Учебник Математика 5 класс Тарасенкова Богатырева

О ", Й J -г' ' I ■ "1' с ■- 1’=авжд- г^'- '■ '■ Н. А. Тарасенкова, И. Н. Богатырёва, О. П. Бочко, О. Н. Коломиец, 3. А. Сердюк Учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений с обучением на русском языке Рекомендовано Министерством образования и науки, молодёжи и спорта Украины КИЕВ Видавничий д|’м «ОСВ1ТА» 2013 ДОРОГИЕ УЧЕНИКИ! Вы уже четыре года изучали математику и узнали много интересного и познавательного. А ещё больше нового вас ожидает впереди. Математические знания люди используют и на работе, и в повседневной жизни. В наше время невозможно представить специалиста любой отрасли без математических знаний. Чтобы освоить математику, необходимы умения считать, логически мыслить, сравнивать, делать выводы, задавать вопросы и отвечать на них, решать задачи и обосновывать свои рассуждения. Все эти умения вы сможете развить, если будете настойчиво и ответственно работать на уроках и дома. А учебник вам в этом поможет. Как изучать математику по этому учебнику? Весь материал разделён на 8 разделов, а разделы — на параграфы. В каждом параграфе содержится теоретический материал и задачи. Изучая теорию, особое внимание обращайте на текст в рамке. Это самые важные формулировки, которые нужно понять, запомнить и уметь применять при решении задач. Курсивом выделены термины (научные названия математических понятий). Проверить, как вы усвоили материал параграфа, и повторить его помогут вопросы из рубрики «Вспомните главное», приведённые после каждого параграфа. А после каждого раздела помещены контрольные вопросы и тестовые задания, по которым можно проверить, как вы усвоили тему. Задачи учебника имеют четыре уровня сложности. Номера задач дачального уровня сложности обозначены штрихом {'). Это подготовительные упражнения для тех, кто не уверен, что хорошо усвоил теоретический материал. Номера с кружочками (°) обозначают задачи среднего уровня сложности. Их надо уметь решать всем для дальнейшего изучения математики. Номера задач достаточного уровня сложности не имеют отметок у номера. Научившись решать их, вы сможете уверенно демонстрировать достаточный уровень знаний. Звёздочка-■ш (*) обозначены задачи высокого уровня сложности. Если не сможете решить их сразу, не расстраивайтесь — проявите терпение и настойчивость. Радость от решения сложной задачи будет вам наградой. Воспользовавшись рубрикой «Узнайте больше», вы можете углубить свои знания. В учебнике используются специальные значки (пиктограммы). Они помогут вам лучше сориентироваться в учебном материале. Желаем вам успехов в познании нового и удовольствия от изучения математики! СЧЕТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА Вь; узнаете: Ц какие числа называются натуральными; ф- как пользоваться десятичной системой счисления; ф; ЧТО такое координатный луч и как с его помощью сравнивать натуральные числа; Ф что такое прямая, луч, отрезок, угол; ф как измерять отрезки и углы; ф чем отличаются числовое выражение и равенство; ф как применять изученный материал на практике СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА § 1. ПРЕДМЕТЫ И ЕДИНИЦЫ СЧЁТА Посмотрите на рисунки 1—3. Вы видите стопку книг (рис. 1), яблоки в корзине (рис. 2), несколько копеек (рис. 3). Отвечая на вопрос «Сколько?», вы посчитаете книги, яблоки или монетки и выразите их количество каким-то числом. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Числа, используемые для счёта, называются натуральными. Вы знаете, что единице счёта соответствует натуральное число 1. Двум единицам счёта — натуральное число 2 и т. д. Каждому количеству предметов счёта соответствует некоторое натуральное число. Отсутствие предметов счёта выражают числом 0. Поскольку считать предметы никогда не начинают с 0, то число 0 не относят к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральным числом является число 1. ? Существует ли наибольшее натуральное число? Нет. Каким бы большим не было такое число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число. Запишем несколько первых последовательных натуральных чисел и поставим многоточие. Оно означает, что дальше запись можно продолжать бесконечно; 1;2;3;4;5;6;... Получили запись натурального ряда чисел. 5 6 Глава 1 Обратите внимание: 1) наименьшим натуральным числом является число 1; 2) наибольшего натурального числа не существует; 3) каждое число натурального ряда, начиная со второго, на 1 больше предыдущего; 4) число О не является натуральным числом. Посмотрите на рисунки 4—6. Вы видите 105 штук монет (рис. 4), 1 пару перчаток (рис. 5), 7 половин орехов (рис, 6). Считать можно отдельные предметы, группы предметов или части предметов. При этом используют единицы счёта с наименованием того, что считают: штука, пара, пяток, десяток, половина, треть, четверть и другие. 105 штук Рис. 4 1 пара Рис. 5 7 половин Рис. 6 При счёте людей название «штука» заменяют словом «лицо» или «человек». Например, о количестве учеников в классе говорят: «30 человек» или «30 учеников». Записи «105 штук», «1 пара», «7 половин», «30 человек» называют именованными числами. Для счёта пользуются названиями чисел, а для записи чисел — особыми знаками для их изображения. Определённые знаки образуют числовой алфавит и называются цифрами. Мы пользуемся числовым алфавитом, содержащим десять цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Этот числовой алфавит попал в Европу из арабских стран, поэтому его цифры называют арабскими. Однако СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 7 известно, что их гораздо раньше использовали в Индии, и именно оттуда они попали в арабские страны. Правила, по которым образуют числа, называют системой счисления, или нумерацией. Вы уже знаете, что в используемой нами системе счисления десять предметов счёта образуют десяток. Десять десятков составляют сотню, десять сотен составляют тысячу и т. д. Поэтому эту систему счисления называют десятичной. Десятичная система является позиционной. Если изменить место (позицию) цифры в записи числа, то число изменится. Например, если в числе 251 поменять позицию цифры 5, то получим или 521, или 215. А это уже другие числа. В записи числа есть классы, а в каждом классе — по три разряда: единицы этого класса, его десятки и сотни. Некоторые классы вы уже знаете — это класс единиц, класс тысяч и класс миллионов. После класса миллионов идёт класс миллиардов, за ним — класс триллионов, потом класс квадриллионов, класс квинтиллионов, класс секстиллионов и т. д. Количество классов можно увеличивать и дальше. Но на практике достаточно знать первые четыре класса. В таблице 1 записано число сто двадцать три миллиарда четыреста пять миллионов шестьсот семьдесят восемь тысяч девятьсот восемьдесят семь. Вы видите, что У данного числа отсутствуют десятки миллионов, поэтому в разряде десятков класса миллионов стоит цифра 0. Таблица 1 Класс Миллиарды Миллионы Тысячи Единицы Разряд I Н о о 1- сс о 0) jn S X X 5 X X 1- о о о: о Ф J3 ZT S I 5 S X 1- о о 1- □: о ф м и S X X 5 X I н о о S 1- о: о Ф X X X 5 Число 1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 8 7 8 Глава 1 ♦ Задача. Прочитайте число 3 492 503 072. Решение. 1. Разобьём запись числа на классы, двигаясь справа налево: 3 492 503 072. 2. Назовём классы, имеющиеся в записи числа, начиная с класса единиц: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды. 3. Назовём число, содержащееся в каждом классе, начиная с класса единиц: в классе единиц — 72; в классе тысяч — 503; в классе миллионов — 492; в классе миллиардов — 3. 4. Прочитаем данное число, начиная с самого старшего класса: три миллиарда четыреста девяносто два миллиона пятьсот три тысячи семьдесят два. Обратите внимание: чтобы прочитать многозначное число: 1) разбейте запись числа справа налево на классы; 2) назовите имеющиеся классы, начиная с класса единиц; 3) начиная с самого старшего класса, прочитайте числа, содержащиеся в каждом классе, вместе с на- i званием класса (кроме названия класса единиц). | В десятичной системе счисления каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число 5248 состоит из 5 тысяч, 2 сотен, 4 десятков и 8 единиц, поэтому: 5248 = 5000 + 200 + 40 + 8 = = 5 • 1000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1. _ Узнайте больше 1. Название натуральных чисел происходит от латинского слова natura, в переводе означающее «природа». 2. Происхождение десятичной системы счисления связано с количеством пальцев на двух руках человека. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 3. Кроме десятичной системы счисления в наше время используют ещё одну — римскую, изобретённую древними римлянами. Для записи чисел в этой системе используют римские шифры. 1_ V_ 1 5 X 10 50 С_ 100 D М 500 1000 В этой системе натуральные числа записывают с помощью повторения римских цифр. Например, 3 — III, 20 — XX. Чаще всего римские цифры используют для обозначения порядковых чисел. Чтобы не писать 1-й, 2-й, 3-й, пишут I, II, III и читают «первый», «второй», «третий». 4, Мы пользуемся остатками и других систем счисления — двенадцатиричной и шестидесятиричной. Например, год мы разделяем на 12 месяцев, столовые приборы считаем дюжинами, полудюжинами. А дюжина — это 12 штук. Час содержит 60 минут, минута — 60 секунд и т. д. Vi ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Какие числа называются натуральными? 2 Объясните различия между цифрой и числом. 3 Назовите наименьшее натуральное число. Существует ли наибольшее натуральное число? 4 Какие числа называют именованными? Ь Почему нашу систему счисления называют десятичной? 6 В чём суть позиционной записи чисел? 7 Назовите в порядке возрастания четыре класса в записи натуральных чисел. 8 Сколько разрядов в классе: 1) единиц; 2) тысяч; 3) миллионов; 4) миллиардов? Назовите их. Q РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Сколько страниц в вашем: 1) дневнике, 2) учебнике по математике? Какие числа вы использовали во время счёта? Считают ли нуль натуральным числом? Ответ объясните. Верно ли, что в натуральном ряде чисел есть: 1) наименьшее число, 2) наибольшее число? 10 Глава 1 Для каждого ли натурального числа можно назвать: 1) предыдущее число; 2) последующее число? С помощью именованных чисел запишите количество: 1) парт в вашем классе; 2) пар учеников, сидящих за партами в вашем классе; 3) пятиклассников в вашей школе; 4) странице вашем учебнике по математике. Назовите первые десять чисел натурального ряда. Можно ли считать натуральным рядом данный ряд чисел: 1) 1;2;3;5;6;...; 3) 3; 4; 5; 6; 7;...; 2) 0; 1;2;3;4;5;...; 4) 1; 2; 3; 4; 5;...? Ответ объясните. Верно ли записано число в виде суммы разрядных слагаемых: 1) 451 =4- 100 + 5 • 10+ 1 ■ 1; 2) 302 = 3- 100 + 2- 10; 3) 8195 = 8-1000+ 1-100 + 9-10 + 5-1? Прочитайте число: 1) 34 902; 3)56 123 098; 5)4 523 475 234; 2) 102 091; 4)55 000 555; 6)10 000 000 000. Сколько цифр использовано в записи числа? Сколько различных цифр использовано в записи числа? Объясните, почему ответы в первом и втором случаях отличаются. Какую позицию занимает цифра 7 в записи числа: 1)1178; 2)1718; 3)1187; 4)7118? Прочитайте число: 1) 15; 3)6549; 5)899 999; 2) 438; 4)29 899; 6)2 841 500 000. Какое натуральное число следует за данным числом? = Прочитайте число: 1) 30; 3)4261; 5)762 809; 7)1 725 999; 2) 169; 4)80 000; 6)4 000 100; 8)499 569110. Какое натуральное число предшествуует данному числу? Сколько чисел натурального ряда размещено между числами: 1)10 и 19; 2) 99 и 110; 3)451 и 471; 4)1000и1025? По какому правилу можно опредлить количество чисел? Сколько чисел натурального ряда размещено: 1) от 10 до 23; 3) от 245 до 251; 2) от 57 до 68; 4) от 1231 до 1245? По какому правилу можно определить количество чисел? СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 11 3) трёхзначных чисел; 4) четырёхзначных чисел? 4) 700 миллионов 70 тысяч 7; 5) 12 миллиардов 12 тысяч 12; 6) 52 миллиона 52 тысячи. Выпишите наименьшее и наибольшее числа из: 1) однозначных натуральных чисел; 2) двузначных натуральных чисел; 3) трёхзначных натуральных чисел; 4) пятизначных натуральных чисел. Сколько в натуральном ряде; 1) однозначных чисел; 2) двузначных чисел; Запишите число, в котором: 1) 52 тысячи 435; 2) 4 миллиона 410 тысяч 561; 3) 16 миллионов 28 тысяч 238; Запишите число, в котором: 1) 216 тысяч 290; 2) 48 миллионов 534 тысячи 308; 3) 32 миллиарда 17 миллионов 34 тысячи 109; 4) 46 миллиардов 46 миллионов 46 тысяч 46. Запишите цифрами число: 1) пятьсот двадцать три; 2) две тысячи четыреста восемьдесят один; 3) сорок три тысячи|шестьдесят восемь; 4) сто двадцать тысяч двадцать; 5) четырнадцать миллионов две тысячи двадцать пять; 6) сто семьдесят два миллиона семьдесят две тысячи. Запишите цифрами число: 1) восемьсот сорок пять; 2) шестьдесят три тысячи восемьсот два; 3) семнадцать миллиардов семнадцать тысяч семнадцать; 4) двадцать один миллион двести десять тысяч двадцать один. Запишите четыре раза подряд число: 1) 28; 2) 409. Прочитайте полученное число. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых; 1) 543; 3)7019; 5)48012514; 2) 207; 4)4 754 002; 6)3 003 030 300. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых: 1) 712; 3)2105; '5)904 520 451; 2) 470; 4)678 021; 6)1 900190 019 109. Среди десятизначных чисел, в записи каждого из которых все цифры разные, укажите наибольшее и наименьшее. 12 Глава 1 В 5-А классе учатся 30 учеников. Сколько парт надо поставить в классной комнате, если за партой сидят два ученика? На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? Бабушка решила угостить трёх внуков орехами поровну. Сколько орехов получит каждый внук, если у бабушки 15 орехов? Запишите цифрами числа, встречающиеся в тексте: «Днепр — третья по длине река Европы после Волги и Дуная, имеет самое длинное русло в пределах Украины. Длина Днепра в естественном состоянии составляла две тысячи двести восемьдесят пять километров. После постройки каскада водохранилищ, когда во многих местах выпрямили фарватер, его длина стала две тысячи двести один километр. А в пределах Украины — девятьсот восемьдесят один километр. Русло Днепра делится на три части: длина верхнего течения (от истока до Киева) составляет тысячу триста двадцать километров, длина средней части (от Киева до Запорожья) — пятьсот пятьдесят километров, а длина нижней части (от Запорожья до устья) — триста двадцать шесть километров». По данным таблицы 2 найдите неизвестные числа. Таблица 2 а 15 101 С1 + ^ 54 235 а - 1 64 419 Для натурального числа а запишите последующие четыре натуральных числа. Посчитайте, сколько раз встречается цифра 1 в записях всех натуральных чисел от 1 до 100. А Посчитайте, сколько раз встречается цифра 9 в записях всех натуральных чисел от 1 до 100. Посчитайте, какая цифра в записи всех натуральных чисел от 1 до 100 встречается чаще всего, а какая — реже всего. А В доме 160 квартир. Сколько раз на дверях квартир встре-' чается цифра: 1)5; 2)7? Сколько существует двузначных чисел, составленных из цифр 1,2, 3,4, у которых цифры записаны в порядке возрастания? Запишите все четырёхзначные числа, состоящие из цифр 1, 2, 3, 4. Сколько чисел вы получили? Запишите все четырёх- СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 13 S значные числа, состоящие из цифр О, 1,2, 3. Сколько чисел вы получили? Объясните, почему ответы в первом и втором случаях отличаются. Восьмизначное натуральное число записано двумя единицами, двумя двойками, двумя тройками и двумя четвёрками. Между единицами стоит одна цифра, между двойками — две, между тройками — три, между четвёрками — четыре. Найдите это число. Сколько таких чисел можно записать? Для нумерации страниц книги «Занимательная математика» понадобилось 324 цифры. Сколько страниц в этой книге? В книге 825 страниц. Сколько цифр понадобилось для нумерации всех её страниц? Найдите закономерность и запишите два последующих числа: 1) 1,3,5,7, ...; 3)5,12,19,26,...; 2) 2, 4, 6, 8, ...; 4) 800, 400, 200, 100_ В числе 111 171 111 вычеркните три цифры так, чтобы полученное число было: 1) наибольшим; 2) наименьшим. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 42. Запишите подряд число, месяц и год своего рождения. Какое число вы получили? Прочитайте его. 43. Учебный год начинается 1 сентября, а зимние каникулы, как правило, — 25 декабря. Есть ещё неделя каникул осенью. Посчитайте, сколько учебных дней в первом семестре. ]2 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 44. Вычислите устно: 1) (24 : 8+ 14) ■ 2- 15; 45. Вычислите: 1) (542- 128) : 1.8 + 24 ■ 15; 2)(45 + 5): 10-4- 12. 2) (32 ■ 16 + 38) : 11 -25. 46. На праздничную линейку по случаю 1 сентября пришли 28 учеников 5-А ю1асса, 27 учеников 5-Б класса и 32 ученика 5-В класса. Сколько пятиклассников было на праздничной линейке? 47. В летнем лагере «Мечта» в первую смену отдохнуло 85 детей, во вторую — на 15 детей больше, чем в первую смену, а в третью — на 20 детей меньше, чем во вторую смену. Сколько детей отдохнуло в лагере «Мечта» этим летом? 14 r~ Глава 1 -----^ § 2. ПРЯМАЯ, ЛУЧ, ОТРЕЗОК. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ На рисунке 7 вы видите л-инию высоковольтной электропередачи, а на рисунке 8 ^— автомагистраль. Они вытянуты, как струна, и ни начала, ни конца их не видно. Схематично каждую из них можно изобразить прямой линией (рис. 9). Рис. 8 Рис. 9 Геометрическая фигура прямая — бесконечна. Понятно, что на бумаге можно изобразить лишь какую-то часть прямой. Чтобы провести прямую, пользуются линейкой (рис. 10). т/ Обозначают прямую маленькой буквой латинского алфавита, например а, и записывают: прямая а. На рисунке 11 вы видите прямые а, Ьис. Каждая прямая состоит из точек (рис. 12). а Рис. 1 1 Рис. 12 Рис. '10 Точка — основная геометрическая фигура. Чтобы изобразить точку, достаточно лишъ прикоснуться карандашом к бумаге (рис. 13). / Рис. 13 Ъ СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 15 %Jl Обозначают точки большими буквами С , латинского алфавита, например А, и записывают: точка А. На рисунке 14 вы видите точки А, В и С. Посмотрите на рисунки 15 и 16. Вы ви- Рис. 14 дите, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых (рис. 15), но через две точки — только одну прямую (рис. 16). В 11 1 i I { i ! I! I I I I I I I I I 111 Г| I 11 I I l'1'М I I I I I I i I i I I ! I I I ОО 1 2 3 4 Рис. 15 Рис. 16 Запомните! Через две точки можно провести только одну прямую. Благодаря такому свойству прямую можно обозначать двумя большими буквами — названиями любых двух точек этой прямой. На рисунке 17 вы видите прямую АВ. Кратко говорят и записывают: прямая АВ. Проведем часть прямой по одну сторону от точки (1>ис. 18). Получили геометрическую фигуру луч. Данная точка называется началом луча. Луч обозначают двумя буквами — названием начала и названием любой другой его точки. На рисунке 19 вы нидите луч ВС. Л В В • • • • прямая АВ луч Рис. 17 Рис. 18 %) Кратко говорят и записывают: луч ВС. луч ВС Рис. 19 16 D A R Глава 1 S В отрезок Рис. 20 отрезок CD Рис. 21 Рис. 22 ? Можно ли лучу на рисунке 19 дать название СВ? Нет, т. к. точка С не является началом этого луча. Проведём часть прямой, соединяющую две точки (рис. 20). Получили геометрическую фигуру отрезок. Данные точки называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами — названиями его концов. На рисунке 21 вы видите отрезок CD. Кратко говорят и записывають; отрезок CD. Обратите внимание: I луч и отрезок — это части прямой. Проведём прямую АВ и обозначим на ней две точки: R и S (рис. 22). Получим три части прямой АВ — два луча ВА и SB и отрезок RS. В отличие от прямой и луча, отрезок характеризует его длина. Для и-змерения отрезков пользуются линейкой с делениями. На рисунке 23 вы видите отрезок MN длиной 4 см, или 40 мм. М N ---|М1 I I I П .'I I ОО 1 I I I I I I М I I I 1 I I МП Рис. 23 Кратко записывают: MN = 4 см или MN = 40 мм, и говорят: «Отрезок MN равен четырём сантиметрам» или «Отрезок MN равен сорока миллиметрам». ? Верно ли, что 4 см = 40 мм? Верно, т. к. это — длина одного и того же отрезка, выраженная с помощью различных единиц измерения длины. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 17 - В используемой нами метрической системе мер длину измеряют миллиметрами (мм), сантиметрами (см), метрами (м), километрами (км) и т. д. При этом: 1см = 10 мм; 1м = 100см; 1 км = 1000 м. ^ Точка К делит отрезок АВ на два отрезка — АК ^ \лКВ (рис. 24).Alir = 20MM,iirB = 3cM. Какова длина отрезка АВ в сантиметрах? А в миллиметрах? А К В Рис. 24 20 иим - 2 ом. ЛВ-ЛК\КБ-2-\-3-S(qm). S'CiAi' — S0<А4ауЫ/. ОтЛопъ: jiB-Scuio luam jiS-SOi^uM. #> Обратите внимание: 1) длина отрезка равна сумме длин его частей; 2) длину отрезка выражают именованным числом; 3) чтобы найти длину отрезка, надо свести длины его частей к одной единице измерения и полученные значения сложить. На практике приходится не только измерять отрезки, но и определять расстояние между двумя точками. Понятно, что на местности дорога из пункта А в пункт В может и не пролегать по прямой. Но в математике расстояние между двумя точками всегда определяют как длину отрезка с концами в этих точках. 2 Математика, Г) кл. 18 Глава 1 Запомните! Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка с концами в этих точках. А В • 3 см а М N • 3 см • С D • 4 см • Для сравнения отрезков пользуются их длинами. На рисунке 25 вы видите, что АВ = 3 см и MN = 3 см, поэтому отрезки АВ и MN — равны. Отрезок CD = 4 см, поэтому он больше отрезка АВ. Соответственно, отрезок АВ меньше отрезка CD. Коротко записывают: АВ - MN, CD > АВ, АВ < CD. На практике для сравнения отрезков часто пользуются способом наложения (рис. 26). Рис. 25 Рис. 26 Запомните! 1. Равные отрезки имеют равные длины. 2. Из двух отрезков больше тот, длина которого больше. Узнайте больше 1. Геометрия — наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с шотребностями практической деятельности человека. Считают, что геометрия возникла в Египте, а оттуда попала в Грецию. 2. Точка — основное понятие геометрии. Слово «точка» является переводом латинского слова «рипдо», что означает «тыкаю», «прикасаюсь». Слово «линия» происходит от латинского слова «Нпеа», ч,то означает «лён», «льняная нить». Иногда это слово трактуется как «прямая линия». Отсюда название устройства для черчения прямых линий — «линейка». СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 19 3. За единицу измерения можно принять отрезок любой длины. На рисунках вы видите примеры некоторых единиц измерения, используемых и сейчас в других странах, например, дюйм в Великобритании и США (рис. 27), цунь в Китае (рис. 28). В старину славянские народы использовали, например, такие единицы длины, как ноготь, локоть и другие. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Что такое прямая? Точка? Луч? Отрезок? Как их изобразить? 2 Сколько прямых можно провести через две точки? 3 Что называется лучом? Началом луча? 4. Что называется отрезком? Концами отрезка? 5. Что означает найти длину отрезка? 6 Как найти длину отрезка, если известны длины его частей? 7. Как сравнивают два отрезка? 8 Какими способами можно сравнить отрезки? □ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I Сколько прямых можно провести через: 1) точки А и В; 2) точку С? Назовите-все лучи, изображённые на рисунке 29. М N К Р • • • Рис. 29 Таня объясняла, как получить отрезок: «Если точки А и В соединить линией, получим отрезок АВ». Дестаточно ли такого объяснения? На прямой CD обозначили точки М, N v\P (рис. 30). Сколько отрезков получили? Назовите эти отрезки. СМ N Р D Рис. 30 20 Главе 1 " Сравните ;У1ины отрезков, изображённых на рисунке 31: 1)АВиСД 2)ABv\MN\ Z)CDv\PK\ A)MNv\PK. Назовите са1^|ый длинный отрезок. В К РиС. 31' Сравните длины отрезков, изображённых на рисунке 32: 1)АВиСД 2)АВ\лРН\ Z)CDv\MN\ A)FHv\MN. Назовите самый короткий отрезок. Найдите длину х на рисунках 33—36. А 8 см В4смС В X С х D к X м X РиС. 33 12 см N 16 см РиС. 35 10 см Рис. 34 МхАхВБ см CxN • • • • • V_____________У 14 см Рис. 36 С помощьгО линейки постройте отрезок длиной: 1)5 см; 2) 7 см 5 мм; 3)35 мм; 4) 1 дм. Di. С помощь10 линейки постройте отрезок длиной: 1)4 см; 2) 2 см 5 мм; 3)1 дм 8 мм. Точка С обозначена на отрезке АВ. По данным таблицы 3 найдите неизвестные величины. Таблица 3 АВ 25 см 47 мм а с АС 12 см 1 см ' Ъ т СВ 3 см 38 мм d п СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 21 Постройте отрезок АВ длиной 4 см и отрезок CD, который длиннее отрезка АВ на 2 см 5 мм. Постройте отрезок CD длиной 6 см и отрезок MN длиной 2 см. Постройте: 1) отрезок АВ, длина которого равна сумме длин отрезков CD и MN\ 2) отрезок КР, длина которого равна разности длин отрезков CD и MN. Постройте отрезок CD длиной 9 см 'и отрезок MN, который короче отрезка CD в 3 раза. Проведите все возможные отрезки с концами в точках А, B,Cv\D (рис. 37). Запишите полученные отрезки. В N М К С L D Рис. 37 Рис. 38 ^ Проведите все возможные отрезки с концами в точках М, ' N, К, Р \л L (рис. 38). Запишите полученные отрезки. На прямой от точки А отложили отрезки АВ и АС так, что точки В и С находятся на данной прямой по разные стороны от точки А. АВ = 24 см, АС = 3 дм. Найдите длину отрезка ВС. На прямой от точки О сначала отложили отрезок ОА длиной 15 см, а потом отрезок АВ длиной 12 см. Найдите длину отрезка ОВ. Сколько решений имеет задача? ^ На прямой даны три точки: М, N \л К. MN = 64 см, NK = ' =4дм. Найдите длину отрезка MiiC. Рассмотрите два случая. ь На рисунке 39 AZ) = 36 см, АВ =18 см, CD =10 см. Найдите длины отрезков ВС, АС и BD. ^ На рисунке 40 CD = 48 см, СМ - 32 см, KD = 24 см. ” Найдите длины отрезков СК, MD и КМ. В С D С К М D Рис. 39 Рис. 40 22 Глава 1 Е Таня разложила на столе 5 пуговиц по прямой на расстоянии 3 см друг от друга. На каком расстоянии находится первая пуговица от последней? Размерами пуговиц пренебречь. Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбики. Старт был дан от первого столбика. Через 12 мин Серёжа находился возле четвёртого столбика. Через сколько минут от начала забега Серёжа будет около седьмого столбика, если его скорость постоянна? Саша и Коля измерили расстояние между точками А, В и С. После этого Саша сказал: «АВ = 1, ВС = 3», а Николай: «АВ = 8, ВС = 24». Оба мальчика утверждали, что они провели измерениЯ|Правильно. Может ли такое быть? Петя начертил 3 прямые и обозначил на них 6 точек. Оказалось, что на каждой прямой он обозначил 3 точки. Нарисуйте,-как он это сделал. У Хани есть два карандаша длиной 7 см и 17см. Как с их помощью отмерить Т см, если карандаши ломать нельзя? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 73. Измерьте длину и ширину: 1) тетради; 2) парты. 74. Дедушка решил построить забор длиной 20 м. Помогите ему вычислить, сколько столбиков для этого понадобится, если ставить их нужно на расстоянии 2 м друг от друга. Размерами столбиков пренебречь. 75. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части! длиной 15 см и 1i2 см, но так, чтобы обрезков не было. Как это сделать? Сколько решений имеет задача? 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 76. Вычислите устно, какое число нужно вписать в-последнюю клеточку цепочки: 1) 44 -34 8 + 20 : 10 СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 2) 23 27 + 23 : 5 12 77. Вычислите: 1) (251 + 149): 50-96: 12; 2) 124 + 26 ■ (1071 : 5-1-14). 78. За три одинаковых журнала заплатили 25 прн 50 к. Сколько стоят 5 таких журналов? 79. Бабушка купила внукам 2 порции мороженого, заплатив по 3 грн 50 к. за каждую. Сколько сдачи она получила с 10 грн? f------ § 3. КООРДИНАТНЫЙ ЛУЧ Запишем натуральный ряд чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ... Числу 1 поставим в соответствие отрезок любой длины (рис. 41). Примем этот отрезок за единичный отрезок. Его длина равна 1 ед. Тогда числу 2 соответствует отрезок, вдвое больший, чем единичный отрезок, числу 3 — втрое больший, чем единичный отрезок и т. д. Итак, каждому натуральному числу п будет соответствовать отрезок, в п раз боль- 1 . . ший, чем единичный отрезок. На луче ОХ от его начала О по- 2 • • следовательно отложим единичный отрезок (рис. 42), потом от- 3 , . резок, соответствующий числу 2, числу 3 и т. д. Рис. 41 О Рис. 42 24 Глава 1 ? Можно ли на луче отложить самый длинный отрезок, соответствующий натуральному числу? Нет. Разместим натуральный ряд чисел возле точек на луче ОХ так, как показано на рисунке 43. В конце его изображения поставим стрелку. Она, так же, как и три точки в записи натурального ряда, показывает, что в этом направлении натуральные числа возрастают бесконечно. Считают, что стрелка указывает направление отсчёта, а началу луча О соответствует число 0. О X о 1 4 5 Рис. 43 Посмотрите на рисунок 43. Вы видите, что любые две соседние точки на луче ОХ являются концами отрезка, равного единичному отрезку. Действительно: 2 - 1 = = 1 (ед.),..., 7-6 = 1 (ед.),... Это означает, что на луче ОХ введена шкала, то есть указано начало отсчёта, направление отсчёта и деление. Цена деления составляет 1 ед. и равна длине выбранного единичного отрезка. Для удобства концы делений на такой шкале изображают чёрточками (рис. 44). О + 4 5 Рис. 44 Запомните! Луч, на котором введена шкала, называется координатным лучом. Координатный луч является примером бесконечной шкалы. На рисунке 45 точке D соответствует число 5 на к оор-динатном луче ОХ. Это число называют координатой точки D. о 1 2 3 6 7 СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА О.,, 25 D -Ч- X О 1 2 3 4 5 Рис, 45 Кратко записывают: D (5). Читают: «Точка D с координатой 5». ? Что показывает координата точки D на координатном луче 0X7 Количество единичных отрезков, содержащихся в отрезке OD, или расстояние от точки D до начала О координатного луча ОХ. *> Обратите внимание: 1) каждой точке на координатном луче соответствует единственная координата; 2) чем больше координата точки, тем больше расстояние от неё до начала координатного луча. 'Найдите расстояние между точками А (2) и.В (7). 1> I, О J 0 1 2 3 4 5 8 со ч-----> 0А-2€^. 08 А8 ^08 - ОА^1- 2^S(€f.) OfTbSmi; А8~5е^. Ий L Обратите внимание: чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно от большей координаты отнять меньшую координату. 6 7 26 Глава 1 Таким способом часто пользуются на практике. На рисунке 46 вы видите, как находят длину ключа с помощью линейки с отломанными краями. ЛТТТГГТТ ’ч^ Рис. 46 ? Можно ли линейку с делениями считать координатным лучом? Нет, потому что она имеет ограниченную длину и на ней нельзя разместить натуральный ряд чисел. ........ ОО 1 пттрттпт 4 Рис.47 '-V » Рис. 48 Линейка с делениями из ваших принадлежностей (рис. 47) является примером конечной шкалы. На ней цена большого деления равна 1 см, а малого — 1 мм. Вам приходилось встречать и другие шкалы; термометр для измерения температуры воздуха (рис. 48); спидометр, показывающий скорость автомобиля (рис. 49); часы со стрелками (рис. 50). I- 4 Рис. 49 Рис. 50 Рис.51 ? Являются ли часы на рисунке 51 примером шкалы? Нет. На них нет делений. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 27 Узнайте больше 1. Слово «шкала» происходит от итальянского sca/a, что означает «ступеньки» или «линейка». 2. Одной из первых шкал считают солнечные часы (рис. 52). Это расположенный на ровной поверхности циферблат, на контуре которого размещается 12 штрихов (по количеству знаков зодиака), а в центре — вертикальный! стержень. Вслед за Солнцем, движущимся по небосводу, перемещалась и тень от стержня, показывая время. Основным недостатком солнечных часов было то, что они «работа- Рис. 52 ли» только днём и только в солнечную погоду. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Какой отрезок называется единичным? 2 Какой луч называется координатным? 3 Как построить координатный луч? 4, Что показывает координата точки на координатном луче? 5. Как найти положение точки на координатном луче по её координате? 6 Как найти расстояние между двумя точками по их координатам? 7 Что такое шкала? Приведите примеры. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ На рисунке 53 назовите: 1) начало координатного луча; 2) отрезок, соответствующий единичному отрезку; 3) координаты точек В, С, D. О А -Н- в -ч- с -ч- D -ч- X 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 53 28 Глава 1 с 1 с ,, 50 50 J 50 40 а 40 40 30 а 30 "3 30 20 20 20 10 10 Я 0 0 ж ° а б ™J в Рис. 54 По показателям термометра для измерения температуры воздуха на рисунке 54, а—в определите, какой была темте-ратура воздуха в течение дня. Назовите координаты трёх точек, расположенных на координатном луче правее точки А(5), и координаты трёх точек, лежащих левее этой точки. По показателям спидометра на рисунке 55, а—в определите, с какой скоростью двигался автомобиль. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите одму клеточку тетради. Отметьте на этом луче точки А(0), В{2), С(5), D(8), К(9), E{^2). Назовите все полученные отрезки'и найдите их длины. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите одну клеточку тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), Л^(4), F(6), К{7), L(10), Р(11). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины. Начертите координатный луч', единичный отрезок которого равен трём клеточкам тетради. Отметьте на этом луче точки M{)),N{3),K(4),L{5). Рис. 55 С СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 29 Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 1 см. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), С(3), D(5). Определите координаты точек, изображённых на рисунке 56. О К м ч- ^—h N Ч- Ч—h р -ч- Н—h X о 1 Рис. 56 Определите координаты точек, изображённых на рисунке"^?. О ч о 1 А ч- в ч- Н—h с ч чч D ч- ч—h X Рис. 57 Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 58 О Ч А Ч- Ч—h в ч- ч ч ч D ч- X о 4 Рис. 58 I Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на на рисунке 59. О , К ч- ч N Ч- м ч— ч Р X ч-^ о 2 Рис. 59 Запишите координаты точек, расположенных на расстоянии; 1) 2 ед. от точки А(6); 3) 3 ед. отточки С(2); 2) 4 ед. от точки Б(9); 4) 5 ед. от точки N{ 12). А Запишите координаты точек, расположенных на расстоянии: 1) 1 ед. от точки М(7); 2) 8 ед. от точки К(8). Найдите|расстояние между точками: 1)А(4>иВ(9); 2)С(2) иБ(12); 3) М(23) и N(45). А ■ Найдите расстояние между точками: ^ 1)А(6)иЛГ(11); 2)В(14)иМ(20); 3) С(34) и N(52). '' Начертите в тетради отрезок длиной 14 см. Под одним из его концов поставьте число О, а под другим — 14. Разделите отрезок на 7 равных частей и обозначьте их точками*. Укажите числа, соответствующие этим точкам. 30 Глава 1 На координатном луче (рис. 60) обозначены числа 1 и а. Перенесите рисунок в тетрадь и с помощью циркуля обозначьте на этом луче точки, соответствующие числам а + 1; а - 1; о + 2; 2а. О , X о Н- И 1 а Рис.60 Кузнечик скачет вдоль координатного луча попеременно: на 6 ед. вправо и на 4 ед. влево. Сможет ли он за несколько прыжков из точки с координатой 2 попасть в точку: 1) с координатой 10; 2) с координатой 11? Ответ объясните. Улитка за день поднимается на 4 м вверх, а за ночь спускается на 2 м вниз. За сколько дней она поднимется на верхушку дерева, высотой 10 м? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 100. Конечные пункты автобусного маршрута —А\л Б. Если ехать от А до Б, то остановка «Школа» — четвёртая, а если ехать от Б до А, то остановка «Школа» — девятая. Сколько всего остановок на автобусном маршруте? 101. На полке 15 книг. Если считать слева направо, то учебник по математике стоит на десятом месте. Каким будет по порядку этот учебник, если книги считать справа налево? 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 4)30:2; 44:4. 102. Вычислите устно: 1)18+17; 2)25-12; 3)9-9; 16 + 9; 81-41; 7-11; 103. Вычислите: 1)950:25 + 960:60; 2) (4528 - 4239) : 17- 12. 104. Найдите два числа на циферблате часов, если: 1) числа размещены напротив друг друга и их сумма равна 12; 2) числа размещены рядом друг с другом и их сумма равна 9. 105. Составьте задачу по такому выражению: 2 ■ 150 + 3- 475. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА Г— 31 л § 4. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ, РАВЕНСТВА, НЕРАВЕНСТВА. СРАВНЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Вы уже знаете четыре арифметических действия над числами — сложение, вычитание, умножение и деление. Для записи таких действий над числами используют числовые выражения. Например, 24 + 2, 24 - 2, 24 • 2, 24 : 2 — числовые-выражения. Запомните! Запись, в которой используют только числа, знаки арифметических действий и скобки, называется числовыш выражением. Числовое выражение показывает, какое арифметическое действие нужно выполнить над числами, но не показывает результат этого действия. Выражен-ие 24-1-2 называется суммой чисел 24 и 2. Выражение 24-2 называется разностью чисел 24 и 2. Выражение 24 • 2 называется произведением чисел 24 и 2. Выражение 24 : 2 называется частным чисел 24 и 2. Числа 24 и 2 в каждом из этих числовых выражений называются компонентами выражения. Обратите внимание: . чтобы прочитать числовое выражение, сначала прочтите его название, а затем его компоненты. Число, полученное в результате выполнения арифметического действия в выражении, называется значением числового выражения. Например, значением суммы чисел 24 и 2 является число 26, а значением произведения чисел 24 и 2 — число 48. Если числовое выражение соединить с его значением ннаком равенства «=», то получим числовое равенство. Например, 24 -I- 2 = 26, 24 ■ 2 48 — числовые равенства. 32 Глава 1 Два числовых выражения с равными значениями можно приравнять. Для этого соединим их знаком ра- f венства. Полученная запись также является числовым равенством. Например, 24 + 2 = 13 • 2 и 24 - 2 = 44 : 2. Запись, в которой два числа, или два числовых выражения, или числовое выражение и число соединены знаком равенства, называется числовым равенством. ? Можно ли приравнять числовые выражения 24 + 2 и 24 • 2? Нет, т. к. их значения не равны между собой. Кратко записывают: 24 + 2 24 • 2. Знак « » означа- ет «не равно». i£io6p атите внимание: 1) числовое равенство показььвает результат сравнения — два числа равны друг другу; 2) запись, содержащая знак «^», не является числовым равенством._______________________________ Запомните! Запись, в которой два числа, или два числовых выражения, или числовое выражение и число соединены знаком неравенства, называется числовым неравенством. Из двух различных натуральных чисел одно число всегда является большим, а второе меньшим. Например, 9 больше 4, соответственно 4 меньше 9. Кратко записывают: 9 > 4 или 4 < 9. Знаки «>» и «<» означают соответственно «больше» и «меньше». Такие знаки называются знаками неравенства. Знаком неравенства можно соединять не только два числа, но и два числовых выражения, если их значения не равны друг другу и известно, какое из них является большим, а какое — меньшим. Например, 4 + 2 < 4 • 2. Аналогично, знаком неравенства можно соединить числовое выражение и число. Например, 4 -Н 2 > 5. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 33 7 Является ли числовым неравенством запись 4 + 2 4 • 2? Нет, так как из такой записи не ясно, какое числовое выражение имеет большее значение, а какое — меньшее. #> Обратите внимание: 1) числовое неравенство показывает результат сравнения — какое из чисел больше, а какое — меньше; 2) завись, содержащая знак «;^», не является числовым «еравенством. Числа можно сравнивать при помощи координатного луча. Из двух чисел больше то число, которое на координатном луче размещено дальше от его начала. На рисунке 61 координатный луч изображён горизонтально. Поэтому о размещении двух чисел на нём можно сказать: одно число размещается «правее» или «левее» от другого. Вы видите, что число 10 находится правее числа 7, поэтому 10 > 7 или 7 < 10. X О + + + 5 6 Рис. 61 8 11 Посмотрите на рисунок 62. На координатном луче число 6 размещается между числами 3 и 8. Понятно, что 6 > 3 и 6 < 8. Вместе это можно записать в виде двойного неравенства". 3 < 6 < 8. Числа 3 и 8 называются крайними членами двойного неравенства, а число 6 — средним членом двойного неравенства. X О + 4- + -4- + 5 6 Рис. 62 10 11 Двойное неравенство 3 < 6 < 8 читают, начиная со среднего члена: «Число 6 больше 3 и меньше 8». На рисунке 62 вы видите, что между числами 3 и 8, кроме числа 6, размещаются и другие натуральные чис- 3 Математика, 5кл. 34 Глава 1 ла. Это числа 4, 5 и 7. Поэтому для крайних членов 3 и 8 верными являются и такие двойные неравенства; 3 <4 <8; 3<5<8; 3 < 7 <8. Для сравнения многозначных чисел пользуются специальными правилами. Рассмотрим примеры. Г Сравни.те числа: 1)96 и 830; 2)3574 и 3547. 1. Число 96 — двузначное, а число 830 — трёхзначное, поэтому 96 < 830. 2. В записях чисел 3574 и 3547 одинаковое количество цифр. Поэтому их лучше сравнивать поразрядно. Для этого запишем данные числа одно под другим; 3574 3547 Каждое из чисел имеет 3 тысячи и 5 сотен. Но в первом числе есть 7 десятков, а во втором — только 4 десятка. Поэтому первое число больше второго: 3574 > 3547. Запомните! Правила сравнения многозначных чисел. 1. Из двух натуральных чисел больше то число, в записи которого цифр больше. 2. Если в записи двух натуральных чисел одинаковое количество цифр, то числа сравнивают поразрядно, начиная с самого старшего разряда. Узнайте больше 1. Знак равенства «=» ввёл английский учёный Роберт Рекорд в 1557 году. По его мнению, ничто не может показать равенство так, как два параллельных отрезка одинаковой длины. До него в математике пользовались другими знаками равенства. Так, древнегреческий математик Диофант знак равенства обозначал буквой «I», являющейся первой буквой греческого слова «looi^» — равный. Индийские и арабские математики, а также большинство европейских чаще всего равенство обозначали словесно «esf еда/е». Р. Бомбелли (1572 г.) отмечал равенство буквой «а», — первой в латинском слове «aequalis» — равный. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 35 2. Знаки «>» и «<» ввёл Томас Герриот в своей работе «Применение аналитического искусства к решению уравнений», изданной посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 2 3 4 5 6 7. 8 10 Что называется числовым выражением? Приведите примеры. Что называется значением числового выражения? Что называется числовым равенством? Приведите примеры. Что показывает числовое равенство? Что называется числовым неравенством? Приведите примеры. Какие знаки называют знаками неравенства? Что показывает числовое неравенство? Объясните, как сравнить два числа с помогцью координатного луча. Как записывают двойное неравенство? Что называют его крайними членами? Средним членом? Как сравнить многозначные натуральные числа? О РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I Прочитайте числовые выражения, используя термины «сумма», «разность», «произведение» и «частное»: 1) 435 + 340; 3)45-32; 2) 127- 102; 4)2460:12. Можно ли приравнять числовые выражения: 1) 25 + 4и25-4; 3) 30 - 15 и 30 + 15; 5)14 + 0и14-0; 2) 2 + 2и2-2; 4)2-1и2:1; 6)28-1и28:1? Ответ объясните. Прочитайте числовые неравенства: 1)345 <405; 2) 172 >100; 3) 296 < 504. Назовите два натуральных числа, которые лежат на координатном луче: 1) правее числа 36; 2) левее числа 36. Сравните названные числа с числом 36. Прочитайте двойные числовые неравенства: 1) 64 <80 <91; 3)254 < 255 < 256; 2) 304 < 381 < 392; 4) 99 < 100 < 10-1. Назовите крайние и средний члены неравенства. 3* 9 „ 36 Глава 1 Назовите наибольшее и наименьшее трёхзначные числа, большие числа 342. Назовите наибольшее и наименьшее трёхзначные числа, меньшие данного числа. Запишите числовое выражение и вычислите его значение: 1) сумма числа 152 и произведения чисел 45 и 21; 2) разность суммы чисел 245 и 197 и числа 45; 3) произведение суммы чисел 452 и 148 и числа 12; 4) частное числа 625 и разности чисел 100 и 75. . Запишите числовое выражение и вычислите его значение: 1) сумма произведения чисел 28 и 15 и числа 120; 2) произведение числа 35 и разности чисел 506 и 468. Составьте числовое выражение для решения задачи и найдите его значение. Длина отрезка АВ равна 15 см. Длина отрезка CD в 3 раза меньше длины отрезка АВ. Найдите длину отрезка MN, если она равна разности длин отрезков АВ и CD. Составьте числовое выражение для решения задачи и найдите его значение. Длина отрезка АВ равна 5 см. Длина отрезка CD в 2 раза больше длины отрезка АВ. Найдите длину отрезка MN, если она равна сумме длин'отрезков АВ и CD. Запишите числовое неравенство: 1) 25 меньше 72; 2) 56 больше 43; 3) 38 больше 12, но меньше 60. Как расположены данные числа на координатнбм луче? Запишите числовое неравенство: 1) 30 меньше 53; 2) 124 больше 95; 3) 201 больше 200 и меньше 202; 4) 67 больше 45, но меньше 102. Как растоложены данные числа на координатном луче? На координатном луче (рис. 63) назовите число, лежащее: 1) на 5 единиц левее числа 5; 2) на 4 единицы правее числа 5; 3) между числами 5 и 12. Запишите соответствующие числовые неравенства. О Н—^^—1—Ч—^^^^^—н + X -► о 12 Рис. 63 СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА i 1 37 На координатном луче (рис. 64) назовите число, лежащее; 1) на 4 единицы правее числа 6; 2) между числами 6 и 11. Запишите соответствующие числовые неравенства. О , Н—^—h 0 6 Н—I—I—^—н 11 н—h X Рис. 64 Сравните; 1) 20 см и 25 см; 3) 2) 50 см и 50 мм; 4) Сравните; 1) 45 мин и 15 мин; 3) 2) 15 мин и 15 с; 4) Сравнимте числа; 1)345 и 2354; 3) 2)2456 и 2465; 4) Сравните числа; 1)2390 и 987; 3) 2) 25 756 и 25 134; 4) Разместите в порядке возрастания числа; 346, 10 087, 34, 99 456, 43, 10 098, 200 000. Разместите в порядке убывания числа; 1256, 88, 167, 40 256, 809, 340 340, 560 000. Составьте и запишите три числовых выражения, имеющие одинаковые значения, равные 25. Запишите любое числовое выражение, для вычисления значения которого необходимо последовательно выполнить действия; 1) сложение, умножение и вычитание; 2) умножение, сложение, деление и вычитание. Какое наибольшее натуральное число можно поставить вместо звёздочки, чтобы получить верное числовое неравенство; 1)*<17; 2) *<14? Как расположены данные числа на координатном луче? Какое наименьшее натуральное число можно поставить вместо звёздочки, чтобы получить верное числовое неравенство; 1)*<75; 2) *>56? Как расположены данные числа на координатном луче? 38 Глава 1 Q Запишите все натуральные числа, которые можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное числовое неравенство: 1)238<*<241; 2) 19 090 <*< 19 100. Можно ли сравнить следуюш,ие числа, если одна звёздочка заменяет одну цифру в записи числа: 1) 37** и 39**; 3) *5** и *9**; 2) 1*** и 9**; 4) 292** и 2*099? Ответ объясните, Аня купила 2 порции мороженого и 1 пирожное, заплатив 4 грн 50 к. Если бы она купила 1 мороженое и 2 пирожных, то заплатила бы 6 грн. Сколько стоит мороженое и сколько стоит пирожное? Старинная задача. Продавец продал одному покупателю 1 о яблок, 5 груш и 3 лимона на 1 рубль 10 копеек, второму покупателю по той же цене он продал 10 яблок, 3 груши и 1 лимон за 78 копеек, а третьему — 2 груши и 1 лимон за 22 копейки. Сколько стоят отдельно яблоко, груша и лимон? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 134. Дима старше Васи, но моложе Серёжи. Саша старше всех. Назовите имена мальчиков по старшинству. 135. Сравните: 1) что сложнее: пробежать 1 км или 1000 м; 2) что тяжелее: поднять 5 кг или 500 г; 3) что дольше: ждать 2 часа или 100 мин? ^ Г Ц ЗА^ЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 136. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки: 1) 2) 137. Вычислите: 1) 10 486: (455-357)+ 49- 12; 2) (52- 15+ 120)-840: 12. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 39 138. У Тани 14 конфет, у Марины — на 4 конфеты меньше, чем у Тани, а у Сони — в 2 раза больше, чем у Марины. Сколько всего конфет у девочек? 139. Туристы за 3 дня преодолели 48 км. В первый день они прошли 8 км, во второй день проехали на автобусе расстояние, в 3 раза большее, чем в первый день. Сколько километров прошли туристы в третий день? Л Г § 5. УГЛЫ и их ИЗМЕРЕНИЕ Посмотрите на рисунок 65. Вы видите две прямолинейные тропинки, идущие от одного пня. Тропинки напоминают лучи, а пенёк — точку, являющуюся общим началом этих лучей. Этот пример даёт представление о геометрической фигуре угол (рис. 66). Рис. 65 Рис.66 Запомните! Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла (рис. 67). В вершина сторона О' Рис. 67 Рис. 68 40 Глава 1 На рисунке 68 изображён угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ. Кратко записывают: z АОБ (Z ВОА). Знак Z заменяет слово «угол». Данный угол можно обозначить только названием его вершины, например z О. Обратите внимание: если угол обозначен тремя буквами, то средняя буква в названии соответствует вершине угла. Посмотрите на рисунок 69. На прямой ВС обозначена точка О. Образовались два луча — ОС и ОВ. Эти лучи выходят из общего начала О, поэтому тоже образуют угол — Z вое. Такой угол называется развёрнутым. развёрнутый угол D О Рис. 69 С 1° Вы знаете, что отрезок характеризует его длина. Аналогично, угол характеризует его мера. Чтобы измерить угол, нужно выбрать единицу измерения — единичный угол. Чаще всего делают это так. Развёрнутый угол разделяют на 180 равных частей (рис. 70) и одну из них принимают за единичный угол. Его меру называют градусом. Именованное число «1 градус» кратко записывают так: 1°. Для каждого угла можно определить его градусную меру. ? Какова градусная мера развернутого угла? 180°, поскольку 180 • 1° = 180°. Углы измеряют транспортиром (рис. 71, 72). Вы видите, что на транспортире нанесены две шкалы — вну- Рис. 70 СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 41 тренняя и внешняя. На одной шкале числа возрастают против часовой стрелки, а на другой — по часовой стрелке. На рисунках 71 и 72 показано, как измерять угол АОВ в зависимости от расположения его сторон. Вы видите, что в обоих случаях градусная мера угла АОВ равна 120°. Рис. 71 Рис. 72 Кратко говорят: «Угол АОВ равен 120°» и записы-нют: Z АОВ = 120°. А 7 С помощью транспортира и линейки построй- Т те угол BCD, равный 65°. Г Обозначим точку С — вершину угла (рис. 73). ; Проведём луч СВ (рис. 74). С помощью транспортира опре-; делим расположение точки D, через которую будет проходить сторона CD искомого угла с градусной мерой 65° (рис. 75). Проведём луч CD (рис. 76). С . с. Рис. 73 В Рис. 74 Ш ^ Р '' л » 'В »-1 — i -3*1 ' в *|])4S«7t9 10TIU Рис. 75 D Рис. 76 В 42 Глава 1 Для сравнения углов пользуются их градусными мерами. На рисунке 77 вы видите, что L АОВ - 60° и Z LMN = 60°, поэтому углы АОВ и LMN — равны. Угол CDE равен 80°, поэтому он больше /.АОВ. Соответственно, /. АОВ меньше /. CDE. %/ Кратко записывают: Z. АОВ = L LMN, L CDE > L АОВ, L АОВ < L CDE. На рисунке равные углы обозначают одинаковым количеством дуг (рис. 77). В д, в/ чбО о* -60 .80 А М* Рис. 77 На практике для сравнения углов, как и отрезков, можно воспользоваться способом наложения. Запомните! 1. Равные углы имеют равные градусные меры. 2. Из двух углов больше тот, градусная мера которого больше.. Углы, меньшие развёрнутого, можно разделить на три вида — прямые, острые или тупые. Угол, равный 90°, называют прямым (рис. 78). Угол, меньший 90°, называют острым (рис. 79), а больший 90° — тупым (рис. 80). С Р м прямой угол острый угол тупой угол В А Е D L К Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80 %J На рисунке прямой угол обозначают значком «П». СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 43 Прямой угол можно строить с помощью угольника (рис. 81). На отдельном листе изобразим любой угол, а потом согнём лист так, чтобы стороны угла совместились. Линия сгиба наметит такой внутренний луч угла, который делит данный угол пополам. Этот луч называют биссектрисой угла. На рисунке 82 вы видите угол АОВ и его биссектрису — луч ОС. Для углов АОС и СОВ, образованных биссектрисой ОС со сторонами угла АОВ, выполняется равенство: . А АОС = АСОВ. Рис. 81 В К D N О м в Рис. 82 Рис. 83 Рис. 84 А А MON = 130°. Луч ОК — его биссектриса ^ (рис. 83). Определите градусную меру угла МОК. Ц Поскольку ОК — биссектриса угла MON, то • aMOK = aKON= А MON -. 2 = ^30° : 2 = 65°. Из вершины В угла АВС проведём произвольный инутренний луч BD (рис. 84). Он разбивает угол АВС на дна угла АВВ и ВВС. Эти углы меньше угла АВС, но их сумма равна углу АВС. Следовательно, А АВС - аАВВ + I /_ ВВС. Углы АВВ и ВВС — это части угла АВС. fZ Луч ОР — внутренний р луч угла MON (рис. 85). Определи; те градусную меру угла PON, если ! А MON =^45° \л А МОР = 60°. N Поскольку aMON=А МОР + А PON, И) 4 PON = А MON - Z МОР. Отсюда Z PON =145°- 60° = 85°. Л®" О Рис. 85 М i; 44 Обратите внимание: Глава 1 1) градусная мера угла равна сумме градусных мер I его частей; I 2) биссектриса угла делит его пополам. Узнайте больше Знак угла «Z» ввёл французский математик П. Эригон в XVII в. Название «градус» происходит от латинского слова gradus, что означает «шаг» или «ступенька». Понятие градуса впервые применил древнегреческий учёный Птолемей (около 178—100 г. до Н.Э.). Для этого он делил окружность на 360 частей. Современное обозначение градуса «°» ввёл французский медик и математик Жак Пелетье дю Ман в 1558 году. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 2 3. 4. 5. 6. 7. 8 9 10, Что называется углом? Вершиной угла? Стороной угла? Как обозначают углы? В каких единицах измеряют углы? Как получить угол в 1 °? Для чего служит транспортир? Объясните, как измерить угол с помощью транспортира. Как построить угол заданной градусной меры? Какова градусная мера развёрнутого угла? Прямого угла? Что такое острый угол? Тупой угол? <1 Какие углы называются равными? Что такое биссектриса угла? Как найти градусную- меру угла, если известны градусные меры его частей? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Назовите каждый из углов на рисунке 86. Какой из этих углов: 1) развёрнутый, 2) прямой; 3) острый, 4) тупой? В О' Рис. 86 СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА Назовите равные углы на рисунке 87. 45 М Рис. 87 Алёна дала определение углу: «Фигуру, образованную двумя лучами, называют углом». Получит ли она хорошую оценку? Сколько углов изображено на рисунке 88? Определите градусную меру этих углов. Сделайте соответствующие записи. Сколько углов изображено на рисунке 89? Определите градусную меру этих углов. Сделайте соответствующие записи. Определите градусную меру углов, изображённых на рисунке 90, если L АОВ = L ВОС = L COD = zl DOA: 1)аАОВ; 2)lAOK\ 3)aNOD-, 4) A КОМ. Определите градусную меру углов, изображённых на рисунке 91, если 4 COD = L DOM = L MON = Z NOC: D4KOD-, 2) 4 КОМ] 3)4 MOP] 4) 4 COP. В К О, л 42" С Z) ^ к D 35 / ,П С О м Рис.90 N % Р Рис. 91 46 Глава 1 Изобразите угоя|С градусной мерой: 1)25°; 2) 120°; 3)40°; 4) 90°. Изобразите угол с градусной мерой: 1)30°; 2) 150°; 3)65°; 4) 170°. На какой угол повернётся минутная стрелка часов на рисунке 92 за: 1) 5 мин; 2) 15 мин; 3) 20 мин; 4) 30 мин? Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в: 1) 2 ч 00 мин; 2) 3 ч 00 мин; 3) 5 ч 00 мин; 4) 6 ч 00 мин? Проведите биссектрису угла, градусная мера которого равна: 1)70°; 2)160°; 3)90°. Проведите биссектрису угла, градусная мера которого равна: 1)50°; 2)120°; 3)150°. Проведите луч ОМ. С помощью транспортира по одну сторону от луча ОМ постройте угол MON с градусной мерой 45°, а по другую — угол МОК, градусная мера которого — 65°. Чему равна градусная мера угла NOK1 Начертите два угла с общей стороной, которые: 1) образуют развёрнутый угол; 2) не образуют развёрнутый угол. Может ли градусная мера этих углов быть одинаковой? Ответ объясните. Как, сгибая лист бумаги, можно получить угол, равный 45°? Ответ объясните. Луч BD — биссектриса 4 АВС. .Найдите градусную меру; 1) 4 ВВС, если 4 АВС = 150°; 2) 4 АВС, если 4 ABD = 28°. Луч ОК — биссектриса lAOB. Найдите градусную меру: 1) 4 АОК, если 4 АОВ = 70°; 2) 4 АОВ, если 4 КОВ = 55°. Луч ОВ — внутренний луч угла АОС. Найдите градусную меру: 1) 4 АОС, если 4 АОВ = 38° и 4 ВОС = 44°; 2) 4 АОВ, если 4 АОС = 124° и 4 ВОС = 33°; 3) 4 ВОС, если 4 АОС = 62° и 4 АОВ = 20°. Луч ON — внутренний луч угла МОК. Найдите градусную меру: 1) 4 МОК, если 4 MON = 71 ° и 4 NOK = 56°; 2) 4 МОК, если 4 МОК = 94° и 4 MON = 57°. СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 47 В Прямой угол разделили внутренними лучами на равные углы. Найдите градусную меру этих углов, если получилось: 1)2угла; 2)3 угла; 3)5 углов. Развёрнутый угол разделили внутренними лучами на равные углы. Найдите градусную меру этих углов, если получилось: 1)2 угла; 2) 4 угла; 3)6 углов. Углы, равные 20° и 60°, имеют общую сторону. Какой угол образует биссектриса большего угла с общей стороной этих углов? Рассмотрите два случая. В развёрнутом угле AOZ) проведены внутренние лучи ОВ и ОС. Найдите градусную меру угла АОВ, если Z. ВОС - 90° и lAOB = lCOD. У Серёжи дома часы с боем, отбивающие каждый час. Когда Серёжа пришёл из школы, угол между стрелками был тупым. Ровно через полчаса часы пробили. В этот momohti угол между стрелками стал прямым. В котором часу Серёжа пришёл из школы? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 165. Приведите примеры прямых и развёрнутых углов, которые можно увидеть в классной комнате. 166. Определите угол между направлениями (рис. 93): 1) юг и восток; 2) юг и север; 3) юг и запад; 4) север и юго-запад; г. 5) запад и северо-запад; ^ 6) восток и север; 7) восток и северо-запад; 8) северо-запад и юго-восток. 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 167. Вычислите устно: 1)(404- 104) :3+ 12- 1; 168. Вычислите: 1)20 + 1035:23-595:35; 2) (146+ 54): 100 -9- 18. 2) 125 • 8-36 • 25 + 40 • 15. 168. Составьте задачу по выражению: 650 - (150 + 150 • 2). 