Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ I. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Натуральные числа....................................4
Действия с натуральными числами......................8
Использование свойств действий при вычислениях . . . 26
Делимость чисел ...................................... ^2
Дроби ............................................... 36
Действия с дробями .................................. 48
О \i ^
Таблицы и диаграммы................................... 66
ЧАСТЬ II. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Обводим линии .......................................70
Магические квадрат^л^^^^................
Последняя цифра ...................
......................?
л
Фигурные числа ...........................• * •
Разрезаем квадрат ................................
Чётно или нечётно .................\..............
72
75
76
79
80
Построения на клетчатой бумаге...............................82
Находим НОД и НОК........................................... 84
Старинные задачи на дроби....................................85
Модели многогранников........................................86
J
4.>vs <
А • •.
Ответы
88
• ВТ, А ; л* .> V* *
: ■Г-А-Х?
J
P'f ' -У" j* ; У
I--;- •:--
3 Л- '
н
о
А. ^л Ч ii. i VV-*.'V. А-v.- .*
' л -i ■• «JJ xov^",; •. - Ш
*
' . • s
tj
iX: I
•■••«? VV -V. r./< ||
•S.A .V* .
ч>'.|* »iTiTi 1
.•у','', ;.'~'^:w*.?f«^r . * ' .
АГ>‘}-’Ч^. i\, .'VAv’< ■:
ЧАСТЬ
л
Сравнение натуральных чисел
Сравните числа и запишите результат сравнения с помощью знака > или <;
а) 564 и 654; г) 996 и 1096; ж) 1001001 и 1000101;
б) 9561 и 9600; д) 80990 и 8990; з) 3000508 и 3001000.
в) 11860 и 1869; е) 36999 и 37000;
Сравните числа:
а) 1 млн и 10000000;
б) 1 млн 100 тыс. и 1010000;
в) 1 млрд и 1000000001;
г) 1 млрд 10 млн 100 тыс. и 1010110000.
Расположите числа в порядке возрастания и запишите результат в виде двойного неравенства:
а) 699, 659 и 698; б) 9019, 9190 и 9109; в) 10010, 9999 и 10009.
Сравните длины:
а) 975 см и 10 м;
б) 8929 м и 8 км;
Сравните массы:
а) 15 т и 15 305 кг;
б) 495 кг и 5 ц;
в) 50 м и 4345 см;
г) 1000 мм и 10 см;
в) 920 г и 1 кг;
г) 29000 кг и 30 т;
д) 3 м 4 дм и 35 дм;
е) 8 дм 6 см и 80 см.
д) 1 кг 75 г и 1750 г;
е) 1700 г и 1 кг 700 г.
Сравните промежутки времени:
а) 1 ч 3 мин и 63 мин;
б) 2 ч 15 мин и 215 мин;
в) 2 ч и 180 мин;
г) 300 мин и 5 ч;
д) 2 мин 15 с и 125 с;
е) 1 ч 30 мин 30 с и 90 мин 45 с.
Какие числа можно подставить вместо буквы х в данное неравенство, чтобы
получилось верное числовое неравенство:
а) 45 < X < 52; б) 991 < л: < 1002?
Даны числа 0, 12, 25, 28, 35, 36, 40. Какие из них можно подставить вместо буквы а в неравенство 30 < а + 5 < 45, чтобы получить верное числовое неравенство?
Назовите ещё какое-нибудь число, при подстановке которого в данное неравенство получается верное числовое неравенство.
( 10
Перечислите все цифры, которые можно записать вместо звёздочки, чтобы получившееся неравенство было верным:
а) 7*38 > 7238; в) 1596 > 159*; д) 478* > 4783;
б) 96*4 < 9614; г) 2438 < 2*38; е) 1686 < 1*86.
а) Расположите в порядке возрастания числа
32100, 32010, 32001, 3210, 2310, 3120.
б) Расположите в порядке убывания числа
37861, 820012, 23045, 23545, 82100, 37880.
11
12
13
Символом аЪс обозначают трёхзначыое число, в котором а сотен, Ъ десятков и с единиц. Расположите в порядке возрастания следующие числа:
аЪсОу а&сООО, аЬс, аЬсОО,
л
л
Запишите:
а) наименьшее чётное 10-значное число, в котором все цифры различны;
б) наибольшее нечётное 10-значное число, в котором все цифры различны.
Слова располагают в словарях в алфавитном порядк^ по следующему правилу:
• если два слова начинаются с разных букв,^то сначала пишут слово, первая буква которого идёт в алфавите раньше;
• если два слова начинаются с одной буквы, то сравнивают вторые буквы и сначала записывают то слово, в котором вторая буква идёт в алфавите раньше;
• если совпадают вторые буквы, то сравнивают третьи буквы и т. д.
1) Расположите в словарном порядке слова: отрезок, луч, колокол, ломаная, линия, квадрат, куб, прямая, конус.
2) Придумайте правило сравнения чисел с одинаковым количеством цифр, похожее на правило расположения слов в словарях. Пользуясь этим правилом, расположите в порядке возрастания числа, каждое из которых содержит 8 цифр: 87650199, 90121911, 89999009, 89977747^82946575, 90497816.
3) Можно^ли упорядочить любые натуральные числа, поступая так же, как при расположении слов в словарях?
Округление натуральных чисел
Округлите числа:
а) 57, 93, 216, 381, 725, 1046, 2798, 23564 до десятков;
б) 538, 763, 2882, 3129, 1880, 3966, 107352 до сотен;
в) 6756000, 25397750, 1035127, 13500102 до миллионов.
ъ
Округлите каждое из чисел до старшего разряда:
а) 48, 71, 85, 725, 462, 851;
б) 8127, 6721, 2078, 25509, 19265.
Округлите каждое из чисел до указанного разряда и запишите результат, используя сокращения (тыс., млн):
а) до тысяч: 8356, 74750, 204831, 38682, 10923, 75500;
б) до миллионов: 12031786, 8750627, 1931278, 12510000.
Образец. Округлим до миллионов число 32741120: 32741120 == 33000000 = 33 млн.
а) Масса груза 4790 кг. Сколько это примерно тонн?
б) Бегемот весит 4150 кг. Сколько это примерно тонн?
в) Масса пирога 960 г. Сколько это примерно килограммов?
г) Масса десятка пирожных 1056 г. Сколько это примерно килограммов? Образец. Сколько примерно тонн составляют 2640 кг? Так как 1 т = 1000 кг, то округлим 2640 до тысяч: 2640 кг ~ 3000 кг = 3 т.
I 19
а) Расстояние от дома до реки 2750 м. Сколько это примерно километров?
б) Высота горы 3260 м. Сколько это примерно километров?
в) Длина доски 935 мм. Сколько это примерно сантиметров? А сколько примерно метров?
г) Длина провода 1246 мм. Сколько это примерно сантиметров? А сколько примерно метров?
Образец. 1) Сколько примерно километров составляют 6240 м? 6240 м — 6000 м = = 6 км. 2) Сколько примерно сантиметров составляют 524 мм? 524 мм - 520 мм = = 52 см.
Выразите приближённо данное расстояние сначала в метрах, а потом в километрах:
а) 98466 см; б) 186734 см; в) 3665453 см.
Образец. 736512 см ~ 736500 см = 7365 м == 7000 м = 7 км.
Запишите ряд чисел, который получится, если последовательно округлять число 28741568 до десятков, сотен, тысяч и т. д., вплоть до старшего разряда.
Найдите наименьшее число и наибольшее число, при округлении которого:
а) до десятков получится 640; в) до тысяч получится 3000;
б) до сотен получится 7300; г) до десятков тысяч получится 20 000.
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1 \ Вариант 2
1. Расположите в порядке возрастания числа:
62890; 10000; 62900; 8985.
90000; 73550; 6400; 72880.
а) 600 с и 6 мин;
б) 5 ч 25 мин и 325 мин.
2. Сравните промежутки времени:
а) 3 мин и 180 с мин;
б) 450 мин и 6 ч 20.
3. Округлите до десятков, до сотен, до десятков тысяч число:
а) 7146358;
б) 531984.
а) 35185274;
б) 396507.
Решение комбинаторных задач
Представьте число 10 в виде суммы двух слагаемых всеми возможными способами (суммы, отлргчающиеся только порядком слагаемых, считайте одинаковыми).
Представьте указанное число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами (произведения, отличающиеся только порядком множителей, считайте одинаковыми):
а) 12; б) 24; в) 36; г) 100.
Код на замке чемодана состоит из четырёх цифр. Его хозяин решил набрать четыре идущие подряд цифры, расположив их по порядку от меньшей к большей. Сколько существует вариантов такого кода?
29
30
31
32
33
Две волейбольные команды «Ласточка» и «Орлёнок» играют матч до трёх побед. С каким счётом может закончиться их поединок, если в волейболе ничьих не бывает? Занесите все возможные исходы поединка в таблицу:
«Ласточка»
«Орлёнок»
О
Ъ
Сколько можно составить различных букетов из трёх роз, если в продаже белые и красные розы?
Подсказка. Чтобы было удобнее перебирать варианты, введите обозначения: Б — белая роза, К — красная роза.
Решите задачу, построив дерево возможных вариантов:
а) В школьной столовой на завтрак предлагают сок или компот, а также пи-
рожки с мясом, яблоками или картошкой. Сколько вариантов завтрака из пирожка и напитка предлагает столовая? \
б) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр^^ 6 и 8 при условии, что цифра в записи числа не должна повторяться?
в) Сколько трёхзначных чисел можно составить из двух цифр 1 и 9?
Сколько можно составить двузначных чисел:
а) если использовать только цифры 1, 4, 7;
б) если использовать только цифры О, 4, 7;
в) если использовать только цифры 4, 7, 8, 9, причём не повторяя их в записи числа?
Указание. Решите задачу двумя способами: с помощью построения дерева возможных вариантов и без использования дерева.
Сколько чётных трёхзначных чисел можно составить, используя только цифры 5 и б?
ь ^
Начертите горизонтальную прямую и отметьте на ней слева направо пять точек А, Б, С, X) и Е. Сколько отрезков у вас получилось?
Оля, Костя, Нина, Таня и Галя должны по очереди дежурить в классе, и им нужно составить расписание. Оля вызвалась дежурить первой, а Галя сказала, что будет дежурить последней. Сколько вариантов расписания при этих условиях они могут составить?
Двенадцать ребят решили сыграть в футбол. Они разбились на две команды поровну и в каждой команде должны выбрать двух нападающих, трёх защитников и вратаря. В одной из команд каждый из ребят хочет быть нападающим. Сколько вариантов выбора нападающих в этой команде?
Сколько чётных чисел можно составить, если использовать только цифры О, 1, 3, 5, причём каждую не более одного раза (т. е. один раз или ни разу)? Назовите самое большое из них.
/ I
s. •'
Сложение и вычитание
б) 9436 + 1468;
Найдите сумму: а) 4274 + 3226;
Найдите разность; а) 3745 - 2743;
Вычислите: а) 1653 - 1345;
б) 4084 - 922; б) 9871 + 999;
л‘ у.л.
vVv .
Сложите числа:
а) 605 + 570 + 450 + 304 + 299;
в) 3839 + 694; г) 334 + 9679. в) 1648 - 678; г) 5724 - 1656.
в) 2823 4- 269; г) 2034 - 965.
б) 591 + 483 -ь 307 + 254 + 628.
»V^.VV V .'.-.!-
.-.Г Л >Г.>'Х'Лгу.-л--5'. .. .
Придумайте правило, по которому строится данная последовательность чисел, и восстановите три следующих и три предыдущих числа: а) ...; 46; 55; 64; ...; б) ...; 45; 40; 35; ... .
Объясните, как найти неизвестное слагаемое. Найдите неизвестное слагаемое: а) 648 + а - 1667; б) х ^ 315 = 411; в) 932 = а 4- 558.
Объясните, как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое. Найдите неизвестное уменьшаемое или вычитаемое;
а) 801 - а = 349; б) д: - 287 = 1006; в) 460 - г/ = 287.
Найдите неизвестное число:
а) 348 4 д: = 816; б) 327 - а = 125;
в) Z/ - 107 = 904.
.V4V.V Л*Ч" <
'Л'*»** •• Ч' f V ' ..
гг. г
’•'У' ч
г •■{'>■ >*-Р
Используя округление, выполните прикидку результата, а затем выполните сложение:
а) 81 4 59; б) 117 + 321; в) 348 4- 59; г) 121 + 183,
Книгохранилище библиотеки занимает три комнаты. В одной комнате 8225 книг, в другой — 12918 книг, в третьей — 13673 книги. Сколько примерно тысяч книг находится в книгохранилище?
1) 10 тыс. 2) 340 тыс. 3) 33 тыс. 4) 35 тыс.
Решите задачу, используя прикидку:
У покупателя имеется 1500 р. на покупку игрушек. Названия игрушек, продающихся в магазине, и их цены представлены в таблице:
^ <У' -
7ws4
Название Цена Название Цена
Настольная игра 299 р. Набор мебели для кукол 690 р.
Кукла 399 р. Мяч 180 р.
Машина 799 р. Посуда для кукол 490 р.
Какие игрушки покупатель может купить, если они должны быть разными? Найдите несколько вариантов покупки.
tTi ^'.r S' T > ? ,
ытур^шыцлщ^ «щ|сл^1кли
Решите задачу (№ 45-46):
а) В начале пути спидометр автомобиля показывал 28639 км. Определите, каким будет показание спидометра через 834 км.
б) В начале пути спидометр автомобиля показывал 34863 км, а в конце — 35787 км. Какой путь проделал автомобиль?
47
48
49
50
а) От Москвы до Новгорода по шоссе 520 км, а от Новгорода до Санкт-Петербурга на 310 км меньше. Сколько километров от Москвы до Санкт-Петербурга?
б) От Москвы до Ржева по железной дороге 220 км. В первый час поезд прошёл 65 км, во второй — на 18 км больше. Сколько километров ему осталось пройти?
Вычислите:
а) 22222 - 8888;
б) 59284 н- 36917;
в) 44444 + 9999;
г) 20010 - 6517.
а) Составьте из чисел 999, 5555, 8008 всевозможные суммы и вычислите их.
б) Составьте из чисел 2357, 2802, 3100 всевозможные разности и вычистите их.
а) Запишите какие-нибудь два числа, сумма которых равна 200. Сколько таких пар чисел можно записать?
б) Запишите какие-нибудь два числа, разность которых равна 200. Сколько таких пар чисел можно записать?
Используя данное равенство, составьте еш;ё два:
а) 945 Ч- 848 = 1793;
б) 1325 - 516 = 809;
в) 1644 - 374 = 1270;
г) 761 + 1766 = 2527.
Образец, Из равенства 2715 -г 897 = 3612 следует, что 3612 - 897 = 2715, а также, что 3612 — 2715 = 897.
51
Найдите неизвестное число:
а) (х Ч- 24) + 53 = 930;
б) (34 - X) -h 23 - 27;
в) 35 -ь (х - 17) - 85;
г) 64 - (15 -h X) = 28.
53
Определите, какое число задумано, если:
а) к задуманному числу прибавили 16, а затем ещё 23 и получили 78;
б) к задуманному числу прибавили 120, затем вычли 75 и получили 80;
в) из задуманного числа вычли 16, затем прибавили 32 и получили 50;
г) из задуманного числа вычли 12, затем 23 и получили 49.
Пользуясь оценкой, сравните значение каждой суммы с данным числом:
а) 728 + 319 и 1000; в) 489 -h 477 и 1000;
б) 587 ч- 892 и 1500; г) 923 Ч- 619 и 1500.
Образец, Сравните сумму 597 ч- 539 с числом 1200.
Решение. 597 -t- 539 < 600 Ч- 600 = 1200, значит, 597 Ч- 539 < 1200.
S i
■ r-'- ■■<■
t ■ ».
55
56
!*
a. •:< <.1
^ к
-U
К -S V-a.^_
57
; "
t. a/j.V5^^V< ЧЧЛ Г f-* ,}•-.*• •.•
V- • • .V • '
Л :• •: ■:•••>:;•:• v< >•/<• * х '•
к', s • • *
!;>>•■' .
b<’/Ob ^
I', r .
Г;Г'
у 1 V-- > '
9Jt' t..'i/vyy;i у f ■ s. S ft .
t •<;.•. •/ '.,ft •» 1
*y ■•-. ' , . .
Пользуясь оценкой, ответьте на вопрос задачи.
а) Хватит ли 150 р. на покупку гамбургера, плитки шоколада и бутылки фруктовой воды, если гамбургер стоит 69 р., плитка шоколада — 48 р. и бутылка фруктовой воды — 26 р.?
б) На диске записано четыре рассказа Г.К. Честертона. Хватит ли 2 ч, чтобы прослушать эти рассказы, если они звучат 33 мин, 42 мин, 36 мин и 43 мин?
5^'
с
Решите зада^ (№ 55—57):
а) В гараже транспортного предприятия 145 автобусов. Это на 30 больше, чем грузовых машин, а легковых машин на 12 меньше, чем грузовых. Сколько всего машин в гараже?
б) Фирма сшила для магазина блузки, платья и детские костюмы. На блузки пошло 115 м ткани. Это на 40 м больше, чем на платья, и на 120 м меньше, чем на детские костюмы. Сколько всего метров ткани>^израсходовано?
Из Крюкова в Семёновское можно проехать на одном из двух автобусов: через Вороново или через Покровское. Определите, какой путь займёт меньше времени, если известно, что из Крюкова в Вороново автобус идёт 1 ч 50 мин, а из Воронова в Семёновское — 1 ч 15 мин; путь из Крюкова в Покровское занимает 35 мин, а из Покровского в Семёновское — 2 ч 35 мин. При этом в Воронове остановка длится 10 мин, а в Покровском — 18 мин. Подсказка, Сделайте схематический рисунок.
а) В 5А и 5Б классах вместе 62 ученика, в 5Б и в 5В классах вместе 64 ученика. Сколько учеников в каждом из этих классов, если во всех трёх вместе 93 ученика?
б) Гирлянда составлена из красных, синих, зелёных и жёлтых флажков. Красных, синих и зелёных флажков вместе 37 штук, синих, зелёных и жёлтых — 29 штук, красных, зелёных и жёлтых — 32 штуки. Всего в гирлянде 44 флажка. Сколько^лажков каждого цвета в отдельности?
Самостоятельная 'работа № 2 Вариант 1 ]
а) 463 :^23700;
б) 4516 - 428;
в) 20000 - 1750.
Вариант 2
1. Выполните действие:
^а) 532 + 36800;
б) 6414 - 625;
в) 20000 - 1350.
а) 135 -ь а = 210;
б) 400 - X = 325;
в) у - 230 = 600.
2, Найдите неизвестное число:
а) а 4- 185 = 240;
б) X - 426 = 500;
в) 700 - у = 370.
3. Определите, какое расстояние короче и на сколько;
2 км 75 м или 2930 м. I 3090 м или 3 км 450 м.
V. •,;^Л VJ.4.V
Замените сложение умножением:
а) 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35;
б) 120 + 120 -Ь 120 + 120 + 120;
Выполните умножение (№ 59—61): а) 123 • 305; б) 274 • 206;
в) а + а + а + а;
г) хЛ-х + х + х-\-х,
а) 39 • 3500;
а) 5040 • 160;
б) 4800 • 27;
б) 3700 • 140;
в) 307 • 148;
в) 15000 • 65;
в) 1200 • 7400;
г) 411 • 702.
г) 54 • 32000.
г) 6080 • 2100.
Используя данное равенство, найдите значения двух других выражений
а) 139 • 856 = 118984;
118984 : 856 =
118984 : 139 =
Найдите частное (№ 63—67): а) 2816 : 11; б) 7059 : 13;
б) 207 • 615 = 127305 127305 : 207 = 127305 ; 615 =
а) 20130 : 15; а) 5656 : 14; а) 39000 : 6;
б) 13512 : 24; б) 9933 : 11; б) 57600 : 9;
в) 6168 : 12; в) 72576 : 21; в) 7635 : 15; в) 53900 : 5;
г) 7488 : 24. г) 16692 : 52. г) 7700 : 25. г) 26000 : 4.
а) 89100 : 900; б) 31250 : 250; в) 10780 : 110; г) 28600 : 440.
Вычислите: а) 7351 • 26;
б) 6936 : 102;
Запишите число, которое: а) в 7 раз больше числа 209;
в) 15655 : 31; г) 402 • 1250.
б) в 5 раз меньше числа 2045.
Определите:
а) во сколько раз число 441559 больше числа 109;
б) во сколько раз число 306 меньше числа 674730.
Придумайте правило, по которому строится данная последовательность чи-сел, и найдите следующие три числа в этой последовательности: а) 1; 4; 16; ...; б) 729; 243; 81; ... .
Объясните, как найти неизвестный множитель. Найдите неизвестный множитель:
а) л: • 81 = 891; в) 2640 = Ь ■ 12;
б) 18 • а = 270; г) 132 == 33 • у.
■: t
■Г *
*
. Vr.' -:J
•1
У ; i
“ ^ г
Объясните, как найти неизвестные делимое и делитель. Найдите неизвестное делимое или неизвестный делитель:
а) X : 17 = 21; в) z/ : 8 = 24;
б) 168 : Ь = 6; г) 525 : а = 15.
Найдите неизвестное ч^сЛо: а) 8 • а = 416; .
б) ^ : 18 = 50;
да’
в) л: • 9 = 531;'^у/
г) 6464 : fe^^32.
Для тогоучу^ы предвидеть, какой примерно результат должен получиться, часто используют прикидку с помощью округления. Выполните прикидку результата, затем вычислите произведение:
а) 41 • 98; б) 19 • 52; в) 399 • 49; г) 296 • 21.
Образец. 112 • 46 ^ 100 • 50 = 5000; выполнив умножение, получим 5152.
Выполните прикидку суммы, затем вычислите её точное значение; а) 48 4- 51 + 49 4- 484 52 + 50; б) 599 + 597 -Ь 600 + 601 -Ь 602.
Образец. 31 + 29^ 30 4- 28 + 29 + 32 -г 33 == 30 • 7-^ 210; вычислив сумму,
полу^шм 212.
Четыре ученика, отвечая у доски, получили следующие результаты:
1) 512^26 = 13312; 3) 623 • 18 = 12214;
2) 34 • 317 = 10771; 4) 405 * 25 = 10120.
Выясните, кто из них правильно выполнил умножение.
Подсказка. Сначала найдите неправильные решения по последней цифре результата; остальные равенства проверьте, выполнив умножение.
О
:4--riV.y;
а) Сколько миллиметров в 52 см? в 23 дм? в 2 м 34 см?
б) Сколько сантиметров в 84 м? в 52 дм? в 2 м 34 см?
