Алгебра 7 класс Рабочая тетрадь Минаева Рослова

Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» С. С. Минаева Л. О. Рослова АЛГЕБРА Российская академия наук Российская академия образования Издательство «Просвещение» С. С. Минаева Л. О. Рослова АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 7 класс Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений З-е издание Москва «Просвещение» 2011 УДК 373.167.1:512 ББК 22.1я72 М61 Серия «Академический школьный учебник» основана в 2005 году Проект «Российская академия наук. Российская академия образования, издательство «Просвещение» — российской школе» Руководители проекта: вице-президент РАН, акад. В. В. Козлов, президент РАО, акад. Н. Д. Никандров, управляющий директор издательства «Просвещение», чл.-корр. РАО А. М. Кондаков Научные редакторы серии: акад. РАО, д-ji пед. наук А. А. Кузнецов, акад. РАО, д-р пед. наук М. В. Рыжаков, д-р экон. наук С. В. Сидоренко ISBN Н78-.5-09 0261:12-6 i: Издательство «Иросвещенне*. 2009 '(■ Художественное оформление. Нздате;1ьетво «Просвещение», 2009 Все права защищены т ч* 1 Дроби и проценты | 17 1. Закрасьте указанную часть фигуры. 0,08 0,64 0,75 0,375 2. На координатной прямой отметьте числа, а) 2,5; 0,25; 1,75; 3,75; -0,75; -1,25; -2,5 2,5 _1----1----1____I___I ■ I_____I___А____1____1_ -J----1---1--1___1___1_ -2 -1 -I—I—I___1__1__I__I_I__1__ 3 4 л- 1.4.,1.„3. 1. 4. ,2 о) -; ; 1-; 2-; --; --; -1- 5 5 2 5 2 5 5 0,2 _i 1 i } 1-i-l-i I J 1 > I j I i 1 < > I -L t 1 I ■ I I I > I I I I 1 1 1 I » I 1 I I I I -LI I I J 1 j I I 1 1 1 I -2-10 1 2 3 X 3. Вставьте знак >, < или = вместо «.». а) 0,25 + — 4 ^ . 1 0,5 + — 3 . 0,6 + - о,зЛ 5 б) - - 0,5 3 о ----0,25 4 0,3 - - о о 0,04------ 20 4. Соедините числа стрелками в порядке возрастания, начиная с самого маленького числа. Запишите цепочку соответствующих неравенств. а) 32 32 *1 2 19 б) *3 4 i * 5 0,83 * 2 *0,79 *0,49 32 < < < < < < < < < 5. ® Запишите приближенные десятичные значения данных дробей с одним, двумя, тремя знаками после запятой. Дробь Приближенные десятичные значения 5 17 0.3 0.29 0.299 7 13 9 11 29 21 93 34 6. Сравните дроби. , 19 16 а) — и — 32 27 б) — и — 24 33 , 9 16 в) — и — 55 99 19 11 — = 0.59375 — 32 24 — = 0.5925926 — 27 33 55 16 99 19 ^ 32 ^ 27 П_ 24 16 33 55 99 7. Найдите значение выражения. ,83 2 а) - : - + - = 9 4 3 9 • I 4 3 6) 1 - ^ : 2i - - 16 4 12 1- 16 : 2- - — = 4 12 16 2---] 4 12^ 1-------: 16 2^- — 4 12 8. Найдите значение каждого выражения, если а = -1; Ь = 3; с = 0,5; р = -8. а-Ь _-t-3 ________^ с 0,5 0,5 Ь + р _ ср ~ 0,5 Г-8) а - {р - с) = .... р - (а - с) = ..... 9. Среди данных чисел выберите число, равное значению выражения при а — -3, 6 = 6, с = 1. а) аЬс - Ь(а - с) А. -24 Б. -18 б) Ьс - а(а + с) А. -2 Б. о в) аЬс - Ь{а - с) А. 6 Б. -24 В. 6 В. 6 Г. -42 Г. -6 В. -18 Г. -42 10. Заполните таблицу. X 0,6 0,27 -0,9 1 — X 3 Зх X 0,9 11. Если а - 1 равно 10, то чему равны значения а - Ъ, а f 3? а-5 = ('а - fj-i = ....................... Используя первую строку, заполните остальные строки таблицы. 1 1 а + 2 3 0 -1 10 а - 4 а + 5 12. Сумма S вида 1 • 2 -ь 2 ■ 3 -ь 3 • I -I- ... -Ь п{п + 1) вычисляет- ^ ^ а(и-ь 1)(/1 ^ 2) ся по формуле S = ----------------. Вычислите, используя фор- 3 мулу. 5 6-7 1-2 + 2- 3 + 3- 4-ь4-5+5’6= ----------^ = 1 • 2 f 2 • 3 + ... -ь 10 ■ 11 = ........................ 1 • 2 -f 2 • 3 + ... + 99 • 100 = ........................ 13. Запишите выражение короче, используя степени, а) 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 5 • 5 • 5 • 6 • 6 = 5 • 5 • 5 ■ 5 • 7 • 7 • 8 ■ 8 • 8 • 9 ■ 9 ■ 9 ■ 9 • 9 = .. (-3) • (-3) • (-3) • 0,1 • 0,1 0,1 ■ (-3) • (-3) • 0,1 = . а • а • а ■ Ь ■ Ь • Ь • а • а ■ а • Ь • Ь ■ Ь = .......... 7 б) 6 • 6 • 6 • 5 • 5 + 8 ■ 3 • 8 • 3 • 8 = 6^ • 5^ + • У 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 1 1 4 1 (-8) • (-8) • (-8) ■(-8) ^ 6 • (-5) • 6 • (- -5) • 6 • (-5) • 6 = Р ■ Р • k ■ к + р ■ р ■ р ■ к ■ к ■ к = 14. Вычислите. 9-^ = 9 9 9 = 7£9 6^ (0,2)'= ... (-0,6V‘ = ........ 15. Сравните с нулем. а) 5'^"’ > 0 б) . в) 0"” (-5)^-" (-1)''" _(_7)Г.5 -I-*" -5^" (-1)"“ Впишите показате.иь г гепени. а) 2 =64 б) 8 = 8 3 = 81 5 = 625 10 = 100 000 6 = 1296 Упростите выражение. а) 3^ • 3' = 3 5 3 6' ■ 6=^ = 3 3 3 = 3^ 8 у2 , уЗ _ 9 • 9 ‘-^ • 9=* = 32 /./ 5^ 5^= ... 9'* : 9^= .. ^4'' : 14 = 18. Сравните, не вычисляя, а) 2®......... 2'^ -3'^...... -3® (-7) 10 (-7)» (-5)'^......... (-5f б) 1,5^ ....... 1,5® 0,Г .. 0,Г .10 Г _Г 3. . 3, 19. Заполните таблицу, а) б) -2 -1 1 - jf' (1 - xf x'^- 1 (X - 1)'’ 0 20. Пусть a • 0, /» • 0 и |а| < |b|. Значения каких выражений ПОЛОЖИТО.МЫ1Ы, каких отрицательны? аЬ 0 -{abf 0 -(а - Ь) 0 аЬ'^ 0 а - Ь 0 -(а f Ь) 0 а^Ь 0 Ь - а 0 -а + Ь 0 (-a)i-h) о 21. Выразите в процентах обыкновенные дроби. 1 I 4 5 8 1 10 — ЭТО — это — это — это б) 20 40 50 J_ 80 1 100 — это это — это — это — это 10 22. Выразите в процентах десятичные дроби. а) 0,07 — это 7% б) 0,421} — это ..... 0,15 — это 0,4 — это 0,3 — это 0,075 — эт<} . 0,006 — это 0,0008 — это 23. Выразите приближенно в ир(}ценгах. а) — урока: б — урока ;гго примерно в о. /66 (i /7% урока. б) перерыва: 12 — перерыва — это примерно в) - бюджета: 30 I 30 пере1)ыва. — бюджета — это ириме))по 30 бюджета. 24. Представьте в виде десятично11 д])оби. — это 0,15 б) 10‘Х. — ;}ТО это 8% - НТО это 5'Х. - это это 0,9'>/. - - это . это 0,65% — это 11 25. Закрасьте часть круга, соответствующую указанному проценту. 75% б) / 12,5% в) \ I / ■ 4^ ' \ 62,5% 26. Часть участка земли осталась без посадок. Выразите ее к процентах. а) 47% V f 45% б) .36% X 23% 20% ' N1/ N в) ф 41% ' 17% %■ 18% у 27. Выразите и процентах данные Департамента потребительского рынка и у<;луг г. Молодежный. Кто печет хлеб в г. Молодежный? Где покупают хлеб жители города? Всего: около 8 тысяч предприятий. Место торговли Количество предприятий Доля в процентах Булочные-кондитерские 420 • /(?(? ^ ^ 25^ 57о 8000 Хлебные отделы в магазинах 5.б 50 Павильоны, киоски 11 К) Автолавки, прицепы 920 28. 1'*^ Магазин ежемесячно нроизнодил уценку товаров на 10%. Заполните таблицу. Август —- Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь 100 р. 90 ft. 40 р. На сколько процентов цены на то»а1)ы в декабре ниже цен на товары в августе? Ответ: на ....... ”/о. 29. Фирма обещает служащим удвоить их зарплату к концу года, увеличивая ее ежемесячно на 167о. Проверьте, выполнит ли фирма свое обс)цание. Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь 12 500 р. 13 30. Для комнаты площадью 25 заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимогть работ по установке натяжных потолков приведена в таблице. Цвет Цена за 1 (в зависимости от площади помещения), р. потолка до 10 м* от 11 до 30 м^ от 31 до 60 м^ свыше 60 м^ Белый 1100 800 700 600 Цветной 1200 1100 900 800 Какова стоимость .заказа, если действует сезонная скидка Л. 18 000 р. Н. 20 000 р. В. 19 990 р. Г. 2000 р. 31. Для спортивного зала площадью 80 м^ заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость работ по установке натяжных потолков приведена в таб.тице. Цвет потолка Цена за 1 м^ (в зависимости от площади помещения), р. до 10 м^ от 11 до 30 м^ от 31 до 60 м* свыше 60 м^ Белый 1200 1 100 800 700 Цветной 1400 1200 900 800 Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка 10%7 А. 5600 р. В. 55 990 р. В. 56 000 р. Г. 50 400 р. 32. И Магазин закупал несколько партий товара на оптовой базе в течение трех дней с ежедневной скидкой 5%. После закупки товара магазин установил его среднюю цену и назначил новую. 14 которая включала среднюю цену плюс ее 10%. Найдите новую цену товара и прибыль от продажи всего товара. День Цена товара, р. Партия товара, шт. Стоимость партии товара, р. 1 50 100 5000 2 120 3 140 Всего: ...... шт. Средняя цена на товар: ...... Новая цена на товар: ...... Новая стоимость всего товара: ..... Прибыль: ...... 33. ВД Выступление каждого фигуриста оценивают 9 судей. В таблице представлены результаты выступлений трех фигуристов. Заполните таблицу. Оценки судей Среднее арифметическое Мода Размах Ф 5,9 6,0 6,0 5,9 5,9 5,9 5,7 6,0 5,8 (D 6,0 5,6 5,8 5,7 5,8 5,8 5,7 5,8 6,0 ® 5,6 5,6 5,6 5,7 5,6 5,8 5,8 5,8 5,8 15 34. И Швейная фабрика выпустила женские блузки трех фасонов: ♦ Анна», «Светлана», «Кристина». Проанализировав таблицу, определите требуемые статистические характеристики. Размер Количество блузок, шт. Мода ряда «Анна» «Светлана» «Кристина» блузок 44 400 500 46 500 550 48 — 600 300 50 500 500 — 52 600 400 — 54 400 — — 56 300 — — Мода ряда размеров Размах Прямая и обратная р У ^ пропорциональность .М 35. Составьте необходимое отношение и вычислите, сколько стоит 1 кг печенья, если: а) за 8 кг заплатили 360 р. б) за 0,5 кг заплатили 15 р. в) за 2,5 кг заплатили 72 р. 50 к. г) за 250 г заплатили 13 р. 60 к. . Л- кг р./кг скорость в км/ч и в м/мин, если проехали: 36 км _ км _ ■/000 м м за 2 ч за 3,4 ч 1 за — ч 2 2 ч ч 60 мин мин , 1 за 1— ч 2 37. Расход (jj) бензина легкового автомобиля составляет 0,1 л/км. Пользуясь формулой V = ps, где V — объем израсходованного бензина, s — пройденное расстояние, заполните таблицу. S, км 100 150 200 350 400 V, л 17 38. ® Длина (s) санной трассы равняется 1326 м. Пользуясь фор-мулои ^ определите скорости участников соревновании, показавших результаты, представленные в таблице. и с 49.737 49,863 49,718 V, м/с Ч9.?33 * V, км/ч 26.66 3600 а 96 км/ч. WOO ' гп 39. Плотность (р) тела равна отношению —, где т — масса тела. т а V — его объем. Выразите из формулы р = — массу т и объем V: т = ......: V = ....... Заполните таблицу. Вещество т, г V, см^ р, г/см^ Железо 78 10 Свинец 10 11,3 Ртуть 68 13,6 Золото 5 19,3 Платина 1000 21,4 18 40. ■ Определите средние скорости победителя и призеров лыжной гонки на 10 км среди мужчин па Олимпийских играх. Место t t, мин t, Ч V, км/ч V, м/мин 1-е 27 мин 24,5 с - - ■ - -■ — 2-е 27 мин 32,5 с 3-е 27 мин 40,1 е 41. Определите средние скорости участиикои скоростного Gei'a на коньках среди мужчин в аабег(> на 1 бОО м на Олимпийских играх. Место t t, мин t, Ч V, км/ч V, м/мин 1-е 1 мин 54,19 с 2-е 1 мин 50,99 с 3-е 1 мин 47,87 с 19 42. Машинистка печатает всегда с одной и той же производительностью. а) Сколько времени затратит машинистка на перепечатку каждой рукописи? Число страниц в рукописи Время, ч 16 2 80 40 28 Запишите формулу, выражающую зависимость времени работы (О от объема работы (Р) и производительности (р). б) Сколько страниц было в каждой рукописи? Число страниц в рукописи Время, ч 36 6 3 2 10 Запишите формулу, выражающую зависимость объема работы (Р) от времени работы (f) и производительности (р). 20 в) Определите производительность каждой машинистки. Фамилия Число страниц Время, ч Производительность Иванова 84 12 Петрова 84 14 Васина 72 12 Запишите формулу, выражающую зависимость производительности (р) от объема работы {Р) и времени работы (t). 43. Й{] Заполните таблицу. Пищевой продукт Энергетическая ценность, ккал на 100 г на 200 г на 250 г Хлеб ржаной 170 Хлеб пшеничный 240 Пирожные 320—540 Молоко 59 Говядина отварная 254 Треска отварная 78 Картофель отварной 82 Масло сливочное 749 Яблоки 39 21 44. Ifll Энергетические затраты человека прямо пропорциональны массе его тела. В таблице представлены энергозатраты (в ккал/ч) «стандартного» человека (массой 60 кг) при различных видах деятельности. Определите энергозатраты человека массой 80 кг. Вид деятельности Энергозатраты, ккал/ч Масса 60 кг Масса 80 кг Сон 50 Чтение вслух 90 Работа по дому 120—240 Быстрая ходьба 300 Бег трусцой 360 Ходьба на лыжах 420 Езда на велосипеде 210—540 Катание на коньках 180—600 Плавание 180 -400 45. 1-hJ Конькобежец бежит дистанцию 1500 м. Заполните таблицу, если известно, что спортсмен бежит с постоянной скоростью. S, м 300 700 1100 1500 t, с 54,6 22 46. В таблице представлен состав продуктов для приготовления блюда «Свекла по-заволжски», рассчитанный на 1 кг свеклы. Определите, сколько потребуется каждого продукта, если взяли 750 г свеклы. Продукт Количество на 1 кг свеклы на 750 г свеклцл,^ Морковь 250 г vv\ • Грибы сушеные 12 шт. Лук репчатый 2 головки \S Сметана 100 г Чеснок 8 зубчиков Лавровый лист 4 шт. Соль 1 чайная ложка Лимон 1 — шт. 2 47. Заполните таблицу. а с Ь d аЬ = cd Неизвестный член пропорции а 3 8-3 а ■ Ч = S ■ 3 а = = 8 4 у 9 6 h 1 2^ ^ 5 15 2 6 3 ~ л: 23 48. Найдите неизвестный член пропорции, ч У 2 "............................. 2 10 .... ................................. , 5 3 в) - = -, а = --------= а 4 ... ............. , 6 d г) - = d = -------= 7 8 ............. , 11 fe "............................. ,4 10 . • е) - = —, т = —-------= 5 т ............. 49. Из каких отношений можно составить пропорции: 1 : 5; 2 : 4; 5 ; 10; 20 : 4; 4 : 20; 1 : 0,2? Запишите пропорции. Ответ: — - 50, Составьте пропорцию и найдите х. а) 4 вершка = 7 дюймов Ч _7 10 вершков = X дюймов —-------- to X б) 4 вершка = 7 дюймов X вершков = 21 дюйм ........... в) 3 аршина = 7 футов 2 аршина = х футов .... г) 3 мили = 5000 ярдов X миль = 1000 ярдов ... 24 X — 51. а) Закрашенная часть треугольника — 4 —, незакрашенная часть — ; от- ношение закрашенной части к незакрашенной равно ......... . б) Закрасьте — треугольника. Незакра- шенная часть треугольника — ....; отношение закрашенной части к незакрашенной равно ...... в) Закрасьте часть треугольника так, чтобы отношение закрашенной части к незакрашенной было равно 1 : 2. Закрашенная часть треугольника — , незакрашенная часть 52. Разделите отрезок на части в данном отношении. а) б) в) » —------— • __ — — ------------------ . « ^ . 1:2 2:3 53. Разделите круг в данном отношении. 3:5 25 АВ 54. а) Отметьте на отрезке АВ точку К так, чтобы - = 3, и точ- ВК ку М так, чтобы AM MR АС б) Отметьте на прямой АВ точку С так, чтобы = 2. Сколь- ко таких точек можно отметить/ В 55. Первую часть маршрута туристы проплыли на байдарках, а вторую прошли пешком. Заполните таблицу. Отношение 1-й части маршрута ко 2-й части Весь маршрут, км Проплыли на байдарках, км Прошли пешком, км 2 : 1 60 3 : 2 40 3 : 1 27 45 36 35 20 56. Замените отношение — : - : — отношением целых чисел. 15 3 5 А. 15 : 3 : 5 Б. 15 : 5 : 3 В. 3 : 5 : 1 Г. 1 : 5 : 3 26 57. Для покраски книжных полок в библиотеке нужна желтая, коричневая и белая краски в отношении 1,2 : 2 : 0,5. Сколько потребуется коричневой и белой красок вместе, если имеется 240 г желтой краски? А. 740 г Б. 500 г В. 400 г Г. 100 г 58. В таблице представлен рекомендуемый для некоторых комнатных растений состав земельной смеси, в которую входят дерновая земля, листовая земля и песок. Заполните таблицу. Растение Отношение Всего смеси, кг Дерновая земля, кг Листовая земля, кг Песок, кг Юкка 3:2:2 14 Розмарин лекарственный 2:1:1 3 Азистария прекрасная 1 : 2 : 0,5 3,5 Дикия коротколистная 20 8 4 Крестовник крупнолистный ... : 2 : 1 18 ' 2 59. Три брата разделили поровну плитку шоколада в отношении, равном отношению их возрастов: 19 лет, 6 лет и 5 лет. Какую часть шоколада получил младший брат? А. — 30 В. 30 в. 1 5 Г. i 6 27 ()(К Фирмы А, В, С владеют всеми акциями некоторой компании. Акции распределены между ними в отношении 2:3:1) соответственно. Заполните таб.тицу. л/ # \5 г с n+k+p ж 4Ш11 Введение в алгебру It. d^b+c 61. Заполните таблицу. Алгебраическая сумма Слагаемые 1-е 2-е 3-е 4-е Зх - 5у + 4z - 10 Зл Чг -W m + 2л - 0,1р + 4 -а + 7Ь + 5 -x-y-z-t - 10 6а —6 + 2,5с + 6а -ь 2,5с Ы 0,5ft -Зт 6 ху 2yz 5xz -1 62. Подчеркните буквенные выражения, равные данному. а) о + (-Х) + (-у) -X + а + (-у) а - X - у -х + у + а а — х + у -у - х + а б) -а + Ь + с -а + с + Ь а - Ь - с Ь - а + с с - а + Ь Ь + с + а в) k + р - п n+k + p -п + р + k h-n + p k+n-p -n+h + p г) X - у - г X - Z - у -Z - у - X -у + х + (-г) -у - Z + X х + (-у) + (-z) 29 63. Упростите выражения. а + ft + (-а) + (-ft) + (-ft) = —а + (—а) + ft + а + (~ft) — ........... -а + (-а) + (-а) + ft f ft + (-ft) = 64. Заполните пропуски. ft — а + ft + а + ft ^ ft = ............ jf + or - /у - jr + // )- .г - у + у - // = .лг.. с ~ а \ Ь-с-а-Ь + с - а — с + с- Ь = .. к - п \ - п + h ~ р - к 'г п - р + п - к - р + k = 65. Закончите преобраяоиания. а) За • (-.5ft) = 3 ^-5J ■ оА = ............. -4а • б — -У 6 ■ а = ........................ -5ft ■ 8ш = -5 • • /6)* = ................ б) 0,5а • 6ft • (-С) = 0.5 ■ 6 ■ = у' -10а ■ -у • '^ft = (~f0) ■ — ■ = .5 I 5 4 -с ■ (-9ft) • 7a = ('-/у • ■ ^cba = 66. Упростите выражения, a) 5a • 2a • За = 0,1ft ■ 6ft • (-ft) = ............... (-a) • ( a) • (-2a) = ............... 6) 3jc ■ 2y • (-5y) • у = ........... (-a) • (-X) ■ (-a) • (-Л-) • (-X) = 5ft • (-c) • (-ft) ■ b ■ c • c • c = . 30 67. Раскройте скобки и упростите выражения. а) п + (п + 3) + (и + 6) = ............. (л - 3) -t- (п - 1) + (п + 1) = ........ (л — 10) -f- (л - 5) + л (л + 5) = ..... б) (р-5)-(р + 5)=;А - 5 - - 5 = .... (р + 5) - (р - 5) = .......................................... р - (р - 5) + {р + 5) = .......................................4^ 68. Выберите равные выражения и соедините их линией. -к + (т 4 л) к + т - п к - {т + л) к + т + п к - (т - п) -к + т + п к - (-ГП 4- л) к - т + п к - (-Л1 - л) к - т - п 69. Упростите выражения. а - (а - (а + 6)) = а - /"а - а - 6J а - (а 4 (7 - а)) = .. -а + (4 - (4 f а)) = а - (10 - (5 - о)) = 70. Расставьте знаки «4-» и ♦-* так, чтобы равенство было верным. X ... (-ЛГ) ... у ... (-у) ... (-у) = у (-6) ... с ... с ... Ь ... (-с) ... (-с) = 2с Ь ... а ... Ь ... а ... h ... (-а) ... (-Ь) ... а ... а = За - 2Ь 31 71. Раскройте скобки. 1 2a-- =y-i'«-y- - = 4 I У 0,5(6х + 2) = .... -3(3с + 1) = ..... -10(0,16 - 0,5) = 72, Выберите равные выражения и соедините их линией. 5(х - !/) -5х + 20г/ 5(х -h 4у) 5х - 20у -5(х + 4у) ^ 5х + 20у 5(х - 4у) - 5// -5(х - 4у) -5х - 20у 73. Приведите подобные слагаемые и выберите правильный ответ. а) by h by + by 4- 3 A. ibyf B. 3by 6) 2x + 3j/ - 4x - 4f/ + 1 A. -Sxy + 1 B. -2x - у + 1 в) 7a - 4 A. 10a a ( 5 I 2a - 1 B. 10a + 10 B. 6by B. 1 + 2x + 2y B. 8a Г. 3by + 3 Г. 5xy + 1 Г. 8a + 10 74. Расставьте знаки « )-* и ♦-* так, чтобы равенство было верным. а) Ь ... 7 ... 6 ... 8 = 15 5а . 5 ... 7а . 5 = -2а а ... с ... За ... 4с .. 5а . 5с = 9а б) X ... 2у ... Зг ... X ... 2у .. Зг ... х = 6z - х 2х ... 2 ... 2х ... 2 ... Зх ... 3 = X - 3 2ху ... yz ■■■ zy ... 2ху ... гу ... 3yz = 2yz 32 75. Подчеркните выражения, тождественно равные -2х. -X + 2х + (-Зх) X + (-2х) + Зх -X - 2х + Зх -2х + (-х) + 2х + Зх -X + (-х) + (-2х) + 2х 2х + х + (-2х) - Зх 76. Расставьте скобки так, чтобы, преобразуя левую часть, можно было получить правую. а - Ь- а- Ъ = 2а, а - Ь- а - Ь = 2(а - Ь), a-b~a-b=0. 77. Найдите площадь фигуры двумя способами: 1) достроив фигуру до прямоугольника; 2) разбив фигуру на прямоугольники. 1) S = 2) S = 1) S = 2) S = 1) S = 2) S = а) 2 у б) т\ п ]- Пт в) а а [Ь а с с а 1^ Ь\ а 78. В первом баке 21 литров бензина, а второй пустой. Из первого бака перелили ^ бензина во второй, а затем из второго бака перелили — бензина в первый. Далее из первого бака перели-3 ли бензина во второй, а затем из второго бака перелили ^ бензина в первый и т. д. Сколько литров бензина окажется в первом баке после пятнадцатого переливания? А после двадцатого переливания? 33 № Первый бак Второй бак 0 21 0 1 / / -V 2 3 3 у , - , , V?" ^ 3 4 5 ... 15 ... 20 ггэ "гтз IDi Уравнения t Запишите условие задачи с помощью уравнения (79—82). Текст задачи Перевод на язык математики Было 1-й 2-й л 1 л г Перелили 500 г Стало (л - 500) г (л ^ 500) г г(л - 500) = л 500 Было 1-й 2-й Пере- ложили Стало 79. Сок разлили в два графина поровну. Потом из первого графина во второй перелили 500 г сока, и во втором графине сока стало вдвое больше, чем в первом. Сколько сока было в каждом графине первоначально? 80. Орехи разложили в два пакета поровну. Когда из первого пакета переложили во второй 12 орехов, в первом пакете орехов стало втрое меньше, чем во втором. Сколько орехов было в каждом пакете первоначально? 35 Продолжение Текст задачи Перевод на язык математики Определите длительность рекламы, если известно, что она короче кинофильма на 90 мин, а кинофильм длиннее рекламы в И) раз. Длительность: рекламы jc мин кинофильма (х 90J мин или /Ох мин X 90 = /Ох Найдите длину пути от озера до реки по туристской тропе, если известно, что тропа втрое короче пути по шоссе, а путь по шоссе на 8 км длиннее пути по тропе. Длина пути: по тропе по шоссе ИЛИ 81. 82. 83. Cama решал задачу: В трех классах 75 учащихся. В классе А на 5 учащихся меньше, чем в классе Б, в классе В у^1ащихся в 1,5 раза больше, чем в классе А. Сколько учащихся в каждом классе? Саша составил по условию задачи три разных уравнения, а затем стер с доски то, что в каждом случае было принято за jc. Восстановите текст: дг -I- (х - 5) t 1,5(х - 5) = 75, где х .. X + (х + 5) + 1,5.г = 75, где х X + — -t-1,5 — + 5 I = 75, где X 15 84. Является ли число -3 корнем уравнения? а) х=* - 1 = -26 ^-З/ -28 ^ -26 Ответ: не л£ляе»Яся. 36 б) Зх^ - X = 30 .... Ответ: .......... в) 4 + 2х = X + 1 Ответ: .......... г) |х| = 3 ...... Ответ; .......... д) + 9 = О Ответ: ........ 85. Соедините линиями уравнение и его корни. |х| - 1 = 0 -3 X + |х| = 0 -2 х^ - Зх = 0 -1 х^ + Зх = 0 0 х^ + 27 = 0 1 х^ - 4х = 0 2 3 86. Решите линейное уравнение, а) -7х = -21 X = J в) 6т = -42 д) -10Ь = -0,1 б) -5у = 20 .«/ = ........ У = .......... г) -12а = о е) 0,1с = -0,01 37 ж) -s = 24 8 з) -7v' = — 7 87. Заполните пропуски. а) 5х = б) 4х = ; дХ X = -6 X = 0 X = 9 г) X = 9 Д) X = 6 е) X = -1 1 X = — X = 0,1 2 Найдите корень уравнения. а) X 1 16 = 4 б) 2х + 16 = 4 в) 4х -t- иг = Y - /6 л = -/2 г) 27 - // = 3 д) 27 - 8у = 3 л- = 1 е) 27 - Зг/ = О ж) г - 1 = —19 3) Зг - 1 = -19 и) 6г - 1 = О 38 89. Решите уравнение. а).5-2х=17 + д' - дг = /X - 5 б) бг/ - 3 = 3 + 2// -Зд- = t2 дг = -У в) 9 - Юг = 5 - 9г г) 12х - 7 - 12х - 16 90. Решите уравнение, а) 7х - (2х + 3) = О 7л - 2л - 3 -- О б) .3(2х - 3) = X + 2 в) (у t 2) - (Зу - 4) = -4 г) 1 - 2(х I 1) = Зх - 2 39 91. Решите уравнение. ^ X Зх а) - + — = 8 7 7 X X б) - + - = 1 3 2 ? 7 X ^ :ijc = 56 в) 3 - ^ ^ 5 И) ч ^ с ^ г)-------6 = — 2 6 92. Выразите из равенства каждую переменную через другие. а) а + Ь + с = \ б) а + 2ft + Зс = 5 в) а - ft - с = / — 6 — с (X = d = 6 = 2ft = -ft = ft = ft = Зс = —С = с = с = О 40 Решите задачу алгебраическим способом (93—98). 93. Сестра старше брата на 6 лет. Сколько лет каждому, если обоим вместе 16 лет? Решение 1. Сестре JT лет. Брату ^jc - 6J лет. Вместе им jc + fjc - 6J лет, а по условию 16 лет. X (jc - 6) = t6 2jc = 22 X = f7 Ответ: сестре 11 лет, брату 5 лет. Решение 2. Брату X лет. Сестре ...... лет. Вместе им ................ , а по условию ....... . Ответ: 94. Брат вдвое младше сестры. Сколько лет каждому, если вместе им 18 лет? Решение 1. Брату X лет. Сестре ...... лет. Вместе им .................. а по условию......... Ответ: брату ..., сестре Решение 2, Сестре ..... Вместе им .... . Брату а по условию Ответ: 41 95. Утенку, гусенку и цыпленку вместе 120 дней, причем утенок вдвое старше цыпленка, а гусенок втрое. Сколько дней каждому? Решен и.е. Цыпленку .тдней. Утенку дней. Гусенку ... . дней. Вместе им и- + ...... дней, а по условию 120 дней. О т в е т: цыпленку дней. дней, утенку .... дней, гусенку 90. На четыр('х по.пках лежит 77 книг. На второй полке вдвое больше книг, чем на первой; на третьей полке столько же, сколько на первых двух вместе; на четвертой полке столько же, СКОЛ1.КО па второй и третьей полках вместе. Сколько книг на каждой полке в отдельности? Р е IIIi? и и е. На 1-ii полке х книг. На 2-й полке На 3-й ПО.ПКС На 4-й полке Всего л + книг. книг. книг. книг, а по условию .... книг. Ответ: на 1-й полке книг, на 2-й полке 3-й полке . книг, па 4-й полке книг. книг, на 97. Почтальон дошел от почты до дома и вернулся обратно, затратив на весь путь 0,9 ч. От почты до дома он шел со скоростью 4 км/ч, а обратно — со скоростью 5 км/ч. Чему равно расстояние от почты до дома? Решение 1. Расстояние от почты до дома л км. Время, затраченное на путь от почты до дома. 42 Время, затраченное на путь от дома до почты, ...... Время, затраченное на весь путь, ............... Время, затраченное на весь путь, равно 0,9 ч. Ответ: расстояние от почты до дома равно ....... км. Решение 2. Время, затраченное на путь от почты до дома, лс ч. Время, затраченное на путь от дома до почты, ...... Расстояние от почты до дома ................. Расстояние от дома до почты ................. Ответ: расстояние от почты до дома равно .... км. 98. От дома до стадиона Оля доехала на велосипеде за — ч. Пеш- 4 ком она могла бы проити это расстояние за — ч, так как шла 5 бы со скоростью, на 7 км/ч меньшей, чем скорость, с которой она ехала бы на велосипеде. Чему равно расстояние от дома до стадиона? Решение 1. Расстояние от дома до стадиона л км. Скорость движения на велосипеде ......................... Скорость движения пешком ................................ 43 Скорость движения пешком меньше скорости движения на велосипеде на 7 км/ч. Ответ: расстояние от дома до стадиона равно ....... км. Решение 2. Скорость движения на велосипеде х км/ч. Скорость движения пешком ............................. Путь, проделанный на велосипеде, ..................... Путь, проделанный пешком, ........................... . Ответ: расстояние от дома до стадиона равно ............ км. Щ Координаты и графики 99. Запишите неравенство или двойное неравенство, задающее множество точек, выделенное на координатной прямой. а) X ^ 5 в) б) -3 д:< г) Д) 10 18 < д: < ж) -20 е) .... < X < 3) -2 45 и) к) -0,5 -0,4 л) м) -8 -2 100. Запишите числовые промежутки на алгебраическом языке. а) замкнутый луч б) открытый луч в) отрезок г) интервал -О • — — 101. Изобразите на координатной прямой какой-нибудь отрезок и какой-нибудь интервал, содержащий заданные точки. Запишите его с помощью двойного неравенства. -i. - ■> X —1 -4 1 ,»-J 0 1 1 1 L 2i 6 ► -4 0 2i ^2 6 46 102. Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: X > 5; X < -4; -3 < х < 0; 1 < х < 2. Н------1-----+- Н----1--1--1---1---1--1---1--1---1--1---h 0 1 103. Постройте точки А^, А2 и A3, симметричные точке А относительно оси абсцисс, оси ординат и центра координат соответственно. Занесите координаты точек в таблицу. Выполните это задание и для точек В, С, Е. Точка, координаты Точки, симметричные относительно оси ж оси у центра А(5; 3) А,(,.,; ...) Аз(...; ...) Аз(...; ...) В (...; ...) С (...; ...) Е (...; ...) 47 104. Заполните таблицу и закончите предложения. Точка А В С D Е — F К L М Абсцисса -7 Ордината 5 Точки А, В к С лежат на прямой у = Точки D, Е п F лежат на прямой у = .. Точки К, L VI М лежат на прямой у = . ■■ ■ 48 105. Заполните таблицу и закончите предложения. Точка А В С D Е F К L М Абсцисса Ордината Точки Л, В и С лежат на прямой х = Точки D, Ё и F лежат на прямой х = . Точки К, L и М лежат на прямой х = "с 49 106. Запишите неравенство, задающее заштрихованную полуплоскость. б) 107. Запишите двойное неравенство, задающее полосу. б)............... У‘ 1 — О — 7 4 0 3 5^ ■ - , о 1 -ч .1 1^ J .Л 50 108. Опишите заштрихованную область на алгебраическом языке. а) б) У‘ I — 5_ 4_ 2^ 0 ( 4 X Г" -- 109. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих данному условию. г) д) е) ж) -4 У‘ к — 3 — 1- 2 0 -2 -h ♦ -4 . — lJ 1 1~Г1 5 < хС 4 1^у<3 f т 110. Опишите прямую, луч и отрезок на алгебраическом языке. а) б) 52 111. Проведите черев точку Л прямую, перпенднкудярную прямой 1с. Опишите ее ira ал1'е6|)аичееком явыке. а) б) I ■ -4 ^ : I 1 ■ е-4 -к-1 . -1 ' 2 1 ' I I i ■ I . I . ММ -2 -3 UI ^ ! . ! М i ---1- ‘ I----1— Т- I ►: 0 2 1 6^! I i !/.• 112. Проведите черев точку А прямую, пара.ч.'К'Льиую прямой т. Оптппи'ге <‘е па ал1Ч‘Г)раичееком явм1«-. а) б) 1:. ■ : 1 1 1 ! 1 -3 : ! 1 - r i i ■ ' : 1 ■ ■ 1 f -1 U, l; 1. ! MU i >1- 1—t 0. 1 1 \ ,' б « 2 4 : ) 1 Г i ' 1 3 1 1 I 1 И ■ ■ 1 ' : 1 I 1 ; . I : 1 ! -4 • 1 ■ ! • 1 1 1 m 1 ' 1 i , ' 118. Опишите каждое звено ломаной на алгебраическом языке. ЛН\ И(': (Ч): ПК: KF: FK: КМ: 54 114. Прямоугольник задан координатами его вершин: Л(-6; 3), В(4; 3), С(4; -5), />(-6; -5), 1) Проведите прямые, которым принадлежат стороны прямоугольника, и опишите их алгебраически. Ответ: п/ьямал — ...............................................; п/гямал SC — ......... ..............................; nflAMOA С2) — ............................... п/глмля — .................. ............1 2) Запишите условия, которым удовлетворяют координаты точек, лежащих на сторонах прямоугольника. Ответ: на ctfiofioHe — ........................ л на сЛо/хоне — ..................... . л на afloftoHe CJd — ................л аЛо/юне — ............ л ...... ; . ^ ^ ^ \5-" ¥ ¥ 55 3) Каким неравенствам удовлетворяют точки, лежащие внутри прямоугольника? Ответ: 4) Проведите оси симметрии прямоугольника. Запишите условия, их задающие. ............... Г>) Найдите координаты центра симметрии прямоугольника. ........................................ Ответ: О т в е т: 115. Опишите на алгебраическом языке множество точек прямо-у1'ольника ABCD. Постройте прямоугольники, симметричные данному относительно оси абсцисс, оси ординат и начала ко-ощщнат. Опишите их на алгебраическом языке. 56 116. 1) Используя график, заполните таблицу. =ЛЛ X -9 -8 -6 -5 ' -4 1 -2 0 1 2 3 4 6 7 8 у 1 2) Выпишите значения х, при которых у = 3. Ответ: #' = 3 nftu л = ............. 3) Выпишите координаты точек пересечения графика с осью абсцисс. Ответ: 4) Выпишите координаты точки пересечения графика с осью ординат. Ответ: 117. Точки А, В, К, С, М к D принадлежат графику зависимости д: + у = 2. Найдите недостающие координаты этих точек. ) В(-2; ) К(5-, ; 3) М( ; 0) 57 118. Координаты точек связаны соотношением у = х - 2. Заполните таблицу. Используя данные таблицы, постройте график. X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у . 1И). Изобразите графики зависимостей у = х, у = х+ \\л у = X - 1. Укажите координаты точек пересечения графиков с осями. 58 График Пересечение с осью абсцисс (у = 0) Пересечение с осью ординат (х = 0) у = X у = X + 1 у = X - 1 ч/ 120. Изобразите графики зависимостей у - х, у = 2х и г/ = Зл". Для каждой прямой постройте прямую, симметричную ей относительно оси абсцисс. Найдите зависимости, которым удовлетворяют точки этих прямых. Л о''*' 59 121. Обведите ту часть кансдой прямой, которая удовлетворяет условию: а) .V ^ 0; б) X < 0. 122. Изображенная прямая является графиком зависимости у - X - 3. Покажите на 1’рафике множество точек, удовлетворяющих условию: а) |/ = х- 3пх< -4; б) у = дг - 3 и -3 ^ д: < 1; в) О 126. 1) Обведите ту часть кубической параболы у = х^, которая удовлетворяет условию: а) X < О б) -1,5 < X < 1,5 —I ! - 4- I У' 8 - П ' 1 i4f 2 I I -J4 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -6 —8" 4 л 10 — 12 Т - 14 63 127. Обведите ту часть графика у = |дс|, которая удовлетворяет условию -4 < X < 4. 128, График задан зависимостью: а) у при - 2 < д: < 2, б) У а) д: + 6 при д: < - 2, -дг + 6 при д: > 2; Покажите его, обведя необходимые линии. б) 3 при х<-3 и х>3. х\ при - 3 < X < 3. X -1 0 1 2 3 4 5 у X -3 -2 -1 0 1 2 3 У а) б) 130. На координатной плоскости по горизонтальной оси отложен вес спортсмена, а по вертикальной — его рост. Изобразите область, содержащую все точки, которые могут соответствовать данным группы спортсменов, вес которых находится в пределах от 85 до 95 кг, рост — в пределах от 190 до 205 см. Сколько таких спортсменов? Ответ: 65 131. По графику движения лифта от первого этажа наверх, а затем вниз определите: 1) Какое расстояние прошел лифт? м 2) На какие этажи был вызван лифт? 3) Какое время стоял лифт при первой остановке? 4) Какое время стоял лифт при второй остановке? с с Л1 I'Л %. Свойства степени N с натуральным показателем 132. Запишите в виде степени произведение степеней.у а) • а' = б) Ь ■ (~yf • i-y) = .... • с = ...................... (5х)® • (5х)'* = . (-За) • (-За)^ • (-За)® = ©" 133. Представьте степень в виде произведения степеней разными способами. „6 5 _ 2 ч _ 3 а — а ‘ а — а - а — а п 134. Заполните пропуски. 2» = 2® • 2 10'" = 10^ ■ 10 " 412 ^ 46 135. Впишите пропущенную степень с основанием а. = a^ ■ а = а 10 V Р'и = а 67 136. Запишите в виде степени частное степеней. а) а‘« : г) ^ = ........... б) (2х)»'^ : (2xf = ..... д) = (3x1/)" .......... в) (abcf '■ (аЬс)* = ... д/ 137. Заполните пропуски. * 310.35^3... 2^=2®: 2^' 5‘® ; 5* = ... 10‘“ = ... : 10'^ 138. Впишите пропущенную степень с основанием а. а® : ... = а*, .... : = а®, = а. 139. Вычислите, используя значения данных степеней. 32 = 9 4^ = 16 5^ = 25 6^ = 36 3^ = 27 4^ = 64 5® = 125 б® = 216 а) 3« = 3^ ■ 3^ • 3^ = 9 • 27 ■ 27 = .................. б) 4" = ........................................... в) 5'® = .......................................... г) 6^ = ........................................... 140. Запишите в виде степени с основанием 2. 68 141. Загш1|]ито в виде степени с основанием 3. 9 • 3-^ • 27 = ................................... з-з"-з'’ 81 143. Сравните значение выражения е ну.ием. а) -5 - (-5Г* • (-5)’^’ = (~5f <0 б) (-6)'” : (-Г>)-‘ = -(-З)” • (-3)'* - .............. Г) I ( Г)Г : ( ;>)»' = ■Г (-2)' - (-2)' ■ (-2)" - (И 144. Возведите в степень. («■’)•’ = ........... = 145. Представьте /г в виде степени разными способами. ,,.по /,.00 = ( f ,,100 /,шо - ( f' 'Л'1 \5 М ' 69 146. Запишите в виде степени с основанием 3. 9З = (З2)3 _ 3 3 • 81"' = = 3 27^ = = 3 27 ■ 9^ = = 3 147. Возведите в степень произведение. (a^bf = , (xVf = (5Ьс^^)‘ 148. Возведите в степень дробь. ■ .3 1 у 149. Упростите выражение. а) • (Jf ,2чЗ _ б) .)[ias'] . г) {-хУ J/ = Д) i-xf = ......... е) (~хУ = ......... 150. Подчеркните выражения, равные а^. (-a)^ -(-a)^ -(-а\ Ы~а)У. 151. Подчеркните выражения, равные с 70 {-с)\ -(-c)^ -{-сУ, (-(-С)УЛ 152. Представьте выражение в виде квадрата или куба. а'' = ( .«/•' = ( f a'^b^^ = ( f Л® = ( f 16с® = ( f 27а = ( f 25д:^“' = ( . f 64д:®«/®' = У 153. Найдите ошибку. Запишите верное преобразова!^!^! ы * а) = гС' с" • с = с 1П 7 '■ 3 ■( т • т = т 12 . иЯ ^ б) ■■ ь- я ъ с с в —— = с •1 5 а ■ а — а в) (d*f = d’’ (k • кУ = /?** (х^ • xf = х^ 154. а) Сколько существует двузначных чисел, составленных из нечетных цифр? Запишите их. Первая Вторая цифра цифра 1.3,5. 7,9 _ ________^ 5 вариантов Всего вариантов 11\\\ 1П\\ 1,3, 5.^9 5 вариантов (ti)(i3)(« U. ,'{ •) (31) (33 , (3..; с:^ 0 Г) о ) ( 71 б) Сколько существует двузначных чисел, составленных из четных цифр? Первая Вторая цифра цифра /А\ 2,4,6, 8 4 варианта !t\\\ о, 2, 4, 6, 8 5 вариантов 20: 22' 2 40 42J I / V . о Всего вариантов 155. Каждому кубику присвоен трехзначный номер. Что означает первая цифра? вторая? третья? Впишите номера видимых кубиков. Впишите номера невидимых кубиков. 156. Отмечены 5 точек. Сколько можно провести отрезков с концами в этих точках? Число точек . Число отрезков, выходящих из одной точки. Всего отрезков К ? 72 157. Сколько диагоналей у пятиугольника? Число вершин ................. Число диагоналей из одной вершины Всего диагоналей л'''''" 158. Красный, синий, зеленый, желтый, белый и черный кубики выстраивают в ряд. ^ Сколько существует вариантов для выбора дерв'ого кубика? ........... Второго кубика? ........ Первую пару кубиков можно составить ......... способами. Третий кубик можно выбрать ......... способами. Первую тройку кубиков можно составить ....... способами. Четвертый кубик можно выбрать .............. способами, пятый — . способами, шестой — ....... способами. Значит, всего можно составить ...... различных рядов. Сколько среди них рядов, в которых: а) на первом месте стоит черный кубик; ...... б) на первом месте стоит красный кубик, а на втором — белый; ...... в) на первом месте стоит не белый кубик; .... г) последний кубик — не желтый; ...... д) рядом стоят синий и зеленый кубики? ...... 159. 1) Квадрат разбили на 9 квадратов. Сколькими способами их можно раскрасить в синий, зеленый и черный цвета так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и каждом вертикальном V ряду были все три цвета? ^ Решение. Будем окрашивать квадраты начиная .с'Хевого верхнего. Понятно, что сделать это можно 3 способами. Второй квадрат этого ряда можно окрасить . = — способами, а тре- 73 тий квадрат — ..... . Итак, верхний ряд квадратов можно окрасить .. способами. А сколько существует способов окрашивания второго ряда? Первый квадрат второго ряда можно окрасить ...... способа- ми. На рисунке изображен один из таких вариантов раскраски. Закончите раскр^шива- \/ ние, рассмотрев все варианть^. ( Л'" Ответ: существует .\!i^ вариантов раскрас- 3 2 1 ки данного квадрата. 2) Попробуйте решить эту задачу при условии, что квадрат разбивается на 16 квадратов и окрашивается в 4 цвета. Л / \5' /О + 2ax ■■WP'lwr- fWfPf Многочлены M 1 - 4(x^-y^) S = 2^^^^ 160. Найдите произведение одночленов. X Зд: lOb^ х^у 2аЬ 6ahx Ь^х ау^ -4aV -4а^х^у 161. Даны четыре одночлена: 5дг^а, 2ах, х^а^, ха^. Для каждой пары одночленов составьте их сумму и произведение. Сумма Произведение 1 а + 2ах fOa^jc^ 2 3 4 Л!#' 5 6 ,0^ 75 162. Прямоугольник разбит на четыре прямоугольника. 1) Чему равна площадь каждого маленького прямоугольника? Ответ: .............................. 2а 2) Составьте выражение для площади каждого прямоугольника, составленного из двух маленьких прямоугольников. Ответ: 3) Чему равна площадь большого прямее/ угольника? Составьте выражение и упростите его. Ответ: ж 163. Запишите все члены многочлена и укажите коэффициенты членов, содержащих буквенные множители. а) - х'^ Член 5х Коэффициент 5 б) 9а'‘ - 8аЬ + 0,566^ + 1 Член Коэффициент л/ ^ jr\.\ ,1^ 76 в) /п” + бтл - - п^тп^ Член Коэффициент г) 2kx - 6® - х^ + б^х - Ах^ - 1 ■Л л/#^‘ Член dt 9 Коэффициент 164. Представьте многочлен в стандартном виде. а) 2а • 3 + 36 • 2а + а^ ■ 26 = ............ б) 5х • 2а + 5х • ЗЬ - у ■ 2а - у ■ ЗЬ = ... в) (-1) • 6т + 8п • (-4т) - • 2т = ..... г) Юа"* • (-5) + 36 • (-а^) ч 7а6 • 2аЬ = .. 165. Подчеркните многочлен третьей степени. Зу + Зу^ + б--^ JC'’ + + X + 1 х^ + 2х + 5 - 1 т^ - 2т^ 166. Расположите многочлен по убыванию степеней переменной., а) Юг/ - 4t/^ + 5г/‘ -3 = 5/- У/ + ........................................ б) х^ - 2х-^ - 5х“^ + х'^ - 4х - 1 = Л ( '■ l\\ 77 в) 6 - 9х^ + X - ............. г) -2к^ - 5к^ - 8k^ = ........ 167. Найдите значение многочлена. Многочлен у'^ - 2у + 1 у = 0 У = 1 Г J/ ' - 10 - J -5(/^ + 25 ' - У'^ 168. Найдите значение многочлена. Многочлен X = О, у = -1 X = у = О ' х^ + ху - у^ Г1х‘' - у 5х i i/ х'^у - у'^х X = 2, у = 3 169. Приведите подобные члены многочлена. а) &х - 4 Зх + - ............ б) -а^ + а - 8а - Юа^ — .................... в) - к^ + 6к + 9к'^ = .................... г) г/^ - 4 - 7/ + 3 = ...................... д) ah - Ь^а + а^Ь + аЬ = ... .......... е) 5ху^ - 1ГХ - 9у^х - 4ху^ = «]>У 78 Раскройте скобки и упростите выражение (170—172). 170. а) (2а + Ь) + (За - 2Ь) == £а + /> + б) {х - у) + (X + у) = .............. в) (Ь'^ - ЗЬ) + (Ь - ЗЬ^) = ................... д) (-/г" - 1) + (3 + 2/г") =................ е) {2t‘^ - 9^ + 8) + (4t^ + t - 1) = 171. а) {ах - by) - {by - ах) = ................... б) {5у - 8) - (2 - Зу) = . в) (-За^ - 9) - (7а^ + 2) = г) {т^ + п^) - {т^ - л'*) = . д) {р^ - р'*) - (р"* - р^) = е) {-х'^ + 2ху) - {Зх^ - 2ху) = . 172. а) (а^ - 2а) f (За - 1) = б) {2у^ - 8) + (р + 2) = , в) {1 - Ь) - {Ь - 2Ь'^) = г) (5х^ - 2) - (Зх^ - 4х) = л,'# г) (6с" + с") + (-5с" - 2с") = ........................ ..... л/ 79 173. Найдите сумму двучленов. Двучлен а - Ь Ъ - а а + Ь а - h 2а — 2А Ь - а а + Ь Какие двучлены противоположны? \3 О т в е т: ................... 174. Подчеркните многочлены, противоположные данному. а) а - Ь: а + Ь -а + Ь Ь - а ~а - Ь б) - Зле + 1: - Здг - 1 -х^ + Зх + 1 -х'^ + Зх - 1 х^ + Зх - 1 Представьте многочлен в виде суммы двух каких-либо двучленов. Раскрыв скобки, проверьте себя (175—176). 175. а) X ^ у + а - Ь = (л Л- aj -Ь (. б) т - п - к р = ............................ в) «/•■' - 2у^ - у - 1 = .................. г) ~аЬ - - а‘‘ - Ьа = ................ У 80 177. Представьте трехчлен в виде суммы и в виде разности двух каких-либо двучленов. ) а) х^ 1 2.Г + 1 - А" + .ту + ^ х^ 1 2.Г ^ 1 = ( ) - ( б) Ы/ - 4 = ( .... ... ) + ( 5//' ‘ - /У 4 = ( ) + ( 178. Запишите многочлен , который 2й'* Ли ( 1, чтобы выполняло а) 2«“ - Зп t 1 б) 2а'' ^ Л а -*■ 2а + / \ 'Л(Г а t 2 Ла t 1 в) 2и^ - Ли I 1 2а' 179. Расч'тавь'ге скобки так, чтобы вынолня-иось равенство. а) а - 1 - « - 1 = О в) - а’^ + = -2/?“ б) -а \ h - h - а = О г) и" - - а ’ + = 2а^ 180. Ч цело, в котором X сотен, у десятков, z единиц, записывают так: хуг. Г)то число может быть представ.гюно в виде mhoio-члона: хуг ЮО.г I 10// i г. 1) Запитите все возможшле чис.па, в .записи которых исполь-зукп'ся Ц11(|)р1л .г, у и Z, причем только один раз. Представьте их в виде многочлена. хуг 5^ ЛУ \s 81 2) Представьте в виде многочлена стандартного вида сумму этих чисел. 3) Составьте разность многочленов и упростите ее. - — а) хуг - zyx = xxV V' ...... б) xyz - zxy = .... 4) Докажите, что разность делится на 9. 181. Представьте в виде многочлена произведение. а) а(Ь - Зс) = а ■ —а- б) /?(1 + /г) = в) Ъх(-у - 2) = г) -1 • (а - ft) = ......... д) (6 - х)ху = ................. е) -4{х^ - 1 .с> 82 182. Представьте в виде многочлена. а) х(у^ - 1) - у{х^ - 1) = ...... б) а\Ь - а) + Ь^{а - Ь) = ....... в) -2т(п^ - т) + Зп(т^ - п) = г) - 4) - t\t - 5) = ....... 183. Умножьте одночлен на многочлен, .т .2 vvZ^ vs а) X [ i] 2х - д- - 1 б) аЬ X [ 4,] в) -За - ah + Ь -\у X [ и 2 2 у - ху (- X г) -5k X [ i] 4k'' -2k^ + \ Упростите выражение (184—186). 184. а) - х(2х +1) = У- х- ^- дг - / б) 5/ + у\2 - у) = .................... в) 4аЬ - а{2Ь - а) = .................. г) -Зт^(1 - т) - 2т^ = ................ 185. а) т{т + п) + п(т - п) б) х(х - у) - у(у - X) = ., в) х(1 - х^) + х^(1 - х) = г) 2(/ - 5) - 5(2 - у") = =■ /л + /м + ■\1 83 186. а) п(т^ + т^п + 1) - т(п^т + тп + 1) = б) -2х(х^ - 2х + 3) + Зх{х^ - Зх + 2) = ... в) -4(а^ - 5) -а\а - 4) + а(а^ - а) = г) с(а - Ь) + а{Ь - с) + Ь(с - о) = .................у-i».... л,#' 187. Составьте два различных выражения для нахождения площади прямоугольника ABCD. л. V ' \-\ / ^'В С S =..................................- S = А а 188. Составьте различные выражения для нахождения площади фигуры. а Упростите их. -----г 189. Запишите выражение для вычисления площади заштрихованной части прямоугольника. Представьте его в виде многочлена. S = Каждый член многочлена выражает площадь некоторого прямоугольника. Покажите это на рисунке. 190. Площадь заштрихованного прямоугольника составляет половину площади прямоугольника со сторонами а и Л. 5= -ah. 2 84 Воспользовавшись этим, запишите выражение для нахождения площади заштрихованной фигуры и упростите его. а) б) Представьте произведение в виде многочлена (191—193). 191. а) (а + 1)(а -ь2) = л л + <г-^ + f ■ а ^ t • 2 — ........... б) {х - 2)(jc -Ь 3) = ..................................... в) (у -t- 1)(у - 4) = ..................................... г) (т - 5)(т - 2) = ....................................... 192. а) {2k - 1){к + 2) = ...... б) (36 - 4)(46 - 3) = .... в) (5л 1)(4л - 3) = ____ г) (9с -к 5)(7с + 2) = ... 193. а) {X - у){х + у) = ....... б) (а + 6)(5а - 66) = ...... в) (7t + k)(t + Ik) = .... г) (2m - Зл)(2ш - Зп) = rX'V 85 194. Упростите. а) (X - 1) 1ч-1 X 195. Представь'ге степень в виде многочлена, а) (х + yf -= + /У = .......... б) (5а + 1)^ = в) (т - 3)^ = г) (1 - hf = . 196. Выполните умножение. а) 2t/ + 1 X i У -2 б) 56 - 3 X + 1 2/-4у у-2 2у" -Зу-2 в) х-1 г) X -у X X + 1 2у^ - X 86 Заполните пропуски (197—198). 197. а) 2х-5 X + 2.V -5 2х - Зх - 5 в) 5у - 3 X 10.г/ - 5у.... б) За - 2 X Зх . + 5х. 3/ ^ 198. а) (X + = .......... + 2x1/ -t- б) (2а + 1)“^ = ........ + 4а + в) (5 - cf = .......... - Юс- + , г) (k - т)^ = ......... - 2km + , Д) (X + 1)' = ........... + 2 • е) {у - 3f =................ - 2 • ж) (Зг + х) = ......... + 2 ■ ......... + з) (2t + bpf = ........ + 2 • ......... + .. 87 199. Проверьте, что трехчлены, равные квадрату данных двучленов, содержат один и тот же одночлен. (За -Ь bf = ................ (а + 36)2 ^ ........................ ,2 (-а - 3bf = ^ —а + 66 2 .0 г) (5л- - 4с)2 = 201. а) « ) б) в) ..i, - 1 - У; DI--1 202. Заполните пропуски. \2 а) (а + ......Y = б) (2у + ......f - в) (.... - . -Ь ...... + б2 ■ 4у + .......... f = - ...... + 4у2 г) (• .)2 = 4л:2 - 12л:у -Ь л, •$'' 88 203. Заполните пропуски так, чтобы трехчлен был равен квадрату двучлена. &) -¥ 2х -V .. б) у' - 4у + ......... в) + 6/г + .... г) 16с^ - 24са + ___ - 16/пп + \/ ‘ .... - 20<р + 204. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена. Д) ...... -Ь 2ху + е) ..... + 14& + 1 ж) з) ... Образен: + 2аЬ + = {а + Ь)^; - 2аЬ + &^ = (а - Ь)^. а) у^ + 2ух + = (у + ....f б) у" + 2у + 1 = ( + 1)" в) - 2х + 1 = ........... г) + lOu + 25 = ......... д) + бтп + 9п^ = е) 4<^ - 4< + 1 = .. ж) 95^ + 126 + 4 = ... з) 256^ - 30hm + 9пг = 205. Подберите шесть различных двучленов так, чтобы трехчлен, равный квадрату двучлена, содержал 12ху. ( ■ )" = f = f = + 12ху + + 12ху + + 12ху + + 12ху + + 12ху + + 12ху + \| :\1 89 206. Составьте выражение для вычисления площади заштрихованной части квадрата. а) S=. S=. в) S = s=. 90 в) — dt = .......................................................... г) + k - — = ....................................................... 4 208. Дополните равенство. а) = (X + yf - ..................... б) x^ - xy ^ / = (jr - yf + ....................... в) - 4b = {b - 2f ...................... ^ r) + 13< + 5 = (3f + 2f .......................... i_ Разложение многочленов ® на множители Шг — 209. Представьте одночлен в виде произведение двух одночленов, один из которых ЗаЬ. а) 15аЬ^ = ЗаЬ • .. в) ба^Ь^ = .......... • ..... б) -9оЬ = Заб • ... г) -3ab'^ = ......... • ..... 210. Впишите в произведение недостающий множитель. а) 7аЬ^ = 1Ь ■ .. б) -т^п^ = тп^ • .. в) 9p^q = 3pq • . г) -ЗОаЬс* = -Юас’’ • . 211. Подчеркните одночлены, являющиеся общими множителями для одночленов \2х^у* и \бх^у^. 2х^, 4у‘, ху, х^у^, 4xV- 212. Дополните запись после вынесения общего множителя за скобки. д а) = с{.....) л/ б) аЬс - Ь- Ь(...) ^ ^ в) а® - За^Ь = а^(.) 92 г) 12m'^ - 9mл - 3m(......) д) -4ab + 8bc = -46(......) е) -mn^ - rn^n = -mn(.....) 213. Заполните пропуски. a) a^b - ab^ - .....{a - b) 6) + с" = ....(1 + c^) b) -abc - b'* = (ac + b^) r) 8m^ - 12тл = .......(2m - Зл) д) -Sch + 6b = ....(c - 2) е) -ab - be + b^ = .....(a + c — b) 214. Восстановите запись. а) б) в) г) Д) е) ...... = а(5а - 1) ...... = Ьс(аЬ + ас) ...... = -3(дг" - /) ...... = 7а(ЗЬ - с + 7) ...... = -а^(а + 6-1) ...... = -5х1/(х - у + 2) .Г-0' г) 9a^b - 6a*b^ = ... д) - 5m^n e) p“(7 - p‘V + = ,3„3 Подчеркните выражения, равные данному. а) са - cd с{а - d) -с{а - d) c(d - а) ~c(d - а) б) 5т - 5п -5(-т + п) 5{т - п) -5{п - т) 5(п - т) в) lab - Ibc lb(a - с) 7Ь(с - а) -7b{a - с) Вычислите. ч . 7 . 3 . 7 „ 5 а) 4—-5—+ 4—-3- = 9 8 9 8 -7Ь(с - а) 6) 7,3 • 4,75 f 12,7 • 4,75 = .......... 218. Докажите, что 69^ -69-5 делится на 32. 69^ - 69-5 = ........................... 219. Докажите, что 8’ + 2“ делится на 17. 8^ + 2“ = (2’*)'* + 2*' = .............. Сократите дроби (220—222). тп—тпк шп( J 220. а) б) тп + тпк рюг( J в) 3 , о 3 X + 2jc £ , О X IJ Л X Зах + 9ау 6а +12а^ 94 221. а) б) в) 222. а) б) в) а + 5а ЪЬ + ah km + т 9ау 4 9аг баху 4 бахг а — Ь хЬ — ха \ - п _ 2 П - П 2х - 2у 4у-4х а — Ь -х( J 223. Вычислите, а) 5‘^+5'" б) в) s'" + 5" 7" ^ 7'" 7" + 7*' 2^ + 2^ 2^ +2" 224. Вынесите за скобки общий множитель. а) х(у + 2) + а(2 + у) = (..............)(. б) у(а - 1) - (а - 1) = ................... в) (Ь - а)^ - (6 - а)(а + h) = ............ г) а{а - у) + (а + у)(а - у) = ............ 95 225. Разложите на множители. а) аф - А) + Ь(А - Ь) = /'/f - У(' ) б) х{у - 3) + у(3 - у) = ('3 - ...............J в) у(х - у) + с(у - X) = ......................................... г) х\х - 5) + (5 - х){5 + jc) = .................................. д) (1 - а)а^ + (а - if = - а)С................) е) (1 - с)с® + (с - 1)^ = (с - Г){ ) 226. Разложите на множители, группируя слагаемые разными способами. а) Zx + ^у ■¥ ах + ау = (Зле + 3^) + {ах а^) = ................... = 3(л + f-y + a{jc + = ......................................... Зх -1- Зу -I- ах + ау = (Зх ах) {3^ + а^) = ....................... б) аЬ -(- 4о -I he + 4с = {а^ -I- Ча) -Ь {£к -I- Чс) = ........... а6 + 4а i- Ьс + 4с = .............................................. в) т + п + т^п + = ......................................... т + п + т^п -I- тп) =.............................................. 96 227. Подчеркните запись, в которой группировка одночленов подходит для разложения многочлена на множители. Закончите разложение на множители. а) cd + 2h + bd + 2с = (cd + bd) i {2b 2c) (2b + cd) + (2c + bd) 6) X + ay + ax + у = (ax + y) t (ay + jr) (ax + ay) н (.r + y) Разложите на множители (228—230). 228. a) ab ( 3c 4 cd + 3a = 6) IOjc + ab + 10a H = 229. a) 2c + 2b - xc - xb = -l- = 6) 3x I 3y - ax - ay = b) mn + kn - 5m - 5/e = 230. a) 4a - be - ab + 4c = 6) or - ay - ax + у 231. Запишите формулу разности квадратов. 97 232. Подчеркните выражения, которые можно упростить, используя формулу разности квадратов. (п + 1)(л - 1) (п1 - 3/!)(т I- 3k) (х'^ - !/)(!/‘‘ - дг) (XI/ - г)(х1/ - г) (а® - Ь)(а-* + (?) (.5 + c/^)(d^ - 5) 233. Упростите выражение. а) (За/} + 1)(ЗаЛ - 1) = .......... б) (а^ f = ------- в) (а - х)(а ( х)(а'^ + х^) = ( )( ) = г) (с f 1)(с - 1)(1 f с“) = 234. Подчеркните многочлены, которые можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов. 9р‘^ - 25т^ а'‘ - /?‘‘с х" -ь 4 х^ - (/ - 1 -а^ + 1 235. Разложите на множители. а) - (2с)^ = б) 16 - 9х' = - /'SjtY =...................................... в) х'^ - у'^г' = ... . ..................... г) 2^ - 1 = ..... Используйте формулу разности квадратов в вычислениях (236—239). 236. а) 201^- 199^= С20/ - Г99){20Г + f99J = б) 105=^ - 95^ = в) 25,6^^- 4,4"^ = .......- ......... 98 237. а) 32 • 28 = (30 + 2J(30 ~ 2J = б) 23 • 17 = .................... в) 10,6 • 9.4 = ................. 238. Докажите, что 2* - 1 делится на 5. 2^^ - \ = (2'' - fj(2‘' + /у = .... 239. Докажите, что 3® - 1 делится на 4. 3® - 1 = 240. Закончите сокращение дроби. , (а - ЗГ ....... а)-------= ------- 0^-9 « + 3 б) с ) Ь 1 ,2 2 Ь -С в) г) ху-х -i у ' 1 а + Ь 1.2 и о -а ас - Ьс ... 241. Запишите формулы разности и суммы кубов. 242. Подчеркните выражения, которые можно упростить, используя формулу разности кубов или формулу суммы кубов. (х + 2у)(х^ - 2ху + 4t/^) (4 - а^)(16 + 4а^ + а^) (Ьс - а)(а^ + аЬс + (За -h й)(9а^ 4 Зой + й^) 243. Упростите выражение. а) (х + 2у)(х'^ - 2ху+ 4/) = ... б) (3/п - п)(9т^ + Зтп + п^) = (1 - п + п^)(п 4 1) (4 + 4г 4 2^)(2 - г) 99 в) (// - 2)(l/^ + 1/2 + z'^)(y^ + 2^) = (. г) (2 + a)(4 - 2a + a^)(8 - a®) = .... •)( 244. Разложите на множители. а) 1 + 2^ = ........... б) a® - 8 =................ в) a® + = .............. г) 64 - c® = .............. 245. Докажите, что 5® - 10® делится на 3. 5® -10® = ........................... 246. Докажите, что 7® - 14® делится на 5. 7® - 14® = .......................... 247. Сократите дроби. а) б) 3 3 -у (x-yf am — am + а а{а m® + 1 Разложите на множители (248—250). 248. а) аЬ - = о6(1 - а®&®) = ........ б) Зх® - 27х = в) х*у - ху* = г) 5а® + 40fc® = -) = 100 д) az^ - Aazm + Aam^ = ......................................... е) Ax^ + 8x'^yz + Axy^z^ - ..................................... 249. a) + 2ab + 6^ - = ('a^ + 2aJ> + J - (c / = ................. 6) x^ + y'^ + 2xy - z^ = ........................................ b) x^ - y^ - 2zy - z^ = ......................................... r) 1 - + 2ac - = .......................................... 250. a) a + b + = {a ^ h) + {a^ — J = ......................... 6) ад: + ay + = .......................................... b) a^ - - a - c = ............................................. r) X - у - 5x^ + 5y^ = .......................................... 101 |П IF ^ Частота и вероятность 251. Четыре спортсмена сделали по 100 выстрелов по мишеням. Для каждого спортсмена определите частоту попаданий по мишени и частоту промахов. Номер спортсмена Число попаданий Частота попаданий Частота промахов 1 95 2 93 3 90 4 88 252. Проведите 50 экспериментов по подбрасыванию монеты. Событие Подсчеты Всего Орел Решка 102 Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. Частота экспериментов Орел Решка Всего Частота Всего Частота 50 100 150 200 103 Представьте графически зависимость частоты появления орла от числа экспериментов. ' !ii;i ■ А'-:;:; 0,9 • 0,8 0,7 иО.6 0,5 i!' ■ 0,3 Г -!Но,2 ii.i: :| т I: I -I I-::! гг filPi! r~R-: ,i:-: i::i: I . I i::.. ; :■ ■ r':! T I • ; I :i i|;. .. IkV I '-'-r Г. ; ■::4; ill'’' ...il ijili-- ;:'l i •■■li I I i;::: i i:i -t- Д- 4- ЛЯД:! Iii'l 100 '200 ,300 ,400 '500 600 700 800 900 1000 I I ' Число экспериментов 253. a) Проведите 50 экспериментов по подбрасыванию игрального кубика. Событие Подсчеты Всего & бР а А 104 Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. Число бросаний — .................. Событие Всего Частота ii—} 7 / ) о б) Повторите эксперимент, изготовив игральный кубик из развертки. Можно ли использовать такой кубик в играх? 254. Проведите 50 экспериментов по одновременному подбрасыванию двух монет. Событие Подсчеты Всего Два орла Орел и решка Две решки 105 Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. Число бросаний — .................. Два орла Орел и решка Две решки Всего Частота Всего Частота Всего Частота 255. Проведите 50 экспериментов по одновременному подбрасыванию двух игральных кубиков. Событие Подсчеты Всего Сумма выпавших очков равна 2 Сумма выпавших очков равна 3 Сумма выпавших очков равна 4 Сумма выпавших очков равна 5 Сумма выпавших очков равна 6 106 Продолжение Событие Подсчеты Всего Сумма выпавших очков равна 7 Сумма выпавших очков равна 8 Сумма выпавших очков равна 9 Сумма выпавших очков равна 10 Сумма выпавших очков равна 11 Сумма выпавших очков равна 12 107 Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. Число бросаний — .................. Событие Всего Частота Сумма выпавших очков равна 2 Сумма выпавших очков равна 3 Сумма выпавших очков равна 4 Сумма выпавших очков равна 5 Сумма выпавших очков равна 6 Сумма выпавших очков равна 7 Сумма выпавших очков равна 8 Сумма выпавших очков равна 9 Сумма выпавших очков равна 10 Сумма выпавших очков равна 11 Сумма выпавших очков равна 12 108 Распределение упражнений по темам Название темы Номера упражнений 1. Дроби и проценты Сравнение дробей 1-6 Вычисления с рациональными числами 7—12 Степень с натуральным показателем 13-20 Задачи на проценты 21-32 Статистические характеристики 33-34 2. Прямая и обратная пропорциональность Зависимости и формулы 35-41 Прямая и обратная пропорциональность 42-46 Пропорции. Решение задач с помощью про- 47—50 порций Пропорциональное деление 51-60 3. Введение в алгебру Буквенная запись свойств действий над чис- — лами Преобразование буквенных выражений 61-66 Раскрытие скобок 67—72 Приведение подобных слагаемых 73-78 4. Уравнения Алгебраический способ решения задач 79-83 Корни уравнения 84-85 Решение уравнений 86-92 Решение задач с помощью уравнений 93-98 5. Координаты и графики Множества точек на координатной прямой 99-102 Расстояние между точками координатной — прямой Множества точек на координатной плоскости 103—115 Г рафики 116-123 Еще несколько важных графиков 124-129 Графики вокруг нас 130-131 109 Продолжение Название темы Номера упражнений 6. Свойства степени с натуральным показа- телем Произведение и частное степеней 132—143 Степень степени, произведения и дроби 144-153 Решение комбинаторных задач 154-157 Перестановки 158-159 7. Многочлены Одночлены и многочлены 160-169 Сложение и вычитание многочленов 170-180 Умножение одночлена на многочлен 181 — 190 Умножение многочлена на многочлен 191 — 197 Формулы квадрата суммы и квадрата раз- 198-208 ности Решение задач с помощью уравнений 8. Разложение многочленов на множители Вынесение общего множителя за скобки 209-225 Способ группировки 226-230 Формула разности квадратов 231-240 Формулы разности и суммы кубов 241-247 Разложение на множители с применением 248-250 нескольких способов Решение уравнений с помощью разложения — на множители 9. Частота и вероятность Относительная частота случайного события 251—255 Вероятность случайного события