Учебник Математика 6 класс Латотин Чеботаревский

Л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 6 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Допущено Министерством образования Республики Беларусь 4-е издание, исправленное и дополненное Минск «Народная асвета» 2014 Правообладатель Народная асвета УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27 Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной Рецензент доктор педагогических наук профессор кафедры математической кибернетики Белорусского государственного университета О. И. Мельников Латотин, Л. А. Л27 Математика : учеб. пособие для 6-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз. Л. В. Латотиной. — 4-е изд., испр. и доп. — Минск : Народная асвета, 2014. — 318 с. : ил. ISBN 978-985-03-2165-7. Предыдущее издание вышло в 2010 году. УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 ISBN 978-985-03-2165-7 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2003 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2014, с изменениями © Латотина Л. В., перевод на русский язык, 2014 © Оформление. УП «Народная асвета», 2014 Правообладатель Народная асвета Дорогие друзья! Вы продолжаете изучение математики. За год обучения в школе вам придется усвоить то, на открытие чего математикам понадобились столетия. Полученные вами знания позволят приблизиться к математике XVI—^XVII вв. Вам, как и раньше, понадобятся внимание, сообразительность, настойчивость и упорство, умение и привычка рассуждать, анализировать. Работая с учебным пособием, вы заметите, что математика не только интересна сама по себе, но и нужна для изучения других школьных предметов, для решения многих практических задач. Вы продолжите знакомство с такими понятиями, на которых будет основываться изучение школьных предметов естественнонаучного цикла. Ваши успехи в изучении математики в пятом и шестом классах будут содействовать в дальнейшем успешному изучению физики, химии, географии, других школьных предметов. В учебном пособии три раздела, разбитые на отдельные параграфы, в которых выделены смысловые блоки. Наиболее важное в параграфе выделено специальным шрифтом. Новые понятия выделяются жирным шрифтом. Правила, утверждения выделены жирным курсивом. На это вы должны обратить особое внимание. После объяснительного текста идут контрольные вопросы, помеченные знаком ^ . Они предназначены для проверки того, как вы разобрались в содержании объяснительного текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить, нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помощью попробовать ответить на этот вопрос. 3 Правообладатель Народная асвета Упражнения, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы. Упражнения в первой группе посвящены тем вопросам, которые обсуждались в объяснительном тексте. Они имеют преимущественно тренировочный характер, хотя среди них могут быть и более сложные. Во второй группе, которая отделена чертой, задания самые разнообразные. При их выполнении вам придется применять полученные ранее знания. Задачи, помещенные в третьей группе (они отделены звездочками), потребуют нестандартных рассуждений. В то же время для их решения достаточно полученных вами знаний. Учебное пособие содержит задачи, в формулировках которых использованы понятия стоимости, цены. У вас может возникнуть сомнение в реальности названной в условии цены. В связи с этим разъясняем, что использованные в задачах цены нужно рассматривать как условные и относиться к ним как к математическим величинам только в контексте самой задачи. Желаем вам успехов! Авторы Правообладатель Народная асвета m- раздел Десятичные дроби 1. Метрическая система мер А) Ранее вы познакомились с натуральными и дробными числами, научились выполнять над ними четыре арифметических действия, использовать при вычислениях свойства этих действий, которые формулами записываются так: a + b = Ъ + a (переместительность сложения); ab = ba (переместительность умножения); a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательность сложения); a(bc) = (ab)c (сочетательность умножения); a(b + c) = ab + ac (распределительность умножения). Натуральными числами мы пользуемся, когда нужно определить количество предметов некоторой совокупности — количество учащихся в классе, количество жителей населенного пункта, количество планет Солнечной системы, количество государств на Земле, количество учителей в вашей школе и т. д. Вместе с этим практическая деятельность показывает, что натуральных чисел недостаточно. Например, мы не можем выразить натуральным числом результат деления двух шоколадок между тремя детьми. Поэтому были введены дробные числа. Числами мы пользуемся при описании различных объектов. Свойства возраст, рост, масса, как и многие другие, называют величинами. Числовое выражение величины находят через измерение. Б) Мы привыкли, что длину измеряют в метрах, километрах, сантиметрах, миллиметрах, массу — 5 Правообладатель Народная асвета в килограммах, граммах, тоннах. Эти и большинство других употребительных мер имеют отличительное свойство: каждая единица определенной величины больше или меньше любой другой единицы этой величины в 10, 100, 1000 и т. д. раз. Все такие единицы являются единицами метрической системы мер. В ней основными единицами длины и массы являются метр и килограмм соответственно. Сегодня этой системой мер пользуются во всем мире. Однако так было не всегда. Наши предки длину измеряли в дюймах, стопах, локтях, саженях, прутах, шнурах, а массу — в фунтах, камнях, берковцах, пунделях. В Англии и сегодня для измерения длины пользуются дюймами, футами, ярдами, милями. До XVIII в. в каждой стране была своя система мер, что усложняло торговые отношения. В конце XVIII в. во Франции была принята метрическая система мер, а через полтора столетия она стала общеупотребительной. В метрической системе мер новые единицы измерения образуются из данных единиц единым способом с помощью приставок греческого происхождения. Например, хорошо знакомая вам приставка кило означает тысяча: 1 километр = 1000 м, 1 килограмм = 1000 г, 1 килотонна = 1000 т, 1 киловатт = 1000 Вт. Значения употребительных приставок приводятся в следующей таблице. При- Обозна- Мно- ставка чение житель Дека да 10 Гекто г 100 Кило к 1000 Мега М 1 000 000 При- ставка Обозна- чение Мно- житель Деци д 1 10 Санти с 1 100 Милли м 1 1000 Микро мк 1 1 000 000 Правообладатель Народная асвета 6 Например, 1 дал = 1 декалитр = 10 л, 1 Мт = 1 мегатонна = 1 000 000 т, 1 1 мкм = 1 микрометр = м = 1 микрон. 1 000 000 В) Единицы времени не являются метрическими. Однако для образования единиц времени, меньших секунды, используют метрический принцип. Например, 1 микросекунда = 1 мкс = ^ qq^ с. Пример 1. Найдем числовое представление в тоннах массы, равной 13 ц 45 кг. Получим: 1 13 ц 45 кг = 1345 кг = 1345 1345 345 т = 1 1000 69 т = ^ т. т = “ 100^ ^ 100^ ^ 200 Пример 2. Найдем числовое представление в квадратных метрах площади, равной 142 а. Полу- 5 чим: 142а = 142 • 100 м2 = 1400 м2 + 2 • 100 м2 = 5 5 5 = 1400 м2 + 40 м2 = 1440 м2. Пример 3. Найдем числовое представление скорости, равной 6 м/с, в километрах в час. Получим: 6 6 м/с = 6 м 1 с 1000 км 1 3600 ч 6•3600 1000 км/ч = = 213 км/ч. 5 1. Чем вызвано образование метрической системы мер? 2. Как связаны между собой две метрические единицы одной величины? 7 Правообладатель Народная асвета D Q Рис. 4 К L м N 1. Найдите длины отрезков, обозначенных на рисунке: а) 1; б) 2; в) 3. Постройте отрезки с такими длинами. 2. По клеткам перенесите рисунок 4 в тетрадь. Покажите на отдельных рисунках все двухзвенные ломаные с вершинами в точках A, B, C. Найдите их длины. 3. Отметьте в тетради четыре точки M, N, K, L так, как показано на рисунке 5. Запишите незамкнутые трехзвенные ломаные с вершинами в точках M, N, K, L и найдите их длины, учитывая, что ломаная начинается в точке: Рис. 5 а) K; б) L; в) M; г) N. Правообладатель Народная асвета 8 4. Измерьте углы, обозначенные на рисунке 6. Определите вид каждого угла. Постройте такие углы. 5. Измерьте углы треугольника, изображенного на рисунке: а) 7; б) 8; в) 9. Рис. 9 Проверьте вычислениями свои измерения. Запишите эти углы по убыванию их величин. Сколько равных углов в данном треугольнике? 6. Измерьте стороны треугольника, изображенного на рисунке: а) 7; б) 8; в) 9. Запишите эти стороны по убыванию их величин. Сколько в данном треугольнике равных сторон? Найдите периметр тре- ^ угольника. 7. Измерьте углы и стороны пятиугольника, изображенного на рисунке 10. Запишите стороны по неубыванию их длин, а углы — по невозрастанию их величин. Найдите сумму углов пятиугольника и его периметр. Правообладатель Народная асвета 9 8. Сколько неравных сторон есть у пятиугольника на рисунке 10? Постройте отрезки, равные этим сторонам. 9. Сколько неравных углов есть у пятиугольника на рисунке 10? Постройте углы, равные этим углам. 10. Найдите площадь прямоугольника на рисунке: а) 11; б) 12. Рис. 11 Рис. 12 11. Найдите площадь прямоугольника, измерения которого равны: а) 15 см и 20 см; в) 61 см и 40 мм; 2 2 б) 38 мм и 65 мм; г) 50 см и дм. 5 12. Найдите массу алюминиевого бруска размерами 3 см X 5 см X 12 см, учитывая, что 1 см3 алюминия весит 2— г. 10 13. Найдите массу сухого яблоне-Корел1ии вого бруска размерами 3 см X 40 мм X X 50 см, учитывая, что плотность сухого яблоневого бруска равна 3 г/см3. 14. Найдите скорость движения велосипедиста, который проехал путь от Городища до Кореличей за 21 ч 2 (рис. 13). 46 Городище Рис. 13 10 Правообладатель Народная асвета 15. Выразите 1 в килограммах: а) 3 кг 250 г; г) 255 г; б) 1 кг 60 г; д) 1 ц 23 кг 300 г; в) 3 кг 13 мг; е) 1 ц 900 г. 16. Выразите : а) 1 кг в г, ц, кт ; г) 1 ц в кг, г, т, Мт; б) 1 т в ц, г, кт, Мт; д) 1 г в мг, кг, ц, т; в) 1 Мт в кт, ц; е) 1 мг в г, кг, ц, т. 17. Выразите в метрах: а) 7 — км; 10 г) 1 2 км; 5 ж) 1 см; б) 99 1000 км; 1 д) 1 4 25 км; з) 95 см; в) 7 — км; 50 е) 4 -31 км; 100 и) 1098 мм. 18. Выразите: а) 1 км в м, дм, мм, мкм; б) 1 дм в см, мкм, м, км; 19. Вычислите устно: а) 1 м 96 см + 7 см; б) 3 м 80 см + 1 м 22 см; в) 3 м - 1 м 50 см; г) 2 м 28 см - 30 см; 20. Выразите в минутах: а) 2 ч; г) 70 с; б) 1 ч 35 мин; д) 178 с; в) 1 мм в мкм, см, м, км; г) 1 мкм в мм, см, м, км. д) 2 кг 500 г + 700 г; е) 3 кг 250 г + 1 кг 900 г; ж) 5 кг - 3 кг 200 г; з) 6 кг 300 г - 1 кг 400 г. ж) 1 неделя; з) 313 ч; и) 3^3 сут. в) 1 сут; е) 560 с; 21. Во сколько раз 1 ч меньше или больше: а) 1 мин; г) 1 с; ж) 1 недели; б) 45 мин; д) 1800 с; з) 5 400 000 мс; в) 135 мин; е) 5040 с; и) 1 года? 11 Правообладатель Народная асвета 22. Выразите в километрах в час скорость: а) 35 000 м/ч; г) 20 дм/c; ж) 300 м/мин; б) 1 км/мин; д) 15 м/с; з) 35 м/с; в) 1 м/с; е) 4000 см/с; и) 27 км/с. 23. Выразите в метрах в секунду скорость: а) 600 м/мин; в) 6 км/мин; д) 54 км/ч; б) 1 100 км/с; г) 36 км/ч; е) 90 км/ч. 24. Выразите в квадратных дециметрах или в квадратных метрах площадь: а) 12 м2; б) 1 тыс. см2; ' 8 в) 7— тыс. см2; 25 г) 12^ а; д) 13 тыс. м2; 20 е) з-4 а. 25. Во сколько раз 1 га меньше или больше: а) 4 а; б) 12 а; в) 9^3 а; 100 3 км г) д) 1000 е) 7 км2; 2; ж) 5000 м2; км2; з) 15 000 м2; и) 121 м2? ^ 2 26. Выразите: а) 1 км2 в га, а, м2; г) 1 м2 в см2, га; б) 1 га в а, м2, км2; д) 1 дм2 в мм2, а; в) 1 а в м2, дм2, км2; е) 1 мм2 в дм2, м2. 27. Выразите в кубических метрах: а) if км3; б) 4 км3; 5 в) — км3; ^ 80 г) км' ^ 800 3 ж) 459 см3; д) 539 тыс. см3; з) 1111 дм3; 50 е) 7450 см3; и) 23 000 000 мм3. 28. Выразите в кубических метрах: а) 1298 дм3; в) 1298 см3; д) 1 мм3; б) 3009 дм3; г) 3009 см3; е) 58 л. 12 Правообладатель Народная асвета 29. Выразите в кубических метрах: г) 3 км3; д) 25 км3; а) 1000 дм3; б) 250 дм3; в) 1250 дм3; е) 29 млн см3; 30. Сравните: а) 23 дм и 215 см; б) 543 кг и 6 ц; в) 500 см2 и 5 дм2 г) 470 с и 6 мин; ж) 110 млн см3; з) 50 млрд мм3; и) 150 млрд мм3. д) 3 км и 7962 м; е) 5 л и 6900 см3; ж) 7300 с и 2 ч; з) 9 км2 и 90 га. 31. Замените звездочку такой единицей измерения, чтобы верным было равенство: а) 32 м = 3400 *; 5 б) 4-27- дм = 428 *; в) 317 т = 3 531 250 *; ' 32 г) 101 кг = 10 500 *; д) 26 тыс. см2 = 2-3 *; 5 е) 225 дм2 = 21 *; ж) 1125 тыс. см3 = 11 з) 205 мин = 3 — *. ' 12 32. С одного участка площадью 17 га собрали 39^ т ячменя. Средняя урожайность на другом участке площадью 14 га составила 250 г/м2. На каком участке урожайность больше? С какого участка собрали зерна больше и на сколько? 33. Река Улла за месяц (30 сут) вливает в Западную Двину 65 836 800 м3 воды, а река Лучоса за неделю — 12 942 720 м3 воды. Определите, какая из этих рек более полноводная. 34. Автомобилист с одной скоростью проехал 288 км, а с другой — 176 км, причем с другой скоростью он ехал в два раза меньшее время. Найдите обе скорости, учитывая, что вместе они составляют 160 км/ч. 13 Правообладатель Народная асвета 35. Турист 12 км прошел пешком, 32 км проехал на велосипеде и всего был в пути 5 ч. Найдите скорости туриста пешком и на велосипеде, учитывая, что одна из них в четыре раза больше. 36. Подсчитайте, сколько разных чисел можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7, 8, учитывая, что эти числа: а) двузначные; б) двузначные четные; в) двузначные нечетные; г) трехзначные; д) трехзначные четные; е) трехзначные нечетные; ж) трехзначные с первой цифрой 7; з) трехзначные с последней цифрой 3; и) трехзначные с третьей цифрой 7; к) четырехзначные. 37. Прочитайте числа, найдите их сумму: а) 405 и 2049; б) 4806 и 982; в) 4-1 и 3; г) 5:4 и 82 д) 44 и 719; 10 1 100 е) 91 и 8-3-, ' 2 4 Определите, на сколько отличаются указанные числа. 38. Без вычислений поставьте вместо звездочки знак =, < или > так, чтобы было истинно утверждение: а) 35 + 28 * 35 + 29; б) 43 - 19 * 43 - 26; в) 52 - 38 * 47 - 38; г) 87 + 56 * 90 + 53; 14 д) 62 - 37 * 65 - 40; е) 59 + 28 * 60 + 29; ж) 73 - 45 * 79 - 50; з) 92 - 58 * 93 - 60. Правообладатель Народная асвета 39. Как изменится сумма двух слагаемых, если одно: а) увеличить на 6, а другое — на 9; б) увеличить на 20, а другое уменьшить на 15; в) увеличить на 17, а другое уменьшить на 30; г) уменьшить на 24, а другое — на 13? 40. Как изменится разность, если уменьшаемое: а) увеличить на 26, а вычитаемое — на 19; б) увеличить на 12, а вычитаемое уменьшить на 25; в) уменьшить на 31, а вычитаемое увеличить на 30; г) уменьшить на 47, а вычитаемое — на 35? 41. Восстановите пропущенные цифры: а) _ 6**5*; б)+35**5*; в) _ 5*8*5*; г) + 25***. *4193 +*54193 *54193 +*54193 25*8 7*94*8 7*9*9 7**019 42. Найдите неизвестное число: а) X + 2504 = 6025; г) у - 3208 = 3307; б) 4263 - и = 1039; д) (9998 - z) - 4083 = 4105; в) 2206 + m = 3085; е) 7870 - (5045 - t) = 3655. 43. Найдите неизвестное число: а) 96 • a = 98 880; г) Ъ • 867 = 267 036; б) с : 573 = 298; д) (1 770 396 : d) ■ 876 = 43; в) 440 944 : k = 868; е) 75 762 : (125 856 : k) = 366. 44. Найдите произведение чисел: а) 562 и 63; г) 427 и 539; ж) 477 и 680; б) 46 и 704; д) 652 и 73; з) 368 и 947; в) 240 и 366; е) 95 и 607; и) 4497 и 715. 45. Без вычислений поставьте вместо звездочки знак =, < или > так, чтобы было истинным утверждение: а) 675 • 714 * 675 • 729; в) 675 • 714 * 671 • 710; б) 675 • 714 * 671 • 714; г) 675 • 714 * 679 • 718. 15 Правообладатель Народная асвета 46. Восстановите пропущенные цифры: а) *** ^ *7 + *84* ***21 б) + 693 X ** **51 **** ***7* в) *** 17 X + *0*1 *** **0* г) X *0*. X **7 + *1*1. **** ***6** 47. Найдите частное: а) 9202 : 43; г) 25 774 : 49; ж) 132 600 312 б) 27 900 : 62; д) 50 320 : 74; з) 242 520 : 470; в) 34 974 : 58; е) 44 022 : 87; и) 439 230 : 726. 48. Восстановите пропущенные цифры: а) ****** 1515; б) -***** ; в) 241*** 643 7575 *** **8 *4* **** *** **** **** * *** -6060 1436 ***1 0 ***2 ***5 0 0 49. Найдите значение выражения: а) 1981 : 283 • 96 + 1328 - 703; б) (765 • 108 - 79 127) : 7 + 211; в) 18 003 - (464 • 76 - 29 263) : 17; г) 7609 + 3125 : 125 - 347 • 22; д) (1001 - 732)(567 + 143) : 538; е) 69 • ((1071 - 499) : 143) + 15 724. 50. Найдите НОД и НОК чисел: а) 12 и 18; г) 26 и 39; ж) 18, 24 и 12; б) 15 и 30; д) 120 и 24; з) 3, 4 и 6; в) 25 и 20; е) 17 и 20; и) 15, 18 и 30. 51. Вычислите: а) 118 ^3 14 9 3^ 29 235 + 30 + 111 35 42 4; 16 Правообладатель Народная асвета б) в) г) 51 + 14 63 2-31 + 31 252 21 12 121 + ^ ^]: ^ 3 10 12 : -L) • Л. 14 15 15 - 6-^ + 1 • 83) • 7 + 20 45 35’ 4 13’ 93 : 84 35 7 28 35 4 5 8 52. Основная единица площади в средневековой Беларуси — квадратный прут — приближенно равна 24 м2. Выразите в квадратных прутах: а) 12 а’ в) 3 га’ д) 1 м2’ б) 40 а’ г) 55 га’ е) 125 см2. 53. Найдите координаты точек, отмеченных на рисунке 14. Запишите эти точки по убыванию их координат. О *- в -ф- Н—h Е А Ф Ф С G Ф Ф D -Ф- Н—h F -Ф- Н—I—н 4 5 Рис. 14 54. Вычислите: а) 41 + 91 - 35’ '2 3 6 б) 61 - 41 + 147’ ^24 8 в) 3 • 21 : 2 4- 10 5’ г) 55 : 105 . 39’ 66 д) 4 . 49 - 3 : А - 6 • А’ ^^7 8 16 12’ е) 1| • 31 + 16 : 4 - 3 • 32 7 2 9 9 55. Три мальчика — Женя, Игорь и Борис — вместе нашли 123 боровика. Когда Борис отдал 1 боровик Игорю и 4 — Жене, то у мальчиков боровиков стало поровну. Сколько боровиков нашел каждый мальчик? 56. Для приготовления компота взяли смесь из 7 массовых долей сухих яблок, 5 долей кураги и 3 долей изюма. Сколько килограммов каждого вида 17 Правообладатель Народная асвета сухофруктов было использовано, если масса смеси составила 9 кг? 57. В Беларуси живут разные виды уток: кряква, чирок-свистунок, чирок-трескунок и др. Длина кряквы такова, что она на 13 см меньше удвоенной длины чирка-свистунка и на 15 см меньше удвоенной длины чирка-трескунка. Найдите длины этих уток, учитывая, что чирок-трескунок на 24 см короче кряквы. 58. На рисунке 15 показаны соотношения между массами кряквы, чирка-свистунка и чирка-трескун-ка. Найдите массы этих птиц. Чирок- свистунок Чирок- Чирок-свистунок свистунок Чирок- свистунок Кряква 30 Чирок, трескунок Чирок- трескунок Чирок- трескунок 1 • 250г 1 Чирок- свистунок 1 30 г Рис. 15 59. За какое время мотоциклист приедет из Пин-ска в Калинковичи (рис. 16), если будет ехать со средней скоростью 40 км/ч? Речица 8j тл я ПППТ.ИХГИТТ Лунинец Житковичи Кобрин дрогичин 20_______ 5в Гомель Иваново Микашевичи Пинск Петриков Рис. 16 Калинковичи 60. Учащиеся шестых классов составляют -2. общего количества учащихся школы, отличники в _5^ 23 Сколько учащихся-шестиклассников учатся на отлично, если всего в школе 1426 учащихся? 18 шестых классах составляют шестиклассников. Правообладатель Народная асвета 61. Первая книга белорусского писателя Михася Лынькова «Апавяданнi» вышла из печати в апреле 1928 г. Сколько времени прошло после выхода этой книги? 62. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 285°. Найдите величины всех четырех углов. 63. Найдите величины смежных углов, если их разность составляет 96°. 64. В треугольнике один из углов в два раза больше второго, а третий угол в три раза больше первого. Найдите эти углы. 65. Какое число получится на выходе машины, изображенной на рисунке 17, если на вход подано число: а) 0; б) 91; в) 161; г) 252; д) 343; е) 532; ж) 623; з) 6993; и) 1001? * * * 66. Одно из старейших высших учебных заведений на территории современной Беларуси — Горы-Горецкая земледельческая школа — было основано в XIX в. Определите день его открытия, если известно, что число и месяц этого события — кубы различных простых чисел, а год получится, если простое число возвести в квадрат и последнюю цифру результата заменить нулем. 67. Часы отстают на 4 мин за час. После того как на них было установлено точное время, прошло 4 ч 40 мин. Теперь точное время 14 ч. Через какое время эти часы покажут 14 ч? 19 Правообладатель Народная асвета 68. Восстановите пример: а) ^***3 ; ^ *** *70* + *213 ***9 ****** б) X *** *3* 3** + **3* 3**3 ****** в) *** X ** + 8*** *8** ****8 2. Десятичные дроби А) При измерениях величин, при их переводах из одних единиц в другие иногда возникают дроби, у которых знаменатель есть разрядная единица: —, —, ^^, -321, 19 , 45679 . Например, чтобы 1^ 1^ 10^ 10^ 100^ 100 000 ^ ^ выразить длину отрезка, равную 2 м 32 см, в дециметрах или более крупных единицах, понадобятся дроби. Поскольку 1 см = — дм и 1 см = 1^ 100 м, то 232 см = 232 • — дм = 232 дм = 2^^ дм 1^ 1^ 10 и 232 см = 232 ^ „т 23^ _ о 32 _ ---- м =----- м = 2---- м. 100 100 100 32 2 32 Такие числа, как 23—, 2-----, условились запи- сывать без знаменателя: 2^^ = 23,2; ^3^ = 2,32. 10 100 Запись 2,32 читают: 2 целых 32 сотых. Десятичные записи дробей без знаменателей называют десятичными дробями, в то время как обычные записи со знаменателями — обыкновенными дробями. В десятичных дробях запятая отделяет целую часть от дробной части, ее называют десятичной запятой. Цифры дробной части называют десятичными знаками. Запись 2,32 похожа на запись натурального числа: 20 Правообладатель Народная асвета 30 2,32 = 2-32 = 2 + 100 100 + = 2 + — + -2100 10 100 = 2 + 3 • -1 + 2 • 10 100 Каждая следующая разрядная единица в десятичной дроби в 10 раз меньше предыдущей. Если дробь правильная, то ее целая часть равна 47 нулю. Поэтому = 0,47. Запись 0,47 читают: 0 це- лых 47 сотых. Б) Представим десятичной дробью обыкновенную дробь 3^4^. Запись 3,49 не будет ответом, так как 3,49 = Заметим, что в числе 3 49 100 1000 ют десятые доли: отсутству- 3^^ = 3 + 0 • -1 + 4 • ^ + 9 • -^. 1000 10 100 1000 Поэтому 3 49 = = 3,049. 1000 1000 Обратим внимание на то, что числитель дробной части должен иметь столько цифр, сколько нулей имеет знаменатель. Чтобы записать десятичной дробью число, знаменатель дробной части которого есть разрядная единица, нужно: • записать целую часть числа и поставить запятую; • записать числитель дробной части, в котором предварительно количество цифр уравнено с количеством нулей в знаменателе. В десятичной дроби первое место после запятой соответствует разряду десятых, второе — разряду сотых, третье — разряду тысячных и т. д. Разрядная единица десятых — это ^, или 0,1; разрядная единица сотых — это ^^, или 0,01; разрядная еди- 21 Правообладатель Народная асвета ница тысячных — это 1 1000 , или 0,001 и т. д. На- пример, число 56,1947 содержит 5 десятков 6 единиц 1 десятую 9 сотых 4 тысячных 7 десятитысячных. Десятичные дроби 2,0500 и 2,05 отличаются только количеством концевых нулей. Эти дроби равны: 2,0500 = 2 + 500 = 2 + 5 = 2,05. 10 000 100 Десятичная дробь не изменится, если в конце ее дописать или отбросить несколько нулей. Видим, что отбрасывание нулей в конце десятичной дроби равносильно ее сокращению. А приписывание нулей в конце десятичной дроби можно рассматривать как приведение ее к новому знаменателю. Действительно, 0,47 = 47 47•100 4700 = 0,4700. 100 100 • 100 10 000 В) Сравним десятичные дроби 7,471 и 7,469. Мы умеем сравнивать смешанные дроби: если целая часть числа больше, то такое число больше, а если целые части чисел равны, то больше то число, у которого больше дробная часть. Числа 7,471 и 7,469 имеют одинаковые целые части (они равны 7). Чтобы сравнить дробные части данных чисел, перейдем к обыкновенным дробям: 0,471 = 471 0,469 = 469 1000 1000 Записанные дроби имеют общий знаменатель — число 1000. Поэтому большей будет та дробь, числи- тель которой больше. Поскольку 471 > 469, то 471 1000 > > 469 , а потому 0,471 > 0,469 и, значит, 7,471 > 7,469. Мы видим, что сравнение десятичных дробей напоминает сравнение натуральных чисел. 22 Правообладатель Народная асвета Десятичные дроби сравнивают поразрядно, начиная с высшего разряда. Пример 1. а) Целая часть числа 12,209 меньше целой части числа 13,469, поэтому 12,209 < 13,469; б) у дробей 7,47 и 7,469 одинаковые целые части, одинаковые и десятые, но сотых в первой дроби 7, а во второй 6. Поэтому 7,47 > 7,469; в) у дробей 31,3494 и 31,34 одинаковые целые части, одинаковые десятые и сотые, но тысячных в первой дроби 9, а во второй 0, поскольку 31,34 = 31,340. Поэтому 31,3494 > 31,34. Г) Десятичные дроби можно изображать точками координатного луча. На рисунке 18 это сделано для дроби 1,6. Сначала находим точку E, изображающую 1, после чего откладываем еще — единицы. Получим точку А(1,6). На рисунке 19 изображены точки 0(0), E(1), Б(0,55), С(1,2). Равные десятичные дроби на координатном луче изображаются одной точкой. Рисунок 20 показывает, что точка M изображает и дробь 0,4, и дробь 0,40. Меньшая десятичная дробь на координатном луче расположена ближе к началу отсчета, чем большая. Поскольку 0,55 < 1 < 1,2, то точка Б(0,55) рас- о Е А 0 Рис. 18 1 1,6 2 О В Е С 0 Рис. 19 0,55 1 1,2 о М Е 0 0,4 = 0,40 1 Рис. 20 23 Правообладатель Народная асвета положена ближе к началу координат (см. рис. 19), чем точка E(1), а точка С(1,2) — дальше, чем точка E(1). Д) Числа в сообщениях мы оцениваем по-разному. Так, в предложении В классе 27 учащихся число 27 точно выражает количество учащихся класса, а в предложении В Слониме живет 51 600 человек число 51 600 приближенное: реальное количество жителей Слонима скорее всего будет немного отличаться от этого числа. С приближенными числами мы сталкиваемся намного чаще, чем с точными. Все наши измерения длины, массы, времени являются приближенными. Из рисунка 21 можно заключить, что длина отрезка PQ заключена между 7 и 8 см. Обозначим ее буквой l. Можно записать: 7 < l < 8. Число 7 есть приближенное значение длины отрезка с недостатком, а число 8 — с избытком. Из рисунка 21 видно, что в качестве длины отрезка PQ лучше взять 8 см, так как эта длина ближе к 8 см, чем к 7 см. Говорят, что число 8 получено округлением длины отрезка до целых единиц. Р \— Q 8 Рис. 21 Числа округляют не только до целых, но и до других разрядов, при этом правило округления не изменяется. Но поскольку нули в конце десятичной дроби не влияют на ее величину, цифры в десятичных разрядах, которые округляют, не заменяют нулями, а просто отбрасывают. Чтобы округлить число до определенного нецелого десятичного разряда, нужно цифры всех более 24 Правообладатель Народная асвета низких разрядов отбросить, при этом если цифра в старшем отбрасываемом разряде есть 5, 6, 7, 8, 9, то цифру, стоящую перед ним, нужно увеличить на единицу, а если цифра в старшем отбрасываемом разряде есть 0, 1, 2, 3, 4, то цифру, стоящую перед ним, нужно оставить без изменения. Пример 2. а) 193,7962 « 193,796 — округление до тысячных; б) 193,7962 « 193,80 — округление до сотых; в) 193,7962 « 193,8 — округление до десятых; г) 193,7962 « 194 — округление до целых. Обратите внимание на пункты б) и в). Приближенные числа 193,80 и 193,8 разные: первое из них показывает, что округление сделано с точностью до сотых и что число содержит 0 сотых, а не какое-либо иное количество, второе — что округление сделано до десятых. 1. Как записать десятичной дробью обыкновенную дробь, знаменателем которой является разрядная единица? 2. Какие цифры десятичной дроби называют десятичными знаками? Как по десятичным знакам определить знаменатель десятичной дроби? 3. Как называют разряды десятичной дроби? 4. Что означает приписывание нуля в конце десятичной дроби? Как полученная дробь связана с исходной? 5. Что означает отбрасывание нуля в конце десятичной дроби? Как полученная дробь связана с исходной? 6. Как сравнивают десятичные дроби? 7. Как десятичную дробь изобразить на координатном луче? 8. Как округлить число до определенного разряда? 69. Сколько: а) десятых долей в единице; б) сотых долей в единице; в одной десятой; 25 Правообладатель Народная асвета в) тысячных долей в единице; в одной десятой; в одной сотой; г) стотысячных долей в одной сотой; в одной тысячной; д) миллионных долей в одной тысячной; в одной десятитысячной? 70. Сколько: а) десятых в 7 целых; б) сотых в 3 целых; в) сотых в 4 целых 2 десятых; г) тысячных в 7 целых 6 сотых; д) миллионных в 1 целой 123 тысячных; е) миллиардных в 234 миллионных? 71. Назовите знаменатель десятичной дроби: а) 0,34; г) 6,09001; ж) 12,010010; б) 0,034; д) 0,000076; з) 432,000000001; в) 4,0034; е) 2,00900; и) 5,00000201011. 72. Запишите десятичной дробью число: а) 5 целых 2 десятых; б) 7 целых 45 сотых; в) 21 целая 2 сотых; г) 7 целых 234 тысячных; д) 55 целых 13 тысячных; е) 8 целых 3 тысячных; ж) 11 целых 101 десятитысячная; з) 0 целых 56 стотысячных; и) 97 целых 1235 миллионных; к) 19 целых 101 001 миллиардная; л) 72 целых 34 765 триллионных; м) 0 целых 209 345 квадриллионных. 73. Запишите и прочитайте число по его разрядному составу, показанному на рисунке 22. 26 Правообладатель Народная асвета п о Зп tJ-o Н ч яч «я нз яя яи 03 Uh я я НЯ я я U U ® а 3 Я' я V я я я U «3 я я н о и я я н я U ш Ч 3 я я я я « н Ф 3 Ф Ф Ф 3 н о о Ф 3 я я я и 3 н Ф . 3 ян Ч я я я W и ф а Чн ф 3 я я . я о« ^3 ф 3 я я о я я 4 я ф 3 я . и я® яЧ ыЧ Ф я 4S ф 3 я я о я , ч оЧ нЯ из ф 3 я « А Я Я 4 ч я 1 2 4 2 7 - 5 4 - 2 6 8 - - - 2 7 9 1 - - - 1 4 - 9 - 3 2 3 5 - 4 9 5 - - 4 1 - 4 7 1 3 5 7 9 - 2 4 6 8 - 1 4 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Рис. 22 74. Запишите несократимой обыкновенной или смешанной дробью число: а) 0,5; д) 0,8; и) 3,16; н) 1,125; б) 0,4; е) 1,4; к) 0,016; о) 3,0625; в) 0,25; ж) 6,04; л) 1,0016; п) 2,0075; г) 0,75; з) 7,004; м) 5,00016; р) 0,00375. 75. Запишите десятичной дробью частное: а) 12 б) 12 в) 12 10; г) 16 : 1000; 100; д) 125 : 1000; 1000; е) 1250 : 1000; ж) 224 : 10 000; з) 1224 : 10 000; и) 22 208 : 10 000. 76. Выразите в дециметрах, записав ответ десятичной дробью: а) 9 дм 7 см; б) 1 дм 1 см; в) 8 см; г) 37 см; д) 2 см 3 мм; е) 3 мм; ж) 123 см; з) 38 см 2 мм; и) 1 м 35 см; к) 2 м 2 см; л) 1 м 2 см 2 мм; м) 1 м 4 мм. 27 Правообладатель Народная асвета 77. Нарисуйте отрезок: а) AB = 7 см 4 мм; г) GH = 10,6 см; б) CD = 7,4 см; д) HJ = 0,9 см; в) EF = 2,5 см; е) KL = 11,3 см. 78. Приведите дроби к наименьшему общему десятичному знаменателю: а) 0,2; 0,56; 0,09; 0,456; б) 3,07; 4,567; 12,0099; 123,66; в) 1,0001; 3,003; 12,00012; г) 176,9; 12345,390; 0,000675. 79. Сократите дробь: а) 2,78000; г) 0,10010; ж) 0,1370; б) 12,1010000; д) 0,0625000; з) 0,0041; в) 0,000100; е) 0,0064; и) 0,01640. 80. Замените звездочку одним из знаков <, =, > так, чтобы получить истинное высказывание: а) 5,6 * 6,6; б) 0,80 * 0,8; в) 12,90 * 13,0; г) 0,209 * 0,902; д) 5,437 * 5,347; е) 6,2111 * 6,2101; ж) 0,0099 * 0,00099; з) 101,1010 * 101,10110; и) 0,00110 * 0,00101; к) 0,00101101 * 0,00100111. 81. Запишите все цепочки равных дробей: а) 1,2; -|0; 0,6; 1,20; 0,60; 1^5; 1>2; ;|; 1.200; б) 4; 0,75; 0,25; 1|; Ц; 13; О,250; Ц^; О,7500; Щ. 82. Сравните числа: а) 34,31 и 123,01; е) 0,3 и 0,299; б) 34,31 и 33,31; в) 34,31 и 34,29; г) 34,31 и 34,3100; д) 0,3 и 0,301; 28 ж) 0,709 и 0,719; з) 5,4567 и 56,4579; и) 0,00078 и 0,00780; к) 0,0090021 и 0,009021. Правообладатель Народная асвета 83. Упорядочите по возрастанию числа: а) 1,4; 1,24; 1,04; г) 0,7; 4,35; 3,2; б) 5,3; 4,9; 7,01; д) 1,38; 1,34; 1,3; в) 2,5; 0,34; 1,82; е) 0,01; 0,011; 0,0012. 84. Упорядочите по убыванию числа: а) 302; 0,302; 30,2; 0,0302; 3,02; 3020; 0,00302; 0,203; б) 12,345; 21,345; 12,435; 12,534; 12,354; 12,453; 12,543; 21,543; в) 0,001023; 0,001203; 0,001302; 0,001032; 0,001230; 0,001320. 85. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы получить истинное высказывание: а) 3,*4 > 3,84; в) 3,*4 > 3,83; б) 3,=^4 > 3,44; г) 3,=^4 > 3,85? 86. Запишите какое-либо число, удовлетворяющее неравенству: а) 3,46 < r < 4,46; г) 3,99 < d < 4; б) 3,46 < k < 3,47; д) 3 < t < 3,001; в) 3 < с < 3,06; е) 0,01 < l < 0,1. 87. Запишите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: а) 12,7 < p < 13,7; г) 11,99 < p < 13; б) 12 < p < 13,71; д) 0 < р < 1; в) 12,7 < p < 13,9; е) 1 < р < 2. 88. Найдите пары равных дробей, записав соот- ветствующие утверждения-равенства: :; 32^; 3 а) 3,24; О,72; 3,024; 0,072; б) 1,5; 1-5; 1,05; l|; 1,2; 1,10; I,005; 1^10; в) 2,6; 33; 2,50; 2|; 3,25; 3|; 3,75; 21. 4 5 4 2 72 . 100; 29 Правообладатель Народная асвета 89. Запишите координаты точек A, B, C, D, E, F, G, H (рис. 23). По рисунку определите в единичных отрезках расстояние между точками: а) O и A; г) O и F; ж) E и H; к) H и D; б) O и G; д) A и E; з) H и A; л) F и C; в) O и E; е) B и C; и) C и D; м) G и H. оп в G А С Е F Н Рис. 23 0 1 2 3 90. По рисунку 24 запишите координаты точек D, S, C, F , A, H, B, G, E. ОА В С D Е . F G Н S 0 2 4 6 8 10 12 14 ' 16 Рис. 24 91. Какая точка на рисунке 24 соответствует большему числу: а) D или S; в) F или B; д) G или A; б) D или H; г) H или F ; е) G или S? 92. Какой точкой на рисунке 25 изображается число: а) 4; г) 5,5; ж) 7,7; к) 9,3; б) 8; д) 3,3; з) 6,9; л) 1,1; в) 1,6; е) 4,8; и) 0,2; м) 8,7? м RC Р Q Е F D GT N S Рис. 25 0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 93. Покажите на координатном луче точку: а) A(3); г) D(3,1); ж) G(1,7); к) L(0,6); б) B(2,5); д) E(0,1); з) H(2,8); л) М(1,5); в) C(0,7); е) F (1,1); и) ^(2,2); м) ^(1,3). 94. Нарисуйте координатный луч, на котором точке A, отстоящей от начала координат на 5 см, 30 Правообладатель Народная асвета соответствует число 0,01. Отметьте на этом луче точку: а) Б(0,02); г) £(0,019); ж) Я(0,011); б) С(0,015); д) F (0,010); з) ^(0,014); в) £(0,006); е) G(0,003); и) J(0,0040). 95. Выбрав удобный единичный отрезок, покажите на координатном луче точки: а) А(7), Б(7,5), С(5,6), £(4,3), £(8,2), F (3,7), G(3,7), £(8); б) A(0,39), B(1,37), С(1,49), £(0,26), £(0,11), F(1,11), G(0,99). 96. Округлите до десятых: а) 7,44; в) 7,95; д) 7,51; ж) 34,8; б) 7,52; г) 7,09; е) 7,495; з) 87,0498. 97. Данное число округлите до сотых, полученный результат округлите до десятых: а) 3,4496; в) 3,9572; д) 3,5142; ж) 3,0997; б) 3,5461; г) 3,9896; е) 3,5064; з) 3,9491. Всегда ли полученное число совпадает с результатом округления сразу до десятых? 98. Что означают нули в записи 5,799631 « 5,800? До какого разряда проведено округление? Как понимать запись 5,799631 « 5,8? Чем она отличается от предыдущей? 99. Найдите истинные утверждения, объясните ошибки в ложных: а) 113,113 « 113; б) 234,65 « 234,6; в) 51,497 « 51,49; г) 5,0991 « 5,1; д) 6,996 * 7,0; е) 71,5099 « 71,509; ж) 69,0479 « 69,1; з) 45,95078 « 45,96; и) 90,09999 « 91; к) 4598 * 4,5 тыс.; л) 1 235 987 * 1,24 млн; м) 5 970 897 087 * 5,970 млрд. 31 Правообладатель Народная асвета 100. Килограмм колбасы стоит 67 500 р. Определите, сколько денег нужно уплатить за: а) 400 г; в) 710 г; д) 345 г; б) 530 г; г) 1 кг 200 г; е) 515 г. 101. Найдите приближенные значения периметра и площади прямоугольника с недостатком и с избытком, если измерения его a и b следующие: а) 8 м < a < 9 м, 5 м < b < 6 м; б) 85 дм < a < 86 дм, 57 дм < b < 58 дм; в) 853 см < a < 854 см, 570 см < b < 571 см. 102. Укажите двойным неравенством возможные значения цифры с, учитывая, что верно приближенное равенство: г) 9,09с8 « 9,09; д) 9,09с8 « 9,10; е) 56,с99 « 57. 103. Запишите в километрах высоты самых высоких горных вершин Австралии и Океании, используя таблицу: а) 0,35с « 0,36; б) 23,45с « 23,45; в) 67,00с « 67,01; Горная вершина Высота, м Место нахождения Джая 5029 о. Новая Гвинея Мауна-Кеа 4205 Гавайские острова Кука 3764 Новая Зеландия Косцюшко 2230 Австралийские Альпы Полученные числа округлите до сотых; до десятых; до единиц. 104. Постройте треугольник ABC с прямым углом A и сторонами AB = 33 см и AC = 56 см. Определите измерением в миллиметрах длину стороны BC с недостатком и с избытком. 105. Постройте прямоугольник MNPR, у которого MN = 8 см, а MR = 7 см. Найдите точку O пересе-32 Правообладатель Народная асвета чения отрезков MP и NR. Определите измерением в миллиметрах длину отрезка MO с недостатком и с избытком. Какими будут длины отрезков NO, PO, RO? 106. Сравните числа: а) 3| и 31; в) 9I и 10|; д) 29 и Ц; г) 5| и 2±; 8 8 ' 3 ^ ' 11 12 34. 6 ~ 6 107. По рисунку 26 запишите самые высокие точки некоторых возвышенностей нашей страны. б) 619 и 5h е)63 и 67. ^ 13 14 1 — Минская возвышенность; 2 — Новогрудская возвышенность; 3 — Витебская возвышенность; 4 — Городокская возвышенность; 5 — Гродненская возвышенность; 6 — Свен-цянские гряды; 7 — Браславская гряда; 8 — Освейская гряда; 9 — Латгальская возвышенность Рис. 26 108. Вычислите: а) 7 - 3 : (1 + X ^8 8 \6 12 б) 16 , • (912 2 17 29 I9 31 124 54 - (2639 : 23- 5 \ 50 5 20 • (2 68 :2 2) - V 125 5/ 2. 3; + 6; 8); 1|; 33 Правообладатель Народная асвета д) - 2^ + 1 • 83 ' ' 28 35 4 5 е) (51 • 8^ - 182• 11 ^ ' 2 11 98 7 8 4. 5’ 2 + 36 : 44. 109. Изготовлен сплав из свинца и олова массой 0,7 кг, причем свинца было взято в 6 раз больше, чем олова. Сколько граммов свинца и олова в отдельности было взято? 110. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 27). Углы AOC и DOB вместе составляют 240°. Найдите величины всех углов. 111. Длина и ширина прямоугольника состоят из 10 и 4 долей соответственно. Найдите измерения прямоугольника, если его периметр равен 56 см. 112. Объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 28) равен 210 см3. Найдите его: Рис. 27 Bi Cl Di D Рис. 28 а) высоту AA1, учитывая, что площадь основания ABCD равна 30 см2. б) высоту AD, учитывая, что площадь основания AA1B1B равна 35 см2. в) высоту AB, учитывая, что площадь основания AA1D1D равна 42 см2. г) полную поверхность, учитывая ответы на предыдущие задания. 113. Через две трубы бассейн наполняется за 6 ч, через первую трубу — за 15 ч. За сколько времени можно наполнить бассейн через вторую трубу? 114. Первый работник может выполнить определенную работу за 12 ч, второй — ^ ее за 11 ч. За 34 Правообладатель Народная асвета сколько времени может быть выполнена вся работа, если оба работника будут работать вместе? 115. От массы пшеницы при ее переработке вы- ход муки составляет —, крупы 5 40, а осталь- ное — отруби. Сколько получили отрубей, если переработали 351 ц пшеницы? 2 116. Какое число получится на выходе машины, изображенной на рисунке 29, если на ее вход подать число: а) 8; б) 106; в) 695; г) 1015; д) 1120; е) 1335; ж) 1529; з) 1894? 117. Сравните: а) 1 ч 15 мин и 1,15 ч; б) 7 мин 45 с и 7,45 мин; в) 1 сутки 16 ч и 1,16 суток; г) 1 год 2 месяца и 1,2 года. 118. Найдите значение выражения: а) 7-^ • : 2-^ - 7,09; ^ 10 100 10 35 Правообладатель Народная асвета б) 48 +- 25 18 36 45 б-6 - 0,5; 11 в) 3 . (4 +1 ^5 \45 100 11181 - 0>2; 21 г) (21 -0,6) • А + М 2 2^ ’ / 17 100 д) (28^: 2| - 1,3б) : 2 - 7,5; : 0,35; 3 10 8 100 29 . 252) : 3I; 125 5/ 2 42 з) 4,2 : 0,14 • 0,5 • (0,3 + 0,93). 119. Соединенные между собой озера Грецкое и Черес в Миорском районе вместе занимают площадь 176 га. Определите площадь каждого озера, учитывая, что площадь Грецкого озера составляет 7 — площади озера Черес. 120. Три прямые AB, CD, EF пересекаются в точке O (рис. 30). Углы AOC и DOE равны соответственно 20° и 60°. Найдите углы AOF, EOC, DOF. 121. Из Пинска и Петрикова в Микашевичи одновременно с одинаковой скоростью выехали два велосипедиста (см. рис. 16). После того как один из них был уже в Микаше-вичах, ему пришлось ожидать другого еще час. Сколько времени были в дороге пинский и петриковский велосипедисты? 122. Было заготовлено 3600 м3 дров. За первую 5 неделю вывезли — заготовленных дров, за вторую — 1I того, что было вывезено за первую, за 5 36 Правообладатель Народная асвета третью — — того, что было вывезено за первые две недели. Сколько дров осталось вывезти? 2 123. Антон потратил в первом магазине — своих денег, а во втором — — того, что осталось. Сколько 5 денег он имел вначале, если во втором магазине он потратил 5250 р.? 124. Первый покупатель купил 12 кг сахара, ».» 3 ».» ».» 4 второй — — того, что купил первый, а третий — — того, что купили первый и второй вместе. Сколько денег выручено от продажи этого сахара, если 1 кг его стоил 8500 р.? 125. Среднегодовой расход воды в устье Припяти составляет 450 м3/с, а ее крупнейшего притока — Горыни — 110 м3/с. Сколько воды проходит через устья рек Припяти и Горыни за год? Ответ запишите в килотоннах, мегатоннах, гигатоннах, учитывая, что масса 1 дм3 воды равна 1 кг. 126. На первой полке 420 книг, что составляет 14 книг на второй полке. Сколько книг нужно переставить со второй полки на первую, чтобы книг на полках стало поровну? 127. Один из смежных углов состоит из 4 долей, а второй — из о таких же долей. Постройте эти углы. 128. В коробках с одним количеством цветных карандашей содержится 84 карандаша, а с другим количеством — 90 карандашей, и количество карандашей в коробке первого вида относится к количеству карандашей в коробке второго вида как 2 : 3. Найдите, сколько имеется коробок карандашей одного и другого вида, учитывая, что всего коробок карандашей 12. 37 Правообладатель Народная асвета 129. Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей содержится 228 карандашей, а с другим количеством — 600 карандашей, и количество коробок первого вида относится к количеству коробок второго вида как 3 : 5. Найдите, сколько имеется коробок карандашей одного и другого вида. 130. Какое число b получится на выходе машины, изображенной на рисунке 31, если на ее вход подать число а, равное: Рис. 31 а) 72; б) 5987; в) 9660; г) 67 800; д) 43 915; е) 23 371? * * * 131. Восстановите пример: ******* ** ; б) *8*** *** • в) *****2 *** **8** 3*8 *** *52 ** 105* ** * ** - 4** *** **** **** *** -3**4 **** 0 0 0 2*8 . 132. Машина на рисунке 32 обрабатывает натуральные числа. Найдите какое-нибудь число, которое нужно подать на ее вход, чтобы на выходе получить число: а) 8; б) 26; в) 915; г) 1370; д) 1525; е) 1275; ж) 904; з) 1000. 38 Правообладатель Народная асвета 133. Запишите число 12 суммой нескольких нечетных чисел. Сколько вариантов вы можете предложить? 3. Сложение и вычитание десятичных дробей А) Найдем сумму 13,83 + 14,15. Мы умеем складывать обыкновенные дроби, поэтому десятичные дроби 13,83 и 14,15 заменим обыкновенными. 13,83 + 14,15 = 13^83 + 14^^ = 13 + 14 + = 27 + 100 83 + 15 100 100 83 + 15 100 100 = 27= 27,98. 