Алгебра 7 класс Учебник Алимов

Алгебра класс 1 Учебник для общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 18-е издание Москва •Просветение- 2011 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин Учебник подготовлен под научным руководством академика А. Н. Тихонова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/509 от 23.10.2008) и Российской академии образования (№ 01-194/5/7д от 11.10.07) D ©4/2 Условные обозначения выделение основного материала текст, который важно знать и полезно помнить решение задачи обоснование утверждения или вывод формулы обязательные задачи дополнительные задачи трудные задачи занимательные задачи Алгебра. 7 класс : учеб, для общеобразоват. учреж-А45 дений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.] — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2011. — 224 с. : ил. — ISBN 978-5-09-025169-3. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-3-09-025169-3 Издательство «Просвещение», 1991 Издательство «Просвещение», 2009, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 1991 Все права защищены I глава Алгебраические выражения Числовые выражения • I..............I................I...............I • • I...................I...................I....................I....................I • Задача 1 Ответ Из коробки, содержащей 100 карандашей, отложили 32 карандаша, а остальные поделили поровну между семнадцатью учениками. Сколько карандашей получил каждый ученик? После того как из коробки взяли 32 карандаша, в ней осталось (100 - 32) карандашей. Чтобы узнать, сколько карандашей получил каждый уче- 100-32 ник, нужно наити значение выражения ———. В результате получим 4. Каждый ученик получил 4 карандаша. 45, т > 40? 73 Сумма цифр двузначного числа меньше 10. Доказать, что результат умножения такого числа на 11 получится, если между цифрами этого числа вставить их сумму. Например, 53-11 = 583. II глава Уравнения с одним неизвестным Уравнение н его корни Задача 1 Конверт с новогодней открыткой стоит 17 р. Конверт дешевле открытки на 5 р. Найти стоимость открытки. ► Пусть открытка стоит х р., тогда конверт стоит (X- 5) р. По условию задачи х + (х-5)=П, откуда 2х-5=17, 2х = 22, х = 11. Ответ 11 р. <] В равенстве хч-(х-5) = 17 буква х обозначает неизвестное число, или, короче, неизвестное. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, — правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения. В уравнении 2х-5=17 левая часть 2х-5, правая часть 17. При х=11 левая часть этого уравнения равна 17, так как 2-11-5=17; правая часть также равна 17. Итак, при х= 11 это уравнение обращает- 27 ся в верное числовое равенство 2*11-5=17. Число 11 называют корнем данного уравнения. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Например, число 1 является корнем уравнения 2л:-1-3 = 5, так как 2 • 1 -f 3 = 5 — верное равенство. Уравнение может иметь два корня, три корня и т. д. Например, уравнение (д:-1)(л:-2) = 0 имеет два корня: 1 и 2, так как при л: = 1 и при х = 2 это уравнение обращается в верное равенство, а при других значениях х левая часть уравнения не равна нулю. Уравнение (л:-3)(л:-f 4)(л:-5) = 0 имеет три корня: 3, -4 и 5. Уравнение может иметь бесконечно много корней. Например, уравнение 2(д:-1) = 2л:-2 имеет бесконечно много корней: любое значение х является корнем этого уравнения, так как при любом х левая часть уравнения равна правой части. Уравнение может и не иметь корней. Например, уравнение 2х + 5 = 2х + 3 не имеет корней, так как при любом значении л: левая часть этого уравнения больше правой. Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет. В простейших случаях легко подобрать значение х, которое является корнем уравнения. Например, легко увидеть, что корень уравнения 2л:-1-1 = 3 — число 1. Однако это не всегда так. Например, довольно трудно догадаться, что уравнение л - 6 ^ 4(л-ь 3) 1 = -И Зл - 2 10 5 2 обращается в верное равенство при л = 7. Поэтому важно научиться решать уравнения. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение вида ал = 6, (1) 28 где а и b — заданные числа, х — неизвестное. Уравнение (1) называют линейным уравнением. 3 1 Например, уравнения Зх=1, -2х = 0, = О ^ являются линейными. 74 75 76 77 Упражнения Записать в виде равенства: 1) число 34 на 18 больше числа х; 2) число 56 в л: раз больше числа 14; 3) полусумма чисел л: и 5 равна их произведению. Какое из чисел 3; -2 является корнем уравнения: 1) Зл: = -6; 2) д: + 3 = 6; 3) 4л:-4 = л: + 5; 4) 5л: + 10 = 2д; + 4? (Устно.) При каких значениях х уравнение обращается в верное равенство: 1) л- + 5 = -3; 2) 2л:-1 = 0; 31 --5-5"7’ 4) ^ = ' 8 2 1 , Есть ли среди чисел -1; О корень уравнения: 1) 4(л:-1)=2л:-3; 2) 3(л: + 2) = 4 + 2л:; 3) 7(л: + 1)-6л: = 10; 4) 5(л: +1)-4л: = 4? 78 Составить уравнение, корнем которого является число: 1) 5; 2) 3; 3) 0; 4) -4 79 Подобрать число а так, чтобы уравнение4л:-3 = 2л: + а имело корень: 1) л: = 1; 2) л: = -1; 3) л: = |; 4) л: = 0,3. Выяснить, имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 80 1) Зл: -н а = Зл: -н 5 при а = 1; 2) ^л:-1-3 = ^л:-на при а = 4. 81 82 83 Указать такое значение а, при котором данное уравнение имеет корни. Записать данное утверждение в виде равенства и найти значение X, при котором равенство верно: 1) число X составляет 18% числа 75; 2) число 15 составляет 25% числа л:. Найти все значения л:, при которых верно равенство: 1) л:(л:-2) = 0; 2) 2л:(1-л:) = 0; 3) л:(л:-1-3)(л:-4) = 0; 4) (3-л:)(л:2)(л:- 1) = 0. Найти все значения л:, при которых верно равенство: 1) |л:1 = 0; 2) |л:| = 2; 3) |л:| = 1; 4) |л:-1| = 2. О 29 Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным Решения уравнений с одним неизвестным, которые сводятся к линейным, основаны на свойствах верных равенств. Напомним эти свойства. Словесная формулировка Запись в общем виде Пример 1. Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число, то получится верное равенство. Если а = Ь а t — любое число, то а + 1 = Ь + 1, а-1 = Ь-1. 7 = 7, 7 + 2 = 7-ь2, 7-2 = 7-2. 2. Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство. Если а = Ь и т *0, то а'Ш = Ь'пг, а: т = Ь: т. 27 = 27, 27-3 = 27*3, 27: 3 = 27: 3. Из первого свойства следует, что слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. • Пусть а=Ь + т. Тогда, прибавив к обеим частям этого равенства (-т), получим а + {-т) = Ь + т+(-тУ, а-т=Ь. О Для того чтобы обосновать известный из курса математики V—VI классов способ решения уравнений, проведем рассуждения на конкретном примере. При этом покажем, как применяются свойства равенств к решению уравнений. 30 Задача 1 Решить уравнение 9 jc-23 = 5jc-11. ► Предположим, что а — корень данного уравнения, т. е. а — такое число, при котором уравнение обращается в верное равенство. Имеем верное числовое равенство 9а — 23 = 5а - 11. Воспользуемся свойствами верных равенств. Перенесем член 5а с проти-вополжным знаком в левую часть, а член -23 в правую часть равенства с противоположным знаком. В результате также получится верное равенство 9а - 5а = 23- 11. Приведем подобные члены в обеих частях этого равенства, получим 4а = 12. Разделив обе части последнего равенства на 4, найдем а = 3. Итак, предположив, что уравнение имеет корень а, мы получили а = 3. Таким образом, если данное уравнение имеет корень, то он может быть равен только числу 3. Проверим, является ли число 3 на самом деле корнем данного уравнения. Подставим jc = 3 в левую и правую части исходного уравнения и проведем вычисления: 9-3 -23 = 4, 5*3-11 = 4. При д: = 3 уравнение обратилось в верное равенство: 9*3-23=5*3-11, следовательно, д: = 3—единственный корень уравнения. <1 При решении этой задачи были использованы следующие основные свойства уравнений: Свойство 1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Свойство 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Применяя эти свойства, уравнения, сводящиеся к линейным, обычно решают так: 1) переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую (свойство 1); 2) приводят подобные члены; 3) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю (свойство 2). 31 Задача 2 Ответ Решить уравнение 2(д: + 3)-3(дг + 2) = 5-4(л: + 1). ► Упростим левую и правую части уравнения: выполним умножение и приведем подобные члены. Получим: 2х + 6-Здг-6 = 5-4дг-4, -х = -4х+1. Следовательно, Зх = 1, откуда х = \. U _ 1 Задача 3 Ответ Решить уравнение Щ 2 о 1 = 1 + 6 ► Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на 6, получим , X — 5 _ а Задача 4 5х.Q X- '6 = 1*6-1- 3 6 15л:-2(д:-3) = 6 + л:-5. Упростим обе части уравнения: 15л:-2д:-1-6 = 6 +JC-5, 13 л: + 6 = д:-I-1, 5 откуда 12 д: = -5, дг = - 12 x = --i. <1 12 При решении уравнения с одним неизвестным (как, например, в задачах 2 и 3) переходят от данного уравнения к более простому, имеющему те же корни. Поэтому проверку полезно делать только для того, чтобы убедиться в правильности вычислений. В рассмотренных примерах каждое уравнение имело один корень. Однако может оказаться, что уравнение с одним неизвестным не имеет корней или любое значение неизвестного является корнем уравнения. Приведем примеры таких уравнений. Решить уравнение 2(дг-1-1)-1 = 3- (1-2дг). ► Упростим обе части уравнения: 2дс + 2 - 1 = 3-1-1-2х, 2д:-1-1 = 2 + 2дс, откуда 2д;-2дс = 2-1, 0*де=1. 32 Это уравнение не имеет корней, так как левая часть О • X равна нулю при любом х, а значит, не равна 1. Ответ^ Корней нет. <] Задача 5 Показать, что любое значение х является корнем уравнения 3(1-х)+ 2 = 5- 3л:. ► Упростим уравнение: 3-Зх + 2 = 5- Зх, 5-Зх = 5-Зх. Последнее равенство является верным при любом значении х. Следовательно, любое значение х является корнем уравнения. <3 Упражнения 84 (Устно.) Решить уравнение: 1) х + 3 = 5; 2) х + 8 = 11; 3) х-0,25 = 0,75; 4) х-1,3 = 2,7. 85 (Устно.) Решить уравнение: 1) -2х=10; 2) 18х = -9; 3) 10х = 0; 4) 15х = -15. Решить уравнение (86—94). 86 1) 9х = 5’ 2) -3x = 2i; 3) -|^ = 3; 4) ’ 4 2 87 1) 0,3х = 6: 2) 1,3х = -1,69; 3) 0,7х = 49; 4) -10х = 0,5. 88 1) 25х-1 = 9; 2) 7х + 8 = 11; 3) Зх-5=10 —х; 4) 4х + 4 = х + 5. 89 1) 5х + 3(3х + 7) = 35; 2) 8х-(7х + 8) = 9; 3) 8j/-9-(4z/-5)=12p-(4 + 5i/); 4) 4 + 8i/ + 8 = 2j/-(10 + 7j/) + 9. 90 1) 5(х-3)-2(х-7) + 7(2х + 6) = 7; 2) ll(p-4)+10(5-3i/)-3(4-3i/) = -6; 3) 5(8г-1)-7(4г + 1) + 8(7-42) = 9; 4) 10(Зх-2)-3(5х + 2) + 5(11 -4х) = 2.5. 11_2-a. 2) Зх _ 6 + X. 7 5 ’ 5 3 ’ 1 + - = 8: 4) ^ + ^ = 14. 3 5 3 4 2 Алгебра, 7 ка. 33 — БАБУШКА, СКОЛЬКО ЛЕТ ТВОЕМУ ВНУКУ? — ЕМУ СТОЛЬКО МЕСЯЦЕВ, СКОЛЬКО МНЕ ЛЕТ. — А СКОЛЬКО ЖЕ ТЕБЕ ЛЕТ, БАБУШКА? — НАМ ВМЕСТЕ С ВНУКОМ ШЕСТЬДЕСЯТ ПЯТЬ. А УЖ СКОЛЬКО ЛЕТ ВНУКУ — СОСЧИТАЙ САМ. 92 1) 0,71д: +1,98 = 0,37л:-1,76; 2) 0,181/-7,4 = 0,05j/-5,71; 3) 5(5л:-1)-2,7д: + 0,2л: = 6,5-0,5л:; 4) 0,36л:-0,6 = 0,3(0,4х-1,2). 93 1) £л1 = 9+2^; 2) + = 3) 8-У I 5-4i/_ у+б. ^ 6 3 2 ’ 4) 4х+7 ^ Зл-2 5х-2 _22 94 1) 3) 4л-51 17-Зх х+5. 3 9лг-5 4 2 3 + 5ж 8л:-2 = 2; 2) 4) 2 Зл:-7 9л + 11 3-х. 4 8 2 4х-3 5-2х Зх-4 2 3 4 '2 95 Показать, что уравнение не имеет корней: 1) 28-20х = 2х + 25-16х-12-6х; 2) 25х-17 = 4х-5-13х + 14 + 34х; 3) ^ + 3 12 5 + Зх. 4) 2х + 1 _ 7х + 5 _ х-2 3 15 ~ 5 ■ 34 96 Показать, что любое значение х является корнем уравнения: 1) 10-4л:+3 = 9л:-2-6л: + 9-7д: + 6; 2) 9д: + 4-5д: = 8 + 7д:-9-Зд: + 5; 3) 6(1,2л:-0,5)-1,Зд: = 5,9д:-3; 4) 8(l,3x + 0,25)-6,6x = 3,8x + 2. 97 По тексту высказывания составить уравнение и решить его: 1) если число X уменьшить на 26%, то получится число 7,4; 2) если число х увеличить на 20%, то получится число 9,6; 3) произведение чисел 3-i и х в 2 раза больше суммы чисел 1 и х; ^ 4) сумма чисел — и 2х в 3 раза меньше одной четвертой числа 25х. 98 99 Решить уравнение, используя свойства пропорции: 1,08 5х 1) JL = M. ' 1,5 0,3’ 0»97 _ X . о\ Зх _ 0,21_ ’ 0.09 1,8’ ’ 1,7 “ 6,8 ’ 4) ^ = 7,6 Решить уравнение относительно х, если а и Ь числа, отличные от нуля: 1) ах-3 = Ь; 2) 4 + Ьх = а; 3) Ь = а(х-3); 2х- о 3,8 заданные 4) 4 = а-(Ьх-1): 5) = 3: 6) = 100 Ь а Решить уравнение: 1) |х| = 2,5; 2) |х|=3; 3) 2|х| = 0,48; 4) 5|х|=1,15; 5) |2х| = 1,4; 6) |3х| = 0,03. Решение задач с помощью уравнений Применение уравнений позволяет упростить решение многих задач. При этом решение задачи обычно состоит из трех этапов: 1) составление уравнения по условиям задачи; 2) решение уравнения; 3) проверка результата и запись ответа. 35 Рассмотрим задачу. Задача Теплоход с туристами отправился от пристани вниз по течению реки и должен вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 3 км/ч, скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч. На какое расстояние туристы могут отплыть от пристани, если перед возвращением они хотят пробыть на берегу 3 ч? ► 1) Пусть искомое расстояние х километров. Это расстояние вниз по течению теплоход проходит со скоростью 18+3 = 21 км/ч и затрачивает — ч. Возвращаться теплоход будет со скоростью 18 - 3 = 15 км/ч и затратит на возвращение — ч. На берегу туристы пробудут 3 ч. Следовательно, вся поездка займет -^ + -^ + 3 ч, что по условию зада-\ 21 15 / чи равно 5 ч. Таким образом, мы получили для определения неизвестного расстояния х уравнение ^ +Л + 3 = 5. 21 15 2) Перейдем теперь к решению уравнения 21 15 Умножая обе части этого уравнения на 105 (наименьшее общее кратное чисел 21 и 15), получаем 5дг + 7д: = 210, 12л: = 210, откуда л: = 17,5. Ответ 17,5 км. (а+ 200) г 10% росте, сахара 10%-ный раствор сахара получили, когда добавили 200 г сахара ваг воды (см.рисунок). Найдем а: 200 а -I- 200 200 •100% = 10% а + 200 10 100 а = 1800 г В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15%-ный раствор? 38 2) Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч. 111 1) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определить собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с. 2) Расстояние между двумя пунктами катер прошел по течению за 3 ч 30 мин, а против течения за 6 ч 18 мин. Определить расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч. 112 1) Из одного пункта вначале вышел пешеход, а через 1,5 ч после его выхода в том же направлении выехал велосипедист. На каком расстоянии от пункта отправления велосипедист догнал пешехода, если пешеход шел со скоростью 4,25 км/ч, а велосипедист ехал со скоростью 17 км/ч? 2) Два теплохода вышли одновременно из одного пункта и идут в одном направлении. Первый теплоход за каждые 39 1,5 ч проходит 37,5 км, а второй теплоход за каждые 2 ч проходит 45 км. Через сколько времени первый теплоход будет находиться от второго на расстоянии 10 км? 113 Т) Кооператив продавал пальто и куртки. Куртка стоила на 1500 р. дешевле пальто. На сезонной распродаже цена на куртки была снижена на 20%, а на пальто — на 10%, и теперь одну куртку и одно пальто можно было купить за 6450 р. Сколько стоили куртка и пальто до сезонной распродажи? 2) Один рабочий в день выпускал на 50 деталей меньше другого. Когда выработка первого повысилась на 1% в день, а второго — на 2%, они стали вместе выпускать в день 254 детали. Сколько деталей в день выпускал каждый рабочий первоначально? 114 1) Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин, поэтому они увеличили скорость на ^ и U пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы до места сбора и за какое время? 2) Первый час автомобилист ехал со скоростью 50 км/ч и рассчитал, что если он и дальше будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на 20% и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько времени он находился в пути? 115 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного на 5 км/ч больше скорости другого. Найти скорости поездов, если известно, что через 2 ч после начала движения расстояние между ними было 30 км. 2) Из городов А и В, расстояние между которыми 230 км, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через 3 ч после начала движения расстояние между ними было 20 км. Найти скорости мотоциклистов, если скорость одного на 10 км/ч меньше скорости другого. .r*" Упражнения к главе II Решить уравнение (116— -117). 116 1) 3i/4-5 = 4(^9-|j; 2) 8|^ll-|2j = 16z-44; 3) 3^5 + ^^ = 4 + 2х; 4) 2|^3-|j = 5+x 117 х-2 1 _ х + 7, 2^ Х-7_Х+1 g. 3) 4) 2(3x-l) 5 i£. 4 = 4- x + 2. 2{3-x) 118 1) Ha одной ферме был сделан запас силоса 7 т 680 кг, а на второй — 9 т 600 кг. На первой ферме ежедневно расходуется 352 кг, а на второй — 480 кг силоса. Через сколько дней запасы силоса на обеих фермах станут равными? 2) На одну овощную базу было завезено 145 т 480 кг картофеля, а на вторую — 89 т 7 ц. С первой базы ежедневно вывозят в магазины по 4 т 40 кг картофеля, а со второй — по 2 т 550 кг. Через сколько дней на второй базе останется картофеля в 2 раза меньше, чем на первой? 119 1) Собранный виноград предполагалось уложить в ящики, по 9,2 кг в каждый. Вместо этих ящиков взяли другие, вмещающие по 13,2 кг каждый, и тогда потребовалось на 50 ящиков меньше. Сколько килограммов винограда было уложено? 2) Расстояние между станциями А и В пассажирский поезд проходит на 45 мин быстрее, чем товарный. Определить расстояние между этими станциями, если известно, что скорость движения пассажирского поезда равна 48 км/ч, а товарного — 36 км/ч. 120 Суммарная масса первого и второго советских искусственных спутников Земли составила 592,4 кг. Первый спутник был легче третьего на 1243,4 кг, второй — на 818,2 кг. Найти массу каждого из трех первых искусственных спутников Земли. 41 Ilpoiii’pi. гсГ):1! 1 Проверить, есть ли среди чисел 1; 0; -4 корень уравнения 3(дг-7) + 4 = 7л:-1. 2 Решить уравнение: а) 2д:-3(л:-1) = 4 + 2(д;-1); б) £ + £±1 = 2. 3 4 3 За 15 м ткани двух сортов заплатили 2840 р. 1 м ткани I сорта стоит 200 р., а 1 м ткани II сорта — 180 р. Сколько метров ткани каждого сорта было куплено? 121 122 123 124 125 При каком значении -2(3- д:) - 1 равно 1? 3 X — 1 При каком значении х значения выражений----- X значение выражения 3(д:-1) — 5х +1 х + 1 8 - 3 равны? Подобрать число а такое, чтобы уравнение имело корни: 1) 5х-7 = 5д:-а; 2) х-(2-х) = 2х-а; При каких значениях а уравнение |д:| = а: 1) не имеет корней; 2) имеет только один корень? Решить уравнение, принимая за неизвестное х; выяснить, при каких значениях а это уравнение имеет корни: 1) 2х-3(х-а) = 3 + а; ах -2 2 - ах 2) а+6(х-1) = 2а + х; .. 5-ах 7 - ах. 3 6 6) 7-ах = 2(3+х). 126 127 ^^2 4 ' 5) ах - 3( 1 -ь х) = 5; Первый час туристы шли на станцию со скоростью 3,5 км/ч. После этого они рассчитали, что если и дальше будут идти с той же скоростью, то придут на час позже намеченного срока. Увеличив скорость на 1,5 км/ч, туристы прибыли на станцию на 30 мин раньше намеченного срока. Какой путь прошли туристы? Расстояние между двумя поселками равно 9 км. Дорога имеет подъем, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъеме равна 4 км/ч, на равнинном участке 5 км/ч, а на спуске 6 км/ч. Сколько километров составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного поселка до другого и обратно за 3 ч 41 мин? 42 128 Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 16 кг сушеных? а кг яблок 0,16 а кг яблок 129 Кофе при обработке теряет 12% своей массы. Сколько килограммов свежего кофе надо взять, чтобы получить 4,4 кг кофе, готового к употреблению? 130 Решить с помощью микрокалькулятора уравнение; 1) 173л:+ 199,6 = 2517,8; 2) 24,8л: + 25,47 = 71,35. 131 Решить уравнение: 1) |2л:-1| = 3; 2) |1-5л:| = 2. 132 Поезд идет со скоростью 40 км/ч. По наблюдению машиниста встречный поезд, длина которого 75 м, проходит мимо него за 3 с. Какова скорость движения встречного поезда? Ill глава Одночлены и многочлены Степень с натуральным показателем • ■ • ...I..I..I...I..«• б) У зГ / Г Г . Посмотрите на рисунок 1. Квадрат со стороной 5 единиц содержит 5'5 = 25 единичных квадратиков. Куб со стороной 5 единиц содержит 5 • 5 • 5 = 125 единичных кубиков. Вы знаете, что произведение 5* 5 обозначают 5^ (читается: «Пять в квадрате»); произведение 5*5*5 обозначают 5® (читается: «Пять в кубе»): 5-5 = 52, 5.5.5 = 53. Аналогичные обозначения вводятся для произведения любого числа одинаковых множителей, например: ,9 3-3-3-3-3=3^ 5 раз Вообще о • а • а • 1.1.1. .l = fl'l 7 7 7 ••• 7 1.7 J ’ 9 раз " . Выражение а" читается так: «Степень числа а с показателем п» — или коротко: «а в степени п». Степенью числа а с натуральным показателем л, большим 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а: а" = а-а-а-...-а. 44 Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а^ = а. В выражении а" число а называют основанием степени, число п называют показателем степени. Задача Например: З"* = З'З*3*3 = 81, здесь 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — значение степени 3“*. Отметим, что основание может быть любым числом, например: 2» = 2 *2 *2*2 *2=32; [2^_ 2 2 2 _ 8. и J “ о ' 5 * 5 ~125’ 0,23 = 0,2*0,2*0,2 = 0,008; (-1)® = (-1) * (-1) * (-1) *(-!)* (-1) *(-!) = 1; 03 = 0*0*0 = 0; 10^= 10*10*10*10 = 10000. Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это — действие третьей ступени. Напомним, что при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действия третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). Вычислить: 7 * 2'* - 5 * 3З. 7*2^-5*33 = 7*16-5*9 = 112-45 = 67. <3 Запись чисел с помощью степени используется во многих случаях, например для записи натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых: 3245 = 3 * 1000 -I- 2 * 100 -И 4 * 10 -И 5 = 3 * 103 + 2 * 103 -н + 4*10 + 5. Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от Земли до Солнца, примерно равное 150 млн км, записывают в виде 1,5*10® км; радиус земного шара, приближенно равный 6,37 млн м, — в виде 45 6,37 • 10® м, а расстояние от Земли до ближайшей звезды (альфа Центавра) — в виде 4 • 10*® км. Каждое число, большее 10, можно записать в виде а *10", где 1<а<10 и п — натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа. Например, 4578=4,578-10®, 45,78 = 4,578-10, 103 000 = 1,03-10®. С записью чисел в стандартном виде вы будете часто встречаться при изучении физики, химии, при вычислениях на микрокалькуляторе и т. д. Упражнения 133 Вычислить площадь квадрата со стороной, равной: 134 135 1) 5 см; 2) -м; 3) 3- км; 4 4) 2,7 дм. Вычислить объем куба, длина ребра которого равна: 1) 2 м; 2) 3 дм; 3) ^ км; 4) 0,4 м. 5 Записать произведение в виде степени: 1) 2-2-2-2-2-2; 2) ^ 3 3 3 3 3 3) X • X • X • х; 5) (х- у)-(х- у)’{х- у); 4) т • т • т • т • т; fy. ш ш ш тп ш 6) Упростить выражение, используя запись произведения в виде степени (136—138). 136 1) 5- 5- 8 - 8 - 2 - 2; 2) 6-6-7-7-3 3) 0.3-0,3-fi.l.i; 2 2 2 4) f .±.1.2,3-2,3. ^333 137 1) 9 - 9 - 9 - а - а - а; 2) х-х-х-х-3-3; 3) (х - у) • (х - у); У У У 4) ^-|.(8а-5)(8а-5)(8а 0 О -Ь). 138 1) 3 - 3-...- 3- X - Х-...-Х; 2) 5-5-...-5-&-5-...-6; 21 раз 12 раз 16 раз 31 раз 3) 7-7-...-7-Р-Р-...-Р; 4) 6 - 6-...-6 - а -а-...-а. ” Р®® 15 раз 13 раз А раз 139 Упростить выражение: 1) р-р-р + 9-g; 2) а • а + Ь • Ь-Ь-Ь-, 3) а*а-1-а«а-1-о>а; 4) x^x^x + x^x^x. 46 140 Записать в виде произведения одинаковых множителей: 1) И"; 2) (-1,25)“; 3) (2а)®; 4) (а+*)“. Вычислить (141—145). 141 1) 2®; 2) 35; 3) 10“; 4) 5®. 142 1) 1®; 2) (-1)^: 3) 0‘®; 4) 0®. 143 1) (-5)5; 2) -5®; 3) (-2j)’ 7 9 ^5 7 9^5 144 ■' (1] ‘ (1) ^ 145 1) 2(-3)5; 2) -5(-2)5; 3) -i(- -4)5; 4) -|(-3) 146 Выполнить действия: 1) 12-105 - 5® - 10; 2) 95 - 2+ 200-(0,1)5; 3)|i 27+ (0,1)5-50000; 4) io3;40-|^lj -128. 147 148 149 150 151 152 153 Записать в виде суммы разрядных слагаемых число; 1) 12 743; 2) 5 043 201; 3) 13 027 030; 4) 12 350 107. Записать число, представленное суммой разрядных слагаемых: 1) 2 • 10® + 3 • 10^ + 5 • 10® + 1 • 10^* + 2 • 10 + 1; 2) 3 • 10® + 5 • 10® + 3 • 10“ + 2 • 10® + 3 • 10 + 7; 3) 7-10®+ 1-105 + 5-102+ 8; 4) 1-10®+ 1-105+1. Делится ли на 3; на 5 сумма: 1) 2-10“+ 3-105+ 6; 2) 4- 3) 7- 105 + 8- 105; 4) 5- Записать в стандартном виде число; 1) 249; 2) 781; 3)84 340; 4)80 005; 5)3100,2; 6) 127,48. Ребро куба равно k сантиметров. Записать формулы площади его поверхности S и объема V. Записать: 1) квадрат числа т; 2) куб числа а; 3) квадрат суммы чисел с и 3; 4) сумму квадратов чисел с и 3. Установить, какое из чисел больше: 10®+ 3-10“+ 2-10+ 5; 10“ + 3-105 + 10? 