Учебник Физика 10 класс Тихомирова Яворский

с. А. Тихомирова, Б. М. Яворский ИЗИКА \ 1: ' if 'Г I ■fl пгв с. А. Тихомирова, Б. М. Яворский ИЗИКА 10 ■ класс УЧЕБНИК для общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 3-е издание, исправленное ^^-ГЕЛЬсу. Москва 2012 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 Т46 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106—5215/132 от 23.10.2009) и Российской академии образования (№ 01—5/7д—243 от 07.10.2009) Тихомирова С. А. Т46 Физика. 10 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / С. А. Тихомирова, Б. М. Яворский. — 3-е изд., испр. — М. : Мнемозина, 2012. — 304 с. : ил. ISBN 978-5-346-02180-3 Учебник предназначен для изучения физики на базовом и профильном уровне. Он состоит из трёх частей («Механика», «Молекулярная физика. Термодинамика» и «Электродинамика»). Учебник представляет собой краткий, но ПО.ДНЫЙ курс физики. Он включает не только обязательный материал, но и материал для повторения. Учебник содержит вопросы для проверки усвоения материала, упражнения, примеры решения задач, а также лабораторные работы. Для повторения и подготовки к ЕГЭ включён раздел «Задачи». Особенность учебника — реализация в нём гуманитарной напргшлен-ности физического образования (главы заканчиваются историческими экскурсами, ко многим параграфам приводятся эпиграфы). УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 Учебное издание Тихомирова Светлана Анатольевна, Яворский Борис Михайлович ФИЗИКА 10 класс УЧЕБНИК для общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский. Редактор В. А. Обменина Ответственный за выпуск Н. А. Матвеева Иллюстрации, оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданова Технический редактор О. Б. Нестерова. Корректоры А Я. Быкова, Е. В. Серов Компьютерная вёрстка: А А Горкин Формат 70x90 Vie. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 22,23. Тираж 10 000 экз. Заказ № 466 Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8(499)3675418, 3675627, 3676781; факс: 8(499)1659218. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел./факс: 8(495)7838284; тел.: 8(495)7838285. E-mail: [email protected] www.shop.mnemozina.ru Торговый дом «Мнемозина* (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8(495)6656031 (многоканальный). E-mail: [email protected] Отпечатано в ООО « Чебоксарская типография № 1». 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15. © «Мнемозина», 2010 © «Мнемозина», 2012, с изменениями © Оформление. «Мнемозина», 2012 ISBN 978-5-346-02180-3 Все права защищены Предисловие Изучение и наблюдение природы породило науку. Цицерон Физика — важнейшая из наук о природе. Её цель — отыскать наиболее общие законы природы и объяснить конкретные явления действием этих общих законов. В данном курсе физики рассматриваются основы механики, молекулярной физики, термодинамики, электродинамики. Учебник содержит обязательный материал, соответствующий стандарту базового и профильного образования, и материалы для повторения (отмечены одной звёздочкой). Двумя звёздочками отмечены материалы, предназначенные для изучения только на профильном уровне. Во введении изложен материал, посвящённый методам научного познания, ознакомление с которыми необходимо для успешного усвоения физики. В учебнике большое внимание уделено истории становления и развития научных взглядов на изучаемые явления, что даст возможность глубже понять их физическую сущность. Также приводится немало занимательной информации, призванной привлечь внимание к учебному материалу, — интересные исторические факты из жизни учёных, их оригинальные, образные высказывания, яркие примеры применения научных знаний. В содержание параграфов и упражнений включены отрывки из произведений художественной литературы, пословицы, загадки, в которых отражены те или иные физические явления. Это поможет по-новому взглянуть на привычный мир природных явлений и лучше усвоить изучаемый материал. Учебник содержит вопросы для проверки усвоения материала, упражнения, примеры решения задач, а также лабораторные работы. Для повторения и подготовки к ЕГЭ по физике в конце учебника включён раздел «Задачи». Многие физические величины — перемещение, скорость, ускорение и другие — векторные. Краткие сведения о векторах приведены в Приложении 1. В Приложении 2 представлены материалы по теме «Симметрия в природе, искусстве, технике и физике». Методы научного познания у научного изучения предметов две основные цели: предвидение и польза. Д. И. Менделеев Научный метод познания природы. Физика — это наука, изучающая природу. Чтобы успешно заниматься физикой, как говорил российский физик П. Л. Капица, мало знать только явления и законы физики, надо понять, как делается физика, как она создавалась, какова роль эксперимента, какова роль теории, какова роль математики. Для этого существуют методы познания, которые представляют собой общие способы получения знаний о природе. До XVI в. в физике господствовал метод Аристотеля, который приводил к тем или иным выводам путём рассуждений. В аристотелевской физике в отличие от её современного изложения не было ни описания опытов, ни математических формул. Метод эксперимента был отвергнут Аристотелем, поскольку он считал, что исследование природы с помощью комбинации «искусственных вещей» нарушает жизнь природы и искажает её познание. По тем же причинам Аристотель считал недопустимым применение математики к исследованию природы. По его мнению, математика имеет дело с абстрактными понятиями, природа же конкретна, материальна. В начале XVII в. стал формироваться научный метод познания природы. К этому времени была проделана большая работа: по обоснованию и укреплению позиций гелиоцентрической системы мира (Н. Коперник, Дж. Бруно, И. Кеплер, Г. Галилей); по критике взглядов Аристотеля и формированию отдельных элементов нового метода познания природы. С тех пор (почти четыре века) научный метод познания природы используется естественными науками. Исследование явлений начинается с наблюдений, при которых учёный не ограничивается общими качественными впечатлениями от явлений. Ему надо найти количественные характеристики явления в виде величин, которые подлежат измерению. Когда наблюдаемые величины найдены и проведены измерения, то пытаются установить количественную зависимость одних величин от других в виде математических формул. Если такая зависимость установлена, то говорят, что открыт опытный физический закон. Значение законов природы состоит в том, что они могут дать гораздо больше информации, чем опытные факты, с помош;ью которых эти законы получены. Законы избавляют нас от необходимости проводить эксперимент в каждом конкретном случае. Для объяснения наблюдаемых явлений или законов, установленных путём эксперимента, выдвигается гипотеза — научно обоснованное предположение о внутренних связях, управляющих данным явлением. Например, Г. Галилей опытным путём установил законы падения тел на Землю, но не смог объяснить их. И. Ньютон высказал гипотезу, согласно которой причина падения тел — притяжение их к Земле. Физическая теория объединяет несколько опытных закономерностей и гипотез и даёт объяснение целой области явлений природы с единой точки зрения. Теория позволяет не только объяснять уже наблюдавшиеся явления, но и предсказывать новые. Так, Д. И. Менделеев на основе открытого им периодического закона предсказал существование нескольких химических элементов. Правильность гипотез и теорий проверяется посредством постановки экспериментов и выяснения согласованности следствий, вытекающих из гипотезы, с результатами опытов и наблюдений. Таким образом, эксперимент служит не только источником знаний, но и критерием их истинности. В связи с огромной ролью эксперимента в физике её считают экспериментальной наукой. Но при изучении любого физического явления в равной мере необходимы и эксперимент, и теория. Нередко теоретические выводы не полностью согласуются с результатами экспериментальных исследований. Обычно это ведёт к уточнению (часто к усложнению) гипотезы или приёмов вычислений. Изучение явления осуществляется заново, но уже на иных основах, более точно отражающих реальную действительность. *Наблюдение — теория — эксперимент, и снова всё сначала — такова бесконечная, уходящая ввысь спираль, по которой движутся люди в поисках истины», — писал известный отечественный физик А. Б. Мигдал. Физические законы и границы их применимости. Физический закон устанавливает количественную зависимость одних физических величин от других. Законы могут быть получены двумя способами: в результате обобщения данных экспериментов (опытные законы) или путём выводов из известных законов (теоретические законы). Некоторые законы, открытые опытным путём, позже получили теоретическое объяснение, например опытный закон Архимеда. Поскольку законы всегда базируются на ограниченном экспериментальном материале, они приблизительны и имеют границы применимости. Моделирование в физике. Любые явления, как и свойства конкретного тела, очень сложны. Поэтому надо начинать изучать явление с выделения главного, от чего оно зависит, отбрасывая второстепенные факторы, не влияющие на него существенно. Подобное упрощение явлений называют моделированием. Моделирование — метод научного исследования, в котором изучаемое физическое явление (или объект) заменяется другим, сходным с ним — моделью. Модели могут быть материальными и идеальными. К материальным относятся такие модели, которые состоят из вещественных элементов и реально функционируют. Они предназначены для воспроизведения структуры объекта, характера протекания и сущности рассматриваемого процесса. Например, моделью жидкости может служить речной песок. Глобус — это модель земного шара. Планетарий представляет собой устройство, с помощью которого демонстрируют модели звёздного неба. Солнечной системы и других небесных объектов. К идеальным относятся такие модели, которые конструируются мысленно (материальная точка, математический маятник). Их можно фиксировать с помощью рисунков, мультипликации, определённых символов. Однако все преобразования элементов модели осуществляются в сознании человека по логическим, математическим, физическим правилам и законам. С возникновением новых поколений ЭВМ в науке получило широкое распространение компьютерное моделирование с помощью специально созданных для этой цели программ. После построения модели начинается её изучение (теоретический анализ). Выводы, полученные при этом, проверяют, выясняют их соответствие научному эксперименту либо результатам практической деятельности. Нельзя чисто теоретически установить, пригодна данная модель для описания конкретного явления или нет. Только опыт, практика дают уверенность в правильности той или иной модели явления. Физические теории. Все физические теории пострюены по методу принципов или по методу модельных гипотез. Как выглядит физическая теория, построенная по методу принципов? В её основе лежат два-три исходных положения, полученные путём обобщения большого числа экспериментальных фактов. Эти положения составляют принципы теории. Все другие экспериментальные факты объясняются или предсказываются в ходе теоретических построений, опирающихся на эти принципы. Так построена, например, классическая механика. В её основе лежат три закона Ньютона. Какова структура модельной теории? Её основу обычно составляет модель как некий образ, упрощённо характеризующий рассматриваемый материальный объект. Например, можно представить, как «выглядит» атом любого вещества (как он устроен), чтб удерживает электроны и ядро в едином целом и почему атом во многих явлениях «неделим», каким законам подчиняется движение электронов в атоме и т. д. С помощью модели учёные пытаются объяснить различные физические явления (например, электризацию тел, происхождение электрического тока. намагничивание тел). Если объяснение удаётся, то модель признаётся правильной. В ходе познания модель уточняется, она всё глубже, точнее отражает свойства реального объекта. В истории физики известны как плодотворные теории, так и ошибочные, не выдержавшие экспериментальной проверки, например теория теплорода. Эта теория объясняла нагревание тел увеличением, а охлаждение — уменьшением содержащегося внутри них теплорода. Но простейшие явления, например нагревание тел при трении, она объяснить не могла. Принципы соответствия и причинности. История физики показывает, что процесс познания материального мира не заканчивается опытной проверкой теории. Вскоре после создания той или иной теории обнаруживаются новые области явлений и накапливаются факты, объяснение которых не укладывается в её рамки и требует выдвижения новых гипотез, нуждающихся, конечно, в опытной проверке. Новые открытия вызывают потребность в исправлении, дополнении существующих теорий или создании новых, более глубоко и точно отражающих объективные закономерности природы. Новая теория чаще всего включает в себя старую как составную часть, т. е. является более широкой, всеохватывающей. Хорошо проверенные законы и соотношения остаются неизменными и в новой теории. Так, специальная теория относительности Эйнштейна изменила привычные представления о пространстве и времени, при этом она практически не повлияла на законы классической механики. Преемственность между старой и новой теориями описывается принципом соответствия, согласно которому новая теория должна переходить в старую при тех условиях, для которых старая теория была установлена. Принцип соответствия был сформулирован датским учёным Н. Бором в 1923 г. как косвенное подтверждение правильности выдвинутой им в 1913 г. теории строения атома и спектров излучения и поглощения. Бор установил, что между предложенной им неклассической теорией излучения и традиционной (классической) существует соответствие. Новая теория не отменяет ранее установленные законы, а лишь уточняет их, помогает определить область их применимости. Избегать ошибок в физике позволяет принцип причинности: положение о том, что причина предшествует следствию. Ежедневно мы убеждаемся, что событие-причина предшествует событию-следствию, — например, удару грома предшествует вспышка молнии. Если спутать причину со следствием или принять за причину случайно сопутствующее обстоятельство, может возникнуть серьёзная ошибка, заблуждение или суеверие. Известно, что перед дождём раки зарываются в песок. Если поменять местами причину и следствие, то получится абсурдная ситуация: чтобы пошёл дождь, надо закопать рака в песок. Беспричинных событий не может быть, иначе их существование вступило бы в противоречие с законом сохранения энергии, ибо это означает возник- новение чего-либо из ничего. Всякое изменение состояния тела может быть вызвано только материальным воздействием или процессом. Принцип причинности в физике, в частности, требует исключить из рассмотрения: влияние какого-либо события на все предшествующие события («будущее не влияет на прошлое»), влияние друг на друга одновременных событий, произошедших на таком расстоянии, что они не могут быть связаны каким-либо сигналом, даже световым. Физическая картина мира. Изучение природы всегда имело высшую цель, которая, по СЛОВЕ1М английского физика П. Дирака, состоит в том, чтобы ^получить единую всеобъемлющую теорию, пригодную для описания всей физики в целома. Эта теория способна была бы объяснить все физические явления и процессы во Вселенной на основе нескольких законов, из которых можно чисто логически вывести многообразие физического мира. Единая всеобъемлющая теория нужна для создания чёткой и полностью объяснимой физической картины мира. Физическая картина мира — это физическая модель природы, построенная на основе наиболее общих принципов, законов и теорий, соответствующих конкретному историческому этапу развития науки. В физической картине мира конкретизированы естественно-научные представления о строении и движении материи, формах её существования, фундаментальных физических взаимодействиях. В ходе развития науки физические представления о природе изменялись, поэтому картина мира эволюционировала. Первой физической картиной мира была механическая, созданная в XVIII в. В XIX в. механическую картину мира сменила электродинамическая, а в XX в. была создана квантово-полевая картина мира. Современная физика содержит небольшое число фундаментальных физических теорий, охватывающих все её разделы. Эти теории представляют собой квинтэссенцию знаний о физических процессах и явлениях, наиболее адекватно описывающих различные формы движения материи. Подробнее современная физическая картина мира будет рассмотрена в курсе физики 11-го класса. В настоящее время большинство физиков считают, что в рамках современной физической картины мира высшая цель физики вряд ли достижима. Так что создание единой физической теории — дело будущего. ЭТО ИНТЕРЕСНО! в лаборатории Э. Резерфорда на стене в качестве символа науки был изображён крокодил, глотающий и перемалывающий всё на своём пути и идущий всегда вперёд. -g МЕХАНИКА Кто не понимает движенья, тот не понимает природы. Аристотель Механика — раздел физики, в котором изучают закономерности механического движения тел и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Механические явления наиболее просты, наглядны и широко распространены. Понятия механики (перемещение, скорость, энергия и др.) применяются для описания многих физических явлений (тепловых, электрических, магнитных и др.). Поэтому знание механики необходимо для изучения любого раздела физики. Как писал известный российский учёный С. И. Вавилов, «вся физика построена на терминах и понятиях механики. Не знать эти понятия и изучать физику — это примерно то же самое, что попытаться читать, не узнав азбуки». Законы механики лежат в основе теории работы машин и механизмов, расчётов строительных конструкций. На них основан принцип реактивного движения, который используется в ракетной технике. Расчёты траекторий небесных тел, космических кораблей и баллистических ракет также основаны на законах механики. Академик А. Ф. Иоффе отмечал, что техника — это физика в её практических приложениях. Кинематика *§ 1. Механическое движение Покой нам только снится. А. А. Блок Раздел механики, в котором изучают, как движется тело, без выяснения причин, вызвавших это движение, называют кинематикой (от греч. kinema — движение). Наиболее простым движением в природе является механическое движение тел. Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. Примеров механического движения в окружающем нас мире много: идёт пешеход, летит самолёт, плывут облака по небу, едет машина по шоссе, набегают волны на берег и др. О движении, происходящем в природе, итальянский учёный Джордано Бруно в поэтической форме говорил так: И всякой вещи свойственно движенье. Близка она от нас иль далека, И тяжела она или легка. Движение тела мы замечаем по изменению его положения относительно других тел. Но это движение может быть различным по отношению к разным телам. Пусть, например, в автобусе сидит пассажир и держит в руках арбуз. Автобус начал двигаться по шоссе. Относительно пассажира и автобуса положение арбуза не изменилось — он находится в покое, а относительно пешеходов, домов, дороги он начал двигаться вместе с пассажиром и автобусом. Значит, движение и покой относительны. Для описания движения какого-либо тела необходимо условиться, относительно какого иного тела рассматривается положение данного тела. Тело, относительно которого рассматривают положение других тел, называют телом отсчёта. Телами отсчёта могут быть: фонарный столб, светофор, стол, дом. Земля, Солнце и др. С телом отсчёта связывают систему координат, с помощью которой определяют положение тела в пространстве. В прямоугольной декартовой системе координат (рис. 1.1) положение точки А определяется тремя координатами (х; у; г) 10 или радиусом-вектором г (его проводят из начала координат О в точку А). Координаты движущегося тела с течением времени изменяются. Поэтому для описания движения нужно знать, какому моменту времени соответствует та или иная координата. Для этого необходим прибор, чтобы измерять время, — часы. Тело отсчёта, связанную с ним систему координат и прибор для измерения времени (часы) называют системой отсчёта. Изучить движение тела — значит уметь находить его положение в пространстве в любой момент времени. В этом и заключается основная задача механики. Любое тело состоит из множества точек, поэтому, чтобы задать его положение в пространстве, необходимо указать координаты всех его точек. Это сделать чрезвычайно трудно. Однако, если размерами тела можно пренебречь, достаточно изучить движение только одной его точки. Тело в таких случаях считают материальной точкой. Например, изучая движение планет вокруг Солнца, их можно принять за материальные точки. Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой, а в других — нет. Так, космический корабль при наблюдении его с Земли можно рассматривать как материальную точку. Но космонавт, находящийся в корабле, считать его материальной точкой не может. Материальная точка — это модель тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с пройденным расстоянием. В дальнейшем вместо термина «материальная точка» часто будут использоваться слова «тело» и «точка». Тело можно считать материальной точкой и в случае, когда оно движется поступательно. Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две любые точки тела, движется параллельно самой себе. Так, прямая АВ остаётся параллельной самой себе при поступательном движении тела, изображённого на рис. 1.2. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково. Поступательно движется кабина лифта, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндра. 11 Проверьте себя 1. Как определяется механическое движение? 2. Что такое тело отсчёта? 3. Что представляет собой система отсчёта? 4. Можно ли считать материальной точкой автомобиль, въезжающий в гараж? автобус, движущийся по шоссе? 5. Каков физический смысл китайского изречения: «Посмотри сквозь перила моста, и ты увидишь, как мост плывёт по неподвижной воде»? ЗАДАНИЕ. Повторите сведения о векторах (см. Приложение 1). *§ 2. 'П>аектория, путь, перемещение Идея вектора бесценна. Дж. Максвелл Представим себе, что в начальный момент времени движущаяся материальная точка находилась в точке А, а через некоторое время она, перемещаясь по штриховой линии, оказалась в точке В (рис. 1.3). Линию, которую описывает материальная точка при своём движении, называют траекторией. Например, траектория конца часовой стрелки — окружность, кончика карандаша — линия, которую он оставляет на бумаге. На снегу можно видеть лыжню — траекторию лыжника. В зависимости от формы траектории механические движения делятся на прямолинейные (траектория — прямая линия) и криволинейные (траектория — кривая линия). Траектории движения тела в разных системах отсчёта могут быть разными. Так, если в безветренную погоду из окна вагона поезда наблюдать за дождём, то видно, что капли оставляют на оконных стёклах неподвижного поезда вертикальные следы, а на стёклах движущегося поезда — наклонные. Длину участка траектории, который материальная точка прошла за данный промежуток времени, называют пройденным путём или просто путём. Для описания движения также применяют векторную величину — перемещение. Перемещением называют вектор, проведённый из начального положения движущейся материальной точки в её конечное положение. На рис. 1.3 перемещение обозначено s (буквой со стрелкой над ней). Буква s без стрелки обозначает длину вектора перемещения — его модуль. Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения 12 векторов. Пусть тело переместилось из точки 1 в точку 2 (рис. 1.4, а), а затем из точки 2 в точку 3. Чтобы определить результирующее перемещение Si,3, надо найти векторную сумму перемещений Si,2 и $2,3’ 3 = Si, 2 + ®2,3. (1»1) Если тело движется в одном и том же направлении, то модуль перемещения равен пройденному пути. Если же направление движения тела меняется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному пути. Например, пешеход движется так, что, выйдя из начала координат, он пришёл в точку А, а потом пошёл в обратном направлении и оказался в точке В (рис. 1.4, б). Пройденный пешеходом путь Z = 7 м, а модуль S3 перемещения, т. е. длина вектора §3, оказался равным 3 м (S3 = Si - S2). Рассмотрим движение материальной точки в плоскости относительно системы координат XOY (рис. 1.5). Пусть АВ = s — вектор перемещения точки, Хо и I/O — её начальные координаты, х и у — конечные. Из рис. 1.5 видно, что S^ = X - Хоу 8у = У - Уоу где Sjc и Sj, — проекции вектора перемещения S на оси ОХ и OY. Отсюда X = Хо + Sjc» (1-2) У = Уо + V (1.3) Следовательно, для нахождения координат материальной точки в любой момент времени надо знать её начальные координаты ХоиуоИ проекции вектора перемещения s на оси координат. Уравнения (1.2) и (1.3) — это уравнения движения материальной точки. Зная уравнения движения, можно для каждого момента времени определить положение точки на её траектории. 4 В АА 3 4 б Рис. 1.4 7 X Проверьте себя 1. Дайте определение траектории и приведите примеры траекторий разных движений. 2. Что называют пройденным путём? 3. Какую физическую величину называют перемещением? 4. Как найти результирующее перемещение тела? 5. Запишите уравнения движения тела. 13 УПРАЖНЕНИЕ 1 1. Мяч движется от поверхности Земли вертикально вверх и, достигнув высоты 20 м, падает на землю. Определите путь, пройденный мячом, и его перемещение. 2. Фигурист движется по окружности радиусом R = 15 м. За некоторый промежуток времени он проехал расстояние, равное половине длины окружности. Чему равны путь и перемещение фигуриста? 3. Турист прошёл 8 км на север, а затем 6 км на запад. Какое перемещение он совершил и какой прошёл путь? 4. В начальный момент времени муравей находился в точке с координатами лго = 3 см, ^0 = 1 см. Через некоторое время он переместился в точку с координатами X = 2 см, г/ = 4 см. Начертите вектор его перемещения и найдите проекции этого вектора на координатные оси. *§ 3. Скорость равномерного прямолинейного движения Скорость нужна, а поспешность вредна. А. В. Суворов Простейший вид механического движения — равномерное прямолинейное движение. Равномерным прямолинейным движением называют движение материальной точки, при котором она за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Приблизительно равномерным прямолинейным движением можно считать движение парашютиста с раскрытым парашютом вблизи поверхности Земли (в отсутствие ветра), движение эскалатора метрополитена. Движения разных тел отличаются быстротой: улитка ползёт медленно, самолёт летит быстро. Для количественной характеристики быстроты движения вводится понятие скорости. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют физическую величину, равную отношению перемещения тела ко времени, за которое оно совершено: 0 = ^. t (1.4) Скорость — вектор, направление которого при прямолинейном движении совпадает с направлением вектора перемещения. При равномерном прямолинейном движении скорость постоянна по модулю и направлению: и = const. Векторному уравнению (1.4) соответствуют уравнения для модуля скорости и для проекции скорости на ось ОХ: S. п=-; V = — ' t 14 Формула = у позволяет установить единицу скорости Ч Если s = 1 м, t = 1 с, то г , 1м . м [и] = -— = 1 —. ■' 1с с Метр в секунду равен скорости равномерно и прямолинейно движущейся точки, при которой она за время 1 с перемещается на расстояние 1 м. Найдём уравнение, связывающее координату х, проекцию скорости и время t для равномерного прямолинейного движения тела. Так как л: = jcq + и = vj;, то из этих выражений получим: (1.5) X = Xq + vj. Значения величин х, Хо и могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от направления вектора скорости тела относительно выбранной оси и положения точки начала отсчёта на ней. Уравнение (1.5) называют уравнением прямолинейного равномерного движения. Оно позволяет определить положение тела, движущегося равномерно и прямолинейно, в любой момент времени, т. е. реп1ить основную задачу механики для этого случая. Зависимость между координатой тела и временем его движения может быть выражена графически. Уравнение (1.5) показывает, что зависимость х от t линейна. График этой зависимости изображён на рис. 1.6. На рис. 1.7 представлены графики зависимости от времени проекций скорости равномерного и прямолинейного движения точки для двух случаев: Oi, > О и V2X < 0. График Vx(t) (рис. 1.8) позволяет найти проекцию перемещения точки. Площадь фигуры О АВС под этим графиком численно равна произведению vj:, т. е. проекции перемещения, совершённого телом: vJ = Sv. О Ox ii У,,> о о О .в с t Рис. 1.7 Рис. 1.8 ‘ Букву, обозначающую физическую величину, для которой определяются единицы, будем заключать в квадратные скобки. 15 о А 1 В Рис. 1.9 ЗАДАЧА Из пунктов А и в, расстояние между которыми / = 80 м, одновременно в одном направлении начали двигаться равномерно два велосипедиста: первый — со скоростью Ui = 4 м/с, второй — со скоростью 02 = 2 м/с. Через сколько времени и на каком расстоянии от точки А первый велосипедист догонит второго? Решите задачу аналитически и графически. Решение. Совместим начало координат — точку О с точкой А и направим ось ОХ от А к В (рис. 1.9). Запишем уравнения равномерных прямолинейных движений велосипедистов в общем виде: Xi = Xoi + V^t, Х2 = Хо2+ V2xt. Здесь JCoi = О, Xq2 = L Выразим проекции скоростей велосипедистов на ось ОХ через модули: Vlx = 1^1, V2X = V2. Тогда уравнения движения велосипедистов примут вид Х-1 - Vity Х2 = I + V2t. Первый велосипедист догонит второго в точке С, и их координаты станут равными: Xi = Х2- Xq. Следовательно, Vitc = I + V2tc, где tc — время движения велосипедистов до встречи. Отсюда находим: tr — I Vl - V2 Координата места встречи велосипедистов: Vil Хс = - (1) (2) Vl - V2 Подставив в уравнения (1) и (2) значения величин из условия задачи, получим: tc = 40 с; Хс = 160 м. Графиками зависимости координат Xi и Х2 от времени являются прямые 1 и 2 (рис. 1.10). Точка С пересечения графиков соответствует времени и месту встречи. Проверьте себя 1. Какое движение называют прямолинейным равномерным? 2. Какую физическую величину называют скоростью равномерного прямолинейного движения? 3. В каких единицах выражают скорость? 4. Какое уравнение называют уравнением равномерного прямолинейного движения точки? УПРАЖНЕНИЕ 2 1. Найдите модуль и направление вектора скорости точки, если при равномерном движении по оси ОХ её координата за время t = 2 с изменилась от jCi = -2 м до JC2 = 6 м. 2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 60 м, одновременно навстречу друг другу начали двигаться два велосипедиста. Модули скорости велосипедистов равны 3 м/с и 6 м/с соответственно. Через какое время велосипедисты встретятся? Каково расстояние от точки А до места их встречи? Решите задачу аналитически и графически. § 4. Сложение скоростей Книга природы написана на естественном языке разума — языке математики. Г. Галилей Мы знаем, что траектория движения тела зависит от выбора системы отсчёта (см. § 2). А зависит ли от системы отсчёта скорость тела? Рассмотрим пример. Автобус движется по прямолинейному участку равномерно со скоростью щ относительно шоссе (рис. 1.11). Пассажир идёт относительно автобуса Рис. 1.11 17 со скоростью ^2» при этом векторы скоростей Vi и йг имеют одинаковые направления. Какова скорость пассажира относительно шоссе? Проведём через начальную точку ось ОХ и направим её вдоль шоссе (см. рис. 1.11). Это неподвижная система отсчёта, связанная с Землёй. Другую систему отсчёта свяжем с автобусом и проведём ось О'Х' параллельно оси ОХ. Это подвижная система отсчёта, которая движется относительно неподвижной прямолинейно и равномерно со скоростью автобуса Перемещение s пассажира относительно шоссе за некоторое время t равно сумме перемещений за то же время автобуса Sj относительно шоссе и пассажира относительно автобуса Sa: S = Si + Sa. Разделив обе части этого равенства на время t движения пассажира, получим: S _ |i , £2 t t t’ или V = Vi + V, (1.6) Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчёта и скорости подвижной системы относительно неподвижной. Формула (1.6) выражает закон сложения скоростей. Этот закон справедлив и в том случае, когда векторы Di и О2 не лежат на одной прямой. ЗАДАЧА Лодка пересекает реку перпендикулярно берегу со скоростью v = 4 км/ч. Какова скорость V2 лодки относительно воды, если скорость течения Vi = S км/ч? Решение. Согласно закону сложения скоростей скорость лодки относительно берега равна V = V, + V,. Рис. 1.12 Векторное сложение скоростей и V2 показано на рис. 1.12. Так как по условию вектор скорости лодки направлен перпендикулярно берегу, то в соответствии с теоремой Пифагора ,2 v\ = v\ + Тогда V2 = yjvf + v^; V2 = b км/ч. 18 УПРАЖНЕНИЕ 3 1. Катер переправляется через реку шириной 800 м перпендикулярно течению, скорость которого 6 км/ч. Скорость катера относительно воды 10 км/ч. Какова скорость катера относительно берега? Сколько времени займёт переправа? На какое расстояние снесёт за это время катер по течению? 2. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых относительно земли равны 60 и 70 км/ч соответственно. Какова скорость второго поезда относительно первого? § 5. Скорость при неравномерном движении Движение любого тела в реальных условиях не бывает строго равномерным и прямолинейным. Неравномерное движение можно характеризовать средней путевой скоростью. Средней путевой скоростью неравномерного движения материальной точки называют физическую величину, равную отношению пройденного пути ко времени движения: (1.7) _ / ^ср. п ^ Поскольку путь и время — скалярные величины, то средняя путевая скорость также скалярная величина. Допустим, что некоторое тело, двигаясь неравномерно, переместилось из точки О в точку С за время t (рис. 1.13), совершив перемещение s. Быстроту движения характеризуют векторной величиной — средней скоростью. Средней скоростью неравномерного прямолинейного движения материальной точки называют физическую величину, равную отношению перемещения ко времени, в течение которого оно совершено: V = —. ср (1.8) Вектор средней скорости v^p направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения S. О Ч- С Рис. 1.13 Средняя скорость вычисляется за определённый промежуток времени. Поэтому даже для одного и того же движения она может быть различной, если выбирать разные промежутки времени. Например, средняя скорость велосипедиста, проехавшего по треку круг, равна нулю, но она отлична от нуля, если её определять за время, в течение которого пройдена половина круга. 19 Рис. 1.14 Рассмотрим движение лыжника на спуске. Ясно, что оно неравномерное. Поставим вопрос: с какой скоростью лыжник проходит точку С (рис. 1.14), или какова его скорость в точке С? Скорость тела в данной точке траектории или в данный момент времени называют мгновенной скоростью. Будем находить среднюю скорость для различных участков, включающих точку С. На участке средняя скорость равна njcp = м На участке А2В2, длина которого меньше длины участка А^В^ и который пройден за меньший промежуток времени t2, средняя скорость равна Пгср = Найдём среднюю скорость на участке А3Б3: ^Зср = —• ^3 Будем продолжать уменьшать промежуток времени, за который мы рассматриваем перемещение лыжника. Вместе с ним будет уменьшаться и перемещение лыжника. Когда длина участка траектории и промежуток времени станут такими малыми, что изменением скорости можно пренебречь, тогда средняя скорость станет мгновенной скоростью в точке С (движение будет как бы равномерным). Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению малого перемещения As* на участке траектории, примыкающем к данной точ- * Греческая буква Д может означать, что величина является очень малой или изменяется (об этом можно судить по контексту). 20 ке, к малому промежутку времени At, в течение которого это перемещение совершается: V = Да At Рис. 1.15 Мгновенная скорость — вектор. Направление вектора мгновенной скорости совпадает с направлением движения тела в этой точке. Значение модуля мгновенной скорости, например автомобиля, показывает спидометр (рис. 1.15). Проверьте себя 1. Что такое средняя путевая скорость? Как её определяют? 2. Какую скорость называют средней скоростью? 3. Как определяют мгновенную скорость? УПРАЖНЕНИЕ 4 1. Автомобиль за первые 0,5 ч проехал 36 км, а следующие 0,5 ч двигался со скоростью 25 м/с. Какова средняя путевая скорость автомобиля на всём пути? 2. Первую половину времени мотоциклист двигался со скоростью 72 км/ч, а вторую — со скоростью 15 м/с. Какова средняя путевая скорость мотоциклиста на всём пути? 3. Поезд прошёл первую половину пути со скоростью 40 км/ч, а вторую — со скоростью 60 км/ч. Какова средняя путевая скорость движения поезда? § 6. Ускорение Теперь же перейдём к движению ускоренному. Прежде всего необходимо будет подыскать этому естественному явлению соответствующее точное определение. Г. Галилей При неравномерном движении тела его мгновенная скорость изменяется с течением времени. Изменение скорости тела может происходить очень быстро, например при движении снаряда в стволе пушки при выстреле, и сравнительно медленно, например при отправлении поезда. Обозначим скорость тела в начальный момент через щ (рис. 1.16), а спустя время t — через v, тогда изменение скорости равно Ли = и - Uq. Быстроту изменения скорости харгпстеризуют специальной величиной, которую называют ускорением и обозначают а. 21 AV О X Рис. 1.16 Ускорением называют физическую величину, равную отношению изменения скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло: а = Av V - Vo (1.9) Ускорение — вектор. Направление ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости (см. рис. 1.16). Формулу (1.9) можно записать для проекции ускорения: а = Если мгновенная скорость неравномерного движения изменяется одинаково за любые равные промежутки времени, то это движение называют движением с постоянным ускорением или равноускоренным движением. Такое движение совершает тело, падающее на землю, шайба, получившая удар клюшкой и скользящая по льду. Единицу ускорения получим из выражения для модуля ускорения |а = ^ j: 1 ^ [а] = = l4- Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейного равноускоренного движения материальной точки, при котором за 1 с её скорость изменяется на 1 м/с. Выразим из формулы ускорения (1.9) скорость тела в любой момент времени t\ V = Vq at. (1.10) Векторному уравнению (1.10) соответствует уравнение в проекциях на ось ОХ\ Vs = Vos -Ь a^t. (1.11) Графиком зависимости проекции скорости от времени при движении тела с постоянным ускорением является график линейной функции (рис. 1.17). 22 Проверьте себя 1. Что такое ускорение? 2. В каких единицах выражают ускорение? 3. Как направлен вектор ускорения? 4. По какой формуле можно найти скорость тела, движущегося с постоянным ускорением? УПРАЖНЕНИЕ 5 1. С каким ускорением двигался мотоциклист, если его скорость увеличилась с 5 до 15 м/с за 20 с? 2. За какое время скорость автомобиля уменьшилась с 20 до 12 м/с, если он двигался с ускорением, равным по модулю 0,2 м/с^? 3. Проекция скорости тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону = 4 + 0,5^ (все величины выражены в единицах СИ). Чему равна скорость тела через 10 с от начала движения? Постройте график и, = § 7. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении Механика — рай для математических наук. Леонардо да Винчи Найдём зависимость перемещения от времени при движении точки с постоянным ускорением. В § 3 мы выяснили, что при равномерном прямолинейном движении проекция перемещения численно равна площади прямоугольника, расположенного под графиком, выражающим зависимость проекции скорости от времени (см. рис. 1.8). Покажем, что при равноускоренном движении проекцию перемещения можно определить аналогично. Для этого обратимся к графику зависимости проекции Пд. скорости от времени t для случая, когда > 0, Vqx > о (рис. 1.18). Разобьём интервал времени движения тела на такие маленькие промежутки Af, в течение которых движение можно считать равномерным. Тогда произвольная полоска abed будет мало отличаться от прямоугольника, поэтому можно считать, что её площадь численно равна произведению скорости на этот промежуток времени. Сумма площадей всех таких полосок даст площадь фигуры ОАВС. 23 Из рис. 1.18 видно, что эта фигура является трапецией. Из геометрии известно, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, т. е. с, _ (ОА + ВС) • ОС ^ 2 Длины оснований ОА и ВС численно равны проекциям Vqx и v^, а длина высоты ОС — времени t движения. Поэтому для проекции перемещения на ось ОХ получаем выражение _ (Up, + Vqx + aA)t Ьг — л > ИЛИ Sx = Voxt Н----^ (1.12) Если начальная скорость тела равна нулю (Ур = 0)> то Sx- 2 • Из § 2 известно, что координата тела и проекция Sx перемещения связаны формулой X = Xq + Sx. Следовательно, X = Хо + Voxt -Ь (1.13) Это уравнение называют уравнением движения тела с постоянным ускорением. Выведем формулу для вычисления проекции перемещения тела, в которую не входит время движения. Из формулы (1.11) найдём время: t = _ Ух - Орх ах Подставив это выражение для времени в уравнение (1.12), получим: Sx = vt - Vi 2а. Эту формулу можно записать иначе: - Оох = 2axSx. (1.14) ЗАДАЧА Тело начинает движение с постоянным ускорением и за вторую секунду проходит путь 3 м. Определите путь, который пройдёт это тело за четвёртую 24 секунду своего движения, и сравните пути, пройденные телом за первую, вторую, третью и четвёртую секунды. Решение. Примем за начало отсчёта координат точку начала движения (рис. 1.19). Из общего уравнения движения X = Хо + Voxt -Ь подставив в него получим: Хо = О, По* = О и а, = а. X = av О Xi 1, ^2 I3 /4 Х4 ^ Рис. 1 .19 Определим пройденные пути: за первую секунду — li = х^ = а • за вторую секунду — I2 = Хг - Xi = за а • 2' а • 3' третью секунду — 1^ = Хз - Х2= —g а • 2 а ■ 2^ За, 2 ’ 2 ’ , а • 4^ а • 3^ за четвертую секунду — Ц = Xt - Хз= —^--------^ 7а 2 ■ Найдём отношение путей, пройденных за 1, 2, 3 и 4-ю секунды: ; ,1 ,7 ,7 ___ а ^ За , 5fl , 7а _ -• . о , к • <7 . 1г • ’з • и — '2 * — 1 . о . 5 . 7. Обобщая, сделаем вывод: пути, которые проходит за последовательные равные промежутки времени тело, движущееся с постоянным ускорением из состояния покоя, относятся как ряд нечётных чисел: Zj : /г : ^3 : ^4 : ^5... = 1 : 3 : 5 : 7 : 9 .... (1.15) Справедливо и обратное утверждение: если пути, проходимые телом из состояния покоя за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечётных чисел, то такое движение будет равноускоренным. Теперь найдём путь, пройденный телом за четвёртую секунду. Из формулы (1.15) получим: /г: Z4 = 3 : 7, 25 тогда 1 — ^2 Ц — ; L = 7 м. Проверьте себя 1. Как по графику зависимости проекции скорости от времени определить проекцию перемещения тела? 2. По какой формуле для равноускоренного движения находят проекцию перемещения тела? координату тела? 3. Как найти проекцию перемещения тела, если известны его ускорение, начальная и конечная скорости? УПРАЖНЕНИЕ 6 1. Гоночный автомобиль, стартуя с места и двигаясь с постоянным ускорением, прощёл путь 400 м за 8 с. С каким ускорением он двигался? 2. Трамвай, двигавшийся со скоростью 12 м/с, начинает торможение. Чему равен его тормозной путь, если он остановился через 8 с? 3. Самолёт прошёл взлётную полосу за 20 с и в момент отрыва от земли имел скорость 120 м/с. С каким ускорением он двигался по взлётной полосе и какова её длина? § 8. Свободное падение тел Наука, связывающая теорию и эксперимент, фактически началась с работ Галилея. А. Эйнштейн, Л. Инфельд Наиболее распространённый вид равноускоренного движения на Земле — свободное падение тел. Такое движение изучал итальянский учёный Г. Галилей, который установил, что в данном месте Земля сообщает всем телам одинаковое ускорение. Это ускорение называют ускорением свободного падения, его модуль обозначают буквой g. В справедливости утверждения Галилея убедимся на опыте. Поместим в длинную стеклянную трубку свинцовую дробинку, пробку и птичье пёрышко. Расположив трубку вертикально, мы увидим, что все эти предметы упадут на дно в разное время: сначала дробинка, затем пробка, наконец перо (рис. 1.20, а). Откачаем из трубки воздух. Повторив опыт, мы увидим, что эти же тела упадут одновременно (рис. 1.20, б). Следовательно, в вакууме все тела под действием притяжения Земли падают с одинаковым ускорени-Галилео Галилей Движение тела только под влиянием притяжения (1564—1642) Земли называется свободным падением. 26 ГЛ i i 1 ; ■ i ' , i Л Ш 0,2 0,8 1,8 3,2 Рис. 1.20 Рис. 1.21 Если сделать ряд моментальных снимков падающего шарика через равные промежутки времени, то, измерив расстояния между последовательными положениями шарика (рис. 1.21), можно установить, что его движение действительно равноускоренное (см. задачу из § 7), а также можно определить значение ускорения свободного падения. В различных местах на поверхности Земли ускорение свободного падения неодинаково. Оно изменяется примерно от = 9,78 м/с^ на экваторе до ga - 9,83 м/с^ на полюсе. В средних широтах ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли равно g = 9,8 м/с^. При решении задач мы будем использовать приближённое значение 10 м/с^, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь. ЗАДАЧА Тело, находящееся на высоте hi = 6 м над ямой глубиной Лг = 4 м, бросают вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через какое время тело упадёт на дно ямы? Решение. За начало отсчёта координат примем начальное положение тела. Изобразим на рисунке вектор начальной скорости йо и вектор ускорения g тела. Координатную ось OY направим вертикально вверх (рис. 1.22). 27 Запишем уравнение координаты у для движения тела с постоянным ускорением: У = Уо + Voyt + Так как Уо О» ^^0y ^^0> то уравнение движения тела примет вид gt^ y = Vot- Когда тело упадёт на дно ямы, его координата У = -(*1 -ь hz). Следовательно, -(hi + hz) = Vot - или gt^ - 2vot - 2(hi + hz) = 0. Решив это уравнение относительно t, получим: ^ ^ Ур + yjvo + 2g{hi + hz) ^ t = 2 с S (Второй корень уравнения имеет отрицательное значение, что при заданных условиях не имеет физического смысла.) Проверьте себя 1. Какое движение тела называют свободным падением? 2. С КЕ1КИМ ускорением движутся тела при свободном падении? 3. Какой опыт показывает, что различные тела в вакууме падают с одинаковым ускорением? УПРАЖНЕНИЕ 7 1. Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. Через какое время он упадёт на землю? 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 18 м/с. Определите модули Vi и l>2 скорости тела в моменты времени = 1 с и ^2 = 3 с от начала движения. 3. Какой путь проходит тело при свободном падении за первую секунду своего движения? за вторую? за третью? 4. Тело свободно падает с высоты 80 м. Какой путь оно проходит за последнюю секунду падения? 5. Тело свободно падает с высоты 20 м от поверхности земли. Определите время его падения и скорость в конце пути. 28 6. Из точки, находящейся на высоте 100 м над поверхностью земли, бросают вертикально вниз тело со скоростью 10 м/с. Через какое время оно достигнет поверхности земли? § 9. Движение тел, брошенных под углом к горизонту Человек знает физику, если он умеет решать задачи. Э. Ферми В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение тел вблизи поверхности земли в вертикальном направлении. Теперь мы изучим движение тела, брошенного под некоторым углом к горизонту. Такое движение совершают, например, струи воды, выбрасываемые из фонтана (рис. 1.23). Рассмотрим следующий опыт. Два одинаковых шарика начинают одновременно падать с одной и той же высоты (рис. 1.24): один — по вертикали вниз, другой, которому отогнутая упругая пластинка П сообщила скорость в горизонтгшь-ном направлении, — по кривой. Шарики ударяются о пол одновременно. Следовательно, время падения обоих шариков одинаково. Если сделать серию мгновенных фотографий шариков во время их падения, то получится картина, приведённая на рис. 1.25. Хорошо видно, что в любой момент времени шарики находятся на одной и той же высоте. Следовательно, наличие горизонтальной скорости у одного из них не сказывается на его движении по вертикали. Если к установке, изображённой на рис. 1.24, приставить вертикально лист фанеры, а шарик смазать зубной пастой и снова сообщить ему горизонтгшьную скорость, Рис. 1.23 П V ПК \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I Рис.1.24 Рис. 1.25 29 то на листе фанеры останется след от зубной пасты — траектория шарика. Это означает, что шарик движется в вертикальной плоскости (содержащей вектор g). Поэтому для определения положения шарика в любой момент времени нужно знать две его координаты: х и у. Движение тел, брошенных под углом к горизонту, происходит с постоянным ускорением свободного падения, поэтому уравнения движения имеют вид g X = Xq-\- VoJ + —^7 У = Уо + Voyt + Если ось OX направить горизонтгшьно, a ось OY — вертикально, то = О, и уравнения движения выглядят так: X = Хо + Voxt; У = Уо + Voyt -Ь —. ЗАДАЧА 1 Шару, лежащему на краю стола высотой Н, толчком сообщили горизонтальную скорость Vq. Как далеко от места сбрасывания шара со стола он упал на пол? По какой траектории он двигался? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Примем за начало отсчёта координат точку О, из которой брошен шар, ось ОХ направим горизонтально, а ось OY — вертикально вниз (рис. 1.26). Запишем уравнения для координат х и у: X = Хо + VoJ; У = Уо + Voyt -Ь О Выразим проекции векторных величин, входящие в эти уравнения, через их модули: Vox = Vo; Voy = 0; gy = g. Учитывая значения начальных координат (дго = 0, Уо = 0), получим: iL 2 ■ X = Vot; у = В момент падения шара на пол его координата х равна дальности полёта I, а координата у — высоте стола Н. Тогда I = Vot; (1) Н = gt^ (2) 30 \2Н Найдём из соотношения (2) время полёта шара | t = — V S и подставим его в выражение (1) для дальности полёта: I = Чтобы узнать, по какой траектории движется шар, найдём связь между его координатами у и х. Выразим время t из уравнения для координаты х и подставим его в уравнение для у: g Это уравнение параболы, т. е. траектория движения шара в этом случае представляет собой параболу^ вершина которой находится в точке его сбрасывания. ЗАДАЧА 2 Тело брошено с начальной скоростью Vq, направленной под углом а к горизонту. Найдите время t движения тела, его максимальную высоту подъёма Н и дальность полёта I. Решение. За начало отсчёта координат примем точку О, из которой брошено тело (рис. 1.27). Ось ОХ направим горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. Запишем уравнения для координат: X = Хо + Voxt + gxt\ у = Уо-^ Voyt + Выразим проекции величин, входяш;их в эти уравнения, через их модули: Vox = Vocosa; Voy = Uosina; gx = 0; gy = -g. 31 Учитывая значения начальных координат (jcq = О, уо = 0), получим: X = (l^ocosa)^; у = (uoSinaK--- Когда тело упадёт на землю, его координата у будет равна нулю {у = 0): о = (УоЗшаК - Отсюда время движения тела 2uo sin а t = 8 Наибольшую высоту подъёма найдём, подставив в уравнение для координаты у время ti подъёма тела. Это время определим из уравнения для проекции скорости на ось OY: Vy = Voy + gyt. Поскольку в верхней точке Uj, = 0, а f = ^l, то 0 = Uosina - gti. Тогда ^ _ Vo sin а Следовательно, „ Vo sin'^ а Дальность полёта тела получим, подставив в уравнение для координаты х выражение для всего времени движения: ^ _ у'о sin 2а ~ 8 ' Зависимость дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту, от значения этого угла можно наблюдать на опыте. Если направлять струю воды, вытекающую из шланга, под различными углами к горизонту, то мы увидим, что с увеличением угла от 0 до 45° струя бьёт всё дальше и дальше (рис. 1.28). Для угла в 45° дальность полёта частиц воды наибольшая. При дальнейшем увеличении угла дальность полёта струи уменьшается. Наличие сопротивления воздуха приводит к тому, что реальная траектория тела, брошенного под углом к горизонту, отличается от расчётной и дальность полёта тела уменьшается в несколько Рис. 1.28 раз. 32 УПРАЖНЕНИЕ 8 1. C самолёта, летящего горизонтально со скоростью 540 км/ч на высоте 500 м, сбрасывают груз. На каком расстоянии от места сброса груз упадёт на землю? Сопротивление воздуха не учитывать. 2. Снаряд вылетает под углом 60® к горизонту с начальной скоростью Vq = 500 м/с. Определите время и дальность полёта снаряда, а также максимальную высоту его подъёма. 3. Под каким углом к горизонту надо бросить мяч, чтобы максимальная высота его подъёма была равна дальности полёта? § 10. Равномерное движение по окружности Понять Вселенную может лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. Г. Галилей Простейшим примером криволинейного движения является движение по окружности, весьма распространённое в природе и технике. Так движутся, например, точки поверхности Земли, вращающейся вокруг своей оси, точки стрелок часов, колёс автомобилей, части маховиков. Важность изучения движения по окружности связана и с тем, что любую криволинейную траекторию можно представить как совокупность дуг окружностей различных радиусов (рис. 1.29). Начнём изучать движение по окружности с опыта. Приведём во вращение точильный камень (наждачный круг ручного точила) и прижмём к нему стальной стержень. При этом мы увидим пучок искр, вылетающих из-под стержня в месте его прикосновения к камню (рис. 1.30). Эти мелкие раскалённые частички стали и камня, оторвавшись, летят по касательной к окружности в той точке, к которой прикасается стержень. Следовательно, скорость частичек в данной точке направлена по касательной к окружности в этой точке. Направление скорости точки, движущейся по окружности, постоянно меняется Рис. 1.29 Рис. 1.30 33 Рис. 1.31 (рис. 1.31). Если при этом модуль скорости точки не изменяется, то такое движение называют равномерным движением по окружности. Для описания равномерного движения по окружности используются следующие величины: период, частота, угол поворота, угловая и линейная скорости. Периодом обращения называют физическую величину, равную времени, в течение которого точка, двигаясь по окружности, совершает один оборот. Период обращения обозначают буквой Т и выражают в секундах: [Т] = 1 с. Частотой обращения называют физическую величину, равную числу оборотов, совершаемых точкой при равномерном движении по окружности за 1 с. Частота обращения обозначается буквой п. Она очень просто связана с периодом обращения Т. Если, например, за время t тело совершило N оборотов, t N то период обращения Т =—, а. частота обращения п = —. Следовательно, частота — это величина, обратная периоду: 1 (1.16) Из этой формулы можно найти единицу частоты: [п] = I = с\ Секунда в минус первой степени равна частоте обращения, при которой за 1 с материальная точка, двигаясь равномерно по окружности, совершает один оборот. Пусть материальная точка, двигаясь по окружности из точки А (рис. 1.32), оказалась в точке А'. Изменение её положения на окружности характеризуют углом поворота ф радиуса-вектора R. Углом поворота ф называют физическую величину, равную углу, на который поворачивается радиус-вектор, соединяющий движущуюся точку с центром окружности. Единица угла поворота — радиан (рад)^ Быстроту изменения угла поворота радиуса-вектора характеризуют угловой скоростью, которая обозначается буквой ш. Угловой скоростью равномерного движения точки по окружности называют физическую величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора точки за некоторый промежуток времени к этому промежутку: Ф (0 = -. (1.17) Из формулы (1.17) определим единицу угловой скорости: [ю] = 1 рад/с. Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад. Из соотношения (1.17) получим зависимость угла поворота от времени: Ф = 0)i. (1.18) За время, равное периоду Т, радиус-вектор точки повернётся на угол, равный 2я, поэтому в соответствии с формулой (1.18) можно записать: 2л = соТ, откуда 2л О) = -jT. (1.19) Поскольку п = то ш = 2лл. Найдём связь между скоростью и движения материальной точки по окружности (линейной скоростью) и угловой скоростью со. Путь, пройденный точкой за один оборот по окружности радиусом R, равен длине окружности: I = 2nR. Но этот же путь при равномерном движении точки выражается формулой I = vT. Следовательно, 2nR = vT. Отсюда V = 2nR или с учётом соотношения (1.19) V = (оЯ. (1.20) ' 1 рад равен центральному углу, длина дуги которого равна радиусу. 35 Скорость равномерного движения материальной точки по окружности (линейная скорость) равна произведению угловой скорости точки на радиус окружности. Проверьте себя 1. Что такое период обращения? 2. Какую физическую величину называют частотой обращения? 3. Как связаны период и частота обращения? 4. Что такое угол поворота радиуса-вектора? В каких единицах его выражают? 5. Какую физическую величину называют угловой скоростью? В каких единицах её выражают? 6. Какова зависимость между линейной и угловой скоростями точки при её движении по окружности? УПРАЖНЕНИЕ 9 1. Точка движется равномерно по окружности радиусом 0,5 м со скоростью 3,14 м/с. Сколько оборотов она сделает за время t = 10 мин? 2. Минутная стрелка часов на Спасской башне Московского Кремля имеет длину 3,5 м. С какой линейной скоростью движется конец этой стрелки? 3. Каковы угловая и линейная скорости точек поверхности Земли, расположенных на экваторе? Радиус Земли считайте равным 6400 км. Е2аШШ25Э Аристотель считал круговое движение самым простым. Он писал: «Круговое движение первичнее прямолинейного, поскольку оно проще и более совершенно. Ведь бесконечно перемещаться по прямой линии нельзя». § 11. Центростремительное ускорение Если материальная точка движется равномерно по окружности, то её вектор скорости, оставаясь неизменным по модулю, всё время меняет своё направление (см. рис. 1.31). Поэтому такое движение происходит с ускорением. Определим модуль ускорения и его направление. Пусть за время t тело (материальная точка), двигаясь равномерно по окружности радиусом R, переместилось из точки А в точку В (рис. 1.33). Скорость тела в точке А равна Vu в точке В — бг- Так как скорости Oj и бг равны по модулю, то модуль скорости обозначим через и. Вспомним, что ускорение точки равно отношению изменения скорости Дп к промежутку времени ^, за который произошло это изменение: - _ Ау t ' Из этой формулы следует, что вектор ускорения а направлен так же, как и вектор Ду. Выясним, как направлен вектор До. Для этого перенесём вектор 62 параллельно самому себе так, чтобы начала векторов Ух и у2 совпали. Затем 36 соединим их концы вектором Ау, направленным от конца вектора У] к концу вектора Уг- В соответствии с правилом вычитания векторов Ау = Уг - yj. Если угол между радиусами, проведёнными в точки А VI В, равен ф, то угол между векторами скоростей Vi и У2 также равен ф, поскольку эти векторы перпендикулярны радиусам ОА и ОВ. Будем уменьшать промежуток времени t, при этом точка В станет приближаться к точке А и будет уменьшаться угол ф между радиусами ОА и ОВу следовательно, и между векторами у, и Уг. При этом вектор Ау поворачивается так, что приближается к радиусу, соединяюш,ему центр окружности с точкой А, т. е. вектор Ау оказывается направленным к центру окружности. Значит, и вектор ускорения направлен к центру окружности. Поэтому «стремящееся к центру» ускорение называют центростремительным и обозначают Найдём модуль центростремительного ускорения. Треугольник АОВ и треугольник, образованный векторами iJi, Уг и Ау, подобны как равнобедренные с равными углами при вершинах (см. рис. 1.33). Поэтому, учитывая, что Vi = V2 = V VL модуль S персмещсния равен длине хорды АВ (s = АВ), получим: Ау _ ^ V ~ R' откуда А = я • Для малых углов ф длина s хорды приблизительно равна длине дуги АВ. Длина же дуги АВ — это путь, пройденный точкой с постоянной по модулю скоростью у. Он равен vt. Следовательно, S = vt. Поэтому для Ау получим: у2 В’ д V • vt Ду Ау = —5—, или — Ду где — есть модуль ускорения. Таким образом, центростремительное ускорение равно ____ у“ “ Я* (1.21) Центростремительное ускорение равно отношению квадрата скорости материальной точки к радиусу окружности, по которой она движется. 2тг Используя формулы у = (oi? и О) = 2кп = -^, для центростремительного ускорения получим: ^R. (1.22) а„ = = усо = An^n^R = -z^R. 37 Проверьте себя 1. Можно ли равномерное движение по окружности считать движением без ускорения? 2. Как направлен вектор центростремительного ускорения? 3. Чему равен модуль центростремительного ускорения? УПРАЖНЕНИЕ 10 1. С каким центростремительным ускорением движется по выпуклому мосту радиусом 45 м автомобиль, если его скорость равна 54 км/ч? 2. Определите центростремительное ускорение Земли при её движении вокруг Солнца. Считайте орбиту Земли окружностью радиусом 1,5-10^ км. 3. С каким центростремительным ускорением и с какой скоростью движется искусственный спутник Земли, если высота его орбиты над поверхностью Земли 1200 км, а период обращения 105 мин? Считайте, что спутник движется по круговой орбите с постоянной скоростью. 4. Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Определите радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой. ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ КИНЕМАТИКИ Науку, которая рассматривает сами по себе движения... я называю кинематикой. А. Ампер Механика — одна из древнейших наук. Её возникновение и развитие связаны с практическими потребностями человеческого общества. Первые дошедшие до нас трактаты по механике появились в Древней Греции. Термин «механика» ввёл в науку древнегреческий учёный Аристотель (IV в. до н. э.). Механика как самостоятельная наука о движении тел родилась в эпоху Возрождения, когда развитие ремёсел, торговли, мореплавания и военного дела потребовало уточнения представлений о неравномерных и криволинейных движениях и заставило искать законы, управляющие этими движениями. В конце XV в. Леонардо да Винчи, итальянский художник, скульптор, архитектор, учёный и инженер, проводит первые опыты по исследованию падения тяжёлых тел. В своих научных трудах он пишет о том, что наука должна строиться на опыте и на математическом расчёте: «Мне кажется, что пусты и полны заблуждений те науки, которые не порождены опытом — отцом всякой достоверности и не завершаются в наглядном опыте. Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой». Леонардо да Винчи Большое влияние на развитие механики оказало (1452—1519) учение о гелиоцентрической системе мира польского 38 Рис. 1.34 Рис. 1.35 учёного Н. Коперника (XVI в.) и открытие немецким астрономом И. Кеплером законов движения планет (начало XVII в.). Основателем же механики считается итальянский учёный Галилео Галилей. Он впервые ввёл понятия равномерного движения, скорости и ускорения при прямолинейном движении, сформулировал принцип относительности движения. Галилей установил, что свободное падение тел является равноускоренным движением. Перед Галилеем возникла проблема: как проверить законы свободного падения тел, если это движение происходит очень быстро и нет приборов для отсчёта малых промежутков времени? Чтобы уменьшить скорость падения тел, Галилей применил наклонную плоскость. В доске он сделал жёлоб, выстланный для уменьшения трения пергаментом (рис. 1.34), и пускал по жёлобу отполированный шар. Пуская его с половины, четверти и т. д. длины наклонной плоскости, Галилей установил, что пройденные шаром по наклонной плоскости пути относятся как квадраты времени движения. По преданию, Галилей наблюдал падение с наклонной Пизанской башни различных тел, которые достигали земли почти одновременно (рис. 1.35). Небольшую разницу во времени падения тел Галилей объяснил наличием сопротивления воздуха. Такое объяснение было тогда принципиально новым, поскольку со времён Аристотеля утвердилось представление, что, двигаясь, тело оставляет за собой пустоту, а «природа не терпит пустоты». Воздух устремляется в пустоту и толкает тело, т. е. считалось, что воздух не замедляет, а, наоборот, ускоряет тела. Таким образом, Галилей впервые доказал, что Земля сообщает всем телам вблизи своей поверхности одинаковое ускорение. 39 в научных исследованиях Г. Галилей сделал два принципиально важных шага: обратился к физическому опыту и соединил физику с математикой. В XVII—XVIII вв. для развития техники мануфактурного производства потребовалось изучение вращательного движения. В 1673 г. X. Гюйгенс создгш первую теорию движения точки по окружности, ввёл понятие центростремительного ускорения и вывел формулу для его расчёта. Под влиянием запросов машинной техники и необходимости исследований передачи движения в механизмах в первой половине XIX в. возникла потребность выделить кинематику в самостоятельный раздел. На целесообразность этого в 1834 г. указал французский физик А. Ампер, который предложил и само название «кинематика*. В XIX—XX вв. в связи с изучением движения всё более сложных объектов произошло разделение кинематики на несколько самостоятельных частей. Таким образом, несмотря на свою древнюю историю, кинематика развивается и совершенствуется. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 1 Основная задача механики — нахождение положения тела в пространстве в любой момент времени. Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Система отсчёта — тело отсчёта и связанные с ним система координат и часы. Перемещение — вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории тела. Уравнение равномерного прямолинейного движения', х = Хо + где X — координата тела в произвольный момент времени t, Xq — начальная координата, и, — проекция скорости на ось ОХ. Закон сложения скоростей: v = щ + Vq, где v — скорость тела относительно неподвижной системы координат, — скорость тела относительно подвижной системы координат, щ — скорость подвижной системы координат относительно неподвижной. Средняя скорость — физическая величина, равная отношению перемещения тела ко времени, в течение которого оно было совершено: S ^^cp — ^ • Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории: As ^ ~ At ‘ Ускорение — физическая величина, равная отношению изменения скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло: Ли а = —, t 40 или, в проекциях на ось ОХ: _ Ох - Vox о-х- ^ • Уравнение движения тела с постоянным ускорением: аЛ^ Х = Xq-\- Voxt + где Хо — координата тела в начальный момент времени, Оо^и а^.— проекции начальной скорости и ускорения на ось ОХ. Центростремительное ускорение — ускорение движупдейся по окружав ности точки, направленное к центру окружности: а^ = Динамика § 12. Первый закон Ньютона Закон инерции является первым большим успехом в физике, фактически её действительным началом. А. Эйнштейн Раздел механики, в котором изучают причины движения тел, называют динамикой (от греч. dynamis — сила). В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые были сформулированы им в 1687 г. в труде «Математические начала натуральной философии». Первый закон динамики Ньютона (закон инерции) отвечает на вопрос, при каких условиях тело движется равномерно. Этот закон фактически был открыт ещё Г. Галилеем. Более двух тысяч лет назад Аристотель сформулировал закон, согласно которому тело движется с постоянной скоростью, только если на него действует другое тело. Это утверждение основывалось на известных из повседневной жизни фактах, как, например, необходимость непрерывно толкать тележку, катящуюся по ровной горизонтальной дороге, чтобы её движение не замедлялось. Спустя 19 веков Галилей установил, что тело может двигаться и в отсутствие воздействия на него других тел. Подобное движение называют движением по инерции. Галилей писал: «При движении по наклонной плоскости вниз наблюдается ускорение, а при движении вверх — замедление. Отсюда следует, что движение по горизонтали является неизменным, ибо... оно ничем не ослабляется, не замедляется и не ускоряется... Когда тело перемещается по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления, то движение его равномерно и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без концам. Схема движения шарика, соответствующая Рис. 2.1 рассуждениям Галилея, приведена на рис. 2.1. Ч 1 Л Исаак Ньютон (1643—1727) 42 Рис. 2.2 Ньютон в своих законах динамики принял и развил мысль Галилея. Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не выведут его из этого состояния. Все тела в природе подвергаются в той или иной степени воздействию со стороны других тел. В наблюдаемых на практике случаях покоя или равномерного прямолинейного движения воздействия, оказываемые на тела, уравновешивают друг друга. Например, чайник, стоящий на столе, испытывает воздействие (притяжение) со стороны Земли, а также воздействие со стороны стола, причём оба эти воздействия компенсируют друг друга, в результате чего чайник относительно Земли покоится (рис. 2.2). Если тело достаточно удалено от всех других тел, то оно не испытывает внешних воздействий. Такое тело называют свободным. Систему отсчёта, по отношению к которой тело (материальная точка), свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно и прямолинейно, называют инерциальной системой отсчёта. Экспериментально установлено, что практически инерциальна гелиоцентрическая система отсчёта, начало координат которой находится приблизительно в центре Солнца, а оси координат проведены в направлении трёх удалённых звёзд, выбранных так, чтобы оси были взаимно перпендикулярны (рис. 2.3). Инерциальных систем отсчёта имеется бесчисленное множество. Так, если считать Землю инерциальной системой отсчёта, то любое тело, движущееся прямолинейно и равномерно относительно Земли, тоже является инерциальной системой отсчёта. Предположим, что пассажир находится в поезде, который движется прямолинейно и равномерно. Если пассажир подпрыгнет вверх, то опустится на то же место, с которого прыгнул. Оброненный им предмет будет падать вертикально вниз, т. е. так же, как если бы человек обронил этот предмет, находясь на земле вне поезда. Из этого и многих других наблюдений следует, что во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково (при одинаковых начальных условиях), или все инерциальные системы отсчёта равноправны. Это утверждение называется принципом относительности Галилея. 43 Инерциальные системы отсчёта играют большую роль не только в механике, но и в других разделах физики, поэтому первый закон Ньютона нередко формулируют в виде положения о существовании таких систем. I Существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно I которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчёта. Например, шар, лежащий на гладком полу каюты корабля, который движется равномерно и прямолинейно, может покатиться по полу без всякого воздействия на него со стороны каких-либо тел. Для этого достаточно, чтобы скорость корабля начала изменяться. Системы отсчёта, связанные с телами, которые движутся с ускорением по отношению к инерциальной системе отсчёта, называются неинерциальными. Система отсчёта, связанная с Землёй (геоцентрическая система отсчёта), неинерциальна из-за суточного вращения Земли вокруг своей оси и обращения вокруг Солнца, так как эти движения происходят с ускорением. Однако ускорения точек поверхности Земли при этих движениях малы. Поэтому геоцентрическую систему отсчёта можно приближённо считать инерциальной. Проверьте себя 1. Сформулируйте первый закон Ньютона. 2. Приведите примеры, подтверждающие справедливость первого закона Ньютона. 3. Какие системы отсчёта называют инерциальными? 4. Является ли инерциальной система отсчёта, связанная с Землёй? § 13. Сила Каково растяжение, такова и сила. Р. Гук Согласно первому закону динамики тело, на которое не действуют другие тела (или их действия на него скомпенсированы), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения по отношению к инерциальной системе отсчёта. Изменить это состояние может только внешнее воздействие. Количественной характеристикой механического воздействия на рассматриваемое тело других тел является физическая величина, называемая силой. Обычно силу обозначают буквой F. Под действием сил (внешних воздействий) тела могут: • изменять свою скорость, т. е. приобретать ускорение; например, камень падает вниз с ускорением, потому что на него действует Земля; • деформироваться; например, пружина, к которой подвешен груз, растягивается. 44 Выясним, как можно сравнивать силы. Для этого выполним следующий опыт. Закрепим верхний конец пружины неподвижно (рис. 2.4) и измерим длину пружины Iq, затем к нижнему концу пружины подвесим груз. Под действием этого груза (силы Fi) пружина растягивается, и её длина становится равной li, а удлинение Xi = li~ Iq. Теперь подвесим к пружине два таких груза. В этом случае сила, действующая на пружину, увеличилась в 2 раза (¥2 = 2Fi). Как показывает опыт, и удлинение пружины Хг = I2 ~ 1о оказывается в 2 раза больпге: лгг = 2х^. Подвесив к пружине три одинаковых груза (i^a = SFj). мы увидим, что удлинение пружины Xs = 1з - Iq увеличилось в 3 раза: Хз = Злгх. Найдём отношения удлинения пружины к действующим силам: ^ _ 2^ _ ^ ^ F2 ~ 2F, ~ F/ F3 ~ 3F, ~ F/ Следовательно, = const, Г т, е. удлинение пружины пропорционально действующей на неё силе. Под действием внешней силы пружина растягивается, и в ней возникает сила упругости Fy„p (рис. 2.5), которая стремится вернуть пружину в первоначальное состояние. Сила упругости уравновешивает внешнюю силу F: Fy„p = F. Это означает, что сила упругости, возникающая при деформации пружины, пропорциональна её удлинению: F = kx ^ УПТ) (2.1) где k — коэффициент пропорциональности, называемый жёсткостью (пружины). Сила упругости растянутой пружины действует вдоль её оси (см. рис. 2.5). Вы сами можете подействовать на книгу, лежащую на столе, мускульной силой в любом направлении. Поэтому можно предположить, что сила является векторной величиной (т. е. характеризуется модулем и направлением). Направление силы упругости Fynp, возникающей в пружине, противоположно направлению перемещения частиц пружины (см. рис. 2.5), поэтому формулу (2.1) в проекции на ось ОХ записывают так: (^’у.р)х = -kx. (2.2) 45 N Сила упругости пропорциональна удлинению пружины и противоположна ему по направлению. Это утверждение называют законом Гука (для растяжения или сжатия). Английский учёный Р. Гук установил его в 1660 г. Этот закон справедлив только в случае не слишком больших деформаций. Когда деформация превышает некоторый определённый для каждой конкретной пружины предел, пропорциональность между силой и деформацией нарушается. Деформацию, подчиняющуюся закону Гука, называют упругой деформацией. Закон Гука позволяет количественно сравнивать силы, поскольку отношение модулей двух сил равно отношению удлинений пружины, вызываемых действием этих сил: Рг Хг' Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры, называют силой реакции опоры и обозначают N (рис. 2.6, а), б а со стороны подвеса — силой натяжения подвеса (си- Рис. 2.6 ла на рис. 2.6, б). Проверьте себя 1. Приведите примеры взаимодействия тел. 2. Что такое сила? 3. Какие действия вызывает сила? 4. В чём состоит закон Гука? 5. Как сравнивают силы? § 14. Второй закон Ньютона Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон. А. Поп Исследуем, как зависит ускорение тела от действующей на него силы. Для этого изучим движение тележки по столу под действием пружины, по растяжению X которой можно судить о силе Fy действующей на тележку. Опыт 1. Пусть тележка удерживается упором. Растягиваем пружину на х (рис. 2.7, а), убираем упор, тележка начинает двигаться с ускорением и за некоторое время проходит путь s. Измерив этот путь s и время t, найдём ускорение Oj тележки по формуле 2s а, = 46 Опыт 2. Увеличим силу, действующую на тележку, в 2 раза. О силе будем судить по удлинению пружины, которое теперь будет равно 2х. Измерения и вычисления показывают, что ускорение при этом возрастает в 2 раза, т. е. ^ = 2. tti На основании этих и подобных опытов был сделан вывод, что ускорение тела пропорционально действующей на него силе: а ~ F. Опыт 3. Теперь повторим опыт 1, взяв две такие же тележки (рис. 2.7, б). Найдём ускорение Пз, приобретаемое тележками под действием силы F. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы F ускорение двух тележек оказалось в 2 раза меньше, чем ускорение одной тележки, т. е. а, 1 2’ Две тележки больше «сопротивляются» изменению их скорости, чем одна. Говорят, что две тележки более инертны, чем одна. Инертность — свойство тела, проявляющееся в том, что для изменения его скорости требуется время. Количественной мерой инертности тела является физическая величина, называемая массой*. О теле, которое приобретает меньшее ускорение, говорят, что оно более инертно, т. е. имеет большую массу, а тело, которое приобретает большее ускорение, — меньшую массу. Поэтому для сравнения масс mi и тг * От лат. massa — глыба, ком. 47 двух тел достаточно измерить модули ах и аг уско-^ рений, приобретаемых этими телами под действием одной и той же силы F: Шх _ 02 ГЩ. а, ■ Но чтобы определить массу одного тела, нужно второе тело выбрать в качестве эталона и его массу принять за единицу массы. За единицу массы — килограмм — принята масса цилиндра из сплава платины и иридия — международного прототипа (эталона) массы (рис. 2.8), Рис. 2.8 хранящегося в Международном бюро мер и весов в г. Севре близ Парижа. Массу т тела можно определить, сргшнив её с массой эталона. Для этого нужно привести тело во взаимодействие с эталоном и измерить модули приобретённых ими ускорений. Тогда откуда Объединив результаты опытов /, 2 и 3, можно записать: F а----, т - 9^ тэ а ’ О-э т = т^— а или F а = а—, т где значение коэффициента а зависит от выбора единиц массы, ускорения и силы. Единица массы — 1 кг, ускорения — 1 м/с^, а единица силы нами ещё не определена. Её выбирают такой, чтобы коэффициент а оказался равным единице (а = 1). Тогда F а = —. т (2.3) Поскольку сила и ускорение — векторы, то это соотношение, называемое вторым, законом Ньютона, записывают так: F а = —. т (2.4) Ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе. Выразим силу F из формулы (2.4): F = та. (2.5) 48 Единицу силы установим из формулы для модуля силы F = та. Если т = 1кгиа=1 м/с^, то [Л = 1 кг-1 м/с^ = 1 = 1 Н. Единице силы присвоено специальное наименование — ньютон (Н), в честь И. Ньютона. Ньютон равен силе, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение 1 м/с^. Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ему такое же ускорение, что и при отсутствии других сил. В этом заключается принцип независимости действия сил, или принцип суперпозиции. Результирующее ускорение а, приобретаемое телом массой т под действием нескольких сил, определяется в соответствии со вторым законом Ньютона; а = Fi + Fz + ... Fп £ т где F — результирующая (равнодействующая) сила, равная F = Fi -Ь Л -f- ... -Ь Е„. Второй закон Ньютона является основным законом динамики, поскольку он позволяет по приложенным к телу силам найти его ускорение, а зная его, можно определить (при известных начальных условиях) положение движущегося тела в любой момент времени. А это и есть решение основной задачи механики. Второй закон Ньютона справедлив для любых сил и для любых тел, т. е. является универсальным законом. Его используют при изучении движения автомобилей, молекул, звёзд, волн, механизмов и др. Второй закон Ньютона спргшедлив только в инерциальных системах отсчёта. Мы уже отмечали, что в законе Гука коэффициент k называется жёсткостью. Теперь установим единицу жёсткости. Из закона Гука F = kx выразим к: k = ^ и подставим в эту формулу единицы силы и длины: W = ^ = 1 Н/м. Ньютон на метр равен жёсткости такого тела, которое под действием силы 1 Н удлиняется на 1 м. Проверьте себя 1. Что такое масса? 2. Какова единица массы? 3. Как определить массу тела? 4. Сформулируйте второй закон Ньютона. 5. Расскажите об опытах, иллюстрирующих второй закон Ньютона. 6. Почему второй закон Ньютона считают основным в динамике? 49 УПРАЖНЕНИЕ 11 1. С каким ускорением движется тело массой 2 кг, если на него действует сила 50 Н? 2. Тело массой 3 кг движется с ускорением 1,5 м/с^. Определите силу, действующую на тело. 3. Материальная точка массой 500 г движется с ускорением 2 м/с^ под действием двух равных по модулю сил, направленных под углом а = 90° друг к другу. Определите модуль этих сил. _ 4. На материальную точку массой 500 г действуют две силы Fi и F2, направленные под углом а = 60° друг к другу, модули этих сил равны 1,5 Н. Определите ускорение материальной точки. § 15. Третий закон Ньютона Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем. И. Ньютон Тяжело молоту, тяжело и наковальне. Пословица Всякое действие тел друг на друга взаимно. Убедимся в этом на опыте. Возьмём два одинаковых динамометра и сцепим их крючками (рис. 2.9). Растягивая их, мы увидим, что динамометры показывают одинаковые силы, их стрелки отклоняются на одинаковое число делений, но в противоположные стороны. Следовательно, динамометры взаимодействуют с равными по модулю, но противоположно направленными силами: Мы рассмотрели взаимодействие покоящихся тел. Теперь выясним, как взаимодействуют движущиеся тела. На рис. 2.10 изображены два цилиндра с просверлёнными по оси отверстиями. Цилиндры надеты на стержень, вдоль которого они могут скользить с малым трением. Известно, что отношение масс цилиндров равно 3 ~ цилиндры нитью. Установим стержень с цилиндрами на горизонтальный диск, который станем вращать. Скользя вдоль 50 стержней, цилиндры остановятся, каждый на некотором расстоянии от оси вращения. При этом они будут двигаться по окружностям радиусов Ti и Гг с центростремительными ускорениями, равными ai = и а-г = 4л^п^Гг, где п — частота обращения. Найдём отношение ускорений: ^ = И, Ог Гг Измерения показывают, что отношение — =3. Это значит, что — =3; Гг Ог ТПо г% ^2 НО — =3, следовательно, — = —^ 7Tt\ €^2 ПХ\ ИЛИ mifli = тгПг. Согласно второму закону Ньютона /niOi = Fx, ГП2а2= ^2. Значит, = i^2. _ Сила Fi приложена к одному цилиндру, а сила Fg — ^ другому. Направлены эти силы в противоположные стороны. Поэтому Fx = -F2. (2.6) Это равенство выражает третий закон Ньютона: I Силы, с которыми действуют друг на друга тела, равны по модулю и I противоположны по направлению. Природа сил, с которыми взаимодействуют тела, одинакова. Так, в опыте с цилиндрами (см. рис. 2.10) — это сила упругости. Из третьего закона Ньютона следует, что в природе одиночные силы не могут существовать, т. е. силы всегда возникают и действуют парами; приложены они к разным телам, и потому складывать их нельзя, т. е. они не имеют равнодействующей. Проверьте себя 1. Сформулируйте третий закон Ньютона. 2. Приведите примеры, подтверждающие третий закон Ньютона. 3. Могут ли уравновесить друг друга силы, с которыми взаимодействуют два тела, ведь они равны по модулю и противоположно направлены? 51 § 16. Закон всемирного тяготения Причину же свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. И. Ньютон Наблюдения показывают, что на все тела со стороны Земли действует сила притяжения. Под действием этой силы поднятые тела, если их отпустить, падают на поверхность Земли с ускорением. Но тела притягиваются не только к Земле, но и друг к другу. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен И. Ньютоном в 1687 г. и называется законом всемирного тяготения. Сила, с которой две материальные точки притягиваются друг к другу, пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Математически закон записывается так: F = G TTi^Ttt2 (2.7) nil 9- где F — модуль силы, mi и дпг — массы тел, t-расстояние между ними, G — коэффициент пропорциональности. Силы притяжения, действующие между материальными точками, направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки (рис. 2.11). Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной, а силу F — гравитационной силой. Выясним физический смысл гравитационной постоянной. Если масса каждого из двух взаимодействующих тел равна 1 кг (ту = тг = 1 кг) и расстояние между ними 1 м (г = 1 м), то получается, что гравитационная постоянная численно равна модулю силы притяжения между двумя телами массой 1 кг каждое, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Экспериментально было установлено, что G = 6,7 -Ю’"' Н м7кг^ Впервые значение G определил английский физик Г. Кавендищ в 1798 г. с помощью крутильных весов (рис. 2.12). Его эксперимент состоял в измерении силы притяжения между телами известной массы. Г. Кавендиш закрепил два маленьких свинцовых шарика на противоположных концах длинного стержня, который подвешивался на тонкой проволоке. Рядом с маленькими шариками были расположены Рис. 2.11 два больших свинцовых шара. При этом стержень с маленькими шариками поворачивался. Это означало, что на них действует сила притяжения со стороны больших шаров. Повороту стержня препятствовала сила упругости, возникающая при закручивании подвеса. Эта сила, как было установлено опытным путём, пропорциональна углу поворота подвеса. Поэтому, измерив этот угол, можно было определить гравитационную силу, с которой взаимодействовали шары. Закон всемирного тяготения, выраженный формулой (2.7), может быть использован для вычисления сил взаимодействия: • между телами любой формы, если их размеры значительно меньше расстояния между ними; • между однородными шарообразными телами (за расстояние между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров); • между телом шарообразной формы и телом, которое можно принять за материальную точку. Сила всемирного тяготения сообщает любому телу, находящемуся вблизи поверхности Земли, одинаковое ускорение. Это и есть ускорение свободного падения g {g ~ 9,8 м/с^): а = — = т GM Rl = g, (2.8) где М — масса Земли, 7?з — радиус Земли. Если тело находится на высоте h над поверхностью Земли, то Д = 7?з -I- h, и на этой высоте ускорение свободного падения g GM (2.9) (Дз + hY Из формулы (2.9) видно, что ускорение свободного падения уменьшается с увеличением высоты h. С помощью формулы (2.8) Г. Кавендиш впервые определил массу Земли: М = gRl G = e кг. Поэтому говорят, что Г. Кавендиш, найдя значение G, впервые «взвесил» Землю. Одно из проявлений всемирного тяготения тел — это действие силы тяжести, которая сообщает телу ускорение свободного падения и (если не учитывать вращения Земли) направлена к центру Земли: F = mg. (2.10) Убедительным подтверждением закона всемирного тяготения было предсказание существования планет Нептун и Плутон и их обнаружение именно там, где они должны были быть в соответствии с расчётами, основанными на этом законе. 53 ЗАДАЧА На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения составляет четвёртую часть ускорения свободного падения вблизи её поверхности? Радиус Земли равен 6400 км. Решение. На высоте h над поверхностью Земли ускорение свободного падения GM g = {Я, + h) 2 • У поверхности Земли Разделив g на g\ получим: ^ GM ^ RI ■ ^ ^ (Д, + hf g' R Извлечём квадратный корень из правой и левой частей этого уравнения, тогда _ R3 + h откуда h = B, R. ^ - 1 I = Rs‘, h = 6400 KM. Проверьте себя 1. Как изменится сила притяжения между двумя шарами, если расстояние между их центрами увеличить в 3 раза? уменьшить в 4 раза? 2. Как изменится сила притяжения между двумя шарами, если один из них заменить другим, масса которого вдвое меньше? 3. Почему мы не замечаем притяжения тел друг к другу, хотя притяжение этих же тел к Земле наблюдать легко? УПРАЖНЕНИЕ 12 1. Во сколько раз ускорение свободного падения на Земле больше ускорения свободного падения на Марсе? Радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а масса Марса равна 0,11 массы Земли. 2. Чему равно ускорение свободного падения на Луне? Масса Луны равна 7,3 • 10^^ кг, а радиус — 1,74 • 10*^ м. 3. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/с^? 54 §17. Вес. Невесомость. Перегрузка я почувствовал, что какая-то непреоборимая сила всё больше и больше вдавливает меня в кресло... трудно пошевелить рукой и ногой. Ю. А. Гагарин Когда тело покоится относительно Земли, то сила тяжести mg, действующая на него, уравновешивается силой реакции опоры N (рис. 2.13, а) или силой натяжения подвеса -Рн (рис. 2.13, б). Так как под действием силы N{F^) тело деформируется, то возникает ещё одна сила — сила упругости деформируемого тела, которая приложена к опоре (подвесу) и направлена вертикально вниз. Её называют весом тела и обозначают Р. Согласно третьему закону Ньютона Р = -N (Р = ~^н). Сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие притяжения к Земле, называется весом тела. Выясним, зависит ли вес тела от того, как движется это тело вместе с опорой. Пусть тело находится на полу лифта. Рассмотрим три случая. а = 0. Ускорение лифта равно нулю (рис. 2.14, а). Лифт движется равномер- но и прямолинейно или покоится. В этом случае вес тела Pi равен по модулю силе ре£1кции опоры Nil Pi = iVj. Но Ni = mg. Следовательно, Pi = mg. Если тело и опора неподвижны или движутся равномерно и прямолинейно, то вес тела по модулю равен действующей на него силе тяжести. mg N mg Рис. 2.13 55 а = о о"! О 1 У, 1 ^nig • ^nig А г: I О fiVa' ^ т б Рис. 2.14 а g. Ускорение лифта а направлено вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона для тела в этом случае (рис. 2.14, б): N2 + mg = та, или, в проекциях на ось OY: Nzy + mgy = may. Так как N2y = N2, mgy = -mg, ay= -a, to N2 - mg = -та. Отсюда N2 = m(g - a). Bee тела P2 no модулю равен силе реакции опоры N2: Р2 = N2 (третий закон Ньютона), следовательно, Рг = m(g - а). Если тело вместе с опорой движется с ускорением а, направленным так же, как ускорение свободного падения, то его вес меньше действующей на тело силы тяжести. В случае, если лифт движется вниз с ускорением свободного падения (а = ^), то вес тела, находящегося в нём, равен нулю: Р'г = m{g - g) = 0. Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называют невесомостью. В таком состоянии, например, находятся предметы в космическом корабле, летящем по околоземной орбите с выключенными двигателями. В состоянии невесомости находится любое тело, движущееся с ускорением свободного падения. Чтобы испытать это состояние, достаточно совершить пры- 56 жок: между моментом отрыва от поверхности земли и моментом приземления человек будет невесом. Q ti g. Ускорение а лифта направлено вертикально вверх. Так как на тело действуют те же силы, что и при движении с ускорением вниз, то второй закон Ньютона будет иметь вид (рис. 2.14, в): или При этом вес тела N3 - mg = та. N3 = m{g + а). Рз = m(g + а). Если тело вместе с опорой движется с ускорением а, направленным противоположно ускорению свободного падения, то его вес больше действующей на него силы тяжести. Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры (или подвеса), называют перегрузкой. Перегрузке подвергается космонавт на участке разгона взлетающей ракеты. Перегрузку испытывают пассажиры лифта в начале его подъёма, когда лифт движется с ускорением, направленным вверх. Проверьте себя 1. Что такое вес тела? 2. В чём различие между весом тела и силой тяжести, действующей на него? 3. Как изменяется вес тела при ускоренном движении вверх? вниз? 4. Когда тело находится в состоянии невесомости? 5. Камень, выпущенный из руки, во время падения находится в состоянии невесомости. Будет ли камень находиться в состоянии невесомости, если его бросить вверх? под углом к горизонту? 6. Исчезает ли сила притяжения тела к Земле при его переходе в состояние невесомости? 7. Что такое перегрузка? Когда она возникает? УПРАЖНЕНИЕ 13 1. Человек стоит на напольных весах. Внезапно он приседает. Как изменятся во время приседания показания весов? 2. Груз массой 5 кг поднимают с помощью каната вертикально вверх с ускорением 2 м/с^. Какова сила натяжения каната? 3. С каким ускорением надо поднимать гирю, чтобы её вес увеличился вдвое? С каким ускорением надо опускать гирю, чтобы её вес уменьшился вдвое? 57 § 18. Первая космическая скорость Конечно, это будет русская ракета, и, конечно, полетит на ней русский человек. К. Э. Циолковский В своей работе «Математические начала натуральной философии» И. Ньютон рассматривает, как будет двигаться тело, находящееся на высокой горе, если сообщать ему в горизонтальном направлении разные скорости. Чем больше скорость, тем дальше от горы упадёт тело. А при достаточно большой скорости оно никогда не упадёт (рис. 2.15), т. е. станет искусственным спутником (ИС) Земли. Наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу (по касательной к круговой траектории относительно Земли), чтобы оно превратилось в искусственный спутник Земли, называется первой космической скоростью. Определим эту скорость. На больших высотг1х воздух разрежен и практически не оказывает сопротивления движущимся телам. Поэтому можно считать, что на спутник действует только гравитационная сила, направленная к центру Земли (рис. 2.16): г_тМ iRs+hf' где i?3 — радиус Земли, h — высота спутника над поверхностью Земли, М — масса Земли, т — масса спутника. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение а,, — + h Так как F = та (второй закон Ньютона), то GmM mv^ (i?3 + hf Пг + h Рис. 2.15 Рис. 2.16 58 Отсюда находим скорость, с которой спутник движется по орбите: V = GM /?з + h Если спутник движется вблизи поверхности Земли (Л = 0), то V = GM Я. (2.11) (2.12) Учитывая, что у поверхности Земли ускорение свободного падения GM ё — п2 ’ гСз для первой космической скорости будем иметь: V = 7^- Так как g’ = 10 м/с^, а = 6 400 000 м, то и = 8000 м/с = 8 км/с. 12 апреля 1961 г. первый в мире космонавт, гражданин Советского Союза Ю. А. Гагарин на корабле-спутнике «Восток» совершил один оборот вокруг Земли и благополучно приземлился. Этой дате посвящён День космонавтики, который отмечается в нашей стране 12 апреля. Проверьте себя 1. Какую скорость называют первой космической? Чему она равна? 2. Как направлены скорость и ускорение искусственного спутника Земли? УПРАЖНЕНИЕ 14 1. Какова первая космическая скорость для планеты радиусом R = 4000 км, если ускорение свободного падения у её поверхности ^ = 6 м/с^? 2. Чему равна первая космическая скорость для планеты, у которой масса и радиус в 2 раза больше, чем у Земли? 3. Какова первая космическая скорость вблизи поверхности Луны, если её радиус Я = 1780 км, а ускорение свободного падения у её поверхности в 6 раз меньше, чем у поверхности Земли? 4. Чему равна первая космическая скорость для пла- Юрий Алексеевич неты радиусом R = 2500 км, средняя плотность которой Гагарин р = 4,5 • 10^ кг/м^? (1934-1968) 59 § 19. Сила трения Угря в руках не удержишь. Что кругло — легко катится. Пословицы Сила трения препятствует движению соприкасающихся тел относительно друг друга. Ознакомимся на опытах с особенностями силы трения, возникающей между соприкасающимися поверхностями твёрдых тел. Эта сила называется силой сухого трения. Опыт 1. Поместим на стол брусок массой т. Прикрепим к нему нить, соединённую с динамометром (рис. 2.17). Потянем брусок с помощью динамометра с некоторой силой F. Брусок не движется. Это означает, что действие всех сил, приложенных к бруску, скомпенсировано: сила тяжести mg уравновешивается силой реакции опоры N, а силу натяжения нити F должна уравновешивать какая-то другая сила — это и есть сила трения покоя. Сила, препятствующая возникновению движения одного тела по поверхности другого, называется силой трения покоя. Увеличим силу, с которой динамометр действует на брусок. Брусок по-прежнему остаётся в покое. Значит, большая действующая сила опять уравновешивается силой трения покоя, т. е. сила трения покоя также увеличилась. При некотором значении действующей силы брусок начинает скользить по поверхности стола. Следовательно, сила трения покоя может принимать значения от нуля до некоторого максимального значения. На рис. 2.18 изображён гимнаст, который удерживается на канате силой трения покоя. Сила трения покоя фиксирует на месте туго завинченную гайку, гвоздь в доске. Без трения покоя невозможно было бы движение людей по земле. При ходьбе и беге на подошвы ног действует сила трения покоя, если только ноги не скользят (рис. 2.19, а). Сила трения покоя является причиной начала движения, т. е. причиной возникновения ускорения, направленного в сторону движения. Сила F, равная по модулю силе трения покоя Frp.n, но противоположно направленная, сообщает ускорение опоре (Земле). Так как масса Земли велика, то сообщаемое ей силой F ускорение мало. Чтобы лучше Рис. 2.17 60 Рис. 2.18 Рис. 2.19 понять сказанное, представим, что спортсмен бежит по дорожке, установленной на роликах. Отталкивая дорожку, спортсмен заставляет её двигаться в противоположном направлении (рис. 2.19, б). Если тело движется по поверхности другого тела, то на него действует сила трения скольжения. Силу трения скольжения можно определить с помощью той же установки, которую мы использовали для изучения трения покоя (см. рис. 2.17). Добьёмся, чтобы, начав движение, брусок перемещался равномерно. При этом сила трения скольжения будет уравновешена силой, с которой динамометр действует на брусок. Выясним, от чего зависит сила трения скольжения. Опыт 2. Поставим на брусок гирю той же массы, что и сам брусок (рис. 2.20). При этом сила, с которой брусок действует на стол перпендикулярно поверхности, увеличивается в 2 раза. Но эта сила согласно третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры, действующей на брусок со стороны стола. Следовательно, и сила реакции опоры увеличилась в 2 раза. Измерив в этом случае силу трения (она равна показаниям динамометра), обнаружим, что она тоже увеличилась в 2 раза. Рис. 2.20 61 Нагружая брусок различными гирями и измеряя каждый раз силу трения, мы обнаружим, что модуль силы трения пропорционален модулю силы реакции опоры: = \iN, (2.13) Рис. 2.21 где р — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения. Его значение зависит от материала соприкасающихся тел и от качества обработки их поверхностей. Коэффициент р определяют опытным путём. Опыт 3. Повернём брусок так, чтобы он опирался на доску поверхностью, имеющей другую площадь. Измерив F^p при равномерном движении бруска, увидим, что она не изменилась, следовательно, сила трения не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Силу трения скольжения можно уменьшить во много раз с помопщю смазки. Смазку используют в подвижных деталях автомобилей, тракторов и других устройств. Силы трения возникают не только в том случае, когда мы двигаем предмет, но и тогда, когда катим его. При этом сила трения качения в десятки раз меньше силы трения скольжения, что широко используется на практике. Так, катки, помещённые между поверхностями двух тел, помогают в значительной мере уменьшить силу трения. Если тяжёлый предмет стоит на катках, его намного легче толкать или тащить на канате (рис. 2.21). Картина Н. К. Рериха «Волокут волоком* (на рис. 2.22 представлена её репродукция) иллюстрирует сказанное. Рис. 2.22 62 ЗАДАЧА Брусок соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением а = 1 м/с^, угол наклона плоскости а = 45°. Каков коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью? Решение. На брусок действуют три силы: сила тяжести mg, сила трения Ртр и сила реакции опоры N (рис. 2.23), которые сообш;ают бруску ускорение а, направленное вдоль наклонной плоскости вниз. Второй закон Ньютона для данного случая в векторной форме имеет вид -Ь Ртр + N = та. Запишем его в проекциях на оси ОХ и OY, направленные так, кгпс показано на рис. 2.23: mg:, -I- Ртрх + = та,,, mgy -Н Ртру + Ny = тйу. Выразим проекции векторов через их модули: тЯх = ^^sina, ЛГ, = О, = а; mgy = -mucosa, F^py = О, Ny = N, Uy = 0. Тогда будем иметь: m^sina - Frp = та, (1) - mucosa = 0. (2) Но Ртр = 1^- Так как из соотношения (2) следует, что N = mucosa, то для силы трения получим: Ftp = p.mg’cosa. С учётом этого уравнение (1) можем записать в виде mg sin а - pmgcosa = та, откуда = 5SinC^ ^ Q g ^ g cos а ^ Проверьте себя 1. Какую силу называют силой трения покоя? 2. Какие значения может принимать сила трения покоя? 3. Какую силу называют силой трения скольжения? 63 4. Приведите примеры проявления силы трения в природе и её применения в технике. 5. Каков физический смысл пословиц: «Не подмажешь — не поедешь», «Из навощённой нити трудно плести сеть», «Камень тяжёл, когда лежит на своём месте, если же его покатить, он станет лёгким», «Если двое возьмутся — валун с места сдвинут, если трое — на другое место перенесут»? УПРАЖНЕНИЕ 15 1. При экстренной остановке поезда, двигавшегося со скоростью 72 км/ч, тормозной путь составил 100 м. Чему равен коэффициент трения между колёсами поезда и рельсами? 2. Автобус массой 4 т трогается с места и, пройдя путь 120 м, приобретает скорость 15 м/с. Определите коэффициент трения, если сила тяги двигателя автобуса Е = 10 кН. 3. С каким ускорением будет двигаться по горизонтальной плоскости тело массой т = 2 кг, если к нему приложена сила, направленная вверх под углом а = 45° к горизонту и равная 5 Н? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,1. 4. Прикладывая силу, направленную под углом 30° к горизонту, человек тянет санки массой 40 кг. Санки при этом равномерно перемещаются по горизонтальной поверхности. Определите модуль действующей силы, если коэффициент трения санок о снег равен 0,1. 5. Тело начинает скользить с верхней точки наклонной плоскости, высота которой равна h, а угол с горизонтом а. Найдите скорость тела у основания плоскости, если коэффициент трения равен р. ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ ДИНАМИКИ Сделал, что мог, пусть другие сделают лучше. И. Ньютон Научные основы динамики, а с ней и всей механики создавались в XVII в. Основоположник механики Г. Галилей открыл законы инерции и свободного падения тел, обосновал принцип относительности. <^Mы создаём совершенно новую науку, предмет которой является чрезвычайно старым... В природе нет ничего древнее движения, но именно относительно него философами написано весьма мало значительного. Поэтому я многократно изучал на опыте его особенности, вполне этого заслуживающие, но до сего времени либо неизвестные, либо недоказанные^, — писал Г. Галилей в своём главном сочинении «Диалог о двух системах мира — Птолемеевой и Коперниковой ». Работам Галилея предшествовали труды польского учёного Н. Коперника (1473—1543), создавшего гелиоцентрическую картину мира. Позже немецкий 64 учёный И. Кеплер (1571—1630) открыл законы движения планет. Эти законы помогли И. Ньютону установить закон всемирного тяготения, о чём он писал: «Если я видел дальше, чем другие, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов^. И. Ньютон в книге «Математические начала натуральной философии», вышедшей в 1687 г. и названной французским учёным Ж. Лагранжем «величайшим из произведений человеческого разума», впервые изложил основы классической механики в единой системе. Он сформулировал три закона динамики и закон всемирного тяготения, вывел ряд следствий из этих законов. Начиная с этого времени развитие механики происходило настолько быстро и успешно, что к XIX в. её стали признавать главной наукой о природе. На основе законов динамики были: • созданы методы расчёта технических конструкций; • описаны движения звёзд; • объяснены некоторые тепловые явления. Во второй половине XIX в. большинство учёных считали, что все законы природы сводятся к механическим законам и что любое явление природы имеет свои механические «пружины». Цель физики и состоит в отыскании этих «пружин». Однако в XX в. было выяснено, что законы Ньютона справедливы не всегда, например, они не выполняются при движении электронов внутри атомов. Для описания этого движения была создана так называемая квантовая механика. В это же время опытным путём было установлено, что скорость света не зависит от выбора системы отсчёта. Поэтому возникла необходимость уточнения динамики Ньютона. Это сделал в 1905 г. А. Эйнштейн, создав специальную теорию относительности (СТО). С момента выхода в свет «Математических начал...» Ньютона прошло более 300 лет. Благодаря труду многих учёных XIX и XX вв. были открыты новые законы природы, созданы новые теории (электродинамика, общая и специальная теория относительности и др.). Картина мира наполнилась более богатым и глубоким содержанием. Тем не менее А. Эйнштейн подчёркивал: «Пусть никто не думает, что великое создание Ньютона может быть ниспровергнуто теорией относительности или какой-нибудь другой теорией. Ясные и широкие идеи Ньютона навечно сохранят своё значение фундамента, на котором построены наши современные физические представления*. Сам же Ньютон так оценивал свой вклад в развитие науки: «Не знаю, кем я могу казаться миру, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, развлекающимся тем, что от поры до времени отыскиваю камешек более цветистый, чем обыкновенно, или красивую раковину, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным*. 65 Научный вклад Ньютона высоко оценён и современниками, и потомками. Надпись на его могильной плите гласит: «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики движение планет, пути комет и приливов океанов... Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого^. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 2 Инерциальные системы отсчёта (ИСО) — системы отсчёта, в которых тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона. Тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешние воздействия не выведут его из этого состояния. Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчёта ускорение тела пропорционально равнодействующей силе (векторной сумме всех действующих сил) и обратно пропорционально массе тела: F а = —. т Третий закон Ньютона. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению: Уг = -У2> Принцип относительности Галилея. Во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково (при одинаковых начальных условиях). Закон Гука. Модуль силы упругости пропорционален удлинению пружины: -Fynp = kx. Закон всемирного тяготения. Сила притяжения двух материальных точек пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Р — Q ^1^2 Модуль силы трения скольжения пропорционален модулю силы реакции опоры: F^ = \iN. Статика **§ 20. Условия равновесия тел Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю. Архимед Если тело покоится относительно инерциальной системы отсчёта, то говорят, что оно находится в равновесии. Изучение условий равновесия тел имеет большое практическое значение, поскольку важно, чтобы здания, мосты, туннели, скульптуры, монументы и другие постройки находились в покое относительно земли. Знание условий равновесия необходимо при конструировании машин и механизмов. Условия равновесия тела или системы тел изучают в разделе физики, называемом статикой. Из второго закона Ньютона следует, что если равнодействующее приложенных к телу сил равна нулю, то тело (материальная точка) движется равномерно и прямолинейно или покоится. Отсюда следует первое условие равновесия тела'. Fi -f F2 + ... + F„ = 0. (3.1) Для равновесия тела необходимо, чтобы векторная сумма действующих на него сил была равна нулю. Если мы имеем дело с протяжённым твёрдым телом, то для его равновесия первого условия равновесия недостаточно. Например, пусть на линейку действуют две равные по модулю, но противоположно направленные силы, приложенные в разных точках (силы F^ и Eg на рис. 3.1). Опыт показывает, что под их действием линейка поворачивается вокруг некоторой оси, т. е. не находится в равновесии. Выясним, какое ещё условие должно выполняться, чтобы тело находилось в равновесии. Для этого нам понадобится физическая величина, которая называется моментом силы. Моментом силы относительно оси вращения тела называют физическую величину, равную произведению модуля силы, приложенной к телу, на её плечо: М = Fd. (3.2) Рис. 3.1 67 Плечо силы — это расстояние от оси вращения до линии действия силы. Так, на рис. 3.2 dx (длина отрезка АО) — плечо силы Fj, а с?2 (длина отрезка О В) — плечо силы Fg. Единицу момента силы получим из формулы (3.2): [М] = 1Н-1 м = 1Нм. Ньютон-метр равен моменту силы, создаваемому силой 1 Н относительно оси, расположенной на расстоянии 1 м от линии действия силы. Момент силы будем считать положительным, если сила приводит к вращению тела (например, рычага) против часовой стрелки, и отрицательным, если — по часовой стрелке (см. рис. 3.2). Используя понятие момента силы, с помощью опытов установим условие равновесия рычага. Пусть рычаг укреплён на оси в муфте штатива (рис. 3.3). По обе стороны от его точки опоры О можно подвешивать на проволочных петлях разные грузы и в разных точках. Изменяя положение грузов, добьёмся равновесия рычага. Обозначим через Р вес одного груза, через di и dz — плечи сил Fj и Fg, действующих на рычаг со стороны грузов слева и справа. Вычислим моменты сил, действующих на рычаг. (Рычаг считаем лёгким и пренебрегаем силой тяжести, действующей на него, а также трением в его оси.) Сила Fi = 4F (рис. 3.3), её плечо di = 21, а её момент Mi = Fi^i = 8PL (Эта сила вращала бы рычаг против часовой стрелки, поэтому её момент имеет знак «плюс».) Сила Fz = 2Р, её плечо dz - 41, а момент Mz = -Fzdz = -8PL (Эта сила вращала бы рычаг по часовой стрелке, поэтому её момент имеет знак «минус».) Момент Мз силы реакции опоры N равен нулю, так как Мз = Nd^; но с?з = О, поскольку линия действия силы N проходит через точку опоры. Рис. 3.2 О Рис. 3.3 68 Вычислим сумму моментов сил, действующих на рычаг: Ml + Мг + Мз = Fidi - Ргйг = SPI - 8Р1 = О, или F,di - F^di = 0. (3.3) Следовательно, в случае равновесия рычага сумма моментов действующих на него сил равна нулю. Это утверждение справедливо не только для рычага, но и для других случаев равновесия тела, имеющего ось вращения. Тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на него сил относительно любой оси вращения равна нулю: М\ -Ь Мг -Ь ... + М„ = 0. (3.4) Это второе условие равновесия для тел, имеющих ось вращения. Его называют также правилом {уравнением) моментов сил. Условия равновесия тел позволяют определить выигрыш в силе, получаемый с помощью простых механизмов — приспособлений, которые ещё в древности использовали «для получения большой силы из малой». Простейший из них — рычаг, с которым вы уже знакомы. Уравнение (3.3) можно записать в виде F ^ d, Рг di Отсюда следует, что если > di, то Fi > F2, следовательно, рычаг может обеспечить выигрыш в силе в ^ раз. d\ Рычаг служит элементом многих орудий труда: ножниц, плоскогубцев, рукоятки ручного тормоза автомобиля, стрелы подъёмного крана и др. ЗАДАЧА Бревно массой т = 200 кг и длиной / = 10 м лежит на двух опорах, одна из которых расположена у его правого конца, а другая — на расстоянии Zi = 2 м от его левого конца. Какая сила давления действует на каждую опору? Решение. На бревно действуют следующие силы: сила тяжести mg, а также реакции опор Ni и Nz (рис. 3.4). Бревно находится в равновесии, поэтому векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю: Ni -1- Nz -Ь mg = 0. 69 Запишем это уравнение для проекций сил на ось ОУ, которую направим вертикально вверх: N2- mg=0. (1) Поскольку бревно не вращается, то алгебраическая сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси вращения. Выбрав в качестве оси вращения опору 1, запишем относительно неё уравнение моментов: NS - г,) -mg\^-h\=0. (2) (Момент силы Ni равен нулю, поскольку линия её действия проходит через ось вращения и плечо этой силы равно нулю.) Выразим из уравнения (2) модуль силы N2- mg(l - 2I1) 2(1 -1г) ’ С учётом этого из уравнения (1) найдём: —mgl— ' 2(1 - k) (3) (4) Согласно третьему закону Ньютона силы давления бревна на опоры равны по модулю силам реакции опор: F,=N„ F2 = N2. Подставив числовые значения величин в формулы (3) и (4), получим: F, = 1250 Н, F2 = 750 Н. Проверьте себя 1. Каково первое условие равновесия твёрдых тел? 2. Какую физическую величину называют моментом силы? 3. Что называют плечом силы? 4. В чём состоит правило моментов сил? 5. Каковы условия равновесия тела, имеющего ось вращения? 6. В каком месте надо толкать тяжёлую дверь, чтобы её открыть: вблизи петель или около ручки? Почему? УПРАЖНЕНИЕ 16 1. Два человека держат трубу массой 10 кг и длиной 5 м. Один из них держит её за конец, а другой — на расстоянии 0,5 м от противоположного конца. Определите силы давления, действующие на руки каждого человека. 2. Доска массой 20 кг лежит на опоре, находящейся на расстоянии 1/3 её длины от одного из концов. Какую силу нужно приложить к короткому концу, чтобы удержать доску в равновесии в горизонтальном положении? 3. На трубе длиной 6 м и массой 120 кг на расстоянии 2 м от одного из её концов подвешен груз массой 1 кг. Концы трубы находятся на опорах. Определите силы реакции опор. 70 ** § 21. Центр тяжести На тела, находящиеся на Земле, действует сила тяжести. Для определения момента этой силы важно знать точку её приложения. Выясним, где она расположена. Для этого мысленно разобьём тело на отдельные элементы массой Ат (рис. 3.5, а). Силы тяжести, действующие на каждый из них, направлены к центру Земли. Однако у её поверхности эти силы можно считать практически параллельными, поскольку размеры всех тел значительно меньше радиуса Земли. Сила тяжести mg, действующая на это тело, равна сумме сил тяжести Ат^, действующих на все его элементы. Точка приложения равнодействующей всех параллельных сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела при любом его положении в пространстве, называется центром тяжести. Положение центра тяжести, т. е. точки приложения равнодействующей силы, можно определить, учитывая, что тело, закреплённое на оси, проходящей через центр тяжести О, должно находиться в равновесии. Ведь относительно этой оси моменты сил тяжести mg и реакции опоры N равны нулю, так как равны нулю плечи этих сил. Поэтому центр тяжести можно определить так: Центр тяжести — это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести равен нулю при любом положении тела в пространстве. У тел простой формы положение центра тяжести можно указать, руководствуясь соображениями симметрии. Так, центр тяжести тела, представленного на рис. 3.5, а, находится в точке О (рис. 3.5, б). У однородных фигур, имеющих центр симметрии, центр тяжести совпадает с этим центром; например, для тонких пластин в форме круга — это его геометрический центр, в форме параллелограмма — точка пересечения диагоналей. Центр тяжести может находиться и вне тела, например у кольца или пустотелой сферы. Некоторые фигуры состоят из частей простой формы. При определении центра тяжести таких составных фигур вначале надо найти положение центров тяжести отдельных частей. Затем следует представить фигуру в виде системы материальных точек, каждая из которых расположена в центре тяжести о t1 I т I т I т I т t dnirig AnigAmgAmgAmg AmgAmgArrig a mg Рис. 3.5 71 соответствующей части и имеет её массу. После этого можно вычислить положение центра тяжести фигуры. Если плоские фигуры несимметричны, то центр тяжести проще всего определить экспериментально. Подвесим фигуру, вырезанную из куска картона или фанеры, закрепив конец нити в точке А (рис. 3.6, а). В положении равновесия центр тяжести должен лежать на вертикали АС, служащей продолжением нити, иначе сила тяжести имела бы момент относительно оси, проходящей через точку подвеса, и этот момент вызвал бы поворот тела. Повторим опыт, прикрепив конец нити в точке В (рис. 3.6, б). Проведя вертикаль BD через точку подвеса, получим ещё одну линию, на которой также должен лежать центр тяжести. Следовательно, он находится в точке О пересечения прямых АС и BD. ЗАДАЧА Определите положение центра тяжести системы тел, состоящей из двух шаров, соединённых невесомым стержнем длиной I. Массы шаров равны nii и m2 соответственно. Размеры шаров считайте малыми по сравнению с расстоянием между их центрами. Решение. Поставим мысленно опору в точке, где предположительно находится центр тяжести этой системы (рис. 3.7). Тогда стержень окажется в равновесии. Относительно точки опоры момент силы N равен нулю, так как равно нулю плечо этой силы. Из рис. 3.7 видно, что плечи сил mig и т2§ равны АО и ОВ соответственно. Будем искать расстояние от центра тяжести до точки В. Согласно правилу моментов запишем: -m2g ■ ОВ + mig • ОА = О, откуда mg • ОВ Так как АО + ОВ = Z, то АО = ОВ = Imi m, + гп2 72 Проверьте себя 1. Где находится точка приложения силы тяжести, действующей на тело? 2. Где находится центр тяжести фигуры, имеющей ось симметрии? 3. Как определить центр тяжести плоской фигуры произвольной формы? 4. Как можно приблизительно найти центр тяжести блокнота, который находится у вас в руках? УПРАЖНЕНИЕ 17 1. Железный и алюминиевый шары радиусом 10 см каждый скреплены в точке касания. Найдите положение центра тяжести этой системы. Плотность железа Рж = 7,8 -Ю^кг/м^, плотность алюминия Ра = 2,7-10’^ кг/м'"*. 2. Определите положение центра тяжести системы тел, состоящей из двух шаров массами т и 2т, надетых на концы невесомого стержня длиной I. Диаметры шаров считать малыми по сравнению с длиной стержня. **§ 22. Виды равновесия. Устойчивость тел Что произойдёт, если тело немного отклонится от положения равновесия? При этом возможны три случая. 1. Тело вернётся в состояние равновесия. Так, шар находится на вогнутой поверхности в равновесии под действием силы тяжести и силы реакции опоры (рис. 3.8, а). При малом отклонении шара, например вправо, возникает результирующая сила Fp, возвращающая его в начальное положение. Равновесие тела называют устойчивым в некотором положении, если при малых отклонениях от этого положения возникает сила, стремящаяся возвратить тело в исходное положение. 2. Тело выйдет из состояния равновесия. Например, если отклонить шар, находящийся на выпуклой поверхности, от положения равновесия (рис. 3.8, б), то он не вернётся в начальное положение. Равновесие тела в некотором положении называют неустойчивым, если при отклонениях тела от этого положения возникает сила, стремящаяся ещё больше отклонить тело от начального положения. 3. Тело, несмотря на отклонение, не изменит своего состояния равновесия. Так, шар на горизонтальной поверхности находится в равновесии (рис. 3.8, в). На него действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N. Их равнодействующая равна нулю. Любые смещения или повороты шара не вызывают его возвращения в начальное положение или дальнейшего удаления от него. Равновесие тела в некотором положении называют безразличным, если при любых его отклонениях от этого положения не возникает сила, стремящаяся возвратить тело в начальное положение или ещё более удалить его от этого положения. Сравним положения центра тяжести шара в случаях его устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия. При устойчивом равновесии тела его центр тяжести занимает низшее из возможных ближайших положений (см. рис. 3.8, а). При неустойчивом равновесии центр тяжести занимает высшее положение из возможных (см. рис. 3.8, б). В случае безразличного равновесия центр тяжести находится всегда на одном и том же горизонтальном уровне (см. рис. 3.8, в). На практике важно знать, насколько устойчиво равновесие тел, опирающихся на горизонтальную или наклонную поверхность. Проделаем опыт. Поместим на доску полую призму, в центре тяжести которой прикреплён отвес. Будем постепенно поднимать край доски (рис. 3.9, а). Мы увидим, что, пока вертикаль, на которой находится центр тяжести О, проходит через основание призмы, равновесие сохраняется (рис. 3.9, б). Но как только эта вертикаль выйдет за пределы опоры, призма опрокидывается (рис. 3.9, в). Для устойчивости тела, находящегося на опоре, необходимо, чтобы вертикаль, проходящая через центр тяжести тела, пересекала поверхность, ограниченную опорой. Гимнасты, изображённые на рис. 3.10, находятся в состоянии равновесия. Если мысленно проводить вертикаль из центра тяжести гимнаста, то видно, что она проходит через его опору. Рис. 3.9 74 Как можно увеличить устойчивость тела, находящегося на опоре? Поместим на нижнюю часть призмы груз — металлический брусок (см. рис. 3.9, г). При этом центр тяжести системы «призма — груз» сместится к основанию. Увеличивая угол наклона доски, заметим, что призма сохраняет устойчивость при большем угле наклона, чем тот, при котором она падала (см. рис. 3.9, в). Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести тела, тем устойчивее его положение. Вынем брусок из призмы и прикрепим к её основанию дощечку, увеличив тем самым площадь поверхности опоры. Призма и в этом случае сохраняет равновесие при большем угле наклона доски. Следовательно, чем больше площадь опоры тела, тем устойчивее его положение. Условия устойчивости тел учитывают в технике. Для повышения устойчивости, например, подъёмного крана рельсы, на которых он стоит, кладут строго горизонтально (даже небольшой их наклон создаёт угрозу падения), внизу кран нагружают бетонными плитами. Для этой же цели расстояния между колёсами автомобиля или гусеницами трактора делают по возможности большими, опоры мачт высоковольтной линии снабжают широкими и массивными основаниями. Проверьте себя 1. Какое равновесие является устойчивым? неустойчивым? безразличным? Приведите примеры. 2. При каком равновесии центр тяжести тела занимает низшее положение из возможных? 3. Каково условие устойчивого равновесия тела на опоре? 4. Как можно сделать положение тела более устойчивым? 5. Почему человек, поднимаясь в гору, обычно наклоняется вперёд, а спускаясь с неё, отклоняется назад? 6. Где надо располагать груз на теплоходе — на палубе или в трюме — для наибольшей устойчивости? 7. Прочитайте строки С. Я. Маршака: У Ваньки, у Встаньки — несчастные няньки: Начнут они Ваньку укладывать спать, А Ванька не хочет — приляжет и вскочит. Уляжется снова и встанет опять... Лечил его доктор из детской больницы. Рис. 3.10 Рис, 3.11 75 Больному сказал он такие слова: — Тебе, дорогой, потому не лежится. Что слишком легка у тебя голова! В чём «физика» поведения ваньки-встаньки (рис. 3.11)? ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ СТАТИКИ Эврика! Эврика! Архимед История статики начинается с трудов древнегреческого учёного Архимеда, жившего в Сиракузах более 2000 лет назад. В сочинении «О плавающих телах» он изложил закон рычага, метод определения центров тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции и привёл открытый им закон о выталкивающей силе, действующей на тела, погружённые в жидкость. До наших дней дошли такие изобретения учёного, как полиспаст — устройство, состоящее из нескольких подвижных и неподвижных блоков, «архимедов» винт (вы найдёте его, заглянув в мясорубку), который использовался для перекачки воды на более высокий уровень (рис. 3.12). Архимед также изобрёл военные машины, сыгравшие важную роль при обороне Сиракуз от римских войск, которые осаждали город с суши и с моря, но оказались бессильны перед машинами Архимеда. Вот как рассказывает об этом Плутарх в своём труде «Сравнительные жизнеописания»: «Итак, римляне напали с двух сторон, и сиракузяне растерялись и притихли от страха, полагая, что им нечем сдержать столь грозную силу. Но тут Архимед пустил в ход свои машины, и в неприятеля, наступающего с суши, понеслись всевозможных размеров стрелы и огромные каменные глыбы, летевшие с невероятным шумом и чудовищной скоростью, они сокрушали всё и всех на своём пути и приводили в расстройство боевые ряды; а на вражеские суда вдруг стали опускаться со стен укреплённые на них брусья и либо топили их силою толчка, либо, схватив железными руками или клювами вроде журавлиных, вытаскивали носом вверх из воды, а потом кормою вперёд пускали ко дну, либо, наконец, приведённые в круговое движение скрытыми оттяжными канатами увлекали за собой корабль и, раскрутив его, швыряли на скалы и утёсы у подножья стены...» По словам Цицерона, Архимед обладал гениальностью, которой, казалось бы, человеческая природа не может достигнуть. Символом научного открытия Рис. 3.12 на все времена стал радостный возглас 76 Архимед (287-212 до н. э.) Архимеда: «Эврика! Эврика!», что значит «Нашёл! Нашёл!», приведённый здесь в качестве эпиграфа. Во времена Леонардо да Винчи искусство сооружения механизмов достигло высокого уровня. В книгах гениального художника и учёного приведены схемы сложных механических устройств. Г. Галилей сводил все механизмы к пяти простейшим: рычагу, блоку, вороту, клину и винту. Голландский учёный С. Стевин доказал, что силы складываются как векторы. Он впервые решил проблему равновесия тела на наклонной плоскости. Воображаемый опыт, с помош;ью которого Стевин получил условие равновесия тел на наклонной плоскости, приведён на титульном листе его сочинения со словами «Чудо и не чудо» (рис. 3.13). Большая роль в создании математически обоснованной теории механизмов принадлежит русскому математику П. Л. Чебышёву, жившему в XIX в. Он разработал более 40 механизмов, в том числе стопоходящую машину, гребной механизм и др. Чебышёву было свойственно умение сочетать науку с практикой. Так, в одной из статей он писал: <^Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не только практика от этого выигрывает: сами науки развиваются под влиянием, её, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных... Наука находит себе верного руководителя в практике^. Работы П. Л. Чебышёва, а также других учёных во многом определили дальнейшее развитие теории машин и механизмов. Рис. 3.13 САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 3 Первое условие равновесия. Тело находится в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю: Fi Fz + ... + Гп = 0. Второе условие равновесия. Тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на него сил относительно этой оси равна нулю: j/Vfx -Н М2 -1- ••• + Мп — 0. Момент силы — физическая величина, равная произведению модуля силы на её плечо: М = Fd. Законы сохранения в механике § 23. Импульс тела Законы Ньютона позволяют описать движения тел, если известны действующие на них силы. Однако во многих случаях эти силы неизвестны или их сложно определить, как, например, при столкновении бильярдных шаров. В таких случаях используют другие важные физические величины — импульс и энергию. Эти величины при определённых условиях не изменяются со временем, т. е. они подчиняются законам сохранения. Изучение этих величин начнём с импульса*. Пусть на тело массой т в течение времени t действует сила F (рис. 4.1). При этом его скорость изменяется от щ до й и ускорение равно а = Ц^. Подставив это выражение во второй закон Ньютона F = та, получим: F= (4 1) Выясним физический смысл величин, входящих в это уравнение. Физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость, называют импульсом тела. Обозначим импульс буквой р, тогда по определению Рис. 4.1 О Р Рис. 4.2 р = mv. (4.2) Импульс — вектор, направленный так же, как и вектор скорости тела (рис. 4.2). Единица импульса: [р] = 1 кг1 м/с = 1 кг-м/с. Килограмм-метр в секунду равен импульсу материальной точки массой 1 кг, движущейся со скоростью 1 м/с. ^ От лат. impulsus — удар, толчок. 78 Обозначим начальный импульс точки через Ро = её импульс спустя время t через р = rnv, тогда изменение импульса равно Ар = р - Ро, и второй закон Ньютона примет вид — Ар p=t- (4.3) Сила, действующая на материальную точку, равна отношению изменения импульса точки ко времени, за которое это изменение произошло. Второй закон Ньютона F = та справедлив, если масса тела постоянна. Если же масса тела в процессе его движения меняется, например как у ракеты, из которой выходят отработанные газы, то справедлива формула (4.3). Выразим из формулы (4.3) Др: Ар = Ft. (4.4) Произведение силы F на время t её действия называют импульсом силы. Единица импульса силы. [Ft] = 1Н1 с = 1 Нс. Ньютон-секунда равна импульсу силы, вызываемому силой 1 Н, действующей в течение 1 с. Используя понятие импульса силы, второй закон Ньютона можно сформулировать так: I Изменение импульса тела равно импульсу силы. Из формулы (4.4) следует, что изменение импульса тела пропорционально и силе, и времени её действия. Если сила неизменна, а время её действия различно, то изменения импульса тела неодинаковы, различны и результаты действия силы. Убедимся в этом на опыте. Массивное тело висит на нити. Снизу к нему тоже привязана нить (рис. 4.3, а). Если нижнюю нить тянуть плавно в течение какого-то времени, то обрывается верхняя нить (рис. 4.3, б). Если же нижнюю нить дёрнуть резко, то она оборвётся (рис. 4.3, в). Объясним этот опыт. При длительном действии силы тело успело приобрести некоторую скорость V и импульс р = тд, и перемещение тела оказывается достаточным для разрыва верхней нити. При кратковременном действии силы тело не успевает прийти в движение и сдвинуться с места. Поэтому деформации (растяжения) верхней нити не возникло и она осталась целой. 79 Проверьте себя 1. Какую величину называют импульсом тела? 2. Как направлен вектор импульса тела? 3. В каких единицах выражают импульс тела? 4. Какая величина названа импульсом силы? 5. В каких единицах выражают импульс силы? 6. Сформулируйте второй закон Ньютона, пользуясь понятием импульса тела. УПРАЖНЕНИЕ 18 1. Каков импульс автомобиля массой 2 т, движущегося со скоростью 72 км/ч? 2. Каково изменение импульса бегуна массой 60 кг, увеличившего свою скорость с 3 до 4 м/с? 3. Мяч массой т = 0,2 кг, ударившись о стену перпендикулярно к ней со скоростью L> = 10 м/с, отскочил от неё с такой же по модулю скоростью. Какой была средняя сила, действующая на мяч, если удар длился 2 • 10'^ с? 4. Спортсмен массой 80 кг прыгнул в бассейн с высоты 5 м. Погружение в воду длилось 0,5 с. С какой средней силой вода действовала на спортсмена во время погружения? § 24. Закон сохранения импульса Если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает. Р. Декарт Понятие импульса можно применять не только к одному телу, но и к нескольким взаимодействующим телам — системе тел. Система тел — это совокупность тел, рассматриваемых как единое целое. Импульсом системы, состоящей из п материальных точек массами Д12,...,/Пл, движущихся со скоростями Ui, 62, ..., v„ соответственно, называют сумму импульсов этих точек: Р = Pi -Ь Рг + ... + Рп* Тела, входящие в систему, могут подвергаться действию различных сил. Силы, с которыми взаимодействуют между собой тела, принадлежащие данной системе тел, называют внутренними. Силы, с которыми тела, не принадлежащие данной системе тел, действуют на тела этой системы, называют внешними. Если на систему тел не действуют внешние силы, то такую систему называют замкнутой или изолированной. 