Учебник Математика 5 класс Латотин Чеботаревский часть 1

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 5 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения В 2 частях Часть 1 Допущено Министерством образования Республики Беларусь Минск «Адукацыя и выхаванне» 2013 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27 Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной. Рецензент: старший преподаватель кафедры естественно-научных дисциплин и информационных технологий государственного учреждения образования «Минский областной институт развития образования» В. В. Казаков Латотин, Л. А. Л27 Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 1 / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский; пер. с белорус. яз. Л. В. Латотиной. — Минск : Аду-кацыя и выхаванне, 2013. — 176 с. : ил. ISBN 978-985-471-577-3. УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 ISBN 978-985-471-577-3 (ч. 1) ISBN 978-985-471-578-0 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2001 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2013, с изменениями © Латотина Л. В., перевод на русский язык, 2013 © Оформление. РУП «Издательство “Адукацыя i выхаванне”», 2013 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Дорогие девочки и мальчики! Вы уже четыре года изучали математику, но ещё много нового ожидает вас впереди. Математика была добрым другом и надёжным помощником человеку во все времена. Она помогла раскрыть многие тайны природы, создать машины и приборы, без которых невозможно представить современный мир. Многими математическими знаниями люди пользуются уже не одно тысячелетие: почти всё, что вы изучаете сегодня на уроках математики, известно людям более двух тысяч лет. В наше время без определённых математических знаний невозможно представить себе не только специалиста в какой-либо области знаний, но и просто культурного человека. Математика помогает ответить на те вопросы, которые ставит перед каждым человеком жизнь. Основа успеха при овладении математикой — это умение сравнивать, считать, рассуждать, задавать вопросы и отвечать на них. Очень полезными являются такие качества, как фантазия и сообразительность, пытливость и настойчивость, наблюдательность и внимательность. Эти умения и качества вы сможете развить, если будете самостоятельно и ответственно работать как на уроке, так и дома. В учебном пособии пять разделов, которые состоят из отдельных параграфов. Каждый параграф начинается с обсуждения темы, обозначенной в 3 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" названии. Чтобы вы могли проверить себя, после объяснительного текста приводятся контрольные вопросы. Они помечены символом 9. Если вы не можете ответить на какой-либо вопрос, поищите ответ в объяснительном тексте. Задачи, идущие после контрольных вопросов, поделены на три группы. Задачи первой группы — это в основном тренировочные упражнения на обсуждаемую в соответствующем параграфе тему. Во второй группе предлагаются разнообразные задания, при выполнении которых нужно применять то, чему вы уже научились. Здесь помещено много текстовых задач. К некоторым из них даются объяснения, как их решать, и показывается, как можно оформить записи при их решении в тетради. При решении текстовых задач полезно обращаться к рисункам и схемам. Они помогут сделать условие задачи наглядным и подсказать путь к получению ответов на поставленные вопросы. Задачи третьей группы чаще всего являются творческими. Они не требуют дополнительных знаний — успех здесь сопутствует тем, кто не побоится «провести разведку боем». В некоторых задачах вы найдёте интересные сведения из истории, географии, биологии. Благодаря таким задачам вы научитесь применять математику в различных жизненных ситуациях. Возможно, это подтолкнёт вас обратиться к другим книгам, чтобы расширить свои знания о том, с чем вы встретились в задаче. Желаем вам успехов! Авторы 4 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" раздел Натуральные числа: сложение и вычитание 1. Чтение, запись и сравнение натуральных чисел При счёте предметов используют натуральные числа. Их записывают с помощью десяти знаков-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Использование цифр по одной позволяет записать только девять натуральных чисел: 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь), 9 (девять) и ещё число 0 (нуль). Эти числа называют однозначными, так как для записи каждого из них использована одна цифра, один знак. С помощью цифр записывают и многозначные числа: Число Значность числа 47 Двузначное 956 Трёхзначное 88 808 Пятизначное восемьсот восемь тысяч ^ ^88 808 восемьдесят восемь тысяч единиц Рис. 1 Значение цифры в записи многозначного числа зависит от её места, позиции (рис. 1). 5 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Число 88 808 можно записать так: 88 808 = 80 000 + 8000 + 800 + 8 = = 8 • 10 000 + 8 • 1000 + 8 • 100 + 8. Числа 80 000, 8000, 800 и 8 называют разрядными слагаемыми числа 88 808. Место цифры в записи числа называют разрядом. Разряды, начиная от конца числа, называют соответственно разрядом единиц, разрядом десятков, разрядом сотен, разрядом тысяч, разрядом десятков тысяч и т. д. Числа 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, ^ называют разрядными единицами. Каждые 10 единиц любого разряда образуют единицу следующего разряда. Например, 10 десятков дают 1 сотню, 10 сотен дают 1 тысячу. Разряды числа, начиная от его конца, объединяют в классы, по три разряда в один класс — класс единиц, класс т^хсяч, класс миллионов. Есть названия и для следующих классов — миллиарды, триллионы, квадрильоны, квинтильоны, секстильоны, септильоны, октильоны, нанильоны, децильоны. Миллион — это тысяча тысяч, миллиард — тысяча миллионов, триллион — тысяча миллиардов. Чтобы прочитать многозначное число, нужно разбить его на классы и затем называть слева направо количество единиц каждого класса, добавляя название класса. При этом не нужно произносить название класса единиц и того класса, в котором все три цифры нули. Число 79 000 326 047 580 читается так: 79 триллионов 326 миллионов 47 тысяч 580. Его разрядный состав показан на рисунке 2. 6 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" класс триллионов десятков триллионов ,9 триллионов ,0 сотен миллиардов о десятков миллиардов 1СЛ£1СС \ миллиардов\0 миллиардов 3 сотни миллионов 2 десятка миллионов 6 миллионов о сотен тысяч 4 десятка тысяч 7 тысяч 5 сотен 8 десятков класс \ г\ и единиц класс миллионов класс тысяч Рис. 2 Описанный способ записи и чтения натуральных чисел называют десятичной позиционной системой счисления. Десятичной — потому что в основе лежит счёт десятками: 10 единиц одного разряда образуют 1 единицу следующего разряда. Позиционной — потому что значение каждой цифры в записи числа определяется её позицией, разрядом. Люди пользовались раньше и непозиционными сиcтемами счисления, примером которых является римская. В ней используются такие цифры: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 7 Римская система не является позиционной, так как в ней значение цифры одно и то же независимо от места в записи числа. Например, в записях XI и IX, обозначающих числа 11 и 9 соответственно, цифра X обозначает число 10, а цифра I — число 1. Натуральные числа вместе составляют натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5, ^ и имеют определённые свойства: • есть наименьшее натуральное число — число 1, которое начинает натуральный ряд; • нет наибольшего натурального числа, т. е. натуральный ряд не имеет конца; • у каждого натурального числа есть следующее за ним число; • каждое натуральное число, кроме числа 1, имеет предшественника. Предшествующее число n - 1 Число n Следующее число n + 1 — 1 2 99 100 101 25 378 25 379 25 380 Числа натурального ряда расположены в определённом порядке. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счёте названо раньше, а больше то, которое названо позже (рис. 3). Записи вида 2 < 3; 11 > 4 называют неравенствами. 1,2, 3,4, ...,10,11,12, ... 2<3 11>4 2 меньше 3 11 больше 4 Рис. 3 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 8 Рис. 4 Натуральные числа сравнивают поразрядно, начиная с наивысшего разряда (рис. 4). Число 0 меньше любого натурального числа n, т. е. 0 < n. Несколько чисел можно упорядочить по возрастанию или по убыванию. Неравенство может содержать переменную (букву). Например, если записано неравенство a < 3, то подразумеваются числа 0, 1 и 2, так как каждое из неравенств 0 < 3, 1 < 3, 2 <3 истинно. Если о числе b известно, что оно больше числа 25 и вместе с тем меньше числа 28 (25 < b и b < 28), то записывают двойное неравенство 25 < b < 28. Его читают: «Число b меньше, чем число 25, и меньше, чем число 28» (рис. 5). 9 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Двойное неравенство 25 < Ь < 28 означает: 25 < Ь и Ь < 28 Число Ъ больше 25 и меньше 28 Рис. 5 С2бТ^ Утверждение о том, что число c не больше числа 5 (с < 5 или c = 5), записывают так: c ^ 5. Запись d ^ 5 означает, что число d не меньше 5 (d > 5 или d = 5). Записи со знаками ^ и ^ называют нестрогими неравенствами (рис. 6). ^ Нестрогие неравенства ^ с ^ 5 означает с < 5 или с = 5 Число с меньше или равно пяти Со. 1. 2, 3, 47^ Рис. 6 С ^ 5 означает с > 5 или с = 5 Число с больше или равно пяти (^5, 6, 7, вГэГТГ^ Пример. Найдём числа, удовлетворяющие условию 8 < m ^ 13. Интересующие нас числа должны одновременно удовлетворять неравенствам 8 < m и m^ 13. Это числа 9, 10, 11, 12, 13. 10 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1. Какие числа используют для счёта предметов? 2. Какие числа называют однозначными; двузначными; трёхзначными? 3. Назовите цифры десятичной системы счисления. 4. Назовите разряды класса единиц; класса тысяч; класса миллионов. 5. Назовите пять первых классов в записи натуральных чисел. 6. Назовите семь первых разрядных единиц. 7. Как читают многозначные числа? 8. Назовите по возрастанию четыре двузначных числа. 9. Назовите по убыванию три трёхзначных числа. 10. Как сравнивают числа с различным количеством цифр? 11. Как сравнивают числа с одинаковым количеством цифр? 12. Назовите наименьшее натуральное число. 13. Сравните число 0 с любым натуральным числом. 14. Как понимать неограниченность ряда натуральных чисел? 1. Назовите классы числа: а) 23; в) 112 015; д) 56 000 789 707; б) 1096; г) 1 000 452; е) 0. 2. Назовите разряды числа: а) 207; в) 34 005; д) 5 687 000; б) 1214; г) 135 746; е) 0. 3. Назовите разрядные слагаемые числа: а) 40; в) 8329; д) 206 027; б) 461; г) 54 090; е) 4 008 903. 4. Суммой разрядных слагаемых запишите число: а) 215; в) 56 420; д) 67 500 012; б) 5064; г) 5 000 002; е) 500 040 001. Что означает цифра 5 в записи каждого из этих чисел? 11 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 5. Свет распространяется со скоростью 299 792 458 м/с и проходит расстояние от Солнца до Земли за 500 с. Назовите, сколько единиц имеет число, выражающее скорость света, в разряде: а) десятков; г) миллионов; б) тысяч; д) десятков миллионов; в) десятков тысяч; е) сотен миллионов. Найдите расстояние от Солнца до Земли. 6. Расстояние, на которое свет распространяется за год, астрономы называют световым годом. Оно равно 9 460 528 177 427 км. Назовите, сколько единиц имеет число, выражающее это расстояние, в классе: а) единиц; в) миллионов; д) триллионов; б) тысяч; г) миллиардов; е) квадриллионов. 7. Свет от самой близкой к нам звезды Проксима Центавра достигает Земли за 4 года 80 суток, а от самой яркой звезды Сириус — за 8 лет 205 суток. Найдите расстояния до этих звезд. 8. Прочитайте число: а) 25; в) 1023; д) 20 010 200; б) 157; г) 97 403; е) 3 050 001 000. 9. Прочитайте и запишите словами число: а) 1 342 675; г) 799 300 090; б) 5 897 506; д) 125 780 300; в) 21 098 610; е) 19 021 030 007. 10. Разбейте на классы и прочитайте число: а) 63035; г) 800000002; б) 904308; д) 6280551992; в) 21120403; е) 440730006000. 12 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 11. Запишите число в десятичной системе счисления: а) девяносто семь; б) триста семьдесят восемь; в) четыре тысячи двести семь; г) триста пять миллионов одна тысяча два; д) сорок три миллиарда пять тысяч семнадцать; е) тридцать три миллиарда тридцать восемь тысяч. 12. Запишите цифрами число: а) тридцать миллионов тридцать тысяч четыре; б) семьдесят семь тысяч восемьсот тридцать шесть; в) сорок миллиардов сорок миллионов четыреста сорок; г) сто пятьдесят тысяч сто пятьдесят; д) семь миллионов семь. 13. Укажите значение цифры, выделенной красным цветом, у числа: а) 27 904 541; г) 9 096 647 002; б) 286 003; д) 30 539 040; в) 487 704 580; е) 6 980 000 000. 14. Какие трёхзначные числа можно записать, если использовать цифры 0 и 5? Найдите частное от деления суммы этих чисел на: а) 2; в) 10; д) 422; б) 5; г) 211; е) 1055. 15. Укажите наименьшее и наибольшее: а) четырёхзначные числа; б) шестизначные числа с одинаковыми цифрами; в) пятизначные чётные числа. 16. Укажите три числа, расположенные между 34 215 и 34 521, используя для записи только цифры 1, 2, 3, 4, 5. 13 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 17. Без письменных вычислений сравните значения выражений: а) 60 • 70 и 70 • 60; б) 5470 + 8 и 5486 - 8; в) 100 : 50 и 100 - 50; г) 777 + 77 и 77 + 777; д) 5999 + 1 и 6000 - 1; е) 5500 : 5 и 55 000 : 50; ж) 770 • 60 и 769 • 59; з) 33 • 3 и 66 • 2; и) 7 • 66 и 66 • 6; к) 875 • 64 и 874 • 65. 18. Определите, какие числа удовлетворяют условию: а) 2 < k < 7; ж) 26 ^ г ^ 30; б) 17 > l > 12; з) 19 ^ S ^ 13; в) m ^ 5; и) 22 < и ^ 23; г) n ^ 12; к) 26 ^ у ^ 27; д) 39 ^ p < 43; л) 31 ^ v < 31; е) 58 < q ^ 60; м) 14 < t < 10. 19. Запишите числа, удовлетворяющие условию: а) a < 4; г) 28 ^ d ^ 31; б) b ^ 4; д) 28 ^ f < 31; в) 28 < c < 31; е) 28 < k ^ 31. 20. Масса самого крупного морского животного — синего кита — может достигать 200 т, а масса самого крупного наземного животного — саванного африканского слона — 12 т. Запишите массы этих животных в: а) центнерах; б) килограммах. 21. Вычислите устно, назвав предварительно порядок выполнения действий: а) 3 + 7 • 8; б) 9 • 6 - 11; в) 7 • 5 • 2; г) 9 • 7 + 1; д) 79 - 72 : 9; е) (93 - 82) • 9; ж) (17 + 34) : 3; з) (43 - 37) • (43 + 37); и) (66 + 34) • (25 - 9); к) 84 : (13 + 8); л) (34 - 23) • 7; м) 96 : (9 + 7). 14 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 22. Выполните действия: а) 24 + 47 • 10; б) 82 + 54 • 11; в) 96 : 6 + 87; г) 132 : 11 - 7; д) 85 • 24 - 1322; е) 957 : 11 + 23; ж) 8 • (14 + 13); з) 923 : (72 - 59); и) 3 • (215 + 48); к) 2869 : (84 - 65); л) (19 • 47 - 123) : (55 • 2); м) (89 • 11 + 17 • 49) : 12. 23. На рисунке 7 показан путь по шоссе между Могилёвом и Гродно и указаны в километрах расстояния от Березино до Могилёва и до Минска. Найдите расстояние от Гродно до Минска, учитывая, что расстояние от Могилёва до Гродно составляет 470 км. 24. Неман протекает по территории Беларуси на протяжении 459 км. Это на 19 км меньше, чем по территории Литвы. Найдите длину Немана. 25. Велосипедист ехал 2 ч со скоростью 14 км/ч, после чего ему осталось ещё проехать 25 км. Какое расстояние нужно было проехать велосипедисту? * * * 26. С помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 запишите самое большое и самое маленькое шестизначные числа, учитывая, что: а) каждая из цифр используется произвольное количество раз (даже ни одного!); 15 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б) каждая из цифр используется хотя бы один раз; в) число содержит четыре сотни и четыре сотни тысяч; г) в классах единиц и тысяч цифры расположены по возрастанию. 27. Есть три шарика — красный, зелёный и синий — и три ящика с надписями «красный», «зелёный», «красный или зелёный». Шарики по одному положили в ящики так, что ни одна из надписей не соответствует действительности. Определите, где какой шарик находится. 28. В учебнике 296 страниц. Определите, сколько: а) цифр нужно записать, чтобы их пронумеровать; б) раз будет использована каждая из цифр. 2. Сложение и вычитание натуральных чисел Счёт — это процесс называния следующего натурального числа. Например, после числа 47 мы называем число 48, после числа 141 — число 142. Следующее число больше своего предшественника на единицу, т. е. получено прибавлением к нему единицы: 48 = 47 + 1, 142 = 141 + 1. Чтобы сложить числа 7 и 2, можно к числу 7 дважды присчитать по единице: 7 + 2 = (7 + 1) + 1 = 8 + 1 = 9. Числа a и b, которые складывают, называют слагаемыми, а результат сложения — суммой. Выражение a + b также называют суммой. Вычитание есть действие, обратное сложению. Вычитанием находят неизвестное слагаемое a или b по известным сумме c и второму слагаемому. 16 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ^573 = 500 + 70 + 3 + 325 = 300 + 20 + 5 800 + 90 + 8 = 898, 573 или короче +325 8^. 267 = 200 + 60 + 7 162 = 100 + 60 + 2 100 + 00 + 5 = 105, 267 162 или короче Рис. 8 105. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, число, которое вычитают, — вычитаемым, а результат вычитання — разностью. Выражения c - a и b - a также называют разностями. Для сложения и вычитания натуральных чисел разработаны приёмы, использующие разрядный состав чисел (рис. 8). В приведённом примере на сложение сумма в каждом разряде не выходила за его пределы. А если в каком-либо разряде получится сумма больше 9, то в этом разряде записывается цифра единиц, а количество полных десятков учитывается в следующем разряде (рис. 9). Рис. 9 1 11 л 12 2 ^657 ^1589 ^ 9876 + 128 + 317 + 997 785 1906 98 V 10971 7 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 17 Рис. 10 При выполнении вычитания может так случиться, что какое-либо разрядное слагаемое уменьшаемого будет меньше соответствующего слагаемого вычитаемого. Тогда приходится раздроблять единицу более высокого разряда (рис. 10). Разность чисел показывает, на сколько первое число больше второго, или на сколько второе число меньше первого. Сложение можно проверить вычитанием: если из суммы вычесть одно из слагаемых, получится другое слагаемое. Вычитание можно проверить сложением или вычитанием: если к разности прибавить вычитаемое, получится уменьшаемое; если из уменьшаемого вычесть разность, получится вычитаемое. Действия сложения и вычитания имеют ряд свойств (см. таблицу), которые позволяют упростить вычисления. Прибавление и вычитание нуля Вычитание самого числа a + 0 = a; a - 0 = a; a - a = 0 Прибавление нуля и вычитание нуля не изменяют числа Вычитание самого числа даёт число 0 Переместительное свойство a + b = b + a Перестановка слагаемых не изменяет суммы Сочетательное свойство (a + b) + c = a + (b + c) Изменение расстановки скобок не изменяет суммы 18 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ер 1. Как называют числа, которые складывают, и резуль-• тат сложения? 2. Как называют число, из которого вычитают; число, которое вычитают; результат вычитания? 3. Поясните на примере, как складывают многозначные числа в столбик; вычитают многозначные числа. 4. Как установить, на сколько одно число больше другого? 5. Как найти: слагаемое по известным слагаемому и сумме; вычитаемое по известным разности и уменьшаемому; уменьшаемое по известным разности и вычитаемому? 6. При каком условии можно выполнить сложение; вычитание? 7. Как проверить сложение? Как вычитание проверить сложением; вычитанием? 8. Сформулируйте свойства нуля при сложении и вычитании. 9. Сформулируйте переместительное свойство сложения и запишите его с помощью букв. 10. Сформулируйте сочетательное свойство сложения и запишите его с помощью букв. 29. Переместительное и сочетательное свойства сложения могут облегчить вычисления: 34 + 470 = 470 + 34 = 470 + 30 + 4 = 500 + 4 = 504; 420 + 17 + 80 = (420 + 80) + 17 = 500 + 17 = 517. Используя это, вычислите устно: а) 55 + 980; г) 931+ 787 + 69; б) 229 + 1800; д) 22 + 76 + 24 + 18; в) 37 + 45+ 55; е) 57 + 23 + 143 + 12. 30. Сочетательное свойство сложения можно сформулировать правилами: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к одному из слагаемых прибавить сумму двух других, или чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить одно из них и 19 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" к полученной сумме прибавить второе. Используя это, вычислите устно: а) (39 + 27) + 13; б) 72 + (128 + 293); в) (37 + 49) + 163; г) 238 + (783 + 162); д) 321 + (189 + 79); е) (222 + 188) + 278. 31. Вы знаете следующее правило: чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое и затем из полученной разности — второе слагаемое: a - (Ь + c) = (a - b) - c = (a - c) - b. Используя это, вычислите устно: а) 23 - (3 + 6); г) 931 - (151 + 131); б) 79 - (15 + 19); д) 1022 - (115 + 122); в) 237 - (37 + 110); е) 2357 - (517 + 457). 32. Вы знаете следующее правило: чтобы из суммы вычесть число, можно его вычесть из одного слагаемого и к полученной разности прибавить второе слагаемое: (a + b) - c = (a - c) + b; (a + b) - c = (b - c) + a. Используя это, вычислите устно: а) (45 + 17) - 7; г) (931 + 217) - 132; б) (545 + 38) - 145; д) (1022 + 147) - 922; в) (345 + 17) - 343; е) (2357 + 178) - 79. 33. Определите, как, используя каждое из чисел 2, 3, 4, 6 не более одного раза, заполнить клетки так, чтобы было истинным равенство: а) П - П - П = 0; е)П + П + П = 9; б) П + П - П = 4; ж) П + П - П = 3; в) П + П - П = 8; з)П + П - П = 7; г) П + П - П = 1; и) П + П + П = 11; д) П - П + П = 5; к) П - П - П = 1. 20 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 34. Укажите, по какой — горизонтальной или вертикальной — граничной линии нужно разделить таблицу, чтобы суммы чисел в каждой из полученных частей были равными: а) б) 7 3 5 9 13 26 25 14 в) г) 5 7 9 2 6 11 11 13 29 15 17 21 35. Запишите результат трёхкратного применения к данному числу указанного действия: а) ^7+!...; г) |50 11...; ж) В1 :3... б) ® + 1^...; д) Щ^...; з) 64 • 2 . ► • • • > в) |24 -6...; е) В ^...; и) 54 •3... 36. Запишите число, к которому три раза применили указанное действие и получили указанное число: а) ... +6[во б) ... +10^7| в) ... I!8 7; г) д) е) -13 7; ■10|7000 ж) ...•10[6; з) ...L2|s8; .2 64 и) ...L3|11 37. Учитывая, что разные знаки обозначают разные цифры, а одинаковые знаки — одинаковые цифры, замените знаки цифрами так, чтобы было истинным равенство: а) П2 : 4 = Л; г) П3 : Л = 7; б) П9 + ПВ = ^; д) 2А + □□ = ЛВ; в) 5 • 1А = Ю; е) ОО + Л = ЛПП. 21 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 38. Выполните сложение с объяснением: а) 19 + 108; е) 45 623 + 305; б) 230 + 110; ж) 200 500 + 3675; в) 565 + 303; з) 45 000 + 7079; г) 123 + 45 562; и) 456 123 012 + 0; д) 9058 + 201; к) 0 + s. 39. Вычислите: а) 13 195 + 187 331; б) 5 007 897 + 17 894 957; в) 256 789 + 258 473; г) 56 047 834 + 39 572; д) 204 753 + 884 667; е) 569 257 759 + 284 696 352. 