100 Можно заметить, что сложение десятичных дробей выполняется, как и сложение натуральных чисел, поразрядно: сотые доли складываются с сотыми, десятые с десятыми, единицы с единицами, десятки с десятками: 13,83. + 14,15 27,98 39 Правообладатель Народная асвета При записывании слагаемых нужно следить за тем, чтобы одноименные разряды оказались друг под другом. При сложении дробей с разным количеством десятичных знаков это количество можно уравнять приписыванием нужного количества нулей. Сложим числа 4,38 и 3,1472: +4,3800. +3,1472 7,5272 Обычно эти нули не пишут, а только представляют: + 21,509 ; 7,6893 29,1983 560,751. + 157,83 1004,2 1722,781 Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: • записать слагаемые одно под другим так, чтобы запятая была записана под запятой, а одноименные разряды друг под другом; • выполнить сложение по разрядам; • поставить в сумме запятую под запятыми слагаемых. Б) Поскольку вычитание есть действие, обратное сложению, то вычитание десятичных дробей можно также выполнять в столбик, подписав одноименные разряды друг под другом и приписав, если нужно, в уменьшаемом несколько нулей: 13,80; 21,5090. - 4,15 - 7,6893 9,65 13,8197 Чтобы из десятичной дроби вычесть десятичную дробь, нужно: • записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая была записана под запятой, одно- 40 Правообладатель Народная асвета именные разряды друг под другом, и, если нужно, в уменьшаемом дописать нули; • выполнить вычитание по разрядам; • поставить в разности запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого. После того как вы приобретете достаточный опыт, недостающие нули можно не подписывать: 345,89 . - 79,9002 265,9898 Сложение десятичных дробей имеет те же свойства, что и сложение обыкновенных дробей: a + b = b + a (переместительное); (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательное); a + 0 = a; 0 + b = b (свойства нуля при сложении); a - a = 0 (вычитание самого числа); a + b > a; a + b > b (сравнение суммы со своим слагаемым). 1. Как складывают десятичные дроби? 2. Как вычитают десятичные дроби? 3. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения. 4. Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения. Переформулируйте его в виде правила. 5. Сформулируйте словами свойство нуля при сложении. 6. Сформулируйте словами свойство сравнения суммы со слагаемым. 134. Вычислите устно сумму: а) 7 + 0,8; г) 0,5 + 0,5; б) 21 + 4,56; д) 0,9 + 0,2; в) 0,981 + 1; е) 0,01 + 0,01; ж) 0,53 + 0,37; з) 0,73 + 0,27; и) 0,37 + 0,49. 41 Правообладатель Народная асвета 135. Найдите устно разность: а) 5,7 - 4; г) 7,3 - 0,2; б) 21,49 - 9; д) 2,64 - 1,32; в) 4,9 - 2,2; е) 3 - 0,5; ж) 5,3 - 0,8; з) 6,1 - 2,7; и) 5,14 - 4,87. 136. Вычислите устно, используя свойства сложения: а) 3 + 1,7 + 0,3; б) 12,8 + 5 + 2,2; в) 2,75 + 1,35 + 1,25; г) 5,1 + 5,3 + 5,9; д) 1,11 + 1,01 + 1,09; е) 3,95 + 1,25 + 0,05. 137. Выполните сложение: в) 0,9664; + 0,674 0,7743 а) 34,785; + 3,113 б) 0,987; +3,99 138. Выполните сложение: г) 7,9006. 97,07 + 0,638 6,21 а) 0,987 + 11,111; б) 7,9 + 12,123; в) 56,457 + 4,21; г) 6,087 + 0,89; д) 3467 + 33,98; е) 138,09 + 35,987; ж) 90,408 + 29,0931; з) 0,785 + 0,2159; и) 0,0761 + 8,92491; к) 102,04 + 0,0034; л) 109,00453 + 0,996; м) 367,905 + 3,9352. 139. Выполните сложение: а) 20,09 + 71,904 + 146,7; б) 2 + 0,97 + 5,71 + 34,5 + 0,04; в) 109,457 + 12,07 + 345,1; г) 0,7 + 0,007 + 0,07 + 7; д) 123 + 12,3 + 1,23; е) 5,679 + 56,79 + 567,9. 42 Правообладатель Народная асвета 140. Выполните вычитание: а) 34,785; - 3,113 б) 3,09; - 2,75 в)- 7,987; - 3,99 г) 87,9 . - 7,074 141. Выполните вычитание: а) 56,31 - 31,01; б) 12,56 - 3,6; в) 67,539 - 3,048; г) 8,9045 - 0,92; д) 11,2 - 5,6; е) 55,41 - 48,42; 142. Вычислите: а) 2,56 + 12,321 + 56,01; б) 0,78 + 14,2 - 14,78; в) 6,901 + 45,42 - 11,397; ж) 56,301 - 3,333; з) 0,8976 - 0,8892; и) 1,765 - 0,876; к) 3,358 - 2,4699; л) 5,007 - 1,238; м) 7,012 - 0,5159. г) 100,09 - 56,42 + 410,385; д) 0,9 + 9,99 - 8,891; е) 123 - 56,09 - 66,21. 143. Сформулируйте свойство вычитания числа из суммы. Используя переменные а, b, c, запишите его формулой. Проверьте свойство для а = 6,5, b = 4,7, c = 2,3. 144. Сформулируйте свойство вычитания суммы из числа. Используя переменные а, b, c, запишите его формулой. Проверьте свойство для а = 6,5, b = 3,7, c = 2,3. 145. Сформулируйте свойство вычитания разности из числа. Используя переменные а, b, c, запишите его формулой. Проверьте свойство для а = 6,7, b = 3,6, c = 2,3. 146. Вычислите наиболее удобным способом: а) (65,8 + 37,62) - 2,62; б) (81,62 + 117,7) - 8,7; в) 67,94 - (4,94 + 28,98); г) 97,37 - (66,33 - 57,95); д) 33,72 + (128,59 - 2,62); е) 277,64 + (122,22 - 97,65); ж) (56,34 - 27,45) - 2,55; з) (47,32 - 1,99) + 2,68. 43 Правообладатель Народная асвета 147. Вычислите, ответ округлите до десятых: а) 34,06 - (0,07 + 13,386) - (24,542 - (16,74 - 7,802)); б) (17,5 - 10,144) - (28,85 - (24,037 - (3,89 - 3,747))); в) 39 - (25,8004 - (3,2005 - (7,906 - 5,5307))); г) 39,575 - ((123,98 - 23,987) - (99,07 - 37,652)). 148. Решите уравнение: а) k - 67,5001 = 148,778; б) 250,006 - X = 169,2264; в) у + 2,7095 = 40,5911; г) 0,9805 - (р - 6,007) = 0,07841; д) 20,72 - (6,71 + q) = 1,95; е) 20,7812 - (16,671 - t) = 11,0795. 149. Восстановите пример: а) * *п * • + ’ ; в) + 0’070**; д) 4*’*25; 8,6* +**’***9 *8’9*8 *0’437 ***’01*04 3’37* б) **0’*2 ; г) 8*22’* ; е) +60’973. 1* 7** *6**’42 +3*’*27 82,243 376’0* ***’4** Полоцк 105 *дг 150. Скорость течения реки 3,8 км/ч, а скорость катера в стоячей воде 35,8 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения. 151. Из Витебска и Полоцка (рис. 33) навстречу друг другу выехали велосипедисты. Один за час проезжает 15,6 км, другой — 14,4 км. На сколько уменьшится расстояние между ними за час? Через сколько времени они встретятся? 152. Для полива участка соединили три шланга длиной 7,2 м, 5,46 м и 8,75 м. Можно ли с помо-44 Витебск Рис. 33 Правообладатель Народная асвета щью этого шланга полить весь участок, если самая дальняя точка его находится на расстоянии 29 м, а струя из шланга бьет не далее 3 м? 153. Гривда вливает за год в Щару на 28,4 млн м3 воды больше, чем Мышанка, и на 132,4 млн м3 воды больше, чем Ведьма. На сколько годовой сток Мышанки больше годового стока Ведьмы? Какой годовой сток каждого из названных притоков Щары, если годовой сток Ведьмы равен 50,5 млн м3? 154. Одна сторона треугольника равна 12,7 см, вторая — на 5,4 см больше, а третья — на 4,9 см меньше второй. Найдите периметр треугольника. 155. Запишите десятичной дробью частное: а) 3 : 10; б) 67 : 100; в) 341 : 1000; г) 13 : 100 000; д) 234 : 10; е) 2134 : 100; ж) 234 111:1000; з) 34 : 100 000; и) 1 234 567 : 100 000; к) 1001 : 10; л) 23 890 : 100; м) 1 234 567 : 100 000 000. 156. Какие натуральные числа удовлетворяют неравенству: а) 0,009 < k < 3,01; б) 8 < X < 12,72; в) 128,65 < a < 132; г) 58 > t > 56,9; д) 38,57 < у < 42,53; е) 63 > p > 67? 157. Постройте на координатном луче числа: а) 0,7; 0,3; 0,47; 0,56; 0,79; 1,1; 1,25; 1,38; 1,52, взяв в качестве единичного отрезка отрезок длиной 1 дм; б) 0,06; 0,02; 0,057; 0,046; 0,089; 0,11; 0,125; 0,138; 0,105, сопоставив числу 0,1 отрезок длиной 1 дм. 45 Правообладатель Народная асвета 158. Футбольный матч продолжается два тайма по 45 мин. Какая часть матча прошла, если уже сыграно: а) 5 мин; в) 45 мин; д) 1 ч; ж) 62 мин; б) 12 мин; г) 1 мин 20 с; е) 1,1 ч; з) 11 ч? 6 159. Найдите число, если — его равны: 5 а) 4; в) 4. 5; д) 6^5; ж) 18,4; б) 12; г) 18 ; 25; е) 8^; з) 0,06. 160. Чему равна сумма длин всех ребер куба, если длина одного ребра равна 5-1 см? 161. Среднее арифметическое двух чисел есть 1 3 3—. Одно из чисел равно ^-. Найдите другое 28 7 число. 162. Моторная лодка за 5 ч прошла 172,5 км. За сколько времени она пройдет 310-1 км, если будет двигаться с той же скоростью? 163. В городе три средние школы. В первой школе учится четвертая доля всех учащихся, во второй школе учащихся в 1-1 раза больше, чем в первой, а в третьей — на 240 учащихся больше, чем во второй. Сколько всего учащихся в трех школах? 164. Озера Волосо Южный и Волосо Северный в Браславском районе соединены протоком. Если бы вода их была распределена поровну, то в каждом озере ее было бы 224 млн м3. Сколько 5 воды в Волосо Южном, если в Волосо Северном ее 15— млн м3? 10 46 Правообладатель Народная асвета 165. Чудско-Псковское озеро образовано Чудским и Псковским озерами, соединенными узким протоком, имеющим название Теплое озеро. Площадь Чудского озера на 1,96 тыс. км2 больше площади Псковского и на 2,5 тыс. км2 больше площади Теплого озера. Общая площадь Псковского и Теплого озер равна 0,66 тыс. км2. Найдите площадь каждого из трех озер. 166. С двух полей площадями 30 га и 24 га вместе собрали 2352 ц ячменя. Найдите урожайности первого и второго полей, учитывая, что урожайность второго поля в два раза меньше. 167. С первого поля с урожайностью 53 ц/га и со второго с урожайностью 61 ц/га вместе собрали 2420 ц ячменя. Найдите площади первого и второго полей, учитывая, что площадь первого поля в три раза больше. 168. Прямые PQ и ST пересекаются в точке O. Угол SOP равен 50°. Найдите величины остальных углов. 169. Проимитируйте работу машины, изображенной на рисунке 34, если на ее вход подать число: а) 69,89; б) 51,88; в) 98,514; г) 145,91. * * * 170. Знайка и Незнайка решали задачу: «Два человека вышли вместе из пункта A в пункт B. Первый из них половину времени, затраченного на весь путь, шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину — 5 км/ч. Второй человек одну половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину — 5 км/ч. Кто раньше пришел в пункт В?» Незнайка сразу ответил, что они придут одновременно, с чем Знайка не согласился. Кто из них прав? 47 Правообладатель Народная асвета 171. Какое число могло быть подано на вход машины, изображенной на рисунке 34, если известно, что: а) машина один раз выполнила сложение и два раза вычитание, и на выходе получилось число 91,37; б) машина два раза выполнила сложение, и на выходе получилось число 93,472; в) на выходе получилось число 99,51, а на входе было число, меньшее 23,14? 172. Докажите, что каждый квадрат можно разрезать на 4, 6, 8 и любое большее четное количество квадратов. 4. Умножение и деление десятичных дробей А) Найдем произведение 2,34 • 10. Получим: 2,34 • 10 = 234 • 10 = 234 = 2^^ = 23,4. 100 10 10 Видим, что десятичная запятая сдвинулась вправо на 1 знак. Найдем произведение 2,34 • 100. Для этого учтем, что 100 = 10 • 10. Поэтому 2,34 • 100 = 2,34 • 10 • 10 = (2,34 • 10) • 10 = 23,4 • 10 = 234. Видим, что десятичная запятая сдвинулась вправо на 2 знака. Так же получим: 2,34 • 1000 = 2340; 2,34 • 10 000 = 23 400. 48 Правообладатель Народная асвета Здесь мы использовали то, что в конце десятичной дроби можно приписать нужное количество нулей. Можем сформулировать правило: чтобы умно -жить десятичную дробь на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т. д., достаточно в этой дроби перенести десятичную запятую вправо на столько знаков, сколько есть нулей в записи разрядной единицы. Б) Мы знаем, что деление есть действие, обратное умножению. Поэтому понятно, что при делении на 10 десятичная запятая перенесется на 1 знак, но не вправо, а влево, при делении на 100 — на 2 знака влево: 56,7 : 10 = 5,67; 56,7 : 100 = 0,567. При нахождении второго частного мы использовали то, что перед числом можно дописать нужное количество нулей. Так же получим: 56,7 : 1000 = 0,0567; 56,7 : 10 000 = 0,00567. Можем сформулировать правило: чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т. д., достаточно в этой дроби перенести десятичную запятую влево на столько знаков, сколько есть нулей в записи разрядной единицы. Рассмотрим умножение и деление на дробные разрядные единицы: 5,67 • 0,1 = 5,67 • 1 = 5,67 : 10 = 0,567; 10 5,67 • 0,01 = 5,67 1 100 = 5,67 : 100 = 0,0567; 1 2,34 : 0,1 = 2,34 : = 2,34 • 10 = 23,4; 10 2,34 : 0,01 = 2,34 : 1 100 = 2,34 • 100 = 234. 49 Правообладатель Народная асвета Видим, что умножение на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. сводится к делению соответственно на 10, 100, 1000 и т. д., а деление на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. — к умножению соответственно на 10, 100, 1000 и т. д. Умножение десятичных дробей, как сложение и вычитание, выполнять более просто, чем умножение обыкновенных дробей. В) Найдем произведение 12,24 • 0,4. Мы умеем умножать обыкновенные дроби. Поэтому запишем множители такими дробями и перемножим их: 1224•4 12,24 • 0,4 = 1224 • 4 = 100 10 100•10 4896 1000' Учитывая, что при делении на 1000 нужно отделить запятой справа 3 десятичных знака, окончательно получим: 12,24 • 0,4 = 4,896. Здесь мы перемножили натуральные числа 1224 и 4 и в полученном произведении 4896 отделили справа запятой 3 знака — столько, сколько их было в сомножителях 12,24 и 0,4 вместе. Так будет и при умножении любых десятичных дробей. Чтобы перемножить две десятичные дроби, можно: • не обращая внимания на десятичные запятые, перемножить их как натуральные числа; • в полученном произведении отделить справа запятой столько десятичных знаков, сколько их есть в обоих множителях вместе. На практике умножение десятичных дробей обычно оформляется столбиком, при этом не обязательно подписывать запятую под запятой: 50 Правообладатель Народная асвета ^ 0,579; 9,26 3474 + 1158 5211 5,36154 X 2,578 ; 0,08 0,20624 X 0,00507. 0,908 + 4056 4563 0,00460356 Если число умножается на неправильную дробь, результат больше множимого или равен ему: 3,7 • 1,2 = 4,44 > 3,7; 3,7 • 1 = 3,7. Если число умножается на правильную дробь, результат меньше множимого: 3,7 • 0,97 = 3,589 < 3,7. Результат умножения десятичных дробей может содержать большое количество десятичных знаков. Например, в произведении 0,579 • 9,26 = 5,36154 таких знаков 5. Если такая точность не нужна, результат обычно округляют: 0,579 • 9,26 « 5,36. Понятно, что умножение десятичных дробей, как и умножение обыкновенных, имеет все известные свойства умножения: ab = ba (переместительное); (ab)c = a(bc) (сочетательное); (a + b)c = ac + bc (распределительное относительно сложения); 0 • a = 0; 0 : a = 0 (умножение и деление нуля); a • 0 = 0; выражение a '■ 0 не имеет значения (умножение и деление на нуль); a • 1 = a; a '■ 1 = a (умножение и деление на единицу); a '■ a = 1 (деление на само число). 51 Правообладатель Народная асвета Г) Делить десятичные дроби можно с использованием правил деления для обыкновенных дробей. Например: 0,21 : 0,7 = ^ = 0,3. ’ ’ 100 10 100•7 10 ’ Для деления десятичных дробей можно также приспособить известное правило деления натуральных чисел. Пример 1. Разделим число 231,56 на натуральное число 4. Деление начинаем с подбора цифры старшего разряда частного. _231,56^_____ 20____57,89 _31 28 _ 35 32 _ 36 36 О При делении целой части мы записали в частное цифры 5 и 7. Цветная цифра 3 показывает остаток при делении целой части. Этот остаток меньше делителя. Деление целой части окончено, поэтому в частном ставим запятую. Остаток — 3 целых — дает 30 десятых, которые вместе с 5 десятыми делимого дают 35 десятых. Делим их на 4, получаем в частном 8 десятых и в остатке 3 десятых. Раздробив их на сотые и прибавив 6 сотых делимого, получим 36 сотых, которые дадут в частное 9 сотых, а остаток будет равным 0. Процесс деления окончен: 231,56 : 4 = 57,89. Деление десятичной дроби на натуральное число проводят, как и деление натурального числа, 52 Правообладатель Народная асвета а десятичную запятую в частном ставят сразу, как только окончится деление целой части. Пример 2. Разделим число 26,43 на 12. 26,43 12 24 2,2025 -24 24 - 03 - 30 24 - 60 60 0 Сначала делим 26 на 12, получим в частном 2 целых. Записываем это в частное и ставим запятую, так как деление целых окончено. Остаток первого шага — 2 целых — раздробляем в десятые и сносим, т. е. прибавляем к полученным 20 десятым 4 десятых делимого. Полученные 24 десятых дают в частное 2 десятых и остаток 0, к которому сносим 3 сотых. Эти 3 сотых при делении дают в частное 0 и остаток 3. 3 сотых раздробляем в 30 тысячных, которые в частное дают 2 и остаток 6. Полученные 60 десятитысячных дают в частное 5, и в остатке получается 0. Процесс деления окончен. Обращаем внимание на то, что для окончания деления нам пришлось дважды приписывать нули, они напечатаны цветным шрифтом. Деление десятичной дроби на натуральное число проводится так же, как и деление натурального числа, причем получающиеся остатки преобразуют в более мелкие десятичные доли. 53 Правообладатель Народная асвета В следующих примерах целая часть делимого меньше делителя. Пример 3. Пример 4. 45,136 ■ ^____ 451 ~364 _873 819 _ 546 546 0 91 0,496 2,632 0____ _26 -_0 263 ' 224 _ 392 392 56 0,047 0 Проследите шаг за шагом, как в примерах 3 и 4 выполняется деление. Объясните, почему в частном примера 3 получено 0 целых и почему в частном примера 4 получено 0 целых и 0 десятых. Пример 5. Теперь разделим число 11,713 на десятичную дробь 5,3. Применяя основное свойство частного, умножим делимое и делитель на 10. От этого, как мы знаем, значение частного не изменится. Получим 11,713 : 5,3 = 117,13 ^ 53. Видим, что в делимом и делителе десятичная запятая перенесена на 1 знак вправо. Выполнив деление числа 117,13 на натуральное число 53, получим 117,13 ^ 53 = 2,21. Поэтому 11,713 : 5,3 = 117,13 : 53 = 2,21. Пример 6. Разделим 3,5 на 0,125. Здесь при переносе десятичной запятой вправо на 3 знака в делимом придется приписать 2 нуля, так как в нем только 1 цифра после запятой. Поскольку 3500 : 125 = 28, то 3,5 : 0,125 = 3500 : 125 = 28. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести десяти-54 Правообладатель Народная асвета чную запятую вправо на столько цифр, чтобы делитель стал натуральным числом, затем выполнить деление на это натуральное число. 1. Как умножить десятичную дробь на 10; 100; 1000? 2. Как умножить десятичную дробь на разрядную единицу? 3. Как разделить десятичную дробь на 10; 100; 1000? 4. Как разделить десятичную дробь на разрядную единицу? 5. Как умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001? 6. Как разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001? 7. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей. 8. Как записать результат умножения, если в полученном произведении цифр меньше, чем нужно отделить запятой? 9. Что означает Разделить одно число на другое? 10. Как разделить десятичную дробь на натуральное число? 11. В какой момент при делении десятичной дроби на натуральное число в частном ставится запятая? 12. Сформулируйте основное свойство частного. 13. Как разделить число на десятичную дробь? 173. Увеличьте в 10, 100, 1000 раз число: а) 7,3425; в) 0,214; д) 4,8; б) 82,431; г) 0,27; е) 0,003. 174. Разделите на 10, 100, 1000 число: а) 317,35; в) 5,2; д) 0,06; б) 81,041; г) 0,037; е) 0,3. 175. Разделите на 0,1, 0,01, 0,001 число: а) 540,3; в) 4,02; д) 0,48; б) 32,45; г) 0,512; е) 0,6. 176. Умножьте на 0,1, 0,01, 0,001 число: а) 654,6; в) 7,24; д) 0,18; б) 32,51; г) 0,27; е) 0,02. 55 Правообладатель Народная асвета 177. Определите, увеличилась или уменьшилась десятичная дробь и во сколько раз, если в ней десятичную запятую перенесли на: а) 2 знака влево; д) 4 знака влево; б) 5 знаков вправо; е) 5 знаков влево; в) 4 знака вправо; ж) 6 знаков вправо; г) 6 знаков влево; з) 7 знаков вправо. 178. Определите, на какую разрядную единицу разделили десятичную дробь, если десятичная запятая была перенесена на: а) 1 знак влево; б) 3 знака вправо; в) 2 знака вправо; г) 4 знака влево; 179. Вычислите: а) 1,001 • 100; б) 6,09 • 10; в) 0,517 : 10 000; г) 1,001 : 10; д) 1,07 : 100; е) 6,00789 • 10 000; ж) 3,9 • 100; 180. Вычислите: а) (2,7 : 0,1) • 532; б) 272 : (0,04 : 0,01); в) 1005 • (53,9 : 0,1); г) (71,6 : 0,1) • (27,01 : 0,01); д) (10,01 : 0,01) • 9999; 181. Вычислите: а) 45,321 + 0,782 • 100; б) 45,8919 + 5,098 • 10 000; в) 80 997 - 45,09 : 10 • 1000; 56 д) 3 знака влево; е) 1 знак вправо; ж) 4 знака вправо; з) 2 знака влево. з) 1,00517 : 1000; и) 3,7 : 10; к) 123,0021 • 1000; л) 123,567 • 10 000; м) 0,0011 : 10; н) 113,0011 : 10 000; о) 113,315 : 1000. е) (0,09 : 0,01) • (90,1 : 0,01); ж) 100 • (27,91 : 0,01); з) 25,53 • (5,3 : 0,001); и) 1000 • (53,7127 : 0,000001); к) 3,05 • (0,21 : 0,00001). Правообладатель Народная асвета г) 56,0098 + 7,0851 • 10 000 : 100; д) 6,001 • 1000 : 10 + 5690,09; е) 10,009 : 1000 • 10 000 - 67,399. 182. Определите, какое число больше и во сколько раз: а) 4,563 и 0,4563; б) 0,00987 и 9870; в) 45,786 и 4578,6; г) 6,00908 и 6009,08; д) 98 604 000 и 0,098604; е) 0,0007802 и 780 200; ж) 7 800 000 и 0,0078; з) 0,0003 и 30 000 000. 183. Выразите в сантиметрах: е) 7,6 дм; ж) 1,06 дм; з) 0,071 дм; и) 125 мм; к) 62,1 мм; 184. Выразите в квадратных метрах: а) 125 а; е) 540 га; л) 1,5 км2; ж) 16 га; з) 1 га; и) 0,7 га; к) 0,031 га; 185. Выразите в килограммах: а) 5780 г; д) 5,29 млн мг; б) 57,9 г; е) 65,76 тыс. мг; в) 4,348 г; ж) 29 мг; г) 0,6745 г; з) 9,545 т; 186. Найдите значение выражения 100x + 0,1y при значениях x и у, взятых из таблицы. а) 1,25 м; б) 3,2 м; в) 0,96 м; г) 0,07 м; д) 6,13 дм; б) 11,5 а; в) 0,95 а; г) 0,05 а; д) 6000 га; л) 1,5 мм; м) 1 мм; н) 12 600 мкм; о) 125 тыс. мкм; п) 12 млн мкм. м) 1 км2; н) 12,1 тыс. см2; о) 125 тыс. см2; п) 12 млрд мм2. и) 0,1234 т; к) 0,095 т; л) 0,67 кт; м) 1 г. x 6,34 0,771 0,012 0 0,5 0 4 у 634 7,71 1,4 0 0 41,11 1 57 Правообладатель Народная асвета 187. В таблице приведены сведения об озерах Нарочанской группы в Мядельском районе. Озеро Площадь, км2 Площадь водосбора, км2 Объем воды, млн м3 Баторино 6,25 92,4 15,03 Бледное 1,95 4,72 5,71 Мястро 13,1 130 70,2 Нарочь 79,6 199 710 Перепишите таблицу в тетрадь, выразив площади озер в арах, площади их водосборов в гектарах, а объемы воды — в кубических километрах. 188. Вычислите: а) ^ • 2 10 1; в) 4 • 1; 5 2 д) 21 • 11; 25 б) • 10 5; г) 31 • ^; 3 10 е) 2-^ • 10 10 189. Найдите устно произведение: а) 2,1 • 2; е) 4,7 • 2; л) 0,5 • 0,2; б) 3,3 • 3; ж) 4,9 • 0,1; в) 9 • 0,11; з) 0,1 • 32,7; г) 21 • 0,4; и) 0,01 • 4,2; д) 1,1 • 1,1; к) 0,02 • 0,09; м) 0,21 • 0,03; н) 0,98 • 0,001; о) 0,0035 • 0,002; п) 0,00044 • 0,0002. 190. Определите, сколько десятичных знаков будет в произведении, а затем найдите его: а) 2,1 • 9; г) 0,985 • 0,44; ж) 3,36 • 1,0003; б) 21 • 3,01; д) 4 • 1,1; з) 0,001 • 4,908; в) 4,9 • 2,3; е) 4 • 0,071; и) 0,021 • 0,034. 58 Правообладатель Народная асвета 191. Прикидкой определите место десятичной запятой и запишите правильный результат: а) 5,7 • 4,2 = 2394; д) 0,0056 • 0,25 = 1400; б) 2,41 • 2,8 = 6748; е) 1,0065 • 0,00023 = 231495; в) 0,703 • 1,21 = 85063; ж) 0,00071 • 0,000053 = 3763; г) 97,1 • 0,301 = 292271; з) 0,01003 • 0,00007 = 7021. 192. Запишите в сантиметрах измерения прямоугольника, изображенного на рисунке 35. Чему равна площадь прямоугольника? Вычисления проведите по правилу умножения десятичных дробей, а также через перевод сантиметров в миллиметры и последующий перевод квадратных миллиметров в квадратные сантиметры. 193. Найдите произведение: а) 1,2 • 3,4; г) 0,493 • 0,102; б) 21,53 • 9,7; д) 0,026 • 0,00201; в) 0,17 • 2,11; е) 0,00404 • 0,00031. Рис. 35 194. Вычислите: а) 3 • 13,7; д) 5 • 59,2; б) 6 • 0,772; е) 7,93 • 37; в) 321 • 13,11; ж) 59 • 2,004; г) 0,221 • 221; з) 88 • 0,0604; 195. Вычислите: а) 4,97 • 33,5; д) 390 • 81,4; б) 0,987 • 5,3; е) 1,075 • 1,29; в) 7769 • 0,031; ж) 7 • 33,087; г) 560 • 0,912; з) 77,07 • 1,009; и) 6 • 3,31; к) 73 • 3,008; л) 0,0307 • 24; м) 45 • 0,000896. и) 0,096 • 0,0984; к) 400,6 • 0,921; л) 11,007 • 3,009; м) 900,1 • 0,0094. 59 Правообладатель Народная асвета 196. Выполните умножение и результат округлите до стольких цифр, сколько их в сомножителе с меньшим количеством цифр: а) 31,21 • 1,13; б) 1,45 • 8,56; в) 9,321 • 2,67; г) 1,98 • 2,8761; д) 3,901 • 34; е) 17,09 • 1,002; ж) 56,01 • 3,9; з) 10,2 • 1,0007; и) 333 • 98,04; к) 0,97 • 33,33; л) 7,0002 • 11,61; м) 0,0098 • 1,234. 197. Найдите 0,35 от числа: а) 3,6; г) 3600; ж) 3,46; б) 360; в) 0,36; д) 346; е) 34,6; з) 0,346; и) 0,0346; к) 3460; л) 4276; м) 12 034. 198. Найдите число, в 7,5 раза большее числа: а) 45,8; в) 4,88; д) 67,04; ж) 156,008; б) 2,92; г) 0,644; е) 132,8; з) 0,09804. 199. Средний расход воды в устье Лани равен 11,3 м3/с. Сколько тонн воды выносит Лань за: а) 1 мин; в) 1 сут; д) 12 ч; ж) 1 месяц; б) 1 ч; г) 1,5 ч; е) 15 сут; з) 120 сут? 200. Вычислите самым простым способом: а) 4,93 • 0,08 + 0,42 • 4,93 + 0,5 • 5,07; б) 7,36 • 1,07 - 5,16 • 1,07 + 0,93 • 2,2; в) 1,5 • 4,15 + 6,85 • 3,2 - 6,85 • 1,7; г) 33,8 • 0,97 - 0,97 • 3,7 + 30,1 • 1,03. 201. Решите уравнение: а) X : 2,1 + 11,4 = 32,5; г) 6,89 - h ■ 1,003 = 5,11; б) 4,67 + у ■■ 3,03 = 5,56; д) a ■ 2,09 • 0,01 - 32,06 = 2,74; в) g ■■ 7,32 - 4,41 = 2,74; е) 13,79 + 0,001Ь : 3,13 = 123,19. 60 Правообладатель Народная асвета 23456789 202. Поле прямоугольной формы размерами 450 м X 150 м было засеяно ячменем. Урожайность составила 38,4 ц/га. Сколько тонн ячменя собрали с этого поля? 203. Длина большей стороны слесарного угольника 160 мм, а длина меньшей — 0,625 длины большей (рис. 36). Их ширина составляет 0,3 длины меньшей стороны. Найдите площадь этого угольника. 204. Площадь заповедника Аскания-Нова в Украине составляет 110 км2, а площадь Беловежской пущи в 13,18 раза больше. Какова площадь белорусской части Беловежской пущи, которая составляет Рис. 36 от всей ее площади? Ответ дайте с точностью 151 250 до тысяч гектаров. 205. Какое число получится на выходе машины, изображенной на рисунке 37, если на ее вход подать число: а) 1,7; б) 0,321; в) 40,7; г) 0,0456; д) 422 075; е) 543,2; ж) 101,3; з) 0? Сколько раз сработает блок умножения на 10 и блок умножения на 0,1? Какую гипотезу вы можете выдвинуть? 206. Вычислите: а) ^6 : 2; б) 3i0 ^ 3; в) 5 : 1; ^8 2 61 Правообладатель Народная асвета г) 31 : ’ 3 12 д) 21 : 11; ^2 4 е) : 1^. ^ 10 10 207. Вычислите устно: а) 12 : 6; е) 24,06 : 3; б) 24 : 6; в) 24,12 : 6; г) 0,36 : 6; д) 4,08 : 4; л) 11,33 : 11; м) 0,09 : 9; н) 12,012 : 12; о) 20,105 : 5; п) 21,0021 : 7. ж) 0,7 : 7; з) 18,9 : 9; и) 4,08 : 4; к) 0,33 : 11; 208. На пошив шести костюмов израсходовали 14,7 м ткани. Сколько метров ткани пошло на один костюм, если все костюмы одинаковы? Решите задачу через перевод метров в сантиметры и последующий перевод полученного результата в метры. 209. Вычислите: а) 24,7 : 2; б) 123,1 : 4; в) 3,15 : 6; г) 2,8 : 8; д) 678,2 : 5; е) 45,27 : 12; ж) 347,55 : 14; з) 81,33 : 15; и) 1,56 : 16; к) 13,03 : 18; л) 0,123 : 20; м) 16,5 : 22. 210. Вычислите: а) 264 : 40; б) 11 : 16; в) 14 : 32; г) 6780 : 50; д) 321,6 : 12; л) 875 : 2,8; м) 3536 : 1,7; н) 23 012 : 0,44; о) 23 184 : 0,023; п) 7236 : 0,0036. е) 32,8 : 16; ж) 81,144 : 12; з) 22,75 : 7; и) 61,2 : 24; к) 228,19 : 19; 211. Измените делимое и делитель так, чтобы делитель стал натуральным, а частное не изменилось: а) 16,17 : 0,7; г) 0,208 : 0,32; б) 1,008 : 0,002; д) 2,496 : 0,06; в) 0,000477 : 0,009; е) 34 : 0,00008. 212. Может ли частное быть больше делимого; равно делимому; меньше делимого? Приведите примеры. 62 Правообладатель Народная асвета 213. Найдите число, если: а) 0,15 его равны 195; б) 0,29 его равны 261; в) 0,38 его равны 26,6; г) 0,46 его равны 5,06; д) 0,78 его равны 0,1014; е) 1,03 его равны 10,403; ж) 2,7 его равны 0,0405; з) 10,3 его равны 12,463. 214. Вычислите и запишите десятичной дробью или смешанной дробью частное: а) 2,45 : 3; г) 4,058 : 22; б) 94,035 : 15; д) 18,8 : 5,17; в) 23,08 : 60; е) 4,53 : 75,5; 215. Уменьшите число 5610 в: а) 11 раз; е) 1,5 раза; б) 1,1 раза; в) 5 раз; г) 5,5 раза; д) 30 раз; ж) 2,1 раза; з) 3,3 раза; и) 187 раз; к) 1,87 раза; ж) 0,755 : 3,02; з) 0,0639 : 85,2; и) 0,0036 : 13,2. л) 8,5 раза; м) 132 раза; н) 56,1 раза; о) 280,5 раза; п) 5610 раз. 216. Найдите значение выражения: а) 774,51 : 33 - 4,59; б) 13,2 • 5,08 : 12; в) 34,7 - 1259,7 : 39; г) 45,695 : 37 + 0,97 • 0,31; д) 2,99 : (0,92 • 1,3); е) 540,73 : 23 - 482,16 : 21; ж) 7 - 9,988814 : 11; з) (2,1 • 0,82 + 2,179) : 0,47; и) 1,274 : 1,4 : 0,91; к) 244 : 16 + 3603,75 : 155. 217. Разделите одно натуральное число на другое: а) 21 : 2; б) 3 : 2; в) 3 : 5; г) 3 : 4; д) 13 : 5; е) 13 : 8; ж) 13 : 25; з) 18 : 12; и) 123 : 75; к) 66 : 15; л) 85 : 34; м) 117 : 32; н) 1278 : 625; о) 3456 : 64; п) 3457 : 64. 218. Расстояние от Кобрина до Пинска (см. рис. 16) мотоциклист проехал за 4 ч. С какой скоростью ехал мотоциклист? 63 Правообладатель Народная асвета 219. Площадь прямоугольника равна 29,61 дм2, одна сторона его — 47 см. Найдите периметр прямоугольника. 220. Площадь Нарочи — самого большого озера Беларуси — 79,6 км2, а объем воды в ней — 710 млн м3. Найдите с точностью до десятых долей метра среднюю глубину Нарочи. 221. Самое глубокое озеро в нашей стране — озеро Долгое (Глубокский район) содержит воды на 32,24 млн м3 больше, чем озеро Долгое (Браславский район). Вместе эти озера содержат 54,1 млн м3 воды. Найдите с точностью до десятых долей метра их среднюю глубину, если площади озер соответственно равны 2,6 км2 и 1,87 км2. 222. Периметр равнобедренного треугольника равен 393 мм. Найдите его стороны, если: а) боковая сторона короче основания на 6,9 см. Какой это треугольник по величине углов? б) боковая сторона длиннее основания на 6,9 см. Какой это треугольник по величине углов? 223. В двух ящиках 14,4 кг слив, причем в од- ном в 2 раза больше, чем в другом. Сколько килограммов слив в каждом ящике? 224. Какое число получится на выходе машины, изображенной на рисунке 38, если на ее вход подать число: а) 9,04; в) 4,991; б) 10,36; г) 0,005? Сколько раз сработает блок умножения на 3,2 и сколько — блок умножения на 0,3125? 64 Правообладатель Народная асвета 225. Определите, во сколько раз развернутый угол меньше или больше угла в: а) 1°; г) 80°; ж) 105°; к) 270°; н) 120°; б) 15°; д) 37°; з) 126°; л) 360°; о) 150°; в) 45°; е) 90°; и) 180°; м) 108°; п) 135°. 226. Чему равен угол, если: 3 а) — его равны прямому углу; 5 б) 0,7 его равны 42°; в) 0,6 его равны развернутому углу; г) 2,5 его равны 100°; д) 1-1 его равны полному углу; 23 е) 23-1 его равны 282°; ж) 71 его равны развернутому углу; 5 з) его равны прямому углу; 13 и) 1,01 его равны 202°; к) его равны полному углу; л) 78-1 его равны 313°? 227. Вычислите: а) 0,888 + 88,8 + 8,88 + 888; б) 10 432 - 4709,43 + 21,5 - 1,222; в) 1,23 + 45,6 - 7,8 - 29,71; г) 1029 - 0,384 - 57,66 - 965,965; д) 33 + (29,57 - 22,4) + 6,04; е) (16,317 - 5,406) - (4,057 + 4,174). 228. Найдите значение выражения: а)(110 - 6215.15) : 214 + 1911 : 5|; 65 Правообладатель Народная асвета б) 363-3 : (41-3 - 211) + 35 • -5; в) + 27 : 644) - fl^^ - 126 : 125 ); М 16 ^ \ 24 7 56’’ г) (715-716) . з12 : ^ ' 34 5^ 13 12 : 36 229. Тихий океан занимает примерно — водной поверхности Земли, Атлантический — 5, а Север- 4 ный Ледовитый — -1 этой поверхности. Найдите площади Тихого, Атлантического, Северного Ледовитого и Индийского океанов в отдельности, приняв площадь Мирового океана равной 361 080 тыс. км2. Ответ дайте с точностью до десятка миллионов квадратных километров. 230. Периметр равностороннего треугольника равен 10— см. Найдите сторону этого треугольни-3 ка. Чему равна площадь квадрата, который имеет тот же периметр, что и данный треугольник? 231. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что сумма длин всех его ребер равна 50 дм, а длина, ширина и высота состоят из 4, 1 и 5 долей соответственно. 232. Найдите значение выражения: 4 . 7 20-2 5 6 в) (8 • 11 +14. 35 - 2 -4.12. ) : 32 5 36 44 9 / . А . 14 + ^2 : 12 : А : 8. 25 33 33 24 9; )1 : 11 + 73 23 23 • 24 + 5.12 ’ 9 9 66 Правообладатель Народная асвета г) 24 • 15 16 1 + 44.95)- 1 7 8 1 8' 'Сураж , Витебск 233. Один из углов, образованных при пересечении прямых CD и MN, в 21 раза меньше другого. 3 Найдите все образовавшиеся при этом углы. 234. Из разных городов одновременно выехали две машины: одна — из города Сураж Брянской области России, вторая — из Костюковичей в городской поселок Сураж Витебской области (рис. 39). Через два часа первая из них была в 10 км перед Мстиславлем, а вторая — в 20 км за Мстиславлем. За сколько километров до Суража одна машина догонит вторую? 235. Сформулируйте правило, по которому записан ряд чисел, и запишите еще 3 числа в этом ряду: Кричев Климовичи^ Костюковичи Рис. 39 а) 1,5; 2; 2,5; 3; б) 1,5; 3; 4,5; 6; ^; в) 4,4; 2,2; 1,1; 0,55; ^; г) 3,4; 3,0; 2,6; 2,2; ^; д) 1,3; 0,6; 2,3; 1,2; 3,3; 1,8; ^; е) 1,3; 5,9; 2,6; 5,6; 3,9; 5,3; ^ . 236. Отметьте на координатном луче точки: А(4,5), B 1^2-1 j, C(0,9), D ^33 j, E ^63 j. Единичный отрезок возьмите длиной 1 см. 237. Большая выпь, малая выпь, цапля серая — птицы семейства цаплевых, гнездящиеся в Беларуси. 67 Правообладатель Народная асвета Длина большой выпи на 30 см меньше длины серой цапли и на 8 см меньше удвоенной длины малой выпи. Найдите длины этих птиц, учитывая, что общая длина выпей большой и малой на 9 см больше длины серой цапли. 238. По схеме, представленной на рисунке 40, составьте задачу и решите ее. 6 8 10 12 Малая выпь 1 1 , 1 —- 1 1 1 Цапля серая 190 г Большая выпь 600 г . Рис. 40 239. Антон неделю с постоянной скоростью читал первую повесть, а затем с другой постоянной скоростью 9 дней читал вторую повесть, которая вместе с первой занимает 213 страниц. Найдите, с какими скоростями читал Антон первую и вторую повести, учитывая, что эти скорости относятся как 5 : 4. 240. Лариса несколько дней по 17 страниц в день читала первую повесть, а затем по 11 страниц в день — вторую повесть, которые вместе занимают 267 страниц книги. Найдите количества дней, в которые Лариса читала первую и вторую повести, учитывая, что эти количества относятся как 2 : 5. 241. Какое число получится на выходе машины, изображенной на рисунке 38, если на ее вход подать число: а) 0,28; б) 5,181; в) 7,105; г) 0,05? 68 Правообладатель Народная асвета * * * 242. Определите, можно ли на выходе машины, изображенной на рисунке 37, получить число: а) 0,3; г) 6; ж) 10; к) 25; б) 0; д) 7,03; з) 0,15; л) 0,01; в) 1; е) 9,85; и) 8,3; м) 1,05. Есть ли такие числа, которые машина оставляет неизменными? 243. Запишите какое-либо натуральное число и удвойте его. Полученное число увеличьте на 3, результат умножьте на 5 и прибавьте 7. Запишите последнюю цифру, увеличьте это однозначное число на 18 и сумму разделите на 5. У вас получилось 4. Объясните, почему результат не зависит от того числа, которое было записано сначала. 244. Сколько углов могло быть у многоугольника, если при его разрезании получилось два треугольника? 5. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную А) Любую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную: 0,7 = 10’ 7,93 = 7 0,47 = 93 . 47 . 100; 0,0243 = 243 , 10 000 ; 13,0013 = 13 13 10^ ^ 10 000 Если получаются сократимые дроби, их обычно сокращают: 7,125 = = 71. 0,2 = А = 1; 10 5 1000 8 Обыкновенную дробь можно рассматривать как частное от деления ее числителя на знаменатель. Поэтому 4 = 4 : 5 = 0,8; 7 = 7 : 2 = 3,5; 119 = 1,36875. 5 2 160 69 Правообладатель Народная асвета Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно числитель этой дроби разделить на ее знаменатель. Иногда для преобразования обыкновенной дроби в десятичную можно использовать основное свойство дроби. Например, умножив числитель и знаменатель дроби — на 2, получим равную ей дробь —, 5 10 или 0,8. Так же получаем: _9^ 25 3 8 9 • 4 _ ‘ 25•4 “ 3 • 5 • 5 • 5 36 100 = 0,36; 3 • 125 = 0,375. 2•2•2 2•5•2•5•2•5 10•10•10 Б) Вообще, в десятичную дробь можно преобразовать домножением числителя и знаменателя каждую несократимую обыкновенную дробь, знаменатель которой есть произведение только двоек и пятерок. Процесс деления числителя на знаменатель не всегда заканчивается. Пример. Найдем десятичное представление обыкновенной дроби —. Для этого разделим 7 на 11. 70 '66 11 0,636363 40 33 - 70 66 - 40 33 - 70 66 -40 - 33 7 70 Правообладатель Народная асвета В частном получено уже шесть цифр, а процесс деления еще не окончился. Обратим внимание на остатки: сначала получено 4, потом 7, после чего снова 4 и снова 7. Видно, что такие остатки и в такой последовательности будут появляться и дальше. Значит, будут повторяться и цифры в частном. Процесс деления никогда не закончится. В таких случаях деление останавливают и заменяют обыкновенную дробь ее определенным десятичным приближением. Установлено, что если знаменатель несократимой дроби делится хотя бы на одно простое число, отличное от 2 и 5, то такую дробь нельзя записать конечной десятичной дробью. Если деление не прерывать, в частном будет получаться бесконечная десятичная дробь. Например, — = 0,636363^ . Группа цифр 63 здесь периодически повторяется. Поэтому такую дробь называют периодической, а повторяющуюся группу цифр — периодом. Принято периодические дроби записывать короче, заключая период в скобки: 1! = 0.(63)- Запись 0,(63) читают: 0 целых и 63 в периоде. Приведем еще примеры преобразования обыкновенных дробей в десятичные: = 0,3333^ = 0,(3); ^9 = 0,1111^ = 0,(1); 1 = 0,1666^ = 0,1(6); 6 II = 0,675675675^ = 0,(675); 3 7 12= 12,7154471544^ = 12,(71544); 123 4-^ = 4,07954545454^ = 4,079(54). Запись 4,079(54) читают: 4 целых 79 тысячных и 54 в периоде. Правообладатель Народная асвета Рассмотрим дробь — и убедимся, что равная ей 13 десятичная дробь является периодической. Начнем делить числитель 7 на знаменатель 13. 70 '65 50 '39 13 0,53846 -110 104 -60 52 - 80 7Л 2 Остатки пока не повторялись. Если они на каждом шаге будут получаться отличными от прежних остатков, то не позже двенадцатого шага деления остаток должен повторить один из предыдущих, поскольку остаток всегда меньше делителя 13 и натуральных чисел, меньших 13, всего есть 12. Как только повторится один из остатков, начнут повторяться и следующие остатки, и, значит, начнут повторяться и цифры частного. Отсюда становится понятным, что определенная группа цифр частного будет регулярно повторяться. В нашем примере это группа 538 461: 173 = 0,(538 461). В) На практике деление всегда прерывают. Полученную десятичную дробь называют десятичным приближением. Например, -7. » 0,64, 7 » 0,636. Дробь 7 отличается от десятичной дроби 0,63 на 72 7 1100 Правообладатель Народная асвета 7 11 63 700 - 693 7 100 1100 1100 Частное 0,636 является более точным: 7 _ 636 = 7 _ 159 = 1 11 1000 11 250 2750' Следующие десятичные приближения будут все меньше и меньше отличаться от обыкновенной дроби 7 11 Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до определенного разряда, нужно выполнить деление числителя на знаменатель до следующего разряда и полученный результат округлить. Бесконечные десятичные дроби сравниваются по тому же правилу, что и конечные. Например: 5,91087^ > 5,90087^; 0,009103^ < 0,091035^ . Преобразование обыкновенных дробей в десятичные можно использовать для сравнения обыкновенных дробей' Сравним, например, дроби ^, ^3||, ЦЦ разуем их в десятичные: Преоб- 3 = 0,428571^, 143 = 0,429429^, 476 = 0,428442^ 333 1111 После этого становится понятным, что 476 ^ 3 ^ 143 1111 7 333 Бесконечную периодическую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную' Например, делением можно убедиться, что 0,(5) = 59; 0,(21) = .^; 0,(432) = -Ц; 0,7(31) = -|6|. В старших классах эти преобразования вы научитесь выполнять сами. 73 Правообладатель Народная асвета Таким образом, каждую десятичную дробь — конечную или бесконечную периодическую — можно преобразовать в обыкновенную, и, наоборот, каждую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную — конечную или бесконечную периодическую. 1. Как десятичную дробь преобразовать в обыкновенную? 2. Как обыкновенную дробь преобразовать в десятичную? 3. Какую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную домножением ее числителя и знаменателя? 4. Какой является десятичная дробь, возникающая при преобразовании обыкновенной дроби? 5. Что называют периодом бесконечной периодической десятичной дроби? 6. Какая обыкновенная дробь преобразуется в конечную десятичную дробь и какая — в бесконечную периодическую десятичную дробь? 7. Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до определенного разряда? 8. Как сравнивают бесконечные десятичные дроби? 245. Преобразуйте десятичную дробь в обыкновенную: а) 0,4; е) 0,05; л) 0,008; р) 0,0378; б) 0,6; ж) 0,75; м) 0,0125; с) 0,0016; в) 0,7; з) 0,16; н) 0,475; т) 0,1024; г) 0,02; и) 0,111; о) 0,976; у) 0,0625; д) 0,25; к) 0,025; п) 0,0025; ф) 0,875. 246. Запишите число, обратное числу: а) 0,2; е) 10,2; л) 0,96; р) 0,025; б) 0,6; ж) 6,25; м) 2,8; с) 5,55; в) 1,6; з) 51,2; н) 8,12; т) 6,64; г) 0,125; и) 15,5; о) 2,76; у) 18,8; д) 1,25; к) 1,32; п) 6,36; ф) 0,256. 247. Домножением числителя и знаменателя на определенное число преобразуйте обыкновенную дробь в десятичную: 74 Правообладатель Народная асвета а>|; д» §; и) 17’ ^ 20 н> %’ в) 16’ б>|; е>Ь к) —’ ^ 50’ о) 250’ т> 21570’ ж) ^ 125 л) 31’ ^ 50 п) 123’ 500 у) 125’ з) » 20’ м) —’ ^ 40 р) 13-р) 16’ ф) Ц- 248. Определите, можно ли домножением преоб- разовать обыкновенную дробь в десятичную, и если можно, то преобразуйте: а) 4’ д) 11’ и) l^’ 20 н) Ю’ с) ^’ 48 б> !’ е) 3’ 8 к) ^’ ^ 51 о) 255’ т) 37 ’ 222 в) 3’ ж) 113’ ^ 125 л) 37’ ^ 50 п) 343’ 525 у) 79 ’ 120 г) И’ 25 з) И’ 23 м) 44’ 44 р) 13’ 68 ф) -21280 249. Преобразуйте обыкновенную дробь в деся- тичную: а) 1’ 2 г) ik’ ж) 16’ к) ^’ 80 н) 113’ 125 б) 4 д) i’ з) 11’ 20 л) 31’ 32 о) 111’ 128 в) 3’ 5 е) 7’ 8 и) -4’ 40 м) -31’ 64 п) 127. 160 250. Преобразуйте число в десятичную дробь: а) 63’ 8 д) 62 47: ^ 50 и) 3^’ 20 н) 7 47 ’ 3125 б) 54’ 5 е) 90 94 125 ’ к) 137’ 40 о) 40 773 ’ 6250 в) 7^’ 16 ж) 6^9-32 ’ л) 3141’ 250 п) 24 Т7’ 48 г) 1117’ ^ 25 з) 2123’ 625 м) 8^’ 64 р) 47 91 . 112 75 Правообладатель Народная асвета 251. Преобразуйте обыкновенную дробь в десятичную и вычислите: а) 1 • 0,6’ 5 д) 3,66 • 2-^’ и) 7,25 : 4-ll’ б) 3 : 0,6: 5 в) 6,4 • 2^’ г) 4,5 • 3^’ е) ^ : 1,I5’ ж) § ^ I,24’ з) 2,35 : 215’ 16 к) 4,85 : 6l|;5’ л) 6-9 : 0,21’ 16 м) 0,072 : 3. 252. Вычислите: а) 7,2 • -|’ б) 7,2 : 43’ д) 7,2 : 3 - 7,2 • 3’ 44 е) ^ : 2,5 + 5 • 2,5’ в) -| • 8,4’ ж) [6 ■ 5,4)-(| ^5,4)’ г) 3 : 7,2’ з)(0,4 • -1):(-1:0,4). 253. Сравните дроби: а) 0,55 и Ц. 20’ б) i и 0,47’ в) 1,75 и ^41’ г) 1^ и 1,0753’ '40 д) 13 и 203’ ' 16 250 е) 2119 и 219’ ' 125 20 ж) 3^ и 498 ■ 160 з) 769 и 2 125 257 320 640 254. Найдите с точностью до сотых долей квадратного сантиметра площадь основания прямоугольного параллелепипеда, если известны его объем V и высота h: а) V = 450,72 см3, h = 10,12 см’ б) V = 900 см3, h = 13,5 см’ в) V = 55,729 дм3, h = 1,427 дм’ г) V = 897 мм3, h = 21,6 мм’ д) V = 1478,7 см3, h = 841,5 мм’ е) V = 0,9955 м3, h = 9,35 см. 76 Правообладатель Народная асвета 255. Запишите три десятичные дроби, удовлетворяющие неравенству: а) a < 1; е) 7 71 < X < 7184; ' 93 241 б) 5-9 < X < 5^8; ж) 790 < с < 799; 23 39 в) 499 < с < 412; ^ 13 13 з) 51 < s < 83; ^ 59 96 г) 4 < s < —; ^7 12’ и) 4-^ < t < 4-Ц; 73 72 д) d <^^; ^ 127 к) 1 11 < v < 1 12 ' 111 113 256. Сделайте короткую запись периодической дроби: а) 3,4444^; б) 8,111212121^; в) 0,121231212312123^; г) 0,090909^; д) 6,343467676767^; е) 1,023102310231023^; ж) 9,701701701^; з) 5,22223232323^; и) 0,0010201020102^; к) 7,41214121^; л) 9,00990099009^; м) 0,567855678556785^ . Прочитайте полученную запись. 