Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Зубарева Мильштейн часть 1

и. и. ЗУБАРЕВА М. С. МИЛЬШТЕЙН РАБОЧЛЯ / / ■hi Учебиое пособие для учащимся общеобразовательным организаций Под редакцией А. Г. Мордковича Москва 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 3-91 Зубарева И. И. 3-91 Алгебра. 8 класс. Рабочая тетрадь № 1 : учеб, пособие для учащихся общеобразоват. организаций / И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн ; под ред. А. Г. Мордковича. — М. : Мнемозина, 2014. — 120 с. : ил. ISBN 978-5-346-03145-1 Система заданий тетради предназначена для использования на первых эт{шах знакомства учащихся с новым материалом: при введении новых знаний и их первичном применении в стандартной ситуации. Методика, заложенная в представленной системе заданий, обеспечивает достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям ФГОС ООО. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 Учебное издание Зубарева Ирина Ивановна, Мильштейн Мария Семёновна АЛГЕБРА 8 класс Рабочая тетрадь № 1 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для учащихся общеобразовательных организаций Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданова Технический редактор О. Б. Нестерова Корректоры С. О. Никулаев, В. И. Антонов Компьютерная вёрстка: А. А. Борисенко Формат 70x100 Vij. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 9,75. Тираж 15 000 экз. Заказ № 1407250. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 6781. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru ИНТЕРНЕТ-магазин. Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8286. www.shop.mnemozina.ru Отпечатано в полном соответствии с качеством arvato предоставленного электронного оригинал-макета BERTELSMANN В ОАО «Ярославский полиграфический комбинат» 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97 ISBN 978-5-346-03144-4 (общ.) ISBN 978-5-346-03145-1(4. 1) > «Мнемозина», 2014 I Оформление. «Мнемозина», 2014 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ У вас в руках рабочая тетрадь для изучения курса алгебры в первом полугодии 8-го класса. Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом: при введении новых знаний и их первичном применении в стандартной ситуации. В основу разработки заданий тетради легли положения теории развивающего обучения В. В. Давыдова, Д. Б. Эльконина и теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина. Методика, заложенная в системе заданий рабочей тетради, обеспечит достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (ФГОС ООО). Последовательность и методика изложения материала соответствуют учебному комплектуй «Алгебра. 8 класс», созданному авторским коллективом под руководством А. Г. Мордковича. При этом каждому параграфу учебника (задачника) соответствует параграф рабочей тетради^. В большинстве случаев параграф тетради начинается с заданий, позволяющих актуализировать знания, необходимые для введения нового материала. Согласно требованиям ФГОС, новые знания учащиеся должны получать в ходе познавательной деятельности, выполняя учебнопознавательные задания (задачи). С этой целью в каждом параграфе рабочей тетради выстроена система таких заданий. Выполняя последовательно учебно-познавательные задания, учащиеся на основе обобщения результатов, полученных в ходе их выполнения, получают возможность самостоятельно сформулировать новое для них теоретическое знание. После того как новый теоретический факт установлен и сформулирован, следует его применение на практике. Для этого учащимся предъявляется образец решения задачи, содержащий пошаговое описание алгоритма применения новой формулы, правила и т. п. Фактически, образец содержит описание того умственного действия, которое должно быть сформировано у учащихся как автоматизированный навык. Далее следует система упражнений, выстроенная на основе положений теории поэтапного формирования умственных действий. Первым предлагается упражнение, содержащее описание шагов алгоритма в соответствии с приведённым образцом. Учащимся надо только выполнить его предписания. При выполнении следующего задания надо самостоятельно записать шаги алгоритма. Завершает систему упражнений задание, содержащее требование мысленного проговаривания шагов алгоритма. После этого учащимся предлагается выполнить упражнения из задачника, также мысленно проговаривая алгоритм действий. ' Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — М. : Мнемозина; Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — М. : Мнемозина. ^ Ссылки на номера страниц учебника соответствуют изданию 2013 года. Время и количество упражнений, которые требуются для формирования автоматизированного навыка, т. е. выполнения умственного действия без речевого или мысленного проговаривания, определяются индивидуальными особенностями учащихся. Этому, в свою очередь, способствует система упражнений задачника, которая содержит достаточное количество заданий для достижения требуемого уровня овладения тем или иным навыком. Выполнение учебно-познавательных задач способствует формированию универсальных учебных действий, как познавательных, так и регулятивных, в частности таких, как наблюдение, сопоставление, анализ и обобщение, целеполагание, планирование. В ходе выполнения упражнений, направленных на формирование умственных действий, наряду с практическими умениями формируются такие регулятивные действия, как контроль, коррекция и оценка, поскольку имеется возможность сличения способа действия и его результата с задгшным эталоном (образцом). Для повышения эффективности работы рекомендуется использовать материалы электронного сопровождения к учебнику «Алгебра—8» авторов И. И. Зубаревой, М. С. Мильштейн. Дополнительную информацию по использованию пособия можно найти на сайте «Практика развивающего обучения» по адресу: www.ziimag.narod.ru. Авторы ГЛАВА 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 1 • ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1. Заполните пропуски, используя текст учебника (§ 1, с.7). Алгебраической дробью называют____________________ где Р и Q —__________________; Р —________________ ,Q~. 1.2. Подчеркните алгебраические дроби: 2п^ 9р® 50=* - Ь 2 в 3 4 6х + 9 7*-1’ г® 1.3. Определите, при каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь. Решение оформите по образцу. Образец х + 1 X - 3' Решение. Дробь не имеет смысла в том случае, когда её знаменатель обращается в нуль: х- 3 = 0; х = 3. Ответ: при х = 3. а) Ь-9 3 + Ь Решение. б) X + 2 х-7 Решение. 1.4. Определите, при каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь. Решение оформите по образцу. Образец За — 2 а^+1 Решение. Дробь не имеет смысла в том случае, когда её знаменатель обращается в нуль: а'*-И = 0; а=* = -1. Ответ: таких а нет. а) 25d -1 + 2 ■ Решение. б) 1 - ЗА 5 + А^’ Решение. 1.5. Определите, при каких значениях переменной не имеет смысла данная алгебраическая дробь. Решение оформите по образцу. Образец 7А® + 5 А(4А + 28) Решение. Дробь не имеет смысла в том случае, когда её знаменатель обращается в нуль: А(4А + 28) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: А = о или 4А -Ь 28 = 0; 4А = -28; А = -28 : 4; А = -7. Ответ: при А = 0 или А = -7. а) 57л:" + 39 л:(21х - 42) Решение. б) 2 - 9с" (с - 8)(с + 11) Решение. 1.6. Найдите значение алгебраической дроби при данном значении переменной. Решение оформите по образцу. Образец i • X + 4 при x = 2. X Решение. ■с „ X + 4 2 + 4 6 „ Если дс = 2, то--=------= - = 3. X 2 2 1^иШвЯ6 SiSSSli . а + 8 . а)----- при а = 4. а - 2 Решение. б) - 1 Зп Решение. при п = 2. 