40. Найдите значение выражения: а) 1996 + 36 + 34; д) 23 + 980 + 1799; б) 7 + 63 + 9102; е) 62 + 538 + 1997; в) 96 + 5453 + 84; ж) 4504 +487 + 7931; г) 6897 + 79 + 705; з) 653 + 94 + 3508. 41. Вычислите наиболее удобным способом: а) 237 + 953 + 763; б) 855 + 445 + 355+145; в) 2897 + 856+103 + 44; г) 8009 + 699 + 301 + 401; 42. Восстановите пример: 43082 а) + ***** ’ в) + д) 432 + 968 + 668; е) 254 + 2546 + 1746; ж) 643 + 43 + 957; з) 884 + 7584 + 116. 43*8* *7293 **6*7 *27253 б) + 22 ***3* 835*7 *8725 г) + 1**8* *62*7 *15253 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 43. Найдите сумму чисел: а) 146 798, 95, 57 681, 9504; б) 5709, 968, 97 235, 64, 458 009; в) 56, 135 876, 358, 860 235, 5214; г) 276, 62 309, 7838, 4007, 930 445. 44. Найдите значение выражения 392 797 + х, учитывая, что значение переменной х равно: а) 84; в)7403; д) 609 355; б) 265; г) 27 204; е) 3 589 904. 45. Как изменится сумма двух слагаемых, если: а) первое из слагаемых увеличить на 9, второе — на 16; б) первое из слагаемых увеличить на 28, второе уменьшить на 12; в) первое из слагаемых увеличить на 36, второе уменьшить на 42; г) первое из слагаемых уменьшить на 37, второе — на 26? 46. Без вычислений замените звёздочку одним из знаков =, < или > так, чтобы получилось истинное утверждение: а) 47 + 24 * 47 + 25; б) 345 + 97 * 345 + 96; в) 785 + 123 * 900 + 123; г) 23 + 47 * 24 + 48; д) 56 + 467 * 460 + 50; е) 478 + 342 * 340 + 480; ж) 4568 + 256 * 3999 - 11; з) 9508 - 247 * 9508 + 247; и) 81 409 + 31 564 * 64 918 + 31 564; к) 56 489 + 2501 * 2500 + 56 492. 23 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 47. Выполните устно вычитание: а) 358 - 151; ж) 456 789 - 435 769; б) 869 - 423; з) 18 987 - 8988; в) 745 - 246; и) 852 456 - 851 066; г) 558 - 481; к) 29 877 - 19 878; д) 6709 - 0; л) 558 514 - 469 224; е) 79 765 - 69 665; м) 293 451 - 174 152. 48. Найдите: а) разность, если уменьшаемое равно 85, вычитаемое — 37; б) вычитаемое, если уменьшаемое равно 85, разность — 37; в) уменьшаемое, если вычитаемое равно 29, разность — 57. 49. Найдите разность и в первых пяти примерах выполните проверку сложением, в остальных — вычитанием: е) 365 856 - 277 967; ж) 140 296 - 99 499; з) 3 080 904 - 781 957; и) 15 003 426 - 13 859; к) 40 123 544 - 21 144 556. а) 1589 - 993; б) 4858 - 1689; в) 9852 - 888; г) 250 406 - 147 537; д) 143 156 - 98 774; 50. Найдите значение выражения: а) 46 044 - 585 - 93; б) 98 746 - 952 - 805; в) 86 925 - 7967 - 9969; г) 52 007 - 1095 - 3946; д) 2105 - 456 - 361 - 99; е) 5040 - 773 - 378 - 999; ж) 8105 - 1387 - 766 - 499; з) 54 595 - 3569 - 2158 - 958. 24 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 51. Вычислите наиболее удобным способом: а) 84 - (14 + 19); б) 442 - (244 + 52); в) 953 - (167 + 76); г) (557 + 264) - 337; д) (675 + 198) - 148; е) (836 + 123) - 656; ж) 6198 - (2198 + 1250); з) 9027 - (5076 + 3427); и) 7806 - (2173 + 3433); к) 9013 - (113 + 5290). 52. Восстановите пример: а) + **6* 773 в) + 4*72* *4*03 **0*9 *025*2 б) - **5*4 773 9*0* г) - 4**3 *76* *37 53. Янка прочитал повесть за два дня. За первый день он прочитал 52 страницы, это на 8 страниц больше, чем за второй день. Сколько страниц занимает повесть? Составьте и решите обратную задачу. 54. Беседь протекает по России и Беларуси, и её длина равна 261 км. Найдите длину Беседи по территории нашей страны, учитывая, что она на 109 км больше длины по территории России. Условие задачи можно представить рисунком (см. форзац 2). Уравняем отрезки, представляющие длины Бе-седи по Беларуси и по России, для чего увеличим 261 км на 109 км. Найденная сумма 370 км представляет удвоенную длину Беседи по Беларуси. Поэтому длина Беседи по Беларуси равна 370 км : 2, т. е. 185 км. 55. Расстояние по шоссе от Волковыска до Баранович через Слоним составляет 110 км, причём 25 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" от Слонима до Волковыска на 2 км больш, чем до Баранович. Найдите расстояния от Слонима до Волковыска и до Баранович. 56. Стороны треугольника имеют длины 65 см, 4 дм 7 см и 530 мм. Найдите периметр треугольника. Сравните длину каждой стороны треугольника с суммой длин двух других сторон. 57. Нужно огородить прямоугольный дачный участок длиной 37 м и шириной 27 м. Найдите длину ограды. 58. Акула в длину может достигать 20 м, кит может быть на 13 м длиннее, крокодил — на 25 м короче кита, а анаконда — на 2 м длиннее крокодила. Какие длины имеют названные животные? Запишите их по убыванию длин. 59. Найдите, при каком значении a истинно равенство: а) 672 + a = 683; б) 896 - a = 879; в) a + 437 = 496; г) a - 726 = 5090; д) 786 + a = 1663; е) a - 647 = 4545; 60. Выполните действие: ж) 91 • a = 36 946; з) a • 21 = 10 143; и) 2720 : a = 32; к) a : 86 = 407; л) a • 68 = 13 872; м) a : 72 = 5256. а) 274 м + 347 м; б) 562 м - 39 дм; в) 2 м 4 см + 4 дм; г) 2 м - 4 дм 5 см; д) 22 м • 5; е) 3 м 5 дм • 4; 26 ж) 68 см : 4; з) 4 км : 25; и) 3 км 600 м : 12 м; к) 1 м 6 см : 4; л) 2 м : 40 мм; м) 2 м 8 см : 4 мм. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 61. Из чисел, удовлетворяющих неравенству 178 ^ у < 220, запишите: а) оканчивающиеся цифрой 8; б) оканчивающиеся цифрой 0; в) делящиеся на 10; г) меньшие 182. * * * 62. Учитывая, что разные знаки обозначают разные цифры, а одинаковые знаки — одинаковые цифры, замените их цифрами так, чтобы были истинными все равенства, зашифрованные на рисунке: а) 11, а; б) 11, б; в) 11, в. б а □О + 8 = ЗЛ IV + А = 1А 10 + 3 = DV 0 + 0 = + • О • О = □ □ в О А V =ПО □ • □ = VA Рис. 11 О • □ = А2 63. Числа от 1 до 9 поставьте в квадратики так, чтобы были истинными все неравенства (рис. 12, а). Отыщите ещё одно решение задачи для рисунка 12, а. Сколько всего решений имеет задача для рисунка 12, б? Какой один знак неравенства на рисунке 12, б нужно заменить обратным, чтобы новая задача имела одно решение? а л V V □>□<□ л л V б л V V □>□<□ л л V Рис. 12 27 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 64. Три синих и три красных шарика разложили по два в три ящика с надписями «два синих», «два красных» и «синий и красный». В один ящик положили два синих шарика, ещё в один — два красных, а оставшиеся шарики положили в третий ящик. Оказалось, что ни одна из надписей не соответствует действительности. Каким образом могут быть распределены шарики? Можно ли, взяв один шарик из какого-либо ящика, сказать, какие шарики где лежат? 3. Прямая и её части Представление о точке даёт след от касания бумаги заострённым карандашом (рис. 13). Точки обозначают большими латинскими буквами. На рисунке 14 показаны три точки: A, B, C. Й К Рис. 14 Отметим в тетради две точки Ми N и соединим их с помощью линейки (рис. 15). Получим отрезок. Его можно называть MN или NM. Сами точки М и N называются концами отрезка MN. м Рис. 15 12 3 5 6 |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" р Отрезок PQ Q Рис. 16 р Луч PQ О р Луч QP Q Любые две точки можно соединить только одним отрезком. Начертим отрезок PQ. Фигура, которая получится, если продлевать его неограниченно за точку Q, называется лучом. На рисунке 16 показан отрезок PQ и лучи PQ и QP. Точку P называют началом луча PQ. При обозначении луча вначале записывают его начало, а потом букву, обозначающую какую-либо другую точку луча. Луч имеет начало и не имеет конца. Если отрезок PQ неограниченно продлевать в обе стороны — как за точку P, так и за точку Q, — получится фигура, которую называют прямой. На рисунке 17 показана прямая PQ. Её можно назвать и QP. Прямая не имеет ни начала, ни конца. Через две точки можно провести только одну прямую. Любая точка прямой разделяет её на два 29 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" На рисунке 18 точка A разделяет прямую MN на противоположные лучи AM и AN. Точка A является началом каждого из лучей AM и AN. Рис. 18 м N Прямую можно получить сгибанием листа бумаги или тугим натягиванием верёвки. На рисунке 19 точки E и F соединены отрезком. Точки A, E, F лежат на отрезке EF, а точки L, P, T не лежат на этом отрезке. Точки A, E, F лежат на луче EF, а точки A, E, F, T — на луче FE. Точки A, E, F, T лежат на прямой EF, а точки A, P, L — на прямой PL. Точка A лежит между точками E и F. Точка L не лежит между точками E и F, она находится вне отрезка EF. Точка E лежит между точками A и T, а точка A — между точками P и L. Точки, прямые, отрезки, лучи располагаются на плоскости. Представление о плоскости дают поверхности стола, оконного стекла, замёрзшей поверхности водоёма. Эти поверхности имеют границы. А плоскость безгранична во всех направлениях. Мы рисуем фигуры на «кусках» плоскости — на тетрадном листе, на школьной доске. 30 I'll Рис. 19 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1. Как обозначают точку; отрезок, соединяющий точки * A и B? Назовите концы этого отрезка. 2. Сколько отрезков соединяют две точки? 3. Как обозначают луч; прямую? 4. Имеет ли концы прямая; луч? 5. Сколько лучей определяют две точки; сколько прямых? 6. Назовите примеры плоских поверхностей. 65. Отметьте в тетради точки P и Q. Постройте прямую PQ. На отрезке PQ отметьте точки A и B. Запишите: а) отрезки, на которые точка A разделила отрезок PQ; б) все отрезки, на которые точки A и B разделили отрезок PQ; в) все прямые, которые определяются точками P, Q, A и B; г) все лучи, которые определяются точками P, Q, A и B; д) все отрезки, которые определяются точками P, Q, A и B. 66. По рисунку 20 назовите точки, лежащие на: а) отрезке RP; отрезке BQ; отрезке ER; б) луче MQ; луче PC; луче EM; луче EQ; в) прямой RN; прямой AB; прямой CD; прямой CN. N Рис. 20 Г 31 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 67. По рисунку 20 с помощью линейки определите, на каких прямых, которые задаются точками «звёздочки», лежит точка: а) F; б) T; в) S. 68. По рисунку 20: а) назовите точки, которые лежат между точками R и P; E и Q; A и C; б) назовите точки, между которыми лежит точка E; P; C; D; в) определите, есть ли точки, лежащие между точками A и B. 69. По рисунку 20, используя, если надо, линейку, определите, между какими точками лежит точка: а) Q; б) S; в) C; г) F; д) D. 70. Начертите прямую и отметьте на ней три точки A, B, C. Запишите все возможные обозначения этой прямой. Сколько их? 71. На сколько частей разделяется плоскость: а) одной прямой; б) двумя пересекающимися прямыми; в) двумя параллельными прямыми? 72. Сколько плоских поверхностей имеет: а) куб (рис. 21, а); б) цилиндр (рис. 21, б); в) конус (рис. 21, в); г) шар (рис. 21, г); д) треугольная пирамида (рис. 21, д); е) четырёхугольная пирамида (рис. 21, е); ж) прямоугольный параллелепипед (рис. 21, ж); з) пятиугольная призма (рис. 21, з)? 32 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а б в д ^ с А 'Л!/* «/fC ^ ^ Е< G Рис. 21 73. Скольким плоским поверхностям принадлежит точка: а) A на рисунке 21, а; б) B на рисунке 21, д; в) G на рисунке 21, д; г) C на рисунке 21, е; д) D на рисунке 21, е; е) E на рисунке 21, ж; ж) F на рисунке 21, ж; з) H на рисунке 21, з; и) K на рисунке 21, з? 74. Отметьте в тетради четыре точки так, чтобы они определяли только одну прямую. Можно ли четыре точки выбрать так, чтобы они определяли только две прямые; три прямые? Сколько прямых могут определять четыре точки? 75. Антон нашёл 45 подберёзовиков и боровиков, причём подберёзовиков оказалось в четыре раза больше. Сколько тех и других грибов нашёл Антон? Условие задачи можно представить рисунком (см. форзац 1). 33 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" г Примем количество найденных боровиков в качестве доли. Тогда количество найденных подберёзовиков составит 4 доли, а количество всех грибов — 1 + 4, т. е. 5 долей. Поэтому величина доли равна 45 : 5, т. е. 9 грибам. Это означает, что Антон нашёл 9 боровиков. Количество подберёзовиков равно 9 • 4, т. е. 36. 76. В туристический поход отправились 20 человек, из которых взрослые составляли пятую долю. Сколько детей участвовало в походе? 77. Без вычислений найдите примеры с ошибками: а) 567 + 333 = 901; б) 2756 + 954 = 4210; в) 7583 + 619 = 9202; г) 638 - 1215 = 1853; д) 4317 - 837 = 3482; е) 3548 - 2245 = 1302. 78. Сколько единиц нужно прибавить к числу 36, чтобы получить число: а) 40; в) 100; д) 114; ж) 221; б) 70; г) 128; е) 206; з) 425? 79. Вычислите: а) 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 25 + 80; б) 36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 60; в) 123 + 321 + 312 + 213 + 132 + 231; г) 907 + 1200 + 93 + 659 + 107 + 344; д) 219 + 581 + 578 + 3081 + 919 + 1200. 80. Замените звёздочку знаком =, < или > так, чтобы получилось истинное равенство или неравенство: а) 9000 кг * 9 т; б) 7 т 520 кг * 75 200 кг; 34 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в) 350 кг * 3 ц; г) 8 кг 39 г * 8 кг 93 г; д) 32 кг * 32 000 000 мг; е) 225 980 г * 2 ц. 81. Как изменится сумма двух слагаемых, если: а) первое из слагаемых увеличить на 2080, второе уменьшить на 1200; б) первое из слагаемых уменьшить на 3248, второе увеличить на 1222; в) первое из слагаемых увеличить на 2589, второе — на 3857; г) первое из слагаемых уменьшить на 3964, второе — на 2672? 82. Найдите число а, учитывая, что: а) оно на 124 больше числа 461; б) число 587 на 412 больше его; в) оно на 124 меньше числа 461; г) число 587 на 412 меньше его; д) оно в 3 раза больше числа 27; е) число 121 в 11 раз больше его; ж) оно в 3 раза меньше числа 27; з) число 12 в 6 раз меньше его. 83. Найдите, какое действие три раза примени- ли к данному числу, указанное число: в результате чего получили а) [6±^i...= 21; д) 1i? ..---г = 27; б) Юi:^...= 33; е) й.?...-? = 128; в) |36| =:?:...= 0; ж) |108 ... -^^? = 4 ; г) 26 :?...:-? = 5; з) 108 ...:“? = 108. 84. 20 сентября день длится 12 ч 21 мин, а 20 октября — на 2 ч 7 мин меньше. Какова продолжительность ночи 20 октября? 35 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 85. Поезд Могилёв — Минск идёт через Осиповичи. От Могилёва до Осипович поезд идёт 3 ч, что на один час больше времени, необходимого ему на путь от Осипович до Минска. Сколько времени затрачивает поезд на путь от Могилёва до Минска? 86. Озеро Солонец в Ушачском районе собирает воду с 1850 га, а соседнее озеро Рясно — с 570 га. Какова суммарная площадь водосбора озёр Солонец и Рясно? 87. Путь по шоссе из Березино до Толочина через Бобр составляет 94 км, а через Борисов и Бобр — 137 км (рис. 22). Найдите путь от Бере-зино до Бобра. Рис. 22 * * * 88. Сколько понедельников может быть в: а) январе; б) феврале; в) марте; г) январе, феврале и марте вместе? 89. Между цифрами записи «1 2 3 4 5 6 7 8 9» в некоторых местах нужно поставить знаки «+» или «-» так, чтобы в результате получилось выражение со значением 100. Сколькими способами вы можете это сделать? 36 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 90. Встретились трое друзей — певец Белоус, художник Рыжий и поэт Черняк. «Интересно, что у одного из нас волосы светлые, у второго чёрные, а у третьего рыжие», — сказал черноволосый. «Однако ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», — ответил ему Рыжий. Какого цвета волосы у певца? 4. Величины Величины играют важную роль в повседневной жизни. Ими мы пользуемся при описании разных предметов и явлений. Вы знаете различные величины — стоимость, массу, время, длину и др. Измерение величины требует выбора соответствующей единицы. Денежной единицей в нашей стране является белорусский рубль. Для измерения массы используют различные единицы — тонну (т), центнер (ц), килограмм (кг), грамм (г), миллиграмм (мг). Связи между ними показаны на форзаце 1. Единицами измерения времени являются тысячелетие, столетие (ст.), год (г.), месяц, неделя, сутки (сут), час (ч), минута (мин), секунда (с). Связи между единицами времени показаны на форзаце 1. Длина есть величина, позволяющая сравнивать отрезки. Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением. Начерченные отрезки можно сравнить с помощью циркуля. На рисунке 23 отрезок MN равен отрезку PQ, но не равен отрезку PS. Равенство отрезков MN и PQ выражают записью MN = PQ. 37 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 23 На рисунке 23 отрезок PQ есть часть отрезка PS, он короче отрезка PS. Пишут: PQ < PS. Отрезок MN также короче отрезка PS. Можно ещё сказать, что отрезок PS длиннее отрезка MN. Записывают: PS > MN. С помощью циркуля убедитесь, что отрезок PQ длиннее отрезка QS. Из отрезков образуется ломаная. У неё конец предыдущего отрезка совпадает с началом следующего. Отрезки, из которых состоит ломаная, называются звеньями ломаной. На рисунке 24 показана ломаная ABCDE. Длина ломаной равна сумме длин её звеньев. Из точки K в точку L можно попасть разными путями, часть которых на рисунке 25 показана Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" разными линиями. Ваш жизненный опыт подсказывает, что отрезок короче любой другой линии, соединяющей его концы. Поэтому путь по отрезку KL — кратчайший путь из точки K в точку L. Этот путь выражает расстояние между точками K и L. Длина отрезка выражает расстояние между его концами. Длину измеряют в километрах (км), метрах (м), дециметрах (дм), сантиметрах (см), миллиметрах (мм). На форзаце 1 показаны связи между единицами длины. Величины имеют ряд общих свойств, которые для массы и длины приведены на форзаце 2. 1. Какие единицы массы вы знаете? Как они связаны • между собой? 2. Какие единицы времени вы знаете? Как они связаны между собой? 3. Какие отрезки называются равными? Как обозначается равенство отрезков AB и CD? 4. Как вы понимаете утверждения: «Отрезок AB короче отрезка CD», «Отрезок AB длиннее отрезка MN»? Как символами записывают эти утверждения? 5. Какие единицы длины вы знаете? Как они связаны между собой? 6. Какие свойства длины вы знаете? 7. Чем отличается отрезок от других линий, соединяющих его концы? 8. Как образуется ломаная и чему равна её длина? 91. Используя один из знаков =, <, >, ^ или ^, сравните промежутки времени: а) 2 ч 25 с и 150 c; б) 3 дня и 75 ч; в) 3 года 7 дней и 1102 дня; г) 150 дней и 5 месяцев; 39 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" д) 3 месяца 10 дней и 102 дня; е) 10 лет и 3653 дней; ж) 28 дней и 1 месяц; з) 2 месяца и 59 дней. 92. Сравните величины: а) 53 дм и 5365 мм; б) 5 км 35 м и 5350 м; в) 84 м 6 дм 7 см и 84 670 мм; г) 6 т 59 кг и 74 ц; д) 40 025 г и 4 ц; е) 2 ц 71 кг и 2070 кг. 93. Выразите в килограммах: а) 3000 г; в) 13 т 1 ц; б) 27 т 4 кг; г) 17 т 70 кг. 94. Выразите в граммах: а) 9 кг; в) 2 т 95 кг; б) 5 кг 35 г; г) 5000 мг. 95. Выразите в килограммах и граммах: а) 4009 г; в) 2 т 4085 г; б) 11 117 г; г) 5 670 000 мг. 96. Выполните действие: а) 1 т 5 ц + 6 ц; б) 4 т 15 ц - 2 т 9 ц; в) 4 кг 150 г + 6 кг 850 г; г) 85 г 675 мг - 37 г 750 мг; 97. Выполните действие: а) 5 сут 16 ч + 15 ч; б) 13 ч 25 мин + 145 мин; в) 1 ч 15 мин - 55 мин; г) 2 ч 10 мин - 85 мин; 40 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" д) 7 т 4 ц • 5; е) 62 ц 36 кг • 7; ж) 7 ц : 25; з) 27 кг : 18 г. д) 45 мин • 14; е) 54 с • 42; ж) 14 ч : 15 с; з) 1 ч 10 с : 35. 98. Используя рисунок 26, в тетради: а) запишите равные отрезки, найдя их с помощью циркуля; б) постройте отрезки, равные отрезкам AB, AC, BD, BO, AO. 99. Постройте отрезок, равный: а) 1 см; в) 44 мм; б) 3 см; г) 105 мм. 100. На рисунке 26 измерьте отрезок AB. С помощью циркуля и линейки постройте в тетради отрезок EF, равный AB. Чему равна длина отрезка EF? 101. Используя рисунок 27, в тетради запишите в сантиметрах и миллиметрах длины всех отрезков, которые больше 2 см. Рис. 26 Е F G Н 1 т т ¥ 1 Рис. 27 Рис. 28 102. По рисунку 28 определите расстояние между точками: а) U и V; б) V и W; в) W и U. Сравните расстояние между точками U и W с длиной ломаной UVW. 103. Точки E, F, G, H расположены так, как на рисунке 27, причём EG = 5 м, FH = 6 м, FG = 2 м. Найдите длины отрезков EF, GH, EH. 41 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а в Е - I - Н G D D Рис. 29 104. Назовите звенья и найдите длину ломаной на рисунках: а) 29, а; б) 29, б. 105. Выразите в сантиметрах: а) 4 дм 7 см; в) 120 мм; б) 47 дм 9 см; г) 13 м 7 дм. 106. Выразите в дециметрах и сантиметрах: а) 255 см; в) 4 м 3 дм; б) 32 м; г) 1700 мм. 107. Выразите в метрах: а) 47 300 см; в) 6800 дм; б) 2 км 100 м; г) 93 млн мм. 108. Выразите в километрах: а) 370 тыс. м; в) 44 млрд см; б) 802 млн дм; г) 2 млрд мм. 109. Выполните действия: а) 4 м 5 дм + 12 м 8 дм; б) 2 см 7 мм + 6 см 8 мм; в) 4 км 300 м + 6 км 800 м; г) 9 см 7 мм + 1 дм 3 мм; д) 5 дм 3 см - 3 дм 2 см; е) 3 см 3 мм - 2 см 9 мм; ж) 5 км 300 м • 3; 42 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" з) 4 дм 6 см • 2; и) 8 см 6 мм • 4; к) 27 м 25 см • 4; л) 15 см 5 мм : 5; м) 5 км 400 м : 8. 110. Количество страниц книги, прочитанных Аней, на 30 меньше количества ещё не прочитанных страниц. Найдите, сколько страниц осталось прочитать, учитывая, что это количество относится к количеству прочитанных страниц как 5 : 3. Условие задачи можно представить рисунком (см. форзац 1). Отношение 5 : 3 показывает, что если принять количество прочитанных страниц за 3 доли, то количество непрочитанных страниц составит 5 таких долей. Поэтому количество прочитанных страниц на 5 - 3, т. е. на 2 доли меньше, и эти 2 доли составляют 30 с. Поэтому величина доли равна 30 с. : 2, т. е. 15 с. Значит, количество страниц, которые осталось прочитать, равно 15 с. • 5, т. е. 75 с. 111. а) Озёра У рада и Чёрная У рада из Ушач-ской группы озёр вместе занимают 200 га, причём площадь второго озера в 3 раза меньше. Найдите площадь каждого озера. б) Из одного пункта в одном направлении выехали одновременно велосипедист и мотоциклист, скорости которых относятся як 3 : 13. Найдите эти скорости, учитывая, что за 2 ч мотоциклист проехал на 100 км больше. 112. Первый и второй токари за одно и то же время изготовили 60 и 20 деталей соответственно. Найдите их производительность труда, учитывая, что за час они вместе изготавливают 20 деталей. 43 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Условие задачи можно представить таблицей (см. форзац 3). Первый и второй токари вместе изготовили 60 дет. + 20 дет., т. е. 80 деталей. По условию их суммарная производительность равна 20 дет./ч и они работали одинаковое время. Поэтому время работы равно 80 дет. : 20 дет./ч, т. е. 4 ч. Значит, производительность первого токаря равна 60 дет. : 4 ч, т. е. 15 дет./ч, а производительность второго — 20 дет. : 4 ч, т. е. 5 дет./ч. 113. Токарь работал над заказом два дня с одной и той же производительностью и в первый день изготовил 104 детали, а во второй — 65 деталей. Найдите время работы токаря над заказом в первый и во второй день, учитывая, что всего он работал 13 ч. 114. Вычислите значения выражений и замените звёздочку знаком =, < или > так, чтобы получилось истинное утверждение: а) 963 + 35 003 + 98 * 21 789 + 14 275; б) 46 789 - 29 908 * 16 881 + 27 907; в) 30 521 + 90 860 * 117 648 : 43; г) 4800 : 32 + 205 000 : 50 * 522 • 27; д) 559 • 23 * 8575 + 3626; е) (567 - 96) • 15 * 8049 - (1234 - 29). 