257. Без деления определите, какой десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической — выражается число: а) е>§; л) 17 ; ^ 123 р) 277-р) 625; б) ж)180; м) 101; ^ 148 с) 875 • с) 1125; в) з) И. з) 75; н) 33 ; ) 576 ; т) 2013; ^ 2212 г> ij; и) 91; ^ 85’ о) 92; ^ 37’ у) 1140. д) к) 25; к) 75; п)91; ^ 60 ф) ю'ц. 77 Правообладатель Народная асвета 258. Преобразуйте обыкновенную дробь в десятичную и сделайте запись с указанием периода: а)|’ д) 101’ и) н)2126117б’ б) 11’ е) ^’ к)^’ о> 5-96’ в)1|’ ж) I’ л) 8^^|’ п) 5672’ г) §’ з) 23373’ м)5-Ц’ р) 1731. 875 259. Найдите с точностью до десятых представ- 435. 337’ 2 . 991’ 1000 427 ' ление десятичной дробью числа: а) 00; ^ 15 г) 3422’ ) 17 ’ ж) 539’ к) б) ’ 24 д) I7’ з) 365’ ) 113’ л) в) 1649’ ’ 450 ’ е) 1290’ ) 49 ’ и) 335; ’ 113 м) 260. Найдите с точностью до стотысячных представление десятичной дробью числа: а)151’ б>!’ в) 1649. 450 ’ г) 3422. ) 17 ’ д) ^7.’ 1290 е) 49 ж) з) и) 3 ’ к) 435 569’ 337' 365’ л) 2 ’ 113’ 991’ 335. м) 1000 113’ 427 261. Расположите дроби по возрастанию: а) 2’ 0,4285’ J;!’ 0,43589’ ^7.’ 0,4374’ 3’ 0,434782’ 0,6’ б) 3’ 0,2043918’ -^’ 0,20438958’ 0,20437956’ З21’ 5 44 592 0,204545’ 72^ 137 78 Правообладатель Народная асвета в) 0,20457604; 143; 0,205128; 0,20457796; ' 69^ ^ ^ 39 44; 0,204545; Ц3; г) 184; 0,7635135; 71; 0,7634409; ^^; 0,76348547; ' 24^^ 9^^ 55 113; 0,763636; ^l; 0,76470588; 0,76315789; 14^ 1^^ ^ 38 262. Преобразуйте в десятичную дробь число: а) ^7; е) 39 • л) W’ р) 81-р) 74; б) 74; ж) 73. ж) 74; м) 404; с) 885с) 111; в) 1^1; з) 110; ^ 111 н) 89 ; ^ 111 т) 28; ^ 74 г) 148; и) i7; ) 37 ; о) 22; ^ 37’ у) ^^; 222 21 д) 37 ; к) 57; ) 74 ; п) 987; ^ 148 ф) 871. 875 Сколько цифр в периоде десятичной дроби? 263. Замените обыкновенные дроби их десятичными приближениями с точностью до тысячных и найдите значение выражения, округлив ответ до сотых: 3 + 0,567; 5 е) 6 9 - 589 ^ 10 1000 ^ - 0,9678; ж) ^ ^ -^ 24 21 3 б) ^4 в) Ц - 0,3491 + 5; 25 6 г) ^ ^ + 7; М3 16 9 д) 3^2 - 1,6947 - Ц; + 0,0067; з) 16^ - 9,987 + 1^; и) 11-31 - 897 45 135 - 2,8009; к) 827 - 5 25 -1^. ^ 31 29 33 79 Правообладатель Народная асвета 264. С точностью до тысячных найдите корень уравнения: а) 45а = 23; б) 1,2а = 0,987; в) 12,7а = 123,9; г) 17с = 121; д) 2,001fe = 0,00984; е) 0,009876^ = 2,786; ж) 20щ = 111; з) 4,007х = 1234; и) 11,8p = 0,905; к) 120Ь = 1234; л) 45,9^ = 0,0987; м) 5876,5а = 345,9. ж) 200,7 • 0,6; з) 0,786 : 0,3; и) 12,5 : 0,5. 265. Вычислите устно: а) 5,56 + 4,44; г) 56,89 - 50,3; б) 71,9 + 1,1; д) 0,087 - 0,079; в) 0,78 + 0,07; е) 1,2 • 0,3; 266. Объясните, почему: а) уравнение x + 2 = x + 5 не имеет корней; б) уравнение 4 • (у - 3) = 4у - 12 имеет бесконечно много корней. 267. Решите уравнение: а) 13 - 53 : x = 34; 4 5 •(« - if)=22; б) 21 а - 91 = 20; 44 д) (20^+s)- if = 18| в) (7 - b) • = 22; ^20 5 е) (102+d)'- iy= 268. Найдите значение выражения: а) 0,21 • (3,2 + 4,28) - 1,023; б) 297,5 - 4,25 • (7,4 + 3,8); в) 6,2 + 12,4 • (4,285 + 4,715); г) (3,5 + 4,6 + 5,9 - 2,6) • 2,4; д) (12,4 + 34,7 - 22,3) : (29,71 - 13,71); е) 6,239 + 3,4 • 1,7 - 4,434 - 0,5 • (7,31 - 2,14); ж) (4,714 - 1,785) • 4,6 - (13,219 - 4,949) • 0,42; з) 15,3 • 0,4 + 1,25 • 5,6 - (10,62 - 12,5 • 0,24). 80 Правообладатель Народная асвета 269. Найдите значение выражения: а) б) в) 22-1:0,5); 8 -1,28 5,6 • 2,8 - 5,6 • 0,5 - 5,6 • 0,3’ 9,75 + 0,75 - 4,875 10,5 - 8,25 + 2,25 • 1,2; г) 33•9,3 ^(73 ^i 3,2 • 1,62 - 3,24 ; 7,5 - 7,14 ; 0,75 - 0,03 ; 0,8 • 0,36 + 1,76 • 1,2 ; д) е) ж) 0,85 : 0,17 : ^2^^ : з) 342-(61: 31)-142; и) 6,4 • 2,8 + (4 - 0,34) • 12,7; к) 12,6 • 5,4 + 7,4 • 2,07 - 2,3 • 0,42; л) (2,46 + 7,5) • 0,48 : (42,4 - 25,8); м) 2,5 • (302,6 • 1,8 - 717,6 : 1,38). 270. Володя во время зимних каникул поехал к дедушке. По железной дороге он ехал 4,5 ч, а потом его вез дедушка на лошади 1,5 ч. Всего Володя проехал 285 км. С какой скоростью он ехал по железной дороге, если скорость езды на лошади составила 10 км/ч? 271. Для приготовления клюквенного киселя берут три доли сахара, одну долю крахмала, три доли клюквы и 25 долей воды. Сколько граммов каждого продукта нужно взять, чтобы приготовить 15 порций по 250 г? 272. Фермер отправил на элеватор 204,8 т зерна, что составляет 0,76 всего собранного зерна. Сколько зерна было собрано? 81 Правообладатель Народная асвета 7 273. Найдите число, учитывая, что — его со- к 13 ставляют 5 числа 1797,6. 6 274. При взвешивании наши предки пользовались пунделем, фунтом, берковцом, камнем. Выразите с точностью до единицы современную единицу — тонну — в берковцах, камнях, пунделях, фунтах, учитывая связи между единицами, приведенные на рисунке 41, и то, что пундель равен 9,37 кг. 1 пундель = 25 фунтам', 1 берковец = 5 камням’, 1 камень = 40 фунтам. Рис. 41 275. Заказ на изготовление деталей выполняли трое рабочих. Первый рабочий изготовил 0,4 всех деталей, второй — 0,7 остатка, а третий — остальные 378 деталей. Каким был заказ? 276. В окрестностях Минска находятся водохранилища Заславское, Дрозды, Криница. Площади Дроздов и Заславского больше площади Криницы в 2— и 262 раза соответственно. Найдите площади 16 3 водохранилищ, учитывая, что их суммарная площадь равна 28,66 км2. 277. В водохранилище Дрозды 3 объема воды водохранилища Криницы да еще 0,3 млн м3, а в Заславском водохранилище 55 объемов воды Криницы да еще 1 млн м3. Найдите, сколько воды в каждом из водохранилищ, учитывая, что ^ вместе в них воды 107,5 млн м3. 278. Четырехугольник KPLQ на рисунке 42 — квадрат. Сделайте в своей тетради похожий рисунок, взяв сторону квадрата рав- 82 Правообладатель Народная асвета ной 5 см. Найдите рассуждениями площадь квадрата KLMN. Измерьте сторону KL квадрата KLMN и найдите его площадь. На сколько ваш результат, полученный измерением и вычислением, отличается от точного значения площади квадрата KLMN? 279. Ширина прямоугольника составляет — его длины, а вместе они составляют 36 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника. D 280. Углы CDE и CED треугольника CDE равны соответственно 45° и 50°, а угол BAC треугольника ABC равен 30° (рис. 43). Найдите величины углов ACB и CBA. 281. Стороны прямоугольных треугольников по углам большого квадрата на рисунке 44 имеют длины 2 см и 3 см. Сделайте такой рисунок в тетради. Найдите рассуждениями площадь квадрата PQRS. Измерьте сторону PQ квадрата PQRS и найдите его площадь. На сколько ваш результат, полученный измерением и вычислением, отличается от точного значения площади квадрата PQRS? 282. Антон из Минска и Семен из Брянска в 10 ч выехали на автомобилях навстречу друг другу и договорились встретиться в Гомеле (рис. 45). Антон R Рис. 44 83 Правообладатель Народная асвета в с Рис. 46 ехал со скоростью 76 км/ч и встретил в Гомеле Семена в 15 ч 5 мин. Определите, сколько времени ожидал Антон Семена и с какой скоростью ехал Семен, учитывая, что он заезжал в Унечу и пробыл на таможне 65 мин. 283. Шестиугольник ABCDEF площадью, равной 59 см2, состоит из двух прямоугольников AFEG и BCDG, ширины которых AF и BC отличаются на 2 см, а длины FE и DC равны 7 см и 8 см соответственно (рис. 46). Найдите по отдельности площади прямоугольников AFEG и BCDG. 284. Имеется два прямоугольных параллелепипеда, площади оснований которых отличаются на 9 см2, а высоты равны 7 см и 8 см (рис. 47). Учитывая, что объемы параллелепипедов вместе составляют 378 см3, найдите: а) эти объемы; б) неизвестные измерения нижнего параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 1 см; в) неизвестные измерения верхнего параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 4 см. 285. Имеется два прямоугольных параллелепипеда, высоты которых отличаются на 2 см, а площади оснований равны 99 см2 и 42 см2 (рис. 48). Учитывая, что объемы параллелепипедов вместе составляют 678 см3, найдите: 84 Правообладатель Народная асвета а) эти объемы; б) неизвестные измерения правого параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 1 см; в) неизвестные измерения левого параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 4 см. 286. Какое число получится на выходе машины, изображенной на рисунке 38, если на ее вход подать число: а) 2,275; в) 29,641; б) 6,035; г) 1,515? * * * 287. Определите, можно ли получить на выходе машины, изображенной на рисунке 38, число: а) 1; в) 3,701; д) 6,934; ж) 1,805; б) 2,3; г) 5,082; е) 7,95; з) 5,776. Есть ли такие числа, которые машина оставляет неизменными? 288. Как от куска ткани длиной 2 м отрезать полметра ткани, если нет никаких измерительных приспособлений? 289. Петр сложил шесть последовательных натуральных чисел и получил число, в котором каждая из цифр встречается по разу и только цифра 1 — два раза. Докажите, что Петр ошибся. 6. Выражения с обыкновенными и десятичными дробями Числовое выражение может содержать как обыкновенные, так и десятичные дроби. Чтобы найти его значение, можно действовать по-разному. А) Преобразовать все дроби в десятичные, так как вычисления с десятичными дробями проводить проще, чем с обыкновенными. 85 Правообладатель Народная асвета Пример 1. Найдем значение выражения ;8 - 0,396 + i3 ):((0,9 + )• (1 - 0,17) Учитывая, что — = 0,875, 3 = 0,6, — = 0,4, полу-8 5 5 чим новое выражение (0,875 - 0,396 + 0,6) : ((0,9 + 0,4) • (1 - 0,17)), значение которого совпадает со значением данного выражения. Проводим вычисления: (0,875 - 0,396 + 0,6) : ((0,9 + 0,4) • (1 - 0,17)) = = 1,079 : (1,3 • 0,83) = 1,079 : 1,079 = 1. Б) Преобразовать все дроби в обыкновенные. Это делают тогда, когда в условии есть обыкновенные дроби, которые не обращаются в конечные десятичные дроби, а требуется точный ответ. Пример 2. Найдем значение выражения 10,5 +18— + 261 3,6 3 4/ 98 - 1057 : 2,2 8 2 в котором дробь 1^ не обращается в конечную 3 13 десятичную. Учитывая, что 10,5 = 1^, 3,6 = ^, 25 2,2 = 21, получаем новое числовое выражение 5 101 +182 + 261 ]■ 33 98 - 1057 : 21 85 значение которого такое же, как и исходного выражения. Теперь проводим вычисления: 665 18 (ю1 +182 + 261 V . 33 5^^. 3.3 \ 2 3 4/ 5 = 12 5 98 - 1057 : 21 85 98 - 481 8 86 12___5^ 399 665•18•8 12•5•399 = 4. Правообладатель Народная асвета В) Вычисления проводить частично через десятичные, частично через обыкновенные дроби. Пример 3. Найдем значение выражения 0,375 — + 1,5 • 1,2 95 : (61 - 3,625^ ^12 / Чтобы выполнить вычитание, придется записать вычитаемое обыкновенной дробью, поскольку дробь — нельзя записать конечной десятичной дробью. 12 При выполнении действия 0,375 ^ — можно деление 80 заменить умножением 0,375 • 80 на обратное число и вообще не выполнять преобразований. Будем последовательно получать: 0,375'80 + 1,5 ’1,2 0,375 • 80 + 1,8 30 + 1,8 31,8 95 - 3,625 6 12 59 . 6 ' 31 М 59 ^ 211 59.24 3^- 8/ 6 24 6 59 =7,95. Г) Если не нужен точный ответ, то все дроби преобразовать в десятичные и найти приближенное значение выражения. Пример 4. Найдем значение выражения, которое рассматривалось в примере 2. Обратим обыкновенные дроби в десятичные с точностью до тысячных: 182 « 18,667, 261 = 26,25, 1057 = 105,875. Получим: 10,5 + 18-| + 26-1 )•3,6 ^10,5 + 18,667 + 26,25)- 3,6 = 98 - 105- : 2,2 8 98 - 105,875 : 2,2 = 55,417 •3,6 = 199,5012 = 4 000024 98 - 48,125 49,875 ’ ' 87 Правообладатель Народная асвета Как видим, получился примерно тот же результат, но при вычислениях через обыкновенные дроби в примере 2 мы уверены, что 4 — точное значение данного выражения, а здесь этой уверенности нет. Отметим, что в сложных примерах для увеличения надежности ответа проводят проверку. Пример 5. Укажем на один возможный вид проверки. Пусть мы провели вычисления и получили, что 19,8 105 - 859 ]■■ 155 48 72 = 237,6. 12 Для проверки одно из чисел сделаем неизвестным, тогда получим уравнение 19,8 105 - х]--1^5- = 237,6. 4^ ^ “'12 Решим это уравнение. Вычисления будут такими: 1) 19,8 : 237,6 = 194 : 2373 = :1188 = ^, зна- ' 5 5 5 5 12 чит, (1^^ - х ): 1^^ = —; \ 4^ / 12 12 2) 1.15А = 1.185 = ^ = 1 12 12 12 12 144 41 144 , значит, 1^5 - х = 1i1; 48 48 3) 1^^ - = 915 - 41 = 8159 - 41 = 8118 = 859, ^ 48 144 144 144 144 72 значит, х = 859. 72 Найденное значение х совпадает с замененным нами числом, значит, вычисления в примере проведены правильно. Когда вычисления проводят через десятичные дроби; когда через обыкновенные? 88 Правообладатель Народная асвета 290. Вычислите устно: а) 12,7 + 3,3; г) 34,6 - 2,7; б) 23,1 + 12,8; д) 2,8 • 6; в) 17,5 - 2,4; е) 5 • 3,3; ж) 45,9 : 0,3; з) 42,94 : 0,04; и) 21,6 : 0,3. 291. Найдите устно: а) 1 от 25; 5 б) 1 от 45; ' 9 в) — от 12; ’ 10 г) 0,3 от 2,5; д) 1-3 от 6; е) 2 4 от 7. 292. Найдите значение выражения 0,2с - —, если 4 с равно: а) 4; г) 5-2; ж) 7,25; к) 5,65; б) 7-|; д) 45; з) 10,75; л) 7,01; в) 6:j; е) 9,5; и) 8,45; м) 12,22. 293. Найдите значение выражения I + l если l равно: а)12 + 2^; в) 1,2 - ; б) i • if; г) I8.; 2,4. ^ 49 11 2,6 :2^ 11 • 4,8 6 2 294. Найдите значение выражения если a равно: а) 4; a(9,42 - 1,5a) a + 4.1,75 7 в) 2^; б) 11; ^ 2 г) 33; ^ 25 д) 1,25; е) 0,25. 89 Правообладатель Народная асвета 295. Найдите значение выражения: а) (1,595 - 1,42) : (9| - тЦ); б) 3,1 -(5,712 ’2,8+4i- 5i3l); в) 1-2-(о,2652:0,13 - 20 + 1,0б); г) 41 -(4,3•1 - (561 - 4^)); ’ ^ 2 \ 90 12// д) ((2 -0,°1:°,2). JL + 1:(1 + ^ е) 134,73 -119,78 - 2| • 1Ц 13; 10. 67; ж) (18,66 - (14,26 - -2|: l82((- 3,7; з) ((70 • d +1,34) : (58,19 : 11,5 - 4,36). а) б) в) г) д) 90 296. Найдите значение выражения: 7,315 + 3 + 0,875 + 2,75 0,72 • 12,5 - 0,1035 : 0,36’ (1 - 0,4)- (1 - 0,04)- 4,5 (6,2 - 4,6)- 2,4 - 3,2 • 0,75 ’ (5,09 - 5,0252) • (15,007 - 2,507) 4,735 : 5 + 1,495 : 1,3 + 4,221: 7 ’ (0,1955 + 0,187): 0,085 (86,9 + 667,6): (47,1 + 3,2) ’ 25,6 • 111 - 8^ ■ 12,375 4 1^ . 231 • 75 ’ 3 7 Правообладатель Народная асвета 5,76 : 27- + 1,32 :1-1 3 . 3- : 4,5 ’ 8 е) ж) (8,8 + 16^^ - 7,5 - 16^0): (8,5 - 5,5); з) 15 4,75 : - + 485 4 9 . 14,8 - 1271: 24 26 5 297. Решите уравнение: а) X : 8,5 = 0,12 : 4,8; б) (25 + 1,1x): 1^ = X : 14; М 1^ / 19 13 39 в>( i X- 4’8)-1^ = 7>2; г) (1,72 + 3,6x) + -- = 5,1; Д>( И X+5>2)^ i^iT = 8-1; е>(1I-X - 62)-(3,125 - 1.-2) = 4-6. 298. Найдите значение выражения 3^k - 0,3k 7 k + 3,5, если k равно: а) 0; г) -1; ^ 18 ж) 1151; 342 к) 15!; ^ 79 б) 17; 27 д) 1126; з) 1,19; л) 85 ; ^ 126 в) ь5; ^ 11 е) 289; 342 и) ^; ^ 18 м) 2— ' 90 299. Приток Прони — река Быстрая — имеет среднегодовой расход воды в устье, равный 4,3 м3/с. 91 Правообладатель Народная асвета Сколько мегатонн воды вливает река Быстрая в Про-ню за: а) час; г) месяц; ж) 31 суток; 3 2 б) сутки; д) год; з) ^ недели; в) неделю; е) 12 ч; и) 1,3 месяца? 300. Стороны прямоугольника равны — ми 0,4 м. Найдите: 10 а) сторону и площадь квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника; б) подбором сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника. 301. Отец, мать и сын пропололи картофель на площади в 10 а. Сын выполнил 1 всей работы. 4 Отец прополол в 1,5 раза больше сына, а остальную часть работы выполнила мать. Сколько квадратных метров картофеля пропололи отец, мать и сын в отдельности? 302. На координатном луче отмечены числа a и b (рис. 49). Перерисуйте рисунок в тетрадь и отметьте на этом луче точку с координатой: а) г) b ■■ 0,8; ж) a + — b; 2 к) a + b • ) 2 ; б) a ^ д) a ■■ 2,4; з) b - a; л) 3a + 1 b; 44 в) -1b; е) a - b • ) 2 4; и) a + b; ^3 2 м) 2a - b. Рис. 49 О 92 a b Правообладатель Народная асвета 303. Среди значений выражения 2,4 : z + 1,2 при значениях z, равных 11; 1; 144, 12 25 35 5 15 найдите наименьшее и наибольшее. Найдите их среднее арифметическое. 304. Хозяйка купила 2,3 кг яблок по 8300 р. за килограмм и 0,8 кг лимонов по 14 500 р. Сколько денег она заплатила за покупку? 305. Для приготовления варенья из вишен берут по массе на 2 доли вишен 3 доли сахара. Сколько сахара и сколько ягод было взято, если получили 9 кг варенья и при варке масса варенья уменьшилась в 1,4 раза? 306. Павел за первую неделю прочитал 192 страницы книги, а за вторую — 1 этого. Сколько стра- 4 ниц в книге, если всего прочитано — книги? 6 307. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной 5,5 см. Какова высота параллелепипеда, если объем его равен 60,5 см3? 308. На рисунке 50 угол BAC равен 72° (рис. 50), угол ACD — 45°, а угол ABE — 23°. Найдите величину угла CFE. 309. Олег купил несколько тетрадей в линейку и на 3 тетради больше в клетку. За тетради в линейку он заплатил 3000 р., а за тетради в клетку — 9600 р. Найдите цену тетради в линейку и цену тетради в клетку, учитывая, что тетрадь в клетку стоит в два раза больше. 310. Ксения купила несколько тетрадей в клетку и в три раза больше тетрадей в линейку. За тетра- 93 Правообладатель Народная асвета ди в клетку она заплатила 8800 р., а за тетради в линейку — 7200 р. Найдите цену тетради в клетку и цену тетради в линейку, учитывая, что тетрадь в клетку стоит на 1600 р. больше. * * * 311. В турнире, который проводится по олимпийской системе (проигравший сразу выбывает), участвуют 10 теннисистов. Сколько нужно провести встреч для выявления победителя? 312. Найдите наименьшие натуральные числа m и k, удовлетворяющие условию 497m - 45k = 1. 313. Определенное натуральное число при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 дает соответственно остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Найдите два наименьших из таких чисел. Правообладатель Народная асвета 1 Гп раздел Пропорции и проценты 7. Отношение величин А) Нас часто интересуют вопросы: 1. Во сколько раз одно значение определенной величины больше (или меньше) другого? 2. Какую часть одно значение величины составляет от другого? Ответ на эти вопросы ищут с помощью деления. Задача 1. Площадь озера Велле (Россонский район) равна 55 га, а длина его береговой линии — 2,8 км. Значения этих величин для Рукшанского озера (Ушачский район) таковы: 44 га и 4,06 км. Во сколько раз площадь озера Велле больше площади Рукшанского озера? Какую часть длина береговой линии первого озера составляет от длины береговой линии второго? Чтобы ответить на первый вопрос, разделим площадь озера Велле на площадь Рукшанского озера: 55 га : 44 га = 55 = 5 = 1,25. 44 4 Для ответа на второй вопрос длину береговой линии озера Велле разделим на длину береговой линии Рукшанского озера: о о ‘Л па 2,8 280 20 4,06 406 29 Отношением значений определенной величины называют частное от деления одного из этих значе- 95 Правообладатель Народная асвета ний на другое. Если делимое больше делителя, то отношение показывает, во сколько раз первое значение больше второго, в противном случае — какую часть первое значение составляет от второго. Чтобы найти отношение значений величины, нужно привести их к одной единице измерения и одно значение разделить на другое. Задача 2. Озера Яковское и Мещецкое находятся в Полоцком районе. Площадь первого из них равна 1,68 км2, а второго — 70 га. Какую часть площадь второго озера составляет от площади первого? Выражаем площадь Яковского озера в гектарах: 1,68 км2 = 168 га. Теперь определяем, какую часть от этой площади составляет площадь Мещецкого озера: 70 га : 168 га = = -^. 168 12 Отношение значений a и b записывают или частным a '■ b, или дробным выражением a. Например, b в задаче 1 отношение чисел 2,8 и 4,06 мы записали как 2,8 : 4,06 и как 2,8 . Отношение 2,8 можно 4,06 4,06 прочитать как Отношение числа 2,8 к числу 4,06, или как Отношение чисел 2,8 и 4,06, или как Отношение двух целых восьми десятых к четырем целым шести сотым. Числа 2,8 и 4,06 называют первым и вторым членами отношения. Б) Поскольку отношение двух чисел есть частное, то для него верно основное свойство частного. Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю. Пользуясь этим, мы при решении задачи 2 отно- шение 96 70 5 --- заменили отношением —, 168 12 Правообладатель Народная асвета Отношение дробных чисел обычно заменяют равным ему отношением натуральных чисел. Например, 1-| ^ ^ 14=( 7 ■ 15)^( '-7 ■15)=’(14 •5)=21 ’70- Примерами отношений являются известные вам соотношения между единицами измерения той или иной величины: а) метр относится к сантиметру как -00 ^ -; б) метр относится к километру как - ^ -000; в) час относится к минуте как 60 ^ -; г) час относится к суткам как - ^ 24. В) Задача 3. Спринтер пробежал -00 м за -0 с. Какой была его скорость? „ -00 м , Скорость спринтера равна -----, т. е. -0 м/с. -0 с Для определения скорости нам пришлось найти отношение пути ко времени, затраченному на него: путь скорость = —---. время Есть много величин, которые определяются как отношения: цена (отношение стоимости товара к количеству единиц товара), урожайность (отношение величины собранного урожая к площади, с которой он собран), производительность труда (отношение выполненной работы ко времени, затраченному на ее выполнение), плотность (отношение массы вещества к его объему) и др. 1. Что показывает частное от деления одного значения величины на другое ее значение? 2. Что называют отношением значений определенной величины? 3. Как найти отношение значений определенной величины? 4. Как записывают и как читают отношение значений величины? 5. Сформулируйте основное свойство отношения. 97 Правообладатель Народная асвета 314. Запишите отношение чисел и замените его равным отношением взаимно простых чисел: а) 6 к 18; в) 24 к 18; д) 2,6 к 39; б) 18 к 6; г) 26 к 39; е) 24 к 4,2. 315. Запишите отношение значений величины и замените его равным отношением взаимно простых чисел: а) 2 м к 4 м; г) 12 а к 0,4 га; б) 2 м к 4 дм; д) 2,5 ч к 150 мин; в) 3,5 м2 к 400 дм2; е) 1 сут к 1 мин. 316. Запишите отношение чисел и замените его равным отношением взаимно простых чисел: а) 16 к 4,8; д) 2,6 к 0,39; и) 10 к 217; ^11 30 б) 4,8 к 16; е) 210 к 4,2; к) 1,9 к 8^1; в) 4,6 к 23; ж) 3,04 к 1,9; л) 41 к 1И-) 412 к 118; г) 0,26 к 6,5; з) 5 к -3; м) 122 к 7^. 3 13 317. В классе 15 мальчиков и 12 девочек. Найдите количество учащихся в классе. Используя числа из условия и найденное число, запишите возможные отношения и к каждому из них поставьте вопрос. 318. Выразите одну из трех данных величин как отношение двух остальных: а) путь, время, скорость; б) цена, количество, стоимость; в) масса, плотность, объем; г) время, количество изготовленных деталей, производительность; д) объем воды, время, расход воды; е) объем воды, площадь озера, средняя глубина. 98 Правообладатель Народная асвета 319. Запишите отношение значений величины и замените его равным отношением взаимно простых чисел: ж) 23^4 см3 к -з50 дм3; з) 1— км3 к 630 млн м3; и) 2,5 м/с к 9 км/ч; к) 90 м/мин к 2 м/с; л) 20-5 м/с к 625 м/мин; 6 м) 1,5 км/м к 20 м/с. а) 6 кг к 9 т; б) 6 ц к 9 т; в) 6 ц к 9 кг; г) 6 г к 40 мг; д) 1,2 дм3 к 0,8 м3; е) 3,5 см3 к 490 мм3; 320. Внутри прямого угла BAC проведен луч AD так, что Z BAD = 18°. Во сколько раз: а) Z BAC больше Z BAD; б) Z DAB меньше Z CAB; в) Z CAD меньше Z BAC; г) Z BAC больше Z DAC; д) Z DAB меньше Z CAD; е) Z BAC больше Z CAB; ж) Z DAB меньше Z BAD; з) Z CAD больше Z BAD? 321. За первую четверть Толя имел 8 девяток, 7 семерок и 1 восьмерку. Какую часть от всех оценок составляют девятки; восьмерки; семерки? Какую часть составляют восьмерки от девяток; девятки от восьмерок; семерки от восьмерок; восьмерки и семерки от всех оценок; восьмерки и девятки от всех оценок? 322. В саду 152 яблони и 16 груш. Найдите отношение количества яблонь к количеству груш и количества груш к количеству яблонь. Ответами на какие вопросы являются найденные числа? 99 Правообладатель Народная асвета 323. Какую часть составляет произведение чисел 7 и 11 от наименьшего нечетного четырехзначного числа? 324. Отношение равно 28-4, а его члены — числа -21 и 13—. Какой первый член отношения; ка- 44 11 кой — второй? 325. Отношение равно 0,3, а один из его членов — число 211. Какое это отношение? 4 326. В отношении 12 : 21 первый член заменили числом 36. Что нужно сделать, чтобы отношение не изменилось? 327. Отношение длины прямоугольного участка к его ширине равно 34. Найдите площадь участка, 5 1 учитывая, что его ширина равна 1^ м. 328. Званое и Клетное — озера в Полоцком районе. Площадь Званого в 1,25 раза больше площади Клетного, воды же в первом озере в 8— раза боль- 15 ше. Найдите площади озер и объемы воды в них, учитывая, что площадь Званого равна 35 га, а воды в Клетном 0,15 млн м3. 329. Спринтер за 21 с пробежал 200 м. Сравните его скорость со скоростью катера, которая равна 34 км/ч. 330. В Неман впадают два притока с названием Уса. Уса, протекающая по Дзержинскому и Узденскому районам, за неделю вливает в Неман 3,81 млн м3 воды, а Уса, протекающая по Воложин-скому, Столбцовскому и Новогрудскому районам, за декаду вливает в Неман 4,32 млн м3 воды. Найдите с точностью до десятых кубического метра в секунду расходы воды в устьях этих рек и сравните их. 331. Один угол треугольника равен 59°, а другой составляет 5 третьего. Найдите углы треугольника. 6 100 Правообладатель Народная асвета 332. Из чисел 6; 5; 0,6; 2,4; 1,6; 24; 1,2 образуйте отношение, равное: а) 1,2; в) —; ^ 15 д) 0,12; ж) 41; ^ 6 б)13; г) ^3; е) 0,48; з) 2. 333. Вычислите: аь|- 3; в) 45 ’ 6 - ^^; 12 д) 8^ + 355; ’ 13 39 б) 3-8- ^3; г) 5^ 1 20. 121; е)^ + ^. ’ 34 51 334. Найдите значение выражения: а) 1^^ + 91 - 61; ^55 33 6 б) 85112 - (861! - 8=ii); в) 451 - 3212 + 120; ’ 142 497 71 ’ г) 2103 - ^^51 - з57 127 254 635 335. Северная Двина образуется при слиянии 3 рек Суханы и Юг. Длина Суханы составляет — длины Северной Двины. Какова общая длина Суханы и Северной Двины, если разность их длин равна 186 км? 336. Карась откладывает в 2,4 раза меньше икринок, чем лещ, окунь — 0,6 того количества, которое откладывает карась, щука — в 1,6 раза больше, чем окунь, что составляет 0,16 количества икринок, которое откладывает карп. Сколько икринок откладывает каждая из рыб, если карп откладывает их 1,5 млн? 337. На координатном луче взяты точки P, Q и R. Координата точки P составляет 1,4 от координаты точки Q, а координата точки R составляет — от 6 координаты точки P. В каком порядке расположе- 101 Правообладатель Народная асвета ны эти точки на координатном луче? Какую часть составляет координата точки R от координаты точки Q? 338. Нарисуйте сектор с радиусом 5 см и углом: а) 180°; б) 60°; в) 270°. 339. Постройте развертку прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2 см, 3 см, 6 см. Постройте развертку второго прямоугольного параллелепипеда с такой же полной поверхностью. 340. Рая купила несколько тетрадей в линейку и на 3 меньше тетрадей в клетку. За тетради в линейку она заплатила 10 500 р., а за тетради в клетку — 10 000 р. Найдите цену тетради в линейку и цену тетради в клетку, учитывая, что эти цены относятся как 3 : 5. 341. Дима купил несколько тетрадей в линейку, за которые заплатил 18 000 р., и несколько более дешевых на 1400 р. тетрадей в клетку, за которые заплатил 14 400 р. Найдите, сколько куплено тетрадей в линейку и сколько куплено тетрадей в клетку, учитывая, что эти количества относятся как 2 : 3. * * * 342. Институт белорусской культуры, который в 1928 г. был преобразован в Академию наук БССР, был открыт в день, о котором известно следующее. Сумма даты и порядкового номера месяца открытия есть количество дней этого месяца, удвоенный квадрат которого дает год события. Определите дату открытия Института белорусской культуры, учитывая, что это произошло в предпоследний день месяца. 343. Мать планировала купить арбуз массой 3 кг, но выбрала другой — массой 5 кг, хотя его и продавали дороже на 500 р. за килограмм. Из-за этого мать уплатила на 11 500 р. больше. Сколько стоил купленный арбуз? 102 Правообладатель Народная асвета 344. Укажите, как нужно расположить прямоугольные плитки размерами 1 см X 2 см, чтобы они не перекрывались, закрыли без просветов внутреннюю часть прямого угла и никакие две плитки не закрывали квадрат размерами 2 см X 2 см. 8. Длина окружности. Площадь круга А) Длину отрезка измеряют линейкой. Непосредственное измерение линейкой длины окружности невозможно. Пусть нужно измерить длину окружности, получившейся при обведении стакана, поставленного на бумагу (рис. 51). Можно использовать такой прием. Обернем стакан ниткой, затем выпрямим ее и линейкой измерим ее длину (рис. 52). Полученное число приближенно выражает длину нарисованной окружности. Проведем небольшое исследование. Измерим длины разных окружностей, которые получаются при обведении на бумаге различных круглых предметов — стакана, банки (рис. 53), консервов (рис. 54), тарелки (рис. 55) и др. Для каждой из окружностей ............... 12345678 Рис. 52 *сильк^ ООШ Рис. 54 Рис. 55 103 Правообладатель Народная асвета измерим и ее диаметр. Результаты одного из таких опытов приведены в таблице. Длина окружности, мм Диаметр окружности, мм Отношение длины окружности к ее диаметру 205 65 3,154 437 140 3,121 4085 1300 3,142 330 105 3,143 530 168 3,155 3443 1092 3,153 1140 364 3,132 289 92 3,141 Отношение длины окружности C к ее диаметру d в третьем столбце вычислено с точностью до третьего десятичного знака. Видим, что это отношение больше 3, но меньше 4. Математическими рассуждениями установлено, что отношение C '■ d для любой окружности одно и то же. Число, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру, обозначают греческой буквой п (читается Пи). По результатам измерений, приведенным в нашей таблице, найдем приближенное значение числа п. Для этого найдем среднее арифметическое значений п из третьего столбца. Сложим их: 3,154 + 3,121 + 3,142 + 3,143 + 3,155 + + 3,153 + 3,132 + 3,141 = 25,141. Теперь полученную сумму делим на количество слагаемых, которых 8: 25,141 : 8 = 3,142625. 104 Правообладатель Народная асвета Результат округляем до сотых: 3,142625 « 3,14. Таким образом, п « 3,14. Точное значение числа п выражается бесконечной непериодической десятичной дробью п = 3,1415926535^ . Из равенства C ■ d = п получим, что C = nd. C = пd, C — длина окружности, d — ее диаметр Поскольку диаметр окружности в 2 раза длиннее ее радиуса, т. е. d = 2r, то формулу длины окружности можно записать и так: C = 2пг, C — длина окружности, r — ее радиус Б) Для приближенного определения площади фигуры используют палетку. Палетка — это прозрачная пластинка, разделенная на единичные квадраты. Она показана на рисунке 56. Найдем с помощью палетки площадь круга. Для этого на него наложим палетку (рис. 57) и Рис. 56 Рис. 57 105 Правообладатель Народная асвета Рис. 58 подсчитаем количество единичных квадратов палетки, целиком поместившихся в круге. Таких квадратов 32. Подсчитаем количество единичных квадратов палетки, которые частично наложились на круг. Таких квадратов 28. На рисунке 58 они закрашены. Примем, что 2 таких квадрата вместе закрывают часть круга площадью в 1 единичный квадрат. 28 Тогда получим, что площадь круга равна 32 + — = = 46 (единичных квадратов). Нахождение площади с помощью палетки дает приближенный результат, и такой способ не всегда можно использовать. В математике найдены формулы, позволяющие найти площади фигур различной формы. К формуле площади круга можно подойти так. Пусть нужно найти площадь круга (рис. 59). Разделим круг на равные секторы и для наглядности секторы через один закрасим (рис. 60). Из полученных секторов составим новую фигуру (рис. 61). Разрежем один крайний сектор пополам и приставим одну половинку с другой стороны, чтобы боковые стороны фигуры стали вертикальными (рис. 62). Понятно, что площадь полученной фигуры такая же, как и площадь круга. В то же время сама фигура похожа на прямоугольник. Если же разрезать круг на все более мелкие секторы (рис. 63), то новая фигура все более и более будет приближаться к прямоугольнику (рис. 64). Площадь же прямоугольника мы умеем находить, если знаем его стороны. 106 Правообладатель Народная асвета Рис. 60 Рис. 62 Рис. 63 Рис. 64 Поэтому найдем их. Вертикальные стороны — это радиусы, значит, их длина равна г. Горизонтальные стороны образованы дугами, нижняя — дугами закрашенных секторов, верхняя — незакрашенных. Но дуги одной стороны вместе составляют полуокружность, значит, длина одной стороны равна 2пг : 2, или пг. Теперь можем вычислить площадь прямоугольника, что на рисунке 64. Она равна пг • г, т. е. пг2. Мы получили формулу для площади круга. S = пг2, S — площадь круга, г — его радиус 107 Правообладатель Народная асвета Рис. 65 ла п мециевым числом, равным Архимед (рис. 65) в глубокой древности нашел, что число п приближенно выража-22 ется дробью —. Поэтому ее называют архимедовым числом. Приближение числа п архимедовым числом достаточно для решения большинства практических задач. Если необходима большая точность, используют приближение чис-355 113 Мециево число было найдено в 1585 г. голландским математиком Андрианом Антонисом, но публикацию об этом сделал в 1611 г. после смерти Антониса его сын Андриан Меций, его именем и названо число 355 113. 1. Что выражает число п? Каково приближение числа п с точностью до сотых? 2. Как найти длину окружности, если известен ее диаметр? 3. Как найти длину окружности, если известен ее радиус? 4. Какое число называют числом Архимеда; числом Ме-ция? Что выражают эти числа? 5. Как находят площадь фигуры с помощью палетки? 6. Как найти площадь круга по известному его радиусу? 345. Округлив число п до сотых, найдите длину окружности, если ее диаметр равен: а) 1 м; в) 2,1 дм; д) 67,5 мм; б) 16 см; г) 2,5 м; е) 1,06 км. 108 Правообладатель Народная асвета рисунке: а) 66; б) 67; 347. Взяв в качестве значения числа п число Ар-22 химеда —, найдите длину окружности, если ее радиус равен: а) 21 мм; г) 3^1 см; ж) 1511 дм; 45 б) 33 см; д) 12-7 м; з) 100 м; в) -77 м; 44 е) ^51 дм; ^ 100 и) 77— см. 348. Определите диаметр и радиус окружности если ее длина равна: а) 314 см; г) 47,1 см; ж) -355 см; ^ 113 б) 15,7 м; 22 д) м; з) 923 дм; М13 в) 18,84 дм; е) 1з352 дм; и) 286 мм. 109 Правообладатель Народная асвета 349. Коля решил определить толщину плодовых деревьев, растущих в саду, измерив их обхваты на высоте 10 см от земли. Результаты измерений он записал в таблицу. Вычислите вместе с Колей толщину деревьев. Сделайте таблицу в тетради. Обхват, см 28 31 19 42 25 37 51 Толщина, см 350. Проведите нужные измерения и найдите длину: а) пятой доли окружности (рис. 69); б) трети окружности (рис. 70). Рис. 71 351. Колесо на расстоянии 1 км сделало 410 оборотов. С точностью до сантиметра найдите диаметр колеса. 352. Выполните необходимые измерения и вычислите периметр фигуры на рисунке 71. 353. Земной экватор приближенно равен 40 000 км (рис. 72). С точностью до сотен километров найдите диаметр Земли. 354. Греческий математик Архимед в III в. до н. э. доказал, что для числа п выполняется двойное не-110 Правообладатель Народная асвета равенство < п < 31. Проверьте это неравенство, взяв значение числа п из текста учебного пособия. Какое из чисел — З10 или З1 — бли-71 7 же к числу п? 355. Индийский математик Ариабхата в V в. писал: «Прибавь 4 к 100, умножь на 8 и прибавь ко всему этому 62 000. То, что получишь, — приближенное значение длины окружности, если ее диаметр 20 000». Найдите приближенное значение числа п, данное Ариабхатой в этом описании. 356. Китайский математик Цзу Чунчжи в V в. для числа п предложил приближение, равное 355 113, теперь известное как число Меция. Найдите, в каком десятичном разряде число 355 113 отличается от числа п. 357. Измерьте радиусы кругов, изображенных на рисунке 73, и найдите их площади. 111 Правообладатель Народная асвета 358. Найдите площадь круга, если его диаметр равен: а) 7 см; в) 14 см; д) б) 5 см; г) 14 м; ’ 33 е) 91 176 35 154 м; м. Рис. 75 359. Фигура на рисунке 74 ограничена половинами и четвертями окружностей одинаковых радиусов. Найдите ее площадь, учитывая, что стороны квадрата, на которых построены полуокружности, равны 30 мм. 360. Круг с радиусом 20 мм на рисунке 75 разделен на 6 равных секторов. Найдите: а) угол каждого сектора; б) площадь каждого сектора. 361. Круг радиусом 9 см разделен на три части. Найдите площадь каждой части. учитывая, что части ограничены: а) лучами, выходящими из центра окружности и образующими равные углы; б) окружностями, которые имеют общий центр с данной и разделяют ее радиус на равные части. 362. Найдите площадь сектора радиусом 10 см, угол которого равен: а) 1°; в) 60°; б) 120°; г) 6°; 112 д) 90°; е) 180°; ж) 20° з) 50°; и) 150° к) 65°. Правообладатель Народная асвета 363. Найдите площадь общей части кругов на рисунке 76, учитывая, что вместе они закрывают площадь, равную 1453 мм2. 364. По рисунку 77, выполнив необходимые измерения, найдите, какую площадь закрывают прямоугольник и круг вместе. 365. Найдите среднее арифметическое чисел: а) 13 ^ и 29 . г) б"—, 21 и 443; 50, 10 100; 72’ 36 48 б) 2 5 13 и -31; д) 529, 323, А и 437; 3, 6, 18 36 52 65 10 78 в) 17 , 2— и е) Ь^, 249, 399 и 4499 36 9 144 10 50 100 500 366. Найдите значение выражения: 35- 3il6); а) (2,6 : + 2^ - 2 39 \ 15 14 146 б) (5 • 2 U • 5 - 1):( 1- 7 \7 ’ 6 / ' V 8 в) (^7 - 33 + 4,4 - 8 - ) \ 15 4 60/ г) (18 • 13 + 55:. -) :(8- \ 13 42 7 21/ \ 1 _3^ 14 113 Правообладатель Народная асвета 367. Вычислите: а) 4147 : 0,5 + 1417 : 1,1 + 2^^ ■■ -7; ^ 20^ 2^ 1000 10 б) 22,5 • 73 + 20^^ - 1 • 250; ' 4 20 2 в) 58919 : 16 - 1817 : 7 + 0,69 : 23; 25 50 г) + 0,357 • ^ - 7 -^; ^ 50^ ’ 17 8 125’ д) 15 76267 100000 100,6 + 4^697’ 1000 е) / 39L + J87\ ^ (-J7_ ^ \2000 100^ \ 200/ 368. Разность длин рек Оранжевой и Лимпопо, протекающих на юге Африки, равна 260 км. Най- 31 дите длины этих рек, учитывая, что — длины 32 Лимпопо равна — длины Оранжевой. 6 7 369. Длина прямоугольного участка составляет его ширины. Какова площадь участка, если его ширина меньше длины на 13 м? 370. Продали 33 ящика с яблоками и сливами. 3 Слив в одном ящике было 25,5 кг, а яблок — 2^— кг. 4 Сколько было ящиков с яблоками и сколько со сливами, если всего продано 7701 кг? 4 371. Озеро Малые Швакшты в Поставском районе содержит 2,86 млн м3 воды. Это составляет 0,88 воды озера Большие Сурвилишки. Сколько воды в Больших Сурвилишках? 3 372. Масса сушеных яблок составляет — массы свежих. Сколько получилось сушеных яблок, если известно, что после сушки масса яблок уменьшилась на 51 кг? 114 Правообладатель Народная асвета 1 5 373. Ширина поля составляет 1 длины, которая 2 3 равна 1,5 км. С — этого поля, занятых картофелем, собрали 9360 ц. Определите урожайность в расчете на 1 га. 374. В 1995 г. в Беларуси было собрано картофеля на 1319 тыс. т больше, чем в 2012 г. В 2005 и 2012 гг. вместе собрано 15 096 тыс. т картофеля. Сколько картофеля было собрано в каждый год? 375. Туристы сначала шли со скоростью 5 км/ч, а затем снизили ее до 41 км/ч. Всего за 6 ч они 2 прошли 28 км. Найдите время движения туристов с той и другой скоростями. 376. Велотуристы 2 ч ехали с одной скоростью, а затем снизили ее и с меньшей скоростью ехали еще 3 ч 20 мин. Найдите большую и меньшую скорости туристов, учитывая, что вместе эти скорости составляют 31 км/ч, а всего туристы проехали 82 км. * * * 377. На острове Откровенном каждый человек или правдивый (он всегда говорит правду), или лгун (он всегда говорит неправду). В совете старейшин этого острова 100 человек. Известно, что хотя бы один из них правдивый, а среди любых двух из них есть хотя бы один лгун. Можно ли определить, сколько правдивых в совете старейшин? 378. Пачка пряников вдвое дороже пачки печенья. Некто купил 5 пачек пряников и 3 пачки печенья. Если бы он вместо этого купил 3 пачки пряников и 2 пачки печенья, то затратил бы на 200 р. меньше. Сколько стоит пачка печенья и пачка пряников? 115 Правообладатель Народная асвета 379. Можно ли все натуральные числа от 1 до 13 распределить в несколько групп так, чтобы наибольшее число в каждой группе было равно сумме остальных чисел этой же группы? А числа от 1 до 12; от 1 до 14? 9. Пропорция. Масштаб А) В предыдущем параграфе нам приходилось записывать равенства двух отношений: 55 = 5. 2,8 = 280. = 5 44 4; 4,06 406; 168 12' Равенство двух отношений называют пропорцией. Пропорцию a c читают по-разному: а так отно-b d сится к b, как c относится к d, или Отношение а к b равно отношению c к d, или Число а во столько раз больше числа b, во сколько раз число c больше числа d, или Число а составляет такую часть от числа b, какую число c составляет от числа d, или Частное от деления а на b равно частному от деления c на d. Числа а, b, c, d, образующие пропорцию а c, называют ее членами, числа b d Рис. 78 а и d, а также b и c — накрест лежащи- ми членами (рис. 78). Если пропорцию а c запи- bd сать в виде а ■ b = c ■ d, то накрест лежащие члены а и d оказываются по краям, а члены b и c — в середине. Поэтому а и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции (рис. 79). Б) Пропорция может быть правильной или не- 15 = 25 9 15 116 — 'X— b'^d правильной. Пропорция ^Крайние члены^ а:Ъ = с:а ' Средние члены ' Рис. 79 правильная, так Правообладатель Народная асвета 15 5 как отношение — равно числу —, и этому же чис-9 3 25 3 8 лу равно отношение —. Пропорция — = — непра- 15 6 10 3 вильная, так как отношение — равно числу 0,5, от- 6 8 ношение — равно числу 0,8, а числа 0,5 и 0,8 не равны. Верно утверждение: если пропорция правильная, то произведения ее накрест лежащих членов равны. Это утверждение называют основным свойством пропорции. Докажем его. Пусть пропорция a c правиль- b d ная. Используем основное свойство частного и умножим члены первого отношения на d, а второго на b. Получим ad = , или ad = . В полученном bd db bd bd правильном равенстве знаменатели дробей равны. Поэтому будут равными и числители: ad = bc, т. е. произведение крайних членов ad равно произведению средних членов bc. Верно также утверждение: если произведения накрест лежащих членов пропорции равны, то такая пропорция правильная. Это утверждение называют признаком правильной пропорции. Докажем это. Пусть для пропорции a c вы- bd полняется равенство ad = bc. Разделим равные числа ad и bc на одно и то же число bd. Получим вер- ное равенство ad = bc_ bd bd . Сократив первую дробь на d, а вторую на b, получим верное равенство a c, bd ac т. е. пропорция — ^ — правильная. bd 117 Правообладатель Народная асвета Свойство и признак правильной пропорции можно сформулировать и так: если пропорция правильная, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов. Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то пропорция правильная. Эти свойство и признак позволяют проверить правильность пропорции. Пример 1. Определим, является ли правильной пропорция 153 = .9. Находим произведения на- крест лежащих членов: 153 • 12 = 1836; 204 • 9 = 1836. Значит, 153 • 12 = 204 • 9. Используя признак правильной пропорции, утверждаем, что пропорция 153 = 9. правильная. 204 12 ^ Пример 2. Проверим, является ли правильной пропорция 3 : 4 = 5 : 6. Произведение ее крайних членов 3 и 6 равно 18, а произведение средних членов 4 и 5 равно 20. Поскольку 18 ^ 20, то пропорция 3 : 4 = 5 : 6 неправильная, так как если бы она была правильной, то по свойству правильной пропорции выполнялось бы равенство 3 • 6 = 4 • 5. В) Установим правила нахождения неизвестных членов пропорции. Пусть в пропорции x '■ b = c '■ d неизвестен ее крайний член X. Применив основное свойство пропорции, получим: откуда xd = bc, X = (bc) '■ d = . d Чтобы наити неизвестный крайним член пропорции, нужно произведение ее средних членов разделить на известный крайний член. Пример 3. Чтобы получить 4 л рапсового масла, нужно переработать 9,5 кг семян рапса. Сколько 118 Правообладатель Народная асвета нужно переработать семян рапса, чтобы получить 1000 л масла? Условие задачи можно представить краткой записью: ^^ [ 4 л масла — 9,5 кг семян; | 1000 л масла — m кг семян. ) По смыслу задачи, чем больше нужно получить масла, тем больше нужно переработать семян. Поэтому 4 л так относится к 1000 л, как 9,5 кг к m кг: 4 _ 9,5 откуда m = 1000 1000 • 9,5 4 m = 2375 (кг). Ответ. Чтобы получить 1000 л рапсового масла, нужно переработать 2375 кг семян рапса. Пусть в пропорции a '■ b = y ■ d неизвестен ее средний член у. Учитывая основное свойство пропорции, получим: ad = by, у = (ad) ■ b = ad b ' Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение ее крайних членов разделить на известный средний член. Пример 4. Автомобиль некоторое расстояние проехал за 4 ч со скоростью 75 км/ч. Сколько времени он затратил бы на этот путь, если бы ехал со скоростью 60 км/ч? ^ л 75 км/ч — 4 ч; 60 км/ч — t ч. Понятно, что если скорость в несколько раз больше, то нужное время на то же расстояние во столько же раз меньше. Это отражено стрелками в краткой записи. Поэтому 75 60 4, 119 Правообладатель Народная асвета отсюда + 75•4 . , . *== 5 (ч)- Ответ. Понадобилось бы 5 ч. Г) Вы уже знаете, что на картах изображают участки земной поверхности, но в уменьшенном виде. Чтобы карта давала правильное представление об изображенной на ней местности, все расстояния между реальными объектами местности показывают уменьшенными в одно и то же количество раз. На топографической карте (рис. 80) показана деревня. В действительности расстояние между дубами, растущими в окрестностях деревни, составляет 350 м, а на карте оно равно 35 мм. Поскольку 350 м = 350 000 мм, то на карте уменьшение сдела-350000 но в 35 , т. е. в 10 000 раз. Отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности называют масштабом карты. Масштаб карты на рисунке 80 равен 1 : 10 000, или —1—. Говорят, что карта сделана в масштабе 10 000 одна десятитысячная. С помощью карты можно находить реальные расстояния на местности. 120 Правообладатель Народная асвета Пример 5. Найдем расстояние между крайними домами главной улицы деревни (см. рис. 80). Линейкой определяем, что это расстояние на карте равно 67 мм. Обозначим искомое расстояние l. Поскольку отношение 67 : l расстояния на карте к расстоянию на местности равно масштабу карты 1 : 10 000, то получаем пропорцию 67 : l = 1 ■ 10 000. По правилу нахождения среднего члена пропорции находим l = 67 • 10 000 : 1 = 670 000. Но 670 000 мм = 670 м. Значит, реальное расстояние между крайними домами деревни равно 670 м. Пример 6. Найдем, на каком расстоянии будут находиться на карте, сделанной в масштабе 1 : 100 000, два объекта, расстояние между которыми на местности равно 3,7 км. Обозначив искомую длину k, составим пропорцию k ■ 3,7 = 1 : 100 000, из которой находим k = 3,7 : 100 000 = 0,000037. Таким образом, искомое расстояние на карте равно 0,000037 км, или 37 мм. Масштабом пользуются не только при составлении географических карт. При проектировании дома в определенном масштабе показывают его отдельные части. Детали на чертежах также изображают в нужном масштабе. Масштабы бывают не только уменьшительными. Мелкие объекты показывают в увеличительном масштабе. Например, на рисунке 81 показано одноклеточное животное инфузория в масштабе 50 ^ 1. Масштаб 50: 1 Рис. 81 121 Правообладатель Народная асвета 1. Какое равенство называют пропорцией? 2. Как можно прочитать пропорцию a '■ b = c ■ d? 3. Как называют числа, образующие пропорцию? Какие числа в пропорции называют накрест лежащими членами; крайними членами; средними членами? 4. Как формулируется основное свойство правильной пропорции; признак правильной пропорции? 5. Как можно проверить правильность пропорции? 6. Как найти неизвестный крайний член пропорции? 7. Как найти неизвестный средний член пропорции? 8. Что называют масштабом карты? 9. Что показывает масштаб карты? 10. Как найти по карте реальное расстояние между объектами? 380. Прочитайте пропорцию и назовите ее крайние и средние члены: а) 18 : 6 = 33 : 11; б) 3,2 : 4,8 = 3,4 : 5,1; в) 11 : 1 = 3 : 2; ^ 2 5 5’ г) 21 : 2 = 0,5 : 2; ^2 3 д) 14 : 12 = 16 : 14; е) 3^ : 3 = °,5 : ^2. 381. Запишите пропорцию: а) 7 относится к 2, как 1,4 относится к 0,4; б) отношение 9 к 0,3 равно отношению 30 к 10; в) число 41 во столько раз больше числа 4, во сколь- 3 ко раз число 13 больше числа 12; г) число 5 составляет такую часть числа 10, какую число 11 составляет от числа 21; 4 2 д) частное от деления 3,5 на 1,4 равно частному от деления 5 на 2. 382. Вычислите отношения и составьте из них 1 12 правильные пропорции: 22 : 11; 3— ■ 2; 12 : 6; — : —; 2 2 5 7 : 10; 7,9 : 7; 8 : 0,8; 100 : 10. 122 Правообладатель Народная асвета 383. Продолжительность урока 45 мин. Найдите, какую часть его заняла самостоятельная работа, если она продолжалась 25 мин, и запишите соответствующую пропорцию. 384. Талица и Сб^он — притоки реки Оресы. Их длины соответственно равны 40 км и 32 км. Выразите отношение этих длин несократимой дробью. Запишите пропорцию. 385. Среднегодовые расходы воды в устьях рек Та-лицы и Солона равны 2,1 м3/с и 1,4 м3/с соответственно. Выразите отношение этих величин несократимой дробью. Выразите расходы воды в кубических метрах в час и запишите соответствующую пропорцию. 386. Запишите отношение величин, замените его несократимой дробью, запишите пропорцию: т2. а) 120 км и 800 м; б) 15 мм и 36 м; в) 51 мм3 и — л; 17 г) 22 га 40 а и 24 км2 5 д) 41 ч и 330 с; 5 е) 30 сут и 12 ч. 387. Докажите, что равенство: а) 7 : 11 = 21 : 33 — правильная пропорция; б) — неправильная пропорция; 14 25 в) правильная пропорция; ^ = 40 42 70 г) 3 : 11 = 21 : 33 — неправильная пропорция. 388. Определите, является ли правильной пропорция: а) 42 : 72 = 14 : 24; б) 24 : 72 = 14 : 42; в) 44 : 72 = 44 : 24; г) 3^ д) 3 е) 2l3 123 = 24 : 8 11-3 = 24 8 33 = 32 • 34 12 ' 77; 75; 33 8 . 123 Правообладатель Народная асвета 389. Составьте, если можно, правильную пропорцию из четырех чисел: а) 6; 12; 9; 8; в) 0,8; 0,6; 1,6; 3; б) 0,009; 1,5; 0,24; 40; г) 8 . 20 25 10 1^ 2^ 2^ 15 390. Сократите дроби и запишите соответствующие пропорции: 34. 51; а) 27 ; 66 ; 117 ; 325; 999; 440; 1300; 525; б) 450; 327; 840; 264; 480; 351; 960 ; 312; 57 95' 391. Поставьте вместо звездочки такое число, чтобы получилась правильная пропорция: а) 16 : 12 = 4 : *; в) 4 : * = 20 : 35; б) * : 6 = 15 : 45; г) 6 : 2 = * : 0,5. 392. Решите уравнение: в) 16 : (3s) = 28 : 7; а) 9 = 9 , ^ 4 0,25х’ б) 2^4 : 3^3 = 1,4 : (^у); г)1! : 2| = 3^ : 3,5. 393. Найдите неизвестный член пропорции: д) 7,2 : k = 1,8 : 2,5; е) z ■ 0,4 = 0,02 : 0,3; ж) 0,75 : 3 = 0,3 : Ъ; 8 а) т '■ 12 = 9 : 27; б) 7 : а = 3 : 12; в) 16 : 40 = с : 15; г) 8 : 5 = 12 : х; з) 0,05 : 12 = t ■■ 3. 3 6 394. Для холодной засолки 12 кг грибов берут 600 г соли. Сколько понадобится соли, чтобы засолить 40 кг грибов? 395. Из 1 ц рапса получают 40 кг масла. Сколько нужно взять рапса, чтобы получить 1 ц масла? 124 Правообладатель Народная асвета 396. Из 100 г свежего мяса получается 62 г вареного. Сколько свежего мяса нужно взять, чтобы приготовить 124 порции мяса, по 75 г каждая? 397. Из 100 л молока получается 3 кг 700 г масла. Сколько масла получается из 18 л молока? 398. Известно, что 10 л молока весят 10,3 кг. Сколько весят 515 л молока? 399. Чтобы получить 10 т железа, нужно переработать 18 т железной руды. Сколько получится железа из 1050 т руды? 400. Четыре плотника построили дом за 72 дня. Сколько дней работали бы на этом строительстве 9 плотников? 401. Собранные яблоки сложили в 40 ящиков по 10 кг. Сколько понадобилось бы ящиков, если в каждый складывать по 8 кг яблок? 402. Вера купила 600 г конфет по 72 тыс. р. за килограмм. Сколько конфет по цене 80 тыс. р. за кг она могла бы купить за те же деньги? 403. Пять путешественников взяли запас пищи на 12 дней. На сколько дней хватило бы этого запаса, если бы их было шестеро? 404. Бассейн заполняли 8 ч через трубу, которая пропускала 25 м3 воды в час. На сколько больше времени понадобилось бы для заполнения этого бассейна, если бы через трубу вливалось воды на 5 м3/ч меньше? 405. Два ящика имеют одинаковые объемы. Высота первого — 120 см, а площадь основания — 2,5 м2. Во втором ящике площадь основания на 0,5 м2 меньше. Найдите его высоту. 406. Велосипедисты ехали до озера со скоро -стью 16 км/ч, а назад возвращались со скоростью 12 км/ч. Определите, сколько времени занял обратный путь. 125 Правообладатель Народная асвета 407. Решите уравнение: a»3i5 ^ б) 5,6а : 0,9 = 6,4 : 7,2; в) : 8,1 = 19y ■■ 9,6; г) 6,5 : 5,2 = 1-| : (0,4d); д) 8,5 : (3,461 = 3| : 21; 5 4 е) 3,6 : 2,4 = 31 : (44 X ж) 5^4 : (4,8s) = 3^8 : 7,5; з) 2,1 : 8,3 = 5,4 : (2,7с). а) 180°; б) 90°; 408. Длина окружности равна 135 мм (рис. 82). Найдите величину угла, которому соответствует дуга длиной 42 мм. 409. Радиус окружности 60 мм. С точностью до миллиметра найдите длину окружности. Найдите длину дуги, соответствующей углу в: в) 240°; д) 50°; г) 40°; е) 75°. 410. Дуге окружности длиной 120 мм соответствует угол в 30°. Найдите величину угла, которому соответствует дуга длиной: а) 600 мм; в) 320 мм; д) 460 мм; б) 100 мм; г) 180 мм; е) 716 мм. 411. Масса 6 л бензина 4,5 кг. Можно ли в цистерну вместимостью 50 м3 поместить 38 т бензина? 412. Составьте задачу, которая решалась бы с помощью пропорции: а) 4 : k = 100 : 78; в) 22 : 150 = s : 7,5; б) 120, г) 243 909 3 2^ “'11 I 413. Каким будет урожай свеклы с поля в 70 га, если с контрольного квадратного участка со стороной 20 м собрали 20 ц? 126 Правообладатель Народная асвета а 414. По карте (см. рис. 80) определите: а) расстояние между крайними домами переулков деревни; б) расстояние от дальнего дуба до главной улицы деревни; в) расстояние от крайнего дома левого переулка до дальнего конца улицы; г) наибольшее расстояние между колодцами. 415. В таблице даны длины основных притоков Сожа. Перепишите таблицу в тетрадь и заполните три последних столбца, вычислив длины притоков на картах с указанными масштабами. Приток Длина Длина притока на карте масштабом 1 : 500 000 1 : 2 000 000 1 : 40 000 000 Вихра 158 Волчес 80 Проня 172 Уза 76 Остер 274 Беседь 261 Ипуть 437 416. Сделайте в масштабе 1 ^ 100 план: а) одной комнаты своей квартиры или дома; б) всей квартиры или дома. 417. Сделайте план своего класса. Масштаб выберите сами. 418. Определите, округлив результат до наивысшего разряда, масштаб карты, изображенной на ри- 127 Правообладатель Народная асвета Рис. сунке 83, учитывая, что длина озера Сосно (Шуми-линский район) равна 1,28 км. Определите: а) наибольшую ширину озера Сосно; б) длину озера Городно; в) наибольшую ширину озера Городно; г) длину озера Лезвинка; д) расстояние между озерами Сосно и Лезвинка; е) расстояние между деревнями Руски и Гринево; ж) длину ручья, соединяющего Лезвинку с Западной Двиной; з) длину ручья, впадающего с запада в Лезвинку; и) расстояние от деревни Ивонино до озера Сосно. 419. Размеры рисунка должны быть изменены в отношении 2 : 3. Какую длину будет иметь на новом рисунке отрезок длиной 360 мм? 420 На карте масштабом 1 : 30 000 000 расстояние от Минска до Парижа равно 61 мм. Найдите с точностью до 10 км расстояние между этими городами. 421. На занятиях Андрей привел такое доказательство того, что 25 = 4: «Пропорция 121 : 121 = 2 2 128 Правообладатель Народная асвета 2 2 = 2— '■ 2— правильная. Поэтому верно и равенство 5 5 25 . 25 = 12 . 12 2 ' ' 2 5 5 После вынесения за скобки по-откуда 25 • 1 = 4 • 1, или 25 = 4». Где ошибка в приведенном доказательстве? лучим 25(2 ^ ^) = 4( 1Т ^ 5 422. Найдите среднее арифметическое чисел: 47 . а! 2 5 6 и 20. ^ 3, 6, 7 и 21’ б) 17 43 _29 и 59’ ! 30, 60, 40 и 72’ 423. Вычислите: 2,5|: 2i8 + 3^8 17 7 7 в) —,-----, — и ’ ^ 2^ 12^ 40 100 г) 3 33 33 33 , 133 и 10 500 50 25 750 а) ((4 3,2) :2 8’ А + А. (2,2 + 1,3)): 1,5’ 22 70 б>1(23 -1'6 в) (7^• (8,5 - 7,18) -(9^ - 7,4) • ^) : 5,8; г) 4,25: ((8,775 - эЦ )■ 2^ + 3^1:0,625: 1| - ^5-1. 424. Найдите значение выражения: а) 3,7 • 0,25 - 11,2 • 0,02; б) (0,1239 + 0,0601) • (12,31 - 10,81); в) 0,246 + 5,6 • (19,3 - 0,75); г) (12,04 - 1,144) • (2,39 + 4,7). 425. Найдите значение выражения: 6 - 4 • а) ------3^ ; 0,3; 7 + 1: 3 7 122 - 61,5 : 63 3 ‘ б) 2 2 4 • 11: 8 в) г) 362 : 15 + 82 • 7 12I + 86 : 2I 3 7 7 ь! • 3,2 + 12 - 1,2 : 22 1^ ^ 5 1^^ - 81 12 3 129 Правообладатель Народная асвета 3 3 а) б) в) г) 426. Вычислите: (4,6 • 2,25 - 0,7) • 5,6 + 7,9 • 2,4 ; (2,6 • 6,9 - 0,27) • 4,5 - 65,15 • 0,1 ’ 3,59 • 0,6 - 0,31 • (12,1-11,7) • 1,5 ; (64,29 + 3,35 - 47,64) • 0,25 ’ 0,036 + 0,8 • 4 + 0,5 • 0,131 - 3,11 • 1,05 ; (1,78 - 0,36 + 0,48) • 6,6 + 1,5 • 20,34 - 43,041 ’ (5,5 • 0,4 + 2,5) • 6,5 • 0,2 0,215 + (0,19 : 0,1 • 2,2 - (5,18 - 0,9) • 0,25) • 2,5 ' 427. Найдите значение выражения: а) (18-4 +15-|) ■ 3 -193,5:18 + 91 ■ 2,2; б) 21 + 53,55 : 10,5 - (6(6I - 611) ■ 12,6; 5):(75 - 4,375 ■ 8 ■ 1 в) (31- ■ 11|: 41 М 7 3 6 г) (11^ - 18,8 • 3): (2 - 21,2 : 12). 428. Восстановите пример: 14 508 ; в) *****2 *7* *5*2 *** *9*8 **3 **** **** 4*** **** 0 0 **6**6 704 ; г) *1**** *** ***2 *** ***7 **8 **** *** 2*** *** 0 0 429. Масса хлеба составляет 4 10 7 массы муки, масса муки — — массы зерна. Сколько зерна нужно 5 взять, чтобы намолоть 280 кг муки? Сколько хлеба получится из этой муки? 130 Правообладатель Народная асвета 430. Велосипедист ехал 21 ч со скоростью 17 км/ч, 1,25 ч — со скоростью 15 км/ч, -Ц ч — со скоростью 11 км/ч. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути. 431. Рожью занято поле длиной 180 м и шириной 100 м, а пшеницей занято — такой площади. Уро- 3 жайность пшеницы составила 30 ц/га. Собранной пшеницей заполнили зернохранилище, а остальную продали. Сколько пшеницы было помещено в зернохранилище, если это 7 проданной? 432. В книге 280 страниц. В воскресенье Вера ^ - 8 прочитала — всей книги, а в понедельник — остальной части. Сколько страниц осталось прочитать? 433. Определите общее падение уровня поверхности воды Оресы, если она имеет длину 128 км и средний наклон ее поверхности равен 26 см на 1 км. 434. В 100 г картофеля содержится 72 г воды. В каком количестве картофеля содержится 2,25 т воды? 435. Дневной надой от 165 коров первой фермы вывезли на молокозавод в 44 бидонах, по 40 кг молока в каждом. Дневной надой от 170 коров второй фермы поместился в 48 таких же бидонах. На какой ферме удойность коров больше? 436. Площадь озера Большие Сурвилишки 1,03 км2, что составляет 0,557 площади озера Малые Швакшты. Какова площадь озера Малые Швакшты? Ответ округлите с точностью до сотых квадратного километра. 131 Правообладатель Народная асвета 437. Определите длину болта l, у которого длина нарезанной части равна 41 дюй- 2 ” Г7 7 ма, ненарезанной — 7— дюйма, а высо- 16 та h головки — 1— дюйма (рис. 84). 16 438. В бассейн размером 25 м х 12 м и глубиной 1 м 50 см проведено три тру- X ^ 2 бы. Первая наполняет — бассейна за 2 ч Рис. 84 9 40 мин, вторая — — бассейна за 18 мин, третья — 1 бассейна за 40 мин. Сколько кубичес-6 ких метров воды вольется в бассейн через три трубы за: а) 24 мин; б) 1 ч 20 мин; в) 1 ч; г) 1 ч 4 мин? 439. Земля, двигаясь по окружности вокруг Солнца, за 3651 суток делает полный оборот (рис. 85). 4 Сколько: а) миллионов километров проходит Земля за 1 год; б) десятков тысяч километров проходит Земля за 1 сутки; ' Земля Ш Солнце 132 Рис. 85 Правообладатель Народная асвета в) сотен тысяч километров проходит Земля за 1 неделю; г) тысяч километров проходит Земля за 1 ч; д) десятков километров проходит Земля за 1 мин; е) километров проходит Земля за 1 с? 440. Один гектар сеяных трав при урожае 14 т дает 350 кг белкового вещества. Сколько гектаров нужно засеять травой, чтобы получить 12 т белкового вещества при урожайности 16 т/га? 441. Язь, жерех, голавль, карп — рыбы семейства карповых, которые водятся в наших реках и озерах. Длина жереха такова, что она равна длине голавля, на 20 см меньше длины карпа, а вместе с длиной голавля дает суммарную длину язя и карпа. Найдите длины этих рыб, учитывая, что длина карпа на 20 см меньше удвоенной длины язя. 442. На схеме, представленной на рисунке 86, показаны соотношения между наибольшими массами жереха, язя, голавля и карпа. Составьте задачу по этой схеме и решите ее. Жерех Язь Голавль Язь 12 кг Карп Язь 10 кг Рис. 86 443. Шестиугольник ABCDEF составлен из двух прямоугольников (рис. 87). Его площадь рав- 133 Правообладатель Народная асвета А 5 CM F Рис. 87 К '^28 см2 42 см2 Рис. 88 на 67 см2, а стороны AB, AF, BC соответственно равны 11 см, 5 см и 8 см. Найдите другие стороны шестиугольника и площади прямоугольников. 444. На отрезке AB длиной 11 см выбрали точку K и на полученных частях KA и KB как на высотах построили прямоугольные параллелепипеды с площадями оснований 42 см2 и 28 см2 соответственно (рис. 88). Учитывая, что вместе объемы параллелепипедов составляют 406 см3, найдите: а) эти объемы; б) измерения основания нижнего параллелепипеда, которые отличаются на 1 см; в) измерения основания верхнего параллелепипеда, которые отличаются на 3 см. В К 445. Шестиугольник ABCDEF площадью 78 см2 составлен из двух прямоугольников ABKF и DCKE, на которых как на основаниях построены прямоугольные параллелепипеды с высотами 6 см и 5 см и общим объемом 438 см3 (рис. 89). Найдите: а) объемы параллелепипедов по отдельности; б) измерения основания левого параллелепипеда, из которых одно в три раза больше; в) измерения основания правого параллелепипеда, которые отличаются на 7 см. 134 Правообладатель Народная асвета * * * 446. Один из пяти братьев испек для мамы пирог. Андрей сказал: «Это Витя или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Толя сказал: «Вы оба шутите». Янка сказал: «Нет, один из них сказал правду, а второй — нет». Юра сказал: «Нет, Янка, ты ошибаешься». Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Так кто испек пирог? 447. Коля перемножил все натуральные числа от 1 до 13 и результат возвел в квадрат. Получилось число 38 775 788 0 * 3 632 640 000. Найдите, какая цифра заменена звездочкой. 448. Существуют ли два последовательных числа, сумма цифр каждого из которых кратна 7? 10. Процент А) Некоторые доли единицы из-за своего частого употребления получили специальные названия: третью, — четвер- 1 - 1 — называют половиной, — 2 . 3 1 тью, — — осьмушкой. 8 Мы часто пользуемся и сотой долей. Основная денежная единица в разных странах делится на 100 долей, и эта доля имеет свое название: руб- 1 ля называется копейкой, 1 100 евро 1 100 центом, бразильского реала — сентаво, 10^ ^ ^ 100 пии — пайсом, 1 ” 100 индийской ру-китайского юаня — фэнем, 1 100 нигерийской найры — кобом. Долю 1 100 называют процентом (от латинского pro centum, что означает со ста). Корень цент мы слышим в слове центиметр (говорим сантиметр) — 135 Правообладатель Народная асвета 1 100 метра, этот же корень в долях денежных еди- ниц — цент. Процент обозначают знаком %. Г 1 % = 110 = 0'01 1 Легко понять, что 2 % = = 0,02, 47 % = 4^ = 0,47, 100 100 100 % = 100 = 1, 197 % = 197 = 1,97. 10^ 100 Часть таких равенств для наиболее употребительных процентов полезно запомнить (рис. 90). Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно эти проценты разделить на 100. Чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, нужно ее умножить на 100. В химии и медицине часто используется и доля 1 1000 . Ее называют промилле и обозначают ^. 1 V = 1 100 = 0,001 136 Правообладатель Народная асвета Значит, 2 V = 0,002 = —^ 56 V = 0,056 = 1000 500 7 125’ 347 V = 0,347 = 347 1000' 580 V = 0,58 = 29 50, 1450 V = 1,45 = 1 20' Б) С процентами решаются те же задачи, как и с дробями. Задача 1. Среднегодовой сток рек Беларуси составляет 36,4 км3, причем 25 % его приходится на Неман. Каков среднегодовой сток Немана? По условию годовой сток Немана есть часть годового стока всех рек Беларуси, и эта часть составляет 25 %, или 25 100 всего стока. Видим, что наша задача является задачей на нахождение дроби 0,25 от числа 36,4. Поэтому для получения ответа на вопрос задачи нужно число 36,4 умножить на дробь 0,25: 36,4 • 0,25 = 9,1. Ответ. Среднегодовой сток Немана составляет 9,1 км3. Чтобы найти процент от числа, нужно: • записать процент дробью; • найти эту дробь от числа. Задача 2. Площадь Гродненской области равна 25 тыс. км2, а Зельвенский район этой области занимает площадь, равную 0,9 тыс. км2. Сколько процентов Гродненщины приходится на Зельвенский район? Часть территории Гродненщины, занятая Зель-венским районом, равна частному 0,9 ^ 25, значение которого есть десятичная дробь 0,036. Преобразуем ее в проценты: 0,036 • 100 % = 3,6 %. Ответ. Зельвенский район занимает 3,6 % Гродненской области. 137 Правообладатель Народная асвета Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно: • первое число разделить на второе; • полученную дробь преобразовать в проценты. Задача 3. Длина Немана по территории Беларуси равна 459 км, что составляет 49 % его общей длины. Какова с точностью до километра общая длина Немана? Сначала переведем 49 % в десятичную дробь, получим 0,49. Теперь используем известное нам правило нахождения числа по его дроби, получим 459 : 0,49 « 937. Ответ. Длина Немана 937 км. Чтобы найти число по его проценту, можно: • выразить процент дробью; • разделить на эту дробь число, соответствующее данному проценту. Задача 4. Площадь поверхности Земли равна 510 млн км2, что составляет 1372 % поверхности Луны. Найдите с точностью до миллионов квадратных километров площадь поверхности Луны. Записываем 1372 % десятичной дробью, получим 13,72. Число 13,72 показывает, во сколько раз площадь поверхности Земли больше площади поверхности Луны. Теперь число 519 млн км2 — площадь поверхности Земли — делим на 13,72, получим 510 млн км2 : 13,72 « 37 млн км2. Ответ. Площадь поверхности Луны равна 37 млн км2. 1. Каким словом называют долю 1. 1. 1. 1? 2’ 3’ 4’ 8 ■ 2. Какую долю называют процентом? Как обозначают процент? 138 Правообладатель Народная асвета 3. Сколько процентов составляет целая единица? 4. Как преобразовать десятичную дробь в проценты? 5. Как перевести проценты в десятичную дробь? 6. Как найти процент от числа? 7. Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого? 8. Как найти число по его проценту? 449. Сколько процентов составляет: а) доля -1; в) доля -8; б) доля -4; г) доля 10; д) дробь ^4; е) дробь -|? 5 450. дробью: Запишите обыкновенной и десятичной а) 1 %; г) 10 %; ж) 2,5 %; к) 2,004 %; б) 5 %; д) 125 %; з) 0,11 %; л) 0,107 %; в) 1 %; е) 336 %; и) 1,125 %; м) 0,015 %. 451. Найдите 1 % от: а) 100; е) 1230; л) 2,5 л; р) 1,04 м; б) 20; ж) 0,41; м) 25,4 г; с) 6,27 т; в) 41; з) 0,076; н) 1,25 м2; т) 0,025 м; г) 250; и) 20 164; о) 12 м3; у) 42 га; д) 23; к) 141 кг; п) 0,001 г; ф) 0,17 км2. 452. Найдите 20 % от: а) 3 м 50 см; б) 12 км 375 м; в) 17 дм 5 см; г) 2 см 5 мм; д) 2 ч 15 мин; е) 25 мин 30 с; ж) 17 ч 40 мин; з) 1 мин 10 с; и) 13 кг 340 г; к) 12 т 565 кг; л) 2 ц 55 кг; м) 3 г 550 мг. 453. Найдите число, если: а) 35 % его равны 175; б) 3,1 % его равны 72,2; 139 Правообладатель Народная асвета в) 47 % его равны 5781; г) 5,6 % его равны 5023,2; д) 1,03 % его равны 151,41; е) 41,07 % его равны 414 807. 454. Сколько процентов составляет: а) 1 м от 125 см; г) 4,6 дм2 от 2530 см2; б) 35 кг от 1400 г; д) 15 000 м3 от 18 750 м3; в) 24 а от 3 га; е) 7,2° от полного угла? 455. Определите с точностью до сотых долей процента, сколько процентов составляет: а) 27 м от 340 м; г) 678 Мт от 2,3 Гт; б) 998 м от 4,7 км; д) 6774 Мт от 1,3 Тт; в) 12 г от 1,7 кг; е) 7890 га от 1 км2. 456. Борис планировал в воскресенье прочитать 60 страниц книги, а прочитал 96 страниц. На сколько процентов Борис выполнил запланированное? 457. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде? 458. Определите зольность угля в процентах, учитывая, что при сжигании 1 т угля получилось 58 кг золы. 459. Концентрация раствора показывает, какая часть от всего раствора приходится на растворенное вещество. Концентрацию обычно выражают в процентах или промилле. Сколько граммов йода содержится в: а) 50 г 6 %-го раствора; б) 160 г 2 %-го раствора; в) 300 г 3 %-го раствора; г) 250 г 10 %-го раствора; д) 70 г 35 %-го раствора; е) 200 г 2,5 %-го раствора? 140 Правообладатель Народная асвета 460. В 75 г воды растворили 5 г соды. Определите в процентах концентрацию раствора. 461. 200 г 20 %-го раствора борной кислоты долили чистой водой до килограмма. Раствор какой концентрации получили? 462. В нашей стране 80 % территории занимают низменности и равнины, а остальную территорию — возвышенности (рис. 91). Сколько процентов территории Беларуси занимают возвышенности? Сколько тысяч квадратных километров занимают возвышенности и сколько низменности и равнины, если территория Беларуси составляет 207,6 тыс. км2? 463. Урожайность сахарной свеклы составила 435 ц/га, содержание в ней сахара — 18 %. Сколько сахара будет получено из свеклы, собранной с поля в 80 га? 464. Организм человека содержит 0,25 % хлора. Сколько хлора в организме человека массой 74 кг; в вашем организме? 141 Правообладатель Народная асвета 465. Грецкие орехи содержат 10 % белков, 59 % жиров, 8,7 %о углеводов. Сколько белков, жиров, углеводов в отдельности в 1,275 кг грецких орехов? 466. Оршанская возвышенность занимает площадь 2,5 тыс. км2, 45 % ее занято пахотой, 21 % — лесом. Какая площадь Оршанской возвышенности занята пахотой, какая — лесом? 467. Стороны первого прямоугольника равны 19 см и 32 см. Площадь второго прямоугольника на 25 % больше. Найдите стороны второго прямоугольника, если одна из них в ^ раза больше од- 8 ной из сторон первого прямоугольника. Сколько ответов имеет задача? 468. При увеличении цены на 5 % на покупку пальто нужно дополнительно затратить 12 500 р. Сколько стоило пальто до подорожания? 469. Руда содержит 12,5 % меди. Сколько нужно взять руды, чтобы получить 400 кг меди? 470. Масса муки, использованной на выпечку хлеба, составляет 75 % от выпеченного хлеба. Сколько килограммов хлеба получится из: а) 3 кг муки; в) 240 кг муки; б) 18 кг муки; г) 4 т муки? 471. В школе 675 девочек, а мальчиков — 55 % всего количества учащихся. На сколько больше в школе мальчиков, чем девочек? Какой процент составляет количество мальчиков от количества девочек? 472. В серной кислоте сера составляет 32,7 %. Какова масса серной кислоты, если в ней 24 кг серы? Вычисления проведите с точностью до десятой килограмма. 142 Правообладатель Народная асвета 473. После сушки и очистки зерно теряет 30 % своей массы. Сколько зерна было намолочено, если высушенного зерна получили 350 т? 474. При выпечке ржаного хлеба образуется припек 30 %. Сколько ржаной муки пошло на выпечку 26 т хлеба? 475. Из 52 штрафных бросков, выполненных баскетболистами команды «Зубры», было 39 точных. Каков процент попаданий в кольцо; неточных бросков? 476. В 1939 г. в Полоцке было 30 тыс. жителей, а в 2009 г. их стало 81,7 тыс. На сколько процентов возросло население Полоцка за это время? 477. Для засолки огурцов используют рассол (раствор соли) следующих концентраций: 8 %-й — для крупных огурцов, 7 %-й — для средних и 6 %-й — для мелких огурцов. Учитывая, что масса требуемого рассола относится к массе огурцов как 3 : 5, определите, сколько соли и сколько воды нужно взять, чтобы приготовить рассол каждой концентрации для засолки огурцов: а) 4 кг; в) 17 кг; б) 10 кг; г) 45 кг. 478. Таня прошла на лыжах 450 м, что составляет 37,5 % всей дистанции. Какова длина дистанции? 479. Площадь Полоцкой низменности 8,5 тыс. км2, что на 15 % больше площади Нарочано-Вилейской низменности. На сколько Полоцкая низменность больше Нарочано-Вилейской? Вычисления проведите с точностью до десятой квадратного километра. 480. Как изменится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 25 %, а ширину уменьшить на 20 %? 143 Правообладатель Народная асвета 481. Вычислите: 4 : 4^ 2^ : 61 г) 15 17 2 . 61: 131 20 : 94 а) (3,375 + ^5)- 0,125 + (4^5 - 2,12): 2-^; б) 123-3 - -3 - 4,4]-31 :-^; ' ' 5 2^ / 3 125 в) (2-3 •20 + б7+ 8,125); ^ ' 5 39 1^ \ 72 ’ /’ д) 359 .(о,025 + 4^2 - 3,125); е) 1250 ^ ',2+- 1,03; ж) (10|: 5 - 6,125 • 25 + JL. 0,16). JL; з) 10,5 + 182 + 261 )• 3,6 3 4/ 1057 : 2,2 - 14L 88 482. На рисунке 92 приведен план квартиры. Сделайте необходимые измерения и вычислите пло- !--F4---F4----F4--1 щадь: Кухня (13 ф с $ Ф Коридор Масштаб 1:300 с Зал Cf S Рис. 92 а) зала; б) спальни; в) детской комнаты; г) кухни; д) ванной; е) коридора. Чему равна общая площадь квартиры; жилая площадь квартиры? 144 Правообладатель Народная асвета 4 3 9 483. Из точки O на прямой LP выходят лучи OM, ON и OS так, что углы LOM и NOP, MON и POS попарно равны (рис. 93). Найдите их величины, если известно, что вместе они составляют 230°. 484. На долю белков, жиров и минеральных веществ в филе карпа приходится 0,208 всей массы. Сколько названных веществ содержится в 5 кг филе карпа, если белков в нем в 13-1 раза, а жиров в 3 раза больше, чем минеральных веществ? 485. Постройте два угла, равных 75° и 35°, так, чтобы вершина и сторона у них были общими. На общей стороне выберите точку и через нее проведите прямую, образующую с этой стороной угол 17°. Сколько треугольников образовалось? Найдите их углы. Рассмотрите разные случаи. 486. В 6 кг ячневой крупы и 7 кг овсяной крупы вместе содержится 232 мг витамина PP. Сколько витамина PP содержится в 100 г той и другой крупы в отдельности, если в 4 кг ячневой крупы этого витамина столько, сколько его в 5 кг овсяной? 487. Когда разделили одно число на другое, то получили частное 3 и остаток 25. Найдите делимое и делитель, если их сумма равна 161. 488. Из одного населенного пункта в другой в 8 ч выехал автомобилист, а через 2 ч из другого населенного пункта навстречу ему — велосипедист. Когда они в 12 ч встретились, то оказалось, что велосипедист проехал меньше на 308 км. Найдите скорости велосипедиста и автомобилиста, 145 Правообладатель Народная асвета учитывая, что скорость велосипедиста в шесть раз меньше. 489. Из одного населенного пункта в другой выехал автомобилист со скоростью 79 км/ч, а через определенное время из другого населенного пункта навстречу ему — велосипедист со скоростью 14 км/ч. Когда они встретились, то оказалось, что автомобилист проехал на 446 км больше. Найдите время движения велосипедиста и автомобилиста, учитывая, что велосипедист был в дороге в три раза меньшее время. * * * 490. Найдите такие натуральные числа х, у и z, которые удовлетворяют равенству 1 30 7 . х + у + z 491. На озере 6 островов, соединенных мостами так, как показано на рисунке 94. С какого острова нужно начинать водить туристов, чтобы они прошли по каждому мосту только один раз, и с какого острова нужно их забрать? Сколько решений имеет задача? Почему нельзя начинать путешествие с острова D? 492. Перенесите рисунок 95 в тетрадь. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте в квадратики так, чтобы были верными полученные равенства. □□•□=□□□=□•□□ Рис. 95 146 Правообладатель Народная асвета 11. Деление числа на пропорциональные части. Круговые диаграммы А) Задача 1. Вода в озерах Плавно и Манец (Докшицкий район) распределена в отношении 16 : 3. Сколько воды в каждом из озер, если вместе воды в них 6,08 млн м3? Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно учесть, что общее количество воды (6,08 млн м3) распределено на две части, причем одна из них состоит из 16, а другая из 3 долей. Всего долей 16 + 3 = 19. Значит, на одну долю приходится 6,08 млн м3 : 19 = 0,32 млн м3. Тогда 16 долям воды в озере Плавно соответствует количество в 0,32 млн м3 • 16, т. е. 5,12 млн м3, а 3 долям воды в озере Манец — количество в 0,32 млн м3 • 3, т. е. 0,96 млн м3. Ответ. Воды в озере Плавно 5,12 млн м3, а в озере Манец 0,96 млн м3. Разделить число a на две части в отношении m '■ n означает найти два таких числа b и с, что число Ъ состоит из m долей, а число с из n таких же долей, т. е. b + с = a и b ■ с = m ■ n. Чтобы разделить число a на две части в отношении m '■ n, нужно: • найти количество m + n долей; • делением a на m + n найти величину одной доли; • найти величину каждой из частей. Б) Число приходится делить не только на две, но на три и более пропорциональных частей. Задача 2. Оловянный сплав для припоя включает олово, свинец и кадмий в отношении 25 ^ 16 ^ 9. Сколько нужно взять каждого из этих веществ, чтобы получить 400 г припоя? 147 Правообладатель Народная асвета Любое количество припоя содержит 25 долей олова, 16 долей свинца и 9 долей кадмия. Всего долей 25 + 16 + 9, т. е. 50. Тогда на одну долю приходится 400 г : 50, т. е. 8 г. Значит, для получения 400 г припоя нужно взять 8 г • 25, т. е. 200 г олова, 8 г • 16, т. е. 128 г свинца, 8 г • 9, т. е. 72 г кадмия. Проверим результаты вычислений, определив общую массу взятых для изготовления припоя веществ: 200 г + 128 г + 72 г = 400 г. Ответ. Для изготовления 400 г припоя нужно взять 200 г олова, 128 г свинца, 72 г кадмия. Разделить число a на три части в отношении m '■ n '■ k означает найти три таких числа b, c и d, что число b состоит из m долей, число c — из n долей, а число d — из k долей, т. е. b + c + d = a и b ■ с ■ d = m ■ n '■ k. Чтобы разделить число a на три части в отношении m : n : k, нужно: • найти количество m + n + k долей; • делением a на m + n + k найти величину одной доли; • найти величину каждой части. Подобным образом проводится деление числа на 4 и более пропорциональных частей. Отметим, что слово пропорция возникло из задач, при решении которых приходится что-то целое делить соответственно частям, порциям: латинское proportio означает соответственно порциям. В) Вы уже умеете наглядно представлять ту или иную информацию линейной или столбчатой диаграммой. На рисунке 96 представлена круговая диаграмма распределения поверхности Земли. Она показывает, какую часть этой поверхности занимают 148 Правообладатель Народная асвета материки и острова, какую — океаны и моря. Диаграмма построена так. На Земле водой занято 361 млн км2, сушей — 149 млн км2. Круг произвольного радиуса показывает всю поверхность. Учитывая, что полному кругу соответствует полный угол в 360°, для нахождения секторов, соответствующих воде и суше, число 360 разделено в отношении 361 ^ 149. Сумма долей 361 + 149, на которые разделен круг, равна 510. Значит, на одну долю приходится сектор в 360 „ /12 ° 510 , или в ^) . Поэтому воде соответствует сек- тор в (Ц) • 361 = )° = (25414)° сектор в ^)° • 149 = 1788 17 = (105137 255°, а суше — 105°. 17 17 Круговая диаграмма показывает, как соотносятся части целого с этим целым. Рассмотрим еще один пример. В таблице приведены сведения о площадях областей Беларуси. Область Площадь, км2 Брестская 32 793 Витебская 40 047 Гомельская 40 362 Гродненская 25 116 Могилевская 29 083 Минская 40 194 Всего 207 595 Представим их круговой диаграммой. Для этого градусную меру полного угла разделим на 6 частей, которые относятся как 32 793 : 40 047 : 40 362 : 25 116 : 29 083 : 40 194. 149 Правообладатель Народная асвета Сумма этих долей равна 207 595. Поэтому одной доле соответствует сектор в ^ I« 0,001734°. ^ 20 7 595 Найдем теперь градусные меры секторов, соответствующих каждой из областей. Для Брестской области: 0,001734° • 32 793 « 57°. Для Витебской области: 0,001734° • 40 047 « 69°. Для Гомельской области: 0,001734° • 40 362 « 70 °. Для Гродненской области: 0,001734° • 25 116 « 44°. Для Могилевской области: 0,001734° • 29 083 « 50°. Для Минской области: 0,001734° • 40 194 « 70 °. Проведем контроль вычислений: 57 ° + 69° + 70 ° + 44° + 50° + 70 ° = 360°. Поскольку полученная сумма дает полный угол, то вычисления проведены верно. Теперь в нарисованном круге произвольного радиуса последовательно друг за другом строим секторы в 57°, 69°, 70°, 44°, 50° и 70° (рис. 97). 150 Правообладатель Народная асвета и) 3i; к) 7-1. 1. Что означает разделить число a в отношении m ■ n? 2. Как разделить число a в отношении m '■ n? 3. Как разделить число a на три части в отношении m '■ n '■ k? 4. Как разделить число a на четыре части в отношении m '■ n '■ k ■ l? 5. Что показывает круговая диаграмма? 6. Как построить круговую диаграмму? 493. Определите, пропорциональны ли числа 3 и 7 числам: а) 93 и 217; в) 69 и 96; д) 31,2 и 71,4; б) 33 и 72; г) 21,3 и 49,7; е) 2,91 и 0,679. 494. В отношении 3 ^ 7 разделите число: а) 20; в) 31; д) 0,2; ж) 3,1; б) 50; г) 150; е) 0,5; з) 0,15; 495. Число 861 разделите в отношении: а) 3 : 4; г) 5 : 9; ж) 15 : 6; б) 5 : 2; д) 19 : 2; з) 143 : 144; в) 6 : 1; е) 40 : 1; и) 801 : 921. 496. Колокольная бронза есть сплав меди и олова в отношении 4 : 1. Определите, сколько меди и сколько олова пошло на изготовление колокола массой 196 кг. 497. Площадь, отведенная под картофель, относится к площади, отведенной под другие овощные культуры, как 16 : 9. Какая площадь занята картофелем и какая другими овощными культурами, если общая площадь огорода равна 50 а? 498. Измерения прямоугольника относятся как 3 : 8, длина его больше ширины на 40 см. Найдите измерения прямоугольника. 499. Стороны треугольника относятся как 4 : 6 ^ 9. Найдите их, учитывая, что величина в 24 см есть: а) наибольшая сторона; 151 Правообладатель Народная асвета г) 2; 22; 42. ^ ^ 3 е) 147; ' 160 ж) 975; з) 74-^. ^ 11 б) наименьшая сторона; в) средняя сторона; г) разность наибольшей и наименьшей сторон; д) сумма двух меньших сторон; е) сумма всех сторон. 500. Докажите, что числа 3, 4, 7 пропорциональны числам: а) 9; 12; 21; в) 0,93; 1,24; 2,17; б) 3,6; 4,8; 8,4; 501. В отношении 3 ^ 2 : 2 разделите число: а) 133; в) 861; д) 87,5; б) 203; г) 10,64; 502. Крахмал в рисе и ячмене содержится в отношении 5 : 4. Сколько крахмала в 1 т риса и в 1 т ячменя вместе, если известно, что содержание крах- 3 мала в рисе — — от его массы? 503. Круг радиусом 9 см разделен на три сектора в отношении 2 : 3 ^ 4. Найдите: а) угол каждого сектора; б) площадь каждого сектора. 504. Число 144 разделите на три части т, п, k так, чтобы т : п = 3 ^ 4 и п '■ k = 4 : 5. 505. Два слитка серебра сплавили в один. Какой пробы получился слиток, если один слиток массой 220 г был 600-й пробы, а второй массой 280 г — 875-й пробы? 506. Ведето, Долгое-Мелкое и Круглое-Мелкое — озера на границе Полоцкого и Россонского районов. Их площади соответственно относятся как 234 : 5 ^ 6. Найдите отдельные площади озер, учитывая, что их суммарная площадь равна 490 га. 152 Правообладатель Народная асвета 507. С 56 % территории Беларуси вода собирается в Черное море, а с 44 % — в Балтийское. Постройте круговую диаграмму распределения территории Беларуси по водосборам этих морей. 508. Постройте круговую диаграмму распределения оценок по математике за первую четверть в вашем классе. 509. На территории нашей страны выделяются три природно-хозяйственных района: Южная Беларусь; Северная Беларусь; Центральная Беларусь (рис. 98). Постройте круговую диаграмму распределения территории Беларуси по этим районам. 510. Материал этого учебного пособия распределен по трем разделам. Определите, сколько страниц занимает каждый из разделов, и постройте соответствующую круговую диаграмму. 511. На экваторе за год дневное время составляет 182,5 суток, сумерки — 36,5 суток, а ночь — 146 суток. Сколько процентов от года приходится на экваторе на день; ночь; сумерки? Постройте круговую диаграмму. 153 Правообладатель Народная асвета 512. Постройте круговые диаграммы содержания масла в семенах для каждой из масличных культур, приведенных в таблице. Культура Часть масла в сухом веществе семян Подсол- 1 нечник 4 Лён 7 20 Горчица 1 3 Рис. 99 Сады и ягодники \ Часть масла Культура в сухом веществе семян Рыжак 9 20 Арахис 3 5 Хлопчат- 6 ник 25 513. На рисунке 99 показано распределение веществ в пшеничной муке первого сорта. Определите с точностью до 100 г, сколько килограммов белков, жиров и углеводов содержится в 40-килограммовом мешке такой муки. 514. На рисунке 100 показано распределение сельскохозяйственных угодий нашей страны. Определите с точностью до тысячи квадратных километров площади пахотных земель, сенокосов, пастбищ, садов и ягодников, оформив решение таблицей. Учтите, что общая площадь сельскохозяйственных угодий равна 92,5 тыс. км2. 154 Правообладатель Народная асвета 515. Составьте правильную пропорцию из чисел: а) 3, 5, 7, 112; б) 11, 3, в) 6, 68, 24, 17. 516. Рельс разрезали на два куска длинами 2 м и 11 м. Какую часть рельса составляет первый ку-2 сок; второй кусок? Какую часть составляет второй кусок от первого? 517. Найдите значение выражения: а) 3,28 + 0,22 • (13,5 - 8,6); б) (29,7 - 18,12) • 2,5 - 3,45; в) 8 - 3,5 • (2,71 - 1,2); г) 84,202 - 40,8 • (0,157 - 0,092). 518. Найдите значение выражения: а) б) в) г) 63: 0,75 -12 •7 8 7 9. 72 - 155 • 4 : 24 9 3 5 14,8 - 611 + 123 - 7 2 12 4 15 . 102 - 311 9 3 12 3 + 5 — - 0,18 23 + 0,15 - 25 . 4 8_ 25 . 1 + 0,8 - 2 25 21 - + 0,04 2 4 91 - 7,4^ • 21 - 1,5 ^ / 2 31 + 4,15 - - 5,4^ : 31 8 48/12 519. Определите с точностью до процента, сколько процентов составляет меньшее из чисел от большего: а) (9,25 - 7,4) • 2,4 - 4,04; 3,12 + 4,05 • 2,8 - 8,96; 155 Правообладатель Народная асвета б) (3,12 - 2,18 + 2,24) • 1,5; 0,3 • (3,52 + 0,58) + 1,07; в) 8,5 + 1,51 - 7,8 • 1,15; 28,01 - 16,8 • 1,35 - (1,16 • 2,1 - 1,186); г) 7,519 - (8,208 - 4,17) • 0,5; (4,65 - 2,5 • 0,5) : 0,85. 