в) Сколько килограммов в 105 т? в 12 т 350 кг? в 4 ц 15 кг?
г) Сколько граммов в 26 кг? в 2 кг 250 г? в 3 ц 8 кг?
48 ч? в в 6 ч?
6 ч 15 мин?
а) Сколько минут в 24 ч? в
б) Сколько секунд в 45 мин?
Определите, что больше и во сколько раз:
ь
в 3 ч 10 мин?
а) 10 км или 1000 м;
б) 5 кг или 500 г;
в) 30 ч или 300 мин;
г) 20 мин или 200 с.
ПЙП
Замените сложение умножением:
а) |82 -и 82 н-
+ 82;
V
10 раз
6)^82 -Ь 82 + ... + 82^
100 раз
в)^
+ 15 -ь
V
п раз
+ 15^;
г) 4- а 4-
4- а.
—V—
п раз
I ГвзГ
^0. .1 L - L 84
г.-.'. 'f.A ♦ 1 ’ •* , Л V .f i A-y #• . V .. V >•
и ^ <
f , : .. Ч .. . :-J4
J. fЦ 85
1 86
L«z_
1..
1 88
f 89
и • • ^ V. * .* . Л . ..V : . <• S» . *i. -
I 90
f /:' » .j- ; ^■
91
б) ,15 + 15 + ... + 15,+ 100 + 100 + ... + 100,
V V
200 раз 15 раз
Образец, ^50 + 150 ^ ... ч- 150^4-j20 + 20 + ... + 20^= 150 • 20 + 20 • 150 =
20 раз 150 раз
= 150 • 20 • 2 = 6000.
Выполните умножение:
а) 15683 • 82;
б) 160820 • 185;
в) 350 • 636 • 22;
г) 402 • 125 • 48.
Пользуясь оценкой, сравните значение каждого произведения с данным числом:
а) 198 • 5 и 1000; в) 496 • 3 и 1500;
б) 253 • 4 и 1000; г) 253 • 6 и 1500.
Образец. Сравните 248 • 4 и 1000.
Решение, 248 • 4 < 250 • 4 = 1000, значит, 248 • 4 < 1000.
Найдите частное (№ 85—86):
а) 833325 : 15; б) 399996 : 18; в) 271062 : 22; г) 108025 : 25.
а) 140126 : 14; б) 320128 : 16; в) 686868 : 34; г) 421848 : 42.
Выполните деление и результат проверьте умножением:
а) 727272 : 12; в) 900900180 : 18;
б) 5012575 : 25; г) 45030015 : 15.
Найдите три предыдущих и три следующих числа в последовательности чисел: а) ...; 32; 64; 128; б) ...; 112; 224; 448; ... .
а) Записали последовательность из четырёх чисел, каждое из которых в 3 раза больше предыдущего. Последнее число равно 486. Найдите первое.
б) Записали последовательность из четырёх чисел, каждое из которых в 6 раз меньше предыдущего. Последнее число равно 2. Найдите первое.
Используя данное равенство, составьте ещё два равенства: а) 28080 : 156 = 180; б) 5780 : 17 - 340.
«?.> ^ ■
Найдите неизвестное число:
а) (X + 150) : 16 - 30;
б) 8 • (а - 35) = 208;
в) 180 : {X - 12) = 20;
г) (а Ч- 43) • 9 = 747.
j. \.ir л
% л. , <
: >А
ь < <
щщ
ilV .V i л % .
ft- 4 -
задач
Длину окружности можно приближённо найти, умножив её радиус на 6. Решите задачу, используя этот факт. ^
а) Арена цирка имеет форму круга диаметром 13 м. Обезьянка пробежала круг по краю арены. Какое расстояние она пробежала?^./
б) Для скатерти мама выкроила из ткани круг радиусом 75 см. По краю скатерти она :хочет пришить кружево. Какой длины кружево ей потребуется?
а) Танцевальная студия заказала 15 платьев для выступлений. Для отделки одного платья требуется 1 м 60 см кружева. Хватит ли 25 м кружева для их отделки?
б) Для первого класса нужно купить 24 учебника математики. Один учебник стоит 140 р. 50 к. Хватит ли 3300 р. для покупки учебников?
а) В книге 256 страниц. Андрей прочитал 192 страницы. Во сколько раз число прочитанных страниц больше, чем число непрочитанных?
б) Расстояние между городами равно 420 км,. Автомобиль проехал 84 км и сделал остановку. Во сколько раз путь, который он проехал, меньше оставшегося пути?
jr -л- V
< .1 . . V* -Р*х
- ^ Г ' “
’ • S ; ;
' ^ < X ‘
. S.
а) В 8 больших коробках столько же карандашей, сколько в 12 маленьких. Сколько карандашей в одной маленькой коробке, если в одной большой коробке 18 карандашей?
б) Пластиковые папки для бумаги продают маленькими и большими упаковками. За 5 маленьких упаковок надо заплатить столько же, сколько за 3 большие. Сколько стоит одна большая упаковка, если цена маленькой 60 р.?
Заполните таблицу:
№ п/п Время Y Расстояние
1 л.' 3 ч 15 км
2 80 км/ч
3 12 км/ч 24 км
Для каждого случая определите, о ком или о чём может идти речь в задаче.
а) Поезд проехал 400 км за 5 ч. Какое расстояние он проедет за 8 ч, если будет ехать с той же скоростью?
б) Велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. За какое время он прошёл бы это расстояние пешком, если бы шёл со скоростью 6 км/ч?
в) Автобус проехал 120 км со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы за это же время проехать 170 км?
15
98
99
Решите задачу (№ 98—99):
1 а) В России до 1924 г. использовались старинные русские меры длины: сажень, аршин, пядь, вершок. В 1 вершке примерно 4 см 5 мм, 1 пядь — это 4 вершка, 1 аршин — это 16 вершков, 1 сажень — это 3 аршина. Сколько примерно сантиметров в 1 пяди? в 1 аршине? в 1 сажени? б) В США до сих пор вместо метрической системы единиц используются старинные меры. Длина измеряется в дюймах, футах, ярдах. В 1 дюйме примерно 2 см 5 мм, 1 фут — это 12 дюймов, 1 ярд — это 3 фута. Сколько примерно сантиметров в 1 футе? в 1 ярде?
а) Самую большую скорость в соревнованиях по бегу человек показывает на дистанциях 60—100 м. Лучшие бегуны среди людей пробегают 100 м примерно за 10 с. Выразите скорость, с которой они в это время бегут, в километрах в час.
б) Абсолютный чемпион в спринте среди современных млекопитающих — гепард. Известен случай, когда гепард преодолел расстояние около 600 м за 20 с. Какую скорость (в км/ч) развил в это время гепард?
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1
а) 724 • 203;
б) 65 • 2800;
в) 4060 • 2100,
I Вариант 2
1. Найдите произведение;
а) 583 • 302;
б) 34 • 7500;
в) 6040 • 1200.
а) 1404 ; 13;
б) 56640 : 236.
2. Найдите частное:
а) 1498 : 14;
б) 51480 : 143.
195 кг больше 600 г.
3. Определите, во сколько раз:
I 800 г меньше 188 кг
а) 7 • а = 378;
б) 160 : X = 32;
в) ^ : 23 = 46.
4. Найдите неизвестное число:
а) а • 18 = 270;
б) X ; 16 = 48;
в) 140 : у = 70.
Порядок действий в вычислениях
•i** Определите, правильно ли указан порядок действий. Если нет, то укажите правильный:
4 13 2
в) 189 - 120 : 3 - 7 • 7;
3 2 1
а) 24 -h 15 • (40 - 31);
1 2 3
б) 12 • 40 - 128 : 8;
3 2 1
г) 16 : (112 - 27 • 4).
■JMn Найдите значения выражений и сравните их:
а) 5 • (8 -ь 14) и 5 • 8 -I- 14; в) 12 -h 60 : (6 : 2) и (12 + 60): б : 2;
. . б) 5 • (6 -Н 4) * 25 и 5 • 6 -h 4 * 25; г) 5 • (20 - 6) -Ь 40 и 5 • 20 - (6 Ч- 40).
16
Ч f.
104
105
106
107
108
Найдите значение выражения (Ks 102—104):
в) 672 : 28 • 45 - 898;
г) 1476 - 252 : 21 • 24.
в) (980 - 879) • (436 - 379);
г) (201 - 4590 : 45) • 101.
а) 3 • 408 - 384 : 6;
б) 224 : 4 -h 5 • 201;
а) 11 • (1040 - 619) -г 752;
б) 7200 - (298 - 142) • 15;
а) 136 • (668 - 588) - 404 ■ 25;
б) 1540 : 11 ^ 1890 : 9 -J- 982;
в) 1953 - (17 432 - 56 • 223) : 16;
г) 6010 - (130 *52 - 68 890 : 83).
Упростите выражение, убрав ненужные скобки, и найдите его значение:
а) (11 • 11) - (30 * 4); * в) 50 - ((4 * 12) - 18);
б) (138 -ь (60 : 2)) - 150; г) 15 -h (10 • (120 - 70)).
Образец. 20 • (15 - (12 : 3)) = 20 • (15 - 12 : 3) = 220,
При нахождении значения одного из выражений допущена ошибка, она может быть обнаружена по последней цифре результата. Найдите это выражение.
1) 18 • 4 + 28 • 3 = 156; 3) 77 • 11 -Ь 401 = 1248.
2) 20 + 16 + 42 = 77;
Запишите выражение и найдите его значение:
а) сумма частного чисел 108 и 3 и произведения чисел 25 и 12;
б) разность числа 670 и суммы чисел 195 и 76;
в) произведение суммы чисел 38 и 22 и разности чисел 132 и 52;
г) частное числа 680 и разности чисел 97 и 57.
Запишите разные выражения для вычисления длины ломаной (рис. 1).
Рис. 1
Составьте выражение по условию задачи и решите её (№ 109—110):
а) Велосипедисты проехали в первый день 148 км, во второй — в 4 раза меньше, а в третий — на 90 км больше, чем во второй. Сколько километров проехали велосипедисты за 3 дня?
б) Турист во время путешествия отправился из одного города в другой. Сначала он 2 ч ехал на автобусе со скоростью 70 км/ч, потом 4 ч шёл пешком со скоростью 4 км/ч, и после этого ему осталось пройти 12 км. Чему равно расстояние между городами?
ПШШ
IT
V'
а) Ирина и Наташа должны подписать 270 приглашений на школьный вечер. Ирина подписывает 40 приглашений в час, а Наташа ~ 50 приглашений. Они работают вместе. За какое время все приглашения будут подписаны?
б) Один автомат наполняет конфетами 70 коробок в час, а другой — 75 ко-
робок. Их включают одновременно. За какое время будет заполнено конфетами 870 коробок? \ \
Решите задачу —112):
а) Толя вышел из школы и пошёл на стадион ф скоростью 90 м/мин. Через 10 мин ему осталось пройти 300 м. На каком расстоянии от школы находится стадион?
б) Николай вышел из дома в школу, расстояние до которой 1800 м. Через 12 мин ему осталось пройти 600 м. Определите скорость (в м/мин), с которой идёт Николай.
а) Электричка идёт из города Павловска со скоростью 55 км/ч. Пассажир сел в электричку на с.танции, находягцейся в 27 км от Щвловска. На каком расстоянии от города он будет через 2 ч?
б) Автомобиль выехал из одного города в и едет со скоростью
85 км/ч. Расстояние между городами 360 км. Околько километров ему останется проехать после 3 ч пути?
113
Выполните действия (№ 113—115):
а) 19857 - (29716 : 68 4- 192 • 64);
б) 17775 + (601 * 508 - 11094 : 86);
в) (678 -h 1125 : 75) • 64 - 32702;
г) 17814 -Ь (2209 : 47 + 862) • 14.
114
^ [
115
а) 215 • (368 - 274) • (78 -4 8664 : 76);
б) (8034 ; 78 -Ь 256) + 68 • (127 -Н 128);
в) 4080 - (352719 - 57837)4 98 -f 307 • 107;
г) 988 + 1530 • (12 • 6^- 38) ■ 15.
а) (7470 : 18 - 319) + (103 • 20 - 24 • 45) : 28;
б) 21 • 55 + (107209 - 21696) - (78 + 8664 ; 76);0
в) (900 - 654 : 6) • 7 -Н 6 • (571 - 24 • 23);
г) (873 - 6036 : 12) • 12 - 2 • (48 • 7 -Ь 344).
i У‘- ? '■ ‘ ■
........ ;■ •:
«у. А
.. ..
< >; > ; . •;< .•
131:
Решите задачу (№ 116—120):
а) Фирма за 30 дней должна была сшить 2400 пиджаков. На выполнение заказа были взяты дополнительные люди, поэтому в день шили на 20 пиджаков больше, чем планирова.яи. На сколько дней раньше срока был выполнен этот заказ?
б) Семья Петровых часто ездит на автомобиле в гости к своим родственникам в соседний город, расстояние до которого 240 км. Обычно они тратят на дорогу 4 ч. На сколько меньше времени уходило бы у них на дорогу, если бы они ехали со скоростью, на 20 км/ч большей?
ЧАСТЬ I. действия
lir- • J-
1г *
ills
119
lx
iir
u:
120
а) Электричка идёт из города Солнечного в город Радужный, расстояние до которого 230 км, со скоростью 60 км/ч. Пассажир сел в электричку на станции, находящейся в 17 км от Солнечного. На каком расстоянии от города Радужного он будет через 3 ч?
б) Шоссе от Москвы до Санкт-Петербурга проходит через Тверь. Автобус выехал из Твери в сторону Санкт-Петербурга со скоростью 65 км/ч. На каком расстоянии от Санкт-Петербурга будет автобус через 5 ч, если расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга равно 700 км, а до Твери — 170 км?
а) Два мастера работают на фабрике ёлочных украшений. Один из них расписывает 20 ёлочных шаров в час, а другой — 25. Успеют ли они выполнить заказ по раскрашиванию 1500 шаров, если первый будет работать о дней по 8 ч в день, а второй — 4 дня по б ч в день?
б) Два мастера работают на фабрике ёлочных украшений. Один из них работал 12 дней по 7 ч в день, другой — 10 дней по 8 ч, и вместе они расписали 2880 ёлочных шаров. Сколько шаров в час расписывал первый мастер, если второй расписывал по 15 шаров в час?
а) Пакет, в котором 4 яблока и 10 слив, весит 600 г, а пакет, в котором 2 яблока и 10 слив, весит 400 г. Сколько весит одно яблоко и сколько весит одна слива?
б) Известно, что 2 большие коробки яиц и 4 маленькие стоят на 52 р. меньше, чем 2 большие коробки и б маленьких. Сколько стоит одна большая коробка яиц и одна маленькая, если известно, что большая коробка на 8 р. дороже маленькой?
а) Компьютер и монитор вместе стоят 12000 р,, монитор и принтер — 7000 р., а компьютер и принтер — 9400 р. Сколько стоят компьютер, принтер и монитор вместе?
б) Петя, Коля и Слава поочерёдно парами становились на весы. Петя и Коля вместе весят 55 кг, Коля и Слава вместе — 58 кг, а Петя и Слава — 59 кг. Сколько весит каждый мальчик?
с.’
|fO_, -V. %
Г-S'' ' *■- ’ ■
*’■ .л ^
Самостоятельная работа № 4 Вариант 1
1. Найдите значение выражения 15
(300 - 252 : 14) : 9
2. Запишите выражение и найдите его значение: частное числа 855 и разности чисел 95 и 86.
3. Турист вышел из гостиницы и пошёл к пристани со скоростью 60 м/мин. Через 15 мин ему осталось пройти 400 м. На каком расстоянии от пристани находится гостиница? Выразите расстояние в километрах и метрах.
; s ^ >
122
123
ЬФ:\
'^j
4
шщ
v;'i. ■ 'I
22
ЧАСТЬ I.,ДЕЙСТВИЯ
149
'ЗЧ№-
ij ■’:?:^4‘'‘-"-- Г’-
>Н .; ;.
Со станции одновременно в противоположных направлениях отправились два поезда. Скорость одного из них 43 км/ч, другого — 56 км/ч. Какое расстояние будет между ними:
а) через 1 ч; б) через 2 ч; в) через 5 ч?
Для каждого случая запишите выражение.
От двух станций, расстояние между которыми 30 км, одновременно в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, отправляются два поезда. Один идёт со скоростью 55 км/ч, другой — 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними:
а) через 1 ч; б) через 3 ч; в) через 6 ч?
Из одного пункта в противоположных направлениях выезжают автобус и автомобиль. Скорость автобуса 45 км/ч, а автомобиля 55 км/ч. Через какое время расстояние между ними будет равно: а) 200 км; б) 300 км; в) 400 км?
а) От железнодорожной станции до посёлка 72 км. От станции и из посёлка одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Один из них едет со скоростью 13 км/ч, другой — 11 км/ч. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если будут ехать без остановок?
б) Две моторные лодки одновременно отправляются навстречу друг другу от двух пристаней, расстояние между которыми 88 км. Одна из них движется со скоростью 24 км/ч, скорость другой на 4 км/ч меньше. Через сколько часов они встретятся?
а) Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу и через 3 ч встретились. Один автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, другой — 90 км/ч. Какое расстояние было между ними в начале пути? Решите задачу двумя способами.
б) Два туриста вышли одновременно из двух пунктов и отправились по шоссе навстречу друг другу. Один шёл пешком со скоростью 5 км/ч, другой ехал на велосипеде со скоростью, на 10 км/ч большей. Какое расстояние было между ними в начале пути, если они встретились через 2 ч? Решите задачу двумя способами.
а) Из двух сёл, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один шёл со скоростью 4 км/ч, другой — со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
б) Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут они за 1 ч до встречи? за 2 ч до встречи?
а) Расстояние между туристическими базами равно 36 км. Группы туристов преодолевают это расстояние на лыжах за б ч, а на скутерах в 2 раза быстрее. От этих баз одновременно навстречу друг другу отправляются две группы — одна на скутерах, другая на лыжах. Через какое время они встретятся?
штш
б'
< n-^x
154
155
&4 ,
156
157
158
!51&^-14-.г. у. .t :• "^.r. КГ' ■■■ггъ^х\. r *.■>•. VA»....-
’ ‘S-
ЧИСЛАМИ
_1ж
б) Из двух городов навстречу друг другу вышли скорый и товарный поезда. Товарный поезд едет в 2 раза медленнее. Скорый поезд преодолевает расстояние между городами, равное 1080 км, за 9 ч. Через какое время поезда встретятся?
От автобусной станции отошёл автобус со скоростью 40 км/ч. Через час от этой же станции в противоположном направлении вышел другой автобус, скорость которого 60 км/ч.
1) Какое расстояние будет между автобусами через 3 ч после выхода первого автобуса?
2) Через какое время после выхода второго автобуса расстояние между ними будет равно 140 км?
3) Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними будет равно 240 км?
а) Расстояние между городами Л и Б равно 720 км. Из города А в город В вышел скорый поезд, который идёт со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из города В в город А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?
б) Андрей вышел из бассейна и направился к школе со скоростью 80 м/миы. Через 10 мин после выхода Андрея к бассейну из школы отправился Борис, скорость которого на 20 м/мин больше, чем скорость Андрея. Через сколько минут после своего выхода Андрей встретил Бориса, если расстояние между школой и бассейном равно 1 км 700 м?
Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу вышли пассажирский поезд и поезд-экспресс. Через 2 ч они встретились, а ещё через 3 ч пассажирский поезд прибыл в город Б. Определите скорость экспресса, если пассажирский поезд шёл со скоростью 60 км/ч.
Два туриста, один на мотоцикле, а другой на мопеде, двигаются по шоссе навстречу друг другу. Скорость мотоцикла 60 км/ч, и она в 2 раза больше скорости мопеда. В некоторый момент времени расстояние между ними равно 225 км. Через какое время оно окажется равным 45 км?
Два друга-охотника вышли из леса с двух сторон поля и оказались на расстоянии 450 м друг от друга. Один шёл со скоростью 70 м/мин, а другой — со скоростью 80 м/мин. Собака одного из охотников побежала навстречу другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину и, повернув, снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег до встречи двух охотников. Определите:
а) сколько минут бегала собака между двумя охотниками;
б) какое расстояние она пробежала, если она бегала со скоростью 12 км/ч.
3
'''I
if]
'4-Ч
1|-
Щ
1
Ш
ii'SiC
ш
Самостоятельная работа № 6
Вариант 1
1. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 20 мин. Один шёл со скоростью 80 м/мин, другой — со скоростью 60 м/мин. Какое расстояние было между ними й начале пути?
2. Два теплохода одко^еменно отправляются от двух, пристаней навстречу
друг другу. Рас^^^^яние между пристанями 200 км. Скорость одного теплохода 24 другого — 26 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Вариант.^
Г\ ■'А
1. От двух станций одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда. Скорость одного поезда 45 км/ч, другого — 60 км/ч. Поезда встретились через 3 ч. Найдите расстояние между станциями.
2. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми 6000 м. Один шёл со скоростью 90 м/мин, другой — со скорость^ 60 м/мин. Через сколько минут они встретятся?
Задач1^<}^^ движение по pei^^^
159
Скорость катера в стоячей воде равна 12^ км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Определите:
а) скорость катера по течению реки;
б) скорость катера против течения реки;
г: ; s) путь, который пройдёт катер по течению реки за 3 ч;
i - г) путь, который пройдёт катер против течения реки за 3 ч.
160
Заполните таблицу:
Собственная скорость Скорость течения Скорость по течению Скорость против течения
12 км/ч '4^4 км/ч
25 км/ч Л 28 км/ч
24 км/Чч|^' ' 20 км/ч
2 км/ч 17 км/ч
3 км/ч 16 км/ч
30 км/ч 34 км/ч
161
а) Собственная скорость катера — 13 км/ч, скорость течения реки равна 3 км/ч. Расстояние между двумя причалами 80 км. За какое время катер пройдёт это расстояние, если будет плыть по течению реки? против течения реки?
б) В стоячей воде спортсмен плывёт со скоростью 55 м/мин. За какое время он проплывёт 280 м по реке, скорость течения которой 15 м/мин, если будет плыть по течению реки? против течения реки?
шшмтш
С НА^РАЛЬНЫМИ ЧИСЛА|У1И
25
ft
а) Катер прошёл 72 км по течению реки и вернулся обратно. Какой путь занял у него больше времени и на сколько, если собственная скорость катера равна 21 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч?
б) Собственная скорость лодки 9 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени понадобится этой лодке, чтобы пройти 24 км по реке и вернуться обратно?