115. Восстановите пропущенные цифры: а) + 7**9 *41* ; в) + *6007 ***0* 43*1 ; 10682 б) + 44 8*7** *9*89 ; 10019 г) + 3*5 . 6** . **92 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 116. Богдану нужно прочитать книгу, в которой 196 страниц. За первый день он прочитал 53 страницы, за второй — 47. Сколько страниц осталось прочитать Богдану? 117. Полсвиж, Долгое, Заднее — озёра в Лепель-ском районе. Площадь Полсвижа 41 га. Площадь Долгого на 28 га больше, а площадь Заднего на 15 га меньше этой площади. Какова общая площадь этих озёр? Составьте и решите обратные задачи. * * * 118. Сумма двух чисел равна 51. Меньшее число можно получить, если зачеркнуть в большем одну цифру. Найдите эти числа. 119. Перед соревнованиями по плаванию четыре участника дали интервью. Алесь сказал: «Я буду первым», Богдан: «Я не буду последним», Виталий: «Я не буду ни первым, ни последним», Глеб: «Я буду последним». После заплыва выяснилось, что только один из участников был неточным. Кто ошибся? 120. Машина прошла 50 000 км. При этом четыре её колеса и одно запасное износились одинаково. Какое расстояние проехало каждое колесо? 5. Координатный луч. Округление чисел Посмотрим внимательно на линейку, которой измеряют отрезки (см. рис. 15). На ней мы видим риски, находящиеся на одинаковых расстояниях друг от друга. Около некоторых рисок написаны числа. 45 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Промежутки между рисками называют делениями. Длину деления называют его ценой. Цена деления на вашей линейке — 1 мм. Все деления линейки вместе с написанными числами образуют шкалу. Шкалы имеют и другие измерительные приборы. На рисунке 30 — комнатный термометр. Его шкала содержит 55 делений, цена одного деления равна 1°C. Шкалы могут иметь различную форму. На рисунке 31 показан спидометр. На его шкале на промежутке от 0 км/ч до 20 км/ч содержатся 4 деления. Поэтому одному делению шкалы соответствует 20 км/ч : 4, т. е. 5 км/ч. Значит, цена деления шкалы спидометра равна 5 км/ч. Начертим луч Ox, и его начало O пометим числом 0 (рис. 32). Отметим на луче Ox некоторую точку E и пометим её числом 1. Получили отрезок OE, его длину примем равной единице. Такой отрезок называют единичным отрезком. ^40 —30 — —20 — 10 — о 46 Рис. 30 Рис. 31 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" о Е Q 0 12 3 Q (3) — точка Q с координатой 3 J_L Рис. 32 —^ - d to- - X Отложим на луче Ox от точки E единичный отрезок. Получим точку P, пометим её числом 2. Повторим это ещё раз, получим точку Q, которую пометим числом 3. Потом получим точку R, помеченную числом 4. Этот процесс можно повторить неограниченно много раз. В результате получится бесконечная шкала. Её называют координатным лучом, а точку O — началом отсчёта. Натуральное число изображается определённой точкой координатного луча. Например, число 3 изображается точкой Q. Говорят, что число 3 является координатой точки Q, или точка Q имеет координату 3. Это записывают: Q (3). Координата точки показывает расстояние от этой точки до начала координат, измеренное единичным отрезком. По рисунку 32 видим, что Z (10), поэтому расстояние между точками O и Z равно 10, или отрезок OZ имеет длину 10. Координатный луч используется для наглядного представления числовых сведений диаграммами. Пример 1. Представим линейной диаграммой сведения о крупнейших притоках Вилии, приведённые в таблице справа. 47 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Приток Длина, l Ошмянка 105 км Сервечь 85 км Уша 75 км Нарочь 75 км Илия 62 км Страча 59 км Двинаса 54 км Будем 1 км длины реки показывать отрезком в 1 мм. Получим рисунок 33. Ошмянка Сервечь Уша Нарочь Илия Страча Двинаса F 54 59 62 Рис. 33 75 85 105 км Пример 2. В примере 1 сказано, что длина реки Илии равна 62 км. Сравним число из этого сообщения с числом сообщения «В слове Мстиславль 10 букв». О числе 10 из второго сообщения можно сказать, что оно точное, слово Мстиславль записывается десятью буквами, а не каким-либо иным их количеством. Число 62 — приближённое, оно получено в результате округления до километров, 48 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" т. е. замены истинной длины Илии ближайшим числом, состоящим из тысяч метров. Пример 3. Округлим число 365 100 до тысяч. Оно находится между круглыми тысячами 365 000 и 366 000. Число 365 100 отличается от числа 365 000 на 100, а от числа 366 000 на 900 (рис. 34). Поэтому число 365 100 ближе к круглому числу 365 000. Значит, результатом округления является число 365 000. 100 900 365 000 365 100 366 000 Рис. 34 Данное число и результат округления приближённо равны. Это записывают с помощью знака «: 365 100 « 365 000. Нули в конце числа, полученные в результате округления, указывают только на разрядность числа и не означают, что в этих разрядах по 0 единиц. Поэтому часто эти нули заменяют сокращениями слов обычного языка: 365 100 « 365 тыс. Пример 4. Округлим число 6576 до сотен, т. е. заменим его ближайшим числом, состоящим из сотен. Число 6576 находится между круглыми сотнями 6500 и 6600 и отличается от них соответственно на 76 и на 24 (рис. 35), т. е. число 6576 ближе к круглому числу 6600: 6576 « 66 сотен. 76 -*^<-24-^ 6500 6576 6600 Рис. 35 49 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Пример 5. Округлим число 365 до десятков. Число 365 находится между круглыми десятками 360 и 370, от которых оно одинаково отличается (рис. 36). В таких случаях условились брать большее из круглых чисел: 365 « 370. 360 365 370 Рис. 36 При записи результатов округления до миллионов и миллиардов используют сокращения «млн» и «млрд»: 79 123 997 = 79 000 000 « 79 млн; 122 568 330 980 = 123 000 000 000 « 123 млрд. Рассмотренные примеры позволяют сформулировать правила округления чисел: Чтобы округлить число до определённого разряда, нужно: • найти цифру, стоящую первой после разряда, до которого проводится округление; • если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то её и все цифры после неё заменить нулями; • если это цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то её и все цифры после неё заменить нулями, а цифру перед ней увеличить на единицу. Пример 6. Представим столбчатой диаграммой сведения о населении крупнейших городов Беларуси на начало 2013 г. Город Минск Гомель Витебск Могилёв Количество жителей, тыс. чел. 1 886 508 367 363 Город Гродно Брест Бобруйск Барановичи Количество жителей, тыс. чел. 347 321 217 170 50 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Сведения этой таблицы приближённые, округления проведены с точностью до тысяч. Начертим прилегающие или близкие друг к другу прямоугольники одинаковой ширины. Высоты прямоугольников соответствуют данным числам, при этом 17 тыс. жителей будем показывать прямоугольником высотой 1 мм. Тогда высотами прямоугольников диаграммы будут отрезки, равные 111 мм, 30 мм, 22 мм, 21 мм, 20 мм, 19 мм, 13 мм, 10 мм. Обратите внимание на то, что при определении длин отрезков мы округлили числа таблицы до десятков тысяч. Ширину каждого прямоугольника возьмём равной 10 мм. Полученная в результате диаграмма показана на рисунке 37. Минск 1886 тыс. чел. Гомель 508 тыс. чел. Битебск 367 тыс. чел. Могилёв 363 тыс. чел. Гродно 347 тыс. чел. Брест 321 тыс. чел. Бобруйск — 217 тыс. чел. Барановичи — 170 тыс. чел. Рис. 37 1. Что такое деление шкалы? Что называется ценой деления? 2. Назовите измерительные приборы со шкалами; без шкал. 3. Как получить координатный луч? Какую его точку называют началом отсчёта и какой его отрезок называют единичным? 4. Что показывает координата точки координатного луча? 5. Как построить линейную диаграмму? 6. Как построить столбчатую диаграмму? 51 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 38 7. Приведите примеры точных чисел; приближённых чисел. 8. Что означает: «округлить число до сотен; до тысяч; до миллионов»? 9. От какой цифры числа зависит результат его округления? 10. Сформулируйте правила округления. 121. Определите цену деления циферблата часов на рисунке 38. Какое время они показывают? 122. Какую температуру показывает комнатный термометр на рисунке 30? Какую температуру будет показывать этот термометр, если температура повысится на 7 °С; понизится на 13°С? 123. Какова цена деления шкалы спидометра на рисунке 31? Какую скорость он показывает? Какую скорость будет показывать этот спидометр, если его стрелка сместится на одно деление вправо; на два деления влево? 124. Начертите в тетради отрезок длиной 15 см. Один конец его пометьте числом 0, другой — числом 15. Разделите его рисками на 5 долей. Пометьте каждую риску числом. Получилась шкала. Отметьте на шкале числа 1, 8, 11, 13. 125. Изобразите дорогу от Довска до Славгоро-да (рис. 39) в виде шкалы с ценой деления 6 км. Покажите на этой шкале положение велосипедиста, который едет из Славгорода со скоростью 16 км/ч, в конце каждого часа. 126. Округлите число так, чтобы отмеченные цветом цифры были заменены нулями, и ответьте, до какого разряда округляется число: 52 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а) 34 905; д) 90 500; и) 890 503; б) 5684; е) 67 167; к) 6 098 507; в) 7800; ж) 678 996; л) 8 452 002; г) 67 094; з) 231 539; м) 9 949 090. 127. Выясните, до какого разряда провели округление, и объясните, правильно ли его выполнили: а) 3589 « 3600; е) 590 095 « 590 000; б) 3550 « 3500; ж) 590 095 « 590 100; в) 5001 « 10 000; з) 590 095 « 591 000; г) 66 001 « 66 010; и) 445 903 « 440 000; д) 56 387 « 56 000; к) 752 392 « 700 000. 128. С точностью до килограмма округлите единицы массы, которые использовались в Великом княжестве Литовском, учитывая, что: а) берковец = 74 960 г; г) камень = 14 993 г; б) кантор = 37 782 г; д) око = 1120 г; в) пундель = 9370 г; е) фунт = 374 820 мг. 129. Округлите с точностью до километра: а) 552 м; д) 26 978 м; б) 239 м; е) 265 499 м; в) 1025 м; ж) 22 135 дм; г) 756 м; з) 1 030 545 см. 53 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 130. Округлите с точностью до центнера и до тонны: а) 1025 кг; е) 25 701 кг; б) 2498 кг; ж) 34 505 кг; в) 847 кг; з) 5 422 500 г; г) 149 кг; и) 4 505 000 г; д) 89 кг; к) 32 605 500 г. 131. Округлите число 21 356 сначала до десятков, результат — до сотен, новый результат — до тысяч. Затем округлите данное число сразу до тысяч. Сравните результаты. Всегда ли результат последовательного округления совпадает с результатом округления сразу до нужного разряда? 132. По рисунку 40 определите и запишите координату точки: а) N; в) M; д) R; ж) T; б) P; г) Q; е) S; з) V. н Рис. 40 о Q -Ф- I I I м ь 20 V N «I * I 40 R +-*Ь- 60 S Ч»-н Р -ib н—Ь 80 90 100 133. На рисунке 41 найдите точку с координатой: а) 30; в) 75; д) 92; ж) 84; б) 60; г) 15; е) 43; з) 8. Рис. 41 У G К Е D Н С F L ■*--1 I »1 I» I » I I Ф I I Ф I I Ф I I Ф I» I I 100 80 60 40 20 о 134. Начертите в тетради координатный луч, взяв в качестве единичного отрезка длину одной клетки. Отметьте на этом луче числа: а) 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; б) 0; 4; 8; 12; 16; 20. 54 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Осина Верба Ольха Берёза Клён Ясень Ель Липа Сосна Дуб Тополь Можжевельник 200 400 800 t, годы 600 Рис. 42 135. Постройте координатный луч и отметьте на нём точки: а) K (0), L (1), M (4), N (6), P (8), Q (12), взяв единичный отрезок равным 1 см; б) A (0), B (1), C (2), D (3), E (4), F (6), взяв единичный отрезок равным трём клеткам тетради. 136. Найдите расстояние между точками: а) A (10) и B (7); в) A (105) и B (95); б) A (4) и B (11); г) A (10) и B (10). 137. По столбчатой диаграмме, изображённой на рисунке 42, определите, до которого возраста могут доживать некоторые деревья, растущие в наших лесах. 138. Разные виды динозавров, живших в древние времена, достигали таких длин: апатозавр — 20 м, диплодок — 25 м, тарбозавр — 10 м, тиранозавр — 15 м, анкилозавр — 9 м. На рисунке 43 представлена часть диаграммы. Измерьте отрезки 55 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Апатозавр Тарбозавр Рис. 43 10 20 м и найдите, какую длину изображает отрезок длиной 1 мм. Закончите построение диаграммы. 139. Пользуясь линейной диаграммой, изображённой на рисунке 44, запишите длины береговых линий материков (без островов). 140. Река Маства протекает по территории Украины и Беларуси. Её протяжённость по Беларуси на 12 км меньше протяжённости по Украине и относится к протяжённости всей реки как 20 : 43. Найдите длину Маствы. 141. Площади озёр Плюсы и Ильжа в Браславском районе относятся как 22 : 3, и вместе они составляют 175 га. Найдите отдельные площади озёр. 142. Велосипедисты в 7 ч выехали из Гродно и остановились на отдых, проехав 14 км после Острина. Через 2 ч они снова отправились в дорогу с прежней Антарктида ! I Австралия I I Африка Евразия Южная Америка Северная Америка о 56 20 40 60 Рис. 44 80 тыс. км Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 45 скоростью и в 17 ч были в Радуни (рис. 45). Найдите время движения велосипедистов до отдыха. 143. В числе 5 712 968 403 вычеркните пять цифр так, чтобы образованное пятизначное число было: а) наибольшим из возможных; б) наименьшим из возможных. 144. Составьте задачу, которая решается выражением: а) 24 + (24 - 5); б) 78 • 3 - 46 • 4. 145. Вычислите: а) 256 305 - (155 739 - 45 786); б) 256 305 - 155 739 - 45 786; в) 543 024 - (183 045 + 37 900); г) 543 024 - 183 045 + 37 900. 146. Когда собрали урожай ячменя с двух полей площадью 137 га и 209 га, то оказалось, что урожайность на первом поле на 4 ц/га больше. Определите, на сколько: а) большим был бы урожай со второго поля, если бы его урожайность была равной урожайности первого поля; б) меньшим был бы урожай с первого поля, если бы его урожайность была равной урожайности второго поля. 57 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 147. Определите в тоннах с гектара урожайность капусты, учитывая, что на каждых два растения отводится 1 м2 земли, а средняя масса кочана составляет 3 кг. 148. С первого и второго полей, площадь которых вместе составляет 80 га, собрали ячменя соответственно 2520 ц и 840 ц. Найдите площади полей, учитывая, что урожайности оказались одинаковыми. * * * 149. Номер пряжи определяется количеством мотков по 1000 м в 1 кг пряжи. Определите: а) каким будет номер пряжи, если 4000 м её весят 200 г; б) какой длины будет нить той же массы с номером 30; в) сколько весит нить длиной 3000 м с номером 60. 150. Расстояние между деревнями Громаки и Дивново 3 км. В Громаках есть 50 школьников, а в Дивнове — 100. В каком месте нужно построить школу, чтобы расстояние, которое проходят все школьники, было наименьшим? 151. Дети сложили из кубиков такую фигуру, что если посмотреть на неё спереди, то видно 10 кубиков, а если сбоку, — 7 (рис. 46). Какое наибольшее количество кубиков могло быть использовано для такой фигуры? Какое наименьшее? Сколько кубиков Рис. 46 58 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" может содержать эта фигура? Ответ запишите с помощью двойного неравенства. 6. Текстовые задачи с одной величиной Изучение математики неразрывно связано с решением текстовых задач. Текстовая задача описывает определённый объект или явление. В этом описании обязательно используется по крайней мере одна величина, даются некоторые значения величин, или результат их разностного или кратного сравнения и обязательно ставится требование найти другие значения или указать результат сравнения этих значений. Таким образом, любая задача состоит из условия и вопроса. Требование Решить задачу означает найти ответ на вопрос задачи, используя её условие и, возможно, другую общеизвестную информацию об объектах из условия задачи. Простейшими задачами являются задачи с одной величиной. Вы уже решали такие задачи. Теперь подытожим ваши представления о способах решения таких задач. Задача 1. По состоянию на 1 февраля 2012 г. в Барановичах и Пинске вместе было 304 тыс. жителей. Найдите количество жителей в каждом из этих городов, учитывая, что жителей в Пинске на 36 тыс. человек меньше. Условие задачи использует величину Количество жителей. О двух значениях этой величины — количестве жителей Баранович и количестве жителей Пинска — известна их сумма, равная 304 тыс. жителей, и результат их разностного сравнения — население Пинска меньше на 36 тыс. человек. 59 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Барановичи Пинск 36 тыс. черт. 304 тыс. чел. Рис. 47 Два этих условия можно наглядно представить рисунком-схемой 47. Задачи, в которых даны сумма и разность значений некоторой величины, решаются уравниванием этих значений до одного из них. Уравняем количества жителей Баранович и Пин-ска, например, до количества жителей Пинска, т. е. количество жителей Баранович уменьшим на 36 тыс. человек. Тогда на столько же уменьшится и суммарное количество жителей этих городов и станет равным 304 - 36, т. е. 268 тыс. чел. Полученное число выражает удвоенное количество жителей Пинска, потому количество жителей Пинска равно 268 : 2, т. е. 134 тыс. чел. Значит, количество жителей Баранович равно 134 + 36, т. е. 170 тыс. чел. Задача 2. На рисунке 48 показано шоссе Вильнюс — Полоцк. Найдите расстояния по шоссе от Глубокого до Вильнюса и до Полоцка, учитывая, что они относятся как 19 : 9. 60 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 9 19 До Полоцка До Вильнюса 252 км Рис. 49 В условии задачи использована величина Длина. О двух значениях этой величины — длине пути по шоссе от Глубокого до Вильнюса и длине пути по шоссе от Глубокого до Полоцка — известна их сумма, равная 252 км, и два этих значения сравниваются кратно — первый путь относится ко второму как 19 : 9. Два этих условия можно наглядно представить рисунком-схемой 49. Задачи, в которых дана сумма двух значений некоторой величины, которые сравниваются кратно, решаются с помощью нахождения величины доли. В соответствии с условием длину, равную 252 км, составляют 19 + 9, т. е. 28 долей. Поэтому величина доли равна 252 км : 28, т. е. 9 км. Значит, расстояние по шоссе до Вильнюса от Глубокого равно 9 км • 19, т. е. 171 км, а до Полоцка — 9 км • 9, т. е. 81 км. Задача 3. Площадь озера Дривяты (Браславский район) на 21 км2 больше площади озера Селява (Крупский район). Найдите эти площади, учитывая, что они относятся как 12 : 5. Условие задачи использует величину Площадь. О двух её значениях — площадь озера Дривяты и площадь Селявы — известна их разность, равная 21 2 км , и два этих значения сравниваются кратно — первая площадь относится ко второй как 12 : 5. Два этих условия можно наглядно представить рисунком-схемой 50. 61 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 12 21км2 Рис. 50 Селява ' Дривят^ Задачи, в которых дана разность двух значений некоторой величины, которые сравниваются кратно, решаются с помощью нахождения величины доли. Обратим внимание на то, что разность в 21 км2 можно выразить и в долях, именно она равна 12 - 5, т. е. 7 долям. Значит, величина доли равна 21 км2 : 7, т. е. 3 км2. Поэтому площадь озера Дривяты равна 3 км2 • 12, т. е. 36 км2, а площадь Селявы — 3 км2 • 5, т. е. 15 км2. 1. Из каких частей состоит текст любой задачи? • 2. Что означает требование Решите задачу? 152. Определите, является ли задачей текст. а) В Новогрудском районе находится озеро Сви-тязь. Оно занимает площадь в 224 га и содержит 7840 млн л воды. В озере растут лобелия Дорт-мана и полушник озёрный, которые занесены в Красную книгу. б) Из Орши в Мстиславль можно ехать через Горки (рис. 51). Если первый велосипедист выедет из Рис. 51 62 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Мстиславля и будет ехать со скоростью 16 км/ч, а второй — через час после этого из Орши и будет ехать со скоростью 15 км/ч, то второй встретит первого через 3 ч, проехав после Горок 4 км. Найдите расстояния по шоссе от Горок до Орши и до Мстиславля. в) Если к числу, записанному двумя последними цифрами года, в котором вы родились, прибавить ваш возраст в 2013 г., то получится число 13. Как вы объясните истинность этого утверждения? г) Какое число больше другого числа на 12 и больше его в 3 раза? 153. Найдите два числа, учитывая, что: а) вместе они дают число 50 и отличаются на 12; б) вместе они составляют число 24, и одно из них в 3 раза меньше другого; в) вместе они составляют число 35, и одно из них в 4 раза больше другого; г) вместе они составляют число 40 и относятся как 3 : 7; д) они отличаются на 24 числа, и одно из них в 4 раза меньше другого; е) они отличаются на 30 чисел, и одно из них в 4 раза больше другого; ж) они отличаются на 25 чисел и относятся как 3 : 8. 154. Воды в Освейском озере на 39 млрд л больше, чем в озере Езерище. Найдите эти объёмы воды, учитывая, что они относятся как 8 : 5. 155. Приток Западной Двины — река Каспля протекает по территории России и Беларуси. Её бе- 63 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" лорусская часть на 96 км меньше российской и относится к ней как 4 : 29. Найдите длину Каспли. 156. Составьте и решите задачу, условие которой представлено на рисунке: а) 52; б) 53; в) 54. Девочек ‘ ! 5 Мальчиков 31 Рис. 52 Ячмень Пшеница 98 га Рис. 53 10 13 9 кг Ян Антон Рис. 54 157. Определите, как изменится произведение, если: а) один из его множителей увеличить в 3 раза; б) один из его множителей уменьшить в 3 раза; в) один из его множителей увеличить в 3 раза, а второй увеличить в 2 раза; г) один из его множителей увеличить в 6 раз, а второй уменьшить в 2 раза; д) один из его множителей уменьшить в 3 раза, а второй уменьшить в 4 раза. 64 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 158. Определите, как изменится частное, если: а) делимое увеличить в 3 раза; б) делимое уменьшить в 3 раза; в) делитель увеличить в 3 раза; г) делитель уменьшить в 3 раза; д) делимое увеличить в 8 раз, а делитель увеличить в 2 раза; е) делимое уменьшить в 8 раз, а делитель увеличить в 2 раза; ж) делимое увеличить в 8 раз, а делитель уменьшить в 2 раза; з) делимое уменьшить в 8 раз, а делитель уменьшить в 2 раза; и) делимое увеличить в 8 раз, а делитель увеличить в 8 раз; к) делимое уменьшить в 8 раз, а делитель уменьшить в 8 раз. * * * 159. При делении некоторого числа на 15 и на 13 получаются одинаковые частные. При этом первое деление выполняется без остатка, а второе — с остатком 8. Какое число делили? 160. К числу 10 слева и справа нужно приписать одну и ту же цифру, чтобы полученное четырёхзначное число было кратно 12. 