520. Чтобы отлить памятную доску, сплавили 303 кг меди, 4,45 кг цинка и 15 кг олова. Каково в ней процентное содержание меди? 521. Моторная лодка по течению реки за 13,5 ч прошла 207 км, причем 1 этого времени было затрачено на остановки. Сколько километров может пройти эта лодка в стоячей воде за 2,5 ч, если ско- 3 рость течения реки ^ км/ч? 522. Два насоса вместе заполняют бассейн за 10 ч. После 4 ч совместной работы первый насос испортился, из-за чего бассейн был заполнен только за 18 ч. За сколько времени каждый из насосов в отдельности мог бы заполнить бассейн? 523. Мастер и ученик изготовили вместе 517 деталей. Сколько деталей изготовил каждый, если на одну деталь мастер затрачивает 12 мин, а его ученик 21 мин? 524. В наших лесах гнездятся разные виды дроздов — певчий дрозд, черный дрозд, рябинник. Масса певчего дрозда меньше на 36 г массы рябинника и на 53 г массы черного дрозда. Найдите массы этих птиц, учитывая, что масса черного дрозда состоит из 8 долей, а увеличенная на 2 г масса рябинника — из 7 долей. 525. На рисунке 101 показаны соотношения между длинами разных видов дроздов — певчего дрозда, черного дрозда и рябинника. Составьте задачу и решите ее. 156 Правообладатель Народная асвета Певчий дрозд Рябинник Рис. 101 Черный дрозд 526. Постройте развертку прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2 см, 6 см, 12 см. Постройте развертку куба, полная поверхность которого равна полной поверхности параллелепипеда. 527. Из одного населенного пункта в другой в 8 ч выехал автомобилист, а через 4 ч из другого населенного пункта навстречу ему — велосипедист. Когда они в 14 ч встретились, то оказалось, что автомобилист проехал на 480 км больше. Найдите скорости велосипедиста и автомобилиста, учитывая, что они относятся как 3 : 17. 528. Из одного населенного пункта в другой выехал автомобилист со скоростью 87 км/ч, а через некоторое время из другого населенного пункта навстречу ему — велосипедист со скоростью 12 км/ч. Когда они встретились, то оказалось, что автомобилист проехал на 474 км больше. Найдите время движения автомобилиста и время движения велосипедиста, учитывая, что они относятся как 3 ^ 2. 529. Какое число получится на выходе машины (рис. 102), если на ее вход подать число: а) 0; г) 1971; ’ 3 б) 440; в) 441; д) 1419^3; е) 500? Рис. 102 157 Правообладатель Народная асвета •к -к -к 530. Какое число нужно подать на вход машины (см. рис. 102), чтобы на ее выходе получить число: а) 9537; в) 5412; д) 10 647? б) 4713; г) 4788; 531. Если произведение двух простых чисел первой сотни с последней цифрой 1 удвоить, то получится год выпуска Сымоном Будным в Несвижской типографии «Катехизиса» на белорусском языке. Когда был издан «Катехизис», если перестановка цифр в умножаемых числах также дает простые числа? 532. На окружности отмечено 20 точек. Двое по очереди проводят хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы хорды не имели общих точек. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду. Кто может выиграть? Как ему нужно играть? Правообладатель Народная асвета Ill раздел Рациональные числа 12. Координатная прямая А) Задача 1. Поезд вышел из Орши и через 26 км остановился (рис. 103). На какой станции находится теперь поезд? На вопрос задачи нельзя ответить однозначно. Если поезд двигался на восток, то теперь он в Оси-новке, если на запад, то в Коханово. Осиновка Хлусово Коханово Ооша Рис. 103 Ч) 2- Ч) Ч) о W Рис. 104 Задача 2. Сегодняшняя температура в комнате отличается от вчерашней на 3 °С. Определите, какая температура сегодня, если вчера она была равна 20 °С (рис. 104). И в этой задаче ответ на ее вопрос неоднозначный. Если температура повысилась (рис. 105), то теперь в комнате 23 °С, а если понизилась (рис. 106), то 17 °С. Задачи 1 и 2 показывают, что иногда для ответа на вопрос числовых сведений недостаточно, нуж- W Ч) Ч) Рис. 105 Рис. 106 159 Правообладатель Народная асвета Рис. 107 Рис. 108 Рис. 109 М т X 1 1 м 1 1 1 1 1 f \ 1 t 1 1 1 1 м т —^^— Н 1^— -Н 1^ но знать и направление изменения величины. На обычном языке мы указываем их с помощью слов: вправо или влево; выше или ниже; на восток или на запад; на север или на юг; вперед или назад; увеличилось или уменьшилось; теплее или холоднее. Задача 3. На прямой отмечена точка M (рис. 107). Найдите на этой прямой точку T, отстоящую от M на 3 см. Вы знаете, что эта задача не решается однозначно. Точку T можно нарисовать или слева от точки M (рис. 108), или справа от нее (рис. 109). Чтобы задача решалась однозначно, в ее условии вместе с числом нужно указать еще и направление. Б) Научимся отображать направление в записи самого числа. Нарисуем прямую и отметим на ней точку O, назовем ее началом отсчета (рис. 110). Точка O разделила прямую на два луча. Введем на каждом из них координаты (рис. 111). Как на одном, так и на другом лучах положение точки целиком определяется ее координатой. Например, точка с координатой 4 на левом луче есть точка M, а на правом — точка N. Чтобы отличать эти лучи, договариваются один из них Рис. 110 о Рис. 111 160 м ■4---h .0 .N Н-^^^^-+-h Правообладатель Народная асвета о Рис. 112 О О 1 - о называть положительным, а второй — отрицательным. Принято говорить, что положительный луч определяет положительное направление, а отрицательный луч — отрицательное направление. Для горизонтальной прямой положительным направлением обычно считают направление слева направо, для вертикальной — направление снизу вверх. Его отмечают стрелкой, как показано на рисунках 112 и 113. Перед координатами точек положительного луча ставят знак «+», который читают плюс, а перед координатами точек отрицательного луча — знак «-», который читают минус. На рисунке 114 точка K имеет координату -3, это записывают так: K(-3). Координату +4,5 имеет точка L: L (+4,5). Рис. 113 Рис. 114 Н-----h к ■4---h о Н-+-^^^-h -5 -4 -3 -2 -1 О +1 +2 +3 -14 -15 Прямую, на которой отмечено начало отсчета, выбрано положительное направление и указан единичный отрезок, называют координатной прямой. На координатной прямой можно определить координату каждой ее точки. Если известна координата точки, то на координатной прямой можно найти и саму точку. Координата точки определяет ее положение на координатной прямой. В) Числа со знаком «+» называют положительными. 2 Записи +4; +2,6; +4— читают так: плюс четыре; плюс две целых шесть десятых; плюс четыре целых две седьмых. 161 Правообладатель Народная асвета Числа со знаком «-» называют отрицательными. Записи -3; -0,9; -^ читают: минус три; минус нуль целых девять десятых; минус четыре целых семь девятых. Положительные числа часто пишут без знака «+». Записи +7 и 7 выражают одно и то же число семь. Точка O изображает число 0. Число 0 не является числом положительным и не является числом отрицательным. Положительными и отрицательными числами мы пользуемся при измерении температуры. При этом числом 0 обозначают температуру таяния льда. Температуру +7 °С часто называют 7 градусов тепла, а температуру -7 °С называют 7 градусов мороза. Положительные и отрицательные числа удобно использовать и при измерении времени. Например, запись «+12 ч» обозначает через 12 ч, а запись «-12 ч» обозначает 12 ч до этого. Вообще, изменение величин удобно выражать положительными и отрицательными числами: увеличение — положительными, уменьшение — отрицательными. 1. Какими словами мы указываем одно из двух противоположных направлений? 2. Что нужно указать на прямой, чтобы превратить ее в координатную прямую? 3. Какое число называют отрицательным; положительным? 4. Какое число не является ни отрицательным; ни положительным? 5. Почему говорят, что координата точки определяет ее положение на координатной прямой? 533. После соревнований по прыжкам в длину Богдан сказал, что его результат отличается от результата Виктора на 5 см. Каков результат Богдана, если Виктор прыгнул на 2 м 13 см? 162 Правообладатель Народная асвета Рис. 115 Вилейка Рис. 116 534. Белка вылезла из дупла, которое находится на высоте 4 м (рис. 115). Где будет находиться белка, если пробежит по дереву 3 м? 535. Из Вилейки в Борисов (рис. 116) выехал автобус, который через 1 ч был в 3 км от Плещениц. С какой скоростью ехал автобус? 536. Путешественники от деревни Голынки поплыли по реке Дулебке, протекающей в Березинском районе (рис. 117), со скоростью 5 км/ч и через 1 ч 15 мин остановились на отдых. Ответьте, где отдыхали путешественники, учитывая, что расстояние по реке от Мате-вичей до Голынки 6,3 км, а до Дулебов 7,7 км. 537. Нарисуйте вертикальную прямую и отметьте на ней точку O. Отметьте на этой прямой точки R, S, T, V так, что: а) R выше O на 3 клетки; б) S ниже O на 5 клеток; в) T ниже O на 9 клеток; г) V выше O на 7 клеток. 538. Проведите горизонтальную прямую и отметьте на ней точку M. Точки A, B, C и D расположены на этой прямой так, что M правее A на 45 мм, 163 Правообладатель Народная асвета B правее A на 9 см 5 мм, C правее А на 21 см, 4 D левее B на 0,47 дм. Постройте эти точки. Опишите расположение этих точек относительно: а) точки А; б) точки B; в) точки C. 539. Угол А треугольника ABC равен 45°, а его угол B — 75°. Точка M выбрана на прямой AC так, что угол MBC равен 30°. Какова величина угла BMC? Сколько ответов имеет задача? 540. Нарисуйте прямую и отметьте на ней точки T и R на расстоянии 60 мм друг от друга. Отметьте точку А на этой прямой, отстоящую от точки R на 35 мм, и через нее перпендикулярно прямой TR проведите вторую прямую. На ней отметьте точку B, отстоящую от точки А на 40 мм. На каком расстоянии точка B находится от точек T и R? Сколько решений имеет задача? 541. Нарисуйте координатную прямую с положительным направлением слева направо и отметьте на ней точки O (0) и E (1). Скажите: а) где на прямой OE расположена точка M (2); б) где на прямой OE расположена точка N (-2); в) какую координату имеет точка P, находящаяся справа от точки O на расстоянии 1 от нее. 542. По рисунку 118 назовите координату точки: а) M; в) O; д) Q; ж) S; б) N; г) P; е) R; з) T. р т N -*—*—*— г о Е R -*—4—*- М S -7 -6-5 -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 118 7 8 164 Правообладатель Народная асвета 543. По рисунку 119 назовите координату точки: а) A; б) B; в) C; г) D; д) E; е) F; ж) G; з) H. С в 1. 1 ... 1 G Е А 1 X -40 -20 0 20 Рис. 119 F L»— Н D I—*-1 40 60 544. Нарисуйте координатную прямую жите на ней точку: а) A (+2); д) F (-9); и) L (-4); б) B (-3); е) G (13); к) м(-1^4) в) C (-6); ж) H(-7-3); л) P (-2,5); г) D (6,5); з) K (0,8); м) Q (8,4). 545. Нарисуйте прямую и отметьте на ней точки A и B на расстоянии 4 см друг от друга. Введите на прямой AB координаты. Определите, каким нужно взять единичный отрезок и где выбрать начало отсчета, чтобы точка: а) A имела координату 0, а B — координату 4; б) A имела координату 1, а B — координату 5; в) A имела координату 1, а B — координату 9; г) A имела координату -1, а B — координату 3; д) A имела координату 0,5, а B — координату 4,5; е) A имела координату -6, а B — координату 6. W Рис. 120 165 Правообладатель Народная асвета 546. На термометре, изображенном на рисунке 120 (см. с. 165), точкам L и F соответствуют температуры -4 °С и +2 °С. Нарисуйте в тетради термометр с ценой деления шкалы 1 °С и отметьте на нем точки L, F и точки из следующей таблицы. Температура, °С +5 -2 -5 +4 -7 +8 -4 -9 +10 Точка G H K M N B D A C 547. В таблице приведены изменения температуры на протяжении дня за каждые два часа. Время, ч 7 9 11 13 15 17 19 Изменение температуры, °С -2 0 +1 +3 +1 -1 -2 Определите, какой была температура в 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 часов, если: а) в 5 ч она была -4 °С; в) в 13 ч она была +2 °С; б) в 9 ч она была -5 °С; г) в 15 ч она была +1 °С. Решение оформите таблицей. 548. При измерении высот и глубин за 0 принимают уровень Мирового океана. Высоты записывают положительными числами, глубины — отрицательными. На рисунке 121 приведена диаграмма наивысших пунктов некоторых возвышенностей нашей страны и самых глубоких впадин суши Земли. Найдите с точностью до десятка метра: а) высоты наивысших пунктов возвышенностей Беларуси; б) глубины впадин суши Земли. 166 Правообладатель Народная асвета 1 — Ошмянская возвышенность (г. Милидовская), 2 — Лукомская возвышенность, 3 — Оршанская возвышенность, 4 — Копыльская гряда, 5 — Нещердовская возвышенность, 6 — возвышенная равнина Загородье. I — Гхор (уровень Мертвого моря), II — Турфанская котловина (Китай), III — Карагие (Казахстан), IV — Долина Смерти (США), V — Акчакая (Туркменистан), VI — оз. Солтон-Си (США) Рис. 121 549. Точка X на координатной прямой имеет координату 4. Какую координату будет иметь точка, в которую перейдет точка X при сдвиге ее на: а) +2 единицы; б) -2 единицы; в) +5 единиц; г) -5 единиц; д) +4 единицы; е) -4 единицы; ж) -3,5 единицы; з) +3,5 единицы; и) -41 единицы; 3 к) +41 единицы; 3 л) -7,5 единицы; м) -IO4 единицы? 167 Правообладатель Народная асвета 550. Найдите число, если: а) оно на 14,3 больше 21,08; б) число 41,7 больше его на 17,05; в) число 24,6 меньше его на 19,3; г) оно на 25,6 меньше числа 52,9; д) оно составляет 0,4 от числа 21; е) число 40 составляет — его; ж) оно составляет 75 % числа 80; з) 25 %о его равны 50. 551. Вычислите: а) 1^9-- -611; е) 11 1 - 7 221, 11 13 125 900; б) 13^- -11^; ж) 3 1 1 ; 17 13 27 216; в) 1^3-- з) 11 - 311 11 ; 23 19 189 945; г) 325 - 2103; и) 16 - 6М - 213; 27 216 95 38 д) 1343 19. к) 2 - + 4 600 15; 23 69 552. Вычислите: ( 7 а) 2000 + 0,0065): 0,001 + 0,00004 3125 0,0001 553. Решите уравнение: . 20,15 - 6,05 + 6,3 _ о . а) /гч г. г ч гч г “ 3,4; (0,2 + k) • 0,5 168 б) 11 + 0,3125 • 11): 1,3 40 5 43 -1,39) :33 25 50 б) (b + 4,65) • 5,3 = 1; ) 40 - 2,9 ; Правообладатель Народная асвета 3,5 + f + 2— в) ------15 = 2; + 4,1 20 г) 0,5:1,25 + 7: g - — 5 11 1,5 + -) :1В1 d 3 = 32. 554. Решите уравнение: а) 1,9 : (43,06 - x) • 21,25 = 31; 6 б) (В7,3 - 2,4i):3 0,23 + 17) :390 = 0,2; в) 72,492 : 12 + b ■ 36 - 120,03 : 15 = 0,21; г) 0,1 : 0,002 - (l ■■ 0,565 - 11,1 : 1,4В) = 6,5. 555. Волка, Ольшанка, Ислочь — притоки Березины. Длина Волки 36 км, что составляет 60 % длины Ольшанки. Найдите длины Ольшанки и Ис-лочи, если Ислочь на 70 % длиннее Ольшанки. 556. Измерения прямоугольника равны 4,4 см и 2,1 см. Какова площадь этого прямоугольника? Подбором с точностью до миллиметра найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника. 557. Какова масса 1 м3 сухого дуба и 1 м3 сухой ели, если 61 м3 дуба и 22 м3 ели вместе ве- 25 сят 616 т, причем 1 м3 дуба весит в 11 раза боль- 25 ше, чем 1 м3 ели? 558. Турист прошел расстояние между Парафья-ново и Сорочино (рис. 122) за 3 дня. В первый день он прошел 1 всего пути и 5 еще 12 км, во второй — — всего пути и еще 4 км, а за 3 Сорочино Ушачи, Зарубовщина ’ Докшицы Парафьяново Рис. 122 169 Правообладатель Народная асвета “23 к третий день — — всего пути и 5 км, которые оста-80 вались. Найдите расстояние между деревнями. 559. Лешно, Колодно, Платишно — озера в Бе-шенковичском районе. Длина береговой линии Лешно меньше на 0,15 км длины береговой линии Колодно и на 1,59 км — длины береговой линии Платишно. Найдите длины береговых линий этих озер, учитывая, что длина береговой линии Платишно на 0,01 км меньше удвоенной длины береговой линии Лешно. 560. Из 40 учащихся 5 не выполнили домашнее задание. Сколько процентов учащихся выполнили задание; сколько не выполнили? 561. Индюк и петух вместе весят 9,5 кг, причем масса индюка на 50 % больше массы петуха. Сколько весят индюк и петух в отдельности? 3 562. Всего было куплено кг конфет и пряников. После того как раздали l1 кг конфет и в 1,5 раза больше пряников, конфет и пряников осталось поровну. Сколько конфет и сколько пряников было куплено? 563. Постройте углы в 70° и 45° так, чтобы вершина и сторона у них были общими. На общей стороне выберите точку и через нее проведите прямую, перпендикулярную этой стороне. Сколько треугольников образовалось? Найдите их углы. Рассмотрите разные случаи. 564. Содержание сахара в сахарной свекле равно -4 от ее массы. Завод за работу оставляет себе 13 % изготовленного сахара. Сколько сахарной свеклы было привезено на завод, если поставщик свеклы получил 17,4 т сахара? 170 Правообладатель Народная асвета 565. С одной станции вышел поезд, который проходил 14,4 км за каждые 15 мин. Одновременно навстречу ему с другой станции вышел поезд, который проходил 21,9 км за каждую 1 ч. Через какое вре- 3 мя расстояние между поездами будет 51,4 км, если расстояние между станциями равно 198,4 км? 566. В нашей стране живут три вида ящериц: прыткая, живородящая, веретеница ломкая. Длина ящерицы живородящей такова, что ее четвертая доля равна пятнадцатой доле длины веретеницы и пятой доле уменьшенной на 2 см длины ящерицы прыткой. Найдите длины этих пресмыкающихся, учитывая, что ящерица прыткая на 6 см длиннее ящерицы живородящей. 567. Хозяйство на 72 га посеяло ячмень и овес, которых было израсходовано 7200 кг и 6240 кг соответственно. Найдите нормы высева ячменя и овса, учитывая, что они относятся как 12 : 13. 568. Хозяйство израсходовало 4800 кг люпина и 2880 кг вики на площадях, которые относятся как 4 : 3. Найдите нормы высева люпина и вики, учитывая, что они вместе составляют 360 кг/га. 569. Первый автомобилист на автомобиле с расходом топлива 15 л/100 км выехал из Постав, второй — через час из Черикова навстречу первому на автомобиле с расходом топлива 10 л/100 км (рис. 123). Найдите: а) сколько топлива израсходовали на дорогу первый и второй автомобилисты, учиты- 171 Правообладатель Народная асвета вая, что эти расходы относятся как 3 : 1; б) скорости, с которыми двигались автомобилисты, учитывая, что встреча произошла через 2 ч после выезда второго автомобилиста. 570. Первый автомобилист выехал из Браслава, второй — одновременно с первым навстречу ему из Рогачева (рис. 124). Второй автомобилист встретил первого через 3 ч после выезда, проехав после Минска 6 км. Найдите: а) скорости автомобилистов; б) сколько топлива израсходовали на дорогу первый и второй автомобилисты, учитывая, что эти расходы относятся как 4 : 7, а на 100 км машины первого и второго автомобилистов вместе расходуют 18 л. * * * 571. Все 28 костяшек домино выложили цепочкой по правилам игры в домино (рис. 125). Сколько очков на другом конце? Рис. 125 572. Из шести монет две фальшивые, которые легче настоящих. Как на чашечных весах за три взвешивания найти обе фальшивые монеты? 172 Правообладатель Народная асвета 573. На круглом торте лежит прямоугольная шоколадка. По какой прямой нужно разрезать торт, чтобы разделить на две равные части и торт и шоколадку? 13. Рациональные числа А) Отложим на координатной прямой OE вправо от начала отсчета три единичных отрезка. Получим точку M. Понятно, что точка M имеет координату 3. Отложив три единичных отрезка влево от начала координат, получим точку ^ с координатой -3 (рис. 126). Точки M (3) и K (-3) равноудалены от начала координат. Точки A (-1,5) и B (1,5), Р(2|) и Q (-22) (рис. 127) тоже равноудалены от начала координат. Два числа называют противоположными, если точки, изображающие их на координатной прямой, лежат по разные стороны от начала координат и на одинаковых расстояниях от него. Число -3 противоположно числу 3 и число 3 противоположно числу -3. Числа 2,8 и -2,1 (рис. 128) не являются противоположными, так как они хотя и находятся по разные стороны от начала координат, но на разных расстояниях от него. Противоположные числа отличаются только знаком. К о м Рис. 126 -3 1 1 1? 1 ^1 0 9 в 1 ^ 1 3 р aJ 1 1 Г- Рис. 127 1 1 -4 1 1 -2| -2-1’5' -2,1 1 .1 1 f 0 1 'l5 ' 1,5ц. 2 1 1 2^ 2,8 .1 \ \ + 4 Рис. 128 1 1 -4 1 •! 1 -2 1 0 1 1 +2 • 1 1 1 * +4 173 Правообладатель Народная асвета Каждое число имеет только одно противоположное число. Число, противоположное положительному числу, — отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, — положительно. Число 0 противоположно самому себе. Пусть буква x обозначает определенное число. Договариваются число, противоположное числу X, обозначать -x. Если x — положительное число, то этим обозначением мы уже пользовались: число, противоположное числу ^^, записывается как -47-. Если X обозначает отрицательное число, то получаем следующее. Запись -(-5) обозначает число, противоположное числу -5. А таким числом является число 5. Значит, -(-5) = 5. Вообще для любого числа x верно равенство: -(-x) = X Б) Положительные числа, как натуральные, так и дробные, а также противоположные им числа и число 0 вместе называют рациональными числами. Не все числа являются рациональными. Так, например, число п нельзя точно представить обыкновенной дробью: число Архимеда Т2, число Меция Yf5, число 3,1415926535 дают только приблизительные значения числа п. Правообладатель Народная асвета Из рациональных чисел выделяют целые числа, под которыми понимают натуральные числа, противоположные им числа и число 0 (рис. 129). Числа 5 и -5 хотя и разные, но находятся на одинаковых расстояниях от начала координат (рис. 130). Говорят, что они имеют один и тот же модуль. 5 единиц 5 единиц Рис. 130 -5 о Расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу, называют модулем этого числа или его абсолютной величиной. Модуль числа a обозначают |а| и читают модуль а. Можем записать: 15 = 5, I-2,8| = 2,8 (рис. 131). -2,8| = 2,8 |5| = 5 Рис. 131 2,8 единиц —I----1--- 5 единиц —I---1— -3 -2 -1 о Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки. Модуль числа 0 равен нулю, так как числу 0 соответствует начало отсчета, и поэтому число 0 отстоит от начала отсчета на 0 единиц. Модуль не равного нулю числа есть положительное число, так как расстояние между разными точками выражается положительным числом. Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу. С помощью переменной найденные свойства модуля можно записать так: 1-^ = WI; если a Ф 0, то a > 0; 175 Правообладатель Народная асвета a = i a, если a > 0, -a, если a < 0, 0, если a = 0. Ч. В) При сравнении положительных рациональных чисел мы пользуемся свойством: если координатная прямая направлена слева направо, то большее число расположено правее меньшего, а меньшее — левее большего. Например, 3 > l1, 3 < 4,5 (рис. 132). 3 Это правило пригодно для любых рациональных чисел, так как слова правее и левее имеют смысл для любых точек координатной прямой. Рис. 132 4,5 Ч—•—I- 54321012345 Из двух рациональных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее, а меньше то, которое расположено левее. Пользуясь этим правилом, с помощью рисунка 133 найдем, что: -3 < -2; -1 > -5; -4 < 1; 5 > 0. Для сравнения чисел необязательно каждый раз изображать их на координатной прямой. Легко понять и запомнить свойства: любое отрицательное число меньше нуля; любое положительное число больше нуля; любое отрицательное число меньше любого положительного. Первое свойство позволяет утверждение a — положительное число записать формулой a > 0, а утверждение b — отрицательное число — формулой b < 0. Рис. 133 176 -5 -4 -3 -2 -1 о Правообладатель Народная асвета Утверждение m есть неположительное число записывается формулой m < 0, а утверждение b есть неотрицательное число — формулой b > 0. Формулу n < 0 можно прочитать и как n есть положительное число или нуль, а формулу m < 0 — как m есть отрицательное число или нуль. Найдем правила сравнения отрицательных чисел. Вы знаете, что при -5 °С теплее, чем при -15 °С, и на координатной прямой число -5 расположено правее числа -15 (рис. 134). Значит, -5 > -15. Вместе с этим число -5 имеет меньший модуль, чем число -15, так как первое число расположено ближе к началу координат, чем второе. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. —111111111111111111111111111111111111111111111111111—► -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 Рис. 134 1. Какие числа называются противоположными? 2. Чем отличаются противоположные числа? 3. Сколько противоположных чисел есть у данного числа? 4. Какое число противоположно положительному числу; отрицательному числу? 5. Какое число противоположно числу 0? 6. Как обозначают число, противоположное числу m? 7. Каково число -a, если число a положительное; отрицательное; равно нулю? 8. Какие числа называют рациональными? 9. Какие числа называют целыми? 10. Что называют модулем числа? Как обозначают модуль числа? 11. Чем похожи и чем отличаются противоположные числа? 12. Чему равен модуль положительного числа; модуль отрицательного числа; модуль числа 0? 13. Каков модуль не равного нулю числа? 14. Как можно сравнивать числа с помощью координатной прямой? 177 Правообладатель Народная асвета 15. Какое из двух чисел больше: отрицательное или положительное; отрицательное или нуль; положительное или нуль? 16. Как сравнить два отрицательных числа? 17. Что означает запись a > 0; b < 0; m > 0; n < 0? 18. Что означает утверждение n — неположительное число; m — неотрицательное число? 574. Запишите числа, одно из которых противоположно, а второе обратно числу: а) 17; в) 2; д) 3,5; ж) 1; б) 3,2; г) 0,1; е) 1^9; з) 0. 575. Изобразите на координатной прямой данное число и противоположное ему число: а) 4; в) 21; д) -3,5; ж) +2,6; и) 1,9; б) целыми; в) дробными; г) положительными; д) отрицательными; б) -6; г)-4^|; е) 1,75; з) -3,8; к) -2,5. 576. Даны числа: 127; -3,6; 42; 20; 0; -5; -9-25; 3 3 7 62,005. Определите, какие из них являются: а) натуральными; е) целыми положительными; ж) целыми отрицательными; з) дробными положительными; и) дробными отрицательными; к) неположительными. 577. Как иначе можно назвать целые положительные числа? 578. Верно ли, что: а) если число a целое, то противоположное число -a также целое; б) если число a целое, то обратное число 1 дробное; a 1 в) если число a целое, то обратное число — также a целое; 178 Правообладатель Народная асвета г) если число a дробное, то противоположное число -а также дробное; д) если число а дробное, то обратное число 1 также дробное; a е) если число а дробное, то обратное число 1 целое; а ж) если число а рациональное, то противоположное число -а также рациональное; з) если число а рациональное, то обратное число 1 а также рациональное; и) если число а положительное, то противоположное число -а отрицательное; к) если число а отрицательное, то противоположное число -а положительное; л) каждое целое число имеет себе противоположное; м) каждое рациональное число имеет себе обратное? 579. Определите, верно ли, что если число натуральное, то оно: а) целое; г) не дробное; б) рациональное; д) положительное; в) не отрицательное; е) не целое. 580. Определите, верно ли, что если число целое, то оно: а) не натуральное; г) не дробное; б) рациональное; д) положительное; в) не отрицательное; е) не положительное. 581. Изобразите на координатной прямой точки М(3), W(-2,5), O P(-3), Q(б^), R (6,3) и найдите в единичных отрезках расстояние между точками: а) M и N; г) P и O; ж) P и M; к) Q и M; б) M и R; д) N и P; з) Q и N; л) O и R; в) O и N; е) M и O; и) N и R; м) R и Q. 179 Правообладатель Народная асвета 582. На координатной прямой отметьте числа 2 -4,5; -2; -^; 3,7; 1; 2,5. Запишите числа, которые 3 отстоят от этих чисел на 3 единицы. 583. Найдите значение выражения: а) -(-7) + 3,2; D 4i72 _ (-(_311 б) -(-53) - 19; в) -(-5,7) + 2,7; 584. Решите уравнение: д)-|-15)+(-(-i е) -(-— ^ ' 25 15 а) -(-а) = 5; б) -(-b) = -5; в) -(+c) = -1,7; г) -(+d) = 1,7. 585. Найдите значение выражения: а) -а, если а = 21; -4,8; 61; -309; 3,07; -41-29; 0; 8 31 б) b, если -b = -21; 34; -0,008; 51|; -26; 22,017; в) -(-c), если c = 8,23; -18; б^Ц; 51; -95^; -24,06; г) d, если -(-d) = 73; -6,024; -516; 35,62; -5^-; 48. 5 9 586. Из данных чисел составьте пары противоположных чисел: 36; -2-1; -15; -0,2; -134; I; -36; 1; -^l; —^; 134; -137. 1^ 137’ ^ 26 587. Найдите модуль числа: а) 37; в) -5,12; д) -3,7; б) 3,9; г) е) -3^; 588. Найдите значение выражения: а) |-5 + |- 12|; в) |56 • |-10|; б) I-25 + 1+ 13|; г) 1-520 :1-261; ж) 0; з) -711. ^ 56 180 Правообладатель Народная асвета д) 26,7 : - 8,9 ; и) 7 8 ’ 3 8 е) |-5,21 + |- 12,7|; к) -31 • 5 , 14 ; ж) 5 • |-2,007|; л) 2^ • ^ 15 25 , 25 з) |-12,5 - 1,25; м) 7 +8 5 L2 ■ 589. Найдите значение выражения: а) \аI, если a равно: -21,5; 12,3; -89; 74; 423; -613; ' ' 53 16 4 . 127’ б) а + \Ь|, если а и b соответственно равны: 2,12 и -7,19; -61,2 и -71,9; 2^ и -^^; -11 и -^^; 18 1^ 15 25 в) а • Ь|, если а и Ь соответственно равны: 2,12 и -7,19; -61,2 и -71,9; и -74; -т! и -тТ.. 18 11 15 24 590. Упорядочите числа по возрастанию: а) -2^; 3^5^; 0; -13-; -3,2; б) -11- А. -А. 20 ) 12; 12; 13; 13; 13. 591. Упорядочите числа по возрастанию их модулей: а) 4,11; -3,42; -4; -3,5; б) 7,1; -7,11; 7^1; -711; 7,01. 592. Расположите числа по убыванию: |4|, 15 -1, |15|, |0|, 41 -43 -41 43 5 4 7 7 8. 181 Правообладатель Народная асвета 593. По рисунку 135 запишите точки вместе с их координатами по возрастанию координат. С В G А D —♦ 1----1—•—и 1----1--Ф--1— Рис. 135 F -Ф- -40 -20 о 20 40 60 594. Сравните числа с помощью координатной прямой: д) 3 и 0; а) 7 и 5; б) -5 и -9; в) 2 и -3; г) -4 и 0; е) - — и 4; ^3 5’ ж) 31 и -7; ' 2 и) -41 и 21; ^ 3 2 к) -11 и 0; 3 л) ^4 и -21; з) -1 и h м) -12 и -9. 595. Заменяя звездочку словами больше, меньше, равно, прочитайте запись так, чтобы получилось верное утверждение: а) -(-9) * 9; б) -(+11) * 11; в) -(-21) * -21; г) -(+17) * -17; д) * +(^^ ^ 13 \ 13 ж) -(-3,4) * -3,4; з) 0 * -0; и) +(-7,4) * 7,4; к) -7i3\ * 719. 7 2J 720; е) -^^ * -(-^^ ^19 \ 19 л) -(+2,3) * 3,2; м) -(+6,9) * -6,9. 596. Запишите неравенством результат сравнения чисел: б) 182 и 3; г) -53 15 8; 8 — и - 14 ; д) -100 40 "37; 5-2 и - -21; е) 27II 9 7 30 2. '5' 4, 9; и 41, 30 Правообладатель Народная асвета ж) 2317 и 15127; и) 73 и 74; ’ 39 23^ ^ 4 5 з) -253 и 1; к) -41,3 и -34,4. 5 597. Замените звездочку таким числом, чтобы выполнялось двойное неравенство: а) -1 < * < 2; з) -9 > * > -8; и) -0,26 > * > -0,27; к) л) -0,01 > * > -0,001; б) 2 > * > 1; в) -0,2 < * < -0,1; г) 0,4 > * > -0,01; д) -1 < * < 0; ж) - < * < ,1; 11 < * < -11; 6 7 м) -56 < * < -55. 76 е) 0 > * > - ^; 598. Замените звездочку такой цифрой, чтобы было верным неравенство: а) -5,04 > -5,*3; б) -6,6*7 > -6,612; в) -3,90*4 < -3,9*867; г) -2,16*7 > -2,*61*2 > -2,16121; д) -5,04 < -5,**5 < -5,*33; е) -7,6 *9 > -7,*169 > -7,629. 599. Какие целые числа на координатной прямой расположены между числами: а) 3 и 7; г) -3,2 и 4,3; ж) -3,6 и 5,1; б) -3 и 4; д) -4 и 0; з) и А? ’ 13 13 в) 3,1 и 7,3; е) -3,9 и 0,1; 600. Запишите по убыванию числа, противопо- ложные данным: а) 623; ^ 59 39 75. _ 1. 7; 7; 175 ; 3,37; б) -2,75; 3,5; 4|; -2|; -3,6. 45 183 Правообладатель Народная асвета 601. Двойным неравенством запишите, между какими целыми числами расположено число: а)33; в) 2; 9 д) -3,125; ж) -0,015; б) -10^; г) - 25 ; ^ 123 е) 4,05; з) 432. ’ 37 602. Сколько процентов составляет число: а) 15 от числа 2—; г) 7,5 от числа 2—; 2 2 б) 6— от числа 6,25; д) 7— от числа 125; е) 8^ от числа 128? в) 25,3 от числа 10; 603. Запишите в процентах обыкновенную дробь: а) ^4; в) I5. в) Ц; б>|; д) 10; з) 8; л) ^; в)^; е) 17; ) 20 ; и) il; м) а) б) в) г) 184 604. Вычислите: 0,72 - 0,104 - 0,112 • 0,5; 0,063 : 1,26 • 1,4 ; 28,4 • 2,5 - 1,34 ; 1,08 : 1,5 + 6,3 : 0,28 ; 10 -(471: 12 - 20 : 63) - 135 У 5_________7) 36 . 6-1^./31 + 47 + 25 ; 15 42 56 48 14 - I 491: 16 - 14 : 81) • 7 1^ ./159 + 37 + 2^\ - 10 18 70 42 30 Правообладатель Народная асвета д) 9I -^• з1 + ^ 6 14 30 3 63 [1:: 2 е) ^+1 - ■ 0,8 - 96 1 15 24 (131 - ^5- -105 ] 1•230, \ 4 27 6/ 0,01 605. Докажите, что можно нарисовать четырехугольник, у которого только один угол: а) тупой; б) прямой; в) острый. Нарисуйте такой четырехугольник и измерьте величины его углов. 606. Прямые AB и CD на рисунке 136 пересекаются в точке O. Из точки B опущен перпендикуляр на прямую CD, а из точки C — на прямую AB. Найдите углы треугольника OCA, учитывая, что Z OBD = 52 °. Рис. 136 607. В хозяйстве из площадей, отведенных под зерновые, 40 % занято пшеницей, а остальное — рожью и ячменем в отношении 0,6 ^ 2. Каковы площа- 5 ди посевов зерновых куль- тур, если рожью занято на 24,8 га меньше, чем пшеницей? 608. Из Бреста и Орши (рис. 137) навстречу друг другу вышли одновременно два поезда со скоростями Рис. 137 185 Правообладатель Народная асвета 45I км/ч и 53-1 км/ч. Определите с точностью до километра, какое расстояние будет между ними через: д) 6 ч; е) 7 ч 50 мин; ж) 8 ч 15 мин; з) 10 ч 24 мин. а) 1 ч 45 мин; б) 2 ч 30 мин; в) 5 ч 24 мин; г) 5 ч 38 мин; 609. Докажите, что среднее арифметическое двух произвольных простых чисел, больших 2, всегда является целым числом. 610. Эбонит изготавливается из каучука и серы. Сколько каучука и сколько серы содержится в эбонитовой палочке массой 95 г, если серы в ней 40 %? 611. Норма высева гречихи при сплошном посеве на суглинистых почвах составляет 90 кг/га. Сколько потребуется семян, чтобы засеять участок, план которого показан на рисунке 138? 612. На рисунках 139—144 показаны некоторые соленые и солоноватые озера. Составьте таблицу сведений об этих озерах по форме. Масштаб 1:5000 Рис. 138 Озеро Место- нахождение Площадь, 2 тыс. км2 Соленость,^ Нарисуйте: а) столбчатую диаграмму площади озер; б) линейную диаграмму солености озер. 186 Правообладатель Народная асвета США 6 тыс. км^ 137 %о Большое Соленое оз. Рис. 139 Азия Рис. 142 Кыргызстан 03. Иссык-Куль 6236 км2, 5 Рис. 141 Казахстан, Узбекистан Рис. 143 Иордания, Израиль 1050 км2 270 %о Мертвое море Рис. 140 Иран Рис. 144 613. Количество мальчиков в классе составляет 80 % от количества девочек. Сколько в классе мальчиков, если в классе: а) всего 36 учащихся; б) 20 девочек; в) девочек на 3 больше, чем мальчиков? 187 Правообладатель Народная асвета 614. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел катер со скоростью 20 км/ч. Определите расстояние от пристани до города, если катер пришел туда на 1,5 ч раньше лодки. 615. Книга стоила 80 000 р. Сначала ее продавали со скидкой 10 %, но потом новую цену решили увеличить на 10 %. Сколько теперь стоит книга? 616. Из определенного числа вычли 30 % его, потом 40 % остатка и, наконец, 50 % нового остатка, после чего получилось 105. Найдите исходное число. 617. В первой коробке конфеты разложены в 6 рядов, во второй — в 4 ряда, и во второй коробке содержится на 4 конфеты больше. Найдите, сколько конфет размещается в одном ряду той и другой коробок, учитывая, что в первой коробке в одном ряду на 5 конфет меньше. 618. С первого поля с урожайностью 56 ц/га собрали на 182 ц ржи больше, чем со второго поля с урожайностью 63 ц/га. Найдите площади полей, учитывая, что площадь второго поля на 7 га меньше. 619. С первого поля площадью 39 га собрали на 188 ц ржи меньше, чем со второго поля площадью 50 га. Найдите урожайности полей, учитывая, что урожайность первого поля на 9 ц/га больше. 620. Первая и вторая машины грузоподъемностями 8 т и 6 т перевезли грузы, массы которых относятся как 5 : 3. Определите, сколько рейсов сделали первая и вторая машины, учитывая, что вместе этих рейсов — 36. 621. Первая машина за 18 рейсов и вторая за 12 рейсов перевезли грузы, массы которых относятся 188 Правообладатель Народная асвета как 5 : 4. Определите грузоподъемности первой и второй машины, учитывая, что в сумме они дают 11 т. * * * 622. В строчку друг за другом выписано 2010 цифр так, что каждая пара соседних цифр образует двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Какая цифра записана первой, если последняя цифра 1? 623. Какие цифры нужно поставить вместо звездочек, чтобы число 523 *** делилось на 7, 8 и 9? 624. В первой кучке 25 камешков, во второй 36. Двое игроков по очереди могут брать произвольное количество камешков, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто может всегда выиграть? Как он должен играть? 14. Осесимметричные фигуры. Биссектриса угла А) Фигуры, изображенные на рисунках 145, 146, 147, штриховой прямой AB разделяются на две равные части. Если перегнуть лист бумаги по этой прямой, то одна часть целиком наложится на другую. Правообладатель Народная асвета Рис. 148 К Сложим лист бумаги пополам, развернем его и по линии сгиба проведем прямую MN. С одной стороны от нее чернилами нарисуем какую-либо фигуру, например кисть руки (рис. 148). Пока чернила не высохли, снова сложим лист бумаги по прямой MN и прижмем части листа друг к другу. Развернув лист, увидим две фигуры — исходную и фигуру-оттиск, равную исходной (рис. 149). Такие фигуры называют симметричными относительно прямой, а прямая MN — осью симметрии этих фигур. Научимся строить фигуры, симметричные простейшим фигурам. На рисунке 150 показаны прямая AB и точка K. Построим точку, симметричную точке K относительно прямой AB. Для этого опустим из точки K перпендикуляр KE на прямую AB и на продолжении этого перпендикуляра отложим отрезок EL, равный отрезку KE (рис. 151). Если перегнуть лист бумаги по прямой AB, то К 190 Правообладатель Народная асвета точки K и L совместятся, значит, точки K и L симметричны. На рисунке 152 показаны прямая AB и отрезок PQ. Построим отрезок, симметричный отрезку PQ относительно прямой AB. Для этого найдем точки R и S, симметричные точкам P и Q (рис. 153). Если перегнуть лист бумаги по прямой AB, то точки P и Рис. 152 Q Рис. 154 Q совместятся с точками R и S соответственно. Значит, совместятся и отрезки PQ и RS. Отрезки PQ и RS симметричны. На рисунке 154 показано, как построить фигуру, симметричную данному пятиугольнику ABCDE относительно оси симметрии MN. Вернемся к рисунку 145. На нем часть фигуры, расположенная по одну сторону от прямой AB, симметрична части, расположенной по другую сторону. Другими словами, если взять любую точку этой фигуры, то и симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Такие фигуры называют осесимметричными. Каждая из фигур на рисунках 145, 146, 147 является осесимметричной. Другие примеры осесимметричных фигур изображены на ри- 191 Правообладатель Народная асвета сунках 155—159, на которых штриховыми линиями показаны оси симметрии. Симметричные фигуры используются для украшения произведений изобразительного и декоративно-прикладного искусства, архи- Рис. 156 Рис. 157 тектурных строений. На рисунке 160 показан вышитый орнамент, на рисунке 161 — узоры на полотенце, на рисунке 162 — вытинанка, на рисунке 163 — кованая ограда, на рисунке 164 — вязаная салфетка. Б) Рассмотрим две осесимметричные фигуры — угол и равнобедренный треугольник. 192 Правообладатель Народная асвета к ■«i Рис. 160 Рис. 162 Рис. 161 'ЭжС ГГЭжС л ?'Ь.С Ai? 'о С ■0 7 О ? О )С ? “О )С 7 “О *1- )Q ? “0 С Рис. 163 Рис. 164 Вырежем из бумаги угол ABC (рис. 165). Сложим его так, чтобы сторона BC пошла по стороне BA. Развернем угол и по линии сгиба проведем луч BR (рис. 166). Понятно, что углы ABR и CBR равны. Рис. 165 Рис. 166 193 Правообладатель Народная асвета о QP и QR — боковые стороны PR — основание Рис. 169 Рис. 168 В Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называют биссектрисой угла (рис. 167). Понятно, что прямая, проходящая по биссектрисе угла, является его осью симметрии (рис. 168). В) Вы знаете, что треугольник, у которого имеются равные стороны, называют равнобедренным (рис. 169). Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC (рис. 170). Проведем биссектрису BK его угла B (рис. 171). Она разделила треугольник на две части, одна из которых закрашена. Перегнем треугольник по этой биссектрисе и 194 Правообладатель Народная асвета наложим его закрашенную часть на незакрашенную. Тогда сторона BA пойдет по стороне BC, так как углы 1 и 2 равны. Точка A наложится на точку C, так как отрезки BC и BA равны. В результате треугольник ABK точно наложится на треугольник CBK (рис. 172). Совпадение треугольников ABK и CBK влечет за собой равенство соответствующих углов. Значит, угол A равен углу C. Мы доказали, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Верно и обратное утверждение: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. В треугольнике PQR на рисунке 173 углы P и R равны. Измерениями можно убедиться, что у него равны и стороны PQ и RQ. На рисунке 174 показан равнобедренный треугольник DEF, у которого ED = EF. У этого треугольника и третья сторона DF равна сторонам ED и EF. Вы знаете, что такой равнобедренный треугольник называют равносторонним. В\ ED = EF; DF = ED Рис. 174 195 Правообладатель Народная асвета ^ Рассмотрим равносторонний треугольник MNP (рис. 175). В нем NM = NP, поэтому треугольник MNP — равнобедренный с основанием MP, значит, Z NMP = Z NPM. Треугольник MNP можно также рассматривать как равнобедренный с основанием NP. Поэтому Z NPM = Z PNM. Получили, что Z NMP = Z NPM и Z NPM = ZPNM. Это означает, что все три угла треугольника MNP равны друг другу. Все три угла равностороннего треугольника равны между собой. Рис. 175 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Как проверить, являются ли две фигуры симметричными относительно данной оси симметрии? Как построить точку, симметричную данной точке относительно данной оси? Как построить отрезок, симметричный данному отрезку относительно данной оси? Как построить многоугольник, симметричный данному многоугольнику относительно данной оси? Какое отличительное свойство имеют точки осесимметричной фигуры? Приведите примеры осесимметричных фигур. Какой луч называют биссектрисой угла? Какой треугольник называют равнобедренным? Какие его стороны называют боковыми и какую сторону — основанием? Какой треугольник называют равносторонним? Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Каким является треугольник с двумя равными углами? Какие углы у равностороннего треугольника? 196 Правообладатель Народная асвета А Р в с D Е G F Рис. 176 625. Нарисуйте прямую ST. Отметьте точки A и B по разные стороны от прямой ST и одну точку C на прямой ST. Постройте точки U, V, W, симметричные точкам A, B, C относительно прямой ST. 626. На рисунке 176 прямая PQ является осью симметрии. Назовите точку, симметричную точке: а) A; д) E; б) B; е) F; в) C; ж) G. г) D; Пример для ответа: Точка X симметрична точке Y. 627. Точки A и B лежат по разные стороны от оси симметрии MN, причем отрезок AB перпендикулярен оси MN. Можно ли утверждать, что точки A и B симметричны относительно оси MN? 628. Точки E и F лежат по разные стороны от оси симметрии PQ, причем OE = OF (рис. 177). Можно ли утверждать, что точки E и F симметричны относительно оси PQ? 629. Точки O и P лежат по разные стороны от оси симметрии AB и на равных расстояниях от нее. Можно ли утверждать, что точки O и P симметричны относительно оси AB? 630. Перенесите по клеткам рисунок 178 в тетрадь. Постройте точки E, F, G, H, симметричные точкам P, Q, R, S относительно оси AB. 197 Правообладатель Народная асвета Рис. 178 Q Р R А В S 631. Нарисуйте четырехугольник и прямую CD, его пересекающую. Постройте четырехугольник, симметричный нарисованному относительно прямой CD. 632. Вырежьте из бумаги прямоугольник и перегибанием определите, сколько осей симметрии он имеет. 