48 Глава 1 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие числа называются натуральными? 2г Назовите наименьшее натуральное число. Существует ли наибольшее натуральное число? 3. Объясните различие между цифрой и числом. 4. Почему нашу систему счисления называют десятичной? 5. В чём суть позиционной записи чисел? 6. Назовите в порядке возрастания четыре класса в записи натуральных чисел. 7. Что называется лучом? Началом луча? 8. Что называется отрезком? Концами отрезка? 9. Что значит найти длину отрезка? 10. Как найти длину отрезка, если известны длины его частей? 11. Как сравнивают два отрезка? Какие отрезки называются равными? 12. Какой луч называется координатным? Как построить координатный луч? 13. Как найти размещение точки на координатном луче по её координате? 14. Что называется числовым выражением? Что называется значением числового выражения? 15. Что называется числовым равенством? Что показывает числовое равенство? 16. Что называется числовым неравенством? Как записывают двойное неравенство? 17. Объясните, как сравнить два числа с помощью координатного луча. 18. Как сравнить многозначные натуральные числа? 19. Что называется углом? Как обозначают углы? В каких единицах измеряют углы? 20. Для чего служит транспортир? Объясните, как измерить угол с помощью транспортира. 21. Как построить угол заданноЙ1 градусной меры? 22= Какие углы вы знаете? Назовите их градусную меру. 23 Какие углы называются равными? 24. Что такое биссектриса угла? 25. Как найти градусную меру угла, если известны градусные меры его частей? СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА 49 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10—15 мин. 1°. Выберите правильную запись числа восемь миллионов пятьдесят шесть Тысяч. А.8000056. Б. 800 056. В. 8 056 000. Г. 8 560 000. 2". Даны точки А(2), В(8) и С(10). На каком рисунке точки А, В и С обозначены верно? О А -Ч- А. о 1 О ^ • I -А I В +-+- н—н н—h-Ы— ВС X 4—f—I til» Б. о О , 4 В. о О В А -Ч- г. о Ч—I I t I—I i I вех Ч—^—Ы—^—hH—Ч— 3 . Укажите верное числовое неравенство; А. 101 <99. В. 235 550 < 235 509. Б. 3478 >3487. Г. 4 215 100 > 4 215 099. 4. Точка К делит отрезок MN на два отрезка — МК и KN. MN = 40 мм, KN = 3 см. Какова длина отрезка МК в сантиметрах? А. 7см. Б. 10 см. В. Тем. Г. 43 см. б*. А АОВ - 140°. Луч ОС — биссектриса А АОВ, а луч ОК — биссектриса А АОС. Какова градусная мера А КОВ? А. 35°. Б. 70°. В. 95°. Г. 105°. V.. 48 Глава 1 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие числа называются натуральными? 2. Назовите наименьшее натуральное число. Существует ли наибольшее натуральное число? 3. Объясните различие между цифрой и числом. 4. Почему нашу систему счисления называют десятичной? 5. В чём суть позиционной записи чисел? 6. Назовите в порядке возрастания четыре класса в записи натуральных чисел. 7. Что называется лучом? Началом луча? 8. Что называется отрезком? Концами отрезка? 9. Что значит найти длину отрезка? 10. Как найти длину отрезка, если известны длины его частей? 11. Как сравнивают два отрезка? Какие отрезки называются равными? 12. Какой луч называется координатным? Как построить координатный луч? 13. Как найти размещение точки на координатном луче по её координате? 14. Что называется числовым выражением? Что называется значением числового выражения? 15. Что называется числовым равенством? Что показывает числовое равенство? 16 Что называется числовым неравенством? Как записывают двойное неравенство? 17. Объясните, как сравнить два числа с помощью координатного луча. 18. |Как сравнить многозначные натуральные числа? 19. Что называется углом? Как обозначают углы? В каких единицах измеряют углы? 20. Для чего служит транспортир? Объясните, как измерить угол с помощью транспортира. 21. Как построить угол заданной градусной меры? 22. Какие углы вы знаете? Назовите их градусную меру. 23 Какие углы называются равными? 24. Что такое биссектриса угла? 25. Как найти градусную меру угла, если известны градусные меры его частей? СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ.И ЧИСЛА 49 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10—15 мин. . Выберите правильную запись числа восемь миллионов пятьдесят шесть Тысяч. А. 8000056. Б. 800 056. В. 8 056 000. Г. 8 560 000. Даны точки А(2), В(8) и С( 10). На каком рисунке точки А, В и С обозначены верно? О А -f- В ч- С X -ч—^ А. о 1 О А В С X -f*4—^—I—^^^^^ Б. о 5 О В В., о Ч--Ч I ,1—I—!■ I f I—I t I О А В — III—^—ьн- с X н—ьч-н— г. о 3'. Укажите верное числовое неравенство: А. 101 < 99. В. 235 550 < 235 509. Б. 3478 >3487. Г. 4 215 100 > 4 215 099. 4. Точка К делит отрезок MN на два отрезка — МК и KN. MN = 40 мм, KN = 3 см. Какова длина отрезка МК в сантиметрах? А. 7 см. Б. 10 см. В. 1 см. Г. 43 см. й*. А АОВ - 140°. Луч ОС — биссектриса А АОВ, а луч ОК — биссектриса А АОС. Какова градусная мера А КОВ'? А. 35°. Б. 70°. В. 95°. Г. 105°. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Вы узнаете: ф что такое буквенное выражение и как его составлять; Ф как пользоваться формулами; ф о действиях сложения и вычитания натуральных чисел и их свойствах; щ что такое многоугольник и как находить его периметр; ф какие фигуры называются равными; # о свойствах прямоугольника и квадрата; ф что такое треугольник, его виды и свойства; как применять изученный материал на практике ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫШ 51 § 6. БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ФОРМУЛЫ Вы уже знаете, что такое числовое выражение. Умеете составлять такие выражения и вычислять их значения. А как записать, на каком расстоянии от школы живёт каждый из вас? Для кого-то такое расстояние равно, например, 200 м, а для других может составлять 500 м, iOOO м и т.д. Чтобы записать это в общем виде, можно число заменить буквой, -например а. Тогда получим: расстояние от дома до школы составляет а м. ♦ /. . . 4i ^ Юра живёт на 100 м дальше от школы, чем . Оля, а Аня — вдвое дальше, чем Юра. На каком расстоянии OTi школы живёт Аня? ^ \- , - - к Обозначим буквой а расстояние от школы до • дома, в котором живёт Оля. Тогда Юра живёт от школы'на рас-■ стоянии 0Г + 100 (м), а Аня — на расстоянии (а+ 100) ■ 2 (м). В этой задаче мы составили выражения: а, а + 100, (а + 100) • 2. Такие выражения не являются числовыми. Ото — буквенные выражения. Запомните! Запись, >в которой используют буквы, числа, знаки арифметических действий и скобки, называется буквенным выражением. Буквенные выражения, такие как 2 • а, а - Ь, (а + Ь) • с, можно записать короче — без знака умножения (точки): 2а, аЬ, (а -ь Ь) с. Буквы, входящие в буквенное выражение, можно заменить числами и получить числовое выражение. Следо-мнтельно, значение буквенного выражения можно вычис-,||ить при заданных значениях букв. Например, пусть в I(посмотренной задаче известно, что Оля живёт на расстоянии 300 м от школы. Тогда а = 300, а-ь 100 = 300 +100 = 400, (а 1 100) • 2 = (300 -ь 100) • 2 = 800. Следовательно, Юра живёт (уг школы на расстоянии 400 м, а Аня — на расстоянии 800 м. Глава 2 ? Изменятся ли значения этих буквенных выражений при другом значении а? Да. Обратите внимание: значение буквенного выражения зависит от значений букв, входящих в него. Наиболее важные и общие сведения о числах, их свойствах, соотношениях между величинами и т. д. часто записывают в виде буквенных выражений, равенств и даже неравенств. Например, известно, что в натуральном ряде два последовательных натуральных числа отличаются на единицу. Если натуральное число обозначить буквой п, то буквенное выражение п + 1 показывает, -как именно для числа п получают последующее натуральное число: для этого нужно к данному числу прибавить 1. Другой пример. Если пройденный путь обозначить'буквой s, скорость движения — буквой V, а время движения — буквой t, то получим .равенство: S = vt. В старшей школе вы познакомитесь и с неравенствами, выражающими некоторые свойства чисел. Такие буквенные выражения, равенства, неравенства называют формулами. Например, выражение п + \ — это формула последующего натурального числах еслитг=5,то п-г1 = 5+ 1 = 6;еслия= 11,то/г-г1 = 11-1-1 = 12 и т. д. Равенство s = vt — это формула, выражающая закон движения. Она показывает, как именно пройденный путь зависит от скорости движения и затраченного времени: если о=60 км/чи^=2ч,тos=u^=60•2 = 120 (км); если о = 80 кмр/ч и i = 3 ч, то s = of = 80 • 3 = 240 (км) и т. д.' ; Длина скоростного участка дороги Киев — Борисполь равна 18 км. Автобус движется со скоростью 90 км/ч. За какое время автобус проедет этот скоростной участок дороги? Из формулы движения s=vt выразим искомое время: t = s .v. Для удобства вычислений переведём расстоя- ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЫ4ЬПЙ1ЙШ11ШЙ^' 53 ние из километров в метры: 18 км = 18 000 м, а скорость — из километров в час — в метры в минуту: 90 км / ч = 90 ■ 1000: 60 = = 1500 (м/мин). Тогда t = s:v-^8 000 : 1500 = 12 (мин). Итак, автобус преодолеет скоростной участок дороги за 12 мин. Узнайте больше 1 Замечая закономерности, учёные стремятся выразить их в виде формул. Однако, чтобы представить формулой некоторое выражение, равенство или неравенство, математики обязательно доказывают, что выявленная' закономерность подтверждается для всех чисел, указанных в формуле. Эти шаги называют выводом формулы. Позже вы тоже научитесь выводить формулы, и даже доказывать1Их. 2. Слово «формула» — это перевод латинского слова formula, означающее форма, правило, предписание. 3. Создателем современной буквенной символики считают французского математика Франсуа Виета (1540-1603). vlAfl Франсуа Виет >/ 1 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Что называется буквенным выражением? Приведите пример. Объясните, как вычислить значение буквенного выражения. Что такое формула? Приведите пример формулы. По какой формуле вычисляют путь? Объясните, что означают буквы в этой формуле. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I /■' Является ли выражение буквенным: t)4’f; 3) а + 78 (Ь-с): 2)5-45 + 7; 4)а + 8-а? t• 1 Как записать короче: \)At\ 2)18 Ь\ 3)8-а; 4) а • Ь? t / ' Можно ли записать выражение короче (без знака арифметического действия!): 1)4 + f; 2)78-5; 3) 8 • 5 • а; 4) а ■ 5 • с? Глава 2 A)X-y. ■ Прочитайте буквенное выражение: 1)8 +а; 2) с: 5; 3)ар; Найдите значение выражения а + 15, если: 1)а = 5; 2) а = 20 005; 3)а = 405; 4)а = 0. Прочитайте буквенное выражение: 1)3f + ab; 2)аЬ:п + 6] 3)35x-^00y. Запишите в виде выражения: 1) разность чисел 123 и 78, уменьшенная на а; 2) сумма чисел а и 4, разделённая на с; 3) произведение числа 56 и суммы чисел пит; 4) частное суммы чисел а и 5Ь и разности чисел пит. По данным таблицы 4 вычислите значения выражений. Таблица 4 а 1000 62 11 202 2а 1 1 , а + 38 ■ Число а увеличили в 5 раз, потом уменьшили на 45, а потом увеличили на 45. Какое выражение получили? Число 144 увеличили в Ь раз, потом уменьшили на с, а потом увеличили на п. Какое выражение получили? В классе а мальчиков и Ъ девочек. Запишите в виде ра= венства следующие предложения: 1) мальчиков втрое больше, чем девочек; , 2) мальчиков на 4 меньше, чем девочек; 3) мальчиков столько же, сколько девочек. Мария купила а кг груш по 10 грн и с кг яблок по 5 грн. , Сколько заплатила за покупку Мария? ' Карандаши стоят х грн, краски — у грн, а альбом — z грн. ■ Объясните смысл выражений: А)х + у + 2\ 3)3x + 2y + bz\ 2)у-х\ 4) 100-(Зд: +2г/+ 52). ; Помидор весит а г, а огурец — 6 г. Объясните смысл вы- ■ ражений: 1)а + &; 2)а-Ь\ 3)6а; 4)4а + 8д. Скорость автомобиля 60 км/ч. По формуле S = 60t найдите расстояние s, которое проедет автомобиль за время t, если: 1)^ = 4ч; 2)t=124; 3)f = 54. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. 55 Л- Скорость лодки 50 км/ч. По формуле s = 50t найдите путь S, который преодолеет лодка за время t, если: 1)f = 44i 2)f = 24; 3)f = 104. Опираясь на формулу движения, найдите неизвестные величины в таблице 5. Таблица 5 S V t 1000 км 14 км 100 км/год 32 км 8 км/год 2 год 65 км/год 4 год 18' Рабочий за час изготавливает 25 деталей. По формуле А = 2Ы вычислите количество изготовленных деталей, если: 1)f = 4H; 2)t = bH\ 3)t = 34. ^ IBi Один килограмм печенья стоит 34 грн. По формуле Р - 34т вычислите стоимость т килограмм печенья, если: 1)т = 4кг; 2)т = 5кг; 3)т=10кг. 0; ЗапишитеiB виде выражения: 1) сумму трёх последовательных натуральных чисел; 2) произведение трёх последовательных натуральных чисел. 19 Число а имеет в записи дстысяч, у сотен, Ь десятков и с единиц. Представьте число а в виде суммы разрядных слагаемых. А 191 В записи числа т а миллионов, Ь тысяч, с десятков и р еди-' ниц. Представьте число m ввиде суммы разрядных слагаемых. il92 На координатном луче постройте точки М (6), Р (п + 3), если: ' 1)я = 4; 2)п = 2\ 3)л=10; Л)n=^. Найдите расстояние между точками М и Р. 103 Найдите все натуральные числа, которые больше а + 7 и меньше а + 9, если: 1)а-3; 2)а = 250; 3) а = 5000. А Найдите значение выражения а + 5-с, если: 1)а=10,с = 8; 2)а = 90,с=18. Iiir. Автомобиль движется со скоростью 90 км/ч. По формуле н = 901 найдите расстояние (в метрах), которое проедет автомобиль за; 1)120 мин; 2) 360 с; 3)300 мин. ^ Плот движется со скоростью 30 м/мин. За какое время I плот преодолеет расстояние в 6 км? в {'-■ Глава 2 Поезд движется со скоростью 120 км/ч. За сколько минут поезд преодолеет расстояние 8000 м? В одном ящике на п яблок больше, чем во втором. Как-из-менится разница между количеством яблок в ящиках, если из первого ящика переложить во второй с яблок? Запишите в виде выражения; 1) «Ь км а м» в сантиметрах; 3) «п грн т к.» в копейках; 2) «(с + 2) кг» в граммах; 4) «1 сутки t ч» в минутах. ' В записи числа есть л: сотен, г/десятков иг единиц. х>9, b 42768. Рассмотрим, какие задачи можно решать при помощи сложения. 3 , 1, Как известно, Карлсон — очень большой слад- коежка. В свой день рождения он с удовольствием съел 6 банок земляничного варенья до обеда, а после обеда — ещё 8 банок. Сколько банок земляничного варенья съел Карлсон? . - Чтобы найти количество банок земляничного варенья, съеденных Карлсоном, надо найти сумму двух чисел: 6 и 8. Отсюда 6 + 8 = 14 (банок). Итак, Карлсон съел 14 банок земляничного варенья. Оладкоежка Карлсон очень скромный. Поэтому в гостях у Малыша он угостился лишь 2 пирожными. Но конфет съел на 5 штук больше, чем пирожных. Сколько конфет съел Карлсон? Нс ‘ Чтобы найти количество конфет, съеденных Карлсоном, нужно количество пирожных увеличить на 5, Отсюда 2 + 5 = 7 (конфет). Итак, Карлсон съел 7 конфет. #> Обратите внимание: с помощью действия сложения: 1) находят сумму двух или больше чисел; 2) - увеличивают число на указанное количество единиц. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ 59 ' Посмотрите на рисунок 95. Вы видите, как на координатном луче число 2 увеличивали на 5 единиц. Для итого от числа 2 в направлении стрелки (т. е. справа от него) отложили 5 единичных отрезков. Получил-и 2 + 5 = 7. +5 о X —►- 10 Рис. 95 Вы уже знаете, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка их сложения. Например, чтобы найти сумму чисел 36, 11 и 9, можно сначала сложить числа 36 и 11, а затем к их сумме прибавить ч исло 9. Но удобнее сначала сложить числа 11 и 9 и уже их сумму прибавить к числу 36. Порядок сложения чисел указывают при помощи скобок. Для рассматриваемого примера получим; (36 + 11) + 9 = 36 + (11 + 9). Такое свойство сложения выполняется для любых чисел а, & и с и называется сочетательным законом сложения. Запомните! Сочетательный закон сложения. От группировки слагаемых сумма не изменяется. (а + Ь) + с = а + Ф + С). _ Обратите внимание: согласно сочетательному закону сложения действуют по правилу: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. (/Кладывать можно не только числа и числовые выра-1К0ИИЯ, но и буквенные выражения. Например, в сумме 5 6 3 8 о 1 4 Глава 2 a + a + a три равных слагаемых а, поэтому а-Га + а = а*3 = = 3 ■ а = За. И наоборот, выражение За можно понимать как -сумму трёх равных слагаемых, каждое из которых равно а. Поэтому можем записать: За = а + а + а. 3 5 д т г Найдите сумму 2с + 3d + с + d. Рш в -- . о Применив переместительный и сочетательный, законы сложения, сгруппируем! отдельно слагаемые с бук-i вой с и слагаемые с буквой d: ) 2c + 3d + c + d = (2c + c) + (3d + d). j Поскольку 2с = с + с, то 2с + с = с + с + с = Зс. Аналогично, i поскольку 3d = d + d + d,To3d + d = d + d + d + d = 4'd. Поэтому, (2с + с) + (3d + d) = Зс + 4d. Следовательно, S 2с + 3d + с + d = Зс + 4d. ’ Обратите внимание: сложить можно только такие буквенные выражения, каждое из которых содержит те же буквы. ч' Узнайте больше Для вычисления суммы чисел могут пригодиться следующие свойства сложения: | Если одно из слагаемых увеличить|(уменьшить) на>некоторое число, то сумма увеличится (уменьшится) на то же число. На:' пример, 23 + 4 = 27, а (23 + 10) + 4 = 37 и 23 + (4 + 10) = 37. | Если одно из слагаемых увеличить на одно число, а второе слагаемое — на другое число, то сумма увеличится на сумму данных чисел. Например, 23 + 4 = 27, а (23 + 10) + (4 + 2) = 39.' Если одно из слагаемых увеличить, на некоторое число, а второе слагаемое уменьшить на то же число, то сумма не из' менится. .Например, 23 + 4 = 27, а (23 + 3) + (4 - 3) = 27. И ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Назовите компоненты действия сложения. 2 Как называется результат действия сложения-? 3 Запишите переместительный-закон сложения. 4 Чему равна сумма, если одно из слагаемых равно 0? 5 Объясните, как складывают многозначные числа. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 61 6. Запишите сочетательный зак®н сложения. 7 Как показать на координатном луче, что данное число увеличили на заданное количество единиц? 8 Что можно найти с помощью действия сложения? 9 Объясните, как сладывают буквенные выражения. а РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ?0 Верно ли, что в равенстве 1084 + 111 = 1195 слагаемое является числом: 1) 1084; 2)111; 3)1195? 20' Верно ли, что в равенстве 54 321 = 54 300 + 21 суммой является число: 1)54 321; 2)21; 3)54 300? Вычислите устно: 1)200 + 250 000; 2)15 000 000 + 40 000. Какое действие вы выполнили? Назовите компоненты и результат действия. 211 Верно ли, что 23 437 + 78 956 = 78 956 + 23 437? Какой за-ко№Сложёния применили? < t Вычислите: 1)56 789 + 0; 2)0 + 3 004 002 009. -13 Число 25 увеличи^пи на: 1) 5; 2) 125; 3) 95; 4) 100 000. Какое получили число? 1 : По данным таблицы 6 выполните действие. Таблица 6 Слагаемое _1 210 462 14117 210 2000^60 12300675 Слагаемое 701587 510123 5 452 65789 345000000 76543210 Сумма '1: Найдите сумму чисел: 1) один миллион триста сорок пять тысяч двадцять один и семьсот тысяч двадцать пять; 2) семьдесят девять тысяч, сто сорок и восемьдесят четыре тысячи; 3) двадцять три миллиона и двадцать три. 1 н Сравните значения числовых выражений: 1) 153 000 +22 и 22+153 000; 2) 12 056 + 6078 и 6078 + 1256; 3) 300 400 500 + 23 456 и 30 040 500 + 23 456; 4) 2 300 460 и 333+ 1967. Глава 2 , . Выполните сложение: 1) 100 км 17 м + 15 км 23 м; 4) 5 кг 2 г + 115 кг 8 г; 2) 124 км 64 м + 26 км 6 м; 5) 3 ч 32 мин + 12 ч 24 мин; 3) 16 кг 346 г + 71 кг 4 г; 6) 7 ч 52 мин + 5 мин. ! Начертите координатный луч. Отметьте на нём число 5. Покажите на координатном луче, как увеличить данное число на: 1)4; 2)2; 3)10. Какое число получили? ' I 7 Начертите координатный луч. Отметьте на нём число 3. Покажите на координатном луче, как увеличить данное число на: 1)8; 2)4; 3)12. 'Какое число получили? . . 'Выполните сложение удобным способом: 1) 12030 + 330 + 670; 4) 1150 + 40 010 + 850 + 60 090; 2) 175+ 1619 + 225; 5)20006 + 20012 + 31 +6944 + 9 + 888; 3) 1013 + 2 000 900 + 87; 6)222 222 + 33 333 + 77 777 + 888 888. Каким законом сложения вы воспользовались? + I Опираясь на сочетательный закон, выполните сложение удобным способом: 1) 11 001 + 197 + 9009; 2) 7820+105+ 1180; 3) 60 005 070 + 5 002 701+805 030 + 4 187 199; 4) 16 845+ 1234 + 221 855 + 66. . ^ Сравните значение числовых выражений: 1) 400 094+20 900 +6 и 401 543 + 11 267+190; 2) 30 000 005 + 2 300 000 + 5 и 323 000 005. . . Найдите значение суммы а + с, если: 1) а= 12889,с = 987 111; 2) а = 5 555 555, с = 444 445; 3) а = 1 234 567 890, с-76 543 210. Чему равна сумма с + а? | : : Скорость самолёта равна 720 км/ч. Какова будет его скорость, если её увеличить на: 1)5м/ч; 2) 5 м/мин; 3) 5 м/с? : В 2010 году в математическом конкурсе «Кен"уру« уча- ствовало 469 554 ученика Украины, а в 2011 году — на 143 113 учеников больше. Сколько учеников приняло участие в конкурсе за эти два года? ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ А В математическом турнире из города А приняло участие d учеников, а из города В — на с учеников больше. Сколько всего учеников из этих городов участвовало в турнире? Стадион «Донбасс Арена» в Донецке может принять 51 504 болельщиков, стадион «Олимпийский» в Киеве — 70 050 болельщиков, а стадион «Арена Львов» во Львове — 34 915 болельщиков. Сколько всего болельщиков могут принять эти три стадиона? ' Стадион А может принять п болельщиков, стадион В — т болельщиков, стадион С — к болельщиков. Сколько всего болельщиков могут принять три стадиона? 22т Составьте задачу по выражению; 2)т+(т+пу, 3)р + т + п. 1) m + д; 230. Найдите сумму: 1) 34‘8 + 493; 4) 15 923 + 89 989; 2) 2868 + 642+100; 5) 424 592 + 3 575 408; 3) 30 925 + 84 553; 6) 999 999 + 111 111. Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 80 008, а второе — на 765? ?■ Расставьте суммы чисел 1 020 304 + 102 030, 652 356 + + 376 583, 111 111 + 100 015 + 336 и 34067 + 0 в порядке убывания. А 23; Расставьте суммы чисел 9544 + 102 320, 52 356 + 60 583 и ' " 1001 +9000+ 540+ 460 в порядке возрастания. Выполните сложение: 1) 1234 км 17 м + 167 км 87 м; 2) 62 кг 346 г + 79 кг 786 г; 3) 15 ч 48 мин 58 с + 6 ч 24 мин 15 с; 4) 4 ч 32 мин 34 с + 27 мин 26 с. 23; Найдите сумму наибольших пятизначного, черырёхзнач-ного и двузначного чисел. ^ 23i Найдите сумму наименьших пятизначного, черырёхзнач-ного и двузначного чисел. ?: Начертите координатний луч. Отметьте на нём^точки А(2) иБ(6). Покажите, как построить точку С, координата которой является суммой координат данных точек. Начертите координатный луч. Отметьте на нём точки А(7) ,иБ(3). Покажите, как построить точку С, координата которой является суммой координат данных точек. Глава 2 _:! Вычислите удобным способом; 1) 1 + 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 + 90; 2) 145+146+147+148+149+150+151 + 152+153+154+155. ' 1;' Найдите значение выражения: 1) 2а + 2Ь, если a + b=^843; 2) X ■ 3 + у ■ 3, если х + у = 507. > ■■ 1 Найдите сумму: 1) 6а + 5д + 5 + 4а + 14т + 9т + 28; 2) c + 5 Обратите внимание: 1) сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом; 2) разность двух натуральных чисел является натуральным числом только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого; 3) если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСДвШ 67 Вычитание многозначных чисел, как и их сложение, удобнее выполнять в столбик. Например, нужно найти разность чисел 456 789 и 4321. Для этого сначала записывают уменьшаемое, а под ним — вычитаемое, причём так, чтобы единицы находились под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями и т. д. Вычитание выполняют поразрядно, начиная с наименьшего разряда — единиц: 456789 4321 452468. Рассмотрим, какие задачи можно решать с помощью вычитания. ♦ ча • В свой день рождения Карлсон съел 14 банок , варенья, из которых 6 банок до обеда, а остальные — после I обеда^ Сколько банок варенья съел Карлсон после обеда? i Рвш”- -о 14 банок варенья, которые Карлсон съел в • свой день рождения, — это сумма 6 банок варенья, съе-; денных до обеда, и того количества банок варенья, кото-I рое он съел после обеда. Чтобы определить это количе-i ство, надо найти неизвестное слагаемое по известным * сумме и второму слагаемому: 14-6 = 8 (банок). Итак, по: еле обеда Карлсон съел 8 банок варенья. Решение приведённой задачи можно обобщить и представить в виде правила. Запомните! Правило находжения неизвестного слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. . 3; В ГОСТЯХ у Малыша Карлсон съел 7 конфет, а пирожных — на 5 штук меньше, чем конфет. Сколько пирожных съел Карлсон? Ре Чтобы найти количество пирожных, съеденных Карлсоном, надо количество конфет уменьшить на 5. Отсюда 7 - 5 = 2 (пир.). Итак, Карлсон съел 2 пирожных. 68 Глава 2 Посмотрите на рисунок 97, натном луче число 7 уменьша,. видите, как на коорди-числа 7 против направления cv*^ ^ единиц. Для этого от отложили 5 единичных отрезь есть слева от него) ^ов. Получили: 7-5 = 2, -5 о X н—► 10 Рис. , В гостях у Мал». 2 пирожных. На сколько бол|»'ша Карлсон съел 7 конфет и Решение. Чтобы ответить^® конфет съел Карлсон? большего числа отнять меньш^ из вопрос задачи, надо от сон съел на 5 конфет больше, у ^ ~ 2 = 5 (штук). Итак, Карл- 1ем пирожных. ? Изменится лирешениезадх ко меньше пирожных, чем если искать, на сколь- решения — нет, а ответ — да,'^^^®^ съел Карлсон? Ход *> Обратите внимание: ._____________________ I с помощью действия вк I 1) по известной сумме и одному из слагаемых '^ое; честно единиц; лают на указанное коли- 3) выясняют, на скольку того или меньше его. находят другое слагаем 2) данное число умены^®' ТТЛГ»ГПГ»/Л ТГТТТТTIтт • о одно число больше дру- Буквенные выражения moj^ вычитать. Хно как складывать, так и Найдите разност \>(2c + 3d)-c-d. ' :е Перегруппируем в одних скобках собрать вырах члены выражения так, чтобы с буквой d: {2c + 3d)-c-d = (2^^ния с буквой с, а в других — Т. к. 2с = с + с, то 2с - с - c^-c) + {3d-d). 3d = d + d + d,To3d-d = d + d\^ с - с = с. Аналогично, т.к. Поэтому (2с - с) + (3d -d) = c + 2^d- d = 2d. iv\(2c + 3d) -c-d = c + 2d. 6 8 9 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАДЬШЙЙ^ШШЙПЕ 69 Обратите внимание: вычесть можно только такие буквенные выражения, каждое из которых содержит те же буквы. Узнайте больше Для вычисления разности чисел могут пригодиться следующие свойства вычитания. Если уменьшаемое увеличить (уменьшить) на некоторое число, то разность увеличится (уменьшится) на это же число. Например, 20 - 4 = 16, а (20 -г 10) - 4 = 26. «Если вычитаемое увеличить (уменьшить) на некоторое число, то разность уменьшится (увеличится) на это же число. Например, 20 - 4 = 16, а 20 - (4 + 1 ) = 15. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится. Например, 20-4= 16, а(20ч-1)-(4 + 1) = 16. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. 2 3 4 5 6 7 8 9 Назовите компоненты действия вычитания. Как называется результат действия вычитания? Что означает вычесть из одного числа другое? Чему равна разность, если вычитаемое равно 0? Чему равна разность двух одинаковых чисел? Объясните, как вычитают многозначные числа. Как показать на координатном луче, что данное число уменьшили на заданное количество единиц? Что можно найти при помощи действия вычитания? Объясните, как вычитают буквенные выражения. □ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J Верно ли, что в равенстве 3200 - 100 = 3100 вычитаемым являе1тся: 1)3200; 2)100; 3)3100? Верно ли, что в равенстве 56 333 = 56 666 - 333 разностью является: 1)56 333; 2)56 666; 3)333? Вычислите устно; 1) 30 000 - 200; 2) 4100 - 100. Какое действие выполнили? Назовите компоненты и результат действия. Глава 2 259 . Верно ли, чго 12 045 - О = 12 045 + О? Найдите разность: 1) 2а - а; 2)3b~b. 261 Найдите разность чисел; 1) 1 002 000 и 605; 3) 157 643 и 57 643; 2) 987 658 и 123 123; 4) 18 535 и 8030. ^'52 Найдите неизвестные компоненты действий по данным таблицы 7. Таблица 7 I Слагаемое 1 245 462 1 5 452 20000560 934 1 Слагаемое _ . ______________ Сумма 7015871510123 14117 65789 345000000 76543210 263 Выполните необходимое действие по данным таблицы 8. Таблица 8 Уменьшаемое 1 565 Вычитаемое Разность _ I 1233 414 ' 1890 32 472 2804 3000000000 22L 502 243678 ■ Найдите разность чисел; 1) один миллион триста сорок пять тысяч двадцать один и семьсот тысяч двадцать пять; 2) семьсот девять тысяч сто сорок и восемьдесят четыре тысячи; 3) двадцать три миллиона и двадцать три. Выполните вычитание: 1) 18 км 987 м - 15 км 456 м; 3) 67 кг 14 г-40 1^7 г; 2) 170 м 45 см - 70 м 44 см; 4) 105 ц 27 кг - 10 ц 3 кг. Начертите координатный луч. Отметьте на нём число 9. Покажите на координатном луче, как уменьшить данное число на: 1) 4; 2) 2; 3) 8. Какое число получили? ' Начертите координатный луч. Отметьте на нёы число 15. Покажите на координатном луче, как уменьшить данное число на: 1) 12; 2) 3; 3) 7. Какое число получили? Длина крупнейшей в мире рыбы — китовой акуты — равна 10 м. Найдите длину наименьшей рыбки Schindleha brevipinguis (шиндлерии), если она на 9992 мм меныле китовой акулы. Как изменится разность, если увел1ичить: 1) уменьшаемое на 153; 2) вычитаемое на 300? Как изменится разность, если уменьшить: 1) уменьшаемое на 111; 2) вычитаемое на 712'i’ ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬН 71 Два стадиона могут вместить 34 000 болельщиков, в част-Ьости первый стадион имеет 12 000 мест. На сколько меньше Мест на первом стадионе, чем на втором? Два стадиона могут вместить т болельщиков, в том чис-J’le второй стадион имет а мест. На сколько меньше мест на Первом стадионе, чем на втором? Говерла — наивысшая вершина Украинских Карпат и самая высокая точка Украины. Её высота равна 2061 м. Высота Эвереста — на 6787 м больше. Высота Эльбруса — на 5206 м меньше высоты Эвереста. Какова высота каждой Горы? На сколько Эльбрус выше Говерлы? Высота горы Красавица равна Ь м, высота горы Хра-С)рец — на Ь м больше. Высота горы Зелёная — на с м меньше высоты Храбреца. Какова высота каждой горы? На сколько выше гора Красавица, чем гора Зелёная? Составьте задачу по выражению: Ц т - п\ 2) т -р - п. Уменьшаемое увеличили на 689. Как нужно изменить вычитаемое, чтобы разность: I) увеличилась на 112; 2) уменьшилась на 112? Одно из слагаемых увеличили на 123 456 789. На сколько Изменилось второе слагаемое, если сумма увеличилась на ^87 654 321? Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 2?2 895, а второе уменьшить на 9543? Расставьте значения выражений 123 456 -н 89,34 956 - 583, QO 076-115 + 336, 99 999 - 543 - 109 в порядке возрастания. Расставьте значения выражений 123456-89,45610-12105, 4435 + 10 745 - 45, 459 873 - 100 503 - 5 в порядке убывания. Поставьте знак «<», «>», или «=» между числовыми выра->*кениями: II) 153241 +22 0 05 и 45 996- 10 925; 2>) 42 020 504 - 3 541 039 и 5 098 743 - 475 067. ВыполнИ|Те вычитание: 1|) 17 м4 дм 4 см - 7 м 6 дм 4 см; 654кг 78 г - 49 кг 99 г; 65 ч28 мин 15 с - 56 ч 28 мин 25 с. Насколько нужно уменьшить миллион, чтобы получить: 1|) наибольшее трёхзначное число; 2?) наименьшее четырёхзначное число? Глава 2 * 284. Вычислите значение выражения 12а - 9а - Оа + 7а, если: 1)а = 2; 2) а = 943; 3) а = 13 764. фк Вычислите значение выражения 3 • 10 + 5а - 2а, если: " 1)а = 2; 2) а = 300; 3) а = 1000. 286 В теплице было Ь кустов роз. За первый день высадили а кустов, а за второй день — на с кустов меньше, чем за первый. Сколько кустов осталось в теплице? Решите задачу, если: 1) Ь = 860, а = 78, с = 34; 2) Ь = 1044, а = 111, с = 52. 28 i На олимпийские игры из страны Грёз прибыло т участников. Всего из страны Грёз и страны Улыбок прибыло а участников. Из страны Хорошего настроения и страны Улыбок вместе прибыло с участников. Сколько участников прибыло из каждой страны? Сколько всего участников прибыло на соревнования? Решите задачу, если: ^) т = 340, а = 393, с = 221; 2) т=109,а = 169, с = 670. ^ 288 В школах № 1, № 2, № 3 учится т учащихся. В школах № 1 и N° 2 учится р учеников, в школах N° 2 и N° 3 — л учеников. Сколько учеников учится в каждой школе? На сколько больше учеников в школе N9 1, чем в школе № 3? Решите задачу, если: 1) p = 3291,n = 3865,w = 5121; 2) р = 899, п = 664, m = 1299. 289 Маша задумала трёхзначное число, которое сначала увеличила на 4004, а затем — на 260. В результате она получила 4680. Какое число задумала Маша? 290. Андрей задумал четырёхзначное число, которое сначала увеличил на 2222, а затем — уменьшил на 78. В результате он получил 4680. Какое число задумал Андрей? 291 Найдите разность наибольшего пятизначного числа и наименьшего: 1) четырёхзначного числа; 2) двузначного числа. 29 . На сколько число 230 056 меньше числа 9 318 604 и больше числа 56 790? 29; Начертите координатный луч. Отметьте на нём точки21(8) и В(4). Покажите, как построить точку С, координата которой является разностью координат точек А и В. ▲ 294 Начертите координатный луч. Отметьте на нём точки А(7) ' и В(3). Покажите, как построить точку С, координата которой является разностью координат точек А и В. Of действия первой ступени Ндд натуральными числами 73 " 2 - Алёна задумала три Сумма этих чисел равна 6900, Сумма первого и второго, числа равна 6150, а сумма первого и третьего равна 4386. Kcj,^^g числа задумала Алёна? Вычислите: 1) 54 - 52 + 50 - 48 + 46 - '44 ^ +6-4 + 2’ 2) 46-43 + 40-37+... + 1о_7 + 4_1 ’ Поставьте знаки «-» м числами так, чтобы равенство было верным: 1)98989898 = 74; 2)98989898 = 8 901. Вместо * вставьте пpc,пyщgggg,g фр^,. 1) _ 546 *67 ** 87* 2). Q *91 6*1; ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 6*7 67* 8* *82 569 9*3. 299. Высота сосны Ламбе,руд 75 g высота вельвичии — 50 см. На сколько caHTHMig.ppQg сосна выше вельвичии? витамина С в — суточная норма для детей 1 о лет. В 100 г чёрной смо|рцд^,,^У содержится 200 мг витамина С, а в апельсинах и pni^g^g^^ — соответственно на 140 мг и 160 мг меньше. Скольк^ц витамина С в 100 г апельсинов? А в 100 г лимонов? CocTaiggyg QgQ^ рацион из продуктов, содержащих витамин С. п ^ ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕН|^^е 301. Вычислите: 1) 72 + 50 - 20 + 8 + 24 - 4^. 2) 185-24 + 48- 152 + 61 ^23. 302. Скорость лодки в стоя'-^,д^ воде равна 30 км/ч, а скорость течения реки 2 км/час. Найдите скорость лодки, которая движется: 1) по течению реки, 2) против течения реки. 303. Скорость лодки по течсд^^^^^ реки равна 45 км/ч, а против течения реки — 35 км/час. Найдите’ 1 ) скорость лодки в СТОЯЧбдр! gQдg. ' 2) скорость течения реки. ’ 74 Глава 2 § 9. МНОГОУГОЛЬНИК и ЕГО ПЕРИМЕТР. РАВНЫЕ ФИГУРЫ Посмотрите на рисунок 98. Вы видите, как от точки А последовательно отложили отрезки АВ, ВС, CD и DE, а точки Аи Е соединили отрезком АЕ. Любые два из этих отрезков не пересекаются и не являются частями одной прямой. А любая прямая, частью которой является один из этих отрезков, не пересекает другие отрезки (рис. 99). Получили новую геометрическую фигуру — многоугольник ABCDE (рис. 100). Точки А, В,С, Ви Е — это вершины данного многоугольника, а отрезки АВ, ВС, CD, DE иАЕ — его стороны. D- D< •С Е> А В А В А В Рис. 98 Рис. 99 Называя многоугольник, его вершины надо называть последовательно, обходя их по часовой стрелке или против неё. ? Можно ли многоугольнику на рисунке 100 дать название ВАСПВ? Нет. £). Две стороны многоугольника, имеюш;ие общую вершину, на-£. зываются смежными сторона- •С ми. Например, у многоугольника ABCDEF (рис. 101) стороны АВ и ВС смежные, а стороны А_В и DE не являются смежными. Две смежные стороны образуют угол мно- А В Рис. 100 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЯЙ1ШУ5* 75 .D ЧС гоугольника. На рисунке 101 — ато угол АВС. Его можно обозна- ^ нить только одной буквой — названием вершины: /.В. ^ В любом многоугольнике сторон ровно столько, сколько вершин, и углов ровно столько, ' Q сколько вершин. Например, на рисунке 101 многоугольник имеет 6 вершин, 6 сторон и 6 углов. Поэтому его называют шестиугольником. Обозначив количество вершин многоугольника буквой п, можем дать ему другое название — п-угольник. При п-3 получим треугольник, при п = 12 — двенадцатиугольник. А Рис.101 Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Периметр многоугольника обозначают буквой Р. А Найдите периметр четырёхуголь- ^ никаАВСО(рис. 102),еслиАВ=4см,ВС=АО= = 5 см, CD- 2 см. е Ш в Н и D, А В Рис. 102 Лв + CD у AD -- Л£ угВС-yCD--4y 2-5 у2Ч6(см) ОтЛет: / 6 оау-. Если каждая сторона п-угольника равна а, то его периметр можно вычислить по формуле: Р = па. 76 ^ Среди четырёхугольников особым •J / Глава 2 L* является прямоугольник (рис. 103). У него 4 вершины, 4 стороны и 4 угла. Все углы прямоугольника — прямые. противоположные стороны — попарно равны, но смежные стороны имеют разные длины. В начальной школе вы .П / а Г. называли такие стороны длиной и шириной прямоугольника. Рис. 103 / l; г Г; Обозначим длины смежных сторон ^ прямоугольника буквами аиЬ. Тогда формула периметра прямоугольника будет выглядеть так: \ Р = 2а + 26. Из начальной школы вы знаете еш;ё один особый четырёхугольник — квадрат (рис. 104). У него все углы — Рис. 104 прямые (следовательно, он является прямоугольником), а все стороны равны друг другу. Формула периметра квадрата со стороной а имеет вид: Р = 4а. ? Является ли каждый прямоугольник квадратом? Нет, поскольку суш;ествуют прямоугольники, у которых смежные стороны не равны друг другу. Например, прямоугольник на рисунке 103. Стороны прямоугольника (рис. 105) равны а см и 6 см (а < Ь), а квадрата — а см. На сколько периметр прямо-_ угольника больше периметра квадрата? [V ‘ и ■ Обозначим периметр прямоугольника Р,, а пе-: риметр квадрата — Р^. Тогда Р, = 2а + 2Ь (см), а Р^= 4а (см). Найдём разность Р, и Р^: . . Р, - Р^ = 2а -t 26 - 4а = 2а + 26 - 2а - 2а = ' =26-2а (см). ^ Следовательно, периметр прямоугольни- * ка со сторонами а см и 6 см (а < 6) больше . периметра квадрата со стороной а см на • • • ; 26-2а (см). Рис. 105 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИвЛЖМИ^ 77 Рис. 106 Рис. 107 Посмотрите на рисунок 106. Вы видите, что два прямоугольника имеют соответст|венно равные стороны и их можно совместить, наложив друг на друга. У двух квадратов на рисунке 107 длины, сторон одинаковые и их тоже можно совместить наложением. Какой бы ни была фигура, всегда можно найти такую фигуру, которая совместится с ней наложением. Запомните! Две фигуры называются равными, если они совмещаются наложением. Итак, на рисунке 106 изображены равные прямоугольники, а на рисунке 107 — равные квадраты. Понятно, что равные фигуры имеют равные периметры. Позже вы узнаете другие свойства равных фигур. Узнайте больше В метрической системе, которой мы пользуемся, основной единицей измерения длины является метр. Метр (от греч. Metron — мера, размер) равен длине пути, который проходит свет в вакууме за -1/299 792 458 долю секунды. В астрономии пользуются своими единицами измерения расстояний. Например, световой год (сокращенно «св. г.»). 1 СВ. г. равен расстоянию, которое свет проходит за один год. Поскольку скорость света в вакууме равна 299 792 458 м/с, то световой год составляет 9 460 730 472 581 км. 2 Глава 2 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Что называется многоугольником? 2. Какие стороны многоугольника называются смежными? 3. Сколько сторон, вершин и углов имеет шестиугольник, пятиугольник? 4 Что называется л-угольником? 5 Что называется периметром многоугольника? 6. Как найти периметр п-угольника, у которого все стороны равны? 7. Какой многоугольник называется прямоугольником? Квадратом? 8. Назовите свойства прямоугольника. 9. Как найти периметр квадрата? Прямоугольника? 10. Какие фигуры называются равными? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Назовите многоугольники, изображённые на рисунках 108 — 110. Назовите стороны, пары смежных сторон, углы данных многоугольников. -О Р, .N О, D. •D Рис. 108 К' •м А* L Рис. 109 М* •N В Рис. 110 Сколько вершин, сторон, углов имеет п-угольник, если; 1)Д = 7; 2)л = 12; 3)п=105? Как называется такой многоугольник? Начертите: 1) четырёхугольник; 2) пятиугольник; 3) шестиугольник. Назовите пары равных сторон прямоугольника: ^)ABCD (рис. 111); 2) MNPK (рис. 112). ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ _ 79 • К д м р в Рис. 111 N . Рис. 112 Верно ли записана формула периметра прямоугольника ABCD; ^)P=AB + BC■, 2) Р = 2АВ^2ВС\ 3) P^2AB + 2CD? Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны: 1) 3 см'б см, 7 см, 2 см, 5 см; 2) 65 см, 26 см, 34 см, 19 см, 11 см. Каждая сторона п-угольника равна с. Запишите формулу для вычисления его периметра, если: 1)п-5; 2)п=10; 3)п = 18. Вычислите периметр д-уголь-ника, каждая сторона которого равна 5 см,если: 1)п=10; 2)д = 200; 3)д=1000. Постройте четырёхугольник. Проведите необходимые измерения и найдите его периметр. Постройте многоугольник, равный многоугольнику, изображённому на рисунке 113. Какие многоугольники изображены на рисунке 114? Сколько изображено четырёхугольников? Шестиугольников? Является ли четырёхугольник ABCD прямоугольником, если: 1) ZA = 90°, Z В = 80°, Z С = 90°, ZB = 100°; 2) Z А = 90°, Z В = 90°, Z С = 90°, Z В = 90°; 3) АВ = 4 см, ВС = 8 см, CD = 8 см, DA = 4 см; 4) АВ = 4 см, ВС = 4 см, CD = 4 см, DA = 8 см? Рис. 114 ! I Н Глава 2 Рис. 115 В 316 Постройте прямоугольник, равный прямоугольнику на рисунке 115. 317. Постройте прямоугольник, стороны которого вдвое больше сторон прямоугольника на рисунке 115. 318 Постройте квадрат, равный квадрату на рисунке 116. 319 Постройте квадрат, сторона которого втрое меньше стороны квадрата на рисунке 116. 320 Дан квадрат. Найдите неизвестные величины по таблице 9. Таблица 9 Сторона квадрата Периметр квадрата 4 см 40 мм 12 дм 20 см 64 м , 400 мм 24 км 37 ■ Дан прямоугольник. Найдите неизвестные величины по таблице 10. Таблица 10 Длина 20 см 8 см Ширина 15 см 23 см Периметр! 10 см 32 см 56 дм 24 см 120 мм 45 см I 60 см 124 см 322 . Одна сторона прямоугольника равна 246 см, а другая — на 98 см меньше. Найдите периметр прямоугольника. 32 “ Одна сторона прямоугольника равна 56 м, а другая — на 23-м больше. Найдите периметр прямоугольника. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬ 81 А А 324 Периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длину прямоугольника, если его ширина равна 6 см. 325 Периметр прямоугольника равен 48 дм. Найдите ширину прямоугольника, если его длина равна 8 дм. 326 Найдите сторону квадрата, если его периметр равен 16 т. 327 Как изменится периметр л-угольника, если каждую его сторону увеличить на 7 см? 32В Сторона ВС четырёхугольника ABCD равна 28 см, что вдвое больше стороны Сторона АВ на 9 см меньше ВС и на 3 см больше CD. Найдите периметр четырёхугольника. 329. Сторона АВ четырёхугольника ABCD равна 150 см. Сторона AD втрое больше АВ, сторона ВС — на 34 см меньше АВ. Найдите CD, если периметр четырёхугольника равен 916 см. 330. Наименьшая сторона десятиугольника равна 4 см. Каждая его последующая сторона больше предыдущей на 2 см. Найдите периметр десятиугольника. 331. Наибольшая сторона девятиугольника равна 45 см. Каждая его последующая сторона меньше предыдущей на 3 см. Найдите периметр девятиугольника. 332 Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите длину прямоугольника, если она на 2 см больше его ширины. 333. Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см. Найдите сторону квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. 334 Одна сторона прямоугольника равна т, а другая — на п больше. Найдите периметр прямоугольника, если: 1) т = 6 см, л = 20 мм; 2)/п = 8 дм, л = 4см. 335. Одна сторона прямоугольника равна '17 м, а другая — на 65 см меньше. Найдите периметр прямоугольника. 336. Периметр прямоугольника равен 34 дм. Найдите длину прямоугольника, если его ширина равна 500 мм. ■37. Футбольное поле имеет форму прямоугольника, размеры которого 100 м и 75 м. Найдите размеры баскетбольной площадки прямоугольной формы, если её ширина в 5 раз меньше ширины футбольного поля, а длина — на 72 м меньше длины футбольного поля. 6 м ЙТРМНТИКЯ П L I 82 ... ■ b Глава 2 b Рис. 118 338. Найдите сторону квадрата, периметр которого равен 7 м. 339. Запишите выражения для определения периметра фигур, изображённьх на рисунках 117, 118. 340* Наименьи'ая сторона семиугольника равна а. Каждая его последующа? сторона больше предыдущей на с. Найдите периметр сел1иугольника. 341*. Сторона прямоугольника ABCD втрое больше стороны ВС. НаШите стороны прямоугольника, если его периметр равен 7i см. 342* Лист бумаги имеет форму прямоугольника, одна сторона которого рав^а 4 см, а другая — 9 см. Разрежьте этот прямоугольник на д1б равные части так, чтобы можно было, сложив их, получить |вадрат. Найдите его периметр. 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 343. Комната в (зорме прямоугольника имеет размеры 3 х 4 м. Сколько метррв плинтуса нужно купить для этой комнаты? 344. Сад имее' форму прямоугольника со сторонами 6 м и 10 м. Хватит ли 30 м забора для того, чтобы оградить сад? 345. Имеется нгбор палочек: 4 палочки длиной 1 см, 4 палочки длиной 2 см,' палочек длиной 3 см и 5 палочек длиной 4 см. Можно ли извсех палочек этого набора составить прямоугольник? 346. Ширина лиюлеума 2 м. Сколько метров линолеума потребуется, чтобьпокрыть пол размером 5 х 4 м? ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИЧЬЮ1М*Да1»^ 83 ]В ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ Д 347. Вычислите: 1) 25 кг 900 г + 24 кг 650 г; 2) 34 кг 25 г — 15 кг 70 г. 348. Из одного пункта в противоположных направлениях отправились два катера, движущиеся со скоростями 25 км/ч и 30 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут катера через 1 ч? ----------------------------------------------N § 10. ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО ВИДЫ Вы знаете, что треугольник — это отдельный вид многоугольника. У него 3 вершины, 3 стороны и 3 угла. Треугольник АВС на рисунке 119 имеет вершины А, В и С, стороны АВ, ВС и АС, углы ВАС, АВС и АСВ. Среди треугольников можно выделить несколько видов. Для этого нужно выбрать основания для деления треугольников на виды. Прежде всего сравним длины сторон треугольника. Стороны треугольника могут иметь одинаковую длину. Тогда треугольник, как и любой многоугольник с таким свойством, называют равносторонним. На рисунке 120 вы видите равносторонний треугольник DEF. На рисунке равные стороны треугольника обозначают одинаковым количеством чёрточек. В треугольнике может не быть равных сторон, как, например, в треугольнике KLM на рисунке 121. Тогда "л \ ./ \ Г\ \ 1 \ 1 . Рис. 119 В D у- Рис.120 • *- Е К ---у- - Рис.121 L 6* Глав^ 2 Т, R Рис. 122 р = а + Ь + с Рис. 123 такой треугольник называют посторонним. Если же в треугольнике есть две равные стороны, то его называРТ равнобедренным. На рисунке 122 ?Ь1 видите равнобедренный треугольнрк RST, у которого RT=ST. Равные стороны равнобедренного треугольни!^^ называют его боковыми сторонаМ^^ а третью сторюну— основанием. Вы уже знаете, что такое периметр многоугольника и как еГО находить. Чтобы вычислить периметр треугольника, надо действовать так же — найти сумму длив его сторон (рис. 123). ПеримеФ равностороннего треугольника (О стороной а находят по формуле: Р = 3а. лЭч Найдите периметр равнобедренного треугол*-ника CDK, основание которого CD = 5 см, а боковая сторона “ ^ на 2 см меньше. ’ ' и е 2) 2]?--С2)^а^М--С2)^2аь--5^2-3-- Н(ом,, ОтАть: Ц см. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ Можно ли поделить треугольники на виды по другому основ«а-иию? Да. Например, по их углам. Среди треугольников различают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. В остроугольном треугольнике все углы являются острыми. Например, на рисунке 124 вы видите остроугольный треугольник АВС, У прямоугольного треугольника один угол прямой. Например, в треугольнике DOM (рис. 125) угол О равен 90°. ^ На рисунке прямой угол треугольника обозначают значком «1». В тупоугольном треугольнике один угол тупой. Например, в треугольнике KPN на рисунке 126 90°. ? Существует ли треугольник С двумя прямыми или двумя тупыми углами? Нет. Проведём опыт. Изготовим треугольник из плотной бумаги и разрежем его так, как показано на рисунке 127. К углу 1 приложим угол 2 (рис. 128), 85 С, / А В рис. 124 Л О м рис. 125 У* К рис. 126 3 f 1 Рис. 127 Рис. 128 2 86 Глава 2 а к нему — угол 3. Получили развёрнутый угол. Это значит, что сумма углов 1, 2 и 3 равна 180°. Такое свойство присуще любому треугольнику. Отсюда следует, что в треугольнике не может быть два тупых или два прямых угла. В 7 классе вы сможете это строго доказать. Сумма углов треугольника всегда равна 180°, а периметр треугольника зависит от длин его сторон. Л / \ с, -V г в Рис. 129 Л Вы знаете, что такое равные многоугольники. Аналогично, два треугольника называются равными, если они совмещаются наложением. Отсюда следует, что у равных треугольников соответственные стороны и соответственные углы равны. На рисунке 129 вы видите равные треугольники АВС и KLM. У них: АВ = KL, ВС = LM, АС = КМ, /-A^jLK,^B=lL,a.C=lM. Чтобы выяснить, равны ли два треугольника, надо проверить, выполняются ли все эти шесть равенств. В 7 классе вы узнаете, как можно упростить эту процедуру. Узнайте больше Приведём наиболее важные случаи, встречающиеся при построении треугольников. С другими случаями вы познакомитесь позже, изучая курс геометрии. Если даны две стороны и угол между ними, то треугольник можно построить всегда. Если даны сторона и два угла, то треугольник можно построить только при условии, что сумма двух данных углов меньше180°. Если даны три стороны, то треугольник можно построить только при условии, что каждая из его сторон меньше суммы двух других сторон. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНк ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Какой многоугольник называется треугольником? 2 Сколько вершин, сторон, углов имеет треугольник? 3 Какой треугольник называется разносторонним? Равносторонним? 4 Какой треугольник называется равнобедренным? 5 Какой треугольник называется остроугольным? Прямоугольным? Тупоугольным? 6 Как найти периметр треугольника? Равностороннего треугольника? 7 Чему равна сумма углов треугольника? 8 Назовите свойства равных треугольников. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I 349 . Назовите вершины, стороны, углы треугольника: 1)АВС; 2)MNP\ 3)DRT. 350 На рисунках 130— 132 назовите: 1) равносторонний треугольник: 2) равнобедренный треугольник. 7 к X м D X Рис. 130 Рис.131 Рис. 132 351 . Назовите основание и боковые стороны равнобедренного треугольника: 1) АВС (рис. 133); 2) MNP (рис. 134). Cf А \ / Рис.133 М N Рис. 134 Cr Nf tiiis-.'." -fM Глава 2 — - oK / У у *в Рис. 135 / Рис. 136 А* Рис. 137 352 Назовите вид треугольника АВС, если; 1) АВ = 3 см, ВС = 8 см, СА = 8 см; 2) АВ = 15 м, ВС = 15 м, СА= 15 м. 353 Найдите периметр равностороннего треугольника со стороной; 1) 15 см; 2) 123 м. - На рисунках 135—137 назовите; 1) остроугольный треугольник; 2) тупоугольный треугольник; 3) прямоугольный треугольник. 355 Назовите вид треугольника АВС, если; 1) ^ А = 90°, Z В = 20°, аС = 70°; 2) Z А = 45°, = 65°, 4 С = 70°; 3) ZA=14°, Z.B= 126°, ZC = 40°. 35b Может ли сумма всех углов треугольника быть раЕ(ной; 1)100°; 2)170°; 3)180°; 4)190°? -' 57 Постройте треугольник. Измерьте его стороны и определите его вид. , 358 Постройте; 1) равнобедренный треугольник; 2) разносторонний треугольник. Проведите необходимые измерения и найдите периметр каждого треугольника. 359 Дан треугольник АВС. Найдите неизвестные величины по таблице 11. Таблица 11 АВ 18 см 67 м 125 см 945 дм 556 см АС 34 см 20 м 65 дм ВС 23 см 23 м 125 см 876 дм 4500 мм Р 144 м 375 см ДЕЙСТВИЯ ЯЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬИЫМИЧ1Ш11*1«ЙгТ" 89 * 360 Вычислите периметр равностороннего треугольника АВС, если: 1) АВ = 201см; 3)АБ = 37см; 2) АС = 4м6см; 4)СБ = 8м30см. 36' Найдите сторону равностороннего треугольника, если его периметр равен: 1) 21т\ 2) 1 Ър\ 3) 6а. 36. . Основание равнобедренного треугольника равно 10 мм, а боковая сторона — вдвое больше него. Найдите периметр треугольника. 363 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18 см, а его периметр — 42 см. Чему равно его основание? 364 Постройте треугольник: 1) остроугольный; 2) тупоугольный; 3) прямоугольный. 365 Существует ли треугольник, у которого углы равны: 1) 90°, 90°, 20°; 3) 70°, 80°, 80°; 2) 135°, 90°, 45°; 4) 30°, 70°, 80°? 366 Дан треугольник АВС. По данным таблищы 12 найдите неизвестные углы. Таблица 12 4А 60° — 60° 60° — 135° 4Б 30° 42° 90° 20° 4С 100° 45° 367 Угол А треугольника АВС равен 40°, а угол С — вдвое больше угла А. Найдите угол В. 368 Угол А треугольника АВС равен 70°, а угол С — на 10° больше угла А. Найдите угол В. 369 . С помощью линейки и транспортира постройте треугольник АБС, у которого: 1) 4 А = 60°, АБ = 6 см, АС = 4 см; 2) 4 А = 60°, 4 Б = 90°, АБ = 5 см. Определите вид треугольника. . 370 С помощью линейки и транспортира постройте треуголь-' никАБС, у которого: 1) 4А = 60°, 4Б = 60°,АБ = 6см; 2) 4 А = 60°, АБ = 6 см, АС = 6 см. Определите вид треугольника. Глава 2 ▲ 371 .На рисунке 138 изображены треугольники. В тетради по- стройте треугольники, равные данным. 372. Сторона АВ треугольника АВС равна 10 см. Сторона АС вдвое больше АВ и на 6 см меньше ВС. Найдите периметр треугольника. ▲ 373. Сторона ВС треугольника АВС равна 17 см. Сторона АС на 8 см больше ВС и на 6 см меньше АВ. Найдите периметр треугольника. 374. Основание равнобедренного треугольника на 10 см больше боковой стороны. Найдите периметр треугольника, если его боковая сторона равна 4 дм. ▲ 375. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 9 см больше основания. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 56 см. 376. Чему равна сторона равностороннего треугольника, периметр которого вдвое меньше периметра квадрата со стороной 12 см? 377. Угол С треугольника АВС равен 60°. Угол В — на 40° меньше угла А. Найдите угол В. ▲ 378. В треугольнике АВС L В — прямой. Z А на 56° больше L С. Найдите углы треугольника. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 91 379 Постройте: 1) равнобедренный остроугольный треугольник; 2) равнобедренный тупоугольный треугольник; 3) равнобедренный прямоугольный треугольник. Сторона АВ треугольника АВС на 7 см больше стороны АС, которая на 6 см меньше стороны ВС. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 49 см. i В треугольнике АВС АВ + ВС = 25 см, ВС + СА = 26 см, СА + АВ = 27 см. Найдите периметр треугольника АВС и каждую его сторону. 31 Периметр равнобедренного треугольника равен р см, а его боковая сторона — (т + 3) см. Найдите основание треугольника. ЗС. В треугольнике АВС zA + zB = 90°, zB + ZC = 150°. Найдите углы треугольника. Е ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 384. Лист бумаги -имеет форму прямоугольника, одна сторона котррого равна 4 см, а вторая — 9 см. Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы можно было, сложив их, получить треугольник. 385. На уроке трудового обучения Маша получила задание сшить треугольную косынку размерами 50 см, 50 см, 75 см. Девочка решила украсить косынку кружевом Сколько ей нужно купить кружева, чтобы обшить косынку? 386. Постройте орнамент, используя: 1) разные виды треугольников; 2) только прямоугольные треугольники. Е ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 387. Вычислите: 1) 25-8 —4-90 +2 (424+ 26); 2) 240:4 + 560:7+ 121 : (321 —240 — 70). 388. Выразите в миллиметрах: 1) 25 см 4 мм; 2) 8 м 2 мм. 389. Выразите в секундах: 1) 2 ч 15 мин; 2) 1 ч 20 мин 5 с. 390. В зимних Олимпийских играх в Ванкувере принимали участие спортсмены из 83 стран, что на 123 страны меньше, чем в летней Олимпиаде в Пекине. Сколько стран приняло участие в летних И1грах? 92 Глава 2 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется буквенным выражением? Приведите пример. 2. Объясните, как вычислить значение буквенного выражения. 3. Что такое формула? Приведите пример формулы. 4. Назовите компоненты и результат действия сложения. 5. Запишите переместительный закон сложения. 6. Объясните, как складывают многозначные числа. Приведите пример. 7. Запишите сочетательный закон сложения. Приведите пример его применения. 8. Назовите компоненты и результат действия вычитания. 9. Что означает вычесть из одного числа другое? 10. Объясните, как вычитают многозначные числа. Приведите пример. 11. Что называется многоугольником? 12. Какой многоугольник называется прямоугольником? Квадратом? 13. Какие фигуры называются равными? 14. Что называется периметром многоугольника? 15. Запишите формулу периметра л-угольника, каждая сторона которого равна а. 16. Как найти периметр квадрата? Прямоугольника? 17. Какой многоугольник называется треугольником? 18. Какой треугольник называется равносторонним? Разносторонним? Равнобедренным? 19. Какой треугольник называется остроугольным? Прямоугольным? Тупоугольным? 20. Как найти периметр треугольника? 21. Запишите формулу периметра равностороннего треугольника. 22. Чему равна сумма углов треугольника? I i [ЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ 93 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10 — 15 мин. 1°. Найдите сумму чисел 114 и 938. A. 1142. Б. 1042. B. 1052. Г. 1152. 2°. Число а увеличили на 15, затем увеличили в 3 раза, а потом уменьшили на 15. Какое выражение получили? A. За. Б.а + 15 3-15. B. (а + 15)-(3-15). Г. (а+15)-3-15. 3°. В треугольнике АВС Z.A=80°, lB = 20°, zC = 80°. Какого вида треугольник АВС? A. Равносторонний. Б. Прямоугольный. B. Остроугольный. Г. Тупоугольный. 