161. Вера на 8 лет старше Нины, а два года назад Нина была втрое моложе Веры. Сколько теперь лет Вере? 7. Выражение и его значение Пример 1. По железной дороге от Смольян до Орши — 22 км, а до Лепеля — в пять раз больше (рис. 55). Найдём, сколько километров от Лепеля до Орши. Запишем нужные действия, но не будем 65 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" выполнять их. От Лепеля до Смольян — 22 • 5 км, а до Оршы — (22 + 22 • 5) км. Получилось числовое выражение 22 + 22 • 5. Если выполнить все действия, получится некоторое число. Его называют значением числового выражения. Значением выражения 22 + 22 • 5 является число 132. Пример 2. Найдём значение выражения 37 - (112 - 17). Сначала находим, что разность 112 - 17 имеет значением число 95. Потом нужно найти значение разности 37 - 95. Но число 95 вычесть из числа 37 нельзя. Говорят, что выражение 37 - 95 не имеет значения. Не имеет значения и выражение 37 - (112 - 17). Выражение не имеет значения, если какое-либо действие в нём нельзя выполнить. Пример 3. Билет в краеведческий музей для взрослого стоит 6000 р., а для учащегося — 3000 р. Найдём, сколько денег будет выручено за день работы музея. Понятно, что выручка зависит от количества посетителей. Пусть к концу дня музей посетило a взрослых, тогда за проданные им билеты будет выручено 6000 • a р. Если посетителей-учащихся будет b, то за проданные им билеты выручка составит 3000 • b р. 66 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" А всего будет выручено 6000 • a + 3000 • b р. Получилось выражение 6000 • a + 3000 • b. Оно содержит буквы a и b. Если буквы a и b заменить числами 49 и 120 соответственно, получим выражение 6000 • 49 + 3000 • 120, значение которого — число 654 000. Это можно записать так: если a = 49, b = 120, то 6000 • a + 3000 • b = 654 000. Значения букв a и b меняются изо дня в день, поэтому их называют переменными, а выражение, содержащее переменные, — выражением с переменными. Числа, которые подставляют вместо той или иной переменной, называют значениями переменной. Пример 4. Рассмотрим выражение a : (b - 3) с переменными a и b. Если a = 20 и b = 7, то a : (b - 3) = 5. Если a = 100 и b = 13, то a : (b - 3) = 10. Если a = 12 и b = 3, получим числовое выражение 12 : (3 - 3), которое не имеет значения, так как на нуль делить нельзя. _ 1. Запишите числовое выражение. Какие действия оно • содержит? 2. Как найти значение числового выражения? 3. Когда говорят, что выражение не имеет значения? 4. Запишите выражение с переменными. Какие переменные оно содержит? 5. Как из выражения с переменными получить числовое выражение? 162. Найдите значение выражения: а) 1107 - 9 • 123; г) 1001 : (495 : 45); б) 1258 + 1107 : 9; д) 2853 - 56 • 49; в) 540 : 12 - 46; е) 12 • 13 + 14 • 15. 67 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 163. Поезд шёл с постоянной скоростью 65 км/ч. Найдите, какое расстояние прошёл поезд за: а) 2 ч; в) 4 ч; д) t ч; б) 3 ч; г) 7 ч; е) k ч. 164. Запишите выражение: а) с одной переменной, из которого получены числовые выражения: 3 • (8 + 3); 3 • (8 + 7); 3 • (8 + 13); 3 • (8 + 20); б) с двумя переменными, из которого получены числовые выражения: 2 • 3 - (2 + 3); 5 • 7 - (5 + 7); 12 • 9 - (12 + 9); 143 • 12 - (143 + 12). 165. Найдите значение выражения: а) 12 + 3 • t, если значение переменной t равно 3; 5; 8; 12; 57; б) 108 - l, если значение переменной l равно 99; 10; 101; 36; 72; в) 335 257 : x при значении переменной х, равном 41; 37; 13; 17; 1; 335 257; г) (123 - п) + 17 при значении переменной n, равном 0; 24; 31; 49; 123. 166. Найдите значение выражения, заданного схемой на рисунке: а) 56, а; б) 56, б. а б 114 25 3888 18 166 15 769 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 167. Найдите значение выражения x + 569 852 + a, если a и x соответственно равны: а) 130 529 и 9 382 645; б) 2 291 735 и 268 759; в) 908 088; 8 753 159; г) 8 007 594 и 3 996 706. 168. На отрезке AB выбрана точка T. Найдите длину отрезка AT, учитывая, что AB = у дм, а TB в два раза короче AT. Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если значение переменной у равно: 15; 12; 9; 6; 3. 169. Цена тетради x р., а карандаша — у р. Скажите, что означает выражение: а) x + у; г) 12 • x - 7 • у; б) x - у; д) 20 000 - (x + у); в) 10 • x + 5 • у; е) 50 000 - (10 • x + 5 • у). 170. В таблице указаны значения переменных p и q. Найдите значения выражений p : q и p • q, оформив решение таблицей. p 15 329 2323 1024 52 417 726 q 15 47 23 64 53 11 171. Один токарь работал 5 ч и сделал 45 деталей, второй работал с той же производительностью и сделал 90 деталей. Найдите время работы второго токаря. 172. Один токарь работал с производительностью 5 деталей в час и сделал 40 деталей, второй за то же время сделал 120 деталей. Найдите производительность труда второго токаря. 69 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 173. Восстановите пример: а) + *7**5 8*22*’ *11009 б) - ** 70 **06 в) - г) + **321 67*4 9*3* *6*2 743*' 3113 *2045 174. Ломаная STQ образована отрезками ST и TQ с длинами 5 см и 7 см. Какой может быть расстояние d между её концами S и Q? Ответ запишите двойным неравенством. 175. В аллее 37 деревьев. При счёте в одном направлении двадцать седьмым деревом оказалась берёза. Определите: а) какой она будет при счёте в обратном направлении’ б) сколько промежутков между соседними деревьями в этой аллее. 176. В мастерской сшили 8 одинаковых пальто и несколько одинаковых костюмов, израсходовав 82 м ткани. На костюм шло 3 м 50 см ткани, а на пальто — на 25 см меньше. Сколько костюмов сшили в мастерской? Составьте обратную задачу и решите её. 177. Скорость движения велосипедиста составляет 14 км/ч, а мотоциклиста — в 5 раз больше. Определите: а) сколько времени понадобится для того, чтобы на мотоцикле доехать от Кобрина до Волковыска (рис. 57)’ б) сколько времени заняла бы эта поездка на велосипеде. 70 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Волковыск Рис. 57 Рис. 58 178. Фрукты на одной чашке весов уравновешены фруктами и гирей на другой чашке (рис. 58). Определите, сколько весит 1 яблоко, учитывая, что фрукты вместе весят 780 г. 179. С первого и второго полей, площадь каждого из которых равна 66 га, сабрали ячменя соответственно 2970 ц и 2310 ц. Найдите урожайности первого и второго полей, учитывая, что в сумме они составляют 80 ц/га. * * * 180. Сколько понедельников может быть: а) в июне; б) в июле; в) в августе; г) в июне, июле и августе вместе? 181. Дети играли в сыщиков и сосчитали, что из проехавших мимо машин было: 12 машин марки «Форд», 13 — тёмных цветов, 14 — везли пассажиров, в 15 за рулём были мужчины. Определите, каким могло быть: а) наименьшее количество машин; б) наибольшее количество машин. 182. В игру «Назови 100» играют вдвоём. Первый называет число от 1 до 9, второй прибавляет 71 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" к названному своё число от 1 до 9 и называет сумму, первый к названной сумме добавляет своё число от 1 до 9 и т. д. Выиграет тот, кто первым получит 100. Как выиграть? 8. Окружность, круг, угол Окружность чертят с помощью циркуля (рис. 59). Точка, в которой крепилась ножка с иголкой, называется центром окружности. На рисунке 59 — это точка O. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом. На рисунке 60 отрезок KL есть радиус. Все радиусы окружности равны друг другу, так как их длины равны расстоянию между ножками циркуля. Все точки окружности равноудалены от её центра. Концы А и B отрезка AB на рисунке 61 принадлежат окружности. Такой отрезок называется хордой. Хорда CD на рисунке 61 проходит через центр Q окружности. Такую хорду называют диаметром. Диаметр окружности состоит из двух радиусов. CD = QC + QD = 2 • QC = 2 • QD. Диаметр окружности в два раза длиннее радиуса. Все диаметры окружности равны друг другу. Отметим на окружности две точки A и B (рис. 62). Эти точки разделили окружность на две 72 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 59 Рис. 60 части, каждую из которых называют дугой. На рисунке 63 они показаны линиями разного цвета. Точки A и B называют концами дуг. Окружность выделяет из плоскости фигуру, которую называют кругом (рис. 64). Окружность — граница круга. Центр круга, его радиус, хорда, диаметр — те же, что и в соответствующей окружности. Если в круге провести два его радиуса OA и OB, они выделят из круга его часть, которая называется сектором (рис. 65). Другая часть круга — также сектор. Два луча AB и AC с общим началом A разделяют плоскость на две части (рис. 66). Каждая из них есть угол. Иногда, чтобы указать рассматриваемый угол, его отмечают дугой. Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, выходящими из одной точки. Сами лучи называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла. Рис. 64 Рис. 65 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" С Рис. 66 73 Вершина Рис. 67 На рисунке 67 точка E — вершина, а лучи EF и EG — стороны угла FEG. Этот угол можно назвать и GEF. Иногда угол называют одной буквой, которой обозначается его вершина. Вместо слова угол при обозначении пишут знак Z. На рисунке 68 противоположные лучи OA и OB образуют прямую линию. Угол AOB, образованный такими лучами, называется развёрнут^хм. Такое их название объясняет рисунок 69: развёрнутый угол есть результат развёртывания «обычного» угла. Углы, как и отрезки, можно сравнивать. Два угла называют равными, если при наложении их можно совместить. Углы на рисунке 70 равны: Z ABC = Z DEF. На рисунке 71 угол PQA составляет часть угла PQR. Поэтому угол PQA меньше угла PQR, а угол PQR больше угла PQA. Углы измеряют транспортиром (рис. 72). Шкала транспортира расположена на полуокружности, центр которой помечен штрихом. Полуокружность разделена рисками на 180 долей. Если через эти риски провести из центра лучи, то крайние из них 74 А О Рис. 68 М Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" N Рис. 71 образуют развёрнутый угол, который будет разделён на 180 равных углов-градусов. Градусом называют долю развёрнутого угла. 180 Градус обозначают знаком °. Понятно, что развёрнутый угол равен 180°. Чтобы измерить данный угол (рис. 73), нужно: • транспортир наложить на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна сторона угла прошла через начало отсчёта на шкале, т. е. через нулевое деление транспортира; • считать величину угла в градусах, на которую указывает вторая сторона угла. По рисунку 73 видно, что величина угла KLM равна 50°. Пишут: Z KLM = 50°. L Рис. 72 Рис. 73 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 75 Величину угла в градусах называют градусной мерой угла. С помощью транспортира можно строить углы, заданные своей градусной мерой. Чтобы построить угол с данной градусной мерой, нужно: • провести произвольно луч AB — одну из сторон угла; • наложить транспортир так, чтобы центр его полуокружности совместился с началом A луча AB, а сам луч прошёл через нулевое деление шкалы; • на шкале найти риску с нужной градусной мерой и около неё отметить точку C; • начертить луч AC — вторую сторону угла. На рисунке 74 показано построение угла BAC величиной в 110°. Сложим лист бумаги пополам, а затем развернём его (рис. 75). Линия сгиба образовала с нижним краем листа два равных угла, т. е. линия сгиба разделила развёрнутый угол пополам. 76 А Рис. 74 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 75 Рис. 76 Прямым углом называют половину развёрнутого угла. Прямой угол можно построить с помощью угольника (рис. 76) или чертёжного треугольника (рис. 77). Величина прямого угла равна 90°. Угол, меньший прямого, называют острым (рис. 78). Величина острого угла меньше 90°. Угол, больший прямого, но меньший развёрнутого, называют тупым (рис. 79). Величина тупого угла больше 90°. 1. Каким прибором строят окружность? Опишите, как • это делается. Какие ещё действия выполняют с помощью циркуля? Рис. 77 Рис. 78 Рис. 79 77 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 2. Какое свойство имеют все точки окружности? 3. Какой отрезок называют радиусом окружности (круга)? 4. Какое свойство имеют радиусы окружности? 5. Какой отрезок называют хордой? 6. Какую хорду называют диаметром? Какая связь между диаметром и радиусом? Какое свойство имеют диаметры окружности? 7. Что называют кругом? Как связаны круг и окружность? 8. Какую часть круга называют сектором? 9. Что называют углом? Как его обозначают? 10. Какой угол называется развёрнутым? 11. Какие углы называют равными? 12. Какой угол называют градусом? 13. Чему равна величина развёрнутого угла? 14. Как измерить угол транспортиром? 15. Как построить угол по его градусной мере? 16. Какой угол называется прямым? Какова его величина? 17. Какой угол называется острым? Какова его величина? 18. Какой угол называется тупым? Какова его величина? 183. Отметьте точку T. Постройте окружность с центром T. Измерьте радиус окружности. Без измерения определите её диаметр. 184. Начертите круг с центром G и радиусом 35 мм. Отметьте точку P на окружности и точку D вне круга. Измерьте расстояния GP и GD. Сравните их. Что можно сказать о расстояниях от центра до точки на границе круга и от центра круга до точки вне круга? 185. Начертите отрезок AB длиной 6 см и две окружности с центрами в точках A и B и радиусами 45 мм и 50 мм соответственно. Обозначьте буквами M и N точки пересечения окружностей с отрезком АВ. Найдите длины отрезков AM, MN, NB. 78 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 186. Окружности с радиусами 30 мм и 45 мм касаются друг друга, т. е. имеют единственную общую точку (рис. 80). Найдите расстояния между их центрами. Рис. 80 187. Начертите отрезок AB и окружности с центрами в точках A и B так, чтобы они касались друг друга. Сколькими способами это можно сделать? 188. Начертите окружность и отметьте на ней три точки X, Y, Z. а) Запишите все дуги, на которые разделили окружность эти точки. б) Сколько всего разных дуг с концами в точках X, Y, Z получилось? Запишите их. в) Сколько всего хорд определяют эти точки? Запишите их. 189. Начертите две окружности с центрами S и T так, чтобы они пересекались. Точки пересечения окружностей обозначьте K и M. Постройте секторы KSM и KTM. Отметьте по две точки, которые принадлежат: а) обоим секторам; б) только сектору KSM; в) только сектору KTM; г) хотя бы одному из секторов. 190. Начертите отрезок AB, равный 65 мм. Найдите точки, отстоящие на 40 мм от точки A и на 50 мм от точки B. Сколько их? 79 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 191. По рисунку 81 назовите точки, которые: а) принадлежат углу MON; б) не принадлежат углу MON; в) лежат внутри угла MON; г) лежат на сторонах угла MON. 192. На рисунке 82, а лучи OK и OL совпадают. Будем поворачивать луч OK вокруг точки O, пока он не совпадёт с лучом OL (рис. 82, б). Луч OK опишет угол KOL, который называют полным. Используя рисунок 83, докажите, что величина полного угла равна 360°. Рис. 83 193. Используя форзац 1, сформулируйте общие свойства градусной меры угла. Конкретизируйте эти свойства, используя рисунки 84, а и 84, б. 194. Начертите угол с вершиной A. На его сторонах выберите точки B и C. На отрезке BC отметьте точку D. Проведите луч AD. Запишите все образованные углы. 80 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 84 195. Начертите четыре луча AB, AC, AD, AE. Запишите 6 углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи разбили плоскость? 196. Лучи OA и OB разделяют развёрнутый угол POQ на равные углы. Найдите градусные меры углов AOP, AOQ, AOB, POB. 197. Найдите цену деления шкалы транспортира, показанного на рисунке 85. Измерьте на рисунке 20 угол с вершиной: а) R; б) P; в) N. 198. Измерьте углы, показанные на рисунке 86. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 199. На рисунке 87 построен отрезок PQ длиной 28 мм и окружности с центрами P и Q и радиусами 19 мм и 14 мм соответственно. Окружности пересекаются в точках R и S. Найдите стороны: а) треугольника PQR; б) четырёхугольника PRQS. 200. Постройте треугольник со сторонами а, b и c и измерьте его наибольший угол, учитывая, что отрезки a, b и c соответственно равны: а) 3 см, 4 см и 5 см; б) 3 см, 4 см и 6 см; в) 5 см, 6 см и 7 см. Рис. 82 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 201. Начертите в тетради треугольник, измерьте его углы и найдите их сумму. 202. Луч BD разделяет угол ABC на две части, причём Z ABC = 139°, Z ABD = 37°. Найдите угол DBC. 203. Измерьте на рисунке 88 все углы со стороной SK. Как после этого без измерений определить величины всех углов со стороной SB? 204. Начертите развёрнутый угол ASD и луч SE. Измерьте угол ASE. Найдите угол ESD. 205. Начертите развёрнутый угол и разделите его с помощью транспортира: а) на 3 равных угла; б) на 5 равных углов. 206. Постройте угол величиной: а) 10°; в) 90°; д) 135°; б) 60°; г) 93°; е) 174°. Обозначьте построенный угол и сделайте соответствующую запись. 207. Третья доля угла равна 18°. Найдите сам угол. 208. Измерьте все углы на рисунке 89. Сделайте вывод. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 83 209. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в: а) 3 ч; в) 2 ч; д) 3 ч 30 мин; б) 6 ч; г) 7 ч; е) 15 ч 45 мин? 210. Сколько раз в промежутке времени от 5 до 11 ч часовая и минутная стрелки циферблатных часов образуют развёрнутый угол? 211. Токарь изготовил 48 деталей, а его ученик — 96 деталей. Найдите производительность токаря и ученика в отдельности, учитывая, что время работы токаря в 4 раза меньше, а вместе токарь и ученик за час изготавливают 18 деталей. Условие задачи выразим краткой записью (см. форзац 3). Уравняем время работы токаря до времени работы ученика, т. е. время работы токаря увеличим в 4 раза. Тогда и выполненная токарем работа увеличится в 4 раза и станет равной 48 дет. • 4, т. е. 192 дет. Значит, вместе токарь и ученик изготовили бы 192 дет. + 96 дет., т. е. 288 дет. Поскольку теперь время работы токаря и ученика одно и то же и их совместная производительность равна 18 дет./ч, то время работы ученика равно 288 дет. : 18 дет./ч, т. е. 16 ч, а время работы токаря — 16 ч : 4, т. е. 4 ч. Тогда производительность ученика равна 96 дет. : 16 ч, т. е. 6 дет./ч, а производительность токаря — 48 дет. : 4 ч, т. е. 12 дет./ч. 212. Токарь изготовил 45 деталей, а его ученик — 25 деталей. Найдите производительность токаря и ученика, учитывая, что производительность токаря в 3 раза больше, а время его работы в сумме со временем работы ученика составляет 8 ч. 84 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 213. Свет распространяется со скоростью 300 000 км/с и проходит расстояние от Солнца до Земли за 8 мин 20 с, а до Марса — за 12 мин 40 с. Найдите расстояния от Солнца до Земли и до Марса. 214. Из каждых 100 кг макулатуры изготавливают 75 кг бумаги. Сколько тетрадей будет изготовлено из 36 кг макулатуры, если 10 тетрадей весят 270 г? Составьте и решите обратную задачу. 215. На схеме, приведённой на рисунке 90, показано соотношение между средней продолжительностью жизни аиста, голубя, жаворонка, кукушки и совы. Найдите эти продолжительности. 216. Из 100 г моркови можно получить 14 мг провитамина А и витамина C, причём провитамина A на 4 мг больше, чем витамина C. Сколько нужно моркови, чтобы получить 18 г провитамина A? 217. Велосипедист из Смиловичей и пешеход из Поплавов (рис. 91) одновременно начали двигаться навстречу друг другу со скоростями 17 км/ч и 4 км/ч соответственно. Когда они встретились, то оказалось, что велосипедист проехал 51 км. Найдите: а) путь, который прошёл пешеход; 63 года " Кукушка Аист Сова 5 лет Голубь Жаворонок 4 года Рис. 90 12 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 85 б) на сколько путь, который осталось пройти пешеходу до Червеня, больше пройденного им пути. * * * 218. Во сколько раз лестница на шестой этаж длиннее лестницы на второй этаж? 219. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра больше суммы цифр из более низких разрядов. Прочитайте эти числа. 220. Как круг тремя прямыми разделить на 4, 5, 6, 7 частей? 9. Смежные и вертикальные углы Развёрнутый угол ABC произвольно разделим лучом BK на два угла ABK и CBK (рис. 92). У них одна сторона BK общая, а две другие — BA и BC образуют прямую линию. Такие углы называют смежными. Угол ABK смежный с углом CBK, а угол CBK смежный с углом ABK. Смежные углы вместе составляют 180°. Пусть есть смежные углы KLM и NLM (рис. 93). Вместе они составляют развёрнутый угол KLN, величина которого равна 180°. Поэтому Z KLM + Z NLM = 180°. 86 в Рис. 92 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 94 Чтобы построить угол, смежный с данным углом EFG (рис. 94, а), можно продлить линию за вершину F или сторону EF (рис. 94, б) или сторону GF (рис. 94, в). Пусть имеется угол MKN (рис. 95, а). Продлим его стороны за вершину K. Образовался новый угол PKQ, вертикальный углу MKN (рис. 95, б). Стороны любого из вертикальных углов MKN и PKQ являются продолжениями сторон второго угла. На рисунке 95, б вертикальные не только углы MKN и PKQ, но и углы NKP и MKQ. Вертикальные углы равны. а б Угол MKN Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 87 Рис. 96 Пусть имеются вертикальные углы AOC и BOD (рис. 96, а). Первый из них дополняется углом AOD до развёрнутого угла COD (рис. 96, б), второй — этим же углом до угла BOA (рис. 96, в). Отбросив из равных углов COD и BOA их общую часть — угол AOD, получим равные углы AOC и BOD. Построим прямую AB и выберем на ней некоторую точку Q (рис. 97). Через неё проведём прямую CD так, чтобы угол AQC был прямым. Такие прямые называют перпендикулярными. Угол BQC также прямой, поскольку он смежный с прямым углом AQC. Теперь обратим внимание на то, что углы BQD и AQD вертикальные прямым углам AQC и BQC, поэтому они также прямые. Получили, что перпендикулярные прямые AB и CD при своём пересечении образуют четыре прямых угла. 1. Какие углы называются смежными? • 2. Сформулируйте свойство смежных углов. 3. Как построить угол, смежный с данным? 4. Какие углы называются вертикальными? 5. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 6. Как построить вертикальные углы? 7. Как построить перпендикулярные прямые? 88 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" G Рис. 98 221. Два радиуса окружности определяют два угла. Учитывая данную величину незакрашенного угла, найдите величину закрашенного угла на рисунке: а) 98, а; б) 98, б; в) 98, в; г) 98, г. 222. Углы, определённые тремя радиусами одной окружности, равны друг другу. Какова их величина? 223. Начертите сектор с радиусом 5 см и углом в: а) 90°; б) 45°; в) 180°; г) 225°. 224. Найдите и постройте смежные углы, один из которых: а) равен 27°; б) на 36° больше другого. 225. Угол в 23° увеличили в 3 раза. Как изменился смежный с ним угол? 226. Найдите смежные углы, один из которых: а) составляет третью долю другого; б) относится к другому как 7 : 5. 227. Угол BCD равен 26°. Продлите его стороны за вершину C. Найдите величины каждого из образованных углов. 89 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" г Рис. 99 Рис. 100 228. На прямой AB взята точка C, и из неё по одну сторону от прямой AB проведены лучи CD и CE так, что Z BCE = ZACD = 42° (рис. 99). Найдите угол DCE. 229. На прямой PQ взята точка O, и из неё проведён луч OS под углом 66° (рис. 100). Луч OR отсекает от угла SOQ третью долю. Найдите величину угла POR. 230. Прямые AB и CD пересекаются в точке Q, и угол AQD равен 70°. Найдите величины остальных углов. 