1.7. Найдите значение алгебраической дроби при данных значениях переменных. Решение оформите по образцу. Образец (х + о „ 1—5-^ при х = 2,у = -3. Решение. Если х = 2,у = -3, то (х + 3f (2 + 3) 2 У 2 ^ (m-Sf „ J „ а)----— при т = 9, а = -2. За Решение. (-3) = = М = 2- 9 9 '^Э’ Vt » } .4»} -li . **•« < !• >' g4 __^ ^ (2а - Ь) Решение. 2 приа = -1, Ь = 2. § 2. ОСНОВНОЕ свойаво АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ 2.1. Вставьте знаки действий и запишите словесную формулировку основного свойства дроби. аЦга _ а _ а| \т йЦга Ь ЪI \т 1)----------------------------------------------- 2). 2.2. Используя основное свойство дроби, заполните пропуски так, чтобы равенство было верным: а) - = —; 7 21 в) Ът Зт^ d б) - = —; 9 45 . ft® г) — = —; г rt е) 2а lib ЗЗЬс Сократите дробь: 2.3. а) 4 в) 1^ ; Д) 18 = 12 28 24 б) 5 г) 6 _ ; е) 21 _ 35 32 56 б) б) 16d® 5m® 25ft® 24mn Z2np 25k*t^ в) г) 2аЬ За хУ 4.х^У 3(а - Ь) 7(а - bf г) Щр + яТ ^ 28{р + qf Найдите значение выражения: 2.6. а) f- = 2® в)----= ’ 125 ч 81 2.7. а) б) lio оЗ в) г) 5^-5^ 5« ^4 . ^5 3^ • 3* 2.8. Используя основное свойство дроби, заполните пропуски: 2a 9 63 ’ Ч 7a; b) — = —; 8 24y Д) 5bm 125b 6ft . 6n Г) = : e) d 126 63 ’ 63nc 21c 11 25 2.9. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. Образец 12а: - Зу _ З^^ло-^ ^ _ 4дс - у = 3. 10 Какой приём использован для разложения числителя на множители? _____________________________________________________ а) И Г 4 1 1 1 \ 1—1—4 134 1 1 1 1 \ 1 2^ - 3 1 г — - - 1 1 1 ! о) а - 3 =1 1 1 1 2.10. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. Образец п - 3 п’‘ - 9 + 3) 1 • (л + 3) 71 + 3 Какая формула использована для разложения знаменателя на множители? ____________________________________________________ - ill i 1 -1?1 ! 6)М -1^9 1 i 1 1 ^ к -13 I 1 2.11. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. Образец 16 - 9х^‘ ^ (4 + Здс) _ 1 • (4 + Зд:) _ 4 + Зд: 20 - 15л; “ ~ 5 1 “ 5 ' Запишите, какие формулы (приёмы) использованы для разложения на множители числителя: знаменателя:. а) Г у 1р/п 1 1 1 L2 -9^ ( 11 61 Из 2 _ 1 i 1 27. : + 3у1 1 ! 1 2.12. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. Образец! - 4d + 4 (d - 2) d-2 d-2 6d - 12 6 • 1 Запишите, какие формулы (приёмы) использованы для разложения на множители числителя:. знаменателя:. i а 42 -2|i + 1 61- ■ - 8, су f 1бу^ Ъх + ш 2.13. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. Образец! 5с - 5d с® -d« 1-5 + cd + d*) 1 • (с* + cd + d*) с* + cd + d* Запишите, какие формулы (приёмы) использованы для разложения на множители числителя:. знаменателя:. 2а - 2 1 а® - 1 61 к' Н 1 ГЖ1 12 2.14. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. ОбразецI 2х’‘ - бху + 18у^ _ 2(х^ - Sxy + 9у^) _ х^ + 27у® дс® + (3yf (х + Зу){^.^^Лхд-Г'^ x + Zy' Запишите, какие формулы (приёмы) использованы для разложения на множители числителя:. знаменателя:. rj\ L8A ^ +1 бтЛй ■ ■ 2i ft 1 а) 2'ii® f rr * i + 64,|® 0) - 16дс У-H32 ~ i 2.15. Преобразуйте дробь, умножив её числитель и знаменатель на (-1). Запись оформите по образцу. ОбразецI 3 (-1) -3 -3 а - Ь (а - Ь) ■ (-1) -а + Ь Ъ - а Ъ - а а - Ъ Ъ - а . 1 7 j i 1 1 1 1 1 a) ^ 1 . J L .. вйЦ-Ч-, 2.16. Преобразуйте дробь, умножив её числитель и знаменатель на (-1). Запись оформите по образцу. Образец Е 2 2 • (-1) -2 =(-1). -2 у-х (у - дс) • (-1) -у + X х-у X - у’ у-Х X - у' шж 13 7c M 1 i 1 1 d - 2c I j i 1 2j < - X ! i 9x 2.17. Заполните пропуски: 9п а) б) т - 2п Зк - п 2п - т в) 2к 2к 2.18. Подчеркните: г) - -7 Ъ - а 4 с - d d - с а) одной чертой дроби, равные дроби - б) двумя чертами дроби, равные дроби 2-2 2 а + Ь 2 а - Ъ 2 & + а а - о Ъ - а 2-2 2 а + Ь -2 -а - Ь ’ Ь + а' -(а + Ь) ’ Ъ - а 2.19. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби, где это возможно. Сократите дробь. Запись оформите по образцу. Образец с - d (с - d) d^ - - d^ + d) d + с x~V 2 ! 2 У - *1 1-0 b -f a\ Ч [i'e -Ж _ _ - af 1 i - зЬ .2$ ~ i i 1 i 14 2.20. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) указанных чисел. Запись оформите по образцу. Образец 60 = 22 • 3 • 5; 60 30 15 5 1 48 = 2^ • 3. 48 24 12 6 3 1 НОК (22 • 3 • 5; 2" • 3) = 2" • 3 • 5. а) 16 = . .; 24 = . НОК (_ -) = . б) 28 = . 42: НОК(- -) = - 15 2.21. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю, используя результаты предыдущего задания. Запись оформите по образцу. Образец 7 1 — и —. 60 48 Решение. Т_ 60 7^ 28 2^ -3-5 2'* -3 -5’ 48 2'*-3 2'*-3-5’ ^ 1 1 а) — и —. 16 24 Решение. йч 3 19 б) — и —. 28 42 Решение. 2.22. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) выражений: а) НОК (а; 4 • а) =_____________________________ б) НОК (2 • 3 • а; 2 ■ 2 • а) = в) НОК [5 ■ X ■ у; 5 ■ у ■ z) = г) НОК (т; р - k) =- д) НОК (4 • лс; X ■ {х - 3)) = е) НОК (&2; Ь ■ (Ь - 1)) =_ 2.23. Приведите алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю, записывая содержание этапов. 16 Образец а ^ 0 + 2 ^ Ь(Ь - 1)* Решение. 1. Находим НОК знаменателей данных дробей: НОК (3&; Ь(Ь - 1)) = ЗЬ(Ь - 1). 2. Находим дополнительные множители и преобразовываем дроби: 1) а(Ь - 1) аЬ - а ЗЬ ЗЬф-1) ЗЬ^-ЗЬ 2) 0 + 2*'® (о + 2) • 3 Зо + 6 Ьф-1) ЗЬ{Ь-1) ЗЪ^-ЗЪ' аЪ - а Зо + 6 Ответ: —;;----и ЗЬ^-ЗЪ зь^-зь' 2/ + 1 а) — и 2у у(у - 3) Решение. 1. ____________ НОК(_ 2. -)=■ 14 X 1 2у 2) У +1 У [у 3) Ответ: 17 6)^и d' d(d - 2)' Решение. 1. _____________ НОК(. 2. Ответ:. ; i i ; ; I 1 1 1 I 1) ^ ~ ^ - 1 i ! 1 М М d* i I : ^ : ! Mil 2) ^ ^ . ; i ‘ : i 1 i i i : j ; 1 i ! 1 i \ Щ- 2) ■! 1 1 i j i i 2.24. Найдите НОК данных выражений. Запись оформите по образцу. Образец ..... 2х - 2 и 6х - 6. Решение. 2х - 2 = 2(л: - 1); 6л: - 6 = 6(л: - 1) = 2 • 3(л: - 1). НОК (2(х - 1); 2 • 3(л: - 1)) = 2 • 3(х - 1). а) 2х - 2 и 14х - 14. Решение. 2л:-2 =_______ НОК(__________ б) 15/п + 15 и 10/п + 10. Решение. 15/п + 15 =______ НОК(_____________ 14х-14 = . ----) =-- 10/п + 10 = . ----) =------ 18 в) XI/ + Здс и + Zy. Решение. XI/ + Зх =_____ НОК(. J/" + 3i/ = . —)-— г) nk-n^Jik^- kn. Решение. пк-п^ =_____ НОК(_ ' - kn-. -) = — 2.25. Приведите алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю, записывая содержание этапов. Образец 7а 5 и 4а + 4 6а + 6 Решение. 1. Раскладываем на множители знаменатели: 4аН-4 = 2='(а-1-1); 6а-I-6 = 2 • 3(а-I-1). 2. Находим НОК знаменателей: НОК (22(а -I-1); 2 • 3(а -I-1)) = 2" • 3(а + 1). 3. Находим дополнительные множители и выполняем преобразования: 1) 2) 7а Та''* 21а 21а 4а + 4 2^(а + 1) 2^ -3(а + 1) 12(а + 1) ’ 5 5'^ 10 10 6а + 6 2 • 3(а + 1) 2^ • 3(а + 1) 12(а + 1) а) и 8х - 8 12х - 12 Решение. 1_________________ 8х-8 = . 12х-12 = . 2. НОК(_ -)=- 19 3. 1 \ с Sx ~i 21 5 Л} 12: 12 ft + 2 * - 8 б)-------и 7-------. kn - п km - т Решение. 1__________________ kn-n = . km-m = . НОК(_ 3. -)=- t Л к h2 кп - т 21 к - 2 кт - , п 2.26. Приведите алгебраические дроби к наименьшему обхцему знаменателю, проговаривая содержание этапов. а) и аЬ + Ь* аЬ -Ь^’ Решение. 1. аЪ + Ь^ =____ 2. НОК(__________ аЬ-Ь^ = . ---) = _ 20 3. 14 2 аЬ Н-Ь г i аЬ -ь г " б) и ху - у ху + X Решение. 1. ху-у =------ 2. НОК(________ 3. ху + х- ----) = - 3 • ^У - у i 1 “7” ку f Hi ч 7п Решение. 1. п^-к^ = . 2. НОК(_ 3. пг - пк п^-пк = . -) = - 1 \ 1 п 1к 8 ■ 1 а) гг* - л к 21 1 5 + 2 г^-t^ ” 82^-82t' Решение. 1. 2^-t^=. 2. НОК(_ 3. 8z^ - 8zt = ------) = - 1 I'k . -i‘ 21 5 + 8г^ 8zt\ § 3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями 3.1. Заполните пропуски и запишите словесную формулировку правила сложения дробей с одинаковыми знаменателями. а Ь а\ |& 3.2. Выполните сложение: 4 7 а) — + — = 13 13 3 5 8 8 л 1 5 в) — + — = 12 12 , 7 14 9 г) — + — + — 25 25 25 22 3.3. Выполните сложение: а) - + - = 7 7 ч Зх® 5х® в) + = 14 14 -.2 с б) - + - = 9 9 ч 2т Зп - 2т г) — + = п п 3.4. Заполните пропуски так, чтобы равенство было верным: 21а® . 2р -1 6р - 3 . . 