Алгебра 7 класс Рабочая тетрадь Колягин Ткачева часть 2

____®______ ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Алгебра Рабочая тетрадь УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Упражнения тетради разделены на три раздела. Первый содержит упражнения для подготовки учащихся к изучению нового материала, второй содержит упражнения дополнительные к упражнениям учебника, третий — упражнения для проверки уровня усвоения материала. Рабочая тетрадь является частью УМК авторов Ю. М. Ко-лягина и др., также используется к учебнику «Алгебра. 7 класс» авторов Ш. А. Алимова и др. ISBN 978-5-09-032398-7(2) ISBN 978-5-09-032397-0(общ.) Издательство «Просвещение», 2011 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2012 Все права защищены ■ftl предисловие •i.........i..........i.........i..........i..........H.........Ч-.........-f........+..........+.....................►....................^.....................b* Данная рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Алгебра, 7» авторов Ю. М. Колягина и др. Содержание тетради организовано в соответствии с главами и параграфами этого учебника. Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника. Она дополняет и то и другое, расширяя арсенал учебных средств учащихся и возможности работы учителя. Структурно материал каждого параграфа тетради расположен по трём разделам. После I раздела, который предназначен для подготовки школьников к изучению нового материала соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта черта означает, что после выполнения заданий I раздела учитель приступает к объяснению нового материала так, как он считает нужным. Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над упражнениями учебника; при этом ученики записывают решение традиционно — у доски или в обычной тетради. Следующий раздел II — это основной раздел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнительные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тетради являются подготовительными к выполнению упражнений учебника, некоторые помогают слабым учащимся в усвоении определённых алгоритмов благодаря увеличению от задания к заданию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее трудные упражнения раздела отмечены знаком *. В последнем разделе III, приведены тексты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выборочно использовать их для проверки качества домашней работы учащихся. ГЛАВА V JL Алгебраические дроби § 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей © т Завершить преобразование дроби. п1 = —= 15 _ 15-4 ^ 2 2-3 ................. ^ 7 7-4 10 10:2 ......... Заполнить пропуски. 15 ^^4 16 i 2)| 25 -28 -15 30 12 3 Сократить дробь. ......... 3) -i Разложить на множители. 1) 9лг2-161/2 = ......... 2) 9х^ + бху + =......... 3) 2x^-Sx^ + 8x= ........ 2>i = 4)-f = © 15 1) Из формулы s = vt выразить t .. 2) Из формулы F — am выразить а 3) Из формулы S = ^ah выразить h 4) Из формулы S = -{a-k-b)h выразить а Найти значения алгебраических дробей при заданных значениях X и заполнить таблицу. Дробь Х=1 х = 2 л: = 4 х = —А л: = -9 12 X 3 х-1 х + 1 3 5 т Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью и, за время t поднимается на высоту Л, приближённое значение которой находится по формуле h = vt- Выразить из этой формулы ско- рость V и найти её числовое значение при Л = 10 и t = 2. Заполнить таблицу. Числитель дроби X-Z а + 6 Знаменатель дроби 2-у Ь-З а + З Алгебраическая дробь х-3 2-У с-5 х-3 х^ + 2 Допустимые значения букв У^2 Числитель дроби 5х + 3 Знаменатель дроби х(х-5) Алгебраическая дробь 3 а^-9 5х + 3 \+а Допустимые значения букв а^З I Основное свойство дроби а _ та Ь mb (ЬфО^ тфО) 9 Найти числовые значения дробей а-Ь Ь(а-Ь) и при а = 1,2 и Ь = 0,2. Значение дроби -—- при а = 1,2, 6 = 0,2 равно Ъ Значение дроби при а = 1,2, 6 = 0,2 равно 62 10 Применяя основное свойство дроби, заполнить пропуски. 1) £ = =—=. ^ 6 аЪ 2) ^6 Ь2* о\ а а^с 3) тп 1 Р = к\ т _т^ О / ТТТТТТТ • п 1 1 6) _^ = =. 7)^!^=Ц XZ Z Q4 -аб^ _ &2 2 и ' • * а^Ь \ \ 9) ^ а®6^ л6^ 11) ^ -х^у \ I 12) ' тп 5 Сократить дробь. 1) h= 2)fj = = 4) 5)^ = 5а 5а а 8)-За = 10) ^ = а^Ь 11) а{а + Ъ) (а + Ъ) 12) а^{а-Ъ) а{а-Ъ) 13) 1ЪаЪ^ 14) 24аЗ(а + Ь) 16Ь(а + Ь) 15) 18a{a-bf 27{a-bf 16) За(а-Ь) ба(Ь-а) 17) За{а-Ь) ба(Ь-а)^ 18) Sa(a-b) ба(Ь-а)^ 19) (a-bf (b-af 20) ja-bf (b-a)^ 12 Сократить дробь, предварительно разложив её числитель и знаменатель на множители. 