231. Найдите величины каждого из четырёх углов, образованных пересечением двух прямых, учитывая, что: а) сумма двух из этих углов равна 26°; б) один из этих углов в 5 раз больше другого; в) сумма трёх углов равна 276°. 232. Используя угольник, найдите пары перпендикулярных прямых на рисунке 101. 233. Олег прочитал книгу, в которой помещены две повести. Первая из них занимает 108, а вторая — 180 страниц. Определите, сколько дней читал Олег каждую повесть, учитывая, что вторую Рис. 101 90 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" повесть он читал на 4 дня дольше и каждый день прочитывал одно и то же количество страниц. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3). Поскольку скорость чтения одна и та же, то вторую повесть Олег читал на 4 дня дольше из-за того, что она содержит на 180 - 108, т. е. на 72 страницы больше. Значит, скорость чтения равна 72 : 4, т. е. 18 страниц в день. Поэтому первую повесть Олег прочитал за 108 : 18, т. е. за 6 дней, а вторую — за 180 : 18, т. е. за 10 дней. 234. Максим прочитал две повести, затратив на каждую из них одно и то же количество дней. Первая повесть занимает 192 страницы, вторая — 168 страниц. Определите, по сколько страниц в день читал Максим вторую повесть, учитывая, что первую он читал на 3 страницы в день быстрее. 235. Прикидкой определите цифру, вместо которой записана звёздочка: а) 536 • 21 = *1 256; б) 95 • 125 = *1 875; в) 377 • 981 = *69 837; г) 2004 • 9997 = *0 033 988; д) 25 101 • 2102 = *52 762 302; е) 231 • 44 = *0 164. 236. Определите, какой точкой координатной прямой (рис. 102) представляется число: а) 100; в) 180; д) 520; ж) 680; б) 340; г) 760; е) 980; з) 1100. А в с D Е F G Н с I I Ф I »1 I I ^ I I I» I I I «I * \ I I I «I I Ф—► о 200 400 600 800 1000 Рис. 102 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 91 237. Вычислите наиболее удобным способом: а) 32 456 - (2456 + 5238); б) 94 231 - (58 231 - 14 749); в) 56 804 + 36 541 - 12 804; г) 74 503 + 52 471 - 17 470. 238. Восстановите пример: 3**4* - *43*2 ; 2*4* в) - *246 ; 12097 *0*9 ***0* *2* г) + 2*2 . 43*1 ; 10682 *000 239. Скорость полёта шмеля меньше скорости полёта осы в 3 раза, или на 100 м/мин. Найдите эти скорости. 240. Скорость полёта стрекозы больше скорости полёта комнатной мухи на 260 м/мин и скорости полёта беляна-капустника на 220 м/мин. Найдите скорости полёта этих насекомых, учитывая, что удвоенная скорость полёта беляна-капустника на 70 м/мин меньше скорости полёта стрекозы. 241. Сколько нужно взять меди и цинка, чтобы получить 1236 г латуни, в которой меди втрое больше, чем цинка? 242. У коз, которые имеются у одного хозяина, столько же ног, сколько их есть у 20 кур. Определите, сколько коз у хозяина. 243. Из Малориты в Муховец один велосипедист, который ехал со скоростью 21 км/ч, доехал за 2 ч. Второй велосипедист, ехавший из Мухов-ца, доехал до Малориты за 3 ч. Определите: 92 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а) путь от Муховца до Малориты; б) через какое время встретились бы велосипедисты, если бы они выехали одновременно навстречу друг другу один из Муховца, а второй из Малориты. * * * 244. Найдите все четырёхзначные числа, у которых каждая цифра больше суммы цифр из более высоких разрядов. 245. Трое рыбаков имеют общую лодку, и у каждого есть свой замок и ключ к нему. Как прикрепить лодку к берегу, чтобы каждый из рыбаков мог ею пользоваться, открыв один замок своим ключом? 246. Три понедельника месяца пришлись на чётные числа. Каким днём недели было 19 число этого месяца? 10. Формула Вы уже неоднократно встречались с формулами. Формулами были записаны свойства сложения натуральных чисел: a + b = b + a; a + (b + c) = (a + b) + c; a + b > a. Формулой можно выразить зависимость между величинами. Пример 1. Скорость велосипедиста — 17 км/ч. Расстояния в километрах, которые он проедет за 2 ч, 3 ч, 4 ч, запишутся выражениями: 17 • 2; 17 • 3; 17 • 4. Вообще, путь s, который проедет велосипедист за время t, можно найти по формуле s = 17 • t. Заменив 17 произвольной скоростью v, получим общую формулу пути: s = v • t. 93 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" АВ ВС СА- ■■ 30 мм : 49 мм 23 мм ^Авс + ВС + СА = 102 мм ZA= 135° ZB = 19° ZC = 26° ZA + ZB + ZC=1S0° Рис. 103 Можно заметить, что формула получается из двух выражений, если их соединить знаком равенства или неравенства. Пример 2. Вы знаете, что периметр треугольника, т. е. сумма его сторон (рис. 103), выражается формулой: Равс = AB + BC + CA. Понятно, что этот периметр треугольника может иметь самые разные значения. Найдём сумму углов треугольника. Получилось 180° (см. рис. 103). Это свойство углов треугольника было открыто в глубокой древности. Сумма углов треугольника равна 180°. Z A + Z B + Z C = 180°. Важные формулы иногда записывают правилом. Например, формулу s = v • t выражают таким правилом: чтобы найти путь, нужно скорость умножить на время. Пример 3. Книга стоит 21 000 р. Найдём стоимость р покупки 2 книг; 3 книг; n книг. Получаем: p = 21 000 • 2 р., p = 21 000 • 3 р., p = 21 000 • n р. 94 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Заменив 21 000 произвольной ценой k, получим формулу стоимости покупки: p = kn. Пример 4. Чтобы отправить телеграмму, нужно уплатить 860 р. за услугу и ещё по 430 р. за каждое слово. Поэтому стоимость p телеграммы, состоящей из n слов, выражается формулой p = 860 + 430 • n. Найдём количество слов в телеграмме, за которую уплатили 12 040 р. Используя формулу стоимости телеграммы, получим: 12 040 = 860 + 430 • n. Найдём, сколько рублей уплатили за n слов: 430 • n = 12 040 - 860; 430 • n = 11 180. Теперь можно найти количество слов в телеграмме: n = 11 180 : 4300; n = 26. Ответ. Телеграмма содержала 26 слов. 1. Приведите примеры формул-свойств. 2. Приведите примеры формул-зависимостей. 3. Как из выражений образовать формулу? 4. Запишите формулу пути и прочитайте её как правило. 5. Запишите формулу периметра треугольника и прочитайте её как правило. 6. Запишите формулы периметра и площади прямоугольника и прочитайте их как правила. 7. Запишите свойство суммы углов треугольника. Что в этой формуле означает каждое слагаемое? 8. Запишите формулу стоимости покупки. Объясните, что означает в ней каждая буква. Прочитайте эту формулу как правило. 95 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 247. Вычислите, используя формулу стоимости покупки, сколько: а) стоит покупка 9 билетов на автобус, если один билет стоит 26 000 р.; б) стоит 1 дневник, если за 3 дневника уплатили 3300 р.; в) куплено простых карандашей, если при цене 1300 р. за карандаш уплатили за покупку 10 400 р. 248. Найдите значение неизвестной переменной зависимости s = vt пути s от скорости движения v и времени t по сведениям в одном столбце таблицы: s 224 км 1887 м 2040 км v 13 м/с 32 км/ч 17 км/с 11 м/с t 12 с 51 мин d 1 ч а) б) в) г) д) 249. Запишите формулой, как найти количество N изготовленных деталей за время t, если производительность труда равна р. Найдите: а) количество изготовленных деталей, если р = 5 дет./ч и t = 8 ч; б) время, если N = 120 дет. и р = 15 дет./ч; в) производительность р, если N = 84 дет. и t = 7 ч. 250. С одной автостанции одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Скорость первого автобуса 50 км/ч, а второго — 60 км/ч. Каким будет расстояние между автобусами через b ч после отправления? Запишите ответ формулой. Упростите его. Что означает число 110 в полученной формуле? 96 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" G Рис. 104 Рис. 105 251. Из одного населённого пункта в одном направлении вышли два пешехода, один — со скоростью 4 км/ч, второй — 6 км/ч. Запишите формулой расстояние между ними через t ч? Упростите её. Какой смысл имеет число 2 в этой формуле? 252. Выразите t из формулы s = 3 + 5 • t. Найдите значение t, если s равно: а) 8; б) 18; в) 23; г) 48. 253. Два угла треугольника равны 23° и 47°. Чему равен третий угол треугольника? 254. Угол K треугольника GKL равен 56°, угол L в 2 раза меньше его (рис. 104). Найдите углы L и G. 255. Один угол треугольника равен 116°, а два других равны между собой (рис. 105). Найдите эти углы. 256. Составьте выражение и найдите его значение, учитывая, что выражение задано схемой, изображённой на рисунке: а) 106, а; б) 106, б. 257. При одинаковой урожайности собрали ячменя с первого поля 1558 ц, а со второго — 1330 ц. Найдите площади полей, учитывая, что они отличаются на 6 га. 97 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" a 2839 939 129 2996 8 73 137 997476 101 125 258. Решите уравнение: а) (a - 372) + 927 = 1324; б) (892 + z) + 3379 = 5372; в) (5327 - x) + 3133 = 5151; г) (у + 4797) - 12 312 = 511. 259. Пять окуней весят столько же, как и 2 леща, и лещ тяжелее окуня на 360 г. Сколько весит окунь? 260. Теплоход вниз по реке идёт со скоростью 50 км/ч, а вверх — со скоростью 40 км/ч. Какова скорость течения реки (рис. 107)? 261. Моторная лодка за 1 ч проходит по озеру 20 км. Она шла по течению Днепра 2 ч. Сколько времени понадобится лодке на обратный путь, если скорость течения реки 4 км/ч? 98 50 км/ч 40 км/ч I I — скорость теплохода в стоячей воде Щ — скорость теплохода по течению реки I I — скорость теплохода против течения реки Рис. 107 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б Е * * * 262. На три полки поставлено 25 книг так, что на разных полках стоит разное количество книг. Можно ли утверждать, что на одной из полок книг не меньше 10? Может ли быть на одной из полок 12 книг? Можно ли утверждать, что на одной из полок не меньше 11 книг? 263. Три прямые — AB, CD, EF — пересекаются в одной точке O (рис. 108). Докажите, что Z AOC + Z FOD + Z BOE = 180°. Найдите угол BOE, учитывая, что Z AOC + Z FOD = 148°. 264. В классе 30 учеников. Можно ли утверждать, что: а) по крайней мере 5 учеников родились в один день недели; б) по крайней мере 5 учеников родились во вторник? 11. Задачи с известными произведениями и отношением значений одного из множителей Вам уже приходилось иметь дело с задачами, при решении которых требовалось учитывать зависимости между величинами, использованными в условии задачи. Задача 1. Турист прошёл 16 км, а затем после отдыха с той же скоростью ещё 12 км. Найдите время движения туриста до отдыха и после отдыха, учитывая, что всего это время составило 7 ч. В условии этой задачи использованы три величины — путь s, скорость v и время t. Об этих величинах известно следующее: 99 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" путь S!, пройденный до отдыха, равен 16 км; путь s2, пройденный после отдыха, равен 12 км; скорости v1 и v2 движения до отдыха и после отдыха равны друг другу, т. е. v1 = v2, или V1 : V2 = 1; • время t1 движения до отдыха вместе со временем t2 движения после отдыха составляет 7 ч, т. е. t1 + t2 = 7 ч. Наглядно эти сведения можно представить таблицей: Движение до отдыха Движение после отдыха Путь 16 км 12 км Скорость Одна и та же Время 7 ч Вместе с этой информацией при решении задачи используем и то, что величины s, v и t связаны зависимостью s = vt. Рассуждать при решении задачи можно так. За 7 ч турист прошёл 16 км + 12 км, т. е. 28 км. По условию до отдыха и после отдыха турист шёл с одной и той же скоростью. Учитывая это и зависимость s = vt, по известным пути и времени найдём, что скорость движения туриста равна 28 км : 7 ч, т. е. 4 км/ч. Теперь находим, что время движения туриста до отдыха равно 16 км : 4 км/ч, т. е. 4 ч, а после отдыха — 12 км : 4 км/ч, т. е. 3 ч. Задача 2. Турист сначала прошёл пешком 12 км, а затем ещё проехал на велосипеде 32 км, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость движения 100 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" туриста на велосипеде, учитывая, что она в 4 раза больше скорости движения пешком. Представим условие задачи таблицей: Движение пешком Движение на велосипеде Путь 12 км 32 км Скорость В 4 раза больше Время 5 ч Обратим внимание на то, что задача 2 отличается от задачи 1 тем, что в задаче 1 отношение скоростей было равно единице, а в задаче 3 это отношение равно четырём. Это подсказывает способ решения задачи 2 путём сведения её к задаче 1 . Допустим, что скорость движения туриста на велосипеде равна скорости его движения пешком, т. е. уменьшим скорость движения на велосипеде в 4 раза. Тогда и соответствующий путь уменьшится в 4 раза и станет равным 32 км : 4, т. е. 8 км. Теперь условие аналогично условию задачи 1. Поэтому и решение преобразованной задачи 2 аналогично решению задачи 1 . 1. 12 км + 8 км = 20 км — таким был бы путь, пройденный туристом. 2. 20 км : 5 ч = 4 км/ч — такова скорость движения туриста пешком. 3. 4 км/ч • 4 = 16 км/ч — такова скорость движения туриста на велосипеде. Задача 3. С первого поля собрали 2964 ц ржи, а со второго, площадь которого в 3 раза меньше, — 1612 ц. Найдите урожайность второго поля, учитывая, что она на 24 ц/га больше урожайности первого поля. 101 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Представим условие задачи таблицей: Первое поле Второе поле Урожай 2964 ц 1612 ц Урожайность На 24 ц/га больше Площадь В 3 раза больше Задача построена на зависимости m = p^ S массы урожая от урожайности p поля и его площади S. В ней, как и в задаче 2, даны отдельные значения произведения m и отношение значений одного из множителей S. Но в задаче 2 дана сумма значений второго множителя, а в задаче 3 — разность значений второго множителя, а именно Pi - p2 = 24 ц/га. Это соответствующим образом отражается на способе решения, хотя основная идея остаётся прежней. Уравняем площадь первого поля до площади второго, т. е. площадь первого поля уменьшим в 3 раза. Тогда и урожай с первого поля уменьшится в 3 раза и станет равным 2964 ц : 3, т. е. 988 ц. Урожай второго поля больше на 1612 ц - 988 ц, т. е. на 624 ц, из-за того, что его урожайность больше на 24 ц/га. Значит, площадь второго поля равна 624 ц : 24 ц/га, т. е. 26 га. Тогда урожайность второго поля равна 1612 ц : 26 га, т. е. 62 ц/га. 1. Как изменится произведение a в зависимости a = bc, • если один из множителей b или c уменьшить в 2 раза; увеличить в 3 раза? 2. Как изменится множитель b, если при неизменном произведении bc второй множитель c уменьшить в 2 раза; увеличить в 3 раза? 102 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 265. Есть две коробки конфет, в первой из них 48 конфет, во второй — 30 конфет. Найдите количество конфет в одном ряду первой и второй коробок, учитывая, что вместе эти количества дают 18, а рядов конфет в первой коробке в 2 раза больше. 266. Есть две коробки конфет, в первой из них 24 конфеты, во второй — 36 конфет. Найдите количество рядов конфет в первой и второй коробках, учитывая, что вместе эти количества дают 7, а конфет в одном ряду первой коробки в 2 раза меньше. 267. С двух полей одинаковой площади собрали ячменя с первого — 1040 ц, а со второго — 962 ц. Найдите урожайности полей, учитывая, что они отличаются на 3 ц/га. 268. Отрезок AB точкой E разделён пополам, и на полученных частях AE и BE построены прямоугольники AEFG и BEDC с площадями 56 см2 и 84 см2 соответственно (рис. 109). Найдите длину отрезка AB, учитывая, что неравные стороны прямоугольников отличаются на 4 см. G Рис. 109 269. Запишите формулу, связывающую пройденный путь s, скорость v и время движения t. Скажите, как найти: а) пройденный путь, если известны скорость и время движения; б) скорость движения, если известны пройденный путь и время движения; 103 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в) время движения, если известны пройденный путь и скорость движения. 270. Запишите формулу, связывающую массу m собранного урожая, урожайность p поля и его площадь S. Скажите, как найти: а) массу собранного урожая, если известны урожайность поля и его площадь; б) урожайность поля, если известны масса собранного урожая и площадь поля; в) площадь поля, если известны масса собранного урожая и урожайность поля. 271. Укажите, как изменится произведение, если один из множителей: а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) увеличить в 3 раза, а второй увеличить в 2 раза; г) увеличить в 6 раз, а второй уменьшить в 3 раза; д) уменьшить в 3 раза; а второй уменьшить в 2 раза. * * * 272. Знайка, Шпунтик и Пончик зашли в кафе Цветочного города. Знайка за кофе, кекс и булочку уплатил 40 грошей, Шпунтик за кофе, три кекса и семь булочек — 1 талер и 26 грошей. Найдите, сколько уплатил Пончик за кофе, четыре кекса и десять булочек, учитывая, что талер равен 100 грошам. 273. Петя родился 1 января. В этом месяце было четыре пятницы и четыре понедельника. В какой день недели родился Петя? 274. Найдите наибольшее шестизначное число, в котором каждая следующая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр. 104 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Натуральные числа: умножение и деление раздел 12. Умножение и деление натуральных чисел Пример 1. В школьную библиотеку привезли 6 упаковок учебников по 10 учебников в каждой. Чтобы найти, сколько учебников привезли в библиотеку, нужно вычислить сумму шести слагаемых, каждое из которых равно 10. Вообще, a • b означает сумму b слагаемых, каждое из которых равно а: a ■ b = a + a +... + a . ^ V b слагаемых Приведённое определение осмысленно, когда слагаемых не меньше двух. Оно дополняется следующими соглашениями: a • 1 = a; a • 0 = 0. Действие нахождения суммы одинаковых слагаемых называется умножением. Выражение a • b и его значение называют произведением, числа a и b — множителями, первый множитель a называют ещё умножаемым. Деление есть действие, обратное умножению. Делением находят неизвестный множитель по известным произведению и другому множителю. Поскольку, например, 6 • 4 = 24, то 24 : 6 = 4 и 24 : 4 = 6. Число, которое делят, называют делимым. Число, на которое делят, называют делителем. Результат деления называют частным. 105 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Частное чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго, или во сколько раз второе число меньше первого. Поскольку умножение и деление — взаимно обратные действия, то деление можно проверить умножением, а умножение — делением. Если частное умножим на делитель, получим делимое. Если произведение разделим на один из множителей, получим другой множитель. Деление можно проверить и делением. Если делимое разделим на частное, получим делитель. Действия умножения и деления имеют ряд свойств (см. табл. 1 и 2). Таблица 1 Переместительное свойство a • b = b • a Перестановка множителей произведения не изменяет Сочетательное свойство (a • b) • c = a • (b • c) Изменение расстановки скобок произведения не изменяет Распределительное свойство (a + b) • c = ac + bc; a • (b + c) = ab + ac Чтобы умножить сумму на число, можно на это число умножить каждое слагаемое и полученные произведения сложить (a - b) • c = ac - bc; a • (b - c) = ab - ac; (a + b) : c = a : c + b : c; (a - b) : c = a : c - b : c Основное свойство частного (a • с) : (b • с) = a : b = (a : с) : (b : с) Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число 106 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Таблица 2 Умножение и деление нуля 0 • a = 0; 0 : a = 0 Умножение и деление нуля в результате даёт число 0 Умножение и деление на нуль a • 0 = 0 Умножение на нуль в результате даёт число 0 Выражение a : 0 не имеет значения Равенство нулю произведения Если произведение равно нулю, то равен нулю хотя бы один из множителей Умножение и деление на единицу a • 1 = a; a : 1 = a Умножение и деление на единицу в результате даёт само число Деление на само число a : a = 1 Деление на само число в результате даёт число 1 Свойства действий позволяют ввести соглашения об упрощении записи выражений (см. табл. 3). Таблица 3 Соглашение Данное выражение ^ Выражение-результат Не писать знак умножения перед скобкой 3 • (2 - y), ^ 3(2 - y), (2 + 31) • (23 - 17) (2 + 31)(23 - 17) Не писать знак умножения перед буквенным множителем 5 • x, a • x ^ 5x, ax В произведениях с числовым множителем этот множитель записывать первым a • 3, b • 7 • c ^ 3a, 7bc Не писать скобки в выражениях только со сложением или умножением (a + b) + с, a + (b + с), ^ a + b + с, (ab)с, a(bс) abс 107 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" После применения распределительных свойств умножения для выражений (а + b)c, (a - b)c получаем выражения без скобок ас + bc, ас - bc соответственно. Такую замену одного выражения другим называют раскрытием скобок. Пример 2. Раскроем скобки в выражении (17а - 8) • 2с. Получим: (17а - 8) • 2с = 17а • 2с - 8 • 2с = 34ас - 16с. Переставив в равенствах (а + Ь)с = ас + Ьс и (а - Ь)с = ас - Ьс левую и правую части, получим равенства ас + Ьс = (а + Ь)с и (а - Ь)с = ас - Ьс. Замену выражений ас + Ьс и ас - Ьс выражениями (а + Ь)с и (а - Ь)с соответственно называют вынесением общего множителя за скобки. Вынесение множителя за скобки используют при вычислениях и упрощениях выражений. Пример 3. а) 14 • 17 + 6 • 17 = (14 + 6) • 17 = 20 • 17 = 340; б) 15х + 21х = (15 + 21)х = 36х. Обычно промежуточные записи не делают и пишут сразу результат: 59д - 47д = 12д; 13s + 18s - 21s = 10s. Для умножения и деления натуральных чисел разработаны приёмы, использующие разрядный состав чисел (рис. 110 и 111). Для контроля правильности выполнения умножения целесообразно делать прикидку. Например, 77548 • 399 « 80 000 • 400 = 32 000 000. Видим, что точное произведение должно быть близким к 32 миллионам. Сравнение с результатом 30 941 652 показывает, что это так. 108 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 257 • 67 257*7 = , 1799 257*60= 15420 17219 или + 257 ^ 67 1799 1542 17219 346 * 507 346 507 X + 2422 1730 175422 7302 * 5700 ,7302 5700 X + 51114 36510 41621400 Рис. 110 Перед делением для контроля целесообразно прикинуть количество цифр в частном. Для этого в делимом выделяем группу цифр, с которой начинается деление. Эта группа и каждая цифра после неё внесут в частное по одной цифре. Например, частное 2 987 014 : 308 содержит 4 цифры, так как деление начинается с групы 2987, после которой есть ещё 3 цифры. 1. Что означает требование Натуральное число a умно-• жить на натуральное число b? 2. Как обозначается умножение произвольного натурального числа на число 1; на число 0? 3. Какое действие называется умножением и как называются перемножаемые числа и результат умножения? 4. Какое действие называется делением и как называются компоненты деления и его результат? 5. Как узнать, во сколько раз одно число больше другого? 