1) (-i] йДи(-1); 3) (-0,2)5 „ли (-0,2)5; 2) 25 или 35; [2 j 4) 47 154 155 156 157 158 Является ли положительным числом корень уравнения: 1) Зх+ (-0,1)3 = (-0,485)^ 2) (-1,415)3+ 2х = (-9,15)3; 3) (-7,381)3-(1-л:) = (8,0485)3; 4) (10,381)3 = (-0,012)3 _ 2х? Записать в стандартном виде: 1) число молекул газа в 1 смЗ при 0 °С и давлении 760 мм рт. ст., равное 27 000 000 000 000 000 000; 2) число километров,составляющих один парсек (единица длины, принятая в астрономии), если один парсек равен 30 800 000 000 000 км; 3) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000 операций. Поверхность земного шара составляет более 510 млн км^, объем Земли свыше 1000 млрд кмЗ. Записать данные числа в стандартном виде. В 1 л морской воды в среднем содержится 0,00001 мг золота. Сколько золота содержится в 1 кмЗ морской воды? Не производя вычислений, расположить числа: 1) l^-lij ; (-1,8)3; в порядке убывания; \3 2) (-0,4)3; (-7)3 в порядке возрастания. 159 Какой цифрой оканчивается значение выражения: 1) 33 + 43 + 53 ; 2) 3З + 103 + 183; 3) 21“ + З4З + 463; 4) 155 + 263 3959 Возведение в степень обладает несколькими важными свойствами. Свойство 1. а'" *а“ = л'"’*’". При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются. 48 • По определению степени с натуральным показателем 2^ -2* =(2-2)-(2-2-2) = 2 раза 3 {>аза а"* • а" = (а «а*...'а) х т раз х(а • а • и...’а) = п раз ПО сочетательному закону умножения =2-2>2-2’2= 5 раз = а *а • av..*a = (m + л) раз ПО определению степени с натуральным показателем = 2“. I =а'"+". Итак, = I а" • о" = а™*". Свойство 2. o'": а" = а"*”", т > п, афО. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются. • Найдем 2=:2^; 1 5> 3. По первому свойству степени 25-3.2» =2®, I по определению деления 25-3 _ 25; 23. I Итак, 2® :2® =2®-®. Свойство 3. (дШ jn _ д1Ш» т> п, аФО. ,т п , „п — „т а"‘, Jт-п а"' :а" = o'"*", т> п,афО. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. 49 По определению степени с натуральным показателем (2^ )2 =2^ . 2® = (дШ jn _ дШ . дШ . дШ . .дШ _ по первому свойству степени = 2®^® = __ rtm + m + ...+ m _______ ПО определению умножения = а'"". (дт)« дшп_ = 2«-2. Итак, (2^)2 = 23-2. Свойство 4. (аЬ)" = а"Ь". При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель. • По определению степени с натуральным показателем (2-3)® =(2-3)(2-3)(2*3) = (аб)" =(а6)(а6)...(а6) = 3 раза ПО сочетательному и переместительному законам умножения = (2-2-2)(3-3-3) = 3 раза 3 раза = (а • а*...*а) (Ь •Ь’...’Ь) = п раз л раз ПО определению степени с натуральным показателем = 2* -З®. Итак, (2*3)2 = 22 *32. Свойство 5. = а" *Ь". (об)" = о"б". При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель. 50 Ответ' По определению степени с натуральным показателем 3 J 3 ' 3 ■ 3 3 pooa a a I'V no правилу умножения дробей 3 раза _ ” FFa ” 3 раза ПО определению степени с натуральным показателем 3» Итак, (|Г= 3^ а Задача 1 Вычислить: 13^ 13^ •5^-3'* 13® • 5 • 3^ 13^ ,^.^=137-6.53-1 .1^ Задача 2 13®* 5-3^ 13® - „ = 13*25 = 325. Скорость света равна 3*10® м/с, расстояние от Солнца до Земли равно 1,5* 10'^ м. За какое время пройдет луч света расстояние от Солнца до Земли? ► По формуле пути при равномерном движении 8 = of получаем 1,5 * 10'* = 3 * 10® f, откуда 1,5-10** f = : 3*10® = 0,5* 10® = 500. 500 с = 8 мин 20 с. -О а : а = а , п .ш пт (а ) = а (аЬ) = а ■ laf а" 15/ " Ь" 51 Упражнения Записать произведение в виде степени (160—162). 160 161 162 163 164 165 166 1) с®с2; 2) 1) 2^2^2*; 3) (-5)в(-5)»(-5)^ 1) (-2,5а)3(-2,50)8; 3) (дг-о)^(з:-а)»«; 3) 4) (3())(зг>)в. 2) 323538; 4) (-6)8 (-6)2 (-6)2. г 2) 6) 5х Т 4) (п + m)^^ (п + ffi)5. Записать в виде степени с основанием 2 (163—164). 1)32; 2) 128; 3) 1024; 4) 256; 5)25-128; 6)32-64. 1)64:4; 2)32:28; 3)8:22; 4) 256:32; 5)—; 6)—. 2® 2 Записать в виде степени с основанием 3 (165—166). 1)81; 2)27; 3) 729; 4) 243; 5) 3® - 81; 6) 243-27. 1)3^:9; 2) 27:32; 3) 243:27; 4)81:9; 5)—; 6)—. 3 З"* Записать частное в виде степени (167—168). 167 1) 168 169 170 171 172 2’:д;2; (¥)'( 3) 1) 3) (а-&)^:(о-Ь)5 4) d2'»:di2. 2) (2о)5:(2а)8; 4) (/п + о)“»:(т + л)5. Вычислить (169—170). 1) 1) 3 2-3 32 8-38 2-3 2 ’ 2) 2) 28 - 32 Ц8 - 42 ц2 - 4 ’ 3) 3) 3® - 3‘® 38 - 32 ' З"* - 2® - 2® 25-2? 4) 58-5' 5" - 5» ' 4) }6 , оЗ 3® • 3 - 3 Решить уравнение: 1) л::32 = 38; 2)д::2‘' = 22; 3)л:-2® = 28; 4) x-3® = 38; 5)5®-л:=5^ 6)4®-л:=48. Записать в виде степени с основанием о (172—173). 1) (о®)®; 2) (о8)2; 3) (а2)®а8; 4) а®(о2)8; 5) 0^^05(02 )■*; 6) a8(a8)8fl8 173 1) (а2)8:(оЗ)4. 2) (о® )'*: (дЗ )®; 3) (а® )® а* 4) а® (а'* f (о8) ЗЧ4 52 174 Найти значение выражения: (£2^8 (с» Г 1) при с = -3; , 1 2) = 9^ Q 2) 3) 1^; 4) 0,0004. оо 1о Представить в виде степени с основанием: 1) 22; 2) 2'*; 3) 2®; 4) Записать в виде степени с показателем 2 (176—177). 1) 0,01; 1) а*; 2) 6®; 3) с*“; 4) л:20. Возвести в степень произведение (178—181). 1) (3-5)^ 2) (7-6)«; 3) (1,3-8)®; 1) (ахУ; 2) (6j/)®; 3) (2,5cd)2; 1) (ху^У; 2) (аЧУ; 3) (2(>М': 1) (10л2т8)^ 2) (8a^fc2)3. 3) (_2,3а®6'‘)2; (Устно.) Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если длину каждой его стороны увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз? 183 (Устно.) Какую часть объема куба составляет куб, ребро которого составляет ^ часть ребра первого куба? 184 Записать в виде степени произведения выражение: 175 176 177 178 179 180 181 182 4) (4-^)2. 4) (3nm)2. 4) (0,1с2)2. 4) (-2шп^У. 1) 4® 2) 2* ,3. 185 186 187 188 189 190 3) 5^ •7'*: 4) 2® -3®; 5) 16а2; 6) 81*2; 7) п’’т’’8) IS^a^b®. Записать выражение в виде степени с показателем (185—186). 1) c2d">; 2) 3) 25а"; 1) а"5®с2; 2) х^у^г^-, 3) 49х8(/8; 4) 81т2. 4) 100с8д:®. Вычислить (187—189). 1) (0,25)2-4^; 2) / ч17 / л17 3) (-0,125)“ • 8"; 4) (-0,2)® • 5®. 1) 1) )8 г8 6® 81•27® )8 2) 2) 12® 2® -(72)" 3) 10® 14' 3) le-' 3® 12" 4) 4) 14" 2® • 7® 2» -(22)5 (2®)® Возвести в степень дробь (190—192). »(1р '' (-?)”' (-!)’= «(I)’ 53 191 192 1) 1) h]-’ ^>(1;)^ (“Г]’ Записать в виде степени (193—194). 4) 4) а + Ь а - Ь 193 1) 3^ 4I’ 2^ 2) 5® ^3 2® 194 1) (2а)2 (35)2’ 2) (3y)‘^ : 3)±; 4) — ’ 27 Пусть п, т,к — натуральные числа. Представить выражение в виде степени (195—198). 195 196 197 198 199 200 201 1) 4" • 4®; 2) 3» • З"; 3) с 28 , л Л , 4) а" • a^®. I)!/"-!/”; 2)Ь'’-5*; 3)5^*-S'*; 4) З^" • З®-". 1)22";2"; 2)2®":2^"; 3) :2^" ; 4) 2^"+® :. 1)3‘‘":3*'’; 2)3®'’:3^"; 3) 3"*® : 3"-^'; 4) З"*® : 3" + ^. При каком значении п верно равенство: 1)3'’=9; 2)128 = 2"; 3) (2^)" = 16; 4)(3")2 = 81? Вычислить (200—201). 1) 1) 612.412 312. gl2' 48 2) 410 . 310 210 . gio ’ 3) IS” 3“* • 52 • 25 4 / \4 4) ,10 3 7 202 Найти шестую степень числа, если; 1) его квадрат равен 0,25; 400; 11-; 2) его куб равен 0,008; 125; 3—; 37—. 8 27 203 1) Масса Земли равна 6 • 10^^ кг; масса Солнца — 2 • 10®® кг. Во сколько раз масса Земли меньше массы Солнца? 2) Расстояние от Земли до звезды Сириус 83 000 000 000 000 км. Вычислить приближенно, сколько лет луч света идет от Земли до Сириуса. 204 Вычислить с помощью микрокалькулятора: 1) 310; 2) 5»; 3) (2,3)-1; 4) (1,3)®. 205 Какое из чисел больше: 1) 54“* или 2112; 2) 10^0 или 20'®; 3) 1002® 900Q1®; 4) 6^® или 3’®? 54 206 Вычислить; 1) 3) 2“ • 5^^ - 2 • 5^^ (4.322 +7.321). 57 (19-27“)^ 2) 4) 5-2 32 4.2ЗО 4I6 5(3-7*®-19-ri-*) 71b +3.71 1 Одночлен. Стандартный вид одночлена ! I............I.............I.............• • • I...................I....................I • Рис. 2 При решении различных задач часто встречаются алгебраические выражения вида аЬ, ^хуг, За^Ь. Например, вместимость рефрижератора, размеры которого указаны на рисунке 2, равна ЗаЬс. Выражение ЗаЬс является произведением четырех множителей, из которых первый — число, а три следующих — буквы а, Ь, с. Множители, записанные с помощью цифр, называются числовыми множителями, а множители, обозначенные буквами, — буквенными множителями. Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом. Например, одночленами являются выражения аЬс, (-4)а • Заб, -а(-0,3)^) = 12 а® 6® с А А Рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых одночленов, т. е. степень одночлена, например (5а®6®с)®. Так как одночлен 5а®6®с является произведением множителей 5, а®, Ь®, с, то по свойству возведения произведения в степень имеем: (5а®Ь®с)® =5® (а®)® (ft®)® с® = 25a®ft'*c®. Точно так же (2р^®)® = 2®р®(д>®)® = 8р®д®. В результате возведения одночлена в натуральную степень снова получается одночлен. Упражнения Выполнить умножение одночленов (213—215). 213 1) (2р)(-3с®); 2) (-5т®)(-7л); 3) (4а®)(6а®): 4) J-ift® j(8ft®). 214 1) (3a®ft®c)(6a®ftc®); 2) (7a®ft®c)(-3aft'*c); 3) !^-|a®ft®A:j|^|a®ftx® j; 4) |^-|а®д:1/® j|^|ajr®(/j. 215 1) ^-im® |(-24л)(4л/л); 2) (-18л)^лг® |(-5лт); 3) lf'7^^‘/](0,2a®x); 4) (-13a®ftc)(-5aft®c)(-0,4aftc®). 59 216 217 218 219 220 Возвести одночлен в степень (216—218). 1) (2а)3; 2) 3) (ЗЬ^)^; 4) {2a^f. 1) (-2a2fe)3; 2) (-a^bcf; 3) (Sx^yf; 4) {-2x^y^)\ 1) j ; 2) j . 3) )*; 4) (0,40^62^ Выполнить действия (219—220). 1) (-2a)2(-3a); 2) (-a)»(2a); 3) (-0,2fcc2)2(20cx2); 4) (-ОДаЬ^с)^ (lOObi/*). 3) (-3ftc2)3(206^)2; 4) {-2a4)^(-a4^f\ ...(-7mn2)3. 5) I '^m^n I (6mn2)2; 6) 221 Выполнить умножение одночленов и найти значение полученного выражения; 1) • За^Ь при а = -2,6 = у; 2 2) -тл*10п^ при m =0,8, л =4. 5 222 Найти площадь прямоугольника со сторонами: 1) ifl и 106; 2) и 14г/. о 7 223 224 225 226 Найти объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами: 1) 0,25т, 1^л и бтп; 2) 0,1а, 26^ и 5аЬ. О Записать одночлен в виде квадрата другого одночлена; 1) 9а^; 2) 16д-^ 3) 25aV; 4) 81a:V; 5) 36x‘V': 6) l,21aV. Записать одночлен в виде куба другого одночлена: 1) 27а^ 2) 86®; 3) 27a^b^^; 4) 8а»6®; 5) т^х^у^^; 6) -0,027х®(/'®. 1^5 При каком значении л верно равенство: 1) (2а)" = 32а®; 3) (0,2у2)л . 100 = 4у^ 5) (0,3а6®)" .^=а2б®; 21 (-1- 4) [з|лг^ j •0,001 = ^/л‘==; 60 Многочлены в алгебре часто рассматриваются алгебраические выражения, представляющие собой сумму или разность одночленов. Например, площадь закрашенной части фигуры, изображенной на рисунке 3, а, равна ^ас + Ь^, а площадь фигуры, изображенной на рисунке 3, б, равна аЬ-с^. Выражение -ас+Ь^ — сумма двух одночленов ^ас и Ь^. Выражение -с^ — разность двух одночленов аЬ и или сумма одночленов аЬ и (-с"). Эти выражения являются алгебраическими суммами одночленов. Такие выражения называют многочленами. Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами этого многочлена. Например, членами многочлена Ьпт^ - Зт^k - 7nk^ + 4пт являются одночлены 5пт^, -Зт^к, -7пк^, 4пт. Рис. 3 61 Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом; многочлен, состоящий из трех членов, называют трехчленом и т. д. Примеры двучленов: , Бас + 4с. Примеры трехчленов: а + 2Ь-Зс, ^ — Ьс + Sab. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Если некоторые члены многочлена записаны не в стандартном виде, то этот многочлен можно упростить, записав все его члены в стандартном виде. Задача Упростить многочлен 2а-4Ь- БаЬас + 9Ьс • -^с. ► Запищем все члены данного многочлена в стандартном виде: 2а-4Ь = 8аЬ, - БаЬас =-Ба^Ьс, 9Ьс - — с = ЗЬс^. 3 Следовательно, 2а • 46 - БаЬас + 96с • —с = 8а6 - 5a^6c + Збс^. < 3 Упражнения 227 Составить многочлен из одночленов: 1) 6*2, 7хи 9; 2) 2x2, -11л: и 3: 3) -X* , X® и -х; 4) а® , - и а; 5) 8а*, 4а*6, -2а6* и 6*; 6) 4а*6, -2а^Ь^, -5о6*. 228 Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде; 1) 12а*6а-2а6а6*-(-Паба; 2) 2а6* -4а6-3а2 -8а6а-2а6а6* ; 3) 1,Бху^ (~4)хуг-Atnnkm^nk-, 4) 4cc*c^-jj6c + 5x1/2xi/2. 229 Найти числовое значение многочлена: 1) 2а^-а6 + 2б2 при а =-1, 6 =-0,5; 2) х^ + 2ху+у^ при х = 1,2, г/=-1,2. 230 Упростить многочлен и найти его числовое значение: 1) -аЬа + а^Ь-2аЬ + 4 приа = 2, 6 = i; 2 2) б2 • БаЬ - Ба ■ Ба'^Ь при а = i, 6 = -2; 5 3) х^ уху - ху^ ху + ху прих = -3, у = 2; 4) ху^х^у-хуху прих = -2, у = 3. 62 231 При каком значении х значение многочлена -0,2л: •Зд: + + 7х’ 1у + 0,1х^ • 6 - 2х равно 1? 232 Может ли значение многочлена: l)2ab + 3b^+U 2) -до- быть числом отрицательным, если а > 0 и fc > 0? 233 Может ли значение многочлена: 1) - 4а^ ; 2) аЬ-а^Ь^ — быть числом положительным, если а > 0, Ь>0? 234 На учебно-опытном участке собрано 1410 кг фруктов, причем яблок собрано в 5 раз больше, чем груш, и на 350 кг больше, чем слив. Сколько килограммов каждого вида фруктов собрано на этом участке? ^ Приведение подобных членов Задача 1 Имеются две книги с одинаковым числом букв на каждой странице; на одной странице помещается п строк и в каждой строке т букв. В первой книге 300 страниц, во второй — 500. Сколько всего букв в двух книгах? ► 1-й способ. Число букв на каждой странице равно тп. В первой книге ЗООпт букв, во второй — бООпт букв, в двух книгах (ЗООпто -I- бООпт) букв. 2-й способ. Число букв на каждой странице равно тп. Число страниц в двух книгах равно 300 + 500 = 800. Поэтому число букв в них равно 800пт. <■ Разумеется, оба ответа верные, поэтому ЗООпт + бООпт = ЗООпт. 63 Однако при вычислениях второй ответ оказывается более удобным. Например, если л = 40, m = 50, то пт = 2000 и для вычисления выражения ЗООпт + бООп/л нужно сделать еще три действия: 300 • 2000 + 500 • 2000 = = 600000 + 1000 000 = 1600 000, а для вычисления выражения ЗООпт нужно сделать всего одно действие: 800 • 2000 = 1600 000. Именно поэтому важно уметь упрощать алгебраические выражения. Двучлен ЗООлт -нбООллг является суммой двух одночленов: ЗООпт и 500пт. Эти одночлены отличаются друг от друга только коэффициентами. Такие одночлены называют подобными. Например, одночлены аЬс и -ЗаЬс подобны, одночлены 2pq^ и bq^p подобны, а одночлены а^Ь и аЬ^ не подобны. Одинаковые одночлены также считают подобными. Например, одночлены 2а^Ь и 2а^Ь подобны. Задача 2 Упростить многочлен ЗаЬ -2Ьс + 4ас -аЬ + ЗЬс + 4аЬ. ► Выделим подобные одночлены. Одночлены ЗаЬ, -аЬ, 4аЬ подобны, подчеркнем их одной чертой. Подобные одночлены -2Ьс и ЗЬс подчеркнем двумя чертами. Подобных одночлену 4ас нет, его подчеркивать не будем. Получим: ЗаЬ - 2^ + 4ас - аЬ + 3^ -I- 4оЬ. Переставим члены многочлена так, чтобы подобные члены стояли рядом, и заключим подобные члены в скобки. Получим: (ЗаЬ -аЬ + 4аЬ) + (-2Ьс -t- ЗЬс) + 4ас. Так как ЗаЬ — аЬ + 4аЬ = (3 — 1 -Н 4)аЬ — баЬ, -2Ьс + ЗЬс =(-2 + 3)Ьс = Ьс, то ЗаЬ - 2Ьс -I- 4ас - аЬ + ЗЬс + 4аЬ = = баЬ + Ьс + 4ас. < 64 -Vf'- Такое упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом, называют приведением подобных членов. У многочлена баб бс -ь 4ас каждый член записан в стандартном виде, и среди них нет подобных. Такой вид многочлена называют стандартным. Многочлен Za^b^-2а^Ь-\-а также записан в стандартном виде. Любой многочлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно записать каждый член многочлена в стандартном виде и привести подобные члены. Задача 3 Привести к стандартному виду многочлен бсб-—ас -Заса -8а^ - -б -t-25a^ - -с +аЬа - а^Ьс. 3 2 5 ► 6аЬ- — ас — Заса-8а^ -^б-нЗба^ -^с-1-оба - а^бс = 3 2 э = 2а^Ьс - За^с - 4а^б -Ь ба^с -Ь «Л - а^бс -= а^бс -и 2а^с - За^Ь. < Упражнения Привести подобные члены (236—236). 235 1 2“ ” 8” ” ' 8 236 1) 2тqq - Ат; 3) -^Зу^ + Ах^ - у^; 2) -^а^б - ^а^б-I-^а^б - —а^б. 4 ■ 16 2) За-1-26 —б-а; 4) ба^ - 46^ - За^ -t- б^. Привести многочлен к стандартному виду (237—240). 237 1) Пх^Ах - х^ - Ах; 2) 2у^ - 3y-k-2y-2y^; 3) 0,3с2 - 0,1с2 - 0,бс3; 4) 1,2а^ + 3,4а^ - 0,8а2. 2.38 1) 'г 3“' 3 з" 2) 1а2 +1„2 _ 3^2 ’ Ь 4 5 4 3) 2аб -1- 0,76^ - баб -f 1,26^ и- 8аб; 4) Ъху - 3,бр2 - 2хг/ -н 1,3у^ - ху. 239 1) 2a26-862-f ба^б-ьбс®-36^-1-4с2; 2) Зху^ + Ах^-Ьх^у-Зх^-i-Ах^у-9ху^. 3 А.пг«бра. 7 кл. 65 ЧТОБЫ РАСПИЛИТЬ БРЕВНО НА ТРИ ЧАСТИ, ТРЕБУЕТСЯ 12 МИНУТ. СКОЛЬКО МИНУТ ПОТРЕБУЕТСЯ, ЧТОБЫ РАСПИЛИТЬ БРЕВНО НА 4 ЧАСТИ? 240 1) 2т-4п-За-2Ь-0,2п-5т + Ь-Ьа - 5пт+ Sab; 2) ISab - 0,2x1/ -2а-5b + 6x(0,2)i/ + а(-3)Ь; 3) 2a6c-5a + l|a^ 4) 3nmk-4n - ^nm^2^^nk 241 Найти значение многочлена: 1) -0,08x + 73x1/^ + 27x1/^ при x = 4 и i/ = 0,2; 2) -2а^Ь + 4t» + lla^b при a = -—и b = 2—. *^3 4 242 Привести многочлен к стандартному виду и выяснить, при каких значениях х его значение равно 1: 1) 2х2-Зх-х2-5 + 2х-х2+10; 2) 0,3х^-х2 +х-х^ + 3х2 +0,7х* - 2x2 + 0,07. 243 1) Дли пртитивлеыии бриызы беретии 17 частей меди, 2 части цинка И одна часть олова. Сколько нужно взять каждого металла в отдельности, чтобы получить 400 кг бронзы? 2) План земельного участка имеет форму треугольника со сторонами 5 см, 4 см и 3 см. Какой выбран масштаб на этом плане, если периметр участка равен 60 м? 66 j Сложение и вычитание f многочленов Рассмотрим треугольник, размеры которого указаны на рисунке 4. Его периметр Р равен сумме длин сторон: Р = (2а + ЗЬ)+ (4а + Ь)+(2а + 4Ь). Это выражение является суммой трех многочленов: 2а + ЗЬ, 4а +Ь, 2а + 4Ь. Раскроем скобки: Р = 2а + ЗЬ + 4а + Ь + 2а + 4Ь. Приведя подобные члены, получим: Р = 8а + 8Ь. Точно так же любую алгебраическую сумму многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. Например: (2п^ - т^)-{п^ -m^ + 3q^) = Рис. 4 = 2п^ - - 3q^ = - 3q^ ; (ЗаЬ - 4Ьс) + (Ьс -аЬ)-(,ас - ЗЬс) = = ЗаЬ - 4Ьс +Ьс-аЬ-ас + ЗЬс = = 2аЬ-ас. В результате сложения и вычитания нескольких многочленов снова получается многочлен. Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. Иногда сумму или разность многочленов удобно находить «столбиком» (по аналогии со сложением и вычитанием чисел). При этом подобные члены располагаются друг под другом, например: оа^Ь-4Ьс + Зас ЗЬс - Час 5а^Ь -Ьс - 4ас ЪаЬс - 2аЬ + 4ас - Ьс ЗаЬс - ЗаЬ - ас -t- ЗЬс 2аЬс + аЬ + оас - 4Ьс 67 244 Упражнения Упростить алгебраическую сумму многочленов (244—246). 1) 8а+(-36 +5а); 2) 5a:-(2jc-3i/); 3) (6а-26)-(оа + 36); 4) (4х + 2) + (-х-1). 245 1) 2-Ь--Ь^ 246 247 248 249 250 251 232 253 5 4 2) (0,1с-0,4с2)-(0,1с-0,5с2); 3) (13л:-11|/+10г)-(-15л:+101/-152); 4) (17а+ 126-14с)-(11а-106-14с). 1) (1т^ - Атп-п^)-(2т^ — тп + п^У, 2) (5а^ - 11а6 + 8б2) + (-2б2 - Та^ + 5а6); 3) (-2х® +ху^) + {х^у-1) + {х^у-ху^ + Зл:®); 4) (Злг^^ +Ъху+1х^у)-{Ъху + 2х^)-(1х^у-2х'^). Найти сумму и разность многочленов: 1) 0,1д;2 + 0,021/2 и 0,17л:2-0,081/2; 2) 0,1л:2 -0,021/2 и -0,17д:2 +0,08у2; 3) а»-0,1262 и0,39а2-6®; 4) а2 +0,126® и -0,39а®+ 6®. Найти разность многочленов «столбиком»: 1) За® + 8а-4 и 3 + 8а-5а®; 2) 6® - 36® + 46 и 6 + 26® + 6®. Упростить выражение: 1) Р + Q, если Р = оа^ + 6, Q = -4а® - 6; 2) P-Q, если Р = 2р® - 3^®, Q=2p®-4g®; 3) А + В + С, если А=а^ - + аЬ, В = 2а® + Заб — 56®, С = -4а® + 2а6-36®; 4) А - В + С, если А = 2а® - Заб + 46®, В = За® + 4а6 - 6®, С = а® + 2а6 + 36®. Решить уравнение: 1) (7х-9) + (2дг-8) = 1; 3) (0,2х-7)-(6-0,1х) = 2; Доказать, что: 1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5; 2) сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8. Упростить: 1) 12,5х® + р® - (8х® - 5р® - (-10х® + (5,5х® - 6р® ))); 2) 0,6а6® + (2а® + 6® - (Заб® - (а® + 2,4а6® - 6® ))). В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 36. Найти число. 2) (12х + 5)+(7-Зх) = 3; 4) (1-5,1х)-(1,7х + 5,4) = 1. 68 254 В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 132. Найти число. Умножение многочлена на одночлен Рис. 5 На рисунке 5 указаны размеры дома, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем равен произведению высоты и площади основания: (а + 2Ь + с) ’ (ЗаЬ). Это выражение является произведением многочлена а + 2Ь + с и одночлена ЗаЬ. Применив распределительное свойство умножения, можно записать: (а + 2Ь + с)’ (ЗаЬ) = а • ЗаЬ + + 2Ь‘ЗаЬ + С‘ЗаЬ = = За^Ь + баЬ^ ЗаЬс. Точно так же выполняется умножение любого многочлена на одночлен, например: {2п^т - Зпт^)(-Апт) = = {2п^т){-Апт) +-(-Злт^) х х(-4лт) = -8п*т^ + 12л^т®; (.Чя2 _ 4аЬ + .5с2)(-5Ьс) = = За^ (-5fcc) - 4аЬ(-5Ьс) -I--1-5с^ (~5Ьс) = -15а^Ьс + + 20аЬ^с-25Ьс^. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. 69 в результате умножения многочлена на одночлен снова получится многочлен. Получившийся многочлен можно упростить, записав его в стандартном виде. Промежуточный результат можно не записывать, а сразу писать ответ, выполняя умножение одночленов устно, например: (-ЗаЬ + 2а^ - 4Ь^ j = ~ + 2аЬ^. ({-ЗаЬ) +2aW~ib^ a^b^\—a^b /i-2ab Я Умножение одночлена на многочлен производится по тому же правилу, так как при перестановке множителей произведение не меняется, например: 4pq(3p^ - q +2) = 12p^q -4pq^ + 8pg. Упражнения Найти произведение многочлена и одночлена (255—257). 255 1) 2(3а2 - 4а-1-8); 2) + Р): 256 257 258 259 260 3) (Зо-56 + &с)(-3): 1) 7а6(2а-1-ЗЬ); 3) \2p^q{q^p-q"^); 1) 17а(5д-i-6ft - ЗаЬ); 3) Зд:^р(5х-I-6р-н 7г); 261 4) (~5)(3х^ + 7х^ -X). 2) 5а2Ь(15Ь-нЗ): 4) Зху^ (ху -2х^). 2) ЗаЬ(2Ь-Зас+с^У, 4) хуг(х^ + 2у^ -ь Зг^). Упростить выражение (258—259). 1) 6(2t-3n)-3(3t-2n); 2) 5(а - Ь) - 4(2а - ЗЬ); 3) -2(3jt-2p)-5(2y-3x); 4) 7(4р + 3)-6(5 + 7р). 1) (х^- 1)-Зх-(х^ -2)-2х; 2) (4а^ - ЗЬ)-2Ь-(За^ - 4Ь)-ЗЬ. Найти значение алгебраического выражения: 1) 7(4а-1-ЗЬ)-6(5а-1-7Ь) приа = 2,Ь = -3; 2) а(2Ь-I-1) —Ь(2а — 1) прия = 10, Ь =-.5; 3) ЗаЬ(4а^ - Ь^) + 4аЬ(Ь^ - За^) при а = 10, Ь =-5; 4) 4а^ (5а-ЗЬ) - 5а^ (4а-t-Ь) при а =-2, Ь = -3. Решить уравнение: 1) 3(л:-1)-2(3-7д:) = 2(х-2); 2) 10(1-2л) = 5(2л:-3)-3(11д-5); 70 3) 1,3(х - 0,7) - 0,12(х + 10) - 5х = -9,75; 4) 2,5(0,2 + х)-0,5(х-0,7)-0,2х = 0,5. 262 При каком значении х равны значения выражений: 1) i(x-7) + l и 2) -(3-2х) и 5' ' 10 5 263 Во второй день турист прошел путь, равный 90% того, что он прошел в первый день, и после небольшого отдыха прошел еще 2 км. В третий день он прошел путь, равный 40% того, что было пройдено за первые два дня. Какое расстояние проходил турист ежедневно, если за три дня он прошел 56 км? Умножение .лшо1очлена на многочлен Задача Найти площадь поверхности стены, занятой шкафами, размеры которых указаны на рисунке 6. ► Поверхность стены, занятая шкафами, является прямоугольником со сторонами 2а+с + 2а =4ан-с иа+Ь + а = 2а + Ь. Рис. в 71 Площадь этого прямоугольника равна S = (4a + c)(2a + &). < Выражение (4а + с)(2а + Ь) является произведением многочленов 4а + с и 2а + &. Применяя распределительное свойство умножения чисел, можно записать: S = (4а +с)(2а + Ь) = 4а{2а + Ь) + с (2а + Ь). Далее, так как 4а(2а + Ь) = 8а^ + 4аЬ и с(2а +Ь) = 2ас + Ьс, то S = 8а^ -I- 4аЬ + 2ас + Ьс. Таким образом, для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый член многочлена 4а и- с на каждый член многочлена 2а + Ь и результаты сложить. Точно так же перемножаются любые два многочлена, например: (7п - 2т)(3п - 5т) = 7л • Зп + 7л • (-5гл) + +(-2т) • Зл + (~2т) • (~5т) = 21п^ - 35пт --блш + 10т^ = 21л2 - 41лл1 -н Юл!^. .1 (Сзп(-5т) =\21пШ-35тп\-6тг1'4-10гп^, Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. В результате умножения многочлена на многочлен снова получается многочлен, который можно записать в стандартном виде. При этом промежуточные результаты можно не писать, выполняя умножение одночленов устно, например: (2а - 4Ь + Зс)(5Ь - с) = = 10а& - 2ас - 206^ н- 4Ьс + 15Ьс-Зс^ = = lOafe - 2ас - 206^ + 19f»c - Зс^. Умножение нескольких многочленов нужно делать поочередно, например: 72 (а +b)(a + 2b)(a-3b) = (a^ + ЗаЬ + 2b^ )(a - 3b) = = a® - 3a®6 + 3a^b - 9a6® + 2a6® - 66® = = a®- 7a6® -66®. Упражнения Выполнить умножение многочленов (264—268). 264 265 266 267 268 269 1) (а + 2)(а + 3); 3) (л1 + 6)(п-1); 1) (c-4)(d-3): 3) (x+i/)(x+l); 1) (а® + 6)(а+6®); 3) (а® + 26)(2а+6®); 1) (2а-6)(4а® + 2а6 + 6®); 2) (г-1)(2 + 4); 4) (6 + 4)(с + 5). 