + 1 + 2. 21.3. Сделайте вывод о том, как построить график функции у = f{x + 1) + т, если известен график функции у = f{x), при: • i>0,/п>0_____________________________________________ • 1>0,т<0. • i < О, /п > 0. • i < о, m < 0. 21.4. Запишите, график какой функции получится, если переместить: а) параболу у = Зх^ на 2 единицы влево и на 5 единиц вверх — 67 б) гиперболу у = — на 1 единицу вправо и на 3 единицы вниз — X в) график функции у = -4х на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз —_________________________________________________; г) график функции у = |дг| на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх — -______________________________________________ 21.5. Постройте график функции, используя параллельный перенос (сдвиг). Проговаривайте содержание этапов (шаги 1—3 выполняйте на одном рисунке). Образец St- " y = -2(x-\y + Z. Решение. 1. Определяем, график какой функции подлежит перемеш;ению: у = -2х^. 2. Строим график функции у = -2х^ (шаг 1). 3. Определяем, как нужно сдвинуть график функции по горизонтали: вправо на 1 единицу. Строим этот график (шаг 2). 4. Определяем, как нужно сдвинуть график функции по вертикали: вверх на 3 единицы. Строим этот график (шаг 3). 68 a)i/ = (x + 2)2-3. Решение. б) i/ = -(jc- 1)2 + 4. Решение. 69 21.6. Определите абсциссу вершины параболы. а) у = (х-2Г------------; в)у = 3(х + 2Г. б) у = 0,5(х+1У---------; г)р = -(лс-1)2. 21.7. Запишите уравнение вертикальной асимптоты гиперболы. 1 ч . 3 а) !/ = б) !/ = х-2 2 в) I/ = х + Ь г) !/ = - х + 1 5 х-3 21.8. Постройте график функции с помощью перехода к новой системе координат. Записывайте содержание этапов. Образец I/= 0,5(лс - 2)2. Решение. 1. Определяем, график какой функции будем строить в новой системе координат: у = 0,5х^^. 2. Определяем координаты начала новой системы координат: (2; 0). 3. Строим новую систему координат. 4. Строим в новой системе координат график функции у = 0,5х^. а) р = |д: -I- 31. Решение. 1__________ 2. 70 3 _________ 4 _________ &)y = {x-\f. Решение. 1. 2. 3 _________ 4 _________ в)у= -Vx + 1 Решение. 1__________ 2__________ 71 3. 4. 21.9. Определите ординату вершины параболы а) у = х^-\_______________; в)у = 2х^ + 7. б) у = -0,5х^ - 2_________; т)у = -х^ + 9. 21.10. Запишите уравнение горизонтальной асимптоты гиперболы. а) у = 1 - 2 6)у = -^ + 5 в)у = 5.1 г) у = - 3 X 21.11. Постройте график функции с помощью перехода к новой системе координат. Записывайте содержание этапов. Образец ^ "'л у = 2х^ - 3. Решение. 1. Определяем, график какой функции будем строить в новой системе координат: у = 2х^. 2. Определяем координаты начала новой системы координат: (0; -3). 3. Строим новую систему координат. 4. Строим в новой системе координат график функции у = 2х^. а) у = -Зх^ + 4. Решение. 1. 72 2. 3 __________ 4 __________ б) у = -у[х + 1. Решение. 1___________ 2___________ 3. 4. 73 в)у = _ - 2. X Решение. 1__________ 2. 1 1 ill! ; 1 1 1 1 [ Г 1 1 1 I 1 1 ! 1 i I 1 I 3. 4. 21.12. Определите координату вершины параболы. а)у = (х + Зу-1___________; в)у = 2(х-1)^ + 7. б)у = -(х + 2У+5. т)у = -3(я: - 4)2 - 2 21.13. Запишите центр симметрии гиперболы. а) у = л: + 3 - 2 в) у = X + 2 + 1 б) у = - х-1 + 5 г) У = - х-7 - 3 74 21.14. Постройте график функции с помощью перехода к новой системе координат. Проговаривайте содержание этапов. Образец у =-2(л: - 1)2 + 5. Решение. 1. Определяем, график какой функции будем строить в новой системе координат: у — -2х^. 2. Определяем координаты начала новой системы координат: (1; 5). 3. Строим новую систему координат. 4. Строим в новой системе координат график функции у = -2х^. а)у= у1х + 2 - 3. Решение. б)у= -у1х - 1 + 4. Решение. 75 21.15. Запишите, график какой функции изображён на рисунке, и найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. У = - Уканм У наяб в)(-1;1) у = - у ^ найм Уааиб ■ у- Уп У. У = -у ^ найм Унакб ■ 76 д)[-1;2] е)(3; 5] У‘ к 1 1 3 к 1 0 1 X У =------- у ________ ^ найм У наиб ж)(-1;1) У =--------- у __________ ^ ваим У наиб з) [0; +00) У^- у ^наим У наиб ■ У = -у ^ найм Уввяб ■ 21.16. 1) Запишите, график какой функции изображён на рисунке. 2) Выделите цветом части графика, расположенные выше прямой У = 5. 3) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 77 4) Запишите, при каких значениях х выполняется неравенство у >5. У = - у> 5 при. У = - у> 5 при. 21.17. 1) Запишите, график какой функции изображён на рисунке. 2) Выделите цветом части графика, расположенные ниже прямой !/ = 1- 3) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 4) Запишите, при каких значениях х выполняется неравенство У<1. У = - I/ < 1 при. У = - I/ < 1 при. 78 21.18. Решите графически уравнение, проговаривая содержание этапов. Образец 2(х + 1)2 - 3 = 5. Решение. 1. Вводим функции у = 2{х + 1)2 - 3 и у = Ъ. 2. Строим графики этих функций. 3. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их абсциссы. Ответ: -3; 1. а)0,5(л:-4)2-2 = 0. Решение. Ответ: 79 б) х + 1 Решение -3 = л:-1. 1 : i ! , i ! Г" 1 : i 1 М ! • t f ^ 1 L..„.L 1 I 1... Ответ:. 21.19. Решите графически систему уравнений, проговаривая содержание этапов. Образец У = + 3, X -1 у = 2х + 1. Решение. 1. Строим графики уравнений у - —+ 3 иу = 2х + 1. X -1 2. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их координаты. Ответ: (0; 1), (2; 5). 80 у = а) Решение. л: + 1 у = X - S. -2, t 1 1 : 1 —- 1 • ^ ! 1 .... J 1. L J Ответ:. б) \у = х^ + 2. у = + 3. Решение. Ответ: 81 21.20. Дана функция у = f{x), где f{x) = 1) Найдите: Я-4) =-------------------- Я-2) =-------------------- /(-1) =------------------- Я0)=---------------------- т)=-----------------^----- т=------------------------ \{х + 2)^ + 1, если лс < 0; 1x1 + 5, если о < X < 5. 2) Запишите, каким выражением задаётся функция у - /(х) на указанном промежутке, и постройте соответствующий график. х<0 0<х<5 Пх) = . Пх) = . 3) Используя построенный график, запишите: а) область определения функции: б) область значений функции: в) у = о при, у>0----- У<0----- г) функция - д) функция. е) у ______ ' ^няим (непрерывная; имеет точки разрыва) (ограничена, не ограничена) ’ -^ваиб ж) функция. з) функция _ (возрастает, убывает) (выпукла вниз, выпукла вверх) 82 § 22. ФУНКЦИЯ у = ах^ + bx + с, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК 22.1. Используя схему, заполните пропуски. а —. Ь — . с —. 22.2. Запишите, чему равны коэффициенты данного квадратного трёхчлена. а) Квадратный трёхчлен а Ъ с 1) Зл:^ + 7х~1 2) --х^ - 4х 2 б) Квадратный трёхчлен Старший коэффициент Второй коэффициент Свободный член 1) -л: + 3 - л:' 5 2) 4 - Зл: - 22.3. Составьте квадратный трёхчлен ах^ + Ьх + с, если известны его коэффициенты. а Ъ с Квадратный трёхчлен 4 2 3 3 -5 1 -1 0 7 1 9 0 83 22.4. Заполните пропуски, используя определение квадратичной функции (см. текст учебника § 22, с. 129). Квадратичная функция — это функция вида_________________, где а,Ь,с —. -,аФ. 22.5. Подчеркните квадратичные функции. у = 2х^-7х-1 у = 5х+1 у = ^Jx -1 у-А- 9х^ у = 6х^ - X 2 У = - X у = 2х^-2,Ъ у = -х^ + 3 22.6. Выделите полный квадрат (представьте квадратный трёхчлен в виде а(х + If + т). Образец х^ - Ах +Ъ = {х^ - Ах + А) +\ = (x-2f + 1. й) х^ + Ах+ 3 =_ б) -х2-6л:-10 = . 22.7. Используя результаты предыдущего задания, запишите, какая линия является графиком данной функции, и опишите её положение по образцу. Образец у = х^ - Ах + 5. Решение. х^-Ах+ 5 = (x~2f+l; 2. y = ix-2f + l — парабола с вершиной в точке (2; 1), ветви которой направлены вверх. а) у = х^ + Ах + 3. Решение. 84 6)у = -х^ -6х- 10. Решение. 22.8. 1) Постройте график функции г/ = х^ + 4х + 3, используя результаты заданий № 22.6 а) и 22.7 а). 2) Запишите уравнение оси параболы г/ = х^ + 4х + 3:. 3) Запишите уравнение оси параболы в общем виде (используйте текст учебника § 22, с. 131):___________________________ 4) Запишите координаты вершины параболы в общем виде (используйте текст учебника § 22, с. 132): *0 = - 85 22.9. Найдите координаты вершины параболы, записывая содержание этапов. Образец y--Zx^-bx+ 1. Решение. 1. Найдём абсциссу вершины параболы: ^ Ь -6 -6 . . “ 2а 2 (-3)“ -6 ~ 2. Найдём ординату вершины параболы: Уо = - 6(-1) + 1 = -3 + 6 + 1 = 4; 1/„ = 4. Ответ: (-1; 4). а)у = -2х^ + 4х- 5. Решение. 1________________ 2. Ответ: б) у = х^ + 4х + 1. Решение. 1. ____________ 2. Ответ:. 86 22.10. Постройте график функции у = f(x), записывая содержание этапов (шаги 1—3 выполняйте на одном рисунке). Образец ■г «Г'-».?».!**-» f(x) = -2х’‘ + 4лс + 1. Решение. 1. Находим координаты вершины параболы: 2а 4 4 , , ——г = — = ц -1; 2 • (-2) -4 ’ о ’ г/о = Л:Со) = Л1) = -2*Р + 4-1 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3;1/„ = 3. (1; 3) — вершина параболы. 2. На координатной плоскости отмечаем вершину и проводим через неё ось параболы, прямую х = 1 (шаг 1). 3. Находим и отмечаем точку пересечения параболы с осью Оу (/(0) = 1). Отмечаем точку, симметричную ей относительно оси параболы (шаг 2). 4. Находим координаты дополнительных точек и строим параболу (шаг 3). X -1 3 у -5 -5 - ^ «.„г 87 а)у = х^-2х-3. Решение. 1____________ 2. 3. 88 б)у = -х’^ -4х + 2. Решение. 1______________ 2. 3. 4. 89 22.11. Дана функция у = f(x), где f(x) = 2х^ - 5л: - 1. Найдите f(3x), f(-x), f{-2x), f{-3x). Образец f{2x) = 2{2xf - Ц2х) - 1 = 2 • 4x2 - Юл: - 1 = 8л:2 - Юл: - 1. а) /(Зх) =_________________________________________________ б)/(-х) = . в)/(-2х)=. г)/(-Зх) = . 22.12. Дана функция у = fix), где Дх) = Зх^ - 7х + 1. Найдите /(х + 1), fix - 2), fix + 2), fi-x - 1). Образец 4 /(х-1) = 3(х-1)2-7(х-1) + 1 = 3(х2-2х+1)-7х + 7 + 1 = Зх2-6х + + 3-7х + 8 = Зх2-13х + 11. а) Дх + 1) =------------------------------------------ б)Дх-2) = . в) fix + 2) =. г)Д-х-1) = . 90 § 23. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ 23.1. Решите графически уравнение - 2д: - 3 = О, последовательно выполняя указанные действия. 1. Строим график функции у = х^-2х-3. X у 2. Находим абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Ответ:. 23.2. Решите графически уравнение д:^ - д: - 2 = О, представив его в виде ах^ = -Ъх - с. 1. Представляем уравнение в заданном виде: 2. Строим параболу У =------------- X у 3. Строим прямую ----------- X у 4. Находим абсциссы точек пересечения построенных графиков. Ответ:_____________________ 91 23.3. Решите графически уравнение + 2х- 3 = 0, представив его в виде ах^ + с = -Ьх. 1. Представляем уравнение в задан- 4. Находим абсциссы точек пересечения построенных графиков. Ответ:____________________ 23.4. Решите графически уравнение д:^ - 4д: + 7 = О, представив его в виде а(д: + ly + т = 0. 1. Представляем уравнение в заданном виде: 2. Строим параболу У =------------- используя правило построения графика функции у = а{х + 1У + т. 3. Находим абсциссы точек пересечения построенного графика с осью д:. Ответ:______________________ 92 23.5. Решите графически уравнение + л: + 2 = О, представив его в виде ах + Ь = —. X 1. Представляем уравнение в заданном виде: 2. Строим прямую !/ =------------ 3. Строим гиперболу !/ =--------------- X у X у 4. Находим абсциссы точек пересечения построенных графиков. Ответ:_____________________ 93 ГЛАВА 4 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 24. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 24.1. Заполните пропуски, используя текст учебника (§ 24, с. 143). Квадратное уравнение — это уравнение вида_____________ где а,Ь,с —______________________________________, а ^ _ 24.2. Запишите названия коэффициентов квадратного трёхчлена ах^ + Ьх + с: а —. Ь — . с —. 24.3. Является ли данное уравнение квадратным? а) 2л;2 + 5л: + 1 = О. Да, нет в) л:^ + 2л: - 5 = О. Да, нет б) 2л:» - 6л: + 1 = О. Да, нет г) -Зл: + 2 = 0. Да, нет 24.4. Подчеркните одной чертой старший коэффициент, двумя чертами второй коэффициент и волнистой линией свободный член квадратного уравнения: а) 5л:2 + Зл: + 2 = 0; г) -2л:" -7 = 0; б) --х^ + -X - - = 0; д) 2х- Зх^ + 5 = 0; 5 3 7 1 .2 1.5 в) -X —л: -I- — = 0; 3 7 12 е) 8 -Ь 32л: - 4л:^ = 0. 24.5. Составьте квадратное уравнение, зная его коэффициенты. а Ъ с Уравнение 2 3 5 3 -4 1 94 а Ъ с Уравнение 1 2 0 4 2 3 1 3 0 1 2,4 -3,6 -1 -5,1 2,9 24.6. Запишите квадратное уравнение, у которого а) старший коэффициент равен 5, коэффициент при х равен 2, свободный член равен 1: б) старший коэффициент равен -3, коэффициент при х равен 9, свободный член равен 0: в) старший коэффициент равен 7, коэффициент при х равен 0, свободный член равен 2,5: г) старший коэффициент равен 1, коэффициент при х равен -4, свободный член равен 3,9: 24.7. Используя схему, запишите в словесной форме, какое уравнение называют приведённым, а какое неприведённым. 95 24.8. Подчеркните уравнения, которые являются приведёнными: 5х^ + 7х-3 = О, 1,5х - + 3 = О, 8л: + - 2 = О, 16 - Зл: + л:^ = О, -х^ + 4л: + 9 = О, л:^ +3,1л:-5 = 0. 24.9. Выполните преобразования квадратного уравнения так, чтобы оно стало приведённым: а) 2л:2 + 6л:-8 = 0; в) 23л: - л:^ + 9 = 0; б) -х^ - - = 0; ^3 7 г) -—х^ + л: - - = О 4 5 24.10. Запишите три примера: а) приведённого квадратного уравнения. б) неприведённого квадратного уравнения. 24.11. Используя схему, объясните (устно), в чём отличие неполного квадратного уравнения от полного квадратного уравнения. 96 24.12. Закончите предложение, используя текст учебника со с. 144. Полное квадратное уравнение — это___________________________ Неполное квадратное уравнение — это. 24.13. Подчеркните уравнения, которые являются неполными квадрат- ными уравнениями, и решите их. -I-бх - 15 = О, 25х^-4 = 0, х2-2х = 0, -3x2-1-15 = 0, х-1-3-5х2 = 0, 49-16x2 = 0. -г....'Г 24.14. Составьте квадратное уравнение, которое является: а) полным и приведённым:__________________________ б) полным и неприведённым:. в) неполным и приведённым:. г) неполным и неприведённым: 97 24.15. Закончите предложение, используя текст учебника на с. 144. Корень квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = Q — это________ Корень квадратного трёхчлена ах^ + Ъх + с — это. 24.16. Проверьте, является ли данное значение переменной х корнем уравнения. Запись оформите по образцу. Образец 2x^ + Zx-f> = 0. 1) х=\-, 2-12+ 31-5 = 0; 0 = 0 — верно; JC = 1 — корень данного уравнения. 2) х = -и 2-(-1)2 + 3 •(-!)-5 = 0; 2-3-5 = 0; -6 = 0 — неверно; X = -1 не является корнем данного уравнения. а) х2 - 2х - 3 = о б) х2 + 4х + 3 = о 1) х4-2 1 i 1 ! 2) х=з ! i — ^ ^ i 1 \ \ ] 1 \ \ \ 1 ^ ; 1)х = -3 |2)х=1 98 § 25. ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ 25.1. Решите уравнение. Используйте, где необходимо, разложение на множители или выделение полного квадрата. а) = 1 5; д] 3:^ 2 _ 18 х = 0; б) * = 32; е) {X + г -2 в) 2х‘ I _ ^2 = 0 > ж' (X + : iy -2 5^ 0; г) ас*- f 4 х = 0; з) х^ + е X - ■К 1 D. 25.2. Запишите формулу дискриминбшта квадратного уравнения ах^ + + йд: + с = О, используя текст учебника на с. 149. D-. 99 25.3. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0, используя текст учебника на с. 152. Г = , X = 1 25.4. Проанализируйте формулу х^ ^ = ^ и запишите, сколько кор- 2а ней имеет квадратное уравнение, если: П>0 D<0 D = 0 25.5. Найдите дискриминант и запишите, сколько корней имеет данное уравнение. Запись оформите по образцу. Образец Зх^ + 5х - 2 = 0. Решение, а = 3, Ь = 5, а = -2; П = - 4ас = 5" - 4 • 3 • (-2) = 25 + 24 = 49. Вывод: D>0, два корня. а) jc* - 2jc - 3 = 0. Решение. а = . D = -,Ъ = . -,С=. Вывод: б) 2х^ - Зл: + 20 = 0. Решение. а =______, Ь =__ D =_____________ ., с = . Вывод: в) 2х^ - 20х + 50 = 0. Решение. а =------, Ь =----, с =. D =___________________ Вывод: 100 25.6. Решите уравнение, записывая содержание этапов. Образец + 5jc - 6 = 0. Решение. 1. Записываем коэффициенты: а = 1; 6 = 5; е = -6. 2. Находим корни: _ -Ь ± л/б^ - 4ас ^ -5 + - 4 • 1 ■ (-6) ^ -5 ± У49 2а 2 1 2 ■ -5-7-12 - -5 + 72, -----=----= -6; лс, =----= - = 1. 2 2 ^ 2 2 Ответ: -6; 1. а) лс^ - 8лс + 15 = 0. Решение. 1_______________ Ответ: 101 б) Зх^ + 5х + 2 = 0. Решение. 1. _____________ 2. Ответ: в) - 4лс + 4 = 0. Решение. 1. ____________ 2. ;--j... I—Г Ответ: 102 г) -х^ + бдс - 9 = 0. Решение. 1_______________ 2_______________ Ответ:__________ д) - Зл: + 7 = 0. Решение. 1. _____________ Ответ:. 103 е) -Зх^ - 4л: - 8 = 0. Решение. 1_______________ 2. Ответ:. 25.7. Выполните в обычной тетради задания № 25.5 а) и 25.15 б) из задачника, мысленно проговаривая содержание этапов. § 26. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 26.1. Решите уравнение, мысленно проговаривая содержание этапов. Образец 2 1 + - = ^2 • 2-х 2 2л: - л: Решение. 1. Переносим все слагаемые в левую часть и выполняем действия: 4 + ^---------^ = 0; 2 - л: 2 2л: - л:^ 2 - л: 2 х(2 - х) 4х + 2х - х’‘ - 8 = 0; 2л(2 - х) = 0; 104 -х^ + 6а: - 8 2х(2 - X) = 0; л:** - 6л: + 8 = 0. 2х{2 - X) 2. Приравниваем нулю числитель и решаем полученное уравнение: л:* - 6л: -Ь 8 = 0; а = 1, 6 =-6, с = 8; ‘'1,2 ^ -Ь ± у/ь^ - 4ас ^ -(-6) ± ^J(-6У - 4 • 1 • 8 ^ 6 ± 2. 2а 2 1 2 ’ 6-2 „ 6+2 . л:, = -- = 2, л:, = - = 4. * 2 * 2 3. Проверяем равенство нулю знаменателя 2л:(2 - л:): 1) х = 4; 2-4(2-4) = 8 (-2) = -165^0. Значит, л: = 4 — корень исходного уравнения. 