17а® а)------+ — Ь Ь й + О „2 1,2 „2 1,2 2 t2 » d ““ О d ~ и d ~ и в) — + г) Зр Зр Зр 11 -Зх 27 - Зх 2у 2у 2у 3.5. Выполните сложение. Запись оформите по образцу. Образец 3a - b ^ 2a - 3fe _ 3a - ft + (2a - 3b) _ 3a - b + 2a - 3b _ 5a - 4b 11 11 11 11 11 3.6. Выполните сложение. Запись оформите по образцу. Образец 8л: - 3 ^ 7 - 8л: _ 8л: - 3 + (7 - 8лг) _ 8л: - 3 + 7 - 8x _ у+1 у+1 у+1 !/ + 1 г/ + 1 23 ■2d + i d-1 a), —_д„+ >-■ ■ c - 3 c-3 I, 1 + yi Вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями 3.7. Заполните пропуски и запишите словесную формулировку правила вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Выполните вычитание: б) 3.9. а) 8 7 _ 15 15 “ в) 9 11 _ 20 20 " г) а Ъ 4 ” 4 " в) 1 с 18 ~ 18 " г) 31 6 43 43 18 4 5 57 57 57 2у^ 71/2 13 13 &т + 3fe 6m k k 24 3.10. Заполните пропуски так, чтобы равенство было верным: . m_____________ 9ft . 2 2 ~ 2 ’ ПС ПС ПС б) в) г) 8 6р + 8 _ S - t S - t s - t' 11 + Зл: 27 + 2x За За За 8 - Здс 3 - 5дс. ,____^ _ 4k\ ^ аЬ^ аЬ^ аЬ^' е) ж) з) 13т - 9 -7т - 9 а + Ь 25 - 6у________ _____ с - d с - d с - d ’ 9х + 5 -12х - 13 а + Ь а + Ь 8 + Зу а - Ь а - Ъ а - Ъ 3.11. Выполните вычитание. Запись оформите по образцу. Образец Ид: - 5 Ид: - 7 _ Ид: - 5 - (Ид: - 7) _ Ид: - 5 - Ид: + 7 _ 2 23 23 23 23 23 l3o 1- ё 2a - 4 1 1 1 1 I i 1 i i 1 f 6) 5 -| 6д " , д:1 + L3 I 13 i ! : i 1 t ; — - r 1 3.12. Выполните вычитание. Запись оформите по образцу. Образец 9ft - 4 _ 2ft + 15 _ 9ft - 4 - (2ft + 15) _ 9ft - 4 - 2ft - 15 _ 7ft - 19 m-1 m-1 m-1 m-1 m-1 25 7 + + J 1 Z ■ 5 г ■ 5 Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями 3.13. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец!^- ~ За ^ ЗЬ _ За ЗЬ _ За - ЗЬ _ ^ ^ а - Ь Ь - а а - Ь а - Ь а - Ь isSsill 3.14. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец 2х 2у _ 2х ^ 2у _ 2х + 2у _ 2(х + у) X - у у - X X - у X - у X - у X - у ' 26 а ab а - Ъ b - i 1 2с i б)- с - d d • 3.15. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец 4п 4р _ 4п ^ 4р _ 4п + 4р _ 4^fH'^ _ ^ п + р -п - р п + р п + р п + р 1 3.16. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец х"* 16 х"* -16 С»^^(х + 4) ---------------- = —-----р--= X + 4. i3s^ х-4 х-4 х-4 a 9 iX) a - 3 a _ 61 b 5 - 2 ) - J 5 4 X 16 - X 2 x=^ L6 4 36 36 - у г ' 1 16 27 § 4* СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Сложение дробей с разными знаменателями (простейшие случаи) 4.1. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) указанных чисел. Запись оформите по образцу. Образец! 6 = 2-3; 8 = 2-2-2 = 28. НОК (6; 8) = НОК (2 - 3; 2») = 2» - 3. а)2 = . 6 = . НОК (2; 6) = НОК(_ 6)3 =__________; 7 = . НОК (3; 7) = НОК (_________ в) 25 =____________; 15 = . НОК (25; 15) = НОК (_______ г) 12 =____________; 8 = _ -) = . -) = - -) = . НОК (12; 8) = НОК (. -) = . 4.2. Выполните сложение, зсшисывая содержание этапов. Образец! 13 — + 6 8 Решение. 1. Раскладываем на множители знаменатели: 6 = 2-3; 8 = 2-2-2 = 28. 2. Находим НОК знаменателей: НОК (6; 8) = НОК (2 - 3; 2») = 28 - 3. 3. Н€1ходим дополнительньЁё множители и выполняем сложение: 1 3^^ 4 + 9 13 6 8 2-3 2® “ 28 • 3 “ 24* 28 3 7 25 15 Решение. 1________ 25 = . 15 = . НОК(25;1б) = НОК(_ -) = ■ 3. 3 7 25 : .5 1 3 б) — + -. 12 8 Решение. 1________ 12 = . 8 = . НОК(12;8) = НОК(_ -) = . 3. 1 1 12 1 4.3. Выполните сложение, записывая содержание этапов. Обрдаец 1м18иии11имммшшиии1мимтиммим За - 4 а + 1 __ -I- » 5 15 Решение. 1. Раскладываем на множители знаменатели: 5 = 5; 15 = 3-5. 2. Находим НОК знаменателей: НОК (5; 15) = НОК (5; 3 • 5) = 3 • 5. 29 3. Находим дополнительные множители и выполняем сложение: Зо-4 а + 1_Зо-4'^ о + 1_ 3(Зо - 4) + (о + 1) 5 15 “ 5 3 • 5 “ 3^^^ “ 9о - 12 + о + 1 10о - 11 3 • 5 15 , л: - 1 2д: + 3 а)-----+--------. 2 8 Решение. 1_______________ 2 = . 8 = . НОК(2;8) = НОК (_ 3. -)=- X - 1 X " 3 1 1 [ 8 j i 2о + 1 а - 4 10 8 Решение. 1_____________ 10 = . 8 = . НОК(10; 8) = НОК(_ 3. 2а + ] а - 4 ] 0 8 1 30 4.4. Найдите наименьшее общее кратное (НОК) выражений. Запись оформите по образцу. Образец 21а и 15а. Решение. 21а = 3-7-а; 15а = 3-5*а. НОК (21а; 15а) = НОК (3 • 7 • а; 3 • 5 • а) = 3 • 7 • 5 • а. а) 14т и 2т. Решение. 14т =______ 2т-. НОК (14т; 2т) = НОК (_ б) 12х и 15х. Решение. 12х =___ 15х = . НОК(12х; 15х) = НОК(_ -) = в) 10а и 14а5. Решение. 10а =____ 14аЬ = . НОК (10а; 14а5) - НОК (_ г) 2ху и Зхг. Решение. 3x1/ =----- Зхг = . НОК (Зху; Зхг) = НОК (_ -) = 31 4,5. Выполните сложение, записывая содержание этапов. Образец а + 1 21а 15а’ Решение. 1. Раскладываем на множители знаменатели: 21а = 3-7-а; 15а = 3-5-а. 2. Находим НОК знаменателей: НОК (21о; 15а) = НОК (3 • 7 • о; 3 • 5 • а) = 3 • 7 • 5 • о. 3. Находим дополнительные множители и выполняем сложение: а + 1 2 21а \Ы а + Г 3 • 7 • а 3 • 5 • а 5а + 5 + 14 5а + 19 (а + 1) • 5 + 2 ■ 7 3 • 7 • 5 • а 105а 105а . т - 3 1 а)-------+ —. 14/71 2т Решение. 1. ____________ 14/п: 2. 2т = . НОК (14т; 2т) - НОК (_ -) = 3. т - 3 1 J ! • 14/и I 2т -V 5 д: - 8 б) ---+-------. 12л: 15л: Решение. 1. 2. 12л;: 15л:: 32 Н0К(12л:; 15л:) = Н0К(. -) = 3. 5 х-8 12х 15х , 2а - Ъ а - Ъ в) -----+------. 10а 14а6 Решение. 10а = . 14а6 = . 2. НОК(10а; 14а6)-НОК (. -) = 3. 2а - Ь а - Ь ; 10а 14аЬ ч X - 2 X + 1 г)-----+------. Sxy Зхг Решение. Зху = . 3X2 ■■ 2. НОК (Зху; 3x2) = НОК (_ -) = 3. }х ^ 21 ^ X +il Зху \ 3x2 33 Вычитание дробей с разными знаменателями (простейшие случаи) 4.6. Выполните вычитание, проговаривая содержание этапов. Образец 1-d _ d-2 10 15 Решение. 1. Раскладываем на множители знаменатели: 10 = 2-5; 15 = 3-5. 2. Находим НОК знаменателей: НОК(10; 15) = НОК(2 - 5; 3 - 5) = 2 - 5 - 3. 3. Находим дополнительные множители и выполняем сложение: 1 - d d-2 1 - d''® d -2'^ 3(1 - d) - 2(d - 2) 10 15 2-5 3-5 3 - 3d - 2d + 4 7 - 5d 2 3 5 30 30 a) c + 2 4 - 3c 3 9 Решение. 1. 3 =______ 9 = . 2. HOK(3;9) = HOK(_ Л ! C + i L 6) 2 + 5 55 + 1 20 12 Решение. 1. 20 =_____ 2. HOK(20; 12) = HOK(_ 2 + 5 56 + 1; 20 12 = . .!......................:..................I 34 в) 3 — 2А 5k + 2 9k 21k Решение. 1. 9k =_______ 21ft: 2. HOK (9ft; 21ft) = HOK(_ 5ft+"’2"..I...I... 3^ 3-2ft r.. 9ft 21ft -) = - r) a + b a - c ab ac Решение. 1. ab =_____ 2. HOK(aft;ac) = HOK(_ ac ■■ I I 1 i M M _ a b 2 - c 1 i i 1 r 1 1 1 3r+—- u : i- i i -4 4 1 i i— 1 J ab ac Д) 2л: - 1 2y-l 2 2 • X у xy^ Решение. 1. x^y = — xy 2 ^ 2. ЯОК(х^у;ху^) = ЯОК(. 2л \ : a 1 2y - i _ ; J Л , 35 § 5. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ. ВОЗВЕДЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ Умножение дробей (простейшие случаи) 5.1. Заполните пропуски и запишите словесную формулировку правила умножения дробей. а с Ь d Выполните умножение: 5.2. ч 5 1 а) 77 • Т = б) — 7Ь _ 7 4 5 11 5.3. , 12 2 а) — • - = 6)1. Зга 13 3 п 3 ak 5.4. а)24 - = в) п • б) — . 15 = 20 г) 8с^т 2„з ху 2ст 5.5. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец ■ 0^ _ 1 • 2 _ 2 а - Ъ Зх а - Ь 1 • :с ■ 1 х а) б) а р + q P{P + <1) Зс - 2d 5п : 5 ' Зс - 2d 36 5.6. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец !^яйш11нн1жнншннннмншн1наннннм1111н т / ч2 _ т (d + 2f _ т ■ (d + 2)^^ _ m(d + 2) c(d + 2) ■ ^ ‘ “ c(d + 2) i ~ c • ()‘ 1 Деление дробей (простейшие случаи) 5.7. Заполните пропуски и запишите словесную формулировку правила деления дробей. о ^ £ ft ■ d Выполните деление: 5.8. а) - : - = 5 2 5.9. а) 4 : - = 2 5.10. а) g : ^ = 15 25 17 = 34 = б) I : 9 = б) ^ : (22*^) 37 5.11. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец к»»".- ■ -t ■ - -тят»-.. „ 2, а - Ь а - & _ а - Ь 16х _ • >6х _ 1 • 2х _ 8 16х 8 а - Ь 11 1 о) л; 1 у д + У _ 1S 32; i 1 1 г 1 61 2у + >9 2j » + 3q j 5у в) а - - Ь • и bf а ■ h ь 9f- (х • X - у ^-у г-' X <■ у Умножение и деление алгебраических дробей 5.12. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец _ _ X • 1 • у 2х - 4 у 2(х - 2) У • 1 • 2 ■ 1 2 х^ - 2х у^ х(х - 2) 38 (Устно.) Какой приём использован при разложении на множители? В.) За -( S ь ■ li 1 ■2с 1 1 п 0) - 8 ' ; ps с 4 d 3 > - За Ь 4 а 6l i + 6с г) 15; : - 17 ! . 34. ! - 30 С 21 Z 5.13. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец а—i 2с _ (а - ЬХа + Ь) 2с _ + Ь) • ic _ а + Ь 2cd а - Ъ 2cd а - Ь 2cd • d (Устно.) Какая формула была использована при разложении на множители? d 35с : < ! _ 39 6V S to® 5 а - I 5 ■ а f 5 X ^ У X • ■ У 2 Л® - 4 2 - k г) п ^ А ( Р ^ 3) i * / - { А ■ ■ п 5.14. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец - 3 3 + у) • 2 _ 2(31: + у) 2 + ху + у^) зс* + ху + у* ■ (Устно.) Какие формулы использованы при разложении на множители? я) („2 ^2) 5 п ' - А^ с® + 1 I + 1 i А® - 1 ■ ) + 1 1 ! 40 5.15. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец . Я111111ш1»1'111ми—I -4: _Ь +2 Ь’‘ -4 с - 3 (Ь - 2) • _ b-2 2с-б'с-3“2с-6 Ь + 2“ 2 jJ--K2y “ 2 (Устно.) Какие формулы и приёмы были использованы при разложении на множители? 8п . + 2k с ! _ 9 С +: i 4] п ч к 25 - 1 .2 1 > + k 2с - i ■ 6с 2 _ 3d 5.16. Выполните действия. Запись оформите по образцу. Образец шшшшшшшшшшшвшттшшшитттяяштшштшшшяшшшкштт х’‘ - 4х + 4 X + 3 _ (х - 2)*^ ■ _ X - 2 Зл: + 9 х’‘- 4 З^дж^ • + 2) 3(х + 2)" (Устно.) Какие формулы и приёмы были использованы при разложении на множители? а) 6а + ib . 2а + Ь с + 6 +1 \с * 9 1 б) 2а + i а - Ь а* - 1 а + 8 а ^ 16 41 Возведение алгебраической дроби в степень 5.17. Используя определение степени с натуральным целым показателем, преобразуйте выражение, заполняя пропуски. □ □ □ r.f □ □ □ □ □ 5.18. Используя результаты предыдущего задания, запишите равенство, выражающее свойство возведения дроби в степень. □ □ Используя полученную формулу, возведите в степень данную дробь: 5.19. а) I - J 1 = в)1-^ 12 5.20. а) f _l£Y = 7b. в) 4а® г) V 7&V, 15f^ § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями 6.1. Выполните сложение, проговаривая содержание этапов. Образец А + 4 ^ k + 2 2А - 6 ЗА - 9 Решение. 1. Раскладываем на множители знаменатели: 2А - 6 = 2(А - 3); ЗА - 9 = 3(А - 3). 42 2. Находим НОК знаменателей: НОК (2k - 6; ЗА - 9) = НОК (2(А - 3); 3(А - 3)) = 2 • 3 • (А - 3). 3. Находим дополнительные множители и выполняем сложение: .4? , ^2 А + 4 А + 2 + 2А - 6 ЗА - 9 ЗА + 12 + 2А + 4 6(А - 3) А+ 4'-° А + 2Г ^ 3(А + 4) + 2(А + 2) ^ 2(А - 3) 3(А - 3) 2 • 3(А - 3) 5А + 16 6(А - 3) а - 25 За + 5 + 5а - 25 а~ Решение. 1. 5а-25 = - 5а ;а^-5а = . 2. НОК (5а - 25; - 5а) = НОК (_ -) = 3. а - i 15 I \а - 5 5с - 25 С 2 _ 5а 6.2. Выполните вычитание, проговаривая содержание этапов. Образец-''■ ■ ^ .= --..«iiHMieiMiiiM 2 m + 15 т - 5 т - 25 Решение. 1. Раскладываем знаменатели на множители, если это возможно: т-5 = т-5; - 25 = (т - 5)(т + 5). 2. Находим НОК знаменателей: НОК (т-5;т^-25) = НОК (т -5;(т- 5)(т + 5)) = (т- 5)(т + 5). 3. Находим дополнительные множители и выполняем сложение: лт+5 jJ. 2 m -f 15 Т т + lo" т - 5 - 25 т - 5 (т - 5)(т + 5) 2т + 10-т-15 т - 5 1 2{т + 5) - (т + 15) (т - 5)(т + 5) (т - 5)(т -ь 5) (т - 5)(т + 5) т + 5 43 X _ Ъ + 2х л: + 6 дс* - Зб‘ Решение. 1» дс + б =____ ;лг2-36 = . 2. НОК (х + б; лг2 - 36) = НОК (_ -) = 3. X 3 н 2д : X f 6 - 3 5 6.3. Упростите выражение. Запись оформите по образцу. Образец а + ЪаЬ 2аЬ + 2Ь^ а 2fe а* + ЗаЬ + ЪаЪ - а(а + Ь) Ща + Ь) 2Ь Ща + Ь) а? + ЪаЬ - - аЬ ЩаТь) 2аЬ 2Ь(а + ft) а + Ь 2д У Н х’^ X Зд; / + Зу ! Зу 6t а - 5 ( : За - ( i а ■ 2 44 в) k f 4 k (- 2 2k -( 3k _ ( 15j i - 1 4} i - 3 ^7 6 - 3 i 2 - i t 6.4. Упростите выражение. Запись оформите по образцу. Образец 1п-11шшттшттшшшшяттттшттшштшшшшшшттш1мштшт 7 + а^ .0+7 7 + аГ _ а _________________________ а* - 49 а - 7 (а - 7Ха + 7) а - 7 7 + - а(а + 7) (а - 7)(а + 7) 7-7а 7(1 - а) 7 + а^ -а^ -7а ^ (а - 7)(а + 7) ~ (а - 7Ха + 7) (а - 7Ха + 7) n‘ + T n ^.1 25 - / 5 - / ■ : , 2< a 2 < - 4 45 Упрощение рациональных выражений 6.5. Упростите выражение, предварительно расставив порядок действий. Образец! X _ у X, [I] Х-У 5ху ■ уУ 2 2 ^ jA _ X - 1) — - ^ = у X ху 2) X - у . X - у ^ (х - у)(х + у) . х-у ^ (х - у)(х + у) Ьху ^ ху ‘ Ъху ху * Ъху ху (х - у) Ответ: 5(х -I- у). Г.З' г 1 1 1 За J- U 1 \а J Ответ: 46 6^ р 'г 2 pk о) Р + А Ответ:. 1 2 а а‘ ь ч 7 > % + & Ответ: (& 2с с ■ d ^ ) d ) ( 1 Ответ:. 47 Доказательство тождеств 6.6. Докажите тождество, приведя левую часть к виду, который имеет правая часть. Запишите содержание этапов. Образец! а + 5 a + 5i а + 5а + 5а - 1 а + 11 1 - 5а а + 1 Доказательство. 1. Выполняем преобразование левой части; а + ^ + 1) + (а + 5)(5а - 1) 5а - 1 а + 1 (5а - 1)(а + 1) (а + 5)(а + 1 + 5а - 1) _ 6а(а + 5) “ (5а - 1)(а + 1) (5а - 1Ка + 1)’ 2) 6а(а + 5) а^ + 5а 6а(а + 5X1 - 5а) (5а - 1Ка + 1) ■ 1 - 5а (5а - 1Ха + 1)(а^ + 5а) _ 6а(а + 5)(5а -1) _ 6 " ~(5а - 1)(а + 1)а(а + 5) " ~а + 1‘ 2* Определяем допустимые значения переменных: 1) 5а - 1 0; 2) а + 1 0; 3) 1 - 5а 0; 5а ^1; а^-1; -5а*-1; 1 а ^ 5 а *0,2; а *0,2. 3. Делаем вывод: тождество справедливо при любых а, кроме а = 0,2иа = -1. □ ^ f п + 3 + 3^ Зге - 1 _ 4 1^3га -1 ra + lj п^ + Зга га + 1 Доказательство. 1_______________ 48 49 б) □ п + 2t~x" 4 + lj' 1- X + 2 X + 2 ------ + - 2х - 1 X + 2х 2х х + 1 Доказательство. 1______________ 2. 3. 50 § 7. ПЕРВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РЕШЕНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7.1. Определите, при каком значении переменной данная алгебраическая дробь равна нулю. Запись оформите по образцу. Образец! 5а + 4 За - 21' Решение. Дробь равна нулю при условии, что: — числитель равен нулю, — знаменатель отличен от нуля. 1. Приравниваем нулю числитель 5а -Ь 4 и решаем полученное уравнение: 5а -I- 4 = 0; 5а = -4; 4 а = --; а = -0,8. 2. Проверяем, равен ли нулю знаменатель За - 21 при а = -0,8: 3 • (-0,8) - 21 = -23,4; -23,4 0. Ответ: при а = -0,8. а) 12х + 6 56х - 7 Решение. Ответ:. 51 52 б) Sfc - 25 2ft-10’ Решение. Ответ:. в) / + 7 2-by Решение. Ответ: г) 7m - 14m 2m Решение. i - : Г" Г" i i : ; ! i i i г j ; I i.. ■ ' ■ 1 ! ; 1 1 Ответ: 7.2. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и проговаривая содержание этапов. Образец : . ■ л;'" - 6л; 0. 7х Решение. 1. Приравниваем нулю числитель и решаем полученное уравнение: - 6л: = 0; л:(л: - 6) = 0; л: = о или л: - 6 = 0; л: = 6. 2. Проверяем, равен ли нулю знаменатель 7х: 1) прил: = 0: 7-0 = 0. л: = о не является корнем исходного уравнения. 2) при л: = 6: 7-6 = 42 7^0. л: = 6 — корень исходного уравнения. Ответ: 6. 53 а) = 0. 2а Решение. Ответ: б) у + 2у 2у + 4 Решение. = 0. Ответ: 54 в) л:" - 16 х^-4х Решение. — , . “ г ^ i ' i : i i 1 : Ответ: 7.3. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и мысленно проговаривая содержание этапов. Образец а- 4 7 Решение. 1. Из правой части уравнения переносим всё в левую часть: “ ^ = 0. а - 4 2. Упрош;аем левую часть уравнения: 7а - 3(а - 4) 7а - За + 12 4а + 12 а - 4 7 (а-4)-7 (а-4)-7 (а - 4) ■ 7 3. Возвращаемся к уравнению: 4а + 12 (а-4)-7 = 0. 55 4. Приравниваем нулю числитель и решаем полученное уравнение: 4а-Ы2 = 0; 4а--12; а = -12 : 4; а - -3. 5. Проверяем, равен ли нулю знаменатель 7(а - 4) при а = -3: 7(-3-4)-7(-7) = -49^^0. а - -3 является корнем исходного уравнения. Ответ: -3. а) 5-х 2х + 1 Решение. 3 4‘ .....................:........... .......i ; .. ■ Ответ: 56 б) 3k - 15 k-2 Решение. 2 3' Ответ: 7.4. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и мысленно проговаривая содержание этапов. Образец -3 _ 1 X - 2 X -2 Решение. 1. Из правой части уравнения переносим всё в левую часть: х^ -3 = 0. X - 2 X - 2 2. Упрощаем левую часть уравнения: х^ -3 _ 1 X - 2 X - 2 х^ -3-1 х^ -4: X - 2 х-2 57 3. Возвращаемся к уравнению: -4 = О. X -2 4. Приравниваем нулю числитель и решаем полученное уравнение: - 4 = 0; {х - 2){х -Ь 2) = 0; л: - 2 = о или х + 2 = 0; х = 2 или X = -2. 