80 Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух тел массами и тп2, которые в начальный момент времени имели скорости D, и 02 соответственно (рис. 4.4, о). В результате взаимодействия (рис. 4.4, б), длившегося некоторый промежуток времени t, их скорости изменятся и станут равными и щ (рис. 4.4, в). Пользуясь вторым законом Ньютона, записанным через изменение импульса (4.1), выразим силы взаимодействия тел: - ^2^2 Рг = niiUi - miVi -■> ^2 — f " t Так как по третьему закону Ньютона = -F^, то m^Vx - m,Ui - тп^щ). Перенося импульсы тел до взаимодействия в левую часть равенства, а после взаимодействия — в правую, получим: nixVx -I- ^2^2 = + rtizVi- (4.5) Полученное выражение представляет собой закон сохранения импульса (ЗСИ): В замкнутой системе векторная сумма импульсов тел до их взаимодействия равна векторной сумме импульсов этих тел после взаимодействия. Закон сохранения импульса соблюдается как в макромире, так и в микромире. Изменение импульса системы тел может происходить только под действием внешних сил. Хотя многие реальные системы тел являются незамкнутыми, для их описания в некоторых частных случаях можно пользоваться законом сохранения импульса. Условия применения закона сохранения импульса к незамкнутой системе тел таковы: If, = 0. Внешние силы, действующие на любое тело системы, уравновешиваются. Например, система двух тележек, между которыми помещена сжатая пружина (рис. 4.5, а), незамкнута, так как на тележки действуют силы тяжести тпхВ VL mzg, силы реакции опоры Ni и N2 (трением пренебрегаем). Но силы Шхё и N\, а также mzg и Мг уравновешиваются, поэтому к этой 81 системе можно применить закон сохранения импульса (рис. 4.5, б). К этому случаю относится и взаимодействие бильярдных шаров. S^'ix=o. Проекция суммы всех внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю. В этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса незамкнутой системы на данную ось. Так, после выстрела из орудия, находящегося на платформе, она откатывается (рис. 4.6). Проекция на ось ОХ неуравновешенной силы тяжести, действующей на снаряд массой т и являющейся внешней силой для системы «орудие — снаряд», равна нулю. Поэтому скорость платформы может быть найдена из закона сохранения проекции импульса на ось ОХ. ^ > 0. Процессы взаимодействия тм Рис. 4.7 кратковременны. При быстрых взаимодействиях (взрыв снаряда, выстрел из орудия, столкновение атомов и др.) изменения импульсов отдельных тел будут фактически обусловлены только внутренними силами, ибо внешние силы (силы тяготения, трения) не успевают существенно изменить импульс системы тел. Закон сохранения импульса объясняет такие явления, как отдача при выстреле, реактивное движение, работа гребного винта или вёсел и др. Например, если рассматривать ружьё и пулю как одну систему (рис. 4.7), то сила давления пороховых газов при выстреле будет для неё внутренней и не изменит её импульса, равного до выстрела нулю. Поэтому, сообщая пуле импульс направленный к дульному срезу, пороховые газы одновременно сообщат ружью такой же по модулю, но противоположно направленный импульс т^д^, что вызовет отдачу. ЗАДАЧА Тележка с песком общей массой М движется в горизонтгшьном направлении со скоростью V. В неё попадает и застревает в песке снаряд массой т, летящий со скоростью Uj. Определите скорость тележки после попадания в неё снаряда, если его скорость: а) совпадает по направлению со скоростью тележки; б) направлена вертикально вниз. 82 Решение, а) Изобразим векторы скоростей тележки и снаряда до взаимодействия (рис. 4.8, а) и сразу после взаимодействия (рис. 4.8, б). После взаимодействия тележка и снаряд движутся с одинаковой скоростью V2, Система «тележка — снаряд» незамкнутая. Однако вдоль горизонтальной оси ОХ на тележку и снаряд внешние силы не действуют. (Считаем, что трение пренебрежимо мало.) Поэтому сумма проекций на ось ОХ импульсов тележки и снаряда до взаимодействия равна проекции их общего импульса после взаимодействия: MVx + mvu = {М -f- ni)v2x-Поскольку Vx = V, Vix = 1>1, V2x = V2, то откуда Mv + mui = (М -t- m)v2j Mv + mvx V2 = M + m 6) В этом случае (рис. 4.9, а) проекция импульса снаряда на ось ОХ до взаимодействия равна нулю, а сразу после взаимодействия снаряд и тележка движутся с одинаковой скоростью V2 (рис. 4.9, б). 83 Запишем закон сохранения проекций импульса системы на ось ОХ: Mv^c = (М + m)v2x’ Поскольку Vx = V, V2x = L>2> ТО Mv Mv = (М + m)v2\ v'2 = X?--------------• ' / -г M + m Проверьте себя 1. Чему равен импульс системы тел? 2. Сформулируйте закон сохранения импульса. 3. Какую систему тел считают замкнутой? 4. При каких условиях справедлив закон сохранения импульса? 5. При каких условиях можно применять закон сохранения импульса к незамкнутой системе? 6. Какими опытами можно проиллюстрировать закон сохранения импульса? 7. Что можно сказать об импульсе системы тел при наличии внешних сил? УПРАЖНЕНИЕ 19 1. Мальчик массой 50 кг, стоящий на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении снежный ком массой 1 кг со скоростью 5 м/с. Какую скорость приобретёт мальчик сразу после броска? 2. Тепловоз массой 130 т приближается со скоростью 1,6 м/с к неподвижному составу массой 1200 т. С какой скоростью будет двигаться состав после сцепления с тепловозом? 3. Ядро, летевшее со скоростью 500 м/с, разорвалось на два осколка массами 5 и 15 кг. Скорость большего осколка, продолжавшего двигаться в том же направлении, стала равной 800 м/с. Определите скорость меньшего осколка (модуль и направление). 4. Из пушки, установленной на железнодорожной платформе общей массой М = 65 т, вылетает снаряд под углом 60° к горизонту со скоростью 400 м/с относительно земли. Масса снаряда 200 кг. С какой скоростью начала двигаться платформа с пушкой? 5. Две лодки одинаковой массы М плывут друг за другом со скоростью д. Из передней лодки в заднюю бросают груз массой т со скоростью й относительно берега. Какими станут скорости лодок после этого? 84 §25. Реактивное движение Человечество не останется вечно на Земле, но в погоне за светом и пространством сначала робко проникнет за пределы атмосферы, а затем завоюет себе всё околосолнечное пространство. К. Э. Циолковский Закон сохранения импульса объясняет такое явление, как реактивное движение. Реактивное движение — это движение тела, возникающее в результате отделения от него с некоторой скоростью какой-нибудь его части. Такое движение можно наблюдать на простых опытах. • Надуем детский шар и, не завязывая его, отпустим (не сообщая ему начальной скорости). Мы видим, что шар приходит в движение вследствие вытекания из него воздуха (рис. 4.10). • Присоединим к крану резиновую трубку, имеющую Г-образный наконечник (рис. 4.11). Когда вода выливается из трубки, сама трубка приходит в движение и отклоняется в сторону, противоположную направлению вытекающей струи. • Установим на тележке пробирку, частично заполненную водой, и закроем её пробкой (рис. 4.12). Будем нагревать пробирку. Через некоторое время пробка вылетает из пробирки, а сама тележка движется в противоположном направлении. Рис. 4.10 Рис. 4.11 Рис. 4.12 85 Рис. 4.13 Реактивное движение совершают некоторые живые организмы, например личинки стрекозы, осьминоги, каракатицы, кальмары. Так, кальмар (рис. 4.13) засасывает воду сквозь ш;ель, находящуюся у него сбоку, а затем выбрасывает струю воды через узкое «сопло», которое расположено на брюшной поверхности. В результате он плывёт в направлении, противоположном вытекающей струе. Рассмотрим реактивное движение более подробно на примере ракеты. Ракета движется в результате взаимодействия с газами, образующимися при сгорании топлива. Поэтому взаимодействия ракеты с окружающими телами не требуется, и она может двигаться в безвоздушном пространстве. Любая ракета состоит из корпуса и топлива с окислителем (рис. 4.14). Предположим, что вначале ракета покоилась (её импульс был равен нулю). Обозначим массу корпуса ракеты через М. Для простоты расчётов будем полагать, что её топливо сгорает мгновенно и раскалённые газы массой т сразу выбрасываются через сопло наружу со скоростью При этом корпус ракеты движется в сторону, противоположную движению выбрасываемых газов, со скоростью 0^. Будем считать ракету замкнутой системой (не учитываем действие на неё силы земного притяжения). По закону сохранения импульса сумма импульсов ракеты и вытекающих газов равна нулю: Мйк -f тдг = О, или, в скалярной форме (ось ОХ направлена вертикально вверх), MUk - mUr = 0. Отсюда скорость корпуса ракеты равна Ук = nWr М (4.6) Рис. 4.14 Из этой формулы следует, что ракете можно сообщить большую скорость тремя способами: 1) увеличив скорость газов, вытекающих из сопла, 2) увеличив массу сгораемого топлива, 3) уменьшив массу самой ракеты. Реальная скорость ракеты значительно меньше, чем скорость, рассчитанная по формуле (4.6), поскольку вблизи Земли велико сопротивление воздуха, к тому же топливо сгорает не сразу, а постепенно. При этом масса ракеты уменьшается также постепенно. Идея использования ракеты для полётов в космическое пространство — за пределы земной атмосферы, к другим планетам Солнечной системы — была высказана впервые русским учёным и изобретателем К. Э. Циолковским. В труде «Исследование мировых пространств 86 Константин Эдуардович Циолковский (1857—1935) реактивными приборами» (1905) он разработал основы теории реактивного движения и конструкцию жидкостного реактивного двигателя, вывел формулу, устанавливающую связь между скоростью ракеты, скоростью истечения газов, массой ракеты и массой горючего. К. Э. Циолковский теоретически обосновал возможность создания ракеты, способной разогнаться до первой космической скорости (= 8 км/с). Он впервые высказал идею создания «космических ракетных поездов» (многоступенчатых ракет) и орбитальных станций. Проекты Циолковского были осуществлены в нашей стране выдающимся учёным и конструктором С. П. Королёвым. Под его руководством был запущен первый искусственный спутник (ИС) Земли, осуществлён первый полёт человека в космос. С тех пор запущено более 5000 космических аппаратов, совершено несколько сотен пилотируемых полётов. В наше время искусственные спутники Земли широко используются для различных целей. В их числе: осуществление телефонной и радиосвязи, ретрансляция телевизионных передач, исследование метеорологических процессов, наблюдение за процессами, происходящими на Земле (за перемещением воздушных масс и айсбергов, за состоянием действующих вулканов), исследование планет Солнечной системы и других небесных объектов. Базой, на основе которой стали возможными запуски искусственных спутников Земли, пилотируемых космических кораблей, орбитальных и межпланетных станций, служит ракетная техника. Реактивные двигатели, сила тяги которых создаётся реакцией (отдачей) вытекающих из них газа или жидкости, ставят на самолётах, что позволило во много раз увеличить их скорость, дальность полёта и грузоподъёмность. Сергей Павлович Королёв (1907—1966) Проверьте себя 1. Какое движение называют реактивным? 2. Как объяснить возникновение реактивного движения? 3. Какие опыты позволяют наблюдать реактивное движение? 4. Где встречается реактивное движение в природе и технике? 5. Как устроена ракета? 6. От чего зависит скорость, развиваемая ракетой? 7. Каковы заслуги К. Э. Циолковского в области освоения космоса? 8. Чем знаменит конструктор С. П. Королёв? 9. Каково практическое значение космонавтики? 87 УПРАЖНЕНИЕ 20 1. Скорость истечения газов из сопла ракеты равна 500 м/с относительно ракеты. Может ли двигатель этой ракеты разогнать её до скорости 1000 м/с? 2. От двухступенчатой ракеты массой М = 1000 кг, движущейся со скоростью 170 м/с, отделилась её вторая ступень массой т = 400 кг со скоростью 185 м/с. С какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты? Скорости указаны относительно наблюдателя, находящегося на Земле. 3. Из ракеты массой М = 400 кг, находящейся первоначально в покое, в горизонтальном направлении со скоростью 800 м/с относительно ракеты вылетает порция газа массой 25 кг. Какой станет скорость ракеты после этого? Гидрореактивный способ плавания позволяет кальмару — «живой ракете» — в погоне за добычей легко преодолевать многокилометровые расстояния. Диапазон его максимальной скорости составляет от 35 до 65 км/ч. Ракета была изобретена в Китае. Она представляла собой небольшой мешочек с порохом, привязанный к стреле лука. Первые документальные сведения о её применении связаны с осадой монголами китайского города Пиен-Кинга в 1232 г. Автором первого проекта реактивного летательного аппарата был революционер-народник Н. И. Кибальчич. Однако этот проект, созданный им в тюрьме (1881), затерялся и был впервые опубликован в 1918 г. Первым отечественным реактивным истребителем, запущенным в производство, был «Як-15» (1945). § 26. Механическая работа. Мощность Работа — лучший способ наслаждаться жизнью. И. Кант Пусть тело, на которое действует сила F, совершает перемещение s. Действие силы при перемещении тела характеризуют величиной, которую ^ называют механической работой или F F просто работой силы. В простейшем случае, когда сила постоянна и перемещение тела происходит в направлении силы, работа (её обозначают буквой А) определяется произведением модулей этих величин: А = Fs. Рис. 4.15 Если постоянная сила F направлена под углом а к вектору перемещения S тела (рис. 4.15), то работа определяется выражением А = Fscosa = F^s, (4.7) где Fg = Fcosa — проекция силы на направление перемещения. 88 Работой постоянной силы называют физическую величину, равную произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между векторами силы и перемещения. Из формулы А = Fs получим единицу работы (она называется джоулем): [А] = 1Н1 м = 1 Дж. Джоуль равен работе силы 1 Н, перемещающей тело на расстояние 1 м в направлении действия силы. Работа — скалярная величина; она может быть положительной, равной нулю или отрицательной в зависимости от угла а, который образуют векторы силы и перемещения. Рис. 4.16 А > О, если а < 90°, поскольку cosa > 0. Этот случай представлен на рис. 4.15. А = о, если а = 90°, так как cos 90° = 0. Так, чтобы перенести тяжёлый груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий. Однако совершённая механическая работа равна нулю, поскольку в этом случае угол между действующей силой и перемещением составит 90° (рис. 4.16). Очевидно, что механическая работа равна нулю и в случае, когда на тело не действуют силы или их сумма равна нулю (тело движется по инерции), а также когда сила, действующая на тело, не вызывает его перемещения. Японская пословица «Задумал муравей Фудзияму сдвинуть» иллюстрирует последний случай. А < о, если 90° < а < 180°, так как cosa < 0. Например, когда конькобе- жец перестаёт отталкиваться ото льда, он некоторое время движется, пока не остановится. При этом действующая на него сила трения направлена противоположно перемещению (а = 180°) и работа этой силы отрицательна. Вычислим работу, совершаемую силой трения при прямолинейном движении тела. Пусть конькобежец совершил перемещение s по льду (рис. 4.17). Тогда работа силы трения будет равна Атр = FxpScosa = FxpScosl80°. Рис. 4.17 89 Поскольку cos 180° = -1, то А = -F S тр *“■ тр^ • (4.8) Работа силы трения равна произведению модуля силы трения и модуля перемещения тела, взятому с противоположным знаком. J Допустим, что конькобежец перемещается по не- которой траектории из положения 1 в положение 2 двумя путями: один раз по прямой 1—2 (рис. 4.18), другой — по ломаной 1 —3—2. Сила трения, действующая на тело, в обоих случаях одинакова. Работа силы трения в первом случае равна Ai,2 = ~^xpSi; работа во втором случае равна Ai,3,2 = ~^’tp(s2 + S3). Поскольку Si^ S2 + S3, ТО Ai,2 Ai 3,2. Следовательно, работа силы трения зависит от формы траектории. Работу силы можно определить не только по формуле (4.7), но и графически. Например, если сила постоянна и cos а = 1, то работа этой силы А = Fs численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависимости F от S (рис. 4.19). Если сила F зависит от положения перемещаемого тела на траектории, то работу этой силы также можно определить по площади фигуры под линией графика (рис. 4.20). В этом случае фигура ограничена кривой зависимости Fg от S, вертикальными прямыми i и 2 и осью Os. Разбив перемещение на маленькие участки As, мы получим полоски, в пределах которых проекцию Fg силы можно считать постоянной. Работа силы на каждом участке равна ДА = FgAs. Полная работа равна сумме работ на всех таких участках, т. е. площади фигуры, ограниченной графиком зависимости Fg от s. Ту или иную работу сила совершает за разное время. Поэтому вводят характеристику «быстроты» совершения работы, которую называют мощностью и обозначают буквой Р. 90 Мощностью называют физическую величину, равную отношению работы, совершаемой силой, к тому промежутку времени, за который работа совершена: Р = t (4.9) Из формулы (4.9) получим единицу мощности (она называется ваттом): [Р] = = 1 Вт. 1с Ватт равен мощности, при которой работа 1 Дж совершается за время 1 с. Если тело, например автомобиль, перемещается прямолинейно и равномерно со скоростью V, то модуль его перемещения за промежуток времени t S = vt. Сила тяги, развиваемая двигателем автомобиля, совершает работу Fs А = Fs, а мощность Р = —, но s = vt, поэтому Р = Fv. (4.10) Из этой формулы следует, что если мощность двигателя постоянна, то при меньшей скорости он разовьёт большую силу тяги. Например, при подъёме в гору нужна большая сила тяги, чем при движении по горизонтальной дороге. Поэтому, начиная подъём, шофёр снижает скорость автомобиля. О ЗАДАЧА Yk Лифт массой 1000 кг поднимают лебёдкой равноускоренно на высоту 20 м с постоянным ускорением 1 м/с^. Какую работу совершила сила натяжения троса? Решение. На лифт действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения троса F (рис. 4.21). Работа силы F на пути h равна А = Fh, так как cos а = 1 (ось OY направлена вертикально вверх). Силу F найдём по второму закону Ньютона: F -h mg = та, или F - mg = та, откуда F = m{g -Ь а). 4 21 Следовательно, А = m{g -Ь a)h; А = 2,2 • Дж. Проверьте себя 1. Какую величину называют механической работой? 2. В каких случаях работа положительна? отрицательна? равна нулю? 3. При каких условиях совершается механическая работа? t а i mg 91 4. В каких единицах выражают работу? 5. Какую величину называют мощностью? В каких единицах выражают мощность? 6. Совершал ли механическую работу мифический герой Атлант, державший, согласно мифу, на своих плечах тяжёлый небесный свод? УПРАЖНЕНИЕ 21 1. Какая работа совершается, если лошадь, прилгигая силу 600 Н, перемещает сани с дровами на расстояние 0,5 км? Направления перемещения и силы составляют угол 30°. 2. Человек, идущий по берегу, тянет с помощью верёвки лодку против течения воды, прикладывая силу 70 Н. Угол между верёвкой и берегом 30°. Насколько переместилась лодка, если совершённая работа равна 7 кДж? 3. Тело массой 3 кг поднимают тросом с ускорением 1 м/с^. Определите работу силы натяжения троса в течение первых 10 с движения. 4. Можно ли поднять груз массой 30 кг со скоростью 4 м/с при помощи электродвигателя мощностью 0,9 кВт? 5. Какая работа и какой силой должна быть совершена, чтобы по наклонной плоскости был поднят груз массой 60 кг? Плоскость составляет с горизонтом угол 45°, её длина 10 м, коэффициент трения равен 0,2. Термин «работа» ввёл в физику французский учёный Ж. Понселе в 1826 г. Единица работы получила название в честь английского физика Дж. Джоуля (1818—1889), в трудах которого был раскрыт физический смысл понятий работы и энергии. Единица мощности названа в честь английского изобретателя Дж. Уатта (1736— 1819), который первым создал паровую машину, получившую практическое применение. § 27. Кинетическая энергия тела Энергия — вот вечное наслаждение! У. Блейк Если тело может совершить работу, то говорят, что оно обладает энергией. Например, если отпустить сжатую пружину (рис. 4.22), то, распрямившись, она переместит груз, при этом сила упругости совершает работу, так как под её действием груз перемещается. Значит, сжатая пружина обладает энергией. Движущееся тело также обладает энергией. Например, катящийся шар может при столкновении переместить брусок, т. е. совершить работу. Энергия — одна из самых важных физических величин. Начнём изучать её с энергии механического движения. 92 Определим работу, которую совершает сила F, сообш;ая первоначально покоившемуся в некоторой системе отсчёта телу массой т скорость и. Под действием этой силы (она может быть равнодействующей нескольких сил) тело из положения 1 начнёт двигаться с ускорением а вдоль оси ОХ (рис. 4.23). Совершив перемещение s, тело будет иметь скорость й (см. рис. 4.23, положение 2). В данном случае направления силы и перемещения совпадают (cos а =1), поэтому работа силы равна A = Fs. Учитывая, что F = та и s = получим: А = ту'" Физическую величину, равную половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называют кинетической энергией^ тела (обозначают Ek): Рис. 4.22 Е,= ту* 2 (4.11) 1 1^1= О О- X Рис. 4.23 Таким образом, в результате совершения силой работы тело приобрело кинетическую энергию, физический смысл которой заключается в следующем. Кинетическая энергия тела массой т, движущегося со скоростью v, равна работе, которую должна совершить сила, чтобы увеличить скорость тела от нуля до V. Такая же (по модулю) работа будет произведена и при остановке тела, движущегося со скоростью и. Единица кинетической энергии та же, что и работы, — джоуль (Дж). Кинетическая энергия тела относительна, поскольку её значение зависит от выбора системы отсчёта. Однако она не может быть отрицательной. Например, кинетическая энергия движущегося автомобиля имеет разные значения для наблюдателя, стоящего на дороге, и для наблюдателя, едущего в трамвае, так кгпс скорости автомобиля, фиксируемые этими наблюдателями, разные. (В формулу кинетической энергии входит скорость тела относительно конкретной системы отсчёта.) * От греч. kinetikos — приводящий в движение. 93 Рассмотрим более общий случай движения. Пусть тело в первоначальный момент времени имело скорость (рис. 4.24), а спустя некоторое время его скорость стала 62. Выразив модуль перемещения по формуле - Vy s = 2 _ ^' ■г 2а и подставив его в формулу работы А = Fs, получим: _ mui Обозначим А = тУо ~Y Еь\ — ту\. Еь2 — ту1 2 ’ 2 где Eki — кинетическая энергия тела в начальный момент, Е^2 — кинетическая энергия тела спустя время t. Тогда работу можно представить в виде Ek9. Ehi — А. (4.12) Изменение кинетической энергии тела равно работе силы, действующей на тело во время его движения. Это утверждение называют теоремой об изменении кинетической энергии. Она справедлива независимо от того, какие именно силы действуют на тело (силы упругости, трения или всемирного тяготения) и совпадает ли их направление с направлением перемещения тела. Хотя кинетическая энергия имеет разные значения относительно разных систем отсчёта, её изменение равно работе силы в любой системе отсчёта. Кинетическая энергия тел широко используется в технике. За счёт кинетической энергии воды вращаются турбины на гидроэлектростанциях и вырабатывается электроэнергия, работают водяные мельницы. Ветер вращает крылья ветряного двигателя (рис. 4.25). ЗАДАЧА Шофёр автомобиля, движущегося по горизонтальному шоссе со скоростью 54 км/ч, выключил двигатель. Какое расстояние проедет после этого автомобиль, если коэффициент трения равен 0,5? Рис. 4.25 94 Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии к движению автомобиля: Ek2 ~ Е/,1 = А. Работа, совершаемая силой трения Frp, равна А^ = -FrpS = -[imgs. Поэтому можем записать: mv^ О---- откуда 1)^ S = -X—; S = 22,5 м. Проверьте себя 1. Какую величину называют кинетической энергией? 2. Каков физический смысл кинетической энергии? 3. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии. 4. Зависит ли кинетическая энергия от выбора системы отсчёта? 5. Где используется кинетическая энергия? 6. Как изменяется кинетическая энергия движущегося тела, на которое действует сила трения? УПРАЖНЕНИЕ 22 1. Чему равна кинетическая энергия мяча массой 400 г, движущегося со скоростью 13 м/с? 2. В каком случае двигатель автомобиля должен совершить большую работу: при разгоне с места до скорости 36 км/ч или при увеличении скорости от 36 до 72 км/ч? Силу сопротивления в обоих случаях считать одинаковой. 3. Пуля массой 9 г, летевшая со скоростью 500 м/с, пробила доску толщиной 4 см, после чего её скорость оказалась равной 200 м/с. Определите среднюю силу сопротивления доски движению пули. 4. Шайба, скользящая по горизонтальной поверхности льда, останавливается, пройдя 60 м. Какова начальная скорость шайбы, если коэффициент трения равен 0,05? § 28. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия Вычислим работу, которую совершает сила тяжести, действующая на тело (например, мяч) массой т, падающее с высоты h на землю (рис. 4.26). Сила тяжести направлена вертикально вниз и при небольших высотах {h « RA равна mg. Так как направления перемещения и силы тяжести совпадают, то для работы получим выражение А = Fs = mgh. 95 Физическую величину, равную произведению массы т тела на ускорение свободного падения g и высоту тела h над поверхностью Земли, называют потенциальной' энергией взаимодействия тела и Земли. Обозначив потенциальную энергию через Ер, запишем: Ер = mgh. (4.13) Теперь рассчитаем работу силы тяжести, действующей на тело, если оно перемещается из точки 1, находящейся на высоте hi над поверхностью Земли (рис. 4.27), в точку 2, расположенную на высоте hz. При этом перемещение тела по модулю равно hi - hz = h, поэтому работа силы тяжести А = mgh = mghi - mghz = -{mghz - mghi). (4.14) Здесь mghz = Epz — потенциальная энергия тела в точке 2 и mghi = Epi — потенциальная энергия тела в точке 1. Следовательно, выражение для работы силы тяжести запишется так: А — (Ер2 Epi) — АЕр, (4.15) Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком. Выясним, зависит ли работа силы тяжести от формы траектории, по которой перемещается тело. Пусть тело движется из точки 1 в точку 2 вдоль траектории 1—3—2 (рис. 4.28). На участке 1—3 работал = mgl cos а. Но Icosa = h, значит, А = mgh. ' От лат. potentia — сила, мощь. 96 Работа силы тяжести при движении тела по горизонтальному пути на участке 3—2 равна нулю, поскольку направление этой силы перпендикулярно перемещению. Следовательно, полная работа А = mgh. Найдём работу при движении тела из точки 1 в точку 2 по траектории произвольной формы. Работа вдоль этой кривой равна работе вдоль ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков малой длины (рис. 4.29). На горизонтальных отрезках работа равна нулю, а сумма работ на вертикальных отрезках равна работе на вертикальной прямой длиной hi - hz = h. Поэтому работа будет определяться по-прежнему формулой А = mgh. Следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положениями тела. При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, так как тело приходит в начальное положение и изменение потенциальной энергии при этом равно нулю. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называют консервативными. Следовательно, сила тяжести — консервативная сила. Силы, работа которых зависит от формы траектории, называют неконсервативными. Пример неконсервативной силы — сила трения (см. § 26). Допустим, что в формуле (4.14) Лг = 0. тогда потенциальная энергия на высоте hz также равна нулю. Горизонтальную поверхность на этой высоте называют нулевым уровнем потенциальной энергии. Обозначим через h высоту тела над нулевым уровнем. В этом случае формула (4.14) примет вид Ер=А. Следовательно, потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести, равна работе, совершаемой этой силой при перемещении тела на нулевой уровень. Таким образом, потенциальная энергия тела зависит от его положения относительно нулевого уровня, т. е. от координаты тела. За нулевой уровень часто принимают поверхность Земли (Еро = 0). При этом потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h над ней, равна Ер = mgh. Если же тело массой т расположено, например, в шахте, т. е. на глубине hi ниже поверхности Земли, то оно обладает отрицательной потенциальной энергией Ер = -mghi (рис. 4.30). Рис. 4.30 97 Хотя знак потенциальной энергии тела и её значение зависят от выбора нулевого уровня, работа силы тяжести, совершаемая при перемещении тела, определяется изменением потенциальной энергии и от выбора нулевого уровня не зависит. ЗАДАЧА Груз массой 2 кг свободно падает с некоторой высоты и достигает поверхности земли за 2 с. Кгпсую работу совершает сила тяжести? Решение. Работа силы тяжести А = mgh. Так как h = А = А = 400 Дж. ill 2 ’ то Проверьте себя 1. Чему равна работа силы тяжести? 2. Какую величину называют потенциальной энергией? 3. Какие силы считают консервативными? неконсервативными? 4. Какие значения может принимать потенциальная энергия? УПРАЖНЕНИЕ 23 1. Какой потенциальной энергией относительно поверхности Земли обладает яблоко массой 150 г, висящее на ветке на высоте 3 м? 2. Действуя постоянной силой F = 200 Н, поднимают груз массой 10 кг на высоту 10 м. Какой потенциальной энергией будет обладать этот груз? Какую работу совершает при этом сила F7 3. Столб, имеющий цилиндрическую форму, лежит на земле. Какую минимальную работу нужно выполнить, чтобы поставить этот столб в вертикальное положение? Масса столба равна т, длина I, диаметр столба D. 4. Груз равномерно перемещают по горизонтальной поверхности на расстояние h, а затем поднимают на высоту h. В каком случае была совершена большая работа? Коэффициент трения груза о поверхность равен ц, сопротивлением воздуха пренебречь. 5. Мальчик массой 50 кг поднимается по лестнице длиной 16 м, расположенной под углом 30° к горизонту. Какова при этом работа силы тяжести? § 29. Работа силы упругости Вычислим работу, которую совершает сила упругости деформированной пружины при её возвращении в недеформированное состояние. Пусть один конец пружины закреплён, а ко второму присоединён брусок, лежащий на гладком столе (рис. 4.31, а). Переместим брусок вправо, растянув пружину, и будем удерживать её в этом положении (рис. 4.31, б). 98 шшш-; F, Жк 1^ if\ ffs ^ Рис. 4.31 На брусок со стороны пружины действует сила упругости F^. Если отпустить брусок, то эта сила приведёт его в движение. Сила упругости зависит от координаты X, поэтому находить работу этой силы по формуле А = F^s нельзя. Работу силы упругости можно определить графически. На рис. 4.32 приведён график зависимости модуля F силы упругости пружины от координаты х. Как мы выяснили в § 26, работа силы численно равна площади, ограниченной линией графика, осью абсцисс, ординатами начальной и конечной точек. При деформации пружины на х это будет площадь треугольни- kx^ 2 ка ОСВ (ОВ = л:). Она численно равна Следовательно, А=^кх\ Работа силы упругости при перемещении пружины из деформированного состояния в недеформированное равна половине произведения жёсткости пружины на квадрат её смещения при деформации. Поскольку деформированная пружина совершает работу, равную то она обладает энергией, зависящей от состояния пружины. _ kx^ Физическую величину, равную называют потенциальной энергией упруго деформированной пружины: kx^ 2 (4.16) Потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна работе, которую совершает сила упругости при переходе этой пружины в недеформированное состояние. 99 Теперь обратимся к рис. 4.33 и определим графически работу, совершённую силой упругости при изменении деформации пружины от некоторого начального значения Xi до Хг. Из рисунка видно, что эта работа численно равна площади трапеции. Её основания — отрезки, длины которых равны кхг и kxi, а высота равна Xi~ Хг. Следовательно, А = (kXz + kXi) (Xi - Xz), Обозначив kx\ _ ~2 или kxi A = _ ^ 2 kxi ■y kxi kx\ 2 "pi 2 получим: A — (Ep2 Epi). (4.17) (4.18) Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированной пружины, взятому с противоположным знаком. Эта формула справедлива только в тех случаях, когда выполняется закон Гука. Работа силы упругости зависит только от значения Xi и Хг — координат начального и конечного положения конца пружины. Следовательно, сила упругости — консервативная сила. Потенциальная энергия деформированных пружин используется в механических часах различных конструкций, в механических игрушках. Эта энергия применяется в ружьях для подводной охоты. Дверные пружины при открывании дверей и калиток деформируются и запасают потенциальную энергию, а потом совершают работу, закрывая двери. ЗАДАЧА Пружина жёсткостью k = 1000 Н/м растянута на 6 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть эту пружину ещё на 8 см? Решение. Работа А, совершаемая внешней силой, равна работе силы упругости Аупр, взятой с противоположным знаком: А = -Ау„р. Работа силы упругости Аупр (.Ер2 Ер\). Потенциальная энергия пружины при её растяжении на Xi и Xz равна F --Ьр! - 2 ’ тр __ КЛ2 ^р2 — kxj т 100 По условию Х2 = Xi + Ах. Следовательно, - Mj = _|(2д;. + Ах)Ах. Искомая работа А - -Ayj,p - 2 Алг)Ал:; А = 8 Дж. Проверьте себя 1. По какой формуле рассчитывают потенциальную энергию деформированной пружины? 2. Чему равна работа силы упругости? 3. Почему сила упругости является консервативной? 4. Где используется потенциальная энергия деформированных пружин? УПРАЖНЕНИЕ 24 1. Какова потенциальная энергия пружины жёсткостью 500 Н/м, если её растянули на 4 см? 2. Для сжатия пружины на 1 см необходима сила 100 Н. Какую работу нужно совершить, чтобы сжать пружину на 5 см? 3. Какую работу совершает сила упругости при изменении деформации пружины жёсткостью 400 Н/м от 7 до 3 см? § 30. Закон сохранения механической энергии Сохранение энергии — наиболее полезный физический принцип. Дж. Мэрион В механике исключительно важное значение имеет величина, называемая полной механической энергией или просто механической энергией. Механической энергией системы тел называют сумму кинетической и потенциальной энергии тел этой системы: Е = Ek + Ер. Выясним, изменяется ли механическая энергия в замкнутой консервативной системе тел. Напомним, что в ней действуют только внутренние консервативные силы. Такой системой может быть, например, система «поднятое тело — Земля*. Предположим, что тело массой т под действием силы тяжести mg перемещается из точки 1 в точку 2 вблизи поверхности Земли (рис. 4.34). Точка 1 находится на высоте hi 101 от поверхности Земли, точка 2 — на высоте /гг* Начальная скорость тела (в точке 1) равна а конечная (в точке 2) — ^2* При движении этого тела состояние Земли практически не изменяется, поэтому можно считать, что система состоит из одного тела. Работа силы тяжести, действующей на тело, при его перемещении из точки 1 в точку 2 равна изменению кинетической энергии тела: А = AEk = Eh2 — Eiti‘ Кроме того, эта работа равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком: А = —АЕр = —(Ер2 ~ Epi). Поэтому ^к2 ~ — ~{Ер2 ~ Epi). Перегруппировав члены этого уравнения, получим: Eki + Epi = Eh2 -Ь Ер2. Левая часть равенства представляет собой сумму кинетргческой и потенциальной энергир! тела, т. е. его механическую энергию Ei, в начальный момент времени, а правая — механическую энергию £г в конечный момент времени: ^1— E,tl+ Epi, Е2= Ek2 + Ер2- Следовательно, El — Е2. (4.19) Полученное соотношение предстгшляет собой закон сохранения механической энергии, который формулируется так: I Механическая энергия замкнутой консервативной системы тел сохраняется I (не изменяется с течением времени). Я (Ер) Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии тела в точках 1 и 2: Еьл — mv\ Epi = mghi; Е^г = Ер2 = mgh2. В С учётом этих выражений закон сохранения механической энергии примет вид mvf , , mui , , + mghi = -f mghi. (4.20) (Е,) Рис. 4.35 Потенциальная и кинетическая энергии могут превращаться друг в друга. Например, тело, брошенное с поверхности Земли (рис. 4.35) вертикально вверх со скоростью Vq, обладает вначале 102 максимальной кинетической энергией £*тах- Потенциальная энергия этого тела на поверхности Земли равна нулю. При подъёме тела его кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная возрастает. На максимальной высоте Н скорость и кинетическая энергия тела равны нулю, но зато его потенциальная энергия jEpmax максимальна и равна первоначальному значению кинетической энергии. В промежуточных точках между этими крайними положениями, например на высоте h, тело обладает и кинетической, и потенциальной энергией, и их сумма равна полной механической энергии этого тела. При свободном падении происходит обратное преобразование энергии из потенциальной в кинетическую. В реальных случаях на движупдиеся тела наряду с консервативной силой тяжести действует и неконсервативная сила трения, работа которой отрицательна, и механическая энергия в замкнутой системе убывает, поэтому АЕ = Ег - El = At, (4.21) Уравнение (4.21) выражает закон изменения механической энергии. I Изменение механической энергии замкнутой системы тел равно работе, I совершённой неконсервативными силами. Закон сохранения механической энергии — это частный случай общего закона сохранения энергии. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только превращаться из одного вида в другой. С давних времён люди безуспешно пытались построить вечный двигатель (лат. perpetuum mobile) — машину, которая, будучи приведена в движение, работала бы неопределённо долго, не теряя при этом энергии. С открытием закона сохранения энергии стало ясно, что вечный двигатель противоречит этому закону, и создать его невозможно. Следствием закона сохранения механической энергии является «золотое правило* механики: Ни один механизм не может совершить большую работу, чем та, что совершают внешние силы для приведения его в действие. Любые механизмы и машины выполняют роль преобразователей энергии: они передают энергию источника другим телам. Однако полезной является не вся энергия. В движущихся частях машин и механизмов всегда существует трение, которое приходится преодолевать. На это затрачивается часть энергии, полученной механизмом. Есть и другие потери энергии. Энергия получаемая потребителем, всегда меньше затраченной энергии Е^. Эффективность преобразования энергии характеризуется величиной, равной отношению полезно преобразованной энергии к энергии, затраченной 103 источником. Эта величина называется коэффициентом полезного действия (КПД) и обозначается греческой буквой Т1 («эта»): ^ = 1- (4.22) КПД обычно выражают в процентах: П = ^ -100%. -^3 Вместо энергии можно использовать понятие работы как величины, определяющей изменение энергии: Л = -А (4.23) КПД механизма всегда меньше 1 (меньше 100%). Важная задача техники — повышение КПД механизмов. Для этого стараются уменьшить трение в движущихся частях машин, применяя смазку, подшипники, придавая корпусам транспортных средств обтекаемую форму и т. д. В замкнутой консервативной системе механическая энергия остаётся постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счёт уменьшения потенциальной. Если система находится в таком состоянии, что скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут прийти в движение, т. е. система будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. Таким образом, закон сохранения механической энергии позволяет сформулировать по-другому условие равновесия замкнутой консервативной системы тел: |В состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы тел имеет минимальное значение. Законы сохранения энергии и импульса имеют более широкое применение, чем законы Ньютона. Они справедливы не только в механике, но и в других разделах физики: электродинамике, термодинамике, атомной и ядерной физике — и представляют собой всеобщие законы природы. ЗАДАЧА Тело массой m = 1 кг под действием силы тяжести перемещается из точки 1, находящейся на высоте Лх = 30 м от поверхности земли, в точку 2, расположенную на высоте Лг = 10 м. Определите скорость тела в точке 2, если в точке 1 его скорость равна нулю. Трением пренебречь. Решение. Поскольку сила тяжести — консервативная сила, то при движении тела из точки 1 в точку 2 выполняется закон сохранения механической энергии: Etti + Epi — Е/,2 -ь Е р2‘ 104 Будем считать нулевым уровнем потенциальной энергии поверхность Земли, тогда ^ + mgh, = ^ + rngh2. Поскольку Hi = о, то ^2 = yl2gihi - hi); V2 = 20 м/с. Проверьте себя 1. Какую физическую величину называют механической энергией системы тел? 2. Какую систему тел называют консервативной? 3. При каких условиях механическая энергия системы тел сохраняется? 4. Как формулируется закон изменения механической энергии системы тел? 5. Каково условие устойчивого равновесия системы тел? УПРАЖНЕНИЕ 25 1. Свободно падающее тело достигает поверхности земли со скоростью 15 м/с. С какой высоты оно падало? 2. С поверхности земли со скоростью 2 м/с подброшен вверх камень. С какой скоростью упадёт он в яму глубиной 10 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. 3. Тело массой m = 2 кг падает с высоты Л = 10 м. Определите его потенциальную и кинетическую энергию в точке, находящейся на высоте Л = 3 м от поверхности земли. Трением тела о воздух пренебречь. 4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на какой высоте кинетическая энергия тела равна его потенциальной энергии. 5. Скорость планера массой 600 кг на высоте 500 м равна 30 м/с, а при приземлении — 10 м/с. Какую работу совершили силы сопротивления воздуха при спуске планера? 6. Прочитайте отрывок из индонезийской сказки «Мальчик и раджа» и объясните ответ мальчика. «Тогда раджа приказал: — А теперь покажи, где верхний, а где нижний конец у обрубка чёрного дерева. Мальчик взял обрубок, оглядел его со всех сторон, подержал в руках и опустил в воду. — Господин, верхний конец тот, который над водой, — сказал он радже». 105 из ИСТОРИИ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ Природа никогда не изменит великим законам сохранения. Д. Бернулли Истоки открытия законов сохранения импульса и энергии уходят в глубокую древность. «Из ничего ничего не бывает» — так древние греки выражали идею сохранения. «Золотым правилом» механики («что выигрываешь в силе, то проигрываешь в расстоянии») пользовался ещё Архимед. Понятие импульса (количества движения) как произведения массы тела на его скорость было введено в XVII в. французским учёным Р. Декартом (1596—1650) при изучении механического движения (он же первым применил название «импульс силы»). Декарт так сформулировал закон сохранения количества движения: «Если одно тело сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого движения, кроме того, которое потеряет во время этого столкновения, как не может отнять у него больше, чем одновременно приобрести себе». Однако Декарт не рассматривал количество движения как векторную величину, что привело к ошибочности найденных им правил соударения тел. Понятие количества движения уточнил X. Гюйгенс (1629—1695), который, исследуя удар шаров, доказал, что сохраняется не арифметическая, а векторная сумма их количеств движения, а также сформулировал следствие из этого закона о движении центра тяжести при ударе: «Общий центр тяжести двух или трёх или скольких угодно тел продолжает двигаться равномерно в ту же сторону по прямой линии как до, так и после удара». В 1686 г. немецкий учёный Г. Лейбниц (1646—1716) в своём труде «Доказательство памятной ошибки Декарта и других...» доказал несостоятельность закона сохранения количества движения, открытого Декартом. Он даёт свой закон — закон сохранения «живых сил». С этого труда начинается история понятия «кинетическая энергия». Под «живой силой» Лейбниц понимал величину mv^, т. е. удвоенную кинетическую энергию тела. Термин «кинетическая энергия» появился в начале XIX в. в работе английского учёного Т. Юнга, который под словом «энергия» понимал «способность тела совершить работу вследствие приобретения скорости». Понятие потенциальной энергии впервые появилось в работах французского инженера С. Карно и вошло во всеобщее употребление в середине XIX в. благодаря трудам шотландского учёного У. Ранкина. После выхода работы Лейбница физики разделились в отношении меры движения на сторонников Декарта и сторонников Лейбница. В связи с этим в 1758 г. М. В. Ломоносов писал: «Самые первые начала механики... ещё находятся в периоде обсуждения, и наиболее выдающиеся учёные этого столетия не могут прийти к соглашению о них». 106 Истинная суть двух мер движения (по Декарту и по Лейбницу) выяснилась только в результате открытия закона сохранения энергии. Его история начинается с работ М. В. Ломоносова, который в 1748 г. писал: «Встречающиеся в природе изменения происходят так, что если к чему-либо нечто прибавилось, то это отнимется у чего-то другого... Тело, которое своим толчком побуждает другое к движению, столько же теряет от своего движения, сколько сообщает другому, им двинутому». В середине XIX в. немецким врачом и физиологом Р. Майером, английским физиком Дж. Джоулем и немецким врачом и естествоиспытателем Г. Гельмгольцем примерно в одно и то же время был установлен закон сохранения и превращения энергии как всеобщий закон природы. Этот закон связал воедино все физические явления, показал единство природы. Дальнейшее развитие физики привело лишь к углублению содержания закона сохранения энергии. Так, в XX в. нашла подтверждение гениальная догадка Ломоносова о взаимосвязи законов сохранения массы и энергии. В 1905 г. А. Эйнштейн в созданной им специальной теории относительности выявил пропорциональность между массой и энергией. А в 1918 г. немецкий учёный Э. Нётер (1882— 1935) доказала теорему о связи законов сохранения и свойств пространства и времени. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 4 Закон изменения импульса (второй закон Ньютона). Изменение импульса тела равно импульсу силы: Др = Ft. Закон сохранения импульса. В замкнутой системе тел сумма импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов тел после их взаимодействия: m^Vi + ^2^2 = miv'i + /П2П2* Работа постоянной силы — физическая величина, равная произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между векторами силы и перемещения: А - Fscosa. Мощность — физическая величина, равная отношению работы, совершаемой силой в течение некоторого промежутка времени, к этому промежутку времени: Р=—. t Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости: 107 Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело во время его движения: Е/,2 — = А. Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы тела на ускорение свободного падения и на эту высоту: Ер = mgh. Изменение потенциальной энергии тела, взятое с противоположным знаком, равно работе консервативных сил, действующих на тело: ~(^р2 ~ Epi) — Потенциальная энергия деформированной пружины равна половине произведения жёсткости пружины на квадрат её удлинения: Механическая энергия системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел этой системы: Е = Eft Ер. Закон сохранения механической энергии. Механическая энергия замкнутой консервативной системы тел сохраняется (не изменяется со временем): Ех = Е2 = const. Изменение механической энергии системы тел при переходе из одного состояния в другое равно работе неконсервативных сил: Е2 Ех — ^4.„ек* л МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Как наша прожила б планета. Как люди жили бы на ней Без теплоты, магнита, света И электрических лучей? А. Мицкевич Тепловые явления широко распространены в природе. Например, под действием солнечного излучения снег тает; вода испаряется с поверхности морей, рек и озёр; капельки влаги в облаках превращаются в снежинки; зимой замерзает вода в водоёмах; в недрах Земли бушует расплавленная магма; из магмы возникают кристаллические базальты, граниты, кварцы и другие горные породы. Тепловые явления играют огромную роль в жизни людей, животных и растений. Достаточно сказать, что изменение температуры на Земле в разные времена года приводит к переменам в окружающей нас природе. Тепловые процессы оказывают влияние на свойства тел: увеличивается или уменьшается их объём, изменяются механические свойства (при нагревании возрастает пластичность материалов, при охлаждении некоторые из них становятся хрупкими, например резина при температуре ниже -100 °С). Чтобы понимать сущность тепловых явлений, учитывать и использовать их закономерности на производстве и в быту, необходимо изучить молекулярную физику и термодинамику. Их основу составляют две теории: молекулярно-кинетическая теория (МКТ) и термодинамика. Молекулярно-кинетическая теория рассматривает тепловые явления как проявление беспорядочного движения атомов и молекул и объясняет их на основе представлений о строении вещества. Термодинамика, основываясь на законах, которые являются обобщением опытных фактов, описывает тепловые явления без учёта представлений о структуре вещества. В XIX в. существование атомов и молекул ставилось под сомнение, и молекулярно-кинетическая теория не находила понимания среди многих физиков. Поэтому термодинамика и молекулярно-кинетическая теория строго разграничивались. В XX в. были получены неопровержимые доказательства существования молекул, и молекулярно-кинетическая теория получила подтверждение многочисленными опытами. В настоящее время обе эти теории взаимно дополняют друг друга. Молекулярно-кинетическая теория § 31. Основные положения молекулярно-кинетической теории Ничто не существует, кроме атомов и пустого пространства. Демокрит Из чего состоят окружающие нас предметы? «Из молекул и атомов», — без запинки ответит каждый школьник. Это представляется нам сейчас очевидной истиной. В настоящее время человек вооружён приборами, которые позволяют видеть и фотографировать отдельные молекулы. На рис. 5.1 представлена фотография поверхности кремниевой пластины, где бугорки — это отдельные атомы кремния. Подобные изображения научились получать с помощью сложных современных микроскопов. Мысль о том, что тела не сплошные, а состоят из частиц, высказывалась ещё в Древней Греции. Демокрит, Левкипп, Эпикур считали, что все вещества состоят из атомов и эти атомы могут быть различными. На чём основывали свои убеждения мыслители Древнего мира? Обратимся к поэме Лукреция Кара «О природе вещей», в которой он отразил взгляды атомистов Древней Греции на строение вещества. Запахи мы обоняем различного рода. Хоть и не видим совсем, как в ноздри они проникают... Но это всё обладает, однако, телесной природой. Если способно оно приводить наши чувства в движенье: Ведь осязать, как и быть осязаемым, тело лишь может. И наконец, на морском берегу, разбивающем волны. Платье сыреет всегда, а на солнце вися, оно сохнет; Рис. 5.1 110 Видеть, однако, нельзя, как влага на нём оседает. Как и не видно того, как она исчезает от зноя. Значит, дробится вода на такие мельчайшие части. Что недоступны они совершенно для нашего взгляда. Из этих строк следует, что наблюдения над такими явлениями природы, как распространение запахов, испарение жидкостей и т. п., дали основания для возникновения атомистического учения. Однако более двадцати веков оно оставалось лишь гипотезой, у которой были как сторонники, так и противники. Убеждённым атомистом был наш великий соотечественник М. В. Ломоносов. Он связал тепловые явления с движением частиц веш;ества (корпускул) и сделал вывод о существовании «последней степени холода», когда движение частиц прекращается. На основе своей корпускулярной теории он объяснил явления испарения, плавления, теплопроводности. Лишь в XIX в. атомно-молекулярная гипотеза строения вещества была подтверждена экспериментально. Основы современной молекулярно-кинетической теории были заложены Р. Клаузиусом, Л. Больцманом, Дж. Максвеллом и другими физиками. Эта теория позволила объяснить большой круг физических явлений, в частности зависимость свойств тел от их строения. Каковы же представления о строении вещества с точки зрения молекулярнокинетической теории? Любое вещество состоит из мельчайших частиц (молекул, атомов), между которыми имеются промежутки. Частицы вещества находятся в непрерывном хаотическом движении. Частицы взаимодействуют друг с другом (притягиваются и отталкиваются). Эти три утверждения являются основными положениями молекулярнокинетической теории. Проверьте себя 1. Каковы основные положения молекулярно-кинетической теории? 2. Кого из учёных считают основателями молекулярно-кинетической теории? ПШПх Французский учёный Пьер Гассенди (1592—1655) назвал группы атомов молекулами (лат. слово moles означает «масса»), т. е. «массочками». 111 § 32. Молекулы Человек уже увидел атомы собственными глазами; если и не сами атомы, то фотографическое изображение, вызванное ими. Е. С. Фёдоров Рассмотрим наиболее общие характеристики молекул — их размеры, массу, состав и структуру. Размеры молекул. Молекулы очень малы. Простой и наглядный способ определения размеров молекул следующий. На поверхность воды нанесём каплю оливкового масла. Масло растекается по поверхности воды, образуя пятно. Когда поверхность пятна перестанет увеличиваться, можно предположить, что молекулы расположились в один ряд и толщина плёнки стала равна диаметру d одной молекулы. Зная объём V капли масла и площадь S масляного пятна, можно найти диаметр одной молекулы. Расчёты показывают, что диаметр молекулы масла примерно равен 2-10’® м. Диаметр молекул других веществ тоже мал. Например, диаметр молекулы водорода равен 2,3 • 10“'” м, молекулы воды — 3 -м. Однако в мире молекул есть и «гиганты»: так, молекулы полимеров состоят из сотен тысяч атомов. Количество вещества. Число молекул в любом теле огромно. Так, в 1 см” воздуха при нормальном атмосферном давлении и температуре 0 °С находится 2,7-10'® молекул. В жидкостях и твёрдых телах в том же объёме находится ещё больше молекул, например, в 1 см” воды содержится 3,7-10”” молекул. Так как число N молекул в любом макроскопическом теле велико, то его принято сравнивать с числом атомов, содержащихся в углероде массой 0,012 кг. Установлено, что в 0,012 кг углерода содержится 6,02 10”” атомов. Это число называют постоянной Авогадро Л^д- Относительное число молекул в теле характеризуют физической величиной, называемой количеством вещества. Количеством вещества v называют отношение числа молекул N в данном теле к числу атомов Ад в 0,012 кг углерода: V = N Ал • (5.1) Единица количества вещества — моль. Моль — это количество вещества, содержащего столько же молекул или атомов, сколько атомов содержится в углероде массой 0,012 кг. Постоянная Авогадро показывает, сколько молекул (атомов) содержится в одном моле любого вещества: Ад = 6,02 -10”” моль '. 112 Зная количество вещества и постоянную Авогадро, можно определить число молекул в теле: N = vNj,. Масса молекулы. Так как масса молекулы очень мала, удобно применять величину, получивпгую название относительной молекулярной (атомной) массы Mr. Относительной молекулярной (атомной) массой вещества называют отношение массы молекулы (или атома) т» данного вещества к ^ массы атома углерода Шос'. Мг = т„ 12 (5.2) Относительные атомные массы химических элементов измерены; их значения можно найти в Периодической системе элементов Д. И. Менделеева. Складывая относительные атомные массы, можно вычислить относительную молекулярную массу. Например, относительная молекулярная масса воды Н2О равна 18 (1-2 -Н 16 = 18), так как относительные атомные массы водорода и кислорода равны соответственно 1 и 16. Наряду с относительной молекулярной массой Мг в физике и химии используют понятие молярной массы М. Молярной массой называют массу вещества, взятого в количестве одного моля. Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль). Согласно определению молярная масса равна произведению массы молекулы на постоянную Авогадро: М = тоЛ^д. Молярная масса связана с относительной молекулярной массой: М = Mr ■ 10'^ кг/моль. (5.3) Например, молярная масса воды равна 18 10"® кг/моль. Для определения массы молекулы надо молярную массу разделить на постоянную Авогадро: М то = ЛГд (5.4) Так, масса молекулы воды равна _ 18 • 10 кг/моль _ о 1п-6,02 • 10^® моль'* кг. 113 Масса т любого тела равна произведению массы /По одной молекулы на число N молекул, содержащихся в нём: т = ntoN = itiovNa. = vM, откуда V = m М’ (5.5) Используя это соотношение, можно дать ещё одно определение количества вещества. Количество вещества равно отношению массы вещества к его молярной массе. С учётом формулы (5.5) число молекул в веществе т (5.6) Структура молекулы. Даже простые молекулы, состоящие всего из трёх атомов, могут иметь различную структуру. Известно, например, что в молекуле оксида углерода СОг три атома образуют между собой линейную цепочку О—С—О (рис. 5.2). В молекуле воды НгО тоже три атома, но два атома водорода расположены относительно атома кислорода под углом 105®. В молекуле бензола СеНе атомы углерода образуют правильный шестиугольник. Молекулы, О О О О Углекислый газ Н н н н н н Полиэтилен Бензол Рис. 5.2 114 состоящие из многих атомов, могут иметь очень сложную структуру. Например, молекулы полимеров состоят из повторяющихся структурных образований, включающих множество атомов. На рис. 5.2 изображена структура молекулы простейшего полимера — полиэтилена, состоящей из повторяющихся звеньев СНг. ЗАДАЧА Определите число молекул, содержащихся в куске «сухого льда» (СО2) массой 200 г. Решение. Относительная молекулярная масса «сухого льда» СО2 Mr = 12 + 2 • 16 = 44. Молярная масса «сухого льда» М = Mr • 10'® кг/моль = 44 • 10'® кг/моль. Число молекул в куске «сухого льда» данной массы можно найти по фор- муле N = 7V = 2,7 • 10®\ Проверьте себя 1. Как можно оценить диаметр молекулы оливкового масла? 2. Какую физическую величину называют количеством вещества? 3. В каких единицах выражают количество вещества? 4. Как определить число молекул в веществе? 5. Каков физический смысл постоянной Авогадро? 6. Какая связь между относительной молекулярной массой и молярной массой вещества? 7. Как найти массу молекулы? УПРАЖНЕНИЕ 26 1. Какое количество вещества и сколько молекул содержится в кислороде массой 1,6 кг? 2. Сколько молекул водорода содержится в воздушном шарике, если масса водорода в нём 4 г? 3. Вычислите массу молекулы: а) азота N2; б) озона О3. 4. Сколько молекул содержится в кристалле льда массой 36 г? Какова масса молекулы льда? Запах связан с размерами и формой молекул. Так, общей особенностью веществ с камфорным запахом является шарообразная форма их молекул (диаметр 7 • 10-® см). 115 *§33. Движение и взаимодействие молекул Молекулы проявляют силы взаимодействия, лишь находясь в непосредственной близости друг от друга. Р. Клаузиус Движение молекул доказывается такими явлениями, как диффузия и броуновское движение. Диффузия — самопроизвольное перемешивание разных веществ, приведённых в соприкосновение. Диффузия наблюдается в газах, жидкостях и твёрдых телах. Рассмотрим примеры диффузии. • Поместим в стеклянный цилиндр линейку, на которую наклеены полоски бумаги, смоченные раствором фенолфталеина (рис. 5.3). Фенолфталеин является индикатором на щёлочь: под её действием он краснеет. Смочим вату водным раствором аммиака и поместим её около одного конца цилиндра. Спустя некоторое время заметим, что ближняя к вате полоска бумаги начинает краснеть. Вслед за ней краснеет следующая полоска, расположенная вблизи неё, и так постепенно окрашиваются все полоски. Результат опыта можно объяснить самопроизвольным перемешиванием аммиака и воздуха вследствие хаотичности движения их молекул. • Нальём в высокий стеклянный сосуд немного медного купороса. Этот раствор имеет тёмно-голубой цвет; он более плотный, чем вода. Затем осторожно нальём в сосуд чистую воду. Мы видим, что между жидкостями образовалась резкая граница. Однако через несколько дней она «размывается», а недели через две в сосуде оказывается однородная жидкость голубого цвета. Значит, жидкости перемешались в результате движения их молекул (рис. 5.4). Диффузия происходит и в твёрдых телах. Так, опыт показал, что притёртые и прижатые одна к другой пластинки из золота и свинца за пять лет «срослись» вследствие взаимного проникновения молекул этих веществ на глубину примерно 1 мм. Как показывают наблюдения, процесс диффузии с повышением температуры ускоряется. Это может быть объяснено тем, что с повышением температуры увеличивается скорость беспорядочного движения молекул вещества. Броуновское движение. В 1827 г. английский ботаник Р. Броун наблюдал в микроскоп движение цветочной пыльцы, взвешенной в воде. Эти Рис. 5.4 частицы совершали беспорядочное дви- пиштр IIPtMIIIIIII 1 III mil mi - (о[ 1ю|а> \ iff сч «и i и. >> • - s шч Рис. 5.3 i ‘ 'Л' l-l e| ; * 116 Рис. 5.5 жение, как бы отплясывая какой-то фантастический танец. На рис. 5.5 приведена схема движения одной частицы пыльцы. Положения частицы, отмеченные точками, определены через равные промежутки времени. Эти точки соединены прямыми линиями. Построенная таким способом траектория движения частицы оказывается чрезвыч£1Йно сложной и запутанной. Причина этого явления долго оставалась непонятной, пока не было доказгпю, что «вечный» танец частиц пыльцы происходит под воздействием ударов молекул воды. Хотя молекулы воды ударяют частицу со всех сторон, но всё же число ударов молекул о частицу справа и слева, сверху и снизу и в других направлениях оказывается случайным, т. е. удары их не компенсируют друг друга (рис. 5.6). В результате частица испытывает в разные моменты времени разные толчки, под действием которых совершает беспорядочное движение, показанное на рис. 5.5. Разработка количественной теории броуновского движения (А. Эйнштейн, М. Смолуховский, 1904— 1906) и её экспериментальное подтверждение (Ж. Перрен, Т. Сведберг, 1906) завершили создание молекулярно-кинетической теории. Взаимодействие молекул. Выясним, взаимодействуют ли молекулы друг с другом. Для этого проведём опыт. Два свинцовых цилиндра свежими срезами прижмём друг к другу. Они соединяются. Подвесим цилиндры к штативу. Они вьщерживают подвешенный к ним груз в несколько килограммов (рис. 5.7). Этот опыт доказывает, что между частицами твёрдого тела действуют силы притяжения. В существовании сил притяжения между молекулами жидкости и твёрдого тела убедимся на следующем опыте. К пружине подвесим стеклянную пластинку (рис. 5.8). Опустим Рис. 5.7 117 ОшщтО Рис. 5.9 эту пластинку на поверхность воды так, чтобы она нижней плоскостью касалась воды. Попытаемся оторвать пластинку от воды. При этом пружина растягивается. Это доказывает, что между молекулами воды и частицами стекла действуют силы притяжения. Оторвав пластинку от воды, можно увидеть, что её нижняя поверхность мокрая. Следовательно, при отрывании пластинки от воды были преодолены силы притяжения между молекулами воды. Между молекулами действуют и силы отталкивания. Об этом свидетельствует, в частности, свойство жидких и твёрдых тел оказывать сопротивление сжатию. Таким образом, между молекулами действуют силы притяжения и силы отталкивания. Иначе молекулы, образующие тела, разлетались бы в разные стороны или «слипались». На рис. 5.9 изображены два шарика, соединённые пружиной. Эта модель иллюстрирует характер взаимодействия двух молекул. Пружина сопротивляется как растяжению, так и сжатию. При удалении молекул друг от друга их взаимодействие проявляется в виде сил притяжения, при сближении — в виде сил отталкивания. Следовательно, между молекулами существует определённое расстояние, когда силы отталкивания и притяжения уравновешены и их равнодействующая равна нулю. Силы взаимодействия молекул — короткодействующие^ поскольку проявляются на очень малых расстояниях. Осколки стекла нельзя «срастить», прикладывая их друг к другу, так как из-за неровностей не удаётся их сблизить на расстояние, на котором начинают проявляться силы молекулярного притяжения. Но если нагреть куски стекла так, чтобы они размягчились, то их можно тесно сблизить, и стекло в этом случае спаивается. Опыты показывают, что при расстоянии между молекулами более 10'^ см межмолекулярным взаимодействием можно пренебречь. Как возникает взаимодействие молекул? Известно, что молекулы электрически нейтральны. Молекулы состоят из атомов, в состав которых входят ядра и электроны. Силы, действующие между электронами и ядрами соседних молекул, обусловливают существование межмолекулярных сил. Природу этих сил удалось объяснить только в квантовой механике. Проверьте себя 1. Какие явления доказывают движение молекул? 2. Опишите опыты по наблюдению диффузии в жидкостях и твёрдых телах. 3. Каков физический смысл пословиц: «Ложка дёгтя в бочке мёда*, «На мешке с солью и верёвка солёная*! 118 4. Приведите примеры, свидетельствующие о том, что между молекулами существуют силы притяжения; силы отталкивания. 5. Каков физический смысл пословицы; <^Дружба как стекло: разобьёшь — не сложишь*^ Л. Больцману приходилось столь часто отражать нападки противников молекулярной теории, что одну из своих статей он закончил, перефразировав Г. Галилея, словами: «И всё-таки они движутся» (имея в виду молекулы). Впервые межмолекулярное взаимодействие стал учитывать голландский физик Я. Ван-дер-Ваальс (1873) для объяснения свойств реальных газов и жидкостей. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 5 • В основе молекулярно-кинетической теории лежат три исходных положения: любое вещество состоит из мельчайших частиц (молекул, атомов), между которыми имеются промежутки; частицы вещества находятся в беспрерывном хаотическом движении; частицы вещества взаимодействуют друг с другом (притягиваются и отталкиваются). • Броуновское движение и диффузия — экспериментальные доказательства существования частиц вещества и их движения. • Относительная молекулярная {или атомная) масса равна отношению массы молекулы (или атома) к массы атома углерода: M, = -j /По 12 "-ос Количество вещества равно отношению числа молекул в данном теле к постоянной Авогадро: N V = Постоянная Авогадро — число молекул в моле вещества: Nf, = 6,02-10^^ моль'*. Молярная масса — масса вещества, взятого в количестве 1 моль. Свойства газов § 34. Модель газа Отважнее! В область хаоса! Ф. Шиллер Вещество может находиться в жидком, твёрдом и газообразном состояниях. В этой главе нас будут интересовать свойства газов ^ и объяснение этих свойств молекулярно-кинетической теорией. Газообразное состояние — весьма распространённое состояние вещества во Вселенной. Атмосфера планет, межзвёздное вещество, туманности состоят из газов. Газы содержатся в твёрдых земных породах, растворены в воде океанов, морей и рек. Встречающиеся в природе газы представляют собой, как правило, смесь нескольких газов. Например, воздух состоит в основном из смеси азота, кислорода, углекислого газа, природный газ — из пропана, гексана, этана и других газов. Газы могут отличаться друг от друга цветом, запахом, плотностью, активностью в различных химических реакциях, но существуют общие свойства, которые роднят все газы между собой. Газы не имеют постоянного объёма и собственной формы, целиком занимают сосуд, в котором они находятся. Молекулярно-кинетическая теория устанавливает количественную связь между макроскопическими величинами, характеризующими газ (давление, температура), и микроскопическими величинами, характеризующими движение молекул. Для рассмотрения свойств газов используют модель газа — идеальный газ. Идеальный газ — это модель газа, в которой пренебрегают взаимодействием молекул друг с другом на расстоянии. В соответствии с этой моделью молекулы газа рассматривают как абсолютно упругие шарики, размеры которых много меньше расстояний между ними. Молекулы не взаимодействуют, находясь друг от друга на расстоянии; они * От греч. chaos — хаос. 120 Q » непрерывно хаотически движутся (рис. 6.1), время от времени испытывая соударения между собой. После каждого соударения молекулы изменяют направление и модуль скорости. Реальные газы при не слишком низкой температуре и невысоком давлении (разреженные газы) по своим свойствам близки к идеальному газу. Например, гелий при атмосферном давлении и комнатной температуре можно рассматривать как идеальный газ. Используем модель идеального газа для качественного объяснения некоторых свойств газа. Например, газ занимает весь предоставленный ему объём, так как между молекулами силы притяжения слабы и они не могут удерживать молекулы друг возле друга. Газы легко сжимаемы, поскольку размеры молекул намного меньше, чем расстояния между ними. Так, в атмосфере расстояние между молекулами воздуха примерно в 10 раз больше размеров молекул. В молекулярно-кинетической теории движение каждой молекулы описывается законами динамики. Однако для объяснения поведения газа в целом эти законы не могут быть применены, поскольку число молекул в любом веш;естве огромно. Например, в 1 м® газа при атмосферном давлении и комнатной температуре содержится около 10^^ молекул. Поэтому практически невозможно написать систему уравнений движения для такого множества частиц. Для описания систем, состоящих из большого числа частиц, применяют статистические методы, основанные на теории вероятностей. Они позволяют находить средние величины, характеризующие движение частиц (средняя скорость, средняя энергия, среднее расстояние, которое проходят молекулы газа между двумя соударениями, и др.). Такой подход позволяет объяснить многие свойства газов и процессы в них (сжатие, расширение, нагревание, диффузию) на количественном уровне. 9 Рис. 6.1 Проверьте себя 1. Приведите примеры известных вам газов и укажите некоторые их особые свойства (запах, цвет и т. д.). 2. Какими общими свойствами обладают вещества, находящиеся в газообразном состоянии? 3. Какой газ называют идеальным? 4. Каково строение газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории? 121 5. Как объяснить свойство газа занимать весь сосуд, в котором он находится? 6. Почему в молекулярно-кинетической теории используют статистические методы? ЕИШШШШЭ Термин «газ» был введён в начале XVII в. Я. Б. ван Гельмонтом. Модель молекулярного хаоса оказалась весьма плодотворной и сохранила своё значение для современных исследований. § 35. Скорости молекул газа Истинная логика нашего мира — это подсчёт вероятностей. Дж. Максвелл Молекулы газа находятся в хаотическом и непрерывном движении. Однако в огромном числе беспорядочно движущихся молекул газа существует вполне определённое распределение их по скоростям. В таблице представлено распределение молекул азота по скоростям (в процентах от общего числа молекул) при комнатной температуре. Скорость, м/с Относительное число молекул, % Скорость, м/с Относительное число молекул, % От 0 до 100 1 От 500 до 700 24 От 100 до 300 25 От 700 до 900 7 От 300 до 500 42 Свыше 900 1 Из таблицы видно, что с малыми скоростями (до 100 м/с) движется примерно 1% молекул. Скорость от 100 до 300 м/с имеют 25% молекул. Наибольшим (42%) оказалось число молекул, движущихся со скоростью от 300 до 500 м/с. Быстрых молекул (со скоростью выше 700 м/с) немного — 8%. Обратите внимание, что основная часть (91%) молекул газа имеет скорость в диапазоне между 100 и 700 м/с. Английский физик-теоретик Дж. Максвелл, используя теорию вероятностей, вывел закон распределения молекул по скоростям. На рис. 6.2 изображён график, иллюстрирующий этот закон. Из него видно, что график имеет пик — максимум. Он достигается при некоторой скорости Uh, называемой наиболее вероятной скоростью. Это означает, что при данной температуре наибольшее число молекул, находящихся в данном объёме газа, движется со скоростями, близкими к скорости Ув. Для азота при температуре 20 °С наиболее вероятная скорость равна 415 м/с. При нагревании газа доля молекул, обладающих малыми скоростями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростями увеличивается. Следовательно, 122 значение наиболее вероятной скорости молекул газа с возрастанием его температуры увеличивается. При этом максимум кривой смещается в сторону больших скоростей (см. рис. 6.2). Скорость молекул газа экспериментально определил О. Штерн в 1920 г. Найденные им значения скоростей молекул оказались совпадающими со значениями, полученными на основе молекулярно-кинетической теории. Опыт Штерна позволил не только определить скорость молекул, но и подтвердить существование закономерностей распределения молекул газа по скоростям. Проверьте себя 1. Какая скорость называется наиболее вероятной? 2. Объясните график, представленный на рис. 6.2. 3. Почему диффузия в газах протекает сравнительно медленно, хотя скорости молекул огромны? § 36. Изотермический процесс Свойства газа зависят от таких его параметров, как давление р, температура t, объём V. Пусть в некотором сосуде вместимостью Vo находится газ под давлением ро. Будем сжимать газ. При этом изменяются все три величины, характеризующие его состояние: р, V и t. В этом случае установить простую зависимость между ними довольно сложно. А можно ли сделать так, чтобы при увеличении давления объём газа уменьшался, а его температура оставалась постоянной? Такой процесс осуществить можно. Газ надо сжимать медленно, а сосуд должен иметь теплопроводные стенки и соприкасаться с окружающими телами. Тогда при сжатии газа в результате теплообмена температура газа будет оставаться равной температуре окружающих тел, например атмосферного воздуха. Процесс изменения состояния газа, происходящий при постоянной температуре, называют изотермическим^ процессом. Изотермический процесс экспериментально изучали английский учёный Р. Бойль (1662) и французский физик Э. Мариотт (1676). Они независимо друг ^ От греч. isos — равный и therme — тепло. 123 Рис. 6.3 от друга установили закон, впоследствии названный законом Бойля — Мариотта. Повторим их опыт на современном учебном оборудовании. Герметичный сосуд, объём которого можно изменять, заполнен воздухом при атмосферном давлении и комнатной температуре. Соединим сосуд с мгшометром (рис. 6.3). Запишем в таблицу исходные данные опыта: V = 8 условных единиц объёма (уел. ед.), р = 10® Па = 1 уел. ед. давления. Начнём медленно уменьшать объём воздуха в сосуде, каждый раз фиксируя этот объём и давление. Результаты измерений приведены в таблице. V, уел. ед. 8 7 6 5 4 3 2 р, уел. ед. 1 1,1 1,3 1,6 2 2,6 4 Полученные данные говорят о том, что при уменьшении объёма газа его давление растёт. При этом произведение pV практически остаётся величиной постоянной. Р. Бойль и Э. Мариотт провели огромное число измерений (Бойль — с воздухом, Мариотт — с другими газами) и установили: Для газа данной массы произведение объёма газа на его давление постоянно, если температура газа не изменяется. Математически закон Бойля — Мариотта записывается так: pV - const при t = const, т = const. (6.1) Изобразим графически зависимость давления р газа от его объёма для изотермического процесса. На горизонтальной оси будем откладывать в выбранном масштабе объём, а на вертикальной — соответствующее ему давление. Используя данные опыта (см. табл.), отметим точки, соответствующие различным состояниям газа, и соединим их линией (рис. 6.4). Давление р и объём V газа при изотермическом процессе обратно пропорциональны: const р, уел. ед. о 1234 5678 F, уел. ед. Рис. 6.4 Р = Кривая, соответствующая обратно 124 пропорциональной зависимости между величинами, называется гиперболой. Следовательно, графиком, выражающим зависимость р от F при t = const, является гипербола. Она получила название изотермы. Зависимость pV = const сохраняется для газа не только при комнатной, но и при другой температуре. Но числовое значение этого произведения зависит от температуры. Чем выше температура, тем большее давление оказывает газ на стенки сосуда, в котором он находится, так как его молекулы движутся быстрее и их удары становятся чаще и сильнее. Поэтому изотерма, соответствующая более высокой температуре fa» лежит выше изотермы, соответствующей более низкой температуре ty (рис. 6.5). Газы подчиняются закону Бойля — Мариотта в широких диапазонах температуры и давления. Заметные отклонения от этого закона наблюдаются при большом давлении (= 10^ Па) и при очень низкой температуре. ЗАДАЧА Сосуд вместимостью Fj = 10 м^, содержащий воздух под давлением Pi = 3-10® Па, соединяют с пустым сосудом вместимостью Fa = 5 м^. Какое давление установится в сосудах? Температура газа постоянна. Решение. При соединении сосудов объём воздуха станет равен объёму этих двух сосудов. По закону Бойля — Мариотта PiFi=pa(Fi + F2), откуда F, + F2 ’ Ра = 2 -10^ Па. Проверьте себя 1. Как формулируется закон Бойля — Мариотта? Каким опытом его можно проиллюстрировать? 2. При каких условиях процесс сжатия или расширения газа протекает изотермически? 3. Что представляет собой изотерма? УПРАЖНЕНИЕ 27 1. Как изменится давление газа в цилиндре, если уменьшить объём газа, переместив поршень на половину высоты цилиндра? Температура газа постоянна. 125 2. Воздух объёмом 1 л находится при нормальном атмосферном давлении (р = 10^ Па). Каким станет его объём при давлении 4 • 10^ Па? 3. Кислородный баллон вместимостью 8 л, содержащий кислород под давлением 6-10^ Па, соединяют с пустым сосудом, после чего в сосудах устанавливается давление 2 • 10'^ Па. Чему равна вместимость присоединённого сосуда? 4. Как изменяется плотность газа при изменении его объёма в процессе изотермического сжатия? § 37. Изобарный и изохориый процессы Величайший холод в теле — абсолютный покой. М. В. Ломоносов Рассмотрим два процесса нагревания газа: 1) газ нагревается при постоянном давлении — изобарный^ процесс; 2) газ нагревается при постоянном процесс. объёме — изохорный^ Процесс изменения состояния газа, происходящий при постоянном давлении, называют изобарным процессом. Изобарный процесс происходит, например, при нагревании воздуха в стеклянной колбе, соединённой с горизонтально расположенной стеклянной трубкой, внутри которой находится небольшой столбик жидкости. Давление газа в этом опыте остаётся постоянным и равным атмосферному. При нагревании колбы руками столбик жидкости перемещается вправо (рис. 6.6), следовательно, газ при нагревании расширяется. Французский физик Ж. Гей-Люссак в 1802 г. установил закон, связывающий объём газа и его температуру при постоянном давлении. При неизменном давлении объём газа данной массы при изменении температуры изменяется линейно: F=Fo(l + a^t), (6.2) где t — температура, Vq — объём газа при 0 °С, V — объём газа при температуре i, — температурный коэффициент объёмного расширения. Опыты показывают, что коэффициент av^ оди- 1 0/-1-1 273 ^ ■ Рис. 6.6 наков для всех газов и равен * От греч. isos — равный и baros — тяжесть, вес. ^ От греч. isos — равный и chora — ёмкость. 126 График зависимости объёма газа V от температуры t дан на рис. 6.7. Рассмотрим теперь изохорный процесс, т. е. процесс нагревания газа при постоянном объёме. Процесс изменения состояния газа, происходящий при постоянном объёме газа, называют изохорным процессом. Предположим, что газ нагревается в закрытом сосуде. Так как расширение самого сосуда незначительно, то им можно пренебречь и считать, что при н£1гревании объём газа не изменяется. Будет ли при этом наблюдаться какая-либо закономерность в увеличении давления? Французский учёный Ж. Шарль в 1787 г. установил, что при неизменном объёме давление газа данной массы при изменении температуры изменяется линейно: р = Ро{1 -Ь CLpt), (6.3) где t — температура, ро — давление при О °С, р — давление при температуре t, ар — температурный коэффициент давления. Экспериментально доказано, что коэффициент одинаков для всех газов и равен ^ »С-‘. Преобразуем в формуле (6.3) выражение в скобках: t 273 °С + t 1 -ь 273 °С 273 °С Тогда р 273 °С + t Ро ~ 273 °С ' (6.4) Обратимся к графику изохорного процесса (рис. 6.8). Если его продолжить (см. штриховую линию), то он пересечёт ось температуры в точке -273 °С. Действительно, из подобия треугольников САО и CBD видно, что Р_ Ро СО + OD СО Это выражение совпадает с соотношением (6.4) лишь в случае, если точке С соответствует температура -273 °С. Было предложено назвать температуру -273 °С абсолютным нулём температуры \ ' По современным данным, абсолютный нуль температуры соответствует -273,15 °С. 127 о -273 О 100 Английский учёный У. Кельвин ^ ^ ввёл абсолютную (термодинамиче- скую) шкалу температур, нулевая точка которой соответствует абсолютному нулю. Единица абсолютной температуры в СИ называется кельвином и обозначается буквой К. Как температурный интервал градус по шкале Цельсия равен кельвину: 1 °С = 1К. Абсолютная {термодинамическая) температура Т связана с температурой отсчитываемой по шкале Цельсия, соотношением 273 Рис, 6.9 373 Т, К Т =t + 273. (6.5) Температура таяния льда (0 °С) по термодинамической шкале температур составляет (рис. 6.9) Го = о °С -Ь 273 = 273 К. Первое определение абсолютного нуля дал М. В. Ломоносов. Оно приводится в эпиграфе к этому параграфу. Как известно, температура вещества тем больше, чем больше скорость беспорядочного движения составляющих его частиц. По мере охлаждения вещества тепловое движение его частиц замедляется. Однако достичь состояния, при котором полностью прекращается тепловое движение частиц, невозможно. Перейдём в уравнении (6.4) от температуры по шкале Цельсия к абсолютной температуре. Воспользовавшись соотношением (6.5), запишем: Го = 273 °С; Г = 273 -I- t. Тогда Р Т р ро . ^ ^ ^ = const, или Ро ^0 i -*0 р = const • Г. (6.6) При постоянном объёме давление газа данной массы пропорционально его абсолютной температуре (закон Шарля). Аналогично для изобарного процесса можно записать: V Т V V ^ Т ~ ^ const, или V = const • Г. (6.7) При постоянном давлении объём газа данной массы пропорционален его абсолютной температуре (закон Гей-Люссака). Зависимости 6.6 и 6.7 графически представлены на рис. 6.10. Законы Гей-Люссака и Шарля, так же как и закон Бойля — Мариотта, приближённо отражают свойства реальных газов. 128 ЗАДАЧА Какой объём займёт водород при температуре 546 °С, если при О °С его объём 0,5 м^? Давление не изменяется. Решение, Из закона Гей-Люссака а = 71 Гг найдём: У2 = Уг Ik Тг' Выразим температуру газа в кельвинах: Ti = ti + 273 = 273 К, T2 = t2 + 273 = 819 К. Следовательно, Уг = 1,5 м®. Проверьте себя 1. Какой процесс называют изобарным? изо-хорным? 2. Сформулируйте закон Гей-Люссака, 3. Сформулируйте закон Шарля. 4. Какая температура принята за абсолютный нуль температуры? УПРАЖНЕНИЕ 28 1. Температура газа равна 27 °С, 77 °С, 100 °С, -10 °С, -73 °С. Выразите эти значения температуры в кельвинах. 2. Какой стала температура газа, если его объём увеличился с 4 до 8 л? Начальная температура газа 0 °С, давление газа постоянно. 3. Газ нагревали при постоянном объёме. Его давление при этом увеличилось от 2 • 10^ до 10® Па. Какой стала температура газа, если в начале процесса она была равна 27 °С? 4. Какой объём займёт азот при 273 °С, если при 0 °С его объём был 5 м®? Давление газа постоянно. 5. Найдите изменение температуры газа при увеличении его объёма с 10 до 30 л. Начальная температура газа 0 °С, давление газа постоянно. ЕИШШШШЭ Ж. Шарль прославился в своё время тем, что первым поднял в воздух в 1783 г. воздушный шар, наполненный водородом (газом, открытым Кавендишем на 17 лет раньше), а не горячим воздухом, применённым в том же году братьями Монгольфье. 129 в настоящее время получена температура, лишь на тысячные доли отличающаяся от О К, вблизи которого свойства вещества резко изменяются. У ртути, например, при такой температуре исчезает сопротивление электрическому току. У жидкого гелия появляется свойство двигаться по узким трубкам без трения. § 38. Укэавнение Менделеева — Клапейрона Мы рассмотрели процессы, в которых одна из трёх величин, характеризующих состояние газа (давление, температура и объём), оставалась постоянной. Если не изменяется температура, то давление и объём связаны друг с другом законом Бойля — Мариотта; если объём постоянен, то давление и температура связаны законом Шарля; при постоянном давлении объём и температура связаны законом Гей-Люссака. Однако в природе чаще протекают процессы, для которых характерно изменение сразу трёх величин, характеризующих состояние газа: давления, температуры и объёма. Было установлено, что эти параметры газового состояния р, V и Т связаны между собой определённой зависимостью. Для любого газа она выглядит так: ^ = const (при т = const). (6.8) Дмитрий Иванович Менделеев (1834—1907) Эту зависимость между параметрами газа называют уравнением состояния идеального газа или уравнением Клапейрона (по имени учёного, установившего её в 1834 г.). В справедливости уравнения состояния можно убедиться на опыте с помощью прибора, изображённого на рис. 6.10. Измерив давление pi, температуру Ti и объём Fj в начальном состоянии, вычислим отношение Изменим объём сосуда и нагреем газ в нём, поместив сосуд в горячую воду (см. рис. 6.10). Измерив новые значения давления рг, объёма V2 и темпера- т Р2Г2 туры Т2 газа, вычислим отношение I9. Рис. 6.11 130 Сравнив результаты этих опытов, мы обнаружим, что в пределах точности Р\У\ РгУг т. е. уравнение состояния справедливо. ■*1 ■‘2 Постоянная в уравнении Клапейрона (6.8) определяется экспериментально. Для одного моля газа она оказалась равной эксперимента R = 8,31 ДжДмольК). Эта постоянная называется универсальной (молярной) газовой постоянной. Уравнение состояния для газа, количество вещества которого равно 1 моль, имеет вид pV^ = ДГ, (6.9) т где V„ — объём одного моля. Умножим обе части уравне где V — объём газа данной массы /п, то уравнение (6.9) примет вид Умножим обе части уравнения состояния газа на v = Поскольку vF„ = V, pV= ^RT. (6.10) Это уравнение, полученное Д. И. Менделеевым в 1874 г,, названо уравнением Менделеева — Клапейрона. Из него могут быть выведены законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Исследования показывают, что уравнение Менделеева — Клапейрона справедливо для реальных газов в достаточно широком интервале температур и давлений. ЗАДАЧА В баллоне вместимостью 0,1 м^ при температуре 0 °С и давлении 10“ Па содержится газ массой 8,9*10'^ кг. Определите молярную массу газа. Какой это газ? Решение. Из уравнения Менделеева — Клапейрона находим: pv= М = М = 2 -10'^ кг/моль. pV ’ Этот газ — водород. Проверьте себя 1. Какое уравнение называют уравнением Клапейрона? 2. Какую згшисимость между параметрами газа называют уравнением Менделеева — Клапейрона? 131 3. При переходе газа определённой массы из одного состояния в другое его давление уменьшилось, а температура увеличилась. Как изменился объём газа? УПРАЖНЕНИЕ 29 1. Из уравнения состояния газа получите математические выражения для законов Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. 2. При давлении 1 • 10® Па и температуре 22 °С воздух занимает объём 2 м®. При какой температуре воздух займёт объём 4 м®, если его давление стало равным 2 • 10® Па? 3. При о °С и давлении 1 • 10® Па воздух занимает объём 5 м®. Каким будет объём воздуха при давлении 3-10® Па и температуре 17 °С? 4. Определите температуру газа аммиака NH3, находящегося под давлением 2,1-10® Па, если его объём 0,02 м®, а масса 0,03 кг. 5. Перед сжатием давление газа в цилиндре двигателя внутреннего сгорания равно 8 •10'’ Па, а температура 50 °С. Определите температуру газа в конце такта сжатия, если при этом объём его уменьшился в 5 раз, а давление увеличилось до 8-10® Па. § 39. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории и миллион молекул стонет. Стучась о стенку головой. А. Т. Одним из первых и важных успехов молекулярно-кинетической теории было количественное объяснение давления газа на стенки сосуда. Давление газа создаётся потому, что молекулы газа, ударяясь о стенку, действуют на неё с некоторой силой. По определению, давление равно отношению силы к площади поверхности, на которую действует сила в перпендикулярном направлении: F Следовательно, чтобы вычислить дгшление газа, надо найти результирующую силу ударов молекул о стенку сосуда. Для облегчения решения поставленной задачи введём некоторые упрощения, касающиеся движения молекул в газе. Будем считать, что: 1. Молекулы движутся только по трём взаимно перпендикулярным направлениям. Если газ содержит N молекул, то в любой момент времени вдоль каж- N .. f N\ дого направления движется — молекул, причем из них половина I т. е. -^ | — 132 вдоль данного направления в одну сторону, другая половина — в противоположную (рис. 6.12). 2. Все молекулы имеют одинаковый модуль скорости (Ui = V2 = V). 3. Соударения молекул со стенками являются абсолютно упругими. Вывод формулы для давления газа разобьём на пять этапов. I. Найдём импульс, сообщаемый стенке сосуда ударяющейся о неё молекулой. Пусть до удара о стенку импульс молекулы направлен вдоль оси ОХ и равен rtioVi. В результате абсолютно упругого удара импульс изменяет знак (рис. 6.13, а). Изменение проекции импульса молекулы на ось ОХ Лрд; = -rrioVi - TTLoVz = -2rrioV. По закону сохранения импульса стенка получает при ударе импульс, направленный вдоль оси ОХ и равный по модулю 2moV. II. Подсчитаем число соударений Ni молекул со стенкой за время t. До стенки площадью S за время t долетят молекулы, которые находятся от неё на расстоянии, не превышающем vt (рис. 6.13, б), и движутся слева направо. Число этих молекул Л^1 = ^ nvtSf о где п — концентрация молекул. III. Определим суммарный импульс, сообщаемый молекулами стенке за время t. Умножив число молекул Ni на импульс, сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс К, который передают молекулы стенке площадью S за время К = \moV^ntS. О mpVj gT ilWdPy.CW о Рис. 6.13 133 IV. Найдём силу давления газа. На стенку действует направленный перпендикулярно стенке импульс силы в соответствии со вторым законом Ньютона равный импульсу К, сообщённому ей молекулами за время t: Ft = -^ moV^ntS, откуда F = 2 rtioV^nS. V. Вычислим давление газа: 1 2 р = о moV'^n. (6.11) Выразим давление через кинетическую энергию молекул. Из курса меха- ники известно, что Е = niou- поэтому Р=1пЕ. (6.12) Учёт распределения молекул по скоростям приводит к выражению для давления, которое отличается от (6.12) тем, что вместо принятой в допущении одинаковой для всех молекул скорости о, а значит, и энергии Е в него входит средняя кинетическая энергия Е молекул газа: 2 F р = ^пЕ. (6.13) Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Уравнение (6.13) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Оно устанавливает связь между макроскопическим параметром газа — давлением и микроскопическим параметром — средней кинетической энергией молекул. N Так как п = —, то, используя соотношения N = vNa и V =vV^, получим: п- F Из уравнения состояния для моля газа (6.9) выразим давление р: RT Р = —• ^ т Приравняем правые части последних двух уравнений: RT К. 3 К. 134 откуда „ _ 3 RT _ 3 ,гр ^ ■ 2 ЛГд - 2 • (6.14) Средняя кинетическая энергия молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. R Величина k = -rj- называется постоянной Больцмана. Её значение равно ^ А k = 1,38 10-'*"Дж/К. Из формулы (6.14) следует, что средняя кинетическая энергия молекул не зависит от природы газа, а зависит только от его температуры. Формула (6.14) для средней кинетической энергии молекул позволяет вскрыть физический смысл термодинамической температуры. Термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. ТПрУ^ Так как Е = -, то из выражения (6.14) следует, что -2 ЗкТ =----. ТПр Поскольку Шр = VL k = то = . TVa -^a Квадратный корень из этой величины называется средней квадратичной скоростью: = ZRT М ' Из уравнений (6.13) и (6.14) можно получить: р = пкТ. (6.15) (6.16) Давление идеального газа пропорционально его термодинамической температуре и концентрации молекул. Уравнение (6.16) показывает, что при одинаковых температуре и давлении концентрация молекул любых газов одинакова. Отсюда следует закон Авогадро, известный из курса химии: в равных объёмах газов при одинаковой температуре и одинаковом давлении содержится одинаковое число молекул. Проверьте себя 1. Какие упрощения были сделаны при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории? 135 2. Какое уравнение называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории? Почему? 3. От каких микропараметров зависит температура идеального газа? 4. Как зависит давление идеального газа от концентрации его молекул и температуры? 5. Как определить среднюю квадратичную скорость молекулы газа? УПРАЖНЕНИЕ 30 1. Средняя кинетическая энергия молекул газа равна 6-10”^* Дж, концентрация молекул — 3-10^® м~^. Чему равно давление газа? 2. В баллоне вместимостью 0,1 м^ содержится 4 • 10^^ молекул кислорода. Давление газа в баллоне 2 10^ Па. Какова средняя кинетическая энергия молекул кислорода? 3. Чему равна средняя кинетическая энергия молекул водорода при температуре 300 К, если: а) количество вещества водорода равно 1 моль; б) масса водорода равна 1 кг? 4. Определите среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при температуре 17 °С. Молярная масса воздуха равна 2,9-10'^ кг/моль. 5. При какой температуре находился идеальный газ, если при охлаждении до температуры -72 °С средняя квадратичная скорость его молекул уменьшилась в два раза? ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ ТЕРМОМЕТРА Измерять то, что измеряемо, и постараться сделать измеряемым то, что ещё не является таковым. Г. Галилей Температуру нельзя непосредственно измерить, сравнив её с каким-либо эталоном, как массу или длину. О температуре судят по изменению величины, зависящей от неё. Например, в медицинских термометрах о температуре мы судим по изменению объёма ртути. Термометр был изобретён Галилеем в конце XVI в. —^ ^ Идею этого прибора поможет понять рис. 6.14. Сте- клянный шар с длинной трубкой нагревают (руками) и погружают нижний конец трубки в сосуд с водой. По мере того как шар охлаждается до температуры окружающего воздуха, уровень воды в трубке поднимается над уровнем воды в сосуде. Поскольку объём газа в шаре с трубкой зависит от температуры, то по изменению объёма газа можно судить и об изменении температуры. Так, если температура понижается, то Рис. 6.14 уменьшается объём газа и уровень воды в трубке под- а 136 нимается. Однако прибор Галилея не имел шкалы и не позволял проводить количественное измерение температуры. Постепенно этот прибор усовершенствовался. Было предложено несколько термометрических шкал. Одну из них предложил в 1724 г. Г. Фаренгейт. За постоянные точки термометра он принял температуру смеси льда с солью (О °F) и температуру человеческого тела (приписав ей значение 100 °F). Расстояние между двумя этими точками на шкале делилось на 100 равных частей — градусов. Шведский учёный А. Цельсий предложил свою шкалу в 1742 г. За нуль на шкале Цельсия принята температура таяния льда, за 100 °С — температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Соотношения между температурами по шкалам Фаренгейта и Цельсия можно записать в виде t= |(^F - 32), ^F= |f + 32, где t — температура по шкале Цельсия, tv — температура по шкале Фаренгейта. По шкале Фаренгейта температура кипения воды равна 212 °F, температура таяния льда 32 °F. Нуль градусов по шкале Фаренгейта соответствует -17,7 °С. Это значение температуры использовал в своём шутливом стихотворении Н. Глазков: Семнадцать, семь в периоде мороза По Цельсию — нуль по своей шкале Шкала ФАРЕНГЕЙТА Шкала ЦЕЛЬСИЯ Шкала КЕЛЬВИНА 212 °F / 68°F=20®C у- 100 "C 1 20 X= 293 к 1 373 К 1 96 “F 35,6 ‘’C —1. 68 °F 20 “C ^ 1 293 К 1 32 “F OX 1 \\ "X 1 273 К I . 1 [-17,7 °Ci 1266,7 K| -1-459 273 °СН Рис. 6.15 137 Голландец Фаренгейт считал вполне серьёзно Температурой низшей на Земле! Его не беспокоил злейший холод, И, климатом умеренным согрет, На многолетний жизненный свой опыт Беспечно полагался Фаренгейт. Шкала Фаренгейта принята в ряде стран, например в США. Принцип построения термодинамической температурной шкалы был предложен в 1848 г. У. Томсоном, получившим за научные заслуги титул лорда Кельвина. Напомним, что температуры по шкалам Цельсия и Кельвина связаны соотношением Г = f -Н 273. Сравнение температурных шкал приведено на рис. 6.15. Первыми широко используемыми термометрами были жидкостные. Однако их температурный диапазон невелик: при низкой температуре жидкость замерзает, а при высокой — кипит. Спиртовые термометры используют для измерения температуры в диапазоне от -80 до 70 °С, ртутные — от -35 до 750 °С. Газовые термометры точнее жидкостных, так как расширение жидкостей при нагревании происходит не всегда равномерно. Газовый термометр представляет собой стеклянный сосуд, заполненный газом (азотом, гелием) и соединённый с манометром (рис. 6.16). Объём газа контролируется при помощи отметки 0 на левом колене манометра. О температуре судят по давлению газа в сосуде. Сначала измеряют давление ро при фиксированной температуре То (рис. 6.16, а), затем давление р при температуре Т (рис. 6.16, б). Температуру определяют по формуле Т = Ро Рис. 6.16 138 Газовые термометры в метрологических институтах и некоторых физических лабораториях используют для градуировки более простых, например жидкостных, термометров. Для измерения температуры может быть использована зависимость любого свойства тела от температуры. В настоящее время широко распространены проводниковые и полупроводниковые термометры, которые позволяют судить о температуре тела по изменению их электрического сопротивления (термометры сопротивления). Термометры сопротивления используют в диапазоне 14—900 К. В шкале температур, которую предложил в 1742 г. Цельсий, 0 °С соответствовал точке кипения воды, а 100°С — точке её замерзания. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 6 • Наиболее вероятная скорость — это скорость, которую имеет наибольшее в процентном отношении число молекул данного газа при определённой температуре. • Давление газа пропорционально средней кинетической энергии молекул и их концентрации (основное уравнение МКТ): 2 г Р = 2 • Средняя кинетическая энергия хаотически движущихся атомов или молекул определяет температуру газа: • Термодинамическая {абсолютная) температура связана с температурой по шкале Цельсия соотношением: Т = t л- 273. • Абсолютный нуль температуры (0 К) соответствует температуре -273 °С. • Закон Бойля — Мариотта: pV = const (при Т = const, т = const). • Закон Гей-Люссака: V Y = const (при р = const, т - const). Закон Шарля: Закон Клапейрона: Закон Менделеева — Клапейрона: Y - const (при V = const, т = const). pV ^ = const (при т = const). pV= ^RT. м Основы тер1модииамики § 40. Исходные понятия термодинамики Термодинамика производит на меня очень глубокое впечатление, и я убеждён, что в рамках применимости своих основных положений она никогда не будет опровергнута. А. Эйнштейн Термодинамика возникла в первой половине XIX в. как теория тепловых машин. В работе французского инженера С. Карно «Размышление о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» (1824) были заложены основы термодинамики, первоначальная задача которой сводилась к изучению закономерностей превращения теплоты в работу в тепловых машинах. В дальнейшем термодинамика вышла за пределы этой частной технической задачи. Термодинамика изучает закономерности превращения энергии в явлениях различной природы — тепловых, электрических, механических, световых и других. Основу термодинамики составляют три закона (три начала). С их помощью можно получить много сведений о свойствах тел и закономерностях процессов, происходящих с телами в различных условиях. Но прежде чем говорить об этих закон£1Х, рассмотрим исходные понятия этой теории. Одно из них — термодинамическая система, или просто система. Системой (термодинамической) является совокупность рассматриваемых тел. Примеры систем: вода и пар в термосе (рис. 7.1), газ в баллоне и др. Тела, не входящие в рассматриваемую систему, считаются внешними по отношению к ней. Если рассматриваемая система не взаимодействует с внешними телами, то её называют изолированной. Изолированная система — это научная абстракция, таких систем не существует. Однако в ряде случаев внешние воздействия малы и их можно не учитывать. В зависимости от внешних условий одна и та же система может находиться в различных состояниях. В механике состояние тела определяется его координатами и импульсом. В термодинамике состояние также определяется некоторыми физическими величинами, называемыми параметрами состояния. Например, состояние газа, как мы уже говорили. Рис. 7.1 определяется дгшлением, объёмом и температурой. 140 Состояние системы называется равновесным, если при неизменных внешних условиях все параметры не изменяют свои значения с течением времени. в в в ® *ввв «1ВГ, »9а в W в -’ “ б Рис. 7.2 Например, газ в цилиндрическом сосуде под поршнем (рис. 7.2, а) находится в равновесном состоянии. Если газ быстро сжимать поршнем, то под ним образуется воздушная подушка, в которой давление газа будет больше, чем в остальной части сосуда, и состояние газа станет неравновесным (рис. 7.2, б). Напомним, что переход системы из одного состояния в другое называют процессом. Любой процесс, как правило, связан с нарушением равновесия системы. Однако если процесс идёт медленно, то его можно рассматривать как последовательность равновесных состояний. Так, если в цилиндр вдвигать поршень очень медленно, то давление в разных точках объёма газа практически не будет отличаться. Значит, газ в каждый момент времени можно характеризовать определённым давлением, температурой и объёмом, т. е. его состояние можно считать равновесным. В системе может происходить теплообмен. Если два тела разной температуры привести в соприкосновение, например опустить ложку в горячий чай, то тело, имеющее более высокую температуру, остывает, т. е. его температура уменьшается, а второе тело нагревается, и его температура увеличивается. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока температура ложки не станет равной температуре чая, т. е. пока не наступит состояние теплового равновесия. Это основанное на опыте обобщение принимается в термодинамике в качестве «нулевого» закона (начала). Любая изолированная система тел при неизменных внешних условиях с течением времени всегда переходит в состояние теплового равновесия и никогда самопроизвольно из него не выходит. Проверьте себя 1. Что изучает термодинамика? 2. Что составляет основу термодинамики? 3. Какую систему называют термодинамической? 4. Какое состояние системы является равновесным? 5. В чём состоит «нулевой» закон термодинамики? 141 § 41. Внутренняя энергия. Способы изменения внутренней энергии газа Важной характеристикой термодинамической системы является её внутренняя энергия. Это энергия, которая зависит от внутреннего строения тел. Ею обладают все тела. С точки зрения молекулярно-кинетической теории внутренняя энергия включает кинетическую энергию теплового движения частиц вещества и потенциальную энергию их взаимодействия. К внутренней энергии, например, относится энергия, выделяющаяся при сгорании топлива. Внутренняя энергия идеального газа равна кинетической энергии молекул, поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю. Вычислим внутреннюю энергию идеального одноатомного газа. Одноатомными являются инертные газы: гелий, неон и др. Поскольку средняя — 3 кинетическая энергия атома равна Е -^kT, а. число атомов в газе массой т т равно N = vA/a = то 3 т 2 М Учитывая, что kNf^ = Я, получим: (7.1) Внутренняя энергия идеального одноатомного газа пропорциональна его абсолютной температуре. Если температура газа изменится на ДГ, то внутренняя энергия изменится на А(7: (7.2) Молекулы, состоящие из двух и более атомов, могут совершать другие виды движения, с которыми тоже связана определённая энергия. Внутренняя энергия этих газов будет отличаться от внутренней энергии идеального газа, определяемой формулой (7.1). Рассмотрим, в результате каких внешних воздействий может меняться внутренняя энергия любой системы тел. Вы уже знаете, что существуют два вида таких воздействий — совершение работы и теплообмен. Начнём с работы. Связь работы с изменением внутренней энергии иллюстрирует опыт с прибором «воздушное огниво» (рис. 7.3). На дно толстостенного цилиндрического сосуда поместим кусочек ваты. Затем быстро вдвинем поршень (резко ударим ладонью по штоку поршня), при этом вата вспыхивает. Очевидно, что возгорание ваты стало результатом нагревания воздуха при его быстром сжатии. В этом опыте внутренняя энергия 142 газа изменилась (увеличилась), потому что сила, действие которой привело к сжатию воздуха, совершила работу. Следовательно, AU = А', где ли — изменение внутренней энергии газа; А' — работа внешней силы. Вычислим работу в простейшем случае — при изобарном расширении газа. Предположим, что газ, давление которого р, находится в цилиндре под поршнем, площадь сечения которого S (рис. 7.4). Первоначальный объём газа Fj. При нагревании газ расширится, поршень поднимется на высоту Н = Н2 - Ни объём газа станет равным F2. Работа, совершённая силой, с которой газ действует на поршень (для краткости будем говорить: работа, совершаемая газом), равна А = FH, Рис. 7.3 Рис. 7.4 где F — модуль силы, действующей на поршень. Силу, с которой газ действует на поршень, выразим через давление газа и площадь S поршня: F = pS. Тогда где А = pSH = pS(H2 - Hi), SH2 = V2, SHi = Fi. Следовательно, для работы, совершаемой газом, получим: A=p{V2-Vl) = p^V. (7.3) Работа газа при изобарном расширении равна произведению давления газа на изменение его объёма. Отметим, что при изобарном нагревании газ совершает работу за счёт притока энергии извне. При этом возрастает внутренняя энергия газа, и он нагревается. Работу газа можно определить графически. На графике изобарного процесса в координатах р, V произведение P\{V2 - F^) равно площади закрашенного прямоугольника под изобарой (рис. 7.5). 143 о у, Рис. 7.5 V, V В § 36 вы ознакомились с изотермическим процессом расширения газа. Как подсчитать работу газа в этом процессе? Алгебраический расчёт работы сложен, так как р Ф const. В любом процессе работа газа равна плош;ади, ограниченной графиком процесса (в координатах р, V), осью V и вертикальными прямыми V = Vi и V = V2 (рис. 7.6). Работа газа при изотермическом процессе равна площади фигуры abed. Напомним, что при изотермическом расширении работа совершается газом за счёт внешней энергии, сам газ при этом не нагревается. Второй способ изменения внутренней энергии — теплообмен. Теплообмен происходит между телами (или частями одного тела), имеющими различную температуру. Например, при соприкосновении с горячей водой нагревается чашка, а вода остывает. С точки зрения молекулярной теории при теплообмене на границе между телами медленно движущиеся молекулы холодного тела взаимодействуют с быстро движущимися молекулами горячего тела. В результате кинетические энергии молекул выравнивепотся. При этом скорости молекул холодного тела увеличиваются, а гор5гчего — уменьшаются. Следовательно, при теплообмене часть внутренней энергии горячего тела передаётся холодному телу. Количественную меру изменения внутренней энергии называют количеством теплоты. Если внутренняя энергия тела меняется только путём теплообмена, то Q = АС/, т. е. можно сказать, что количество теплоты есть мера изменения внутренней энергии тела при теплообмене. Напомним, как рассчитывается количество теплоты, полученное (или отданное) телом массой т при изменении его температуры на At: Q = cmAt, где с — удельная теплоёмкость вещества. 144 Проверьте себя 1. Какая энергия является внутренней энергией? 2. Чему равна внутренняя энергия идеального газа? 3. Докажите, что при изобарном нагревании газа совершаемую им работу можно определить по формуле А = p(V2 - Vi). 4. Как можно графически вычислить работу, совершаемую газом при его нагревании под постоянным давлением? 5. Как вычислить работу газа при изотермическом расширении? 6. Чему равна работа газа при его изохорном нагревании? 7. Газ, находящийся в состоянии, параметры которого р\, Vj, Ти характеризующемся точкой а на графике (рис. 7.7), увеличивает свой объём до V2. При каком процессе изменения объёма газа (изотермическом или изобарном) совершённая им работа будет больше? 8. Какую величину называют количеством теплоты? 9. По какой формуле рассчитывают количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела? УПРАЖНЕНИЕ 31 1. При нагревании аргона, количество вещества которого v = 2 моль, внутренняя энергия увеличилась на АС/ = 250 Дж. Каково повышение температуры аргона? 2. Насколько изменится внутренняя энергия одного моля одноатомного газа при его нагревании на ДГ = 100 К? 3. Вычислите работу при расширении воздуха от 0,05 до 0,1 м® при постоянном давлении 2 • 10^ Па. 4. Воздух изобарно расширяется от 2 до 10 л. При этом совершена работа 4 кДж. Определите давление воздуха. 5. В сосуде находится кислород массой m = 1,6 кг при температуре = 17 °С. До какой температуры нужно изобарно нагреть кислород, чтобы газ совершил работу А = 4 • 10^ Дж? § 42. Первый закон термодинамики в реальных условиях оба способа изменения внутренней энергии системы (путём совершения работы и вследствие теплообмена) часто сопутствуют друг другу. Например, при нагревании газа в сосуде с подвижным поршнем происходит увеличение его внутренней энергии (т. е. повышение температуры) и одновременно расширение газа, следовательно, совершается работа по увеличению его объёма. 145 Поэтому в общем случае изменение внутренней энергии тела (или системы тел) равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, полученного телом: At/ = А' + Q. (7.4) Это уравнение выражает первый закон термодинамики (закон сохранения энергии в применении к тепловым процессам). Следует иметь в виду, что величины АС/, А', Q являются скалярными. Например, Q < О означает, что система не получает количества теплоты, а отдаёт; при А' < О работу совершают не внешние силы над системой, а сама система над внешними телами. Часто вместо работы А' внешних сил над системой рассматривают работу А системы против внешних сил. Учитывая, что А = -А', первый закон можно записать так: Q = AU + А. (7.5) I Количество теплоты, переданное системе, идёт на изменение её внутренней I энергии и на совершение системой работы против внешних сил. Установление первого закона термодинамики было связано с попытками конструирования машины, которая совершала бы работу, не заимствуя при этом энергию извне. Такую воображаемую машину называют вечным двигателем первого рода (perpetuum mobile I). Принципиальная невозможность создания этой машины следует из первого закона термодинамики. Если система не получает количества теплоты (Q = 0), то работа А согласно уравнению (7.5) может быть совершена только за счёт изменения внутренней энергии: А = -АС/. После того как запас энергии окажется исчерпанным, двигатель перестанет работать. Поэтому одна из формулировок первого закона гласит; невозможен вечный двигатель первого рода. Предположим, что система не получает извне количества теплоты (Q = 0) и над нею не совершается работа (А = 0). Такая система тел является изолированной. Согласно первому закону термодинамики при Q = 0 и А = 0 изменение внутренней энергии равно нулю: АС/ = 0. I В изолированной системе тел внутренняя энергия остаётся неизменной. Проверьте себя 1. Сформулируйте первый закон термодинамики. 2. Почему невозможен вечный двигатель первого рода? 3. Докажите, что внутренняя энергия изолированной системы сохраняется. 146 это ИНТЕРЕСНО В 1775 г. Парижская академия наук, считая неосуществимыми проекты вечных двигателей, постановила не рассматривать их, как и решения трёх знаменитых геометрических задач древности: квадратуры круга, удвоения куба, трисекции угла. § 43. Применение первого закона термодинамики к разным процессам Нет ничего практичнее хорошей теории. Л. Больцман Теплообмен в изолированной системе. Рассмотрим некоторую изолированную систему, в которой происходит теплообмен. Например, если в теплоизолированный сосуд с водой опустить раскалённый металлический цилиндр, то возникает теплообмен, в процессе которого цилиндр отдаёт количество теплоты Qota> уменьшая свою внутреннюю энергию на AC/i, а вода получает количество теплоты Qпoл^ увеличивая свою внутреннюю энергию на At/a. Согласно первому закону термодинамики At/i = QotaJ АС/а ^пол* Складывая эти выражения, находим: AC/i + At/a= QcrtA + Qaaя^ Так как общая внутренняя энергия системы при этом не изменяется (At/= AC/i-h А[7а= 0), то QoTR ©пол о* (7.6) Это уравнение называют уравнением теплового баланса. Если в изолированной системе не совершается работа, то суммарное количество теплоты, отданное одними телами и полученное другими телами, равно нулю. Уравнение теплового баланса было открыто экспериментально в XVIII в. при наблюдении теплообмена между телами, находящимися в калориметре, задолго до установления закона сохранения энергии. Изотермический процесс. При постоянной температуре (Т = const) внутренняя энергия идеального газа не изменяется: АП = 0. Из первого закона термодинамики следует, что для изотермического процесса Q=A, (7.7) т. е. количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил. 147 Изохорный процесс. При изохорном процессе объём газа не меняется, поэтому работа газа равна нулю. Следовательно, для этого процесса Q = AU, (7.8) т. е. количество теплоты, сообщённое газу, идёт на увеличение его внутренней энергии. Изобарный процесс. Работу газа при изобарном процессе вычисляют по формуле А = р(Рг “ Первый закон термодинамики для этого процесса имеет вид Q = AU-\-piV,-\\), (7.9) т. е. количество теплоты, переданное системе, идёт на увеличение её внутренней энергии и на совершение системой работы. Адиабатный процесс. Процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой, называется адиабатным. Примером адиабатного процесса является процесс, происходящий при выполнении опыта с прибором «воздушное огниво», приведённого в § 41 (см. рис. 7.3). Для адиабатного процесса Q = О, поэтому первый закон термодинамики запишется так: А = -AU, (7.10) т. е. работа совершается системой за счёт уменьшения её внутренней энергии. Проверьте себя 1. Запишите уравнение теплового баланса. 2. Получите уравнение теплового баланса как следствие первого закона термодинамики. 3. Запишите первый закон термодинамики для изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов. УПРАЖНЕНИЕ 32 1. Газу передано количество теплоты Q = 100 Дж, и внешние силы совершили над ним работу А' = 300 Дж. Чему равно изменение внутренней энергии газа? 2. В аквариум налито 25 л воды при температуре 17 °С. Сколько горячей воды при температуре 72 °С нужно долить в аквариум, чтобы в нём установилась температура 22 °С? 3. Смешали кипяток (fj = 100 °С) с водой, имеющей температуру tz = 20 °С. Температура смеси оказалась равной 40 ®С. Какова масса кипятка, если масса холодной воды 6 кг? 4. При изотермическом расширении идеальному газу сообщили количество теплоты, равное 10 Дж. Какую работу совершил газ? 5. Какое количество теплоты необходимо сообщить гелию, находящемуся в закрытом баллоне, чтобы нагреть его на 20 К? Масса гелия m = 40 г. 148 6. Какое количество теплоты нужно сообщить криптону (v = 2 моль), чтобы увеличить его объём в 3 раза при постоянном давлении? Начальная температура газа То. 7. В изотермическом процессе газ получил количество теплоты Qi = 200 Дж. После этого в адиабатном процессе он совершил работу в 2 раза большую той, которую он совершил в первом процессе. Каково изменение внутрюнней энергии газа в результате этих двух процессов? **§ 44. Понятие о втором и третьем законах термодинамики Нельзя надеяться хотя бы когда-либо практически использовать всю движущую силу топлива. С. Карно Второй закон термодинамики, как и первый, имеет несколько формулировок. Рассмотрим одну из них, связанную с работой тепловых машин. Первый закон термодинамики, запрещая вечный двигатель первого рода, допускает создание такой тепловой машины периодического действия, которая была бы способна превращать в полезную работу всё подводимое к ней количество теплоты. Такую машину называют вечным двигателем второго рода (perpetuum mobile II). По своему практическому значению она почти не уступала бы perpetuum mobile I, так как с её помощью можно было бы производить работу за счёт практически неисчерпаемых запасов внутренней энергии, содержащейся в водах океанов и морей, в атмосфере и недрах Земли. Однако весь опыт конструирования тепловых машин указывает на то, что всегда часть количества передаваемой теплоты рассеивается в окружающем пространстве. Французский инженер С. Карно показал, что это обстоятельство имеет принципиальное значение. Об этом и говорит второй закон термодинамики. Невозможен вечный двигатель второго рода, т. е. такой периодически действующий двигатель, вся деятельность которого сводилась бы к совершению работы за счёт охлаждения нагревателя. Второй закон имеет и другую формулировку, позволяющую определить направление протекания теплового процесса. Невозможен процесс, при котором теплота переходила бы самопроизвольно от тел более холодных к телам более горячим. Например, при опускании нагретого куска железа в холодную воду никогда не наблюдается дальнейшее Сади Карно (1796-1832) 149 нагревание железа за счёт соответствующего охлаждения воды. Этот опыт говорит о том, что теплообмен протекает только в одном направлении — от тел более нагретых к телам менее нагретым — и не протекает в обратном направлении, т. е. теплообмен необратим. Для уяснения этого закона термодинамики важно понимать, что энергия от холодного тела не может переходить к горячему самопроизвольно. Но второй закон не утверждает, что переход теплоты от холодного к нагретому телу вообще невозможен. Для такого процесса необходимо затратить энергию другого тела. Например, в бытовых холодильниках этот процесс совершается за счёт электрической энергии, вырабатываемой генератором. Австрийский физик Л. Больцман объяснил, почему процессы, самопроизвольно происходящие в природе, необратимы. Он показал, что второй закон термодинамики выражает закономерности хаотического движения большого числа частиц, входящих в состав изолированной системы. Состоянию «порядок» отвечает только одно определённое расположение частиц, а состоянию «хаос» — несравненно большее число. Изолированная система, состоящая из многих частиц, самопроизвольно переходит от более упорядоченного состояния к менее упорядоченному. Экспериментальное изучение свойств веществ при сверхнизкой температуре, близкой к абсолютному нулю (-273 °С), привело к установлению третьего закона термодинамики. Из него следует, что невозможен процесс, в результате которого тело могло бы быть охлаждено до температуры абсолютного нуля. Поэтому третий закон термодинамики иногда называют принципом недостижимости абсолютного нуля температуры. Проверьте себя 1. Приведите формулировки второго закона термодинамики. 2. Что такое вечный двигатель второго рода? 3. Как иногда называют третий закон термодинамики? § 45. Тепловые двигатели в нём дикая, страшная сила гнездится — Она называется — «пар». В. Г. Бенедиктов Виды тепловых двигателей. Прогресс человечества последних трёх столетий тесно связан с использованием тепловых двигателей. Так, мощный расцвет промышленности в XIX в. был обусловлен изобретением первого теплового двигателя — паровой машины. Создание двигателя внутреннего сгорания послужило базой для развития автомобильного транспорта (рис. 7.8) и самолётостроения. С помощью реактивных тепловых двигателей осуществлена мечта человечества — выход в космическое пространство (рис. 7.9). Большая часть электроэнергии вырабатывается тепловыми электростанциями. 150 Рис. 7.8 генераторы которых приводятся в действие паровыми турбинами. В тепловых двигателях осуществляется преобразование внутренней энергии в механическую энергию. Для этой цели энергия, которая выделяется при сгорании топлива или при ядерных реакциях, передаётся путём теплообмена какому-либо газу. При расширении газа совершается работа против внешних сил, и в движение приводится какой-нибудь механизм. Современная техника использует в основном три вида тепловых двигателей; турбинные, поршневые и реактивные. На тепловых электростанциях ведущим двигателем____________________ является паровая турбина. Газовые турбины используют " в самолётах, на морских судах, на локомотивах. На транспорте и в сельском хозяйстве применяют поршневые двигатели внутреннего сгорания. Они приводят в движение автомобили, тракторы, комбайны, вертолёты и другую технику. Реактивные двигатели используют в ракетах, самолётах. Тепловые машины делятся на два класса: одноразового действия и циклические. Примером машин одноразового действия является ракета, а также пушка, в которой газы, нагретые до высокой температуры за счёт воспламенения пороха, совершают работу по выталкиванию снаряда из ствола. Паровые турбины и двигатели внутреннего сгорания — циклические машины. Принцип действия теплового двигателя. В циклических тепловых двигателях система периодически совершает работу и возвращается в исходное состояние. На рис. 7.10 представлен график зависимости давления газа от его объёма в ходе цикла. Работа, совершаемая газом при расширении, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой расширения; работа при сжатии — площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой сжатия. Из рис. 7.10 видно, что двигатель в течение цикла совершает полезную работу, если работа в процессе расширения больше, чем при сжатии. При каком условии это возможно? Поскольку начальное и конечное состояния Рис. 7.9 151 Pk Тг V. V Рис. 7.10 Рис. 7.11 газа после его расширения и сжатия совпадают, то работа сжатия будет меньше работы расширения, если во всех промежуточных состояниях давление в процессе сжатия будет меньше, чем при расширении. А это возможно при условии, что температура газа в процессе сжатия меньше, чем при расширении. Для этого в процессе сжатия газ должен отдавать некоторое количество теплоты. На основе приведённых рассуждений рассмотрим схему устройства теплового двигателя. Любой тепловой двигатель независимо от его конструктивных особенностей состоит из трёх частей: рабочего тела, нагревателя и холодильника (рис. 7.11). С энергетической точки зрения процесс, происходящий в тепловой машине, можно представить так: нагреватель, имеющий температуру Ti, отдаёт газу (рабочему телу) количество теплоты Qi. Газ совершает работу А и отдаёт холодильнику количество теплоты Q^. Холодильником может служить и окружающая среда, например для двигателей внутреннего сгорания, реактивных двигателей. Работа, совершаемая за цикл, равна А — Qi IQ2I (7.11) На совершение работы идёт не всё количество теплоты Qj, полученное от нагревателя, а только его часть, остальное же количество теплоты [Qal отдаётся холодильнику. Коэффициентом полезного действия теплового двигателя называют отношение работы, совершённой рабочим телом, к количеству теплоты, сообщённому рабочему телу нагревателем: „ А Qi ~ iQa = --------- Q, (7.12) КПД тепловой машины всегда меньше единицы (меньше 100%). 152 кпд тепловых электростанций достигает 35—40%, двигателей внутреннего сгорания — 25—40%. Как показал французский учёный С. Карно, любая реальная тепловая машина, работающ,ая с нагревателем, абсолютная температура которого Tj, и холодильником, абсолютная температура которого Гг, не может иметь КПД, превышающий максимальное значение Огаах Г - Гг Г, (7.13) Из этой формулы следует, что КПД тепловой машины можно увеличить, если повысить температуру Тх нагревателя и понизить температуру Гг холодильника. Именно в этом направлении шло совершенствование тепловых двигателей. Холодильная машина. Разновидностью тепловых машин является холодильная машина, или холодильник. Для её работы необходимо осуществить обратный цикл в отличие от прямого цикла, используемого в тепловой машине (см. рис. 7.10). Расширение рабочего тела следует производить по более «низкой» кривой (при меньших давлениях и температуре), а сжатие по более «высокой* кривой (при больших давлениях и объёмах). Схема преобразования энергии приведена на рис. 7.12. От холодильной камеры рабочее тело, расширяясь, отбирает некоторое количество теплоты Q2. При этом внешние силы совершают работу А. Нагревателю рабочее тело при сжатии передаёт количество теплоты Qi (iQil > Qг)• |Qi| = Qz Рис. 7.12 Переход некоторого количества теплоты Qz от холодильника к нагревателю не противоречит второму закону термодинамики, ибо теплота переходит не сама собой, а за счёт совершения работы электродвигателем. Холодильная машина может служить обогревателем, т. е. использоваться как тепловой насос для отопления. При этом электроэнергия затрачивается на то, чтобы привести в действие холодильную установку, в которой нагревателем является отапливаемое помещение, а холодильной камерой — наружная атмосфера. В этом случае отапливаемое помещение получает большее количество теплоты (Q = Qz + -А), чем выделяется при непосредственном преобразовании электрической энергии во внутреннюю энергию нагревателей типа электропечей или электроплиток (Q = А). 153 Проверьте себя 1. Перечислите виды тепловых двигателей. 2. Чему равен КПД тепловой машины? 3. Чему равен максимальный КПД тепловой машины? 4. Укажите пути повышения КПД тепловых машин. УПРАЖНЕНИЕ 33 1. Вычислите максимальный КПД тепловой машины для случаев, когда температуры нагревателя и холодильника соответственно равны: а) 300 и 100 °С; б) 400 и 120 °С. 2. В результате циклического процесса газом совершена работа А = 100 Дж, при этом холодильнику было передано количество теплоты IQ2I = 400 Дж. Определите КПД цикла. 3. Тепловая машина имеет КПД, равный 40%. Каким станет КПД, если количество теплоты, потребляемое за цикл, увеличить на 20%, а количество теплоты, отдаваемое холодильнику, уменьшить на 10% ? По прогнозу Мирового энергетического комитета, к 2020 г. использование тепловых насосов составит 75%. § 46. Тепловые двигатели и охрана окружающей среды и неустанный рёв машины. Кующей гибель день и ночь. А. А. Блок В наше время тепловые двигатели вырабатывают примерно 80—85 % электрической энергии, используемой человечеством. Без тепловых двигателей невозможно представить современный транспорт — автомобили, тепловозы, самолёты. Пока равноценной замены им нет. В то же время тепловые двигатели оказывают отрицательное воздействие на окружающую среду. Согласно второму закону термодинамики работа тепловой машины не может быть осуществлена без отвода в окружающую среду значительного количества теплоты. Выделение теплоты ведёт к постепенному повышению температуры на Земле, что грозит таянием полярных льдов и затоплением больших участков суши. Наибольшее тепловое загрязнение создают электростанции (рис. 7.13). Топочные газы, отработанная вода, зола и шлаки уносят огромное количество теплоты. Эта избыточная энергия становится серьёзной проблемой для некоторых местных замкнутых водоёмов, температура воды в которых повышается от сточных вод, что ведёт к уменьшению количества кислорода, растворённого в воде, и гибели обитателей водоёма. 154 Рис. 7.13 Сжигание топлива в тепловых машинах сопровождается загрязнением атмосферы вредными для живых организмов веществами. Особую опасность для городов представляют автомобили. Число разновидностей продуктов сгорания бензина достигает 200, в их число входят оксиды углерода, азота, альдегиды, углеводороды, соединения свинца и др. Выбросы особенно значительны при малой частоте вращения двигателей или в моменты торможения или увеличения скорости (т. е. во время остановки транспорта на уличных перекрёстках). В эти моменты выделяется в десятки раз больше несгоревших частиц, чем при обычной работе двигателя в пути. Углеводороды вступают в реакцию с озоном, находящимся в атмосфере, что приводит к образованию аэрозолей, формирующих своеобразную голубую дымку городского тумана. Этот туман неблагоприятно действует на растения, животных и человека. У людей наблюдаются раздражения глаз, слизистой оболочки носа, симптомы удушья, обострение лёгочных и других хронических заболеваний. При сжигании топлива расходуется кислород, что ведёт к уменьшению его содержания в воздухе. Рассмотрим некоторые пути уменьшения отрицательного влияния тепловых машин на окружающий мир. На предприятиях должны осуществляться технологические мероприятия, обеспечивающие недопущение выбросов отходов производства в окружающую среду. К ним относятся: применение бездымного или малодымного топлива, внедрение очистных сооружений для улавливгшия золы, серы, снижение содержания оксидов азота, строительство высоких труб. Одной из наиболее важных задач нашего времени является создание экологически чистого автомобильного двигателя. Уже сейчас не допускаются к эксплуатации автомобили с повышенным содержанием оксида углерода в отработанных газах. Осуществляется перевод автомобильных двигателей на 155 сжиженный газ в качестве топлива. Разрабатываются двигатели, топливом для которых служит водород. Их выхлоп состоит из паров воды. Перспективными с точки зрения экологии являются электромобили, в которых вместо бензиновых двигателей используется электродвигатель. Проверьте себя 1. Каковы отрицательные последствия применения тепловых машин? 2. Какие меры принимаются для того, чтобы уменьшить негативное влияние тепловых машин на окружающую среду? 3. Какие виды экологически чистых тепловых двигателей разрабатываются? 