2) (а-10)(-а-2); 4) (-р + д)(-1-д). 2) (5л:®-6|/®)(6л:®-5{/®): 4) (л:® + 2л:+ 1)(л: + 3). 2) (За-26)(9а® + ба6 + 46®): 270 271 272 3) (5jc + 3^)(25x® - 15лгг/ + 91/®); 4) (За + 26)(9а®-6а6 + 46®). 1) (а - 6)(а + 6)(а - 36); 2) (а + 6)(а - 6)(а + 36); 3) (х + 3)(2л:-1)(Зх + 2); 3) (х-2)(3х + 1)(4х-3). Найти значение алгебраического выражения, предварительно упростив его: 1) (а - 4)(о - 2) — (а — 1)(а — 3) приа = 1 —; 4 2) (тп — 5)(т - 1) - (т + 2)(т - 3) прит = -2.^: 5 3) (хн-1)(х +2)-1-(х + 3)(х-1-4) прих = -0,4; 4) (а - 1)(а - 2)-I-(а - 3)(а - 4) при а = 0,2. 1) Показать, что при х = 2у значение выражения (5х- 1) (х-(-З)-(х - 2)(5х -4) равно 49. 2) Показать, что при а = -3,5 значение выражения (а + 3) (9а -8) -(2 -1-а)(9а - 1) равно -29. Вычислить значение выражения: 2) приа=1. Упростить выражение и выяснить, при каком значении х значение выражения равно а: 1) (хн-3)(х-3)-ь(4-х)х-Зх; 2) х(1-2х)-(х-3)(х-ьЗ)4-Зх®; 3) х®(3-х)-(2-х®)(х-И)-4х®; 4) (хн-2)(хч-2)-х(5-х)-2х®. 73 м Е L р ' К а Ь D М В N К 1М с D F а Ь Е а) б) Рис. 7 273 1) Рассматривая площадь прямоугольника ABCZ) (рис. 7, а), показать, что (а +Ь){с +d) = ac + Ьс +ad +bd. 2) Рассматривая площадь прямоугольника АВРЕ (рис. 7, б), показать, что (о + 6)(с - d) = ас + Ьс - ad - bd. 3) Рассматривая площадь прямоугольника BFKM (рис. 7, б), показать, что (а +b)d = (а +Ь)с ~(а + Ь)(с -d). 274 Доказать, что если а(Ь + 1) + Ь(а + 1) = (а + 1)(6 + 1), то аЬ = 1. 275 Ширина прямоугольника на 15 м меньше его длины. Если ширину этого прямоугольника увеличить на 8 м, а длину уменьшить на 6 м, то площадь нового прямоугольника будет на 80 м^ больше площади данного. Найти площадь данного прямоугольника. 276 Периметр прямоугольника 60 см. Если длину этого прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь нового прямоугольника будет на 32 см^ меньше площади данного. Найти площадь данного прямоугольника. 277 Доказать равенство: 1) (п-2)(п-1)л(л-1-1) + 1 = (п2_ л-1)2; 2) л(л-н1)(л-н2)(л + 3)-1-1 = (л2-ьЗп-н1)2 3) (л - 3)(л - 2)(л - 1) л + 1 = (л2 - Зл и-1)2; 4) (л2 - 2л + 1)(л2 + 2л + 1) = (л2 -1)2. 74 .... I . Деление одночлена и многочлена на одночлен В предыдущих параграфах было показано, что в результате сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень нескольких одночленов и многочленов снова получается многочлен. В перечисленных действиях нет действия деления. Выражения, содержащие деление одночленов и многочленов, будут подробно рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также получается многочлен. 1. Деление одночлена на одночлен. Разделим одночлен 32a*fe^ на одночлен 4а^. По свойствам умножения и деления получаем: (32аЗ&2); ( 4д2) = (32 :4) • (аЗ: ) • {)2 = Sab^. Точно так же делятся одночлены и в других случаях, например: (4аЧ^У. {4аЧ^) = 1-, {22a4) = Za4c\ (9k^n^m’‘):(-3kn^m^) = -3k. 2. Деление многочлена на одночлен. Разделим многочлен 2а^Ь+4аЬ^ + 8аЬс на одночлен 2аЬ. По свойству деления суммы на число получаем: (2аЧ + 4аЬ^ + 8аЬс): (2аЬ) = {2аЧ): {2аЬ) + +(4а6^):(2а6) H-(8aftc):(2ab) = a + 2f) + 4c. Точно так же делится многочлен на одночлен и в других случаях, например: (9аЗг>2 _ За2(,3 + д2(,2).(3д2(,2) = = (9аЗ&2):(За2{,2)+(_Зд2^,3).(Зд2г,2) + +(a^b^)-.(3a^b^) = 3a-b + K 3 Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. 75 в рассмотренных примерах деления многочлена на одночлен в результате получался многочлен. В этих случаях говорят, что многочлен делится на одночлен. Однако деление многочлена на одночлен не всегда возможно. Например, многочлен аЬ + ас не делится на одночлен аЬ. При делении многочлена на одночлен предполагается, что буквы могут принимать такие значения, при которых делитель не равен нулю. 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 Упражнения Выполнить деление (278—284). 1) Ь^:Ь^; 2) ; 3) а":а^; 4) 6»: 6». 1)|,:(-2); 3) -2а:(-5); 4) gt, 1) 5а:а; 2) 8л::х; 3) 5а:(-а); 4) (-7у):(-у). 1) (-6х):(2х); 2) 15г:(5г); 4) 12аЬ:(-4аЬ). 2) (-10рд):(6д); 4) (-0,24а6с):(-0,6аб). 2) (-42т^ ):(-6т); 3) (-6х1/):(-Зхг/): 1) 8а6с:(-4а); 3) -6,4ху:(-4х); 1) 14а*:(7а2); 3) -0,2а1<»:(-а*0); 4) I -2-^0*^ |:(-2а'^). 1) .|^_|^2„2р2 j. 2) j; 3) -1,7р2^2рЗ.(28,9р2рЗ). Упростить выражение: 1) (4a^b^f■.(2aЧ)^; 3) (-аЬс^)^ :(-а^Ьс^)^; 4) -6а^Ь^с:(-2а^Ьс). 2) (9х^у)^ :(3xyf; 4) (-х^у^гУ :(хуг). Выполнить деление (286—289). 1)(12а + 6):3; 2)(10Ь-5):5; 3) (14т-8):(-2); 4) (-6-1-Зх):(-3). 1) (Smn -6пр):п; 2) (4а^ —За6):а; 3)(х-ху):х; 4) (cd-d):(-d). 1) (3a^b-4ab^):(5ab); 2) {2c^d* + 3c*d^y.(-3c4^)-, 3) (-27k4^+2lk^yy.{-l0k^yy, 4) (-o5fc3 + За«б2):(4а'‘б2). 76 ВЛАДЕЛЕЦ НОВОГО АВТОМОБИЛЯ «ЖИГУЛИ» МЕНЯЕТ КОЛЕСА (ХОДОВЫЕ И ЗАПАСНОЕ) ПО СХЕМЕ, УКАЗАННОЙ НА РИСУНКЕ СТРЕЛКАМИ. ОКАЗАЛОСЬ, ЧТО ЧЕРЕЗ 30 000 КМ ПРОБЕГА ВСЕ КОЛЕСА ИЗНОСИЛИСЬ ОДИНАКОВО. СКОЛЬКО КИЛОМЕТРОВ ПРОБЕЖАЛО КАЖДОЕ КОЛЕСО? 289 1) (6а-86+10): 2; 3) (Юа^ - 12а6 + 8а):2а; 2) (8л:+12у-16):(-4); 4) (2аЬ + 6а^Ь^ -46):26. 290 291 Упростить выражение (290—291). 1) (баЗ - ЗаЗ):оЗ + (12аЗ + 9а):(3а); 2) (8х^ - 4х^):(2х‘^)-(4х^ -Зх):х; 3) (7г/3 +4/):г/2-(14i/3 + 6p):(2i/); 4) (106® +15бЗ):(5бЗ)-(6“ - 6^):6. 1) (Зх^-2х^у):х^ ~(2ху^ + г/): ^i д:г/j; 2) (аЗб-ЗабЗ):|^|аб| + (6бЗ - 5аЬ^):Ь^\ 3) (За^х-2ах^)-.[^^ах^-(а*х^ -а^х*):^^а^х^ j; 4) [|V +-|бЗуЗ j:|^|6(/3 j-(863(/-263(/2);(262|/). Найти значение алгебраического выражения (292—293). 292 (18а^ - 27аЗ):(9а2)-10аЗ: (5а) при а =-8. 293 (Зх^ +4х^у):х'^ -(\0ху+\Ьу^):(Ьу) при д: = 2, р = -5. 77 Упражнения к главе III Вычислить (294—296). 294 ,4 (-0,2)“ 2) ; 04 (3,2)2 _ 4) (0,1)3 (-0,1)“ (1,6)2 295 ,, 2® -23 „ 3"-9 „ 3“ • 3® —Г-’ 2“ 2) ; 012 3® 4) (2,6)^ (1,3)2’ 2® • 16 301 3^' ' 5^ 17;' ' 1,3; \2) ■ ' ' 4 Верно ли равенство + Ц2 + 12^ = 13^ + 142? Записать в виде степени с показателем 3: 1) а«(>2; 2) -lOOOfc®; 3) 4) -O.OOSar^p». Выполнить умножение одночленов: 1) (-0,4л:^1/®22)(-1,2л:г/22); 2) {-2,on*m^k^)(3nm^k^); 3) (-lix2y32jj^_il;cy222 j; 4) [2ia26V jj-3ia3ft2c4 j. Выполнить сложение и вычитание многочленов: 2) (0,За-1,2Ь) + (а-Ь)-(1,За-0,2Ь); 3) 11рЗ - 2р2 _ (р8 _ р2)^.(_5р2 _ ЗрЗ). 4) 5^2 + 5x3 (J.3 _ Д.2 J ^ _2 Д.З ^ 4д.2 j Выполнить умножение многочлена на одночлен: 296 297 298 299 1) 1 2) I |а2ь4 +ia35j|a53. -г^алг- 302 3) |^lla3x3_2|a2x3-11ох“ j|^-2 4) -216« р + 2 i 53 j^2 _ 1 що j J _2 ^ 54 j. Выполнить умножение многочленов (302—303). 1) |^ia + 3ftj|^ia-35j; 2) (0,3-m)(m + 0,3); (iatZI.) 3) I ^a-2b 4) (0,2a + 0,5x)(0,2a - 0,5x). 78 303 1) (5c-4t/)(-8c-2x + 6i/); 2) (46-с)(-56 + 3с-4г/); 3) (4л:-3|/ + 22){Зд:-3|/); 4) (3o-36 + 4c)(3a-56). 304 Упростить выражение: 1) Ьх'^ : X ~(2xY + х‘^ :(2х'^); 2) &х^ -.х- Ъх^^: х^ + (2х)^; 1 3) |^3д:'' + |л:2 j:^:-^:3:(3jc2) + (3s:)3; 4) (12л:3-8л:2):4л:-4л;(Зл: + 0,25). Провсфь себя! 1 Представить выражение в виде степени: 5®-52; 3*:3®; (2»)“'; 3* • 2®. 2 Упростить выражение {ЗЬ+с^ - d)-(c^ - 2d). 3 Выполнить действия: (-0,25а®Ь^с)' (оаЬс); (7т^ - 20тп - Ют): Ют. 4 Упростить выражение 2/n(m. — 1) + (т — 2)(от+2) + 2т и найти его числовое значение при /п = —0,25. 305 306 307 308 Решить уравнение: 1) (-2)®-л: + (0,4)2 = (-1)9-(1-2х); 2) (1,2)2 _ (0,1)2 (20-200д:) = (1,4)2. Сколько процентов от числа 500 составляет четвертая степень числа 5? Четвертая степень числа 0,2 составляет 64% числа а. Найти число а. Пусть п — натуральное число. Записать выражение в виде степени: 1) о2 • а2" .а2"-2; 2) ЛГ"^2 . ^8 . д-4«-1 . ^бя-4 , yyin+1 q4 п+Я , 03л-2 3) 4) 309 а“"-‘ 3 При каком значении п верно равенство: 1) (4^)" = 4'2; 2) (5")2= 5‘‘‘; 3)22'- = 4“; 4) 3(32)" = 3*’? 79 Старинные задачи (310—311) 310 311 312 — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? — Вот сколько, — ответил философ. — Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и, кроме того, есть еще три ученика. — Хрбноса вестник, скажи, какая часть дня миновала? — Дважды две трети того, что прошло, остается *. В автобусе было п пассажиров. На первых двух остановках вышло по т человек на каждой остановке, а на третьей никто не вышел, но вошло несколько человек, после чего в автобусе стало h пассажиров. Сколько человек вошло в автобус на третьей остановке? 313 Решить уравнение: 1) = 2) 10 2 0.4 0.1-2Х 2,5-10х 12 314 Упростить (л — натуральное число, п > 4): 1) (12-8-52" -1-4-52'*-1):(4-52"-2); 2) (36-18" - в-З"-* -9" - 3"+' -6"+1) :18"- 315 Доказать, что если 2(а и-1)(Ь и-1) = (а-t-5)(a-н б-н2), то = 2. 316 Сумма вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на р%. Доказать, что, вложив в банк а рублей, через три года вкладчик будет иметь на счету а • 100 ) рублей. 317 Вычислить с помощью микрокалькулятора значение выражения а-(1,02)" при а = 1000 и л = 3; 5; 10. Результат округлить до сотых. * Хронос — бог времени в греческой мифологии. В Древней Греции день содержал 12 ч. IV гла^а Разложение многочленов на множители Вынесение общего множителя за скобки Задача 1 В главе III было показано, что в результате умножения многочленов получается многочлен. Часто приходится решать обратную задачу о представлении многочлена в виде произведения нескольких одночленов и многочленов, т. е. решать задачу о разложении многочлена на множители. Найти числовое значение выражения ab + ac-ad приа=43, fc = 26, с = 17, d = 23. ► Используя распределительное свойство умножения, данный многочлен можно представить в виде произведения одночлена и многочлена: ab+ac-ad =а{Ь+с-d). Теперь легко провести вычисления: 43(26-н 17-23) = 43-20 = 860. <1 Разложить многочлен ab + ac — ad на множители удалось потому, что все члены этого многочлена имеют общий множитель а. Применяя распределительное свойство умножения, этот множитель можно вынести за скобки. Приведем другие примеры вынесения общего множителя за скобки: 1) 19а-38Ь = 19-а-19-26 = 19(а-2&); 81 2) За^Ь + 46с® = b-3a^ +b~Ac^ = b(3a^ + 4c® ); 3) 6ai) + 3b-126c=32-5&2с-10с» + 32ас2; 2) &mnk^+ 1Ът^к-\4п^к-ЗЪтп^', 3) -28ас+ 35с^ - 10сл: + 8ад:; 4) -24Ьх-15с^ + 40Ьс + 9сх. 344 1) ху^ - Ьу^ - ах + аЬ + у^ - а; 2) ах^-ау-Ьх^ + су + Ьу-сх^; 3) х'^ - Ьх^ + х-Ьх + а^у-Ьу; 4) ах^ - Ьх^ + ау-Ьу-ах+Ьх. 345 Найти значение выражения: 1) 5а^ - 5ах-7а + 7X при х = -3, а = 4; 2) - тп-Зт + Зп при m = 0,5, л =0,25; 3) +аЬ-5а-5Ь при а = 6,6, Ь = 0,4; 4) а^-аЬ-2а + 2Ь при а = ^, Ь = 0,15. 346 Вычислить: 1) 139-15 + 18-139 + 15-261 + 18-261; 2) 125-48-31-82-31-43 + 125-83; 3) 14,7-13-2-14,7 + 13-5,3-2-5,3; 4) 31.4^4,2.f + 3i.2l + 2,8.|. 347 Решить уравнение: 1) (х^-4л:)+д:-4 = 0; 2) (л:2 + 7л;)-4д:-28 = 0; 3) 5x2-10х+(л:-2) = 0; 4) Зх2 + 12х-(х + 4) = 0. Разделить разность многочленов х® - Зх^ и2х2-6хнах-2. Разложить многочлен на множители (349—350). 1) х2 + Зх + 2; 2) х2-5х + 6; 3) х2-7х-8; 4) х^ + Ох-Ю. 2) х*-7х + 6; 4) 2а'* — а2 - 1. 348 349 350 1) а» + 2а2-3; 3) а* +2а®+ 1; 87 Формула разности 1хкадратов Умножим сумму двух чисел на их разность: (а+Ь){а-Ь)=а^ -ab+ab-b^ = а^-Ь^, т. е. (о+Ь)(о-Ь)=а^-Ь* или -Ь^ = (а -Ь){а + Ь). (1) (2) Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы. В равенствах (1) и (2) а, Ь — любые числа или алгебраические выражения, например: 1) (nm + 3k)(nm-3k) = n^m^-9k^; 2) ia*b^ -25 = (2a^b-5)(2a’^b + 5); 3) (a-i-b)2-16=(a-(-t>-4)(a-l-6-(-4). a C b H 7Ш Ш , _ ^2 ^ ABC D ^AEFG - ^GFEBCD — ^EBHL M ^GFEBCD ^EBHL = a2 = (a-b)(a + b) Формулу (1) называют формулой сокращенного умножения. Она применяется для упрощения вычислений, например: 1) 63*57 = (60-1-3)(60-3) = 3600-9 = 3591: 2) 98 • 102 = (100 - 2)( 100 -I- 2) = 1002 - 2^ = 9995 Формулу (2) называют формулой разности квадратов. Она применяется при разложении многочленов на множители, например: 1) а2-9 = (а-3)(п-н3); 88 351 2) 4b* -0,64c2 = (2b^ )2 - (0,8c)^ = = (2fe2-0,8c)(2fe2+0,8c): 3) (a-b)^-l=(a-b-l)(a-b + l); 4) (a + b)^ -(a-c)^ = (a + b-a+c) (a+ b + a- c) = = (b+c)(2a +b-c). Упражнения Представить в виде квадрата одночлена: 1) 4а*; 96*; 16с*; 0,04л:*; 2) 0,25л:*у*; 0,16m^ 0,81лв; 9 3) 0,01а^6*; -х^у Id 2 „4 . 9 -т’п" 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 — х^г* 49 ’16 Разложить на множители (352—355). 1) 25л*-9; 2) 4а*-9; 3) 64г/*-36л*; 4) 81а*-166*. 1)1у2_16^2 2) 1а*--6*; 9^ 25 9 16 3) 0,25а*-0,496*; 4) 0,09 л* - 0,16!/*. 1)36л*1/*-1; 2) 81а«-496‘'; 3)л*г/^-16; 4) 25а* - 96«. 1) а^-6^; 2) а'-6*; 3) а“ - 16; 4) 6“-81. Выполнить умножение (356—368). 1) (26 + а)(26-а); 2) (с+ 3d)(c-3d); 3) (у + 6х)(6х-у); 4) (3т-2п)(2п + 3т). 1) (c* + d*)(c*-d*); 2) (а* + 6*)(а*-6*); 3) (л''-i/*)(j/*+Л'*); 4) (тп* - п® )(m* + л®). 1) (3а*+46®)(3а*-46®); 2) (2т* - 5п^ )(5п^ +2т*); 3) (0,2f®+0,5p'‘)(0,5p'‘-0,2<®); 4) (1,2а*-0,36*)(1,2а*+0,36*). Вычислить (359—360). 1) 48-52; 2) 68-72; 3) 43-37; 4) 47-53; 1) 47-33; 2) 44-36; 3) 84-76; 4) 201-199. Разложить на множители (361—362). 1) (о+6)*-с*; 2) (m-n)*-fe*; 3) (а + 26)*-9а*; 4) (Зл-р)* - 4j/*. 1) (а-6)*-(а-с)*; 2) (а+6)*-(6 + с)*; 3) (2а+6)*-(26+а)*; 4) (а+ 36)* - (За+6)*. Вычислить: 1) 47*-37*; 2) 54* - 44*; 3) 50,7*-50,6*; 4) 29,4*-29,3*; 5)|б| (4)^ Ч4Г-К)- 89 364 365 366 367 368 369 Решить уравнение: 1) (д:-1)(л:+1) = л:2-2(х-3); 2) 3(д: + 5)-д:^ = (2-л:)(2 +jc); 3) (2л: + 3)(2а: + 3)-4(л:-1)(л;+1) = 49; 4) (Зд:+1)(Зх + 1)-(Зл:-2)(2 + Зл:) = 17. Выполнить умножение: 1) (3+лг)(3-л:)(9 + л:=*); 2) +у^)(2х + у)(,2х-у); 3) (х^ +1)(дг+1)(х-1); 4) {3a-2b)(3a + 2b)i9a^ +4Ь^). Вычислить: 1) 49^-212 2) 632-27^ 3) 40,7^-40,6““ 4) 51,32-11,32 57^-15'^ 782-3Q2’ 32,32- 5,22 ’*' 113,92- 73,92' Доказать, что модуль разности квадратов двух последовательных натуральных чисел есть нечетное число. Доказать, что при любом натуральном п число (7л и-1)2--(2л-4)2 делится на 15. Разложить на множители: 1) (а+Ь)2-(а-&)2-8Ь2; 2) (я2-|-б2)2_(д2_й2)2_д2. 3) (а^-1-(>'')2-(а''-б-‘)2-а2(72; 4) 9а^ - 13a2fc2 + 4b-*. Квадрат суммы. 1Свал,рат разности Рассмотрим квадрат суммы двух чисел (а+5)2. Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен, получаем: (0+5)2 = (а+5)(а + 5) = = о2 + ab+ab + b^ = + 2аЬ + Ь^, т. е. (а + 5)2 = а*+ 2о5+52. (1) Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. 90 Заметим, что формулу (1) можно получить, рассматривая площадь квадрата, изображенного на рисунке 8. Рассмотрим теперь квадрат разности двух чисел: (а-Ь)^= (а-Ь)(а-Ь) = = -ab-ab + b^ = -2аЬ+Ь^, т. е. (а-Ь)2= а2-2аЫ-г>2, (2) Рис. 8 Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. В равенствах (1) и (2) а и & — любые числа или алгебраические выражения, например: 1) (2m+3k)^ = (,2mf + 2‘2m'3k+(3kf = = 4т^ +12mk+9k^; 2) (5а2-3)2 =(5а2)2-2-ба^-3-1-32 = = 25а‘‘-30а2 + 9; 3) (-а-ЗЬ)2 = ((-1)(а+ЗЬ))2 = = (-1)2 (а и-36)2 = (0-1-36)2 ^ д2 + 2а -36-н(36)2 ^ = а2 + 6аЬ + 9Ь^. Промежуточный результат можно не писать, производя необходимые вычисления устно. Например, можно сразу написать: (5а2 - 762 )2 250“* - 70а2б2 н- 496^. Формулы квадрата суммы (1) и квадрата разности (2) называют также формулами сокращенного умножения и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений, например: 1) 992 =(100-1)2 = 10000-200 + 1 = 9801; 2) 522 =(50 + 2)2 = 2500 + 200 + 4=2704. Формула (1) применяется также для приближенных вычислений значений выражения (1 + а)2. Если модуль числа а мал по сравнению с 1 (например, а = 0,0032 или а = -0,0021, то число а^ тем более мало и поэтому равенство (1+а)2 = 1 + 2а + а2 можно заменить приближенным равенством (1 + а)2 1 + 2а. Например: 1) (1,002)2 =(1 + 0,002)2 ~ 1 + 2-0,002 = = 1,004, т. е. (1,002)2 « 1,004; 2) (0,997)2 =(1-0,003)2 «1-2-0,003 = = 0,994, т. е. (0,997)2 «о,994. аЬ ah _ а ^ ь 91 Формулы квадрата суммы и квадрата разности иногда применяются к разложению многочленов на множители, например: 1) + 10х + 25= + 2*5'х + 5^ = (х + 5)^; 2) - Sa^b^ + 16Ь® = (а^ )2 - 2 -а^ • 46^ + (4Ь^ f = = (a^ -46*)^. Задача Доказать формулу (a + bf +За^Ь+ЗаЬ^ +ЬК (3) ► (а + Ь)® = (а + 6)(а + Ь)^ =(a+fc)(a^ + 2ai> + b^) = = а^ + 2a^b + ab^ +a^b + 2ab^ +b^ =а® +За^Ь + + 3а&2 +г,з о Аналогично доказывается формула (a-bf = а^-За^Ь+ЗаЬ^ - Ь\ (4) Формулы (3) и (4) называют формулами куба суммы и куба разности. 370 371 372 373 374 375 376 Упражнения Представить квадрат двучлена в виде многочлена (370—373). 1) (c+d)2; 2) (x-yf-, 3) (2 + х)2; 4) (х + 1)2. 1) (9 + 2р)2; 2) (3x + 2i/)2; 3) (6а-4Ь)2; 4) (5z-t)K 1) (0,2x + 0,3i/)2; 2) (0,46-0,5с)2; 2 (1 Л \ 4) 3) 1) (-4а6-5а^)^; 3) (0,2x2 +5х|/)2; 377 2) (-3b^-2abf; 4) (4ху + 0,5«/2)2. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения (374—375). 1) (90-1)2; 2) (40 + 1)2; 3) 1012; 4) 932 1) 722; 2) 5?2; 3) 9972; 4) юо!^. Применяя формулу (1 + а2) = 1 + 2а, найти приближенное значение числа: 1) 1.00о2; 2) 1,0042; 3) 1,0122; 4) 1,оц2; 5) 0,9922; 6) 0,9942; 0,9882; gj 0,9892. Заменить х одночленом так, чтобы получился квадрат двучлена (377—378). 1) а2+4а+х; 2) р2_о,5р + ^; 3) 36а2-х + 49б2; 4) а2-6аб + х. 92 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 1) т*-3т^+х; 2) a^+ab + x; 3) 4а^-5а + лг; 4) д: + 6а + 9а^. Разложите на множители многочлен (379—383). 2) 1 + 2с+с2; 4) 81-18л:+л;2. 2) 100-60а + 9а2; 4) +10аЬ + 25Ь^. 2) р^-2р^д+д^; 4) 25о« +300^6 + 962. 2) Ь-*-18Ь^ +81; 4) 16-8а^Ь^ +а*Ь\ 2) -9+6Ь-Ь^; 4) -12a&-3a2-12«>2. 2) 64^2 -(3-8д:)2 =87; 4) (2x-3f -(2х + 3)2 =12. 388 389 390 391 1) 9а2 -6а+1; 3) 365^ +иЬ + 1; 1) 9х^ +24Х + 16; 3) Збт^ +12тп + л^; 1) х' +2х^у + у^; 3) 4с'* +12c2d* + 9d®; 1) а'’-8а2 + 16; 3) 25а-*- Юа^Ь + Ь^; 1) -а^-2а-1; 3) -2а^+8аг>-8б2; Решить уравнение: 1) 16x2 -(4х-5)2 = 15; 3) -5х(х-3) + 5(х-1)2 =-20; Упростить выражение: 1) (x-yf + (x + yf; 2) (х+!/)2-(х-1/)2; 3) (2а + Ь)2-(2а-6)2; 3) {2a + bf +(2а-ЬУ. Доказать, что: 1) (а-Ь)2 =(&-а)2; 2) i-a-bf ={a+bf-, 3) (-а-6)(а + 6) = -(а + 6)2; 4) (а-б)» =-(а-а)3; 5)* (а+6 + с)2 =д2 +1)2 ц.^,2 +2аЬ + 2ас + 2Ьс. Найти значение выражения: 1) 5т.2 -Ютл+5^2 прит = 142, л = 42; 2) 6/^2+12тл+6л2 прит = 56, л=44; 3) -Зба*+4a2b-iafe2 при а =4, & = 48; 4) -64а^ -8а^Ь--аЬ'^ при а =-6, Ь = 84. 4 Вычислить: 1) 1012 _202'81 + 812; 482 +2-48-18 + 182 4) 2) 3? 2 +126 - 37 + 632; 852 _172 4) 482 -182 ’ ' 8q2+2-85-17 + 172 Используя формулы куба суммы или куба разности двух чисел, выполнить действие: 1) (х + 2)3; 2) (3-1/)=’; 3) (2а-6)=’; 4) (Зб + 2а)=’. Разложить многочлен на множители: 1) 125+75а + 15а2+а2; 2) от®-12лг2+48л1-64; 3) х« -3х*у + 3х^у^ -у^; 4) с« +3c*d^ +ЗсЧ* +d«. Квадрат двузначного числа содержит нечетное число десятков. Найти цифру единиц этого двузначного числа. 93 Применение нескольких способов разложения многочлена на множители При разложении многочленов на множители иногда используется не один, а несколько способов. Приведем примеры. 1) а® -а=а(а^ -1) = а(а-1)(а + 1). Здесь было использовано два способа: вынесение общего множителя за скобки и применение формулы разности квадратов. 2) (д2 +1)2-4о2 =((а2 +1)-2а)((а2+1)+2а) = = (а^ +1-2а)(а^ +1 + 2а)=(а^ -2а + 1)(а^ + 2а + 1) = = (а-1)2 (а + 1)2. Здесь сначала использовалась формула разности квадратов, затем были применены формулы квадрата суммы и разности. 3) 4.г2 — J/2 +4х + 2;/ = (4х^ — ) + (4x + 2t/) = = (2x-!/)(2x + !/) + 2(2x+!/) = (2x + !/)(2x-i/+2). В этом примере используется способ группировки, формула разности квадратов и вынесение общего множителя за скобки. Эти примеры показывают, что при разложении многочленов на множители полезно соблюдать следующий порядок: 1) вынести общий множитель за скобку (если он есть); 2) попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения; 3) попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели). Задача Доказать равенство +Ь^ =(a+b)(a^-ab + b^). (1) ► Преобразуем правую часть равенства: (а+Ь)(а^ -аЬ + Ь^) = = а* -а^Ь + аЬ^ +а^Ь-аЬ^ +Ь^ =а® +б®. Правая часть равенства оказалась равной левой части, т. е. равенство (1) доказано. <1 94 Аналогично доказывается равенство = (а-Ь){а^ + аЬ + Ь^). (2) Равенства (1) и (2) называют формулами суммы и разности кубов. Иногда эти формулы применяются при разложении многочленов на множители. Например: 1) 21+ Ь^ =(3+b)(9-3b + b^y, 2) х*-Зху^ =х{х^ -Зу^) = х(х-2у){х'^ + 2ху + ‘^у^). Упражнения Разложить на множители (392—396). 392 1) 2о2-2; 2)Зл:2-12; 3) 9л;2 -81л:; 4) 16л:-4л:2; 5) 8- •72л:®1/2; 6) 32а*Ь-2аЧ. 393 1) 2о2 +405 + 2*2; 2) 2т2 +2«2 -4ош; 3) 5^2 +10ху + 5у^; 4) 8р2 _ 16р + 8; 5) 27о2*2 -18о5 + 3; 6) 12m2n + 24m'‘n + 12m2n. 394 1) (л:2 +1)2 -4л:2; 2) (jf2 +2л:)2 -1; 3) 4г/^ -(|/-с)2; 4) 81-(р2 +6р)2. 395 1) (о2 +2о5 + *2 )-с2; 2) 1-(д;2 -2ху+у^У 3) 1—fl2 —2а5-*2; 4) 4-д:2 -2ху—у^. 396 1) о2 -*2 +0 + 5; 2) fl2 -*2 -а-Ь; 3) X-у-Х^ + у2; 4) л;2 +д:2 -л:-1; 5) 7П® -m2 +т2 -1; 6) л:^ - л:2 + л: -1. 397 1) Вычислить (397—398). 53^ -27* 79-^ -оГ 2) 3) 49^ -2-49-29 + 29^ 4) 38^ -17^ 472 _ig2 472 398 399 400 401 27^ -I-2-27-13-I-132 2) 37-12,2-1-22,42 -14,62; 4) 97-2,2-99,62 +2,62. 492 -192 1) 19,72-8,32-1-28-8,6; 3) 38,82 +83-15,4-44,22 Доказать равенство: 1) х'^ +2х-у'^ +2у = {х + у)(х-у + 2у, 2) а2-25-0-4*2 =(а + 25)(а-2г»-1). Найти значение выражения: 1) -х^у-ху^+у'^ ирих=12,07, j/ = 2,07; 2) +a^b-ab^ -Ь^ при о = 7,37, 5 = 2,63. Решить уравнение: 1) 2л:2 -10х + л;2 -25 = 0; 2) д:2 +4л: + 4-16д:2 =0; 3) х^ -X* -2х^ +2х^ +х-1 = 0; 4) 2д:‘‘-2д;2-2л:2+2х = 0. 95 СЕЙЧАС НА ЧАСАХ 10.00. КАКОЕ ВРЕМЯ ПОКАЖУТ ЧАСЫ ЧЕРЕЗ 121036842 ЧАСА? 402 Доказать, что число 27^ -14^ делится на 13. 403 Доказать, что при любом целом п значение выражения (7п-2)^ -(2л-7)^ делится на 5; делится на 9. 404 Используя формулы суммы или разности кубов, упростить: 1) (а-2)(а^ +2а+4); 2) (Ь + х)(&^ -Ьх + х^); 3) (2а+3)(4а2 -6а + 9); 4) (а^ -1)(а“ +о2 +1). 405 Разложить на множители: l)27a®-()*; 2) +64; 3)8/n*+n»; 4)c«-125d3. 406 Доказать, что если каждое из двух натуральных чисел не делится па 3, то модуль разности квадратов отих чисел делится на 3. 407 Доказать, что модуль разности кубов двух последовательных натуральных чисел не делится на 3. 96 I'.; а II' 408 409 410 411 412 413 Разложить на множители (408—411). 1) 6(а+Ь)+(а+ЬУ; 2) 4(х-у) + 3(х-у)^; 3) (a-b) + (b-a)^; 4) (a-bf-(Ь-а). 1) (с-3)2-(с + ЗИЗ-с); 2) (а + 2)2-(а + 2)(2-а); 3) i-b-a){a + b) + a^ +Ь^; 4) (b-a)(-a-b)-3b^. 1) 26(д:-1)-За(д:-1)+с(х-1); 2) c{p-q)~a(p-q) + b(p-q). 1) 8aj: + 16ai/-3bjc-6bi/; 2) 14am-7an + 8bn-4bn; 3) 9a2+6a + l-4fe2; 4) 25a^-4b‘‘+4b-l. Вычислить: 1) 287^-287-48+ 239-713; 2) 73,4^ + 73,4-17,2-90,6-63,4. Упростить выражение и найти его числовое значение: 1) |^4c + ia:j|^4c —j + |^4c-ixj прис = ^, х = 2; 2) (0,la-0,2fe)^+(0,la-0,2fe)(0,la + 0,2b) при а = -50, 5 = -ll 3 1 Представить выражение в виде многочлена стгшдартного вида: (а + 3)^ +(а-3)(а + 3) + 6а. 2 Разложить на множители: ху-2у, 16а^-81; Зх^-6х^; х^-10х + 25', 3(х-1)+1/(х-1); 2а^ -4аЬ + 2Ь^. 3 Разложить на множители многочлен -ЗаЬ + За-96 и наити его числовое значение при а = 1, Ь = —. 3 414 Доказать, что при любых значениях х и у верно равенство: 1) (х + у){х^-у^) = (х-у){х + у)^; 2) (х-2у)(х + 2у)(х^ +4y^) = x‘^-16у*. 415 Разложить на множители многочлен: 1) mn-kn-m^ +2mk—k^‘, 2) -2с+ l-d^ -2de-е^. 4 Алгебра, 7 кл. 97 416 Разложить на множители: 1) (л:^-1)2-(д;2+2)2; 2) (5+х2 )2-(7 + д:2 )2; 3) (Зх-1)2-(5-2д:)2; 4) (7 + 5л:)2-(Зд:-2)2. 417 Решить уравнение: 1) (Зх-1)2 -(Зл:-2)2 =0; 2) (j/-2)((/ + 3)-(j/-2)2 =5; 3) (дг + 3)(!/ + 7)-(х + 4)2 =0; 4) (y + bf -(i/ + 9)(y-5) = 117; 5) (Зл: + 2)(Зд:-2)-{Зд:-4)2 =28. 418 Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м, а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м. Сравнить площади прямоугольника и квадрата. 419 Скорость пассажирского поезда равна 60 км/ч, а товарного — 40 км/ч. Найти расстояние между двумя пунктами, если пассажирский поезд проходит это расстояние на 2 ч быстрее, чем товарный. 420 Из города в поселок выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Через полчаса навстречу ему из поселка выехал другой мотоциклист со скоростью 50 км/ч. Сколько времени ехал второй мотоциклист до встречи с первым, если расстояние между поселком и городом равно 162 км? 421 С помощью микрокалькулятора найти значение выражения: 1) а(3,478-5)-8(3,478-б) при а = 72, 5 = 2,353; 2) а^Ь + аЬ^ -аЬ приа = 12,5, & = -4,4. 