5. Проверяем, равен ли нулю знаменатель х - 2: 1) при л: = 2: 2-2 = 0. л: = 2 не является корнем исходного уравнения; 2) при X = -2: -2 - 2 = -4 о, х =-2 является корнем исходного уравнения. Ответ: -2. х^ + 2 3 а) X + 1 л; + 1 Решение. 1 ■■■ 1 1 1 I 1 И И 1 i ! 1 - 1 1 1 I — 1 1 1 — 1 i 1 : 1 i и 1 1 1 - 1 Ответ: 58 б) а - 1 а - 1 Решение. г 1 ^ Ответ: § 8. СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Свойства степени с натуральным показателем Заполните пропуски в формулах и упростите выражения: 8.1. о"-о'" = . а) 2®-2з = . б) q’’-q^ = - 8.2. а": o'" = _ B)(2qy-{2qY = . г) (т - л)® • (т - л)® = а) 3*:3® = . б) о®: о = _ в) (2л:)": (2л:)® = г) (c-df:(c-df = . 59 8.3. Заполните пропуски в формулах и упростите выражения: (а'’)'” =_______________ a)W = . б)(9Т = в) ((abfy = r)((c-W = Определение степени с отрицательным целым показателем 8.4. Используя свойства степени с натуральным показателем, заполните пропуски: □ □ □ □ □ 8.5. Представьте данное выражение в виде степени с основанием 3: 1) 3®: 3" = 2) 3»: 3» = 8.6. Заполните пропуски, используя результаты заданий № 8.4 и 8.5: 1)3-2 = □ □ □ 2)3-® = □ □ □ 8.7. Заполните пропуски в формуле, выражающей определение степени с отрицательным целым показателем: □ а"" = □ □ , а^О. 8.8. Вычислите: а) 2-® = в) 7-1 = б) 3-“ = г) 5 8.9. Преобразуйте выражение: а) а-® = в) р-1 б) га-2 = г) (с -t- d) ® = 60 8.10. Запишите в виде степени с отрицательным показателем: а) i = б) Л = 23^ в) г) - уТ 8.11. Вычислите. Запись оформите по образцу. Образец ^ = 1 : 3-^ = 1 : ^ = 1 • 3^ = 9. 3“^ 3^ а) 8.12. Выполните преобразования по образцу. Образец ■■ -4т = 1 : = 1 : = 1 • X X Ж: в, ■ а) ^ п б) ft-® в) г) (« - уГ 1 (р + уУ 61 8.13. Заполните пропуск, используя результаты предыдущего задания. 1 = а", а^О. 8.14. Преобразуйте выражение. Запись оформите по образцу. Образец -Т =1 = 1- ^ = 1 ^ = 1 з) 2 3 2 “ 2‘ ‘МП = б) 11 8.15. Преобразуйте выражение. Запись оформите по образцу. Образец a)ljl = б) Умножение степеней с отрицательными целыми показателями Известно, что при умножении степеней с целым положительным показателем справедлива формула а" • а” = Выполняя следующие задания, проверим, справедлива ли она для отрицательных целых показателей. 8.16. Упростите выражение, заполняя пропуски: -.11 СИ а)2- □□ □□ □□ 62 2-3.2-4 = 2' (-3) + (-4) = . б) 3-2 • з-« = □° □ 3-2.3-6 ^ 3L_ (-2) +(-6) = . в) k‘^ ’ = □° □ □ k-* • А:-® = feL (-4) +(-5) = . г) d"2 • d''’ = □□ □□ □□ d -2 ■d-^ = cf (-2) +(-7) = . 8.17. Сделайте вывод и продолжите фразу: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями. 8.18. Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательного показателя степени, там, где это необходимо: а) л: 2 • л: 4 _ в) у ® = б) а® • а ® = Г)у2-у = 63 Деление степеней с отрицательными целыми показателями Известно, что при делении степеней с целым положительным показателем справедлива формула а" : а” = а""”. Выполняя следующие задания, проверим, справедливо ли это для отрицательных целых показателей. 8.19. Упростите выражение, заполните пропуски: □ а) 3-": 3 ® = |П □ п п □ О ^ 3-4.3-6 ^ зЦ (-4)-(-6) = _ б) 2-®: 2 ® = □ . □ □ .□“П |П □□•□□□□ □ □ □ 2-5: 2 ® = 2 (-5)-(-3) -oQ S 2: s“‘ = (-2)-(-4) = . qd 0° ^ р’’ :р-^= р^; (-7)-(-3)-_ 8.20. Сделайте вывод и продолжите фразу: «При делении степеней с одинаковыми основаниями . 64 8.21. Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательного показателя степени, там, где это необходимо: а) : д: ® = в)Ь :Ь ^ = б) : о ^ = г) п ': п® = Возведение степени в степень Известно, что при возведении степени в степень с целым положительным показателем справедлива формула (о")'" = а"™. Выполняя следующие задания, проверим, справедлива ли она для отрицательных целых показателей. 8.22. Упростите выражение, заполняя пропуски: (2-®)-2 = 2^; (-3)-(-2) = _ 8.23. Сделайте вывод и продолжите фразу: «При возведении степени в степень _ 8.24. Вычислите: а) (4-2)-® = б) (2®)-« = 8.25. Заполните пропуски: ч 3 "^8 = б) 25 в) (х-^ = г) {у~^У = □г' в) i - fQ 8 Iq fHr= r)i6=fQ □ □ □ □ 65 ГЛАВА 2 ФУНКЦИЯ у = Vx. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ § 9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 9.1. 1) Заполните пропуски. 2 6 2) Используя схему, выберите из чисел 13; -25; 7, 8; 0; -; -1,5; —; 91 и запишите: а) натуральные__________________________________________; б) целые. в) рациональные. Некоторые символы математического языка 9.2. Продолжите фразу. 1) Множество всех натуральных чисел обозначают буквой. 2) Множество всех целых чисел обозначают буквой_ 3) Множество всех рациональных чисел обозначают буквой. 66 9.3. Запишите на математическом языке: а) 5 принадлежит множеству натуральных чисел: б) -9 не принадлежит множеству натуральных чисел:. в) 2,7 не принадлежит множеству целых чисел:- г) -4,6 принадлежит множеству рациональных чисел: 9.4. Используя обозначения N, Z, Q vi знаки i, запишите следующие утверждения: а) 27 — целое число:-------------------------------------- б) -3,4 не является натуральным числом: в) 52 — рациональное число:________ г) - не является целым числом:. Установите, является ли следующее утверждение истинным: 9.5. а)17€ЛГ. да, нет б) -2,5 GZ. да, нет в) — iN. 11 да, нет г) -4,9 GQ. да, нет д)0елг. да, нет e)-5^Q. да, нет 9.6. а)6е[4;8]. да, нет б)8€[4; 8). да, нет в)0^[-1;5). да, нет г) -3 е (-оо; 3]. да, нет д)7е(-оо;-7]. да, нет е)21^[0; 58] да, нет Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби 9.7. Используя основное свойство дроби, представьте, если это возможно, в виде десятичной дроби число: «1= г.|= 67 9.8. Выполнив деление столбиком, представьте в виде десятичной дроби число: а) - = 8 б) 23 в)7|. : I i i : .J i ’ ! 1 г г 1 ^ "4 = , 2 ^^3 е) 22 ^ I ^ ; i ; i : 1 : i ; i : ' : i ! : : r I 1 : ; ; i " ■ I : ■ ^ 9.9. Заполните пропуски, используя образец. Образец 0,375 = 0,375(0); 0,73333... = 0,7(3); 10 = 10,(0). а) 0,222... = б) 0,323232... в) 0,1252525. г) 1,26666666. Д)8 = е) 127 = 68 9.10. Заполните пропуски. В бесконечной десятичной дроби повторяющуюся группу цифр после запятой называют _____________________, а саму дробь Любое рациональное число можно представить в виде. 9.11. Выполните в обычной тетради задание 9.15 (а, б) из задачника. Запись оформите по образцу. Образец 2 9 = 2:9. 219 0,10,222... 20 18_ _20 _20 1§- 2 Ответ: - = 0,(2). 9 ^ ^ 9.12. Заполните пропуски, используя результаты предыдущих заданий и текст учебника на с. 40. Множество. 1)-------- . рациональных чисел можно рассматривать как: 2). 69 § 10. ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 10.1. Заполните пропуски в определении (используйте текст на с. 49 учебника). Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое Это число обозначают зывают______________ число а при этом на- Если а — неотрицательное число, то: 1). 2). 10.2. Докажите, что данное равенство верно. Запись оформите по образцу. Образец Щ = %. Доказательство: 1)9>0; 2)9^ = 81. а) ^/Ш =12. Доказательство: б) Vl69 =13. Доказательство:. в) ШЪ = 15. Доказательство:________________________________ г) =17, Доказательство:________________________________ 10.3. Проверьте равенство. Запись оформите по образцу. Образец 1) л/1- = М 9 3 4 „ му 16 ,7 3 ^ ^Чз] 9 “ ^9’ Ответ: равенство верное. 2) >/100 =-10; -10 <0. Ответ: равенство неверное. 70 а) Vm =11; в) -s/^ = -6; 10.4. Подчеркните верные равенства: >/1Ш = -10; >/49 = 7; Ш = 5,1; = -3; 4^1 Л >/Лб9 = -13; 10.5. Установите, имеет ли смысл выражение: а) ^ б) да, нет д) (Sf е) V-б^ да, нет да, нет да, нет в),/Н7? Г) _ да, нет ж) (-Vnf да, нет да, нет да, нет 10.6. Вычислите: а) {-Sf = . б) -(Лз)' = . в) -{-Щ‘ = . г) = 71 10.7. Вычислите: а) VO,09 =. г) J— = '149 б) Vo^= в) V0.01 = д) 225 10.8. Вычислите. Запись оформите по образцу. Образец V5 +Vie = 3. 