а) Лодка, имеющая собственную скорость 6 км/ч, шла 3 ч по течению реки и 5 ч против течения. Какое расстояние прошла лодка, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
б) Пловец, скорость которого в стоячей воде равна 50 м/миы, плыл 12 мин против течения реки и 15 мпн по течению. Какое расстояние проплыл пловец, если скорость течения реки 10 м/мин?
а) Скорость лодки против течения реки 5 км/ч, собственная скорость лодки 7 км/ч. За какое время она пройдёт 45 км по течению реки?
б) По течению реки теплоход «Ракета» идёт со скоростью 24 км/ч, скорость течения реки 1 км/ч. Какое расстояние пройдёт теплоход против течения реки за 4 ч?
а) Собственная скорость теплохода 25 км/ч. Расстояние между причалами 120 км. Если теплоход плывёт вниз по реке, то это расстояние он проходит за 4 ч. Найдите скорость течения реки и время, за которое теплоход проходит это расстояние вверх по реке.
б) Рыболовы отправились на моторной лодке вверх по реке и отплыли от своего лагеря на расстояние, равное 3 км 600 м. Этот путь занял у них 24 мин. Сколько времени уйдёт у них на обратный путь, если известно, что в стоячей воде лодка движется со скоростью 175 м/мин?
166
167
168
С
169
Скорость катера по течению реки 19 км/ч, а против течения 15 км/ч. Найдите: а) скорость течения реки; б) собственную скорость катера.
а) Скорость катера по течению реки 21 км/ч. Двигаясь против течения реки, этот катер преодолевает 60 км за 4 ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.
б) Лодка проплывает по течению реки 24 км за 3 ч. Скорость лодки против течения реки 2 км/ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость лодки.
а) Теплоход за 2 ч проходит 56 км по течению реки, а против течения реки он проходит 66 км за 3 ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.
б) Катер против течения реки проходит 126 км за 9 ч, а то же расстояние по течению реки за 7 ч. Найдите собственную скорость катера.
Расстояние между двумя пристанями равно 72 км. Катер проходит от одной пристани до другой по течению реки за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?
Указание, Подумайте, как связаны между собой скорость, с которой плывут плоты, и скорость течения реки.
IL«
170
173
177
178
Т;ЩШШ§ШШ
• >:г--’У. .-v*.
Преобразование выражений на основе свойств арифметических действий
Сгруппируйте слагаемые так, чтобы они дополняли друг друга до круглого
числа, и вычислите сумму:
а) 17 н- 6 + 5 + 24 + 3 + 25;
б) 12 + 13 + 7 + 8 35;
в) 16 + 15 + 15\%14+ 17 + 13 + 10;
г) 11 + 16 + 18 + 14+ 19 + 12 + 40.
Образец.,\Т^ б + 5 + 4 + 3 + 5 + 9 = (7 + 3) .+46 + 4) + (5 + 5) + 9
10 + 10 + 10 + 9 = 39.
Вычислите сумму, дополнив одно из слагаемых до круглого числа:
а) 96 + 47; в) 75 + 98; д) 88 + 95;
б) 57 + 198; г) 296 + 25; е) 397 + 44.
Образец. 199 + 63 = (199 + 1) + 62 = 200 -h 62 = 262. *
V V
Найдите удобный способ группировки множителей и вычислите произведение:
а) 5 • 5 • 8 • 8;vJ> б) 12 - 4 - 5 * 5;
v\
в) 11 • 4‘ 25;
г) 18 • 2 • 50.
Образец, блб'^^ 5 * 5 = (6 ‘ 5) * (6 • 5) = 30 • 30 = 900.
Примените переместительное и сочетательное свойства умножения и вычислите произведение устно:
а) 2 - 11 • 5 • 9; в) 25 • 17 • 4;
б) 7 • 2 • 3 • 5; г) 3 • 4 • 23 • 25.
Преобразуйте произведение так, чтобы одним из множителей было круглое число, и выполните вычисления:
а) 15 • 14; б) 35 * 12; в) 44 • 25; г) 75 • 16.
Образец, 16 • 15 = (8 • 2) • (3 * 5) = (8 • 3) • (2 • 5) = 240.
Найдите разные способы вычисления данного произведения и запишите соответствующие цепочки равенств: \-^
а) 36 • 25; б) 32 • 125.^^4
Найдите значение выражения, применив распределительное свойство:
а) 14 • 4 -кЛб • 4; г) 68 • 18 - 68 • 8;
б) 18 • 3 + 12 • 3; д) 74 • 16 - 74 • 15;
в) 13 • 7 + 7 • 17; е) 33 • 52 - 31 • 52.
Вычислите, используя распределительное свойство:
а) 212 + 21 • 9; в) 252 - 25 • 15;
б) 372 + 37.63- в) 452 _ 45,35
Вычислите произведение, воспользовавшись распределительным свойством: а) 132 • 8; б) 154 • 6; в) 97 • 12; г) 199 - 15.
Образец. 245 • 6 = (200 + 40 + 5) • 6 = 1200 + 240 + 30 = 1470;
98 • 14 = (100 - 2) • 14 = 1400 - 28 = 1372.
Б
I Г
I 180
I 181
I 182
[ 183
1 184 I 185
5) =
26 + 30 • 35; 38 - 50 * 33.
свойством:
а) 32 • 26 - 11 • 26;
б) 32 • 26 - 11 ■ 32;
Образец. 43 • 25 — 43 * 13 = 43
= 430 + 86 = 516.
Найдите значение выражения:
а) 62 • 14 4- 11 • 62 - 12 • 25;
б) 48 • 11 - 11 • 16 + 32 • 19;
в) 17 • 19 + 17 • 45 - 17 • 14;
г) 12 • 32 - 12 * 18 + 38 • 14.
Разберите, как вычислена разность 46 ■ 75 - 70 • 45:
46 • 75 - 70'45 = (2 * 23) • (3 • 5 ■ 5) - (7 • 2 • 5) • (3 • 3 = 2 • 3 ■ 5 ‘ 5 • (23 - 21) = 150 • 2 = 300.
Вычислите, используя рассмотренный приём:
а) 14 • 55 + 38 • 35; в) 75
б) 34 • 35 - 14 • 75; г) 75
Вычислите сумму, используя «приём Гаусса»:
а) 1 4- 2 + 3 + ... 4- 50;
б) 11 4 12 + 13 4- ... + 60;
в) 1 + 3 + 5 + ... 4 99;
г) 3 + 6 4 9 4 ... + 90.
Зная, что X 4 t/ = 10, найдите значение выражения:
а) л: 4 6 4 в) (г/ 4 д:) • 4;
б) (х 4 12) 4 (I/ 4 8); г) 5 • X 4 5 ‘ у.
Найдите сумму (а 4 й) 4 -i- с) 4 (с 4 а), если известно, что а 4 5 4 с = 8.
а) Ученик задумал число, умножил его на 8, затем это же число умножил на 15 и результаты сложил. В сумме получилось 276. Какое число задумал ученик?
б) Ученик задумал число, умножил его на 16, затем это же число умножил на 9. Первое произведение оказалось на 42 больше второго. Какое число задумал ученик?
Самостоятельная работа № 7
Вариант 1 \ Вариант 2
1. Преобразуйте выражение и вычислите его значение:
а) 86
б) 4 •
4 37 4 6 • 12 ■
14 4 23; 25.
а) 58 4 79
б) 20 • 17
4 12 4 •5-3.
21;
2. Вычислите, используя распределительное свойство:
а) 16 * 91 - 16 • 71; I а) 34 • 7 4 16 • 7;
б) 352 4 35 • 65. I б) 742 - 74 • 64.
Решение задач на части
187
Чтобы сварить варенье из вишни, на 2 части ягод берут 3 части сахара.
1) Сколько сахара следует взять, если приготовлено 2 кг 600 г ягод?
2) Сколько килограммов вишни надо взять, если имеется 4 кг 500 г сахара?
а) Мороженое содержит 5 частей воды, 2 части молочного жира и 3 части сахара. Сколько надо взять воды, молочного жира и\ахара, чтобы приготовить 700 г мороженого?
б) Тесто для вареников содержит 16 частей творога, 3 части муки, 3 части сметаны и 3 части сахара. Найдите массу каждого продукта, необходимого для приготовления 1 кг теста.
При помоле ржи на каждые 3 части муки приходится 1 часть отходов. Сколько смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов? Подсказка, Воспользуйтесь рисунком 3. X
На 36 ц больщ^у
Мука
Отходы
V
Рис. 3
189
Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Груш и слив вместе было 2 кг 400 г. Какова была обш;ая масса всех фруктов?
I 191
I 192
а) В два пакета надо разложить 56 орехов так, чтобы в одном их было в 3 раза меньше, чем в другом. Сколько орехов надо положить в каждый пакет?
б) Для спортивного клуба купили 80 мячей — волейбольных и баскетболь-
ных, причем волейбольных в 4 раза больше, чем баскетбольных. Сколько купили тех и других мячей в отдельности? .
а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем в линейку, причём тетрадей в клетку было на 18 больше, чем в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?
б) В библиотеке на верхней полке стеллажа стояло на 12 учебников меньше, чем на нижней, Коля заметил, что на верхней полке в 4 раза меньше учебников, чем на нижней полке. Сколько учебников стояло на каждой полке?
а) За 3 дня Оля прочитала 84 страницы, причём в первый день она прочитала в 3 раза больше, чем во второй, а в третий — 16 страниц. Сколько страниц прочитала Оля в первый день?
б) Кусок ткани длиной 76 м разрезали на 3 части. Первая из них имеет длину 25 м, а вторая в 2 раза короче третьей. Найдите длину третьей части.
■1 Ht-.iv
193
194
а) В двух коробках 36 кусков мела. Когда из одной коробки израсходовали 12 кусков мела, то в ней стало в 3 раза меньше мела, чем в другой. Сколько кусков мела было в каждой коробке первоначально?
б) В двух банках 5 л молока. Когда в одну банку добавили 1 л, то в ней стало в 2 раза больше молока, чем в другой. Сколько литров молока было в каждой банке?
а) В трёх больших пакетах и в четырёх маленьких содержится 550 г карамели. Сколько граммов карамели в одном маленьком пакете и сколько в одном большом, если в маленький входит в 2 раза меньше карамели, чем в большой?
Подсказка. Воспользуетесь рисунком 4.
Большие пакеты У
Всего 550 г
Маленькие пакеты Ь
195
Рис. 4
б) В шести маленьких и в двух больших коробках 40 карандашей. В одной маленькой коробке в 2 раза меньше карандашей, чем в большой. Сколько карандашей в маленькой коробке и сколько в большой?
Подсказка. Считайте, что карандаши в маленькой коробке составляют 1 часть.
а) Мать в 2 раза старше дочери, а отец на 5 лет старше матери. Всем вместе 120 лет. Сколько лет отцу?
б) Митя в 5 раз моложе бабушки, а отец в 3 раза старше Мити. Всем вместе 108 лет. Сколько лет каждому из них?
Самостолтельная работа № 8 Вариант 1
1. Чтобы приготовить овощной салат, на 10 частей картофеля берут 3 части свёклы и 2 части моркови.
1) Сколько моркови надо взять, чтобы приготовить 1 кг 200 г салата?
2) Сколько картофеля надо взять, если для салата имеется 150 г свёклы?
2. Кроссовки дороже футбольного мяча в 2 раза, а вместе они стоят 1650 р. Сколько стоит футбольный мяч?
Вариант 2
1. Чтобы приготовить фасолевый салат, на 7 частей фасоли берут 4 части курицы и 2 части сыра.
1) Сколько сыра надо взять, чтобы приготовить 650 г салата?
2) Сколько фасоли надо взять, если для салата имеется 360 г курицы?
2. Альбом для рисования дороже карандаша в 10 раз, а вместе они стоят 275 р. Сколько стоит карандаш?
-ЧАСТЬ I. использование свойств
Решение задач на уравнивание
а) В соревнованиях приняли участие 117 спортсменов, причём юношей на 39 больше, чем девушек. Сколько юношей и сколько девушек участвовало в соревнованиях?
б) Журнал дороже газеты на 25 р., а вместе они стоят 43 р. Сколько стоят газета и журнал в отдельности?
в) Варежки дешевле шапки на 170 р., а вместе они стоят 340 р. Сколько стоят варежки и сколько стоит шапка?
а) Сумма двух чисел 432, первое число больше второго на 18, Найдите эти числа.
б) Сумма двух чисел 537, первое число меньше второго на 131. Найдите эти числа.
198
а) Представьте число 175 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу меньше другого.
б) Представьте число 193 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу больше другого.
200
а) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили 2 книги, то книг на полках стало поровну. Сколько книг первоначально стояло на каждой полке?
б) В двух рядах 30 спортсменов. Когда из первого ряда перешли во второй 3 спортсмена, то в каждом ряду оказалось одинаковое число спортсменов. Сколько спортсменов было в каждом ряду первоначально?
в) В двух коробках 48 карандашей. Когда из первой коробки переложили во вторую 8 карандашей, то карандашей в коробках стало поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке первоначально?
1) Разберите, как решена следующая задача:
Мама купила сыну 12 карандашей по 5 р. и по 7 р. Всего за карандаши она заплатила 68 р. Сколько карандашей по 5 р. и сколько по 7 р. купила мама?
Решение. Если бы мама купила все карандаши по 5 р., то она заплатила бы 5 • 12 = 60 (р.). Но она заплатила на 8 р. больше. Каждый более дорогой карандаш добавил в общую стоимость по 2 р.
Сколько было карандашей по 7 р.?
8:2 = 4.
Сколько было карандашей по 5 р.?
12 - 4 = 8.
(Убедитесь в правильности ответа, подсчитав сумму стоимости карандашей.)
2) Решите самостоятельно аналогичную задачу:
Для новогодней ёлки купили 10 шаров по 25 р. и по 40 р. Все шары вместе стоили 340 р. Сколько купили тех и других шаров?
202
203
Для детского сада купили 20 пирамид: больших — по 7 колец и маленьких — по 5 колец. У всех пирамид вместе 128 колец. Сколько купили больших пирамид?
Подсказка. Уравняйте число колец, «сняв» с больших пирамид по 2 кольца. Сколько тогда всего будет колец?
V ^
а) В заповеднике у носорогов и антилоп вместе 36 рогов. Сколько носорогов и сколько антилоп в заповеднике, если у них вместе 24 головы?
Подсказка, Предположите, что у носорогов и антилоп по 1 рогу. Сколько в таком случае всего будет рогов?
б) В детском саду имеется 20 велосипедов — трёхколёсных и двухколёсных. У всех велосипедов вместе 55 колёс. Сколько тех и других велосипедов в детском саду?
Подсказка. Предположите, что все велосипеды двухколёсные. Сколько в таком случае всего будет колёс? *
а) В классе учатся мальчики и девочки, всего 30 человек. Витя подсчитал,
что если каждый мальчик принесёт по 5 кг макулатуры, а каждая девочка — по 3 кг, то все учащиеся вместе соберут 122 кг макулатуры. Сколько в классе мальчиков? 0^
б) На празднике 22 ученика, у каждого ^^тьчика по 3 шара, у каждой девочки по 5 шаров. Всего надули 86 шаров. Кого на празднике больше — девочек или мальчиков и на сколько?
204
а) В двух бочках было 40 вёдер воды. Когда из первой бочки перелили во вторую в 3 раза больше вёдер, чем в ней уже было, воды в бочках стало поровну. Сколько вёдер воды было в каждой бочке первоначально?
б) В двух корзинах 60 яблок. Когда из первой корзины переложили во вторую в 2 раза меньше яблок, чем там было, яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок^ было в каждой корзине?
Самостоятельная работа № 9
Вариант
<<р
1. в двух коробках 45 конфет, причём в первой на 11 конфет меньше, чем во второй. Сколько конфет в каждой коробке?
2. Арбуз тяжелее дыни на 700 г, а их общая масса 5 кг 500 г. Найдите массу арбуза.
Вариант 2
1. В двух ящиках 62 лимона, причём в первом на 12 лимонов больше, чем во втором. Сколько лимонов в каждом ящике?
2. Кабачок легче тыквы на 1 кг 800 г, а их общая масса 3 кг. Найдите массу тыквы.
Еза
к-
1:
J- ' Л* . "i* ••
208
210
211
212
213
214
Нахождение делителей и кратных
Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 30 найдите те, которые являются делителями числа;
а) 105; б) 144; в) 120; г) 140.
а) Число 252 представили в виде произведения: 252 — 12 • 21. О каких делителях числа 252 говорит это равенство? Укажите ещё два делителя этого числа.
б) Используя равенство 510 = 34 * 15, найдите четыре делителя числа 510.
Не выполняя арифметических действий, докажите, что:
а) произведение 12 • 63 делится на 42;
б) степень 12^ делится на 27;
в) произведение 75 * 14 делится на 50;
г) произведение 2 * 15^ делится на 50.
Образец, Докажем, что произведение 12 • 30 делится на 8.
Решение, Чтобы доказать это утверждение, выделим в произведении 12 * 30 множитель 8:
12 • 30 = (4 • 3) • (2 • 15) = (4 • 2) • (3 • 15) = 8 * (3 • 15).
Запишите по порядку, начиная с наименьшего, все делители числа: а) 15; б) 21; в) 28; г) 48; д) 100.
Найдите наибольший общий делитель пары чисел:
а) 9 и 12; б) 12 и 18; в) 30 и 36; г) 18 и 28,
1) Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 12 и 6; б) 20 и 10; в) 150 и 50; г) 48 и 12.
2) Известно, что число а делится на число Ъ, Чему равен НОД (а; Ь)1
1) НОД (8; 9) = 1. Убедитесь в этом, выписав все делители каждого из чисел 8 и 9.
2) Придумайте шесть пар чисел а и Ь, таких, что НОД (а; Ь) = 1.
Запишите первые десять чисел, кратных числу: а) 12; б) 15; в) 22;
г) 30.
Верно ли, что одно из двух данных чисел кратно другому:
а) 15 и 60; б) 6 и 146; в) 96 и 12; г) 37 и 144?
Какие из чисел 24, 36, 48, 84, 96, 120 являются общими кратными чисел: а) 6 и 8; б) 12 и 8; в) 3 и 4; г) 8 и 3?
Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 10 и 15; б) 8 и 12; в) 6 и 10; г) 12 и 15.
1) Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 40 и 20; б) 26 и 13; в) 150 и 50; г) 120 и 30.
2) Известно, что число а делится на число Ь, Чему равно НОК (а; Ь)1
33
[ *«
af^
220
Проверьте, что НОК (3; 4) = 12. Придумайте ещё пять пар чисел а и таких, что НОК (а; Ь) = а - Ь (т. е. наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению).
Найдите общие делители и наибольший общий делитель чисел: а) 84 и 56; ^ б) 225 и 180.
. Ъ-''
Найдите несколько общих кратных и наименьшее общее кратное чисел:
а) 4, 6 и 12; ^ в) 3, 6 и 9; ^ д) 6, 9 и 10;
б) 3, 4 и 18; г) 10, 16 и 40; е) 12, 15 и 20.
Какая последняя цифра может быть у числа, кратного:
а) 10; б) 15; в) 11; г) 16; д) 13?
221
Среди чисел 5, 10, 15, 20, 25, 40, 50, 75, 100 найдите все те, которые:
а) кратны 25;
б) не кратны 10;
в) делятся на 5 и на
г) кратны 5 и не кратны 4;
д) являются делителем числа 500;
Й е) являются делителем числа 500 и не являются делителем числа 50.
. Простые и составные числа
Есть ли среди данных чисел простые? Выпишите их.
а) 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91;
б) 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92;
3^ ^3^ 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93;
г) 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95;
д) 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97;
е) 9, 19. 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.
Разложите на простые множители число: а) 18; б) 40; в) 130;
Какое число разложено на простые множители: а-к 9 . Я4 . 7. XV 9З . я • в) 3^ • 5 • 11^?
224
225
228
г) 210,
а) 2 • 3^ • 7; б) 2^ • 3 • 5;
.С-
Пользуясь равенством 111 = 3* 37, разложите на простые множители число: а) 222; б) 444; в) 666; г) 999.
Найдите несколько делителей числа, равного произведению:
а) 2 • 5 • 13; б) 2^ * ЗЬ в) 2 • 5^ * 7; г) 2^ • 3 •
Найдите все делители числа а, если:
а) а = 2 • 3 • 5; б) а = 2 • З^.
Представьте число 30 в виде суммы простых чисел всеми возможными способами. (Суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, считайте одинаковыми.)
р
' ^ Jl
W л., .
' /Л,
;
у
н, л
I
; V -.V ,,
I
ива
t
233
239
■'V*-
241
Может ли быть простым числом:
а) сумма двух простых чисел;
б) произведение двух простых чисел?
Применение признаков делимости
На какие из чисел 2, 5, 10, 3, 9 делится данное число: а) 135; б) 504; в) 708;
г) 4920?
Какие из чисел 188, 723, 918, 8025, 7776, 405, 835, 1236, 711 делятся:
а) на 3; на 3 и на 2; на 3 и на 5;
б) на 9; на 9 и на 2; на 9 и на 5?
В четырёхзначном числе 273* вместо последней цифры стоит звёздочка.
Какой может быть эта цифра, чтобы число делилось:
а) на 2; б) на 5; в) на 3; г) на 9?
Запишите какое-нибудь четырёхзначное число, которое делится на 9 и оканчивается цифрой: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Не выполняя действий, определите, делится ли на 5 значение выражения:
а) 410 -Ь 755; в) 330 - 28; д) 445 • 710;
б) 215 Ч- 113; г) 935 - 85; е) 416 • 300.
Докажите, что произведение:
а) 24 • 25 делится на 15;
б) 35 • 12 делится на 20;
в) 9 ’ 15 * 40 делится на 25;
г) 6 * 12 • 40 делится на 45.
Напишите наибольшее трёхзначное число, которое делится: а) на 2; б) на 3; в) на 2 и на 3;
г) на 15.
Припишите к числу 10 слева такую цифру, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 15.
К числу 10 надо приписать по одной цифре справа и слева так, чтобы полученное число делилось на 18. Сделайте это всеми возможными способами. Подсказка, Число должно делиться на 2 и на 9. Сначала «обеспечивайте» делимость на 2, т. е. приписывайте справа цифры 0, 2 и т. д. Затем определяйте, какая цифра должна стоять слева.
240 Верно ли утверждение: если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24?
Рассмотрите признак делимости на 4: число делится па 4 е том и только в том случае, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, Определите, какие из чисел 164, 230, 1124, 2080, 3118 делятся на 4.
fj
Ш
Sh-.i
[|/ п I: е
. о/А- V.-.-. .х'-^т.-св-юг^.-;
V^7/:r ••' ;
35
ш
ш
242 !
