Учебник Математика Арифметика Геометрия 6 класс Бунимович Кузнецова Минаева

X МАТЕМАТИКА Арифметика Геометрия ®______ 5ЕЩЕНИЕ Е| л Ь с Т 8 о 1^' Арифметика Геометрия класс Учебник для общеобразовательных организаций с приложением на электронном носителе Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 3-е издание ■#£L Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2014 УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М34 Серия «Сферы» основана в 2003 году Руководители проекта: чл.-корр. РАО, д-р пед, наук А.М. Кондакову чл.-корр. РАО, д-р геогр. наук В.П. Дронов Линия учебно-методических комплексов «Сферы» по математике Авторы: канд. пед. наук Е.А. Бунимович, канд. пед. наук Л.В. Кузнецова, канд. пед. наук С.С. Минаева, канд. пед. наук Л.О. Рослова, канд. пед. наук С.Б. Суворова На учебник получены положительные экспертные заключения по результатам научной (заключение РАН № 10106-5215/592 от 14.10.2011), педагогической (заключения РАО № 01-5/7д-333 от 17.10.2011 и № 278 от 29.01.2014) и общественной (заключение РКС № 310 от 07.02.2014 г.) экспертиз. Учебник предназначен для работы в классе Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс : учеб, для общеоб-М34 разоват. организаций с прил. на электрон, носителе / [Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.]. — 3-е изд. — М. : Просвещение, 2014. — 240 с. : ил. — (Сферы). — ISBN 978-5-09-033042-8. Данный учебник продолжает линию учебно-методических комплексов «Сферы» по математике. Издание подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования и освещает вопросы курса математики 6 класса. Содержательно материал учебника направлен на продолжение формирования центральных математических понятий (число, величина, геометрическая фигура), обеспечивающих преемственность и перспективность математического образования школьников. При его создании использованы концептуальные идеи учебника «Математика, 6» под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Главными особенностями данного учебника являются фиксированный в тематических разворотах формат, лаконичность и жёсткая структурированность текста, разнообразный иллюстративный ряд. Использование электронного приложения к учебнику позволит значительно расширить информацию (текстовую и визуальную) и научиться применять её при решении разнообразных математических задач. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-09-033042-8 Издательство «Просвещение», 2010, 2012 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2010, 2012 Все права защищены СОДЕРЖАНИЕ Глава 1 Глава 2 Глава 3 Глава 4 ВВЕДЕНИЕ ...................................................5 ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ 1. Что мы знаем о дробях .....................................8 2. Вычисления с дробями ...................................12 3. Основные задачи на дроби ...............................16 4. Что такое процент .....................................20 5. Столбчатые и круговые диаграммы ........................24 Подведём итоги .........................................28 ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 6. Пересекающиеся прямые ..................................30 7. Параллельные прямые ....................................34 8. Расстояние .............................................38 Подведём итоги .........................................42 ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 9. Какие дроби называют десятичными ......................44 10. Перевод обыкновенной дроби в десятичную .................50 11. Сравнение десятичных дробей ...........................54 Подведём итоги .........................................58 ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 12. Сложение и вычитание десятичных дробей ..................60 13. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 .. 64 14. Умножение десятичных дробей .......................68 15. Деление десятичных дробей .............................72 16. Округление десятичных дробей .......................80 Подведём итоги .........................................84 ОКРУЖНОСТЬ 17. Прямая и окружность ...................................86 18. Две окружности на плоскости .......................90 19. Построение треугольника ...............................94 20. Круглые тела ..........................................98 Подведём итоги ........................................102 ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ 21. Что такое отношение ..................................104 22. Отношение величин. Масштаб ..........................108 23. Проценты и десятичные дроби .........................112 24. «Главная» задача на проценты .........................116 25. Выражение отношения в процентах ......................120 Подведём итоги ........................................124 Глава 7 > I n 'ч i i j J 1 Глава 8 ■Ш' % Глава 9 t'MM •KB ! {Ж^- ■■ ‘■Jr*. 1 i ■ Е-» Глава 10 11 ■i ■|'Jp, ■1 ! Глава 11 ВЫРАЖЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ 26. О математическом языке ...............................126 27. Буквенные выражения и числовые подстановки ...........130 28. Составление формул и вычисление по формулам ..........134 29. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара .... 138 30. Что такое уравнение ................................. 142 Подведём итоги .......................................146 СИММЕТРИЯ 31. Осевая симметрия .................................... 148 32. Ось симметрии фигуры .................................152 33. Центральная симметрия ................................156 Подведём итоги .......................................160 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 34. Какие числа называют целыми ..........................162 35. Сравнение целых чисел ................................166 36. Сложение целых чисел .................................170 37. Вычитание целых чисел ................................174 38. Умножение и деление целых чисел ......................178 Подведём итоги .......................................182 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 39. Какие числа называют рациональными ......184 40. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа ...........188 41. Сложение и вычитание рациональных чисел ..............192 42. Умножение и деление рациональных чисел ...............196 43. Координаты ...........................................200 Подведём итоги .......................................204 МНОГОУГОЛЬНИКИ и МНОГОГРАННИКИ 44. Параллелограмм .......................................206 45. Правильные многоугольники ............................210 46. Площади ..............................................214 47. Призма ...............................................218 Подведём итоги .......................................222 МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА 48. Понятие множества ....................................224 49. Операции над множествами .............................228 50. Решение комбинаторных задач ..........................232 Подведём итоги .......................................236 ОТВЕТЫ ..................................................237 J1 ВВЕДЕНИЕ По библейскому преданию, Вавилонскую башню людям так и не удалось достроить, потому что они говорили на разных языках и не понимали друг друга. И сегодня в мире тысячи разных языков, и люди часто не могут понять друг друга, найти обш;ий язык. Но есть один особый язык, на котором должны уметь говорить все люди, в любой стране, который учат во всех школах мира, — это язык математики. Чем бы вы ни решили заниматься в жизни, какую бы профессию ни выбрали, вам не обойтись без математики, её языка, правил и методов. Но ещё важнее то, что математика учит умению рассуждать, анализирювать, доказывать, отличать истинное от ложного, искать пути решения и делать выводы, развивает ум, логику, мышление. Не случайно великий художник, учёный, изобретатель Леонардо да Винчи утверждал, что «никакой достоверности нет в том, что не имеет связи с математикой». Математику, математический язык, строгий и красивый, мы и продолжим изучать в 6 классе. Вы узнаете, из чего состоит алфавит математического языка, как строятся в нём слова и предложения, как осуществляется перевод с русского языка на математический и обратно. Вы узнаете много нового, интересного и полезного и о том, с чем вы уже знакомились на уроках математики, — о целых и дробных числах, геометрических фигурах и их свойствах, и о многом другом. Надёжным помощником в изучении математики в 6 классе станет для вас учебный комплекс «Сферы». Вы знакомы с этим комплексом по 5 классу и уже хорошо знаете, как он устрюен, как выделяется в учебнике самое важное, то, что необходимо запомнить, как обозначены задачки попроще и посложнее, где найти образцы решений и как подводить итоги изучения каждой главы, как узнать, хорошо ли вы всё усвоили, поняли, осмыслили и запомнили. Поупражняться в решении задач вам помогут «Задачник» и «Тетрадь-тренажёр», а проверить ваши знания поможет «Тетрадь-экза менатор». Электронное приложение к учебнику позволит использовать все возможности компьютера для того, чтобы освоение математики стало ещё ярче, интересней, разнообразней и увлекательней. '7/ ff РУБРИКИ НА СТРАНИЦАХ УЧЕБНИКА На страницах учебника вы увидите специальные знаки, которые помогут вам в работе с текстом. «ВНИМАНИЕ!» Так выделяется утверждение, которое нужно запомнить. «В ФОКУСЕ». Важная деталь, на которую полезно обратить внимание. «ЧИТАЕМ И ДЕЛАЕМ». Читайте этот фрагмент текста с карандашом в руке, т. е. делайте по шагам то, что описано в учебнике. «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БЛОКНОТ». Небольшой фрагмент на полях, который содержит дополнительную информацию. «ЗАПИСЫВАЕМ РЕШЕНИЕ». Образцы записи решений, которым можно следовать. «КНОПКА». Содержит полезный справочный материал. Так обозначены упражнения полегче. Так обозначены упражнения потруднее. ■ ■ II II I II глава ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ ЧТО мы ЗНАЕМ О ДРОБЯХ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ДРОБЯМИ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДРОБИ ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТ СТОЛБЧАТЫЕ И КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ ИНТЕРЕСНО Совсем не всегда дроби записывали в привычном для нас виде. Древние греки, а позднее индусы (около 1 500 лет назад) записывали дроби с помощью числителя и знаменателя, но без дробной черты. Впервые ввели дробную черту арабские математики, а в Европе, уже в XIII в., — Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Но общепринятой она стала значительно позже — в XVI в. Сейчас, особенно в нематематических изданиях, вы можете увидеть такую запись дроби: а/Ь. Считают, что её ввёл мексиканский издатель газет Мануэль Антонио Вальдес, который использовал для обозначения дроби наклонную волнистую черту: а/Ь (конец XVIII в.). Позже её преобразовали в косую черту. Так было проще для типографского набора. вы ВСПОМНИТЕ ® Основное свойство дроби О Как сокращают дроби ^ Как приводят дроби к новому знаменателю За 2000 лет до н.э. в Древнем Вавилоне для нужд астрономии и мореплавания была создана сиаема измерения углов, которой мы пользуемся и сегодня. В Вавилоне действовала не десятичная, а шестидесятеричная система счисления, поэтому единицы измерения делили не на 10, 100 и т. д. долей, а на 60 и т. д. равных частей. Градус разделили на 60 равных частей, получили ми-1 нуту, которая равна — градуса. Минуту разделили на 60 равных частей, получили секунду. Одна 1 секунда равна — минуты или ьо что мы ЗНАЕМ О ДРОБЯХ В 5 классе вы многое узнали о дробях, научились складывать, вычитать, умножать и делить дроби, сравнивать их, отмечать точками на координатной прямой. Мы продолжим изучение дробей. Но сначала повторим известные вам основные сведения о дробях. ДРОБИ Запись вида -, где а а Ь — натуральные чис- ла, — это дробь. Число, записанное над чертой, — числитель дроби, под чертой — её знаменатель. Вот несколько примеров дробей: 3 100 24 Дроби — великое изобретение человечества. Имея дроби, мы всегда можем разделить одно натуральное число на другое (чего нельзя сделать, если ограничиться только натуральными числами). Действительно, вы знаете, что частное от деления натурального числа а на натуральное число Ь равно дроби а : Ь = ь ь' 7 10 72 Например, 7 : 3 = -, 10 : 19 = —, 72 : 24 = —. . о. Так как выражения а : о и - означают одно и то о же, то черту дроби рассматривают как другое обозначение действия деления двух натуральных чисел. ОСНОВНОЕ свойство ДРОБИ Для каждой дроби существует бесконечное множество равных ей дробей, на-1 2 ^ ^ 12 ~ позволяет основное свойство дроби. пример: 2 = 4^ Преобразовать дробь в равную Г1 Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной. Применяя это свойство, можно приводить дроби к новому знаменателю, а также сокращать их. Пример 1. Приведём дробь ^ к знаменателю 12. О Найдём дополнительный множитель: 12 : 3 = 4. Умножим числитель и знаменатель дроби на 4: 1 - lli _ А. 3 ~ 3-4 “ 12* Понятно, что дробь - можно привести не к любому знаменателю. О Например, её нельзя привести к знаменателю 10, так как 10 не делится на 3. Но её всегда можно представить в виде дроби, знаменатель которой кратен 3, например, равен 6, 9, 51, 72. Пример 2. Сократим дробь 540 Будем последовательно находить общие делители числителя и знаменателя и сокращать на них дробь: 432 _ ^ _ 1^ _ ^ _ 1 540 ~ 270 ~ 135 ~ 45 ~ 5* Сначала мы разделили числитель и знаменатель на 2, потом ещё раз на 2, затем на 3 и, наконец, на 9. Можно было сделать это и иначе: например, сразу разделить числитель и знаменатель на 4 и т. д. ч пример 3. Приведём к наименьшему общему знаменателю дроби: ,5 3 7 2 .3 11 16 ^ 8’ ^ 11 3’ 25 ^ 15* а) Число 16 кратно 8, значит, оно и является наименьшим общим знаменателем. £ = А 16* 3 3 3 Приведём дробь - к знаменателю 16: - = - О О О • 2 б) Общий знаменатель данных дробей должен делиться и на 11, и на 3. Наименьшим числом, которое делится на каждое из них, является их произведение — 33. Приведём каждую из дробей к знаменателю 33: Т_ ^ 7-3 ^ 2 ^ 2 • 11 _ ^ 11 11-3 33’ 3 ~ 3- 11 ~ 33* в) в качестве общего знаменателя данных дробей можно взять произведение чисел 25 и 15 — число 375, но такой знаменатель не будет наименьшим. Будем последовательно перебирать числа, кратные 25 (большему знаменателю), и проверять, делятся ли они на 15: число 50 не делится на 15, а число 75 уже делится. Значит, наименьший общий знаменатель дробей равен 75. Имеем А = 3-3 _ ^ 25 ~ 25-3 ~ 75’ П _ 11 • 5 _ ^ 15 “ 15-5 “ 75* старинных системах мер, которые не сохранились до нашего времени, чаще всего деление единиц измерения шло по двоичной системе, т. е. каждая единица делилась на две равные части. Именно так строилась система дробей в Древней Руси. Ниже в левом столбце записаны некоторые применявшиеся дроби (в их современной форме), а в правом - их словесные обозначения. Дробь 1 — числа -т числа 4 - числа О Словесное обозначение «пол» «четь» или «четверть» «полчети» или II «полчетверти» 16 числа «пол-полчети» — числа «пол-пол-полчети» ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Сформулируйте основное свойство дроби и проиллюстрируйте его примером. О Объясните на примере дро-беи и -j^, как привести дроби к общему знаменателю. УПРАЖНЕНИЯ ОСНОВНОЕ свойство ДРОБИ Какая часть фигуры закрашена (рис. 1.1)1 Запишите ответ разными дробями. Пирог разрезали на 6 равных частей. Одну из них разделили еш;ё на 3 равные части. Какую часть пирога составляет одна маленькая часть? Выберите верный ответ. 0 X.I ^ Три подруги решили написать поздравительные открытки к празднику. Они разделили всю работу поровну. Однако Таня нашла себе трёх помощниц, с которыми разделила свою часть работы поровну. Какую часть всей работы выполнила Таня? ч ^ ^ 4 5 7 4 а) Приведите дроби ^ знаменателю 18. б) Приведите дроби “ и ^ к знаменателю 80. о 5 1о 40 Сократите дробь: а) Сократите дробь: а) 24 30’ 1^. 36’ 28 г) 44 100 > 32 Д) 72* 78 . 338’ «ч 255 , 324 405 ’ г) 84 • 48- 108 _ 126 ’ 96 -35 - ПО 33 • 80 • 105 Покажите, что верны равенства: 9 ~ 99 ~ 999 ’ б) Образец. Покажем, что верны равенства - 8 88 3 _ 311 _ 33 3 ^ 3 • 111 “ ~ 88’ 8 ~ 8- 111 _ 131 313 - 777 777' 333. 888’ 333 888' 8 8-11 Значит, все три дроби равны. ^33 ^ ^ ^ 333 _. Можно поступить иначе: сократим дробь — на 11, а дробь на 111; в каждом случае получим -. Значит, все три дроби равны. О 13 14 15 1 ■ что мы ЗНАЕМ О ДРОБЯХ Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: л ^ 1 , 3 3 _ 3 5 б) 7“ ^5 г) — И —; ^20 10 СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ Сравните дроби и запишите результат с помощью знаков >, <, =: л 4 ч5 ’’ =>6 "i = ч ® 1 1 3 5 7 11 е) 1— и —. ^ 20 9 3 11 2 5 Запишите в порядке возрастания дроби , г, 4 12 о о 1 17 2 3 Запишите в порядке убывания дроби . 2 20 5 4 1 17 На тренировке Оля пробежала стометровку за - мин, Галя — ^^60 3 4 Вера — за — мин, Зоя — за — мин. В каком порядке девочки пришли к 10 15 финишу? Не приводя дроби к общему знаменателю, установите, какая из них наибольшая: Щ ^ 8 11’ 10’ 9’ П ^ ^ 20’ 40’ 60’ ®^48’ 36’ 72' Найдите несколько чисел, которые: а) больше у, но меньше у; б) больше но меньше У у ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ \ 1) Дана правильная дробь —. Запишите обратную ей дробь и опреде- 3 лите, какая из этих двух дробей ближе к 1. 2) Запишите какую-нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент ещё раз. 3) Сделайте вывод о том, какая из дробей ближе к 1 — правильная или обратная ей неправильная. Поясните свой вывод. 1 вы ВСПОМНИТЕ • Правила действий с дробями ВЫ УЗНАЕТЕ Как выглядит «многоэтажная» дробь и как находить её значение rt ВЫЧИСЛЕНИЯ С ДРОБЯМИ В этом пункте вы повторите сложение, вычитание, умножение и деление дробей, а также научитесь выполнять более сложные вычисления. ПРАВИЛА действии С ДРОБЯМИ Вспомним правила, по которым выполняют действия с дробями. Сначала сформулируем правила сложения и вычитания. 1) Чтобы найти сумму (или разность) дробей с одинаковыми знаменателями, нужно найти сумму (или разность) их числителей, а знаменатель оставить прежним: а с _ а + с ^ а с _ а —с ~Ь^Ь V" Ь~Ь 2) Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, а затем воспользоваться первым правилом. 'Нинофим- si ил-40. jr 1 , + 4- sotefsi Г 5 7 Пример 1. Сложим дрюби ^ и —. Наименьший общий знаменатель дробей равен 36. Дополнительным множителем для первой дроби является число 2, а для вторюй — число 3: z::' = 18 ^ 12 5-2-I-7-3 10 4-21 36 36 36 Сформулируем теперь правило умножения дробей. Чтобы умножить дрюбь на дрюбь, нужно перемножить числители дрюбей и их знаменатели и первое прюизведение записать в числителе, а вторюе — в знаменателе: а с а‘ с b-d Пример 2. Умножим 18 5 12' 5 12 3 18 1 Ж 1 12 2 Наконец, сформулируем правило деления дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дрюбь, обратную вторюй: о ^ с _ а d _ а-d Ъ ' d Ь с Ь-с' Пример 3. Найдём значение выражения ~ : о- У о Заменим деление умножением на обратное число: 4 8 _ 4 3 _ _ 1 9 ‘ 3 9 ’ 8 “ ~ 6’ «МНОГОЭТАЖНЫЕ» ДРОБИ В математике черту дроби используют как знак деления не только для натуральных чисел, но и для более сложных выражений. Напри- 1Х.._ . 1 I г - ^ т пт ! t мер, выражение 1+1 ___2 2 1 - -5 является другим способом записи частного 11 + 2 -I В дальнейшем вы будете часто встречать такие «многоэтажные» дроби, в которых числители и знаменатели — различные выражения. При нахождении значений таких дробей сначала вычисляют значения выражений, стояш;их в числителе и знаменателе, и только потом выполняют деление. Пример 4. Найдём значение дроби Надо выполнить два действия: 1) i + 1 ^ 2 4 4’ 10 1 + 1 2 4 2) 10 : 7 = 10 • I = 4 о 10-4 = 8. Запись решения можно вести цепочкой: 10 10 10-4 1 + 1 2 4 = 8. Можно преобразовывать «многоэтажные» дроби и другим способом, применяя основное свойство дроби. Пример 5. Найдём значение дроби 3 1 ---1-- 2____4 1 6 Умножим числитель и знаменатель дроби на 12. Значение дроби останется тем же, а от дробей в числителе и знаменателе мы избавимся: 3 1 ---1-- 2____4 1 6 6*^ 3 1 1 6 ’ 12 18 + 3 _ ^ _ .pjl 2 ~ 2 ~ ^2' т 20 Ш 25 УПРАЖНЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ с ДРОБЯМИ Найдите сумму или разность (№ 16—19). ч 7 5 ^ 12 12’ 9 J. 3 То + То= л 1 11 II +11= 1 ч •’^13 ^ ^ 3 й + 1 = б> Т5 - 5^ . 3 2 i ■ 5= , 8 1’>П 1 3 1 3 - в = ч 4 1 . 45 30’ ч 11 l’>Ii а) 4 +si; б)4|-2; B)lf+ 3; г)4| Расположите в порядке возрастания следуюпдие суммы: i + i- 3 8 Найдите произведение или частное (№ 21—23). , 9 5 10 ‘ 12’ В)| 2 ■ 5’ 7 _ 16’ e)lf^l0i. а)2:6; В) 1 : 3^ 7’ Д)2|-15; б) 15 • г)|. 12; е) si : 30. а) 10 : 3; б) 42 : 8; в) 57 : 30; г) 28 Найдите значение выражения (№ 24, 25). а) 25 • I — + - + - 10 5 2 Г 6)5:li + 7:li. 6 3 « 2 « 1 ч 5 18 Г Л 5 ^ а) 6- 4 2- 5 ■2Н = в>П + [и 14 J Ч-) ^3*8 16 ' 27’ 1____^ 10 16 : 1 I ■ РЕШАЕМ ЗАДАЧИ . W' sr , Двое дежурных вымыли все парты в классе. Первый сказал, что вымыл 3 2 - всех парт, а второй сказал, что вымыл - всех парт. Их товарищ заме 5 о ТИЛ, что кто-то из них ошибся. Как он догадался? У Андрея два аквариума. Длина, ширина и высота одного из них — м, 2 1 4 3 3 - м и - м, а другого — - м, - м и — м. 5 2 5 4 1U В какой из аквариумов вмещается больше воды? Корова съедает копну сена за 3 дня, а коза может съесть такую копну за 6 дней. Ответьте на вопросы: 1) Какую часть копны съедает каждое животное за один день? 2) Какую часть копны съедят они вместе за один день? 3) На сколько дней хватит этой копны корове и козе вместе? Отец и сын, работая вместе, покрасили забор за 12 ч. Если бы отец красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор сын? «МНОГОЭТАЖНЫЕ» ДРОБИ Вычислите: а) 1 2 2 ’ 3 1 3 б) 3 1 4 ’ 2 в) 1 1 2 ’ 6 г) 2 3 5 ’ 4 15 Что может означать запись 2? Примите по очереди каждую дробную черту 3 за основную и запишите соответствующие выражения. Найдите значение каждого из выражений. Запишите выражение в виде дроби и сократите её: а) (21 • 18) : 14; б) 50 : (16 • 25); в) (12 • 15) : 40; г) (4 • 24) : (2 • 8). Найдите значение выражения: а) б) 17 100 10 10 в) -Г г) 1 3 ~ — 2 ___4 1 ’ 2 I 1 вы УЗНАЕТЕ • Как найти чааь от числа 9 Как найти число по его части 9 Как узнать, какую часть одно число составляет от другого ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДРОБИ Вспомним, как решаются основные задачи на дроби, и рассмотрим разные способы их решения. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ОТ ЧИСЛА Задача 1. По радио сообш;или, что жители города Сине-горска активно борются против загрязнения окружаюш;ей 2 среды и - из них присоединились к движению «Гринпис» О (в переводе на русский — «Зелёный мир»). Сколько жителей города Синегорска участвует в этом движении, если известно, что в городе проживает 80 тыс. человек? Чтобы ответить на поставленный вопрос, надо найти 2 - от 80 000. Это можно сделать разными способами. 5 Способ 1, Решим задачу, опираясь на смысл понятия дроби. Найдём пятую часть от числа 80 000 и умножим результат на 2: (80 000 : 5) • 2 = 32 000 (чел.). Способ 2. Воспользуемся правилом нахождения части от числа. а Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. Умножив 80 000 на -, получим тот же результат: 80 000 • I = ^ = 32 000 (чел.). 5 5 НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ЧАСТИ ратную задачу. Рассмотрим об- Задача 2. По радио сообш;или, что 32 тыс. жителей города Синегорска присоединились к движению «Гринпис». Это составляет 7 всего населения города. Сколько 5 человек проживает в городе Синегорске? Решим эту задачу так же, как и первую, разными способами. Способ 1. Будем опираться на смысл понятия дроби. По условию 32 000 — это две пятых от числа всех жителей города. Чтобы найти одну пятую часть всех жителей, надо 32 000 разделить на 2. А так как всё население составляет пять таких частей, то результат надо умножить на 5: (32 000 : 2) • 5 = 80 000 (чел.). 3 . ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДРОБИ Способ 2. Воспользуемся правилом нахождения числа по его части. \1 Чтобы найти число по его части, нужно эту часть разделить на дробь, ей соответствующую. Разделив 32 000 на г, получим тот же результат: 5 32 000 : I = 32 000 • f ^ = 80 000 (чел.) 5 2 2 КАКУЮ ЧАСТЬ ОДНО ЧИСЛО СОСТАВЛЯЕТ ОТ ДРУГОГО Задача 3. Журналист готовит сообщение для радионовостей. Ему известно, что в городе Синегорске проживает 80 000 человек и 32 000 из них присоединились к движению «Гринпис». Определите, какая это часть жителей города. 1 Будем рассуждать так: один человек — это 80 000 часть населения города. Тогда 32 000 человек составля-1 оо лпл 32 000 2 ют ^• 32 000 = = 7 населения города. 32 000 80 000 80 000 5 Для ответа на вопрос задачи мы записали дробь , оО оии которая выражает частное от деления 32 000 на 80 000. Таким образом, можно сформулировать правило. rt Чтобы узнать, какую часть одно число составляет от другого, надо первое число разделить на второе. Применим это правило для решения задачи. Задача 4. На авиарейс было продано 56 билетов, а 24 места остались незанятыми. Какая часть всех мест в самолёте занята? Сначала найдём, сколько всего мест в самолёте: 56 + 24 = 80 (мест). Теперь разделим 56 на 80, чтобы узнать, какую часть число 56 составляет от числа 80: 80 т_ 10* Итак, в самолёте занято — от числа всех мест. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: д Объясните, как найти — от числа 600. О Объясните, как найти число, если J этого числа составляют 28. ©Объясните, как найти, какую часть число 24 составляет от числа 54. ■■■■■■■■ щ : 'Ы' £1 1 'I'i ^ фШ' ■■ f 'S,s^ ____ f'll; ^№e. Ш'Ш1: r, И •V WTi^" 39 Bnm^- ^ : 'i| 'Iми, столбцы на них располагают вертикально или горизонтально. Пример объёмной столбчатой диаграммы приведён на рисунке 1.4. Эта диаграмма показывает соотношение мужчин и женщин в нашей стране в разные годы — с конца XIX в. до начала XXI в. Женщины (тыс.) Мужчины (тыс.) Женщины Число женщин на 1000 муя^ин f лченщины и мужчины (тыс.) 1989 г. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ Круговые диаграммы удобно использовать в тех случаях, когда нужно представить соотношение между частями целого. Часто данные на круговых диаграммах выражают в процентах. 100% из Пример 2. На круговой диаграмме показаны результаты выборов мэра города из двух кандидатов — А и Б (рис. 1.5). Круг изображает всех жителей города, внесённых в списки для голосования, т. е бирателей. Их голоса распределились следующим образом. За кандидата А проголосовали 52 % избирателей, поэтому на диаграмме эта часть составляет чуть больше половины круга. За кандидата Б проголосовали 12 % избирателей, соответствующая часть диаграммы составляет примерно восьмую часть круга. Не участвовал в выборах 31 % избирателей, на диаграмме им отведено около трети круга. И наконец, оставшаяся часть, 5 % избирателей, подали бюллетени, которые были признаны недействительными (они были заполнены не по форме или каким-либо образом испорчены). Эта диаграмма позволяет получить некоторую дополнительную информацию. Например, мы видим, что приняли участие в голосовании большинство избирателей (около 70%). За победителя проголосовало примерно в 4 раза больше, чем за проигравшего. Почти все избиратели, которые пришли на выборы, проголосовали за одного из двух претендентов, и только по поводу пяти процентов голосовавших можно предположительно сказать, что они не определились с выбором или же были против обоих кандидатов. Недействительные бюллетени За кандидата А За кандидата Б Не участвовали в выборах 1.5 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: © Какие виды диаграмм вы знаете? © Используя рисунок 1.3, определите: 1) сколько автомобилей каждого завода продано в январе; 2) на сколько больше автомобилей ГАЗ продано в апреле, чем в марте. © Придумайте ещё какой-нибудь вопрос по диаграмме на рисунке 1.3. © Используя рисунок 1.5, определите: 1) за кого из кандидатов отдано больше голосов; 2) сколько процентов избирателей не проголосовало ни за одного кандидата. ГЛАВА 1 fc ДРОБИ И ПРОЦЕНТЫ УПРАЖНЕНИЯ ЧТЕНИЕ ДИАГРАММ Бригада дорожных строителей проложила асфальтовую дорогу длиной 9 км за четыре месяца. На диаграмме (рис. 1.6) показан объём выполненной работы по месяцам. а) В какие месяцы было выполнено менее 25% всей работы? более 30% всей работы? б) Сколько процентов всей дороги было построено за два первых месяца? за два последних месяца? в) Сколько километров дороги было построено за март и апрель? за май и июнь? Июнь 10 20 30 40 Объём выполненной работы, % 1.6 Спорт Чтение Прогулка Телевизор 1.7 На диаграмме (рис. 1.7) показано, как распределились ответы учащихся на вопрос: «Какой вид досуга вы предпочитаете: чтение, просмотр телепередач, занятия спортом, прогулку на свежем воздухе?» Каждый должен был выбрать только одно из этих занятий. а) Какой вид досуга наиболее популярен среди учащихся? наименее популярен? б) Сколько процентов учащихся предпочитает активный отдых? в) Сколько человек предпочло чтение, если всего было опрошено 250 учащихся? На диаграмме (рис. 1.8) представлены данные о продукции международной фирмы, производящей тёплую одежду из овечьей шерсти. Для каждого вида одежды приведён процент от общего числа выпускаемых изделий. Определите: а) Какого вида одежды производится больше всего? меньше всего? б) Сколько процентов продукции приходится на верхнюю одежду? в) Сколько процентов всех изделий может предназначаться мужчинам? женщинам? г) Сколько всего единиц продукции было выпущено за месяц, если жакетов было выпущено 3000 штук? Женские куртки Жакеты Мужские куртки Спортивные шапки Свитеры 1.8 73 Сл СТОЛБЧАТЫЕ И КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ В городе Южный в 55 % всех школ изучают английский язык, в 30 % — немецкий язык, а в остальных школах изучают другие иностранные языки. На какой из диаграмм (рис. 1.9) представлены эти данные? 1.9 Объект поломки Месяц октябрь ноябрь декабрь Двигатель 9 9 18 Подвеска 25 26 15 Кузов 24 50 35 Тормозная система 12 15 22 а) Постройте по данным таблицы столбчатую диаграмму, взяв за образец диаграмму на рисунке 1.3. На вертикальной оси возьмите две клеточки для обозначения 10 неисправностей. б) Изобразите схематично на круговой диаграмме данные о неисправностях автомобилей за ноябрь. -4- -н ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ Рассмотрите диаграмму на рисунке 1.4. Ответьте на вопросы: 1) Кого в нашей стране больше — мужчин или женщин? Менялось ли это соотношение с годами? В какие годы на 1000 мужчин приходилось больше всего женщин, а в какие годы — меньше всего? Запишите свои выводы. _| L I 1 2) Какие ещё выводы вы можете сделать по этой диаграмме? | ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ На диаграмме (рис. 1.10) показано, как распределились мнения учащихся о прочитанной книге. Изобразите схематично эти данные на круговой диаграмме. — не понравилась Ц — не очень понравилась □ — понравилась И — очень понравилась 1.10 На станции техобслуживания при выполнении ремонта автомобилей ведут учёт неиспргшностей. Данные об устранённых неисправностях свели в таблицу. -r ПОДВЕДЕМ ИТОГИ Сформулируйте основное свойство дроби. Опираясь на это свойство. 1Q приведите дробь § к знаменателю 24; сократите дробь о 112 © Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей; умножения дробей; деления дробей. Проиллюстрируйте эти правила на примерах вычисления значений выражений: л 7 5 , 12 12’ 9 6’ , 5 14 7 * 15’ ^ 10 5 ^^21 * 6* © (4) 3 5 Вычислите произведение 24 • - и частное - : 30. 8 6 Определите порядок действий и найдите значение выражения 7 ^ /"5 3 2 - 10 14 Найдите разными способами значение выражения © Расскажите, как найти дробь от числа; число по его дроби. Решите задачу: «На теплоходе 120 мест. Во время поездки пассажирами было занято - всех мест. Сколько свободных мест оказалось на теплоходе?» э © Как узнать, какую часть одно число составляет от другого? Ответьте на вопрос задачи: «В учебнике 160 страниц. Какую часть учебника составляет глава, в которой 24 страницы?» © Что такое процент? Выразите дробью 17%, 80 %. Выразите в процен- 7 35 тах стоимости товара; половина стоимости товара? 7 33 тах стоимости товара; y^ стоимости товара. Что больше: 46% или © Решите задачу. а) Из 200 участников конкурса 17% — дети. Каков процент взрослых в этом конкурсе? Сколько детей и сколько взрослых участвует в конкурсе? б) Во время распродажи цену ботинок снизили на 30 %. Сколько стали стоить ботинки, цена которых до распродажи была 1200 р.? Какие виды диаграмм вы знаете? Пользуясь диаграммой на рисунке 1.3, определите, машин каких заводов — ВАЗ или ГАЗ — было продано больше в апреле и на сколько. VVi i i глава ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНаВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ РАССТОЯНИЕ □ ИНТЕРЕСНО Так уароен наш мир, что если над гладью водоёма выронить из рук камень, то он упадёт по прямой, перпендикулярной поверхности водоёма. Точно так же падают и струи водопада, устремляясь с обрыва вертикально вниз. Связано это с притяжением Земли. Это свойство природы знали ещё древние строители. Чтобы возведённые на равнине стены крепостей и храмов стояли устойчиво, все вертикальные конструкции должны быть перпендикулярны плоскости земли. Моделью прямой, перпендикулярной поверхноаи земли, служит отвес — грузик, закреплённый на конце верёвки. Пользуются этим нехитрым приспособлением и сейчас. вы УЗНАЕТЕ О Какие углы называют вертикальными ® Как можно начертить перпендикулярные прямые д О важной роли перпендикулярности в окружающем мире Слово «перпендикулярный» произошло от латинского слова perpendicularis, что означает «отвесный». Если на ровной горизонтальной поверхноаи провести прямую, то перпендикулярную ей вертикальную прямую задаа отвес. Так возводили стены зданий ещё древние строители. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Вы уже много знаете о прямой. Например, вам известно, что прямая бесконечна, что через две точки можно провести только одну прямую. Теперь мы рассмотрим взаимное расположение двух прямых. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ На рисунке 2,1 изображены две пересекающиеся прямые. Они делят плоскость на четыре угла. У этих углов общая вершина — точка пересечения прямых. Посмотрите на углы 1 и 3. Для таких углов есть специальное название — их называют вертикальными. Углы 2 и 4 тоже вертикальные. Таким образом, при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Мы видим, что каждый из углов 1 и 3 дополняет один и тот же угол 2 (или угол 4) до развёрнутого. Значит, /-1 = Z3. Точно так же Z.2 = Z.4. Если одну пару вертикальных углов составляют ост- ГГ ВертикЕшьные углы равны. рые углы, то другую — тупые. Пусть, например, каждый из острых углов равен 30°, тогда каждый из тупых углов равен 180° - 30° = 150°. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Может оказаться так, что все четыре угла, образовавшиеся при пересечении двух прямых, равны между собой. Тогда каждый из них равен 90° (рис. 2,2). Это особый случай взаимного расположения прямых, в этом случае прямые называют перпендикулярными. Для обозначения перпендикулярности используют знак _L, а фразу «прямая а перпендикулярна прямой Ъ» записывают так: а Lb, Перпендикулярные прямые можно построить и с помощью угольника, и с помощью транспортира (рис. 2.3). И совсем просто начертить их на клетчатой бумаге. 10 0 10 30 50 70 90 100 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Возможно, вы слышали о Пизанской башне (Италия): она стоит наклонно к поверхности земли, и именно поэтому существует угроза её падения. Спортсмен, прыгающий с вышки, старается войти в воду вертикально, чтобы не было брызг: это оценивается судьями. Космическая ракета должна располагаться на стартовой площадке вертикально для обеспечения максимальных энергетических возможностей: чтобы вывести на орбиту как можно большую полезную массу. Возьмите карандаш и поставьте его сначала наклонно, а затем вертикально. Наклонных положений может быть сколько угодно, а вертикальное — только одно. Это особый случай. Представьте себе, что карандаш — это модель прямой, а стол — модель плоскости, в таких случаях в математике говорят, что прямая перпендикулярна плоскости. А вот две соседние стены комнаты — это модель двух перпендикулярных плоскостей. Проверить, насколько качественно строители выполнили свою работу, можно с помощью угольника. 1 1 b 1 ! i I I i I I 1 ■ j Г ! ’ ! I i ^ 1 , 1 i a ' r i i I 1 . 1 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен; а) 20°; б) 105°. Найдите остальные углы. в В каком случае две прямые называют перпендикулярными? О Найдите в окружающей вас обстановке: а) перпендикулярные прямые; б) прямые, перпендикулярные плоскости. ©Сделайте отвес и проверьте с его помощью перпендикулярность полу входной двери, стенок шкафа. JT 77 1 □ ^8 уптикнЕния УГЛЫ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПРЯМЫХ На рисунке 2.4 изображены две пересекающиеся прямые а и Ь и задана величина одного из углов. Найдите величины остальных углов. Найдите на рисунке 2.5 все пары перпендикулярных прямых. Запишите ответ, используя знак _L. а) Прямые АВ, CZ), КМ пересекаются в точке О (рис. 2.6), причём /LAOM = 47° и ZAOC = 32°. Найдите /.СОК, АКОВ, ABOD, ADOM. б) Через точку О проведены три прямые (рис. 2.7), /ЛОС = 130°, /ЛОВ = 91°. Найдите углы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4. 2.6 ЧЕРТИМ ПРЯМЫЕ Используя транспортир, постройте прямые, угол между которыми равен: а) 25°; б) 70°; в) 90°. Начертите на глаз на нелинованной бумаге прямые, пересекающиеся под углом: а) 90°; б) 45°; в) 60°. Проверьте себя, выполнив измерения. I F 81 I I 82 ...л ^ 84 85 Ha нелинованной бумаге проведите прямую. Обозначьте её буквой k. Отметьте одну точку, лежащую на этой прямой, и одну точку, не лежащую на этой прямой. С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую, перпендикулярную прямой k. На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку С, лежащую на прямой k, и точку D, не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую, перпендикулярную прямой k: а) проходящую через точку С; б) проходящую через точку D. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ Одна сторона углов 1 и 2 на рисунке 2.8 общая, а две другие стороны составляют прямую линию. Такие углы называют смежными. Смежные углы образуют развёрнутый угол, т. е. их сумма равна 180°. а) Один из двух смежных углов равен 40°. Чему равен другой угол? б) Могут ли смежные углы быть равными? Если да, то сделайте соответствующий рисунок. в) Назовите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 2.1. г) По рисунку 2.6 назовите угол, смежный с углом АОС. Сколько таких углов? Назовите углы, смежные с углом СОК\ АОМ; KOD. а) Сколько пар смежных углов образуется при пересечении двух прямых? б) Сумма трёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 240°. Найдите величину каждого угла. ■ * ........ ■ . ■ ■ - — ■)- _ --- ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ Рассмотрите рисунок: углы БОС и СОА — смежные, луч ОМ — бис-L сектриса угла СОВ, луч ON — биссектриса угла АОС. 1) Пусть ZAOC = 40°. Чему равен угол между биссектрисами? ^ 2) Решите эту же задачу при условии, что угол АОС равен 60°; 82°. 3) Какое можно выдвинуть предположение, решивэти задачи? Попробуйте обосновать свой вывод. \ вы УЗНАЕТЕ во том, какие прямые называют параллельными в Как можно начертить параллельные прямые во том, что в пространстве есть ещё один случай взаимного расположения прямых -прямые могут быть скрещивающимися 2.9 Название «параллельные» происходит от греческого слова parallelos, означающего «рядом идущие». Для обозначения параллель-ности двух прямых древнегре-ЯВ| ческие математики использова-S|L ли знак =. Однако, когда в XVIII в. этот знак аали исполь-9№ зовать как знак равенства, па-раллельность стали обозначать с помощью знака ||. иаШша ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ На рисунке 2.9 изображены две прямые. Понятно, что эти прямые где-то пересекутся, правда, это будет уже за страницей учебника. Но оказывается, на плоскости существуют и такие прямые, которые никогда не пересекутся. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ Если прямые, лежащие в одной плоскости, не пересекаются, то их называют параллельными. Прямые а и by изображённые на рисунке 2.10, параллельны, записывают это так: а || Ь. На рисунке 2.11 изображены параллельные прямые и проведена прямая, их пересекающая. Эта прямая пересекает каждую из параллельных прямых под одним и тем же углом: zll = Z2 = Z3. Это очень важное свойство, характеризующее параллельные прямые. На этом свойстве, в частности, основан способ их построения с помощью угольника и линейки. Пусть дана некоторая прямая т (рис. (7)) и требуется начертить прямую, ей параллельную. Для этого: 1) расположите вдоль прямой т одну сторону угольника (рис. (^); 2) зафиксируйте линейку вдоль другой стороны угольника (рис. (^); 3) передвиньте угольник вдоль линейки и проведите прямую (рис. (^)- Построенная прямая параллельна данной прямой. СНОВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ На рисунке 2.12 построены прямые а и Ь, перпендикулярные одной и той же прямой т. Прямые а и Ь параллельны. I Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве возможен ещё один случай взаимного расположения двух прямых. Посмотрите на куб, изображённый на рисунке 2.13. Рёбра АВ и LM не параллельны, хотя прямые, которым они принадлежат, не пересекаются. Такие прямые называют скрещивающимися. Обратите внимание: скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях. М г'Т' . 1 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О На рисунке 2.13 изображён куб. Назовите рёбра: а) параллельные ребру АВ\ ребру DN\ б) перпендикулярные рёбрам АВ и CD; LM и ВС • Являются ли скрещивающимися прямые AD и MN7 прямые BL и DN (рис. 2.13)1 • Возьмите модель пирамиды. Какие рёбра пирамиды лежат на скрещивающихся прямых? • Приведите примеры параллельных и скрещивающихся прямых, которые встречаются в комнате, на улице. 1МВШ 89 90 92 УПРАЖНЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Найдите на рисунке 2.14 четыре пары параллельных прямых. Выпишите эти пары, используя знак ||. Назовите пары прямых, которые пересекают прямую а под одним и тем же углом. Определите на глаз, параллельны ли прямые а и Ь (рис. 2.15), и проверьте себя с помощью инструментов. 2.14 2 8оД , /ч70° \ 3\ с 2.17 Прямые тип параллельны (рис. 2.16), Z.1 = 38°. Найдите величины остальных углов, обозначенных цифрами. Прямые а, Ь и с параллельны (рис. 2.17). Известны величины двух углов. Найдите величины углов 1, 2 и 3. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ 1) Изобразите все случаи взаимного расположения трёх прямых на плоскости (всего их 4). Чему равно наибольшее число точек пересечения? 2) На плоскости проведены четыре прямые. Какое наибольшее число точек пересечения могло получиться? СТРОИМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ а) Проведите какую-нибудь прямую и обозначьте её буквой Ь. С помощью линейки и угольника постройте несколько прямых, параллельных прямой Ь. б) Проведите прямую а и отметьте точку К, не лежащую на этой прямой. Через точку К проведите прямую, параллельную прямой а. Возьмите лист нелинованной бумаги и проведите на нём прямую. Перегибая лист, постройте прямую, ей параллельную. Подсказка. Воспользуйтесь тем, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 1| 1 94 95 ! 1 - На рисунке 2.18 показан способ построения прямой, параллельной данной, с помощью одного угольника. На каком свойстве параллельных прямых основан этот способ? Начертите какую-нибудь прямую и постройте с помощью угольника прямую, ей параллельную. 2 18 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ Какие стороны многоугольника параллельны (рис. 2.19)1 Воспользуйтесь угольником и линейкой. Какие отрезки вы бы назвали параллельными? А. Отрезки, которые не пересекаются. Б. Отрезки, которые лежат на параллельных прямых. Обоснуйте свой ответ. Сделайте рисунок. Постройте четырёхугольник ABCD, у которого: а) ABIICD и CB\\AD\ б) АВ^С2) и CB^AD; в) АВ II СВ, AB1.AD и ВС^АВ. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Назовите рёбра многогранника, принадлежащие скрещивающимся прямым (рис. 2.20). © В ©1 7^ 1 С 1 1 1 кХ ✓ м N D 2.20 На рёбрах куба взяты точки О и Р (рис. 2.21). Пересекает ли прямая ОР следующие прямые: AD, DN, KN, ВМ, МК, LN, АВ? Указание. Если необходимо, воспользуйтесь моделью куба. вы УЗНАЕТЕ О Как найти расстояние: - между двумя точками; - от точки до прямой; - между двумя параллельными прямыми; - от точки до плоскоаи В древних системах мер единицей измерения расстояний был аадий (греч. Zt(x6iov). Появился он в Вавилоне, а название получил в Греции. Стадий представлял собой расстояние, проходимое человеком спокойным шагом за время восхода солнца (от момента появления над горизонтом краешка солнечного диска до полного его появления), т. е. в течение 2 мин. Встречаются различные значения стадия: вавилонский — 194 м, греческий - 178 м, олимпийский — 192 м и др. РАССТОЯНИЕ Вам, конечно, не раз приходилось слыптать и употреблять слово «расстояние». Что же такое расстояние? Самый простой случай — это расстояние между двумя точками. В геометрии говорят о расстоянии и в других, более сложных случаях, например: расстояние от точки до некоторой фигуры (прямой, окружности и др.), расстояние между двумя параллельными прямыми. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ Возьмём две точки А и Б. Существует бесконечно много линий на плоскости, двигаясь по которым можно из точки А попасть в точку В. Несколько таких линий изображено на рисунке 2.22. Самый короткий путь из точки А в точку в — отрезок АВ. Его длина и есть расстояние между точками А и В. 2.22Щ __ Расстояние — это всегда длина кратчайшего пути. На плане, изображённом на рисунке 2.23, вы видите дом лесника. Как проложить кратчайший путь от дома лесника до озера? Будем проводить окружности с центром в точке А, увеличивая их радиусы, пока одна из них «не достигнет» озера. В результате найдём точку озера, ближайшую к дому лесника. На плане это точка М. Длина отрезка AM и есть расстояние от дома лесника до озера. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ФИГУРЫ 2.23: Пусть теперь нужно найти расстояние от дома до шоссе. (Шоссе проходит здесь строго по прямой.) 8 ■ РА( / - . Изобразите дом лесника и шоссе схематически точкой А и прямой I (рис. (7)). Чтобы определить рассто- яние от точки А до прямой Z, нужно найти ближайшую к А точку этой прямой. Для этого проведите через точку А прямую, перпендикулярную прямой Z, и обозначьте точку их пересечения буквой К (рис. @). Хорошо видно, что отрезок АК короче любого другого отрезка, соединяюгцего точку А с точкой прямой Z (рис. (^). Значит, К и есть ближайшая к А точка этой прямой. 1 Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, проведённому из этой точки к прямой. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ На рисунке 2.24 проведены две параллельные прямые а и 6 и прямая с — их обш;ий перпендикуляр. Длина отрезка MN будет одной и той же, в каком бы месте ни был проведён перпендикуляр с. Длину этого отрезка и называют расстоянием между параллельными прямыми. Рельсы на прямолинейном участке железнодорожного пути должны быть параллельными: они не могут сближаться или удаляться. Поэтому их крепят к шпалам на одном и том же расстоянии друг от друга. Это расстояние называют шириной колеи. Г с м а г N Ь 2.24 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ ти расстояние от точки до измеряют по перпендикуляру. Посмотрите на куб, изображённый на рисунке 2.25: ребро АВ перпендикулярно грани AKND, расстояние от точки В до плоскости AKND равно длине ребра АВ; ребро ВС перпендикулярно грани CMND, расстояние от точки В до грани CMND равно длине ребра ВС. ______Если надо най- плоскости, его тоже М В /! 7 А-— У N А D 2.25 © л| Г~ Z К / 3 1 у Z / к ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: д Отметьте точку О и постройте пять точек, находящихся от неё на расстоянии 3 см. а) Что представляет собой множество всех точек плоскости, удалённых от точки О на 3 см? б) Покажите штриховкой множество всех точек, расположенных от точки О на рас-аоянии, большем 2 см и меньшем 3 см. О Как измеряется расстояние от точки до прямой? т 99 1 i J Q 00 УПРАЖНЕНИЯ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ Отметьте отрезок АВ длиной 5 см. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке В радиусом 4 см. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой К. Верно ли утверждение: «Точка К находится на расстоянии 3 см от точки А и на расстоянии 4 см от точки В»? Объясните почему. Постройте четыре точки А, By С и D по следующему условию: АВ = 8 см, АС = 4 см, СВ = 8 см, AD = 6 см, DB = 4 см, точки С п D лежат по разные стороны от прямой АВ. Измерьте расстояние между точками С п D. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ Проведите в тетради прямую, не совпадающую с линиями сетки. Отметьте две точки, взяв их по разные стороны от прямой. Найдите расстояние от каждой из этих точек до прямой. Введите необходимые обозначения и запишите ответ. © Найдите расстояние от точки А до прямой а и до прямой Ь (рис. 2.26). Начертите какую-нибудь окружность и прямую, её не пересекающую. Найдите расстояние от центра окружности до прямой. Отметьте на окружности точку, ближайшую к данной прямой. Начертите какую-нибудь прямую АВ. Постройте несколько точек, находящихся от прямой АВ на расстоянии 2 см. Где расположены все такие точки? РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ На рисунке 2.27 изображены три параллельные прямые. Найдите расстояние между каждой парой этих прямых. 2.27 106 107 108 а) Начертите с помощью линейки и угольника две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. б) Начертите четыре параллельные прямые, увеличивая расстояние между двумя соседними прямыми на 5 мм. По одну сторону от прямой I расположены точки А, В, С и D. Расстояния от этих точек до прямой соответственно равны 4 см 3 мм, 4 см 1 мм, 3 см 9 мм и 4 см 6 мм. Через точку А проведена прямая, параллельная I. Какие из отрезков ВС, CD и DB эта прямая пересекает, а какие нет? Расстояние между параллельными прямыми тип равно 5 см. Точка А находится на расстоянии 3 см от прямой т. Определите расстояние от точки А до прямой п. Сколько случаев надо рассмотреть? 109 РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ На рисунке 2.28 изображён параллелепипед. Найдите расстояние: а) от вершины В до передней грани параллелепипеда; до его нижней грани; б) от вершины А до задней грани; до левой боковой грани; в) от точки С до передней грани; до нижней грани. а) Что больше: диагональ прямоугольника или его сторона? б) Какой из отрезков самый длинный: ребро куба ВС, диагональ грани АВ или диагональ куба АС (рис. 2.29)? Какой из этих отрезков самый короткий? На рисунке 2.30 изображена пирамида, в основании которой квадрат. Длине какого отрезка равно расстояние: а) от вершины К до основания ABCD; б) между рёбрами AD и ВС, АВ и CD; в) от вершины К до диагонали основания АС? Неверно! Опровергните утверждение, сделав рисунок: «Расстояние от точки до треугольника равно расстоянию от этой точки до ближайшей вершины треугольника». HA ПЛОСКОСТИ и в ПРОСТРАНСТВЕ ПОДВЕДЕМ ИТОГИ а) Каким свойством обладают вертикальные углы? б) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 40°. Найдите остальные углы. Постройте прямые, пересекаюш;иеся под углом 60°. Прямые а, Ь и с параллельны, zll = 45°. Найдите углы 2 и 3. 4J Постройте две перпендикулярные прямые. Закончите предложение. а) Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они ... . б) Если две прямые, лежаш;ие в одной плоскости, перпендикулярны одной и той же прямой, то они ... . 6 Начертите прямую k и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Проведите с помощью линейки и угольника через точку А прямую, перпендикулярную прямой k, и прямую, параллельную прямой k. 0 Начертите прямую I и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Найдите расстояние от точки А до прямой I. Расскажите, как найти расстояние между двумя параллельными прямыми. Начертите две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см. ij \1 \ f I , ГЛЗВ€1 ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ КАКИЕ ДРОБИ НАЗЫВАЮТ ДЕСЯТИЧНЫМИ ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ИНТЕРЕСНО Нашим предкам нелегко давались дроби. В Средние века во многих европейских учебниках математики раздел о дробях помещался в самом конце. Английский просветитель Джон Керси (XVIII в.) объяснял это тем, что «доступ к крутым путям дробей» приводит некоторых учащихся в такое уныние, что они останавливаются и восклицают: «Non plus ultra!» Нетрудно догадаться, что в переводе с латыни это означает «Ничего более сверх!», т. е. «Дальше мы не пойдём!». А у немцев в старину была поговорка «1п die Bruche kommen», что в дословном переводе звучит как «Прийти в дроби», а означало это попааь в трудное положение. ■ifrfUr 44 вы УЗНАЕТЕ • Что десятичная система записи натуральных чисел распространяется и на запись дробей • Какие разряды используются для десятичной записи дробных чисел Впервые учение о десятичных дробях в XV в. изложил среднеазиатский учёный аль-Каши в книге «Ключ арифметики». В Европе десятичные дроби в XVI в. заново открыл нидерландский учёный и инженер Симон Стевин, описавший их теорию в книге «Десятая». .J til Е N D Е S.MOH ST.v.H beetegi Bfftbttvf* Br»igbt. Tot о t N> ' .. 4“""' КАКИЕ ДРОБИ НАЗЫВАЮТ ДЕСЯТИЧНЫМИ С развитием математики дроби стали использоваться не только для решения простейших практических задач, но и для более сложных расчётов. Однако правила действий с дробями, как вы могли уже убедиться сами, достаточно сложны. И математики придумали способ, позволяющ;ий упростить вычисления: для дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д., которые имели большое практическое значение, они стали применять так называемую десятичную запись, похожую на запись натуральных чисел. Выполнять действия с дробями, записанными в таком виде, почти так же легко, как и с натуральными числами. ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ ДРОБЕЙ Если знаменатель дроби — единица с нулями, то для неё применяют не «двухэтажную» запись, а запись в строчку, без явного указания знаменателя. Например: 3 вместо — пишут 0,3 и читают «0 целых 3 десятых»; 27 вместо 4^^ пишут 4,27 и читают «4 целых 27 сотых»; 125 вместо Ю^ООО 10,125 и читают «10 целых 125 ты- сячных». Такие записи называют десятичными дробями. А дроби, записанные с помощью дробной черты, называют обыкновенными дробями. В десятичной дроби после запятой столько цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби. Например: 2^0 = 2-3 1 нуль 1 цифра ^ 374 1000 2Ш = 2.37 . ii 2 нуля 2 цифры = 2,374 3 нуля 3 цифры iffiK 9 ■ КАКИЕ ДРОБИ НАЗЫВАЮТ ДЕСЯТИЧНЫМИ Способ записи десятичных дробей является естественным обобщением десятичной системы счисления, принятой для записи натуральных чисел. В записи натурального числа значение цифры определяется тем, в каком разряде она находится. Единицы двух соседних разрядов различаются в 10 раз. Цифра 0 говорит об отсутствии единиц соответствующего разряда. Например, в числе 2408 содержится 2 тысячи, 4 сотни, 0 десятков и 8 единиц: 2408 = 2 • 1000 -Ь 4 • 100 4- о ♦ 10 -Ь 8. Для записи десятичных дробей используют новые разряды, в которых указывают доли единицы. В первом разряде после запятой указывают число десятых долей; его так и называют — разряд десятых. Во втором указывают число сотых долей — это разряд сотых. Третьим идёт разряд тысячных и т. д. (рис. 3.1). единицы ^ Знаки, стоящие в десятичной дроби после запятой, называют десятичными знаками. Что, например, означает запись прочитать? В числе 7,35 содержится 7 единиц, 3 десятых и 5 сотых. Представив это число в виде суммы разрядных слагаемых, получим ’ 10 100 ^ 100 ^ 100 100 ^100’ Таким образом, 7,35 — это десятичное представление 35 смешанной дроби 7^^. Читается десятичная дробь 7,35 35 так же, как и число 7^^: «7 целых 35 сотых». Г 3.1 Десятичную дробь читают следующим образом: • сначала читают её часть, стоящую до запятой, и добавляют слово «целых»; • затем читгнот часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего разряда. Например, в десятичной дроби 0,0105 последний разряд — это десятитысячные. Поэтому читается она так: «0 целых 105 десятитысячных». Прошли века, прежде чем десятичные дроби приобрели современный вид. Симон Сте-вин дробь 35,912 записывал так: 35©9ф1®20. Теперь для отделения целой части от дробной мы ставим запятую. А в некоторых аранах, например в Англии и США, вместо запятой ставят точку. Вы могли увидеть точку в записи десятичной дроби, пользуясь калькулятором или компьютером. ПЕРЕХОД ОТ одной ФОРМЫ ЗАПИСИ ДРОБИ К ДРУГОЙ Чтобы перейти от десятичной дроби к соответствующей обыкновенной, достаточно её прочитать и записать знаменатель дробной части в явном виде. Например, десятичная дробь 3,047 читается «3 целых 47 тысячных». Записав дробную часть со знаменателем, получим число 47 1000 . Таким образом. 3,047 = 3 47 1000’ А как перейти от обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д. к десятичной? Как, например, 187 записать в виде десятичной дроби число qqq^ В знаменателе этой дроби 5 нулей, поэтому в десятичной дроби должно быть 5 цифр после запятой. Но в чис-187 лителе дроби ^qq qqq только 3 цифры. Уравняем число цифр в числителе и число нулей в знаменателе, приписав к числителю слева вспомогательные нули, получим 187 00187 100 000 100 000 = 0,00187. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ТОЧКАМИ КООРДИ- НАТНОЙ прямой Десятичные дроби, так же как и обыкновенные дроби, изображают точками на координатной прямой. Построим точки, соответствующие числам: а) 0,3; б) 0,36; в) 0,364. Начертим координатную прямую и выберем такой единичный отрезок, который удобно делить на 10 равных частей. а) Чтобы построить точку, соответствующую числу 0,3, разделим отрезок между точками 0 и 1 на 10 равных частей и отсчитаем от точки 0 три такие части (рис. 3.2, а). б) Чтобы построить точку, соответствующую десятичной дроби 0,36, разделим на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка, которая заключена между точками 0,3 и 0,4. Получим сотые доли единичного отрезка. Отсчитав от точки 0,3 шесть сотых долей, отметим точку с координатой 0,36 (рис. 3.2, б). в) Чтобы построить точку, соответствующую десятичной дроби 0,364, разделим на 10 равных частей сотую часть единичного отрезка, которая заключена между точками 0,36 и 0,37. Затем отсчитаем от точки 0,36 четыре тысячные доли единичного отрезка (рис. 3.2, в). 5^* ■ КАКИЕ ДРОБИ НАЗЫВАЮТ ДЕСЯТИЧНЫМИ Н-------1------1------1------н 0 0,3 0,3 0,36 0,4 0,36 0,364 0,37 3.2 ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР Де- сятичные дроби появились в математике гораздо раньше, чем современные единицы измерения — метры и граммы. Удобство обраш;ения с десятичными дробями привело к тому, что математическое изобретение — десятичные дроби — повлияло на всю деятельность людей, связанную с измерениями: люди перешли на единую систему измерения величин — так называемую метрическую систему мер. В метрической системе мер одна единица отличается от другой в 10, 100, 1000 и т. д. раз. Именно так обстоит дело с единицами длины и массы. Вам известны соотношения, с помогцью которых одни единицы длины выражаются через другие, более мелкие. Например: 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м. Используя десятичные дроби, можно записать другие соотношения, связываюпдие эти же единицы длины: 1 мм = 0,1 см, 1 см = 0,01 м, 1 м = 0,001 км. Такие же равенства можно записать и с единицами измерения массы — тоннами, килограммами, граммами: 1 мг = 0,001 г, 1 г = 0,001 кг, 1 кг = 0,001 т. Десятичные соотношения между различ-f \v ными метрическими единицами отраже-ны в их названиях. Так, известные приставки деци, санти, милли произошли от латинских слов decimUf centesima, millesima (одна десятая, одна сотая, одна тысячная). в сиаеме измерения времени и углов сохранились древние традиции; например, час делится на 60 минут, минута - на 60 секунд. Интересно отметить, что в современном спорте, где секунда оказалась слишком большой единицей для измерения результатов, используется смешанная система измерения времени. Секунду делят не на 60 равных частей, а на десятые, сотые и тысячные. Так, результат саночника 1.02,343 означает, что он прошёл трассу за 1 минуту 2 и 343 тысячных секунды. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Какие разряды содержатся в десятичной дроби 12,0345? Прочитайте её. д Сколько цифр после запятой должно содержаться в десятичной дроби, если знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби равен 1000? Приведите пример. О Выразите в метрах 5 дм 4 см. УПРАЖНЕНИЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ ДРОБЕЙ 112 Рассмотрите десятичную дробь 687,02569. 1) Какие разряды содержатся в этой записи? Назовите старший и младший разряды. 2) Какая цифра записана в разряде десятых? в разряде десятков? в разряде тысячных? 3) В каком разряде записана цифра 8? цифра 2? 4) В каких разрядах содержится одинаковое число единиц? 113 Прочитайте десятичные дроби: а) 1,4; 2,8; 0,1; в) 0,125; 4,308; б) 6,22; 0,14; 9,71; г) 6,147; 1,218; д) 7,04; 0,025; е) 10,001; 0,0208. 114 Запишите десятичную дробь: а) нуль целых одна десятая; б) нуль целых сорок семь сотых. 115 а) В числе 54038 отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную дробь. Последовательно сдвигайте эту запятую на одну цифру влево и каждый раз читайте десятичную дробь. б) В числе 6,012345 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо. Читайте каждую получившуюся десятичную дробь. 116 Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби: а) 0,9; б) 0,123; в) 0,03; г) 0,027; д) 10,1; е) 12,10002; ж) 6,009. 117 118 119 Запишите в виде десятичной дроби и прочитайте её: 1 _L. 1 /л ’ 1 f\f\ ’ 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’ б) 11 27 139 907 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’ 100 ООО ' Запишите в виде десятичных дробей следуюш;ие обыкновенные дроби: 173 173 173 173 173 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’ 100 ООО ‘ Запишите в виде десятичной дроби и прочитайте её: ч oil 1 о 8 . 100 ’ ^ 100 ’ ^ 1000 ’ ® 1000 ’ ^ ^ 1002 10 ’ 10 ’ 100 ’ 1000* Запишите все десятичные дроби, которые можно составить из цифр 1, 2 и 3, соблюдая следуюпдее условие: каждая цифра используется в записи числа не более одного раза (это означает, что цифру можно вообш;е не использовать или использовать только один раз). Сколько десятичных дробей у вас получилось? 5,402''3 12 2 1-!^ !3 124 12 6 [7 9 ■ КАКИЕ ДРОБИ НАЗЫВАЮТ ДЕСЯТИЧНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ТОЧКАМИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ Какие числа отмечены точками на координатной прямой (рис. 3.3)? 0 © © © ^ ■) f-» i ) у 0 -t—1-^ 1 t I 1 1 ! ) Ф 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 t I ) I ) 3 t t ) t 11 I t 4 H 6 7 1 . 1 1 1 M . 1 1 1 9 10 0 ' ' o!i' ' ' ,11.1 l^l^l 1 1 1 0,3 0,4 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 3.3 Начертите координатную прямую, взяв за единичный отрезок 10 клеток. Отметьте точку, соответствующую числу: а) 0,1; б) 0,5; в) 0,7; г) 1,2; д) 1,4; е) 1,8. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 8 клеток. Отметьте на этой прямой число: а) 0,5; б) 0,75; в) 1,5; г) 1,25; д) 0,125. ПЕРЕХОД ОТ ОДНИХ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ К ДРУГИМ Какую часть составляет: а) 1 см от 1 м; 1 м от 1 км; 1 мм от 1 см; 1 дм от 1 м; б) 1 г от 1 кг; 1 кг от 1 т; 1 кг от 1 ц; 1 мг от 1 г? а) Выразите в метрах: 3 дм; 8 дм; 2 см; 5 см; 4 мм; 7 мм. б) Выразите в дециметрах: 6 см; 3 см; 9 мм; 4 мм. в) Выразите в километрах: 123 м; 450 м; 600 м; 75 м; 10 м. Образец. Выразим 7 дм в метрах: 1 7 1 дм = — м, а 7 дм = — м = 0,7 м. а) Выразите в сантиметрах и миллиметрах: 5,3 см; 54,8 см; 4,6 см. б) Выразите в килограммах и граммах: 2,325 кг; 4,25 кг; 3,5 кг. В 3 м 8 дм 1 см содержится 3 целых 8 десятых и 1 сотая метра, т. е. 3 м 8 дм 1 см = 3,81 м. Рассуждая таким же образом, выразите: а) в метрах: 4 м 7 дм 5 см; 12 м 2 дм 1 см; 3 дм 6 см 9 мм; 1 м 8 см; б) в дециметр£1х: 8 дм 2 см 3 мм; 7 м 2 дм 6 мм; 2 м 7 см; 1 м 3 дм 4 см 6 мм. 9ieeep«o/ Какие из приведённых равенств неверны? Исправьте их. 1 кг 70 г = 1,7 кг, 2 т 340 кг = 2,034 т, 850 г = 0,85 кг. ГЛАВА 3 ■ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДР©Б|^^ ВЫ УЗНАЕТЕ О в каком случае данная обыкновенная дробь обращается в десятичную I 5 i . а;: rt ПЕРЕВОД обыкновенной ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ /1есятичные и обыкновенные дроби — это две различ- 3 100 и ные формы представления чисел. Например, 0,03 — два разных способа записи одного и того же числа. Именно это мы показываем,' записывая равенство ж = о-оз. Однако не всякое число можно записать и в виде десятичной, и в виде обыкновенной дроби. Если число выражено десятичной дробью, то его всегда можно представить и в виде обыкновенной дроби. Для этого, как вы знаете, нужно просто записать знаменатель дробной части в явном виде. Но не всегда число, выраженное обыкновенной дробью, можно записать в виде десятичной дроби. КАКУЮ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ МОЖНО ЗАПИСАТЬ В ВИДЕ десятичной, а какую нет Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно привести её к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. При разложении каждого из этих чисел на простые множители получается одинаковое число двоек и пятёрок: 10 = 2 • 5; 100 = 10 • 10 = 2 • 5 • 2 • 5; 1000 = 10 • 10 • 10 = 2 • 5 • 2 • 5 • 2 • 5 и т. д. Никаких других множителей эти разложения не содержат. 3 Возьмём дробь -. При разложении её знаменателя на 8 простые множители получается произведение 2 • 2 • 2. Если домножить его на три пятёрки, то получится один из знаменателей указанного ряда — число 1000, т. е. дробь ^ можно представить в виде десятичной. Получим 8 3 • 5 • 5 • 5 375 = 0,375. 8 2-2-2-5-5-5 1000 Проведённое рассуждение подсказывает вывод. Если знаменатель обыкновенной дроби не имеет никаких простых делителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной. 10 ■ ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ Пример. Представим дробь — в виде десятичной: 40 _ 3-5' ^ ^ (2^ • 5) • 5^ 75 1000 = 0,075. Иначе обстоит дело с дробью —. Разложив на прос- 15 тые множители знаменатель этой дроби, получим произведение 3-5, содержаы];ее число 3. На какие бы целые числа ни домножали знаменатель, множитель 3 всегда будет присутствовать, поэтому произведение только из двоек и пятёрок никогда не получится. Значит, дробь ^ нельзя привести ни к одному из зна-15 менателей 10, 100, 1000 и т. д., т. е. её нельзя представить в виде десятичной. It Если знаменатель обыкновенной дроби имеет хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5, и эта дробь несократима, то её нельзя представить в виде десятичной. В последнем утверждении речь идёт \ только о несократимых дробях. И это не случайно. Возьмём, например, дробь 21 —. Её знаменатель содержит простой множитель 3. Однако после сокращения дроби он «исчезнет», и эту дробь можно будет записать в виде десятичной: ^ ®^=0,35. 60 20 20-5 100 ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОБЫКНОВЕН- Некоторые дроби особенно часто встречаются в задачах, в практических расчётах. Это, например, такие дроби, как -, -, -, -. Их десятичные представления полезно помнить. Они приведены в следующей таблице: Обыкновенная 1 1 1 1 дробь 2 4 5 8 Десятичная дробь 0,5 0,25 0,2 0,125 Представьте самостоятельно каждую обыкновенную дробь, приведённую в таблице, в виде десятичной и запомните результаты. 10 = 2-5 100 = 22-52 1000 = 23-53 10 000 = 2^ - 5^ 50 = 52 • 2 250 = 53-2 1250 = 5^- 2 20 = 22 - 5 40 = 23 • 5 80 = 2^ - 5 160 = 25 • 5 5 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: 0 Всякую ли десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной? Поясните ответ и проиллюстрируйте его примерами. в Всякую ли обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной? Приведите примеры. 1 i 52 ГЛАВА 3 ■ ДЕСЯТИЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ВИДЕ ДЕСЯТИЧНЫХ 128 Выберите дроби, которые можно представить в виде десятичных: 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 10’ 11’ 12’ 13’ 14’ 15’ 16 ‘ 129 Приведите дроби к одному из знаменателей 10, 100 или 1000 и запишите соответствуюш,ие десятичные дроби: 1111 1 1 а) 2 ’ 4 ’ 5 ’ 20 ’ 25 ’ 50 ’ 3 2 ^ 11 4 ’ 5 ’ 20 ’ 25 ’ 50 ’ 500 2 ’ 4 ’ 20 ’ 25 ■ 130 Представьте в виде десятичной дроби: 1 . I .1 2 1 . J, 5^’ 5 • 2 22. 5’ б) 2 • 5 г) д) е) 2.5^’ 1 4» ж) з) 2^.52 1 5^ . 2^’ I 132 I 133 134 Запишите в виде десятичных дробей: 1 9 21 201 1357^, 8’ 8’ 8’ 8’ 8 ’ 7 Образец. — б) 7 . 5 200 200 • 5 1000 200’ 200’ 200’ 200’ = 0,035; = 1 4 31 129 125’ 125’ 125’ 125' 3 • 2 • 2 . 2 24 125 5 • 5 . 5 • 2 • 2 • 2 1000 = 0,024. Докажите, что: а) дробь можно представить в виде десятичной дроби; 7 б) дробь нельзя представить в виде десятичной дроби. Определите, можно ли записать данную обыкновенную дробь в виде десятичной (если да, то запишите): 450’ 160’ 750' Представьте дробь в виде десятичной: 54 ч 12 в) 300’ ч 22 . ">Ш’ ч 400’ е) 42 700' Образец. ^ ^ = 0.16. 1 135 1б 5|402*' ш' ^ 10 ■ ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В ДЕСЯТИЧНУЮ Выпишите дроби, которые можно представить в виде десятичных: _Ё_ А 11 ^ ^ 24 ’ 24 ’ 35 ’ 35 ’ 48 ’ 48 ‘ Запишите частное в виде обыкновенной дроби и, если возможно, обратите её в десятичную: а) 15 : 2; г) 9 : 6; ж) 8 : 12; к) 12 : 18; б) 23 : 5; д) 25 : 15; з) 19 : 9; л) 5 : 8; в) 37 : 25; е) 32 : 6; и) 6 : 15; м) 10 : 30. СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Обратите десятичную дробь в обыкновенную и найдите значение выражения: а) 3 -f 0,5; б) 0,6 - в) 3 ♦ 0,9; г) 0,4 : I; д) ^ • 0,16; е) ^ : 0,03. Не выполняя вычислений, для каждого выражения из первой строки подберите равное ему выражение из второй и запишите соответствуюш;ие равенства: I - 0.5; 0,5 - I - 0.2; 0,75 - i; I-0,125; 0,25-i ВЫРАЖЕНИЕ ВЕЛИЧИН ДРОБЯМИ а) Выразите десятичной дробью каждую величину: 13 2 - кг. - кг, 4 - КГ, О 5 -кг. б) Выразите обыкновенной дробью каждую величину: 0,2 кг, 0,6 кг, 0,25 кг, 0,375 кг. Выразите время в часах сначала обыкновенной дробью, а затем, если можно, десятичной: а) 30 мин; в) 24 мин; д) 10 мин; ж) 35 мин; б) 6 мин; г) 15 мин; е) 20 мин; з) 42 мин. Выразите время в часах и, если возможно, запишите ответ в виде десятичной дроби: а) 1 ч 12 мин; в) 10 ч 45 мин; д) 3 ч 50 мин; б) 2 ч 30 мин; г) 1 ч 40 мин; е) 2 ч 48 мин. вы УЗНАЕТЕ 9 Как сравнивают десятичные дроби д Как можно сравнить обыкновенную дробь и десятичную СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ IN^bi уже говорили о том, что с десятичными дробями работать легче, чем с обыкновенными. Это преимущество становится очевидным уже при рассмотрении вопроса о сравнении дробей. РАВНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Вы знаете, что представить число в виде обыкновенной дроби можно разными способами. Так же обстоит дело и при записи чисел в виде десятичных дробей. Например, две десятичные дроби 0,3 и 0,30 обозначают одно и то же число. В самом деле, заменим каждую из этих десятичных дробей обыкновенной дробью, получим По основному свойству дроби — = . Поэтому 0,3 = 0,30. Точно так же можно показать, что, например, 1,5 = 1,50 = 1,500 = 1,5000. Понятно, что нули, записанные в конце десятичной дроби, можно отбросить. Например: 7,80 = 7,8; 0,04100 = 0,041. 1 Если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей, то получится дробь, равная данной. Если в десятичной дроби последние цифры — нули, то, отбросив их, получим дробь, равную данной. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби, причём с каким угодно знаменателем. В частности, знаменателем может быть любая степень числа 10. Например: 700 7000 7= ™ = 10 100 1000 Поэтому любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби с каким угодно количеством нулей после запятой: 7 = 7,0 = 7,00 = 7,000 = ... . ПОРАЗРЯДНОЕ СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Вы знаете, что две обыкновенные дроби легко сравнить, если у них одинаковые знаменатели. Если же знаменатели дробей различны, то нужно либо приводить их к общему знаменателю, либо пользоваться специальными приёмами. i/Ш СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ А десятичные дроби, как и натуральные числа, сравнивают по разрядам. Рассмотрим примеры. Пример 1. Сравним десятичные дроби 2,7 и 3,1. Так как 2 единицы меньше, чем 3 единицы, то 2,7 < 3,1. Точка, изображаюш;ая на координатной прямой число 2,7, расположена левее (рис. 3.4). 2,7 3,1 I t I -) ) t-i- —I I I I I I I I I i I I I I I I I I t t I « t I I * I t t I I 12 3 4 3.4 Пример 2. Сравним десятичные дроби 1,8 и 1,42. Целые части этих дробей одинаковы, но различаются цифры в разряде десятых: 8 десятых больше, чем 4 десятых. Поэтому 1,8 > 1,42 (рис. 3.5). 1,42 1,8 -1 I I I I I I I & I I I Ф I I I ! I t I I I )) I I I I I I I I I t I I I I I I ^ 12 3 4 3.5 Пример 3. Сравним десятичные дроби 2,5081 и 2,508. Целые части этих дробей одинаковы; совпадают также первые три цифры после запятой. Но у дроби 2,5081 есть еш;ё и четвёртая цифра, а у дроби 2,508 соответ-ствующий разряд отсутствует, поэтому 2,5081 > 2,508. п ^ Чтобы сравнить дроби 2,5081 и 2,508, у которых число десятичных зна-/, ков различно, можно рассуждать так: уравняем число разрядов, приписав ко второй дроби справа цифру 0; получим 2,5080. Десятичные дроби 2,5081 и 2,5080 различаются только цифрами в разряде десятитысячных: у первой дроби в этом разряде стоит цифра 1, а у второй — цифра 0. Поэтому первая дробь больше. КАК МОЖНО СРАВНИТЬ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ И ДЕСЯ- ТИЧНУЮ Вы уже умеете сравнивать две обыкновенные и две десятичные дроби. А как сравнить, например, - и о 0,6? В этом случае нужно перейти к какой-нибудь од- 5 НОЙ форме представления дробей. Дробь - в виде деся- О тичной дроби записать нельзя, поэтому выразим в виде обыкновенной дроби число 0,6: п к = А = 3 10 5- Так как f то f > 0,6. 6 5 6 1. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Объясните, почему верны равенства: а) 0,250 = 0,25; 6) 1,7 = 1,700. О Какая из дробей 5,031; 0,53; 5,1; 5,03 наибольшая? наименьшая? Перечислите дроби в порядке убывания. О Сравните дроби: а) 0,2 и j; б) ^ и 0,3. 4 ГЛАВА 3 ■ ДЕСЯТИЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 142 РАВНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Есть ли среди данных чисел равные? Если есть, укажите их: а) 3,001; 3,010; 3,100; 3,1; б) 6,800; 6,080; 6,880; 6,08; в) 0,4; 0,40; 0,004; 0,400; г) 1,05; 1,0505; 1,500; 1,5050. 143 144 Верно ли, что: а) 12,40 = 12,4; б) 25 = 25,0; в) 1,03 = 1,30; г) 1,500 = 1,50; Д) 160 = 16; е) 2,01 = 2,0100000? Замените данную десятичную дробь равной наиболее простого вида: а) 3,6000; в) 0,8700; б) 70,0200; г) 0,0030. 145 а) Выразите в метрах: 17 м 30 см; 70 м 50 см. б) Выразите в килограммах: 3 кг 430 г; 5 кг 80 г. К числу приписывают справа один нуль, два нуля, три нуля и т. д. Что происходит с этим числом, если оно является: а) натуральным числом; б) десятичной дробью? 147 СРАВНЕНИЕ И УПОРЯДОЧИВАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Сравните числа: а) 0,6 и 0,4; б) 0,2 и 0,1; в) 0,30 и 0,3; г) 2,55 и 2,65; д) 1,21 и 1,28; е) 4,75 и 4,05; ж) 1,99 и 10,9; з) 7,0191 и 7,1; и) 2,44 и 2,404. 148 149 Сравните числа: а) 50,001 и 50,01; б) 17,183 и 17,09; в) 29,5 и 29,53; г) 7 и 6,99; д) 0,89 и 1,5; е) 0,00041 и 0,0005. Какое из трёх данных чисел наибольшее и какое наименьшее: а) 0,016; 0,044; 0,031; в) 0,5; 0,6; 0,56; б) 2,601; 2,610; 2,061; г) 3,215; 32,15; 0,3215? 150 Расположите в порядке возрастания числа: а) 7,34; 7,4; 7,3; в) 2,356; 2,35; 2,36; б) 10,2; 10,1; 10,16; г) 0,007; 0,008; 0,0073. Расположите в порядке убывания числа: а) 22,86; 23,01; 22,68; 21,99; в) 0,09; 0,111; 0,1; 0,091; б) 0,93; 0,853; 0,914; 0,94; г) 3,099; 3,909; 3,99; 3,9009. 152 157 158 159 160 11 ■ СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Ф 15 3 i ^54 , 1 1 155 I I d b Найдите закономерность, по которой строится последовательность чисел, и запишите следуюш;ие два числа; определите, как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются: а) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; ... ; б) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; 0,23456; ... ; в) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; ... . Найдите какую-нибудь десятичную дробь, заключённую между: а) 2,7 и 2,8; б) 0,8 и 0,9. Напишите три десятичные дроби, каждая из которых: а) больше, чем 9,61, но меньше, чем 9,62; б) меньше, чем 0,0001. Какие цифры можно подставить вместо звёздочки, чтобы полученное неравенство было верным: а) 0,488 < 0,4*8; в) 3,07 < 3,0*; б) 1*,93 < 11,93; г) 6,*9 < 6,38? Дана десятичная дробь 6,73401152. Вычеркните одну цифру после запятой так, чтобы дробь: а) увеличилась; б) уменьшилась. Для каждого случая укажите все решения. СРАВНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ И ДЕСЯТИЧНОЙ Сравните: а) i и 0,5; в) 0,75 и |; д>5 б) 1 и 0,4; г) 0,25 и Расположите числа в порядке возрастания: ч 3 37 . „ 4’ 500’ 29 6)0,13; —; 0,125. Найдите какую-нибудь обыкновенную дробь, большую 0,1, но меньшую 0,2. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ 1) В десятичной дробите «длинным хвостом» зачеркнули две последние цифры. Что произошло с этой десятичной дробью? 2) В десятичной дроби с «длинным хвостом» среди цифр после запятой есть один нуль (все остальные цифры не нули). Этот нуль вычеркнули. Сравните получившееся число с исходным, если этот нуль стоял: а) в конце десятичной дроби; б) не в конце десятичной дроби. Указание. Прежде чем ответить на вопрос, поэкспериментируйте с числами. Л Запишите какую-нибудь десятичную дробь с четырьмя знаками после запятой и прочитайте её. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых: а) натуральное число 3205; б) десятичную дробь 0,3205. (^) Запишите в виде десятичной дроби число: ч ^ . ЙЧ 1 3 .549 10’ ^ ^100’ 100’ 1) Чему равен знаменатель обыкновенной дроби, если в её десятичной записи содержится 2 знака после запятой? 4 знака после запятой? 2) Представьте в виде обыкновенной дроби число: а) 0,7; б) 0,091; в) 1,203. Запишите числа, соответствуюш;ие точкам, отмеченным на координатной прямой. 0 ■1-4—f I ♦ I I I I I I о од 0,2 0,3 0 Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок 10 клеток. Отметьте на прямой число: а) 0,1; б) 0,5; в) 1,8; г) 2,2. 1) Ответьте на вопросы и проиллюстрируйте свои ответы примерами. а) Какую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной? б) В каком случае несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной? 2) Запишите в виде десятичной дроби: ч 1 ;^ч 3 ч 1 ч 2 ч 7 .4 a)j; 6)j; в)-; г)-; д)е) Как записать десятичную дробь, равную данной десятичной дроби? Запишите три десятичные дроби, равные числу 5,070. (^) Сравните числа: а) 1,001 и 0,9999; б) 8,455 и 8,54; в) 0,305 и 0,3050. (Ш Между какими последовательными натуральными числами заключено число: а) 9,8; б) 15,03? Отвечая на вопрос, запишите соответствующее двойное неравенство и покажите примерное положение числа на координатной прямой. а) Выразите в метрах: 3 см; 70 см; 3 м 48 см. б) Выразите в тоннах: 20 кг; 200 кг; 1 т 500 кг. в) Выразите в рублях: 2 к.; 90 к.; 10 р. 25 к. глава ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА 10, 100, 1000, ... УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ ИНТЕРЕСНО Учёные Древнего Вавилона, использовавшие шестидесятеричную систему счисления, распространили её и на дроби. Знаменателями таких дробей служат числа 60, 60^, 60^, ... . Эти доли называли минутами, секундами, терциями, кварталами и т. д. Вавилонские учёные изобрели и упрощённый способ записи шестидесятеричных дробей - в строчку, без знаменателя. Например, запись 10°8'24"1б"' означает .л . 8 24 ,16 сумму 10 + + Позднее подобный подход был принят и для дробей со знаменателями 10, 10^, 10^, ... . Самаркандский учёный Джемшид аль-Каши (XV в.), разработавший теорию десятичных дробей, назвал десятичные доли десятыми, десятичными секундами, десятичными терциями, десятичными кварталами и т. д. ГЛАВА 4 ■ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Г2 ВЫ УЗНАЕТЕ 9 По каким правилам складывают и вычитают десятичные дроби О Как можно сложить десятичную дробь и обыкновенную СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Главное преимущество десятичной записи дробей заключается в том, что действия над десятичными дробями почти не отличаются от действий над натуральными числами — надо только научиться правильно ставить в результате запятую. СЛОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Чтобы понять, как складывают десятичные дроби, обратимся к примеру. Найдём сумму десятичных дробей 3,44 и 7,28. Это можно сделать, представив дроби в виде обыкновенных. У каждой десятичной дроби две цифры после запятой, поэтому складывать придётся обыкновенные дроби с одним и тем же знаменателем, равным 100: 344 728 _ 100 ^ 100 “ 3,44 + 7,28 = 3^ + 7^ 344 + 728 1072 72 10— = 10,72. 100 ’ 100 100 Вы видите, что вычисление фактически свелось к сложению натуральных чисел 344 и 728, которые получаются, если из десятичных дробей убрать запятые. А в сумме после запятой тоже оказалось две цифры — столько же, сколько их содержится в каждом из слагаемых. Поэтому, чтобы сложить эти десятичные дроби, необязательно обращать их в обыкновенные. Как и натуральные числа, их можно сложить столбиком, подписав слагаемые одно под другим — разряд под разрядом, как это показано рядом. А как найти сумму дробей 3,5 и 12,74, у которых количество цифр после запятой различно? Легко догадаться, что этот случай можно свести к предыдущему: для этого нужно уравнять число десятичных знаков, приписав к дроби 3,5 справа цифру 0. 1 При сложении десятичных дробей руководствуются следующим правилом: • записать дроби в столбик — разряд под разрядом, запятую под запятой; • если количество десятичных знаков у дробей различно, уравнять их число, приписав справа нули; • выполнить сложение, не обращая внимания на запятые; • поставить в сумме запятую под запятой в данных дробях. 12 ■ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ! Для сложения десятичных дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства. В самом деле, десятичные дроби — это другая форма записи соответствующих обыкновенных дробей, а для обыкновенных дробей эти свойства выполняются. Свойства сложения позволяют упрощать вычисления. Например: 7,36 -f 0,8 + 2,64 = = (7,36 + 2,64) -f 0,8 = 10 -ь 0,8 = 10,8. ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Вычитать десятич- ные дроби также можно в столбик. Чтобы найти разность десятичных дробей, нужно: • записать дроби в столбик — разряд под разрядом, запятую под запятой; • если количество десятичных знаков у дробей различно, уравнять их число, приписав справа нули; • выполнить вычитание, не обращая внимания на запятые; • поставить в разности запятую под запятой в дгшных дробях. Пример. Найдём значение выражения (3,97 + 10,034) - 8,234: 1) ^ 3,970 10,034 2) 14,004 8,234 14,004 5,770 = 5,77 СЛОЖЕНИЕ обыкновенной ДРОБИ И ДЕСЯТИЧНОЙ Чтобы сложить обыкновенную дробь и десятичную, их нужно привести к одному и тому же виду — представить обыкновенную дробь в виде десятичной или десятичную в виде обыкновенной. Например, сумму — + 1,37 можно вычислить так: — + 1,37 = 0,05 + 1,37 = 1,42. Или так: -^-М37 = --Ы— = 1 = 1 42 20 ^ ’ 20 ^ ^ 100 100 ^100 ’ ■ А вот сумму дробей - и 0,6 можно вычислить толь- 6 ко одним способом, так как дробь - в десятичную не об- 6 ращается: в + - 6 + 5 - ^5“ 30' ^ л ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О На примере вычисления суммы и разности чисел 5,63 и 4,972 объясните, как складывают и как вычитают десятичные дроби. О Выполните действие: УПРАЖНЕНИЯ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ 162 163 164 165 Найдите сумму: а) 2,57 + 4,62; б) 0,513 + 0,477; Вычислите: а) 12,9 + 6,31; б) 0,82 + 1,5; в) 0,315 + 0,026; г) 3,72 + 15,43; в) 104,2 + 6,77; г) 7,356 + 22,54; д) 2,56 + 2,73 + 3,08; е) 0,24 + 0,96 + 1,44. д) 123,6 + 1,234 + 54; е) 10,84 + 5,5 + 35. 1) Десятичная дробь представлена в виде суммы разрядных слагаемых. Запишите её: а) 0,3 + 0,02 + 0,001; б) 4 + 0,5 + 0,007; в) 1 + 0,1 + 0,02. 2) Представьте десятичную дробь в виде суммы разрядных слагаемых: а) 0,149; б) 2,36; в) 15,03. Выполните вычитание: а) 0,438 - 0,212; б) 2,85 - 0,23; Вычислите: а) 96,637 - 7,63; б) 8,405 - 0,23; Найдите разность: а) 126 - 38,7; б) 82 - 20,16; Выполните действия: в) 0,461 - 0,181; г) 6,22 - 3,32; в) 13,6 - 13,46; г) 18,8 - 13,51; д) 0,202 - 0,111; е) 5,71 - 2,63. д) 7,08 - 4,125; е) 20,4 - 5,31. Найдите неизвестное число, обозначенное буквой: а) а + 2,37 = 9,24; б) 10,3 - Ъ = 6,6; в) а - 7,18 = 14,2. а) Составьте из чисел 4,84; 5,055; 10,5 все возможные суммы и найдите их значения. б) Составьте из чисел 6,37; 2,13; 4,85 все возможные разности и вычислите их значения. Не выполняя вычислений, сравните с единицей сумму: а) 0,499 + 0,4821; б) 0,673 -f 0,587; в) 0,78 -f 0,509. Образец. 0,384 -f 0,415 < 0,5 + 0,5 = 1. 172 173 174 175 176 177 1 1 i i -i i 178 ■i ■I I 179 1 12 ■ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ, ДРОБЕЙ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Вычислите, обратив десятичную дробь в обыкновенную: а) 0,5 + б) 0,2 - в) - + 0,25; г) ^ - 0,5; О д) 0,8 - Вычислите, обратив обыкновенную дробь в десятичную: а) 2,82 + 5 ’ б) 1- - 1,33; Вычислите: а) 0,75 + i + f; РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ в) 2,71 г) 1,78 Д) ^ + 1,27; е) |j + 3,34. б) 0,256 + I - IH + i ” а) В одной банке 5,2 кг краски, в другой — на 1,6 кг больше. Сколько килограммов краски в двух банках? б) Щенок весит 2,3 кг, а котёнок — на 1,8 кг меньше. Сколько весят они вместе? а) В кувшине 1,25 л молока, это на 2,7 л меньше, чем в бидоне, и на 1,5 л меньше, чем в ведре. Сколько всего литров молока в этих трёх ёмкостях? б) Сторона треугольника, равная 11,5 см, на 0,6 см меньше второй его стороны и на 0,9 см больше третьей. Чему равен периметр треугольника? а) Туристы должны были пройти 15 км между сёлами. В первый час они прошли 5,2 км, во второй час — на 0,5 км меньше, а в третий час — на 0,9 меньше, чем во второй. Сколько километров им осталось пройти? б) Ученик планирует затратить на домашние задания по математике, истории и географии 2,5 ч. Задания по математике он выполнил за 0,8 ч, по истории — на 0,25 ч быстрее, а задания по географии он выполнял на 0,15 ч дольше, чем по математике. Уложился ли он в запланированное время? а) Длина первой грядки на 0,9 м больше длины третьей грядки, а длина второй грядки на 0,55 м больше длины третьей грядки. На сколько метров первая грядка длиннее второй? б) Первое поле на 3,2 га меньше второго, а третье поле на 4,8 га больше второго. На сколько гектаров третье поле больше первого? Скорость течения реки равна 3,2 км/ч. Найдите: а) скорость лодки по течению и скорость лодки против течения, если её собственная скорость равна 12,5 км/ч; б) собственную скорость лодки и скорость лодки по течению, если её скорость против течения равна 7,2 км/ч. Попугай, канарейка и щегол вместе склевали 45,6 г зерна. Попугай и канарейка склевали 29,9 г, а канарейка и щегол — 25,1 г. Сколько зерна склевала каждая птица? ГЛАВА 4 ■ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ ВЫ УЗНАЕТЕ • Что умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... сводится к переносу запятой УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА Ю, 100, 1000, ... Умножение и деление натурального числа на 10, 100, 1000 и т. д. сводится к приписыванию или отбрасыванию соответствующего количества нулей. Например: 23 • 1000 = 23 000; 48 650 : 10 = 4865. А умножение и деление десятичной дроби на единицу с нулями сводится к переносу запятой. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА 10, 100, 1000 и т. д. Будем умножать десятичную дробь 6,735 на 10, 100, 1000 и т. д. При этом действия будем выполнять в обыкновенных дробях: 6735 W ^ 1000 * 1 “ 6735 100 1 10 = 6.735 6.735 • 100 = 6.735 • 1000 = 1000 6735 ^ = -.35; = = -3^ = 673,5; 1000 = 6735. 1000 1 Вы видите, что в результате умножения в исходной дроби меняется положение запятой: при умножении на 10 она передвигается вправо на 1 знак, при умножении на 100 — на 2 знака, при умножении на 1000 — на 3 знака. Эти примеры подсказывают следующее правило: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержится в множителе. Обратите внимание: при умножении 6,735 на 1000 мы получили число без запятой, так как в дроби 6,735 содержится ровно 3 десятичных знака. А как, пользуясь сформулированным правилом, умножить эту дробь на следующие степени числа 10, т. е. на 10 000, 100 000 и т. д.? Вспомните: к десятичной дроби можно приписывать справа любое число нулей, при этом получается дробь, равная данной. Поэтому мы имеем возможность переносить запятую на столько знаков, сколько требуется. Таким образом, в соответствии с правилом получим: 6.735 • 10 000 = 6,7350 • 10 000 = 67 350; 6.735 • 100 000 = 6,73500 ♦ 100 000 = 673 500; 6.735 • 1 000 000 = 6,735000 • 1 000 000 = 6 735 000. 