1) Зх + бу 3{х + 2у) 3 10х + 20у ....... 5’ 2) Ь^ Ь^ аЬ^-Ь^ Ь^{........) 3) - т тгг - т“п 2„2 4) За + 6Ь -4Ь^ 5) За-6Ь _ -3-(...) 4Ь^-а^ ........ 6) (a-2bf _ {2b-af 4b^-a^ ...... 13* Сократить дробь 5а^ Если а > О, то Если а<0, то |Д| 5а^ к1 5а^ 14* Сократить дробь {п — натуральное число). ^2n_fj2n 2) a^'^ + 2a'^b'^ + b^'^ а2л_4п а2" + 2" + 1-а + 4” (Ш) 15 Разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем сократить её. 8а^ + 12а^Ь^ 1) 2) 3) 4) 12аЧ^ + 18аЬ^ х^у-Зху^ _ Зх^у-х'^ .... 9у^-6у + 1_ 2-6у 2х- ху + у -2х^ у^ -4х^ 16 Упростить выражение и найти его числовое значение. 1) а + 4:аЬ + 4аЬ^ ^ , 3 1-462 при а- 1,6 2’ 2) при тп = 0,7, п = 0,2 т^п-тп^ 1) а + 4аЬ + 4аЬ^ 1-4&2 2) 8 ■Bi § 25. Приведение дробей к общему знаменателю •i.........i..................i........................................+....................к........*.........h..........|.........у........>.........у» © |Т] Привести дроби к знаменателю 18. 1 _ 19 _ 9 2 2-9 18 ^>1= 2)| = Привести дроби к знаменателю 60, записав дополнительный множитель. 2^ _ 2-20 ^40 3 ”3-20 “60 ^>!=. 2) — = ^ 10 . 3) — = 12 . 3 Записать наименьшее обпдее кратное чисел. 1) 2 и 3; НОК(2; 3)= ................... 2) 2 и 4 ............................... 3) 6 и 4 ............................... 4) 24 и 30 ............................. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби: П 5 и 3. 21 А и 11- А и А. 41 А и 11 ^6 8’ 15 12’ 10 12’ 15 12 11 ^^=20 3^ ^ 6 24 ’ 8 24 =.......... 3) 4) 5 Найти частное. 1) 12а^Ь^\{2аЪ) = 2) 12а^Ъ^:{АаЩ^ 3) 12аЗЬ2:(За&2) = 4) 12a^b^\i!6a^) = Найти наименьший общий знаменатель дробей. и А I 3.4 . аЬ = 12аЬ 4а ЗЬ ' 1) ^ 2 из ^ I 12а^- 4а^Ь^ баЬ^ ' ........................... о\ 1 2 I ба^Ь^с ^ 9а‘^Ь^с^ ............................. 41 1 2 3 I ^ Зх^у'^г^* Ьх^у^г^ ^ ^ ................. А\ 1 1 I ' 2а-Ь ^ а + & ' ................................. а-Ь ^ 2а(а-Ь) ^ ................................ 10 71 Привести заданные в таблице дроби к общему знаменателю 12а^Ъ^ и заполнить таблицу. Дробь Нахождение дополнительного множителя Приведение к знаменателю 12а^Ы с 2аЬ 12а^Ъ^\{2аЪ) = ^а^Ь с c-Qa^b Qa^bc 2ab 2ab’Qa4 12аЧ^ 4a^b За^ 6ab^ m n 12 12аЧ^:(4аЧ) = d _ ^ 4a4~ 12a4^ 11 to Дроби Общий знаменатель Задание 1 9ху^ Задание 2 3fe 14/71®л 42т^л® да ^ Я № is: № W О «> ^ п н О 4 о fcl to ^'•§ Eg> s ox fci о 5 ox *<: CO s p s n> X P Л 5=1 S u P О О и № X X n О О X о to О а р Нахождение дополнительного множителя 18A^y3:(6jcV) = = 31/ 18х*у^: (9ху^) = 2х^ ?! Приведение к общему знаменателю 5-Зу _ 15у 8х^ 18х*у^ ISx'^y^ 4*2л;3 18х*у^ 18х*у^ Задание 3 Задание 4 Дроби 2 3 а Ъ 1 а-Ь (а-г.)^ (о + Ь)^ (а - Ь) {a + b){a-bf (а + Ь)(а-Ь) Общий знаменатель Нахождение дополнительного множителя Приведение к общему знаменателю Этапы приведения к общему знаменателю Задание 1 Задание 2 1 3 2 а бх-Зу -2ху а^-4 -За + 6 1) Разложение знаменателей на множители 2) Нахождение общего знаменателя 3) Нахождение дополнительных множителей 4) Приведение к общему знаменателю со со ™ so н н S ра S а\ о н (I) Этапы приведения к общему знаменателю Задание 3 Задание 4 а Ъ 2Ь За 1 х^ + 2ху + у^ х^-у^ ба-ЗЬ 4а + 2Ь 4а^ - 1) Разложение знаменателей на множители 2) Нахождение общего знаменателя 3) Нахождение дополнительных множителей 4) Приведение к общему знаменателю д t3 О Ю № ■2 !S Ф » » S р SQ О fa * *0 1-‘ Я ® S' 05 Ф Sc S S Ю О S O.S ро и V W о в ф *< ы № Р S О (1> ы и И Р Ф О S Р • н § о S S о 10 Привести дроби к общему знаменателю. .4 3 11 7 1) —■■■■■.о и 4c^d* 15cd2 lOd’ 2) 6л: + 2у* 4у + 12л: ^ у’ 2 7 и л;2-91/2» 2д; + 6у “ 12у-4лг’ _J___________3 5 л:2-25» х^ + 10х + 25 ^ д:2-10л: + 25- |ll| Записать выражения в виде дробей с одинаковыми знаменателями. 14 3 1 2 «ч , а Ь 2) а-о, 1Т7——г: и 2(а-Ь) " Ь-а’ 14 § 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей © Ш Выполнить действия. i)3-UI = ^ 5 5 5 ...... 5) —+ —= Mo 15 2) 3 + ^ 7 7 7 , 4) - -- = ^ 9 б ......... 6) = Me. '2] Записать общий знаменатель дробей. 1) 3) 4) 5) 6) 1 и 1 Юх 2 1 и ^ 2л: х^у 1 и и {а-Ь)^ а-Ъ 1 1 и {а-Ъ){а + Ъ) 2(а + 5) 1 1 (а-Ь)(а + 5) ^ {a-bf‘ Записать дополнительные множители для заданных дробей. 1) 1\- и 5\- 12х^у^ ’ общий знаменатель: 2) 7aV и 95\- б(а-5)2(а + 5)3 8(а-5)3(а + 5)’ общий знаменатель: 24 (а - bf (а + 15 а ^ Ъ _ а + Ь а^_Ь_о.