:)+Р2(л:) =...(_
-) ... (-
-) =
г)-р^(л:)-р2(л:) =...(_
-)... (-
-) =
25.9. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило записи алгебраической суммы многочленов в виде многочлена стандартного вида.
25.10. Прочитайте в учебнике (§ 25, с. 107) правило 1 и сравните его со своим правилом.
25.11. Перепишите правило 1 в тетрадь.
19
25.12. Используя правило отыскания алгебраической суммы многочленов, упростите данное выражение, записывая содержание этапов.
(5х^ - 2х) + (4х^ + 3 - 7х).
Решение.
!• Раскрываем скобки:
(5л:2 - 2х) + (4x2 + 3 _ 7^) = 5^.2 _ 2^ + 3 + 4х^ - 7х =
2. Приводим подобные слагаемые:
= 9x2 3 _ _
3. Записываем многочлен в стандартном виде:
= 9х2-9х + 3.
а) (7x2 + Зх) + (5 - Зх - 2x2). Решение.
1. _______________________
(7х2 + Зх) + (5-Зх-2х2) =
2.
3.
б) (-5x2 + 2х) - (6 + 2х - 4x2). Решение.
1. _______________________
(-5x2 _|_ 2х) - (6 + 2х - 4x2) _
20
2.
3.
в) -(-8л:^ + 4л: - 1) + (2х^ - 9 - Зл:). Решение.
1. ___________________________
-i-Sx^ + 4х-1) + (2х^ -9-Зх) =
2.
3.
г) -(6х^ -2 + Зх) - {-7х^ + 4- х). Решение.
1. ___________________________
~(6х^ -2 + 3jc) - {-7х^ + 4 - л:) =
2.
3.
§ 26. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
26.1. Запишите, какой закон арифметических действий выражает равенство (а -I- Ь)с = аЬ + ас____________________________
26.2. Примените этот закон:
а) для трёх слагаемых: (х + у + г) - а =___________
б) для четырёх слагаемых: х -(а+ b + c + d) = .
21
26.3. Выполните умножение:
а) {2х + у)'2 =-----
б) Ь‘(а-гЬ) =_______
в) (с + 2Ы- а) • а =
г) (-дс) • (5л: + !/) = _
д) (I/ + 8 - Ах) • (-у) =
26.4. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило умножения многочлена на одночлен.
26.5. Прочитайте в учебнике (§ 26, с. 108) правило 2 и сравните его со своей формулировкой.
26.6. Перепишите правило 2 в тетрадь.
26.7. Укажите стрелками, как умножить одночлен на многочлен, и раскройте скобки, не выполняя промежуточных записей.
Образец
-За • (а - 26 -f- 5) = -За^ + ваЬ - 15а.
а) 6п • (5т - 2п^) = .
б)-4у{6у^ + 2у-8) =
26.8. Укажите стрелками, как умножить многочлен на одночлен, и раскройте скобки.
Образец I
mill 1ИИИ1111|>111Н1П11И11ГТ'”'^’ТШ
(8л: -7у+ 6)' (Ьх) = (8л:) • (5л:) + {-7у) • (5л:) -I- (-1-6) * (5л:) =
= 40л:^ - 35ху -1- 30л:.
а) (2х^ + Ау-3)-(-Зх) =
22
б) (Ь + 2а)-(-5а) = .
в)(4х-7у^)-(6х) = .
г) (9т - тг) • (-2п) =
26.9. Подчеркните верные равенства:
а) 1st + = 7t(s + t)\
б) За2-ба" = За2(1-2аЗ);
в) bp^q^ - Ibpq'^ = bpq^ip^ + 3g^);
г) 2312 + 231 • 57 = (231 + 57) • 231.
§ 27. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
27.1. Раскройте скобки:
а) (а + Ь) • W =______
б) (a+^^ + d) =
в) (л: - g) • (2 + О = -
27.2. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило умножения многочлена на многочлен.
27.3. Прочитайте в учебнике (§ 27, с. 112) правило 3 и сравните его со своим правилом.
27.4. Перепишите правило 3 в тетрадь.
23
27.5. 1) Укажите дугами, какие одночлены перемножаются, и выполните умножение. 2) В левый прямоугольник впишите произведение количества слагаемых первого множителя на количество слагаемых второго множителя. В правый прямоугольник впишите количество слагаемых полученного многочлена (см. образец).
Образец!
(а + 2Ь) • (3 - 2аЗ = За - 2а^ + 6Ь- 4:ub.
2-2 = 4
а) {х + 3)(л: + 2) =
б)(а-5)(а-Ь 7) =
в) (4/1 - 1)(/г + 7 - т) =
г) (л -Ь 9 - р)(4 + k) =
27.6. Выполните умножение многочленов и упростите полученное выражение.
Образец
-Ы + 8)(2t + S) = t^'2t-bt'2t + S-2t + t^-S-5t-S + 8'S =
= 2t^ - lOt^ -ь 16f -Ь - 15^ -Н 24 = 2t^ -Н - lOt^ + t + 24.
а)(2у + 3)(4у-1) =
■...... -‘' i ‘^ ‘ i ■" ■
24
б) (8b-6)(7ft-3) =
в) (р + 3)(-4/г^ + 2р2 + рп) =
г) (4fl2 - Qab - 7b^)(2a - Sb) =
§ 28. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УНОЖЕНИЯ
Подготовка к выведению формул квадратного двучлена
28.1. Запишите в виде выражения:
а) сумму Зпиа ______________________________
б) квадрат а _______________________________
в) квадрат Зя ______________________________
г) удвоенную разность Зя и а
25
д) удвоенное произведение Зли а
е) квадрат суммы аиЗп ________
ж) сумму квадратов а и Зп ___
з) квадрат разности аиЗп _____
и) разность квадратов аиЗп
28.2. Выполните задание по образцу. Образец
2аЬ — удвоенное произведение а и Ь.
а) аЬ —
б) а2 + _
в) (х + yf — т)х^-у^ — _
д) (т - kf —
е) 3cd —___
Квадрат суммы
28.3. Выполните последовательно указанные задания.
1) Запишите на математическом языке:
квадрат суммы чисел тип квадрат суммы чисел рид
2) Преобразуйте полученное в предыдупцем задании выражение, используя определение степени. Выполните умножение и приведите подобные слагаемые.
3) Запишите итог предыдущего задания: (т + nf =---------------
26
28.4. Не выполняя промежуточных действий, представьте выражение (а + ЪУ в виде многочлена стандартного вида:
{a + bf =______________________
• Прочитайте левую часть полученного равенства.