13 ■ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА 10, 100,^1000, ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОМ ДРОБИ НА СТЕПЕНЬ 10 Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. также сводится к переносу запятой, но только влево. Возьмём, например, число 851,3: 8513 J_ _ 10 ~ 1 ' 100 851,3 : 10 = 851,3 : 100 = 10 8513 ^ = 85-^ = 85,13; 100 100 10 8513 _ о 513 — О' 1000 1000 = 8,513. 1 Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т, д., нужно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево, сколько нулей содержится в делителе. Попробуем теперь разделить ту же дробь 851,3 на 10 000. По правилу нужно было бы перенести запятую влево на 4 знака, но у дроби 851,3 перед запятой только 3 знака! Чтобы понять, как воспользоваться правилом и в таком «неприятном» случае, найдём частное, перейдя к обыкновенным дробям: 851,3 : 10 000 = 8513 8513 = 0,08513. 10 10 000 100 000 Получившийся ответ подсказывает нам приём, который позволяет находить результат деления на 10, 100, 1000 и т. д. с помош,ью переноса запятой в любом случае: при необходимости к десятичной дроби слева нужно приписать вспомогательные нули. Например: 851.3 : 10 000 = 00851,3 : 10 000 = 0,08513; 851.3 : 100 000 = 000851,3 : 100 000 = 0,008513. ПЕРЕХОД ОТ ОДНИХ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ К ДРУГИМ Так как в метрической системе мер единицы различаются в 10, 100, 1000 и т. д. раз, то переход от одних единиц измерения к другим выполняется с помощью умножения и деления на степень 10. Пример 1. Выразим 2,7 кг в граммах. Так как 1 кг = 1000 г, то, чтобы перейти от килограммов к граммам, т. е. к более мелким единицам, нужно 2,7 умножить на 1000: 2,7 кг = (2,7 • 1000) г = 2700 г. Пример 2. Выразим 175 см в метрах. Так как 1 м = 100 см, то, чтобы перейти от сантиметров к метрам, т. е. к более крупным единицам, нужно 175 разделить на 100: 175 см = (175 : 100) м = 1,75 м. УПРАЖНЕНИЯ УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА ЕДИНИЦУ С НУЛЯМИ Выполните умножение: 1) 15,47 • 10; 2) 913,134 • 100; 3) 4,8071 • 1000; 0,75 • 10; 10,28 • 100; 3,7 • 1000; 13,003 • 10; 0,0045 • 100; 16,14 • 1000; 0,01 • 10; 0,36 • 100; 0,0018 • 1000; 9,8 • 10; 4,5 • 100; 0,001 • 1000. Увеличьте в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз каждое из чисел: 0,2; 1,112; 13,0247; 34,5. Земля, вращаясь вокруг Солнца, движется со скоростью 29,8 км/с. Какой путь проделает Земля за 10 с? Представьте в виде натурального числа: а) 1,5 тыс.; г) 2,5 млн; ж) 7,5 млрд; i б) 40,7 тыс.; д) 10,2 млн; з) 12,55 млрд; в) 0,6 тыс.; е) 0,9 млн; и) 0,785 млрд. Jp Образец. 2,3 тыс. = 2,3 • 1000 = 2300. ш 5 .V Разберите, как выполнено умножение: 12,3 • 20 = (12,3 • 10) • 2 = 123 • 2 = 246. Пользуясь этим приёмом, вычислите: а) 1,8 • 90; б) 41,1 • 20; в) 3,05 • 300; г) 1,25 • 800. ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА ЕДИНИЦУ С НУЛЯМИ Выполните деление: 1) 27,13 : 10; 104,85 : 10; 9,28 : 10; 1,5 : 10; 0,36 : 10; 0,042 : 10; 2) 210,36 : 100; 38,5 : 100; 4,7 : 100; 0,25 : 100; 0,08 : 100; 0,006 : 100; 3) 2345,56 : 1000; 562,7 : 1000; 36,128 : 1000; 4,931 : 1000; 0,137 : 1000; 0,0012 : 1000. Уменьшите в 10 раз, в 100 раз, в 1000 раз каждое из чисел: 2500; 1555,01; 4,45; 0,6. а) На ферму завезли 85 кг сахара. Десятая часть его пошла на приготовление варенья из яблок. Сколько сахара потратили на это варенье? б) Длина провода 63 м. Провод разрезали на две части так, что одна часть оказалась в 9 раз больше другой. Найдите длину меньшей части провода. f1 -05 ill т 1 1 i т ■ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА 10^ 100,^000, I 191 ( 192 УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА ЕДИНИЦУ С НУЛЯМИ Выполните действие: а) 24,85 • 100; б) 13,76 : 10; в) 0,346 • 10; г) 124,34 : 1000; Д) 0,48 • 10; е) 4,75 • 1000; ж) 3,8 : 100; з) 0,5 • 100; и) 0,67 • 10; к) 1,8 : 1000; л) 25,76 • 10 000; м) 100,72 : 100. На какое число нужно умножить или разделить число 25,6, чтобы в результате получилось: а) 256; б) 25 600; в) 2,56; г) 0,0256? а) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Сколько надо заплатить за 200 таких же компьютеров? б) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млн р. Сколько надо заплатить за 10 таких же стиральных машин? Продолжите последовательность, записав епдё три числа. Какое действие вы при этом будете выполнять? а) 110; 11; 1,1; ...; б) 0,000001234; 0,0001234; 0,01234; ... . Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если: а) эту дробь уменьшить в 100 раз и ещё в 10 раз; б) эту дробь уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз? Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: а) 563,2 • 70,4 и 56,32 • 704; в) 563,2 : 70,4 и 56,32 : 7,04; б) 563,2 • 70,4 и 5,632 • 704; г) 0,5632 : 0,704 и 563,2 : 70,4. ПЕРЕХОД ОТ ОДНИХ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЯ К ДРУГИМ Выразите: а) в граммах: 1,4 кг; 0,125 кг; 0,4 кг; 2,05 кг; б) в килограммах: 3,7 ц; 0,5 ц; 6,8 т; 0,75 т. Выразите: а) в килограммах: 1270 г; 350 г; 2075 г; б) в центнерах: 240 кг; 90 кг; 1425 кг. Выразите: а) в метрах: 23 км; 5,127 км; 0,027 км; 0,35 км; 0,4 км б) в миллиметрах: 16 см; 10,5 см; 0,3 см; 1,7 см; 0,4 см Выразите: а) в метрах: 526 см; 48 см; 20 см; 7,6 см; 5 см; б) в граммах: 3000 мг; 25,6 мг; 15 мг; 4 мг. е. ф fli ГЛАВА 4 ■ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ о ВЫ УЗНАЕТЕ О Как умножают десятичную дробь на десятичную, на натуральное число, на обыкновенную дробь t, —Li 4 I I -1. ■ X ' 7 УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Умножеыие десятичных дробей, как и сложение, сводится к действию над натуральными числами. Но место запятой при умножении определяется иначе, чем при сложении. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОМ ДРОБИ НА ДЕСЯТИЧНУЮ Най- дём произведение десятичных дробей 3,76 и 2,4, заменив их обыкновенными дробями: 3,76 • 2,4 = 3 76 100 376 • 24 1000 9024 1000 = 9,024. Фактически нам пришлось перемножать натуральные числа 376 и 24, которые получаются, если из данных десятичных дробей убрать запятые. В первом множителе две цифры после запятой, во втором — одна, ^ 9024 поэтому в знаменателе дроби получилось число с тремя нулями, а в соответствуюш;ей десятичной дроби оказалось три цифры после запятой. Таким образом, десятичных знаков в произведении столько же, сколько их в множителях вместе. Рассмотренный пример подсказывает нам правило умножения десятичных дробей. Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, можно: • мысленно убрать из множителей запятые и перемножить получившиеся натуральные числа; • в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе. При умножении десятичных дробей в столбик их записывают одну под другой как натуральные числа, не обрапдая внимания на запятые. Пример 1. Найдём произведение чисел 0,215 и 0,33. Рассмотрите, как выполнено умножение этих дробей на полях. Перемножив числа 215 и 33, которые получаются, если не обраш;ать внимания на запятые, мы получили в произведении число 7095. Затем в этом произведении мы отделили запятой справа пять цифр (для этого нам пришлось слева приписать нули). Таким образом, 0,215 • 0,33 = 0,07095. 14 ■ УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Заметим, что для умножения десятичных дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство умножения относительно сложения. Эти свойства часто позволяют упропдать вычисления. Например: (0,2 • 1,4) • 0,5 = 1,4 • (0,2 • 0,5) = 1,4 • 0,1 = 0,14. УМНОЖЕНИЕ десятичной ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО Правило умножения десятичных дробей применимо и в том случае, когда один из множителей — натуральное число. При этом в произведении нужно отделять запятой столько десятичных знаков, сколько их содержится в множителе, являющемся десятичной дробью. Пример 2. Вычислим произведение 0,235 • 120. Умножив число 235 на 120, мы получили в произведении 28 200. Отделив запятой справа три цифры, получили десятичную дробь 28,200, т. е. 28,2. Таким образом, 0,235 • 120 = 28,2. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОМ ДРОБИ НА ОБЫКНОВЕННУЮ Чтобы перемножить десятичную дробь и обыкновенную, нужно прежде всего привести их к одному виду. Тогда можно воспользоваться либо правилом умножения обыкновенных дробей, либо правилом умножения десятичных дробей. 5 Пример 3. Найдём произведение - • 0,27. 6 0 Дробь - нельзя обратить в десятичную, поэтому за- О пишем в виде обыкновенной дроби число 0,27: 5•27 _ ^ ~ 40 1.0,27 = 5 ■ ^ = 6 ’ 6 100 6 • 100 Пример 4. Найдём произведение 1,75 • -. 5 Дробь - можно представить в виде десятичной: 5 - = 0,4. Поэтому выполним умножение в десятичных О дробях. Получим 1,75 • 0,4 = 0,7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача. Конфеты расфасовали в пакеты по 0,3 кг в каждый: шоколадные — в 25 пакетов, ириски — в 30 пакетов, карамель — в 18 пакетов. Сколько килограммов конфет расфасовано? 1) По условию задачи составим выражение: 0,3 • 25 + 0,3 • 30 -Ь 0,3 • 18. 2) Вычислим значение этого выражения: 0,3 • (25 -Ь 30 + 18) = 0,3 • 73 = 21,9. Ответ: 21,9 кг. й, ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О На примере вычисления произведения 7,85 • 3,9 расскажите, как находится произведение двух десятичных дробей. д Как определяют положение запятой в произведении десятичной дроби и натурального числа? Приведите пример. д Вычислите произведение i 198 199 ’’ii'iiii'lfciiLiSf 201 2 203 [f 204 205 Щ1, ‘ ■ УПРАЖНЕНИЯ УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Выполните умножение: а) 7,8 • 2,9; б) 4,4 • 2,2; в) 1,6 • 2,5; г) 0,8 • 7,5. Известно, что 52 • 47 = 2444. Используя этот результат, найдите: а) 5,2 • 4,7; б) 0,52 • 4,7; в) 52 • 47; г) 0,52 • 0,47. Вычислите (№ 200, 201) Площадь какой комнаты больше — размером 5,1 х 3,4 м или 4,8 X 3,7 м? Найдите значение степени: а) 0,6^; в) 1,1^; б) 0,32; г) 0,52; Д) 0,22; е) 1,12; ж) 0,0l2; з) 0,52. а) Найдите число, квадрат которого равен 0,64; 0,01; 0,0009. б) Найдите число, куб которого равен 0,064; 0,008; 0,125. 1) Найдите значение степени: а) 0,12; б) 0,1^; в) 0,1^; г) 0,1^. 2) Сколько цифр после запятой содержит десятичная дробь, равная 0,1®? 0,11®? УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО Найдите произведение чисел: а) 3,55 и 6; г) 6,71 и 23; б) 4,77 и 3; д) 3,02 и 15; в) 0,235 и 4; е) 0,75 и 44; ж) 0,25 и 4; з) 0,2 и 5; и) 0,125 и 8. Один метр ткани стоит 450 р. Сколько стоят 5 м, 2,5 м, 3,8 м, 0,6 м этой ткани? Цена килограмма яблок 53 р. Сколько стоят 2 кг, 1,2 кг, 3,7 кг, 0,5 кг, 800 г, 2 кг 320 г яблок? Коробка размерами 2,3 дм, 2,3 дм и 4 дм полностью наполнена крупой. Поместится ли вся эта крупа в коробке размерами 4 дм, 4 дм и 1,4 дм? а) 5,3 • 4,1; г) 1,56 • 0,2; ж) 10,3 • 1,01; г ' I- б) 6,36 • 2,5; д) 2,6 • 3,05; з) 5,08 ♦ 2,05; в) 27,2 • 0,06; е) 1,04 • 8,2; и) 2,35 • 0,14. ij:- а) 0,082 • 0,5; б) 0,003 • 0,07; в) 1,23 • 0,02. : ft 14 ■ УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ 210 211 212 Скорость звука в воздухе 0,33 км/с. На каком расстоянии от вас происходит гроза, если вы увидели вспышку молнии, а раскат грома услышали через 5 с? через 10 с? через 24 с? Велосипедист едет со скоростью 12,5 км/ч. Какой путь он проедет, двигаясь с той же скоростью, за 2 ч? за 0,5 ч? за 1,5 ч? за 2,5 ч? Вычислите устно: а) 0,3 • 6 б) 8 • 0,5 в) 0,1 • 7 г) 0,75 • 10; Д) 2,5 • 2; е) 4 • 1,2; ж) 0,4 • 0,1; з) 0,03 • 10; и) 4 • 2,5; к) 0,2 • 5; л) 1,3 • 3; м) 18 • 0,1. Вычислите наиболее удобным способом: а) 2 • 3,8 • 5; в) 6,54 • 0,25 • 4; б) 2,5 • 0,061 • 4; г) 13,7 • 0,2 • 5; РАЗНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ д) 0,25 0,2 -4 е) 1,5 • 2,2 • 2. 5; Найдите значение выражения: а) 0,4 • 2,55 • 1,6; б) 40 • (7,85 - 3,9); в) 17 - 3,44 • 3,5; Вычислите: а) 2,12 _ 2Д; б) 0,9 - 0,92; в) 2 • 0,82; г) (2 • 0,8)2; г) (8,4 -Ь 1,92) • (1,7 - 1,5); д) 17,5 - 3 • 4,5 - 1,725; е) 20,3 - 5 • (2,4 -Ь 0,43). д) 2,52 - 0,52; е) (2,5 - 0,5)2. УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА ОБЫКНОВЕННУЮ Выполните умножение и, если возможно, представьте ответ в виде десятичной дроби: а) - • 0,15; б) 0,12 i; в) - • 0,1; г) 2,1 Д) 1.5 -д; е) 3§ • 0,4; 4 ж) 0,024 • -; з) i • 4,85. 5 Выполните умножение, следуя приведённому образцу: а) 116 • 0,5; в) 64 • 0,25; д) 158 • 0,5; б) 84 • 0,25; г) 284 • 0,5; е) 1008 • 0,25. Образец. 48 • 0,5 = 48 • ^ = 48 : 2 = 24; 48 • 0,25 = 48 • - = 48 : 4 = 12. 2 4 Коля и Петя выполняли задания на умножение десятичных дробей. Коля записал: 32,7 • 0,3 = 9,81. Петя записал: 3,27 • 0,3 = 9,81. Один из них ошибся. Кто это? ГЛАВА 4 Ш ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ' р ВЫ УЗНАЕТЕ дЧто отличает деление от других действий с десятичными дробями • Новый способ перевода обыкновенной дроби в десятичную ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Результатом сложения, вычитания и умножения двух десятичных дробей всегда является десятичная дробь. Эти действия с десятичными дробями мы можем выполнять практически так же, как с натуральными числами. Иначе обстоит дело с делением. Возьмём, например, частные 0,28 : 1,4 и 1,2 : 0,9 и вычислим каждое из них, перейдя к обыкновенным дробям: 0,28 : 1,4 = ^ 100 ' 10 1,2 : 0,9 = II : = 100 • 14 12 ■ 10 10'9 “ 5’ 4 3* В первом случае мы получили дробь —, которую можно представить в виде десятичной дроби: ^ = 0,2. А дробь полученная во втором случае, в десятичную не обращается. Таким образом, частное двух десятичных дробей не всегда можно выразить десятичной дробью. СЛУЧАИ. КОГДА ЧАСТНОЕ ВЫРАЖАЕТСЯ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ Если частное десятичных дробей выражается десятичной дробью, то деление можно выполнить уголком, практически по тем же правилам, что и деление натуральных чисел. Иногда это оказывается удобным. Сначала рассмотрим деление десятичной дроби на натуральное число. Этот случай можно считать главным, так как деление на десятичную дробь, как вы потом увидите, всегда можно свести к делению на натуральное число. Пример 1. Найдём частное 7,47 : 3. Разберите, как выполнено деление. Сначала разделили на 3 целую часть дроби 7,47 и поставили в частном запятую. После этого продолжали деление до тех пор, пока не получили в остатке нуль. Этот нуль означает, что деление закончено. Таким образом, 7,47 : 3 = 2,49. Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел. Сразу после того как закончено деление целой части, в частном ставят запятую. Пример 2. Найдём частное 1,28 : 4. Этот пример отличается от предыдущего тем, что целая часть делимого меньше делителя. В таких случаях в частном пишут О, после чего ставят запятую и продолжают деление. Выполнив деление, получим 1,28 : 4 = 0,32. Пример 3. Найдём частное 93,2 : 16. Посмотрите, как выполнено деление. Новым в этом примере оказалось то, что, когда все цифры делимого были снесены, нуль в остатке не получился. Однако мы знаем, что десятичная дробь не изменится, если справа к ней приписать нули. Поэтому, чтобы продолжить деление, мы последовательно приписывали к делимому нули и вычисляли следующие цифры частного. Получили 93,2 : 16 = 5,825. Заметим, что в подобных случаях нуль можно приписывать не к делимому, а непосредственно к остатку. Пример 4. Рассмотрим частное натуральных чисел 17 и 8. Выполнив деление уголком, получим, что 17 : 8 = = 2,125. Но это частное, как известно, можно записать и в виде обыкновенной дроби: 17:8 = f Так как 17 : 8 = ^ и 17 : 8 = 2,125, то ^ = 2,125. О О Вы видите, что мы смогли представить обыкновенную дробь ^ в виде десятичной новым способом, не О домножая знаменатель на 5 • 5 • 5. Если обыкновенная дробь представляется в виде десятичной, то получить её десятичную запись можно с помощью деления уголком. Рассмотрим теперь деление на десятичную дробь. Этот случай легко свести к делению на натуральное число, выполнять которое мы уже умеем. Возьмём, например, частное 0,126 : 0,45. Его значение не изменится, если делимое и делитель умножить на 100: 0,126 : 0,45 = 12,6 : 45. Таким образом, вместо деления на десятичную дробь 0,45 можно выполнить деление на число 45. Так как 12,6 : 45 = 0,28, то 0,126 : 0,45 = 0,28. Обратите внимание: чтобы из частного 0,126 : 0,45 получить частное 12,6 : 45, достаточно в делимом и делителе перенести запятую на два знака вправо. Это и понятно: ведь умножение десятичной дроби на единицу с несколькими нулями равнозначно переносу запятой на столько же цифр вправо. При делении числа на десятичную дробь можно действовать в соответствии со следующим правилом: Г1 Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно: • перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе; • выполнить деление на натуральное число. Разберите, как это правило применяется в следующих примерах: Пример 5. Найдём частное 4,9 : 1,75: 4,9:1,75 = 490:175; i I t 4 9 'З 5 1 4 0 0 14 0 0 i 0 1:715 :8 9, 6 2,i8 Ь- г- ■ 1— ' 8 4 о \Omeemt 4,9 : 1,75 = 2,8. 1 1 г = 2,8. П^^имер 6. Найдём 4acT|i(^J);896 : 0,28: 0,89^: 0,28 = 89,6 ________ 2 8 3,2 5 6 4 — L Ответ: 0,896 : 0'28 =* 3,i2. ДЕЛЕНИЕ НА ДЕСЯТИЧНУЮ ДРОБЬ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ В примерах, рассмотренных выпхе, для вычисления частного десятичных дробей мы прибегали к делению уголком. Однако этот приём годится далеко не всегда. Пусть нужно найти частное 0,05 : 0,3. Попробуем вычислить его с помощью деления уголком. Так как 0,05 : 0,3 = 0,5 : 3, то будем делить 0,5 на 3. Вы видите, что в процессе деления всё время повторяется один и тот же остаток — число 2. Поэтому деление никогда не закончится, сколько бы мы его ни продолжали. Найдём частное чисел 0,05 и 0,3 по-другому, перейдя к обыкновенным дробям: 1 5 ■ ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ 0,05 : 0,3 = 100 10 5 100 12 3 30 Таким образом, 0,05 : 0,3 = -, т. е. это частное рав- 6 но дроби, которая в десятичную не обращается. Поэтому деление уголком и оказалось бесконечным. Частное десятичных дробей всегда можно найти, перейдя к обыкновенным дробям. Причём иногда вычислить частное по-другому просто невозможно. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ВЫРАЖЕНИИ. СОДЕРЖАЩИХ ДЕЛЕНИЕ НА ДЕСЯТИЧНУЮ ДРОБЬ Пример 7. Вычислим частное 1,2 : 0,7. Запишем это частное в виде дроби и затем, воспользовавшись основным свойством дроби, преобразуем её так, чтобы в числителе и знаменателе оказались целые числа: 1,2 : 0,7 = 1,2 1,2 • 10 0,7 0,7 • 10 - 12 - 1Ё “ 7 “ ^7’ Пример 8. Найдём значение выражения 1,4.0,2 2,1 Воспользуемся основным свойством дроби и преобразуем выражение так, чтобы в числителе и знаменателе дроби оказались натуральные числа: 1,4 • 0,2 1,4 » 10 • 0,2 • 10 _ 14-2 _ 2 2,1 • 100 “ 21 • 10 ~ 15* 2,1 Задача. Первый пешеход идёт со скоростью 4 км/ч, а второй идёт вслед за ним со скоростью 6,5 км/ч. В начальный момент времени расстояние между ними равно 7 км. Через какое время второй пешеход догонит первого? 6,5 км/ч 4 км/ч ---> 7 км 1) 6,5 - 4 = 2,5 (км/ч) — скорость сближения пешеходов; 70 14 4 2) 7 = 2.5 = - = - = (ч) время, по истечении которого второй пешеход догонит первого. Ответ: Через 2 ч 48 мин. В мешке 300 г одинаковых монет. Масса одной монеты 1,5 г. Сколько монет в мешке? Решение. 3000 300 ; 1,5 = 15 =200 (монет). шыяш «■■■■■■■и ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ® На примере вычисления частного 5.4 : 0,18 расскажите, как можно разделить уголком десятичную дробь на десятичную. Q Вычислите частное 0,4 : 3. ® Предаавьте дробь - в виде О 218 219 220 221 222 227 УПРАЖНЕНИЯ ДЕЛЕНИЕ УГОЛКОМ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО Выполните деление (используйте в качестве образца пример 1 на с. а) 192,6 : 9; в) 30,25 : 5; д) 28,29 : 23; б) 477,4 : 14; г) 336,6 : 11; е) 68,25 : 25. 72): Вычислите (используйте в качестве образца пример 2 на с. 73): а) 4,41 : 7; в) 4,65 : 15; д) 0,121 : 11; б) 8,28 : 9; г) 10,71 : 21; е) 0,084 : 7. Найдите частное (в качестве образца воспользуйтесь примером 3 на с. 73): а) 5,87 : 2; в) 10,4 : 5; д) 14,7 : 12; б) 10,63 : 2; г) 13,8 : 15; е) 44,5 : 4. Найдите частное натуральных чисел, выполнив деление уголком: а) 157 : 2; в) 304 : 5; д) 120 : 25; ж) 531 : 15; б) 78 : 4; г) 490 : 4; е) 300 : 8; з) 300 : 16. Обратите обыкновенную дробь в десятичную, разделив уголком числитель на знаменатель: м и. 25’ I’ Вычислите частное устно и результат проверьте умножением: а) 0,8 : 4; в) 2,1 : 3; д) 6,5 : 5; ж) 7,2 б) 0,9 : 3; г) 3,5 : 7; е) 5,2 : 4; з) 9,8 : : 3; 2. а) Все конфеты разложили поровну в 8 коробок. Чему равна масса конфет в каждой коробке, если всего было 3,6 кг конфет? б) Из 13,5 м ткани можно сшить 5 одинаковых костюмов. Сколько ткани требуется для одного костюма? а) Собака весит 20,2 кг. Щенок в 4 раза легче, а кошка в 10 раз легче собаки. Сколько весит гценок и сколько кошка? б) В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором, а во втором в 2 раза больше, чем в третьем. Сколько молока во втором и третьем бидонах, если в первом 4,5 л молока? а) Из проволоки согнули треугольник со сторонами 7,5 см, 8,3 см и 9,4 см. Затем из этой же проволоки согнули квадрат. Чему равна его сторона? б) Из проволоки согнули квадрат со стороной 8,4 см. Из этой же проволоки согнули равносторонний треугольник. Чему равна его сторона? а) В одном пакете 1,5 кг кофе, а в другом 0,9 кг. Сколько кофе надо пересыпать из одного пакета в другой, чтобы кофе в них оказалось поровну? Сколько кофе будет после этого в каждом пакете? fe- "Щ '■'^1 т lit W 232 233 234 235 236 ( 1 228 1 229 1 230 231 б) В двух пакетах 1,3 кг семян. Если из одного пакета пересыпать в другой 0,15 кг семян, то семян в пакетах станет поровну. Сколько семян было в каждом пакете первоначально? а) С двух ульев собрали 43,3 кг мёда. С одного из них получили на 1,7 кг меньше, чем с другого. Сколько килограммов мёда собрали с каждого улья? б) Яблоко и груша вместе весят 0,625 кг. Яблоко тяжелее груши на 0,185 кг. Сколько весит яблоко и сколько груша? а) Масса двух кусков сыра 1,4 кг. Один из них в 3 раза тяжелее другого. Найдите массу большего куска. б) В двух пакетах 3,75 кг конфет. В одном пакете конфет в 2 раза меньше, чем в другом. Сколько конфет в большем пакете? Прямоугольник и квадрат имеют одинаковые периметры. Чему равна площадь квадрата, если длины сторон прямоугольника равны 1,8 см и 3,4 см? ДЕЛЕНИЕ УГОЛКОМ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА ДЕСЯТИЧНУЮ Преобразуйте частное так, чтобы делитель был целым числом: а) 30,5 : 0,4; б) 3,9 : 0,06; в) 26 : 0,013. Выполните деление (№ 232—234). a) 17,4 : 0,6; b) 4,95 : 1,5; Д) 3,36 : 1,5; 6) 30,6 : 0,9; r) 0,343 : 0,7; e) 8,46 : 1,2. a) 512 : 0,16; b) 12,25 : 0,005; Д) 81,2 : 0,35; 6) 198 : 0,036; r) 15,3 : 0,015; e) 1050 : 4,2. a) 8,9 : 0,4; b) 0,2106 : 3,9; Д) 11,1 : 0,04; 6) 3,08 : 0,05; r) 1,23 : 0,6; e) 0,04 : 2,5. Найдите частное и результат проверьте умножением: а) 8,04 : 6,7; б) 1,072 : 0,8; в) 0,945 ; 1,8; г) 70 : 5,6. Вычислите устно: а) 12 : 0,3; 6 : 0,6; 15 : 0,1; 48 : 0,8; б) 0,35 : 0,07; 1,6 : 0,2; 0,24 : 0,12; 0,3 : 0,3. а) Шаг ребёнка 0,3 м. Сколько шагов надо сделать ребёнку, чтобы пройти 6 м? б) Каждая таблетка содержит 0,25 мг лекарства. Сколько таблеток в день должен принять больной, если ему назначено 2 мг лекарства в сутки? а) С какой скоростью шёл поезд, если на 45,6 км он затратил 0,6 ч? б) Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать расстояние, равное 19,2 км, если он будет двигаться со скоростью 12,8 км/ч? if’’ "Wife: 3 ф f. г }■ '" ГЛАВА 4 ■ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 239 240 241 I 242 I 243 I 244 П I I 245 ЯЕ а) На упаковке товара указаны его стоимость и масса. Сколько стоит 1 кг этого товара, если 1,5 кг стоят 54 р.? 0,4 кг стоят 25 р.? б) Цена некоторого товара 9,8 р. за 1 кг. Сколько купили этого товара, если за покупку заплатили 34,3 р.? 4,41 р.? а) Сколько кусков ленты по 2,5 м каждый получится из мотка длиной 23 м? б) В бидоне 4,6 л молока. Есть бутылки ёмкостью 0,5 л. Сколько потребуется таких бутылок, чтобы разлить в них всё молоко из бидона? а) Машина с прицепом за день перевезла 97,2 т песка. Сколько рейсов сделала машина, если в её кузов вмеш;ается 5,2 т песка, а в прицеп — 2,9 т? б) Чтобы сшить кухонные полотенца, хозяйка отрезала от куска полотна длиной 5,5 м несколько кусков по 0,65 м каждый. У неё остался кусок длиной 0,95 м. Сколько полотенец сшила хозяйка? Чтобы приготовить подарки к детскому празднику, купили шоколадные конфеты и карамель. Шоколадных конфет взяли 4,2 кг, а карамели — на 2,4 кг больше. Масса шоколадных конфет в одном подарке составляет 0,175 кг. А сколько карамели в каждом подарке? (Все подарки одинаковы.) Какое из частных больше и во сколько раз (постарайтесь ответить на вопрос, не выполняя вычислений): 1) 10,2 : 1,7 или 102 : 1,7; 3) 10,2 : 1,7 или 10,2 : 170; 2) 10,2 : 1,7 или 1,02 : 1,7; 4) 10,2 : 1,7 или 10,2 : 0,017? 3) 17 : 0,08. Зная, что 17 : 8 = 2,125, найдите частное: 1) 1,7 : 0,8; 2) 0,17 : 8; ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНОГО ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Найдите частное, представив данные дроби в виде обыкновенных, и, если возможно, выразите ответ десятичной дробью: а) 0,7 : 0,3; Г) 4,2 : 2,8; ж) 3,5 : 1,5; б) 3,5 : 3; Д) 0,33 : 0,9; з) 0,04 : 1,2; в) 2,5 : 9; е) 0,24 : 1,5; и) 3 : 1,2. Найдите значение выражения: 0,4 ад: 1,7 0,3’ д) 3,8^ 20 ’ о!б: 0,25 1,5 ’ 12,6 1,2 ’ е) 0,24 0,9 ’ 8 м- а) Скорость велосипедиста 12 км/ч. Сколько метров проезжает он за 1 мин? б) Скорость автомобиля 90 км/ч. Какой путь он проезжает за 1 мин? а) Какую часть улицы асфальтирует машина за 1 ч, если на асфальтирование всей улицы требуется 4 ч? 2,5 ч? 1,5 ч? ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ б) Какую часть пути проехал автомобиль за 1 ч, если он, двигаясь с одной и той же скоростью, весь путь проехал за 2 ч? за 1,5 ч? за 1,2 ч? а) Чтобы сшить одну юбку, требуется 1,8 м ткани. Сколько таких юбок получится из 15 м этой ткани? б) На один бант для детского костюма требуется 0,35 м ленты. Сколько таких бантов можно изготовить из 10 м ленты? 250 а) В мешке в 1,5 раза больше сахара, чем в коробке, и в 12,5 раза больше, чем в банке. Сколько сахара в коробке и сколько в банке, если в мешке 37,5 кг сахара? б) Собака в 2,5 раза тяжелее пленка, а пденок в 2,5 раза тяжелее котёнка. Сколько весит пденок и сколько котёнок, если собака весит 5,5 кг? а) Чтобы сшить 15 одинаковых юбок, требуется 12 м ткани. Сколько таких же юбок получится из 4,8 м этой ткани? б) На 15 одинаковых брюк требуется 18 м ткани. Сколько ткани останется, если из 18 м сшить всего 8 таких брюк? РАЗНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Вычислите: 3,4+ 2,8 а) 0,2 б) 12 1-0,4’ в) 3 + 0,5 3-0,5’ г) 4,5-2,7 14,6 + 15,4’ Д) 0,04 • 0,25 0,9 - 0,88 • 253 Вычислите: 5 • 0,1 а) 0,6 ’ б) 0,5 > 3 0,3 ’ в) 10 • 0,7 г) 13 2,6 • 0,5’ 0,2 • 7 0,42 ' е) 1,12 5,6-3* Вычислите частное: а) - : 0,2; б) 1,4 : в) | : 1,6; г) - : 1,5; д) ^ : 0,01; е) 0,8 : -. Два катера одновременно отправились от одной пристани в одном направлении. Их скорости соответственно равны 20 км/ч и 30 км/ч. 1) Какое расстояние будет между ними через 1 ч? через 1,5 ч? 2) Через сколько часов расстояние между ними будет равно 25 км? Из двух городов, расположенных на одном шоссе, одновременно в одном направлении выехали два автобуса. Скорость первого автобуса 50 км/ч, второго 70 км/ч. Через какое время второй автобус догонит первый автобус, если расстояние между городами равно 45 км? Вычислите: а) 5,8-2,65 в) 1,4-(3,7-2,2)’ б) (15,94 + 17,54) • 3 г) 10,06 + 14,24 ’ 3,5 • (4,9-4,6) 2 • (4,5-3,6) ’ (36,8-28,9) • 3 (12,52 + 12,48) • 0,4* ф действия с десятичными дробями ' Ш: вы УЗНАЕТЕ О По каким правилам округляют десятичные дроби Q Чем отличается округление десятичных дробей от округления натуральных чисел ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ При использовании десятичных дробей в практических расчётах их обычно округляют. Вот пример такой ситуа- ции. Когда выдают документы на жильё, в них указывают площади всех помещений в квартире. Какую площадь внесут в документ, если комната имеет прямоугольную форму и её размер 5,6 X 3,8 м? Перемножив числа 5,6 и 3,8, получим 21,28. Но в документах при указании площади помещения принято ограничиваться десятыми долями квадратного метра. В данном случае будет записано 21,3 м^. Число 21,3 — результат округления дроби 21,28 до десятых. КАК ОКРУГЛЯЮТ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Обратимся ещё раз к примеру, рассмотренному выше. Число 21,28 заключено между десятичными дробями 21,2 и 21,3 (рис. 4.1). Первая из них — приближённое значение числа 21,28 с недостатком, а вторая — приближённое значение с избытком. Какое из них ближе к числу 21,28? Очевидно, что 21,3. Поэтому при округлении десятичной дроби 21,28 до десятых её и заменяют числом 21,3: 21,28 ~ 21,3. Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т. д., а десятичные дроби можно округлять до единиц, десятых, сотых и т. д. При округлении десятичной дроби её заменяют близкой дробью, но с меньшим числом десятичных знаков или даже целым числом. При этом выбирают такое приближённое значение, при котором ошибка получается меньше. , Приведём примеры: 3.802 ~ 4 — округление до единиц (3,802 ближе к 4, чем к 3); 3.802 ~ 3,8 — округление до десятых (3,802 ближе к 3,8, чем к 3,9); 3.802 ~ 3,80 — округление до сотых (3,802 ближе к 3,80, чем к 3,81). Обратите внимание на последнее приближённое равенство: чтобы показать, что округление проведено до сотых, сохраняют цифру нуль в разряде сотых. 16 ■ ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДГ>ОБЕй/ ^ ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ Рассмотренные примеры подсказывают правило, по которому дроби можно округлять, не выбирая лучшее из двух приближённых значений. Это правило представлено на следуюЕцей схеме: *Ц| Подчеркните разряд, до которого число округляют, и посмотрите на цифру, расположенную справа от него Справа одна из цифр ,1,2, 3,4 -----1------- Отбросьте цифры, расположенные правее подчёркнутого разряда Отбросьте цифры, расположенные правее подчёркнутого разряда, а к цифре этого разряда прибавьте 1 Пример 1. Округлим дробь 0,172504 до десятых: 0,172504 == 0,2. Мы отбросили цифры правее разряда десятых. Так как справа от этого разряда стоит цифра 7, то прибавили единицу к цифре разряда десятых. Пример 2. Округлим дробь 0,39608 до сотых: 0,39608 ~ 0,40. Это трудный случай. Прибавив единицу к цифре 9 в разряде сотых, мы получили 10 сотых. Поэтому в разряде сотых оказался 0, а в разряде десятых добавилась одна разрядная единица. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧАСТНОЕ Не всякую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной. Но для практических расчётов десятичные дроби удобнее, поэтому при необходимости обыкновенную дробь заменяют близкой ей десятичной дробью. Пример 3. В пошивочной мастерской из 10 м ткани изготовили 6 одинаковых детских костюмов, и обрезков практически не осталось. Сколько примерно ткани пошло на один костюм? Естественная форма ответа в такой задаче — это указание метров и сантиметров. Поэтому будем делить уголком 10 на 6 до тех пор, пока не узнаем цифру в разряде тысячных. У нас получилось 1,666. Таким образом, на один костюм пошло примерно 1,67 м, т. е. 1 м 67 см. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: 9 Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере округления дроби 0,2835 до сотых и до тысячных. Ф До какого разряда округляли десятичную дробь, если в результате получилось число: а) 72,4; б) 1,50? Ф Приведите пример, когда в результате округления десятичной дроби получается целое число. 261 УПРАЖНЕНИЯ ОКРУГЛЕНИЕ ПО СМЫСЛУ Прочитайте двойное неравенство. К какому из двух крайних чисел ближе среднее число: а) 6 < 6,3 < 7; в) 14,3 < 14,37 < 14,4; б) 9 < 9,6 < 10; г) 20,1 < 20,12 < 20,2? Какое из приближённых равенств точнее: а) 0,36 ~ 0,4 или 0,36 ~ 0,3; б) 1,654 ~ 1,6 или 1,654 ~ 1,7; в) 2,834 ~ 2,83 или 2,834 ~ 2,84? а) Расстояние на море измеряется в милях. В 1 морской миле содержится 1,852 км. Округлите это число до десятых; до единиц. Скольким целым километрам примерно равна 1 морская миля? б) До введения метрической системы мер расстояния на Руси мерили вёрстами: 1 верста ~ 1,0668 км. Округлите это число до сотых; до десятых. Скольким целым километрам примерно равна 1 верста? ОКРУГЛЕНИЕ ПО ПРАВИЛУ Округлите до единиц: а) 38,459; в) 0,963; б) 105,83; г) 30,782; Д) 9,5004; е) 29,48. 262 Округлите число до десятых; до сотых; до тысячных: а) 28,37267; б) 43,52859; в) 106,09311; г) 4,03954. Округлите: 1) десятичную дробь 282,0954 до десятых; до сотых; до тысячных; 2) натуральное число 2 820 954 до десятков; до сотен; до тысяч. Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных дробей? Ленту длиной 2,5 м разрезали на 8 равных частей. Найдите длину каждой части и округлите результат до сотых долей метра. Сколько примерно сантиметров содержится в каждой части? Площадка для игры в бадминтон имеет размеры 13,4 м и 5,2 м. Найдите площадь игрового поля. Числовое значение площади округлите до единиц. Коля купил несколько продуктов массой 0,756 кг, 1,2 кг и 2,87 кг. Чтобы выяснить, тяжёлой ли будет сумка, он прикинул, сколько примерно килограммов ему придётся нести: 0,756 ~ 1; 1,2 ~ 1; 2,87 ~3; 1 + 1 + 3 = 5 (кг). 16 ■ ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ т 267 268 Рассуждая таким же образом, прикиньте общую массу покупок, если масса каждой равна: а) 2,05 кг, 3,7 кг и 0,925 кг; б) 0,6 кг, 1,87 кг, 2,2 кг и 3,08 кг. Выполните прикидку результата, округлив десятичные дроби до единиц, а затем найдите точный ответ: а) 2,8 + 3,1 + 0,7 + 3,3; в) 1,9 • 6,1; б) 21,51 + 19,92 + 10,06; г) 4,08 • 9,1. В каждом случае определите, какую погрешность вы допустили, заменив точное значение приближённым. Округлите число 1,666666 до тысячных; до сотых; до десятых. В каждом случае найдите разность между полученным приближённым значением и данной дробью. 269 270 fe'J а) Найдите все десятичные дроби с тремя знаками после запятой, при округлении которых до сотых получается число 3,27. Укажите наибольшую и наименьшую из этих дробей. б) Найдите наибольшую из десятичных дробей с четырьмя знаками после запятой, при округлении которой до сотых получается число 8,65. НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧАСТНОГО Выразите приближённо обыкновенную дробь десятичной с одним, двумя, тремя знаками после запятой: 4 1= ь г) Найдите приближённое значение частного, выраженное десятичной дробью с двумя знаками после запятой: а) 7 : 0,3; б) 0,28 : 0,9; в) 3,5 : 1,5; г) 2 : 1,2. а) Доску длиной 6,5 м распилили на 6 одинаковых частей. Чему равна длина каждой части? Ответ выразите в метрах и сантиметрах. б) На упаковке с сахарным песком, взвешенной на электронных весах, указана её стоимость: 25,30 р. Цена 1 кг песка равна 21 р. Чему равна масса песка в упаковке? Ответ выразите в килограммах и граммах. ^T^CeCpfiOi друзья — шестиклассники Петя и Коля выполняли задания на округление чисел. Петя, округляя число 31526 до десятков, записал: 31526 ~ 3153. Коля, округляя число 123,756 до десятых, записал: 123,756 ~ 120. Исправьте их ошибки. ГЛАВА 4 ■ ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ ПОДВЕДЕМ ИТОГИ 1) На примерах вычисления суммы и разности чисел 28,4 и 16,65 расскажите, как складывают и вычитают десятичные дроби. 2) Найдите сумму 0,004 4- 1,2637 -1- 8,7963, выполнив вычисления столбиком. C2J 1) По каким правилам десятичную дробь умножают и делят на 10, 100, 1000 и т. д.? 2) Вычислите: а) 24,24 • 10; б) 5,37 : 100. 3) Выразите: а) 3,25 км в метрах; б) 830 г в килограммах. 1) Сформулируйте правило, по которому определяют положение запятой при умножении десятичной дроби на десятичную дробь; на натуральное число. 2) Вычислите: а) 7,68 • 2,5; б) 0,04 • 50; в) 0,2^. 1) Вычислите частное, выполнив деление уголком: а) 7,92 : 6; б) 1,416 : 1,18. 15 2) Представьте дробь в виде десятичной дроби двумя способами. О Округлите: а) число 572 до сотен; б) число 1,654 до сотых. Чем отличается округление десятичных дробей от округления натуральных чисел? © 1) Вычислите частное 0,5 : 0,6. 2) Выразите это частное приближённо десятичной дробью с двумя знаками после запятой. © Найдите значение выражения: а) 0,3 + |; б) I • 0,4; в) 12 : 2,8; г) 1,5 • © © В первый день туристы прошли 0,3 всего маршрута. Сколько километров им осталось пройти, если весь маршрут составляет 40 км? В лейке воды на 2,3 л больше, чем в ковше, а в ведре в 1,5 раза больше, чем в лейке. Сколько литров воды в трёх ёмкостях вместе, если в лейке 3,6 л? © С турбазы в одном направлении одновременно вышли два туриста со скоростями 3,5 км/ч и 4,3 км/ч. Какое расстояние будет между туристами через 2 ч? iiv k-V глава ОКРУЖНОСТЬ ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ ДВЕ ОКРУЖНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА КРУГЛЫЕ ТЕЛА ИНТЕРЕСНО Дороги имеют обыкновение пересекаться. Для транспорта перекрёсток — это не только возможность сделать поворот, но и определённые проблемы. Чтобы машины, движущиеся в разных направлениях, не мешали друг другу, на больших магистралях строят развязки. В хитросплетении линий развязки, которая носит название «бабочка», легко различить прямые и фрагменты окружности. вы УЗНАЕТЕ О О том, какую прямую называют касательной к окружнос- ти О Как построить касательную ПРЯМАЯ и ОКРУЖНОСТЬ Вы уже знаете, что в геометрии самые важные линии — это прямая и окружность. В главе 2 мы рассмотрели взаимное расположение двух прямых, и вы узнали, что две прямые на плоскости или пересекаются, или не пересекаются, т. е. являются параллельными. А прямая и окружность? Каким может быть их взаимное расположение? ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ На рисунке 5.1 ^ а изображены окружность с центром в точке О и прямая Дг, её не пересекающая. Расстояние от центра О до прямой равно длине перпендикуляра ОМ. Оно больше радиуса окружности. Касательная играет важную роль при описании многих физических явлений. Взгляните на фото; частички песка, земли, вырывающиеся из-под колеса автомобиля, летят по касательной к кругу в точке касания. Точно так же ведут себя и искры — раскалённые чааички точильного камня, оторвавшиеся от него. Будем теперь перемещать прямую параллельно самой себе, приближая её к центру окружности. В какой-то момент расстояние от центра до прямой станет равным радиусу и точка М окажется на окружности (рис. 5.i, б). В этом случае прямую k называют касательной к окружности, а точку М — точкой касания. Продолжим движение прямой к центру. Расстояние от центра до прямой сначала будет уменьшаться, а после того как прямая пройдёт через центр, будет снова увеличиваться. Всё время, пока это расстояние будет меньше радиуса, прямая будет пересекать окружность (рис. 5.1, в). Как только оно опять станет равным радиусу, мы получим ещё одну касательную (рис. 5.1, г). А затем прямая и окружность вновь не будут иметь общих точек (рис. 5.1, д). Прямая и окружность могут иметь одну общую точку (прямая является касательной к окружности), две общие точки (в этом случае прямую называют секущей), а могут и не иметь общих точек. ПОСТРОЕНИЕ касательной ___________________ Из рисунка 5.1, б понятно следующее важное свойство касательной: rtr о Касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведённому в точку касания. На этом свойстве основан способ построения касательной к окружности. Пусть дана окружность с центром в точке О и на ней отмечена точка А (рис. (^)- Проведите касательную к окружности в точке А. Для этого: 1) проведите радиус О А (рис.(^); 2) постройте прямую d, перпендикулярную радиусу О А и проходящую через точку А (рис. (^, (J)). Прямая d — касательная к окружности в точке А. (Г Рассмотрите рисунок 5.2. На нём вы видите окружность, на которой отмечены 5 точек. В каждой из них проведена касательная к окружности. Пересекаясь, касательные образуют пятиугольник. Обратите внимание: окружность касается каждой стороны пятиугольника. В таком случае говорят, что окружность вписана в пятиугольник или что пятиугольник описан вокруг окружности. Точно так же можно начертить, например, треугольник, описанный вокруг окружности, окружность, вписанную в четырёхугольник. 5.2: ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: д Перечислите все случаи взаимного расположения прямой и окружности. О Радиус окружности равен 2 см (рис. 5.1). На каком рисунке изображён случай, когда расстояние от центра окружности до прямой равно 1 см? 3 см? 2 см? Q Каким свойством обладает касательная к окружности? д Сколько можно провести касательных к окружноаи, параллельных некоторой прямой? ©Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? 273 УПРАЖНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫЕ К ОКРУЖНОСТИ Какая из четырёх параллельных прямых является касательной к окружности (рис. 5.3)? К окружности, радиус которой равен 6 см, проведены две параллельные касательные (рис. 5.4). Чему равно расстояние между ними? В таблице даны радиус окружности и расстояние от центра этой окружности до некоторой прямой. Радиус окружности, см 3 3 3 Расстояние от центра окружности до прямой, см 2 3 4 Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности в каждом случае? Проверьте себя, выполнив построения. Как надо провести прямую, пересекаюп^ую окружность, чтобы длина отрезка, соединяющего точки пересечения, была наибольшей? Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку А. Постройте касательную к окружности в точке А. Начертите окружность радиусом 3 см. Проведите какую-нибудь прямую через центр окружности. Постройте касательные к окружности: а) перпендикулярные проведённой прямой; б) параллельные проведённой прямой. Е JL □ □ □ j. ^ - ■ 1 7 ■ ПРЯМАЯ и ОКРУЖНОСТЬ ^ It 279 Начертите окружность. Проведите: а) три касательные к окружности так, чтобы они образовали треугольник; б) четыре касательные к окружности так, чтобы образовался четырёхугольник. Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность, вписанную в этот квадрат. Скопируйте рисунок 5.5. 5.5 1 283 ГДЕ ЛЕЖАТ ЦЕНТРЫ ОКРУЖНОСТЕЙ Начертите две параллельные прямые. Постройте какую-нибудь окружность, для которой обе эти прямые являются касательными. Сколько таких окружностей можно построить? Где лежат их центры? Проведите прямую и постройте какую-нибудь окружность радиусом 3 см, для которой эта прямая является касательной. Сколько таких окружностей можно построить? Где расположены их центры? Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку М. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точке М. Где лежат центры всех таких окружностей? ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ д. г ■1 1) Рассмотрите рисунок. Вы видите угол А и окружность^ которая касается сторон этого угла. Центр окружности лежит на биссектрисе угла А. Объясните, как начертить окружность, касающуюся сторон утла. ^ 2) Начертите произвольный угол и постройте окружность, касающуюся сторон угла. 3) Начертите угол, равный 40°. Постройте окружность, касающу*оея"г сторон угла, центр которой удалён от вершины у1гла на 5 см. | J 4) Начертите угол, равный 50°. Постройте такую Окружность^ кНфдЬГ щуюся сторон угла, чтобы точка касания угла на 3 см. ‘ 1 ' М вы УЗНАЕТЕ О о том, что касание окружностей может быть внешним или внутренним О Какие окружности называют концентрическими 9 Как найти точку, равноудалённую от концов отрезка Окружности часто можно видеть на различных эмблемах. Например, эмблема Олимпийских игр — это пять сплетённых колец. ДВЕ ОКРУЖНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ м. -ы рассмотрели взаимное расположение двух прямых, прямой и окружности. Теперь рассмотрим взаимное расположение двух окружностей. Две окружности пересекаются, не пересекаются или касаются друг друга. Однако различают два разных случая касания окружностей. Да и не пересекаться окружности могут по-разному, ведь одна окружность может оказаться внутри другой. Чтобы рассмотреть все случаи взаимного расположения двух окружностей, снова используем перемещение. ДВЕ ОКРУЖНОСТИ На рисунке 5.6, а изображены две окружности. Точка О — центр большей окружности, точка Р — центр меньшей. Центры окружностей соединены отрезком. Меньшая окружность целиком находится вне большей, и, как вы видите из рисунка, в этом случае расстояние ОР между их центрами больше суммы радиусов. 