422 Записать выражение в виде многочлена: 1) (а + (5 + с))(а-(5 + с)); 2) -(Ь-с))(а^ ~(Ь~с)). 423 Вычислить: 1) (2д:-1)(4д:2+2д:+1)-4л:(2д:2-3) при д: = 0,5; 2) д:(д: + 2)(д:-2)-(д:-3)(л:2-|-Зд: + 9) приз: = ^. 4 424 Решить уравнение: 1) {х + 2){х^ -2л: + 4)-д:(л;-3)(д: + 3) = 26; 2) (л:-3)(л:2 +Зд: + 9)-д;(л: + 4){д:-4) = 21; 3) (2д:-1)(4л:2 +2х + 1)-4.х{2х^ -3) = 23; 4) (4д:+1)(16л:2 -4д: + 1)-16л:(4л:2 -5) = 17. 425 1) Доказать, что если сумма трех последовательных натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24. 2) Доказать, что если сумма четырех натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение — число четное. 426 Верно ли равенство 2Ь^ +(а^ +а^Ъ + а^Ь^ +аЬ^ +Ъ*)(а-Ь) = = (а^ -а^Ь + а^Ь^ -аЬ^ +5'*)(а+5)? Y?' V m/iea. Алгебраические дроби i Алгебраи'н.чка« дробь, ' Сокращение дробей Задача 1 Скорость катера в стоячей воде равна а километрам в час, скорость течения реки равна Ь километрам в час. Во сколько раз скорость движения катера по течению реки больше скорости движения катера против течения? ► Скорость движения катера по течению реки равна (а+ 6) километрам в час, скорость движения против течения равна (а-Ь) километрам в час. Поэтому а+ Ь скорость движения катера по течению в ---- раз 0-6 больше скорости движения против течения. Выражение 0+6 называют алгебраической дробью. Числитель этой дроби а+Ь, а ее знаменатель а-Ь. Приведем еще несколько примеров алгебраических дробей: а 2 0 — 6 +(6+ г) х+ у У(а-с) В алгебраической дроби числитель и знаменатель — алгебраические выражения. Если вместо букв, входящих в алгебраическую дробь, подставить некоторые числа, то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби. Например, зна- 99 a+b при a = 10, b = 8 чение алгебраической дроби a-о 10 + 8 18 „ равно-----= — = 9. 10-8 2 Условимся в дальнейшем всегда считать, что буквы, входящие в алгебраическую дробь, могут принимать лишь допустимые значения, т. е. такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю. Например, для дроби ■ — допустимыми являют-а(а-1) ся все значения о, кроме а = 0 и а = 1. Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа, то для алгебраических дробей справедливы основное свойство дроби и правила выполнения действий с обыкновенными дробями. Основное свойство дроби можно записать так: а _ та где Ь^О, т*0. Это свойство означает, что при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получается равная ей дробь, например: а+Ь _(а + Ь)с Ь Ьс Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель, входящий одновременно в числитель и знаменатель дроби, например: в(6+с)_&+с_ (а+Ь)с_с а(Ь-с) Ь-с' {a+b)d d Приведем примеры дробей, для упрощения которых нужно сначала выделить общий множитель числителя и знаменателя. 12в^Ь Задача 2 Сократить дробь: 1) 2) \аЬ^ т*" + тп 1) Одночлены 12а^6 и АаЬ^ имеют общий множитель АаЬ. Разделив числитель и знаменатель дроби на 4аЬ, получим: 12а^6 _ За 4аЬ^ Ь 100 Задача 3 2) Разложив числитель и знаменатель данной дроби на множители, получим: —п^ _(т—л)(т + л) + тп т(т + п) Сокращая эту дробь на т + п, получим: (т—п)(т + п)_т — п ^ т(т + п) т Итак, для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель, считая, что он не равен нулю. За{у-х) Упростить дробь За(у-х) aUx-y) а^(х-у) а^(х-у) За(х-у) _ -3 а = = T”=J5’ Сократить дробь (434—437). 434 435 436 437 1) -56 2) -80 3) 1) 1) 4) 1) 3) 2) 6а6_ -4а 4(т + п) 5(т + п)’ За(а + 5) 9а(а + Ь){а-Ь)’ Зт(1-х) 9m^(x-lf’ (a-bf -14с 49 с 3) -121 55 ’ -а** д 4) -14 4) а-Ь 2) 5) 2) 4) -аЬ^’ 9а® 7а(а-Ь) 3) 2Ь(т-п) 5(а-Ь) ’ 8Ь(т -гаКто + а)' 2(а-5) 6) Ь(х-у) Ь-а 15(г/-х) 8а^Ь(а-Ь) 4a^b(b-af ' (n-mf 438 439 440 441 442 Зх+ Зу 2) 8а 3) 2а+ 25_ 6с ’ 4т-4п’ 4а-4б’ 12а-3 5) ас-Ьс 6) а+ аЬ 6а + 9 ’ ас + Ьс’ а-аЬ а® 2) Р9® . 3) 7а + 145 а® + аЬ р®(/-рд® ’ За + 65 5k + l5f 3{+k ' 5) За-66 126-6а’ 6) 2т -4га 16га-8т Разложить на множители числитель и знаменатель дроби и сократить ее (438—446). 1) 4) 1) 4) 1) 3) 1) 1) 4) 12д:^- 30д:1/_ ЗОл^ -12x1/ т® - Зт^п Зт^п-Зт^ а^-Ь\ а + Ь ’ 8-За 2) 4) Зба^ + 24аЬ 24 а^ + 36 а6 а® - 2а^Ь 2а®Ь^ -а*Ь 2) Г.8 ’ 3) 4с^ -9х^ 2с-3х 4) 25-х^ 5-х 9а^-64 25-S/2 ’ 102 2) 5) 100-496^ 75+10 ' Ь^-с^ Ь*п — с*п 3) 6) 2I/-10. 2 ’ 25-у-5а®5+ 5о5® а* -Ь^ 443 1) 3) 444 1) 3) 445 1) 3) 446 1) 3) d^-6d+9 d^ ’ 9-6a+ ’ 2) 4) b+ 7 + 146+49’ l-2p l-4p + 4p^ (a-l)2’ 4i/^ -4p+l 2-4p ’ 4p^ - iy+1 4i/2 -1 3o^ -6a6+ 36^ 6g2 -662 = ax-ay+bx-by^ a + b 2x^ -2xy-x+ у 4x^ -1 2) 4) 2) 4) 2) 4) (m-n)\ n-m 5 -2д: 4x^ -20дг+2о' 16a^ -1 16a^ -8a + l 50/n^ +100mn-50re^ 15m^ -15л^ 2a + 26+ ax+ 6jc_ 2+ X 3x-2x^ + Sy~2xy 447 Упростить: 1) ^^^-.2) 3) -ab 4a-8 + 1/^ 4) y'^ - J/‘* x^(x+ 1/) Упростить выражение и найти его числовое значение (448—449). Ала 14 9с2-16 Г 448 1) прис = -; 16-24с + 9с^ 9 2)ЩЩ^ при,—0,2, ».0.1. у^ -4х‘“ Для получения 25%-ного раствора сахара из 6 л воды нужно к 6 л воды добавить х кг сахара (см. рисунок). Найдем х: X 25 б + х 100 4х = 6-х х = 2 (тег) Сколько сахара нужно добавить к 8 л воды, чтобы получить 10%0-ный раствор? 103 449 1) 2) За® + ab^ -6a®b-2i>® 9a®- o6^ -18a4+2b® 3ac® + Zkc^ - Zab^ - Zb^ 6ac® + 66c® - 6a6® - 66® при a = 0,2, b - 0,4; при a =4,49, 6 = -5,1, c = 0,68. 450 Сократить дробь; 1) —, если a > 0; 2a 3) -2 a , если a < 0; 2) если a <0; l“l 4) если a > 0. -3 a - jit И: ■’Ui' il 1 Задача 1 Напомним, что при сложении обыкновенных дробей сначала приводят дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем дробей является наименьшее общее кратное их знаменателей. 13 7 Так, для дробей -, —, —- общим знаменателем 4 25 10 является число 100 — наименьшее общее кратное чисел 4, 25, 10. Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических дробей, его также называют приведением дробей к общему знаменателю. Привести алгебраические дроби к об- За®6 баб® щему знаменателю. Общий знаменатель данных дробей должен делиться на знаменатель каждой из дробей. Чтобы общий знаменатель делился на знаменатель первой дроби, он должен содержать множитель За®6. Далее, общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй дроби баб®. Таким образом, общий знамена- 104 Задача 2 тель должен делиться на 3 и 6, т. е. на 6, на и а, т. е. на а^, на и т. е. на . Наиболее простым в данном случае общим знаменателем является одночлен ба^Ь^. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных дробей, а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех, с которыми она встречается в знаменателях. Разделив на знаменатель первой дроби За^Ь, получим 2Ь — дополнительный множитель, на который нужно умножить ее числитель и знаменатель. Дополнительный множитель второй дроби равен ба‘Ь^ :6аЬ^ = а. Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель, приводим их к общему знаменателю: т _ 2Ьт п _ ап За^Ь ба^Ь^ баЬ^ ба^Ь^ Привести к общему знаменателю дроби а Ь с х^-у^ 2х^ -4ху+2у^ Зх^ -^бху+Зу^ ► Разложим на множители знаменатели дробей: х^-у^ = (х-у)(х + уУ, 2х^~ 4ху + 2у^ = 2(х'^ - 2ху+ у^) = 2(х-у)^; Зх^ +бху + 3у'^ = 3(,х^ + 2ху + у^) = 3(х + у)^. Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных дробей. Так как он должен делиться на знаменатель первой дроби, то он должен содержать произведение (х-у)(х + у). Далее, общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй дроби, и поэтому он должен содержать множитель 2(х-у)^. Следовательно, к знаменателю первой дроби нужно дописать множитель 2(д:-|;), т. е. общий знаменатель должен содержать произведение 2(х-у)’‘(х + у). Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель третьей дроби 3(лч- у)^, нужно к полученному произведению дописать множитель 3(х-(-р). Следовательно, выражение 6( л: - г/)^ (д: и-является общим знаменателем трех дробей. Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители, которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каж- 105 дой из дробей; для данных дробей они соответственно равны 6(x-j/)( л: +1/), 3(x-t-y)^, 2(х-у)^. Следовательно, данные дроби можно записать так: а 6а{х-у)(х+ у) х’^-у^ 6(x-yf(x+y) ЗЬ(х+у) ,2 ’ ,2 2х^-4ху+2у^ 6(x-y)^(x+yf с 2c(x-yf Zx^ + 6ху+ Zy^ 6{x-yf(x+ yf Таким образом, для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно: 1) найти общий знаменатель данных дробей; 2) для каждой дроби найти дополнительный множитель; 3) умножить числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель; 4) записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем. Если в задании не указано, к какому общему знаменателю нужно привести дроби, то их приводят к простейшему общему знаменателю. Упражнения Привести дроби к общему знаменателю (451—456). 451 452 453 454 455 1 2 1) — и —; 2 3 1) -- И —; Ь а Ь с 3) —, — и --------; а Ь 2аЬ 3) 1) 3) 04 5 3 7 " 1 х-у 5 2х-2 1 х+у 3 4х-4 4 1, 36 1) ---- и 6-2 6"=-4 1 2а 3) ----, ---- и ------- 1-а 1+ а 1-а^ о. 1 2 3) -5- и -; За а оч 36 ’ 4а 26 6 Зс с ' За 26 баб 1 ’ 6рА 1 2) 1 а*+6* 2р2 3fe2’ 66* 9а*6* 2а 4 3 4) 7 31 б2’ 15а^6 20а^Ь* ' 20 У бху* а а 6 " 3-а 2) 4) 2) 4) 7а ----- 4 Зх-у Зх 4х + 4у 7а 18аб2 ’ 4 Зх^у^ 66 Зх+ у X и 8х + 8у а х“-9 х-1-3’ 6х 7ху и х-у х+у -Ф 106 456 457 1) 3) т + п + т^ 2) а-Ь а^ + 0 2т-2п 2 2 ’ -п^ 5а -ь 50 ” 7 5 и : х-у 4) 5с 6 и . с-2 (.x-yf (е-2)2 Записать выражения в виде дробей с одинаковыми знаменателями: 1) а и 2) 35 и 3) аЬ, и А; о Ьа 40 I 3 2 К\ L ^ ^ С\ U 3 1 4) аЬ,и —5) а-Ь,-----------и -----; 6) а~Ь,— и 458 4аЬ аЬ^ ' а+Ь а-Ь Привести к общему знаменателю: 1) аЬ а-Ь 1 1 ______ ________ __________ а^-40^ За^+6аЬ 2аЬ-а^ Ь 4х 1 2) ---------г и 1 3) 4д:-4 1-х^ Зх'^ + Зх 5х Зх+у у—х дг^-4 х^ + 4х+4 х'‘ - 4х +4 и За 4а 50 4) ------------ и 459 2а —3 2а+3 4а^с—9с Решить уравнение: (2Х-ИМХ+3) (4-х}(.4+х) х(х + 2) 1) 2) 3) 75 25 15 а:(х-1) 2(д:^+1)_(ж-1)(а:-ь2) 7 28 ~ 14 (2-х)(2+х) х-х^ (x-\f 7х^ 36 460 4) (^-2)^ , 2х^ -3 (jc-D(x-hl) 5 15 3 ■ Привести дроби к общему знаменателю: 5а а-3 1 1) и а®-27’ а^+ За + 9 а-3' 3 х + 1 2) -----, ---- и х+2 3) 4) х + 2’ +8 х^-2х + 4’ 2т 2п 1 (тп-я)® (т-п)^ 461 k^+3k^+3k + \ k^-l h^+2h + X Пусть п — натуральное число. Найти общий знаменатель дробей: 1 1 1 1) 2) ^4л _ у4л ’ ^2л _ у2п ’ х" - у" д2л _ j,2n ’ „я _ лл ’ „п а" - О" а" + 0" 107 Сложение и вычитание алгебраических дробей Задача 1 Задача 2 Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам, что и сложение и вычитание обыкновенных дробей: о Ь _ о. - Ь т т т т т т -2Ь Сложить дроби а ^ Ь _ а + Ь “Г , т ■Ь 2а- а- и а-Ь 2а-Ь ■■Ь------+ а-^Ъ а+Ь а+6 а-2Ь а-Ь+2а-Ь+ а-2Ь а + Ь а + Ь а-¥ Ь 4а-4Ь 4(а-Ь) а + Ь а-Ь 6 a-f Ь < Найти разность дробей ° а^-Ь^ а + Ь (а-ь Ь)(а- а + Ь Ь) = а-Ь. < а-1-fe а + & а+ Ь а + Ь Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. 1 1 1 Задача 3 Сложить дроби 2а^Ь ЗаЬ^ ► Общим знаменателем данных дробей является произведение . Следовательно, J_ 1 а® ~^2а^ь' 1 ЗаЬ 2а^ ЗаЬ^ _2а^-i-ЗаЬ + бЬ^ баЧ^ Задача 4 Найти разность дробей 5а^ ба“Ь-‘ а ЗЬ^с loab^ 15аЬ^с loab^ 5а^ -с^ ISab^c < 108 Задача 5 Сложить дроби 1 ► Разложим многочлены, стоящие в знаменателях дробей, на множители: х^-х=х(х-1), 1=(д:-1)(д: + 1). Общим знаменателем данных дробей является произведение х(д:-1) (х-Ь 1). Приведя дроби к общему знаменателю, найдем: 1 3 1 х^-х х^-1 х(х-\) (х-1)(д;+1) х + 1 Зл д: + 1+Зх 4JC-I-1 х(х‘^-1) х(х‘‘-1) х(,х^-1) х(х‘‘-1) Таким образом, для сложения (или вычитания) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно: 1) найти общий знаменатель дробей; 2) привести дроби к общему знаменателю; 3) сложить (или вычесть) полученные дроби; 4) упростить результат, если возможно. -, <1 Задача 6 Вычислить значение выражения 14 4 а^-ь4а + 4 а* + 4а^ + 4а^ + 2а при а = 0,5. ► Данное выражение можно преобразовать так: 1___________4 ^ 4 _ (а + 2)^ (а^-н 4о-I-4) а^(о + 2) 1 4 4 (а + 2)^ а^(а + 2)^ а^(а + 2) о^-4 + 4(о + 2) а^ + 4а-н4 1 а‘ (,а + 2г a^(a + 2f Следовательно, искомое значение равно 1 1 <3 0,52 0,25 25 462 Упражнения Выполнить действия (462—473). с+ d ^2c-d 3) 2а а+ d 2с 2а о-6_ ~2с~’ а + 2Ь ^ Ьа-2Ь Зс 2 Зс-' 4) 10а-5 За-Ь ,3 109 463 464 465 466 467 468 469 2 1 1 2 с d ..а Ь 1) — + -; 2)--; 3) -+ -; 4)----. За а Ь ЬЬ 15а 3 4 124 14^2 3 „ч2. 3 o4jCC^ 1) 5-- + —; 2) - + 4—3) d- —+ —; 4)-k + — b /,2 1) 3) 4a®6 6а&2’ _2______^ ^ 5 3{/2 6ж2|/ 12xi/2 1) + 3(a-b) a-b 3) + - 3(a + l) 4(a + l) 1) + a )® Найти частное дробей т + п т® -п а (а + 6)( а -by т + п а{а-Ь) 9т^п^ (т + л)*27тп® 27тл® (т + п)- 3 9т®л® 27тл® 3 9т^п^ {т^ - ) тп(т-п)(т +п) о тп(т-п) При возведении алгебраической дроби в степень используется формула Например: 4а® ~ Ь ь] ь« ■ lOa"* Га-г6^^_ (а 1“зГ J ^ ^ + ьу 480 Упражнения Выполнить умножение (480—481). 2) 3) 50 ’’ 1) 24 17 169 64’ 625’ 112 481 482 483 484 485 486 487 488 1) •V 2) o'* 4) 14a2, 7c^ Выполнить деление дробей: 1.88. „ a a. „ За m. 17-17’ -bS’ ТЬ'ТГ’ За 2a от 10m® 2d'bb' 5) Zb' be’ 6) Выполнить деление: 1)^:5; 2)|:c; 3) 12: 8 4) a:-, c Выполнить действия (484—487). 1) 3) 1) 4) 1) 4) 1) 3) 146® cd ) 25a® acd; 8a® 6 36c® . 9 c 5 a® 6 46d®c 23c/c® ,3 ' 2) 3a® у 2b ) 166® 21a® 2 4) a6c®.(g] . 2) 76® . 356®c , 9c®(/ 18c®{/® 3) 16x®t/ .Юл:!/® , 15a 5a® 7-x a-b a + 6 7 — X a-b a-b_ ‘ F’ 66® (,3 26 1- a 36® 1-0® 3(x+i/) 5) 2) 5) д:® + I/® 18m®n® 76 x-y 46 . 2 a .r - I/’ a® - ab 6® (9«®); 6) 246®: 7г 21г® 12m® 6® 2) 4) 5m 3) 6) 15m® llp®n c+ c c — d ab-i b^ . 6® 9 m - n ‘ 5(a-6) (a-6)® 4p® ( ДГ® + I/® ) X® - I/® ^ 3( a® + 6® ) a® + 6® Найти значение выражения: a^ -b^ 3o® 1) ------•------ при a = 2,5; 2) 3a+ 36 56-5a 5x®-5i/® 3x®+3j/® 3) 4) X® + I/® o®-25 lOy-lOx a + 5 при x = -, 1/ = -; a® - 3a 9- при a = 1; 3«® - 3m® 6m -6n 489 490 n + np n + p Проверить, верно ли равенство: •’■6® Х®-1/® х-у при т = -9, п = -3. У Упростить: 1) х(а® 6® ) 2) а® +6® а* Ь-Ь^’ а® + 6а + 9 3) (а+3)®, а® - 25 а + 6 а® + 2а6+- 6® а-7 2) 4) -аЬ а^Ь-аЬ^ •86 + 16 (6-4)® а^-Ь‘‘ 6+3 J® -2а + 1 2а +1 6® -9 а-1 4а® -1 113 491 Решить уравнение: 3(х-11) _ 3(х + 1) 2(2х-Ъ) 5 11 4{33 + 2д:) 5(1-11х) 2) = 9 5 9 g 8(д: + 10) 0^1 2(11д:-5) 15 2 10 5 ’ 4) 2(-^-4) , 3х^13 _ 3(2х-3) ^ 3 8 5 ■ 492 Решить уравнение относительно х, если о О, b*Q, аФЬ, а ^ -Ь: а+Ь а^-Ь^ X а а^-2аЬ+Ь^ 1) 3) 493 Упростить: а^-2аЬ+Ь^ 8а-86 - аЬ + 3) п^-т^ п^+2пт + т^ 2) 4) 2) 4) аЬ .2. а6^ а‘-Ь^ а“ ,2 _ ьЗ аЬ а^Ь-аЬ^ а^ + 2аЬ+Ь^ +2аЬ+ а^-Ь^ + аЬ+ 7а + 7Ь + 2тп~ р+ с р®+ с® 2т + 2л 494 Доказать, что при всех допустимых значениях а, Ь, х и у (п — натуральное число) верно равенство: 1) Ь*п ,2л Ь2« -2о"Ь"+ = (а" +Ь")^; 2) ( х" + у" f х' 2п „2 л д,2л ^ у2п (х" - у” )• п \2 Совместные действия над алгебраическими дробями Задача 1 Упростить выражение а +1 2а-2 2а^-2 2а + 2 а + 2 ► Выполним вычитание в скобках: а +1 1 0 + 1 1 2о-2 20^-2 2(а-1) 2(0*-1) (о + 1)^-1 (а + 1-1)(а + 1 + 1) а(а + 2) 2(а^-1) 2(о2-1) 2(а + 1)(а-1) 114 а(а + 2) 2в + 2 2(а + 1Кв-1) а+2 а 0-1 Найдем произведение: _ 0(0+2)* 2(0 + 1) _ ~2(о + 1)(о-1Ко + 2)'' Решение задачи 1 можно записать иначе: ( 0 + 1 1 2о + 2_Г 0 + 1_________1 1^2о-2 2о^-2; 0 + 2 (,2(0-1) 2(о^-1) 2(0 + 1) ((о + 1)2-1).2(0 + 1) 0(0 + 2) 0 + 2 а 0-1 2(а^-1)(о + 2) (о-1)(а + 2) Из пункта А в пункт В катер двигался со скоростью 20 км/ч, а на обратном пути из В в А — со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость катера на пути из А в В и обратно? g 1) Время движения катера из А в В: , где s — расстояние от А до В. 2) Время движения катера из В в А: <2 = 3) Время катера в пути: -4^ + -^ = -^. 20 30 12 4) Средняя скорость катера на пути из А в В и обратно: „ S 2-S-12 Ответ: =24 км/ч. 30 115 Задача 2 Выполнить действия (а+Ь а-Ь 0-6 0+6 0+6 -1 а+ Ь ) \^о-6 ► Выполним действие в первой скобке: 0+6 0-6 _ (о+6)^-(0-6)^ _ а Ь 0+6 (о+6)(о+6) (о+6+о-6)(о +6-0+6) 2о"26 4о6 Задача 3 а2_ь2 „2_^2 „2_j,2 Выполним действие во второй скобке: 26 0-6 0-6 Выполним деление: 4о6 26 0+6 j_o+6-o+6 0-6 4о6(а-6) 2о 0^-6^ 0-6 (о*-6^)'26 0 + 6 Упростить выражение -1 _2о__^^__(0 + 1)^ 0+1 0+1 0+2 _ 2о о _ о 0 + 1 0 + 1 0 + 1 2о____1_ (о + 1)^-1 0+1 0+1 0+2 2о 1 о(о + 2)_ 0+1 0+1 0+2 . <1 Упражнения Выполнить действия (495—501). 2 2 495, 1) (а o') 1 4) об f 1 1 \ 0-6 6 а )’ 5) 1:| 0-6 0+6 (ч) 3) 6) Ь:\Ь + ^ |. (fn) 496 497 498 499 1) 1) 1) 3) 1) 3) 1 + i о (. 0 2) f “V 1— : а + - 1 а) [ 6 д 1- а-Ь 0+6 6 5 2 + 26 а-Ь ■6 0-6 0+6 2) [- J 0 + 116 {с 1 + 0+6 0-6, 3 h---- с + 4 о ^ 0-- . ь) { _2о_'| 0 + 6/ 18(2c+d) у-1 { J/^+1 2 4) m -2 + 24 4 у +2j/ 1/+2^ > т-5 \m^-25 m-5. + аЬ { а а 2) ab-b^ f “ 1 * 1- [о-6 0+6 Г o"+ 6^ ,0+6 0-6 J с+ d 2с 'l d-c 4) f +" -c ^ c+ d , с c-dj c^+d 2 ’ [ c+ d c J + d^ 116 500 1) 3) 501 1) 2) 3) 4) fl^+2fl + l i)+2 Л +1 b + 2 2) a^-2a + l a^-1 2a-b b-2 6^-4 a +1 m-1 m +1 п (т + 1)®’ 2 ( х+у х-И: х-у 1 х+у ; 1 х-у х^у) [х+у х-у\ ( 2-а <1 + 2 1 2 + а 0-2 и + а 0-2 J ■ ^2-0 0+2 » { 2 X® \ / дг X® 2л + 4 тплп^ m + n 2-n 4-4n+n^ 4-Л* A^+ 1/ jc^ + 2д;{/+ »*» 2 >*«2-1 Л1-Л m^-2mn + n^ \^x+y 2m^ 502 Найти значение выражения: 1) - ■ 4x1/^ -2х^у+ ху^ х^ - 2ху+ у^ х-2у при X = -5, у = 3 3л^-6п + 3 л -1 1 о • о---;-- при л = -; 2 2л^+2л + 2 л*+л^+л 3 3 За 1 _______6 а-Ь Ь^- + 3) 4) 503 Выполнить действия: 6а+ 36 гт- ------ при а = 3-, о=-0,7о; 2а6+6^ 4 1) 2) 3) 4) c-d + dc d^ + cd 2л d^ прит = 6^, л =-1,5. 1 2л 4л‘* с® - cd^ с + d 2л 6 +2л 6^ + 4л6 + 4л^ ( б2 6® к^-Ап^ - —1-2п-к )’ 6 + X 6® + X® + 2 6х 6+ X 6® 2? 49® 2д + т 49® + 4л19 + лг® J 1,4(7® - т® m-2q ) 504 Доказать, что если х + — = а, то х® +-^ = а(а®-3). X X” 505 Доказать, что если -1 < х < О или О < х < 1, то значение выра- 1 X 1 жения х-1 x + l^l х + 1 х-1)' 2 4 4х отрицательно. 117 1 Упражнения к главе V 506 Решить уравнение: 6х-5 8х+7 1) 2х + - 3) 2х + 1 + 2) £^-1^ = 1; 2х-1 7х-13 4) 24 16 3(2х-2,5) 6 4 о 507 Найти неизвестное число х из пропорции: 2х + 2,5 = 2-х 1) X 3 3) 2) 1^ = ^; ЗЬ а 4) а + 1 а-1 а+Ь [а + Ь)^ 508 Решить уравнение: (2х-1)2 х(2х-3) х-3 1) 2) 3) 4) 8 4 2 (1-5х)^ (2х-1)(2х + 1) х + 0,25х2 48 8 12 0,03-х^ (0,1+ xf _(0,1-х)(0,1+х) 9 18 6 {3x + 4f ^ Зх(1~х) _(х-4)(х+4) 36 18 12 509 Найти значение выражения: 2х 1 у 1) 4х^ 2х+у 4x^-1/^ при х = 0,37, 1/ = -1,4; 2) х^-1 f 1 1 ) 1 X Vx-1 1+х ) 2 Выполнить действия (510—512). 510 1) 1) а + 6 а . 2) 56-1 а а-Ь — аЬ 36^-3 3) 6а 1 За +1 1 За-1 4) 7 4 9а^-1 3-9а 6а + 2’ т m —: 6+2 6+1 ,2 ’ 5) X- ху х + у х^ -у^ 6) а-2 + 4а а'*+ 6 2 + а а^ + 2а 118 IlpoRei)b себя! Найти допустимые значения букв, входящих в дробь: £. _?_• Д Ь' a-l’ Ь+2 Выполнить действия: . 1-4а* а+Ь а-Ь 2а-4 6Ь 4а +-----1---------; ---------; ----— а а-Ь а+Ь ЗЬ а-2 1 + 2х х^+Зх 10 а + Ь Упростить выражение х-3 и наити его числовое значение при х = 2—. 3 511 1) 2) 3) 4) 512 1) 2) 3) 4) 64х^у^-1 (x+2f (x-2f х*-4 х^-4 8х|/ + 1 х-6 х^+4х + 4 х®-9х хНбх + 9 (х^ + 2)(х-2) (х-6)(х+2) am® - ол® _ am® -2атп + ап^ _ т® + 2тп + п^ Зт + Зп аЬ-4Ь-2а+8 _ 2а-8- аЬ + 4Ь 2а + 8- аЬ-4Ь аЬ + 4Ь-2а-8 ( а + 1 + 6 а-(- 3 'I 4а® -4_ \2a-2 2а®- 2 2a+2j 3 ’ ( Ь 2 ,а^ + аЬ а+Ь + аЬ, 4аЬ а+Ь ас + - ас а-Ь а^ - Ь^ с^ — а^ : С-- а + с 513 Масса куска льда объемом V м® равна р килограммам. Чему равна масса куска льда объемом м®? 514 Автомобиль, двигаясь со скоростью v километров в час, прошел S километров. Какой путь пройдет за то же время мотоцикл, если его скорость равна и километрам в час? 515 Собственная скорость моторной лодки v километров в час, а скорость течения реки Dj километров в час. Двигаясь по течению, лодка прошла s километров. Какое расстояние пройдет за это же время моторная лодка при движении против течения? 119 516 517 518 Бассейн наполняется одной трубой за а часов, другой — за Ь часов. За сколько часов наполнится бассейн, если одновременно открыть две трубы? Две машинистки, работая вместе, напечатали рукопись за а часов. Одна из них могла бы выполнить эту работу за Ь часов. За какое время могла бы напечатать рукопись другая машинистка? Сопротивление R участка цепи, состоящего из двух параллельно соединенных проводников с сопротивлениями i?j Выразить из этой 519 520 D Л. 1 1 1 И i?2, вычисляется по формуле — =--1--- R /Jj i?2 формулы: 1) R через Rj и i?2! 2) Л, через R и Й2- Давление р бензина на дно цистерны равно 69 580 Па (паскалей), плотность р бензина равна 710 кг/м^. С помощью микрокалькулятора найти высоту Л цистерны с бензином, если p = gph, где ^ = 9,8. Сократить дробь: 2аЬ~Ь 1) 4) 8аЗ-1 256-49Ь^ 49г>3-70Ь2 + 25ь’ 2) 5) 27 а® + ft® 3) 36с-с® Zab+ 2а* ■¥ За® 4- 2а+ 3 (а®- а + 1И2а-(- 3)' с®+ 12с® -I- 36с’ 521 Выполнить действия: 1) ' 3) -1 а а+Ь ® -I- а-(-1 1 i®-a0 + i»® а + Ь 2) 4) а® +4 8 а + 2 - Зт + 9 т® -27 522 Доказать, что если a+b*Q, Ь + с ^0, с + а9*0 иа® + Ь® + с®+ аЬс = 0, а Ь ----+----- 6+с с+а а + 6 = 1. Напомним, что две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Прямые углы, образуемые осями координат, называют координатными углами (квадрантами ) и нумеруют так, как показано на рисунке 9, а. Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М. Запись М(х;у) означает, что точка М имеет абсциссу д: и ординату у (рис. 9, б). Например, в записи М(3; 5) число 3 — абсцисса, число 5 — ордината точки М. О М(х; у) У, 2 i >М(1:2) 1 Л/г(2; 1) О 1 2 'з; б) в) Рис. 9 121 Использование прямоугольной системы координат на плоскости связано с именем выдающегося французского математика XVII в. Рене Декарта (1596—1650). В записи координат точек порядок чисел имеет существенное значение. Например, Afj(l; 2) и iWj (2; 1) — различные точки плоскости (рис. 9, в). Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю. Например, точка А (рис. 10, а) имеет координаты (2; 0). Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Например, точка В (рис. 10, а) имеет координаты (0; -2). Начало координат имеет абсциссу и ординату, равные нулю: О (0; 0). Задача Построить точку М(-3; 2). ► На оси абсцисс отметим точку с координатой -3 и проведем через нее перпендикуляр к этой оси. На оси ординат отметим точку с координатой 2 и проведем через нее перпендикуляр к оси ординат. Точка пересечения этих перпендикуляров — искомая точка М (рис. 10, б). У, А(2;0) о 12 X -1 -2 ■В(0;-2) а) Рис. 10 122 523 524 Упражнения Назвать абсциссу и ординату точки: (1; 0), (4; 0), (0; 2), (-6; 0), (0; -7), (0; 0). Построить точки и указать, каким координатным углам они принадлежат: 1) А (3; 4), В (2;-5). С (-2; 5). £ (-6;-2), £ 3; £(3; 0), Л4(0; -1.5), ^ I |; | Д 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 2) А (-1,5; 2,5), В(-2,5; 1,5), С^3|; Ij, £(2; -2), £(-3,5; 3,5), М(0;2,5). По рисунку 10, в найти координаты точек А, В, С, D, Е, F. Построить прямую, проходящую через точки: 1) А(3; -2) и В (-2; 2); 2) М(2; 0) и (0; -2). Построить отрезок по координатам его концов: 1) А(3; 4), В (-6; 5); 2) М(0; -5), N(4; 0). Построить треугольник по координатам его вершин: 1) К (-2; 2), М(3; 2), N(-1; 0); 2) А(0; -1), В(0; 5), С (4; 0). Построить прямоугольник по координатам его вершин: А(-2; 0), В(-2; 3), С(0; 3), 0(0; 0). Даны три вершины А (1; 2), В (4; 2), С (4; 5) квадрата ABCZ). Найти координаты точки D и построить квадрат. Построить прямую, проходящую через точки А (0; 5) и В (-2; 5). Чему равны ординаты точек, лежащих на прямой АВ? Построить прямую, проходящую через точки А (-2; 3) и В (-2; -1). Чему равны абсциссы точек, лежащих на прямой АВ? Даны точки А(5; 3), В(-1; -2), С(0; 4), D(-2; 0), Е(-2; 3). Построить точки, симметричные им относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат. Определить координаты полученных точек. На плоскости расположены точки А(2; 7), В(3; 4), С (2; -7), D (-3; 4), Е (-2; 7). Определить, какая пара точек симметрична относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. Квадрат со стороной 4 расположен так, что центр его находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат. Найти координаты вершин квадрата. 