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 9 см, а его основание — на 5 см больше. Найдите периметр треугольника. A. 23 см. Б. 37 см. B. 32 см. Г. 14 см. 5*. Сторона АВ четырёхугольника ABCD равна стороне квадрата, периметр которого равен 24 см. Сторона CD — на 4 см больше АВ и на 3 см меньше СВ. Сторона AD — на 20 мм больше суммы сторон АВ и CD. Найдите периметр четырёхугольника. A. 49 см. Б. 37 см. B. 47 см. Г. 41 см. ^ - — ГЛАВА ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Вы узнаете: Ф о действиях умножения и деления натуральных чисел и их свойствах; ф как выполнять деление с остатком; Ф каков порядок выполнения действий в выражениях, содержащих действия двух ступеней; ф что такое уравнение и его корень; ф об арифметическом и алгебраическом способах решения задач; Ф как применять изученный материал на практике ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУР/1 95 3 С. §11. УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Вы знаете, что сложение нескольких одинаковых слагаемых можно заменить действием умножения: 25 + 25 + 25 + 25 = 25-4. Запомните! Умножить число а на натуральное число Ь — значит найти сумму Ь одинаковых слагаемых, кахсдое из которых равно а. а • Ь = а + а+... + а Ъ слагаемых Умножение — это арифметическое действие второй ступени. Числа, которые нужно умножить, называются мкожителями. Число, получаемое в результате умножения, называется произведением. Компоненты действия Результат действия 3 • 2 = 6 множитель множитель произведение Выражение 3 • 2 также называется произведением. ? Изменится ли произведение, если поменять местами множители? Нет. Попробуйте самостоятельно объяснить, почему верно равенство 3 • 2 = 2 • 3 = 6. Такое свойство справедливо для любых чисел а и Ь. Это — переместительный закон умножения. Запомните! Переместительный закон умножения. От перестановки множителей произведение не изменяется. а-Ъ=Ъ•а Понятно, что если один из множителей равен 1, то произведение равно второму мноясителю: а • \ \ • а = а. Глава 3 Если один из множителей равен О, то произведение равно 0: а • о = о • а = 0. Вы уже знаете, что результат умножения нескольких множителей не зависит от порядка выполнения умножения. Например, чтобы найти произведение чисел 10, 2 и 15, можно сначала перемножить числа 10 и 2, а затем их произведение умножить на число 15. Но удобнее сначала перемножить числа 2 и 15, а затем на их произведение умножить число 10. Порядок умножения чисел указывают при помощи скобок. Для рассматриваемого примера получим: (10 • 2) • 15 = 10 • (2 • 15). Такое свойство справедливо для любых чисел а,Ьис. Это — сочетательный закон умножения. I вал Сочетательный закон умножения. От порядка группировки множителей произведение не изменяется. {а ■ Ь) - с = а ■ ф ■ с). »> Обратите внимание: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Опираясь на переместительный и сочетательный законы, можно применять и такой способ группировки множителей: второе число умножить на произведение первого и третьего. Например, для нахождения произведения чисел 10, 2 и 15, кроме уже рассмотренных способов, существует третий способ: (10 • 15) • 2. Переместительный и сочетательный законы умножения справедливы для любого количества множителей. Применяя эти законы, можно значительно упростить вычисления. Рассмотрим примеры. -;ТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 97 I)' ДЕИС Найдите произведение; 2-4-5-15-25; 2) (4 • 15) • 2 • (25 • 5). 1) Чтобы упростить вычисления, переставим ^,южители и сгруппируем их по-другому: ^ • 4 • 5 ■ 15 ■ 25 - 15 • (2 • 5) ■ (4 • 25)= 15 ■ 10 • 100- 15 000. 2) Данное числовое выражение содержит только действие У1^1Ножения, поэтому его можно записать без скобок: ^ (4-15)-2-(25-5) = 4-15-2-25-5. |-|^регруппировав множители, найдём'произведение: ^ - 15-2-25-5 = (4-25)-{2-5) - 15= ТОО - 10- 15=15 000. рбратите внимание: j ) вычисляя произведение нескольких чисел, можно по-разному переставлять и группировать множители; если выражение в скобках содержит только действие умножения, то в таком выражении скобки можно опустить (не записывать). gpi знаете, что многозначные числа удобнее умножат? ® столбик. Например, нужно найти произведение чисе-^ 3025 и 1 234 567. Первым, как правило, записы-ваю'Т’ ’^исло с большим количеством цифр. Второе число рдз)у(ещают под первым так, чтобы единицы находились под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотн.^^^ и т. д. Умножение выполняют поразрядно, на-чинa^^ с наименьшего разряда — единиц. X 12 345 6 3 1 ? T5JT2 ^251390 Г0Т81295 0 pjppH умножении чисел, оканчиваюш;ихся нулями, поль:'^У’®'^^^ особыми правилами. 98 Глава 3 Чтобы умножить натуральное ЧИСЛО на 10,100,1000, ..., нужно дописать к этому числу справа столько нулей, сколько их в числе, на которое умножаем. Например, 28 • 1000 = 28 000; 735 • 100 = 73 500. Запомните! Чтобы умножить натуральные числа, оканчивающиеся нулями, нужно: 1) выполнить умножение, не обращая внимания на нули в конце чисел; 2) к полученному произведению дописать справа столько нулей, сколько их во всех множит-елях вместе. —г Например, 120 • 400 = 48 000. Умножать можно не только числа и числовые выражения, но и буквенные выражения. Законы умножения позволяют упрощать буквенные (выражения. Упростите выражение 2 • 1 5 . с • 3 • d. i ' ■ Применив переместительн|ый и сочетательный законы умножения, сгруппируем отделььно множители, являющиеся числами, и множители, записан1ные буквами; 2 - 15c-3d = (2- 15-3)-(cd) = 90cd = 90cd. В буквенных выражениях, таких т<ак 90cd, множители end называют буквенными мнолкителями, а множитель 90 — числовым множителем, или числовым коэффициентом. Как правило, числовой коэффициент записывают первым множителем. С помощью умножения решают следующие задачи. Три пятых класса решили провести спортивные состязания. В каждой команде должно быць по 10 участников. Сколько пятиклассников примут участие ез состязаниях? — II Чтобы найти количество Участников состязаний, надо найти сумму одинаковых слагаемых: 10-г 1 0-е 10. Сумму можно заменить произведением; ю • 3 = 30 (уч.). Значит, в состязаниях примут участие 30 пятиклассников. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 99 ♦ да : Сладкоежка Карлсон снова посетил Малыша. В этот раз он съел 2 пирожных, а конфет — в 5 раз больше, чем пирожных. Сколько конфет съел Карлсон'в этог раз? л - Чтобы найти количество конфет, съеденных Карлсоном, нужно количество пирожных увеличить в 5 раз. Отсюда 2 • 5 = 10 (к.). Следовательно, Карлсон съел 10 конфет. #> Обратите внимание: с помощью действия умножения: 1) находят сумму равных слагаемых; 2) данное число увеличивают в несколько раз. Узнайте больше Знак умножения «х» — косой крест — находим в работе английского математика Вильяма Оутреда «Математический ключ», опубликованной в 1631 году. Позже, в 1698 г., выдающийся немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил действие умножения обозначать точкой (•). Несколько ранее, в 1684 г., он ввёл две точки (:) для обозначения деления. 'Правда, вначале эти знаки не получили всеобщего признания и стали использоваться только в XVIII в. благодаря учебникам немецкого математика Христиана Вольфа. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Назовите компоненты действия умножения. 2 Как называется результат действия умножения? 3. Что будет результатом действия умножения, если один из множителей равен 0? Единице? 4 Сформулируйте и запишите переместительный закон умножения. 5 Сформулируйте и запишите сочетательный закон умножения. 6 Как выполняют умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и т. д.? 7 Как выполняют умножение натуральных чисел, оканчивающихся нулями? 8 Что такое буквенный множитель? 9 Что называют числовым коэффициентом? 10. Какие задачи можно решать с помощью умножения? 7* 100 Глава 3 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Замените действие сложения действием умножения: 1) 35 + 35 + 35J 2)12+12+12+12+12; 3)а + я + я + я. Верно ли, что в равенстве 24 • 5 = 120 множителем является число; 1)5; 2)120? Чему равно произведение числа m на 1 ? На О? Что можно сказать о множителях, если их произведение равно О? Приведите примеры. Масса арбуза 5 кг, а дыни — 2 кг. Объясните, какой смысл имеют выражения: 1)5 + 5 + 5 + 5 + 5; 2)5 + 2 + 2 + 2; 3)53 + 2; 4)5-2 + 2-3. Карандаши стоят х грн, краски — у грн, а альбом — z грн. Объясните, какой смысл имеют выражения; ^)x + x + y + y+z + z\ 2) Зх +2j/ +52. Вычислите устно: 1) 15-2; 3)26-10; 5)0-65; 2) 18-4; 4)84-1; 6)34-100. Вычислите устно удобным способом: 1)16-2-5; 2)5-7-4; 3)(25-8)-2; 4)5-(17-2). Назовите числовой коэффициент в выражении: 1)2а&с; 2)4x-3y-2z\ 3)т-5пр. Как увеличить число в 5 раз? Сумма каких двух чисел равна их произведению? Сумма каких двух чисел больше их произведения? Как изменится результат действия умножения а Ь = с, если: 1) число а увеличить в 2 раза; 2) число Ь увеличить в 3 раза? Как изменится произведение двух чисел, если к каждому из них справа дописать нуль? Даны числа: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Что больше: произведение этих чисел или их сумма? Ответ объясните. Найдите значение выражения; 1) 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48; 2) 405 + 405 + 405 + 405 + 405; 3) 201 + 15 + 201 +201 +201 + 15; 4) 82 + 12 + 12 + 82 + 82 + 82 + 82; 5) 25+ 125+ 125 + 25 + 25 + 25+ 125+ 125. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЙ По данным таблицы 13 вычислите значение с. 101 а Ъ с-аЬ 248 32 _250 28 1258 101 _1 d Таблица 13 k ^ 4т 6h '.J t Найдите Произведение чисел: А А А 1) 2985 и 124; 2) 30 450 и 252; 3) 459 810 и 4050; - Выполните умножение: 1) 125 ■ 25 201- 2) 30 865 -2010; Вычислите наиболее удобным способом: 1) 256-20-5; 3) (125 • 68) ■ 8; 2) 25 • 37 • 4; 4) 50 . (245 • 20) Вычислите наиболее удобным способом: 4) 3412 025 025 и 85 602; 5) 284 и 204 531; 6) 52 801 и 4019. 3) 81 460 • 2018; 4) 457 623 -985 600 120. 1) 2 - 144 - 50 2) 4-702-25; ■ Упростите выражение: 1) 8-а-4-2-6- 2) 16 -с -5 -d; ’ 3) т - 3 ■ п - 12- 3) (241 -8)- 125; 4) 250 (390-4). 4) 7х -5у- 2; 5) 5p-3k- 12t] 6) 3ab-2c- 10. Назовите числовой коэффициент в полученном выражении. Упростите выражение: 1) 6 - 12 - а - 2 ■ 6; 3)4т - 7л - 2; 2) 8-с-5-с(-2; 4)3p-6k-4t. Назовите числовой коэффициент в полученном выражении. i Угол АОВ Разделён на 9 равных частей. Градусная мера каждой из них равна 12°. Найдите градусную меру угла АОВ. '■ Отрезок СХ) разделён на 13 отрезков, длина каждого из которых 4 CN/I. Найдите длину отрезка CD. Серёжа в 4 раза старше своего брата Никиты и в 5 раз моложе своего отца. Сколько лет отцу, если Никите 2 года? Каролина р 2 раза старше своей сестрички Тамары и в 4 раза моложе своей мамы. Сколько лет маме, если Тамаре 5 лет? ' Проверьте, правильно ли Петя выполнил умножение. 1) ^ 38557 405 192785 154228 1735065 2) 14025 125 70125 + 28050 14025 3) ^654190 280 523352 130838 18317320 1753125 : Какие числа нужно ‘поставить вместо звёздочек, чтобы получить правильное решение следуюш,их примеров? 1) ^ 9*48 2) ^ 253* 4*2 1*3 *8096 +7*9* + 45240 2* * *619* 26*590 4089696 Таня начала выполнять умножение: х529 725 2645 1058 Каким образом можно записать следующий ряд, не выполняя умножение 7 на 529? Приведите подобный пример на умножение. Ученику необходимо умножить 58 на 67. Он перемножил отдельно десятки и получиЛ' 3000, а потом перемножил отдельно единицы и получил 56. После этого он сложил оба произведения и получил 3056. Почему он ошибся? В первый день туристы преодолели 15 км намеченного пути, во второй день — в 3 раза больше, чем в первый день, а в третий день — в 2 раза больше, чем за первых два дня вместе. Какое расстояние преодолели туристы за 3 дня? ' ■ В первый день Тарас прочитал 18 страниц интересной книги о путешествиях, во второй день — в 2 раза больше, чем в первый, а в третий день — в 2 раза больше, чем во второй день. Сколько страницюрочитал Тарас за 3 дня? ' Выполните действие: 1) 12 мин 24 с • 2; 3) 2 м 50 см-4: 2) 6 мин 36 с • 5; 4) 15 кг 50 г-6. ' Выполните действие: 1) 5ч5с-3; 3)34м65см-3; 2) 15 мин 30 с-2: 4) 30 кг 450 г-4. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 103 □ Найдите три числа, сумма которых равна их произведению. . Произведение двух чисел в 8 раз больше одного из них. Можно ли, зная это, найти одно из этих чисел? Какой цифрой оканчивается произведение: 101 • 102 ■ 103 • 104 • 105 ■ 106 • 107 • 108 • 109? Серёжа перемножил все натуральные числа от 1 до 50 включительно. Каким количеством нулей оканчивается произведение? . При умножении двух двузначных чисел ученик допустил ошибку: в первом множителе заменил в цифре единиц 4 на 1, поэтому в ответе получил 525 вместо 600. Какие числа умножал ученик? Коля и Вася живут в одном доме. На каждом этаже во всех подъездах по 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире № 83, а Вася на третьем этаже в квартире № 169. Сколько этажей в этом доме? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 431. Наблюдатель заметил, что через 5 с после того, как сверкнула молния, раздался удар грома. На каком расстоянии от наблюдателя находится гроза, если скорость звука 330 м/с? 432. Таня посчитала, что в одной неделе 604 800 с. Проверьте, правильный ли ответ получила Таня. 433. В бак влили 100 банок воды. 4 банки составляют 1 л. Сколько литров воды влили в бак? Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 434. Найдите закономерность и замените знак «?» числом: 1) 3 6 3 6 2 6 6 12 ? 1 2 2 4 3 9 2) 8 6 2 6 4 7 24 18 36 4 3 3 9 6 9 104 Глава 3 435. Вычислите: 1)32-28-(5680+ 140) : 15; 2)2000-64:4- 25 + 3495. 436. На экскурсию поехали 12 учеников 5-А класса, 14 учеников 5-Б класса и ученики 5-В класса. Сколько учеников 5-В класса поехало на экскурсию, если в автобусе было 44 человека, среди которых — ученики 5-х классов, 4 учителя и экскурсовод? 437. В развёрнутом угле АОЛ проведены внутренние лучи ОВ и ОС. Найдите градусную меру угла ЛОВ, если Z ВОС - 45° и Z СОЛ = 60°. ^ § 12. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН ^ Компоненты выражения, содержащего сложение и умножение, можно группировать по-разному. ^ В каждом отделении своего ранца Андрей на- шёл по 10-копеечной и 5-копеечной монетке. Сколько денег нашёл Андрей, если в ранце 3 отделения? ^ . Решить задачу можно двумя способами. Для этого надо составить или выражение (10 + 5) • 3, или выражение 10 ■ 3 + 5 ■ 3. (Объясните, как именно при этом рассуждали). Вычислив значение любого из этих выражений, получим, что Андрей нашёл в ранце 45 к. Решая задачу, мы увидели, что значения полученных выражений равны: (10-г 5) •3 = 10-3-+5-3. Иными словами, при умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое, а потом результаты сложить. Такое свойство справедливо для любых чисел. Его называют распределительным законом умножения относительно сложения. Запомните! Распределительный закон умножения относительно сложения. Произведение суммы и числа равно сумме произведений каждого слагаемого и этого числа. [а + Ь)-с = а- с + Ь- с ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 105 ? Чему равно произведение разности двух чисел и третьего числа? Разности произведений уменьшаемого и данного числа и вычитаемого и данного числа: (а-Ь)‘С = а'С-Ь-с. Распределительный закон умножения также используют для упрощения буквенных выражений. I Упростите выражение 3 • (12 +/п). Применив распределительный закон, преобразуем произ-; ведение в сумму: ; 3 • (12 + т) = 3 ■ 12 + 3 ■ m = 36 + 3m. Решая задачу, мы преобразовали выражение со скобками 3 • (12 + т) в выражение без скобок 3 • 12 -Ь 3 • /п. Такое преобразование произведения в сумму (или разность) называют раскрытием скобок. Обратное ему действие называется вынесением множителя за скобки. Вынесите множитель за скобки: 1) 5c-25d; 2) 5а + За; 3) 2п + 5пт. -- --- 1) В выражении 5с — 25d общим является числовой множитель 5. Применив распределительный закон, вынесем его за скобки: 5с - 25d = 5с - 5 ■ 5с( = 5 (с - 5d). 2) В выражении 5а + За общим является буквенный множитель а. Вынесем его за скобки: 5а + За = а ■ (5 + 3) = а ■ 8 = 8а. 3) В выражении 2п + 5пт общим является буквенный множитель п. Вынесем его за скобки: 2п + 5пт = а (2 + 5т). Вы знаете, как в столбик умножить многозначное число на однозначное. Однако существует ещё один способ выполнения данного действия, опирающийся на распределительный закон умножения. Например: 425-8 = (400 + 20 + 5)-8 = = 400 • 8 + 20 • 8 + 5 • 8 = 3200 + 160 + 40 = 3400. 106 Глава 3 Узнайте больше До появления скобок в математических работах ставили чёрточки над выражением, к которому они относились, или же под ним. В1550 г. итальянский математик R Бомбелли начал использовать квадратные скобки, правда, писал вместо скобок букву L и перевёрнутую L. Круглые скобки появились в XVI в. в работах немецкого математика М. Штифеля, итальянского математика М. Тартальи и других. Название «скобки» происходит от немецкого термина «klammer», который ввёл Л. Эйлер в 1770 году. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Сформулируйте и запишите распределительный закон умножения относительно сложения. 2 Для чего используют распределительный закон? 3 Что называется раскрытием скобок? 4 Что называется вынесением множителя за скобки? 5. Как умножить многозначное число на однозначное, используя распределительный закон умножения? РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J Вычислите устно, применяя распределительный закон: 1) 7 -23 + 3-23; 3) 17 ■ 28 - 7 • 28; 2) 12 ■ 14+12 • 16; 4)21 -25-21 -20. Вычислите устно, применяя распределительный закон: 1)21-4; 2)56-2; 3)48-3; 4)25-4. Упростите выражение: 1) 11ia+10a; 3)6/г+15п; 5) 25р-10р+15р; 2) 14с-12с; 4)^2m + m■, 6)8k + ^0k-k. Упростите выражение: 1)5^ + 9Ь; 2)17d-4d; Раскройте скобки: 1) 5-(а+ 11); 2) с ■ (7- 12d); 3) 6 (2п + /п); Раскройте скобки: 1) 5 (х+ 11.); 2) 2-(12л-т); 3)п + ^2n■, 4)3k-k+7k. 4) (п-т) ■ 15р; 5) 3 - (Ър + к + ЫУ, 6) [2р-4к + Ы) - 2а. 3) (4с+ d) - 8г/; 4) 6 - (p + 3k-9t). ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИОЛШИ". 107 5) 5р+ 10/е+ ^5t■, 6) 8р + 10/е + 6t. Вынесите общий множитель за скобки: 1) 11а+11Ь; 3)6л+15т; 2) 4c+12d; 4)l2n+18m; Вынесите общий множитель за скобки: 1)9а + 9Ь; 2)7c+14d; 3)18n + 12m; 4)3p + 9fe + 27i. Прав ли был Серёжа, когда утверждал, что может, не выполняя умножения, найти, на сколько 265 • 28 меньше, чем 265 • 38? Ответ объясните. Вычислите удобным способом: 1) 345 ■ 73 + 23 • 25 + 345 ■21 + 77 ■ 25; 2) 32 ■ 65 - 65 ■ 29 + 29 . 62 - 62 • 26 + 26 • 59 - 59 ■ 23 + + 23 ■ 56-56 ■ 20 + 20 ■ 53-53 ■ 17+ 17 • 50-50.14. Д 44 Вычислите удобным способом: 1) 162'54+12'18 + 88 18+ 162-46: 2) 15 • 34 - 15 ■ 14+ 10 ■ 25- 15 • 10+ 10 ■ 75. Найдите значение выражения: 1) 5а + ЪЪ, если а + Ь = 28; 2) 2с -'’6d, если с-3d- 25; 3) X ■ + у ■ 11, если х +у= 17; 4) ^0m- 15п, если 2т-3п = 20. 0 Что нужно [доставить вместо звёздочек, чтобы получить верное равенство? 1)7 ■ (5 + 8) = 7- * + * • 8; 2) * ■ (12 - 5) = * - 15. ▲ Что нужно поставить вместо звёздочек, чтобы получить верное равенство? 1 )(*-*) • 11 = 88-66т; 2) (15 +*) ■ 4 = '+ 4а. Найдите ошибку в решении: 1) 5 ■ (а + 2) + 7 • (а + 10) = 5а + 2 + 7а + 1 о = 12а + 12; 2) 4 - (Ь + 3) + 2 - (8-Ь)=4Ь + 12 + 16 + 2& = бЬ + 28. ■с Упростите выражение: 1) 4 • (7 + а) + 5 ■ (а + 6); 2) (5 + г/)-7 + (6-у)-4; 3) 4 ■ (2c + d) + 8 • (c + dy, 4) (m + 5)-3 + 8-(3m + 2) + 5(2m-5). Объясните особый способ умножения чисел, меньших 20, показанный.напримере чисел 17 и 18. 1)17 + 8 = 25; 2)25-10=:250; 3)7-8 = 56; 4)250 + 56 = 306. Следовательно, 17- 18 = 306. 1081 Глава 3 45.- Найдите ошибку в рассуждениях: «Рассмотрим верное числовое равенство: 35 + 1 о - 45 = 42 + 12 - 54. Применим распределительный закон: 5 ■ (7 + 2 - 9) = 6 ■ (7 + 2 - 9). Разделим обе части этого равенства на множитель (7 + 2 - 9). Получим: 5 = 6». ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 456. За 30 с часы с боем отбивают 6 ударов. За сколько секунд часы пробьют двенадцать раз? 457. Известно, что дрожжевые бактерии размножаются с большой скоростью, удваивая своё количество за каждую минуту. В пробирку поместили одну дрожжевую бактерию, которая, размножаясь, заполни<ла пробирку за 30 мин. За сколько минут заполнят пробирку две дрожжевые бактерии? 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ | 458. Решите устно задачу. В 5-А классе учатся 28 учеников, в 5-Б классе — на 6 учеников больше, чем в 5-А, а в 5-В классе — на 4 ученика меньше, чем в 5-А. Сколько учеников учатся в 5-х классах? 459. Вычислите значение выражения 5а + 15-2 + ач-2а, если: 1)а = 8; 2) а = 20. ^ § 13. ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ^ В начальной школе вместе с действием умножения вы изучали и другое арифметическое действие второй ступени — деление. Вспомните: число, которое делят, называется делимым, а то, на которое делят, — делителем. Результат действия деления называется частным. Компоненты действия Результат действия 24 : 2 = 12 делимое делитель частное Выражение 24 : 2 также называется частным. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ ОТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ За дач 1. В коробке 24 конфеты. Малыш и Карлсон раз” делили их поровну. По сколько конфет получил каждый? 1> Обозначим количество конфет, которое получил каждый, буквой k. Если k умножить на 2, то получим количество конфет в полной коробке: k -2 = 24. Итак, в задаче искомым является неизвестный множитель. Чтобы его найти, надо произведение разделить на известный множитель: k = 24:2. Отсюда k = ^2,^.e. Малыш и Карлсон получили по 12 конфет. Решая задачу, мы выполнили деление как действие, обратное действию умножения. Следовательно, умножение и деление — взаимно обратные действия. Именно поэтому умножение проверяют делением, а деление — умножением. 'Запомните! Разделить одно число на другое — значит найти такое третье число, которое в произведении со вторым даёт первое. _____________ ? Всегда ли одно натуральное число можно разделить на другое нацело? Не всегда. Например, частное 5 : 3 невозможно выразить натуральным числом. Вы знаете, что, умножив любое число а на О, получим в произведении 0: а ■ о = 0. Но число а может быть каким угодно, и таких чисел — множество. Поэтому считают, что частное 0:0 — не определено. 7 Можно ли найти частное 5 : 0? Нет. Для этого нужно было бы по смыслу деления найти такое число х, чтобы X • о = 5. Но такого числа х не существует. Поэтому частного 5 : о не существует. Вообще, считают, что действие деления на 0 не имеет смысла. Поэтому: на о делить нельзя! Если число о разделить на любое число, отличное от нуля, то в частном получим 0: о : а = о при а^О. 110 Глава 3 Вы уже знаете, что для любого числа а выполняется равенство: а • 1 = а. Отсюда следует, что; а : 1 = а для любого а; а : а = 1 при аФО. *> Обратите внимание: 1) произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом; 2) частное двух натуральных чисел не всегда можно выразить натуральным числом; 3) на о делить нельзя. Вы знаете, что деление многозначных чисел удобно выполнять углом. Рассмотрим примеры. 4S67S12J: 4 98 27 /S0l£2J •Шт, ZA1S *> Обратите внимание: при делении чисел, оканчивающихся нулями, пользуются особым правилом: сначала отбрасывают одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя, а затем выполняют деление. Например, 2400 = 240 : 4 = 60. 400 = 24 : 4 = б или 2400 : 40 = ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ HHGflAltiliteiK- 111 Рассмотрим основные задачи, регР^емые с помощью деления. У Лены есть 10 грн. На сКОт1ько конфет ей хватит денег, если одна конфета стоит2 грн'? ' I' ; Обозначим количество конфет, которое сможет купить Лена, буквой k. Тогда, по у:лоеН1ю задачи, получим: 2 = 10. Чтобы найти неизвесгный множитель, нужно произведение разделить на извест[)ый множитель: /г = 10 : 2. Отсюда к = Ъ. Значит, Лена сможет (упить 5 конфет. . Мороженое стоит 6 |рн, а Нсонфета — в 2 раза дешевле мороженого. Сколько ctoit кон<фета? : ,л ‘ Чтобы найти цену кo^фeтЫl, нужно цену моро- женого уменьшить в 2 раза: 6:2 = 3 (ГР'н). Значит, конфета стоит 3 грн. - У Оксаны 15 конфет а у С(ерёжи — 5 конфет. Во сколько раз больше конфет у OKcaHtbi, чем у Серёжи? Чтобы ответить на в»проС -задачи, надо количество' конфет, которые есть у Оксаны, ра1зделить на количество конфет Серёжи: 15:5 = 3 (р.).Итак, ^ Оксаны конфет — в 3 раза больше. »> Обратите внимание: с помощью действия деления: 1) по известному произведещю И 'одному из множителей находят второй мюлсИ^тель; 2) данное число уменьшают в ука^занное количество раз; 3) выясняют, во сколько ра одЯОо число больше второго или меньше его. Узнайте больше Для вычисления частного чисел югут ппригодиться такие свойства деления. 1. Чтобы произведение двух чисзл рададелить на третье число, можно разделить на это чило оди.ин из множителей, а затем частное умножить на другй мнс^ьжитель: (а ■ h) : с = = {а \с) Ь. Например, (36 • 15): 9 чЗб : 9) О • 15 = 4- 15 = 60. 110 Глава 3 Вы уже знаете, что для любого числа а выполняется равенство; а • 1 = а. Отсюда следует, что; а ; 1 = а для любого а; а ; а = 1 при а^О. Обратите внимание: 1) произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным- числом; 2) частное двух натуральных чисел не всегда можно выразить натуральным числом; 3) на о делить нельзя. #> Вы знаете, что деление многозначных чисел удобно выполнять углом. Рассмотрим примеры. Обратите внимание: при делении чисел, оканчивающихся нулями, пользуются особым правилом: сначала отбрасывают одинаковое количество нулей в конце делимого и делителя, а затем выполняют деление. Например, 2400 : 400 = 24 : 4 = 6 или 2400 : 40 = 240 : 4 = 60. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ __ 111 Рассмотрим основные задачи, регР^емые с помощью деления. У Лены есть 10 грн. На сколько конфет ей хватит денег, если одна конфета стоит2 гри'? Обозначим количество конфет, которое сможет купить Лена, буквой k. Тогда, по \рпов^'‘\о задачи, получим: fe 2 = 10. Чтобы найти неизвесгный множитель, нужно произведение разделить на извec^гl^ый ММожитель: k-^Q ■.2. Отсюда к = Ъ. Значит, Лена сможет (упить 5 конфет. Мороженое стоит 6 грн, а 1конфета — в 2 раза дешевле мороженого. Сколько сто1т конфета? Чтобы найти цену кофбТЫ|, нужно цену мороженого уменьшить в 2 раза: 6 : 2 ? 3 (ГР'н). Значит, конфета стоит 3 грн. У Оксаны 15 конфет а у Ссерёжи — 5 конфет. Во сколько раз больше конфет у ОксаНЬь!, чем у Серёжи? Чтобы ответить на в»проС 'Задачи, надо количество' конфет, которые есть у Оксёны, ра1зделить на количество конфет Серёжи: 15:5 = 3 (р.).Итак. 1у Оксаны конфет — в 3 раза больше. Обратите внимание: с помощью действия деления: 1) по известному произведещю й < одному из множителей находят второй мюжа'гтель; 2) данное число уменьшают в указанное количество раз; 3) выясняют, во сколько ра одИОо число больше второго или меньше его. Узнайте больше Для вычисления частного чисел югут ппригодиться такие свойства деления. 1. Чтобы произведение двух чирл раззделить на третье число, можно разделить на это чило оди.ин из множителей, а затем частное умножить на другй мнО>ьжитель: (а ■ Ь) \ с = = (а\с) Ь. Например, (36 • 15): 9 =[36 :9)i) ■ 15 = 4 • 15 = 60. 112 Глава 3 2. Чтобы сумму двух чисел разделить на третье число, можно разделить на это число каждое из слагаемых, а затем полученные частные сложить: {а + Ь)\с = а\с + Ь-.с. Например, (81 + 45) : 9 = 81 : 9 + 45 ; 9 = 9 + 5= 14. Данное свойство справедливо и для разности двух чисел: (а-Ь) :с = а : с-Ь ■. с. Например, (81 - 45): 9 = 81 : 9-45:9 = 9-5 = 4. Vi ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Назовите компоненты действия деления. 2 Как называется результат действия деления? 3 Можно ли найти результат деления, если делимое равно О? Делитель равен О? 4, Что будет результатом деления, если делитель равен делимому? 5 Что будет результатом деления, если делитель равен 1? 6 Как разделить натуральные числа, оканчивающиеся нулями? 7 Какие задачи можно решать с помощью деления? F РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Верно ли, что в равенстве 100 : 25 = 4 делимое — это число: 1)4; 2)25; 3)100? Верно ли, что в равенстве 100 : 25 = 4 делитель — это число: 1)4; 2)25; 3)100? Верно ли, что в равенстве 100 : 25 = 4 частное — это число: 1)4; 2)25; 3)100? ' Верно ли, что умножение и деление — взаимно обратные действия? Ответ объясните на примере. Серёжа сказал, что на 0 делить нельзя, а Юра — что на 0 умножать нельзя. Кто из мальчиков прав? Вычислите устно: 1) 84:2; 4)162:8; 7)1000:100; 2) 55:5; 5)880:80; 8)72 000:800; 3) 0:56; 6)3600:90; 9)56 000:700. Как изменится результат действия деления а Ь = с, если число Ьувеличить в 3 раза? ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСШВГИ По данным таблицы 14 вычислите значение с. 113 ь с-а-.Ъ 79 360 7000 5555 Таблица 14 38 32 28 101 d По данным таблицы 15 вычислите значение h. п т h = n : т 11 070 6250 Таблица 15 10 375 42 54 25 125 Ь Найдите частное чисел: 1) 782 и 23; 2) 9840 и 1230; 3) 143 594 и 107; 4) 34 120 160 и 8560; 5) 81 225 и 285; 6) 2 923 095 и 679; 7) 2 076 162 и 5478; 8) 432 540 и 4005. ▲ Выполните деление: - 1)12 180:42; 3)91 656:456; 5)66 690:702; 2)22 250:250; 4)10 800:120; 6)211 890:2018. ’ Отрезок АВ длиной 22 см разделён на 11 равных отрезков. Найдите длину отрезков, на которые разделён отрезок АВ. ^ ’ Угол COD, градусная мера которого равна 108°, разделён на 9 равных частей. Найдите градусную меру частей угла, на которые разделён угол COD. За двенадцать тетрадей в клеточку Алина заплатила 14 грн 40 к. Сколько стоит одна такая тетрадь? ^ Поезд, состоящий из 15 одинаковых вагонов, может за одну поездку перевезти 540 пассажиров. Сколько мест в одном таком! вагоне? 4 - Килограмм конфет стоит 26 грн, а килограмм печенья — в 2 раза дешевле конфет. Сколько стоит 5 кг печенья? Альбом стоит 8 грн, а тетрадь — в 4 раза дешевле альбо-^ ма. Сколько стоит 20 таких тетрадей? ' Делимое оканчивается тремя нулями, а делитель — двумя. Сколькими нулями может оканчиваться частное? Изменится ли частное, если к делимому и делителю дописать нуль? 114 Глава 3 Проверьте, верно ли Лена выполнила деление; 157992 348 2)560880 456 3)4638348 5148 1392 454 456 123 46332 91 1879 1048 5148 1740 912 5148 1392 1368 0 1392 1368 О О Какие числа нужно поставить вместо звёздочек, чтобы получить верное решение следующих примеров? 1)^***664 9474 315* 3* 2^157875 1263 42* ^75 252*4 3157 252*4 2* * * 0 2105 * * * ^ 0 Выполните действия: 1) 24 мин 24 с : 2; 4) 100 кг 50 г: 10; 2) 12 ч 30 мин ; 3; 5) 5 кг 100 г; 5; 3) 10 м 50 см ; 5; 6) 8 дм 48 мм : 16 Выполните действия; 1) 2 ч 20 с : 2; 3) 10 км 100 м : 4; 2) 7 сут 2ч: 17; 4) 4 кг 40 г: 8. За 25 дней на фабрике планировали пошить 300 костюмов. Но каждый день шили на 3 костюма больше, чем планировали. За сколько дней на фабрике еыполнят план? Во время весенних каникул Серёжа планировал решить 40 задач по математике за 5 дней. Но каждый день он решал на 2 задачи больше, чем планировал. За сколько дней Серёжа решил все задачи? За четыре дня туристы преодолел!/ 48 км. В первый день они проехали треть намеченного пути, во второй день — расстояние, на 4 км большее, чем в первый день, в третий день — в 4 раза меньшее, чем во второй день. Какое расстояние преодолели туристы в четвёртый день? В книге 60 страниц. В первый день Таня прочитала 20 страниц книги, во второй — на 4 страницы больше, чем в первый день, а в третий день — в 3 раза меньше, чем во второй день. Сколько страниц осталось прочитать 1ане? ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ^ 115 И ; Прямой угол АОВ разделили внутренним лучом ОМ на два равных угла. После этого угол АОМ разделили внутренними лучами ON и ОК на три равных угла. Найдите градусную меру угла AON. Рассмотрите два случая. Развёрнутый угол АОВ разделили внутренним лучом ОМ на два равных угла. После этого угол МОВ разделили внутренним лучом ОК на два равных угла. Найдите градусную меру угла КОВ. Найдите ошибку в рассуждениях: «Рассмотрим верное равенство: 4 : 4 = 5 : 5. Применим распределительный закон: 4 • (1 : 1) = 5 ■ (1 : 1). (1 : 1) = (1 : 1), поэтому 4 = 5». Число m в 15 раз больше натурального числа п. Чему равно: ^)m :n\ 2) m : Зп; 3)2т :п] 4) Зт : 5д? Сравните натуральные числа а\лЬ, если: ^)a + 5 = b■ 2)a = 4h; 3)а = Ь-7; 4)а:2 = 6. Найдите все двузначные числа, которые уменьшатся в 14 раз, если зачеркнуть их последнюю цифру. Найдите трёхзначное число, которое уменьшится в 10 раз, если зачеркнуть его среднюю цифру. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 494. Двигаясь вокруг Солнца, за сутки Земля перемещается на 2 92 000 км. На какое расстояние перемещается Земля за 1 ч? 495. Сколько лет составляют миллиард секунд? 496. Для приготовления варенья из малины на 3 части ягод берут 2 части сахара. Сколько сахара нужно взять для приготовления 3 кг 600 г варенья из малины? Сколько килограммов малины было у бабушки, если для приготовления варенья она использовала 4 кг сахара? 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 497. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки. 99 -59 5 + 20 10 114 Глава 3 Проверьте, верно ли Лена выполнила деление; 157992 348 2)560880 456 3)4638348 5148 1392 454 456 123 46332 91 1879 1048 5148 1740 912 5148 1392 1368 0 1392 О 1368 О Какие числа нужно поставить вместо звёздочек, чтобы получить верное решение следующих примеров? 1)^***664 9474 315* 3* 2^157875 1263 42* ^75 252*4 3157 252*4 2* * * 0 2105 * * * ^ 0 Выполните действия: 1) 24 мин 24 с : 2; 4) 100 кг 50 г: 10; 2) 12 ч 30 мин : 3; 5) 5 кг 100 г; 5; 3) 10 м 50 см : 5; 6) 8 дм 48 мм : 16 Выполните действия; 1) 2 ч 20 с: 2; 3) 10 км 100 м : 4; 2) 7 сут 2ч: 17; 4) 4 кг 40 г: 8. > За 25 дней на фабрике планировали пошить 300 костюмов. Но каждый день шили на 3 костюма больше, чем планировали. За сколько дней на фабрике еыполнят план? - Во время весенних каникул Серёжа планировал решить 40 задач по математике за 5 дней. Но каждый день он решал на 2 задачи больше, чем планировал. За сколько дней Серёжа решил все задачи? . За четыре дня туристы преодолел!/ 48 км. В первый день они проехали треть намеченного пути, во второй день — расстояние, на 4 км большее, чем в первый день, в третий день — в 4 раза меньшее, чем во второй день. Какое расстояние преодолели туристы в четвёртый день? В книге 60 страниц. В первый день Таня прочитала 20 страниц книги, во второй — на 4 страницы больше, чем в первый день, а в третий день — в 3 раза меньше, чем во второй день. Сколько страниц осталось прочитать 1ане? ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 115 3 Прямой угол АОВ разделили внутренним лучом ОМ на два равных угла. После этого угол АОМ разделили внутренними лучами ON и ОК на три равных угла. Найдите градусную меру угла АОЛ/’. Рассмотрите два случая. Развёрнутый угол АОВ разделили внутренним лучом ОМ на два равных угла. После этого угол МОВ разделили внутренним лучом ОК на два равных угла. Найдите градусную меру угла КОВ. Найдите ошибку в рассуждениях: «Рассмотрим верное равенство: 4 : 4 = 5 : 5. Применим распределительный закон: 4 • (1 : 1) = 5 ■ (1 : 1). (1 : 1) = {1 : 1), поэтому 4 = 5». Число дг в 15 раз больше натурального числа п. Чему равно: 1)/п:п; 2)т:3п; 3)2т:п\ 4)3т:5п'? Сравните натуральные числа а и Ь, если: 1)а + 5 = 6; 2)а = 4-Ь; 3)а = Ь-1\ 4)а:2-Ь. Найдите все двузначные числа, которые уменьшатся в 14 раз, если зачеркнуть их последнюю цифру. Найдите трёхзначное число, которое уменьшится в 10 раз, если зачеркнуть его среднюю цифру. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 494. Двигаясь вокруг Солнца, за сутки Земля перемещается на 2 92 000 км. На какое расстояние перемещается Земля за 1 ч? 495. Сколько лет составляют миллиард секунд? 496. Для приготовления варенья из малины на 3 части ягод берут 2 части сахара. Сколько сахара нужно взять для приготовления 3 кг 600 г варенья! из малины? Сколько килограммов малины было у бабушки, если для приготовления варенья она использовала 4 кг сахара? 3 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 497. Вычислите устно, какое число нужно вписать в последнюю клеточку цепочки. 99 -59 5 + 20 : 10 116 Глава 3 | 498. Найдите значение выражения 4а + 5Ь \ с, если: ^ 1)а=150, &-12, с = 60; 2) а = 25, 6 = 280, с = 35. ! 499. На прямой от точки О сначала отложили отрезок ОА дли- ] ной 16 см, а потом отрезок АВ длиной 10 см. Найдите длину отрезка ОВ. Сколько решений имеет задача? Г § 14. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ Вы знаете, что не всегда одно натуральное число можно разделить на другое нацело. Например, если два друга делят между собой 7 конфет, то каждый получит по 3 конфеты и 1 конфета останется (рис. 139). Рис. 139 2 = 3 (ост. 1). Тут число неполное частное. Записывают: 7 7 — делимое, 2 — делитель, 3 1 — остаток. ? Всегда ли остаток меньше делителя? Да, поскольку когда остаток больше делителя, то деление мсжно продолжать дальше. Это можно увидеть на примере деления многозначных чисел углом. 4567 44 11 _57 55 2 11 415 — неполное частное остаток ? Может ли остаток быть равным 0? Да, когда делимое делится на делитель нацело. Например, 15 : 5'3. Л ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 117 Вы знаете, что при делении нацело делимое можно выразить через делитель и частное. Например, если 15:5 = 3, то 15 = 5- 3. Рассуждая аналогично, можно составить выражение для нахождения делимого и при делении с остатком. Например, если 15:6 = 2 (ост. 3), то 15 = 6-2 + 3. Действительно, на 6 нацело делится число 12, которое меньше делимого 15 как раз на остаток 3. Поэтому, если к произведению делителя 6 и неполного частного 2 прибавить остаток 3, то получим делимое 15. Вообш,е, если при делении числа а на число Ь получают неполное частное q и остаток г, то есть а :b-q (ост. г), то: a-bq + г, где г<Ь. “ У Кати п грн. Сколько пачек печенья она может ку- пить, если пачка печенья стоит 6 грн? Сколько денег было у Кати, если она купила 3 пачки печенья и у неё осталось 2 грн? 1. чтобы выяснить, сколько пачек печенья сможет купить Катя, нужно найти частное чисел п и 6, то есть п : 6. 2. Если Катя купила 3|Пачки печенья и у неё осталось 2 грн, то число п делится на 6 с остатком п : 6 = 3 (ост. 2). Отсюда п = 6 • 3 + 2, то есть п = 20. Следовательно, у Кати было 20 грн. Обегите внимание: чтобы получить делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток. Узнайте больше Вы знаете, что числа 0, 2, 4, 6 и 8 делятся на 2. Оказывается, что на 2 делится и любое многозначное число, в записи которого последняя цифра — 0, 2,4, б или 8. Такие числа называют чётными. Например, 1234 : 2 = 617, 109 876 : 2 = 54 938. А вот числа, запись которых оканчивается цифрой 1, 3, 5, 7 или 9, на число 2 не делятся. Их называют нечётными. При делении на 2 нечётные числа всегда дают в остатке 1. Например, 1235 : 2 = 617 (ост. 1), 109 877 : 2 = 54 938 (ост. 1). Больше о чётных и нечётных числа вы узнаете в 6 классе. ni8 Глава 3 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Объясните, как выполняют деление с остатком. 2 Может ли остаток быть большим делителя? Быть равным ему? 3. Запишите формулу для нахождения делимого при делении с остатком. 4 Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ - ЭГ Верно ли, что в равенстве 75 : 9 = 8 (ост. 3) делимым является число: 1)75; 2)9; 3)8; 4)3? : Верно ли, что в равенстве 75 : 9 = 8 (ост. 3) делителем является число: 1)75; 2)9; 3)8; 4)3? Верно ли, что в равенстве 75 : 9 = 8 (ост. 3) неполным частным является число: 1)75; 2)9; 3)8; 4)3? ' J' : Верно ли, что в равенстве 75 : 9 = 8 (ост. 3) остатком является число: 1)75; 2)9; 3)8; 4)3? Серёжа сказал, что на 1 делится без остатка любое натуральное число. Прав ли Серёжа? ' 1 J i Вычислите устно: 1) 14:3; 3)35:10; 5)31:9; 2) 21:5; 4)29:4; 6)40:7. 11 Назовите все возможные остатки при делении чисел на: 1)4; 2)11. Выполните деление с остатком: 1) 780:23; 4)23 412 025:856; 2) 12081:63; 5)34 581 225:1250; 3) 654 650:320; 6)4 562 923 095:2679. Выполните деление с остатком: 1) 78 180:51; 3)709856:456; 2) 6790:250; 4)10 879 000:1205. Проверьте, верно ли Лена выполнила деление с остатком: 1) 144: 10 = 4 (ост. 14); 2) 425 : 28 - 15 (ост. 7). ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ 119' Какие числа нужно поставить вместо звёздочек, чтобы получить верное решение следующих примеров? 0 9*5 18* ~168 17 24 2)23*0 18 _*6 54 1* '31 По данным таблицы 16 вычислите значения a,b,qv\ г. Таблица 16 a = bq + r_ Ь q г 365 501 32 9 17’ 41 7 15 49 21 I Длина отрезка АВ равна 18 см. Сколько равных отрезков длиной 5уСм можно отложить на отрезке АВ, начиная от точки А? Длина отрезка CD равна 20 см. Сколько равных отрезков длиной 3 см можно отложить на отрезке CD, начиная от точки С? Сколько тетрадей стоимостью 2 грн 50 к. сможет купить ■Дима, если у него 12 грн? Сколько денег останется у Димы? На пошив одного костюма нужно 3 м ткани. Сколько костюмов можно пошить из рулона ткани, в котором 25 м? Пачка мороженого стоит 4 грн. Сколько денег было у Ани, если она купила 5 пачек мороженого и у неё осталось 3 грн? На пошив одного костюма нужно 3 м ткани. Сколько метров ткани было в рулоне, если пошили 5 костюмов и осталось 2 м ткани? Придумайте число, при делении которого на 12 получается остаток: 10 5; 2)10. Придумайте число, при делении которого на 9 получается остаток: 1)4; 2)8. ' I Масса стальной болванки 32 кг. Сколько деталей по 7 кг можно изготовить из 5 таких болванок? 120 Глава 3 52 1 В классе 30 учеников. На уроке физкультуры их построили в шеренги по 8 человек. Сколько было полных шеренг? Сколько учеников было в неполной шеренге? ■ 2 2 Двум друзьям нужно разделить одно и то же число: первому — на 7, а второму — на 9. У первого в частном получилось 28, а в остатке — 2. Какое частное получилось у второго? 523 При делении 798 на некоторое число Таня получила неполное частное 66 и остаток 6. Найдите делитель в примере Тани. 524- Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае получили в остатке 4, а во втором — 18. На какое число делили? 5" У трёхзначного числа, цифры сотен и десятков равны, а цифра единиц равна 5. Это число разделили на однозначное число и в остатке получили 8. Чему равны делимое, делитель и неполное частное? ггв' При делении на 9 одно число даёт в остатке 5, второе — 6, а третье — 2. Найдите остаток отделения на 9 суммы этих трёх чисел. S ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 527. Дедушке нужно разрезать проволоку длиной 50 м на части по 12 м. Сколько частей получится и сколько метров проволоки останется? 528. У бабушки в саду выросли 13 белых и 8 красных роз. Сколько букетов из 3 белых и 2 красных роз сможет сделать бабушка? Сколько цветов и каких именно останется? Е ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ j 529. Какое выражение нужно вписать в последнюю клеточку цепочки? 9а - 5а ,+ 12а + 2а 8а 530. Найдите значение выражения: 1)280+ 15756:26-496; 2) (65 549 : 101 -551) 4. 531. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите длину прямоугольника, если она на 5 см больше его ширины. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ . 121 Г § 15. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ В ВЫРАЖЕНИЯХ Вы знате, что сложение и вычитание — действия первой ступени. В выражениях, содержащих только сложение и вычитание, действия выполняют в том порядке, в котором они записаны. Найдите значение выражения 5+10-8-2 + 4. li- J Выполним действия в порядке их написания: : 5 +10-8-2 + 4= 15-8-2 + 4 = 7-2 + 4 = 5 + 4-9. Умножение и деление — действия второй ступени. В выражениях, содержащих только умножение и деление, действия выполняют в том порядке, в котором они записаны. Найдите значение выражения 3 ■ 4 ; 2 • 6. С? f е. Выполним действия в порядке их написания: : 3-4:2-6=12:2-6 = 6-6 = 36. В выражениях, содержащих действия обеих ступеней, первыми выполняют действия старшей ступени, то есть умножение и деление. Найдите значение выражения 100-25:5+4-8. cj- Сначала выполним действия второй ступени в : порядке их написания, а потом — первой ступени: : il00-25:5 + 4- 8=100-5 + 4- 8 = 100- 5 +32 = 95+ 32=127. Скобки в выражении изменяют порядок выполнения действий. В выражении со скобками сначала выполняют действия в скобках, а потом остальные действия в установленном порядке. Найдите значение выражения 5 + (10-8)-2 + 4. Сначала выполним действие в скобках, а затем — все остальные действия в порядке их написания: 5 + (10-8)-2 + 4 = 5+18-2 + 4 = 23-2 + 4= 21 + 4 = 25. 122 Глава 3 С? - Если в скобки взято выражение, содержащее действия обеих ступеней, тогда и в скобках действия выполняют в установленном порядке. Найдите значение выражения 100-(25:5 + 4)-8, . I Сначала выполним в скобках действие второй ступени, а потом — первой. После этого выполним умножение и найдём разность: 100 - (25 : 5 + 4) ■ 8 = 100 - (5 + 4) • 8 = 100 - 9 • 8 = 100 - 72 = 28. ? Зависит ли значение числового выражения от того, как расставлены в нём скобки? Да. Сравните ответы к задачам 3 и 5. #> Обратите внимание: 1) нельзя произвольно опускать скобки или вносить их в выражение; 2) вычисляя значение числового выражения, нужно придерживаться порядка выполнения действий. Для облегчения громоздких вычислений и экономии времени используют калькулятор или компьютер. Для того, чтобы найти значение числового выражения, необходимо определить последовательность действий, то есть составить алгоритм вычисления. Например, алгоритм вычисления значения выражения (20 + 63 : 9) х X (11 • 3 - 23) состоит из таких шагов: 1) разделить 63 на 9; 2) прибавить 20 к результату действия 1; 3) умножить 11 на 3; 4) из результата действия 3 вычесть 23; 5) перемножить результаты действий 2 и 4. . Этот алгоритм вычисления можно представить в виде схемы (рис, 140). 3 2 а ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ _ 123 Последовательное выполнение шагов алгоритма позволит заполнить пустые клеточки схемы и получить ответ в её нижней клеточке. Узнайте больше Вопросы, связанные с алгоритмами, рассматриваются в особом разделе математики — теории алгоритмов. Её основателями считают выдающихся математиков XX в. В. М. Глушкова, А. Н. Колмогорова, А. А, Маркова. Возникновение этой теории было вызвано появлением электронных вычислительних машин, станков с числовым программным управлением, промышленных роботов, автоматических линий и т. д. Для всех этих устройств нужно было разработать алгоритмы выполнения ими определённых операций, причём в том порядке, который обязательно приведёт к поставленной цели. Такие алгоритмы имеют сложную структуру и иногда содержат более тысячи шагов. В. М. Глушков ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении, содержащем только сложение и вычитание? 2 В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении, содержащем только умножение и деление? 3 в каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении, содержащем действия обеих ступеней? 4 В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении со скобками? 5. Как составляют алгоритм вычисления? __________ 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J _ _ Верно ли указан порядок выполнения действий в выражении; 12 14 2 3 1) 45-г25-10; 3)8-7-24:8+12; 2 1 3 12 4 2) 90:10-5; 4)50-30:5-8+ 15? 124' Глава 3 - . j Изменяют ли скобки порядок выполнения действий в выражении; 25 + 5 • 6 - 4 ; 2: 1) (25 + 5)-6-4: 2; 3) (25 + 5 ■ 6) - 4 ; 2; 2) 25 + (5-6-4):2; 4) 25 + 5 ■ (6 - 4 : 2)? :> Укажите порядок выполнения действий в выражении: 1) 54 -2 + 42; 3)45-(14 + 6); 5)88 + (72:9-24:12); 2) 88-64:8; 4)56:7 + 9-10; 6)45 - 2-84: (10 + 2). :.уЬ Как можно расставить скобки в выражении 9 • 7 - 64 : : 16 + 10, чтобы они: 1) изменяли порядок действий; 2) не изменяли порядка действий? :'3г Расставьте скобки в выражении 24 : 12 + 8-4-2 так, чтобы его значение было равно: 1) 38; 2) 18. Найдите значение выражения: 1) 60-4- 12 + 2(5- 10-35); 2) (100-86)-24:8; 3) 20+ 6 (14-84: 12)+ 60: 12; 4) (16-2 + 9- 10-122):32. ”31: Найдите значение выражения: 1)77: 11 -20: 5+ (100-99) • 2; 2) (15 ■ 3- 10): 7 + 20 - 9. - Запишите выражения по схемам на рисунках 141 — 142 и найдите их значения. 100 - 75 8+4 24 + 20 4 Рис. 141 Рис. 142 Запишите выражения по схемам на рисунках 143—144 и найдите их значения. 24 : 8 4 • 100 - 75 5+20 + Рис.143 Рис. 144 ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ _ 125 Найдите значение выражения: 1) 60 000-408 ■ 120+ 1012- (24- 10-235); 2) (10 000-1864) ■ (10 201 -8634)-234: 18; 3) 100 000 + 60 ■ (140 000-84 240 : 120) + 9600 : 24; 4) (8016 ■ 276 + 429 • 1014-264 810): 422; 5) (367 710: 35+ 302-49)-50 702: 101; 6) 428- 1017-(729 -206 + 898 656: 1012); 7) 209 + (808 ■ 297 - 211 • 672) : 98 184; 8) 100:4 -(28- 105 + 7236: 18)-(4247-1823): 6 • 25; 9) (2420 + 24 - 124) : 38 - 202 - (3008 : 94 + 8 - 527) : 72; 10) 834 - (145 - 203-29 130-74 115 : 243) + 205 - 804. Найдите значение выражения: 1) 805-712 +(245- 10 - 2300) - 834-501 -604; 2) 701 -901 -83 200: 208+ (20 000-18 904)-99; 3) (708 - 398 - 892 - 211): 93 572 + 209; 4) 505 -22-10 100+1336 : (128 + 7416:36); 5) (128 - 75 + 64 - 125): 8 ■ 50 - (30 • 400 + 5107 - 80) : 70. Составьте алгоритм выполнения действий, постройте схему вынисления и найдите значение выражения: 1) (20 + 63: 9) (11 -3-23); 2)85 + 48:8-11-5. Составьте алгоритм выполнения действий, постройте схему вычисления и найдите значение выражения: (62: 31 +5)-(70-34-2). Т Расставьте скобки так, чтобы значение выражения было наибольшим: 1) 16 + 25 - 3 - 14 - 4; 2) 100 + 36 ; 12 - 6 - 13. J Расставьте скобки так, чтобы значение выражения было наименьшим: 1)20+16:4 + 5-12; 2)240:4-15 + 20. ' ■ С помощью четырёх цифр 4, знаков арифметических действий и скобок запишите все однозначные натуральные числа. - С помощью пяти цифр 2, знаков арифметических действий и скобок запишите все числа от 1 до 15. S ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 549. Исходя из того, что алгоритм — это последовательность выполнения действий, составьте алгоритмы: 1) чистки зубов; 3) приготовления чая; 2) перехода улицы; 4) приготовления бутерброда. 126 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ Глава 3 0 = 550. Вычислите устно: 18а+17а; 25y-^2y■, d+^Лd■, 30k-22k\ 16х + 9х; 1т-т\ 12д-8я; 36р + 14р. 551. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной тетрадной клеточки. Отметьте на этом луче точки А (1), В (2), С (4), D (7), К (9), £ (11). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины. 552. Маша купила 4 порции мороженого «Эскимо» по 6 грн за порцию и несколько порций мороженого «Пломбир» по 4 грн за порцию. Сколько порций мороженого «Пломбир» купила Маша, если за всю покупку она заплатила 44 грн? Г § 16. УРАВНЕНИЯ Вы знаете, что такое уравнение, и как их решать. Л Запомните! Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти. Неизвестное обозначают буквой, например, х,у и т. д. ? Всегда ли равенство, содержащее букву, является уравнением? Нет. Например, равенство а + Ь = Ь-\-аие является уравнением. 'J -. 1 Решите уравнение: д: + 5 = 20. Р ■ i В уравнении неизвестным является слагаемое X. Чтобы его найти, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. То есть х = 20-5ид:=15. Если найденное значение неизвестного х = 15 подставить в уравнение, то получим верное числовое равенство: 15 + 5 = 20. D> Запомните! Значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ чисйШЩ1?~127 Так, корнем уравнения х + 5 = 20 является число 15. Если в это уравнение подставить любое другое значение буквы X, например, х= 10, то верное числовое равенство не получим: 10 + 5 20, Следовательно, число 10 не яв- ляется корнем уравнения х -Е 5 = 20. Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение о • X = 10 не имеет корней, поскольку не существует числа, которое можно умножить на 0 и получить число 10. Иногда уравнение может иметь несколько корней. С такими уравнениями вы ознакомитесь позднее. Запомните! Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня. Некоторое число увеличили на 7 и получили число 9. Найдите это число. Jb^am у - иш/^&шг1моб нашлю. Жт/^: ^-9-1. 1^-2. ОтЛ&ггь: ихшшиою нАшию — 2. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. ♦ Некоторое число уменьшили на 7 и получили число 2. Найдите это число. 128"! V.. Глава 3 ^ Обозначим неизвестное число буквой а. Тогда можно составить уравнение: а - 7 = 2. Неизвестное число а . является уменьшаемым. Его находим по известным вычитаемому и разности действием сложения: а = 2 + 7 \ла-9. Сле-' довательно, неизвестное число равно 9. Запомните! Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Разность числа 9 и некоторого числа равна 7. Найдите это число. Обозначим неизвестное число буквой Ь. Тогда по условию задачи можно составить уравнение: 9-Ь = 7. Неизвестное число Ь является вычитаемым. Его находим по известным уменьшаемому и разности действием вычитания: 6 = 9- 7и& = 2. Следовательно, неизвестное число равно 2. Ш Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. ^ Некоторое число увеличили в 7 раз и получили число 14. Найдите это число. ^ Обозначим неизвестное число буквой у. Тогда можно составить уравнение: у - 7= 14 или 7у= 14. Неизвестное число у является множителем. Его находим по известным произведению и второму множителю действием деления: у=14:7иу = 2. Значит, неизвестное число равно 2. Запомните! Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произ ведение разделить на известный множитель. эоиз- I J . Г Некоторое число уменьшили в 7 раз и получили число 2. Найдите это число. ■■e 1 Обозначим неизвеспное число буквой 2. Тогда можно составить уравнение: 2:7 = 2. Неизвестное число г является делимым. Его находим по известным делителю и частному действием умножения: 2 = 2 ■ 7 и 2 = 14. Следовательно, неизвестное число равно 14. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 129 L Запомните! Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. Частное числа 14 и некоторого числа равно 7. _ Найдите это число. 15- ' ■ Обозначим неизвестное число буквой k. Тогда по условию задачи можно составить уравнение; 14 : = 7. Неизвестное число k является делителем. Его находим по известным делимому и частному действием деления: k= ^4 :7 \л k = 2. Следовательно, неизвестное число равно 2. Запомните! Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. Уравнения, содержащие скобки, решают по тем же правилам. Решите уравнение: (15 + дг) • 2 = 36. р. Левая часть уравнения содержит произведение выражения в скобках и числа 2. Поэтому выражение в скобках считаем неизвестным множителем. Его находим по известным произведению и второму множителю; 15 + д: = 36 ; 2. Получили уравнение 15 + дг = 18. Отсюда д:=18-15ид: = 3. (/S+)-J6 - 2. iS^ - iS, iS, a>^3 ОтЛбгп : 3. 130 Глава 3 ' Узнайте больше ЧР :\ Искусство решения уравнений зародилось очень давно в связи с практическими нуждами. Наиболее ранние рукописи, дошедшие до нас, свидетельствуют о том, что в древних Вавилоне и Египте были известны приёмы решения задач с неизвестными величинами. В «Арифметике» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) содержится подборка задач на составление уравнений и объяснение их решения. Однако первой работой о решении уравнений, которая приобрела широкую гаопулярность, стал трактат арабского учёного Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми (ок. 780 — ок. 850) «Книга о восполнении и противопоставлении» (Аль-китаб аль мухта-сар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала), которая стала от- правной точкой в становлении 1науки о решении уравнений. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что такое уравнение? 2. Что называют корнем уравнения? 3. Что значит «решить уравнение»? 4 Как найти неизвестное слагаемое? 5. Как найти неизвестное уменьшаемое? Вычитаемое? 6. Как найти неизвестный множитель? 7. Как найти неизвестное делимое? Делитель? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J Какое из чисел 4, 5, 8 и 10 является корнем уравнения: 1)25-х = 20; Ответ объясните. 2) 10 ■ г/= 100; 3)64:х = 16? Решите уравнение устно: 1) 15 + х = 55; 3)60-г/= 45; 2) X-22 = 42; 4)1/-12= 12; Можно ли решить уравнение: 1)8х = 0; 2)0:у = 25; 3)5х = 5; 5) 88 : X = В; 6) у \ 10 = 40. 4)12:^ = 0? ЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ fc 131 Решите уравнение: 1)28 + (45 + х) = 100; 11) 121 : (х-45)= 11; 2)(г/-25)+ 18 = 40; 12)77:(1/+10) = 7; 3) (70-х)-35= 12; 13)(х-12): 10 = 4; 4) 60-(г/ + 34) = 5; 14) 55-г/ ■ 10=15; 5) 52-(19 + х) = 17; 15)х: 12 + 48 = 91; 6)9г/- 18 = 72; 16)5г/ + 4г/ = 99; 7)20 + 5х= 100; 17)54х-27х = 81; 8)90-у - 12 = 78; 18)36г/- 16г/ + 5г/ = 0; 9) 10х-44 = 56; 19) 14х + X - 9х + 2 = 56; 10)84-7г/ = 28; 20) 201/- 141/+ 7г/- 13= 13. Решите уравнение: 1)65 + (х + 23)= 105; 6) 9х + 50 = 86; 2){1/-34)-10 = 32; 7) 120 : (X- 19) = 6; 3) (48-х)+ 35 = 82; 8)(1/ + 50): 14 = 4; 4) 77-(28 +у) = 27; 9) 48 + ^ : 6 = 95; 5) 90 +г/ • 8= 154; 10) 8х + 7х-х = 42. Составьте уравнение, корнем которого является число: а) 8; ' 6)14. Г : Составьте уравнение, корнем которого является число: а) 5; 6)9. Некоторое число увеличили на 67 и получили число 109. Найдите это число. К некоторому числу прибавили 38 и получили число 245. Найдите это число. Некоторое число увеличили в 24 раза и получили число 1968. Найдите это число. Некоторое число уменьшили в 18 раз и получили число 378. Найдите это число. Некоторое число уменьшили на 22 и получили число 105. Найдите это число. Из числа 128 вычли некоторое число и получили 79. Найдите это число. Составьте и решите уравнение: 1) сумма удвоенного числа х и числа 39 равна 81; 2) разность чисел 32 и г/ в 2 раза меньше числа 64; 3) частное суммы чисел х и 12 и числа 2 равно 40; 4) сумма чисел х и 12 в 3 раза больше числа 15; 5) частное разности чисел t/ и 12 и числа 6 равно 18; б) утроенная разность чисел г/ и 17 равна 63. о* 132 Глава 3 Составьте и решите уравнение: 1) разность утроенного числа у и числа 41 равна 64; 2) сумма чисел 9 и л: в 5 раз меньше числа 80; 3) частное суммы чисел у и 10 и числа 4 равно 16; 4) разность утроенного числа д; и числа 17 равна 10. Некоторое число увеличили на 5 и полученное число удвоили. В результате получили число 22. Найдите неизвестное число. I Некоторое число увеличили в 7 раз и полученное число уменьшили на 54. В результате получили число 100. Найдите неизвестное число. ' Некоторое число уменьшили на 14, Уменьшив результат в 5 раз, получили число 13. Найдите неизвестное число. Некоторое число уменьшили в 4 раза и полученное число уменьшили на 35. В результате получили число 46. Найдите неизвестное число. Из некоторого числа вычли 60. Уменьшив результат на 25, получили число 12. Найдите неизвестное число. ■ К некоторому числу прибавили 41 и полученное число увеличили в 3 раза. В результате получили число 126. Найдите неизвестное число. Решите уравнение: 1) (7Х-24): 12 + 26 = 31; 2) (99-9i/)-8+14 = 86; 3) 144-(х: 11 +21)-5=14; Решите уравнение: 1) (2jc + 4) • 20-85 = 35; 2) 32 + (136-ДГ'8):4 = 64; 4) (97 + 75 : (50-5JC)) -3 = 300; 5) 100:(18 + (82- 10x):6) = 5; 6) (105 - (25+ 6д:) -4)-30= 150. 