0 Начнём перемещать меньшую окружность по направлению к большей. При этом центры окружностей будут сближаться. В какой-то момент меньшая окружность коснётся большей, а расстояние ОР между центрами станет равным сумме радиусов (рис. 5.6, б). Такое касание окружностей называется внешним. Если дальше сближать центры, то окружности сначала будут пересекаться (рис. 5.7, а), а затем снова коснутся друг друга (рис. 5.7, б). На этот раз касание будет внутренним, потому что меньшая окружность целиком окажется внутри большей. В этом случае расстояние ОР между центрами станет равным разности радиусов. Сближая и дальше центры окружностей, мы снова получим непересекаюш,иеся окружности, но теперь меньшая будет лежать внутри большей (рис. 5.8, а). В случае когда центры совпадают, окружности называют концентрическими (рис. 5.8, б). ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ. РАВНОУДАЛЕННОЙ ОТ КОНЦОВ ОТРЕЗКА Середина отрезка одинаково удалена от его концов. И другой такой точки на отрезке нет. А вот на плоскости есть. Найти точки, равноудалённые от концов отрезка, нам помогут две окружности. Возьмём отрезок MN и проведём две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках М и N (рис. 5..9). (Чтобы эти окружности пересек- лись, радиус каждой из них должен быть больше половины отрезка MN.) На рисунке точки пересечения окружностей обозначены буквами А и В. Точка А находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка (оно равно радиусу окружности). Это же можно сказать и о точке В. Проведём еш;ё пару окружностей равных радиусов — одну с центром в точке М, а другую с центром в точке N. И ещё. Каждый раз при этом мы будем получать две точки, равноудалённые от концов отрезка. И таких точек бесконечно много. Где лежат все такие точки? На прямой, перпендикулярной отрезку MN и проходящей через его середину (рис. 5.10). 5.10 Бросив камешек в спокойную гладь водоёма, вы увидите, как от точки падения камня разбегается сразу несколько концентрических окружностей. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Расскажите о всех случаях взаимного расположения двух окружностей и изобразите их от руки. О Пусть радиус одной окружности равен 4 см, а другой - 3 см. В каком случае касание окружноаей будет внешним, а в каком внутренним? д Пересекаются ли окружности, если их радиусы равны 4 см и 3 см, а расстояние между центрами: а) 7 см; б) 6 см; в) 8 см? О Начертите отрезок АВ = S см. Постройте точку С, удалённую от точек /А и 6 на 4 см. JL .. __ - ■- 287 288 УПРАЖНЕНИЯ ЧЕРТИМ ОКРУЖНОСТИ Начертите в тетради две равные окружности так, чтобы они: а) пересекались; б) не пересекались; в) касались друг друга. В каждом случае измерьте расстояние между центрами окружностей. Начертите три концентрические окружности с радиусами 2 см, 3 см, 4 см. Постройте две окружности по данным, приведённым в таблице. В каждом случае найдите расстояние между самыми близкими точками двух окружностей. Расстояние между центрами, см Радиус первой окружности, см Радиус второй окружности, см 1 4 2 6 2 2 5 2 3 Указание. Начните с построения центров окружностей. Выполните построения и ответьте на вопрос. Расстояние между точками А vl В равно 4 см. Точка А — центр окружности, радиус которой равен 1,5 см. Две окружности с центрами в точке В касаются окружности с центром в точке А. Чему равны их радиусы? РЕШАЕМ ЗАДАЧУ ПО РИСУНКУ а) Радиус меньшей окружности равен 3 см, радиус большей — 5 см (рис. 5.11). Чему равно расстояние между центрами окружностей? 5.11 5.12 б) Расстояние между центрами окружностей равно 2,5 см (рис. 5.12). Чему равны радиусы окружностей? Найдите периметр четырёхугольника ABCD (рис. 5.13). (Считайте, что сторона одной клетки равна 5 мм.) 295 296 297 Проведены две окружности с центром в точке Р и окружность с центром в точке О, которая касается первых двух (рис. 5.14). Известен радиус третьей окружности и расстояние между центрами. Найдите радиусы первых двух окружностей. ОР = 5 см 5.14 ОР = 3 см УЗОРЫ ИЗ окружностей Постройте в тетради цветок, изображённый на рисунке 5.15. 5.15 ® Скопируйте узор, образуемый дугами окружностей (рис. 5.16). 5.16 РАССУЖДАЕМ ПО СХЕМАТИЧЕСКОМУ РИСУНКУ Дополните предложение: «Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами ... суммы радиусов окружностей, но ... разности их радиусов». Указание. Сделайте схематические рисунки. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 5 см, а расстояние между наиболее удалёнными точками: а) 18 см; б) 16 см; в) 13 см; г) 8 см. Найдите расстояние между центрами окружностей. Подсказка. Выполните построение или воспользуйтесь рисунками 5.6—5.8. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ -I—I—I- -^ля жая^дого случая взаимного расположения дву|х|-фсруз|ЕСНОс|г^ (рис. 5.6, 5.7) определите, сколько можно провести мых, касающихся обеих окружностей^—г Пп вы УЗНАЕТЕ О Как построить треугольник, если известны длины его сторон Что называют неравенством треугольника © “t \ А С || , . ,1 . ■ ,1 »1, Ifl . . Г-,- 0 1»1Ч5в1в jep/ 1 ..„1 ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА Проведите такой эксперимент: соберите из элементов металлического конструктора четырёхугольник и треугольник и попробуйте подвигать их стороны. Четырёхугольник при этом будет трансформироваться, а треугольник нет. Говорят, что треугольник — жёсткая фигура. С чем это связано? Попробуем разобраться. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ СТОРОНАМ По- строим треугольник со сторонами, равными 3 см, 4 см и 5 см. Для этого нам придётся воспользоваться циркулем и линейкой. 1) Начертите отрезок, равный одной из сторон треугольника, например 5 см. Обозначьте его концы — две вершины будугцего треугольника — буквами А и. С (рис. @). 2) Третья вершина треугольника удалена от одной вершины на 3 см, а от другой на 4 см, значит, она является точкой пересечения окружностей радиусов 3 см и 4 см с центрами в точках А и С. Проведите окружность с центром в точке А радиусом 3 см и окружность с центром в точке С радиусом 4 см (рис. (^)- 3) Убедитесь, что окружности пересекаются в двух точках. Обозначьте одну из них буквой В и проведите отрезки АВ и ВС (рис. @). Вы получите треугольник АВС^ имеюш;ий заданные стороны. Понятно, что если бы мы взяли другую точку пересечения окружностей, то получили бы треугольник, равный треугольнику АВС. Теперь понятно, с чем связана жёсткость треугольника: как говорят математики, треугольник однозначно определяется тремя своими сторонами. На этом свойстве основано его широкое применение на практике, например для закрепления деталей различных конструкций. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА _____________________________Из любых ли трёх отрезков можно построить треугольник? Попытаемся построить треугольник со сторонами 1 см, 2 см и 4 см. Сделать это нам не удастся (рис. 5.i7, а): окружности не пересекутся. Неудача постигнет нас и в том случае, если мы попытаемся построить треугольник со сторонами 2 см, 2 см и 4 см (рис. 5.17, б): окружности лишь коснутся друг друга. Эти примеры показывают, что не любые три отрезка могут быть сторонами треугольника. © © Возникает вопрос: в каком случае три отрезка могут быть сторонами треугольника, а в каком нет? Обратите внимание на то, что в первом построении окружности не пересеклись, потому что расстояние между их центрами больше суммы их радиусов (рис. 5.17, а). Во втором построении окружности не пересеклись, так как расстояние между центрами равно сумме радиусов (рис. 5.17, б). Из проведённых построений понятно, что из трёх отрезков можно построить треугольник, если каждый из этих отрезков меньше суммы двух других. На самом деле достаточно проверить, что наибольший отрезок меньше суммы двух других. Мы пришли к выводу, который математики называют неравенством треугольника. Любая сторона треугольника меньше суммы I двух других его сторон. | ______________________________________________! ГЛАВА^З ■ ОКРУЯ<НОСТЬ;Зу 298 299 302 УПРАЖНЕНИЯ ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА Отрезки, изображённые на рисунке 5,18, — стороны треугольника. Постройте этот треугольник. Построить треугольник можно не только тогда, когда заданы три его стороны. Можно построить ^ треугольник и в том случае, если известны две его ' ’ стороны и угол между ними. 5.18 Постройте треугольник со сторонами 3 см и 5 см и с углом между этими сторонами, равным 80°, по следующему алгоритму: 1) начертите угол, равный 80°; 2) на одной стороне угла отложите отрезок, равный 3 см, а на другой — равный 5 см; 3) соедините концы отрезков. Постройте треугольник, если даны две его стороны и угол между ними: а) 6 см, 7 см и 30°; б) 3 см, 4 см и 120°. Постройте равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 5 см, а угол между ними равен: а) 40°; б) 110°. Постройте прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 4 см и 3 см. Рассмотрите рисунок 5.19. Какие элементы треугольника известны? Расскажите, как построить треугольник по этим элементам, и выполните построение. 5.19 Постройте треугольник по элементам, заданным на рисунке 5.20. © у/ 3 см 1 \ 3 см 4 см X 305 н Многоугольник, изображённый на рисунке 5.21, а, называют снежинкой Коха. Постройте её. Для этого: 1) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см (рис. 5.21, б); 2) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник (рис. 5.21, в); 3) повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника (рис. 5.21у г); 4) чтобы получить снежинку, изображённую на рисунке 5.21 у а, надо сделать ещё один шаг построения. 5.21 306 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ Во сколько раз увеличивается число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения (см. рис. 5.21)? Во сколько раз при этом уменьшается длина её стороны? Для каждого шага построения определите число сторон снежинки и её периметр. т НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА 1) Убедитесь, что нельзя построить треугольник, стороны которого равны: а) 7 см, 3 см и 3 см; б) 6 см, 4 см и 2 см. Измените длину одной из сторон так, чтобы треугольник можно было построить. 2) Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 11 см, 13 см, 25 см; б) 15 см, 6 см, 12 см; в) 20 см, 18 см, 38 см? о 18 fit В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 7 см, а другая — 15 см. Какая сторона является основанием? Даны четыре отрезка длиной 2 см, 3 см, 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков? ii ■f! II II -1г ГЛАВА 5 ■ ОКРУЖНОСТЬ вы УЗНАЕТЕ ©Что представляют собой шар, цилиндр и конус О Какие сечения они могут иметь ||' Слово «конус» переводится древнегреческого как «шишка» или «верхушка шлема». Форму конуса имеют, например, воронка, горка песка, вулкан. Слово «цилиндр» пришло к нам из Древней Греции и происходит от слова, означающего «валик». Форму цилиндра имеют многие предметы, созданные руками человека: колонны зданий, трубы, стаканы и др. КРУГЛЫЕ ТЕЛА ^^ормы предметов окружающего мира весьма разнообразны. Среди них встречаются не только многогранники, но и так называемые круглые тела. Прежде всего это цилиндр, конус, шар. ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР У многогранника все части поверхности плоские. Поверхности цилиндра и конуса состоят как из плоских частей, так и кривых, а шар — «абсолютно круглый» (рис. 5.22). 5.22 Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности, которую ещё называют цилиндрической. Основания цилиндра — это два равных круга, расположенные в параллельных плоскостях. На рисунке их изображают в виде двух эллипсов — «сплюснутых» окружностей (рис. 5.23). Отрезок, соединяющий центры оснований, перпендикулярен каждому из них. Его называют высотой цилиндра. Конус в определённом смысле напоминает пирамиду. У него, как и у пирамиды, есть вершина и основание, только в основании лежит не многоугольник, а круг. Перпендикуляр, проведённый из вершины конуса к плоскости основания, попадает в центр круга (рис. 5.24). Этот перпендикуляр называют высотой конуса. Особое место среди круглых тел занимает шар. Поверхность шара называется сферой. Древние греки считали сферу «наиболее прекрасной из твёрдых фигур». у шара и сферы, так же как у круга и окружности, есть центр, радиус и диаметр (рис. 5,25). Границей круга, как вам известно, является окружность, а границей шара — сфера. СЕЧЕНИЯ Еш;ё в древности математики интересовались тем, какие фигуры получаются при сечении этих тел плоскостью. Представьте, что шар рассекается плоскостью, подобно тому как апельсин разрезается ножом. При рассечении шара может получиться только круг. Диаметр круга будет наибольшим, когда плоскость сечения пройдёт через центр шара (рис. 5.26). Соответствующие таким кругам окружности называются большими окружностями. Их диаметры равны диаметру шара. Мы называем нашу планету земным шаром (правда, шар этот чуть «сплюснут» у полюсов). А пример сферы - это оболочка мяча, плёнка мыльного пузыря. Само слово «сфера» происходит от греческого слова, означающего «мяч», «шар». Вспомните параллели и меридианы, на-Д ^ несённые на глобус. Параллели — это и есть окружности, получаемые при «разрезании» земного шара параллельными плоскостями. Самая большая параллель — это экватор, его диаметр равен диаметру Земли. Когда параллели приближаются к полюсам, их диаметры уменьшаются. Меридианы же — это большие полуокружности, проходящие через полюсы. При рассечении цилиндра и конуса плоскостями наряду с окружностью получаются и другие линии. На рисунке 5.27, а поверхность цилиндра рассекается плоскостью, которая параллельна его основаниям. В сечении получается окружность. Если же плоскость пройдёт «наискосок» (как показано на рисунке 5.27, б), то в сечении получится уже не окружность, а эллипс. 5.27 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: Q Назовите несколько предметов, имеющих форму шара, цилиндра, конуса. О Проведите на поверхности мяча несколько больших окружностей. Сколько их можно провести? Можно ли провести две большие окружности так, чтобы они не пересекались? в В сечении каких круглых тел может получиться прямоугольник? круг? треугольник? эллипс? I 312 313 УПРАЖНЕНИЯ МОДЕЛИРУЕМ а) Возьмите прямоугольный лист бумаги и сверните из него боковую поверхность цилиндра. Чему равна его высота? Сверните из этого же листа цилиндр с другой высотой. б) Вырежите из одного и того же круга два неравных сектора. Сверните кг1ждый сектор в конус. Какой конус оказался выше: пол^^енный из большего сектора или из меньшего? а) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так, чтобы в сечении получился круг; эллипс. Как надо разрезать цилиндр, чтобы в сечении получился прямоугольник? б) Вылепите из пластилина конус. Разрежьте его так, чтобы в сечении получился эллипс. Как надо разрезать конус, чтобы в сечении получить треугольник? круг? а) Возьмите четыре шарика для настольного тенниса. Расположите их так, чтобы каждый касался трёх других. Вершинами какого многогранника являются центры этих шаров? Найдите длины рёбер этого многогранника, если диаметр каждого шара равен 4 см. б) Пушечные ядра сложены пирамидой в 3 яруса (рис. 5.28). Сколько ядер в этой пирамиде? 5.28 Поверхности цилиндра и конуса, как и поверхность многогранника, можно развернуть на плоскость. Развёртки этих тел изображены на рисунке 5.29. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, а боковая поверхность конуса — в круговой сектор. Перенесите развёртки на лист бумаги, увеличив их в 3 раза. Вырежите и склейте из них цилиндр и конус. © 5.29 Указание. Не забудьте дорисовать клапаны для склеивания. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ 1) Ответьте на вопросы, сделав соответствуюшце рисунки. На сколько частей делится окружность одним диаметрюм? двумя диаметрами? тремя диаметрами? 2) Ответьте на вопросы, нарисовав соответствуюш;ие окружности мелом на мяче. На сколько частей делится сфера одной большой окружностью? двумя большими окружностями? тремя большими окружностями? Подсказка. Будьте внимательны: в последнем случае ответ неоднозначен. □ ]1 1 ■ I I I I I I I I I I I 1 1 Скопируйте в тетрадь изображение цилиндра, конуса, шара (рис. 5.SO). Нанесите на изображение каждого тела какое-нибудь сечение, имеющее форму круга. 5.S0 317 320 i-| 321 Диаметр шара равен 10 см. Какие из изображённых на рисунке 5.S1 отрезков равны 5 см? Плоскость, параллельная основанию конуса, рассекла его на две части. Зарисуйте ту часть, которую называют усечённым конусом. КОМБИНАЦИИ ТЕЛ Цилиндр помещён в параллелепипед так, что касается всех его граней (рис. 5.32). Чему равна высота цилиндра? Чему равен радиус основания цилиндра? а) Шар поместили в куб так, что он касается всех граней куба (рис. 5.33). Сколько всего точек касания? Ребро куба равно 6 см. Чему равен диаметр шара? 5.31 30 см б) Можно ли поместить в куб с ребром 7 см шар радиусом 4 см? 24 см 30 см 5^32 Шар помещён в цилиндр так, что он касается и его боковой поверхности, и оснований (рис. 5.34). Радиус основания цилиндра равен 5 см. Чему равен диаметр шара? Чему равна высота цилиндра? Одинаковые шары укладывают в коробку в форме куба, располагая их строго один под другим. Сколько шаров диаметром 1 см войдёт в коробку с ребром 4 см (рис. 5.35)1 А шаров радиусом 1 см? 5.33 5.34 / _ А /} Л О 5.35 П ПОДВЕДЕМ ИТОГИ Назовите все случаи взаимного расположения: а) прямой и окружности; б) двух окружностей. Начертите окружность, отметьте на ней какую-нибудь точку и постройте касательную к окружности в этой точке. Две окружности касаются внешним образом. Радиус одной из них равен 4 см, а расстояние между центрами окружностей — 7 см. Найдите радиус другой окружности. Радиусы двух окружностей равны 7 см и 11 см, а расстояние между их центрами — 19 см. Как расположены окружности по отношению друг к другу? Постройте: а) треугольник со сторонами, равными 3 см, 5 см и 7 см; б) равнобедренный треугольник, основание которого равно 7 см, а боковые стороны — 4 см; в) равносторонний треугольник со стороной 5 см. б) Сформулируйте неравенство треугольника. Можно ли построить треугольник со сторонами, равными: а) 2 см, 4 см, 5 см; в) 5 см, 5 см, 11 см; б) 7 см, 1 см, 8 см; г) 10 см, 2 см, 6 см? Выполните задание. 1) Постройте равносторонний треугольник АВС со стороной 4 см. 2) Проведите окружности с центрами в вершинах треугольника и радиусом, равным 2 см. 3) Точки касания окружностей обозначьте следуюш;им образом: точку, лежащую на стороне ВС, — А^; точку, лежащую на стороне АС, — В^; точку, лежащую на стороне АВ, — Cj. 4) Проведите лучи АА^, ВВ^, CCj. Точку пересечения лучей обозначьте буквой О. 5) Точка О — центр двух окружностей, касающихся каждой из трёх построенных окружностей внешним и внутренним образом. Проведите эти окружности: с меньшим радиусом — от руки, с большим — с помощью циркуля. il^- глава что ТАКОЕ ОТНОШЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН. МАСШТАБ ПРОЦЕНТЫ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ «ГЛАВНАЯ» ЗАДАЧА НА ПРОЦЕНТЫ ВЫРАЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕНТАХ что ТАКОЕ ОТНОШЕНИЕ вы УЗНАЕТЕ О Что называют отношением • В каком случае применяют термин «отношение» ® Как разделить величину в заданном отношении- Золотое сечение - это отношение длин отрезков, примерно равное 5 : 3. Например, если вы начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см, то соотношение его размеров даст вам представление о золотом сечении. Принято считать, что объекты, в которых «присутствует» золотое сечение, воспринимаются людьми как наиболее гармоничные, поэтому соответствующие пропорции широко применяются в искусстве, архитектуре. Особенно славится этим архитектура древности. Так, фасад древнегреческого храма Парфенона вписывается в прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. .7*. Сравнить между собой два числа или две величины можно двумя способами. Если надо выяснить, на сколько одно число больше (меньше) другого, вычисляют разность этих чисел. Если же надо узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого или какую часть одно число составляет от другого, вычисляют частное. Оба способа сравнения постоянно используют на практике, но служат они разным целям. ЧТО НАЗЫВАЮТ ОТНОШЕНИЕМ ДВУХ ЧИСЕЛ Рассмотрим пример. В городе Северогорске проводится лыжный забег, в котором участвуют все желающие. В этом году число участников увеличилось на 50 человек по сравнению с прошлым годом. Это означает, что разность между числом участников этого и прошлого года равна 50. Возникает вопрос: много это или мало? Ответ на него зависит от того, сколько человек участвовало в забеге в прошлом году. ЕЗсли, например, их было 25, то в этом году их стало 75, т. е. в 3 раза больше. Это довольно большой прирост. Если же их было 1000 человек, то число участников увеличилось только в 1050 1000 = 1,05 раза, т. е. осталось почти тем же. Вообще если надо получить качественную оценку ситуации, то числа или величины сравнивают с помопщю деления. В этих случаях вместо слова «частное» употребляют термин «отношение». Иными словами, отношение двух чисел — это другое название их частного. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Вернёмся к примеру о лыжном забеге. Используя термин «отношение», в первом случае можно было сказать: отношение числа участников лыжного забега этого года к числу участников прошлого года равно 3. Так же как и в случае частного, отношением называют и значение выражения, и само выражение. Напри-75 мер, —, или 75 : 25 (читают: отношение семидесяти пя-25 ти к двадцати пяти). Иногда отношение оставляют «ыевычислеыыым» и говорят: «Число лыжников прошлого года относится к числу лыжников этого года как 75 к 25», при этом для записи отношения используют двоеточие. m 75 3 Так как = т» то можно записать равенство: 25 1 75 : 25 = 3 : 1. 21b что такое отношение Если умножить ИЛИ разделить оба члена отношения на одно и то же число, не равное нулю, то получится отношение, равное данному. Рассмотрим такой пример. В результате опроса, проведённого в школе. ) выяснилось, что отношение числа школьников, не умеющих плавать, к общему числу учащихся школы равно —. О Это означает, что не умеющие плавать составляют пятую часть учащихся этой школы (умеющие плавать — —). Иногда говорят ещё и так: «Каждый пятый учащийся школы О не умеет плавать» или «Четыре из пяти учащихся школы умеют плавать». ДЕЛЕНИЕ В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ В жизни нам часто приходится делить ту или иную величину на части, отношение которых равно заданному отношению. В таких случаях говорят: разделить величину в данном отношении. Пример 1. Для учащихся пятых и шестых классов школы выделили 35 билетов на новогоднюю ёлку в мэрию. В пятых классах учится 54 человека, а в шестых — 72. Решили, что будет справедливо разделить билеты между пятыми и шестыми классами в том же отношении, в котором находится число пятиклассников к числу шестиклассников, т. е. в отношении 54 к 72. Упростим это отношение: 54 : 72 = 3 : 4. Таким образом, надо разделить 35 билетов в отношении 3 : 4, т. е. разделить их на равные части так, чтобы три из этих частей отдать пятиклассникам, а четыре — шестиклассникам. Сделать это можно, решив знакомую вам задачу на части: 1) Всего имеется 3 -I- 4 = 7 (частей). 2) На каждую часть приходится 35 : 7 = 5 (билетов). 3) Пятиклассники получат 5 • 3 = 15 (билетов). 4) Шестиклассники получат 5 • 4 = 20 (билетов). Пример 2. Учащиеся во время зимних каникул отдыхали в спортивном лагере. Число мальчиков относилось к числу девочек как 5:3, причём мальчиков было на 10 больше, чем девочек. Узнаем, сколько мальчиков и сколько девочек было в лагере. Это тоже задача на части, и решить её можно так: 1) На долю мальчиков приходится на 2 части больше, чем на долю девочек: 5-3 = 2. 2) Эти 2 части составляют 10 учащихся, значит, одна часть составляет 10 : 2 = 5 (человек). 3) Мальчики составляют 5 частей, поэтому всего их 5 • 5 = 25 (человек). 4) Девочки составляют 3 части, значит, всего их в лагере 5*3 = 15 (человек). Можно найти число девочек иначе: 25 - 10 = 15. шм ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: Q Что называют отношением двух чисел? Что показывает отношение двух чисел? О Число красных карандашей относится к числу синих как 7:2. Определите, во сколько раз красных карандашей больше, чем синих; какую часть синие карандаши составляют от красных. О Упроаите отношение 12:8. 322 323 324 325 326 327 □ 1 328 Г 329 j JD □□ . [ Г jrx][; УПРАЖНЕНИЯ ОТНОШЕНИЕ В июне 18 дней были солнечными, а 12 — дождливыми. а) Вычислите отношение числа солнечных дней к числу дождливых дней и обратное отношение. Объясните, что показывает каждое из этих отношений. б) Составьте и вычислите еш;ё какие-нибудь отношения, используя условие задачи. Что они показывают? 2 3 Напишите несколько отношений, равных: а) 10; б) 0,1; в) -; г) -. О 2i Прочитайте отношение и вычислите его: а) 24 : 32; б) 1,8 : 4,5; 3 = 2= -)2М. ^ 2 6 а) Отношение числа красных шариков к числу синих равно 5:2. Каких шариков больше и во сколько раз? Запишите обратное отношение. Что оно показывает? б) Ручка в 1,5 раза дороже карандаша. Чему равно отношение стоимости ручки к стоимости карандаша? Чему равно отношение стоимости карандаша к стоимости ручки? В тетради 30 чистых и 18 исписанных листов. Что показывает каждое из отношений: 30 : 18; 18 : 30; 30 : 48; 18 : 48? Замените каждое из данных отношений равным, записанным меньшими числами. Из 20-литрового бидона, наполненного молоком, вылили 6 л. Какое из следующих отношений означает отношение количества вылитого молока к оставшемуся? 1) 3 : 10 2) 7 : 3 3) 3 : 7 4) 10 : 3 S = i’ ч 1 2 2 ■ i- Замените данное отношение равным ему отношением целых чисел: а) 0,5 : 1,5; б) 4,5 : 2,7; Образец, Заменим отношение 2,5 : 1,5 равным ему отношением целых чисел. Сначала избавимся от дробей, умножив оба члена отношения на 10, а затем разделим оба члена нового отношения на их общий делитель: 2,5 : 1,5 = 25 : 15 = 5 : 3. Начертите какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно: а) 1 : 2; б) 5 : 3; в) 1 : 1. Начертите отрезок АВ. Отметьте на нём точку С таким образом, чтобы выполнялось условие: ВС Ч 24С г) ^ = 2. ^ ВС г г Г I 331 33 \2 Андрей и Борис занимаются боксом. На тренировках Андрей из 18 проведённых боёв выиграл 7, а Борис из 12 боёв выиграл 5. Чей результат лучше? Прочитайте текст рубрики «В фокусе» на с. 105. Опишите аналогичным способом следующую ситуацию: а) отношение числа финалистов к числу участников конкурса равно б) отношение числа забитых шайб к числу бросков по воротам равно Сформулируйте утверждение иначе, используя слово «отношение»: а) каждый тридцатый школьник — рыжий; б) каждый восьмой из пропустивших уроки — прогульщик. ДЕЛЕНИЕ В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ На изучение математики в 7 классе отводится 170 уроков. Это время распределяется между алгеброй и геометрией в отношении 3:2. Сколько в учебном году уроков алгебры и сколько геометрии? Сплав состоит из меди и цинка, массы которых относятся как 9 В сплаве 1 кг 350 г меди. Сколько в этом сплаве цинка? 8. Отношение числа мальчиков в школе к числу девочек равно 5:4. Какую часть от числа всех учащихся школы составляют мальчики и какую девочки? 338 339 у хозяина две собаки. Большая весит 9 кг, а маленькая — 3 кг. Он разделил между ними пакет с кормом в отношении, равном отношению их масс. Какая часть корма досталась маленькой собаке? Выберите верный ответ. 2)3 В школьном хоре число пятиклассников относится к числу шестиклассников как 5:8. Решите следующие задачи: а) Сколько в хоре пятиклассников, если в нём 16 шестиклассников? б) Сколько всего учащихся пятых и шестых классов среди участников хора, если в нём 20 пятиклассников? в) Сколько всего учащихся пятых и шестых классов в хоре, если шестиклассников на 9 больше, чем пятиклассников? г) На сколько больше в хоре учащихся щестых классов, чем учащихся пятых, если всего в хоре 26 пятиклассников и шестиклассников? Учитель разложил весь имеющийся мел в две коробки в отношении 7:4. Когда из первой коробки израсходовали 12 кусков, то мела в коробках стало поровну. Сколько всего кусков мела было у учителя первоначально? ГЛАВА б ■ ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ ВЫ УЗНАЕТЕ ©Чем различаются отношения одноимённых и разноимённых величин © Что называют масштабом В Японии, недалеко от Токио, еаь парк, в котором предаав-лены мировые архитектурные достопримечательности, выполненные в масштабе 1 : 25. Среди других в нём есть копия Парфенона. Это единственное строение из Греции, представленное в этом парке. Макет Парфенона. Япония ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН. МАСШТАБ Примером практического применения отношения величин, который известен вам из уроков природоведения, географии, является масштаб. Масштаб указывается на любой географической карте. Часто вы можете услышать, что изображение какого-либо объекта или его макет сделаны в некотором масштабе. Это означает, что размеры изображения или макета уменьшены по сравнению с самим объектом в одном и том же отношении. ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН В задачах, а также в практической деятельности часто приходится находить отношение величин. Если это одноимённые величины — длины, плош;ади, массы и т. д., то их отношение выражается числом. При вычислении отношения в таких случаях важно следить за тем, чтобы величины были выражены в одних и тех же единицах. Так, например, отношение 10 м к 15 см равно не 10 : 15 или 2:3, а 200 : 3. Действительно, чтобы получить правильный результат, надо выразить эти длины в одних единицах, например в сантиметрах. Если же находят отношение разноимённых величин, то получают новую величину. Так, отношение пути ко времени — это скорость. Если путь измерен в километрах, а время — в часах, то скорость будет выражена в ки- лометрах в час. Например: 180 км 180 км , —Z---- = -Z----= 60 км/ч. Зч 3 ч ' Отметим, что обозначения км/ч, м/с и т. п. приняты именно потому, что расстояние делят на время. И в этих обозначениях принято использовать косую дробную черту. Отношение стоимости товара к его количеству (массе, длине, числу штук и пр.) — это цена товара. Она тоже измеряется в аналогичных единицах: р./кг, р./м, р./шт. Но на практике такие обозначения единиц цены не употребляются. Их выражают словами: *60 р. за килограмм», «27 р. за коробку» и т. д. ЧТО НАЗЫВАЮТ МАСШТАБОМ Любая географическая карта или план какого-либо участка земной поверхности содержат указание на использованный при их составлении масштаб. Он нужен для того, чтобы мы знали, во сколько раз размеры местности, изображён- ной на карте или плане, меньше ее действительных размеров. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб обычно записывают в виде отношения (с помощью дробной черты или двоеточия), первый член которого равен 1, а второй — числу, показывающему, во сколько раз единица длины на карте меньше соответствующей единицы на местности. Так, на рисунке 6.1 вы видите фрагмент карты Зарубежной Европы, масштаб которой 1 : 35 000 000. Это означает, что 1 см на карте изображает 35 000 000 см в реальности, т. е. 350 000 м, или 350 км. Слово «масштаб» употребляется не только в связи с картой, но и более широко — во всех случаях, когда речь идёт о копии какого-либо объекта, выполненной с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же отношении, — о чертеже, плане, макете и др. Рассмотрим две задачи. г I » 1 * « t л ш Задача 1. Расстояние между школой и автобусной остановкой равно 50 м. На плане это расстояние равно 2 см. Найдите масштаб плана. Решение. 1) Выразите расстояния в одних единицах. На плане; 2 см; на местности: 50 м = 5000 см. 2) Составьте отношение расстояния на плане к соответствующему расстоянию на местности и упростите его: 2 : 5000 = 1 : 2500. Ответ: 1 : 2500. Задача 2. Чертёж фасада дома выполнен в масштабе 1:40. Чему равна высота стен дома, если на чертеже она равна 16 см? Решение. 1) Определите по масштабу, во сколько раз реальная высота стен больше, чем их высота на чертеже: в 40 раз. 2) Найдите реальную высоту стен и выразите её в метрах: 16 • 40 = 640 (см) = 6,4 (м). Ответ: 6,4 м. 20" S звла;^^ JTs;; *-ьрстоку от Гринвич820' о ^ ■S&-, Чу . ^ л / « К S; S 5 >• ОСЛО*,.' бтокгольм W ^ Э щ f ^fJlAUr, ■ if КОПЕНГАГЕН ^ - 5 , _ < : - ' ' i БЕРЛИН ч . ядаНДОН А *' »0 .^ОЯИСТЕРЛАМ */ ' т ЧЕХИЯ/ ПАРИЖ I о\ 9 4 ВЕНА* /о 5/аВСТРИЦ ^®5^^'Т1ЮБЛЯ'нАо7/«2 МОНАКО/ .л „cTvii ^ 5,.^ °0rt )‘^а ■ . / \о.Сардиния ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ® Объясните, как найти отношение 40 см к 25 м, и найдите его. Какая величина является отношением пути ко времени? В каких единицах она измеряется? 9 Что называют ‘ масштабом? Масштаб карты 1 : 200 000. Объясните, что показывает это отношение. Найдите отношение: а) 3 км к 759 м; б) 300 м к 2,1 км; Найдите отношение: а) 10 мин к 10 ч; б) 4 ч к 40 мин; в) 700 г к 1 кг; г) 20 т к 160 кг. в) 1,5 ч к 20 мин; г) 30 мин к 1 ч 15 мин. На рисунке буквой h обозначено расстояние от пола до верхнего края лестницы, приставленной к стене, буквой а — расстояние от нижнего края лестницы до стены. Отношение h к а определяет крутизну лестницы. В каком случае крутизна лестницы больше: если Л = 1,8 м и а = 1,2 м или если Л = 2 м и а = 1,5 м? \ 343 ■ 344 IBI ЕЯВК Щ Q 45 Мама готовила сироп для варенья. В одну банку она налила 500 г воды и насыпала 120 г сахара, в другую — 600 г воды и 180 г сахара. В какой банке вода слаш;е? Ответьте на вопрос задачи, составив и вычислив соответствуюгцее отношение. а) На принтере распечатали 100 страниц за 12,5 мин. Какова скорость печати принтера? б) Турист прошёл 8 км за 1,6 ч. С какой скоростью шёл турист? Составьте по данному условию два отношения. В каждом случае поясните смысл образовавшейся величины и укажите, в каких единицах она измеряется. а) За 2 ч Толя прочитал 60 страниц очень интересной книги. б) Купили 20 м электропровода, заплатив 146 р. в) Сделав 10 шагов, Петя прошёл 4 м. г) На принтере распечатали 30 страниц за 5 мин. Скорость звука в воздухе равна примерно 300 м/с. Артиллерийский снаряд летит со скоростью 1,5 км/с. Во сколько раз скорость артиллерийского снаряда больше скорости звука? Какую часть скорости артиллерийского снаряда составляет скорость звука? CT^papfyunl Объясните, в чём ошибка, и запишите отношение правильно: 1) 30 кг относятся к 1 т как 30 : 1; 2) 1,2 ч относятся к 24 мин как 1 : 20; 3) 20 см относятся к 2 м как 10 : 1. $ V - I ■ ■ 349 22 ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН. МАСШТАБ.« 350 ■ 1 351 ■ 1 Расстояние между двумя посёлками на карте равно 4 см, а расстояние между этими посёлками на местности равно 4 км. Определите масштаб карты. Масштаб плана 1 : 1000. Зная это, выполните следуюш;ие задания: 1) Укажите, во сколько раз расстояние между двумя точками на плане меньше расстояния между этими точками на местности. Во сколько раз расстояние на местности больше соответствуюпдего расстояния на плане? 2) Определите расстояние между двумя точками на местности, если на плане оно равно 1,5 см; 12 см. 3) Определите, каким должно быть расстояние между двумя точками на плане, если в действительности оно равно 0,5 км. а) На карте, масштаб которой 1 : 5 000 000, расстояние между Москвой и Курском составляет 9 см. Чему равно расстояние между этими городами в действительности? б) Возьмите карту европейской части России. Запишите в тетради масштаб этой карты. Выполните на карте необходимые измерения и определите, чему равно расстояние: от Москвы до Санкт-Петербурга; от Москвы до Архангельска; от Архангельска до Петрозаводска. На с. 108 вы видите фотографию макета древнегреческого храма Парфенона, выполненного в масштабе 1 : 25. Высота колонн храма на макете равна 41,7 см. Найдите реальную высоту колонн храма, выразите её в метрах, округлите ответ до десятых. Стороны прямоугольника 60 см и 80 см. 1) Начертите в тетради этот прямоугольник в масштабе 1 : 20. 2) Измерьте длину диагонали прямоугольника на своём чертеже и найдите длину диагонали данного прямоугольника. Размеры участка земли прямоугольной формы 30 м и 50 м. Начертите план этого участка в масштабе 1 : 500. Укажите на плане возможное расположение ворот, если они будут установлены на длинной стороне участка на расстоянии 10 м от одного из углов и их ширина будет равна 3 м. Расстояние между посёлками на топографической карте, масштаб которой 1 : 10 000, равно 12 см. Увеличится или уменьшится это расстояние на карте этой же местности, но с другим масштабом, равным 1 : 8000? Каким будет оно на новой карте? Высота стен дома равна 6 м. На чертеже, выполненном в некотором масштабе, она равна 25 см. Чему равна длина фасада этого дома, если на чертеже она изображается отрезком, равным 35 см? 1 1 1 ГЛАВА б ■ ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ ВЫ УЗНАЕТЕ 9 Как выразить проценты десятичной дробью • Как выразить десятичную дробь в процентах Часто употребляемые выражения: «100% чего-либо» - означает «все»; «о % чего-либо» - означает «ни один»; «50% чего-либо» - означает «половина». Например: «100% учащихся» - значит «все учащиеся»; «0% учащихся» - значит «ни один учащийся»; «50% учащихся» — значит «половина учащихся». ПРОЦЕНТЫ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Как вы знаете, процент — это сотая доля величины; 1% — это одна сотая, 8% — это восемь сотых, 17% — это семнадцать сотых. Решая задачи на проценты, вы выражали процент дробью. А так как проценты означают сотые доли, то их очень легко представлять десятичными дробями и использовать десятичные дроби при выполнении процентных вычислений. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕНТА ДЕСЯТИЧНОМ ДРОБЬЮ Рас- смотрим пример, который поможет понять, как выразить проценты десятичной дробью. Пример 1. В состав атмосферы Земли около её поверхности входят следуюпдие газы: азот — 78 %; кислород— 21%; 1% приходится на другие газы, среди которых наибольшую долю составляет аргон, и в очень небольших долях углекислый газ, водород и др. Выразим долю каждого газа десятичной дробью. Можно рассуждать следующ;им образом: Азот: Кислород: 78% — это 21 % — это 78 100 = 0,78. 21 100 = 0,21, Другие газы: 1% — это = 0,01. Можно прийти к такому же результату, рассуждая несколько иначе: 1% — это одна сотая, или 0,01; значит, 78% — это 0,01 • 78 = 0,78, а 21% — это 0,01 • 21 = 0,21. Из рассмотренного примера легко подметить, что выразить процент десятичной дробью можно коротким путём, не проводя приведённые выше рассуждения. Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стояш,ее перед знаком процента, умножить на 0,01, или, что одно и то же, разделить на 100. Выразим десятичной дробью проценты в следующих предложениях: 1) На распродаже цена диска с компьютерной игрой составила 80% от прежней цены. 80% — это 80 : 100 = 0,8, т. е. новая цена диска составила 0,8 его прежней цены. ш , 23 ■ ПРОЦЕНТЫ и ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 2) Через год сумма денег на банковском счёте составила 120% от вложенной суммы. 120% — это 120 : 100 = 1,2, т. е. сумма на счёте увеличилась в 1,2 раза. 3) Вес годовалого ребёнка составил 300 % от его веса при рождении. 300% — это = 3, т. е. вес годовалого ребёнка в 3 раза больше, чем новорождённого. Часто бывает удобно выражать проценты обыкновенной дробью, и некоторые из этих представлений полезно запомнить, например те, которые приведены в таблице на полях. ВЫРАЖЕНИЕ ДРОБИ В ПРОЦЕНТАХ Итак, чтобы перейти от процентов к десятичной дроби, надо число процентов разделить на 100. Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, надо выполнить обратную операцию. Проиллюстрируем это на рассмотренном примере с составом атмосферы Земли. Пример 2. Известно, что азот составляет 0,78 смеси газов, входяпдих в атмосферу. Выразим эту дробь в процентах. Умножив 0,78 на 100, получим, что 0,78 — это 78%. Действительно, ^ гго 78 1 “ 100’ ^ 100 78 это 1%, значит, — это 78%. Таким образом, чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо эту дробь умножить на 100. Например: 0,47 — это 47% (так как 0,47 • 100 = 47); 0,08 — это 8 % (так как 0,08 • 100 = 8); 0,6 — это 60% (так как 0,6 • 100 = 60); 1,2 — это 120% (так как 1,2 • 100 = 120). Чтобы выразить в процентах обыкновенную дробь, надо сначала превратить её в десятичную. Например: 2 2 - = 0,4, значит, - D D это 40%; ^ = 0,64, значит, ^ — это 64 %; 2 2 - ~ 0,67, значит, - — это примерно 67%. О о ь \ I i а" о о. с i ^ 5 0S ю g (И о U X а Ф Ч d 0 к л 1 2ю - I о ■Q Q- VO m С£ о “ 10% 0,1 1 10 20% 0,2 1 5 25% 0,25 1 4 50% 0,5 1 2 75% 0,75 3 4 УПРАЖНЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕНТА ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ Выразите десятичной дробью: а) 27%, 46%, 79%; б) 30%, 90%, 50%; Выразите десятичной дробью, а затем обыкновенной: 25%, 30%, 20%, 75%, 80%, 50%, 2%, 4%. в) 3 % , 9 % , 5 % а) Какую часть всех дней года составили дождливые дни, если их было 30 %? б) Банк ежегодно начисляет на вклад «Семейный» 8% от имеющейся на счёте суммы. Какую часть общей суммы вклада это составляет? 359 1 d 60 Жителям крупных городов задавали вопрос: «Блюда какой кухни вам нравятся?» На рисунке 6,2 изображена диаграмма, показывающая распределение полученных ответов. Выберите ответы, которые дали более 0,1 опрошенных. Выразите проценты, приведённые на диаграмме, в десятичных дробях. Выразите десятичной дробью: 124%, 175%, 105%, 250%. Русская / украинская Кавказская Итальянская Японская Европейская/ средиземноморская Азиатская Среднеазиатская Латино- американская □ 4% Американская ^4% Другое ]2% Нет предпочтений в определённой кухне ]44% □ 19% ]17% ]16% □ l5% ]8% 7% а) Площадь территории Норве- дет предпочтении и \31% ГИИ составляет примерно 123% площади Великобритании. Пло- 6.2 щадь какой страны больше и во сколько раз? б) Численность населения Венгрии составляет 220% от численности населения Хорватии. Население какой страны больше и во сколько раз? ВЫРАЖЕНИЕ ДРОБИ В ПРОЦЕНТАХ Выразите в процентах: а) 0,24 учащихся школы; б) 0,08 учащихся школы; в) 0,75 учащихся школы; г) 0,09 учащихся школы. В школе подсчитали, какая часть её годового бюджета требуется на разные нужды. Результат приведён в таблице. Выразите эти доли в процентах. Как вы считаете, какие школьные потребности могут быть выполнены за год? Статья расхода Доля бюджета Покупка учебников 0,37 Покупка компьютеров 0,8 Ремонт столов 0,08 Ремонт помещений 1,25 Покупка новой мебели 1,1 366 23 ■ ПРОЦЕНТЫ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ j 36 3 1 364 15 Выразите десятичную дробь приближённо в процентах, предварительно округлив её до сотых: а) 0,843; б) 0,1391; в) 0,5016; г) 0,0449. Выразите в процентах, округлив ответ до единиц: а) - учапдихся школы; О б) ^ всех книг библиотеки; в) - населения Хабаровска; г) ^ семейного бюджета. а) Автомобильный завод через полгода после введения в строй начал ежедневно выпускать в 1,3 раза больше автомобилей, чем выпускал первоначально. Сколько процентов от первоначального выпуска составил выпуск автомобилей через полгода? б) За год цена акций автомобильного предприятия повысилась в 2,4 раза. Сколько процентов от прошлогодней цены составила новая цена акций? РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ Не выполняя вычислений, определите, больше или меньше 50% получится, если выразить в процентах дробь: 2 5’ S’ д) 5 ^ 12’ 4 , 2 е) 7 5’ 12* а) Во время распродажи все цены были снижены на 24 %. Какую часть старой цены составили новые? б) Мальчики составляют 0,8 всех учащихся спортивной школы по борьбе. Сколько процентов всех учащихся школы составляют девочки? а) В сентябре доход магазина составил 115% от дохода в августе. На сколько процентов повысился доход в сентябре по сравнению с августом? Во сколько раз увеличился доход магазина в сентябре по сравнению с августом? б) Стоимость коммунальных услуг в городе Северогорске в 2010 г. выросла в 2,1 раза по сравнению с их стоимостью в 2000 г. Сколько процентов составила стоимость коммунальных услуг в 2010 г. от их стоимости в 2000 г.? На сколько процентов повысилась стоимость коммунальных услуг в 2010 г. по сравнению с 2000 г.? а) Во сколько раз увеличилась стоимость товара, если она выросла на 50 %? на 35 %? на 80 %? на 150%? б) Во сколько раз уменьшилась стоимость товара, если его уценили на 50%? на80%? на90%? на95%? вы УЗНАЕТЕ • Как решать задачи на проценты с использованием десятичных дробей ссГЛАВНАЯю ЗАДАЧА НА ПРОЦЕНТЫ Для решения разнообразных згщач на проценты важно научиться решать одну из главных задач: находить некоторое число процентов от заданной величины. Теперь вы сможете использовать при решении таких задач десятичные дроби. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ОТ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ Задача 1. Согласно российским законам человек с каждого заработка обязан платить подоходный налог, который составляет 13% от заработанной суммы. Какой налог должен заплатить человек с зарплаты 6500 р.? Выразим проценты десятичной дробью: 13 : 100 = 0,13. Найдём 0,13 от 6500: 6500 • 0,13 = 845 (р.). Итак, налог составит 845 р. Иногда при нахождении процента от некоторой величины удобно пользоваться обыкновенными дробями — в тех случаях, когда, используя их, вычисления можно выполнить устно. Пусть, например, в старших классах школы учатся 160 учащихся, причём 25% из них занимаются в классах математического профиля. Узнаем, сколько старшеклассников учится в математических классах: 25% — это поэтому 25% от 160 составляют = 40 (учащихся). Теперь при решении задач на проценты вы можете чувствовать себя свободнее и увереннее, так как имеете возможность пользоваться любым удобным вам способом: опираться на смысл понятия процента, переходить от процентов к дроби или от дроби к процентам, вычислять с десятичными дробями или, если удобно, с обыкновенными. ■■■пми УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ НА НЕСКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ __________ Задача 2. Родители решили накопить деньги на обучение сына в университете и внесли 20 000 р. на счёт в банке, по которому в год начисляется 12%. Какая сумма будет на счёте через год? Решим эту задачу разными способами. Способ 1, Найдём 12% от 20 000 р. и прибавим полученную сумму к первоначальному вкладу: 12% — это 0,12; 20 000 • 0,12 = 2400 (р.); 20 000 + 2400 = 22 400 (р.). Способ 2. Можно рассуждать иначе: первоначальный вклад составляет 100 %. Через год сумма на счёте увеличится на 12% и составит 112% от первоначального вклада. Поэтому можно сразу найти 112% от 20 000. Так как 112% — это 1,12, то вклад увеличится в 1,12 раза: 20 000 • 1,12 = 22 400 (р.). Задача 3. Рубашка стоила 900 р. Во время распродажи её цена была снижена на 24 %. Какова новая цена рубашки? Сначала найдём, на сколько рублей снизили цену рубашки во время распродажи: 24% — это 0,24; 900 • 0,24 = 216 (р.). Теперь вычислим новую цену рубашки: 900 - 216 = 684 (р.). Эту задачу, так же как и предыдуш;ую, можно решить и другим способом. Сделайте это самостоятельно. Задача 4. В 1900 г. в Москве было примерно 1,2 млн жителей. К 2002 г. население Москвы увеличилось на 740%. Найдите число жителей Москвы в 2002 г. Сначала выясним, на сколько человек увеличилось население Москвы к 2002 г., т. е. найдём 740% от 1,2 млн. Так как 740 % — это 7,4, то надо 1,2 млн умножить на 7,4: 1,2 млн • 7,4 = 8,88 млн ~ 8,9 млн. Теперь найдём число москвичей в 2002 г.: 1,2 млн + 8,9 млн = 10,1 млн. Понятно, что данные в задаче 4 не являются точными: ведь когда речь идёт о численности населения города, страны, абсолютная точность не требуется, да она и невозможна, так как это число ежедневно меняется. Поэтому нет смысла давать в результате больше знаков после запятой, чем в условии. Именно поэтому полученное в первом действии число 8,88 млн мы округлили до десятых. Задача 5. Цена ковра 9990 р. На распродаже цен была снижена на 20 %. Сколько примерно рублей мож но сэкономить, если купить ковёр на распродаже? Будем рассуждать так: 9990 р. — это почти 10 000 р., 10 000 20% — это I; I от 10 000 5 5 это Можно сэконо МИТЬ примерно 2000 р. Проведём теперь точные расчёты, найдём 20 % от 9990 р.: 0,2 • 9990 = 1998 (р.). Вы видите, что сумма, которую вы нашли прикидкой, только на 2 р. отличается от точной суммы, которую можно сэкономить. Поэтому прикидка часто даёт вам возможность составить достаточно близкое представление об ожидаемом результате. Другой способ решения задачи 4. 1) Число жителей в 1900 г. — это 100%, а в 2002 г. 100% + 740% = 840% от числа жителей в 1900 г. 2) Численность населения к 2002 г. увеличилась в 8,4 раза и стала равней ■ 1,2 шн ‘ 8,4 ~ 10,1 млн. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: 0 Расскажите, как найти 14 % от 250 р.; 120% от 300 р. 0 Цена книги, которая стоила 180 р., была снижена на 20%. Расскажите, какими способами можно найти её новую цену. ГЛАВА б ■ ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ 378 W •■'гГг 370 371 372 Kf УПРАЖНЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ОТ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ а) Бак автомобиля вмещает 60 л бензина. Сколько литров бензина в баке, если заполнено 55% его объёма? б) За первую неделю было отремонтировано 32 % намеченного для ремонта участка шоссе. Сколько метров шоссе отремонтировано, если длина всего участка равна 7 км? а) Средний рост девочек того же возраста, что и Маша, равен 140 см. Рост Маши составляет 105% среднего роста. Найдите рост Маши. б) На первый курс университета может быть принято 150 человек. Число поданных заявлений составило 220 % от числа мест. Сколько заявлений было подано в университет? Начертите отрезок АВ, длина которого равна 5 см. Начертите отрезки, длины которых составляют 80%, 150%, 200%, 220% длины отрезка АВ. В школе 800 учащихся. В шестых классах учится 10% всех школьников, причём 45% из них — девочки. Сколько девочек и сколько мальчиков в шестых классах? НАХОЖДЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ПО ЕЁ ПРОЦЕНТУ За сборку шкафа покупатель должен заплатить 180 р., что составляет 4% от стоимости шкафа. Сколько стоит шкаф? Подсказка. 180 р. — это 4%, стоимость шкафа — это 100%. Определите, сколько рублей приходится на 1%, а затем на 100%. Известно, что 15% некоторой суммы денег составляют 60 р. Сколько рублей приходится на 1 % ? Какова вся сумма? Ответьте на эти же вопросы, если известно, что 5% некоторой суммы составляют 300 р. В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2 % от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек было в коробке? В первый час работы продавец продал 120 кг картофеля. Это составило 20% от картофеля, имевшегося у него в начале работы. Сколько килограммов картофеля было у продавца первоначально? Выберите верный ответ. 1) 24 кг 2) 2400 кг 3) 60 кг 4) 600 кг Известно, что 15% некоторого числа равны 12. Найдите: а) 5% этого числа; г) 50% этого числа; б) 3 % этого числа; д) 45 % этого числа; в) 30% этого числа; е) 100% этого числа. к А 1 1 'f- -u 1 I i E I I I I I ■ I I I I ■ I ■ I ш 381 382 Д 3€ 13 УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ НА НЕСКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Решите задачу разными способами. а) Оптовая цена товара на складе равна 250 р. Магазин при продаже делает надбавку, равную 12% от оптовой цены. Сколько стоит этот товар в магазине? б) Во время специальной акции фруктовый сок продавался на 15% дешевле его обычной цены. По какой цене продавался сок во время акции, если его обычная цена 40 р.? а) Клиент банка открыл счёт, положив на него 5000 р., с целью накопить на покупку мебели. Банк начисляет на вклад ежегодно 9 %. Сколько денег будет на счёте через год? б) Предприниматель купил на складе товар за 1200 р. Для получения дохода он планирует продавать его на 24% дороже. Какова будет цена товара в магазине? в) Ткань, цена которой 280 р. за метр, уценили на 8 %. Какова новая цена метра ткани? г) Оператор должен был за день набрать 50 страниц текста, но набрал на 14 % меньше. Сколько страниц набрал оператор? Музей организует экскурсию, стоимость которой для одного человека составляет 200 р. Группам от организаций предоставляются скидки: от 3 до 10 человек — 5%, от 11 до 20 человек — 10%. Одна школа заказала экскурсию на 8 человек, а другая — на 15. Сколько должна заплатить за экскурсию каждая школа? ОКРУГЛЕНИЕ И ПРИКИДКА Перед Новым годом магазин снизил цены на 25%. Сколько примерно можно сэкономить, если купить в этом магазине товар, стоимость которого до снижения цен была 799 р.? 998 р.? 1990 р.? В городе был проведён опрос, в ходе которого 565 человек ответили, какие радиоканалы они предпочитают слушать. На диаграмме (рис. 6.3) представлены результаты этого опроса. Найдите: а) сколько человек из числа опрошенных слушает спортивные каналы; б) на сколько больше человек предпочитает музыкальные каналы новостным. Подсказка. Ответ округляйте до десятков. 10 20 30 40 50 60 70 80% 6.3 Численность населения Италии составляет примерно 58 млн человек. Численность населения Индонезии на 310% больше. Чему равна численность населения Индонезии? (Ответ округлите до десятков миллионов.) П вы УЗНАЕТЕ 9 Как найти, сколько процентов одна величина составляет от другой ВЫРАЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕНТАХ Как вам известно, один из способов сравнения чисел или величин заключается в нахождении их отношения. Находя отношение двух чисел, мы узнаём, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. В таких случаях иногда удобно выражать полученное отношение в процентах. СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ одно число СОСТАВЛЯЕТ ОТ ДРУГОГО Рассмотрим такой пример. В избирательных списках посёлка Славино 350 человек. Из них в день выборов проголосовали 189 человек. Чтобы узнать, какая часть избирателей посёлка Славино приняла участие в голосовании, надо найти от- 189 ношение 189 к 350. Получим Но в такой форме ответ неудобен, поэтому перейдём к десятичным дробям: - п КЛ 350 * Мы выяснили, что голосовать пришли 0,54 всех избирателей. Для наглядности дробь в таких случаях часто выражают в процентах: 0,54 — это 54%. Таким образом, голосовать пришли 54 % всех избирателей. Этот пример помогает сформулировать следуюш;ее правило: Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, надо разделить первое число на второе и вь1]разить полученное отношение в процентах. Фраза «а процентов от ...» является сигналом к умножению. Фраза «Сколько процентов составляет ...?» является сигналом к делению. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Рассмотрим несколько задач, в которых требуется выразить в процентах отношение двух величин. 4 Задача 1. На авиарейс было продано - всех имею- 5 ш;ихся билетов, остальные места остались свободными. Сколько процентов всех мест в самолёте не занято? Решим задачу следующим образом: сначала выясним, какую часть составляют свободные места, а затем выразим эту дробь в процентах: 1 - I = |; 1 = 0,2, т. е. 20%. Ответ: 20% всех мест не занято. Чтобы ответить на вопрос задачи, можно рассуждать и по-другому. Попробуйте решить задачу иначе. 25 ■ ВЫРАЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕНТАХ; Задача 2. Рубашка стоила 800 р. Во время распродажи её цена была снижена на 160 р. На сколько процентов была снижена цена рубашки? Вопрос задачи нужно понимать так: сколько процентов от первоначальной цены составляет сумма скидки? Поэтому сначала найдём, какую часть составляют 160 р. от первоначальной стоимости рубашки, т. е. найдём отношение 160 р. к 800 р., а затем выразим полученную дробь в процентах: 160 800 Итак, цена снижена на 20 %. = 0,2; 0,2 — это 20% Задача 3. Один из крупнейших ледников Земли — это ледник Перито-Морено, находящийся в Аргентине. Только 50 м этого ледника возвышаются над водой, а 80 м находятся под водой. Сколько процентов от надводной части ледника составляет его подводная часть? Сначала найдём отношение 80 м к 50 м: - 1 io “ Выразив десятичную дробь 1,6 в процентах, получим 160%. Подводная часть ледника составляет 160% от его надводной части. Задача 4. Два боксёра встречаются на ринге в поединке. Боксёр А провёл 58 боёв и победил в 50 из них, а боксёр В провёл 66 боёв и победил в 52. У кого из них процент побед выше? Доля побед у боксёра А выражается отношением 50 25 52 26 ^ а у боксёра В — отношением ^ Перейдём от обыкновенных дробей к десятичным, а затем к процентам: 2^ 29 26 250 232 180 174 60 М 2 0,862... 33 260 231 290 264 260 231 0,787. 29 25 Таким образом, — 0,86 и ’ 33 0,79. Боксёр А выиграл 86% боёв, а боксёр В — 79% Значит, у боксёра А процент побед выше. После того как найдено, сколько процентов одна величина составляет от другой, полезно проверить себя, выполнив обратное действие. Так, в задаче 2 найдём 20 % от 800 р.; 800 • 0,2 = 160 (р.). ii УПРАЖНЕНИЯ 385 386 387 СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ? Сколько процентов площади прямоугольника закрашено (рис. 6.4)1 ® I I I I I I ® 6.4 Ш Иван бросил мяч в баскетбольное кольцо 20 раз. Определите, какую часть от числа бросков составляет число попаданий, и выразите эту часть в процентах, если он попал: а) 2 раза; б) 7 раз; в) 15 раз; г) 16 раз. а) Из 500 ответов, присланных на вопрос телевикторины, правильными оказались 150. Найдите отношение числа правильных ответов к числу всех присланных ответов. Сколько процентов участников викторины ответило правильно? б) В классе 25 учащихся, 3 из них занимаются в музыкальной школе. Найдите отношение числа учащихся, занимающихся в музыкальной школе, к числу всех учащихся класса. Сколько процентов учащихся класса занимается в музыкальной школе? Найдите, сколько процентов одна величина составляет от другой (№ 388-390). а) 150 р. от 200 р.; б) 18 р. от 60 р.; в) 7,2 т от 20 т; г) 3,6 т от 4 т; д) 20 км от 250 км; е) 4,5 км от 50 км. а) 320 г от 2 кг; б) 15 см от 15 м; а) 8 ч от 6,4 ч; б) 45 мин от 30 мин; РЕШАЕМ ЗАДАЧИ в) 750 м от 5 км. в) 100 мин от 40 мин. а) Из 30 000 жителей города 6900 — дети. Какой процент всего населения составляют дети? Какой процент всего населения составляют взрослые? б) Боксёр из 60 проведённых боёв 54 боя выиграл. Сколько процентов всех боёв боксёр проиграл? а) Смешали 160 г какао и 40 г сахара. Сколько процентов всей смеси составляет какао? Сколько процентов всей смеси составляет сахар? б) Бронза — это сплав железа с оловом и цинком. Брусок бронзы некоторой марки содержит 1,78 кг железа, 0,1 кг олова, 0,12 кг цинка. Сколько процентов всего сплава составляет каждое вещество? . рг: 393 ВТ S 25 ■ ВЫРАЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕНТАХ ^ а) Когда автобус отошёл от автобусной станции, в нём было занято - всех мест. Сколько процентов всех мест автобуса было свободно? б) Книги на русском языке составляют ^ всех книг библиотеки, остальные — на иностранных языках. Сколько процентов всех книг библиотеки на иностранных языках? 'Ш а) При выборе президента школьного совета голоса между двумя кандидатами распределились в отношении 3:2. Какая часть школьников проголосовала за победителя? Сколько процентов голосов получил победитель? б) Толя собирает марки на две темы: «Авиация» и «Автомобили». В его коллекции марки по темам «Авиация» и «Автомобили» распределяются в отношении 3:7. Сколько процентов коллекции составляют марки по каждой теме? а) Акции компании «М-связь» в августе продавались по 250 р., а в сентябре их стоимость повысилась на 20 р. На сколько процентов повысилась цена акций? б) Во время распродажи цена кресла, которое стоило 4000 р., понизилась на 600 р. На сколько процентов понизилась цена кресла? 396 а) В сентябре акции компании продавали по 600 р., а в октябре их стоимость понизилась, и акции стали продаваться по 510 р. На сколько процентов снизилась цена акций? б) В осенние месяцы в городе Дальнегорске произошло 48 дорожно-транспортных происшествий. В зимние месяцы в связи с ухудшением погодных условий число ДТП выросло до 60. Сколько процентов от числа осенних ДТП составило число ДТП в зимние месяцы? ОКРУГЛЕНИЕ И ПРИКИДКА Перед Новым годом разные магазины объявили разное снижение цен. В каком магазине — А или В — скидки больше, если: а) магазин А снизил цены на а магазин В — на 35 %; О б) магазин А снизил цены на а магазин В — на 15 %? о На первом заводе из 1000 изделий 29 оказались бракованными, а на втором из 2000 изделий бракованными оказались 42. Найдите примерный процент брака на каждом заводе, округлив результат до единиц. Площадь территории Итгшии примерно равна 300 тыс. км^, а Франции — 550 тыс. км^. Найдите: а) сколько примерно процентов от площади Франции составляет площадь Италии; б) сколько примерно процентов от площади Итгшии составляет площадь Франции. я ГЛАВА 6 ■ ОТНОШЕНИЯ И ПРОЦЕНТЫ ПОДВЕДЕМ ИТОГИ а) Что называют отношением? В каких случаях обычно используется это слово? б) Отрезок АВ разделён точкой С на две части так, что АС = 18 см, ВС = 9 см. АС ВС АС АВ Что показывает отношение -г^г? —г? -т—? Найдите каждое из от- ВС АС АВ ВС ношении. (D В коробке находятся красные и зелёные шарики. Отношение числа красных шариков к числу зелёных равно 5:8. Какую часть числа зелёных шариков составляют красные? Во сколько раз зелёных шариков больше, чем красных? Объясните, как решить задачу, и решите её: «Занятия в школе длятся 5 ч. Время на уроки и перемены распределяется в отношении 9:1. Сколько времени длятся уроки и сколько — перемены?» Объясните, как найти отношение 90 мин к 2 ч, и найдите его. Какая величина является отношением пути ко времени? В каких единицах будет выражена скорость, если расстояние выражено в метрах, а время — в минутах? Найдите скорость пешехода, если он прошёл 80 м за 5 мин. Что называют масштабом? Масштаб карты 1 : 200 000. Объясните, что показывает это отношение. Определите, чему равно расстояние между двумя пунктами на местности, если на карте оно равно 8,5 см. © Как проценты выразить десятичной дробью? Выразите десятичной дробью: а) 39 %; б) 50 %; в) 6 %; г) 230 %. Как десятичную дробь выразить в процентах? Выразите в процентах: а) 0,67 бюджета страны; б) 0,4 жителей страны. Как обыкновенную дробь выразить в процентах? Выразите в процентах — избирателей округа. В начале учебного года в школе было 650 учагцихся. К концу года число учащихся возросло на 6%. Сколько учащихся стало в школе? Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого? Для выращивания рассады кабачков посадили 15 семян. Проросло 12 семян. Определите, какая часть семян проросла, и выразите её в процентах. ШП глава ВЫРАЖЕНИЯ. ФОРМУЛЫ. УРАВНЕНИЯ ё:ж i' mi т ■ ‘t ■ -'I. - -aiL О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ЯЗЫКЕ БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ПОДСТАНОВКИ СОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ФОРМУЛАМ ФОРМУЛЫ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ, ПЛОЩАДИ КРУГА И ОБЪЁМА ШАРА ЧТО ТАКОЕ УРАВНЕНИЕ ИНТЕРЕСНО Чтобы понимать друг друга, обязательно нужен общий язык. Язык необходим для передачи и хранения информации. Огромна роль языка в познании мира. Один из самых удивительных языков, придуманных человечеством, - это математический язык. В этом языке, как и в других, есть свои буквы, слова и выражения. Язык математики — самый строгий и точный. Здесь недопустимы неточности и ошибки. И ещё он самый общий, самый универсальный. Его изучают во всех школах мира. "It- f №_______г- вы УЗНАЕТЕ d Что в математическом языке играет роль букв, слов и предложений д Некоторые правила синтаксиса математического языка о МАТЕМАТИЧЕСКОМ ЯЗЫКЕ В мире существует около 5000 различных языков, на которых говорят, пишут и читают разные народы. Это так называемые естественные языки — они возникали и развивались вместе с народами. По мере изучения математики вы постепенно знакомитесь с математическим языком. Он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ В математическом языке есть свой алфавит. Буквами в нём являются различные математические знаки. Прежде всего к ним относятся цифры о, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью цифр по специальным правилам записывают числа. Вы знакомы и с другими математическими знаками: >> <> +» %■ Математическими знаками являются также и скобки. В математическом языке используются ещё и латинские буквы. В арифметике их применяют для обозначения чисел. Когда, например, говорят «возьмём число а», то это означает, что некоторому числу — неважно, какому именно, — дали имя а, и дальше с ним можно обращаться так, как будто оно вполне определённое. Например, записать его сумму с числом 5, получится а + 6. Или умножить это число на 10, получится а • 10. Записи а -f 5 и а • 10 — это математические выражения. Математические выражения — слова математического языка. Их составляют из чисел, букв, знаков действий и скобок. Если в выражении нет букв, то его называют числовым. Выражение, содержащее буквы (одну или несколько), называют буквенным. Например, выражение 20 - 3 • 2,5 — числовое, а выражение 5 ' X + 2 • у — буквенное. Буквенные выражения записывают по определённым правилам. Так, вместо а • б обычно пишут 6а, т. е. числовой множитель записывают перед буквенным и точку (знак умножения) между ними не ставят. Точно так же вместо (с -1- 4) * 10 пишут 10(с -1- 4), вместо а ‘ Ь ‘ S пишут Sab. в то же время никогда не пишут, например, а7. Если необходим именно такой порядок множителей в произведении чисел а и 7, то точку обязательно ставят, т. е. пишут а • 7. Частное двух чисел, обозначенных буквами, записы- а вают обычно с помош;ью черты дроби, например о При записи выражений, как числовых, так и буквенных, важно уметь правильно пользоваться скобками. Так, если нужно умножить сумму чисел а и Ь на число с, то эту сумму заключают в скобки: (а -f Ь)с. Если бы мы скобки опустили, то получили бы выражение а + Ьс, которое имеет другой смысл: это сумма числа а и произведения чисел бис. Заметим, что, хотя выражение а + Ьс записывают без скобок, они в нём подразумеваются. По сути эта запись означает а + (Ьс). Однако, как вы знаете, су-ш,ествует специальная договорённость, которая позволяет в данном случае скобки опустить: если в выражении нет скобок, то умножение выполняется раньше сложения. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Из математических выражений составляют математические предложения. Они выражают некоторую мысль, что-то утверждают. Вот примеры математических предложений: 1) 2 + 3 = 5; 3) 87 делится на 9; 2) 8 < 9; 4) а — чётное число. Первые два из них — верные утверждения, а третье — неверное. Предложение «а — чётное число» при некоторых а верно, а при других нет. Например, если а равно 100, то оно верно, а если а равно 99, то оно неверно. Занимаясь математикой, вы постоянно переводите предложения с русского языка на математический и наоборот. Если предложение выражает некоторое свойство или правило, выполняюш;ееся для любых чисел, то при переводе его на математический язык без букв не обойтись. Вспомните хорошо знакомое вам переместительное свойство сложения: при перестановке слагаемых сумма не меняется. Это свойство справедливо для любой пары чисел, поэтому мы обозначаем числа буквами а и б и пишем: а Ч- б = б + а. Предложения в математическом языке короче, чем в естественном языке, именно благодаря использованию специальных математических знгиков. Кроме того, они понятны людям, говоряш,им на разных языках. Правила конструирования математических выражений относятся к синтаксису математического языка. Так же как и правила синтаксиса русского языка, они служат для того, чтобы математический язык понимался однозначно. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Приведите пример числового выражения и буквенного выражения. О Запишите в виде буквенного выражения произведение суммы двух чисел на их разноаь. в Переведите на русский язык разными способами следующее предложение: х - у = 10. 407 УПРАЖНЕНИЯ ■■ ЗАПИСЬ И ЧТЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Прочитайте выражение, используя слова «сумма», «разность», «произведение», «частное»: а) (12 + 9) • 25; в) 4Ь + 7; д) (а + Ь) (а - Ь); б) 6 • 8 -Ь 5; г) m : (3 - п); е) а - (Ь + с). Подсказка. Выражение называют по действию, которое должно выполняться последним. Например, а + Ьс — сумма числа а и произведения чисел Ь VL с. Запишите в виде математического выражения: а) произведение числа 7 на сумму чисел а и д; б) сумму числа 10 и произведения чисел х и у; в) разность числа с и произведения чисел 4 и d; г) разность числа т и суммы чисел 2 и /г; д) удвоенное произведение чисел а и Ь. Пусть дано некоторое число. Обозначьте его какой-нибудь буквой и запишите в виде буквенного выражения: а) удвоенное данное число; г) 10 % этого числа; б) половину этого числа; д) число, на 2 большее данного; в) две трети этого числа; е) число, на 3 меньшее данного. Запишите в виде буквенного выражения: а) сумму двух чисел; в) частное двух чисел; б) произведение двух чисел; г) квадрат суммы двух чисел. Длина отрезка равна с м. Чему равна длина отрезка, который на 10 м длиннее данного? на 3 м короче данного? в 2 раза длиннее, чем данный? в 3 раза короче, чем данный? Конфета стоит а р., а пряник стоит с р. Сколько стоят 7 конфет? 5 пряников? 6 конфет и 2 пряника? х конфет и у пряников? Килограмм яблок стоит а р., а килограмм груш стоит Ь р. Сколько придётся заплатить, если купили 3 кг груш? 2 кг яблок и 3 кг груш? т кг яблок и л кг груш? Для записи длинных выражений в математике часто используют многоточие. Например, выражение 1 • 2 • 3 • ... • 50 означает произведение всех натуральных чисел от 1 до 50. Запишите в виде математического выражения: а) произведение всех натуральных чисел от 1 до 100; б) произведение всех натуральных чисел от 1 до п; в) сумму всех натуральных чисел от 1 до 100; г) сумму всех натуральных чисел от 1 до п. к. •г || I ! I I I I I I 408 410 411 412 413 Запишите в виде буквенного выражения произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел. Запишите в виде буквенного выражения произведение пяти последовательных натуральных чисел, начиная с числа: а) п\ б) /г -Ь 3; в) п — 2. ЗАПИСЬ И ЧТЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ Запишите в виде математического предложения: а) число k больше 5; г) квадрат числа а равен 4; б) число X меньше 18; д) куб числа т меньше 1; в) число а больше 0 и меньше 1; е) квадрат числа Ь больше 100. Подставьте вместо буквы в каждое предложение такое число, чтобы получилось верное утверждение; неверное утверждение. Переведите на математический язык предложение: а) сумма числа х и числа 15 равна 31; б) произведение чисел а и 6 равно 8; в) удвоенное число т равно 11; г) половина числа Ь равна 1,5; д) разность чисел Ь и с больше 3; е) произведение чисел 5 и д: меньше числа у. С помощью букв записаны некоторые свойства действий над числами. Дайте перевод этих математических записей на русский язык. Каждое из них проиллюстрируйте конкретными примерами: a) а -Ь о = а; в) а - а = 0; ji) х у = у + х\ b) X ' 1 = х\ т) аЪ = Ьа; е) (а + Ь)с = ас + Ьс. Предложение «5 больше 3 на 2» можно перевести на математический язык разными способами: 5-3 = 2, 5 = 3-1- 2, 5-2 = 3. Переведите разными способами на математический язык следующие предложения: а) число а больше числа h на 3; б) число а меньше числа 6 на 1; в) число 10 больше числа 5 в 2 раза; г) число п больше числа k в S раза; д) число с меньше числа 20 в 4 раза; е) число X меньше числа у в 6 раз. 41 4 Примеры иллюстрируют некоторое правило. Сформулируйте это правило и запишите его с помощью букв: а) 7 • о = о, 15,3 -0 = 0, i-0 = 0; б) 50 : 1 = 50, 2,6 : 1 = 2,6, ^ 8’ в) о : 7 = о, о : 3,2 = о, 0:1 = 0; г) 12 : 12 = 1, 0,7 : 0,7 = 1, 3 ^ 3 8 ’ 8 1. ГЛАВА 7 ■ ВЫРАЖЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ ВЫ УЗНАЕТЕ • Что буквенное выражение можно превратить в числовое, заменив буквы числами • о допустимых значениях букв в выражении БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ПОДСТАНОВКИ Вы уже знаете, что числовое выражение можно вычислить, т. е. найти его значение. Для этого над содержа-ндимися в нём числами надо выполнить указанные действия. Возьмём, например, выражение 10 • (4,5 - 1). Так как 4,5 - 1 = 3,5 и 10 • 3,5 = 35, то значение выражения 10 • (4,5 - 1) равно 35. Это записывают так: 10 • (4,5 - 1) = 35. Кроме числовых выражений, мы имеем дело и с буквенными. Буквенное выражение можно превратить в числовое, если все содержащиеся в нём буквы заменить числами. Возможность заменять буквы числами — это, можно сказать, главное свойство буквенных выражений. Поговорим об этом подробнее. ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ БУКВЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ Возь- мём выражение Зл: + 10. Будем подставлять вместо бук- 2 вы X различные числа, например 5, -, 2,5, 0, и каждый О раз вычислять значение получившегося числового выражения. Результаты приведены в таблице. X Здс -Ь 10 Значение выражения 5 3 ♦5 + 10 25 2 3 3 2 •5 + 10 12 2,5 3 • 2,5 + 10 17,5 0 3 •0+10 10 Из одного буквенного выражения Зл: + 10 можно получить сколько угодно числовых. Все они похожи тем, что для вычисления значения каждого из них нужно выполнить одни и те же действия в одном и том же порядке. Обратите внимание на то, что в числовых выражениях, которые получались при замене буквы числом, мы восстанавливали точку — знак умножения. Замену буквы числом называют числовой подстановкой, а число, которое подставляют вместо буквы, — значением буквы. Если все содержащиеся в выражении буквы заменить числами, то получится числовое выражение. Его значение называют значением буквенного выражения при данных значениях букв. Пример. Найдём значение выражения + аЪ при а = 0,5 и Ь = 0,3. Подставим вместо букв их значения и выполним указанные действия: + аЬ = (0,5)2 + 0,5 • 0,3 = 0,25 + 0,15 = 0,4. Таким образом, при а = 0,5 и Ь = 0,3 значение выражения a^‘ + аЪ равно 0,4. ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ БУКВ В ВЫРАЖЕНИИ Буквы, входящие в состав буквенного выражения, не всегда можно заменять какими угодно числами. Например, в выражение — нельзя вместо с подставлять число 0. с В самом деле, при с = 0 в знаменателе дроби окажется о, а на о, как вы знаете, делить нельзя. А в выражение а - 10 пока нельзя подставлять числа, меньшие 10. Дело в том, что ваши знания о числах ещё не позволяют вычитать из меньшего числа большее. Числа, которые можно подставлять в буквенное выражение, называют допустимыми значениями букв. Так, 10 для выражения — допустимыми являются все чис-с ла, кроме 0. Говорят, что при с = 0 это выражение не имеет смысла. На значения букв в выражении могут накладывать ограничения не только указанные в нём действия, но и условия рассматриваемых ситуаций. Допустим, вы хотите купить несколько карандашей по 8 р. и ручку за 25 р. Сколько нужно заплатить за покупку? Ответ на этот вопрос можно дать в виде буквенного выражения. Пусть вы купите п карандашей. Тогда заплатить нужно 8п -f- 25 р. Это выражение задаёт способ вычисления стоимости покупки в зависимости от значения п. Понятно, что вместо п нельзя подставлять дробные числа: ведь количество купленных карандашей должно выражаться натуральным числом. ! . ' ! 1 1 iO C\ ' ' ' 1 1 1 L z zo s so I'M i ^ \a - ПфВ' (мишги- ; 1 t 1 i ! у' .Z1 nil ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ® Чем различаются записи буквенного выражения 4х^у и числового, которое получается при подстановке в это выражение X = 0,5, у = 1,2? Выполните вычисления. д Какие из чисел 0, 2, 6, 10 являются допустимыми значениями буквы а в выражении 6 - а_ I ГЛА'в/!? 1|,ВЫРАЖЕНИЯ, формулы, уравнения / ^ 415 416 УПРАЖНЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИИ Найдите значение выражения: а) 1,8 + X при X = 6,8; 0,02; 0; в) 4а при а = 1; 0,5; 0; б) 10 - с при с = 6; 5,5; 10; 0; г) -у при у = I; 1,5; 9; 10. Найдите значение выражения: а) m + 2п при т = 6,4, п = 3,2; б) Зс - с/ при с = 1,3, d = 0,9; в) д: + 2z/ - 3z при х — 10, у = 25, 2 = 20; ч , 2,1 1 г) а + 6 - с при ^ = 3» ^ = 6» ^ = 4* Найдите значение выражения —1-2: а) при а = 12, с = 3; б) при а = 15, с = 10; в) при а = 1,5, с = 0,5; л 1 1 г) при « = 2’ ^ 6’ Найдите значение выражения х^у: а) при X = у = 6; б) при X = - у у = 16; в) при X = 0,2, у = 10; г) при X = 100, у = 0,01. а) Найдите значение выражения (а + Ь) + с при а = 0,53, Ь = 1,27, с = 3,2. Укажите значение выражения (Ь + а) + с при этих же значениях букв. б) Найдите значение выражения (а + Ь) с при а = 1,6, Ь = 2,4, с = 2,8. Укажите значение выражения ас + Ьс при этих же значениях а, Ь и с. В выражение, содержащее букву а, последовательно подставили три числа. Запишите это буквенное выражение, если в результате подстановок получились следующие числовые выражения: а) 4 • 11 -Ь 15, б) 40 - 12, в) (3 -Ь 17) • 4, 4 • 0,8 -h 15, 40 - 52, (3 + 1,6) • 4, 4 • ^ + 15; о 40 - (0,5)2; (3 + 5) • 4. Сравните значения выражений: а) (1 -ь а)Ъ и 1 -I- аЬ при а = 3 и Ь = 2,5; б) (1 — а)2 и 1 — при а — 0,1; в) а2 - JJ (а - Ъ){а + Ь) при а = 0,7 и 6 = 0,3; г) + 2аЬ и (а -f Ь)^ при а = 1 и Ь = 0,5. Какие из чисел 0, 10, 20, 25, 30 являются допустимыми значениями бук-25 - вы X в выражении --- ш ¥■ ш I I I I I I I 428 429 430 Подберите значение буквы, при котором выражение: а) а + 1 принимает значение, равное 1; 100; б) 10 - л: принимает значение, равное 0; 1; в) 2с принимает значение, равное 0; 1; 100; г) ^ принимает значение, равное 0; 1; 10. О Подберите несколько пар чисел а и 6, при которых: а) значение выражения а - 10Ь равно 0; б) значение выражения Sb - 2а равно 0. СОСТАВЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ С БУКВЕННЫМИ ДАННЫМИ Запишите ответ на вопрос задачи в виде выражения. а) В магазин завезли с кг яблок. Их продали за 3 дня. В первый день было продано а кг, во второй — Ь кг. Сколько килограммов яблок было продано в третий день? б) В вагоне электрички ехало х человек. На остановке вышло у человек, а Z человек вошло. Сколько человек оказалось в вагоне после остановки? в) У Коли было т марок. На день рождения мама подарила ему ещё п марок. А через неделю р марок он подарил другу Пете. Сколько марок осталось у Коли? Придумайте задачу, на вопрос которой можно ответить, составив выражение {а + Ь) - {с + d). а) Автомобиль ехал 2 ч со скоростью а км/ч и 3 ч со скоростью Ь км/ч. Какое расстояние он проехал? б) Купили X кг конфет по цене 45 р. за килограмм и i/ кг печенья по цене 38 р. за килограмм. Сколько заплатили за покупку? а) Принтер печатает одну страницу за 4 с. Сколько страниц можно распечатать на этом принтере за t мин? б) На фасовку одной пачки масла на конвейере уходит б с. Сколько пачек масла будет расфасовано на этом конвейере за t ч? За 10 одинаковых тетрадей заплатили х р. Блокнот на 7 р. дороже тетради. 1) Сколько стоит блокнот? 2) Сколько стоят п блокнотов? 3) Сколько стоят т тетрадей и п блокнотов? За п одинаковых тетрадей и один блокнот заплатили а р. Тетрадь стоит с р. Сколько стоит блокнот? ГЛАВАМ? Ш ВЫРАЖЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ ВЫ УЗНАЕТЕ О Как соаавляют формулы для вычисления значений величин Q Формулы периметра треугольника, периметра и площади прямоугольника, объёма параллелепипеда 0 СОСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПО ФОРМУЛАМ В математике правила часто записывают с помощью равенств, содержащих буквы. В таких случаях говорят, что правило выражено формулой. С помощью формул довольно сложные предложения, выражающие зависимость одних величин от других, могут быть записаны в удобной и компактной форме. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ Пример 1. Пусть стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 7 см. Найдём его периметр: 4 -Ь 6 -Ь 7 = 17 (см). Какими бы ни были конкретные значения длин сторон треугольника, чтобы найти его периметр, их надо сложить. Обозначим периметр треугольника буквой Р, а длины его сторон, выраженные в одних и тех же единицах, буквами а, Ь и с (рис. 7.1, а). Тогда Р = а + Ь + с. Записанное равенство — формула периметра треугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Для него формула периметра примет другой вид. Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна а (рис. 7.1, б). Тогда Р = а + а4-а = а*3 = За. Таким образом, если треугольник равносторонний, то Р = За. Пример 2. Составим формулу периметра и формулу площади прямоугольника. Чтобы найти периметр прямоугольника, можно умножить на 2 длину каждой из его смежных сторон и полученные произведения сложить. Обозначим длины смежных сторон прямоугольника буквами а и & (рис. 7.2). Тогда Р = 2а + 2Ъ. Периметр прямоугольника можно найти и другим способом — сложить длины смежных сторон и результат умножить на 2. Получим другую формулу периметра прямоугольника: Р = 2(а + й). Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно перемножить длины его смежных сторон. Обозначим площадь прямоугольника буквой S. Тогда S = аЬ. Пример 3. Составим формулу объёма прямоугольного параллелепипеда (рис. 7.3). Объём параллелепипеда, как известно, равен произведению трёх его измерений. Обозначим объём параллелепипеда буквой F, а длину, ширину и высоту буквами а, Ь л с. Получим формулу V = аЬс. ФОРМУЛА СТОИМОСТИ Пример 4. Нам постоянно приходится подсчитывать стоимость того или иного товара. Например, 2 кг конфет по 70 р. за килограмм стоят 70 • 2 = 140 (р.); полкилограмма яблок по 30 р. за килограмм стоят 30 * 0,5 = 15 (р.). Обозначим стоимость буквой С. Тогда стоимость т кг товара по с р. за килограмм можно вычислить по формуле С = cm. ФОРМУЛА ПУТИ Пример 5. Известно, что пройденный путь равен произведению скорости и времени движения (при условии, что за равные промежутки времени будут пройдены одинаковые отрезки пути). Пусть, например, поезд шёл 3 ч со скоростью 90 км/ч. Тогда он прошёл путь, равный 90 • 3 = 270 (км). Нетрудно записать и формулу, по которой находят путь при равномерном движении. Обозначим скорость движения буквой и, время движения буквой t, а пройденный путь буквой S. Тогда S = vt. При решении задач на движение приходится не только вьгчислять пройденный путь, но и по известным пути и времени движения находить скорость, а также по известным пути и скорости определять время движения. Способы решения всех этих задач на движение опираются на одну-единственную формулу S = vt, в которой участвуют три величины. Если мы знаем две из них, то можем узнать и третью: S = vt (по V л t умножением находим s); ^ = — (по S и о делением находим ^); S . о = у (по S и ^ делением находим v). Говорят, что в первом равенстве путь s выражен через о и во втором время t выражено через s и V, в третьем скорость v выражена через s и U, ^ и S - первые буквы латинских слов velocitas (скорость), tempos (время), spatium (расстояние); именно их обычно используют при записи формул, связанных с движением. , - ■■ ти ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ® Запишите формулу периметра равностороннего треугольника, обозначив длину его стороны буквой с. Из формулы площади прямоугольника S = аЬ выразите а через S лЬ. Найдите сторону а. если S = 6,5 м2, Ь = 1,3 м. • составьте формулу для примерного подсчёта числа букв на одной странице книги. ГЛАВА 7 ■ ВЫРАЖЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, УРАВНЕНИЯ / 433 436 УПРАЖНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ Составьте формулы для вычисления периметров многоугольников, изображённых на рисунке 7.4. кой-нибудь буквой и составьте формулы периметра и площади квадрата. 1) Чтобы найти площадь изображённого на рисунке 7.5 многоугольника, его можно разбить на прямоугольники или достроить до прямоугольника. Вычислите площадь этого многоугольника двумя способами. 2) Составьте формулы для вычисления площадей фигур, изображённых на рисунке 7.6. 4 дм 3 дм 4 дм 6 дм 7.5 •1 X У 7.6 1) Начертите куб. Обозначьте длину его ребра какой-нибудь буквой и составьте формулу объёма куба. 2) Запишите формулы для вычисления объёмов фигур, изображённых на рисунке 7.7. Пусть а, Ь, с — длины сторон треугольника. Воспользовавшись формулой периметра треугольника, выполните следующие задания: 1) Найдите периметр треугольника, если: а = 4 см, Ь = 5 см, с = 3 см; а = 7 см, Ь = 9 см, с = 11 см; а = Ь = 10 см, с = 3 см. 2) Найдите третью сторону треугольника, если Р = 18 см, Ь = 6 см, с = 7 см; Р = 24 см, а = 8 см, Ь = 9 см. 3) Выразите сторону с треугольника через периметр Р и стороны а и Ь. 7.7 Составьте формулу для вычисления периметра многоугольника (рис. 7.8). © ПЖ1 © X 7.8 438 439 440 442 443 Площадь закрашенной рамки, изображённой на рисунке 7.9у вычисляется по формуле S = - а^. Объясните, как получена эта формула. Найдите S, если: а) Ь = 1,9 м, а = 1,1 м; б) Ь = 2,5 м, а = 1,5 м. а) Проволоку длиной 24 см согнули в прямоугольник. Какую длину будет иметь другая сторона этого прямоугольника, если одна из сторон равна 8 см? 4 см? 9 см? б) Выразите сторону а прямоугольника через его периметр Р и сторону Ь, Пусть а, Ь, с — измерения параллелепипеда. Воспользовавшись формулой объёма параллелепипеда, выполните следующие задания: 1) Вычислите длину третьего ребра параллелепипеда, если: V = 48 см^, Ь = 3 см, с = 4 см; V = 210 см^, а = 6 см, с = 7 см; V = 24 м^, а = 3 м, & = 2 м. 2) Выразите длину какого-либо ребра параллелепипеда через его объём и длины двух других рёбер. ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ В кинозале п рядов по k кресел в каждом ряду. Число мест в кинозале можно вычислить по формуле N = kn. 1) Сколько мест в кинозале, если k = 10, п = 12? k = 33, п = 25? 2) Сколько в кинозале рядов, если в каждом ряду 15 кресел, а всего в кинозале 300 мест? Выразите п через N k. 3) Сколько кресел в каждом ряду, если всего в кинозале 176 мест и 11 рядов? Выразите k через Nun. Одна шариковая ручка стоит а р. 1) Сколько стоят 2 шариковые ручки? 34 шариковые ручки? 50 шариковых ручек? т шариковых ручек? 2) Обозначьте стоимость покупки через С и запишите формулу для вычисления стоимости т ручек. 3) Выразите т через С и а; а через Сит. Каждый работающий платит подоходный налог в размере 13% от заработка. 1) Составьте формулу для вычисления этого налога Т от заработка, равного S. 2) Вычислите Т при S = 8 тыс. р.; S = 12,5 тыс. р. Магазин приобрёл телевизоры по цене с р. и продал их дороже — по цене а р. 1) Составьте формулу для вычисления прибыли Р от продажи 25 телевизоров. 2) Найдите Р, если с = 5000, а = 7500; с = 3500, а = 4200. II II II II ЕНИЯ, ФОРМУЛЫ. УРАВНЕНИЯ / фг ВЫ УЗНАЕТЕ О Как вычислить длину окружности, площадь круга и объём шара Q О существовании числа 71 ФОРМУЛЫ длины ОКРУЖНОСТИ, ПЛОЩАДИ КРУГА и ОБЪЁМА ШАРА ]\^ногие закономерности, которые были связаны с измерениями длин, площадей и объёмов, необходимыми для строительства зданий, прокладывания каналов, деления земельных участков, торговли, путешествий, стали известны человеку уже очень давно. Поначалу их формулировали в виде словесных правил, а сейчас мы записываем их в виде формул. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и число к Чтобы получить формулу, по которой можно вычислить длину окружности, проведите такой эксперимент. Возьмите стакан или какой-нибудь другой предмет, дно которого имеет форму круга. 1) Оберните стакан ниткой и, развернув нитку, измерьте её длину линейкой. В результате вы получите длину окружности, ограничивающей дно стакана. 2) Затем измерьте линейкой диаметр донышка. 3) Найдите отношение длины окружности к длине диаметра. Если вы аккуратно выполните эту работу, то получите число, близкое к 3. ч_ Этот замечательный факт был обнаружен ещё в Древнем Египте около 3,5 тыс. лет на-зад. Повторяя эксперимент с другими предметами, вы всё время будете получать число, близкое к числу 3. Иными словами, длина окружности примерно в 3 раза больше её диаметра. Это связано с важным свойством окружности: W Отношение длины окружности к её диаметру — величина постоянная, она не зависит от размеров окружности. Число, выражающее отношение длины окружности к её диаметру, принято обозначать греческой буквой 71 — первой буквой слова «периферия» (греч. «окружность»). Общеупотребительным такое обозначение стало с XVIII в. Необычность и удивительность этого числа состоит в том, что среди известных вам чисел — целых и дробных — его нет. Оно относится к числам новой природы, с которыми вы познакомитесь в старших классах. ФОРМУЛЫ длины ОкРУШнОСТИ, ПЛОЩАДИ КРУГА и ОБЪЕМА ШАРА В расчётах число к заменяют его приближённым значением. Вы сами экспериментальным путём могли убедиться, что л ~ 3, но это приближение достаточно грубое. Известны десятичные приближения числа п с очень большим числом десятичных знаков. Вот как, например, выглядит приближённое значение с десятью знаками после запятой: к ~ 3,1415926535. Но нам такая точность не нужна, и при решении задач мы будем считать, что к ~ 3,14. ФОРМУЛА ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ Обозначим длину окружности буквой С, а диаметр буквой d. Так как отношение длины окружности к диаметру равно л, то можно С записать: — = л. Отсюда С = nd. Это формула длины а окружности. Если в формулу вместо d подставить 2г, то ползшим другую формулу длины окружности: С = 2лг. Пример 1. Найдём, какой примерно длины потребуется бордюр для ограждения клумбы, имеющей форму круга с диаметром, равным 4 м. Подставим d = 4 м в формулу длины окружности С = Tid VI возьмём л ~ 3,14, получим С ~ 3,14 • 4 = 12,56 (м). Таким образом, потребуется не менее 12,6 м бордюра. ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ КРУГА Существует и формула площади круга: S = кг^у где S — площадь круга, г — радиус круга (рис. 7.10). В эту формулу тоже входит число л. 7.10 Пример 2. Известно, что во всех цирках мира диаметр арены равен 13 м. Найдём примерную площадь цирковой арены. 13 Сначала найдём радиус арены: ^ ^ (^)* Подставим г = 6,5 м в формулу 0 а — положительное число а < 0 а — отрицательное число Любое положительное число в ряду целых чисел расположено правее нуля, а любое отрицательное — левее нуля. Поэтому предложения «а — положительное число» и «а — отрицательное число» на математическом языке записывают в виде неравенств а > о и а < 0. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ТОЧКАМИ КООРДИНАТНОЙ ЕШШЯ Проведём горизонтальную прямую и отметим на ней две точки, изображающие числа О и 1 (рис. 9.1), Точка с координатой О делит прямую на два луча. На правом луче будем, как обычно, отмечать натуральные числа (т. е. целые положительные числа), а на левом — отрицательные. Направление луча, на котором отмечают положительные числа, называют положительным направлением и указывают стрелкой. Откладывая последовательно единичные отрезки вправо от нуля и влево от нуля, будем получать изображения на прямой целых чисел. Противоположные числа изображаются точками, симметричными относительно точки с координатой 0. Например, числам 5 и —5 соответствуют точки, расположенные справа и слева от нуля на одном и том же расстоянии, равном 5 единицам (рис. 9.2), ПРИМЕРЫ СРАВНЕНИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Чтобы сравнить два целых числа, можно представить, как они расположены по отношению друг к другу на координатной прямой: какое из них находится правее, а какое — левее. Пример 1. Сравним числа 256 и —104. Положительное число 256 расположено справа от 0, а число —104 — слева от 0. Значит, на координатной прямой число 256 расположено правее числа —104 (рис. 9.3). Поэтому 256 > -104. ■104 о 256 9.3 Пример 2. Сравним числа —1000 и -989. Сравним сначала противоположные им натуральные числа 1000 и 989. Число 1000 на координатной прямой расположено правее, т. е. 1000 > 989. Построим на координатной прямой точки, симметричные точкам с координатами 989 и 1000 относительно точки о (рис. 9.4). Точка с координатой -1000 оказалась левее точки —989, значит, -1000 < -989. -1000 -989 989 1000 9.4 L- 1 0 —1 1 1 L— 0 —1 1— 1 t ' 1 1 ^ 12 3 4 1 1 1 1 -4 -3 -2 -1 о 1 2 34 9.1 а > Ь а < Ъ ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Чем похожи и чем различаются ряд натуральных чисел и ряд целых чисел? ® На примере числа -5 расскажите, как целые отрицательные числа изображают точками на координатной прямой. 0 Сравните числа: а) -108 и 12; б) -89 и -98. ^ ^ 1 ь. 9 а ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 532 533 534 535 536 УПРАЖНЕНИЯ РЯД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Продолжите ряд целых чисел влево и вправо, записав ещё по три числа: а) -37, -36, -35, б) ..., 2, 3, 4, 5, в) ..., -98, -97, -96, ... Назовите по порядку целые числа: а) от -5 до 5; в) от -10 до 0; б) от -7 до 3; г) от -15 до 9; Укажите, какое из чисел ближе к 0: а) 10 или 100; в) -10 или 2; б) -10 или -100; г) -2 или 10; д) от -40 до -25; е) от -100 до -90. д) 7 или -7; е) -4 или 4. Между какими двумя ближайшими целыми числами находится данное число (ответ запишите в виде двойного неравенства): а) 3; б) 0; в) -4; г) -1; д) -100; е) -253? Образец. -3 < -2 < —1. Запишите сначала в порядке возрастания, а потом в порядке убывания целые числа, заключённые между: а) -7 и 2; б) -15 и -5; в) -3 и 3; г) -20 и —10. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ТОЧКАМИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ Запишите координаты отмеченных точек. А В С -4- D -Ч- Е -4- F -4- 0 1 Образец. Координата точки Е равна 4; это записывается так: Е (4). Начертите координатную прямую. Отметьте на ней точками данное число и число, ему противоположное: а) 2; 4; 6; 8; б) -1; -3; -5; -7. Используя координатную прямую, выясните, какой знак имеет целое число &, если: Ql) а < о VL Ь < а; б)а>0иЬ>а. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ Сравните целые числа: а) 3 и -8; б) -8 и 8; в) -1 и -10; г) -6 и 0; д) 4 и 0; е) -9 и -2. ■ ■- Cj^ . ■ Cj^ . -Г !J 537 539 Ш' ь:й*~уч» 540 542 543 а) Какое из двух целых чисел больше: положительное или отрицательное? положительное или 0? отрицательное или 0? б) Какое из двух целых чисел меньше: положительное или 0? отрицательное или о? положительное или отрицательное? Сравните числа: а) -1000 и 253; б) -2000 и -150; в) 351 и -351; г) -101 и -102; д) -200 и 2; е) -310 и -1003. г) больших —7. Назовите какие-нибудь пять целых чисел: а) меньших 0; б) больших 0; в) меньших 2; Запишите все отрицательные целые числа, которые: а) больше -8; б) больше -12, но меньше -9; в) меньше 3, но больше -11. Запишите в виде неравенства: а) -5 — отрицательное число; б) 17 — положительное число. Какие целые числа можно подставить вместо буквы а, чтобы получилось верное неравенство: а) -1 < а < 3; в) -20 < а < -10; б) -7 < а < 7; г) -105 < а < -96? 1) Запишите данные числа в порядке возрастания: а) о, 2, -2, -15, 1, -40, 5; б) 32, -130, 19, -154, -21. 2) Запишите данные числа в порядке убывания: а) 10, -1, о, 2, -4, -10, -20; б) -7, 17, -48, 50, -63. На координатной прямой отмечены целые числа а, Ь, с, d, е и f. а о d е Сравните: а) d и 0; б) Ь и 0; в) в и /; г) Ь и е; д) а и с; е) 6 и а. Выполните задание и проиллюстрируйте каждый случай конкретным примером. а) Известно, что а ж Ь — положительные целые числа, причём а < Ъ. Сравните -а и -Ь. б) Известно, что а ж Ь — отрицательные целые числа, причём а < Ь. Сравните -а ж -Ь. в) Известно, что а и Ь — целые числа разных знаков, причём а < Ъ, Сравните -а ж -Ь. вы УЗНАЕТЕ в Как можно вычислить сумму двух целых чисел одного знака и двух целых чисел разных знаков (-4)+(-5)==-9 » ^ г # (+5)+ (~3)— +2 I Древнекитайский математик Т Джань Цань правило сложения ^ отрицательных чисел формулировал так; «Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество». СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ IN^axeMaTHKH древности (например, древнегреческий математик Диофант, живший в III в., индийский математик Брахмагупта, живший в VII в., арабский математик Абу-ль-Вефа, живший в X в.) называли отрицательные числа словами, означавшими «долг», «недостаток», в отличие от «имущества» — положительного числа. Чтобы понять, по каким правилам складывают целые числа, рассмотрим «денежные» примеры — с доходами и расходами. При этом израсходованные суммы денег будем обозначать отрицательными числами. СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ОДНОГО ЗНАКА И РАЗНЫХ ЗНАКОВ Сначала рассмотрим сложение чисел одного знака. Положительные целые числа, т. е. натуральные числа, мы складывать умеем. Например: (+9) + (-М1) = +20. Из примера с подсчётом денег легко понять, как складываются отрицательные числа. Если человек израсходовал сначала 4 тыс. р., а затем ещё 5 тыс. р., то общий расход составил 9 тыс. р. Поэтому естественно считать, что (-4) + (-5) = -9. Величину расхода мы определили сложением соответствующих противоположных чисел: 4 + 5 = 9. Сумма двух положительных чисел положительна, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна. А как складывать числа разных знаков! Ясно, что если человек получил денег больше, чем потратил, то его доход окажется положительным. Например, если он получил 5 тыс. р. и потратил 3 тыс. р., то его доход составил 2 тыс. р.: (+5) + (-3) = +2. Величину дохода в этом случае мы нашли вычитанием: 5-3 = 2. Если же человек получил денег меньше, чем ему надо потратить, то его доход выражается отрицательным числом. Например, при доходе 4 тыс. р. и расходе 7 тыс. р. получится убыток, равный 3 тыс. р. Поэтому (-7) + (+4) = -3. Величину убытка мы также нашли вычитанием: 7-4 = 3. Сумма двух чисел разных знаков может быть как положительным числом, так и отрицательным. Знак суммы зависит от того, какое слагаемое «перевесило» — положительное или отрицательное. Итак, при сложении целых чисел мы работаем в действительности только с соответствующими натуральными числами. Но в одних случаях (когда слагаемые одного знака) мы эти натуральные числа складываем, а в других случаях (когда слагаемые разных знаков) из большего натурального числа вычитаем меньшее. Представим теперь, что доход и расход были одинаковы, например по 10 тыс. р. Очевидно, что в этом случае прибыль равна нулю. Поэтому (+10) + (-10) = 0. о. Сумма противоположных чисел равна 0: ^ а + (—а) = о. Наконец, правило сложения целого числа с нулём такое же, как и для натуральных чисел: а + 0 = 0 + а = а. Например, (—43) + 0 = -43, 0 + (—18) = -18. Заметим, что действие сложения целых чисел, как и действие сложения натуральных чисел, обладает переместительным и сочетательным свойствами. Эти свойства позволяют переставлять слагаемые и объединять их в группы. (+5) + (+7) = +12 (-5) + (-7) = -12 (+5) + (-7) = -2 (-5) + (+7) = +2 (-3)+ (+3)= о . ■ „ *' .1^ gnl Г,Л\1 г-'- V ! V' Г : • w' f J-f 1+ I3rii A' ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СУММ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Пример 1. Найдём сумму (-6) + 10 + (-4). Чтобы вычислить эту сумму, можно последовательно складывать числа в том порядке, в котором они записаны: (-6) + 10 + (-4) = 4 + (-4) = 0. А можно сначала сгруппировать отрицательные слагаемые: (-6) + 10 + (-4) = ((-6) + (-4)) + 10 = (-10) + 10 = о. Пример 2. Найдём значение выражения а + Ь при а = 18, Ь = -25. Подставив в выражение а + Ь вместо а и h указанные числа, получим а + Ь = 1S + (-25) = -7. Обратите внимание: подставляя отрицательное число, мы заключаем его в скобки. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Какой знак имеет сумма двух положительных целых чисел? двух отрицательных целых чисел? Вычислите: (-17) + (-9). Q Как определить, каким числом - положительным или отрицательным — является сумма двух целых чисел разных знаков? Вычислите: 20 + (-15); 15 + (-20). ©Чему равна сумма противоположных чисел? УПМЖНЕНИЯ СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Найдите сумму (представьте, что вы подсчитываете доходы и расходы): а) (+1) + (+3), б) (+4) + (-3), в) (+1) + (-5), 1 (-4) + (+1), (-5) + (-2), (-4) + (-6), 1 (-3) + (-3); (+3) + (+3); (+7) + (-3). i Определите знак суммы и выполните сложение: i 1 а) (-10) + (+11); г) (-12) + (+3); ж) (+20) + (-21); f 1 б) (-7) + (-6); д) (-15) + (+18); 3) (-100) + (-150); ] в) (-4) + (+2); е) (-11) + (-20); и) (-3) + (+4). 1 в) (-100) + (+100). 1) Найдите сумму противоположных чисел: а) (+8) + (-8); б) (-10) + (+10); 2) Вычислите сумму: а) (-13) + (+1) + (-1); г) О + (-11) + (+11); б) (+20) + (-20) + (+1); д) (+12) + (-6) + (-12); в) (-35) + (+35) + (+8); е) (-7) + (-15) + (+15). Выполните сложение: а) (+6) + (-7); б) (-5) + (+14); в) (-20) + (+13); г) (-7) + (+7); д) (+9) + (-14); е) (-8) + (+11); ж) (+17) + (-9); з) (+8) + (-13); и) (-7) + (+9). Запишите и вычислите сумму чисел: а) -13 и 22; б) +12 и -17; в) -19 и О; г) -17 и -30. 1) Представьте в виде суммы двух отрицательных слагаемых число: а) -10; б) -23; в) -99; г) -101. 2) Представьте в виде суммы двух слагаемых разных знаков число: а) -8; б) +8; в) -25; г) 0. Запись суммы положительных и отрицательных чисел часто упропдают: положительные числа записывают без знака « + », а отрицательное число, которое стоит в начале выражения, записывают без скобок. Например, (-20) + (+4) = -20 + 4. Опустите скобки и знак « + » там, где это возможно: а) (+7) + (-10); в) (-5) + (+12); д) (+3) + (-1) + (-15); б) (-8) + (-11); г) (+6) + (+18); е) (-8) + (+12) + (-4). Замените сумму равной ей суммой, поменяв местами слагаемые: а) 7 + (-3) = ...; б) -4 + (-2) = ...; в) -10 + 5 = ...; г) -1 + 8 = ... . Найдите сумму: а) -5 + (-10); б) -20 + (-6); в) -15 + (-20); г) 26 + (-6); д) 80 + (-20); е) —8 + 8; ж) -150 + 100; з) -36 + 20. 36 b сложение целых чисел г~^ i 559 ( 560 I 561 562 1 i \Л >3 Подберите пропущенное слагаемое: а) 8 + ... = 5; г) (-1) + ... = -1; б) 15 + ... = 0; д) (-10) + ... = -5; в) (-4) + ... = -6; е) 7 + ... = -2; ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ НЕСКОЛЬКИХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ж) 3 + ... = —3; з) (-2) + ... = -12; и) о + ... = —6. Вычислите: а) —9 + 12 + (—8); б) 10 + (-7) + (-6); в) -5 + (-6) + (-9); г) -10 + (-19) + 10; д) 25 + (-3) + 17; е) 9 + (-15) + 14; ж) 8 + (-17) + 17; з) —20 + (“4) + 9; и) 25 + 14 + (-19). Запишите сумму данных чисел и вычислите её: а) -3, +8, +7 и -4; б) +15, -5, о, -12 и +7. Найдите сумму (приведите разные способы вычисления): а) (-2) + (-4) + (-6) + 4 + 3 + 5; б) (-5) + (-4) + (-3) + 15 + 14 + 13; в) 1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6); г) 20 + (-18) + 16 + (-14) + 12 + (-10). Дана сумма -2 + (-4) + 7. Запишите все возможные суммы, которые можно получить из данной перестановкой слагаемых. Чему равно значение каждого из выражений? Найдите значение выражения: а) -(-8) + 3; б) -(12 + (-1)); в) -(-10) + (-6); Найдите сумму всех целых чисел: а) от -100 до 100; б) от -100 до 150; г) -((-3) + 1); д) -((-20) + (-10)); е) -(-(6 + 4)). в) от -70 до 50; г) от -150 до 70. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЙ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИИ Найдите значение выражения: а) а + 35 при а = -50, -35, -18, 0, 15, 35; б) X + Z/ + 1 при X = -3, у = -6; X = -9, у = 5; х = -1, у = —2. Найдите значение суммы а + 5 + с при указанных значениях а, & и с: а) а = 17, Ь = -23, с = -9; б) а = -33, Ь = -18, с = 26; в) а = 25, Ь = -19, с = 50; г) а = -12, Ь = -20, с = -19. вы УЗНАЕТЕ д Как можно вычислить раз-ноаь двух целых чисел а - Ь = а + (-Ь) _____ Например: ■ 5 = 3 + (-5) = -2 Щ;3 - (-5) = 3 + (+5) = 8 ■ -3 - (-5) = -3 + (+5) = 2 ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Если вы хорошо научились складывать целые числа, то сумеете вычислить и их разность. Дело в том, что вычитание всегда сводится к сложению. ПРАВИЛО ВЫЧИТАНИЯ Вспомним, что разностью чисел а и Ь называется такое число с, которое при сложении с числом Ь даёт число а. Это определение разности мы распространим и на целые числа. Например: 2 - 7 = -5, так как (-5) + 7 = 2. Итак, разность 2 — 7 равна —5. Но и сумма 2 + (-7) равна -5, т. е. 2-7 = 2 + (-7). Таким образом, чтобы найти разность чисел 2 и 7, нужно к числу 2 прибавить число -7. Точно так же 5 - (-3) = 5 + (+3), (-14) - (+6) = (-14) + (-6), О - (-7) = О + (+7). Вообш;е вычитание всегда можно свести к сложению. П Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. С помош;ью букв это правило записывается так: а — Ь = а + (—Ь). Пример 1. Найдём разность (-12) - 24: (-12) - 24 = (-12) + (-24) = -36. Пример 2. Найдём разность 12 - (—24): 12 - (-24) = 12 + (+24) = 36. Обратите внимание на важное отличие множества целых чисел от множества натуральных чисел. В множестве натуральных чисел сложить можно любые два числа, но вычесть одно число из другого можно не всегда. Так, нельзя из числа 3 вычесть 5. Благодаря введению отрицательных чисел мы получили возможность вычитать из меньшего числа большее. И в множестве целых чисел действие вычитания выполнимо всегда. Можно сказать, что арифметика целых чисел «богаче» арифметики натуральных чисел: с целыми числами мы можем обращаться более свободно, чем с натуральными. В том же смысле арифметика дробных чисел «богаче» арифметики натуральных чисел: одно дробное число всегда можно разделить на другое (не равное 0), а в множестве натуральных чисел действие деления выполнимо не всегда. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ВЫРАЖЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ ТОЛЬКО действия сложения и вычитания Рассмотренные правила сложения и вычитания позволяют вычислять значения «длинных» выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «плюс» и «минус». Пример 3. Найдём значение выражения 28 - 37 - 13 + 26. Представим данное выражение в виде суммы 28 + (-37) -f- (-13) -Ь 26. Эту сумму можно вычислить, складывая числа последовательно: 28 -Ь (-37) -Ь (-13) -Н 26 = - 9 -Ь (-13) + 26 = 4. -9 -22 Но можно воспользоваться и другим приёмом — сложить по отдельности положительные и отрицательные слагаемые, а затем найти сумму двух получившихся чисел: 28 Ч- (-37) -Ь (-13) -Ь 26 = 28 -Ь 26 + (-37) -Ь (-13) = = 54 Ч- (-50) = 4. Кстати, именно так обычно поступают, подводя итоги денежных операций: подсчитывают отдельно доходы и расходы, а затем находят общий результат. Пример 4. Найдём значение выражения а + Ь - с при а = 10, Ь = —12, с = —5: а + Ъ- с=\0 + (-12) - (-5) = = 10 Ч- (-12) + 6 = 3, Сначала мы подставили вместо букв указанные числа, заключив при этом отрицательное число в скобки. Затем заменили вычитание сложением и вычислили значение получившейся суммы. ^ ? Si-9 Cfbococ/^/. I "К • CbOtxxf2. ^ 4+(-3)i-9-^{-S)= ^ i6 + (-8)^8. Vr ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ® Сформулируйте правило вычисления разности двух целых чисел и запишите его с помощью букв. д Вычислите: а) 12 - (-18); б) -20 - (-20); в) -9 - 6. д Предаавьте число -10 в виде разности двух целых чисел разными способами. I ! ч ‘ ^ *' • V 564 ГЛАВА 9 ■ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА УПМЖНЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Замените вычитание сложением и вычислите: а) (-1) - 8; б) (-3) - 14; в) (-5) - 2; 572 Найдите разность: а) 4 - (-7); г) -7 - (-9); б) 18 - (-5); д) 46 - (-6); в) -21 - (-20); е) -30 - (-30); Выполните вычитание: а) 7 - 7; в) 3 - 5; б) 2 - 8; г) 1 - 10; ж) -17 - (-2); з) 15 - (-20); и) -50 - (-5); Д) о - 11; е) 10 - 12; г) (-12) - 10. к) 3 - (-3); л) 23 - (-28); м) -31 - (-62). ж) о — 3; з) 4 - 7. Вычислите: а) -10 - 20; в) -12 - 10; д) -1 - 100; б) -4 - 5; г) -60 - 1; е) -5 - 0; Подсказка, а) -10 - 20 — это разность чисел —10 и 20; представьте её в виде суммы, т. е. прибавьте к -10 число, противоположное 20. ж) -11 — 11; з) -25 - 75. Поставьте вместо многоточия знак = или а) -3 - 2 ... -3 + (-2); в) 0 - (-1) ... 0 + 1; б) -6 - 10 ... -6 - (-10); г) -15 - (-2) ... -15 + (-2). Вычислите: а) -256 + 181; б) -352 - 204; в) 725 - 831; Решите уравнение: а) 20 + л: = 18; б) 5 - л: = 10; в) л: - 6 = -11; г) 154 - (-138); д) -206 + (-456); е) -315 - (-827); г) л: + 4 = -1; д) 5 - д: = -3; е) х- (-4) = 0; ж) 186 + (-235); з) 194 + (-158); и) 789 - 1000. ж) -9 + л: = 5; з) —7 - д: = 4; и) д: - (-2) = 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИИ Найдите значение выражения: а) 20 + (-15) - (-6); б) 10 - 20 - (-40); в) -3 + 12 - (-22); г) -7 - (-7) + (-29). Представьте выражение в виде суммы и выполните вычисления: а) 18 - 12 - 26; д) 30 - 35 + 6; и) 5 + 6 - 17; б) -13 - 8 + 13; е) -1 + 2 - 3; к) -2 - 4 + 3; в) -14 - 7 + 9; ж) 5 -13 + 8; л) -7 - 3 - 11; г) 7 - 12 - 8; з) -24 - 31 - 9; м) -4 + 4 + 8. ф> 579 Вычислите: а) 26 - (18 + (-7)); б) -84 - (-18 - 6); в) (3 - 23) - (4 - 10); г) (-8 + 15) - (-6 - 20). Возьмём равенство 4-7-9 = 44- (-7) 4- (—9). Поменяем местами его левую и правую части: 4 + (-7) 4- (-9) = 4-7-9. Последнее равенство показывает, что сумму 4 4- (—7) 4- (-9) можно записать проще, без скобок и промежуточных знаков сложения — просто выписать одно слагаемое за другим с их знаками. Используя рассмотренный приём, замените выражение равным, не содержащим скобок, действуя по следующему образцу: 5 - (+2) -Ь (-3) = 5 4- (-2) -f (-3) = 5-2-3. а) -3 4- (-8) -Ь (-9); в) -5 - (-17) -Ь 4 - (-3); б) -2 - (-4) 4- (-10); г) 4 - (-1) - (-2) -Ь (-3) - 8. Не записывая выражение в виде суммы явно, перечислите входящие в эту сумму слагаемые: а) -1 - 14 + 32; б) 18 - 30 - 31; в) -101 - 102 - 103. Вычислите, сложив отдельно положительные и отрицательные числа: а) —5 - 34-6-84-4; г) 4 — 84-3 — 94- 6; б) 1 - 2 -Ь 5 - 7 - 11; д) 17 - 19 - 50 -Ь 21 -Ь 37; в) 7 - 4 - 9 -Ь 8 - 6; е) - 31 -Ь 42 -Ь 14 - 12 - 60. Образец. Найдём значение выражения -28 Ч- 17 - 16 -Ь 13. 1) 17 + 13 = 30; 2) -28 - 16 = -44; 3) 30 - 44 = -14. Вычислите: а) 14 - 23 - 37 -Ь 23 -Ь 56 - 13; б) 27 - 49 - 12 -f 38; в) -51 - 18 - 29 -Ь 11 -Ь 51 + 29 - 14; г) 46 4- 34 - 15 - 34 - 46 -Ь 15 - 100. Рассматривая выражение 10 — 15 4- 20 как сумму, переставьте слагаемые в этой сумме всеми возможными способами. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Найдите значение выражения: а) 3 — с при с = 7; -5; б) л: - 10 при X = -15; -10; ъ) а — Ъ при а == 7, Ь = —10; г) X - у при X = -3, у = -13. Поставьте в выражение а + Ь — с указанные числа и выполните вычисления: а) а = -3, Ь = -15, с = -27; б) а = -65, 6 = 15, с = -50. Известно, что а = -100, Ь = 180, с = -125. Найдите: а) а - Ъ Л- с; б) а - Ъ — с\ в) а 4- 6 4- с; т) -а — Ь + с. вы УЗНАЕТЕ О Как можно найти произведение и частное двух целых чисел Самым «таинственным» во всей теории отрицательных чисел было правило «минус на минус даёт плюс». Даже самые крупные математики XVIII в. давали здесь на редкость туманные объяснения. Английский поэт У.Х. Оден с огорчением воскликнул; «Минус на минус — всегда только плюс. Отчего так бывает, сказать не берусь». УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Рассмотрим, как выполняются ещё два арифметических действия с целыми числами — умножение и деление. При этом главным будет вопрос: «Как по знакам компонентов действия определить знак результата?» УМНОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Чтобы понять, как перемножают целые числа, рассмотрим четыре произведения, множители в которых различаются только знаками: 5 • 3, (-5) -3, 3 • (-5), (-5) • (-3). Для натуральных чисел умножение сводится к сложению, поэтому произведение 5*3 — это сумма трёх слагаемых, каждое из которых равно 5: 5 3 = 5 + 5 + 5 = 15. Произведением (-5) • 3 естественно считать сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно -5. Так как (-5) + (-5) + (-5) = -15, то (-5) • 3 = -15. Понятно, что произведение 3 • (-5), которое получается из произведения (-5) • 3 перестановкой множителей, тоже должно быть равно -15: 3 ■ (-5) = -15. Остаётся сообразить, как перемножить отрицательные числа -5 и -3. Ещё в XVIII в. великий учёный, математик и механик Леонард Эйлер, работавший в России, объяснял правило умножения отрицательных чисел примерно следующим образом. Ясно, что (-5) • 3 = -15. Поэтому произведение (-5) • (-3) не может быть равно -15. Однако оно должно быть как-то связано с числом 15. Остаётся одна возможность: (-5) • (-3) = 15. Итак, 5 • 3 = 15, (-5) • 3 = -15, (-5) • (-3) =15, 3 • (-5) = -15. Произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно. Коротко правила знаков при умножении формулируют так: плюс на минус даёт минус, минус на минус даёт плюс. Числа О и 1 при умножении целых чисел сохраняют свои свойства: а’0 = 0иа-1 = а. у -<=68 ■ УМНОЖЕНИЕ И ДЁЙЕЧ Например: (-4) -0 = 0, (-26) • 1 = -26, 0 • (-100) = О, 1 • (-10) = -10. Особую роль при умножении целых чисел играет также число -1: при умножении на —1 число заменяется на противоположное. Например, 12 * (-1) = -12, (-12) • (-1) = 12. Вообще а • (—1) = —а. Умножение целых чисел обладает теми же свойствами, что и умножение натуральных, — переместительным и сочетательным. Справедливо также распределительное свойство. Заметим, что распределительное свойство выполняется именно потому, что для умножения мы приняли указанные выше правила знаков, в частности правило «минус на минус даёт плюс». Поэтому, «открывая» правило умножения отрицательных чисел, можно было бы рассуждать так. Попробуем ответить на вопрос: чему должно быть равно произведение (—5) • (—3), чтобы выполнялось распределительное свойство? Если это свойство выполняется, то (-5) • ((-3) -Н 3) = = (-5) • (-3) + (-5) • 3 = (-5) • (-3) -Н (-15). С другой стороны, (-5) • ((-3) + 3) = (-5) -0 = 0. Таким образом, (-5) • (-3) -I- (-15) = 0. Значит, (-5) ■ (-3) = 15. ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Правила деления двух целых чисел аналогичны правилам умножения — знак частного определяется по следующему правилу знаков: Частное двух чисел одного знака положительно; частное двух чисел разных знаков отрицательно. giauJi Например: (-16) : (-2) = 8; 200 : (-100) = -2; (-8) : 8 = -1. При делении нуля на любое целое число, не равное нулю, в частном получается нуль. Например: о : (-7) = 0. Как обычно, на нуль делить нельзя. При делении любого целого числа на 1 получается это же число: 5:1 = 5, (-12) : 1 = -12. При делении любого целого числа на —1 получается противоположное число: 5 : (-1) = -5, (-12) : (-1) = 12. Правила знаков Знак компонентов действий Знак результата + + -f- - - + - + - + - - а = о, где а ^ о 1 = а (-1) = -а ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: • Сформулируйте правила знаков при умножении и делении. Проиллюстрируйте эти правила примерами. ® Подберите такие целые числа а и Ь. чтобы выполнялось неравенаво; а) аЬ > 0; 6) а : Ь < 0. д Запишите с помощью букв свойства нуля и единицы при умножении. ©Закончите равенство а • (-1) = ... и дайте словесную формулировку этого свойства. 5-’ 4 в Л ГЛАВА 9 ■ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 8 582 585 УПРАЖНЕНИЯ УМНОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ а) (+7) • (-4), б) (-fl5) • (-3), в) (-Ы2) • (-5), (-8) • (-6), (-6) • (-3), (-3) • (-100), 8 • (-5), -3 • (-8), 11 • (-4), -6 • 4; -7 • 7; -7 • 80. Вычислите устно: а) -1 • 10; б) -18 • (-1); в) 26 • (-1); г) о • (-25); Д) -101 • 0; е) О • (-1). Не выполняя умножения, сравните: а) -13 • (-23) и 0; б) 14 • (—16) и 0; в) -37 • 21 и О; г) -24 Д) -32 е) -22 25 и -24 • (-25); (-15) и 32 • (-15); 17 и (-17) • 22. 1) Найдите произведение: а) 20 • (-5) • 6; в) -2 • (-3) • 25; д) (-1) • (-10) • (-10); б) (-10) • (-3) -4; г) 4 • (-4) • (-1); е) -5 • (-6) • 3. 2) Каким числом — положительным или отрицательным — является произведение трёх чисел, если: а) два числа отрицательны, одно положительно; б) одно число отрицательно и два положительны; в) все три числа отрицательны? 1) Представьте данное число в виде произведения двух целых чисел (произведения, отличающиеся порядком множителей, считаются одинаковыми): а) -21; б) 20; в) -23; г) -1; д) 1; е) 0. 2) В каждом случае укажите, сколькими способами можно представить число в виде такого произведения. Представьте число -60 в виде произведения: а) трёх множителей; б) четырёх множителей. Представьте число 120 в виде произведения нескольких множителей, среди которых есть отрицательные. Дайте несколько решений. Расположите произведения в порядке возрастания их значений: -17 • 23; -17 • 38; -17 * (-38); -17 • (-23). 1) Найдите значение выражения аЬ при а = 16и6 = —12. 2) Не производя вычислений, найдите значения следующих выражений при тех же значениях а и Ь: -аЬ; а(-Ь); (-а)(—Ь); -{-а)Ь; -(-а)(-Ь). 3) Значение каких выражений равно значению произведения аЬ? Запишите цепочку: аЬ = ... . Щ .1 I i I I I 1 1 .1 I I 1 I I I 1 !i || 1 13 [ Г I ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 591 Проверьте с помощью умножения, верно ли выполнено деление: а) (-42) : 2 = -21; б) 70 : (-7) = -10; Выполните деление: а) -48 : 12 б) 64 : (-4) в) 12 : (-1) г) -30 : (-10); д) -78 : (-6); е) 99 : (-11); в) (-24) : (-6) = 4; г) о : (-3) = 0. ж) -100 : 5; з) -850 : (-85); и) 360 : (-12); к) -1 : (-1); л) -18 : 18; м) -270 : (-30). Какое число надо подставить вместо х, чтобы получилось верное равенство: а) 25 • л: = -25; б) л: : 1 = -7; в) X ’ (-18) = 0; г) -26 : X = 26; д) д: • (-30) = 30; е) X : (-8) = 0; ж) -19 • X = 19; з) д: : (-1) = -1? Решите уравнение: а) -10 • X = 70; б) д: • (-12) = -24; в) —8 • д: = 64; г) д: * (-4) = -20. РАЗНЫЕ действия С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ Вычислите: а) -7 • (-6) + 17; б) 18 • (-5) - 1; в) -8 - 2 • (-8); г) -27 : (-3) - 10; д) 10 - (-28) : (-7); е) -36 : (-8 Ч- 20); ж) -4 • (-3) : 12; з) 15 : (-5) • (-6); и) -64 : (-8) : (—4). Найдите значение выражения: а) 2аЬ при а = -8, Ь = -1; б) 2а - Ь при а = б, Ь = —10; в) аЬ - 60 при а = -10, Ь = 3; г) 8 - (а + Ь) при а — -10, Ь = -2. Подставьте в выражение а ' Ь : с указанные числа и выполните вычисления: а) а = -12, Ь = 8, с = -6; б) а = 24, Ь = -3, с = 9; в) а = 60, = о, с = -5; г) а = —18, Ь = -3, с = -9. Известно, что а = -90, Ь = —16, с = 3. Найдите значение выражения: а) а : Ь ' с; б) а : (Ь • с); в) а • (Ь : с). Опровергните с помощью контрпримера утверждение: « 1) если а + Ь> о, то аиЬ — числа положительные; 2) если аЬ > о, то а и Ь — числа положительные. ъ п ^ 3 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ПОДВЕДЕМ ИТОГИ 1) Какие числа называют целыми? 2) Среди чисел 12, -15, 1, -3, О, 6, -9 найдите: а) целые положительные числа; б) целые отрицательные числа. 3) Верно ли, что любое целое число является либо положительным, либо отрицательным? 1) По какому правилу сравнивают целые числа? 2) Сравните числа: а) 8 и -100; б) -8 и -10; в) -7 и 0. 3) Между какими ближайшими целыми числами находится число: а) -99; б) -1? Ответ запишите с помощью двойного неравенства. 4) Сравните числа а и 6, если известно, что а > 0 и ?) < 0. 1) Что можно сказать о знаке суммы чисел а и &, если известно, что; а) оба числа отрицательные; б) одно число отрицательное, а другое положительное? Для каждого случая приведите примеры. 2) Найдите сумму: а) (-15) + (-6); б) (+18) + (-18); в) (+14) + (-6); г) (+3) + (-22). © © 1) Как из одного целого числа вычесть другое? Запишите правило вычитания с помощью букв. 2) Найдите разность: а) -15 - (-20); д) 0 - (-41); б) -6 - (+23); е) -25 - (+20); в) 16 - (-3); ж) -20 - 30; г) 4 - (+12); з) 5 - 50. Объясните, как можно найти значение выражения 3-8 + 14 — 5 — 11. Выполните вычисления. 1) Сформулируйте правила знаков при умножении и при делении. 2) Выполните умножение: а) -5 • (-3); б) О • (-6); в) 4 • (-7); г) 10 • (-1); д) (-1) • (-5) • (-3); е) (-2) • (-2) • (-4). 3) Выполните деление: а) -32 : 8; в) 42 : (-7); б) -54 : (-6); г) 0 : (-3). КАКИЕ ЧИСЛА НАЗЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫМИ РАЦЦ^ОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. МОДУЛЬ ЧИСЛА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ КООРДИНАТЫ ИНТЕРЕСНО Расширение представлений о числе сопровождало человечество на протяжении всей его истории. Большой вклад внесли в развитие понятия числа учёные Индии. Математик и астроном Брахмагупта ещё в VII в. широко использовал отрицательные числа — за много столетий до того, как они пришли в Европу. Замечательным вкладом индийских математиков в развитие теории чисел было введение понятия нуля и знака для него. Это столь привычное сегодня удивительное число позволило им создать десятичную систему записи чисел и разработать правила операций над записанными так числами. • f ■ вы УЗНАЕТЕ д Какие числа называют рациональными в Как изображают рациональные числа точками на координатной прямой Термин «рациональное число» происходит от латинского слова ratio. Сущеавуют разные объяснения этого происхождения. Одно из них связано с тем, что слово ratio означает «разум». Математики Древней Греции обнаружили, что для измерения длин отрезков не хватает даже дробных чисел. Были «изобретены» новые числа (вы узнаете о них в старших классах), и их назвали иррациональными, т. е. «неразумными». А привычные числа в противопоставление новым назвали «разумными», рациональными. ^4 / / It f 6 ’lanTT \l /' ^ V \ V// // / > КАКИЕ ЧИСЛА НАЗЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫМИ В предыдущей главе вы познакомились с целыми числами. Это натуральные числа 1, 2, 3, противоположные им числа -1, -2, -3, ... и число 0. Но так же как, кроме натуральных чисел, существуют дробные числа, так и, кроме отрицательных целых чисел, существуют и отрицательные дробные числа. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Отрицательные дробные числа используются и в математике, и в реальной жизни. Например, если убыток фирмы составил 1,5 млн р., то его удобно показать как отрицательную прибыль: —1,5 млн р. Или если популярность политического деятеля упала на 8,5%, то этот «отрицательный рост» можно записать так: -8,5%. Положительные дробные числа, с которыми вы до сих пор имели дело, как и положительные целые числа, можно записывать со знаком « + »; например, +1,5 и 1,5 — это одно и то же число: +1,5 = 1,5. Отрицательные дробные числа, так же как и отрицательные целые, получаются приписыванием к положительному числу знака «-»: -2,5, -100,75. Числа, которые различаются только знаком, т. е. такие, как 5 и -5, - и --, 8,7 и -8,7, называют проти- О о воположными числами. Целые и дробные числа вместе образуют множество рациональных чисел. 1 22 Так, -, —Z-, о, 18,4, -148, 256 — это всё при- О I меры рациональных чисел. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ Вы знаете, как отмечают на координатной прямой целые числа. Чтобы отметить, например, числа 1, 2, 3, 4, надо отложить вправо от нуля отрезки, длины которых равны 1, 2, 3, 4 единицам. А чтобы отметить на прямой числа —1, -2, —3, -4, надо отложить отрезки с длинами 1, 2, 3, 4 единицы влево от нуля. КАКИЕ ЧИСЛА НАЗЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫМИ * ' На рисунке 10.1 изображена координатная прямая, отмеченные на ней числа являются целыми. Положительные целые числа расположены справа от нуля, отрицательные — слева. —I 1 1----1— ч-----h Н----------1- Н-----h -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 6 7 10.1 Щ Между целыми числами на координатной прямой расположены дробные числа, на правом луче — положительные, на левом — отрицательные. Отметим на координатной прямой, например, числа 3,5 и -3,5: отложим от точки О вправо отрезок длиной 3,5 единицы, получим точку, изображающую число 3,5; отложим от точки О влево отрезок такой же длины, получим точку -3,5 (рис. 10.2). -3,5 I • ч 3,5 10.2 ^ Таким же образом изображается на координатной прямой любое положительное или отрицательное число. Чтобы, например, отметить число -5,2, надо отложить влево от нуля отрезок, равный 5,2 единицы, получим точку, расположенную между числами -6 и -5 (рис. 10.3). В О -5,2 -3,5 3,5 10.3 }% Числа 0; 3,5; -3,5 и -5,2 являются координатами точек О, А, Б и С. Записывается это так: О (0), А (3,5), В (-3,5), С (-5,2). Противоположные числа изображаются точками координатной прямой, симметричными относительно точки О (0). Например, числам 2,5 и -2,5 соответствуют точки, расположенные справа и слева от точки О на расстоянии, равном 2,5 единицы; числам 5 и —5 — точки, расположенные справа и слева от точки О на расстоянии, равном 5 единицам (рис. 10.4). О Н----1---1—*-1----1---4----1--- -5 -2,5 2,5 Если перед некоторым числом, положительным или отрицательным, поставить знак «-ь», то получится то же самое число: fe ^(+2,3) = -1-2,3 = 2,3; -Ь(-2,3) = -2,3. Если поставить знак «-», то получится противоположное число: -(-Ь2,3) = -2,3; -(-2,3) = -Е2,3 = 2,3. Знак «-» употребляется не только для записи отрицательных чисел, но и для обозначения противоположного числа. Если обозначить некоторое число буквой а, то противоположное ему число будет иметь обозначение -а. Например, если а = 1,2, то -а = -1,2; если а = -2,5, то -а = 2,5. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Приведите примеры целых чисел, целых отрицательных чисел, дробных положительных чисел, дробных отрицательных чисел. О Назовите число, противоположное числу: а) 12,8; б) -10. О Расскажите, как изобразить на координатной прямой число 4; число -7; число 3,5; число -3,5. 599 УПРАЖНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Из чисел 2; -3,7; 0; 10; if; -80; 4,09; -5 выпишите: О 8 4 1) положительные числа; 2) отрицательные числа; 3) целые числа; 4) дробные отрицательные числа. Запишите: а) пять отрицательных дробей со знаменателем 3; б) пять отрицательных десятичных дробей с одним знаком после запятой; в) пять чисел, расположенных между числами -1 и 0. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ЧИСЛА Запишите число, противоположное каждому из следуюш,их чисел: -20; 35,4; -з|; 0,002. Упростите запись: а) +(+10,1); б) +(-3,6); в) +(- -); д) -(-1,4); г) -(+6,2); ^ 20^' Упростите запись: а) -(+(+34)); б) +(-(+15)); в) +(-(-57)); г) -(+(-60)). Образец. Раскрываем скобки по очереди, начиная с внутренних: -(-(+17)) = -(-17) = +17 = 17. Как записать с помощью знака «—» число, противоположное числу о? Чему равно -а, если а = 1? а = 7,3? а - --? а = -112,1? ш Образец. Если а = 18, то -а = -18. Найдите неизвестное число х: а) -л: = 7-; б) -X = -2,8; в) -(-дс) = -1,5; г) -(-X) = 100. КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой. А Ч----1----h В Ч-----1----h D Е Н---¥--h -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 о 1 2 3 4 5 6 7 :0 39 ■ КАКИЕ ЧИСЛА НАЗЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 41 610 611 612 Qi3 614 пг i Начертите координатную прямую. Отметьте на ней точками данное число и число, ему противоположное: а) 1; 3; 5; 7; б) -3; —5; —7; —8. Отметьте на координатной прямой целые числа, заключённые между числами: а) —2 и 5; б) -9 и 0; в) -30 и -20. На координатной прямой отмечены точки. Запишите их координаты. LKHGFABCDE -1 а) Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 6 клеткам. Отметьте на ней точками числа 1^, —1, б) Начертите координатную прямую (единичный отрезок — 2 клетки) и отметьте на ней числа 0,5; 1,5; 2,5; —0,5; —1; —3; -3,5; —4,5. На координатной прямой отмечены точками некоторые числа. Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте точками противоположные им числа. Выпишите пары точек, координатами которых являются противоположные числа. Е Н----h D -л— С А -•--1-1—*- н-----h В -3,5 -1,5 -0,5 о 3,5 Определите, какая из данных точек расположена на координатной прямой дальше от начала координат: а) А (20) или В (75); г) А (-12) или В (52); б) А (-16) или В (-25); д) А (-0,8) или В (0,8); в) А (-30) или В (15); е) А (-^) или В (-^). Выпишите все десятичные дроби с одним знаком после запятой, которые на координатной прямой изображаются точками, лежапдими между: а) А (6,1) и В (6,9); б) А (-2,7) и Б (-2,2); в) А (-0,5) и Б (0,5). На координатной прямой отмечены числа а и Ь (рис. 10.5). а) Определите, какое из этих чисел положительное и какое отрицательное. б) Как с помош;ью циркуля отметить на прямой числа -а и -Ь? Перенесите рисунок в тетрадь и выполните нужные построения. 70.5 3 вы УЗНАЕТЕ в Как сравнить любые два рациональных числа Q Что такое модуль числа ®Как найти модуль рацио- СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. МОДУЛЬ ЧИСЛА Вы уже умеете сравнивать любые положительные числа, можете сравнить два целых числа. А теперь вы научитесь сравнивать любые рациональные числа. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ Естественно считать, как и раньше, что из двух чисел меньше то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная левее, а больше то, которому соответствует точка, расположенная правее. Отрицательные числа на координатной прямой отмечаются точками, расположенными левее нуля, а положительные — точками, расположенными правее нуля. Например, на рисунке 10.6 вы видите координатную прямую, на которой отмечено несколько положительных и отрицательных чисел. -I------------н ---1-------1--1--1—I---1--1-f- -5,8 -4 _£ О 1 2,5 2 Можно сделать следуюш;ий вывод: 6 10.6] Любое отрицательное число меньше нуля. Любое положительное число больше нуля. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. i Например: -5,8 < 0; 2,5 > 0; -5,8 < 2,5; Если а — отрицательное число, то а < 0. Верно и обратное: если а < 0, то оно отрицательное. Поэтому утверждения «а — отрицательное число» и «а < о» означают одно и то же. Точно так же одно и то же означают утверждения «а — положительное число» и «а > о». Для сравнения двух отрицательных чисел также обратимся к координатной прямой. Сравним, например, числа -5,8 и -4 (рис. 10.6). Точка -5,8 расположена левее точки -4, поэтому -5,8 < -4. Однако мы могли прийти к такому же выводу и не обрапдаясь к рисунку. Действительно, точка -5,8 удалена от начала координат на 5,8 единицы, а точка -4 — на 4 единицы. Это значит, что точка —5,8 расположена левее, т. е. —5,8 < -4. СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. МОДУЛЬ ЧИСЛА г 4 что ТАКОЕ МОДУЛЬ ЧИСЛА Чтобы выяснить, какое из двух отрицательных чисел -5,8 и -4 меньше, мы сравнили положительные числа 5,8 и 4 — расстояния от нуля до соответствуюпдих точек координатной прямой. Расстояние от точки координатной прямой, изображаю-ш,ей некоторое число, до нуля иначе называют модулем этого числа (еш;ё говорят «абсолютная величина»). Модуль числа -5,8 равен 5,8; модуль числа -4 равен 4. Используя термин «модуль», можно рассмотренный выше способ сравнения отрицательных чисел сформулировать в виде правила: П Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше. Понятно, что модуль положительного числа — это само это число. Например, модуль числа 2,5 равен 2,5, так как число 2,5 удалено от начала отсчёта на 2,5 единицы. Получить модуль отрицательного числа тоже легко — достаточно просто отбросить знак «минус». А модуль числа О равен О, так как число О находится на «нулевом» расстоянии от самого себя. Таким образом: П Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному. Модуль нуля равен нулю. Для модуля есть специальное обозначение. Если а — некоторое число, то его модуль обозначают символом |а|. Например, пишут: |-5,8| = 5,8; |-4| = 4; |2,5| = 2,5; |0| = 0. Ясно, что модуль может быть только положительным числом или нулём. Чем дальше от нуля точка, изображающая некоторое число, тем больше модуль этого числа. А у противоположных чисел, которые изображаются точками, симметричными относительно нуля, модули равны. Например: 1-8| = |8| = 8; |б| = |-б| = 6 (рис. 10.7). л---------\- —I—I—н Н---------1- -8 -6 ю.тЩ ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Какое число больше: положительное или нуль? отрицательное или нуль? положительное или отрицательное? О Покажите с помощью координатной прямой, как сравнить числа -6,5 и -8. Сформулируйте правило сравнения двух отрицательных чисел. О Назовите числа, модуль которых равен 3, и изобразите эти числа на координатной прямой. Как найти модуль положительного числа? отрицательного числа? Приведите примеры. Чему равен модуль числа 0? J ГЛАВА 10 a РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 615 616 617 ы .... УПРАЖНЕНИЯ СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ На рисунке 10.8 схематически показано, как расположены на координатной прямой относительно друг друга числа -12,5 и -5. Покажите, как расположены на координатной прямой относительно друг друга данные числа, и сравните их: а) 8 и -6; б) 6 и -8; в) -5,4 и —10; ,2 _ 1 г) —- и -3-. ^ 3 3 -12,5 -5 10.8 Сравните числа с нулём, результат запишите с помощью знака > или <: 1 126; -99; 57; -15,6; -2,015; 0,001. Сравните числа и запишите результат с помощью знака > или <: а) 39 и -74; -18 и 20; -24 и 3; 120 и -120; 3 1 б) 6 “"6 = 7^8’ -41и2|; П| и-29|; в) 2,8 и -1,5; -25,14 и 25; 132,1 и -156,7; -17,02 и 17,02. Какое из чисел расположено на координатной прямой левее, какое из них меньще: а) -7 или -10; б) -8,7 или -5,1; в) -6,5 или -6,9; г) -0,9 или -0,09; д) -4| или -4j^; е) -- или --? Между какими соседними целыми числами заключено число: -0,5; ~2-; У -90,7; -64-? Запишите ответ в виде двойного неравенства. Подсказка. Изобразите схематически на координатной прямой данное число и ближайшие к нему слева и справа целые числа, затем запишите двойное неравенство, например -16 < -15,3 < -15. На координатной прямой изображены числа а, Ь и с (рис. 10.9^ а, б). Сравните с нулём каждое из чисел а, & и с; сравните числа а и с, а и &, Ь и с. 10.9 т я 1 1 I 621 . i \'4 622 623 624 li 625 Щ.' Si 626 )МЖ 'Vt: ■' "V V i>.' F IBS \шщ ihB 40 ■ СРАВНЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. МОДУЛЬ ЧИСЛА На координатной прямой точками отмечены числа а, 6 и с. Какое из следующих утверждений об этих числах верно? 1) а>0, а<Ь<с 2) с < о, а < Ь < с ---•-----h 3) а>0, с<&<а ^ 4) с<0, с<а<Ь о МОДУЛЬ ЧИСЛА Назовите модуль числа. Запишите соответствующие равенства с помощью знака модуля и прочитайте их: а) -5; 7; 85; -29; -250; 194; б) -5,6; 5,6; -2^; 2^; 0,35; -0,35. 