-Ь т т т * п п п Выполнить действия. Ьа-Ъ _^а-2Ь 2) Зс Зс Зс 2л-3 7л-3 2а-Ь ^ Выполнить действия. _ + ^^Шу^~15~~~ЗОу ЗОу ЗОу 2)^_ д:^ ^ _3^ _ _... 8л: 6 24л: 24л: 24л: 3) 2 - ' ЗЬ 1 ЗЬ ЗЪ ЗЬ 4) -3^ 5) 3^ Ix^y 4ху^ 14х^у^ 28х*у^ 28х^у^ 28х^у^ 6) rvy 11^ ба^Ь 4а^Ь^ + (З + х)^ ^ (5-»)^В _ 3(3 + д:) ^ 4(л:-1) 3(л:-1) 12(л:-1) 12(л:-1) 12(л:-1) 8) х-1 24* л:-1^ 2д:-(л:-1) ху + у^ х^у + ху^ у(......) ху(.....) xyi.......) 16 . ЗЬ-1 2 Ь2-4 2 + Ь (...И.....) Ъ + 2 10)#4. ^ ^ ^ 62-4 2-Ь (...)(....)=.■ Ь-2 11) х-1- Л x-l^i±i v2 х+1 1 х+1 12)-^-а + 2 = Щ--‘-^ 0+2 0+2 1 Решить уравнение 3(x-3)(3 + x) (5-xf 2x^-9 8 24 Выполнить действия: о-г>2 о® + Ь® -аЬ + Ъ^ о + Ь о ^ 1 17 8* Теплоход отправляется от пристани А по течению реки до пристани В и возвращается обратно. Сколько времени потребуется теплоходу на этот путь, если расстояние между пристанями S км, скорость течения реки 4 км/ч, а собственная скорость теплохода V км/ч? Найти время, затраченное теплоходом на путь от А до В и обратно, если з = 140км, и = 24 км/ч. 9* Доказать, что при всех допустимых значениях х значение выражения х-3 х-1 + 5л:+ 10 л:-2 л:^-4 равно -. 5 18 10 Выполнить действия. + ............ 4) 5) 6) 5-d 5-с c^-cd cd-d^ 9 , а 4(2а + 3) _ “ ' 2-За За-2 Ь-5 15г>-ЗЬ2 ЗЪ + 2 4-9Ь2 4а а + 2 _ 16а2-1 4а^ + а л: + 5 X _ (jc + 2)2 х^-4 ~ Предварительно упростить выражение 1______1_______2п п-4т п + 4т 16т^-п^ и найти его значение при л = 1,8» rn = 0A^ 19 § алгебраических дробей © Вычислить. 1) 2.3 = ’ 3 5 ... 2)5.| = 5 2 1 'з 3)|.3 = 4)1:2 = ’ 2 3 5) 3;« = ' 8 7 . 6)^4 4._8_ 1 13 9)1-1 11)|-|| = 8)|| 10) || 12) I -| I — — В£. а . с _ ad Ь' d~ bd" Ъ’ d~ Ъс ЪфОу с^^О, йфО Выполнить умножение. х'^У Z _ Х^У'2 _ 2® Ху 2^-Ху .... 04 2а^Ь^ ас^ _ ^ c^d ' ЬЪЧ .......... 3) = Zn Sn 1 4) 18а&2.^ = ^ ЗЬ® .......... 20 3 Выполнить деление. 1) у.ЬуА ^2у ^ 2г^ Юг® ... 2)И^^;21а^с = ' Зс^ 3) = 4 Возвести дробь в степень. Г4a3fe2 f 1) 5с« j f т 2) ^ 4Ь®с^ ,6 \2 Выполнить действия. Г 1) 2) аЪ^ с 2х :6х^2^ = 04 Выполнить действия с дробями. 5-а 2а _ (5-а)*2а _ 2) 3) 4) Ь + с 5-а (Ь + с)(5-а) ................ х-3 3-х _ (х-3)(у + х) _ -(3-л:)(:с+ Z/) _ х + у’у + х (х + у)(3-х)~ (х + у)(3-х) ~ а^Ъ-аЬ^ 24:Х^у^ _аЬ{..........)24^х^у^ _ Зх^ аЬ^{а + Ъ) За + 6Ь 3 Зх^аЪ^ {а + Ь) 5) (а-2Ь)2'4ft2-a2 л:2-64 2JC + 8 д;2 + 8л: + 16 *(л:-8)2 21 ,7 i Найти значение выражения: 2x^-8 18х^ "Р*’ * = 5а2-75&2 10(5fe + a)2 „ , ^ „ 2) 0^8.7 :----ITT?-- при а = 3, 6 = 0,2. 2а»6’^ а^Ь'^ 1) 2) 8 Упростить. д;2-у2 х+1/ (х+1/f _ 5x1/^ Зх^г/ 45x^1/^ ................... ба^Ь . а + Ь За^Ь^ 2) ЗЬ-2а ' 4а^-9Ь^ ЗЬ + 2а 9* Вписать пропущенные показатели степеней. I) {х-у)^' _{x-yfx^ ^ Х-У д;П 1/П у2 ^^(ан-6)^ .(g + 6f_ аЪ^ аЧ ' а 6® (а+ 6)3 22 10* Найти значение выражения (п — натуральное число). 14 100” 1 ■ (2^5^)^ * 22п+1 g2n-l ‘22п+1.52^-1 04 02я-1 . 36” _ ^ * 22л + 3 Ответ. 1) 2,5; 2) 2|. 11 Выполнить действия. П 7а^г> Ь + а_ а2-&2 * аЬ ................................................ а^ + 2аЬ + Ь^ , оJ, .04 Ка^6 + а&^)=.................................... 4л^2 — J/2 ..................................... <«п тт - O'*-16 (а^ + 4)(а + 2) „1 112 Наити значение выражения-------г—-------------- при а = 2-. 2а^ 4а^ ^ 13 Найти X из пропорции . а-2 4-а^ 23 rr § 28. Совместные действия над алгебраическими дробями ..................................................................................ч»........4.........+....................+.................................................... © ПП Вычислить. 2)? jH 3) 4i-l:A = ’ 2 9 27 . 4) li + 6. I © ^ Выполнить действия. X^-y^ f i<- i>-^_ix-y){x + y) X [X-y x+y {x-y){x + y) 2) 5 + ^ ' 3a —Sb \ a + b a-b a _a^-b^ b _ a b b^ a + b b b^(a + b) 24 4) У х-у х + у х-у 5) Г JC + 2 + V х-2 А-^х + х^ © © © 6) т + п \ т^ + 2тп + п^ © т^ т + п т^ + 2тп + п^ + т -т^ тл-п © пг -т^ + т т + п А —2а А-а^ Упростить выражение д ' а-3 вое значение при а = -27. 2- 2а д + 2 и наити его число- 25 4] Выполнить действия. 1) а-4 ( 6а За а-4 а^-8а + 16 \ а-6 16-а^ 2) х-у 2 ^ - ху^ х+у у-х у-х у+х 4х^ Известно, что л: + — = 6. Найти Указание. Рассмотреть квадрат левой части данного равенства. 1П) Выполнить действия. © ®© ....... 