245
246
'iV ит:
■ -- .-,■ л .', f .•»■•;*•;• ■ ...V '"•*'"
KS ^с
Рассмотрите признак делимости на 25: число делится на 25 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75, Определите, какие из чисел 6425, 3005, 12475, 8000, 7555 делятся на 25.
Запишите наименьшее 10-значное число, в котором:
а) все цифры различны и оно делится на 4; .
б) все цифры различны и оно делится на 25. ^4-5^
Указание. См. упр. 241 и 242. ^
с® с®
Запишите наибольшее 10-значное число, в котором:
а) все цифры различны и оно делится на 4;
б) все цифры различны и оно делится на 25.
Указание, См. упр. 241 и 242.
В записи числа 2438195760 использованы все 10 цифр, причём каждая по одному разу. Это число имеет много делителей. Докажите, что его делителем яв-
ляется любое из чис^^От 1 до 18.
Разберите признак'делимости на 11: чтобы узнать, Делится -ти число на 11, надо:
• сложить все цифры числа, стоящие на н^ётных местах, начиная с разряда единиц (т. е. справа налево), и сделать^то же самое для цифр, стоящих на чётных местах;
• из большей полученной суммы вычесть меньпгую и определить, делится ли разность на 11;
• если ответ «да», то и само число делится на 11; если «нет», то число на 11 не делится.
Используя признак делимости на 11, установите, делится ли число 4217532: а) на 11; б) на 33; в) на 99.
Образец. Определим, делится ли число 374715 на 11.
Решение, 5н-7 + 7=19 и 1—4--3 = 8, 19-8 = 11;
11 делится нял^!; следовательно, число 37471^^елится на 11.
О
Самостоятельная работа №10 Вариант 1 ^
1. Найдите9а) НОД (36; 54); б) НОК (9^ Щ
2. Разложите на простые множители число 210.
3. Какие из чисел 105, 108, 110, 115, 152, 160, 175, 190: а) делятся на 2 и не делятся на 5; б) делятся на 2 и на 5?
Вариант 2
1. Найдите: а) НОД (42; 28); б) НОК (10 и 8).
2. Разложите на простые множители число 150.
3. Какие из чисел 133, 141, 153, 264, 287, 495, 519:
а) делятся на 3 и не делятся на 9; б) делятся на 3 и на 9?
> i
"if
V1:| 1
■ t';: j'
i
Доли
а) Как называют доли, получаемые при делении целого на 3, 5, б, 8 равных частей?
б) На сколько равных частей разделили целое, если в результате получились четвёртые доли? седьмые доли? десятые доли? двенадцатые доли?
Вставьте пропущенные слова: а) сантиметр — ... часть метра; миллиметр — ... часть сантиметра; метр — ... часть километра; миллиметр — ... часть метра;
б) грамм — ... часть килограмма; килограмм — ... часть тонны; килограмм — ... часть центнера; центнер — ... часть тонны.
249
1) Сколько граммов содержится:
а) в половине килограмма;
б) в четверти килограмма?
2) Сколько минут содержится:
а) в половине часа;
б) в четверти часа?
250
Назовите время, которое показывают часы, используя слова «половина», «четверть» (рис. 5).
253
255
У Андрея 90 марок, у Богдана на 30 меньше, а у Вадима третья часть числа всех марок Андрея и Богдана. Сколько марок у Вадима?
Туристы прошли 32 км, это составило четверть длины всего маршрута. Какова длина маршрута?
Вставьте пропущенные слова:
а) 1
б) 1
см*^
ММ‘
это
это
часть 1 м^; часть 1 см^:
в) 1 дм^ — это ... часть 1 м^;
г) 1 — это ... часть 1 км^.
254
а) В книге 78 страниц. В первый день Аля прочитала половину всей книги, а во второй день — треть числа оставшихся страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?
б) В книге 96 страниц. В первый день Аня прочитала треть книги, а за 2 первых дня — половину книги. Сколько страниц прочитала Аня во второй день?
а) Школьная футбольная команда за год сыграла 18 матчей в футбольных турнирах. Половину всех матчей она выиграла, шестую часть проиграла, остальные сыграла вничью. Сколько игр команда сыграла вничью?
Запишите ответ в виде дроби:
а) Молоко разлили поровщ’ в 6 стаканов. Какая часть молока поместилась в 1 стакан? в 3 стакана? в 5 стаканов?
б) Конфеты разложили поровну в 8 коробок. Какую часть конфет положили в 1 коробку? в 3 коробки? в 7 коробок?
в) Бассейн наполняется водой за 5 ч. Какая часть бассейна наполнится водой за 1 ч? за 2 ч? за 4 ч?
г) Комбайн убрал поле за 8 дней, выполняя за день один и тот же объём работы. Какая часть поля была убрана за 1 день? за 5 дней? за 7 дней?
258
а) На стол поставили 12 чашек: среди них 7 красных, остальные — синие. Какую часть всех чашек составляют красные чашки? синие чашки?
б) На соревнования по лёгкой атлетике поехала школьная команда из 15 человек, в которой 4 пятиклассника, остальные — шестиклассники. Какую часть всей команды составляют пятиклассники? шестиклассники?
259
а) В связке 11 воздушных шаров: 3 из них жёлтые, 4 — зелёные, остальные — красные. Какую часть всех шаров составляют красные шары? жёлтые шары? зелёные шары?
б) В коробке 15 шариковых ручек: 7 из них синие, 5 — чёрные, остальные — зелёные. Какую часть всех ручек составляют синие и чёрные ручки вместе? синие и зелёные ручки вместе?
i
Запишите:
а) три правильные и три неправильные дроби со знаменателем 6;
б) три правильные и три неправильные дроби с числителем 5.
cvm т. .
■ в дробь —
В дробь — вместо Ь подставляют числа 2, 13, 10, 7, 15, 4, 99, 9. При ка-Ь
ких значениях Ь дробь является правильной? неправильной?
262
Сколько килограммов содержится в:
а) ^ т; 4
б)|т:
4
, 3
в) — т; 10
г) — т? ' 10
Ч АСТ Ь I
265
266
Сколько сантиметров содержится в:
, 1 7 17 7 б) 1
а) — м. — м; — дм,
10 20 10 5 10
1 „ 3 6
дм,
7 6 .
— дм, — дм?
л
2
2
4 5 .
^ 1 11
б) Сколько секунд содержится в — мин? в — мийг^в — мин? в — мин?
*, С 3 6_ 2 10
а) Начертите координатную прямую, взяв единичный отрезок, равный
^12345678 10 клеткам, и отметьте дроби: -7, —, —, .
55555555
б) Начертите координатную прямую, взяв единичный отрезок, равный
Ту/ ^ 1 1 1 2 3 2 5 5у/
12 клеткам, и отметьте дроби: —, —, —, —, —, —, -гч\*“.
4 3 2 3 4 2\W 3
2
а) Телепередача длится 90 мин, — этого^времени отводится на рекламу.
15
Сколько минут отводится на рекламу? б) Спектакль длится 3 ч, ант] продолжительность антрактов?
б) Спектакль длится 3 ч, антракты составляют — этого времени. Какова
267
а) Для школьного праздника решили приготовить 24 подарка, а приготови-
ли с запасом: этого количества. Сколько подарков приготовили для школь-ного праздника? Н/
б) Таня распространила 30 объявлений, а её брат — этого количества.
5
Сколько объявлений распространил брат? ^
С
С
О
_______ Запишите ответ задачи в виде дроби (№ 268—269):
268 а) Будильник показывает 11ч утра. Какая часть суток прошла? Какую часть суток составляет оставшееся до конца суток время?
б) В Машиной тетради 48 страниц. Из них 23 страницы заполнены, остальные — чистые. Какую часть всех страниц составляют заполненные _______ страницы? Какую часть всех страниц составляют чистые страницы?
а) На книжной полке 35 книг, 27 из них — учебники, остальные — словари. Какую часть книг составляют словари?
б) В магазин привезли 200 лампочек, 7 из них оказались неисправными. Какую часть лампочек составляют исправные?
а) Внутри прямоугольника со сторонами 2 см и 5 см закрасили прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см (рис. в, а). Какая часть площади большого прямоугольника закрашена?
б) Внутри квадрата со стороной 10 см закрасили квадрат со стороной 7 см (рис, б, б). Какая часть площади большого квадрата закрашена?
а)
Рис. 6
273
В парке посадили 60 берёз и рябин. Берёзы составили — всех посаженных деревьев. Сколько посадили рябин?
2
Спортсмен за 10 с пробежал — всей дистанции. За какое время он может пробежать всю дистанцию? ^
274 Автобус проехал четверть всего маршрута и сделал остановку. После остановки до конца маршрута он проехал 24 км. Какова длина всего маршрута?
275 а) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то на столе осталось 4 книги. Сколько книг лежало на столе? б) Петя отдал брату половину своих дисков и ещё 3 диска. После этого у Пети осталось 8 дисков. Сколько дисков было у Пети первоначально?
Самосшояшельпая работа №11
Вариант 1 \ Вариант 2
1. а) Начертите прямоугольник со сторонами 3 клетки и 5 клеток. Закрасьте:
— прямоугольника, б
прямоугольника.
о
б) Запишите, какая часть прямоугольника осталась незакрашенной.
i
2. Определите, сколько сантиметров содержится:
а) в— м; б) в -- м; в) в — м. 10 25 о
7 3 5
а) в — м; б) в — м; в) в — м. 10 20 4
3. Начертите координатную прямую, взяв за единичный отрезок 12 клеток. Отметьте на координатной прямой дроби:
3'
12
П
12
V. у,'.--
40
277
Приведение дробей к новому знаменателю
а) На какой множитель надо умножить число 4, чтобы в произведении получить число: 8; 24; 36; 52?
б) На какой множитель надо умножить число 6, чтобы в произведении получить число: 12; 18; ^0; 72?
.■
а) Приведите дробьк знаменателю 8; 12; 16; 20^Сколько восьмых, две-
^ < Л- 1^
надцатых, шестнадцатых, двадцатых долей содержится в -7-?
^1 л
б) Приведите дробь — к знаменателю 10; 15; 20; 100. Сколько десятых, пят-
5
надцатых, двадцатых, сотых долей содержится в —1
278
Представьте дробь:
а) — в виде дроби со'знаменателем 6; 18; 24; 30; ^ }
б) — в виде дроби со знаменателем 12; 24; 48.$; 120;
2
в) — в виде дроби со знаменателем 9; 21; 36; 150;
3
У
г) в виде дроби со знаменателем 14; 28; 63; 140.
279
Приведите дроби:
а) —, —, —, — к знаменателю 24; ^ 4 6 8 12
Ч 5 7 5 4 ..
в) —, —, —, — к знаменателю 36;
^ 12 9 6 4
я 3 8 7 _
г) —, —, —, —^ к знаменателю 100, 5 4 25 50
2 7 4 16 > б) —, —, —, — к знаменателю 90;
3 5 9 15 .
Замените звёздочку числом так, чтобы получилось верное равенство:
, 3 _ 15_ 9_
3 120’ 4 * ’ ® 6 72’ 7
*
281 Запишите пять дробей, равных:
■) h
в)
г)
2’ 12’ 8’
Можно ли представить в виде дроби со знаменателем 30 дробь:
10
1. А. А. А.
2’ 3’ 4’ 5’
9 10 100 300
? Если можно, то приведите дробь к указанному знаменателю.
284
Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клет-
1 2 5 7 9 12 15
кам, и отметьте на ней точки с координатами:
10 10 10 10 10 10 10 113 6
285
286
287
Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами:
Сократите дробь {№ 285—287): 8 12 12 24 18 8
2 5 2 5
а)
а)
а)
12 16 18 40 27 36
А А А А А 1^.
12’ 15’ 20’ 50’ 18’ 40’
18 5 16 30 9 2
20’ 30’ 12’ 20’ 12’ 8’
288
2
29
б) 20 30 15 26 15 22
70’ 75’ 27’ 39’ 40’ 33’
б) 6 5 3 15 12 8
12’ 25’ 18’ 60’ 48’ 24*
б) 65 17 12 24 15 10
26’ 51’ 8 ’ 40’ 6 ’ 100
3 6 15 13 6 24 81 16
0 8’ 25’ 14’ 7’ 35’ 90’ 48'
Ш
э
Запишите все правильные дроби со знаменателем 20. Сократите те из них, которые можно сократить.
Выразите:
а) в метрах 20 см, 75 см, 45 см, 5 дм, 8 дм, 12 дм;
б) в километрах 200 м, 250 м, 350 м, 500 м;
в) в килограммах 120 г, 380 г, 750 г, 500 г.
1
100
м, то
292
Образец, Выразим в метрах 30 см. Так как 1 см 30 3
30 см =----м = — м.
100 10
Выразите:
а) в часах 30 мин, 25 мин, 12 мин, 40 мин;
б) в минутах 4 с, 10 с, 20 с, 40 с, 45 с.
а) В школьном хоре 60 человек, 27 из них — мальчики. Какую часть числа всех участников хора составляют мальчики? Какую часть числа всех участников хора составляют девочки?
б) В коробке 12 красных, 28 синих и 18 зелёных карандашей. Какую часть всех карандашей составляют красные карандаши, какую — синие и какую — зелёные?
I 296
I 297
298
а) Антон за выполнение некоторой работы должен был полу^шть 2000 р. Какую часть всей работы выполнил Антон, если он получил 400 р.? 600 р.? 1500 р.?
б) Оля купила коробку корма для рыбок, которого хватает на 30 дней. Она
расходует ежедневно одно и то же количество корма. Какую часть корма израсходует Оля за 5 дней? за 10 дней? за 24 дня? X
Сократите дробь (№ 294—295):
«Ч 48,^
120’
6)
а)
а)
48’
300
в)
64
64
112
560
1320
в)
168
525
г)
512
С
1600
а) Какую дробь сократили на 12, если в результате получили —? Проверьте себя, выполнив сокращение, \
О <> 7
б) Какую дробь сократили на 10, если в результате получили —?
Сократите дробь (К« 297—298): 8 • 3 10 • 11 • 9
а)
а)
3 • 404ч-53’
I, б)
б)
35’
12 • 10 • 11
2 • 3®
в)
22 • 3 • 5’
в)
г)
6 • 12
, 3 • 4 • 25
12
20 • 9’ •
2^ • 5^ • 7 22 • 5^ ■
г)
24 • 15
а) На рисунке 7, а изображён план дачного участка. Какую часть площади участка занимает дом, цветник, сад, огород?
б) Квадрат, сторона которого равна 6 см, разбит на четыре прямоугольника (рис. 7, б). Какую часть площади квадрата составляет площадь каждого из этих прямоугольников?
15 м
5 м I 10 м
saasTSs
- о 0^0
ох>о
OQO-:
б)
2 см
4
... .•
40 м
Рис. 7
301
302
303
1. Приведите дробь — к знаменателю
8
а) 32; б) 40; в) 72.
Вариант 2 нателю:
а) 24; б) 48; в) 64.
2. Определите, можно ли привести дробь к знаменателю 156, и если
можно, сделайте это:
а)
10 ’
3. Сократите дробь: ^ 42 16
30’ 48 ’ 12 *
•' 12 ' те •
3. Сократите дробь: _6_ ^
24’ 40’ 8 *
Приведение дробей к общему знаменателю
Найдите несколько чисел, кратных двум данным числам. Укажите наименьшее общее кратное этих чисел:
а) 3 и 7; в) 6 и 12; д) 6 и 4;
б) 4 и 5; г) 16 и 8; е) 25 и 10.
Найдите несколько общих знаменателей дробей, назовите их наименьший общий знаменатель:
. 2 1 I " 7’
б) — И —
^ 5 6
, 1 1 ■' 6" li'
, 4 10
п т и —
3 9
^ 7 4
е) — и — ^ 10 15
Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби (№ 302—306):
. 7 4
а) — и — 9 3
23 8
Ж "
а) — и — 2 7
“ 3
3 7
а) — И —;
4 10
л 5 5
^ 8
5 2
6 " 3 ’
. 3 7
в) — И —; 2 5
5 4
г) - и
3 5
в) — и — 8 6
, 1 1
г) “Г и — б 9
, 5 19
“'г -
5 5
е) — и — 18 б
, 1 1
е) — и — 6 7
5 3
Д) — и — 12 8
л 1 1 i 2’ 3’ 4’
306
307
309
а)
3’ 4’
12’ 18’ 3’ 15’
2’ 4’ 6’
6’ 8’ 9
б)
8
14’ 7’ 21’ 42
Разберите, как выполнено приведение к наименьшему общему знаменателю
^ б 1 дрооеи — и —. о4 4о
Общий знаменатель этих дробей должен делиться и на 54, и на 45. Так как 54 = 2 * 3 • 3 • 3 и 45 = 3 • 3 • 5, то общий знаменатель должен делиться на 2 один раз, 3 раза на 3 и на 5 один раз. Наименьшее число, удовлетворяющее этому условию, есть произведение 2 • 3 • 3 • 3 * 5 = 270. Дополнительный множитель для первой дроби равен 5, для второй — 2-3 = 6. Получаем 5_5-5_25 6
54 “ 54 • 5 ” 270’ 45 ~ 45 • 6 ” 270’
Пользуясь разобранным приёмом, приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
13 11 _ 8 3 4 7 5 7
а) — и —; б) — и —; в) — и —: г)
— и — 45 40
— и — 27 24
— и —, 84 36
Сравнение дробей
Начертите координатную прямую с единичным отрезком 12 клеток. С помощью координатной прямой покажите, что:
ч 5 11
а) — < — 12 12
б)
>
1
в)
>
12
ч 1 1
г) — < — 6 4
Сравните дроби и запишите ответ с помощью знака > или <:
6 3
а) Y » Т
тг “ li-
4 7
в) — и —; 15 15
, 7 17
г) — и — 9 9
а) Расположите в порядке возрастания дроби
15
12 19
Запиши-
17 17 17 17 17
те какую-нибудь дробь, которая больше самой большой из этих дробей, и
дробь, которая меньше самой маленькой из них.
3 17 25 7
б) Расположите в порядке убывания дроби —, —, —, —. Запишите ка-
22 22
кую-нибудь дробь, которая больше самой большой из этих дробей, и дробь, которая меньше самой маленькой из них.
а) Проехав — всего пути, автобус сделал остановку. Какое расстояние меньше; то, которое автобус проехал, или то, которое ему осталось проехать?
312
б) От начала уроков прошло — учебного времени. Что больше: время, ко-торое уже прошло, или время, которое осталось? .
Сравните дроби 312—314):
О
3 4 15 г
г) — или —. 25 26
316
317
318
Определите, правильной или неправильной является каждая дробь, и сравните её с 1:
11 ^ U
Is’ 20’ ~9' 14’
73
110
253
250
Сравните дроби: ч 1 3 4
“> i ” ? 7 “ 7
А'
8 . (S C
1 1
1
, 19 20
г) — и — ^ 20 17
Запишите дробь, равную —, меньшую — и большую , со знаменателем;
2 2 2
а) 10;
б) 24;
в) 30;
г) 8.
319
Отрезок между 0 и 1 на координатной прямой разделили точкой пополам. Определите, в какой половине единичного отрезка — в левой или правой — расположена точка, изображающая число:
-1^
б)
в)
^ 10
г)
16
3
Меньше или больше половины литровой банки наполнится водой, если в неё налить:
а) — л воды; 5
75
б) л воды?
( 322
323
I 324
325
Расположите в порядке возрастания дроби:
2 3 4
Г 5’ 9’
б)
2 3
3 4 12
в)
4’ 5’ 7
ИЛА
15’ 20’ 25
Какая из дробей больше:
^ 1382 2445
а) ___■ или
1385
2298
_ 999 2001^
б) —ГТТ" или ----/
1000
2000
а) Два одинаковых ведра наполнили водой. Из одного вылили — всей воды,
о
а из другого----.В каком ведре воды осталось больше?
4
б) Взяли три ленты одинаковой длины: белую, синюю и красную. От белой
1
отрезали — ее длины, от синеи 5
ее длины, от красной
ее длины,
Какая из лент стала короче других?
5 2 7 1
Какая из дробей —, —, —, — самая маленькая? Какая самая большая? 8 5 6 4
Расположите дроби в порядке возрастания.
^ 1 1
а) Запишите какое-нибудь число, которое больше —, но меньше —.
^ 1 2
б) Запишите какие-нибудь три числа, которые больше но меньше —.
^ о
а) Запишите несколько чисел, которые меньше
можно найти?
б) Запишите несколько чисел, которые больше
100
•. Сколько таких чисел
99
100
. Сколько таких чисел
можно наити
327
а) Один автомобиль за 10 мин проехал 12 км, а другой за 8 мин — 10 км. Какой автомобиль ехал быстрее?
б) Баскетбольная команда школы № 1 из 24 сыгранных игр выиграла 14, а баскетбольная команда школы № 2 из 18 сыгранных игр выиграла 12. Какая команда играла лучше?
Самостоятельная работа №13
Вариант 1
1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:
12 5 2 1 7
а) — и ; б) — и —; в)
12
3
7^ 11
— и —, б 15
«16 "8
2. Сравните дроби; а! — и —;
“ -■ -
3. Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: С
*> 20 " W
б) — И —; 7 8
15 17
и — 17 14
4. Выпишите дроби больше
7’
_7_
12
Вариант 2 ^
1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю"^
а) 9 «
б) Т?- и —: 6 18
^ ^ ^ ^ ^ 11
2. Сравните дроби: а) — и —
14 14
. 7 3 ® 20 ** 8'
« т>т
3* Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:
, 1 1
а) — и — ^ 5 25
5 5
б) — и —; 11 9
. 9 7
в) — и —. 7 11
4. Выпишите дроби больше
11
Самостоятельная работа №14
Вариант 1
Вариант 2
а) 3 : 10; ,^.в)M5: 20;
б) 9 ; 18; ^ г) 12 ; 9.
1. Выполните деление
.
а) 1: в) 15 : 21
б) 8 ,1 24;
О
г) 9 : 6.
2. Решите задачу:.,^*
Велосипедист проехал 5 км за 15 мин. Сколько километров в минуту проезжал велосипедист?
Спортсмен пробежал 4 км за 32 мин. Сколько километров в минуту он пробегал?
3. Представьте число 8 в виде дроби со знаменателем:
а) 1; б) 5; в) 9. j а) 1; б) 4; в) 10.
4. Сравните частные:
а) 3 : 4 и 10 : 16;
б) 10 ; 8 и 25 : 20.
а) 12 : 8 и 15 : 10;
б) 4 : 14 и 2:3.
.Ill
a)-1-1-;
4 4 4
Представьте число 1 в виде суммы:
а) двух дробей со знаменателями, равными 7;
б) трёх дробей со знаменателями, равными 10.