4 4 Начертите координатную прямую и отметьте на ней точками числа, модули которых равны 4; 2; 1,5; 0. Сравните: а) |-3| и |3|; б) |50| и |-100|; Сравните числа; а) -5 и -10; -12 и -120; б) -2,5 и -8,5; -12,2 и -11,2; в) |4,3| и 1-2,4|; -400 и -230; -59 и -60; -3 и -1; 7 2 6 ^ 5‘ Расположите числа в порядке возрастания, ответ запишите в виде двойного неравенства: а) 23; -10; 0; б) 1,8; 0; -1,8; в) 3,5; -3,2; 1,5; г) 1,3; -2,7; -1. Образец. ^ ^ ^ 1 627 Л у "-' ' . 1 628 ■ ■ 19 Расположите в порядке возрастания числа: а) -54; 0; -7; 12; 1; б) 120; -120; 40; -40; 0; г) -0,101; -0,1101; -0,01011; -0,011. в) -2i; -7; 1; 1^; f; Существуют ли такие значения х, при которых выполняется данное равенство? Если существуют, то назовите их: а) |х| = 10; б) |д:| = 7,6; в) \х\ = 0; г) |л:| = -15. 1) Приведите примеры чисел, модуль которых равен 12; больше 12; меньше 12. 2) Пусть а — это некоторое число. Покажите на координатной прямой, где могут располагаться точки, изображающие это число, если известно, что: а) \а\ = 6; б) \а\ < 6; в) \а\ > 6. I ГЛАВА 10 ■ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ВЫ УЗНАЕТЕ Оправила сложения отрицательных чисел О Правила сложения чисел разных знаков О Правила вычитания чисел СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Вы уже умеете складывать, вычитать, умножать и делить целые числа. Рассматривая правила выполнения этих действий, мы опирались на жизненный опыт — примеры ситуаций с доходами и расходами, с выигрып!-ными и проигрышными очками. Теперь эти правила можно сформулировать более точно, используя понятие модуля числа. СЛОЖЕНИЕ Вспомните, как мы поступали при сложении целых чисел. Пусть требуется сложить два отрицательных числа, например -5 и -9. Сначала надо определить знак суммы — она будет отрицательна, а затем сложить 5 и 9, т. е., как вы теперь знаете, модули чисел -5 и -9: (-5) + (-9) = -14. Сложим теперь числа разных знаков, например -8 и -1-3. Для нахождения суммы надо из 8 вычесть 3 и поставить перед результатом знак числа —8, т. е. того слагаемого, модуль которого больше: (-8) + (+3) = -5. Таким образом, можно сформулировать следующие правила сложения: Сумма двух чисел одного знака имеет тот же знак, что и слагаемые. Чтобы най- \1 ти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых. Сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слгигаемого, у которого модуль больше. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший. Эти правила справедливы для любых рациональных чисел. Обратите внимание: в каждом правиле выделяются два момента — сначала определяют знак суммы, а затем находят её модуль. Пример 1. Вычислим сумму —^ ~ Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому сначала запишем знак «минус», а затем сложим _2 _ (2 ^ _ Г2 ■ 5 + 3 • 3 з“^ 5 3"^5 15 = - -1А ~ 15 ~ ^15' Пример 2. Найдём сумму 0,3 -f (-0,7). У отрицательного слагаемого модуль больше, поэтому сумма отрицательна; чтобы найти её модуль, вычтем 0,3 из 0,7: 0,3 + (-0,7) = -(0,7 - 0,3) = -0,4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ >.2 4 7 т Действие сложения рациональных чи-^ сел обладает теми же свойствами, что и действие сложения целых чисел. Для него справедливы переместительное и сочетательное свойства, и это позволяет в любой сумме произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы. Сумма противоположных чисел равна нулю. Правило сложения рационального числа с нулём такое же, как и для целых чисел. ВЫЧИТАНИЕ ____________ Как вы знаете, вычитание целых чисел сводится к их сложению: -20 - (-15) = -20 -Н 15 = -5. Так же поступают и при вычитании любых рациональных чисел. 1 Чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Пример 3. Найдём разность (-1,5) - 0,9. Заменим число 0,9 на противоположное число (-0,9) и выполним сложение, воспользовавшись правилом сложения отрицательных чисел: (-1,5) - 0,9 = (-1,5) + (-0,9) = -(1,5 -Ь 0,9) = -2,4. 1 3 Пример 4. Найдём разность ^ ~ g* Заменим вычитание числа ^ прибавлением противо-3 положного числа -- и воспользуемся правилом сложения чисел разных знаков: 1 3 1.(3^ 4 2 4 2 Пример 5. Найдём значение выражения -0,4 + 1,8 - 2,3 -f 0,5. Это сумма четырёх слагаемых: -0,4; -fl,8; -2,3; -f0,5. Вычислим её: -0,4 + 1,8 - 2,3 + 0,5 = -2,7 -Ь 2,3 = -0,4. Сначала мы нашли отдельно сумму отрицательных и сумму положительных слагаемых, а затем сумму двух получившихся чисел. Для любых чисел а и Ь: а + Ь = Ь + а. Для любого числа а. а + (-а) = 0; а + 0 = 0 + а = а. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: 0 Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел. Проиллюстрируйте его на примере сложения чисел -4,3 и -6.5. О Сформулируйте правило сложения чисел разных знаков. Проиллюстрируйте его на при- 1 1 мере сложения чисел “ j и О Объясните, как заменить сложением вычитание числа -3,5 из числа -10. Запишите соответствующее равенство и выполните вычисление. f ГЛАВА 10 ■ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УПРАЖНЕНИЯ 630 631 632 Г* . ■' 637 СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ Выполните сложение: а) (-3,5) + (-5); б) (-6,5) + (-2); в) (-10) + (-1,4); г) (-16) + (-2,5); Найдите сумму: а) f-i] + (-2); б) 1-5 I + д) (-0,4) + (-0,5); е) (-4,2) + (-2,8); ж) (-6,15) + (-0,5); з) (-0,7) + (-2,23). B)|-fl + f-i); г) -t' + Найдите значение выражения а Ь\ а) при а = -2,5, Ъ = -7; б) при а = —1^, Ь = -4; Выполните сложение (№ 633, 634). в) при а = -10,2, Ь = -0,6; г) при а = -3-^, Ь = -0,5. О а) 5,3 + (-4); б) (-6,9) + 1; а) 7| + (-5); в) (-10,7) + 2,3; г) 12,6 + (-2,3); б)5- + -3- 6 д) 5,4 + (-10); е) (-8) + 5,5; в) 1-2^1 -Ь 2; ж) 6,3 + (-7,2); з) 3,1 + (-7,2). I + Найдите значение выражения а + 6: а) при а = -5, Ъ = 12; б) при а = 7, Ь = -1,6; в) при а = о, Ь = -5,4; 5 г) при а = ^ ^ 0,75. Подберите и подставьте вместо многоточия такое число, чтобы получилось верное равенство: а) -6 + ... = -8; в) ... + (-3,9) = -13,9; б) -6,5 + ... = -10,5; г) ... + (-5,8) = -6. ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ Запишите равенство, заменив вычитание сложением; а) -15 - (-10); в) 12 - 20; д) а - (+Ь); б) 24 - (+26); г) -8 - 16; е) а - (-Ь). Вычислите, заменив вычитание сложением: а) 5,7 - (-1,1); в) -8,75 - (+6,25); 3 ( 4 Д) 7 I 7 I» б) (-6,9) - (-10,3); г) е) о - 8 15 642 41 ■ СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫ)^ ЧИСЕЛ 9. 2 4 ■ 1 L 639 V 1 i ZJ 640 if :0 И Найдите значение выражения а - Ь: а) при а = 5, Ь = -—5 б) при а = —2, Ь = —1,7; Вычислите: в) при а = -0,12, Ь = -0,1; г) при а ■7, Ь = 2,5. 4 а) 20 - 30; 7 ^ 3 ’ J_ 10 ’ ^)| г) 2,6 - 5,2; д) -0,4 - 1,4; е) 1,9 - 5,9. Решите уравнение: а) X + 21 = 7; б) 32 + jc = -25; в) X + 12,5 = -7,5; г) 15,2 + X = 2,3; д) X - 8,9 = -5; е) 12,5 - X = -10. НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИИ Вычислите устно: а) -1 + 0,7; б) -0,6 + 4; в) -0,7 - 2,8; г) -0,5 - 6,4; -3 + 1,3; -0,4 + 1; 1,3 - 2,7; 3,8 - 10; -5 + 4,2; -0,1 + 1; -5,8 + 3,3; -0,2 - 1,9; -4 + 3,5; -0,7 + 1; -0,6 + 1,1; -4,5 + 3,1. 643 I j ' ■ i t 1 644 1 645 1 / . : :i 646_ Найдите значение выражения: а) 0,7 - 0,2 - 1,6 + 0,3 - 0,4; ч _ 1 _ 1. 3 3 3’ б) - 3 + 0,9 - 1,4 - 0,2 + 6,1; г) 2 5’ Найдите значение выражения а - Ь + с\ а) при а = о, Ь = 20,7, с = -10,3; в) при а = 1,2, Ь = 4,8, с = -4,2; б) при а = -10, Ъ = -5,5, с = 2,5; г) при а = 0,7, Ь = -10, с = -5. Найдите значения выражений а — Ь и Ь — а при а = 11, Ь = 5; при а = —6, Ь = 1; при а = -0,4, Ь = -0,9; при а = 0, Ь = -1,2. Какую закономерность вы заметили? ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ 1) Найдите значение суммы 12-14 + 5-10. -1—+-Н- 2) Измените знак перед каждым слагаемым на прЬтивополо1ж|н^й и _i,; найдите значение нового выражения. Что вы заметили? | г ; " | 3) Используя полученный результат, запшпитн|^^ражениё, значение _[/ которого противоположно данному выражению: ! : а) -15 + 8; б) -360 - 290; в) —1 — 2 — 3 + 4 + 5 — 18 + 27; -—j—f г) 10 - 15 + 11 - 107 - 38 - 18. iw 1-У ) i ■ Шу Ну ‘--‘л' тш-. ш ■■ v:;.^ ii b=Jl— ВЫ УЗНАЕТЕ Q Правила умножения и деления рациональных чисел одного знака и разных знаков Q Какие существуют способы записи отрицательных дробей а УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел. УМНОЖЕНИЕ Рассмотрим несколько знакомых примеров умножения целых чисел: (-5) • (-6) = 30; (-4) • 8 = -32; 6 • (-3) = -18. Сначала, пользуясь правилами знаков, определяют знак произведения, а затем перемножают модули множителей. Точно так же поступают и в случае любых рациональных чисел. Произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно. Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули множителей. Пример 1. 3 • 5 5(^9j 1,5 9j 5-9 Умножение рациональных чисел, так же как и целых, обладает переместительным и сочетательным свойствами, что позволяет в любом произведении произвольным образом переставлять числа и объединять их в группы. Как вы уже поняли, действие умножения рациональных чисел обладает всеми теми же свойствами, что и умножение целых чисел. Кроме переместительного и сочетательного свойств, справедливо распределительное свойство умножения относительно сложения. Сохраняются свойства нуля и единицы при умножении. При умножении на -1 число заменяется на противоположное. Пример 2. Вычислим произведение -2,5 • (-7,8) • (-4). Вычисления будут пропце, если в произведении переставить множители: -2,5 • (-7,8) • (-4) = -2,5 • (-4) • (-7,8) = = -(2,5 • 4 • 7,8) = -(10 • 7,8) = -78. ДЕЛЕНИЕ Вспомним, как мы делили целые числа: (-25) : (-5) = 5; (-12) : 3 = -4; 18 : (-6) = -3. Точно так же поступают и в случае любых рациональных чисел. Сформулируем правило деления рациональных чисел. Частное ^двух чисел одного знака положительно, а частное двух чисел разных< знаков отрицательно. Чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя. 42 ■ УМНОЖЕНИЕ и ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 9. 2 4 Ф Пример 3. (-5,4) : (-0,9) = 5,4 : 0,9 = 6. Пример 4. [-- 2 3 3 ‘ 4 ЧТО можно ДЕЛАТЬ СО ЗНАКОМ «-» ПЕРЕД ДРОБЬЮ Рассмотрим частные (-5) : 6 и 5 : (-6). Каждое из них равно отрицательному числу --. С другой стороны, каждое из этих частных можно записать с помощью дробной черты: (-5) : 6 = 5 : (-6) = 15- 5 —5 5 Таким образом, - - = ~^ = —г-о о —D Вы видите, что при записи отрицательных дробей «-» можно ставить перед дробью, вносить его в числитель или в знаменатель. Это часто используется при выполнении действий с дробями, делая вычисления более простыми. 4 5 Пример 5. Найдем значение выражения “д + Используя описанное свойство, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше: -1+А = 9 12 -4" -16 36 + = 36 5^ -I- — = 12 -16 + 15 -4 36 4 ^ 5 36 36 36 36 2 3 Пример 6. Найдём значение выражения -- - -. Сначала приведём дроби к общему знаменателю, а затем воспользуемся непосредственно правилом вычитания дробей с равными знаменателями: 2 3-2 3-8 15 _ 5 4~5 4~ 20 20 ~ -8-15 -23 “ ”20 20 = -—= -1 А ” 20” ^20* Возьмём несколько рациональнох чисел и представим каждое из них в виде дроби, у которой числитель — целое число, знаме- « в Q 2-2 0 натель — натуральное: о = -, -8 = , - г = —, 9 = -. 1 1 U О 4 Вы видите, что такие разные на первый взгляд числа можно записать в одном и том же виде. Вообще любое рациональные число может быть представлено т В виде —, где т — целое число, п — натуральное. Для любых чисел а и Ь: а • Ь = Ь • а. Для любых чисел а, Ь и с; а(Ьс) = {аЪ)с', а{Ь + с) = аЬ + ас. Для любого числа а: а • О = о * а = 0; 1 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ^ 9 Какой знак имеет произведение чисел одного знака? разных знаков? О На примере -0,2 • (-5) объясните, как умножают числа одного знака. О На примере -0,9 • 0,5 объясните, как умножают числа разных знаков. О Какой знак имеет частное чисел одного знака? разных, знаков? О На примерах -3,5 : (-7) и 4,5 : (-3) объясните, как выполняют деление чисел одного знака и разных знаков. /1 ГЛАВА 10 ■ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 647 648 649 650 651 652 653 I 654 655 Д) -3 ■ 4; е) f • (-5); ж) -i • 9 8’ . 7 f 2 “i УПРАЖНЕНИЯ УМНОЖЕНИЕ Найдите произведение: а) -4,2 • (-2); в) 1,4 • (-4); б) -3,3 • (-3); г) -5,1 • 0,4; Вычислите: а)-li ■ |; б) 2i ■ в)-li • (-i); г)-2| • Подберите число и подставьте его вместо многоточия так, чтобы получилось верное равенство: а) -8 • ... = -0,8; в) ... • (-5,7) = 5,7; д) -17,3 • ... = 0; б) 3,1 • ... = -6,2; г) ... • (-8,9) = -8,9; е) -1,6 ♦ ... = 16. Сравните с нулём: а) 8,9 • (-16,7); б) (-2,7) • (-3,1) • (-2,5); в) (-5,1) • 3,9 • (-6,3). Найдите значение выражения аЬ: а) при а = -7, Ь = -4; б) при а = -2,4, Ь = -10; Найдите значение выражения: в) при а = 2,5, Ь = -1; г) при а = -4,9, & = 0. а) -2х, если х = 15; х = -5,5; х = 0,8; х = --; о б) 0,5с, если с = -48; с = -1,6; с = 2,4; с = -0,1. Найдите значение степени: а) f_| ; б) ; в) (-0,2)^; г) (-0,5)^. Сравните с нулём: а) (-6)^"; б) (-15)®; в) / о Ч Ъ г) -I ч15 ДЕЛЕНИЕ Положительным или отрицательным является частное: а) (-4,5) : (-9); б) 125,5 ; (-2,5); в) г) Выполните деление: а) 12,6 : (-4); в) -1 : 2,5; д) 0,48 : (-8); ж) 20,9 : (-1); б) -5 : (-2,5); г) -14,4 : 1,2; е) -15,9 : (-15,9); з) 0 : (-17,3). Вычислите: а) : 4; б) -| : (-3); в) ^ : [-f^ II 662 42 ■ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ & 658 659 ^ 1 ! , i 6i Найдите значение выражения: , -18 _ -12 12’ =64’ , -45 , 2,5 , -7,2 г) д) е) _^ g, Найдите значение выражения -: о а) при а = -3, Ь = 2; б) при а = 7,6, Ь = -0,2; в) при а = -2,1, Ь = -8,4. Решите уравнение: а) Зд: = -4,08; б) -2д: = 75; в) -5д: = -0,45; г) 0,2л: = -2,8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИИ В каких случаях все три дроби равны: 2 2-2 1) --, —, у; 2)-^ 4’ 4 ’ -4’ 3) — -- — ^ 8 ’ 8’ -8’ Используя приём, показанный в примерах 5 и 6 (с. 197) , вычислите: Ч 11 ^Ч^З .13 ч2 2 ч5^3 ч11,2 а) - j; б) в)---; г) - - д) -- + е) -- + 663 664 665 т. 669 hsS Определите порядок действий и найдите значения выражений: а) -2 • (-2,5) - 2,6 и -2 • (-2,5 - 2,6); б) -| + 5 • “ [“f + ^ Найдите значение выражения (№ 664—666). а) 5,5 - (-0,9) • 3 - 10,1; б) -2,8 : (1,6 - 1,2) + 3,4; в) 0,8 - 1,5 • 1,4 + 2,3; г) (-1,9 - 0,3) : (-2,6 + 3,1). -1,5 + (-1) 1,5-(-3,5) -2,5 + 0,4 -0,5 • (-0,6) -1,5-(-!)’ 1,5+ (-3,5)’ -2,5.о,4’ -0,5 - 0,6 666 а) 1,2 - 3,1 + 0,8 0,01 б) -1,5+ 3,2-0,5 -0,3 / о Л V 15, Известно, что а = 0,2, Ь = 7,5. Найдите: аЪ\ -аЬ; {-а) • (-Ь); (-а) • Ь; а • (-Ь). Известно, что х < о, у < 0. Сравните с нулём: X —X а) ху; б) (-Х) • (-у); в) х + у; г) (~х) + (-у); д) е) На координатной прямой точками отмечены числа а и Ь. Определите: о 1) модуль какого из чисел, а или Ь, больше; 2) положительным или отрицательным является значение выражения: а) а + Ь; б) а — Ь; в) Ь — а; г) аЬ; д) вы УЗНАЕТЕ 9 Как определять положение точки на плоскости д Что такое прямоугольная система координат д Что такое координаты точки на плоскости АБВГДЕЖЗИК о 1 в 1 О ■ о о О О о ■ — о о о о о о ч о о к О о ги о в о о о ВИ О О О |°|°| 10.10 Идея координат зародилась в глубокой древности. Их изобретение было вызвано потребностью в создании небесных и географических карт. Долготой и широтой в качестве географических координат пользовался древнегреческий астроном Птолемей (И в. н. э.). Квадратная сетка, играющ,ая роль координат, была обнаружена на стене одной древнеегипетской гробницы. Прямоугольной сеткой для разметки холста пользовались и художники Возрождения. КООРДИНАТЫ Вы, наверное, слышали в жизни такую фразу: «Оставь мне свои координаты». Это выражение означает, что собеседника просят оставить свой номер телефона или адрес, которые и считаются в этом случае координатами, по которым его можно будет найти. ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ Суть координат, или, как говорят обычно, системы координат, состоит в том, что это правило, по которому определяется положение того или иного объекта в пространстве. Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Это, например, уже упомянутые почтовые адреса и телефоны. Вы встречаетесь с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта) и т. п. Те из вас, кто играл в морской бой, пользовались при этом соответствующей системой координат. Каждая клетка на игровом поле определяется двумя координатами — буквой и цифрой (рис. 10.10). Аналогичная система координат используется в шахматах, горизонтали на шахматной доске всегда обозначаются цифрами, а вертикали — латинскими буквами (рис. 10.11). С помощью этих координат можно записать ход любой шахматной партии. Похожие «клеточные» координаты обычно используются на военных, морских, геологических картах. Применяются они и на туристических схемах городов для облегчения поиска нужной улицы или достопримечательности. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Вы знаете, что если точка А изображает на координатной прямой некоторое число, например 3,5, то число 3,5 называют координатой точки А и оно определяет положение точки А на прямой (рис. 10.12). А как указать положение точки на плоскости? О -I— Ч---h А -1-м- -I—I—I—h 0 1 3,5 А (3,5) 10.12^ Для этого на плоскости чертят две перпендикулярные координатные прямые; обычно одну из них располагают горизонтально, а другую — вертикально (рис. 10.13). Точка их пересечения О — это начало отсчёта на каждой координатной прямой, её называют началом координат, а координатные прямые называют осями координат. Положительное направление на каждой оси показывают стрелкой: на горизонтальной оси это направление слева направо, а на вертикальной — снизу вверх. Единичные отрезки на обеих осях, как правило, одинаковы. Горизонтальную ось обычно называют осью х или осью абсцисс; вертикальную — осью у или осью ординат. Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью. Координатная плоскость разбивается осями на четыре координатные четверти. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с правой верхней четверти. Эта система координат называется прямоугольной или декартовой по имени французского философа и математика Рене Декарта, который первым ввел её в 1637 г. Положение точки на координатной плоскости определяется парой чисел — её координатами. Покажем, как находят координаты точки, например точки А (рис. 10.14). Опустим из точки А перпендикуляры на оси X и у. Первый «попадёт» в точку оси х, координата которой равна 4, а второй — в точку оси у с координатой 3. Эта пара чисел д: = 4и^^ = 3и есть координаты точки А. Координату х называют абсциссой или первой координатой точки А, а координату у — ординатой или второй координатой точки А. 10.14 Записывают координаты точки так: А (4; 3). Координата X всегда пишется на первом месте, а координата I/ — на втором. Если поменять порядок чисел в паре, то получится другая точка — точка В (3; 4) (рис. 10.15). Указать только одну координату точки было бы недостаточно. Так, абсциссу 4, 0 кроме точки А, имеют еш;ё точки Б, С и все точки прямой ВС, а ординату 3 имеют точки М, N и все точки прямой MN. yi ;в, п 2- ■ 4 ^ 1 ■ ' 1 ■ 1 ' ■ ' 'о. i 2 3 4 ^ . . .. 1 , "ic ' 43 « КООРДИНАТЫ Буква о для начала координат выбрана не случайно — это первая буква слова origo - начало. Термин «координаты» произошёл от латинского слова ordinatus - упорядоченный; приставка со- указывает на совместность: чаще всего координат бывает две, три или больше. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Почему рассмотренную в пункте систему координат называют прямоугольной? О Какое название имеет точка пересечения осей координат? Какие названия имеют оси координат? О Как называют пару чисел, определяющую положение точки на плоскости? Посмотрите на рисунок 10.14 и расскажите, как определяют координаты точки на координатной плоскости. ГЛАВА 10 а РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА V 670 671 1 I 672 I 673 УППАЖНЕНИЯ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ На шахматной доске расставлены пять фигур — король, ферзь, слон, конь и ладья (см. рис. 10.11). Запишите их координаты (например, король — fS). В квадрате 10X10 клеток изображена цифра 4 (рис. 10.16). «Зашифруйте» эту цифру с по-могцью координат: на первом месте пишите букву, на втором — цифру. abed f h i j 10.16 Л Начертите квадрат 10X10 клеток. Изобразите с помощью крестиков любую цифру и «зашифруйте» её. Предложите соседу по парте восстановить эту цифру по вашему шифру. Рассмотрите карту Европы и выполните следующие задания: а) Запишите координаты (широта, долгота) городов: Киев, Минск, Париж, Гамбург, Лондон. б) Найдите города, расположенные на 60° с. ш. Для каждого города определите географическую долготу и запишите его координаты. в) Определите, какие города имеют координаты (41° с. ш.; 4° 3. д.); (48° с. ш.; 16° в. д.). Каждый участок маршрута, изображённого на рисунке 10.17, можно описать с помощью трёх координат: заметный ориентир, угол между северным направлением и направлением движения (азимут), расстояние. Например, участок маршрута, идущий от сухого дерева к белому камню, можно записать так: (сухое дерево, 53°, 100 м). Запишите таким образом весь маршрут, изображённый на рисунке. Масштаб плана 1 : 10 000. ПРИМЕРЫ КООРДИНАТ Запишите координаты отмеченных точек (рис. 10.18). Отметьте на координатной плоскости точки (№ 676—678). а) (2; 4), (5; -3), (-5; -5), (-1; 3), (4; 0), (0; -2); б) (7; 3), (-1; 1), (-5; -4), (1; -2), (0; 3), (-6; 0). А yi В Е — — 4- О ■ X [С 10.18 'П 43 ■ КООРДИНАТЫ 67 1 678 679 1 ы \0 681 I 682 а) (2; 5) и (5; 2), (-2; 5) и (5; -2), (-2; -5) и (-5; -2); б) (4; 0) и (0; 4), (-4; 0) и (0; -4). А (2,5; 3), В (-1,5; -2,5), С (-2,8; 4), D (3; -3,2), Е (0; 4,5), F (-1,1; 0). Установите соответствие между точками, заданными своими координатами, и координатными четвертями, в которых они расположены. А. М (-6; 5); Б. N (4; -7); В. Р (-3; -3); Г. Q (5; 8). 1) I четверть 2) II четверть 3) III четверть 4) IV четверть Для каждой четверти укажите, какие знаки имеют координаты точек, находящихся в этой четверти: А. I четверть; Б. II четверть; В. III четверть; Г. IV четверть; 1) X — положительное число, у — отрицательное 2) X VL у — положительные числа 3) X — отрицательное число, у — положительное 4) X и I/ — отрицательные числа Постройте четырёхугольник ABCDy если его вершины имеют координаты А (-3; -4), В (-3; 4), С (3; 2), D (3; -2). Запишите координаты точек, в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат. На координатной плоскости отметьте точки А (-6; 2), В (2; 2), С (2; -3). Постройте четвёртую точку D так, чтобы получился прямоугольник ABCD, Найдите периметр и площадь прямоугольника ABCD. На координатной плоскости постройте треугольник АВС по координатам его вершин; А (2; 2), В (2; 5), С (4; 2). Затем постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно оси х, и треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно оси у. Обозначьте эти два треугольника и запишите координаты их вершин. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ 1) На координатной плоскости постройте данную точку и точку, симметричную ей относительно оси I/, запишите её координаты: А (6; 3), В (4; -1), С (-2; 4,5), D (-3; -2,5). Сопоставьте координаты точек, симметричных относительно оси и сделайте вывод. 2) На координатной плоскости постройте данную точку и точку,, симметричную ей относительно оси х, запишите её координаты: А (5; 2), В (4; -1,5), С (-3; 4), D (-2,5; -5). Сопоставьте координаты точек, симметричных относительно оси х, и сделайте вывод. ГЛАВА 10 ■ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ПОДВЕДЕМ ИТОГИ 1 5 Даны числа: -2-; 3,75; -0,5; 0; -120; 42. Найдите среди них: О I положительные, отрицательные, целые, натуральные, отрицательные дробные числа. Какие числа называют рациональными? Назовите число, противоположное числу: а) 18,5; б) --; в) 0. О Некоторое число обозначено буквой а. Как обозначить противоположное ему число? Чему равно -а, если а = 0,8? а = -15,2? 0 Запишите без скобок: -1-(+12); -Ь(-10,2); -(-Ь2,4); -(-17). © Отметьте на координатной прямой числа: -6; 2,5; 3^. 4а 4L Найдите модуль числа; а) |2,8|; |-5,6|; |0|; б) |-27|; |18|; |--|; |4,1|. О Чему равен модуль положительного числа? отрицательного числа? нуля? © Вставьте пропуш;енные слова: Любое отрицательное число ... нуля. Любое положительное число ... нуля. Любое положительное число ... любого отрицательного числа. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль ... '8 а) Сформулируйте правила сложения чисел одного знака; разных знаков; найдите сумму чисел -3,8 и 2,3. б) Объясните, как из числа -4,5 вычесть число -10. Вычислите: а) —0,8 — 2,3; б) ~ f; в) ^ f; г) —2,5 + 7 -1,5 —10. 4 3 8 6 Сформулируйте правила знаков при умножении и делении. Вычислите: а) -6 • (-0,5); б) -12 • |; в) 8,1 : (-0,9); г) 5||; д) -1,5 • 3,4 ■ (-10). Найдите значение выражения: а) 1,6 - (-0,1) • (-27); б) -2,5+ 0,4 -3 Найдите значение степени: а) ; б) (-0,5)^. Найдите значение выражения: а) За, если а = -1,5; б) -6а, если а = 24 Запишите координаты отмеченных точек (рис. 10.19). Постройте прямоугольную систему координат и отметьте в ней точки: А(-6; -3), В(5; 7), С(-4; 2), D(3; -5), Е(0; 3), Д-5; 0). Ут глава МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОГРАННИКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ПЛОЩАДИ ПРИЗМА ______■, 'ёйж:- fig; вы УЗНАЕТЕ д Какой четырёхугольник называют параллелограммом О Какими свойствами обладает параллелограмм О Какие выделяют виды параллелограммов RT Слово «параллелограмм» -=Н-Ь^[ греческого происхождения, в :±1>и переводе оно означает «изобра-г . - жающийся параллельными». ПАРАЛЛЕЛОГРАММ С параллельностью прямых связаны многие важные факты, некоторые из них вам уже известны. Немало замечательных свойств, связанных с параллельностью сторон, есть и у многоугольников. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ На рисунке 11.1 проведены две пары параллельных прямых. При их пересечении образовался четырёхугольник. Его противоположные стороны параллельны. Такой четырёхугольник имеет специальное название — параллелограмм. Параллелограмм является центрально-сим-метричной фигурой. Центр симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Чтобы убедиться в этом, наложите на параллелограмм кальку, проколите её в точке пересечения диагоналей булавкой, переведите параллелограмм на кальку и поверните кальку на 180° (рис. 11.2у а). Параллелограмм снова «войдёт» в свой контур (рис. 11.2у б). свойства параллелограмма Эксперимент с калькой позволяет нам открыть и другие свойства параллелограмма. Например, в результате выполненного поворота противоположные стороны параллелограмма «поменялись местами», значит, противоположные стороны параллелограмма не только параллельны, но и равны. При этом же повороте цветной треугольник совместился с белым (рис. 11.3). Значит, диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Кроме того, при повороте отрезки ОА и ОС, а также ОВ и OD (рис. 11.2) поменялись местами. Каждая диагональ заняла своё прежнее место. Это означает, что диагонали точкой пересечения делятся пополам. Таким свойством обладают диагонали только параллелограмма. Поэтому это свойство даёт нам удобный способ его построения. 1) Проведите две пересекающиеся прямые и обозначьте точку их пересечения буквой О (рис. (^). 2) На одной из прямых отложите циркулем равные отрезки ОА и ОС, а на другой — равные отрезки ОВ и OD (рис. 3) Соедините последовательно точки А, С и D отрезками (рис. (^). Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. ©в с Р ©; Di Слово «ромб» пришло из Древней Греции: роцРо^ — веретено, волчок; силуэты этих вращающихся тел имеют форму ромба. Этим же словом называли и бубен, который в те времена делали в форме квадрата или ромба. А вот слово «квадрат» произошло от латинского слова quadratus - четырёхугольный. ' |й1 © виды ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ У некоторых параллелограммов есть свои названия. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называют ромбом (рис. 11.4). Диагонали ромба, кроме свойств, присущих всем параллелограммам, обладают ещё одним: они перпендикулярны друг другу. К параллелограммам относятся и такие хорошо вам знакомые фигуры, как прямоугольник и квадрат. От других параллелограммов прямоугольник отличается тем, что у него все углы прямые, а у квадрата и все углы прямые, и все стороны равны (рис. 11.5). 11.4 1 Г 1Г" —11 и с п —— ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: ® Какой четырёхугольник называют параллелограммом? О Воспользуйтесь результатами эксперимента с калькой (см. рис. 11.2, б) и допишите равенства: АВ = ... , ВС= ... , ОС= ... . OD=..., ОА = ... , ОВ = ... , ААВО = ... , ААВС = ... . в Назовите известные вам свойства параллелограмма. ® Постройте параллелограмм, измерьте его стороны и углы. ® Какие виды параллелограммов вы знаете? УПРАЖНЕНИЯ 685 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ Назовите все параллелограммы, которые вы видите на рисунке 11.6. Начертите в тетради, используя свойства клетчатой бумаги, какой-нибудь параллелограмм. Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 9,4 см и 5,7 см. Обозначьте стороны параллелограмма буквами и составьте формулу для вычисления периметра параллелограмма. а) Начертите два разных параллелограмма, диагонали которых равны 4 см и б см. б) Постройте параллелограмм, диагонали которого равны 4 см и 5 см и пересекаются под углом 30°. Постройте параллелограмм по заданным сторонам и диагонали (рис. 11.7). Четырёхугольники на рисунке 11.8 — параллелограммы. Определите длины сторон зелёного треугольника. а) Вырежите из бумаги два равных неравнобедренных треугольника и сложите из них различные параллелограммы. Сколько различных параллелограммов вам удалось сложить? А если взять два равных равнобедренных треугольника? два равных равносторонних треугольника? б) Точки А, Б и С (рис. 11.9) — вершины параллелограмма. Постройте все параллелограммы, вершины которых находятся в этих точках. Указание. Используйте карандаши разных цветов. 11.7 11.9 Четырёхугольник ABCD — не параллелограмм, но у него есть одна пара параллельных сторон и одна пара равных сторон. Нарисуйте такой четырёхугольник. 3 ■ ^ ’-М ■^1 ПРЯМОУГОЛЬНИК, РОМБ, КВАДРАТ Найдите на рисунке 11.10 все: а) парашлелограммы; б) ромбы; в) прямоугольники; г) квадраты. Перечертите в тетрадь параллелограммы с номерами 5, 8, 9. 11.10 Вычислите периметр ромба со стороной 8,5 см. Составьте формулу для вычисления периметра ромба. Сколько ромбов на рисунке 11.111 Сколько параллелограммов? На рисунке 11.12 изображены ромбы АВСЕ и BCDE. Найдите периметр треугольника ВСЕ, если ВС = 3 см. Чему равны углы этого треугольника? Начертите ромб, диагонали которого равны 4 см и 6 см. Диагонали прямоугольника равны, а диагонали квадрата не только равны, но и перпендикулярны друг другу. а) Постройте прямоугольник, диагонали которого равны 6 см. Постройте другой прямоугольник с такими же диагоналями, не равный первому. б) Постройте квадрат с диагоналями, равными 8 см. Можно ли построить не равный ему квадрат с такими же диагоналями? а) У ромба две оси симметрии. Покажите их на рисунке. б) Перегибая лист бумаги, постройте ромб. На рисунке 11.13 показаны способы построения: 1) прямоугольника; 2) квадрата; 3) ромба; 4) параллелограмма. Для каждого четырёхугольника опишите словами способ построения и выполните построения. J ]■ ]■ вы УЗНАЕТЕ ©Какие многоугольники называют правильными О Как можно построить правильный многоугольник ©Сколько существует правильных многогранников П1¥ШИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ в равностороннем треугольнике, как вы знаете, равны и все стороны, и все углы. Четырёхугольник с равными сторонами и равными углами — это хорошо вам известный квадрат. Такие многоугольники выделяются среди своих «собратьев», например, тем, что они «самые симметричные». какой многоугольник называют правильным Су- ществует и пятиугольник с такими же свойствами, и шестиугольник (рис. 11.14), и вообще многоугольник с любым числом сторон. Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, называют правильным. Таким образом, равносторонний треугольник — это правильный треугольник, а квадрат — это правильный четырёхугольник. О ПРАВИЛЬНОМ ШЕСТИУГОЛЬНИКЕ Обратите внимание на такой интересный и важный факт: правильный шестиугольник можно составить из правильных треугольников. Сложим три одинаковых правильных треугольника (синие треугольники на рисунке 11.15). Поскольку величина каждого угла равностороннего треугольника равна 60°, то три их угла, приложенные друг к другу, образуют развёрнутый угол. Приложив сверху ещё 11.15 три таких треугольника, мы получим шестиугольник. Этот шестиугольник правильный: каждая его сторона равна стороне правильного треугольника, а каждый угол — двум его углам, т. е. 120°. Если вы когда-нибудь видели пчелиные соты, то, возможно, заметили, что их основа — правильные шестиугольники. И это не случайно. Как доказали математики, такая конструкция очень экономична и прочна. Пчёлы «дошли» до этого «своим умом». ОКРУЖНОСТЬ и правильный многоугольник Правильные многоугольники обладают удивительным свойством: все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности (рис. 11.16). Это свойство можно использовать для его построения. Построить правильный многоугольник можно так: разделить окружность на соответствующее число равных частей (равных дуг) и соединить последовательно точки деления отрезками. 11.16 Легче всего построить правильный шестиугольник. Чтобы разделить окружность на шесть равных частей, достаточно «пройтись» по окружности циркулем с шагом, равным её радиусу (рис. (^). Соединив последовательно все полученные точки, вы получите правильный шестиугольник (рис. ПЕсли мы соединим эти точки через од-j ну, то получим правильный треуголь-ник. А если каждую из шести дуг окружности разделить пополам, то мы сможем построить правильный двенадцатиугольник. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Внимание учёных и художников всегда привлекали правильные многогранники. Правильным называют выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Вы удивитесь, но существует всего лишь пять правильных многогранников. Вот как изобразил их Леонардо да Винчи. Этот рисунок он сделал для книги своего друга Луки Пачоли «Божественная пропорция». тетраэдр куб гексаэдр Слово «тетраэдр» переводится с греческого как «четырёхгранник» («тетра» - четыре и «хед-рон» - грань), «гексаэдр» — шестигранник. Как бы вы перевели с греческого языка названия других правильных многогранников? Форму правильных многогранников имеют некоторые кристаллы. Посмотрите на фото; кристалл поваренной соли имеет форму куба, а кристалл пирита - форму октаэдра. октаэдр икосаэдр додекаэдр ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Чему равны величины углов правильного треугольника? правильного четырёхугольника? О Опишите словами, как построить с помощью циркуля правильный шестиугольник, правильный треугольник. д Какие многоугольники называют правильными? А многогранники? ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 703 Постройте правильный шестиугольник со стороной 4 см. На этом же чертеже, но карандашом другого цвета постройте правильный треугольник. Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части (см. рис. 11.13,(^). Используйте это для построения квадрата. а) На рисунке 11.17 показано, как можно построить правильный двенадцатиугольник. Рассмотрите рисунок и вьшолните построения. б) Постройте правильный восьмиугольник. Постройте правильный пятиугольник по следующему плану: 1) с помощью транспортира, постройте пять равных углов с общей вершиной, составляющих в сумме 360°; 2) проведите окружность произвольного радиуса с центром в вершине углов; 3) соедините последовательно точки пересечения окружности со сторонами углов. 11.17 - Скопируйте рисунок 11.18. 11.18. свойства правильных многоугольников Чему равны углы правильного шестиугольника (см. рис. 11.16)^ правильного пятиугольника? правильного восьмиугольника? Вычислите периметр правильного пятиугольника со стороной 12 см, правильного шестиугольника со стороной 8 см. Запишите формулу для вычисления периметра правильного п-угольника. ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ 1) Сколько осей симметрии у правильного треугольника? четырёхугольника? пятиугольника? шестиугольника? десятиугольника? Нарисуйте эти фигуры от руки и проведите их оси симметрии, 2) Сколько осей симметрии у правильного стоугольника? девяностодевятиугольника? Запишите выражение для вычисления числа осей_|_ симметрии правильного д-угольника. 3) У каких правильных многоугольников есть центр симметрии? ] 709 710 45 ■ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ m ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ На рисунке 11.19 изображены развёртки правильных многогранников. Выберите одну из развёрток, перенесите её, увеличив, на лист бумаги и склейте из неё многогранник. Указание. Не забудьте дорисовать клапаны для склеивания. 11.19 Используя изображения правильных многогранников (рис. 11.20) или их модели, заполните таблицу. Правильный многогранник Форма граней Число граней в одной вершине Число вершин граней рёбер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр 11.20 пп □с L Г вы УЗНАЕТЕ О Какие фигуры называют рав-носоставленными, а какие — равновеликими 0 Как путём перекраивания можно найти площади параллелограмма и треугольника Верно и другое; если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то их можно разрезать на попарно равные куски. А вот с многогранниками дело обстоит иначе. Например, равновеликие тетраэдр и куб не равносоставлены — их нельзя разбить на попарно равные части. ■■4 ПЛОЩАДИ В, »ы уже знакомы с очень многими геометрическими фигурами, а вот вычислить площадь можете только прямоугольника или квадрата. Но оказывается, этого вполне достаточно, если вы сумеете перекроить фигуру, площадь которой хотите найти, в ту, площадь которой находить умеете. РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ Две фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими. Найдём, например, площади квадрата и прямоугольника, изображённых на рисунке 11.21. Площадь квадрата равна 2-2 = 4 (кв. ед.), площадь прямоугольника равна 1-4 = 4 (кв. ед.). Следовательно, эти фигуры равновелики. 11.21 На рисунке 11.22 те же квадрат и прямоугольник наложены друг на друга. Закрашенные многоугольники тоже равновелики. Действительно, если из равных величин (площади квадрата и площади прямоугольника) вычесть поровну (площадь белого многоугольника), то поровну и останется. Если фигура разрезана на части, то её площадь равна сумме площадей её частей. Значит, если фигуры составлены из одинаковых частей, или, как говорят, равносоставлены, то они имеют и равную площадь. I Равносоставленные фигуры равновелики. Рассмотрим две фигуры, изображённые на рисунке 11.23, а. Оказывается, эти столь непохожие друг на друга фигуры можно разрезать на одинаковые части (рис. 11.23, б). Значит, они равновелики. Это свойство рав-носоставленных фигур даёт нам полезный приём нахождения площадей. Он заключается в перекраивании данной фигуры в другую, площадь которой мы вычислять умеем. ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА И ТРЕУГОЛЬНИКА Ис- пользуем этот приём, чтобы найти площадь параллелограмма. Разрежем параллелограмм вдоль отрезка, перпендикулярного двум параллельным сторонам, и переложим отрезанный треугольник, как показано на рисунке 11.24. Параллелограмм удалось перекроить в прямоугольник, а способ вычисления площади прямоугольника известен. Подобным образом можно найти и площадь треугольника (рис. 11.25у а). Треугольник легко достроить до параллелограмма, проведя прямые, параллельные двум его сторонам (рис. 11.25, б). Очевидно, что площадь нашего треугольника составляет половину площади построенного параллелограмма. А как найти площадь параллелограмма, вы уже знаете. Идею перекраивания для нахождения площадей самых разных фигур использовали ещё древние математики. Так, в одной из трёх знаменитых задач древноаи - задаче о квадратуре круга - требуется поароить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. Задача эта была извеана за две тысячи лет до н.э. в Древнем Египте и Вавилоне, но только в 1822 г. было доказано, что сделать это невозможно. На фото - вавилонская глиняная табличка, содержащая геометрические задачи. Квадрат заданных размеров поделён на различные фигуры, площади которых ученик должен вычислить. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Возьмите квадрат и разрежьте его по одной диагонали. Сложите из получившихся частей треугольник. Какие фигуры называют равновеликими? • Что значит фигуры равно-составлены? • Каким свойством обладают равносоаавленные фигуры? 713 714 715 716 ■■I УПРАЖНЕНИЯ РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ Нарисуйте какой-нибудь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью, длины сторон которых (в см) выражаются целыми числами? Покажите, что фигуры, изображённые на рисунке 11.26, равновелики. Подсказка. Перекроите каждую фигуру в квадрат. п П 11.26 Нарисуйте несколько фигур, равновеликих фигуре, изображённой на рисунке 11.27. 11.27 Два одинаковых квадрата расположены так, как показано на рисунке 11.28. Докажите, что сумма площадей тёмных треугольников равна сумме площадей белых треугольников. 5 см Прямоугольники, изображённые на рисунке 11.29, равновелики. Верно ли, что и закрашенные треугольники равновелики? От квадрата отрезали четыре равных треугольника (рис. 11.30). Оставшаяся часть — квадрат. Чему равна площадь каждого треугольника? ПЕРЕКРАИВАЕМ ФИГУРЫ а) Перенесите рисунок 11.31 в тетрадь и покажите, как параллелограмм можно перекроить в прямоугольник. Чему равна площадь паргшлелограмма? б) Вырежите из бумаги параллелограмм и перекроите его в прямоугольник. Проведя необходимые измерения, найдите площадь параллелограмма. 1 I ш 1 I 1 1 1 1 -Ж. 46 ■ ПЛОЩАДИ 1^. 718 1) Представьте, что параллелограмм разрезали вдоль красного отрезка (рис. 11.32, а и б) и из получившихся частей сложили прямоугольник. Каковы измерения этого прямоугольника? Чему равна плош;адь параллелограмма? 2) Составьте формулу для вычисления плош;ади S параллелограмма (рис. 11.32, в). ТТ“ © 4 см 4 см LL 5 см I1.32& ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА а) Найдите плош;£1ДИ закрашенных треугольников (рис. 11.33). б) Достроив каждый треугольник, изображённый на рисунке 11.34, до прямоугольника, определите плопдадь треугольника. 4 см 3 см 3 см 11.33 Составьте формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника со сторонами а к Ь, образующими прямой угол. Вычислите площадь треугольника, если: а) а = 3 см, Ь = 4 см; б) а = 4,5 см, Ь = 6 см. 721 11.36 Перечертите треугольник (рис. 11.35) в тетрадь. Чему равна площадь треугольника? Найдите площадь закрашенного треугольника (рис. 11.36). (рис. 11.37). Найдите площадь оставшейся части. 2) Как вы думаете, какой фигурой является этот многоугольник? 4 см 3 см вы УЗНАЕТЕ О Какие многогранники называют призмами Q Какими свойствами они обладают Название «призма» произошло от греческого слова, которое можно перевести как «отпиленный кусок». Основание Г/ Боковая / грань ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ с одним из семейств многогранников — пирамидами — вы уже знакомы. Но есть ещё одно очень важное семейство, отдельные представители которого вам также хорошо и давно известны. ПРИЗМЫ На рисунке 11.38 изображены прямые призмы (бывают ещё и наклонные призмы, но мы их сейчас рассматривать не будем). Среди граней призмы различают основания (их два) и боковые грани (рис. 11.39). Основания представляют собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Соответствующие стороны этих многоугольников параллельны. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Рёбра, соединяющие вершины оснований, называют боковыми рёбрами призмы. Все боковые рёбра прямой призмы равны, параллельны и перпендикулярны основаниям. Называют призму по числу сторон основания. Например, призма, изображённая на рисунке 11.39, четырёхугольная. Если основанием прямой призмы служит правильный многоугольник, то и призму называют правильной призмой. Многогранники, изображенные на рисунке, — антипризмы. Треугольная антипризма получена из правильной треугольной призмы поворотом верхнего основания на угол, равный 180° : 3 = 60°; при этом боковые рёбра образуют зигзагообразную ломаную, а все боковые грани — правильные треугольники. Точно так же получены и другие антипризмы: четырёхугольная — поворотом на 180° : 4 = 45°, пятиугольная — поворотом на 180° : 5 = 36° и т. д. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Хорошо знакомый вам представитель семейства призм — параллелепипед (рис. 11.40). Параллелепипед — это четырёхугольная призма. Его называют прямоугольным параллелепипедом: все его грани являются прямоугольниками . РАЗВЕРТКА ПРИЗМЫ 11.40 _ На рисунке 11.41 изображена развёртка треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник. Такую призму можно получить, например, если разрезать параллелепипед, основанием которого является квадрат (рис. 11.42). ПРИЗМЫ в АРХИТЕКТУРЕ Призмы часто использовались зодчими при возведении замков, башен, церквей. Посмотрите на фото ниже. На нём вы видите башню рыцарского замка, расположенного в городе Выборге (Ленинградская обл.). Нижняя часть башни — это куб, а средняя её часть — восьмиугольная призма, «вырезанная» из такого же куба. Популярна эта форма и в наше время. Пентагон (от греч. «пятиугольник») — здание Министерства обороны США — имеет форму пятиугольной призмы (фото справа). Длина каждой из пяти сторон здания равна 281 м. Внутренний двор здания имеет форму правильного пятиугольника. 724 725 УПРАЖНЕНИЯ РИСУЕМ И МОДЕЛИРУЕМ Начертите в тетради такую же призму, как на рисунке 11.43. Закрасьте видимые боковые грани одним цветом, а видимое основание другим. а) Нарисуйте пятиугольную призму, например такую, как на рисунке 11.43, б. Покажите, как можно рассечь её на треугольные призмы. б) Правильную шестиугольную призму распилили на 3 части, как показано на рисунке 11.44. Какие многогранники при этом получились? Сделайте развёртку и склейте из неё: а) правильную треугольную призму; б) правильную шестиугольную призму. Сколько плоскостей симметрии у правильной: а) треугольной призмы; б) четырёхугольной призмы (не являюгцейся кубом); в) пятиугольной призмы? СКОЛЬКО граней? ребер? вершин? а) Сколько у пятиугольной призмы боковых рюбер? всего рёбер? Сколько у неё боковых граней? всего граней? Сколько у этой призмы вершин? б) Ответьте на те же вопросы для шестиугольной призмы. Сколько вершин, рёбер, граней: а) у семиугольной призмы; б) у десятиугольной призмы; в) у л-угольной призмы? а) У призмы 2000 вершин. Сколько вершин в каждом основании этой призмы? Назовите эту призму. Существует ли призма, у которой 2001 вершина? б) У призмы 33 ребра. Что это за призма? Существует ли призма, у которой 100 рёбер? в) У призмы 22 грани. Какая это призма? Существует ли призма, у которой 23 грани? Известно, что многогранник является либо пирамидой, либо призмой. Что это за многогранник, если у него: а) 13 вершин; б) 15 рёбер? 1 и ■ ■ I ■ В I ■ ■ ВЫЧИСЛЯЕМ. СОСТАВЛЯЕМ ФОРМУЛЫ 732 733 1 73 14 1) Сколько потребуется проволоки, чтобы изготовить каркасную модель: а) треугольной призмы, все рёбра которой равны 10 см; б) правильной пятиугольной призмы, боковое ребро которой равно 8 см, ребро основания — 5 см? 2) Запип1ите формулу для вычисления длины I проволоки, которая потребуется на изготовление каркаса правильной л-угольной призмы с боковым ребром, равным а см, и ребром основания, равным Ь см. Основанием параллелепипеда является квадрат. Боковое ребро параллелепипеда равно а см, ребро основания равно Ь см. Запишите формулу для вычисления: а) длины I проволоки, которая потребуется на изготовление его каркаса; б) площади S поверхности параллелепипеда. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 11.45. 11.45 Запишите формулу для вычисления объёма V многогранника, изображённого на рисунке 11.46. Деревянный куб с ребром 10 см распилили на части вдоль трёх плоскостей, параллельных его граням, как показано на рисунке 11.47. На сколько частей распилен куб? Найдите объёмы наименьшей и наибольшей частей. © 11.47 т ^СЖСП' ПОДВЕДЕМ ИТОГИ 0 Какой четырёхугольник называют параллелограммом? Назовите виды параллелограммов. Вспомните их свойства. Постройте какой-нибудь параллелограмм: а) со сторонами, равными 3 см и 4 см; б) с диагоналями, равными 5 см и 4 см. Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 10 см и 15 см. Найдите площадь закрашенной фигуры. © © 9 дм 14 дм © Что значит «фигуры равновелики»? Сторона квадрата равна 4 см. Постройте какой-нибудь прямоугольник, равновеликий этому квадрату. Запишите, чему равны длины его сторон. (f^ Выполните задание: 1) Начертите окружность с центром в точке О и проведите два перпендикулярных диаметра АС и BD. 2) ABCD — квадрат. Начертите его. 3) Через каждую из точек А, С и D проведите касательную к этой окружности. 4) Точки пересечения касательных обозначьте буквами К, М, L и N. Эти точки — вершины квадрата. 5) Найдите отношение площадей квадратов ABCD и KMLN. глава МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ ..шшк. ИНТЕРЕСНО Толчком к развитию комбинаторики послужило искусство шифрования. Ещё с давних времён дипломаты и заговорщики, стремясь к тайне переписки, изобретали различные шифры, а секретные службы пытались их разгадать. Со временем стали применяться шифры, основанные на принципах комбинаторики, например на различных перестановках букв в словах. В XVI в. противники французского короля Генриха IV для переписки с испанским двором использовали сложный шифр, насчитывавший более 500 знаков. Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. И только математик Франсуа Виет сумел быстро найти ключ к этому шифру. Поражённые испанцы обвинили Генриха IV в том, что у него на службе состоит сам дьявол. „■РНЧХШВВВПП л ^na^Baaianllii 'i.tflei i* лмт ГЛАВА 12 ■ МНОЖЕСТВА. КОМБИрАТОРМК ВЫ УЗНАЕТЕ 9 В каких случаях в математике употребляют слово «множество» ®Что называют подмножеством данного множества Основатель теории множеств немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918) так разъяснял смысл понятия множества: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». слова nature (природа). Z - первая буква немецкого слова Zahl (число). Q - первая буква французского слова quotient (частное). Слово «множество» в математике необязательно означает «много». Множество может содержать несколько элементов, только один элемент и даже не содержать ни одного элемента. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА Слово «множество» в математическом языке употребляется, быть может, даже чаще, чем слово «число». Им обозначают любую совокупность объектов (или предметов), объединённых каким-либо общим признаком. Можно, например, говорить о множестве дней в году, множестве букв латинского алфавита, множестве всех стран на земном шаре, множестве планет Солнечной системы. Для математики особенно важны множества, составленные из математических объектов — чисел, выражений, точек, фигур и т. д. ОБОЗНАЧЕНИЯ Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, Б, С, М, Р и т. д. А основные числовые множества всегда обозначают буквами N, Z, Q: множество натуральных чисел — буквой iV, множество целых чисел — буквой Z, множество рациональных чисел — буквой Q. Можно сказать, что эти буквы — «имена собственные» указанных множеств. Всякий объект, входящий в множество, называют его элементом. Например, Санкт-Петербург — элемент множества городов европейской части России. Для того чтобы на математическом языке записать предложение «л: — элемент множества А», используют знак е. Соответствующая запись выглядит так: х^А. Легко догадаться, что запись х^А означает: «х не является элементом множества А». Пусть Р — множество простых чисел. Тогда предложения «Число 13 простое» и «Число 15 не является простым» можно записать так: 13еР и 15^^P. ЗАДАНИЕ МНОЖЕСТВ Если множество содержит конечное число элементов, то говорят, что это конечное множество. Так, множество жителей нашей планеты конечно (хотя число людей на Земле очень велико — около 6 млрд 800 млн). Иногда, чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы. Например, запись С = {1; 3; 5; 7; 9} означает, что С — множество первых пяти нечётных чисел. Элементы множества можно перечислять в любом порядке. Например, множество {1; 3; 5; 7; 9} можно записать так: {9; 7; 5; 3; 1} — или так: {1; 9; 3; 7; 5}. Всё это разные представления одного и того же множества. Однако задавать множество перечислением его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Ведь гораздо проще сказать, к примеру, что В — множество двузначных чисел, чем перечислять все дву- 48 ■'ПОНЯХ0Е МНОЖЕСТВА* ' ^ - N44 BA# 1^^ ^ значные числа от 10 до 99. К тому же в математике рассматривают и бесконечные множества. Поэтому чаще всего множества задают описанием. Вот примеры такого задания: множество стран, принявших участие в Олимпийских играх в Пекине; множество растений, занесённых в Красную книгу; множество чисел, кратных 5. Пусть А — множество чисел, которые делятся на 4, но не делятся на 2. Попробуйте назвать хотя бы одно такое число. У вас это не получилось? Это и неудивительно: ведь таких чисел не существует! Значит, мы описали множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называют пустым множеством и обозначают символом 0. ПОДМНОЖЕСТВА Возьмём множества {1; 3; 5} и {1; 3; 5; 7; 9}. Каждый элемент первого множества принадлежит также и второму. В таком случае говорят, что первое множество является подмножеством второго. 12.1 Г1 Множество А называют подмножеством множества Б, если каждый элемент _ множества А является элементом множества В. т Пустое множество считают подмножеством любого другого множества. Из определения, в частности, следует, что в число подмножеств данного множества включается и само это множество. Если множество А является подмножеством множества Б, то это записывают так: А^В. Факт включения множества А в множество Б проиллюстрирован с помощью так называемых кругов Эйлера (рис. 12.1). Вы видите, что все точки круга А принадлежат также и кругу В. С подмножествами мы встречаемся всякий раз, когда некоторое множество рассматривается как часть другого, более широкого множества. Так, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел — подмножеством множества рациональных чисел. Можно записать такую цепочку включений: N^Z^Q (рис. 12.2). А вот «нематематический» пример: множество кашалотов является подмножеством множества китообразных, множество китообразных — подмножеством множества млекопитающих, множество млекопитающих — подмножеством множества животных. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: О Приведите примеры конечных и бесконечных множеств. О В каком случае множество А называют подмножеством мно-жеава В1 Приведите примеры. ГЛАВА 12 ■ МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИК^^^ ! 737 738 739 740 741 742 УПРАЖНЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ Пусть А — множество целых чисел, больших -100 и меньших 150. Какие из чисел о, —125, 135, —99, 100, —100 являются элементами этого множества? Запишите ответ с использованием знака Пусть С — множество рациональных чисел, больших 0,3 и меньших 0,6. Какие из чисел 7, не принадлежат этому множеству? Запишите 2 о 4 о 10 ответ с помопдью знака Задайте перечислением элементов множество цифр, с помош;ью которых записывается число: а) 3254; б) 3252; в) 11 000; г) 555 555. Прочитайте следующие утверждения и определите, верны ли они: а) 25eiV, -25eZ, -25^ Q; б) -8eiV, 8eZ, -8^Z. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 — натуральное; б) число -7 не является натуральным; в) число —100 является целым; г) число 2,5 — не целое. Задайте множество А описанием: а) А = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}; б) А = {-2; -1; 0; 1; 2}; в) А = {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}; . . Г1 2 3 4 5 6 г) А = 7 7 7 7 7 7 Конечным или бесконечным является: а) множество натуральных чисел, кратных 10; б) множество натуральных чисел, больших 10; в) множество натуральных чисел, меньших 10; г) множество целых чисел, больших -10; д) множество целых чисел, модуль которых меньше 10; е) множество целых чисел, модуль которых больше 10? В каждом случае укажите наибольший элемент множества (если он есть). Конечным или бесконечным является: а) множество правильных дробей со знаменателем 10; б) множество неправильных дробей со знаменателем 10; в) множество дробей с числителем, равным 1, заключённых в промежутке от о до 1; г) множество десятичных дробей, заключённых между числами 0,1 и 0,2? ж: I I ■ П t 1 ВЫДЕЛЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ СИ» Даны множества: А = {10}, В = {10; 15), С = {5; 10; 15}, В = {5; 10; 15; 20}. Поставьте вместо ... знак включения (<= или =>) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А ... В; б) А ... В; в) С ... А; г) С ... В. Дано множество В = {а; Ь; с; d}. 1) Запишите какое-нибудь подмножество множества В, содержапдее один элемент; два элемента; три элемента. 2) Какое наибольшее число элементов может содержать подмножество множества В7 Укажите несколько конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных чисел N. Выполните это же задание для множества целых чисел Z. Прочитайте разными способами указанные соотношения между множествами и изобразите каждое из них с помопдью кругов Эйлера: а) iVc=Z; 6)Zc=Q; в) ATcziZczQ. Образец, а) Запись N(^Z можно прочитать по-разному: множество натуральных чисел есть подмножество множества целых чисел, или так: всякое натуральное число является числом целым. а) Пусть Р — множество простых чисел. Изобразите соотношение между множествами Р, N и Z с помопдью кругов Эйлера и запишите соответству-юш;ую «цепочку», используя знак си. б) Пусть А — множество всех треугольников, В — множество равнобедренных треугольников, С — множество равносторонних треугольников. Изобразите соотношение между этими множествами с помош;ью кругов Эйлера и запишите соответствуюпдую цепочку включений. в) Пусть К — множество квадратов, Р — множество прямоугольников, R — множество параллелограммов. Изобразите соотношения между этими множествами с помопдью кругов Эйлера и запишите соответствуюш,ую цепочку включений. _ ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ Дано множество А = {а; Ь; с; d}. Т 1) Укажите какое-нибудь подмножество множества А, содержаш,ее один_ элемент. Сколько всего одноэлементных подмножеств у множества А? 2) Укажите какое-нибудь подмножество множества А, содержапдее 3 элемента. Сколько всего таких подмножеств? 3) Сравните ответы на первые два вопроса и сделайте вывод. 4) Дано множество {а; Ь; с; d; е}. Сколько у него подмножеств, содержаш;их один элемент? А можете ли вы без перебора сказать, сколько у этого множества подмножеств, со-держандих 4 элемента? -t— Т|ЛР< I ■■ ? 'Ш ТГХ11Г |Д| hf Щ] ДтГ|\-1 Уу I ГЛАВА 12 ■ МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА ВЫ УЗНАЕТЕ • Что такое пересечение и объединение множеав • в чём состоит математический смысл понятия «классификация» ОПЕМЩИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ В рассказе Конан Дойля «Пять апельсиновых зёрнышек» знаменитый сыш;ик Шерлок Холмс должен был установить название одного парусника. Об этом судне он знал лишь то, что в январе 1883 г. оно было в Пон-дишире, в январе 1885 г. — в Данди, а сейчас стояло в Лондоне. Сравнив списки парусников, находившихся в указанное время в указанных местах, Шерлок Холмс установил, что только американское судно «Одинокая звезда» входило в каждый из них. В результате преступление было раскрыто. Если говорить математическим языком, то сыш;ик, имея три множества, построил новое, содержащее их общие элементы. Оказалось, что это новое множество состоит всего из одного элемента. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ В математике часто приходится получать с помощью специальных операций из данных множеств новые множества. Множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из данных множеств, называется их пересечением. Множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств, называется их объединением. Пересечение множеств записывают с помощью символа П, а их объединение — с помощью символа U. На рисунке 12.S левый круг изображает множество Л, правый круг — множество В. Вся заштрихованная область — это множество А и 5, а область, заштрихованная дважды, — это множество АП В. С термином «пересечение» вы не раз встречались при изучении геометрии: например, когда находили общие точки двух прямых, прямой и окружности и т. д. Именно из геометрии этот термин пришёл в теорию множеств, но здесь он используется не только для геометрических объектов. Приведём примеры. 1. Пусть А = {2; 4; 6} и В = {4; 6; 8; 10}, тогда АПВ = {4; 6} и AUB = {2; 4; 6; 8; 10}. 2. Пусть А — множество целых чисел и В — множество дробных чисел. Тогда АПВ = 0и AUB = Q. 3. Найдём пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества целых чисел: ivnz = лг и ATUZ = Z. Вообще если множества А и Б таковы, что А<=Б, то АПБ = А и АиБ = Б (рис. 12.4). 4. Пересечение множества всех треугольников и множества правильных многоугольников есть множество равносторонних треугольников. 5. Посмотрите на рисунок 12.5. Объединение отрезка KL и луча LM есть луч КМ. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА ______________________ Возьмём два подмножества множества натуральных чисел N: множество чётных чисел и множество нечётных чисел. Эти множества общих элементов не имеют; в самом деле, любое натуральное число либо чётное, либо нечётное. Объединением этих множеств является всё множество натуральных чисел. Если множество нечётных чисел обозначить буквой А, а множество чётных чисел — буквой Б, то можно записать: АПБ = 0 и АиБ = Л^. Говорят, что множества чётных и нечётных чисел составляют разбиение множества N. Подмножества, составляющие разбиение, обычно называют классами. Таким образом, мы имеем разбиение множества натуральных чисел на два класса — чётных и нечётных чисел. Можно указать и другие разбиения множества N, например по остаткам от деления на 3. Это разбиение составляют три множества: множество чисел, кратных 3; множество чисел, дающих при делении на 3 в остатке 1; множество чисел, дающих при делении на 3 в остатке 2. Так, числа 3, 6, 9, ... принадлежат первому из указанных классов; числа 4, 7, 10, ... — второму классу; числа 5, 8, 11, ... — третьему. Любое натуральное число принадлежит одному из этих подмножеств множества N, и общих элементов они не имеют. Разбиение множества на непересекающиеся подмножества составляет основу классификаций объектов, применяемых в самых различных областях человеческой деятельности. Например, ботаники делят деревья на лиственные и хвойные. Библиотекари классифицируют книги при составлении каталогов. При составлении алфавитного каталога все книги разбиваются на подмножества книг, фамилии авторов которых начинаются с буквы А, с буквы Б и т. д. Такой каталог (да ещё при наличии компьютера) позволяет даже в очень большой библиотеке легко отыскивать нужную книгу. ill УПРАЖНЕНИЯ ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ а) Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1)АПВ, АПС, ВПС; 2) AU В, AU С, В U С. б) Даны множества: К = {а; Ь; с}, М = {е; fj, Р = {6; с; е}. Найдите: 1) КПМ, МПР, КПР; 2) KUM, MUP, KUP, Найдите объединение и пересечение множеств: а.) N и Z; б) iV и Q; в) Z и Q. Указание. Запишите ответ с использованием символов U и П, Опишите словами множество, которое является пересечением: а) множества шестиклассников некоторой школы и множества отличников этой школы; б) множества учаш;ихся начальных классов некоторой школы и множества девочек, обучающихся в этой школе; в) множества предметов, изучаемых в начальной школе, и предметов, изучаемых в 5—6 классах. а) Пусть А — множество натуральных делителей числа 18, В — множество натуральных делителей числа 24. Запишите множество АП В. Укажите наибольший элемент этого множества. Как его называют? б) Пусть А — множество натуральных чисел, кратных 4, В — множество натуральных чисел, кратных 6. Назовите несколько элементов множества АП В. Укажите наименьший элемент этого множества. Как его называют? Назовите несколько элементов множества, которое является: а) пересечением множества чисел, кратных 2, и множества чисел, кратных 5; б) пересечением множества нечётных чисел и множества чисел, кратных 5; в) пересечением множества чисел, кратных 2, и множества чисел, кратных 4; г) объединением множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 9. Пусть А — множество натуральных чётных чисел, не превосходящих 10, В — множество натуральных нечётных чисел, не превосходящих 10, С — множество простых чисел, не превосходящих 10. Найдите множество: а)ВПС; б)АПС; в)АПВ. 1) Пусть А — некоторое множество. Закончите равенство: а)АП0=... ; 6)AU0=... . 2) Какие свойства арифметических действий напоминают эти свойства операций объединения и пересечения множеств? 1) Какое из двух множеств является подмножеством другого: а) А или А и В; б) А или А П В? \ ik Ш 1 I I 760 761 ( 762 I 763 2) Закончите равенство, в котором большими буквами обозначены некоторые множества: а) (АиБ)ПА = б) (АПБ)иБ = ... . Подсказка. Воспользуйтесь рисунком 12.3. На рисунке 12.6 большой круг изображает множество натуральных чисел N, а два малых — его подмножества: А — множество чисел, делящихся на 2, В — множество чисел, делящихся на 3. Большой круг разбивается малыми на четыре области (они закрашены разными цветами). Какие числа соответствуют каждой из этих областей? Приведите примеры. 1) Рассмотрите рисунок 12.7. Пусть А — множество параллелограммов, В — множество прямоугольников, С — множество ромбов. Множество каких четырёхугольников обозначено буквой D? 2) Закончите предложение: а) всякий прямоугольник является ... ; б) всякий ромб является ... ; в) всякий квадрат является ... . ПОСТРОЕНИЕ КЛАССИФИКАЦИЙ а) Придумайте несколько различных классификаций множества учащихся вашего класса. б) Приведите пример классификации множества треугольников. Сколько классов содержит разбиение множества натуральных чисел по остаткам от деления на 4? Какому классу принадлежит число 100? 50? 43? 17? Приведите свои примеры чисел, относящихся к каждому классу. Постройте разбиение множества натуральных чисел, используя два признака: чётность и кратность числу 5. Вам поможет следующая таблица: Класс Числа чётные кратные 5 А + -1- В + - С — + D - - Дайте словесное описание каждого класса и приведите примеры относящихся к нему чисел. Подсказка. А — множество чётных чисел, кратных 5. JL Л ГЛАВА 12 Ш МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА" > ВЫ ВСПОМНИТЕ д Какие задачи называют комбинаторными О Приём решения комбинаторных задач с помощью перебора всех возможных вариантов КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ Чтобы осуществить перебор при решении комбинаторных задач, часто удобно вводить условные обозначения. Например, если в задаче речь идёт о красных и зелёных шарах, то можно ограничиться только первыми буквами К VI 3. Такую замену объектов их условными обозначениями называют кодированием. ЗАДАЧА О ТУРИСТСКИХ МАРШРУТАХ Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трёх городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута? Обозначим города буквами В, Р и Ф. Тогда код каждого маршрута будет состоять из этих трёх букв, взятых в разном порядке. Если сначала посетить Венецию, то затем можно поехать или в Рим, или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то третьей будет Флоренция; получаем маршрут ВРФ. Если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим; получаем маршрут ВФР. Начав маршрут с Рима, получим ещё два варианта: РВФ, РФВ. Наконец, начав с Флоренции, получим варианты ФВР, ФРВ. Таким образом, существует 6 вариантов маршрута: ВРФ РВФ ФВР ВФР РФВ ФРВ J Если отвлечься от сюжета этой задачи и сформулировать её в терминах теории множеств, то она будет звучать так: «Дано множество, содержащее три элемента. Сколькими способами можно упорядочить это множество, т. е. сколькими способами можно расположить один за другим его элементы?» Решив задачу о маршрутах, вы узнали, что таких способов шесть. И теперь вы можете дать ответ на вопрос любой задачи с той же математической моделью. Например: сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр 2, 4, 8, используя каждую цифру только один раз? В дальнейшем вы узнаете формулу, с помощью которой можно путём простых вычислений получать ответ на вопрос о том, сколькими способами можно упорядочить множество, содержащее любое конечное число элементов. ЗАДАЧА О РУКОПОЖАТИЯХ При встрече восемь приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? Дадим каждому из приятелей номер от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, двузначное число 47 — это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7. Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, например, число 33 — это означало бы, что один из друзей пожал руку самому себе. Договоримся также, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие (например, 68 и 86), мы будем выбирать меньшее. Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрастания, как это сделано на полях. Подсчитаем число кодов: 7 + 6 + 5-Ь4 + 3 + 2 + 1 = 28. Всего было сделано 28 рукопожатий. Эту задачу тоже можно рассмотреть с позиции теории множеств. В самом деле, восемь приятелей — это множество, в котором 8 элементов. Пара приятелей, обменивающихся рукопожатием, — это его подмножество, содержащее 2 элемента. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно выяснить, сколько у данного множества существует двухэлементных подмножеств. ЗАДАЧА О ТЕАТРАЛЬНЫХ ПРОЖЕКТОРАХ Театральную сцену освещают четыре прожектора: белый, красный, зелёный, жёлтый. Каждый включается и выключается по отдельности. Сколько имеется вариантов освещения сцены? (Будем считать вариантом освещения и случай, когда все прожекторы выключены.) Введём обозначения: б, к, з, ж. Найдём с помощью перебора все возможные варианты освещения: 1) все прожекторы погашены 2) горит один прожектор 3) горят два прожектора 4) горят три прожектора 5) горят четыре прожектора Общее число вариантов: — 1 вариант б к 3 ж 4 варианта бк бз бж 6 вариантов КЗ кж зж бкз бкж 4 варианта бзж кзж бкзж 1 вариант 4 -г 6 -г 4 + 1 = 16. В переводе на язык теории множеств эта задача звучит так: «Сколько всего подмножеств у множества из 4 элементов?» Путём перебора мы выяснили, что у такого множества имеется 16 подмножеств. А в математике есть формула, позволяющая определять число подмножеств любого конечного множества по числу его элементов. 12 13 14 15 16 17 18- 7 23 24 25 26 27 28-6 34 35 36 37 38 — 5 ^ ^ ‘ 45 46 47 48 - 4 56 57 58-3 67 68 - 2 ■ 78-1 Комбинаторные задачи занимали умы математиков на протяжении тысячелетий. Ими увлекались ещё учёные Древней Греции. А как область научных знаний комбинаторика сформировалась в XVII в. Сам термин «комбинаторика» впервые был введён в работе немецкого математика Готфрида Лейбница «Об искусстве ком бинаторики» (1666 г.). ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ: в Постройте дерево возможных вариантов к задаче о туристских маршрутах. ©Сформулируйте на теоретико-множественном языке задачи 764, 769, 776. II 764 765 766 ( 767 L > w- ... ГЛАВА 12 a МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА^: УПРАЖНЕНИЯ ЗАДАЧИ, ПОХОЖИЕ НА ЗАДАЧУ О ТУРИСТСКИХ МАРШРУТАХ Государственные флаги некоторых стран состоят из трёх горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами? Выпишите их все. Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили читать её по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариантов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте? Запишите все возможные трёхзначные числа, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, используя каждую из них только один раз. Какие из них делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 3; г) на б? 768 I Слово, полученное из данного слова перестановкой букв (но необязательно имеющее смысл), называют его анаграммой: например, «нос» и «сно» — анаграммы слова «сон». Выпишите в алфавитном порядке все анаграммы слов: а) «нос» и «dog»; б) «мама» и «дама». Сравните количество анаграмм слов в каждой паре слов. Как бы вы объяснили получившийся результат? Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка — «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а остальные строки все разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении? Подсказка. В строке 4 разных слова, закодируйте их цифрами. Записав стихотворение в закодированном виде, «переведите» его на русский язык. 769 770 771 ЗАДАЧИ. ПОХОЖИЕ НА ЗАДАЧУ О РУКОПОЖАТИЯХ В турнире участвовали шесть шахматистов, и каждый из них сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько всего было сыграно партий? На рисунке 12.8 изображены пять точек. Каждые две точки соедините отрезком. Сколько всего получилось отрезков? Перечислите их. а) Лучшие спортсмены в классе — Антон, Пётр, Борис, Володя, Коля. На соревнования по лёгкой атлетике нужно отправить двух мальчиков. Перечислите все варианты выбора участников соревнования. Сколько этих вариантов? А В С Е т D 12.8 б) Для участия в эстафете 2X100 м тоже нужно выбрать двух мальчиков из пяти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечислите все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов? 772 шш 774 775 На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Однако на областную олимпиаду можно отправить только двоих. а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Подсказка. Дайте каждому победителю номер от 1 до 6. б) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде? К переправе одновременно подошли пять человек. Лодочник сказал, что в его лодке поместятся только два пассажира. а) Сколькими способами можно выбрать двоих пассажиров из пяти? б) Сколько существует способов выбора пассажиров, если одного из них необходимо срочно отправить на другой берег в больницу? в) Предположим, что лодочник отвёз двоих пассажиров и вернулся за оставшимися. Сколькими способами можно выбрать того, кому придётся остаться ещё раз? Два курьера фирмы должны забрать почту из четырёх филиалов, причём каждый успеет съездить только в два филиала из четырёх. Сколькими способами они могут распределить между собой поездки? Подсказка. Достаточно подсчитать число способов, которыми один курьер может выбрать два филиала из четырёх. а) Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Сколькими способами они могут выбрать тройку счастливцев? Как удобнее перебирать: тройки тех, кто пойдёт, или тех, кто не пойдёт? б) Из шести кандидатов нужно составить команду для участия в гонках на четырёхместных байдарках. Сколько существует вариантов для выбора четвёрки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных? Ответьте на оба вопроса, проведя только один перебор. ЗАДАЧИ. ПОХОЖИЕ НА ЗАДАЧУ О ТЕАТРАЛЬНЫХ ПРОЖЕКТОРАХ Танцевальная студия объявила дополнительный набор девочек 10-12 лет. На просмотр пришли четыре девочки. Сколько вариантов отбора новеньких у руководителя студии? Сколькими способами можно разложить три разные по достоинству монеты в два кармана? ГЛАВА 12а МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА ПОДВЕДЁМ ИТОГИ Приведите примеры конечных множеств; бесконечных множеств. Придумайте пример множества, которое является пустым. 22 Как читаются записи: Ю^ЛГ, 8,5 ^Z, Верны ли эти утверж- дения? 0 1) В каком случае множество А называют подмножеством множества В? Проиллюстрируйте это определение на кругах Эйлера. 2) Какое из множеств является подмножеством другого: а) N или Q; б) Q или Z? 3) Приведите примеры конечных и бесконечных подмножеств множества натуральных чисел ТЯ. 0 1) Какое множество называют объединением множеств А и В? пересечением множеств А и В? Дайте иллюстрации на кругах Эйлера. 2) Найдите объединение и пересечение множеств А = {1, 3, 5, 7, 9} и В = {2, 3, 5, 7}. 3) Найдите объединение и пересечение множества чисел, кратных 5, и множества чисел, кратных 10. Приведите примеры классификаций. 0 1) Решите комбинаторную задачу: а) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, б и 9, если каждую из них разрешается использовать только один раз? б) Продаются воздушные шарики пяти цветов. Мама разрешила Феде купить два разных шарика. Сколько вариантов для выбора есть у Феди? 2) Приведите примеры комбинаторных задач, которые имеют ту же математическую модель, что и задачи, приведённые выше. □ i ь - V ОТВЕТЫ Глава 1 6. г) |; д) 12. Зоя, Галя, Вера, Оля. 25. а) 4^; б) 9; в) 6;^; г) 28. 3) На 2 дня. 29. За 28 ч. 30. а) 1; б) l|; в) 12; г) 33. а) б) в) г) 2^. 39. 18 страниц. 40. 26 девочек. 42. б) 30 м. 43. 96 листов. 48. Второй стрелок. 62. 72 кг. 63. 1104 р. 65. 72 км. 69. в) 6,3 км; 2,7 км. Глава 2 76. а) Z.S = 29°, Z2 = Z4 = 151°. 78. а) ^СОК = ADOM = 101°, ^КОВ = 47°, Z.BOD = 32°; б) Z1 = Z.4 = 38°, А2 = 91°, АЗ = 51°. 84. а) Четыре; б) два угла по 120° и два угла по 60°. 88. Z5 = Z2 = = 38°, zl3 = /LA = /.1 = = Z.8 = 142°. 89. zll = 70°, Z2 = 110°, Zl3 = 80°. 107. Пересекает отрезки DB и CD. 108. Два решения: 8 см и 2 см. 109. а) 6 см, 8 см; б) 6 см, 4 см; в) 3 см, 4 см. 110. а) Диагональ; б) самый длинный — диагональ АС, самый короткий — ребро ВС. 111. а) КО\ б) АБ; AD; в) КО. Глава 3 120. 18 десятичных дробей. 121. в) 0,02; 0,05; 0,14; 0,17. 125. в) 0,123 км; 0,45 км; 0,6 км; 0,075 км; 0,01 км. 126. б) 2 кг 325 г; 4 кг 250 г; 3 кг 500 г. 127. б) 8,23 дм; 72,06 дм; 20,7 дм; 13,46 дм. 133. а) Нельзя; б) можно; 0,0112; в) можно; 0,01875; г) нельзя. 135. 137. а) 1^; б) То’ 1^’ в) f ч = 0,4 ч; г) ^ ч = 0,25 ч; ж) ^ ч; 3)^4 = 0,7 ч. 141. б) 2^ ч = 2,5 ч; г) l| ч. 142. а) Да; 3,100 = 3,1. 145. б) 3,43 кг; 5,08 кг. 147. ж) 1,99 < 10,9; з) 7,0191 < 7,1; и) 2,44 > 2,404. 150. б) 10,1 < 10,16 < 10,2; г) 0,007 < 0,0073 < 0,008. 151. г) 3,99 > 3,909 > > 3,9009 > 3,099. 155. а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 0; 1; 2. 157. а) ^ < 0,5; б) ^ < 0,4; О I в) 0,75 < г) 0,25 = |; Д) | > 0,4; е) ^ > 0,03. 158. а) ^ < 0,7 < 2Q б) 0,125 < 0,13 < —. Глава 4 161. д) 8,37; е) 2,64. 162. а) 19,21; б) 2,32; в) 110,97; г) 29,896; д) 178,834; е) 51,34. 164. в) 0,28; г) 2,9; д) 0,091; е) 3,08. 165. в) 0,14; г) 5,29; д) 2,955; е) 15,09. 166. а) 87,3; б) 61,84; в) 27,96; г) 39,08. 167. а) 17,59; б) 122,38; в) 17,172. 168. а) а = 6,87; б) 5 = 3,7; в) а = 21,38. 171. а) |; о б) в) г) i. 172. а) 3,22; б) 0,17; в) 2,11; г) 1,03; д) 1,31; е) 3,49. 173. а) 1,5; б) 1,006; в) 0,6. 174. а) 12 кг; б) 2,8 кг. 175. а) 7,95 л; б) 34,2 см. 176. а) 1,3 км. 177. а) На 0,35 м; б) на 8 га. 179. Канарейка — 9,4 г, попугай — 20,5 г, щегол — 15,7 г. 187. а) 8,5 кг; б) 6,3 м. II f 190. a) 4 млн 845 тыс. p.; б) 126 тыс. р. 191. а) Деление на 10; б) умножение на 100. 193. а) Значения выражений равны; б) значение второго выражения меньше; в) значения выражений равны; г) значение второго выражения больше. 200. а) 21,73; б) 15,9; в) 1,632; г) 0,312; д) 7,93; е) 8,528; ж) 10,403; з) 10,414; и) 0,329. 201. а) 0,041; б) 0,00021; в) 0,0246. 204. а) 0,8; 0,1; 0,03; б) 0,4; 0,2; 0,5. 205. 2) 6 цифр; 10 цифр. 206. а) 21,3; б) 14,31; в) 0,94; г) 154,33; д) 45,3; е) 33; ж) 1; з) 1; и) 1. 209. Поместится. 213. д) 1; е) 6,6 214. а) 1,632; б) 158; в) 4,96; г) 2,064; д) 2,275; е) 6,15. 215. а) 2,31; б) 0,09; в) 1,28; г) 2,56; д) 6; е) 4. 216. а) 0,1; б) 0,02; в) г) 0,9; д) f; dU D е) 1,5; ж) 0,012; з) 0,97. 222. а) 0,475; б) 0,72; в) 0,875; г) 0,4375 227. а) 0,3 кг; по 1,2 кг; б) 0,8 кг и 0,5 кг. 228. а) 20,8 кг и 22,5 кг; б) 0,22 кг — груша и 0,405 кг — яблоко. 229. а) 1,05 кг; б) 2,5 кг 230. 6,76 см2. 234. а) 22,25; б) 61,6; в) 0,054; г) 2,05; д) 277,5; е) 0,016 237. а) 20 шагов; б) 8 таблеток. 238. а) 76 км/ч; б) 1,5 ч. 239. а) 36 р.; 62,5 р.; б) 3,5 кг; 0,45 кг. 240. а) 9 кусков; б) 10 бутылок. 241. а) 12 рейсов; б) 7 полотенец. 242. 0,275 кг. 243. 1) Второе, в 10 раз; 2) первое, в 10 раз; 3) первое, в 100 раз; 4) второе, в 100 раз. 247. а) 200 м; б) 1,5 км. 248. а) 0,4; |; б) 0,5; 2 5 -; -. 249. а) 8; б) 28. 250. а) В коробке 25 кг, в банке 3 кг; б) щенок весит о о 2,2 кг, котёнок весит 0,88 кг. 251. а) 6 юбок; б) 8,4 м. 255. 1) 10 км; 15 км; 2) через 2,5 ч. 256. Через 2 ч 15 мин. 257. а) 1,5; б) в) г) 2,37. X О X 2 264. 0,31 м; 31 см. 265. 69,68 м^; 70 м^. 269. а) Наибольшая дробь 3,274; наименьшая дробь 3,265; б) 8,6549. 271. а) 23,33; б) 0,31; в) 2,33; г) 1,67. 272. а) Примерно 1 м 8 см; б) примерно 1 кг 205 г. Глава 5 274. 12 см. 276. Через центр окружности. 283. Центры таких окружностей находятся на двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных от неё на расстоянии 3 см. 284. На прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. 289. 2,5 см и 5,5 см. 290. а) 8 см и 2 см; б) 2,5 см и 5 см. 292. а) АР = 3 см, ВР = 7 см; б) АР = 1 см, ВС = 7 см. 296. а) 10 см; б) 8 см; в) 5 см; г) 0 (окружности концентрические). 297. 4; 3; 2; 1. 307. 2) а) Нельзя; б) можно; в) нельзя. 308. Сторона, равная 7 см. 309. Два треугольника (со сторонами 2, 5, 6 см и 3, 5, 6 см). 312. а) Вершинами треугольной пирамиды; длина каждого ребра 4 см; б) 1 -Ь 3 -(- 6 = 10 ядер. 316. Отрезки ОС и ОА. 318. 24 см; 15 см. 319. а) 6 точек касания; 6 см; б) нельзя. 320. 10 см; 10 см. 321. 4 • 4 • 4 = 64 шара; 2 • 2 • 2 = 8 шаров. Глава 6 334. 102 урока и 68 уроков. 335. 1 кг 200 г. 337. 2. 338. а) 10 пятиклассников; б) 52 учащихся; в) 39 учащихся; г) на 6 человек. 339. 44 куска. 342. В первом. 343. Во второй банке. 346. В 5 раз; -. 348. 2) 15 м; 120 м; 5 3) 50 см. 350. 10,4 м. 353. Увеличится; 15 см. 354. 8,4 м. 371. а) 147 см; б) 330 заявлений. 373. 36 девочек и 44 мальчика. 374. 4500 р. 376. 200 лампочек. 377. 4. 381. 1520 р. и 2700 р. 384. 240 млн человек. 391. а) 23% детей и 77% взрослых; б) 10%. 392. а) Какао — 80%, сахара —20%; [ЯН ■ ■ ■ I ■ Я ■Д'. Л" f m7mr% б) 89% железа, 5% олова, 6% цинка. 394. а) -; 60%; б) 30% — по теме 5 «Авиация» и 70% — по теме «Автомобили». 395. а) На 8%; б) на 15%. 396. а) На 15%; б) 125%. 399. а) 55%; б) 183%. Глава 7 401. а) 7(а + Ь); б) 10 + ху; т) т - (2 + п); д) 2аЬ. 405. 7а, 5с, 6а + 2с, ах + су. 409. в) (п - 2)(п - 1)п(п + 1)(п + 2). 413. б) а + 1 = Ь, Ь - 1 = а, Ь - а = 1. 415. г) |; 1; 6; б|. 416. в) 0; г) 417. а) 6; г) 5. 418. а) 150; в) 0,4. 422. 10; 20; 25. 429. 1) 0,1jc + 7; 2) (0,1х + 7)п; 3) 0,1хт + (0,1д: + 7)я. 430. а - сп. 431. а) 2а + 6 + с; б) 5т. 433. 1) 36 дм^. 435. S) с = Р - а - Ь, или с = Р - (а + Ь). 436. а) Р = 2х + 2г/, или Р = 2(х + у); б) Р = 2х + 2у + 2а, или Р = 2(х + у + а). Р — 2Ь Р V 437. а) 2,4 м2; б) 4 м^. 438. б) а = —~—, или а = — - Ь. 439. 2) а = —. 441. 2)С = ат; 3) m =-; а =-. 442. 1) Г = 0,138; 2) 1040 р.; 1625 р. am 443. 1) Р = 25(а - с), или Р = 25а - 25с. 444. б) —47 см; —31 м. 445. б) —113 см^; ^4 м2. 449. 1)а) 12,6 см; в) 6,3 см; 2) а) 25,1 см^; б) 0,8 см^; в) 9,4 см^. 450. -260 м; -4460 м2. 452. 344 см2. 430. а) 3,5; г) 4; е) 18. 465. б) 12 см и 24 см. 466. б) 22 и 37. 469. б) 10(л: + 15) = 200, где х — задуманное 2х — 15 ЧИСЛО. 471. а) ——— = 0. 472. а) Зх = х + 8, где х — возраст Андрея. Глава 8 473. Нет. 476. N, W, R. 478. 4 перегибания. 485. Нет, нет, да, нет. 490. 3. 491. 3. 494. а) 20 см; б) 10 см; в) 10 см. 495. а) 17 см; б) 16 см. 506. А и Cj, Б и Dj, С и Aj, D и Bj. 507. Фигура 1 имеет центр симметрии; фигура 2 — оси симметрии. 512. Прямая должна проходить через точку О и центр симметрии фигуры. Глава 9 524. а) +11; б) -11; в) -86; г) +71. 527. а) +1; б) -2; в) -8; г) +5; д) +3; е) -3. 538. б) -2000 < -150; г) -101 > -102; е) -310 > -1003. 540. б) -11 и -10. 542. а) о, 1, 2; в) -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11. 543. 1)6) -154, -130, -21, 19, 32. 548. 2) а) -13; г) 0; е) -7. 549. а) -1; г) 0; е) 3; з) -5. 554. а) -15; б) -26; в) -35; г) 20; д) 60; е) 0; ж) -50; з) -16. 557. а) 8; б) 5. 560. в) 4; г) 2; д) 30; е) 10. 561. а) 0; б) 6275; в) -1210; г) -8840. 563. а) -15; б) -25; в) 56; г) -51. 569. д) -662; е) 512; ж) -49; 3) 36; и) -211. 571. в) 31; г) -29. 572. а) -20; г) -13; д) 1; и) -6. 576. г) -4; д) 6; е) -47. 577. а) 20; б) 4; в) -21; г) -100. 580. а) 9; б) 0. 581. а) -405; б) -155; в) -45; г) -205. 585. 1) а) -600; б) 120; в) 150; д) -100. 593. д) -1; е) 0; ж) -1; з) 1. 595. а) 59; в) 8; д) 6; з) 18; и) -2. 597. а) 16; б) -8; в) 0; г) -6. 598. а) 18; б) 2; в) 450. ш\ Глава 10 602. а) 10,1; б) -3,6; в) -|; г) -6,2; д) 1,4; е) ^ 20 603. а) -34; б) -15; в) 57; г) 60. 605. а) X = -7-; б) х = 2,8; в) х = -1,5; г) л: = 100. 609. L(-0,9), К(-0,7), Щ-0,5), G(-0,3), Р(-0,1), А(0,1), Б(0,3), С(0,5), Б(0,7), Б(0,9). л;'л 612. а) Б; б) Б; в) А; г) Б; д) на одинаковом расстоянии; е) Б. 618. а) -10 б) -8,7; в) -6,9; г) -0,9; д) -4^; е) 620. а) а < 0, с > 0, > 0; а < с а < bj Ь > с; 6) а > о, Ь < о, с < 0; а > с, а > Ь, Ь < с. 621. 4. 624. а) |-3| = |3| б) |50| < |-100|; в) |4,3| > |-2,4|; г) > . 626. а) -10 < О < 23 б) -1,8 < О < 1,8; в) -3,2 < 1,5 < 3,5; г) -2,7 < -1 < 1,3. 627. а) -54; -7 0; 1; 12; б) -120; -40; О; 40; 120; в) -7; -2|; |; 1; 1^; г) -0,1101; -0,101 -0,011; -0,01011. 628. а) -10 и 10; б) -7,6 и 7,6; в) 0; г) не существуют 631. а) -2|; б) -^; в) -l|; г) 632. а) -9,5; б) -5~ в)-10,8; г)-з| 633. а) 1,3; б) -5,9; в) -8,4; г) 10,3; д) -4,6; е) -2,5; ж) -0,9; з) -4,1 635. а) 7; б) 5,4; в) -5,4; г) 641. а) х = -14; б) х = -57; в) х = -20 г) X -12,9; д) X = 3,9; е) х = 22,5. 644. а) -31; б) -2; в) -7,8; г) 5,7 653. а) б) -^; в) 0,04; г) -0,125. 654. а) (-бр > 0; б) (-15)5 < О 659. а) -1,5; б) -38; в) 660. а) х = -1,36; б) х = -37,5; в) х = 0,09 г) X = -14. 664. а) -1,9; б) -3,6; в) 1; г) -4,4. 666. а) -110; б) -4. 679. А2 Б4, ВЗ, Г1. 680. А2, БЗ, В4, Г1. 682. D (-6; -3); Б = 26 ед., S = 40 кв. ед Глава 11 687. 30,2 см; Р = 2(а + Ь), где Р — периметр параллелограмма, а и 6 — длины его сторон. 690. 1; 2; 2. 694. 34 см; Р = 4а, где Р — периметр ромба, а — длина его стороны. 695. 5 ромбов, 9 параллелограммов. 696. 9 см; 60°. 707. 60 см; 48 см; Р = па, где Р — периметр правильного /г-угольника, а — длина его стороны. 716. 6 см^. 717. 25 кв. ед. 718. 1) а) 3 см и 4 см; 12 см^; б) 4 см и 5 см; 20 см^. 719. а) 1) 14 см^; 2) 4,5 см^; б) 1) 7,5 кв. ед.; 2) 8 кв. ед. 720. S = ^аЬ; а) 6 см^; б) 13,5 см^. 721. 12 кв. ед. 722. 13,5 кв. ед. 723. 25 см^, это квадрат. 727. а) 4; б) 5; в) 6. 728. а) Боковых рёбер 5, всего 15; боковых граней 5, всего 7; 10 вершин. 730. а) 1000 вершин, 1000-угольная призма; не существует; б) 11-угольная призма; не существует; в) 20-угольная призма; существует. 731. а) 12-угольная пирамида; б) 5-угольная призма. 732. 1) а) 90 см; б) 90 см; 2) 1 = п{а + 2Ь). 733. а) / = 4а + 8&; б) S = 2Ь^ + 4аЬ. 734. а) 105 см^; б) 1296 см^; в) 2100 см^. 735. а) V = аЬс + (д: - с)уЪ\ б) V = ^аЬс. 736 . 8 частей; объём наибольшей части 343 см^, объём наименьшей части 27 см^. Глава 12 743. а), б), г), е) Бесконечным; в), д) конечным. 744. а) Конечным; б), в), г) бесконечным. 746. 2) 4. 754. а) Наибольший элемент — число 6; наибольший общий делитель чисел 18 и 24; б) наименьший элемент — число 12; наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. 757. 1) АП0 = 0; AU0 = А; 2) свойства нуля при умножении и сложении чисел: а*0 = 0;а4-0 = а. 758. 2) а) (АиБ)ПА =А; б) (АПБ)иБ = Б. 768. 24 строки. 769. 15 партий. 770. 10 отрезков. 771. а) 10; б) 20. 772. а) 15; б) 5. 773. а) Десятью способами; б) четыре способа; в) тремя способами. 774. Шестью способами. 776. 16. 777. Восемью способами. Учебное издание Серия «Сферы» Бунимович Евгений Абрамович Кузнецова Людмила Викторовна Минаева Светлана Станиславовна Рослова Лариса Олеговна Суворова Светлана Борисовна Математика Арифметика. Геометрия 6 класс Учебник для общеобразовательных организаций с приложением на электронном носителе Руководитель Центра «Сферы» А.В. Силъянова Ответственный за выпуск Н.В. Сафонова Редакторы Н.В. Сафонова, В.В. Черноруцкий Художественное оформление А.П. Асеева, А.М. Драгового, С.Г. Куркиной Художественный редактор Ю.С. Асеева Технический редактор С.Н. Терехова Компьютерная вёрстка Г.В. Дорониной, Д.Ю. Герасимова Дизайн обложки О.В. Поповича, А.М. Драгового Иллюстрации А.М. Драгового, Г.М. Драговой, Г.В. Дорониной, С.Г. Куркиной Корректор Н.И. Новикова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000, Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 24.03.14. Формат 84xi08Vi^* Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBook, Печать офсетная. Уч.-изд, л. 14,96. Доп. тираж 15 000 экз. Заказ № 37524 (L-sm). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство «Высшая школа». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1. Тел.: +7(4812)31-11-96. Факс: +7(4812)31-31-70. E-mail: [email protected]; https://www.smolpk.ru у ! Л ЛИНИЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ «СФЕРЫ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ: - МАТЕМАТИКА. Арифметика. Геометрия. 5 класс МАТЕМАТИКА. Арифметика. Геометрия. 6 класс УМ К «МАТЕМАТИКА. Арифметика. Геометрия» включает; Учебник с приложением на электронном носителе (CD-ROM) — Тетрадь-тренажёр — Задачник — Тетрадь-экзаменатор — Поурочное тематическое планирование — Поурочные методические рекомендации — Рабочие программы — Сайт интернет-поддержки www.spheres.ru