3) (21+75:(2д:+13))-5=120: 4) 12(32-(36 + 8х):5)=144. Олег задумал число. Если задуманное число вычесть из числа 777, результат уменьшить в 7 раз, а|Потом увеличить на 7, то получим число, которое на 7 больше наименьшего трёхзначного числа. Найдите число, задуманное Олегом. Света задумала число. Если на задуманное число разделить число 555, полученное частное вычесть из 55, результат увеличить в 5 раз, то получим число, которое в 10 раз больше числа 25. Какое число задумала Света? Решите уравнение: 1) (2400 : (25х + 175) : 6 + 58) : 20 = 3; 2) ((120 + х)- 100: 2 + 200): 250: 25= 1; 3) (16 000 + 9 • (900-50х) • 4) : 50 - 80 -6 = 20; 4) 10:((8х + 24):5:4 + 6) = 1. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 133' 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 579. Когда Соне было 5 лет, её брату Никите было 9 лет. Сейчас им вместе 40 лет. Сколько лет Соне? 580. Трём сёстрам вместе 24 года. Младшей — 5 лет. Разница в возрасте средней и старшей сестёр такая же, как у средней и младшей. Сколько лет старшей сестре? 681. Юра придумал математический фокус. Он предлагает одноклассникам задумать число, затем это число удвоить, прибавить последовательно числа 5 и 3, затем последовательно вычесть сначала задуманное число, а потом числа 6 и 1. После этого Юра просит назвать полученный результат и называет задуманное число. В чём секрет фокуса? 582. Придумайте свой математический фокус. 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 583. Вычислите устно значение выражения 8Ь-ь 12Ь-&-9Ь, если: 1)6-8; 2)6-20. 584. Найдите значение выражения: 1) (6330-65 ■ 82): 125; 2) 105 + 105 : (74 • 34 - 2501). 585. У Васи в коллекции 124 почтовые марки, а у Саши — на 27 марок больше. Сколько марок у Данилы, если всего у трёх мальчиков 390 почтовых марок? 586. Длина садового участка прямоугольной формы равна 75 м, а ширина — на 5 м меньше. Найдите длину забора, ограждающего этот участок. Г § 17. ТИПЫ ЗАДАЧ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ ■В начальной школе вы решали задачи по действиям и с помощью простых уравнений, В 5 классе круг таких задач расширяется. Поэтому важно знать, какие бывают типы задач, какими способами их можно решать и каким из них лучше воспользоваться для решения той или иной задачи. 134 Глава 3 В задачах, которые будем рассматривать, пойдёт речь об одной, двух или трёх величинах. Каждую задачу можно решить по действиям, оперируя заданными числовыми значениями величин. Это — арифметический способ решения. По условию задачи также можно составить уравнение и с его помощью получить ответ к ней. Такой способ решения задач называют алгебраическим. Задачи с одной величиной ' На полке стояли книги. После того, как с полки взяли 12 книг, а поставили — 9, на полке стало 39 книг. Сколько книг стояло на полке сначала? ' . - Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 17. Таблица 17 'Было Взяли Поставили Стало ? 12 кн. 9 кн. 39 кн. 1. Арифметический способ. Количество книг на полке меняли дважды. 1. Сколько книг стояло на полке перед вторым изменением? 39-9 = 30(кн.). 2. Сколько книг стояло на полке перед первым изменением? 30 + 12 = 42(кн.). Итак, сначала на полке стояло 42 книги. 2. Алгебраический способ. Жусть <Гу - пюмт^стЛо пни/ь, тшгшруьоб ст/жш и/ст 71АШЬб. Лйуц^: (-f2^30, -42 (/гн^.). 0тЛб17ь: CHXVbcuAXb иль отобилю 42 гишш. Задачи с двумя одноимёнными величинами На двух полках стоит 72 книги. Сколько книг на ^ каждой полке, если на второй полке книг в 2 раза больше, чем на первой? ■ - Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 18. Таблица 18 1-я , полка ■*-------------------- 2-я полка ?, в 2 раза больше, чем ’•72 книги 1. Арифметический способ. Если книги, стоящие на первой полке, составляют 1 часть, то на второй полке — 2 такие части. 1. Сколько частей составляют 72 книги? 1 +2 = 3(4.). 2. Сколько книг приходится на одну часть (стоят на первой полке)? 72 : 3 = 24(кн.). 3. Сколько книг стоят на второй полке? 24 - 2 = 48 (кн.). Итак, на 1 -й полке стоят 24 книги, а на 2-й полке — 48 книг. 2. Алгебраический способ. Пусть х — количество книг, стоящих на 1 -й полке, тогда 2х — количество книг, стоящих на 2-й полке. Получаем уравнение: х + 2х = 72. Решим уравнение: Зл: = 72, л: = 72 : 3, JC = 24 (кн.) — на 1 -й полке. 2х = 2 ■ 24 = 48 (кн.) — на 2-й полке. Итак, на 1 -й полке стоят 24 книги, а на 2-й полке — 48 книг. Задачи с тремя зависимыми величинами К этому типу относят задачи: 1) на стоимость; 2) на работу; 3) на движение. В них одна величина равна произведению двух других, и эту зависимость можно задать (|)ормулой. Одну из таких формул вы знаете — это фор- 136' Глава 3 мула, выражающая закон движения: s = vt. Вам также известно, что стоимость покупки и объём выполненной работы можно найти аналогично. Рассмотрим задачи. ' За 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 31 грн. Сколько стоит килограмм яблок и сколько — килограмм груш, если груши дороже яблок на 2 грн? Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 19. Таблица 19 ^ ,, Количе- Стои- Фрукты Цена ство Яблоки ? Груши ?, на 2 грн больше, чем 2 кг 3 кг мость ' 31 грн 1. Арифметический способ. Стоимость покупки находят как произведение цены на количество купленого; С - а ■ п, где С — стоимость, а — цена, п — количество. 1. На сколько меньше стоила бы покупка, если бы цена груш была такая же, как и цена яблок? 2 • 3 = 6 (грн). 2. Сколько стоила бы покупка, если бы цена груш была такая же, как и цена яблок? 31 -6 = 25(грн). 3. Сколько стоит килограмм яблок? 25 : 5 = 5 (грн). 4. Сколько стоит килограмм груш? 5+ 2 = 7 (грн). Итак, 1 кг яблок стоит 5 грн, а 1 кг груш — 7 грн. 2. Алгебраический способ. Пусть х — цена 1 кг яблок, тогда X + 2 — цена 1 кг груш. Можем составить уравнение: л; ■ 2 + (х + 2) ■ 3 = 31. Решим его; 2х + 3{х + 2) = 31, 2х + Зд: + 6 = 31,5л: = 31 - 6, 5л: = 25, л: = 25 ; 5, л: = 5 (грн) — цена 1 кг яблок. Найдём цену груш: л:+ 2 = 5+ 2 = 7 (грн) — цена 1 кг груш. Итак, 1 кг яблок стоит 5 грн, а 1 кг груш — 7 грн. Один мастер может изготовить 24 детали за 3 ч. Второй мастер в час изготавливает на 2 детали меньше, чем первый. За какое время он изготовит 24 детали? Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 20. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ- 137 Таблица 20 Мастер Произврдит^ьность труда Время Работа 1- й 2- й ?, на 2 AeTjneHbUje, чем Зч 9 24 дет. 24 дет. 1. Арифметический способ. Объём выполненной работы находят как произведение производительности труда на время: А = р ■ t, где А — объём работы, р — производительность труда, t — время работы. 1. Какова производительность труда 1 -го мастера? 24:3 = 8(дет./ч). 2. Какова производительность труда 2-го мастера? 8-2 = 6(дет./ч). 3. Сколько времени понадобится 2-му мастеру на выполнение работы? 24:6 = 4(4). Итак, 2-й мастер изготовит 24 детали за 4 ч. 2. Алгебраический способ. Пусть х — время, необходимое 2-му мастеру на выполнение работы. Тогда: (24:3 - 2) • х=24. Решим уравнение: 6л: = 24, л: = 24 : 6, л: = 4 (ч). Итак, 2-й мастер изготовит 24 детали за 4 ч. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из сёл, расстояние между которыми составляет 50 км. Встретились они через 2 ч. Первый ехал со скоростью! 2 км/ч. Найдите скорость второго велосипедиста. Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 21. Таблица 21 Велосипедист Скорость Время Путь 1- й 2- й 12 км/ч 9 2ч 2ч ”50 км 1. Арифметический способ. В задачах на движение краткая запись может иметь вид графической модели (рис. 145). 12 км/ч ^ |2- _ F1 ? 2ч 50 км Рис. 145 138' Глава 3 t, Путь находят как произведение скорости на время: s = v где V — скорость, t — время, s — путь. 1. Какое расстояние проехал 1-й велосипедист? 12 ■ 2 = 24(км). 2. Какое расстояние проехал 2-й велосипедист? 50-24 = 26 (км). 3. С какой скоростью ехал 2-й велосипедист? 26; 2= 13 (км/ч). Итак, скорость второго велосипедиста 13 км/ч. Данную задачу можно решить арифметически и по-другому. 1. Чему равна скорость сближения велосипедистов? 50 ; 2 = 25 (км/ч). 2. С какой скоростью ехал 2-й велосипедист? 25- 12= 13 (км/ч). Итак, скорость второго велосипедиста 13 км/ч. 2. Алгебраический способ. Пусть х — скорость второго велосипедиста. Тогда: 12 ■ 2 ч- л: ■ 2 = 50. Решим уравнение: 24 + 2х = 50, 2х = 50 - 24, 2л: = 26, д: = 26 : 2, д: = 13 (км/ч). Итак, скорость второго велосипедиста 13 км/ч. Обратите внимание: 1) при встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей участников движения; 2) при движении в противоположных направлениях скорость удаления равна сумме скоростей участников движения; 3) при движении в одном направлении скорость сближения (или удаления) равна разности скоростей участников движения. Катер прошёл 51 км по течению реки и потратил на это 3 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 15 км/ч. = Составим краткую запись данных задачи в виде таблицы 22. Таблица 22 Движение Скорость Время Путь По течению 15 + ? Зч 51 км ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАДЫ 139 1. Арифметический способ. 1. Чему равна скорость катера по течению? 51 : 3 = 17 (км/ч). 2. Чему равна скорость течения реки? 17-15 = 2(км/ч). Итак, скорость течения реки 2 км/ч. 2. Алгебраический способ. Пусть х — скорость течения реки. Тогда: (15 +х) • 3 = 51. Решим уравнение: 15 + х = 51 : 3, 15 + JC=17, х=17-15, л: = 2 (км/ч). Итак, скорость течения реки 2 км/ч. Обратите внимание: 1) скорость судна по течению реки равна сумме собственной скорости судна и скорости течения реки; 2) скорость судна против течения реки равна разности собственной скорости судна и скорости течения реки. Узнайте больше АИЙёМЕТИКА МАГНИЦКАГО! I Одним из наиболее известных учебников по математике, по которому учились решать задачи на протяжении двух столетий, является «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739). Этот учебник вышел в 1703 г. тиражом 2400 экземпляров и предназначался для будущих офицеров армии и флота, которые учились в Школе навигационных и математических наук. Книга была написана простым, образным и понятным языком. Изучать по ней математику, при наличии начальных знаний, можно было и самостоятельно. В книге, содержащей более 600 страниц, автор подробно рассмотрел арифметические действия с целыми и дробными числами, дал сведения о денежных расчётах, мерах и весах, привёл много практических задач. Леонтий Филиппович стремился доходчиво разъяснить математические правила и вызвать у учащихся интерес к учёбе. Даже сложные задачи он пытался формулировать так, чтобы они напоминали весёлые истории с замысловатым математическим сюжетом. ^ 1401 sn Глава 3 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Объясните, как решают задачи с помощью арифметического способа. 2. Объясните, как решают задачи с помощью алгебраического способа. 3, Объясните, как решают задачи на стоимость. 4 Объясните, как решают задачи на работу. 5 Объясните, как решают задачи на движение. 6 Объясните, как решают задачи на движение по течению реки; против течения реки. 3 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ■ Решите задачу устно. Серёжа задумал число. Если это число умножить на 8 и к произведению прибавить 10, то получится 34. Какое число задумал Серёжа? * Найдите цену конфет, если: 1) за 2 кг заплатили 40 грн; 2) за 3 кг заплатили 36 грн; 3) за 4 кг заплатили 100 грн. ^ о Найдите производительность труда токаря, если: 1) за 2 ч он вытачивает 8 деталей; 2) за 4 ч он вытачивает 40 деталей; 3) за 2 дня он вытачивает 60 деталей. ?<■ Найдите скорость движения автобуса, если: 1) за 1 ч он проезжает 60 км; 2) за 2 ч он проезжает 130 км; 3) за 6 ч он проезжает 240 км. 1 Найдите скорость движения лодки по течению реки и против течения, если: 1) собственная скорость лодки 12 км/ч, а скорость течения — 4 км/ч; 2) собственная скорость лодки 14 км/ч, а скорость течения — 5 км/ч; 3) собственная скорость лодки 15км/ч,аскоростьтечения — 2 км/ч. ' Составьте уравнение к задаче. 1) В корзину с яблоками положили 8 яблок и там их стало 19. Сколько яблок было 3 корзине сначала? ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД,НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 141 2) Из корзины с яблоками взяли 7 яблок и там их осталось 12. Сколько яблок было в корзине сначала? 3) В корзину с яблоками положили яблок в 2 раза больше, чем их было изначально. В корзине стало 18 яблок. Сколько яблок было в корзине сначала? 4) В корзину с яблоками положили на 3 яблока меньше, чем их было изначально. В корзине стало 19 яблок. Сколько яблок было в корзине сначала? По таблицам 23—24 составьте уравнения. Таблица 24 Таблица 23 Полка Количе- Вмес- Кор- Количе- ство книг те зина ство яблок 1 X 1 1 Зх - \ 36 2 2х J 2 X на 8 > По рисункам 146—147 составьте уравнения. А дг + 4 В X С К X Т Ззс • - •--------------— • • — --------------- “ V,_________ ___________Ч_______________________ М 16 см Рис. 146 20 см Рис. 147 Ученики 5-Б класса решали алгебраическим способом задачу; «Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 12, а результат умножить на 3, то получим 63. Какое число задумала Маша?» Тарас составил уравнение а; + 12 • 3 = 63, а Петя (X + 12) • 3 = 63. Кто из мальчиков составил уравнение верно? Ответ объясните. Из задуманного числа вычли 16, разность умножили на 7, к результату прибавили 40 и получили число 103. Какое число задумали? Задуманное число умножили на 4, к произведению прибавили 18, сумму разделили на 3 и получили число 22. Какое число задумали? I Найдите два последовательных числа, сумма которых равна 283. ■ Одно из чисел в 5 раз больше, чем другое. Найдите эти числа, если их сумма равна 366. 1 140* Глава 3 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Объясните, как решают задачи с помощью арифметического способа. 2, Объясните, как решают задачи с помощью алгебраического способа. 3, Объясните, как решают задачи на стоимость. 4, Объясните, как решают задачи на работу. 5 Объясните, как решают задачи на движение. 6. Объясните, как решают задачи на движение по течению реки; против течения реки. Л и_| РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J Решите задачу устно. Серёжа задумал число. Если это число умножить на 8 и к произведению прибавить 10, то получится 34. Какое число задумал Серёжа? 5 Найдите цену конфет, если: 1) за 2 кг заплатили 40 грн; 2) за 3 кг заплатили 36 грн; 3) за 4 кг заплатили 100 грн. ’ Найдите производительность труда токаря, если: 1) за 2 ч он вытачивает 8 деталей; 2) за 4 ч он вытачивает 40 деталей; 3) за 2 дня он вытачивает 60 деталей. Найдите скорость движения автобуса, если: 1) за 1 ч он проезжает 60 км; 2) за 2 ч он проезжает 130 км; 3) за 6 ч он проезжает 240 км. ' I Найдите скорость движения лодки по течению реки и против течения, если: 1) собственная скорость лодки 12 км/ч, а скорость течения — 4 км/ч; 2) собственная скорость лодки 14 км/ч, а скорость течения — 5 км/ч; 3) собственная скорость лодки 15км/ч,аскоростьтечения — 2 км/ч. ' Составьте уравнение к задаче. 1) В корзину с яблоками положили 8 яблок и там их стало 19. Сколько яблок было 3 корзине сначала? ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧЙСУЙЙШ:»- 141 2) Из корзины с яблоками взяли 7 яблок и там их осталось 12. Сколько яблок было в корзине сначала? 3) В корзину с яблоками положили яблок в 2 раза больше, чем ■их было изначально. В корзине стало 18 яблок. Сколько яблок было в корзине сначала? 4) В корзину с яблоками положили на 3 яблока меньше, чем их было изначально. В корзине стало 19 яблок. Сколько яблок было в корзине сначала? По таблицам 23—24 составьте уравнения. Полка Таблица 23 Количе- Вмес- ство книг 1 X те Таблица 24 Кор- Количе- _ Сравнение зина ство яблок 36 2 2х 1 2 Зл: X на 8 > По рисункам 146—147 составьте уравнения. х+^ в X с К X В Зд: А С ■“ • К X L " и V______ М 16 см Рис. 146 20 см Рис.147 5' Ученики 5-Б класса решали алгебраическим способом задачу; «Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 12, а результат умножить на 3, то получим 63. Какое число задумала Маша?» Тарас составил уравнение х + 12 • 3 = 63, а Петя (х + 12) • 3 = 63. Кто из мальчиков составил уравнение верно? Ответ объясните. 5' Из задуманного числа вычли 16, разность умножили на 7, к результату прибавили 40 и получили число 103. Какое число задумали? ' Задуманное число умножили на 4, к произведению прибавили 18, сумму разделили на 3 и получили число 22. Какое число задумали? ' Найдите два последовательных числа, сумма которых равна 283. Одно из чисел в 5 раз больше, чем другое. Найдите эти числа, если их сумма равна 366. Н2' Глава 3 Сумма двух чисел равна 167. Одно из чисел на 27 больше другого. Найдите эти числа. Одно из чисел в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа, если их сумма равна 224. Разность двух чисел равна 189. Найдите эти числа, если одно 3 них в 10 раз меньше другого. Одно из чисел в 12 раз больше другого. Найдите эти числа, если их разность равна 132. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если их сумма равна 306. Турист прошёл за четыре дня 92 км, причём в каждый последующий день он проходил на 2 км меньше, чем в предыдущий. Сколько километров турист прошёл в последний день? Найдите три последовательных натуральных числа, если их сумма равна 210. Сумма трёх натуральных чисел равна 825. Найдите эти числа, если первое из них — наибольшее двузначное число, а второе — в 5 раз больше третьего числа. | В трёх пятых классах учатся 103 ученика. В 5-А классе на i 6 учеников больше, чем в 5-Б классе, и на 1-го учащегося | меньше, чем в 5-В классе. Сколько школьников учится в каждом классе? На трёх полках стоит 96 книг. На второй полке книг в 3 раза больше, чем на первой, а на третьей полке — на 2 книги меньше, чем на второй. Сколько книг стоит на каждой полке? ' За 5 тетрадей и 3 ручки заплатили 17 грн 50 к. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит ручка, если тетрадь дешевле ручки на 50 к.? Купили 3 кг печенья и 2 кг конфет и заплатили за покуп- _ ку 95 грн. Сколько стоит килограмм печенья и сколько стоит ■ килограмм конфет, если конфеты дороже печенья на 10 грн? I В фруктовом саду нужно посадить 12 деревьев. Один работник может выполнить задание за 6 ч. Найдите время, необходимое для выполнения этого задания вторым работником, если за час он сажает на 1 дерево больше, чем первый работник. На фабрике нужно пошить 60 платьев. Одна мастерица может выполнить это задание за 20 дней. За сколько дней ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 143 " сможет выполнить это задание вторая мастерица, если за день она шьёт на 1 платье больше, чем первая? t?j‘i Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 260 км, и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости второго. , ■ 1 Расстояние между пунктами А и В равно 435 км. Одновременно навстречу друг другу из этих пунктов выехали два автомобиля и встретились через 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости второго. 1C Автомобили выехали одновременно из пункта А в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля была 70 км/ч, а второго — на 10 км/ч меньше, чем первого. На каком расстоянии друг от друга будут находиться автомобили через 2 ч после выезда? , I Два автобуса одновременно и в противоположных направлениях выехали из сёл, расстояние между которыми составляет 30 км. Первый автобус ехал со скоростью 60 км/ч, а второй — со скоростью, на 10 км/ч большей, чем первый автобус. На каком расстоянии друг от друга будут находиться автобусы через 3 ч после выезда? 61 Расстояние между двумя пристанями 48 км. Скорость течения реки 4 км/ч. Какое время затратит катер, собственная скорость которого 12 км/ч, на путь от одной пристани до другой: 1) по течению; 2) против течения? к Ы 9 Катер курсирует по реке между двумя городами, расстояние между которыми 63 км. Собственная скорость катера 15 км/ч, а скорость течения — 6 км/ч. Какое время затратит катер на один рейс туда и обратно? 62С Сумма двух чисел равна 246, а разность — 32. Найдите эти числа. Число 1086 нужно представить в виде суммы трёх слагаемых так, чтобы первое слагаемое было на 267 больше второго, а третье — равно сумме первых двух. Найдите эти слагаемые. Сумма трёх чисел равна 92. Разность первого и второго равна 5, а разност1ь второго и третьего,равна 18. Найдите эти числа. 144 3 Глава 3 Сумма двух чисел равна 10. Если одно число увеличить в 4 раза, а второе — в 2 раза, то сумма новых чисел будет равна 28. Найдите эти числа. Сумма четырёх чисел равна 136. Второе число на 8 боль-' ше первого, третье — на 4’ больше второго, и четвёртое — на 24 больше третьего. Найдите эти числа. Найдите два числа, сумма которых 450, а частное 8. Найдите два числа, сумма которых 150, а частное 4. Ученик умножил некоторое число отдельно на 8 и на 12. Потом прибавил полученные произведения и получил 500. Найдите это число. Мама купила 6 кг конфет двух видов по цене 18 грн и 15 грн. Сколько килограммов конфет каждого вида купила мама, если покупка стоит 96 грн? Купили 20 тетрадей в линейку стоимостью 3 грн и в клетку — стоимостью 2 грн. Сколько купили тетрадей в линейку и сколько в клетку, если за покупку заплатили 45 грн? По плану рабочий должен сделать 96 деталей за 12 дней. Однако он ежедневно делал на 4 детали больше. На сколько дней раньше рабочий сможет выполнить план? За 15 дней портниха должна сшить 30 костюмов. Однако ежедневно она шила на 1 костюм больше. На сколько дней раньше портниха выполнила задание? Из города выехал мотоциклист со скоростью 40 км/ч.Через 2 ч в том же направлении из города выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч. Через сколько времени после выезда автомобиль догонит мотоциклиста?'На каком расстоянии от города это произойдет? Два велосипедиста одновременно и в одном направлении выехали из двух посёлков. Расстояние между ними 30 км. Скорость первого 12 км/ч, а второго — на 2 км/ч больше. Какое расстояние будет между ними через 2 ч после выезда? Из посёлка вышел турист со скоростью 4 км/ч. Через 1 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью, большей в 2 раза. За сколько часов велосипедист догонит туриста? Расстояние между двумя пристанями 72 км. Катер преодолевает это расстояние по течению реки за 6 ч, а против течения — за 9 ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНЙ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 145^ ^6. А- Расстояние между двумя пристанями 60 км. Моторная лодка преодолевает это расстояние по течению реки за 3 ч, а против течения — за 6 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки. На прямой даны три точки А, В и С. Отрезок АВ вдвое длиннее, чем отрезок ВС. Найдите длины отрезков АВ и ВС, если отрезок АС = 12 см. Сколько решений имеет задача? Одна сторона прямоугольника втрое больше второй его стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 64 см. Периметр прямоугольника равен 80 см. Найдите стороны прямоугольника, если одна сторона на 4 см больше второй. Боковая сторона равнобедренного треугольника в 2 раза больше основания, а его периметр равен 55 см. Найдите стороны треугольника. Основание равнобедренного треугольника на 10 см меньше боковой стороны, а его периметр равен 44 см. Найдите CTOpoVibi треугольника. Костя спросил у отца: «Который час?». Отец ответил: «Посчитай: до конца суток осталось втрое меньше времени, чем прошло от их начала». Который сейчас час? Через 18 лет Петя станет в 3 раза старше, чем теперь. Сколько лет Пете сейчас? Тарас поздравил Лесю с днём рождения. Его спросили, сколько лет Лесе. Тарас ответил так: «Через три года Леся будет вдвое старше, чем три года назад». Сколько лет Лесе сейчас? Старинная задача. Ученик на вопрос, сколько ему лет, ответил: «Я в три раза младше матери и в четыре раза младше отца. Если к сумме наших лет, вместе взятых, прибавить 12 лет, то получится ровно 100 лет». Сколько лет ученику, его матери и отцу? Дочь на 4 года младше сына и в 4 раза моложе мамы, а сын в 4 раза моложе отца. Сколько лет каждому, если им всем вместе 100 лет? 'В двух комнатах — 76 человек. Когда из первой комнаты вышли 30, а из второй — 40 человек, то людей в комнатах осталось поровну. По сколько человек было в комнатах сначала? На двух полках стоит 106 книг. Если с одной из них снять 18 книг, то на обеих полках книг станет поровну. Сколько книг стоит на каждой полке? 146 Глава 3 Старинная задача. Помещик, рассчитывая на то, что корова в четыре раза дороже собаки, а лошадь в четыре раза дороже коровы, взял 200 рублей, когда поехал на базар. На эти деньги он купил собаку, две коровы и лошадь. Сколько стоит каждое животное? Таня посчитала, что если она даст своим гостям по 4 пирожка, то 3 пирожка останется, а если она даст всем по 5 пирожков, то 3 пирожков не хватит. Сколько гостей пригласила Таня? Петя и Коля играли в шашки. Петя задумался над своим ходом, а Коля тем временем посчитал, что на доске (64 клетки) пустых клеток втрое больше, чем занятых, и что у него на 2 шашки больше, чем у Пети. Сколько шашек было у каждого мальчика в тот момент? Старинная задача. Дедушка говорит внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, была равна большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи? Старинная задача. Отец разделил орехи поровну между пятью сыновьями. Трое из сыновей съели по 5 орехов и увидели, что у них осталось столько же орехов, сколько получили два других сына. Сколько орехов раздал отец? На школьной олимпиаде по математике были предложены для решения 7 задач. За каждую задачу, решённую правильно, насчитывали 5 баллов, а за каждую задачу, решённую неправильно, снимали 3 балла. Сколько задач правильно решил Саша, если он получил на олимпиаде 19 баллов? Одна хозяйка приобрела на рынке 3 кг помидоров по цене а грн / кг и 2 кг огурцов по цене Ь грн / кг. Вторая хозяйка заплатила за 6 кг картофеля столько же денег, сколько первая за всю покупку. Составьте выражение для нахождения стоимости одного килограмма картофеля. Велосипедист едет со скоростью а м/мин. Навстречу ему движется автобус. Через 1 мин расстояние между ними уменьшилось на Ь м. Составьте выражение для нахождения скорости автобуса. Из посёлка одновременно в одном направлении выехали два всадника. Через 30 мин расстояние между ними составляло т м. Скорость всадника, ехавшего быстрее, п м/мин. Составьте выражение для нахождения скорости второго всадника. ДЬЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 147 О!) - Катер шёл 2 ч со скоростью а км/ч, а остальное время — со скоростью Ь км/ч. Составьте выражение для находжения времени, которое катер был в пути, если он прошёл расстояние с км. 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ вб9. Составьте и решите задачу о своем возрасте и возрасте других членов своей семьи. ввО. Составьте и решите задачу о количестве мальчиков и девочек в вашем классе. в61. Составьте и решите задачу о покупке печенья и конфет, если килограмм печенья стоит 15 грн, а килограмм конфет — 32 грн. в62. Составьте и решите задачу о покупке канцелярских товаров, нужных вам для школы. f ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 663. Вычислите устно: 1) 19 + 21; 2) 10-9 42 + 58; 3-12 22 + 48; 16-4 75-25; 81:3 100-36; 55:5 664. Составьте алгоритм 3) 12 • 2 ■ 5; 4-7-25; 128:4-0; 34 -8- 125; 24 • 2 • 50. выполнения действии, построите схему вычисления и найдите значение выражения: 1) (424-25- 12)-156:4; 2)360: 15 + 5 • (500 - 34 • 12), 665. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной тетрадной клеточки. Отметьте на этом лучеточкиА (0), В (4), С (2), D (12), К (7), Е (12). 666. Найдите расстояние между точками: 1) А (23) и В (28); 2) С (31) и D (41); 3) М (55) и N (77). 667. Луч О К — биссектриса угла АОВ. Найдите ‘градусную меру угла АОК, если Z АОВ = 62°. 668. Луч ОВ — внутренний луч угла АОС. Найдите градусную меру угла АОС, если Z АОВ = 42° и Z ВОС = 85°. 148 Глава 3 I ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Назовите компоненты действия умножения. 2. Как называется результат действия умножения? 3. Сформулируйте и запишите переместительный закон умножения. 4. Сформулируйте и запишите сочетательный закон умножения. 5. Объясните, что можно найти (какие задачи можно решать) при помо1ди действия умножения. 6. Сформулируйте и запишите распределительный закон умножения относительно сложения. 7. Назовите компоненты действия деления. 8. Как называется результат действия деления? 9. Объясните, что можно найти (какие задачи можно решать) при помощи действия деления. 10. Объясните, как выполняют деление с остатком. 11. Запишите формулу для нахождения делимого. 12. Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку? 13 В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении, содержащем только сложение и вычитание? 14. В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении, содержащем только умножение и деление? 15. В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении, содержащем все действия? 16 В каком порядке нужно выполнять действия в числовом выражении со скобками? 17. Что такое уравнение? 18. Что называют корнем уравнения? 19. Что значит «решить уравнение»? 20. Как найти неизвестное слагаемое? 21. Как найти неизвестное уменьшаемое? Вычитаемое? 22. Как найти неизвестный множитель? 23. Как найти неизвестное делимое? Делитель? 24 Объясните, как решают задачи при помощи арифметического способа. 25. Объясните, как решают задачи при помощи алгебраического способа. ДЕЙСТВИЯ ВТОРОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЬНШ.ШСЙМЙЯЕ"' 149' ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10—15 мин. № 1 1 Найдите значение выражения: 33 + 88 : 11 (27— 19). А. 34. Б. 88. В. 97. Г. 107. 2 . Килограмм конфет стоит 24 грн, а килограмм печенья - в 2 раза дешевле конфет. Сколько стоит 6 кг печенья? А. 12 грн. Б. 36 грн. В. 48 грн. Г. 72 грн. 3®. Сколько порций мороженого по 4 грн сможет купить Вася, если у него есть 15 грн? А. 2. Б. 3. В. 4. Г. 5. 4. Упростите выражение: 6 ■ (а + 5) + 4 ■ (а + 8). А. 10а+13. Б. 23а. В. 10а+ 62. Г. 72а. 5*. Вычислите удобным способом: 45 ■ 63 + 13 • 20 + 45 • 37 + 87 • 20. А. 65. Б. 550. В. 650. Г. 470. №2 1“. Решите уравнение: 2л: — 12 = 36. А. 96. Б. 48. В. 24. Г. 12. 2". Решите уравнение: 144 : (д: + 5) = 9. А. 21. Б. 1291. В. 1301. Г. 11. 3 . Сумма двух чисел равна 108. Найдите эти числа, если второе число на 8 больше первого. А. 12 и 96. Б. 14 и 94. В. 50 и 58. Г. 52 и 56. 4. По плану рабочий должен изготовить 72 детали за 9 дней. Но рабочий ежедневно изготавливал на 1 деталь больше. На сколько дней раньше рабочий выполнил план? А. 8. Б. 4. В. 2. Г. 1. 5* Из города А в город В выехал автобус со скоростью 60 км/ч, а через 2 ч в том же направлении выехал автомобиль. Через какое время после выезда автомобиль догонит автобус, если за час он проезжает на 30 км больше, чем автобус? А. 4 ч. Б. 5ч‘. В. 6 ч. Г. 8 ч. 4} СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ ФИГУР Вы узнаете; ф что такое степень числа и как она связана с действием умножения; ф о действии возведения в степень и его свойствах; ф что такое квадрат и куб числа; ; ф каков порядок выполнения действий в выражениях, содержащих степени; ; Ф о многоугольнике и его видах; ф как вычислять площадь прямоугольника и квадрата;; ф что такое прямоугольный параллелепипед, куб,: пирамида; Ф как вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и куба; ф что такое комбинаторная задача и как её решать; ■ " как применять изученный материал на практике СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С КАТУРАЛ! 151 Г § 18. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА Вы уже знаете, что сумму нескольких равных слагаемых можно найти при помощи действия умножения. Например: 4-1-4-1-4-1-4-1-4-1-4-ь4-1-4-1-4-1-4 = 4-10. V______________ _________________» 10 слагаемых О таком числовом равенстве говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, выходит, что произведение 4 ■ 10 развернули в сумму равных слагаемых. ? Можно ли свёрнуто записать произведение нескольких равных множителей, например, 4'4-4-4-4-4-4-4-4-4? Да. Для этого используют специальное выражение 4^”, которое называют степенью. ? Выражение 4^‘' читают так: «четыре в десятой степени» или «десятая степень числа 4». В выражении 4^° число 4 называют основанием степени — она показывает, какое число множили само на себя. Число 10 называют показателем степени '— он показывает, сколько равных множителей было в произведении. Итак, произведение равных множителей можно свернуть в степень: 4.4.4.4.4.4.4.4.4.4 = 410, 10 множителей Действие, с помощью которого произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень. Это — пятое арифметическое действие. Запомните! Возвести число а в степень п — значит найти произведение п множителей, каждый из которых равен а. а" =.а • а ■ а.. п множителей ’ Г1 д а ч а 1 Сравните значения степеней 4'° и 10'*. 1> p = Возведём число 4 в степень 10: 410= 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 ■ 4 • 4 = 1 048 576. Возведём число 10 в степень4: 10''=10 - 10 - 10 - 10=10 000. Покольку 1 048 576 > 10 000, то 4’° > 10'*. *> Обратите внимание: значение степени может измениться, если поменять местами основание степени и её показатель. ? Существует ли степень, значение которой не изменится, если её основание и показатель поменять места- ми? Да. Например, 3^, 25^®, 428^^®. Если основание степени равно 1, то значение степени при любом натуральном п равно 1: 1"=1. Например, 1^ = 1, = 1, 1^®’^ = 1. Если показатель степени равен 1, то значение степени при любом натуральном а равно а: а* = а. Например, 2^= 2, 25i= 25, 257'= 257. Новое арифметическое действие — возведение в степень — вносит изменения в порядок выполнения действий. Это действие третьей ступени, потому его выполняют первым. Найдите значение выражения 3® + 2 ■ 13^ - 8 : 4. #> Обратите внимание: в выражениях, содержащих степени, сначала выполняют возведение в степень, а затем умножение и деление, сложение и вычитание. > Определим порядок выполнения действий в \ данном выражении; 1 5 3 2 6 4 36 + 2- 13^-8: 4. Теперь выполним действия в этом порядке: 3® + 2- 132-8:4 = 729 + 2- 169-8:4 = 729 + 338-2= 1065. СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЯк 153 Особыми считают вторую и третью степени числа. Для них даже придумали имена: вторую степень называют квадратом числа, а третью степень — кубом этого числа. Степень а^ читают так: «а в квадрате», а степень а^ — ♦ а в кубе». Для упрощения вычислений важно запомнить квадраты и кубы однозначных чисел. Соответствующая таблица находится на форзаце учебника. Узнайте больше Существует интересная закономерность, связывающая квадрат натурального числа и квадрат предыдущего натурального числа. Посмотрите на рисунок 148. Вы видите, как с помощью квадратиков с красными и чёрными кружочками можно сделать наглядными числовые равенства: 22= 1 +3 , 32= 1 +3 + 5 , 42= 1 +3 + 5 + 7ИТ. д. Отсюда: 22= 12 + 3, 32 = 22 + 5, 42 = 32 + 7. О О о о о ООО _ о ‘ I о о о о о о Рис. 148 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Что такое степень числа? Основание степени? Показатель степени? 2 Что значит возвести число а в степень я? 3. Чему равно 1 в степени л? 4. Чему равно а в степени 1? 5. Какой порядок выполнения действий в выражении, содержащем степени? 6 Что называется квадратом числа? Приведите примеры. 7 Что называется кубом числа? Приведите примеры. / ЕЖ 154^ s РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Глава 4 Прочитайте выражение: 1) 2^; 2) 2®; 3) 3^; 4) 4^; 5) 67''; 6) 100^. Назовите основание и показатель степени. Что они показывают? Сколько раз взято множителем число 5, если получили степень: 1)52; 2)55; 3)5''®; 4)5"; 5)5'"? Какой степени числа 2 равно произведение: 1) 2-2-2; 3)2-2-2 -2; 2) 2 -2 -2 -2 -2; 4)2? Какими данными нужно дополнить клеточки в таблице 25? Таблица 25 Степень 22 7® 53 4'' Основание степени 5 34 1 9 1 2 9 Показатель степени 6 3 100 2 9 9 Верно ли определён порядок действий в выражении: 12 12 12 3 12 1)43 + 9; 2)23-23; 3)5-3^-7\ 4)82:4? Запишите в виде степени: 1) три в квадрате; 2) шестнадцать в кубе. Какое из равенств верное: 1)5 + 5 + 5 = 53; 2)5 -5 -5 = 53; 3) 5 ■ 3 = 5з? Запишите в виде степени: 1) 37-37-37-37-37-37; 3) т ■ т ■ т\ 2) 24 ■ 24 ■ 24- 24 • 24- 24 ■ 24; 4) п ■ п ■ п п ■ п ■ п ■ п ■ п ■ п. Запишите в виде произведения: 1)27®; 2)539"; 3) т®; 4) п'Т По данным таблицы 26 найдите значение степени с основанием 10. Какая прослеживается закономерность? Таблица 26 Степень 10' 102 10® 10'' 10® 10® 10" 10® 10® 10'® Значение степени СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПСМОЗ/ШШ^ ! 155 oi Сравните значения выражений: 1)3 + 3 + 3и3-3-3; 2)3-2и32. Поставьте знаки «<», «>» или «=» между выражениями: 1) 23 и 33; 2) 2^ и 53; А ' Вычислите: бв- Вычислите: 1) 350 - 63 • 3; 2) (350-63)-3; 3) 13и 13; 4) 133 и 132; 2) 5^+75; 5) 23'и 32’; 6) 123'и132'; 3) 122: 6; 3) (350-6)3-3; 4) 350-(6-3)3. 7) 2би 134; 8) 80 и 3^ 4) 23 ■ 53. О ' Определите порядок действий в выражении: 1)2б+2-53-7; 2)(2® + 2)-53-7; 3 ) 343 + 53-зз • 7. Найдите аз, если а равно: 1) 12; 2) 25; 3) 100. " Найдите m3, если т равно: 1) 8; 2) 15; 3) 100. - По данным таблицы 27 найдите квадраты и кубы числа а. Запомните полученные значения. Таблица 27 а ^ ^ 2 З"^ 4~ 5 ¥ 7 ~8 9 10 »2 I дз А Какое число в квадрате равно: 1) 100; 2) 64; 3) 49? Какое число в кубе равно: 1) 8; 2) 125; 3) 64? Запишите в виде выражения: 1) сумма квадрата числа 3 и числа 6; 2) разность куба числа 5 и числа 100. '■ УО Решите уравнение: 1) 2"-х=10; 3)5" + х-625; 2) 300-х = 63; 4)4х = 83. пм I Запишите выражение в виде степени с основанием 2: 1)8 -4; 2)2-4-16; 3)32 -2 -64. ь 'Запишите выражение в виде степени: 1) 9 - 9 • 9 - 3 ■ 3 - 3; 2) 25 ■ 25 -125 -125 • 125 - 25. - Запишите выражение в виде произведения и вычислите его значение: 1)3'-33; 2)63 -63; 3)5^-57 ■ 9 Запишите в виде степени выражение: 1) 26.2^; 2) 8» • 83; 3) дз - дз 4) рз. р2 PI^156' 695. Вычислите; ^ 1)2-5Ч12'6з+12 . 2) (2-5"-2): 23; 696. Вычислите; " 1)5^-22-6+43; 2) (5^-22-6)+ 43; Глава 4 33; 3) 152; (63+ 32); 4) (23-33); (22-32). 3) (5^-22)-6 + 43; 4) 5“-22 ■ (6 + 43). 697. Найдите значение выражения а + Ь^, если Ь-8,аа равно; 1)1; 2)6; 3)100. 698 Найдите значение выражения (а + bf, если а = 2,аЬ равно; 1)12; 2)5; 3)10. .^699. Найдите значение выражения а2 + &2^ если а = 2, а 6 равно; ^ 1)12; 2)5; 3)10. 700. Найдите; 1) куб суммы квадратов чисел 3 и 4; 2) квадрат разности кубов чисел 6 и 5. 701. Решите уравнение; 1)23-x = 6^; 2)32 + х=2®; 3)2^~х=5^. 702 Число 7065 можно записать как сумму разрядных слагаемых; 7065 = 7-1000+ 6- 10+5 = 7 ■ 10з+6- 10' + 5. Запишите в таком виде число; 1) 4567; 2) 30 003. 703' Запишите в виде степени; 1)4 ■ 27 • 9 ■ 64 ■ 3 ■ 16; 2) 11 • 11 ■ 8 ■ 11 ■ 11 ■ 21. 704* Решите уравнение; 1) 2^- х = 63 - 40; 2) 25 (23-х) = 53; 705". Вычислите; 1) 4 - Ю-’т4 - 103+4- 102+4 - 104 4; 2) 103+2- 103+7- 102+3- 1046. Какая закономерность прослеживается? 706’' Найдите сумму чисел; 1) 2 -103+3- 1044 - 103+5- 102+6 - 1047и 5-1049 - 104 + 102+8 - 104 3; 2) 4 -103+5 - 104 7 - 103+6 - 1047 и 5 -104 5 - 104 102+3. 707 Найдите разность куба суммы квадратов чисел 2 и 3 и квадрата суммы кубов этих чисел. 708* Задача Аль-Хорезми (Средняя Азия, около 780г. —850г). Представьте число 10 в виде двух натуральных слагаемых, сумма квадратов которых равна 58. 3) (54-х2) - 23 = 63+ 2'*: 4) Ц2-х2= 102- 22- 52. СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕ®М_^ 157 I ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 709. На 'Первую клеточку шахматной доски положили 2 зёрнышка, на вторую — в 2 раза больше, чем на первую, на третью — в 2 раза больше, чем на вторую и т. д. Сколько зёрнышек будет на; 1) десятой клеточке; 2) последней клеточке? Ответ запишите в виде степени числа 2. И ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ [| 710. Вычислите устно; 1) 125;5 + 24-2-15; 2) 56 ; 7 + 52 + 4 ■ 15. 711. Решите уравнение; 1) (25 - X) • 11 = 169 ; (67 - 54) - 458 ; 229; 2) 16х-34 = 405 ; 5 - 153 ; 3. 712. Даша купила 15 тетрадей, по 1 грн 30 к. и 4 альбома по 7 грн. Сколько заплатила за покупку Даша? 713. Алёша купил 5 пачек мороженого по 3 грн 50 к. и 6 пачек печенья по 6 грн 25 к. Сколько заплатил за покупку Алексей? Г § 19. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА Посмотрите на рисунок 149. Вы видите на столе книгу, тетрадь и пенал. Каждый предмет занимает определённую часть стола, и мы можем сравнить, какой из них занимает больше места, а какой — меньше. Математики сказали бы, что мы сравниваем предметы по плош,ади, которую они занимают на столе. Рис.149 158 Глава 4 / / плоскость Рис. 150 Рис.151 Столешница даёт представление о такой геометрической фигуре, как плоскость (рис. 150). Эта фигура безгранична. Все геометрические фигуры, которые вы изучали, можно разместить на плоскости (рис. 151). Вы знаете, что книга, тетрадь и пенал (см. рис. 149) имеют форму прямоугольника. Такую же форму имеют и рама для картины, и оконная рама (рис. 152). Однако математики различают такие геометрические фигуры. Прямоугольник, примером которого является книга, тетрадь или пенал, — это часть плоскости (рис. 153), а прямоугольник, который представляют рама для картины или оконная рама, — это линия (рис. 154). Если же в раму вставить картину, а в оконную раму — стекло, то получим примеры прямоугольника как части плоскости. Рис. 152 Запомните! Прямоугольник вместе с частью плоскости, которую он ограничивает, называется плоским прямоугольником. Для плоского прямоугольника, как и любого другого плоского многоугольника, можно определить не только длины его сторон и периметр, но и площадь. В дальнейшем, если реч«ь будет идти о площади фигуры, будем подразумевать, что это — плоская фигура. А называть её будем кратко — фигура (прямоугольник, квадрат, многоугольник), опуская слово «плоская». F СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛАС НАТУРАЛЬ \ ---------- * --------------------- А прямоугольник как часть плоскости Рис. 153 прямоугольник как линия Рис. 154 159 .С А В Рис. 155 Единицей измерения площади считают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Такой квадрат называют единичным квадратом. В таблице 28 вы видите единицы длины и соответствующие им единицы площади, которые используют в метрической системе мер. Таблица 28 Единица 1 см 1 мм 1 дм 1 м длиньГ Единица площади 1 см^ 1 мм^ 1 ДМ^ I 1 м^ Запись 1 см^ читают так: «один квадратный сантиметр». Определить площадь фигуры значит выяснить, сколько единичных квадратов она вмещает. На .рисунке 154 вы видите, что в прямоугольник АВСН со сторонами 2 см и 3 см вмещается 6 единичных квадратов с площадью 1 см^. Это значит, что площадь прямоугольника АВСН равна 6 см^. \j. Записывают: S = 6 см^. Буквой S заменяют слово «площадь». Площадь прямоугольника зависит от длин его смежных сторон. Действительно, вдоль стороны АВ прямоугольника ABCD (рис. 155) вмещается 2 единичных квадрата, а вдоль стороны ВС — 3 таких квадрата. Поэтому всего в прямоугольник можно вместить 2-3 = 6 единичных квадратов. Если заменить длины смежных 160 N ■IT м Глава 4 К Рис. 156 Рис.157 сторон прямоугольника, то количество единичных квадратов, которые в нём вмещаются, может измениться. Например, увеличив одну из сторон на 2 см и уменьшив вторую на 1 см (рис. 156), получим, что прямоугольник вмещает 4-2 = 8 единичных квадратов. Вообще, в прямоугольник со сторонами а и Ь можно вместить аЬ единичных квадратов (рис. 157). Можем записать формулу площади прямоугольника. Запомните! Формула площади прямоугольника. Площадь прямоугольника со сторонами а и 5 равна произведению этих сторон. S-ab ? Можно ли по формуле площади прямоугольника вычислить площадь квадрата? Да, поскольку квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 158). Если сторона квадрата равна а, то его площадь составляет а - а = а^. Итак, получили формулу площади квадрата. / I / / а Рис. 158 Запомните! Формула площади квадрата. Площадь квадрата со стороной а равна квадрату его стороны. S = a^ СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 161 f Существует ли связь между площадью квадрата и на-щшнием второй степени числа? Да. Отсюда и происходит его название — квадрат числа. Воспользовавшись формулой площади квадрата, получим связь между единицами измерения площади: 1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2 = I 000 000 мм2. D К I I Два равных прямоугольника ABCD и BNKC имеют общую сторону ВС и образуют квадрат .(рис. 159). Найдите площадь каждого прямоугольника и их стороны, если площадь квадрата равна 16 см^. - У равных прямоуголь- ников равны соответственные стороны, поэтому они имеют .равные площади. Следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет половину площади данного квадрата и равна: 16:2 = 8 (см^). Найдём стороны прямоугольников. Поскольку данные прямоугольники образуют квадрат с площадью 16 (см^), то AD=A/V = 4(см). Из равенства прямоугольников следует, что АВ = BN, то есть AN = 2 АВ. Отсюда АВ = AN : 2 = 4 : 2 = 2 (см). Итак, стороны прямоугольников равны 4 см и 2 см. В Рис. 159 N Запомните! 1. Равные фигуры имеют равные площади. 2. Площадь фигуры равна сумме площадей её частей, р Узнайте больше Для измерения земельных участков используют такие единицы площади, как ар и гектар. Кратко их обозначают а и га. Термин «ар» происходит от латинского слова area (площадь). Другое название ара — сотка, поскольку: 1 а = 100 м2. Слово гектар состоит из двух слов: гект (от греческого слова hekaton, означающего «сто») и ар. Название подсказывает, что: 1 га = 100 а = -10 000 м^. 162 Глава 4 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. 2 3. 4. 5. 6 Какой прямоугольник называется плоским? Что такое единичный квадрат? Какими единицами измеряют площадь? Как определить площадь фигуры? Какова формула площади прямоугольника? Запишите формулу площади квадрата. РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J 5 см. Верно ли, Длина прямоугольника 7 см, а ширина что площадь прямоугольника равна: 1)7-5(см2); 2) (7 +5)-2 (см2)? £ Длина прямоугольника равна т, а ширина — п. Можно ли по данному выражению найти площадь прямоугольника: ^)m + n■, 2)2т + 2п\ 3)2тп; 4) тп? Сколько квадратов площадью 1 см^ вмещает прямоугольник, площадь которого равна: 1) 6 см^; 2) 5 см^; 3) 10 см^? Верно ли, что площадь квадрата со стороной 5 см равна: 1)52(см): 2)5 ^(см): ; Запишите 2 дм2: 1) в квадратных сантиметрах; Запишите 650 м2: 3)52 (см2): 4)5-2 (см2)? 2) в квадратных милиметрах. 2) в квадратных сантиметрах. 3) 6 дм2. 1) в квадратных дециметрах: Выразите в квадратных метрах: 1) 1 000 000 мм2; 2) 1 км2; Выразите в квадратных сантиметрах: 1)4 км2; 2) 1 000 000 мм2; 3) 25 м2. Сколько квадратов со стороной 1 см вмещает прямоугольник со сторонами: 1) 4см1И 5 см; 2) 10 см и 2 см? Одна сторона прямоугольника равна 10 см, а вторая — в 3 раза больше. Найдите площадь прямоугольника. Одна сторона прямоугольника равна 9 см, а вторая — на 5 см меньше. Найдите площадь прямоугольника. а, Ь — стороны прямоугольника, S — его площадь, Р — периметр. По данным таблицы 29 найдите неизвестные величины. СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛШ 163 _31 Таблица 29 12м I 10 км _ ___ бОкм^ 14 дм! а Ь S Р 4 см 9 см 11 м 7 м 6 дм 5 м ) I 4 мм 35м^ 16мм^ _ 34 м А Найдите площадь квадрата, сторона которого равна: 3) 100 дм. Рис. 160 1)5м; 2) 11 см; Найдите площадьфигуры (рис. 160), если сторона квадрата равна: 1)3см; 2)4дм. i “ Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону: 1) увеличить в 2 раза; 2) уменьшить в 3 раза? Как изменится сторона квадрата, если его площадь: 1) увеличить в 4 раза; 2) уменьшить в 25 раз? / = Найдите площадь фигур, изображённых на рисунках 161—162, если площадь 1 клеточки равна 1 см^. Сколько квадратов со стороной 1 см вмещает прямоугольник со сторонами: 1)30 мм и 4 см; 2) а см и 6 см; 3) а см и & см? Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) одну сторону увеличить в 6 раз, а другую — уменьшить в 6 раз; 2) каждую сторону увеличить в 10 раз? Одна сторона прямоугольника равна тп, а вторая — на п больше. Найдите площадь прямоугольника. Вычислите значение площади, если: 1) т = 6см, я = 20 мм; 2) т = 8 дм, я = 4см. Я В Рис. 162 164 ' Глава 4 Периметр прямоугольника равен 126 м. Найдите его площадь, если ширина прямоугольника в 6 раз больше его длины. Периметр прямоугольника равен 312 см. Найдите его площадь, если одна сторона прямоупэльника в 11 раз меньше другой. Найдите периметр пр>ямоугольника, если его площадь равна 18 см^, а сторона —- 90 мм. Найдите площадь квадрата, если его периметр равен: 1)64м; 2) 144 см. Как изменится площЕадь квадрата, если его периметр уменьшить в 8 раз? Как изменится nepHtv/ieTp квадрата, если его площадь уменьшить в 100 раз? Площадь квадрата равна 36 дм^. Каждую сторону квадрата увеличили на 2 дм. Найдете площадь нового квадрата. Сторону квадрата увел1ичили на 4 см и получили квадрат, площадь которого равна 1| 96 см^. Найдите площадь первоначального квадрата. Запишите выражения! для нахождения площади фигур, изображённых на рисунках 163—164. Площадь квадрата рав[на площади прямоугольника со сторонами 60 мм и 24 см. Ч^му равна сторона равностороннего треугольника, периметр 1'которого вдвое меньше периметра квадрата? Квадрат площадью 1 ^м^ разбили на квадратики со стороной 1 гим и выставили все; эти квадратики в одну линию. Какова длина этой линии? d d L Рис. 163 Рис. 164 СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ П01САЭвШ1ЕМ 165 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 745. 1 м^линолеума стоит 90 грн. Сколько нужно заплатить за линолеум для комнаты у тебя дома? 746. Сколько квадратных метров травяногго покрытия потребуется для футбольного поля размером 100 х 75 м? 747. Кафелем размером 20 см х 25 см нужно обложить стену размером 250 см х 4 м. Сколько потребуется кафеля? 748. Площадь дома составляет 68 м^. Площадь кухни 12 м^, что в 4 раза больше площади, коридора. Площадь детской комнаты равна сумме площадей кухни и коридора. Найдите общую площадь остальных комнат. Р у ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 749. Решите уравнение: 1) (25 + 35 X) : 15 = 4; 2) Зл: + 2х + 145 = 282 : 3 + 53 ■ 2. 750. В классе учится 35 учеников. Девочек на 9 меньше, чем мальчиков. Сколько в классе мальчиков? 751. В.классе учится т учеников. Мальчиков нар меньше, чем девочек. Сколько в классе девочек? ^ ^ Л § 20. прямоугольный паралелепипед. КУБ. ПИРАМИДА Посмотрите на рисунок 165. Вы видите различные предметы, используемые в быту. Все они имеют одну и ту же форму — прямоугольного параллелепипеда (рис. 166). Рис. 165 166 Глава 4 со н о о 3 а i длина Рис. 166 Рис. 167 Прямоугольный параллелепипед является пространственной фигурой. Он имеет три измерения — ширину, длину и высоту (рис. 167). Это — длины трёх рёбер параллелепипеда, сходящихся в одной вершине. Всего в прямоугольном параллелепипеде 8 вершин и 12 рёбер. Его поверхность образуют 6 прямоугольников, которые называются граняжп (рис. 168). Обозначают прямоугольный параллелепипед названиями его вершин, например АВСjDAjBjCjHj (рис. 169). Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — попарно равные прямоугольники. Например, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA^BjCjOj на рисунке 169 грань ABCD равна грани AjBjCjOj, грань ABBjA^ — грани DCC^D^, грань ВСС^В^ — грани ADD^A^. Отсюда следует, что в прямоугольном параллелепипеде по 4 ребра имеют одинаковую длину и таких четвёрок — три. Например, в вершина Di. .Cl ребро ' > грань Рис. 168 Л* D, •В. с А а В Рис. 169 СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛАС НАТУРАЛЬНЫМг) 167 прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^na ри-оунке 169 АВ = CD = А^В^ = = а, AD = ВС = AJ)^ = ^ •/l,Cj = b,AAj = BBj = CCj = DI>j = c. %/ Кратко говорят: прямоугольный параллелепипед (' рёбрами а, Ь и с. ' Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольно- ^ го параллелепипеда, если его ширина равна 3 см, высота — на 2 см больше ширины, а длина — на 1 см меньше высоты. ’ , Обозначим ширину данного прямоугольно- го параллелепипеда буквой а, длину — буквой Ь, а высоту — буквой с (рис. 170). Тогда а = 3 см, с = 3 + 2 = 5 (см), 6 = 5 - 1 = 4 (см). Поскольку у прямоугольного параллелепипеда по 4 ребра каждой длины, то сумма всех рёбер равна; 4а + 4Ь + 4с = 4 (а + Ь + с) = 4 (3 + 4 + 5) = 4 ■ 12 = 48 (см). Запомните! Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда с рёбрами а, Ь и с равна 4 (а + Ь + с). Из начальной школы вы знаете особый вид прямоугольного параллелепипеда — куб (рис. 171). У него, так же, как и у прямоугольного параллелепипеда, 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Но все грани куба — квадраты, следовательно, все его ребра равны. Можно также сказать, что у куба длина, ширина и высота равны, например, а. Кратко говорят: куб с ребром а. Di Cl Ai* D Рис. 170 A Cl В Рис.171 168 Глава 4 ? Каждый ли прямоугольный параллелепипед является! кубом? Нет, поскольку существуют прямоугольные параллелепипеды, ребра которых не равны между собой. Например, прямоугольный параллелепипед на рисунке 169. [> Найдите сумму площадей всех граней куба с ребром 3 см. Обозначим ребро данного куба буквой а (рис. 172). Тогда а = 3 см. Поскольку каждая грань данного куба — квадрат со стороной а, то площадь грани равна а^. Поскольку у куба 6 граней, то сумма площадей всех его граней равна: 6а2 = 6-32 = 6-9 = 54(см^). А 3 см Рис. 172 Запомните! Сумма площадей всех граней куба с ребром а равна 6а^. J Посмотрите на рисунок 173. Вы видите объёмный пазл и головоломку Рубика. Эти предметы имеют особую форму — пирамиды. Головоломка Рубика является примером треугольной пирамиды (рис. 174), а объёмный пазл — четырёхугольной пирамиды (рис. 175). Ограничивают пирамиду её грани. Вы видите, что в треугольной пирамиде все грани являются треугольниками, а в четырёхугольной — не все. Одна грань является четырёхугольником. Вообще, у пирамиды одна грань может быть каким угодно многоугольником. Такая грань называется основанием пирамиды (рис. 176). Остальные грани обязательно являются треугольниками. Они назы- Рис.173 Рис.174 CTtnEHb НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕПШ’ 'I’ 169 • . / боковая грань -------основание Рис. 175 Рис. 176 наются боковыми гранями пирамиды. Называют пирамиду в зависимости от того, какой многоугольник является её основанием. Если основание — треугольник, пирамида называется треугольной, если четырёхугольник — четырёхугольной, если п-угольник — л-угольной. Как и грани, вершины пирамиды имеют свои названия. Вершину, в которой сходятся боковые грани пирамиды, называют вершиной пирамиды (рис. 177), а остальные вершины — вершинами её основания. Вершина пирамиды всегда лежит против основания пирамиды. Рассуждая аналогично, получим, что у пирамиды есть боковые рёбра и рёбра основания (рис. 177). Боковые рёбра, как и боковые грани, сходятся в вершине пирамиды. Они соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Обозначают пирамиду названиями её вершин, например, SABCD (рис. 178). Первой всегда записывают вершину пирамиды. вершина пирамиды S боковое ребро ребро основания вершина основания Рис. 177 D С А В Рис. 178 е^17о _ Глава 4 В отличие ОТ прямоугольного параллелепипеда и куба, количество вершин, рёбер и граней не является одинаковым для всех пирамид, а зависит от вида пирамиды. Сколько вершин, рёбер и граней у пятиугольной пирамиды SABCDE (рис. 179)? Основание данной пирами- ^ ды — пятиугольник АВС£)£. У него 5 вер- * шин и 5 сторон. Чтобы сосчитать количество вершин, нужно к пяти вершинам основания прибавить вершину пирамиды. Получим 6 вершин. Боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Поэтому боковых рёбер — 5. Чтобы сосчитать количество всех рёбер пирамиды, нужно к боковым рёбрам прибавить рёбра основания. Получим 10 рё- Рис. 179 бер. Покольку у основания 5 сторон, то боковых граней также 5. Прибавив грань основания, получим, что у данной пирамиды 6 граней. D В _ Узнайте больше 1. Куб имеет и другое название — гексаэдр. Древние греки дали кубу такое название по числу граней. «Гекса» значит шесть, «хедра» — грань. Гексаэдр — шестигранник. 2. Египетские пирамиды — архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из Семи чудес света — пирамида Хеопса (рис. 180). Пирамиды строились как гробницы для фараонов Древнего Египта. 3. Интересно, что пирамиды-усыпальницы есть и в Украине, на Полтавидине. Они были построены под впечатлением от увиденных пирамид в Египте. На рисунке 181 изображена одна из таких пирамид, находящаяся в Берёзовой Рудке. Её возраст — более ста лет (18981899 гг.) Высота пирамиды — 9 м. Рис. 180 Рис. 181 СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НА' 171 '3 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Объясните, что такое прямоугольный параллелепипед. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Какую форму имеют грани прямоугольного параллелепипеда? 4 Чему равна сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда? Объясните, что такое куб. Какую форму имеют грани куба? Чему равна сумма площадей всех граней куба? 8 Объясните, что такое пирамида. 9 Объясните, что такое вершина пирамиды; основание пирамиды; боковые|рёбра; рёбра основания. 10 Какую форму имеют боковые грани пирамиды? 11 Какую форму может иметь основание пирамиды? 12 Объясните, отчего зависит название пирамиды. 2 3 5 6 7 Lj решите задачи J Дан прямоугольный параллелепипед АВСЛА,В^С^1), (рис. 182). Назовите: 1) вершины, рёбра, грани параллелепипеда; 2) рёбра, проходящие через вершину В; 3) грани, проходящие через вершину В. Могут ли рёбра параллелепипеда быть равными: 1) 3 см, 5 см, 6 см, 7 см; 2) 5 см, 5 см, 6 см, 7 см; 3) 3 см, 3 см, 3 см, 3 см? ДанкубАВСВЛ,В,С,В,(рис. 183). Назовите: 1) вершины, рёбра, грани куба; 2) рёбра, проходящие через вершину В,; 3) грани, проходящие через вершину В,. Могут ли рёбра куба быть равными: 1) 5 см, 5 см, 6 см; 2) 6 см, 6 см, 60 мм; 3) 3 см, 3 см, 3 см? Ai* D. . • • A В Рис. 182 Di С, Л* •Bi D В Рис. 183 172' D ,N Л* D, Глава 4 Cl P * В ,c A L Рис. 184 Рис. 185 Какая пирамида изображена на рисунке 184? Назовите: 1) -вершину пирамиды; 2) боковые рёбра и рёбра основания пирамиды; 3) боковые грани и основание пирамиды; 4) рёбра, проходящие через вершину пирамиды; 5) грани, проходящие через вершину пирамиды. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^C^D^ .(■рис. 185). Назовите: 1) рёбра, равные ребру АВ; 2) грань, равную грани ABCZ). Измерения прямоугольного параллелепипеда п, т\лр. По данным таблицы 30 найдите неизвестные величины. Таблица 30 л 4 см 7 см 8 м 2 м 6 м ЮлЛ т 6 см , 3 см 10 м 8 м I 6 м 2м I Р 5 см 3 см 6 м 4 м 4 м 2м J Сумма длин всех рёбер 1 Дан куб. По данным таблицы 31 найдите неизвестные величины. Таблица 31 3см 6см Ребро куба 4 см Сумма длин всех рёбер куба Сумма площадей всех граней куба 48 м 60 дм 120 м СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ■'ТТЗ 7(а Запишите формулу для находжения суммы длин всех рёбер куба-. Длина ребра первого куба на 5 см больше длины ребра второго куба. На сколько сумма длин всех рёбер первого куба больше суммы длин всех рёбер второго куба? Длина ребра первого куба в 4 раза меньше длины ребра второго куба. Во сколько раз сумма длин всех рёбер первого куба меньше суммы длин всех рёбер второго куба? 7^ Вычислите сумму длин всех рёбер пирамиды DABC, если DA = Z)B = i)C = 4 см, ВС =АВ=АС = 6 см. Вычислите сумму длин всех рёбер пирамиды PABCD, ест РА = РВ = PC = PD= 17 см, BC=AB = CD=AD= 14 см. Запишите формулу для нахождения суммы площадей всех граней прямоугольного параллелепипеда с рёбрами а,Ь\лс. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA.^B^C^D.^. Ребро ДА равно 8 см, что в 2 ipaaa больше ребра ДД, и на 10 см меньше ребра DC. Вычислите сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда. 'Вычислите сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда АВСДДВ,С, Д^, если: ^)AB + BC + ВВ, = 14 см; 2) DA+A^B^ = 64 см. Площади граней АВСД \лАВВ^.^ прямоугольного параллелепипеда АВСДА^В^С,Д^ равны 20 м^ и 60 м^. = 6 м. Найдите сумму длин всех его рёбер. Периметры граней ABCD, АВВА^ и ADD.^.^ прямоугольного параллелепипеда АВСДА^Б^С^Д^ равны 20 м, 36 м и 32 м. Найдите сумму длин всех его рёбер. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА,В,С,Д,. Ребро ДА в 2 раза больше ребра ДД, и на 11 см меньше ребра DC. Вычислите длины рёбер параллелепипеда, если' сумма длин всех его рёбер равна 64 см. . Сумма длин рёбер прямоугольного параллелепипеда АВСДА,В,С,Д, равна 80 м. Найдите длины его рёбер, если у него одно из измерений на 3 cmi больше второго И|На 20 см меньше третьего. •Вычислите сумму длин всех рёбер куба, если сумма площадей всех его граней равна 21'6 см^. Вычислите сумму площадей всех граней куба, если сумма ^длин всех его рёбер равна 144 см. 174: Глава 4 Каждое ребро основания д-угольной пирамиды равно с см. Каждое боковое ребро равно а см. Найдите сумму длин всех рёбер пирамиды. В прямоугольном параллелепипеде длина и ширина равны 8 м и 2 м, а сумма площадей всех его граней — 132 м^. Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда. Измерения прямоугольного бруска, окрашенного в синий цвет, равны 12 см, 8 см и 6 см. Этот брусок разрезали на кубики с ребром 2 см. Сколько получили кубиков, у которых окрашены: 1) все грани; 2) три грани; 3) две грани; 4) одна грань? Вычислите сумму длин рёбер пирамиды DABC, если периметры её граней равны 16 м, 20 м, 24 м и 32 м. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 778. Для-окрашивания кубика с ребром 4 см нужно 1 г краски. Сколько краски потребуется для окрашивания кубика с ребром 12 см? 779. Сколько понадобится метров проволоки, чтобы изготовить каркас прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5 м, 6 м и 8 м? 780. Лист бумаги имеет форму прямоугольника размером 210 X 297 мм. Хватит ли одного листа, чтобы оклеить куб с ребром 6 см? 3iVlA4H НА ПОВТОРЕНИЕ 781. Решите уравнение: 1) 250-(х + 2) : 15 = 242; 2) 12 • (ЛГ + 40-) : 4+ 144 = 282. 782. Мама купила посуду: 6 чашек по 8 грн, 6 тарелок по 10 грн и чайник. Сколько стоит чайник, если за всю покупку мама заплатила 202 грн? 783. Папа купил 2 мяча по т грн, 4 удочки по р грн и палатку. Сколько стоит палатка, если за всю покупку папа заплатил п грн? СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАШаЕМ.,, 175 Г § 21. ОБЪЁМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И КУБА Л Посмотрите на рисунок 186. Вы видите в комнате шкаф и тумбочку. Каждый предмет занимает определённую часть пространства комнаты и мы можем сравнить, какой из них занимает больпзе места, а какой меньше. Математики сказали бы, что мы сравниваем предметы по объёму, который они занимают в комнате. Вы знаете, что шкаф и тумбочка имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Чтобы найти его объём, нужно выбрать единицу измерения объёма и выяснить, каким образом определять этот объём. Единицей измерения объёма считают объём куба, ребро которого равно единице длины. Такой куб называют единичным кубом. В таблице 32 вы видите единицы длины и соответствующие им единицы объёма, которыми пользуются в метрической системе мер. Таблица 32 I Единица длины 1 см 1 мм 1 дм 1 м Единица объёма 1 см^ 1 мм^ 1 дм^ 1 м^ X ^176- Глава 4 .Cl Вг О см .с 3 см 4 см В Рис. 187 Запись 1 см^читаюттак: «один Di кубический сантиметр». Определить объём прямоу- д* гольного параллелепипеда — означает выяснить, сколько еди- i ничных кубов в нём вмещается. На рисунке 187 вы видите, что в прямоугольном параллелепипе- ^ peABCDA^B^C^D^ с рёбрами 3 см, 4 см и 5 см вмещаетсяся 60 единичных кубов с объёмом 1 см®. Это значит, что объём прямоугольного параллелепипеда АВСЛА^В^С^Л, равен 60 см®. Записывают: F = 60 см®. Буквой V заменяют слово «объём». Объём прямоугольного параллелепипеда зависит от длин его рёбер, так же, как и площадь прямоугольника зависит от длин его сторон. Действительно, на грани ABCD прямоугольного параллелешшедаАВСВА^В^С^В^ (рис. 188) вмещается слой из 3 • 4 = 12 единичных кубов.' Поскольку ребро AAj = 5 см, то в данном параллелепипеде можно вместить 5 таких слоёв. Тогда в целом параллелепипед будет вмещать 3 ■ 4 • 5 = 60 единичных кубов. Если изменить измерения прямоугольного параллелепипеда, то количество единичных кубов, которые он £>1 .С, Л* •В, 6 см А В Рис.188 4 см о см Рис. 189 СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С HAT 177 нмещает, может измениться. Например, увеличив каждое . ребро на 1 см (рис. 189), получим, что прямоугольный параллелепипед вмещает 4 • 5 • 6 = 120 • единичных кубов. Вообще, в прямоугольный параллелепипед с рёбрами а, Ь и с можно вместить аЬс единичных кубов (рис. 190). Можем записать формулу объёма прямоугольного параллелепипеда. а Рис. 190 Запомните! Формула объёма прямоугольного параллелепипеда. Объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами а, & и с равен произведению этих рёбер. V^abc Y Можно ли по формуле объёма прямоугольного параллелепипеда вычислить объём куба? Да, поскольку куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны (рис. 191). Если ребро куба равно а, то его объём составляет а • а • а - а^. Итак, получили формулу объёма куба. а Рис. 191 Запомните! Формула объёма куба. Объём куба с ребром а равен кубу его ребра. Y Связан ли объём куба с названием третьей степени числа? Да. Именно отсюда происходит его название — куб числа. Воспользовавшись формулой объёма куба, получим связь между единицами измерения объёма: 1 м^ = 1000 дм^ = 1 000 000 см® = 1 000 000 000 мм^ 178 Глава 4 Из четырёх равных кубов составлен прямоугольный' параллелепипед объёмом 32 см^ (рис. 192). Найдите объём и ребро каждого куба. Равные кубы имеют равные рёбра, поэтому они имеют равные объёмы. По условию задачи, прямоугольный параллелепипед составлен из 4 равных кубов. Значит, объём данного прямоугольного параллелепипеда в 4 раза больше объёма каждого куба. Отсюда объём куба равен: 32 :4 = 8 (см^). По найденному объёму куба находим его ребро 8 см^ = 2 см ■ 2 см • 2 см. Следовательно, ребро куба равно 2 см. Рис. 192 1. Равные прямоугольные параллелепипеды имеют равные объёмы. 2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен сумме объёмов его частей. Узнайте больше Основной единицей измерения объёма считают-кубический дециметр. Для измерения объёма жидкости чаще всего используют такую единицу, как литр: 1 л = 1 дм^. Интересно, что масса 1 литра воды составляет 1 кг. Большие объёмы измеряют в декалитрах (сокращенно — дал): 1 дал = 10 л, 100 дал = 1 м^. Маленькие объёмы измеряют в миллилитрах (сокращенно — мл): 1 л = 1000 мл, 1 мл = 1 см^. Наверное, вы слышали и о такой единице измерения объёма, как американский нефтяной баррель. Его объём составляет 159 л. Английский галлон составляет около 5л. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Что такое единичный куб? 2. Какими единицами измеряют объём? 3 Как определить объём фигуры? 4 Какова формула объёма прямоугольного параллелепипеда? 5, Запишите формулу объёма куба. 6 Какой объём имеют равные прямоугольные параллелепипеды? С(Н:ПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА с НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗдаПШ 179 В РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Прямоугольный параллелепипед имеет измерения т, п и р. Можно ли по данной формуле найти объём прямоугольного параллелепипеда: \)т + п+р\ 2)2т+2п+2р-, 3)ртп‘, Л)тп1 Сколько кубов с ребром 1 см вмещает прямоугольный параллелепипед, объём которого равен: 1) 25 см^; 2) 7 см^; 3) 100 см3? Верно ли найден объём куба с ребром 4 дм: 1)43дм; 2)4 -3 дм; 3)43дм3; 4)43дм3? Измерения прямоугольного параллелепипеда п, т \л р. По данным таблицы 33 найдите неизвестные величины. Таблица 33 п 4см 7см 8м 2м 6м 10м т 6см 3см ИОм 8м 5 см 3 см 6 м 4 м 6 м 4 м 2 м 2 м Объём параллелепипеда | | Сумма площадей всех граней параллелепипеда ____ Объём прямоугольного параллелепипеда равен 124 смз. Могут ли рёбра прямоугольного параллелепипеда быть равными: 1) 2 см, 12 см, 100 см; 2) 2 см, 31 см и 2 см; 3) 4 см, 31 см и 1 см? ▲ Сколько кубов с ребром 1 см вмещает прямоугольный па-^ раллелепипед, рёбра которого равны: 1)3см,4см, 6см; 2) 10 см, 5 см, 2 см? А I Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 10 см, второе — в 3 раза больше первого, а третье — на 15 см больше первого. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда. Длина прямоугольного параллелепипеда равна (а + 22) см, ширина — (а + 8) см, высота — (а + 2) см. Запишите формулу для нахождения объёма параллелепипеда. Вычислите значение объёма, если: 1) а = 2; 2) а = 8. ▲ Найдите объём куба, ребро которого равно: ” 1)2м; 2)3см; 3)10дм. 12* 180 Глава 4] 2) уменьшить в 3 раза? 2) в кубическихмилиметрах.1 Ребро куба равно (а - 3) см. Запишите формулу для на-, хождения объёма куба. Вычислите значение объёма, если: 1)а = 5; 2)а=18. Как изменится объём куба, если его ребро: 1)увеличить в 2 раза; Запишите 2 дм^: 1) в кубических сантиметрах; Запишите 77 м^: 1) в дециметрах; 2) в кубических сантиметрах; 3) в кубических милиметрах. Выразите в кубических метрах: 1) 500 000 000 см3; 2) 1 км^; 3)10 000 дм^. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра] которого равны 2 см, 5 м и 10 дм. Сколько кубов с ребром 1 см вмещает прямоугольный] параллелепипед с рёбрами: 1)30 мм, 6 см, 4см; 2) а см, 6 см,рем? Высота прямоугольного параллелепипеда равна т см,'| длина — вр раз больше высоты, а ширина — на л см меньше] длины. Запишите формулу для нахождения объёма паралле-] лепипеда. Вычислите значение объёма, если: 1) т = 6,р = 4, л = 14; 2) лг = 135, р = 2, л = 70. ' Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен 1000 см^, а два ребра равны] 125 см и 8 см. Найдите сумму площадей всех граней прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен 720 см^, а два ребра] равны 15 см и 24 см. Дан куб. По данным таблицы 34 найдите неизвестные ве-j личины. Таблица 34 \ Объём куба 125 м^ Сумма длин всех рёбер Сумма площадей всех граней 216 мм-" 48 км 60 дм 150 м3 96 см3 СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 181 * Как изменится ребро куба, если его объём: 1) увеличить в 64 раза; 2) уменьшить в 125 раз? Найдите объём куба, если площадь его грани равна: 1)16 см2; 2) 144 дм2; 3)400 м2. 1 Во сколько раз объём куба с ребром 2 см больше объёма куба с ребром 10 мм? На сколько кубических сантиметров объём куба с ребром 12 см больше объёма куба с ребром 20 мм? !0г Найдите ребро куба, если его объём равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 1) 2 см, 4 см, 64 см; 2) 3 см, 12 см, 6 см. Запишите 1 м2 2 дм215 см^: 1) в кубических миллиметрах; 2) в кубических сантиметрах. ' Длина прямоугольного параллелепипеда в 2 раза больше ширины и на 10 см меньше высоты. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если сумма длин всех его рёбер равна 160 см. Измерения прямоугольного параллелепипеда 2 см, 8 см, 3 дм 2 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму данного прямоугольного параллелепипеда. Найдите площадь грани прямоугольного па- раллелепипеда ABCDA^B^C^D^, если его объём равен 30 см2, АА, = 6 ' Какой высоты будет столбик, составленный из всех куби- ков со стороной 1 мм, вмещающихся в кубе объёмом 1 м^? 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 814. У Серёжи был аквариум, основание которого — квадрат со стороной 50 см. Уровень воды в нём составлял 32 см. Мальчику купили новый аквариум, длина дна которого 80 см, а ширина — 40 см. Серёжа перелил воду в новый аквариум. Какой уровень воды в новом аквариуме? 815. На конкурс кондитерских изделий фабрика изготовила две большие плитки шоколада. Первая плитка была изготовлена из чёрного шоколада и имела размеры 150 х 65 х 70 см. Вторая плитка была сделана из белого шоколада и имела размеры 250 х 50 х 120 см. На сколько отличаются объёмы данных шоколадных плиток? к 182 s; Глава 4 s ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 816. Сравните значения выражений: 1) 78 ■ 9670 и 49 ■ 6500; 2) 209 223 : 567 и 8834 : 631. 817. Решите уравнение: 1) (25 +X) : 15 = 4+ 136; 2) 5х + 145 = 282 : 3 + 53 ■ 2. 818. Из Киева и Львова одновременно выходят два поезда навстречу друг другу. Скорость одного поезда — 90 км / ч, а другого ^ 11 о км / ч. На какое расстояние приблизятся поезда за один час? 819. Из Киева во Львов одновременно выходят два поезда. Скорость одного поезда — 140 км/ч, а другого — 90 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через два часа? Г § 22. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ Л в повседневной жизни часто приходится создавать различные комбинации, например: денежных купюр различного достоинства, чтобы получить нужную сумму; блюд для обеда; материалов для ремонта и т.п. При этом возникает вопрос: «Сколькими способами можно составите, ту или иную комбинацию?». В поисках ответа на него мы решаем особую задачу. В ней заданы элементы для комбинирования, а требуется найти количество возможных комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными. Для их решения используют различные способы. Мы ознакомимся с двумя из них. 1. Способ перебора. Сколькими способами можно составить расписание трёх первых уроков в 5 классе из предметов: математика, украинский язык, история? Введём обозначения: математика — М, украинский язык — У, история — И. Если на первый урок поставить математику, тогда на второй — или украинский язык, или историю, а на третий — или историю, или украинский язык со-ответстеенно. Получили 2 комбинации: МУИ^ и МИУ. Рассуждая аналогично, получим еще 4 комбинации: УМИ и УИМ, ИМУ у и ИУМ. Итак, расписание можно составить 6 способами. СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 183' JL^oTVb MAxmeouamMfoQy-M, <я/^шь - У, ииопьор/ш - и. Ж<уь^ : j/yu МПУ уми УПЛ иму ПУЛ ОтЛ&т: р/мшиоауИАА/& ошужно (жтаАшти 6 оп/ОоаУсимло. ) Обратите внимание: чтобы перебрать все комбинации заданных элементов и не потерять какую-либо из них, стоит записывать промежуточные результаты, например в таблице. Решая задачу, мы перебрали все возможные комбинации из заданных элементов для комбинирования. В этом и заключается суть способа перебора. Применяя способ перебора, кроме таблицы можно создать дерево возможных вариантов. Это схема, которая помогает выявить все возможные комбинации заданных элементов. Рассмотрим пример. А Сколькими способами можно разместить на : столе в один ряд учебник, тетрадь и дневник? Введём обозначения: учебник — У, тетрадь — Т, дневник — Д. Очевидно, что уже образовалась первая комбинация. Запишем её в один ряд И| обведём каждую букву У Т Д квадратиком (рис. 193). От каждого квадратика проведём по Рис. 193 184 3№6CH^9ia£iLi_ ' 2 ветки (рис. 194), показывающие, что перебирать осталось из 2 элементов. На концах веток разместим квадратики, в которые впишем обозначения этих элементов (рис. 195). Осталось взять по 1 элементу, поэтому проводим по 1 ветке от каждого квадратика второго уровня и вписываем в них соответствующие элементы (рис. 196). Теперь посчитаем количество квадратиков в низшем, третьем уровне. Их оказывается 6. Итак, учебник, тетрадь и дневник можно разместить 6 способами. Чтобы выписать эти комбинации, пройдем каждой цепочкой ветвей от самого высокого до самого низкого уровня: УТД, УДТ, ТУД, ТДУ, ДУТ, ДТУ. #г Обратите внимание: У т Глава 4' д л л л у Рис. 194 Т д] л А />т т д д ^!т] у Рис. 195 Т л т д Л у д а\ у 1 1 Д Т 1 1 Д У| 1- Ц 1т ^ Рис.196 в дереве возможных вариантов: 1) столько уровней, сколько задано элементов для комбинирования; 2) на каждом уровне проводят столько веток, сколько элементов осталось перебрать. \> 2. Правило умножения. В финал соревнований по прыжкам в длину вышли Олег, Игорь, Миша и Дима. Сколькими способами могут распределиться первые 4 места на этих соревнованиях? Первое место может завоевать один из четырёх мальчиков. Тогда второе место — один из трёх оставшихся мальчиков, третье место — один из двух оставшихся мальчиков, а четвёртое — только один мальчик. Итак, всех возможных вариантов: 4 • 3 • 2 ■ 1 = 24. Выпишите самостоятельно эти комбинации. Можем записать правило умножения (для комбинаторных задач). СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОК/^ТЕЛЕМ 185 Запомните! Правило умножения (для комбинаторных задач). Чтобы найти количество всех комбинаций из п элементов, нужно умножить все натуральные числа, начиная с числа п и заканчивая числом 1. Узнайте больше Михаил Иосифович Ядренко (1932 - 2004 гг.) — выдающийся украинский математик. Родился в селе Дремайловке Черниговской области. Он отдавал много сил и энергии развитию школьного математического образования, организации математических олимпиад, изданию пособий по элементарной математике и комбинаторике, а также сборников задач для математических олимпиад. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Объясните, какие задачи называют комбинаторными. 2 В чём заключается суть способа перебора для решения комбинаторных задач? 3 Объясните, как решают комбинаторные задачи с помощью дерева возможных вариантов. 4 Объясните, как применить правило умножения для решения комбинаторных задач. 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ На киносеанс Олегу, Игорю, Мише, Диме и Пете достались билеты №1- 5 в шестом ряду. Из скольких элементов будет состоять комбинация? Назовите все возможные комбинации букв А и У Сколько их? Есть синий и красный карандаши. Сколькими способами на контурной карте можно закрасить в красный или синий цвет две страны? 186 Глава 4 На рисунке 197 начали построение дерева возможных вариантов для комбинаций из цифр 1, 2 и 3. Сколько уровней должно быть у дерева? На всех ли уровнях закончено построение? Достройте дерево. Сколько получили комбинаций? Верно ли выписаны все возможные комбинации букв R А и К в таблице 35? Р^К АКР РК 1 2 л Л 2 3 1 3 3 2 и Рис.197 Таблица 35 КАР РА АК Дополните таблицу 36 так, чтобы в ней были выписаны все возможные комбинации цифр 3, 6, 9. Таблица 36 369 693 963 396 Кролик подарил Винни-Пуху банку варенья, торт и банку сгущённого молока. Сколькими способами Винни-Пух может полакомиться сладостями? Верно ли построено к задаче дерево возможных вариантов на рисунке 198? Наташа купила три порции мороженого: пломбир, фруктовое и ванильное. Сколькими способами девочка может полакомиться мороженым? Верно ли построено к задаче дерево возможных вариантов на рисунке 199? В т С п ф В л л Л л / л. т с т С т в Ф 1 в п в П ф] с т с Т в т в Ф в п В п Рис. 198 Рис . 199 f СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 1 I"— 2 3 I ^ 1 3 4 1 3 4 2 4 1 /\ /\ /\ /\ /\ /\ 8 4 I I 2 1 4 2 3 1 1 3 4 14 2 3 I I 4 3 1 4 2 1 1 3 2 187 4 Рис. 200 Выпишите все возможные комбинации цифр 1, 2, 3, 4. Достройте дерево возможных вариантов (рис. 200). Выпишите все возможные комбинации букв А, О, И. Постройте дерево возможных вариантов. На гору ведут три дороги. Петя, Коля и Вася решили подняться на гору разными дорогами. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами можно приклеить три разных картинки в один ряд? Сколько трёхзначных чисел, записанных разными цифрами, можно составить из цифр: 1)1,2, 3; 2)7, 5, 8? Сколько наборов букв можно составить из букв И, К, Т, М? Сколько наборов слов можно составить из слов СОЛНЦЕ, ЗВЁЗДЫ, НЕБО? Верно ли выписаны все возможные комбинации цифр 5, 6, 9 и 3 в таблице 37? Таблица 37 5369 5936 5963 5693 5639 6593 6953 6539 6935 6359 9563 9653 9635 9356 9365 3569 3596 3695 3659 3956 - Сколькими способами можно выложить в один ряд четыре разные монеты? Выпишите все возможные комбинации букв А, О, И, У. Постройте дерево возможных вариантов. 188^ Глава 4 ■ 8w3, Составьте дерево возможных вариантов размещения дежурных Петренко, Сидоренко, Василенко и Иваненко на , четырёх этажах школы. 839 Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1 2,0? ; ^840 Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 4, 2 - 5 так, чтобы первой стояла цифра 5? ■ 841. Сколько существует двузначных чисел с разными цифрами? ^842- Сколько существует трёхзначных чисел с разными цифрами? ^ 843. На гору ведут три дороги. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с неё так, чтобы дважды не пройти по одной и той же дороге? ^ 844 Дан четырёхугольник. Сколько существует отрезков с кон цами в его вершинах? 84 5. В соревновании приняли участие 4 команды. Каждая ко манда играла со всеми другими командами. Сколько всего’ игр было сыграно? Ж 8^8 Сколькими способами можно расставить на полке учебники по математике, истории, природоведению, украинскому языку так, чтобы первым стоял учебник по математике? 847. Катя, Аня, Даша, Вася, Петя купили билеты на концерт. Сколькими способами могут рассесться дети так, чтобы все девочки сидели рядом? 84В. По данным таблицы 38 выясните, из каких элементов состоит комбинация. Перерисуйте и заполните таблицу. Таблица 38 ОРЕШНИК ОИКРЕШН ОИКШНРЕ ОШНИКРЕ ОШНРЕИК ОРЕИКШН ШНОИКРЕ ИКОШНРЕ РЕОШНИК В49' Сколько комбинаций можно составить из букв М, А, И, К Р? Сколько из них образуют слово? 8Г>(1‘. Сколько комбинаций можно составить из слов ТАНЦЕ В, СНЕЖИНКИ, КРУЖИЛИСЬ? Сколько из них образуют предложение? СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ'. 189 Б_-1 ■ Сколькими способами можно расставить на полке пять разных книг? Б- " Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1.2, 3.4, 5? Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 4, 2, 3, 8, О, если на месте тысяч может стоять 2 или 3, а на месте десятков 8 или 4? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ В54. Маша забыла две последние цифры номера мобильного телефона подруги. Сколько комбинаций ей придётся перебрать? В55. Вы решили посетить музей, театр и выставку. Сколько вариантов вашей культурной программы можно разработать? В56. На рисунке 201 изображены три фрагмента узора. Сколькими способами можно создать орнамент? Рис. 201 Q ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ В57. Выполните вычитание: 1) 1976-1452; 3)39 898- 154; 2) 2875-545; 4)573 431 -321 220. 858. Сумма двух чисел равна 3678, а их разность — 104. Найдите эти числа. 859. Разность двух чисел равна 25, а их сумма — 180 341. Найдите эти числа. В80. Как изменится периметр квадрата, если его сторону: 1) увеличить в 2 раза; 2) уменьшить в 3 раза? gny 190 э.‘. й Глава 4 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Что такое степень числа? Основание степени? Показатель степени? Что значит возвести число а в степень л? Чему равно 1 в степени л? Чему равно а в степени 1? Что называется квадратом числа? Кубом числа? В каких единицах измеряют площадь? Что значит определить площадь фигуры? Какова формула площади прямоугольника? Площади квадрата? Объясните, что такое прямоугольный параллелепипед, куб, пирамида. Чему равна сумма всех рёбер прямоугольного параллелепипеда? Куба? Сколько вершин, граней, рёбер у прямоугольного параллелепипеда? Куба? Треугольной пирамиды? Сколько у куба равных граней? Рёбер? Объясните, что такое вершина пирамиды. Боковые рёбра. Рёбра основания. Что такое единичный куб? В каких единицах измеряют объём? Что значит определить объём фигуры? Какова формула объёма прямоугольного параллелепипеда? Куба? Объясните, какие задачи называют комбинаторными. В чём состоит суть способа перебора решения комбинаторных задач? Объясните правило умножения для комбинаторных задач. 1 Н'ППЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛАС НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ? 191 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. 1 Вычислите 4^ + Р. А. 125. Б. 13. В. 15. Г. 65. 2'^. Вычислите сумму длин всех рёбер куба, если периметр его грани равен 8 см. А. 24 см. Б. 48 см. В. 16 см. Г. 32 см. 3 . Сколькими способами можно назвать треугольник, используя буквы А, Б и С? А. 6. Б.З. В. 2. Г. 1. 4. Насколько квадратных сантиметров площадь квадрата со стороной 12 см больше площади прямоугольника со сторонами 9 см и 1 см? А. Зсм2. Б. 134см^. В. 28см^ Г. 135см2. 5*. Найдите площадь наибольшей грани прямоугольного параллелепипеда, если его объём составляет 480 см^, а два ребра равны 8 см и 20 мм. А. 384см^. Б. 240cм^. В. бООсм^. Г. 60 см^. ГЛАВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ Вы узнаете: Ф об обыкновенной дроби и её видах; ф как сравнивать дроби с однаковыми знаменателями; ф как связаны дроби с действием деления; ф что такое смешанное число; ф как находить дробь от числа и число по его дроби; ф как применять изученный материал на практике ОВЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ :^^19з Г ^ 23. ЧТО ТАКОЕ ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ. СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ Вы уже знаете, что можно считать не только отдельные предметы, но и их части — половинки орехов (рис. 202), трети яблока (рис. 203), четвертушки хлеба (рис. 204) и т. п. Для счёта частей предметов использу-К>т обыкновенные дроби. Чтобы записать дробь, нужно знать, на сколько частей разделено целое и сколько таких частей взято. Вы знаете, что «половина» — это дробь «одна вторая», «треть» — дробь «одна третья», • четверть» — дробь «одначетвёртая». Рис. 202 Рис. 203 - Рис. 204 f Кратко записывают так:—, —, —. 2 3 4 Тут числа 2, 3 и 4, стоящие под дробной чертой дробей, показывают, на сколько частей разделено целое. Они как-бы «знаменуют» особенность разделения целого на части и поэтому называются знаменателями. Число 1, стоящее над дробной чертой каждой дроби, показывает количество (число) взятых частей целого и называется числителем. ^ К Андрею на день рождения пришли четверо друзей. Праздничный торт разрезали на 8 равных частей (рис. 205). Какую часть торта съели Андрей с друзьями, если каждый полакомился лишь одним кусочком? Чтобы ответить на вопрос задачи, надо составить обыкновенную дробь, то есть выяснить, какое число является ^ знаменателем дроби, а какое — его числи- -телем. Торт разрезали на 8 частей, значит, 205 194 Глава 51 число 8 является знаменателем дроби. Андрей вместе с четырьмя друзьями съели 5 кусочков торта, значит, число 5 -3 • это числитель дроби. Следовательно, дети съели - торта. 8 ? Могли бы дети съесть — торта? Нет, если торт бы.^ 8 g один. А — торта? Да. Это был бы целый торт. 8 Запомните! Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной. Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называется неправильной. Например, дробь — правильная, а дроби — и — —I 8 8 8 неправильные. Числитель и знаменатель дроби можно заменить бук- а вами, например, а и Ь. Тогда дробь — Ъ правильная, если а < Ь, и неправильная, если а > Ь. Знак «>» читается так: «больше или равно». Знак «<» читается так: «меньше или равно». Поэтому они называются знаками нестрогих неравенстз. Посмотрите на рисунок 206. Вы видите линейку из ваших школьных принадлежностей. На ней сантиметровое деление соответствует 1 см, а миллиметровое — In 19 см. Отрезки, длина которых от — см до — см. 10 10 10 меньше отрезка длиной 1 см. Отрезок длиной ^ см равен отрезку длиной 1 см. А отрезки длиной, например. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 195 12 15 23 . ^ 1 Q см, — см, — см больше отрезка длиной 1 см. <Зто К) 10 10 небольшое исследование показывает, что правильная дробь всегда меньше 1, а неправильная — больше 1 или рннна 1. |iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|iiii|itii|iiii|iiii|iiii|iiiip 0 1г3'156789 10 Рис.206 Какая неправильная дробь равна 1? Дробь, у которой числитель равен знаменателю. Например, W 8 _^ 1000000 10 " ’ 8 " ’ 1000000 ~ ' Из приведённых примеров следует, что число 1 всегда можно представить в виде неправильной дроби, у которой числитель равен знаменателю. Например, 1 = —, 15 , 234 , 123456789 1=-----, 1 =-------- ит.п. 234 123456789 Дроби, как и натуральные числа, можно сравни-вать. Вернёмся к задаче о торте. Понятно, когда торт разделён на 8 равных частей, то 4 кусочка торта — это больше, чем 3 его кусочка, но меньше, чем 5 таких кусочков. л/г 4 3 4 5 „ Можем записать: — >— и — < —,или двойным неравен- 8 8 8 8 3 4 5 ством: . 8 8 8 '^Запомните! Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, а меньше та, числитель которой меньше. ттттг^пгг 196 Глава 51 ^ « 100 99 Сравните дроби и 158 158 1> У данных дробей знаменатели равны, поэтому] • _ 1 ^ пг» 100 99 ; сравниваем их числители. Поскольку 100 > 99, то->—- 158 158 Как и натуральные числа, дроби можно разместить] на координатном луче. На рисунке 207 вы видите, что] единичный отрезок разделён на 5 равных частей. По-] этому цена меньшего деления равна —. Если эту шкалу] нанести на координатный луч, то можно определять и] дробные координаты точек на нём. Например, на ри-’ сунке 208 точки А, В vi С имеют координаты: '2\ О , с V / Рис. 207 О В Н—h с I 4 I X 4->- Рис. 208 Обратите внимание: чем большую координату имеет точка, тем дальше от начала координат она размещается на координатном луче. Узнайте больше Впервые понятие дроби встречается ещё у древних египтян. Однако они умели оперировать только дробями, у которых числитель равен 1. Другие дроби они заменяли суммами дробей этого вида. В древнем Вавилоне знали только дроби 1 ОВЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 197 со знаменателем 60, в Риме — со знаменателем 12. И лишь греческий математик Герои Александрийский в I веке до нашей эры начал выполнять действия с дробями, у которых числитель и знаменатель — любые натуральные числа. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Что такое обыкновенная дробь? 2 Что показывает знаменатель дроби? 3. Что показывает числитель дроби? 4 Какая дробь называется правильной? ‘ Какая дробь называется неправильной? ь Какая дробь всегда меньше 1>? Больше 1 ? Равна1 ? I Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями? 8 Как на координатном луче размещаются точки с координатами, выраженными дробными числами? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I ГЗ 49 20 2 3 4 Прочитайте дроби —, —, —, . 7 16 21 125 925 100 а) Назовите знаменатель дроби. Что он показывает? б) Назовите числитель дроби. Что он показывает? Приведите пример дроби со знаменателем: 1) 3; 2) 33; 3) 333. ^ 15 ^ Сравните числитель и знаменатель дроби —. Опреде- 23 лите вид этой-дроби. Сравните числитель и знаменатель дроби —. Опреде- 32 лите вид этой дроби. ;[2 12 13 Д VI 13’ 11 ’ 11 ’ 13’ 11 дробей: 1) правильная; 2) неправильная? Ответ объясните. У какой из дробей больше числитель: Прочитайте дроби: Какая из этих 3 5 9 8 1) — или —; 2) — или — 7 7 21 21 Какая дробь больше? 126 123 3) — или 11 11 их 8 4) — или — ? ' 3 3 198 гла| Может ли правильная дробь быть: 1) больше единицу 2) меньше единицы; 3) равной единице? Может ли неправильная дробь быть; 1) больше единиич 2) меньше единицы; 3) равной единице? Есть ли среди данных дробей дроби с одинаковыми знa^ нателями: 1) 2 7 2 7 2) 9 9 4 4 19’ 99 14 9 2 5 1' 11' 1 Назовите их Запишите дробь: I) шесть девятнадцатых; 2) восемь Ч1 тырнадцатых; 3) девять четвёртых; 4) двадцать сорок ци тьих; 5) сорок три восемьдесят первых; 6) тридцать 1| двадцать пятых. Какую часть прямоугольника, изображённого на рисум! 209, составляет закрашенная часть? Какую часть квадрата, изображённого на рисунке 210, со ставляет закрашенная часть? Рис. 209 Рис. 210 I Какую часть года составляет: ' 1)1 месяц; 2) 2 месяца; 3) 6 месяцев; 4) 11 месяцви'Т Какую часть метра составляет: ' 1)1 см; 2) 16см; 3)54см; 4)4дм; 5) 16дм; 6)58дм? Какую часть часа составляет урок? Какую часть килограмма составляет: 1)100 г; 2) 235 г; 3)546 г; 4) 900 г; 5) 300 г; 6) 500 г? Какую часть алфавита составляют гласные буквы? Согласны#?’ Назовите среди данных дробей правильные: 1) 2 9 2 2 2 1 9 8 9 2) 10 19 19 11 и 11 J_ 19 118 119' )110МЕННЫЕ ДРОБИ 1^21^199 4 4 4 4 9 5 9 ^ 45 50 55 45 4) — , -— , — , — 50 45 45 55 55 I liUOBHTe среди данных дробей неправильные: II Р) f 77 Г7 ^ 17. 17' 77’ 7 ’ 12’ 17’ 16 ]4 15 15. 14 ' 15 ’ 15 ’ 15’ 5 ’ .. . 2 3 4 13 13 4 3 13 111 ’ 111 4) 99 111 999 ^ 99 999 99 12 2 133 1458 6' ■ 6 155 1546 119 111 111 ■ 110’ 99 99’ 9 ■ 145 10 144’ 9 4 & 1 2 0 , —, —. Выпишите: 1) правильные дроби; 2) непра-62 6 2 мильные дроби. Запишите все правильные дроби со знаменателем 5. Запишите все неправильные дроби с числителем 9. ^ Какой является дробь----правильной или неправиль- d иоМ, если: 1) с < d; 2) с > d? Приведите пример. 3 2 3 11 15 11 10 9 19 5 3’ 3’ 2’ 15’ ТТ’ 11 ’ 9 ’ 10’ 20’ 9 пишите те, которые: 1) меньше 1; 2) больше 1; 3) равны 1. Даны дроби: Вы- Даны дроби: 7 547 3 15 15 989 2’ 9 ’ 7’ 15’ 3 ’ 15’ 8’ 9’ 9’ 6 щите те, которые: 1) меньше 1; 2) больше 1; 3) равны 1. *11- При каких значениях а верны равенства: . Выпи- I а а а а а а 1; 4) — = 1; 5) — = 1; 6) —=1? 15 63 Й* При каких значениях д: верны равенства: n£5=,;2,H = 1;3)f=,;4,^ ДГ X Сравните дроби: I и —; 5 5 19 21 20 20 X = 1; 5) —=1 11 10 6) -=1? 1 28 21 3 — и — 28 28 28 , 4) — и 1; 25 IS 1 5) — и 1; 25 25 . 6) — и 1. 25 6 200 План I Сравните дроби: .. 4 14 1) — и — 9 9 о, 49 48 20 20 31 30 3) — и — 31 31 и. 43 , 4) — и 1; 41 40 , 5) — и 1; 41 41 , 6) — и 1. 41 Запишите в порядке возрастания дроби: ^^ 11 6 13 ^ ^ — Назовите наибольшую и наименьшую из них. Запишите в порядке убывания дроби: А JL А А А ' 17’ 17’ 17’ 17’ 17! О , А. Назовите наибольшую и наименьшую из них. При каком значении д: дробь — больше — и меньше — ? 7 7 7 1/7 5 При каком значении I/дробь — меньше — и больше — ?‘ 9 9 9 Запишите наибольшую правильную дробь со знаменателем:' 1)4; 2)19; 3)200; 4)1111. Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок 9 клеточек. Отметьте точки, соответствующие дробям: 2 7 5 1 8 9 1) —;2) —;3) —;4) —;5) —;6) —. Какая из точек лежит даль- 9 9 9 9 9 9 ше всех от начала координат, а какая — ближе всех? Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок 11 клеточек. Отметьте точки, соответствующие дробям: ,, 2 8 5 11 9 10 ,, 1) — ; 2) — ; 3) — ; 4) — ; 5) — ; 6) —. Какая из точек лежит 11 11 11 11 11 11 дальше всех от начала координат, а какая — ближе всех? Каким дробям на рисунке 211 соответствуют точки А, В, С, D и Е? У какой из этих точек наибольшая координата? У какой — наименьшая? АВС А- н—н + D Е -А—h I 4 о 1 Рис.211 tinWKHOBEHHblE ДРОБИ 201 В зале кинотеатра 160 посадочных мест. При просмотре мультфильма «Шрек» 5-А класс занял 18 мест, 5-Б — 22 ме-o'ta, 5-В —20 мест. Какую часть посадочных мест кинотеатра Й1ИИЯЛИ 5-/>, 5-Б и 5-В класса вместе? Арбуз эазрезали на 15 одинаковых ломтей. За обедом мима съела 3 ломтика, папа — 6 ломтиков, Ваня — 4 ломти. ка. Какую часть арбуза-съела семья за обедом? Из 46 миллионов жителей Украины в столице проживает 3 миллиона. Какую часть составляет население Киева от общей численности населения страны? Составьте из чисел 2, 5, 7, 15 все возможные правильные дроби. ’0: Составьте из 2,5,7,15 все возможные неправильные дроби. Для выпечки двух пирогов мама купила 12 яиц. Для того чтобы испэчь яблочный пирог, мама использовала 5 яиц. А /Ц1Я выпеч<и вишневого пирога — 3 яйца. Какую часть яиц мама использовала для выпечки яблочного пирога? А вишнёвого пирога? Какая из частей бюльше: та, что использована для выгечки яблочного пирога,, или т.а, что осталась неис-пользоважой? Используя числа 3, 7 и 9, запишите все возможные дроби, каждая из которых; 1) равна единице: 2) меньше 1; 3) больше 1. ' Используя числа 5,9, 11, запишите все возможные дроби, каждая изкоторых: 1) равна единице; 2) меньше 1; 3) больше 1. Катя о'лила воду из чайника. Если бы она отлила в 2 раза больше веды, то в чайнике её осталось бы в 2 раза меньше, чем осталось сейчас. Какую часть воды отлила Катя? Мама разделила 15 персиков между двумя сыновьями так, что старший получил столько раз по 3 персика, сколько раз младыий'получил по 2 персика. Какую часть всего количества персиков получил каждый из сыновей? В лагерь «Артек» в отряд N9 2 из 5-В класса триехало 6 учеников, что составляет половину от тфети всего отряда. Какую чааь от общего количеств1а учащихся отряда N9 2 составляют ■'ченики 5-В класса? zuz rhiiN ^ ПРИМЕНИТЕ HA ПРАКТИКЕ 909. Какую часть вашего класса составляют девсчки? А мальч1®и 910. Чтобы сделать ремонт в комнате бабуш<и, мама купиЩ 12 рулонов обэев. Для оклейки двух стен необходимо fiS 4 рулона обоев, третьей — 2 рулона, а четвфтой — 1 рул(»|у Какая часть обоев понадобится для того, чтсбы оклеить кв)1 дую из стен? Какая часть обоев останется? 911. Начертите квадрат со стороной 4 см. Ргзделите его и'З 16 равных частей. Закрасьте 5 частей красном кapaндaLUO^ и 7 частей — синим. Запишите с помощьк дробей, какой] часть квадрата: 1) закрашена красным карандашом; 2) зн] крашена синим карандашом; 3) не закрашен». Какая из эт1/ частей наибольшая? Наименьшая? ^ ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 912. Вычислите: 1) 152 • 64 - 8400; 2) (36 + 16 ■ 4 : 10 - 5. 913. Решите уравнение: 1) 144-(д:: 11 + 21) • 5 = 14; 2) 120 : (х- 10 = 6. 914. Для школьной ярмарки 15 девочек испек.и 270 кексош и продали их по 2 грн за штуку. Полученныесредства они разделили поровну. Сколько денег заработала<аждая издевочек? 915. Ширина детского парка прямоугольной фор1ы площадью 21 га — 250 м. Вычислите периметр парка. § 24. ДРОБИ И ДЕЛЕНИЕ Рис. 212 Посмотрите на рисунок 21?. Вы видите 3 целых ореха. Если их рзделить на „ 6 половины, то получим о полоин, или — орехов. Значит, натуральноечисло 3 и дробь — выражают одно и то <е количе-2 III ЦЕННЫЕ ДРОБИ 1Ж203 0 Jit и'ици^хов, то есть 3 = —. Но, с другой стороны, число 3 рав- 2 0 Н»\ми1''П1ому чисел 6 и 2. Получается, что 6:2= — . 2 Ипобще, частное от деления двух натуральных чисел Mi“i‘Mo представить в виде обыкновенной дроби. Числи-»**|||* втой дроби равен делимому, знаменатель — делии ли», п черта дроби заменяет знак деления. Например, 2 7 16 —,7:7 = — ,16:3 = —. Вы видите, что когда дели-5 7 3 М»ж меньше делителя, то полученная дробь — правиль-mni, Когда делимое больше или равно делителю, то по-пу'юпная дробь — неправильная. Мы знаете, что одно натуральное число можно разде-|||гп. на другое или нацело, или с остатком. Например, 110; 6 = 5, а 30: 7 = 4 (ост. 2). Эти равенства можно запи-30 30 , 2 1»ггь по-другому: • Из первого приме- |М1 следует, что любое натуральное число можно предста- ^ , 30 25 20 нить в виде дроби: 5 = — = — = —. 6 5 4 2 2 !_.* Сумму 4+у кратко записывают 4— и читают «четыре целых две седьмых». 2 Число 4— — это число нового вида. Его называют 7 смешанным числом. В его записи число 4 называется целой частью, а у — дробной частью. »> Обратите внимание: I смешанное число равно сумме его целой и дробной частей; дробная часть смешанного числа всегда является правильной дробью. ' Глав! Действк, с помощью которого неправильную дробь nf образуют I смешанное число (или натуральное число), нЯ зевается в ^деленнием целой части из неправильной дробщ Запомн|1ге! Правизо выделения целой части из неправильной] дроби Чтобывыделить целую часть из неправильной дро^ би, нужно: 1) числи-ель данной дроби разделить на знаменатель;! 2) частик записать как целую часть искомого сме-J шанною числа; 3) в знамжатель дробной части записать знаменатель^ данномдроби; I 4) в чисзитель дробной части записать остаток] ' отделения. О ''J-L • Всегда Л1 можно выделить целую часть из непра-j ^Ильной д1оби? Да, поскольку неправильная дробь’ всегда больпе или равна 1. Выделите целую часть из дроби —. 5 ' Разделим числитель данной дроби на его зна- менатель. Неполное частное равно 6, а остаток — 2. Поэтому | целая часъ смешанного числа равна 6, а числитель его | 32 2 Дробной части — 2. Можемо записать: — = 6—. 5 5 По каком/ правилу смешанное число можно преобразовать в нгаравильную дробь? Порассуждаем. В решенное задаче смешанное число 6— мы получили, 5 Р^делив число 32 на число 5. Значит, знаменатель искомой непрашльной дроби — число 5. Поскольку число 32 Не делитс5 на 5 без остатка, то 32 : 5 = 6 (ост. 2). По фор]^1уле нахсджения делимого при делении с остатком 2 I 32 = 6 • 5 + 2. А для смешанного числа 6— это означает, 5 14МКН0ВЕННЫЕ ДРОБИ 1Ж:205 1(||'0 мы сначала его целую часть 6 умножили на знамена-^йЛЬ 5 дробной части, а затем прибавили числитель 2 дробной части. В результате мы получили числитель ис- 2 32 ,1(>мой неправильной дроби. Итак, б — = —. Можем обоб- 5 5 щить решение задачи и записать правило. Запомните! Правило обращения смешанного числа в неправильную дробь. Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно: 1) в знаменатель искомой дроби записать знаменатель дробной части; 2) целую часть умножить на знаменатель дробной части; 3) к полученному произведению прибавить числитель дробной части; 4) полученную сумму записать в числитель искомой дроби. Обратите в неправильную дробь число 8- - 6^'’ Узнайте больше Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции. Однако греки знаменатель записывали сверху, а числитель — снизу. Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад, но они не писали черту дроби между числителем и знаменателем. Черта дроби вошла в обращение лишь около 300 лет назад. 206 Глав! Первым европейским учёным, перешедшим на современ!* запись дробей, был итальянский купец и путешественник Фй боначчи (Леонардо Пизанский). ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 2 3. 4. 5. 6 Как представить в виде дроби частное от деления двуЛ чисел? Что будет числителем такой дроби? Её знамена-j телем? Как записать дробь в виде частного? Что такое смешанное число? Приведите пример. Какой дробью является дробная часть смешанного числа? Как выделить целую часть из неправильной дроби? Как обратить смешанное число в неправильную дробь? И РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 2 Верно ли, что — равно: 2 + 5; 2)5-2; 3)2-5; 4) 2 : 5? Верно ли, что 3 : 4 равно: 3 + 4; 2)4-3; 3)^; 4 4) 3 ■ 4? Прочитайте числа: 6-; 2)4-; 3)12—; 7 5 14 Назовите: а) целую часть смешанного числа; б) дробную часть смешанного числа. Может ли дробная часть смешанного числа быть равной 3) ^ 19 4)М, Запишите в виде дроби; 1)4:5; 2)12:4; 3)15:12; Из полученных дробей выпишите: а) правильные дроби; б) неправильные дроби. Запишите в виде дроби: 1)3:7; 2)15:5; 3)21:5; Из полученных дробей выпишите: а) правильные дроби; б) неправильные дpodи. 99 4)7:7. 4) 1 : 4. |(ЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ ■ Запишите в виде смешанного числа: ))5 + |; 2)7+|; 4 Ь I) 8 + -; 5 ‘207 12 19 ’ 4)4,+ 114 22 27 ’ 4) 222+ 1265 Запишите в виде смешанного числа: 2)11 + — : 3)- 13 Какими данными нужно заполнить пустые клеточки таблицы 39? Таблица 39 Чест- ное 3:5 Дробь 7 Дели- Дели- Числи- Знамена- мое тель тель тель 15 5 17 Запишите 1 в виде дроби со знаменателем: 1)5; 2)25; 3)44; 4)77; 5)555; 6)10. Запишите 1 в виде дроби с числителем: 1)7; 2)111; 3)56; 4)13; 5)2369; 6)100. Запишите число 3 в виде дроби со знаменателем: 1)10; 2)2; 3)3; 4)5; 5)6; 6)Ц. Запишите число 5 в виде дроби с числителем: 1)5; 2)10; 3)50; 4)25; 5)40; 6)100. Запишите четыре числа, которые: 1) больше 3, но меньше 4; 2) больше 5, но меньше 6; 3) больше 15, но меньше 16. Запишите три числа, которые: 1) меньше 7, но больше 6; 2) меньше 12, но больше 11; 3) меньше 45, но больше 44. Сравните: 8 „ 21 1)6:5и -; 2) 17:8и 8 3)125:4и^; 4)145:12и — 4 ' 12 5 208' Глава! Сравните; 11 49 75 45 1)8:3и —; 2)25: 12и — ; 3) 125: 15и —; 4) 124: 17и —f 3 12 15 17 Выделите целую часть из неправильной дроби: „1°; 2)1=; 3)?1; 4)11°; 5)“; 6)°°. 9 4 2 13 4 3 Выделите целую часть из неправильной дроби: ,)li; 2,11; 3)“; 4)11?; 5) 6)11. ,1 3 2 5 4 7 Запишите неправильную дробь в виде смешанного числа 145 5) 123 6) 125 23 ’>тт Запишите неправильную дробь в виде смешанного числа 2)^; 3)Ш; 4)^"^ 3)^: 13 27 1)1?; Запишите в виде частного смешанное число: 3)3^; 4)10| 2) 4^; 5 7 '11 Запишите в виде частного смешанное число: 2 „_3 5 2) 5-; 8 3) 7—: 12 4,ц5. 9 Запишите смешанное число'в виде неправильной дроби: 1)6?; 2)9?; 3)12?; 4)5?. 5 7 9 4 Запишите смешанное число в виде неправильной дроби: 1)3l|; 2)4?; 3)44?; 4)3?. 5 6 7 4 Отрез джинсовой ткани разрезали на 12 равных частей, три из которых пошло на пошив брюк, а остальные — на пошив курток. Какую часть ткани потратили на пошив брюк, а какую — на пошив курток? За выполненную работу Саша получил 112 грн, а Ваня — 109 грн. Дома они решили поровну поделить деньги между собой, мамой и папой. Сколько денег досталось каждому? о « - 23 17 Выделите целую часть из неправильжзтх дробей: —, —, 7 3 ОЬЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 19 125 :------f Jt'i i-a. 209 ^ _ 125 ■ Запишите полученные числа в порядке возрастания. Какая из этих дробей наибольшая? » « - 33 4 044 . Выделите целую часть из неправильных дробей: —, 45 17 625 ^ . — , —,----. Запишите полученные числа в порядке убыва- 4 2 625 иия. Какая из этих дробей наименьшая? 045 Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, со- 5 3 7 9 ответствующие числам: 1) — ; 2) — ; 3) — ; 4) — . 4 4 4 4 Какое из чисел расположено ближе всех к началу координат? #046 Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, со- 5 2 8 10 ответствую1Дие числам: 1) — ; 2) —; 3) — ; 4) —. ООО о Какое из чисел расположено дальше всех от начала координат? 1 047 Сравните: 124 3 ■ 145 4 4 2) 7? и 51; 6 6 омс=3 153 3)185 и ^ , 4) 1243 94Ь. Сравните: 8 8 2) 12- и —; 6 6 3) 45^ и ; 5 5 4) 1453 й t* 94' Запишите в виде смешанного числа дробь —, если: Ь 1) Ь = 5, а числитель — на 3 больше знаменателя; 2) Ь = 9, а числитель — на 8 больше знаменателя; 3) а = 85, а знаменатель — на 4 меньше числителя. а 950. Запишите в виде смешанного числа дробь —, если: Ь 1) а = 46, а знаменатель — на 7 меньше числителя; 2) а = 235, а знаменатель — на 13 меньше числителя; 3) 6 = 8, а числитель — на 8 больше знаменателя. - . 2 Запишите в виде неправильной дроби смешанное число а —, 5 если: 1)а=1;2)а= 10;3)а = 21;4)а = 24;5)а= 100. 210^ Глава! Запишите в виде неправильной дроби смешанное числе 12 6—.если: 1)6 = 2; 2) 6 = 20; 3) 6 = 19; 4) 6 = 145; 5) 6 = 101. I О Для ремонта трёх одинаковых классных комнат требуете: 25 рулонов обоев. Хватит ли 17 рулонов обоев для ремонт двух таких классных комнат? На полив пяти одинаковых участков потребуется 345 л воды. Хватит ли 196 л на полив трёх таких участков? При каком значении х верно равенство; 1)- = 2; 8 3 2) - = 28 8 X 7 3)- = 1 + -? 8 8 При каком значении у верно равенство: 5 8 2) -^ = 3-; 5 5 3)^ = 1 + -? 5 5 Найдите наименьшее двузначное число, при делении которого на 19 в остатке получим 9. Найдите наибольшее двузначное число, в результате деления которого на 11 в остатке получим 3. Назовите 5 пар чисел, которыми можно заменить х \л у, X 7 чтобы равенство было верным. При делении на 7 удвоенной суммы некоторого неизвестного числа и числа 8 в частном получили 4, а в остатке — число 2. Найдите неизвестное число. Е ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1 961. Для ремонта комнаты Виталика папа закупил 12— м плин- 4 туса. Хватит ли его папе, если длина комнаты равна 3 м, а ширина — 4 м? 962. По рецепту для выпечки сырных булочек маме потребует- 17 ся — кг муки, у мамы есть 2 кг. Хватит ли ей муки? ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 211' |j ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 063. Решите уравнение: 1) 100: (18 + (82- Юл:) :6) = 5;2)(105-(25 + 6х) -4) -30 - 150. 964. Турист прошёл за четыре дня 82 км. Каждый день он проходил на 3 км меньше, чем в предыдущий. Сколько километров турист прошёл в последний день? 965. Сколько наборов слов можно составить из слов ТРАВА, ЦВЕТЫ, СОЛНЦЕ? Г § 25. НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА И ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ Л в предыдущих параграфах вы узнали, что такое дробь, выяснили, что показывает числитель дроби, а что — её знаменатель. На практике приходится находить число, составляющее от данного числа, -например, 1 2 17 ----, — , — и т.п. Такие задачи называют задачами на 100 5 25 нахождение дроби от числа. Их можно решать и арифметическим, и алгебраическим способами. От дома Андрея до школы 540 м. Он прошёл 2 — пути. Сколько метров прошёл Андрей? 3 Выполним рисунок к задаче (рис. 213). ..то : 3 Рис. 213 14* 212 Глаш Составим краткую запись данных задачи. , 3 Путь в школу: 540 м — 1 = - Прошёл Андрей: 9 2 3 1. Арифметический способ. 1. Сколько метров соответствует -г пути? О 540:3= 180 (М). 2 2. Сколько метров приходится на -г пути? О 180 ■ 2 = 360 (М). Итак, Андрей прошёл 360 м. Запомните! Правило нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно данное число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на её числитель. 2. Алгебраический способ. J 2 3 ЗТууПЪЬ S UMbOoi/^: S4du со — ny47U, 1С0ГГЬ(У1ОЬШу Ли/^рьбйу. Шлуо^ : — ПлАШи/О/^ ПЪ&рурАМГЬОрАШ yibjvoAyiHbo. Шт^: а>: 25^384000 i6, _ а>^(38400026)-25, ‘ ; Из канистры отлили ^ бензина, а потом долили количество бензина, составляющее — бензина, оставшегося в ка- 5 нистре. Больше или меньше бензина оказалось в канистре, чем было сначала? Сколько бензина оказалось в канистре, если сначала в ней было 120 л? ^ 8 Саша выиграл в лотерею сумму, составляющую — суммы, 5 выигранной Арсением. Кто выиграл больше денег и на сколько, если Арсений выиграл 400 грн? “ Капусту разложили в два мешка, причём масса первого из них составляет 2— массы второго. Какова масса двух меш-3 ков вместе, если в певом мешке капусты было 70 кг? „ 4 - Андреи за январь сэкономил 12 грн, что составляет — О сэкономленного им в декабре, и на 3 грн меньше, чем он сэкономил в феврале. В каком месяце Андрей сэкономил денег меньше всего и на сколько? В пекарне испекли 120 булочек с вишнями, что составляет — 5 булочек с клубникой. Каких булочек испекли больше и на сколько? К 1 сентября|В одном ателье пошили 196 костюмов для де-14 вочек, что составляет — количества костюмов для мальчи- 9 ков. Каких костюмов пошили^ меньше и на сколько? Один фермер собрал картофель, масса которого составляет ^ массы картофеля, собранного вторым фермером. У какого фермера урожай картофеля больше и на сколько, если первый собрал 121 000 кг? 220' Глава 5 - Мама заготовила на зиму вишнёвое и клубничное варенье. Количество банок с клубничным вареньем составляет — количества банок с вишнёвым вареньем. Сколько всего 5 банок заготовила мама, если для клубничного варенья была использована 121 банка? Шрек решил начать новую жизнь и составил новое расписание своего дня. Он решил — суток посвятить чтению све- „ 1 . 3 жеи прессы,-----осуществлению добрых дел,-----занятию 12 8 2 спортом,----приёму пищи и 8 ч отвести на сон. Помогите 8 Шреку узнать, сможет ли осуществиться его замысел. Катя прочитала книгу из 240 страниц за 4 дня. В первый 1 „ 3 день она прочитала — книги, во второй — — прочитанного в первый день, а в третий день — — прочитанного за первых два дня вместе и ещё 10 страниц. Сколько страниц прочитала девочка в четвёртый день? У Андрея было книг вдвое больше, чем у Марка. Андрей отдал Марку — своих книг. У кого теперь больше книг? 4 I. Рыбак поймал рыбу. Маса её хвоста — 1 кг, а головы — как хвоста и половины туловища. Масса туловища равна массе головы и хвоста. Какова масса рыбы? На вопрос «Который час?» — один шутник ответил: «По- 3 ловина времени, прошедшего после полуночи, равно— вре- мени, оставшегося до полудня». Который тогда был час? ' ; Четверть отличников класса занимаются музыкой, а треть музыкантов — отличники. Кого в классе больше: отличников или музыкантов? (ШЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 221 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1005. На закупку канцтоваров в школу родители потратили 16 суммы, потраченной на ремонт комнаты. Сколько потратили родители на канцтовары, если на ремонт они потратили 1600 грн? g 1006. Площадь комнаты Алёны составляет — площади комна- 5 ты Саши. У кого больше комната и на сколько, если площадь комнаты Саши равна 40 м^? 3 1007. Сколько дней длится первый семестр, если его — со- 5 ставляют 72 дня? 13 3W ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1008. Вычислите; 1)1024-72-2: 2) (1024-72)-2. 1009. Решите уравнение: 1) 385 - (л- +124) = 198; 2) 18 ■ (х + 9) = 1854. 1010. Одна сторона прямоугольника втрое больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 64 см. 1011. Найдите ребро куба, если его обьём равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 3 см, 144 см. 2221 Глава 5 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое обыкновенная дробь? Что показывает её числитель? Знаменатель? 2. Какая дробь называется правильной? 3. Какая дробь называется неправильной? 4. Какая дробь равна 1? 5. Какая дробь больше 1? 6. Какая дробь меньше 1? 7. Объясните, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. 8. Объясните, как записать дробь в виде частного. 9. Что такое смешанное число? 10. Какой дробью является дробная часть смешанного числа? 11. Как выделить целую часть из неправильной дроби.? 12. Как обратить смешанное число в неправильную дробь? 13. Объясните, как найти дробь от числа. 14. Объясните, как найти число по его дроби. ОШКНОВЕННЫЕ ДРОБИ "Ji’ 223 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди'предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин'. . Какая из данных дробей неправильная? Д.З. 4 Б. В. 1-6, 10 10 10 2Чему равна целая часть числа -^? А. 1. Б. 16. В. 5. Г. 3. 3°. в саду 36 деревьев, из них — — яблони. Сколько яблонь в саду? А. 18. Б. 21. ■В. 12. Г. 16. 4. При каком значении у верно равенство у = 2^ ? А. 14. Б. 11. В. 16. Г. 4. 5*. На ремонт кабинета 5-А класса потратили сумму, состав-2 ляющую 2— суммы, потраченной на ремонт кабинета 5-Б 5 класса. На сколько больше потратили на ремонт кабинета 5-А класса, если на ремонт кабинета 5-Б класса потратили 2400 грн? А.5760 грн. Б.1400 грн. В. 1000 грн. Г. 3360 грн. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДЮБЯМ1 С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМ! Вы узнаете: Ф как складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями; , Ф что такое дополнение правильной дроби до единицы; ф как вычитать правильную дробь из натурального числа; Ф каковы правила сложения и вычитания смешанных чисел; ф как применять изученный материал на практике 23 9 + 32 32 32 32 = 1 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НДЦ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ... 225 § 26. СЛОЖЕНИЕ Й ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Вы уже знаете, как складывать и вычитать натуральные числа. Дроби с одинаковыми знаменателями тоже можно складывать и вычитать. Так же, как и при сложении натуральных чисел, дроби, которые складывают, называются слагаемыми, а результат их сложения называется суммой. По какому правилу складывают дроби с одинаковыми знаменателями? Рассмотрим пример. ачз ■ Мама купила детям молочный шоколад, в котором 18 долек. Таня сказала, что съела бы 5 долек плитки шоколада, а Ваня сказал, что съел бы 7 долек (рис. 214). Какую часть плитки шоколада съели бы Таня и Ваня вместе? Рис.214 с ш е н и : Одна долька составляет — часть плитки шоко- 5 7 лада. Тогда Таня съела бы —, а Ваня-------плитки. Вместе 18 18 ^ 40 12 дети съели бы 12 долек, то есть — плитки шоколада. 