633. Постройте прямую, симметричную данной прямой относительно данной оси. Рассмотрите разные случаи. 634. Постройте ось симметрии: а) отрезка; б) угла; в) прямой; г) двух данных точек; д) двух пересекающихся прямых; е) двух параллельных прямых. 635. На рисунке 179 точки A и B симметричны относительно прямой MN, а точки C и D лежат на оси MN. Докажите, что: а) углы ADC и BDC равны; б) углы ACD и BCD равны; в) треугольники ADC и BDC равны; г) углы CAD и CBD равны. 636. Постройте угол и проведите его биссектрису, если угол равен: а) 80°; г) 160°; ж) 200°; б) 24°; д) 15°; з) 270°; в) 90°; е) 180°; и) 320°. 198 Правообладатель Народная асвета 637. Нарисуйте угол и проведите его ось симметрии, учитывая, что его градусная мера равна: а) 70°; б) 90°; в) 120°. 638. Нарисуйте равнобедренный треугольник и проведите его ось симметрии, учитывая, что его боковая сторона равна 6 см, а градусная мера его угла, образованного боковыми сторонами, равна: а) 130°; б) 90°; в) 60°. 639. Нарисуйте равносторонний треугольник и проведите его оси симметрии, учитывая, что его сторона равна: а) 4 см; б) 9 см. 640. Острый угол O прямоугольного треугольника MOP равен 65° (рис. 180). Луч MT — биссектриса прямого угла OMP. Найдите углы треугольников MOT и MPT. 641. Стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC равны друг другу, а угол BAC равен 26°. Найдите углы треугольника. 642. Угол при основании равнобедренного треугольника в четыре раза больше угла против основания. Найдите углы треугольника. 643. Один угол треугольника на 18° меньше каждого из двух остальных. Найдите углы треугольника. 644. Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника. 645. Угол против основания равнобедренного треугольника в четыре раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника. 199 Правообладатель Народная асвета 646. Один угол равнобедренного треугольника на 33° меньше другого. Найдите углы этого треугольника. Сколько решений имеет задача? 647. Основание BC равнобедренного треугольника ABC продолжено за вершины (рис. 181). Докажите, что ZABD = ZACF. 648. Стороны равнобедренного треугольника BCD с основанием BD продолжены за вершину D, а затем построен треугольник DEF так, что DF = FE (рис. 182). Докажите, что Z CBD = Z FED. 649. Угол N прямоугольного треугольника MNP равен 30°. На продолжениях сторон другого острого угла за вершину P отложены отрезки PR и PS, равные PM и равные 32 мм (рис. 183). Найдите 200 Правообладатель Народная асвета длину отрезка RS. Найдите углы треугольника SPR. Измерьте гипотенузу NP и сравните ее с катетом MP. 650. Найдите значение выражения: а) (26,4 + 6,9) • 1,62 : 111; б) 6,09 • 7,8 - (98,76 + 77,37) : 171; в) (77,7 : 37 + 2,4) • 7,08; г) 6,5 • (48,792 : 152 - 0,19 + 5,729); д) 5,99 : 10 + 47,1 : 100 - 1,9; е) 84,492 : 12 + 42,156 : 36 - 25,02 : 15. 651. Найдите значение выражения: Д а) б) в) 3,2 +13 ^______5_, 124 - 3,2 5 51 - 41 3 1i 3 . + 5 ; д) 4 + 3 6 11 67 : 11 (0,35 •2 8 4 . 1 ; е) \ 5 4,1 • ^ • 24,2 г) —2—Y~; 0,25 • 20 • 10 0,4 • 3,1: 0,62 - 12 • 0,9 3 + 0,07 :1 )• 8 7 ^ -1— 117 -1,325 40 0,8 5 15 652. Найдите число, если: а) 20 % его равны 43,1; б) 40 % его равны 180; в) 123 % его равны 1,5129; г) 109,5 % его равны 10960,95; д) 1865 % его равны 1911,625; е) 456,85 % его равны 11535,463. 653. На сколько процентов число M больше числа N, если: а) M = 30,6 : 19,125 + 1,7; N = 15,75 : 15 - 2,38 : 14; 201 Правообладатель Народная асвета б) M = 15,6 : 7,8 + 7,8 : 15,6; N = 71,37 : 23,4 - 20,4 : 51; в) M = (25,7 - 18,24 : 1,2) : 35; N = (4,2 + 31,5 : 3,75) : 72; г) M = 6,84 : 1,14 • 2,85 - 16,2; N = 6 : 9,6 + 9,75 : 39 : 2? 654. Отношение равно 12, а его члены есть числа 9 и 15. Какое из них первый член и какое — второй? 655. Если к четверти длины реки Гайны (Минская область) прибавить ее пятую долю, то получится длина ее притока Усяжи, равная 45 км. Какова длина Гайны? 656. Продали 230 булок черного хлеба и 150 батонов, всего на сумму 2 298 500 р. Определите цену батона и цену булки хлеба, если хлеб на 250 р. дороже. 657. В 6 ч 15 мин из двух станций навстречу друг другу вышли два поезда и встретились в 11 ч 13 мин, причем один из них затратил на стоянки 1-1 ч, а второй — 1-1 ч. Найдите расстояние между станциями, учитывая, что средние скорости обоих поездов одинаковы и без учета стоянок составляют 58,2 км/ч. 658. Детеныш кита за сутки потребляет 300 кг молока, в котором белки составляют 12 %, жиры — 22 % и молочный сахар — 2 %. Сколько килограммов белков, жиров и сахара потребляет детеныш кита за неделю? 659. Объемы воды в озерах Глубочино, Семе-ненки, Межно (Россонский район) относятся как 10 : 13 : 153. Сколько воды в каждом из этих озер, если воды в Глубочино на 0,09 млн м3 меньше, чем в Семененках. 660. Расстояние от Новогрудка до Мстиславля по карте масштабом 1 : 1 000 000 равно 390,5 мм. Найдите с точностью до 10 км реальное расстояние между этими городами. Найдите масштаб карты, 202 Правообладатель Народная асвета изображенной на рисунке 184. Составьте таблицу расстояний по карте между областными центрами нашей страны. 661. В бассейн проведены две трубы. Если открыть первую трубу на 41 ч, а вторую — на З1 ч, 2 2 то в бассейн вольется 102 606 л воды. Если же открыть первую трубу на 9 ч, а вторую — на 21 ч, то 2 вольется 148 620 л воды. Какова в литрах в час производительность каждой трубы? 662. Хозяйство засеяло 17 га ячменем и 14 га пшеницей, израсходовав 5790 кг семян. Найдите нормы высева тех и других семян, учитывая, что для пшеницы норма больше на 15 кг/га. 663. Хозяйство засеяло некоторую площадь горохом и на З га меньшую площадь люпином, израсходовав 6550 кг семян. Найдите площади, занятые той и другой культурами, учитывая, что норма высева гороха составляет З50 кг/га, а люпина — 200 кг/га. 203 Правообладатель Народная асвета 664. За 27 дней Глеб прочитал книгу, которая включает две повести. Первую из них он читал по 18 страниц в день, а вторую — по 20 страниц в день. Найдите, сколько страниц книги занимают первая и вторая повести, учитывая, что эти количества относятся как 9 : 8. 665. Настя прочитала книгу, которая включает две повести. Первую из них она читала 9 дней, а вторую — 12 дней. Найдите скорости, с которыми Настя читала первую и вторую повести, учитывая, что эти скорости вместе составляют 38 страниц в день, а количества страниц, занятых первой и второй повестями, относятся как 5 ^ 6. * * * 666. Есть цепочка из 65 звеньев, по 1 г каждое. Какое наименьшее количество звеньев нужно разрубить, чтобы с помощью полученных частей можно было взвесить на чашечных весах любой груз от 1 до 65 г? 667. Первую половину пути между городами автомобиль ехал са скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 75 км/ч, затратив на весь путь 41 ч. Сколько километров он проехал? 668. Найдите все числа, которые втрое больше суммы своих цифр. 15. Сложение и вычитание рациональных чисел А) Изобразим на координатной прямой прибавление числа 4 к числу 3 (рис. 185): от точки с координатой 3 прошли 4 единицы вправо, координата точки увеличилась на 4, или изменилась на +4. -1-4 Рис. 185 204 -3 -2 -1 0 1 2 34 56 78 Правообладатель Народная асвета Теперь прибавим к числу 3 число -4. Здесь координату 3 нужно изменить на -4, или уменьшить на 4, т. е. от точки с координатой 3 пройти 4 единицы влево (рис. 186). + (-4) Рис. 186 Чтобы к числу a прибавить число b, нужно от точки с координатой a пройти |b| единиц вправо, если число b положительное, и влево, если отрицательное. Пример 1. Найдем сумму отрицательных чисел -3 и -5. Для этого от точки с координатой -3 пройдем 5 единиц влево (рис. 187) — получим точку с координатой -8. Видим, что сумма отрицательных чисел -3 и -5 есть отрицательное число, отстоящее от начала отсчета на 3 + 5 единиц. + (-5) 9 -е -7 -6 -5 -4 - 3-2 -1 ( ) 1 2 5 единиц 3 единицы Рис. 187 (3 + 5) единиц Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и результат записать со знаком «минус». Пример 2. Найдем сумму чисел 9 и -6. От точки с координатой 9 пройдем 6 единиц влево (рис. 188) и окажемся в точке с координатой 9 - 6, равной 3. Здесь модуль больше у положительного слагаемого, и сумма получилась положительная: +9 + (-6) = +3. Пример 3. Найдем сумму чисел: -9 и 2. Если от точки с координатой -9 пройти вправо 2 единицы, -6 Рис. 188 -2 -1 0123456789 205 Правообладатель Народная асвета Рис. 189 -10-9-8-7 -6-5-4 -3-2-1 0 1 то окажемся в точке с координатой -7 (рис. 189). Расстояние от начала координат уменьшится на 2 единицы: |- 9 -|- 7|. Здесь модуль больше у отрицательного слагаемого, и сумма получилась отрицательная: -9 + (+2) = -7. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и результат записать со знаком того числа, модуль которого больше. При вычислениях сравнение модулей проводят устно и записи делают цепочкой равенств: -2 + 8 = +(8 - 2) = 6; 33 + (-47 )=-(47 - з3 ^ = - 5. ^ \ 14 \ 12 4 6 Б) Сложение рациональных чисел имеет те же свойства, что и сложение положительных чисел. Переместительное свойство a + b = b + a Перестановка слагаемых сумму не изменяет Сочетательное свойство (а + Ъ) + c = a + (b + c) Изменение расстановки скобок сумму не изменяет Прибавление нуля и прибавление к нулю Прибавление противоположного числа а + 0 = а; 0 + а = а; а + (-а) = 0 Прибавление нуля и прибавление к нулю не изменяют число Прибавление противоположного числа имеет результатом число 0 206 Правообладатель Народная асвета В) Покажем на координатной прямой вычитание из числа 8 числа 5: от точки с координатой 8 сдвинемся на 5 единиц влево (рис. 190) и окажемся в точке с координатой 3. -1 0123456789 Рис. 190 Теперь вычтем из числа 8 число 12. Для этого на координатной прямой сдвинемся влево на 12 единиц (рис. 191) и окажемся в точке с координатой -4. Это то же самое, что и прибавление числа -12 к числу 8: -12 -10-8-6-4-2 о 2 4 6 8 10 12 Рис. 191 8 - 12 = 8 + (-12) = -4. Вычитание числа можно заменить прибавлением противоположного числа: a - Ъ = a + (-b) Этой формулой пользуются и тогда, когда вычитаемое является отрицательным числом. Например, 9 - (-6) = 9 + 6 = 15. Число 15 действительно есть разность чисел 9 и -6, так как число 15 в сумме с вычитаемым -6 дает уменьшаемое 9: 15 + (-6) = 9. Так же -12 - (-2,4) = -12 + 2,4 = -9,6. Действительно, -9,6 + (-2,4) = -12. 207 Правообладатель Народная асвета Вообще a - (-b) = a + Ъ Таким образом, любое выражение, содержащее действия вычитания и сложения, можно рассматривать как сумму. Например, выражение 17 - 4 - (-3) можно заменить суммой (+17) + (-4) + (+3), выражение (-21) + 7 - m — суммой (-21) + (+7) + (-m). Поэтому такие выражения называют алгебраическими суммами. Для упрощения договариваются не писать скобки и знаки сложения, стоящие между скобками: (-21) + (+7) + (-m) = -21 + 7 - m. Пример 4. Найдем значение выражения -4,5 + 7,9 - 11,2 - 0,14 + 3,12. Получим: -4,5 + 7,9 - 11,2 - 0,14 + 3,12 = = -4,5 + 7,9 + (-11,2) + (-0,14) + 3,12 = = 7,9 + 3,12 + (-11,2) + (-0,14) + (-4,5) = = 11,02 + (-15,84) = -4,82. Г) Для любых двух рациональных чисел можно найти их разность. Число 0 при вычитании имеет такие свойства. Вычитание нуля и вычитание из нуля Вычитание самого числа a - 0 = a; 0 - a = -a; a - a = 0 Вычитание нуля не изменяет число Вычитание из нуля имеет результатом противоположное число Вычитание самого числа имеет результатом число 0 Свойство вычитания из нуля обосновывается так: 0 - a = 0 + (-a) = -a. 208 Правообладатель Народная асвета Разность положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Например, в разности -5 - (-9) из большего числа -5 вычитается меньшее число -9 и ее значение 4 есть положительное число, а в разности -5 - (-3) из меньшего числа -5 вычитается большее число -3 и ее значение -2 есть отрицательное число. Пример 5. Найдем длину отрезка MN, если M(-6) и N(7). Длина отрезка MN показывает, какое расстояние l нужно пройти от его левого конца M до правого N (рис. 192). Поэтому можно записать -6 + l = 7. Отсюда l = 7 - (-6) = 13. Значит, MN = 13. I -10-8-6-4-2 о 2 4 6 78 10 12 Рис. 192 Чтобы найти длину отрезка по известным координатам его концов, нужно из большей координаты вычесть меньшую. 1. Как на координатной прямой к числу a прибавить число b? 2. Как сложить два отрицательных числа? 3. Как сложить два числа с разными знаками? 4. Чему равна сумма противоположных чисел? 5. Сформулируйте словами переместительное и сочетательное свойства сложения. 6. Сформулируйте свойства нуля при сложении. 7. Как вычитание заменить сложением? 8. Всегда ли выполнимы сложение и вычитание положительных чисел; рациональных чисел? 9. Когда разность рациональных чисел положительна; отрицательна; равна нулю? 209 Правообладатель Народная асвета 10. Чему равна разность рациональных чисел, если равно нулю уменьшаемое; вычитаемое? 11. Чему равна разность равных чисел? 12. Как найти длину отрезка по известным координатам его концов? 669. Температура воздуха была равной -3 °С. Какая теперь температура, если она изменилась на: а) 3 °С; в) 2 ° С; д) -1 °С; ж) 6 °С; б) 1 °С; г) -5 °С; е) 0 °С; з) -3 °С? 670. Вычислите устно: а) 7 + (+4); ж) 7 + (-12); н) (-5,4) + 5,4; б) 7 + (-4); з) (-7) + (-12); о) (-5,4) + 0; в) (-7) + (+4); и) (-0,5) + 1,3; п) 0 + (-5,4); г) (-7) + (-4); к) (-0,5) + (-1,3); р) (-1,9) + 1,8; д) 7 + 12; л) 0,5 + 1,3; с) (-3) + (-2,5); е) (-7) + 12; м) 0,5 + (-1,3); т) (-3) + 2,5. 671. Вычислите устно: а) 8 + (-6); д) (-12) + 5; и) (-321) + 84; б) (-9) + 5; е) 21 + (-16); к) 435 + 92; в) (-4) + (-3); ж) (-46) + 0; л) 83 + (-226); г) 0 + (-9); з) (-23) + (-9); м) (-174) + (-86). 672. Масса спортсмена за первый месяц изменилась на x кг, а за второй — на у кг. На сколько изменилась масса спортсмена за 2 месяца? Решите задачу и объясните ее смысл, если: а) x = 22, у = 1:4; б) x = 12, у = -1:4; 210 Правообладатель Народная асвета в) x = - -2, у = 1^4; г) X = - -2, у = -11. 1 2^ 4 673. Вычислите: а) (-43) + (-224); к) (-3,5) + 0,8; б) (-4,9) + (-9,4); л) (-79) + 5112; в) (-8,3) + (-8,3); м) (-1^) + 5i4:; г) (-0,7) + (-8,3); н) 27 + (-72); д) (-2#) + (-3^); о) 7,7 + (-2,8); е) (-3^) + (-3^); п) 5,5 + (-5,5); ж) (-76) + 67; р) 7,7 + (-12,8); з) (-8,1) + 6,7; с) + (-711); и) (-5,8) + 5,8; т> 96 + (-7i5 ). 674. Сравните значения выражений: а) X = -124 + 113 + (-92) + 234 + (-37) + 18 и у = 115 + + (-244) + (-128) + 73 + 152 + 11; б) g = -392 + 542 + (-161) + 109 + (-123) + 22 и h = -429 + 378 + (-142) + (-204) + 341 + 11; в) m = (-115) + (_410) + 3.4 + 2^6 + (_1_L) „ в = 4^1 + (-31) + 22 + (-51|) + (-3,4); г) ^ = И + (-2l2) + 8,6 + (-318) + 4^6 и q = 25 + I-5I-) +114 + (-^3) + 31. ^ ^ I 1^ 1^ I 1^ 6 211 Правообладатель Народная асвета 675. Взяв числа из столбцов таблицы, составьте выражения и найдите их значения. m n mi + n m + n 3,6 7,8 -3,7 2,8 9,4 -1,9 6,21 -8,7 -10,4 7,1 5 7 1 7 -2-5- 212 -1— 118 0 -9,2 7,23 0 111 1— 122 676. Найдите значение выражения: а) 8,4 + (-2,35) + (-6,61); б) (-0,05) + (-3,6) + 4,1; в) (-4,86) + (-5,7) + 9,32; г) Ц+(-1.9)+4; 18 д) 4,6 + ((-8^7.) + 5,7); е) 0,4 + (-^) + ,75; ж) 5Ц + (-7f) + ,|; з) 5 +11 + ’ 6 3 и) I3,25 + (-2,57) + (-10|6); 212 -123 ); 30/ Правообладатель Народная асвета к) 37 + (-211) + ^ I 24 л) А + 5 + ' 14 6 м) (2,75 + (-6 6 '7, М\ + 513 1^ 18 677. В январе в Пинске самая низкая температура воздуха -35 °С была зафиксирована в 1950 г., а самая высокая, отмеченная в 1899 г., была выше на 45 °С. Найдите эту температуру. 678. Юлианский календарь был введен в 45 г. до нашей эры. Через 1626 лет он был заменен григорианским. В каком году был введен григорианский календарь? 679. Уменьшите на 13 число: а) 4; г) -4; ж) -16^6; к) ^; б) 13; д) -13; з) -7^; л) 91; в) 0; е) -19; и) 5,7; м) 6^ 680. Вычислите устно, заменив вычитание сложением: а) 0 - 7; б) 2 - 6; в) -4 - 6; г) -3 - 2; д) -9 - 6; е) 14 - 122; ж) 8 - (-5); з) 9 - (-27); и) -5 - (-3); к) -4 - (-15); л) 22 - (-34); м) -43 - (-36). 681. Может ли разность двух чисел быть больше: а) суммы этих чисел; б) уменьшаемого? 682. Выполните вычитание и результат проверьте сложением: а) 25 - 84; в) 17 - (-78); д) -23 - 23; б) 5,6 - 8,2; г) 12,7 - (-3,8); е) -5,9 - (-5,9). 213 Правообладатель Народная асвета 683. Выполните вычитание и результат проверьте вычитанием: а) 275 - 88; г) 2,67 - (-7,83); б) 5,41 - 8,17; д) -2,39 - 239; в) 195 - (-773); е) -0,589 - (-5,89). 684. Назовите слагаемые в алгебраической сумме: а) -1,2 + 4,7; г) -х - 27; ж) -к - 8 + l; б) -6,01 + а; д) 12 - s + 1,7; з) -х - z + t; в) b - 1-1; е) w - 7 - v; и) -а + b - 3. 2 685. Алгебраической суммой запишите разность: а) -34 - (-56); г) 5,9 - (-17,2); ж) 3,8 - (-t); б) -57 - 23; д) z - 7,5; з) а - b; в) 60 - 4,8; е) -40 - s; и) 0 - а - b. 686. Запишите разность алгебраической суммой и найдите ее: д) 3,9 - (-7,2); а) -25 - (-17); б) 3,9 - 7,2; е) 2-| - 3; и) (-21) - (-3); к) 41 - (-21); в) -3,9 - (-7,2); г) -25 - 17; л) (-5) - (+3,2); м) 5 - (-3,2). ж) 25 - (-17); з) -3,9 - 7,2; 687. Как изменится разность, если: а) уменьшаемое увеличить или уменьшить на определенное число; б) вычитаемое увеличить или уменьшить на определенное число; в) уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить или уменьшить на одно и то же число? 688. Вы знаете совместные свойства сложения и вычитания: (а + b) - с = (а - с) + b, (а + b) - с = а + (b - c), а - (b + с) = (а - b) - с, а - (b - с) = (а - b) + с. 214 Правообладатель Народная асвета Проверьте каждое из них при: а) a = -3,1, b = 0,4, c = -4,2; б) a = 1,9, b = -2,7, c = -6,8; в) a = -4,6, b = -5,7, c = -0,2; г) a = 0, b = 3,2, c = -3,8. 689. Из первого равенства упражнения 688 при a = 0 получим равенство (0 + b) - с = (0 - c) + b. Учитывая, что 0 + b = b, а 0 - c = -c, получим формулу b - с = -c + b. Запишите формулу, которая получится, если заменить нулем переменную: а) a во второй формуле; б) a в третьей формуле; в) a в четвертой формуле; г) b во второй формуле; д) b в третьей формуле; е) b в четвертой формуле. 690. Точку с координатой -5 на координатной прямой сдвигают последовательно на: 3 единицы в положительном направлении, 15 единиц в отрицательном, 7 единиц в отрицательном, 11 единиц в положительном, 14 единиц в положительном и 9 единиц в отрицательном направлении. Определите окончательное положение точки. 691. Алгебраической суммой запишите выражение: б) 6,2 + 7,4 - 3,1 - 8,1; -51 4 - 24 + 47; 2 13 7 11’ - 9 _ 11 + ^5 - 13. 13 14 7 12 18 ; г) a + 4,2 - (-b) - 6,2 - c; д) -1^3 - 1 - 23 - (-ft) - m; е) -w - e - r - q - t - v. 215 Правообладатель Народная асвета 692. Найдите разность: а) 2125 - (-193); б) -6,75 - 6,72; в) 0,32 - 2,5; г) -1,05 - (-1,5); д) ^ - 24; ^ 20 25 ж) 7,9 - 45; з) 5^4 - (-0,75); и) 4^ - 543; к) -11 - А; ’ 15 10’ л) ^3 - (-1,6); е) 3,57 - 3 3. 4; м) -6 17 693. Вычислите: а) (425 - 378) - 273; б) -63,4 - (-8,9) + 6,71; в) (-23,7 + 39) - 0,3 - 4,8; г) (-112 - 3;3) +4’5; д>-9-| - (-4i0) - (-'tf ); е>(-38+) -14+1|. ж) -9,2 + (-5,7) - 9,2 - (-6,4); з) 19,32 - (-2,9 + 3,27) - 3,37; и) (0,38 - 0,108) - Щ + 4^ - 1813; к) -4ll - (-5l3 - 2^) + 3,25 - 4,3; л) 4 18 -14- м) -2,15 - (-2-4 + 3|) - 2,75 + 4,3. -13- 216 Правообладатель Народная асвета 694. Вычислите наиболее удобным способом: а) (23 - 17) - 13; б) (456 + 451) - 356; в) 409 - (92 + 19); г) 997 - (357 + 139); д) 303 - (23 - 97); е) 504 - (104 - 78); ж) (45 + 567) - 67; з) (883 + 448) - 283; и) (301 - 67) - 201; к) 784 - (641 - 216); л) 504 - (67 + 74); м) 1009 - (49 - 991). 695. Решите уравнение: а) X + (-14) = 23; б) -8 + c = 3,7; в) 41 - (-k) = -29; г) 22^3 + S = 34^6; д) f - 5,4 = -3,78; е) -213+^=i|; ж) 5 - h = 31: (-6); з) t + ^ = 3,7; ' 25 и) г - 128 = -23,4; 15 к) 13 - (-m) = -2,3. '20 696. По данным значениям переменных a и b найдите значения выражений a - b, |a - b|, b - a, \b - a|, a| - |b|. Результаты вычислений оформите таблицей. a 23,4 75 3 -3I 2,3 -2I 4 2 4 b 3^2- 561 7,2 -32 -6,25 25 5 5 697. На сколько изменилась температура воздуха, если утром было m градусов, а вечером n градусов. Решите задачу, если: а) m = 10, n = 23; г) m = 9, n = 3; б) m = -10, n = -7; д) m = 5, n = -4; в) m = -4, n = 3; е) m = -2, n = 0. 217 Правообладатель Народная асвета 698. В январе в Костюковичах самая высокая температура 7 °С была отмечена в 1925 г., а самая низкая -38 °С — в 1940 г. На сколько градусов отличаются эти температуры? 699. Озеро Нарочь находится на 165 м выше, Освейское — на 129 м выше, а озеро Ассаль (Северо-Восточная Африка) на 153 м ниже уровня Мирового океана. На сколько выше озера Ассаль находятся озера Нарочь и Освейское? 700. Город Браслав находится на 135 м выше уровня Мирового океана, а город Астрахань (Россия) на 25 м ниже этого уровня. На сколько метров Браслав расположен выше Астрахани? На какой высоте находится город Лхаса (Китай), если он на 3675 м выше Астрахани? 701. Найдите значение выражения: а) 3,51 - (а + 2,50), если a = -2,01; -3,4; -0,09; б) 7^9 - ), если b = -3-|; -49; -9,5; в) 50,49 - (с - 16,3), ес^ли c = 25,29; 25,19; 21; 2 г) 2^^ + f^9- ^ 15 I 15 х), если x = 308; 201; 467, 15 15 15 702. Дана точка M(-3,6). Определите, какая из точек находится от M на большем расстоянии: а) A (-9,7) или B (-7,6); б) C (-7,6) или D (0,4); в) E (9,7) или F (7,6); г) G(-9,7) или H(2,4); д) I (19,6) или J (17,9); е) K(56,7) или L (-63,9). 218 Правообладатель Народная асвета 703. Перепишите таблицу в тетрадь и заполните ее пустые клетки. a b a - b 1 + a + b a + b - b - a 1 3,7 4,9 7,1 -5,8 9,4 -9,9 -8,3 9,7 -1,6 0,9 -5,6 -7,9 -7,8 -2,5 0 -6,9 -9,7 0 Какие гипотезы вы можете выдвинуть? 704. Арбузы содержат 9,2 % углеводов. Сколько углеводов в арбузе массой 3 кг 340 г? 705. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника со сторонами щи n при увеличении одной стороны на 10 % и уменьшении другой также на 10 %, если: а) щ = 9 см, n = 7 см; б) щ = 15 см, n = 12 см? 706. Найдите значение выражения, составив предварительно схему вычислений: а) 10 - 3,745 - (4,9 - 3,15); б) 4,03 - (3,321 - (17,481 - 8,19)); в) 90,1 - 59,37 - (44,27 - 6,93 -7,75); г) 4,786 + 6,096 - (17,139 - (1 - 0,581)). 219 Правообладатель Народная асвета 707. Вычислите: а) (15 : 1,2) • (7 : 1,4) - (1 : 2,5) • (3 : 12); б) (1 : 1,6) • (26 : 5,2) + (18 : 3,6) • (2 : 0,25); в) 0,063 : 0,09 + 0,0408 : 0,017 - 0,00027 : 0,015; г) ((1 : (1 - 0,9) - 9) : (1 - 0,99) - 99) : (1 - 0,999) - 999. 708. Вычислите: а) 1,456 : 7 + 7 ■■ 0,125 - 41 : 1,25; ' 25 1^ 2 б) (41 - 0,004 • 300): 0,0015 + (41 - 31): 10; в) (3,625 + 0,25 + 23): (28,75 + 921 -15): 0,0625; г) (4,628 -1): 0,01 + (^^ + 2,1375): 9. 709. Можно ли составить правильную пропорцию из чисел: а) 9; 3; 21; 7; г) 2; 1; 13; ^^; ’ 3 ^ ^ 16’ б) 3; 80; 4; 5; д) 0,1; 0,5; 2; 10; в) 15; 14; 8; 75; е) 76; 2; 0,1; 3,8? а) б) в) 710. Решите уравнение: 31 [7 8 3 1 . \5 \ ^ 2 _ 12 ; 8 - (8,9 - x : -|) 1175; + 0,425 1 0,01 200/ • ^ 1. 3 x + — + 31 12 6 2,5 + 31 4,6 - 21 6 2,5 - ^ 4,6 + 2^ 33 . ! 0,05 _ 0 ^ = 5 15 . 1) ■' x-0,125 0,2/ 517; 220 Правообладатель Народная асвета г) (0,71 - 4):(о,71 + 1 X - 9125 192 - 117А = 1^. 16 9/ 71 711. Нарисуйте четырехугольник. Постройте отрезок, равный его периметру. 712. Перенесите по клеткам рисунок 193 в тетрадь. Постройте: а) отрезок CD, симметричный отрезку AB относительно оси RS; б) треугольник XYZ, симметричный треугольнику MNO относительно оси RS. 713. На бумажной модели квадрата определите, сколько он имеет осей симметрии. 714. В 3 кг сливочного мороженого и 2 кг пломбира вместе содержится 180 г белков, а в 100 г сливочного мороженого и 75 г пломбира — в 28,8 раза меньше. Сколько белков содержится в отдельности в 75 г сливочного мороженого и в 100 г пломбира? 715. Объемы воды в озерах Канаши и Усомля, расположенных в Полоцком районе (рис. 194), относятся как 11 : 26. Сколько воды в каждом озере, если разность объемов равна 2,25 млн м3? 221 Рис. 193 Правообладатель Народная асвета 716. Определите масштаб карты, изображенной на рисунке 194, учитывая, что длина озера Усомля равна 2,1 км. Найдите: а) длину ручья, соединяющего озера Красно и Усомля; б) длины ручьев, соединяющих озера Усомля и Канаши; в) длины озер Канаши и Красно; г) расстояния от деревни Канаши до деревень Усомля и Косарево. 717. Филе трески содержит 17,6 % белков и 0,4 % жиров. Сколько белков и сколько жиров содержит 3,6 кг филе трески? 718. Фрезеровщик сначала затрачивал на обработку детали 3 ч 20 мин, а теперь только 1 ч 45 мин. На сколько процентов фрезеровщик сократил время обработки детали? 719. Катер против течения шел от одной пристани до другой 3 ч. Сколько времени понадобится ему на обратный путь, если скорость течения реки 1,3 км/ч, а расстояние между пристанями 82,2 км? 720. Велосипедист за 2,8 ч проехал 42 км. Первую часть пути он ехал со скоростью 16,7 км/ч, а вторую, которая на 5,26 км больше, с меньшей скоростью. Сколько времени ехал велосипедист с одной и с другой скоростями и какой была меньшая скорость? Рис. 195 721. Сделайте из бумаги квадрат и разрежьте его так, как показано на рисунке 195. Образуйте из полученных частей фигуры, показанные на рисунке 196. Какие еще фигуры вы можете сложить? 222 Правообладатель Народная асвета Рис. 197 722. Перенесите по клеткам рисунок 197 в тетрадь. Постройте точки, симметричные точкам P, Q, R относительно оси AB. 723. При увеличении первого числа на 0,5755 и уменьшении второго на 0,0995 получаются равные числа. Найдите числа, учитывая, что их сумма равна ^—. 8 724. Площадь прямоугольника равна 3,22 дм2. Найдите площадь прямоугольника, у которого длина в 2 раза, а ширина в 2,5 раза больше, чем у данного. 725. Чтобы опорожнить бак, включили насос производительностью 300 л/мин, а через 50 мин включили второй производительностью 700 л/мин. Оба насоса работали 45 мин. За сколько времени был бы опорожнен бак, если бы сразу включили оба насоса? 726. Нарисуйте четырехугольник, у которого только два угла: а) острые; б) прямые; в) тупые. 727. Юра уплатил за 9 карандашей в 2 раза больше, чем за 3 ручки. Найдите цену карандаша и ручки, учитывая, что ручка стоит на 1000 р. больше. 223 Правообладатель Народная асвета 728. Катя за карандаши по цене 1200 р. уплатила в 3 раза больше, чем за ручки по цене 2000 р. Найдите, сколько куплено карандашей и сколько ручек, учитывая, что ручек куплено на 12 меньше. 729. Есть два сухих деревянных бруска, один — дубовый, другой — сосновый, которые вместе имеют объем 220 см3. Найдите массы брусков, учитывая, что у дубового бруска она на 22 г меньше, а плотности дуба и сосны соответственно равны 0,7 г/см3 и 0,4 г/см3. 730. Есть два сухих деревянных бруска, один — яблоневый объемом 120 см3, другой — сливовый объемом 160 см3. При этом масса сливового бруска на 20 г больше. Найдите плотности брусков, учитывая, что вместе они составляют 1,7 г/см3. * * * 731. На волейбольном турнире 5 команд встречаются друг с другом по одному разу. Команда-победитель получает 2 очка, а проигравшая — 0 очков. Возможно ли, чтобы после окончания турнира какие-либо три команды вместе имели на 6 очков больше, чем две остальные? 732. Расшифруйте арифметический ребус: aa • abc • bc = abc abc, учитывая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. 733. Найдите наименьшие натуральные числа a и b, удовлетворяющие условию 500a - 7b = 1. 16. Центрально-симметричные фигуры А) На рисунке 198 через точку O проведена прямая, и на ней по разные стороны от точки O на одинаковых расстояниях отмечены точки А и B. Точ- Рис. 198 о 224 Правообладатель Народная асвета о Рис. 199 ки A и B называют центрально-симметричными точками, а точку O — их центром ^ симметрии. 1_ Если точкой A описать полуокружность с центром в точке O, то точка A перейдет в точку B (рис. 199). Так же точку B можно перевести в точку A. Чтобы построить точку N, симметричную точке M относительно центра O, можно провести луч MO и отложить на нем отрезок ON, равный отрезку OM (рис. 200). м о N Рис. 200 На рисунке 201 треугольник A1B1C1 симметричен треугольнику ABC относительно центра O. При его построении сначала были найдены точки A1, B1, C1, симметричные точкам A, B, C относительно точки O, затем точки A1, B1, C1 соединены отрезками. 225 Правообладатель Народная асвета Две фигуры, симметричные относительно точки, равны друг другу. Б) Построим угол, симметричный углу ABC относительно его вершины B (рис. 202). Для этого его стороны нужно продлить за центр симметрии B (рис. 203). Полученный угол AiBCi симметричен углу ABC относительно точки B. Поэтому углы ABC и A^BC^ равны. Вместе с этим угол A^BCi и угол ABC — вертикальные. Значит, вертикальные углы равны. Фигура на рисунке 204 такова, что точка O есть центр ее симметрии. Это означает, что для каждой точки фигуры точка, центрально-симметричная ей, также принадлежит этой фигуре. Такие фигуры называют центрально-симметричными. Фигура на рисунке 205 не является центрально-симметричной. Точка P не является ее центром симметрии. Как вы думаете почему? На рисунках 206—211 приведены примеры центрально-симметричных фигур. Правообладатель Народная асвета Рис. 207 Рис. 208 Рис. 209 Рис. 210 Центрально-симметричные фигуры часто используются как элементы украшений. На рисунке 212 показана вязаная салфетка, на рисунке 213 — тканое полотенце, на рисунке 214 — фрагмент кованой ограды балкона, на рисунке 215 — тканые пояса. Рис. 212 Рис. 213 Рис. 214 Рис. 215 227 Правообладатель Народная асвета 1. Как построить точку, симметричную данной точке относительно данного центра? 2. Как построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной точки? 3. Какие углы называют вертикальными? Сформулируйте свойство вертикальных углов. 4. Какую фигуру называют центрально-симметричной? Приведите примеры центрально-симметричных фигур. 734. Какое свойство имеют фигуры, симметричные относительно точки? Любые ли две равные фигуры являются симметричными друг другу относительно некоторой точки? 735. Постройте треугольник SPF, симметричный данному прямоугольному треугольнику ABC относительно: а) вершины прямого угла; б) середины гипотенузы; в) середины катета; г) внутренней точки треугольника ABC. 736. Можно ли утверждать, что точки A и C симметричны относительно точки B, если: а) точки A, B, C лежат на одной прямой, причем точки A и C — по разные стороны от точки B; б) точка C — внутренняя точка отрезка AB; в) точка C делит отрезок AB пополам; г) точки A и C равноудалены от точки B? 737. Где находится центр симметрии: а) окружности; б) круга; в) отрезка; г) прямой; д) двух пересекающихся прямых; е) двух паралельных прямых? 228 Правообладатель Народная асвета 738. Определите оси симметрии и центр симметрии фигуры, изображенной на рисунке: а) 216; в) 218; д) 220; ж) 222. б) 217; г) 219; е) 221; Где находится центр симметрии фигуры, имеющей несколько осей симметрии? о Рис. 218 О о Рис. 220 Рис. 221 N р' О М 739. Перенесите по клеткам рисунок 223 в тетрадь. Постройте точки A, B, C, симметричные точкам M, N, P относительно точки O. 740. Постройте фигуру, ко- торая относительно заданного центра симметрична: Рис. 223 а) отрезку; б) лучу; в) прямой. 741. Постройте прямую, симметричную данной прямой относительно данного центра симметрии, если этот центр находится: а) вне прямой; б) на прямой. 229 Правообладатель Народная асвета 742. Нарисуйте две взаимно перпендикулярные прямые MN и RS. Точку их пересечения обозначьте O. Внутри угла MOR нарисуйте треугольник ABC. Постройте треугольник A^B^C^, симметричный треугольнику ABC относительно оси MN, а затем треугольник A2B2C2, симметричный треугольнику A^B^C^ относительно оси RS. Что можно сказать о треугольниках ABC и A2B2C2? 743. Постройте угол M^N^P^, симметричный данному углу MNP относительно точки O, которая находится на луче NP. Что представляет собой общая часть исходного и построенного углов? 744. Постройте угол M1N1P1_, симметричный данному углу MNP относительно точки O, которая находится внутри угла MNP. Что представляет собой общая часть исходного и построенного углов? 745. От точки O, в которой пересекаются две прямые, отложены четыре отрезка OA, OB, OC, OD, причем OA = OB и OC = OD (рис. 224). Углы OBA и OBC соответственно равны 30° и 50°. Найдите углы: а) треугольников OAB и OCD; б) треугольников OAD и OBC; в) четырехугольника ABCD. Чему равны суммы углов A и D, а также B и C этого четырехугольника? 746. Найдите значение выражения: а) (-3- + 0,7715 \ 42 22 • 53 19’ б) (^4 + 0,75 -- 0,4): 0,55’ 230 Правообладатель Народная асвета в) 5,85 - 35 : V8 + ^ ■■ I13; ’ 6 15 30 15 г) (0,15 + 2i3): ^ - 23^3 + .10 • 34,17; д) 1,25 + ^ ■■ ^ - (3-2 • 2,5) • 71; ^ 0,05 21 \ ^ J 2 е) 5 -(15 : 11,25 - 4 + 1,4 747. Купили несколько шоколадок по 12 800 р. за 3 штуку и — кг конфет. За конфеты заплатили 40 500 р., 4 а за шоколадки и конфеты 78 900 р. Сколько купили шоколадок и сколько стоит килограмм конфет? 748. При размоле пшеницы выход муки составляет 0,9 массы пшеницы, а при выпекании хлеба получается припек, равный 0,4 массы муки. Сколько хлеба получится из: а) 1 т пшеницы; б) 2,4 т пшеницы; в) 17,5 т пшеницы? 749. В 1 кг свеклы, 1,2 кг брюквы и 0,8 кг репы вместе содержится 28,4 мг витамина PP; в 0,8 кг свеклы, 1 кг брюквы и 0,8 кг репы вместе — 24,2 мг витамина PP; в 1,8 кг свеклы, 1,6 кг брюквы и 0,8 кг репы вместе — 43,2 мг витамина PP. Сколько витамина PP содержится в 100 г свеклы, брюквы и репы в отдельности? 750. Перенесите по клеткам рисунок 225 в тетрадь. Постройте точки M, N, O, P, симметричные точкам X, Y, Z, T относительно оси CD. Рис. 225 231 Правообладатель Народная асвета > Тимковичи Рис. 226 Копыль# 751. Из Копыля и Тимко-вичей (рис. 226) вышли навстречу друг другу Вера и Лена . и через 1— ч встретились. Лена Мажа ф 5 шла со скоростью 3 км/ч, и ее скорость была в 1,5 раза меньше скорости Веры. Какое расстояние от Тимковичей до Копыля? В каком месте шоссе произошла встреча? 752. Стоимости 7 карандашей и 5 ручек, которые купил Павел, относятся как 3 : 5. Найдите цену карандаша и ручки, учитывая, что ручка стоит на 400 р. больше. 753. Оля купила карандаши по цене 1750 р. и ручки по цене 3900 р., и сумма, которую она заплатила за ручки, относится к сумме, которую заплатила за карандаши, как 14 : 13. Найдите количество купленных карандашей и количество ручек, учитывая, что ручек куплено на 7 меньше. 754. Шестиугольник ABCDEF составлен из двух прямоугольников ABGF и EGCD, площади которых соответственно равны 25 см2 и 24 см2 (рис. 227). На этих прямоугольниках как на основаниях построены прямоугольные параллелепипеды, высоты которых в сумме дают 30 см. Найдите: в У '' 25 см^ / / __^G \f/ 2 ^^24 см^ Е D Рис. 227 232 Правообладатель Народная асвета а) объемы параллелепипедов, учитывая, что объем левого параллелепипеда на 83 см3 меньше; б) измерения основания левого параллелепипеда, учитывая, что они равны друг другу; в) измерения основания правого параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 2 см. 755. Шестиугольник PQRSTU имеет площадь, равную 82 м2, и составлен из двух прямоугольников PQVU и RSTV. На этих прямоугольниках как на основаниях построены прямоугольные параллелепипеды с высотами 14 м и 12 м соответственно (рис. 228). Найдите: а) объемы параллелепипедов, учитывая, что объем левого параллелепипеда на 108 м3 больше; б) измерения основания левого параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 1 м; в) измерения основания правого параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 3 м. Рис. 228 * * * 756. С постоянной скоростью поезд проходит мимо семафора за 15 с, а мост длиной 450 м — за 45 с. Какова длина поезда и какова его скорость? 757. Восстановите пропущенные цифры: а) X19; б) **** 11; в) X *** ^ ** ** ** X *** 3* + 8*** ** - ** *** **0* 0 *7**2 233 Правообладатель Народная асвета 758. Продается мука в пакетах по 1, 3 и 5 кг. Можно ли купить 10 пакетов, которые содержат 25 кг муки? (Ь ^0 Рис. 229 17. Умножение и деление рациональных чисел А) Пример 1. Теперь на термометре 0 °С (рис. 229). Найдем показание термометра через 3 ч, учитывая, что за каждый час температура повышается на 2 °С. Поскольку за каждый час температура повышается на 2 °С, то через 3 ч термометр покажет 6 °С (рис. 230). Изменение времени равно +3 ч, изменение температуры за 1 ч равно +2 °С, а за 3 ч станет равным +6 °С. Поэтому (+2) • (+3) = +6. /ФЛ /ФЛ о 2 о 2 о 2 о 2 о 2 О 2 (Н^О (Ь Рис. 230 vjy W Vi/ Vi? сейчас через через через 1ч 2ч Зч (Ь ^0 VI/ VI/ VI/ W 3 ч 2 ч 1ч сейчас назад назад назад Рис. 231 234 Правообладатель Народная асвета Пример 2. Теперь на термометре 0 °С (см. рис. 229). Найдем показание термометра, которое было 3 ч назад, учитывая, что за каждый час температура понижалась на 2 °С. Поскольку за каждый час температура понижалась на 2 °С, то 3 ч назад термометр показывал +6 °С (рис. 231). Изменение времени составляет -3 ч, изменение температуры за 1 ч равно -2 °С. Поэтому (-2) • (-3) = +6. Получили правило умножения рациональных чисел с одинаковыми знаками. Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками, нужно перемножить их модули и результат записать со знаком «+». Например: (+5) • (+8) = +(5 • 8) = +40 = 40; (-6) • (-9) = +(6 • 9) = +54 = 54. Пример 3. Теперь на термометре 0 °С (см. рис. 229). Найдем показание термометра через 3 ч, учитывая, что за каждый час температура понижается на 2 °С. Поскольку за каждый час температура понижается на 2 °С, то через 3 ч она станет равной -6 °С (рис. 232). Изменение времени равно +3 ч, изменение температуры за 1 ч равно -2 °С. Поэтому (-2) • (+3) = -6. W (Ь W (Ь (Ь W Пример 4. Теперь на термометре 0 °С (см. рис. 229). сейчас через 1ч через через 2ч Зч Рис. 232 235 Правообладатель Народная асвета сь vi/ Зч назад (Ь W 2ч назад СЬ W 1 ч сейчас назад Рис. 233 Найдем показание термометра, которое было 3 ч назад, учитывая, что за каждый час температура повышалась на 2 °C. Поскольку за каждый час температура повышалась на 2 °C, то 3 ч назад термометр показывал -6 °С (рис. 233). Изменение времени есть -3 ч, изменение температуры за 1 ч составляет +2 °С. Поэтому (+2) • (-3) = -6. Получили правило умножения рациональных чисел с разными знаками. Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и результат записать со знаком «-». Например: (-7) • (+6) = -(7 • 6) = -42; (+9) • (-4) = -(9 • 4) = -36. Б) Умножение рациональных чисел имеет переместительное и сочетательное, а также два распределительных свойства (относительно сложения и вычитания): Переместительное свойство a • b = b • a Перестановка множителей произведение не изменяет 236 Правообладатель Народная асвета Сочетательное свойство ' (a • Ъ) • c = a • (b • c) Изменение расстановки скобок произведение не изменяет , •V,_________________________________________у Распределительное свойство ^ (а + Ъ) • c = ac + Ъс; a • (Ъ + c) = аЪ + ac Чтобы умножить сумму на число, можно на это число умножить каждое слагаемое и полученные произведения сложить (a - Ъ) • c = ac - Ъc; a • (Ъ - c) = ah - ac , 4^_____________________ _____________________^ Нуль при умножении рациональных чисел играет ту же роль, что и при умножении положительных чисел. --------------------------------------------X Умножение нуля и умножение на нуль ' 0 • a = 0; a • 0 = 0 Умножение нуля и умножение на нуль имеет ____________результатом число 0______________j '-------------------------------------------л Равенство нулю произведения ' Если ah = 0, то a = 0 или Ъ = 0 Если произведение равно нулю, то равен нулю по крайней мере один из его множителей Числа 1 и -1 при умножении имеют такие свойства. /•------------------------------------------X Умножение на единицу и умножение единицы a • 1 = a; 1 • a = a Умножение на единицу и умножение единицы имеет результатом само число 237 Правообладатель Народная асвета Умножение на минус единицу и умножение минус единицы a • (-1) = -a; (-1) • a = -a Умножение на минус единицу и умножение минус единицы имеет результатом противоположное ^___________________число___________________^ В) Как и для положительных чисел, деление любых рациональных чисел можно заменить умножением на число, обратное делителю. Сначала научимся находить число, обратное отрицательному числу. Число, обратное числу - ^, в произведении с -1 3 1 3 дает число 1. Поскольку один множитель - — этого 3 произведения отрицателен, то и второй также должен быть отрицательным. Значит, искомым числом будет число -3. Действительно, (--1 ] • (-^ = 1. Число, обратное числу (-—j, есть число (- так как -—1 • i-71 = 1. 7 7! \ 5, Число, обратное отрицательному числу, также отрицательное. Пользуясь этим, находим: 7 : (-2) = 7 • (--2) = - -2 = -(7 : 2); (-8) : 3 = (-8) • ^ = -(8 : 3); (-9) : (-13) = (-9) • (-1—3) = 193 = +(9 : —3); 8 ^ 15 = 8 • = I— = +(8 ^ 15)- Обратим внимание на то, что модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а знак частного определяется так же, как и знак произведения. 238 Правообладатель Народная асвета Чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и результат записать со знаком «+». Чтобы разделить два числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и результат записать со знаком «-». При делении обычно сначала определяют и записывают знак частного, а потом находят его модуль: М . 2 / 5 15 = -1^ W 3 \7 2 14 14 Г) Числа 0, 1 и -1 при делении имеют такие свойства. Деление нуля и деление на нуль 0 : a = 0 Деление нуля имеет результатом число 0 Выражение a '■ 0 не имеет значения Деление на единицу и деление на минус единицу a ■ 1 = a; a ■ (-1) = -a Деление на единицу имеет результатом само число Деление на минус единицу имеет результатом ^___________противоположное число___________^ Деление на само число a ■ a = 1 Деление на само число имеет результатом число 1 V___________________________________________^ Для деления рациональных чисел выполняются основное свойство частного и распределительное свойство относительно сложения и вычитания. Основное свойство частного (a • с) : (b • с) = a ■ b = (a ■ с) : (b ■ с) Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число 239 Правообладатель Народная асвета Распределительное свойство (a + b) ■ c = a ■ c + b ■ c; (a - b) ■ c = a ■ c - b ■ c Чтобы сумму разделить на число, можно на это число разделить каждое слагаемое и полученные произведения сложить Чтобы разность разделить на число, можно на это число разделить уменьшаемое и вычитаемое и из первой разности вычесть вторую 1. Как умножить два числа с одинаковыми знаками? 