1) Vie = 4; 2) VsTi = V9 = 3. a) V33 + V9 =__ 6) ^/27 - Vi = 10.9. Вычислите. Запись оформите по образцу. Образец VI00 + V64 = 10 + 8 = 18. а) Vl2T + Vl = б) VI^-V64 = ;ЕГ»::ЕйЖ;:Ж,;- в) V8l Vl69 = г) ViM V4 = 72 §11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 11.1. Подчеркните одной чертой числа, которые могут быть представлены в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и двумя чертами числа, которые не могут быть представлены в виде бесконечной десятичной периодической дроби: 2 3’ n/16; S; 0,1212...; 1,1001000100001...; п. 11.2. Заполните пропуски. I) Бесконечная десятичная периодическая дробь — это. .число. 2) Бесконечная десятичная непериодическая дробь — это___________ ____________________число. 11.3. Придумайте (составьте) три бесконечные десятичные непериодические дроби:___________________________________________________________ 11.4. Выполните действие. Определите, каким числом являются компоненты суммы. а) 0,333... + 0,4141... -__________________ (рационгшьное. (рационгшьное. (рациональное. иррациональное) иррационгшьное) иррационгшьное) б) 0,222... 4- 0,1010010001... = + (рационгшьное. (рациональное. (рационгшьное. иррациональное) иррационгшьное) иррационгшьное) в) 2,4141141114... + 3,2525525552..,= + (рационал ьное, иррациональное) (рационгш ьное, иррациональное) (рационгшьное, иррационгшьное) 11.5. Используя результаты задания № 11.4, ответьте на вопросы. 1) Может ли сумма двух рациональных чисел быть рациональным числом?_____________ да, нет 2) Может ли сумма двух рациональных чисел быть иррациональным числом?_____________ да, нет 73 3) Может ли сумма рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?_____________ да, нет 4) Может ли сумма рационального и иррационального чисел быть иррациональным числом?_____________ да, нет 5) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом?_____________ да, нет 6) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть иррациональным числом?_____________ да, нет § 12. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 12.1. Заполните пропуски по образцу. Графическая модель Название множества чисел Обозначение Натуральные числа N 1 2 -2-10 1 2 1 2 -2 -1 0 1 1,375 2 -Vri -^/3 ^/2 2 >/5 1 2 -2 -1 0 1 >/2 2 12.2. Заполните пропуски. Числовая прямая — это: • числовой промежуток _ • множество__________ чисел, которое обо- значают буквой. 74 буква промежуток 12.3. Назовите все числа, записанные на данном рисунке и принадлежащие указанному множеству: Используя схему, заполните пропуски: N <=_____________<=___________ 12.4. Установите, является ли следующее утверждение истинным: а) 23 €Z. да, нет r)-l,7€Q. да, нет б) -2,5 €Q. да, нет в) — iR. 11 да, нет д)0ел^. да, нет е) eQ да, нет 75 § 13. ФУНКЦИЯ у = л/х, ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК График функции у = >/х 13.1. Постройте график функции у = 4х, предварительно заполнив таблицу. 6,25 График функции у = ->/х 13.2. Постройте график функции у = -4х, предварительно заполнив таблицу. X 0 1 4 6,25 9 у Выпуклость функции вверх, выпуклость функции вниз 13.3. Используя график функции, выполните следующие действия; 1) отметьте на графике две любые точки; 2) соедините отмеченные точки; 3) запишите, выше или ниже вашего отрезка лежит график. 76 a)y = yfx; 6)y = -yfx. (выше, ниже) (выше, ниже) 13.4. Используя результаты № 13.3, продолжите предложение: 1) функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки её графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит. . проведенного отрезка; 2) функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки её графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит. . проведенного отрезка. Свойства функции у = Vx 13.5. Используя график функции у = ^fx, запишите её свойства: 1) область определения функции:__________________ 2) у = 0 при_____________________________________ у>0-------------------------------------------- У<0-------------------------------------------- 3) функция у - 4х 4) у ___________ ' ^нанм ^ ваиб (возрастает, убывает, постоянна) 5) функция. 6) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) (выпукла вверх, выпукла вниз) 7) область значений функции:_________________ 77 Свойства функции у = ->/х 13.6. Используя график функции у = -\fx, запишите её свойства: 1) область определения функции:___________________ 2) у = 0 при______________________________________ у>0--------------------------------------------- У<0--------------------------------------------- 3) функция у = -yfx . 4) у ____________ ' ^ найм У наиб (возрастает, убывает, постоянна) 5) функция. 6) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) (выпукла вверх, выпукла вниз) 7) область значений функции:_______________________ 13.7. Выделите цветом часть графика, соответствующую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= 4х ТЗ.& этом промежутке. а)[0;4] б)(2; 9] у ^^наим Унанб ■ У найм Унаиб ' 78 в)(3; 8) г)[1;8) У‘ г 1 ■ '■“Т г— ■ 1 О X У^^б- Уеаим Уна«6- д)[1; +°°) Ур е) (5; +00) У наиб ' 13.8. Выделите цветом часть графика, соответствующую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = ~4х 'в.а. этом промежутке. у ^наим Унаиб ■ Унаим Унаяб- 79 г)[1;+оо) у найм ^напб ' д)[1;7) у __________ ^ найм ^наиб е)(5; +00) У ^ найм ^наиб ■ У ^ найм У наиб ■ 13.9. Дан график функции у = -Jx. 1) Выделите цветом часть графика, расположенную: а) выше прямой у = 2; б) ниже прямой у = 3. У ^ ; г : 1 i : ; 1 : . I о X 2) Выделите на оси абсцисс соответствуюш,ий промежуток. 13.10. Используя результаты задания № 13.9, запишите, при каких значениях X выполняется условие: а)у>2---------------------; б) г/ < 3-------------------- 80 13.11. Дан график функции у = —Jx. 1) Выделите цветом ту часть графика, которая расположена: а) выше прямой у = -1; б) ниже прямой у =-2. 2) Выделите на оси абсцисс соответствующий промежуток. 13.12. Используя результаты предыдущего задания, запишите, при каких значениях х выполняется условие: а)у >-1 б)у<-2. 13.13. Решите графически уравнение, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец VJC = 6 - JC. Решение. 1. Вводим функции: у = -Jx и у = 6 - х. 2. Строим графики этих функций (шаг 1). Шаг 1 Шаг 2 3. Отмечаем точку пересечения графиков, находим её абсциссу (шаг 2). Ответ: 4. 81 а) yfx = х-2. Решение. 1. ________ 2__________ Ответ:___ б) у[х = X. Решение. 1. ______ 2________ 3. Ответ: 82 в) -Vjc = х^. Решение. 1__________ 2__________ 3_____________ Ответ:________ г) -Vx = X + 4. Решение. 1. ___________ 2. ___________ 3. Ответ: 83 13.14. Решите графически систему уравнений, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец = yfx, у = -X. ^ 2 Решение. 1. Строим графики функций: z/ = л/jc иу=-х (шаг 1). 2. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их координаты (шаг 2). Ответ: (0; 0), (4; 2). \у = -4х, а) 2 [у ^ X . Решение. 1___________ Ответ: 84 б) \у = у = 2 - 2х. Решение. 1____________ 2. Ответ:. в) \у = \у = 2-х. Решение. 1__________ 2. Ответ: 85 г) у = -yfx. у = —X + 3. 4 Решение. 1. ______ 2. Ответ: 13.15. Дана функция у =/(дс), где f(x) = Выполните следующие задания. 1) Найдите: Л-2) =---------------------- Л-1) =---------------------- ЛО) =----------------------- Л1) =----------------------- Л2) =----------------------- Л4) =----------------------- |д:^,если -2 < д: < 0; [у/х, если О < д: < 4. 86 2) Определите, каким выражением задаётся функция у - f(x) на указанном промежутке, и постройте соответствующий график. -2<л:<0 0<л:<4 Кх) = . Кх) = . 