4. Какая экологическая проблема нашла отражение в приведённых ниже строках китайского поэта Цюй Цюбо? Генерал-губернатор Мчится в автомобиле. Белёсый клубится дым. Зловоние душит людей. ИЗ ИСТОРИИ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Физика и химия должны считать количество своих объектов неизменным и только качество их изменяющимся. Р. Майер Изучение тепловых явлений привело к открытию в середине XIX в. универсального закона природы, связывающего воедино все физические явления, — закона сохранения энергии. I Энергия в природе не возникает из ничего и не исчезает; она может только I переходить из одной формы в другую. Путь к установлению этого закона был длительным и трудным. Идея взаимной связи явлений прослеживается уже у древних греков. При всём несовершенстве их знаний они обладали целостным взглядом на природу и угадывали всеобщую связь, царящую в ней. Так, например, древнегреческий философ Фалес (ок. 625 — ок. 547 до н. э.), которого считают одним из великих мудрецов древности, учил, что всё сущее развилось из единой праматерии, которая обладает неуничтожимостью, а при превращениях изменяются только её качества. Резкий скачок в развитии науки произошёл в период Возрождения. На место созерцания природы и её философского осмысления пришёл «его величество эксперимент». Началось детальное и количественное изучение физических явлений. Пристальному вниманию и изучению подверглись механические, тепловые и другие явления. Количественное изучение физических явлений постепенно привело к понятию о сохранении энергии. В XVIII в. было установлено сохранение количества теплоты в процессах теплообмена (уравнение теплового баланса). Правда, 156 Михаил Васильевич Ломоносов (1711—1765) ЭТО уравнение не увязывалось с энергией. Считалось, что оно доказывает сохранение «теплорода» — некоторой невесомой жидкости (субстанции), которая перетекает от горячего тела к холодному. Гениальные догадки о сохранении энергии появились в этом же веке. Так, например, М. В. Ломоносов писал: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела отнимется, столько присовокупится к другому. Так, ежели где убудет несколько материи, то умножится в другом месте, сколько часов положит кто на бдение, столько же сну отнимет. Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые правила движения: что тело, движущее своей силой другое, столь же оныя у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него получаете. Однако это была лишь догадка учёного о существовании всеобщей связи явлений и о количественном сохранении меры движения. К середине XIX в. был сформулирован закон сохранения механической энергии. Кроме того, физиками были получены убедительные доказательства взаимосвязи явлений природы: механических и тепловых, электрических и тепловых, электрических и магнитных. Вот какие примеры связи между тепловыми и механическими явлениями приводил М. В. Ломоносов: «Очень хорошо известно, что теплота возбуждается движением: от взаимного трения руки нагреваются, дерево загорается пламенем, при ударе кремня об огниво появляются искры, железо накаливается от проковы-вания частыми сильными ударами*. Убедительные доказательства связи тепловых и механических явлений дал Б. Румфорд, наблюдавший за сверлением пушечных стволов в ящиках, наполненных водой. При этом под действием выделившейся теплоты вода закипала. В 1798 г. он отмечал: «Трудно описать недоумение и удивление, отразившееся на лицах присутствующих, когда они увидели, что столь большое количество воды было доведено до кипения без помощи огня*. Закон сохранения и превращения энергии был сформулирован и доказан в середине XIX в. Дж. Джоулем, Р. Майером и Г. Гельмгольцем. Р. Майер, установив, что теплота и движение превращаются друг в друга, после долгих размышлений пришёл Герман Гельмгольц к выводу о том, что «при всех химических и физических (1821—1894) Роберт Майер (1814—1878) 157 процессах заданная сила остаётся постоянной величиной^. Под словом «сила» учёный понимал энергию. В 1841—1845 гг. Р. Майер публикует несколько работ, в которых формулирует общую идею превращения и количественного сохранения различных «сил» природы, пытается на конкретных примерах доказать закон сохранения и превращения энергии. Но современники Майера не были склонны признать его открытие. Однако к этой проблеме подошли и другие учёные. В 1843 г. Дж. Джоуль доказал эквивалентность теплоты и работы, проводя опыты по нагреванию воды (рис. 7.14) в сосуде с помощью падающих грузов. Его многочисленные измерения показали, что если система получает от внешних тел энергию в результате совершения работы А, а отдаёт Джеймс Джоуль (1818—1889) энергию в виде количества теплоты Q, то отношение представляет собой посто- ят янную величину. Он с большой точностью определил механический эквивалент теплоты: -рг = 4,2 Дж/кал (раньше количество теплоты выражали в калориях). Окончательное признание закон сохранения и превращения энергии получил после выхода работы Г. Гельмгольца «О сохранении силы» (1847). В этой работе он доказал, что рассматриваемый закон не только *не противоречит ни одному из известных явлений в области естествознания, но и имеет большую эвристическую важность*i так как позволяет объяснять и предсказывать новые явления. Б. Румфорд так объяснял свой интерес к науке о теплоте: «Обедая, я часто замечал, что... яблочные пироги... оставались горячими удивительно долго. Сильно поражённый... я всегда пытался, но всё напрасно, найти хоть какое-нибудь объяснение удивительному явлению». 158 Несмотря на конкретные результаты и тщательно проведённые эксперименты, Джоуль сталкивался с предвзятым отношением к себе. Так, один из членов Лондонского королевского общества заявил после доклада Джоуля, что не доверяет ему, поскольку «у него нет ничего большего за душой, чем сотые доли градуса». САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 7 Термодинамика строится на основе фундаментальных законов (начал), которые являются обобщением многочисленных наблюдений и результатов экспериментов. Нулевой закон термодинамики. Изолированная система при неизменных внешних условиях с течением времени всегда приходит в состояние теплового равновесия и никогда самопроизвольно из него не выходит. Первый закон термодинамики. Изменение внутренней энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно сумме совершённой над системой внешними силами работы А' и полученного ею количества теплоты Q: MJ = А' + Q. Количество теплоты, переданное системе, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение системой работы против внешних сил: Q = Ш + А. Второй закон термодинамики. Невозможен процесс, при котором теплота переходила бы самопроизвольно от тел с более низкой температурой к телам с более высокой температурой. Невозможен периодически действующий двигатель, вся деятельность которого сводилась бы к совершению работы за счёт охлаждения теплового резервуара. Уравнение теплового баланса. В изолированной системе суммарное количество теплоты, отданное одними телами и полученное другими телами, равно нулю: QoTfl + Qпoл = О- Закон сохранения энергии. Энергия в природе не возникает из ничего и не исчезает; она может только переходить из одной формы в другую. Тепловой двигатель состоит из рабочего тела, нагревателя и холодильника. Коэффициент полезного действия теплового двигателя равен отношению работы А, совершённой рабочим телом, к количеству теплоты Qi, сообщённому рабочему телу нагревателем: п - — - ~ 1^21 ^ " Q, ■ Qi ' Максимальный КПД теплового двигателя равен отношению разности абсолютных температур нагревателя и холодильника к абсолютной температуре нагревателя: Т, - Т, Л max Свойства твёрдых тел § 47. Кристаллические и аморфные тела Глянем поглубже в расщелины скал: Тихо в кристаллах растёт минерал. И. Гёте Твёрдые тела различаются по своим свойствам. Одни пластичны, другие хрупки, у одних хорошая теплопроводность, у других — плохая, одни прозрачны, другие — нет. У твёрдых тел неодинаковы упругость, прочность, твёрдость. Однако есть у них нечто общее. Все твёрдые тела сохраняют форму. Это общее свойство объясняется тем, что силы межмолекулярного взаимодействия между частицами, из которых состоят твёрдые тела, весьма велики. Частица не может удалиться от соседей-частиц на значительное расстояние. Твёрдые тела можно разделить на два вида: кристаллические и аморфные. Подавляющее большинство твёрдых тел в природе — кристаллы. На рис. 8.1 изображены кристаллы сапфира, флюорита, горного хрусталя. Кристаллы, имеющие форму правильных многогранников, называются монокристаллами. Большой монокристалл (додекаэдр) изображён на гравюре А. Дюрера «Меланхолия* (рис. 8.2). Однако в природе нечасто встречаются кристаллы правильной геометрической формы, поскольку многие тела являются поликристаллами — множеством сросшихся и хаотически ориентированных мелких кристаллов. Эти Рис. 8.1 160 Рис. 8.2 кристаллы в изломе стали, чугуна, ла-туни можно иногда рассмотреть невооружённым глазом. Вместе с тем не все твёрдые тела являются кристаллическими: парафин, воск, клей, стекло, пластмассы — примеры аморфных тел. Свойства аморфных и кристаллических тел различаются. Убедимся в этом на опыте. Если на поверхности пластинок из кристаллического гипса и стекла нанести тонкий слой парафина и прикоснуться к ним раскалённой иглой, то вокруг точки прикосновения парафин расплавится. При этом расплавленная поверхность на пластинке из кристаллического гипса примет форму эллипса, а на стеклянной пластинке — форму круга (рис. 8.3). Этот опыт показывает, что тепловые свойства кристаллического гипса в отличие от тепловых свойств аморфного стекла неодинаковы в разных направлениях. Если нагревать шарик, выпиленный из монокристалла кварца, то мы увидим, что он принимает форму эллипсоида (рис. 8.4). Это свидетельствует о неодинаковости теплового расширения кварца по разным направлениям. Зависимость физических свойств веществ от направления называется анизотропией Ч Физические свойства кристаллов анизотропны, аморфных тел — изотропны. Причина различия свойств кристаллов и аморфных тел заключается в различном расположении частиц, из которых они состоят. Физические свойства поликристаллического тела вследствие беспорядочного расположения кристалликов по всем направлениям одинаковы. Проверьте себя 1. Приведите примеры кристаллических и аморфных тел. 2. В чём различие свойств монокристаллов и аморфных тел? 3. Почему поликристаллические тела не проявляют анизотропии? Рис. 8.3 Рис. 8.4 * От греч. anisos — неравный и tropos — свойство. 161 kW.l'-MLJjJ о кварце римский учёный Плиний (I в.) писал: «Почему он родился шестисторон-ником, тому трудно найти причину... гладкость боков его столь совершенна, что того никоим искусством произвести невозможно». § 48. Структура монокристаллов Кристаллы блещут симметрией. Е. С. Фёдоров В XIX в. ряд учёных (О. Браве, Е. С. Фёдоров и др.) высказали гипотезу о том, что правильная геометрическая форма кристаллов обусловлена упорядоченным расположением частиц в пространстве. Исследования кристаллов при помощи рентгеновского излучения, начатые в 1912 г., доказали периодическую повторяемость расположения частиц внутри кристаллов. Для кристаллов характерно упорядоченное, периодически повторяющееся в пространстве расположение частиц. Такую упорядоченную структуру вещества называют дальним порядком. На рис. 8.5 представлена структура кристалла каменной соли NaCl. Ионы натрия и ионы хлора, чередуясь между собой, образуют в пространстве кристалла закономерный порядок. Если каждый из ионов изобразить маленьким шариком и соединить точки между собой, то можно получить наглядный образ структуры кристалла NaCl, его пространственную решётку (рис. 8.6). Частицы (атомы и молекулы) кристаллического вещества непрерывно совершают хаотические колебания около своего положения равновесия. Эти положения равновесия называются узлами решётки. В зависимости от того, какие частицы расположены в узлах кристаллической решётки, различают четыре вида кристаллов: ионные, атомные, молекулярные и металлические. В ионных кристаллах в узлах пространственной решётки находятся ионы, как в кристалле NaCl. Примером атомного кристалла является алмаз: в узлах его решётки находятся атомы углерода. «Сухой лёд» СОг — молекулярный а*» Рис. 8.5 Рис. 8.6 162 Рис. 8.7 кристалл. В металлах в узлах пространственных решёток находятся положительные ионы металла, а валентные электроны образуют электронный газ, «цементирующий» решётку. Некоторые вещества, имея одинаковый химический состав, различаются по своим физическим свойствам. Например, алмаз и графит представляют собой углерод. Но алмаз — прозрачный и самый твёрдый минерал, а графит — материал матово-чёрного цвета и легко расслаивается. Различие свойств этих двух разновидностей углерода объясняется тем, что их пространственные решётки не одинаковы. Пространственная решётка алмаза изображена на рис. 8.7, а, графита — на рис. 8.7, б. Существование у данного вещества нескольких разновидностей кристаллических структур называют полиморфизмом. Полиморфизм присущ многим веществам. Известны разновидности железа, олова, льда и т. д. Под влиянием внешних воздействий (давление, нагревание) может происходить перестройка кристаллической структуры вещества. Так, при температуре выше 1000 °С (при нагревгшии в вакууме) алмаз превращается в графит. Чтобы графит превратить в алмаз, его нужно нагреть до 2000 °С под давлением порядка 10^° Па. Основное свойство кристаллов — анизотропию можно объяснить исходя из упорядоченного расположения составляющих их частиц. Рассмотрим структуру кристалла NaCl. Для простоты изобразим лишь одну плоскость его пространственной решётки (рис. 8.8). 163 Слои L, Li расположены ближе друг к другу, чем слои М, Mi. Поскольку силы взаимодействия между молекулами зависят от расстояния между ними, то притяжение между слоями L, Li больше, чем между слоями М, Mi, и кристалл легче раскалывается вдоль слоёв М, Mi- Итак, свойства и внешняя форма кристалла определяются его структурой, её симметрией. Идеи симметрии имеют принципиальное значение не только для изучения кристаллов, но и в искусстве, физике, технике (см. Приложение 2). Проверьте себя 1. Чем обусловлена симметричная внешняя форма монокристаллов? 2. Какие типы кристаллов различают? 3. Что такое полиморфизм? 4. Как объяснить анизотропию кристаллов? В 1912 г. произошла трагедия, связанная с существованием двух разновидностей олова. Жидкое топливо, взятое экспедицией Скотта на Южный полюс, находилось в сосудах, запаянных белым оловом. При сильном морозе белое олово превратилось в свою разновидность — серый порошок. Сосуды распаялись, и топливо вылилось. § 49. Аморфные тела я таял, словно воск, В безвольной растворяясь теплоте. Дж. Ките В аморфных телах нет такого определённого расположения частиц, как в кристаллах. В то же время у веш,ества в аморфном состоянии существуют относительно небольшие группы с упорядоченным расположением частиц. Эти группы частиц нестабильны. Вследствие теплового движения они распадаются, порядок возникает в соседней области и т. д. Упорядоченность расположения частиц на расстояниях, сравнимых с межатомными, называют ближним порядком. На рис. 8.9, а изображена структура кристалла, на рис. 8.9, б показана структура аморфного тела. Отсутствие правильной формы у аморфных тел объясняется неупорядоченностью в расположении их частиц. Расстояния между частицами по разным направлениям оказываются в среднем одинаковыми. Поэтому аморфные тела не обладают анизотропией свойств. Если в газах взаимодействием молекул пренебрегают и считают, что внутренняя энергия газа складывается из суммы кинетических энергий их молекул, то в твёрдых телах (кристаллических и аморфных), кроме кинетической энергии молекул, необходимо учитывать потенциальную энергию их взаимодействия. 164 Рис. 8.9 Поскольку в аморфных телах молекулы нг1Ходятся на больших расстояниях друг от друга, чем в кристалле, то потенциальная энергия взаимодействия молекул в них больше. Вспомним, что всякая система стремится к минимальному значению потенциальной энергии. (Так, камень, поднятый над поверхностью земли и предоставленный самому себе, падает вниз, уменьшая свою потенциальную энергию.) Вследствие этого вещество из аморфного состояния может самопроизвольно переходить в кристаллическое. Примеры известны: леденец засахаривается (сахар кристаллизуется), стекло с течением времени мутнеет вследствие образования в нём кристаллов. Всё это говорит о том, что аморфное состояние тел неустойчиво. Проверьте себя 1. Чем отличается структура аморфных тел от структуры кристаллов? 2. Почему аморфное состояние тел неустойчиво? **§ 50. Механические свойства твёрдых тел Серебро гнётся, чугун не гнётся. Осетинская пословица Механические свойства твёрдых тел учитывают при обработке различных материалов. Объясним ряд механических свойств, таких как упругость, пластичность, хрупкость, прочность, исходя из представлений о структуре кристаллических тел. Деформация. Внешнее механическое воздействие на тело приводит к изменению формы и объёма тела, т. е. к его деформации. В твёрдых телах деформация называется упругой, если она исчезает после снятия нагрузки. Например, упругую деформацию испытывает пружина, 165 восстанавливающая свою первоначальную форму после снятия подвешенного к её концу груза. Деформацию называют пластической, если она после снятия нагрузки не исчезает. Пластилин, воск, глина — примеры веществ, испытывающих пластическую деформацию даже при небольших воздействиях. Деформация бывает различной: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Рассмотрим простейший вид деформации — одностороннее растяжение. Если к однородному стержню, закреплённому с одного конца, приложить силу F, направленную вдоль его оси, то стержень подвергнется деформации растяжения (рис. 8.10). Деформацию растяжения можно характеризовать абсолютным (х) и относительным (е) удлинением'. I - L X = I - Iq', г = где 1о— первоначальная длина стержня, I — длина деформированного стержня. Связь между силой F, вызвавшей деформацию стержня, и абсолютным удлинением х установил Р. Гук (см. § 13): F = kx. Модуль Юнга. Закон Гука можно выразить иначе. Для этого введём величину, называемую напряжением. Отношение силы, действующей на тело, к площади его поперечного сечения называют напряжением: F S‘ а = За единицу напряжения в СИ принят паскаль: 1 Па = 1 Н/м\ Многочисленные опыты показывают, что при малых деформациях напряжение пропорционально относительному удлинению: а ~ е, или а = Ее, (8.1) где Е — коэффициент пропорциональности, который называют модулем Юнга. 166 Если относительное удлинение е = 1, то о = £. Это означает, что модуль Юнга равен напряжению, возникающему в стержне при его относительном удлинении, равном единице. Так как е = 1(\ то при е = 1 величина I- Iq = Iq. Следовательно, модуль Юнга равен напряжению, возникающему в стержне при удвоении длины образца. Практически любое тело (кроме резины) при упругой деформации не может удвоить свою длину: значительно раньше оно разорвётся. Поэтому модуль Юнга определяют по формуле (8.1), измеряя напряжение о и относительное удлинение е. Чем больше модуль Юнга, тем меньше деформируется стержень (при прочих равных условиях). Таким образом, модуль Юнга характеризует сопротивляемость материала упругой деформации растяжения (или сжатия). Жёсткость. Закон Гука, записанный в форме о = Ее, легко привести к F X виду F = kx. Действительно, подставив в формулу (8.1) ст = -х- и £ = у» полу- О Iq „„д,. F _ Ех S -17' Отсюда F = SEx L ' Сравнивая это уравнение с уравнением F = kx, видим, что k = ^. ^0 Таким образом, жёсткость k стержня прямо пропорциональна произведению модуля Юнга и площади поперечного сечения стержня и обратно пропорциональна его длине. Прочность и хрупкость. Будем увеличивать силу, действующую на образец (см. рис. 8.10). При дальнейшем растяжении стержень изменит свою длину необратимо: он испытывает пластическую деформацию. При ещё большем растяжении он разорвётся. Прочностью называется свойство твёрдого тела (материала) выдерживать действия внешних сил без разрушения. Если тело разрушается, не испытывая пластической деформации, то оно считается хрупким. Стекло, фарфор, чугун, мрамор обладают повышенной хрупкостью. При обработке твёрдых веществ учитывают зависимость их механических свойств от температуры. Пластические свойства металлов при нагревании, как правило, увеличиваются. Поэтому перед ковкой, прокаткой или штамповкой их обычно нагревают. Вспомним пословицу: «Куй железо, пока горячо». Объяснение механических свойств твёрдых тел на основе молекулярнокинетической теории. При деформации частицы, расположенные в узлах кристаллической решётки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению препятствуют силы взаимодействия между частицами твёрдого тела. 167 6 При упругих деформациях в кристаллических телах атомы лишь незначительно смещаются относительно друг друга (рис. 8.11). При пластических деформациях смещения атомов могут во много раз превышать расстояния между ними. Однако нарушения всей кристаллической структуры тела не происходит. Отдельные слои кристаллической решётки проскальзывают относительно друг друга. Причём скольжение атомных слоёв происходит не сразу по всему объёму, а начинается с некоторых частей тела. Проверьте себя 1. Что называют упругой деформацией? 2. Какая деформация является пластической? 3. Сформулируйте закон Гука. 4. Каковы границы применимости закона Гука? 5. Каков физический смысл модуля Юнга? 6. От каких величин зависит жёсткость? 7. Чем отличается смещение частиц при упругой и пластической деформации? 8. Какие механические свойства тел отражены в пословицах: «Из молодого, как из воска, что хочешь, то и вылепишь», «Где тонко, там и рвётся», «В бою железо дороже золота», «Золотой иглой не много нашьёшь»? 9. Как изменится жёсткость стержня, если от него отрезать половину его длины? Рис. 8.11 § 51. Плавление, кристаллизация и сублимация твёрдых тел и металл плавится, и камень испаряется. Японская пословица Плавлением называется переход вещества из кристаллического состояния в жидкое. Плавление кристаллических тел происходит при определённой температуре, называемой температурой плавления. Так, температура плавления вольфрама 3410 °С, льда о °С, ртути -39 °С. 168 Чтобы расплавить тело, как показывает опыт, недостаточно нагреть его до температуры плавления, необходимо продолжать подводить к нему энергию. Но, несмотря на сообщение энергии, температура кристаллического тела при плавлении не повышается. Как только кристаллическое тело полностью расплавится, дальнейшее его нагревание приводит к повышению температуры жидкости. Процесс плавления твёрдого кристаллического тела представлен на графике (рис. 8.12). Участок АВ соответствует нагреванию твёрдого тела до температуры плавления; участок ВС — процессу плавления, при котором тело существует одновременно в твёрдом и в жидком состояниях (t = const); участок CD — нагреванию жидкости. Количество теплоты, необходимое для перехода тела из твёрдого состояния в жидкое при температуре плавления, называют теплотой плавления. Теплота плавления Qпл зависит от рода плавящегося вещества и его массы. Удельной теплотой плавления называют физическую величину, равную отношению теплоты плавления к массе вещества: х= (8.2) Её единица в СИ — 1 Дж/кг. Чтобы расплавить кристаллическое тело массой лг, взятое при температуре плавления, необходимо количество теплоты Q = Хт. (8.3) Согласно молекулярно-кинетическим представлениям при нагревании твёрдого кристаллического тела за счёт энергии, которая подводится к нему, возрастает амплитуда колебаний его частиц. С достижением температуры плавления вся подводимая энергия идёт на разрушение кристаллической решётки тела. При плавлении внутренняя энергия тела возрастает за счёт увеличения потенциальной энергии взаимодействия молекул. Кинетическая же энергия молекул при этом не изменяется. Поэтому температура тела во время его плавления остаётся постоянной. Аморфные тела в отличие от кристаллических не имеют определённой температуры плавления и переходят в жидкое состояние, постепенно размягчаясь. Температура их при этом непрерывно повышается. Этот процесс 169 можно наблюдать при нагревании сливочного масла. Переход аморфного тела из твёрдого состояния в жидкое изображён на графике (рис. 8.13). О Время Рис. 8.13 Переход вещества из жидкого в твёрдое кристаллическое состояние называется кристаллизацией (затвердеванием). Во время кристаллизации движение молекул становится более упорядоченным. Оно постепенно превращается в тепловые колебания частиц около узлов кристаллической решётки. Процесс кристаллизации идёт при постоянной температуре, которая совпадает с температурой плавления Кристаллизация жидкости сопровождается выделением некоторого количества теплоты Qkp* При этом удельная теплота кристаллизации равна удельной теплоте плавления. Кристаллизация жидкости начинается вблизи так называемых центров кристаллизации, которыми могут быть специальные затравки этого вещества или пылинки и другие нарушения однородности жидкости. В этих местах происходит упорядочение в расположении частиц и образование кристаллической решётки. Если в жидкости отсутствуют центры кристаллизации, то она может быть охлаждена до температуры более низкой, чем ^кp (переохлаждённая жидкость). Состояние переохлаждения является неустойчивым и легко нарушается. Например, кристаллизация переохлаждённой жидкости начинается при её встряхивании. В твёрдых телах может происходить процесс сублимации — испарение с поверхности твёрдого тела. Примеры сублимации: обледенелое бельё сохнет на морозе, «сухой лёд» (твёрдая углекислота) испаряется в воздухе. Для того чтобы частицы твёрдого тела могли покинуть его поверхность, необходима затрата энергии на преодоление межмолекулярного притяжения частиц и отрыв их с поверхности твёрдого тела. ЗАДАЧА Какое количество теплоты необходимо сообщить льду массой 10 кг, имеющему температуру -10 °С, чтобы растопить его, а полученную воду нагреть до 20 °С? Решение. Определим количество теплоты, необходимое для нагревания льда от -10 °С до температуры плавления 0 °С: Q, = с^тп (t^, - ^,). 170 Найдём количество теплоты, необходимое для плавления льда: Qa = Определим количество теплоты, необходимое для нагревания воды, полученной изо льда, от О до 20 °С: Qa = cm (^2 - ^пл). Общее количество теплоты, необходимое для превращения льда в воду при температуре 20 ®С, равно Q — Qi + Qa “I" Q3» или Q = - fi) + Xm + стЦг ~ t^); Q = 1,4 -10^ Дж. Проверьте себя 1. При каких условиях происходит плавление твёрдого тела? 2. Что такое удельная теплота плавления? 3. Чем отличаются процессы плавления кристаллического тела и размягчения аморфного тела? 4. На что расходуется подводимая при плавлении энергия? 5. Как изменяется потенциальная энергия взаимодействия частиц при кристаллизации? 6. Что такое сублимация? УПРАЖНЕНИЕ 34 1. Почему холодно у реки во время весеннего ледохода? 2. Чтобы предотвратить замерзание воды в радиаторах автомобилей, в гараже рядом с радиатором ставят большой таз с водой. Так же предохраняют от мороза овощи в погребах — при приближении температуры воздуха в помещении к точке замерзания воды сосуд, наполненный водой, служит тепловым резервуаром. Как объяснить этот способ предохранения от заморозка? 3. Е. Носов в одном из своих рассказов пишет: «Между тем мороз не сдавался. Он трещал в старых брёвнах дома, проступал колючей солью на оконных ручках и шляпках гвоздей». Почему мороз «трещал в... брёвнах дома»? Почему он «проступал колючей солью»? 4. Какое количество теплоты требуется, чтобы лёд массой 2 кг, взятый при о °С, расплавить и образовавшуюся воду нагреть до кипения? 5. Какое количество теплоты выделилось при замерзании воды массой 5 кг, если первоначальная её температура 12 °С? 6. В сосуд, содержащий 10 кг воды температурой 10 °С, положили лёд, имеющий температуру -50 °С, после чего температура в сосуде оказалась равной -4 °С. Сколько льда положили в сосуд? Теплоёмкостью сосуда пренебречь. 171 7. В калориметре находится 500 г льда при температуре 0 °С. В сосуд вливают 200 г воды температурой 80 °С. Какая температура установится в калориметре? Каким будет содержимое калориметра и в каком количестве? ЗАДАНИЕ. Подготовьтесь к учебной конференции «Симметрия в природе, искусстве, физике и технике». Сделайте сообщение на одну из тем, указанных в Приложении 2. Гелий можно превратить в жидкость при 4,4 К, но превратить его в твёрдое тело при атмосферном давлении не удаётся, даже если температура приближается к о К. Вместо этого при 2,17 К гелий превращается в сверхтекучую жидкость. Однако при давлении свыше 2,5-10® Па гелий затвердевает. Существует лёд, который обжёг бы нам пальцы, если бы до него можно было дотронуться. Получают его под очень большим давлением, при котором вода переходит в твёрдое состояние при температуре значительно выше 0 °С. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 8 Твёрдые тела могут быть кристаллическими и аморфными. В кристаллах в расположении частиц существует дальний порядок. Симметрия внутреннего строения кристаллов обусловливает симметрию их внешней формы. Характерное свойство кристаллических тел — анизотропия — зависимость физических свойств от направления внутри кристалла. Свойства жидкостей § 52. Структура и свойства жидкости Форма жидкости зависит от сосуда, характер человека от его друзей. Японская пословица Жидкости отличаются друг от друга цветом, запахом, плотностью, температурой кипения и кристаллизации. Однако все вещества в жидком состоянии сохраняют свой объём и под действием силы тяжести принимают форму сосуда, в котором они находятся. Особенность жидкостей состоит в том, что они сочетают в себе свойства твёрдых тел и газов (см. табл.). Агрегатное состояние вещества Газ Жидкость Твёрдое тело Свойства вещества Не сохраняет форму, занимает максимальный объём сосуда, легко сжимаем Сохраняет объём, не сохраняет форму, текуча Сохраняет объём и форму Структура вещества Беспорядок (хаос) Ближний порядок Дальний порядок Тепловое движение молекул Хаотическое движение Сочетание колебаний молекул со скачками из одних положений равновесия в другие Колебания частиц вблизи положений равновесия Силы взаимодействия между молекулами Недостаточны, чтобы удерживать молекулы друг около друга Способствуют упорядоченному расположению соседних молекул Удерживают молекулы вблизи положений равновесия Как расположены молекулы в жидкости? Плотность жидкости близка к плотности твёрдого тела и намного превышает плотность газа. Это говорит о том, что молекулы жидкости почти вплотную расположены друг к другу. 173 а б в Рис. 9.1 На рис. 9.1, а, б, в представлена структура твёрдого, жидкого и газообразного состояний воды. Согласно рентгенографическим исследованиям, в жидкостях наблюдается некоторая закономерность в расположении соседних молекул. Но этот порядок соблюдается только на небольшом расстоянии (2—3 молекул5фных слоя), за пределами которого упорядочение «размывается», переходит в беспорядок, затем вновь обнаруживается и опять исчезает. Такое расположение молекул называют ближним порядком. Аналогичную структуру, как известно, имеют и аморфные тела. Таким образом, по расположению молекул жидкости сходны с твёрдыми телами (в которых правильное чередование частиц повторяется во всём объёме — дальний порядок) и газами (где нет никакого порядка — хаос). Каков характер теплового движения молекул жидкости? Текучесть жидкости свидетельствует о том, что молекулы могут сравнительно легко перемещаться относительно друг друга. Сохранение жидкостями своего объёма свидетельствует о значительных силах взаимодействия между молекулами. По современным представлениям, тепловое движение молекул жидкости — это колебания молекул около положений равновесия и сравнительно редкие перескоки из одного равновесного положения в другое. По словам российского физика Я. И. Френкеля, изучавшего жидкое состояние вещества, молекулы странствуют по всему объёму жидкости, ведя кочевой образ жизни, при котором кратковременные «переезды» сменяются относительно длинными периодами «оседлой» жизни. Таким образом, по характеру теплового движения молекул жидкости также занимают промежуточное положение между твёрдыми телами, в которых частицы совершают колебания вокруг положений равновесия, и газами, в которых частицы движутся беспорядочно. Эти представления о структуре жидкости позволяют объяснить её основное свойство — текучесть. Если на жидкость не действуют внешние силы, то перескоки молекул из одного оседлого положения в другое происходят во всех 174 направлениях одинаково. Под действием внешней силы перескоки молекул осуществляются преимущественно в направлении действия силы. Жидкости были предметом научного изучения уже во времена Архимеда (более 2000 лет тому назад). Однако до сих пор ещё нет вполне законченной и строгой теории, объясняющей их свойства и структуру. Проверьте себя 1. Как расположены молекулы жидкости? 2. Каков характер теплового движения молекул жидкости? 3. Как с точки зрения молекулярной теории объяснить текучесть жидкостей? 4. Почему жидкости занимают промежуточное положение между твёрдыми телами и газами? Некоторые жидкости проявляют анизотропию свойств, характерную для кристаллов. Такие жидкости называют жидкими кристаллами. Они находят широкое применение в электронной технике (в буквенно-цифровых индикаторах, в оптико-электронных приборах). **§ 53. Поверхностное натяжение жидкости Вы, вероятно, неоднократно видели на водоёмах водомерок — насекомых, бегающих по воде. Если внимательно приглядеться, то можно увидеть, что поверхность воды под их лапками немного прогибается. Аналогичное явление можно наблюдать на следующем опыте. Аккуратно положим на поверхность воды в стакане иглу так, чтобы она не утонула. Около иглы поверхность воды изогнута (рис. 9.2). Создаётся впечатление, что игла лежит на упругой плёнке, прогнувшейся под иглой. Чтобы объяснить, почему поверхностный слой подобен растянутой упругой плёнке, рассмотрим две молекулы — одна молекула находится на поверхности жидкости, другая — внутри неё. Молекула, находящаяся внутри жидкости, со всех сторон окружена соседними молекулами, которые «тянут» её во все стороны одинаково, и равнодействующая сил взаимодействия равна нулю (рис. 9.3). Молекула, Рис. 9.3 175 Рис. 9.4 находящаяся на поверхности, соседей сверху почти не имеет. (Напомним, что плотность пара намного меньше плотности жидкости.) Поэтому молекула испытывает преимущественное притяжение со стороны молекул, находящихся внутри жидкости. Равнодействующая F сил, действующих на молекулу, расположенную вблизи поверхности жидкости, направлена внутрь жидкости. Это приводит к тому, что под действием силы F молекулы стремятся уйти внутрь жидкости с её поверхности, а внешнее проявление этой силы заключается в возникновении сил, стремящихся сократить свободную поверхность жидкости. Убедимся в этом на опыте. Проволочное кольцо с привязанной к нему в двух точках нитью погрузим в мыльный раствор и вынем из него. На кольце появится мыльная плёнка. Нить лежит на плёнке свободно (рис. 9.4, а). Если же проколоть плёнку с одной стороны нити, то плёнка, оставшаяся с другой стороны нити, сокращаясь, натянет нить так, что она примет форму дуги окружности (рис. 9.4, б). В проведённом опыте нить удерживают в натянутом состоянии силы поверхностного натяжения, направленные внутрь плёнки по касательным к её поверхности. Наименьшую поверхность при заданном объёме имеет сфера. Этим объясняется шарообразная форма мгшеньких капель. Приплюснутость больших капель, лежащих на поверхности твёрдых тел, возникает из-за того, что сила тяжести преобладает над межмолекулярными силами. В условиях невесомости жидкость принимает форму шара. Физическую величину, равную отношению силы, с которой поверхностный слой жидкости действует на ограничивающий его контур, к длине этого контура, называют поверхностным натяжением: н 1 ‘0 ;е \оМ И =1 =" м [w ел 1; ОЛ \ F а = ~. (9.1) Рис. 9.5 Единица поверхностного натяжения — ньютон на метр (Н/м). Поверхностное натяжение разных жидкостей неодинаково. Чтобы убедиться в этом, проделаем такой опыт. Подвесим к динамометру стеклянное кольцо. Опустим его в сосуд с чистой водой (рис. 9.5, а), а затем в сосуд с мыльной водой (рис. 9.5, б). Будем поднимать динамометр вверх до отрыва кольца от поверх- 176 ности воды. Мы заметим, что большая сила требуется для поднятия кольца из воды, чем из мыльного раствора. Следовательно, поверхностное натяжение воды больше, чем мыльного раствора. Мыло, стиральные порошки уменьшают поверхностное натяжение воды, увеличивая её проникающую способность. Поэтому мыльная вода пропитывает и очищает ткани и другие материалы лучше, чем чистая вода. Поверхностное натяжение жидкости зависит от температуры: с повышением температуры оно уменьшается, поэтому горячий мыльный раствор моет лучше, чем холодный. Проверьте себя 1. Как возникает сила поверхностного натяжения? 2. Чему равно поверхностное натяжение жидкости? От чего оно зависит? УПРАЖНЕНИЕ 35 1. Налейте в две тарелки воду. Положите на поверхность воды маленькие кусочки бумаги. Прикоснитесь кусочком мыла к воде в одной из тарелок. Что вы наблюдаете? Прикоснитесь кусочком сахара к воде в другой тарелке. Как ведут себя кусочки бумаги? Почему? 2. Погрузите мягкую акварельную кисть в воду. Как ведут себя волоски кисти? Уберите кисть из воды. Как в этом случае ведут себя волоски? Почему? 3. Определите поверхностное натяжение керосина, если на периметр поверхностного слоя длиной 1,5 м действует сила поверхностного натяжения 3,6 10 " Н. 4. Поверхностное натяжение жидкого олова равно 5,26 10“^ Н/м. Определите силу поверхностного натяжения олова, действующую на периметр поверхностного слоя длиной 50 см. 5. Деревянная палочка длиной 4 см плавает на поверхности воды. С одной стороны от палочки осторожно налили мыльный раствор. Какова результирующая сил поверхностного натяжения воды и мыльного раствора? С каким ускорением начнёт двигаться палочка, если её масса 2 г? Сопротивлением воды при движении палочки пренебречь. Поверхностное натяжение воды равно 7,2-10'" Н/м, мыльного раствора — 4-10'" Н/м. **§ 54. Смачивание. Капиллярные явления Смешай в одном сосуде масло с уксусом — Недружные, разъединятся жидкости. Эсхил Если жидкость граничит не с газом, а с твёрдым телом, то силами притяжения между молекулами жидкости и частицами твёрдого тела пренебрегать нельзя. Рассмотрим, как ведёт себя жидкость на границе с твёрдым телом. 177 Нанесём каплю воды на чистую стеклянную пластинку — капля растечётся по поверхности. Поместим каплю воды на пластинку, покрытую парафином. Капля принимает форму сплюснутого шара (рис. 9.6). Почему капли воды ведут себя по-разному? На границе двух сред молекулы жидкости взаимодействуют не только между собой, но и с частицами твёрдого тела. Рис. 9.6 F F Если силы взаимодействия между молекулами жидкости F^ больше, чем силы взаимодействия молекул жидкости с частицами твёрдого тела то жидкость не смачивает твёрдое тело. В проведённом опыте вода смачивала чистое стекло и не смачивала парафин. Если посмотреть на поверхность жидкости, налитой в узкий сосуд, то можно заметить, что поверхность возле стенок сосуда искривлена. В случае смачивания жидкость «прилипает» к стенке и приподнимается (рис. 9.7, а). Если имеет место несмачивание, жидкость «отходит» от стенки сосуда и слегка опускается по краям (рис. 9.7, б). Смачивание возникает не только при взаимодействии жидкостей и твёрдых тел, но и между различными жидкостями. Например, бензин смачивает воду и растекается по поверхности воды, покрывая её тонкой плёнкой. Подобные плёнки, имеюш;ие радужную окраску, можно видеть на поверхности луж, на мокром асфальте. Жир не смачивает воду и образует на её поверхности капли. Такие капли, имеюш,ие форму чечевицы, можно видеть, например, на поверхности бульона, супа. Смачивание имеет важное значение в промышленности. Хорошее смачивание необходимо при крашении и стирке, обработке фотографических материалов, нанесении лакокрасоч- Стекло Рис. 9.7 ных покрытий, пайке. При получении гидроизоляционных материалов стремятся снизить смачивание до минимума. С явлениями смачивания и несма-чивания связано поведение жидкости в узких трубках, диаметр которых менее миллиметра. Такие трубки называют капиллярными. Проделаем опыт. Нальём подкрашенную воду в сообш;аюш,иеся трубки разного диаметра, две из которых — 178 Рис. 9.8 капиллярные. Вы знаете, что жидкости в сообщающихся сосудах устанавливаются на одном уровне. Но опыт говорит о другом. В капиллярных трубках вода поднимается выше её уровня, установившегося в более широкой трубке! При этом чем тоньше трубка, тем выше поднимается в ней вода (рис. 9.8). В узких трубках вся свободная поверхность жидкости искривлена и имеет вид полусферы. Такую искривлённую поверхность называют мениском. Если жидкость смачивает стенки капилляра, то мениск имеет вогнутую форму (рис. 9.9, а), если не смачивает — выпуклую (рис. 9.9, б). Чем вызван подъём смачивающей жидкости в капилляре? Силы поверхностного натяжения, действующие на искривлённую поверхность и направленные по касательной к ней, дают равнодействующую, направленную вверх. Это приводит к тому, что жидкость, смачивающая стенки тонких трубок, будет подниматься до тех пор, пока сила тяжести mg, действующая на поднявшуюся жидкость в трубке, не станет равной по модулю силе F поверхностного натяжения. Сила тяжести, действующая на столбик жидкости высотой Л (рис. 9.10), равна mg = pVg = phnr^g, где р — плотность жидкости, г — радиус трубки. Сила поверхностного натяжения, действующая вдоль границы слоя жидкости, равна F - а-2лг. Жидкость в трубке находится в равновесии, поэтому phnr^g = а-2кг. Рис. 9.10 179 откуда h = 2g pgr' (9.2) Если жидкость не смачивает поверхность капилляра, то результирующая сила поверхностного натяжения направлена внутрь жидкости. Она как бы давит на жидкость сверху. Её действие приводит к тому, что несмачивающая жидкость опускается ниже основного уровня свободной поверхности жидкости (см. рис. 9.9, б). Таково упрощённое объяснение изменения уровня жидкости в капиллярных трубках. Капиллярные явления часто встречаются в окружающем мире. Тела, пронизанные капиллярами, впитывают смачивающие их жидкости. Так, полотенце впитывает воду при вытирании рук. Кирпичи — пористые тела, они хорошо впитывают воду. Для того чтобы влага не проникала в жилые помещения по капиллярам, между фундаментом здания и стенами прокладывают водоизолирующие материалы (толь, смолу). Благодаря многочисленным капиллярам в почве вода поднимается к поверхности и испаряется, что ведёт к высыханию почвы. Для сохранения влаги в почве её рыхлят, разрушая в ней капилляры. Большинство растительных и животных тканей пронизано громадным числом капилляров, играющих существенную роль в водоснабжении и обмене веществ организмов. Проверьте себя 1. Как объяснить явление смачивания? 2. Почему искривляется поверхность жидкости у стенок твёрдых тел? 3. Приведите примеры смачивания жидкостями твёрдых тел. 4. Какие трубки называют капиллярными? 5. Почему уровень жидкости в смачиваемых капиллярных трубках выше (а в несмачиваемых — ниже) уровня жидкости в широком сосуде? УПРАЖНЕНИЕ 36 1. Перья водоплавающих птиц покрыты тонким слоем жира. Какую пользу приносит птицам жировой налёт на перьях? 2. Какая почва быстрее высыхает: уплотнённая или разрыхлённая? 3. Каков физический смысл пословиц: «Без сала дёгтя не отмоешь», «Воду с маслом не смешать», «Он сухой из воды выйдет»! 4. Можно ли «носить воду в решете»? При каком условии? Капиллярные явления были впервые открыты и исследованы Леонардо да Винчи в опытах с капиллярными трубками. Теория капиллярных явлений развита в работах П. Лапласа (1806), Т. Юнга (1805) и других учёных. 180 § 55. Взаимные превращения жидкостей и газов в низовьях испаряется вода. Чтоб возвратиться облаком к истокам. М. де Унамуно Всюду в природе происходят взаимные превращения жидкостей и их паров. Вспомните, например, круговорот воды в природе. Объясним процессы испарения и конденсации с точки зрения молекулярной теории. Отдельные молекулы жидкости, обладая относительно других молекул большей кинетической энергией, могут преодолеть их притяжение и покинуть жидкость. Часть вылетевших молекул может возвратиться в жидкость (рис. 9.11). При ветре испарение интенсивнее, чем при безветрии. Поток воздуха уносит образовавшиеся пары, уменьшается возможность возвращения молекул из пара в жидкость. Хорошо известно, что при испарении температура жидкости понижается. Почему это происходит? При испарении жидкость покидают наиболее быстрые молекулы, вследствие чего средняя энергия оставшихся молекул уменьшается и жидкость охлаждается. Если жидкость находится в закрытом сосуде, то при неизменном объёме и постоянной температуре количество пара над ней не изменяется с течением времени. Это означает, что число молекул, покинувших жидкость в единицу времени, в среднем равно числу молекул, возвратившихся в жидкость. Такое состояние называют динамическим равновесием. При динамическом равновесии процессы испарения и конденсации компенсируют друг друга. Пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называют насыщенным. Этот термин означает, что в данном объёме при данной температуре не может находиться большее количество пара. Выясним на опыте, от каких параметров зависит давление насыщенного пара. В сосуд, соединённый с насосом, нальём жидкость и закроем его. Откачаем из сосуда воздух. Закроем клапан, соединяющий насос и сосуд. Жидкость будет испаряться. Манометр показывает увеличение давления пара. Но вскоре давление перестаёт возрастать. Это означает, что пар стал насыщенным (рис. 9.12). Давление насыщенного пара является для данной жидкости при данной температуре величиной постоянной. Начнём нагревать жидкость в сосуде, поддерживая объём, предоставленный пару, постоянным. Измеряя давление насыщенного пара при разной температуре, убеждаемся, что оно выше при более высокой температуре (см. табл.). Рис. 9.11 181 Давление насыщенного водяного пара, Па 650 2330 7340 19 800 46 700 101 300 Температура, °С 0 20 40 60 80 100 На рис. 9.13 приведён график, показывающий зависимость между давлением и температурой насыщенного водяного пара. На этом же рисунке дан график зависимости давления идеального газа от температуры. Сравнивая графики, можно сделать вывод, что давление насыщенного пара с увеличением температуры возрастает быстрее, чем давление идеального газа. Как это объяснить? При нагревании газа при постоянном объёме увеличивается кинетическая энергия его частиц. При нагревании смеси «пар — жидкость» увеличивается не только кинетическая энергия частиц пара, но и их концентрация. С возрастанием температуры увеличивается число молекул жидкости, которые приобретают энергию, достаточную для вылета из жидкости. Интенсивность испарения при этом увеличивается. Количество пара над жидкостью возрастает. Затем динамическое равновесие между паром и жидкостью при новой концентрации пара вновь восстанавливается. Таким образом, увеличение давления насыщенного пара обусловлено увеличением не только кинетической энергии молекул, но и их концентрации. Выясним, зависит ли давление насыщенного пара от занимаемого им объёма. Будем уменьшать объём свободного пространства над жидкостью, поддерживая её температуру постоянной. Давление пара в первый момент увеличится, но затем примет первоначальное значение. Как это можно объяснить? При сжатии пара его концентрация возрастает. Это приводит к тому, что число молекул, возвращающихся в жидкость, будет больше числа молекул, покидающих её. Это происходит до тех пор, пока динамическое равновесие между жидкостью и паром не восстановится. Следовательно, концентрация не зависит от объёма при постоянной температуре, а давление пропорционально концентрации п{р ~ п), поэтому давление Манометр Клапан Рис. 9.12 182 насыщенного пара не зависит от занимаемого нм объёма и при неизменной температуре постоянно. При одной и той же температуре давление насыщенного пара разных веществ различно. Например, при температуре 20 °С давление насыщенного пара спирта равно 44,5 мм рт. ст., эфира — 43,7 мм рт. ст., а воды — 17,5 мм рт. ст. Вспомним, что поверхностное натяжение эфира, спирта также меньше поверхностного натяжения воды. Молекулярные силы меньше «сковывают» молекулы поверхностного слоя этих жидкостей, и они легче испаряются. Поэтому эфир, спирт более летучи, чем вода. Их молекулы легче покидают поверхность своей жидкости, чем молекулы воды — её поверхность. Проверьте себя 1. Какой пар называют насыщенным? 2. От чего зависит давление насыщенного пара? 3. Как молекулярно-кинетическая теория объясняет понижение температуры жидкости при испарении? УПРАЖНЕНИЕ 37 1. Почему в жарких странах воду хранят в пористых глиняных сосудах? 2. Прочитайте строки И. А. Бунина. Дымятся чёрные бугры, И утром в воздухе нагретом Густые белые пары Напоены теплом и светом. Почему поэт считает, что весной «дымятся чёрные бугры»? 3. Почему «окуривание» садовых деревьев дымом может спасти их от заморозков? 4. Сравните свойства газа и насыщенного пара. 5. Для чего нужен веер? При некоторой температуре, называемой критической, исчезает различие между жидкостью и её паром; для воды она равна 375 Впервые вывод о наличии у каждого вещества критической температуры был сделан русским учёным Д. И. Менделеевым. § 56. Кипение жидкости Когда вода кипит, пар идёт горячий. Монгольская пословица С кипением жидкости мы встречаемся ежедневно. Каковы закономерности этого явления? Обратимся к опыту. Будем наблюдать за нагреванием и кипением воды в стеклянной колбе. Мы видим, что дно и стенки сосуда начинают покрываться пузырьками. В этих пузырьках находятся воздух и пары воды. При повышении температуры 183 Рис. 9.14 воды давление пара в пузырьках возрастает и их объём увеличивается. Выталкивающая сила, действующая на пузырёк, по закону Архимеда возрастает с ростом его объёма. Когда она становится больше силы взаимодействия между пузырьком и твёрдой стенкой, пузырёк отрывается от стенки и всплывает. При дальнейшем повышении температуры по всему объёму жидкости идёт бурное образование пузырьков (рис. 9.14). Достигая поверхности, они лопаются, выбрасывая пар во внешнее пространство. Кипением называют интенсивное превращение жидкости в пар, происходящее с образованием пузырьков пара по всему объёму жидкости. Всё время, пока жидкость кипит, термометр, находящийся в жидкости, показывает одну и ту же температуру. Для воды она равна 100 ®С при нормальном атмосферном давлении. Почему же кипение происходит при определённой температуре? Пузырьки пара в жидкости расширяются и всплывают на поверхность, когда давление насыщенного пара Рд.п внутри них становится равным давлению Рж внутри жидкости или превысит его: Рим ^ Рж’ Если это условие не выполнено, то происходит захлопывание пузырька и находящийся в нём пар конденсируется. Давление в жидкости равно сумме атмосферного давления Ра и гидростатического р^Л, обусловленного весом вышележащих слоёв жидкости. Однако гидростатическое давление в неглубоком сосуде мало (pgh « Ра). Поэтому давление в жидкости приблизительно равно атмосферному давлению: Рж - Ра- Следовательно, кипение жидкости происходит при такой температуре (её называют температурой кипения), при которой давление насыщенного водяного пара становится равным внешнему атмосферному давлению. Поэтому условие кипения имеет вид jPh.iI Ря- Так, при атмосферном давлении вода кипит при 100 °С, эфир — при 35 °С, спирт — при 78 °С, ртуть — при 357 ®С. Можно ли изменить температуру кипения жидкости? Обратимся к опыту. Поставим сосуд с горячей водой (f < 100 °С) под колокол воздушного насоса и начнём откачивать воздух из-под колокола, т. е. понижать давление над водой. Мы увидим, что вода закипела: это произошло при давлении, меньшем атмосферного, и температуре, меньшей 100 °С (рис. 9.15). С уменьшением внешнего давления температура кипения понижается, а с увеличением — повышается. 184 Например, в паровом котле при давлении около 1,5-10® Па температура кипения близка к 200 °С. В медицинских учреждениях для стерилизации хирургических инструментов используют автоклавы — герметически закрытые сосуды. В них температура кипения превышает 100 °С. В кастрюлях-скороварках температура кипения больше 100 °С, поэтому пища варится быстрее. Температура кипения жидкости зависит не только от внешнего давления, но и от примесей, которые находятся в ней. Как правило, наличие в жидкости растворённого вещества повышает её температуру кипения. Так, вода, в которой растворено 40% поваренной соли, кипит при 108 °С. Вода, содержащая взвешенные частицы (например, чаинки), кипит при более низкой температуре, чем чистая вода. Тщательно очищенная от примесей и газов жидкость кипит при более высокой температуре. Такая жидкость, называемая перегретой, применяется, например, в пузырьковой камере, предназначенной для изучения элементарных частиц. Для поддержания процесса кипения к жидкости необходимо постоянно подводить энергию, которая затрачивается в основном на совершение работы по преодолению сил притяжения молекул жидкости друг к другу. Количество теплоты, требующееся для превращения данной массы жидкости в пар той же температуры, называют теплотой парообразования данной жидкости. Удельной теплотой парообразования называют физическую величину, равную отношению теплоты парообразования жидкости к её массе: Q г=—, т где Q — теплота парообразования жидкости, т — её масса. Единица удельной теплоты парообразования — джоуль на килограмм (Дж/кг). Удельная теплота парообразования г разных жидкостей различна. Так, удельная теплота парообразования воды при 100 °С равна 2,3-10® Дж/кг, а для эфира при 35 °С г = 4 -10® Дж/кг. Теплота парообразования, необходимая для превращения жидкости массой т в пар при температуре кипения: Q = гт. (9.3) 185 ЗАДАЧА Какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы превратить воду массой 3 кг, взятую при температуре 20 °С, в пар при температуре 100 °С? Решение. Найдём количество теплоты, необходимое для нагревания воды от 20 до 100 °С: Qi = cm(^2 - ^i). Количество теплоты, необходимое для испарения воды при температуре кипения: Q2 = гт. Полное количество теплоты равно Q = Q, + Q2 = cm{t2 - ^l) + гт; Q = 7,8 10® Дж. Проверьте себя 1. Какой процесс называют кипением? 2. От чего зависит температура кипения? 3. Какая жидкость является перегретой? 4. Какую физическую величину называют удельной теплотой парообразования? 5. Сравните процессы кицения и испарения. 6. Каков физический смысл народной приметы: «Горшки легко позакипают через край — к ненастью*"? УПРАЖНЕНИЕ 38 1. Какое количество теплоты требуется для превращения льда массой 5 кг, взятого при о °С, в пар при температуре 100 °С? 2. Какое количество теплоты выделяется при конденсации водяного пара массой 2 кг при температуре 100 °С и охлаждении образовавшейся воды до 18 °С? § 57. Влажность воздуха От воды туман и сырость. С. А. Есенин В атмосфере Земли в среднем содержится 1,24-10'® кг водяного пара. И хотя его доля составляет меньше 1 % от общей массы атмосферы, его влияние на погоду, климат, самочувствие людей очень велико. Главный источник водяного пара в атмосфере — испарение воды с поверхности океанов, морей, водоёмов, влажной почвы, растений. С водяных просторов и суши за год испаряется свыше 500 000 км^ воды, т. е. объём, почти равный объёму воды в Чёрном море. В атмосфере под влиянием различных процессов водяной пар конденсируется. При этом образуются облака, туман, осадки, роса. Часто пар переносится ветром на большое расстояние, и его конденсация идёт вдали от тех мест, где 186 происходило испарение. При конденсации пара выделяется количество теплоты, равное тому количеству теплоты, которое было затрачено на испарение. Этот процесс приводит к смягчению климатических условий в холодных районах. Воздух может быть сухим и влажным. При одной и той же температуре количество содержащегося в нём водяного пара (влажность воздуха) может изменяться в широких пределах: от максимально возможного (насыщенный пар) до нуля (абсолютно сухой воздух). Для суждения о степени влажности важно знать, близок или далёк водяной пар, находящийся в воздухе, от состояния насыщения. Для этого вводят величину — относительную влажность. Относительной влажностью воздуха называют физическую величину, равную отношению давления водяного пара, содержащегося в воздухе, к давлению насыщенного пара при данной температуре: ф = . 100%, Рп (9.4) где р — давление водяного пара, р„ — давление насыщенного пара при данной температуре. Влажность воздуха по-разному влияет на самочувствие людей. Чем меньше влажность, тем больше охлаждается тело человека вследствие испарения. Если воздух сухой (относительная влажность мала), то испарение, а следовательно, и охлаждение происходят быстро. Если воздух влажный (относительная влажность велика), то испарение происходит медленно и охлаждение незначительно. Для хорошего самочувствия людей необходимо, чтобы относительная влажность была 40—60 %. Относительную влажность воздуха определяют специальным прибором — психрометром (рис. 9.16), который состоит из двух термометров. Один из них показывает температуру воздуха. Шарик другого термометра обёрнут марлей, конец которой опущен в воду. Вода, испаряясь, охлаждает термометр, и он показывает температуру более низкую, чем сухой термометр. При помощи специальных психрометрических таблиц цо показаниям сухого и влажного термометров можно определять относительную влажность воздуха. Наблюдая природу в ненастье, в солнечный день, в сумерки, ночью, люди отмечали характерные признаки, предваряющие те или иные изменения погоды. Так появились многочисленные приметы — свидетельства народной мудрости. «Погодные» приметы разнообразны. Одни относятся к поведению людей и животных, другие связаны с различными физическими явлениями, третьи — с религиозными верованиями. Рис. 9.16 187 Не углубляясь в сложный механизм формирования погоды, попытаемся объяснить некоторые народные приметы. Перед наступлением дождя некоторые вещества, впитывающие в себя влагу из воздуха, сыреют. В народе говорят: «Соль мокнет — к дождю*. Народную примету «Лучина трещит и мечет искры — к ненастью* можно объяснить тем, что при повышенной влажности деревянные предметы отсыревают. При горении влага из древесины лучины интенсивно испаряется. Увеличиваясь в объёме, пар с треском разрывает древесные волокна. Приведём приметы, которые сулят нам добрую, ясную погоду: «Обильная роса — к хорошей погоде*^ «Туман утром стелется по воде — к хорошей погоде*. Объясним их физический смысл. При отсутствии облачности ночью земля за счёт теплового излучения охлаждается сильнее, чем в пасмурную погоду. Это вызывает конденсгщию атмосферного водяного пара и, как следствие, выпадение росы, появление тумана. Предсказывая погоду, надо помнить, что по одной примете, конечно же, нельзя сделать достоверный вывод. Все приметы имеют приблизительный характер, что связано со сложностью происходящих в атмосфере процессов. Проверьте себя 1. Что такое относительная влажность воздуха? 2. Каким прибором измеряют относительную влажность воздуха? УПРАЖНЕНИЕ 39 1. Объясните народные приметы: «Табак сыреет — к дождю», «Осенний иней — к сухой и солнечной погоде*. Какие ещё народные приметы вы знаете? 2. Прочитайте стихотворение Э. Дженнера «Сорок поводов для того, чтобы отказаться от предложения друга совершить совместную прогулку». Определите, какие из названных примет погоды имеют физическую природу. Как их можно объяснить? В ночи сверкнули огоньки — Зажгли лощину светляки, В барометре упала ртуть. Вот ветер начинает дуть. Стал будто ближе дальний лес. Стал будто ниже свод небес. К земле прижаты облака. И режет уши песнь сверчка. Ей вторит резкий крик дрозда. Вода чиста, как никогда. Рыбёшка занята игрой — 188 Хватает мушек над водой. Из сети выглянул паук. Меня к дивану тянет вдруг. И пёс мой бросил грызть мосол, Махнул хвостом и спать пошёл. Послушна ветру, пыль дорог Свилась в крутящийся клубок. На скаты крыш садится дым. Пастух предчувствием томим. Кусают злые мухи скот. Всё ниже ласточек полёт. Лягушка изменила цвет — На ней коричневый жакет. И жаба выползла в траву. Свинья тревожится в хлеву. Свежо, хотя июньский день. Потрогай — влажен старый пень. Грачи спустились с вышины. Как будто пулей сражены. Вот курослеп глаза згисрыл. У старой Бетти нерв заныл. Слегка потрескивает шкаф. Пахнуло сыростью канав. У очага пригрелся кот. Усы пушистой лапой трёт. Даль предзакатная бледна. За тучи прячется луна. Да, быть дождю! Пора смириться С тем, что пикник не состоится. 3. Давление водяного пара в воздухе при температуре 14 °С равно 9 мм рт. ст. Давление насыщенных водяных паров при этой же температуре равно 12 мм рт. ст. Какова относительная влажность воздуха? 4. Относительная влажность воздуха 80%, а его температура 22 °С. Каково давление водяных паров в воздухе, если давление насыщенных паров при этой температуре равно 19,8 мм рт. ст.? 5. В сосуде вместимостью 10 л находится сухой воздух при нормальных условиях (ро = 10® Па, То = 273 К). В сосуд помещают воду и нагревают до 100 °С. Каким будет давление в сосуде, если масса воды 2 г? 7 г? 6. В запаянной трубке объёмом 0,4 л находится пар под давлением 8,5 кПа при температуре 423 К. Сколько росы выпадет на стенки трубки, если её охладить до 295 К? 189 пт гг» *э Вода играет исключительно важную роль в процессах, происходящих на Земле. Так, благодаря большой теплоёмкости, удельной теплоте плавления и испарения, а также зависимости плотности от температуры вода является важным регулятором и стабилизатором климатических условий на Земле. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 9 Жидкости сочетают в себе свойства твёрдых тел (сохранение объёма) и газообразных (изменчивость формы). Тепловое движение молекул жидкости представляет собой колебания молекул около положений равновесия и сравнительно редкие перескоки из одного равновесного положения в другое. Поверхностное натяжение — величина, равная отношению силы, с которой поверхностный слой действует на ограничивающий его контур, к длине этого контура. Насыщенный пар — пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью. Давление насыщенного пара не зависит от занимаемого им объёма и растёт с повышением температуры. Относительная влажность воздуха — величина, равная отношению давления водяного пара, содержащегося в воздухе при данной температуре, к давлению насыщенного пара при той же температуре: ф = ^ . 100%. Рв ЭЛЕКТРОДИНА1У1ИКА в основе всех физических явлений лежит взаимодействие между телами или частицами. Например, движение Земли вокруг Солнца обусловлено гравитационным взаимодействием этих тел. Взаимодействие между электрически заряженными телами или частицами называется электромагнитным. Среди всех известных видов взаимодействий * электромагнитное занимает первое место по широте и разнообразию проявлений. Это связано с тем, что все тела состоят из электрически заряженных частиц. Строение атомных оболочек и объединение атомов в молекулы определяются электромагнитным взаимодействием. Благодаря ему твёрдые и жидкие тела не распадаются на отдельные атомы. Электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством электромагнитного поля — особого вида материи. Электромагнитное поле представляет собой совокупность двух взаимосвязанных полей — электрического и магнитного. Характерное свойство электрического поля состоит в том, что оно действует на электрические заряды с силой, которая не зависит от скорости движения зарядов. Магнитное поле действует на движущиеся заряды с силой, зависящей от их скорости. Раздел физики, в котором изучаются свойства и закономерности поведения электромагнитного поля, называется электродинамикой. Создателем теории электромагнитного поля является английский физик Дж. К. Максвелл. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля лежат в основе всей электродинамики, подобно тому как законы Ньютона составляют основу классической механики. Теория Максвелла была экспериментально подтверждена Г. Герцем, открывшим электромагнитные волны (1886—1889), которые представляют собой распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. В жизни современного общества практическое применение электромагнитных явлений играет огромную роль. Наука, техника, производство, быт людей немыслимы без использования электрической энергии. Мы начнём изучать электродинамику с электростатики, в которой рассматривается взаимодействие неподвижных зарядов. ^ В современной физике различают четыре вида фундаментальных взаимодействий: электромагнитное, гравитационное, сильное и слабое. 