Найдите числа, которые должны быть записаны в пустых клетках таблицы:
ь с Ь + С
1 2
2 3 \
1 2 7 8
1 6 i 3
с Ь ~ с
11 14 3 7 ч
2 > > ■ ;\уО у 4 9
1 5 1 2
341
342
343
а) Оля прочитала — всей книги. Какую часть книги ей осталось прочитать? Больше или меньше половины книги ей осталось прочитать?
тт 1 -.1
б) До привала туристы прошли — пути, после привала — еще — всего пути.
4 2
Какую часть пути они прошли? Какую часть пути им осталось пройти?
\
Если открыть кран,^о детский бассейн наполнится за 12 мин. Какая часть бассейна останется незаполненной, если открыть кран на 1 мин? на 2 мин?
/'О ('О
Л' у
1 ^ 1
а) В одной коробке — кг конфет, а в другой — на — кг больше. Сколько кон-
4 5
фет в двух коробках? Выразите ответ в граммах,
3 ^
б) Туристы отправились на прогулку на лодке. До привала они плыли — ч,
4
обратный путь занял у них на — ч больше. Сколько времени длилась про-
о
гулка, если привал занял — ч? Ответ выразите в часах и в минутах.
6
Вычислите сумму, группируя дроби с одинаковыми знаменателями
3 4 4 5
а) —I-------1-----1—
^ 7 9 7 9
б)
11
14 4 6
---(- —- Н-1-•
5 11 5 11
1 4 1 5 2 5 1 7
в)-------1----1-----1------1------1----1-----!--
^ 15 15 18 18 21 21 24 24
11 1 1357 9
г) h ““ Н-i-1-1-1-Ь ~—
8 12 16 20 8 12 16 20
и
1 347
i 348
М::
k
I:
I;
Представьте число 1 в виде суммы:
а) двух дробей со знаменателями, равными 3 и 6;
б) трёх дробей со знаменателями, равными 2, 4 и 8.
Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
111 111
а) —!-1— и — н-1—
4 5 6 5 6 7
Самостоятельная работа №15 Вариант 1
1. Вычислите:
.3 1 8 1 ,5 7
'■'I'"?’ J~T ■’ s-'Io-
^111 111
б)-н--и--i---
^ 2 3 5 2 3 4
Вариант 2 1. Вычислите:
2 1^ 5 2 8 3
а) — + х; ®) т “ "т; + Т7Т
О 2 6 3 15 10
2. Найдите неизвестное число, обозначенное буквой:
ч 3 11 17
Т • IS- " 15 ■ 15'
а) д: -ь
б)
8
X
17 5 .
— или — : 24 8
3. Какое из чисел больше и на сколько:
19 7
или — ? 36 9
1я
Смешанные дроби. Сложение смешанных дробей
Прочитайте смешанные дроби и покажите примерное положение каждой из них на координатной прямой:
^ И
а) 5- и 4-;
б) 2| и 2|;
в) 6у и 6^;
г) 7- и 7-. 5 4
Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби (№ 350—351):
35
351
352
а
^тГ. '-.А
353
WX;«r< •
Л-N* S *
а)
5 17 20 51 111 б) 9 17 28 41 112
2’ 5 ’ 3 ’ 12’ 20 ’ 4’ 3 ’ 5 ’ 10’ 25
22 24 56 45 70 б) 24 33 55 56 63
10’ 9 ’ 16’ 18’ 6’ 20’ 12’ 15’ 21’ 6
Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби:
1 2 3 2 2
^5’ ^9’ ^17=
б) 4-, 1—, 2-, 3-, 5—. 2 11 6 9 14
а) Ломаная состоит из трёх равных звеньев (рис. 8), Найдите длину каждого звена, если длина ломаной 10 см.
б) Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 12 дм ^
(рис. 9). Длина основания АС равна 3 дм. Найдите длины сторон АВ и ВС,
В ^
Рис, 8
Рис. 9 А
I:',-
Образец. Сравним числа -г^ и —. Выделим из каждой дроби целую часть:
о D \
16 1 22 2 , 2 16 22 = 5—, — = 4-^^Так как 5— > 4-—, то — > —.
о - “
Выразите в метрах:
1
а) 5—км, 3—км, 7—км; 10 5 2
” - 3 ,3
6)2—км, 4—км, 7—км. 10 о 20
356
359
Выразите в килограммах;
а) 1 кг 300 г, 2 кг 400,rV^3 кг 750 г; б) 5200 г,л2450 г, 1500 г.
*
Выразите в часах: о фО
а) 1 ч 15 миц^2 ч 12 мин, 3 ч 20 мин; б)\80 мин, 150 мин, 105 мин.
Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби:
, 11 ^ 5 2 4 ч 14 1 li * 6 ■
Выполните сложение (№ 359—361):
а) з|+1|; 4 i-
а) 2— + 4—; 2 7 в) 3— ^ 2 ^1’ ‘4 + I- <•
2 1 в) 3— + 5—;
3 -
г) 8-1 + 2|. 6 8
Масса котёнка — кг, а масса щенка 1— кг. Какими будут показания весов, 5 4
если их поместить на весы вместе? Дайте ответ сначала в килограммах, а затем в килограммах и граммах.
• 1
}.гл f-v
....
‘•S
Вера и Коля вышли из своих домов, которые находятся на одной улице, и
2
пошли навстречу друг другу. Вера прошла до встречи 1— км, а Коля — на
3 ^
— км больше. Чему равно расстояние между домами Веры и Коли?
и
". '
Г: '
53
366
1 3
Турист ехал на автобусе 2— ч, потом на попутной машине 1— ч и ещё шёл
5 10
пешком четверть часа. Сколько часов турист был в пути?
а) Запишите последовательность из пяти чисел, в которой первое число рав-
2
но 1, а каждое следующее — на — больше предыдущего. Найдите сумму чле-
о
нов этой последовательности.
б) Первое число в последовательности равно —, а каждое следующее на —
3 5
больше предыдущего. Найдите шестое число в этой последовательности.
2
а) Клумба имеет треугольную форму. Одна её сторона равна 2— м, другая —
7 ^
1— м, третья — 3 м. Хватит ли декоративной изгороди длиной 7 м для ограждения этой клумбы?
, V-
б) Косынка имеет форму равнобедренного треугольника. Каждая из двух рав-4 7
ных сторон равна “ м, а большая сторона длиннее на — м. Хватит ли трёх метров тесьмы для окантовки этой косынки?
Самостоятельная работа №17
Вариант 1 1 Вариант 2
1. Представьте неправильную дробь в виде смешанной дроби:
в)
16
2. Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби: 3
а) 1-1; б) 2 в) 3
D О
3. Сравните:
^ 11 17 17 9
а) — и —; б) -------- и —.
3 б 8 4
а) 2 б) 3 в) 1
О 10
3. Сравните:
, 12 10 13 19
а) — и —; б) — и ——.
тт
Самостоятельная работа № 18 Вариант 1 !
Вариант 2
1. Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби:
ч 2 4
.4 5 3
б) --- + —
12 4
2 3
б) 4- -t- -
3 8
ч 2 7
2. Найдите сумму:
а) 2— + 1—; 3 9
.С.Ч 11 5
б) — -И —. 18 6
iti
If ■< “ гг*
I г i ? ,«'v« .’/Л “ri •■' гл' :. . -: •
'1Ш&В
Л-';
374
I
, i ‘ ^ 1
Вычитание смешанных дробей
Вычислите разность {№ 367—369):
3
^4
в) 1-у
К
А
а) 2--; а) 6 - 2-gs^.^^
Л
6)^4 - -;
б) 8 - 5-;
4 9
в) 7--; г) 10-—.
в) 4 ;
чд"- 4
Найдите разность смешанных дробей (№ 370—371):
3 1 5 1
<^3 1
Выполните вычитание (Х« 372—373):
5 ^2
в) 4- - 3-;
»4-‘?
а) 3^- 1у, 7 7
«4-4
в, si-li;
Щ-Ь
4.4 ^5
в) в--3-;
г) 5 - 2-.
71-4
г) бА-Я ^ 12 12
г) 7i - з1 ’ 5 5
4 7 4 2 4 2 „6 „2
Найдём разность: 4— - — = (4— “ g “
Мы заменили вычитаемое числом 1 и, чтобы разность не изменилась, «вер*
2 Ь- Ъ
нули» —. Воспользовавшись таким же приёмом, выполните вычитание;
е)3^-±-
а) 4
13
11 11’
Вычислите разность (№ 375—377):
4 2
^9-7
б) 3|-li;
в.
•>=*4-4
, .2 6
в) 4^--;
в) 41-з|;
5 61
г) 10-----3 —
^ 64 64
2 2
г) 4--------1~
^ 15 3
2 2 г) 10- - 5-.
3 2
^«10-^1^-
55
а) Собственная скорость теплохода равна 20— км/ч, а скорость течения ре-
1 ^ ки — 1— км/ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения реки.
б) Скорость лодки по течению реки равна 15-^ км/ч, а скорость течения равна 3
2“ км/ч. Найдите собственную скорость лодки и её скорость против течения.
5
•; л5; ,г' ;
rv '-‘V. V
-3. ... - ‘J-rfX
в) Скорость катера против течения реки равна 15— км/ч, а собственная ско-
5
рость катера равна 19 км/ч. Найдите скорость течения реки и скорость катера по течению реки.
379 Найдите значение выражения:
5 5
а) 5---2-
^ 12 9
б) 8--7—;
^ 4 18
в) 4—- 1-^ 12 8
7 8
г) 3---2—.
18 15
380
По какому правилу составлена последовательность чисел? Запишите три следующих числа этой последовательности, найдите сумму всех шести чисел:
а) б, 5-1, 4|,
6) 5|, о, 4|, .
а) Туристы шли по равнине 2-^ ч, а в гору на 1-^ ч меньше. Сколько вре-
2 3
мени занял этот путь? (Ответ выразите в часах и минутах.)
1 3
б) Туристы шли 2— ч в гору, а под гору на — ч меньше. По равнине они
4 5
шли — ч. Сколько времени занял туристский маршрут?
^\)
-АГ.
Самостоятельная работа №19
Вариант 1 1. Найдите разность:
а) 10 - 4
12
в) 6------2;
о
б) 2- - —; г) 3— - 2—.
6 3 7 7
2. Вычислите:
Вариант 2 1. Найдите разность:
б) 3
9
6^; 8 в) 5“— 3; 4
2 ^ 3’ г) 3^-iA 5 5
2. Вычислите: 1 3
^ 2 5
При умножении смешанной дроби на натуральное число можно пользоваться
2 \ 3 3 3
распределительным свойством. Например: 4— • 2 = 4— *2 = 8 + — = 8--.
о 'ЫУ*' ^ 4 4
Пользуясь этим приёмом, найдите произведение'Д'
п ^ ' 7 2 V 11 3
а) 3|- • 2; б) 15- * 4; в) 10- • 9т<^^ г) 12— • 5; д) 11- • 10.
8 8 3 15 V
jrj Скорость велосипедиста 12 км/ч. Какое расстояние он проедет за 3 ч?
3 1
за — ч? за 1— ч?
4 2
391
В одном часе 60 мин. Сколько минут составляет:
1 5 ^3
а) 1- ч; б) 2— ч; в) Z- ч;
г) 1-^ ч? 6
а) Сколько часов длятся 5 уроков, если один урок длится — ч?
4
2
б) В сутках 24 ч. Поход продолжался 3— суток. Сколько это часов?
о
В сумку положили кг сахара, а крупы — в полтора раза больше. Чему равна масса сахара и крупы вместе?
396
а) Спортивная плоидадка прямоугольной формы имеет размеры 10— м и
16 м. Чему равна плош;адь спортплощадки? ^ ^ ^
б) Чему равна площадь комнаты, размеры которой 5— м и 3— м?
2 2
В числовой последовательности первое число равно —, а каждое следующее
3
в полтора раза больше предыдущего. Запишите первые пять чисел этой последовательности. Найдите их сумму.
397
398
Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
8
а)
^3^2
И 1;
б) 1 и
Расположите в порядке возрастания:
а)
2 ’ 12
.2,
2 "2^
5’ .5,
3 fs'l* ^5^ 3 ^5^
7 ” Ы ' '■* .8, и .8,
, 3 2 ГЗ'"^
® 2 ’ 3 42J
, 5 4 Г4
1’ 5 ’
• с I
399
а) Верёвку длиной 18 м надо разрезать на два куска так, чтобы один из них оказался в 3 раза больше другого. Сколько метров в каждом куске?
б) В двух ящиках 58 кг моркови, причём в одном из них моркови в 4 раза меньше, чем в другом. Сколько моркови в каждом ящике?
400
. С. ' • / i •'*'> '* ’ ’
Больше или меньше 1 площадь: а) квадрата со стороной 90 см;
б) квадрата со стороной 1— м;
в) прямоугольника со сторонами 1 м и — м;
4
г) прямоугольника со сторонами 2 м и — м?
а
• ' • ■ <;•
58
•тучкою
... . ; - :• ^ ■: -S**
401 I Имеются два листа фанеры, один имеет форму квадрата со стороной 1 м,
3
4
листа больше?
другой — форму прямоугольника со сторонами 1— м и — м. Плогцадь какого
404
405
Пол комнаты прямоугольной формы покрасили краской 2 раза. В первый
1 . 3
раз на каждый квадратный метр пошло — кг краски, а во второй — — кг. Сколько израсходовали краски, если длина пола 5 м, а ширина 4— м?
Lt
Дно контейнера имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна
Л ,11 тт »
1— м, а другая на 1— м длиннее. Найдите периметр дна контейнера и его 5 20
площадь.
Детская площадка имеет форму квадрата со стороной Маша пробежала ^
вокруг площадки 2 раза, вернувшись в исходную точку. Больше или меньше , 50 м пробежала Маша?
Каждый рисунок (рис. 10у а—б) задаёт некоторую задачу. Выясните, что из- j;: вестно, и найдите неизвестные величины.
а) - м б)
Р — 20 м, S — ?
Рис. 10
;.;
Самостоятелъиая работа № 20 Вариант 1
1. Найдите произведение:
6)15.16; 1.3
' 9 20 25 2
2. Вычислите квадрат числа
Вариант 2
1. Найдите произведение: б)18.|;
2. Вычислите квадрат числа
6
sflbib в«9емы
а) Мама сварила 2 кг варенья и хочет разложить его в банки. У неё есть
одинаковые банки, каждая из которых вмещает — кг варенья. Сколько таких
5
415
банок ей потребуется? б) В одну банку помещается — кг оливкового масла. Сколько понадобится банок, чтобы разлить 4 кг масла?
3
а) Скорость лодки 8— км/ч. За какое время она пройдёт 7 км?
4
2 2
б) За — ч катер прошёл 15— км. Найдите скорость катера.
3 5
В числовой последовательности первое число равно 54, а каждое следующее в полтора раза меньше предыдущего. Запишите первые пять чисел этой последовательности. Найдите их сумму.
- }
I
a) 3a 1— Ч поезд прошёл 100 км. За какое время он проедет 180 км? 5
i I
419
V
!;
Щг':
б) За 1— ч теплоход прошёл 42 км. За какое время он пройдёт 70 км?
2 -is'
а) На верхней книжной полке 27 книг. На средней полке книг в полтора ра- !
за меньше, чем на верхней, а на нижней в 2 раза больше, чем на средней. Сколько книг на трёх книжных полках вместе? ^
б) В магазин для продажи поступили календари. Календарей с изображением цветов было 50 штук, с изображением моря — в 2-^ раза меньше, а с изоб-ражением натюрмортов — в полтора раза больше, чем с изображением мо-ря. Сколько всего календарей поступило в продажу?
а) Для наполнения 5 одинаковых сосудов требуется 3— мин. Сколько времени потребуется для наполнения 8 таких же сосудов?
б) Для изготовления 15 одинаковых коробок требуется 22— мин. Сколько времени потребуется для изготовления 8 таких же коробок?
На рисунке 11 изображён отрезок АВ. Точка С делит отрезок АВ, длина которого 10 дм. на две части. Найдите длину каждой части, если длина одной из них на 2— дм больше другой.
, ------------------------- Рис. 11
л i
^ 4 -S .:? ■ ••
4T.>;i
Вариант 2 1. Найдите частное:
а) — : — ; б) 20 : - ; в) —
18 36 5 X 11
2 13"
2. Вычислите: — •
о Сг 2
о. Автомобиль проехал 50 км за — ч.
С какой скоростью ехал автомобиль?
. 16 12 .V .. 3 4 _
^ ^ 2^1 3
2, Вычислите • — : —•
4 :о
6^ 3
3. Автобус проехал 30 км за — ч.
4
С какой скоростью ехал автобус?
.•:.ч ■;••••: 5<‘
ч й •• > £
Разные действия с дробями
Найдите значение еь1ражения (№ 421—427):
Л
7 Гоб о 2^ л f 4 7 "|
' > J 20 - 3-5. i) — h '4с Us 20J
45 15
а) - - — + 4; ^ 2 45
li_l^ 12 10’
1 5
б) 5 + - - -; 4 б
7 2 3
в) 3—- 2- + —. 20 7 28
Б) 3- - 2 -9 б
•:Г:
ч 1 г 8 31
б)
88
а)
5 г
3
1 3 2 ^ 4 8 ^ З'^
12-3^:^; 5 25 б) 3-6
в)
4;
в)------1— : —.
vv^ 'on ?ч в
в) 5- - 3 : 1-. 3 5
Запишите числовое выражение и найдите его значение:
а) произведение с^чугмы и разности дробей 1— и —;
2 4
1 3
б) сумма произведения и частного дробей 1— и —.
ш
ж
Для ответа на вопрос задачи составьте выражение и вычислите его значение {№ 429—431):
Длина ломаной равна 8 м (рис. 12), Длина отрезка CD равна 2— м. Чему равна длина отрезка АВ?
fcfr.Y -т -лгу
tf-v
430
433
434
435
436
Г; ;•
2 1
У Пети б красных палочек длиной 4— см и 10 синих длиной 5— см. Он ело-
5 2
жил из них ломаную. Какова её длина?
В торговый зал магазина вынесли разложенные в пакеты конфеты. Всего бы-
3
ло приготовлено 25 пакетов с ирисками по — кг в каждом и 20 пакетов 2
с карамелью по — кг в каждом. На сколько масса карамели была больше, 5
чем масса ирисок?
Вычислите, используя распределительное свойство:
а)
— + — + —
24;
А 8 б.
Найдите значение выражения (№ 433—436):
2 15
Г5 5 ■' Г 7 „IS"! Г21 5 ^ Г22 3 ]
[б 18. [^9 ^15/ ,22 11, + .39 13,
, „ 9 Г, 2 3 ^ 7
а) 2----I 1—I----+
^ 10 [б 10'
20'
а)
1-1.i Д-1
4 8j 4 2
б)
1-1^^
8 lOj
+ 7
П
30
2 ' 5
5 a) 2 • 1— + 4 ii.ii •il; B) ri 1 1 ^ H . ^3 1 1
^ 12 8 9 4 [б 10 15j [b 3 4J
Г5 5^ 1 1^
6) 70 : + 3- --
y/' * 18 6J 1 9
г)
^ 3
^-^ТТ
5-1
•-4
•Г-'"' '
I-
Ar f.
if , !•
i!
63
' ; чл »
V
Самостоятелъпая работа № 22 Вариант 1 \
Вариант 2
1. Найдите значение выражения;
1
8
— +
1
л
8
2. Вычислите^^спользуя распределительное свойство:
16
96.
15 12
лО ■
\зо.
Задачи на нахождение части целого и целого по его части
а) От тесьмы, длина которой 10 м, отрезали — её длины, чтобы завязать ко*
о
робку с подарками. Сколько метров тесьмы отрезали? Сколько метров тесь-
мы осталось? \с«
Гч\ л
б) Автотуристы^ за 3 дня проехали 360 км. В первый день они проехали
3 '
— всего пути. Сколько километров проехали авто-8
а во второй день
5
туристы в каждый из дней? Сколько километров проехали автотуристы в третий день?
кЧ
439
а) в коробке 300 разноцветных шариков. Синие шарики составляют — всех
3 2
шариков, красные--------, жёлтые — —. Сколько в коробке шариков каждо-
20 26
го из этих цветов?
\ Ov'3
б) На странице 2000 букв;^^— всех букв составляет буква — — буква «и»,
3 •
—~ — буква «мгС^^------- — буква «ь». Сколько раз встречается на странице
100 . - 1000 ^
каждая из этих букв?
^v-
.1 . 4
а) Таня выполняла домашнее задание 1— ч, причем этого времени она
2 5
потратила на решение задач. Сколько времени Таня решала задачи? Выразите ответ в часах, а затем в минутах.
2 1
б) Занятия в школе длятся 6— ч, причём — этого времени отводится на пе-
3 8
ремены. Сколько времени отводится на перемены? Выразите ответ в часах, а затем в минутах.
• V ^ ^
а) Какова сумма денег, если 48 р. составляют — этой суммы?
3
б) Определите длину отрезка, — которого составляют 45 см.
^ 2
в) Дочери 14 лет. Её возраст составляет ~ возраста матери. Сколько лет матери?
а) Прочитали 90 страниц. Это составило — всей книги. Сколько страниц оста-
5
лось прочитать?
3
б) Ковёр закрывает ~ площади пола комнаты. Площадь ковра 18 м^. Чему равна площадь комнаты, не закрытая ковром?
а) В первый день прочитали — книги, а во второй день — оставшиеся
4
if
•Cl
35 страниц. Сколько всего страниц в книге?
-чг<
б) В первый день Катя выучила — всех словарных слов, а во второй — 20 остав-
5
шихся слов. Сколько всего слов она выучила?
*0?
•*?
443
__у..
[тй
444
445
В супермаркете «Прогресс» покупатель получает скидку в зависимости от стоимости покупки;
Стоимость покупки (в р.) Скидка
От 100 р. до 500 р. 1 — стоимости 20
От 500 р. до 1000 р. 1 — стоимости 10
Выше 1000 р. 3 — стоимости 20
Пользуясь данными таблицы, определите, сколько рублей покупатель заплатит за покупку, если её стоимость составляет: а) 340 р.; б) 750 р.; в) 2360 р.
2
а) Сыну 8 лет, его возраст составляет — возраста отца. Возраст отца составля-
3 ^
ет — возраста дедушки. Сколько лет дедушке?
^ 2
б) Масса котёнка 300 г, что составляет — массы щенка. А масса щенка
5
g
составляет — массы взрослой собаки. Найдите массу взрослой собаки.
20
а) На принтере сначала распечатали треть всей рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате распечатали половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?
.n't}
: тзл
у
'V...* / V .
ч,* • .....
4 Л *
Ш
65
S«'45WW?i<
I 446
6) Покрасили четверть длины всего забора, а потом ещё 8 м. В результате покрасили половину забора. Какова длина всего забора?