109 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 500 484: 537 500484 4833 171 537 9 5004: 537 = 9 (ост. 171) 537-9 = 4833 5004-4833 = 171 500484 4833 _ 1718 1611 537 93 107 1718: 537 = 3 (ост. Ю7) 537-3 = 1611 1718-1611 = 107 _ 500484 4833 _ 1718 1611 _1074 1074 о 1074:537 = 2 537-2 = 1074 537 932 3 874 991:769 769 3874991 3845 29 3874991 3845 769 50 299 299 < 769 3874991 3845 _2999 2307 692 3874991 3845 _2999 2307 769 503 769 5039 _6921 6921 О 110 Рис. 111 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 6. Как можно проверить умножение; деление? 7. Сформулируйте свойство деления числа на нуль; на единицу; на самого себя. 8. Сформулируйте свойство деления нуля. 9. Сформулируйте переместительное свойство умножения и запишите его с помощью переменных. 10. Сформулируйте сочетательное свойство умножения и запишите его с помощью переменных. 11. В каких случаях можно опускать знак умножения? 12. Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения; вычитания. 13. Сформулируйте свойство деления суммы на число; разности на число. 14. Сформулируйте основное свойство частного. 15. Какое действие называют раскрытием скобок; вынесением общего множителя за скобки? 16. Как изменится частное, если делитель увеличить в m раз; уменьшить в n раз? 17. Как изменится частное, если делимое увеличить в p раз; уменьшить в q раз? 18. Расскажите на примере, как письменно умножают натуральные числа; как письменно одно натуральное число делят на другое? 19. Как умножить натуральное число на разрядную единицу? 20. Как умножаются числа с нулями на конце? 21. В каком случае при письменном делении в частном записывается цифра 0? 22. Как определить количество цифр в частном? 275. Решите задачу. а) Каждый из 24 учеников сдал классному руководителю 4 тыс. р. для посещения театра. Найдите, сколько всего денег собрал классный руководитель. б) Классный руководитель собрал с 20 учеников 70 тыс. р. для посещения театра. Найдите, сколько денег сдал каждый ученик. 111 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в) Каждый ученик сдал классному руководителю 3500 р. для посещения театра. Найдите количество учеников класа, учитывая, что всего было собрано 105 тыс. р. 276. Решите задачу. а) С поля площадью 90 га собрали 3240 ц ржи. Определите урожайность ржи на этом поле. б) Когда собрали рожь с поля площадью 50 га, то урожайность оказалась равной 24 ц/га. Найдите собранный урожай. в) С поля собрали 2170 ц ржи. Найдите площадь поля, учитывая, что урожайность оказалась равной 31 ц/га. 277. Найдите количество квадратов, на которые разделена фигура на рисунке: а) 112, а; в) 112, в; д) 112, д; б) 112, б; г) 112, г; е) 112, е. 278. Найдите произведение: а) 3 • 347; г) 85 • 994; ж) 67 • 1274; б) 9 • 564; д) 16 • 251; з) 732 • 4507; в) 7 • 3407; е) 82 • 9710; и) 397 • 286. 279. Представление числа произведением по меньшей мере двух отличных от единицы множителей называют разложением числа на множители. Например, число 30 можно разложить на множители разными способами: 30 = 2 • 15 = 3 • 10 = 5 • 6 = 2 • 3 • 5. Рис. 112 112 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б г е д в Разложите на множители число: а) 51; в) 42; д) 125; ж) 210; б) 35; г) 12; е) 36; з) 180. 280. Отрезок MN разделён на 12 отрезков, каждый из которых имеет длину 6 см. Какова длина отрезка MN? 281. Одна сторона прямоугольника равна 19 м, а вторая на 6 м короче. Чему равна площадь прямоугольника? 282. Вадим в 3 раза старше своей сестры и в 3 раза моложе отца. Сколько лет Вадиму и его отцу, если сестре 5 лет? 283. За секунду река Уздянка в среднем вливает в Усу 2 тыс. л воды. Найдите, сколько воды вносит Уздянка в Усу за: а) 1 мин; в) 1 ч; д) 1 сут; б) 30 мин; г) 5 ч; е) 3 сут. 284. Найдите значение выражения 51, учитывая, что l = 3; 10; 0; 11; 1. 285. Переместительное и сочетательное свойства умножения дают возможность при умножении нескольких чисел объединять их таким образом, чтобы было удобно умножать: 20 • 23 • 50 = (20 • 50) • 23 = 1000 • 23 = 23 000, 125 • 15 • 8 • 6 = (125 • 8) • (15 • 6) = 1000 • 90 = 90 000. Найдите произведение: а) 97 • 50 • 20; г) 16 • 625 • 777; б) 40 • 72 • 25; д) 125 • 150 • 8 • 40; в) 8 • 129 • 125; е) 24 • 15 • 125 • 12. 286. Найдите произведение, выбрав наиболее удобный порядок вычислений: а) 318 • 50 • 40; в) 80 • 25 • 43; б) 125 • 72 • 8; г) 16 • 110 • 125. 113 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 287. Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют упрощать буквенные выражения: 60ас • 2b = (60 • 2)(ас • b) = 120abc. Упростите выражение: а) 2т • 6n; в) 7rs • 6t • 2; д) 9 • 6p • 2g; б) 8c • 25d; г) ac • 6b • 20d; е) a • 11c • 12e. 288. Замените звёздочку таким выражением, чтобы полученное равенство выражало некоторое распределительное свойство: а) (72 + 14) • 9 = *; д) * = 49 • 8 + 79 • 8; б) 12 • (78 + 83) = *; е) * = 23 • 56 + 23 • 56; в) (22 - 17) • 56 = *; ж) * = 72 • 42 - 38 • 42; г) 23 • (77 - 42) = *; з) * = 13 • 67 - 13 • 56. 289. Найдите значение выражения: а) 45 • 36 + 55 • 36; в) 102 • 873 + 27 • 102; б) 51 • 136 - 21 • 136; г) 252 • 78 - 250 • 78. 290. Раскройте скобки: а) 31(4 - z); г) 9(е - 10 - k); б) 5(b + c + d); д) (3х - 6y + 9z)a; в) (5 - 25y)8; е) c(12 + g - 67^). 291. Упростите выражение: а) 7z + 5z; в) 86q - 45q; д) 56Z + 44Z - 50Z; б) f + 99f; г) 18k - k; е) 9u + 11u - 20u. 292. Решите уравнение: а) 13a - 5a = 88; г) 23x + 24x = 540; б) 5z + 21z = 520; д) 98z - 78w = 2000; в) k + 2k + 3k = 336; е) 9Z - 6Z - 2Z = 128. 293. Найдите, при каком значении переменной: а) выражение 5d меньше выражения 9d на 24; б) сумма выражений 23c и 32c равна 715; в) разность выражений 123k и 120k равна 555; г) выражение 10f в 2 раза меньше 1020. 114 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 294. Вынесите общий множитель за скобки: а) 2а + 2Ь; в) 10а + 8b; д) 6а + Та; б) 9х - 18; г) 5х - 3xy; е) 12x - 4xy. 295. Полота и Сосница — притоки Западной Двины. За секунду первая река в среднем вносит в Западную Двину 4800 л воды, вторая — 2800 л. Сколько воды вносят в Западную Двину эти реки вместе за: а) 1 мин; б) 50 мин; в) 1 ч? Задачу решите двумя способами. Ответ запишите в тысячах литров. 296. Не выполняя умножения, запишите по возрастанию произведения: 135 • 53; 12Т • 248; 138 • 264; 134 • 248; 12Т • 242; 125 • 235; 13Т • 265. 297. Вычислите: г) 121 000 д) 40 Т00 • е) 84 010 • • 5600; 809 000; 50 600. а) 5600 • 56 800; б) Т20 • 408 000; в) 93 000 • 460 000; 298. Найдите произведение: а) 5 • 603; г) 50 200 • Т0 Т02; б) 509 • 304; д) 20 504 • 106; в) 25 • 540; е) 123 • 406 406. 299. Найдите значение выражения: а) 56 • 8 • 121; б) 11 • 22 • 333; в) 8 • 91 • 252; 300. Вычислите: а) 11 • 13 • 1Т; б) 41 • 43 • 4Т; в) 101 • 103 • 10Т; г) 21 д) 36 е) 51 9 • 905; 91 • 520; Т6 • 943. г) 131 • 13Т • 139; д) 1009 • 1013 • 1019; е) 1031 • 1033 • 1038. 115 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 301. Сделайте прикидку округлением множителей до высшего разряда. Сравните точное произведение с результатом прикидки: а) 11 • 97; г) 13 • 101; б) 47 • 53; д) 31 • 719; в) 19 • 59; е) 43 • 967; 302. Восстановите пример: а) ж) 211 з) 547 • и) 378 • 953; 467; 315. б) 324 ^ **. > *2* ч X к гг в) 57; д) **3 " 5* 2916 + *2* *2*8 + **** **6 +**** 6*5* ***** 1*67* *23 ^ **• > *** г) 23; е) 737 ^ *** *0*2 7*2 **** + ***1 ***** + *** + *** **7* ****4 303. Решите задачу. а) На занятиях по физкультуре 12 девочек пятого класса были разделены на одинаковые группы по 4 девочки в группе. Найдите количество образованных групп. б) На занятиях по физкультуре 18 мальчиков пятого класса были разделены на 6 одинаковых групп. Найдите количество мальчиков в группе. в) Зина и Антон разделили 15 тыс. р. в отношении 2 : 1. Найдите, сколько денег получил каждый. 304. Найдите: а) половину числа 10; 50; 224; 234; б) треть числа 12; 60; 390; 123; в) четверть числа 16; 40; 480; 380; 116 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" г) десятую долю числа 10; 120; 2000; д) пятую долю числа 15; 100; 550; 465; е) седьмую долю числа 21; 70; 777; 749. 305. Найдите, при каком значении переменной истинно равенство: г) v • 78 = 15 834; д) 93u = 32 178; е) 129^ = 17 802. а) 17х = 6001; б) 157г = 15 229; в) у • 67 = 4489; 306. Вычислите: а) 7995 : 65; б) 55 083 : 61; в) 2904 : 66; г) 11 094 : 43; д) 5311 : 47; е) 25 449 : ж) 11 285 з) 21 631 : и) 14 535 51; 37; 97; 19; к) 42 366 :138. 307. Проверьте, верно ли выполнено деление: а) 22 104 : 72 = 307; б) 9717 : 79 = 123; в) 8736 : 78 = 117; г) 85 260 : 98 = 920; д) 9894 : 97 = 12; е) 73 217 : 211 = 337. 308. На рисунке 113, а шоколадка разделена на 4 доли, и одна из долей показывает результат деления. Если увеличить делимое в 3 раза, т. е. разделить 3 шоколадки на 4 доли (рис. 113, б), результат деления также увеличится в 3 раза. Рассмотрение рисунков 113, а и б в обратном порядке показывает, что уменьшение делимого в 3 раза ведёт к уменьшению результата деления в 3 раза. Если делимое a увеличить (уменьшить) в некоторое количество раз, то и частное увеличится (уменьшится) во столько же раз: (аc) : b = (a : b)c, (a : c) : b = (a : b) : c. 117 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Делимое ____А____ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ Результат деления Делимое □ О ой ов □ □ Результат деления Рис. 113 Используя это свойство, найдите результат деления: а) 150 002 : 419, если 450 006 : 419 = 1074; б) 450 205 : 12 863, если 90 041 : 12 863 = 7; в) 100 184 : 1789, если 14 312 : 1789 = 8. 309. Рисунки 114, а и б иллюстрируют следующее свойство деления: Если делитель уменьшить (увеличить) в некоторое количество раз, то частное увеличится (уменьшится) во столько же раз: a : (Ь : c) = (a : b)c, a : (bc) = (a : b) : c. 118 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а б Делимое ____А____ 0 п □ □ □t ] с Ш □ И □ □ □с ] Ё Ш 0 □ □ □ □ Е i Ё Ш а □ □ □ □ [ ] " □ Делитель — 4 Результат деления Делимое п п □ □ □ п п о □ □ п п □ □ □ с □ Делитель — 4*2, или 8 Результат деления Рис. 114 Используя это свойство, найдите результат деления: а) 100 260 : 1114, если 100 260 : 557 = 180; б) 100 395 : 11 155, если 100 395 : 2231 = 45; в) 450 240 : 14 070, если 450 240 : 28 140 = 16. 310. Основное свойство частного позволяет в делимом и в делителе отбрасывать по одинаковому количеству нулей на конце: 50 000 : 25 000 = 50 : 25 = 2; 137 000 : 200 = 1370 : 2 = 685. Используя это, выполните устно деление: а) 26 000 : 13 000; в) 200 000 : 2500; б) 1 250 000 : 250 000; г) 720 000 : 200. 119 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а б б) (9 в) (98 • г) (98 • Д) (24 ■ 313. 766) : 231) : Лист 311. Используя основное свойство частного, выполните устно деление: а) 2120 : 20; в) 777 700 : 700; б) 2500 : 50; г) 725 000 : 25 000. 312. Цепочку равенств (аЬ) : c = (a : c)b = (b : c)a можно словами прочитать как правило: «Чтобы разделить произведение на число, можно на это число разделить один из множителей и результат умножить на другой множитель». Используя это правило, вычислите наиболее удобным способом: а) (3 • 17) : 3; е) (547 • 8844) : 44; 17) : 3; ж) (160 • 512) : 32; • 786) : 49; з) (73 • 288) : 48; 383; и) (2323 • 708) : 23; 8; к) (3417 • 29) : 17. картона площадью 600 см2 разли-неили на 5 одинаковых полосок, а затем каждую полоску разделили на 8 равных частей (рис. 115). Объясните смысл выражений (600 : 5) : 8 и 600 : (5 • 8) и сделайте вывод об их значениях. Какое свойство иллюстрирует это задача? 314. Прочитайте свойство a : (bc) = (a : b) : c = = (a : c) : b словами и используйте его для наиболее удобного выполнения деления: а) 555 : 15; г) 546 : 26; ж) (570 : 2) : 5; б) 434 : 14; д) 8680 : 140; з) (440 : 5) : 4; в) 3605 : 35; е) 1281 : 21; и) (7800 : 25) : 4. 315. Используя свойства умножения и деления, найдите наиболее удобный способ вычислений: 120 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1 -1 - 1 - J- - -1- - 1 4 - 1 -1- -\ ■ ■ г ■ Т ■ “Г ■ ■ г J. . L 1 .1. 1 л. - L --\- 1 - 11 -1- -1- - 1 - 1- - 1 Рис. 115 а) 3450 : (345 : 69); б) 888 : (222 : 74); в) 874 : (437 : 23); г) 33 000 : 40 : 25; д) 13 200 : 55 : 8; е) 67 800 : 113 : 6; ж) 23 023 : (77 • 23); з) 27 931 : (31 • 53); и) 274 137 : (29 • 137); к) 52 059 : (37 • 201). 316. Найдите неизвестный множитель, делимое или делитель, если: а) произведение равно 97 470, а один множитель — 513; б) частное равно 403, а делимое — 124 124; в) частное равно 447, а делитель — 177; г) делитель равен 317, а частное — 1109; д) делимое равно 1 449 420, а частное — 357; е) произведение трёх множителей равно 87 557 993, первый множитель —1009, второй — 811. 317. Вычислите устно: а) 23 • 10; в) 900 • 100; д) 50 • 2000; б) 57 • 100; г) 878 • 1000; е) 25 • 4000. 318. Вычислите устно: а) 340 • 20; в) 19 • 200; д) 500 • 3000; б) 15 • 300; г) 80 • 3000; е) 2500 • 4000. 319. Выполните действие: а) 13 092 • 7053 и результат проверьте делением на второй множитель; б) 333 667 • 2331 и результат проверьте делением на первый множитель; в) 67 896 789 : 5329 и результат проверьте умножением; г) 12 341 234 : 45 041 и результат проверьте делением. 320. Найдите значение выражения: а) 215 534 : r при значении переменной г, равном 2; 11; 22; 97; 101; 194; 1067; 1111; 9797; 121 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б) 36 583 099 : s при значении переменной s, равном 7; 17; 119; 173; 1211; 1777; 2941; 12 439; 20 587; 30 209; 307 421. 321. Есть 108 карандашей и коробки для их упаковки по 12 карандашей и по 6 карандашей. Найдите количество тех и других коробок, учитывая, что эти количества одинаковы. Условие задачи представим таблицей: Коробки первого вида Коробки второго вида Всего карандашей 108 Карандашей в коробке 12 6 Коробок Одинаково Поскольку количества коробок первого и второго вида одинаковы, то из этих коробок можно образовать некоторое количество пар. Одна такая пара содержит 12 + 6, т. е. 18 карандашей. А поскольку в коробках всего 108 карандашей, то пар коробок есть 108 : 18, т. е. 6. Иначе, количество коробок первого вида и количество коробок второго вида равны шести каждое (см. форзац 4). 322. Есть 7 коробок простых карандашей и 9 коробок цветных карандашей, в которых всего 96 карандашей. Найдите количество карандашей в той и другой коробках, учитывая, что оно одно и то же. 323. Упростите выражение: а) (230 + х) - 31; е) (f - 23) - 113; б) 73 + (122 + k); ж) 59 - (33 + и); в) (67 - а) + 22; з) 539 - (39 - j); г) (d - 96) + 100; и) 433 + (67 - l); д) (е - 704) + 121; к) 803 - (а - 63). 122 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 324. За час конец минутной стрелки часов проходит 12 см. Найдите в дециметрах и сантиметрах путь, который пройдёт конец минутной стрелки за: а) 2 ч; в) 15 мин; д) 3 ч 30 мин; 1 б) 30 мин; г) 3 ч; е) 2 ч 20 мин. 325. Река Каспля протекает по территории России и Беларуси. Её протяжённость по Беларуси на 116 км меньше и относится к протяжённости по России как 5 : 34. Найдите протяжённость Касп-ли по России и Беларуси. 326. Если хозяйка купит 5 м ткани, то у неё останется 297 000 р., а если 9 м этой же ткани, то 17 000 р. Сколько стоит метр этой ткани? 327. Один ученик за 2 карандаша и 5 тетрадей уплатил 1020 р., другой за 2 карандаша и 12 тетрадей — 2000 р. Какова цена тетради и цена карандаша? 328. Лодка по озеру движется со скоростью 12 км/ч. Сколько времени ей понадобится, чтобы отплыть по реке на 70 км и вернуться назад, если бревно по реке проплывает за час 2 км? 329. Бронза, из которой изготавливают шестерни, состоит из 22 долей меди, 2 долей алюминия и 1 доли железа. Сколько килограммов каждого металла нужно взять, чтобы получить 500 кг такой бронзы? 330. В мороженом содержится 7 долей воды, 2 доли жира и 2 доли сахара. Сколько нужно взять сахара, чтобы изготовить 91 ц 30 кг мороженого? 123 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 116 331. Из 100 кг пшеницы получено 95 кг пшеничных хлопьев и 5 кг отрубей. Сколько хлопьев и отрубей можно получить из 320 кг пшеницы? 332. Периметр треугольника равен 154 мм. Одна из его сторон на 29 мм меньше другой, а вместе с третьей составляет 93 мм. Определите стороны треугольника. Какой это треугольник? 333. Стороны AB и BD треугольника ABD равны. Периметры треугольников ACD и BCD равны соот- ~D ветственно 53 см и 34 см (рис. 116). Найдите длину отрезка AD. 334. Один угол треугольника втрое больше, чем второй, и на 30° больше третьего угла. Определите углы треугольника. Какой это треугольник? 335. От коровы за год надоили 6730 л молока. Из каждых 100 л молока этой коровы получается 3 кг 850 г масла. Сколько масла можно было бы выработать из годового удоя этой коровы? 336. За 7 дней Денис должен был прочесть 84 страницы книги. Но каждый день он сверх нормы читал по 2 страницы. За сколько дней Денис закончил читать книгу? 337. С поля площадью 12 га планировали собрать 300 ц ячменя, но урожайность оказалась на 2 ц/га меньше, чем ожидалось. Сколько ячменя собрали с этого поля? 338. Основной единицей веса у наших предков был фунт, равный примерно 375 г. Более крупными единицами были камень и берковец: 124 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 1 камень равен 40 фунтам; 1 берковец — 5 камням. Сколько килограммов в 1 камне и сколько в 1 берковце? 339. Охотник за 3 ч прошёл 12 км. Какое расстояние он пройдёт за 5 ч? 340. Общая площадь двух земельных участков прямоугольной формы с общей стороной в 35 м равна 3850 м2. Один из участков имеет сторону 75 м. Найдите неизвестную сторону другого участка. 341. Развёрнутый угол разделён на несколько долей, 8 из которых составляют 48°. Определите: а) на сколько долей разделён развёрнутый угол; б) какова величина угла, содержащего 10 таких долей. 342. На квадрат EFGH наложен такой же квадрат ISKL так, что стороны IL и IS проходят через вершины G и H, а сторона IL образует со стороной HG угол в 60° (рис. 117). Найдите все углы многоугольников GHLKS и EFGIH. 343. Отрезок MN точкой A разделён так, что его часть AM в 3 раза больше части AN. На отрезках AM и AN построены прямоугольники AMPQ и ANST с площадями 90 см2 и 45 см2 соответственно (рис. 118). Найдите длину отрезка MN, *к Рис. 118 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 125 учитывая, что стороны AQ и AT прямоугольников отличаются на 3 см. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3). Уравняем первые измерения прямоугольников. Например, сделаем измерение AM прямоугольника AMPQ равным измерению AN прямоугольника ANST, т. е. уменьшим измерение AM в 3 раза. Это приведёт к уменьшению площади прямоугольника AMPQ также в 3 раза: 90 см2 : : 3 = 30 см2. Отличие этой площади от площади прямоугольника ANST на 45 см2 - 30 см2, т. е. на 15 см2, вызвано тем, что второе измерение AT прямоугольника ANST на 3 см больше. Поэтому первое его измерение равно 15 см2 : 3 см, т. е. 5 см. Теперь можно найти измерение AM и затем длину всего отрезка MN : 5 см • 3 = 15 см; 5 см + 15 см = 20 см. 344. С первого поля пшеницы собрали 518 ц, а со второго, площадь которого в четыре раза больше, — 1904 ц. Найдите урожайности полей, учитывая, что урожайность первого поля на 3 ц/га больше. 345. С первого поля собрали ячменя 546 ц, а со второго, площадь которого на 9 га меньше, собрали пшеницы 1071 ц. Найдите урожайности полей, учитывая, что урожайность второго поля в 3 раза больше. * * * 346. Из какого количества трёхзначных чисел вычёркиванием одной цифры можно получить число 52? 347. Запишите число 52 произведением нескольких множителей, чтобы сумма их была равной 19. 126 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 348. Ёж за ноч съел трёх мышек и ещё половину добычи. Какова добыча ежа? 13. Уравнение Вам уже приходилось решать уравнения. Пример 1. Рассмотрим уравнение 21 + t = 79. Оно является равенством с переменной t. При одних значениях t это равенство истинно, а при других ложно. Например, при t = 7 получается ложное равенство 21 + 7 = 79, а при t = 58 — истинное равенство 21 + 58 = 79. Уравнение есть равенство с переменной. Значение переменной, при котором из уравнения получается истинное равенство, называют корнем уравнения. Пример 2. Рассмотрим уравнение 2 • (1 - х) = = 2 - 2 • х. Числа 0 и 1 являются его корнями, так как равенства 2 • (1 - 0) = 2 - 2 • 0 и 2 • (1 - 1) = 2 - 2 • 1 истинны. При других натуральных значениях переменной х разность 1 - х не имеет значения. Значит, уравнение 2 • (1 - х) = 2 - 2 • х имеет два корня — числа 0 и 1. Есть уравнения, которые имеют и большее количество корней. Корней уравнение может не иметь совсем. Пример 3. Уравнение a + 15 = 5 не имеет корней. Действительно, если заменить переменную a тем или иным натуральным числом или нулём, то сумма a + 15 будет не меньше 15. Значит, она не может стать равной 5. Решить уравнение означает найти все корни уравнения или убедиться, что уравнение не имеет корней. 127 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" При решении уравнений используют связи между компонентами того или иного действия и его результатом (см. табл. 4). Таблица 4 Уравнение Решение Правило q + 68 = 73 По смыслу вычитания: q = 73 - 68; q = 5 Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое у - 408 = 101 По смыслу вычитания: у = 101 + 408; у = 509 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое 987 - l = 327 По смыслу вычитания: l = 987 - 327; l = 660 Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность 13а = 65 По смыслу деления: а = 65 : 13; а = 5 Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель b : 16 = 4 По смыслу деления: b = 4 • 16; b = 64 Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное 99 : с = 33 По смыслу деления: с = 99 : 33; с = 3 Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное 128 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 119 210 :у :7 = 6; 210: у= 6*7; 210: у =42; у= 210 :42; у = 6. Ответ: 5 Убедиться в том, является или нет определённое число корнем уравнения, можно проверкой. Для этого нужно заменить переменную уравнения этим числом, и если получится истинное равенство, то число является корнем уравнения, а если ложное, то не является. Число 5 — корень уравнения q + 68 = 73, так как равенство 5 + 68 = 73 истинно. Пример 4. Решим уравнение 7t - 54 = 30. Сначала найдём неизвестное уменьшаемое: 7t = 30 + 54; 7t = 84. Теперь можно найти неизвестный множитель t: t = 84 : 7; t = 12. Пример 5. Решим уравнение 210 : у : 7 = 6 (рис. 119). 1. Какое равенство называют уравнением? 2. Какое число называют корнем уравнения? 3. Что означает требование Решите уравнение? 4. Как проверить, является ли определённое число корнем данного уравнения? 5. Как найти неизвестное слагаемое? 6. Как найти неизвестное уменьшаемое? 7. Как найти неизвестное вычитаемое? 129 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 8. Как найти неизвестный множитель? 9. Как найти неизвестный делитель? 10. Как найти неизвестное делимое? 349. Установите, какое из чисел 5; 7 или 9 удовлетворяет уравнению: а) d + 24 = 33; г) 5х - 20 = х; б) 3н + 39 = 60; д) (т + 13) : 2 = m + 2; в) 6р - 18 = 12; е) у • у - 18y + 81 = 0. 