18 Решая задачу, мы действовали, как с именованными числами — прибавляли количество долек плитки, а сло- 1 вом «долька» называли — 18 часть плитки шоколада. Дру- 5 7 . гими словами, находя сумму----h—, мы оставили без из- 18 18 менений одинаковые знаменатели слагаемых, а сложили только их числители. Попробуйте самостоятельно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями и сравните его с приведённым в учебнике. 230 Главг ' 1 0ь1числите устно: 2 ^ 3) —+ —; 29 29 5) 9 1 —1— 1 11 11 7 3 7,. 16 3 25 25 6) 4 7 13^13 ■ Найдите суыму дробей: 1л35^. „.53 14 ^45 71 71 ' eg 69 ’ 97 15 и —; 97 12 25 49 49 L вычислите: 12 14 . ^ 31^31’ 24 17 59 59 5) 39 106, 151^151 ’ 22 39 216 19 253 253 6) 240 357 1237 ' 1237 _1 Вычислите: .,23 14 , 37 ^ 37 ’ 3)25+^; 59 59 5) 116 26 . 157 ' 157 ’ 21 22 39, ’ 83 83 26 17 67 67 6) 44 37 123 ' 123' Найдите значе^ние суммы —+ — с с d + —, если; с 1) а= 1, ^ = 2, с = 5, 1; 2) a = 2.& = 5,c=11,d = 3; 3) а = 7, г? = 6, с = 2Э, d = 5. Найдите сумму; 1) двух седьмых и Tf]ex седьмых; 2) семнадцати двадцать седьмых и пяти двадцать седьмых; 3) девяти двадцать (зторых и пяти двадцать вторых. Сравните: 11 12 м 35 35 35 79 79 27 32 , 50 67 67 67' ,, 25 35 Сравните: 12 19.^. 37 ^37 37 ’ 2)313 61 61 55 79 50 83 60 61 действия ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ_ 231 Сложите дроби: 12 13 21 34, 30 30 55 55 Сложите дроби: ^ 23 5 04 20 8 1)---1--, 2)-----1-- 42 42 49 49 56 56 66 66 15 17 4)----1---. 48 48 43 11 4)----1--- 81 81 И Найдите уменьшаемое, если разность равна 123 143 а вы- читаемое — 17 143 Решите уравнение: 1) X 9 _ 8 _ Т9~Т9“19 ’ Решите уравнение 2) - 53 14 53 53 31 31 31 67 67 67 3) ^ + ^ = — 29 29 29 3) —+ —= — 89 89 89 Чтобы пришить пугобицы к платью, Оксана затрати-ла15 мин, а чтобы погладить платье — 10 мин. Какую часть часа затратила девочка для приведения своего платья в порядок? На уроке математики дети писали контрольную работу. 7 19 — всех учеников получили оценки от 10 до 12 баллов,-- 33 33 от 7 до 9 баллов, остальные ученики — оценки, ниже 6 баллов. Какая часть учеников получила хорошие оценки (от 7 до 12 баллов)? Вычислите устно: Г2 7 о4Л2._15. 13 13’ ' 19 19 Найдите разность дробей: ,,35 35 _ 53 14 -.45 15 1 —и—: 2)—,и—; 3) — и — 71 71 69 69 97 97 15 15 27 25 4) — и — 49 49 Вычислите: 31 31 2) — I 73 73 3) 440 337 1237 1237 232 rti'i Глава] li Найдите значение разностиесли: с с 1) а = 6,&= 3, с = 7; 2) а = 8, Ь = 5, с= 11. 1 ^»3 / Найдите разность дробей: 1) тринадцать пятнадцатых и семь пятнадцатых; 2) тридцать четыре сорок первых и тринадцать сорок первыхТ! 3) пятьдесят восемь девяносто девятых и одиннадцать девя-j носто девятых. 103 Выполните вычитание дробей: 42 42 2)20.13 49 49 3)il-^ 66 66 112 81 81 ' ^ 103^^ Сумма трёх дробей равна —-, две из этих дробей рав- 159 56 37 ^ ^ ны----и . Найдите неизвестную дробь. 159 159 42 29 I 04 J Сумма двух дробей равна — , а одна из дробей-- . 43 43 Найдите вторую дробь. Какие числа нужно подставить вместо букв а или Ь, что- бы равенство было верным: а 7 11 3) 15 а —+ = 1 17 17 17 37 37 32 Ь 23 . л\ Ь 13 41 4Г ' 41’ Ч) 63' ’бЗ 34 Решите уравнение: + 2)— + — - — ^ 29 29 “ 29 ’ 79 ^ 79 “ ^ ’ Решите уравнение: , 17 д: 26 . д: 27 54 31 31 31 89 89 89 3 81 81”81 96 96 “ 96 li 33 девочек 5-Б класса посещает спортивные секции, причём — занимается волейболом, а другая часть — гимна- Оо стикой. Какая часть девочек класса занимается гимнастикой? ^/1ИИСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НДЦ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ233 IO‘i: В магазин завезли партию овощей. ^ всех овощей со- ставляет перец, а — — огурцы. На сколько больше завезли в магазин перца, чем огурцов? 1046 Вычислите: I) 53^53 53 59 59 59 66 5)----+ 151 411 44 15l"^151 2) Z3_^_19 83 83 83 26 4)----г 93 17' ,93^^, 127 И27 127 10-: 1) Вычислите; 13 14'\ 17 — + — + — 37 37 37 2)^- 83 83 17 83 3)35_ИЗ, 59 59 59 10 Разместите следующие суммы в порядке возрастания их „ 13 25 15 27 19 7 29 3 значении: —■ + —, —+47 47 47 47 47^47’ 47^ 47 Разместите следующие суммы в порядке убывания их „ 32 17 22 9 37 8 28 19 значении: 43 43 ’43 43 ’ 43 43 ’ 43 43 1 а Г| Найдите значение выражения — с Ь с с если: 1) а = 51,6 = 23, с = 77, d = 14; 2) а = 72, 6 = 25, с = 97, d = 33; 3) а= 107, 6 = 26, с= 127, d = 66. I Решите уравнение: 28 .. X 14 5 1)------1----1----- '■ 39 39 39 X 17 39 89 189 89 2) 53 153 53 J 53 ^ Решите уравнение: . ^ 15 X 6 39 1 — + — + — = —; ' 41 41 41 41 4) 3) 53 17 101 101 X 101 89 32 101 X 11 85^85 Т7 85 2) 36 67 19 67 X 67 67 I 67 28 4)-----1--- 411 111 X Ш 35 111 234 Глава б I Отрезок АВ длиной 26 см разделили на части точками М и iV:l 5 7 Отрезок AM состааляет — отрезка АВ, а отрезок MN — ^ отрезка АВ. Какова длина отрезка NB? Отрезок MN длиной 48 см разделён на части точками А и] 3 7 С. Отрезок МА составляет — отрезка МЛ^, отрезок АС — jg' отрезка MN. Какова длина отрезка CN"? ' В микрорайоне проживает 6300 детей школьного воз- 14 раста. В первой школе учится — всех учащихся, во второй 45 школе — на — учеников больше, чем в первой, а в третьей 45 школе — на — меньше,чем во второй. Остальные дети учат-45 ся в школах другого микрорайона. Какая часть детей учится в трёх школах вместе? Сколько детей учится в трёх школах вместе? Сколько детей учится в других школах? В конкурсе «Кенгуру» в 2010 г. приняло участие ^ уче- ников школы, в 2011г.---учеников школы, а в 2012 г. — на 20 20 больше суммы учеников за два предыдущих года. Какая часть учеников приняла участие в конкурсе «Кенгуру» за три года? Сколько учащихся приняло участие в конкурсе за три года вместе, если в школе учится 600 учеников? Маша задумала дробь, которую сначала увеличила на 15 .. 34 ^ 81 —, а затем — еще на — .В результате она получила —. 83 83 83 Какое число задумала Маша? Андрей задумал дробь, которую сначала увеличил на 27 19 „ 82 —, а затем уменьшил на —.В результате он получил —. 9Г ^ 91 Какое число задумал Андрей? 91 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ... 235 34 56 108 , lObij На сколько сумма меньше числа и боль- 137 137 137 135 77 _ ше разности---------? 137 137 А U 134 17 . 134 117 ▲ 1060 На сколько сумма-----+---больше разности---------- П 211 211 211 211 67 98 - и меньше суммы------+—? 211 211 о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 8 9 12 3 4 12 32 48 1062 Последовательно записаны несколько чисел. Первое число равно —, а каждое последующее — на — больше пре-6 3 дыдущего. Найдите число, стоящее на пятом месте в этой последовательности. ^ 2 100 106^ Найдите сумму чисел;-----+---+ ----. 101 101 101 lOt Запишите дробь, знаменатель которой является наибольшим четырёхзначным числом, а числитель равен сумме всех трёхзначных чисел, каждое из которых записано одними и теми же цифрами. 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1065. Расстояние от Киева до Харькова составляет 478 541 рас- стояния от Киева до Львова, а расстояние от Киева до Чер- 289 ^ ^ касс — на---меньше. Какую часть расстояния от Киева до 541 Львова составляет расстояние от Киева до Черкасс? Какое расстояние от Киева до Черкасс и от Киева до Харькова, если расстояние от Киева до Львова равно 541 км? 1066. Как разделить 7 буханок хлеба на 8 человек? 1067. Ира помогала маме по хозяйству. — ч она мыла посуду, 3 — ч — подметала. Сколько времени Ира помогала маме? 236 Глава б 3 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ Ц 1068. Вычислите: 1)11 120 + 5555 + 21 080 + 4445; 2) 8 ч 37 мин - 6 ч 56 мин. 1069. Расстояние между двумя городами 60 км. Из них одно*! временно в одном направлении выехали два велосипедиста. Скорость одного велосипедиста 12 км/ч, а другого, следующего за первым, —15 км/ч. Через какое время второй велосипедист догонит первого? 1070. Решите уравнение: 1)(140-х)- 15=1845; 2) 325 - (х - 340): 9 = 85. 1071. Ира прочитала 60 страниц «Тореодоров из Васюковки» за 2 ч, а Олег — за 3 ч. Сколько времени нужно каждому из детей, чтобы прочитать книгу полностью, если в ней 540 страниц? Г § 27. ДОПОЛНЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ ДО ЕДИНИЦЫ. ВЫЧИТАНИЕ ДРОБИ ИЗ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА Посмотрите на рисунок 216. Вы видите, что пятиугольник разделён на 5 равных треугольников. Два из них закрашены, а три — нет. Понятно, что закрашенная и незакрашенная части пятиугольника дополняют одна другую до целого пятиугольника. Эту мысль можно выразить с помоЕцью дробей. Закрашен-2 ная часть составляет — пятиугольника, а незакрашен- 5 ная — — . Если пятиугольник это 1, то можно сказать; 2 3 дробь — дополняет дробь — до 1, и наоборот, дробь 5 5 /Ца?1СТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ237 'Ч « 2 . 2 3 дополняет дробь — до 1. Иными словами, — и — явля-f» 5 5 5 ются парой дробей, дополняющих друг друга до 1. Чтобы найти вторую дробь такой пары, нужно найти рааность числа 1 и данной дроби. Для этого следует 1 обратить в неправильную дробь, а затем выполнить вычита- „ ,5 523 532 IIие. Например: 1 = —, тогда-= — или-= —. 5 5 5 5 5 5 Вы наверняка заметили, что сумма числителей дробей такой пары всегда равна знаменателю. Поэтому, чтобы найти вторую дробь такой пары, достаточно найти разность знаменателя и числителя данной дроби и шшисать это число в числителе искомой дроби. Ф Обратите внимание: разность числа 1 и правильной дроби является дробью, дополняющей данную дробь до 1. Можно ли вычесть обыкновенную дробь из целого числа? Рассмотрим задачу. 3 ^ 3 Я' Найдите разность числа 4 и дроби —. Р п - У данной дроби знаменатель 2, поэтому представим число 4 в виде неправильной дроби с таким же знаменателем: 4 = -^. Найдём разность полученной дроби и дан- „ 8 3 5.., 5 . ной: 2~2^2' разность — — неправильная дробь, - 5 _1 . 3 _1 поэтому выделим в ней целую часть: — = 2—.Итак, ^~2~2' 238 Глава 6 Запомните! Правило вычитания дроби из натурального числа. Чтобы вычесть дробь из натурального числа, нужно: 1) записать натуральное число в виде неправильной дроби со знаменателем, как у данной дроби; 2) выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями; 3) если в разности получили неправильную дробь, то в ней нужно выделить в ней целую часть. Особым является случай, когда вычитаемое вильная дробь. Тогда можна действовать и по-другому. пра- Винни-Пух в гостях у Кролика нашёл бочонок мёда и съел — кг этого мёда 3 (рис. 217). Сколько мёда осталось у Кролика, если в бочонке его было 3 кг? i> Р е I ч с н и е Рис. 217 ЪылАЛ)- 5 Му (/b€oi/ — Mb' OonVOUA/yOb -2^^-2^ (му). ОтЛот : ^ Крлклшшу (ХуГПуОуЛхюь Му Д1ИСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБ' ями 23^ »> Обратите внимание: разностью натурального числа, бол*’ ^го 1, i правильной дроби является смешай**®^ числе целая часть которого на 1 меньше д.^^^Ьго числа, а дробная часть является дополй® Нем даь ной дроби до 1. _ Узнайте больше Феофан Прокопович (1681—1736) — украинский богослов, писатель, поэт, математик, философ, видный деятель науки, культуры и образования первой половины XVIII в. Учился в Ки-ево-Могилянской коллегии на философском отделении. Затем продолжил своё образование в Польше и Италии. Вернулся в Киев и преподавал в Киево-Могилянской академии. В 1711-1716 гг. Феофан ПрокопоВИЧ — ректор этой академии. Под РУ'^оаоД'^^ м Ф. Прко-повича академия стала передовым вузом Ы. Ф- Прко- пович — автор «Букваря», по которому мно^^^ десятивтс^я ^ыли шооко учились украинцы, русские, белорусы, гр^^ ' молдаане, сербы, грузины, болгары. Его произведен чь _ ____________________ ф проопо- известны во‘всех восточнославянских стра' ВИЧ уделял большое внимание и математику 1707-1^ тг, в цикл лекций по философии в Киево-Мо1^^^ некой ^аде-мии он включил лекции по математике. Этс ^ первы курс математики, построенный на научной осно® ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Как найти дробь, дополняющую правиль ^ ^ дробь р . 2 Какие две дроби взаимно дополняют ‘ 3. Как вычесть правильную дробь из едини „ ' 4 Как вычесть дробь из натурального чист ^ 5. Как вычесть правильную дробь из натур^д ^огочиса. 6. Чему равна разность натурального чиг ’ большю 1, и правильной дроби? ^ 240 Ь. L. ii. Глава 6 E РЕШИТЕ ЗАДАЧИ (г~'/ Какая из данных дробей дополняет дробь — до 1: 2) —: 11 3) 11 4) — ? 11 IU ' Какие из данных пар дробей взаимно дополняют друг друга до 1: 3 3 3 5 „.3 4 ,.4 2 1) - и 7 7 2) - и 7 7 3) - и 7 7 4) - и -? 7 7 1074 Представьте число 2 в виде неправильной дроби со знаменателем: 1)3; 2)4; 3)5; 4)8. 1075 Представьте число 5 в виде неправильной дроби со зна менателем: 1)2; 2)5; 3)6; 4)10. 4 107о Нужно из 1 вычесть 1) Какой будет у разности знаменатель: а) 4; б) 5; в) 10; г) 1 ? 2) Какой будет у разности числитель: а) 5; б) 4; в) 1; г) 0? 3) Назовите дробь, которую получим в результате вычитания. Если из 1 вычесть — , то получим дробь, у которой: 8 1) знаменатель равен: а) 2; б) 8; в) 6; г) 1; 2) числитель равен: а) 8; б) 2; в) 6; г) 1. п "Я Вычислите: 1)1-^; 17 1079 . Вычислите: 1) 1—; 22 13 15’ зп-А 47 24 3) 1- — 37 29 ' ' 7 Сумма двух дробей равна 1, одна из дробей равна — . 43 Найдите другую дробь. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ... 241 1C Верно ЛИ, ЧТО разность 2— равна: 5 1) 1 2 3)|? о Верно ли, что разность 3--^ равна: 1-; 2)2-: 3 3 2 3) Вычислите: -Ф 3)5-|; 5) 6-—; 11 4)10-|; 6) 10--. 8 Вычислите: 3) 11--; 7 5) 8-—; 11 -1^ 4),0-|; 6) 4 . 13 32 1011 Сумма двух чисел-равна 6, а одно из них равно —. Най- 43 дите другое число. г Сумма трёх чисел равна 11. Два из этих чисел известны 10 7 и равны — и —. 19 19 Найдите неизвестное число. Вычислите: 1) 2-—; 17 3) з-|: 5) 5-—; 11 2)4-|: О 4) 10-—: 15 6) 11--. 8 : . Вычислите: 1) 3- — ; 22 3) 7-|: 7 5П1-- 2) 5-|; О 4) 10-—: 13 6) 8-|. 1 242 Глава 6 1)2и Найдите разность чисел: 15 21 2)3и —; 19 3)5 и 13 17 Найдите разность: 1) числа два и четырёх седьмых; 2) числа три и пяти восьмых; 3) числа четыре и одной девятой. “ Сравните: 12 21. ^ 35 35 ’ 3) 2)2-16и11^; 33 33 4) Сравните: ^ 26 26 ’ 3) 2) 2-11 и ill; 26 26 4) 18 ,11 — и 4—; 19 19 33 29 21 15 22 2— 22 Сумма трёх дробей равна 2. Две из этих дробей равны и . Найдите неизвестную дробь. - 24 - Уменьшаемое 2, разность —. Найдите вычитаемое. 35 14 - Уменьшаемое 3, разность — . Найдите вычитаемое. В магазин завезли партию фруктов. — всех фруктов 23 составляют бананы, ----апельсины, а остальное — манда- 23 рины. Какую часть фруктов, завезённых в магазин, составляют мандарины? Сколько килограммов каждого вида фруктов было завезено в магазин, если всего было завезено 345 кг фруктов? Решите уравнение: .. X 13 , 1)------1---— 11 29 29 2) 3- —= —; 23 23 7 X 3) - + - = 5. 9 9 1 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ... 243 10‘т Решите уравнение; 1)-----1---— 1, 25 25 X 9 2) 5-—-—; ' 14 14 л: 13 ^ 3 — + — = 7. ' 17 17 10’ а Найдите значение разности 2- —, если: 1) а = 2, с = 5; ПО^' Вычислите: 2) а = 3, с = 7; 3) а = 5, с = 9. . 11 52 3) 4---------- ' 49 49 2)5-^-^-' 43 43 ’ 22 34 4) 10- — -—. 15 15 1101 Вычислите; 47 47 215-55-??' ^ 33 33’ 4) 12- 133 166 101 101 110.-^ Вычислите: , ,'27 48^ ^ U5 ^ 55 2) 3 Us 43 4),o-l2i-lT|. ' ' 41 41 ' 11L4' Вычислите: 2) 5-1—-^ ' 22 22 ’ ’ 40 40 / 110-- Найдите значение выражения а - Ъ d —+ с с если: 1) a = 3,b=13,c = 27,d = 7; 2) a = 7,b=16.c = 35.d=11; 3) a = 5,6 = 67,c-120,d = 43. t 1 I О;- Найдите значение выражения а- Ь d если: 1)а = 3, Ь = 9,с=13, d = 7; 2)а = 5,Ь = 25, с = 26, d = 3. 244 Глава 6 Решите уравнение: л: ПЗ 25^ _ 39 139 39J 2) 2-1—+ — ' 43 43 43 89 I 89 I 53 48 4)-----1--- 401 101 1) 2 2) 1- Решите уравнение: / V 1р\ 49 X 18 ,^^41 49 X 67~67 41 18 67 3) 4) 85 67 52 85 54 ^ 12l"^121 78 89’ X 27 10l“l01 _ 17 “ 85 ’ X 21 121 В конкурсе «Кенгуру» участвовали ученики школы «Умники». м - 3 .6 Из них красный диплом получили — учеников, синии — на — 25 25 больше, чем предыдущих, а зелёный — остальные ученики. Какая часть учеников получила зелёные дипломы? Сколько дипломов каждого вида получили ученики школы, если всего в конкурсе приняло участие 625 учеников? ^ Маша задумала дробь, которую сначала увеличила на 63 .. 75 „ ^ —, а затем — еще на —. В результате получила число 3. Какую дробь задумала Маша? Разность числа и его четверти равна 9. Найдите это число. Сумма числа и его четверти равна 30. Найдите это число, 2 6 8 18' Какие числа нужно поставить вместо звёздочек, чтобы получить верные равенства: .3 Вычислите: 3- 15 * * 14 1) --1--— — — 1— I 17 17 17 17 ★ 7 * 2) 2—+ 4—= 6 —= 7; 10 10 10 3) 12-4- = 11—4- = 7-, 8 8 8 8 4) 5 1 -2- = 49 9 2-= 2-? 9 9 Первое число в последовательности .равно 3, а каждое последующее — на — меньше предыдущего. Найдите число, 8 стоящее на седьмом месте в этой последовательности. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ... 245 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1115. Выполните вычитание с помощью дробей; 1)1ч-45мин; 2)2м-8дм; 3)3сут-10ч 1116. Одна сторона клумбы треугольной формы равна 1 м, 2 „ 5 вторая — на — м меньше первой, а третья на — м меньше 7 0 первой стороны. Найдите периметр клумбы. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1117. Вычислите: 1)35- 166-66 -35; 2) (18-49-16-49): 14-7, 1118. Разность двух чисел равна 80. Одно из них в 6 раз меньше другого. Найдите эти числа. 1119. Луч ON — внутренний луч угла АОВ. Найдите: 1) Z. AON, если Z АОВ = 88° и Z. BON - 54°; 2) Z АОВ, если Д AON = 108° и Д BON = 27°. 1120. На математическом турнире три команды вместе решили 36 задач. Первая команда решила на 3 задачи меньше второй, а третья — на 6 меньше количества задач, решённых первой и второй командами вместе. Сколько задач решила каждая команда? Какая команда победила в турнире? Г §28. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ Л Вы уже знаете, как складывать и вычитать натуральные числа и дроби с одинаковыми знаменателями. Смешанные числа тоже можно складывать и вычитать. В этом параграфе мы рассмотрим правила сложения и вычитания смешанных чисел, у которых дробные части — дроби с одинаковым-и знаменателями. С другими случаями вы ознакомитесь II 6 классе. 246 Глава 61 5 7 Найдите сумму: 2—+3—. 11 11 О Обратим каждое из данных чисел в неправиль- ную дробь: _ 5 27 - 7 40 _ ^ 2—= —, 3—= — . Теперь сложим полученные дроби, пользуясь правилом сложения дробей с одинаковыми знамена-27 40 67 „ „ телями: — + — = —■ В полученной сумме выделим целую и дробную части: — = 6—.Итак, 2—+ 3—= 6—. 11 11 11 11 11 ^// ■^//“//^// ■// -^11 Запомните! Правило сложения смешанных чисел. Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, нужно: 1) представить данные числа в виде неправильных дробей; 2) сложить эти дроби; 3) в полученной сумме выделить целую и дробную части. ? Можно ли иначе складывать смешанные числа? Да. Рассмотрим пример. Для пошива сценических костюмов для школь- 3 1 ного театра нужно купить9— м ткани красного цвета и 6— м 5 5 ткани белого цвета. Сколько всего метров ткани нужно закупить? Архшшби пышт Ъеиши !шхшь - 7 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ ... 247 ОтЛ&пъ: и/рюил) ^<1Л4^ш1иг1А) i5^ovo пышто. ? Можно ли этим способом сложить три и более смешанных чисел? Да. Например; 1—+ 2—+ 3—-ь4—= (1-т2-рЗ + 4) + 21 21 21 21 ^ ’ f 1 3 5 7 ^ 16_,„16 [21 21 21 2lj 21 21 При сложении смешанных чисел сумма их дробных частей может оказаться неправильной дробью. Тогда нужно выделить в ней целую и дробную части, а дальше выполнить сложение по правилу сложения смешанных чисел. Например: 2—+ 3-^ = (2 + 3) + f—+ — 11 11 ^ ’ [П 11 г 12 ^ , 1 - 1 ^ 1 11 11 ^ ^ 11 11 11 I/ Обратите внимание: сложение смешанных чисел, так же, как и сложение натуральних чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам сложения. Действие вычитания смешанных чисел выполняется по правилу, аналогичному правилу сложения таких чисел. 248 Глава 6 Запомните! Правило вычитания смешанных чисел. Чтобы найти разность двух смешанных чисел, нужно: 1) записать смешанные числа в виде неправильних дробей; 2) вычесть эти дроби; 3) в полученной разности выделить целую и дробную части. 4 3 Например: 3—1— 5 5 ^ 8 И 2I 5 5 ” 5 ~ 5 ■ ? Как из целого числа вычесть смешанное число? Для этого нужно обратить уменьшаемое и вычитаемое в неправильные дроби и выполнить вычитание. Например: 7 7 7 7 7 Узнайте больше Найти разность двух смешанных чисел'можно, как и при сложении, не преобразуя данные числа в неправильные дроби. Например: 3—1-= 3 + - -5 5 I 5 1 + -5 = '^-'■'"(1-5 5 Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то: 1) у целой части уменьшаемого «одалживают» 1; 2) представляют 1 в виде неправильной дроби со знаменателем, равным знаменателю дробной части уменьшаемого; 3) прибавляют его к дробной части уменьшаемого; 4) выполняют вычитание известным способом. Например, - „5 _ 45 нужно наити разность Ъ--2—. Видим, что — Поэтому будем действовать по приведённому плану: 5i-25 = 4”. Ill :2 6 /ШЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ.... 249 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Сформулируйте правило сложения смешанных чисел. Как сложить два, три и более смешанных чисел? 3 Сформулируйте правило вычитания смешанных чисел. 4. Как из целого числа вычесть смешанное число? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 11 Нужно сложить два смешанных числа 5у и 6^. 1 1) Запишите число 5- в виде неправильной дроби. 2) Запишите число Q— в виде неправильной дроби. 3) Найдите сумму дробей, полученных в пунктах ,1 и 2. В.по-лученной дроби выделите целую и дробную части. 1 3 Нужно сложить два смешанных числа 1— и 3—. 5 5 1) Какой будет целая часть у их суммы: а) 1; б) 3; в) 4; г) 5? 2) Какой будет дробная часть у их суммы: а)—;б)—;в)—;г)—? 5 5 5 25 3) Назовите число, которое будет результатом сложения данных смешанных чисел. - о 4 „2 Верно ли, что суммой чисел 2— и 5— является число: 1)7:^; 2)10— ' 34 ’ ' 17 3) 7 17 4) 8—? 17 3 1 Нужно найти разность чисел 15— и 10—. 4 4 1) Запишите число 15— в виде неправильной дроби. 4 2) Запишите число 10— в виде неправильной дроби. 3) Найдите разность неправильных дробей, полученных1В пунктах 1 и 2. В полученной дроби выделите целую и дробную части. 250 ■ -'eBL. ~ ^ Глава6 1125 . Нужно выполнить вычитание двух смешанных чисел 4— и 1—. 9 9 1) Какой будет целая часть у их разности: а) 4; б) 3; в) 2; г) 1? 2) Какой будет дробная часть у их разности: ^ “Ч 3 ,3 . 2„ а —; б) —; в —; г — ? 9 9 18 9 3) Назовите число, являющееся результатом вычитания данных смешанных чисел. 9 3 1126. Верно ли, что 7-----4— равно: 13 13 1)11—; 2)11 13 6 . 13 ’ 4) 3—? 13 1127 Вычислите: 2 4 1) 5—+ 6—; 25 25 3) 5—+ 9—; 29 29 9 2 5) 10— + —; 11 11 2) 7—+ 3—; 28 28 4) 8—+ 8—; 25 25 4 9 6) 11—+ 2— 13 13 ^1128 . Вычислите: 1)3- + 14-; 2)6—+ 7— 7 7 13 13 3) 2- + 65 5 4) 7—+ 5— 22 22 1129 Найдите сумму чисел: 6 4 16 2 1) 3— и 4—; 3) 6— и 10—; 21 21 17 17 с, о13 5 7— и 8— 15 15 2) 3— и 11— 19 19 4) 25- и 4- ; 9 9 6) 11— и 22— 13 13 1130 Найдите сум му: 1) трёх целых двух седьмых и пяти целых трёх седьмых; 2) шести целых семнадцати двадцать первых и пяти целых трёх двадцать первых; 3) девяти 'целых четырёх одиннадцатых и двух целых семи одиннадцатых. 1131 Сравните: 2 12 17 3 1)11—+ —и 12; 2)7—+ 2— и 10; 13 13 21 21 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НДЦ ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ251 3) 6-+8- И 14; 9 9 5 14 4) 8—+ 6— и 15. 18 18 II.'*.' Сравните: 1)7—+ 5— и 12; 2)5—+ 4—и 10—; 3) 9—+ 3—и 13. 15 15 17 17 17 11 11 1г." Найдите уменьшаемое, если разность равна 10 12 13 а вычитаемое — 1—. 13 1 1 ‘ Между какими последовательными натуральными чис- лами на координатном луче размещены смешанные числа, полученные в результате сложения следующих чисел: 1) 2- + 1-; 2)5—+ 3-^; 3)11- + 2’ 1 1 11 11 55 -I Вычислите: 21 4 2) 7—-3—; 28 28 Вычислите: 1)13--4-; 2)7—-5—; 3) 9—-4—; 4) 10^-8^ ’ 1 7 22 22 15 15 12 12 3) 15—-9—; 29 29 4) 8-^-6—; 15 15 4) 12—+ 5—? 12 12 5) 10—-3—; 11 11 4 9 6) 11—-2—. 13 13 1 Найдите разность чисел: 5 ,9 „_5 .6 3) 6- и 4-; 7 7 4) 25- и 4-; 9 9 1) 5— и 4- . 11 11 8 4 2) 13- и М-; 9 9 . Сравните: 1)7---и7; 2)7—-6-^ и 1; 3)б|-з|и2|. ' 7 7 11 11 9 9 9 5) 17— и 8—; 15 15 6) 11— и 9—. 13 13 Сравните: „уИ-бПигА 15 15 15 2)5—-4— и—; 3)9—-3-^и6. ' 17 17 17 11 11 252 Глава 6 Найдите вычитаемое, если разность равна 8—, а уменьшаемое — 10— . 9 Найдите неизвестное слагаемое, если сумма равна 77 16—, а известное слагаемое----. 5 5 Найдите неизвестное слагаемое, если сумма равна 11— , а известное слагаемое 7 7 О Определите координаты точек, изображённых на рисунке 218. Найдите длины всех возможных отрезков. ‘ ' Определите координаты точек, изображённых на рисунке 219. Найдите длины всех возможных отрезков. А В С D Е X + -н н- н—♦—^^^^ 1 Рис.218 О Ч—♦—^—h н—h в н- с -f- ч—^1 X ► Рис. 219 - Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину трёх клеточек тетради. Отметьте на этом луче точки А\1— 3 ,В\2-' 3 il-l-f \ ,к ) 3j Найдите дли- ны всех возможных отрезков. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину четырёх клеточек -тетради. Отметьте на этом луче точки F 1 ,к[2- [з-1 ,N ,м \ 4) 1 4.J 41 ,Е\^\. Найди- те длины всех возможных отрезков. Решите уравнение: 1) —-А = 2— 13 13 13 2)4 —- — = 3—; 3)2 —+ —= 3—. 23 23 23 29 29 29 ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ.., 253 „ f А 1148 Решите уравнение: ' 1)--- = 3-; 2)5—- — = 4—; 3)3—+ —= 4—, ^9 9 9 ^ 15 15 15 ' 19 19 19 И -9 Вычислите: 1) 11—+ 2— '13 13 + 3—: 13 2) 5—+ 18 18 18 3) 5—+[б—+ 13 —^ 17 17 17 .. .J6 (.^4 _13 4) 11 ь 4--н У— 23 I 23 23 1150 Вычислите: 1 21 2lJ 21 2) 15—+ 27 6— + 4— 27 27 11Г Разместите в порядке возрастания значения выражений: 2A,5A.4A,3i, 17 17 17 17 17 17 17 17 А 115,- Разместите в порядке убывания значения выражений: ” ^12 ^7 9 ^9 ^5 _8. 9 „11 2--h б—, 1--н 7—, 5---1" 3— , 4 — + 3 ~ . 13 13 13 13 13 13 13 13 11 Б. Найдите периметр треугольника, если одна его сторона равна 5— дм, вторая — на 3— дм больше первой, а третья — 8 8 на 1-1 дм больше второй. 115'1. Вычислите сумму длин всех рёбер пирамиды DABC, еспи DA^ DB = DC = 2— см, ВС^АВ=АС= 6— см. 11 11 1155. Найдите сумму длин всех.рёбер прямоугольного парал- ^5 лелепипеда, если его ширина равна 4— см, высота — на 2 6 2— см больше ширины, а длина — на 1— см меньше высоты. А 1151. Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольного паралле- Ш 2 4 лепипеда, если его ширина равна 13— см, высота —на 4— см 9 9 меньше ширины, а длина — на 10— см больше высоты. 9 254 Глава 6 Маша задумала число, которое сначала увеличила на 3—, а затем — еще на 2—. В результате получила 83 83 7—. Какое число задумала Маша? 83 На сколько число 11—+ 22— больше числа 54—-21— 21 21 21 21 7 20 и меньше числа 26—+9— ? 21 21 Горы Апецка, Боревка и Говерла находятся в Украинских Карпатах. Тора Апецка имеет высоту 1^^^ км, гора Борев- н 695 ^ о 61 ^ ка — 1----км, а гора Говерла — 2----км. На сколько гора 1000 1000 Говерла выше, чем горы Апецка и Боревка? 1 ' Разместите на координатном луче точки, координаты которых равны значениям выражений: з2-2Т 72-51, 5 5 5 5 5 5 Разместите на координатном луче точки, координаты ко- -.3 J ^1 _3 торых равны значениям выражении: 1—+ 1—, 5—3—, 4 4 4 4 10--8-. 4 4 В развёрнутом угле MON проведены внутренние лучи ОК и OL. Найдите градусную меру угла МОК, если lKOL= 88—° v\ lMOK= lNOL. 18 Катер по течению реки проходит 11— км за час, а про- 6 тив течения — 4— км за час. Найдите скорость катера и скорость течения реки. Д1:ИСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ , 255 1164‘ Известно, что сумма двух смешанных чисел, первое из которых больше второго, равна 7. Разность их целых частей равна 2, а разность дробных частей — ^. Найдите эти числа. 1165 Известно, что разность двух смешанных чисел, первое из которых меньше второго, равна 1. Сумма их целых частей равна 7, а суммой дробных частей является смешанным числом, дробная часть которого равна — . Найдите эти числа. 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1166. Приусадебный участок нужно оградить забором. Участок 5 2 имеет форму прямоугольника со сторонами 10— м и 7— м. 6 6 Сколько метров забора нужно приобрести', чтобы оградить участок? 3 1167. Таня заплатила за печенье 7— грн, а за конфеты — 25 15— грн. Мама дала Тане для покупки 30 грн. Сколько денег 25 осталось у Тани? 1168. Тарас и Андрей решили купить мороженое. У Тараса было 5 грн, а у Андрея — 4^ грн. Порция мороженого стоит Е 4 грн 55 к. Хватило ли каждому из мальчиков денег на мороженое? Если нет, то кто, у кого и сколько одолжил? ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1169. Вычислите удобным способом: 1)4 -17 -50; 2) 25-123-4; 3) (357 • 125) ■ 8. 1170. За 30 дней на фабрике планировали пошить 240 костюмов. Однако каждый день шили на 2 костюма больше, чем планировали. За сколько дней на фабрике выполнили план? 1171. Решите уравнение: 1)3^-г5х = 2®; 2)225-4х~5^. 1172. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 5,0? 256 Глава ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Сформулируйте правило сложения двух дробей с одина ковыми знаменателями. 2. Сформулируйте правило вычитания двух дробей с оди 'наковыми знаменателями. 3. Чему равна разность двух дробей с одинаковыми знаме нателями, числители которых равны? 4. Как найти дробь, дополняющую правильную дробь до 1 ? 5. Какие две дроби взаимно дополняют друг друга до 1 ? 6. Как вычесть правильную дробь из единицы? 7. Чему равна разность натурального числа, не равного 1 и правильной дроби? 8. Сформулируйте правило сложения смешанных чисел. 9. Сформулируйте правило вычитания смешанных чисел. 10. Как из целого числа вычесть смешанное число? ДИЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ... 25' ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания нужно 10-15 мин. -о о 12 1". Вычислите: 2- f А. 2 12 '13 13 Б. 1 12 '13 В. 1 '13 r.i”. 13 2*. Укажите верное числовое неравенство: .5 7, „5 7._5 7.3 А. —+ — >2. Б. — + — <1,В. — + — >1.Г. —+ — >1— 11 11 11 11 11. 11 11 11 11 л: 17 4 аКакое из чисел является корнем уравнения-—+1-- = 2— ? 19 19 19 А. 2. Б. 6. В. 19 Г. 10. 4. Найдите длину отрезка АВ, если координата точки В равна 5—, а координата точки А —на 2— меньше координать точки В. .6 А. 2 '7 Б. 2 В. 5- Г. 3 в*. Найдите периметр наибольшей грани прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны знaчeния^ „6 9 „ .5 .4 J0 выражений: —+ —, 3-1—, 1— + 1—. 11 11 11 11 11 А. 6- 11 Б, 9-^. 11 В. 5 11 Г 9—. 11 [L ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ! НАД НИМИ Вы узнаете: ф что такое десятичная дробь и из чего она состоит; ф как сравнивать десятичные дроби; ф каковы правила сложения и вычитания десятичных дробей; ф как находить произведение и частное двух десятичных дробей; ф что такое округление числа и как округлять числа; ф как применять изученный материал на практике 10 ДПСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 259 ^ § 29. ЧТО ТАКОЕ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ. СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Посмотрите на рисунок 220. Вы видите, что длина отрезка АВ равна 7 мм, а длина отрезка DC —18 мм. Что-Лы подать длины этих отрезков в сантиметрах, нужно «7 18 „ использовать дроби — см, — см. Вы знаете много дру- 10 10 сих примеров, когда используются дроби со знаменате- 5 лями 10, 100, 1000 и т.д. Так, 5 к. = ----- грн. 100 1бг= 15 кг, 25 см^= 25 м^. Такие дроби называют 1000 10000 десятичными. Понять, как записывают такие дроби можно при помощи обыкновенной линейки. Обратимся К рассматриваемому примеру. Вы знаете, что длину отрезка DC (рис. 220) можно 8 иыразить смешанным числом 1— см. Если после целой чисти этого числа поставить запятую, а после нее — числитель дробной части, то получим более компактную запись: 1,8 см. Для отрезка АВ тогда получим: ’ 7 0,7 см. Действительно, дробь— является правильной. она меньше единицы, поэтому её целая часть равна 0. Числа 1,8 и 0,7 — примеры десятичных дробей. Л В • • “—р 111111 Г| I'T'i 'Т';\ г'г|1111111111 г 111 III 11| 11 Г|ТТ 3 0 1 2 3 4 D Ф О о Tjrr 3 туггт 4 Рис. 220 ‘260 Глава 7 Десятичную дробь 1,8 читают так: «одна целая восемь десятых», а дробь 0,7 ^— «нуль целых семь десятых». „ „ . 5 15 25 V Как записать дроби ----, ----, ----- в виде деся- 100 1000 10000 тичных дробей? Для этого надо знать особенности записи десятичной дроби. В записи десятичной дроби всегда есть целая и дроб ная части. Их разделяет запятая. В целой части классы и разряды такие же, как у натуральных чисел. Вы знаете, что это — классы единиц, тысяч, миллионов и т. д., а в каждом из них по 3 разряда — единиц, десятков и сотен. В дробной части десятичной дроби классы не выделяют, а разрядов может быть сколько угодно. i Их названия соответствуют названиям знаменателей j обыкновенных дробей — десятые, сотые, тысячные, ■ десятитысячные, стотысячные, миллионные, десятимиллионные т.д. Разряд десятых является старшим в дробной части десятичной дроби. В таблице 40 вы видите названия разрядов десятичной дроби и число «сто двадцать три целых четыре 4506 тысячи пятьсот шесть стотысячных», или 123- 100000 Название дробной части «стотысячных» в обыкновенной дроби определяет её знаменатель, а в десятичной — последний разряд его дробной части. Вы видите, что в 4506 числителе дробной части числа 123- цифр на 100000 одну меньше, чем нулей в знаменателе. Если не учесть этого, то в записи дробной части получ-им ошибку — вместо 4506 стотысячных запишем 4506 десятитысяч-4506 ных, но 123- 123,4506. Поэтому в записи дан- 100000 ного числа десятичной дробью нужно поставить 0 после запятой (в разряде десятых): 123,04506. ДЦСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 261 Таблица 40 « а « а а Чис- ло 0 0 л л О) J3 CD 0 X т I d’ Ф JD I 1 X л I ос о о н X ь Т н т л т— X о; I о: ф о; ос о: 1- н о X о н о о о о о о CD й Ф о о X н 0 л н о X 2 4 5 6 Обратите внимание: в десятичной дроби после запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби. Можем теперь записать дроби виде десятичных. 15 25 100 1000 10000 /{)оо - Десятичные дроби можно сравнивать так же, как и натуральные числа. Если в записи десятичных дробей много цифр, то пользуются специальными правилами. Рассмотрим примеры. ^^3 " Сравните дроби: 1) 96,234 и 830,123; 2) 3,574 Т и 3,547. Р Р- : 1) Целая часть первой дроби — двузначное ■ число 96, а целая часть второй дроби — трёхзначное число 830, поэтому: 96,234 < 830,123. 2 в 262 Глава 2) В записях дробей 3,574 и 3,547 целые части равны. ПО' этому сравниваем поразрядно их дробные части. Для этого запишем данные дроби одну под другой: 3,574 3,547 Каждая из дробей имеет 5 десятых. Но в первой дроби 7 сотых, а во второй — лишь 4 сотых. Поэтому первая дробь ‘ больше второй: 3,574 > 3,547. Правила сравнения десятичных дробей 1 Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше. 2 Если целые части десятичных дробей равны, то сравнивают их дробные части поразрядно, начиная со старшего разряда. J Как и обыкновенные дроби, десятичные дроби можно, разместить на координатном луче. На рисунке 221 вы] видите, что точки Л, В и С имеют координаты: А(0,2),‘^, В(0,9),С(1,6). О А ^^—h В -4- Н—I—Н с -4- Н—h X 4^ 1 Рис.221 Узнайте больше Десятичные дроби связаны с десятичной позиционной си- ! стемой счисления. Однако их появление имеет более дав- ' нюю историю, связанную с именем выдаюш,егося математи- ' ка и астронома аль-Каши (полное имя — аль-Каши Джемшид ■ ибн Масуд). В работе «Ключ к арифметике» (XV в.) он впервые сформулировал правила действий с десятичными дробями, привёл примеры выполнения действий с ними. Ничего не зная об открытии аль-Каши, повторно «открыл» десятичные дроби примерно через 150 лет фламандский математик и инженер Симон Стевин. В работе «Децималь» ДКСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 263 (1585 г.) С. Стевин изложил теорию десятичных дробей. Он всячески пропагандировал их, подчёркивая удобство десятичных дробей для практических вычислений. Отделять целую часть десятичной дроби от дробной предлагали по-разному. Так, апь-Каши целую и дробную части писал разными чернилами или ставил между ними вертикальную черту. С. Стевин для отделения целой части от дробной ставил нуль в кружочке. Принятую в наше время запятую предложил известный немецкий астроном Йоганн Кеплер (1571-1630). ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Какая дробь называется десятичной? Как называются разряды десятичной дроби, стоящие от запятой слева? Справа? Какова зависимость между количеством цифр после запятой десятичной дроби и количеством нулей в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби? Как сравнить десятичные дроби с разными целыми частями? Как сравнить десятичные дроби с равными целыми частями? 0 РЕШИТЕ ЗАДАЧИ ' 1. Запишите в сантиметрах длину отрезка АВ, если; 1)АБ = 5мм; 2)АВ = 8мм; 3)АБ = 9мм; 4)АВ = 2мм. 11 7 Прочитайте дроби; 1) 12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254; 2) 5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065. Назовите; а) целую часть дроби; б) дробную часть дроби; в) разряды дроби. 11 - Приведите пример десятичной дроби, у которой после запятой стоит: 1) одна цифра; 2) две цифры; 3) три цифры. 1176 Сколько знаков после запятой имеет десятичная дробь, если знаменатель соо;гветствующей обыкновенной дроби равен: 1)10; 2)100; 3)1000; 4)10 000? II.' У какой из дробей больше целая часть: 1) 12,5 или 115,2; 4) 789,154 или 78,4569; 2) 5,25 или 35,26; 5) 1258,00265 или 125,0333; 3) 185,25 или 56,325; 6) 1269,569 или 16,12? 264 Глава 7 В числе 1 256 897 отделите запятой пооледнюю цифру и прочитайте полученное число. Затем переставляйте запя« тую на одну цифру влево и называйте полученную дробь. Прочитайте дроби и запишите их в виде деоятичной дроби: 1)1^. 10 3) 74 ^ ; 1000 5) 1 ; 100 7) 25 ; 1000 2) 2—; 10 4)101 ^ ; 1000 6) 12 ; 1000 8) 45 ® . 1000 Прочитайте дроби и запишите их в виде десятичной дроби; 1)12® ; 100 2) 55 ^ ; 100 3) 85 ; 1000 с 55 4) 5 . 1000 Запишите обыкновенной дробью: 1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089; 2) 125,5; 5) 12,12; 8) 0,15; 11)258,063; 3)0,9; 6)25,36; 9) 458,025; 12)0,026. . _ Запишите обыкновенной дробью: 1)4,6; 2) 34,45; 3)0,05; 4) 185,342. Запишите деоятичной дробью: 1) 8 целых 3 десятые; 5) 145 целых 14 сотых; 2) 12 целых 5 десятых; 6) 125 целых 19 сотых; 3) О целых 5 десятых; 7) О целых 12 сотых; 4) 12 целых 34 сотые; 8) О целых 3 оотые. Запишите десятичной дробью: 1) нуль целых восемь тысячных; 2) двадцать целых четыре сотых; 3) тринадцять целых пять сотых; 4) сто сорок пять целых две сотые. Запишите частное в виде обыкновенной дроби, а затем в виде деоятичной дроби: 1) 33:100; 3)567:1000; 5)8:1000; 2) 5:10; 4)56:1000; 6)5:100. Запишите частное в виде смешанного числа, а затем в виде десятичной дроби: 1) 188:100; 3)1567:1000; 5)12 548:1000; 2) 25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100. Запишите частное в виде смешанного числа, а затем в виде десятичной дроби: 1) 1165:100; 3)2546:1000; 5)26 548:1000; 2) 69 : 10; 4) 1269:1000; 6) 3569 : 10О. . ДЬСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И, 265 I I Выразите в гривнях: 1)35 к.; 2) 6 к.; 3)12грн35к.; 4) 123 к. i 1 Bv Выразите в гривнях: 1)58 к.; 2) 2 к.; 3)56грн55к.; 4) 175 к. t190 Запишите в гривнях и копейках: 1) 10,34 грн; 2)12,03грн; 3) 0,52 грн; 4) 126,05 грн. ^ 19 i Выразите в метрах и ответ запишите десятичной дробью: 1) 5 м 7 дм; 2) 15 м 58 см; 3) 5 м 2 мм; 4) 12 м 4 дм 3 см 2 мм. 1192 Выразите в километрах и ответ запишите десятичной дробью: 1) 3 км 175 м; 2) 45 км 47 м; 3) 15 км 2 м. 1193 Запишите в метрах и сантиметрах: I) 12,55 м; 2) 2,06 м; 3) 0,25 м; 4) 0,08 м. 1194 Наибольшая глубина Чёрного моря составляет 2,211 км. Выразите глубину моря в метрах. 119Ь Сравните дроби: 1) 15,5и16,5; 5)4,2и4,3; 2) 12,4 и 12,5; 6) 14,5 и 15,5; 3) 45,8 и 45,59; 7) 43,04 и 43,1; 4) 0,4 и 0,6; 8) 1,23 и 1,364; II - Сравните дроби: 1) 78,5 и 79,5; 3) 78,3 и 78,89; 2) 22,3 и 22,7; 4) 0,3 и 0,8; 1197 Запишите в порядке возрастания десятичные дроби: 1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2; 2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55. 1198 Запишите в порядке убывания десятичные дроби: 15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35. 1199 Выразите в квадратных метрах и запишите десятичной дробью: 1)5дм^; 2)15см^; 3)5дм^12см^. 1200 . Комната имеет форму прямоугольника. Её длина составляет 90 дм, а ширина — 40 дм. Найдите площадь комнаты. Ответ запишите в квадратных метрах. 1201.Сравните дроби: 1) 0,04 и 0,06; 5) 1,003 и 1,03; 9) 120,058и 120,051; 2) 402,0022 и 40,003; 6) 1,05 и 1,005; 10) 78,05 и 78,58; 3) 104,05 и 105,05; 7) 4,0502 и 4,0503; 11) 2,205 и 2,253; 4) 40,04 и 40,01; 8)60,4007и60,04007; 12) 20,12 и 25,012. 9) 1,4 и 1,52; 10) 4,568 и 4,569; 11) 78,45и 78,458; 12) 2,25 и 2,243. 5) 25,03 и 25,3; 6) 23,569 и 23,568. 266‘ Глава 7j Сравните дроби: 1) 0,03 и 0,3; 4) 6,4012 и 6,404; 2) 5,03 и 5,003; 5) 450,025 и 450,2054; 3) 50,3 и 5,03; 6) 3,05 и 3,041. Запишите пять десятичных дробей, расположенных на] координатном луче между дробями: 1) 6,2 и 6,3; 2) 9,2 и 9,3; 3)5,8 и 5,9; 4) 0,4 и 0,5. Запишите пять десятичных дробей, которые на коор-] динатном луче расположены между дробями: 1) 3,1 и 3,2;] 2) 7,4 и 7,5. Между какими двумя соседними натуральными числами] находится десятичная дробь: 1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,0127] Запишите пять десятичных дробей, удовлетворяющих неравенству: 1) 3,41 < д: < 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43; 2) 15,25 < X < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19. Запишите пять десятичных дробей, удовлетворяющих неравенству: 1)3 <х <4; 2)3,2 <х<3,3; 3) 5,22 < х < 5,23. Запишите наибольшую десятичную дробь, которая: 1) меньше 2 и имеет две цифры после запятой; 2) меньше 3 и имеет одну цифру после запятой; 3) меньше 4 и имеет три цифры после запятой; 4) меньше 1 и имеет четыре цифры после запятой. Запишите наименьшую десятичную дробь: 1) больше 2 и имеет две цифры после запятой; 2) больше 4 и имеет три цифры после запятой. Запишите все цифры, которые можно поставить вместо звёздочки, чтобы получить верное неравенство: 1) 0,*3>0,13; 3)3,75>3,*7; 5)2,15<2,1*; 2) 8,5* <8,57; 4) 9,3* <9,34; 6)9,*4>9,24. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки, чтобы получить верное’неравенство: 1)0,*3>0,1*; 2) 8,5* <8, *7; 3) 3,7* > 3,'*7? Запишите все десятичные дроби, целая часть которых равна 6, а дробная часть содержит три десятичных знака, записанных цифрами 7 и 8. Запишите эти дроби в порядке их убывания. I ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 267 1-1 Запишите шесть десятичных дробей, целая часть которых равна 45, а дробная часть состоит из четырёх разных цифр: 1,2,3, 4. Запишите эти дроби в порядке их возрастания. J2! Сколько можно составить десятичных дробей, целая часть которых равна 86, а дробная часть состоит из трёх разных цифр: 1,2,3? 1?1 Сколько можно составить десятичных дробей, целая часть которых равна 5, а дробная часть является трёхзначной, записанной цифрами 6 и 7? Запишите эти дроби в порядке их убывания. 12 Зачеркните в числе 50,004007 три нуля так, чтобы образовалось: 1) наибольшее число; 2) наименьшее число. 0 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1217. Измерьте длину и ширину своей тетради в миллиметрах и запишите ответ в дециметрах. 1218. Запишите свой рост в метрах с помощью десятичной дроби. 1219. Измерьте свою комнату и вычислите её периметр и площадь. Ответ запишите в метрах и квадратных метрах. 0 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 13 1220. При каких значениях л: дробь —является неправильной? X X 1 1 Ах 7 1221. Решите уравнение: 1) -- — = 3— ; 2) 5—- — = 4— . 1222. Магазин должен был продать 714 кг яблок. В первый день было продано — всех яблок, а во второй-от про- 17 5 данного в первый день. Сколько яблок продали за два дня? 1223. Ребро куба уменьшили на 10 см и получили куб, объём которого равен 8 дм^. Найдите объём первого куба. :2б8' Г Глава § 30. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Вы уже знаете, как складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, смешанные числа. Попробуем сложить десятичные дроби. Найдите сумму 3,12 + 8,26. Запишем десятичные дроби в виде смешанных чисел и найдём их сумму: 100 100 100 100 ную сумму в виде десятичной дроби: 11,38 Итак, 3,12 + 8,26= 11,38. Представим получен- Для шаписи десятичных дробей используют тот же позиционный принцип, что и для натуральных чисел. Поэтому сложение и вычитание таких дробей выполняют аналогично натуральным числам. Если числа многозначные, то эти действия удобнее выполнять «стол-J биком». При этом десятичные дроби записывают так,' чтобы запятые в слагаемых были одна под другой. Тогда одноимённые разряды будут стоять друг под другом , — сотые под сотыми, десятые под десятыми, единицы i под единицами, десятки под десятками и т.д. Складывают десятичные дроби, не обрапдая внимания на запятые, т.е. как натуральные числа. В сумме запятую ставят под запятыми в слагаемых. Найдите сумму: 23,6515 + 45,3342. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ и ДЕЙСТВИЯ НАД ЬШШ'^З 269 Запомните! Правило сложения десятичных дробей. Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно: 1) записать дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 2) выполнить сложение, не обращая внимания на запятые; 3) в полученной сумме поставить запятую под запятыми, стоящими в слагаемых. Можно ли складывать десятичные дроби с разным количеством цифр после запятой? Да. Для этого в дроби с меньшим количеством десятичных знаков дописы-ииют нужное количество нулей справа, и тогда дроби складывают по данному правилу. gL .. _ : Найдите сумму чисел 5,31254 и 15,42. I? Р У числа 5,31254 после запятой стоят 5 цифр, а : у числа 15,42 — только 2 цифры. Уравняем количество деся-• тичных знаков. Для этого представим второе число в виде: i 15,42-15,42000. Тогда: 15,42000 + 5.31254 20,73254 т Обратите внимание: сложение десятичных дробей, так же, как и сложение натуральных чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам сложения. Вычитание десятичных дробей выполняют по правилу, (ишлогичному правилу их сложения. Запомните! I i Правило вычитания десятичных дробей. Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно: 1) записать дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 2) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятые; 3) в полученной разности поставить запятую под запятыми, стоящими в уменьшаемом и вычитаемом. 270' Глава ■ ? Можно ли вычитать десятичные дроби с разным количеством цифр после запятой? Да. Рассмотрим пример. : Найдите разность: 9,5-3,128. [Jill J Узнайте больше Остроградский Михаил Васильевич — выдающийся украинский математик, происходил из казацко-старшинского рода Остроградских. Родился в селе Пашеновка Полтавской губернии. В 1816-1820 гг. учился в Харьковском университете, в 1822 -1828 гг. продолжил обучение в College de France в Париже. Работал преимущественно во Франции и России. С 1828 г. — профессор вузов в Петербурге. Ученик ' Лапласа, Ампера. Преподаватель Коллегии Анри IV (Париж), профессор Петербургского университета и Морского кадетского корпуса, член Петербургской академии наук (с 1830 г, в возрасте 29 лет). Парижской (с 1856 г). Римской и Туринской академий наук. Широко известны в мире его исследования по теории чисел, алгебре, теории вероятностей и вариационного исчисления. Поддерживал дружеские отношения с Тарасом Шевченко. ЮНЕСКО в 2001 г. внесла М. Остроградского в перечень выдающихся математиков мира. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ I Сформулируйте правило сложения десятичных дробей. 2, Какие законы сложения выполняются при сложении десятичных дробей? 3. Как складывать десятичные дроби с разным количеством цифр после запятой? иЯТИЧНЫЕ ДРОБИ и ДЕЙСТВИЯ НШСНШМГТ^ 2Н271 4 Сформулируйте правило вычитания десятичных дробей. Как вычитать десятичные дроби с разным количеством цифр после запятой? \ \ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 4 Верно ЛИ, ЧТО сумма Дробей 2,1 и 3,5 равна: 1)56; 2)5,06; 3)5,6; (2V!. Верно ли сложили десятичные дроби; 3) I) 2,35 6^ 2) ^2,3 5 4)2,135? 2,3 5 ЗА 8,75; 2,9 9; ? ?'Л6 Верно ли, что разность 9,7 и 3,2 равна: 1)65; 2)12,9; 3)9,38; ' Верно ли вычли десятичные дроби: 1)_46,97 2) _ 46,9 7 2.4 ___2А 2 9,9? 4) 6,5? 3). 4 6,97 2,4 46,7 3; 44,57; 1228 Найдите сумму: 1) 3 + 0,5; 3)4 + 3,87; 2) 5 + 0,25; 4) 0,4+ 5; Вычислите устно: 2 2,97? 5) 0,2 + 78; 6) 0,87 + 56. 1) 3,3+ 1,5; 2) 2,5+ 0,3; ; ?.30 Вычислите: 3) 4,7+ 2,2; 4) 4,4+ 5,2; 5) 5,2 + 78,1; 6) 11,8 + 15,1. 1) ,13,45 2) ъ I 2.42 1731 Вычислите: 1) 2.9 + 3,7; 2) 6,3+ 2,8; 3) 19,14+15,25; 4) 25.45 + 48,19; П) 15.148 + 12,125; 0) 12,125+ 13,145; 0 232 Вычислите: 1) 1,8 + 2,5; 2) 15,16 + 54,36; :i) 12.87+12,11; + 47,26 5.41 3) .147,78 2,45 4)^2652,19 2145.45 7) 145,154+1-25,548; 8) 25,1456+12.1256; 9) 2,1205 + 3,1045; 10) 5,2564 + 2,1498; 11) 54,58+ 13,05; 12) 20,86 + 23,09; 13) 10,008+1,005; 14) 1,025 + 3,105; 15) 105,004+120,508 16) 2,1006+12,0056 17) 12,0005 + 3,0045 18) 50,2004 + 2,1007. 4) .115,456+11,256; 5) 14,458 + 23,478; 6) 156,478 + 569,123; 7) 23,1458+11,1154; 8) 3,1085 + 4,7089; 9) 4,5809+ 1,9876. 272- Глава 7j 12Я.'’ Найдите значение выражения: 1) 2,31 +(17,65 + 8,69); 3) (15,302 + 7,279) + 1,419; 2) 0,387+ (12,613+ 9,142); 4) (28,243 + 27,107) + 2,77. ‘ Найдите значение выражения: 1)(7,891 +3,9) + (16,01 +2,109); 2) 14,537 + (2,143 + 5,9). 2 Решите уравнение: 4) X-32,5= 105,84; 5) д:- 12,7 = 234,69; 6) X- 123,56 = 34,23. 3) х-36,59 = 78,91; 4) х- 13,506 = 304,234. 1) х-2,5= 1,8; 2) X-7,3= 15,9; 3) х-85,75 = 38,96; Решите уравнение: 1) х-3,6 = 2,9: 2) X-75,8 = 23,9; с одного участка собрали 85,69 т зерна, а с другого — на | 26,3 т больше. Сколько тонн зерна собрали с двух участков?] • Ширина прямоугольника равна 9,56 см, а его длина —j на 3,3 см больше. Найдите периметр прямоугольника. • 5-А класс собрал 56,89 кг макулатуры, а 5-В — на 12,065 кг| больше. Сколько макулатуры собрали два класса вместе? .. Вычитаемое равно 12,58, а разность — 2,569. Найдите I уменьшаемое. ' Вычитаемое равно 45,02, а разность — 0,009. Найдите' уменьшаемое. ■ Вычислите устно: 1) 3,8-1,5; 3)4,7-2,2; 2) 2,5-0,3; 4) 9,4-5,3; Вычислите: 1) _ 23,95 2) 48,86 3) _ 258,98 2.32 3.51 4.25 5) 98,2-78,1; 6) 21,8-17,3. Найдите разность: 1) 9,3-3,7; 2) 29,14- 15,55; 3) 95,35-38,29; 4) 15,148- 12,125; 5) 22,105- 14,345; 6) 145,154-125,548; . “ Вычислите: 1) 7,8-6,9; 2) 24,2-0,867; 3) 1 -0,999; 7) 35,1456-11,1256; 8) 8,1205-4,1045; 9) 5,2564-2,1498; 10) 3,08-1,51; 11) 89,16-54,36; 12) 33,87- 12,11; 4) 129-9,72; 5) 3-0,007; 6) 425-2,647; 13) 56,456-25,256; 14) 104,45-92,478; 15) 789,4-569,123; 16) 29,14-11,1154; 17) 8,1085-0,708; 18) 7,5809-2,98. 7) 8,1-5,46; 8) 0,02-0,0156; 9) 83-82,877. ДИСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАДШИВ. 273 Решите уравнение: 1)^ +4,5 = 9,8; 4) 2) л:+ 5,2= 18,9; 5) 3) л-+ 85,75 = 96,96; 6) Г/ Решите уравнение: 1)д: + 8,8 = 9,9; 3) 2) д: +45,3 = 87,7; 4) 156,03. Уменьшаемое равно 125,6, а разность — 6,8. Найдите ' вычитаемое. AV349 Уменьшаемое равно 45,1546, а вычитаемое — 2,0156. Найдите разность. i.'iSO От куска шёлка длиной'29,8 м отрезали 5,45 м. Сколько метров шёлка осталось? : Рост Андрея равен 1,56 м. Антон'выше Андрея на 0,06 м, ^ в Лена ниже Антона на 0,25 см. Какой рост Антона и Лены? *■ ^2 Сумма трёх дробей равна 125,56, две из этих дробей равны 15,6 и 25,33. Найдите неизвестную дробь. i . Найдите периметр треугольника, если одна его сторона равна 25,3 см, вторая — на 1,5 см длиннее первой, а третья — на 1,2 см короче второй. I 1 Один тракторист вспахал 28,7 га земли, что оказалось ■ на 5,38 га меньше, чем вспахал второй тракторист. Сколько гектаров земли вспахали оба тракториста вместе? ‘ ' Найдите сумму: 1) 5,19 + 7,81 +3,58; 2) 0,38+12,63 + 9,64; 3) 15,109+ 17,081 + 23,508; ^ ') . С Найдите сумму: ” 1)8,91 +3,92 + 36,02; 2)45,37 + 22,45 + 85,09; __ Вычислите: ' 1)15,19-10,11-4,56; 2) 180,3- 152,6- 19,4; 3) 105,129- 100,081 -2,408; ^11 Вычислите: _ 1)158,97 2)405,45 113,55- 10,03; 202,65- 15,08; 4) 100,308+120,603+119,609; 5) 105,09+1147,001+2,879; 6) 10,348+125,3+1019,789. 3) 800,901 + 303,092 + 360,007; 4) 405,303 + 220,045 + 805,102. 4) 705,308 - 520,723 - 100,585; 5) 2569,9-25,1056-2112,7944; 6) 510,3- 1,253-101,047. 3) 1256,803-1021,032-235,771; 4) 5255,336-2365,077-2125,119. 274 Глава 7j ■ 2i9 Вычислите; 1) 2,31 + 17,65-8,69; 2) 0,387 + (12,613-9,142): 3) 7,891 +3,9-(16,01.-2,109); ',+1' Вычислите: 1) 12,51 -(19,85-8,79); 2) 0,974+ (20,258-7,232): 1I. Решите уравнение: 1) (д: + 5,5)-7,9=1'2,35; 2) (x- 13,78)+ 27,6 = 105,56; 3) 15,45+ (х-96,37) = 102,3; v c / Решите уравнение: 1) (л:+ 3,8)-5,4 = 72,85; 2) (X - 23,58) + 37,6 = 150,78; 4) 14,537-(2,145 +5,392): 5) 15,302 + 7,879- 1,321; 6) 28,243 + 27,17-2,713. 3) 3,789 + 7,8 + 23,02 - 4,109; 4) 19,807-(4,165+ 7,602). 4) 150,705-(д:+10,09)= 100,305;! 5) (д;-105,01)-0,99 =199; ■6) (д: - 50,47) - 107,3 = 58,63. 3) 10,36 +(х-56,051) =120,309*1 4) 35,56-(х+12,07) = 18,49. Как.изменится сумма, если: 1) одно слагаемое увеличить на 7,2, а второе — на 3,15; 2) одно слагаемое увеличить на 17,02, а второе — уменьшить] на 3,05? Как изменится разность, если; 1) уменьшаемое увеличить на 13,7, а вычитаемое увеличить] на 4,5; 2) уменьшаемое уменьшить на 2,45, а вычитаемое уменЬ'> шить на 10,07? 1:'; На сколько суммэ чисел 1.02,3 и 15,06 меньше числа] 155,78 и больше числа 13,258? . г ’з На сколько сумма чисел 145,258 и 12,362 больше разно-^ сти чисел 125,6 и 13,56 и меньше числа 987,62? Верёвку разрезали на пять кусков. Первый кусок больше второго на 4,2 м, но меньше третьего на 2,3 м. Четвёртый] кусок больше пятого на 3,7 м, но меньше третьего на 1,3 м.] Какова длина верёвки, если длина четвёртого куска 7,8 м? Найдите периметр треугольника АВС, если АВ = 2,8 см,] а ВС — больше АВ на 0,8 см, но меньше АС на 1,11см. / Груз, поднимаемый вертолётом, легче вертолёта н^ 5,89 т. Какова масса вертолёта вместе с грузом, если масса] груза 2,324 т? Трубу длиной 12,35 м разрезали на две части. Длина] одной части равна 3,78 м. На сколько метров вторая часть] длиннее первой? «ЬСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯЯАДШЖз 275 Воздушный шар состоип" из оболочки, гондолы для пассажиров и газовой горелки для нагрева воздуха внутри оболочки. Масса гондолы 0,23 т и она меньше'массы оболочки на'0,33 т, но'больше массы газовой горелки на 0,16 т. Какова масса воздушного шара? Найдите разность выражения а - с и числар, если: 1) а = 102,35, с = 25,65 - 2,3, jD = 10,3 - 2,6; 2) а = 100,305 - 56,25, с = 20,05 + 3,003, р = 4,506. ' 7-= Замените * знаками «+» или «-» так, чтобы получить верное равенство: 1)3,78* 12,921 * 11,01=5,691:2)7,17*5,92* 12,008=13,258. Поставьте вместо звёздочек цифры так, чтобы действия были вышолнены верно. i; *,8*4 14.72* *0,*84 2) 17,*4 ** 5,23 Поставьте вместо звёздочек цифры так, чтобы действия были выгаолненЫ|Верно. 2) _9*,7*5 *4.*6* 1) +72, 0 1*.59 *2,69 34,841 Задумайте произвольное число, умножьте его на 2 и к произведению прибавьте число 15.Лолученную сумму разделите на 2 и от частного отнимите задуманное число. В результате получится 7,5. Составьте формулу для вычисления результата. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1277. Составьте и решите задачу на: 1) сложение десятичных дробей; 2) вычитание десятичных дробей. 1278. Оля помогала маме в выпечке хлеба. По рецепту кроме воды в хлебошечку нужно положить 600 г муки, 20 г сливочного масла, 25 г сухого молока, 7 г соли, 20 г сахара, 7 г сухих дрожжей. Сколько граммов продуктов Оля должна была потратить на приготовление хлеба? Ответ запишите в килограммах. 1279. Начертите в тетради треугольник, измерьте его стороны в сантиметрах и найдите его периметр в метрах. 276' Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1280. Сравните дроби: 1)0,03 и 0,09; 2) 204,05 и 205,05; 1281. Решите уравнение: Глава 9 9 9 4 X 7 2) 7—- —-3— 15 15 15 3)42,03 и 40,3. 3) 19 19 19 1282. На экскурсию в Канев собрались12 учеников, что составля 3 ет — количества учеников класса. Сколько учеников в классе? 1283. Ульяна задумала число, которое сначала увеличила Hi 2—, а затем — еще на 1—. В результате получила 13 13 8—. Какое число задумала Ульяна? 13 31. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Вы знаете, что действием умножения натуральных чисел можно заменить сложение равных слагаемых О десятичных дробях такого сказать нельзя, посколь ку слагаемых не может быть дробное количество. А вот если слагаемые являются равными дробями, тогда их сложение можно заменить умножением, а именно — умножением дроби на натуральное число. Для пикника купили 3 упаковки зефира по 0,5 кг. Сколько килограммов зефира приобрели для пикника? Чтобы найти искомое количество зефира, нуж но вычислить сумму: 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5 (кг). Итак, для пик ника приобрели 1,5 кг зефира. 1> Решая задачу, мы искали сумму трёх равных ела гаемых. Поэтому действие сложения можно заменить действием умножения: 0,5 • 3. Получается, что это про изведение равно 1,5, т.е. 0,5 • 3 = 1,5. Действительно ' Д1СЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ 2771 (1,5 кг = 500 г. Тогда в граммах получим; 500 ■ 3 = 1500 (г), а в килограммах это составляет 1,5 кг. На практике часто возникает потребность найти произведение двух дробных чисел. Рассмотрим пример. А Экран электронной книги имеет форму прямо- ] угольника с размерами 8,7 см и 15,5 см. Найдите площадь 1 экрана. if Р Чтобы найти площадь экрана, нужно найти площадь прямоугольника со сторонами 8,7 см и 15,5 см; 5 = 8,7- 15,5 (см2). 1 Переведём ширину и длину этого прямоугольника в милли-I метры: 8,7 см = 87 мм, а 15,5 см = 155 мм. Тогда S = 87 • 155 = I ■ 13 485 (мм2). Поскольку 1 см2= 100 мм2, jq -| ^^2= __ см2. Итак, 13 485 мм2 = 13^ 134— см2= 134,85 см2. ! 100 100 V Можно ли найти массу зефира, площадь экрана без переведения величин в меньптие единицы? Да. Обратите внимание, что для получения результата в Ойдаче 1 можно умножить натуральные числа 5 и 3, получить число 15 и в нём отделить запятой справа 1 десятичный знак. В задаче 2 можно перемножить 87 и 155, получить 13 485, а затем получить число 134,85, отделив запятой справа 2 десятичных знака. Именно столько цифр стоит после запятой в обоих множителях вместе. Можем сформулировать правило умножения десятичных дробей. Запомните! Правило умножения десятичных дробей. Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, нужно: 1) перемножить десятичные дроби как натуральные числа, не обращая внимания на запятые; 2) в произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в первом и втором множителях вместе. 278 Глава 7 Если в записи десятичных дробей много цифр, то удобнее умножать их «столбиком». Первым, как правило, записывают число с большим количеством цифр, Второе число размещают под первым так, чтобы его по следняя цифра стояла под последней цифрой первого множителя. Например: /; J2.34 56 4 6. У и шптп ? Может ли в произведении быть меньше цифр, чем нужно отделить запятой? Да. Тогда впереди дописыва ют нужное количество нулей и ставят запятую согласно правилу умножения, как в примере 3. Особыми являются случаи умножения десятично4 дроби на 10, 100, 1000 и на 0,1, 0,01, 0,001. Для этого пользуются следующими правилами. Запомните! Чтобы умножить десятичную дробь: 1) на 10, 100, 1000,..., нужно в данной дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей записано после 1 в числе, на которое умножаем; 2) на 0,1, 0,01, 0,001,..., нужно в данной дроби перенести запятую влево на столько цифр, сколько цифр стоит после запятой в числе, на которое умножаем. ЛГаСЯТИЧНЫЕ дроби и действия над ними Например: 128.543 • 10 = 1285,43; 128,543 • 0,1 = 12,8543; 128.543 ■ 100= 12 854,3; 128,543 • 0,01 = 1,28543; 128.543 • 1000 = 128 543; 128,543 • 0,001 = 0,128543. Можно ли найти десятичную дробь от числа? Да. В школьной столовой испекли 200 булочек. Пятиклассники съели 0,15 этого количества булочек. Сколько булочек съели пятиклассники? Составим краткую запись задачи. Испекли: 200 — 1 Съели; ? — 0,15 Пусть пятиклассники съели х булочек. Тогда д:: 0,15 = 200 : 1. Отсюда д: = 200 • 0,15 и д: = 30 (шт). Итак, пятиклассники съели 30 булочек. Ф) Обратите внимание: Чтобы найти десятичную дробь от числа, нужно данное число умножить на эту десятичную дробь. Узнайте больше Гйпатия — дочь известного греческого учёного Теона. Она родилась и жила в Александрии в 370-415 гг. Гипатия была первой женщиной-мате-матиком, философом, астрономом и врачом. В 400 г. её пригласили читать лекции в Александрийскую школу. Она была настолько всесторонне образованной, что с её мнением считались все учёные того времени. Гипатия написала комментарии к работам Диофанта и Аполлония. К сожалению, научные труды Гипатии не сохранились. Однако благодарное человечество достойно оценило её вклад в развитие науки. Имя Гипатии нанесено на карту Луны и в её честь назван астероид (238) Гипатия, который был открыт в 1884 г. ‘280 Глава 7, 1 ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей. 2. Что необходимо сделать, если в произведении получили меньшее количество цифр, чем нужно отделить запятой? 3. Как умножить дробь на 10? На 100? На 1000? 4 Как умножить дробь на 0,1? На 0,01? На 0,001? 5. Как найти десятичную дробь от числа? Е РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J Сколько знаков после запятой будет в произведении: 1) 2,12-2,3; 4)125,2589-1,258; 2) 14,3-2,156; 5) 12,0145-2154,2; 3) 125,2-1,2; 6)154,1256-2,3256? Известно, что 25 - 13 = 325. Где нужно поставить запятую! в произведении, чтобы умножение было выполнено верно: .J 1)2,5-13 = 325; 2)0,25-13 = 325? В какую сторону нужно перенести запятую, если деся-; тичную дробь умножают на: 1)10; 2)100; 3)1000; 4)10 000? На сколько знаков вправо нужно перенести запятую, если десятичную дробь умножают на: 1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) 10 000? В какую сторону нужно перенести запятую в произведении, если десятичную дробь умножают на: 1) 0,1; 2) 0,01; 3) 0,001; 4) 0,00001? На околько знаков влево нужно перенести запятую в произведении, если десятичную дробь умножают на: 1) о, 1; 2) 0,01; 3) 0,001; 4) 0,00001 ? - Вычислите устно: 1)6- 0,6; 2) 5 0,3; 3) 7 - 0,4; 4) 12 - 0,2. Увеличьте десятичную дробь вдвое: 1)0,6; 2)1,2; 3)1,6; 4)10,52; 5)0,08; 6)12,25. * Вычислите с помощью умножения: 1) 4,78 + 4,78 + 4,78 + 4,78 + 4,78; 2) 28,03 + 28,03 + 28,03 + 28,03 + 28,03 + 28,03. Найдите произведение: 1) 8,9-6; 4)10,45 -42; 7) 9,3 - 8; 2) 3,75-12; 5)137,64-35; 8)5,65-23; 3) 0,075-24; 6)25,85-98; 9)0,065-36; ДИСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НМШЙЙ1С^ 12) 12,385 ■ 56; 13) 154,365 ■ 23; 281 14) 135,618 • 55; 15) 652,385-45. 9) 120,35-2; 10) 105,32-56; 11) 104,305- 16; 12) 130,608 - 505. 10) 12,35-42; 11) 125,68 - 45; .14 Найдите произведение: 1) 7,3-8; 5)256,67 -65; 2) 4,35-16; 6)28,95-89; 3) 0,036 -68; 7) 7,3-9; 4) 15,25-56; 8)25,46-25; Известно, что 354 - 29 = 10 266. Поставьте в правой части равенства запятую так, чтобы умножение нено верно: ^ 1) 3,54 - 29 = 10 266; 3) 3,54 - 2) 35,4 - 2,9 = 10 266; 4) 3,54 - 2,9 - Ю 266. Проверьте, верно ли Ваня выполнил 1) 38,557 ^ 40,5 + 192 785 1542 28 173,5065 2) 1402,5 12.5 3) 6,5419 ^ 2.8 7012 5 + 28050 14025 175312,5 4) 23,25-7,3; 5) 2,56 ■ 5,4; 6) 32,96 - 7,9; 3) 25,15-4,8 4) 20,53-4,8 < Вычислите: 1) 6,3-8,5; 2) 4,15-1,6; 3) 1,025 - 6,8; ( Вычислите: 1) 2,8-3,5; 2) 5,25-4,7; 129' Найдите произведение чисел 1) 0,3-7,5; 4)0,04 -11,6 2) 0,8-2,5; 5)0,05 -12,5 3) 1,7-0,2; 6)0,08 -24,5 У ЮО Найдите произведение чисел 1) 0,8-2,5; 3)0,06 -36,3 2) 0,7-2,4; 4)0,04-102,3; J лО Верно ли выполне но умножение^ 1) 25,5 -10 = 255; 2) 256,258 - 100 = 25 625,8; 3) 0,125 • 1000= 125; 1.11 Вычислите устно: 1) 1.6- 10; 2)2.25 - 10; ^ 52335 2 130838 18,31732 7) 10,36 - 85,2; 8) 122,361 -4,7; 9) 302,16-2,915. 5) 23,78 - 98,3; 6) 255,789 - 6,8. 7) 0,056 8) 0,087 9) 0,096 5) 0,045 6) 0,706 0,3; 125,43; 0,9. -0.6; • 105,03. I г ■ • 4) 125,25 • 1 СО = 1,2525; 5) 12,135 ■ 1000 = 0,12165; 6) 125,5 - 10= 12,55? 3) 2,45- 100; 4) 135,258 - 100. 282' Глав* 7 Верно ли выполнено умножение: 1) 25,5 ■ 0,1 - 2,55; 4) 1235,25 • 0,001 = 1,23525 2) 256,258 • 0,01 =2,56258; 5) 12,135 • 0,01 = 0,12165; 3) 21,25 ■ 0,1 =212,5; 6) 125,5 • 0,01 = 1,255? Вычислите устно; 1) 12,6 • 0,1; 2) 12,45 • 0,01; 3) 1252,45 • 0,001; 4) 132,58 ■ 0,01 Поданным таблицы 41 найдите значения выражений. Таблица 4 а 0,04 0,12 4,25 5,02 10,1 100,02 142,02 1000а , j 0,001а По данным таблицы 42 найдите значения выражений. Таблица 42\ а 0,03 0,6 2,43 4,07 10,005 100,001 125,оЛ 100“ _ -И\ 0,001а На сколько нужно умножить число: 1) 2,58, чтобы получить 258; 2) 0,008, чтобы получить 8; 3) 120,03, чтобы получить 1200,3? На сколько нужно умножить число: 1) 25,8, чтобы получить 2,58; 2) 5089, чтобы получить 50,89; 3) 1200,3, чтобы получить 1,2003? Решите уравнение: 1) x:5=15,8; 2) л:: 8= 120,83; 3) х: 125=1025,803; Решите уравнение: 1) л:: 3 = 25,7; 2) д:: 3 = 125,59; 4) х: 1,2=12,58; 5) х: 10,23= 102,508; 6) х: 1,03= 1,0258. 3) х: 11,3= 102,508; 4) jc: 1,33= 1,008. Найдите периметр восьмиугольника, если каждая его сторона имеет длину 4,65 см. Каждый ящик с грушами имеет массу 32,15 кг. Найдите массу 123 таких ящиков. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 19,4 дм и 8,22 дм. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ) 283 ) Длина пола комнаты составляет 12,23 м, а его ширина -7,02 м. Чему равна площадь пола? ) ' Из 1 кг свежей малины выходит 0,17 кг сушёной. Сколько сушёной малины выйдет из 10 кг свежей? I' Скорость поезда 83 км/ч. Какое расстояние проедет поезд за: 1) 10 ч; 2) 0,1 ч; 3) 2,8 ч; 4) 3,5 ч; 5) 0,7 ч? Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 12,3 м, а вторая часть — в 3 раза больше.‘Найдите начальную длину всей верёвки. J Найдите: 4) 0,8 от 80; 5) 0,25 от 45; 6) 0,53 от 200; 1) 0,2 от 350; 2) 0,5 от 160; 3) 0,7 от 70; Найдите: 1) 0,3 от 50; 2) 0,4 от 60; 7) 0,37 от 37; 8) 0,18от810; 9) о, 15 от 600. 5) 0,41 от 300; 6) 0,22 от 8. 3) 0,5 от 400; 4) 0,9 от 300; ! Виталик планировал выполнить домашнее задание за 45 мин, а затратил лишь 0,8 этого времени. За сколько минут выполнил домашнее задание Виталик? ' '' Даше нужно было посыпать песком дорожку длиной 6 м. До того, как пошёл дождь, она успела посыпать только 0,65 дорожки. Сколько метров дорожки она посыпала песком? > 3 Найдите произведение чисел: 1) 0,125 и 12,5; 3) 874,25 и 1,254; 2) 12,1254 и 25,4; 4) 1254,258 и 85,602; Какое произведение наименьшее? ' Выполните умножение: 1) 10,25-2,5201; 3)3086,5-2,01; 2) 7,6-349,25; 4)45,25-260,012; Какое произведение наибольшее? 'I Вычислите произведения и полученные значения расположите в порядке возрастания: 78,3 -0,3; 12,58- 1,25; 125,487 - 0,02; 0,3 - 0,2; 1256,58 -0,4. 13 Вычислите произведения и полученные значения расположите в порядке убывания: 125,6 -0,9; 1,45- 1,35; 12,48 - 0,02; 0,4 - 0,6; 98 714,25 - 0,03. ' Запишите в виде произведения и вычислите: 1)1,22; 2)1,42; 3)0,242; 4)0,152. 5) 28,4 и 2045,31; 6) 5,2801 и 4,019. 5) 80,13-7,02; 6) 814,6 - 2,018. 284‘ Глава?] Вычислите значение выражения: , 1) (4,8+ 3,5)' 15; 4) (256,456-12,05) • 26; 2) (15,8+ 2,7)-56; 5) (105,803-95,07) ■ 103; 3) (14,85+ 133,56) ■ 36; 6) (1140,05 - 13,06) • 58. ' Вычислите значение выражения: 1) (40,18+13,5)- 1,5; 3) (1,485+130,56) ■ 3,16; 2) (105,38 + 12,7) • 5,66; 4) (22,564- 12,05) • 2.6. Какие числа нужно поставить вместо звёздочек, чтобй| получить верное решение следующих примеров? 1)^9,*48 2)^25,3* ^ 4*.2 *8096 7*9 + 45240 "^2** *619* 26,*590 4089,696 Найдите значение выражения: 1) 2,58а + 0,5Ь, если а = 12,56, Ь = 0,02; 2) 122,08а + 12,56, если а = 1,06, Ь = 0,2. Вычислите; 1) 101,1 ■ (0,37+ 1,53)-(134,6-92,7) • 0,031; 2) 300,2-10,01 • (42,9-39,8) • 8,9. Вычислите: 1) 202,3 ■ (0,56+ 3,46)-(125,8- 12,35) 0,055; 2) 500,7- 100,02 • (44,89-25,7) • 12,06. Найдите значение выражения: 1) 0,3 ■ (24,3- 18,8)+ 0,5 • 17,4- 9,8+ 1,4) ■ 0,1; 2) 0,5 • (13,4+ 15,4)-0,4-13,1 -(18,6- 13,2) ■ 0,5; 3) 0,8 ■ (19,4 + 23,8)- 14,06 + 0.3 (19,01 - 13,31). Найдите значение выражения: 1) 0,5 ■ (258,3- 180,5)+ 0,05 • 7,41 - (10,8 + 2,4) • 0,1; 2) 0.6 - (130,4- 105,4)-0,4-100-(108,63- 103,92)-0,9. Решите уравнение: 1) (jc + 4,8): 8 + 12,5 = 25,9; 3) (х+13,9): 12,5-14,256 = 250,9;] 2) {x-^4,9) : 9 + 1,25 = 36,7; 4)(х-103,95):48,05 + 0,012 = 3,009. Решите уравнение: 1) (х + 7,9) : 48-0,02= 15,7; 2) (x-56,3) :7-25,015 = 306,3. Найдите площадь и периметр приусадебного участка,] имеющего прямоугольную форму, если его длина и шири- ■Д1СЯТИЧНЫЕДР0БИИ, 285 I на соответственно равны: 1) 12,17 м и 5,65 м; 2) 10,07 м и 3,03 м; 3) 0,7 м и 0,3 м; 4) 9,3 м и 0,6 м. |3 -i8 Из одного порта в другой одновременно вышли пароход I и катер. Скорость парохода равна 27,8 км / ч, а скорость ка-I тера — 31,3 км / ч. Какое расстояние будет между ними че-I рез 3,6 ч после начала движения? 1110'* ' Из одного города в противоположных направлениях отправились одновременно два автомобиля. Скорость одного из них равна 83,5 км / ч, что на 7,8 км/ч больше скорости второго. Какое расстояние будет между ними через 4,5 ч после начала движения? На сколько плогцадь прямоугольника со сторонами 13,54 см и 9,02 см отличается от плоидади квадрата со стороной 5,76 см? 11341 Найдите периметр и площадь квадрата со стороной 12,75 см. 13‘Ь Из какого числа нужно вычесть 3,2, чтобы получить число, в 4 раза большее, чем 6,8? 134:- к какому числу нужно прибавить 4,2, чтобы получить число, в 3 раза большее, чем 9,7? |'1344 В школу завезли 600 новых учебников. 0,4 этого количества составляют учебники по математике, 0,35 — учебники по истории, а остальные — учебники по английскому языку. Сколько учебников по английскому языку привезли в школу? . . За три дня туристы преодолели расстояние 360 км. В пер- вый день туристы проехали 0,25 всего пути, а во второй — 0,4 всего пути. Какое расстояние проехали туристы в третий день? IС546 Какова градусная мера угла, если одна его часть состав-■ ляет 0,25 развёрнутого угла, а вторая — 0,1 прямого угла? К;. Какой угол больше; составляющий 0,4 развёрнутого угла или составляющий 0,5 угла 150°? 11340 Известно, что а < 1, Ь < 1. Какое из утверждений верное: 1)аЬ>1; 2)аЬ< 1; 3)a■b=^7 I Т§49‘ Известно, что а > 1,6 > 1. Какое из утверждений верное: 1)аЬ>1; 2)a■b<^■, 3)аЬ=1? if3S0' Где нужно поставить скобки, чтобы получить верное равенство: 35 - 1,5 ■ 104 - 1428 ; 14 = 32? 135 1 Вычислите удобным способом: 1) (20-19,5) + (19 - 18,5)+ ...+(2-1,5)+ (1 -0,5); 2) 30,2-29,2 + 28,2-27,2+ ... +4,2-3,2+ 2,2- 1,2. Щ ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1352. В начале года для класса закупили 28 ручек по 2,25 и 32 карандаша по 1,35 грн. Сколько денег потратили на купку? 1353. Составьте задачу, для решения которой нужно умножИ^** сумму чисел 12,5 и 11 на число 2,5, 8 9 Щ ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 22 17 1354. Вычислите: 1) 3- — ; 2)5----; 3)12- 55 35 1355. Решите уравнение: 1) (л: - 203,002) - 0,07 = 187,036; 2) (д:-32,33)+ 198,005-897,03. 1356. Как изменится объём прямоугольного пapaллeлeпипeд^P^ если одно его ребро увеличить в 8 раз, второе — уменьши^^* в 4 раза, а третье — увеличить в 6 раз? 1357. Сколькими способами можно расставить на полке четк^'" ре разных журнала? Г § 32. ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Л Вы знаете, что действие деления является обратны'^* действию умножения. Это касается не только натурал!*' ных чисел, но и дробей. Рассмотрим задачи, обратны® решённым н предыдущем параграфе. Для пикника купили 3 упаковки зефира o^J щей массой 1,5 кг. Сколько килограммов зефира в одно*^ упаковке? Чтобы найти искомое количество зефи' ра, нужно вычислить частное: 1,5 : 3. Переведём 1,5 кг® граммы. Тогда получим: 1500: 3 = 500 (г), а в килограм' мах это составляет 0,5 кг. Итак, упаковка содержит 0,5 зефира. В этой задаче, как и в задаче на умножение, можн^ выполнять деление дроби 1,5 на число 3 как натураль' ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ, И ДЕЙСТВИЯ НАД НИШ 287 ных чисел 15 и 3. Но место запятой в частном будет определяться по-другому. Её нужно поставить тогда, когда заканчивается деление целой части делимого. В числе 1,5 целая часть равна 1. Она не делится нацело на 3, поэтому в целой части нужно поставить О целых, за ним запятую и далее результат деления чисел 15 и 3. Итак, 1,5 : 3 = 0,5. Самостоятельно проверьте умножением, верно ли мы выполнили деление. ? Можно ли разделить десятичную дробь на десятичную дробь? Да. Деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число. Для этого нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. ^ Экран электронной книги имеет форму прямо- ^ угольника длиной 15,5 дм и площадью 134,85 дм^ Найдите ширину экрана. Искомую ширину экрана найдём, разделив площадь прямоугольника на его длину: 134,85 : 15,5. Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим на 10 делимое и делитель. А для этого достаточно в каждом из них перенести запятую на один знак вправо. При этом деление данных дробей свелось к делению дроби на натуральное число: 1348,5 : 155. Выполним такое деление углом. f 34,8S- iS.S=f34 8,S^ iSS JM. Итак, ширина экрана равна 8,7 дм. Можем сформулировать правило деления десятичных дробей. 2881 ГламЗ Запомните! Правило деления десятичных дробей. Чтобы найти частное двух десятичных дробей, нужно!] 1) перейти к делению десятичной дроби на натуралв^ ное число, для чего перенести запятые в делимо! и делителе на столько знаков вправо, сколько их ■] делителе после запятой; 2) разделить полученную десятичную дробь на нату>] ральне число. ? Может ли делимое быть меньше делителя? Да? Например, 0,4 : 5 = 0,08. ^ Особыми являются случаи деления десятичной дро» i би на 10, 100, 1000 и на 0,1, 0,01, 0,001. Для этого ноль*' зуются такими правилами. Запомните! Чтобы разделить десятичную дробь: 1) на 10, 100, 1000,..., нужно в данной дроби перенести'запятую влево на столько цифр, сколько нулей записано после 1 в числе, на которое делим; 2) на0,1,0,01,0,001..нужное данной дроби перене- сти-запятую вправо на столько цифр, сколько цифр стоит после запятой в числе, на которое делим. Например: 128.543 : 10 = 12,8543; 128,543 : 0,1 = 1285,43; 128.543 : 100= 1,28543; 128,543 ; 0,01 = 12 854,3; 128.543 : 1000 = 0,128543; 128,543 : 0,001 = 128 543. Можно ли найти число по его десятичной дроби? Да. О Пятиклассники съели 30 булочек. Это — 0,15 всего их количества. Сколько булочек испекли в школьной столовой? Составим краткую запись данных задачи. Испекли: ? — 1 Съели: 30 — 0,15 Пусть испекли х булочек. Тогда х : 1 = 30 : 0,15. Отсюда х = 30 : 0,15 и X = 200 (шт.). Итак, в школьной столовой испекли 200 булочек. к ЛИИЧНЫЕ ДРОБИ и ДЕЙСТВИЯ НАД НИШ :^289 Обратите внимание: | чтобы найти число по его десятичной дроби, i нужно число, соответствующее данной дроби, разделить на эту десятичную дробь. Узнайте больше Софья Васильевна Ковалевская (1850-1891 гг.) — выдающийся ма-1вматик. С детства у девушки про-ннились такие черты характера, как сосредоточенность, настойчивость и достижении цели и полная самостоятельность. Читать Соня научилась сама. Сначала арифметику Соня не любила, но потом увлеклась ею: она решала задачи с помощью различных комбинаций чисел, проявляя в этом незаурядную смекалку. Изучение геометрии также шло успешно. Когда Соне исполнилось 11 лет, преподавателем математики к ней пригласили лейтенанта флота А. Н. Страннолюбского. Уже на первых занятиях его удивило го, что девушка так быстро усваивала первые понятия высшей математики — понятие предела, производной и т.д., «как будто она их раньше знала». Соня объяснила: «В ту минуту, когда вы объясняли мне эти понятия, мне вдруг вспомнилось, что всё это было написано в лекциях Остроградского, которыми была оклеена наша комната, и само понятие предела показалось мне давно известным». \/ ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Сформулируйте правило деления десятичных дробей. 2 Всегда ли делимое больше делителя? 3 Как разделить десятичные дроби, если делимое меньше делителя? 4 Как разделить десятичную дробь на 10? На 100? На 1000? 5 Как разделить десятичную дробь на 0,1? На 0,01? На 0,001? 6 Как найти число по его десятичной дроби? 290 Глава I ^ РЕШИТЕ ЗАДАЧИ J Верно ли выполнено действие деления: 1) 10,5 ; 5 = 2,1 2) 9,6 : 3 = 32; 3) 12,8 : 2 = 6,4; 4) 12,6 : 3 = 0,42? Как перейти от деления двух дробей к делению дроби на] натуральное число; 1) 1,05 : 0,5; 2)0,96:0,3; 3)0,126:0,06?] Г В какую сторону нужно перенести запятую, если деся-] тичную дробь делят на: 1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) 10 000? На сколько знаков влево нужно перенести запятую при де- ] лении десятичной дроби на; 1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) 10 000? В какую сторону нужно перенести запятую, если десятичную дробь делят на; 1) 0,1; 2) 0,01; 3) 0,001; 4) 0,00001? На сколько знаков вправо нужно перенести запятую при делении десятичной дроби на: 1) 0,1; 2) 0,01; 3) 0,001; 4)0,00001? Вычислите устно: 1)24,3:3; 2)12,4:4; 3)10,2:2; 4) 6,8 : 2. ' J Уменьшите десятичную дробь вдвое: 1)12,6; 2)2,2; 3)4,6; 4)10,8; 5)0,2; 6)22,44. - Проверьте, верно ли Серёжа выполнил деление: _144,24 12 24 024 ~024 о Вычислите: 1) 1,75 : 1,4 2) 3,76 : 0,4 3) 2,59:3,7 4) 2,496 : 0,24; 5) 7,38:4,5; Вычислите: 1) 29,88:8,3; 2) 60 : 1,25; 3) 8,4 : 0,07; 12 _144,24 12,02 "12 24 J024 "024 о 6) 22,5: 12,5; 7) 7,56:0,6; 8) 6,944: 3,2; 9) 14,976:0,72; 10)0,161 : 0,7; 4) 9,246:0,23; 5) 0,00261 : 0,03; 6) 131,67 : 5,7; 12 12,2 11) 0,0456 : 3,8; 12) 168,392 : 5,6; 13) 0,468:0,09; 14) 0,182 : 1,3; 15) 24,576 : 4,8. 7) 16,51 :1,27; 8) 0,824:0,8; 9) 189,54: 0,78. 5ЯТИЧНЫЕ ДРОБИ и ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 291 Найдите частное от деления числа а на число Ь, если: 1) а = 15.2; Ь = 1,9; 4) а = 0,2623; Ь = 0,0061; 2) а= 1,76; Ь = 0,11; 5) а = 0,0168; 6 = 0,0012; 3) а = 1.17;6 = 0,09; 6) а = 68,4; 6 = 5,7, ; Верно ли выполнено деление: 1)25,5:10 = 2,55; 4)25,5:10 = 255; ^)256,152 : 100 = 2,56152; 5)256,152 : 100 = 25615,2; ;)) 1546,154 : 1000= 1,546154; 6) 1546,154 : 1000= 1 546 154? 1 Вычислите устно: 1)11,6:10; 2)152,45:100; 3)1035,258:1000. j Верно ли выполнено деление: 1) 126,5:0,1 = 12,65; 4)12,3525:0,001 = 12352,5; 2) 458,125:0,01 =4,58125; 5) 121,35:0,01 = 1213,5; 3) 1256,25:0,1 = 12 562,5; 6) 125,5:0,01 = 1,255? Вычислите устно: 1)12,6:0,1; 2)12,45:0,01; 3)12,522:0,001. i По данным таблицы 43 найдите значения выражений. Таблица 43 а 15,21 2,36 456,25 0,26 10,65 15,36 154,45 а: 10 ' а : 0,1 , По данным таблицы 44 найдите значения выражений. Таблица 44 а 325,258 25,215 2,403 0,07 12,006 302,027 а: 100 I I а : 0,01 На сколько нужно разделить число: 1) 324,25, чтобы получить 32,425; 2) 8561,12, чтобы получить 8,56112; 3) 120,03, чтобы получить 1,2003? , На сколько нужно разделить число: 1) 205,83, чтобы получить 20 583; 2) 12,265, чтобы получить 122,65; 3) 12,6923, чтобы получить 12 692,3? 19* 292 h Глав!'] Решите уравнение: 1) 5-х = 2,45; 3)3 2) 8х=16,8: 4)6 Решите уравнение: 1)5х-10,5; 2)2 х = 0,03; X = 60,60; 5) 12 -д:-360,3в;| 6) 11 л: = 121,1 I. 3)6 -x= 12,66. л: = 20,12; Алёша проехал поездом 162,5 км за 2,6 ч. С какой око?, ростью шёл поезд? ] | Шаг человека равен 0,8 м. Сколько шагов сделает чело-| век, пройдя 200 м? 2,5 кг конфет стоит 65 грн. Сколько стоит 3,5 кг таких кoнфeт7^, Во сколько раз Карлсон тяжелее Малыша, если его маС1 са составляет 64,8 кг, а масса Малыша — 32,4 кг? Найдите число, если: 1) его 0,2 равна 70; 2) его 0,5 равна 80; 3) его 0,7 равна 56; Найдите число, если: 1) его 0,3 равна 15; 2) его 0,4 равна 24; 4) его 0,8 равна 72; 5) его 0,25 равна 450; 6) его 0,53 равна 159. 3) его 0,5 равна 280; 4) его 0,41 равна 123. Виталик выполнил домашнее задание за 36 мин, что составляет 0,8 запланированного времени. За сколько минут Виталик планировал выполнить домашнее задание? До того, как пошёл дождь, Даша успела посыпать песком 3,9 м дорожки, что составляет 0,6 её длины. Какой длины дорожка? Найдите частное чисел: 1) 0,8 и 0,5; 3) 14,335 и 0,61; 2) 3,51 и 2,7; 4) 0,096 и 0,12; Какое частное наибольшее? Выполните деление дробей: 1)0,72:0,06; 2)0,7:0,35; 3)2,8:0,07; Какое частное наименьшее? Вычислите частные и полученные значения разместите в порядке возрастания: 1) 0,84:0,21; 3)3,5:0,04; 5)16,92:4,23; 2) 0,376:0,4; 4)25,9:3,5; 6)48,15:1,15. Вычислите частные и полученные значения разместите в порядке убывания: 1)0,72:0,06; 2)0,7:0,35; 3)2,8:0,07; 4)1,08:0,8. 5) 0,126 и 0,9; 6) 42,105 и 3,5. 4) 1,08 : 0,8. ОЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 293' ' ■ Вычислите значение выражения: 1) 0,308 : 0,14+ 1,08; 4) 19,56 : (3,05+4,95); 2) (3,2 + 4,75) : 1,5; 5)120-72:0,6; 3) 7,224:0,301 - 18,6; 6) 1,512 : (8,62 - 8,2). I 1'.+ Вычислите значение выражения: 1) (21,2544 : 0,9 + 1,02 ■ 3,2): 5,6; 2) 4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792-0,78) -350; 3) (3,91 : 2,3 • 5,4-4,03) • 2,4; 4) 6,93 : (0,028 + 0,36 • 4,2) - 3,5; 5) (130,2-30,8) : 2,8-21,84; 0) 3,712 : (7-3,8)+ 1,3 • (2,74 + 0,66). I I Вычислите значение выражения: 1) (3,4 : 1,7 + 0,57 : 1,9) ■ 4,9 + 0,0825 : 2,75; 2) (4,44 : 3,7 - 0,56 : 2,8) : 0,25 - 0,8; 3) 10,79 : 8,3 ■ 0,7-0,46 ■ 3,15 : 6,9. <1' Решите уравнение: 1) 10х+ 1,5- (2,3-1,7) = 13,45; 2) ЮОх-0,87 • (19,3 + 3,7) = 0. 1 Решите уравнение: 1)4,5 • (10х + 5,5) = 90; 2) 10 : (18- 100х) = 2,5. 1 Кенгуру ниже жирафа в 2 раза, а жираф выше кенгуру на 2,52 м. Какой рост жирафа, а какой — кенгуру? ) За 2,4 ч мальчик прошёл 7,2 км. Сколько километров он пройдет с той же скоростью за1,6 ч? i-. Длина прямоугольника 8,5 см, а ширина меньше его длины на 2,5 см. Во сколько раз уменьшится площадь прямоугольника, если его длину уменьш1тть на 1,7 см, а ширину —на 1,2 см? 140( К футбольным соревнованиям приобрели 4 новых футболки и 3 спортивных костюма. Спортивный костюм в 5 раз дороже футболки. За всю покупку заплатили 925,3 грн. Сколько стоит футболка и сколько спортивный костюм? Г ■ За ручку, блокнот и тетрадь заплатили 42,5 грн, причём блокнот в 3 раза дороже тетради, а ручка — в 2 раза дороже блокнота. Сколько стоит каждый предмет? 1- Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 3,21 м, а длина другой — в 3 раза меньше длины первой части. Какой была длина верёвки? '■ Когда велосипедист проехал 0,6 всего пути, то оказалось, что ему осталось проехать ещё 60 км. Сколько километров планировал проехать велосипедист? 294 Когда Катя прочитала 0,3 книги, то ей осталось прочитаТ1( 140 страниц. Сколько страниц в книге, которую читает Катя? Угол 60° составляет 1,2 второго угла, который составл ет 0,4 третьего угла. Какова градусная мера третьего угла? Какой отрезок длиннее: тот, у которого 0,2 половины: длины составляет 1 м, или тот, у которого 0,5 четверти его длины составляет 1 м? 1 Известно, что 6 кг карамели стоят столько же, сколько 4,7 кг малины. Сколько стоит килограмм малины, если малИ' на дороже карамели на 1,3 грн? За первый час автобус проехал 0,4 всего пути, за вто рой — 0,35 всего пути, а за третий — часть оставшегося путй| Какое расстояние проехал автобус за три часа, если за третий час он проехал на 30 км меньше, чем за первый? Когда турист прошёл 0,3 и еиде 0,4 всего пути, то ока залось, что пройденный им путь был на 6 км больше длины половины всего пути туриста. Найдите длину пути туриста. Решите уравнение: 1) (13,9 + 259,1) ■ 0.85- 10х= 100,1; 2) 3 • (567,1 - 10,01) • 10,01 + 1000л: = 51 670. Найдите закономерность и запишите следующие два числа в этом ряду: 1)0,2; 0,4; 1,2; 4,8;...; 2) 2; 4,5; 9,5; 19,5; 39,5;.... Поставьте вместо звёздочек цифры так, чтобы деление было выполнено верно. 2 ‘9 5 39 М’ у * ★ * ★ ★ ★ 5_8 о [2 ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1413. Площадь приусадебного участка прямоугольной формы равна 64,8 м^, а одна из его сторон —12м. Вычислите длину ограждения приусадебного участка. 1414. После того, как отремонтировали.кухню, мама с папой решили купить новую мебель. Купили стол и 4 стула, за них заплатили 2378 грн. Сколько стоил один стул, если стол стоил 538 грн? о Обратите внимание: у округлённого числа: целая часть должна содержать столько цифр,] сколько их было до округления; в дробной части последним должен остаться раз> ряд, до которого округляли. Можем сформулировать правило округления чисел. Запомните! Правило округления чисел. Чтобы округлить число до некоторого разряда, все ^ цифри, стоящие справа от этого разряда, заменяют нулями. Если первая цифра за этим разрядом 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Если первая цифра за этим разрядом 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. |> 3) десятков. Округлите 25,18 до: 1) десятых; 2) единиц; 1)253>‘25.2 2)2212^25 2)2_SJ8»30 Узнайте больше Знаете ли вы,что; 1) Шарль Перро, автор «Красной Шапочки», написал сказку «Любовь циркуля и линейки»? 2) Л. Н. Толстой, автор романа «Война и мир», написал учебники для начальной школы, в частности учебник по арифметике? 3) Льюис Кэрролл, автор «Алисы в Стране Чудес», преподавал математику в колледже Крайст-Чёрч Оксфордского университета в Великобритании? |Д^{;ИТИЧНЫЕ ДРОБИ и ДЕЙСТВИЯ НАД ними ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 299 Какое действие называют округлением? Что значит округлить число с избытком? Приведите пример. ч Что значит округлить число з недостатком? Приведите пример. 4 Что показывает погрешность? Л Сформулируйте правило округления чисел. Сколько цифр должно быть в целой части округлённого числа? /■ Какой разряд должен оставаться последним в дробной части округлённого числа? I РЕШИТЕ ЗАДАЧИ Воспользовашись линейкой, назовите два натуральных числа, между которыми находится дробь; 1) 1,3; 2) 2,7; 3) 6,2; 4) 8,9. К какому из них ближе указанная дробь? Между какими соседними натуральными числами находится дробь: 1) 2,25; 2) 3,78; 3) 18,45; 4) 9,99? К какому из них ближе указанная дробь? Прочитайте: 1) 3,6 == 4; 2) 5,67 = 5,7; 3) 15,93 ~ 15,9; 4) 12,453 ~ 12,45. До какого разряда округлили число? Прочитайте; 1) 15,7 « 16; 2) 235,3 = 235; 3) 5,9 « 6; 4) 1,3 = 1. Как именно округлили число — с недостатком или с избытком? До какого разряда округлили число: 1) 155,7= 156; 4)155,7512= 155,751; 2) 155,75 = 156,8; 5) 155,75128 = 155,7513; 3) 155,7569 = 155,76; 6) 155,75128 = 160? До какого розряда округлили число: 1)150,7=151; 2)150,05 = 150,1? Округлите дробь до единиц: 1)2,6; 2)2,19; 3)506,444; 4)4056,5444. Округлите дробь до десятков: 1)22,6; 2)142,29; 3)506,555; Округлите дробь до сотен: 1)202,6; 2)102,32; 3)570,666; Округлите дробь до десятых: 1)142,22; 2)2,626; 3)50,5551; 4)4587,6589. 4) 125,6589. 4)0,2156. зоо: Глава t Округлите дробь до сотых: 1)0,362; 2)2,006; 3)0,98762; 4)12,59879^ Длины рек Украины: Днепр — 2,285 тыс. км, Днестр 1,362 тыс. км. Южный Буг — 0,857 тыс. км. Десна -1,126 тыс. км. Округлите эти числа до: 1) десятых; 2) сотых, ' 1 Высоты гор Украины: Говерла — 2061 м, Роман-Кош — 1545 м, Сивуль — 1816 м. Выразите высоты этих гор в киломв' трах и округлите полученные числа до: 1) десятков; 2) сотен. \ 2 Запишите в метрах: 1) 234 см; 2) 456 см; 3) 967 см' 4) 6789 см. Результат округлите до: а) десятых; б) единиц. ' Запишите в тоннах: 1) 1548 кг; 2) 17 895 кг. Результа' округлите до: а) сотых; б) десятых; в) единиц. Найдите ошибку, допуш,енную Таней при округла НИИ чисел: 1) 3,27 = 3,2; 2) 2,99 = 2,9; 3) 12,34 = 12,4^ 4) 0,75 ~ 0,7; 5) 8,18 ~ 8,1. Какое правило забыла Таня? Округлите число 7 894,25486 до: 1) тысяч; 3) десятков; 5) десятых; 7) тысячных; 2) сотен; 4) единиц; 6) сотых; 8) десятитысячных. 2 2 Назовите наибольшую десятичную дробь с двумя цифрами после запятой, меньшую 100. ' Назовите наибольшую десятичную дробь с тремя цифрами после запятой, большую 1000. Трасса лыжных гонок состоит из 4 участков. Длина первого участка 14,358 км, второго — 15,756 км, третьего — 16,954 км, а четвёртого — 10,85 км. Найдите длину всей трассы и полученное значение округлите до 1) десятых; 2) единиц; 3) десятков; 4) сотых. Найдите плогцадь приусадебного участка, имеющего форму прямоугольника со сторонами: 1) 17 м и 36 м; 2) 29 м и 24 м. Выразите эту площадь в арах. Результат округлите до; а) десятых; б) единиц; в) десятков. На сколько разность чисел 50,08 и 4,69 меньше частного чисел 284,56 и 0,4? Ответ округлите до: 1) десятых; 2) десятков. На сколько разность чисел 14,709 и 9,25 меньше их произведения? Ответ округлите до: 1) сотен; 2) сотых. На сколько частное чисел 20,184 и 2,32 меньше произведения чисел 7,08 и 1,9? Ответ округлите до: 1) сотых; 2) десятых; 3) единиц. Д11СЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ‘301 II На сколько произведение чисел 23,76 и 103,46 больше частного чисел 9,135 и 8,7? Ответ округлите до: 1) сотен; 2) десятков; 3) десятых; 4) сотых. 11 Какие цифры можно вставить вместо *, чтобы округление было выполнено верно: 1) 5,9* = 5,9; 3) 15,3* = 12,4; 5) 15,25* = 15,26; 2) 12,*3=12; 4) 15,25* = 15,25; 6)458,12*99 = 458,12? |1 Какие цифры можно вставить вместо *, чтобы округление было выполнено верно: 1) 5,8* = 5,9; 3) 15,3*= 12,3; 5) 15,25* = 15,25; 2) 12,*3=13; 4) 15,25* = 15,26; 6)458,12*99 = 458,13? 1 14i Вычислите: (6,25 ■ 0,2 + 0,8 : 0,64) : 10 + 0,04848 : 0,024. Выполните следующие задания: 1) результат округлите до десятых; 2) округлите каждое число, входящее в данное выражение, до десятых и вычислите значение полученного выражения; 3) сравните полученные результаты. ' Масса полного бидона молока 35 кг. Бидон, заполненный наполовину, имеет массу 17,75 кг. Какова масса бидона? Ответ округлите до единиц. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1448. Старинная мера массы — пуд — равна 16,38 кг. Округлите это значение до: 1) единиц; 2) десятков; 3) десятых. 1449. Старинная мера длины — сажень — равна 2,13 м. Округлите это значение до: 1) единиц; 2) десятых. 1450. Запишите свой рост в сантиметрах, выразите его в метрах и округлите результат до: 1) единиц; 2) десятых. В ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 2) 1,32'42.15. 1451. Вычислите: 1)0,22-3^- 1,25; 1452. Решите уравнение: 1)4 - (2х-3)+ 12 = 96; 2)(х + 3,5) -8-7,2 = 26,4. 1453. На строительство привезли 39 195 т стройматериалов. 1 1 — этого количества составляет известь, — — цемент, а 15 13 остальное — кирпич. Сколько тонн кирпича привезли на строительство? ' 302 . Глава 7 '4 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какая дробь называется десятичной? 2. Как называются разряды десятичной дроби, стоящие от запятой слева? Справа? 3. Как сравнить десятичные дроби с разными целыми ча- ’ стями? С равными целыми частями? 4. Сформулируйте правило сложения десятичных дробей. 5. Сформулируйте правило вычитания десятичных дробей. 6. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей. 7. Как умножить дробь на 10; 100; 1000;...? На 0,1; 0,01; 0,001;...? 8. Как найти десятичную дробь от числа? 9. Сформулируйте правило деления десятичных дробей. 10. Как разделить десятичную дробь на 10; 100; 1000;...? На0,1; 0,01;0,001;...? 11. Как найти число по его десятичной дроби? 12. Сформулируйте правило округления чисел. V Л1 СЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ .-Д^ЗОЗ ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. №1 1 . Выразите в гривнях 269 к. А. 26,9грн. Б. 2,69грн. В.0,269грн. Г. 2,069грн. 2 .Укажите верное числовое неравенство; A. 81,29 >92,37. Б. 0,8 < 0,475. B. 7,385 < 7,395. Г. 0,0069 > 0,0096. 3 . Какое из чисел является корнем уравнения л: + 109,6 = 325,06? А. 215,6. Б. 434,66. В. 215. Г. 215,46. 4. На сколько сумма 236,259 + 1,06 меньше разности 15,78-3,106? А. 224. Б. 224,645. В. 249,993. Г. 2246,45. В*. Найдите разность выражения а - с и числар, если а= 102,35-2,6, с = 25,65-2,8,р= 18,753. А. 95,653. Б. 58,147. В. 52,547. Г. 76,9. №2 1 . Округлите дробь 154,225 до десятых. А. 155,2. Б. 154,2. В. 154,22. Г 154,3. 2' .Длина прямоугольника равна 10,6 м, а ширина составляет 0,8 длины. Найдите ширину прямоугольника. А. 11,4. Б. 9,8. В. 8,48. Г. 13,25. 3 . Вычислите: (53,27 + 3,85) • 2,4. А. 57,12. Б. 137,88. В. 137,088. Г. 1370,88. 4. Какое из чисел является корнем уравнения: 10x + 4,5 • (3,3-2,7) = 3,672? А. 0,972. Б. 0,0972. В. 9,72. Г. 2,7. Б*. В первый час турист проехал 0,3 всего пути, во второй— 0,5 всего пути, а в третий — оставшуюся часть пути. Какое расстояние проехал турист за три часа, если за третий час он проехал 40 км? А, 60 км. Б, 80 км. В. 100 км. Г. 200 км. ПРОЦЕНТЫ. л Л] 8 СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ Вы узнаете: ф что такое процент и как его обозначают; Ф как представлять процент в виде десятичной и обь1Ц новенной дроби; Ф как находить процент от числа; ф. как находить число по его проценту; ф как находить среднее арифметическое чисел и сре/ нее значение величин; ф как применять изученный материал на практике' f%=0.0/=^ / о/, -гиьт^лигь 50% ^0.5 50%-мк- "Т ’/Лшш п/тЛбрАПФ H^iOUEHTbl. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 305 § 34. ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТ. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА ОТ ЧИСЛА Посмотрите на рисунок 226. На нём вы видите плитку шоколада, пачку мороженого, Ш1 которых написано «56 % кикао», «пломбир 100 % ». Вы, манерное, слышали, как читают такие записи взрослые: «56 процентов», «100 процентов». Л что такое процент? Л I пломбир t00%J Рис. 226 Запомните! Процентом называется одна сотая часть. Кратко записывают 1 %. Знак % заменяет слово «процент». 1 1 % 100 -0,01. Какое бы число или величину мы не взяли, его сотая часть — это один процент данного числа или величины. 1 Например, 100 числа 400 (0,01 числа 400) — это чис- ло 4, поэтому 4 — это 1 % числа 400; 1 100 гривни (0,01 гривни) — это 1 копейка, поэтому 1 копейка — это 1 % Г|)ИВНИ. А ^ Пазл сожержит 500 элементов. Сколько эле- ▼ ментов приходится на 1 его процент? р Пусть 500 элементов пазла — это 100 %. Тогда на 1 % приходится в 100 раз меньше его элементов. Отсюда 500 : 100 = 5 (эл.). Итак, 1 % — это 5 элементов пазла. 306 _ Глава1)11 Обратите внимание: чтобы найти 1 % от числа а, нужно это число] I разделить на 100. То есть: 100 % — а 1 % — а : 100 Зная, какое число или величина составляет 1 % , мож» | но находить число или величину, приходящиеся на несколько процентов. ~ Марине надо пришить тесьму, 3 см которой ▼ составляет 1 % от её длины. Марина пришила 50 % тесьмы, • Сколько сантиметров тесьмы она пришила? Поскольку 50 % больше 1 % в 50 раз, то I Марина пришила тесьмы в 50 раз больше, чем 3 см. Отсюда • 3 • 50 = 150 (см). Итак, Марина пришила 150 см тесьмы. «Г Обратите внимание: если число Ь составляет 1 % от некоторого числа, то число, которое приходится на п % , в д раз больше числа Ь. То есть: 1 % — Ь п % — Ьп На практике часто случается так, что обе приведённые задачи надо решать вместе — сначала найти, какое число или величина приходится на 1 % , а затем — на несколько процентов. Такие задачи называют задачами на нахождение процента от числа. Их можно решать как арифметическим, так и алгебраическим способами. Груши сладких сортов содержат 15 % сахара. Сколько сахара содержится в 3 кг груш? ' I Составим краткую запись данных задачи. Груши: 3 кг — 100% Сахар: ? — 15% 1. Арифметический способ. 1. Сколько килограммов соответствует 1 %? 3 : 100-0,03 (кг). [> ПРОЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 307 I 2. Сколько килограммов приходится на 15 %? I 0,03 ■ 15 = 0,45 (кг). ! Итак, в 3 кг груш содержиться 0,45 кг сахара. Можем сформулировать правило нахождения про-И(М1та от числа. Запомните! Правило нахождения процента от числа. Чтобы найти процент от числа, нужно данное число разделить на 100 и результат умножить на количество процентов. ) 2. Алгебраический способ. а> - иШШУОу ooxxyojvcu. Жс/i^: ay-iS-3:i00, -0,033S, -0,4S. ОгпЛбггь: S 3 Му оо^^&рлюштьояу 0,45 Му ooAxxijbay. Обратите внимание: 1) если число а составляет 100 %, то 1 % — это а : 100; 2) если искомое число х составляет п % , то 1 % — это X : п; 3) значения 1 % можно приравнять. То есть: X : п = а : 100 308 Глава й I Если процент представить в виде десятичной дроби,] то, чтобы найти процент от числа, достаточно данное] число умножить на эту десятичную дробь. Узнайте больше Слово процент происходит от латинского слова «procentum», что буквально означает «сотая часть», «на сто», Одну тысячную часть некоторой величины называют промилле (от лат. «pro тШе» — на тысячу). Промилле обозначается символом «%о». В промилле определяют солёность воды, наклон реки, содержание алкоголя в крови, уклон рельсовых путей в подземных выработках (по правилам безопасности они должны составлять от 3 до 5 %о) и т. д. 1 %о = 0,1 % = 0,001. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1 Что такое процент? 2 Как обозначают проценты? 3, Какой десятичной дроби равен 1 %? 4 Как найти 1 % от числа а? 5, Сформулируйте правило нахождения процента от числа. 6 Как найти процент, если он задан в виде десятичной дроби? 7 Объясните, как решать задачи на нахождение процента от числа. Е РЕШИТЕ ЗАДАЧИ I Верно ли, что 1 % равен; 1)-; 2)—; 3)—; 4)—; 5)—? 2 15 25 100 200 ' Верно ли, что 1 % равен: 1)0,1; 2)0,01; 3)0,001; 4)0,11; 5)0,111? Верно ли, что 25 % равны: 1)—; 2)1,25; 3)—; 4)0,025; 5)—? 25 125 100 Верно ли, что 0,75 равны: 1)705%; 2)750%; 3)57%; 4)75%; 5)0,75%? ПРОЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 309 ■ Верно ли, что — равна: 1) 2 %: 2) 20 %; 3) 0,2 %; 4) 12 %; 5) 50 %? Ч Представьте десятичную дробь в виде процентов: 1)0,05; 2)0,13; 3)0,48; 4)0,69; 5)1,23; 6)4,56. Ч ' Представьте десятичную дробь в виде процентов: 1)0,02; 2)0,21; 3)0,37; 4)0,81; 5)1,37; 6)7,95. > Запишите в виде десятичной дроби: 1) 6 %; 2) 27 %; 3) 56 %; 4) 92 %; 5) 145 %; 6) 371 %. Запишите в виде обыкновенной дроби или смешанного числа: 1)11%; 2)34%; 3)62%; 4)78%; 5)139%; 6)429%. Какими данными нужно дополнить таблицу 45? Таблица 45 Обыкновенная 3 дробь 100 13 20 Десятичная дробь 0,8 0,72 Проценты 14 110 В конструкторе 200 элементов, ходится на 1 %? Сколько элементов при- Аня прочитала 25 % книги. Сколько страниц прочитала Аня, если 1 % составляет 3 страницы книги? Вычислите: 1) 5% от 60; 2) 15% от 30; 3) 60% от 45; 4) 25 % от 40; 5) 75% от 150; 6) 30 % от 90. Вычислите: 1) 2% от 40; 2) 20 % от 20; 3) 40 % от 32; 4) 45 % от 90; 5) 65% от 120; 6) 35 % от 350. Вычислите: 1) 4% от 6,4; 2) 15% от 5,4; 3) 30% от 1,2; 4) 25 % от 4,4; 5) 75% от 3,4; 6) 90 % от 0,9. Длина реки Ворсклы — 464 км. На территорию Полтавской области приходится 48,7 % всей её длины. Сколько километров Ворсклы протекает по территории Полтавской области? 310 Глава fl I Ялпуг — самое большое природное озеро в Украине,Ч его длина — 25 км, а ширина составляет 28 % длины. Какая] ширина озера Ялпуг? В бассейне реки Рось — правого притока Днепра, находится 1136 малых рек, из них в Киевской области — 47 % рек, а в Черкасской — 4 %, остальные — в Житомирской и| Винницкой областях. Сколько малых рек из бассейна Роси1 находится на территории Киевской и Черкасской областей? Синевир — национальный парк в Украинских Карпатах. Его. обгцая площадь—40 400 га, из них — 14,4 % отведено под заповедную зону. Какая площадь заповедной зоны Синевира? Из молока выходит 6,25 % сыра «Пармезан». Сколько килограммов такого сыра можно получить из молока объёмом: 1)300 л; 2) 1000 л; 3)16л? Из молока выходит 21 % сливок. Сколько литров сливок можно получить из молока объёмом: 1)25л; 2) 160л; 3)350л? Из сахарной свёклы получают 16 % сахара. Сколько килограммов сахара можно получить из сахарной свёклы массой: 1)400 кг; 2) 1500 кг; 3)12т? - - Сплав золота и серебра содержит 36 % золота. Сколько золота и серебра содержится в сплаве массой: 1)150 г; 2) 1 кг; 3) 3,5 кг? Сплав меди и олова содержит 42 % меди. Сколько меди и олова содержится в сплаве массой: 1)140 г; 2) 10 кг; 3) 5,6 кг? ' .. В 5-А классе учится 34 ученика, в 5-Б — 36 учеников. 10 % всех учащихся пятых классов — отличники. Сколько отличников среди пятиклассников? ' I Детский хор музыкальной школы посещают 60 учеников, из них — 44 девочки, а остальные — мальчики. 25 % мальчиков — участников хора — играют на скрипке. Сколько мальчиков поют в хоре и играют на скрипке? I I Найдите сумму: 1) 16 % от 16 и 34 % от 16; 2) 25 % от 24 и 65 % от 24. Найдите разность: 1) 56 % от 12 и 44 % от 12; Сравните: 1) 10% от 16 и 16% от 16; 2) 125% от 36 и 65% от 36. 2) 25 % от 24 и 24 % от 25. ПИОЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 311 • It г Сравните: 1)5% от 200 и 50 % от 20; 2) 25 % от 1,6 и 200 % от 0,25. I'l.! Найдите сумму: 1) 12 % от (1,6 + 8,4) и 34 % от 10; 2) 50 % от (3,6 ^ 4) и 60 % от (12,4 - 4,6). 118" Найдите разность: 1) 40 % от (12,5 + 35,5) и 40 % от 38; 2) 120% от (36,4+ 33,6) и 120% от (106-56). 1486 Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 100 см. Длины рёбер параллелепипеда составляют 5%, 8 % и 12 % этой суммы. Вычислите объём параллелепипеда. 1407. Площадь одной грани прямоугольного параллелепипеда равна 40 см^. Площади двух других граней составляют соответственно 25 % и 40 % площади первой грани. Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда. 1488 В треугольнике одна сторона равна 8 см, вторая — составляет 125 % первой, а третья — 60 % второй. Найдите периметр треугольника. • 48‘ Сумма площадей двух квадратов равна 80 см^. Площадь одного из них составляет 20 % этой суммы. Вычислите периметры двух квадратов. 149( Сплав олова и свинца содержит олова на 20 % больше, чем свинца. Сколько олова и сколько свинца содержится в 350 г сплава? 14'‘ У Елены Петровны было 3 ч для того, чтоб приготовить праздничный ужин. 15 % всего времени она затратила на приготовление салата, 45 % времени — на приготовление мясного блюда, а остальное время — на десерт. Сколько времени затратила Елена Петровна на приготовление каждого блюда? 1492' Марина прочла книгу, в которой 300 страниц, за три дня. В первый день она прочла 30% всей книги, во второй день — 40 % оставшихся страниц, в третий день — остальные. Сколько страниц девочка прочла в третий день? 1493 Магазин получил 50 игрушек на сумму 1000 грн. Оптовая наценка составляет 2 %, а торговая надбавка — 5 %. Найдите розничную цену игрушки. 1494‘ Сколько воды нужно долить к 200 г 10 %^го раствора соли, чтобы получить 4 %-й раствор? 312 ГЛЙИМ s ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ если ее з0|» 1495. Папе Полины 36 лет. Сколько лет Полине, раст составляет 25 % возраста папы? 1496. Рост папы Полины равен 175 см. Какой рост ПолинЫ| если он составляет 72 % роста папы? 1497. Полина любит играть с папой в нарды. За последний м«« сяцони сыграли 20 партий, из них 70 % партий выиграл папм,, Сколько партий выиграла Полина? Ц ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1498. Найдите расстояние между точками; 1)А(12)иВ(39): 2) С (27) и В (41); 3) М (123) и N (98). 1499. Найдите разность наименьшего шестизначного и наи^ большего пятизначного чисел. 1500. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а его боковая сторона короче основания на 5 см. Найдите периметр треугольника. 1501. Сумма четырёх чисел равна 162. Второе число на 12 больше первого, третье — на 12 больше второго, а четвёртое — на 6 больше третьего. Найдите эти числа. § 35. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТУ В предыдущем параграфе вы узнали, что такое процент и как находить процент от числа. Однако на практике приходится решать и другие задачи, связанные с процентами. Например, задачи на нахождение числа по его проценту. Такие задачи можно решать и арифметическим, и алгебраическим способами. В украинском веночке Марины 20% всех лент — голубые. Сколько всего лент в веночке, если голубых — 5? : Составим краткую запись данных задачи. Голубые ленты: 5 — 20% ‘ Все ленты: ? — 100% ЦТОЦЕНТЫ, СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ___.313 I 1. Арифметический способ. , 1. Сколько лент составляет 1 %? I 5 : 20 = 0,25 (л.). ' 2, Сколько лент составляют 100 %? I 0,25 -100 = 25 (л.). J Итак, в веночке Марины 25 лент. Можем сформулировать правило нахождения числа но его проценту. Запомните! Правило нахождения числа по его проценту. Чтобы найти число по его проценту, нужно данное число разделить на количество процентов и результат умножить на 100. 2. Алгебраический способ. ошигььо: 5- 20 % Soo ^ - ЮО % - lb0iA4J/1/6OtriA<) &СЖО ишип S &бшуьп/б. Жйу1/^: :i00-^5:20, ^0,2S'i00, ^2S. ОтАбггь: &06W S &билуиьб 25<мнт. 314- Ггшпп tj Обратите внимание: 1) если число а составляет п %, то 1 % — это а: п\ 2) еслиискомоечислол:составляет100%,то1 % это X ; 100; 3) значения 1% можно приравнять. То есть: X : 100-а : п. Если процент представить в виде десятичной дроби, то, чтобы найти число по его проценту, достаточно данное число разделить на эту десятичную дробь. ? Всегда ли в задачах находят величину, соответствующую 100 % ? Не всегда. Рассмотрим следующую задачу. г Цена одного билета на детский спектакль составляет 1,5% общей стоимости билетов. Было продано 80% всех билетов на сумму 1280 грн. Сколько стоит один билет? Составим краткую запись данных задачи. Цена одного билета; ? — 1,5% Стоимость проданных билетов: 1280 грн— 80% 1. Арифметический способ. 1. Сколько гривен составляет 1 %? 1280 : 80 = 16 (грн). 2. Сколько гривен составляют 1,5 %? 16- 1,5 = 24(грн). 2. Алгебраический способ. Пусть X — стоимость одного билета. Тогда: х; 1,5= 1280:80, х = (1280 : 80) • 1,5, х= 16 • 1,5, х = 24. Итак, билет на детский спектакль стоит 24 грн. Узнайте больше Часто при покупке различных товаров и услуг вы встречаете сокращённое название (аббревиатуру) НДС. Что это такое? НДС — это налог на добавленную стоимость. Он начисляется )1|*0ЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 315 м процентах. Такой налог собирается с каждого акта продажи, начиная с производства и заканчивая продажей товаров потребителю. НДС — самый значительный по объёму из всех пологов, которые отчисляются в Государственный бюджет. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ Как найти число по его проценту? Объясните, как решают задачи на нахождение числа по его проценту арифметическим способом. Объясните, как решают задачи на нахождение числа по его проценту алгебраическим способом. РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1'<0: Известно, что 1 % — это число 4. Верно ли, что 12% — это число; 1)4; 2)12; 3)48; 4)24? iИзвестно, что 1 % — это число 3. Верно ли, что 100 % — это число: 1)3; 2) 30; 3) 300; 4) 100? 1 Известно, что 10 % — это число 40. Верно ли, что 1 % — это число: 1) 10; 2)4; 3)40; 4)400? 1ЗД! Известно, что 100 % — это число 50. Верно ли, что 1 % — это число: 1)5; 2)2; 3)0,5; 4)50? 150' Найдите 1 %, если: 1) 5 % — это число 25; 2) 10 % — это число 40. 1>' Найдите 16 %, если: 1) 1 % — это число 3; 2) 1 % — это число 5. 1 ■ Нужно найти число, 20 % которого — это число 10. 1) Найдите 1 %; 2) найдите 100 %; 3) запишите искомое число. 150'^' Нужно найти число, 25 % которого — это число 75. 1) Найдите 1 %; 2) найдите 100 %; 3) запишите искомое число. 1 ■ Найдите число,если; 1) его 4 % — это число 12; 2) его 9 % — это число 72; I■ Найдите число, если; 1) его 3 % — это число 18; 2) его 11 % — это число 33 3) его 13% 4) его 35 % ■ - это число 65; • это число 140. 3) его 17 % — это число 68; 4) его 23 % — это число 138. В аквариуме у Саши 35 % всех рыбок — это .гуппии, их у него 7 штук. Сколько рыбок в аквариуме у Саши? t 316 Гл1 Винни-Пух съел за зиму 20 баночек мёда, что соста1Л« 80 % всех его запасов. Сколько баночек мёда было у Винн» 4 ученика 5-Б класса, а это — 12,5 % всех учащихся этпЛ класса, закончили первый семестр на отлично. Сколько ум| ников в 5-Б классе? Площадь бассейна реки Прут равна 27 000 км^, что ^ ставляет около 18 % площади бассейна реки Тиса. Найди1 площадь бассейна Тисы. Масса сушёных грибов составляет 12 % массы свежИ Сколько нужно собрать свежих грибов, чтобы получить 2,41 сущёных? На зиму мама решила заготовить сушёные груши яблоки. Масса сушёных фруктов составляет 15 % массы оии1 жих. Сколько нужно собрать фруктов, чтобы получить б KIJ сушёных? Страховой агент получает 5 % от продажи страховы»! полисов. На какую сумму продал полисов страховой агент если он получил 900 грн прибыли? = На территории Украины протяжённость реки Днепр' 981 км, что составляет 44,57 % её общей длины. Какова об» щая длина Днепра? Школьная команда по шахматам набрала на городском турнире 72 очка, что составляет 80 % всех возможных. Какоб максимальное количество очков можно набрать на турнире? Раствор содержит 12 % соли. Какова масса раствор!, если соли в нём 30 г? = Сплав содержит 15 % меди. Какова масса сплава, если меди в нём 24 г? Из сахарной свёклы получают 16 % сахара. Сколько килограммов свёклы нужно собрать, чтобы получить сахара: 1)64 кг; 2) 4 ц; 3) 1 т? Из молока выходит 6,25 % сыра «Пармезан». Сколько литров молока нужно для приготовления такой массы сыра, как: 1)1 кг; 2) 2,5 кг; 3)12кг? Из молока выходит 21 % сливок. Сколько литров молока понадобится для приготовления такого объёма сливок, как: 1)8,4л; 2) 105л; 3) 73,5л? В девятипроценгном растворе содержится 24,3 г йода. Какова масса всего раствора? ИШЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 317 I. Сплав золота и серебра содержит 42 % золота. Какова Ммсса всего сплава и масса серебра в нём, если золота в этом сплаве; 1)84 г; 2) 210 г; 3) 336 г? - Сплав меди и олова содержит 65 % меди. Какова масса ' йовго сплава и масса олова в нём, если меди в этом сплаве: 1)130 г; 2) 455 г; 3)780 г? ) Кинозал на дневном сеансе был заполнен на 84 %. Сколько людей пришло в кино, если 3 из них заполняют 2 % количества мест в зале? i' U Сколько нужно собрать ромашки, чтобы получить? кг сушёной, если во время сушки она теряет 86 % своей массы? 1' -11 Крестьяне сдали в аптеку 12 кг сушёной малины и 10 кг сушёной черники. Сколько свежих ягод собрали крестьяне, если при сушке малина теряет 75 % своей массы, а черника — 80 %? I Показ мультфильма на одном из телевизионных каналов трижды прерывали на рекламу по 3 мин каждая, что в сумме составляет 20 % времени показа самого мультфильма. Во сколько закончился показ мультфильма, если начался он в 15 ч? j Ширина прямоугольника равна 5 см и составляет 62,5 % его длины. Найдите периметр прямоугольника. I 1» Сторона одного квадрата равна 7 см, что составляет 43,75% стороны другого квадрата. Найдите периметр большего квадрата. Сторона одного квадрата равна 8 см и составляет 12,5 % стороны другого квадрата. Найдите площадь большего квадрата. ( . В треугольнике одна сторона равна 6 см. Её длина составляет 24 % длины второй стороны и 16 % длины третьей стороны. Найдите периметр треугольника. 1 ■ В треугольнике одна сторона равна 3,6 см. Её длина составляет 12 % периметра и 30 % длины второй стороны. Найдите третью сторону треугольника. В прямоугольном параллелепипеде высота равна 4 см. Она составляет 40 % длины и 80 % ширины. Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда. г Объём одного куба равен 27 см^ и составляет 337,5 % объёма второго куба. Найдите периметр грани меньшего куба. , Мясо при варке теряет 35 % своей массы. Сколько нужно взять сырого мяса, чтобы приготовить 65 порций варёного по 120 г? 318 Глава II При транспортировке помидоров с поля в магазин теря* Й' ется 4% их общей массы. Сколько нужно собрать помидо* ® ров, если четыре магазина заказали по 384 кг? -I 1 Объём куба равен 27 см^ и составляет 90 % объёма прямоугольного параллелепипеда. Найдите площадь наименьшей грани параллелепипеда, если его длина составляет 60 %, а ширина — 40 % высоты параллелепипеда. Сплав состоит из 50 % цинка, 40 % меди и 10 % алюминия. Сколько граммов каждого из этих металлов содержится в сплаве, если алюминия в нём содержится на 600 г меньше, чем меди? Морская вода содержит 5 % соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской,воды для того, чтобы содержание соли в ней составляло 2 %? ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1545. Саше весной исполнилось 10 лет, что составляет 31,25 % возраста его мамы. Сколько лет маме Саши? 1546. Саше весной исполнилось 10 лет, что составляет 250 % возраста его младшей сестры Наташи. Сколько лет Наташе? 1547. Рост Саши — 135 см, что составляет 75 % роста его папы. Какой рост у папы? 3 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1548. Сравните: 1) 0,2 ем и 20 мм; 2) 50 м и 0,05 км; 3) 1,5 дм и 150 см. 1549. Запишите 5 дм^: 1) в кубических сантиметрах; 2) в кубических миллиметрах. 1550. Угол, градусная мера которого равна 150°, разделили внутренними лучами на равные углы. Найдите градусную меру этих углов, если получено: 1) 2 угла; 2) 5 углов; 3) 12 углов. 1551. Из города выехал мотоциклист со скоростью 35 км/ч. Через 3 ч в том же направлении из города выехал автомобиль со скоростью 70 км/ч. Через какое время после выезда автомобиль догонит мотоциклиста? На каком расстоянии от города это произойдёт? i ПРОЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ N § 36. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЕЛИЧИН Читая книги и газеты, различные статьи в Интернете, просматривая кинофильмы и телепередачи, вы встречались с таким: средняя температура воздуха за месяц или за неделю, средняя скорость автомобиля, средняя рождаемость в Киеве за 2011 год, средний рост учеников класса, средняя успеваемость учащихся 5-А класса за год, средняя урожайность помидоров и т.д. Как же находят значения средних величин? Для этого нужно знать, что такое среднее арифметическое. Посмотрите на рисунок 227. Вы видите на координатном луче точку А с координатой 3 и точку В с координатой 7. Между ними на одинаковом расстоянии от обеих точек находится точка С с координатой 5. При этом числа 3, 7 и 5 удовлетворяют такому числовому ра- 3-f 7 венству: —— = 5. Говорят, что число 5 является средним 2 арифметическим чисел 3 и 7. Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, нужно найти их полусумму. О + + А А- + С -Ч- о ' Рис. 227 В А- X ч----f-^ 10 7 Можно ли найти среднее арифметическое трёх, четырёх и более чисел? Да. "Запомните! Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. 2 о 9 8 4 > 320 Глав! НI : 1 Найдите среднее арифметическое чисел 12, l| и 18. '> Даны 3 числа. Чтобы найти их среднее арифг1| метическое, нужно сумму этих чисел разделить на 3: ? Может ли среднее арифметическое быть дробным] числом? Да. Например; 2 + 3 + 4 + 5 14 7 ^ ---------= — = — = 3,5; 4 4 2 3,3 + 4,5 + 6,6 14,4 = 4,8. 3 3 Среднее арифметическое используют для вычисления средних величин. Рассмотрим задачи. д Во время путешествия автомобиль за первый час проехал 120 км, за второй час — 110 км, а за третий и четвёртый — по 80 км. Сколько в среднем за час проезжал автомобиль? . В задаче нужно найти среднее арифметиче- ское чисел 120, 110, 80 и 80: 120 + 110 + 80 + 80 = 97,5. Итак, в среднем за час автомобиль проезжал 97,5 км. т Обратите внимание: чтобы найти, сколько километров в среднем преодолевает в час участник движения, нужно вычислить среднее арифметическое расстояний на разных участках движения. ,1 На молокозавод привезли пять бидонов мо- лока с разным процентом жирности. В первом бидоне жирность молока составляет 4 %, во втором — 3,8 %, в третьем — 3,5 %, в четвёртом — 3,2 %, в пятом — 3,6 %. Какова средняя жирность молока? ИИМЦЕНТЫ, СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ J___L- 1Г321 и ношение Чтобы найти среднюю жирность молока, нужно или ги среднее арифметическое заданных в задаче процентов; 4 + 3,8 + 3,5 + 3,2 + 3,6 18,1 ^ -------------------=----= 3,62. 