4 0^ 2 .1
aj в первый день прочитали —, а во второй — — числа всех страниц книги.
о 3
После этого осталось прочитать 80 страниц. Сколько всего страниц в книге?
б) Таня подсчитала, что — всего времени, которое потребовалось ей для вы-
6
1
полнения домашних задании, у нее ушло на математику, а-на русский
4
язык. Остальные уроки она сделала за 1 ч 10 мин. Сколько времени Таня выполняла домашние задания?
f447
й) Туристы прошли свой маршрут за 2 дня. В первый день они прошли до привала
^ ^ 2
— маршрута и еще 15 км после привала, во второй день до привала-марш-
5
рута и после привала 10 км. Чему равна длина маршрута?
б) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другую из пунктов А и В.
При встрече оказалось, что один из них прошёл — всего расстояния от Л до В
1 „ 1 ^ 1 и еще 1— км, а другой прошел — всего расстояния от А до В и ещё 2— км.
"О 2
Чему равно расстояние от пункта А до пункта В?
Самостоятельная работа № 23 Вариант 1
1. Фильм из двух частей длится 120 мин. Длительность первой части
составляет -- общей длительности фильма. Сколько минут длится первая о
часть фильма и сколько вторая?
g
2. Какова длина туристического маршрута, если — всего маршрута
4
составляет 24 км?
Вариант 2
1. Комплект из плеера и диска стоит 980 р. Стоимость плеера составляет ~
стоимости всего комплекта. Сколько стоит плеер и сколько диск?
2
2. Какова длина туристического маршрута, если — всего маршрута
5
составляет 20 км?
й
Ц
'■Я
'Г
й
;т
в фирме работают три бригады по заготовке грибов. В таблице представле-на информация о количестве грибов (в кг), сданных ими за 3 месяца.
чл
449
450
Номер бригады . х ' Сдано грибов (в кг) . Всего
Июль Август Сещ^рь
i ^ -ч • 48 34 л.\ '
.2 сО" 46 42 51
60 49
Итого
1) Заполните пустые клетки таблицы.
2) Используя таблицу, ответьте на вопросы:
а) Сколько килограммов грибов заготовила бригада № 1 в июле?
б) Сколько всего килограммов грибов заготовила за 3 месяца бригада № 2?
в) Сколько всего килограммов грибов заготовили за сентябрь три бригады?
3) Придумайте и задайте свои вопросы. лО
С
в таблице представлены результаты пяти матчей по футболу трёх команд, участвующих в чемпионате. Заполните столбцы: В — выиграно матчей, П — проиграно, Н — сыграно вничью, О — набрано очков. За победу в матче команда получает 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — О очков.
Команда Матчи В П Н О
1 2 3 4 5
«Юпитер» 0:0 3:0 0:1 2:1 1:3
«Сатуры» 1:2 0:3 1:1 2:2 1:0
«Нептун» 1:0 > 3:2 2:0 3:3
Ответьте на вопросы:
Сколько мячей забросила каждая команда в пяти матчах? Сколько мячей пропустила?
Чтобы заказать в ателье новогодние костюмы, собраны данные о размере одежды членов драматического кружка: 42, 46, 40, 48, 40, 46, 46, 40, 46, 48, 44, 40, 42, 46, 46, 44, 46, 40, 48, 40, 48, 44, 46, 48, 46, 40, 40, 42. Представьте эти данные в таблице.
Ответьте на вопросы:
а) Сколько человек занимается в кружке?
б) Какой размер одежды встречается чаще других?
в) Какой размер одежды встречается реже других?
г) Какого размера: 40 или 42 — надо заказать больше и на сколько?
451 I Составьте таблицу и представьте в ней следующие данные о количестве учащихся в пятых классах трёх школ города.
В школе № 1 в 5А классе учатся 25 учащихся, в 5Б классе — 27, в 5В — 19;
в школе № 2 в 5А классе учатся 18 учащихся, в 5Б классе — 21, в 5В — 23;
в школе № 3 в 5А классе учатся 28 учащихся, в 5Б классе — 24, в 5В — 30.
45^1 Сколько страниц в учебнике? Составьте таблицу и представьте в ней данные
_______ о количестве страниц в ваших учебниках для 5 класса.
453 в каком году родились учащиеся вашего класса? Соберите эти данные и представьте их в таблице.
454
Чтение и построение диаграмм
На диаграмме показана численность населения крупнейших стран мира (в млн человек, по данным на 2011 г.).
Китай
Пакистан
Бразилия Индонезия
Бангладеш
Нигерия
Россия
Япония
Индия
США
455
и
Используя диаграмму, ответьте на вопросы:
а) Какие страны входят в пятёрку самых населённых стран мира?
б) Какая страна занимает по численности населения первое место в мире? Сколько человек в ней проживает?
в) На сколько человек население Китая больше населения Индии?
г) На каком месте по численности населения находится Россия? Сколько человек в ней проживает?
д) Верно ли, что в Пакистане и Нигерии вместе проживает примерно столько же человек, сколько в США?
е) Примерно во сколько раз численность населения России меньше, чем в США? Задайте свой вопрос.
В таблице указано количество отметок «2», «3», «4» и «5 тиклассниками за контрольную работу по математике.
полученных пя-
Отметка 2 3 4 5
Число учащихся 2 7 9 5
Используя эти данные, постройте столбчатую диаграмму. На горизонтальной оси укажите отметки. На вертикальной оси выберите удобную единицу измерения и отметьте число учащихся. Постройте соответствующие столбики.
457
459
460
461
Представьте на столбчатой диаграмме данные; задания: а) № 452; б) № 453.
полученные при выполнении
I 458
Постройте столбчатую диаграмму «Самые длинные реки России» по следующим данным: . ^ ^
Лена — 4400 км, Обь ^4^^650 км, Волга — 3531 км, Енисей — 3487 км, Амур — 2824 км, Оленек — 2292 км, Колыма — 2129 км.
Указание. Пусть\Ч см соответствует 1000 км.
Постройте столбчатую диаграмму «Площадь оледенения в горах России» по следующим данным: Большой Кавказ — 1424, Алтай — 915, горы Камчатки — 874, Корякское нагорье — 260 (в км^).
Указание. Пусть 1 клетка соответствует 250
км^.
Постройте столбчатую диаграмму «Неблагоприятные погодные явления» по следующим данным: ураганы, бури, смерчи — 66, сильные дожди — 49, сильные снегопады — 17, сильные морозы — 10, сильные метели — 9, засухи —7, грозы, градобития — 3.
На диаграмме показана доля пород хвойных де^ВЬев в лесах России. Используя диаграмму, ответьте на вопросы:
а) Деревья каких пород преобладают в лесах нашей страны? Какую часть всех хвойных деревьев они составляют?
б) Каких деревьев больше: елей или сосен? Во сколько раз?
предпочитаете?». Им были получены следующие результаты: лето — 8 человек, зиму — 6 человек, весну — 6 человек, осень — 4 человека. Ответьте на вопросы:
а) Сколько человек было опрошено?
б) Какая часть опрошенных предпочитает лето? зиму? весну? осень? Представьте полученные результаты на круговой диаграмме.
462
Опрос общественного мнения
Проведите опрос «В какое время года отмечают день рождения ваши одноклассники?» и постройте по полученным данным столбчатую диаграмму.
Проведите опрос на тему «Сколько братьев и сестёр у учащихся вашего класса? =>. Составьте таблицу, указав в ней число учащихся, не имеющих братьев и сестёр, имеющих одного брата или сестру, двух и т. д. Постройте по полученным данным столбчатую диаграмму.
Проведите опрос среди одноклассников на тему «Какое время года вы предпочитаете?», заполните таблицу и постройте по полученным данным столбчатую диаграмму.
№ Вариант ответа Подсчёт Число выбравших вариант ответа
1 Лето
2 Зима
3 Весна
4 Осень
Всего
465 1) Проведите опрос среди учащихся класса на тему «Кем бы вы хотели быть,
когда вырастите?». Варианты ответа: юрист, экономист, программист, врач, бизнесмен, рабочий, инженер, военный, учёный, спортсмен, артист, музыкант, учитель, фермер. Постройте по полученным данным диаграмму.
2) Проведите опрос среди родителей вашего класса на тему «Кем бы вы хотели видеть вашего сына, дочь?». Постройте по полученным данным диаграмму.
Самостоятельная работа Л? 24 Вариант 1
Используя таблицу, составленную по упражнению 451, определите, сколько пятиклассников в каждой из трёх школ города. Постройте по этим данным столбчатую диаграмму.
Вариант 2
Используя таблицу, составленную по упражнению 450, определите, сколько костюмов каждого размера требуется для кружка. Постройте по этим данным столбчатую диаграмму.
i ‘
Попробуем линию, изображённую на рисунке 1, а, обвести одним росчерком^ т. е. не отрывая карандаша от листа бумаги и не проходя по одной и той же части линии более одного раза.
Фигура эта, такая простая на вид, оказывается, имеет интересную особенность. Если мы начнёй^движение из узла В, то у нас это обязательно получится. Один из вариантов обводки показан на рисунке 1, б.
А что будет, если мы начнём движение из узла А7 Легко убедиться, что обвести линию в этом случае не удастся: у нас всегда будут оставаться непрой-денные отрезки, добраться до которых уже невозможно. Две неудачные попытки обводки показаны на рисунках 1, в и г.
а)
б)
В
Рис,
а) Вы начали движение из узла В (см. рис. 1, а). Где вы закончите движение?
б) Удастся ли обвести одним росчерком линию, изображённую на рисунке i, а, если начать движение из узла С? из узла Z)?
Назовите все узлы линии, изображённой на рисунке 2, начав с которых её можно обвести одним росчерком. Начертите в тетради эту линию одним росчерком, отметьте начало движения и покажите стрелками направление движения.
На рисунке 3 иа^)(^ажена линия, которую вы, наверное, умеете рисовать одним росчеркомт'Это звезда. Оказывается, хотя сна и выглядит значительно более сло5*сйЬй, чем предыдущие линии, обвести её можно, причём начав с любого узла. Начертите звезду несколько раз, начиная движение из разных узлов.
Рис. 2
Рас. 3
п
т
V-
. :•
■-i
-М
- '1,
и
71
Линию, изображённую на рисунке 4, как и звезду, можно вычертить одним росчерком, начав движение из любого узла. Вычертите эту линию дважды: начав с узла, из которого выходят два отрезка, а затем с узла, из которого выходят четыре отрезка.
Начертите одним росчерком линию, изображённую на рисунке 5.
•ia ‘ ■■
; -
'йу*ц^' л
.о •
4'WV •
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
В А теперь попробуйте обвести одним росчерком линию, изображённую на рисунке 6. Вам это сделать не удалось! Почему? Вы не смогли найти нужный узел? Нет! Дело в том, что это вообще невозможно.
Проведём рассуждения, которые убедят нас в этом.
Рассмотрим узел Л. Начнём обводить линию с этого узла.
Из него выходят три отрезка. Чтобы пройти по каждому из этих отрезков, мы должны выйти из узла А по одному из них, в процессе обводки обязательно вернуться в него по другому отрезку и тут же выйти по третьему. А вот снова войти в этот узел мы уже не сможем! Значит, если начать обводку с узла А, то закончить в нём не удастся.
Допустим теперь, что узел А не является началом. Тогда в процессе обводки мы должны войти в него по одному из отрезков, выйти по другому и снова вернуться по третьему. А так как выйти из него мы уже не сможем, то узел А в этом случае должен являться концом.
Итак, узел А должен быть или начальным, или конечным узлом вычерчивания. Но про три других узла ыап1ей линии можно сказать то же самое. Однако как начальным узлом, так и конечным может быть только один из этих узлов. А значит, обвести эту линию одним росчерком невозможно.
Линию нельзя обвести одним росчерком^ если она содержит более двух узлов, в которых сходится нечётное число отрезков.
Какие линии, изображённые на рисунке 7, можно обвести одним росчерком, а какие нельзя?
б) в)
лс:;|
щ: ■•ti' i
J > •
I: - '
■■ -О.
■■
Рис. 7
ij
7'^
а) Можно ли согнуть каркас куба, изображённого на рисунке 8, из единого куска проволоки?
б) Можно ли сделать такой каркас из двух кусков проволоки, спаяв их в нескольких узлах?
Вспомните, как вы учились писать по прописям. Некоторые буквы вы писали, не отрывая ручки от бумаги, другие же нет.
а) Какие из букв, изображённых на рисунке 9, можно написать одним росчерком?
б) Придумайте свой способ написания букв Б, if. Ж, Ф, при котором их можно вычертить одним росчерком.
Рис. 8
Рис. 9
Магические квадраты
Существует предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно четыре тысячи лет назад, увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из чёрных и белых кружков на панцире (рис. 1).
■ ■ Г: * ' ....... •. .;
. - *■ '.-г..'-
: • •; ^ < j-. .
'• -Г
Рис. 2
Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков; получим таблицу, изображённую на рисунке 2.
Если сложить числа первой строки этой таблицы, получится 15. Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также числа третьей строки.
При сложении чисел любого столбца тоже получается 15. Такой же результат получается и при сложении чисел по диагоналям:
4 -н 5 -ь 6 - 15; 8 -н 5 -Ь 2 = 15.
Такие квадраты называются магическими квадратами.
73
'У..
.. i-. .• •;•
Впишите в пустые клетки квадрата ческим.
а)
Восстановите магические квадраты,
а)
3 15 14
13 16
10 11
8 12
л
.Чг-
; J<,;. •. .:•>••! j;
.. < .<.7 ^
А. Дюрер, Меланхолия. Гравюра на меди. 1514 г.
такие числа, чтобы квадрат стал маги-б)
18 14
15 л
16
х>'
б)
14 11
15 8 10 л <-
16 2 9 . А V-
13 12 2к_:_ ■>
в Знаменитый магический квадрат изображён на гравюре великого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия». Этот квадрат, составленный из чисел, записанных арабскими цифрами, выглядит так, как показано на рисунке 5. Интересно, что средние числа в нижней его строке изображают год создания гравюры — 1514. Возможно, Дюрер знал этот квадрат, а может быть, начав именно с этих чисел, смог найти остальные методом подбора.
.4^
с
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Рис. 5
■>*
&im^n
Убедитесь сами, что квадрат Дюрера является магическим, вычислив суммы по строкам, столбцам и диагоналям. Исследуйте другие свойства этого квадрата, посчитав сумму чисел центрального квадрата и каждого из угловых квадратов.
ь-
[jfr.-. ; . >
■V .• Ч'
Как же составляют магические квадраты? Составим, например, магический квадрат из чисел от 1 до 9, как тот, что изображён на рисунке 2, Для этого можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезёт, вы пол^^ите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 разных расстановок чисел в этом квадрате.
Гораздо интереснее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений.
Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.
Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трёх слагаемых от 1 до 9:
9 -Ь 5 -Ь 1 9 -Н 4 -h 2
8-16 + 1 8 + 5 + 2
8 + 4 + 3 7 + 6 + 2 7 + 5 + 3 6 + 5 + 4
1Ш:
Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в вьши-санных суммах 4 раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах 3 раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырёх мест, должно встречаться в суммах только 2 раза (строка и столбец).
Поскольку в полученных суммах 4 раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.
Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причём так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали: (2 + 5 + 8)=15,а4иб — на другой. Дважды в суммах встречаются числа 1, 3, 7 и 9. Их нужно поставить на свободные места, учитывая при этом, что сумма чисел в каждой строке должна быть равна 15.
Описанный способ даёт несколько разных магических квадратов. Например, число 8 можно расположить в любом из четырёх углов, что позволит получить разные по виду квадраты.
Составьте сами все 8 различных магических квадратов из чисел от 1 до 9.
Возьмите квадрат 4X4 и впишите в него числа от 1 до 16 по порядку. Теперь поменяйте местами числа, стоящие в противоположных углах квадрата. А затем поменяйте местами числа, стоящие в противоположных углах центрального квадрата. Если вы всё сделали правильно, должен получиться магический квадрат. Проверьте.
ПОСЛЕЦНЯЯ ЦИФРА
75
Г.
• •.'.•.•-•.к'!
Последняя цифра
Когда два числа складывают в столбик, последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, а остальные их цифры на неё никак не влияют. Точно так же при умножении последняя цифра результата зави-
сит только от последних.цифр множителей.
Поэтому при нахождения последних цифр сложного числового выражения, составленного из сумг^и произведений, многозначные числа можно заменять их последними цифрами. Например, найдём последнюю цифру суммы:
636 • 742 - 6573 • 7848 + 262 • 591 • 679.
Для этого сначала найдём последние цифры слагаемых. Получим 2, 4 и 8. Сумма 2 + 4 + 8 оканчивается цифрой 4, значит, последняя цифра данной суммы также 4,
Найдите последнюю цифру суммы или произведения: а) 151 + 152 + 153 + 154 + 155 + 156 + 157 + 158 - 159;
б) 151 • 152 ■ 153 • 154 -абб • 156 • 157 • 158 • 159;
в) 11 + 12 + 13 f 14 +++ 29; V"
г) 11 • 12 • 13 • ... • 29. ^
\V'
Найдите последние цифры значений выpaжeн^|^^^
а) 12 • 123 ^^13 ■ 134 + 14 ■ 145 - 15 • 156 +\1б • 167 + 17 • 178;
б) 154 • 628 + 814 • 318 + 774 • 458 + 314 ■ 398 + 654 • 218.
Ш Если в выражении имеется разность, то так просто решение может не получиться. Например, действуя таким же образом, мы получили бы, что последняя цифра выражения
5871 • 741 + 8403 • 4118 - 653 * 111 • 61673 есть 1 + 4-9, что невозможно. Но наше рассуждение можно подправить. Если занять у первого слагаемого десяток, то вместо 1 получим 11, тогда последняя цифра у заданного «большого числа» та же самая, что и у выражения 11 + 4 - 9, т. е. 6.
Найдите последние цифры значений выражений:
а) 12 • 123 - 13 • 134^14 • 145 - 15 • 156 +16 • 167;
б) 154 • 628 - 8Н • 318 + 774 • 458 - 314 • 398 + 654 • 218.
I Степень числа — это произведение одинаковых множителей. Поэтому последняя цифра степени определяется по^последней цифре основания степени.
Продолжите фразу:
а) Квадрат натурального числа может оканчиваться цифрами ....
б) Куб натурального числа может оканчиваться цифрами ....
а) Среди чисел 18 * 96, 22 * 88, 51 • 97 одно является квадратом натурального числа. Какое?
б) Какое из чисел 76 • 19, 98 • 18, 85 * 20 не является квадратом натурального числа?
•::;яНр
Ш Немного сложнее обстоит дело с делением. Так,
24 : 8 = 3, 64 : 8 = 8.
В обоих случаях делимое оканчивается на 4, а делитель — на 8, при этом частное в одном сл^'чае оканчивается на 3, в другом — на 8. Однако и в этом более сложном случае можно сделать некоторые выводы о последней цифре частного. Например, если делимое оканчивается на 4, а делитель — на 3, то частное обязательно оканчивается цифрой 8; при умножении последней цифры частного на последнюю цифру делимого 3 должно получиться 4, а таким свойством обладает только цифра 8. А если делимое оканчивается на 4, а делитель — на 6, то последняя цифра частного или 4, или 9, и никакая другая.
Замените многоточие любым числом так, чтобы получилось верное равенство (там, где это невозможно, объясните почему):
а) ...3 : ...8 = ...2; в) (,..3 : ...9 : ...7) - ...4 : ...3 - ...6.
б) ...4 : ...6 = ...4;
Какой цифрой оканчивается:
а) сумма всех однозначных чисел;
б) сумма всех двузначных чисел;
в) сумма всех трёхзначных чисел;
г) сумма всех стозначных чисел?
-'. J
-А
Какой цифрой оканчивается:
а) произведение всех однозначных чисел, не равных нулю;
б) произведение всех трёхзначных чисел;
в) произведение всех стозначных чисел?
Найдите первую, не равную нулю цифру справа в произведении:
а) первых семи натуральных чисел;
б) первых десяти натуральных чисел;
в) первых шестнадцати натуральных чисел;
г) первых двадцати натуральных чисел.
Найдите последнюю цифру:
а) 1999 • 1999 • 1999 • 1999 •
б) 2009^;
в) 999910.
1999 • 1999 • 1999;
Фигурные числа
Великий древнегреческий учёный Пифагор, родившийся в VI в. до н.э., и его ученики считали главной из всех наук арифметику — науку о числах. Изучение чисел у пифагорийцев было тесно связано с геометрическими фигурами. Они изображали числа в виде совокупности точек, образующих треугольники, квадраты и т. д. И со времён Пифагора стали использоваться такие названия, как «треугольные числа», «квадратные числа».
77
tijy
Познакомимся поближе с треугольными числами. Посмотрите на рисунок 1. На нём изображена последовательность равносторонних треугольников, составленных из одинаковых шариков.
Ъ 3
6
10
Л>
Рис. 1
1В
у
Каждый шарик — это единица; сколько шаров в треугольнике, столько и единиц в -числе. Числа, показывающие, сколько шаров содержится в этих треугольниках, и называют треугольными.
На рисунке 1 изображены первые пять треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15. Чтобы изобразить шестое число, надо к пятому треугольнику пририсовать ещё один ряд (в нём будет шесть шаров); чтобы получить седьмое треугольное число, надо пририсовать следующий ряд к шестому треугольнику и т. д.
Изобразите в тетради ;первые восемь треугольных затем выпишите
эти числа в ряд одно за другим. ^
А можно ли продолжить выписывать TpeyrOvTbHMe числа, не обращаясь к рисунку? Сделать это совсем просто, если понять правило, по которому каждое следующее число получается из предыдущего. Посмотрите ещё раз на рисунок: чтобы изобразить второе число, мы добавили к первому треугольнику 2 шара; чтобы изобразить третье число, мы добавили к предыдущему 3 шара; чтобы получить четвёртое число, к предыдущему треугольнику добавили 4 шара и т. д. Понятно, что если мы хотим найти, например, девятое треугольное число, то нам надо к предыдущему, т. е. к восьмому, треугольнику добавить 9 шаров.
Пользуясь замеченной закономерностью, выпишите в ряд первые пятнадцать треугольных чисел. ^ ^
а) Шары укладывают равносторонние треугольники. В пятнадцатом треугольнике 120 шаров. Сколько шаров в шестнадцатом треугольнике? в че-
тырнадцатом?
б) Заполните часть таблицы треугольных чисел.
-С
Номер числа 17 18 19 ^20 21 22 23 24 25
Треугольное число 210
Н А можно ли найти какое-нибудь треугольное число, не вычисляя всех предыдущих? Попробуем, например, найти иначе треугольное число под номером 10. Обратимся опять к изображению треугольных чисел в виде равносторонних треугольников. Понятно, что десятое треугольное число изображается в виде треугольника с 10 рядами, в которых содержится 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 шаров. Поэтому десятое треугольное число равно
1Н“2"ЬЗ-ь4Ч-5"Ьб4-7-1-8"(’9“Ь10 = о5.
< ?ЧА
P?iFf4r
~^$N s -С ' ^ '
Вообще треугольное число с номером п равно сумме последовательных натуральных чисел от 1 до п.
Например, треугольное число с номером 200 равно сумме
1 ч- 2 “Г 3 Н" ... + 198 + 199 + 200.
Чтобы найти эту сумму, вы можете воспользоваться известным вам «методом Гаусса». Получите число 20100.
Но можно рассуждать немного иначе. Запишем искомую сумму дважды, расположив слагаемые так, как показано ниже:
1 + 2 -ь 3 ч- ... 4-198 -I- 199 + 200 200 Ч- 199 Ч- 198 Ч- ... Ч- 3 Ч- 2 Ч- 1
Сумма каждой пары чисел, расположенных друг под другом, равна 201. Всего таких пар 200. Поэтому искомое треугольное число равно
(201 • 200) : 2 = 20100.
(Объясните, почему мы должны были произведение 201 - 200 разделить на 2.)
а) Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров?
б) Чему равно треугольное число с номером 35? с номером 50? с номером 1000?
Является ли треугольным число 64? число 91?
В каком порядке идут чётные и нечётные числа в последовательности треугольных чисел? Чётным или нечётным является число с номером 17, 18, 19, 20? Чётным или нечётным является число с номером 60, 78, 35?
Представьте число 35 в виде суммы нескольких треугольных чисел. Сделайте рисунок.
I Поговорим теперь о числах, называемых квадратными. На рисунке 2 изображены первые четыре квадратных числа: 1, 4, 9,
16. А как изобразить пятое квадратное число? Сделайте это.
Запишите в тетради первые десять квадратных чисел.
Найдите двадцатое, двадцать пятое и сороковое квадратные числа.
Представьте число 30 в виде суммы нескольких квадратных чисел. Сделайте рисунок.
I Великий древнегреческий учёный Диофант (III в. н.э.) нашёл закономерность, связывающую треугольные числа с квадратными числами: если треугольное число умножить на 8 и к произведению прибавить 1, то получится квадратное число. Коротко это можно записать так:
треугольное число * 8 -Ь 1 — квадратное число.
fe-
79
Проверьте эту закономерность для нескольких первых треугольных чисел. Вы видели, что треугольные числа получаются суммированием последовательных натуральных чисел. А квадратные числа получаются суммированием последовательных нечётных чисел. В самом деле,
1 + 3 — 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7= 16, 1 + 3 + 5+ 7+ 9 = 25 и т. д.
Г'
. : : ■.
Рис. 3
Вообще кеадратное число с номером п равно сумме первых п нечётных чисел.
Представьте в виде суммы последовательных нечётных чисел квадратные числа 81, 100, 169.
Разрезаем квадрат
' ^ - 2^’
В данном разделе вам предлагаются задачи на разрезание квадрата. Но это не означает, что при их решении вам потребуются ножницы. Здесь имеется в виду, что нужно начертить на клетчатой бумаге заданный в условии задачи квадрат и показать, как должна проходить линия разреза.
И ещё надо иметь в виду, что задачи на разрезание имеют, как правило, несколько решений.
Начертите в тетради какой-нибудь квадрат и разрежьте его прямой на два одинаковых: а) прямоугольника; б) треугольника.
Проведите ещё одну прямую так, чтобы разрезать квадрат на четыре одинаковые части.
Н Разрезать квадрат на части можно не только прямой, но и ломаной линией. На рисунке 1 ломаная, проходящая по сторонам клеток, разрезает квадрат со стороной 4 клетки на два одинаковых многоугольника, (Фигуры считаются одинаковыми, если их можно совместить друг с другом наложением.) Начертите в тетради квадрат со стороной 4 клетки и попробуйте найти ещё какой-нибудь способ разрезания такого квадрата на два одинаковых многоугольника.
А как разрезать такой квадрат на четыре одинаковых многоугольника (линии разрезов проходят по сторонам клеток)? Наш квадрат содержит 16 квадратов-клеточек. Понятно, что каждая часть должна состоять из четырёх клеток. Поэтому сначала можно найти все такие фигуры, состоящие из четырёх клеток, а затем попробовать разрезать квадрат на эти фигуры.
Рис. 1
а) Найдите все возможные фигуры, которые можно составить из четырёх одинаковых квадратов. Для этого начните с самого простого случая — «уложите» все четыре квадрата в один ряд, а затем рассмотрите другие варианты. Зарисуйте получившиеся фигуры. У вас должно получиться пять различных фигур,
б) Вырежьте по четыре экземпляра каждой фигуры (см. задание а) и попробуйте составить из них квадрат. Из каких фигур нельзя составить квадрат? Из каких фигур квадрат можно составить несколькими способами? Зарисуйте все вариант^разрезания квадрата со стороной\4 клетки на четыре одинаковые части.'
^4
Можно ли квадрат со стороной 5 клеток разрезать на две одинаковые части так, чтобы линия разреза проходила по сторонам клеток?
Разрежьте квадрат (рис. 2) на четыре одинаковые части, проводя линии разреза по сторонам клеток так, чтобы в каждой части ^ыло по одному крестику.
сО
а)
\ ! : XX б) X X ; L • : X
X X -4 1 X X X х;
1 X
1
Рис. 2
На какое наименьшее число квадратов вы можете разрезать квадрат со стороной 13 клеток, если разрезы следует проводить только по сторонам клеток? Наибольшее число, очевидно, равно 169 — числу отдельных клеток. Наименьшее число равно 1ч1. Попробуйте найти это решение^^^
Чётно нечётно
Напомним, что натуральное число, которое делится на 2, называется чётным, а которое не делится на 2 — нечётным. Важно знать, что всякое нечётное число равно сумме чётного числа и единицы.
О том, что числа бывают чётными и нечётными, люди знали очень давно. Ведь им приходилось раскладывать предметы на две равные части. Иногда это удавалось. А иногда нет — один предмет оставался лишним. Размышлять о свойствах чётных и нечётных чисел первым стал древнегреческий математик Пифагор (он родился в VI в. до н.э.). Он изображал числа точками, при этом у него получались картинки двух видов: у одних была «средняя» точка, а у других её не было (рис. 1).
81
> < >'3< i;
Ш.
Число 5
t- ik-
Число 6
Рис. 1
Пифагор обнаружил, что:
если сложить два чётных или два нечётных числа, то получится чётное число;
если сложить чётное и нечётное числа, то получится нечётное число.
Используя эти свойства, можно судить о чётности или нечётности сумм, содержащих несколько слагаемых.
Например, сумма 2 + 4 + 6 + 8-г... + 98-f 100, в которой все слагаемые — числа чётные, также является чётным числом. Это можно объяснить так: сложив два первых числа, мы получим чётное число; прибавив к нему следующее чётное число, мы опять получим чётное число и т. д.
Вообще сумма любого числа чётных слагаемых есть число чётное. Рассмотрим сумму 1+3 + 5 + 7- 9-11 + 13 — 15+17 + 19.
Все слагаемые в ней ~ нечётные числа, а всего слагаемых 10. Слагаемые можно объединить в пары: 1 + 3, 5+7 ит. д. Каждая такая пара даст в сумме чётное число, поэтому и вся сумма — чётное число.
Рассмотрим теперь сумму 1 + 3 + 5 — 7 + 9 — 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21, в которую входит 11 слагаемых. Если объединять слагаемые в пары, то одно нечётное число останется без пары. Поэтому вся сумма — нечётное число.
Вообще сумма, содержащая нечётные слагаемые, может быть как чётным, так и нечётным числом. Такая сумма является чётным числом, если число нечётных слагае.чых чётно. В противном случае такая сумма — число нечётное.
Чётным или нечётным числом является сумма:
а) 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29;
б) 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35;
в) 99 + 78 + 97 + 43 + 85 + 64 + 15 + 70?
Чётным или нечётным числом является сумма:
а) всех чисел от 1 до 100;
б) всех нечётных чисел от 1 до 90;
в) всех нечётных чисел от 1 до 49?
Я Ещё со времён Пифагора известны следующие свойства произведения натуральных чисел:
если в произведении один из множителей — число чётное, то и произведение является чётным;
если в произведении все множители — числа нечётные, то и произведение является нечётным.
Используя эти свойства, выполните следующие задания:
Чётным или нечётным числом является произведение: а) 11 • 13 • 15 • 17 • 19; б) 11 • 12 • 13?
ЧАСТЬ II
!•
Чётным или нечётным будут сумма и произведение:
а) простых однозначных чисел;
б) двух последовательных натуральных чисел;
в) пяти последовательных нечётных чисел?
Что можно сказать о двух числах, если известно, что:
а) их сумма чётна; г) их сумма нечётна;
б) их произведение чётно; д) их произведшие нечётно;
в) их сумма и произведение чётны; е) их сумма и произведение нечётны?
сР ..
Сумма трёх натуральных чисел — число четное. Четным или нечетным числом является их произведение? А что можно сказать о произведении трёх чисел, если их сумма — число нечётное?
Какой знак («+» или «—») стоит в выражении:
а) 87 - 86 + 85 - 84 2 + 1 перед числом 35;
б) 68 - 66 -Ь 64 - 62 - 2 перед числом 38?
В последовательности Натуральных чисел 1, 1, 2, 3,д5^8, 13, 21, ... каждое число, начиная'ус третьего, равно сумме двух пред1^дущих. Каких чисел больше среди первых 12 чисел этой последовательности — чётных или нечётных? Чётным или нечётным числом является число, стоящее в последовательности под номером: а) 15; б) 96; в) 1000?
«-S’
Построения на клетчатой бумаге
г '
.V ' W. .
i *•*■*.*.-
?
‘.V •
■ V.A .. . .i****’ *
Лист обычной бумаги в клеточку очень удобен для занятий геометрией. Многие построения на таком листе можно сделать проще, чем на листе нелинованном, и при этом обойтись лишь одной линейкой, причём даже не пользуясь её шкалой.
Задача 1. На клетчатой бумаге проведён отрезок АВ и отмечена точка С (рис. 1). Не пользуясь делениями линейки, постройте отрезок, равный отрезку АВ, один из концов которого — в точке С, а другойв узле сетки.
Отрезок АВ является диагональю прямоугольник^ выделенного на рисунке 2. Мы можем^поместить» этот пря-моугольник в любое место листа.
Очевидно, что при этом в прямоугольнике ничего не изменится.
На рисунке 2 построены два отрезка, равные отрезку AjB: это отрезки CD и СО. Продолжите построение отрезков, равных отрезку АВ, одним из концов которых является точка С. Попробуйте найти все такие отрезки
(их должно быть восемь). рис. 2
Рис. 1
В
D
1 j > т4 1
А , С
—
О
ПОСТРОЮИЯ НА КЛЕТЧАТОЙ БУЛЛАГЕ
Задача 2, Отрезки CD и СО на рисунке 2 образуют прямой угол. Объясните почему.
Это легко понять, рассмотрев рисунок 3. Если мы повернём верхний прямоугольник вокруг точки С на 90^ (рис. 3, а), то при этом повороте отрезок CD также повернётся на 90^ и перейдёт в отрезок СО. Значит, угол DCO прямой. Это можно объяснить и иначе. Из рисунка 3, б понятно, что Z DCO = ^ 1 -г Л 2.
Но если вы посмотрите на исходный прямоугольник, то увидите, что эта сумма равна 90°.
1) Проведён отрезок АВ и отмечена точка О (рис. 4).
Не пользуясь делениями линейки, постройте какой-ыиб^да отрезок, равный АВ, один конец которого расположен в точке О, а другой — в узле сетки.
2) Найдите все такие отрезки.
Постройте отрезок АС так, чтобы угол ВАС был прямым (см. рис. 5).
Отрезок АВ (рис. 6) — сторона квадрата. Постройте этот квадрат.
Луч ВС (рис. 7) — сторона угла. Постройте угол АВС, равный 45°. {Указание. Сначала постройте квадрат со стороной ВС.)
Отрезок АВ (рис. 3) — боковая сторона равнобедренного треугольника. Перенесите рисунок в тетрадь и постройте какой-нибудь равнобедренный треугольник со стороной ЛВ, вершины которого лежат в узлах квадратной сетки. Сколько таких треугольников можно построить?
Постройте какие-нибудь точки С и О так, чтобы у четырёхугольника АВСО были равны все четыре стороны (см. рис. 3).
Найдите середину отрезка АВ (рис. 9).
D D
\
W 1/
С С
1
о О
Рис. 3
1 ] 1
I ^ в "
-•
О
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 7
Рис. 9
ti
Находим НОД и НОК
% Г'' '1
( ,-, , ^^ ^ Ч •AJX*. .
Swcn*».!* *:• S:av..^ ? У.< -у\
Ь '. V/? '
r'^-l';::'.
Как известно, наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называют самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел. Если числа небольшие, то НОД нетрудно найти, перебрав все их делители. А если числа большие? Тогда для нахождения наибольшего общего делителя можно воспользоваться разложением на простые множители.
Пример 1. Найдём НОД (252; бЗО). ^
Разложим эти числа на простые множители, получим
252 = 2 • 2 • 3 • 3 • I, 630 = 2 • 3 • 3 • 5 • 7.
Выпишем все множители, которые входят в оба разложения: 2, 3, 3, 7. Наибольший общий делитель чисел 252 и 630 будет равен произведению этих множителей: НОД (252; 630) = 2 • 3 • 3 * 7 = 126.
Найдите наибольший общий делитель чисел: 875 и 1225Nj.^60, 132 и 240.
В Разложение на простые множители можно использовать и для нахождения наименьшего общего кратного.
JD ^
Приме^Г 2. Найдём НОК (126; 180). Разложим эти числа на простые множители:
126 = 2 • 3 • 3 • 7, 180 = 2
2 • 3 • 3 • 5,
Чтобы найти НОК (126; 180), выпишем все множители, входящие в разложение на простые множители первого числа, и добавим «недостающие» множители 2 и 5 из разложения второго числа. Получим
2 • 3 * 3 • 7 • 2 • 5 = 126 • 10 = 1260.
126
10
Таким образом НОК (126; 180) = 1260.
Найдите НОД (а^Д), и НОК (а; Ь), если а = 2^ • 3^ ■ Ъ'Л = 2^ • 3^ • ?2.
v^'
Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) i^64 и 1890; б) 24, 75 и 80.
23 47 59 121
Ср..ннте дроби: а) : б) — и —.
Найдите какое-нибудь число, расположенное между числами
41
19
и
1680 720
Числа а и 6 называют взаимно простыми^ если НОД (а; Ь) = 1. Покажите, что числа 50 и 189 являются взаимно простыми. Найдите НОК (50; 189). Чему равно НОК (а; Ь)^ если а и Ь — взаимно простые числа?
' i '
fS'
Ш
'-■■Л
i-:
г?
85
Старинные задачи на дроби
В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач на дроби. Решение каждой из них требует смекалки и сообразительности, умения рассуждать. Рассмотрим несколько примеров из старинных русских учебников арифметики.
Пример L Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: «Расстояние от деревни, из которой ты идёшь, равно трети всего расстояния между деревнями, А если пройдёшь ещё две версты, будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось идти первому путнику?
Решение, Две версты, которые нужно пройти первому путнику до середины
„ути „жду „.ре.„™и, соотавл,» | - -1
часть всего расстояния между
деревнями. Значит, расстояние между деревнями в б раз больше и равно
2 • 6 = 12 вёрст. Постольку к моменту встречи путник прошёл треть пути, 3
т. е. 12
4 версты, ему осталось пройти 12 - 4 = 8 вёрст.
Пример 2, Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй — за 2 года, третий — за 3 года, четвёртый — за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?
Решение, В знаменитой «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, вышедшей в России в 1703 г,, предложен такой способ решения этой задачи.
Посмотрим, сколько домов могут построить плотники за 12 лет. Первый плотник может построить 12 домов, второй — 6 домов, третий — 4 дома, четвёртый — 3 дома. Значит, всего они могут построить за 12 лет
12-1-6 + 4-1-3 = 25 домов.
12
Поэтому один дом вместе они построят за 12 : 25 = —— года.
25
Почему при решении задачи был выбран промежуток в 12 лет? Число 12 делится на каждое из чисел 2, 3 и 4, о которых говорится в задаче.
Из папируса Ахмеса (Египет^ ок, 2000 лет до н,э.).
Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
— Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
— Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде.
В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял
86
НАСТЬ II
C“<,%
??!?■
*^Гл-
■ ■''if\ov.<-j -,y^ ;
"* i \i^
;«.•.: .-.Wi.v'.r V V - >>••••• ' , < <
fi-Tg
Г *
'^f-^
Кшааам
стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвёртых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»
Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму де-
хт 1 ^
нег. На долю первого пришлась — этой суммы, на долю второго — у» ^ долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?
(Брахмагупта^ Индия» около 600 г.) Слониха, слонёнок и слон пришли к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3 ч, слониха — за 5 ч, а слонёнок — за 6 ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?
Из «Арифметики» Л,Ф. Магницкого (Россия» XVIII в.). Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
(Древняя Греция» Герои Александрийский» I в, н,э,) Бассейн может заполняться через четыре фонтана. Если открыть только первый фонтан, бассейн наполнится за день, только второй — за 2 дня, только третий — за 3 дня, только четвёртый — за 4 дня. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре фонтана?
Модели многогранников
Изготовить модель многогранника можно, как вы уже знаете, из его развёртки.
Но модель куба можно просто сложить из одной полоски бумаги. Это может быть плотная белая или цветная бумага, а также картон. Чтобы линии сгиба были более аккуратными и ровными, не забудьте наметить сгибы твёр-дьпуг карандашом, ножницами или другим острым предметом.
Рис. 1
8Т
1) На рисунке 1 показано, как можно сложить куб с длиной ребра 3 см из полоски бумаги шириной 3 см и длиной 21 см. Рассмотрите рисунок, вы-режите полоску бумаги указанного размера и сложите из неё куб.
2) Сколько квадратов должна содержать полоска бумаги, окрашенная с одной стороны в красный цвет, чтобы сложить из неё куб с шестью красными гранями?
I Оказывается, многогртнники можно сплести из нескольких полосок бумаги одинакового раздара. Полоски, как правило, берут разных цветов. Для плетения треугольной^ пирамиды достаточно двух таких полосок, а для куба — трёх. При этом нужно соблюдать два правила: во-первых, ни одно из рёбер не должно быть открытой щелью, а во-вторых, все цвета на поверхности модели должны быть представлены поровну.
Рассмотрим, например, как можно сплести треугольную пирамиду. На рисунке 2, а изображена, как вы уже знаете, развёртка пирамиды. Но если из неё свернуть пирамиду, то некоторые рёбра будут «открытыми». Чтобы избежать этого, нам и потребуется вторая полоска (рис. 2, б),
• Движением к себе слегка согните полоски по пунктирным линиям.
• Наложите одну полоску на другую так, чтобы у Hipc совпало по одному треугольнику (рис. 2, в).
• Согните нижнюю полоску в форме пирамиды,
• После этого верхней полоской оберните две. грани получившейся пирамиды, а последний концевой треугольник заправьте в образовавшуюся щель.
(\ ^
Изготовьте модель треугольной пирамиды описанным выше способом.
1) Возьмите 'щи'полоски бумаги разного цвета, одна из которых изображена на рисунке 3. Движением к себе слегка согните их по внутренним линиям. Теперь попробуйте сплести из этих прЛосок куб.
2) Существуют две возможности расположения граней одного цвета. В первом случае одинаково окрашенными оказываются противоположные грани куба, а во втором — соседние грани. Как на вашей модели расположились грани одного цвета? Сплетите ещё одну модель с иным расположением граней.
Рис. 3
2. в) 1 млрд < 1 000 000 001; г) 1 млрд 10 млн 100 тыс. < 1010 110000.
5. д) 1 кг 75 г < 1750 г; е) 1700 г = 1 кг 700 г. 6. г) 300 мин = 5 ч;
д) 2 мин 15 с > 125 с; е) 1 ч 30 мин 30 с < 90 мин 45 с. 8. 28; 35; 36.
9. а) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) 0; в) 0, 1, 2, 3, 4, 5; г) 5, 6, 7, 8, 9; д) 4, 5, 6,
7. 8. 9; е) 7, 8, 9. 11. аЬс, аЬсО, аЬсОО, аЬсООО. 12. а) 1 023 456 798;
б) 9 876 543 201. 13. 1) Квадрат, колокол, конус, куб, линия, ломаная,
луч, отрезок, прямая. 2) 82 946 575, 87 650 199, 89 977 747, 89 999 009, 90 121 911, 90 497 816. 3) Нет, нельзя. 16. а) 8 тыс.; 75 тыс.; 205 тыс.; 39 тыс.; 11 тыс.; 76 тыс., б) 12 млн; 9 млн; 2 млн; 13 млн. 17. а) 5 т; б) 4 т;
в) 1 кг; г) 1 кг. 18. а) 3 км; б) 3 км; в) 94 см; 1 м; г) 125 см; 1 м.
19. а) 985 м; 1 км; б) 1867 м; 2 км; в) 36655 м; 37 км. 20. 28 741570; 28741600; 28742000; 28740000; 28700000; 29000000; 30000000.
21. а) 635 и 644; б) 7250 и 7349; в) 2500 и 3499; г) 150000 и 24999.
22, Всего 6 способов: 0 + 10 = 1 + 9 = ... = 5 Н- 5. 23. а) 3 способа: 1 * 12 = 2 ■ б = = 3 ■ 4; б) 4 способа; в) 6 способов; г) 5 способов. 24. Всего 6 исходов. 25. 7 вариантов: 0123, 1234 и т. д. 26. 4 букета. 27. а) 6 вариантов; б) б чисел; в) 8 чисел (цифры могут повторяться). 28. а) 9 чисел; б) 6 чисел; в) 12 чисел. 29. 4 числа: 666, 566, 656, 556. 30. 10 отрезков. 31. 6 вариантов; они получаются перестановкой делсурств Кости, Нины и Тани. 32. 15 вариантов. Подсказка. Дайте номера членам этой команды от 1 до 6. 33. 15 чисел; самое большое число — 5310. Подсказка. Числа могут быть двузначными, трёхзначными, четырёхзначными; на конце каждого обязательно должна быть цифра 0.