2. Как умножить два числа с разными знаками? 3. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства умножения. 4. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения; вычитания. 5. Чему равно произведение, если один из множителей есть число 0; число 1; число -1? 6. Что можно сказать о числах, произведение которых равно нулю? 7. Каким является число, обратное отрицательному числу? 8. Как разделить два числа с одинаковыми знаками? 9. Как разделить два числа с разными знаками? 10. Каким является частное, если делимое равно нулю; делитель равен нулю? 11. Каким является частное, если делитель равен 1; делитель равен -1? 12. Каким является частное, если делитель равен делимому? 13. Сформулируйте основное свойство частного. 14. Сформулируйте распределительное свойство деления относительно сложения; вычитания. 759. Представьте произведением алгебраическую сумму и вычислите: а) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5; б) -5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5; в) 3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7; г) -3,7 - 3,7 - 3,7 - 3,7 - 3,7 - 3,7. 240 Правообладатель Народная асвета 760. В камере холодильной установки сначала было 0 °C. Через 1 ч стало -3 °C. Температура продолжает понижаться с прежней скоростью. Какой она будет через: 2 а) 2 ч; в) 5 ч; д) ^ ч; ж) 80 мин; б) 3 ч; г) 1,5 ч; е) 1,25 ч; з) b ч? 761. При увеличении температуры воздуха на 1 °C столбик ртути в термометре поднимается на 2 мм. Как изменится высота столбика ртути, если температура воздуха изменится на: а) 14 °C; в) 0 °C; д) -11 °C; ж) 4 °C; б) 9 °C; г) -1 °C; е) -17 °C; з) -8 °C? 762. Машина двигается со скоростью 60 км/ч. Условимся запись «t = -3» понимать как «3 часа назад». Теперь машина находится в точке O (0) (рис. 234). Где будет машина через t ч, если: а) t = 3 ч; в) t = 2,5 ч; д) t = 2 ч; б) t = -1 ч; г) t = -11 ч; е) t = -2,4 ч? 3 М А N С -Ч-+----+- ODE К Р Ч------+-----+-----+-----4-----f-----f- -150-120-0 -60 -30 о 30 60 90 120 150 «-«м Рис. 234 763. Замените звездочку одним из знаков <, = или > так, чтобы было верным утверждение: а) (+35) • (+89) * 0; б) (-57) • (+98) * 0; в) (+83) • (-43) * 0; г) (-66) • (-90) * 0; д) (+3,9) • (+8,1) * 0; е) 0 • (+3421) * 0; ж) (+3,3) • (-7,6) * 0; з) (+35,03) • 0 * 0; и) (-8,2) • (-1,2) * 0; к) (-3,7) • (+7,9) * 0; л) 0 • (-67,07) * 0; м) (-0,97) • (-0,89) * 0. 241 Правообладатель Народная асвета 764. Выполните устно умножение: а) (+6) • (+3); д) (-16) • (+3); и) 0 • (+15); б) (-6) • (+3); е) (+8) • (-2); к) (-79) • 0; в) (+6) • (-3); ж) (+20) • (+5); л) 0 • 0; г) (-6) • (-3); з) (-15) • (-4); м) (+60) • (-6). 765. Выполните умножение и сделайте вывод: а) 1 • (-4,7); д) (-1) • 4,7; и) 0,0031 • 0; б) 89,6 • 1; в) 1 • 9,7; г) (-5,6) • 1; е) 5,6 • (-1); ж) (-1) • (-9,7); з) (-89,6) • (-1); к) 0 • 7,23; л) -12,7 • 0; м) 0 • (-4,91). 766. Выполните устно умножение: а) (-1) • (+1) • (+1); б) (+2) • (+1) • (-1); в) (-1) • (-3) • (+1); г) (+1) • (+5) • (+1); д) (-1) • (+1) • (-8); е) (+2) • (-1) • (+1); ж) (+1) • (-1) • (-7); з) (-1) • (-4) • (-1); и) (-4) • (+1) • (+2); к) (-2) • (-4) • (+1); л) (+6) • (-2) • (-1); м) (+1) • (-5) • (+4). 767. Выполните устно умножение: а) (-1)2 • (+1); б) (+2) • (+1)2; в) (-1) • (+1)3; г) (+1) • (+5)2; д) (-1)3 • (-8); е) (+2) • (-1)2; ж) (+1)3 • (-7); з) (-4) • (-1)2; и) (-4)2 • (+2); к) (-2)3 • (-4); л) (+6)2 • (-2); м) (-5)3 • (+4). 768. Замените звездочку знаком «+» или «-» так, чтобы было верным равенство: а) 2 • (*8) = -16; б) -2 • (*8) = -16; в) 4 • (*8) = 32; г) 4 • (*8) = -32; д) -9 • 5 = *45; е) 9 • (-8) = *72; 242 ж) 7 • 9 = *63; з) -11 • (-3) = *33; и) 4,9 • 5 = *24,5; к) -9,7 • 5,1 = *49,47; л) 6,8 • (-5,7) = *38,76; м) -7,4 • (-9,8) = *72,52. Правообладатель Народная асвета 769. Найдите произведение: ж) -2,25 • (-0,8); а) 17 •(-М;; 9 • 3 5. 13 6; 12 , л. 19 1 510 35 • 4 7; 9 8; д) -2,04 • 0,25; е) 1,5 • (-2,5); з) -2,5 • (-0,4); и) -16,08 • 1,35; к) 2,2 • (-0,8); л) -3,1 • (-1,02); м) -1,9 • 2,3. 770. Найдите значение выражения c2, если c равно: а) 0,9; в) -8; б) 0,009; ч 4 г) - 7; д) 2^3; е) -1| 771. Найдите значение выражения d3, если d равно: а) 0,5; в) -7; д) 2^; б) 0,05; 772. Вычислите: 4 г) -15; е) -1 а) (-11 f-12>1; ж) 52 f; б) 1^ •(+3 У3; з) (+4| )’■ 3,43; в) 2’5 •(-15 Г; и) (-3^^ 1'3,28; г) (-1.3)2 • 2^; к) 6,8 •(-1:Ц7; д) (+3Ц )2 • 72; л) 4,08 -(-2-17; е) 1>6 •(-1i3 f; м) (-7,12)2 • 243 Правообладатель Народная асвета 773. Выполните действия: а)- 2 ■ i72+(-2 )■ б) (3,75 - 0,625)•(- 48 125Г в) (-25 - 17 ). 18. ' \ 18 36J 55 г) -3^ • 0>3 + (-53 /> д) (1,3 + 23 + 4\.(-2 -22 + 22 М 30 1^ I 7 3 7/ е) 0,5 •(-^4) + 3^ • (-1,03)- 1,005; ж) (-8>75+4>5 • 12) • (-41- 213); з) (4^ - 2’2)-(-^) + (3 - 0’8 ■ 15 )• 774. Найдите значение выражения: а) 7:55 - 55 : 4 - 9 - 5; ’ 11 6 8 24 б) (-51: ^ 15 - 5; М 3 21 15 1^ 6 6 в) -(111 - 113) • 9 - 10 • (55 - 3 3 \; ^ I 24 3^ I 10 4/ г) -41. А -12 .(-317 + \ -12. ^ 3 26 ^36 1^ 3 775. Используя переменные х, у и z, запишите формулой сочетательное свойство умножения и проверьте его при: а) х = -3,5, у = 6, z = -7; б) х = -311, у = -12,1, z = -4; в) х = 55, у = -210, z = -14; 12 13 9 г) х = -1,8, у = 5-3, z = -1,2. 244 Правообладатель Народная асвета 776. Наиболее простым способом найдите значение выражения: а) 3,05 • 32 + 3,05 • 68; б) 25,6 • (-50) - 15,6 • (-50); в) -19,4 ■ з2 + 21 ■ (-19,4); г) -42 ■ 6-3 - 4-5'548 -42 ^ . -4|); 5! 24 д) 2,4 • (-9,2 - 2,4) - 3,6 • 2,4 + 2,4 • 1-4; е) 330 • (-205) -3000 • (-205) + 270 • (-205) - 0 • (-205 ж) 646 139 2,25 +1 139 12 + 33 8 139’ з) (-2 23 + 2,5 • 23 44 3 • 2- 139 1 3! ■ \ ' 2 \ ~4 777. Подберите значение переменной так, чтобы было верным равенство: а) 3 • x = -12; ж) -23,1 • f = 0; б) -4 • b = -16; з) 3,4 • (-m) = 1; в) 4 • (-m) = 24; и) -5,6 • е = -2; г) -5 • v = 45; к) 4,8 • q = -24; д) q • (-7) = 2,1; л) -8,8 • w = -4,4; е) -9,3 • p = -3,1; м) -а • (-0,7) = -0,1. 6)1; в>|; д) 12; 778. Назовите число, обратное числу: а) 5; г) -9; ж) 0,5; к) -0,8; з) 2i3; л) 1,6; 7^; и) -2-|; м) -1,25. 779. Проверьте, верно ли выполнено деление: а) -14 : 2 = -7; д) -14 : 7 = 2; б) 40 : (-8) = -5; е) -40 : (-4) = -5; в) 4,1 : (-1) = 4,1; ж) -5,1 : (-1) = 5,1; г) -5,5 : (-1,1) = 5; з) -7,7 : (-1,1) = 7. 245 Правообладатель Народная асвета 780. Замените звездочку одним из знаков <, или > так, чтобы было верным утверждение: а) (+45) : (+35) * 0; б) (-57) : (+53) * 0; в) (+34) : (-44) * 0; г) (-66) : (-50) * 0; д) (+4,5) : (+3,1) * 0; е) 0 : (+4421) * 0; ж) (+4,4) : (-7,6) * 0; з) (+45,4) : (-10) * 0; и) (-3,2) : (-1,2) * 0; к) (-4,7) : (+7,5) * 0; л) 0 : (-567,07) * 0; м) (-0,57) : (-0,35) * 0. 781. Замените звездочку одним из знаков <, = или > так, чтобы было верным утверждение: а) 14 : (-7) * 14; б) 14 : (-7) * -7; в) 14 : 7 * 14; г) 14 : 7 * 7; ж) 14 :1 * 14; 7 з) 14 :1 * ^; ' 7 7 1 7 1 7 к>(- * * - 14’ 1. 7; * 14; л) 1 . , 1 * 14 ' ' 7 14 *-1- м) 1 . 1 * 1 7; 14 ■ 7 7‘ е>14:(-1 782. Устно выполните деление, ответ проверьте умножением: а) (-7) : (-1); б) -93,3 : (-0,3); в) -18 : 9; г) (-0,8) : (-0,4); д) 25 : (-5); е) (-34) : (-17); ж) 42 : (-7); з) 0 : (-56,5); и) -12,5 : 25; 246 к) (-6,7) : 0,1; л) 0,51 : (-0,01); м) 0,001 : (-0,01); н) 15 : (-0,3); о) 16,6 : (-0,2); п) 0 : (-0,001); р) (-4,8) : (-1,6); с) (-15,6) : 1,2; т) (-0,01) : (-0,0001). Правообладатель Народная асвета 783. Замените звездочку знаком «+» или «-» так, чтобы было верным равенство: а) 32 : (*8) = -4; б) -32 : (*2) = -16; в) 24 : (*8) = 3; г) 24 : (*8) = -3; д) -49 : 7 = *7; е) 56 : (-7) = *8; ж) 63 : 9 = *7; з) -111 : (-3) = *37; и) 4,9 : 7 = *0,7; к) -16,5 : 1,1 = *15; л) 6,8 : (-1,7) = *4; м) -18,4 • (-2,3) = *8. 784. Выполните деление и сделайте вывод: а) 86,7 : 1; д) 5,7 : (-1); и) 1 : (-6,7); б) (-5,7) : 1; е) (-86,7) : (-1); в) 0 : 1; ж) 1 : 17; г) (-4) : (-1); з) 1 : (-5,7); 785. Найдите устно частное: а) 0 : 674; к) (-1) : 1,6; л) (-1) : 5,7; м) (-1) : (-6,7). г) 0 ^ 7147; и) (-3 б) 0 : 78,1; д) 0 : ^-8^7 j; в) 0 : (-5,79); е) -7,4 : 0; 786. Чему равно частное: а) 45 • a и 45; г) -0,74 • m и -3,7; ж) 911 ■ 0; з) (0,875 - 7):(-117 17 б) -89 • z и z; в) -5,01 • c и 5,01; д) -5,6 • t и 0,8t; е) -4,2 • v и -v? 787. Найдите устно частное: а) 34 : 1,7; ж) -250 : 2,5; б) -7,2 : 12; в) 0,46 : (-23); г) (-1,53) : (-3); д) -5,4 : (-18); е) 9,5 : (-1,9); з) -4,4 : (-11); и) 450 : (-1,5); к) -84 : (-1,2); л) -4,08 : (-13,6); м) 48,4 : (-1,1). 247 Правообладатель Народная асвета 788. Замените звездочку знаком «+» или «-» так, чтобы было верным равенство: а) (*64) : (-4) = -16; д) (*64) : (*4) = 16; б) (-64) : (*4) = 16; е) (*64) : (*4) = -16; в) (*64) : (-4) = 16; ж) (*4,55) : (*1,3) = -3,5; г) (-64) : (*4) = -16; з) (*17,2) : (*4,3) = 4. 789. Выполните деление: а) 203 : 29; б) -267 : 89; в) 1748 : (-23); г) -2808 : (-72); д) 2,5 7 • 5. ' 6; е) : (-0,625); ж) - Ц : (-0,28); 15 з) I : (-2,1); 5 и) I ^ (-21); к) -1 ^ (-); л) -11 ^ м) -119 , /-2| ’ 35 I 27 790. Вычислите и проверьте результат умножением: а) -1 ^(-6); б) 2 ^(-2); в) 15 D-i :(-3Ц д) 14 ^(-3^); е) -39 ^ 1|; ж) 3-1: (-6); з) ^3 -.[-^); ’ 5^ 10/ и) -3 24 27 50 791. Выполните действие и проверьте результат делением: а) 131,67 : (-23,1); б) -6,72 : 6,4; в) -3,57 : (-3,5); 248 г) -84 : 2|6; 7 27 д) -26 :(-3 е) -2,6 :(- Правообладатель Народная асвета 792. Найдите значение выражения: а) 400 : (60 - 110) + 600 : (500 - 600) - 200; б) -52 : (17 - 30) - 3 • (16 + 45 : (-9)); в) (31 - 27 : (14 - 17)) (-7 + 16 : (29 - 37)); г) (4,04 - 33,22 : 11) : 2,5 - 0,48 : (-0,03); д) 4,44 + (-12,16 : 4) - (-3,48 - 6,12) : (-1,5); е) -168 • (3 • 5 - 50) : 12 • (-7) + 49 • (-30) : (-28) • (10 - 4 • 5). 793. Найдите значение выражения: а) (21 - 311 ):(-31); М 48 3^М 12/ б>(-131 )’(213+8); в) (-3I): 10 + 0,175 : (-0,35); г) - 5^Ъ); д) (з1: (-13)): (-1-) + 2; е>(11 - ^ )^(-^ )■ 794. Найдите значение выражения: а) (-151,2) : а, если a = 1; -1; 0,1; 3,6; -2,1; б) X ■ (- 65), еСЛи X = 0; -1; 21|; - 8Г; в) -5x '■ (-21 j, если x = 1; 0; -1,935; 1-|1; г) (6а - 4а) : 3,6, если а = -4,86; 14; -2^; 3,06. 5 25 795. Найдите значения выражений (x2 - г2) : (х - z) и (х2 - z2) : (х + z) при: а) х = 5, z = 3; г) х = 1,2, z = -1; б) х = 12, z = 10; д) х = -1, z = 1; в) х = -7, z = 4; е) х = -10, z = -7. Какую гипотезу вы можете выдвинуть? 249 Правообладатель Народная асвета 796. Решите уравнение: а) q • 6,3 = -45,36; ж) 46,2 : и = -0,066; б) w ■■ 11,7 = -18,24; в) (-1,48) • е = 44,4; г) (-7,7) • r = -26,18; д) t ■■ 50,1 = -0,06; е) у ■■ (-6,88) = 0,84; з) (-0,936) : i = -7,8; и) (-4,9) • 2 = 245,49; к) (-Р) ■■ 11,4 = 28,4; л) 12,4 : (-а) = 12,4; м) S • 7,4 = -19,24. 797. Решите уравнение: а) d • 7,4 - (-5,8) = -13,44; б) = 2; ' 9 в) 10,5 • l - 33 = 21,6; 5 г) f ■■ 0,8 + 11,1 = 6,9; д) -^ = 4; е) 91 - 1,8 • x = 61; 99 ж) 7,5 • k + 12,6 = 27,6; з) -11 • с + 10 = 51; '3 9 и) 3 • v + 4 = -^^; 10 к) 62,5 = 2,5г - 75; л) -3 - ^=-4^; м) -4 - ^4 • n=-3f. а) б) в) 798. Найдите неизвестный член пропорции: - 6 t = -7,^ е) _7 = • е) ^ “ л ; д) -1,9 -5,7’ -5,6 -8,4; 70 m 1,21 1,65 ; s -1,98 ; -25,5 = . k 15,3 -32,3 -44 231 9 = 3 ; — 114 3 1^ _ -42 ж) 21 =______7- ж) 1Г> _.. ; -210 27 w 7 з) у = 9 . 17 ; -12 7 127 и) -0,35 = 0,028. и) t -4 ; -24’ к) 1 1,06 8,904 250 Правообладатель Народная асвета а q 5 799. Сравните: а) |4,2 + 5,7| и |4,^ + |5,7|; б) |4,2 -5,7| и |4,2 + |-5,7|; в) |-4,2 - 5,7| и |-4,2| + |- 5,7|; г) |4,2 - 5,7| и |4,2-|-5,7|. 800. Подберите такие отрицательные значения переменных p и q, чтобы значение выражения p - q было равно: а) 4,5; д) -1; и) -2,3; н) 4; б) -4,5; е) 0,2; к) 1|; о) -3,35; в) 0; ж) -1^3; л) -4,2; п) -4,12; г) з) 1; м) -8,35; р) -7,73. 801. Вычислите: а) 0,091 • 100 + 0,12 • 8 • 5 - 6 • 15; б) (0,125 - 0,25 - 0,6) • 3,2 + 4,5 : 100; в) 12,5 • 0,01 + 7,5 • (0,06 + 3,24) - 40 : 100; г) (1,5 • 0,12 + 12 : 100) : 1,25 - 3,24. 802. Найдите значение выражения: а) (6,39 - 2,1028) : (9,4256 - 5,3408 - 11,3022 : 1,35); б) (0,43855 - 11,03) : (10,8168 : 2,4) - 2,781 : 2,06; в) 1,41993 : 3,506 - 0,8118 : 0,205 - 0,135 : 1,5; г) (0,2088 : 0,18 + 4,5 : 0,036) : (15,59 + 15,95). 803. Найдите значение выражения: 71 • 22 - 121: - 33 + 2-3- а) 23 4 2 110:3 + 4 24: 22 251 Правообладатель Народная асвета б) 11 + 22) : 33 2 2 3/ 4 5 +4; 11:1 9 8 в) (1,1 + 7 :(3112 - 1,625 г) (3,25 59’ 47): 5,9. 14,8 + -4 15 804. На полюсах Земли ночное время составляет 22 %, сумерки — 27 % общей продолжительности года, а остальное — день. Сколько суток длятся на полюсе ночь, сумерки, день, если в году 365 суток? Нарисуйте соответствующую круговую диаграмму. 805. Пекарня отправила в магазины 870 кг ржаного хлеба и 1400 кг пшеничного. Сколько ржаной и пшеничной муки было использовано на выпечку хлеба, если припек ржаной муки составляет 45 %, а пшеничной — 40 %? 806. На протяжении недели в 9 ч утра измеряли температуру воздуха. Результаты первых шести дней таковы: 12 °С, 15 °С, 14 °С, 13 °С, 14 °С, 11 °С. Какой была температура на седьмой день, если средняя утренняя температура за неделю составила 13 °С? 807. Среднее арифметическое трех чисел равно 34,3. Первое из них в два раза меньше второго и в два раза больше третьего. Найдите числа. 808. Расстояния от Довска до Рогачева, Рябовичей, Вор-новки (рис. 235) вместе составляют 126 км. Найдите эти расстояния, учитывая, что расстояние до Ворновки в 1,3 раза Правообладатель Народная асвета больше расстояния до Рогачева и в 16 раза меньше расстояния до Рябовичей. 809. Сумма двух чисел равна 15,7, а их разность есть число -5. Найдите эти числа. 810. Длина Горыни, протекающей по Украине и Беларуси, составляет 659 км, причем украинская часть на 495 км больше. Найдите длину белорусской части Горыни? 811. Сумма двух чисел равна 31,5, а произведение суммы чисел на их разность есть число 153. Какие это числа? 812. Два теплохода вышли из Гомеля в Киев: первый в 7 ч 20 мин, а второй — в 15 ч 10 мин. Какое расстояние будет между ними в 18 ч, если первый проходит за 1 ч 18-1 км, а второй — 20 км? 813. Плавательный бассейн вместимостью 270 м3 наполняется через две трубы, а опорожняется через третью. Через вторую трубу вливается воды вдвое меньше, чем за то же время через первую, а через третью вытекает половина того, что поступает по первым двум трубам вместе. Сколько воды пропускает каждая труба за час, если при трех открытых трубах бассейн наполняется за 6 ч? 814. Сметана содержит белки, жиры и углеводы в отношении 25 ^ 300 ^ 23. Сколько в отдельности белков, жиров и углеводов в 300 кг такой сметаны, если другие вещества составляют 65,2 % ее массы? 815. Мировой океан содержит 1340,74 млн км3 воды. Найдите, сколько воды в Северном Ледовитом океане, учитывая сведения, приведенные на диаграмме (см. рис. 236). 253 Правообладатель Народная асвета Северный Ледовитый 816. Заказ, который один рабочий может выполнить за 2,5 ч, другой выполнил бы за 3,2 ч. Определите с точностью до минуты, за сколько времени они могут вместе выполнить этот заказ. 817. Постройте прямоугольник со сторонами 4,5 см и 7,2 см и найдите его периметр и площадь. 818. Стороны равнобедренного треугольника PQR с основанием QR продолжены за вершину R, а затем построен треугольник RST так, что RS = ST (рис. 237). Докажите, что Z QPR = Z RST. 819. В 6 ч из одного населенного пункта в другой выехал мотоциклист, а через два часа после этого навстречу ему из другого населенного пункта выехал автомобилист. Когда автомобилист и мотоциклист встретились в 12 ч, то оказалось, что вместе они проехали 768 км. Найдите скорости автомобилиста и мотоциклиста, учитывая, что они относятся как 7 : 6. 820. Группа туристов отправилась из одного пункта в другой и шла со скоростью 4,5 км/ч. Через некоторое время навстречу ей из другого пункта вышла еще одна группа туристов со скоростью 5,5 км/ч, и когда обе группы встретились, то ока- 254 Правообладатель Народная асвета залось, что вместе они прошли 49 км. Определите, какое время были в пути та и другая группы, учитывая, что время движения первой группы относится ко времени движения второй как 3 ^ 2. * * * 821. Путь из А в В идет на спуск на протяжении 3 км, на подъем — на протяжении 6 км и по ровному месту — на протяжении 12 км. Из А в В велосипедист проехал за 1 ч 16 мин, а назад из В в А — за 1 ч 7 мин. Найдите скорость велосипедиста на подъеме и на спуске, если на ровном месте его скорость 18 км/ч. 822. Сколько в первой тысяче натуральных чисел есть пар соседних чисел, суммы цифр которых обе нечетные? 823. Вася хочет написать 60 разных двузначных чисел так, чтобы никакие два из них не давали в сумме 100. Получится ли это у него? 18. Степень с целым показателем А) Вы знаете, что произведение одинаковых множителей заменяют выражением, которое называют степенью: 5 • 5 • 5 = 53, 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 35, a • a • a •... • a = an. -----V-----' n множителей Повторяющийся множитель называется основанием степени, а количество этих множителей — показателем степени. Выражение 35 есть степень, число 3 — основание степени, а число 5 — показатель степени. Выражение а" читают: a в степени п, или n-я степень а. 255 Правообладатель Народная асвета Вторую степень числа a называют квадратом а, а третью степень числа а — кубом а. Первой степенью числа а называют само число а. Таким образом, по определению степени: 1 n а = а; ап = aaa...a . n множителей Действие нахождения степени называют возведением в степень. Вы знаете, что возведение в степень считается действием третьей ступени. Б) Установим свойства действия возведения в степень. Перемножим степени 53 и 54 — получим: 53 • 54 = (5 • 5 • 5) • (5 • 5 • 5 • 5) = 53 + 4 = 57. Вообще, верно утверждение: если а — любое число, k и l — произвольные натуральные числа, то а>га1 = ak + l. Это равенство называют основным свойством степени. Оно позволяет сформулировать правило умножения степеней: чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно записать прежнее основание, а показатели степеней сложить. Чтобы получить правила для возведения степени в степень, рассмотрим пример. Возведем в квадрат степень 53. При нахождении (53)2 можно использовать определение степени — (53)2 = 53 • 53 — и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями — 53 • 53 = 53 + 3 = 53'2 = 56. Также в общем случае получаем, что: 256 Правообладатель Народная асвета если a — любое число, k и l — произвольные натуральные числа, то (a^) = a k • l Это равенство позволяет сформулировать правило возведения степени в степень: чтобы возвести степень в степень, нужно записать прежнее основание, а показатели степеней перемножить. Найдем теперь частное 35 : 33: 35 : 33 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 35 - 3 = 32. 3 • 3 • 3 Обобщая этот пример, получаем, что: если a — отличное от нуля число, k и l — произвольные натуральные числа и k > l, то ak '■ al = ak l. Это равенство позволяет сформулировать правило деления степеней: чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, нужно записать прежнее основание, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Если применить это правило для случая k < l, то получим, например: a ■ a = a = a и a ■ a = a ' = a . Вместе с тем a4 : a4 = 1 и a4 : a7 = = 1 a' a4 • a3 a Поэтому естественно принять, что 3 • a0 = 1 и a 3 = \. 257 Правообладатель Народная асвета 4 4 a a а®= 1 при афО; а^=а-, а"= О'О'О' ...‘а при ге > 1; '----V----" „ п множителей a~’^= приаф0ип>1. Рис. 238 Таким образом, степень с целым показателем определяется так, как показано на рисунке 238. Выражение 0k при целых неположительных значениях k не имеет значения. Степени используют для записи очень больших или очень малых чисел. Например, масса Земли в килограммах выражается числом 5976 секстиллионов, т. е. числом 5 976 000 000 000 000 000 000 000. Масса атома золота в килограммах выражается числом 327 нонниллионных, т. е. числом 0,000 000 000 000 000 000 000 000 327. В таком представлении подобными числами неудобно пользоваться — читать, записывать, выполнять действия. Для этих целей числа удобно записывать в стандартном виде. В) Стандартным видом положительного числа называют его представление произведением c • 10", где 1 < c < 10, а " — целое число. Число n называют порядком числа. Числа, выражающие в килограммах массу Земли и массу атома золота, в стандартном виде запишутся так: 5 976 000 000 000 000 000 000 000 = 5,976 • 1024; 0,000 000 000 000 000 000 000 000 327 = 3,27 • 10-25 (рис. 239). ___________________________ Рис. 239 Стандартный вид числа Масса Земли — 5,976 • 10 24' КГ Масса атома золота — 3,27 • 10 -25 КГ Порядок числа . 258 Правообладатель Народная асвета Порядок числа, выражающего массу Земли в килограммах, равен 24, а порядок числа, выражающего массу атома золота в килограммах, равен -25. По порядку числа можно судить об его величине. Например, если порядок числа a равен 5, то 100 000 < a < 1 000 000; если порядок числа a равен -4, то 0,0001 < a < 0,001. Большой положительный порядок числа указывает на то, что это очень большое число. Большой модуль отрицательного порядка числа указывает на то, что это очень малое число. Пример. Массы Земли и Луны соответственно равны 5,976 • 1024 кг и 7,35 • 1022 кг. Определим, во сколько раз масса Земли больше массы Луны. Для этого разделим первое значение на второе: 5,976 • 1024 : 7,35 • 1022 = 5,976'102!" = 5,976 10 24 -.22 0,813 7,35 • 1022 102 = 81,3. 7,35 102 Значит, масса Земли в 81,3 раза больше массы Луны. 1. Что называют степенью с натуральным показателем? 2. Что называют первой степенью выражения a? 3. Назовите основание степени и показатель степени в выражении an. Что показывает основание степени; показатель степени? 4. Какое действие называют возведением в степень? 5. Какую степень называют квадратом a; кубом a? 6. Какое число получается при возведении в степень положительного числа; отрицательного числа; нуля? 7. В каком порядке выполняются действия в выражении, содержащем действия разных ступеней? 8. Дайте определение нулевой степени. 9. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем. 10. Каково значение выражения 0k при разных значениях k? 11. Какую запись положительного числа называют его стандартным видом? 12. Какое целое число называют порядком числа? 13. Как записать число в стандартном виде? 259 Правообладатель Народная асвета 824. Запишите степенью произведение: а) 6 • 6 • 6 •^ 6; Ч_^ .___3 V 19 множителей б) (-6,4) • (-6,4) • (-6,4) • (-6,4); в) 1.1111111; uuuuuuu и’ г) 6-7-7-...• 7; Ч_^ .___3 V m множителей д) Ь-Ь-1) -b; Ч_^ .___3 V 43 множителя е) |-3| -36 -36 -36 -3^6); ^ \ ^ \ 7, -3 у -3 у -3y -3y -3 y -3 y -3 y с/ф с/ф с/ф с/ф с/ф с/ф с/ф TF TF ТТ з) с • c • c •... • c. ж) 11 11 11 11 ’ n множителей 825. Найдите значение степени: а) 182; д) 94; и) 0,27; н) )9; б) 183; е) 95; к) 0,28; о) )'0; в) (-18)2; ж) (-9)4; л) (-0,2)7; п) (-2 )9; г) (-18)3; з) (-9)5; м) (-0,2)8; р) (-Г- 826. Найдите значение выражения: а) 3 • (-4)2; б) -7 • (-2)5; в) -44 • (-1)11; 2 3, 5 . 63- д)(--3) • (-3)3; г) 260 16; е) --3 • 63; 6 ж) 129 • (-2,7)2; з) (-1)29 • 2,72; и) 32 • 23; к) (-3)2 • 23; л) 32 • (-2)3; м) (-3)2 • (-2)3. Правообладатель Народная асвета 827. Для первых десяти натуральных чисел вычислите и сравните значения выражений: а) 2" и n2; б) 3" и "3. Результаты вычислений оформите таблицей. 828. Представьте квадратом число: 169. а) 4; б) 25; в) 49; г) 100; д) 225; е) 400; ж) 625; з) 841; и) 0,16; к) 0,36; л) 0,81; м) 1,44; н>145; р) 196’ с) 124с) 125; т) 2 23 • ) 249; о) п) 49 . 100; 25 , 169; у) 3 81; ф>4121- 829. Представьте кубом число: а) 8; е) -125; л) 0,125; р>- 32473; б) -8; ж) 343; м) -0,125; 03-|; в) 27; з) -343; н) т) -3|• г) -27; и) 0,008; о) - у)4-|7; д) 125; к) -0,008; п) 347з• ф)-4|7 830. Вычислите: а) 4 • 32; и) 3 • 25; б) (4 • 3)2; к) -3 • 25; в) 4 • (-3)2; л) 3 • (-2)5; г) -4 • 32; м) -3 • (-2)5; д) (-0,3)3; н) -34 • (-10); е) -0,33; о) 43 • (-11); ж) (-0,3)4; п) (-0,1)4 • (-10)4; з) -0,34; р) 0,16 • (-10)7. 261 Правообладатель Народная асвета 831. Запишите степенью числа 10, сколько: а) миллиметров в 1 км; б) квадратных сантиметров в 1 км2; в) кубических дециметров в 1 км3; г) аров в 1 км2; д) граммов в 1 т; е) миллиграммов в 1 кт; ж) килограммов в 1 Гт (рис. 240); з) килограммов в 1 Тт (см. рис. 240). 1 Гт = 1 млн т 1 Тт = 1 млрд т Рис. 240 7^-3^2® 1-е 2-е 3-е 5-е 4-е Рис. 241 а) 3 + 26; б) 261 : 32; в) 73 • 5; г) 3096 - 84; 832. По образцу, данному на рисунке 241, укажите порядок выполнения действий в выражении и найдите его значение: д) 63 • 82; е) 2 • 44 - 11; ж) 35 - 32; з) 240 : 24 : 3; и) 2662 : 38 - 1862; к) (3001 - 143) : 257; л) 2103 + 1022 - 204; м) 35 • 103 : 152. 833. Запишите числа: а) 1 000 000, 100 000, 10 000, 1000, 100, 10, 1, ^, T00, 1000’ 10 000’ 100 000 ’ 1000 000 степенью с основанием 10; б) 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, ^, ^, ^, ^, ^, -1 степенью с основанием 2; 1 1 1 11 в) ^72^ 24^ 8^ 2^ ^ 3 степенью с основанием 3; , 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 3125 = 5 г) ^, ^, ^, ^, 1, 5, 25, 125, 625 ^ 62^ 12^ 2^ 5’ ’ ’ ’ ’ Рис. 242 степенью с основанием 5 (рис. 242). 262 Правообладатель Народная асвета 834. По образцу, данному на рисунке 243, замените дробь степенью с отрицательным показателем: 1 . а)^^’ д) 64’ и) б) 311-з ’ е) ’ 125 к) в) —1^’ ^ 1114 ж) л) г) 19’ з) —1—’ ’ 10 000 м) 512’ 1 . т8’ 1 (-n) 1 - a9 14 ’ Рис. 243 835. По образцу, данному на рисунке 244, вычислите: а) 2-5’ г) (-1)-10’ ж) (-193’ к) (-н 92 б) 3-3’ д) (-3)-4’ з) ( -12 )-3’ л) 0,001-3’ в) 1-9’ е) (1 )-3’ и) (-2| )-2’ м) 0,125-1. f / -ч-З / . _,-3 Рис. 244 836. Степенью с положительным показателем замените дробь: 1 . в) 1 . д) 1 . ж) 2-4’ 26-7’ (-11)-2 ’ 1 . г) 1 . е) 1 . з) 15-3’ -17-3 ’ (-15)-3 ’ x -12 263 Правообладатель Народная асвета 8 Ъ 837. По образцу, данному на рисунке 245, найдите значение выражения: а) 2-2 + 3-1; б) (-3)-2 + (-2)-3; в) (-5)-2 - 6-1; Г)( - )-3 + 4-2; д) (^ - (-3)-3; е)( 5 ^-2 - f31'-‘ 9! \ 3. ж) (0,3)-3 + (0,2)-4; з) (0,1)-5 - (-0,2)-5; и) (-0,2)-3 + (-0,1)-4. 838. Определите, какой знак имеет произведение: а) (-2)8 • (-3)15(-4)49; в) (-2)51(-4)53(-6)55(-8)57; б) (-5)47(-6)49(-7)53; г) (-1)41(-4)52(-6)63(-8)74. 839. Представьте степенью произведение: а) 146 • 1414; б) •9; в) (-9 )6 • (^9 )‘4; ж) i2i12; з) J6J6; и) kk15; г) ( -4i9 )3 • (-^4! )5; к) l0l10; д) (11! f ■ 0'047; л) m3m13; е) (1,875)4 • (- f; м) n19n. 264 Правообладатель Народная асвета 840. По образцу, данному на ри- ( ~ I Т сунке 246, представьте степень произ- ~____^ ведением двух степеней с тем же осно- рИс. 246 ванием и равными показателями: а) щ10; б) л12; в) Ь6, г) v4, д) 724. 841. Представьте степень произведением двух степеней с тем же основанием так, чтобы показатель одной степени был на 4 меньше показателя другой: а) d10; б) J16; в) l52; 842. По образцу, данному на рисунке 247, степенью с основанием 3 запишите выражение: г) г 124. ; д) 15322. 2187-3* = 3^-3* = 3^^*. Рис. 247 а) 9; з) 2187; п) 37 • 729; б) 81; и) 1; р) 32 • 6561; в) 27; к) 3 • 32; с) 2187 • 19 683; г) 3; л) 37 • 35; т) 3' • 729; д) 729; м) 9 • 33; у) 3n • 92; е) 243; н) 243 • 36; ф) 6561 • 3^. ж) 6561; о) 81 • 39; 843. По образцу, данному на рисунке 248, учи тывая, что 210 = 1024, вычислите: а) 211; б) 29; в) 28; г) 212; д) 27; е) 213. N 220 = 2^°-2^° = 1024-1024 = 1 048 576. 'ч Рис. 248 844. Степенью с основанием 3 представьте вы ражение: о14 е) 3.. ; а) 36 : 3; л) 2187 : 93; б) 37 : 32; ж) 36 : 9; м) 19 683 : 94; в) 313 : 35; з) 243 : 34; н) 3^+5 : 34; г) 27 33; i) 729 : 9; о) 33n : 32n; q10 д) ^37 ■; к) 6561 : 243; п) 34m 311. 265 Правообладатель Народная асвета 845. Вычислите: .2 • 36 а)-34- б) в) 8 • 34 ; 6 ’ 310. зб ; г) д) е) 24 • 26 • 28 ; ж) (-5)3 • 42 29 • 24 ; 52 ; 313 • 33 ; з) 117 • 37 33 • 3- 310 ; 115 • 35; (-3)2 • 54 52 ; и) (-5)3 • (-3) 52 X17 • X4 846. Найдите значение выражения .18 при X, равном: X а) 2; в) 5; д) 2,1; б) -2; г) -5; е) -2,1; 847. Найдите значение выражени равном: а) 1; в) 3; д) 0,2; ж) i6; б) -1; г) -3; е) -0,2; 3) - 6. ж) 11; ^ 9 з) -19- 16 лз 848. Решите уравнение: а) 53m = 57; д) v • 114 = 114; б) n • 37 = 312; е) 16с = 210; в) 219 : 2 = 216; ж) r ■■ 81 = 32; г) q ■■ 45 = 42; з) 64 : t = 24. 849. По образцу, данному на рисунке 249, запишите в стандартном виде число: а) 37 000; б) 34 700; в) 1 230 000; г) 0,451; д) 0,00892; е) 0,00076; ж) 75 тыс.; з) 123 млн; и) 1200 тыс. Рис. 249 3387 млн = 3387-10® = = 3,387-10®-10® = 3,387-10“ 266 Правообладатель Народная асвета 850. По образцу, данному на рисунке 250, запишите в стандартном виде число: а) 2048 • 102; г) 0,987; ж) 907 • 10-2; б) 7 000 000; д) 0,000007; з) 1013 • 10-12. в) 67,09; е) 0,0008702; 0,00003485•10 -7 3,485-10 ®-10 ^ = 3,485 • 10 -12 Рис. 250 851. По образцу, данному на рисунке 251, выразите число в стандартном виде: а) о3. 35; в) 12 3 • 124; д) 123^8; ж) 1 . 256; б) 7 . г) 4 . е) ^^; з) 11 25; 125; ^ 16 3125 23 6250 0,00368 = N 3,68 -10“^ ) Рис. 251 852. Запишите в стандартном виде число, которое выражает в килограммах массу атома: а) водорода, равную 1 673 725 • 10-27 мг; б) кислорода, равную 26 568 • 10-30 кг; в) железа, равную 92 736 • 10-24 мг; г) серебра, равную 179 119 • 10-27 г; д) йода, равную 210 730 • 10-33 т; е) платины, равную 324 • 10-27 кг; ж) свинца, равную 3441 • 10-30 ц; з) менделевия, равную 4284 • 10-30 ц (рис. 252). 4284-10 ®°ц = 428 400-10 кг = 4,284-10 ^®кг. Рис. 252 853. Выразите: 8,3 - 10-6 м2 в кв, б) 1,13 - 1012 мм2 в квадратных метрах; а) 8,3 - 10 6 м2 в квадратных сантиметрах; 267 Правообладатель Народная асвета в) 4,19 • 10-8 км2 в квадратных метрах; г) 5,78 • 1014 м2 в квадратных километрах; д) 6,87 • 1011 а в квадратных километрах; е) 3,12 • 10-14 км2 в арах (рис. 253). Рис. 253 3,12-10 км2 = 3,12-10 ^210V = 3,12-10 а. 854. По образцу, данному на рисунке 254, вычислите: а) (4,8 • 103) : (1,2 • 10-1); б) (2,31 • 10-5) : (8,4 • 10-1); в) (2,64 • 10-11) : (3,3 • 10-13); г) (9,1 • 10-7) • (1,3 • 10-4); д) (7,84 • 10-12) • (3,5 • 1014); е) (5,37 • 1019) • (3,8 • 10-17). (19,47 -10^^): (5,9 -10 = (19,47 : 5,9) - (10^^ : 10 = = 3,3-10^^”^”^2^ = 3,3-102^ Рис. 254 855. По образцу, данному на рисунке 255, ис- пользуя отрицательные показатели, произведением выражение: представьте б) 2 , 3 ; в) 1^-; д) a q m2 , ; г) 2b-; е) n x . 3 у7 ’ 1 d3 с5 _3^ _ _3 2 -3 2уЗ - 2 ^ Рис. 255 856. Во сколько раз: а) число 4,4 • 1017 больше числа 1,1 • 1015; б) число 6,8 • 1022 больше числа 1,7 • 1018; в) число 2,5 • 1013 меньше числа 11 • 1015; г) число 5,6 • 1025 меньше числа 14 • 1035? 268 Правообладатель Народная асвета c 857. Масса Солнца примерно равна 2 • 1030 кг, а масса Земли — 6 • 1024 кг. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли? 858. Найдите значение выражения: 3,64; 21,7' а) (9^3 - (з25 + 215з5 ' \ 42 \ 84 2^ 13 б) 5^ :(2,34 : 2^3 + 8,4 • -6 6 7 в) ((28,49 : 0,35 + 23,1 • 0,06) : 4 + 0,073 • 0,5) : 6,911; г) (5,6 : 16 - 2,88 • 0,0625) • (3,74 + 12,26) : (1,24 + 2,76). 859. Упростите выражение: а) 1,2(5с - 1) - 2,2 + 1,8с; в) 2,4(5 - 3y) - у + 12,3; б) (1,3х - 5) + (32 - 4,4х); г) (13 - 6,3Ь) - (16 + 11,3b). 860. Решите уравнение: x + 3 9x + 3 x — 2 3x — 2 а) б) 3 5a - 0,5 4 5 3 + 4 a 5 6 4 - 7 a 11a - 1,5 3 6 ' 861. По Зельвенскому району протекают притоки Немана — реки Зельвянка и Щара. Площадь водосбора Зельвянки на 775 км2 больше шестой доли площади водосбора Щары и на 1555 км2 меньше половины площади водосбора Щары. Найдите площади водосборов этих рек. 862. Разложение года, под которым в письменных источниках упоминается Зельва, содержит все однозначные простые числа, причем одно из них входит в квадрате. Найдите этот год, учитывая, что до конца столетия оставалось 30 лет. 863. Выгода и Дикое — озера на территории Глусского района. Площадь Выгоды на 6 га мень- 269 Правообладатель Народная асвета ше утроенной площади Дикого и на 22 га больше его удвоенной площади. Найдите площади Выгоды и Дикого. 864. Озера Судобле, Великое и Малое находятся в Смолевичском районе. Площадь озера Судобле составляет 95 % площади Великого озера и в 3,8 раза больше площади Малого озера. Найдите площади этих озер в отдельности, учитывая, что озера Великое и Малое вместе занимают площадь в 200 га. 865. Свежие грибы содержат 90 % воды, а сушеные — 12 %. Сколько получится сушеных грибов из 11 кг свежих? 866. Имеется несколько коробок цветных карандашей, в которых всего 84 карандаша, в других коробках, которых на две меньше, карандашей — 90. Найдите количество карандашей в одних и других коробках, учитывая, что они относятся как 2 : 3. 867. Есть два вида коробок цветных карандашей, причем карандашей в коробке второго вида на 6 больше. Всего карандашей в коробках первого вида 336, а в коробках второго вида — 216. Найдите количество карандашей в коробках первого и второго видов, учитывая, что количество самих коробок первого и второго видов относятся как 7 ^ 3. * * * 868. Определите год, в котором построен памятник архитектуры Ренессанса Сморгонский кальвин-ский сбор, учитывая, что этот год есть произведение двух множителей, один из которых равен четвертой степени простого числа, а второй — больше на единицу увеличенного в шесть раз первого множителя. 869. На волшебную елку повесили две конфеты — «Нестерка» и «Белорусская». Если снять «Бело- 270 Правообладатель Народная асвета русскую», то на елке появится 5, а если сорвать «Нестерку», то появится 9 таких конфет. Через некоторое время Ира насчитала на елке 55 конфет. Докажите, что Ира ошиблась. 870. Восстановите пропущенные цифры: а) ***** *** ; б) **** ; ^ 8** в) ***** 2*8 **1 **8 *52 ** 66** + 7*** **** **** ***6 ***2 0 **1*** 0 19. Действия над степенями с целыми показателями А) Свойства действий над степенями с натуральными показателями можно распространить и на степени с любыми целыми показателями. Для любого отличного от нуля числа а и любых целых значений k и l верны равенства: = ak +l; ak ■ a} = ak - l; (ak)1 = akl. Пример 1. Вычислим значение выражения 5-2 : 53 • 56. Получим: 5-2 : 53 • 56 = 5-2 - 3 + 6 = 51 = 5. Б) Возведение в степень согласовано с умножением и делением, т. е. верны равенства (ab)k = akbk и (a : b)k = ak ■ bk. Пример 2. Учитывая, что x y = 0,5, найдем зна- -4 \-4 чение выражения ) . Получим: x_ 2? x 2 y5 = 24 (x-4)- x (-4)•(-4) x 16 (2 y5)-4 2-4 y-20 2-4 y5 •(-4) x16 • y20 = 24 • (x4)4 • (y5)4 = (2 x4y5)4 = 44 = (2 • 0,5)4 = 14 = 1. 271 Правообладатель Народная асвета 1. Сформулируйте основное свойство степени с целым показателем. 2. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями. 3. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями. 4. Сформулируйте правило возведения целой степени в целую степень. 5. Сформулируйте правило возведения произведения в целую степень. 6. Сформулируйте правило возведения дроби в целую степень. 871. По образцу, данному на рисунке 256, найдите значение выражения: а) 27 • 55; г) 0,25 • 58; 13 ж) (-|) • 1,59; б) 45 • 253; в) 85 • 1254; д) 506 • 0,28; е) (-20)15 • 0,0513; 14 з) (5) • I,815; и) 22,88 • (-Ц J. Рис. 256 (0,2)^° • 5^® = (0,2)^” • (5^“ • 5®) = = (0,2'°-5'“).5^ = (0,2.5)"’-5" = -1^“. 5^-125. 872. По образцу, данному на рисунке 257, найдите значение выражения: а) 84 . 44; г) (-5)5 . 155 ; ж) б) 514 . д) (-24)7 . з) 174; 87 ; в) 77 . 147; е) (-5,2)5 . (-1,1)5 ; и) 16 10 27, 125, 4 15 3 ’ Рис. 257 к) 2197 163 14® (2-7)® 2®-7® =^^=64-49 = 3136. 2401 272 Правообладатель Народная асвета 3 6 873. По обРазДУ, ДанномУ Г ..__,5„_,_5,5п_.25п ^ на рисунке 258, степенью с ^ ^ _________■ основанием 5 запишите число: Рис. 258 а) 253; б) 255; в) 1254; г) 1257; д) 6252; е) 62 56; ж) 31254; з) 31258; и) 125'; к) 6253^; л) 31252"; м) 1256'. 874. По образцу, данному на рисунке 259, учитывая, 3 что a = 3, найдите: qSO = = дЮ = gg g^g а) a6; б) a9; в) a12; г) a15; Рис. 259 ,1^ „.21 д) a21. 875. По образцу, данному на рисунке 260, найдите, при каком значении переменной верно равенство: а) 6^ = 63 • 62; б) 611 = (63)2 • 6"; в) (93)" = 915; г) 81 • 9" = 911; д) (9")5 = 915; 876. Найдите значение выражения: е) 9 • (92)" = 911; r s 7^ 64 • 4® = 4 ; ж) а" = a5a4; .3 .8 ,7 4-4=4; з) (a3)" = a11 : a2; 4 =4 ; и) (a2)4 : a" = a3. 3 + s = 7; ^3 = 4. ) Рис. 260 а) 22 • 33 • 64 г) 104 • 35 ж) 155 • 7 ; 123 154 ; 35 • 53 • 25; б) 39 • (52)5 д) 81•274 з) 77 • 115 • 121; 158 ; 313 ; 775 ^ 72 ; в) 415. е) (23)4 • 27 и) 5210• 27 84 ; (25)3 ; 137 • 226 • 169 2 • 877. По образцу, данному на рисунке 261, вычислите: а) 0,5-23 • 0,516 • 0,55; б) 273 Правообладатель Народная асвета Рис. 261 / / V-3 . .-29 . .-30 . . -3 (f) •(0,9)-«».(i) =(f) .(A) -(i) = .-29 = (т-та) -(и) ■3* = r”'-f-27 = 30. в) (^) ’ \9/ г) (l279 ’ \ i) \9 \i' д>(2| r14 •( 2 215 • o-^1; е)(2^| )-19 •( )-2” -(2:4 878. Вычислите: а) 4-4 • 46; д) 7-| : 7-|; и) 17 -14 : 17 -16; б) 15 • 1-1; е) l-4 : 1; к) (-14,2)0 : (-14,2)-1; в) 109 • 10-6 • 10-6; ж) 2-4 • 27; л) (-1,7)-9 : (-1,7)-9; г) 212 : 214; з) 4-12 • 415; м) 1,25-1 : 1,250. 879. По образцу, данному на рисунке 262, вычислите: а) (96)2 : (91)4; б) (192)-1 : (19-2)2; в) (lO-6)8 : (IQ-7)7; г) (42-5)"5 : (426)4; д) (16-1)12 : (16-18)2; е) (2,7 6)-9 : ((2,7)-11)5; , ^ -4 ^ 1 .4-1^2 14 11 ж) ((-11 )6 г4 ^(( з) ((-^ )-6 )-7 ^((-^ г5 )8; ^((-1 )7 )5. и) К--1 -4 s 9 Рис. 262 274 /д\-б-(-7) =(- д\40 /д\42 /д\40-42 '■ и) ^ и) ' \-2 = 16 81- Правообладатель Народная асвета 880. По образцу, данному на рисунке 263, степенью с основанием 2 запишите выражение и найдите его значение: а) 29 • 1З2; б) 1к ■ 23; в) 45 • З6-2; г) З6-2 • 4-3; д) 8-3 : З6-2; е) 8-2 • 43; ж) 32 • (2-3)-2; з) 32-2 : З024-З; 128“®-16® =(2^)“®-(2^)® = = 2“^^-2^° = 2“^ = 0,5. Рис. 263 и) 32-3 : 4-3; к) (2-4)-2 • 5З2; л) 64-2 : 32-3; м) З28-2 : (42)-2. 881. Найдите значение выражения: а) 0,5щ“3^4 • 2m4n“3 при m = - 2 и n = З,5; m = 8 и n = 0,З25; б) 3I5 х“4у“З • 625х3у2 при х = - 358 и у = -^; х = 5 и у = -^; в) 3,8а“ЗЬЗ0 • 5а3Ь“33 при a = -З и Ъ = З9; a = З и Ъ = -З9; З8 - - г) ^ kr4l4 • 36к41~5 при k = 273 и l = -; k = -З029 З2 8 1 42 и 1=-53. 882. Возведите в степень: а) (22)3; в) (a3)6; д) (Ъ7)4; ж) (;З0)3; б) (z3)2; г) (d5)4; е) (f 4)7; з) (г8)9. 883. По образцу, данному на рисунке 264, упростите выражение: а) a3(a2)4; в) (c4)5(e6)3; д) (е4е6)9; б) (Ъ’У^Ъ6; г) (d2)5(d5)2; е) (f8 : f6)33; ж) ((г2)3)4; з) ((Л2)3й2)4. , 12 - 3.,2,5 , 12 6,5 , 2,5 10 (т :{jn))={m :т ) =(т ) =т . Рис. 264 275 Правообладатель Народная асвета 884. Вычислите: а) 23; в) 0,23; д) (-5)3; б) 32; г) 0,32; е) (-6)2; 885. Выполните действия: ж) (-0,5)3; з) (-0,6)2. a)(27i5 - 27.4): J5 - (.Ji : 4 + 7 : 5iL ): 39; б) (12-3 : 45 + 15 • 214 ^ ' 7 6 16 15 81: 17^: 2^|; в) (22 . + 2 + 5I , 6,4). 12 : 2; ' \ 5 18 3 ^ / 29 5 г) 2 . /5I. - 1,125.182) + 18 : 22. 5 11 9 886. Учитывая, что 26 = 64, а 210 = 1024, вычислите: а) 211 : 25; в) 45; д) 211 : 16; б) 210 : 25; г) 64 • 32; е) (26)2. 887. Решите уравнение: а) 1 -2,6х -(0,7х + 3) = 5,7; б) 21 a - 5 = 31 a + 2; 3663 в) 7 - 0,52 = 0,2z - 35; г) 4l + (2ly - 5|) = 3|y - 1. ' 7 \ ^ ^ ^7 888. Найдите, при каком значении переменной значение выражения: .2 x - 3 а) ----- равно -2; x + 1 -,,4 у - 5 , б) ^ равно 4; 2 у + 5 276 ч 5 a + 3 ^ в) 30310 равно ч 7 & + 11 г) равно 11- Правообладатель Народная асвета 889. По рисунку 265 запишите координату точки: а) А; с б) B; В в) C; г) D; О А Д) E. D ■4-^^^^^^-♦-h Е -6 -4 -2 0 1 2 4 6 Рис. 265 890. На координатной прямой изобразите точку: а) P (3); в) R (1,5); д) T (-3,25). б) Q (-3); г) S (2i3); е) U (-1,5). 891. По Слуцкому району протекают притоки Случи — реки Локнея, Морочь и Весейка. Длина Локнеи относится к длине Весейки как 9 ^ 7 и составляет 0,24 длины Морочи. Найдите длины этих рек, учитывая, что Морочь длиннее Весейки на 122 км. 892. Среднегодовой расход воды в устье Локнеи относится к расходу воды в устье Случи как 3 : 56, а к расходу в устье Морочи — как 4 : 29. Найдите расходы воды в устьях названных рек, учитывая, что Локнея и Морочь вместе вливают в Случь 9,9 м3 за секунду. 893. В емкости содержится 10,5 л 40-процентного раствора серной кислоты. Влили некоторое количество 75-процентного раствора этой же кислоты и получили 50-процентный раствор. Сколько кислоты было влито? 894. Гривда, Береза, Исса — притоки Щары, протекающие по Слонимскому району. Длина Грив-ды на 7 км меньше учетверенной длины Березы и на 23 км больше длины Иссы. Найдите длины этих рек, учитывая, что утроенная длина Березы на 7 км больше длины Иссы. 277 Правообладатель Народная асвета 895. Песчанка, Косолянка, Ельня, Голуба — притоки Сожа, протекающие по Славгородскому району. Длина Песчанки относится к длине Косолянки как 9 : 17 и составляет 60 % длины Ельни. Голуба на 11 км короче Косолянки и на 7 км — Ельни. Найдите длины этих рек. 896. Площадь водосбора Песчанки в 1,5 раза больше площади водосбора Голубы и относится к площади водосбора Ельни как 63 : 85. Площадь водосбора Косолянки относится к площади водосбора Ельни как 176 : 85 и на 100 км2 больше утроенной площади водосбора Голубы. Найдите площади водосборов этих рек. 897. В Славгородском районе площадь сельскохозяйственных угодий относится к площади лесов как 55 : 37, а к площади других земель — как 55 : 8. Найдите распределение земель Славгородского района и покажите его круговой диаграммой. 898. Есть бутылочка 8-процентного и бутылочка 10-процентного спиртовых растворов йода, в которых вместе 350 г раствора, а в растворах вместе 31 г йода. Найдите массы одного и другого растворов. 899. Есть 100-граммовая бутылочка одного спиртового раствора йода и 50-граммовая бутылочка другого спиртового раствора йода, в которых вместе 4,5 г йода. Найдите концентрации одного и другого растворов, учитывая, что они вместе составляют 7 %. * * * 900. Автомобиль с грузом ехал из деревни в город со скоростью 40 км/ч, а назад без груза со скоростью 60 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути. 278 Правообладатель Народная асвета 901. Как разрезать квадрат на несколько тупоугольных треугольников? 902. Около прямоугольника описан четырехугольник так, что середины двух его противоположных сторон есть вершины прямоугольника (рис. 266). Докажите, что площадь четырехугольника вдвое больше площади прямоугольника. 