2) л: = 2; 2-2(2-2) = 0. Значит, л: = 2 не является корнем исходного уравнения. Ответ; л: = 4. a) 2 + a a Решение. 1. — — — — — 2. 1 1 — j j i ; : i __J 1 i i 105 3. Ответ: •«V 3 33 X — 4 о) —I—5------=------. X х^ -Пх X -11 Решение. 1. ■■ ! 1 { 1 1 — Z 1 1 1 I 1 I 1 1 106 3. Ответ:. 26.2. Решите уравнение методом введения новой переменной, записывая содержание этапов. Образец + х^- 20 = 0. Решение. 1. Вводим новую переменную у = х^. 2. Записываем уравнение в новом виде и решаем его: 1/2 + I/ - 20 = 0; _ -1 ± ^1^ - 4 • 1 • (-20) _ -1 ± 7^ 1/1.2 2-1 2 -1-9 -10 ^ -1 + 9 8 . У\ - 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2~ ' 3. Возвращаемся к исходной переменной: 1)л:2 = -5; 2)л:2 = 4; нет корней. х^ = 2, х^ = -2. Ответ: -2; 2. а) 17x2+ 16 = 0. Решение. 1. ______________ 2________________ 107 -! [““Г ^---Г Ответ: “Т------^ ...—,—, ^ : i I i б) х^~ 7x^-8 = 0. Решение. 1______________ 2______________ i : : ; ; : ;■ 1 ; : i i : ! I ! 1 I ) : 1 . j 1 ! ! ! i : i : 1 T ! i : : ; 3. .1................i.,.. Ответ: 108 в) (Зх - 7)2 - 5(3х - 7) + 6 = 0. Решение. 1. ______________________ 2________________________ 3. Ответ: г) 3(2х + 3)2 + 10(2х + 3) + 3 = 0. Решение. 1. __________________________ 2. __________________________ 109 3. Ответ:________ § 27. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ 27.1. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 36 км. Первый велосипедист двигался со скоростью X км/ч, а второй на 2 км/ч быстрее. 1) Запишите на математическом языке: • скорость второго велосипедиста__________________; время, которое был в пути первый велосипедист. время, которое был в пути второй велосипедист _ 2) Кто из велосипедистов прибыл в пункт В раньше?. Запишите выражение для разницы во времени: 3) Составьте уравнение, зная, что разница во времени движения ве- 1 лосипедистов составила — ч. 5 4) Решите полученное уравнение. 110 5) Найдите скорость второго велосипедиста. 27.2. Катер, собственная скорость которого у км/ч, прошёл 480 км, а затем вернулся обратно по течению реки. Скорость течения реки 6 км/ч. 1) Запишите на математическом языке: • скорость катера по течению реки. • скорость катера против течения реки. • время, которое был в пути катер, двигаясь по течению реки время, которое был в пути катер, двигаясь против течения реки 2) Составьте уравнение, если известно, что катер, двигаясь по течению реки, проходит 480 км на 2 ч быстрее, чем двигаясь против течения. 111 3) Решите полученное уравнение. § 28. ЕЩЁ ОДНА ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ 28.1. Выполните последовательно задания. 1) Найдите дискриминант квадратного трёхчлена ах^ + 2kx + с, у которого второй коэффициент 2k — чётное число. D-__________________________________________________ 2) В выражении \[D вынесите множитель из-под знака корня. 4d=_________________________________________________ 3) Подставьте найденное выражение для 4d в формулу корней квадратного трёхчлена ах^ + 2kx + си упростите её. 112 4) Запишите полученную формулу корней квадратного трёхчлена: ^1,2 28.2. Укажите с помощью стрелки уравнения, которые можно решить, -к ± ylk^ - ас _ применив формулу х^2 =--------------• Для уравнении, которые ’ а можно решить с помощью указанной формулы, запишите, чему равно к. х2-14х + 33 = 0 4х2-37х + 9 = 0 2x2-9х + 10 = 0 2х^+х + 2 = 0 х^+ 12л:+ 20 = О 7х2-6х-1 = 0 5x2+ 8х - 4 = 0 х2- 5х- 6 = 0 28.3. Решите выбранные в № 28.2 уравнения в обычной тетради, используя данный образец. Образец 7л:2-бл:-1 = 0. Решение. а = 7, к = -3, с = -1; П,2 ^ -(-3) ± j(-3f - 7 • (-1) ^ 3 ± V9 + 7 ^ 3 ± ^/I6 ^ 3 ± 4. 7 7 7 7 ’ 3+4 . 3-4 1 X, = ---- = 1, X, = --- =--. 1 7 » 2 ^ J Ответ:1; у. 113 § 29. ТЕОРЕМА ВИЕТА Теорема Виета (прямая) 29.1. Выполните последовательно следующие задания 1) Решите уравнение: д:"-2л:-15 = 0; а = . -,Ъ = . с = . д:^ + 4д:- 12 = 0; а =______, Ъ =____, с =. *1,2 *1 = ---= . 2) Вычислите: *1.2 = - *1=. .; х, = . *1 + *2=- *1 + *2 = - Xl*X2 = . *Г*2 = 3) Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами данного квадратного уравнения: 4) Какое предположение можно высказать относительно суммы и произведения корней приведённого квадратного уравнения д:* Н-рд: -I- g = о? *1+*2 = - «Г«2 = - Проверьте своё предположение, используя текст учебника на с. 181. 29.2. Выполните последовательно следующие задания. 1) Решите уравнение: Зд:2-4д:-4 = 0; 2x"-I-7д:-4 = 0; а = . -,Ъ = . с = . а = . -,6 = - с = . *1,2 *1=. X, —. *1,2 *1=. -; д: =. Ь с 2) Приведите данное уравнение к виду х^ + —х + — = 0: а а 114 3) Вычислите: ^1 + J^2=- ^Г^2=- ^1 + J^2=- ^Г^2 = - 4) Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами приведённого уравнения. Какое предположение можно сделать о сумме и произведении корней неприведённого квадратного уравнения? ^1 + ^2=- ^Г^2 = - 5) Проверьте своё предположение, используя текст учебника на с. 180. Разложение квадратного трёхчлена на множители 29.3. Выполните последовательно следующие задания. 1) Найдите корни квадратного трёхчлена: а) 2х^ -Ь 6л: - 8 = 0; б) бл:^ -Ь 5л: - 1 = 0; —, 5 =----, с =-----; а =----, 5 = _ а = _ ^1.2^ ^1=- ^2 ~ ■ ^2 = - ^1 = - ,С 2) В выражение а(х - л:^)(л: - х^) подставьте значение старшего коэффициента и найденных корней квадратного трёхчлена. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. 3) Сравните полученное выражение с квадратным трёхчленом из пункта 1). Какое предположение можно сделать относительно выражений ах^ + Ьх + си а(х - л:^)(л: - л:^), где л:^, х^ — корни данного квадратного трёхчлена? Проверьте своё предположение, используя текст учебника на с. 182. 