Математика 6 класс Учебник Козлова Рубин часть 1

Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» С.А. Козлова, А.Г. Рубин МАТЕМАТИКА 6 класс • Часть 1 Москва Б/ЛЧХ 2015 УДК 373.167.1:51 ББК 22.14я721 К59 Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» шкт Совет координаторов предметных линий Образовательной системы «Школа 2100» -лауреат премии Правительства РФ в области образования за теоретическую разработку основ образовательной системы нового поколения и её практическую реализацию в учебниках На учебник получены положительные заключения по результатам научной экспертизы (заключение РАН от 14.10.2011 № 10106-5215/610), педагогической экспертизы (заключение РАН от 24.01.2014 № 000363) и общественной экспертизы (заключение НП «Лига образования» от 30.01.2014 № 170) Руководитель издательской программы -член-корр. РАО, доктор пед. наук, проф. Р.Н. Бунеев Козлова, С.А. К59 Математика. 6 кл. : учеб. для организаций, осуществляющих образовательную деятельность. В 2 ч. Ч. 1 / С.А. Козлова, А.Г. Рубин. - Изд. 2-е. - М. : Баласс, 2015. -208 с. : ил. (Образовательная система «Школа 2100»). ISBN 978-5-85939-983-3 ISBN 978-5-85939-876-8 (ч. 1) Учебник «Математика» для 6 класса соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. Является продолжением непрерывного курса математики и составной частью комплекта учебников развивающей Образовательной системы «Школа 2100». Учебник ориентирован на развитие мышления, творческих способностей ребёнка, его интереса к математике, функциональной грамотности, вычислительных навыков. В нём рассматриваются элементы стохастики и способы решения некоторых занимательных и нестандартных задач. Может использоваться как учебное пособие. УДК 373.167.1:51 ББК 22.14я721 Данный учебник в целом и никакая его часть не могут быть скопированы без разрешения владельца авторских прав ISBN 978-5-85939-983-3 ISBN 978-5-85939-876-8 (ч. 1) © Козлова С.А., Рубин А.Г., 2010, 2012 © ООО «Баласс», 2010, 2012 КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ Вы продолжаете изучать предмет «Математика». Учебник Образовательной системы «Школа 2100» поможет вам в развитии умений (действий), которые необходимы в жизни. Напоминаем, что эти умения, или действия (они называются универсальными), развиваются через специальные задания, обозначенные в учебнике кружками и фоном условных знаков разного цвета. Каждый цвет соответствует определённой группе умений: 1 организовывать свои действия: ставить цель, планировать работу, дей-^' ствовать по плану, оценивать результат; работать с информацией: самостоятельно находить, осмысливать и использовать её; общаться и взаимодействовать с другими людьми, владеть устной и письменной речью, понимать других, договариваться, сотрудничать. Так обозначены задания, где нужно применить разные группы умений, мы называем их жизненными задачами и проектами. □ □ © Зачем мы будем учиться? Изучая математику в 6-м классе, вы освоите новый вид дробей - десятичные дроби, научитесь выполнять арифметические действия с ними; будете решать задачи на пропорции и проценты; познакомитесь с подобием геометрических фигур; более глубоко поработаете с понятием масштаба; изучите отрицательные числа, научитесь выполнять арифметические действия с ними. Вы получите первоначальное представление о действительных числах, научитесь решать более сложные задачи на перебор возможных вариантов и вычисление вероятностей, познакомитесь с новым геометрическим материалом: центральной и осевой симметрией, многогранниками, их развёртками и сечениями, задачами на разрезание и составление фигур. Это поможет вам стать увереннее в себе, добиться успехов при решении возникающих в жизни задач, так как при этом очень часто нужно иметь дело с числами и фигурами! Задания на развитие предметных умений обозначены в учебнике серым цветом. Как мы будем учиться? Для успешного изучения математики и овладения универсальными умениями на уроках открытия нового знания используется проблемный диалог (образовательная технология). Структура параграфа, где вводится новый материал, имеет в учебнике следующий вид. Вспоминаем то, что знаем Так обозначены вопросы, задания и упражнения по изученному материалу, который необходим для открытия нового знания. 3 Открываем новые знания Ученики, проводя наблюдения, ищут решение и формулируют свои предположения о том, как решается данная задача, формулируют ответы на поставленные в учебнике вопросы. Отвечаем, проверяем себя по тексту Ученики читают, анализируют текст учебника, сопоставляют его со своими предположениями, проверяют правильность своих ответов на вопросы и сделанных на их основании выводов. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности. Н П М Необходимый уровень. Эти задания должны уметь выполнять все учащиеся. Они помогут вам понять, усвоены ли основные понятия и факты, умеете ли вы применять их к решению стандартных задач. Повышенный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят усовершенствовать свои знания. Они требуют более глубокого усвоения учебного материала, для их решения, наряду с использованием уже известных вам приёмов и алгоритмов, может понадобиться создание собственных алгоритмов. Максимальный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят научиться решать более сложные, нестандартные задачи. Работа над ними может потребовать значительных усилий, изобретательности и настойчивости. При этом выполнение всех содержащихся в учебнике заданий ни на каком из уровней не является обязательным! Они выбираются в соответствии с возможностями и потребностями учащихся под руководством педагога. Структура параграфа, где повторяются и обобщаются знания, имеет в учебнике следующий вид. Повторяем, обобщаем знания Так обозначены вопросы, задания и тексты по изученному и обобщаемому материалу. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности, о которых сказано выше. 4 [Щ] Ориентироваться в учебнике тебе помогут условные обозначения Проблемный вопрос. Это нужно прочитать и использовать полученную информацию в дальнейшей работе. Работа в группе (паре). Задания для домашней работы. Задания с использованием информационных технологий. Самостоятельная исследовательская работа. