Учебник Физика Колебания и волны 11 класс Мякишев Синяков

г. я. Мякншев, А. 3. Синяков КОЛЕБАНИЯ и волны 11 класс D р о ф а Г.Я.Мякишев, А.3.Синяков ФИЗИКА КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 11 класс ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Учебник для общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 9-е издание, стереотипное Москва ^ D р О ф а 2010 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я722 М99 Мякишев, Г. Я. М99 Физика. Колебания и волны. 11 кл. Профильный уровень : учеб, для общеобразоват. учреждений / Г. Я. Мякишев, А. 3. Синяков. — 9-е изд., стереотип. — М. ; Дрофа, 2010. — 287, [1] с. : ил. ISBN 978-5-358-08118-5 в учебнике на современном уровне изложены фундаментальные вопросы школьной программы, представлены основные применения законов физики, рассмотрены методы решения задач. Книга адресована учащимся физико-математических классов и школ, слушателям и преподавателям подготовительных отделений вузов, а также читателям, занимающимся самообразованием и готовящимся к поступлению в вуз. УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я722 Учебное издание Мякишев Геннадий Яковлевич Синяков Арон Залманович ФИЗИКА Колебания и волны 11 класс Профильный уровень Учебник для общеобразовательных учреждений Ответственный редактор Е. Н. Тихонова. Редактор В.А.Обменина Оформление Л. П. Копачева. Компьютерная графика Л. Я. Александрова, О. И. Колотова Художественный редактор В. В. Рочев Технический редактор М. В. Биденко Компьютерная верстка Г. М. Татаринова Корректоры Е. Е. Никулина, Н. С. Соболева Санптарноэцидемиолоптаеское заключение № 77.99.60.953.Д.009733.08.09 от 18.08.2009. Подписано в печать 20.01.10. Формат 60 х 90 Vw* Бумага офсетная. Гарнитура ♦ Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 18,0. Тираж 9000 экз. Заказ Ка 5654. ООО ♦Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: [email protected] По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться но адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76. Сеть магазинов «Переплетные птицы». Тел.: (495) 912-45-76. Интернет-магазин: https://www.drofa.ru Отпечатано в ОАО "Тульская типография", 300600, г. Тула, пр. Ленина, 109. ISBN 978-5-358-08118-5 ©СКЮ «Дрофа*, 2001 ВВЕДЕНИЕ При колебательных процессах состояния системы через определенные промежутки времени повторяются точно или почти точно. Когда колебательный процесс распространяется в пространстве с течением времени, то говорят о распространении волн. Колебательные движения часто встречаются в природе и технике. Колеблются маятники часов, грузы на пружинах, ветки деревьев, наше сердце и т. д. и т. п. Широко распространены электромагнитные колебания: совершает колебания сила тока в электрической цепи, электронный луч в кинескопах телевизоров и т. д. Наконец, быть может, реализуется самый грандиозный колебательный процесс: периодически расширяется и сжимается наша Вселенная. Широко распространены также волновые процессы: су-щ;ествуют волны на поверхности воды и внутри твердых, жидких и газообразных тел. Звук — это волновой процесс. Радиосвязь осуществляется посредством электромагнитных волн, а свет является частной формой этих же волн. Замечательно, что колебания и волны независимо от их природы описываются количественно одними и теми же уравнениями! Именно поэтому целесообразно рассматривать колебания и волны различной природы совместно. В современной физике выделился специальный раздел — физика колебаний. В нем изучаются колебания (и волны) различной природы с единой точки зрения. Физика колебаний имеет очень большое практическое значение. Она занимается исследованием вибраций сооружений и механизмов; ее выводы лежат в основе электротехники переменных токов и радиотехники. Не меньшее значение имеет изучение волн: акустических (звуковых), радиоволн и света. Почему колебательные и волновые процессы часто встречаются в природе и технике? И почему они описываются математически одинаковыми законами? Ответить на эти общие вопросы нелегко. Колебания возникают в системах всегда, если эти системы обладают устойчивыми положениями равновесия. Тогда при отклонении от положения равновесия возникает сила, возвращающая систему к положению равновесия. Из-за присущей телам инертности они «проскакивают» положение равновесия, и отклонение происходит в противоположном направлении. Процесс начинает периодически повторяться. Существует большой класс явлений, при которых движение происходит в ограниченных областях пространства. К их числу относятся колебания. Другой класс процессов не связан с движением в малой ограниченной области. Например, падение камня, движение автомобиля или поезда, столкновения молекул газа. Видимо, относительная устойчивость и развитие нашего мира связано с тем, что имеются движения того и другого типа. Единая математическая форма уравнений, описывающих механические и электромагнитные колебания, связана с тем, что в том и другом случае мы имеем дело с системами, обладающими положением устойчивого равновесия. Вблизи положения равновесия потенциальная кривая имеет во всех случаях одну и ту же форму. Это и приводит к тождественности математических уравнений, описывающих колебательный процесс. Общими оказываются и уравнения, описывающие развитие колебательных процессов в пространстве с течением времени, т. е. процесс распространения волн. Глава 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Механическими колебаниями называются движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенные интервалы времени. .Для колебаний характерно, что колеблющееся тело, например маятник, попеременно смещается то в одну, то в другую сторону. При вращении тела движение также периодически повторяется, но смещений в противоположные стороны относительно положения равновесия не происходит. Колебательное и вращательное движения вызываются силами, которые, как правило, по-разному зависят от расстояний между телами. §1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ По характеру физических процессов в системе, которые вызывают колебательные движения, различают три основных вида колебаний: свободные, вынужденные и автоколебания. Свободные колебания Самым простым видом колебаний являются свободные колебания. Свободные колебания возникают в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия. Такие колебания совершает груз, подвешенный на пружине п'лс. 1.1), шарик на нити (маятник) (рис. 1.2) и др. Эти системы обладают устойчивым положением равновесия, в котором действующие на тело силы взаимно уравнове- —> шены. Сила тяжести F, действующая на шарик, уравновеше- —> на или силой упругости растянутой пружины Fq (рис. 1.3), —> или силой натяжения нити маятника Fq (рис. 1.4). При выведении системы из положения равновесия начинают действо- Рис. 1.5 вать силы, направленные к этому положению. В результате и возникают колебания. Рассмотрим подробнее, почему возникают колебания, например, шарика, подвешенного на пружине. Если сместить шарик вниз так, чтобы длина пружины увеличилась на X (рис. 1.5), то на шарик начнет действовать дополнительная сила упругости Ру, модуль которой пропорционален согласно закону Гука удлинению пружины. Эта сила направлена вверх, и под ее воздействием шарик с ускорением начнет двигаться вверх, постепенно увеличивая скорость. Сила при этом будет уменьшаться, так как пружина сокращается. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия, сумма всех сил, действующих на него, станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика согласно второму закону Ньютона станет равным нулю. Но к этому моменту скорость шарика уже достигнет некоторого значения. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, он будет по инерции продолжать подниматься вверх. Пружина при этом сжимается, и в результате появляется сила, направленная уже вниз и тормозящая движение шарика (рис. 1.6). Эта сила, а значит, и направленное вниз ускорение увеличиваются прямо пропорционально абсолютному значению смещения х шарика относительно положения равновесия. Скорость убывает до тех пор, пока в самой верхней точке не обратится в нуль. После этого шарик с ускорением начнет двигаться вниз. С уменьшением х модуль силы убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль. Но шарик уже успевает к этому моменту набрать скорость и продолжает двигаться вниз. Это движение приводит к дальнейшему растяжению пружины и к появлению силы, направленной вверх, о -Движение шарика тормозится до полной остановки в крайнем нижнем положении, после чего весь процесс повторяется сначала. Если бы не существовало трения, то дви- х' жение шарика не прекратилось бы никогда. Рис. 1.6 Однако трение есть, причем сила трения как при движении шарика вверх, так и при движении вниз все время направлена против скорости. Она тормозит движение шарика, и поэтому размах его колебаний постепенно уменьшается до тех пор, пока движение не прекратится. При малом трении затухание становится заметным лишь после того, как шарик совершит много колебаний. И если интересоваться движением шарика на протяжении не очень большого интервала времени, то затуханием его колебаний можно пренебречь. В этом случае влияние силы трения на движение можно не учитывать. Если же сила трения велика, то пренебречь ее действием и в течение малых интервалов времени нельзя. Опустите шарик на пружине в стакан с вязкой жидкостью, например с глицерином. Если пружина достаточно мягкая, то выведенный из положения равновесия шарик совсем не будет колебаться. Под действием силы упругости он просто вернется в положение равновесия, но выше уже подниматься не будет; за счет действия силы трения скорость его в положении равновесия будет практически равна нулю. Теперь можно сообразить, что же является существенным для того, чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания. Необходимо выполнение двух условий. Во-первых, при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия, и следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Именно так действует в рассмотренной нами системе сила упругости пружины и сила тяжести: и при перемещении шарика вверх, и при его перемещении вниз результирующая сила направлена к положению равновесия. Во-вторых, трение в системе должно быть достаточно мало, иначе колебания быстро затухнут или даже не возникнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения. Оба условия являются совершенно общими, справедливыми для любой системы, в которой могут возникнуть свободные колебания*. Проверьте это самостоятельно на другой простой системе — маятнике. Нужно при этом иметь в виду, что шарик на нити будет представлять собой маятник лишь в том *Для возникновения свободных колебаний еще необходимо, чтобы тела обладали инертностью, но это условие выполняется всегда, так как все тела имеют массу. 8 случае, если на него действует сила тяжести. Создающий эту силу земной шар входит в колебательную систему, которую для краткости мы называем просто маятником. Вынужденные колебания Колебания, совершаемые телами под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Такие колебания будет, например, совершать книга на столе, если мы начнем двигать ее вперед и назад рукой. Колебания книги в данном случае вызваны действием силы со стороны руки, которая меняется по модулю и направлению. Вынужденными колебаниями являются также колебания поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания, иглы швейной машины и т. д. Особый интерес, как мы увидим в дальнейшем, представляют вынужденные колебания в системе, способной совершать свободные колебания. Автоколебания Наиболее сложным видом колебаний являются автоколебания. Автоколебаниями называются незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на нее внешних периодических сил. Для этого система должна обладать собственным источником энергии. За счет энергии источника колебания не затухают, несмотря на действие сил трения. Наиболее известной автоколебательной системой являются часы с маятником или балансиром. Автоколебания мы рассмотрим в конце эТой главы. §1.2. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА, ПОДВЕШЕННОГО НА ПРУЖИНЕ Для того чтобы описать колебания тела, например груза на пружине или шарика на нити, количественно, нужно воспользоваться законами механики Ньютона. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела т на ускорение а равно действующей на тело силе F: ma = F. (1.2.1) Второй закон Ньютона (1.2.1) непосредственно описывает движение тела, размеры которого не оказывают существенного влияния на характер движения. В таком случае тело можно считать материальной точкой. Чтобы записать второй закон Ньютона для проекций на оси координат, надо выбрать подходящую систему отсчета, относительно которой уравнение движения выглядит особенно просто и потому удобно для решения. Далее надо выяснить, как модули и направления сил зависят от положения (координат) тела и его скорости. Если тело движется вдоль прямой, как в случае колебаний груза на пружине, то сделать это нетрудно. Запишем уравнение движения для груза на пружине. На груз действует сила упругости и сила тяжести F = mg. Действием трения пренебрежем. Направим ось X вертикально вниз (рис. 1.7). Начало отсчета (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В положении равновесия пружина растянута на величину Xq, значение которой определяется из закона Гука: Hxq = mg, где k — жесткость пружины, т — масса груза, я g — ускорение свободного падения. Отсюда (1.2.2) ^0 k • Проекция силы упругости (■Р’у)^ = -Hxq + х), где X — координата груза относительно положения равновесия. Величина х^ + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 1.7). Уравнение движения груза запишется так: та^ = -k(x + jCq) + mg. (1.2.3) Подставляя в это уравнение значение из выражения (1.2.2), получим окончательно: та^ = -kx. (1.2.4) Уравнение движения не содержит силы тяжести. Сила тяжести, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на посто-Рис 1 7 янную величину. Но это не влияет на ха- 10 рактер дви>1 лия груза. Просто колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на Xq пружине. В отсутствие тяготения уравнение движения (1.2.4) имело бы точно такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине в отличие от колебаний маятника. Масса т и жесткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (1.2.4) на m и введя новое обозначение о k <-т получим: (1.2.5) (1.2.6) Это уравнение колебаний груза на пружине. Оно очень простое: ускорение груза прямо пропорционально его коор-дцрате X, взятой с противоположным знаком. Самым замечательным является то, что такие же (с точностью до обозначений) уравнения описывают свободные колебания самых различных систем, в частности колебания математического маятника. Постоянная cOq имеет важный физический смысл. Как мы впоследствии увидим, — это циклическая частота колебаний груза. Она выражается в секундах в минус первой степени. § 1.3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Рассмотрим простой маятник — шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Можно пренебречь и ее массой по сравнению с массой шарика. Таким образом, вместо реального маятника — шарика определенного размера на нити, которая, конечно, немного деформируется при движении и имеет массу, мы вправе рассматривать простую модель: материальную точку, подвешенную на нерастя- 11 жимой невесомой нити. Такая модель маятника называется математическим маятником в отличие от реального маятника, называемого физическим. Маленький шарик на длинной тонкой нити должен вести себя практически так же, как и математический маятник. Выведем маятник из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести F = mg, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити F^, направленная вдоль нити (рис. 1.8). Конечно, при движении маятника на него еще действует сила трения. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой. Силу тяжести F удобно разложить на две составляющие: тангенциальную F^, направленную по касательной к траектории перпендикулярно к нити, и нормальную направленную вдоль нити. Сила упругости нити F^ и составляющая силы тяжести F^ перпендикулярны к скорости маятника и сообщают ему нормальное ускорение. Действие этих сил не меняет скорости маятника по модулю, а приводит лишь к изменению направления скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника. Тангенциальная составляющая F^ силы тяжести создает тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю. Она всегда направлена к положению равновесия, и именно она вызывает колебания маятника. 12 При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он всегда движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити I. Поэтому положение шарика в любой момент определяется одной величиной — углом а отклонения нити от вертикали (см. рис. 1.8). Будем считать угол а положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево. Уравнение для тангенциальной составляющей ускорения Тангенциальная проекция силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол а, выражается так: =-F sin а =-mg sin а. (1.3.1) (Мы считаем значение проекции положительным, если составляющая силы направлена слева направо.) Знак «-» в уравнении (1.3.1) стоит из-за того, что и а имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (а > 0) составляющая силы тяжести направлена влево и ее проекция отрицательна: jP^ < 0. При отклонении маятника влево (а < 0) эта проекция положительна: > 0. Согласно второму закону Ньютона или тщ = F^, X т’ та^ = -mg sin а. (1.3.2) Разделив левую и правую части этого уравнения на т, получим: a^ = -gsina. (1.3.3) До сих пор считалось, что углы отклонения нити от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если выражать угол а в радианах, sin а = а. Следовательно, a^ = -ga. (1.3.4) Смещение шарика маятника от положения равновесия можно характеризовать не только углом, но и величиной, из- 13 меряемой длиной дуги ОА (см. рис. 1.8), взятой со знаком «+», если шарик смеш;ается от положения равновесия вправо, и со знаком «-», если он смеш;ается влево. Очевидно, что а I ’ (1.3.5) где S — длина дуги ОА. Подставив в уравнение (1.3.4) это значение а, получим: Введя обозначение a, = -fs. -= а? I “О’ (1.3.6) (1.3.7) приходим к окончательному виду уравнения движения маятника при малых углах отклонения от положения равновесия: (1.3.8) = -cogs. Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (1.2.6) движения шарика, прикрепленного к пружине. Здесь только вместо проекции ускорения стоит тангенциальное ускорение и вместо координаты х — величина s. Да и cog зависит уже не от жесткости пружины и массы груза, а от ускорения свободного падения и длины нити. Но по-прежнему ускорение прямо пропорционально смеш;ению (определяемому дугой) шарика от положения равновесия. Если бы мы в случае маятника обозначили тангенциальное ускорение через а^, а дугу через х, то оба уравнения (1.2.6) и (1.3.8) были бы неразличимы. Важное заключение. Мы пришли к замечательному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и маятник, одинаковы. Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения груза на пружине и шарика маятника от положения равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это сила упругости, а во втором — составляющая силы тяжести. Уравнение движения (1.2.6), как и уравнение (1.3.8), выглядит внешне очень просто: ускорение прямо пропорционально координате. Но решить его, т. е. определить, как 14 л^еняется координата колеблющегося тела с течением времена, не просто. До сих пор в механике мы в основном рассмат-рйвали движение с постоянным ускорением. При колебаниях же ускорение меняется со временем, так как меняется сила, действующая на тело. § 1.4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно найти зависимость координаты от времени. Ускорение — вторая производная координаты по времени Мгновенная скорость, как известно из курса математики, представляет собой производную координаты по времени. Ускорение — это производная скорости по времени, или вторая производная координаты по времени*. Поэтому уравнение (1.2.6), описывающее колебания груза на пружине, можно записать так: -cogjf. (1.4.1) где х" — вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (1.4.1) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку. Гармонические колебания Из курса математики известно, что функции синус и косинус обладают тем свойством, что вторая производная функции пропорциональна самой функции, взятой с противоположным знаком. Можно доказать, что никакие другие функции этим свойством не обладают. Значит, координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса. * Для краткости мы говорим об ускорении и скорости. В действительности имеются в виду проекции этих величин. 15 Когда тело совершает колебания, его движения периодически повторяются. Поэтому неудивительно, что изменение (jo временем координаты тела выражается через периодические функции синус или косинус. Периодические изменения (ризической величины j в зависимости от времени по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Амплитуда колебаний Важной характеристикой колебательного движения является амплитуда. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смеш,ения тела от положения равновесия. Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смеш;аем тело от положения равновесия в начальный момент времени, и от того, какая скорость сообщается при этом телу. Амплитуда определяется начальными условиями. Но максимальные значения модуля синуса и косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (1.4.1) не может просто выражаться косинусом или синусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды х^ на синус или косинус. Решение уравнения движения, описывающего свободные колебания Какую же форму имеет решение уравнения (1.7.1)? Нельзя просто считать, что х = х^ sin t или х = cos t, так как в этом случае вместо х" = -cOqX получилось бы равенство х" = -x^sinf - -X. Но небольшое усложнение формы решения сразу приведет нас к цели. Чтобы в выражении второй производной x"(t) был множитель cOq, запишем решение уравнения (1.4.1) в следующем виде: л: = sin cOpi. (1-4.2) В этом случае первая производная (скорость) принимает вид: х' = cos COpf, а вторая производная (ускорение) равна: х" = -(X>qX^ sin = -o>qX. 16 Мы в точности получили уравнение (1.4.1). Следовательно, функция (1.4.2) есть решение исходного уравнения (1.4.1). Конечно, решением исходного уравнения будет также функция: X = cos (йЛ. т и График зависимости координаты тела от времени согласно уравнению (1.4.2) представляет собой синусоиду, изображенную на рисунке 1.9. Но выражение (1.4.2) — это еще не самое общее решение уравнения (1.4.1). Нетрудно убедиться, что решением уравнения (1.4.1) будет также синус или косинус, если к их аргументу добавить произвольную постоянную величину ф^: Х = sin (co^f + фд). (1.4.3) Постоянная величина фд не определяется уравнением (1.4.1). В дальнейшем мы покажем, что подобно амплитуде колебаний она определяется начальными условиями. Функция л: = cos (©0^ + Фо) (1-4.4) также является решением уравнения (1.4.1). § 1.5. ПЕРИОД И ЧАСТОТА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Период и частота В уравнениях (1.4.3) и (1.4.4) пока не выяснен физический смысл постоянных ©Q и фд. Постоянная ©q, в отличие от ф^, определяется уравнением движения и имеет смысл частоты колебаний. При колебаниях движение тела периодически повторяется. Минимальный промежуток времени Т, через который 17 движение тела полностью повторяется, называют^ периодом колебаний. / Зная период, можно определить частоту колебанйй, т. е. число колебаний в единицу времени. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду v равно; (1.5.1) 1 V у,. В СИ и других системах единиц частоту колебаний принято считать равной единице, если в секунду совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно Гц) в честь немецкого физика Генриха Герца. Через промежуток времени Г, т. е. при увеличении аргумента синуса (или косинуса) на щТ, движение повторяется и синус (или косинус) принимает прежние значения. Но наименьший период синуса или косинуса равен 2тс. Следовательно, cOqT = 2л и (1.5.2) 2л „ cOq = Y = 2^- Таким образом, величина Mq — это число колебаний тела, но не за 1 с, а за 2п с. Она называется циклической или круговой частотой*. Конечно, можно было бы и не вводить понятие циклической частоты и пользоваться только частотой v. Но тогда во множестве формул пришлось бы вводить множитель 2л. Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы. Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы Собственная частота колебаний груза на пружине согласно выражению (1.2.5) равна; (1.5.3) Она тем больше, чем больше жесткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это понятно; более жесткая пру- Часто в дальнейшем мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту cOq от частоты v можно по обозначениям. 18 жина сообщает телу большее ускорение, т. е. быстрее меняет еГо скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания. А чем массивнее тело, тем медленнее оно изменяет скорость под действием данной силы. Период колебаний равен: Г = ^ = 2п (Ол (1.5.4) Располагая набором пружин различной жесткости и телами разной массы, нетрудно убедиться, что формулы (1.5.3) и (1.5.4) правильно описывают характер зависимости и Т от А и /н. Собственная частота колебаний математического маятника [см. формулу (1.3.7)] при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины нити и ускорения свободного падения так: = ^ (1.5.5) “о= Л* Период колебаний равен: Т=2к (1.5.6) Эта формула была впервые получена голландским ученым X. Гюйгенсом, современником Ньютона. Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. Чем больше длина маятника, тем меньше его тангенциальное ускорение [см. формулу (1.3.6)] и тем медленнее происходят колебания. От массы маятника период не зависит, так как от нее не зависит тангенциальное ускорение. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также можно обнаружить. Чем меньше ускорение свободного падения, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 7 с, если их поднять на вершину Останкинской телебашни (высота 500 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой. Зависимость периода колебаний от значения ускорения свободного падения используется на практике. Измеряя очень точно период колебаний маятника, можно с большой точностью определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на заданной широте оно не везде одинаково. В районах, где залегают плотные породы, уско- 19 рение свободного падения несколько больше. Этим пользуются при разведке полезных ископаемых. Замечательно, что период колебаний груза на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний (изохронность колебаний). Наглядно это можно представить себе так. При увеличении амплитуды колебаний в два раза сила, направленная к положению равновесия, также увеличивается в два раза, в два раза возрастает ускорение, и в два раза большее значение будет иметь приобретенная скорость. В результате вдвое больший путь к положению равновесия тело пройдет за то же время, что и при колебаниях вдвое меньшей амплитуды. Впервые изохронность колебаний маятника заметил Галилей, наблюдая колебания лампад в Пизанском соборе. Любопытно, что время он отсчитывал по частоте собственного пульса. Достаточно точных часов в то время еще не было. Напомним в заключение, что только при малых углах колебания совершаются по гармоническому закону. Если углы отклонения нити от вертикали не малы, то ускорение уже не будет пропорциональным смещению. Поэтому колебания приобретают более сложный характер, и период колебаний начинает зависеть от амплитуды. Однако при углах отклонения около 1,5° поправка к значению периода, вычисленного по формуле (1.5.6), составляет лишь 0,01%. § 1.6. ФАЗА КОЛЕБАНИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДЫ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ ИЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Фаза колебаний При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом синуса или косинуса, равным (р = cOq^ -Ь Фд [формулы (1.4.3) и (1.4.4)]. Величину ф, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой* колебаний, описываемых этими * От греческого слова phasis — появление, ступень развития какого-либо явления. 20 функциями. Выражается фаза в угловых единицах — радианах или градусах. Фаза определяет не только координаты, но и другие физические величины, например скорости и ускорения, изменяющиеся по гармоническому закону. Начальная фаза. Сдвиг фаз В начальный момент времени t = О фаза (p = G)oi + (po (1.6.1) имеет значение ф^. Это значение фазы называется начальной фазой. Два или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз ф^. Если начальная фаза первого колебания равна ф0^^, а второго фд2> то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен: (1.6.2) На рисунке 1.10 изображены графики колебаний, сдвинутых по фазе на |. График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (фо1 = 0): ТС График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на : = !)• 21 Начальная фаза этих колебаний ^ • Так как sin | j "" cos (o^t, то ^2 = cos Таким образом, колебания, описываемые синусом и косину- ТС сом, представляют собой колебания со сдвигом фаз ^ • Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий Уже упоминалось, что амплитуда и начальная фаза не определяются уравнением движения. Их значения зависят от начальной координаты х(0) = и начальной скорости х'(0) — Vq. Значения Xq и Vq определяются условиями возбуждения колебаний. Если вывести тело из положения равновесия и отпустить, не сообщая ему скорости, то х(0) = Xq, а х'(0) = 0. Напротив, если сообщить телу начальную скорость, толкнув его в положении равновесия, то х(0) = 0, а х'(0) = Uq. Рассмотрим общий случай, когда при t = 0 х(0) ^0 и х'(0) ^ 0. Выбор решения в форме синуса или косинуса повлияет на начальную фазу, но не на амплитуду. Пусть решение уравнения (1.4.1) имеет вид: л: = sin (cooi-f фо). (1.6.3) Тогда х'= cos (©Qt-f 9q). (1.6.4) При t = о Xo = sin Фо, ^’o = COS Фо- Согласно уравнениям (1.6.5) sin фп = — ; cos фп =-----------. '*'0 '^^0 cOoX,„ Отсюда 22 tg Фо Фо _ cos Фо Hq (1.6.5) (1.6.6) (1.6.7) Это выражение определяет начальную фазу ф^. В частном случае, если Xq = о, то tg Фц = о и Фд = 0. Если же Vq — О, то tg ф^ = » к и Фо = 2 • Возведя в квадрат оба уравнения (1.6.6) и сложив их левые и правые части, получим: sin^ фр + cos^ Фо ^ "Т V Отсюда амплитуда колебаний 2 , ^0 Хо+ — = 1. _ 2 , рО 2 ' Ч СОп (1.6.8) (1.6.9) При Уо = О » при JCq = ^ = Юл Если бы мы выразили решение не через синус, а через косинус, то амплитуда по-прежнему имела бы значение, определяемое формулой (1.6.9), а начальная фаза определялась бы уравнением = (1-6.10) Получите это выражение самостоятельно и рассмотрите предельные случаи = о и Uq = 0. § 1.7. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ. ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ При гармонических колебаниях координаты тела его скорость и ускорение также меняются гармонически. Скорость Проекция скорости на ось X есть производная координаты по времени. Если х = х^ cos (co^t -Ь ф^), то v^ = x' = -cOoX^sin(cOoi + ф^) = cOq^t^cos + фо-ь|^. (1.7.1) 23 Скорость при гармонических колебаниях меняется с течением времени гармонически. Амплитуда скорости равна а по фазе колебания скорости опережают колебания координаты к на^. В момент, когда координата равна нулю (момент прохождения положения равновесия), модуль скорости максимален, и, наоборот, скорость равна нулю, когда координата максимальна по модулю (рис. 1.11, а, б\ фц = 0). Ускорение Проекция ускорения на ось X есть производная скорости по времени: COS («0^ + Фо)’ ИЛИ cos (cOq^-ь ф^-ь п). (1.7.2) Ускорение при гармонических колебаниях координаты меняется гармонически. Амплитуда ускорения равна а^ = ®qX^, а по фазе колебания ускорения опережают колебания координаты на %. Ускорение и координата одновременно становятся максимальными по модулю, но имеют противоположные знаки. В подобных случаях говорят, что колебания происходят в противофазе (рис. 1.11, а, в; фц = 0). Относительно колебаний скорости колебания ускорения % сдвинуты по фазе на ^ » а амплитуда ускорения связана с амплитудой скорости соотношением: а^ = v^cOq. Превращения энергии при гармонических колебаниях Оттянув груз, подвешенный на пружине, вниз, мы сообщаем грузу некоторый запас потенциальной энергии. При движении груза вверх пружина сокращается и потенциальная 24 эь vrna уменьшается. Но одновременно увеличивается кинетическая энергия груза. В момент прохождения телом положения равновесия потенциальная энергия становится минимальной. Кинетическая же энергия достигает максимума. После прохождения положения равновесия скорость начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и кинетическая энергия. Потенциальная энергия снова растет. В самой верхней точке она достигает максимума, а кинетическая энергия становится равной нулю. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Частота колебаний потенциальной и кинетической энергий в два раза больше частоты колебаний тела. Такие же изменения кинетической и потенциальной энергий происходят при колебаниях маятника. Полная механическая энергия при колебаниях груза на пружине равна сумме кинетической и потенциальной энергий: + ^. (1.7.3) W=W,+W К р 2 2 • Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются, но полная механическая энергия в системе без трения согласно закону сохранения энергии остается неизменной. Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия. Докажем это. Подставим в формулу (1.7.3) выражения для и х: 2 2 2 та>(.х„ „ kx„ „ W = —2— Фо) + ~ + Фо)- (1 • 7 • 4) Заменив в первом члене уравнения (1.7.4) его значением о k o)q = —, получим; kx^‘ kx^ [Sin2 (co^f + ф„) + cos2 (COof + Фо)] = -f . (1.7.5) Если же во второй член уравнения (1.7.4) подставить k = и учесть, что %х^ = v^, то будем иметь: 2 2 - - mv^ w = [Sin2 (coof + Фо) + cos2 (Q)o^ + Фо)] = ^ • (1.7.6) 25 § 1.8. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные колебания груза на пружине или маятника являются гармоническими лишь тогда, когда нет трения. Трение же, может быть и небольшое, всегда есть. Силы трения совершают отрицательную работу и уменьшают механическую энергию системы. Поэтому амплитуда колебаний с каждым периодом уменьшается. В конце концов после того, как запас механической энергии исчерпается, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии трения являются затухающими. Только в пределах небольшого интервала времени уменьшением амплитуды можно пренебречь и считать (приближенно) колебания незатухающими. Мы не будем решать уравнение движения для свободных колебаний с учетом трения. Это достаточно сложная задача, требующая умения решать дифференциальные уравнения. Приведем лишь график зависимости координаты тела от времени (рис. 1.12). Эту зависимость можно заставить вычерчивать само колеблющееся тело, например маятник. На рисунке 1.13 изображен маятник с песочницей. На равномерно движущемся листе картона он струйкой песка вычерчивает график зависимости координаты от времени. Это простой метод «временной развертки» колебаний, дающий весьма полное представление о процессе движения. Чем быстрее движется лист картона, тем большими оказываются расстояния между соседними максимумами смещения. С увеличением силы трения колебания затухают быстрее. При большом трении они не возникают совсем. Тело, выведенное из положения равновесия, останавливается, не переходя че- рез положение равновесия (рис. 1.14). Все это можно наблюдать, постепенно увеличивая трение маятника с песочницей, прикрепляя к нитям подвеса листы плотной бумаги все большей и большей плош;ади поверхности. Сопротивление воздуха зависит от плош;ади листа. В ряде случаев выгодно увеличивать затухание колебаний в системе; «гасить», как говорят, колебания. В автомобилях применяются специальные амортизаторы для гашения колебаний кузова на рессорах при передвижении по неровной дороге. При колебаниях кузова связанный с ним поршень движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Жидкость перетекает через отверстие в поршне, что приводит к появлению больших сил трения и быстрому затуханию колебаний. При затухаюш;их колебаниях движение является непериодическим. Соответственно понятие периода колебаний утрачивает свой непосредственный смысл. Однако и здесь несколько условно можно говорить о «периоде», если под ним понимать промежуток времени между двумя последовательными прохождениями телом положения равновесия при движении в одну и ту же сторону. Этот «период» всегда больше периода гармонических колебаний. ? 1. Зависимость координаты от времени для некоторого колебания показана на рисунке 1.15. Каковы амплитуда, период и начальная фаза этого колебания? 2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний скорости и ускорения при уменьшении частоты колебаний в три раза? 3. На нитях равной длины подвешены шарик от пинг-понга и теннисный мяч. Колебания какого из маятников прекратятся быстрее? Рис. 1.14 27 § 1.9. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные колебания всегда затухают за то или иное время и по этой причине почти никогда не используются на практике. Наиболее важное значение имеют незатухающие колебания, которые могут длиться сколь угодно долго. Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему действует внешняя периодическая сила. Колебания под действием внешней периодической силы называются вынужденными. Работа этой силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который и не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. Под влиянием периодической силы любое тело или система совершает колебания. Но если система сама по себе не способна совершать колебания, то ничего интересного в ней под действием периодической силы не произойдет. Вспомните пример с книгой, которую можно двигать рукой по столу слева направо и справа налево. Если же система способна совершать свободные колебания, то действие на нее периодической внешней силы вызывает весьма интересные и практически важные явления. С ними знакомы все, кому приходилось раскачивать ребенка на качелях. Качели — это маятник, обладающий определенной собственной частотой. Значительно отклонить качели от положения равновесия трудно. Постоянная во времени сила здесь мало эффективна. Не раскачает качели взрослый человек и в том случае, если он будет их беспорядочно подталкивать в разные стороны. Однако, если начать работать в правильном ритме, подталкивая качели вперед каждый раз, когда они поравняются с нами, можно без больших усилий раскачать их очень сильно. Правда, для этого потребуется некоторое время*. Раскачать качели до больших амплитуд можно только под действием такой периодической внешней силы, которая изменяется с частотой, равной частоте свободных колебаний качелей (маятника). Человек на качелях может самостоятельно раскачаться. Для этого он должен приседать при наибольших отклонениях качелей от положения равновесия и выпрямляться в положении равновесия. Такие колебания, называемые параметрическими, мы рассматривать не будем. 28 Вот эта возможность резкого увеличения амплитуды колебаний маятника или любой другой системы, способной совершать свободные колебания, при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы и представляет главный интерес. Наблюдение вынужденных колебаний Давайте подробнее познакомимся с вынужденными колебаниями системы, обладающей собственной частотой колебаний. Рассмотрим вместо маятника груз, подвешенный на пружине. Но теперь верхний конец пружины будет прикреплен к «колену» изогнутой оси (рис. 1.16). Если вращать ось с помощью рукоятки, то на груз, прикрепленный к пружине, начнет действовать периодическая внешняя сила. Еще лучше вращать ось с пЪмощью электродвигателя. Это обеспечит большую стабильность частоты внешней силы. Постепенно груз начнет раскачиваться. Амплитуда его колебаний нарастает. Спустя некоторое время колебания приобретут установившийся характер: их амплитуда со временем перестанет изменяться. Присмотревшись внимательно, вы обнаружите, что частота колебаний груза будет в точности равна частоте колебаний точки подвеса пружины, т. е. частоте изменения внешней силы. (Эта частота равна угловой скорости вращения рукоятки.) В этом ничего неожиданного нет. Если толкать груз вверх и вниз, то он в конце концов начнет качаться с той же частотой, с которой вы действуете на него. Установление колебаний Но почему с течением времени устанавливается определенная амплитуда колебаний? Проще всего это можно понять, исходя из энергетических соображений. Внешняя сила совершает за период работу А^, которая, конечно, прямо пропорциональна амплитуде колебаний (рис. 1.17, график 1). Ведь работа всегда пропорциональна пройденному пути. За счет этой 29 работы увеличивается энергия колеблющегося тела и, следовательно, размах колебаний. Одновременно с ростом амплитуды колебаний растут потери механической энергии в системе. Силы трения за период совершают работу А2- При этом от системы отбирается механическая энергия. Работа сил сопротивления также пропорциональна амплитуде, так как с увеличением амплитуды растет пройденный телом путь. Но нужно еще учесть, что сама сила сопротивления, если считать ее прямо пропорциональной скорости (F^ = -k^v), растет пропорционально амплитуде. Ведь чем больше амплитуда колебаний, тем быстрее при заданном периоде движется колеблющееся тело. В результате работа А2 оказывается пропорциональной квадрату амплитуды (рис. 1.17, график 2). При раскачке колебаний, когда амплитуда еще мала, 1^2! < |А^|. Энергия системы увеличивается, и амплитуда колебаний растет. Но работа сил сопротивления увеличивается (по модулю) быстрее, чем работа внешних сил: она ведь пропорциональна не первой степени, а квадрату амплитуды. Поэтому наступит момент, когда работа сил сопротивления сравняется по модулю с работой внешних сил. Тогда механическая энергия системы перестанет нарастать и колебания установятся. В дальнейшем они будут совершаться с постоянной амплитудой (рис. 1.18), а частота колебаний будет равна частоте изменения внешней силы. Чем меньшее сопротивление испытывает система, тем большую амплитуду будут иметь установившиеся колебания. Работа сил сопротивления пропорциональна коэффициенту сопротивления , и равенство \А^ = (соответствующее пе- 30 ресечению графиков 1 и 2', см. рис. 1.17) при малом сопротивлении (k^ < k-^), может быть достигнуто при большей амплитуде (ОС > ОВ). Разумеется, при этом требуется и большее время для того, чтобы колебания установились. Установившиеся вынул^денные колебания происходят с частотой со и амплитудой по гармоническому закону: х = х^ cos (coi + фр). (1.9.1) Внешне вынужденные установившиеся колебания выглядят так же, как и свободные колебания в системе без трения. Но если при свободных колебаниях амплитуда х^ и начальная фаза фо определяются начальными условиями, то при вынужденных колебаниях и ф^ определяются (как мы увидим в дальнейшем) параметрами самой системы и внешней силой. Прежде всего играет существенную роль соотношение частот собственных и вынужденных колебаний. Величина ф^ в случае вынужденных колебаний — это не начальная фаза, а сдвиг фаз между колебаниями координаты и внешней силы. Скорость и ускорение при вынужденных колебаниях определяются такими же уравнениями, как и при свободных колебаниях: «X = cos (cof + ф^. (1.9.2) (1.9.3) Уравнение движения для вынужденных колебаний Приступим к решению основной задачи: выясним, от чего и как зависят амплитуда х^ вынужденных колебаний и сдвиг фаз фд. Для этого запишем и исследуем уравнение движения для вынужденных колебаний. Пусть на колебательную систему (груз на пружине) действует внешняя периодическая сила cos (at. Кроме того, на тело действует сила упругости (F ) = -kx и сила сопротив- ух ления, пропорциональная скорости: (F^^ = где — ко- эффициент сопротивления. (При малых скоростях движения тела силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости.) Тогда уравнение движения запишется так; та^ = -kx - k^v^ + F^cosoit. (1.9.4) 31 Перенеся в левую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим: та^ + + kx = cos (at. Удобнее записать это уравнение в несколько другом виде, разделив правую и левую его части на то и введя собственную час- fk тоту 0)q = : т а^-\--------v^ + (oix = — cos (lit. X m ^ о jn (1.9.5) Движение тела, подчиняющееся этому уравнению, достаточно сложно, особенно вначале, когда оно не является гармоническим. Мы рассмотрим лишь три предельных случая. Первый случай: (й (о^; выполняется противоположное условие. И наконец, самый важный случай: (о = (о^*. Это случай резонанса. Вынужденные колебания малой частоты Если (й 0) имеем: F О т = — cos (at. и 777 Необходимо сделать одно уточнение. При наличии сил сопротивления собственная частота свободных колебаний не равна cDq = = . На самом деле она несколько меньше: а>^= JcOq 4т 2 . Но при малом коэффициенте сопротивления (к —> 0) = cDq. Практически наиболее интересен именно такой случай. Поэтому мы с полным основанием можем считать собственную частоту колебаний системы равной оо (это эквивалентно условию ю ^ (Oq) —> О, т. е. амплитуда колебаний мала. Этот результат вполне естествен. Сила столь быстро меняет направление, что тело, обладающее инертностью, не успевает заметно сдвинуться относительно положения равновесия. Половину периода внешняя сила совершает положительную работу, а другую половину — отрицательную. Половину периода сила и перемещение направлены одинаково, а другую половину периода они направлены в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в систему. 34 §1.10. РЕЗОНАНС Самый интересный частный случай вынужденных колебаний — это случай совпадения частоты колебаний внешней периодической силы с собственной частотой колебаний системы (ю ~ cOq). В этом случае первый член уравнения (1.9.5), который можно записать так: взаимно уничтожается с третьим членом, равным Эти два члена в любой момент времени одинаковы по модулю, но имеют противоположные знаки, так как ускорение и координата при любом гармоническом колебании сдвинуты по фазе на л. В результате уравнение (1.9.5) принимает вид cos (й^. (1.10.1) Это простое уравнение отражает всю суть явления. При ю « (Oq 'в любой момент времени (еще раз подчеркнем, что речь идет об установившихся колебаниях) внешняя сила как бы исключает из игры силу сопротивления. В результате ускорение телу сообщается только силой упругости пружины. В сущности, реализуется очень необычная ситуация: гармонические колебания существуют в системе сколь угодно длительное время, несмотря на действие силы сопротивления. Из уравнения (1.10.1) видно, что при ш = фаза колебаний скорости совпадает с фазой колебаний внешней силы. Работа внешней силы при этих условиях положительна на всем протяжении периода. Создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе. Положительная работа внешней силы в точности равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления. Из-за этого механическая энергия за счет работы силы сопротивления переходит во внутреннюю энергию (пружина с грузом и окружающий воздух нагреваются). Амплитуда колебаний при (о ~ cOq равна: = — 'И Шп fellOo (1.10.2) 35 При —> О —> °о, т. е. очевидно, что при о) = со^ амплитуда максимальна. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний назы-^ вается резонансом*. Наблюдать явление резонанса можно с помощью установки, изображенной на рисунке 1.16. Плавно увеличивая частоту внешней силы, мы заметим, что амплитуда колебаний растет. Она достигает максимума, когда внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями (со = cOq). При дальнейшем увеличении частоты амплитуда установившихся колебаний опять уменьшается (рис. 1.20). Влияние сопротивления на резонанс Существенное влияние на резонанс оказывает сопротивление в системе. Если коэффициент сопротивления fej имеет достаточно большое значение, то согласно уравнению (1.10.2) резонансная амплитуда колебаний невелика. При резонансе положительная работа внешней силы целиком идет на покрытие расхода энергии за счет отрицательной работы силы сопротивления. Чем меньше сила сопротивления, тем больше амплитуда установившихся колебаний. От латинского слова resonans — дающий отзвук. 36 Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при различных коэффициентах сопротивления и одной и той же амплитуде внешней силы графически изображено на рисунке 1.21. Кривой 1 соответствует минимальный коэффициент сопротивления, а кривой 3 — максимальный. На этом рисунке хорошо видно, что возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше сопротивление в системе. При малом коэффициенте сопротивления резонанс «острый» , а при большом «тупой». Если частота колебаний далека от резонансной, то амплитуда колебаний мала и почти не зависит от силы сопротивления в системе. В системе с малым сопротивлением амплитуда колебаний при резонансе может быть очень большой даже в том случае, когда внешняя сила мала. Но надо хорошо уяснить, что большая амплитуда установится только спустя продолжительное время после начала действия внешней силы. В соответствии с законом сохранения энергии заставить систему колебаться с "л большой амплитудой, а значит, сообш;ить ей большую энергию с помош,ью сравнительно небольшой внешней силы, можно только за большой промежуток времени. Если сопротивление велико, то амплитуда колебаний будет небольшой и для установления колебаний не потребуется много времени. О резонансе имеет смысл говорить, если затухание свободных колебаний в системе мало. Иначе амплитуда вынужденных колебаний при со = cOq мало отличается от амплитуды колебаний при других частотах. В этом можно убедиться, помещая колеблющийся груз в вязкую жидкость. Сдвиг фаз при вынужденных колебаниях Зависимость координаты от времени при резонансе выражается уравнением: X = т------cos co„i - о Ь fejCOo { ^ 2)’ (1.10.3) так как колебания скорости совпадают по фазе с колебаниями силы, а колебания координаты отстают от колебаний скорости л на 2- 37 Теперь можно изобразить примерный вид зависимости сдвига фаз от частоты. Мы знаем, что при малых частотах (со = 0) сдвиг фаз между колебаниями координаты и силы равен нулю. При резонансе сдвиг фаз равен . Если частота велика (со °о), то сдвиг фаз стремится к -л. На рисунке 1.22 представлен график зависимости сдвига фаз между колебаниями координаты и внешней силы в зависимости от частоты вынужденных колебаний. Можно показать, что чем меньше коэффициент сопротивления, тем резче происходит изменение сдвига фаз вблизи резонанса. Применение резонанса и борьба с ним Если какая-либо колебательная система находится под действием внешней периодической силы, то может наступить резонанс и связанное с ним резкое увеличение амплитуды колебаний. Любое упругое тело, будь то мост, станина машины, ее вал, корпус корабля, представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний. При работе двигателей нередко возникают периодические усилия, связанные с движением частей двигателя (например, поршней) или же с недостаточно точной центровкой их вращающихся деталей (например, валов). Если частота периодических усилий совпадает с частотой свободных колебаний, то возникает резонанс. Амплитуда колебаний может возрасти настолько, что возможна поломка машин. Во всех этих случаях принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие. Для этого увеличивают затухание в системе или же добиваются, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы. Известны случаи, когда приходилось перестраивать океанские лайнеры, чтобы уменьшить вибрацию. При переходе через мост воинским частям запрещается идти в ногу. Строевой шаг приводит к периодическому воздейст- 38 ВИЮ на мост. Если случайно частота этого воздействия совпадет с собственной частотой колебаний моста, то он может разрушиться. Такой случай произошел в 1906 г. в Петербурге при переходе кавалерийского эскадрона через мост на реке Фонтанке. Мы до сих пор приводили примеры вредных последствий резонанса. Есть, конечно, и полезные. Простейший пример — раскачивание качелей. На явлении резонанса основано устройство частотомера — прибора для измерения частоты переменного тока. Прибор состоит из набора упругих пластин 1 с грузиками на концах. Пластины закреплены на общей планке 2 (рис. 1.23, а). Каждая пластина обладает определенной собственной частотой колебаний, зависящей от ее упругих свойств, длины и массы. Частоты колебаний пластин известны. Под действием электромагнита 3 планка, а с ней вместе и все пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та пластина, собственная частота колебаний которой совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь большую амплитуду колебаний. Это и позволяет определить частоту переменного тока (рис. 1.23, б). Со многими другими, гораздо более важными применениями резонанса мы познакомимся в дальнейшем. Рис. 1.23 39 §1.11. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. СПЕКТР КОЛЕБАНИЙ На тело может действовать не одна, а несколько периодических сил, отличающихся амплитудой, частотой и фазой. В соответствии с принципом независимости сил каждая из сил вызывает движение тела {колебание), не зависящее от одновременного действия других сил. Благодаря этому происходит сложение колебаний, и в результате тело совершает некоторое сложное колебание, представляющее собой наложение отдельных колебаний*. Гармоническое колебание как проекция вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью Наиболее просто складываются гармонические колебания одинаковых частот. Предварительно рассмотрим проекцию вращающегося вектора. Пусть вектор ОА вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 1.24). Модуль вектора ОА обозначим через а. В начальный момент времени t = О вектор образует с осью X угол ф^. В дальнейшем при равномерном вращении угол между вектором ОА и осью X линейно растет со временем: ф = (Df + фц. (1.11.1) * Имеет смысл отметить, что такая простая картина возникает только в линейных колебательных системах, в которых сила, возвращающая тело в положение равновесия, прямо пропорциональна смещению от положения равновесия. Если же возвращающая сила зависит от смещения нелинейно, то картина колебаний чрезвычайно сильно усложняется. Результирующее колебание уже не является простой суммой отдельных колебаний. Такие сложные нелинейные системы мы рассматривать не будем. Правда, именно изучение колебаний в нелинейных системах представляет наибольший теоретический и практический интерес в современной физике. 40 Проекция вектора ОА на ось X равна: д: = а cos ф = а cos (cot + (Pq). (1.11.2) Одновременно- проекция этого вектора на ось Y оказывается равной у = а sin (cot + 9q). (1.11.3) Мы получили простой, но важный результат. Проекция вектора, вращающегося с постоянной скоростью, совершает гармонические колебания с частотой, равной угловой скорости вращения вектора. Амплитуда этих колебаний равна модулю вектора, а начальная фаза равна углу, образованному вектором ОА с осью координат X в начальный момент времени. Сложение гармонических колебаний одинаковых частот Сложение колебаний одинаковых частот проще всего осуществить е помощью так называемой векторной диаграммы. Векторной диаграммой называют графическое изображение гармонических колебаний и соотношений между гармонически колеблющимися величинами с помощью векторов. Построение векторной диаграммы основано на известном факте: проекция результирующего вектора равна сумме проекций слагаемых векторов. Поэтому сложение гармонических колебаний = а cos (cot -Ь ф^^) vi х^ = Ь cos (cot -Ь Фоз) (1.11.4) осуществляется так. Строят векторы ОА и ОВ, изображающие первое и второе колебания (рис. 1.25). Их модули равны амплитудам складываемых колебаний, а угол между ними, равный Фс Фо2 Фо1» (1.11.5) представляет собой сдвиг фаз между этими колебаниями. 41 Так как частоты складываемых колебаний равны, то угол Ф^, между векторами ОА и ОВ не меняется. Проекция суммарного вектора ОС представляет собой результирующее колебание: л: = + JCg = CCOS ((й^-Ь фд). (1.11.6) Оно происходит с той же частотой ю, что и колебания и х^- Модуль е вектора ОС равен амплитуде результирующих колебаний. По теореме косинусов для треугольника ОСА получим: I 2 2 е=/^а +Ь -1-2аЬсо8ф^. (1.11.7) Амплитуда результирующего колебания зависит от амплитуд складываемых колебаний а и Ь и сдвига фаз между ними. С помощью рисунка 1.25 можно найти и начальную фазу Фо- Сложение гармонических колебаний различных частот Гораздо более сложная картина возникает при сложении колебаний различных частот. Мы этот случай подробно рассматривать не будем. Ограничимся лишь несколькими замечаниями. При сложении гармонических колебаний различных частот результирующее колебание уже не будет гармоническим. Если складываются колебания с кратными частотами, то результирующее колебание оказывается периодическим, а его форма может очень сильно отличаться от синусоиды. На рисунке 1.26 представлен результат сложения 18 гармонических синусоидальных колебаний с различными амплитудами, начальными фазами и различными, но кратными частотами. Получился профиль девушки, фотография которой помещена рядом. Такую форму будет иметь график зависимости смещения колеблющейся точки от времени (временная развертка колебаний). Каждый, если не пожалеет времени, мо- 42 о CO у = 49,6 sin(co + 302°) + 17,4 sin(2co + 298°) + 13,8 sin(3co + 195°) + + 7,1 sin(4co + 215°) + 4,5 sin(5co + 80°) + 0,6 sin(6co + 171°) + + 2,7 sin(7co + 34°) + 0,6 sin(8co + 242°) + 1,6 sin(9co + 331°) + + 1.3 sin(10co + 208°) + 0,3 sin(llco + 89°) + 0,5 sin(12co + 229°) + + 0,? sin(13co + 103°) + 0,3 sin(14co + 305°) + 0,4 sin(15co + 169°) + + 0,5 sin(16co + 230°) + 0,5 sin(17co + 207°) + 0,4 sin(18co + 64°) Рис. 1.26 жет убедиться, что вас не пытаются ввести в заблуждение. Кстати, можно убедиться и в том, что профиль девушки будет с течением времени периодически повторяться. Спектр колебаний Можно поставить обратную задачу: заданы периодические, но не гармонические колебания координаты, внешней силы или какой-либо другой физической величины. Надо представить данное сложное колебание в виде суммы гармонических колебаний. Развиты строгие математические методы, которые позволяют это сделать для любого сколь угодно сложного колебания. Например, по заданному графику, изображающему профиль девушки (см. рис. 1.26), можно найти амплитуды, частоты и фазы гармонических функций, сумма которых дает исходное колебание. 43 Мы не будем касаться этой сложной математической задачи. Обратим внимание лишь на одно наиболее супцественное обстоятельство. Важным является определение частот тех гармонических колебаний, на которые разлагается сложное колебание. Совокупность частот сложного колебания называется его частотным спектром или просто спектром. Колебания каждой частоты представлены с той или иной амплитудой. Значение анализа спектрального состава сложного колебания связано с резонансом. Допустим, на колебательную систему с собственной частотой колебаний cOq действует внешняя сложная периодическая сила. Тогда наша колебательная система будет заметно отзываться только на гармоническую со-ставляюш;ую сложного колебания, частота которой совпадает с собственной частотой колебательной системы или близка к ней. При малых силах трения в системе резонансная кривая имеет резкий максимум и гармонические составляюш;ие периодической силы с частотами, заметно отличаюш;имися от резонансной, не вызовут «отклика» системы. Если в спектре внешней силы нет частот, близких к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда вынужденных колебаний системы будет мала. Благодаря этому с помош;ью набора колебательных систем с различными собственными частотами можно экспериментально определить спектр колебаний внешней силы. Например, частотомер, о котором говорилось в § 1.10, позволяет установить спектр сложных электрических колебаний силы тока. Для этого обмотку электромагнита нужно питать этим током. В такт с колебаниями силы тока будет колебаться планка с пластинами. Лишь те пластины, собственные частоты колебаний которых присутствуют в спектре колебаний тока, будут иметь заметную амплитуду колебаний. Непериодическую функцию времени тоже можно представить в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. Но частоты этих колебаний могут быть любыми. §1.12. АВТОКОЛЕБАНИЯ Незатухающие вынужденные колебания требуют для своего поддержания внешней периодической силы. Однако колебания в системе могут быть незатухающими и без действия внешней периодической си- 44 лы. Если внутри системы, способной совершать свободные колебания, имеется источник энергии и система сама может регулировать поступление энергии к колеблюш,емуся телу для компенсации потерь на трение, то в ней могут возникнуть незатухающие колебания. Часы с маятником Простой системой такого типа являются обыкновенные часы с маятником. Система обладает определенным запасом энергии — потенциальной энергией гири, поднятой над землей, или энергией сжатой пружины. Гиря приводит во вращение храповое колесо с косыми зубцами (рис. 1.27). С маятником скреплена дугообразная планка аЪ — анкер* с двумя выступами по краям. С помощью анкера маятник, управляет вращением храпового колеса и связанной с ним стрелки часов. При этом энергия от гири порциями поступает к маятнику. В изображенном на рисунке положении зубец давит на скос выступа Ъ анкера и толкает маятник влево. После прохождения маятником положения равновесия выступ Ь соскальзывает с зубца, но почти сразу же анкер внешним скосом выступа а упирается в другой зубец храповика, и маятник испытывает толчок в другую сторону. В результате дважды за период маятник получает энергию, сам открывая и закрывая доступ энергии от источника. Незатухающие колебания маятника происходят с частотой, почти точно равной частоте его свободных колебаний, если трение мало. Именно поэтому часы обладают регулярным ходом. Впервые маятник был применен для достижения регулярного хода часов Гюйгенсом в 1657 г. В часах с заводной пружиной вместо маятника обычно применяется балансир (колесико с пружиной), совершающий крутильные колебания вокруг своей оси. Рис. 1.27 ■ Немецкое слово анкер означает якорь. 45 Автоколебательные системы Системы, подобные часам, в которых генерируются незатухающие колебания за счет поступления энергии от источника, называются автоколебательными системами. Незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на нее внешних периодических сил, называются автоколебаниями. В то время как частота вынужденных колебаний совпадает с частотой внешней силы, а амплитуда колебаний зависит от амплитуды этой силы, частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой системы. Автоколебания отличаются и от свободных колебаний тем, что, во-первых, они не затухают с течением времени и, во-вторых, их амплитуда не зависит от начального кратковременного воздействия («толчка»), которое возбуждает колебания. К автоколебательным системам относятся электрический звонок с прерывателем, органная труба, свисток и многое другое. Наше сердце и легкие тоже можно рассматривать как автоколебательные системы. Мы заканчиваем знакомство с механическими колебаниями. В заключение обратим внимание на одну общую для всех колебаний черту, отличающую их от других видов механического движения. Как правило, при рассмотрении механического движения тел, например космических кораблей или планет под действием сил всемирного тяготения, задача состоит в нахождении положения тела и его скорости в любой момент времени. Но при изучении периодических колебательных процессов главный интерес представляют общие признаки, характеризующие повторяемость движений, а не положение и скорость колеблющегося тела в любой момент времени. Важно знать амплитуду, период колебаний, т. е. величины, характеризующие процесс в целом. При вынужденных колебаниях надо знать соотношение частот вынуждающей силы и свободных колебаний. Именно оно определяет характер течения процесса. 46 § 1.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач на колебательное движение следует использовать кинематические выражения для описания гармонических колебаний: формулы для координаты (1.4.3) и (1.4.4), скорости (1.7.1) и ускорения (1.7.2). Надо хорошо себе представлять динамику колебаний груза на пружине и математического маятника, знать дифференциальное уравнение гармонических колебаний (1.2.6), уметь составлять уравнения движения, описывающ;ие колебания в простых системах. Надо также знать формулы для периодов колебаний груза на пружине и математического маятника (1.5.4) и (1.5.6). Следует понимать элементарную теорию вынужденных колебаний, знать формулу для амплитуды этих колебаний при резонансе (1.10.2). Наконец, надо уметь в простейших случаях складывать гармонические колебания. Задача 1 Материальная точка массой 50 г колеблется по закону X = 0,05 sin я (0,2f + 0,25)*. Напишите уравнения для скорости и ускорения этой точки. Найдите максимальную силу, дей-ствующ;ую на точку, и полную энергию колеблющ;ейся точки. Решение. Согласно формуле (1.7.1) уравнение для скорости точки имеет вид: = + !)• (1.13.1) Из данного в условии задачи уравнения для координаты имеем: х^ = 0,05 м, (0(j = 0,2я с“^, (Pq = 0,25я рад. Следовательно, = 0,2я • 0,05 sin Го,2л* -Ь 0,25я -f , или = 0,01я sin я (0,2f + 0,75). (1.13.2) Здесь и в дальнейшем в уравнениях для гармонических колебаний все данные выражены в единицах СИ. 47 Уравнение для ускорения гармонически колеблющейся точки согласно формуле (1.7.2) выглядит так: = (OoJc^sin((Oo^ + Фо + ^)- (1.13.3) Подставляя вместо cOqJ:^ и их значения, получим: = -0,002д^ sin п (0,2i + 0,25). (1.13.4) Максимальная сила, действующая на точку, согласно второму закону Ньютона равна: F = та^. 771 771 Из выражения (1.13.4) видно, что = 0,002л^ м/с^ = = 0,02 м/с^. Следовательно, F = 1 • 10-3 н. 771 Полная энергия колеблющейся точки согласно формуле (1.7.6) равна: W mv„ Из уравнения (1.13.2) находим, что = 0,01л м/с, поэтому И^ = 2,5 • 10“® Дж. Задача 2 Часы, период колебаний маятника которых = 1 с, на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту h — 200 м над поверхностью Земли? Решение. На поверхности Земли период колебаний маятника равен: (1.13.5) На высоте h над Землей период колебаний маятника составит 2л -, (1.13.6) где — ускорение свободного падения на этой высоте. Число колебаний маятника за сутки на высоте h равно: N= — 1 т, ’ где га = 24 • 3600 с. 48 Следовательно, на высоте h над Землей часы отстанут за сутки на время Тп Из выражений (1.13.5) и (1.13.6) находим, что отношение периодов равно: ^0 _ _ R Ti ~ ~ В + h’ где В = 6400 км — радиус Земли. Следовательно, nh R+h R (1.13.7) Задача 3 I Рис. 1.28 Два математических маятника, длиной I каждый, связаны невесомой пружиной (рис. 1.28). Жесткость пружины равна к. При равновесии маятники занимают вертикальное положение, и пружина недеформирована. Определите частоты малых колебаний двух связанных маятников в случаях, когда маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в одну сторону (колебания в фазе) и в противоположные стороны (колебания в противофазе). Решение. Отклоним оба маятника от вертикали в одну и ту же сторону на одинаковый угол. Пружина при таком отклонении не будет деформирована. Легко сообразить, что отпуш;ен-ные из этого положения маятники будут колебаться в фазе с частотой со = . При отклонении в разные стороны на одинаковые углы колебания маятников будут происходить в противофазе, и пружина будет деформироваться. Для того чтобы подсчитать частоту этих колебаний, найдем силу, возвраш;аюш;ую маятники в положение равновесия. При отклонении на угол ср модуль силы, действуюш;ей со стороны пружины на тело массой т, согласно закону Гука равен F = k'Al. Но жесткость половины 49 Рис. 1.29 пружины k' = 2k, а растяжение этой половины = I sin ф. Следовательно, 2^У = 2Ы sin ф. Сумма проекций силы тяжести и силы упругости на касательную к окружности (обозначим ее через F) равна: F = mg sin ф + 2kl sin ф cos ф (рис. 1.29). Так как при малых углах cos ф = 1, то / 2kl\ F = (mg + 2kl) sin ф или F = m\g + jsin ф. Для математического маятника эта проекция равна mg sin ф. При этом частота колебаний при малых углах ф определяется формулой «о = Jf • ^ нашем случае роль g играет величина g + . Следовательно, т 8 + СО ^ 2_Ы т Период колебаний Т = 2я 8 + щ т (1.13.8) Задача 4 Два неподвижных точечных заряда расположены в точках Б и С на расстоянии г друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой т, несущий точечный заряд -q (рис. 1.30). Считая смещение отрицательного заряда от прямой ВС, соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с г, определите период Т колебаний отрицательного заряда. Решение. Направим ось X вдоль оси симметрии системы данных зарядов (рис. 1.31), а начало координат совместим с серединой отрезка ВС. Сместим заряд -q на небольшое расстояние О А = X от положения равновесия О. Тогда на заряд -q 50 В -а, т С Г Рис. 1.30 со стороны зарядов +q^ начнут действовать силы и Fg, стремящиеся вернуть заряд -q снова в положение равновесия. Проекция равнодействующей F этих сил на ось X равна: F^ = -2FjSina. (1.13.9) ОА 2х Так как угол а мал, то sin а = tg а = ^ = — . Модуль силы Fj найдем по закону Кулона: 1 %Я. F = 1 4ntr 2 Or 2 4 Смещение х — малая величина, а — величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно, ЧоЧ ^1 = 2 • кг^г Заменив в выражении (1.13.9) F^ и sin а их значениями, получим: г. =--------3^- ntr,r (1.13.10) Согласно второму закону Ньютона F. Следовательно, а^= —. X т а X МоЧ : X. ПЕпПгг (1.13.11) 51 Уравнение (1.13.11) описывает гармонические колебания, совершающиеся с циклической частотой СОп ^ЧоЧ ‘'О ^ 3- /\j7ieQmr Отсюда период колебаний отрицательного заряда будет равен: 2п Г = (Оп кг кгптпг Ц ЧоЧ Задача 5 Сложите гармонические колебания: = bsirvfot, Xg = ~2 cos (ot, b . ^ b X3 = sin coi, ^4 = g cos cor. Определите амплитуду В и начальную фазу фд результирующего колебания. Решение. Приведем данные в условии задачи уравнения к виду X4 = 6sincoi, Xg = I sin^cof - Xg = I sin(cof - д), ^4=1 sin j и построим векторную диаграмму Рис. 1.32 (рис. 1.32). На векторной диаграмме модуль вектора В — амплитуда результирующего колебания. Она равна зьЛ Из этой же векторной диаграммы находим, что Ъ_Ъ 2__8 _ 1 л ^ 2’ Ь~1 tg Фо а фд = arctg 2 = 0,464 рад = 26,6°. 52 УПРАЖНЕНИЕ 1 1. Период колебаний материальной точки 2,4 с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна нулю. Каковы смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки через 0,4 с после начала колебаний? Колебания происходят по закону косинуса. 2. Маятник, сделанный из ферромагнитного материала, колеблется над полюсом электромагнита. Как изменится частота его собственных колебаний, если через катушку электромагнита пропустить постоянный ток? 3. При температуре = 20 °С период колебаний маятника Tj = 2 с. Во сколько раз изменится период колебаний, если температура возрастет до fg "" 30 °С? Температурный коэффициент линейного расширения материала маятника а = 1,85-10-5 К-1. 4. Чему равен период колебаний математического маятника, находящегося в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением а? 5. Оцределите период колебаний маятника в лифте, движущемся вертикально с ускорением а, направленным: а) вверх; б) вниз. 6. Шарик массой т, подвешенный на длинной нити, совершает колебания. Как изменится частота колебаний, если шарику сообщить положительный заряд q и поместить его в однородное электрическое поле с напряженностью Е, направленной вертикально вниз? 7. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если последовательное соединение пружин заменить параллельным? 8. На горизонтальной поверхности лежат два бруска, массы которых равны соответственно тп^ и т^- Бруски связаны пружиной жесткостью к. Пружина сжата при помощи двух нитей, как показано на рисунке 1.33. Нити пережигают. Определите период Г колебаний данной системы. Трение отсутствует. Рис. 1.33 53 т, q Рис. 1.35 9. Определите период колебаний маятника при малых углах Р отклонения от вертикали (рис. 1.34). Стержень, на котором помещены шары массами и mg, считать невесомым. 10. Шарик массой т, имеющий заряд q, подвешен на нити длиной I (рис. 1.35). На расстоянии h под ним находится проводящая плоскость. Определите период Т свободных колебаний маятника при малых углах отклонения от вертикали. 11. Два неподвижных точечных заряда -l-gQ расположены на расстоянии АВ = г друг от друга. Посередине между этими зарядами расположен шарик массой т, несущий точечный положительный заряд q, который может перемещаться только вдоль линии АЗ (рис. 1.36). Определите период Т малых колебаний заряда. +9о< q, т I • — В -•+9о Рис. 1.36 12. Представим себе шахту, пронизывающую земной шар по одному из его диаметров. За какое время тело, брошенное в эту шахту, достигнет центра Земли? Сопротивление движению отсутствует. 13. Складываются два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковыми периодами, равными 8 с, и одинаковыми амплитудами, равными 0,02 м. Сдвиг фаз между колебаниями = л/2. Начальная фаза первого колебания равна нулю, его смещение в начальный момент времени тоже равно нулю. Запишите уравнение результирующего колебания. 54 Глава 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ § 2.1. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ •ч Открытие электрических колебаний Колебания груза на пружине или маятника «открывать» было не нужно. Они наблюдаются повсеместно. С электрическими колебаниями дело было много сложнее. Началось все с того, что в 1826 г. французский ученый Ф, Савар (один из авторов закона Био—Савара—Лапласа) заметил довольно странное явление. Стальная игла, помещенная внутрь соленоида, при разрядке лейденской банки через соленоид намагничивается иногда прямо противоположно тому, как это должно было бы быть, если бы банка постепенно разряжалась до нуля. В 1842 г. опыты Савара повторил американский ученый югославского происхождения Дж. Генри и пришел к заключению, что разряд лейденской банки «не представляется... единичным переносом флюида* с одной обкладки банки на другую» и что необходимо допустить существование «главного разряда в одном направлении, а затем несколько отраженных действий назад и вперед, каждое из которых является более ‘флюидом в те времена называли электрический заряд. 55 слабым, чем предыдущее, продолжающимся до тех пор, пока не наступит равновесие». Г. Гельмгольц в своем трактате «О сохранении силы» в 1847 г. также приходит на основании закона сохранения энергии к выводу, что разряд лейденской банки «не следует представлять как простое движение электричества в одном направлении, а как движение его туда и обратно между обеими обкладками конденсатора, как колебания, которые все более и более уменьшаются, пока вся живая сила (энергия по современной терминологии) не уничтожается суммой сопротивлений ». Убедительное доказательство колебательного разряда конденсатора (лейденской банки) получил в 1860 г. Ф. Феддер-сон. Он наблюдал искровой разряд лейденской банки с помощью быстро вращающегося зеркала. В зеркале была видна не одна непрерывная светлая полоса от искры, а ряд чередующихся полос, отделенных темными промежутками. Это была фактически временная развертка быстрых колебаний. Наблюдение свободных колебаний Периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока и напряжения называются электрическими колебаниями {иногда их называют электромагнитными'). Возбудить электрические колебания почти столь же просто, как и заставить тело колебаться, подвесив его на пружине. Но наблюдать электрические колебания, как об этом только что говорилось, уже не так просто. Мы непосредственно не видим ни перезарядки конденсатора, ни тока в катушке. К тому же колебания обычно происходят с очень большой частотой. Для наблюдения и исследования электрических колебаний сейчас используют электронный осциллограф. В электронной трубке осциллографа узкий пучок электронов попадает на экран, способный светиться при бомбардировке его быстрыми электронами. На горизонтально отклоняющие пластины подается переменное напряжение и^ специальной пилообразной формы (рис. 2.1). Его вырабатывает генератор развертки. Это на- 56 Рис. 2.2 пряжение сравнительно медленно нарастает, а потом очень резко уменьшается. Координата следа электронного луча на экране прямо пропорциональна напряжению на от-клоняюш,их пластинах: у ~ К ~ u^(t). При линейном возрастании напряжения развертки со временем координата у светящейся точки на экране перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью, вычерчивая на экране прямую линию. При быстром возвращении напряжения к начальному луч практически мгновенно возвращается назад. После этого весь процесс повторяется. Если присоединить вертикально отклоняющие пластины осциллографа к конденсатору, то колебания напряжения при его перезарядке вызовут колебания электронного луча в вертикальном направлении. В результате на экране образуется временная развертка затухающих колебаний (рис. 2.2), подобная той, которую вычерчивает маятник с песочницей на движущемся листе картона. Эти электромагнитные колебания называются свободными. Они возникают в системе после того, как конденсатору сообщается электрический заряд, выводящий систему из состояния равновесия. Зарядка конденсатора эквивалентна смещению груза на пружине из положения равновесия. Вынужденные колебания Вынужденные электрические колебания возникают в электрической цепи под действием периодической электродвижущей силы. Переменную ЭДС можно получить в проволочной рамке из нескольких витков при вращении ее с постоянной угловой скоростью в постоянном магнитном поле (рис. 2.3). При этом маг- рис. 2.3 57 нитный поток через поверхность рамки будет периодически меняться. Согласно закону электромагнитной индукции в рамке возникнет переменная ЭДС. При замыкании цепи через гальванометр пойдет переменный ток, и стрелка прибора начнет колебаться около положения равновесия. § 2.2. ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Простейшая система, в которой могут возникнуть свободные электрические колебания, состоит из конденсатора и катушки, соединенных последовательно (рис. 2.4). Такая система называется колебательным контуром. Рассмотрим, почему в системе возникают колебания. Для наглядности будем сравнивать процессы в контуре с колебаниями шарика на пружине. Зарядим конденсатор, присоединив его к батарее с помощью переключателя (рис. 2.5, а). При этом конденсатору сообщается энергия 2 W = — Р 2С’ 1 т Рис. 2.4 (2.2.1) где — заряд конденсатора, а С — его емкость. Между обкладками конденсатора возникает разность потенциалов U^. В случае шарика на пружине это эквивалентно тому, что мы увеличили длину пружины на х^, сообщив системе потен- циальную энергию , но держим пока шарик рукой, не позволяя ему двигаться (рис. 2.5, б). 1 2 -1-Н-Ь а) т///////////////////л. Положение равновесия б) Рис. 2.5 гз 1 2 -Н--М- в) 58 Переведем переключатель в положение 2 (рис. 2.5, в). Конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Сила тока равна i = lim ^ = q' (q' — производная At ^ о At заряда по времени). Возникновение тока эквивалентно появлению у шарика скорости, когда мы его отпускаем. На рисунке 2.6 изображены последовательные фазы перезарядки конденсатора и рядом для сравнения фазы колебания шарика на пружине (положение равновесия шарика отмечено горизонтальной линией). Рисунок 2.6, о соответствует начальному моменту после перевода переключателя в положение 2. Вследствие явления самоиндукции сила тока увеличивается постепенно (рис. 2.6, б). Точно также вследствие инертности шарика его скорость увеличивается постепенно. По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля тока г -2 W= — М 2 ’ (2.2.2) где L — индуктивность катушки. В момент, когда конденсатор полностью разрядится {q = 0), энергия электрического по- Первая четверть периода “М- + + -q '/////////////////////& Положение равновесия а) б) в) + Вторая четверть периода ++++ г) Рис. 2.6 д) 59 ля станет равной нулю. Энергия же тока (энергия магнитного поля) будет максимальной. Следовательно, в этот момент сила тока также достигнет максимального значения (рис. 2.6, в). Этому моменту соответствует прохождение шарика через положение равновесия с максимальной скоростью. В момент прохождения положения равновесия шарик не обладает потенциальной энергией, но зато его кинетическая энергия максимальна. Несмотря на то, что к этому моменту разность потенциалов на концах катушки становится равной нулю, электрический ток не прекращается сразу. Этому препятствует самоиндукция. Как только сила тока и созданное током магнитное поле начнут уменьшаться, возникнет вихревое электрическое поле, которое направлено по току и поддерживает его, в результате конденсатор начнет перезаряжаться (рис. 2.6, г). Конденсатор перезаряжается до тех пор, пока сила тока, постепенно уменьшаясь, не станет равной нулю. Энергия магнитного поля в этот момент также равна нулю, а энергия электрического поля конденсатора снова станет максимальной (рис. 2.6, д). При колебаниях шарика этому моменту соответствует остановка его в крайнем верхнем положении, когда максимальна потенциальная энергия. Далее процесс протекает в обратном порядке и конденсатор опять перезаряжается. Если бы не было потерь энергии, то этот процесс продолжался бы сколь угодно долго; колебания были бы незатухающими. Через промежутки времени, равные периоду колебаний, состояния системы в точности повторялись бы. Но в действительности потери энергии неизбежны. Катушка и соединительные провода обладают сопротивлением Л, и это ведет к выделению теплоты. Аналогично действие сил трения ведет к убыли механической энергии шарика и затуханию его колебаний. Итак, мы рассмотрели явления в колебательном контуре с качественной стороны и сравнили их с механическими колебаниями. Взаимное соответствие между механическими и электрическими величинами иллюстрируется таблицей 1. 60 Таблица 1 Механические величины Электрические величины Координата х Заряд q Скорость = х' Сила тока i = q' Ускорение = v'^ Скорость изменения силы тока V Масса т Индуктивность L Жесткость пружины k Величина, обратная емкости, ^ Коэффициент трения ц Сопротивление R " kx^' Потенциальная энергия 2 Энергия электрического поля ^ 2 mv^ Кинетическая энергия Энергия магнитного поля Соответствие между т и L, k и ^ видно из сопоставления выражений для энергии. § 2.3. ФОРМУЛА ТОМСОНА Перейдем теперь к количественной теории процессов в колебательном контуре. Формула Томсона Наша задача в первую очередь будет заключаться в определении периода (или частоты) свободных электрических колебаний. Правда, основываясь на аналогии между свободными механическими и свободными электрическими колебаниями. 61 можно сразу записать выражения для частоты и периода свободных электрических колебаний. Действительно, так как в формуле для циклической частоты свободных колебаний ша- [k и 1 рика на пружине cOq = /— величина к аналогична ^, а. т — индуктивности L, то частота свободных электрических колебаний должна быть равна: 1 i “о JLC' (2.3.1) Для периода свободных колебаний можно записать: Т=— =2пЛс. (О, (2.3.2) Формула (2.3.2) называется формулой Томсона в честь английского физика, который ее впервые вывел. Полученные нами результаты правильны. Однако все же считать их достаточно строго доказанными нельзя. Необходимо показать, что уравнение, описывающее электрические колебания в контуре, в математическом отношении не отличается от уравнения, описывающего свободные механические колебания. Лишь после этого мы с полной уверенностью сможем утверждать, что механические и электрические колебания управляются одними и теми же количественными законами. А это и есть самое важное. Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре Основное уравнение для процессов в колебательном контуре можно записать, используя закон Ома в дифференциальной форме: ] = Т(£ + EJ. (2.3.3) Здесь i — плотность тока, у — удельная проводимость, Е — напряженность потенциального электрического поля в проводнике, созданного поверхностными зарядами, Е^^ — напряженность поля сторонних сил. В случае колебательного контура без источников тока Е^^ — это напряженность вихревого (непотенциального) поля. 62 Рассмотрим колебательный контур, содержащий все три основных элемента: конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R (рис. 2.7). Сопротивлением катушки, пластин конденсатора и соединительных проводов пренебрежем. Весь контур между точками 1 и 2 разо- -)• _ бьем на малые элементы AZ.. Положительное направление обхода контура выберем по часовой стрелке. Запишем уравнение (2.3.3) для каждого элемента и умножением обеих частей на — приведем его к виду: 2\\1 AL С L R Положительное направление обхода Рис. 2.7 j‘ — = Е Ъ А1‘ “Ь Е. I I I, ст AZ.. (2.3.4) Теперь просуммируем уравнения (2.3.4), записанные для всех элементов Д/. контура между точками 7 и 2: AL AL (2.3.5) Выясним физический смысл каждого из членов уравнения (2.3.5). Рассмотрим сумму в левой части уравнения. Для всей цепи, кроме резистора, удельная проводимость бесконечна, так как мы сопротивление этой части цепи полагаем пренебрежимо малым. Далее, будем считать резистор состоящим из тонкой проволоки постоянного поперечного сечения площадью S и постоянной удельной проводимости у. Тогда плотность тока ). будет направлена по Al^ и приблизительно постоянна по сечению. Поэтому можно принять, что h- где i — сила тока в цепи. При этих предположениях I S’ 'iJi ' у. Яу ^яу’ где I I I длина проволоки резистора. Sy’ (2.3.6) 63 Величина i- =R Sy (2.3.7) есть не что иное, как сопротивление резистора. Рассмотрим первый член правой части уравнения (2.3.5). Он численно равен работе кулоновского поля, созданного поверхностными зарядами проводника, при перемещении единичного заряда вдоль контура от точки 1 к точке 2, т. е. разности потенциалов (или напряжению) на конденсаторе: Х4-а1. = Ф1-Ф2 = 7/=^, (2.3.8) где q — заряд правой пластины конденсатора. Второй член правой части уравнения (2.3.5) численно равен работе сторонних сил (вихревого электрического поля) в контуре по перемещению единичного заряда, т. е. представляет собой ЭДС самоиндукции. Согласно закону электромагнитной индукции: = (2-3.9) Теперь силу тока выразим через производную заряда конденсатора. Здесь имеется небольшая тонкость. При выбранном направлении обхода контура сила тока, направленного от правой пластины конденсатора, положительна. Эта пластина разряжается и ее заряд уменьшается. Изменение заряда Ад за малый интервал времени At отрицательно. Для того чтобы сила тока была положительной величиной, ее надо определить так: i = Иш ^ (2.3.10) Если бы вместо заряда q правой пластины мы взяли заряд левой пластины, то i = +q'. В нашем случае справедливо равенство (2.3.10). Окончательно уравнение (2.3.5) запишем в форме: или -q'R = ^ + Lq'‘ Lq" + Дд' + g = 0. (2.3.11) Это и есть основное уравнение для процессов в колебательном контуре. Оно аналогично уравнению (1.9.5) с правой частью, равной нулю. (Такое уравнение будет описывать свободные затухающие колебания.) 64 Строгий вывод формулы Томсона Решение уравнения (2.3.11) в общем случае, т. е. нахождение зависимости заряда и силы тока от времени, слишком сложно. Мы ограничимся случаем, когда резистор в контуре отсутствует и членом iR = -q'R можно пренебречь. Тогда уравнение (2.3.11) упрощается и его можно записать в виде w'=-§. (2.3.12) Теперь, наконец, вы в полной мере сможете оценить те усилия, которые были затрачены для изучения колебаний груза на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (2.3.12) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (1.2.4), описывающего колебания груза на пружине. При замене т L,a^ = х" и 1 q ,k-^ -^VLX q мы в точности полу- чим уравнение (2.3.12) вместо (1.2.4). Но уравнение (1.2.4) или эквивалентное ему уравнение (1.4.1) нами уже решено. Поэтому, зная, как колеблется груз, мы сразу можем сказать, как происходят колебания в контуре. Разделив правую и левую части уравнения (2.3.12) на L и введя обозначение СОп J_ LC’ будем иметь = (2,3.13) (2,3.14) А это то же самое, что и уравнение (1.4.1). В уравнении (1.4.1) cOq — циклическая частота колебаний. Значит, и величина Юд, определяемая выражением (2.3.13), тоже является частотой колебаний, но теперь уже частотой электрических колебаний (заряда, силы тока и других величин). Период свободных колебаний в контуре равен: Т= — =2tz JlC. Шц (2.3.15) Это и есть формула Томсона. Конечно, и без каких-либо уравнений мы могли бы сообразить, что период Т должен увеличиваться с ростом индуктивности L и емкости С. Действительно, при увеличении L сила тока медленнее нарастает со временем и медленнее падает до 3 - 5654 65 нуля. А чем больше емкость, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора. Но получить формулу (2.3.15) строго без уравнения (2.3.14) мы бы не смогли. Гармонические колебания заряда и силы тока Подобно тому, как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно также заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса: + Фо) 9 = 9т + Фо)‘ (2-3.16) Здесь — амплитуда колебаний заряда, а фд — начальная фаза колебаний. Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: ^(0) = QqH i(0) = Iq. Если в начальный момент времени д(0) = д^, а i(0) = 0, то колебания совершаются по косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой* и амплитудой д^ = д^: g = cos (2.3.17) Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вы вывели груз из положения равновесия и не сообщили ему начальной скорости. Сила тока также совершает гармонические колебания. Если 9 = 9^ cos (cOq^ -I- ф^), то г = -д'= 9^c0Qsin(c0()i -Ь ф„) = I^cos(^C0Qt + Фо “ (2.3.18) где 1^ = C0q9^ — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока смещены по фазе относительно колебаний заряда л на 2 . При начальных условиях 9(0) = 9q, i(0) = 0 i = cosj^coo* t-- r.1 2 (2.3.19) Колебания заряда и силы тока для этого случая графически представлены на рисунке 2.8. Именно такой случай описан в § 2.2, когда колебания в контуре начинались после замыкания цепи предварительно заряженного конденсатора. 66 в действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. Чем больше сопротивление R, тем больше будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но перезарядки не произойдет. § 2.4. ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Свободные электромагнитные колебания в контуре быстро затухают, и поэтому их нельзя использовать на практике. Напротив, незатухающие вы-"нужденные колебания имеют огромное практическое значение, гораздо большее, чем вынужденные механические колебания. Переменный ток в обычной осветительной цепи квартиры, применяемый на заводах и фабриках, представляет собой вынужденные электрические колебания. Периодически меняется по гармоническому закону напряжение на концах цепи и это вызывает гармонические колебания силы тока. Колебания напряжения легко обнаружить с помощью осциллографа. На вертикально отклоняющие пластины осциллографа надо подать напряжение от сети. Тогда временная развертка колебаний будет представлять собой синусоиду (рис. 2.9). Зная скорость движения электронного луча по экрану в горизонтальном направлении (она определяется частотой «пилообразного» напряжения), можно определить частоту ко- Рис. 2.9 67 лебаний напряжения в сети. Она равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц. Квазистационарный ток Если напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону, то напряженность электрического поля внутри проводников, созданного поверхностными зарядами, будет также меняться гармонически. Эти гармонические изменения напряженности поля вызовут гармонические колебания скорости упорядоченного движения заряженных частиц и, следовательно, гармонические колебания силы тока. Правда, при изменении напряжения на концах цепи электрическое поле не меняется мгновенно во всей цепи. Изменения поля распространяются хотя и с очень большой, но не бесконечно большой скоростью. Однако, если время распространения изменения поля в цепи много меньше периода Т колебаний напряжения, можно считать, что электрическое поле во всей цепи сразу же меняется при изменении напряжения на концах цепи. При этом сила тока в данный момент времени имеет практически одно и то же значение во всех сечениях неразветвленной цепи. Такой медленно меняющийся переменный ток называется квазистационарным. Если длина цепи I, то время распространения изменений электрического поля от одного конца цепи до другого определяется величиной ^, где с = 3 • 10* м/с — скорость распространения электромагнитных взаимодействий (скорость света). Для переменного тока периодом Т условие квазистационарности запишется так: Г » -. С (2.4.1) Период электрических колебаний квазистационарного тока должен быть много больше времени распространения в цепи электромагнитных возмущений. При частоте V = 50 Гц длина цепи должна быть много меньше расстоя- 68 ния: I 6000 км. Поэтому во всех случаях, кроме передачи электроэнергии по проводам на очень большие расстояния, промышленный ток можно считать квазистационарным. Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные квазиста-ционарные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой со по синусоидальному или косинусоидальному закону: или и = и cos co^, (2.4.2) и = sin cat т где и^ — амплитуда напряжения, а со — циклическая частота колебаний. Когда колебания происходят длительное время, то значение начальной фазы не играет сколько-нибудь существенную роль. Поэтому начальную фазу можно принять равной нулю и с одинаковым успехом использовать как синусоидальную функцию, так и косинусоидальную. Если напряжение меняется с частотой со, то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Аналогично колебания скорости при вынужденных механических колебаниях не совпадают по фазе с колебаниями силы. Поэтому в общем случае i = I sin (cof -1- ср ), (2.4.3) где срр — разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения. § 2.5. ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ СИЛЫ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ Напряжение и сила промышленного переменного тока изменяются сравнительно быстро. Поэтому при прохождении тока по проводнику, например по нити электрической лампочки, количество выделенной энергии также меняется со временем. Но этих быстрых изменений мы не замечаем. Нас интересует количество теплоты, которое выделяется в среднем за единицу времени. Это значение совпадает со средним за период, и оно определяет мощность лампочки. 69 Как и при механических колебаниях, в случае электрических колебаний нас не интересуют значения силы тока, напряжения и заряда в каждый момент времени (мгновенные значения). Важны общие характеристики колебаний, такие, как амплитуда, частота, сдвиг фаз, а также средние по времени значения силы тока, напряжения, мощности и других величин. Выясним вначале, чему равно среднее за период Т значение силы тока. В течение половины периода сила тока положительна, а во время другой половины периода отрицательна (рис. 2.10). Если разбить весь интервал времени Т на очень малые отрезки, то положительному значению силы тока на любом малом отрезке первой половины периода будет отвечать такое же отрицательное значение на соответствующем отрезке второй половины периода (см. рис. 2.10). Поэтому среднее за период значение силы тока равно нулю: ] = 0. (2.5.1) Угол отклонения стрелки амперметра, в котором проволочная рамка с током поворачивается в поле постоянного магнита (прибор магнитоэлектрической системы), пропорционален силе тока. Такой амперметр может измерять силу тока только в цепях постоянного тока. При включении его в цепь переменного тока он покажет нуль. Стрелка обладает инертностью и не успевает отклоняться в такт с изменением силы тока. Она будет лишь слегка дрожать на месте. Мощность в цепи постоянного тока на участке сопротивлением R определяется квадратом силы тока. В случае же переменного тока она определяется средним значением квадрата силы тока. Среднее значение квадрата силы тока за период уже не равно нулю, так как квадрат силы тока на протяжении всего периода положителен (рис. 2.11). 70 „ .2 1 ~ COS 2а Так как sin'^a ---------------, то = J^sin^ (ot = -^ {1 - cos 2coi). (2.5.2) Величина постоянна. Среднее за период значение cos 2^o^ равно нулю, так же как и среднее значение sin Cй^. Следовательно, среднее значение квадрата силы тока г2 (2.5.3) ;2 = Ьи ^ 2 Действующим значением I силы переменного тока называют квадратный корень из среднего квадрата силы тока; 'Т2 ^ 1т Л (2.5.4) Действующее значение напряжения определяется подобным образом: и = л (2.5.5) Амперметры и вольтметры для переменного тока устроены так, что углы отклонения их стрелок пропорциональны I^‘ или и^‘. В приборах электродинамической системы ток проходит через две катушки, соединенные последовательно. К одной из них прикреплена стрелка. Эта легкая подвижная катушка поворачивается в магнитном поле второй, неподвижной катушки. При этом угол поворота стрелки пропорционален 7^ или и^. Градуируют амперметры и вольтметры так, чтобы они показывали действующее значение силы тока и напряжения. Конечно, можно было бы характеризовать силу тока и напряжение амплитудами, а не действующими значениями. Но действующие значения значительно удобнее в том смысле, что именно они непосредственно определяют мощность переменного тока в цепи. Действующее значение силы переменного тока равно силе постоянного тока, выделяющего в цепи такое же количество теплоты, что и переменный ток за то же время. 71 § 2.6. РЕЗИСТОР В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Займемся более детальным рассмотрением тех процессов, которые происходят в цепи, подключенной к источнику переменного напряжения. Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R, которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением. В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что, как мы увидим в дальнейшем, только на нем выделяется энергия. Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R, а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют (рис. 2.12). Напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону и = sin oat. Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома; и U^sinm ^ R R -1 sin (ot. т (2.6.1) Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (pvic. 2.13), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление: ^. (2.6.2) R Т ? Рис. 2.12 Рис. 2.13 72 Действующие значения силы тока и напряжения связаны таким же соотношением: R (2.6.3) § 2.7. КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащей конденсатор. Цепь при этом оказывается разомкнутой, так как обкладки конденсатора разделены слоем диэлектрика. Переменный ток способен течь в цепи, содержащей конденсатор. В этом можно убедиться с помощью простого опыта. Возьмем источники постоянного и переменного напряжения, причем постоянное напряжение на зажимах источника пусть будет равно действующему значению переменного напряжения. Цепь состоит из конденсатора и лампы накаливания (рис. 2.14), соединенных последовательно. При включении с помощью переключателя постоянного напряжения лампа не светится. Но при включении переменного напряжения лампа начинает светиться, если емкость конденсатора достаточно велика. Как же переменный ток может течь по разомкнутой цепи? Здесь происходит периодическая перезарядка конденсатора под действием переменного напряжения. Ток, текущий при перезарядке, нагревает нить лампы. Найдем, как меняется со временем сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивлением проводников и обкладок конденсатора можно пренебречь (рис. 2.15). 1 Рис. 2.15 73 Напряжение на конденсаторе равно напряжению на зажимах цепи. Следовательно, sin (at. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону: q = CU^sm(At. (2.7.1) Сила тока представляет собой производную заряда по времени. Если заряд q в формуле (2.7.1) — это заряд той пластины конденсатора, которая встречается первой при выбранном направлении обхода контура, то (см. с. 64, § 2.3) i == д' = и^С(л cos cot = Н^Ссо sin|^(ot + . (2.7.2) Следовательно, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на л/2 (рис. 2.16). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т. д. Амплитуда силы тока равна: Irr, = и„(йС. т т Если ввести обозначение — = X соС (2.7.3) (2.7.4) и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим: и / = (2.7.5) Величину Х^, обратную произведению циклической частоты на емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины подобна роли активного сопротивления R в законе Ома (2.6.3). Действующее 74 значение силы тока связано с действующим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину как сопротивление конденсатора переменному току — емкостное сопротивление. Чем больше емкость конденсатора, тем больше согласно формуле (2.7.3) сила тока перезарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Х^. Оно уменьшается с увеличением емкости и увеличением частоты. Это можно увидеть, если для питания цепи, изображенной на рисунке 2.14, использовать генератор переменного тока регулируемой частоты. Плавно увеличивая частоту переменного тока, можно наблюдать увеличение накала лампы. Оно вызвано увеличением силы тока за счет уменьшения емкостного сопротивления конденсатора. Если на один вход двухлучевого осциллографа подать напряжение с конденсатора, а на другой вход — напряжение, мгновенное значение которого пропорционально силе тока в цепи (это напряжение снимается с активного сопротивления), то на экране будут одновременно наблюдаться осциллограммы (временные развертки) обоих колебаний: напряжения и силы тока. Такие наблюдения подтверждают полученный выше вывод о том, что колебания силы тока в цепи конденсатора сдвинуты по фазе относительно колебаний напряжения на л/2, как это показано на рисунке 2.16. § 2.8. КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Индуктивность влияет на силу переменного тока в цепи. Это можно обнаружить с помощью простого опыта. Составим цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания (рис. 2.17). С помощью переключателя можно присоединять эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При 75 этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть одинаковы. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока. Объясняется это самоиндукцией. При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению. Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигать тех установившихся значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении, равном максимальному значению переменного напряжения. Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения. Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (рис. 2.18). Для этого предварительно найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней. Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе сила тока согласно закону Ома была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возмож- рис. 2.18 76 ным потому, что напряженность вихревого электрического поля порождаемого переменным магнитным полем в каждой точке, равна по модулю и противоположна по направле- —^ нию напряженности кулоновского поля Е^, создаваемого в проводнике зарядами, движущимися на его поверхности. —^ ^ Из равенства E^ = -Е^ следует, что работа вихревого поля при перемещении единичного положительного заряда (численно равная ЭДС самоиндукции е.) равна по модулю и противоположна по знаку работе кулоновского поля по перемещению такого же заряда. Учитывая, что работа кулоновского поля численно равна напряжению на концах катушки, можно записать: е. = -ц. (2.8.1) При изменении силы тока по гармоническому закону i = I sin cot ЭДС самоиндукции равна: е. = -Ы' = -L(oI^ cos (И^. I тп (2.8.2) Так как и = -e^, то напряжение на концах катушки оказывается равным и = Loil^ cos (ot = L(oI^ sin^cot + | j sin^coi + ^ j, (2.8.3) где = L(oI^ — амплитуда напряжения. Следовательно, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на п/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на тс/2. В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 2.19). В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю. 77 Амплитуда силы тока в катушке равна: Если ввести обозначение и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим: I = —. т Leo (2.8.4) озЬ = Xj^ (2.8.5) Xl (2.8.6) Величину Х^, равную произведению циклической частоты на индуктивность, называют индуктивным сопротивлением. Согласно формуле (2.8.6) действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения и индуктивным сопротивлением соотношением, подобным закону Ома для цепи постоянного тока. Индуктивное сопротивление зависит от частоты. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ю = О индуктивное сопротивление равно нулю (Х^ = 0). Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ЭДС самоиндукции и тем меньше амплитуда силы тока. Это нетрудно обнаружить, если для питания цепи, изображенной на рисунке 2.17, взять генератор переменного тока регулируемой частоты. При этом нужно предусмотреть возможность изменения индуктивности катушки (например, путем включения различного числа витков). При увеличении частоты или индуктивности сила тока в цепи уменьшается и свечение лампы ослабевает. Это свидетельствует об увеличении сопротивления с ростом L и ю. Сдвиг фаз между током и напряжением можно наблюдать методом, о котором говорилось в § 2.7. § 2.9. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Рассмотрим теперь более общий случай электрической цепи, в которой последовательно соединены проводник с активным сопротивлением R и малой индуктивностью, катушка с большой индуктивностью L и малым активным сопротивлением и конденсатор емкостью С (рис. 2.20). 78 Чему равна амплитуда силы тока в такой цепи (колебательном контуре), если на ее концах поддерживается напряжение u(t) = sin cof? Мы видели, что при включении по отдельности в цепь проводника с активным сопротивлением R, конденсатора емкостью С или катушки с индуктивностью L амплитуда силы тока определяется соответственно формулами (2.6.2), (2.7.3) и (2.8.4). Амплитуды же напряжений на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе связаны с амплитудой силы тока так: и тС J — тсоС’ (2.9.1) В цепях постоянного тока напряжение на концах цепи равно сумме напряжений на отдельных последовательно соединенных участках цепи. Однако, если измерить результирую-п^ее напряжение на контуре и напряжения на отдельных элементах цепи переменного тока, окажется, что напряжение на контуре (действующее значение) не равно сумме напряжений на отдельных элементах. Почему это так? Дело в том, что гармонические колебания напряжения на различных участках цепи сдвинуты по фазе друг относительно друга. Действительно, квазистационарный ток в любой момент времени одинаков во всех участках цепи. Это значит, что одинаковы амплитуды и фазы токов, протекающих по участкам с емкостным, индуктивным и активным сопротивлением. Однако только на участке с активным сопротивлением колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе. На конденсаторе колебания напряжения отстают по фазе от колебаний силы тока на п/2 (см. § 2.7), а на катушке индуктивности колебания напряжения опережают колебания силы тока на л/2 (см. § 2.8). Векторная диаграмма электрической цепи Для вывода закона Ома в случае электрической цепи переменного тока, изображенной на рисунке 2.20, нужно уметь складывать мгновенные колебания напряжений, сдвинутых по фазе друг относительно друга. Проще всего выполнять сложение нескольких гармонических колебаний с помощью век- 79 торных диаграмм, о которых было рассказано в § 1.11. Векторная диаграмма электрических колебаний в цепи позволит нам определить амплитуду силы тока в зависимости от амплитуды напряжения и сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Так как сила тока одинакова во всех участках цепи, то построение векторной диаграммы удобно начать с вектора силы тока 1^. Этот вектор изобразим в виде вертикальной стрелки (рис. 2.21). Напряжение на резисторе совпадает по фазе с силой тока. Поэтому вектор должен совпадать по направле- нию с вектором 1^. Его модуль равен Колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на ж/2 и соответствуюш;ий вектор U^L должен быть повернут относительно вектора на п/2. Его модуль равен Если считать, что положитель- ному сдвигу фаз соответствует поворот вектора против часовой стрелки, то вектор следует повернуть налево на к/2. (Можно было бы, конечно, поступить и наоборот.) Вектор напряжения на конденсаторе отстает по фазе от вектора 1^ на п/2 и поэтому повернут на этот угол относительно вектора направо. Его модуль равен ' Для нахождения вектора суммарного напряжения U^ нужно сложить три вектора: U^j^, и Вначале удобнее сложить два вектора и (рис. 2.22). Модуль этой суммы равен , если oiL > ^ . Именно такой случай изо- (лС)' и. m.R ^тЬ ^тС Рис. 2.21 80 бражен на рисунке. После этого, сложив вектор —► —^ с вектором получим вектор ?7^, характеризующий колебания напряжения в сети. По теореме Пифагора (из треугольника АОВ): ИЛИ Гд2 т (йС j 2-, (2.9.2) Из равенства (2.9.2) можно найти амплитуду силы тока в цепи: и„ (2.9.3) Это и есть закон Ома для электрической цепи переменного тока, изображенной на рисунке 2.20. Благодаря сдвигу фаз между напряжениями на различных участках цепи полное сопротивление Z цепи (см. рис. 2.20) выражается так: Z = (2.9.4) От амплитуд силы тока и напряжения можно перейти к действующим значениям этих величин. Они связаны друг с другом точно так же, как и амплитуды в формуле (2.9.3): ^ (2.9.5) Мгновенное значение силы тока меняется со временем гармонически: i = 1^ sin (cat + ф^), (2.9.6) где — разность фаз между силой тока и напряжением в сети. Она зависит от частоты со и параметров цепи R, L, С. 81 Сдвиг фаз между током и напряжением Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения равен по модулю углу ф между векторами U^ и 1^ (см. рис. 2.22). Как следует из этого рисунка, (£>Ь----т; ©с ‘Sf-----R (2.9.7) Согласно рисунку 2.22, сила тока отстает от напряжения по фазе при условии (лЬ > ^ . Поэтому сдвиг фаз ф^. = -ф и 1 (£>L — tgtPc = - ©с R (2.9.8) В частных случаях цепей с активным, емкостным и индуктивным сопротивлениями из этой формулы получаются правильные значения сдвига фаз. §2.10. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Мощность в цепи постоянного тока определяется произведением напряжения на силу тока: P = UI. (2.10.1) Физический смысл этой формулы прост: так как напряжение и численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда, то произведение UI характеризует работу по перемещению заряда за единицу времени, протекающего через поперечное сечение проводника, т. е. является мощностью. Мощность электрического тока на данном участке цепи положительна, если энергия поступает к этому участку из остальной сети, и отрицательна, если энергия с этого участка возвращается в сеть. На протяжении очень малого интервала времени квазистационарный переменный ток можно считать неизменным. Поэтому мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется такой же формулой: р = иг. (2.10.2) 82 Если напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону и = cos то и сила тока будет меняться со временем гармонически с той же частотой, но в общем случае будет сдвинута по фазе относительно напряжения: i = cos (Ш + ф^), где ф^. — сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Поэтому для мгновенной мощности можно записать: p = ui = cos (at cos (cot + cpj. (2.10.3) При этом мощность меняется со временем как по модулю, так и по знаку. В течение одной части периода энергия поступает к данному участку цепи (р > 0), но в течение другой части периода некоторая доля энергии вновь возвращается в сеть (р < 0). Как правило, во всех случаях нам надо знать среднюю мощность на участке цепи за достаточно большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно определить среднюю мощность за один период. Чтобы найти среднюю мощность за период, преобразуем сначала формулу (2.10.3) таким образом, чтобы выделить в ней член, не зависящий от времени. С этой целью воспользуемся известной формулой для произведения двух косинусов: cos а cos Р = I [cos (а - Р) -Ь cos (а + Р)]. В рассматриваемом случае а = Cй^ и Р = (О# + ф^. Поэтому Р = [cos Ф^ + cos (2cot -Н Ф^)] = ит„ = cos Ф^ + cos (2cot + ФД. Но среднее значение второго члена за период равно нулю (см. § 2.5). Следовательно, средняя мощность за период равна первому члену, не зависящему от времени: -Y~ Фс ^ с тем же успехом, разумеется, вместо и = U cos со( можно было бы записать и = sin cot. 771 83 Переходя к действующим значениям силы тока и напряжения, получим: Эту величину называют просто мощностью переменного тока на участке цепи и обозначают через Р: Р = Ш cos ф (2.10.4) Таким образом, мощность переменного тока на участке цепи определяется именно действующими значениями силы тока и напряжения. Она зависит также от сдвига фаз между напряжением и током. Множитель cos ф^ в формуле (2.10.4) называется коэффициентом мощности. ■D , ^ В случае, когда ф„ = ±о > энергия, поступающая к участку цепи за период, равна нулю, хотя в цепи и существует ток. Так будет, в частности, если цепь содержит только катушку индуктивности или только конденсатор. Как же средняя мощность может оказаться равной нулю при наличии тока в цепи? Это поясняют приведенные на рисунке 2.23 графики изменения со временем мгновенных „ % значении напряжения, силы тока и мощности при ф^ = -^ (чисто индуктивное сопротивление участка цепи). График зависимости мгновенной мощности от времени можно получить, перемножая значения силы тока и напряжения в каждый момент времени. Из этого графика видно, что в течение одной четверти периода мощность положительна и энергия поступает к данному участку цепи; но в течение следующей четверти периода мощность отрицательна, и данный участок 84 Рис. 2.23 отдает без потерь обратно в сеть полученную ранее энергию. Поступающая в течение четверти периода энергия запасается в магнитном поле тока, а затем без потерь возвращается в сеть. Лишь при наличии проводника с активным сопротивлением в цепи, не содержащей движущихся проводников, электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию проводника, который нагревается. Обратного превращения внутренней энергии в электромагнитную на участке с активным сопротивлением уже не происходит. Для цепи, изображенной на рисунке 2.20, Пд = IR = U cos ф^. Подставив в формулу (2.10.4) вместо U cos произведение силы тока I на R, получим следующее выражение для мощности: P = I^R. (2.10.5) Оно аналогично закону Джоуля—Ленца для постоянного тока. Формула (2.10.5) подтверждает сказанное выше о роли активного сопротивления. Но надо иметь в виду, что формула (2.10.4) справедлива всегда, а формула (2.10.5) выполняется лишь для частного случая. При проектировании цепей переменного тока нужно добиваться, чтобы cos ф^, не был мал. Иначе значительная часть энергии будет циркулировать по проводам от генератора к потребителям и обратно. Так как провода обладают активным сопротивлением, то при этом энергия расходуется на нагревание проводов. Неблагоприятные условия для потребления энергии возникают при включении в сеть электродвигателей, так как их обмотка имеет малое активное сопротивление и большую индуктивность. Для увеличения cos ф^. в сетях питания предприятий с большим числом электродвигателей включают специальные компенсирующие конденсаторы. Нужно также следить, чтобы электродвигатели не работали вхолостую или с недогрузкой. Это уменьшает коэффициент мощности всей цепи. Повышение cos ф^ является важной народнохозяйственной задачей, так как позволяет с максимальной отдачей использовать генераторы электростанций и снизить потери энергии. Это достигается правильным проектированием электрических цепей. Запрещается использовать устройства с cos ф < 0,85. 85 § 2.11. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ При изучении вынужденных механических колебаний мы познакомились с важным явлением — резонансом. Резонанс наблюдается в том случае, когда собственная частота колебаний системы совпадает с частотой внешней силы. При малом трении происходит резкое увеличение амплитуды установившихся вынужденных колебаний. Совпадение законов механических и электромагнитных колебаний сразу же позволяет сделать заключение о возможности резонанса в электрической цепи, если эта цепь представляет собой колебательный контур, обладающий определенной собственной частотой колебаний. Амплитуда силы тока при вынужденных колебаниях в контуре, совершающихся под действием внешнего гармонически изменяющегося напряжения, определяется формулой (2.9.3). При фиксированном напряжении и заданных значениях R, L и С амплитуда силы тока достигает максимума при частоте со, удовлетворяющей соотношению coL = —^ соС (2.11.1) Знаменатель в формуле (2.9.3) становится при этом минимальным, и амплитуда силы тока достигает максимального значения т R (2.11.2) Эта амплитуда особенно велика при малом R. Из уравнения (2.11.1) можно определить циклическую частоту переменного тока, при которой сила тока максимальна: 1 со = (2.11.3) Эта частота совпадает с частотой свободных колебаний в контуре с малым активным сопротивлением (см. § 2.3). Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением происходит при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура. В этом 86 состоит явление резонанса в электрическом колебательном контуре. Резонанс выражен тем отчетливее, чем меньше энергетические потери в цепи, т. е. чем меньше сопротивление R. При R ^ О резонансное значение силы тока неограниченно возраста-ет: 7pgg ^ «>. Наоборот, с увеличением R максимальное значение тока уменьшается, и при больших R говорить о резонансе уже не имеет смысла. Зависимость амплитуды силы тока от частоты при различных сопротивлениях показана на рисунке 2.24 (R^ < Jig ^ ^з)* Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз превосходят внешнее напряжение. Действительно, и = I = I ■ тС, рез т, реЗ(йрС m.pes^jQ’ Ur = I (Hr.L = I mL, рез m, рез 0 m, рез 3 Q Внешнее напряжение связано с резонансной силой тока так: и_ Если R !• ^т, рез^' ТО тпС. рез mL. рез т При резонансе сдвиг фаз между током и напряжением становится согласно формуле (2.9.8) равным нулю. Наглядно это можно пояснить так. Колебания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. Резонансные амплитуды этих напряжений одинаковы. В результате напряжения на катушке и конденсаторе полностью компенсируют друг друга (и^ = “ падение напряжения происходит только на участке с активным сопротивлением. 87 Согласно выражению для мощности (2.10.4) равенство нулю сдвига фаз между напряжением и током при резонансе обеспечивает оптимальные условия для поступления энергии от источника переменного напряжения в цепь. Здесь полная аналогия с механическими колебаниями: при резонансе внешняя сила (аналог напряжения в цепи) совпадает по фазе со скоростью (аналог силы тока). Может возникнуть вопрос: откуда система получает при резонансе большую энергию? Здесь происходит то же самое, что и в случае механического резонанса. Не сразу после включения внешнего напряжения в цепи установится резонансное значение силы тока. Установление колебаний в контуре происходит постепенно. Чем меньше R, тем больше времени пройдет, пока амплитуда силы тока достигнет своего максимального значения за счет энергии, поступающей от источника. Для наблюдения резонанса в электрической цепи собирают установку (рис. 2.25). В ней используется внешний источник переменного напряжения регулируемой частоты. Увеличивая постепенно частоту колебаний внешнего напряжения, можно наблюдать, как изменяется сила тока в цепи, измеряемая амперметром, и напряжение на конденсаторе или катушке индуктивности, измеряемое вольтметром. Эти величины возрастают при резонансе в десятки или даже сотни раз. Явление электрического резонанса используется, в частности, при осуществлении радиосвязи. Радиоволны от различных передающих станций возбуждают в антенне радиоприемника переменные токи различных частот (рис. 2.26), так как е ® ©• Рис. 2.25 88 / 7 Рис. 2.26 каждая передающая радиостанция работает на своей частоте. С антенной индуктивно связан колебательный контур. Вследствие электромагнитной индукции в контурной катушке возникают переменные ЭДС соответствующих частот и вынужденные колебания силы тока этих же частот. Но только при резонансе колебания силы тока в контуре и напряжения на конденсаторе контура будут значительными. Имея это в виду, говорят, что из колебаний всех частот, возбужденных в антенне, контур выделяет только колебания, частота которых равна собственной частоте контура. Настройка контура на нужную частоту cOq обычно осуществляется путем изменения емкости конденсатора. В этом состоит настройка радиоприемника на определенную радиостанцию. В некоторых случаях резонанс в электрической цепи может принести большой вред. Если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса, то возникновение резонанса приведет к аварии. Чрезмерно большие токи могут перегреть провода. Большие напряжения приведут к пробою изоляции. Такого рода аварии нередко случались в прошлом веке, когда плохо представляли себе законы электрических колебаний и не умели правильно рассчитывать электрические цепи. § 2.12. ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР Вынужденные электрические колебания, которые мы до сих пор рассматривали, возникают под действием переменного напряжения, вырабатываемого генераторами на электростанциях. Однако такие генераторы не способны создавать применяемые в радиотехнике колебания высокой частоты, так как для этого потребовалась бы чрезмерно большая скорость вращения роторов. Колебания высокой частоты получают с помощью других устройств, одним из которых является так называемый ламповый генератор. Он назван так потому, что одной из его основных частей является трехэлектродная электронная лампа — триод. 89 Ламповый генератор представляет собой автоколебательную систему, в которой вырабатываются незатухающие колебания за счет энергии источника постоянного напряжения, например батареи гальванических элементов или выпрямителя. В этом отношении ламповый генератор подобен часам, в которых незатухающие колебания маятника поддерживаются за счет энергии поднятой гири или сжатой пружины. Ламповый генератор содержит колебательный контур, состоящий из катушки с индуктивностью L и конденсатора емкостью С. Известно, что если конденсатор зарядить, то в контуре возникнут затухающие колебания. Чтобы колебания не затухали, нужно компенсировать потери энергии за каждый период. Пополнять энергию в контуре можно, подзаряжая конденсатор. Для этого надо контур периодически подключать на некоторый промежуток времени к источнику постоянного напряжения. Конденсатор должен подключаться к источнику только в те интервалы времени, когда присоединенная к положительному полюсу источника обкладка конденсатора заряжена положительно, а присоединенная к отрицательному полюсу — отрицательно (рис. 2.27). Только в этом случае источник подзаряжает конденсатор, пополняя его энергию. При этом электрическое поле зарядов на обкладках конденсатора совершает отрицательную работу и энергия конденсатора увеличивается* . Если же ключ замкнуть в момент времени, когда знаки зарядов на обкладках конденсатора соответствуют рисунку 2.28, то электрическое поле зарядов, имеющихся на обкладках кон- * Из курса механики известно, что если внутренние силы системы совершают отрицательную работу, то потенциальная энергия системы увеличивается. 90 денсатора, будет совершать положительную работу. Энергия конденсатора при этом уменьшается; конденсатор частично разряжается. Следовательно, источник постоянного напряжения, все время подключенный к контуру, не может поддерживать в нем незатухающие колебания. Половину периода энергия будет поступать в контур, а в следующую половину периода — уходить из него. Но если с помощью ключа подключать источник тока к колебательному контуру лишь в те полупериоды, когда происходит п'ередача энергии в контур (см. рис. 2.27), то установятся незатухающие колебания. Понятно, что для этого необходимо обеспечить автоматическую работу ключа (или клапана, как его часто называют). Поскольку речь идет о колебаниях очень высокой частоты, то ключ должен обладать огромным быстродействием. В качестве такого практически безынерционного ключа используется триод (рис. 2.29). В анодной цепи, в которую включен колебательный контур, должен протекать ток в те промежутки времени, когда обкладка конденсатора, присоединенная к положительному полюсу источника, заряжена положительно. Для этого колебания в контуре должны управлять потенциалом сетки и^, регулирующим силу тока в анодной цепи. Необходима, как говорят, обратная связь*. Обратная связь в ламповом генераторе, схема которого приведена на рисунке 2.29, является индуктивной. В цепь сетки включена катушка L^, индуктивно связанная с катушкой колебательного контура. Колебания силы тока в контуре вследствие явления электромагнитной индукции приводят к У часов с маятником обратная связь осуществляется анкерным механизмом. 91 Рис. 2.29 Направление КОЛебаНИЯМ НЕПрЯЖеНИЯ НЕ КОНЦЕХ обхода -г - катушки Lj. и тем самым к колебаниям потенциала сетки триода. Выберем в качестве положительного направления обхода анодной цепи генератора направление против часовой стрелки. Напряжение на конденсаторе контура в этом случае равно разности потенциалов между нижней обкладкой конденсатора, присоединенной к положительному полюсу анодной батареи G, и верхней обкладкой. Сила тока в контурной катушке отстает по фазе на п/2 от колебаний напряжения на контуре (это напряжение равно напряжению на конденсаторе). ЭДС индукции в катушке (а значит, и напряжение между сеткой и катодом) согласно закону электромагнитной индукции сдвинута по фазе относительно колебаний силы тока в катушке контура тоже на л/2. В зависимости от порядка подключения концов катушки к сетке и катоду лампы сдвиг фаз напряжения на участке сетка — катод равен либо -Ьл/2, либо -п/2. В первом случае колебания напряжения на сетке совпадают по фазе с колебаниями напряжения на конденсаторе. Это означает, что в момент, когда нижняя пластина конденсатора заряжена положительно, сетка также заряя^ена положительно относительно катода лампы. Лампа при этом отперта, и ток в анодной цепи, созданный батареей G, подзаряжает конденсатор. В момент, когда нижняя пластина конденсатора заряжена отрицательно, потенциал сетки оказывается ниже потенциала катода и лампа запирается. Анодная цепь размыкается, и конденсатор не разряжается через анодную цепь. Это и является необходимым условием работы генератора. При переключении концов катушки напряжение на сетке меняет фазу на п. Сетка оказывается заряженной положительно, когда нижняя пластина конденсатора заряжена отрицательно (и наоборот). Анодный ток в лампе при этом разряжает конденсатор, а не подзаряжает его. В этих условиях генератор работать не будет. После замыкания анодной цепи конденсатор заряжается и в контуре начинаются колебания. Их амплитуда нарастает до тех пор, пока потери энергии в контуре не будут в точности 92 компенсироваться поступлением энергии из анодной цепи. Эта амплитуда прямо пропорциональна напряжению на полюсах источника тока. Увеличение напряжения источника увеличивает «толчки» тока, подзаряжающего конденсатор контура. Частота колебаний в контуре определяется индуктивностью L катушки и емкостью С конденсатора контура согласно формуле Томсона: со = Jlc' При малых L иС частота колебаний велика. Обнаружить возникновение колебаний в генераторе (возбуждение генератора) можно с помощью осциллографа, подав на его вертикально отклоняющие пластины напряжение с конденсатора. Если поменять местами концы катушки L^, присоединяемые к сетке и катоду, генератор работать не будет. Ламповые генераторы имеются на мощных передающих радиостанциях и входят в состав других радиотехнических устройств. § 2.13. ГЕНЕРАТОР НА ТРАНЗИСТОРЕ Ламповые генераторы в настоящее время почти полностью вытеснены полупроводниковыми генераторами на транзисторах. Исключение составляют только очень мощные генераторы. Генераторы на транзисторах компактнее, надежнее и экономичнее ламповых генераторов. Схема генератора на транзисторе в принципе ничем не отличается от схемы лампового генератора (см. рис. 2.29). Это такая же автоколебательная система, но только роль клапана, управляющего током в анодной цепи, вместо триода играет транзистор. Транзистор, напомним, состоит из трех полупроводниковых слоев: эмиттера, базы и коллектора. Эмиттер и коллектор имеют одинаковые основные носители заряда, например, электроны (это полупроводники п-типа), а база имеет основные носите- 93 ли противоположного знака — дырки (полупроводник р-типа). База играет роль управляющего электрода триода — сетки, коллектор роль анода, а эмиттер роль катода, поставляющего заряженные частицы в анодную цепь генератора. Упрощенная схема генератора на транзисторе показана на рисунке 2.30. Колебательный контур соединен последовательно с источником тока и транзистором таким образом, что на коллектор подан положительный потенциал, а на эмиттер — отрицательный. Чтобы в генераторе возникли незатухающие колебания, нужно сообщать базе положительный потенциал относительно эмиттера в те моменты времени, когда нижняя (по рисунку) пластина конденсатора заряжена положительно, а верхняя отрицательно (коллекторный переход открыт). При этом идет ток в цепи контура, подзаряжая конденсатор. Напротив, в интервалы времени, когда нижняя пластина конденсатора заряжена отрицательно, а верхняя — положительно, ток в цепи контура должен отсутствовать. Для этого база должна иметь отрицательный потенциал, а эмиттер положительный (коллекторный переход закрыт). Колебания в контуре управляют колебаниями напряжения на п—р-переходе эмиттер — база (эмиттерном переходе) посредством индуктивной обратной связи, как и в ламповом генераторе. Если фаза колебаний напряжения на эмиттерном переходе подобрана правильно, то «толчки» тока в цепи контура действуют на контур в нужные моменты времени и колебания в контуре не затухают. Для этого концы обмотки катушки должны быть присоединены к базе и эмиттеру так, чтобы при положительном потенциале нижней пластины конденсатора потенциал базы также был положительным. - Амплитуда автоколебаний в контуре пропорциональна напряжению, создаваемому источником, а частота определяется формулой Томсона, как и в случае лампового генератора. Генераторы на транзисторах применяются во множестве радиотехнических устройств: в радиоприемниках, передатчиках небольшой мощности и т. д. Во всех современных электронных вычислительных машинах имеются миниатюрные генераторы на транзисторах. 94 Основные элементы автоколебательной системы На примерах лампового генератора и генератора на транзисторе можно выделить основные элементы, характерные для многих автоколебательных систем (рис. 2.31): Обратная связь Рис. 2.31 1) источник энергии, за счет которого поддерживаются незатухающие колебания (в обоих генераторах это источник постоянного напряжения); 2) устройство, регулирующее поступление энергии от источника — «клапан» (в ламповом генераторе роль «клапана» играет триод, а в генераторе на транзисторе — транзистор); 3) колебательная система, т. е. та часть автоколебательной CHCTeis^j, в которой непосредственно происходят колебания (в обоих генераторах это колебательный контур); 4) обратная связь, с помощью которой колебательная система управляет «клапаном» (в обоих генераторах это индуктивная связь катушки контура с катушкой в цепи сетки или в цепи эмиттерного перехода). На этом мы заканчиваем изучение механических и электрических колебаний. Замечательна тождественность общего характера процессов различной природы, тождественность математических уравнений, которые их описывают. Эта тождественность, как мы видели, сильно облегчает изучение колебаний. ? 1. Нарисуйте векторную диаграмму для цепи (рис. 2.32). 2. Может ли амплитуда силы тока при резонансе в колебательном контуре с активным сопротивлением R превысить силу постоянного тока в цепи с таким же сопротивлением R и постоянным напряжением, равным амплитуде переменного напряжения? R Рис. 2.32 95 § 2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ При решении задач на электрические колебания рекомендуется учесть следуюш;ее. В задачах на свободные колебания в контуре, кроме формулы для периода свободных электрических колебаний (2.3.2), можно применять закон сохранения энергии. При решении задач на расчет цепей переменного тока следует иметь в виду, что амперметры и вольтметры в этих цепях показывают действующ,ие значения силы тока (2.5.4) и действующие значения напряжения (2.5.5). В отличие от цепей постоянного тока, обладающих только активным сопротивлением, цепи переменного тока могут иметь еще емкостное сопротивление (2.7.4) и индуктивное сопротивление (2.8.5). Полное сопротивление цепи с последовательно соединенными резистором, конденсатором и катушкой индуктивности определяется по формуле (2.9.4). Закон Ома для цепи переменного тока имеет вид (2.9.5). При последовательном соединении потребителей в цепях переменного тока действующие или амплитудные значения напряжений складываются методом векторной диаграммы. При параллельном соединении потребителей в цепях переменного тока векторно складываются амплитуды сил токов или их действующие значения. В этом случае тоже следует строить векторные диаграммы. При построении векторных диаграмм надо хорошо знать фазовые соотношения между колебаниями силы тока и напряжения в цепях переменного тока. Мощность вычисляется по формуле (2.10.4). Явление резонанса в электрической цепи имеет место при условии (2.11.1). Задача 1 Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 6 • 10'^ Гн и конденсатора емкостью С = 15 мкФ. Максимальная разность потенциалов на конденсаторе = 200 В. Чему равна сила тока i в контуре, когда разность потенциалов на конденсаторе уменьшилась в п = 2 раза? Потерями энергии пренебречь. 96 Решение. Когда напряжение на обкладках конденсатора максимально, вся энергия контура сосредоточена в электриче- г2 ском поле конденсатора (см. § 2.2.). Она равна си: При уменьшении напряжения на обкладках конденсатора до зна- чения — энергия контура распределяется между конденсатором и катушкой. Энергия электрического поля конденсатора f , а энергия магнитного поля ка- становится равной ^ т П Li .2 тушки будет равна . Согласно закону сохранения энергии имеем; Отсюда си: тг< П 2 С{п - 1) 8,7 А. Задача 2 Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону и = ain^co^ -Ь . В момент времени ^ ^ мгновенное зна- чение напряжения и = 10 В. Определите амплитуду напряжения и циклическую частоту о), если период колебаний силы тока Т = 0,01 с. Начертите график зависимости изменения напряжения от времени. Решение. Сначала найдем значение циклической частоты: (0= Y =628 с-1. Далее записываем выражение для мгновенного значения * 1' напряжения в момент времени t — j2‘ 4 - 5654 97 TJ • { J. тт • I^2k T . КЛ гт • ^ ^3 гт U = Um Sin[a^t +q]=U^ Sin • 12 + ej = = ~2 ^m- Отсюда [/^ = ^ = 12B. 73 График изменения напряжения в зависимости от времени представлен на рисунке 2.33. Задача 3 В цепь переменного тока стандартной частоты (v = 50 Гц) последовательно включены резистор сопротивлением Д = 21 Ом, катушка индуктивностью L = 0,07 Гн и конденсатор емкостью С = 82 мкФ (см. рис. 2.20). Определите индуктивное, емкостное и полное сопротивления цепи, а также сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Решение. Индуктивное сопротивление находим по формуле (2.8.5): Х^ = (йЬ’= 2twL = 22 Ом. Емкостное сопротивление вычисляется по формуле (2.7.4): -т; = 39 Ом. соС 2kvC Полное сопротивление согласно формуле (2.9.4) равно: Д" + I coL - =27 Ом, cos Фс = f = 0,7777...; ср^ » 39° 98 Задача 4 К магистрали переменного тока с напряжением U = 120 В (17 — действующее значение напряжения) через катушку (дроссель) с индуктивностью i = 0,05 Гн и активным сопротивлением R = 1 Ом подключена осветительная сеть квартиры (рис. 2.34, а). Каково напряжение на входе в квартиру, если сила потребляемого тока 1 = 2 А? Частота тока стандартная (V = 50 Гц). Индуктивностью и емкостью электрической цепи квартиры пренебречь. Решение. Дроссель и осветительная сеть квартиры подключены к магистрали последовательно, поэтому сила тока одинакова на всех участках цепи. Напряжение и напряжение 17д на активном сопротивлении дросселя совпадают по фазе с силой тока I. Напряжение Uj^ на индуктивном сопротивлении дросселя опережает силу тока по фазе на л/2. Следовательно, векторная диаграмма для действующих значений напряжений и силы тока имеет вид, изображенный на рисунке 2.34, б. - По теореме Пифагора U^ = Ul + (17д + С/^)2 = iWL^ + (IR + и^)^. Отсюда C/j = -IR + , где 0) = 2tw. Так как действующее значение напряжения всегда положительно, то а) б) Рис. 2.34 99 Задача 5 В цепи (рис. 2.35) параметры R, L и С известны. Напряжение между точками А и В равно U. Постройте векторную диаграмму сил токов в данной цепи и определите силу тока в не-разветвленном участке цепи. Найдите сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения. При каком условии сила тока в неразветвленном участке цепи окажется минимальной? Чему равен сдвиг фаз между силой тока и напряжением в этом случае? Решение. В этой задаче рассматривается электрическая цепь, состоящая из двух ветвей, соединенных параллельно. Одна ветвь содержит резистор и катушку индуктивности, другая — конденсатор. Построение векторной диаграммы начнем с вектора действующего значения напряжения U, поскольку напряжение —> одинаково для обеих ветвей цепи. Направим вектор U горизонтально вправо (рис. 2.36). Сила тока i является суммой сил токов и ig (см. рис. 2.35). Колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на угол (pj^ ^tg ^ j, так как верхний участок цепи содержит катушку индуктивности. Поэтому вектор 1^ повернут относительно вектора U на угол в отрицательную сторону (по часовой стрелке). Сила тока ig, текущего через конденсатор, опережает по фазе напряжение на л/2. Соответствующий вектор повернут относительно вектора U на угол л/2 в положительную сторону (против ча- R В Рис. 2.35 100 совой стрелки). Его модуль 1^ = (oCZ7. Действующее значение силы тока в неразветвленной части цепи находится с помощью векторной диаграммы (см. рис. 2.36): / = /1+4 Пользуясь теоремой косинусов, из векторной диаграммы определяем /2 = /2 -Ь /2 - 21^12 cos а. Так как ос = ^ . то cos а = sin cpj и 1= Jll +4-21^12SirU^^ и Учитывая, что ~ J? ' и sin R -Ь со L Ф1 coL 1„2 ^ 2^ ^IR + (д L тельно получим; 1=и iR^o^C^ -Ь (LCco^ - 1)^ Г.2 , 2,2 R + (О L , оконча- (2.14.1) Как видно из векторной диаграммы (см. рис. 2.36), вектор силы тока I образует с вектором напряжения U угол ср^,. Из рисунка находим J^coscp^ cos ср^ =--J— . Учитывая, что cos ср^ = R 1„2 , 272 ^1R "Ь со -L получим cos ср = R I (R^ -Ь a^L^)[R^a^C^ -Ь (LCco^ - 1)^] (2.14.2) Из выражения (2.14.1) вытекает, что сила тока в нераз-ветвленном участке цепи минимальна, если LCco^ - 1 = О, т. е. это циклическая частота соб- 1 XI 1 если со = -р=. Но -= = сОп Jlc Jlc " ственных колебаний контура, входящего в состав данной цепи. В этом случае говорят, что в цепи наступил резонанс токов. При резонансе токов, как следует из формулы (2.14.2), 101 cos ф = (oC^R + cd L При малом активном сопротивлении {R —> 0) 1 cos ф (o^CL Это значит, что при резонансе токов при малом активном сопротивлении сдвиг фаз между силой тока и напряжением равен нулю (рис. 2.37). Важно обратить внимание на то, что при резонансе сила тока I в неразветвленной части цепи меньше силы тока в ветви, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L, а также меньше силы тока I2 в ветви с конденсатором емкостью С. Задача 6 В колебательный контур (см. рис. 2.20) включен источник переменной ЭДС е = cos 03t, причем амплитуда = 2 В. Определите амплитуду напряжения на конденсаторе при резонансе. Резонансная частота контура Vq = 10^ Гц, индуктивность катушки L = 1 мГн и ее активное сопротивление Д = 3 Ом. Решение. При резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе, равная амплитуде напряжения на катушке ~ ^mi)’ больше амплитуды напряжения на зажимах це- пи в отношении . Если пренебречь внутренним сопротивлением источника переменной ЭДС, то = Тогда Umc _ 2xVoL R • Отсюда и тС R = 420 В. 102 УПРАЖНЕНИЕ 2 1. После зарядки конденсатора емкостью С от источника постоянного напряжения U переключатель замыкают на катушку индуктивностью Lj (см. рис. 2.5, б). В контуре возникают гармонические колебания с амплитудой силы тока ^mi' Опыт повторяют по прежней схеме, заменив катушку на другую индуктивностью Lg = 2L^. Найдите амплитуду силы тока 1^2 нп втором случае. 2. Колебательный контур состоит из дросселя индуктивностью L = 0,2 Гн и конденсатора емкостью С = 10“® Ф. Конденсатор зарядили до напряжения Г/ = 20 В. Чему равна сила тока при разрядке конденсатора в момент, когда энергия контура оказывается распределенной поровну между электрическим и магнитным полями? 3. Определите частоту собственных колебаний в контуре, состоящем из соленоида длиной 1 — 15 см, площадью поперечного сечения = 1 см^ и плоского конденсатора с площадью пластин Sg = 6 см^ и расстоянием между ними d = 0,1 см. Число витков соленоида N = 1000. 4. Электрический контур состоит из конденсатора постоянной емкости и катушки, в которую может вдвигаться сердечник. Один сердечник спрессован из порошка магнитного соединения железа (феррита) и является изолятором. Другой сердечник изготовлен из меди. Как изменится частота собственных колебаний контура, если в катушку вдвинуть: а) медный сердечник; б) сердечник из феррита? 5. Для чего в телефонной трубке нужен постоянный магнит (рис. 2.38)? Почему магнитная индукция этого магнита должна быть больше максимальной индукции, создаваемой током, проходящим по обмотке катушки телефона? 6. На вертикально отклоняющие плас- тины осциллографа подано напряжение cos Ш, а на горизон- тально отклоняющие — напряжение Ug = и^2 “ Ф)- Какую тра- Мембрана Магнит Катушка Рис. 2.38 103 екторию опишет электронный луч на экране осциллографа, если разность фаз между напряжениями на пластинах равна: а) (pj^ = I; б) фз = л? 7. Кипятильник работает от сети переменного тока с напряжением = 120 В*. При температуре = 20 °С спираль имеет сопротивление = 25 Ом. Температурный коэффициент сопротивления материала спирали а = 2 • 10”^ К~^. Определите массу воды, после закипания превратившейся в пар за время т = 1 мин. Удельная теплота парообразования воды г = 2,26 • 10® Дж/кг. 8. При включении катушки в сеть переменного тока с напряжением 120 В и частотой 50 Гц сила тока в ней равна 4 А. При включении той же катушки в сеть постоянного тока с напряжением 50 В сила тока в катушке оказывается равной 5 А. Определите индуктивность катушки. 9. Определите сдвиг фаз между силой тока и напряжением в электрической цепи, если генератор отдает в цепь мощность Р = 8 кВт, амплитуда силы тока в цепи = 100 А и амплитуда напряжения на зажимах генератора = 200 В. 10. В сеть стандартной частоты с напряжением 100 В последовательно включены резистор сопротивлением 150 Ом и конденсатор емкостью 16 мкФ. Найдите полное сопротивление цепи, силу тока в ней, напряжения на зажимах резистора и конденсатора и сдвиг фаз между силой тока и напряжением. И.Каковы показания приборов в цепях, представленных схемами на рисунке 2.39, а, б? Напряжение сети U = 250 В, R = 120 Ом, С = 20 мкФ. Постройте для обеих схем векторные диаграммы. 12.В сеть переменного тока стандартной частоты с напряжением 210 В включены последовательно резистор сопротивлением 40 Ом и катушка индуктивностью 0,2 Гн. Определите силу тока в цепи и сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Конденсатор какой емкости надо включить последовательно в цепь, чтобы сдвиг фаз оказался равным нулю? Какой будет сила тока в цепи в этом случае? В этой и последующих задачах даются действующие значения напряжения и силы тока. 104 -50 Гц -50 Гц -50 Гц 13. Каковы показания приборов в цепях, схемы которых изображены на рисунке 2.40, а, б? Напряжение сети U = 119 В, гпс-тивное сопротивление i? = 8 Ом, индуктивность L = 0,048 Гн. Постройте для схемы, изображенной на рисунке 2.40, б, векторную диаграмму. 14. Найдите показания приборов в цепи, схема которой представлена на рисунке 2.41. Напряжение на зажимах цепи и = 216 В, i? = 21 Ом, L = 70 мГн, С = 82 мкФ. Частота стандартная. Постройте векторную диаграмму сил токов. 15.Электродвигатель мощностью Р = 10 кВт присоединен к сети с напряжением U = 240 В, cos = 0,6, частота v = 50 Гц. Вычислите емкость конденсатора, который нужно подключить параллельно двигателю для того, чтобы коэффициент мощности установки повысить до значения cos = 0,9. 16.В цепи, схема которой изображена на рисунке 2.42, Д = 56 Ом, С = 106 мкФ и L = 159 мГн. Активное сопротивление катушки мало. Частота тока в сети v = 50 Гц. Опреде- 105 -50 Гц i) Рис. 2.43 лите напряжение в сети U, если амперметр показывает 2,4 А. Постройте векторную диаграмму. 17. В катушке индуктивности сила тока линейно увеличивается со скоростью ^ = 10 А/с. Найдите ЭДС индукции, воз- никающ;ую при этом в катушке, если резонансная частота колебательного контура с этой катушкой и конденсатором емкостью С = 100 пФ равна v = 100 кГц. 18. Резонанс в колебательном контуре с конденсатором емкостью = = 1 мкФ наступает при частоте = 400 Гц. Когда параллельно конденсатору С1 подключают другой конденсатор емкостью С2, то резонансная частота становится равной V2 = 100 Гц. Определите емкость С2. Активным сопротивлением контура пренебречь. 19. На рисунке 2.43 изображены два соленоида, каждый из которых может быть использован в ламповом генераторе в качестве катушки обратной связи. В один и тот же момент в обеих катушках ток течет сверху вниз. Однако при включении одной катушки генератор работает, а при включении другой — нет. Почему? 20. Конец пружины опущ;ен в ванночку со ртутью (рис. 2.44). Что произойдет, если замкнуть ключ и пропустить через пружину достаточно сильный ток? 106 Глава 3 ПРОИЗВОДСТВО, ПЕРЕДАЧА, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Важнейшей энергией, используемой в производстве и на транспорте, является механическая энергия (работа станков, движение поездов, кораблей, автомашин и т. п.). Внутренняя энергия используется непосредственно в химико-технологических процессах, при выплавке металлов; электрическая — при электролизе, электросварке, в электронно-вычислительных машинах, всевозможных способах связи и т. д. Однако механическую энергию очень трудно передавать от источника (например, падающей воды) к потребителю. Внутреннюю энергию не легко преобразовывать в другие виды энергии, большие затраты необходимы для транспортировки топлива. Неоспоримыми преимуществами обладает электрическая энергия. Во-первых, ее можно по проводам передавать на огромные расстояния с относительно малыми потерями (транспортабельность). Во-вторых, электрическую энергию удобно распределять между потребителями самой разнообразной мощности (дро-бимость). В-третьих, с помощью достаточно простых устройств ее легко превратить в другие формы энергии: механическую, внутреннюю (нагревание тел), химическую, энергию света и т. д. (превращаемость). Существенным достоинством электрической энергии является то, что это единственный вид энергии, который используется в радиотехнике, телевидении, связи, электронно-вычислительной технике, автоматике. 107 § 3.1. ГЕНЕРИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Преимущества переменного тока Электрическая энергия в настоящее время производится и используется преимущественно в виде энергии переменного тока. Это объясняется в первую очередь возможностью трансформировать переменный ток, т. е. преобразовывать в широких пределах напряжение и силу тока почти без потерь энергии. Такие преобразования необходимы во многих электро- и радиотехнических устройствах. Но особенно важна трансформация напряжения и силы тока при передаче электроэнергии на большие расстояния. Постоянный ток, необходимый в промышленности (электрохимия), транспорте (электротяга), связи, в настоящее время получается путем выпрямления переменного тока. Генерирование электрической энергии Устройства, преобразующие энергию того или иного вида в электрическую, называются генераторами. К генераторам относятся гальванические элементы, электростатические машины, термобатареи*, солнечные батареи, магнитогидродинамические генераторы и т. п. Исследуются возможности создания принципиально новых типов генераторов. Например, разработаны так называемые топливные элементы, в которых энергия, освобождающаяся в результате реакции водорода с кислородом, непосредственно превращается в электрическую. Область применения каждого из перечисленных видов генераторов электроэнергии определяется их характеристиками. Так, электростатические машины создают высокую разность потенциалов, но не способны создать в цепи сколько-нибудь значительную силу тока. Гальванические элементы могут дать большой ток, но в течение не очень длительного промежутка времени. Преобладающую роль в наше время играют электромеханические индукционные генераторы переменного тока. В этих генераторах происходит превращение механической энергии в электрическую. Их действие основано на явле- Термобатарея — несколько последовательно соединенных между собой термопар. 108 нии электромагнитной индукции. Первоначально Фарадей обнаружил лишь едва заметный ток в катушке при движении вблизи нее магнита. «Какая от этого польза?» — спросили его. Фарадей ответил: «Какая может быть польза от новорожденного?» Прошло немногим более половины столетия и, как сказал американский физик Р. Фейнман, «бесполезный новорожденный превратился в чудо-богатыря и изменил облик Земли так, как его гордый отец не мог себе и представить». Электромеханические индукционные генераторы переменного тока имеют сравнительно простое устройство, надежны в работе и могут обладать большой мощностью. В дальнейшем, говоря о генераторах, мы будем иметь в виду именно индукционные электромеханические генераторы. § 3.2. ГЕНЕРАТОР ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Простейший генератор переменного тока Простейшей схемой генератора может служить проводник в виде рамки, вращающейся вокруг оси в магнитном поле между полюсами постоянного магнита или электромагнита (см. рис. 2.3). При вращении рамки с постоянной угловой скоростью в ней возникает ЭДС, изменяющаяся по гармоническому закону — синусоидальная ЭДС. Если рамку соединить с внешней частью цепи, то в цепи появится переменный ток. Для соединения рамки с внешней частью цепи используются кольца, укрепленные на той же оси, на которой укреплена вращающаяся рамка. Кольца изолированы от оси и друг от друга. К кольцам припаиваются концы рамки, а над каждым кольцом устанавливаются неподвижные пружинящие скользящие контакты — щетки. Однако простейший генератор, изображенный на рисунке 2.3, даст ничтожно малую ЭДС. Дело в том, что ЭДС индукции определяется скоростью изменения магнитного потока, пронизывающего рамку. Но поток, пронизывающий рамку, очень мал, так как мала магнитная индукция поля, создаваемого постоянным магнитом. Чтобы значительно увеличить ЭДС, полюсам магнита придают специальную форму, способствующую концентрации линий магнитной индукции, а внутрь рамки помещают ферромагнитный (стальной) цилиндр. При этом магнитная индук- 109 ция в (а следовательно, и магнитный поток) возрастает и ста- —> —> новится равной В = где р — магнитная проницаемость стали, а -Bq — индукция магнитного поля в вакууме (в воздухе). Увеличение магнитного потока, пронизывающего рамку, приводит к увеличению скорости изменения магнитного потока, а значит, и к возрастанию индуцируемой ЭДС. Электромагнит (или магнит), создающий магнитное поле, называется индуктором, рамка (виток), в которой наводится ЭДС, — якорем. В простейшем генераторе, рассмотренном нами, индуктор неподвижен, поэтому называется статором, а якорь вращается, поэтому называется ротором. Промышленный генератор Устройство промышленного генератора переменного тока значительно сложнее рассмотренной выше модели. Во-первых, с клемм генератора нужно снимать достаточно высокое напряжение. Поэтому вместо одного витка необходимо использовать множество витков, соединенных между собой. Во-вторых, при помощи подвижных контактов (щеток и колец) практически невозможно отводить от генератора ток высокого напряжения и сколько-нибудь значительной мощности из-за сильного искрения в подвижных контактах. По этой причине во всех промышленных генераторах переменного тока обмотку якоря, в которой наводится ЭДС, делают неподвижной. Ее укладывают в пазах внутренней полости статора (рис. 3.1, о). Статор генератора собирается из листовой стали для устранения токов Фуко. Индуктор (электромагнит) в таком генераторе вращается, являясь ротором. Один из типов ротора генератора показан на рисунке 3.1, б. На магнитные полюсы ротора надета обмотка (обмотка возбуждения), по которой пропускается постоянный ток. Этот ток подводится к обмотке возбуждения через щетки и кольца от специального генератора постоянного тока — возбудителя. Якорь возбудителя расположен на одном валу с ротором генератора переменного тока. Однако в последнее время чаще всего постоянный ток в обмотку возбуждения (ротора) подается из статорной обмотки этого же генератора через выпрямитель. Возбудитель тогда не нужен. Сердечник ротора тоже набирается из листовой стали для борьбы с вихревыми токами. 110 Рис. 3.1 На рисунке 3.1, в показана полная схема генератора переменного тока. При равномерном вращении ротора с помощью какого-нибудь двигателя вместе с ним вращается и создаваемое им магнитное поле. Линии индукции этого поля будут пересекать проводники, вложенные в пазы статора, и индуцировать в них ЭДС, изменяющуюся по гармоническому закону: е = sin cof. (3.2.1) Многополюсные генераторы переменного тока Если ротор генератора имеет одну пару полюсов (см. рис. 3.1, б), то частота ЭДС, индуцируемой в генераторе, оказывается равной частоте вращения ротора, так как один оборот ротора соответствует одному периоду индуцируемой ЭДС. Для получения ЭДС с частотой v = 50 Гц двигатель, приводящий в движение ротор генератора с одной парой полюсов, должен вращаться с частотой 50 с~^. Некоторые двигатели (например, водяные турбины) не могут развивать такие скорости вращения. Поэтому, кроме генераторов с одной парой полюсов, изготавливаются многополюсные генераторы, у которых ротор имеет несколько пар полюсов. В этом случае частота наведенной в генераторе ЭДС равна (3.2.2) V =рп, где р — число пар полюсов ротора генератора, а п его вращения. частота 111 Роторы генераторов, установленных на тепловых электростанциях, имеют одну пару полюсов. Такие генераторы (турбогенераторы) называются быстроходными. Для получения стандартной частоты в 50 Гц такой ротор должен совершать 3000 оборотов в минуту. Эти роторы имеют цилиндрическую форму. Обмотка возбуждения уложена в пазы вдоль образуюш;их цилиндра и хорошо закреплена. § 3.3. ТРАНСФОРМАТОР ЭДС мощных генераторов электростанций обычно довольно велика (16—20 кВ). Между тем большинство потребителей электроэнергии рассчитано на низкое напряжение (127—380 В). При передаче электроэнергии на большие расстояния, наоборот, требуется высокое напряжение в несколько десятков, сотен или тысяч киловольт. Повышение и понижение напряжения довольно просто осуществить для переменного тока при помощи особых устройств — трансформаторов. Трансформатором называется устройство, предназначенное для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения той же частоты. Впервые трансформаторы были использованы в 1878 г. русским ученым и изобретателем П. Н. Яблочковым (1847—1894) для питания изобретенных им «электрических свечей» — нового в то время источника света. Идея П. Н. Яблочкова была развита сотрудником Московского университета И. Ф. Усагиным, сконструировавшим более совершенные трансформаторы. Устройство трансформатора Трансформатор состоит из замкнутого стального сердечника-магнитопровода, на котором располагаются две или несколько обмоток, не имеюш,их между собой электрического контакта (рис. 3.2). 112 Обмотка 1, к которой подводится электрическая энергия, называется первичной', обмотка 2, к которой присоединяются потребители электроэнер-ГИИ 3 («нагрузка»), — вторичной. Рис. 3.3 Для уменьшения потерь от вихревых токов магнитопровод собирается из листов электротехнической стали толш;иной 0,35 или 0,5 мм. Листы изолируются друг от друга тонкой бумагой или лаком. Графическое обозначение трансформатора в электрических схемах показано на рисунке 3.3. Холостой ход трансформатора Действие трансформатора основано на явлении электромагнитной индукции. Рассмотрим вначале процессы в трансформаторе с незамкнутой вторичной обмоткой (режим холостого хода). Пусть к первичной обмотке трансформатора приложено гармонически изменяюш;ееся напряжение: (3.3.1) Uj = cos roi. Под действием этого напряжения в первичной обмотке возникает переменный ток i^. У реальных трансформаторов активное сопротивление первичной обмотки невелико по сравнению с ее индуктивным сопротивлением. Поэтому можно считать, что колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения Uj на четверть периода, т. е. на л/2 (см. § 2.8): h = Iml COs(c0^ - sin roi. (3.3.2) Переменный магнитный поток, возбуждаемый током в первичной обмотке, совпадает по фазе с током и пронизывает витки обеих обмоток трансформатора: O = ^sincoi, (3.3.3) где — амплитуда магнитного потока. Сердечник из трансформаторной стали концентрирует магнитное поле, так что магнитный поток существует практически только внутри сердечника и одинаков во всех его сечениях. Переменный магнитный поток наводит в первичной и вторичной обмотках ЭДС. Мгновенное значение ЭДС индукции е 113 в любом витке первичной или вторичной обмотки одинаково и согласно закону Фарадея равно е = -Ф', (3.3.4) где Ф' — производная потока магнитной индукции по времени. Из выражения (3.3.3) следует, что Ф'= Ф со cos cof, (3.3.5) поэтому е = “СоФ cos a>t, или „ cos cot. (3.3.6) Здесь = соФ^ — амплитуда ЭДС в одном витке. В первичной обмотке, имеющей витков, полная ЭДС индукции е-у = N-ув, а во вторичной обмотке с числом витков полная ЭДС eg = Отсюда следует, что е, N, (3.3.7) Напряжение и ЭДС е^, как вытекает из выражений (3.3.1) и (3.3.6), колеблются в противофазе; (3.3.8) При разомкнутой вторичной обмотке трансформатора тока в ней нет, поэтому имеет место соотношение ^2"" (3.3.9) Мгновенные значения ЭДС е^ и Cg изменяются синфазно, т. е. в любой момент времени фазы их одинаковы. Поэтому отношение мгновенных ЭДС в формуле (3.3.7) можно заменить отношением амплитуд или действующих значений и ^2 этих ЭДС, а учитывая равенства (3.3.8) и (3.3.9), отношением действующих значений напряжений: и. ~ = К. и '2 ^2 (3.3.10) Величина К называется коэффициентом трансформации. При К > 1 трансформатор является понижающим, а при К <1 — повышающим. При разомкнутой вторичной обмотке трансформатора значение сдвига фаз между силой тока в первичной обмотке и 114 подводимым к ней напряжением близко к я/2. Поэтому на холостом ходу трансформатор с малым активным сопротивлением первичной обмотки почти не потребляет энергии из сети. Работа нагруженного трансформатора Если к концам вторичной обмотки присоединить цепь, потребляющую электроэнергию, или, как говорят, нагрузить трансформатор, то под действием ЭДС во вторичной обмотке появится ток ig* Этот ток создает в сердечнике трансформатора свой переменный магнитный поток, который по правилу Ленца должен уменьшать изменения магнитного потока в сердечнике. Однако несмотря на появление нового магнитного потока, порожденного током I2 во вторичной обмотке, магнитный поток, пронизывающий сердечник трансформатора, сохраняет ту же амплитуду Ф^, что и при холостом ходе. Это объясняется тем, что при любых нагрузках падение напряжения в первичной обмотке незначительно из-за того, что ее активное сопротивление мало. Поэтому равенство (3.3.8) остается справедливым и для нагруженного трансформатора. Для действующих значений оно запишется так: (3.3.11) Следовательно, при неизменном первичном напряжении U-^ остаются практически неизменными ЭДС и связанная с ней амплитуда магнитного потока Ф . В самом деле. ^ 72 (0Ф„^1 72 Это может быть лишь в том случае, если магнитный поток, порождаемый током первичной обмотки, увеличится по сравнению с потоком при холостом ходе настолько, что сможет компенсировать размагничивающее действие магнитного потока вторичной обмотки трансформатора. Значит, когда трансформатор нагружен, то появление тока во вторичной обмотке приводит к возрастанию силы тока в первичной обмотке. Иными словами, отдача энергии нагрузке через вторичную обмотку трансформатора сопровождается увеличением потребления энергии от сети первичной обмоткой. 115 Коэффициент полезного действия трансформатора Мощность, потребляемая первичной обмоткой трансформатора из сети, равна Pj = IjUj cos ф^, (3.3.12) а мощность, отдаваемая трансформатором потребителям (мощность, потребляемая нагрузкой), равна ^2 ~ ^2^2 ^2’ (3.3.13) При работе трансформатора > Р2- Разность между потреб- ляемой трансформатором мощностью Р^ и мощностью Pg» потребляемой нагрузкой, представляет собой мощность, теряемую в трансформаторе. Потери мощности в трансформаторе (Pj - Pg) состоят из двух частей: во-первых, это потери в обмотках трансформатора Р^ и, во-вторых, это потери в сердечнике Рр. Мощность потерь в обмотках = (3.3.14) где и i?2 — активные сопротивления первичной и вторич- ной обмоток. Мощность Р^ зависит от активного сопротивления обмоток и нагрузки трансформатора. Потери в сердечнике состоят из потерь энергии при пере-магничивании сердечника (потери на гистерезис) и потерь на нагревание сердечника вихревыми токами. Эти потери при постоянной частоте переменного тока зависят от максимального значения магнитного потока. Так как при данном напряжении максимальное значение магнитного потока трансформатора остается неизменным, то потери в сердечнике можно считать не зависящими от нагрузки. В трансформаторе отсутствуют вращающиеся части, и, следовательно, нет потерь на трение. Поэтому общая мощность потерь относительно мала. Отношение мощности Р^, потребляемой нагрузкой, к мощности Р^, потребляемой первичной обмоткой трансформатора, называется коэффициентом полезного действия трансформатора: Л = • 100% /jC/jCOScpj 100%. (3.3.15) 116 Так как Р.^^ = Р^ + Р^ + Р^, то коэффициент полезного действия трансформатора можно записать и так; ^ = Р^ТТ^ГГ/100о/о. (3.3.16) Из выражения (3.3.16) видно, что при недогрузке трансформатора Pg и Р^ малы, а Р^, как было установлено, не зависит от нагрузки. Поэтому в этом случае КПД трансформатора низкий. При перегрузке Р^ значительно возрастает (так как возрастают силы токов и Jg)» и КПД снова мал. Лишь при номинальной нагрузке (т. е. при нагрузке, на которую трансформатор рассчитан) или близкой к ней КПД наибольший. У трансформаторов большой мощности КПД достигает 98— 99%. При нагрузках, близких к номинальной, потери мощности в трансформаторе малы, и приближенно можно считать, что Pi-Pv или cos = -^2^2 Ф2‘ При таких нагрузках сдвиги фаз близки к нулю и приближенно равны между собой (cos = cos Ф2). Поэтому ~ -^2^2‘ Отсюда следует, что £/i 1_ К’ (3.3.17) т. е. силы токов в обмотках трансформатора приближенно обратно пропорциональны числу витков в обмотках. Следует иметь в виду, что если соотношение ту- ~ К оправ- '-'2 дывается в широком диапазоне нагрузок, то соотношение h 1 7" ~ удовлетворительно выполняется лишь при номиналь-I2 -К ных нагрузках. ? 1. Как определить число витков обмотки трансформатора, не разматывая катушки? 117 2. Что произойдет, если случайно подключить трансформатор к источнику постоянного тока? 3. Если в обмотке трансформатора замкнется один виток, трансформатор выходит из строя. Почему? § 3.4. ВЫПРЯМЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА В технике и в быту применяется главным образом переменный ток. Однако во многих случаях бывает необходим и ток постоянный. Постоянный ток используется при электролизе. Электродвигатели постоянного тока допускают плавное регулирование скорости вращения и развивают большой вращающий момент при пуске. Эти свойства делают их незаменимыми на транспорте {электровозы, трамваи, троллейбусы, электрокары). Постоянное напряжение необходимо для зарядки аккумуляторов и питания большинства радиотехнических устройств. Наконец, постоянным током питаются индукторы генераторов переменного тока. Постоянный ток чаще всего получают из переменного с помощью специальных устройств — выпрямителей. Действие любого выпрямителя основано на возможности создания элементов цепи, пропускающих ток только в одном определенном направлении. Таким свойством обладают двухэлектродные электронные лампы, а также полупроводниковые диоды. Рассмотрим некоторые схемы выпрямления переменного тока с применением полупроводниковых диодов. Это наиболее распространенные в настоящее время выпрямители. Однополупериодное выпрямление При включении диода в цепь с переменным синусоидальным напряжением (рис. 3.4) ток в цепи проходит только в течение половины каждого периода. Такое выпрямление переменного тока называется одно-полу периодным. Зависимость силы тока от времени при таком выпрямлении имеет вид, показанный на рисунке 3.5. Ток, протекающий через резистор R (см. рис. 3.4), является Рис. 3.4 постоянным лишь по направлению. Сила тока 118 не постоянна. В течение одного полупериода она возрастает от нуля до максимального значения, а затем убывает снова до нуля. В течение всего второго полупериода сила тока равна нулю, затем она снова возрастает и т. д. Такой ток называется пульсирующим. Двухполупериодное выпрямление Для использования обоих полупериодов переменного тока применяются схемы двухполупериодного выпрямления. Одной из распространенных схем полупроводниковых выпрямителей с двухполупериодным выпрям-ление1й является мостовая схема, показанная на рисунке 3.6. В момент, когда потенциал клеммы А источника переменного напряжения положителен, а клеммы В — отрицателен, ток идет через диоды 1 и 4 (рис. 3.7, а). Диоды 2 и 3 при этом заперты, а цепь в этих местах практически разомкнута. Через половину периода потенциал клеммы А становится отрицательным, а клеммы В — положительным. Теперь уже заперты диоды 1 и 4, и ток пропускают диоды 2 и 3 (рис. 3.7, б). Через нагрузку ток в течение обоих полупериодов проходит в одном и том же 119 направлении: от С к Z). Однако и теперь сила тока непрерывно изменяется: после выпрямления ток также оказывается пульсирующим (рис. 3.8). Сглаживающие фильтры Для питания радиотехнических цепей пульсирующий ток не годится. Здесь необходим ток постоянного направления с постоянной силой тока. Для получения выпрямленного тока, практически свободного от пульсаций, применяют сглаживающие фильтры. Простейшим фильтром является конденсатор достаточно большой емкости, включенный параллельно нагрузке (рис. 3.9). Фильтр работает так. В ту часть полупериода, когда ток нарастает, часть его проходит через нагрузку, а другая часть ответвляется в конденсатор, заряжая его (сплошные стрелки на рисунке 3.9). Разветвление тока уменьшает силу тока в нагрузке. Зато в течение второй части полупериода, когда ток убывает, конденсатор частично разряжается через нагрузку, и через нее проходит ток того же направления (пунктирная стрелка на рисунке 3.9). Таким образом, в течение всего периода достигается непрерывное прохождение тока через нагрузку и уменьшение его пульсаций. Форма сглаженного тока показана на рисунке 3.10 сплошной (ломаной) линией. О т у Зу t 2 4 Рис. 3.10 Рис. 3.11 Еще более совершенным является фильтр, состоящий из катушки со стальным сердечником, набранным из листовой стали (дросселя), и двух конденсаторов. Дроссель, обладающий большой индуктивностью, включается последовательно с нагрузкой, а конденсаторы параллельно: один — перед дросселем, а другой после него (рис. 3.11). ЭДС самоиндукции в катушке (дросселе) противодействует изменениям тока. Она ослабляет его во время нарастания и поддерживает во время убывания. В настоящее время полупроводниковые выпрямители используются для питания постоянным током электрифицированных железных дорог, городского электротранспорта {метро, трамвай, троллейбус), а также электролитических цехов. § 3.5. ТРЕХФАЗНЫЙ ТОК Трехфазный ток получил широкое распространение во всем мире. Он обеспечивает более выгодные условия передачи электроэнергии по проводам и позволяет создать простые по устройству, надежные и удобные в работе электродвигатели. Основоположником техники трехфазного тока является русский физик и электротехник М. О. Доливо-Добро-вольский. Трехфазным током называется система трех гармонических токов одинаковых частот и амплитуд, сдвинутых по фазе на 1/3 периода (ф = 120°, или 2л/3). 121 Генератор трехфазного тока Трехфазную систему токов принципиально можно получить от трех одинаковых генераторов переменного однофазного тока. Одинаковые роторы у этих генераторов насажены жестко на общий вал (рис, 3.12). Статорные обмотки генераторов повернуты друг относительно друга на 120° в сторону вращения роторов (см. рис. 3.12). При равномерном вращении роторов в статорных обмотках каждого генератора индуцируется гармоническая ЭДС (см. § 3.2). Частоты и амплитуды всех трех ЭДС совпадают. Колебания ЭДС второго генератора запаздывают по фазе относительно колебаний ЭДС первого генератора на 2тс/3 (120°), а колебания ЭДС третьего генератора запаздывают относительно колебаний ЭДС второго генератора тоже на 2л/3 (120°) или относительно колебаний ЭДС первого генератора на 4л/3 (240°). Объясняется это тем, что в процессе вращения роторы пересекают плоскости статорных обмоток второго и третьего генераторов с запаздыванием соответственно на1/3и2/3 периода по сравнению с моментом прохождения ротора через плоскость статорной обмотки первого генератора. Один из выводов обмотки генератора называют ее началом, а другой — концом. Какой вывод считать началом, а какой — концом, зависит от выбора положительного направления обхо- Рис. 3.12 122 120° да контура статорной обмотки. Этот выбор, хотя и является произвольным, должен быть одинаковым для всех генераторов. Примем, например, за положительное направление обхода статорной обмотки первого генератора направление по часовой стрелке, если смотреть на эту обмотку со стороны выхода из плоскости обмотки северного полюса индуктора (ротора). Тогда началом обмотки является клемма А, а ее концом — клемма X. Так же определяются начала (Б и С) и концы (У и Z) статорных обмоток второго и третьего генераторов (см. рис. 3.12). Но получение трехфазного тока при помощи трех генераторов оказывается технически сложным и экономически невыгодным. Гораздо проще все три статорные обмотки совместить в одном корпусе (рис. 3.13) и вместо трех роторов применить один. Такой генератор называется генератором трехфазного тока. Таким образом, статор генератора трехфазного тока имеет три уложенные в пазах статора независимые обмотки, сдвинутые в пространстве одна относительно другой на 1/3 окружности статора. Каждая статорная обмотка называется фазой* генератора. Ротор генератора трехфазного тока конструктивно ничем не отличается от ротора генератора однофазного тока. При вращении ротора во всех обмотках статора индуцируются одинаковые по частоте и амплитуде ЭДС, но сдвинутые по фазе на 2л/3. Приняв за начало отсчета времени момент, в который ЭДС первой фазы имеет нулевое значение (рис. 3.14), можно записать: sin Ш. (3.5.1) Рис. 3.13 Этот термин не следует путать с фазой гармонически колеблющейся величины. 123 Электродвижущая сила второй фазы генератора, отстающая от ЭДС первой фазы на 2л/3, равна: т (3.5.2) ЭДС третьей фазы, отстающая от ЭДС второй фазы на 2л/3 и от ЭДС первой фазы на 4л/3, записывается так: «с- т) - т)- На рисунке 3.14 представлены графики ЭДС, индуцируемых в обмотках генератора трехфазного тока. Каждая из обмоток трехфазного генератора может быть самостоятельным источником тока и питать свою цепь. В этом случае получается несвязанная трехфазная система, требующая для передачи энергии шесть проводов. На практике такие системы не применяются. С целью уменьшения числа проводов, идущих во внешнюю цепь, обмотки трехфазного генератора соединяются между собой, образуя электрически связанную трехфазную систему. Можно так соединить между собой обмотки генератора трехфазного тока, чтобы вместо шести проводов обойтись четырьмя или даже тремя проводами. Это значительно экономит материал, идущий на изготовление проводов. § 3.6. СОЕДИНЕНИЕ ОБМОТОК ГЕНЕРАТОРА ТРЕХФАЗНОГО ТОКА Существует два основных способа соединения фазных обмоток генератора между собой: звездой и треугольником. Соединение звездой При соединении звездой (условное обозначение Y) концы обмоток X,Y W.Z соединяются в одной точке О, которая называется нулевой точкой или нейтралью (рис. 3.15). Начала и концы обмоток определяют по правилу, о котором было рас- 124 сказано в § 3.5. Разметка выводов обмоток на концы и начала — это не простая формальность. Если при прохождении ротора через обмотку АХ в начале А обмотки и в конце X обмотки потенциалы были равны соответственно и ф^, то после поворота ротора на 120°, т. е. при прохождении его через обмотку BY, обязательно должны выполняться равенства фд = фд и фу = ф^. То же относится к началу С и концу Z третьей обмотки генератора. Генератор соединяется с потребителями тока четырьмя проводами. Три из них, присоединенные к началам А, В и С обмоток, называются линейными проводами. Провод, присоединенный к нулевой точке, называется нейтральным или нулевым проводом. Напряжения между каждым из линейных проводов и нейтральным проводом называются фазными напряжениями. Их действующие значения обозначаются соответственно [7д, ииQ или в общем виде U^. Напряжения между линейными проводами называются линейными напряжениями. Их действующие значения обозначаются соответственно Uj^, или в общем виде U Установим соотношение между линейными и фазными напряжениями при соединении обмоток генератора звездой. Мгновенное значение линейного напряжения между фазами А и В равно разности потенциалов между началами обмоток А и В: Фл " Фн = (Фл “ Фо)" ^Фн “ Фо) = “л ~ “в- (3-6.1) ^АВ Аналогично ^вс “в “сл “с Ur и А- (3.6.2) (3.6.3) 125 Таким образом, линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений. При разомкнутом генераторе фазные напряжения и^, и^, U(, равны по модулю и противоположны по знаку соответствующим ЭДС бд, бд, в его обмотках. Амплитуды фазных напряжений равны амплитуде ЭДС обмоток: тЛ тВ тС тф т Вычислим линейное напряжение между фазами А и В: и АВ = ~(^л - е«) = 2к - ~\^т ~ ~ х) ^ ~ f) • Учитывая, что sin^ = ^ , а cos^cot ~ = sin ^cot -I- , получим in^co#+^j. (3.6.4) *ВС ^ ^^CA^ Аналогичные выражения можно получить для Отсюда видно, что при соединении обмоток генератора звездой линейные напряжения изменяются по гармоническому закону с той же частотой, что и фазные напряжения, а амплитуда колебаний линейного напряжения больше амплитуды колебаний фазного напряжения в л/З раз. Следовательно, действующее значение линейного напряжения при соединении звездой в 7з раз больше действующего значения фазного напряжения’. Л Пф. (3.6.5) К этому же результату можно прийти, если построить векторную диаграмму для действующих значений фазных и линейных напряжений (рис. 3.16) с учетом того, что: ^АВ ^^А~ ^В' и ВС UcA = U, Ub-UcI и А’ 126 Соединение обмоток генератора треугольником При соединении обмоток генератора трехфазного тока треугольником (условное обозначение а) конец первой обмотки X соединяется с началом второй обмотки В, конец второй обмотки У соединяется с началом третьей обмотки С и конец третьей обмотки Z — с началом первой обмотки Л (рис. 3.17). Три линейных провода, идущих к потребителям тока, присоединяются к началам обмоток (фаз) А, В, С. При таком соединении обмоток, как видно из рисунка 3.17, фазные напряжения равны линейным напряжениям; Ф Л (3.6.6) При соединении треугольником три обмотки (фазы) генератора образуют замкнутый контур с весьма малым сопротивлением. Но полная ЭДС контура равна нулю: е (3.6.7) i’^sincoi + i’^sin^coi - = 0. Поэтому сила тока в обмотках ненагруженного генератора равна нулю. В справедливости равенства (3.6.7) можно убедиться, сложив векторы ЭДС на векторной диаграмме (рис. 3.18). Опасно неправильное соединение обмоток генератора треугольником, когда, например, конец первой обмотки X соединен с началом второй обмотки В, но конец второй обмотки У соединен с концом третьей обмотки Z и начало третьей обмотки С соединено с началом первой обмотки А. В этом случае результирующая ЭДС не равна нулю (предлагаем вам доказать, что она по модулю равна удвоенному значению фазной ЭДС), 127 что при малом сопротивлении обмоток генератора равносильно короткому замыканию. При соединении обмоток генератора треугольником для получения нужного линейного напряжения каждая фазная обмотка должна быть рассчитана на напряжение, в V3 раз боль-Hiee, чем в случае соединения обмоток генератора звездой. Это приводит к удорожанию генератора, в связи с чем обмотки генератора обычно соединяются звездой. Соединение треугольником допустимо лингь при одинаковой или почти одинаковой нагрузке фаз. Иначе сила тока в замкнутом контуре обмоток окажется слишком большой, что опасно для генератора. § 3.7. СОЕДИНЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Соединение звездой Потребители электрической энергии, так же как и обмотки генератора, могут соединяться звездой и треугольником. При соединении звездой трехфазная система может быть четырехпроводной (при неравномерной нагрузке на каждую фазу) и трехпроводной (при равномерной нагрузке). Неравномерная (несимметричная) нагрузка имеет место, как правило, в осветительных сетях. В этом случае в четырехпроводной трехфазной системе лампы включаются между нейтральным (нулевым) проводом и каждым из линейных проводов (рис. 3.19). Условия работы потребителей энергии остаются теми же, что и в однофазной системе, так как благодаря нейтральному проводу напряжения на отдельных фазах* потребителей равны фазному напряжению. Как видно из рисунка 3.19, сила тока в каждом из линейных проводов (1^) равна силе тока в соответствующих фазах потребителя энергии (1ф): 1. = 1ф- (3.7.1) * Отдельные потребители тока или группы потребителей, включенные между одним из линейных проводов и нулевым проводом (в четырехпроводной системе) или между двумя линейными проводами (в трехпроводной системе), называются фазал«ы потребителей. 128 Согласно первому правилу Кирхгофа мгновенное значение силы тока в нейтральном проводе при выбранных на рисунке 3.19 положительных направлениях токов равно сумме мгновенных значений фазных сил токов, т. е. Действующее значение силы тока в нейтральном проводе определяется геометрическим сложением векторов фазных сил токов: ю (3.7.2) На рисунке 3.20, а изображена векторная диаграмма действующих значений фазных напряжений и фазных сил токов в четырехпроводной цепи при неравномерной активной нагрузке. Так как нагрузка активная (электролампы), то для всех фаз cos ф = 1, и направления векторов напряжений и соответствующих векторов сил токов совпадают (ф = 0). Длины же векторов 7^, 7g, не одинаковы, так как не одинаковы со- б) 5 - 5654 129 противления потребителей, включенных на каждую фазу. Сложив векторы фазных сил токов (рис. 3.20, б), находим вектор силы тока в нулевом проводе. Как правило, сила тока в нейтральном проводе оказывается меньше сил токов в линейных проводах. Поэтому нейтральный провод может быть тоньше линейных проводов. При равномерной (симметричной) нагрузке фаз сила тока в нейтральном проводе Ы В этом случае нейтральный провод не нужен, и трехфазная система делается трехпроводной. Примером симметричной нагрузки являются трехфазные двигатели. Для их питания прокладывают трехпроводную линию. У трехфазного двигателя, как и у генератора, три обмотки. Три вывода этих обмоток (начала или концы) соединяют с линейными проводами сети, а три других вывода соединяют между собой в один узел. Обычно осветительная сеть и сеть, питаюш;ая двигатели (силовая сеть), монтируются отдельно. Соединение треугольником При соединении потребителей электроэнергии треугольником (рис. 3.21) отдельные фазы нагрузки присоединяются к линейным проводам, идуш,им от генератора. Следовательно, каждая фаза нагрузки находится под линейным напряжением. Токи, текуш;ие по отдельным фазам нагрузки (/ АВ’ ■‘ВС’ ■‘СА называются фазными токами, а токи, текуш;ие по линейным проводам от генератора к нагрузке (/^, 1^, 1^), называются линейными токами. Найдем зависимость между линейными и фазными токами при соединении нагрузки треугольником. Выберем положительное направление фазных токов от А' к В', от В' к С' и от С' к А' (см. рис. 3.21). За положительное направление линейных токов принимаем, как и раньше, направление от генератора к нагрузке. Для мгновенных значений сил токов, сходяш;ихся в точке Л', по первому правилу Кирхгофа имеем: Отсюда Ы ^СА ^АВ‘ ‘'АВ ‘СА- 130 '-ВС ^АВ Аналогично для точки В': h и для точки С': ^ *СА “ '-вс- Действующие значения сил линейных токов находятся как геометрические разности векторов соответствующих фазных tqkob: ^ ^АВ ~ ^Са} ^В ^ ^ВС ~ ^АВ' ^ ^СА ~ ^ВС' (3.7.3) На рисунке 3.22 изображена векторная диаграмма для действующих значений линейных напряжений и сил фазных токов при соединении потребителей энергии треугольником в случае неравномерной индуктивно-активной нагрузки. На этой диаграмме видно, что силы фазных токов отстают по фазе от соответствующих линейных напряжений (векторы сил токов повернуты относительно векторов напряжений по часовой стрелке), причем Ф ^ ф^^. Длины векторов сил фаз- ных токов Ij^, тоже различны. Все это из-за несим- метричности нагрузки на фазы. При симметричной нагрузке, включенной по схеме треугольника (см. рис. 3.21), между действующими значениями сил фазных и линейных токов выполняется соотношение (3.7.4) В этом можно убедиться, рассмотрев векторную диаграмму, изображенную на рисунке 3.23, а. На этой векторной диаграмме в отличие от векторной диаграммы, изображенной на 131 б) АВ рисунке 3.22, векторы сил фазных токов 1^, 7^^, имеют одинаковую длину (1^ = = 7^^) и повернуты относительно векторов линейных напряжений Uj^, ^вс' ^СА одинаковые углы (ф^ = фдс = Фса)- Определим силу линейного тока 7д. Для этого согласно равенствам (3.7.3) надо найти разность векторов 7 (рис. 3.23, б). Из рисунка видно, что АВ - 7, СА ^АВ Л Мощность трехфазной системы Мощность одной фазы Фф- При равномерной (симметричной) нагрузке мощность трех фаз Р = ЗРф = 37/ф7ф cos фф. Когда нагрузки соединены звездой, то (3.7.5) 7/ ф Л' и ЗС/ I Р = ---cos фф = Л IU cos ф. л При соединении треугольником (3.7.6) 7 ф Л' = и.- ф л Подставив эти значения 7ф и 7/ф в формулу (3.7.5), снова получим выражение (3.7.6). 132 Итак, мощность трехфазной системы Р = л/З IU cos ф, где под I W.U надо понимать действующие значения линейных токов и напряжений. При неравномерной нагрузке фаз мощность трехфазной системы определяется как сумма мощностей отдельных фаз: Р = Р^ + Рд + Р^. § 3.8. АСИНХРОННЫЙ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЬ Наиболее распространенным типом электрического двигателя в современной электротехнике является простой в устройстве, удобный и надежный в эксплуатации двигатель с вращающимся магнитным полем, основанный на применении трехфазного тока. Он изобретен в 1889 г. М. О. Доливо-Добро-волъским. Чтобы понять основную идею конструкции и действия этих двигателей, обратимся к опыту (рис. 3.24). Если дугообразный магнит привести во вращение, то помещенный в это поле замкнутый проволочный виток тоже придет во вращение в ту же сторону, в какую вращается магнит. Объяснить опыт можно следующим образом. Так как магнит вращается, то создаваемое им магнитное поле тоже приходит во вращение. При вращении поля изменяется магнитный поток через виток, поэтому в витке индуцируется ток. Взаимодействие индукционного тока с магнитным полем вращающегося магнита вызывает вращение витка. Рис. 3.24 133 Рис. 3.25 Рис. 3.26 Согласно правилу Ленца индукционный ток в витке противодействует изменению магнитного потока через виток, т. е. противодействует вращению поля. Но замедлить вращение магнитного поля он не может, так как оно определяется внешней механической силой. Поэтому виток сам вращается в сторону вращения поля. При наличии трехфазного тока очень легко получить вращающееся магнитное поле без механического вращения магнита, что используется в асинхронном электродвигателе. Устройство асинхронного электродвигателя Асинхронный электродвигатель (рис. 3.25) состоит из двух главных частей: неподвижной части — статора 1 и вращающейся части — ротора 2. Статор электродвигателя набирается из отдельных стальных листов (рис. 3.26), которые изолируются друг от друга и образуют конструкцию, показанную на рисунке 3.27. На внутренней поверхности статора в пазах укладывается обмотка. Рис. 3.27 Рис. 3.28 134 Рис. 3.30 Ротор электродвигателя тоже набирается из стальных листов (рис. 3.28), которые закрепляются на валу (рис. 3.29). В пазы ротора укладываются медные стержни, которые на торцовых частях соединяются друг с другом медными кольцами, образуя обмотку, называемую «беличьим колесом» (рис. 3.30). Обмотка статора трехфазного асинхронного электродвигателя в простейшем случае состоит из трех катушек, повернутых друг относительно друга на 120° (рис. 3.31). Эти катушки соединяются звездой или треугольником и включаются в сеть трехфазного тока. Вращающееся магнитное поле По трем обмоткам (катушкам) статора (см. рис. 3.31) проходят токи трехфазной системы, сдвинутые по фазе на 2л/3. Эти токи образуют три переменных магнитных поля. Так как в любой момент времени модуль В индукции магнитного поля пропорционален силе тока в катушке i, то изменения модуля индукции магнитного поля любой катушки происходят по тому же закону, по которому изменяется сила тока в ней. Мгновенные значения индукций магнитных полей каждой из трех катушек в произвольный момент времени t выражаются уравнениями: Б. sin (Of, 771 ’ Во = В„ sin И 771 2п 3 in ^1 = sin ((Of-f). (3.8.1) Векторы В^, Вд и В^ колеблются вдоль осей симметрии обмоток статора (рис. 3.32). (На рисунке 3.32, как и на рисунке 3.31, каждая обмотка (катушка) статора показана схемати- 135 Рис. 3.32 чески в виде одного витка. Ротор внутри статора показан в виде круга без обмотки.) Для нахождения магнитной индукции результирующего поля проведем две взаимно перпендикулярные координатные оси Ох и Оу, направив ось Ох вдоль вектора Найдем проек- —^ ^ —* ции векторов В^, В^ и В^ на координатную ось Ох‘. ^Ах = Sin D П 4я ^ г, ■ f ^Вх = COSт ^ '2“ tJ ’ о D 2я ^Сх = Вс cos Y Определим теперь проекцию на ось Ох вектора В индукции результирующего поля: В = В. + Вг> + В/^ = X Ах Вх Сх 1 . ( 2л) , . / ^ 4я)п 2 sin Г'т] + Sinl COf g- 1 В. sin ~ 2 ' ^ sin (о)^ - я) cos ^ То же самое с заменой синуса на косинус имеет место для проекции Ву1 136 Зная проекции и В. с помощью теоремы Пифагора най- X у дем модуль вектора В в данный момент времени t: 3 2~щ- в= JbI + в1 = |в. у (3.8.2) При i = О (в начальный момент) В = О, а В , * У 2 В^. Следо- вательно, в начальный момент времени направление вектора индукции В результирующего магнитного поля совпадало с __ направлением оси Оу. Поворот вектора В за время t определяется углом а; В. Отсюда tg а = ^ = tg cat. а = cat. Таким образом, при прохождении трехфазного тока по обмоткам {катушкам) статора асинхронного электродвигателя модуль вектора индукции В резулъти- 3 рующего магнитного поля не изменяется и равен 2^т’ где В^ — амплитуда индукции магнитного поля одной катушки. Сам же вектор В вращается в плоскости осей катушек с угловой скоростью со. В рассмотренном случае вектор магнитной индукции В вращается по часовой стрелке (см. рис. 3.32). Но если поменять местами два любых провода, питающих электродвигатель, то магнитное поле (вектор В) будет вращаться в противоположном направлении. Это вы можете доказать самостоятельно. В рассмотренном примере, когда обмотка статора состоит из трех катушек, повернутых друг относительно друга на 120°, вектор В вращается с угловой скоростью со, равной циклической частоте переменного тока. Одному периоду тока соответствует один оборот магнитного поля. Но если взять, например, шесть катушек, соединить их попарно последовательно и расположить в пазах статора так, как показано на 137 Рис. 3.33 рисунке 3.33, то при прохождении по ним трехфазного тока магнитное поле будет вращаться в два раза медленнее. Это можно строго доказать. Но понять его легко из следующих простых рассуждений. Когда обмотка статора состоит из трех катушек, они занимают всю окружность статора (360°) и вектор магнитной индукции за период поворачивается на 360°. При наличии же шести катушек они сдвинуты относительно друг друга на 60°, и комплект катушек АХ, BY, CZ занимает одну половину окружности статора (180°), а другую половину занимают катушки А'Х', В'У, CZ'. Теперь за период вектор В повернется лишь на 180°, т. е. частота вращения магнитного поля оказывается равной половине частоты тока. Если число комплектов катушек статора (в комплект входит три катушки) обозначить че- - , где V — частота тока. Р рез р, то частота вращения поля п Таким образом, скорость вращения магнитного поля определяется числом катушек в обмотке статора, которое всегда кратно трем. Принцип действия асинхронного электродвигателя Вращающий момент двигателя создается силами взаимодействия вращающегося магнитного поля статора и токов, индуцируемых им в роторе. Скорость вращения ротора электродвигателя не может достигнуть скорости вращения магнитного поля. Вращающий момент, действующий на ротор, определяется силой тока (или 138 соответствующей ЭДС), индуцируемого в роторе. А индуцируемая в роторе ЭДС определяется скоростью вращения поля по отношению к скорости вращения ротора, который вращается в ту же сторону, что и поле. Значит, если бы ротор вращался с той же скоростью, что и поле, то он находился бы в покое относительно поля, и в нем не возникала бы ЭДС индукции. В роторе не было бы тока и не мог бы возникнуть вращающий момент. Отсюда ясно, что двигатель описываемого типа может работать только при частоте вращения ротора, несколько меньшей частоты вращения поля. Поэтому такие электродвигатели в технике принято называть асинхронными*. Во время включения двигателя, когда ротор еще неподвижен, сила тока в нем значительно больше, чем при работе электродвигателя. Двигатель развивает в момент пуска довольно значительный вращающий момент, отчего частота вращения ротора нарастает и почти сравнивается с частотой вращения поля, и сила тока в роторе быстро уменьшается. При изменении нагрузки электродвигателя (тормозного момента на валу) изменяется и вращающий момент. Например, при увеличении нагрузки возросший тормозной момент вызывает уменьшение скорости вращения ротора. При этом возрастает относительная скорость движения проводов ротора в магнитном поле, что приводит к увеличению ЭДС и токов в роторе, и, следовательно, вращающего момента. Благодаря этому асинхронный трехфазный электродвигатель сохраняет почти постоянной частоту вращения ротора при очень широких колебаниях нагрузки. Регулировать частоту вращения ротора в принципе невозможно. Само собой разумеется, что при возрастании нагрузки двигателя, т. е. отдаваемой им механической мощности, должен возрастать не только ток в роторе, но и ток в статоре. В соответствии с законом сохранения энергии двигатель должен получить от сети большую электрическую мощность. Здесь происходит такой же процесс, как и при работе нагруженного трансформатора (см. § 3.3). Детали этого процесса довольно сложны, и мы их рассматривать не будем. От греческого слова synchronos — одновременный или согласованный во времени, частица «а» означает отрицание. 139 § 3.9. ТРЕХФАЗНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР X В УС Преобразование трехфазного тока одного напряжения в трехфазный ток другого напряжения можно осуществить при помощи группы из трех однофазных трансформаторов или при помощи одного трехфазного трансформатора. Трехфазный трансформатор состоит из трехстержневого магнитопровода с помещенными на этих стержнях обмотками (рис. 3.34). На каждом стержне трансформатора размещаются две обмотки, принадлежащие одной фазе; одна из них — первичная, а другая — вторичная. Процессы, происходящие в каждой паре катушек трехфазного трансформатора, ничем не отличаются от процессов в однофазном трансформаторе. Первичные обмотки трехфазного трансформатора могут соединяться звездой или треугольником. Так же могут соединяться и вторичные обмотки. Таким образом, возможны четыре схемы соединения обмоток трансформатора: звезда—звезда (Y/Y); звезда—треугольник (Y/д.); треугольник—треугольник (д./д.); треугольник—звезда (^./Y)- Из четырех указанных схем на практике применяются: a)Y/Yo; 6)Y/a; в) YqM-В приведенных обозначениях числитель указывает схему соединения обмоток высокого напряжения, а знаменатель — схему соединения обмоток низкого напряжения. Обозначение Yq применяется для обмоток, соединенных звездой, с выведенной нулевой точкой. §3.10. ПРОИЗВОДСТВО и ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Производство электрической энергии В настоящее время в нашей стране большая часть электроэнергии производится на мощных электростанциях, на которых в электрическую энергию преобразуется какой-либо другой вид энергии. 140 в зависимости от вида энергии, которая преобразуется в электрическую, различают три основных типа электростанций; тепловые, гидро- и атомные электростанции. На тепловых электростанциях источником энергии служит топливо: уголь, газ, нефть, мазут, горючие сланцы. Роторы электрических генераторов приводятся во вращение паровыми и газовыми турбинами или двигателями внутреннего сгорания. Наиболее экономичными являются крупные тепловые паротурбинные электростанции (ТЭС). На тепловых паротурбинных электростанциях (рис. 3.35) в паровых котлах 1 химическая энергия топлива превращается в энергию пара 2. В турбинах 3 энергия пара преобразуется в механическую, а затем в генераторе 4, имеющем общий вал с турбиной, превращается в электрическую. От генератора энергия направляется на шины распределительного устройства станции. Отработанный пар из турбины поступает в конденсатор 5, который охлаждается проточной водой 6, и конденсат 7 в виде горячей дистиллированной воды возвращается в котел. Такйе станции принято называть тепловыми конденсационными станциями. Тепловые конденсационные электростанции большой мощности обычно располагаются недалеко от источников топлива и крупных водоемов. Коэффициент полезного действия ТЭС достигает 40%. Причем большая часть энергии теряется вместе с горячим отрабо- тавшим паром. Специальные тепловые электростанции, так называемые теплоэлектроцентрали (ТЭЦ), позволяют значительную часть энергии отработавшего пара использовать для отопления и технологических процессов в промышленных предприятиях, а также для бытовых нужд (отопление, горячее водоснабжение). В результате КПД ТЭЦ достигает 60—70%. В настояш;ее время в нашей стране ТЭЦ дают около 40% всей производимой электроэнергии. На гидроэлектростанциях (ГЭС) энергия движуш;ейся воды в гидротурбине превраш;ается в механическую, а затем в генераторе преобразуется в электрическую (рис. 3.36. Цифрами обозначены: 1 — генератор; 2 — трансформатор; 3 — турбина; 4 — лопатки направляюш;его аппарата). Мош;ность станции зависит от создаваемой плотиной разности уровней воды (напора) и от массы воды, проходящей через турбины в секунду (расхода воды). Гидроэлектростанции дают около 20% всей вырабатываемой в нашей стране электроэнергии. На атомных электростанциях (АЭС) технология производства электрической энергии почти такая же, как и на Рис. 3.36 142 ТЭС. Разница состоит в том, что на АЭС энергию для преобразования воды в пар дает ядерный реактор. Кроме мощных электростанций, находящихся в районах сосредоточения энергетических ресурсов (полноводные реки, природные запасы энергии в виде дешевых углей, торфа и т. д.), имеется группа станций местного значения. Они располагаются в непосредственной близости к потребителям. К ним относятся ТЭЦ, станции промышленных предприятий, городские, сельскохозяйственные, ветровые, передвижные и Т. д. Использование электроэнергии Главным потребителем электроэнергии в нашей стране является промышленность, на долю которой приходится около 70% производимой электроэнергии. На фабриках и заводах, в шахтах и рудниках электродвигатели приводят в движение станки и различные механизмы. Около трети электроэнергии, потребляемой промышленностью, используется для технологических целей (электросварка, электрический нагрев и плавление металлов, электролиз и т. п.). Исключительно важное значение имеет применение электрической энергии в сельском хозяйстве. Здесь электроэнергия используется для освещения, приведения в действие различных машин, а также аппаратов, применяемых для механической дойки, стрижки овец, пастеризации молока, приготовления кормов, на птицеводческих фермах и т. д. и т. п. Современное строительство немыслимо без использования электроэнергии, прежде всего, для приведения в действие подъемных механизмов и для электросварки. Крупным потребителем электрической энергии является транспорт: железнодорожный и городской (метро, троллейбус, трамвай). Без электроэнергии не будет работать телефонная и телеграфная связь, радио,телевидение. Электрическая энергия используется в автоматике и вычислительной технике. О применении электроэнергии для освещения жилищ, предприятий, учреждений, уличного освещения, а также в быту (электроплиты, холодильники, стиральные машины, пылесосы, электробритвы и другие электробытовые приборы) знает каждый. 143 §3.11. ПЕРЕДАЧА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Потребители электроэнергии имеются повсюду. Про-\ изводится же она преимущественно в местах, близких к источникам топливо- и гидроресурсов. Электроэнергию не удается консервировать в больших количествах, поэтому возникает необходимость в передаче ее на большие расстояния. Передача электроэнергии связана с заметными потерями, так как электрический ток нагревает провода линий электропередачи (ЛЭП). Рассчитаем электрическую мощность, теряемую в проводах ЛЭП. Мощность, передаваемая по линии трехфазного тока при симметричной нагрузке фаз (см. § 3.7), Р = л/З IU cos ф, (3.11.1) где I и и — действующие значения линейного напряжения и линейной силы тока, а ф — угол сдвига фаз между фазным напряжением и силой тока. Мощность, теряемая в проводах. ИЛИ ^1 = ЗР огг2 2 3(7 COS ф тт2 2 и COS ф (3.11.2) (3.11.3) I Здесь р — удельное сопротивление материала проводов, их длина, S — площадь поперечного сечения. Анализируя выражение (3.11.3), можно отыскать пути уменьшения теряемой мощности. Передаваемая мощность Р и дальность передачи энергии I определяются условиями электропередачи. Эти величины изменить невозможно. Удельное сопротивление р зависит от материала, из которого изготовлены провода. На практике используются преимущественно материалы с наименьшим значением р (медь, алюминий). Увеличение площади поперечного сечения проводов малоэффективно; значительное их утолщение невозможно из-за большой массы и стоимости линии. Поэтому остаются два пути уменьшения потерь электрической энергии: увеличение напряжения в линии электропередачи и повышение коэффициента мощности потребителя. 144 Когда коэффициент мощности cos ф мал, значительная часть энергии циркулирует по проводам от генератора к потребителям и обратно, что приводит к значительным потерям на нагревание проводов. При таком сравнительно высоком коэффициенте мощности, как cos ф == 0,8, потери в линии электропередачи, как видно из формулы (3.11.3), примерно в полтора раза больше, чем в случае, когда cos ф = 1. При современных масштабах передачи энергии повышение значения cos ф с 0,8 до 0,9 дало бы огромную экономию мощности, равную мощности нескольких крупных электростанций. Следовательно, борьба за высокий коэффициент мощности имеет народнохозяйственное значение. Однако главный путь уменьшения потерь мощности в проводах ЛЭП — это повышение напряжения в линии передачи. Причем чем длиннее линия электропередачи, тем выгоднее использовать более высокое напряжение. Так, например, в городах электроэнергию при напряжении 220 В передают на расстояние не более 200 м, а при напряжении 6 кВ — на расстояние до 5 км. В высоковольтной ЛЭП Волжская ГЭС — Москва используют напряжение 500 кВ. Между тем генераторы, устанавливаемые на электростанциях, рассчитаны на напряжение, не превышающее 16— 20 кВ. Более высокое напряжение потребовало бы принятия сложных специальных мер для изоляции обмоток и других частей генератора. Поэтому при передаче энергии от мощных электростанций электрический ток по шинам поступает на трансформаторные повышающие подстанции. Они состоят из силовых трансформаторов, располагаемых обычно на открытом воздухе недалеко от генераторов, распределительного устройства и щита управления. После повышения напряжения на подстанции до 35, 110, 220, 500, 750 кВ энергия направляется в район потребителя на понижающие подстанции, где напряжение понижается до 6—10 кВ. Высоковольтные линии электропередачи (ЛЭП) — это в основном «воздушные» линии. Их делают из голых алюминиевых, сталеалюминиевых или медных проводов, укрепленных на гирляндах изоляторов, которые подвешиваются на металлических и железобетонных опорах. Расстояние между проводами выбирается с таким расчетом, чтобы была исключена возможность пробоя воздушного промежутка между проводами при раскачивании их ветром. По вершинам опор прокла- 145 дываются заземленные стальные оцинкованные тросы. Они предназначены для предохранения линии от атмосферного электричества. Трос, расположенный над проводами, воспринимает на себя атмосферные электрические разряды и отво-1 дит электрические заряды в землю. С понижающих подстанций по сети с напряжением 6— 10 кВ энергия частично направляется к высоковольтным потребителям, частично на понижающие подстанции, где напряжение понижается до 220—380 В. Далее по сети с напряжением 220 и 380 В она подводится к потребителям. На рисунке 3.37 представлена одна из возможных схем передачи и распределения электроэнергии от двух соединенных 35 кВ 146 между собой электростанций (А и Б). Схема показана однолинейной, т. е. все три фазы линии передачи изображены одной линией. Часто понижение напряжения происходит в несколько этапов. На каждом этапе напряжение становится меньше, а охватываемая электрической сетью территория — шире. При очень высоком напряжении между проводами начинается коронный разряд, приводящий к потерям энергии. Потери энергии на разряд могут превысить потери на нагревание. Кроме того, при высоком напряжении резко возрастают требования к изолирующим приспособлениям ЛЭП, что усложняет и удорожает ее. Все это сдерживает строительство ЛЭП сверхвысоких напряжений. Для уменьшения потерь на коронный разряд при высоких напряжениях (500—750 кВ) каждый провод (каждая фаза) расщепляется на три отдельных провода (рис. 3.38). Расщепление проводов уменьшает также их индуктивное сопротивление (увеличивается cos ф линии), что приводит к увеличению пропускной способности линии передачи. Передача электроэнергии постоянным током Наиболее перспективным способом передачи электроэнергии на дальние расстояния является использование постоянного тока. Линии электропередачи постоянного тока позволяют передавать по тем же проводам большую энергию, так как постоянное напряжение между проводами можно сделать равным допустимому амплитудному напряжению линии переменного тока. Кроме того, при передаче электроэнергии постоянным током исчезают затруднения, связанные с индуктивным сопротивлением и емкостью линии. Это особенно существенно при передаче электроэнергии на большие расстояния. При передаче электроэнергии постоянным током вырабатываемое генераторами электростанции переменное напряжение предварительно повышают с помощью трансформаторов, а затем с помощью выпрямителей преобразуют в постоянное напряжение. В конце линии электропередачи постоянное напряжение снова преобразуют в переменное с помощью устройств, называемых инверторами, после чего с помощью трансформаторов его понижают до нужного значения. Трудности, связанные с преобразованием постоянного тока в переменный и обратно, успешно преодолеваются. 147 Энергосистемы Электрические станции ряда районов страны объединены высоковольтными линиями передач, образуя общую электрическую сеть, к которой присоединены потребители. Такое объединение, называемое энергосистемой, дает возможность сгладить «пиковые» нагрузки потребления энергии в утренние и вечерние часы. Энергосистема обеспечивает бесперебойность подачи энергии потребителям вне зависимости от места их расположения. Сейчас почти вся территория России обеспечивается электроэнергией объединенными энергетическими системами. § 3.12. ЭФФЕКТИВНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Потребность в электроэнергии постоянно увеличивается как в промышленности, на транспорте, в научных учреждениях, так и в быту. Удовлетворить эту потребность можно двумя способами. Самый естественный и единственный на первый взгляд способ — строительство новых мощных электростанций: тепловых, гидравлических и атомных. Однако строительство новой крупной электростанции требует нескольких лет и больших затрат. При этом тепловые электростанции потребляют невозобновляемые природные ресурсы: уголь, нефть и газ. Одновременно они наносят большой ущерб экологическому равновесию на нашей планете. Передовые технологии позволяют удовлетворить потребности в электроэнергии другим способом. Приоритет в усилиях должен быть отдан увеличению эффективности использования электроэнергии, а не росту мощности электростанций. Возможности для более эффективного использования электроэнергии имеются, и немалые. Одна из них связана с освещением, на которое тратится около 25% всей производимой электроэнергии. В настоящее время в ряде стран разработаны компактные люминесцентные лампы, которые потребляют на 80% меньше электроэнергии, чем лампы накаливания. Стоимость таких ламп значительно превышает стоимость обычных, но окупаются они быстро. Наряду с этим самые простые меры по экономному применению освещения в домах и произ- 148 водственных помещениях способны дать немалый эффект. Не надо оставлять включенными без нужды лампы, следует стремиться к тому, чтобы освещались лишь рабочие участки и т. д. Имеется множество других возможностей повышения эффективности использования электроэнергии в быту: в холодильниках, телевизорах, компьютерах и т. д. Сэкономленные средства можно использовать для разработки устройств, преобразующих солнечную энергию в электрическую. Большие надежды возлагаются учеными на получение энергии с помощью управляемых термоядерных реакций. Такие устройства не будут представлять столь большой опасности, как обычные атомные электростанции. ? 1. Для уменьшения потерь на выделение теплоты в линии электропередачи повышают напряжение, уменьшая силу т2 тока. Не противоречит ли это формуле Q 41 R Почему потери электроэнергии, вызванные коронным разрядом, больше при передаче ее переменным током, чем при передаче постоянным? § 3.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задачи на материал данной главы имеют электротехническое содержание. Они подробно рассматриваются в курсах электротехники. Мы ограничимся рассмотрением нескольких простых задач, для решения которых необходимо знать формулу (3.2.2), выражающую зависимость между частотой ЭДС, наводимой в генераторе, частотой вращения ротора и числом пар полюсов в нем; формулу (3.3.10) коэффициента трансформации трансформатора и формулу (3.3.15) КПД трансформатора. Надо хорошо разбираться в схемах выпрямления переменного тока. Следует знать способы соединения обмоток в генераторе трехфазного тока, а также способы соединения потребителей энергии при их включении в цепь трехфазного тока. Необходимо усвоить соотношения между линейным и фазным напряжением при соединении обмоток генератора трехфазного тока звездой и треугольником [формулы (3.6.5) и (3.6.6)] и соотношения между линейными и фазными токами 149 при включении потребителей трехфазного тока звездой и треугольником [формулы (3.7.1) и (3.7.4)]; формулу (3.7.6) мощности трехфазного тока. Надо уметь строить векторные диаграммы. Задача 1 Первичная обмотка трансформатора находится под напряжением = 220 В, сила тока в ней 1^ = 0,55 А. Вторичная обмотка питает лампу накаливания. Напряжение на зажимах лампы и2 = 12 В, а сила тока I2 = 3,6 А. Коэффициент полезного действия трансформатора равен Т| = 0,65. Найдите сдвиг фаз (р^ между колебаниями силы тока и напряжения в первичной обмотке трансформатора. Решение. Мощность, потребляемая первичной обмоткой трансформатора, Ру = lyUy cos ф|. Мощность, отдаваемая трансформатором лампе (полезная мощность), равна: ^2 ~ ^2^2 ^2‘ Коэффициент полезного действия ^ Ру IyUyCOS(f)y ■ Здесь cos (р2 = 1 > так как лампа обладает только активным сопротивлением. Следовательно, cos (ру I2U2 lyUy = 0,55. Отсюда = 56,7°. Задача 2 На какие пробивные напряжения должны быть рассчитаны конденсатор С и диод D, если выпрямитель (рис. 3.39) может работать как под нагрузкой, так и без нее? Решение. В течение полупериода, когда лампа оказывается включенной в прямом направлении, конденсатор заряжает- 150 Во- -127 В Ао— D Рис. 3.39 г"" *---о =180 В ся до амплитудного напряжения городской сети, равного 127л/2 В = 180 В. Когда диод заперт (не проводит ток), он находится под напряжением сети (с амплитудой 180 В) и напряжением заряженного конденсатора (тоже равного 180 В). Изменение потенциала вдоль цепи в этот момент времени изображено на рисунке 3.40. Если выпрямитель работает без нагрузки, то конденсатор должен рассчитываться на пробивное напряжение, не меньшее 180 В, а диод — на напряжение, не меньшее 360 В. Задача 3 Фазное напряжение генератора трехфазного тока = 125 В. Потребитель энергии включен звездой. Все его фазы обладают активными сопротивлениями: = 12,5 Ом, Rf, = = 25 Ом. Определите силу тока в нейтральном проводе. Решение. Согласно закону Ома =^=10А / л, iUA, ip 5 А. Силу тока в нулевом проводе найдем графическим методом. На рисунке 3.41, а построены векторы фазных напряжений и фазных сил токов (векторы фазных сил токов и векторы соответствуюш;их фазных напряжений совпадают по направле- б) Рис. 3.41 151 нию, так как нагрузка каждой фазы активная). Складывая векторы сил фазных токов (рис. 3.41, б), получим силу тока в нейтральном проводе = 5 А. Сила тока в нулевом проводе отстает по фазе от напряжения на угол ф = 60°. Задача 4 К трехфазной сети трехфазного тока (рис. 3.42) с напряжением l/jj = 120 В присоединены потребители энергии, имеющие сопротивления Rj^ = 10 Ом, = 20 Ом. Опреде- лите, под каким напряжением будут находиться потребители при перегорании предохранителя в проводе В. Решение. При перегорании предохранителя потребители АВ и ВС окажутся соединенными последовательно и включенными на линейное напряжение = 120 В. Силы токов и равны: и АС ^АВ ^ВС + = 4 А. '■АВ ^ ^ВС Напряжения на зажимах потребителей: ^АВ ~ ^АВ^АВ ~ и вс ^ ^вс^вс "" 1^са = 1^л = 120В. 152 Задача 5 Двухпроводная линия электропередачи может работать при двух различных напряжениях генератора t/^ и t/g ® противлениях нагрузки и i?g. Отношение потерь мощности на подводящих проводах для этих случаев равно а. Определите отношение напряжений U^IU^ при условии, что мощность, отдаваемая генератором, в обоих случаях одинакова. Решение. Сопротивление подводящих проводов в обоих случаях одно и то же. Мощность, теряемая в проводах. = 1 пр Z7" (Л + Д„р) 2-^пр’ где I — сила тока в цепи. Отношение потерь мощности: г2 (Ri + Rnp) 2-^пр t/n (i?2 + i?np) :-R_ = a, или и1(Щ + 2 2 ul(Ri + (3.13.1) Полная мощность, отдаваемая генератором, равна: P = UI^ R + R. пр По условию задачи в обоих случаях генератор отдает одну и ту же мощность: иг Ri + R, пр ^2 + -^пр Отсюда ^2 + Л_пр ^ 5 ■^1 + ^пр и\- (3.13.2) Подставляя выражение для отношения сопротивлений (3.13.2) в уравнение (3.13.1) получим: и\ а. ^2 Г Следовательно, jj- = ^а. 153 УПРАЖНЕНИЕ 3 1. С какой частотой должен вращаться ротор генератора, чтобы частота вырабатываемого переменного тока была 50 Гц, если число пар полюсов равно 3; 4; 6; 10? С какой частотой вращаются роторы генераторов на Волжской ГЭС, если число пар полюсов в этих генераторах равно 44? 2. Чтобы узнать, сколько витков содержат первичная и вторичная обмотки трансформатора, не вскрывая катушек, поверх вторичной обмотки намотали 60 витков провода. После включения первичной обмотки в сеть с напряжением 124 В* при помощи вольтметра обнаружили, что на концах обмотки с 60 витками имеется напряжение 16 В, а на концах вторичной обмотки — напряжение 40 В. Сколько витков содержится в первичной обмотке и сколько во вторичной? I 3. Вторичная обмотка трансформатора, имеющая = 100 витков, пронизывается магнитным потоком, изменяющимся со временем по закону Ф = 0,01 cos 314t (в единицах СИ). Определите зависимость ЭДС индукции во вторичной обмотке от времени и найдите действующее значение этой ЭДС. 4. От середины катушки с железным сердечником (обмотка — толстый медный провод с большим числом витков) сделан отвод С (рис. 3.43). Один раз между точками В и С включен источник постоянного напряжения 17^. Другой раз к этим точкам приложено переменное напряжение с амплитудой U^. Найдите напряжение i/g между точками А и В в первом случае и амплитуду переменного напряжения l/g между точками А и В во втором случае. 5. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации If = 10 включена в сеть переменного тока с напряжением = 220 В. Сопротивление Здесь и далее даются действующие значения напряжения и силы тока. 154 вторичной обмотки г = 1,2 Ом. Сила тока во вторичной цепи I2 = 5 А. Определите сопротивление R нагрузки трансформатора и напряжение U2 на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной цепи пренебречь. 6. Обмотка лабораторного регулировочного автотрансформатора (ЛАТР) намотана на железном сердечнике, имеющем форму прямоугольного тороида (рис. 3.44). Для защиты от вихревых токов (токов Фуко) сердечник набирают из тонких железных пластин, изолированных друг от друга слоем лака. Это можно сделать различными способами: 1) набирая сердечник из тонких колец, положенных стопкой одно на другое; 2) свертывая в рулон длинную ленту, имеющую ширину Л; 3) собирая сердечник из прямоугольных пластин размером I х h (см, рис. 3.44). Какой способ лучше? 7. Амплитудные значения ЭДС в каждой из обмоток генератора тр^хфазного тока равны 310 В. Каковы мгновенные значения каждой ЭДС в момент, когда фаза первой ЭДС равна я/б? 8. В генераторе трехфазного тока в каждой фазной обмотке статора индуцируется ЭДС с амплитудным значением, равным 5400 В. Обмотки генератора соединены звездой. Определите действующие значения фазного и линейного напряжений. 9. В паспорте двигателя трехфазного тока в числе прочих сведений написано: «^/У 220/380». Что означает эта запись? Как надо соединить обмотки этого двигателя при включении его в сеть с линейным напряжением 220 В; 380 В? Как будет работать двигатель, если в каждом из этих случаев осуществить (по ошибке) не то соединение? 10. На щитках генераторов, трансформаторов, двигателей трехфазного тока клеммы шести выводных проводов трехфазных обмоток располагаются в порядке, указанном на рисунке 3.45. Буквами А и X, В и Y, С и Z обозначены начала и концы соответственно 1, 2 и 3-й фазных обмоток. Какие удобства при переключении с треугольника на звезду и обратно дает такое расположение клемм на щитке? Покажите на рисунках соединения звездой и треугольником. 155 в X с Рис, 3.45 Рис. 3.46 11. Почему при пуске асинхронного трехфазного электродвигателя иногда его включают в сеть трехфазного тока сначала на звезду, а когда двигатель наберет достаточное число оборотов, его переключают на треугольник? Нарисуйте схему такого переключения. 12. Магнитное поле с индукцией В вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью (0. В этом поле находится рамка, стороны которой равны а и Ь. Активное сопротивление рамки R. Нормаль к плоскости рамки вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью О. (рис. 3.46). Найдите силу тока, индуцированного в рамке. 13. Найдите момент сил, приложенных к рамке (см. задачу 12). 14. В трехфазном трансформаторе число витков на фазу первичной обмотки N-^^ = 2080, вторичной — Ag = 80. Первичное линейное напряжение C/j = 3300 В. Определите вторичные линейные напряжения, коэффициенты трансформации фазных и линейных напряжений при следующих соединениях обмоток: а) Y/Y: б) Y/д; в) д/Y; г) д/а- 15. По двухпроводной линии от электростанции к потребителю необходимо передать электрическую мощность Р = 6д кВт. Один раз эта мощность была передана при напряжении 2200 В, другой раз — при напряжении 22 000 В. Сопротивление линии Д = 4 Ом. Определите, сколько процентов составляет мощность, теряемая в проводах ЛЭП, от переданной мощности в обоих случаях. 16. Найдите мощность, теряемую в проводах, идущих от станции к потребителю, при следующих данных: передаваемая мощность Р = 100 кВт, напряжение на станции U = 220 В, сопротивление проводов R = 0,05 Ом, сдвиг фаз между током и напряжением ф = 30°. 17. При передаче электроэнергии на большое расстояние используется повышающий трансформатор, нагруженный до 156 номинальной мощности Р = 1000 кВт. При этом ежесуточная потеря энергии на линии электропередачи составляет AWjj = 215 кВт • ч. Во сколько раз необходимо повысить выходное напряжение, чтобы при передаче электроэнергии потери не превышали 0,1% ? 18. На первичную обмотку трансформатора подается напряжение 3600 В. Вторичная обмотка питает потребителя мощностью 25 кВт при напряжении 220 В и cos ф = 1. Определите сопротивление подводящих проводов, если коэффициент трансформации равен 15. 19. Какова мощность гидроэлектростанции, если плотина поднимает уровень воды на 100 м и расход воды составляет 540 м^/с? КПД станции 94%. Глава 4 МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. ЗВУК Каждый из нас наблюдал, как от камня, брошенного на спокойную поверхность пруда или озера, кольцами разбегаются волны {рис. 4.1). Многие следили за морскими волнами, набегающими на берег. Все читали или слышали рассказы о чудовищной силе морских волн, раскачивающих большие корабли. Однако при наблюдении этих явлений не всем приходит в голову, что звук всплеска воды доносится до нашего уха волнами, распространяющимися в том воздухе, которым мы дышим, что свет, благодаря которому мы видим, тоже представляет волновое движение. Волновые процессы чрезвычайно широко распространены в природе. Одни волны мы видим, но не слышим; другие слышим, но не видим; существуют волны, которые не видны и не слышны, но с их помощью можно и видеть и слышать. Наконец, существуют квантово-механические волны вероятности, связанные с движением электронов и других элементарных частиц. Мы лишены возможности представить их себе наглядно. Различны физические причины, вызывающие волновые движения. Но подобно колебаниям все виды волн описываются количественно одинаковыми или почти одинаковыми уравнениями. Многие трудные для понимания вопросы становятся более ясными, если сравнивать различные волновые явления друг с другом. 158 §4.1. ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Что же называется волной? Почему возникают волны? Отдельные частицы любого тела — твердого, жидкого или газообразного — взаимодействуют друг с другом. Поэтому, если в каком-либо участке упругой среды возникнет деформация, то по прекращении внешних воздействий она не останется на месте, а начнет распространяться в среде во всех направлениях. Изменение состояния среды, распространяющееся в пространстве с течением времени, называется волной. В воздухе, в твердых телах и внутри жидкостей механические волны возникают благодаря силам упругости {упругие волны). Эти силы осуществляют связь между отдельными частями тела. В образовании волн на поверхности воды играют роль сила тяжести и сила поверхностного натяжения (поверхностные волны). Волновой импульс и гармонические волны Волны могут иметь различную форму. Волновым импульсом {или одиночной волной) называется сравнительно короткое возмущение {всплеск) произвольной формы. Такой импульс возникает, например, в резиновом шнуре, привязанном к стенке, если взмахнуть один раз рукой, держа- Рис. 4.1 159 Рис. 4.2 щей противоположный конец растянутого шнура (рис. 4.2). Если возмущение среды вызывается периодической внешней силой, меняющейся со временем по гармоническому закону, то вызываемые ею волны называют гармоническими. В этом случае в каждой точке среды происходят гармонические колебания с частотой внешнего воздействия. Мы будем преимущественно рассматривать гармонические волны или волны, близкие к гармоническим. Это наиболее простой вид волнового движения. Исследование гармонических волн имеет первостепенное значение при построении теории любого волнового движения. Главная особенность волнового движения Наглядное представление об основных особенностях волнового движения можно получить, если рассматривать волны на поверхности воды. Волны имеют вид бегущих вперед округлых валов (рис. 4.3). Расстояния между валами, или гребнями, примерно одинаковы. Однако если бросить в воду легкий предмет, например спичечный коробок, то он не будет увле- Рис. 4.3 160 каться вперед волной, а начнет совершать колебания вверх и вниз, оставаясь почти точно на одном месте*. При распространении волны происходит передвижение формы (перемещение определенного состояния колеблющейся среды), но не перенос вещества, в котором распространяется волна. Возникшие в одном месте возмущения воды, например от брошенного камня, передаются соседним участкам и постепенно распространяются во все стороны. Течения же воды не возникает: перемещается лишь форма ее поверхности. Скорость волны Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Волны любой природы не распространяются в пространстве мгновенно. Их скорость конечна. Можно себе представить, например, что над морем летит чайка так, что она все время оказывается над одним и тем же гребнем волны. Скорость волны в этом случае будет равна скорости чайки. Волны на поверхности воды удобны для наблюдения по той причине, что скорость их распространения невелика. Поперечные и продольные волны Нетрудно также наблюдать волны, распространяющиеся вдоль резинового шнура. Если один конец шнура закрепить и, слегка натянув шнур рукой, привести другой его конец в колебательное движение, то по шнуру побежит волна (рис. 4.4). Скорость волны будет тем больше, чем сильнее натянут шнур. Волна добежит до точки закрепления, отразится и побежит назад. Здесь при распространении волны происходят изменения формы шнура. Каждый же участок шнура колеблется относительно своего неизменного положения равновесия. Обратите внимание на то, что при распространении волны вдоль шнура отдельные его участки совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распростра- Детальные исследования показывают, что частицы воды не колеблются на одном месте, а совершают более сложное движение. Однако и волны на поверхности воды подчиняются общим для всех волн закономерностям. 6 - 5654 161 Направление колебаний Направление / распространения волны Рис. 4.5 нения волны (рис. 4.5). Такие волны называются поперечными. Но не любая волна является поперечной. Колебания могут происходить и вдоль направления распространения волны (рис. 4.6). Тогда волна называется продольной. Продольную волну удобно наблюдать с помощью длинной мягкой пружины большого диаметра. Ударив ладонью по одному из концов пружины (рис. 4.7, а), можно заметить, как сжатие (упругий импульс) бежит по пружине. С помощью серии последовательных ударов можно возбудить в пружине волну, представляющую собой последовательные сжатия и растяжения пружины, бегущие друг за другом (рис. 4.7,6). Колебания любого витка пружины происходят в направлении распространения волны. Из механических волн наибольшее значение имеют звуковые волны. Однако исследование звуковых волн представляет собой более сложную задачу, чем исследование волй вдоль шнура или пружины. Мы займемся ими детально в дальнейшем. Энергия волны При распространении волны происходит передача движения от одного участка тела к другому, С передачей движения волной связана передача энергии без переноса вещества. Энергия поступает от источника, возбуждающего колебания начала шнура, струны и т. д., и распространяется вместе с волной. Эта энергия, например, в шнуре слагается из кинетической Направление колебаний —^—I—»------ Направление распространения волны Рис. 4.6 162 дшшшш б) Рис. 4.7 энергии движения участков шнура и потенциальной энергии его упругой деформации. Энергия волны от брошенного в воду камня увеличивает кинетическую энергию поплавка на поверхности воды, может увеличить и потенциальную энергию щепки, плавающей у берега. При распространении волны происходит постепенное уменьшение амплитуды колебаний из-за превращения части механической энергии во внутреннюю. Если этими потерями можно пренебречь, то через поперечное сечение, например шнура, будет проходить в единицу времени одно и то же количество механической энергии*. Электромагнитные волны Механические волны распространяются в веществе: газе, жидкости или твердом теле. Существует, однако, еще один вид волн, которые не нуждаются в каком-либо веществе для своего распространения. Это электромагнитные волны, к которым, в частности, относятся радиоволны и свет. Электромагнитное поле может существовать в вакууме (в пустоте), т. е. в пространстве, не содержащем атомов. Несмотря на всю необычность этих волн, на их резкое отличие от механических волн, электромагнитные волны при своем распространении ведут себя подобно механическим. В частности, электромагнитные волны также распространяются с конечной скоростью и несут с собой энергию. Это важнейшие свойства всех видов волн. * Представление о распространении энергии было впервые введено русским ученым Н. А. Умовым (1846—1915). 163 § 4.2. ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ Рассмотрим процесс распространения волны более детально. Проследим за движением отдельных частиц вещества при волновом движении. Сначала рассмотрим поперечную волну, такую, например, которая распространяется вдоль резинового шнура. Проще всего иметь дело не с самим резиновым шнуром, а с его упрощенной моделью. Каждый участок шнура обладает массой и упругостью. При деформации шнура в каждом его сечении появляются силы упругости. Вместо реального шнура возьмем цепочку одинаковых металлических шаров, подвешенных на нитях. Шары связаны между собой пружинами (рис. 4.8). Масса пружин много меньше массы шаров. В этой модели инертные (масса) и упругие свойства шнура разделены: масса сосредоточена в основном в шарах, а упругость — в пружинах. Это разделение несущественно при исследовании волнового движения. Если отклонить левый крайний шар в горизонтальной плоскости, то пружина деформируется, и на шар 2 начнет действовать сила, заставляя его отклоняться в ту же сторону, в которую был отклонен шар 1. Чем больше масса шара, тем медленнее он будет набирать скорость под действием силы. Вследствие этого движение шара 2 не будет происходить согласованно с движением шара 1. Чем больше массы шаров, тем больше шар 2 отстает в своем движении от шара 1. Существенна здесь еще и жесткость пружины. Чем больше жесткость пружины, тем больше сила упругости при данной деформации и, следовательно, шар 2 быстрее будет набирать скорость. Его движение, повторяющее движение шара 1, меньше будет запаздывать по времени. Если шар 1 заставить совершать периодическое движение (просто рукой или с помощью какого-либо механизма, превращающего вращательное движение в колебательное), то шар 2 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Рис. 4.8 164 тоже придет в колебательное движение вслед за шаром 1, ко с некоторым отставанием по фазе. Шар 3 под влиянием силы упругости, действуюш;ей на него со стороны шара 2, тоже начнет колебаться, еще более отставая по фазе, и т. д. Наконец, все шары станут колебаться с одной и той же частотой, но с различными фазами. При этом вдоль цепочки шаров побежит поперечная волна. Проследим, как она образуется. Пусть, к примеру, цепочка содержит 18 шаров. В начальный момент все они покоятся (рис. 4.9, а). Шар 1 приводится в колебательное движение с периодом Т и амплитудой s^. По Т истечении времени он отклонится от положения равновесия на расстояние s^. При этом он вовлекает в движение шар 2, а шар 2 вовлекает шар 3 и т. д. Когда шар 1 достигает максимального отклонения от положения равновесия, шар 2 его еще не достигнет, а шар 3 сместится от положения равновесия лишь на небольшое расстояние, шар 4 вообще еще не успеет Т сдвинуться с места (рис. 4.9, б). В момент времени ^ он только начнет движение. На рисунке 4.9, <5 и на всех последующих стрелки у шаров — это векторы скорости движения шаров в соответствующие моменты времени (вид сверху). Конечно, совсем не обязательно, чтобы именно шар 4 начинал свое движение спустя четверть периода. Это может быть и шар 5, и шар 6 или еще более далекий шар. Все зависит от масс шаров и упругости пружин, так как именно они определяют скорость распространения колебаний. Мы лишь условно считаем, что в рассматриваемой модели колебания за время ^ распространяются от шара 1 до шара 4. Если расстояние между соседними шарами Iq, то скорость распространения колеба- 3L 12L НИИ равна v = . Если подобным образом проследить далее за распространением колебаний (рис. 4.9, в, г), то можно убедиться в том, что спустя время Т после начала процесса шар 1 окажется опять в положении равновесия, а колебания уже достигнут шара 13 (рис. 4.9, д). После этого начнется второй период колебаний (рис. 4.9, е). 165 §4.3. ДЛИНА ВОЛНЫ. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ За один период колебания распространились от шара 1 до шара 13 (см. рис. 4.9, (3). Расстояние, на которое распространяются колебания за один период, называется длиной волны. Обозначим длину волны буквой Х. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 а) --•-------—•—•----------—•—------------- О 166 Заметим, что после того, как колебания достигнут шара 13, шары 1 и 13 колеблются совершенно одинаково. Когда шар 1 находится в положении равновесия и движется влево (см. рис. 4.9, 5), то и шар 13 находится в положении равновесия и тоже движется влево. Спустя еш,е четверть периода шар 1 оказывается максимально отклоненным влево и в таком же положении находится шар 13 (см. рис. 4.9, е). Колебания этих шаров происходят с одинаковыми фазами*. Поэтому длиной волны можно назвать также наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с одинаковыми фазами. Следовательно, расстояния между шарами 1 и 13, между шарами 2 и 14, между шарами 3 и 15 равны длине волны (см. рис. 4.9, д, е). При распространении волны разные точки тела (шары в рассматриваемой модели) колеблются с различными фазами, если только расстояние между ними не равно X. Шары 1 ш 7, находящиеся на расстоянии ^, колеблются в противоположных фазах: когда шар 1 движется влево, шар 7 смещается вправо,и наоборот. Поскольку за один период волна распространяется на расстояние, равное длине волны X, то ее скорость определяется формулой X Т‘ у = (4.3.1) Так как период Т и частота v связаны соотношением Г = ^ , то V = Xv. (4.3.2) Скорость распространения волны равна произведению ее длины на частоту колебаний. При распространении волны мы имеем дело с периодичностью двоякого рода. Во-первых, каждая частица среды совершает периодические колебания во времени. В случае гармони- Точнее, колебания шара 13 отстают по фазе от колебаний шара 1 на 2тг. Но так как sin (at - 2к) = sin at, то такая разность фаз не приводит к различию в состояниях колеблющихся шаров, и можно говорить, что колебания шаров происходят в одинаковых фазах. 167 ческих колебаний (эти колебания происходят по синусоидальному или косинусоидальному закону; рис. 4.10) частота постоянна и амплитуда одинакова во всех точках. (Смещение колеблющейся точки от положения равновесия обозначено буквой S.) Колебания отличаются только фазами. Во-вторых, в данный момент времени форма волны повторяется в пространстве через отрезки длиной "к вдоль линии распространения волны. На рисунке 4.11 показан профиль волны в определенный момент времени (сплошная линия). Именно таков приблизительно профиль волны на поверхности воды. С течением времени вся эта картина перемещается со скоростью v слева направо. Спустя промежуток времени At = ^ волна будет иметь вид, изображенный на рисунке 4.11 пунктиром. § 4.4. ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ Воспользуемся опять моделью упругого тела из массивных шаров, связанных пружинами {рис. 4.12). Но теперь шары подвешены так, что могут колебаться только вдоль цепочки. В начальный момент они занимают положения, показанные на рисунке 4.13, а. 168 Рис. 4.12 Пусть шар 1 приведен в колебательное движение с периодом Т и амплитудой s^. Спустя четверть периода он сместится вправо на расстояние и с помош;ью пружины приведет в движение шар 2, который, в свою очередь, заставит двигаться шар 3, и т. д. Но шар 2 начнет движение позднее шара 1, шар 3 позднее шара 2 и т. д. Поэтому, когда шар 1 сместится на расстояние s^, шар 2 сместится от своего положения равновесия на меньшее расстояние, шар 3 — еш;е на меньшее, а шар 4 и все последующие вообще пока не начнут двигаться. В результате шары займут положение, указанное на рисунке 4.13, б. ^ Т По истечении промежутка времени после начала движения шар 1 опять окажется в положении равновесия, но будет 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 а) •— » — « • О б) 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18, в) 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 г), 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18^ 12 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 15 16 17 18 д) -------------------------- « ■— Г е) 1 2 34 56 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18, — Г Рис. 4.13 169 двигаться уже влево (рис. 4.13, в). Через промежуток време- 3 ни, равный ^ Т, шар 1 будет максимально отклонен влево от положения равновесия (рис. 4.13, г). Следя далее за движением шаров, мы убеждаемся в том, что спустя период Т шар 1 не только окажется в положении равновесия, но и будет двигаться в том же направлении, что и в самом начале. Колебания же успеют распространиться до шара 13 (рис. 4.13, д). Опять мы, как и в случае поперечной волны, изображенной на рисунке 4.9, имеем волну, бегущую направо. Но теперь эта волна состоит из чередующихся уплотнений и разрежений пружин с шарами. Длина волны равна расстоянию между серединами двух соседних уплотнений или разрежений. Шары 1 и 13 колеблются с одинаковыми фазами. Расстояние между ними как раз равно длине волны. То же самое можно сказать о шарах 2 и 14, 3 и 15 и т. д. (рис. 4.13, е). Для скорости продольной волны справедлива та же формула (4.3.2), что и в случае поперечной волны: v = ^v. § 4.5. УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны. Для определенности будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру. Ось X направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура (см. рис. 4.11). Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой S. Для описания волнового процесса необходимо знать значение S в любой точке шнура в любой момент времени, а следовательно, знать вид функции s = s{x, t). Заставим конец шнура (точка л: = 0) совершать гармонические колебания с частотой со. Колебания этой точки будут происходить по закону S = 8^ sin col, (4.5.1) если начальную фазу колебаний считать равной нулю. Здесь — амплитуда колебаний (рис. 4.14, а). 170 (х = 0) (л: 5^0) Колебания распространяются вдоль шнура (оси X) со скоростью и и в произвольную точку шнура с координатой л; придут спустя время X т = -. V (4.5.2) Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой со, но с запаздыванием на время т (рис. 4.14, б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой s^, но с другой фазой: sin [cй(^ - т)] = sin in (4.5.3) Это и есть уравнение бегущей волны , распространяющейся в положительном направлении оси X. В случае, когда начальная фаза колебаний в точке л: = 0 равна не нулю, а произвольной величине ср^, уравнение бегущей волны запишется так: sm т in -f Фо (4.5.4) Волна называется бегущей по той причине, что, как мы увидим в следующем параграфе, существуют и стоячие волны, у которых максимумы и минимумы колебаний не перемещаются с течением времени. 171 Амплитуда колебаний называется амплитудой волны. Величину, стоящую под знаком синуса, называют фазой волны. В общем случае фаза волны равна: ^ ^ " у) + ^0- (4.5.5) Разумеется, вместо синуса при записи уравнения бегущей волны мы могли бы использовать и косинус. Замена синуса на косинус эквивалентна изменению начальной фазы на л/2. Выражение (4.5.5) для фазы волны можно преобразовать, если выразить циклическую частоту колебаний со через частоту V или период Т, а скорость волны v заменить ее значением согласно формуле (4.3.2). Для случая ср^ = 0 получим: - г). (4.5.6) Уравнение (4.5.3) бегущей гармонической волны примет при этом форму: s = s^sm2n(j, - ly (4.5.7) В этой форме записи отчетливо видно, что функция s(x, t) обладает периодичностью двоякого рода. Она периодична по времени при фиксированном х (период равен периоду колебаний Т, см. рис. 4.14) и периодична по пространству при фиксированном моменте времени (период равен длине волны X, см. рис. 4.11). Это означает, что при замене t ^ t Т или д: ^ д: + Я, смещение s от положения равновесия согласно уравнению (4.5.7) остается одним и тем же. Итак, в бегущей волне все точки среды (участки шнура) совершают вынужденные колебания с одним и тем же периодом, но с различными фазами. Две точки с координатами и Х2 имеют разность фаз Дф = 9(^2) - ф(л:;^) = 2д- Хо - (4.5.8) При ^2 - = Я, разность фаз равна 2л. Точки колеблются син- фазно. Если ^2 - д:^ = I > то колебания происходят в противофазе. 172 Надо отметить, что строго гармонических волн не существует. Из-за неизбежных потерь механической энергии амплитуда колебаний постепенно уменьшается по мере распространения волны от источника возбуждения колебаний. Можно приближенно говорить о гармонической волне в том случае, когда затухание бегущей волны на одной длине волны очень мало и по всей длине шнура укладывается много длин волн. Уравнение (4.5.3) описывает процессы не только в поперечной волне, но и в продольной, например в длинном упругом стержне. При этом s(x, t) по-прежнему имеет смысл смещения колеблющихся частей стержня от положения равновесия. Эти смещения в продольной волне происходят вдоль направления распространения волны (оси X). § 4.6. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ Рассматривая бегущую волну на резиновом шнуре, мы как бы считали, что этот шнур не имеет второго конца. Но конец-то на самом деле есть. Пусть этот конец закреплен на жесткой стенке. Что при этом будет происходить? Образование стоячей волны Проще всего выяснить это, если послать вдоль шнура единичный импульс, взмахнув один раз рукой, и посмотреть, что произойдет (см. рис. 4.2). Изгиб шнура (единичный импульс) добежит до стенки, отразится и побежит назад (рис. 4.15). Причем вследствие затухания величина импульса постепенно уменьшается. Если левый (по рисунку) конец шнура заставить совершать гармонические колебания, то по шнуру побежит волна, и, достигнув стенки, волна будет от нее отражаться. Каждый очередной изгиб шнура отражается подобно единичному импульсу, и от стенки побежит отраженная волна навстречу волне, бегущей к стенке. В результате на любом участке шнура встречаются две волны, бегущие в противоположные стороны. Вызванные ими колебания складываются. Частоты этих колебаний одинаковы, а амплитуды почти одинаковы, если 173 затухание колебаний вдоль шнура невелико. Но фазы колебаний различны. Ведь волна, бегущая от левого конца шнура, или, как ее еще называют, падающая волна, и волна, отраженная от стенки, проходят различные пути до данного участка шнура. Кроме того, при отражении волны от закрепленного конца шнура происходит изменение фазы волны. Мы видели, что при отражении волнового импульса изменяется знак смещения (см. рис. 4.2 и 4.15). То же самое происходит и при отражении гармонической волны. Изменение знака смещения означает изменение фазы волны на к. Объяснить это можно так: в момент отражения волнового импульса на закрепленный участок шнура действует перпендикулярная к шнуру сила со стороны стенки. Действие этой силы не только удерживает конец шнура в покое, но и порождает отраженную волну со смещением участков шнура в противоположном направлении, как будто по шнуру ударили сверху вниз (см. рис. 4.15). Изменение фазы волны можно объяснить и по-другому. При отражении волны от закрепленного конца амплитуда колебаний конца равна нулю. Это может быть лишь в том случае, если колебания шнура, вызванные прямой и обратной волной на конце шнура, происходят в противофазе. На рисунке 4.16 пунктирными линиями изображены положения двух волн, бегущих навстречу друг другу, через проме- 174 жутки времени, равные четверти периода. За четверть периода каждая из волн перемещается на | X. Результирующие колебания точек шнура (сплошная линия) возникают вследствие сложения двух колебаний. Если в некоторой точке складываются колебания с одинаковыми фазами, то отклонение этой точки от положения равновесия, вызванное одной волной, прибавляется к такому же отклонению, вызванному другой волной. В результате амплитуда колебаний удваивается. Такие точки называются пучностями. Если же в какой-нибудь точке шнура складываются колебания с противоположными фазами, то точка эта остается в покое. Перемещения точки, вызванные падающей и отраженной волнами, направлены в противоположные стороны и вычитаются друг из друга. Такие точки называются узлами. Самое примечательное состоит в том, что узлы и пучности не перемещаются вдоль шнура. Это происходит потому, что разность фаз двух колебаний в пучностях и узлах (равно как и во всех других точках) не меняется со временем. Она зависит только от положения точки на шнуре. В результате распределение смещений точек шнура относительно их положений равновесия в любой момент времени образует волну, которая не перемещается в пространстве. Такая волна называется стоячей волной. Уравнение стоячей волны Получим уравнение стоячей волны на резиновом шнуре длиной I. Уравнение бегущей волны в направлении оси X, совпадающем с растянутым шнуром, имеет вид; S. = sin со 1 т (‘-ю- (4.6.1) Волна проходит от начала шнура (точка Xq = 0) до конца {х^ = I) VI обратно до точки на расстоянии х от начала шнура путь 21 - X. Смещения в отраженной волне вследствие изменения фазы при отражении имеют противоположный знак по сравнению со смещением в бегущей волне. Если пренебречь затуханием, то уравнение отраженной волны запишется следующим образом: -s^ sin со 7П (4.6.2) 175 Результирующее смещение произвольной точки шнура с координатой X равно: S = Si + S, = s„ 1 Z т sin со ~ и] ~ Воспользовавшись теоремой о разности синусов, получим уравнение стоячей волны: S = 2s ^ sin со -—- cos со 11 т ц -i] (4.6.3) Модуль максимального смещения различных колеблющихся участков шнура, т. е. амплитуда их колебаний, равен: 1-х «о = smco- (4.6.4) На конце шнура при х = I амплитуда равна нулю. Это один из узлов стоячей волны. Следующие узловые точки лежат на рас- . соАл: стояниях Ал: друг от друга, определяемых условием -- ^ п. Отсюда . TLV vT X ш =Т =2 (4.6.5) Между узлами располагаются пучности с максимальной амплитудой колебаний. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) равно половине длины волны (см. рис. 4.16). Фаза колебаний всех точек между двумя соседними узлами в стоячей волне одинакова. Это означает, что смещение точек между соседними узлами происходит в данный момент времени в одну и ту же сторону. Но при переходе через узел фаза колебаний меняется на л, т. е. смещения меняют знак. На рисунке 4.17 вы видите профиль стоячей волны в близкие моменты времени ^ и ^ + Д^. Таким образом, если в бегущей волне точки шнура колеблются с одинаковой амплитудой, но с различными фазами, то в стоячей волне фаза колебаний точек между узлами одна и та же, но амплитуда меняется от точки к точке. Рис. 4.17 176 Наблюдение стоячей волны В справедливости сделанных выводов можно убедиться на опыте. При небольшой сноровке нетрудно получить стоячую волну на резиновом шнуре или просто на веревке. (Конечно, стоячая волна не возникает сразу, как только вы начнете раскачивать веревку. В первый момент отраженной волны вообще не будет. Нужно немного подождать, когда процесс установится.) Можно заметить, что, действительно, узлы и пучности остаются на местах, и фаза колебаний всех точек, расположенных между соседними узлами, одна и та же, и участки шнура между узлами одновременно движутся вверх либо вниз. Энергия в стоячей волне В стоячей волне, в отличие от бегущей, в среднем по времени не происходит переноса энергии. Это понятно, так как бегущие навстречу друг другу волны несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Энергия волны между двумя узлами остается неизменной. Совершается только превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Когда участки шнура проходят через положение равновесия, кинетическая энергия имеет максимальное значение. Через четверть периода кинетическая энергия убывает до нуля и максимальной становится потенциальная энергия. Отклонения частиц шнура в этот момент от их положений равновесия максимальны (шнур при этом более всего деформирован в узлах и менее всего в пучностях). § 4.7. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ КАК СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТЕЛ При образовании стоячей волны на шнуре, один конец которого закреплен, в месте закрепления находится узел. Другому концу сообщаются колебания заданной амплитуды. Это можно сделать просто рукой или посредством кривошипного механизма. Стоячая волна должна иметь такую амплитуду колебаний в пучности, чтобы амплитуда колебаний незакрепленного конца шнура в точности равнялась бы амплитуде задаваемого периодического смещения. Отсюда следует, что, чем ближе ле- 177 ■//////////////////////, Рис. 4.18 жит узел образовавшейся стоячей волны к незакрепленному концу шнура, тем больше амплитуда стоячей волны в пучности при заданной амплитуде колебаний этого конца (рис. 4.18). Это значит, что амплитуда стоячей волны в пучности будет велика, если вблизи незакрепленного конца шнура находится узел. Вследствие затухания амплитуда отраженной волны обязательно немного меньше, чем падаюш;ей. Поэтому при любых обстоятельствах амплитуда колебаний незакрепленного конца шнура не равна нулю, хотя она и может быть мала. Ведь только при точном равенстве амплитуд колебания с противоположными фазами взаимно уничтожаются. Амплитуда стоячей волны в пучности будет максимальной в том случае, когда на нижнем (по рисунку) конце шнура (или очень близко от него), так же как и на верхнем, находится узел. Но если на обоих концах шнура находятся узлы, то на шнуре должно укладываться целое число полуволн (ведь расстояние между соседними узлами равно ^ ): К ik=l. (4.7.1) где ^г = 1,2,3,... — целые числа, а Z — длина шнура. Шнур будет колебаться с большой амплитудой только в том случае, когда частота этих колебаний (связанная с длиной волны) равна; V V , (4.7.2) это собственные Определяемые этой формулой частоты частоты шнура. В суш;ествовании собственных частот у упругого тела можно убедиться на опыте. Для этого лучше воспользоваться не шнуром, а натянутой струной. Большой разницы здесь нет, но колебания струны наблюдать удобнее. Пусть закреплен левый конец струны, а натяжение ее создается грузом, прикрепленным к правому концу (рис. 4.19). 178 Оттянув струну посредине и отпустив, мы возбудим колебания. На струне будет укладываться половина длины волны (рис. 4.20, а), и частота колебаний равна: V 2Г где V — скорость распространения бегущей по струне волны. Скорость распространения волны зависит от натяжения струны и плотности материала струны. Увеличивая силу натяжения струны (добавляя груз), нетрудно обнаружить увеличение Рис. 4.20 частоты колебаний. Когда система после выведения ее из положения равновесия начинает совершать колебания, то это — свободные колебания. Следовательно, рассмотренные колебания струны тоже с полным правом можно назвать свободными. Если одну половину струны оттянуть вверх, а другую вниз так, чтобы отклонение середины струны равнялось нулю, то возникнут свободные колебания с частотой V ^2=7- При этом, кроме узлов на концах струны, появляется еще узел посредине (рис. 4.20, б). Пучностей будет две. Можно возбудить колебания струны с двумя узлами (кроме узлов на концах; рис. 4.20, в). Тогда пучностей будет три. Получить колебания более высоких частот этим методом довольно трудно, но в принципе вполне возможно. Итак, у струны (это верно и для натянутого резинового шнура) имеется набор собственных частот. Наименьшая из возможных частот колебаний называется основной частотой или основным тоном. Все остальные собственные частоты в целое число раз больше основной. Они называются обертонами*. В описанных опытах наряду с основным тоном возбуждаются и обертоны, их амплитуды невелики. 179 Собственными частотами колебаний обладает не только струна или натянутый шнур, но и любое упругое тело, например твердый стержень или пластина. В упругом твердом стержне можно возбудить как поперечные, так и продольные стоячие волны (т. е. свободные колебания). При вынужденных колебаниях, происходящих под действием внешней периодической силы, амплитуда колебаний (амплитуда стоячей волны в пучности) достигает максимума, когда на шнуре укладывается целое число полуволн. При этом частота внешней силы определяется выражением (4.7.2). Амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума при резонансе, когда частота внешней силы равна собственной частоте колебаний. Поэтому частоты, определяемые формулой {4.7.2), мы должны, действительно, рассматривать как собственные частоты шнура. Причем для одного и того же шнура этих частот много. В случае же колебаний груза на пружине или маятника собственная частота одна. ? 1. Изобразите стоячую волну в следующие моменты времени: t. О t = - t = - t =-Т t = - 8 ’ 3 4 ’ 4 8 ’ 5 2 Ч <-2 3 » ^з (Т — период колебаний). .. 2. Стоячая волна возбуждается в шнуре с помощью колебаний конца шнура с амплитудой s^. Может ли амплитуда коле-банитт в пучности волны быть больше s^? 3. Нарисуйте профиль стоячей волны в стержне, концы которого не закреплены. § 4.8. ВОЛНЫ В СРЕДЕ В резиновом шнуре, струне или стержне волны могут бежать только в двух противоположных направлениях, вдоль них. Если же газ, жидкость или твердое тело заполняет некоторую область пространства {сплошная среда), то возникшие в одном месте колебания распространяются по всем направлениям. При этом обш,ая картина распространения волн остается прежней, но имеются и некоторые особенности. .80 Волна при своем распространении от какого-либо источника в сплошной среде постепенно захватывает все большие и большие области пространства. Это хорошо видно, если наблюдать за круговыми волнами на поверхности воды от брошенного камня. Энергия, которую несут с собой волны от источника, с течением времени распределяется по все большей и большей поверхности. Поэтому энергия, переносимая через данную плош;адку за данный промежуток времени, уменьшается по мере удаления от источника. Следовательно, и амплитуда колебаний уменьшается по мере удаления от источника. Ведь энергия колеблюш;егося тела пропорциональна квадрату амплитуды (см. § 1.7). Это справедливо для колебаний не только груза на пружине и маятника, но и любой частицы среды. Таким образом, амплитуда волны в среде по мере удаления ее от источника всегда уменьшается, даже если механическая энергия не превраш;ается во внутреннюю за счет действия в среде сил трения. Плоская волна Исключение составляет так называемая плоская волна. Такую волну можно получить, если поместить в упругую среду пластину и заставить ее колебаться в направлении нормали к пластине. Все точки среды, примыкающие к пластине, будут совершать колебания с одинаковыми амплитудами и в одной и той же фазе. Эти колебания будут распространяться в виде волн в направлении нормали к пластине. Причем все частицы среды, лежащие в плоскости, параллельной пластине, будут колебаться в одной фазе. Волновая поверхность, луч и волновой фронт Поверхности равной фазы называют волновыми поверхностями. В случае плоской волны волновые поверхности представляют собой плоскости (рис. 4.21). Реальная волна может считаться плоской лишь приближенно (на краях волновые поверхности искривляются). Уравнение бегущей плоской гармонической волны будет точно таким же, как и уравнение (4.5.3) или (4.5.7) для волны на резиновом шнуре: sin CD т [‘-i (4.8.1) 181 Рис. 4.21 Рис. 4.22 Линии, нормальные к волновой поверхности, называются лучами. Под направлением распространения волн понимают направление лучей. Лучи для плоских волн представляют собой параллельные прямые. Вдоль лучей происходит перенос энергии. При распространении плоской волны размеры волновых поверхностей по мере удаления от пластины не меняются (или почти не меняются). Поэтому энергия волны не рассеивается в пространстве, и амплитуда колебаний уменьшается только за счет действия сил трения. Распространяясь от источника, любая волна проникает во все более удаленные области пространства. В каждый момент времени можно указать поверхность, отделяюш;ую область пространства, в которой уже существует волновой процесс, от остальной, невозмущенной области. Эта движущаяся тюгра-ничная поверхность называется фронтом волны. Иначе говоря, волновой фронт — это поверхность, до которой дошли колебания к данному моменту времени. Волновой фронт является частным случаем волновой поверхности. На поверхности воды легко получить волны, которые дают наглядное представление о плоских волнах в пространстве. Для этого нужно стержень, слегка касающийся поверхности воды, заставить колебаться в направлении, перпендикулярном поверхности воды. Все частицы воды, находящиеся на прямой, параллельной стержню, будут колебаться в одной фазе (рис. 4.22). Сферическая волна Другой пример волны в сплошной среде — сферическая волна. Она возникает, если поместить в среду пульсирующую сферу (рис. 4.23). В этом случае волновые поверхности явля- 182 ются сферами. Лучи направлены вдоль продолжений радиусов пульсирующей сферы. Амплитуда колебаний частиц в случае сферической волны обязательно убывает по мере удаления от источника. Энергия, излучаемая источником, в этом случае равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус которой непрерывно увеличивается по мере распространения волны. Поскольку площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату радиуса, энергия, переносимая волной за 1 с через элемент поверхности площадью 1 cм^, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Амплитуда же колебаний, квадрат которой пропорционален энергии, убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от источника. Поперечные и продольные волны в средах Как вы знаете, волны могут быть поперечными и продольными. В поперечной волне смещения отдельных участков среды происходят в направлении, перпендикулярном распространению волны. При этом происходит упругая деформация, называемая деформацией сдвига. Отдельные слои вещества сдвигаются друг относительно друга. Объем тела не изменяется. При деформации сдвига в твердом теле возникают силы упругости, стремящиеся вернуть тело в исходное состояние. Именно эти силы и вызывают колебания среды. Сдвиг слоев друг относительно друга в газах и жидкостях не приводит к появлению сил упругости. Поэтому в газах и жидкостях не могут существовать поперечные волны. Поперечные волны возникают только в твердых телах*. В продольной волне происходит деформация сжатия и растяжения. Силы упругости, связанные с этой деформацией, возникают как в твердых телах, так и в жидкостях и газах. Эти силы вызывают колебания отдельных участков среды, поэтому продольные волны могут распространяться во всех средах. Поперечные волны возникают и на поверхности жидкости, но не внутри нее. 183 в твердых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных волн. Это обстоятельство используется, например, для определения расстояния от очага землетрясения до сейсмической станции. Вначале на станции регистрируется продольная волна, так как ее скорость при распространении в земной коре больше, чем у поперечной. Спустя некоторое время регистрируется поперечная волна, возбуждаемая при землетрясении одновременно с продольной. Зная скорости продольной и поперечной волн в земной коре и время запаздывания поперечной волны, можно определить расстояние до очага землетрясения. Кроме этих волн распространяется еш;е поверхностная волна. Ее скорость меньше продольных и поперечных волн, но она несет с собой наибольшую энергию. Нелинейная волна Мы рассматривали до сих пор и будем рассматривать в дальнейшем волны с достаточно малой амплитудой, которые в ряде случаев приближенно можно считать гармоническими. Волны большой амплитуды считать, как правило, гармоническими уже нельзя. Профиль волны может очень сильно отличаться от синусоидального. Подобные волны называются нелинейными. Нелинейные волны аналогичны нелинейным колебаниям, о которых упоминалось в § 1.11. Их нельзя рассматривать как результат наложения нескольких гармонических волн. Как говорят, они не подчиняются принципу суперпозиции волн, о котором пойдет речь в дальнейшем. § 4.9. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ Волны на поверхности воды или волны вдоль резинового шнура можно непосредственно видеть. В прозрачной среде — воздухе или жидкости — волны невидимы. Но при определенных условиях их можно слышать. Возбуждение звуковых волн Если длинную железную линейку зажать в тисках или плотно прижать к краю стола, то, отклонив конец линейки от положения равновесия, мы возбудим ее колебания (рис. 4.24, а). 184 Но эти колебания не будут восприниматься нашим ухом. Если, однако, укоротить выступающий конец линейки (рис. 4.24, б), то мы обнаружим, что линейка звучит. Пластина сжимает прилегающий к одной из ее сторон слой воздуха и одновременно создает разрежение с другой стороны. Эти сжатия и разрежения чередуются во времени и распространяются в обе стороны в виде упругой продольной волны. Последняя достигает нашего уха и вызывает вблизи него периодические колебания давления, которые воздействуют на слуховой аппарат. Наше ухо воспринимает в виде звука колебания, частота которых лежит в пределах от 16 до 20 000 Гц. Если говорить о звуковых волнах, создаваемых при игре на рояле, то нижняя граница нашего слуха будет чуть ниже звучания самой басовой клавиши, а верхняя — намного выше самой высокой. Такие колебания называются акустическими. Акустика — это учение о звуке. Чем короче выступающий конец линейки, тем больше частота его колебаний. Поэтому мы начинаем слышать звук, когда конец линейки становится достаточно коротким. Любое тело (твердое, жидкое или газообразное), колеблющееся со звуковой частотой, создает в окружающей среде звуковую волну. Рис. 4.24 Звуковые волны в различных средах Чаще всего звуковые волны достигают наших ушей по воздуху. Довольно редко мы оказываемся погруженными целиком в воду. Но, конечно, воздух не имеет каких-либо особых преимуществ по сравнению с другими средами в смысле возможности распространения в них звуковых волн. Звук превосходно распространяется в воде и твердых телах. В этом нетрудно убедиться. Нырнув с головой во время купания, вы можете услышать звук от удара двух камней, производи- 185 мого в воде на большом расстоянии. Многие обитатели морских глубин общаются друг с другом посредством звуковых волн. Хорошо проводит звук земля. Во многих приключенческих романах можно прочесть, как герой прикладывает ухо к земле и улавливает топот копыт коня своего врага. Если приставить вплотную к уху конец длинной деревянной линейки и слегка постукивать по другому ее концу ручкой, то отчетливо слышен звук. Отодвинув же линейку немного от уха, вы обнаружите, что звук почти перестает быть слышимым. В вакууме, разумеется, звуковые волны распространяться не могут. Космос, в отличие, скажем, от океана, — царство абсолютного безмолвия. Давление в звуковой волне Мы выяснили, что звуковая волна представляет собой последовательность сжатий и разрежений упругой среды (воздуха, воды, стали), распространяющихся с определенной скоростью. Причем эта волна является продольной*. Сжатие и разрежение воздуха вызывает колебания давления относительно среднего атмосферного давления Pq. Громкому звуку соответствует изменение давления Ар на несколько десятков паскалей. Но при этом относительное изменение давления невелико: — = 0,001. Человеческое ухо способно Ро воспринимать изменения давления Ар ~ 10“® Па. Это соответствует подводимой к ушной раковине мощности около 10“^® Вт. Ухо — весьма чувствительный прибор, наиболее чувствительно оно к колебаниям с частотой около 3500 Гц. Измерять непосредственно амплитуду колебаний давления в звуковой волне довольно трудно. Обычно звуковые колебания преобразуют в электрические с помощью микрофона, а затем по амплитуде электрического тока судят об амплитуде колебаний давления. Впрочем, в твердых телах могут существовать и поперечные акустические волны. 186 Значение звука Для того чтобы уверенно ориентироваться в мире, наш мозг должен получать информацию о том, что происходит вокруг нас. Зрение и слух играют здесь главную роль. Осязание, обоняние и вкусовые ош;уш;ения менее суш;ественны. Конечно, наибольшее количество информации мы получаем с помош;ью света. Испущенный источниками (Солнцем, лампочкой и т. д.) свет отражается от окружающих предметов и, попадая в глаз, позволяет судить об их положении и движении. Многие предметы светятся сами. Отраженные от предметов звуковые волны или сами звучащие предметы также дают нам сведения об окружающем мире. Но не это главное. Главное — это речь. Мы создаем и воспринимаем звуковые волны и тем самым общаемся друг с другом. С помощью специальных устройств, например медицинского стетоскопа или фонендоскопа* (рис. 4.25), можно получать важные сведения о работе сердца и других внутренних органов. Об этом знают все, кого когда-либо выслушивал врач. Любопытно, что еще Роберт Гук, крупнейший ученый, современник Ньютона, предвидел многие возможности практического применения звука. В частности, ему принадлежит идея стетоскопа. Приведем отрывок из одной его работы; «Может быть, есть возможность открывать внутренние движения и действия тел посредством звука, который они производят. В часах мы слышим стук маятника, ход колес, цеплянье зубцов и многие другие звуки; кто знает, не можем ли мы подобно этому открыть движение внутренних частей животных, растительных или минеральных тел посредством звука, который они производят, открыть процессы, совершающиеся в разных органах или полостях тела...» Рис. 4.25 * Фонендоскоп отличается от стетоскопа тем, что у него звукоулавливающая камера закрыта упругой мембраной для усиления звука. 187 § 4.10. СКОРОСТЬ ЗВУКА Звуковые волны, подобно всем другим волнам, распространяются с конечной скоростью. Обнаружить это можно так. Свет распространяется с огромной скоростью — 300 000 км/с. Поэтому вспышка от выстрела почти мгновенно достигает глаз. Звук же выстрела приходит с заметным запаздыванием. То же самое можно заметить, наблюдая с большого расстояния игру в футбол. Вы видите удар по мячу, а звук от удара приходит спустя некоторое время. Все, вероятно, замечали, что вспышка молнии предшествует раскату грома. Если гроза далеко, то запаздывание грома достигает нескольких десятков секунд. Наконец, из-за конечной скорости звука появляется эхо. Эхо — это звуковая волна, отраженная от опушки леса, крутого берега, здания и т. д. Скорость звука в воздухе при 0 °С равна 331 м/с. Эта скорость довольно велика. Лишь совсем недавно самолеты начали летать со скоростями, превышающ;ими скорость звука. Первые измерения скорости звука в воздухе были произведены немецким естествоиспытателем, географом и путешественником А. Гумбольдтом в 1822 г. Время распространения звука определялось им как время между вспышкой при выстреле из пушки и моментом прихода звука. Скорость звука в воздухе не зависит от его плотности. Она приблизительно равна средней скорости теплового движения молекул и, подобно ей, пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. Чем больше масса молекул газа, тем меньше скорость звука в нем. Так, при 0 °С скорость звука в водороде равна 1270 м/с, а в углекислом газе — 258 м/с. В воде скорость звука больше, чем в воздухе. Впервые она была измерена на Женевском озере в Швейцарии. На одной лодке поджигали порох и одновременно ударяли в подводный колокол. Другая лодка находилась на расстоянии 14 км от первой. Звук улавливался с помощью рупора, опущенного в воду. По разности времени между вспышкой света и приходом звукового сигнала определялась скорость звука. При температуре 8 °С скорость звука в воде равна 1435 м/с. В твердых телах скорость звука еще больше, чем в жидкостях. Например, в стали скорость звука при 15 °С равна 188 4980 м/с. Что скорость звука в твердом теле больше, чем в воздухе, можно обнаружить так. Если ваш помощник ударит по одному концу рельса, а вы приложите ухо к другому концу, то услышите два удара. Сначала звук достигает уха по рельсам, а затем по воздуху. По известной частоте колебаний и скорости звука можно вычислить длину звуковой волны (см. § 4.3). Длина волны у самых длинных волн, воспринимаемых ухом, составляет приблизительно 17 м, а у самых коротких — 1,7 мм. § 4.11. МУЗЫКАЛЬНЫЕ ЗВУКИ И ШУМЫ. ГРОМКОСТЬ и ВЫСОТА ЗВУКА Звуки, которые мы слышим каждый день, очень разнообразны. Любой из нас достаточно отчетливо отличает так называемые музыкальные звуки от шумов. К первым, например, относится пение, звучание натянутых струн музыкальных инструментов, свист. Шумы возникают при взрывах, работе двигателей внутреннего сгорания, шипении змеи, скрипе несмазанных дверных петель и т. д. Мы в состоянии с помощью своих органов речи воспроизвести более или менее гармоничный звук и, конечно, шум. Резкой границы между музыкальными звуками и шумами нет. Испорченный музыкальный инструмент или заигранная грампластинка создает хриплые, дребезжащие звуки, весьма похожие на шум. С другой стороны, некоторую музыкальность можно уловить в шуме дождя или вое ветра. Музыкальные звуки Чем с точки зрения физики отличаются музыкальные звуки от шума и по какой причине столь несхожими могут быть музыкальные звуки между собой? Чистый музыкальный звук можно получить с помощью простого прибора, называемого камертоном. На рисунке 4.26 показан камертон, который закреплен на деревянном ящике, открытом с одной стороны. Ударив молоточком по одной из ветвей камертона, мы рис. 4.26 189 Рис. 4.27 услышим музыкальный звук. Постепенно звук ослабевает вследствие затухания колебаний ветвей. Звуковая волна возбуждается колеблющ;имися ветвями камертона. Характер этих колебаний можно установить, если прикрепить к ветви камертона иглу и провести ею с постоянной скоростью по поверхности закопченной стеклянной пластинки. На пластинке появится линия, очень близкая к синусоиде (рис. 4.27). Это временная развертка колебаний, подобная той, которую получают с помош;ью маятника с песочницей. Отсюда можно заключить, что колебания ветвей камертона очень близки к гармоническим. Звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом, называют музыкальным тоном или просто тоном. Музыкальные тоны отличаются на слух громкостью и высотой. Г ромкость звука Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления. Чем сильнее удар молоточка по камертону, тем громче звучит камертон. А более сильный удар вызывает колебания большей амплитуды. Можно не сомневаться, что и громкость любого звука определяется амплитудой колебаний в звуковой волне. Нужно, однако, иметь в виду, что чувствительность нашего уха зависит от частоты звука. Звуковые колебания одинаковых амплитуд не кажутся нам одинаково громкими, если частоты их различны. Наше ухо, как уже говорилось, наиболее чувствительно к колебаниям с частотой около 3500 Гц. В акустике вводят специальную величину — интенсивность звука. Интенсивность звука равна отношению энергии, переносимой звуковой волной за время t через поверхность площадью S, перпендикулярную к направлению распространения волны, к произведению площади S и времени t. Энергия колебаний в волне пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому и интенсивность звука определяется амплитудой колебаний: пропорциональна квадрату амплитуды. Громкость характеризует субъективное звуковое ощ;ущ;е-ние и пропорциональна интенсивности звука — объективной энергетической характеристике акустических волн. 190 Высота звука Для того чтобы определить, с чем связана определенная высота звука, нужно располагать несколькими камертонами различных размеров. Проводя иглой, прикрепленной к ветви звучащего камертона, вдоль закопченной пластинки, можно заметить, что, чем выше звук, издаваемый камертоном, тем меньше период появляющейся на пластинке синусоиды и, следовательно, тем больше частота колебаний камертона. Высота звука {точнее, высота тона) определяется частотой колебаний. То же самое можно наблюдать при колебаниях струны. Увеличение натяжения струны приводит к увеличению частоты свободных колебаний. Поэтому, натягивая струны гитары с помощью колков, мы делаем звук более высоким. Кроме того частота колебаний струны зависит (при данной силе натяжения) от ее длины [см. формулу (4.7.2)]. При игре гитарист прижимает пальцами струны к грифу. Благодаря этому меняется высота звука инструмента. Шум и борьба с ним Шум отличается от музыкального тона тем, что ему не соответствует какая-либо определенная частота колебаний и, следовательно, определенная высота звука. В шуме присутствуют колебания всевозможных частот. С развитием промышленности и современного скоростного транспорта появилась новая проблема — борьба с шумом. Возникло даже новое понятие «шумовое загрязнение» среды обитания. Шум, особенно большой интенсивности, не просто надоедает и утомляет — он может и серьезно подорвать здоровье. С шумом борются простыми административными мерами: в городах запрещено пользоваться автомобильными сигналами, отменены полеты самолетов над городами и т. д. Борются с шумами и с помощью технических устройств. Так, все автомобили, тракторы и мотоциклы снабжены глушителями. На пути выхлопных газов сооружают сложный металлический лабиринт с перегородками и отверстиями, в которых звуковая волна теряет энергию. Кто хотя бы раз слышал рев мотоцикла без глушителя, хорошо представляет себе, насколько успешно глушитель справляется со своей задачей. 191 § 4.12. ТЕМБР. ДИАПАЗОНЫ ЗВУКОВЫХ ЧАСТОТ Тембр Музыкальные звуки отличаются друг от друга не только громкостью и высотой. Струна гитары издает вполне определенный тон. Но если вы попробуете возбудить ее колебания, сначала оттянув струну в средней части, а затем на расстоянии 1/4 длины от конца, то звуки будут не совсем одинаковыми. Имея одинаковую частоту и примерно одинаковую громкость, эти звуки отличаются друг от друга специфическим оттенком. Музыканты это особое качество звука называют тембром. В первом случае на струне укладывается половина длины волны и возникают колебания основной частоты. Во втором случае наряду с основным тоном заметную амплитуду будет иметь и первый обертон (в отличие от основного тона для колебаний первого обертона характерно то, что на струне укладывается не половина, а целая длина волны). В произвольном же случае колебаний струны вместе с основным тоном возбуждается много различных обертонов. Тембр звука определяется числом обертонов и их амплитудами. Именно по тембру мы различаем звуки одинаковой высоты: человеческий голос, свист, звук струны рояля или кларнета. Высота определяется периодом колебаний. Но колебания в перечисленных случаях не являются гармоническими и при одной и той же частоте имеют различную форму. Оставаясь периодическими, они имеют различные частотные спектры (см. § 1.11). На рисунке 4.28 приведена временная разверт- Рояль 192 ка звуковых колебаний, создаваемых роялем и кларнетом при одном и том же периоде 0,01 с. Форма колебаний различна вследствие того, что одновременно с колебаниями основной частоты, одинаковой для обоих инструментов, происходят колебания и с другими частотами, кратными основной. При этом амплитуды обертонов одной и той же частоты у различных инструментов сильно отличаются друг от друга. Диапазоны звуковых частот Диапазон обычного человеческого голоса заключен в интервале от 200 до 1000 Гц. У отдельных людей диапазон может оказаться и значительно шире. На рисунке 4.29 представлена шкала звуковых частот, на которой буквой Г обозначен диапазон голоса. Воспринимает же человеческое ухо частоты в интервале, обозначенном буквой У. Музыкальные инструменты занимают немного менее широкую полосу частот, обозначенную буквой М. Для того чтобы голос или музыку передавать на расстояния, записывать и воспроизводить или просто усиливать с помощью тех или иных радиотехнических устройств без заметных искажений, необходимы устройства с широкой полосой воспроизводимых частот. Эти устройства должны пропорционально усиливать и воспроизводить колебания всех частот диапазона голоса или музыкальных инструментов. Осуществить это очень не просто. В паспорте любого магнитофона, проигрывателя или радиоприемника всегда указывается полоса частот, которые эти устройства способны воспроизво- 0 50 500 1000 5000 Ю 00« Нота ' «ля» Гц П м у Рис. 4.29 7-5654 193 дить. Диапазон частот у обычного телефона сравнительно невелик (он обозначен буквой Т на рисунке 4.29). Этот диапазон достаточен для того, чтобы разобрать все слова, но слушать симфоническую музыку по телефону нет смысла. У хорошего транзисторного приемника полоса частот простирается от 100 до 10 000 Гц (буква П на рисунке 4.29). Высококачественная аппаратура, гарантирующая высокую достоверность воспроизведения звука, весьма сложна и стоит дорого. Напоминает она внешне лабораторную установку научно-исследовательского института. Полоса пропускания частот у этих установок бывает даже шире полосы слышимых звуков. § 4.13. АКУСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС Звучащее тело может совершать как свободные, так и вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой колебаний, наступает резонанс. Проще всего наблюдать акустический резонанс с помощью двух одинаковых камертонов. Расположим камертоны на небольшом расстоянии так, чтобы отверстия ящиков 0.ыли направлены друг к другу (рис. 4.30). Ударив молоточком По ветви одного камертона, мы обнаружим вскоре, что и второй камертон начинает звучать. Звуковая волна от первого камертона создает периодическую силу, действующую на второй камертон. Частоты колебаний камертонов одинаковы, и амплитуда колебаний второго камертона вследствие резонанса 194 оказывается достаточно большой. Если же взять камертоны с различными собственными частотами, то второй камертон при возбуждении первого практически звучать не будет. Более того, достаточно прикрепить к ветви одного из двух одинаковых камертонов кусочек пластилина, как уже резонанс не возникает. Затухание колебаний камертона мало, и поэтому резонансная кривая является очень острой (см. § 1.10). Увеличение массы ветви камертона меняет частоту его собственных колебаний, и происходит расстройка резонанса. Явление резонанса используется для усиления звучания камертона. Если вилку камертона снять с яш;ика и возбудить в ней колебания, то звук будет очень слабым. Разберемся в причине этого. Воздух является упругим телом. Поэтому столб воздуха в трубе или ящике обладает определенным набором собственных частот подобно натянутой струне или резиновому шнуру. Иными словами, в столбе воздуха могут возникать стоячие волны. Если труба закрыта с двух концов, то на ее краях образуются узлы стоячей волны. Частоты собственных колебаний будут определяться, как и для струны, формулой V V , (4.13.1) где V — скорость звука, al — длина трубы. Если труба открыта с одного конца, то у открытого конца образуется пучность смещений. Поэтому вдоль трубы (или ящика) при колебаниях основной частоты укладывается четверть длины волны. Частота основного тона равна в этом случае _ _г_ _ а ''l - А., ~ 41 (4.13.2) Основной тон резонаторного ящика совпадает с собственной частотой колебаний камертона. Поэтому под влиянием периодической силы, с которой камертон действует на крышку ящика, в ящике возбуждается интенсивная стоячая волна. Звуковая волна создается в основном за счет колебаний воздуха в ящике, а не ветвей камертона. В духовых музыкальных инструментах (орган, кларнет, саксофон и т. д.) под действием воздушной струи возбуждаются колебания с частотой, очень близкой к собственной частоте колебаний столба воздуха в трубе. В зависимости от длины трубы возбуждаются колебания той или иной частоты. 195 § 4.14. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА Любое тело {твердое, жидкое или газообразное), колеблющееся со звуковой частотой, создает в окружающей среде звуковую волну. Но интенсивное излучение звуковых волн происходит только при определенных условиях. Что это за условия, выясним на примере камертона. При движении ветви камертона по одну сторону от нее воздух сжимается (давление растет), а по другую сторону образуется разрежение (давление падает). Возникает разность давлений, которая стремится выравняться. Выравнивание давления происходит со скоростью распространения упругого импульса, т. е. со скоростью звука. За период колебания давление выравнивается на расстоянии длины звуковой волны. Размеры же ветви камертона гораздо меньпзе длины волны. Поэтому при колебаниях ветви происходит «перекачка» воздуха с одной ее стороны на другую сторону (рис. 4.31). Следовательно, давление в основном выравнивается, и звуковая волна почти не излучается. Для того чтобы такого выравнивания давлений не происходило, размеры колеблющегося тела не должны быть слишком малыми по сравнению с длиной волны. Только при этом условии будет излучаться достаточно интенсивная звуковая волна. Резонаторный ящик камертона с одной стороны закрыт, и длина его равна ^. Поэтому выравнивания давления не происходит и излучается достаточно интенсивная звуковая волна. Скорость звука больше в легких газах: водороде и гелие. Поэтому излучение звука в этих газах затруднено по сравнению с излучением в воздухе. Одновременно меняется тембр звуковых волн. Для дыхания аквалангистов на больших глубинах используется кислородно-гелиевая смесь, чтобы предотвратить азотное отравление. Голос из-за этого звучит слабее и становится глуховатым. § 4.15. ИНФРАЗВУК И УЛЬТРАЗВУК При частотах ниже 16 и выше 20 000 Гц колебания давления уже не воспринимаются человеческим ухом. Продольные волны с частотой колебаний ниже 16 Гц получили название инфразвука. Продольные волны с частотой, превышающей 20 000 Гц, называют ультразвуком. Инфразвук Человек не слышит инфразвук, но каким-то образом эти звуки воспринимаются. Опыты показали, что инфразвук вызывает неприятные тревожные ощущения. Причины этого не вполне ясны. Возможно, дело в том, что инфразвук в природе возникает почти всегда при опасных или катастрофических событиях: землетрясениях, цунами, ураганах. Вероятно, в процессе естественного отбора у людей и животных появилась способность улавливать подобные сигналы тревоги. В технике использовать инфразвук пока не научились. Ультразвук Ультразвук применяется в технике и играет большую роль в жизни многих животных. Летучие мыши, киты, дельфины и некоторые насекомые излучают и улавливают ультразвук. Для получения ультразвука большой интенсивности используют свойство некоторых кристаллов (кварца, сегнетовой соли, турмалина) в электрическом поле изменять свои размеры: в зависимости от направления напряженности поля они сжимаются или растягиваются. ^ Кварцевая пластина, помещенная внутрь плоского конден-I сатора, к которому приложено переменное напряжение, совершает вынужденные колебания. Любое упругое тело, в том ■ числе и кварцевая пластина, обладает собственными частотами. При совпадении частоты переменного электрического поля с собственной частотой кварцевой пластины наступает резонанс и амплитуда колебаний сильно возрастает. Такая пластина в воде может излучать волны мощностью до нескольких киловатт с каждого квадратного сантиметра поверхности. Су-' щественно, что с помощью коротких волн можно создать остронаправленные пучки, незначительно расширяющиеся по мере распространения. 197 Мощная ультразвуковая волна способна дробить тела, помещенные в жидкость (кусочки металла превращаются в тонкую взвесь). С его помощью можно дробить камни в желчном пузыре и почках. Ультразвук оказывает сильное биологическое воздействие. Микробы в поле ультразвука погибают. С помощью ультразвука можно стерилизовать молоко и другие продукты. В жидкостях ультразвуковые волны затухают слабее, чем в воздухе. Поэтому ультразвук применяется в гидроакустике. Наиболее важным прибором в гидроакустике является эхолот, или гидролокатор. Посылая короткие импульсы ультразвуковых волн, можно уловить импульсы, отраженные от дна или других твердых предметов. По времени запаздывания отраженного сигнала можно судить о расстоянии до препятствия. Так измеряют глубину моря (рис. 4.32), обнаруживают косяки рыб, встречный айсберг или подводную лодку. С помощью эхолота отечественными учеными был открыт подводный хребет в Северном Ледовитом океане. По отражению ультразвука от раковины или трещины в металлической отливке можно судить о дефектах в изделиях. Чрезвычайно соверпхенные ультразвуковые локаторы имеют дельфины и летучие мыпхи. Дельфины в мутной воде уверенно ориентируются, посылая ультразвуковые импульсы и улавливая импульсы, отраженные от предметов или-добычи. В полной темноте летучие мыши способны летать в комнате, в которой по всевозможным направлениям натянуто множество веревок, не задевая их. Уши с успехом заменяют им глаза. Летучая мышь испускает импульсы ультразвуковых колебаний. Частота колебаний в импульсе составляет 25 000—50 000 Гц. Длительность каждого импульса не превышает 0,015 с. Любопытно, что ультразвук воспринимают собаки. Можно сделать ультразвуковой свисток и подавать им команды своей собаке. Никто, кроме вашей и других собак, эти команды не услышит. 198 f 1. Упругая металлическая пластина длиной I жестко закреплена на одном конце (см. рис. 4.24). Нарисуйте профиль стоячих волн, которые можно возбудить в этой пластине. Каковы собственные частоты пластины, если скорость распространения волн в ней равна и? 2. Один камертон закреплен в тисках, а другой такой же камертон установлен на резонаторном ящике. Продолжительность звучания какого камертона больше? 3. Колеблющаяся с определенной амплитудой пластина создает волны один раз в воде, а другой раз в воздухе. В каком случае амплитуда колебаний давления в волне больше и почему? § 4.16. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН До сих пор мы почти все время имели дело с одной волной, распространяющейся от источника. Однако очень часто в среде одновременно распространяется несколько различных волн. Например, когда в комнате беседуют несколько человек, то отдельные звуковые волны накладываются друг на друга. Что при этом происходит? Сложение волн Проще всего проследить за этим явлением, наблюдая волны на поверхности воды. Если мы бросим в воду два камня, создав этим две кольцевые волны, то нетрудно заметить, что Каждая волна проходит сквозь другую и ведет себя в дальнейшем так, будто другой волны совсем не существует. Точно так же любое число звуковых волн может одновременно распространяться в воздухе, ничуть не мешая друг другу. Множество музыкальных инструментов в оркестре или голосов в хоре создают звуковые волны, одновременно улавливаемые нашим ухом. Причем ухо в состоянии отличить один звук от другого. Теперь посмотрим более внимательно, что происходит в местах, где волны накладываются друг на друга. Наблюдая волны, возникающие на поверхности воды от двух камней, мы можем заметить, что некоторые участки поверхности не возмущены, в других же местах возмущение усилилось. Если две волны встречаются в одном месте гребнями, то в этом месте возмущение воды усиливается. 199 Если же, напротив, гребень одной волны встречается с впадиной другой, то возмущения поверхности воды не будет. Вообще же в каждой точке среды колебания, вызванные двумя волнами, складываются. Результирующее смещение любой частицы среды представляет собой сумму смещений, которые происходили бы при распространении одной из волн в отсутствие другой. Интерференция Сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды результирующих колебаний в различных точках пространства, называется интерференцией. Стоячая волна — пример интерференции двух волн, бегущих в противоположные стороны. Выясним, при каких условиях происходит интерференция волн. Для этого рассмотрим более подробно наложение волн на поверхности воды. Можно одновременно возбудить две круговые волны в ванне с помощью двух шариков, укрепленных на стержне, который совершает гармонические колебания (рис. 4.33). В любой точке М на поверхности воды (рис. 4.34) будут складываться колебания, вызванные двумя волнами (от источников и О^. Амплитуды колебаний, вызванных в точке М обеими волнами, будут, вообще говоря, отличаться, так как волны проходят различные пути d-^ и d2- Но если расстояние I между источниками много меньше этих путей (Z t^) от момента излучения сигнала первым кораблем. Считая дно горизонтальным и скорость звука в воде равной и, определите глубину моря Н. 15. Скорость звука в стержне из дюралюминия v = 5,1 • 10® м/с. Плотность дюралюминия р = 2,7 • 10® кг/м®. Определите модуль Юнга. Глава 5 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Электромагнитные колебания могут распространяться в пространстве с течением времени благодаря тому, что электромагнитное поле обладает еще одним важным свойством, о котором пока не было сказано. Это свойство открыто великим английским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом. §5.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ И ПЕРЕМЕННЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЯМИ Колебания заряда и силы тока в колебательном контуре сопровождаются колебаниями напряженности электрического поля и магнитной индукции в окружающем контур пространстве. Подобно механическим колебаниям в среде (газе, жидкости, твердом теле), распространяющимся в пространстве с течением времени, колебания электромагнитного поля тоже распространяются в пространстве. Только это происходит не в какой-либо среде, а в вакууме. Среда влияет на распространение колебаний, но не является необходимой для их существования. 220 о симметрии Мы уже знаем, что в явлении электромагнитной индукции Максвелл усмотрел порождение вихревого электрического поля переменным магнитным полем. Следующий и уже последний шаг в открытии основных свойств электромагнитного поля был им сделан без какой-либо опоры на эксперимент. Точно неизвестно, какими соображениями руководствовался при этом Максвелл. Это могли быть те же самые соображения, которые заставили строителей Аничкова моста в Санкт-Петербурге поставить фигуры укрощаемых лошадей по обе стороны дороги; те же соображения, которые не позволяют вам перегружать вещами одну половину комнаты за счет другой. Это не что иное, как соображения симметрии, но только симметрии не в узком геометрическом смысле, а понимаемой более широко. Свойства симметрии глубоко заложены в природе, и, по-видимому, именно поэтому симметрия воспринимается нами как необходимая гармония окружающего мира. В электромагнитных явлениях, конечно, речь идет не о той внешней красоте и изяществе, которая может быть присуща тому, что мы наблюдаем непосредственно с помощью органов чувств. Здесь речь может идти о внутренней стройности, гармоничности и единстве, которую открывает природа перед человеком, стремящимся постичь ее изначальные законы. Чувствуя эту гармонию в природе, человек, естественно, стремится усмотреть ее и там, где факты пока еще не демонстрируют ее с полной наглядностью. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля Переменное магнитное поле порождает электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями. При изменении со време- —> нем магнитной индукции В возникает электрическое поле, линии напряженности которого охватывают линии магнитной индукции (рис. 5.1, а). Чем быстрее меняется магнитная индукция, тем больше напряженность электрического поля. При возрастании магнитной индукции /АБ I At > направление 221 в напряженности образует левый винт с направлением вектора В. Итак, магнитное поле порождает электрическое. Не существует ли в природе обратного процесса, когда переменное электрическое поле, в свою очередь, порождает магнитное? Это предположение, диктуемое соображениями симметрии, составляет основу гипотезы Максвелла. Максвелл допустил, что такого рода процесс реально происходит в природе. Во всех случаях, когда электрическое поле изменяется со временем, оно порождает магнитное поле. Линии магнитной индукции этого поля охватывают линии напряженности электрического поля (рис. 5.1, б) подобию тому, как линии напряженности электрического поля охватывают линии индукции переменного магнитного поля. Но только при возрастании напряженности электрического поля ^ направление вектора индукции В возникающего магнитного поля образует правый винт с направлением век- тора Е. Глубокий смысл замены левого винта в явлении электромагнитной индукции правым мы выясним в дальнейшем. (Если, напротив, магнитное поле убывает, то линии напряженности Е образуют правый винт с линиями индукции В, а при ослаблении электрического поля линии индукции В образуют левый винт с линиями напряженности Е.) Утверждение Максвелла некоторое время оставалось не чем иным, как гипотезой. Причем гипотезой, которую мы сейчас с полным правом можем назвать гениальной. Ее справед- 222 ливость была доказана экспериментальным обнаружением электромагнитных волн. Электромагнитные волны существуют только потому, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле, которое, в свою очередь, порождает магнитное поле и т. д. Ток смещения Переменное электрическое поле в пустоте или внутри диэлектрика было названо Максвеллом током смещения. Название «ток» было применено потому, что это поле порождает магнитное поле точно так же, как обычный ток. Добавка «смещения», с одной стороны, говорит нам, что это не обычный ток, а нечто специфическое, а с другой стороны, напоминает о том отдаленном времени, когда с изменением электрического поля в вакууме связывалось смещение частиц гипотетической среды — эфира. После введения представлений о токе смещения появилась возможность любой электрический ток рассматривать как замкнутый. Так, например, в колебательном контуре ток проводимости в катушке (упорядоченное движение электронов) сменяется током смещения между обкладками конденсатора (изменяющимся со временем электрическим полем, рис. 5.2). Причем переменное электрическое поле создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, равный току в катушке. Сейчас может показаться, что в гипотезе Максвелла нет ничего необычного. Не мог ли ее высказать любой ученый? Нет1 Не надо забывать, что сама возможность гипотезы о возникновении магнитного поля при изменении электрического появилась лишь после объяснения электромагнитной индукции на основе представлений о поле. И это в то время, когда боль- 223 шинство известных ученых вообще не придавали самому понятию поля сколько-нибудь серьезного значения и когда до момента экспериментального доказательства его существования оставалось еще несколько десятков лет. Максвелл не только высказал гипотезу, но и сформулировал точный количественный закон, определяющий значение магнитной индукции в зависимости от скорости изменения напряженности электрического поля (ток смещения, по Максвеллу, пропорционален скорости изменения напряженности электрического поля)*. Можно только изумляться той исключительной последовательности и настойчивости, той уверенности в справедливости своих идей, которые проявил Максвелл при формулировке законов электромагнитного поля. Уже с самого начала, когда Максвелл занялся электродинамикой после успешной работы в области молекулярно-кинетической теории строения вещества, он сразу решил читать только экспериментальные работы и не читать теоретических, чтобы ничего предвзятого не возникало в суждениях о законах этих явлений. Такой способ действия оказался удивительно плодотворным и помог Максвеллу выработать собственную цельную точку зрения на электромагнитные процессы**. Максвелл смело положил в основу теории объект, экспериментальное существование которого не было доказано,^— поле. И далее, идя шаг за шагом, опираясь на установленные опытным путем закономерности (законы Кулона, Ампера, Био—Савара—Лапласа и закон электромагнитной индукции Фарадея), он пришел к конечной цели. Гипотеза о токах смещения была последним принципиальным звеном. Здесь Максвелл наделил гипотетический объект новым гипотетическим свойством, не имея на то, в отличие от предыдущих случаев, прямых экспериментальных указаний. * Надо отметить, что без введения понятия тока смещения система уравнений Максвелла для электромагнитного поля не удовлетворяла бы закону сохранения заряда. ** Вряд ли такой способ может быть рекомендован сейчас для всеобщего употребления. Во-первых, в то время происходило рождение совершенно новой науки — электродинамики. Рождение нового на месте, где раньше была пустота. И во-вторых, не каждый человек, к сожалению, Максвелл. 224 § 5.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ После открытия взаимосвязи между электрическим и магнитным полями стало ясно, что эти поля не существуют обособленно, независимо одно от другого. Зависимость характеристик электрического и магнитного полей от системы отсчета Нельзя создать переменное магнитное поле без того, чтобы одновременно в пространстве не возникло и электрическое поле. И наоборот, переменное электрическое поле не может существовать без магнитного. Правда, покоящийся заряд создает только электрическое поле (рис. 5.3). Но ведь заряд покоится лишь относительно определенной системы отсчета. Относительно других систем отсчета он будет двигаться и, следовательно, создавать и магнитное поле (рис. 5.4). Точно так же лежащий на столе магнит создает только магнитное поле. Но движущийся относительно него наблюдатель обнаружит и электрическое поле в полном соответствии с явлением электромагнитной индукции. Значит, утверждение, что в данной точке пространства существует только электрическое или только магнитное поле, бессмысленно, если не указать, по отношению к какой системе отсчета эти поля рассматриваются. Отсутствие электрического поля в системе отсчета, содержащей покоящийся маг- Рис. 5.3 Рис. 5.4 225 нит, совсем не означает, что электрического поля нет вообще. По отношению к любой движущейся относительно магнита системе отсчета это поле может быть обнаружено. Подобно тому как меняется окраска окружающего нас пейзажа, если рассматривать его сквозь различные цветные стекла (светофильтры), меняются количественные характеристики полей при переходе от одной системы отсчета к другой. Подобно тому как синие предметы становятся на черном фоне невидимыми, если их рассматривать через красное стекло, подходящим выбором системы отсчета мы можем в ряде случаев сделать ненаблюдаемыми магнитное поле или поле электрическое. Разница в одном, но очень важном обстоятельстве. Мы можем отбросить цветные стекла и сказать: вот истинные цвета пейзажа, вот каков он в действительности! С полным правом один из светофильтров (атмосферу) можно объявить привилегированным. Сделать же это с системой отсчета нельзя. Все инерциальные системы отсчета имеют совершенно одинаковые права на существование. Поэтому нет какой-то особой конфигурации полей, имеющих абсолютную значимость, независимую от системы отсчета. На основании сказанного можно сделать вывод: электрические и магнитные поля — проявление единого целого: электромагнитного поля. В зависимости от того, в какой системе отсчета рассматриваются электромагнитные процессы, проявляются те или иные стороны этого единого целого. Как передаются электромагнитные взаимодействия? Фундаментальные законы природы, к числу которых относятся открытые Максвеллом законы электромагнетизма, замечательны в следующем отношении: они могут дать гораздо больше, чем заключено в тех фактах, на основе которых они получены. Если бы каждый закон содержал в себе лишь те факты, из которых он выведен, то законов было бы столько же, сколько явлений природы. Вместо современной науки мы имели бы необозримое скопление сведений о наблюдаемых в природе процессах, но ничего не могли бы предсказать. Среди бесчисленных, очень интересных и важных следствий, вытекающих из максвелловских законов электромагнитного поля, одно заслуживает особого внимания. Это вывод 226 о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий. Согласно теории дальнодействия кулоновская сила, действующая на электрический заряд, сразу же изменится, если соседний заряд сдвинуть с места. Действие передается мгновенно. С точки зрения действия на расстоянии иначе быть не может. Ведь один заряд непосредственно через пустоту «чувствует» присутствие другого. По Максвеллу же дело обстоит совершенно иначе и много сложнее. Перемещение заряда меняет электрическое поле вблизи него. Это переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле в соседних областях пространства. Переменное магнитное поле, в свою очередь, порождает переменное электрическое поле и т. д. Причем возникающее вихревое магнитное или вихревое электрическое поле гасит поле в тех областях пространства, где оно уже имелось, но захватывает новые области пространства (рис. 5.5)*. Перемещение заряда вызывает, таким образом, «всплеск» электромагнитного поля, который, распространяясь, охватывает все большие и большие области окружающего пространства, перестраивая по дороге то поле, которое существовало до смещения заряда. Наконец, этот «всплеск» достигает второго заряда, что и приводит к изменению действующей на него силы. Но произойдет это не в тот момент времени, когда произошло смещение первого заряда. Процесс распространения электромагнитного возмущения, механизм которого был вскрыт Максвеллом, протекает с конечной, хотя и очень большой, скоростью. Максвелл чисто математически показал, что скорость распространения этого процесса равна скорости света в пустоте — Все происходит по тем правилам определения направления напряженности и магнитной индукции полей, о которых говорилось. Если бы напряженности и индукции полей были направлены иначе, то это привело бы к нарушению закона сохранения энергии. Созданное в пространстве магнитное поле нарастало бы со временем, распространяясь во все стороны. 227 300 000 км/с. Вот новое фундаментальное свойство поля, которое делает его, наконец, осязаемой реальностью. Можно поставить в принципе опыт по измерению времени распространения возмущения между двумя зарядами. Практически, правда, подобный опыт трудно осуществить, так как очень велика скорость. Конечность скорости передачи электромагнитных взаимодействий была установлена по-другому. § 5.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА Представьте себе, что электрический заряд не просто сместился из одной точки в другую, а приведен в быстрые колебания вдоль некоторой прямой, так что он движется подобно грузу, подвешенному на пружине, но только много быстрее. Тогда электрическое поле в непосредственной близости от заряда начнет периодически изменяться. Период этих изменений, очевидно, равен периоду колебаний заряда. Переменное электрическое поле будет порождать периодически меняющееся магнитное поле, а последнее, в свою очередь, вызовет появление переменного электрического поля уже на большем расстоянии от заряда и т. д. В окружающем заряд пространстве, захватывая bcq^ большие и большие области, возникает система периодически иэменяю-щихся электрических и магнитных полей. На рисунке 5.6 изображен «моментальный снимок» такой системы полей. Образуется так называемая электромагнитная волна, бегущая по всем направлениям от колеблющегося заряда. В каждой точке 228 пространства электрические и магнитные поля меняются во времени периодически. Чем дальше расположена точка от заряда, тем позднее достигнут ее колебания полей. Следовательно, на разных расстояниях от заряда колебания происходят с различными фазами. Электромагнитные волны излучаются колеблющимися зарядами. При этом существенно, что скорость движения таких зарядов меняется со временем, т. е. что они движутся с ускорением. Наличие ускорения — главное условие излучения электромагнитных волн. Электромагнитное поле излучается заметным образом не только при колебаниях заряда, но и при любом быстром изменении его скорости, причем интенсивность излученной волны тем больше, чем больше ускорение, с которым движется заряд. Векторы Е и В в электромагнитной волне перпендикулярны друг другу и перпендикулярны направлению распространения волны. Электромагнитная волна является поперечной. Если вращать буравчик с правой нарезкой от вектора Е к вектору В, то поступательное перемещение буравчика будет совпадать с вектором скорости волны V. Максвелл был глубоко убежден в реальности электромагнитных волн, но он не дожил до их экспериментального обнаружения. Лишь через 10 лет после его смерти электромагнитные волны были экспериментально получены Герцем. ? 1. В системе отсчета, движущейся со скоростью упорядоченного перемещения электронов в проводнике, электроны покоятся. Почему же и в этой системе на проводник будет действовать со стороны магнитного поля сила Ампера? 2. Можно ли выбрать такую систему отсчета, в которой индукция магнитного поля, созданного проводником с током, равнялась бы нулю? 3. Возникнет ли электромагнитная волна, если скорость изменения напряженности электрического поля в некоторой области пространства постоянна МВ const ? 229 § 5.4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Электромагнитная волна образуется благодаря взаимной связи переменных электрических и магнитных полей: изменение одного поля приводит к появлению другого. Чем быстрее меняется со временем магнитная индукция, тем больше напряженность возникающего электрического поля. И в свою очередь, чем быстрее меняется напряженность электрического поля, тем больше магнитная индукция. Следовательно, для образования интенсивных электромагнитных волн необходимо создать электромагнитные колебания достаточно высокой частоты. При этом условии напряженность электрического поля Е и индукция магнитного поля В будут меняться быстро. Вибратор Герца Колебания высокой частоты, значительно превышающей частоту промышленного тока (50 Гц), можно получить с помощью колебательного контура. Частота колебаний cOq = будет тем больше, чем меньше индуктивность и емкость контура. ' Однако большая частота электромагнитных колебаний еще не гарантирует интенсивного излучения электромагнитных волн. В своих опытах для получения электромагнитных волн Герц использовал простое устройство, называемое сейчас вибратором Герца. Это устройство представляет собой открытый колебательный контур. Обычный колебательный контур, какой изображен на рисунке 5.7, а (его можно назвать закрытым), не приспособлен для излучения электромагнитных волн. а) в) Рис. 5.7 230 Дело в том, что его переменное электрическое поле сосредоточено преимущественно в очень малой области пространства между обкладками конденсатора, а магнитное — внутри катушки. Чтобы излучение электромагнитных волн было достаточно интенсивным, область переменного электромагнитного поля должна быть велика и не огорожена металлическими пластинами. Здесь имеется сходство с излучением звуковых волн. Колеблющаяся струна или камертон без резонаторного ящика почти не излучают, так как в этом случае колебания воздуха возбуждаются в очень малой области пространства, непосредственно примыкающей к струне или ветвям камертона. Область, в которой создается переменное электрическое поле, увеличивается, если раздвигать пластины конденсатора. Емкость при этом уменьшается. Одновременное уменьшение площади пластин еще больше уменьшит емкость (рис. 5.7, б). Уменьшение же емкости увеличит собственную частоту этого колебательного контура. Для еще большего увеличения частоты нужно заменить катушку прямым проводом без витков. Индуктивность прямого провода гораздо меньше индуктивности катушки. Продолжая раздвигать пластины и уменьшая одновременно их размеры, мы придем к открытому колебательному контуру. Это просто прямой провод (рис. 5.7, в). В открытом контуре заряды не сосредоточены на концах, а распределены по всему проводнику. Ток в данный момент времени во всех сечениях проводника направлен в одну и ту же сторону, но сила тока не одинакова в различных сечениях проводника. На концах она равна нулю, а посредине достигает максимума. (Напомним, что в обычных цепях переменного тока сила тока во всех сечениях в данный момент времени одинакова.) Для возбуждения колебаний в таком контуре нужно провод разрезать посредине так, чтобы остался небольшой воздушный промежуток, называемый искровым (рис. 5.8, а). Благодаря этому промежутку можно зарядить оба проводника до высокой разности потенциалов. Когда разность потенциалов превысит некоторое предельное значение, проскакивает искра, цепь замыкается и в открытом контуре возникают колебания вин-(рис. 5.8, б). Из-за малой емкости и индуктивности частота колебаний очень велика. Колебания, разумеет- а) «) Рис. 5.8 231 ся, будут затухающими по двум причинам: во-первых, вследствие нгшичия у вибратора активного сопротивления, которое особенно велико в искровом промежутке; во-вторых, из-за того, что вибратор излучает электромагнитные волны и теряет при этом энергию. После того как колебания прекратятся, источник вновь заряжает оба проводника до наступления пробоя искрового промежутка и все повторяется сначала (рис. 5.9). В настоящее время для получения незатухающих колебаний в открытом колебательном контуре его связывают индуктивно с колебательным контуром генератора на транзисторе или лампового генератора. Опыты Герца 'г Герц получгш электромагнитные волны, возбуждая в вибраторе с помощью источника высокого напряжения серию импульсов быстропеременного тока. Колебания электрических зарядов в вибраторе создают электромагнитную волну. Только колебания в вибраторе совершает не одна заряженная частица, а огромное число электронов, движущихся согласованно. В электромагнитной волне векторы Е w. В перпендикулярны друг другу, причем вектор Е лежит в плоскости, проходящей через вибратор, а вектор В перпендикулярен этой плоскости. На рисунке 5.10 показаны линии напряженности электрического и индукции магнитного полей вокруг вибратора в фиксированный момент времени: в горизонтальной плоскости расположены линии индукции магнитного поля, а в вертикальной — линии напряженности электрического поля. Излучение волн происходит с максимальной интенсивностью в на- 232 правлении, перпендикулярном оси вибратора*. Вдоль оси излучения не происходит. Электромагнитные волны регистрировались Герцем с помощью приемного вибратора, представляющего собой такое же устройство, как и излучающий вибратор. Под действием переменного электрического поля электромагнитной волны в приемном вибраторе возбуждаются колебания тока. Если собственная частота приемного вибратора совпадает с частотой электромагнитной волны, наблюдается резонанс и колебания в приемном вибраторе происходят с большой амплитудой. Герц обнаруживал их, наблюдая искорки в очень маленьком промежутке между проводниками приемного вибратора. * Сопоставьте графическое изображение электромагнитной волны на рисунках 5.10 и 5.6. 233 Герц Генрих (1857—1894) — немецкий физик, впервые экспериментально доказавший в 1886 г. существование электромагнитных волн. Исследуя электромагнитные волны, Герц установил тождественность основных свойств электромагнитных и световых волн. Работы Герца послужили экспериментальным доказательством справедливости теории электромагнитного поля и, в частности, электромагнитной теории света. Уравнения Максвелла в современной форме были записаны Герцем. В 1886 г. Герц впервые наблюдал фотоэффект. Герц не только получил электромагнитные волны, но и обнаружил, что они ведут себя подобно другим видам волн. В частности, он наблюдал отражение электромагнитных волн от металлического листа и интерференцию волн. При сложении волны, идущей от вибратора, с волной, отраженной от металлического листа, образуется стоячая волна. Перемещая приемный вибратор, можно найти положение пучностей стоячей волны и определить длину волны. Длина волны равна удвоенному расстоянию между пучностями. Скорость распространения электромагнитных волн В опытах Герца длина волны составляла несколько десятков сантиметров. Вычислив собственную частоту электромагнитных колебаний вибратора. Герц смог определить скорость электромагнитной волны по формуле v = Xv. Она оказалась равной скорости света с = 300 000 км/с. Опыты Герца блестяще подтвердили теоретические предсказания Максвелла. § 5.5. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Теория излучения электромагнитных волн вибратором. основанная на уравнениях Максвелла, была создана Г. Герцем. Сам Максвелл только доказал, что его система уравнений допускает решение в форме электромагнитных волн. 234 Последовательная теория излучения электромагнитных волн очень сложна. Мы ограничимся изложением упрощенного вывода основной формулы излучения, связывающей напряженность электрического поля и индукцию магнитного поля электромагнитной волны с ускорением электрического заряда. Этот вывод был предложен Дж. Дж. Томсоном. Напряженность электрического поля заряда, движущегося с ускорением Рассмотрим электрический заряд q, движущийся с постоянной скоростью и с вдоль прямой MN. В некоторый момент времени заряд начинает тормозиться и за очень малое время х останавливается в точке О (рис. 5.11) в момент времени tQ = 0. Когда заряд движется с постоянной скоростью, его «сопровождает» электрическое поле, силовые линии которого представляют собой прямые, начинающиеся на заряде. Одна из таких линий ОС, составляющая угол 0 с направлением движения заряда, изображена на рисунке 5.11. При торможении заряда силовые линии начинают деформироваться, так как электромагнитные взаимодействия распространяются с конечной скоростью с, и удаленные участки силовых линий при торможении заряда сразу не меняются и продолжают перемещаться так, как если бы заряд двигался по-прежнему равномерно. В результате ускорения силовые линии возле заряда изгибаются, и этот изгиб со скоростью с перемещается вдоль силовой линии. При остановке заряда его кулоновское поле восстанавливается вначале в окрестности заряда, а затем постепенно во всем окружающем пространстве. На рисунке 5.12 представлена примерная форма силовой линии в различные моменты времени. Рис. 5.12 235 Если заряд останавливается спустя время т после начала торможения, то за время t - х его кулоновское поле восстанавливается внутри сферы радиусом c{t - т). На рисунке 5.11 показана силовая линия ОА внутри этой сферы. Вне сферы радиусом г = ct силовые линии еще не успевают деформироваться. В момент времени t силовая линия изображена отрезком В'С'. Такое положение силовая линия имела бы, если бы торможения не происходило. Заряд за это время сместился бы относительно точки, где началось торможение, на отрезок v(t + т). Будем считать t^x. Тогда это расстояние примерно равнялось бы vt = ОО' (см. рис. 5.11). Силовая линия имела бы форму луча О'С'. Изгиб силовой линии АВ' означает появление у ускоренно движущегося заряда составляющей напряженности электрического поля, перпендикулярной радиусу, соединяющему данную точку поля с зарядом. Это и есть вихревое электрическое поле электромагнитной волны. Вычислим напряженность этого (поперечного) поля. Направление силовой линии на участке АВ' совпадает с направлением напряженности Е электрического поля (рис. 5.13). Эту напряженность можно рассматривать как сумму двух векторов; напряженности кулоновского поля, направленной по радиусу от заряда, и напряженности Е^ поперечного поля электромагнитной волны: Е = Е^ + Ё^. Модуль напряженности кулоновского поля в точке В равен (в системе Гаусса): (5.5.1) г Вследствие того, что v с и х мало, дугу ВВ' можно рассматривать как отрезок прямой (см. рис. 5.11). Прямоугольный треугольник векторов напряженностей Е^, Е^ и АВВ' (см. (5.5.2) Е подобен треугольнику рис. 5.13). Следовательно, Е, АВ ■ Согласно построению (см. рис. 5.11, 5.13) АВ = сх, а ВВ' = DB' sin 0 = ОО' vr sin Q = vt sin 0 = — sin 0, c где r — радиус сферы OB. 236 с учетом этих соотношений и выражения (5.5,1) из уравнения (5.5.2) получим; в * Т С г ^ sin 0. (5.5.3) Отношение “ = « представляет собой модуль ускорения заряда при торможении. Следовательно, окончательно выражение для напряженности вихревого электрического поля электромагнитной волны в системе Гаусса будет иметь вид: Е. ■ а Sin 0. С Г (5.5.4) Полученное выражение совершенно справедливо и вытекает из уравнений Максвелла при скорости движения о с. Оно оказывается правильным для всех случаев ускоренного движения заряда, а не только при торможении*. Любое ускорение заряда сопровождается излучением электромагнитной волны. Возникает естественный вопрос: как же удалось получить правильный общий результат, не учитывая ни порождения электрического поля магнитным, ни обратного процесса порождения магнитного поля переменным электрическим полем? На самом деле эти процессы неявно были учтены. В наших рассуждениях было принято, что электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью с. Этот факт не был нами теоретически обоснован. Он является следствием уравнений Максвелла и вытекает из существования упомянутых выше процессов. Большим недостатком данного упрощенного рассмотрения является то, что с его помощью нельзя получить значение другой характеристики поля — магнитной индукции. Оказывается, что магнитная индукция волны определяется такой же формулой, что и напряженность электрического поля: sin 0. с г Вектор направлен перпендикулярно вектору Е^. (5.5.5) Отметим, что напряженность вихревого поля волны на расстоянии г от излз^чающей частицы определяется ускорением в более ран- г с ■ ний момент времени t ■■ 237 Взаимодействие посредством электромагнитных волн Самым замечательным в формулах (5.5.4) и (5.5.5) является медленность убывания напряженности электрического поля и индукции магнитного поля электромагнитной волны с расстоянием. Напряженность кулоновского поля и индукция магнитного поля постоянных токов убывают с расстоянием 1 т;г как ~2 . И при этом кулоновские и магнитные силы считаются г дальнодействующими подобно гравитационным. Напряженность электрического поля и индукция магнитного поля, пропорциональные ускорению зарядов, убывают в пространстве пропорционально ^! Это крайне медленное убывание. Все другие силы убывают с расстоянием гораздо быстрее. Вот почему электромагнитные поля, излучаемые даже сравнительно маломощной радиостанцией, могут быть обнаружены на расстояниях в тысячи километров, в то время как стационарные поля на таких расстояниях уже никак не проявляются. § 5.6. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ Плотность энергии излучения Формулы (5.5.4) и (5.5.5) для модулей Е иВ* позволяют определить плотность энергии электромагнитного излучения. Плотность энергии электрического поля в системе Гаусса равна (в вакууме): (6.6.1) Плотность энергии магнитного поля определяется аналогичной формулой: гг. — 8л^ • (5.6.2) Мы не ставим индекс «в» у векторов £ и В, так как здесь и далее имеется в виду только электромагнитное поле волны. 238 \Полная плотность энергии электромагнитной волны w = w + + w^, или, учитывая выражения (5.5.4) и (5.5.5), W 2 2 . 2„ q а зш 0 А 4 2' 4лс г (5.6.3) Плотность потока излучения От заряженных частиц, движущихся ускоренно, излучение распространяется во все стороны. Наряду с плотностью энергии вводят еще одну энергетическую характеристику излучения: плотность потока электромагнитного излучения. Плотностью потока электромагнитного излучения I называют отношение электромагнитной энергии W, прошедшей за время At через перпендикулярную к направлению распространения волны поверхность площадью S, к произведению площади S на время At: 1 = SAt' (5.6.4) _L vi cAt Рис. 5.14 Плотность потока излучения простым образом связана с плотностью энергии электромагнитной волны. Выберем поверхность площадью S, перпендикулярную лучам, и построим на ней как на основании цилиндр с образующей cAt (рис. 5.14). Объем цилиндра AV = ScAt. Энергия электромагнитного поля внутри цилиндра равна произведению плотности энергии на объем: W = wScAt. (5.6.5) Вся эта энергия за время At пройдет через правое основание цилиндра. Поэтому из (5.6.4) получаем , wScAt SAt = cw. (5.6.6) т. е. плотность потока излучения равна произведению плотности энергии на скорость ее распространения. Плотность потока излучения в среднем за период представляет собой мощность излучения, проходящего через единичную площадку. Иногда ее называют интенсивностью излучения. Эта величина с учетом выражения (5.6.3) равна: 239 2 2 т _ q sin 0 -* on* . 3 2 4nc r (5.6.7) Плотность потока излучения по мере удаления от источника убывает как ^ . Согласно закону сохранения энергии так и г должно быть. Если окружить излучающие заряды сферической поверхностью, то полный поток излучения через эту поверхность не должен зависеть от ее радиуса. Мы ведь рассматриваем излучение в вакууме, где поглощения энергии не происходит. Но площадь сферы пропорциональна квадрату ее радиуса. Поэтому плотность потока излучения (т. е. мощность, приходящаяся на единицу площади) должна быть обратно пропорциональна квадрату радиуса. Диаграмма направленности излучения Мы рассматривали излучение заряда, движущегося прямолинейно. Интенсивность излучения оказывается зависящей от угла 0 между направлением распространения излучения и направлением ускорения движущегося заряда (см. рис. 5.11). В направлении движения (0 = 0) излучения не происходит совсем. В направлении, перпендикулярном движению ^0 ^ интенсивность излучения максимальна. Распределение интенсивности излучения под различными углами удобно характеризовать диаграммой направленности. Она строится так: из точки, где находится заряд, проводятся направленные отрезки, длины которых пропорциональны интенсивности излучения, т. е. sin^ 0 (рис. 5.15). Получается кривая, напоминающая восьмерку. Это и есть диаграмма направленности. Подобную диаграмму направленности имеет прямолинейная антенна радиопередатчика. Зависимость плотности потока излучения от частоты Формулы (5.5.4) и (5.5.5) для Е и В, а также выражения (5.5.3) и (5.5.7) для плотности энергии и плотности потока излучения справедливы не только для ускоренного движения Рис. 5.15 240 (при торможении, но и для любого ускоренного движения. В частности, и для заряда, совершающего гармонические колебания с частотой (0. Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально квадрату частоты колебаний. Следовательно, согласно (5.5.4) и (5.5.5) Е ~ (£)^ VI В ~ ю^. Поэтому плотность потока излучения пропорциональна четвертой степени частоты. При увеличении частоты колебаний всего лишь в два раза излучаемая энергия возрастает в 16 раз. Вот почему при колебаниях низкой частоты излучения практически не происходит. Так, промышленные переменные токи частотой 50 Гц практически не излучают. В антеннах передающих радиостанций приходится возбуждать колебания с частотами от десятков тысяч до десятков миллионов герц. Бегущая сферическая волна От заряда, совершающего гармонические колебания, распространяется сферическая волна. Амплитуда этой волны 1 ^ убывает как - . Векторы Е и В в волне перпендикулярны друг другу (см. § 5.3, в котором рассматривалась плоская волна) и составляют правый винт с направлением распространения волны. В любой точке на расстоянии г от заряда происходят гармонические колебания напряженности электрического поля и магнитной индукции. Фазы колебаний Е и В зависят от г. Как и в случае механических волн, уравнение бегущей сферической волны для напряженности электрического поля имеет вид: Е = Е_ sin in (5.6.8) Но в отличие от плоской волны* амплитуда напряженности электрического поля в волне убывает с расстоянием ^Е^ ~ г)' Фаза колебаний магнитной индукции совпадает с фазой колебаний напряженности Е: В = В^ sin . (5.6.9) На больших расстояниях от источника участок сферической волны размером I ^ г можно рассматривать как участок плоской волны. 241 Этот факт вытекает из уравнений Максвелла, но пояснить его наглядно весьма затруднительно. Суть дела в том, что скорость изменения напряженности Е (или индукции В) со временем определяет не модуль В (или, соответственно, Е), а то, насколько быстро эти характеристики электромагнитного поля изменяются от точки к точке. Грубо говоря, производная по времени от Е (или В) должна быть пропорциональна произ-водной по координатам от В (или Е). Это возможно лишь при совпадении фаз колебаний Е и В в бегущей волне. Вблизи заряда, совершающего гармонические колебания, напряженность его кулоновского поля смещена по фазе отно- сительно магнитной индукции В на g • Ведь Е^ - q, & В ~ I — q'. Вблизи заряда напряженность кулоновского поля значительно превосходит напряженность вихревого электрического поля электромагнитной волны из-за того, что выражение (5.5.4) для Е^ содержит малый множитель . Но вдали от заряда ку- с лоновское поле становится пренебрежимо малым по сравнению с поперечным полем волны, так как его напряженность убывает как . Практически остается только поперечное по-г ле электромагнитной волны. § 5.7. СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Современные радиотехнические устройства позволяют провести наглядные опыты по наблюдению свойств электромагнитных волн. При этом лучше всего пользоваться волнами сантиметрового диапазона. Эти волны излучаются специальным генератором сверхвысокой частоты (СВЧ). Гармонические колебания генератора изменяют (модулируют) в такт с колебаниями звуковой частоты*. Принятый сигнал после преобразования (детектирования) подается на громкоговоритель. *0 модуляции и детектировании колебаний будет рассказано в § 5.10И 5.11. 242 Электромагнитные волны излучаются рупорной антенной в направлении оси рупора. Приемная антенна в виде такого же рупора улавливает волны, которые распространяются вдоль его оси. Общий вид установки изображен на рисунке 5.16. Поглощение электромагнитных волн Рупоры располагают друг против друга и, добившись хорошей слышимости звука в громкоговорителе, помещают между рупорами различные диэлектрические тела. При этом наблюдается уменьшение громкости. Отражение электромагнитных волн Если вместо диэлектрика между рупорами поместить металлический лист, то звук перестанет быть слышимым. Электромагнитные волны не достигают приемника вследствие отражения. Отражение происходит под углом, равным углу падения, как и в случае механических волн (см. § 4.19). Чтобы убедиться в этом, рупоры располагают под одинаковыми углами к металлическому листу (рис. 5.17). Звук исчезает, если убрать лист или повернуть его. 243 Преломление электромагнитных волн Электромагнитные волны изменяют свое направление (преломляются) на границе диэлектрика. Это можно обнаружить с помощью большой треугольной призмы из парафина или другого диэлектрика. Рупоры располагают под углом друг к другу, как и при демонстрации отражения. Металлический лист заменяют призмой (рис. 5.18). Убирая призму или поворачивая ее, наблюдают исчезновение звука. Поперечность электромагнитных волн Электромагнитные волны — это поперечные волны. Векторы Е VL В электромагнитного поля волны перпендикулярны к направлению ее распространения. Колебания напряженности электрического поля волны, выходящей из рупора, происходят в определенной плоскости, а колебания вектора магнитной индукции — в плоскости, ей перпендикулярной. Волны с определенным направлением колебаний называются поляризованными. На рисунке 5.6 изображена именно поляризованная волна. Приемный рупор принимает только поляризованную в определенном направлении волну. Это можно обнаружить, повернув передающий или приемный рупор на 90° относительно оси рупора. Звук при этом исчезает. Поляризацию наблюдают, помещая между генератором и приемником решетку из параллельных металлических проволочек (рис. 5.19). Решетку располагают так, чтобы проволочки были горизонтальными или вертикальными. При одном из этих положений, когда электрический вектор параллелен проволочкам, в них возбуждаются токи, в результате чего решетка отражает волны подобно сплошному металлическому листу. 244 Когда же вектор Е перпендикулярен проволочкам, то токи в них не возбуждаются, и электромагнитная волна проходит. Интерференция электромагнитных волн На опытах с генератором СВЧ можно наблюдать такое важнейшее волновое явление, как интерференция. Генератор и приемник располагают друг против друга (рис. 5.20). Затем подводят снизу металлический лист в горизонтальном положении. Постепенно поднимая лист, обнаруживают поочередное ослабление и усиление звука. Явление объясняется следующим образом. Волна из рупора генератора частично попадает непосредственно в приемный рупор. Другая же ее часть отражается от металлического листа. Меняя расположение листа, мы изменяем разность хода прямой и отраженной волн. Вследствие этого волны либо усиливают, либо ослабляют друг друга в зависимости от того, равна ли разность хода целому числу волн или нечетному числу полуволн. Можно наблюдать также дифракцию электромагнитных волн. 'Ш L Рис. 5.20 1. Передающий и приемный вибраторы Герца расположены взаимно перпендикулярно. Возникнут ли колебания в приемном вибраторе? 245 2. Почему технический переменный ток почти не излучает электромагнитных волн? 3. В опытах с электромагнитными волнами отверстие излучающего рупора закрыли металлическими пластинами, оставив только небольшую щель. После этого звук стал слышен даже при расположении рупоров под углом друг к другу. Почему? § 5.8. ИЗОБРЕТЕНИЕ РАДИО А. С. ПОПОВЫМ Опыты Герца, описание которых появилось в 1888 г., заинтересовали физиков всего мира. Мысль об использовании электромагнитных волн возникла сразу же у многих ученых. Герц скептически относился к возможности беспроволочной телефонной связи. По его мнению, сравнительно медленные электрические колебания акустических частот не могут быть переданы на большие расстояния. Длина электромагнитных волн таких колебаний равна сотням километров. Спустя несколько десятков лет задача радиотелефонной связи была решена методом модуляции высокочастотных колебаний. Об этом мы расскажем в дальнейшем. В России одним из первых занялся изучением пе"редачи электромагнитных волн преподаватель офицерских минных курсов в Кронштадте Александр Степанович Попов. Начав с воспроизведения опытов Герца, он затем нашел способ передачи электромагнитных сигналов на большие расстояния. Как создавать электромагнитные волны, было известно со времен Герца. Увеличить интенсивность излучаемых волн можно было путем повышения мощности разряда. Главная проблема состояла в увеличении чувствительности приемника волн. Маленькая искорка в приемном вибраторе Герца не была пригодна для реализации идеи беспроволочной связи. За пять лет до изобретения Попова французский физик Э. Бранли нашел более чувствительный и надежный способ регистрации электромагнитных волн, чем искровой промежуток вибратора Герца. Созданный им прибор Бранли назвал когерером*. ‘ От латинского слова cohaerens — находящийся в связи. 