115 29.4. Разложите на множители квадратный трёхчлен, записывая содержание этапов. Образец 2x^-x-3. Решение. 1. Находим корни: а = 2,Ь = -1, с = -3; «1,2 = _ 1 ± 7(-1)“* - 4 • 2 ■ (-3) _ 1± „_3 , ~Г~' ^^~2’ ""2- 1- 2. Применяем равенство ах* +Ьх +с = а(х-х^)(х-х^): 2х' - X - 3 = 2|^х - ^J(x -1-1) = (2х - 3)(х + 1). Ответ: 2х*- х - 3 = (2х- З)(х-Ь 1). а) 6х* -Ь 5х - 1. Решение. 1. 2. j .. .1 f ' : : ’ 1 ; i ; — ^ 1 ........1.... Ответ: б) 4х* - 5х + 1. Решение. Ответ: 116 29.5. Разложите на множители квадратный трёхчлен, проговаривая содержание этапов. Образец х^-х-6. Решение. 1. Находим корни: а = 1, Ь = -1, с = -6; „ _ 1 ± V(-lf - 4 • 1 • (-6) 1 ± •^1,2 “ 2 1 ~ 2 ’ ~ ~ 2. Применяем равенство х^ + Ьх + с = (х - х^)(х - х^). х^~ х-6 = (х- 3)(л: 4- 2). Ответ: х^ - х~6 = (х- 3)(л: -I- 2). -2. а) х’‘-8х + 15. Решение. 1. i 1 2._ . " t i ^ -L Ответ:. б) -I- 8л: - 9. Решение. 1. 2. ! i Ответ: 117 Теорема, обратная теореме Виета 29.6. Используя текст учебника на с. 185, запишите формулировку теоремы 5, обратной теореме Виета. 29.7. Для данного уравнения запишите теорему, обратную теореме Виета, и найдите корни уравнения подбором. Образец х^ + Вх + 2 = 0. Решение. х^ + х^ = -Ь = -3, х^ - х^ = с = 2; х^ — 2, х^ = Ij Ответ: -2; -1. а) - -1; {л: if 42 =10.1 Ре tne ни i. j От вет: б) х^ - 6 = 0. h7. с -f Ре [пе|ни 3^ От веа I» в) х^^7х -1-10 = 0. Решейне. i i Отсвет?: г) н- Юдс 1- 24 = РеЫениё, От 0. вет: 118 29.8. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются данные числа. Образец 3Cj = -6, х^ = 1. Решение. 1) Х^ + Х^ = -Ь; 1 + (-б) = -Ь; -5 = -Ь; Ь = 5; 2) Xj^-x^ = c; 1(-б) = с; -6 = с; с = -6; 3) -Ь 5jc - б = 0. a)jfj = 3, JC, б) |X, -6, Jp, =1 2 в) = ~2 .1 I I 119 г); Г , * -1 1 Сокращение алгебраических дробей 29.9. Сократите дробь, записывая содержание этапов. Образец - Зх + 2 *1.2 ~ + X - 6 ' Решение. 1. Раскладываем на множители числитель - Зх + 2. _ 3 ± 4i-^f - 4 • 1 • 2 _ 3 ± лЯ. 2 2 ’ х^ =1, х^ = 2. Здс^ -5х-2 = (х- 1)(дс - 2). 2. Раскладываем на множители знаменатель х’‘ + х-6. ^ -1 ± - 4 • 1 • (-6) ^ -1 ± 2 1 2 ’ Xi = -3, ДСг = 2. + JC - 6 = (х + 3)(х - 2). 3. Заменяем числитель и знаменатель полученными выражениями и сокращаем дробь. ^ - Зх + 2 ^ (х - ^ х-1 х^ + X - 6 (jc + X + з’ х-1 *1,2 “ Ответ: X + 3 шшшт 120 а) + X - 2 +3х- Ю’ Решение. 1. ______ г “]■" “■ 1 1 Ответ:. б) Зх^ + 4х + 1 х^ -6х-7 Решение. 1___________ 121 2. 3. Ответ: § 30*. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 30.1. Решите уравнение, записывая содержание этапов. Образец' V? - Зле = X + 1. Решение. 1. Возводим обе части уравнения в квадрат: (л/7 - Sxf = (х + 7)\ 2. Решаем полученное уравнение: 7 - Зх = х^ + 14х + 49; + 14л: + 49 - 7 + Зх = 0; х^+ 17л:+ 42-0. _ -17 ± л/289 - 4-42 _ -17 ± Vm. -17-11 .. х^ =------= -14, jCg = 2 -17 + 11 = -3. 122 3. Проверка; 1)х--14; 2)х = -3; yj7-3- (-14) = -14 + 7; ^7 - 3 • (-3) = -3 + 7; л/7 + 42 = -7; >/7Т9 = 4; л/49 = -7 — неверное равенство. = 4 — верное равенство. Значит, -14 не является корнем Значит, -3 — корень данного исходного уравнения уравнения. (посторонний корень). Ответ: -3. , ’ Tii i > - ' л к*й i' ■ - - к а) л/бхТТ = 2. Решение. 1. __________ 2. 1 _J L ; ; 1 : Г 1 3. Ответ:. 123 б) V5 + 4х" = 2. Решение. 1_____________ 2. 3. Ответ:. в) у13х^ +2х + 4 = 3. Решение. 1_________________ 2. 124 _ ; ! i. J i ^ ! M ' .. 1 ! --1 i ; i - : i : : i. i ! ; 1 М 1 i 1 i i 1 j. i : ' I ! . _±.„. i ; . 4- i ! 1 I i 1 i ; ^ i . i ; : .. i ^ J.,L^ T i -j i _ J.. 1 i ! i ; i Ответ:. г) л/2 + 5х^ - Зх = 4. Решение. 1. _______________ 2. •1—i 4—i -4.... 125 3. Ответ:______________ Д) л/лс^ + 2х = у/6х + 5. Решение. 1___________________ 2. 3. -4.....t- -------------1... 126 Ответ: е) Лх + 3 = + 1. Решение. 1_______ 2. 1 1 1 ' i 1 1 1 I ! 1 i 1 1 1 1 t I ! 1 1 3. Ответ: 127 ж) yj2x^ + 9дс - 1 = дс + 3. Решение. 1. ___________________ 2. 3. Ответ: 128 ГЛАВА 5 НЕРАВЕНаВА §31. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ 31.1. Отметьте на координатной прямой числа а и ft, если: а) а> Ь ----------------► б) а <Ь------------ 31.2. Вставьте вместо многоточия знак сравнения (>, <, =): а) еслиа>Ь,тоа-Ь ... 0; в)еслиа<Ь,тоа-Ь ... 0; б) если а -ft > о, то а ... Ь; г) если а - & < 0, то а ... Ь. 31.3. Проиллюстрируйте с помощью рисунка свойство: если а>Ъ,Ь> с,тоа> с. 31.4. Заполните пропуски. Числовые равенства Числовые неравенства Свойство 1 Если а = Ь,Ь = с,тп а с Если а>Ь,Ь> с,тоа с. Приведите пример: Пример: а = Ь,Ь = 5, значит, а = 5. Если а<Ь,Ь<с,тоа с. Приведите пример: Сво йство 2 PloTTW п — л, тп п 4^ п h 4^ п Если а>Ьис — любое число, то а + с ... & + с. Приведите пример: Пример: х-5, значит, дс + 10 = 5 + 10. Если aЬит>0, то а • 7П Ь- т. Приведите пример: Пример: а = 5, т = 7, значит, а - 7 = 5 • 7. Если а> Ьит <0, то а • /п Ь- т. Приведите пример: 31.7. Закончите предложения. 1) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то знак неравенства 2) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства 130 31.8. Умножьте обе части неравенства на (-1). а) а > Ь; б) с < d; в) -х < -3; г) -у > 2. 31.9. Заполните пропуски (вставьте знаки >, < или =). Числовые равенства Числовые неравенства Свойство 4 Если а, Ь, с, d — любые числа via = b, c = d, то а + с Ь + d, а-с b-d. Пример: а = 8, с = -3, то а + с = 8 - 3, а - с = 8 + 3 Если a>bvic> d, то а + с b + d. Приведите пример: 31.10. Заполните пропуски (вставьте знаки >, < или =). Числовые равенства Числовые неравенства Свойство 5 Если а, b,c,d — любые числа na-b,c = d,Toa- с b-d. Пример: а = 6, е = -8, значит, аЬ = 6- (-8). Если а>0, Ь>0, оО, d>0 и а > Ь, О d, то а • с b-d. Приведите пример: Свойство 6 Если а>0,Ь>0иа = Ь, то я." Ь". Пример: а = 8, значит, а® = 8®. Еслиа>0,Ь>0, n^Nna>b, то а" Ь". Приведите пример: 31.11. Выполните последовательно действия. 