• Прочитайте правую часть полученного равенства.
• Как бы вы назвали эту формулу?
Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 1, с. 114).
28.5. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение).
Квадрат суммы двух выражений равен______________________
28.6. Соедините стрелками данные предложения с соответствующими слагаемыми.
27
б)
Квадрат второго выражения
(5 + kf =
25
+ 2-5-А;
Удвоенное произведение первого и второго выражений
в)
Удвоенное произведение первого и второго выражений
{п + 2pY =
+ 2 - п - 2р
+
(2рГ 1
Квадрат второго выражения
г)
(4х + ЗуУ= {4хУ +2-4х'Зу ] + (ЗуУ ]
__________J V_____J V___________/ V
Удвоенное произведение первого и второго выражений
28
28.7. Квадрат суммы двух выражений представьте в виде многочлена. Запись оформите по образцу.
Образец
a)
(71 + 3)2 =
29
б)
{5+рГ =
в)
(2jc + 7)2 =
30
г)
(Q + 2yr =
Д)
(Зл: + 4уу =
31
28.8. Заполните пропуски:
а) (k +------У =-------------
б) (_____+ 2)2 = т^ +________
в) (______+________)2 = 9а2
г) (______+________)2 = 25л:2 +
+ 25;
+ 100fe2; _ ... 361/2.
Квадрат разности
28.9. Выполните последовательно указанные задания.
1) Запишите на математическом языке:
квадрат разности чисел тип
квадрат разности чисел рид
2) Преобразуйте полученное в предыдуш;ем задании выражение, используя определение степени. Выполните умножение и приведите подобные слагаемые.
3) Запишите итог предыдуш;его задания: (т-тг)2 =----------------- (р-дУ =
28.10. Не выполняя промежуточных действий, представьте выражение (а - Ь)2 в виде многочлена стандартного вида:
(а-Ы =---------------------------
• Прочитайте левую часть полученного равенства.
• Прочитайте правую часть полученного равенства.
• Как бы вы назвали эту формулу?
Сравните своё название с тем, которое дгшо в учебнике (§ 28, пункт 1, с. 114).
32
28.11. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение).
Квадрат разности двух выражений равен-------------------
28.12. Соедините стрелками данные предложения с соответствующими слагаемыми.
б)
Квадрат первого
выражения л
(4-kY^
16
[ -2-4-fe ] ( -bfe" )
Квадрат второго выражения
Удвоенное произведение первого и второго выражений
33
в)
Квадрат второго выражения
{п - ЪрУ = [ ] -2' П'Ър
+ (5р)^
Удвоенное произведение первого и второго выражений
Квадрат первого выражения
г)
Квадрат второго выражения
( (Злг-41/)2= ] [ (3x)2 ] ( -2-3x'4i/ ) [+(4г/)Ч
^ V ^ V V V — V
Квадрат первого выражения
Удвоенное произведение первого и второго выражений
28.13. Квадрат разности двух выражений представьте в виде многочлена. Запись оформите по образцу.
Образец
34
а)
б)
iSp-2r =
35
в)
(5-Зя)2 =
г)
(8д:-Зг/)2 =
36
д)
{2х-ЪуУ =
28.14. Заполните пропуски:
а) (а-------f =------------
б) (____- 10)2 = с2-______
в) (_____-_______f = 49m2..
г) (_____-_______)2 = 16^2 -
+ 36;
+ 4р2; .. 25/г2.
28.15. 1) Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида:
{a-bf = . {b-af = . (а + &)2 =
{-a-bf = .
2) Запишите, квадраты каких двучленов из задания 1) равны.
37
в № 28.16—28.18 вычислите, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. Запись оформите по образцу.
Образец I
1) 692= (70 - 1)2 = 7Q2 - 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 - 140 -Ы = 4761;
2)112^1 =
12 + -1 =12^4-2*12--h б) 6
- I =144-i-4-h-^ = 148—. 6 J 36 36
28.16. а) 592 =
б) 482 = .
в) 812 =
г) 722 = .
28.17. а) 0,692 =
б) 0,482 = .
в) 0,812 =
г) 0,722=_
28.18. а) I 8^ I =
б) 19^1 =
в)|1б1|
г) 15-1 =
Произведение суммы двух выражений на их разность
28.19. Выполните последовательно указанные задания.
1) Запишите на математическом языке:
а) произведение суммы чисел б) произведение суммы чисел
р и п на их разность
Л и m на их разность
38
2) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые.
3) Запишите итог предыдущего задания.
(р + n)ip -п) =___________; {k + m){k -т) = .
28.20. Не выполняя промежуточных действий, представьте выражение (а + Ь)(а -Ь)в виде многочлена стандартного вида:
(а + Ь)(а -Ь) =____________________________
• Прочитайте левую часть полученного равенства.
• Прочитайте правую часть полученного равенства.
• Как бы вы назвали эту формулу?
Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 2, с. 116).
28.21. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение).
Произведение суммы двух выражений на их разность__________
28.22. Раскройте скобки, проговаривая формулу разности квадратов. (т + 2р) • (т - 2р) = (т)^ - (2р)^ = т^- 4р^.
у г. *
а) (х + 2) • (х - 2) =
б) (9у + 1)‘(9у-1) = .
в) (8 -Ь 7k) • (8 - 7k) =
г) (Зл + 5с) • (Зл - 5с) =
39
28.23. Заполните пропуски:
а) (а +______){а -__
б) (-----+7)(-------
-) =
... 25;
- 7) = m2...
в) {2Ь + ____
г) (-------+
-X-
-)=
... 64с2;
-)(-
- 4i/) = 9х^...
В № 28.24—28.26 вычислите, используя формулу разности квадратов. Запись оформите по образцу.
Образец S*
1) 49 • 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 502 - 1 = 2500 - 1 = 2499;
2) 10-*9-= 110-hi
7 7 I 7J
10--1 = 10^-fi I =100-—= 99—. 7 [7 49 49
28.24. а) 48 • 52 =
б) 39 • 41 =
в) 57 • 63 =
г) 22 • 18 =
28.25. а) 0,48 • 0,52
б) 0,39 • 0,41
в) 0,57 • 0,63
г) 0,22-0,18:
28.26. а) 4- • 5^ =
3 3
б) 10-*9- =
' 7 7
в) 99- • 100-
3 3
г) 7- • 8,2 = 5
40
Разность кубов
28.27. 1) Прочитайте словесные формулировки буквенных выражений и подчеркните те из них, с которыми вы до этого не встречались.
> Сумма хтл.у < - ' ' х^ + у^
' Разность XVI у к (х + уУ
Квадрат разности хну х-у
Сумма кубов хну ^ - - х-^у
Разность кубов хну (Х - yf
Квадрат суммы хну х^ - у^
Полный квадрат суммы хну х^ + 2ху + у^
Неполный квадрат суммы хну х^ ху у^
Полный квадрат разности хну х^ - 2ху + у^
f > Неполный квадрат разности хну - х^ - ху + у^ у -
2) Соедините знакомые вам формулировки с соответствующими буквенными выражениями. Чем, по вашему мнению, отличается полный квадрат суммы (разности) от неполного квадрата суммы (разности) двух выражений?
28.28. Выполните последовательно указанные задания.
1) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые.
{х-у){х^ + ху + у^) = .
(p-g)(p2+pg + g2) = .
41
2) Запишите итог предыдущего задания:
(х - у)(х^ + ху + Z/2) =--- ip - q)ip^ +pq + q^) = -
28.29. He выполняя промежуточных действий, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение
(а - Ь)(а^ + аЬ + Ь^) =-----------------
• Прочитайте левую часть полученного равенства.
• Прочитайте правую часть полученного равенства.
• Как бы вы назвали эту формулу?
Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 3, с. 117).
28.30. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение).
Произведение----------------------------------------------
28.31. Раскройте скобки, проговаривая формулу разности кубов слева направо.
Образец тшяшшшшшшшшяшшшяшшт
(х - Зу) • (х^ -Ь Зху + (3i/)2) = - (ЗуУ = х^~ 21 уК
а) (а-1)*(а2-1-а-1-Н12) =
б) (2-А)*(22-Ь2-А-Ь/г2) = .
в) {т - Зп) • {т^ + тп’3п + (Зп)^) = _
г) {Ах - у) • {{Axf + Ах'у + у^) =-
28.32. Заполните пропуски:
а) (2-------)(-------Ь---------Ь
б) (-----Р)(--------+---------+
в) (5а-------)(------------------
г) (-----d)(--------------------
-) =
_) = 27-—) = —
-Ь^
-г»
.) = 216Н-
42
Сумма кубов
28.33. Выполните последовательно указанные задания.
1) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые.
{х + у)(х^ -ху + у^) =
(с + d)(c^ -cd + d^) = .
2) Запишите итог предыдущего задания:
(х + у)(х^ - ху + у^) =____ (с + d)(c^ -cd + d^) =
28.34. Не выполняя промежуточных действий, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение
(а + Ь){а^ - аЬ + Ь^) =_____________
• Прочитайте левую часть полученного равенства.
• Прочитайте правую часть полученного равенства.
• Как бы вы назвали эту формулу?
Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 3, с. 117).
28.35. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение).
Произведение______________________________________________
28.36. Раскройте скобки, проговаривая формулу суммы кубов слева направо.
Образец
(Здс -I- у) • i(SxY - дху + у^) = (Зх)^ + I/® = 27л:^ -f- у^.
а) (b + 2)'ib^-b-2 + 22) =_______
б) (l+p)-(V-l‘P+p^) =------------
в) (5х -Н 2у) • ((5л:)2 -Ьх^2у + (2у) ^) =
г) (3s -Ь 4d) • ((3s)2 -Ss'4d + (4d) ^) = _
43
28.37. Заполните пропуски:
а) (3 +----)(-------
б) (------+ d)i-----
в) (2п +_______
г) (-----+ С)(
)(-
+
+
-)=
.) = 64 +
+
-) =
+ k^
.) = 343^3 +
§ 29. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН
29.1. Найдите неизвестный множитель:
4а^
2а^Ь
2аЪ
4аЬ^
Sk^
Skm
-6km^
29.2. Выполните деление:
44
29.3. Используя результаты задания № 29.2, попробуйте выполнить деление двучлена на одночлен:
а) (12х‘^ + бх^у^): (6х^) =____________________________________
б) (12х^ - бх^у^): (бл:^) =
в) (18л:^ + 24:Х^а^): (бл:^) =
г) (18л:^ - 24х^а^): (бл:^) =.
29.4. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило деления многочлена на одночлен.
29.5. Найдите в учебнике (§ 29, с. 119) соответствующее правило и проверьте себя.
29.6. Перепишите правило 4 в тетрадь.
29.7. Запишите частное в виде дроби и сократите её:
а) 5л:®: (5л:®) =_____________________________________
б)18л:1у:(9л:'‘) = .
в) 42а®6^®: (14а®Ь^) =
г) 12а^Ь^: (4а'^Ь®) =_
29.8. Подчеркните одной чертой задания корректные, а двумя — некорректные:
а) (2xY + ^:V): (х^У^ в) (5а®Ь" - ЮаЬ®): (5аЬс);
б) (8л:®!/® - 4л:®!/): (16л:®!/); г) (14а"6® -Ь 7а®Ь): (~7аЬ).
45
29.9. Выполните действия, запись оформите по образцу. Образец
iWiwimii |¥|Г TrffiriWrTrTTiiri~’'~~°i'~i'TT*r
2ь
(2а^Ь + 4аЬ^): 2а = (2а^Ь : 2а) + (4аЪ^ ‘ ^ ^
iiSSШ!ЗeШ^Шiea^SiS^ШШ
Ю( 24 и ): ы ) =
б)( -3 3- 77 :( -11 ) =
в)( - п V) : 71 2 _
I’M 15 :Ч 25 :d) :( -5с d)
ГЛАВА
7
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
§ 30. ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО
30.1. 1) Решите уравнение:
а) а - 3 = 0; б) 2а + 8 = 0;
в) л: + 2 = 0;
г) Зд: + 9 = 0.
2) Нгшдите корни уравнения, используя результаты пункта 1):
а) (а - 3)(2а + 8) = 0; б) (х + 2)(3jc + 9) = 0.
3) Проверьте равенство.
а) (а - 3)(2а + 8) = 2а^ + 2а - 24;
47
б) (х + 2)(3х + 9) = Зх^ + 15х + 18.
...I...г-....!-.•
..........i..................
4) Решите уравнение,
а) 2а^ + 2а - 24 = 0;
б) Зд:2+ 15л: + 18 = 0.
30.2. Вычислите рациональным способом:
а) 672 _ 572 =_______________________
30.3. Сделайте вывод: для чего полезно разложение на множители?
48
30.4. Решите уравнение,
а) х(х - 7) = 0;
в) а(а - 2,3)(а + 9,1) = 0;
б) х(х + 5) = 0;
г) п(2п + 6)(8я - 4) = 0.
§31. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
31.1. Представьте одночлен в виде произведения двух одночленов, один из которых 4рп.
а) 16рп^ = 4рп •
б) -12рп = 4рп
в) 8р^п^ = 4рп •
г) -4рп^ = 4рп •
31.2. Найдите наибольший обш;ий делитель (НОД): а) НОД (24, 4, 32) =______________________
б) НОД (24а, 4а, 32а) = .
в) НОД (24а\ 4аЬ, 32а^Ь^) =
г) НОД (24аЬ, 4a2fe, 32а^Ь^) =
31.3. 1) Найдите: НОД (За, 18аЬ, Ъ\а^Ъ) = 2) Заполните пропуски.
За =
18аЬ =
НОД
НОД
Ыа^Ь = .
НОД
49
31.4. Вынесите общий множитель за скобки, используя результаты предыдущего задания:
Sa-lSab + 51a^b =
(-
-)
31.5. (Устно.) Попробуйте сформулировать алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов.
31.6. Прочит£1Йте соответствующий алгоритм в учебнике (§ 31, с. 126) и сравните его со своим алгоритмом.
31.7. Перепишите алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов.
31.8. Разложите на множители многочлен. Запись оформите по образцу. Образец тяшштшшшттт
НОД (7; 14)
7аЬ^ + Ыа^Ь = 7'аЬ(Ь + 2о)
Переменные в степени с наименьшим показателем
Общий множитель
Результат деления на общий множитель
\
а) 32а^Ь - 56Ь =_•____•.
50
б) -k^-k^ + k =
в) -lOp^q + Ibpq - 25pq^ =_
31.9. Заполните пропуски: a)cd + c^ = c (_________
б) xyz - z = z{.
в) - 5k^nb = (.
r) 21/71® + 5dmp^ = 7m (.
д) -5ar + 15rs = 5r (_
е) -nH - nt^ = nt (___
31.10. a)ab® + a2b® =
6) c
® — c® = .
b) -psd - s* = .
r) -m^n + mf = .
31.11. a)k(m-n) +t(m-n) = (m-n)
6) a(x + y)-b(x + y) = ix + y)-.
b) (x - у)2 -(x- y)(x + y) = (x-y)' — r) k(m - n) + (m- n)(m -n) = {m-n)
_ • (a + ab)
• ipd + s®) im^n - f)
51
31.12. Вынесите общий множитель за скобки:
а) + 12х^у^ =________________
б) 12^:V - 18л:V =________________
в) -l^x^y* + 12х^у'^ = т)-12х^у^-\Ъх^у^ = .
§ 32. СПОСОБ ГРУППИРОВКИ
группировка слагаемых
32.1. 1) Вынесите общий множитель за скобки:
а) 5л: - 5 =___________________
б) 9ab-Sb =
в) ах - а =_
г) ба - 2 =_
2) Из полученных выражений составьте пары, содержащие одинаковые множители.
3) Разложите на множители:
а) 5л: - 5 -1- ал: - а =___
б) 9аЬ -Sb + 6а- 2 =
32.2. Попробуйте разложить многочлен на множители, группируя слагаемые так, как показывают стрелки. Подчеркните группировку, которая позволила выполнить разложение.
а) 2а^ -I- ЗЬ -I- 6а -I- аЬ =
б) 2а^ + Sb + 6а + аЬ =
в) 2а^ + ЗЫ- 6а -i- а6 =
52
32.3. Разложите данный многочлен на множители, группируя слагаемые так, как показывают стрелки. Подчеркните группировку, которая позволила выполнить разложение.
а) \4iXy - Юг/ + 7х- 5 =
Ыху - Юг/ + 7х- 6 =
14ху - Юг/ + 7л: - 5 =
Ответ: 14ьху - Юг/ + 7л: - 5 =
б) аЬ - 6 + За - 2Ь =
аЬ — 6 + За - 2Ь =
аЬ-6 + За-2Ь =
Ответ: аЬ - 6 + За - 2Ь =
Группировка способом представления одного из слагаемых в виде суммы
32.4. Разложите на множители многочлен л:^ + 5л: + 6. Предварительно представьте 5л: в виде суммы слагаемых различными способами и подчеркните группировки, которые привели к желаемому результату.
х^ + X -Ь 4л: -Ь 6 = л:^ -Ь 2л: -I- Зл: -I- 6 = 4- Зл: -Ь 2л: -Ь 6 = х^ +4х + X 4- 6 =
Ответ: 4- 5х 4- 6 =
53
32.5. Используя опыт, полученный при решении задания № 32.4, разложите на множители многочлен + 6х + S.
х^ -Н ... -Ь ... -Ь 8 =____________________________
-Ь ... -I-... + 8 =______________________________
-Ь ... + ... +8 =________________________________
х^ ++8 =___________________________________________
-1-... -f ... -f- 8 =____________________________
Ответ: -1- 6л: -f 8 =
32.6. Разложите на множители многочлен.
л:^ - 7л: -f-12 =____________________
- -I-
32.7. Используя результаты предыдущих заданий, решите уравнения:
а) д:^ -Ь 5л: -I- 6 = О
.........................................I
-1--------- -н
54
б) + 6л: + 8 = о
§ 33. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
Разложение многочленов но множители с помощью формулы разности квадратов
33.1. Заполните пропуски:
а) 4а^ = ( Г; д)0,04с8^®-( У;
б)81п2 = ( Г; е) 0,09§12^12 = ( У;
в) 16х^у^ = ( Г; ж) (т + 3)'* = ( У;
r)25p*k^ = i Г; з)(5-А)^ = ( у.
55
33.2. Разложите на множители данное выражение, представив его в виде разности квадратов. Запись оформите по образцу.
Образец
4а^ - 81л^ = (2а)^ - (9д)^ = (2а - 9п)(2а + 9п).
а) 81л^ - 4а^ = .
б)25/?"А;2-4а2 =
в) IQx^y^ - 2Ър^к^ =.
r)0,04c8d®-0,09s'2^J2 =
33.3. Используя опыт, накопленный при выполнении первых двух заданий, разложите данное выражение на множители с помощью формулы
а^ — Ь^ = (а — Ь)(а + Ь).
а) 64п^ - 121 =
б) 81п2-100р2 =
в) 25х^ - 49^® = _
г) sH^-100k^ = _
33.4. Найдите выражения, которые могут быть представлены в виде разности квадратов. Соедините их с выражением стрелкой:
5z-16f2
s" - 49^
S6p^ - 9
144d«- 1
0,4ц2 -
4x^y‘^ - x^
81d®-4c"
— k^m}^
56
33.5. Разложите на множители многочлены, выбранные в задании № 33.4. Запись оформите по образцу.
ОбрОЗвЦ 1'' rt
25а2 - 16&2 = (5а)2 - (4ЬУ = (5а - 46)(5а + Щ.
33.6. Используя опыт, полученный при выполнении задания № 33.5, решите уравнение:
а) /е2 - 36 = 0; б) 25 - 4№ = 0.
57
Разложение многочленов на множители с помощью формулы разности кубов и формулы суммы кубов
33.7. Подчеркните многочлены, которые называют неполным квадратом:
-I- 2ху + 9/1^ + &пр +
а^-аЬ + Ь^; 16с2 - Scd +
4 + 2k + k^j 25p^ - 15pd + 9q^.
33.8. Заполните пропуски, проговаривая соответствующую формулу:
а) (л: + 1) • (_________) = х^+ 1®;
б) (х - 3) • (__________) = х^~ 3®;
в) (X + 2) • (_________) = х" + 2»;
г) (х - 4) • (___________) = X® - 4®.
33.9. Запишите сумму и неполный квадрат разности одночленов:
а) 2р и 4q^ __________________________________________________
б) Sk^ и Ьп^
33.10. Заполните пропуски, проговаривая соответствующую формулу:
а) (За + 4Ь) • (________________________________) = (За)^ + (4bf;
б) (2а + 5Ь) • (________________________________) = {2af + (5Ь)з.
33.11. Запишите разность и неполный квадрат суммы одночленов:
а) Зх^ и 4у ___________________________________________________
б) 7л2 и Зщ2
33.12. Заполните пропуски, проговаривая соответствующую формулу:
а) (4а - Щ • (__________________________________) = {4af - (ЗЬ)»;
б) (2а - ЗЬ) • (________________________________) = {2af - (Sb)\
58
33.13. Выполните разложение многочлена на множители с помощью одной из формул:
— Ь^ = {а — + аЬ + Ъ%
а^ + Ь^ = (а + Ь){а^ — аЫ- Ь^).
а) + у^ =
6)(2cf-my=
в) (2рУ -Н (4д2)з =
г)(7л2)3-(3т2)з =
33.14. Заполните пропуски:
а) 8а^ = (...........Г;
б) 27fe3 = (..........)3;
в) 64n» = (...........f;
T)125k^ = i............У;
Д) 2161/3 = (..........)3;
е) 343лгЗ = (..........)3;
ж) 512*3 = (..............)з.
з) 729m3 = (.............)3;
и) d« = (............)3;
к) t^ = i...........)3;
л) 0,064с®сг'2 = (...........)з.
M)0,001si3t^3 = (.............)з.
33.15. Используя результаты задания 33.14, представьте данное выражение в виде суммы (разности) кубов и разложите его на множители.
Образец-asiisaaa
8аЗ - 64^3 = (2а)з - (4л)з = (2а - 4а)((2а)з -Ь 2а • 4тИ- (4а)3) = = (2а - 4а)(4аЗ + San + 16п^).
а) 8аЗ - 64^3 =
6)27*3+125*3 =
59
в) - 343 =
г) 2161/3+ 729 тЗ =
33.16. Данное выражение представьте в виде суммы (разности) кубов и разложите его на множители.
Образец!
12 5аЧ 729Ь'" = (ба" f + (96" f = (ба" + 96") |(ба" f - ба" • 96" + (96" f j = = (ба" + 96") (2ба® - 4ба^б" + 816®).
II^SSSHI
а) 9п^-8 =
6)27k^ + m^ =
в) 12бл;ЗуЗ - ^3 =
г)216аЗ + 3436з =
33.17. Укажите выражения, которые могут быть представлены в виде разности или суммы кубов (см. образец).
f ч 48 - 8/гЗ 343 - с« ' ' б4А:3-216 .. *
0,001рЗ-0,343^3 1-272 ^ "" > + 729
60
33.18. Разложите на множители многочлены, выбранные в задании № 33.17. Запись оформите по образцу.
2-3 - 8 = 2^ - 23 = (2 - 2)(2^ + 22 + 4);
27х^ + 1251/6= (ЗхУ + (5г/2)з = (Зх^ + 5у^)(9х^ - 15xY + 251/“).
61
Разложение многочленов но множители с помощью формулы квадрата суммы и формулы квадрата разности
33.19. Представьте данный трёхчлен в виде квадрата двучлена, используя одну из формул:
а2 + 2аЬ + Ь^ = (а + Ь)^ — 2аЬ + Ь^ = (а — Ь)^.
Образец
а2 + 6а + 9 = + 2 • 3 • а + 32 = (а + З)^.
а) х^ + 4х + 4 =__
б) а2-12а + 36 =__
в) 49р2 - 42р + 9 =
г) 4т?- + 20т + 25 =
33.20. Выясните, заполняя пропуски, является ли данное выражение полным квадратом некоторого двучлена:
а) 4а2 -Ь 4а -Ь 1 = (_у ... 2
б) 1/2 - 21/ -Ь 4 = (_________________)2 ... 2
(--------У
в) 25 - 30с + 9с2 = (_у ... 2
г) - 14k + 25 = (___У ... 2 •
... (-----------У
...(--------У
(--------У
(является, не является)
(является, не является)
(является, не является)
(является, не является)
д) 25т2 -ь 12а + 16 = (__У ... 2 •
е) 81*2 + 144;^ + 64 = (_У ... 2
ж) 4д2 + 12п - 9 = (____У ... 2 • _
(--------У
(является, не является)
(--------У
(является, не является)
(--------У
(является, не является)
62
33.21. Разложите на множители те многочлены из задания № 33.20, которые являются полным квадратом двучлена.
4-Ц-
1 I
1----------------------------|~-Т-
-i......г
§ 34. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЁМОВ
Вынесение общего множителя за скобки и использование формулы разности квадратов
34.1. Разложите многочлен на множители, записывая содержание этапов.
Образец
5д2-125.
Решение.
1. Выносим общий множитель за скобки:
5/г2 - 125 = 5-(л2-25) =
2. Представляем выражение в скобках в виде разности квадратов: = 5 • (п2 - 52) =
3. Представляем разность квадратов в виде произведения:
= 5*(п-5)-(п + 5).
63
а) 4р^- 64. Решение.
1. ______
4р2-64 =
2.
3.
б) - lOOd. Решение.
1. ________
d"-100d =
2.
3.
Вынесение общего множителя за скобки и использование формулы квадрата суммы или разности
34.2. Разложите многочлен на множители, записывая содержание этапов.
Образец vnii \ r'miiiHwiiiiiiiiiiiHaiiiillfif'l;"
4л^ - 16nd + 16.
Решение.
1 • Выносим обш;ий множитель за скобки:
4п^ — 16nd + 16 = 4* (п^ - 4п + 4) =
2. Представляем выражение в скобках в виде полного квадрата двучлена:
= 4 • (д2 - 2 • 2 • л + 22) =
3. Представляем полный квадрат в виде квадрата двучлена:
= 4 • (л - 2)2.
64
a)12/?3-12ife2+3fe.
Решение.
1. ________________
12к^-12к^Л-гк = .
2.
3.
б) -Зс^ - 6cm - 3m^. Решение.
1. ______________
-Зс^ - 6cm - 3m^ =.
2.
3.
Вынесение общего множителя за скобки и использование формулы суммы или разности кубов
34.3. Разложите многочлен на множители, записывая содержание этапов.
Ъп^ + 40.
Решение.
1. Выносим общий множитель за скобки:
+ 40 = 5 • {п^ + 8) =
2. Представляем выражение в скобках в виде суммы кубов:
= 5 • (дз + 23) =
3. Представляем сумму кубов в виде произведения:
= 5 • (л + 2){п^ -2п-\- 4).
65
а) 3m® + 24. Решение.
1. _______
3m®+24 = .
2.
3.
б) 2ху^ - 54л:'*. Решение.
1. __________
2л:1/®-54л:* =
2.
3.
Группировка и использование формулы квадрата суммы (разности) и формулы разности квадратов
34.4. Выполните разложение многочлена на множители указанным способом, записывая содержание этапов.
Образец
а® -f - ^2 + 2аЬ.
Решение.
1 • Подчеркнём три слагаемых, алгебраическая сумма которых является полным квадратом некоторого двучлена: а® + Ь® - с® -Ь 2аЬ =
2. Выполним соответствующую группировку:
= (a® + b2-f 2аЬ)-с® =
3. Заменим полный квадрат квадратом двучлена:
= (а + ЪУ - с® =
4. Разложим полученное выражение на множители:
= (а + Ь - с)(а -I- ft -f с).
66
а) 2ху - z^-\- х^ + у^. Решение.
1
2xy - + x^ + y^ =
= ( )-( y =
= ( y =
4.
= (-
б) 2ps + s^.
Решение.
1
-)(-
p^-t^- 2ps + s^=
= ( )-( y =
= ( y =
4.
= (-
в) 4п^- + 8nd + 4d^.
Решение.
1. ________________
-)(-
2.
4п^~ + 8nd + 4d^ =
= (-
-У =
67
3.
4.
= (-
= (-
-)(-
-Y =
г) - 9t^ - 4ab + 4b^.
Решение.
1
а2 - 9#2 - 4аЬ + 4Ь^ = 2.
= ( )-(
3.
= ( )^-( )" =
4.
= (-
-)(-
Выделение
полного квадрата двучлена
34.5. Выполните разложение многочлена на множители указанным способом, записывая содержание этапов.
Образец
а^4- 8а + 15.
Решение.
1. Выделим полный квадрат:
а2 + 8а -f 15 = (а2 + 2 • 4а -f-16) - 1 =
2. Заменим полный квадрат квадратом двучлена:
= (а+ 4)2-(1)2 =
3. Разложим полученное выражение на множители: = (а + 4 - 1) • (а + 4 + 1) = (а + 3) • (а + 5).
68
а) + 6m + 8. Решение.
1
т^ + 6т Ч- 8 = =
= ( У-{ У =
= ( X )=
3.
б) IOAj + 21. Решение.
1,
2.
- 10k + 21 = =
= ( Х-( )' =
=( )( )=
3.
§ 35. СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Понятие алгебраической дроби
35.1. Подчеркните алгебраические дроби:
12а%\ 12aV_ ^^2..5. 5х" - 25х\ /eV _ 7п" + р
' « о У * ^ У 9 О > d S ^ 9 л
За За* 5** 9 4 14р
2
3
35.2. Представьте алгебраическую дробь в виде произведения, заполняя пропуски:
аЬ а
в)
2k* _ ЮЛ® ~ 10
б)
^ _ 3 9р~ 9
■; г)
х^у^ _ х^у^ х^
69
Алгоритм сокращения алгебраических дробей
35.3. Сократите дробь, записывая содержание этапов.
Образец' ■
-14аУс^
-21a^ Vc'
Решение.
1 • Записываем дробь в виде произведения дробей:
-14аУс^ _ -14 . Ь\ _
-21a^Vc “ -21 ^ Ь* ~с~
2. Сокраш;аем каждую дробь и выполняем умножение числителей и знаменателей:
2 1 1
^ ^ ^ ^ 2с‘*
“ Ж К xf За'6*
Ответ:
2с^
За^Ь'
а)
bn^t^p^
9^2 •
ISnVp Решение. 1. _____
bn^t^p^
Ibn^t^p*
2.
Ответ:
70
б)
41,5^8
Решение.
1.
ZaW 7.
Ответ: в) „4j^3 * п ас Решение. 1.
7л Vc _
n*dc^ 7.
Ответ: 8xY(x-y) ^ 28х''у(х~уУ Решение. 1.
8x‘^y^{x-у)
28х'^у{х - у) 2.
Ответ:
71
35.4. Сократите дробь, записывая содержание этапов.
аЬ - За аЬ^ - ЗаЬ Решение.
1. Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:
ab-Sa _ а(Ь-З) _ аЬ^-ЗаЬ ab{b-S)
2. Сокраш;аем получившуюся дробь:
_ _ 1
/ь(р^) ь'
Ответ: —. Ь
а)
7х-7у 14х - 14у
Решение.
1.
7х-7у 14х - 14у
2.
Ответ:
б)
ах - Ьх
За - ЗЬ Решение.
1.
ах - Ьх За - ЗЬ
72
2.
Ответ:
в)
2а + 2Ь
-а-Ъ Решение.
1. _____
2а + 2Ъ -а-Ъ
2.
Ответ:
г)
6а - 36
46 - 8а Решение. 1. ______
6а - 36 46 - 8а
2.