246 Попов Александр Степанович (1859— 1906) — русский физик, изобретатель радио. Убежденный в возможности связи без проводов при помощи электромагнитных волн, Попов построил первый в мире радиоприемник, применив в его схеме чувствительный элемент — когерер. Во время опытов по радиосвязи с помощью приборов Попова было впервые обнаружено отражение радиоволн от кораблей. Когерер представляет собой стеклянную трубку с двумя электродами. В трубке находятся мелкие металлические опилки. Действие прибора основано на влиянии электрических разрядов на металлические порошки. В обычных условиях когерер обладает большим сопротивлением, так как опилки имеют плохой контакт друг с другом. Пришедшая электромагнитная волна создает в когерере переменный ток высокой частоты. Между опилками проскакивают мельчайшие искорки, которые «спекают» их. В результате сопротивление когерера резко падает (в опытах А. С. Попова с 100 000 до 1000— 500 Ом, т. е. в 100—200 раз). Фактически когерер — это очень чувствительное реле, позволяюш;ее высокочастотному сигналу замкнуть цепь местной батареи. Однако после срабатывания когерер утрачивает способность принимать новые сигналы. Необходимо вернуть ему большое сопротивление. Для этого когерер надо встряхнуть. Чтобы обеспечить автоматичность приема, необходимую для осущ;ествления беспроволочной связи, А. С. Попов использовал звонковое устройство для встряхивания когерера после приема сигнала. Цепь электрического звонка замыкалась с помош;ью специального электромагнитного реле. Это реле было включено в цепь когерера и срабатывало в момент прихода электромагнитной волны. С окончанием приема сигнала работа звонка сразу же прекращалась, так как молоточек звонка ударял не только по звонковой чашке, но и по когереру. С последним встряхиванием когерера электромагнитное реле отключало 247 Звонок Рис. 5.21 звонок, и аппарат был готов к приему следующей волны. Схема приемника Попова приведена на рисунке 5.21. Чтобы повысить чувствительность аппарата, А. С. Попов один из выводов когерера заземлил, а другой присоединил к высоко поднятому куску проволоки, создав тем самым приемную антенну. Заземление превращает проводящую поверхность земли в часть открытого колебательного контура, что увеличивает дальность приема. Хотя современные радиоприемники очень мало напоминают приемник А. С. Попова, основные принципы их действия те же, что и в его приборе. Современный приемник тоже имеет антенну, в которой приходящая волна вызывает слабые электрические колебания. Как и в приемнике Попова, энергия этих колебаний не используется непосредственно для приема. Слабые сигналы лишь управляют источником энергии, питающим последующие цепи. Сейчас такое управление осуществляется с помощью полупроводниковых приборов. 7 мая 1895 г. на заседании Русского физико-химшхеского общества в Петербурге А. С. Попов продемонстрировал действие своего прибора, явившегося, по сути дела, первым в мире радиоприемником. День 7 мая стал днем рождения радио. Ныне он ежегодно отмечается в нашей стране. А. С. Попов продолжал настойчиво совершенствовать приемную и передающую аппаратуру. Он ставил своей задачей построить прибор для передачи сигналов на большие расстояния. Вначале радиосвязь была установлена на расстоянии 250 м. Неустанно работая над своим изобретением, Попов вскоре добился дальности связи более 600 м. Затем на маневрах Черноморского флота в 1899 г. ученый установил радиосвязь на расстоянии свыше 20 км, а в 1906 г. дальность радиосвязи была уже 150 км. Первоначально прогресс в увеличении дальности достигался с помощью увеличения высоты приемных антенн. Важную роль в этом сыграла также новая конструкция передатчика. Искровой промежуток был размещен в колебательном контуре, индуктивно связанном с передающей антенной и настроенном с ней в резонанс. Существенно изменились и сно- 248 собы регистрации сигнала. Параллельно звонку был включен телеграфный аппарат, позволивший вести автоматическую запись сигналов. В 1899 г. была обнаружена возможность приема сигналов с помощью телефона. В начале 1900 г. радиосвязь была успешно использована во время спасательных работ в Финском заливе. За границей усовершенствование подобных приборов проводилось фирмой, организованной итальянским инженером Г. Маркони. Опыты, поставленные в широком масштабе, позволили осуществить радиотелеграфную передачу через Атлантический океан. § 5.9. ПРИНЦИПЫ РАДИОСВЯЗИ Радиосвязь — это передача и прием информации посредством электромагнитных волн в широком диапазоне частот — от 3 • 10^ до 3'10^^ Гц. Схема радиосвязи изображена на рисунке 5.22, а, б. На передающей станции генератор высокочастотных колебаний возбуждает в антенне вынужденные колебания. Для увеличения интенсивности этих колебаний частота генератора выбирается равной одной из собственных частот колебаний антенны. Излучаемые передающей антенной электромагнитные волны распространяются во все стороны и достигают антенны приемной станции (рис. 5.22, б). Под действием переменного электромагнитного поля волны электроны в приемной антенне приходят в движение. В антенне возникает переменный ток высокой частоты. Для того чтобы антенна не влияла на резонансную частоту приемного контура, этот контур вынесен из цепи антенны и связан с ней индуктивно. Приемный контур выделяет из S ч Ф н § а) Рис. 5.22 б) 249 Рис. 5.23 всех частот, возбужденных в антенне, только колебания, частота которых равна собственной частоте контура. Важнейшим этапом в развитии радиосвязи было изобретение американским радиоинженером Де Форестом (1873—1961) в 1906 г. электронной лампы — триода. На основе триода был создан в 1913 г. ламповый генератор незатухающих электрических колебаний. Благодаря этому, кроме передачи телеграфных сигналов, состоящих из коротких и более продолжительных импульсов электромагнитных волн, т. е. «точек» и «тире» азбуки Морзе (рис. 5.23), стала возможной надежная и высококачественная радиотелефонная связь — передача речи или музыки с помощью электромагнитных волн. Радиотелефонная связь При радиотелефонной связи колебания давления воздуха в звуковой волне преобразуются с помощью микрофона в электрические колебания той же формы. Казалось бы, достаточно усилить эти колебания, подать в антенну, и передач^^ на расстоянии речи и музыки с помощью электромагнитных волн будет осуществлена. Однако в действительности такой простой способ передачи неосуществим. Дело здесь вот в чем. Колебания звуковой частоты — это медленные колебания. Энергия же, излучаемая в единицу времени, пропорциональна четвертой степени частоты (см. § 5.6). Поэтому электромагнитные волны низкой частоты практически не излучаются. Возникает проблемная ситуация. Высокочастотные волны интенсивно излучаются, но не несут с собой необходимой информации. Напротив, электрические колебания звуковой частоты такую информацию несут, но электромагнитные волны таких частот не излучаются. Модуляция колебаний Из этого положения был найден весьма остроумный выход. Он состоит в том, что для передачи используются высокочас- 250 тотные колебания, вырабатываемые генератором (рис. 5.24, а). Колебания же низкой (звуковой) частоты (рис. 5.24, б) применяют лишь для изменения высокочастотных колебаний или, как говорят, для их модуляции*. Модуляцией электромагнитной волны называется изменение ее характеристик (амплитуды, частоты или фазы) при помош,и колебаний с частотами, значительно меньшими частоты самой электромагнитной волны. Соответственно различаются амплитудная (рис. 5.24, в), частотная (рис. 5.24, г) и фазовая (рис. 5.24, 5) модуляции колебаний. Частота исходной (немо-дулированной) волны называется несущей частотой, а частота изменения характеристик волны при модуляции — частотой модуляции. Модуляция — медленный процесс. Это такой процесс изменений в высокочастотной колебательной системе, при котором она успевает совершить очень много своих высокочастотных колебаний, прежде чем модулируемая характеристика изменится сколько-нибудь заметным образом. Без модуляции нет никакой передачи — ни телеграфной, ни телефонной, ни телевизионной. В лучшем случае можно лишь констатировать, работает станция или нет. От латинского слова modulatio — мерность, размеренность. 251 Рис. 5.25 Детектирование В радиоприемнике из модулированных колебаний высокой частоты, после их усиления, получают низкочастотные колебания. Такой процесс преобразования называется детектированием* или демодуляцией. Полученный в результате детектирования низкочастотный сигнал соответствует тому звуковому сигналу, который действовал на микрофон передатчика. После усиления электрические колебания низкой частоты могут быть преобразованы в акустические колебания или использованы для других целей. На рисунке 5.25 показана блок-схема радиовещательного тракта. §5.10. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ ' Мы ограничимся рассмотрением наиболее простого типа модуляции — амплитудной модуляции. Как осуществляется амплитудная модуляция Для осуществления амплитудной модуляции можно использовать схему, изображенную на рисунке 5.26**. Эта схема состоит из генератора на транзисторе (нижний большой пунктирный прямоугольник), к которому добавлен модулятор (верхний пунктирный прямоугольник). В простейшем случае * От латинского слова detectio — обнаружение. ** В этой схеме модулирующее напряжение подается на базу транзистора. В других схемах модулирующее напряжение может подаваться на цепь коллектора. 252 L2 1 1 1 , , 1 с L X 1 --Н ) 1 Рис. 5.26 модулятор состоит из микрофона и источника тока, соединенных последовательно с первичной обмоткой Ы трансформатора. Вторичная обмотка трансформатора L2 присоединена параллельно к конденсатору С контура в цепи базы транзистора. Конденсатор С имеет малое сопротивление для переменного тока высокой частоты, текущего по обмотке катушки обратной связи L. Вторичная обмотка трансформатора L2 имеет большое индуктивное сопротивление. Поэтому переменные токи высокой частоты, вырабатываемые генератором, проходят через конденсатор С, не ответвляясь в цепь микрофона модулятора. В результате генератор работает так же, как и в отсутствие модулирующей цепи. Если микрофон отключен, то генератор вырабатывает гармонические колебания: ij =/даО (5.10.1) где со — несущая частота, а I^q — постоянная амплитуда колебаний. График этих колебаний представлен на рисунке 5.27, а. При включенном микрофоне звуковые волны возбуждают в его цепи электрические токи низкой частоты. Для этих токов конденсатор обладает большим сопротивлением. Поэтому переменное напряжение, создаваемое на концах обмотки L2 трансформатора, оказывается целиком приложенным к участку цепи база—эмиттер. Медленные колебания этого напряжения приводят к медленному изменению амплитуды высокочастотных колебаний в цепи контура генератора. 253 Модуляция гармоническими колебаниями звуковой частоты Рассмотрим простой случай, когда модулирующие колебания в цепи микрофона являются гармоническими и происходят с частотой Q (рис. 5.27, б). Тогда амплитуда колебаний в контуре генератора будет периодически меняться с частотой Q, и ее можно записать в форме = (5.10.2) Коэффициент k называется глубиной модуляции; при /е = 0 модуляция отсутствует. Максимальные значения амплитуды ко- Рис. 5.27 254 лебаний силы тока в контуре = I^q(^ + k), а. минимальные значения равны = /^(,(1 - k). Поэтому глубина модуляции й = ■^тах -^шт (5.10.3) Глубина модуляции определяется амплитудой колебаний силы тока в цепи модулятора. Изменение силы тока в контуре генератора с течением времени в соответствии с выражением (5.10.2) запишется так: i2 = I^q(1 + k зшШ) sin (dt. (5.10.4) Так как частота модуляции £1 10 000 Длинные 3.1q4 _ 3 • 10® 10 000—1000 Средние 3 • 10® — 3 • 10® 1000—100 Короткие 3 • 10® — 3 • 10^ 100—10 Ультракороткие: метровые 3 - 1q7 _ 3 • 10® 10—1 дециметровые 3 • 10® — 3 • 10® 1—0,1 сантиметровые 3 • 10® — 3 • 104® 0,1—0,01 миллиметровые 3 ■ 101° — 3 • 10“ 0,01—0,001 При использовании электромагнитных волн для радиосвязи как источник, так и приемник радиоволн чаще всего располагают вблизи земной поверхности. Ее форма и физические свойства, а также состояние атмосферы сильно влияют на распространение радиоволн. Особенно существенное влияние на распространение радиоволн оказывают слои ионизированного газа в верхних частях атмосферы на высоте 100—300 км над поверхностью Земли. Эти слои называют ионосферой. Ионизация воздуха верхних 264 Ионосфера Рис. 5.39 слоев атмосферы вызывается электромагнитным излучением Солнца и потоком заряженных частиц, испускаемых Солнцем. Проводящая электрический ток ионосфера отражает радиоволны с длиной волны Я. > 10 м, как обычная металлическая пластина. Но способность ионосферы отражать и поглощать радиоволны существенно меняется в зависимости от времени суток и времен года*. Устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами на земной поверхности вне прямой видимости оказывается возможной благодаря отражению волн от ионосферы и способности радиоволн огибать выпуклую земную поверхность (т. е. дифракции). Дифракция выражена тем сильнее, чем больше длина волны. Поэтому радиосвязь на больших расстояниях за счет огибания волнами Земли оказывается возможной лишь при длинах волн, значительно превышающих 100 м {средние и длинные волны). Короткие волны (Я < 100 м) распространяются на большие расстояния только за счет многократных отражений от ионосферы и поверхности Земли (рис. 5.39). Именно с помощью коротких волн можно осуществить радиосвязь на любых расстояниях между радиостанциями на Земле. Длинные радиоволны для этой цели менее пригодны из-за значительного поглощения поверхностными слоями Земли и ионосферой. Все же наиболее надежная радиосвязь на ограни- * Именно поэтому радиосвязь, особенно в диапазоне средних длин волн (100—1000 м), гораздо надежнее ночью и в зимнее время. 265 ченных расстояниях при достаточной мощности передающей радиостанции обеспечивается на длинных волнах. Ультракороткие радиоволны (А, < 10 м) проникают сквозь ионосферу и почти не огибают поверхность Земли. Поэтому они используются для радиосвязи между пунктами в пределах прямой видимости, а также для связи с космическими кораблями. § 5.15. РАДИОЛОКАЦИЯ Радиолокация — обнаружение и точное определение положения объектов {самолетов в воздухе, кораблей, айсбергов в море и т. п.) с помощью радиоволн — является еще одним примером практического применения электромагнитных волн. Радиолокация основана на явлении отражения радиоволн от различных объектов. Практически заметное отражение радиоволн от тех или иных объектов возможно лишь в том случае, когда линейные размеры этих объектов превышают длину электромагнитной волны. Поэтому радиолокационные станции работают исключительно в диапазоне СВЧ (10®—10^^ Гц). Кроме того, для поиска объектов в радиолокации применяют остро направленный пучок электромагнитных волн, что практически возможно тоже только с очень короткими волнами. Для получения остро направленного излучения дециметровых и более коротких волн используют антенны в виде вогнутых (параболических) металлических зеркал, в фокусе которых расположен излучающий диполь. Для более длинных волн конструируют сложные антенны, состоящие из многих определенным образом расположенных вибраторов. При этом острая направленность излучения получается вследствие интерференции волн. Антенна устроена так, что волны, посланные каждым из вибраторов, при сложении взаимно усиливают друг друга лишь в заданном направлении. В остальных направлениях при сложении волн происходит полное или частичное их взаимное гашение. Отраженная волна улавливается той же излучающей антенной. Ярко выраженная направленность излучения позволяет говорить о «луче» радиолокатора. Направление на объект и определяется как направление луча в момент приема отраженного сигнала. 266 Рис. 5.40 Радиолокаторы представляют собой установки импульсного действия. Передатчик излучает волны кратковременными импульсами (рис. 5.40). Длительность каждого импульса т составляет миллионные доли секунды, а промежуток между импульсами Т примерно в 1000 раз больше. Отметим, что средняя мощность генератора оказывается совсем небольшой по сравнению с мощностью в импульсе. Так, при т = 10~® с, Т = 10“^ с и мощности в импульсе = = 300 кВт средняя мощность генератора равна: Рг = 3 10^ Вт 10 ^ с 10“^ с = 300 Вт. Принцип действия радиолокатора Современная радиолокационная станция представляет собой очень сложное радиотехническое устройство. В самых общих чертах работу простейшей радиолокационной станции можно объяснить при помощи блок-схемы, изображенной на рисунке 5.41. Рис. 5.41 267 Рис. 5.42 В момент отправления передатчиком импульса антенный переключатель переключает антенну на режим «передача». Одновременно с посылкой импульса подается кратковременный сигнал на вертикально отклоняющие пластины индикатора (электронно-лучевой трубки) и равномерно нарастающее пилообразное напряжение на горизонтально отклоняющие пластины этой трубки. Вследствие этого на экране появляется всплеск около нулевой отметки шкалы дальности (рис. 5.42). Электронный луч за промежуток времени между импульсами под воздействием пилообразного напряжения равномерно движется по экрану индикатора. После отправления импульса антенный переключатель соединяет антенну с приемником. Отраженный от препятствия сигнал принимается антенной, многократно усиливается^ и подается на вертикально отклоняющие пластины той же трубки. Получается вторичный вертикальный всплеск на определенном расстоянии от первого. Зная скорость движения электронного луча в трубке, можно определить время t прохождения радиоволн от антенны до цели и обратно. Так как скорость радиоволн с = 3 • 10® м/с в атмосфере практически постоянна, то расстояние по лучу от антенны до цели R 2 Расстояние между всплесками на экране индикатора пропорционально времени t прохождения сигнала и, следовательно, пропорционально расстоянию R до цели. Это позволяет проградуировать шкалу непосредственно в километрах. Для определения направления на искомый объект антенна делается подвижной и способной поворачиваться в любом направлении. Зная ориентацию антенны во время обнаружения цели, определяют координаты цели. Изменение с течением времени этих координат дает возможность определить скорость цели и рассчитать ее траекторию. * Вследствие рассеяния радиоволн до приемника доходит лишь ничтожная часть той энергии, которую излучает передатчик. Поэтому приемники радиолокаторов усиливают принятый сигнал в миллионы миллионов (10^^) раз. 268 Применение радиолокации В настоящее время радиолокация находит себе различные применения, и прежде всего, для нужд обороны страны: обнаружение ракет, самолетов и кораблей, орудийная наводка и др. Дальность действия современных радиолокаторов достигает нескольких сотен километров. На их работу мало влияют условия погоды и время суток. Радиолокационные установки имеют очень важные мирные «профессии». В больших аэропортах локаторы следят за взлетающими и идущими на посадку самолетами. Наземная служба передает по радио пилотам необходимые указания и таким образом обеспечивает безопасность полетов. Корабли и самолеты также снабжены радиолокаторами, служащими для навигационных целей. Такие локаторы создают на экране картину расположения объектов, рассеивающих радиоволны. Оператор имеет перед глазами радиолокационную карту местности. Радиолокация широко используется в астрономии и в исследовании космического пространства. С помощью локаторов наблюдают метеоры в верхних слоях атмосферы. Локаторы применяются службой погоды для наблюдения за облаками. Каждый космический корабль обязательно имеет на борту несколько радиолокаторов. В 1946 г. в США и Венгрии был осуществлен эксперимент по приему сигнала, отраженного от поверхности Луны. В 1961 г. отечественными учеными произведена радиолокация планеты Венера, что позволило оценить период вращения планеты вокруг своей оси, длительное время остававшийся неизвестным. Осуществлена радиолокация Марса, Меркурия и Юпитера (на расстоянии около 600 млн км). §5.16. ПОНЯТИЕ О ТЕЛЕВИДЕНИИ В настоящее время бурно развивается одна из областей радиоэлектроники — телевидение. Тысячи телевизионных станций регулярно ведут передачи, которые смотрят сотни миллионов зрителей. Но передача движущихся изображений не ограничивается телевизионным вещанием. Телевидение находит себе разнообразные применения в различных отраслях народного хозяйства и в научных исследованиях. Особенно велика роль телевидения для наблюдения процессов и явлений, происходящих в недоступных, неудобных или удаленных местах. 269 Общая схема телевизионного вещания подобна схеме обычного радиовещания (см. рис. 5.25). Однако в телевизионном передатчике наряду с сигналом звукового сопровождения создается еще видеосигнал (сигнал изображения) со своей несущей частотой. Колебания с этой несущей частотой модулируются сигналом изображения, поступающим от особых передающих электронно-лучевых трубок (иконоскопов, видико-нов или суперотиконов). В модулированный видеосигнал входят также сигналы для синхронизации развертки электронного луча в приемной электронно-лучевой трубке (кинескопе), на экране которой возникает изображение. Образование видеосигнала Для передачи изображения любого предмета необходимо яркость каждого отдельного его элемента преобразовать в пропорциональные электрические сигналы. Для этого с помощью оптической системы изображение проецируется на чувствительный к свету мозаичный экран передающей телевизионной трубки — иконоскопа (рис. 5.43)*. Каждая ячейка мозаики заряжена, и ее заряд зависит от падающей на ячейку световой энергии. Этот заряд меняется при попадании на ячейку электронного пучка, создаваемого электронной пушкой. Электронный пучок последовательно попадает на все элементы одной строчки мозаики, затем другой и т. д. От того, насколько №ль-но меняется заряд ячейки, зависит сила тока импульса в резисторе R. Поэтому напряжение на резисторе изменяется пропорционально изменению освещенности вдоль строк кадра. Усиленные колебания (видеосигнал) подводятся к передатчику и модулируют излучаемые им электромагнитные волны. Передача движущегося изображения происходит так же, как в кино, последовательной передачей отдельных кадров. За секунду передается п = 25 кадров (так принято в нашей стране и в странах Европы). Порядок развертки кадров соответствует порядку чтения по строкам слева направо и от строки к строке сверху вниз**. Формат кадра (отношение ширины * Сейчас применяются более совершенные передаюпд;ие трубки, но принцип передачи легче всего понять, рассматривая работу иконоскопа. ** По ряду причин оказалось удобнее передавать 50 полукадров в секунду. За первую 1/50 с передаются все нечетные строки, а за последующую 1/50 с — все четные. 270 к высоте) А: = g . Элементом кадра является квадрат со стороной, равной ширине строки. Если кадр содержит z строк, то обш;ее число элементов в кадре = Inz"^. В нашей стране число строк 2 = 625 и число элементов в кадре N ~ 450 000. Такое большое количество независимых элементов необходимо для того, чтобы увидеть как можно больше подробностей, мелких деталей изображения. Телевизионный приемник В телевизионном приемнике принятый антенной высокочастотный сигнал усиливается и разделяется на три части: сигнал изображения (видеосигнал), звуковое сопровождение и сигнал управления. Эти сигналы после усиления поступают в свои тракты и используются по назначению. Видеосигнал детектируется и преобразуется в изображение на экране приемной электронно-лучевой трубки — кинескопа. Электронная пушка кинескопа снабжена электродом, управляющим числом электронов в пучке, и, следовательно, свечением экрана в месте попадания луча. На этот электрод и подается усиленный детектированный видеосигнал. Сигналы управления синхронизируют работу генераторов, осуществляющих развертку электронного пучка по горизонтали (вдоль строк) и перебрасывающих его с одной строки на 271 другую. На экране приемника электронный луч «рисует» ту же картину, которая располагалась перед объективом иконоскопа. Сигнал звукового сопровождения детектируется как в обычном радиоприемнике. Ширина телевизионного сигнала, несущего очень большую информацию, достигает 6 МГц. Из-за этого в качестве несущих частот в телевидении используют высокие частоты от 50 до 900 МГц, что соответствует длинам волн от б м до 30 см. Такие волны распространяются лишь в пределах прямой видимости антенны (см. § 5.14). Поэтому для охвата телевизионным вещанием большой территории необходимо размещать телепередатчики чаще и поднимать их антенны на большую высоту. Останкинская телевизионная башня в Москве высотой 540 м обеспечивает уверенный прием телепередач в радиусе 120 км. В настоящее время телевизионная сеть нашей страны насчитывает около 7000 вещательных станций. Их передачи принимают около 100 миллионов телевизоров, в том числе 20 миллионов цветных. Зона уверенного приема телевидения непрерывно увеличивается, особенно благодаря использованию ретрансляционных спутников. Цветное телевидение С начала 50-х гг. XX в. началась разработка и внедрение цветного телевидения. В нашей стране регулярное цветное телевизионное вещание началось с 1 октября 1967 г. При передаче цветного изображения сигнал представляет собой сумму трех сигналов в основных цветах: красном, зеленом и синем. Для приема цветного изображения наибольшее распространение получила система, в которой используется один кинескоп с теневой маской. Прием цветного изображения основан на свойстве нашего глаза суммировать цвета не только тогда, когда разноцветные лучи попадают в одну точку экрана, но и когда близко расположенные точки светятся различными цветами. В масочном кинескопе внутренняя сферическая поверхность экрана покрыта люминофором красного, зеленого и синего свечения. Люминофоры наносят очень маленькими кружками (пятнами), сгруппированными по три на расстоянии около 0,3 мм друг от друга. В трубке размером 59 см по диагонали наносится около 2 млн пятен. На некотором расстоянии от экрана параллельно ему расположена цветоделительная 272 маска-диск с отверстиями, каждое из которых находится точно против центра группы из трех пятен, В трубке кинескопа цветного телевизора имеется три электронных пушки (электронных прожектора), создающих три электронных пучка. Интенсивность каждого из пучков управляется детектированным видеосигналом одного из трех основных цветов. Три пучка движутся синхронно таким образом, что одновременно проходят через одно из отверстий маски и попадают на три пятна, вызывая свечение всех трех люминофоров. Каждый из лучей порознь позволяет получить на экране изображение красного, зеленого и синего цветов. Все вместе они дают цветное изображение. § 5.17. РАЗВИТИЕ СРЕДСТВ СВЯЗИ В нашей стране создается Единая автоматизированная система связи. Для этого непрерывно развиваются, совершенствуются и находят новые области применения различные технические средства связи. Еще недавно междугородная телефонная связь осуществлялась исключительно по воздушным линиям связи, чувствительным к грозам и обледенению проводов. В настоящее время все шире применяются кабельные и радиорелейные линии, повышается уровень автоматизации междугородней связи. Радиорелейные линии связи используют ультракороткие (дециметровые и сантиметровые) волны. Эти волны распространяются в пределах прямой видимости. Поэтому линии состоят из цепочки маломощных радиостанций, каждая из которых передает сигналы к соседней как бы по эстафете. Такие станции имеют мачты высотой 60—80 м, находящиеся на расстоянии 40—60 км друг от друга. Достижения в области радиорелейных и кабельных линий не решают всех проблем связи. Например, радиорелейная линия Москва—Владивосток потребовала бы 150 наземных станций, а кабельная линия — тысячи километров дорогостоящего кабеля и сотни усилительных пунктов. Успехи в области космической радиосвязи позволили создать новую систему связи, названную «Орбита». В этой систе- 273 ме используются ретрансляционные спутники связи. Спутники связи серии «Молния» запускаются на сильно вытянутые орбиты (рис. 5.44). Период их обрап^ения составляет около 12 ч. Созданы мопдные и надежные системы, обеспечивающие телевизионным вещанием районы Сибири и Дальнего Востока и позволяющие осуществить телефонно-телеграфную связь с отдаленными районами нашей страны. Новые спутники связи серии «Радуга» запускаются на орбиту радиусом около 36 000 км. На этой орбите период обращения спутника равен 24 ч, и поэтому спутник все время находится над одной и той же точкой поверхности Земли. Совершенствуются и находят новые применения и такие сравнительно старые средства связи, как телеграф и фототелеграф. О размахе, который получила передача неподвижных изображений по фототелеграфу, можно судить по таким цифрам: в год по фототелеграфу передаются десятки тысяч газетных полос, с которых печатаются сотни миллионов экземпляров газет. Телевидение охватывает почти все населенные пункты нашей страны. Недалеко то время, когда телевидение станет всемирным. Рис. 5.44 ? 1. Имеются ли существенные различия между условиями распространения радиоволн на Земле и на Луне? 2. На рисунке 5.45 изображена приемная антенна телевизора. Что можно сказать об ориентации колебаний вектора магнитной индукции волны, идущей из телецентра? 3. Почему увеличение дальности радиосвязи с космическими кораблями в 2 раза требует увеличения мощности передатчика в 4 раза, а увеличение дальности радиолокации в 2 ра- 274 за требует увеличения мощности передатчика в 16 раз? Излучатель радиоволн считать точечным и поглощением энергии средой пренебречь. УПРАЖНЕНИЕ 5 1. На какую длину волны настроен колебательный контур, если он состоит из катушки, индуктивность которой L = 2 • 10“^ Гн, и плоского конденсатора? Расстояние между пластинами конденсатора d = 1 см, диэлектрическая проницаемость вещества, заполнившего пространство между пластинами, £ = 11 и площадь пластин S = 800 см^. 2. Катушка индуктивностью L = 3 • 10“® Гн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин S = 100 cм^. Расстояние между пластинами конденсатора d = 0,1мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками конденсатора, если контур настроен на длину волны X— 750 м? 3. Емкость конденсатора колебательного контура приемника равна С. На какую длину волны настроен контур приемника, если отношение максимального значения напряжения на конденсаторе к максимальному значению силы тока в катушке контура при резонансе равно k7 4. Контур радиоприемника настроен на радиостанцию, частота которой Vj = 9 МГц. Как нужно изменить емкость переменного конденсатора колебательного контура приемника, чтобы он был настроен на длину волны Х.2 = 50 м? 5. Изменение силы тока в антенне радиопередатчика происходит по закону i = 0,3 sin (1,57 • 10®^) (все величины выражены в единицах СИ). Найдите длину излучаемой электромагнитной волны. 6. Определите длину электромагнитной волны и скорость ее распространения в бензоле, если частота колебаний в нем v = 4,5 • 10^^ Гц. Диэлектрическая проницаемость бензола е = 2,28. Рис. 5.45 275 А® ®В 7. Вибратор, имеющий длину I = 0,5 м, погружен в сосуд с керосином (е = 2). Чему равна на выходе из сосуда длина электромагнитной волны, излученной данным вибратором? 8. Радиостанция передает звуковой сигнал частотой 440 Гц (тон «ля») для настройки музыкальных инструментов. Определите число колебаний высокой частоты, переносящих одно колебание звуковой частоты, если передатчик работает на волне длиной 50 м. 9. Антенна телевизора (пункт С, рис. 5.46) наряду с волной, идущей непосредственно от передающей станции (пункт А), принимает волну, отраженную от железной крыши здания (пункт В). Вследствие этого изображение двоится. На сколько сдвинуты изображения друг относительно друга, если АС = ВС = 4 км и АВ = 3 км? Ширина экрана телевизора i = 50 см. Ю.Найдите глубину разведки по поверхности моря каждого из радиолокаторов корабля, если один из них расположен на высоте 8 м над уровнем моря, второй — на высоте 15 м, а третий — на высоте 25 м. 11. Радиолокатор работает в импульсном режиме. Продолжительность импульса 10“® с, импульсы следуют ЮОО'фаз в секунду. Определите наибольшую и наименьшую дальность обнаружения цели таким радиолокатором. 12. Высота излучающей антенны телевизора над уровнем Земли 500 м, а высота приемной антенны телевизионного приемника 10 м. На каком предельном расстоянии от передатчика можно вести прием? О С Рис. 5.46 Ответы к упражнениям Упражнение 1 1. х = 2,5 • 10“^ м; = 0,11 м/с; = -0,17 м/с^. 2. Увеличится. 3. Увеличится приблизительно в 1,000093 раза. 4. Период колебаний математического маятника равен 1 Т = 2% где g' ~g - а — ускорение свободного падения в не- Ng инерциальной системе отсчета, связанной с вагоном. ^ I 2 2 Модуль вектора g' равен g' = >Jg + а . Следовательно, 5. а) Т = 2л Т = 2л ; б) Т = 2л J, 2 , 2 g + а g- а 6. Увеличится в /1 + — раз. а/ mg ^ 7. Период увеличится в 2 раза. 8. Т = 2л ail ai i"‘-2 + aig) . ,2 I fTt-tL-i I fTlnCn 9. 7’ = 2л ' * ^ ^ ^ 10. Г = 2л 11. Г = лг г я + ХблЕдЛ т пг^тг 2Qo9 12. Тело достигнет центра Земли за время Здесь Д = 6400 км — радиус Земли. 13. л: = 2,8 • 10-2 + 277 Упражнение 2 ^т2^^тХ 2- = ^Jfe=0,lA. 3.V J_ 2тг Id - 2,4 МГц. 4. Частота собственных колебаний контура определяется формулой Томсона ^ 0)= ~^= . Jlc а) Если в катушке находится медный сердечник, то при периодических изменениях магнитного поля катушки в нем возникнут индукционные токи (токи Фуко), магнитное поле которых будет ослаблять магнитное поле катушки. Это приведет к уменьшению индуктивности катушки и, следовательно, к увеличению частоты. б) Если внести в катушку сердечник из феррита, то магнитное поле катушки увеличится. Соответственно увеличится индуктивность L катушки, а частота со уменьшится. 5. Без постоянного магнита было бы удвоение частоты колебаний. В этом случае при прохождении через катушку телефона синусоидального тока мембрана совершала бы два колебания за один период колебаний силы тока, так как зависимость от времени индукции В магнитного поля, создаваемого этим током, имела бы вид, показанный на рисунке 1, о, а сила притяжения мембраны не зависит от знака В. В присутствии постоянного магнита, создающ;его магнитную индукцию, превышающую максимальную индукцию поля тока, график результирующей индукции будет иметь вид, изображенный на рисунке 1, б. Поэтому теперь одно колебание тока будет соответствовать одному колебанию мембраны и удвоения частоты не произойдет. 6. Решение. Смещение элек- тронного луча под влиянием поданного напряжения вдоль вертикали “ t запишется так: Рис. 1 «) в О t ^ В/, О 278 ^ ^ 2^W " ЬсозШ (см. задачу 4 в § 3.21 курса «Электродинамика»). Вдоль горизонтали (ось Х) смещение луча ^ ^ 2dU ~ ф) = acos(cof - ф). Для получения уравнения траектории нужно исключить из полученных уравнений время. После несложных преобразований получим уравнение -----1-2---- о ' о 2£у аЬ cos ф = sin^ ф 2 2 а) Если ф = ф^ = 2,то^ =1. Это уравнение эллипса. б) Если ф = ф2 = л, тог/ = -^ лс,т.е. колебания происходят вдоль прямой (рис. 2), составляющей с осью Y угол а, опреде-ляемыи равенством tg а = ^. 7. m = = 7,1 • 10“3 кг = 7,1 г. (Здесь = 100 °С.) rl?j(l + 8. 0,09 Гн. 2Р 9. cos ф^ = , ф^ -36°. т 10. 250 Ом; 0,4 А; 60 В; 80 В; 53°. 11. а) Для схемы, изображенной на рисунке 2.39, а: 1,25 А; 150 В; 200 В; б) для схемы (см. рис. 2.39, б): 2,6 А; 2,1 А; 1,6 А. Соответствующие векторные диаграммы построены на рисунке 3, а, б. 279 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 12. 2,8 А; -58°; 50 мкФ; 5,3 А. 13. 7 А, 56 В, 105 В (для схемы рис. 2.40, а); 17 А, 8 А, 15 А (для схемы рис. 2.40, б). Векторная диаграмма построена на рисунке 4. 14. J = 11,1 А; = 10,3 А; /g 9,8 А; /д = 5,5 А. Векторная диаграмма изображена на рисунке 5. 15. С 2 COS (pj 2 ^ COS Ф2 = 470 мкФ. 2kvU^ ^=0^4)1 COSCP2 16. и = 150 В; векторная диаграмма построена на рисунке 6. М/М 17. 18. С. J 2 2„ 4л V С 0,25 В. 'X = 15 мкФ. 19. Ток одну катушку обтекает в направлении по часовой стрелке, а другую — против часовой стрелки, поэтому векторы индукции магнитных полей в катушках направлены противоположно. Следовательно, ЭДС, индуцируемые в катушках при их включении в качестве катушек обратной связи, имеют противоположные фазы. Вследствие этого потенциал на сетке лампы при включении каждой из катушек имеет противоположный знак. 20. Возникнут автоколебания. Упражнение 3 1. 1000, 750, 500, 300 об/мин; == 68 об/мин. 2. 465; 150. 3. ^2 = = 314 sin 314t (в единицах СИ); ~ 220 В. 4. В первом случае U^ = U-^, а. во втором — ^2~ (повышающий автотрансформатор). 280 с/, Uo 5. [/3 = - /2'’ = 16 В; л = = 3,2 Ом. 6. Второй. 7.155 В; -310 В; 155 В. 8. 3800 В; 6600 В. 9. При включении в сеть с напряжением 220 В — соединение треугольником, при включении в сеть с напряжением 380 В — соединение звездой. При включении двигателя в сеть с напряжением 220 В при соединении его обмоток звездой двигатель не будет развивать той мощности, на которую рассчитан. А при включении двигателя в сеть напряжением 380 В при соединении его обмоток треугольником двигатель будет развивать мощность больше расчетной. Обмотки его перегреются, и двигатель может выйти из строя. 10. Соединение клемм Л, В и С (или X, Y и Z) дает звезду (рис. 7, а). Соединение накоротко AZ, ВХ, CY дает треугольник (рис. 7, б). Сеть Сеть __ Предохранители о) Рис. 7 б) 281 11. Чтобы уменьшить силу тока в обмотке статора во время пуска двигателя. 12. Решение. Поток вектора магнитной индукции через рамку равен Ф = ВаЪ cos (со - Q)i. Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС, наводимая в рамке, равна: е = -Ф' = ВаЬ((й - Q) sin (со - Q)t. Следовательно, сила тока в рамке со временем изменяется по закону ВаЬ(а> - С1) . , „ I ------------ sm (со - li Отсюда амплитудное значение силы тока равно: J ВаЬ((й - О) Зависимость I от Q линейная. т 13. Решение. Момент сил, приложенных к рамке, равен: М = iBab sin (со - Q)f. Согласно решению задачи 12 ВаЬ((о - О) I = R sin (со - Q.)t. Следовательно, М: B^a^b^id) - O)sin^(co - Cl)t R Амплитудное значение момента М B^a^b^ico-Q.) ■т Л Подобная зависимость имеет место в асинхронных двигате- лях. 14. а) = 127 В, Кф = 26, = 26; б) = 73,3 В, Кф = 26, = 45; в) C/g = 220 В, Кф = 26, = 15; г) = 127 В, Кф = 26, = 26. 15. В первом случае 5,5%, во втором Р 0,055%. 16.Р„= (■. п 1^1 l/coscp ) >2 - R = R = 14 кВт. 282 и. AW„ 17 — = и ^l0,001Pt 18. 0,18 Ом. 19. 500 МВт. 3 (здесь i = 1 сут = 24 ч). Упражнение 4 1. v = = 812 Гц. 2. V = 100 Гц, V = 2090 м/с, Я, = 20,9 м, = 0,13 м/с. 2n(l2 - li) 3.v = ГАф 3,6 км/с. 4. S = -3,0 • 10“^ м. Знак минус означает, что точка сместилась в направлении, противоположном направлению движения вибратора в начальный момент времени. 5. V = где А = 1, 2, 3, ... . v = 50 Гц; 100 Гц; 150 Гц; ... . 6. Частота будет минимальной при условии, если длина стоячей волны максимальна. В трубе при этом укладывается четверть или половина длины волны. В открытой с одного конца трубе может уложиться четверть длины волны (Я^ = 41). У закрытого конца — узел смещений частиц воздуха, а у открытого — пучность. Следовательно, в двух других случаях в трубе укладывается половина длины волны: Я2 = Яд = 21. У открытой трубы на концах пучности, а у закрытой, наоборот, узлы смещений. Следовательно, ^2 = Vg= = 170 Гц. 7. Силу натяжения струны надо увеличить в 4 раза. Iv 8. V. = , 1 I - их 5100 м/с. 9. Решение. Длина волны в первом опыте Я^ = -, где п — число длин волн, укладывающихся на расстоянии I. Во 283 втором опыте До повышения температуры скорость VI звука была = —, а после повышения температуры 1^2 = V?l2 Vi гг Vi . Так как п= — , то п - 2 vlvi По = 2 vl - 2uj (1) Из условия задачи следует, что скорость звука изменяется с изменением температуры по линейному закону: 1^2 = i^i(l + otAT), (2) где _ 0,5 “ 330 ^ Сравнивая выражения (1) и (2), получим: Отсюда / = vir, =и,(1 + оАТ). 2^1(1 + аЛТ) = 450 м. vaAT 10. Учитывая закон преломления, получим: sincpi sintpg 1>2 а/йз’ 11. При распространении волн частота колебаний не изменяется при переходе из одной среды в другую, поэтому 1^1 = 2^2. X, и, 12. = - =4,35. 13. Если расстояние между источниками меньше половины длины волны, то ни в одной точке пространства разность хода не будет равна ^ и, следовательно, не будет полного гашения волн. 284 14. я = I Jtl - tf . 15. £ = py2 = 7,0* 10^° Па. Упражнение 5 _ , ^ ke„SL 1.X = 2kc ' ° 2350 m. 2. e = X^d 4n^C^£nLS -6. 3. X, = 2ncCk. C, /X,V- ч2 о 2 f ^2 ^1 4. ^ == ~ 2,25. Здесь — начальная, a C2 — новая емкость переменного конденсатора. 5. 1200 м. 6. i; = 4 = 2 • 10^ м/с. X = - = 4,4 • м. Je V Указание. Учесть, что при переходе из одной среды в другую частота колебаний электромагнитной волны не изменяется. 7. На вибраторе образуется стоячая волна, длина которой X = 2L В пустоте длина волны (как и скорость) больше в Je раз. Следовательно, в пустоте Х^ = 21^е. 8. 13 600. 9. Отраженная от крыши волна достигает приемной антен- ны с запаздыванием на х го луча вдоль экрана v АВ = 10 ® с. Скорость электронно- Z , где At с — время, в те- 25-625 чение которого луч прочерчивает одну строку. (Временем обратного хода луча пренебрегаем.) Смещение изображений Al = v%~ 7,8 см. 10. 10 км; 14 км; 18 км. 11. 150 км; 150 м. 12. 91 км. Оглавление Введение........................................ 3 Глава 1. Механические колебания.................... 5 §1.1. Классификация колебаний................... 5 § 1.2. Уравнение движения груза, подвешенного на пружине...................................... 9 § 1.3. Уравнение движения математического маятника........................................ 11 § 1.4. Гармонические колебания.................. 15 § 1.5. Период и частота гармонических колебаний .... 17 § 1.6. Фаза колебаний. Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий.....- • • ■ 20 § 1.7. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Превраш;ения энергии ............... 23 § 1.8. Затухаюш;ие колебания................... 26 § 1.9. Вынужденные колебания .................. 28 § 1.10. Резонанс............................... 35 § 1.11. Сложение гармонических колебаний. Спектр колебаний................................ 40 § 1.12. Автоколебания.......................... 44 § 1.13. Примеры решения задач.................. 47 Упражнение 1 ...................................... 53 Глава 2. Электрические колебания .................. 55 § 2.1. Свободные и вынужденные электрические колебания......................... 55 § 2.2. Процессы в колебательном контуре........ 58 § 2.3. Формула Томсона.......................... 61 § 2.4. Переменный электрический ток ............ 67 286 § 2.5. Действующие значения силы тока и напряжения..................................... 69 § 2.6. Резистор в цепи переменного тока.......... 72 § 2.7. Конденсатор в цепи переменного тока....... 73 § 2.8. Катушка индуктивности в цепи переменного тока ................................ 75 § 2.9. Закон Ома для электрической цепи переменного тока ............................... 78 § 2.10. Мощность в цепи переменного тока......... 82 § 2.11. Резонанс в электрической цепи............ 86 § 2.12. Ламповый генератор...................... 89 § 2.13. Генератор на транзисторе................. 93 § 2.14. Примеры решения задач................... 96 Упражнение 2 .......................................103 Глава 3. Производство, передача, распределение и использование электрической энергии...............107 § 3.1. Генерирование электрической энергии.......108 § 3.2. Генератор переменного тока ...............109 § 3.3. Трансформатор ............................112 § 3.4. Выпрямление переменного тока..............118 § 3.5. Трехфазный ток............................121 § 3.6. Соединение обмоток генератора трехфазного тока.............................................124 § 3.7. Соединение потребителей электрической энергии..........................................128 § 3.8. Асинхронный электродвигатель..............133 § 3.9. Трехфазный трансформатор .................140 § 3.10. Производство и использование электрической энергии..........................................140 § 3.11. Передача и распределение электрической энергии..........................................144 § 3.12. Эффективное использование электрической энергии..........................................148 § 3.13. Примеры решения задач....................149 Упражнение 3 .......................................154 Глава 4. Механические волны. Звук ..................158 § 4.1. Волновые явления..........................159 § 4.2. Поперечные волны..........................164 § 4.3. Длина волны. Скорость распространения волны ...........................................166 287 § 4.4. Продольные волны .......................168 § 4.5. Уравнение бегущей волны.................170 § 4.6. Стоячие волны...........................173 § 4.7. Стоячие волны как свободные колебания тел ... 177 § 4.8. Волны в среде ..........................180 § 4.9. Звуковые волны..........................184 § 4.10. Скорость звука.........................188 § 4.11. Музыкальные звуки и шумы. Громкость и высота звука.......................189 § 4.12. Тембр. Диапазоны звуковых частот ......192 § 4.13. Акустический резонанс..................194 § 4.14. Излучение звука .......................196 § 4.15. Инфразвук и ультразвук.................197 § 4.16. Интерференция волн.....................199 § 4.17. Принцип Гюйгенса. Закон отражения волн . . . 204 § 4.18. Преломление волн.......................207 § 4.19. Дифракция волн ........................209 § 4.20. Примеры решения задач..................211 Упражнение 4 .....................................217 Глава 5. Электромагнитные волны...................220 § 5.1. Связь между переменным электрическим и переменным магнитным полями..................220 § 5.2. Электромагнитное поле...................225 § 5.3. Электромагнитная волна......л...........228 § 5.4. Излучение электромагнитных волн ........230 § 5.5. Классическая теория излучения...........234 § 5.6. Энергия электромагнитной волны..........238 § 5.7. Свойства электромагнитных волн..........242 § 5.8. Изобретение радио А. С. Поповым ........246 § 5.9. Принципы радиосвязи.....................249 § 5.10. Амплитудная модуляция..................252 § 5.11. Детектирование колебаний...............257 § 5.12. Простейший радиоприемник...............259 § 5.13. Супергетеродинный приемник ............261 § 5.14. Распространение радиоволн .............264 § 5.15. Радиолокация ..........................266 § 5.16. Понятие о телевидении..................269 § 5.17. Развитие средств связи ................273 Упражнение 5 .....................................275 Ответы к упражнениям..............................277 288 D р о ф а ISBN 978-5-358-08118-5 785358 081185 й