123 функция Задача 1 Поезд движется из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120 км/ч. Какой путь пройдет поезд за t часов? ► Если обозначить искомый путь буквой s (в км), то ответ можно записать формулой s = 120K0, то зависимость между переменными X тл у, выражаемую формулой у = kx, обычно называют прямой пропорциональной зависимостью, а число k — коэффициентом пропорциональности. Например, путь, пройденный телом при движении с постоянной скоростью, прямо пропорционален времени движения. Масса газа постоянной плотности прямо пропорциональна его объему. Если у прямо пропорционален х, то при увеличении значения х в несколько раз значение у увеличивается во столько же раз. Часто встречается такая зависимость у от х, что при увеличении значения х в несколько раз значение у уменьшается во столько же раз. Эта зависимость называется обратной пропорциональностью и выражается формулой у = —, где k>0, X х>0. Например, при равномерном движении скорость прохождения одного и того же участка пути обратно пропорциональна времени. Плотность вещества при постоянной массе обратно пропорциональна его объему. Упражнения 556 Книга стоит 20 р. Выразить формулой зависимость между купленным числом п экземпляров этой книги и уплаченной суммой у, выраженной в рублях. Чему равно 1/(6), 1/(11)? 557 Автомобиль «Волга* движется по шоссе со скоростью 80 км/ч. Записать формулу, выражающую зависимость длины пути S (в км) от времени движения t (в ч). Чему равно: 8(3), 8(5,4)? 558 Построить график функции: 1) у = 3х; 2) у = 5х; 3) 559 Построить график функции: 1) у = 1,5х; 2) j/ = -2,5x; -4х; 4) у=-0,8х. 3) у = -0,2х. 134 560 Построить график функции: 561 562 563 1) у = 2-х; 2) у = -х; 3) у = 0,6х. Построить график функции, заданной формулой у = -1,5х. Найти по графику: 1) значение у, соответствующее значению х, равному 1; 0; 2; 3; 2) значение х, если значение у равно -3; 4,5; 6; 3) несколько целых значений х, при которых значения у положительны (отрицательны). Построить график функции, заданной формулой у=0,2х. Найти по графику: 1) значение у, соответствующее значению х, равному -5; 0; 5; 2) значение х, если значение функции равно -2; 0; 2; 3) несколько значений х, при которых значения у отрицательны (положительны). Построить график функции и указать, внутри каких координатных углов расположен .чтот график: 1) У = -^х; 2) У = ~х; 3) у=4,5х; 4) у = -4,5х. х.если х> о, -X, если х< 0. Постройте график функции у = \—х 135 564 Какие из точек /1(5; -3), В(-2; 4), С(0; 0), D{2; 1), £(-5; 2,5) принадлежат графику функции, заданной формулой у = -х? 565 Прямая пропорциональная зависимость площади S прямоугольника от его ширины х представлена таблицей; Xt см 3,1 2,5 1,3 0,9 0,14 S (х), см 0,7 0,3 0,1 Устно найти по таблице коэффициент пропорциональности k и заполнить таблицу. 566 Масса т тела прямо пропорциональна его объему V. Устно найти коэффициент пропорциональности р из данной таблицы и заполнить таблицу: V, см^ 11,2 10,5 9,3 m^V), г 3,1 7,2 0,63 0,45 567 568 569 Тело, двигаясь равномерно, прошло путь AS за 5 с. Двигаясь обратно, оно увеличило скорость и прошло путь ВА за 2,5 с. Во сколько раз увеличилась скорость движения тела на обратном пути? Для перевозки некоторого количества зерна автомашина, имеющая грузоподъемность 4 т, сделала 15 рейсов. Какую грузоподъемность должна иметь автомашина, чтобы такое же количество зерна перевезти за 12 рейсов? Обратная пропорциональность и = — представлена таблицей. X Устно найти k и заполнить таблицу: X 6 4,5 3 2,4 у 0,6 1,8 1,5 0,6 0,1 570 По графику функции y=kx определить знак коэффициента k: 1) рис. 17, а; 2) рис. 17, б. 571 Зависимость между переменными хну выражена формулой y = kx. Определить к, если у = -5 при д: = 2,5. 572 Прямая ОА проходит через начало координат и точку А 7 j. Графиком какой из следующих функций является эта прямая: у = 7х, у = -14х, у = 14x7 136 <У у, / / о ! о ’ ' ' 1с а) Рис. 17 б) 573 Построить график функции y = kx, если известно, что ему принадлежит точка В: 1) В (2; -3); 2) 3—; -2 j. График ка- кой из этих функций проходит через точку М(-10; 15)? 574 Плот плывет по реке со скоростью 2 км/ч. Выразить путь s, пройденный плотом за х часов. Вычислить путь, пройденный плотом за 1 ч, 2,5 ч, 4 ч. Построив график зависимости пути плота от времени движения, найти по графику время, за которое плот пройдет 6 км. 575 Пешеход идет со скоростью 3 км/ч. Выразить путь s, пройденный пешеходом за f часов. Построить график пути в зависимости от времени. Найти по графику путь, пройденный пешеходом за 0,5 ч, 1 ч, 1 ч 30 мин. 576 На рисунке 18 изображены графики движения автомобиля и автобуса. Используя рисунок, ответить на вопросы: 137 577 578 1) Какой путь прошел за первые 3 ч автобус? автомобиль? 2) Какой была скорость до остановки? 3) Какой путь прошла каждая из автомашин до остановки? 4) Сколько времени двигался до остановки автобус? автомобиль? 5) Какой была продолжительность стоянки автобуса и авто мобиля? 6) Какой стала скорость движения автобуса и автомобиля после остановки? Двигаясь равномерно, автомобиль прошел путь в 120 км. Записать формулу зависимости времени движения t от его скорости V (в км/ч). Найти t(60); <(45); <(50). Двигаясь равномерно, велосипедист проехал 70 км. Записать формулу зависимости скорости велосипедиста v от времени < (в часах) нахождения его в пути. Найти v (5); v (7); у (3,5). 1 Линейная функция и ее график Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где k и Ь — заданные числа. Можно показать, что графиком линейной функции y-kx + b является прямая. Так как прямая определяется двумя ее точками, то для построения графика функции y=kx + b достаточно построить две точки этого графика. Задача 1 Построить график функции у = 2х + 5. ► При х=0 значение функции (/= 2д:-t-5 равно 5, т. е. точка (0; 5) принадлежит графику. Если х = 1, то 1/ = 2* 1^5 = 7, т. е. точка (1; 7) также принадлежит графику. Построим точки (0; 5) и (1; 7) и проведем через них прямую. Эта прямая и является графиком функции 1/ = 2х + 5(рис. 19, а). < 138 Рис. 19 Заметим, что каждая точка графика функции у = 2д: + 5 имеет ординату, на 5 единиц большую, чем точка графика функции у=2х с той же абсциссой. Это означает, что каждая точка графика функции у = 2х + Ъ получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат соответствующей точки графика функции у = 2х. График функции y=kx + b получается сдвигом графика функции y=kx на. Ь единиц вдоль оси ординат. Графиками функций у=кхн y=kx + b являются параллельные прямые. Отметим, что для построения графика линейной функции иногда удобно находить точки пересечения этого графика с осями координат. Задача 2 Найти точки пересечения графика функции у = -2х + 4с осями координат и построить график. ► Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс. Ордината этой точки равна 0. Поэтому -2jc-i-4 = 0, откуда х=2. Итак, точка пересечения графика с осью абсцисс имеет кординаты (2; 0). Найдем точку пересечения графика с осью ординат. Так как абсцисса этой точки равна 0, то у = -2*0+ 4 =4. 139 Итак, точка пересечения графика с осью ординат имеет координаты (0; 4). График функции у = -2х + А изображен на рисунке 19, б. <] Задача 3 Построить график линейной функции у=kx+b точек графика равны 2, и поэтому графиком функции является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0; 2) (рис. 20). <1 С помощью линейной функции описываются многие физические процессы. Например, при равноускоренном движении скорость является линейной функцией времени: v(t) =Vg + at. У, 3 2 при k = 1 1 О 1 2 Рис. 20 Упражнения 579 (Устно.) Является ли линейной функция, заданная формулой: 1) у = -х-2; 2) у = 2х^ + 3; 3) у = ^; 4) (/=250; 5) у=- + 8; X 6) y = -f + i? 580 581 582 Дана линейная функция у(х)-Зх-1. 1) Найти у(0), у(1), у (2). 2) Найти значение х, если у{х) = -4, у(х)=8, и(х)=0. Построить график функции: 1) у=2х + 1; 2) у = -2х + 1\ 3) y = 3x-4i 4) у-0,5х-1; 5) У = \х-2; 6) у = ^х + 2. 583 Построить график функции, заданной формулой у = 2х + 3. Найти по графику: 1) значение у, соответствующее значению х, равному -1; 2; 3; 5; 2) при каком значении х значение у равно 1; 4; 0; -1. Построить график функции, заданной формулой у = -2х-1. Найти по графику: 140 584 585 586 1) значение у, соответствующее значению х, равному 2; -2; -li; 2 2) при каком значении х значение у равно -5; 2; 6. Линейная функция задана формулой у = х + 2. Принадлежат ли точки М(0; 2), N(1; 3), Л(-1; 1), В(-4,7; -2,7), с[-21; 1 графику этой функции? Не выполняя построения графика функции j/=2x--|, выяснить, проходит ли он через точку: 1 1) I 0; |; 2) (1; -2): 3) -■ 3’ 3/ 4) (2; 3). 587 588 589 590 591 1) Построить график функции у =-0,5л:-2 и указать по графику несколько значений х, при которых значения функции положительны; отрицательны. 2) Построить график функции у = -4л: + 3 и указать по графику несколько значений х, при которых значения функции отрицательны; положительны. Построить график функции, найдя точки пересечения его с осями координат: 1 2) (/ = --л:-1; 1) у = 2х + 2; 4) !/ = -Зл: + 6; 5) у = 2,5л:+ 5; Построить график функции: 3) у=4х + 8; 6) у = -6х-2. 1) г/ = 7; 2) у = -3,5; 3) у = -; 4) у = 0. 592 (Устно.) Как из графика функции у = -2х можно получить графики функций у = -2л: + Зи1/ = -2л:-3? (Устно.) Как из графика функции у = \х можно получить о графики функций у = ^х + 2 и у = ^х-21 3 3 1) На складе было 400 т угля. Ежедневно на склад привозили еще по 50 т. Выразить формулой зависимость количества угля р (в тоннах) от времени t (в днях). 2) На складе было 400 т угля. Ежедневно из этого запаса расходовалось по 50 т. Выразить формулой зависимость количества угля р (в тоннах), находящегося на складе, от времени t (в днях). Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем продолжал движение в том же направлении пешком со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии у турист был от города через X часов ходьбы? 141 б) Рис. 21 593 На рисунке 21, о, б изображены пары параллельных прямых. Записать формулой функцию, график которой — прямая, проходящая через: 1) начало координат на рисунке 21, а; 2) точку с координатами (0; 3) на рисунке 21, б. 594 Найти значение Ь, если известно, что график функции у = -Зх + Ь проходит через точку: 1) М(-2; 4): 2)iV(5;2). 595 Найти значение к, если известно, что график функции у=кх + 2 проходит через точку: 1) Р{-7; -12); 2) С(3; -7). 596 Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции у = 13-х и вычислить площадь прямоугольного треугольника, ограниченного этой прямой и координатными осями. 597 Найти координаты точки пересечения графиков функций: 1) у = -2х + 7 и у=0,5х-5,5; 2) у=4х и i/ = -jc + 10; 3) у = 1-2х и у = х-Ь. 598 Найти значения к и Ь, если известно, что график функции у = кх + Ъ проходит через точки (2; 10) и (-7; -10). 599 Прямые у = 0, у=3, х = 0, х = 2 образуют прямоугольник. Принадлежит ли точка j диагонали этого прямоуголь- ника? 142 Упражнения к главе VI I . . - I...................I...................I...................I....................I...................I...................I....................I...................I...................I • 600 1) Построить треугольник ABC no координатам его вершин A(-3; 0), В (4; 5), C(0; -4). Найти координаты точки пересечения стороны АВ с осью Оу. 2) Построить треугольник DCE по координатам его вершин D(-4; 0), С(0; -2), В(5; 3). Найти координаты точки пересечения стороны СЕ с осью Ох. 601 Функция I/= г/(х) задана графиком (рис. 22). Пользуясь этим графиком, найти: 1) у(-2), 1/(1), у(3), //(0): 2) значение х, при котором функция принимает значение, равное -1: 0; 3; 3) координаты точек пересечения графика с осями координат; 4) целые значения х, при которых функция положительна; 5) целые значения х, при которых функция отрицательна. 602 Функция y=kx задана таблицей. Найти коэффициент k, заполнить таблицу: Рис. 22 1) X -5 1 “2 0 3 у -12 16 1 4 2) X -8 -4 2 1 1 1 1 0 у 2 3 ~4 143 А (1:2) О У, ' А(2;1) о X а) б) у, А (-3:2) у, А (-4: \) ■“ О О X в) г) Рис. 23 603 1) Велосипедист движется со скоростью 10 км/ч. Записать формулу зависимости его пути s от времени движения t (в часах). Построить график этой зависимости на первых пяти километрах пути. 2) Плотность железа равна 7,8 г/см®' Записать формулу зависимости массы т железа от его объема v (в см®). Построить график этой зависимости. 604 Найти значение k, если график функции y=kx проходит через точку: 1)В(-30;3); 2) А (4;-80). 605 Записать формулой функцию, график которой — прямая, изображенная: 1) на рисунке 23, а; 2) на рисунке 23, б; 3) на рисунке 23, в; 4) на рисунке 23, г. 606 При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 6 °С. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2 °С. Найти формулу, выражающую изменение температуры Т воды в зависимости от времени t (в минутах) ее нагревания. Будет ли функция T(t) линейной? Чему равны Г (20), Т(31)? Через сколько минут после начала нагревания вода закипит? 144 607 Найти координаты точек пересечения графика с осями координат: 2) у = -2х^^ 4) 1/=0,8х-0,6; 1) !/ = -1,5д: + 3; 3) {/ = 1,5х-6; 5) у = --х-^2-, 4 6) у = -х-5. 608 Построить графики этих функций. Построить график функции у=кх + 1, если известно, что ему принадлежит точка: 1) М(1; 3); 2) М(2; -7). Iltioni'pi. (< ftji! Дана функция у = 5х-1. Найти 1/(0,2) и значение х, при котором значение функции равно 89. Принадлежит ли точка А(-11; 54) графику этой функции? Построить график функции !/ = 2х; у = х-2; у = 3; у = 3-4х. 609 610 Построить график функции у = -Зх + Ь, если известно, что этот график проходит через точку: 1)^(-2;4); 2) В (5; 2). В одной системе координат построить графики функций: 1,1 1 1 Q 2) у = -х + 1; 4 ■■--х + 1; 4 :Х-1; 611 612 3) (/ = 0; у =2; у = -1. Заполнить пропуски в тексте: 1) прямая у = 2х проходит через точку (...; 4); 2) прямая у=Зх-4 отсекает на оси ординат от ее начала отрезок длиной ... ; 3) прямая у = 2х-6 отсекает на оси абсцисс от ее начала отрезок длиной ... ; 4) среди прямых у = х-7, у = 5х + 2, у = Зх-7, у = х + 4, у = -х-7 параллельными являются ... . Используя графики зависимостей массы воды и массы ГП2 льда от объема V (рис. 24, а), ответить на вопросы: 1) Является ли функция т, (10 линейной? 2) Какой объем занимают лед и вода, если они имеют одинаковую массу, равную 500 г? 145 613 На рисунке 24, б изображен график движения пешехода на прямолинейном участке пути из пункта В в пункт Е. Используя этот график, ответить на вопросы: 1) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт В? 2) С какой средней скоростью двигался пешеход? 3) На каком расстоянии от пункта В он сделал привал? 4) Сколько времени длился привал? 5) Через какое время после привала пешеход прибыл в пункт Е1 Записать формулой функцию s (t) на участках графика ВС, DE. CD. 614 Автомобили А, ч А2 выезжают одновременно навстречу друг другу. По заданным графикам движения автомобилей (рис. 25) найти: 1) время от начала движения автомобилей до их встречи; 2) путь, пройденный каждым из автомобилей до их встречи; 3) скорость движения каждого автомобиля. S, км б t, ч глава Системы двух уравнений с двумя неизвестными Уравнения первой t гепени с двумя неизвестными. Системы уравнений Задача 1 Проволока длиной 41 см разрезана на куски длиной по 13 см и 5 см. Сколько получилось кусков каждого вида? ► Введем обозначения: X — число кусков по 13 см, у — число кусков по 5 см. По условию задачи выполняется равенство 13jc + оу = 41, (1) в котором хну — неизвестные целые неотрицательные числа. Из этого уравнения выразим х че-о 2 5 рез у, получим ^ = 3^д“^зг/-2 Так как из числа 3— вычитается целое неотрица- 2 тельное число, то х не может быть больше, чем 3—, 1о а так как х — целое неотрицательное число, то оно может быть только одним из чисел О, 1, 2, 3. Теперь из уравнения (1) выразим у через х, полу- 41-133: чим и =------. 5 Вычисляя по этой формуле значения у при д: = О, 1, 2, 3, замечаем, что только при х = 2 соответствующее значение у будет целым числом (равным 3). Ответ 2 куска длиной 13 см и 3 куска длиной 5 см. 147 Помимо найденных целочисленных значений х к у в задаче 1 уравнению (1) удовлетворяет не одна па- 3 2 ра чисел. Например, пары Xj = 1, t/j = 5— и JC2 = -гг, 5 13 3 1/2=8— также обращают уравнение (1) в верное 5 равенство. Уравнение (1) является примером уравнения первой степени с двумя неизвестными. Уравнением первой степени с двумя неизвестными X и у называется уравнение вида ах -i- by = с, (2) в котором а, Ь, с — заданные числа, причем хотя бы одно из чисел а и 6 не равно нулю, т. е. 0. В уравнении (2) числа а и Ь называют коэффициентами при неизвестных х и у соответственно, а число с — свободным членом. При решении задачи 1 была найдена пара чисел X = 2, у = 3, при которых уравнение 13х и- = 41 обращается в верное числовое равенство 13-2 + 5- 3 = 41. Эта пара чисел называется решением данного уравнения. Часто решение уравнения с двумя неизвестными записывается в виде пары чисел в круглых скобках. Например, вместо того, чтобы писать х = 2, у = 3, пишут (2; 3). Важен порядок расположения чисел в скобках: на первом месте указывается значение х, а на втором — значение у. Поэтому записанные таким образом пары чисел называют упорядоченными. Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченная пара чисел (х; у), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство. Задача 2 Записать все решения уравнения Зх - 4j/ = 12. ► Если равенство Зх — 4р = 12 является верным, то вер- л о 1 о Зх—12 ными являются равенства 4у = Зх - 12 и у = —-—, а поэтому верно равенство Зх-4 Зх-12 Зх-12 = 12. Пары чи- х; О- где X может принимать любое зна- Ответ чение, являются решениями уравнения Зх - 4г/ = 12. Зх-12 (х; где X — любое число. О 148 При решении уравнения в задаче 2 найдены все ре- f 3x-12'l шения — это пары чисел I х; —-— I, где х — любое число. Их бесконечно много: задавая различные значения х, получаем соответствующие им значения у. Например, если х = О, то у = -3, если X = -1, то у = -3,75. Решениями уравнения ах + by — с, в случае когда Ь ^0, являются пары ( с-ах\ где X — любое число. Решениями уравнения ах -t- О • у = с с двумя неизвестными X и у, где а* О, являются пары чисел yj, где у — любое число. Задача 3 Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик? ► Обозначим первое искомое число буквой х, второе — буквой у. По условию задачи x-t-y = 10, х-у = 4. (1) (2) Ответ Если оба равенства (1) и (2) верные, то их можно сложить (т. е. сложить левые и правые части равенств). Получим также верное равенство (х-1-у) + (х-у) = 10-1-4, откуда 2х = 14, х = 7. Теперь вычтем из равенства (1) равенство (2). Получим 2у = 6, у = 3. Можно: 7 и 3. < Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же, то эти уравнения рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему двух уравнений, которую записывают так: х + у= 10, х-у = 4. (3) 149 Фигурная скобка, стоящая слева, показывает, что нужно найти такую пару чисел (д:; у), которая обращает каждое уравнение в верное равенство. Система уравнений (3) — пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим еще один пример системы уравнений с двумя неизвестными: 1 \-2ix-i-y) = 3x + 2y, |5x-i-3j/ = 0. (4) Можно проверить, что два числа д: = 3 и у = -Ъ обращают каждое из уравнений системы (4) в верное равенство: |i(3-5) = 3-3 + 2*(-5), [5-3 + 3-(-5) = 0. Пару чисел (3; -5) называют решением системы (4). Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так: |a,x + 6ji/ = Cj, \а2Х-^Ь2У = С2. где а,, Ь,, С|, Ог, ^2 —заданные числа, ахи у — неизвестные. Например, в системе (3) Oj = 1, ftj = 1, Cj = 10, ^2 ■” 1, ^2 ~ “1, ^2 ~ 4. Упражнения 615 Дано линейное уравнение с двумя неизвестными хну. Выразить сначала х через у, а затем у через х: 1) X-1-2г/= 5; 2) Зх-у = -2; 3) 5x-3i/ = 6; 4) 2x-(-7i/ = 3. 150 616 617 Записать все решения уравнения: 1) Зх+4у = 8; 2) -х + 3у = 2; 3) 1,5л:-0,5г/ = 3,5; 4) 2х-3у = ~. 3 Найти все пары (х; у) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения: 1) 5х + 6г/ = 28; 2) 13x + 4i/ = 55; 3) 3x + 2i/ = 13; 4) 5х + 7у = 59. 618 619 (Устно.) Проверить, что числа х = 4, у = 3 являются рюшени-,Ъх-Зу = 1, -&у = 2. ем системы |2,5х |5х-( „ „ |4х + 3|/ = 6, Дана система уравнении \2х + у-4 Из следующих пар чисел найти ту, которая является решением данной системы: 1) х = 0, у = 2; 2) х = 3, у = -2. 620 Дана система уравнений -х-\у = Ъ. 2 З" Из следующих пар чисел найти ту, которая является решением данной системы: 1) х=10, i/ = 0; 2) х = 6, у = -6. 621 Найти все пары(х; у) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения: 1) 1ог/-8х = 76; 2) 9у-2х = 20; 3) Ъу-3х = 20; 4) 4у-3х = 20. 622 Дана система уравнений 1^- [2х -3y = c^, + Ау = С2. Известно, что пара чисел х = 5, у = 2 является ее решением. \ах-3у = \1. 623 Дана система уравнений м \\х + Ьу = 29. Известно, что пара чисел х= 1, у = -2 является ее решением. Найти а и Ь. 151 624 Можно ли загрузить автомашину контейнерами грузоподъемностью 0,8 т и 0,9 т так, чтобы полностью использовать грузоподъемность автомашины, равную 10 т? 625 Детали упакованы в коробки двух видов: по 5 штук и по 8 штук. Всего упаковано 69 деталей. Сколько понадобилось коробок каждого вида? Способ подстановки Задача 1 Решить систему уравнений \х + 2у = Ь, 12дг+1/ = 4. (1) Предположим, что хтлу — это такие числа, при которых оба равенства системы (1) являются верными, т. е. (х; у) — решение системы (1). Перенесем 2х из левой части верного равенства 2х + у = 4 в правую часть; получим также верное равенство: у = 4-2х. (2) Теперь рассмотрим первое уравнение системы (1): х + 2у = 5. (3) Напомним, что по предположению х к у — такие числа, что равенство (3) является верным. Заменим в этом равенстве число у равным ему числом 4-2л:, т. е. подставим вместо у его значение 4-2д:. Получим х + 2(4 — 2х) = 5. Из этого равенства находим д:-ь8-4дг = 5, -3д: = -3, дс = 1. Подставляя х = 1 в равенство (2), получаем у = 4-2-1 = 2. Подведем итог проделанных рассуждений. Предположив, что система (1) имеет решение, мы получили, что х=1, у = 2 и других решений нет. 152 Осталось убедиться, что эта пара чисел на самом деле является решением системы (1), т. е. осталось показать, что при дг=1, у = 2 оба уравнения системы становятся верными равенствами. Подставим найденные значения х и у в оба уравнения системы (1) и выполним вычисления: jl-l-2-2 = 5, [2-1 + 2 = 4. Оба равенства верные. Система (1) имеет единственное решение: х=\, У = 2. Рассмотренный способ решения системы (1) называется способом подстановки. Он заключается в следующем: 1) из одного уравнения системы (все равно из какого) выразить одно неизвестное через другое, например у через х; 2) полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х; 3) решив это уравнение, найти значение х; 4) подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у. Задача 2 Решить систему уравнений 3x-2j/= 16, 5х + Зу = -Ь. 1) Из первого уравнения находим -2у=16 —Зх, 16-Зх _^3 У= . т. е. у = -8 + -х. 2) Подставляем y=-S-\- — x во второе уравнение системы: 5x + 3(^-8-i-|xj = -5. 3) Решаем это уравнение: 5х-24-(--х = -5, i^x=19, х = 2. 2 2 Ответ 4) Подставляя х = 2 в равенство у = -8 + — х, нахо- 3 дим: у =-8-I- —*2 =-5. X = 2, у = -5. сс ю н к •<1 СО to СП -q со + to 1 со ^ + со «: Н Я 1 -f- 4. со 'С: 1 to Н 'С н и Ji. ч- 00 to 1 1 1 '« 1 н «с + н -f со ^ «S н + со 4^ I 1ЧЭ ' 00 7" оР I II I to + ю н II 05 05 н to ) «q СЛ СО «и 1 Ю 1 н 00 ^ н ^ н 4^ со Н со to см со + «c: н ^ н н + СЛ II 1 1 1 1 to 05 1 «а 1 1 W II II 1 -q II со о II СЛ 1 1— сл сл сд и 00 со со Н + '** о и со 1 to со 05 сс 05 СО © © to © X н со + to + "С + I \Н 1 н 4^ I СО I I'C I'C II II »-* оо со н < I + to н + 'С I Н I 'С -q СО I 05 Н + & S I II СЛ to^ + со to I to II Н СЛ + I- 'С I ■ н tSO !