20. Координатная плоскость А) Положение точки на координатной прямой определяется одним числом — координатой точки. Для определения положения точки на плоскости одного числа недостаточно. В зрительном зале театра место задают указанием ряда и номера кресла в этом ряду (рис. 267). Например, во втором ряду на месте 4 сидит девочка с бантом, а в четвертом ряду на месте 2 — девочка без банта. Рис. 267 279 Правообладатель Народная асвета 1 i. А. i. А. i. I t А Ж А А А А 2 (g) abcdefgh Рис. 268 у 3 2 О 1 -3 -2 -1 i 2 3 'л: -1 -2 -3 Рис. 269 У ■5 4 Аг О , tl ' 2 О 1 Ai _ -2 -1 12 3' -1 [ 5 л: -2 -3 Рис. 270 Поля шахматной доски называются с помощью буквы и числа. Буква определяет вертикаль, а число — поле на ней. Например, черный слон находится на поле d7, белый конь — на поле Ь8 (рис. 268). На рисунке 269 построены две координатные прямые, которые перпендикулярны друг другу и имеют общее начало отсчета — точку O. Эти прямые называют координатными осями, а точку O — началом координат. Одну из осей, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс и обозначают буквой х, вторую называют осью ординат и обозначают буквой у. Координатные оси х и у определяют на плоскости систему координат. Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью. Б) На координатной плоскости выберем точку A (рис. 270). Через нее перпендикулярно координатным осям проведем прямые, которые пересекут оси в точках Aj и A2. Точка Aj оси абсцисс имеет координату 4, ее называют абсциссой точки A. Ко- 280 Правообладатель Народная асвета у ■5 4 3 2 о ' в. п , . -2 -1 12 3' -1 [ 5 ЗС -2 -3 Рис. 271 ордината точки А2 оси ординат равна 3, ее называют ординатой точки А. Абсциссу и ординату вместе называют координатами точки. То, что точка А имеет абсциссу 4 и ординату 3, записывают так: А (4; 3). Нужно помнить, что первой записывается абсцисса, второй — ордината. Запись А (4; 3) можно читать: точка А с абсциссой 4 и ординатой 3, или точка Ас координатами 4 и 3, или точка А имеет координаты 4 и 3. Мы нашли координаты точки А координатной плоскости. Построим теперь на координатной плоскости точку B (4; -2) по ее координатам 4 и -2. Для этого на оси абсцисс отметим точку B1 с координатой 4 и через нее проведем прямую, перпендикулярную этой оси (рис. 271). Затем на оси ординат найдем точку B2 с координатой -2 и через нее проведем прямую, перпендикулярную оси (рис. 272). Пусть B — точка пересечения построенных перпендикуляров. Точка B имеет координаты 4 и -2. На рисунке 273 показано, как можно иначе найти точку Рис. 273 281 У 3 2 О 1 -2 -1 12 3' -1 [ 5 i В2 -2 ' -3 Рис. 272 Правообладатель Народная асвета B (4; -2): сначала пройти 4 единицы вправо по оси х, затем 2 единицы вниз. Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел — ее абсцисса и ордината, и наоборот, каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости, для которой эти числа есть ее координаты. Точка координатной плоскости имеет равную нулю ординату, если лежит на оси абсцисс, и равную нулю абсциссу, если лежит на оси орди-—^нат. По рисунку 274 можем записать: C (-5; 0); D (0; 4); O (0; 0). Положение точки на земной поверхности также определяют двумя числами — географическими координатами — широтой и долготой. По карте можно определить: столица нашей страны город Минск имеет координаты 53° 54' северной широты и 27° 35' восточной долготы, а старинный город Полоцк — координаты 55° 29' северной широты и 28° 48' восточной долготы. -6 С D О -4 -2 Рис. 274 1. Под каким углом пересекаются координатные прямые на плоскости? Как они называются? 2. Как называют точку пересечения координатных осей? Какие у нее координаты? 3. Что называют координатной плоскостью? 4. С помощью скольких чисел можно определить положение точки на плоскости? Как называют эти числа вместе; первое число; второе число? 5. Как записывают координаты точки? 6. Как найти абсциссу и ординату точки? 7. Как построить точку по ее координатам? 282 Правообладатель Народная асвета 903. По рисунку 268 определите, какие поля занимают: а) черный король; б) черный конь; в) белые король и ферзь; 904. Прочитайте запись: а) А (5; 8); в) C (-4,7; -0,3); г) черные ладьи; д) черные пешки; е) белые пешки. д) ^ (-^З;1!); е) G(-6,5; - Х^4). б) B (-4;1); г) D (7; -4,2); 905. По рисунку 275 запишите координаты точек: а) А, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, O, P; б) абсциссы и ординаты которых положительны; в) абсциссы и ординаты которых отрицательны; г) абсциссы которых положительны, а ординаты отрицательны; д) абсциссы которых отрицательны, а ординаты положительны; е) абсциссы которых неотрицательны; ж) абсциссы которых неположительны; з) ординаты которых неотрицательны; и) ординаты которых неположительны. Рис. 275 У ^~о~ л Н С о G 2 р 11 А М О D 5- 4 - 3 - 2 - 1 1 1 1 ) X Е* Fi ^=2 В К ^ о 283 Правообладатель Народная асвета 906. Задайте на плоскости систему координат и постройте точки K (3; 2), L (-2; 4); M (2; -1); N (-4; -2); P (0; 4); Q (-3; 0); R (3; 3). 907. Определите, какие из точек P (13; 20), Q (-32; 14); R (25; -19); S (-47; -24); T (0; 48); F (-35; 0); L (32; 32) находятся: а) выше оси х; г) левее оси у; б) ниже оси х; д) на оси х; в) правее оси у; е) на оси у. 908. Задайте на плоскости систему координат. а) Постройте точки P (1; 4), Q (3; 0), R (-2; 4), S (-2; -2). б) Постройте прямую PQ. Отметьте на прямой PQ точку A с абсциссой 2 и определите ее ординату. Отметьте на этой прямой точку B с ординатой 1 и определите ее абсциссу. в) Постройте прямую RP. Найдите на ней точку C с абсциссой 4. Какова ее ордината? Что можно сказать об ординатах всех точек прямой RP? г) Постройте прямую RS. Найдите на ней точку D с ординатой 3. Какова ее абсцисса? Что можно сказать об абсциссах всех точек прямой RS? д) Постройте прямую RA. Определите координаты точек, в которых она пересекает оси координат и прямую PQ. е) Постройте прямую SC. Определите координаты точек, в которых она пересекает оси координат и прямые PQ и RA. 909. На координатной плоскости постройте прямую, проходящую через точки S (3; 5) и V(-1; -1). Через точку X (4; 0) проведите вторую прямую, перпендикулярную прямой SV. Запишите координаты точки A пересечения этих прямых. 284 Правообладатель Народная асвета 910. По рисунку 276 определите: а) координаты точек A, B, C, D, E, F, G, K, L, M, O; б) в единичных отрезках длины отрезков AD, EF, GF, KM и расстояния между точками B и F, а также между точками M и F; в) площади фигур ABCD, EFG, KLM; г) чему равны абсциссы точек на отрезке AB; CD; GF; д) чему равны ординаты точек на отрезке AD; EF; KM. Рис. 276 911. На координатной плоскости постройте треугольник с вершинами A(-8; 4), B (-2; -5), C(4; 4). На стороне AB найдите точки X и Y, которые эту сторону делят на три доли. Через точки X и Y проведите прямые, параллельные стороне BC, и точки пересечения их со стороной AC обозначьте Xj и Yj. Запишите координаты точек X, Y, Xj, Yj. Сравните длины отрезков AX^, X^Y^, Y^C. 912. Перенесите в тетрадь рисунок 277. Запишите координаты точек, в которых пересекаются: а) прямая DE и ось абсцисс; б) прямая BE и ось ординат; 285 Правообладатель Народная асвета У , й С 1 1 ^ G F Q D 9 В 1 Е 5- 4 - 3 - 2- 1 L г i 1 ) X "аГ Н ^=2 3 ^4 —5 Рис. 277 в) координатные оси с прямой EG; г) координатные оси с прямой EA; д) прямые AB и DH; е) прямые AE и FD; ж) прямые AC и BD. 913. Определите площадь многоугольной пластинки, показанной на рисунке 278. Запишите координаты ее вершин. Рис. 286 Правообладатель Народная асвета 914. На координатной плоскости постройте точки по их координатам (x; у) из следующей таблицы. x 1 2 3 4 -1 -2 -3 0,5 -1,5 2,5 у 2 4 6 8 -2 -4 -6 1 -3 5 Какая есть связь между координатами x и у этих точек? Что можно сказать о расположении построенных точек? 915. Запишите координаты вершин ломаной, которая показана на рисунке: а) 279; б) 280. Рис. 279 Рис. 280 916. Постройте ломаную, последовательные вершины которой находятся в точках с координатами: а) (-6; -11), (-8; -8), (-11; 9), (-11; 6), (-14; 6), (-13; 3), 287 Правообладатель Народная асвета (-16; 1), (-3; -2), (0; -4), (1; -4), (1; -9), (0; -10), (4; -10), (2; -9), (2; -4), (3; -4), (9; 1), (8; 8), (6; 8), (5; 6), (6; 3), (1; 3), (-3; -1), (-6; 11); б) (2; 8), (3; 9), (5; 9), (6; 10), (6; 9), (7; 10), (7; 9), (8; 7), (8; 6), (5; 4), (5; 3), (7; 3), (7; 2), (5; 2), (5; 1), (1; 1), (1; 0), (-7; 0), (-8; 2), (-10; 2), (-11; 1), (-11; 0), (-6; -2), (-4; -4), (-4; -6), (-11; -6), (-15; -1), (-15; 3), (-10; 4), (-10; 6), (-6; 8), (2; 8). Отметьте еще одну точку на рисунке — «глаз» и запишите ее координаты. 917. Найдите значение выражения: • 1,2 + 11): 13 а) ^16-----: 0,25; 18 - 0,39] : 33 2^ /50 б) (11,03 8771 \ . /101021 20 00^ ' 1250 12 2,781: ^^; 50 в) 7,2 : . 24 13 46 + 82 81 3 3— ■■ 6,3 11 15-8 - 1^^ I8 27 45; 13 г) (1 • (^ • ■§) + 1^ ■ 17^) • (194.2 - 193,4) + 28,39: -|. 918. По прогнозу к 2050 г. население Земли вырастет до 9,5 млрд человек. На сколько процентов возрастет население Земли по сравнению с: а) 2000 г., в котором на Земле жило 6,071 млрд человек; б) 2013 г., в котором на Земле жило 7,095 млрд человек? 919. Числа 70 и 85 разделили на одно и то же число и получили остатки 5 и 7 соответственно. На какое число делили? 288 Правообладатель Народная асвета 920. Перенесите рисунок 281 в тетрадь. Постройте ломаную, симметричную ломаной MNOPQR относительно оси AB. 921. Какая из фигур, изображенных на рисунке 282, не имеет того свойства, которое есть у остальных фигур? 922. В 11 ч 40 мин из Ор-ши вышел первый, а через 20 мин второй дизель-поезд, которые прибыли: первый в Лепель, второй в Новолу-комль в 14 ч 40 мин (рис. 283). Найдите расстояние по железной дороге между Лепелем и Новолукомлем, учитывая, что скорость второго поезда на 1,75 км/ч больше. Рис. 281 б 923. Павел прочитал одну повесть со скоростью 20 страниц в день. Другую повесть, которая на 13 страниц больше, он читал на 2 дня дольше со скоростью 17 страниц в день. Найдите, сколько страниц книги занимает каждая повесть. д ч ф н ф Ч 31 и « а ed 3 № tH 4 V я cd м Щ а ч S S Л VO я ч Cd а Ю 1 3 ф о S о в а О 18 21 Новолукомль 21 19 22 Рис. 283 289 Правообладатель Народная асвета 924. Полина за 6 дней прочитала одну повесть. Другую повесть она читала на 3 дня дольше со скоростью, меньшей на 2 страницы в день. Найдите скорости, с которыми Полина читала каждую повесть, учитывая, что другая повесть на 45 страниц больше. * * * 925. Алесь втрое старше брата Пети и втрое моложе отца. Отец же старше Пети на 40 лет. Сколько лет Алесю? 926. Как разрезать квадрат размерами 13 х 13 клеток на 5 прямоугольников так, чтобы все 10 чисел, которые выражают измерения этих прямоугольников, были различными натуральными числами? 927. Найдите наименьшее натуральное число, которое заканчивается на 56, делится на 56 и имеет сумму цифр, равную 56. 21. Графики А) На координатной плоскости зависимости между величинами можно показывать наглядно. Пример 1. Родители Лены в каждый ее день рождения измеряли ее рост. В результате получилась следующая таблица. Возраст t, лет 0 1 2 3 4 5 6 Рост h, см 45 66 79 90 98 105 111 Возраст t, лет 7 8 9 10 11 12 13 Рост h, см 115 121 126 130 137 145 155 Таблица показывает зависимость роста h девочки от ее возраста t. Чтобы сделать эту зависимость наглядной, изобразим ее графически. Для этого на плоскости зададим систему координат. На оси абсцисс t будем показывать значения времени в годах, а на оси ординат h — значения роста в сантиметрах. По- 290 Правообладатель Народная асвета h. CN [ • • • • • 1 • £ ' ! i i \ 1 0 1 2 t, J [ei h. CIV [ 1 ■ 1 1 1 1 2 t - 1 } ! 1 0 1 2 J [61 Рис. 284 Рис. 285 строив все точки, координаты которых есть пары чисел, записанных в столбцах таблицы, получим рисунок 284. Этот рисунок похож на линейную диаграмму, если нарисовать отрезки от оси t до отмеченных точек (рис. 285). Если бы рост измеряли не через год, а через месяц, то получилось бы не 14, а 156 точек, расположенных близко друг к другу. Поскольку рост с течением времени изменяется постепенно, то соответствующие точки на координатной плоскости образуют непрерывную линию, показанную на рисунке 286. Рис. 286 291 Правообладатель Народная асвета Эту линию называют графиком роста. Пример 2. Измеряя температуру воздуха на протяжении суток, получили таблицу. Время суток t, ч 0 2 4 6 8 10 Температура T, °С 8 6 5 4 5 8 Время суток t, ч 12 14 16 18 20 22 24 Температура T, °С 11 14 15 14 12 10 9 Построив на координатной плоскости точки, координаты которых есть числа в столбцах таблицы, и соединив их плавной линией, получим график температуры, выражающий зависимость температуры T воздуха от времени суток t. По графику удобно выражать словами зависимости между величинами. Например, по графику, приведенному на рисунке 287, определяем, что до 6 ч температура понижалась, с 6 ч до 16 ч повышалась, потом снова понижалась. Самая высокая за эти сутки температура 15 °С была в 16 ч, а самая низкая о 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24*. ч Рис. 287 292 Правообладатель Народная асвета Р = 3а Рис. 288 4 °C — в 6 ч. В 19 ч температура воздуха была около 13 °C. Температура 7 °С была перед 1 ч ночью и после 9 ч утра. Б) Пример 3. Рассмотрим зависимость периметра P равностороннего треугольника от длины a его стороны (рис. 288). Вы знаете, что эта зависимость выражается формулой P = 3a. Она имеет заслуживающего внимание свойство. Хоть периметр P зависит от длины a и изменяется вместе с этой длиной, но их отношение остается постоянным: P = 3. О таких величинах говорят, что a они прямо пропорциональны, а число 3 называют коэффициентом прямой пропорциональности. Зависимость между величинами у и x называют прямо пропорциональной зависимостью, если отно-у шение — этих величин является постоянным. x Обозначая a число, которому равно это отношение, получим у — = a, или у = ax. x Число a называют коэффициентом прямой пропорциональности. Пример 4. Рассмотрим зависимость между величинами x и у, выраженную формулой у = 1 х. Чтобы построить график этой зависимости, возьмем несколько значений величины x и вычислим соответствующие им значения величины у. Получим таблицу. x -5 -4 -3 -2 0 1 2 4 5 6 8 у -2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1 2 2,5 3 4 293 Правообладатель Народная асвета Построив на координатной плоскости точки, координатами которых служат числа в столбцах таблицы, получим рисунок 289. Можно заметить, что построенные точки лежат на одной прямой. Если значения величины x брать через 0,1 или 0,01, то соответствующие точки на координатной плоскости будут расположены более плотно (рис. 290). Рис. 290 294 Правообладатель Народная асвета Рис. 291 Подобными рассуждениями устанавливаем, что графики зависимостей у = -1 x и у = 1,5x также яв- 2 ляются прямыми линиями (рис. 291, 292). Графиком прямо пропорциональной зависимости у = ах является прямая линия, проходящая через начало координат. В) Пример 5. Рассмотрим зависимость между величинами, выраженную формулой у = 3 - 1X. Чтобы построить график этой зависимости, возьмем несколько значений величины x и вычислим соответствующие им значения величины у. Получим таблицу. Рис. 292 X -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 8 1 - 2 X 2,5 2 1,5 1 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3 -4 у = 3 - 1X ^ 2 5,5 5 4,5 4 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -1 295 Правообладатель Народная асвета Рис. 293 Построив на координатной плоскости точки (x; y), координатами которых служат числа в столбцах таблицы, получим рисунок 293. Можно заметить, что все построенные точки лежат выше на 3 единицы точек прямо Рис. 294 Рис. 295 пропорциональной зависимо- сти у = -1X. Поэтому они так-2 же находятся на одной прямой. Зависимость между величинами у и X, заданная формулой у = ax + b, где a и b — некоторые числа, называют линейной зависимостью. На рисунках 294 и 295 показаны графики линейных зависимостей у = 2х + 1 и у = -2x + 1. Графиком линейной зависимости у = ах + b является прямая линия, так как ординаты точек этого графика отличаются от ординат соответствующих то- 296 Правообладатель Народная асвета чек на графике прямой пропорциональности у = ах на b единиц. Г) Пример 6. Пусть требуется нарисовать несколько прямоугольников, площади которых равны 4 см2. На рисунке 296 показаны три таких прямоугольника. Если обозначить смежные стороны прямоугольника х и у, то условие, которое должно выполняться для каждого прямоугольника, запишется так: ху = 4 (рис. 297). 4 см 2 см 4 см2 4 см^ X 4 см2 2 см 4 см2 |см У х-у = 4 Рис. 297 1 см |см Рис. 296 Зависимость между величинами у и х называется обратно пропорциональной зависимостью, если произведение ху этих величин остается постоянным. Обозначая a число, которому равно это произведение, получим: ху = а, или иначе у = a. х Число а называют коэффициентом обратной пропорциональности. Перепишем формулу у = а в виде у = а • ^. Теперь можно сказать, что величина у прямо пропорциональна величине —, обратной величине х. Поэто- х му сами величины у и х обратно пропорциональны. 297 Правообладатель Народная асвета Д) Пример 7. Рассмотрим обратно пропорцио- нальную зависимость между величинами, выраженную формулой у = Чтобы построить график этой x зависимости, возьмем несколько значений величины x и вычислим соответствующие им значения величины у. Получим таблицу. x -4 -2 -1 -0,5 -0,2 0,2 0,5 1 2 4 у -0,5 -1 -2 -4 -10 10 1 2 1 0,5 Построим на координатной плоскости точки (x; у), координатами которых служат числа в столбцах таблицы, и соединим полученные точки плавной линией. Поскольку на нуль делить нельзя, то график обратно пропорциональной зависимости состоит из двух ветвей (рис. 298). Можно заметить, что при увеличении значений переменной x соответствующие значения у приближаются к нулю, а если значения переменной x брать близкими к нулю, то соответствующие значения у будут большими по модулю. График обратно пропорциональной зависимости называют гиперболой. Рис. 298 298 Правообладатель Народная асвета На рисунках 299 и 300 показаны графики зави- -2 4 симостеи у = — и у = Рис. 299 Рис. 300 299 Правообладатель Народная асвета 1. Как на координатной плоскости называют линию, показывающую зависимость между величинами? 2. Как можно построить график зависимости между величинами? 3. Какая зависимость между величинами называется прямой пропорциональностью и какое число называют коэффициентом прямой пропорциональности? 4. Какая линия является графиком прямо пропорциональной зависимости? 5. Какая зависимость между величинами называется линейной зависимостью? 6. Какая линия является графиком линейной зависимости? 7. Какая зависимость между величинами называется обратной пропорциональностью и какое число называют коэффициентом обратной пропорциональности? 8. Какая линия является графиком обратно пропорциональной зависимости? Рис. 301 928. В таблице приведен рост Виктора, измеренный в каждый день рождения от рождения до 15 лет, а на рисунке 301 построенный по этим сведениям график зависимости роста Виктора от его возраста. Составьте по этому графику таблицу роста Виктора для возрастов: а) t = 0,5; 1,2; 3,6; 5,9; 7,8; 9,4; 11,3; 12,5; 13,7; 14,9; б) t = 0,8; 1,5; 2,8; 4,5; 6,3; 8,8; 10,7; 11,8; 13,1; 14,6. Возраст, t, лет 0 1 2 3 4 5 6 7 Рост, h, см 51 69 82 91 99 106 112 117 300 Правообладатель Народная асвета Возраст, t, лет 8 9 10 11 12 13 14 15 Рост, h, см 122 126 131 136 142 150 161 175 929. На рисунке 302 показана зависимость между средней скоростью течения реки на отдельных участках и ее поперечным сечением. Используя этот график, заполните таблицу, переписав ее в тетрадь. Площадь поперечного сечения, S, м2 8 12 14 16 Скорость течения, V, м/с 2 0,86 0,8 Площадь поперечного сечения, S, м2 20 24 27 Скорость течения, V, м/с 0,67 0,48 0,4 Рис. 302 301 Правообладатель Народная асвета 930. Артем на велосипеде поехал в магазин. Через некоторое время он встретил друга Антона, и они немного поговорили. Затем, чтобы успеть в магазин до его закрытия, Артем поехал быстрее. На рисунке 303 все это отражено графиком. Определите: а) сколько времени и с какой скоростью ехал Артем до встречи с Антоном; б) сколько времени Артем и Антон разговаривали; в) с какой скоростью и сколько времени ехал Артем после встречи; г) сколько времени затратил Артем на дорогу и какой путь он проехал; д) с какой средней скоростью ехал Артем. 931. Дядя Максим поехал на велосипеде из дома на дачу со скоростью 15 км/ч. Через 40 мин велосипед сломался, а еще через 20 мин дядю подобрала машина и он вернулся домой. Нарисуйте график движения дяди Максима, учитывая, что машина 302 Правообладатель Народная асвета ехала со скоростью 50 км/ч. Отрезком в 1 см на оси абсцисс показывайте 8 мин, на оси ординат — 2 км. 932. В таблице приведены среднемесячные температуры воздуха (°С) для городов Бреста и Витебска. На одной координатной плоскости постройте графики температуры. Месяц Брест Витебск 1 -4,4 -7,8 2 -3,6 -7,3 3 0,6 -2,9 4 7,3 5,0 5 14,2 12,6 6 17,0 16,0 7 18,8 18,0 8 17,5 16,3 9 13,4 11,2 10 7,7 5,2 11 2,4 -0,4 12 -2,2 -5,2 933. Запишете формулу и постройте график зависимости: а) периметра P равностороннего треугольника от длины a его стороны; б) периметра P квадрата от длины a его стороны; в) пути s, пройденного пешеходом, который шел со скоростью 4 км/ч, от времени движения t; г) площади S прямоугольника, одна сторона которого равна 3 см, от длины a другой стороны; д) длины b прямоугольника с площадью, равной 1 см2, от его ширины a; е) ширины a прямоугольника с площадью, равной 4 см2, от его длины b; ж) скорости V, с которой необходимо двигаться телу, чтобы покрыть путь, равный 6 км, за время t. 934. Запишите формулу и постройте график зависимости: а) объема V прямоугольного параллелепипеда с одним и тем же основанием с площадью, равной 6 см2, от его высоты h; 303 Правообладатель Народная асвета б) объема V прямоугольного параллелепипеда с одной и той же высотой, равной 2 см, от площади S его основания; в) площади S основания прямоугольного параллелепипеда с одним и тем же объемом, равным 8 см3, от его высоты h; г) высоты h прямоугольного параллелепипеда с одним и тем же объемом, равным 12 см3, от площади S его основания. 935. Постройте график зависимости между величинами x и у, которая выражается формулой: а) у = 3x; б) у = -3x; в) у = ^3 х; г) у = - ^3 х; д) у = 4х; е) у = -4х; ж) у = 0,2х; з) у = -0,2х; и) у = - -| х. 936. Постройте график зависимости между величинами х и у, которая выражается формулой: а) у = 3х + 1; в) у = -l х - 2; д) у = 1,5х - 3; б) у = -3х + 2; г) у = -1 х - 1; е) у = -0,2х + 3. 2 937. Постройте график зависимости между величинами х и у, которая выражается формулой: а) у = -; х б) у = х в) у = -3-; х г) у = -|; х д) у = 1^°; х -10, е) у = х ж) у = - ■0^!^; х \ 2,4 з) у = —; х Ч 2,4 и) у = • х 938. Вычислите: 13 + 23 + 33 + 43 73.53 - 53.32 а) (1 + 2 + 3 + 4)*; б) 122 + 33 - 22 304 Правообладатель Народная асвета в) г) 113 + 133 -173 112 + 132 -172 103 + 203 + 303 + 403 3 (10 + 20 + 30 + 40) 939. Вычислите: д) е) а) 33 .(17,2 1 8 32 45 60 23 • 32 - 33 • 22 23 • 32 + 33 • 22 232 + 292 + 312 (43 - 1)•(62 + 1) + И : 4^ + 2,64; 40 12 б) ((23 + ): 23 +/91 - 45 54 51; ^ U 8 1^ 48 I 6 9J 8^ 5 в) ((92 + 1Л. + 3,5):X-30:А).X; Ml 3 15 /15 2^ 12 г) 6^ + 5 - (7 + 2\ + - 61. ^ 45 6 U2 9J 15 2 940. Запишите уравнение и решите его: 3 а) если из — неизвестного числа вычесть 10 и полученную разность умножить на 2, то получится 100; б) если к неизвестному числу прибавить столько же 12 да еще 1^, то получится 9^; 35 в) если к неизвестному числу прибавить его чет- 22 верть да еще ^, то получится 5^; 55 г) если из половины неизвестного числа вычесть его треть, то получится 2; 5 д) если из неизвестного числа вычесть его половину 3 29 да еще —, то получится —; 5 60 1 е) если из числа 7,2 вычесть число 61, уменьшен- 5 ное на неизвестное число, то получится 2,2; ж) если из увеличенного на 3 неизвестного числа вычесть 17, то получится -20; з) если к числу -5 прибавить уменьшенное на 25 неизвестное число, то получится -4. 305 Правообладатель Народная асвета 941. Площадь прямоугольной грядки длиной 4 м и шириной 1,5 м составляет 0,15 % огорода. Какова площадь огорода? 942. Выкопали яму, дно которой — квадрат со стороной 0,8 м, что составляет 120 % глубины ямы. Найдите с точностью до тонны массу вынутой земли, если 1 м3 утрамбованной земли весит 2 т. 943. В три картофелехранилища засыпали на зиму картофель в отношении 1,3 ^ 2,5 ^ 1,5. При этом в третьем хранилище его было на 10,8 т больше, чем в первом. За месяц израсходовали из первого 40 %, из второго — 30 % и из третьего — 25 % имевшегося в них картофеля. Какой процент заготовленного картофеля был израсходован за месяц? 944. 67,5 % расстояния по шоссе между Пинском и Ивацевичами дают 110 % длины Огинского канала, который находится на территории Пинского и Ивацевичского районов. Какова длина Огин-ского канала? 945. Запасом сена лошадь можно кормить 40 дней, а корову — 60. Сколько дней можно кормить этим сеном корову и лошадь вместе? 946. На соревнованиях авиамоделистов первая модель пролетела на 10 %, или на 490 м, меньше второй. Скорость первой модели была на 20 %, или на 1 м/с, больше скорости второй. Сколько времени была в воздухе каждая модель? 947. Река Парана в Южной Америке образуется слиянием рек Риу-Гранди и ПаРис. 304 ранаиба (рис. 304). Длина 306 Правообладатель Народная асвета Аральское море Параны вместе с Риу-Гранди составляет 5610 км, а вместе с Паранаибой — 5280 км. Найдите длины трех этих рек, учитывая, что длины Риу-Гранди и Паранаибы вместе дают 2130 км. 948. До устья Амударьи от истока Кызыл-Суу 2174 км, а от истока Муксу 2027 км (рис. 305). Общая длина Кызыл-Суу и Муксу 323 км. Найдите длины Кызыл-Суу, Муксу, Вахша и Амударьи, учитывая, что длина Амударьи на 191 км больше удвоенной общей длины Вахша и Муксу. 949. Виталик пробегает круг на коньках за 36 с. Каждые 132 с он догоняет Артема. За сколько времени пробегает круг Артем? 950. В треугольнике KLM угол LKM равен 20°, угол KLM равен 136° (рис. 306). Из вершины L проведены лучи LN и LO до пересечения со стороной KM так, что LN = KN и LO = MO. Найдите углы треугольника LNO. L ПяндХ’ '^‘1ндарья Рис. 305 Рис. 306 307 Правообладатель Народная асвета N О М Р R S Рис. 307 951. Перенесите рисунок 307 в тетрадь. Постройте: а) отрезок KL, симметричный отрезку RS относительно точки O; б) треугольник ABC, симметричный треугольнику MNP относительно точки O. 952. В равнобедренном треугольнике сумма двух углов равна 126°. Найдите углы этого треугольника. Сколько решений имеет задача? 953. Есть бутылка 9-процентного столового уксуса и бутылка 90-процентной уксусной эссенции, массы уксуса в которых относятся как 1 ^ 4. Найдите массы столового уксуса и эссенции, учитывая, что масса эссенции на 300 г больше. 954. Есть 500-граммовая бутылка столового уксуса и 200-граммовая бутылка уксусной эссенции, массы уксуса в которых относятся как 9 ^ 32. Найдите концентрации столового уксуса и эссенции, учитывая, что концентрация эссенции на 72 процентных пункта больше. * * * 955. Найдите шестизначное число, которое начинается с цифры 2 и увеличивается в 3 раза, если эту цифру 2 переставить с первого места в конец. 956. Учитель задал Пете на дом задачу, номер n которой удовлетворяет следующим условиям: а) если n кратно 2, то n больше 492, но меньше 504; б) если n не кратно 3, то n больше 504, но меньше 520; в) если n не кратно 4, то n больше 520, но меньше 530. Какую задачу нужно решить Пете? 308 Правообладатель Народная асвета 957. По рисунку 308 определите массу мальчика «в утках». Рис. 308 958. Среди чисел а, b, c, d, e, f нет равных нулю. Докажите, что среди чисел abc, -def, -eca, -fdb есть и положительные, и отрицательные. Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Раздел I 12. 486 г. 13. 450 г. 14. 12 км/ч или 16— км/ч. 15. а) 3— кг; 5 4 б) ^^ кг; в) 3-13-кг; д) 12^^ кг; e)10^^ кг. 17. а) 700 м; 50 1000 000 10 10 в) 140 м; г) 1400 м; з) м; и) 1098 м или 1 49 м. 100 1000 500 18. а) 1 км = 1 000 000 000 мкм; б) 1 дм = 100 000 мкм. 20. а) 120 мин; в) 1440 мин; г) 11 мин; д) 2-29 мин; ж) 10 080 мин; 6 30 13 з) 220 мин; и) 5280 мин. 21. б) В раза больше; в) в раза 34 меньше; е) в 1— раза меньше; ж) в 168 раз меньше; з) в 1— раза меньше; и) в 8760 раз меньше обычного года, в 8784 раза 3 меньше високосного года. 22. а) 35 км/ч; б) 60 км/ч; в) 3— км/ч; 5 г) 71 км/ч; д) 54 км/ч; е) 144 км/ч; ж) 18 км/ч; з) 126 км/ч. 5 23. а) 10 м/с; б) 10 м/с; в) 100 м/с; г) 10 м/с; д) 15 м/с; е) 25 м/с. 1 дм2; в) 702 45 24. а) 1200 дм2; б) 11 дм2; в) 702 дм2; г) 1270 м2; д) 65 000 дм2; е) 325 м2. 25. д) В 31 раза больше; з) в 11 раза меньше ; и) в 800 раз 32 больше. 27. а) 1650 млн м3; б) 800 млн м3; д) —299— т''^3- е) ^ м3; з) 1 д) 20 000 1 50 000 ——— м3. 28. а) 1149 м3; в) 649 -3- 1000 500 500 000 м; м3; м3; е) м3. 29. а) 1 м3; г) 3 000 000 000 м3; 1 000 000 000 500 е) 29 м3; з) 50 м3. 34. 72 км/ч, 88 км/ч. 35. 4 км/ч, 16 км/ч. 36. а) 36; б) 12; в) 24; г) 216; д) 72; е) 144; ж) 36; з) 36; и) 36; к) 1296. 42. д) 1810; е) 830. 49. а) 1297; б) 710; в) 17 650; г) 0; д) 355; е) 16 000. 51. а) 81; б) 271; в) 6; г) 24. 54. а) 10; б) 171; 2 2 8 в) 1; г) 21; д) 245; е) 311. 56. 41 кг, 3 кг, 14 кг. 57. 63 см, 38 см, 39 см. 58. 1450 г, 370 г, 400 г. 60. 20. 62. 75°, 105°, 75°, 105°. 63. 138°, 42°. 64. 30°, 60°, 90° или 40°, 20°, 120°. 310 Правообладатель Народная асвета 65. а) 0; б) 13; в) 23; е) 37; ж) 37; з) 37. 66. 27 августа 1840 г. 67. Через 20 мин. 108. а) i3; б) 10; в) 31; г) 94; д) 2; е) l^1. 24 2 5 10 109. 600 г, 100 г. 110. 120°, 60°, 120°, 60°. 111. 40 см и 16 см. 112. а) 7 см; б) 6 см; в) 5 см; г) 214 см2. 113. 10 ч. 114. 10 ч. 115. 6211 кг. 118. а) 5; б) 5; в) 0,09; г) 0,6; д) не имеет зна-4 чения; е) 12,2; ж) 0,12; з) 18,45. 119. 77 га, 99 га. 120. 80°, 120°, 120°. 121. 61 ч, 51 ч. 122. 900 м3. 123. 12 250 р. 99 124. 280 500 р. 125. « 14,2 Гт, « 3,5 Гт. 126. 45. 128. 7 коробок, 5 коробок. 129. 20 коробок, 30 коробок. 132. а) 12; б) 21; в) 698; д) никакое; е) никакое; ж) 460; 904; з) 508. 148. г) 6,90909; д) 12,06; е) 6,9693. 163. 1920. 164. 30,5 млн м3. 165. 2,56 тыс. км2, 0,6 тыс. км2, 0,06 тыс. км2. 166. 56 ц/га, 28 ц/га. 167. 33 га, 11 га. 171. а) 105,93; б) 83,652; в) 21,46. 197. а) 1,26; д) 121,1; и) 0,01211. 198. а) 343,5; б) 21,9; з) 0,7353. 201. а) 44,31; д) 7273,2; е) 342 422. 222. а) 108 мм, 108 мм, 177 мм; б) 154 мм, 154 мм, 85 мм. 226. а) 150 °; б) 60 °; в) 300°; г) 40°; д) 345°. 228. а) 4|9; б) 221; в) ^11; г) ^. 88 6 144 64 231. 3^^ дм3. 232. а) ц!; б) 1; в) 1; г) -1. 239. 15 страниц, 16 6 2 16 12 страниц. 240. 6 дней, 15 дней. 242. в), г), д), е), и), м) можно. 244. 3 , 4, 5 или 6. 258. н) 2,1342(8217); о) 5,11458(3). 267. а) ^5; б) 13; в) 5^2; г) 2; д) нет корней; е) 11. 270. 60 км/ч. 271. « 350 г, « 120 г, « 350 г, « 3 л. 272. « 269,5 т. 273. 2782. 275. 2100 деталей. 280. 85°, 65°. 283. 35 см2, 24 см2. 284. а) 168 см3, 210 см3; б) 5 см и 6 см; в) 3 см и 7 см. 285. а) 594 см3, 168 см3; б) 6 см и 7 см; в) 9 см и 11 см. 293. а) 35; б) 110; в) И; г) I5. 294. а) 2,736; б) 4,302; ^ 3^ 2^ 168 ’ ’ ’ в) 4,05; г) 2203; д) ^23; е) 1,809. 296. а) 1,6; б) 1,8; 300 120 в) 0,3; г) 0,3; д) 1; е) 1,6; ж) |; з) 2. 297. а) 11; б) ^; в) 40; 3 80 19 311 Правообладатель Народная асвета г) 1; д) 7,8; е) 6,5. 298. б) 21,5; в) 5-3; г) 4,5; д) 411; е) 4Ц-: 22 14 38 ж) ^^; з) 4,76; и) ^^; к) ^51. 3^^ 3^ 158 305. « 5 кг, « 7,6 кг. 306. 288 с. 307. 2 см. 308. 40°. 309. 600 р., 1200 р. 312. 23 и 254. 313.2519;5039. Раздел II 323. —. 325. 63 : 211 или 211: 705. 327. 13 8 4 4 6 913 м2. 3 331. 55°, 66°. 334. а) 13,9; б) 6,55; в) ^; г) 0,7. 335. 1302 км. 14 336. Щука — 240 тыс., окунь — 150 тыс., карась — 250 тыс., лещ — 600 тыс. 340. 1500 р, 2500 р. 341. 6 тетрадей, 9 тетрадей. 342. 30 января 1922 г. 343. 25 000 р. 351. 78 см. 353. 12 700 км. 359. « 2120 мм2. 365. а) 3; б) -37; в) ^37; г) 411. 366. а) ^ 4^ 43^ 16 112 б) -3; в) 2; г) 11. 367. а) 26; б) 7,825; в) 34,27; г) 3,02; д) 0,11; 14 3 3 е) 4,5. 368. 1600 км, 1860 км. 370. 15 и 18; 371. 3,25 млн м3. 372. 9 кг. 374. 10 600 тыс. т, 9300 тыс. т, 11 100 тыс. т. 375. 2 ч, 4 ч. 376. 16 км/ч, 15 км/ч. 377. Можно: 1. 378. 4000 р., 2000 р. 392. а) 16; б) 62; в) 4; г) 1,26. 393. г) 7,5; д) 10; 9 3 е) —; ж) 0,15; з) 0,005. 394. 2 кг. 400. 32 дня. 401. 50. 75 402. 540 г. 403. На 10 дней. 404. На 2 ч. 407. а) 17; б) i; в) 1,2; г) 22; д) ^^; е) 0,5; ж) 25; з) 62. 408. 112°. 409. а) 188 мм; б) 94 мм; в) 251 мм; г) 42 мм. 410. а) 150°; б) 25°; в) 80°; г) 45°; д) 115°; е) 179°. 413. 3500 т. 419. 540 мм. 420. 1830 км. 423. а) 3^; б) 0,5; в) 1,5; г) 0,3. 425. а) 2; б) 1,5; в) 4; г) 2. 426. а) 1; б) 0,3936; в) 4; г) j3. 427. а) 23,9; б) 23,9; в) —; г) 22,5. 429. 350 кг, 400 кг. 431. 14 ц. 432. 136. 15 434. В 31 т. 438. а) 135 м3; б) 450 м3; в) 337,5 м3. 8 440. 30 га. 441. 60 см, 80 см, 80 см, 100 см. 443. 4 см, 3 см, 7 см; 32 см2, 35 см2. 444. а) 294 см3, 112 см3; б) 6 см 312 Правообладатель Народная асвета и 7 см; в) 4 см и 7 см. 445. а) 288 см3, 150 см3; б) 4 см и 12 см; в) 3 см и 10 см. 452. а) 70 см; б) 2 км 475 м; в) 35 см; г) 5 мм; д) 27 мин; е) 5 мин 6 с; ж) 3 ч 32 мин; з) 14 с; и) 2 кг 668 г; к) 2 т 513 кг; л) 51 кг; м) 710 мг. 453. а) 500; б) 1900; в) 12 300; г) 89 700; д) 14 700; е) 1 010 000. 454. а) 80 %; б) 2500 %; в) 8 %; г) 1^2 %; д) 80 %; е) 4 %. 463. 626,4 т. 478. 1,2 км. 479. На 1,1 тыс. км2. 481. а) 1,5; б) 1325; в) 0,6; г) 12; д) 3; е) 10,7; ж) 0,5; з) 6. 483. 65°, 65°, 50°, 50°. 484. 0,8 кг, 0,18 кг, 0,06 кг. 486. 2 мг; 1,6 мг. 487. 127; 34. 488. 14 км/ч, 84 км/ч. 489. 2 ч, 6 ч. 496. 156, 8 кг; 39,2 кг. 498. 24 см, 64 см. 499. а) 102 см, 16 см, 3 24 см; б) 24 см, 36 см, 54 см; в) 16 см, 24 см, 36 см; г) 19,2 см, 28,8 см, 43,2 см; д) 9,6 см, 14,4 см, 21,6 см; е) см, 7^^ см, 1b7 см. 501. а) 57; 38; 38; б) 87; 58; 58; в) 369; 246; 246; г) 4,56; 3,04; 3,04; д) 37,5; 25; 25; е) -63; -21; -21; ж) 3,88; 16^ 8^ 80 2 44; 2ii; з) 3110; 2^^; 2b3. 502. 1,35 т. 504. 36; 48; 60. 75 75 11 11 11 505. 754-я проба. 518. а) 2,2; б) 2; в) 4,5; г) 12,5. 519. а) 21 %; б) 43 %; в) 32 %; г) 67 %. 520. 83,5 %. 521. 38,75 км. 522. 17 ч 30 мин, 23 ч 20 мин. 524. 84 г, 120 г, 103 г. 527. 15 км/ч,85 км/ч. 528. 6 ч, 4 ч. 530. а) 1 или 7194,6; б) 441; в) 1419,6;г) 546; д) 112 или 8748,6. 531. 1562 г. Раздел III 552. а) 1; б) 1. 553. а) 11,8; б) 2,35; в) 42; г) 14. 555. 60 км, 102 км. 557. 800 кг, 600 кг. 558. 80 км. 559. 1,6 км, 1,75 км, 3,19 км. 561. 5,7 кг, 3,8 кг. 564. 95 т. 565. 1 ч 20 мин. 566. 22 см, 16 см, 60 см. 567. 180 кг/га и 195 кг/га. 568. 200 кг/га и 160 кг/га. 569. а) 45 л, 15 л; б) 100 км/ч, 75 км/ч. 570. а) 80 км/ч, 70 км/ч; б) 14,4 л, 25,2 л. 583. а) 10,2; б) 34; в) 8,4; г) Ц; д) 1,9; е) ^. 604. а) 8; б) 3; в) 3; г) 10,6; д) 3|; 36 75 7 е) 10 000. 607. 620 га. 613. а) 16; б) 16; в) 12. 614. 60 км. 615. 79 200 р. 616. 500. 617. 8 конфет в ряду, 13 конфет в ряду. 618. 37 га, 30 га. 619. 58 ц/га, 49 ц/га. 620. 20 и 16. 313 Правообладатель Народная асвета 621. 5 т и 6 т. 641. 26°, 77°, 77°. 642. 20°, 80°, 80°. 643. 66°, 66°, 48°. 644. 90°, 45°, 45°. 645. 30°, 30°, 120°. 646. 49°, 49°, 82°; 38°, 71°, 71°. 649. 60°, 60°, 60°. 651. д) е) 21. 654. 5950 р., 128 6200 р. 655. 100 км. 656. 5950 р., 6200 р. 657. « 433 км. 659. 0,3 млн м3, 0,39 млн м3, 4,59 млн м3. 661. 13 020 л/ч, 12 576 л/ч. 662. 180 кг/га и 195 кг/га. 663. 13 га и 10 га. 664. 270 с и 240 с. 665. 18 с/день, 20 с/день. 667. 300 км. 678. В 1582 г. 693. г) -0,5; д) -4^; е) 5; и) -18,688; к) 2,225; л) 2^^; м) -1,85. 695. а) 37; в) -70; д) 1,62; е) -17; ж) 87; и) -10y|; к) -2,95. 705. На 1 % уменьшится. 708. а) 4,1; б) 1950,07; в) 1; г) 413,6. 710. а) 2,6; б) i; в) 15; г) 30,75. 714. 3 г, 3 г. 718. На 47,5 %. 719. 2,74 ч. 720. 1,1 ч; 1,7 ч; 13,9 км/ч. 723. 1,35; 2,025. 725. За 1 ч. 727. 2000 р., 3000 р. 728. 15 карандашей, 3 ручки. 729. 42 г, 64 г. 730. 0,9 г/см1, 0,8 г/см1. 733. 5 и 357.746. а) 0,188; б) 1;в) ^^; г) 0,35;д) 37,5;е) 5-Ц. 747.3шоко- ладки, 54 000 р. 748. а) 1,26 т. 749. 1,6 мг, 0,5 мг, 0,8 мг. 751. 12 км. 752. 1200 р., 2800 р. 753. 12 ка.ра.ндаштей, 5 ручек. 756. 225 м, 54 км/ч. 772. а) 2,5; в) —; г) 41; е) -^-51; 45 3 320 ж) 8812; и) 140,63; к) 1711; л) 63,75; м) 85,44. 773. а) —^; 13 85 18 б) -1,2; в) -0,9; г) -^|; д) -1^5; е) -5,01; ж) 8^|; з) -^. 774. а) -1,25; б) -5; в) -20,375; г) -5|7. 793. а) ^; б) -5; 6 54 12 в) -5; г) -8; д) 2|; е) -4,5. 797. а) -2,6; б) 3; в) 2,4; 6 7 8 г) -3,36; д) -2; е) 1-|; ж) 2; з) з|; и) -14|; к) 55; л) 22; 3 3 6 3 м) -1. 803. а) 0,7025; б) 0,33; в) 6; г) 2. 805. 600 кг, 1000 кг. 811. 1^^, 1^^. 812. 1402 км. 813. 60 м3, 30 м3, 45 м3. 28 28 3 814. 7,5 кг, 90 кг, 6,9 кг. 816. За 84 мин. 819. 84 км/ч, 72 км/ч. 314 Правообладатель Народная асвета 820. 6 ч, 4 ч. 821. 30 км/ч, 12 км/ч. 822. 46. 831. а) 106; б) 1010; в) 1012; г) 104; д) 106; е) 1012; ж) 1015; з) 1018. 835. з) и) -2^; к) 6,76; л) 109; м) 8. 837. а) ^; б) -1; 2^ 16^^ ^ ^ 1^ 72 в) ^^; г) -53; д) i48; е) 147; ж) 66^^; з) 103 125; 15^ 1^ 2^ 5^ ^ 27 45 l1 и) 9875. 839. в) ^9j ; г) ^цj ; д) 0,04^^; е) ^ ; ж) i14; к) 841. а) d7 • d3; б) j6 • j10. 842. ж) 38; с) 316; т) 3' + 6; у) 3" + 4; ф) 3* + 8. 844. б) 35; н) 3q + ^; о) 3"; п) 34“ - 11. 845. а) 18; б) 108; е) 225; ж) -80; з) 1089; и) 15. 848. а) 54; в) 8; г) 47. 858. а) 36,5; б) ^^; в) 3; г) 0,68. 859. а) 7,8с - 3,4; г) -17,65 - 3. 860. а) -2; 14 б) 0,5. 861. 1940 км2; 6990 км2. 862. 1470 г. 863. 78 га, 28 га. 864. 152 га, 160 га, 40 га. 865. 1 кг 250 г. 866. 12 карандашей, 18 карандашей. 867. 28 коробок, 12 коробок. 868. 1552 г. 873. е) 524; з) 540; и) 53i; к) 512q. 874. а) 9; д) 2187. 875. а) 5; в) 5; г) 9; ж) 9; з) 3. 876. а) 5; б) 75; е) 16; ж) 7. 879. ж) ^; 3 169 з) ^9; и) --|. 885. а) -0,51; б) 2; в) 5; г) 17,1. 887. а) -2^3; б) -1,8; в) 60; г) -2. 888. а) 8; б) -25; в) 47; г) -i1. 891. 36 км, 150 км, 28 км. 892. 1,2 м3/с; 22,8 м3/с; 8,7 м3/с. 893. 4,2 л. 894. 85 км, 23 км, 62 км. 895. 18 км, 34 км, 30 км, 23 км. 896. 126 км2, 84 км2, 170 км2; 352 км2. 897. 55 %, 37 %, 8 %. 898. 200 г, 150 г. 899. 2 %, 5 %. 900. 48 км/ч. 917. а) 4; б) 1; в) 8; г) 100. 918. На « 40,4 %; б) на « 33,9 %. 922. 52 км. 3 923. 140 c., 162 c. 924. 21 с./день, 19 с./день. 925. 15 л. 926. 1 X 10, 3 X 8, 4 X 12, 5 х 9, 6 х 7. 927. 29 899 856. 938. а) 1; б) 250; в) -1385; г) 0,1; д) -0,2; е) 1. 939. а) 4,7; б) 2,5; в) ^^; г) 1,5. 941. 40 а. 943. « 31 %. 944. 54 км. 24 945. 24 дня. 946. 12 мин 15 с, 16 мин 20 с. 947. 4380 км, 1230 км, 900 км. 948. 235 км, 88 км, 524 км, 1415 км. 949. За 49,5 с. 950. 92°, 40°, 48°. 952. 54°, 63°, 63° или 54°, 54°, 72°. 953. 500 г, 200 г. 954. 9 %, 80 %. Правообладатель Народная асвета ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Биссектриса угла 189, 194 График зависимости линейной 296 ----обратно пропорциональной 298 ----прямо пропорциональной 295 Десятичная дробь 20 Десятичных дробей вычитание 40, 41 ----деление 54, 55 ----округление 24, 25 ----сложение 39, 40 ----сравнение 22, 23 ----умножение 50, 51 Диаграмма круговая 148, 149 Длина окружности 103, 105 Координатная плоскость 279, 280 — прямая 161 Координаты точки 279, 281 Масштаб 120 Модуль числа 175 Площадь круга 107 Преобразование десятичной дроби в обыкновенную 69 — обыкновенной дроби в десятичную 70 Пропорции основное свойство 117 Пропорциональное деление 147, 148 Пропорция 116 Процент 135 Рациональных чисел вычитание 207 ----деление 238—240 ----сложение 204—206 ---- сравнение 176 ----умножение 234—238 Степени основное свойство 256 Степень числа с натуральным показателем 255, 256 ----с нулевым показателем 257 ----с отрицательным показателем 258 ----с целым показателем 258 Степеней возведение в степень 256, 257, 271 — деление 257, 271 — умножение 256, 271 316 Правообладатель Народная асвета Треугольник равнобедренный 194, 195 — равносторонний 196 Фигуры осесимметричные 191 — центрально-симметричные 224, 226 Числа противоположные 173, 174 Числа стандартный вид 258 Число отрицательное 162 — положительное 161 — рациональное 174 — целое 175 Правообладатель Народная асвета СОДЕРЖАНИЕ Раздел I Десятичные дроби 1. Метрическая система мер....................... 5 2. Десятичные дроби............................. 20 3. Сложение и вычитание десятичных дробей....... 39 4. Умножение и деление десятичных дробей........ 48 5. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную ................. 69 6. Выражения с обыкновенными и десятичн^тми дробями........................................... 85 Раздел II Пропорции и проценты 7. Отношение величин ........................... 95 8. Длина окружности. Площадь круга ............ 103 9. Пропорция. Масштаб.......................... 116 10. Процент .................................... 135 11. Деление числа на пропорциональные части. Круговые диаграммы ................................. 147 Раздел III Рациональные числа 12. Координатная прямая......................... 159 13. Рациональные числа.......................... 173 14. Осесимметричные фигуры. Биссектриса угла.... 189 15. Сложение и вычитание рациональных чисел .... 204 16. Центрально-симметричные фигуры.............. 224 17. Умножение и деление рациональных чисел...... 234 18. Степень с целым показателем ................ 255 19. Действия над степенями с целыми показателями . . . . 271 20. Координатная плоскость...................... 279 21. Графики..................................... 290 Ответы ......................................... 310 Предметный указатель ........................... 316 Правообладатель Народная асвета Учебное издание Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 6 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 4-е издание, исправленное и дополненное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Г. А. Бабаева. Технические рисунки А. Л. Латотина. Художественный редактор А.-М. А. Железко . Технический редактор И. И. Дубровская. Компьютерная верстка Г. А. Дудко,И. И.Дубровской. Корректоры Е. И. Даниленко, О. С. Козицкая, Е. П. Тхир, В. С. Бабеня, А. В. Алешко. Подписано в печать 10.02.2014. Формат 60Х901/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 20 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 11,55 + 0,25 форз. Тираж 3750 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/2 от 08.07.2013. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Правообладатель Народная асвета