2а+ Ь 1 +--- = а-Ь 26 2) с + 2 + 4 + 2с с-2 3) Зх-9 9-х^ ху _ х-3 у (x + 3f 4) 5а-1 8а За + 1 За + 1’9а2-1 За + 1 5) (5-п)2 п2-25 (71-5)2 + 71 + 5 27 6) - аЪ - 2Ь ->г2а аЪ - + Аа - 4Ь + аЬ-2Ь-2а 2Ь-аЬ + 2а- Ш Упростить выражение 1-а 2а2-4а + 2 За^ + За + 6 а^ + а^ + 2а 2а^ и наити его числовое значение при ^=4* 28 L ГЛАВА VI Линейная функция и её график § 29. Прямоугольная система координат на плоскости Ч.........4........А........,<.......4........4........^........4*.......+ »......4,....... +..................у.......4.........»........ь........ © 1 На числовой оси отметить точки А(-1), В (-1,5), С (2,5), £>|lf ). £(-l| ._L.^ О ^ На рисунке даны две взаимно перпен- | дикулярные прямые. Дорисовать элементы, необходимые для того, чтобы эти прямые задавали систему координат. 31 Записать координаты вершин многоугольника ABCDEFGy изображённого на рисунке. 29 На рисунке (ниже слева) построить точки А (2;-4), В(-1;3), С (-2;-3), D(5;l). Определить, какому координатному углу принадлежит каждая точка и заполнить таблицу. Точка А В С D Координатный угол III 5 Заполнить таблицу с помощью рисунка (выше справа). Точка А В С D Координаты точки (-2; 4) Расстояние от точки до оси Ох 4 Расстояние от точки до оси Оу 2 Построить квадрат ABCD с вершинами А(-1;-2), В (2;-2), С (2; 1). Найти координаты вершины D и установить, какому координатному углу принадлежит точка пересечения диагоналей квадрата. Ответ. D (.....;......), ....... координатному углу. 30 Заполнить таблицу. Координатный угол III I IV II Знак абсциссы точки + Знак ординаты точки - Js] Построить треугольник АВС с вершинами А (2; 0), В (-3; 2), С (4; 2). Найти: 1) координаты точки Е пересечения стороны ВС с осью Оу; 2) координаты основания F перпендикуляра, опуп^енного из точки А на ВС. Ответ. 1) Е (.....;......); 2) F{.....;......). 9* Точки А (2; 1), В (2; 5), С (4; 5) — вершины квадрата ABCD, Е — середина отрезка ВС, F — середина отрезка AD, К — точка пересечения диагоналей квадрата. Построить квадрат и точки Et Fy К и найти координаты этих точек. Ответ. Е{......;.....), F(......;.....), К{......;.....). Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС расположен так, что точка С (2; 0) является вершиной его прямого угла, а вершина А совпадает с началом координат. Построить этот треугольник и найти координаты точки В. Сколько решений имеет задача? Ответ. 11] Построить точки А(1;-3) и В(1; 1). Найти координаты точек, лежащих на прямой АВ и удалённых: 1) от точки А на расстояние, равное единице; 2) от точки В на расстояние, равное двум (точки Е и F). Ответ. С (. В(. Е{. F(. ). •), •), ). 31 Z2 •!.......i- •I.......I.......i- •!.......i- .1.......i. •1.......i I_______I •:.......V' t : : : : : : I i •:.......2.........2........2* ! ! : I : : : I •2......1......!•.....:••••••!.......:............................j. 2 2 2 ? I \\ \ \ 1 I •2 2 2*' J..........2..........1..........2^ 2 2 2 2 2 2 2 : 2 2 2 ........:..........:.......... 33 12* Диагон£1ли квадрата ABCD^ пересекающиеся в точке Е (2; 2), параллельны координатным осям, а одна из вершин лежит на оси Оу. Построить этот квадрат и найти координаты его вершин. Ответ. А (.....;......), В (. С(......;......), D(. 13 На рисунке изображён квадрат ABCD. Построить квадрат вершины которого симметричны относительно начала координат точкам А, Б, С, D соответственно, и найти координаты вершин каждого квадрата. Ответ: А(...........), В(..........), А,(.........), Si(.........)• 14 Построить треугольник с вершинами в точках А (0; 4), В (5; 5), С (4; 0). Найти координаты точки М — середины отрезка АС. Ответ. Найти координаты вершин треугольника AjHjCj, симметричного данному треугольнику АВС (см. задачу 14) относительно точки М. Ответ. Aj (........), .........), С,(........). ! '— i - - I 1 — 1 -- - •— i i ^ 1 i 1 ! ! j I Li 1 1 34 '■н § 30. Функция и...........4..........i..........i..........i...........................................4*....................4*................................►..........►..................... ~T] Заполнить таблицу, записав в её пустые клетки значения дан-ного гшгебраического выражения при указанных значениях х. Алгебраическое выражение —2дс + 3 3 х^ + 2х-1 Значение х 0 -1 10,5 0 1 3 9 0 -2 3 Значение алгебраического выражения 1 27 На изготовление металлической коробки расходуется 7 кг металла. Количество металла (М кг), израсходованное на изготовление п таких коробок, выражается формулой М=.............. Заполнить таблицу. Масса израсходованного металла (в кг) 35 56 84 91 343 Число изготовленных коробок 8 12 16 22 3 Заполнить таблицу кубов целых чисел от -3 до 3. т -3 -2 -1 0 1 2 3 -8 4 Записать координаты точек А, В, С, В, Е, В, изображённых на рисунке. Ответ. А{...... В{..... С(.... В(.... Е{.... F{.... ......), .....), .....), .....), .....), .....). Закончить предложения. 1) Наименьшую ординату имеет точка .. 2) Наибольшую ординату имеет точка .. 3) Наименьшую абсциссу имеет точка .. 4) Наибольшую абсциссу имеет точка ... 5) Абсциссу, равную нулю, имеет точка 6) Ординату, равную нулю, имеет точка 7) Абсциссы, меньшие 3, имеют точки . 8) Ординаты, большие 3, имеют точки . ^ Функция задана формулой y = 2x-S. Заполнить таблицу. X -3 -1 0 2 у 1 -1 5 6 Функция задана формулой у = 2х-х^. Заполнить таблицу. X -1 0 1 2 3 4 У 0 Принадлежит ли точка А (-3; -15) графику этой функции? Заполнить таблицу. Число 15 12 14 18 16 Квадрат числа 169 121 289 196 361 8 Функция задана формулой у = х^ — 2х -\-Ъ. Выяснить, принадлежат ли графику функции точки, указанные в таблице («да» или «нет»). (-2; 3) (0; 3) (1;2) (-1; 6) (3; 5) да 36 На рисунке изображён график изменения температуры Т воздуха в течение суток. Заполнить таблицу (время в часах, температура в градусах). Время суток, t 4 8 12 14 18 20 24 Температура, Т 0 10 На рисунке изображён график, показываюпщй зависимость тормозного пути S (в м) автомобиля от скорости v (в км/ч). С помощью графика заполнить таблицу. V S 40 20 60 80 i 100- 80- 60 ^-40 1 4о- о 20 40 60 i 80 Графиком функции является отрезок АВ, где А (-2; -7), В (4; 5). Построить этот график и с его помощью заполнить таблицу. X -1 0 1 2 3 у 37 12 На рисунке изображён график движения туристического автобуса из города А в город В с остановками в пунктах С и D (s — расстояние в км, t — время в ч). 1) На каком расстоянии от города А находился автобус через 3 ч? 2) Через какое время после начала движения автобус находился на расстоянии 150 км от А? 3) На какое время автобус останавливался в пункте D? 4) Каково расстояние от С до D? Ответ. 1) 2) 3) 4) 13 График функции у (л:) — ломаная ABCDE, где А (-2; 1), В (0; -1), С (2; 1), D (4; -1), Е (5; 3). Построить (на с. 39) этот график. Заполнить таблицу и пропуски в записи. Функция принимает значение: 0 при х=........................... 1 при х=........................... -1 при х= ......................... X У -1 3 5 14 функция задана формулой У — ~^' Заполнить таблицу. X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 У 38 Отметить на координатной плоскости точки графика функции с координатами из этой таблицы. Построить график функции, соединив эти точки плавной кривой. 15 Функция у задана графиком. 1) Найти по графику значения переменной х и заполнить таблицу. У X 2 0 -3 2) Найти по два значения л:, при которых выполняется каждое из условий: у>0, г/<0, у>\. Заполнить таблицу. У у>0 У<0 У>^ X 39 le функция задана формулой у = 3х^ -8. 1) Заполнить таблицу. X -2 -1 0 1 2 у -8 2) Построить на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, и соединить их плавной кривой. 17 На рисунке изображён график функции у = f (л:). С его помощью заполнить пропуски. 1) /(-2)= ..... , /(1)= ..........., /(0)=............. 2) Функция принимает значение: 6 при х=....... ; О при х= ........; -6 при х=......... 3) Функция принимает: положительные значения при целых значениях л:, равных .......; отрицательные значения при целых значениях х, равных ......... 40 ■t ^ шт 31. Функция y=kx и её график • ч*......................+• •+.....•*......►.............>............. © Закончить предложение. 1) Квадрат со стороной а имеет периметр Р = 2) Общая масса М т груза, перевезённого п машинами, каждая из которых имеет грузоподъёмность 5 т, выражается формулой М = 3) Плот, плывущий по реке, скорость течения которой 2 км/ч, преодолеет за ^ ч расстояние s =...........км. На рисунке изображены прямые а, &, с, ..........►......... © Построить график линейной функции. 1) y = Sx-l ^ 2) y = -Sx+l X 0 у 2 •1.......;.......J.......:• 1.......... : 1 ....г 1 : X У •|.....:• А...... ?....................\......... Найти координаты точек пересечения графика линейной функции с осью абсцисс (точку А) и осью ординат (точку В), если функция задана формулой: 1) y = i* + 3j 2) у = —^х + 1. 1) а) С осью абсцисс: i/ = 0, 0 = ^jc + 3, х =.... А (.....; 0); б) С осью ординат: л: = 0, у-......., В(0;.......). 2) а) ..................................... А(........;......); б) ........................................ В(........;......). 67 3 Найти координаты точек пересечения графика линейной функции с осями координат. Ответ. 1) А{......;.......); В(.....;......); 2) А(.....;.......); Б(.....;......). 41 Для уравнения вида ах + Ьу = с найти значения а, & и с и заполнить таблицу. ах + Ьу = с а Ь с 6х-2у = -5 X -1- 0,5i/ = 0 -0,26х + у = 1,5 ^ Выразить у через х из данного уравнения. 7х-2у = -1, -2у = -7х-1, У = ^х + ^ 1) 2х-3у = 6у -Зу = 2) Ъу-10х = 3, . У = У = 68 Найти координаты точки А, являющейся точкой пересечения двух прямых. 1) У = ^х и у = 2х ..................... А(. 2) У = ^х и у = |д: + 2 А(. 3) у = х-3 и у = -2х At 4) у = -^л: + 1 и у = 2х-\-Ъ О А(. 7 Решить графически систему уравнений. \у = х-1, \х + у = Ъ. у = х-1 X 0 1 у -1 0 л: + 1/ = 5, у = Ъ-х X 0 5 У 5 0 Ответ. л: = 3, у = 2. 1) \у^3х, [л: + I/ = 4 у = 3х X У х + у = 4, у = X У Ответ................ 69 2) \x-2y = l, \2х-у = Ъ х-2у=1у у = X у 2х-у = 5, у = X у Ответ. \2х- [Зх-2у = 8 3) \2х-3у = 7, Ь ^ \6х-12у = 4. Jit? Показать, что система уравнений l9jc-i8i/ = 6 имеет бесконечно много решений. Что это означает геометрически? Разделив обе части первого уравнения на 2 и обе части второго уравнения на 3, получим систему Уравнения системы оказались ............ Это означает, что система ............ Геометрически это означает, что графиками этих уравнений являются ........................... 70 „ Гбл: = 121/ + 4, ;и|с 9] Показать, что система уравнений \^х-1Ьу = 12 имеет решений. Что это означает геометрически? Преобразуем каждое уравнение системы к виду ах + by = с: Левые части уравнений этой системы ..........при любых значениях х и у, а. правые части ...................... Значит, система уравнений ............................. Графиками этих уравнений являются ..................... Выяснить взаимное расположение двух прямых. 1) х-у = 7 и х + у =17 ................ Ответ.................................. 2) Зх + у = 7 и 6х + 2у=Ы Ответ............... 3) 2x-y = S и х-у = 2 Ответ........... 4) Ах-2у=1 и 2у-х = 2 Ответ.............. 11* По рисунку составить систему уравнений. 71 3) 4) 12 Найти два числа, сумма которых равна 12, а сумма удвоенных этих чисел равна 24. Сколько решений имеет задача? 13 Найти длину и ширину прямоугольника, если их сумма равна 10,5см, а периметр прямоугольника равен 21 см. Щ Записать второе уравнение системы, если эта система: 1) не имеет решения \2х + у = 3, 2) имеет единственное решение |2^r+z/ = 3, 3) имеет бесконечно много решений \2х + у = 3у 72 1Щ Найти координаты точки М пересечения двух данных прямых: 1) х + 2у = 13 и Зл:-1/ = 4; 2) 5х-3у=17 и 2х + 3у=11; 3) 2х-7у = 2 и бл:-11у = 26; 4) 4х-6у = 8 и 9х + 6у = 57. 1в Решить графически систему уравнений. 1) \2х-у = -и I. I Г [у + 2х-5 = 0; I I г 2х-у = -1, у=.... X У у-\-2х -5 = 0, у=. X У Ответ. X У 73 2) \х + у = 6, [у-2х = 0; S) \х-у = 4у [2х + у = 5; 4) |д: + 21/ = -9, \х-у = 6; 74 JL warn § 37. Решение задач с помощью систем уравнений ■<.....................<.......-Н............Ч..........Ч..........Ч-.........+.................................................. © Пм Записать в порядке возрастания все возможные двузначные числа, используя цифры 2, 3 и 4. Ответ................................................... 2- Рассмотреть игральный кубик и заполнить таблицу. Число граней Число рёбер Число вершин 01 В меню столовой записан в качестве первого блюда борщ, а в качестве вторых блюд: плов, рагу, каша. Сколько различных обедов, состоящих из первого и одного второго блюда, можно выбрать в этой столовой? Ответ............................................. 82 ^ с помощью таблицы вариантов перечислить все двузначные числа, записанные с помощью цифр: 1) 4, 5 и 6; 2) О, 4, 5 и 6. 1) Пер- вая циф- ра Вторая цифра 4 5 6 4 44 45 5 54 6 2) Пер- вая циф- ра Вторая цифра 0 4 5 6 4 40 44 5 50 6 С помощью таблицы вариантов, перечислить все возможные двухбуквенные коды и подсчитать число этих кодов, если они записаны с помощью букв: 1) а, &, е; 2) к, п, т, р. 1) Пер- вая бук- ва Вторая буква а Ъ с а аа Ь с 2) Пер- вая бук- ва Вторая буква к п т Р к п т Р Ответ. 1) 2) 83 6 в меню столовой имеются: 1) два первых блюда: суп (с) и борщ (б) и три вторых: плов (п), азу (а) и омлет (о); 2) два первых блюда: суп (с) и борщ (б) и четыре вторых: плов (п), азу (а), омлет (о) и каша (к). С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные варианты обедов из двух блюд (одного первого и одного второго) и найти их число. 1) Пер- вые блю- да Вторые блюда п а О с СП б 2) Пер- вые блю- да Вторые блюда п а о к с б Ответ. 1) 2) 7| Сколько можно составить пар предметов, если выбирать: 1) первый предмет из девяти, а второй — из трёх; 2) первый предмет выбирать из десяти, а второй из семи? Ответ. 1) ............. 2) ............ 8 В меню кафе имеются: 1) 5 первых блюд и 6 вторых; 2) 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обедов из двух блюд (одного первого и одного второго) можно выбрать в этом кафе? Ответ. 1) 2) У Владимира в гардеробе: 1) 8 рубашек и 4 галстука; 2) 7 рубашек и 7 галстуков (сочетающихся по цвету). Сколько различных комплектов из одной рубашки и одного галстука может составить Владимир? Ответ. 1) 2) 84 10* Сколько существует различных трёхзначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3 и 4 при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть разными? 1) (4.4).......=........ 2) (4-3).........=........ Ответ. 1) .............. 2) .............. 11* Сколько существует различных трёхзначных чисел, в записи которых можно использовать цифры О, 1, 2, 3 и 4 при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть разными? 1) ...... Ответ. 1) 2) 2) Сколько можно составить разных пар предметов, если первый предмет выбирать из семи имеющихся предметов, а второй — из двенадцати? 13 На стол бросают игральный кубик (на гранях точками отмечены числа от 1 до 6) и игральный тетраэдр (на гранях точками отмечены числа от 1 до 4). Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих двух многогранников, соприкасающихся с поверхностью стола? Ответ. 14 Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры О, 2, 4, 6, 8, если цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть разными? Ответ. 1) 2) 85 40. Подсчёт вариантов с помощью графов • +................>............... © Провести все диагонали в выпуклом: 1) четырёхугольнике; 2) пятиугольнике. Подсчитать число диагоналей. Ответ. 1) 2) й На рисунке соединить отрезком каждую букву с каждым числом и найти количество всех полученных отрезков. Ответ. 1) 2) 86 ^ На рисунке соединить отрезками каждую точку с каждой. Найти число полученных отрезков. 1) А • В 2) А В 3) А* В Е D Ответ. 1) 2) 3) 10. Задачи 4—9 решить с помощью графов. Братья Сергей (С), Пётр (П) и Фёдор (Ф) подарили на Новый год друг другу открытки (каждый подарил одну открытку каждому). Сколько всего открыток было подарено тремя братьями? Ответ. J5 В новогоднюю ночь каждый из пяти друзей: Антон (А), Борис (Б), Виктор (В), Григорий (Г) и Дмитрий (Д) поговорил с каждым из друзей по телефону. Сколько телефонных разговоров состоялось среди этих друзей? Ответ.................... 6 Сколько различных двузначных чисел (цифры в записи которых отличаются друг от друга) можно записать с помощью цифр: 1) 1, 4, 7; 2) О, 3, 6? 1) 1-я цифра 2-я цифра 2) 1-я цифра 2-я цифра О о о Записать объяснение полученного результата с помощью правила произведения. 1) 3-2= ... Ответ. 1) 2) 2 2) 7 Сколько существует различных двузначных чисел (цифры в записи которых могут повторяться), в которых встречаются только цифры: 1) О, 2, 3; 2) 2, 4, 6. 1) 1-я цифра 2-я цифра О о о 2) 1-я цифра 2-я цифра О о о 88 Записать объяснение полученного результата с помощью правила произведения. 1) 2..... Ответ. 1) 2) 2) 8 Сколько различных двузначных чисел (цифры в числе должны быть разные) можно записать с помощью цифр: 1) 1, 2, 3, 4; 2) О, 2, 4, 6? 1) 1-я цифра 2-я цифра 2) 1-я цифра 2-я цифра О о о о Записать объяснение полученного результата с помощью правила произведения. 1) 2) Ответ. 1) 12; 2) ^ Сколько различных двузначных чисел (цифры в числе могут быть одинаковыми) можно записать с помощью цифр: 1) 5, 6, 7, 8; 2) О, 3, 6, 9? Записать объяснение полученного результата с помощью правила произведения. 1) 4 2) 89 1) 1-я цифра 2-я цифра 2) 1-я цифра 2-я цифра О о о о Ответ. 1) 16; 2) ............ 10* Сколько рёбер N имеет полный граф (каждая вершина соединена с каждой), если п — количество его вершин: 1) /1 = 9; 2) /1 = 13? 1) ....................... 2) ........................... Ответ.................................................... 