-> Н о + I со O' ^ н + I СЛ СЛ W ^ '■'I СЛ 05 to ^ ч: >(>. I S- to ' Н >(>- ьо ^ ' 7 с» I /-^ tSD О ' 'Т Ю М н н + Ч; II W СО " « I + ^ to со н + ч; |(^ to • СО| н ^э| С» 4^1 н СЛ| Н + I со ««г + to I о>|<с 05| I н + сп|<с: I -1? Н!? + 1 •^1.? II II © I • I + со|<«: СО|<с; II II о СЛ Ъг со| н 00| ^ + + to| С г ■ Г- г. с г '■ i f Г' J Бросают две игральные кости (на рисунке 28 изображена игральная кость — кубик с отмеченными на его гранях очками, а также развертка этого кубика). Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей? ► С помощью составленной ниже таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число всевозможных пар равно 6 • 6 = 36. Число очков Число очков на II кости на I кости 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 Ответ 36 пар. "i Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться следующим правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»: Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует п • т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. 178 Задача 3 Катя и Оля приходят в магазин, где продают в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка покупает по одной плитке. Сколько существует способов покупки? ► Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (п = 3). Оля может поступить аналогично (т = 3). Пару шоколадок для Кати и для Оли можно составить п ■ т = 3 ■ 3 = 9 различными способами. Ответ 9 способов. Задача 4 Ответ Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Кати и Оли? Допустим, первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности выбора плитки (« = 3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (т = 2). Тогда число способов выбора пары шоколадок для Кати и для Оли найдем так: л • m = 3 • 2 = 6. 6 способов. <1 Задача 5 Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с помощью букв А, Б, В, Г и Д, если буквы в коде: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными? ► 1) Первой буквой в коде может быть любая из данных пяти букв (л = 5), второй — также любая из пяти (т = 5). Согласно правилу произведения число всевозможных пар букв (с возможным их повторением в паре) равно л • Л1 = 5 • 5 = 25. 2) Первой буквой в коде может быть любая из пяти данных букв (л = 5), а второй — любая из четырех, отличных от первой (т = 4). Согласно правилу произведения, число двузначных кодов с различными буквами будет равно л • m = 5 • 4 = 20. Ответ 1) 25; 2) 20. 2)? Решим задачу с помощью полного графа, имеющего п вершин. Каждое ребро этого графа определяет искомую пару элементов. Из каждой вершины выходят (п - 1) ребер. Число (л - 1) • л в 2 раза больше, чем число ребер, так как при таком подсчете каждое ребро учитывается дважды. Следовательно, число искомых пар (ребер графа) (л -1)л N=- (1) N = (n-l)n 2. Граф-дерево В § 38 решалась задача о способах рассаживания троих друзей на трех местах во время футбольного матча. Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью графа, называемого деревом (за внешнее сходство с деревом). Задача 4 Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места? ► На 1-е место может сесть любой из троих друзей, на 2-е — любой из двоих оставшихся, а на 3-е — последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, помещая в вершины графа первые буквы имен друзей А, Б и В: I место II место III место Упорядоченные тройки друзей АБВ АВБ БАВ БВА БАБ ВБА Итого: 6 способов Ответ 6. 183 Задача 5 Ответ Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр О, 1,2, если цифры в числе могут повторяться? Первой цифрой составляемого трехзначного числа может быть либо 1, либо 2. Второй цифрой может быть любая из трех данных цифр; третьей — также любая из цифр О, 1, 2. Изобразим сказанное с помощью дерева: Образовавшееся I цифра II цифра III цифра число 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222 Итого: 18 чисел 18 чисел. О Ребра графа, являющегося деревом, иногда называют ветвями дерева, а само дерево — деревом вариантов. Вычерчивать дерюво полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов. Дерево вариантов дает наглядное представление о том, как применяется правило произведения для подсчета комбинаций из большего, чем 2, числа элементов. Действительно, например, в задаче 5, 184 согласно правилу произведения, первые две цифры числа можно было записать шестью способами (2 • 3 = 6). Третью цифру к уже двум имеющимся можно было, согласно правилу произведения, приписать (2 • 3) • 3 = 18 способами, т. е. существует 2 • 3 • 3 = 18 всевозможных трехзначных чисел, записанных с помощью цифр О, 1 и 2. Задача 6 В меню столовой предложены на выбор 3 первых, 5 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню? ► Согласно правилу произведения таких обедов можно составить 3 • 5 • 4 = 60. Ответ, ‘ 60 вариантов обедов. Упражнения Упражнения 712—717 выполнить с помощью графов. 712 При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1) трое; 2) четверо: 3) пятеро? 713 По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрю-че участвовали: 1) 3 человека; 2) 4 человека; 3) 5 человек? 714 Маше на день рождения подарили три букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было две вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой. 715 В каждую из трех ваз: хрустальную (х), керамическую (к) и стеклянную (с) — пробуют поставить по одному из двух имеющихся букетов цветов: из роз (р) и гвоздик (г). Перечислить все возможные варианты установки в каждую вазу каждого букета. 716 Перечислить все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго и одного третьего блюда), если в меню столовой имеются два первых блюда: щи (щ) и борщ (б); три вторых блюда: рыба (р), гуляш (г) и плов (п); два третьих: компот (к) и чай (ч). 717 Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые (с), бежевые (б) и зеленые (з); свитера двух расцветок: 185 песочный (п) и малиновый (м); ботинки двух цветов: черные (ч) и коричневые (к). 718 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 1 и 2; 2) О и 1? 719 Сколько различных трехзначных чисел, в записи которых цифры могут повторяться, можно записать с помощью цифр: 1) 1, 2, 3, 4; 2) О, 1, 2, 3? 720 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными? 721 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8, 9, О при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными? 722 Вася забыл вторую и последнюю цифры пятизначного номера телефона приятеля. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Васе, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до приятеля? 723 Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить? 724 Сколько существует способов занять 1, 2 и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют: 1) 10 команд; 2) 11 команд? 725 При игре в крестики-нолики на поле размером 3x3 клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход: ставит крестик в любую из клеток; вторым ходом второй неопытный игрок ставит нолик в любую из оставшихся свободных клеток, затем 3-м ходом первый игрок ставит крестик и т. д. Сколько существует вариантов заполненных клеток после: 1) двух ходов; 2) трех ходов; 3) четырех ходов? 726 Завуч составляет расписание уроков. В пятницу в 7А классе должно быть 5 уроков, причем обязательно один сдвоенный урок — алгебра. Сколько различных вариантов расписания уроков может составить завуч на пятницу, если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы, истории и физики? 727 Имеется 7 книг, причем две из них одинаковые, а остальные книги отличаются от этих двух и различны между собой. Сколькими способами можно расставить эти книги на книжной полке при условии, что одинаковые книги в любой последовательности должны стоять рядом? 728 Сколько ребер имеет полный граф (каждая вершина соединена с каждой), если количество его вершин п, где: 1) л = 12; 2) л = 37? 186 729 Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на дежурство по столовой, если в классе; 1) 24 учащихся; 2) 25 учащихся? ■X- Упражнения 730 731 732 733 С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: 1) должны быть разными; 2) могут повторяться. С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные трехзначные числа при условии, что цифры в числе должны быть различными. Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и О, если: 1) одинаковых цифр в числах не должно быть; 2) цифры в числах могут повторяться. 1) У лесника 3 собаки; Астра (А), Вега (В) и Гриф (Г). На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак. 2) Из трех стаканов сока — ананасового (а), брусничного (б) и виноградного (в) — Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать. Проверь себя! С помощью цифр 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться. Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 8 и 9. Анна (А), Велла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять свои места. 734 Сколькими способами могут быть заняты первое второе и третье места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек. 735 Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой? 187 Упражнения для повторения курса алгебры VII класса I.................}....................I....................I...................I • • I...................I...................I....................I....................I • 736 Найти значение числового выражения: 1) (-1,5 + 4-2,5)(-6); 2) (2-3-7 + 7,9)2; 4) (2-5 + 7-1)2:(-3)2-21; 0,96 1 4,5 "‘’Э’ 737 738 739 740 741 3) (l-jj:(-l,e-3,3+5); 6) в, (0.2)^ -3i + l,9 i-0,75 5 2 Сумма двух чисел равна 30. Одно из чисел а. Записать удвоенное произведение этих чисел. Вычислить значение этого произведения при а = -2. Составить выражение, показывающее, сколько единиц содержится в натуральном числе, состоящем из а сотен, Ь десятков и с единиц. Сколько единиц в числе, написанном теми же цифрами, но в обратном порядке? Сколько граммов содержат а килограммов и с граммов? Ответ записать выражением. Найти числовое значение алгебраического выражения: 1) 2а + Ь при а — ■ г> = -3; 2) 4а-= -1 при а ■■ Ь—2а ‘ 2’ ' 2а+1 Рещить уравнение (741—744). 1) 2{х-1) = 3(2л:-1); 2) 3(1-л:) = 4х-11; 3) 3-5(д:-1) = л:-2; 4) 3(л;-2)-2(х-1) = 17. 188 742 743 744 745 746 747 748 749 1) 2х+1 = 6; 2) 1) 7-- = 3 2 —■ Т’ Х-1 _ 1_ 04 1 ’ 3~2~2’ 2) 9- —= 7 + -; 3 3 ..4 , X 1 4) -х-1 = - + ~. 3 9 6 3) 1) 3) 5- хч-3 2 6х+7 = х-4; 3+5х 4) 2-Зх = -12 8 = 3; 2) 2 2х-1 2х-5 4х+2 4) 5 х-5 3 2х + 1 = 1; -7. 5 3 В трех коробках находится 119 карандашей. В первой коробке на 4 карандаша больше, чем во второй, и на 3 карандаша меньше, чем в третьей. Сколько карандашей в каждой коробке? Отцу 30 лет, а сыну 4 года. Через сколько лет отец будет втрое старше сына? Катер прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 3 ч, а против течения за 4 ч. Каково расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч? Вертолет пролетел расстояние между двумя поселками при попутном ветре за 1,5 ч, а при встречном ветре за 2 ч. Каково расстояние между поселками, если скорость ветра оба раза была равна 10 км/ч? Упростить: 1) 2) 3) (6® Ь^ь (75 -Ь^; 4) з" б* / / \2 ч4^ (^) -(^) и 750 751 752 Найти произведение одночленов: 1) -12a*bc^d’5a^d'‘ -(-Sb^cd^y, 2) 49а^бс^ :^ас; 3) ^-^аЧ^сУ^аЬс^; 4) Возвести одночлен в степень: 1) (-Zab^f -, 2) (-0,800^)“=; 3) (-|абс*] ; 4) (-аб^сз] . Упростить выражение: 1) 2a^ + 2ab + 3b^-a^-2b^; 2) цЗ 4- аб + б^ +{2а^ +ЗаЬ-2Ь^) + (а^ + аЬ + 2Ь^); 3) 7аЗ-|-2бЗ-(6аЗ-нбЗ); 4) 40^ + 2а-(-1-(И-2о-4а2). 189 753 754 755 756 757 758 Выполнить умножение многочлена на одночлен: 1) (а^ - ab + b^)'Zab^', 2) (2m^ - 3mn+4л^ )• 3) (6а*-4а6^ +l)*ia&; 4) (8m^-7т^л + 1)-^лгл. 2 о Выполнить умножение многочленов: 1) (а^+3а6 + &2)(7а-56); 2) {За^-баЬ^+ 2Ь^П4аЬ-1); 3) (a + 3ft-4c)(a-3b-4c); 4) (т + п-2)(т-п+2)\ 5) j(15a-30b); 6) +4а + 1 |(За-1). Найти значение выражения: 1) 12а^Ь^ :(3а6^ ) при а = —, Ь = 4 9 2) {-49т^п*) :{7тп'*) прит = ^, л = 1; 3) {4a^b + 6a^b):(2ab^) прио = -1, 6 = 5; 4) (12а^ - 24а® + 12а® ): (6а^ ) приа = ^. 4 Упростить (756—757). 1) (а + 1)(а-1)(а®+1); 2) (1-26)(1 + 26)( 1 + 46®); 3) (2а6® + 3)(3-2а6®) + 4а®6‘‘; 4) ^|-5j|^5+|j+25. 1) (а+3)®+(а-3)®; 2) (4а + 6)®-(4а-6)®; 4) (1-76)®-(1 + 76)®. Разложить на множители: 1) а-'+6а®+9а®; 2) 4 + 86 + 46®; 3) (1-а)®-4; 4) 25-(2-За)®. 759 Сократить дробь: 1) а® - 8а -16 2) 4-а“= а + 2 3) 4х^ 2дг® + Здг 4) 36®-12Ь + 12 6®-4 ■ Выполнить действия (760—764). 760 761 а-Ь а-с аЬ ас 1 1 1) 3) ,, , а-1 а® -1 За 1) 1 + а----+-----------; а 2а 2 3) а® + 5а-4 2а 16-а® 8а + 2а® 190 2) -V + -T + - а® а6® а®6 .4 2 3 4) —Г- + - 2) Зд:®1/ Ьху‘‘ 4у‘‘ а® - 36® 2 а6+ 6® а6® 4)^: - + — + ■ аЬ а'^Ь^ ) 2 4 + — — 36 3 6-6 762 1) а^-1 1-а^ 2) 31/ 2х 3) 1 + За + 4) 9а^ lf3a За—1 1—9а^ 4х‘ -9!/‘ 91/^ - 4 X' 6а 2 ’ 763 1) 3) 764 1) д;2 - 1/2 12x^1 6X1/ Х+1/ а^ + 4а 4а + 16 ■16 а‘^-4а 2) 4) 8аЬ-8Ь^ _ а® - аЬ^ _ + а6 46^ 5а®6 + 5а6* lOaft За^-ЗЬ^ 3) а^ -f 2а^ (а + 1)^(а-1)^ а^-1 а^(а-ь2) (а^ + аЬ)^ (а+ Ь)^ 2) 4) 1-81Ь^ аЬ + 2^ а^Ь^-4 1-9Ь’ 2cd + 4d^ 4c^-16d^ а^-6^ (ab-b^f 12c-6d I6c2-4d^ Выполнить действия (765—766). 765 766 767 1) [^ + l]:[l—^1; 2) f-^ + 1 Va + 1 a + ly \^a-bl 2a^ l-2a^ 3) 1-а2 _ l-ft2 _ 1+ ft а~ ( \+— { 1-а 1) { хл-у х-у 4 (/2 х-у х+у 4) a + b-a 1+ ab ^ q(<)-o)'j 1 -f aft )' X+ {/_ 2) 1-ft l + 4ft l-fft 1-ft l-ft2 2y +26 + 1). 768 Тело движется равномерно со скоростью 4 км/ч. 1) Написать формулу, выражающую путь s этого тела за t часов. 2) Составить таблицу значений s при t, равном 0; 1; 2; 3; 4. 3) По данным таблицы построить график изменения пути данного тела в зависимости от изменения времени движения. 4) Найти по графику путь, пройденный телом за 1 ч 30 мин; за 3,5 ч. 5) Найти по графику, за какое время тело пройдет 10 км; 6 км. 6) Доказать, что отношение ординаты любой точки полученного графика к ее абсциссе равно 4. Построить прямую: 1) у = -Зх + 2; 2) у^Зх-2; 3) 1/ = |х + 2; 4) у = ~х-2\ 5) у = -2; 6) у = \\ 7) х = -1; 8) х = 3. 191 769 770 771 772 Построить график функции i/ = 0,4x-8 и по нему найти: 1) значение у, соответствующее значению х, равному -1; 0; 1; 2,5; 2) при каком значении х значение у равно -8; -2; 0; 0,5; 1,5; 4. Найти координаты точек пересечения прямой с осями координат; 1) у = 7х + 4; 2) у = -7х+4; 3) !/ = 3,5х-1; 4) (/=-3,5д:-1-1. Построить график уравнения: 1) 2(/4-3 = 0; 2) 1-Зх = 0; 3) х+у-1=0; 4) 2х + у = 3; 5) Зу-2х = 9; 6) 2х=у-1. Найти координаты точки пересечения прямых: 1) у = 4х-6 и у = Зх-2; о 1 5 8 2) у = Зх-1 и у = --х + -. Решить систему уравнений (773—774). 773 N 2х-у = -6, х + 2у = 7; 3,) Зд:-у-6 =0, 2х-3р+3=0 з,| х + у = 4, 3х + у = 0; 4,| 2х-у = 4, Зх-1- £/ + 9 =0; 5,| 3х + 7у=13, 8х-3у= 13; «) Зх-5у = 6, -8у = Зх + 7. 774 1) -+^-5 5^2"®’ 7-- = 0,5; 14 О 2) 2х 5у_ 3 3 4 5дг 7у_ 6 8 3) 3 ^ иг-д:.-4; 4) х+у _ 1 2 3’ 1 х-у = -х-^ 2 775 Решить графически систему уравнений: ‘М 2х + 5у=1, у = 1; з,| х + у = 2, 2х+у = 0; Зх + 2у= 1, 5х-2у=7; 4,| 4х-5у-7 = 0 2х-8у-1-2=0 776 В первом баке в 4 раза больше жидкости, чем во втором. Когда из первого бака перелили 10 л жидкости во второй, оказалось, что во втором баке стало в 1,5 раза больше жидкости, чем осталось в первом баке. Сколько жидкости было в каждом баке первоначально? 192 777 778 За две пары гольф и три пары носков уплатили 130 р. Сколько стоит пара гольф и пара носков, если 1 пара гольф и 4 пары носков стоят 140 р.? Если к числителю некоторой дроби прибавить 3, а знаменатель оставить без изменения, то получится 1; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2, не меняя ее числитель, то получится дробь, равная Найти исходную дробь. 779 780 Теплоход прошел по реке расстояние между двумя пристанями, равное 80 км, за 3 ч 20 мин по течению реки и за 5 ч против течения. Найти скорость течения реки и собственную скорость теплохода. Решить уравнение: 4х-3 5-2х Зх- 1) 3) 2 х + 4 3 Х43 = 0; - х-5- х-2 2) 4) 2х-3 3-4х 3-5х 2 4 5х 1-Зх 6 5 = х-- 8 х-7 = 0; 15 -1. 781 782 783 784 Заводской цех должен был выполнить план по изготовлению однотипных деталей за 10 дней. Но уже за день до срока он не только выполнил задание, но и изготовил сверх плана 8 детали, так как ежедневно изготовлял сверх плана по 2 детали. Сколько деталей должен был изготовить заводской цех по плану? Дана функция y = kx+b. При каких значениях k и Ь график функции проходит через точки (-1; 1) и (2; 3)? Найти значение к, если известно, что график функции у = кх-1 проходит через точку (-3; 2). Решить систему уравнений: 1) 3) 9х-у +2у — 3, 2) 12х+5у -Zx = 3; 11x4- Зу 9 -Зх= -5, 14х-9|/ . о ’' + 5у = 8; 11 х+Ьу 11х-2у _ 2х-4у-г6 2 2х-3у 8 у-2х 5 2(9х-н7у) 11 785 За 5 м шерсти и 4 м шелка в магазине «Ткани» нужно заплатить 1600 р. При передаче остатков ткани в магазин по продаже мерного лоскута цену на шерсть снизили на 25%, на шелк — на 15%, и в этом магазине за 6 м шерсти и 5 м шел- 7 Алгебра, 7 кл. 193 786 787 788 791 ка нужно заплатить 1537 р. 50 к. Сколько стоит метр шерсти и метр шелка в магазине «Ткани»? Сестра старше брата на 6 лет, а через год будет старше его в 2 раза. Сколько лет каждому из них? Поезд прошел расстояние 63 км между двумя станциями за 1 ч 15 мин. Часть пути он шел под уклон со скоростью 42 км/ч, а остальную горизонтальную часть пути поезд шел со скоростью 56 км/ч. Сколько километров пути уложено под уклон? Дано выражение (- 9)^ - (л: + 3)^. 1) Разложить данное выражение на множители. 2) При каких значениях х значение данного выражения равно нулю? 3) Записать данное выражение в виде многочлена стандартного вида. 4) Найти числовое значение данного выражения при X = -3, л: = 3. 789 790 5) Сократить дробь (дг-ьЗ)2 1) Разложить на множители каждое из выражений: А=(2х-ЪУ-{х + 2У, В = (2х^-2х)-10х + 10. 2) При каких значениях х значение каждого выражения равно нулю? 3) Упростить дробь —. Вычислить значение этой дроби при х = —, д: = -1. 3 4) При каких значениях х значение этой дроби равно нулю? 1) При каких значениях k и Ь график функции y = kx + b проходит через точки (-1; 1), (2; -3)? 2) Проходит ли график функции у = -2х-1 через точку (-3; 5)? (-1; 2)? 3) Построить график функции у = -2х-1. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат. 4) При каком значении х значение функции у = -2х-1 равно нулю? 5) Указать несколько целых значений х, при которых значения функции у = -2х-1 положительны (отрицательны). 6) Найти координаты точки пересечении графика функции I/=-2 х-1 С графиком функции у-о. Команда рыболовецкого сейнера по плану должна была вылавливать 60 ц рыбы ежедневно. Перевыполняя план ежедневно на 5 ц, команда выполнила плановое задание на 3 дня раньше срока и, кроме того, выловила 20 ц рыбы 194 792 793 сверх плана. Сколько рыбы должна была выловить команда сейнера по плану? За 5 дней работы трактористы засеяли 500 га. Во 2-й день они засеяли на 25% больше, чем в 1-й, а в 3-й — на 20% больше, чем во 2-й. Последние два дня они засевали каждый день столько же, сколько во 2-й день. Сколько гектаров засеяли трактористы в 1-й день? Упростить (793—794). 1) (1-а)(1+а-1-а2)-|-а*; 2) (b + 3)(fe2_36-(-9)-27; (г”’К Ьг’*'*)*"“• 4) 4а*-1а^ +- 1_ 27' 794 795 796 797 798 1) (2a-b)^-{2a-b){2a + b); 3) (2а-1-6)2-9 (а-1-6)2; 2) (1-а)2(1 + а)2-(1-а^); 4) (а-26)2-25(3а-6)2. Разложить на множители (795—797). 1)а2б*с2-1; 2) 8а2б2+125сЗ; 3) (а-1)2 + 2(а-1)-ь1; 4) (4a-l)2-f 2(4a-l)-i-l. 1) 4аб2-H5a6c-46cd-15c2d; 2) -т^ +т-1; 3) + Ь^ - + 2аЬ; 4) 1-|-2а6-а2-б2; 5) (а-(-3)2-6(a-f3)-i-9; 6) (m-l)(m2-7m)-i-(m-l)(5m-i-l). 1) а2-2а-3; 2)б2-76-н12; 3) а®+а2 - 12; 4) х^-7х+6; 5) т2-7тч-10; 6) т^-т-2. Выполнить действия (798—8СЮ): / \ 799 1) 2) 3) 1) 2) 3) m2 + +2 1 1 m2 т + —-------; т ) m2 - 1 \ Х^ +—+ 2 ДГ1/2 X 9т^ 4тп ■3«2 т-4п ---------I----------- 5п х^У^' 2т + п 5л2 - 3m2 a-b а + b) + *2 а2- Зт ц2 - &2 ' а2 + б2 16т2 1 + 46 26 а2 + б2 66 46- а 2 а2 -2а6+ 4б2 о2-4б2 2 об I о2-б2 j 195 800 1) 2) 2а 4а^ .( 2а 2а + Ь 4а^ + 4аЬ+ ^ V 4а^ - 2q 4q^ ^ .( 2? p + 2q + 4pq + 4q^ ; {p^-4q^ 1 Ь-2а 2q-p 3) 4) 1-2а^ f------ l-a 1 p+ 2 + 1 p-2 + 10-p^ p+ 2 801 802 803 Определить значение b, если через точку с координатами (3; 10) проходит график функции, заданной формулой: 1) у = х + Ь; 2) у = Зх+Ь; 3) у = --х + Ь; 4) у = -^х + Ь. 804 805 806 Задать формулой функцию, графиком которой является прямая, проходящая через точки А и В: 1) А (-6; -3), В (2; -3); 2) А (-4; -4), В(3; 3); 3) А (2; 2), В(0; 4); 4) А (3; -8), В (-5; 32). Путь от фермы до города идет сначала горизонтально, а затем в гору. Фермер проехал на велосипеде горизонтальную часть пути со скоростью 10 км/ч, в гору шел пешком со скоростью 3 км/ч и прибыл в город через 1 ч 40 мин после выезда с фермы. Обратно он проехал путь под гору со скоростью 15 км/ч, а горизонтальную часть пути со скоростью 12 км/ч и прибыл на ферму через 58 мин после выезда из города. Сколько километров от фермы до города? Велосипедист прибыл из пункта А в пункт В в назначенное время, двигаясь с определенной скоростью. Если бы он увеличил эту скорость на 3 км/ч, то прибыл бы к месту назначения на час раньше срока, а если бы он проезжал в час на 2 км меньше, чем в действительности, то он опоздал бы на час. Определить расстояние между А и В, скорость велосипедиста и время его движения. Для содержания лошадей был сделан запас сена на некоторое время. Если бы лошадей было на две меньше, то этого запаса сена хватило бы еще на 10 дней; если бы лошадей было на две больше, то запаса сена не хватило бы на 6 дней. Сколько было лошадей и на сколько дней был сделан запас сена? Первая труба наполняет бассейн за половину того времени, за которое вторая труба наполняет этого бассейна. Вторая О труба, работая отдельно, наполняет бассейн на 6 ч дольше, чем одна первая труба. Сколько времени наполняет бассейн каждая труба отдельно? 196 Старинные задачи Задача Диофанта (III в., древнегреческий математик, автор трактата «Арифметика», в котором изложены и начала алгебры. Сочинения Диофанта послужили основой для исследований в теории чисел и уравнений) 807 Ослица и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? — ответил ей мул. — Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с .моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей». Сколько мешков несла ослица и сколько нес мул? Индийская задача 808 Два лица имеют равные капиталы, причем каждый капитал состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи? Задача Авиценны (980—1037 гг., среднеазиатский философ-естествоиспытатель, врач, математик, поэт) 809 Доказать, что если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Задача из «Азбуки» Л. Н. Толстого 810 Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим и тогда у всех пяти братьев денег стало поровну. Много ли стоили дома? Старинные русские задачи 811 Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому? 812 У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям? 813 Крестьянин менял зайцев на кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца — третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки. Сколько было кур и сколько зайцев? 197 Задачи для внеклассной работы 814 Доказать, что разность 16^'-2®® делится на 31. 81.0 Доказать, что сумма 333^^^ + 777^33 делится на 37. 816 Найти последнюю цифру числа: 1) 2'®^; 2) 3“®; 3) 7^®*. 817 Найти последнюю цифру числа: 1) 32®®®+ 432^*; 2) 27®®*+ 53®"®. 818 Доказать, что число 32®®®+ 43®'** делится на 5. 819 Доказать, что число 132® + 576® делится на 12. 820 Доказать, что число 10®® + 10*® - 182 делится на 18. 821 Доказать, что значение выражения п® + 11п делится на 6 при любом натуральном п. 822 Доказать, что при любом натуральном п: 1) значение выражения л® + Зл® + 5л +105 делится на 3; 2) значение выражения л® + 12л® + 23л делится на 6. 823 Доказать, что при любых натуральных тип значение выражения (Зл1 + л + 5)®(5лг + 7л+2)'* делится на 16. 824 Пусть тип такие натуральные числа, что значение выражения 7лг + 5л делится на 13. Доказать, что значение выражения 41л1+46л также делится на 13. 825 Вычислить сумму S = —+ -^-+. 3-5 5-7 1 ■ + - 1 99-101 101-103 198 826 Вычислить сумму 827 828 829 „11 1 1 S —---1---+ ... Н---h----. 2*4 4-6 96-98 98-100 Доказать, что ни при каких целых хну равенство — 1990 не является верным. Найти все пары целых чисел хну, при которых справедливо равенство: 1) x^ + 2x = y^ + Q\ 2) д;2-8 = 1/2 + 41,. „ „ , п^+Ъ Наити все целые числа п, при которых дробь -является «2+1 целым числом. 880 Доказать, что при любых значениях д: и у, не равных 0, зна- 881 2 ^2 чение выражения х‘-ху+-у‘ положительно. Упростить выражение (3‘« + 1)(3« + 1)(3^ + 1)(32 +1)(3+1). 882 Доказать, что равенство 4^2 + 9i/2 - 4x + 6i/ + 2 = 0 является 1 1 верным только при х = -, у = -—. 2i о 888 Доказать, что равенство х^ + у'^ + = ху+xz + yz является верным только тогда, когда x = y = z. 884 Разложить на множители: 1) «2-1-202-3; 2) «2 и-«2 и-4; 3) о2-ю-ь1: 4) «2 - 6а2 - а-1-30. 885 Разложить на множители: 1) а‘‘-ь2а2-3; 2) а'-и 4; 3) «2-1-«2-0-1; 4) «^-«2-5«2-«-6. 886 Пусть х + у = а, ху = Ь. Выразить через а нЬ сумму: 1) jc2 + j,2. 2) х^ + у^-, 3) л:’’+ (/■*; 4) х^ + у'^. 837 Доказать, что если х, у, z положительны, то равенство д:* + ,,3 Д.З _ 2хуг является верным только тогда, когда x = y = z. 888 Сократить дробь: 1) 3) ■ 2а-3 «2 + аЬ-ЬЬ^ «2 - аЬ-2Ь^ 2) 4) «2-02-0 + 1 2«2 - о1>- &2 2«2 + 3oi>+ б2 199 8;}9 в 13 ч в бассейн начали наливать воду из одной трубы для того, чтобы заполнить его к 16 ч следующего дня. Через некоторое время включили еще одну такую же трубу, так как потребовалось заполнить бассейн к 1 2 ч дня. Во сколько часов включили вторую трубу? 840 Электропоезд проехал мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м — за 15 с. Каковы длина электропоезда и его скорость? 841 Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал велосипедист, и через час он был на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще через час велосипедисту оставалось до В расстояние, вдвое меньшее, чем пешеходу. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние АВ равно 27 км. 842 Из пункта А вышел пешеход, а из пункта В навстречу ему одновременно выехал велосипедист. После их встречи пешеход продолжал идти в В, а велосипедист повернул назад и тоже поехал в В. Известно, что пешеход прибыл в £ на 2 ч позже велосипедиста, а скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Сколько времени прошло от начала движения до встречи пешехода и велосипедиста? 843 Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще t секунд после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. 844 В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают i часть раствора и выпаривают до тех пор, 5 пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3%. Определить исходное процентное содержание соли. 845 Дорога из пункта А в пункт В длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход путь от А до В и обратно от В до А прошел за 6 ч. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, по равнине — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идет по равнине? 200 846 Два автомобилиста проехали по 240 км. Первый половину всего пути делал остановки через каждые 4 км, а другую половину — через каждые 5 км. Второй четверть всего пути делал остановки через каждые 3 км, а оставшуюся часть — через каждые 6 км. Какой автомобилист сделал остановок больше? 847 Двое учащихся на одинаковую сумму денег купили тетради: тонкие по а рублей за тетрадь и толстые по Ь рублей за тетрадь. Первый из них половину своих денег истратил на тонкие тетради и половину — на толстые. Второй купил на свои деньги тех и других тетрадей поровну. Кто из них купил большее число тетрадей? 848 Два автобуса отправились одновременно из одного города в другой по одной и той же дороге. Первый двигался с постоянной скоростью 60 км/ч. Второй половину всего пути двигался со скоростью 50 км/ч, а остальную часть пути — со скоростью 70 км/ч. Какой из автобусов первым прибыл во второй город? 840 На соревнованиях два велосипедиста стартовали одновременно. Первый ехал всю дистанцию с постоянной скоростью. Второй первую половину дистанции ехал в полтора раза быстрее, а вторую — в два раза медленнее первого. Кто из них выиграл гонку? 850 На соревнованиях по спортивной ходьбе первый спортсмен прошел четверть всей дистанции со скоростью 12 км/ч, а остальную часть — со скоростью 8 км/ч. Второй спортсмен прошел половину дистанции со скоростью 10 км/ч, а остальную часть — со скоростью 9 км/ч. Кто из них был первым на финише? 851 Два пешехода прошли одинаковый путь. Первый половину всего пути шел со скоростью 5 км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью 3 км/ч. Второй пешеход половину всего затраченного времени шел со скоростью 5 км/ч, а остальное время — со скоростью 3 км/ч. Кто из них быстрее прошел весь путь? Краткое содержание курса алгебры VII класса • I.......................I...............«....................I....................I....................I • 1. Алгебраические выражения Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок. Например, 1,2-(-3)-9 :(0,5-н1,5) — числовое выражение. Порядок выполнения действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание. Действия второй ступени — умножение и деление. Действия третьей ступени — возведение в степень. 1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняют в том порядке, в котором они записаны. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключенными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1). 3) Если вычисляется значение дробного выражения, то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе, а затем первый результат делится на второй. 4) Если выражение содержит скобки, заключенные внутри других скобок, то сначала выполняются действия во внутренних скобках. Алгебраическое выражение образуется из чисел и букв с помощью знаков действий и скобок. Примеры алгебраических выражений: 2(т+п); 2а + 2аЬ-1\ (а-Ь)^; 3 202 Числовое значение алгебраического выражения — число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами. Например, числовое значение выражения За + 2аЬ — 1 при о = 2 и Ь = 3 равно 3-2н-2'2*3-1 = 17, а при а = -1, 6 = 5 равно 3-(-1) + 2-(-1)-5-1 = -14. Алгебраическая сумма — запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединенных знаками « + » или * —». Правила раскрытия скобок. 1) Если к алгебраическому выражению прибав.чяется алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то скобки и знак «ч-» перед скобками можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы, например: 14+(7 - 23-1-21) = 14-1-7 - 23-н 21, a-h(b-c-d) = a-i-b~c-d. 2) Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то скобки и знак ♦-» перед скобками можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный, например: 14-(7-23-ь21) = 14-7-1-23-21, a-(b-c-d) = a-b + c-i-d. 2. Уравнения с одним неизвестным Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Пример уравнения: 2х + 3 = Зх + 2, где х — неизвестное число, которое нужно найти. Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 3 является корнем уравнения х + 1 = 7 — х, так как 3 -ь 1 = 7 - 3. Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет. Линейное уравнение — уравнение вида ад: = б, где аиЬ — заданные числа, X — неизвестное. Основные свойства уравнений. 1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 3. Одночлены и многоч.дены Степень числа а с натуральным показателем п, большим единицы, — произведение л множителей, равных а, т. е. а" =а-а-... -а. 203 Например, 2® = 2-2-2, т'^ = тчпчп'тчп. В записи степени а" число а — основание степени, п — показатель степени. Например, в записи степени 2® число 2 — основание степени, число 3 — показатель степени. Первая степень числа — само число: а* = а. Например, 3* = 3, f-T--- 1,13) 13 Квадрат числа — степень этого числа с показателем 2. Например, 5^ — квадрат числа 5. Куб числа — степень этого числа с показателем 3. Например, 4* — куб числа 4. Основные свойства степени. 1) При умножении степеней с равными основания.ми основание остается прежним, а показатели степеней складываются: а" •а'" = а"*"'. 2) При делении степеней с равными основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются: дП . дШ _ ^п-т ^ 3) При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются: (дП)т _ длт^ 4) При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель: (а-Ь)" =а" •Ь”. 5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель: Стандартный вид числа, большего 10, — запись числа в виде а-10", где Ка<10ил — натуральное число. Например, 358 = 3,58-10^; 4084,5 = 4,0845-10®. Одночлен — произведение числовых и буквенных множителей. Примеры одночленов: ЗаЬ, -2afc®c®, а®, а, 0,&хуЪу^, -t*. Например, числовыми множителями одночлена За®(0,4)-5-(-5)с® являются числа 3; 0,4; —5; а буквенными а®, Ь, с®. Одночлен стандартного вида — одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями. Чтобы записать одночлен в стандартном виде, нужно перемножить все его числовые множители и результат поставить на пер- 204 вое место, затем произведения степеней с одинаковыми буквенными основаниями записать в виде степеней. Коэффициент одночлена — числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде. 3 3 Например, коэффициент одночлена —абс^ равен —, коэффициент 4 4 одночлена -7а^Ь равен -7, коэффициент одночлена а^Ьс равен 1, коэффициент одночлена -аЬ^ равен -1. Многочлен — алгебраическая сумма нескольких одночленов. Примеры многочленов: — одночлен, 2аЬ-ЗЬс — двучлен, 4af) + 3ac-bc — трехчлен. Члены многочлена — одночлены, из которых состоит многочлен. Например, членами многочлена 2а&^-За^с-(-7Ьс-46с являются 2аЬ^, -За^с, 76с, -46с. Подобные члены — одночлены, которые после приведения к стандартному виду отличаются только коэффициентами, или одинаковые одночлены. Например, в многочлене 2а6-36а + с^6+с^6 подобными членами являются 2аЬ и -36а; с^б и с^б. Приведение подобных членов — упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом, например: 2а6 - 46с + ас + Заб + Ьс = ЪаЬ - ЗЬс + ас. Стандартный вид многочлена — запись многочлена, в которой все члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных. Действия над одночленами и многочленами. 1) Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены, например: {2а^Ь-гЬс) + (аЧ + ЪЬс)-{ЗаЧ-Ьс) = = 2а^Ь-ЗЬс + а^Ь + 5Ьс —За^Ь + Ьс =36с. 2) Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Например: (2а6 - 36с)(4ас) = (2а6)(4ас) +(-36с)(4ас) = 8а^6с - 12а6с^. 3) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например: (5а-26)(За-1-46) = (5а)(За)-1-(5а)(46) + -|-(-26)(За) + (-26)(46) = 15а2+ 14а6-8б2. 4) Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. Например: (4а®б2-12а2бЗ):(2а6) = = (4а^6^) :(2а6)+(—12а^6®) :(2а6) = 2а^Ь-6аЬ^. 205 4. Разложение многочленов на множители Формулы сокращенного умножения (а+Ь)^ = + 2аЬ + Ъ^, +Ь^ = (а+Ь){а^ - аЬ + Ь^), (а-Ь)^ = а^- 2аЬ + Ь^, а® - Ь® =(а-Ь)(а^ + аЬ + Ь^); а^-Ь^ =(а+Ь){и—Ь). Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. Например: 3ах + 6ау = 3а(х + 2у). При разложении многочлена на множители используются следующие способы. 1) Вынесение общего множителя за скобку. Например: Зад: -I- day = 3а(х + 2у). 2) Способ группировки. Например: а® - 2а^~ 2а + 4 = {а^ - 2а^ )-(2а-4) = = а2(а-2)-2(а-2) = (а-2)(а2-2) или дЗ _ 2д2_ 2а+ 4 = (а® - 2а)-(2а^ -4) = = а(а^-2)-2(а2-2) = (а2-2)(а-2). 3) Применение формул сокращенного умножения. Например: 27х^ + 8у^ = (3х + 2у^)(,9х^-6ху^ + 4у*), z'^ -142 -н49 = (2-7)2. .5. Л.1гебраические дроби Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой — алгебраические выражения. . + Ь Зх-2у Г» ___ ______^ Примеры алгебраических дробей: а -I-1 Предполагается, что буквы, употребляемые в записи алгебраической дроби, могут принимать только такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю. Основное свойство дроби: при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь. Например: а-Ь _ (а-Ь)(а-Ь) _ (а-bf а+Ь (а+ Ь)(а-Ь) 206 Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель числителя и знаменателя. Например: ■1 (x-l)(x+l) х + 1 дг*-1 (х-1)(д:^ + Д- + 1) х^+х + 1 Сложение и вычитание алгебраических дробей проводятся по тем же правилам, которые применяются для числовых дробей. Для нахождения алгебраической суммы двух или нескольких дробей эти дроби приводят к общему знаменателю и используют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Например, общий знаменатель дробей и —равен а^Ь^, по- а‘‘‘Ь аЬ^ этому 11 П J-+-L а^Ь аЬ^ Ь+ а аЧ^ Умножение и деление алгебраических дробей проводятся по тем же правилам, которые применяются для числовых дробей. Например: 2а _ 2аЬ^ — ^ t Jb'Xa~ Зг>-4а ~ 6 V х+ у _(х^ - у'^ )’Ах _2(х-у) 2ху 4х 2ху(х+у) у 6. Линейная функция и ее график Прямоугольная система координат на плоскости — две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины. Эти прямые называются осями координат: прямая, изображаемая горизонтально, — осью абсцисс, а прямая, изображаемая вертикально, — осью ординат. Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — Ох, ось ординат — Оу. Координатная плоскость — плоскость, на которой выбрана система координат. Функция. Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят, что на этом множестве определена функция. При этом X называют независимой переменной, а у(х) — зависимой переменной, или функцией. Линейная функция — функция вида y = kx + b, где к нЬ — заданные числа. График функции у (д:) — множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; г/(х)). Например, график функции у(х) = 2х+1 — множество всех точек плоскости с координатами (х; 2 х + 1). График линейной функции y = kx + b — прямая линия. При 6 = 0 функция принимает вид: у = кх, ее график проходит через начало координат. 207 Прямая пропорциональная зависимость: у = кх, где k>0, д:>0, k — коэффициент пропорциональности. Например, в формуле s = vt путь s прямо пропорционален времени t при постоянной скорости V. ^ Обратная пропорциональная зависимость: у = —, где Л > О, л:> О, k — коэффициент обратной пропорциональности. ^ Например, в формуле V = — объем газа V обратно пропорциона- Р лен плотности р при постоянной массе т. 1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными Обилий вид системы линейных уравнений с двумя неизвестными: \а^х + Ь^у = с^, \а2Х-¥Ь^у = С2. где Oj, i)j. С], fl2, &2' — заданные числа, х, у — неизвестные числа. Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство. Ux-y = 2, \5х+у = 7 является пара чисел Например, решением системы х=1, у = 2. Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. При решении систем уравнений применяются следующие способы. 1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы. 2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных, почленным сложением или вычитанием уравнений системы исключают это неизвестное. 3) Графический способ. В одной системе координат строят графики уравнений системы и по их взаимному расположению определяют число решений системы; находят координаты общих точек графиков (если они имеются). 8. Комбинаторика Правило произведения. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует л-т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. Например, с помощью трех букв а, Ь и с можно составить 3*3 = 9 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы могут повторяться, и 3*2 = 6 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы будут различными. 208 Ответы 2. 2)2-i-2,7. 3. 2)40-0,03=6:5; 4)3-(2 + 6)=2-(2-6). 4. 6130 р. 5. 2) 10,7; 3 4) 15,85. 6. 2) —; 4)4-; 6) 0,03. 7. 2) -0,02; 4) 3. 8. 2), 4) Верно; 6) неверно. 56 7 10. Не успеют. 11. 2) |(c-d); 4) 12. 2) 0; -12,1; 4) 5; -0,675. 13. 2) eOffi; 4) 60m+ i + —. 14. 2) 2. 15. 2) 0,33—16. 2) -0,1; —. 60 ’ 0,27 ^ 40 17. 2) Не может; 4) не может. 18.5=2, с=0, или 6 =5, с=0, или 5 =8, с=0. 19. р = 6дг + 3(/. 20. т = 15а + 205. 21. т = а< + сп. 22. 810. 23.45о + 155 + 10с. 24. 2) 5?i0; 4) а^Ь. 25. 2) Неверно. 26. s=3ic+l-a + 2i5, 53 км. 6 3 2 27.-^ км/ч. 28. 2) Верно. 29. 1) й = —; 2) р = —; т = Гр; 3) l = s-vt, t-1 2п V о = —, 1 = —. 30. 2,6а+ 5. 31. (7 + 3,5(а-2)) км. 32. 2) 40; 4) -41. I V 33. 2)3у-2х; 4) 8,7-2im+l|re. 34. 2) 3-2,75; 4) -у + -Ь-3; 6) 5 р. 3 3 3 3 35. 2) л + 5; 4) 58c + 14d. 36. 2) 67,048; 4) -11,221. 37. 2) 0,28; 4) 7^. 38. 2)1,4ж-2г/; 4)-l|n; 6)-llc-4d. 40. 2)4; 4) 2. 41. Второй. 42. 2)4^|; О 1о 4) 8^. 43. 2) а -25 + Зс; 4) -а + 25 -Зс. 44. 2) а-5 + c-d; А) а -Ь - c + d-k. 45. 2) 8x-2j/; 4) За-2. 46. 2) a-25 + (m + c); 4) a + (-m + 35^-2a^X 47. 2) 2а+ 5-(-m-Зс); 4) а-(/n-35^ + 2а^). 48. 2) 4а-45; 4) ох-Зу. 49.2) -1,16; 4) -3. 52. 1) 101а + 205 + 101с; 2) 99а-99с. 53. 2) 10—. 18 209 54. 2) 2тп: 4) (а + fc)(a -b). 55. 1 ч 40 мин; 50 ч. 56. 2) 5000 км; 100 км. 57.37 440 м^; 187 200 м®; 37 440т 58. 2) -7. 59. 113 р. 10 к. 61. 2) -l|. 62. 4а + 8 и (а-4)(а-^8). 63. 575 р. 64. s=3+40i, « = -^- 65. 28,8 м и 38 м. 66. 2) (m-l)m; 4) (2р+1)(2р +3)(2р +5). 67. s=6i»+ 15, у = —68. 2) Верно. 70. t = -—не успеет. 71. 4 и 3 или 9 б у и 1. 72. л = 50, т=42. 74. 2) 56 = 14х; 3) х+ 5 = 5х. 75. 2) 3; 4)-2. 77. 2) Нет; 4) -1. 79. 2) а=-5; 4) а =-2,4. 80. 2) Нет; а=3. 81. 2) х = 60. 82. 1) х, = 0, х,= 2; 2) о, х, = 1; 3) = 0, х, = -3, Хя = 4; 1 4) Х[ = 3, Х2 = -2, Хз = 1. 83. 1) X =0; 2) х, = 2, Х2 = -2; 3) х, = —, Х2 = ---; О О 4) х, = 3, Х2 = -1. 86. 2) х = -|; 4) х = |. 87. 2) х = -1,3; 4)х = -0,05. 7 о 88. 2) х = |; 4)x = i. 89. 2) х = 17; 4) р = -1. 90. 2) р = 0; 4) х = 0,8. 91. 2) х = 7,5; 4) р = 24. 92. 2) р = 13; 4) х = 1. 93. 2) х = 13; 4) х = -153. 94. 2) х = 37; 4) х = 1,1. 97. 2) х=8; 4) х = 7. 98. 2) х = 1,4; 4) х =0,108. 99. 2) х = ^^; 4)х=^^; 6) х = —. 100. 1) х, 2 =±2,5; 2) Х; 2=±3; ь ь ь 3) Xi.2==0,24; 4) X,,2 = ±0,23; 5) х, 2=х0,7; 6) х, 2 =±0,01. 101. 3. 102. 1) 16; 20; 32; 2) 144; 432; 293. 103. 2; 12; 84. 104. 25; 27; 29. 105. 6; 8; 10; 12. 106. 1) 48 .м®; 2) 12 деталей в час. 107. 1) 6 .чет; 2) 8 лет. 108. 1) 22 и 66 кг; 2) 2200 и 1100 т. 109. 1) 72 детали; 2) 150 машин. 110. 1) 9 км/ч; 2) 8 км/ч; 111. 1) 1 м/с; 2) 37,8 км. 112. 1) 8,5 км; 2) через 4 ч. 113. 1) 3000 р. и 4500 р.; 2) 100 и 150 деталей. 114. 1) 20 км; 5 ч 15 мин; 2) 200 км; 3,5 ч. 115. 1) 75 км/ч, 80 км/ч или 90 км/ч, 95 км/ч; 2) 30 км/ч, 40 км/ч или 36— км/ч, 46— км/ч. 116. 2) 2=6; 4) х = 0,5. 3 3 117. 2) х=4; 4)х = -2. 118. 1) 15 дней; 2) 32 дня. 119. 1) 1518 кг; 2) 108 км. 120. 83,6 кг; 508,8 кг; 1327 кг. 121. х = 2,2. 122. х = 7. 123. 2) а=2; 4) а =76. 124. 2) а =0. 125. 1) х = 2а -3, а — любое; 2) х 8 а + 6 а , а?^3: 6) х =-----, а*-2. а + 2 7 3 бое; 3) х = —, а*0; 4) х =—, а#0; 5) х За а а-3 126. 21 км. 127. 4 км. 128. 100 кг. 129. 5 кг. 130. 1) х = 13,4; 2) х = 1,85. 131. 1) Xi = 2, Х2=-1; 2) X, =-, X2=-i. 132. 50 км/ч. 133. 2) - м^; 5 5 4 4)7,29 дм2. 134. 2) 27 дм»; 4) 0,064 м». 135. 2) ^|j ; 4) т»; 6)(^^j . 136. 2) 62-72-3»; 4)|^|j -(2,3)2. 137. 2) х'* - 32; 4)^|jVa-6)». 138. 2) 5'вЬ»'; 4) 6‘»а*. 139. 2) а»+ 6'; 4) 2х». 140. 2) (-1,25)-(-1,25)х х(-1,25)-(-1,25); 4)(а+b)-(a + b)-(a+b)-(a+b). 141. 2)9; 4)125. 142. 2) -1; 4) 0. 143. 2) -125; 4) -5—. 144. 2) 4) 12—. 145. 2) 40; 16 25 27 4) -6. 146. 2) 164; 4) 23. 147. 2) 5-10® + 4-10^-i-3-10»2-102-н 1; 4)1-102 +2-10®+ 3-10» -1-5-10^+ 1-102+ 7. 148. 2) 3 532 037; 4) 101 001. 210 149. 2) Делится на 5, не делится на 3; 4) да. 150. 2) 7,81 • 10^ 4) 8,0005* 10^ 6) 1,2748-102. 151. S=6k^, V=k^. 152. 2) ah 4) с^+З^ 153. 2) 32 >22; 4) fil >fil . 154. 2) Нет; 4) нет. 155. 2) 3,08-10'2 156.5,1-10®; 10'2. 157. 10 кг. 158. 2) (-7)2;(-0,4)®; j ; (-1,5)2. 159.2)9 / . \12 4)0. 160. 2)а2; 4)(3г>)^ 161. 2)3“>; 4)(-6)‘2. 162. 2)(-^1 ; 4){n + mf° 163. 2) 2^ 4) 2®; 6) 2". 164. 2) 2®; 4) 2®; 6) 2®. 165. 2) 3’; 4) 3®; 6) 3® 166. 2)3»; 4)32; 6)34 107 2)^^j ; 4) d*®. 168. 2) (За)®; 4) (m + л)® 169. 2) 6; 4) 25. 170. 2) 44; 4) 9. 171. 2) л: =64; 4) х = 27; 6) х = 16 172. 2) а®«; 4) а“; 6) а'®. 173. 2) а®; 4) а*® 174. 2) 100. 175. 2) (2^)® 4)(2*«)2. 176. 2) - ; 4) (0,02)2. 177, 2) (5®)®; 4)(х*®)®. 178. 2) 7®-6® V 6 / 4) . 179. 2) 6®|/«; 4) 3®и®т». 180. 2) а®5®; 4) (0,1)®с' 181. 2)8® а‘®52'; 4)(-2)^ n^^i®. 184. 2) (2а)®; 4) (2 3)®; 6) (9Л)®; 8) (15а6)® 185. 2) (а®6®)2; 4) (9т)®. 186. 2) (ху®2‘*)®; 4) (Юс^х® )®. 187. 2) 1; 4) -1 188. 2) 144; 4) 14. 189. 2) 14; 4) 16. 190. 2) —; 4) 191. 2) 49 512 625с‘‘ (а+ 6) ; 4)(^) . 194. 2) ^ 5у (^3i/J 4) 192. 2) 4) 193. 2) 7‘® (2+с)2 (а-5)’ 4) . 195. 2) 3®*"; 4) а"*'®. 196. 2) 6"^*; 4) 3®"^®". 197. 2) 2" 4) 2®“"®. 198. 2) 3^"; 4) 3^ 199. 2) 7; 4) 2. 200. 2) 1; 4) 4. 201. 2) |; 4) 2^ 5 8 202. 2) 0,000064; 15 625; —; ^ °°° 203. 2) *9 лет. 204. 2) 1953125 64 729 4) 3,71293. 205. 1) 21'® >54''; 2) 10®® >20'®; 3) 100®® >9000'®; 4)3'*® >6®® 206. 1) 790; 2) 4; 3) 4) i. 207. 2) За®5; 4) 100л. 208. 2) 1. 210. 2) г" 4) т*; 6) 72р®7®; 8) —^x®i/®. 211. 2) 2. 212. 1) *236; 2) *5,31; 3) *19,5 33 4) *21,4. 213. 2) 35т®л; 4) -45®. 214. 2)-21а®5®с®; 4) ~а*х^у* О 215. 2) -15л®т®; 4) -26а'‘5‘‘с®. 216. 2)255®; 4) 4а®. 217. 2) -а'®5®с® 4) 16х®1/'®. 218. 2) —л®т®; 4)0,16ав5". 219. 2) -2а''; 4) а®5®с®р® S1 220. 2) 4) 6)-63/п®п». 221. 2) 204,8. 222. 2) блу 223. 2) а®5®. 224. 2)(4х®)®; 4)(9х®г/)®; 6) (1,1а<5®)®. 225. 2) (25®)® 4) (2а®5®)®; 6) (-0,3хг/®)®. 226. 2)л = 3; 4) л=3; 6) л=6 227. 2) 2х®-11х + 3; 4) а®-а^+а; 6) 4а®5-2а ®5® - 5а5® 228. 2) 8а®5®-24а'5-2а®5®; 4) -5с® + бх®!/-*. 229. 2) 0. 230. 2) -7,6; 211 4) -252. 231. x=i. 232. 2) Да. 233. 2) Да. 234. 800 кг, 160 кг, 450 кг. 8 235. 2)—а^б. 236. 2)2а + Ь; A)2a^-Zb^. 237. 2)-у, 4)3,8а^ 238. 2)а^; 16 А)2ху-2,2у^. 239. 2) х^- х^у-&ху^. 240. 2) ху, 4) lO/n/i^fe. 241. 2) 1з|. 242. 2) д;=0,93. 243. 1) 340; 40 и 20 кг; 2) 1:500. 244. 2) дх + Зу; 4) Зл: + 1. 245. 2) O.lc^; 4) 6а+22Ь. 246. 2) 6Ь^-6аЬ-2а^; 4) Зх^. 247. 2) -0,07л:2+0,06|/2; 0,27д:2 - 0,1 4)0,61аЗ + 1,12ЬЗ; 1,39а»-0,8853. 248. 2) 35-55». 249. 2) ?»; 4) -5а5 + 85». 250. 2) л- = -1; 4)х = -—. 252. 2) За». 253. 62. 254. 93. ' 34 255. 2) -im + in-ip; 4)-15х»- 35х» + 5л:. 256. 2) 75а»5»+15а»5; 3 3 3 4) Зх»р»- ex'*!/». 257. 2) 16а5» - 24а»5с + 8а5с»; 4) x»i/2 + 2хг/»г + 3x1/2». 258. 2) 75-За; 4) -14р-9. 259. 2) 65»-а»5. 260.2) 5; 4) 204. 261. 2) х = -3-; 4) х = -—. 262. 2) х = 1. 263. 20, 20 и 16 км. 3 36 264. 2) 2»+32-4; 4) 5с + 55 + 4с + 20. 265. 2) -а»+8а + 20; 4) p^pq-q-q^. 266. 2) ЗОх^ - 61x»i/» + ЗОр^; 4) х» + 5х»+7х + 3. 267.2) 27а»-85»; 4) 27а»+85». 268. 2) а»+3а»5-а5»-35»; 4) 12х» -29х» + 7х + 6. 269. 2) 24; 4) 12,08. 271. 2) 12|. 272. 2) х = а-9; О 4) х=4-а. 275. 76 м». 276. 221 см». 278. 2) у*\ 4) 1. 279. 2) 9т; 4) -5. 5 280. 2) 8; 4) 7. 281. 2) 3; 4) -3. 282. 2) --р; 4) 0,4с. 283. 2) 7т®; 4) 1^. 3 6 284. 2) -а5»; 4) Зо5. 285. 2) 81х“р; 4) х»р"2». 286. 2) 25-1; 4) 2-х. 4 287. 2)4а-35; 4) 1-с. 288. 2) --cd-1; 4) -ia5+-a». 289. 2)4-2х-Зр; 3 4 4 4) а + За»5-2. 290. 2) 1; 4) 5»+45. 291. 2) -За; 4) ^У~Щь. У у 292. 24. 293.-3. 294. 2) 270; 4) 4. 295. 2) 3; 4) 128. 296. 2) —; 35 4) l|. 297. Верно. 298. 2) (-105»)»; 4) (-0,2хр»)». 299. 2) -7,5я»т^5^ 4)-7,5а*5'^с». 300. 2) -25; 4) 8х». 301. 2) а»5» + -а^5'‘; 4)55*®р®- 4 -4,55‘р’' +22,55®р>®. 302. 2) 0,09-т»; 4) 0,04а »-0,25х». 303. 2)-205» + 175с-165р-3е»+4ср; 4) 9а»-24а5 +155»+12ас-205с. 304. 2) 9х»; 4)-9х»-Зх. 305. 2) х=0,36. 306. 125%. 307. 308. 2) 4)3®''*». 309. 2) я =7; 4) л =5. 310. 28 учеников. 311. 5уч. 312. 5 +2т-я. 313. 2) х=0,01. 314. 1) 330; 2) 315. 317. 1061,21; 1104,08; 1218,99. 318.2) 177,45. 319. 2) З(а-х); 4) 6(а + 2). 320. 2) 7(За-5 + 6); 212 4)3(3дг-г/ + 5г). 321. 2)c(d + 6); A)x(l-y). 322. 2)36(d-l); 4)3p(2*-l). 323. 2) a®(a-3); 4) x^y^(y-x). 324. 4x2^(5xi/+1). 325. 2)2x^y^(y^--x^+2xy). 326. 