191 Электростатика *§ 58. Закон сохранения электрического заряда в янтаре содержится огненная и бестелесная сила, которая выходит из него скрытыми путями, если потереть поверхность янтаря... Плутарх Уже в глубокой древности было известно, что янтарь (в переводе с греч. означает «электрон»), потёртый о шерсть, приобретает способность притягивать лёгкие предметы. Аналогичным свойством обладают пластмасса, сера, резина, стекло и т. п. Если тело, подобно янтарю, после натирания притягивает лёгкие предметы, то говорят, что оно наэлектризовано или что на теле имеется электрический («янтарный») заряд. Как взаимодействуют наэлектризованные тела? Если электрический заряд сообщить двум лёгким бумажным гильзам, подвешенным на шёлковых нитях, прикасаясь к ним стеклянной палочкой, потёртой о шёлк, то гильзы оттолкнутся друг от друга (рис. 10.1, а). Это же явление наблюдается, если использовать в опыте вместо стеклянной эбонитовую палочку, потёртую о шерсть. Рис. 10.1 192 Рис. 10.2 Рис. 10.3 Если коснуться одной из гильз заряженной стеклянной палочкой, а другой — заряженной эбонитовой, то гильзы притянутся друг к другу (рис. 10.1, б). Следовательно, можно сделать вывод о существовании двух видов электрического заряда. Заряды, возникающие на стекле, потёртом о шёлк, получили название положительных, а заряды, появляющиеся на эбоните, потёртом о мех, — отрицательных. На основании опытов был сделан следующий вывод: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Для обнаружения электрического заряда используют электрометр — прибор, в котором лёгкая алюминиевая стрелка крепится на металлическом стержне так, что она может поворачиваться вокруг горизонтальной оси. В незаряженном электрометре стрелка располагается вертикально. Если заряженным телом коснуться стержня, то на него и стрелку перейдёт часть заряда и стрелка отойдёт от стержня (рис. 10.2). Чем больше заряд, переданный электрометру, тем значительнее отклонение стрелки. Соединим заряженный электрометр с землёй металлической проволокой — он разрядится. Но если заряженный электрометр соединить с землёй эбонитовой палочкой, то он не разряжается. По способности проводить электрический заряд вещества условно делят на проводники и диэлектрики. К проводникам относят металлы, растворы солей и кислот в воде, почву. Диэлектриками являются эбонит, стекло, фарфор, янтарь, резина, пластмасса, керосин, воздух. Если поднести заряженное тело к незаряженному электрометру, то можно увидеть, что стрелка отклоняется ещё до соприкосновения тела с электрометром (рис. 10.3). Это показывает, что стержень электрометра заряжается под влиянием находящегося поблизости заряженного тела. Поэтому данное явление называют электризацией посредством влияния или электростатической индукцией. Проделаем опыт. Потрём одну о другую пластинки из эбонита и стекла. Внесём их в полый шар, надетый на стержень электрометра, не касаясь стенок шара (рис. 10.4, а). Электрометр не обнаруживает заряда. Уберём из шара одну из пластинок. Стрелка электрометра сразу же отклонится (рис. 10.4, б). Это говорит о том, что стрелка, стержень и шар наэлектризовались под влиянием заряда пластинки. Уберём из шара пластинку и вставим другую. Стрелка электрометра отклонится на тот же угол (рис. 10.4, в). Следовательно, заряды пластинок равны по модулю и противоположны по знаку. Таким образом, при электризации тел заряды перераспределяются — часть из них переходит с одного тела на другое. Заряды при этом не создаются и не 193 исчезают. При всех явлениях, связанных с перераспределением зарядов, выполняется закон сохранения электрического заряда: I В изолированной системе тел алгебраическая сумма электрических зарядов I остаётся постоянной: ^1 + 92 + - + 9л = const. (10.1) где ^1, (72. 9л — заряды тел. Закон сохранения электрического заряда указывает на важную особенность электрических явлений: электрические заряды всегда появляются парами. Если обнаружен заряд только одного знака, то это означает, что заряд противоположного знака перешёл на какое-то тело. Закон сохранения электрического заряда принадлежит к числу основных згпсонов физики, таких как закон сохранения энергии и импульса. Откуда в рассмотренных опытах появились электрические заряды? Вы знаете, что атомы состоят из положительно заряженных ядер, вокруг которых вращаются отрицательно заряженные частицы — электроны. В состав ядра входят положительно заряженные частицы (протоны) и незаряженные, нейтральные частицы (нейтроны). Число протонов в ядре равно порядковому номеру элемента в Периодической системе элементов Д. И. Менделеева. Электронов в атоме столько же, сколько протонов в ядре. На рис. 10.5 схематически показано строение атомов водорода и лития. При электризации электроны, отрываясь от атомов, переходят с одного тела на другое. Тело, на которое перешли электроны, приобретает избыточный 194 Рис. 10.5 отрицательный заряд. Тело, потерявшее часть электронов, имеет избыточный положительный заряд. Установлено, что электроны и протоны обладают наименьшим электрическим зарядом \ Поэтому модуль электрического заряда этих частиц называют элементарным зарядом. Его обозначают буквой е. За единицу электрического заряда естественно было бы выбрать заряд электрона. В этом случае заряд q любого другого тела выражался бы целым числом, показывающим, сколько электронов N это тело приобрело (или потеряло) при электризации: q = ±Ne. Однако заряд электрона мал и использовать его в качестве единицы электрического заряда на практике неудобно. В СИ единица заряда является не основной, а производной, и эталон для неё не вводится. Для электрических величин в СИ введена основная единица — ампер (А) — единица силы тока. Эталонное значение ампера устанавливается с помощью магнитного взаимодействия токов. Единицу заряда в СИ — кулон (Кл) — определяют с помощью единицы силы тока. Кулон — это заряд, прошедший за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А. Измерения показали, что элементарный заряд е = 1,6-10“^® Кл. Кулон — очень большой заряд, так как соответствует избытку или недостатку заряда приблизительно в 6-10^® электронов. На практике обычно пользуются дольными единицами: микрокулоном (1 мкКл = 10~® Кл) и милликулоном (1 мКл = 10”^ Кл). Учёт явлений, связанных с электризацией тел, имеет большое значение в технике. На полиграфических предприятиях электризуются листы бумаги, при этом они «слипаются» и рвутся. На текстильных фабриках нити, электризуясь, притягиваются к поверхности веретён и роликов, что приводит к частому обрыву нитей. Кроме того, наэлектризованная пряжа притягивает из воздуха пылинки и загрязняется. Для борьбы с этими явлениями принимают специальные меры. На текстильных предприятиях используют так называемые водители волокон, сделанные из стали и стекла. При соприкосновении с одним из этих материалов нить заряжается положительно, а при соприкосновении с другим — отрицательно, в результате взаимодействия заряды нейтрализуются. Особенно опасна электризация топлива при заправке самолётов, заполнении танкеров. Топливо при движении по трубам электризуется и вследствие проскакивания электрических искр может воспламениться. Чтобы избежать ^ В XX в. были открыты частицы (они названы кварками), которые имеют заряд, меньший е. Кварки входят в состав протонов и нейтронов. 195 опасных последствий электризации, трубопроводы и топливные баки тщательно заземляют, благодаря чему накапливающийся статический заряд отводится в землю. С этой же целью к автомобилю-бензовозу прикрепляют металлическую цепь, волочащуюся по земле. Проверьте себя 1. Какие свойства электрических зарядов вы знаете? 2. Сформулируйте закон сохранения заряда. 3. Каков физический смысл поговорок: *Как соломинка и янтарь*^ 0. Для этого поместим в какую-либо точку поля другой точечный (пробный) заряд ^ > 0. На пробный заряд будет действовать сила F=k^, п Найдём отношение силы к заряду д: kq\ г2 200 Отношение — не зависит от выбора пробного заряда и характеризует поле в точке, где находится пробный заряд. Эта физическая величина и представляет собой напряжённость Е поля. Напряжённостью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, действующей со стороны поля на точечный положительный заряд, к этому заряду. Подобно силе, напряжённость поля — векторная величина: — F Е= Я (10.5) Напряжённость электрического поля в любой его точке совпадает по направлению с силой, действующей на положительный заряд, помещённый в эту точку поля. Если заряд положителен (qi > 0), то вектор Е направлен от заряда qi. Если заряд отрицательный (^i < 0), то вектор Е направлен к заряду qi (рис. 10.8). Единица напряжённости электрического поля — ньютон на кулон (Н/Кл). Если в поле какого-либо заряда внесён другой произвольный заряд q, то, зная напряжённость поля в данной точке, можно вычислить силу, действующую на заряд q, находящийся в этой точке: F = qE. (10.6) Вычислим напряжённость электрического поля точечного заряда q^ на расстоянии г от него. По закону Кулона этот заряд будет действовать на другой заряд q с силой _ k\q^h\ л F = еп Тогда Е = 1^, и Е = ег^ (10.7) Принцип суперпозиции. Пусть электрическое поле создаётся несколькими зарядами: q^ q2, qa, ..., а 205 Проверьте себя 1. Дайте определение линии напряжённости. Какие свойства линий напряжённости вы знаете? 2. Какое электрическое поле называют однородным? 3. Как можно получить однородное электрическое поле? § 62. Работа сил электрического поля На заряд q, помещённый в электрическое поле, напряжённость которого Е, действует сила F = qE. Поэтому при движении заряда в электрическом поле совершается определённая работа. Как рассчитать эту работу? Пусть положительный заряд q перемещается в однородном поле напряжённостью Е из точки В в точку С по траектории ВС (рис. 10.15). Сила F совершает работу А = Fscosa, где а — угол между направлениями векторов силы F и перемещения s. Так как F = qEj то А = qEs cosa. Из рисунка видно, что s cosa = d, где d — проекция перемещения заряда на направление вектора напряжённости поля. Следовательно, А = qEd. (10.10) Пусть теперь заряд q переместился из В в С по траектории ВКС (см. рис. 10.15). Работа, совершённая при этом, равна сумме работ, совершённых на отдельных перемещениях Sj и Зг: А = qEsiCos tti -f- qEs2Cosa2 = qE(SiCosai + Згсозаг). Из рис. 10.15 видно, что Sicosaj -I- Здсозаг = d, следовательно, опять А = qEd. Если заряд перемещается от В к С по криволинейной траектории, то и в этом случае можно доказать, что работа А = qEd. Работа по перемещению заряда в однородном электрическом поле не зависит от формы траектории заряда. Она определяется только положением Рис. 10.15 начальной и конечной точек траектории. 206 Пусть, например, положительный заряд q помещён в электрическое поле разноимённо заряженных пластин (рис. 10.16). Предположим, что он перемещается от первой пластины ко второй пластине по траектории ВаС. При этом полем совершится положительная работа, так как направления векторов F и S совпадают: А+ = qEd. Если этот же заряд переместится из точки С в точку В по траектории, например, СЬВ, то полем совершится отрицательная работа, так как угол между векторами силы и перемещения равен 180°: А- = -qEd. Следовательно, при перемещении заряда по замкнутой траектории работа поля равна нулю. Этот результат справедлив для любого электростатического поля. Проверьте себя 1. Чему равна работа по перемещению заряда в однородном электрическом поле? 2. Докажите, что работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в электростатическом поле равна нулю. § 63. Потенциал. Разность потенциалов Как известно из механики, система, способная совершить работу благодаря взаимодействию тел друг с другом, обладает потенциальной энергией. Мы выяснили, что электрическое поле может совершить работу, перемещая заряд, и эта работа не зависит от формы траектории. Следовательно, заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией. Работу же поля при перемещении заряда можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает заряд в начальной и конечной точках поля: А = Wpi - W,2, где Wp, — потенциальная энергия заряда в начальной точке, Wp2 — потенциальная энергия заряда в конечной точке. (В электростатике энергию принято обозначать буквой Ж, а не Е, чтобы не путать с напряжённостью поля.) Из формулы (10.10) видно, что работа поля пропорциональна заряду. Очевидно, что и потенциальная энергия заряда Wp в электрическом поле должна быть пропорциональна заряду. Следовательно, отношение потенциальной энергии к заряду не зависит от этого заряда. Поэтому можно ввести величину, не зависящую от заряда, помещённого в поле, — потенциал. 207 Потенциалом электростатического поля называют физическую величину, равную отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: Ф = ^. (10.11) Как и потенциальная энергия, потенциал зависит от выбора нулевого уровня для отсчёта потенциала. Используя понятие потенциала, выражение для работы поля перепишем в виде: А = 9(ф1 - фг). Здесь фг - Фг — разность потенциалов, т. е. разность значений потенциала в начальной и конечной точках траектории. Разностью потенциалов называют физическую величину, равную отношению работы, совершаемой силами поля при перемеш1ении положительного заряда из начальной точки в конечную, к этому заряду: Ф1 А Ф2 = —• я (10.12) Единица разности потенциалов в СИ — вольт (В). Вольт равен разности потенциалов между двумя точками, при которой электрическое поле, переменная заряд в 1 Кл из одной точки в другую, совершает работу 1 Дж: 1 В = 1 Дж/Кл. Пусть заряд q перемещается в однородном электрическом поле из точки В в точку С вдоль линии напряжённости (см. рис. 10.16). Работу поля можно вычислить по формуле (10.10): А = qEd. Из определения разности потенциалов выразим работу по перемещению заряда q между этими точками поля: А = д(фг - Фг). Приравнивая два последних выражения и сокращая на q, находим: Фг - фг = Ed, откуда Е = ф, - ф2 (10.13) Напряжённость однородного электрического поля равна отношению разности потенциалов между двумя точками поля, лежащими на одной линии напряжённости, к расстоянию между этими точками. Формула (10.13) позволяет ввести ещё одну единицу напряжённости электрического поля — вольт на метр (В/м). 208 Вольт на метр равен напряжённости однородного электрического поля, при которой между двумя точками, на-ходящ;имися на линии напряжённости на расстоянии 1 м, создаётся разность потенциалов 1 В. Разность потенциалов между двумя проводниками можно измерить с помощью электрометра. Для этого нужно одну точку тела соединить со стержнем электрометра, а другую — с его металлическим корпусом. Внутри прибора возникнет электрическое поле, напряжённость которого тем больше, чем больше разность потенциалов между стержнем и корпусом электрометра. Поэтому шкалу электрометра можно проградуировать в вольтах. Для измерения разности потенциалов между проводником и землёй надо проводник соединить со стержнем электрометра, а корпус заземлить (рис. 10.17). ЗАДАЧА Напряжённость однородного электрического поля между двумя пластинами, расположенными на расстоянии 5 см друг от друга в вакууме, равна 1000 В/м. Определите разность потенциалов между пластинами. Какую работу совершает электрическое поле при перемещении заряда 8 • 10”® Кл от одной пластины до другой? Решение. Разность потенциалов между пластинами (р1 - ф2 = Ed; cpi - (р2 = 50 В. Работа сил электрического поля А = д((р1 - фа); А = 4 • Ю”'' Дж. Проверьте себя 1. Какая работа совершается полем при перемещении заряда q в однородном поле по контуру ABCD (рис. 10.18)? На каких участках контура работа положительна? отрицательна? равна нулю? 2. В каких единицах выражается напряжённость поля? 3. Докажите, что 1 Н/Кл = 1 В/м. 4. Как на опыте измеряют разность потенциалов? Я — S ■ --- — - — — ^ Рис. 10.18 209 УПРАЖНЕНИЕ 42 1. Определите разность потенциалов между двумя точками поля, если при перемещении заряда ^ = 1,5 • 10”^ Кл из одной точки в другую совершается работа А = 9 • 10"® Дж. 2. Какая работа совершается электрическим полем при перемещении заряда q = 5 Кл, если разность потенциалов между точками 220 В? 3. Напряжённость однородного электрического поля, созданного двумя разноимённо заряженными пластинами, равна 2,5 • 10“* В/м. Найдите разность потенциалов между пластинами, если расстояние между ними 2 см. 4. Какова напряжённость однородного поля, созданного двумя заряженными пластинами, расстояние между которыми 0,1 м, а разность потенциалов 220 В? § 64. Проводники в электрическом поле Поместим металлический проводник в электростатическое поле. Вы знаете, что в металлах есть свободные электроны. Действие поля на свободные электроны, иначе называемые электронами проводимости, приведёт к тому, что на хаотическое тепловое движение электронов наложится их упорадочен-ное движение. Электроны будут перемещаться в направлении, противоположном направлению вектора напряжённости Е внешнего поля (на рис. 10.19 справа налево). При этом на поверхности AD проводника появится избыточный отрицательный заряд, а на поверхности ВС — избыточный положительный заряд (недостаток электронов). Эти заряды создают в проводнике внутреннее электрическое поле, вектор напряжённости Ei которого направлен противоположно вектору напряжённости Е внешнего электростатического поля. Упорядоченное движение электронов в проводнике продолжится до тех пор, пока напряжённость результирующего поля не станет равной нулю: Е - Ег = 0. Таким образом, под действием внешнего электрического поля электроны проводимости в металлическом проводнике перераспределяются так, что напряжённость электростатического поля в любой точке внутри проводника становится равной нулю. При этом нескомпенсированные электрические заряды располагаются только на поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то в ней напряжённость электрического поля также равна нулю независимо от того, каково поле вне полости. Таким образом, внутренняя полость в проводнике защищена (экранирована) от внешних электрических полей. Это свойство проводников D Ег В Рис. 10.19 210 Рис. 10.20 используется для защиты приборов от электрических полей. Если прибор окружить замкнутой металлической поверхностью, то никакие внешние электрические поля действовать на него не будут. Обычно роль экрана выполняет густая металлическая сетка. Если проводник удалить из поля, то заряды, им разделённые, вновь распределяются по проводнику так, что он оказывается незаряженным. Проводники, помещённые в электрическое поле, обладают важным свойством. Разность потенциалов между любыми двумя точками на поверхности проводника равна нулю. В этом можно убедиться на простом опыте (рис. 10.20): стрелка электрометра, присоединённого к точкам А и В проводника, не отклоняется. Легко объяснить результаты этого опыта. Если бы существовала разность потенциалов - фд, то электроны проводимости пришли бы в движение вдоль поверхности проводника. Но перемещения зарядов не происходит, поскольку распределение зарядов на поверхности равновесное. Следовательно, Фл - Фв = 0. Проверьте себя 1. Как можно защитить приборы от действия электростатических полей? Какое свойство проводников при этом используется? 2. Докажите, что разность потенциалов любых двух точек на поверхности проводника в электростатическом поле равна нулю. **§ 65. Диэлектрики в электрическом поле Виды диэлектриков. В § 59 вы узнали, что напряжённость поля в диэлектрике уменьшается в е раз (е — диэлектрическая проницаемость вещества). Выясним причину этого явления. Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. В них внешние валентные электроны прочно связаны со своими ядрами; в обычных условиях они не отщепляются от ядер и не образуют свободных носителей зарядов. Поэтому диэлектрики не проводят электрический ток. Молекулы диэлектриков электрически нейтральны: суммарный положительный заряд ядра и отрицательный заряд всех электронов в каждом атоме (или молекуле) равны нулю. Из этого, однако, не следует, что молекулы диэлектрика не создают электрического поля в окружающем пространстве. Вспомним, что даже простейшая модель электрически нейтральной системы — электрический диполь, — состоящая из двух равных по модулю 211 и противоположных по знаку точечных зарядов q и -д, расположенных на расстоянии I друг от друга, создаёт в окружающем пространстве электрическое поле (см. задачу на с. 202). Оказывается, что атом диэлектрика создаёт в окружающем пространстве электрическое поле, эквивалентное полю электрического диполя. Рассмотрим, например, атом водорода, состоящий из одного протона (ядра) и движущегося по орбите электрона. Скорость электрона столь велика, что в среднем положение электрона будет совпадать с ядром — протоном (рис. 10.21, а) и расстояние I между отрицательным и положительным зарядами в среднем будет равно нулю. Изолированный атом водорода не является электрическим диполем. Предположим, что атом водорода помещён во внешнее электрическое поле напряжённостью Е. Оно будет действовать на ядро и электхюн с силами -F, = еЕ и F2 = -еЕ (где е — модуль заряда электрона), направленными противоположно. В результате этого орбита электрона уже не будет круговой — она деформируется; средние положения ядра и электрона окажутся как бы раздвинутыми на некоторое расстояние I (рис. 10.21, б). Атом превратится в диполь, наведённый внешним электрическим полем. Подобно атому водорода ведут себя во внешнем электрическом поле атомы большого числа диэлектриков (Сг, CCI4, углеводороды и др.). Такие молекулы называют неполярными, а состоящие из них диэлектрики — неполярными диэлектриками. Большую группу диэлектриков составляют вещества, в молекулах которых электроны расположены несимметрично относительно ядер атомов. Типичный их представитель — вода (Н2О). В такой молекуле (рис. 10.22) центры положительных зарядов ядер трёх атомов и всех их электронов не совпадают независимо от наличия или отсутствия внешнего поля. Молекулы такого типа диэлектриков по своим электрическим свойствам подобны жёсткому диполю, в котором между зарядами q и -q имеется постоянное расстояние /; они напоминают гимнастическую гантель. Такие молекулы называют полярными. Примерами молекул этого типа, кроме воды, являются NH3, НС1, CH3CI. Диэлектрики, состоящие из полярных молекул, называют полярными диэлектриками. Поляризация неполярных диэлектриков. Поместим неполярный диэлектрик в однородное поле, вектор напряжённости Eq которого направлен, как Е О Рис. 10.21 212 Ео 0—9 0—9 0—9 0—9 0—0 0-0 0-0 0-0 о—о о—о 0—0 0—0 в D Рис. 10.23 Рис. 10.24 показано на рис. 10.23; в молекулах диэлектрика произойдёт смещение положительных и отрицательных зарядов. На поверхностях АВ и CD, ограничивающих диэлектрик, появятся электрические поверхностные связанные заряды. Их называют так потому, что они появляются в результате деформации молекул и не могут быть от них оторваны. Связанные заряды не проявляют себя внутри любого объёма диэлектрика: суммарный электрический заряд молекул в этом объёме равен нулю. На поверхностях АВ и CD диэлектрика связанные заряды оказываются нескомпенсированными и создают собственное электрическое поле самого диэлектрика. Упорядоченное расположение молекул-диполей во внешнем электрическом поле и появление на граничных поверхностях диэлектрика связанных зарядов называют его поляризацией, а сам диэлектрик, в котором произошла поляри-згщия, — поляризованным. Связанные заряды противоположного знака, расположенные на граничных поверхностях диэлектрика (АВ и CD), напоминают заряды двух плоских пластин, заряженных разноимённо. Как известно, напряжённость электрического поля таких пластин направлена так, как указано на рис. 10.24. Из этого следует, что поверхностные заряды создают собственное электрическое поле, вектор напряжённости которого Всв направлен внутрь объёма диэлектрика, в сторону, противоположную вектору Eq — напряжённости внешнего электрического поля, вызвавшего поляризацию диэлектрика. Поэтому результирующее электрическое поле в диэлектрике имеет напряжённость меньшую, чем в вакууме. Если обозначить через Ео напряжённость электрического поля в вакууме, а через Е — напряжённость поля в этой же точке в диэлектрике, то Е = ^. (10.14) Величина е показывает, во сколько раз уменьшается напряжённость электрического поля в диэлектрике по сравнению с вакуумом. Это и есть диэлектрическая проницаемость вещества, она является важной характеристикой электрических свойств диэлектрика. 213 ■^2 ~ 9-^0 Поляризация полярных диэлектриков. В полярных диэлектриках явление поляризации происходит иначе, чем в неполярных. Молекулы полярного диэлектрика — жёсткие диполи — поворачиваются во внешнем электрическом поле напряжённостью Eq б Рис. 10.25 (рис. 10.25, а) и располагаются вдоль его силовых линий (рис. 10.25, б), но тепловое движение препятствует этому повороту, хаотически «разбрасывая» диполи. Поэтому только в сильном внешнем поле ориентированность молекул будет наибольшей (рис. 10.26). Влияние теплового движения молекул в таком поле сведётся лишь к тому, что диполи, ориентированные вдоль силовых линий, будут «дрожать». При обычных, несильных полях вследствие разбрасываюш;его влияния теплового движения молекул происходит не полная, а преимущ;ественная ориентация диполей вдоль направления напряжённости электрического поля (рис. 10.27). Но и в том и в другом случае на граничных поверхностях диэлектрика возникают поверхностные связанные заряды противоположных знаков, которые создают собственное поле, ослабляюш;ее внешнее поле в диэлектрике. Рис. 10.26 Проверьте себя 1. Почему диэлектрики не проводят электрический ток? 2. Какие молекулы называют неполярными? полярными? 3. Почему в обычном состоянии электрическое поле в диэлектрике отсутствует? 4. Что называют поляризацией? 5. Как возникает связанный поверхностный заряд в неполярных диэлектриках? в полярных диэлектриках? 6. Что называют диэлектрической проницаемостью? 7. Почему напряжённость электрического поля в диэлектрике меньше напряжённости внешнего поля? 214 § 66. Электрическая ёмкость. Энергия заряженного конденсатора Широкое распространение в технике получили конденсаторы. Они позволяют накапливать электрические заряды. Конденсатор состоит из двух проводников, заряженных разноимёнными, равными по модулю зарядами. Проводники, образующие конденсатор, называют его обкладками. Заряд одной из обкладок считают зарядом конденсатора. Простейшим является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных пластин, заряженных разноимёнными зарядами. Расстояние d между пластинами должно быть намного меньше линейных размеров каждой из пластин. В этом случае можно считать, что электрическое поле плоского конденсатора сосредоточено в пространстве между его обкладками, поэтому можно пренебречь искажениями поля на их краях и поле считать однородным. Как показывают опыты и теоретические расчёты, разность потенциалов между обкладками конденсатора прямо пропорциональна его заряду. Следовательно, отношение этого заряда к разности потенциалов между обкладками не зависит от заряда. Физическую величину, равную отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками, называют электрической ёмкостью конденсатора: С = ф, - ф2 (10.15) Единицей электроёмкости является фарад (Ф). Фарад — это ёмкость такого конденсатора, у которого заряд 1 Кл создаёт между обкладками разность потенциалов 1 В: 1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — очень большая электрическая ёмкость. Поэтому на практике применяют обычно его дольные единицы: микрофарад (1 мкФ = 10 ® Ф), пикофарад (1 пФ = 10 Ф). Опыты показывают, что ёмкость плоского конденсатора зависит от площади обкладок и расстояния между ними. Чтобы убедиться в этом, соберём установку, показанную на рис. 10.28. Зарядим конденсатор. Электрометр покажет разность потенциалов между пластинами. Раздвинем их; так как обкладки хорошо изолированы от других тел, то заряд на них не изменится. Электрометр же Рис. 10.28 215 покажет, что разность потенциалов между пластинами увеличилась. Это означает, что ёмкость конденсатора уменьшилась. Восстановим прежнее расстояние между обкладками. Электрометр покажет при этом первоначальное значение разности потенциалов (следовательно, и ёмкость стала прежней). Уменьшим теперь это расстояние, например в 2 раза. Разность потенциалов уменьшается во столько же раз, а это свидетельствует об увеличении ёмкости в 2 раза. Таким образом, ёмкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками: с-г- Сместим одну из пластин по отношению к другой так, чтобы площадь пластин, расположенных друг против друга, уменьшилась в 2 раза. Электрометр покажет, что разность потенциалов при этом возрастает в 2 раза. Так как заряд конденсатора остаётся неизменным, то из формулы (10.15) следует, что при уменьшении площади перекрывгпощихся пластин в 2 раза ёмкость конденсатора также уменьшается в 2 раза, т. е. С - S. Поместим между пластинами конденсатора пластинку из диэлектрика (стекла). При этом разность потенциалов между обкладками конденсатора уменьшилась. Если удалить пластинку, то разность потенциалов на конденсаторе оказывается прежней. Следовательно, ёмкость конденсатора зависит от свойств среды, находящейся между его обкладками, а точнее — от диэлектрической проницаемости: С - £. Объединяя результаты опытов, записываем: ^ eS ^ EEoS С —или С = (10.16) Рис. 10.29 где коэффициентом пропорциональности является электрическая постоянная бо- Для практического применения конденсаторов очень важно, что их электрическая ёмкость прямо пропорциональна площади пластин. На этом основано изготовление конденсаторов переменной ёмкости (рис. 10.29). Такой конденсатор состоит из двух наборов металлических пластин. При вращении рукоятки пластины одного набора входят в промежутки между 216 пластинами другого. При этом ёмкость конденсатора пропорциональна площади перекрывающейся части пластин. Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом легко убедиться на простом опыте: зарядим конденсатор и замкнём его обкладки через электрическую лампочку. Она вспыхнет. Энергия конденсатора превращается во внутреннюю энергию нити лампочки, и это вызывает её свечение. С помощью опыта можно установить, что энергия заряженного конденсатора зависит от разности потенциалов на обкладках конденсатора и его ёмкости. Расчёты показывают, что заряженный конденсатор обладает энергией С(ф1 - фг)^ 2 W = (10.17) Согласно современным представлениям, энергия любого заряженного тела сосредоточена в связанном с ним электрическом поле. Поэтому говорят об энергии электрического поля. Эта энергия распределена по всему пространству, где имеется поле. Например, в плоском конденсаторе энергия сосредоточена в пространстве между его обкладками. Для плоского конденсатора Ф1 - ф2 = Ed, где Е — напряжённость электрического поля, d — расстояние между пластинами. Так как электрическая ёмкость плоского конденсатора С = ££o-S ТО формула (10.16) может быть представлена в следующем виде: W = (10.18) Здесь Sd = V — объём пространства между обкладками конденсатора. Разделив обе части выражения 10.17 на объём, получим: W = W ееоЕ^ где величину w называют объёмной плотностью энергии. Таким образом, объёмная плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату его напряжённости. Изучая механику и молекулярную физику, вы убедились в том, что энергией обладают тела и образующие их молекулы и атомы. Теперь вы узнали, что и электрическое поле обладает энергией. Наличие энергии — важнейшее свойство электрического поля как особого вида материи. 217 Проверьте себя 1. Какую физическую величину называют электрической ёмкостью конденсатора? Какое свойство конденсатора характеризует электрическая ёмкость? 2. В каких единицах выражают ёмкость? 3. Каково соотношение между микрофарадом и пикофарадом? 4. Как можно показать, что заряженный конденсатор обладает энергией? 5. Напишите формулы, позволяющие рассчитать энергию заряженного конденсатора. 6. Где, согласно теории близкодействия, сосредоточена энергия заряженного конденсатора? УПРАЖНЕНИЕ 43 1. Чтобы зарядить конденсатор до разности потенциалов cpi - Фг= 40 В, ему необходимо сообщить заряд q = 2 • 10“^ Кл. Чему равна ёмкость конденсатора? Какой энергией обладает заряженный конденсатор? 2. Конденсатор, ёмкость которого С = 10 мкФ, заряжают до разности потенциалов ф1 — (р2 = 200 В. Найдите его заряд и энергию. 3. Чему равна ёмкость конденсатора с обкладками размером 1 х 1 м и расстоянием между ними 1 мм? 4. Энергия электрического поля плоского воздушного конденсатора равна 6 • 10‘® Дж. Конденсатор отключили от источника и заполнили веществом с диэлектрической проницаемостью, равной 2. Найдите изменение энергии конденсатора. вежшшнеэ в XVII—XVIII вв. электричество представляли как невесомую электрическую жидкость, которая могла «вливаться» в проводник и «выливаться» из него. Отсюда возник термин «электрическая ёмкость». ИЗ ИСТОРИИ УЧЕНИЯ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ Всё преходяще, быстротечно, И лишь наука долговечна. С. Брант Чтобы изучить тему «Электростатика», вам потребовалось менее двух месяцев, а от открытия свойства натёртого янтаря притягивать лёгкие предметы до создания науки об электричестве прошло более 2000 лет. Каковы основные вехи на этом пути? В древности и в Средние века делались попытки объяснить загадочное поведение янтаря, но они имели умозрительный харггктер и не дали положительного 218 Рис. 10.30 результата. Только когда началось экспериментальное изучение электрических явлений, появилась возможность их объяснения. В 1600 г. английский учёный У. Гильберт опытным путём установил, что не только янтарь, но и алмаз, стекло, сера, сургуч, каменная соль и целый ряд других веществ после натирания приобретают свойство притягивать лёгкие предметы, т. е. электризуются. В 1672 г. вышла книга немецкого учёного О. фон Герике, в которой он описывал опыты с электрической машиной. Эта машина представляла собой шар из серы, насаженный на железную ось, вокруг которой он поворачивался (рис. 10.30). Натирая вращающийся шар сухими ладонями, можно было усилить эффекты, обусловленные электризацией. В 1729 г. английский физик С. Грей обнаружил, что электричество может передаваться от одних тел к другим по металлической проволоке, но не передаётся по шёлковой нити. Он разделил все вещества на проводники и непроводники электричества. Через четыре года французский учёный Ш. Дюфе установил, что существуют два вида электричества. В 1745—1746 гг. почти одновременно немецким физиком Э. Г. Клейстом и голландским физиком П. Мушенбруком был изобретён первый конденсатор — лейденская банка. Мушенбрук так описывал свой опыт в письме к французскому учёному Р. А. Реомюру: ^Хочу сообщить Вам новый, но ужасный опыт, который не советую повторять. Я занимался изучением электрической силы. Для этого я подвесил на двух шёлковых голубых нитях железный ствол, получающий электричество от стеклянного шара, который быстро вращался вокруг оси и натирался руками. На другом конце висела медная проволока, конец которой был погружён в стеклянный круглый сосуд, заполненный наполовину водой, который я держал в правой руке; левой же рукой я пытался извлечь из железного ствола искру. Вдруг моя правая рука была поражена ударом с такой силой, что всё тело содрогнулось, как от удара молнии. Несмотря на то, что сосуд, сделанный из тонкого стекла, не разбивается и кисть руки обычно не смещается при таком потрясении, тем не менее локоть и всё тело поражаются столь страшным образом, что я не могу выразить словами, я думал, что пришёл конец*. Изобретение конденсатора (лейденской банки), который быстро был усовершенствован, весьма способствовало изучению электричества, так как 219 позволило накапливать большие электрические заряды. Американский учёный Б. Франклин, наблюдая сравнительно большие искры при электрическом разряде, высказал предположение об электрической природе молнии. Изучением атмосферного электричества в России занимались русский учёный М. В. Ломоносов и петербургский академик Г. Рихман, который построил первый прибор для измерения электрического заряда. Прибор Рихмана состоял из металлического прута, к верхнему концу которого прикреплялась льняная нить. При электризации нить отклонялась на некоторый угол, значение которого отсчитывалось по шкале. Этот прибор явился прообразом электрометра. Проводя опыты, Рихман в 1753 г. трагически погиб при разряде молнии. Благодаря работам Франклина, Ломоносова, Рихмгша и целого ряда других учёных электрическая природа молнии была установлена. Именно в это время был изобретён молниеотвод. В 1785 г. Ш. Кулон установил закон взаимодействия зарядов. Этот закон поразительно напоминал закон всемирного тяготения Ньютона, что позволяло применить к решению задач электростатики многие методы, разработанные к тому времени в механике, и было одной из причин того, что большинство учёных XVIII — первой половины XIX в. при объяснении электрических явлений придерживались теории дальнодействия. Считалось, что взаимодействие электрических зарядов, о природе которых, кстати говоря, в то время ничего не было известно, осуществляется мгновенно через пустое пространство. Если один из зарядов изменяет своё местоположение (изменяется расстояние между зарядами), то в соответствии с законом Кулона мгновенно изменяется сила, действующая на другой заряд. Совершенно иначе подошёл к анализу взаимодействия заряженных тел М. Фарадей. Оригинальность и самобытность взглядов Фарадея отчасти связана с особенностями его пути в науку. Сын кузнеца, он получил только начальное образование и уже в 13 лет начал трудовую жизнь. Работая переплётчиком, мальчик увлекался чтением книг, особенно по естественным наукам — физике и химии. Он посещал общедоступные лекции видных учёных, проводил в домашних условиях опыты по физике и химии, а в 21 год начал работать ассистентом в лаборатории английского физика и химика Г. Дэви. Уже через четыре года Фарадей стал вести самостоятельные научные исследования. Он не воспринял господствующей среди учёных того времени теории дальнодействия. Суть его взглядов на взаимодействие заряженных тел на современном научном языке можно сформулировать так: с каждым электрическим зарядом в окружающем пространстве связано электрическое поле; изменение местоположения заряда вызывает в этом поле возмущение, которое распространяется с конечной скоростью; когда возмущение достигает другого заряда, он «чувствует» изменение силы взаимодействия. Стремясь сделать новые представления более наглядными, Фарадей ввёл понятие силовых линий (линий напряжённости). 220 Важность разработанного М. Фарадеем подхода к изучению электричества была понята далеко не сразу, и мы ещё вернёмся к этому вопросу при рассмотрении магнитных явлений. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 10 Закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов остаётся постоянной: ••• + 9л= const. Для покоящихся точечных электрических зарядов справедлив закон Кулона: F=k МЯг] ег^ где k = 9 * 10® Нм^ Кл^ — коэффициент пропорциональности. Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется посредством электрического поля. С каждым электрическим зарядом в окружающем его пространстве связано электрическое поле. Электрическое поле материально. Напряжённость электрического поля — силовая характеристика поля. Это векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей на положительный точечный заряд д, помещённый в данную точку поля, к этому заряду: Я Напряжённость поля точечного заряда q на расстоянии г от него: Напряжённость электрического поля системы N зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, связанных с каждым из них в отдельности (принцип суперпозиции): Е = El -1“ Е2 "Ь ... "Ь Ef/. Работа сил электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой движется заряд, а зависит только от положения начальной и конечной точек, между которыми происходит перемещение. Потенциал — это физическая величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: ф = — Я 221 • Разность потенциалов — это физическая величина, равная отношению работы, совершаемой силами поля при перемеш;ении заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду: А Ф1 - ф2 = —• • Напряжённость однородного электрического поля и разность потенциалов связаны соотношением: • Конденсатор — совокупность двух проводников, заряженных разноимёнными и равными по модулю зарядами. • Электрическая ёмкость конденсатора — физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками: С= . ф, ф2 • Заряженный конденсатор обладает энергией, которая определяется по формуле _ С(ф1 - (р2)^ 2 • Энергия заряженного тела сосредоточена в связанном с ним электрическом поле. Законы постоянного электрического тока § 67. Условия, необходимые для существования электрического тока Вам уже известно, что многие тела проводят электрический ток и поэтому называются проводниками. К ним относятся металлы, растворы солей, кислот и щелочей и др. В первую очередь нас будет интересовать электропроводность металлов, поскольку некоторые полученные при этом сведения оказываются общими для всех видов проводников. Электрическим током называют упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. Носителями тока могут быть электроны и (или) ионы. О наличии электрического тока в проводниках можно судить по действиям, которые он производит: тепловому (нагревание проводников), химическому (изменение химического состава вещества в гальванических элементах), магнитному (отклонение магнитной стрелки вблизи проводников с током). За направление электрического тока в проводнике принято направление упорядоченного движения положительных зарядов. Это было сделано ещё тогда, когда не было известно, какие заряженные частицы перемещаются в электрической цепи, составленной из металлических проводников. В действительности в металлическом проводнике упорядоченно перемещаются отрицательно заряженные частицы — электроны. Количественно электрический ток характеризуется физической величиной — силой тока. Силой тока называют физическую величину, равную отношению заряда q, переносимого сквозь поперечное сечение проводника за промежуток времени t, к этому промежутку времени: /= Я. (11.1) Единица силы тока — ампер (А). Это основная единица в СИ. Эталонное значение ампера устгшавливается с помощью магнитного взаимодействия токов. Ток называется постоянным, если сила тока и направление тока не изменяются со временем. Вы уже знаете, что для возникновения и существования электрического тока необходимо наличие свободных заряженных частиц, а также замкнутой электрической цепи. Однако выполнения этих условий ещё недостаточно для поддержания электрического тока. Обратимся к опыту. 223 Если положительно заряженный полый шар А соединить с незаряженным шаром В, то возникнет кратковременный электрический ток. О наличии тока можно судить по вспышке электрической лампочки. Ток будет протекать до тех пор, пока разность потенциалов между шарами А и Б не станет равной нулю (рис. 11.1). После этого ток прекратится. Опыт указывает на важнейшее условие, необходимое для возникновения в проводнике электрического тока: наличие разности потенциалов на концах проводника. Но разность потенциалов может суш[ествовать, если имеется электрическое поле. Тогда на заряженные частицы будут действовать силы, обеспечиваюидие их упорядоченное движение, т. е. электрический ток. Известно, что в металлическом проводнике, находящемся в электрическом поле, электроны перераспределяются так, что в любой точке внутри проводника напряжённость поля равна нулю. Следовательно, электростатическое поле не может вызвать длительное упорядоченное движение электронов в проводнике, т. е. не может привести к возникновению постоянного электрического тока. Как же создать в проводнике такое поле, которое, действуя на заряды, способно вызывать и поддерживать в проводнике постоянный электрический ток? Снова обратимся к опыту (см. рис. 11.1). Представим себе, что можно было бы переносить заряды с шара В на шар А, образовав при этом замкнутую цепь ACBDA. Тогда в цепи можно было бы поддерживать ток. Вопрос заключается в том, как осуществить перенос зарядов от Б к А. Ведь электрическое поле между шарами обеспечивает движение зарядов лишь от А к Б. Обратный перенос зарядов (от Б к А) против действия электрического поля возможен только за счёт сил неэлектрического происхождения. Эти силы создаются специальным устройством, называемым источником тока, включённым в замкнутую цепь. Понять роль источника тока поможет следующая модель (рис. 11.2). В два одинаковых сосуда А и Б, расположенных на различной высоте, налита вода. N Рис. 11.1 224 в сосудах имеются отверстия. Отверстия могут быть открыты одновременно или поочерёдно. Если в верхнем сосуде отверстие открыто, а в нижнем закрыто, то вода из сосуда А будет перетекать в сосуд D. Предположим, что необходимо создать непрерывный ток воды в замкнутой гидродинамической системе ADBNA. Тогда в этой системе нужно иметь насос Н, который заставил бы воду двигаться вверх, преодолевая силу тяжести. Для этого насос должен совершать работу. Вниз же (от А к D) вода течёт под действием силы тяжести, т. е. постоянный уровень воды в сосуде А должен создаваться работой насоса. Роль такого насоса в электрической цепи играет источник тока. Он обеспечивает непрерывный перенос электрического заряда по замкнутой цепи. Таким образом, постоянный электрический ток может быть создан только в замкнутой электрической цепи, содержащей источник тока. Проверьте себя 1. Какие вы знаете проводники электрического тока? 2. Дайте определение электрического тока. 3. Какие условия должны выполняться, чтобы в проводнике мог существовать электрический ток? 4. Какую физическую величину называют силой тока? В каких единицах она выражается? 5. Какой ток называют постоянным? 6. В какую сторону перемещаются электроны, если ток в металлическом проводнике направлен слева направо? 7. Какова роль источника тока в электрической цепи? § 68. Электродвижущая сила Сторонние силы. Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содержащую источник тока (рис. 11.3). В такой цепи принято различать внешнюю цепь abed и внутреннюю ad. Внешняя цепь содержит различные приборы и устройства (их называют потребителями). Внутренняя цепь состоит из источника тока. Потребители подключаются к источнику тока с помощью проводов. Из § 65 известно, что источник тока предназначен для создания и поддержания постоянного тока в электрической цепи. В нём на заряды действуют помимо кулоновских ещё неэлектростатические силы, называемые сторонними. Если кулоновские силы вызывают соединение разноимённых зарядов и уменьшение разности потенциалов, то сторонние силы вызывают разделение разноимённых зарядов и поддерживают разность потенциалов на полюсах источника. Происхождение сторонних сил может быть различным. Так, в аккумуляторах и гальванических элементах они обусловлены химическими R 225 процессами. В генераторе работа совершается сторонними силами за счёт механической энергии, затрачиваемой на врагцение ротора. Под действием сторонних сил заряды движутся внутри источника тока в направлении, противоположном действию сил электростатического поля. Именно благодаря этому на концах внешней цепи поддерживается разность потенциалов и в ней течёт постоянный электрический ток. Таким образом, перемещение электрических зарядов в цепи вызывают электростатические (кулоновские) и сторонние силы, действующие на заряды. Полная работа, необходимая для протекания в цепи постоянного тока. А = Ак "Ь Аг (11.2) где Ак — работа кулоновских сил, А„ — работа сторонних сил. Электродвижущая сила. Предположим, что в замкнутой электрической цепи мы выделили участок 1—2, содержащий источник тока (рис. 11.4, а). Пусть по этому участку перемещается заряд q. Разделим обе части уравнения (11.2) на заряд q: А Я Я (11.3) Рассмотрим подробнее физический смысл всех членов, входящих в получен-ное уравнение. Согласно формуле (10.12) = cpi ~ Фг — разность потенциалов между точками 1 и 2. Величина = S называется электродвижущей силой или, сокращённо, ЭДС. Она характеризует действие сторонних сил. Электродвижущая сила — это физическая величина, равная отношению работы сторонних сил по перемещеЕшю положительного заряда по участку цепи к этому заряду: F-H - ^ __ Act (11.4) б Рис. 11.4 Из формулы (11.4) и сравнения её с формулой (10.12) следует, что ЭДС в СИ выражается в вольтах (В). По поводу определения ЭДС нужно сделать два замечания. Первое замечание терминологическое: хотя эту величину и называют электродвижущей силой, в действительности она силой не является. 226 Второе замечание более существенно. Мы говорили о наличии ЭДС на участке 1—2, но она существует там, где действуют сторонние силы, т. е. внутри источника тока. Сторонние силы совершают работу по перемещению зарядов против сил поля внутри источника, и между его полюсами создаётся и поддерживается разность потенциалов, необходимая для протекания по цепи постоянного электрического тока. Напряжение. Формула (11.3) позволяет ввести энергетическую характеристику любого участка цепи — напряжение (обозначается U). Напряжением на участке цепи называют физическую величину, равную отношению полной работы, которая совершается кулоновскими и сторонними силами при перемещении вдоль участка цепи положительного заряда, к этому заряду. Используя предыдущие формулы, можно записать: и = (pi - Ц>2 + (11.5) Напряжение на участке цепи равно сумме разности потенциалов на концах этого участка и электродвижущей силы. Напряжение, как и ЭДС, выражается в вольтах. Предположим, что на участке 1—2 замкнутой цепи не включён источник тока (рис. 11.4, б). Тогда ЭДС на участке 1—2 отсутствует (^'= 0) и С/ = (Pi - (р2. На участке цепи, не содержащем источника тока, напряжение равно разности потенциалов. Проверьте себя 1. Что называют электродвижущей силой? В каких единицах она выражается? 2. Какую величину называют напряжением? В каких единицах оно выражается? 3. Чему равно напряжение на участке цепи, не содержащем источника тока? 4. Чему равно напряжение на участке цепи, в который включён источник тока? УПРАЖНЕНИЕ 44 1. При перемещении заряда 5 Кл внутри источника тока сторонние силы совершают работу 30 Дж. Чему равна ЭДС источника? 2. ЭДС источника тока равна 4,5 В. Какую работу совершают сторонние силы при перемещении внутри источника заряда 2 Кл? 227 § 69. Закон Ома я брал куски цилиндрической проволоки произвольной длины из различных материалов и помещал их поочерёдно в цепь... Г. Ом Сила тока на участке цепи, как показывает опыт, зависит от напряжения на этом участке. Для того чтобы изучить эту зависимость, вспомним, что сила тока в цепи измеряется амперметром, а напряжение — вольтметром и что амперметр включается в цепь последовательно, а вольтметр — параллельно тому участку цепи, на концах которого измеряется напряжение. Соберём электрическую цепь по схеме, изображённой на рис. 11.5. На участке 1—2 включён резистор сопротивлением R и вольтметр, измеряющий напряжение на нём. Меняя источники тока, можно обнаружить, что сила тока и напряжение на резисторе изменяются (рис. 11.6). Однако для данного резистора при постоянной температуре сила тока пропорциональна напряжению: С/, или 1=^ ^ R’ (11.6) где R — электрическое сопротивление резистора. Эту зависимость, установленную в 1826 г. немецким учёным Г. Омом, называют законом Ома. Любой потребитель во внешней цепи и соединительные провода обладают сопротивлением, которое служит важнейшей характеристикой их электрических свойств. Закон Ома (11.6) позволяет установить единицу сопротивления — ом. Ом равен электрическому сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении на его концах 1 В сила тока равна 1 А: 1 Ом = ^ = 1 В/А. 228 Как вы уже знаете, сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого он изготовлен. Для однородного проводника постоянного сечения р — R g. (11.7) где р — удельное сопротивление проводника, I — длина проводника, S — площадь его поперечного сечения. Удельное сопротивление проводника зависит от материала, из которого изготовлен проводник, и температуры, при которой измеряется сопротивление. Единица удельного электрического сопротивления — Ом-метр (0м м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1,6-10“® 0м м) и медь (1,7-10“® Ом-м). На практике наряду с медными проводами применяют алюминиевые. Хотя удельное сопротивление алюминия (2,8 -10 ® Ом-м) больше, чем у меди, но зато он обладает меньшей плотностью. Выразим из закона Ома напряжение на участке цепи: и = IR. Опыт показывает, что эта зависимость справедлива для произвольного участка электрической цепи: напряжение U на участке цепи равно произведению силы тока I на сопротивление R этого участка. Учитывая формулу (11.5), запишем закон Ома для произвольного участка цепи, в котором есть источник тока, в таком виде: /Д = Ф1 - (р2(11.8) Произведение силы тока на сопротивление участка цепи равно сумме разности потенциалов на концах этого участка и ЭДС источника тока. Из этой формулы выразим силу тока: ^ Ф1 - (р2 + R (11.9) Это выражение представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи — обобщённый закон Ома. Если на данном участке цепи источник тока отсутствует = 0), то из (11.9) приходим к закону Ома для однородного участка цепи. Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, состоящую из источника тока, ЭДС которого а внутреннее сопротивление г, и внешней части цепи, сопротивление которой R. Общее сопротивление i?o6m внешней и внутренней цепи 7?общ = R + г. Для замкнутой цепи выбранные точки 1 и 2 совпадают, поэтому (pi = фг, значит, ф1 - ф2 = 0. С учётом этого выражение (11.9) запишем в виде I = Г R + г‘ (11.10) Эта формула выражает закон Ома для полной цепи. 229 Сила тока в полной цепи прямо пропорциональна ЭДС источника тока и обратно пропорциональна сумме сопротивлений внешнего и внутреннего участка цепи. ЗАДАЧА ЭДС источника тока равна 4,5 В, внутреннее сопротивление 1,5 Ом. Определите силу тока в цепи, если сопротивление резистора 7,5 Ом. Чему равно напряжение на резисторе? Решение. По закону Ома для полной цепи сила тока в цепи 1 = Л + г’ I = 0,5 А. Напряжение на резисторе и = IR; и = 3,75 В. Проверьте себя 1. Сформулируйте закон Ома для участка цепи. 2. Какое сопротивление принимают за единицу сопротивления в СИ? 3. От каких величин зависит сопротивление проводника? 4. Как формулируется закон Ома для неоднородного участка цепи? для полной цепи? УПРАЖНЕНИЕ 45 1. Определите напряжение на резисторе сопротивлением 100 кОм при силе тока в нём 1 мА. 2. Сила тока в лампочке карманного фонаря равна 0,28 А при напряжении 3,5 В. Найдите сопротивление нити накала лампочки. 3. Источник тока, ЭДС которого 16 В, замкнут на резистор сопротивлением 6 Ом. Сила тока в цепи 2 А. Определите внутреннее сопротивление источника тока. 4. ЭДС источника тока равна 4,5 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. Определите силу тока в цепи при сопротивлении резистора 8 Ом. Чему равно напряжение на резисторе? 5. ЭДС источника тока 6 В. При силе тока 0,5 А напряжение на резисторе равно 5,8 В. Вычислите внутреннее сопротивление источника тока. *§ 70. Соединение проводников Замечательные успехи в развитии электротехники... доситгнуты только на основе открытия Г. Ома. Б. Ломмель Электрические цепи, которые применяют на практике, представляют собой различные соединения проводников. Они, как правило, сложны. К наиболее простым из них относят последовательное и параллельное соединения. 230 Рис. 11.7 R2 При последовательном соединении проводни- RI R2 ки включаются последовательно один за другим (рис. 11.7). Соберём электрическую цепь по схеме, изображённой на рис. 11.8, а. Она содержит два последовательно соединённых проводника, сопротивления которых Ri и i?2. Мы увидим, что амперметры, включённые в разные точки этой цепи, показывают одинаковую силу тока: J = /l = /2. (11.11) При последовательном соединении проводников сила тока во всех частях цепи одинакова. Включим в цепь вольтметры так, чтобы они измеряли напряжение на каждом из проводников, а также полное напряжение на них (рис. 11.8, б). Опыты показывают, что U = U^ + U2. (11.12) При последовательном соединении проводников напряжение в цепи равно сумме напряжений на каждом проводнике. На основании закона Ома для участка цепи можно написать: и, = IRu Пг = IR2. Следовательно, 4l ^ и2 R2' Напряжения на последовательно соединённых проводниках прямо пропорциональны их сопротивлениям. Подставляя выражения для напряжений в уравнение (11.12), получаем: и = I{R, + R2). Если общее сопротивление цепи равно R, то и = Ш. Тогда R = Ri + R.2. (11.13) Общее сопротивление цепи, состоящей из двух последовательно соединённых проводников, равно сумме их сопротивлений. Если электрическая цепь содержит п последовательно соединённых проводников, сопротивления которых Ri, R2, ...» R„, то R — R\ "Ь R2 "Ь ... -Ь Rfi- (11.14) 231 R1 R2 Рис. 11.9 R1 Рис. 11.10 На практике часто применяют параллельное соединение проводников, при котором начала и концы проводников имеют общие точки соединения (рис. 11.9). На рис. 11.10 представлена схема электрической цепи, в которой осуществлено такое соединение. Ток I, идущий от источника и измеряемый амперметром А, разветвляется в точке В и течёт через два резистора R1 и R2, включённых параллельно друг другу. Амперметры в каждой из ветвей цепи измеряют силу тока Ii и /г. Опыт показывает, что сила тока I в неразветвлённой цепи равна сумме сил токов Ii и I2 в её ветвях'. / = /i + /2. (11.15) Вольтметр, присоединённый к точкам В и С, показывает, что напряжение на параллельно соединённых участках цепи одинаково'. и = const. По закону Ома для каждой ветви можно написать: i?/ R2' Разделив почленно первое из этих соотношений на второе, получим: I2 R\ Силы токов в параллельно соединённых участках цепи обратно пропорциональны их сопротивлениям. Если общее сопротивление разветвлённой цепи с параллельно соединёнными участками обозначить через R, то по закону Ома /=^. R Силы токов в параллельных ветвях складываются, поэтому у_ ^ и_ , и_ R R, Rz‘ Сокращая это выражение на U, получаем: J_ R2' i = ж + (11.16) 232 Величина, обратная общему сопротивлению разветвлённой цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно соединённых ветвей. Если в цепи имеются не две параллельно включённые ветви, а п и сопротивление ветвей равно соответственно i?i, Rz, Rst -ч Rn^ то формула (11.16) принимает вид ^ = ± + +J-. R д, ^ /г. (11.17) ЗАДАЧА 1 Три резистора, сопротивление которых Ri = = 16 Ом, Rz = 6 Ом, Rz = 12 Ом, соединены по схеме, показанной на рис. 11.11. Найдите общее сопротивление цепи и силу тока в резисторе 7?2, если напряжение U^b = 30 В. Решение. Как видно из рис. 11.11, участок цепи, состоящий из параллельно соединённых резисторов R2 и R3, включён последовательно с резистором R1. Сопротивление Т?2.з параллельного участка цепи найдём по формуле R2 _ R2R3 Ri + Ra Ro_z = 4 Ом. Тогда общее сопротивление Д = -ь Rz,z\ Д = 20 Ом. Зная напряжение С/дв, можно по закону Ома найти силу тока в общей цепи; 1= /= 1,5 А. Напряжение на параллельном участке цепи согласно закону Ома равно Uz.z — IRi.Zi Uzn — 6 в. 2.3 Следовательно, 4l Ri ’ г _ '-'2.3 . — h=l А. ЗАДАЧА 2 Резисторы сопротивлением 20 и 30 Ом соединены параллельно и подключены к источнику тока, ЭДС и внутреннее сопротивление которого равны 25 В и 0,5 Ом соответственно. Определите напряжение на внешнем участке цепи. Решение. Сопротивление внешнего участка цепи найдём по формуле R\Ri R = R\ + Ri Д = 12 Ом. 233 Согласно закону Ома для полной цепи Г I = ; 1 = 2 А. R + г Тогда напряжение на внешнем участке цепи и = Ш; и =24 В. УПРАЖНЕНИЕ 46 1. Два резистора сопротивлением = 10 Ом и i?2 = 20 Ом соединены последовательно, и на них подано напряжение = 12 В. Определите силу тока в цепи и напряжение на каждом резисторе. 2. При напряжении 12 В сила тока в резисторе равна 0,5 А. Когда последовательно с ним включили еш;ё один резистор, сила тока оказалась равной 0,3 А (при неизменном напряжении). Найдите сопротивления резисторов. 3. Сколько лампочек нужно соединить последовательно при изготовлении ёлочной гирлянды на напряжение 220 В, если сопротивление каждой лампочки 64 Ом, а сила тока в ней должна быть 0,2 А? 4. Четыре резистора, сопротивлением 1 Ом каждый, соединены последовательно и подключены к источнику тока, ЭДС которого 4,5 В и внутреннее сопротивление 0,5 Ом. Найдите напряжение на одном резисторе. 5. Шесть одинаковых ламп включены параллельно в цепь напряжением 220 В. Определите силу тока в неразветвлённой части цепи, если сопротивление одной лампы 484 Ом. 6. Какие можно получить значения сопротивлений, соединяя всеми возможными способами три резистора, если сопротивление каждого равно 6 Ом? *§71. Работа и мощность электрического тока и силён электрический, ток! А. А. Блок Работа тока. При протекании по проводнику электрического тока электрические силы совершают работу. Эта работа производится за счёт энергии электрического поля. Таким образом, в конечном счёте работа, связанная с прохождением электрического тока, совершается за счёт энергии источника тока. Кратко её называют работой тока. Все тела, в том числе и проводники, обладают внутренней энергией. При прохождении электрического тока проводники нагреваются, т. е. их внутренняя энергия увеличивается. Увеличение внутренней энергии проводника происходит за счёт работы тока. Работа по переносу заряда в электрическом поле А = <7(Ф1 - Фг), где q — перенесённый заряд, Ф1 - Фг — разность потенциалов точек, между которыми перемещается заряд. 234 Если участок проводника не содержит источника тока, то разность потенциалов cpi - ф2 равна напряжению на концах участка: (pi - Фа = U, тогда А = qU. Заряд, перенесённый в процессе протекания тока в цепи, можно выразить через силу тока I: q = It. Следовательно, работа тока на участке цепи А = lUt. (11.18) Работу тока выражают в джоулях (Дж): 1 Дж = 1 А • 1 В • 1 с. Выражение для работы тока можно записать иначе, если использовать закон Ома в виде U = IR, тогда A = I^Rt, (11.19) или A=^t. (11.20) Закон Джоуля — Ленца. Если проводник с током неподвижен, то работа тока идёт на нагревание проводника. Изменение внутренней энергии проводника (количество теплоты) равно работе, совершаемой электрическим полем при перемещении зарядов: Q = А = I^Rt. (11.21) Эта формула выражает закон Джоуля — Ленца, установленный опытным путём. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике, прямо пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени прохождения электрического тока. Этот закон был открыт английским физиком Дж. Джоулем в 1841 г. и независимо от него петербургским учёным Э. X. Ленцем, опубликовавшим работу лишь в 1843 г. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике, можно определить также по формулам Q = IUt, (11.22) Q = ^t. (11.23) Различными записями формулы для количества теплоты, выделяющегося в проводнике, по которому течёт ток, пользуются в зависимости от конкретной ситуации. Поясним сказанное на примере. Рассмотрим электрическую цепь, в которой ток проходит через два проводника, одинаковые по длине и площади поперечного сечения, изготовленные из меди и нихрома. Удельное 235 т R2 Рис. 11.12 сопротивление нихрома приблизительно в 60 раз больше, чем у меди. Во столько же раз сопротивление нихромового провода больше сопротивления медного провода. Соединим эти провода последовательно и подключим их к источнику тока через реостат (рис. 11.12, а). Изменяя сопротивление реостата, можно добиться того, что нихромовый провод раскалится докрасна. Температура медного провода при этом повысится незначительно. Этот опыт легко объяснить с помощью формулы Q = PRt. Сила тока в последовательно соединённых проводах одинакова, поэтому выделяемые в них количества теплоты пропорциональны сопротивлениям проводов: Qi : Q2 ” ■ R2 ~ 60. Соединим теперь медный и нихромовый провода параллельно и вновь подключим к источнику тока (рис 11.12, б). В этом случае картина изменяется: медный провод раскаляется докрасна, а нихромовый почти не нагревается. Для объяснения этого опыта удобно воспользоваться формулой Г/2 Q = ^t. Напряжение на параллельно соединённых проводах одинаково. Поэтому выделяемые в проводах количества теплоты обратно пропорциональны их сопротивлениям: Q2 • Qi ~ Ri • R2 ~ 60. Тепловое действие электрического тока нашло широкое применение в технике. В 1872 г. русский инженер А. Н. Лодыгин впервые использовал тепловое действие тока для электрического освещения. Первоначально Лодыгиным были созданы лампы накаливания с угольными стерженьками. В дальнейшем он их значительно усовершенствовал. На нагревании проводников электрическим током основано действие электропечей и различных бытовых нагревательных приборов. Это явление используется также в электронных лампах, в измерительной технике, в контактной электросварке и во многих других областях техники. Мощность тока. Наряду с работой тока важное значение имеет понятие мощности тока. 236 Мощность тока равна отношению работы тока к промежутку времени, в течение которого эта работа совершена: (11.24) Мощность вычисляют по одной из следующих формул, вытекающих из выражений (11.18), (11.19), (11.20): Р = PR; Р = IU; Р = R (11.25) (11.26) (11.27) Мощность электрического тока выражают в ваттах (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с. В электротехнике широко используют кратные ватту единицы мощности — киловатт (1 кВт = 10® Вт) и мегаватт (1 МВт = 10® Вт). Для практического измерения мощности электрического тока в проводнике сопротивлением R надо одновременно измерять силу тока в нём и напряжение. Схема включения приборов (амперметра и вольтметра) приведена на рис. 11.13. Существует специальный прибор — ваттметр, который позволяет непосредственно измерять мощность электрического тока.^В нём «объединены» амперметр и вольтметр. Электрическую энергию, которая потребляется различными приборами, измеряют счётчиками электроэнергии в киловатт-часах (кВт • ч). 1 кВт • ч = 10® Вт • 3600 с = 3600000 Дж. ЗАДАЧА Мощность электрического паяльника при напряжении 220 В равна 90 Вт. Найдите сопротивление нагревательной обмотки паяльника и силу тока в ней. Решение. Сопротивление обмотки паяльника в нагретом состоянии на- ходим из формулы Р = —. Получаем: R = R = 538 Ом. К г Мощность тока можно выразить и так: Р = UI. Тогда сила тока в обмотке паяльника / = ^; 7 = 0,4 А. 237 Проверьте себя 1. За счёт какой энергии совершается работа при прохождении в цепи электрического тока? 2. Как вычислить работу тока на участке цепи? 3. В каких единицах выражают работу тока? 4. Сформулируйте закон Джоуля — Ленца. 