1) Возведите в указанную степень обе части неравенства: а)1<5, п = 3; в)-2<-1, л = 7; б) -2 < 3, п = 5; г) -3 <-2, п==3. 131 2) Проанализируйте полученные результаты и сделайте вывод: при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень знак не- равенства . (меняется, не меняется) 31.12. Используя результаты предыдущего задания, закончите предложение. Если п — нечётное число, то для любых чисел а и 6: 1) из неравенства а>Ъ следует неравенство------------------; 2) из неравенства а<Ъ следует неравенство__________________ 31.13. Зная, что а>Ъ, вставьте знак > или <, чтобы получилось верное неравенство: а) а-(-2) ...6 (-2); б) а -Ь 8 ... Ь -Ь 8; в) а - 15 ...Ь-15; г) -6 -Ь а ... -6 + Ь; д) -а... -Ь; е) 7 - а ... 7 - Ь; а Ъ ж) -10 -10 з) а--...6-; и) (-3) (-а)... (-3) •(-&). § 32. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА монотонность 32.1. Запишите, возрастающей или убывающей является функция, график которой изображён на рисунке: а) б) 132 в) г) 32,2. Укажите промежутки возрастания и убывания данной функции. Образец г »■ Убывает на (-1; 2], возрастает на [2; 5). а) .....................................: 1®;*?: 133 32.3. Даны функции у = f(x) иу = g(x). 1) Укажите на соответствующем рисунке значения /(х^) и f(x^), g(Xj) и g(x^). 2) Запишите, возрастающей или убывающей является функция: y = f(x)----------------; y = g(x)-------------------- 3) Вставьте знак сравнения (>, <, =): f(x^)... f(x^) Х2 - g(x^)... g(xj 32.4. Заполните пропуски. 1) Функция у - f(x) называется возрастающей на промежутке X, если для любых х^ и х^ из промежутка X из неравенства х^ > следует неравенство f(xj_______f(xj. 2) Функция у = g(x) называется убывающей на промежутке X, если для любых и х^ из промежутка X из неравенства х^ > х^ следует неравенство f(x^)______f(x^). 134 32.5. Докажите, что функция у = f(x) является возрастающей на всей числовой прямой. Образец у = Зх + 4. Доказательство. 1. Пусть fix) = Зх + 4 и Xj, *2 — произвольные числа, х^ > х^. Тогда f(x^) = Зх^ + 4, f(x^) = Зх^ + 4. 2. Докажем, что /(х^) > /(х^). Xj>Xj; 3Xj>3Xj; Зх^ + 4> 3x^ + 4; f{x^> fix^. Утверждение доказано. a) I/ = 6x + 2. Доказательство. 6) у = 4x - 3. Доказательство. 135 32.6. Докажите, что функция у = f{x) является убывающей на всей числовой прямой. Образец y = S- Юд:. Доказательство. 1. Пусть f(x) = 8 - Юд: их^их^ — произвольные числа, х^ > х^. Тогда f(x^) = 8 - lOx^, f(Xj) = 8- Юд:^. 2. Докажем, что < fix,). «2 > X,; -lOx^ < -Юдг^; 8 - Юдг^ < 8 - Юдг^; f(Xj^) < f(x,). Утверждение доказано. а)у=1- 5х. Доказательство. б)у = -4х-7. Доказательство. 32.7. Исследуйте на монотонность функцию. Образец у-х^-2. Решение. 136 Пусть f(x) = x^-2\ix^> х^. Тогда f(x^ = х|-2, /(Xj) = xf-2. Сравним /(Xg) и /(Xj), 1. x>0. Xj > Xj; x2 > xj; x^ - 2 > x\ - 2; /(x^) > /(х^). Вывод: функция y = x^-2 возрастает на луче [0; -1-оо). 2. х<0. х^ > Xj; о < -Xj < -Xj; (-х^)* < (-Xj)^; х\ < х\\ х^ - 2 < х^ - 2; Дх^) < /(Xj). Вывод: функция у = х^-2 убывает на луче (-оо; 0]. а)у = Зх*. Решение. б) 1/ = Решение. 137 § 33. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНаВ 33.1. Заполните пропуски. Сопоставьте решение неравенства с решением уравнения. Решите уравнение 5х-3 = 3х + 5 Решите неравенство 5дс - 3 > Здс -1- 5 1) Переносим все слагаемые из правой части в левую (знаки слагаемых меняем на противоположные). ^х-3 йг — Я > 2) Приводим подобные слагаемые в левой части. = П >П 3) Слагаемое, содержащее дс, оставляем слева, не содержащее х — переносим вправо, меняя его знак на противоположный. 4) Делим правую часть на коэффициент при х. 5) Строим геометрическую модель. б) Записываем ответ. 33.2. Заполните пропуски. Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом 138 Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак неравенства при этом_ Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Знак неравенства при этом__ 33.3. Решите неравенство, записывая содержание этапов. Образец -2х+1 > 2. Решение. 1. Слагаемое, содержащее х, оставляем слева, не содержащее х — переносим вправо, меняя его знак на противоположный, и приводим подобные. -2х >2-1; -2х > 1. 2. Делим обе части на коэффициент при х. х<-0,5. 3. Выделяем соответствующий промежуток на координатной прямой. '////////////////^ -0,5 X Ответ: (-°о; -0,5). а) Зл: + 5>11. Решение. 1_______________ 2. 139 3. Ответ:________ б) -4л: - 3 < -5. Решение. 1_____________ 2. 3. Ответ: 33.4. Решите неравенство, записывая содержание этапов. Образец За-5 > 7а-15. Решение. 1. Переносим все слагаемые из правой части в левую. За - 5 - 7а + 15 > 0. 2. Приводим подобные слагаемые в левой части. -4а + 10 > 0. 3. Слагаемое, содержащее переменную, оставляем слева, а не содержащее — переносим вправо. -4а >-10. 4. Делим обе части на коэффициент при л:. а < 2,5. 5. Выделяем соответствующий промежуток на координатной прямой. -2,5 Ответ: (-°о; -2,5]. 140 а) 5а + 8 > 2а - 1. Решение. 1. _____________ 2. 3. 4. 5. Ответ: б) -Зу + 12 < 2у - 6. Решение. 1________________ 2________________ 3________________ 4. 5. Ответ:. 141 § 34. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ 34.1. Завершите формулировку определения. Квадратное неравенство — это неравенство вида 34.2. Решите неравенства х^-2х-3>0их^-2х-3<0 графически, по следовательно выполняя указанные действия. 1) Постройте график функции у = х^ - 2х - 3. Точки пересечения с осью х: 1,2 Х,=. Вершина параболы: Ъ = — 2а г/о Координаты вершины: (----;-----). Проведите параболу. 2) Выделите красным цветом: • часть графика, где г/ > О; • промежутки на оси х, соответствующие выделенной части графика. 