3) Используя построенный график, запишите: а) область определения функции:_________ б) J/ = О при___________________________ 1/>0------------------------------------ «/<0-------- в) функция. г) ц _______ ' ^ найм (непрерывная; имеет точки разрыва) * ^наиб д) функция. е) функция. (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) ж) область значений функции:__________ 87 § 14. СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ Свойство 1 14.1. Вычислите: \здЖЫ = в) s/4^ = г) ^/49•V4 = 14.2. Сравните: а) V9 16...V9 Vl6; б) ^49-4 ... V49-V4. 14.3. 1) Запишите свойство корня из произведения (а > О, & > 0). = у/а ■ \[ь 2) Запишите словесную формулировку полученной формулы. 14.4. Найдите значение выражения: а) V0.01-25- б) V4-361QQ = в) V0,25 16-81- г) V0,16 -49 0,04 = 14.5. Найдите значение выражения. Запись оформите по образцу. Образец V3-Vl2 = V3 12 = у1^=6. 88 а) V2 •^/^ = б) ;V48-i/3t ’ ! И в)>/7-л/Й = 1 1 1 i i i i i г) \/99 ■ 1 \ \ \ \ \ '^ = — 1 1 1 ^ i 1 Свойство 2 14.6. Вычислите: f9" б) I...............#....................... yfm 14.7. Сравните: ; 1 1 lYlOO"" i rt .X i 'H _ Г) ! 1 r- б) 13б"‘у/^’ ''' ПООy/ioo' 14.8. 1) Запишите свойство корня из частного (а > О, & > 0). 2) Запишите словесную формулировку полученной формулы. 14.9. Найдите значение выражения: 1 i : 1 a) = i b) \12t V ?5 6) ,15= ? ■ i f) i 1 ! V ol ! V 16 ^ 89 14.10. Найдите значение выражения. Запись оформите по образцу. Образец ^ = л = 2. ■ft ; — .. : ; аХ У135 i в) Ун ! i 1 L, , i. ...L -бХ 7208 ! г) ^Я2 ; ; УТз 1 У75 14.11. Найдите значение выражения. Запись оформите по образцу. Образец 25 - 81 _ -Ш _ 111 _ 11= ill 16-49 " У1б ^/49 ~ 4-7 ” 28~ 28' Свойство 3 14.12. Вычислите: а) 6)3^ б ^ Ё i_ ..j .. i . в : г 1 г)2* = 90 14.13. Сравните: а) ... 3®; б) ... 2^. 14.14. Запишите свойство корня степени (а > О, п б N). = 14.15. Найдите значение выражения: ,а)Ж- б) ■ 'г)Ж= J............i..........i...............I........L,. ___L 14.16. Найдите значение выражения: 14.17. Вычислите: _а.Х- а 14.18. Вычислите. Запись оформите по образцу. Образец y[¥^ = ^J¥ • = 2® • 7 = 8 • 7 = 56. .аХ |л/3^ - Г L б).л/5® -3^ = ' г) \ \ \ ] \ \ = 4 ! 44^4--4 r)f4. i 1 1 1- - - f ’ :гШ: ,л/12® • 7* = \ \ \ 1 \ \ 1 Ч -J -1 ь J ! i i i 91 14.19. Упростите выражение. Запись оформите по образцу. Образец л/25х« = = 5х\ Si!* Л • аХ ! i • : 1 i ; -Щ i i М 1 4х*-: i : i ; i хХ Jl5n^ ■ й 8 - 1 14.20. Упростите выражение. Запись оформите по образцу. Образец 25а^ _ л/25а^ _ ^ збь® “ ^/^ ■ 6Ь* . . a) ~ \|25/г■^ 6) 49c“ _ I : 1 J i 1 1 L. , , ; : r) 144ДГ- — : T169J ' i i : ; i r) u Ua‘ 92 14.21. Вычислите, разложив подкоренное число на простые множители. Образец 71764. Решение. 1764 2 882 2 441 3 147 3 49 7 7 7 1 л/1764 = = 2 • 3 • 7 = 42. а) Решение. i i i Г i ■ . ! i I б) V32400. Решение. = 732400 - 93 в) у[Шб. Решение. у1Шь г) V15876. Решение. i.К- ■•■•4.......1-- V15876 § 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОПЕРАЦИЮ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ Вынесение множителя из-под знака корня 15.1. Вынесите множитель из-под знака корня. Запись оформите по образцу. Образец ^/4^ = V2' -3 = ^/F • л/З = 2л/3. а) ч/25 • 2 i i ' i ; ; i 1 б^ ./,3 -121 ! в)1л/5 ■ 49 = т)43б • 7 - 94 15.2. Вынесите множитель из-под знака корня. Запись оформите по образцу. Образец Г¥~ _ у/2 _ у/2 l(7f “ ■ 7 ■ б) 169 144 в) 121 F> 11 10 81 , . :,17 .1-..1. :1 15.3. Вынесите множитель из-под знака корня. Запись оформите по образцу. Образец 7^ = л/2 • 5 • 5 = л/2-5“ =4^-^ = 5>/2. а) VS = б) Л ^ в) >/45 = г) .-Ш 3 д) .л/т е) >/1б2 95 15.4. Вынесите множитель из-под знака корня. Запись оформите по образцу. Образец 1у[60 = -V2 • 2 • 3 • 5 - -V2'* • 3 ■ 5 = - ■ л/¥ ■ ^/l5 = - ■ 2^/l5 = ^/l5. 2 2 2 2 2 a)I^V^ = ..Т2 • 6)|vfi7 = ;в)->/м = Г |3 ' ■■ ■ тЩМО = 15.5. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают неотрицательные значения. Запись оформите по образцу. Образец у/да - л1з^ • а - -у/а = зТа. 1— ' а! ^/l Вд; _ б). .у[2 25/ г = в) у/169т = ; i г) y/lUb = 96 15.6. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают неотрицательные значения. Запись оформите по образцу. Образец : ^/4^ = ^2^ • {аУ = = 2а\ Л кш .4 _ 4 ,10 14 15.7. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают неотрицательные значения. Запись оформите по образцу. Образец ■Уо^ = >/а • а® = = л/а • = а®л/а- а) J~c 5 ^ ! 1 ■ 1 1 т “'1 i --Г : i i i ; ; i i i ! ! : ! ; I I I I I T I i б) -Ул 13 . 1 1 1 I I ; 1 I I i I ' I J в) г) V4|m i = ; ^\=\ \ 11’! -J™ L , L„ 1- . L. L , Внесение множителя под знак корня 15.8. Внесите множитель под знак корня. Запись оформите по образцу. Образец 2^ = = n/2^ -5 = ДУЬ = Ш. 97 15.9. Внесите множитель под знак корня. Запись оформите по образцу. Образец -3^/5 = ■ ^/5 = -^J¥~E = -^/45. 15.10. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают неотрицательные значения. Запись оформите по образцу. Образец a®V7 = . V7 = • V7 = Vo® -7 = n/To*. 98 15.11. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают неотрицательные значения. Запись оформите по образцу. Образец -х^ = • -J2 = -yj2x^. а) -а \1ъ ; j 1 1 I 1 1 1 1 1 ; i б) -п р/Т! ^ = j ; 1 1 : { I i i. 1 1 в) =х ^/7. = А -п Ju ) = i 1 1 Упростите выражение: 15.12. a) > "f 7> /5 = 6) 8j 3r .....4л /3 " 15.13. a) 4л/ i ,...Л i i 6) л/7 5i зА = ^ 1 ^ i 1 jO- A 5.^ \ \ 1 \ \ ^ r) 6л/ ,л/1б2: = . . . i i • ; B) 9л/и -1 hh Г),.,.6.л/7 - 8л/7......е: 15.14. б) JB)l: г) ^/ш — Vl8 + 43.+ л/Ш ьЖ=. 48 = . .Щ-щ.. Л47 =. 99 Упростите выражение: 15.15. а) 2V0 + Зл/о = в) 3^/y + Ьу[у - llyfy = г) 7S - iS + S = ........ 15.16. а) \ldQx б) л/Шо - v/lisa = в) 12>/3с а- л/48с г) 2yj20y f ^ : ...j...........I.... ........j..........1. . 15.17. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе. Запись оформите по образцу. Образец _2_ _ 2 • Vs _ ^ S ~ S ■ S ~ 5 ■ S'.,.' , V б) Ж1' Т 5 „ч 5 . : ! ’ Ш : i : ^ : i ■ ! . 2 : 1 : 1 15.18. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе, считая, что переменные принимают только положительные значения. Запись оформите по образцу. Образец 3 ■ л/а Зл/а л/а л/а ■ л/а :-а) 4 Тр в) - 1 L ?^А ; ; ! 5^ 1 ^ .4 56 _ 9 : ^ . i S. ' 100 § 16. МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА Понятие модуля действительного число 16.1. Заполните пропуски в определении. UI = f------------ Говорят, что модуль — это абсолютная величина числа. 16.2. Найдите модуль действительного числа, используя определение. Запись оформите по образцу. Образец г. V -jSi i Ai Й» 1) |21| = ? 21 > 0, значит, |2l| = 21. Ответ: 21. 2) |-3,91| = ? -3,91 < 0, значит, |-3,9ll = -(-3,91) = 3,91. Ответ: 3,91. a)|l9| = ? ГУ - 4.. 6) |-5,24l = ? 101 16.3. Найдите модуль действительного числа, используя определение. Запись оформите по образцу. Образец |л/5 - 8| = ? V5-8<0, значит, |л/5 - 8| = -(л/5 - 8) = -л/5 + 8 = 8 - л/5. Ответ: 8 - yfE. а) |л/3 - l| = ? I ; f г- б) |л/7 - 4| = ? _i_______1.....1.....-_________J.....1____L. -t...- J___L _i______1_ Геометрический смысл модуля разности двух действительных чисел 16.4. Упростите выражение, используя образцы заданий № 16.2 и 16.3. а) |5 - 2| = ? ■'I...... 1 : 1 1 i ^ .1, i 102 б) |2 - 5l = ? в) |а - &| = ?, если а-Ь>0. •t............... I ...]........ г) |а - Ь| = ?, если а-Ь <0. 1 .—\— -• 1 1 \ 1 16.5. Найдите расстояние р(а; Ь) между двумя точками, используя рисунок. а)- б) а р(а; Ъ) = . Ъ р(Ь; а) = . а 16.6. Используя результаты заданий № 16.4 и 16.5, запишите формулу для р(а; Ъ) с использованием знака модуля: р(а; Ъ) =. геометрический смысл модуля разности двух действительных чисел. 