37. а) 2228; б) 2263. 43. Вариант ответа 4. 46. а) 730 км; б) 72 км. 51. а) 853; б) 30; в) 67; г) 21. 52. а) 39; б) 35; в) 34; г) 84. 54. а) Хватит; б) не хватит. 55, а) 363 машины; б) 425 м. 56. Путь через Вороново. 57. а) В 5А 29 учащихся, в 5Б 33 учащихся, в 5В 31 учащийся; б) 7 жёлтых флажков, 15 красных, 12 синих, 10 зелёных. 63. а) 256; б) 543; в) 514; г) 312. 64. а) 1342; б) 563; в) 3456; г) 321. 65. а) 404; б) 903; в) 509; г) 308. 67. а) 99; б) 125; в) 98; г) 65. 68. а) 191126; б) 68; в) 505; г) 502500. 74. а) а ^ 52; б) г/= 900; в) х= 59; г) 6 = 202. 77. Первый. 80. а) 10 км, в 10 раз; б) 5 кг, в 10 раз; в) 30 ч, в 6 раз; г) 20 мин, в б раз. 82. а) 2020; б) 4500. 83. а) 1286006; б) 29751700; в) 4897200; г) 2412000. 85. а) 55555;
б) 22222; в) 12321; г) 4321. 86, а) 10009; б) 20008; в) 20202;
г) 10044. 89. а) 18; б) 432. 91. а) л: = 330; б) а = 61; в) л: =21; г) а = 40. 92. а) 39 м; б) 4 м 50 см. 93. а) Хватит; б) не хватит. 94. а) В 3 раза; б) в 4 раза. 95. а) 12 карандашей; б) 100 р. 97. а) 640 км; б) 8 ч. 98. а) 1 пядь -
18 см; 1 аршин ~ 72 см; 1 сажень ^216 см; б) 1 фут — 30 см; 1 ярд — ^ 90 см. 99. а) 36 км/ч; б) 108 км/ч. 102. а) 1160; б) 1061; в) 182; г) 1188.
103. а) 5383; б) 600; в) 5757; г) 9999. 104. а) 780; б) 1332; в) 2262; г) 80. 105. а) 1; б) 18; в) 20; г) 515. 106. Вариант ответа 2. 107. а) 336; б) 399;
в) 4800; г) 17. 109. а) 312 км; б) 168 км. 110. а) 3 ч; б) 6 ч. 111. а) 1200 м; б) 100 м/мин, 112, а) 137 км; б) 105 км. 113. а) 71; б) 322954; в) 11650;
г) 30540. 114. а) 3880320; б) 17699; в) 33920; г) 781288. 115. а) 131; б) 86476; в) 5651; г) 3080. 116. а) На б дней; б) на 1 час, 117. а) На расстоянии 33 км; б) на расстоянии 205 км. 118. а) Нет; б) 20 шаров. 119. а) 100 г и 20 г; б) 34 р. и 26 р. 120. а) 14 200 р.; б) Петя — 28 кг, Коля — 27 кг. Слава — 31 кг. 122. Вариант ответа 3. 130. а) 10; 10^; 10^; 10"^; 10^; ...; б) 10; 100; 1000; 10000; 100000; ... . 131. а) Это последовательность
квадратов натуральных чисел; следующие три числа: 25; 36; 49. Сотое число: 100^ = 10 000; б) это последовательность кубов натуральных чисел; следующие три числа; 64; 125; 216. Сотое число: 100^ = 1000000.
133. а) 548; б) 905; в) 2873; г) 1302. 134. а) 48; б) 96; в) 3; г) 2. 135. а) 1410;
б) 125; в) 675; г) 324. 136. а) 52; б) 1; в) 19; г) 594. 137. а) 18000; б) 6050;
в) 961; г) 2200. 138. а) 55; б) 225. 150. а) Через 3 ч; б) через 2 ч. 151. а) 510 км; б) 40 км. 152. а) 1 км; б) на расстоянии 140 км; на расстоянии 280 км. 153. Через 2 ч. 155. а) Через 4 ч; б) через 5 мин. 156. 90 км/ч. 157. Через 2 ч и через 3 ч. 158. а) 3 мин; б) 600 м. 161. а) За 5 ч; за 8 ч; б) за 4 мин; за 7 мин. 162. а) Путь против течения реки; на 1 ч.; б) 6 ч.
163. а) 44 км; б) 1380 м. 164. а) За 5 ч; б) 88 км. 165. а) 5 км/ч; 6 ч;
б) 18 мин. 166. а) 2 км/ч; б) 17 км/ч. 167. а) 3 км/ч; 18 км/ч; б) 3 км/ч; 5 км/ч. 168. 3 км/ч; 25 км/ч. 169. За 12 ч. 170. а) 80; б) 80; в) 100; г) 130. 171. а) 143; б) 255; в) 173; г) 321; д) 183; е) 441. 172. а) 1600; б) 1200;
в) 1100; г) 1800. 173. а) 990; б) 210; в) 1700; г) 6900. 174. а) 210; б) 420;
в) 1100; г) 1200. 175. а) 900; б) 4000. 176. а) 120; б) 90; в) 210; г) 680; д) 74;
е) 104. 177. а) 630; б) 3700; в) 250; г) 450. 178. а) 1056; б) 924; в) 1164; г) 2985. 179, а) 546; б) 480; в) 1247; г) 720. 180. а) 1250; б) 960; в) 850; г) 700.
181. а) 2100; б) 140;. в) 3000; г) 1200. 182. а) 1275; б) 1775; в) 2500; г) 1395. 183. а) 16; б) 30; в) 40; г) 50. 184. 16. 185. а) 12; 6)^6. 186. 1) 3 кг 900 г; 2) 3 кг. 187. а) Воды — 350 г, жира — 140 г, сахара — 210 г; б) творога — 640 г, муки? сметаны и сахара — по 120^^’C''i88. 72 ц. 189. 4 кг 200 г.
190. а) 14 орехов и 42 ореха; б) 64 волейбольных и 16 баскетбольных мячей.
191. а) 36 тетрадей; б) на верхней полке стояло 4 >^ебника, на нижней — 16 учеб-
Ш1КОВ. 192. а) 51 страницу; б) 34 м. 193. а) В коробках было по 18 кусков мела; б) 3 л и 2 л. 194. а) В маленьком 55 г, в большом 110 г; б) в маленькой 4 карандаша, в большой 8 карандашей. 195. а) 51 год. 196. а) 78 юношей и 39 девушек; б) газета 9 р., а журнал 34 р. 197. а) 225 и 207; б) 203 и 334.
198. а) 175 = 87 + 88; б) 193 = 97 -н 96. 199. а) 8 книг и 4 книги; б) 18 и
12 спортсменов. 200. 2) 4 шара по 25 р. и 6 шаров по 40 р. 201. 14.
202, б) 15 трёхколёсных и 5 двухколёсных. 203. а) 16 мальчиков.
204. а) В первой бочке было 35 вёдер, во второй — 5 вёдер. 205, а) 1, 3, 5, 7; б) 1, 2, 3, 4, 6, 12; в) 1, 2, 3. 4, 5, 6, 12, 30; г) 1, 2, 4, 5, 7.
208. а) 1, 3, 5, 15; б) 1, 8, 7, 21; в) 1, 2, 4, 7, 14, 28; г) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48; д) 1, 2,^4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. 209. а) НОД (9; 12) = 3;
б) НОД (12; 18) ^ 6; в) НОД (30; 36) = 6; г) НОД (18; 28) = 2. 210. 2) Если а
делится на Ьрто НОД (а; Ъ) = Ь, 213. а) Да; б) нет; в) да; г) нет 214. а) 24, .48, 96, 120; б) 24, 48, 96, 120; в) 24, 36, 48, 84, 96, 120; г) 24 48, 96, 1207 215. а) НОК (10; 15) = 30; б) НОК (8; 12) = 24; в) НОК (6; 10) = 30
г) НОК (12; 15) = 60. 216. б) Если а делится на Ь, то НОК (а; Ь) = а 218. а) Общие делители; 1, 2, 4, 7, 14, 28; НОД (84; 56) = 28; б) общие де лители: 1, 3, 5, 9, 15, 45; НОД (225; 180) = 45. 219. а) НОК (4; 6; 12) = 12
б) НОК (3; 4; 18) = 36; в) НОК (3; 6; 9) = 18; г) НОК (10; 16; 40) = 80
д) НОК (6; 9; 10) - 90; е) НОК (12; 15; 20) = 60. 220. а) Только 0; б) 5 или 0
в) любая; г) 6, 2, 8, 4, 0; д) любая. 221, а) 25, 50, 75, 100; б) 5, 15, 25, 75
в) 20, 40, 100; г) 5, 10, 15, 25, 50, 75; д) 5, 10, 20, 25, 50, 100; е) 20, 100 224. а) 1134; б) 120; в) 5445. 225. а) 2 • 3 • 37; б) 2^ • 3 • 37; в) 2 • 32 • 37; г) 3^ • 37
227. а) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; б) 1, 2, 3, 6, 9, 18.
228. 30 = 7 + 23 = 11 + 19 == 13 -h 17. 229. Например, 12 = 17 - 5. 231. в) На
2 и на 3; г) на 2, на 5, на 10 и на 3. 232, а) На 3 делятся числа; 723, 918, 8025, 7776, 405, 1236, 711; на 3 и на 2 делятся числа: 918, 7776, 1236; на
3 и на 5 делятся числа 8025, 405. 233. а) Это может быть любая чётная цифра; б) это цифра о или 5; в) любая из цифр 0, 3, 6 или 9; г) это только цифра 6. 235. а), г), д), е) Делится; б), в) не делится. 237. а) 998; б) 999; в) 996;
г) 990. 238. Любую из цифр 2, 5 или 8. 239. Всего 5 способов: 8100, 6102, 4104, 2106, 9108. 240. Нет, неверно. 243. а) 1023457896; б) 1023468975.
244. а) 9876543120; б) 9876432150. 246. а) Делится; б) делится; в) не делится.
254. а) 26 страниц; б) 16 страниц. 255. а) 6 игр; б) 6 игр. 266. а) 12 мин; б) 54 мин. 267. а) 28 подарков; б) 48 объявлений. 272. 25 рябин. 273. За
13 2 5
25 с. 274. 32 км. 275. а) 10 книг; б) 22 диска. 297. а) б) в) г) --.
5 4 5 о
1 1 9 14 1
298. а) —; б) —; в) —; г) —, 299. а) Дом занимает — площади участка, цвет-5 9 10 5 12
ник — —, сад
JL ^
5 5 „„ 13 26 11
15- - 12- “> ЙГ155- 2j"l20
55 8 64
; б) — =
45 360
3 27 4 32 7 63 5 15 7 49 ^ ^
40 360 ’ 27 216 24 216 84 252 36 252
мобиль; б) вторая команда.
328. д) i е) |. 329. в) г) 1. 330. .) |, г) |. 332. в) g; г) 335. .) ||;
Ъ •> п' т1- 55- *' 1- S' S'
■> h S' “> S' " S' S' S' ■' I' «S-
2-, 3-, 2-, 10-. 353. a) ЛВ = BC = CD = 3-^cm; 6) ^B = BC = 4-^дм. 4 3 3 2 3 2
355. a) 5100 m, 3200 m, 7500 m; 6) 2700 m, 4600 m, 7150 m. 356. 6) 5^ кг,
5
2^ кг, l| кг. 357. б) 1^ ч, 2-| ч, 1 j ч. 358. в) 1^; г) 1^. 359. в) з|;
Г) sf- »> 4' ‘S' "S' ‘iS' "S' '■> “S'
7 19 3 21
362. 2— кг= 2 кг 350 г. 363. 2— км. 364. 3- ч. 365. а) 1, 1-, 2—, 3,
з|; п|; б) 4|. 369. в) г) 2|. 370. в) 1^; г) 4j. 371. а) 3^; б)
в) 7^-, г) 3^. 372. в) 3^; г) 4^. 373. в) 2^; г) з|. 374. а) з|; б) 2^;
Lti. У УО О''
в) 3^; г) 6^. 375. в) г) 2-^. 376. в) 3^; г) 4^. 377. а) 1:^; б)
19 1 9 ^ 3 31 ^ 35 23
в) —; г) 7—. 378. б) 12— км/ч, 10— км/ч. 379. а) 2—^б) —; в) 2—;
24
77
90
г) 380. б) 4i s'l, з|; 2б|. 381. б) 4^ ч.^.?8£Л) М, g, X
20
21
О:" С
i- '14-'»т - 4- **»• 5S- »> I- *<«*■ '> 2. -)
е) 5. 387. в) 20; г) 10. 388. в) 4^; г) 1^. 391. б) 145 мин; в) 225 мин.
3 2
1 2 1. 1319 1 1 3
394. 1— кг. 396. 1, 1^/ 2“, 3—, 8—. 399. а) 4— м и 13— м; б) 11— кг
4 3 4 8 24 2 2 5
о 1 о о • 1Л 1
2 1 9 Q O^ 1ft 1
и 46- кг. 402.а4- кг. 403. 7— м. 405. б) 22-^ 410. а) —; б) 2-;
5 ^>2 10 ^ 35’ 2’
1 .. ci с® 1
в) 1—; г)\1—. 412. б) 36 упаковок. 413. б) 6 посылок. 417. б) 2— ч. 5 10 2
37 1 6
418. б) 100 календарей. 419. а) 6 мин; б) 12 мин. 421. а) —; б) —; в)
36 ®
8
"""■ '> й- ”»‘I- •> ■> W “>
в) 125. а) 4; б) А; в) 8§. 426. .) L б) .) 1^. 427. а) si; 6)
25
в) 4. 428. а) l|i; б) 3^.0429. (8 - 2-) : 2 = 2-^ (м). 432. а) 47; б) 14 16 8 5 10
16 ' 8
1 а 11 7 4 1Q
433. а) -; б) ^ 434. а) 1—; б) 11—. 435. а)х45>б) 1-. 436. а) 8—;
О^'
#
7 ^ 1 С/'^
б) 50—; в) 20; г) 1. 439. а) 1— ч, 72 мин; б) — ч, 50 мин. 440. а) 64 р.;
9 5 6
б) 75 см; в) 49 лет. 441, б) 6 м^. 442. а) 140 страниц; б) 50 слов.
444. а) 60 лет. 446. а) 300 страниц; б) 2 ч. 447. а) 100 км; б) 9 км.
448. 2) а) 48 кг; б) 139 кг; в) 159 кг. 450. а) 28; б) 46-й; в) 42-й и 44-й; г) 40-го на
5 штук. 460. а) Лиственницы, они оставляют — часть всех хвойных пород;
2
б) сосен больше, чем елей, в 2 раза.
Обводим линии
1. а) В узле С; б) да; нет. 2. Узлы В ж D, Ъ. Можно обвести линию на рисунке 7в, нельзя — линии на рисунках 7а и 76. 6. а) Нет; б) нет.
Магические квадраты
а)
См. рис. 1. 2
2 7 6
9 5 1
4 3 8
б)
Рис, 1
а)
4 5 14 11
1 15 8 10
16 2 9 7
13 12 3 6
б)
18 13 14
11 15 19
16 17 12
3 2 15 14
13 16 1 4
10 11 6 7
8 5 12 9
Рис. 2
Последняя цифра
1. а) 5; б), в), г) 0. 2. а) 6; б) 0. 3. а) 6; б) 2. 4. а) 0, 1, 4, 5, 6, 9; б) 0, 1,
2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 5. а) 22 • 88; б) 85 • 20. 7, а) - г) Цифрой 5. 8. а) -
в) Цифрой 0. 9. а) 4; б) 8; в) 8. 10. а) 9; б) 9; в) 1.
Фигурные числа
3. а) 325; б) 325; 1275; 500500. 4. Нет; да. 5. Числа с номерами 17, 18, 78 —
нечётные; числа с номерами 19, 20, 35, 60 — чётные. 6. 35 = 1 + 3 Н- 6 + 10 + + 15. 7. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 8. 400, 625, 1600. 9. 30 - 1 + 4 +
+ 9+16. 10. 81 = 1 + 3 + ... + 15 + 17; 100 - 1 + 3 + ... + 17 + 19;
169 = 1 + 3 + ... + 23 + 25.
Разрезаем квадрат
2. а) См. рис. 3. б) нельзя составить квадрат из фигуры д, 3, Нельзя, так как этот квадрат состоит из 5*5“ 25, т. е. нечётного числа, квадратов. 4. На рисунке 4 изображено по одному решению для каждого случая. 5. Будем разрезать данный квадрат на как можно большие квадраты. Начертим по одной его стороне квадраты со сторонами, равными 7 и 6 клеткам, и еш;ё один квадрат со стороной 6 клеток по другой его стороне (рис. 5, а). У нас получилось 3 квадрата, и остался неразрезанным квадрат со стороной 7 клеток с вырезанной угловой клеткой, итого 48 клеток. Можно построить еш;ё один квадрат со стороной 6 клеток, но тогда останется много квадратов со стороной 1 клетка: 48 - 6 • 6 = 12 квадратов. Ек;ли построить квадрат со стороной 5 клеток, останется 48 - 5 * 5 = 23 клетки, и далее можно будет строить квадраты только со сторонами 2 и 1 клетка. Попробуем построить как можно больше квадратов со
ЧАСТ
стороной 2 клетки (в него входит 4 клетки). В лучшем случае их будет 5, и ещё останется 3 клетки (23 == 4 • 5 + 3). Одно из таких решений изображено на рисунке 5, б. Но при этом всего у нас получилось 4 + 5-1-3 = 12 квадратов. Построить квадрат со стороной, равной 4 клеткам, можно разными способами. На рисунке 5, в приведено решение, которое также содержит 12 квадратов, а на рисунке 5, г — 11 квадратов. Завершая решение задачи, можно записать выражение для площади большого квадрата как суммы площадей квадратов,
его составляющих: а)
169 = 13^ = + 2 ‘ б2 + 4^ + 2 • 3^ + 3 • 2^ + 2 * 12.
б) в) г) д)
Рис, 8
Рис. 4 б)
П ^ '
1
i 6
7 '
' 1 - '--1
! 2
1 1
1 i|i
6 3
5
—
1 - 1 ■ i '
1 ' ^ —
7. ! J
, 1
1 2 2
:'г -1- !-. i ! 2 3 "Т U
■ !б —— 1
3
)
Рис. 5
Чётно или нечётно?
1. а) Чётным; б), в) — нечётным. 2. а) Чётным; б), в) — нечётным.
3. а) Нечётным; б) чётным. 4. а) И сумма и произведение — чётные числа; б) сумма — нечётное число, произведение — чётное число; в) и сумма и произведение — нечётные числа. 5. а) Эти числа оба чётные или оба нечётные; б) хотя бы одно из чисел чётное; в) оба чётные; г) одно из чисел чётное, а другое нечётное; д) оба числа нечётные; е) такого не может быть. 6. Если сумма трёх чисел есть число чётное, значит, либо все три числа чётные, либо одно чётное, а два нечётных. В любом из этих случаев произведение трёх чисел будет чётным. Если сумма трёх чисел есть число нечётное, значит, либо все три числа нечётные, либо одно нечётное, а два чётных. В первом случае произведение будет нечётным, а во втором — чётным.
Построения на клетчатой бумаге
1. См. рис. 6. 2. См. рис. 7. 3. См. рис. 8. 4. См. рис. 9. 5. См. рис. 10, Два треугольника — АВС и ABD. 6. См. рис. 11. 7. См. рис. 12.
Рис. 11
Находим НОД и НОК
1. а) 875 = 5 • 5 ‘ 5 • 7; 1225 = 5 * 5 • 7 • 7; НОД (875; 1225) = 5-5*7 = 175; б) 60 = 2 ■ 2 • 5 • 3; 132 = 2 • 2 • 3 • 11; 240 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5; НОД (60; 132; 240) = = 2 • 2 • 3 = 12. 2. НОД (а; Ъ) = 2^ • 3^ • 7, НОК (а; 5) = 2^ • 3^ • 7^.
3. а) НОК (1764; 1890) = 26460; б) НОК (24; 75; 80) = 1200. 4. Разлолсим знаменатели дробей на простые множители: 126 = 2 * 3 * 3 - 7; 330 = 2 • 3 ■ 5 * 11.
Приведём дроби к общему знаменателю: 47 • 3 • 7
23 • 5• 11
2 • 3 • 3 • 5 • 7 * 11
126 2 * 3 • 3 • 5 • 7 • 11 ’ 330
Сравним числители дробей: 23 * 5 * 11 = 1265, 47 • 3 * 7 =
23 47
= 987, 1265 > 987, следовательно, >----------. 5. 1680 = 2^ * 3 * 5 * 7, 720 = 2^
126 330
• 52 • 32 • 5, НОК (1680; 720) = 2*^ • 3^ • 5 • 7 - 5040;
19 19 • 7 133
41
720 5040
133^
Возьмём, например, число
______« * 3
1680 5040
130 13 Г123
123
5040
__
540 540
540
5040 ' ‘ 5040 504
. 6. 50 = 2 • 52, 189 = 32 • 7, НОК (50; 189) = 2 • 3^ • 52 * 7 = 50 • 189 -
= 9450. Если а и Ь — взаимно простые числа, то НОК (а; Ь) = а * Ь. Старинные задачи на дроби
2 12 2
1. Две трети от трети — это — * — = — всего скота, 70 быков — это — ста-
3 3 9 9
2 9
да, значит, всего в стаде 70 : — = 70 — = 315 быков.
9 2
2. После того как женщина поделилась с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок, или половина того, что было перед этим. Значит, перед тем как она поделилась с четвёртым стражником, у неё было 20 яблок. Аналогично, перед тем как она поделилась с третьим стражником, у неё было 40 яблок, со вторым стражником — 80 яблок и, наконец, перед тем как она поделилась с первым стражником — 160 яблок. Значит, собрала она 160 яблок.
1 1 17
3. На долю третьего пришлось 1 - — — у = — выигрыша, или 17 флоринов.
17
Значит, весь выигрыш состав1-1Л 17 : — = 28 флоринов. 4. За 30 ч слон выпьет
28
10 озёр, слониха — 6, слонёнок — 5, а вместе они выпьют 21 озеро. Значит, одно озеро втроём они выпьют за 30 : 21
10 3
-_ = 1_ ч. 5. За б меся-
цев лошадь съест 6 возов сена, коза — 3 воза, овца — 2 воза, а вместе они съедят 11 возов. Значит, все вместе один воз сена они съедят за месяца.
6, За один день первый фонтан наполнит бассейн полностью, второй — на половину, третий — на треть, четвёртый — на четверть, а всего за день они , 1 1 1 25
наполнят + “ 7^ оассейна. Значит, если открыть все четыре
^ о Ч у. и
^ , 25 12
фонтана одновременно, бассейн наполнится за 1 : — = — дня.
12 25