5. Что характеризует мощность электрического тока? 6. В каких единицах выражают мощность тока? Докажите, что 1 Вт = = 1 А • В. 7. Как практически измеряют мощность тока, работу электрического тока? 8. Что такое киловатт-час? УПРАЖНЕНИЕ 47 1. Какая работа за 5 мин совершается электрическим током в нити лампочки карманного фонаря, если напряжение на лампочке 3,5 В, а сила тока в ней 0,28 А? 2. Какое количество теплоты выделится за 10 мин в резисторе сопротивлением 1 кОм, если сила тока в нём 10 мА? 3. Два проводника, сопротивление которых равно 50 и 100 Ом, включены в электрическую цепь последовательно. В каком из них выделится большее количество теплоты и во сколько раз? 4. Номинальная сила тока в предохранителях для городских квартир при напряжении 220 В равна 6 А. Определите мощность электроприборов, которые могут действовать в квартире одновременно. 5. Какова сила тока в автомобильном стартёре мощностью 6 кВт при запуске двигателя, если напряжение на клеммах стартёра 12 В? 6. Какое максимальное напряжение можно подать на резистор сопротивлением 1 кОм, если мощность тока в нём не должна превышать 5 Вт? 7. Почему нить электролампы сильно нагревается, а подводящие провода остаются холодными? 8. На цоколе электрической лампы написано: «100 Вт, 220 В». Определите сопротивление её нити накала в рабочем состоянии. 9. В классе включено шесть электрических ламп мощностью 150 Вт каждая. Какую работу совершает электрический ток за 4 ч? ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТОКЕ Да будут святы те, кто в творческом пылу. Исследуя весь мир, открыли в нём законы. Э. Верхарн С какими трудностями приходилось сталкиваться первым исследователям электрического тока, показывает история открытия закона Ома. Выдающийся немецкий физик Г. С. Ом начал свои работы ещё будучи преподавателем физики 238 Георг Ом (1787-1854) в Кёльнской гимназии. Схема его опытов очень проста. Он помещал между двумя точками электрической цепи куски проволоки одинакового диаметра из разных материалов и изменял их длину так, чтобы в цепи сила тока имела одно и то же значение. О силе тока Ом судил по отклонению магнитной стрелки, подвешенной на металлической проволочке вблизи проводника с током (этот способ измерения вам станет понятен позже). Химические источники тока были тогда очень несовершенны, и за время, необходимое для измерений, ЭДС источника заметно менялась. Поэтому первые измерения были очень неточными. Впоследствии Ом использовал в качестве источника тока термопару из меди и висмута, что позволило ему установить связь между напряжением и силой тока. Полученные экспериментальные результаты Ом осмыслил теоретически. Он ввёл понятия ЭДС и силы тока, сформулировал закон, названный впоследствии его именем, и применил этот закон к различным электрическим цепям, в частности к последовательному и параллельному соединению проводников. Полученные Омом результаты были опубликованы в 1826 г., однако исследования учёного долго оставались незамеченными, а то и подвергались критике со стороны некоторых физиков. Это объясняется тем, что многие физики того времени не интересовались свойствами проводников, считая их пассивной частью электрической цепи. И только в конце 30-х — начале 40-х годов XIX в. закон Ома, который впоследствии стал одним из основных законов электротехники, был признан физиками. Одним из первых принял и применил этот закон петербургский академик Э. X. Ленц. Первая работа о тепловом эффекте электрического тока была опубликована Дж. Джоулем в конце 1841 г. Джоуль установил, что количество теплоты, выделяемое током в проводнике, прямо пропорционально квадрату силы тока. Э. X. Ленц начал аналогичные эксперименты задолго до Джоуля, его опыты были выполнены более точно и обстоятельно, он тщательно определил используемые им единицы силы тока, ЭДС и сопротивления. Кроме того, Ленц установил, что выделяемое током в проводнике количество теплоты прямо пропорционально сопротивлению проводника. Поэтому после выхода в свет работы Ленца в 1843 г. этот закон вошёл в науку под названием закона Джоуля — Ленца. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 11 Электрический ток — упорядоченное движение зарядов. Сторонние силы — силы неэлектрической природы, действующие на заряженные частицы на участке цепи, где включён источник тока. 239 R = Электродвижущая сила (ЭДС) — физическая величина, равная отношению работы сторонних сил по перемещению положительного заряда на участке цепи к этому заряду: Ч ' Закон Ома для участка цепи. Сила тока пропорционгшьна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника: Закон Ома для полной цепи. Сила тока прямо пропорциональна ЭДС источника тока и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи: л + г Сопротивление однородного проводника постоянного сечения прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади поперечного сечения: р/ S' Общее сопротивление электрической цепи, состоящей из последовательно соединённых проводников, равно R = Ri + R2 "t" ... + Rn- При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлению ветвей: Преобразование энергии источника тока во внутреннюю энергию проводника связано с работой электрического поля, которая равна работе тока: А = lUt. При этом количество теплоты, выделяющееся в проводнике, равно работе тока (закон Джоуля — Ленца): Q=A = PRt. Мощность тока равна отношению работы тока ко времени совершения работы: i = i + R R, Электрический ток в различных средах § 72. Элементы теории электропроводности металлов в теории, которая даёт подобные результаты, несомненно должна быть большая доля истины. X. Лоренц Мы пока не говорили о том, как было установлено, какие именно электрические заряды перемещаются в электрической цепи, составленной из металлических проводников. Первые эксперименты для получения ответа на этот вопрос были поставлены в начале XX в. В одном из них (опыте Рикке) из трёх последовательно соединённых металлических цилиндров (медного, алюминиевого и медного) одинакового радиуса и длины была образована цепь (рис. 12.1). Через неё в течение года пропускали ток. В общей сложности через цилиндры прошёл заряд 3,5 10® Кл. Никаких следов переноса меди или алюминия при этом не обнаружилось. Следовательно, электропроводность металлов обусловлена перемещением таких заряженных частиц, которые, будучи общими для всех металлов, не связаны с различием их физических и химических свойств. Такими частицами являются электроны. Немецкий учёный П. Друде построил простейшую электронную теорию проводимости металлов. В дальнейшем эта теория была развита голландским физиком X. Лоренцем. В металлах атомы ионизованы, т. е. от них отделились электроны, которые называют электронами проводимости. Эти электроны движутся беспорядочно (рис. 12.2), подобно атомам газа, заключённого в некоторый сосуд. Эта аналогия послужила основанием для того, чтобы электроны проводимости в металле были названы электронным газом. Концентрация электронов проводимости для большинства металлов велика (10^®—10^® м“®). Этим объясняется хорошая проводимость металлов. Во внешнем поле электроны получают дополнительную скорость упорядоченного движе-ния_в направлении, противоположном вектору Е напряжённости поля. Поэтому электроны начинают упорядоченно перемещаться между + Си А1 Си Рис. 12.1 241 Рис. 12.3 ионами, находящимися в узлах кристаллической решётки (рис. 12.3), и возникает электрический ток. Средняя скорость упорядоченного движения электронов мала, она в сотни миллионов раз меньше средней квадратичной скорости электронов. Чем больше напряжённость поля Е, тем больше скорость упорядоченного движения электронов и сила тока соответственно. При своём движении электроны сталкиваются с ионами кристаллической решётки. Эти столкновения тормозят упорядоченное движение электронов. Так электронная теория упрощённо объясняет причину электрического сопротивления проводников. При столкновениях электроны передают ионам энергию, накопленную в электрическом поле, что ведёт к нагреванию проводника. Таково объяснение закона Джоуля — Ленца. Электронная теория не только качественно, но и количественно объяснила причину электрического сопротивления, законы Ома и Джоуля — Ленца и т. д. Однако в объяснении ряда явлений (например, сверхпроводимости) выводы классической электронной теории противоречат опытам, поскольку в ней слишком упрощённо рассматривается движение электронов в металлах. Эти противоречия преодолены в квантовой теории электропроводности. Проверьте себя 1. Каковы основные положения электронной теории проводимости металлов? 2. Как объяснить на основе электронной теории наличие сопротивления у проводников? 3. Объясните закон Джоуля — Ленца с точки зрения электронной теории. § 73. Зависимость сопротивления от температуры Через измерения — к знанию. Г. Камерлинг-Оннес Зависит ли сопротивление металлического проводника от температуры? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к опыту. Будем нагревать проводник (рис. 12.4), поддерживая во время опыта напряжение постоянным. Мы увидим, что при повышении температуры металлического проводника амперметр показывает меньшую силу тока. Следовательно, сопротивление металлов возрастает при нагревании. Как показывают опыты, сопротивление R проводника линейно зависит от его температуры: R = Ro(l + at), (12.1) где Ri) — сопротивление при О °С, t — температура по шкале Цельсия, а — температурный коэффициент сопротивления. 242 Рис. 12.4 Из формулы (12.1) следует, что а = Д - До R(,t (12.2) Температурный коэффициент сопротивления равен относительному изменению сопротивления проводника при его нагревании на 1°С. Аналогично выражению (12.1) для удельного сопротивления металлического проводника можно записать формулу р = ро(1 + at). (12.3) Для чистых металлов температурный коэффициент сопротивления близок к °С*^. У некоторых сплавов температурный коэффициент сопротивления очень мал, например, у константана он равен 10~® Поэтому такие сплавы применяют для изготовления точных образцов сопротивлений (эталонов сопротивления). В 1911 г. голландский учёный Г. Камерлинг-Оннес экспериментально исследовал сопротивление ртути при низкой температуре. При охлаждении ртути жидким гелием до температуры 4,1 К её сопротивление падало до нуля. Это явление получило название сверхпроводимости. Вещества, обладающие таким свойством, называют сверхпроводниками. Свойство сверхпроводимости обнаружено у многих металлов (свинец, алюминий и др.) и большого числа сплавов. В 1986—1987 гг. были открыты высокотемпературные сверхпроводники. Их сопротивление обращается в нуль при температуре около 100 К. Явление сверхпроводимости используют в науке и технике. Приведём пример. Сверхпроводящие материалы применяют для получения сильных магнитных полей. Если обмотку электромагнита изготовить из сверхпроводящего проводника, то сила тока в обмотке достигает больших значений и соответственно электромагнит создаёт сильное магнитное поле. Практическое применение сверхпроводимости непрерывно расширяется. Особенно большие надежды возлагаются на использование высокотемпературных сверхпроводников. 243 Проверьте себя 1. Как сопротивление металлического проводника зависит от температуры? 2. Какими особыми свойствами обладают сверхпроводники? § 74. Электрический ток в вакууме Мне не нужно ни лошадей, ни яхт, на всё это у меня нет времени. Мне нужна мастерская! Т. Эдисон Термоэлектронная эмиссия. В металлах имеется огромное число электронов проводимости, хаотически движущихся с большими скоростями. Такие частицы обладают большой кинетической энергией. Поэтому, оказавшись вблизи поверхности металла, электроны могут вырваться из него в окружающее пространство, словно молекулы с поверхности жидкости при испарении (рис. 12.5). Однако такой процесс нарушает электрическую нейтральность металла, и продолжающие вылетать электроны должны преодолевать силы притяжения со стороны избыточного положительного заряда, возникающего в металле в результате предшествующего вылета электронов. Кроме того, если вылетевшие электроны не удаляются от поверхности металла, то они образуют вблизи поверхности своеобразное электронное облако. Это облако препятствует движению вновь вылетающих электронов, так как им приходится преодолевать силы отталкивания со стороны образующих его частиц. Среди электронов, находящихся в облаке, могут быть такие, которые влетят обратно в металл. В результате между электронами в металле и электронами облака устанавливается подвижное равновесие: число электронов, покидающих металл в единицу времени, равно числу электронов, которые за это же время возвращаются в него. Электроны проводимости могут покидать металл по разным причинам. Вылет электронов за пределы металла называют электронной эмиссией ^ Простейшим и очень важным видом эмиссии является термоэлектронная эмиссия — испускание электронов нагретыми металлами. Нагревание способствует тому, что электроны приобретают энергию, достаточную для вылета из металла. Опыты показывают, что при температуре порядка 10'^ К термоэлектронная эмиссия происходит интенсивно. Вакуумный диод. Если в замкнутую цепь включить устройство, в котором происходит тер-Рис. 12.5 моэлектронная эмиссия, и отводить электроны. Q ‘ От лат. emissio — испускание, излучение. 244 вылетевшие из металла, то можно получить электрический ток. Это было подтверждено следуюпцим опытом. В стеклянную трубу 1 впаяны два металлических тела (электрода): проволочная спираль К (катод) и пластина А (анод) (рис. 12.6). Катод нагревается током от батареи накала G1, поэтому с его поверхности происходит термоэлектронная эмиссия. В трубке создан высокий вакуум для того, чтобы электроны, испускаемые катодом, при движении не сталкивались с частицами газа. Между анодом и катодом источником тока G2 создаётся напряжение которое можно плавно регулировать, изменяя сопротивление R. Это напряжение измеряется вольтметром. Амперметр, включённый в цепь анода, показывает, что при С/а ^ О возникает электрический ток. Сила анодного тока 1^ зависит от напряжения Ug^ между электродами и температуры катода. На рис. 12.7 показана зависимость силы тока /а от напряжения при постоянной температуре катода. При небольшом напряжении Ug^ сила тока вначале медленно растёт с повышением напряжения. Это объясняется тем, что при малом значении Ug не все электроны, испускаемые катодом, достигают анода. Часть из них образует электронное облако, препятствующее движению к аноду электронов, вновь вылетающих из катода. С повышением напряжения Ug электронное облако рассасывается, всё большее число электронов отводится к аноду и сила тока увеличивается. При некотором значении Ug = Ug рост силы тока прекращается. Это связано с тем, что число электронов, достигающих анода за единицу времени, становится равным числу электронов, вылетающих за то же время из катода, т. е. все электроны, покидающие катод, достигают анода, и нет резерва для дальнейшего увеличения силы тока. Максимальный электрический ток, возможный при данной температуре катода, называют током насыщения 1д. Вакуум-трубку с двумя впаянными электродами называют двухэлектродной электронной лампой (диодом). Важнейшее свойство такой лампы состоит в том, что в ней электроны движутся только в одном направлении — от катода К 1 245 к аноду А. Двухэлектродную лампу можно «запереть», если переменить знак напряжения f/g. Тогда ток в анодной цепи прервётся. Это означает, что двухэлектродная лампа обладает односторонней проводимостью. Этим свойством объяснялось широкое применение таких ламп для выпрямления переменного тока. В настоящее время ламповые выпрямители практически полностью заменены полупроводниковыми. Проверьте себя 1. Какое явление называют термоэлектронной эмиссией? 2. Какой ток называют током насыщения? 3. Почему при малом анодном напряжении сила анодного тока мала по сравнению с силой тока насыщения? 4. Почему электронные лампы обладают односторонней проводимостью? УПРАЖНЕНИЕ 48 1. Будет ли ток в анодной цепи (см. рис. 12.6), если поменять местами полюса у батареи G2? у батареи G1? Ответ объясните. 2. По рис. 12.7 ответьте на вопросы: Выполняется ли закон Ома для тока в вакууме? Почему при напряжении, большем С/„, график параллелен оси OG„? Как изменится график зависимости силы тока Д от напряжения Ga, если увеличить температуру катода? Первую электронную лампу создал Т. Эдисон, совершенствуя лампу накаливания. В 1883 г. им было открыто явление протекания тока через вакуум. § 75. Электронные пучки. Электронно-лучевая трубка Если в стеклянной трубке 1, изображённой на рис. 12.6, вблизи катода К расположить анод А с небольшим отверстием, то за ним можно получить узкий пучок электронов, который иногда называют электронным лучом. Электронный пучок можно обнаружить, если направить его на экран, покрытый сульфидом цинка. Попадая на такой экран, электроны вызывают его свечение. Электронные пучки обладают рядом свойств, которые широко используют в физике и технике. Перечислим важнейшие из них. 1. Попадая на некоторые твёрдые и жидкие вещества, электронные пучки вызывают их свечение. 2. Электронные пучки, попадающие на тела, нагревают их (это позволяет, например, применять электронные пучки для плавки сверхчистых металлов в вакууме) и оказывают на них механическое действие (например, лёгкая вертушка, поставленная на пути электронного пучка, приходит во вращение). 246 Рис. 12.8 Рис. 12.9 3. Торможение быстрых электронных пучков в веществе приводит к возникновению рентгеновского излучения. 4. Электронные пучки отклоняются в электрическом поле (например, в поле плоского конденсатора пучок отклоняется к положительно заряженной обкладке). 5. Электронные пучки отклоняются в магнитном поле. Отклонение электронных пучков в электрическом и магнитном полях позволяет управлять движением этих частиц. Электронные пучки используют в электронно-лучевой трубке (рис. 12.8). Электронный пучок в ней создаётся за счёт термоэлектронной эмиссии. Электроны, испускаемые катодом лампы, фокусируются в узкий пучок с помощью специальных электродов. Электронный пучок создаёт на экране светящееся пятно. Система перпендикулярно расположенных по отношению друг к другу пластин, на которые подано напряжение, осуществляет отклонение пучка в вертикальном и горизонтальном направлениях. Соответственно их называют вертикально отклоняющими и горизонтально отклоняющими пластинами. Изменение во времени напряжения на пластинах вызывает вертикальные и горизонтальные перемещения электронного пучка и, следовательно, светового пятна по экрану трубки. Малая масса электронов обеспечивает малую инерционность электронного пучка: электронный пучок практически мгновенно реагирует на изменение напряжения на управляющих пластинах. Электронно-лучевые трубки применяют, например, в электронном осциллографе (рис. 12.9). Этот прибор предназначен для изучения различных электрических процессов, протекающих за очень короткие промежутки времени. Широко используют электронно-лучевые трубки в телевизорах, в мониторах компьютеров. Проверьте себя 1. Как можно получить электронный пучок в вакууме? 2. Какие свойства электронных пучков вы можете назвать? Где и как их используют в технике? 247 3. Какие свойства электронных пучков используют в электронно-лучевой трубке? 4. Как осуществляется вертикальное отклонение электронного пучка в электронно-лучевой трубке? § 76. Электропроводность электролитов Атомы вещества каким-то образом одарены электрическими силами или связаны с ними, а им они обязаны своими наиболее замечательными качествами. М. Фарадей Электролитическая диссоциация. Проводят ли жидкости электрический ток? Рассмотрим опыт. В сосуд с дистиллированной водой опустим два электрода. Соберём цепь из источника тока, ключа и чувствительного амперметра. Если цепь замкнуть, то стрелка амперметра не отклонится. Это означает, что дистиллированная вода не содержит свободных носителей заряда и в цепи нет электрического тока. Однако если в воду ввести хотя бы незначительное количество какой-либо кислоты или щёлочи, то амперметр сразу же регистрирует наличие тока в цепи. Следовательно, растворы солей, кислот и щелочей (их называют электролитами) проводят электрический ток. Для того чтобы понять првгаину проводимости электролитов, вспомним из курса химии, что при растворении ряда веществ (некоторых солей, кислот и щелочей) происходит электролитическая диссоциация — распад молекул вещества на ионы. Положительными ионами становятся ионы металлов и водорода, отрицательными — ионы кислотных остатков и гидроксильных групп (ОН). Например: NaCl Na^ -н СГ НС1 Н + С1" CUSO4 Сп"^ -Ь 80^ Из закона сохранения электрического заряда следует, что при диссоциации электрически нейтральной молекулы на положительные и отрицательные ионы модули электрических зарядов ионов противоположных знаков должны быть равны друг другу. Хаотически движущиеся ионы противоположных знаков могут в результате столкновений вновь образовать нейтральную молекулу. Этот процесс, называемый рекомбинацией (воссоединением), противоположен электролитической диссоциации, так как уменьшает число свободных носителей заряда в электролите. С увеличением числа пар противоположно заряженных ионов, возникших вследствие электролитической диссоциации, растёт и число пар ионов, воссоединившихся в электрически нейтральные молекулы. При заданных неизменных внешних условиях (температура и давление) оба противоположных 248 Рис. 12.10 процесса (электролитическая диссоциация и рекомбинация) приводят к установлению динамического равновесия: число молекул, распадающихся на ионы в единицу времени, равно числу пар ионов, воссоединяющихся за это же время в нейтральные молекулы. Электролиз. Для возникновения в электролите электрического тока необходимо, чтобы ионы помимо хаотического теплового движения участвовали в упорядоченном движении, а для этого нужно создать в электролите внешнее электрическое поле. Если в раствор электролита опустить противоположно заряженные электроды, то такое поле будет создано и возникнет ток (рис. 12.10). Таким образом, электролиты обладают ионной проводимостью: электрический ток в них создаётся упорядоченным встречным движением противоположно заряженных ионов. Этим электролиты существенно отличаются от металлов, в которых электрический ток представляет собой упорядоченное движение свободных электронов. При повышении температуры электролитов возрастает средняя кинетическая энергия теплового движения и увеличивается концентргшдя положительно и отрицательно заряженных ионов. При этом сопротивление электролита с повышением температуры уменьшается. Достигая электродов, положительно заряженные ионы получают на катоде недостающие им электроны, а отрицательно заряженные ионы отдают свои избыточные электроны аноду. При этом ионы нейтрализуются и превращаются в атомы или группы атомов. Поэтому электрический ток в растворах электролитов приводит к выделению на электродах веществ, входящих в состав электролита. Это явление называют электролизом. Например, при электролизе раствора медного купороса CUSO4 на отрицательном электроде выделяется медь. Закон электролиза. Электролиз исследовал М. Фарадей. В 1833—1834 гг. он экспериментально установил, что масса т выделившегося на электроде вещества пропорциональна электрическому заряду д, прошедшему через электролит; т = kq, или т = kit. (12.4) где I — сила тока, t — время прохождения заряда через электролит, k — коэффициент пропорциональности, который называется электрохимическим эквивалентом вещества. Электрохимический эквивалент вещества численно равен массе выделившегося на электроде вещества при прохождении через электролит заряда 1 Кл. Электрохимический эквивалент вещества выражают в килограммах на кулон (кг/Кл). 249 Исследования показали, что электрохимический эквивалент, зависящий от природы вещества, равен , 1 М k - J eNx n где М — молярная масса вещества, п — его валентность, е — модуль заряда электрона, Np, — постоянная Авогадро. Подставляя выражение для k в закон (12.4), получим: 1 М т = —Гг----It. eNp п (12.5) Произведение сАд = Р называют постоянной Фарадея, её значение F = = 96000 Кл. С учётом этой величины закон электролиза примет вид 1 М г, т= — —It. F п (12.6) С помощью закона электролиза впервые было измерено значение элементарного заряда: е = l,6■10-^^ Кл. Применение электролиза. Ежегодно в мире около 15 млн тонн стали погибает от коррозии — разрушения вследствие химического взаимодействия стали с внешней средой. Одна эта цифра показывает, как велико значение защиты металлов от коррозии. В целях борьбы с ней детали из легко окисляющихся материалов покрывают тонким слоем таких металлов, как никель, хром, кадмий. Электролитический способ нанесения покрытий на изделия называют гальваностегией. Тщательно очищенную деталь помещают в электролитическую ванну, содержащую раствор соли металла, из которого хотят сделать покрытие. Деталь соединяют с отрицательным полюсом источника тока, а с положительным — пластину из металла, применяемого в качестве покрытия (рис. 12.11). Пропуская в течение некоторого времени электрический ток, получают тонкое, но прочное покрытие детали, предохраняющее её от коррозии. Таким же способом различные изделия, например ювелирные, покрывают тонким слоем драгоценного металла (золота, платины, серебра). Путём электролиза получают цветные металлы. Например, практически весь алюминий в мире производится с помощью электролиза расплава бокситов — минералов, содержащих глинозём AI2O3. В этом случае катодом в электролитической печи служит её дно, а анодом — угольные стержни. Руда Рис. 12.11 поддерживается в расплавленном состоянии за счёт .SO, 250 энергии, выделяющейся при прохождении тока. В расплаве молекулы оксида алюминия диссоциируют на ионы, а в результате электролиза чистый алюминий в жидком состоянии выделяется на дне печи. Электролитическим способом получают также натрий, магний, бериллий и другие металлы. Проверьте себя 1. В чём состоит явление электролитической диссоциации? Как оно объясняется? 2. Какие вещества являются электролитами? Почему электролит в целом электронейтрален? 3. Какой процесс называют рекомбинацией? 4. В каком соотношении находятся процессы диссоциации и рекомбинации в электролите при неизменных внешних условиях? 5. Какие носители заряда обусловливают проводимость электролитов? 6. Какое условие необходимо для возникновения упорядоченного движения ионов в электролите? 7. В чём отличие проводимости электролитов от проводимости металлов? 8. Где применяют электролиз? УПРАЖНЕНИЕ 49 1. При электролизе раствора азотнокислого серебра выделилось серебро массой 9,4 г. Определите электрический заряд, прошедший через раствор. Электрохимический эквивалент серебра равен 1,12 • 10”® кг/Кл. 2. При силе тока 5 А за 10 мин в электролитической ванне выделился цинк массой 1,017 г. Определите электрохимический эквивалент цинка. 3. При электролизе раствора медного купороса за 1 ч выделилась медь массой 0,5 кг. Определите силу тока в цепи. Электрохимический эквивалент меди равен 3,29 • 10”^ кг/Кл. § 77. Электропроводность газов Газы в отличие от металлов и электролитов состоят из нейтральных молекул. В них нет свободных носителей заряда, которые могли бы упорядоченно двигаться под действием внешнего электрического поля и создавать электрический ток. Поэтому газы в обычных условиях неэлектропроводны. Так, заряженные изолированные проводники в сухом воздухе длительное время сохраняют свой электрический заряд; между обкладками заряженного плоского конденсатора, находящегося в воздухе, ток не проходит; отсутствие проводимости воздуха позволяет создавать высоковольтные линии электропередачи. Газ становится проводником электрического тока, если часть его молекул или атомов ионизуется, т. е. по различным причинам расщепляется на электроны и положительные ионы (рис. 12.12). В газе могут возникнуть и отрицательные ионы, если нейтральные атомы (или молекулы) присоединят к себе один или несколько ранее освободившихся электронов. 251 а .0 О Рис. 12.12 Рис. 12.13 Ионизация газа может происходить под влиянием различных внешних воздействий, называемых внешними ионизаторами (сильное нагревание газа, рентгеновское или радиоактивное излучение, космическое излучение, бомбардировка быстро движущимися электронами или ионами). В объёме частично ионизованного газа всегда происходит процесс, обратный ионизации: положительные ионы присоединяют к себе электроны и образуют нейтральные атомы или молекулы (рис. 12.13). Этот процесс называется рекомбинацией. Процесс прохождения электрического тока через газ называют газовым разрядом. Если электропроводность газа создаётся внешними ионизаторами, то газовый разряд называют несамостоятельным. В этом случае после того, как действие внешних ионизаторов кончается, газовый разряд прекращается. Для наступления самостоятельного газового разряда необходимо, чтобы свободные носители заряда (ионы и электроны) образовывались непрерывно в результате самого разряда. Выясним, когда это возможно. Для исследования разряда в газе воспользуемся стеклянной трубкой с двумя металлическими электродами, включённой в цепь по схеме, изображённой на рис. 12.14. Пусть сначала на газ в трубке воздействует какой-либо ионизатор. Если к электродам приложить небольшое напряжение, то в цепи появится ток. Этот ток обусловлен движением положительно заряженных ионов к отрицательному электроду (катоду) и электронов к положительному электроду (аноду). Если убрать внешний ионизатор, то разряд прекратится. Картина будет иной, если напряжение между электродами сделать достаточно большим. Сила тока при этом резко возрастёт. Если убрать внешний ионизатор, то разряд уже не прекращается. Это означает, что ионы и электроны, необходимые для поддержания электрического тока, создаются самим разрядом. Какие же процессы приводят к появлению большого числа свободных зарядов в газах при высоком напряжении? Электроны, возникающие в газе под действием внешнего ионизатора, тгпс сильно ускоряются электрическим полем, что, сталкиваясь с молекулами газа, ионизуют их. При этом 252 образуются вторичные ионы и электроны. При очень большом напряжении между электродами вторичные электроны и ионы тоже ускоряются электрическим полем и, в свою очередь, ионизуют новые молекулы газа. В этом случае во всём объёме газоразрядной трубки образуется двусторонняя лавина ионов и электронов, обеспечиваюш;ая электрический ток в газе. Такова упрош;ённая картина возникновения и протекания газового разряда. Следовательно, при достаточно большом напряжении между электродами газоразрядной трубки несамостоятельный газовый разряд может перейти в самостоятельный. Для возникновения самостоятельного разряда необходимо, чтобы в газе имелось небольшое число свободных зарядов, способных сыграть роль «запала». Однако для этого не требуется внешний ионизатор, так как в естественных условиях газ всегда подвергается воздействию космического излучения и радиоактивного излучения Земли, ионизующих небольшую часть его молекул. Проверьте себя 1. Приведите примеры, иллюстрирующие отсутствие проводимости газа в обычных условиях. 2. Какова природа носителей электрического заряда в газах? 3. Какой разряд в газах называют несамостоятельным? 4. В чём сходство и различие проводимости газов и электролитов? 5. Какими процессами обусловлено возрастание проводимости газа при большом напряжении? 6. Какой разряд в газах называют самостоятельным? 7. В чём отличие проводимости газов при самостоятельном и несамостоятельном разрядах? 8. Какие условия должны быть выполнены, чтобы несамостоятельный разряд стал самостоятельным? § 78. Виды самостоятельного разряда в газах Но странно! Копий острия Покрылись белыми огнями. И. Гёте В зависимости от внешних условий, при которых происходит самостоятельный разряд в газах, он может иметь различный вид. При низком давлении (порядка нескольких паскалей) возникает разряд, называемый тлеющим. Его можно продемонстрировать на опыте. Трубку с двумя электродами, газ из которой откачивают с помощью насоса, подключим к источнику тока (рис. 12.15). При пониженном давлении в трубке почти во всём объёме заметно яркое свечение. Цвет свечения зависит от природы газа. Неоновые Рис. 12.15 253 трубки дают красное свечение, аргоновые — синевато-зелёное. Свечение газа при тлеющем разряде широко применяют в технике, рекламе. В начале XX в., когда использование газосветных трубок было ещё в диковинку, поэт В. Брюсов писал: Мы — электрические светы Над шумной уличной толпой; Ей — наши рдяные приветы И ей — наш отсвет голубой! Тлеющий разряд в парах ртути используют в лампах дневного света. При разряде возникает ультрафиолетовое излучение, которое, попадая на специальное вещество, нанесённое на стенки лампы, вызывает его свечение. Лампы дневного света позволяют получить свет, близкий по составу к дневному, и потребляют гораздо меньше энергии, чем лампы накаливания. При атмосферном давлении в газах, находящихся в сильно неоднородном электрическом поле (вблизи острия, около проводов линий электропередачи высокого напряжения и т. д.), наблюдается коронный разряд. Во времена Средневековья коронный разряд, возникающий на верхушках корабельных мачт, копий, алебард, называли огнями святого Эльма. Ионизация газа электронным ударом и его свечение, напоминающее корону, происходят в небольшой области, прилегающей к электроду. Коронный разряд находит применение в установках для электрогазоочистки. В линиях электропередачи высокого напряжения коронный разряд приводит к утечке тока. Для борьбы с этим явлением увеличивают диаметр проводов высоковольтных линий. При атмосферном давлении и большой напряжённости поля между электродами наблюдается искровой разряд. Он имеет вид прерывистых ярких зигзагообразных линий, которые представляют собой каналы ионизованного газа. Линии пронизывают пространство между электродами и исчезают, сменяясь новыми. При этом наблюдается яркое свечение газа и выделяется большое количество теплоты. При большой напряжённости поля достаточно даже небольшого числа электронов, имеющихся в воздухе, чтобы вследствие ударной ионизации образовалась двусторонняя лавина электронов и положительных ионов. Примером искрового разряда является молния (рис. 12.16). Главный её канал имеет диаметр от 10 до 25 см, а его длина может достигать нескольких километров, причём сила тока в молнии доходит до нескольких сотен тысяч ампер. Молния преимущественно ударяет в места, обладающие хорошей проводимостью. Так, река, сырая глина, болотистые места поражаются молни-Рис. 12.16 ей чаще, чем сухой песок или каменистая почва. 254 Рис. 12.17 Поэтому во время грозы опасно находиться в воде или на берегу. Кроме того, молния часто поражает одиноко стояЕций возвышающийся предмет. Поэтому в грозу нельзя подходить к высоким предметам (деревьям, столбам) и молниеотводам, и тем более прислоняться к ним. Нельзя оставаться на возвышенных местах (холмах, горах), находиться на берегах водоёмов, купаться в них во время грозы. Дуговой разряд был открыт в 1802 г. русским физиком В. В. Петровым. Раздвинув два соприкасающихся угольных стержня, подключённых к источнику тока, он обнаружил, что между концами углей вспыхивает ослепительно яркое свечение, а угли сильно раскаляются (рис. 12.17). Дуговой разряд происходит при сравнительно небольшом напряжении между электродами — порядка нескольких десятков вольт, но сила тока в дуге может достигать нескольких сотен и даже тысяч ампер. Основная причина дугового разряда — интенсивная термоэлектронная эмиссия из раскалённого током катода, температура которого достигает 3000 °С. Число электронов, испускаемых таким катодом, велико, поэтому проводимость газа значительна даже при нормальном атмосферном давлении; в результате при раздвигании электродов между ними возникает столб ярко светящегося газа — электрическая дута. В 1876 г. русский инженер П. Н. Яблочков впервые применил электрическую дугу для освещения. Высокая температура дуги позволяет применять её для сварки и резки металлов. В металлургии применяют электропечи, где дуга плавит сталь. Плазма. При самостоятельном электрическом разряде в газах часть нейтральных молекул превращается в ионы и электроны. Частично или полностью ионизованный газ, в котором концентрация положительных и отрицательных зарядов одинакова, называется плазмой^. В состоянии плазмы находится подавляющая часть вещества Вселенной — звёзды, звёздная атмосфера, галактические туманности и межзвёздная среда. Плазма окружает нашу Землю. Верхний слой атмосферы на высоте 100—300 км представляет собой ионизованный газ — ионосферу. С процессами, происходящими в околоземной плазме, связаны такие явления, как полярные сияния и магнитные бури. Отражением радиоволн от ионосферы обеспечивается возможность дальней радиосвязи на Земле. Плазма обладает своеобразными свойствами, позволяющими считать её особым, четвёртым состоянием вещества. Для плазмы характерно сильное взаимодействие с внешними электрическими и магнитными полями, обусловленное её высокой проводимостью. Между частицами плазмы существует особое коллективное взаимодействие, т. е. одновременно друг с другом взаимодействует большое число частиц. От греч. plasma — вылепленное, оформленное. 255 Благодаря этим взаимодействиям плазма ведёт себя как своеобразная упругая среда, в которой легко возбуждаются и распространяются различные колебания и волны. Низкотемпературную плазму {Т < 10^ К) широко используют для сварки, резки, плавки и других видов обработки металлов, в различных источниках света, в газовых лазерах. Высокотемпературная плазма (Т > 10® К) сущ;ествует в недрах звёзд. В лабораторных условиях высокотемпературная плазма используется в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу. Решение этой сложнейшей задачи позволило бы человечеству получить практически неисчерпаемый источник энергии. Проверьте себя 1. Какие виды самостоятельных электрических разрядов в газах вы знаете? 2. Каков физический смысл пословиц: *В грозу зонтик не защитам, *Мол-ния ударяет в высокое дерево», «От грозы в воде не спрячешься», «Гроза застала в поле — садись на землю»! 3. О каких физических явлениях идёт речь в загадке: «Сверкнёт, мигнёт, кого-то позовёт»! 4. Какое состояние газа называют плазмой? 5. Каковы свойства плазмы? 6. Где используют плазму? § 79. Полупроводники. Собственная проводимость полупроводников Можно предвидеть, что с помощью полупроводников будут разрешены такие фундаментальные задачи, как прямое превращение тепла и солнечной энергии в электрическую, а также электрической в механическую и обратно без помощи машин... А. Ф. Иоффе К полупроводникам относят вещества, удельное сопротивление которых при комнатной температуре много больше, чем у металлов (10'®—10'^ 0м м), но меньше, чем у диэлектриков (10^®—10^^ Ом-м). В природе полупроводники широко распространены: оксиды и сульфиды металлов, некоторые органические вещества и др. В Периодической системе элементов Д. И. Менделеева полупроводники образуют компактную группу (рис. 12.18). Типичные представители полупроводников, имеющие большое применение в науке и технике, — германий и кремний. Германий в природе встречается редко. Кремний распространён больше, он составляет 28% земной коры. В технике полупроводники применяют обычно в виде монокристаллов. Выращивание 256 чистых монокристаллов германия, кремния и других элементов — трудная техническая задача. Рассмотрим более подробно строение кристаллической решётки германия. Твёрдый германий имеет кубическую кристаллическую решётку, где валентные электроны каждого атома вступают в химические, так называемые ковалентные связи с валентными электронами соседних атомов. Свободных электронов, не связанных со своими атомами, в идеально чистом германии при очень низкой температуре нет. На рис. 12.19, а представлена модельная схема связей валентных электронов атомов германия в кристаллической решётке (каждая связь показана стрелкой). В дальнейшем для большей наглядности мы будем изображать эту схему так, как показано на рис. 12.19, б. Аналогичное строение имеет и кристаллическая решётка кремния. В чистом германии при температуре, близкой к О К, нет свободных электронов, и он не проводит электрический ток. При обычной температуре в кристаллической решётке полупроводников появляются свободные электроны. Однако их число гораздо меньше, чем в металлах; например, в 1 м® одновалентного металла при комнатной температуре имеется —10^® свободных электронов, в германии же 10^®, т. е. в десять миллиардов раз меньше. Как же возникают в полупроводнике свободные электроны? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что частицы, расположенные в узлах кристаллической решётки твёрдого тела, находятся в тепловом движении. Атомы • \ у'-;. у \ I - - ^ Ч ^ у Рис. 12.19 257 германия, кремния и других чистых полупроводников, расположенные в узлах кристаллической решётки, колеблются около своих положений равновесия. Уже при сравнительно низкой температуре это движение происходит столь интенсивно, что химические связи между соседними атомами могут разрываться. При повышении температуры валентные электроны атомов полупроводника получают дополнительную энергию и некоторые из них становятся свободными. В полупроводниках они ведут себя подобно свободным электронам металлов: под действием электрического поля они упорядоченно движутся между узлами кристаллической решётки. Поэтому полупроводник может проводить электрический ток. Атомы и ионы, находящиеся в узлах, не могут участвовать в проводимости, поэтому химический состав и структура полупроводника не изменяются, когда по нему проходит электрический ток. Опыты показывают, что с повышением температуры удельное сопротивление полупроводников резко уменьшается. Если нагреть полупроводник, включённый в электрическую цепь, то сила тока в ней резко возрастёт. Вспомним, что у металлов удельное сопротивление увеличивается с повышением температуры. На рис. 12.20 изображены (без указания масштаба) графики зависимости удельного сопротивления металла и полупроводника от температуры. Как видно, с увеличением температуры у металлов удельное сопротивление возрастает сравнительно медленно, линейно; у полупроводников — быстро убывает. Такое резкое различие зависимости удельного сопротивления металлов и полупроводников от температуры объясняется тем, что при нагревании число носителей заряда (свободных электронов) в металлах не изменяется, а в полупроводниках быстро возрастает, следовательно, удельное сопротивление резко уменьшается. Это важное отличие полупроводников от металлов имеет, как мы увидим дальше, большое практическое значение. Рис. 12.20 258 Разрыв связей и перемещение электронов в полупроводниках обусловливают ещё одну особенность их собственной проводимости. Если химические связи одного из атомов германия будут разорваны и электрон уйдёт из атома (рис. 12.21), то нарушится электрическая нейтральность вещества в данном месте: там, откуда ушёл электрон, возникает избыток положительного заряда. Это вакантное, оставленное электроном место получило название дырки. Дырка ведёт себя как положительный заряд, равный по модулю заряду электрона. На освобождённое электроном место (дырку) может переместиться один из валентных электронов соседнего атома. Тогда вакантное место будет занято, но дырка образуется в другом атоме, из которого ушёл электрон. Таким образом, перемещение электрона равносильно движению дырки в противоположном направлении. Поясним это на простом примере. Пусть крайнее правое кресло в каком-либо ряду театральных кресел свободно и зрители последовательно пересаживаются на свободное правое от себя кресло, тогда свободное кресло (дырка) как бы движется справа налево — в сторону, противоположную перемещению зрителей. Аналогично этому дырки в кристаллической решётке полупроводника всегда движутся в сторону, противоположную движению электронов. (Разумеется, пояснение, которое мы дали, и пример, иллюстрирующий его, имеют схематический характер. На самом деле процессы, происходящие в полупроводнике, очень сложны, и их строгое рассмотрение в школьном курсе невозможно.) Упорядоченное движение электронов в полупроводнике устанавливается под действием электрического поля, созданного источником тока. Если его напряжённость Е (рис. 12.22), то электроны перемещаются противоположно направлению вектора Е, а дырки — в направлении этого вектора. Таким образом, электрический ток в полупроводнике обусловлен перемещением двух типов носителей заряда — электронов и дырок. Применение полупроводников. Как мы видели, электрическое сопротивление полупроводников очень быстро убывает при их нагхювании. Так, при повышении Рис. 12.23 259 температуры на 1 °С сопротивление большинства полупроводников уменьшается на 3—8%, при повышении на 100 °С оно уменьшается примерно в 50 раз. На этом свойстве полупроводников основано действие терморезисторов (термисторов) — резисторов, сопротивление которых изменяется в широких пределах при изменении температуры. С помощью термисторов можно фиксировать изменения сопротивления, вызванные нагреванием на одну миллионную долю кельвина. Как правило, термисторы имеют очень небольшие размеры, что позволяет использовать их в радиоэлектронике, где предъявляются особенно жёсткие требования к малым размерам применяемых деталей. Полупроводники, сопротивление которых изменяется под действием освещения, используют в качестве фоторезисторов. В них валентные электроны атомов в кристаллической решётке разрывают свои химические связи под действием света и становятся свободными. Поэтому при освещении фоторезистора, включённого в электрическую цепь, сила тока резко возрастает. Фоторезисторы могут быть изготовлены путём нанесения тонкого слоя селена 1 (рис. 12.23) на решётку, образованную параллельными тонкими проводниками 2 и 3. Фоторезисторы обладают высокой чувствительностью, что позволяет широко применять их в автоматике, телемеханике и других областях техники, использовать для обнаружения инфракрасного излучения, не воспринимаемого глазом. Рассмотрим простейшее устройство с фоторезистором для подсчёта изделий, движущихся на конвейере (рис. 12.24). Луч света, пересекаемый проходящими деталями, попадает на фоторезистор, включённый последовательно с обмоткой электромагнита. Каждая деталь, прерывая луч света, вызывает резкое изменение силы тока в цепи и «срабатывание» электромагнита, с которым связан счётный механизм. Проверьте себя 1. Почему кристаллы германия и кремния при температуре, близкой к 0 К, обладают диэлектрическими свойствами? 2. Как возникают свободные электроны в чистых полупроводниках? 3. Почему сопротивление металла при нагревании увеличивается, а полупроводника — уменьшается? 4. Как возникают дырки в чистых полупроводниках? Как они перемещаются по кристаллу полупроводника? 260 § 80. Примесная проводимость полупроводников На электрические свойства полупроводников (их проводимость) большое влияние оказывают примеси. Введение в полупроводник примесей позволяет управлять его сопротивлением, изменяя число носителей заряда — электронов и дырок. Например, добавка к чистому кремнию ничтожно малого количества фосфора может уменьшить сопротивление кремния в миллионы раз. Предположим, что в кристаллической решётке чистого четырёхвалентного германия один атом заменён атомом примеси, имеющим пять валентных электронов (фосфор, мышьяк, сурьма). На рис. 12.25, а атомом примеси является атом сурьмы Sb. Четыре его валентных электрона связаны с валентными электронами соседних атомов германия, пятый валентный электрон не образует химической связи в кристаллической решётке германия. Он «лишний» и связан только со своим ядром. Этот электрон сравнительно легко может оторваться от атома сурьмы под влиянием движения атомов кристаллической решётки (даже при температуре ниже комнатной). Тогда он становится свободным и добавляется к электронам проводимости, имеющимся в германии. Атом сурьмы и другие пятивалентные атомы примесей, поставляющие в полупроводник лишние электроны, служат донорами^ электронов. При создании электрического поля в полупроводнике возникает примесная электронная проводимость, или проводимость л-типа^. Полупроводник, обладающий электронной проводимостью благодаря электронам примеси, называют полупроводником Л'типа или электронным полупроводником. Теперь предположим, что в кристаллической решётке германия один атом заменён атомом примеси с тремя валентными электронами (бор, алюминий, индий). На рис. 12.25, б атомом примеси является атом индия In. Такой атом Рис. 12.25 ’ От лат. donare — дарить, жертвовать. ^ От лат. negativus — отрицательный. 261 не может создать полного набора связей в кристаллической решётке германия. Одна связь остаётся свободной, так как у индия не хватает для её заполнения одного электрона. Но этот электрон может быть заимствован атомом индия у ближайшего атома германия. Тогда на месте электрона, ушедшего из атома германия, появится дырка — носитель положительного заряда. Таким образом, атомы трёхвалентных примесей, подобных индию, «захватывают» электроны атомов кристаллической решётки полупроводника, увеличивая число дырок в нём. Такие атомы называют акцепторами (захватчиками), они создают примесную дырочную проводимость, или проводимость р-типа^. в этом случае под действием электрического поля в полупроводнике возникает ток, обусловленный движением дырок. Полупроводник, в котором дырочная проводимость создаётся примесями, называют полупроводником р-типа или дырочным полупроводником. Практически все полупроводники содержат и донорные, и акцепторные примеси. Тип проводимости полупроводника определяется примесью с более высокой концентрацией носителей заряда — электронов или дырок. Проверьте себя 1. Как возникает примесная электронная проводимость? 2. Как возникает примесная дырочная проводимость? 3. Почему примеси уменьшают сопротивление полупроводников? 4. Как можно изменять тип носителей зарядов в полупроводнике? 5. Какая проводимость (электронная или дырочная) будет у кремния, если к нему добавить фосфор? бор? алюминий? мышьяк? **§ 81. Полупроводниковый диод Электронно-дырочный переход. Рассмотрим явления, которые происходят при контакте двух полупроводников с различной (р- и п-) проводимостью. Область соприкосновения двух полупроводников называют электронно-дырочньпи переходом, или р-л-переходом. Пусть полупроводник л-типа расположен слева от границы раздела bd, а полупроводник р-типа — справа (рис. 12.26, а). В каждом из них электроны и дырки находятся в непрерывном тепловом движении и могут при этом переходить (диффундировать) через границу раздела. Электроны из л-полупроводника будут диффундировать в дырочный р-пол у проводник. В результате л-полупроводник будет обеднён электронами и вблизи границы в нём образуется избыточный положительный заряд. Диффузия дырок из р-полу-проводника по аналогичным причинам приведёт к возникновению избыточного отрицательного заряда вблизи границы. Вся область аЬс, примыкаюсцая к контакту двух полупроводников, получила название двойного электрического слоя. Этот слой напоминает конденсатор, обкладки которого заряжены разноимёнными зарядами. Он создаёт поле с От лат. positivus — положительный. 262 I 090 + + |ооо ООО + + ^ооо ООО + + -1000 ООО е.^ООО напряжённостью E„.p, направленной от п- к р-полупроводнику. Электрическое поле двойного слоя препятствует переходу через границу bd электронов слева направо и дырок справа налево. При некоторой толщине I двойного слоя переход носителей тока — электронов и дырок — прекратится и наступит равновесие электрических зарядов. Прямое включение. Посмотрим, что произойдёт, если полупроводник с р-п-пе-реходом включить в цепь источника тока. Если л-полупроводник подключён к отрицательному полюсу источника, а «плюс» источника соединён с р-полу-проводником, то под действием электрического поля, создаваемого источником, электроны в л-полупроводнике и дырки в р-полупроводнике будут двигаться навстречу друг другу к границе раздела полупроводников (рис. 12.26, б). Электроны, переходя границу, «заполняют» дырки. При этом толщина двойного слоя уменьшится по сравнению с той, которая была до включения источника тока. Следовательно, электрическое сопротивление контактного слоя будет уменьшаться и электрический ток сможет более свободно проходить через р-л-переход в направлении от дырочного к электронному полупроводнику. Такое направление внешнего поля называют прямым (пропускным). Обратное включение. Поменяем полюса источника (рис. 12.26, в). В этом случае электрическое поле, обусловленное действием источника тока, усиливает электрическое поле двойного слоя, по-скольк;^его напряжённость Е направлена в ту же сторону, что и напряжённость Епр двойного слоя. При этом внешнее электрическое поле вызовет движение электронов в л-полупроводнике и дырок в р-полупроводнике от границы bd двойного слоя в противоположные стороны от контакта. Это приведёт к утолщению двойного слоя и увеличению его сопротивления. Направление внешнего электрического поля, при котором расширяется контактный 263 р-п- переход Рис. 12.27 + СЛОЙ и растёт его сопротивление, называют обратным (запирающим). При таком направлении внешнего поля электрический ток через р-п-переход практически не проходит. Таким образом, контакт двух полупроводников с разными типами проводимости пропускает ток лишь в одном направлении, т. е. обладает односторонней проводимостью аналогично действию двухэлектронной лампы — диода. Это позволяет использовать р-п-переход для выпрямления переменного тока. Полупроводниковый диод. Одностороннюю проводимость р-/г-перехода используют в устройствах, которые называют полупроводниковыми диодами. Рассмотрим устройство германиевого диода. Его изготавливают из монокристалла германия, к которому добавлены примеси (мышьяк, сурьма и др.). Для получения р-п-перехода с одной стороны германиевой пластинки, вырезанной из монокристалла, вплавляется небольшая капля индия, создающая проводимость р-типа в ограниченной области германия (рис. 12.27). Вдоль границы германия и индия создаётся р-л-переход. Электрод, соединённый с кристаллом индия, служит анодом, а соединённый с германием — катодом. На схемах полупроводниковый диод изображается так, как показано на рис. 12.28. Для защиты от влаги и дрзггих вредных воздействий эти приборы помещают в герметичный металлический корпус (рис. 12.29). У полупроводниковых диодов имеется ряд качеств, обеспечивающих им широкое применение (миниатюрность, экономичность, высокая надёжность и большой срок службы). Светодиоды. Некоторые полупроводниковые диоды при включении в прямом направлении излучают свет. Такие диоды называют светодиодами. Их внешний вид и условное обозначение показаны на рис. 12.30. Излучение светодиодов возникает при рекомбинации электронов и дырок в полупроводнике. Рис. 12.28 Рис. 12.29 Рис. 12.30 264 Светодиоды, испускающие свет разного цвета, широко используются в уличном и бытовом освещении, в качестве индикаторов включения приборов, в больших уличных экранах, в бегущих строках, для подсветки экранов мониторов и мобильных телефонов. Проверьте себя 1. Что называют электронно-дырочным переходом? 2. Как образуется двойной электрический слой при контакте двух полупроводников? 3. Как объяснить механизм запирающего действия контактного слоя? 4. Как создать условия, при которых электрический ток проходит сквозь р-п-переход? 5. В чём состоит основное свойство р-л-перехода? 6. Где используются полупроводниковые диоды и светодиоды? ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Открытие М. Фарадеем законов электролиза в 30-х годах XIX в. (основные работы Фарадея по электролизу были опубликованы в 1834 г.) позволило предположить, что каждому атому вещества присуще определённое количество электричества. Однако только в 80-х годах XIX в. эта гипотеза получила широкое распространение среди физиков. В 1881 г. английский учёный Д. Стоней на основе законов электролиза Фарадея определил, что элементарный электрический заряд е ~ 10“’® Кл. Учёные того времени предполагали, что элементарный электрический заряд присущ атомам вещества. Атомы считались неделимыми, и о существовании частиц меньших, чем атом, никто не догадывался. Поэтому понятен тот огромный интерес, с которым было встречено открытие электрона в 1897 г. английским учёным Дж. Дж. Томсоном. Многие физики в конце XIX в. занимались изучением электрического разряда в газах. При изучении тлеющего разряда были открыты катодные лучи, которые, как теперь известно, представляют собой поток электронов. Относительно природы катодных лучей существовало в то время несколько точек зрения: одни считали их потоком заряженных частиц, другие — электромагнитным излучением, а английский учёный У. Крукс выдвинул предположение, что это новое состояние вещества. Изучая поведение катодных лучей в электрическом поле, Дж. Дж. Томсон экспериментально доказал, что эти лучи переносят отрицательный электрический заряд, и пришёл к выводу об их идентичности потоку заряженных частиц. Чтобы установить, являются ли эти частицы атомами (молекулами) вещества или более мелкими частицами, Томсон использовал экспериментальный метод определения отношения заряда частицы к её массе. Опыты Томсона показали, что для катодных лучей отношение — постоянно и равно т приблизительно 2,3-10" Кл/кг. 265 Если элементарный заряд порядка 10■^^ Кл, то масса частиц приблизительно равна 4 • 10"^^ кг. Эта масса во много раз меньше массы самого лёгкого из атомов — атома водорода (1,7-10“^^ кг). Отсюда Томсон сделал вывод о существовании частицы меньшей, чем атомы, она и была названа электроном. Электронная теория, подтверждённая экспериментально, быстро развивалась с конца XIX в. В частности, с её помощью были не только теоретически обоснованы основные законы постоянного тока в металлах (законы Ома и Джоуля — Ленца), но и детально разработана теория электрических явлений в вакууме, электролитах, газах и полупроводниках. Решающие успехи в этих областях физики были достигнуты в XX в. САМОЕ ВАЖНОЕ В ГЛАВЕ 12 Электрический ток в металлах осуществляется электронами проводимости. В процессе упорядоченного движения электроны взаимодействуют с положительными ионами кристаллической решётки, что затрудняет их движение и служит причиной возникновения сопротивления проводников. Удельное сопротивление р, характеризующее электрические свойства проводника, линейно зависит от температуры: р = ро(1 -Ь at). Электрический ток в вакууме возможен только при наличии источника заряженных частиц — электронов. Если создать в вакуум-трубке электрическое поле, то полученные, например, вследствие термоэлектронной эмиссии электроны начнут двигаться и возникнет электрический ток. В электролитах свободными носителями заряда являются положительные и отрицательные ионы, возникающие при электролитической диссоциации, т. е. при распаде нейтральных молекул на ионы в водных растворах. Если в электролите создать электрическое поле, то положительные ионы начнут двигаться к катоду, отрицательные — к аноду, и через раствор электролита пойдёт ток. Закон Фарадея: 1 т = . -It- F п Электрический ток в газах создаётся движением электронов и ионов обоих знаков. Под влиянием внешних воздействий происходит ионизация газа и возникает несамостоятельный разряд. Самостоятельный газовый разряд существует без действия ионизатора. В полупроводниках носителями электрического заряда являются электроны и дырки. Собственная проводимость — проводимость чистых полупроводников. Большое влияние на проводимость полупроводников оказывают примеси. В зависимости от вещества примеси проводимость полупроводника может быть электронной (проводимость д-типа) и дырочной (проводимость р-типа). Лабораторные pa Погрешности при измерении физических величин При вычислениях избегайте напрасной точности... П. Н. Лебедев Прямые и косвенные измерения. При выполнении многих лабораторных работ требуется измерять физические величины. Измерение величины — нахождение её значения опытным путём. Измерение физической величины заключается в сравнении её с другой однородной величиной, принятой за единицу (мерой). При прямом измерении значение искомой величины сравнивается с мерой непосредственно. Указатель или шкгша измерительного устройства позволяют судить о значении измеряемой величины. Примеры прямых измерений: измерение длины линейкой, времени — секундомером, массы — с помощью рычажных весов и гирь. При косвенном измерении значение величины вычисляется по результатам непосредственных измерений других величин, с которыми измеряемая величина связана определённой функциональной зависимостью (формулой). Например, плотность какого-либо тела может быть определена по результатам прямых измерений массы и объёма этого тела, работа силы — по непосредственно измеренным силе, модулю перемещения и углу между векторами силы и перемещения. Абсолютная и относительная погрешность. При измерении любой величины принципиально невозможно определить истинное значение этой величины. Погрешность измерения может быть связана с несовершенством измерительных приборов, с ограниченными возможностями зрительного аппарата человека, с помощью которого зачастую регистрируются показания приборов, с рядом факторов, которые трудно или невозможно учесть (колебания температуры воздуха, движение потоков воздуха вблизи измерительного прибора, вибрации измерительного прибора вместе с лабораторным столом и др.). Введём величины, которые характеризуют погрешности измерения. Предположим, что измеряют величину, истинное значение которой А. За результат измерения этой величины принимают её приближённое значение А™. 267 Абсолютная погрешность измерения равна разности между измеренным (приближённым) значением Ацр и истинным значением величины А: АА=А- Апр, Результат измерения величины А представляют в следуюш;ем виде: А = А^ ± ДА. Такая запись говорит о том, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале от А„р - ДА до А„р + ДА. При выполнении школьных лабораторных работ обычно определяют максимальную погрешность измерения ДА, которая равна сумме абсолютной инструментальной погрешности Д„А и абсолютной погрешности отсчёта Д„А. Абсолютная инструментальная погрешность определяется конструкцией прибора (средства измерения). Данные об этих погрешностях для приборов, которые наиболее часто используются при выполнении лабораторных работ, предст£1влены в табл. 1. Абсолютная погрешность отсчёта Д„А равна в большинстве случаев половине цены деления (при измерении времени — цене деления секундомера). Погрешность отсчёта возникает из-за неточного снятия показаний средства измерения. Таблица 1 Абсолютные инструментальные погрешности средств измерения Средство измерения Предел измерения Цена деления Абсолютная инструментальная погрешность Линейка ученическая До 50 см 1 мм ± 1 мм чертёжная До 50 см 1 мм ± 0,2 мм инструментальная 20 см 1 мм ±0,1 мм (стальная) демонстрационная 100 см 1 см + 0,5 см Лента измерительная 150 см 0,5 см ± 0,5 см Измерительный цилиндр До 250 мл 1 мл + 1 мл Штангенциркуль 150 мм 0,1 мм ± 0,05 мм Микрометр 25 мм 0,01 мм ± 0,005 мм Динамометр учебный 4Н 0,1 Н ±0,05Н Весы учебные 200 г — ±0,01 г Секундомер 0—30 мин 0,2 с ± 1 с за 30 мин Термометр лабораторный 0—100 °С 1°С ± 1 °С Амперметр школьный 2А 0,1 А ±0,05 А Вольтметр школьный 6В 0,2 В ±0,15В 268 Е = 100% Максимальную абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значаш;ей цифры. Числовое значение результата измерения округляют так, чтобы последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра абсолютной погрешности. Относительная погрешность измерения равна выраженному в процентах отношению абсолютной погрешности АА к приближённому значению величины А„„: ДА Д. Класс точности приборов. Иногда при выполнении лабораторных работ используются приборы, не приведённые в табл. 1. Некоторые из них имеют класс точности, указанный на их шкале. Условным обозначением класса точности является цифра, обведённая кружочком. Класс точности определяет абсолютную приборную погрешность в процентах от наибольшего значения величины, которое может быть измерено данным прибором. Например, вольтметр имеет шкалу от о до 6 В и его класс точности равен 1. Значит, абсолютная приборная погрешность измерения напряжения составляет 1% от 6 В, т. е. А„С/ = ±0,06 В. Погрешности косвенных измерений. Относительная погрешность косвенных измерений зависит от вида функциональной зависимости величины А от непосредственно измеряемых величин. В табл. 2 приведены формулы для расчёта относительной погрешности косвенно измеряемой величины А, когда эта величина связана с другими величинами простыми функциональными зависимостями. Таблица 2 Относительная погрешность косвенных измерений Вид функциональной зависимости Относительная погрешность А = В + С ^B + ДС В + С А = В-С ДВ + ДС В - С А = ВС АВ ДС В С А-^ АВ ДС В С А^В" пАВ В Окончательный результат измерений следует представить в таком виде: А =А„р ± ДА, е = ... %. Сравнение результатов измерений. Чтобы сравнить результаты двух измерений, следует записать их в виде двойных неравенств: А\ пр ~ AAi < А\ „р < А\ пр + AAi; А2 пр А Аз Ag пр Ag пр ± AAg. 269 •^inp A-A + AAi Агпр AA2 А2ПР ^2np AA2 Рис. 1 Если интервалы перекрываются (рис. 1), то результаты одинаковы (при данной относительной погрешности измерений), если не перекрываются, то результаты отличаются друг от друга. Отчёт о выполненной работе должен включать в себя такие сведения: 1. Лабораторная работа № ... 