5 5 Итак, средняя жирность молока составляет 3,62 %. Обратите внимание: чтобы найти средний процент, нужно вычислить среднее арифметическое заданных процентов. Узнайте больше Вы знаете, что солёность — это суммарное содержание всех твёрдых растворённых веществ, содержащихся в 1 л морской воды и выраженных в граммах. Измеряется в промилле (%о). Средняя солёность Мирового океана равна 35 %о. Для калибровки приборов в Бискайском заливе добывается так называемая нормальная вода с солёностью, близкой к 35 %о. Средняя солёность Азовского моря равна 13,8 %о, а Чёрного моря — 17-18 %о. ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ 1. Что такое среднее арифметическое нескольких чисел? 2. Как вычислить среднее арифметическое нескольких чисел? 3. Приведите примеры средних величин. 4. Как найти расстояние, которое в среднем за час преодолевает участник движения? 5. Как найти средний процент? Е РЕШИТЕ ЗАДАЧИ 1552 Верно ли, что средним арифметическим чисел 2, 3 и 4 является число: 1) 2; 2)3; 3)4; 4)9? 1553 Верно ли, что число 5 является средним арифметическим чисел: 1)5,4, 5; 2)1,2, 2; 3)4, 5, 6? 1554 Вычислите среднее арифметическое чисел: 1) 3 и 7; 3)23 и 25; 5)4, 7 и 10; 2) 16 и 18; 4) 3,6 и 6; 6) 9, 8 и 7. U 1 Могем.П'ИКг». Г> KJ . 322 Ггш|я I Может ли число 6 быть средним арифметическим nwoiji] 1)5 и 7; 2)4, 6 и 8; 3) 2, 3, 5 и 8? ' Вычислите среднее арифметическое чисел: 1)34и56; 2)160и187; 3)20,36и4; 4)16, 18и8, Вычислите среднее арифметическое чисел: 1) 2,2иЗ,8; 3)3,1 и4,9; 5) 4,2; 3,2 и 1,6. 2) 1,6и1,8; 4)3,1;6,9и5; 6) 1,9; 1,8 и 2.3 Вычислите среднее арифметическое чисел: 3 1) — и 1— 4 4 2) - и 25 5 3) 1 7 и 2-: 7 4) 3-И4-, 8 8 Какими могут быть два натуральных числа, если и< среднее арифметическое равно: 1)2; 2) 3; 3) 4; 4) 5? Какими могут быть три натуральных числа, если и)« ! среднее арифметическое равно: 1) 3; 2)5; 3)6; 4)8? ' Начертите координатный луч, единичный отрезок которо* го равен двум клеточкам тетради. Отметьте на этом луче точки М (3), N (2), К (7) и точку А, координата которой является средним арифметическим координат трёх заданных точек. II Начертите координатный луч, единичный отрезок кото рого равен двум клеточкам тетради. Отметьте на этом луч§ точки А( 1,5), Б(2,5), D(2) и точку С, координата которой является средним арифметическим координат трёх заданных точек. Масса одного из трёх слитков золота равна 2,7 кг, масс» второго — 5,3 кг, масса третьего — 4 кг. Найдите среднюю массу слитка золота. На уроке физкультуры ученики 5-А класса сдавали нормативы. Олег подтянулся на перекладине 10 раз, Вадим 8 раз, Дима — 6 раз, Артём — 12 раз. Сколько раз в среднем подтянулся один мальчик? Винни-Пух в первый день съел 3 баночки мёда, во второй — 4 баночки, а в третий — 5 баночек. Сколько в среднем баночек мёда съедал Пух в день? Магазин за первый месяц получил прибыль 15 000 грн, за второй месяц — 18 000 грн, за третий — 12 000 грн, а за четвёртый — 11 000 грн. Какой средний доход магазина за месяц? Таня собрала 30 грибов, Надя — 36 грибов, а Ваня — 45 грибов. Сколько в середнем грибов собрал каждый ребёнок? 111>0ЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 323 I "ifiB Автобус за первый час проехал 60 км, за второй — 66 км, за третий — 56 км, а за четвёртый — 70 км. Сколько километров в среднем преодолевал автобус за час? Перемены в школе длятся 5 мин, 10 мин, 20 мин, 15 мин, I о мин. Какова средняя продолжительность перемены в школе? P.i70 На конкурсе талантов Алина получила такие баллы от жюри: 10, 9, 8, 10, 9. Какой средний балл получила девочка? I '»71 Найдите неизвестное число, если известное число равно 7,4, а их среднее арифметическое — 8,1. <07^ Найдите неизвестное число, если известное число равно 15,5, а их среднее арифметическое — 13,3. <‘>73 Лыжник прошёл за первый час 5 км. Сколько километров он прошёл за второй час, если в среднем за час он проходил 4,6 км? 1Ь7ч Турист за первый час своего путешествия прошёл 4,7 км. Сколько километров он прошёл за второй час, если в среднем за час он проходил 4,5 км? 1075 В магазинах города 1 кг лимонов стоит по-разному: в первом магазине — 22 грн 10 к., во втором — 23 грн 20 к., а в третьем — 21 грн 90 к. Какова средняя цена 1 кг лимонов? ■Е7' С четырёх полей плош,адью 200 га каждое собрали урожай пшеницы. С первого поля собрали 7200 ц, со второго — 7460 ц, с третьего — 7380 ц, а с четвёртого — 7560 ц. Какова урожайность каждого поля? Какова средняя урожайность? :57’ Олег выиграл в лотерею 3 раза по 50 грн, 4 раза — по 10 грн и 1 раз — 200 грн. Какой средний выигрыш Олега? 1: Средним арифметическим чисел а, 1,8 и 4,2 является число 2,4. Найдите неизвестное число а. 1Е. Средним арифметическим чисел 125, &, 108 и 236 является число 204. Найдите неизвестное число Ь. 158(. Первое число в 1,5 раза больше второго, а их среднее арифметическое равно 35. Найдите эти числа. 158'- Первое число на 40 % больше второго, а их среднее арифметическое равно 36. Найдите эти числа. 15"На футбольных соревнованиях команда за выигрыш получает 2 очка, за поражение — 0 очков, за ничью — 1 очко. Команда «Чемпион» 5 матчей выиграла, один проиграла и 2 сыграла вничью. Сколько в среднем очков у команды «Чемпион»? 322 Гпн11м| Может ли число 6 быть средним арифметическим чисп1^ 1)5 и 7; 2)4, 6 и 8; 3) 2, 3, 5 и 8? Вычислите среднее арифметическое чисел: 1)34 и 56; 2) 160 и 187; 3)20, 36 и 4; 4)16, 18 и 8. ^ Вычислите среднее арифметическое чисел: 1) 2,2 и 3,8; 3)3,1 и 4,9; 5) 4,2; 3,2 и 1,8fl 2) 1,6 и 1,8; 4) 3,1; 6,9 и 5; 6) 1,9; 1,8 и 2,3; Вычислите среднее арифметическое чисел: 1) — и 1—; 4 4 2) - и 2-; 5 5 3) 1- и 27 7 4) 3-и4-,. 8 8 ' Какими могут быть два натуральных числа, если и| среднее арифметическое равно: 1)2; 2) 3; 3) 4; 4) 5? Какими могут быть три натуральных числа, если и| среднее арифметическое равно: 1) 3; 2)5; 3)6; 4)8? Начертите координатный луч, единичный отрезок которо»] го равен двум клеточкам тетради. Отметьте на этом луче точки | М (3),N (2), К (7) и точку А, координата которой является сред<| ним арифметическим координат трёх заданных точек. ' I Начертите координатный луч, единичный отрезок коточ рого равен двум клеточкам тетради. Отметьте на этом лучи] точки А( 1,5), В(2,5), D(2) и точку С, координата которой является средним арифметическим координат трёх заданных точек. Масса одного из трёх слитков золота равна 2,7 кг, масой' второго — 5,3 кг, масса третьего — 4 кг. Найдите среднюю массу слитка золота. На уроке физкультуры ученики 5-А класса сдавали нормативы. Олег подтянулся на перекладине 10 раз, Вадим — 8 раз, Дима — 6 раз, Артём — 12 раз. Сколько раз в среднем подтянулся один мальчик? Винни-Пух в первый день съел 3 баночки мёда, во второй — 4 баночки, а в третий — 5 баночек. Сколько в среднем баночек мёда съедал Пух в день? Магазин за первый месяц получил прибыль 15 000 грн, за второй месяц — 18 000 грн, за третий — 12 000 грн, а за четвёртый — 11 000 грн. Какой средний доход магазина за месяц? Таня собрала 30 грибов, Надя — 36 грибов, а Ваня — 45 грибов. Сколько в середнем грибов собрал каждый ребёнок? 323 I 111ЮЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ Автобус за первый час проехал 60 км, за второй — 66 км, ,'Г за третий — 56 км, а за четвёртый — 70 км. Сколько километров в среднем преодолевал автобус за час? ^ Г Перемены в школе длятся 5 мин, 10 мин, 20 мин, 15 мин, Ю мин. Какова средняя продолжительность перемены в школе? 70 На конкурсе талантов Алина получила такие баллы от жюри; 10, 9, 8, 10, 9. Какой средний балл получила девочка? #371 Найдите неизвестное число, если известное число равно 7,4, а их среднее арифметическое — 8,1. ;>71; Найдите неизвестное число, если известное число равно 15,5, а их среднее арифметическое — 13,3. 1373 Лыжник прошёл за первый час 5 км. Сколько киломе-I тров он прошёл за второй час, если в среднем за час он проходил 4,6 км? !57^ Турист за первый час своего путешествия прошёл 4,7 км. Сколько километров он прошёл за второй час, если в среднем за час он проходил 4,5 км? 1Ь75 В магазинах города 1 кг лимонов стоит по-разному; в I первом магазине — 22 грн 10 к., во втором — 23 грн 20 к., а , в третьем — 21 грн 90 к. Какова средняя цена 1 кг лимонов? II' . С четырёх полей плош,адью 200 га каждое собрали уро- жай пшеницы. С первого поля собрали 7200 ц, со второго — 7460 ц, с третьего — 7380 ц, а с четвёртого — 7560 ц. Какова урожайность каждого поля? Какова средняя урожайность? ;' Олег выиграл в лотерею 3 раза по 50 грн, 4 раза — по 10 грн и 1 раз — 200 грн. Какой средний выигрыш Олега? Средним арифметическим чисел а, 1,8 и 4,2 является число 2,4. Найдите неизвестное число а. '■ ■ Средним арифметическим чисел 125, Ь, 108 и 236 явля- ется число 204. Найдите неизвестное число Ь. 1ыз0 Первое число в 1,5 раза больше второго, а их среднее арифметическое равно 35. Найдите эти числа. 1581 Первое число на 40 % больше второго, а их среднее арифметическое равно 36. Найдите эти числа. 15В.- На футбольных соревнованиях команда за выигрыш получает 2 очка, за поражение — 0 очков, за ничью — 1 очко. Команда «Чемпион» 5 матчей выиграла, один проиграла и 2 сыграла вничью. Сколько в среднем очков у команды «Чемпион»? HI* 324 Глани! О в летний лагерь детей отправили на пяти одинаковых aii] тобусах и разместили в них 29,32, 36, 31 и 35 человек. Мол но ли было разместить детей в автобусах поровну? Среднее арифметическое двух чисел равно 5,6. Найдии эти числа, если одно з них на 4,4 меньше другого. Среднее арифметическое трёх чисел равно 6. Найдии эти числа, если первое из них в 2,5 раза, а второе — в 1, раза больше третьего. , Среднее арифметическое трёх чисел равно 15. Найдитг эти числа, если второе число в 1,4 раза, а третье — в 1,2 разн] больше первого. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 3,46, а| среднее арифметическое шести других чисел — 8,32. Найдите среднее арифметическое всех десяти чисел. Найдите среднее арифметическое дробей: 18 19 ^ 17 25’ 18’ 25 18' Докажите, что среднее арифметическое 15 натуральных чисел не может быть равно 6,7. ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ 1590. Определите среднюю толщину одного листа учебника по математике. Объясните, как это сделать. 1591. Определите среднюю температуру воздуха за неделю. Показания снимите самостоятельно. 1592. Определите средний рост учеников вашего класса. 1593. Определите свой средний балл успешности за месяц. 1594. Определите среднюю длину своего шага. ГГ ^ ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ 1595. Вычислите удобным способом: 22- 18,5 + 21 - 17,5 + 20- 16,5+ 19- 15,5+18- 14,5. 1596. Разместите в порядке убывания величины: 5 см, 0,4 дм, 0,06 м, 30 мм. 1597. Парковая зона имеет форму квадрата со стороной 5,2 км. Найдите периметр и площадь парка. ИИОЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ. 325 ПРОВЕРЬТЕ, КАК УСВОИЛИ МАТЕРИАЛ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое процент? Как обозначают проценты? 2. Как выразить 1% десятичной дробью? 3. Сформулируйте правило нахождения процента от числа. 4. Объясните, как решать задачи на нахождение процента от числа. 5. Как найти число по его проценту? 6. Объясните, как решают задачи на нахождение числа по его проценту. 7. Что такое среднее арифметическое нескольких чисел? 8. Как вычислить среднее арифметическое нескольких чисел? 9. Как найти расстояние, которое в среднем преодолевает за час участник движения? 10. Как найти средний процент? ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Внимательно прочитайте задачи и найдите среди предложенных ответов верный. Для выполнения тестового задания потребуется 10-15 мин. 1 Подайте десятичную дробь 0,16 в виде процентов; А. 160 %. Б. 16 %. В. 1,6 %. Г. о, 16 %. 2 . Запишите 120% в виде десятичной дроби: А. 120. Б. 12. В. 1,2. Г. 0,12. 3 . Раствор содержит 16 % соли. Какова масса раствора, если соли в нём 48 г? А. 300 г. Б. 768 г. В. 11 г. Г. 7,68 г. 4. Среднее арифметическое трёх чисел равно 1,8. Найдите неизвестное число, если два других равны 2,1 и 0,9. А. 1,2. Б. 3,3. В. 2,4. Г. 0,6. 5*. В треугольнике одна сторона равна 12 см, вторая сторона составляет 115 % первой, а периметр — 300 % первой. Найдите неизвестную сторону треугольника. А. 12см. Б. 10см. В. 9,8см. Г 10,2см. 326 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ СЧЁТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА Сколько чисел натурального ряда расположено между числамИ| 1) 120 и 129; 2) 999 и 1100; 3)8901 и 8910; 4) 50 000и50 02С На прямой даны три точки А, В и С. Найдите длину отрезка ВС,Т если АВ = 8 см и АС = 9 см. Сколько решений имеет задача? Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии: t 1) 3 единицы от точки М(5); 2) 6 единиц от точки ЛГ(10)| 3) 4 единицы от точки ЛГ( 12). ' Найдите расстояние между точками: 1)А(5) niV(12); 2)В(34)иМ(40); 3) С(55) и iir(61). Запишите числовое выражение и вычислите его значение: 1) сумма числа 720 и частного чисел 19 750 и 25; 2) разность суммы чисел 300 и 895 и числа 128; 3) произведение суммы чисел 1010 и 90 и числа 15; 4) частное числа 78 279 и разности чисел 107 и 10. Запишите числовое неравенство; 1) 123 меньше 172; 2) 576 больше 347; 3) 538 больше 500, но меньше 600; 4) 1000 больше 999, но меньше 1002. На координатном луче отметьте число, расположенное: 1) на 4 единицы правее числа 10; 2) на 4 единицы левее числа 8; 3) между числами 5 и 10. Запишите соответствующие числовые неравенства. Сравните: 3) 2 м и 200 см; 4) 2 дм и 100 мм; 5) 1 ч 15 мин и 75 мин; 6) 100 кг и 1000 г. 1) 45 см и 50 см; 2) 10 см и 10 мм; Сравните числа: 1) 4590 и 990; 3) 778 089 и 779 000; 2) 67 109 и 67 099; 4) 7 007 007 007 и 7 007 007 070. Запишите все натуральные числа, которые можно вставить вместо звёздочки, чтобы получить верное числовое неравенство: 1)45<*<50; 2)458<*<569; 3) 25 099 < * < 25 100. Проведите луч ОМ. С помощью транспортира по одну сторону от луча ОМ постройте угол MON, градусная мера которого равна 48°, а по другую сторону — угол МОК, градусная мера которого — 36°. Чему равна градусная мера угла NOK? Луч BD — бисектрисса угла АВС. Найдите: 1) 4 DBC, если Z АВС = 80°; 2) 4 АВС, если 4 ABD = 25°. 327 \ I |fl. Луч OB — внутренний луч угла АОС. Найдите: 1) Z. АОС, если Z. АОВ = 45° и /. ВОС = 15°; 2) Z. АОВ, если Z. АОС = 95° и Z ВОС = 29°; 3) 4 ВОС, если Z АОС = 120° и Z АОВ = 84°. ДЕЙСТВИЯ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И Упростите выражение; 1)а + 2-а+10 + &-Ь + 3; 2) За+ 6 + 3 + 6 +4а. Л' Найдите значение выражения 2а + 78, если: 1) а = 11; 2) а = 25. lu. Альбом стоит а грн, а тетрадь — 6 грн. Объясните, какой смысл имеют выражения: 1)а + 6; 2) а-6; 3) 10а; 4) 2а+ 306. 17. Запишите значения выражений 123 456 + 89, 34 956 + 583, 80 076 + (115 + 334) и 99 999 + 543 + 101 в порядке возрастания. • ! Одно из слагаемых увеличили на 21 227. На сколько изменилось второе слагаемое, если сумма увеличилась на 54 001? 1' • Начертите координатный луч. Отметьте на нём точку В( 1). Отметьте точку А, координата которой больше координаты точки В на: 1) 7; 2) 9; 3) 11. Найдите расстояние между точками А и В. *0 Начертите координатный луч. Отметьте на нём точку В(7). Отметьте точку А, координата которой меньше координаты точки В на: 1) 6; 2) 2; 3) 5. Найдите расстояние между точками А и В. 1 Выполните действия удобным способом: 1) 15 034 + 237-5034 + 263; 3) 1010-234-510; 2) 12 380 + 55-80+ 145; 4)360-194-60 + 184. ?2 Радиус земного шара равен 6371 км, что на 4634 км больше радиуса Луны. Найдите радиус Луны. 23 Со склада в первый день было продано 26 051 кг крупы, а во второй — 17 365 кг, после чего осталось 6584 кг крупы. Сколько крупы было на складе? •4 в городах А, В и С проживает 17 987 жителей. В городе В — на 5783 жителей меньше, чем в городе А, а в городе С — на 3421 жителей больше, чем в городе А. Сколько жителей проживает в каждом городе? 25 Угол А треугольника АВС равен 45°, а угол С — в 4 раза больше угла В. Найдитетрадусную меру углов В и С. В прямоугольном треугольнике АВС ZA — прямой, zA + zC =110°. Найдите углы треугольника. 328 - Сторона АВ треугольника АБС в 3 раза больше сторонж АС и на 10 см меньше стороны ВС. Найдите сторон1.Т] треугольника, если его периметр равен 87 см. Основание равнобедренного треугольника на 10 см больШ11 боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если ого] периметр равен 64 см. Каждая сторона д-угольника равна 6 см. Найдите его пери* метр, если: 1) д= 15; 2) д = 20. 30, Стороны прямоугольника 25 см и 16 см. Найдите сторону' квадрата, периметр которого равен периметру данного пря* моугольника. 5) 40 6) 12 (496 • 25); (5-11). действия второй ступени НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Выполните умножение: 1) 325 2802; 3)30 865-2010; 2) 407-12 025; 4)72 343-4 560 180. Вычислите удобным способом: 1) 382 -2 -50; 3) 125 - (72 - 8); 2) 25 -74 -4; 4) 5 • (315 - 20); Упростите выражение: 1) 9-а-12-5-Ь; 4) Зр ■ 5й - 2i; 2) 8-c-15-fl!; 5)9а-г21а; 3) дг - 25 - д - 4; 6) 56с-48с; Раскройте скобки: 1) 15 - (a-f 12); 3)6-(2д + т); 2) с - (8-11d); 4) (д-Д1) - 15р; ‘ Вынесите обгций множитель за скобки: 1) 9а + 9Ь; 3)8д-12дг; 5) 15р-f 5Ь - 25<; 2) 5c+10d; 4)2д+16/д; 6) 12р - 14fe-f 6Л Вычислите удобным способом: 1) 83-9 + 9-17; 3)716-52-52-616; 2) 24 -96-24 • 86; 4)35 20 + 59-12-20-25-12-49. Выполните деление: 1)5032:68; 2)25 050:50; 3)197 500:250; 4)1 311 000:690. Выполните деление с остатком: 1) 951 : 24; 2) 98 081 : 40; 3) 408 530 : 430; 4) 243 065 : 578. Сколько тетрадей по 3 грн 50 к. сможет купить Ира, если у неё есть 20 грн? Сколько денег останется у Иры? 7) д + 21 д; 8) 45р- 15р + р: 9) 12x + 68x-X. 5) 3 - (2р + /г + 50; 6) (р + 8) - 10 + (5-г/)-6. 329 40. Найдите значение выражения: 1) 56 856: 552+ 154-(10 648-872) : 47; 2) (20 200-3 829 925 : 209) : (16 000-2 014 125 : 131). 41. Составьте алгоритм выполнения действий, постройте схему вычисления и найдите значение выражения: (30 000-408 • 25) ■ (609 • 700-417 295). 42. Решите уравнение: 1) 100 : (45-х) = 4; 4) 16 • (24 - х) = 256; 2) (70 + х) + 35 = 134; 5) 54х + Збх - х = 178; 3) (f/- 25): 25= 18; 6) 2Qy - 18i/+ 5г/+ 15 = 75. 43. Одно из чисел в 6 раз больше другого. Найдите эти числа, если их сумма равна 2870. 44. Разность двух чисел равна 100. Найдите эти числа, если одно из них в 3 раза меньше другого. 45. Купили 5 кг печенья и 4 кг конфет и заплатили 208 грн. Сколько стоит килограмм печенья и сколько стоит килограмм конфет, если конфеты дороже печенья в 2 раза? 46. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и Б, расстояние между которыми равно 30 км, и встретились через 1 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста, если скорость одного з них на 2 км/ч больше скорости другого. 47. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в противоположных направлениях. Первый велосипедист ехал со скоростью13 км/ч, а второй — со скоростью, на 4 км/ч большей, чем первый велосипедист. На каком расстоянии друг от друга будут находиться велосипедисты через полчаса после выезда? 48. Два пешехода идут по одной дороге со скоростью 100 м/мин и 80 м/мин соответственно. Расстояние между ними сейчас составляет 800 м. Какое расстояние будет между ними через 4 мин? Рассмотрите все возможные случаи. 49. Расстояние между двумя пристанями составляет 60 км. Скорость течения реки 5 км/ч. Сколько времени затратит катер, собственная скорость которого 25 км/ч, на путь от одной пристани до другой: 1) по течению; 2) против течения? СТЕПЕНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ ФИГУР 50. Вычислите: 1) 5-2®+22-4-3^ 2) 2(2 • 53- 103) : 5^; 3) 63: 2 (43-55); 4) 23: 1'2.53_(32.5_5) 330 " Найдите значение выраженияа^+Ы, если; 1)а = 2,&=12; 2)а=1,Ь=1; 3)а = 6,Ь = 8. Вычислите удобным способом: 1) 120-5"-118-5"; 2) 20^ • 12-2Q3- 10. В равенстве 2 • 5^+ 22 - 2^+ 40 = 12^ ■ 10 поставьте скобки ^ так, чтобы оно стало верным. Длина прямоугольника равна 3,6 см, а ширина — в 2 разн] меньше. Найдите площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна 0,06 см^. Найдите его сто* роны, если одна из них больше другой в 6 раз. ■ Вычислите площадь квадрата, если его периметр равен пе* риметру прямоугольника со сторонами 10 см и 12 см. Постройте квадрат, площадь которого равна 100 см^. Вычислите сумму длин всех рёбер куба, ребро которого равно: 1) 4 м 6 см; 2) 3 см 4 мм. Вычислите сумму площадей всех граней куба, ребро которого равно: 1) 4 см 5 мм; 2) 9 м 20 см. Дан прямоугольный параллелепипед АБС1)Л,В,С,Z),. Ребро АВ на 5 см меньше ребра ААу Ребро ВС на 10 см больше ребра DC. Вычислите длины рёбер параллелепипеда, если сумма длин всех его рёбер равна 255 см. Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 40 м, второе — в 4 раза меньше первого, а третье — на 12 см больше первого. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда. I Найдите объём куба, если периметр его грани равен: 1)16 см; 2) 12 дм. Длина прямоугольного параллелепипеда равна (а + 123) м, ширина — (& + 213) м, а высота — (с + 312) м. Запишите формулу для нахождения объёма параллелепипеда. Вычислите значение объёма, если а = 177, Ь = 87, с - 88. I Измерения прямоугольного параллелепипеда 80 см, 50 см, 9 см. Найдите.ребро куба, объём которого на 28 дм^ больше объёма данного прямоугольного параллелепипеда. 17 Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину уменьшить в 3 раза, а высоту увеличить в 6 раз? ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ г>' Разместите в порядке возрастания дроби: 75 1 10 3 11 9 12 4 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12' X 3S1 67 При каких значениях X дробь — правильная? 8 6!' При каких значениях X дробь — неправильная? X X 11 ' При каких значениях X дробь — меньше дроби — ? 70 Рабочий изготовил 124 детали, что составляет — норгу,ы, 3 Сколько деталей должен был изготовить рабочий по норме? ■ Запишите неправильную дробь в виде смешанного чис/д- ’•!= <• 72 Сколько часов составляет 145 мин? 7о Запишите смешанное число в виде неправильной дроби; 2 2) 15^: 3) 9 9’ 4) 11 12 13' / Площадь территории Украины 603 700 км^. На степную :,ону приходится — всей площади. Найдите площадь степной 5 зоны Украины. 71 Запишите четыре числа, которые; 1) больше 7, но меньше 8' 2) больше 9, но меньше 10. /6 Начертите координатный луч и отметьте на нём точку, соот- ..4 3 _. 12 .. 1 ветствующую числу: 1) — ; 2) — ; 3) —; 4) — . 4 4 4 2 7V . Найдите значение х, для которого выполняется равен(;хво: 1)^ = 2^; 11 11 2) = 5 112 о, 1 36 3) X— = — 7 7 4) X- -Ш 4 145 145 7 7 4 I В магазин завезли 714 кг груш. В первый день предали 5 - 9 ^ — всех груш, а во второй — —. Сколько груш продали за \ дня? 332 5 6 ^ , S в саду 300 деревьев. Из них — составляют груши,-ябло* 30 30 ни, а остальные — сливы. Сколько в саду груш, яблонь, слив? Липовый цвет при сушке теряет — своей массы. Сколько нужно 4 взять свежей липы, чтобы получить 12 кг сухого липового цвета? Si Сколько нужно смолотить пшеницы, чтобы получить 24 К1 6 муки, если масса муки составляет — массы пшеницы? 8 S2 На экскурсию в Канев собралось 28 учеников, что составляет количества учеников класса. Сколько учеников в классе? 83 Из ящика массой 60 кг взяли — бананов, а остальные раз- 5 делили поровну между 6 покупателями. Сколько килограммов бананов приобрёл каждый покупатель? 8 34. Испекли 100 булочек с маком, что составляет — булочек со сгу- 5 щённым молоком. Каких булочек испекли меньше и на сколько? СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ 3F Вычислите: .3 6 1) 5- + 6--39 9 9 3) 5-2 7 7 2) 911-711.4^ 31 31 31 4) 17-5—-6— 13 13 85 Заполните клеточки квадратов так, чтобы суммы чисел в каждой строке, столбце и диагонали были равны между собой. 1) 3 21 2 1 2 2) 2 3 3 г! 3 1 2 333 ' ti / Найдите значение выражения в часах: ^ 1) — ч + 12 мин + 900 с; 60 2) 240 с+ 45 мин---ч. 60 , U8. Периметр треугольника равен 6— дм. Найдите сторону тре- I 4 7 угольника, если две другие его стороны равны 3—дм и 2—дм. 15 15 I 3 . п?. Периметр квадрата равен 7— см. Каким станет периметр 4 квадрата, если каждую его сторону увеличить на — см? 4 'J ^ Сумма длин всех рёбер куба равна 6 дм. Какой станет сумма длин всех рёбер куба, если каждое его ребро уменьшить 1 ^ на — дм? 12 9 Плоидадь квадрата равна 4 см^. Каждую его сторону уменьшили на — см. Найдите периметр нового квадрата. 9 92. Назовите какое-нибудь значение координаты точки С, расположенной между точками: 1)А(3)иВ(4): 2)М(9)иЛГ(10): 2,)K[22)v\D(2b)\ 4)Р(19)hQ(20). 9 ■ Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину шести клеточек тетради. Отметьте на этом луче точки А .D 12 V / , 1- |, £(1). Найдите длины всех полученных отрезков. Сравните длины отрезков АВ и CD, если А\ 1 С|5| ,В|3- \ ,D f 31 4- } 1 5) Развёрнутый угол ВАС двумя лучами AD и AN разделили 5° 1 ° на три угла. Угол BAD равен 45— , а угол NAC — 68— . 6 6 Найдите градусную меру угла DAN. 334 Решите уравнение; л: 24 5 31 1)-----1-----i----— — 32 32 32 32 29 l29 29j 29 2)^ + 13 17 8 + —1 = 2—: 13 13j 13 4)|1^T2lI^ '55 55 -^ = 3^, 55 55 7. Найдите неизвестное слагаемое, если другое слагаемо» 1 6 равно —+—, а сумма 14 14 3—-2—. 14 14 При каких натуральных значениях а будет верным неравенство: 1) - + 1-<2-7 7 7 2) 3-2 —> — ? 13 13 В школьной столовой во время обеда дети выпили 10— л 9 4 5 молока, 5— л кефира и 14— л компота. Сколько всего ли-9 9 тров напитков выпили дети? Автобус за первый час проехал 63— км, а за второй — 71— км. Какой путь проехал автобус за третий час своего движения, если всего он проехал ^86— км? 4 4 Кочан капусты на — кг тяжелей — этого кочана. Какова 5 5 масса кочана капусты? ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ? Сравните дроби: 1) 2,3 и 2,9; 3)78,25 и 78,248; 2) 152,03 и 152,3; 4) 107,13 и 107,1236. Между какими двумя соседними натуральными числами находится десятичная дробь: 1)13,6; 2)102,405; 3)5,2054; 4)5,3; 5)154,256? 335 2) (125,25-12,126)+ 84,2. 3)95,381 +3,219. 104 Вычислите; 1)81,31 +(54,1 -27,39): 105 Найдите сумму: 1)0,769 + 42,389; 2)5,8 + 22,191; lOt.- Вычислите: 1)2,012 + (7,3 + 8,688); 2) 4,307 + (102,143 + 119,55). 107 Найдите разность: 1) 18,01-2,9; 3)0,067-0,0389; 2) 7,45-4,45; 4)206,48-90,507. 108 Найдите произведение чисел: 1)2,5 0,37; 2) 3,45 0,12; 3) 0,25 • 0,48. 109. Вычислите: 1) (2,8 + 5,3) ■ 12; 3) (6,31 + 2,59) ■ 25; 2) (8,7-4,3)- 15; 4) (7,329 - 2,079) • 14. 110 Вычислите 1) 32 ■ 0,2^ • 100; 2) 8^ ■ 1,3^ ■ 0,1. 111. Стороны прямоугольника равны 7,8 см и 13,45 см. Найдите периметр и площадь прямоугольника. п: На одно платье требуется 1,75 м ткани. Цена ткани за 1 м составляет 156,25 грн. Мама купила ткани на 2 платья. Сколько денег она потратила? 113 Найдите частное: 1) 0,468:0,09; 3)0,00261:0,03; 2) 24,576:4,8; 4)16,51:1,27; 11 < Вычислите: 1) 4,9 :10; 2) 7,54: 100; 3) 0,8939 : 0,1; I Решите уравнение; 1) х-7,83 = 6,47; 3) (1,37-0,37)1/= 664 • (39,7-29,7); 2) (г/ + 26,1) • 2,3 = 70,84; 4) (100,83 - 0,83)г/= 583,7 - 83,7. II о Купили 3,8 кг вишен по 4,25 грн за килограмм и 5,4 кг земляники по 6,85 грн за килограмм. За какие ягоды заплатили больше и на сколько? 11 Округлите; 1) до десятых: а) 9,435; б) 32,1601; в) 9,75; 2) до сотых: а) 65,1784; б) 4,008; в) 1,6666; 3) до единиц: а) 50,92; б) 1,19; в) 8,47; 4) до сотен: а) 468; б) 2078,65; в) 197,48. 4) 0,8 :0,1; 5) 0,00081 : 0,001; 6) 7,8 ; 1000; 5) 0,824:0,8; 6) 46,08 ; 0,384. 7) 0,0001 :0,01; 8) 4: 1000; 9) 2,8:0,01. 336 Запишите в тоннах; 1) 23 651 кг; 2) 154 897 кг; 3) 10 023 кг; 4) 2925 кг. Результат округлите до: а) тысячных; б) сотый; в) десятых; г) единиц. Какие цифры можно поставить вместо *, чтобы округлениш было выполнено верно: | 1) 17,9*^17,9; 4) 15,205* == 15,205; [ 2) 102,* 31 = 102; 5) 215,025* == 215,026; I 3) 115,3*= 115,4; 6)48,12*99 = 48,12? ПРОЦЕНТЫ. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ 52 % всех учеников музыкальной школы учатся играть ми фортепиано, 28 % — на скрипке. Сколько учеников учатся по классу фортепиано, а сколько — по классу скрипки, если всего в школе 250 детей? Поле площадью 150 га на 72 % засажено сахарной саёк-лой. Сколько гектаров поля засажено свёклой? Площадь магазина 60 м^. 65 % этой площади занято под торговый зал, а остальные — под служебные помещения. Какова площадь служебных помещений магазина? Бак кубической формы с ребром 1 м заполнен водой гш 65 %. Найдите объём воды в баке. В школе учится 800 учеников. Среди них девочек на 16 % больше, чем мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчи* ков учится в школе? На поезд «Киев—Львов» продали 364 билета, что составляет 65 % общего количества мест в поезде. Сколько всего мест в поезде? Радиус орбиты планеты Марс приблизительно равен 228 млн км. Найдите радиус орбиты планеты Земля, если он составляет 65,61 % радиуса орбиты Марса. Свитязь — самое глубокое озеро Украины. Его средняя глубина равна 7,2 м, что составляет 360 % средней глубины озера Кагул. Найдите среднюю глубину озера Кагул. Найдите температуру воздуха утром, если днём было 33,2°С, вечером — 26,6°С, а средняя температура за день составляла 30,4°С. ; Среднее арифметическое трёх чисел равно 3,5. Второв число на 0,5 меньше первого и в 2 раза меньше третьего. Найдите каждое из этих чисел. 337 ОТВЕТЫ Глава 1 § 1 13. 1)8; 2) 10; 3) 19; 4) 24, 14. 1) 12; 2) 10; 3) 5; 4) 13. 15. 1) 1 и 9; 2) 10 и 99; 3) 100и999; 4) 10000и99999.16.1)9; 2)90; 3)900:4)90000.24.9876543210 И 1023456789, 25. 15парт. 26. 50. 27, 5орехов. 29. 1) 16и 14; 2) 102и 100; 3) 53 и 52; 4) 234 и 233; 5) 65 и 66; 6) 420 и 421.30. а + 1; а + 2; а + 3; а + 4. 31. 21 раз. 32, 20 раз. 33. 1 — 21 раз, 0—11 раз. 34. 1) 5 — 36 раз; 2) 7 — 26 раз. 35. 6. 36. 24 и 18. 37. 23421314 или 41312432, 38. 144. 39. 2367. 40. 1) 9 и 11; 2) 10 и 12; 3) 33 и 40; 4) 50 и 25. 41. 1) 171111; 2) 111111.45. 1) 383; 2) 25. 46. 87 учеников. 47. 265 детей. §2 64.1) 12 см; 2) 5 см; 3) 4см; 4) 3см. 57. 1) 13 см; 2) 44 мм; 3) 48 мм; 4) а-Ь; Ь) с - d, Q) т + п. 63. 54 см. 64. 27 см или 3 см. 65. 104 см или 24 см. 66. 8 см, 26 см, 18 см. 67. 24см, 16 см, 8 см, 68. 12 см, 69. 24 мин. 70. Да. 74. 11 столбов. 77. 1) 0; 2) 306. 78. 42 грн 50 к. 79. 3 грн. §3 88. К(1). М(3), 7/(6), Д(10), 89. А(2), В(4), С(7), Д(10). 90.Л(1), В(3), С(5), 1){7). 91. АГ(1), 7/(3), М(4), Р(5). 94. 1)5; 2) 10; 3) 22. 95. 1) 5; 2) 6; 3) 18. 98. 1) Да; 2) нет. 99. 4 дня. 100. 12. 101. На шестом месте. 103. 1)54; 2) 5. 104. 1)9иЗ;2)4и5. §4 112. 1) 1097; 2) 397; 3) 7200; 4) 25. 113. 1) 540; 2) 1330. 114. 10 см, 115. 15 см, 128, 1) 16; 2) 13. 129. 1) 1; 2) 57. 132. 1) 1 грн; 2) 2 грн 50 к. 133.5к.,6к., 10к. 137. 1)695; 2)830. 138, 44 конфеты. 139. 16км. §5 145. 1) 90°; 2) 138°; 3) 45°; 4) 87°. 146. 1) 55°; 2) 145°; 3) 70°; 4) 110°. 149. 1) 30°; 2) 90°; 3) 120°; 4) 180°. 150. 1) 60°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 180°, 153. 110°. 156. 1)75°; 2) 56°. 157. 1) 35°; 2) 110°. 158. 1) 82°; 2) 91°; 3) 42°. 159. 1) 127°; 2) 37° 160. 1) 45°; 2) 30°; 3) 18°. 161. 1) 90°; 2) 45°; 3) 30°. 162.30°, 163.45°. 164. 14ч30мин. 168. 1)48; 2) 700. Глава 2 §6 170. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) да. 171. 1) 4f; 2) 786; 3) 8а; 4) а6, 172. 1)Нет; 2) нет; 3) да; 4) да. 174. 1) 20; 2)20020; 3)420; 4) 15. 176. 1) (123-78)-а; 2) (а + 4):с; 3) 56 (/г + гл); 4) (а + 5Ь):(п-т). 178. 5а, 179. 1446 - с + п. 180.1) а = 36; 2) а+4 = 6; 3) а = 6. 181. 10а + 5с. 184. 1)240 км; 2) 720 км; 3) 300 км. 185. 1) 200 км; 2) 100 км; 3) 500 км. 187. 1) 100 д.; 2) 125 д.; 3) 75 д. 188. 1) 136 грн; 2) 170 грн, 189. 1) Зп + 3; 2) п(п + ^){n + 2). 190. а = 10ООх +100г/ + 106 + с.191.от = 1 ООООООо + 10006 + 10с + р. 192.1) 1; 2) 1;3)7;4)2 193. 1) 11; 2) 258; 3) 5008. 194. 1)7;2)77. 195. 1) 180 000 м; 2) 9 000 м. 196. 200 мин. 197. 4 мин. 198. Уменьшится на 2с. 199. 1) 1000006 + 100а (см); 2) 1000(с + 2) (г); 3) 100л + т (к.). 200. 954; 338 963; 972. 201. 2а + 2h - с. 205. 1)6; 2)3. 207. 1) Нет. 202. 40 + а - Ь. 204. 1) 1032 м; 2) 3440 М §7 208.1 )Да; 2)да;3)нет. 209.1 )Да; 2) нет; 3) нет. 211 .Да, переместительный закон.212. 1)56789;2)3004002009.213. 1)30;2) 150;3) 120;4) lOOOPh, 215. 1) 2 045 046; 2) 163 140; 3) 23 000 023. 217. 1) 115 км 40 М, 2) 150 км 70 м; 3)87 кг 350 г; 4) 120 кг 10 г; 6) 7ч 57 мин. 218. 1) 9; 2) 7; 3) Ю 219. 1) 11; 2) 7; 3) 15. 220. 1) 13 030; 2) 2 019; 4) 102 100; 5) 47890 221.1) 20 207; 2)9 105;3)70000000;4)240000.223.1)100000; 2)6000000(1 3) 1 311 111 100. 224. 1) 720 005 м/ч. 225. 1 082 221. 226. 2d + С, ’ 227. 156 469. 228. п + т + к. 230. 1) 841; 2) 3610; 3) 115478; 4) 105913) 5) 4000 000. 231. Увеличится на 80 773. 234. 1) 1401 км 104 М, 2) 142 кг 132 г; 3) 22 ч 13 мин 13 с; 4) 5 ч. 235. 110 097. 236. 11 010, 239. 2) 1 650. 240.1) 3 686; 2) 1 521.241.1) 10а + 5л + 23т + 33; 2) Зс + 10; 5) <. О -I QQ on 4 О 889. 1) <; 3) >; 5) < 892. 4. 893. 6. 894. 1) 3) -.898. - 899. —. 4 200 160 15 900. А 90,. н г, i., 5, А, Z. 904. ,1 7. i;3) I. 1.906. I 46 5 7 15 7 15 15 3 7 9 3 3 7 3 907. -1 и -1 908. 1 912. 1) 6000; 2) 5. 913. 1) 55; 2) 39. 914. По 36 грн. 15 15 6 915.2180м. §24 3 12 2 22 3 44 7 922. 1) 5-:3) 12— 923. 1) 8-;3) 15— 925. 1) - ;3) —.926. 1) - ; 4 19 5 27 ' 5 44 7 56 ЗП 9 5 50 3) — .927. 1) —; 3) - .928. 1) - ; 3) —. 931. 1) <; 3) >. 932. 1) <; 3) >. 56 10 3 1 10 933. 1) 1 1 3). 1о1; 5) 1з1. 934. 1) 1—; 3) 1 ll; 5) 1б1.935. 1) ll; 9 2 4 112 4 9 342 _ 3) 11—; 5) 41.936. 1) 2— ; 3) 8—. 937. 1) 7 : 5; 3) 38 : 11.938. 1) 11 ; 9; 13 11 13 > ' ! I - 3) 89 : 12. 939. 1) — ; 3) —. 940. 1) —; 3) —. 941. — и —. 5 9 5 7 12 12 1,0 3 943. Наибольшая дробь-----.947. 1)<; 3) <. 948. 1) >; 3) >. 949. 1)1-; 2 5 4 7 7 1П7 38 289 3) 1—. 950. 1)1—;3)2. 951.1) - ;3) —.952. 1) —; 3) — . 953. Да, 81 39 55 13 13 954. Нет. 955.1) 8; 3) 15.956.1) 5; 3) 9. 957. 28. 958. 91.960. 7. 961. Нет. 962. Да. 963. 1)7; 2) 0. 964. 16 км. §25 970. 1)6; 3)16; 5) 84. 972. 1) 36°; 3) 40°, 973. 1) 126°; 3) 80°. 974. 116 см. 975. 135 кг. 976. 35 мин. 977. 70 мин. 978. 10 кг, 979. 20 сут. 980. 1) 36; 3) 16; 5) 25. 981.1) 1.0 см; 3) 18 см. 982.1) 135°; 3) 40°. 983.1i) 108°; 3) 160°. 984.28 примеров. 985.30 учеников. 986.210 кг. 987.15 км. 988.1 м. 989.3 кг. 990. 100000 м®. 991.96 л. 992. Саша, на 240 грн. 993. 100 кг. 994.В декабре, 9 грн. 995. С вишнями — на 20 булочек больше. 996. Для мальчиков на 70 костюмов меньше. 997. У первого — на 22 т больше, 998. 176 баночек. 999. Нет. 1000. 5® страниц. 1001. Поровну. 1002. 8 кг. 1003. 18 ч. 1004. Отличников. 1005.400 грн. 1006. УАлёны —на 24 м^ больше. 1007.120 дней. 1008. 1) 926; 2) 1950. 1009. 1) 63; 2) 94. 1010. 8 см и 24 см. 1011. 12 см. Глава 6 §26 1018. 1) —; 3) —; 5) —. 1019. 1) —; 3) —. 1020. 1) —; 25 29 111 71 97 31 3) — ;5) —.1021.2) — ;4) — ;6) —. 1022. 1) -;3) —.1023. 1) - ; 59 151 83 67 123 5 23 7 1А ОЙ 3) —. 1024. 1) >; 2) >; 3) =; 4) >. 1025. 1) >; 2) <. 1026. 1) 3) —, 22 30 56 1027. 1) —; 3) 1. 1028. — . 1029. 1) 17; 3) 21. 1030. 1) 23; 3) 61. 42 143 > • I 1,1 1031. — ч. 1032. —. 1034. 1) 0; 3) —. 1035. 1) ; 3) . 60 33 97 31 1237 ^;4) ЛЁ. 49 81 1039. 19 159 1036. 1) 1037. 1) 3) — 1038. 7 15 99 13 1040. — , 1041. 1) а = 4; 2) ft = 9. 1042. 1) 15; 3) 23. 1043. 1) 9; 3) 26. 1044. —. 1045. —. 1046. 1) 1—;3) — ; 5) 1— Ю47. 1) 1—;3) 1—. 33 17 53 59 .151 37 59 343 1050 n —• 3) — 1051. 1) 9;: 3) 36. 1052. 1) 18; 3) 65. 1053'. 2 см. ■ 77’ 127 1054 18 см 1055. —, 6020 детгей, 280 детей. 1056. 270 учеников. 45 1057. ^ 1058. II . 1061. 1) 1-1: 2) II. 1062. l| . 1063.50. 1066. Ука-83 91 7;2 9Ь о зание; нужно разделить каждую) буханку на 8 частей. 1067. 40 мин. 1068.1)42200; 2) 1 ч41 мин. 1069. 20 ч. 1070. 1) 17; 2) 2500.1071.18 ч и 27 ч. §27 1078. 1) 2) . 3) 1079. 1) 2) —; 3) 1080. 19 21 17' '15' '47 1081. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 4 ,3 ____ .11 22 25 37 14 43 . 1083t. 1) l|^; 3) 4I; 5) 5!^. 1084. .1) 2I; .13 1 3) lol; 5) 7^. 1085. 5^. 10:86. 10-. 1087. 1) 1-; 3) 2-; 5) 4-. 1088. 1) 2l|; 3) б1;5) 10^. И089. 1) Д;3) 4^. 1090. 1) l|;3) з|. 1091. 1) >; 2) >; 3) <; 4) =. 1092. 1) >; 2) <; 3) <; 4) <. 1093. —. 1094. 1—. 1095 2— 1096. —; ЮЗкгбанЗнов, 120 кг апельсинов, 120 кг мандаринов. 1У 23 1097. 1) 16; 3) 38. 1098. 1) 8; 3) Ю6. 1099. 1) l|; 3) 1-. 1100. 1) 2—; 3) 2II. 1101. 1) 1^; 3) 6. 1102. 1) 1; 3) 2||. 1103. 1) 1^; 3) 2^ .24 35 .20 .22 49 47 10 11 1104.1) 2;^ ;3) 4:^ .1105. Я 2—. 1106. 1)40; 3) 6. 1107. 1) 15; 3) 51. 27 120 1108. —; 75 красных, 225 синих и 325 зелёных. 1109. 1 . 1110. 12. 25 1111.24. 1112. 2^. 1113. 1) 16 и 31; 2)3 и 10. 1114. г|. 1116. 2 м. 1117. 1)3500; 3) 0. 1118. 16 и 96. 1119. 1)34°; 2) 1>35°. 1120. 9, 12, 15. § 28 1127. 1) пА; 3) 14l|; 5) И- И28. 1) 17^; 3) . 1129. 1) 7|^; 25 29 3) 17; 5) 16—. 1130. 1) 8-; 3) 12. 1131. 1) >; 3) >. 1132. 1) >; 3) =. 15 7 ,5 . 15 1<133. 12— . 1134. 1) 3 и 4; 3) 13 и 14. 1135. 1) 2—; 3) 6—; 5) 6— 13 29 11 344 1 1 о 7 R Q 1136. 1) 9-; 3) 4—. 1137. 1) —; 3) 1-; 5) 9—. 1138. 1) <; 2) <; 3) > 715 11715 > ’ > > ! 1139. 1) =; 3) <■ 1140 2-. 1141. 1. 1142. 2-. 1147. 1) 43; 3) 26 9 7 / . / 1148. 1)41; 3) 16. 1149. 1) 6—;3) 25— 1150. 1) 18—. 1153. 24- дм 13 17 21 8 2 3 2 45 14° 1154. 26— см. 1155. 67- см. 1156. 166- см. 1157. 1—.1162. 45— 11 7 9 83 18 1163. 8— км/ч и 3— км/ч. 1164. 4— и 2— или 4— и 2 — 66 17 17 17 17 1165. 3- и 4~. 1166. 36- м. 1167. 7— грн. 1168. Да. 1169. 1)3400;, 6 6 6 25 3) 12300; 3)357000. 1170.24дня. 1171. 1) 1;2)25. Глава 7 §29 1173. 1) о,5 см; 2)-0,8 см; 3)0,9 см; 4) о,2 см. 1179. 1) 1,4;2)2,7; 5) 1,12 6) 12,125; 7) 25,035; 1180.1)12,08; 2) 55,07; 3)85,089; 4) 5,055.1183.1)8,3 2) 12,5; 3)0,5; 4) 12,34; 5) 145,14; 5) 125,19; 7) 0,12. 1184, 1) 0,008; 2) 20,04 3) 13,05; 4) 145,02. 1188. 1) 0,35 грн; 2) 0,06 грн; 3) 12,35 грн; 4) 1,23 грн 1189. 1) 0,58 грн; 2) 0,02 грн; 3) 56,55 грн; 4) 1,75 грн. 1190. 1) 10 грн 34 к. 2) 12 грн 3 к,; 3) 52 к.; 4) 126 грн 5 к, 1191, 1) 5,7 м; 2) 15,58 м; 3) 5,002 м 4) 12,432м. 1192, 1) 3,175 км; 2)45,047км; 3) 15,002 км. 1193. 1)12м55см 2) 2 м 6см; 3)25 см; 4) 8см. 1194.2211 м. 1195. 1) 15,5 < 16,5; 2) 12,4< 12,5 3) 45,8 > 45,59; 4) 0,4 < 0,6; 5) 4,2 < 4,3; 6) 14,5 < 15,5; 7) 43,04 < 43,1 12) 2,25 >2,243.1196, 1)78,5<79,5;2)22,3<22,7;4)0,3<0,8;5)25,03<25,3 1197. 1)6,9; 9,3; 12,45; 15,3; 18,1; 36,2; 36,85; 56,45; 2) 21,22; 21,23; 21,35 21,46;21,55;21,56;21,59;21,78,1198.15,95;15,9;15,6;15,5;15,45;15,4;15,35 15,2.1199.1)0,05м^;2)0,0015м'';3)0,0512м71200.0,36м71201.1)0,04<0,06 2) 402,0022 > 40,003; 9) 120,058 > 120,051; 10) 78,05 < 78,58; 1 1) 2,205 < 2,255 12) 20,12 < 25,012.1202.1) 0,03 < 0,3; 4) 6,4012 < 6,404; 5)450,025 < 450,2054 6)3,05>3,041.1205.1)3и4;2)12и13;3)125и126;4)125и126.1208.1)1,99 2)2,9. 1209. 1)2,01;2)4,001.1216. 1) 50,407; 2) 5,0047. 1222.336 кг §30 1228. 1) 3,5; 2) 5,25; 3) 7,87; 4) 5,4; 5) 78,2; 6) 56,87, 1230. 1) 15,86; 2) 52,67; 3) 150,23; 4) 4797,64. 1231. 1) 6,6; 2) 8,1; 3) 34,39; 4) 73,64; 5) 27,273; 6) 25,27; 7) 270,702; 8) 37,2712; 9) 5,225; 11) 67,63; 12) 43,95; 13) 11,013; 14) 4,13; 15) 225,512; 16) 14,1062. 1232. 1) 4,3; 2) 69,52; 3) 24,98; 4) 26,712; 5) 37,936; 6) 725,601; 7) 34,2612; 8) 7,8174; 9) 6,5685. 1233. 1) 28,65; 2) 22,142. 1235. 1) 4,3; 2) 23,2; 3) 124„71; 4) 138,34. 1236. 1) 6,5; 2) 99,7. 1237. 197,68 т. 1238. 44,84 см. 1239. 125,845 кг. 1240. 15,149.1241.45,029.1244.1)5,6;2) 13,59;3)57,06;4)3,023;5)7,76; 6) 19,606; 7) 24,02; 8) 4,016; 11) 34,8; 12) 21,76; 13) 31„2; 14) 11,972. 1245. 1) 0,9; 3) 0,001; 4) 119,28; 6) 422,353; 7) 2,64; 8) 0,0044; 9) 0,123. 345 1246. 1) 5,3; 1) 13,7; 3) 11,21; 4) 50,59; 5) 446,33; 6) 32,43. 1247. 1) 1,1 2) 42,4; 3) 5f,44; 4) 5,88. 1248. 118,8. 1249 . 43,139. 1250 . 24,35 м 1252. 84,63. -255. 1) 16,58; 2) 22,65; 3) 55,698. 1256. 1)48,85; 2) 152,91 4) 1430,45. 1257. 1) 0,52; 2) 8,3; 3) 2,64; 4) 84; 5) 432. 1258. 1) 35,39 2) 187,72; 3)0; 4) 765,14. 1259. 1) 11,27; 2) 3,858; 4) 7; 5) 21,86 6) 52,7. 12€0. 2) 14; 3) 30,5; 4) 8,04. 1261. 1) 14,75; 2) 91,74 3) 183,22. 1262. 1) 74,45; 2) 136,76; 3) 166. 1263. 1) Увеличится на 10,35 2) увеличится на 13,97. 1264. 1) Увеличится на 9,2; 2) увеличится на 7,62. 1265. Меньше на 38,42, больше на 104,102.1266. Больше на 45,58, меньше на 830. 1267.30,4 м. 1268.11,1 см. 1269.10,538т. 1270. На4,79м. 1271.0,86 т. 1272.1) 71,3; 2) 16,496. §31 1291.1) 1,2;2)2,4;3)3,2;4)21,04;5)0,16;6)24,5. 1292. 1) 23,9; 2) 168,18. 1293. 1) 53,4; 2) 45; 3) 1,8; 5) 4817,4; 6) 2533,3; 7) 74,4; 8) 129,95; 9) 2,34: 10)518,7; 11)5655,6; 12)693,56; 13)3550,395; 14) 7458,99; 15)29357,325 1294. 1) 58,-^; 2) 69,6; 3) 2,448; 4) 854; 5) 16683,55; 6) 2576,55; 7) 65,7 8) 636,5; 9) 240,7; 10) 5897,92; 11) 1668,88; 12) 65957,04. 1297. 1) 53,55 2) 6,64; 3) 6,97; 4) 169,725; 5) 13,824; 6) 260,394; 7) 882,672; 8) 575,0967 9) 880,7964. 1298. 1) 9,8; 2) 24,675; 3) 120,72; 4) 98,544; 5) 2337,574 6) 1739,3652. 1299. 1) 2,25; 2) 2; 3) 0,34; 4) 0,464; 5) 0,625; 6) 1,96 7) 0,0168; 8) 10,91241; 9) 0,0864. 1300. 1) 2; 2) 1,68; 3) 2,178; 4) 4,092 5) 0,027; 6) М,15118. 1309. 1) 79; 2) 966,64; 3) 128225,375; 4) 15,096 5) 1048,65684; 6) 1,056574.13 1 0.1)77,1; 2) 376,77; 3) 1158,3404; 4) 1,34064 1311.37,2см. 1312. 3954,45кг. 1313.159,468.1314. 85,8546.1315.1,7кг 1316. 3)2324 км; 4) 290,5 км; 5)58,1 км. 1317.49,2 м. 1318. 1)70; 2) 80 3) 49; 4) 64; 5) 11,25; 6) 106; 7) 13,69; 8) 145,8; 9) 90. 1319. 1) 15; 2) 24 3) 200; 4) 270; 5) 123; 6) 1,76. 1320. 36 мин. 1321.3,9 м. 1322. 1) 1,5625 2) 307,98516; 3) 1096,3095 ; 4) 107366,993; 5) 58086,804; 6) 21,2207219 1323. 1) 25,831025; 2) 2654,3; 3) 6203,865; 4) 11765,543; 5) 562,5126 6) 1643,8628 1324.0,06:2,50974; 15,725; 23,49; 502,632.1325, 2961,4275 113,04; 1,9575; 0,2496; 0,24. 1327. 1) 124,5; 2) 1036; 3) 5342,76 4) 6354,556 5) 1105,499; 6) 65365,42. 1328. 1) 80,52; 2) 668,3328 3) 417,2622; 4) 27,3364 1333. 1) 9,2; 2) 6,46; 3) 22,21. 1335. 1) 102,4 2) 333,95;3)3300,55;4)247,95585.1336.1 )746,66;2)2375,505.1337.1 )65,64 i 68,7605; 2) 26,2 и 30,5121; 3) 2 и 0,21; 4) 19,8 и 5,58. 1338. 12,6 км. 1339. 716,4 км. 1340 88,9532 1342. 30,4. 1343. 24,9. 1344. 150. 1355. 1)390,108; 2) 731,355. 1357.24 §32 1365. 1) 6,3; 2) 1,1; 3) 2,3; 4) 5,4; 5) 0,1; 6) 11,22. 1367. 1) 1,25; 2) 9,4 3) 0,7; 4) 10,4; 5) 1,64; 6) 1,8; 7) 12,6; 8) 2,17; 9) 20,8; 10) 0,23; 11) 0,012 12) 30,07; 13) 5,2; 14) 0,14; 15) 5,12. 1368 1) 3,6; 2) 48; 3) 120; 4) 40,2 1369. 1) 8; 2) 16; 3) 13; 4) 43; 5) 14; 6) 12. 1378. 1) 0,49; 2) 2,1; 3) 0,01 4) 10,1; 5) 30,03; 6) 11,01. 1379. 1) 2,1; 2) 10,06; 3) 2,11. 1380. 62,5 км/ч 1384. 1)350; 2) 160;3)80; 4) 90; 5) 1800;6)300. 1385. 1) 50; 2) 60; 3) 560 4)300.1386. 45 мин. 1387.6,5м. 1388. 1) 1,6; 2) 1,3; 3) 23,5; 4) 0,8; 5) 0,14 6) 12,03. 1389. 1) 12;2)2;3)40;4) 1,35. 1391.40; 12; 2; 1,35. 1392. 1)3,28 2) 5,3; 3)5,4; 4) 2,445; 5)0; 6)3,6. 1393. 1)4,8; 2) 5; 3) 12,36; 4) 1; 5) 13,66 6)5,682. 1394. 1) 11,3; 2) 3,2; 3)0,7. 1395. 1) 1,255; 2) 0,2001.1397. 5,04 м 346 и 2,52 м. 1398. 4,8 км. 1399. В 1,5625 раз. 1400. 48,7 грн и 243,5 грн. 1401.4,25; 12,75; 25,5. 1402.4,28 м. 1403. 150 км. 1404. 200. 1405. 125“. 1413.34,8м. 1416. 1) 1326,51; 2) 2094,385. §33 1425. 1) 3; 2) 2; 3) 506; 4) 4057. 1426. 1) 20; 2) 140; 3) 510; 4) 4590. 1427. 1) 200; 2) 100; 3) 600; 4) 100. 1428. 1) 142,2; 2) 2,7; 3) 50,6; 4) 0,2. 1429. 1) 0,36; 2) 2,01; 3) 0,99; 4) 12,60. 1430. 1) 2 тыс. км; 2,3 тыс. км; 2,29 тыс. км; 2) 1 тыс. км; 1,4 тыс. км; 1,36 тыс. км; 3) 1 тыс. км; 0,9 тыс. км; 0,86 тыс. км; 4) 1 тыс. км; 1,1 тыс. км; 1,13 тыс. км. 1431.1) 2060 м, 2100 м; 2) 1550м, 1500м;3) 1820м, 1800м. 1435. 1) 8000; 2) 7900; 3) 7890; 4) 7894; 5) 7894,3; 6) 7894,25; 7) 7894,255; 8) 7894,2549. 1436. 99,99.1437. 1000,001. 1438. 1) 57,9; 2) 58; 3) 60; 4) 57,92. 1440. 1) 666,0; 2) 670 1441. 1) 100; 2) 130,60. 1442. 1) 4,75; 2) 4,8; 3) 5. 1443. 1) 2500; 2) 2460; 3) 2457,2; 4)2457,16. 1451. 1) 0,45; 2) 405,6. 1452. 1)12; 2) 0,7. 1453. 33567 кг. Глава 8 §34 1459. 1)5%; 3)48%; 5) 123%. 1460. 1) 2 %; 3) 37 %; 6) 137%. 1461.1)0,06; 1 1 RO 3) 0,56; 5) 1,45. 1462. 1)-; 3)-; 5) 1— . 1464. 2. 1465. 75 страниц. 100 100 100 1466. 1) 3; 3) 27; 5) 112,5. 1467. 1) 0,8; 3) 12,8; 5) 78. 1468. 1) 0,256 3) 0,36; 5) 2,55. 1469. 225,968 км. 1470. 7 км. 1472. 5817,6 га 1473. 1) 18,75 кг; 2) 62,5 кг; 3) 1 кг 1474. 1) 5,25 л; 3) 73,5 л. 1475. 1)64 кг 3) 1,92 т. 1476. 1) 54 г и 96 г; 3) 1,26 кг и 2,24 кг. 1477. 1) 58,8 г и 81,2 г 3) 2,352 кги 3,248 кг 1478. 7. 1479. 4. 1480. 1)8; 2) 21,6. 1481. 1) 1,44 2) 21,6. 1482. 1) <; 2) =. 1483. 1) =; 2) <. 1484. 1)4,6; 2) 8,48. 1485. 1)4: 2) 24. 1486. 480 см^, 1487. 132 см^. 1488. 24 см. 1489. 16 см и 32 см. 1490. 210 голова и 140 г свинца. 1491.27 мин, 81 мин, 72 мин. 1492. 126 страниц. 1493. 21,42 грн. 1494. 300 г. 1495. 9 лет. 1496. 126 см. 1497. 6. 1498. 1)27; 3)25. 1499. 1. 1500.38 см. 1501.24, 36,48,54. §35 1508.3)50.1509.3)300.1510.1)300; 3)500.1511.1)600; 3)400.1512.20. 1513. 25. 1514. 32 ученика. 1515. 150000 км^. 1516. 20 кг 1517. 40 кг 1518. 18000 грн. 1519. = 2201 км. 1520. 90. 1521. 250 г 1522. 160 г 1523. 1)400 кг; 3) 6,25 т. 1524. 1) 16кг;3) 192 кг 1525. 1) 40 л; 3) 350 л. 1526. 270 г. 1527. 1) 200 г и 116 г; 3) 800 г и 464 г 1528. 1) 200 г и 70 г; 3) 1200 г и 420 г. 1529. 126. 1530. 50 кг. 1531.48 кг малины и 50 кг черники. 1532. 15 ч 54 мин. 1533. 26 см. 1534. 64 см. 1535. 4096 см^. 1536. 68,5 см. 1537. 14,4 см. 1538. 220 см=. 1539. 8 см. 1540. 12 кг 1541.1600 кг. 1542. 6 см^. 1543. 1000 г цинка. 800 г меди и 200 г алюминия. 1544.60 кг. 1545.32 года. 1546. 4года. 1547.180 см. 1548. 1) <; 2) =; 3)<. 1550. 1) По 75°; 3) по 12,5°. 1551. Зч, 210 км. §36 1556.1)45;3)20.1557.1)3;3)4;5)3.1558.1) 1;3)2.1561.Л(4). 1562.С(2). 1563. 4 кг. 1564. 9 раз. 1565. 4 баночки. 1566. 14000 грн. 1567. 37. 1568. 63 км. 1569. 12 мин. 1570. 9,2 балла. 1571. 8,8. 1572. 11,1. 1573. 4,2 км. 1574. 4,3 км. 1575. 22 грн 40 к. 1577. 48 грн 75 к. I 347 1578.1,2.157й347.1580.42и2Н 1 Вв1.42и30.1582.1,5балла. 1583. Нет, 1584.3,4и7,8.1585.9;5,4и3,6,1ввв. 12,5; 17,5и 15.1587.6,376,1588.1. 1595. 17,5. 1517. 20,8 км; 27,04 км' Повторение 2.17СМИЛИ1 СМ.4.1)7;2)6;3)в.в. I) 1510; 2) 1067;3) 16500;4)807.11.84' 12. 1)40°; 2)50'. 13. 1)60"; 2)66", 3)36" 14. 1) 15; 2) 7а + 2Ь+ 3.15. 1) 100; 2) 128. 18. Увеличился на 32774 21. I) 10500; 2) 12500. 22. 1737 ш. 23.50 т. 25. 27°, 108°. 2(. 90°, 20", 70". 27. 11 «М, 33см, 43 см. 28.18 см, 18 см, 28 см 29. 1) 90 см; 2)120 см. 30. 20,8 ом 31. 1)910650; 2) 4894175; 3) 62038650; 4) 32989710174D. 32. 1) 38200; 2) 7400; 3) 72000; 4) 31500; 5) 496000; 6) 660 33. 1) 540afc; 2)120cd; 3) ЮОтм; 4) liOpkt-, 5) 30а; 6) 8с; 7) 22п; 8) 31р; 9) 79х 34. 1) 15а + 180; 2) 8с - 1 \cd, 3) 12м * бог; 4) 15лр - 15тр; 5) 6р + 3ft + 15t; 6) 4(/ + 110.36.1) 900; 2) 240; 3) 8200; 4) 320.37. 1) 74; 2) 501; 3) 790; 4) 1900 38. 1) 39 (ост. 15); 2) 24520 (oci, I); 3) 950 (ост. 30); 4) 420 (ост. 305) 39. 5 тетр.; 2 грн 50 к. 40. I) 4(1, 2) 3. 41. 178299000. 42. 1) 20; 2) 29; 3) 475;4)8; 5)2;3)4.43. 2460 и4Ю 44.50и150.45.16грн и32грн.46.14км/ч и 16 км/ч. 47. 15 км. 48. 080 м или 320 м. 49. 1)2 ч; 2) 3 ч. 50. 1) 0; 3) 162. 51.1) 152; 2) 2. 52.1) 1280; 2) 16000.53. (2 • 5)= + (22- 2)= + 40 = 12= 10 54. 6,48 см^. 5S. о, 1 см, 0,6 см. 66. 121 см®. 58. 1) 48 м 72 см; 2) 40 см 8 мм 62. 1) 64 см®; 2)27 дм^ 63. (« ' 123)(1и 213) (с + 312) (м®), 0,036 км®. 64. 40 см 65. Увеличитсяв 2 раза. 67. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. 68. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 69. 1,2, 3,4, 5,3,7, 8,9, 10 70,93 детали. 71. 1) ll;2) 2—;3) 6^; 4) 5^ 10 8 72. 2— ч. 73 1) ; 2) ; З) —; 4) —. 74. 241480 км®. 77. 1) 24 60 5 7 9 13 2) 837; 3) 5; 4)27. 78. 500 кг 70. 50 груш, 60 яблонь, 190 слив. 80. 48 кг. 8 5 32 42 81.32 кг 82. 32 ученика, 83. По 2 кг. 85. 1) 7-; 3) 1- . 87. 1) — ч; 2) — ч 9 7 60 60 88. — дм. 89.10 ^ 15 4 g ом. 00. 5 дм. 91. 4— см. 9 95.66°. 96.1)2; 2) 7; 3)26; 4) 6. 97. — .99. 30^ 14 9 л. 100. 52 км. 101.4 кг. 103. 1) 13 и 14; 2) 102 и 103; 3)5 и 6; 4) 5 и 6; 5) 184 и 156. 104. I) 108,02; 2) 197,324. 105. 1) 43,158; 2) 27,991; 3) 98,6. 106. 1) 10; 2) 226; 4) 153,9. 109. 1) 97,2; 2) 66; 3) 222,5; 4) 73,5. 110. 1)36; 2)-Ш,816. 113. 1)5,2; 2)5,12; 3)0,087; 4) 13. 115. 1) 14,3; 2) 4,7; 4) 5.116. Земляники — гш 20,84 грн. 117. 1) а) 9,4; б) 32,2; в) 9,8; 2) а) 65,18; б) 4,01; в) 1,67.120. 130 и 70, 121. 108 га. 122. 21 м®. 123.0,65 м®. 124.464 и 336 учеников, 125. 560. 126. 150 млн км. 127. 2 м. 128. 31,4°С. 129.3, 2,5 И б, 348 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм вычисления 122 Биссектриса угла 43 Возведение в степень 151 выражение буквенное 51 — числовое 31 вычитаемое 65 вычитание 65 Г радус 40 Деление 108 — с остатком 116 — шкалы 24 деления цена 24 дерево возможных вариантов 183 действие третьей ступени 152 действия первой ступени 50 — второй ступени 94 делимое 108 делитель 108 дробь десятичная 259 — неправильная 194 — обыкновенная 193 — правильная 194 Задача комбинаторная 182 закон сложения переместительный 57 --сочетательный 59 — умножения переместительный 95 --сочетательный 96 — распределительный 104 значение числа приближённое 295 Квадрат 76 — единичный 159 — числа 153 классы в записи числа 7 коэффициент числовой 98 координата точки 24 куб 167 — единичный 175 — числа 153 Луч 15 — внутренний угла 43 — координатный 24 Многоугольник 74 множитель 95 — буквенный 98 — числовой 98 множителя вынесение за скобки 105 Направление отсчёта 24 начало отсчёта 24 неравенство двойное 33 — числовое 32 неравенства знаки 32 нумерация 7 Объём 175 округление числа 296 остаток 116 отрезок 16 — единичный 23 j Параллелепипед прямоугольный 165 периметр многоугольника 75 — прямоугольника 76 пирамида 168 плоскость 158 площадь 157 порядок выполнения действий 121 правила сравнения многозначных чисел 34 правило вычитания десятичных дробей 269 ---дробей с одинаковыми знаменателями 227 ---дроби из натурального числа 238 ---смешанных Ч1исел 248 — деления десятичных дробей 288 — нахождения процента от числа 307 ---дроби от числа 212 ---неизвестного вычитаемого 128 —• —делимюго 129 ------делителя 12Q ------множителя 1?Й ------слагаемого 127 ------уменышаомою 1211 ---числа по его дроби 211} ---------nipouOMfy 3IP — сложения десятичимх дробей 269 „ ---дробей с одимнком||1Ми яин менателями 226 ---смешанных чисод 241) — округления! чисел 21)Й — обращения смеилинио) о чиг!ПН н неправильную дробь 2(16 — сравнения деся тичных дробей 262 дробей с одинакопыми .кш* менателями 1'95 — умножения десятичных дробей 277 умножение для комбини горных задач 185 произведение 95 процент 305 прямая 14 прямоугольник 76 — плоский 158 прямоугольника |1орим«|р 76 Разность 65 разряды в записи досигичиой дроби 260 ------натурального числа 7 расстояние 18 рёбра боковые 1б9 равные фигуры 77 равенство числовое 32 Свойства объёма прямоугольного параллелепипеда 178 — площади 161 — сравнения отрезков 18 углов 42 свойство углов треугольника 86 — прямой 15 - ] 1-1 ' Г Г ^349 7 1 ■ т . 7 ои|м1мл ||ЧИ1)Лпмин7 11к[|бих|1Я1 ирьиий 106 (1Л(4| инмоп б 7 0Л|НМ1ИИЙ 67 спропб нирнборл 183 0|)(1Д11ми йрифмп1ичт;ко11319 01№1ННЦЧИ(1ЛИ 161 суММй 67 Тонки 14 ipmii 11Ор1И||40 |раумты1ик НЗ 1рцумжы1ИКй перимегр 84 — рййЖ1бид|)«нмо| и боковые сторо- ны 84 —оемоййние 84 Угол ЗЙ умпньшпомои 65 умножнмио95 урииноние I26 — решить 127 ураименин корень 126 Формула 52 — дли нахождения делимого по не- полному частному и остатку 117 — объёма куба 177 --прямоугольного паралелле- пипеда 177 — периметра квадрата 76 прямоугольника 76 — площади квадрата 160 прямоугольника 160 Цифра 6 Частное 108 — неполное 116 черта дроби 193 чисел натуральный ряд 5 число именованное 6 — натуральное 5 — смешаное 203 Шкала 24 350 ОГЛАВЛЕНИЕ Дорогие ученики...................................;(] Счёт, измерения и числа...................ij § 1. Предметы и единицы счёта................5] § 2. Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков.......................14] § 3. Координатный луч.......................23] § 4. Числовые выражения, равенства, неравенства. Сравнение натуральных чисел..............31] § 5. Углы и их измерение....................39] Глава 2 Действия первой ступени над натуральными числами . 50' §6. Буквенные выражения. Формулы...........51 § 7. Сложение натуральных чисел............57 § 8. Вычитание натуральных чисел...........65 § 9. Многоугольник и его периметр. Равные фигуры74 §10. Треугольник и его виды..................83 Действия второй ступени над натуральными числами.. .94 _ § 11. Умножение натуральных чисел............95 § 12. Распределительный закон...............104 § 13. Деление натуральных чисел.............108 § 14. Деление с остатком....................116 § 15. Порядок выполнения действий в выражениях. 121 § 16. Уравнения............................126 § 17. Типы задач и способы их решения......133 Глава 4. Степень натурального числа с натуральным ' показателем. Площади и объёмы фигур.......150 '^^7 § 18. Степень числа...........................151 § 19. Площадь прямоугольника и квадрата.......157 §20. Прямоугольный параллелепипед. Куб. Пирамида .165 §21. Объём прямоугольного параллелепипеда и куба . 175 §22. Комбинаторные задачи.....................182 Глава 5. Глава 351 _____[Обыкновенные дроби..........................192 . § 23. Что такое обыкновенная дробь. Сравнение дробей........................193 ^ rt § 24. Дроби и деление......................202 § 25. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби............................211 ГД Действия первой ступени с обыкновенными ® дробями с одинаковыми знаменателями.... 224 ^ § 26. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями............225 § 27. Дополнение правильной дроби до единицы. Вычитание дроби из натурального числа .... 236 § 28. Сложение и вычитание смешанных чисел . . . 245 Десятичные дроби и действия над ними...258 § 29. Что такое десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей............259 § 30. Сложение и вычитание десятичных дробей . . 268 § 31. Умножение десятичных дробей...........276 §32. Деление десятичных дробей..............286 §33. Округление чисел.......................295 Проценты. Среднее арифметическое.......304 Я § 34. Что такое процент. Нахождение процента от числа...........305 “ § 35. Нахождение числа по его проценту......312 " § 36. Среднее арифметическое. Среднее значение величин...............319 Задачи на повторение........................... 326 Ответы ........................................ 337 Предметный ука.затель.......................... 348 № Сведения о состоянии учебника Состояние учебника ^ Учебный Фамилия и имя ученика вначале в конце в начале года Оценка года Навчальне видання ТАРАСЕНКОВА Н1на Анатоливна БОГАТИРЬОВА 1рина Миколашна БОЧКО Оксана Петр1вна К0Л0М16ЦЬ Оксана Миколашна СЕРДЮК Зоя ОлексИ'вна МАТЕМАТИКА Пщручник для 5 класу загальноосв1тн1х навчальних заклад1в 3 навчанням рос1йською мовою Рекомендовано М1н1стерством осв 'пи и науки, молод! та спорту Украши ВИДАНО ЗА PAXVHOK ДЕРЖАВНИХ КОШТ1В ПРОДАЖ ЗАБОРОНЕНО Редактор О. Попович Переклад В. /Пченко Художн1й редактор А. В!ксенко Малюнки О. Дядик Техн1чний редактор/7. Ален!на Формат 60x90’/|g. Ум. друк. арк. 22,0 + 0,31 форзац. Обл.-вид. арк. 25,0 + 0,48 форзац. Наклад 84 700 прим. Зам. № 13-05-2205. ТОВ «ВИДАВНИЧИИ Д1М <<ОСВ1ТА» Свщоцтво «Про внесения суб'екта видавничо! справи до державного реестру видавц1в, вигот1вник1в и розповсюджувач1в видавничо! продукцм» Сер1яДК №4483 от 12.02.2013 р. Адреса видавництва: 04053, м. Ки1в, вул. Обсерваторна, 25 www.osvita-dim.com.ua В1ддруковано ТОВ «ПЕТ» Св. ДК № 4526 в1д 18.04.2013 р.61024, м. Харк1в, вул. Ольм1нського, 17. 2 3 4 5 ^^иадрат а / / Прямоугольник Треугольник Ь а/ а / f> = 4a S-a^ P = 2a + 2b S = ab P = a + b + с Единицы длины 10 10 10 1000 1 мм 1 CM -♦ 1 дм -» 1 м ' 1 км Единицы площади 100 :1 ^ \ см“ 1 ДМ^ -> 1м 100 100 2 ^ 1 я 100 , 2 ^ ® -> 1 га 1 км^ Куб Прямоугольный параллелепипед S =а2 гр. S = 6a^ V = a^ V = = abc Единицы объёма 1000 1000 1000 3 _* 1 1 мм® ^ 1 СЛ1® -* 1 дм® ^ 1 „3 1дм®=1л ^ I -I I Букпа A a lib C € Dd Ее Ff Qa Hh II Jj к к LI M m JIATirJ Казванив! буквы a бэ цэ дэ е эф же \ mil аш и йот (жи) ка эль эм Кукан ^Название | буквы 1 Л/ а 1 ' эн й;» О /'/» || пэ 1, . Q4 ку И г II "Р Я«я 11, ЭС ft [ тэ Ни L1 у Vu 'ВЭ Ww дубль-вэ Хх икс 1 Yy игрек Z2 зэт Действие Комноненты действии Результат действии Пукве1111Н11 запись Сложание слагаемое и елпгпемое сумма о f ft ■ с Вычитание умвньшимое и вычитаемое рннность а-Ьтс Умножение множитель и множитель проианеяввив а ' Ь = с /Деление делимое и делитель частное а : ft = с а + хшс или Х + Ьтс о - JC*C X-hmc а- хтс или Х'ЬшС I о: Х'.Ьшс Р1<;|111':1т|;у|>ли1п;имП И|1хождт1но неиавестиого слагаемого: дг ■ <’ - U хшс-Ь Нахождение неизвестного вычитаемого: хша-с Нахождение неизвестного уменьшаемого: х»с ^ h Нахождение неизвестного множителя: 1дг*с: а I дг = с : ft Нахождение неизвестного делителя: дг = а : с ' Нахождение неизвестного делимого: х = с • Ь |’ИО<Н "1ИЛ Л1’Ч ! 'Ч : 1.1 Сложение Вычитание Умножение а + ()*() + а = а а-0 = а а-0 = 0’а = 0 а-а = 0 а • 1 = 1 ■а-а Деление О : а = О а: а = 1 а : 1 = а на О делить нельзя! f Переместительный закон сложения а + b = b + а Сочетательный закон сложения (а + Ь) + с = а + {Ь + с) Переместительный закон умножения а • Ь = Ь • а Сочетательный закон умножения (а ■ Ь) • с = а • (Ь ■ с) Распределительный закон умножения относительно сложения (а + Ь)-с = а- с + Ь- с ' I а - а - а = а^ а - а ■ а. п множителей ал- а = 2а а + а + а = За 1 I I I а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 а^ 1 4 9 16 25 36 49 64 81 а® 1 8 27 64 125 216 343 512 729 I 1 S а Единицы \ \ к и 0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ч: 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 а