350. Решите уравнение: а) a + 12 = 22; г) d - 42 = 58; б) 27 - b = 11; д) q + 11 + 9 = 27; в) 27 + с = 101; е) 12 + p - 5 = 10. 351. Решите уравнение: а) (x + 307) - 459 = 687; б) (у + 39) + 907 = 5009; в) (589 + х) - 106 = 812; г) (5009 + у) + 39 = 9907; д) 409 - (х - 106) = 312; е) 25 504 + (у + 39) = 91 907; ж) 893 + (325 - х) = 1206; з) 5172 + (483 + у) = 8243. 352. Решите уравнение, если возможно, разными способами: а) 241 - (р - 72) = 111; б) 231 - (т + 56) = 17; в) 127 + (f - 83) = 313; г) (г + 171) - 121 = 89; д) (288 - w) - 32 = 135; е) (х - 335) - 173 = 16. 353. Восстановите уравнение, учитывая, что его корень — число 97: а) 707 - g = * - 437; б) 454 + у = 870 - *; в) t + * = 897 + 906; 130 г) 534 + (* - х) = 919; д) 787 + (* + а) - 54 = 937; е) (288 - w) - * = 135. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 354. Решите уравнение: а) 3z = 33; е) 1500 : s = 300; б) t • 5 = 1000; ж) b : 20 = 50; в) 420Z = 8400; з) 3600 : с = 180; г) a • 10 = 1230; и) d : 25 = 80; д) 8b = 8888; к) 81 072 : х =72. 355. Найдите корень уравнения: а) 10с + 20 = 100; б) 7х + 7 = 84; в) d • 12 - 9 = 51; г) (а + 2) • 6 = 420; д) 95 + 5у = 120; е) 12b + 16 = 160; ж) 10z - 280 = 470; з) 3т : 120 = 15; и) (п - 3) : 7 = 17; к) 3г - 40 = 50; л) d : 6 - 5 = 9; м) (30 + i) : 8 - 16 = 24. 356. Испытанием однозначных чисел найдите корни уравнения: а) 2x + 1 = x + 4; б) у • у + 12 = 8y; в) 4a + 6 = 5a + 3; г) t • t • t + 2t = 3 • t • t; д) m • m = 5m; е) n + 2 = 2 + n. 357. Решите уравнение, составив его по схеме, приведённой на рисунке: а) 120, а; б) 120, б; в) 120, в; г) 120, г. 358. Вихра — правый приток Сожа — имеет длину 158 км, причём её протяжённость по нашей стране на 78 км меньше протяжённости по России. Какова протяжённость Вихры по Беларуси? 359. 5 мешков картофеля и 3 мешка зерна весят 402 кг, а 9 мешков картофеля и 3 мешка зерна — 594 кг. Сколько весят мешок картофеля и мешок зерна в отдельности? 131 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" X 63 12 360. Постройте угол A величиной 40° и на его сторонах отложите отрезки AB и AC длинами 4 см и 6 см соответственно. Соедините отрезком точки B и C. Вы начертили треугольник ABC со сторонами AB = 4 см, AC = 6 см и углом A между ними в 40°. Найдите два других угла треугольника и его периметр. 361. Найдите измерением неизвестные углы и периметр треугольника CDE, у которого Z C = 110°, CD = 5 см и CE = 7 см. 362. Два угла треугольника равны и больше третьего угла на 24°. Найдите эти углы и постройте треугольник с такими углами. 363. На рисунке 121 измерьте больший угол и найдите величины остальных углов, учитывая, что они равны друг другу. S Рис. 121 132 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а в г 364. Начертите угол ZAX, равный 125°. Проведите луч AY так, чтобы угол XAY был равным 55°. Вычислите угол ZAY. Сколько решений имеет задача? 365. Начертите треугольник со стороной AB = 6 см и углами CAB = 40° и CBA = 60°. Начните с построения стороны AB, а потом достройте к ней нужные углы. Найдите третий угол треугольника и его периметр. 366. Используя схему, изображённую на рисунке 122, найдите, какое число получится на её выходе, если на вход подано число: а) 2; в) 3342; д) 5349; ж) 3297; б) 47; г) 2298; е) 3349; з) 3296. 367. Используя схему, приведённую на рисунке 122, найдите, какое число нужно подать на вход машины, чтобы на её выходе получить число: а) 320; в) 4104; д) 45 670; б) 544; г) 4097; е) 7670. Рис. 122 133 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 368. Света прочитала книгу, в которой 120 страниц, а Егор — книгу, в которой 84 страницы, причём свою книгу Егор читал на 2 дня дольше. Найдите скорости, с которыми каждый из детей читал книгу, учитывая, что скорость чтения Светы была вдвое больше. 369. Федя прочитал повесть, занимавшую 189 страниц книги, а Зина — повесть, занимавшую 91 страницу, причём свою повесть Зина читала на 4 дня дольше. Найдите скорости, с которыми каждый из детей читал книгу, учитывая, что скорость чтения Зины была втрое меньше. 370. С двух полей одинаковой площади вместе собрали 3600 ц ячменя. Найдите, сколько ячменя собрали с каждого поля, учитывая, что урожайность полей равна 38 ц/га и 42 ц/га. 371. С двух полей площадью 15 га и 25 га вместе собрали 1640 ц овса. Найдите, сколько овса собрали с каждого поля, учитывая, что урожайность обоих полей одинаковая. * * * 372. Сколько пятниц может быть на протяжении года; на протяжении високосного года? 373. Сколько брёвен распилили, если получили 12 кусков после 9 распилов? 374. Есть цепочка из 13 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Как, разрубив только одно звено, получить возможность с помощью образованных частей взвесить на рычажных весах груз массой 1 г, 2 г, 3 г, _, 13 г? 134 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 14. Периметр и площадь фигуры Замкнутая линия выделяет из плоскости её часть (рис. 123). Эта линия является границей соответствующей геометрической фигуры. Длина границы фигуры называется её периметром (рис. 124). Периметр 7 Рис. 124 Границей прямоугольника и квадрата (рис. 125) являются замкнутые ломаные, образованные их сторонами-отрезками. Рис. 125 а Рис. 126 У прямоугольника есть две пары равных сторон (рис. 126). Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной, а вместе — измерениями (рис. 127). Длина Рис. 127 Длина и ширина — измерения Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 135 р а+Ь+а+Ь = 2(а + Ъ) Р=а+а+а+а Рп = 4а Рис. 128 Если измерения прямоугольника обозначить a и b (рис. 128, а), то его периметр ^ можно записать формулой Pj = 2(a + b). У квадрата все стороны равны (рис. 128, б). Если сторону квадрата обозначить a, то его периметр р можно представить формулой Р = 4a. Прямоугольники на рисунке 129 имеют равные периметры по 16 см, но разные площади. Площадь измеряют с помощью единичного квадрата, т. е. квадрата, длина стороны которого равна выбранной единице длины. Измерить площадь фигуры — означает найти число, которое показывает, сколько единичных квадратов содержится в фигуре. 136 Рис. 129 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а 1 CM 1 CM Рис. 130 Рис. 131 Единицы площади получают из единиц длины. Площадь квадрата со стороной 1 см называют квадратным сантиметром и обозначают 1 см2 (рис. 130). Аналогично определяются квадратный миллиметр (1 мм2), квадратный метр (1 м2), квадратный дециметр (1 дм2), квадратный километр (1 км2). Фигура на рисунке 131 состоит из 11 квадратов со стороной 1 см. Поэтому её площадь равна 11 см2. Площадь квадрата со стороной 10 м называют аром, а площадь квадрата со стороной 100 м — гектаром. Ар называют ещё соткой, так как это сотая доля гектара, равная 100 м2. На форзаце 1 показаны связи между единицами площади. Гектарами измеряют площади в сельском и лесном хозяйствах. Площади приусадебных участков выражают в арах. В квадратных километрах выражают большие площади — территории государств, материков, площади океанов, озёр, водосборов рек. Для массы, времени или длины есть приборы для их непосредственного измерения, а для непосредственного измерения площади фигуры таких приборов нет. Прямоугольник на рисунке 132 имеет 3 см в ширину и 7 см в длину. Его можно разделить на 3 полосы, каждая из которых содержит 7 квадратов со 137 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 4 см 7 см Рис. 132 стороной 1 см. Весь прямоугольник содержит 7 • 3, т. е. 21 такой квадрат. Поэтому его площадь равна 21 см2. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Если длина прямоугольника равна а, а ширина — b (рис. 133, а), то площадь S прямоугольника можно выразить формулой S = a • b. При нахождении площади прямоугольника нужно обращать внимание на то, чтобы его стороны были измерены в одних линейных единицах. Пусть есть квадрат со стороной а (рис. 133, б). Квадрат является прямоугольником с равными а ч у < л г ■ (S а • h 138 Длина Рис. 133 (Л № ft а а 1 ( ь / 1 2 f, Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а ill Hi Hi 2-2 = 2^ = 4 3 • 3 = 3^ = 9 4 • 4 = 4^ = 16 Рис. 134 (I • и — и — а квадрат сторонами. Поэтому по формуле площади прямоугольника получим S = a • a. Произведение a • a двух равных множителей называют квадратом числа a и обозначают a2 (рис. 134). Таким образом, 2 a = a • a. Например: 62 = 6 • 6 = 36; 192 = 19 -19 = 361. Действие нахождения квадрата числа называют возведением в квадрат. Теперь формулу площади квадрата можно переписать так: S = a2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Квадраты первых десяти натуральных чисел даны в таблице: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Мы уже знаем пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат. Сложение и вычитание называют действиями первой степени, умножение и деление — действиями второй степени, возведение в квадрат — действием третьей степени. 139 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Если выражение содержит действия разных степеней, то сначала выполняют действия в скобках, потом — действия третьей степени, после них — действия второй степени и, наконец, — действия первой степени. Действия одной степени выполняются в том порядке, в котором они записаны. Например, при вычислении значения выражения 1097 - 436 : 22 • (1956 - 1947) сначала выполняем вычитание в скобках: 1956 -- 1947, затем действие третьей степени — возведение в квадрат — 22. После этого выполняем два действия второй степени — деление и умножение — в порядке записи: сначала деление 436 : 22, а потом результат этого деления умножим на результат вычитания. Наконец, выполняем действие первой степени — вычитание: из числа 1097 вычитаем результат предыдущего умножения. Порядок выполнения действий в этом выражении наглядно показывает схема, представленная на рисунке 135. 1) 1945 - 1947 = 9; 4) 109 • 9 = 981. 2) 22 = 4; 5) 1097 - 981 = 116. 3) 436 : 4 = 109; 1097 436 1956 1947 1. Какое число называют периметром фигуры? • 2. Что называют длиной и шириной прямоугольника; измерениями прямоугольника? 140 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3. Запишите формулу периметра прямоугольника и объясните смысл каждой переменной. 4. Запишите формулу периметра квадрата и объясните смысл каждой переменной. 5. Какую фигуру называют единичным квадратом? 6. Что означает требование Измерьте площадь фигуры? 7. Какую площадь называют квадратным миллиметром; квадратным сантиметром; квадратным дециметром; квадратным метром; квадратным километром? 8. Какую площадь называют аром; гектаром? 9. Запишите формулу площади прямоугольника и объясните смысл каждой переменной. 10. Что называют квадратом числа а? 11. Запишите формулу площади квадрата и объясните смысл каждой переменной. 12. Назовите действия первой степени; второй степени; третьей степени. В каком порядке они выполняются? 375. Фигуры, которые можно совместить наложением, называют равными. Используя это и форзац 2, сформулируйте общие свойства площади. Конкретизируйте эти свойства, используя рисунки 136, а и б. G б В и S Т R Рис. 136 А Р D Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 141 376. Найдите в миллиметрах периметр и в квадратных миллиметрах площадь фигуры, изображённой на рисунке: а) 137, а; б) 137, б; в) 137, в. 377. Найдите в сантиметрах периметр и в квадратных сантиметрах площадь фигуры, изображённой на рисунке: а) 138, а; б) 138, б; в) 138, в. 378. Найдите периметр и площадь квадрата, сторона которого равна: а) 11 см; в) 340 мм; б) 33 км; г) 270 дм. 379. Найдите площадь прямоугольника со сторонами a и b, учитывая, что: а) a = 6 см, b = 7 см; б) a = 6 дм, b = 7 м; 142 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 3 CM 2 см 3 см 40 мм г ю 2 см 20 мм Рис. 138 в) a = 162 см, b = 4 м; г) a = 2 м, b = 75 дм; д) a = 68 см, b = 4 см 7 мм; е) a = 720 м, b = 2 км. 380. Найдите периметр и площадь: а) квадрата со стороной 34 мм; б) квадрата со стороной 2 м 60 см; в) прямоугольника с измерениями 27 см и 48 см; г) прямоугольника с измерениями 7 км 120 м и 4 км 540 м. 381. Определите сторону квадрата, периметр которого равен: а) 20 см; в) 8 км 340 м; б) 2 м; г) 17 км 225 м. 382. Определите измерения прямоугольника, учитывая, что: а) они отличаются на 5 м, а периметр прямоугольника равен 18 м; 143 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а в б Рис. 139 б) одно из них в 3 раза больше другого, а периметр прямоугольника равен 56 м; в) они относятся как 3 : 5, а периметр прямоугольника равен 80 дм; г) одно из них на 2 см больше другого, а площадь прямоугольника равна 35 см2; д) одно из них на 2 см больше другого, а площадь прямоугольника равна 24 см2. 383. Найдите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке: а) 139, а; б) 139, б; в) 139, в. 384. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке: а) 140, а; б) 140, б; в) 140, в. 385. Начертите прямоугольник MNPQ, длина которого равна 12 см, а ширина в 2 раза меньше, и найдите его периметр и площадь. 386. Используя данные таблицы, найдите площадь прямоугольника или неизвестное его измерение. a 21 см 45 дм 17 м 47 мм 204 см b 14 см 97 дм 5 м 14 см S 525 м2 221 м2 1938 дм2 144 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а в Рис. 140 387. Замените a таким числом, чтобы стало истинным равенство: а) 3 см2 = a мм2; б) 13 дм2 = a мм2; в) 42 м2 = a мм2; г) 15 дм2 = a см2; д) 31 м2 = a см2; е) 7 м2 = a дм2; ж) 30 а = a м2; з) 37 га = a а; и) 400 га = a км2; к) 75 га = a м2. 388. Запишите формулу для вычисления площади фигуры, изображённой на рисунке 141. Вычислите эту площадь, учитывая, что: а) a = 3 см, b = 2 см, c = 4 см, d = 4 см; б) a = 13 м, b = 8 м, c = 150 дм, d = 18 м. 389. Вычислите: а) 92; б) 202; в) 302; г) 502; д) 902; е) 1002; ж) 112; з) 1102; и) 412; Рис. 141 d 145 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" к) 932; л) 1052; м) 5062; н) 2222; о) 10422; п) 6252; 390. Вычислите: а) 242 + 706; б) 963 - 312; в) 302 - 292; г) 302 + 4 • 292; д) 23 • 52 + 152 • 19; р) 10 1232; с) 20 0922; т) 405 7092. е) 23 • 152 - 132 • 23; ж) 162 + 4096 : 16; з) 242 • 15 : 62 - 210; и) (9261 - 212) : 20; к) (1462 - 462) : 192. 391. Угадайте корень уравнения: а) а2 = 9; г) z2 = 49; ж) т2 = 400; б) к2 = 1; д) е2 = 100; з) t2 = 1600; в) X2 = 25; е) q2 = 121; и) п2 = 8100. 392. Найдите площади треугольников ABD и CBD (рис. 142), учитывая, что стороны прямоугольника ABCD равны 6 см и 4 см. Рис. 142 393. Есть прямоугольник ABCD со сторонами AB и AD, равными 2 см и 6 см. Найдите его площадь и сравните её с площадью прямоугольника: а) EFGH, учитывая, что отрезок EF в 2 раза длиннее отрезка AB, а отрезки EH и AD равны; б) MNOP, учитывая, что отрезок MP в 3 раза короче AD, а отрезки MN и AB равны; в) QRST, учитывая, что отрезок QR в 2 раза длиннее AB, а отрезок QT в 4 раза короче AD. 146 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 143 394. Сделайте необходимые измерения и вычислите площадь фигуры, закрашенной на рисунке 143. 395. Определите, как изменится площадь прямоугольника, если: а) одно его измерение уменьшить в 4 раза; б) одно его измерение увеличить в 5 раз; в) оба его измерения увеличить в 3 раза; г) уменьшить одно его измерение в 3 раза, а второе в 5 раз; д) одно его измерение уменьшить в 4 раза, а второе увеличить в 12 раз. 396. Прямоугольный котлован длиной 17 м и шириной 15 м нужно обнести строительной оградой, отстоящей на 3 м от ямы. Найдите длину ограды. 397. Суммарная площадь двух земельных участков прямоугольной формы равна 1407 м2. Измерения одного участка равны 28 м и 24 м. Найдите ширину второго участка, учитывая, что его длина равна 35 м. 398. До Дворца один пешеход шёл из Козлов-щины 5 ч, а второй — из Молчади 3 ч (рис. 144). 147 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Пешеходы шли с одинаковой скоростью, и первый из них прошёл на 10 км больше. Найдите: а) расстояние по шоссе между Молчадью и Дворцом; б) расстояние по шоссе от Роготно до Козловщины и до Дворца, учитывая, что они относятся как 3 : 2. Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 4): Первый пешеход Второй пешеход Путь На 10 км больше Скорость Одна и та же Время 5 ч 3 ч Скорости движения обоих пешеходов одинаковые. Поэтому первый пешеход прошёл на 10 км больше из-за того, что он был в пути на 5 ч - 3 ч, т. е. на 2 ч больше. Значит, скорость движения пешеходов равна 10 км : 2 ч, т. е. 5 км/ч. Поскольку второй пешеход шёл от Молчади до Дворца 3 ч, то расстояние по шоссе между этими населёнными пунктами равно 5 км/ч • 3 ч, т. е. 15 км. 399. Из Кличева и Сергеевич одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода, первый 148 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" со скоростью 5 км/ч, второй со скоростью 4 км/ч (рис. 145). Они встретились, когда первый миновал Бацевичи и прошёл ещё 1 км. Учитывая, что второй из них прошёл на 3 км меньше, найдите: а) расстояние по шоссе между Кличевом и Сергеевичами; б) расстояние по шоссе от Усо-хов до Бацевич и до Сергеевич, учитывая, что первое на 3 км меньше. 400. Купили несколько карандашей на 9600 р. и несколько ручек на 12 000 р. Найдите цену карандаша и цену ручки, учитывая, что ручка на 800 р. дороже, а количество ручек относится к количеству карандашей как 3 : 4. Карандаши Ручки Стоимость 9600 р. 12 000 р. Цена На 800 р. больше Количество 4 доли 3 доли Уравняем количество карандашей до количества ручек. Для этого 4 доли карандашей сначала уменьшим в 4 раза, а потом результат — 1 долю — увеличим в 3 раза. Тогда карандашей станет столько же, как и ручек, т. е. 3 доли. Соответствующим образом изменится и стоимость карандашей и станет равной 9600 р. : 4 • 3, т. е. 7200 р. (см. форзац 3). 149 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Получаем, что в этом случае за ручки уплатили бы на 12 000 р. - 7200 р., т. е. на 4800 р. больше. Это вызвано тем, что ручка на 800 р. дороже. Значит, ручек купили 4800 р. : 800 р., т. е. 6. За 6 ручек уплатили 12 000 р., значит, цена ручки равна 12 000 р. : 6, т. е. 2000 р. А тогда цена карандаша составляет 2000 р. - 800 р., т. е. 1200 р. 401. Купили несколько карандашей на 12 000 р. и несколько ручек на 12 600 р. Найдите цену карандаша и цену ручки, учитывая, что они относятся как 2 : 3, а ручек купили на 3 меньше. 402. Средняя масса яйца сизого голубя меньше массы яйца курицы в 3 раза и массы яйца индейки в 4 раза. Найдите массы яиц этих птиц, учитывая, что яйцо индейки на 20 г тяжелее яйца курицы. 403. Горушка и Петкуны — озёра Обстернов-ской группы озёр в Миорском районе. Найдите площади озёр Горушка и Петкуны в отдельности, учитывая, что они вместе составляют 30 га и относятся как 3 : 2. 404. Какое число получится на выходе вычислительной машины (рис. 146), если на вход подано число: а) 601; в) 551; д) 8228; б) 822; г) 7049; е) 14 283? * * * 405. На складе есть краска в ёмкостях по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Можно ли выдать 140 кг этой краски без её переливания? 150 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 146 406. Вася пронумеровал страницы своей тетради, состоящей из 6 двойных листов, начав с числа 1. На каком двойном листе сумма номеров будет наименьшей? 407. Из трёх учеников А, Б, В — двое мальчиков. Определите, кто мальчик, учитывая, что из учеников А и Б — мальчик один, а из учеников Б и В — девочка одна. 15. Объём тела Нас везде окружают тела. Они имеют самую разнообразную форму. В математике изучают прежде всего некоторый набор тел стандартной формы (рис. 147). Познакомимся с простейшей призмой — прямоугольным параллелепипедом. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробка спичек, холодильник, коробка из-под обуви. Классная комната также такой формы, и вы — внутри этого параллелепипеда. На рисунке 148, а изображён прямоугольный параллеле- 151 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" N 1 1 1 1 /I \ 1 1 Призма Цилиндр Шар Рис. 147 Пирамида Конус пипед, а на рисунке 148, б — его математическое представление — изображение. Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, которые называют гранями параллелепипеда. Стороны граней называют рёбрами, вершины граней — вершинами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин. На рисунке 149 показаны противоположные грани параллелепипеда. Они не имеют общих точек. б Е В Рис. 148 152 G Н D Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 149 Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны. Рисунок 150 показывает четвёрки равных рёбер параллелепипеда. Рис. 150 В каждой вершине прямоугольного параллелепипеда сходятся 3 ребра. Такие рёбра называют длиной, шириной и высотой прямоугольного параллелепипеда. Вместе их называют измерениями параллелепипеда (рис. 151). Прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны, называют кубом. Все грани куба — равные между собой квадраты. Рис. 151 Длина, ширина, высота — измерения Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 153 b • с a* & -A Рис. 152 >4 \ a*c й’Ь Ь • с а • с Ь'С а • с а-Ь S = 2’(a’b + a’C + b’c) Тело имеет многие свойства. Одним из них является масса, которую находят с помощью весов. Другим свойством тела является площадь поверхности. На рисунке 152 показан прямоугольный параллелепипед с измерениями а, b, c. У параллелепипеда есть 3 пары равных граней, поэтому площадь S его поверхности определяется формулой S = 2(а • b + а • c + b • c), что видно и из развёртки поверхности параллелепипеда на плоскость. Если ребро куба равно а, то его поверхность состоит из шести равных квадратов со стороной а. Поэтому площадь S его поверхности определяется формулой S = 6а2. Ещё одним свойством тела является его объём. Для определения объёма тела используют единичные кубы, т. е. кубы, измерения которых равны единице. Единицы объёма получаются из единиц длины. Объём куба с длиной ребра в 1 см называют кубическим сантиметром, его обозначают 1 см3 (рис. 153). Так же обозначаются кубический миллиметр (1 мм3), кубиче- fti \zZW& 1 N 1 CM Рис. 153 154 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ский дециметр (1 дм3), кубический метр (1 м3), кубический километр (1 км3). Кубический дециметр называют ещё литром (л), а кубический сантиметр — миллилитром. Пользуются также гектолитром (1 гл.), равным 100 л. Кубический метр на практике называют ещё кубометром. На форзаце 1 показаны связи между единицами объёма. В литрах обычно выражают объёмы жидкостей. В кубических километрах измеряют объёмы воды в озёрах, морях, океанах. Например, объём воды во Всемирном океане составляет около 1 340 740 000 км3. Измерить объём тела означает найти число, которое показывает, сколько единичных кубов содержится в этом теле. На рисунке 154 показаны разные тела, которые можно составить из четырёх одинаковых кубиков, поэтому объёмы этих тел равны. Найдём правило вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда, измерения которого есть натуральные числа 5, 3, 6 (рис. 155). Для этого подсчитаем, сколько единичных кубов вмещается в нём. Нижняя грань параллелепипеда имеет длину 5 и ширину 3. Поэтому на ней мож- Рис. 154 7^ 7^ 155 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Рис. 155 Рис. 156 но расположить 5 • 3 единичных кубов (рис. 156). Чтобы заполнить весь параллелепипед, нужно вложить 6 таких слоёв, так как высота параллелепипеда равна 6 (рис. 157). Значит, общее количество кубов, которые вместятся в параллелепипеде, будет равно 5 • 3 • 6. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений — длины, ширины, высоты. Обозначив объём V, а его измерения а, b, c, это утверждение можно записать формулой V = abc. При вычислениях нужно обращать внимание на то, чтобы все измерения были выражены в одинаковых единицах. Формулу V = abc запишем как V = (ab)c и обратим внимание на то, что произведение ab выражает площадь S грани MNPQ (рис. 158). Такую выделенную грань параллелепипеда обычно называют основанием, а третье ребро c — высотой прямоугольного параллелепипеда. Высоту паралле-Рис. 157 лепипеда обычно обозначают h. 156 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" N /^=гЗГ h Рис. 158 М Q V=S'h Учитывая это, формулу объёма прямоугольного параллелепипеда можно записать так: V = Sh. Найдём правило вычисления объёма куба с ребром а. Поскольку куб есть прямоугольный параллелепипед с равными измерениями, то можно записать V = а • а • а. Произведение а • а • а трёх равных множителей называют кубом числа и обозначают а3 (рис. 159). Таким образом, а3 = a • a • a. Действие нахождения куба числа называют возведением в куб. Теперь формулу объёма куба можно записать так: V = а3. Рис. 159 а® — а куб 2- 3' 4' 2 • 2 = З*" = 8 3*3 = 3® = 27 4 • 4 = 4® = 64 157 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" Объём куба равен кубу его ребра. Приводим таблицу кубов первых десяти натуральных чисел: n 1 2 3 4 5 n3 1 8 27 64 125 n 6 7 8 9 10 n3 216 343 512 729 1000 Возведение в квадрат и возведение в куб — отдельные случаи действия возведения в степень: 54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625; 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243; 26 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 64. Вообще, an = a. a. a..... a. n множителей Возведение в степень есть действие третьей степени. Поэтому если выражение содержит возведение в степень, его выполняют раньше умножения или деления. Например, при вычислении значения выражения 25 375 + 303 : 152 • (15 729 - 7931) сначала нужно выполнить вычитание в скобках, затем возведение в куб, возведение в квадрат, далее — деление, умножение и, наконец, сложение (рис. 160): 1) 15 729 - 7931 = 7798; 2) 303 = 27 000; 3) 152 = 225; 4) 303 : 152 = 120; 5) 120 • 7798 = 935 760; 6) 25 375 + 935 760 = 961 135. 158 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 25 375 30^ 15^ 15 729 7931 1. Приведите примеры предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Какую форму имеют грани прямоугольного параллелепипеда? 2. Сформулируйте свойство противоположных граней прямоугольного параллелепипеда. 3. Какие рёбра прямоугольного параллелепипеда называют его длиной, шириной, высотой? 4. Что называют измерениями прямоугольного параллелепипеда? 5. Какой прямоугольный параллелепипед называют кубом? 6. Сформулируйте свойство граней куба. 7. Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда? 8. Как найти площадь поверхности куба? 9. Какой куб называют единичным? 10. Какой объём называют кубическим миллиметром; кубическим сантиметром; кубическим метром; кубическим километром? 11. Какой объём называют литром; миллилитром? 12. Что означает требование Измерьте объём тела? 13. Запишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда и объясните смысл каждой переменной. 14. Запишите формулу объёма куба и объясните смысл каждой переменной. 15. Что называют кубом числа а? Какое действие называют возведением в куб? 16. Как найти четвёртую степень числа; пятую степень числа? 17. Какие действия относятся к действиям третьей степени? В каком порядке выполняются действия при вычислении значения числового выражения? 159 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" //У/УуГ| 408. Используя форзац 2, сформулируйте общие свойства объёма. Конкретизируйте эти свойства, используя рисунки 161, а и б. 409. На рисунке 162 показаны два тела, построенные из единичных кубов. Определите объёмы этих тел и сравните их. / / / / / /I Рис. 162 410. Сравните объёмы тел, изображённых на рисунках 163, а—г. 411. Приняв, что каждый кубик представляет кубический сантиметр, подсчитайте объём тела, изображённого на рисунке: а) 164, а; б) 164, б; в) 164, в; г) 164, г. 160 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а б ^ / / ы =7= Рис. 164 412. На рисунках 165, а—л изображены разные тела. Укажите те рисунки, на которых изображён: а) прямоугольный параллелепипед; б) куб. Назовите другие тела, изображённые на этих рисунках. б в /------71 2 Лч д а Рис. 165 413. Из проволоки сделали каркасный прямоугольный параллелепипед. Сколько было израсходовано проволоки, если измерения параллелепипеда следующие: а) 12 см, 15 см, 18 см; б) 23 см, 29 см, 31 см; в) 1609 мм, 113 см, 17 дм; г) 3 м, 43 дм, 751 см? 414. Найдите общую длину рёбер куба, если длина одного его ребра равна: 161 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" а е Рис. 166 Рис. 167 а) 53 мм; в) 5 см 69 мм; б) 71 см; г) 1 м 51 см. Составьте соответствующую формулу. 415. Найдите площадь поверхности куба, учитывая, что его ребро равно: а) 50 мм; в) 5 см 6 мм; б) 71 см; г) 1 м 5 дм 1 см. 416. На рисунках 166, а и б даны развёртки двух из трёх прямоугольных параллелепипедов, изображённых на рисунках 167, а—в. Укажите каких. 417. Из рисунков 168, а—г укажите те, на которых изображены развёртки прямоугольных параллелепипедов. 418. Найдите площадь поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке: а) 169, а; в) 169, в; д) 169, д. б) 169, б; г) 169, г; 162 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а а в Рис. 168 419. Подсчитаем, сколько кубических сантиметров в 1 дм3. Поскольку 1 дм = 10 см, то 1 дм3 = =10 • 10 • 10 см3 = 1000 см3. Установите подобными рассуждениями связи между: а) кубическим сантиметром и кубическим миллиметром; б) кубическим метром и кубическим дециметром; в) кубическим километром и кубическим сантиметром; г) кубическим метром и кубическим миллиметром. 420. Общая длина рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 612 м. Одно из рёбер на 54 м меньше другого и на 30 м больше третьего. Найдите измерения параллелепипеда. 15 мм Л 25 дм б г ч о 15 см “Ь 17 мм 163 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" б а в г в 421. На изготовление каркаса прямоугольного параллелепипеда было израсходовано 60 дм проволоки. Его высота на 2 дм меньше длины и на 2 дм больше ширины. Найдите рёбра параллелепипеда. Сколько ткани потребуется, если обшить этот параллелепипед? 422. Выразите: а) 1 дм3 у мм3; б) 1 м3 у см3, мм3, л; в) 1 км у дм , см , мм , л; г) 1 л у дм3, см3, мм3. 423. Определите недостающие характеристики прямоугольного параллелепипеда в таблице: Длина 15 см 20 мм 74 мм 1 км Ширина 24 см 2 м 50 см 250 м Высота 19 см 23 дм 5 см 1 м Объём 23 м3 2 дм3 1 км3 424. Объём комнаты 54 340 дм3. Найдите площадь пола, учитывая, что высота комнаты равна 260 см. 425. Прямоугольный параллелепипед разделён на две части (рис. 170). Найдите: а) объём всего параллелепипеда и объёмы его частей. Сравните сумму объёмов частей с объёмом всего параллелепипеда; б) общую площадь всех граней параллелепипеда и площади всех граней его частей. Почему сумма этих площадей не равна общей площади всех граней параллелепипеда? 426. Из листа картона размерами 44 см х 70 см сделали коробку, загнув уголки так, как показано на рисунке 171. Какова вместимость полученной 164 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 9 см 17 см Рис. 170 Рис. 171 Рис. 172 коробки, если сторона каждого загнутого квадрата 10 см? Ответ дайте в кубических дециметрах. Какой — большей или меньшей — вместимости получится коробка, если по углам загнуть квадраты со стороной 9 см; 7 см? 427. На рисунке 172 показана одна из панелей, используемых при строительстве крупнопанельных домов. Ширина панели 3 м, высота 2 м 70 см, толщина 30 см. В панели сделан оконный проём размерами 150 см х 120 см. Сколько весит эта панель, если кубометр бетона весит 2 т? 428. Озеро Дубра в Браславском районе содержит 2100 тыс. м3 воды, что в 11 раз меньше объёма воды в озере Зароново в Витебском районе. Сколько воды содержит озеро Зароново? 429. Вычислите: а) 232; д) 173; и) 1203; б) 512; е) 1503; к) 1603 : 160; в) 1212; ж) 3203; л) 2253 : 225; г) 4212; з) 27003; м) 4123 : 4122. 430. Вычислите: а) 34; в) 105; д) 111; б) 35; г) 114; е) 154; ж) 27; з) 1005. 165 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 431. Сравните выражения: а) 12 и 13; г) 43 и 82; ж) 153 и 582; б) 32 и 23; д) 272 и 33; з) 702 и 173; в) 33 и 52; е) 103 и 322; и) 372 и 113. 432. Найдите значение выражения: а) 193 : 192; е) 69 • 31 + 812; б) 292 + 293; ж) 303 - 29 • 28; в) 333 - 332; з) 333 : 112; г) 226 981 - 593; и) 6892 : 132; д) 56 • 89 + 163; к) 1213 : 115. 433. Из одного населённого пункта выехал велосипедист, а через некоторое время навстречу ему из другого населённого пункта вышел пешеход. Когда они встретились, то оказалось, что скорости движения велосипедиста и пешехода относятся как 7 : 2, велосипедист проехал 56 км, а пешеход прошёл 24 км. Найдите время нахождения в пути велосипедиста, учитывая, что это время в сумме со временем движения пешехода составляет 10 ч (см. форзац 3). 434. Из одного населённого пункта вышел пешеход, а через некоторое время навстречу ему из другого населённого пункта выехал велосипедист. Когда они встретились, то оказалось, что время движения велосипедиста относится ко времени движения пешехода как 2 : 3, велосипедист проехал 52 км, а пешеход прошёл 24 км. Найдите скорости велосипедиста и пешехода, учитывая, что вместе они составляют 17 км/ч. 435. В 7 ч из Горок выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч, а в 9 ч навстречу ему из Хо-тимска выехала машина со скоростью 67 км/ч. Определите, через какое время машина встретит велосипедиста, учитывая, что расстояние по шоссе от Горок до Хотимска составляет 194 км. 166 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в 40 мм Р - Q 640 мм^ М Рис. 173 436. Трое рыбаков поймали 69 окуней и стали варить уху. Первый дал 7 окуней, второй — 6, а третий — 8, после чего у них осталось окуней поровну. Сколько окуней поймал каждый рыбак? 437. На отрезке AB найдена его середина K и на полученных частях KA и KB построены такие прямоугольники KALM и KBPQ, что стороны AL и BP соответственно равны 60 мм и 40 мм и площадь прямоугольника KALM на 640 мм2 больше (рис. 173). Найдите периметр шестиугольника ABPQML. 438. Путешественник за 2 дня прошёл весь путь. В первый день он шёл 7 ч и прошёл на 15 км больше, чем во второй день, когда он шёл только 4 ч. Какова скорость путешественника, если она была одинаковой всё время? Какой путь прошёл путешественник за два дня? Составьте и решите обратную задачу. * * * 439. Как из 26 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади? 440. От прямоугольной полоски длиной 54 см и шириной 16 см последовательно отрезают квадраты одним прямолинейным разрезом. Сколько и каких квадратов получится? 441. Из четырёх монет одна — фальшивая. Она отличается от остальных только массой. Когда две монеты положили на рычажные весы, то: а) их равновесие нарушилось. Как найти фальшивую монету? б) весы остались в равновесии. Как с помощью ещё одного взвешивания найти фальшивую монету? 167 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 16. Задачи с известными значениями одного из множителей и отношением значений второго множителя Задача 1. Есть несколько чайных ложек по 25 г и столько же столовых ложек по 45 г, которые вместе весят 840 г. Найдите, сколько весят чайные и сколько столовые ложки в отдельности. В задаче использована зависимость M = mn массы M некоторого количества одинаковых предметов от массы m одного предмета и количества n предметов. В соответствии с условием известны: сумма масс всех чайных и всех столовых ложек, равная 840 г; масса mi чайной ложки, равная 25 г; масса m2 столовой ложки, равная 45 г; количество чайных ложек равно количеству столовых ложек, т. е. n1 = n2, или n1 : n2 =1. Наглядно эти условия представим таблицей: Чайные ложки Столовые ложки Масса всех ложек 840 г Масса одной ложки 25 г 45 г Количество ложек Одно и то же Задачу решаем таким рассуждением. Поскольку чайных и столовых ложек поровну, то их можно объединить в пары, каждая из которых состоит из одной столовой и одной чайной ложки. Одна такая пара весит 25 г + 45 г, т. е. 70 г, а все пары в соответствии с условием — 840 г. Значит, всего пар есть 840 г : 70 г, т. е. 12. Поэтому масса всех чайных ложек равна 168 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 25 г • 12, т. е. 300 г, а масса всех столовых — 45 г • 12, т. е. 540 г. Задача 2. Повесть из двух частей занимает 204 страницы. Максим первую её часть читал со скоростью 12 страниц в день, а вторую — со скоростью 15 страниц в день. Найдите, сколько дней читал Максим первую часть, учитывая, что это количество дней в 3 раза больше количества дней, за которые Максим прочитал вторую часть. Представим условие задачи таблицей: Первая часть Вторая часть Количество страниц 204 с. Скорость чтения 12 с./день 15 с./день Время В 3 раза больше Задача построена на зависимости N = v • t количества N прочитанных страниц от скорости v чтения и времени t чтения. Хотя эта зависимость отличается от зависимости M = mn, использованной в условии задачи 1, но структура сведений задач 1 и 2 аналогична с тем отличием, что в задаче 1 отношение значений одного из множителей произведения v • t равно единице, а в условии задачи 2 отношение t1 : t2 множителя t равно трём. Тем не менее при соответствующей предварительной переформулировке условия можно использовать прежний способ решения. Уравняем время чтения первой части до времени чтения второй части, т. е. время чтения первой части уменьшим в 3 раза. Чтобы не изменилось количество прочитанных страниц, нужно скорость чтения первой части увеличить 169 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" в 3 раза. Получаем, что скорость чтения первой части станет равной 12 • 3, т. е. 36 с./день. Теперь время чтения первой и второй частей одинаково. Учитывая это и то, что скорости чтения первой и второй частей теперь вместе составляют 36 + 15, т. е. 51 с./день, найдём, что время чтения второй части равно 204 с : 51 с./день, т. е. 4 дня. Тогда время чтения первой части равно 4 • 3, т. е. 12 дней. 1. Как нужно изменить один из множителей для того, • чтобы не изменилось само произведение, если другой множитель: уменьшить в 3 раза; увеличить в 2 раза? 2. Величина a есть произведение величин b и с, т. е. a = bc. Известны сумма a1 + a2 значений a1 и a2 произведения а и значения b1 и b2 множителя b при неизменном множителе c. Как найти значение множителя c? 442. За 5 рейсов одна машина и за 4 рейса вторая привезли на элеватор 52 т зерна. Найдите грузоподъёмность каждой машины, учитывая, что грузоподъёмность первой машины в 2 раза меньше (см. форзац 4). 443. Две машины грузоподъёмностью 5 т и 6 т привезли на элеватор 69 т зерна. Найдите, сколько рейсов сделала та и другая машина, учитывая, что машина с большей грузоподъёмностью сделала их в 3 раза больше. 444. Путешественник за 2 дня прошёл весь путь. В первый день он шёл со скоростью 4 км/ч и прошёл на 6 км меньше, чем во второй день, когда он шёл со скоростью 5 км/ч. Найдите путь, который прошёл путешественник за 2 дня, и время его движения, учитывая, что оно одно и то же в оба дня. 170 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 445. За смену мастер, работающий с производительностью 25 деталей в час, изготовил на 72 детали больше, чем ученик, работающий с производительностью 16 деталей в час. Найдите продолжительность смены и общее количество изготовленных деталей. 446. Один рабочий за 7 ч изготовил на 57 деталей меньше другого рабочего, который работал с той же производительностью 10 ч. Найдите эту производительность и общее количество изготовленных деталей. 447. На отрезке AB выбрана точка C, отстоящая от точки B на 15 см, и на отрезках AB и AC, как на сторонах, построены равносторонние многоугольники, количества сторон которых относятся как 2 : 3, а периметры равны 480 см и 540 см соответственно (рис. 174). Найдите количества сторон многоугольников. 448. На луче с началом M отложены отрезки MN и MP, длины которых относятся как 8 : 9 (рис. 175). На этих отрезках, как на сторонах, построены равно- Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" сторонние многоугольники с периметрами 432 мм и 378 мм соответственно. Найдите количество сторон этих многоугольников, учитывая, что многоугольник со стороной MN имеет на 2 стороны больше. 449. Запишите формулу, связывающую выполненную работу A, производительность p и время работы t. Скажите, как найти: а) выполненную работу, если известны производительность и время работы; б) производительность, если известны выполненная работа и время работы; в) время работы, если известны выполненная работа и производительность. 450. Как нужно изменить время работы для того, чтобы не изменилась выполненная работа, если производительность: а) уменьшить в 4 раза; б) увеличить в 5 раз? 451. Известно общее количество купленных карандашей и тетрадей, а также цена карандаша и цена тетради. Как найти количество купленных карандашей и тетрадей, учитывая, что эти количества одинаковы? * * * 452. Может ли сумма семи слагаемых делиться на число, на которое не делится ни одно из слагаемых? 453. Нарисуйте, как тремя прямолинейными разрезами лист бумаги разделить на: а) 4 части; в) 6 частей; б) 5 частей; г) 7 частей. 454. Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр. 172 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" ОТВЕТЫ Раздел I 18. м) Никакие. 24. 937 км. 25. 53 км. 53. 96 с. 55. 56 км, 54 км. 56. 165 см. 76. 16. 84. 13 ч 46 мин. 85. 5 ч. 87. 65 км. 111. а) 150 га, 50 га; б) 15 км/ч, 65 км/ч. 113. 8 ч, 5 ч. 116. 96 с. 117. 136 га. 118. 47 и 4. 120. 40 000 км. 140. 172 км. 141. 154 га, 21 га. 142. 5 ч. 146. а) На 836 ц; б) на 548 ц. 147. 60 т/га. 151. 9 < n < 27. 168. у : 3 • 2. 175. Одиннадцатой, 36. 176. 16. 178. 105 г. 207. 54°. 210. 5 раз. 214. 1000. 216. 200 кг. 217. а) 12 км. 222. 120°. 224. а) 27°, 153°; б) 108°, 72°. 226. а) 45°, 135°; б) 105°, 75°. 239. 50 м/мин, 150 м/мин. 240. 370 м/мин, 110 м/мин, 150 м/мин. 241. 927 г, 309 г. 242. 10. 243. а) 42 км; б) через 1 ч 12 мин. 249. t = N : p; а) 8 ч; б) 40 дет.; в) 12 дет./ч. 252. t = (s - 3) : 5. 253. 110°. 254. 28°, 86°. 255. 32°. 260. 5 км/ч. 261. 3 ч. Раздел II 276. а) 36 ц/га; б) 1200 ц; в) 70 га. 281. 247 м2. 282. 15 лет, 45 лет. 292. а) 11; б) 20; в) 56; г) 20; д) 100; е) 128. 293. а) 6; б) 13; в) 185; г) 51. 322. 6. 325. 136 км, 20 км. 326. 70 000 р. 327. 1400 р., 1600 р. 328. 12 ч. 329. Меди 440 кг, алюминия 40 кг, железа 20 кг. 330. 1660 кг. 331. 304 кг, 16 кг. 332. 32 мм, 61 мм, 61 мм. 333. 19 см. 334. 90°, 30°, 60°. 335. «259 кг. 336. За 6 дней. 337. 276 ц. 338. 15 кг, 75 кг. 339. 20 км. 340. 35 м. 341. а) На 30; б) 60°. 342. 120°, 150°, 90°, 90°, 90°; 90°, 90°, 60°, 270°, 30°. 344. 37 ц/га, 34 ц/га. 345. 21 ц/га, 63 ц/га. 173 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" 346. Из 27 чисел. 351. а) 839; б) 4063; в) 329; г) 4859; д) 9; е) 66 364; ж) 12; з) 2588. 352. а) 202; б) 158; в) 269; г) 39; д) 121; е) 524. 355. а) 8; б) 11; в) 5; г) 68; д) 5; е) 12; ж) 75; з) 600, и) 122; к) 30; л) 84; м) 290. 358. 40 км. 359. 48 кг, 54 кг. 362. 68°, 68°, 44°. 364. 70° или 180°. 366. а) 3810; б) 3900; в) 276; г) 8402; д) 2256. 367. а) 3413; б) 3637; в) 149 или 7197; г) 7190; д) 48 763. 368. 24 с./день, 12 с./день. 369. 21 с./день, 7 с./день. 370. 1710 ц, 1890 ц. 371. 615 ц, 1025 ц. 372. 52 или 53. 373. 3. 382. а) 7 м и 2 м; б) 7 м и 21 м; в) 15 дм и 25 дм; г) 5 см и 7 см; д) 6 см и 4 см. 388. bc + d(2a + c). 389. о) 1 085 764. 390. а) 1282; б) 2; в) 59; г) 4264; д) 4850; е) 1288; ж) 512; з) 30; и) 441. 396. 88 м. 397. 21 м. 401. 1200 р., 1800 р. 402. 20 г, 60 г, 80 г. 403. 18 га, 12 га. 420. 43 м, 97 м, 13 м. 421. 5 дм, 7 дм, 3 дм; 142 дм2. 424. 2090 дм2. 426. 12 дм3. 427. 3780 кг. 428. 23 100 тыс. м3. 432. а) 19; б) 25 230; в) 34 848; г) 21 602; д) 9080; е) 8700; ж) 26 188; з) 297; и) 2809. 434. 13 км/ч, 4 км/ч. 436. 23, 22, 24. 437. 248 мм. 438. 5 км/ч, 55 км. 442. 4 т, 8 т. 443. 3; 9. 444. 54 км; 6 ч, 6 ч. 445. 8 ч; 328 дет. 446. 19 дет./ч; 323 дет. 447. 8; 12. 448. 9; 7. 174 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" СОДЕРЖАНИЕ Раздел I Натуральные числа: сложение и вычитание 1. Чтение, запись и сравнение натуральных чисел....................5 2. Сложение и вычитание натуральных чисел...................16 3. Прямая и её части..................28 4. Величины...........................37 5. Координатный луч. Округление чисел.45 6. Текстовые задачи с одной величиной.59 7. Выражение и его значение ......... 65 8. Окружность, круг, угол ........... 72 9. Смежные и вертикальные углы........86 10. Формула.............................93 11. Задачи с известными произведениями и отношением значений одного из множителей.......................99 Раздел II натуральные числа: умножение и деление 12. Умножение и деление натуральных чисел................. 105 13. Уравнение ........................ 127 14. Периметр и площадь фигуры......... 135 15. Объём тела........................ 151 16. Задачи с известными значениями одного из множителей и отношением значений второго множителя........ 168 Ответы................................ 173 175 Правообладатель "Адукацыя i выхаванне" (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия ученика Состояние учебного пособия при получении Отметка ученику за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное издание Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 5 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения В 2 частях Часть 1 Редактор Художник обложки Художник Компьютерный набор Компьютерная вёрстка Корректор Е. А. Пастушенко К. К. Шестовский А. Л. Латотин Е. Э. Задорожная^, Л. В. Латотина Е. Э. Задорожная Е. В. Полянская Подписано в печать 15.04.2013. Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,0. Уч.-изд. л. 5,9. Тираж 4440 экз. Заказ РУП «Издательство “Адукацыя i выхаванне”». ЛИ № 02330/639 от 31.01.2012. Ул. Будённого, 21, 220070, г. Минск. ООО «Принтхаус». ЛП № 02330/0552738 от 02.02.2010. Ул. Одоевского, 117, 220015, г. Минск. Правообладатель "Адукацыя i выхаванне"