11* При расставании друзья пожали друг другу руки (каждый пожал руку каждому). Сколько было друзей, если было совершено 15 рукопожатий? Решение. Задача сводится к нахождению числа вершин п пол- , н - т-г , АТ in-\)n ного графа, у которого число рёбер iV = 15. По формуле = —-—, А откуда {п-1)п = 2N. В нашем случае {п-1)п = 30. {п-\)п — это произведение двух последовательных натуральных чисел, которое равно 30, т. е. 30 =..•....... Значит п =..... Ответ......... друзей. 12 Алёша составил своё генеалогическое дерево до бабушек и дедушек. Имён всех прабабушек и прадедушек он не знал, но смог ответить на вопросы. 1) Сколько было у него вместе прабабушек и прадедушек? 2) Сколько было у него вместе прапрабабушек и прапрадедушек? Записать Алёшины ответы. Ответ. 1) ............. 2) ............ 90 13 с помощью графа-дерева составить все возможные обеды из трёх блюд, которые можно заказать в кафе, если в его меню имеются два первых блюда: рассольник (р) и окрошка (о); три вторых блюда: бифштекс (б), котлеты (к) и рыба (р); два третьих блюда: мороженое (м) и чай (ч). 1-е блюдо 2-е блюдо 3-е блюдо Обед О О О рбм рбч обм 91 14 С помощью графа-дерева перечислить все возможные варианты расписания на первые три урока, если оно составляется из предметов; алгебра (а), геометрия (г) и русский язык (р), причём каждый предмет в расписание включается один раз. 1-й урок 2-й урок 3-й урок Расписание агр 15 В компании друзей 3 мальчика, Боря (Б), Серёжа (С), Артём (А), и 2 девочки, Марина (М) и Таня (Т). В новогодний праздник каждый мальчик подарил каждой девочке гирлянду, а каждая девочка подарила каждому м£1льчику карнавальную маску. С помощью графа подсчитать общее число подарков, розданных во время праздника. Ответ..................... О О О \ о о 92 16 Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр О, 2, 4, 6, 8 при условии, что цифры в числе: 1) должны быть разными; 2) могут повторяться? Ответ. 1) 2) 93 94 '■■f Оглавление •i........4........4.........4........4.........Ч........<.г..»...Ч*........+............................ Предисловие............................................. 3 ГЛАВА V. Алгебраические дроби §24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей............. . 4 §25. Приведение дробей к общему знаменателю............. 9 § 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей........ 15 § 27. Умножение и деление алгебраических дробей......... 20 §28. Совместные действия над алгебраическими дробями... 24 ГЛАВА VI. Линейная функция и её график § 29. Прямоугольная система координат на плоскости...... 29 § 30. Функция........................................... 35 §31. Функция y = kx и её график........................ 41 § 32. Линейная функция и её график...................... 47 ГЛАВА VII. Системы двух уравнений с двумя неизвестными §33. Системы уравнений................................. 54 §34. Способ подстановки................................ 59 § 35. Способ сложения................................... 62 § 36. Графический способ решения систем уравнений....... 67 § 37. Решение задач с помощью систем уравнений.......... 75 ГЛАВА VIII. Элементы комбинаторики § 38. Различные комбинации из трёх элементов............ 80 §39. Таблица вариантов и правило произведения.......... 82 § 40. Подсчёт вариантов с помощью графов................ 86 Учебное издание Колягин Юрий Михайлович Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 7 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 2 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. Н. Сорокина Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко Художники В. А. Андрианов, Е. В. Соганова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика И. В. Губиной Компьютерная верстка и техническое редактирование И. М. Капрановой, Н. В. Лукиной Корректоры Е. В. Павлова, М. Ю. Фёдорова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 29.07.13. Формат 70 X 100 Vie. Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookC. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,35. Тираж 12 000 экз. Заказ № 3022. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение*. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография» Филиал «Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полифафистов, д. 1 Сайт: www.chpd.ni. E-mail: [email protected], 8(495)988-63-76, т/ф. 8(496)726-54-10