2. Наименование работы. 3. Цель работы. 4. Чертёж (если требуется). 5. Формулы исходных величин и их погрешностей. 6. Таблица с результатами измерений и вычислений. 7. Окончательный результат. 8. Вывод (согласно цели работы). 1. Измерение ускорения тела при прямолинейном равноускоренном движении Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Д. И. Менделеев Цель работы: измерить ускорение тела, скатывающегося по наклонному жёлобу. Оборудование: жёлоб лабораторный металлический длиной 1,4 м; шарик металлический диаметром 1,5—2 см; цилиндр металлический; метроном или секундомер; лента измерительная; кусок мела. Указания к выполнению работы Движение шарика, скатывающегося по наклонному жёлобу, приближённо можно считать равноускоренным. Если ось ОХ направить по направлению движения, то векторы перемещения s и ускорения а будут сонаправлены. Так как начальная скорость шарика равна нулю, то уравнение движения можно записать в скалярной форме: s = Отсюда а = . Промежуток времени измеряется с помощью метронома или секундомера. Порядок выполнения работы 1. Соберите установку по рис. 2. Начальное положение шарика отметьте мелом. 2. Положите в жёлоб у его нижнего конца металлический цилиндр (для остановки шарика). 270 3. Пустив шарик (одновременно с ударом метронома) с верхнего конца жёлоба, подсчитайте число ударов метронома до столкновения шарика с цилиндром. 4. Вычислите время движения шарика. 5. Измерьте модуль перемещения шарика (измерительной лентой). 6. Не меняя наклона жёлоба (условия опыта должны оставаться неизменными), повторите опыт 4—5 раз. Результаты измерений занесите в таблицу. № опыта Модуль перемещения, м Время движения, с Среднее время движения, с 7. Вычислите среднее значение времени движения шарика. 8. Определите ускорение, с которым скатывался шарик: п - ^ ^ср — * «■ср 2. Изучение движения тела по окружности под действием сил упругости и тяжести Всё в природе подлежит измерению, всё может быть сосчитано. Н. И. Лобачевский Цель работы: определить центростремительное ускорение шарика при его равномерном движении по окружности. Оборудование: штатив с муфтой и лапкой; лента измерительная; циркуль; динамометр лабораторный; весы с набором гирь; шарик на нити; кусочек пробки с отверстием; лист бумаги; линейка. Указания к выполнению работы Опыты проводятся с коническим маятником. Небольшой шарик движется по окружности радиусом R. При этом нить АВ, к которой прикреплён шарик, описывает поверхность прямого кругового конуса (рис. 3, а). 271 1. Модуль ускорения можно определить кинематически: Атек а„ = где R — радиус окружности, Т — период обращения шарика. Для определения ускорения надо измерить радиус окружности и период обращения шарика по окружности. 2. Центростремительное ускорение можно определить, используя законы динамики. На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити Fh (см. рис. 3, а). Они создают центростремительное ускорение а,р направленное по радиусу к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона тПц = mg + = F, где F — равно- действующая сила. Направление координатных осей выберем так, как показано на рис. 3, а. Уравнение движения шарика в проекциях на оси имеет вид: OiX: та^ = F; 0\Y: О = FaCosa - mg. Из первого из этих уравнений получим: т Модуль F равнодействующей силы можно определить из подобия треугольников ОАВ и F„BF: Отсюда F_ _ R h ‘ mgR gR h ■ 3. Модуль F равнодействующей можно непосредственно измерить динамометром. Для этого оттягиваем горизонтально расположенным динамометром шарик на расстояние, равное радиусу R окружности (рис. 3, б), и определяем 272 показания динамометра. При этом сила упругости пружины уравновешивает равнодействующую силу F. Порядок выполнения работы 1. Определите массу шарика на весах с точностью до 1 г. 2. Закрепите нить маятника в лапке штатива (рис. 3, а). 3. Вычертите на листе бумаги окружность радиусом около 20 см. Измерьте радиус с точностью до 1 см. 4. Штатив с маятником расположите так, чтобы продолжение нити проходило через центр окружности. 5. Взяв нить пальцами у точки подвеса, вращайте маятник так, чтобы шарик описывал окружность, совпадающую с начерченной на бумаге. 6. Отсчитайте время, за которое маятник совершает, к примеру, N = 50 оборотов. 7. Определите высоту конического маятника. Для этого измерьте расстояние по вертикали от центра шарика до точки подвеса. 8. Найдите модуль центростремительного ускорения по формулам а = 4^!^ и а = ^ ^ц1 гр2 ^ ^ ' 9. Оттяните горизонтально расположенным динамометром шарик на расстояние, равное радиусу окружности, и измерьте модуль F равнодействующей. F Затем вычислите ускорение по формуле а„з = 10. Результаты измерений занесите в таблицу. № опыта R N М rjp At N h т п - 4я"Д ®ц1 ~ ip2 _ gR h п - f ^ m Сравните полученные три значения модуля центростремительного ускорения. 3. Опытная проверка закона Гей-Люссака Старайтесь найти вечный закон в чудесных превращениях случая, отыскать неподвижный полюс в бесконечной веренице явлений. Ф. Шиллер Цель работы: проверить закон Гей-Люссака. Оборудование: стеклянная трубка, запаянная с одного конца, длиной 600 мм и диаметром 8—10 мм; цилиндрический сосуд высотой 600 мм и диаметром 40—50 мм, наполненный горячей водой {t ~ 60 °С); стакан с водой комнатной температуры; пластилин. 273 i б Рис. 4 Указания к выполнению работы Для проверки закона Гей-Люссака следует измерить объём и температуру воздуха при постоянном давлении в двух состояниях и проверить справедли-F, Г, вость равенства — = —. V Т 'г -‘г Первое состояние воздуха в трубке. Стеклянная трубка открытым концом вверх помещается на 3—5 мин в сосуд с горячей водой (рис. 4, а). В этом случае объём воздуха Fj равен объёму стеклянной трубки, а температура — температуре горячей воды Ту_. Процесс перехода ко второму состоянию. Чтобы при переходе воздуха в следующее состояние его масса не изменилась, открытый конец стеклянной трубки, находящийся в горячей воде, замажьте пластилином. После этого трубку выньте из сосуда с горячей водой и замазанный конец быстро опускайте в стакан с водой комнатной температуры (рис. 4, б), а затем под водой снимите пластилин. По мере охлаждения воздуха в трубке вода в ней будет подниматься. После прекращения подъёма воды в трубке (рис. 4, в) объём воздуха в ней станет равным F' < Fj, а давление р = р„н ~ pgh. Второе состояние воздуха в трубке. Чтобы давление воздуха в трубке вновь стало равным атмосферному, необходимо увеличивать глубину погружения трубки в стакан до тех пор, пока уровни воды в трубке и в стакане не выравняются (рис. 4, г). При этом воздух имеет объём Fg и температуру окружающего воздуха. Поскольку сечение трубки постоянно по всей длине, то отношение объёмов воздуха в трубке в первом и втором состояниях можно заменить отношением высот воздушных столбов в трубке в этих состояниях: — = — = —. Fj SL^ 274 I J' Поэтому в работе следует сравнить отношения ^ и Порядок выполнения работы 1. Измерьте длину U стеклянной трубки и температуру воды в цилиндрическом сосуде. 2. Приведите воздух в трубке во второе состояние так, как об этом рассказано выше. Измерьте длину I2 воздушного столба в трубке и температуру Т2 окружающего воздуха. / 7’ 3. Вычислите отношения и 7^. к Т2 4. Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу. li, мм 1-2, ММ к к t2,°C Ti,K Гг, к Г. Т2 ДТ , ЛГ т; Т2 ’ / j' 5. Сравните отношения и 7^. 6. Сделайте вывод о справедливости закона Гей-Люссака. и Т **7. Вычислите погрешности измерения отношений у и к -'2 Указание. Используйте формулы £1=7^ + Ai = ^£1, £2 h. h h Т Аг = ^£2. ■‘2 4. Измерение относительной влажности воздуха Начинать с наблюдений. А. Ампер Цель работы: научиться определять влажность воздуха. Оборудование: термометр; кусочек марли (или ваты); стакан с водой; психрометрическая таблица. Указания к выполнению работы Психрометр состоит из двух одинаковых термометров, один из которых обмотан тканью (см. рис. 9.16). Если водяной пар в воздухе не насыщен, то вода из ткани будет испаряться и показания «влажного» термометра будут меньше, чем «сухого». Чем интенсивнее испаряется вода (т. е. чем менее насыщен окружающий воздух водяным паром), тем ниже показания «влажного» термометра. 275 Рис. 5 По разнице показаний двух термометров можно узнать влажность воздуха. С этой целью составляются психрометрические таблицы, с помощью которых находят конкретные значения относительной влажности воздуха. В данной работе предлагается измерить влажность двумя способами — с помощью термометра и психрометра. Порядок выполнения работы 1. Измерьте термометром температуру воздуха в классе и воды в стакане. 2. Оберните термометр кусочком увлажнённой марли или ваты (рис. 5). 3. Как только понижение температуры прекратится, снова снимите показгшия термометра. 4. Найдите разность температур «сухого* и «влажного» термометра. 5. Определите относительную влажность воздуха с помощью психрометрической таблицы. 6. Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу. № опыта f ••сух* ^ At, °С Ф 7. Сравните результаты ваших измерений с показаниями психрометра, который находится в классе. 5. Измерение ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока Много важнее знать, как достигнуть знания, чем знать, что такое знание. М. Фарадей Цель работы: измерить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока. Оборудование: источник тока; вольтметр; амперметр; реостат; ключ; соединительные провода. Указания к выполнению работы Приборы, которые используют в этой лабораторной работе, показаны на рис. 6. 276 Рис. 6 Источник тока замкнут на вольтметр, сопротивление которого много больше внутреннего сопротивления источника тока г. Поэтому при разомкнутом ключе ЭДС источника тока практически равна показанию вольтметра. Внутреннее сопротивление источника тока можно измерить, сняв показания амперметра и вольтметра при замкнутом ключе. Действительно, из закона Ома для замкнутой цепи получаем: ^ = U + /г, где U = IR — напряжение на внешней цепи. Поэтому г = - и Порядок выполнения работы 1. Соберите электрическую цепь согласно рис. 6. 2. Измерьте ЭДС источника тока. 3. Снимите показания амперметра и вольтметра при замкнутом ключе. Результаты запишите в таблицу. № опыта и, В /,А г. Ом 4. Вычислите внутреннее сопротивление источника тока. **5. Вычислите абсолютную и относительную погрешность измерения ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока, используя данные о классе точности приборов. Указания. 1. Погрешность измерения ЭДС равна погрешности измерения напряжения. 2. Максимальная погрешность измерения внутреннего сопротивления ис- + AU ^ М точника тока определяется по формулам + Аг = ГЕг. 277 6. Изучение последовательного и параллельного соединения проводников Без сомнения всё наше знание начитается с опыта. И. Кант Цель работы: проверить справедливость законов последовательного и параллельного соединения проводников. Оборудование: источник тока; вольтметр; амперметр; реостат; ключ; соединительные провода, два резистора. Порядок выполнения работы 1. Соберите цепь по рис. 7. 2. Замкните цепь. 3. Включая вольтметр поочерёдно в цепь, измерьте напряжение на каждом резисторе (C/j и U2) и на двух резисторах вместе (^7общ)> а также, включив амперметр в цепь последовательно, измерьте силу тока в цепи (/). 4. Рассчитайте сопротивление каждого проводника и общее сопротивление двух резисторов. 5. Результаты измерений и расчётов запишите в таблицу. № опыта /,А UuB и 2. В и общ, в R.-T R,- — D ^обт ^общ J 6. Сделайте вывод, подтверждаются ли опытом формулы ^общ = Ui~\- и2\ -Кобвд ~ -^1 -^2« Рис. 7 278 Рис. 8 7. Соберите цепь по рис. 8. 8. Замкните цепь. 9. Измерьте вольтметром напряжение на концах резисторов, соединённых параллельно, и амперметром силу тока в основной цепи (/„бщ)- 10. Включая амперметр поочерёдно в отдельные ветви, измерьте силу тока в ветвях (Ji и /г). 11. Вычислите по результатам измерений обпдее сопротивление всего участка и отдельных ветвей. 12. Результаты измерений и расчётов запишите в таблицу. № опыта 1/,В /i,A /2. А ■^общ> ^ *■-7^ '2 R = JL ■^общ г Аобщ 13. Сделайте вывод, подтверждаются ли опытом формулы 7общ + l2f 7?общ + 1?2 Механика 1. Материальная точка, двигаясь прямолинейно и равномерно, в момент времени = 1 с имела координату JCj = -5 м, а в момент времени <2 = 3 с — координату дсг = -9 м. Напишите уравнение движения точки. Найдите координату в момент времени t^ = 2 с. Какой путь прошло тело за промежуток времени ^2 ~ 2. Координата тела, движуш;егося прямолинейно, меняется с течением времени согласно уравнению х = 6 - 4f. Нарисуйте графики зависимостей u{t), x{t) и l{t). Найдите координату точки в момент времени = 2 с и её путь за время tx. 3. Тело одну треть пути двигалось со скоростью 5 м/с. Определите скорость тела на остальном пути, если средняя скорость на всём пути 7,5 м/с. 4. Катер переплывает реку. Скорость течения Vx, скорость катера относительно воды V2 (l?2 > ^i)- Под каким углом а к берегу должен плыть катер, чтобы пересечь реку: а) за минимальное время; б) по кратчайшему пути? Найдите время движения в каждом случае, если ширина реки L 5. Капли дождя, падаюш;ие отвесно, образуют на окне горизонтгшьно движущегося автобуса полосы под углом а = 30° к вертикали. Определите скорость падения капель, если автобус движется с постоянной скоростью 10 м/с. 6. Тело совершает два последовательных одинаковых по модулю перемещения со скоростью Vx = 20 м/с под углом = 60° к нгшравлению ОХ и Пг = 40 м/с под углом а2 = 120° к тому же направлению ОХ. Найдите модуль средней скорости тела и его среднюю путевую скорость. 7. Поезд увеличивает скорость с i;i = 30 км/ч до Vz = 60 км/ч за время t = 8 с. Какой путь пройдёт поезд за это время? Ускорение поезда считайте постоянным. 8. От основания гладкой наклонной плоскости движется снизу вверх шарик. На расстоянии Z = 30 см от основания плоскости шарик побывал дважды: через время tx = lcHtz = 2c после начала движения. Определите начальную скорость и время движения шарика. 9. За пятую секунду движения тело проходит путь s = 5 см и останавливается. Какой путь тело прошло за третью секунду своего движения, если оно происходило с постоянным ускорением? 10. Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью i>o = Ю м/с. Найдите максимальную высоту подъёма камня. 11. Камень падает с башни с нулевой начальной скоростью. Вторую половину пути он пролетел за время Z = 1 с. Найдите высоту башни. Решите задачу двумя способами, поместив начало координат в точке брюсания и на поверхности земли. 280 12. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку на высоте Л = 1 м. Промежуток времени между этими событиями At = 3 с. Найдите время от начала движения до возвращения тела в начальное положение. 13. Лифт высотой Л = 2,5 м опускается с ускорением а = 2 м/с^. В некоторый момент с потолка лифта падает болт. Определите время падения болта. 14. Жонглёр бросает один за другим два шарика с одного уровня вертикально вверх с одинаковой начальной скоростью. Когда первый шарик достиг максимальной высоты Н, жонглёр бросил второй шарик. На какой высоте h шарики встретятся? 15. Камень бросили с крыши дома горизонтально с начальной скоростью Vo = 20 м/с. На землю он упал под углом а = 45° к горизонту. Какова высота дома? 16. Футболист бьёт по мячу, лежащему на поле на расстоянии / = 11 м от ворот. Начальная скорость мяча направлена под углом а = 45° к горизонту. Определите начальную скорость мяча, при которой он попадёт в перекладину ворот, расположенную на высоте Н = 2,7 м. Линейными размерами мяча и перекладины пренебречь. 17. Колесо радиусом 7? = 0,5 м катится со скоростью v = 1 м/с без скольжения по горизонтальной дороге. Определите скорость и ускорение точек, лежащих на концах вертикального и горизонтального диаметров. 18. Гладкий диск радиусом R вращается вокруг оси с частотой п = 40 об/мин. D От поверхности диска на расстоянии ^ от оси отрывается кусочек. За какое время он соскользнёт с диска? 19. В вагоне поезда, движущегося по горизонтальной плоскости со скоростью у = 20 м/с по закруглению радиусом R = 200 м, производится взвешивание груза с помощью динамометра, свободно подвешенного к потолку вагона. Определите результат взвешивания. 20. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены одинаковые гири массой М = 0,5 кг каждая. Какой дополнительный груз массой т надо положить на одну из гирь, чтобы они стали двигаться с ускорением а = 0,2 м/с^? Массой блока и трением пренебречь. Нить невесома и нерастяжима. 21. Груз массой m = 100 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности, приложив силу, направленную под углом а = 30° к горизонту. Найдите эту силу, если коэффициент трения равен 0,3. 22. Тело массой m = 1 кг движется по вертикальной стене (рис. 1). К телу приложена сила Г = 8 Н, направленная под углом а = 30° к вертикали. Коэффициент трения между телом и стеной равен 0,2. Определите ускорение тела и силу давления на стенку. Рис. 2 Рис. 3 23. Груз находится на наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом. К грузу приложена сила F, направленная горизонтально (рис. 2). Коэффициент трения груза о плоскость равен к. Определите массу груза, если он перемещается равномерно вниз по плоскости. 24. Тело без начальной скорости начинает соскальзывать с горы высотой к, имеющей угол наклона а к горизонту. За какое время тело соскользнёт с горки, если по такой же горке, но с углом наклона Р, тело движется равномерно? 25. Труба массой М = 1,2 • 10^ кг лежит на земле. Какую силу надо приложить, чтобы приподнять краном трубу за один из её концов? 26. Каким должен быть коэффициент трения для того, чтобы лёгкий клин, заколоченный в бревно, не выскакивал из него? Угол при вершине клина равен 30°. 27. Две пружины жёсткостью ki и кг соединяют один раз последовательно, другой раз — параллельно. Какой должна быть эквивалентная жёсткость пружины, которой можно заменить эту систему из двух пружин? 28. Тяжёлый цилиндрический каток массой т и радиусом R необходимо вкатить на ступеньку высотой h (рис. 3). Найдите минимальную силу F, которую необходимо приложить для этого к центру катка в горизонтальном направлении, если R > к. 29. Прутик опирается на гладкую вертикальную стенку, образуя с ней угол а = 30° (рис. 4). Нижний конец прутика находится на шероховатом полу. При каком коэффициенте трения между прутиком и полом жук, взбирающийся вверх по прутику, сможет достичь его вершины? Масса жука втрое меньше массы прутика. 30. Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающееся края пластинки. Где находится центр тяжести? 31. Шар массой т = 100 г, движущийся по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью V = 1 м/с, упруго ударяется о вертикальную плоскость. Определите среднюю силу удара, с которой шар действует на стену. 282 если длительность удара равна t = 0,02 с. Направление скорости составляет с плоскостью угол, равный: а) 90°; б) 30°. 32. Человек массой m = 70 кг сидит на корме лодки, находящейся в озере. Длина лодки / = 5 м, масса М = 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние передвинется относительно дна: а) человек; б) лодка? Сопротивлением воды пренебречь. 33. По горизонтальному пути без трения движется платформа массой М со скоростью V. На платформу падает вертикально камень массой т. Через некоторое время в платформе открывается люк, и камень проваливается вниз. С какой скоростью будет двигаться платформа уже без камня? 34. Какую работу совершит сила 7^ = 30 Н, подняв по наклонной плоскости груз массой /п = 2 кг на высоту h = 2,5 м с ускорением а = 10 м/с^? Сила направлена параллельно наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь. 35. На нити длиной I подвешен маленький шарик. Какую горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы нить отклонилась на угол а = 90°? 36. Тело массой т, находящееся на вершине наклонной плоскости высотой Н, соскальзывает вниз и, пройдя некоторый путь по горизонтальному участку, останавливается. Какую работу надо совершить, чтобы втащить тело обратно на вершину наклонной плоскости по тому же пути? 37. Маленький шарик начинает скользить из верхней точки неподвижной гладкой полусферы радиусом R. На какой высоте от основания полусферы шарик оторвётся от её поверхности? На какую высоту шарик подскочит после абсолютно упругого удара о горизонтальную плоскость, на которой стоит полусфера? 38. Гимнаст падает с высоты Н = 12 м на упругую сетку. Прогиб сетки под действием веса гимнаста дго = 1 м. Найдите отношение максимальной силы, действующей на гимнаста со стороны сетки, к его весу. Молекулярная физика. Термодинамика 39. В сосуде вместимостью F = 8 л находится гелий массой m = 8 г под давлением р = 10® Па. Определите число молекул гелия в сосуде и их суммарную кинетическую энергию. 40. Объём пузырька воздуха, всплывающего со дна озера на поверхность, увеличился в три раза. Какова глубина озера? Считайте температуру воды постоянной, атмосферное давление нормальным. 41. Открытую с обоих концов стеклянную трубку наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают пальцем и вынимают из ртути. Найдите длину столбика ртути, оставшегося в трубке, если длина трубки 1 м, атмосферное давление 750 мм рт. ст. 42. При повышении температуры газа на 10% его давление увеличилось на 2 атм. Под каким давлением находился газ? 43. Плотность идеального газа равна 2,5 кг/м®, а средняя квадратичная скорость молекул — 550 м/с. Определите давление газа. 283 44. В сосуде вместимостью V = 1 дм^ находится азот массой т = 0,28 г. Газ нагревают до температуры 1500 °С, при которой а = 30 % молекул азота диссоциировало на атомы. Определите давление в сосуде. 45. В комнате объёмом 64 м^ находится воздух при температуре 17 °С. Какая масса воздуха выйдет через форточку, если температура в комнате повысится до 20 °С? 46. По газопроводу течёт углекислый газ при температуре 17 °С и под давлением 5 • 10^ Па. Какова скорость движения газа в трубе, если за 5 мин через площадь поперечного сечения 6 см^ протекает 2,5 кг углекислого газа? 47. В сосуде вместимостью F = 5 л находится гелий под давлением р = 0,3 МПа. Какова внутренняя энергия газа в сосуде? 48. Сосуд вместимостью V = 0,25 м^ содержит неон под давлением р = 120 кПа. Какое давление установится в сосуде, если неону сообщить количество теплоты Q = 9 кДж? 49. Идеальный одноатомный газ адиабатно переводят из состояния с параметрами Fi = 1 л и Pi = 1,6 • 10’ Па в состояние с параметрами F2 = 2 л и Рг = 0,5 • 10^ Па. Определите работу, совершаемую газом. 50. Один моль идеального газа совершает циклический процесс (рис. 5). Найдите работу, совершённую газом, если известны температуры Га, Гг, и Г4 газа. 51. Один моль идегшьного газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры в точках 2 и 4 равны соответственно Тг и Тд. Точки 2 и 4 на диаграмме р—V лежат на прямой, проходящей через начало координат. Определите работу, совершаемую газом за цикл. 52. Идеальный одноатомный газ совершает цикл, состоящий из изобары, изохоры и адиабаты (рис. 6). Определите КПД цикла. р, п 1 2 4 - О V, V, -у Рис. 7 284 53. Идеальная тепловая машина имеет температуру нагревателя 400 К и температуру холодильника 300 К. Во сколько раз увеличится КПД машины, если температуру нагревателя повысить на 200 К? 54. Тепловая машина работает по циклу, изображённому на рис. 7. В качестве рабочего тела используется одноатомный газ. Определите КПД цикла, если известны величины р,, р^, и Fg, Изобразите цикл в координатах р, Т и V, Т. 55. В сосуд, содержащий 19 кг воды при температуре 10 °С, положили лёд, имеющий температуру -50 °С, после чего температура в сосуде оказалась равной -4 °С. Сколько льда положили в сосуд? Теплоёмкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь. 56. В калориметр со льдом впущен пар при температуре 100 °С. Масса льда 100 г, его температура 0 °С. Сколько воды окажется в калориметре после того, как весь лёд растает? Теплоёмкостью калориметра пренебречь. 57. Пробирку, содержащую М = 12 г воды, помещают в охлаждённую смесь, где вода переохлаждается до температуры t = -Ь °С. Затем пробирку вынимают и встряхивают, причём часть воды замерзает. Сколько воды должно обратиться в лёд, если считать, что между водой и стенками пробирки не происходит теплообмена? 58. В закрытой теплице вместимостью 33,2 м® относительная влажность в дневное время при температуре 27 °С равна 75%. Какая масса росы выпадет в теплице ночью, когда температура понизится до 15 °С? Электродинамика 59. Два маленьких заряженных шарика находятся в керосине (е = 2) на расстоянии 1 см друг от друга и взаимодействуют с силой 2,7 Н. Заряд одного шарика больше заряда другого шарика в 3 раза. Определите заряды шариков. 60. Два точечных заряда 4 мкКл и -8 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Где и какой нужно расположить третий заряд, чтобы система находилась в равновесии? 61. Два маленьких заряженных шарика подвешены в одной точке на невесомых непроводящих нитях одинаковой длины. Шарики опустили в керосин (е = 2). Определите плотность материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине один и тот же. Плотность керосина равна 0,8 г/см^. 62. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон вращается вокруг протона по окружности. Какова скорость вращения электрона, если радиус его орбиты 0,5 • 10’^" м? 63. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены заряды по 0,1 нКл. Определите напряжённость и потенциал поля в центре квадрата, если один заряд положительный, а три других — отрицательные. 64. 1000 одинаковых заряженных капель ртути имеют потенциал, равный 1 В. Определите потенциал большой шарообразной капли, которая получится в результате слияния этих капель. 285 R 2R 65. Два электрона находятся на большом расстоянии друг от друга и начинают двигаться навстречу друг другу со скоростью 1 км/с каждый. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны? 66. Электрон влетает в середину зазора между обкладками конденсатора со скоростью 2 • 10^ м/с в направлении, параллельном обкладкам. При какой минимальной разности потенциалов на обкладках электрон не вылетит из конденсатора, если длина конденсатора 10 см, а расстояние между его обкладками 1 см? 67. Площадь пластин плоского слюдяного конденсатора 1,1 см®, зазор между ними 3 мм. При разряде конденсатора выделилась энергия 1 мкДж. До какой разности потенциалов был заряжен конденсатор? Диэлектрическая проницаемость слюды равна 6. 68. В проводнике сила тока равна 10 А. Найдите массу электронов, прошедших через поперечное сечение проводника за 1 ч. 69. Определите площадь поперечного сечения и длину алюминиевой проволоки, если её сопротивление R = 2 Ом, а масса 54 г. Удельное сопротивление алюминия 2,7 • 10~® Ом • м. 70. Электрическое сопротивление двух последовательно соединённых резисторов равно 5 Ом, а параллельно соединённых равно 1,2 Ом. Определите 3R сопротивление каждого резистора. I— 71. К резистору подключён вольтметр, имеющий сопротивление Я = 1 кОм. Определите сопротивление резистора, если общая сила тока 40 мА, а вольтметр показывает 20 А. 72. Гальванический элемент с ЭДС, равной 1,1В, подключён в цепь с сопротивлением R = 2 Ом, по которому идёт ток. Сила тока / = 0,5 А. Какова сила тока при коротком замыкании элемента? 73. В цепь, состоящую из аккумулятора и резистора сопротивлением Я = 20 Ом, подключили вольтметр один раз последовательно, другой — параллельно резистору. Показания вольтметра в обоих случаях одинаковы. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора, если сопротивление вольтметра равно 500 Ом. 74. Какая мощность выделяется на резисторе ЗЯ, если на резисторе Я она равна 4 Вт (рис. 8)? 75. Определите показания идеальных вольтметров в электрической цепи (рис. 9). Величины г. Я] и Яг считайте заданными. 76. Найдите заряд конденсатора в схеме, изображённой на рис. 10. ЭДС источника тока 1,5 В, внутреннее сопротивление 2 Ом, сопротивление ре- Рис. 10 зистора 6 Ом. Рис. 8 —I [■ я = = С - - R VY R Приложения Рис. 1 Приложение 1 Некоторые сведения о векторах Различают два вида физических величин: скалярные и векторные. Величины, для задания которых достаточно только числового значения, называют скалярными. Примеры скалярных величин — время, масса, температура и т. д. Величины, характеризующиеся числовым значением (модулем) и направлением, называются векторными величинами. К ним относятся: перемещение, скорость, ускорение, сила и др. Векторы изображают в виде направленного отрезка, который начинается в некоторой точке и заканчивается стрелкой, указывающей его направление (рис. 1). Длина стрелки в выбранном масштабе равна модулю вектора. Векторы принято обозначать буквами со стрелками над ними, например s. Те же буквы без стрелок означают модуль вектора, в нашем примере s. Сложение векторов Первый способ (правило треугольника). Пусть даны два вектора а и Ь (рис. 2, а). Найдём их сумму, т. е. результирующий вектор с = а + Ь. Для этого перенесём вектор Ъ параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось совмещённым с концом вектора а (рис. 2, б). Тогда вектор с, проведённый из начала вектора а в конец вектора В, будет представлять собой результирующий вектор с. Второй способ (правило параллелограмма). Перенесём вектор В (или а ) так, чтобы начала обоих векторов оказались совмещёнными (исходящими из одной точки — рис. 2, в). Достроим параллелограмм, считая, что векторы а и Ь составляют две его стороны. Проведём диагональ из точки, в которой совмещены начала векторов. Эта диагональ есть результирующий вектор с. Оба рассмотренных способа дают одинаковые результаты. Однако в случае сложения нескольких векторов первый спо- “ соб оказывается более простым и удобным. Рис. 2 287 Вычитание векторов Разностью двух векторов а и Ь называют такой вектор с = а — Ь, который в сумме с вектором Ь даёт вектор а, т. е. с + Ь = а. Допустим, что надо найти вектор с, являющийся разностью векторов а 1л Ъ (рис. 3, а). Первый способ. Для построения вектора с перенесём векторы а и 6 параллельно самим себе и расположим их так, чтобы они исходили из одной точки (рис. 3, б). Затем соединим их концы вектором, направленным от конца вектора Ь к концу вектора а. Этот вектор и есть вектор с. Второй способ. Разность векторов а и Ь может быть представлена в виде а - Ь = а + (-Ь). Поэтому вектор с = а - Ь можно получить, сложив вектор а с вектором, равным по модулю вектору Ь, но имеющим противоположное ему направление, т. е. с вектором -Ь (рис. 3, в и г). Проекции вектора на координатные оси Пусть дан вектор АВ, лежащий в плоскости XOY (рис. 4). Опустим из начала вектора А и его конца В перпендикуляры на ось ОХ (Ai — проекция точки А, Bi — проекция точки В). Длина отрезка AiB, — проекция вектора АВ на ось ОХ. Аналогично из точек Aw. В опустим перпендикуляры на ось OY. Точки Аг и Вг — проекции точек А и В на ось OY, соответственно длина отрезка А2В2 — проекция вектора АВ на ось ОУ. Проекцию обычно обозначают той же буквой, что и сам вектор, с добавлением индекса, указывающего ось, на которую спроецирован вектор. Например, проекция вектора s на ось ОХ обозначается S*. Проекциям векторов на координатные оси приписывают знаки. Проекцию вектора на ось считают положительной, если от проекции начала вектора к щюекции его конца нужно идти по направлению оси (рис. 5, а). В противном случае проекцию вектора 288 о > о О Ь^<0 б Рис. 5 X О с, = о X считают отрицательной (рис. 5, б). Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 5, в). На рис. 6 показаны векторы а и Ь и результирующий вектор с, а также проекции этих векторов на ось ОХ. Из рис. 6 видно, что проекция суммы векторов на координатную ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же ось: Сх — tlx Поскольку вычитание векторов сводится к их сложению, это правило относится и к проекции разности векторов. Приложение 2 Симметрия в природе, искусстве, технике и физике в главе 8 вы узнгьли о свойствах и структуре кристаллов, этих «удивительных угловатых тел», как называли их в древности. Поражающие правильностью очертания кристаллов вызывали у древних людей суеверные чувства. «Такое могли сотворить только боги», — утверждали они. Люди долго не понимали, что кристаллы растут без всякого магического вмешательства из растворов, расплавов, паров и в твёрдых каменных породах. Симметрия формы кристалла и его физические свойства обусловлены симметрией его внутренней структуры. Но симметрия царит не только в мире кристаллов. Симметрична форма бабочки, жука, червяка, гриба, цветка и др. Большое значение имеет симметрия в искусстве (живописи, музыке, литературе, архитектуре и др.), в науке и технике. В связи с этим уместно отметить, что своим развитием учение о симметрии обязано в первую очередь естествоиспытателям, углублённо изучавшим кристаллические образования (И. Кеплер, О. Браве, Е. С. Фёдоров, П. Кюри и др.). Основные преобразования симметрии Математик любит прежде всего симметрию. Дж. Максвелл Прежде чем говорить об использовании идей симметрии в искусстве, науке и технике, обратимся к основам учения о симметрии. 289 Рис. 7 Симметрия отражает свойство тела совмещаться с самим собой при определённых перемещениях, называемых преобразованиями симметрии. Эти перемещения не должны сопровождаться растяжениями, сжатиями и другими деформациями, при которых изменяются расстояния между точками тела. Рассмотрим основные преобразования симметрии. 1. Параллельный перенос всех точек тела на определённое расстояние (трансляция). Плоская фигура (рис. 7) при переносе вдоль прямой АВ на расстояние а совмещается сама с собой, следовательно, она симметрична относительно параллельного переноса. 2. Поворот тела вокруг некоторой оси на определённый угол. Осью симметрии является ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол тело переходит само в себя. Так, если букву И повернуть на 180° вокруг оси, перпендикулярной плоскости буквы и проходящей через её центр, то буква совместится сама с собой. Правильная шестигранная призма имеет шесть плоскостей симметрии, проходящих через ось АВ (рис. 8). Симметричны к повороту правильные выпуклые многогранники (Платоновы тела): тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), икосаэдр, додекаэдр. Шар имеет бесчисленное множество осей симметрии. 3. Отражение в плоскости. Напишем на листе бумаги прописными печатными буквами два слова: КОФЕ и ЧАИ. Затем поставим вертикально зеркало так, чтобы линия пересечения плоскости зеркала с плоскостью листа делила эти слова пополам по горизонтали. Отражение слова КОФЕ в зеркале читается легко и свободно, а слово ЧАИ изменяется до неузнаваемости (рис. 9). Разумеется, зеркало одинаково отражает нижнюю половину слов. Однако в отличие от слова ЧАЙ слово КОФЕ KOOEi л м V |\| Рис. 9 290 обладает горизонтальной осью симметрии, поэтому оно не исказилось при отражении в зеркале. Наряду с названными преобразованиями симметрии возможны различные комбинации, например зеркально-поворотные преобразования. Симметрия в природе Все формы похожи, и ни одна не одинакова с другой: и так весь хор их указывает на тайный закон. И. Гёте Внешняя форма природных тел (кристаллов, растений, животных, геологических образований) — это то, что прежде всего бросается нам в глаза при знакомстве с окружающим миром. Присмотримся внимательно к форме объектов природы. Вот обыкновенный листок дерева (рис. 10). Он как бы склеен из двух половинок. Если мы поставим зеркало на линию, идущую вдоль черешка, то увидим, что отражение правой половины листка более или менее точно заменяет его левую половину, и наоборот, левая половина листка в зеркале как бы переселяется на место правой. Такой зеркальной симметрией обладают гусеница, жук, бабочка и т. д. Посмотрим внимательно на ромашку (рис. 11). Этот цветок обладает многими плоскостями симметрии, и все они пересекаются в центре. Это уже не одна, а целый веер плоскостей. Сходную поворотную симметрию имеют подсолнечник, гриб, кипарис. Немецкий естествоиспытатель Э. Геккель изучал и систематизировал простейшие морские организмы: радиолярии, инфузории, водоросли. При этом он зарисовывал их внешний вид. Поражённый открывшейся ему красотой живых форм, он собрал и издал свои рисунки в виде альбома «Красота форм в природе». Приведём фрагмент страницы из этого альбома, наглядно показывающий, сколь симметричны некоторые морские организмы (рис. 12). Вокруг нас наиболее часто встречаются два вида симметрии: зеркальная (симметрия листка) и поворотная (симметрия ромашки). Наблюдения показывают: Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 291 в природе то, что растёт или движется по вертикали, т. е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется поворотной симметрии. То, что растёт и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, имеет зеркальную симметрию. Многие природные объекты симметричны вследствие воздействия на них поля тяготения. Однако тяготение влияет только на форму природных тел, внутреннее же строение ускользает из-под его власти, что и уловил наблюдательный взгляд поэта К. Я. Ваншенкина. Ты качаешь головою. Говоришь с улыбкой ты: «Симметрично всё живое — Люди, звери и цветы». Это так. Но, между прочим. Вот берёза, и на ней Ветви к северу короче, К югу — ярче и пышней. Не последняя забава. Бьётся, полное огня. Сердце слева. Ну, а справа Нет же сердца у меня?! Симметрия в изобразительном искусстве и архитектуре Полная симметрия докучает, а изящное разнообразие красит и тешит вкус, В. И. Даль Искусство отражает действительность, и поскольку симметрия часто встречается в природе, то в произведениях искусства проявляются её закономерности. Прекрасные образцы симметрии демонстрирует нам архитектура. Большинство зданий зеркально симметричны. Общие планы построек, фасады, орнаменты, карнизы, колонны соразмерны, гармоничны. Много примеров использования симметрии даёт старая русская архитектура (колокольни, сторожевые башни, внутренние опорные столбы). Более поздние каменные русские храмы, дворцы, садово-парковые ансамбли тоже несут на себе отпечаток симметрии. На рис. 13 изображён храм Христа Спасителя (Москва). Симметрия встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор. На индийском ковре один и тот же фрагмент повторяется на плоскости с помощью параллельного переноса (рис. 14). Знаменитый голландский художник М. Эшер использовал симметрию для достижения художественного эффекта. Он создал более 150 симметричных 292 Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 КОМПОЗИЦИЙ на различные темы. Репродукция его картины «Рыбы» приведена на рис. 15. Однако художники, хотя и часто прибегают к симметрии, используют её очень осторожно. Обратимся к аналогии. Если весы находятся в равновесии, то их коромысло горизонтально, чашки весов расположены симметрично относительно опоры весов. Но стоит на одну из чашек положить дополнительный груз, как равновесие нарушится, коромысло наклонится, чашки начнут двигаться. Исчезла симметрия — нарушилось равновесие, появилась асимметрия, система пришла в движение. Таким образом, строгая симметрия воспринимается как покой, равновесие, а небольшое отклонение от симметрии воспринимается как динамика, движение. Проанализируйте с этих позиций картины великих мастеров живописи, например «Троицу» А. Рублёва (рис. 16), «Тайную вечерю» А. Дюрера. Симметричная в целом, композиция этих картин в деталях асимметрична, и это создаёт впечатление динамики действия, повышает выразительность произведения искусства. Отклонения от симметрии имеются и в природе. Об этом говорил известный художник О. Ренуар: «Два глаза, даже на самом красивом лице, всегда чуть-чуть различны, нос никогда не находится в точности над серединой Рис. 16 293 рта; долька апельсина, листья на деревьях, лепестки цветка никогда не бывают в точности одинаковыми». Таким образом, художники исходят из основных законов природной симметрии, вместе с тем они выявляют незначительные отклонения от неё. Симметрия в художественной литературе Прекрасное — это когда части находятся в соразмерном отношении друг к другу; из гармонии частей вытекает чувство удовлетворения. Данте С давних времён люди считали, что красоту характеризует гармоничность, пропорциональность, стройность, а уродство связано с отсутствием всякой симметрии. Так, в Древней Греции красота воплощалась в совершенных образах богов и богинь, а устрашающие чудовища порождались бесформенным хаосом. В литературных произведениях часто красота, связанная с симметрией, противопоставляется уродству, обусловленному асимметрией. Так, в пушкинской «Сказке о царе Салтане» прекрасная Царевна Лебедь противопоставляется окривевшим злодейкам — ткачихе и поварихе. В «Фаусте» Гёте красота Прекрасной Елены противопоставляется уродству одноглазой и однозубой старухи Форкиады. Симметрия связана не только с художественными образами, но и со структурой литературных произведений. Так, «Божественная комедия» Данте состоит из трёх частей: «Ад», «Чистилище» и «Рай». При этом каждая часть поэмы содержит почти одинаковое количество строк: «Ад» — 4720, «Чистилище» — 4755, «Рай» — 4758. Роман Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание» структурно построен с учётом симметрии. Он состоит из шести частей и эпилога. В первых трёх частях двадцать глав, в последующих, если считать и эпилог, тоже двадцать. И по объёму с точностью до страницы эти части одинаковы. Поэзию отличает от прозы симметричность слогов, строк, ударных и безударных звуков. Приведём отрывок из стихотворения А. Фета: Какая грусть! Конец аллеи А Опять с утра исчез в пыли, В Опять серебряные змеи А Через сугробы поползли. В Обозначим ударный слог символом «—», безударный Тогда первую строку можно записать так: символом «и», и — и — и — и — и. 294 Этот стихотворный размер называют ямбом. Здесь налицо элемент повторяемости и —. Для хорея (стихотворного размера) чередование ударных и безударных слогов в строке имеет вид: — U. Теперь рассмотрим четверостишие А. Фета в целом. Можно ли в нём найти элементы симметрии? Да. Первая строка рифмуется с третьей, а вторая — с четвёртой. Эту строфу можно представить в виде схемы А — В — А — В, т. е. здесь тоже имеется элемент повторяемости А — В. Проанализируем с точки зрения симметрии знаменитую онегинскую строфу А. С. Пушкина: Встаёт заря во мгле холодной; На нивах шум работ умолк; С своей волчихою голодной Выходит на дорогу волк; Его почуя, конь дорожный Храпит — и путник осторожный Несётся в гору во весь дух; На утренней заре пастух Не гонит уж коров из хлева, И в час полуденный в кружок Их не зовёт его рожок; В избушке, распевая, дева Прядёт, и, зимних друг ночей. Трещит лучинка перед ней. Представим рифмовку строк в строфе в виде схемы А — В — А — В — С — С — D — D — Е — F — F — Е — G — G. Из схемы видно, что в целом онегинская строфа асимметрична, но в ней можно выделить элементы симметрии, например А — В — А — В, С — С, D — Пи др. Таким образом, онегинская строфа включает как симметричные, так и асимметричные части. Это исключает монотонность, что важно для восприятия крупного произведения. Симметрией обладают и фигурные стихи, текст которых имеет очертания какого-либо предмета (звезды, креста, вазы, треугольника и др.). Изобретателем этой зрительной формы стиха считается Симмий Родосский. Интересно, что внешний вид его стихотворений соответствовал их теме. В России фигурные стихи писали С. Полоцкий, А. Апухтин, И. Рукавишников, В. Брюсов. Приведём отрывок из стихотворения А. Апухтина, написанного в форме треугольника: О, где же те мечты? Где радости, печали. Светившие нам столько долгих лет? От их огней в туманной дали Чуть виден слабый свет... И те пропали. Их нет. 295 в литературе существует целый ряд забавных словесных конструкций, одинаково читаемых по буквам слева направо и справа налево. Такие конструкции называют палиндромами. Палиндромами могут быть не только слова {топот, казак, шалаш), но и фразы: «Я иду с мечем судиям (Г. Державин). «А роза упала на лапу Азора^ (А. Фет). ^Аргентина манит неграм (Н. Булгаков). Некоторые поэты писали палиндромами не только отдельные стихотворения (В. Брюсов), но и поэмы (поэма В. Хлебникова «Разин»). Мы ограничимся этими примерами, не претендуя на глубину освещения вопроса о симметрии в литературных произведениях. Симметрия в музыке Музыка — это радость души, которая вычисляет, сама того не зная. Г. Лейбниц В музыке мы встречаемся с симметрией в широком значении этого слова. Соразмерность, согласованность частей и целого характеризуют красоту, совершенство музыкального произведения. Приведём несколько примеров, где проявляются характерные для симметрии элементы: повторения, зеркальные отражения, параллельные переносы, пропорции. Музыкальное произведение всегда имеет определённый ритм. В основе ритма лежит некое правило повторения музыкальных звуков (структур) во времени. В музыке с XVII в. утвердился тактовый, акцентный ритм, основанный на чередовании сильных и слабых ударений. Симметрия проявляется в упорядочении звуков по высоте. В основе музыкального ряда звуков лежит октава, равномерно разбитая на 12 полутонов. Полутон является элементом повторяемости в ряду музыкальных звуков. Смещением одного полутона на величину трансляции вверх или вниз по частоте можно получить в принципе бесконечную цепочку равномерно отстоящих друг от друга звуков (аналогичную бесконечным бордюрам). Система длительностей в музыке строится на кратных отношениях: целая нота равна двум половинным, половинная — двум четвертным, четвертная — двум восьмым, восьмая — двум шестнадцатым и т. д. Ещё в древности было обнаружено, что высота тона обратно пропорциональна длине струны. Вибрирующие струны звучат друг другу в тон, если их длины находятся в простых отношениях. Самыми благозвучными оказываются сочетания звуков, которые соответствуют следующим отношениям между длиной струн: 1:2 — октава, 2:3 — квинта, 3:4 — кварта. В музыке мы встречаемся с параллельным переносом. Представьте себе следующую картину: один певец запевает песню, а второй её подхватывает, в точности воспроизводя партию первого певца с запозданием на один или 296 несколько тактов. Такое пение называется каноном. На нотном листе сдвиг мелодии изображается параллельным переносом. Повторения нередко звучат в музыкгшьных произведениях. Мелодии песен повторяются из куплета в куплет. Мелодия иногда повторяется и внутри одного куплета, как, например, в русской народной песне «Во поле берёза стояла». Мелодия этой песни построена по схеме А — А — В — В. Такая структура мелодии довольно часто встречается в народных песнях («Весёлые гуси», «Как ходил, гулял Ванюша» и т. д.). Интересной разновидностью повторения является исполнение одной и той же мелодии с различной степенью громкости — сначала громко, затем тихо. Так звучит, например, эхо. Многие композиторы в своих произведениях использовали этот приём. Например, известен хор Орландо ди Лассо «Эхо». В музыке встречается и последовательность «тихо — громко». В музыке используются зеркальные отражения. В качестве примера приведём венгерскую народную песню «Уж ты, двор». 12 3 4 Ч *'«l'^ I* Уж ты, двор, .ми-лый двор, рас-пре-крас-ный мой двор Первые два такта совершенно одинаковы. Они связаны между собой элементом симметрии — параллельным переносом. Третий и четвёртый такты зеркально симметричны. Отметим, что четвёртый такт является зеркальным отражением третьего только с точки зрения высоты звучания. В данном случае ритм не претерпевает зеркального отражения. В прошлом многие композиторы занимались построением разнообразных отражённых мелодий. Наивысшего расцвета это искусство достигло в творчестве И.-С. Баха. Слушая его «Музыкальное приношение», «Искусство фуги» или «Хорошо темперированный клавир», трудно поверить, что эта великолепная музыка написана по столь сложным «правилам игры», отмечают авторы книги «Язык. Музыка. Математика» (Б. Варга и др.). Исследования в области музыки доказывают, что все выдающееся по своему художественному значению произведения написаны с соблюдением симметричных соотношений. Так, пропорция «золотое сечение» была обнаружена в 90 % произведений таких композиторов, как А. Аренский, Л. ван Бетховен, А. Бородин, И. Гайдн, В.-А. Моцарт, А. Скрябин, Ф. Шопен, Ф. Шуберт. По мнению музыковеда Л. Собанеева, «золотое сечение» создаёт впечатление особой стройности музыкального сочинения. Таким образом, симметрия является одним из камней фундамента, на котором искусный композитор строит своё величественное здание. Количественные закономерности, лежащие в основе гармонии, создают ощущение красоты музыки. 297 Симметрия в технике Всё красивое разумно. Г. Гегель Практически все технические объекты (самолёты, вагоны, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки) обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто связаны с их надёжностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма самолёта, дирижабля, автомобиля (рис. 17), подводной лодки и т. д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. Рис. 17 В технике суш;ествует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми. Поэтому, создавая технические устройства, конструируя машины, изобретатели часто руководствуются эстетическими критериями. Приведём в подтверждение слова авиаконструктора О. К. Антонова: «Мы прекрасно знаем, что красивый самолёт летает хорошо, а некрасивый плохо, а то и вооби^е не будет летать. Это не суеверие, а совершенно материалистическое положение... конструктор может идти часто от красоты к технике, от решений эстетических к решениям техническими. Таким образом, красота нередко выступает в качестве критерия истинности технического решения. И хотя эстетическая оценка в исследованиях имеет относительный характер, её роль в творческой деятельности инженера часто бывает интуитивно верной. Симметрия в физике Думаю, что представляет интерес ввести в изучение физических явлений понятие о симметрии, столь привычное кристаллографам. П. Кюри Вся современная физика проникнута идеями симметрии. По мнению лауреата Нобелевской премии Э. Вигнера, в физике существуют три уровня описания: уровень явлений, уровень законов природы и уровень принципов симметрии. 298 Если законы природы устанавливают взаимосвязи между явлениями, то принципы симметрии устанавливают связь между законами природы. Принципы симметрии — это законы физических законов. Под симметрией в физике чаще всего понимают инвариантность (неизменность) физических законов относительно каких-либо преобразований. Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований. 1. Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это означает, что пространство однородно, в нём отсутствуют выделенные точки. 2. Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия законов физики относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений, отсутствие выделенных направлений — изотропность пространства. 3. Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно этого преобразования означает, что физические законы не изменяются со временем. 4. Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта. Существует ещё ряд преобразований, относительно которых физические законы симметричны. В основном все они связаны с физикой микромира. Так, для элементарных частиц существует симметрия относительно перестановки одинаковых частиц, «цветовая» симметрия, калибровочная симметрия. Проиллюстрируем использование идей симметрии на примере законов классической механики. Так, законы Ньютона не изменяются как при изменении направления движения, так и при смещении точки отсчёта начала движения в пространстве и во времени, поскольку пространство однородно и изотропно. В физике доказывается, что симметрия связана с законами сохранения и каждому преобразованию симметрии соответствует величина, которая сохраняется (теорема Э. Нётер). Например, закон сохранения энергии Лагранж вывел из условия, в соответствии с которым расположение различных тел системы не зависит от времени. Тем самым постулируется однородность времени, или независимость протекания физических процессов от переноса во времени. Закон сохранения импульса связан с симметрией пространства. Плодотворность использования симметрии в физике предсказывал П. Кюри. В 1894 г. появилась его статья «О симметрии физических явлений; симметрия электрического и магнитного поля». В ней были сформулированы идеи учёного, касающиеся универсальной роли симметрии. Благодаря кристаллам симметрия проникла в мир физических законов и стала там полновластной хозяйкой. Ответы Ответы к упражнениям № № № № № № № № 8. № 9. № 10. № 11. № 12. № 13. № 14. № 15. № 16. № 17. № 18. № 19. № 20. X» 21. № 22. № 23. № 24. № 25. № 26. № 27. JV9 28. № 29. № 30. от 1. 1. 40 м; 0. 2. 47,1 м; 30 м. 3. 14 км; 10 км. 4. s, = -1 см; Sy = 3 см. 4 м/с. 2. 6,6 с; 20 м. 8 км/ч; 0,1 ч; 0,6 км. 2. 130 км/ч. 22.5 м/с. 2. 17,5 м/с. 3. 48 км/ч. 0,5 м/с^. 2. 40 с. 3. 9 м/с. 12.5 м/с^. 2. 48 м. 3. 6 м/c^; 1200 м. 2 с. 2. 8 м/с; 12 м/с. 3. 5 м; 15 м; 25 м. 4. 35 м. 5. 2 с; 20 м/с. 3,6 с. 1.5 км. 2. 86,6 с; 21651 м; 9375 м. 3. 76°. 600. 2. 0,6 см/с. 3. 7,3 10'® рад/с; 465 м/с. 5 м/с^ 2. 0,006 м/c^ 3. 7,6 м/с^; 7600 м/с. 4. 5 м. 25 м/с^ 2. 4,5 Н. 3. 0,7 Н. 4. 5,2 м/с’. В 2,6 раза. 2. 1,6 м/с^ 3. 13,7-10® км. Уменьшится. 2. 60 Н. 3. 10 м/с®; 5 м/с®. 4,9 км/с. 2. 8 км/с. 3. 1,6 м/с. 4. 2,8 км/с. 0,2. 2. 0,16. 3. 0,94 м/с®. 4. 43,7 Н. 5. у = pgh{l - р ctg а). 44,4 Н; 55,6 Н. 2. 100 Н. 3. 603 Н; 607 Н. На расстоянии 5,1 см от центра железного шара. 2. На расстоянии О шара массой 2т. 4 10'' кг м/с. 2. 60 кг м/с. 3. 2000 Н. 4. 2400 Н. 0,1 м/с. 2. 0,16 м/с. 3. 400 м/с в противоположную сторону. 4. 0,6 м/с. m « + + и); Mv - mu М + т 407 м/с. 3. 50 м/с. 260 кДж. 2. 116 м. 3. 1650 Дж. 4. Нет. 5. 5091 Дж. 33,8 Дж. 2. Во втором. 3. 23,6 кН. 4. 7,7 м/с. 4.5 Дж. 2. 1000 Дж; 2000 Дж. 3. ~ 5. -4000 Дж. 0,4 Дж. 2. 12,5 Дж. 3. 0,8 Дж. 11,25 м. 2. 14,3 м/с. 3. 60 Дж; 140 Дж. 4. 10 м. 5. -3,2 МДж. 50 моль; 310®®. 2. 1,210®^ 3. 4,610'®® г; 810'®® г. 4. 1,210®“; 310 2.5 л. 3. 16 л. 273 °С. 3. 1227 °С. 4. 10 м®. 5. 546 °С. 907 °С. 3. 1,77 м®. 4. 286 К. 5. 373 °С. 1,2-10® Па. 2. 7,5 10'®® Дж. 3. а) 3738 Дж; б) 1,87-10® Дж. 500 м/с. 5. 531 °С. г. 300 № 31. № 32. № 33. Л» 34. Х2 35. № 38. № 39. № 40. № 41. № 42. № 43. № 44. Хо 45. № 46. № 47. № 49. 1. На 10 °С. 2. На 1245 Дж. 3. 10 кДж. 4. 5- 10® Па. 5. 113 °С. 1. 400 Дж. 2. 2,5 кг. 3. 2 кг. 4. 10 Дж. 5. 2490 Дж. 6. 10 RTo. 7. -2Q. 1. а) 35%; б) 42%. 2. 20%. 3. 55%. 4. 1,5 МДж. 5. 1902 кДж. 6. 40 кг. 7. 0 °С; масса воды 0,4 кг; масса льда 0. 3 кг. 3. 2,4 10 " Н/м. 4. 2,63■ 10 ® Н. 5. 1,28 10 ® Н; 0,64 м/с". 1. 15,25 МДж. 2. 5,3 МДж. 3. 75%. 4. 15,84 мм рт. ст. 5. 1,7-10® Па; 2,4 10® Па. 6. 0,01 г. 1. 6,75 10 " Н. 2. 1,5 10-® Н. 3. 2,3 10-'"Н. 4. 10 ® Кл. 5. 8,1 10 ' Н. 6. 28,8 Н. 1. 1,8-10 ® Н. 2. 1,5 10" Н/Кл; 1,7-10 ® Кл. 3. 10® Н/Кл. 4. 9-10" Н/Кл. 1. 600 В. 2. 1,1 кДж. 3. 500 В. 4. 2200 В/м. 1. 5 мкФ; 4 • 10 ® Дж. 2. 2 • 10 ® Кл; 0,2 Дж. 3. 8850 пФ. 4. -3 • 10 ® Дж. 1. 6 В. 2. 9 Дж. 1. 100 В. 2. 12,5 Ом. 3. 2 Ом. 4. 0,5 А; 4 В. 5. 0,4 Ом. 2. 24 Ом; 16 Ом. 3. 18. 4. 1 В. 5. 2,7 А. 6. 2 Ом; 9 Ом; 18 Ом. 1. 294 Дж. 2. 60 Дж. 4. 1,3 кВт. 5. 500 А. 6. 70,7 В. 8. 484 Ом. 9. 3,6 кВт ч. 1. 8,4 • 10® Кл. 2. 3,39 • 10-' кг/Кл. 3. 422 А. Ответы к задачам 1. X = -3 - 2<; -7 м; 4 м. 2. -2 м; 8 м. 3. 10 м/с. 4. а) а = ОО*", t = —; б) а = arccos —, Vo Vo t = 2 1^2 2 - vf . 5. 8,7 м/с. 6. 23 м/с; 27 м/с. 7. 100 m. 8. 0,45 м/с; 0,3 м/с". 9. 25 cm. 10. 5 M. 11. 57 M. 12. 3,1 c. 13. 0,8 c. 14. 4 H. 15. 20 m. 16. 13 м/с. 17. 2 м/с, 4 0, 1,4 м/с; 2 м/с". 18. 0,4 c. 19. 51 H. 20. 0,02 кг. 21. 300 H. 22. 2,2 м/с"; 4 H. 1 23.m = ^cosa + nsing)^^^ ^ ^(sin a - pcosa) 2h________ sin a V ^(1 - ctg a + tg P) 25.6 10®Н.26.Л = 0,27. 27. ^ ^ \ 2&. F > ^Sylh(2R Щ 29. |i = 30. Ha расстоянии § к h] R-h ^8 ^ 6 от центра круга. 31. 10 Н; 5 Н. 32. 4 м; 1 м. 33. . 34. 147 Дж. 35. \/^- М + т 36. 2mgH. 37. 38. 6. 39. 1,2 • 10"" молекул; 1,2 кДж. 40. 20 м. 41. 0,25 м. 42. 20 атм. 43. 2,5 • 10® Па. 44. 1,8 • 10® Па. 45. 0,8 кг. 46. 1,5 м/с. 47. 2,25 кДж. 48. 144 кПа. 49. 90 Дж. 50. А = R(T, + - Т^). 51. А = R{T^ + + г. - 27тГ^). 52. 20%. 53. 2. 54. П = 5(П - (рГ- ft)’ 56. 112,5 г. 57. 0,75 г. 58. 223 г. 59. 4,2 • 10*' Кл; 1,4 • Ю*' Кл. 60. 1,22 м; 4,8 • 10-® Кл. 61. 900 кг/м®. 62. 2,2 • 10® м/с. 63. 360 В/м; 25,4 В. 64. 100 В. 65. 0,25 мм. 66. 22,7 В. 67. 1014 В. 68. 0,2 мг. 69. 0,5 мм". 70. 3 Ом; 5 Ом. 71. 1 кОм. 72. 0,55 А. 73. 0,8 Ом. 74. 9 Вт. 75. 9 мкКл. Оглавление Предисловие ............................................................. 3 Введение. Методы научного познания .................................... 4 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА Глава 1. Кинематика *§ 1. Механическое движение .......................................... Ю *§ 2. Траектория, путь, перемещение ................................. 12 *§ 3. Скорость равномерного прямолинейного движения.................. 14 § 4. Сложение скоростей ........................................... 17 § 5. Скорость при неравномерном движении .......................... 19 § 6, Ускорение .................................................... 21 § 7. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении ....... 23 § 8. Свободное падение тел ........................................ 26 § 9. Движение тел, брошенных под углом к горизонту ................ 29 § 10. Равномерное движение по окружности ........................... 33 § 11. Центростремительное ускорение ................................ 36 Из истории создания кинематики ............................... 38 Самое важное в главе 1 ....................................... 40 Глава 2. Динамика § 12. Первый закон Ньютона ........................................ 42 § 13. Сила ......................................................... 44 § 14. Второй закон Ньютона......................................... 46 § 15. Третий закон Ньютона ......................................... 50 § 16. Закон всемирного тяготения ................................... 52 § 17. Вес. Невесомость. Перегрузка.................................. 55 § 18. Первая космическая скорость .................................. 58 § 19. Сила трения .................................................. 60 Из истории создания динамики .................................. 64 Самое важное в главе 2 ....................................... 66 Глава 3. Статика **§ 20. Условия равновесия тел ...................................... 67 **§ 21. Центр тяжести ............................................... 71 **§ 22. Виды равновесия. Устойчивость тел ........................... 73 Из истории создания статики .................................. 76 Самое важное в главе 3 ....................................... 77 Глава 4. Законы сохранения в механике § 23. Импульс тела ................................................. 78 § 24. Закон сохранения импульса ................................... 80 § 25. Реактивное движение .......................................... 85 302 § 26. Механическая работа. Мощность ................................ 88 § 27. Кинетическая энергия тела .................................... 92 § 28. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия ................... 95 § 29. Работа силы упругости ........................................ 98 § 30. Закон сохранения механической энергии ....................... 101 Из истории открытия законов сохранения импульса и энергии ... 106 Самое важное в главе 4 ...................................... 107 ЧАСТЬ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Глава 5. Молекулярно-кинетическая теория § 31. Основные положения молекулярно-кинетической теории .......... 110 § 32. Молекулы .................................................... 112 *§ 33. Движение и взаимодействие молекул .......................... 116 Самое важное в главе 5 ...................................... 119 Глава 6. Свойства газов § 34. Модель газа ................................................. 120 § 35. Скорости молекул газа ....................................... 122 § 36. Изотермический процесс ...................................... 123 § 37. Изобарный и изохорный процессы .............................. 126 § 38. Уравнение Менделеева — Клапейрона ........................... 130 § 39. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории .......... 132 Из истории создания термометра .............................. 136 Самое важное в главе 6 ...................................... 139 Глава 7. Основы термодинамики § 40. Исходные понятия термодинамики .............................. 140 § 41. Внутренняя энергия. Способы изменения внутренней энергии газа ................... 142 § 42. Первый закон термодинамики .................................. 145 § 43. Применение первого закона термодинамики к разным процессам .. 147 **§ 44. Понятие о втором и третьем законах термодинамики ........... 149 § 45. Тепловые двигатели .......................................... 150 § 46. Тепловые двигатели и охрана окружающей среды ................ 154 Из истории открытия закона сохранения энергии ............... 156 Самое важное в главе 7 ...................................... 159 Глава 8. Свойства твёрдых тел § 47. Кристаллические и аморфные тела ............................. 160 § 48. Структура монокристаллов .................................... 162 § 49. Аморфные тела ............................................... 164 **§ 50. Механические свойства твёрдых тел .......................... 165 § 51. Плавление, кристаллизация и сублимация твёрдых тел .......... 168 Самое важное в главе 8 ...................................... 172 Глава 9. Свойства жидкостей § 52. Структура и свойства жидкости................................ 173 **§ 53. Поверхностное натяжение жидкости ........................... 175 **§ 54. Смачивание. Капиллярные явления ............................ 177 § 55. Взаимные превращения жидкостей и газов ...................... 181 303 § 56. Кипение жидкости ............................................. 183 § 57. Влажность воздуха ............................................ 186 Самое важное в главе 9 ....................................... 190 ЧАСТЬ 3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Глава 10. Электростатика *§ 58. Закон сохранения электрического заряда ...................... 192 § 59. Закон Кулона ................................................ 196 § 60. Напряжённость электрического поля ........................... 199 § 61. Графическое изображение электрических полей ................. 203 § 62. Работа сил электрического поля .............................. 206 § 63. Потенциал. Разность потенциалов ............................. 207 § 64. Проводники в электрическом поле ............................. 210 **§ 65. Диэлектрики в электрическом поле ............................ 211 § 66. Электрическая ёмкость. Энергия заряженного конденсатора ..... 215 Из истории учения об электрических явлениях .................. 218 Самое важное в главе 10 ...................................... 221 Глава 11. Законы постоянного электрического тока § 67. Условия, необходимые для существования электрического тока .. 223 § 68. Электродвижущая сила ........................................ 225 § 69. Закон Ома ................................................... 228 *§70. Соединение проводников ...................................... 230 *§71. Работа и мощность электрического тока ....................... 234 Из истории развития представлений о постоянном электрическом токе ........................................... 238 Самое важное в главе 11 ...................................... 239 Глава 12. Электрический ток в различных средах § 72. Элементы теории электропроводности металлов ................. 241 § 73. Зависимость сопротивления от температуры .................... 242 § 74. Электрический ток в вакууме ................................. 244 § 75. Электронные пучки. Электронно-лучевая трубка ................ 246 § 76. Электропроводность электролитов ............................. 248 § 77. Электропроводность газов .................................... 251 § 78. Виды самостоятельного разряда в газах ....................... 253 § 79. Полупроводники. Собственная проводимость полупроводников .... 256 § 80. Примесная проводимость полупроводников ...................... 261 **§ 81. Полупроводниковый диод ...................................... 262 Из истории развития электронных представлений ................ 265 Самое важное в главе 12 ...................................... 266 Лабораторные работы ................................................... 267 Задачи ................................................................ 280 Приложения Приложение 1. Некоторые сведения о векторах .................. 287 Приложение 2. Симметрия в природе, искусстве, технике и физике ....................................... 289 Ответы ................................................................ 300