3) Запишите, какие числовые промежутки являются решением неравенства - 2л: - 3 > 0: 4) Выделите синим цветом: • часть графика, где г/ < О; • промежуток на оси х, соответствующий выделенной части графика. 5) Запишите, какой числовой промежуток является решением неравенства - 2х - 3 < 0: 34.3. Используя результаты задания № 34.2, запишите, какие промежутки являются решением неравенства: 142 й)х^-2х-3>0: б)х^-2х-г<0:. 34.4. Решите неравенство, используя схематическое изображение графика. Записывайте содержание этапов (шаги 1—3 выполняйте на одном рисунке). Образец x’‘ + 2x-S>0. Решение. 1. Находим корни квадратного трёхчлена х^ + 2х- 8: х, = -4, х,^2. Л 2. Отмечаем корни на оси х (шаг 1). -4 2 X Шаг1 3. Определяем направление ветвей параболы: а = 1 > О — вверх. 4. Изображаем схематически график (шаг 2). -44 У2 Шаг 2 5. Определяем, какая часть графика нам нужна (верхняя или нижняя): верхняя, так как по условию у>0. 6. Выделяем промежутки, на которых парабола расположена выше оси X (шаг 3). -4\^/2 ШагЗ Ответ: (-°о; -4) и (2; -f оо), а) - Зл: - 4 > 0. Решение. 1. ________________________ 143 2. 3. 4. 5. 6. Ответ:. б) 2х^ + 5ж - 3 < 0. Решение. 1_______________ 2. 3. 4. 5. 144 6. Ответ:. в) л:^ + 4л: + 4 < О, Решение. 1______________ 2. 3. 4. 5. 6. Ответ: г) -х^ + 6х - 9 > 0. Решение. 1______________ 145 2. 3_____ 4. ____ 5 ____ 6 ____ Ответ:. 34.5. Заполните таблицу по образцу. 146 34.6. Решите неравенство, изобразив схематично график соответствующей функции. Образец а) 2х^-гх + 1> 0; б) - Зл: -Ь 7 < 0. Решение. D = b^-Aac = (-3)2 - 4- 2- 7 = 9-56 = -47. ZX0, а>0. Ответ: а) (-°о; -Ь°о); б) нет решений, а) л:2 - л: + 7 > 0. б) -Зл:2 - бл: - 8 < 0. в) 4x2 - 5х + 9 < 0. Решение. ! 1 i 1 1 i 1 1 ! i i 1 1 i 1 t i i 1 j 1 Pe шение. 1—j j h 1 — -- — ill) I ^ i i ! ] 1 1 ; i j Pe шб|ние. f 1 \ \ ; 1 i 1 1 1 f 147 г) -5х^ -2х-4>0, Решение. 34.7. Заполните таблицу: Неравенство Схематический график Ответ + Зл: - 8 > 0 У‘ i Нет решений + Зл: - 8 < 0 Вся числовая прямая: (-°о; +оо) О 1 X Л -х^ + Зх-8>0 -х^ + Зх-8<0 2х^ - х + 4 >0 \ J. 2х^ - х + 4>0 2х^ - JC + 4 < 0 о 2л:2 - JC + 4 < 0 148 34.8. Заполните таблицу. а) Дано: ах^ + Ъх + с — квадратный трёхчлен; а > О, D < 0. Неравенство Схематический график функции у = оас® + Ьх + с Решение неравенства ах^ + Ьх + с>0 ах^ + + с < 0 i i ах^ + Ьх + с> 0 ах^ + Ьх + с 0 б) Дано: ах^ + Ъх-\- с — квадратный трёхчлен; a<0,D<0. Неравенство Схематический график функции у = оде® + Ьдс + с Решение неравенства ах^ + Ьх + о 0 ах^ + Ьх + с<0 1 ах^ + Ьх + ах^ + Ьх + с 0 149 в) Дано: ах^ + Ьх + с — квадратный трёхчлен; а > О, £) = 0. Неравенство Схематический график функции у = ах^ + Ьх +с Решение неравенства ах^ + Ьх + с> 0 1 ах^ + Ьх +с <0 ах^ + Ъх + c>Q ах^ + &ДС + с < 0 г) Дано: ах^ + Ьх + с — квадратный трёхчлен; а <0, D = 0. Неравенство Схематический график функции у = ах^ + Ьх + с Решение неравенства ах^ + Ьх + с> 0 1 ах^ + &ДС + с < 0 ах^ + Ьх + с > 0 аде* + &ДС + с < 0 § 35. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 35.1. Ответьте на вопросы. а) Можно ли определить массу искусственного спутника Земли с точностью до грамма? Сложно ли это сделать?________ 150 Нужна ли такая высокая точность измерения массы?. б) Можно ли измерить массу урожая картофеля в фермерском хозяйстве с точностью до грамма?____________________________ Легко ли это сделать?_____________________________________ Нужна ли такая точность в этой ситуации?. 35.2. Возможна ли высокая точность при измерении: а) массы Земли___________________________________ б) массы самолёта. в) массы компонентов лекарственного препарата. г) расстояния между городами_______________ д) расстояния между планетами. е) деталей двигателя автомобиля. 35.3. а) Приведите примеры ситуаций, в которых высокая точность измерений требуется не требуется б) Каких примеров больше? в) Можно ли утверждать, что в жизни мы практически не используем точные значения величин?__________________________________ 35.4. 1) Число л — бесконечная десятичная непериодическая дробь. Известно, что л = 3,141592... . Прочитайте записи: а) п» 3,141; б) п» 3,142. 151 2) Скажите, в каком случае дано приближённое значение л по недостатку, в каком — по избытку. С какой точностью? 35.5. 1) С помощью обычного микрокалькулятора можно легко установить, что = 2,645751311.... Запишите приближённое значение числа ^/7 с точностью до 0,001: а) по недостатку________________________________________; б) по избытку__________________________________________ 2) Отметьте на координатной прямой точку, соответствующую числу ^/7. ч—I—I—I—I—н Н--1—н 2,645 2,646 Запишите, какое из приближений с точностью до 0,001 является более точным: (по недостатку, по избытку) Почему? (Объясните устно.) 3) Запишите определение погрешности приближения (абсолютной погрешности). 4) Выделите на координатной прямой (см. пункт 2) отрезок, длина которого соответствует абсолютной погрешности приближения числа ^/7 с точностью до 0,001: а) синим цветом — по недостатку; б) красным цветом — по избытку. 35.6. Запишите правило округления. 152 35.7. Запишите приближённое значение данной величины с точностью до 0,001 по недостатку и по избытку и найдите погрешность приближения в каждом случае. Образец Плотность кремния Рд. = 2,3263 г/см^. 1) Pgj» 2,326 г/см® — по недостатку; А = 12,3263 - 2,3261 - 0,0003 (г/см®). 2) Рд. » 2,327 г/см® — по избытку; Л = I 2,3263 - 2,3271 = 0,0007 (г/см®). а) Плотность селена Pg^ = 4,7924 г/см®. б) Плотность алюминия р^, = 2,69808 г/см® в) 1 бушель (США) = 35,2393 л. г) 1 галлон (США) = 3,78543 л. 153 35.8. Найдите приближённые значения данного числа по недостатку и по избытку с точностью до тысячной. Образец ^ 1) V8 - 2 = 2,8284... - 2,000 = 0,8284...; 78 - 2 » 0,828 — по недостатку; yjs - 2~ 0,829 — по избытку. 