2) x(i/-x + 2); 4) 46(5 + 2a-3a^). 327. 2) 18 700; 4)-1,62. 328. 2) (a + 5)(6-c); 4) (i/-3)(l+6). 329. 2) (m-3)(3n + 5m); 4) (c-d)(7a-26). 330. 2) (x+(/)( +6®^ 4) (a^+26^)(x +p). 331.2) (6-c)(a + c): 4) (x-p)(26 + l). 332. 2) (a-2)(6-a); 4)(m-2) (a*-6). 333. 2) (х-1/Кл:-1/-3); 4) (6-3) (a-1+6). 334. 2) 16; 4) 48. 335.2) 2(o-6K3a-26); 4) (a-6)^(2a-6). 336. 2) 2a2(a + IXa + 2); \)Ър(р +q){2p-q). 337. 1) x, =0, Xj =2; 2) x, =0, Xj =-3; 3) x, =0, X2=-0,6; 4) X, =0, x = l^; 5) Xj =0, X2 =2, Xg =4; 6) x, =0, Xg =1, Xg=-. 339. 2) (oi-n)(l + p); 4) (x-uXl + 2a). 340. 2) (p-l)(4g + l); 4 4)(p-l)(4g-l). 341. 2) (c + dX«-36X 4) (a-36) (x + 5p). 342. 2) 5(x+i/X2x + 1X 4)(32^+2y2xi6x-5p). 343. 2) (2n6 + 5m)x x(3m6-7n^X 4) (5c-3x)(86-3c). 344. (p-x^)(6 + c-aX 4) (a-6)x x(x2 + P-X). 345. 2) -0,625; 4)-0,33. 346. 2) 12 500; 4) 28. 347. 1) Xj =4, Xg =-l; 2) X, =4, Xg =-7; 3) Xj =2, Xg =-0,2; 4) Xj =-4, Xg =-j. 348. x^ -3x. 349. l)(x + lXx + 2X 2)(x-2)(x-3); 3) (x + l)(x-8X 4)(x-l)(x+10). 350. l)(a-lXa2 + З0 + З); 2)(x-l)(x + 3)(x-2X 3)(a + lXa® - a + 1); 4) (a-l)(a + lX2a2+ 1). 351. 2) ^|аб| ; (0,5xp)2; (0,4m2)2; (0,9n®)^ 352. 2) (2a -3)(2a + 3); 4) (9a -46)(9a + 46). 353. 2) |^|a " j: 4) (0,3x-0,4p)(0,3x + 0,4p). 354. 2) (xp*-4)(xp^ + 4); 4) (5a-36®)x x(5a + 36®). 355. 2) (a-6^ )(a+ б2)(a*+6 4) (2х + 9Х8х + 5). 417. 2) i/=3; 2 4) !/ = -g! 5) X = 2. 418. Площадь прямоугольника меньше площади квадрата на 144 м®. 419. 240 км. 420. 1 ч 12 мин. 421. 2) -390,5. 422. 1) а® -6® --26С-С®; 2) а®-6®+26С-С®. 423. 1) 5; 2) 26. 424. 1) х=2; 2) х=3; 3) х = 2; 4) х=0,2. 426. Верно. 427. -6® (0-6)® . 428. d® 2cd . 430. 2) 6^0; 4) а^З. 431. 2) 0 = S-Sn -2-. 432. 2) 0=9; 4) о=-с6; 6) o=4m®. 434. 2) i; i 3 4) -2. 435. 2) -§; 4) 436. 2) 4) —6) 437. 2) —Ц-; 7 3o 5 3(0-6) 3 o(a-6) 4) . 438. 2) 4) 6) 439. 2) -^; 4) 5; 6) -f m-л т-л 2a+3 1-6 p-g 4 3o+26 1 1 440. 2) 5o6 ; 4) --i-. 441. 2) 2o+36 o6 0 + 6 ; 4) 5+x. 442. 2) 10-76; 4) 6) 4) o® -6® 10(m + Л) 3(m - П) 443. 2) 6+7 ; 4) 5+ у ^ . 444. 2) л-т; 4) —445. 2) l-2p 5-2x 4o-l’ . 446. 2) 0+6; 4) x-y 3-2x . 447. 2) 4) p®(x-p). 448. 2) -Ц. 449. 1) -25; 2) 0,5. 450. 1) i; 2) -3; 3) 2; 4) -i. 451. 2) 4) 2 о 14 14 2b 2b .... ... 36® 2a® 2^ ^ .... .. 3o® 2(0® + 6® ) o(3-g) ' 4o6’ 4o6’ 4o6’ 6o6’ 6o6’ 48o®6®’ 18o®6® ’ 18o®6® ’ 21i/® 310x®i/ 80x® 7o(3x+i/) 66(3x-i/) 6x 4) ---7-г> ---TT> -----ГТ- 454. 2) ——----—, ——------4) 60x®!/® 60x®j/® 60x®i/® X 7o o(x-3) 8(x+ y) 455. 2) X® -9 4) 9x®-p® ’ 9x®-i/® ' 3(x+y)’ &x(x+y) 7xy(x-y) 3 x®-y® x®-p® 214 456. 2) 4) ____________5c 6(c-2) ^ 5{a^-b^) 5(a^-b^)’ ’ (c-2)^’ (c-2)^ 6a ’ 6a’ 4) 4a^b^ Zb 8 4a&“^ £ ’ £ ’ 458. 2) 4ab -48 6) ab(a^ -b^) 3(a-b) ab(a- b) ab ab(a-b) ab(a-b) 4(д:-1) „3ас(2а*3) 4ac(2a-3) 4) 4 aft 15дг(л: + 1) 12x(x^-ly 12x(x“-1)’ 12x(x^-1)’ c(4a^-9)’ c(4a^-9)’ 5a (a-3}^ + 3a + 9 ----^----. 459. 2) x = —; 4) л: = 1^-. 460. 1) , , , c(4a*-9) 3 6 a®-27 a®-27 -27 3(л;2-2д:-ь4) x + 1 (x + 2)^ 2m(m + n) 9 л ’ 9 л* 9 ..ч » 2п(т^ -n^) x^ +8 (m + n)(m -n)^ 4) д:® -hS ft-1 (m-fn)(m-n)® (n + n)(m-n)^ 2(A + 1)2 3(fe2-l) (fc-lXfe-t-l)^’ (fe-l)(fe-bl)3’ (fc-l)(ft + l)3’ 461. 1) X*" -y^"; 2) a2« 402. 2) 4) 463. 2)—; 4) c' a^ 5ft 12d o,4c^+2c-3 .^mn-bn^+m^ оч4а'*-21с<>^ b(cd‘^-r d + c) 464. 2)-----------: 4)--------------. 465. 2)-----——; 4) - 466. 2) —4) . 467. 2) 2(l-x)’ 10(y-3) 4) 2^^ + 3x4-2 T.?." P.; 4) ISa^ft^ 5ft^ -2a^ . .. a+ b-y ab(x+ y)’ ab 2(4a-f4fc-35) . 468. 2) c^d^ x-l x^ -16 „2 . 3p-q 26-5 . 470. 2) x2 -9 6n — 47 . -49 4) ^4i/^ -b y+1 2) ^^Д~^4 . 4h- 7m 7n 2) 4) -^. l-9i/^ (За-1-l)^ (m-n)^ b-2 a-^l 473. 2) 4) 6) ;.. 474. 2) -1; 4) ~4- 475. 2) x^-y^ (3x+lf a(4a^-1) (a-2)(a^-4) ; 4) 476. 2) x = l; 4) г =15. 477. 1) -f-; (x^-9)2 o*-1 a^-4-8 a®-b 6® 21-m^ 19 a^"-b^" 2) a” -6" a"(a" -^ ft" ) . 480. 1) ~i 2) 7,5. 481. 2) —; 4) 483. 2) 13 4) 484. 2) 18a^ a®6® ;4) 2y d^ -. 485. 2) 4) 2a^d2 22f^n 5c^ 3c 6) be 486. 2) —; a(a+ b) h 4) 3ft; 6) -Ц—-. 487. 1) ^-; 2) - 1 -; 4)- -. 488. 2) -2,25; 3ft ' 3(l+a) Зm^(m-^n) 3(a-ft) 4) -2. 489. 2) Верно. 490. 2)6-3; 4) (a-l)(2a-1). 491. 2) x = -4: 4) x=49. 492. 1) x = —^—; 2) x=b(a+b); 3) x = ^^-^; 4) 493. 1)-^-х a-b a-b a 8 x(o^-62); 2) -^(a^-ft^); 3) n-i-m; 4) --------------- 7 2(p^ -pc+ c^) . 495. 2) f(a-i-l); О 4) 1; 6) 496. 2) 497. 2) „. 498. 2) ^ ft^ +1 a^ -ft-* 6(c-(- d)’ 215 4) 499. 2) —4) 500. 2) 4) л + 2. 501. 2) 5—!^; 4) ——. т-2 а+Ь с а + 1 4а т-п 5 d-c 2n(2n-k) Ь(х-Ь) 2q(m-2q) 502. 2) l4: 4) 2. 503. 1); 2 3 ----4) ^ V 6 d 2n + k x+b m + 2q 9n^ 506. 2) x = -2; 4) x=0. 507. 2) x=^; 4) x = i508. 2) jc=0,5; 36 Д .4 „2 6-36^-14 28n^ + 9nm-4m^. 4) x = -2—. 509. 2) 2,5. 510. 2) --------; 4) --------------; 15 6(fc2_i)’ m(4n‘-m‘) ,2-A^-h x(x+2Xx-3) 6) 4) 40*^ -4a - b a(a + 2) 1 511. 2) ^^lP (x-2)(x+ 3)(x^ +2)’ 4) 1. 512. 2) a-b E10 El .1 “в E1E aft . 513. ---- КГ. 514. — KM. 515. -----^-s km. 516. ----- ч. c(a+b) V V v+v, a+b 517. Ч. 518. 2) Й, =- Я, -Я a + Ui 519. 10 M. 520. 1) 4a^ +2a + l’ „V 9a^ - 3ab+ b^ 6-c 5+76 2 2a 2) -----------: 3) ----; 4) ; o) a + 1. 521. 1) 2) ; b 6 + c 5-76 0^-1 a® + 8 3) f ,: 4) „. 530. П(1; 5). 531. 5. 532. -2. 533. a) (5; -3), (-1; 2), 63’ 27-m® (0; -4), (-2; 0). (-2; -3); 6) (-5; 3), (1; -2). (0; 4). (2; 0), (2; 3); в) (-5; -3), (1; 2), (0: -4), (2; 0), (2; -3). 535. (2; 2), (-2; 2), (-2; -2), (2; -2). 537. 2) 4; 2; 0; -2; -4; 4) -36; -16; 4; 24; 44. 538. 2) t=4. 539. 2) -9; 103; -1,25. 540. 2) дг = -0,5, jc=3,l, x = -14. 541. 2) Верно; 4) неверно. 542. 2)y(-3)=3 верно, j верно, остальные неверны. 549. 2) Нет; 4) да. 550. 2) Да; 4) нет. 551. Р=4х + 6, S = x(x + 3); 1) Я(5) = 26, S(5)=40; Я(2,1) = 14,4, S(2,l) = 10,71; 2) х=8, д: = 10. 552. m(V)=2600F; 1) 3900 кг, 2600 кг; 2) 0,2 м3, 3 м3. 556. 1/ = 20л, i/(6) = 120, i/(ll) = 220. 557. s=80l, s(3)=240, s(5,4)=432. 564. C, D. 567. В 2 раза. 568. 5 т. 571. k = -2. 572. y = 14x. 580. 2) x = -l, x=3, x=\. 585. 2) Нет; 4) нет. 595. 2)k = -3. 596. (13; 0), О (0; 13), 84,5. 597. 2) (2; 8); 3) (2; -3). 598. A = 2|, 6 = 5§. 599. Нет. У у 604. 2) -20. 607. 2) (0; 4), (2; 0); 4) (0; -0,6), (^|;oj (0; -5), (7,5; 0). 615. 2) х = ^, у=Зх + 2; 4) х = у = 616. 2) (^:^)- где д: — любое число. 4) ^ j> где х — любое число. 617. 2) (3; 4); 4) (2; 7); (9; 2). 621. (1; 2); (4; 2). 622. Ci=-1, С2=18. 623. а=5, 6 = -9. 624. 1) Можно. 625. 1 и 8 или 9 и 3. 626. 2) х = 10+ у, у = х-10; 4) х = 11-3у, = 6) х = у = ^^^. 627. 2) (1; -1); О <5 D 4) -5|); 6) (1; -1). 628. 2) (-73; -30); 4) [l^; 8^); 6) [-?|; -4^]. 629. 2) (4,4; 2,4); 4) (3; 4). 630. 2) (-2;-2); 4) (-17; 5). 631. 2) (15; 12); 4) (5; 4). 632. 2) (з^; 1^]; 4) (-Ц; i); 6)(1; -1). 633. 2) (l; -|]; 216 4) (-1; 6). 634. 2) (3; 1); 4)^ (-4; -3). 635. 2) (2; 6); 4) (-12; 10). 636. 2) (4; 4); 4) (2; 7). 637. 2) -|j; 4) (2; 5). 638. 2) (-2; 3); 4) (-6; 0). 639. 2) (5; 11); 4) (4; -6). 640. 1) (3; 1); 2) (7; 5); 3) (2; 0); 4) (5; 0). 641. 2) (0; 3), (-1; 0); 4) (0; 6), (2,4; 0). 644. 2) (1; -3); 4) (3; 9). 645. 2) (1; -1); 4) (3; 1). 646. 2) (2; -4); 4) (3; -2). 653. 2 p.; 0,3 p. 654. 2,7 M, 1,6 M. 655. 21 ц, 14 ц. 656. 100 и 200. 657. 40 и 30. 658. 38 га, 34 га. 659. 9 кг, 6 кг. 660. 1000 р., 600 р. 661. 62 л, 78 л. 662. 19 л, 14 л. 663. 10 км/ч, 2 км/ч. 664. 30 км/ч, 35 км/ч. 665. 200 т, 260 т. 666. 552 и 672. 667. 39. 668. 48. 669. 8 л, 5 л, 5 л. 670. 16 км. 671. 2) ^2; -I]; 4) (2; -7). 672. 2) (-88; 12). 673. 1) ^з|; l-|j; 2) ij; 3) (-2а; а), где а — любое число; 4) нет решений; 5) (2,5; -3,5); 6) (-5; 4,5). 676. 1) а^З-, 2) а=3, с = 15; 3) а=3, с;^15. 677. 1) 1 и 5; 5 и 3; 3 и 4; 7 и 2; 9 и 1; 2) 5 и 3. 678. 35 и 9 лет. 679. 350 км, 8 ч. 680. 14400 р., 17500 р. 681. 460 м®, 560 м®. 682. 52 м, 34 м. 683. 36 строк, 50 букв. 684. 1) (3; 4); 2) |j; 3) (3; -2); 4) (17,6; -14,4). 685. 18000 р., 27000 р. 686. 1) Один; 2) один. 687. Двумя. 688. Три. 689. 1) 23, 32; 2) 23, 32, 22, 33. 690. Три: п, о; п, л; о, л. 691. 1) Тремя; 2) одним; 3) тремя. 692. Шестью. 693. Шесть: АМС; ACM; САМ; СМА; MAC; MCA. 694. Девять: бб; кк; сс; бк, Кб; бс; сб; кс; ск. 695. 23, 32, 24, 42, 34, 43; 2) 23, 32, 24, 42, 34, 43, 22, 33, 44. 696. 1) 10, 12, 20, 21; 2) 10, 12, 20, 21, 11, 22. 697. 111, 112, 121, 122, 211, 221, 222. 698. 1) 102, 120, 201, 210; 2) 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222. 699. 39. 703. 6. 704. 12. 705. 15. 706. 16. 707. 25. 708. 42. 709. 56. 710. 1) 36; 2) 30. 711. 1) 30; 2) 25. 712. 1) 3; 2) 6; 3) 10. 713. 1) 6; 2) 12; 3) 20. 714. х, р; х, а; х, г; к, р; к, а; к, г. 715. х, р; х, г; к, р; к, г; с, р; с, г. 718. 1) 8; 2) 4. 719. 1) 64; 2) 48. 720. 1) 125; 2) 60. 721. 1) 100; 2) 48. 722. 100. 723. 120. 724. 1) 720; 2) 990. 725. 1) 72; 2) 504; 3) 3024. 726. 24. 727. 720. 728. 1) 66; 2) 666. 729. 1) 276 способами; 2) 300 способами. 730. 1) 78, 79, 87, 89, 97, 98; 2) 78, 79, 87, 89, 97, 98, 77, 88, 99. 731. 789, 798, 879, 897, 978, 987. 732. 1) 80, 89, 90, 98; 2) 80, 89, 90, 98, 88, 99. 733. 1) А, В; А, Г; В, Г; 2) а, б; б, а; а, в; в, а; б, в; в, б. 734. 1) 60-ю; 2) 120-ю. 735. 4 (столько же, сколько способов выбрать одного из четверых). 736. 2) 0,01; 4) -20; 6) i. 3 737. -128. 738. 100а = 10b + с, 100с-i-10Ь + а. 739. 1000а + с. 740. 2) 0. 741. 2) дг = 2; 4) х = 21. 742. 2) х = 7^; 4) х=||. 743. 2) х=2; 4) х = 2^. 744. 2) л: = 2; 4) д: = 12|. 745. 40; 36; 43. 746. 9 лет. 747. 48 км. 748. 120 км. 749. 2) 4) 2Ь; 6) 0. 750. 2) -а^Ь^с^; 4) т^п^. 751. 2) 0,64а^с^; 7.3 4) ;^а-'Ь*с*2. 752. 2) 4а^ +5аЬ + Ь^; 4) 8а^. 753. 2) --т^п^ + 16 6 4 217 а) Рис. 34 б) в) 4) т*п--т^п'^ +—тп. 754. 2) 12а®6-3а^-24а^6®+6af)^+ 2 8 8 + 8абЗ -252; 4) _ „2 + 4„ _4; g) 4 5дЗ + 44 5д 2 _„ .4 755 2) -L 4) li, 7 о 756. 2) 4) —. 757. 2) 16а5; 4) -285. 758. 2) 4(1+ 5)2 4 4) 3(1 + а)(7-3а). 759. 2) 2-а; 4) 76О. 2) 4) 40у2+ 36ху-7Ьх^ 5+2 . 761. 2) 5* 1 а253 2>-2.+ 3, ; 4) 1 т-п 1-2а2 GQx^y^ 763. 2) ; 4) -. 764. 2) 4) 765. 2)----------- 52 2 аЬ-2 3(c-2d) (а + 1)(1-2а) 4) 5. 766. 2) 772. 2) l^j. 773. 2) (3; 3); 4) (-1; -6); 6) -1 774. 2) (3; 4); 4) I 775. 2) (-2; 4); 4) (3; 1). 776. 20 л, 5 л 777. 20 р., 30 р. 778. -. 779. 4 км/ч, 20 км/ч. 780. 2) х = 1; 4) 8 3 781. 150. 782. 5 = |, 5=|. 784. 2) (3; 1). 785. 200 р., 150 р. 786. 11 и О о 5 лет. 787. 21 км. 788. 2) л:, =-3, =2, дгз =4; 4) 0; -36; 5) л;2 -6х + 8. 789. 2) Л=0при jfi =5, Х2 =^; В=0при x^ =1, =5; 4) лг=^. 790. 2) Про- 3 3 ходит через точку (-3; 5), не проходит через точку (-1; 2); 4) ^ = 6) (-3, 5). 791. 2580 ц. 792. 80 га. 793. 2) 5*; 4) 8а®. 794. 2) 2а2(а2 -1); 4)(35-14аХ16а-75). 795. 1) {аЬ'^с-1)(а^Ь*с^ + аЬ^с+1)\ 3)(2о5 + 5с)х х(4а25 2 -10а5е + 25с2); 3)д2; 4)16а2. 796. 1) (a5-cdX45 + 15с); 2) (тп-1)(т2 + 1Х 3) (а+5-сХп+5 + еХ 4) (1-а ^5X1 + а-5); 5) а2; 6) (т-1)2. 797. 1) (а-1)(а-ЗХ 2) (5-3X5-4V 3) (а-ЗХа^ + За+ 6); 218 4)(jc-lXx-2Xx-r3); 5)(m-2) (m-5X 6)(m + lXm-2). 798. 1) ,2 ^ ь2ч2 2) x^y^-x 2a(b-2a) x‘‘y^(x^ + y^) 3) Ц^; 799. 1) ^ ; 2) 1; 3) 1. 800. 1)--- bn a* + b* b+2a 2, 3, p+2q 4)-J-. 801. 1)6 = 7; 2)6 = 1; 3)6=11; 4)6 = 11,5. 802. 1) i/ = -3; 2) y = x; 3) y = -x + 4; 4) y = -5x + 7. 803. 12 km. 804. 60 km, 12 км/ч, 5 Ч. 805. 8 лошадей, 30 дней. 806. 3 ч, 9 ч. 810. 2400 р. Ответы к заданиям «Проверь себя!» Глава I. 1) а) 120,3; б) -з|; 2)4у + 3х, i; 3) 10а+ 56. 6 3 Глава II. 1) Да, х = -4; 2) х = б) дг=3; 3) 7 м и 8 м. Глава III. 1) 5®, 3^, 2^^, 6*; 2) 36 + d; 3) -\,2Ъа*Ь^с^\0,7m-2n-l; 4) Зт^ -4, -3,8125. Глава IV. 1) 2а^ + 12а; 2) у(х~2); (4а -9)(4а + 9); Зд:^{1 -2х); (х-о)^; (x-l)(3-y);2(a-bf; 3) (а-36)(а + 3); 8. 3. Глава V. 1)6?^0, a?sl, 6;^-2; 2) i 4, 3) ^ а -б2’ *’ 6 ’ х-3’ Глава VI. 1) у=0; :с = 18; нет. 2) Рис. 34, а, б, в. Глава VII. 1) Да; 2) (3; -1); (1; -1); 3) 8 кг яблок, 10 кг груш. Глава VIII. 1) а) 89, 98; б) 88, 89, 98. 99; 2) 888. 889, 898, 899, 988, 989, 999; 3) АБВ, АВБ, ВАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Ответы, указания и краткие решения к задачам для внеклассной работы 814. Показать, что 16** =32-2®®. 815. Показать, что данное число равно 9-37-333^^®+21-37-777332 816. 1) Показать, что 2**^ =8-16‘*®. Последняя цифра числа 16'*® равна 6, так как при умножении чисел с последней цифрой 6 полз'чается число также с последней цифрой 6. Поэтому последняя цифра данного числа равна 8. 2) Показать, что 3**® =27*81^®. Так как последняя цифра числа 81®® равна 1, то последняя цифра данного равна 7. 3) Показать, что 7*®® =49-2401®®. Так как последняя цифра числа 2401®® равна 1, то последняя цифра данного равна 9. 817. 1) 5. 2) Показать, что данное число равно 27® •(27‘*)®® +53® •(53'*)®*, последняя цифра чисел 27'* и 53* равна 1, числа 27® — цифра 9, числа 53® — цифра 7. Поэтому последняя цифра данного числа равна 6. 818. Показать, что данное число равно 32•{32'* )** +43"(43'*)®®. Так как последняя цифра числа 32'* равна 6, то последняя цифра первого слагаемого равна 2, а так как последняя цифра числа 43* равна 1, то последняя цифра вторюго слагаемого равна 3. Следовательно, последняя цифра данного числа равна 5 и поэтому это число делится на 5. 819. Показать, что каждое из чисел 132 и 576 делится на 12. 820. Сначала показать, что данное число делится на 2. Затем показать, что если из степени числа 10 с нату-ральны.м показателем вычесть единицу, то получится число, все цифры которого равны 9. Далее записать данное число в виде (10®®-!) + 219 +(10*® -1)-180, поэтому оно делится на 9. 821. Показать, что л® + 11п = =(л-1) л (л1)+12п и произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6. 822. 1) Показать, что л® + Зл® + 5л + 105 = =(л-1)л(л + 1)+3(л® +2л + 35). 2) Показать, что л® + 12л® + 23л =(л-1)х хл(л- 1)+ 12(л® +2л). 823. Если оба числа тип четные или оба нечетные, то 5т + 7л 2 — четное число, и поэтому число (от + 7л + 2)'* делится на 2^ =16. Если одно из чисел т, л четное, а другое нечетное, то Зт + л + 5 — четное число, и поэтому число (Зт + л + 5)* делится на 2* =32 и на 16. 824. Показать, что 41т + 46л =4(7т5п)+13(т + 2л). 3-0 21,3 5j’ 5-7~2l5~7j’ ■■■’ 99-101“ If 1 1 ^ 1 ____L) сок и 1 If 1 1 ) 1 1 f 1 1 ^ 825. Используя равенства r = ql х' 2l99 lOlJ’ 101-103 2U0I IO3J 21,5 7 , показать, что 1 s=lfl-—1=— 2U 103 j 309‘ 826. Используя равенства 1/1 _J_ 2l4 16, 96-98 If 1 1 , показать, что 1=0,245. ”21,96 98j’ 98-100 2V98 100 J’ — --- 21,2 100, 827. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2, то числа X - у и X + у делятся на 2 и поэтому число х® -i/® =(x-i/)(x+ (/) делится на 4, но число 1990 не делится на 4; если же одно из чисел х, у делится на 2, а другое не делится на 2, то оба числа х-уих+у не целятся на 2 и поэтому число (х-1/)(х + 1/)также не делится на 2, но число 1990 делится на 2. 828. 1) Показать, что данное равенство можно записать так: (х + 1+ i/)(x + l- i/) = 7. Так как делителями числа 7 являются пары (1; 7) и (-1; -7), то задача сводится к нахождению целых решений четырех систем уравнений, решая которые найти искомые пары чисел: (3; 3), (3; -3), (-5; 3), (-5; -3). 2) Показать, что данное равенство можно записать в виде (j/-2+x)(i/ + 2-x) = -4. Так как делителями числа (-4) являются пары чисел (1; -4), (-1; 4), (2; -2) (в любом порядке), то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений, решгш которые, найти искомые пары чисел: (2; -2), (-2; -2). 829. Показать, что л^ + 3 3 л + Зл —;----= «“ - ПН— --. Осталось выяснить, при каких целых значениях п п ® +1 является це.тым числом. Заметим, что при л >2 выполняется дробь л + 3 л ® +1 неравенство л( л -1) > 2, откуда л®-л>2, л®+1>л + 3, т.е. числитель дро-л + 3 би л® +1 меньше знаменателя и поэтому эта дробь при л > 2 не может быть целым числом. При л<-3 выполняется неравенство (-л)(л + 1)<4, откуда -л®-п<4, л®+л>-4, л®+1>-л-3, л® + 1>|л + 31, т. е. модуль числителя дроби ^ меньше положительного знаменателя дроби и по- Л'' +1 этому эта дробь не может быть целым числом. Вычисляя значения данной дроби при х = -3; ±2; ±1; 0, показать, что целые значения получа- 2 ются при л = -3; -1; 0; 1; 2. 830. Показать, что х®-Х1/ +yi/® = 1 1 х--у\ + — (/®. 831. Умножить и разделить данное выражение на 2 / 28 (3-1), затем 5 раз применить формулу (а+5К“-5) = а® -6®, получится 220 3^2-1 . 832. Показать, что 4лг*+9i/^-4j: + 6j/ + 2 = (2x-1)^+(3i/+1)^. 833. Показать, что -xy-xz-yz=-((x-y)^ +(у-г)^ + -г (2-х)2). 834. 1) а® +2о2 -3=(а^ -а®) + (3а® -3)=(а-1)(о® +Зо + 3), 2) а®+а® +4=(а® J-8)-(a®-4)=(а*2Ха®-о+ 2); 3) а* + а + 1=(а® + ^а'* + а® )-(«■* + а® + а® ) + {а® + о + 1) = (а® + а + 1)(а®-а^ + 1); 4) а®--6а®-а + 30 = (а® + 2а® )-(8а ® + 16о) + (15а + 30)=(а + 2)(а®-8а + 15) = =(а+2)((а®-За)-(5а-15))=(а + 2)(а-3)(а-5). 835. 1) а“+2а®-3 = =(а'*-а®)+(3а®-3)=(а-1Ка + 1)(а® + 3); 2) а''+4=(а'*+4а®+4)- ■4а® =(а® +2)® -(2а)® =(а® -ь 2а + 2)(а ® -2а-ь 2); 3)а® -t-а® - а-1 =(а ®- -а®)+(о® - а)+(а® -1)=(а + 1Ха-1Ка^ +а-1); 4)а' -5а® -а -6 = =(а'*-ьа®)-{а®-на )-(6а ®-t-6) = (a® + l)(a®-a-6) = (a®-Hl)((a®-3a)-i-(2а-6))=(а® + 1)(а-ЗХй-ь2). 836. 1) х^ + у^ =(х + у)^ -2ху = а^ -2Ь; 2) х^ + у^ =(х +у){х^-ху +у^)=(х +у)((х + у)^-Зху) = а^-ЗаЬ. 3) д:''■)■ + у* =(д:® + у® )® -2х®(/® =(а® -26)® -26® =а* -4а®6-ь26®; 4) х® + i/® = ={х* + у*)(х + у) - {х^ + у^ )ху= (а'* -4а®6-н26®)а - (а® -За6)6 = а® --5а®6-ь5а6®. 837. Доказать равенство д:®•^-l/®-^г®-Зx:^/2=i(x-^l/^- + 2X(x-i/)®+(i/-2)®+(2-3:)®). 838. 1)^: 2) 3) 4) а-3 a-fl a-f6 a+b 839. В 8 ч утра. 840. 75 м, 15 м/с. 841. 5 км/ч, 11 км/ч. 842. 1 ч. 843. — м/с. 844. 2,7%. 845. 4 км. 846. Первый. 847. Первый. 848. Пер-2t вый. 849. Первый. 850. Второй. 851. Второй. Предметный указатель • I..........................I............................I • Алгебраическая дробь 99 — сумма 19 Возведение в степень 45 Вынесение за скобку 81 Выражение алгебраическое 8 — числовое 3 Вычитание алгебраических дробей 108 — многочленов 67 Граф-дерево 183 График функции 127 Двучлен 62 Действия над алгебраическими дробями 114 Деление алгебраических дробей 112 — многочлена на одночлен 75 — одночлена на одночлен 75 — степеней 49 Зависимая переменная 124 Квадрат разности 91 — суммы 90 Корень уравнения 28 Координатная плоскость 121 Координаты точки 121 Коэффициент одночлена 56 — пропорциональности 134 Многочлен 61 Начало координат 122 Независимая переменная 124 Одночлен 55 Основание степени 45 Ось абсцисс 121 — ординат 121 Показатель степени 45 Порядок действия 5 Правила раскрытия скобок 20 Правило произведения 178 Приведение к общему знаменателю 104 — подобных членов 63 Пропорциональная зависимость обратная 134 ---- прямая 134 Разложение на множители многочлена 81 Разность квадратов 88 Решение системы 150 Свойства арифметических действий 14 — дроби 100 — степени 48 — уравнений 31 Система двух уравнений с двумя неизвестными 149 — координат прямоугольная 121 Сложение алгебраических дробей 108 — многочленов 67 Способ графический 159 — группировки 85 — подстановки 152 — алгебраического сложения 156 Степень числа 44 Стандартный вид одночлена 56 числа 46 Таблица вариантов 177 Трехчлен 62 Умножение алгебраических дробей 112 — многочлена на одночлен 69 многочлен 71 — одночлена на одночлен 58 — степеней с одинаковым основанием 48 Уравнение 27 — линейное 29 — первой степени с одним неизвестным 30 Формулы сокращенного умножения 88 Функция 124 — линейная 138 Числовое значение алгебраического выражения 9 Член многочлена 61 — уравнения 27 222 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Л.'1гебранческие выражения § 1. Числовые выражения.....................................3 § 2. Алгебраические выражения...............................8 § 3. Алгебраические равенства. Формулы.....................10 § 4. Свойства арифметических действий......................14 § 5. Правила раскрытия скобок..............................19 Упражнения к главе I.................................23 Глава II. Уравнения с одним неи.звестны.м § 6. Уравнение и его корни..............................27 § 7. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным...........................................30 § 8. Решение задач с помощью уравнений..................35 Упражнения к главе II ...............................41 Глава III. Одночлены и многочлены § 9. Степень с натуральным показателем..................44 § 10. Свойства степени с натуральным показателем...........48 § 11. Одночлен. Стандартный вид одночлена..................55 § 12. Умножение одночленов.................................58 § 13. Многочлены...........................................61 § 14. Приведение подобных членов...........................63 § 15. Сложение и вычитание многочленов.....................67 § 16. Умножение многочлена на одночлен.....................69 § 17. Умножение многочлена на многочлен....................71 § 18. Деление одночлена и многочлена на одночлен...........75 Упражнения ic главе III..............................78 Глава IV. Разложение многочленов на множители § 19. Вынесение общего множителя за скобки.................81 § 20. Способ группировки...................................85 § 21. Формула разности квадратов...........................88 § 22. Квадрат суммы. Квадрат разности......................90 § 23. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители.........................................94 Упражнения к главе IV................................97 223 r.iutsti \ . Л.!1Ч'праические дроби § 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей..............99 § 25. Приведение дробей к общему знаменателю..............104 § 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей..........108 §27. Умножение и деление алгебраических дробей............112 § 28. Совместные действия над алгебраическими дробями .... 114 Упражнения к главе V......................................118 Глава VI. .'Ьтейная функция и ее график § 29. Прямоугольная система координат на плоскости........121 § 30. Функция.............................................124 § 31. Функция г/= Ах и ее график..........................132 § 32. Линейная функция и ее график........................138 Упражнения к главе VI................................143 Глава 11. Системы ,1вух уравнении с двумя неизвестными § 33. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Систе.мы уравнений...................................147 §34. Способ подстановки...................................152 § 35. Способ сложения.....................................156 § 36. Графический способ решения систем уравнений.........160 § 37. Решение задач с помощью систем уравнений............165 Упражнения к главе VII...............................170 Глава \ Ш. ^)лементы комбинаторики § 38. Различные комбинации из трех элементов..............173 §39. Таблица вариантов и правило произведения.............177 § 40. Подсчет вариантов с помощью графов..................181 Упражнения к главе VIII..............................187 Упражнения .гля повторения курса а.чгебры V'll класса 188 Задачи для внеклассной работы........................198 Крапчое со.тер'/каине курса алгебры VTI класса . . . 202 Ответы...............................................209 Пре.тметныи указатель................................222 Учебное издание Алимов Шавкат Арифджаиович Колягин Юрий Михайлович Сидоров Юрий Викторович Ткачева Мария Владимировна Федорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА 7 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. Н. Беленовская Младший редактор Е.А.Андреенкова Художники В. А. Андрианов, И. В. Гущин Художественный редактор О. Я. Богомолова Технический редактор О. Е. Иванова Корректоры Л. Ю. Румянцева. И. А. Смирнова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 15.12.10. Формат 60х90*/1б- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 11,57-1-0,42 форз. Доп. тираж 20000 экз. Заказ №31063. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение*. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат*. 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru