Алгебра 7 класс Рабочая тетрадь Зубарева Мильштейн часть 1

УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 3-91 Зубарева И. И. 3-91 Алгебра. 7 класс. Рабочая тетрадь № 1 : учеб, пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн ; под ред. А. Г. Мордковича. — М. : Мнемозина, 2012. — 104 с.: ил. ISBN 978-5-346-02266-4 Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом — при введении новых знаний и первичном их применении в стандартной ситуации. Методика, заложенная в представленной системе заданий, обеспечит достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям ФГОС. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 Учебное издание Зубарева Ирина Ивановна, Мильштейн Мария Семёновна АЛГЕБРА 7 класс Рабочая тетрадь № 1 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для учащихся общеобразовательных учреждений Формат 70x100V,в* Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 8,45. Тираж 20 000 экз. Заказ № 1034. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел./фше: 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285. E-mail: ma^[email protected] www.shop.mnemozina.ru Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). E-mail: [email protected] Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «Чеховский Печатный Двор». 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1. ISBN 978-6-346-02266-4 (№ 1) ISBN 978-5-346-02265-7 (общ.) «Мнемозина», 2012 Оформление. «Мнемозина», 2012 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ У вас в руках рабочая тетрадь для изучения курса алгебры в первом полугодии 7-го класса. Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом: при введении новых знаний и их первичном применении в стандартной ситуации. В основу разработки заданий тетради легли положения теории развивающего обучения В. В. Давыдова, Д. Б. Эльконина и теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина. Методика, заложенная в системе заданий рабочей тетради, обеспечит достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС). Последовательность и методика изложения материала соответствуют учебному комплектуй «Алгебра. 7 класс», созданному авторским коллективом под руководством А. Г. Мордковича. При этом каждому параграфу учебника (задачника) соответствует параграф рабочей тетради. В большинстве случаев параграф тетради начинается с заданий, позволяющих актуализировать знания, необходимые для введения нового материала. Согласно требованиям ФГОС новые знания учащиеся должны получать в ходе познавательной деятельности, выполняя учебно-познавательные задания (задачи). С этой целью в каждом параграфе рабочей тетради выстроена система таких заданий. Выполняя последовательно учебнопознавательные задания, учащиеся получают возможность самостоятельно сформулировать новое для них теоретическое знание. После того как новый теоретический факт установлен и сформулирован, следует его применение на практике. Для этого учащимся предъявляется образец решения задачи, содержащий пошаговое описание алгоритма применения новой формулы, правила и т. п. Фактически образец содержит описание того умственного действия, которое должно быть сформировано у учащихся как автоматизированный навык. Далее следует система упражнений, выстроенная на основе положений теории поэтапного формирования умственных действий. Первым предлагается упражнение, содержащее описание шагов алгоритма в соответствии с приведённым образцом. Учащимся надо только выполнить его предписания. При выполнении следующего задания надо самостоятельно записать шаги алгоритма. Завершает систему упражнений задание, содержащее требование мысленного проговаривания шагов алгоритма. После этого учащимся предлагается выполнить упражнения из задачника, также мысленно проговаривая алгоритм действий. Время и количество упражнений, которые требуются для формирования автоматизированного навыка, т. е. выполнения умственного действия без проговаривания, определяются индивидуальными особенностями учащих- ‘ А Г. Мордкович. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — М. : Мнемозина; Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных уч1)еждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — М. : Мнемозина. ся. Этому, в свою очередь, способствует система упражнений задачника, которая содержит достаточное количество заданий для достижения требуемого уровня овладения тем или иным навыком. Выполнение учебно-познавательных задач способствует формщюванию универсальных учебных действий как познавательных (наблюдение, сопоставление, анализ и обобщение), так и регулятивных (целеполагание, плани-рювание). В ходе выполнения упражнений, направленных на формирование умственных действий, наряду с практическими умениями формируются такие регулятивные действия, как контроль, коррекция и оценка, поскольку имеется возможность сличения способа действий и его результата с заданным эталоном (образцом). Авторы ГЛАВА 1 МАТЕ1МАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ § 1. ЧИСЛОВЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Числовые выражения 1.1. 1) Прочитайте числа: 2012; 6,55; 0; 3,5; -4-; 2; 1—. 9 4 7 14 2) Используя числа из пункта 1), заполните таблицу: Натуральные числа Десятичные дроби Обыкновенные дроби Смешанные числа Положи- тельные числа Отрицательные числа 3) Какое число вы не отнесли ни к одному из перечисленных видов чисел?____________ 4) Используя таблицу, составьте по описанию числовое выражение и найдите его значение: а) сумма данных натуральных чисел:_______________________; б) разность данных десятичных дробей (два случая): в) произведение данных обыкновенных дробей: г) частное дгшных смешанных чисел (два случая): 1.2. 1) Распределите по столбцам таблицы выражения: 0,5 + 3; 0,5 + п; d ~ 1 ~ ~ 2 2 2 Числовые выражения Алгебраические выражения 2) (Устно.) Значения каких выражений (числовых или алгебраических) можно найти? 3) Найдите значения числовых выражений (из п. 1). 1.3. Найдите значения алгебраических выражений для данных значений переменных. 1 2 3 4 5 6 а 2 -3 2,3 -4,5 _3 8 -i2 4 Ъ -5 7 -4,1 9,8 5 16 -2l 8 4а + 4д 4а - 4fc -4а - 4Ь -4а -Ь АЬ 1—1—i- 4-—I---]- !-------1-------^-------.......|-' ___^__ : 1 . .X- -4-....} ....-4- I i ! I Законы арифметических действий 1.4. Запишите правую часть равенства. 1) Переместительный закон сложения: а + Ь = _ 2) переместительный закон умножения: а - Ь = . 3) сочетательный закон сложения: {а + Ь) + с = 4) сочетательный закон умножения: (а • Ь) • с =. 5) распределительный закон умножения относительно сложения: (а + Ь)’С =______________________________________________ 1.5. Найдите рациональный способ вычисления значения выражения, используя законы арифметических действий, и выполните вычисления. а) (2,62 + 5,34 + 6,38 - 2,34) : f - - Л 4_________________________ 1^7 14 25-32 0,04 1 М i i 1 " Г — — i j ; 1 ' I 1 1. J 1 1 !. 1 1 б) I - Ij • (4,57 + 3,41 - 2,57 + 6,59) 8-(-17)-0,125 T_. I i ' r j i I M ' . _J I I ' I i ■ ' ■ I ' i i I ^ I I I ! i i i —■i— : I I ! I I ; ' 1- - - I I j I I I I I I I I I I I I I —^— I I ; I ^ i i ^^ J 1.6. Вычислите: \2 a) — • 4 = /I 2 I 6)|4-|| = Г)- -(-14) = Допустимые и недопустимые значения переменной 1.7. Закончите предложения (см. § 1 учебника). 1) Переменная — это_____________________________ 2) Допустимое значение переменной — это 8 3) Недопустимое значение переменной — это 1.8. Заполните таблицу по образцу. Выражение Недопустимые значения переменной Допустимые значения переменной 5 X 0 Все числа, кроме 0 л 10 ^^ + 3 б) 1° х-2 А. 1 х(х - 1) 1.9. Подчеркните выражения, которые имеют смысл при любых значениях переменной. л^ -1- 2 d-10 +2 1 3 р-2 +2 А - 10 Зр X + 3 7-х 1 5 4-х^ -9 1.10. Запишите, при каких значениях переменной имеет смысл данное выражение. Запись оформите по образцу. Образец 1. л:" - 7. Ответ: х — любое число. 2. А. 8л 8л ^ 0; 0. Ответ: при любых л, кроме л = 0. 3. k-2 3k - 12 Зй-12 5^0; 3k 7^ 12; k^l2:3; 4. Ответ: при любых /г, кроме k = 4. а) + 2; б) а в) fe - 1 2k + 8' § 2. что ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК В № 2.1—2.3 соедините с помощью стрелки фразу, записанную на обычном языке, с соответствующей фразой на математическом языке. 2.1. а) Произведение суммы чисел а и Ь и числа с. б) Частное числа с и разности чисел аиЬ. в) Сумма числа с и произведения чисел а и Ь. г) Разность числа с и частного чисел а и Ь. с + а’Ь с - а:Ь (а + Ь)‘ с с: (а-Ь) 2.2. а) Квадрат разности чисел хиу. б) Разность квадратов чисел хту. в) Куб разности чисел xvl у. г) Разность кубов чисел xvl у. х^ - у^ (х-уГ (х-уГ х^-у^ 2.3. а) Полусумма чисел тип. б) Полуразность чисел тип. в) Удвоенное произведение чисел тип. г) Удвоенная сумма чисел тип. 2(т + п) 2т • п т - п т + п 10 2.4. Заполните таблицу: Русский язык Математический язык Удвоенная сумма чисел хтлу 3(л: - у) S больше t на 2 1 -й г.ттор.об: 2-й способ: ,3-й способ: 1-й способ: k-\- 4 = т 2-й способ: § 3. что ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 3.1. Соедините с помощью стрелки заданную ситуацию с соответствующей математической моделью. а) р-13 = д р = ^-13 - р + 13 = q р меньше q на 13 ' —' < q-p=lS р-д = 13 p = q+ 13 б) р-13 = 9 Р = 5-13 p = q+13 < < р больше q на 13 € < q-p=13 р 4-13 = д р-^ = 13 11 3.2. а — количество книг на первой полке, Ь — количество книг на второй полке. На первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Укажите (да, нет), является ли математической моделью этой ситуации равенство: a)a = S + b______; в) а = 3&-------; д) Ь = За-----------; (да, нет) (да, нет) (да, нет) б)а=-Ь г)Ь = 3 + а е)Ь=-а (да, нет) (да, нет) (да, нет) 3.3. Ученик изготавливает в час р деталей, а мастер на 6 деталей больше. На изготовление некоторого количества деталей мастеру необходимо 3 ч, а ученик на изготовление такого же количества деталей тратит 7 ч. 1) Запишите на математическом языке: • количество деталей, которые изготавливает ученик за час — количество деталей, которые изготавливает мастер за час количество деталей, которые изготавливает ученик за 7 ч количество деталей, которые изготавливает мастер за 3 ч — 2) Подчеркните математическую модель, описываюш;ую данную в условии ситуацию: 7р = 3(р-6); 7р = 3(р + 6); Зр = 7(р + 6); Зр = 7(р-6). 3.4. Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу отправились пешеход со скоростью х км/ч и велосипедист со скоростью на 8 км/ч больше, чем у пешехода. 1) Запишите на математическом языке: • скорость велосипедиста —________________________________; • скорость сближения пешехода и велосипедиста — • время до встречи, если расстояние между посёлками 19,2 км — • расстояние между посёлками, если пешеход и велосипедист встретились через 1,2 ч —___________________________________ 2) По условию задачи составьте уравнение, если известно, что расстояние между посёлками 19,2 км, а пешеход и велосипедист встретились через 1,2 ч —________________________________________ 12 3) Решите полученное уравнение. 1 1 i I 1 I ; -L — 4) Найдите скорость велосипедиста. §4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 4.1. Прочитайте текст § 4 учебника (с. 19—20) и заполните пропуски. 1) Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида где 2) Решить уравнение — это значит 3) Корень уравнения — это 4.2. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и записывая содержание этапов. Оброзвц - - •: ^‘ ■' . г; ‘ Зл: - 8 = 3 - 2х. Решение. 1. Переносим все слагаемые из правой части в левую с противоположными знаками: Зл: - 8 - 3-Ь 2jc = 0. 2. Приводим подобные слагаемые: 5д:-11 = 0. 3. Слагаемое, содержапдее переменную, оставляем в левой части, а не содержаш(ее переменную переносим в правую часть с противоположным знаком: 5jc = 11. 4. Чтобы найти х, делим правую часть на коэффициент при х: х = 11:5; X = 2,2. Ответ: 2,2. 13 а) 7л: - 8 = 5л: + 9. Решение. 1. 2. 3. 4. Ответ: б) 3,5л:+ 2,5 = 1,5л:-10. Решение. 1. ____________________ 2. 3. 4. Ответ: 14 4.3. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и записывая содержание этапов. Образец X + 4 д: + 9 5 5 Решение. 1 • Выполняем действия в левой части уравнения: д: + 4 + д: + 9 5 2х + 13 = 0; = 0. 2. Домножаем обе части уравнения на знаменатель: (2д: + 13) • 5 ^ Q g 5 3. Решаем полученное уравнение: 2jc+ 13 = 0; 2д: = -13; jc = -13:2; д: = -6,5. Ответ: -6,5. . д: + 7 2д: + 14 а)------+--------= 0. 3 3 Решение. 1. 'Г -—-ь- -..............-I 1 { I i 15 3. Ответ:_______________ 1 - 5jc 9jc + 1 _ б)------+-------= 0. 24 24 Решение. 1. __________________ 2. П-- 1 а 3. _л,.. _ -Т“ • Ответ: i - - -L - - I 16 4.4. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и записывая содержание этапов. 3jc + 2 X - 5 = 0. 7 7 Решение. 1 • Выполняем действия в левой части уравнения: Зл: + 2 - (л: - 5) Зх + 2 - л: + 5 = 0; = 0; 2:с + 7 = 0. 2. Умножаем обе части уравнения на знаменатель: (2х + 7)-7 = 0-7. 3. Решаем полученное уравнение: 2дс + 7 = 0; 2х = -7; х = -7:2; л: = -3,5, Ответ: -3,5. V бд: - 1 2д: - 34 „ а)----------------= 0. 15 15 Решение. 1 I I ...г...I 17 2. 3. Ответ: 4jc - 17 9л: + 1 ^ о)---------------------= О. Решение. 1. ______ 2. -- -j- ■ ____L i ■ г -Г ' “h- ~1 - ^ - rt" -- ■ ■ — Г • ■ _.L_ Ответ: 18 4.5. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и записывая содержание этапов. Образец X - 5 X + 5 = 0. 3 6 Решение. 1. Найдём обш;ий знаменатель: 6. 2. Запишем дополнительные множители и выполним действия: X-5'^ X + 5^ „ —^— = 0; 2(х - 5) + X + 5 6 ” ’ 2jc - 10 + л: + 5 = 0; Зл: - 5 = 0. 3* Умножим обе части уравнения на знаменатель и решим полученное уравнение: (Зх - 5)- 6 ^ ^ g 6 Зл: - 5 = 0; Зх = 5; л: = 5:3; * 3 Ответ: 1—. 3 2х + 7 2д: - 9 а) ' 2 4 Решение. 1. ___________ = 0. 19 2. 3. Ответ: 3,4x - 2,4 2x -21 _ g 10 Решение. 1. ______ 2________ 20 3. --4- - .....:■ t- j "Т' 1 1 [ i 1 — — ' j 1 1 ; ^ ' i Ответ: 4.6. Решите уравнение, выполняя последовательно указанные действия и записывая содержание этапов. Образец - 5jc + 8 + 7 = 0. Решение. 1. Представим второе слагаемое в виде дроби со знаменателем 1: 5JC + 8 7 ^ 3 1 2. Общий знаменатель: 3. 3. Запишем дополнительные множители и выполним действия: 5х + 8^ 7^ ^ ------+ — =0; 3 1 5jc + 8 + 21 3 5х + 29 = 0; 4. Умножим обе части уравнения на знаменатель и решим полученное уравнение: (5х + 29) • 3 _ Q . 0. 3 5х + 29 = 0; 5х = -29; х = -29:5; х = -5,8. Ответ: -5,8. "jrt; :: -к»-.-—гя“г 21 lx + 1 a) +2,5 = 0. Решение. 1________ 2. 3. 4. Ответ: б) -8 = 0. Решение. 1______________ 2. 3. 22 4. ^ -f Ответ: § 5. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ Понятие координатной прямой. Координаты точки 5.1. Дополните рисунок так, чтобы прямая стала координатной. ^ Г- ! ^^^ ! 1 i ' Г ' ’ ! ; i 1 1 1 1 ' x! i L 1 j 1 1 1 : i L L_ 1 i 1 ! 1 i 5.2. 1) Запишите, на каких рисунках изображена координатная прямая:_______________________ о A 0 1 , 9 -2 О A m jc О b a) 6) в) r) 2) Запишите, какая координатная ось изображена на рисунке. Образец" ■ ^ —•-----• ► О 1 д: Ось X -10 а) б) в) 23 5.3. Запишите координаты точек, отмеченных на рисунке. Расстояние между двумя точками 5.4. 1) Используя рисунок, найдите расстояние между данными точками координатной прямой. а)А(3)иБ(5) в)А(-5)иБ(3) л Б 0 1 3 5 X А Б 5 0 1 Зх б)А(-3)иБ(5) г)Л(-5)иБ(-3) А В 3 0 1 5 X А Б 5 3 0 1л 24 2) Найдите значение выражения \а - Ь| при: а) а = 3, Ь = 5______________________ б) а = -3, & = 5 в) а = -5, Ь = 3 г)а = -5,Ь = -3 3) Задайте другие значения а иЬ и найдите соответствующие значения |а - Сравните их с расстоянием между точками А(а) и В(Ь) на координатной прямой. Какое предположение можно сделать? 4) Закончите предложение. Расстояние между точками А(а) и В{Ь) равно 5.5. Дана координатная прямая с отмеченными на ней точками: ■' ^ ' ■ А: ^ ■ \В ' ’1 D — ■ 1 i i 1 1 .--i 1 0 '1 U-- 1 1 1 М _ I ! 1 1) Проставьте на рисунке числа — координаты отмеченных точек. 2) Запишите формулу расстояния между точками координатной прямой: р(а, Ь) =________________ 3) Найдите расстояния между данными точками по формуле и проверьте себя, используя рисунок: а) р(С, В) = . б) р(С,П) = . в) р(А, В) = г) р(В,П) = 5.6. Найдите р(л:, у), если: а) дс = -3,2,1/ = 7,1- б)х = 12,у = -2-о в) х = -4,6, у = -10,2 г) дс: = -3, у = -3— ^ 11 _ 25 ю о* Числовые промежутки 5.7. Заполните таблицу по образцу. Условие Все числа, большие 8 Все числа, большие или равные -5 Все числа, меньшие 2 Все числа, меньшие или равные -13 Все числа, большие -9, но меньшие 7 Все числа, большие или равные 15, но меньшие или равные 49 Все числа, большие -5, но меньшие или равные 10 Все числа, большие или равные -8, но меньшие 22 Графическая модель 8 X Название числового промежутка „1 открытый луч Аналитическая модель Обозначение Х>8 (8;#оо) 5.8. Заполните таблицу по образцу. ю >1 Условие Все числа, большие а Все числа, большие или равные а Все числа, меньшие Ь Все числа, меньшие или равные Ь Все числа, большие а, но меньшие Ь Все числа, большие или равные а, но меньшие или равные Ь Все числа, большие а, но меньшие или равные Ь Все числа, большие или равные а, но меньшие Ь Графическая модель а X Название числового промежутка открытый луч Аналитическая модель Обозначение Х> а (а; +00) 5.9. Дана геометрическая модель числового промежутка. Запишите название этого числового промежутка, его аналитическую модель и обозначение. Геометрическая модель Название числового промежутка Аналитическая модель Обозначение -11 -9 у -5 ^УУУУУУУУУУУУУУУщ -2 Qfyyyyyyyyyyyyyyy^ -8 -4 ^yyyyyyyyyyyyyyyf^ -1 7 28 5.10. По данной аналитической модели числового промежутка постройте его геометрическую модель, запишите обозначение и название. Аналитическая модель Геометрическая модель Обозначение Название числового промежутка у>7 X < -16,4 р ч — ^ 12 а>0 -0,2 < п< 0,6 11 1 —1— < X < — 4 8 3,4 < Л <5,9 — < е <0,5 3 29 5.11. Запишите название числового промежутка, изобразите его на координатной прямой и запишите его аналитическую модель. 5.12. Принадлежат ли промежутку (-6; 3) данные в таблице числа? Число -32 -6 1 3 9 Да/Нет 5.13. Принадлежат ли промежутку (-6; 3] данные в таблице числа? Число -3 -6 2 3 7 Да/Нет 30 5.14. Принадлежат ли промежутку (6; +оо) данные в таблице числа? Число -4,99 1 6 9,34 1005 Да/Нет 5.15. Принадлежат ли промежутку [5; +°о) данные в таблице числа? Число -101 2,76 5 44,91 1311 Да/Нет 5.16. Запишите все целые числа, принадлежащие данному промежутку: а)[6; 8] б)(6; 8) в) (6; 8] г)[6; 8) 5.17. Запишите все натуральные числа, принадлежащие данному промежутку: а)[-3; 2] б)(-3; 2) в)[-3;2) г)(-3; 2] ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ § 6. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ Прямоугольная система координат. Абсцисса точки, Ордината точки. Координатные углы 6.1. Заполните пропуски. 1) , Система 32 2) Координатная. п ни Ш sL-i Ш :: m Ш гЖй m Ш p p p Щ Ш ibO Щ IL s MH m IfiSS I ^rifs p iiiiS Ш‘й Ш Ш ~*T Щ rrfr* Ш Err ►iw*» ЯвШ »4 pP F 1 SffSSa Hi: s J g|ii s® ьш P Ш ■24»»^ 1 ♦»*ws. SSi Ш Ш Щ •523Й Щ SB eta Щ О 1 1 л: г S A J V 6.2. Выполните задание по образцу. Образец к M 2 L 1 1 -1 ,5 О 1 л: Абсцисса точки М: х = -1,5. Ордината точки М: у = 2. Координаты точки М: (-1,5; 2). 33 а) Абсцисса точки ЛГ:. Ордината точки N:. Координаты точки N: б) Абсцисса точки If:. Ордината точки К:. Координаты точки К: в) Абсцисса точки А: Ордината точки А: Координаты точки А: г) Абсцисса точки В: Ордината точки В: Координаты точки В: У‘ к 2 о 2 X 'n У‘ к 10 О 10 X К У^ к 1 А о 1 X У‘ к в 1 о 1 X 34 ц) АбпЦИР.ГЯ ТПХТК.И O'. — * у\ 1 — — Ордината точки О: ; Координаты точки О; :::: 1 — — ! 6 1 1 X — --- 1 1 — 1 I i ^ i 1 —1— ^ 6.3. 1) Запишите координаты точек М^, Mg, Mg, М^. М,(----------;------), Mg(------;-----), Mg(------;-----), МД-------;-----). 2) Отметьте любую другую точку на прямой I. Запишите её абсциссу: х =_______________________ к iM 1 м 1 о ^1 ' х\ i 1 1 ЙГ j _ j j \ i i 1 1 1 I j м i i Г1 ^ L.. 1 1 ’ i 1 1 . J 3) Запишите аналитическую модель прямой I: 4) Запишите уравнения прямых оси ординат. h- h- h- Ось i/: 1 -- — -- -- - 1 -• 1 о : 1 X i „. h — h — - 35 6.4. 1) Запишите координаты точек К^. К,{-------;-------), К,{-------;-------), К,{-------;-------), К,{-------;-------). 2) Отметьте любую другую точку на прямой п. Запишите её ординату: У =---------------------- У‘ к п 1 о 1 X 3) Запишите аналитическую модель прямой п: 4) Запишите уравнения прямых п^у п^у Пд и оси абсцисс. Ось X'. У‘ к 1 О 1 X ^2 ^3 6.5. Постройте прямые, удовлетворяющие данным уравнениям: Si) X = и X =б) 1/= 1; 1/ = -3; д: =-6; л: = 2,5. у = -6;у = 2у5. У^ к 1 О 1 X У^ к 1 О 1 X 36 6.6. Запишите, как называется прямая, удовлетворяюпдая уравнению: 1) л: = 0----------------------------------------------------; 2) у = 0---------------------------------------------------- 6.7. Укажите, каким условиям удовлетворяют координаты любой точки той части плоскости, которая выделена на рисунке. Образец к 1 о 1 X а) к 1 ) о 1 1 X \ — 1 1 -5<у<4 ie^BiesssBSBs^iaiaee^BBreaa 1—г У‘^ О I I б) -4<х<2 шшшашшвшшааашл ■ Г У‘ 1 1 к 1 1 I _____ 1 i 1 1 — О 1 X ' ^ — -| - 37 в) г) ■iilf’ : 1 к ■■'Г: Й i '•г' •L5.V« . L 1 '“’“Н - -^4^. :;;;! ■ 1 L L 11J11 д) е) - - - .Al 1,;: ■- br. ' '■J 0 2 X г-»- — — - X 38 § 7. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК Новая математическая модель — линейное уравнение с двумя переменными 7.1. Запишите в общем виде линейное уравнение с одной переменной: 7.2. Составьте аналитическую модель данной ситуации — уравнение. Сколько переменных содержит полученное уравнение? а) Мастер в час делает k деталей, а ученик — 15. Мастер работал 4 ч, а ученик только 1 ч. Всего они сделали 135 деталей. б) 1 кг винограда стоит дс р., а 1 кг абрикосов у р. Боря купил 3 кг винограда и 5 кг абрикосов, заплатив за всю покупку 950 р. в) Площадь квадрата со стороной р больше площади квадрата со стороной q на 34 см^_________________________________________ 7.3. Заполните пропуски (см. § 7 учебника). • Линейным уравнением с двумя переменными называют уравне- ние вида , где • Решением уравнения вида ахby с 0 называют 7.4. Запишите, какое из уравнений, полученных в задании 7.2, является линейным уравнением с двумя переменными_____________________ 7.5. Подчеркните те уравнения, которые являются линейными уравнениями с двумя переменными; д: - Z/Ч-4 = 0; 2д:-Ь Зг/= 4; 5т^ - 25п - 10 = 0. 2д: - Зу - 4 = 0; а + Ь + с = 39 7.6. Проверьте, является ли решением уравнения Зл: + у - 7 = О пара чисел: а)(1;4)------------------------------------------------------- б) (-2; 13) в)(1;-100) г) (5;-8) Найдите еш;ё какие-нибудь решения уравнения Ъх + у -1 = 0. 7.7. Запишите, сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными: _________________________________________ График линейного уравнения с двумя переменными 7.8. 1) Подберите пять решений уравнения х -Ь i/ - 7 = О, результаты запишите в таблицу. X у 2) Отметьте точки с полученными координатами (х; у) на координатной плоскости. 3) Проверьте, принадлежат ли полученные точки одной прямой. Если да, то проведите её и обозначьте буквой I. (Если нет — иприте ошибку.) 4) Заполните пропуски: прямая I — это уравнения_______________________ к 1 1 О X 40 5) Закончите предложение. Любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению х +у-1 = 0, принадлежит-----------------------—---------- 6) Отметьте на полученной прямой какую-нибудь точку. Определите её координаты и проверьте, являются ли они решением данного уравнения. 7) Закончите предложение. Координаты любой точки, принадлежаш;ей графику уравнения JC -Н I/ - 7 = о, являются решением---------------------- 7.9. Подберите пять решений данного уравнения и постройте его график*. а) л: -Ь ^ - б = 0; б) л: - I/ Ч- 4 = 0. X у X у 7.10. Запишите, сколько точек достаточно отметить, чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными:_____________ * Изображения координатной плоскости, данные в тетради, перед началом решения необходимо дополнить следующим образом: обозначить оси, указать начало координат и единичный отрезок. 41 7.11. На координатной плоскости хОу постройте график линейного уравнения по двум точкам. а) 2jc -f Зг/ - 12 = 0; в) Зле - 4у - 12 = 0; X 0 у 0 X 0 У 0 б) 2х-1у + Ы = 0; г) Зд: -f 9i/ + 18 = 0. X 0 У 0 X 0 У 0 42 7.12. На координатной плоскости tOs постройте график уравнения: a)8^+16s+ 32 = 0; б)16^-8s = 32. t S 7.13. Составьте аналитическую и графическую модели задачи. Решите задачу. Первое число — х, второе число — у. Сумма чисел равна 9, разность равна 3. Какие это числа? X у X у Ответ: 43 § 8. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ и ЕЁ ГРАФИК Линейная функция 8.1. 1) Выразите у из уравнения: а) -6л: + 3^ - 9 = 0; в) Зл: + 4г/ + 8 = 0; б) -2х + Зг/ - 10 = 0; т)ах + Ъу с = 0. а с 2) Замените в последнем выражении —- на ft и -- на /п о о 3) Закончите предложение (см. § 8 учебника). Правило у = kx + Шу по которому, зная, чему равен л:, можно найти __________, называют______________________________________ 4) Используя результаты заданий а), б), в), запишите, чему равны ft и m в каждом случае: а) б) в) 44 8.2. Дана линейная функция i/ = 2дс + 3. 1) Заполните таблицу: X -2 -1 0 1 2 3 4 у 2) Запишите, как называют значения у из второй строки таблицы (см. § 8 учебника, с. 43):______________ 3) Заполните пропуски. X — (зависимая, независимая) переменная(или -); (зависимая, независимая) переменная. 8.3. Найдите значение линейной функции у = 3х - 1 при данном значении аргумента. Образец - х = Ь. Решение. у = дх-1; y = S-5-l; у = 14. Ответ: 14. а) л: = 4; б) х = -2; в)х = 2,5. .1 --------------L.. 45 8.4. Дана линейная функция у = 5х- 2,5. Найдите значение л:, которому соответствует данное значение у. Образец i/ = 7. Решение. 7 = 5д:-2,5; 7 + 2,5 = 5д:; 9,5 = 5л:; л: = 9,5:5; X = 1,9. Ответ: 1,9. а) у = 8,5; b) i/ = -12,5; 6) у = 3,9; т)у = -0,5. 46 График линейной функции 8.5. Заполните таблицу и постройте график данной линейной функции. а)у = хЛ-2\ в)у = 2х-^\ X у б)1/ = -X + 2; X у г)1/ = -2х - 3. X у 47 Промежутки, на которых линейная функция имеет постоянный знак 8.6. Дан график линейной функции у = —х - 1. 3 1) Запишите, при каком значении х линейная функция принимает значение z/ = 0:______________ 2) Где расположена часть графика, точки которой имеют положительную ординату? Подчеркните верный ответ. • Выше оси абсцисс. • Ниже оси абсцисс. • Правее оси ординат. • Левее оси ординат. 3) Выделите красным цветом часть графика, расположенную выше оси Ох. 4) Отметьте на выделенной части графика три точки и укажите их абсциссы. 5) Выделите красным цветом на оси абсцисс промежуток, соответствующий части графика, расположенной выше оси Ох. 6) Запишите, какой знак имеют значения линейной функции 1 . у = —л: - 1 на выделенном вами промежутке:-------------. ^ (у > 0. у < 0) 7) Запишите, при каких значениях х линейная функция принимает положительные значения (z/ > 0): (в виде промежутка) (в виде неравенства) 48 8) Где расположена часть графика, точки которой имеют отрицательную ординату? Подчеркните верный ответ. • Выше оси абсцисс. • Ниже оси абсцисс. • Правее оси ординат. • Левее оси ординат. 9) Выделите синим цветом часть графика, расположенную ниже оси Ох. 10) Отметьте на выделенной части графика три точки и укажите их абсциссы. 11) Выделите синим цветом на оси абсцисс промежуток, соответствующий части графика, расположенной ниже оси Ох. 12) Запишите, какой знак имеют значения линейной функции у = -X - 1 на выделенном вами промежутке: 3 (у > о, у < 0) 13) Запишите, при каких значениях х линейная функция принимает отрицательные значения {у < 0); (в виде промежутка) (в виде неравенства) Наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном промежутке 8.7. Дан промежуток на оси абсцисс и график линейной функции. Выполните последовательно указанные действия: — выделите на оси х данный промежуток; — отметьте на графике точки, абсциссы которых — концы этого промежутка; — выделите часть графика, соответствующую данному промежутку; — обозначьте самую верхнюю и самую нижнюю точки выделенной части графика; 49 — найдите и запишите наибольшее и наименьшее значения функции и значения х, при которых достигаются у «иг/ ^ 7 Г' Г' п Z7 наиб ^ найм у ^наим при X у ^ найм при X У наиб при X ^наиб при X у ^наим при X У ^ найм при X у яаяЪ при X у наиб при X б)(-оо; +00) У^ \ 1 о 1 X у ^ найм при X у ^ найм при X У п&иб при X У наиб при X 50 8.8. Постройте график данной линейной функции, выделите его часть, соответствующую заданному промежутку. Укажите наименьшее и наибольшее значения функции на этом промежутке. Образец I/= л: - 2, дс € [-3; 5]. Решение. X -3 5 у -5 3 у = -5 при л: = -3 ^ найм ^ = 3 при ж = 5 &)y = x + S, хе [-3; 1]. Решение. X У у ^наим У наиб б)г/ = 2-л:, д:б(-2;4]. Решение. X У у ^наим У ялиб ' 51 в) у = 2х - 2, X е (-1; 2) у ^ найм ^наиб ' г) I/ = 3 - Зху X € (0; +00) X у у ^наим ^наиб ' 8.9. Постройте график линейной функции у = х-2на указанном промежутке и найдите её наименьшее и наибольшее значения. Образец! JC € [-3; 5). Решение. X -3 © у -5 © у =-5прил: = -3, ^ найм ^ у , нет. ^ наиб Овалами обведены координаты точки, не принадлежащей графику. 52 а)хе [-3; 5] X у б)хе (-3; 5) X у ’наиб ' Возрастание и убывание функции 8.10. Туристы прислали в штаб отчёт в виде графика о своём движении и привалах в горах (по оси абсцисс отмечено время движения (в часах), по оси ординат — высота над уровнем моря (в метрах)). Запишите промежутки времени, в течение которых туристы: а) шли в гору (высота над уровнем моря возрастала)-; б) спускались с горы (высота над уровнем моря убывала)- в) отдыхали (высота над уровнем моря не менялась)______ 53 8.11. Используя результаты предыдущего задания, запишите, в течение какого времени график движения туристов является графиком: а) возрастающей функции_______________________________; б) убывающей функции__________________________________; в) постоянной функции_________________________________ 8.12. 1) Постройте графики линейных функций, предварительно заполнив таблицу. а) i/ = Зл: + 1; I/ = 2л: - 1 X у X у 6)у = -2х у = -Зл: + 1 2) Заполните таблицу, используя построенные графики. Линейная функция к Линейная функция возрастает или убывает а) 1/ = Зл: + 1 У = 2х-1 6)у = -2х - 1 у = -Зл: + 1 54 3) Используя результаты задания 2), сделайте вывод о том, как связано возрастание или убывание линейной функции с коэффициентом k: • если /г > О, то линейная функция_______________________; • если /г < О, то линейная функция_______________________ 8.13. Дана линейная функция у = 3х-6. 1) Возрастает или убывает данная линейная функция? 2) Постройте её график. X у 3) Найдите, используя график: а) координаты точки пересечения графика с осью Ох б) координаты точки пересечения графика с осью Оу в) значение линейной функции, соответствующее значению аргумента, указанному в таблице: X -1 0 1 2 у г) значение аргумента, которому соответствует значение линейной функции, указанное в таблице: X У -9 -6 -3 0 55 8.14. Дана линейная функция у = -2х + 4. 1) Возрастает или убывает данная линейная функция? 2) Постройте её график. X у 3) Найдите, используя график: а) координаты точки пересечения графика с осью Ох б) координаты точки пересечения графика с осью Оу i в) значение линейной функции, соответствующее значению аргумента, указанному в таблице: X -1 1 2 3 у г) значение аргумента, которому соответствует значение линейной функции, указанное в таблице: X У -4 -2 0 4 8.15. Постройте график линейной функции г/ = 2л: - 6 и с его помощью найдите и запишите: а) координаты точек пересечения графика с осью абсцисс б) координаты точек пересечения графика с осью ординат 56 в) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство у> О г) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство у <0 8.16. Постройте график линейной функции у = -2х -Ь 4 и с его помощью найдите и згшишите; а) чему равно значение у при х = 0 б) при каком значении аргумента у = 0 в) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство у> О г) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство у<0 57 §9. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ у=кх Частный случай линейной функции у = кх + т 9.1. Преобразуйте данное линейное уравнение с двумя переменными к виду линейной функции I/ = kx + т и запишите, чему равны коэффициенты кит: а) 4х-2у = 0; б) 6х + 3у = 0. 9.2. Запишите формулу линейной функции при условии т = 0: Зависимость расположения графика линейной функции у = кх от коэффициента к 9.3. 1) Постройте в данной системе координат графики функций у - Ху у = 3хиу= |х. X у = х X у = 3х 1/= «л: ^ 3 58 2) Постройте в данной системе координат графики линейных функ-ций I/=-л:, I/=-Здс и = -1 л:. X у = -х X у = -дх X 1 ^ 3 — ■ i ■ '■ - •• : Г ■ ! — 1 1 __i 1 1 i 1 ^ ! I — 1 j ,_L .1 1 i 3) Существует ли точка, через которую проходит график любой линейной функции вида у = kx? Если да, то запишите её координаты. 59 4) На рисунках, полученных при выполнении заданий 1) и 2), отметьте дугой угол между графиком и положительным направлением оси X и заполните таблицу. Линейная функция Знак коэффициента к Вид угла (острый, тупой) Характер изменения функции (возрастание, убывание) 1 У = —X ^ 3 у = х у = 3х у = -3х У = -х 1 у = --х 5) Проанализируйте результаты своей работы и заполните пропуски. • Если Л > О, то угол_________, функция________________; • если Л < О, то угол_________, функция________________; • чем больше |Л|, тем график расположен ближе к оси___; • чем меньше |Л|, тем график расположен ближе к оси_____ 6) Как называют коэффициент h линейной функции у = Дгх? 9.4. Постройте график линейной функции y = kxn запишите, внутри каких координатных углов он расположен. а) 1/= 1,5х б) z/ = -l,5x X 1/= 1,5х X у = -1,5х т)у = --х X 1 X 1 у = --^х 60 Свойства линейной функции у = кх (выводы) 9.5. Ответьте на вопросы. 1) Что является графиком линейной функции у = kx? 2) Через какую точку проходят графики всех линейных функций вида у = kxl-------------------------------------------- 3) Какой угол образует график линейной функции у = kx с положительным направлением оси л:, если k > 07-------------- Если k<07__________________ 4) Как называют коэффициент k7-------------------------- 5) При каких значениях углового коэффициента k линейная функция возрастает?---------------------------------—------- Убывает?________________________________________________ 61 6) в каких координатных углах расположен график линейной функции у = kXj если k>0?----------------------------------- Если k <0?______________________________________________— Построение графика линейной функции у = кх 9.6. График функции у = kx проходит через данную точку. Определите коэффициент k, запишите соответствуюгцую формулу и постройте график этой функции. а)А(17; 34);/е = б)В(-100; 50);^ = У = У = в) C(12;-36);ife = У =--------------- г)Х)(-25; 100);^ = У =---------------- 62 9.7. Найдите угловой коэффициент линейной функции y = kxvL запишите, возрастает она или убывает, если: а) у = 8 при л: = 2; в) у = 35 при JC = -7; б) у = -21 прил: = 3; г) у = -32 при X = -4. 9.8. 1) Постройте график линейной функции у = 0,5л:. 2) Используя построенный график, заполните таблицы. а) X -6 -4 0 2 у б) X У -3 -2 -1 2 3) Запишите, при каких значениях х выполняется указанное условие: 0,5л: < о 0,5л: > о 0,5л: < о 0,5л: > о 63 4) Укажите наименьшее и наибольшее значения линейной функции I/ = 0,5л: на данном промежутке. а)[0; 1] у _______ ^ найм ^наиб в)[0;1) у ______ ^ найм У нанб б)(0; 1) у _______ ^ найм У наиб г)(-оо; 1] у __________ ^ найм У наиб Взаимное расположение графиков у = кхиу = кх + т 9.9. 1) Постройте в одной системе координат графики линейных функций: y = Sx; у = 3х + 5; X у у = Зх-Ъ. X у 1 i ; ^ ^ к j 1 1 1 ^ 1 : i ; i 1 i - — ! ! j T r : i 1 i ! .. 1 ' __J L_ ■ 2) Как расположены прямые y = 3x-^bviy = 3x-b относительно прямой у = 3x1 64 3) Как надо переместить график линейной функции у = Зх, чтобы получить график линейной функции у = 3х + 57 4) Как надо переместить график линейной функции у = Зл:, чтобы получить график линейной функции у = Зх-57 9.10. На рисунке изображён график линейной функции у = kXy на котором отмечена некоторая точка. Найдите значение углового коэффициента и запишите формулу, задающую данную линейную функцию, используя координаты отмеченной точки. а) 1. 2. Ответ: б) 1______ 2______ Ответ: §10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ 10.1. Запишите, чему равен угловой коэффициент k данной линейной функции, и постройте её график. I) у = 2х, k = . y = 2x-3f k = . y = 2x + Sf k = . X y = 2x X y = 2x-S X y = 2x + S 2) у = x +2, k z/ = 2x-l, k y = -6x + 5y k X y = x + 2 X y = 2x-l X у - -5x + 5 66 3) 1/ = 3-д:, k i/ = -x + 3, k X у = 3-х X у = -х + 3 10.2. Сделайте вывод о зависимости взаимного расположения графиков линейных функций от их коэффициентов и т: ---------------------------------------------------; 2) = ------------------------------------------------------; 3) k^ = k^,m^ = ------------------------------------------- 10.3. Не выполняя построения, сделайте вывод о взаимном расположении графиков данных линейных функций. Образец ш 1/ = 4л:-1-1и1/ = л: + 3. Решение. fej = 4, = 1 и = 1, /^2 = 3; ^ ^2» графики пересекаются. а)1/ = 3л: + 2иу = -Зд: + 2; б) у = 6 - X и у = -X + 5; в)у = -7 + 2хиу = -7- 2х. 67 10.4. Найдите, если это возможно, координаты точки пересечения прямых: а)г/ = 2л:-1-Зиу = л:-1; в)г/ = -Зх + 1иу = -Зх - 2; .. . ---4— - -- 1 [ ! j 1 i 1 Ответ: Ответ: б)у = 0,5л: + 1 и у = 2х - 2; г)у = 1,5л: + 4 и I/ = 1,5дс - 1. Ответ: Ответ: 68 ГЛАВА 3 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ §11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Линейные уравнения с двумя переменными (повторение) 11.1. 1) Подчеркните линейные уравнения с двумя переменными. -I/- 5 = 0; —I-1/ + 2 = 0; X 4а - 2а + б = 0. i/ = 3jc-1,7; 2х + Зу-4 = 0; 2) Запишите общий вид линейного уравнения с двумя переменными. 3) Что является решением уравнения с двумя переменными? 4) Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными? 11.2. 1) Составьте математическую модель ситуации. Даны два числа: хиу. Их сумма равна 3, а разность второго числа и удвоенного первого равна -3. 2) Вы получили два уравнения, описывающие два условия. Эти условия должны выполняться одновременно. Запишите, как называют математическую модель, состоящую из двух таких уравнений. 3) Составьте из полученных уравнений систему. ! 1 1 I : 1 1 1 ‘ i 1 i I , 1 \ -■[ 1 1 1 J____ 1 f ^ - r-| --4 69 4) Запишите, что является решением системы уравнений. 5) Решите составленную систему уравнений графически. 1 ^ j i i к К .... 4 .. ! —i— -- ; ! I 1 — “1 f i Ответ: Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными графическим способом 11.3. (Устно.) Попробуйте сформулировать алгоритм решения графическим способом системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 11.4. Решите графически систему уравнений, записывая содержание этапов. Образец \2х - у = 1, [х + у = 2. Решение. 1 • Строим графики уравнений системы. ■awiMiii 2. Отмечаем точку пересечения графиков и находим её координаты. Ответ: (1; 1). 70 а) X - у - 2 = Оу Зл: + г/ - 2 = 0. Решение. 1_________________ 2. Ответ: б) I/ - JC - 1 = о, 2х ^ у - \ = Решение. 1________________ 2_____ Ответ: 71 11.5. 1) Решите графически систему уравнений, мысленно проговаривая содержание этапов: \3х - у + 2 = Оу I/ - Зх + 4 = 0. 2) Найдите в учебнике (§ 11, с. 64) название системы уравнений, которая не имеет решений. 3) Запишите, как называется система из задания 1): 72 11.6. 1) Решите графически систему уравнений, мысленно проговаривая содержание этапов: 0,5л: - I/ + 1 = о, 1 у----X -1 = 0. ^ 2 2) Найдите в учебнике (§ 11, с. 64) название системы уравнений, которая имеет бесконечно много решений. 3) Запишите, как называется система из задания 1): 73 § 12. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ Решение систем уравнений графическим способом (повторение) 12.1. 1) Решите графическим способом систему уравнений: у = Sx - 5, у = 4-2х. X у X у Ответ: х =. У 2) Подставьте в первое уравнение системы вместо у выражение 4 - 2jc из второго уравнения. Решите полученное уравнение. ■ ! 1 1 " ] 1 ; 1 1 1 j ..-4 1 - 1 1 --ь—1 ! -- i I j 1 1 1 3) Подставьте во второе уравнение системы найденное значение х и вычислите у. 4) Запишите решение системы в виде пары чисел: 74 12.2. 1) Попробуйте решить графическим способом систему уравнений: ^ = 5л: + 6, у = 1Ъх- 30. 2) Подставьте во второе уравнение системы вместо у выражение 5л: + 6 из первого уравнения. Решите полученное уравнение. 1 i ’ 1 ! 1 1 i i 1 i ! ■' 1— f..-4- 3) Подставьте в первое уравнение системы найденное значение х и вычислите у. .....Г...... 4) Запишите решение системы в виде пары чисел: 75 Решение систем уравнений методом подстановки 12.3. Решите систему уравнений, записывая содержание этапов. Образец ' . \у = 2х - 7, [у = 6 - X. Решение. 1. Подставляем во второе уравнение системы вместо у выражение 2д: - 7 из первого уравнения: 2д:-7 = 5-д:. 2. Решаем полученное уравнение относительно х: 2х + X = 6 + 7; Зх = 12; х = 12:3; х = 4. 3. Подставляем найденное значение х во второе уравнение: «/ = 5-4; «/ = !• Ответ: (4; 1). a)f = [У = s-x. Решение. 1__________ 2. i -'f '"T- i i _. ! ! i J 1 — ' 1 ' i ^ 1 - . 1 . .J ,_J i 76 3. 1 1 ^ i ! i 1 ‘ 1 : { i т ' 1 1 ^ ^ :t:: 1 I ' I ■ 1 I i [ i i .J ; 1 .._i. .1 . i Ответ: б) у = 7 - Зх, у = х-1. Решение. 1__________ 2. Ответ: 77 12.4. Решите систему уравнений, мысленно проговаривая содержание этапов. Образец 5л: + Z/ - 15 = О, л: - 2г/ + 8 = 0. Решение. 1 • Выражаем у через х из первого уравнения системы: у = 15- 5х. 2. Подставляем полученное выражение вместо у во второе уравнение системы: л: - 2(15-5л:)-Ь 8 = 0. 3. Решаем полученное уравнение относительно х: х-г0 + 10х + 8 = 0; Их-22 = 0; 11х = 22; х = 2. 4. Подставляем найденное значение х в выражение у = 15- 5х, полученное на первом шаге: у = 15-5-2; У = 5. Ответ: (2; 5). rrMifi-diirimfi fiiimri а) 2х + у = 4, Зх + 7у = 6. Решение. 78 б) I* + 4j/ = 6, ’ \3х ^ у = 1. Решение. 79 §13. МЕТОД АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ Свойства равенств 13.1. Решите уравнение: а) - + - = 0; r)0,5jc = 14; 4 8 6)|-| = 0; д) в)2х(х^ + 1) = 7(х^ + 1); е) 2х - 3 _ Зх -7 5 " 5 ’ 2,Ьх - 4 9 - 3,5jc 80 Сложение и вычитание уравнений 13.2. 1) Выполните сложение уравнений: а) х+у=11 2х-у= 2 в) Зх +2у = 4 -Зх-7у=1 б) X -6у = S -5х+8у= 3 г) , х+2у = 3 + 3;.+ у=П 2) Запишите, в каких случаях в результате сложения получились уравнения с одной переменной:------------------------------; с двумя переменными: -------------------------------------- 3) Объясните (устно), почему в двух случаях получились уравнения с одной переменной. 4) Обведите пары уравнений, в результате сложения которых получились уравнения с одной переменной. 5) Как надо преобразовать уравнения в остальных парах, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной? 13.3. 1) Выполните вычитание уравнений: в) а) _ X - у = 5 6х - у = 9 2х + у = 16 2х +3у = 18 б) , Зх + Ьу = 11 ^7х-5у= 4 г) 5х-3у =4 Ьх + 2у = -6 2) Запишите, в каких случаях в результате вычитания получились уравнения с одной переменной:------------------------------; с двумя переменными: -------------------------------------- 3) Объясните (устно), почему в двух случаях получились уравнения с одной переменной. 4) Обведите пары уравнений, в результате вычитания которых получились уравнения с одной переменной. 81 5) Подумайте, как надо преобразовать уравнения в остальных парах, чтобы в результате вычитания получилось уравнение с одной переменной. Решение систем уравнений методом алгебраического сложения 13.4. Выполняя последовательно указанные действия, решите данную систему уравнений. а) Зд: -f- 5i/ = 11, 2х-Ъу = 4. 1 • Сложите уравнения системы и решите полученное уравнение: Зл: + 5i/ = 11, 2х -Ъу = А 2. Подставьте найденное значение х в первое уравнение заданной системы и решите полученное уравнение относительно у: 3-________4-5i/ = ll. 3. Запишите ответ в виде пары значений (jc; у), которые были найдены на первом и втором шагах. Ответ: (. 82 б) 5х - Зу = 4, 6х + 2у = -6. 1. Вычтите из первого уравнения системы второе и решите полученное уравнение: бх - Зу = 4, бх + 2у = -6 2. Подставьте найденное значение у в первое уравнение заданной системы и найдите значение х: бх-3-______= 4. 3. Запишите ответ в виде пары значений (х; у)^ которые были найдены на первом и втором шагах. Ответ: (_____;______). 83 13.5. Решите систему уравнений, записывая содержание этапов. Образец 2х + Ay = 6, 5х - 4у = 8. Решение. 1 • Складываем уравнения системы и находим значение х: 2х + Ау = 6, 5х - Ау = S 7х = 14; д: = 14 : 7; д: = 2. 2. Подставляем найденное значение х = 2 в первое уравнение системы и решаем его относительно у: 2'2 + Ау = 6; А + Ау = 6; Ау = 6-А; Ау = 2; У = 0,5. 3. Записываем ответ в виде пары значений (д:; у), найденных на первом и втором шагах. Ответ: (2; 0,5). а) 7х + 8у = 1, Зх -8у = 9. Решение. 1_____________ 84 2. -- 1...Г 3. Ответ: б) 16д: + 1Ъу = 4, 16х + 4у = 26. Решение. 1______________ 2. 85 3. Ответ:__________________________. 13.6. Решите систему уравнений, используя данный образец. Образец * "• ;; ;■ •; -: • * • -i'■:' •';. ; %-4SSiS£:r;;- л: - 6г/ = 8, I • 5 -5х + 8i/ = 4. 5л: - ЗОг/ = 40, 1. 2 +1 -5л: + Sy = 4; -22у = 44; у = 44: (-22); У = -2. 3. л:-6-(-2) = 8; л: + 12 = 8; л: = 8 - 12; X = -4. Ответ: (-4; -2). а) л: - 4г/ = 9, Зл: + 2г/ = 13. 86 б) 2л: + I/ = 6, -4х + Зг/ = 3. в) х + 2у = 10, Зх - у = 2. 87 13.7. Решите систему уравнений, используя данный образец. Образец [-4jc - 2i/= 5, 1*5 1. 5л: + 41/ = -0,25.|*4 j-20jc - lOy = 25, * ~^|20д: + 16у = -1; 6i/ = 24; i/ = 24:6; i/ = 4. 3. -4jc-2-4 = 5; -4jc - 8 = 5; -4x = 5 + 8; -4л: =13; x=13:(-4); л: = -3,25. Ответ: (-3,25; 4). a) 2jc + 9i/ = 25, 5л: + 6i/ = -20. 88 б) 7х + 4:у = -16, 2x-Sy = -17. в) Sx + 4у = -6, 4х-Ъу = 23. 89 §14. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ 14.1. Для учащихся 7-го класса купили х билетов в театр по 250 р. и у билетов в кино по 120 р. 1) Запишите выражения для следующих величин: • количество всех купленных билетов-----------------; • стоимость билетов в театр_________________________; • стоимость билетов в кино__________________________ 2) Запишите в виде уравнения: • всего куплено 30 билетов__ за все эти билеты заплатили 4900 р. 3) Объясните, почему из полученных уравнений можно составить систему___________________________________________________ 4) Составьте из полученных уравнений систему и решите её. 90 14.2. Цена платья — хр., а костюма — г/ р. За два платья и один костюм заплатили 3520 р. Известно также, что три платья стоят столько же, сколько один костюм. Выберите систему уравнений, которая верно отражает описанную в задаче ситуацию. Решите выбранную систему уравнений. а) 2х + у = 3520, д: = Sy; б) 2х + у = 3520, Sx + у = 0; в) 2х + у = 3520, Sx = у. 91 ГЛАВА 4 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЁ СВОЙСТВА § 15. ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Определение степени числа с натуральным показателем 15.1. Запишите сумму в виде произведения: а) 15 + 15 =________________; 1 1 1 ^ 7 7 7 _____________________; в) (-0,2) + (-0,2) + (-0,2) + (-0,2) = 15.2. Сторона квадрата равна 8 см. Найдите: а) его периметр___________; б) его площадь 15.3. Найдите объём куба со стороной 2 м. 15.4. 1) Заполните таблицы по образцу. 1515 = 152 9*9*9= 7-7*7-7= 3-3-3-3-3= 2-2*2-2-2-2= 52 = 5-5 82 = 11^= 02= 7« = 2) Запишите, как найти значение выражения а", если п € iV и л > 1; a'^ =______________________ (Устно.) Попробуйте сформулировать определение степени. 92 15.5. 1) Прочитайте определение степени в учебнике (§ 15, с. 74) и сравните его со своей формулировкой. 2) Запишите, как называют: • выражение 15'^_______________________________________; • число 15 в выражении 15'^ • число 7 в выражении 15^ _ 15.6. Заполните таблицу. Степень Основание степени Показатель степени 34® 34 6 67 9 2,1 3 -(2,1)^ 5 13 2 т 4 {-ту {k +1)® —k + 1 5 х-у 3 {-X + yf 15.7. Запишите, что называют степенью числа а с показателем 1. 15.8. Установите последовательность действий и устно найдите значение выражения. а) 3^-20 = . б) 16-f-82 = в) 52-102 = г)(20-18)® = 93 §16. ТАБЛИЦА основных СТЕПЕНЕЙ 16.2. IV = 1111 = 12Г 182 = 252 = 122 = 192 = 262 = 132 = 202 = 272 = 142 = 212 = 282 = 152 = 222 = 292 = 162 = 232 = 302 = 172 = 242 = 312 = 94 16.3. 1) Заполните таблицу; п 1 2 3 4 5 6 1" 0" (-1)" 2) Проанализируйте полученные результаты и запишите правую часть равенства {п — натуральное число). 1'* = 0" = (-1)" = Сравните записанные равенства с формулами в учебнике (§ 16, с. 77). 16.4. 1) Заполните таблицу по образцу. 10« 1Q2 100 10^ 1Q3 1000 ... 108 10^ 108 10^ 2) Прочитайте, что у вас получилось, следуюш;им образом: • десять в первой степени — это десять; • десять в квадрате — это сто; • десять в кубе — это тысяча; ИТ. д. 3) Запишите правую часть равенства: 10" =____________________________ Сравните записанное равенство с равенством в учебнике (§ 16, с. 78). Вычислите: а) 12 = в)-12 = б) (-1)2 = Г)-(-1)2 = а) 18 = в)-18 = б) (-1)2 = г)-(-1)8 = 95 Преобразуйте выражение к виду, не содержащему скобок: 16.7. а)(-л:)2= 6)-(-xf= в)-(-(-х^)) = 16.8. a)i-xf= б)-{-хУ= в)-(-(-х^)) = 16.9. Представьте данное число в виде квадрата некоторого числа. Образец ■■ . ..■ .......iv '■ 64 ^ Г 8 625 " I25 25 а) 49 = б) 0,49 = в) — = ^ 25 , 121 г)---- = 196 Д)1,21 = е) 225 = 16.10. Представьте данное число в виде куба некоторого числа: а) 27 = б) -0,027 = 16.11. Заполните таблицу. 27 г)1£^ = 216 а п а" а п а" 3 2 0 5 1 п 0 6 -1 п — чётное 0 п -1 3 3 125 -1 -1 3 -343 -1 1 0 -4 3 1 -4 4 -1 96 Вместо многоточия поставьте нужный знак неравенства (>, <, > или <): 16.12. а)ш2...0; б) -т^... 0; 16.13. а)(т + 1)2... 0; б) -(/71 + 1)2... 0; 16.14. а) р2 + д2 Q. б) (р + 7)2 + (/I - 7)2... 0; в) (-/п)2... 0; г) -(//г)2... 0. в) (-//г)2 + 1... 0; г) {-т + 1)2 + 1 ... 0. в) 7(р2 + 0; г) -7(р + 71)2... 0. § 17. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Умножение степеней с одинаковыми основаниями 17.1. Представьте произведение в виде степени, заполняя таблицу по образцу. 22 • 2® = (2-2)-(2-2-2) = 2-2-2-2-2 = 22 32*3'‘ = 54-52 = • a^ = 17.2. Сравните выражения в первом и третьем столбцах таблицы из № 17.1. Сделайте вывод, чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями. Используя результаты своей работы, заполните пропуски: . 95 ^ 9IHII. б) 3^ 3^ = а) 22-25 = 2^ в) а’'' = d-------1. 17.3. (Устно.) Попробуйте самостоятельно сформулировать правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. 17.4. Прочитайте правило 1 в учебнике (§ 17, с. 82) и сравните его со своей формулировкой. 17.5. Представьте произведение в виде степени: а) 2® • 2® = B)q- q^ = б) q^-q^= r)(2g)2-(2g)2 = 97 17.6. Представьте данное выражение в виде произведения двух степеней с тем же основанием. Запишите не менее трёх возможных случаев. Образец! 3^=3^-3«; 3^=32-35; 3^=32 -3^ ------, б)р«= a) 4« = 4® = . 4« = p« = p« = B) (4p)« = (4p)« = (4рГ = 17.7. Закончите фразу и запишите соответствуюш;ую формулу. При умножении степеней с одинаковыми основаниями_________ Деление степеней с одинаковыми основаниями 17.8. Представьте частное степеней в виде степени по образцу. л5 2^ 2^ = ^ = 2® 2-2-2*2-2 ^ ^2>2<ЙУ-2-2 _ 22 2-2-2 ” 3^: 32 = 5^: 52 = а®: а® = 17.9. Сравните выражения в первом и третьем столбцах таблицы из № 17.8. Сделайте вывод, чему равно частное степеней с одинаковыми основаниями. Используя результаты своей работы, заполните пропуски: а) 2« : 2^ = 2^ б) 3": З'» = з1^; в) а" : а* = J I 17.10. (Устно.) Попробуйте самостоятельно сформулировать правило деления степеней с одинаковыми основаниями. 98 17.11. Прочитайте правило 2 в учебнике (§ 17, с. 82) и сравните его со своей формулировкой. 17.12. Представьте частное в виде степени и найдите его значение: а) 2» : 25 =_____________; в) 5": 5^ =____________________; б) 3®: 3® =______________; г) 7» : 75 =___________________ 17.13. Представьте частное в виде степени: а) а^^:а'^ =______________; в)т^:т^- б) : Ь® =_______________; T)k^:k^ = 17.14. Упростите выражение: а а)^ = а В)^ = т т 17.15. Замените символ * степенью с основанием d так, чтобы выполнялось равенство: а) d^'^:* = d\* = б) di^* = d,* = _ в) d^'^ :* = d^\* = . r)*:d8 = d^°o, * = . 17.16. Замените символ * степенью с основанием п так, чтобы выполнялось равенство: „17 а) —— = /1^^, * = . в) — = п^,* = •к „12 б)!!— =п\* = . * п 10 г)-----= п"”. 17.17. Закончите фразу и запишите соответствующую формулу. При делении степеней с одинаковыми основгшиями_ 99 Возведение степени в степень 17.18. Вычислите, заполняя таблицу по образцу. (2^)5 = 24.24.24.2^ • 2^ = 24+4+4+4+4 24-5 (35)3 = (5^)^ = (а®)з = 17.19. Сравните выражения в первом и четвёртом столбцах таблицы из № 17.18. Сделайте вывод, чему равна степень степени. Используя результаты своей работы, заполните пропуски: б)(32)3 = з1^- а) (25)2 ^ 2L в) {a’^Y = а^— 17.20. (Устно.) Попробуйте самостоятельно сформулировать правило возведения степени в степень. 17.21. Прочитайте правило 3 в учебнике (§ 17, с. 82) и сравните его со своей формулировкой. 17.22. Представьте в виде степени: а) (35)^= в) (52)“= Д)(а®)^ = б) (9«)^= г)(^^= е)(т2)“ = 17.23. Представьте в виде степени с показателем 2: а) 4“= b)(4s)18 = б) = г) /г24 = 17.24. Представьте в виде степени с показателем 3: а) д:^8= в)(270'* = б) 8^2 = г) /г® = 17.25. Закончите фразу и запишите соответствующую формулу. При возведении степени в степень______________________________ 100 § 18. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ Умножение степеней с одинаковыми показателями 18.1. Представьте произведение степеней в виде степени, заполняя таблицу по образцу. 22 • 72 = (2*2)*(7*7) = (2*7)*(2*7) = (2 • 7Г 52*22 = а^’Ь^ = 18.2. Сравните выражения в первом и третьем столбцах таблицы из № 18.1. Сделайте вывод, чему равно произведение степеней с одинаковыми показателями. Используя результаты своей работы, заполните пропуски: а) 2^ • 5^ = (_)Q; в) o'* • 6" = (_)^; г)2^-лг" = (____ б) = 18.3. (Устно.) Попробуйте самостоятельно сформулировать правило умножения степеней с одингжовыми показателями. 18.4. Прочитайте правило 4 в учебнике (§ 18, с. 86) и сравните его со своей формулировкой. 18.5. Представьте произведение степеней в виде степени некоторого числа или выражения: а) 23-6^= B)s'^-f= д)2'2.^12^ б) 73-3®= r)5®-fe6= e)ci^6*m“6 = 18.6. Закончите фразу и запишите соответствуюш;ую формулу. Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно ______________________________________________________ 18.7. Представьте степень в виде произведения степеней, используя формулу из № 18.6 справа налево: а) (4 • 7)5 = б)(рдГ = в)(7рГ = 101 Деление степеней с одинаковыми показателями 18.8. Представьте частное степеней в виде степени, заполняя таблицу по образцу. 18"^< : qq3 18 • 18 • 18 18 18 18 23 • 23 • 23 ” 23 23 23 . Ш 56^ _ 57^ ~ 18.9. Сравните выражения в первом и третьем столбцах таблицы из № 18.8. Сделайте вывод, чему ргшно частное степеней с одинаковыми показателями. Используя результаты своей работы, заполните пропуски: а) 19® 18.10. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило деления степеней с одинаковыми показателями. 18.11. Прочитайте правило 5 в учебнике (§ 18, с. 86) и сравните его со своей формулировкой. 18.12. Представьте дробь в виде степени частного: . 3’ д) а)^ = в) - 19® е) (Зп)" («Г _ (lift) 91 8.13. Закончите фразу и запишите соответствующую формулу. Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, достаточно 18.14. Представьте степень в виде частного степеней, используя формулу из № 8.13 справа налево: аМу] = 6)1^1 = «I f i - 102 § 19. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 19.1. 1) Сократите дробь: — =_______. а 2) Используя правило деления степеней, представьте выражение а” а” — в виде степени с основанием а, а 5* 0: — =____. а а 3) Используя результаты задания 1) и 2), запишите, чему равно а°=____________ 19.2. Используя определение степени с нулевым показателем (§ 19, с. 87 учебника), заполните пропуски в предложении: Если а ... о, то а° =_____ 19.3. Найдите значение выражения: а) 100 000° = б) (-0,1)“ = 19.4. Вычислите: а) 52° = б) х° = в) (52л:)° = г) (-700)° = г) 52jc° = Д)(-7)° = е) -у° = ж) (-71/)° = з)-7^° = 19.5. Заполните пропуски: а) (-8)^ + 1000^ = 64 + 1 = _)3-(-57)^ = -27-1 = б) (- в) 5[ г) (- ' + (- )°= 125 + 1 = )3-0,18' = -216-1 = 103 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя......................................... 3 Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ............ 5 § 1. Числовые и алгебраические выражения..................... 5 § 2. Что такое математический язык........................... 10 § 3. Что такое математическая модель......................... 11 § 4. Линейное уравнение с одной переменной................... 13 § 5. Координатная прямая...................................... 23 Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ....................................... 32 § 6. Координатная плоскость................................... 32 § 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график..... 39 § 8. Линейная функция и её график............................ 44 § 9. Линейная функция у = kx................................. 58 §10. Взаимное расположение графиков линейных функций............ 66 Глава 3. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.................................. 69 § 11. Основные понятия......................................... 69 § 12. Метод подстановки........................................ 74 §13. Метод алгебраического сложения............................ 80 § 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций............... 90 Глава 4. аЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И Е1 СВОЙСТВА .... 92 § 15. Что такое степень с натуральным показателем.............. 92 § 16. Таблица основных степеней................................. 94 § 17. Свойства степени с натуральными показателями............. 97 § 18. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями..101 § 19. Степень с нулевым показателем............................ 103 104