2) 1- J7 = 1,000 - 2,6457... = -1,6457...; 1- yjl а -1,645 — по избытку; 1 - -\/7 и —1,646 — по недостатку. a)S -1=. 6)3- ^/^0 =. г)5- 719 =_ 35.9. Оцените погрешность приближённого равенства. Образец л/15 « 3,87. Решение. Находим с помощью микрокалькулятора: 715 я 3,8729... . » 3,87 — по недостатку, ^Я5 « 3,88 — по избытку, 3,88 - 3,87 = 0,01, значит, Л = | ТГб - 3,87| < 0,01. Ответ: h < 0,01. 154 а) yjli «3,32. Решение. б) «4,472. Решение. в) - «0,777. 9 Решение. г) — «2,143. 7 Решение. § 36. аАНДАРТНЫЙ вид ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 36.1. Представьте в виде степени числа 10. 10 = 101; 100 = 0,1 = 10-1; ; 0,01 = 1000 = ; 0,001 = 10 000 = ; 0,0001= 100 000 = ; 0,00001= 1 000 000 = ; 0,000001= 155 36.2. Выполните действия: 1)2,3 101 =___________ 2) 2,3-102 = . 3) 2,3-10® = . 4) 2,3-10" = . 5) 2,3-10-1=. 6) 2,3-10-2 = . 7) 2,3-10-® = . 8) 2,3-10-" = . 9) 2,3-10« = _ 36.3. Запишите, в какую сторону нужно сдвинуть запятую при умножении числа на 10", если: п — натуральное число____________________________________; п — целое отрицательное число. п — нуль_____________________ 36.4. Заполните пропуски: а) 2500 = 2,5-_________ г) 10 = 1 б) 0,0058 = 5,8' в) 0,67 = 6,7-_ д) 74 000 = 7,4 • е) 0,1 = 1-___ 36.5. Заполните пропуски, используя текст учебника на с. 227. Стандартным видом положительного числа а называют______ Порядком числа называют. 36.6. Запишите число в стандартном виде. Определите его порядок. Число Стандартный вид числа Порядок числа 57 2,3 7 1 3400 680 156 Окончание таблицы Число Стандартный вид числа Порядок числа 91000 0,5 0,004 10 0,00007 32 * 102 450 * 10^ 0,25*10® 0,076*10® 36.7. Заполните пропуски в схеме. 36.8. Представьте в килограммах (ответ запишите в стандартном виде): а) 27 кг =__________________________________________________ б) 470 г =__________________________________________________ в) 5,бт =___________________________________________________ г) 430 т =__________________________________________________ д) 31-10"кг = . е) 870*10^г=. ж) 93* 10'*т = _ 3)510* 10-“т=. 36.9. Представьте в граммах (ответ запишите в стандартном виде): а) 32 кг =_______________________________________________ б) 21,бт =_______________________________________________ в) 45 т =________________________________________________ 157 r)27-10'* кг = _ д) 430* 10’'^ кг = . е) б,4" 10“^ т =_ 36.10. Представьте в метрах (ответ запишите в стандартном виде): а) 5 м=____________________________________________________ б) 32 см = . в) 5,87 мм = . г) 4901 м = _ д) 7-103 дм = . е) 59-10® см = . ж) 43,7 • 10'^ мм з) 6902-10 ® м=. 36.11. Представьте в километрах (ответ запишите в стандартном виде): а) 96 см =______________________________________________________ б) 94,7 мм = . в) 5309 м = _ г) 11 • 10® см = . д) 7,85-10-3 мм =_ е) 45 003-10 ®м = . 158 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя......................................... 3 Г л а ва 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у .................... 5 § 17. Функция у = kx^, её свойства и график..................... 5 k § 18. Функция у = —, её свойства и график....................... 22 § 19. Как построить график функции у = f{x + I), если известен график функции у = f(x)...................... 36 § 20. Как построить график функции у = f(x) + т, если известен график функции у = f{x)...................... 52 § 21. Как построить график функции у = f{x + 1) + т, если известен график функции у = f(x)...................... 66 § 22. Функция у = ах^ + Ьх + с, её свойства и график............ 83 § 23. Графическое решение квадратных уравнений.................. 91 Глава 4. КВАДРАТНЫЕУРАВНЕНИЯ..................................... 94 § 24. Основные понятия........................................... 94 § 25. Формулы корней квадратных уравнений....................... 99 § 26. Рациональные уравнения..................................... 104 § 27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций........................................... 110 § 28. Ещё одна формула корней квадратного уравнения............. 112 § 29. Теорема Виета.............................................. 114 §30 . Иррациональные уравнения................................... 122 Глава 5. НЕРАВЕНСТВА............................................. 129 § 31. Свойства числовых неравенств............................... 129 § 32. Исследование функции на монотонность...................... 132 § 33. Решение линейных неравенств............................... 138 § 34. Решение квадратных неравенств.............................. 142 § 35. Приближённые значения действительных чисел................ 150 § 36. Стандартный вид положительного числа....................... 155 159 Учебное издание Зубарева Ирина Ивановна, Мильштейн Мария Семёновна АЛГЕБРА 8 класс Рабочая тетрадь № 2 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для учащихся общеобразовательных организаций Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданов! Технический редактор О. Б. Нестерова Корректоры Л. В. Дьячкова, В. И. Антонов Компьютерная вёрстка: А. А. Борисенко Формат TOxlOO'/i,- Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 13,0. Тираж 15 000 экз. Заказ № 1407260. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 6781. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru ИНТЕРНЕТ-магазин. Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8286. www.shop.mnemozina.ru Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета BERTELSMANN ® «Ярославский полиграфический комбинат» 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97