Ответ:
73
§ 36. ТОЖДЕСТВА
Понятие тождества
36.1. Подчеркните равенства, которые являются верными при любых значениях входящих в них переменных.
(х + уУ = х^+ 2ху + у^; x-{y-z) = x-y + z;
х + 6 = 7; - т^=(п - т){п + т);
(k - 5)(k + 1) = (й + l)(fe - 5); (X - 2)(х + 3) = 0.
36.2. Докажите утверждение. Запись оформите по образцу.
Образец - .
х(2х - 3)2 = 4х^ - 12х^ + 9х;
лев. ч. = х{2х - 3)2 = х(4х^ - 12х + 9) =
= 4х^ - 12х^ + 9л: = пр. ч.;
лев. ч. = пр. ч.; утверждение доказано.
а) (х - 3)(х + 2) = л:2 - JC - 6;
“ТГ 7\.
б) (2л: + 1)(л: + 2) = 2л;2 + 5л: + 2.
74
Область допустимых значений переменной в выражении
36.3. 1) Запишите, исходя из какого условия находят область допустимых
значений для алгебраической дроби_________________________
2)Заполните таблицу.
Выражение
Область допустимых значений переменной
Словесная формулировка
Графическая модель
X + 2
X любое, кроме -2
!■: -2 JC
а)
X + 3
б)
д: - 2
в)
X + 4
57
{х + 1)(дс - 2)
д)
Зд: + 9
е) Зд: + 9
36.4. Для данного равенства укажите допустимые значения переменной (см. образец).
Равенство
Область допустимых значений переменной
Словесная формулировка
Графическая модель
д:(д: + 3) _ X
{х + 3){х-2) х-2
X любое, кроме -3 и 2
2 X
14д: 2
б)
в)
г)
= д: + 4
д:^ -16 X- 4 д: + 5 Т
х^ {х + 5) х^
х^+1 1
х^{х^ + 1)~ х^
75
36.5. Используя текст § 36 учебника, заполните пропуски. Тождество — это-----------------------------------
Тождественно равные выражения — это
Тождественное преобразование — это
Простейшие тождественные преобразования
36.6. Выполните умножение. Запись оформите по образцу.
Образец г~’~‘— ______
(-1)
X- у (-1)(л: -у) -х + у у-х
n'i ( \. п ■ ■ р i
\ ч 1 1 1 1
1 1
1
1
1 L
( Ч • с
а - ■Ь
76
1- с - d
V т + п
L-i 2 - ■ t
\ ) р- ■q
36.7. Используя тождественные преобразования, запишите данную дробь без знака «минус» перед чертой дроби. Запись оформите по образцу.
Образец
а а а а
а а
Ъ-2 -(6-2) -6 + 2 2-б’ 6-2 2-б’
5
к 1 _ Г ^
б) /1 -* : _
Р
77
r) Л -1 f _
i + 1
i 1 - i ~T~ j
r - n 1
1
i i
36.8. Используя тождественные преобразования, запишите данную дробь со знаком «минус» перед чертой дроби. Запись оформите по образцу.
8-с_ -(8-с)_ -8 + с_ с-8 8-с_ с-8
d d d d * d d ’
3- ■ m
7
6^ ; .
7- n
78
в) X - 2
у h 3
S - 4
г) 9- • t
36.9. Запишите дробь, равную данной, так, чтобы перед ней стоял знак «-».
X ■ -у
0-) ;
а - ■Ъ
Ъ- а
/ 1
о; п ■ - k
3- ■ 8
t ^ k
Р I- d
d- ■ т
-а :
С; Ъ
ГЛАВА
8
ФУНКЦИЯ у =
§ 37. ФУНКЦИЯ у = х’ и ЕЁ ГРАФИК
Функции у = и у = -х^
37.1. Дана зависимость между переменными у их. Заполните таблицу.
Словесное описание Математическая модель Вид функции {у = kx или у = х^)
а) у — периметр квадрата со стороной X см У = 4:Х y = kx
6) у их — противоположные числа
в) г/ — площадь квадрата со стороной X см
т)у — путь, пройденный за 3 ч со скоростью х км/ч
д)у — стоимость 5 кг яблок, купленных по цене х р.
е)у — произведение числа х на себя
37.2. Найдите значение функции у = соответствующее заданному значению аргумента:
X 0 1 -2 -1,3 2 1,1 -1,2
У
37.3. Найдите два значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции у = х^:
^2
У 4 16 1,44 2,89 0,09 0,04 2,56
80
37.4. Найдите значение функции у = соответствующее заданному значению аргумента:
X 0 2 -3 -1Д 0,4 1,5 -1,7
у
37.5. Найдите два значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции у = -х^:
^2
У -9 -16 -4 -2,89 -0,09 -0,25 -2,25
График функции у =
37.6. 1) Заполните таблицу.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
у^х^
2) Отметьте точки и соедините их плавной линией.
37.7. Запишите название графика функции у-х^_______
37.8. Закончите предложения.
1) График функции у = х^ симметричен относительно
81
2) Ось симметрии разбивает параболу у = яа. две части, которые
называют_______________________________________________
3) Вершина параболы у = х^ имеет координаты------------
37.9. Перечислите свойства функции у = х^ (используйте график из №37.8):
1) у = 0 при X =________________,
у>0
2) у
/ ^ в
, 1/<0
У
наиб'
3) функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке____
График функции у = -х^
37.10. 1) Заполните таблицу.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
у = -х^
2) Отметьте точки и соедините их плавной линией.
37.11. Запишите название графика функции у = -х^
82
37.12. Закончите предложения.
1) График функции у = -х^ симметричен относительно.
2) Ось симметрии разбивает параболу у = -х^ на две части, которые
называют ______________________________________________
3) Вершина параболы у = ~х^ имеет координаты___________
37.13. Перечислите свойства функции у = -х^ (используйте график из №37.12):
1) Z/ = О при х = .
у>0--------
,г/<о
у.
3) функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке____
37.14. Не строя график функции у = х^, установите, принадлежит ли ему данная точка.
а) Р(1; 3)-------------------------------------------------------
1 1Л
25 J
в)Л(2; -4)
37.15. Не строя график функции у = -л:^, установите, принадлежит ли ему данная точка.
а)М(1;5)
, 1 1
б)АГ1--;--^
в)Р(-1,7;2,89)
83
Наибольшее и наименьшее значения функции у = на заданном промежутке
37.16. Дан промежуток на оси абсцисс и график функции у = х^. Выполните последовательно указанные действия:
— выделите на оси х данный промежуток;
— выделите часть графика, соответствующую выделенному промежутку;
— отметьте самую нижнюю и самую верхнюю точки выделенной части графика, если это возможно;
— если это возможно, запишите наименьшее и наибольшее значения функции и значения л:, при которых они достигаются.
1)[1;3]
2)[-3;-1]
1 У‘ ! -
1 \
1
\
\
д 1 / и
\
1 \ 1
1
у
о 1 X
I
у ^наим у ^ найм
при г , при X
1J V
наио ^ наио
при X ; при X
84
3)[-2;0)
4)(0; 2]
У.
при X
у наиб
при X
5)(-1;0)
У.
при X
у наиб
при X
У.
при X
у пелЬ
при д:
6)[-3; 1]
У.
при X .
у наиб
при д:
85
7) [-2; 3]
У —
^ найм
при X
У
при X
при X
при X
при X
при X
при X
при X
86
11)(-оо;-1]
12) (3; +00)
при X
'наиб'
при X______
13)(-00;-2)
при X
у.
при X
у наиб
при X
14) [-3; +00)
У.
при X
при X
у и&иб при X
87
15)(-оо;2]
16) (-3;+оо)
у —
^наим
при X
'наиб
при X______
17)(-00; 1)
^ найм
при X
^наиб
при X
У _
^ найм
при JC
^ пймб
при л:
18) (-00; +СХЭ)
У
найм
при X
у
наиб '
при X
88
Наибольшее и наименьшее значения функции у = -х^ на заданном промежутке
37.17. Дан промежуток на оси абсцисс и график функции у = —х^. Выполните последовательно указанные действия:
— выделите на оси х данный промежуток;
— выделите часть графика, соответствующую выделенному в пункте 1 промежутку;
— отметьте самую нижнюю и самую верхнюю точки выделенной части графика, если это возможно;
— если это возможно, запишите наименьшее и наибольшее значения функции и значения л:, при которых они достигаются.
при X
у
^ найм
У наиб'
. при X при X .
89
у
^ найм ^наиб
. при X при X .
У
^наим ^ навб
. при X при X .
у
^наим ^ наиб
. при X при X .
У
^ найм ^ наиб
. при X при X .
90
у
^ найм У яамЬ '
. при X при X.
у
^ найм ^наиб
. при X при X .
и
^ найм У наиб '
. при X при X .
. при X при X .
91
12) [2; +00)
13)(-oo;-i]
14) (3;+оо)
и
^наиы
У иаиб ■
. при X при X.
у
^ вавм Уваиб'
. при X при X .
92
15)(-оо;-2)
16) [-3; +00)
у
^ найм У наиб
. при X при X.
при X
при X
93
19) (-оо; 1)
20) (-00; +00)
у
^ найм У наиб
. при X при X .
'наиб■
при X
§ 38. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
38.1. Решите уравнение х+1 = Ъ-^х.
38.2. Чтобы решить уравнение л: + 1 = 5 - Зл: графически, выполните последовательно указанные действия.
1) Постройте в одной системе координат графики функций у = хЛ-1-ау = Ъ- 3jc.
X
у = х + 1
X
y = 5-Sx
94
2) Отметьте точку А — точку пересечения построенных графиков функций.
3) Определите и запишите координаты точки А:_______________
4) В уравнение x + l = 5-Sx вместо х подставьте значение абсциссы точки А и выполните вычисления в левой и правой частях уравнения.
5) Объясните, почему получилось верное равенство, т. е. почему абсцисса точки А оказалась корнем данного уравнения (сравните значения, которые получились после вычислений в обеих частях уравнения, с ординатой точки А).
6) Ответ:
38.3. (Устно.) Используя опыт работы с заданиями № 38.1 и 38.2, сформулируйте алгоритм графического решения уравнений.
38.4. Сравните свой алгоритм с алгоритмом в учебнике (§ 38, с. 150).
38.5. Решите графически уравнение, записывая содержание этапов.
Образец
х^ = х + 2.
Решение.
1. Рассмотрим функции у = х^ и у = х + 2.
2. Построим графики этих функций в одной системе координат.
3. Отметим точки пересечения графиков, найдём их абсциссы.
Ответ: -1; 2.
ттшт^ША
95
а) х^ = 2х + 3. Решение.
1. _________
2. _________
3.
Ответ:
б) х^ = 2х-1. Решение.
1. _________
2. _________
3. ____
Ответ;
96
в) -х^ = х-2. Решение.
1. _________
2. _________
3.
Ответ:
г) -х^ = 0. Решение.
1. ______
2________
3. ____
Ответ:
97
§ 39. что ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ у = f{x)
Запись у = f(x) и её смысл
39.1. Дана функция у = f(x), где f(x) = 6х. Найдите:
а)ЯО) - - Д0) = 60 = 0
б)/(-3)
в) Да)
г)ДЛ + 3)
39.2. Дана функция у = f{x), где f(x) = 6х + 2. Найдите:
а)Д1)
б)/(-3)
в) Да)
г)ДА: + 3)
39.3. Дана функция у = f(x), где f(x) = х^. Найдите:
а)Д5)
б) Да)
в) Д-5а)
г) Да+ 5)
39.4. Дана функция у = f(x), где f(x) = 2х+ 1. Найдите:
а) Д2л:)
б)Д-х)
в) fix + 1)
г)-fix)
39.5. Дана функция у = /(jc), где f{x) = х^. Найдите:
а) ДЗх)
б)Д-х)
в) fix + 2)
г)-fix)
39.6. Дана функция у = f{x), где f{x) = -х^. Найдите:
а) Д5х)
б) fi~x)
в) fix - 2)
г) -fix)
98
Новая математическая модель — кусочная функция
39.7. Туристический поход продолжался 8 ч. Первые три часа туристы шли по равнине со средней скоростью 4 км/ч. Затем они сделали привал и отдыхали в течение часа. После привала группа продолжила путь, но теперь он пролегал по пересечённой местности, и поэтому средняя скорость составила 3 км/ч.
а) Составьте формулы для функций, выражаюш;их следующие зависимости:
1) изменение расстояния (р) в зависимости от времени (t) в течение первых трёх часов пути:
Р(0 =
при о < ^ <
2) расстояние от пункта отправления до места привала группы:
р(0 =_________ при _____< i <-----;
3) изменение расстояния (р) в зависимости от времени (t) в течение последних четырёх часов:
Р(0 =
при