16.7. Найдите расстояние между числами, используя полученную в № 16.6 формулу. а) 5 и 15______________________________________________________ б) -5 и 15. в) -5 и-15. г) 5и-15_ 103 16.8. Решите уравнение, используя геометрический смысл разности двух действительных чисел. Запись оформите по образцу. Образец |д:-3| = 2. О 1 ч---1---1—► Ответ: 1; 5. a)|x-4| = 3. Ответ: б) \х-2\ = 5. Ответ:________ в) |л: - 3| = 0. Ответ:_______ г) |д: - 1| = 4. Ответ: f -] т 104 16.9. Решите уравнение, используя геометрический смысл разности двух действительных чисел. Запись оформите по образцу. Образец |ж + 2| = 4. Решение. к-(-2)1 = 4. 4 -6 Ответ: -6; 2. -2 Ч--------1------1- 0 12 ч—>• а) |x + 1| = 2. Решение. Ответ:. б) |х + 3| = 1. Решение. ; М i 1 i i 1 ; 1 М i М : ; i 1 ! i j : i i ! i ^ ; i ; 1 I ; i : i ; : ; : ; ! : i ! 1 I i M 1 M ■ ■ ;. : ^ M Ответ: в) |д: + 5| = 0. Решение. Ответ:. 105 функция у = |х| 16.10. Заполните пропуски: у = |л:|, |л:| = ■ График функции у = |x| со- впадает с графиком кусочной функции у Л 16.11. Постройте график функции у = |л:|. Последовательно выполните следующие действия, заполняя пропуски. 1) Строим часть прямой у =_на промежутке [_ 2) Строим часть прямой у =_на промежутке (_ У О 16.12. Запишите свойства функции у = |xl, используя её график: 1) область определения функции:___________________ 2) у = о при----------------, 1/>0---------------- у<0. 3) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) ! X I 106 4) у _____ ' ^наим 5) функция. 6) функция. 'наяб * (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) 7) область значений функции:___________________ Функция у = -|х| 16.13. Постройте график функции у = -|х|. 16.14. Используя график функции у = -|х|, запишите её свойства: 1) область определения функции:__________________ 2) г/ = 0при--------------, 1/>0----------------- У<0. 3) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) 107 4) у _____ 5) функция. 6) функция. * у наиб■ (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) 7) область значений функции:_________________________ 16.15. Выделите цветом часть графика, соответствующую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = \х\ на этом промежутке. а) [-2; 2] ^ наиб в)(-4;3) у ^ найм ^наиб ■ б)[-3; 2) у _________ найм ^ наиб г) (-°о;5] Ун Унаиб ■ 108 16.16. Выделите цветом часть графика, соответствующую заданному промежутку оси абсцисс. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = -|х| на этом промежутке. а) [-2,5; 4] У. в)(-1;1] Уп у ^ найм и ^наиб г) [-4; -ноо) У наиб ' 16.17. Дан график функции у = |х|. 1) Выделите цветом части графика, расположенные: а) выше прямой у-2; б) ниже прямой у-2. 2) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 109 16.18. Используя результаты предыдущего задания, для функции у = |х| запишите, при каких значениях х выполняется условие: а) у > 2-----------------; б)у <2--------------------- 16.19. Дан график функции у = -|л:|. 1) Выделите цветом ту часть графика, которая расположена: а) выше прямой у = -2; б) ниже прямой у - -2. 2) Выделите на оси абсцисс соответствующие промежутки. 16.20. Используя результаты предыдущего задания, для функции у = -|л:| запишите, при каких значениях х выполняется условие: й)у>-2---------------------; б) у < -2------------------- 16.21. Решите графически уравнение, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец |л:| = л: + 2. Решение. 1. Вводим функции: у = |л:| и у = л: + 2. (шаг 2). Ответ: -1, 110 а) |ж| = 2х + 3. Решение. 1. _________ 2. _________ 3____________ Ответ:_______ б) -|х| --Х-2. Решение. 1. __________ 2____________ 3______ Ответ: 111 в) |л:| = -х^. Решение. 1________ 2________ i 1 , 1 к 1 1 1 > j 1 i i 1 1 I j i i 1 : 1 : ; 1 : i i 3. ____ Ответ: г) -|л:| = —Jx. Решение. 1___________ 2. _________ 3. ____ Ответ: 112 16.22. Решите графически систему уравнений, записывая содержание этапов (шаги 1—2 выполняйте на одном рисунке). Образец У = И> у = 3 - -X. ^ 2 Решение. 1. Строим графики функций у = \x\vi у = 3 --х (шаг 1). 2 2. Отмечаем точки пересечения графиков, находим их координаты (шаг 2). Ответ: (-6; 6), (2; 2). а) \у = [у = 2х - 1. Решение. 1. __________ 2______ Ответ: 113 б) \У = -pch у = -3. Решение. 1_________ Ответ: в) \у = -\Х\, у - X + 2. Решение. 1___________ 2_____ Ответ: 114 г) у = 1^;|, . 1 у = 4 —X. ^ 3 Решение. 1. ______ 2. Ответ: 16.23. Дана функция у - f{x), где /(х) = а) Найдите: А-3) =--------------------------- Я-2) =--------------------------- /(-1) =-------------------------- /(0) =--------------------------- /(1) =--------------------------- /(9) =--------------------------- [|х|,если -3 < X < 0; к/х,еслих > 0. 115 б) Определите, каким выражением задаётся функция у = f{x) на указанном промежутке, и постройте соответствующий график. -3<д:<0 х>0 т^. т^. i - 1 ; ; 1 ■ . . 1 ; ■ ( ! j 1 i \ 1 • i . . \ ! i : 1 ! в) Используя построенный график, запишите: 1) область определения функции:_______ 2) у-О при____________________________ у>0-------------------------------- у<0----- 3) функция. 4) у ______ ' ^наим 5) функция. 6) функция. (непрерывная; имеет точки разрыва) ’ ^наиб (возрастает, убывает, постоянна) (выпукла вниз, выпукла вверх) 7) область значений функции:___________________________ 116 Тождество >/^ = |о 16.24. Проверьте справедливость равенства 4^ = |а| при данном значении а, используя образец. Образец ^ 1) а = 7. = V49 = 7 и |7| = 7; 7 = 7, значит, равенство 4^ = |7| верно; 2) а = -7. = л/49 = 7 и |-7| = -(-7) = 7; 7 = 7, значит, равенство ^(-7)^ = |-7| верно. а) Qi — 5; Cl — 5. 1 i 1 ^ 1 1 i 1 1 1 i ; ^ 1 J j ! 1 б) а = 12; а = -12. 117 16.25. Используя результаты задания № 16.24, заполните пропуски: г N = |а| = ■ , если а > 0; , если а < 0. V J 16.26. Упростите выражение. Запись оформите по образцу. Образец - if, если X - 1 >0. Решение. = \х- 1|; X - 1 > О, значит, |х - 1| = X - 1; yj(x - 1)^ = х - 1. Ответ: х -1. а) ^{а + 2f, если а + 2 > 0. Решение. Ответ: б) \j{a - 8)^, если а - 8 > 0. Решение. Ответ: 16.27. Упростите выражение. Запись оформите по образцу. Образец " ^{х - if, если X - 1 < 0. 118 Решение. = |л: - 1|; X - 1 < О, значит, |х - I] = -(х - 1) = -х 4-1 = 1 - х; ^J(x - 1)^ = 1 - х. Ответ: 1-х. » Vi^ _ .“i“> *, ' 1; "ь- 'i * if* a) ^(a - 5)^, если a - 5 < 0. Решение. Ответ: б) yj{a + l,5f , если a + 1,5 < 0. Решение. Ответ: ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя.............................................. 3 Глава 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ........................................ 5 §1. Основные понятия............................................... 5 §2. Основное свойство алгебраической дроби......................... 9 § 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.................................... 22 § 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями........................................ 28 § 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень...................... 36 § 6. Преобразование рациональных выражений........................ 42 § 7. Первые представления о решении рациональных уравнений........ 51 § 8. Степень с отрицательным целым показателем.................... 59 Г л а в а 2. ФУНКЦИЯ у = Vx. СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ........... 66 § 9. Рациональные числа........................................... 66 § 10. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа........... 70 §11. Иррациональные числа........................................... 73 §12. Множество действительных чисел................................. 74 §13. Функция у = её свойства и график............................. 76 § 14. Свойства квадратных корней.................................... 88 § 15. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня................................... 94 § 16. Модуль действительного числа................................. 101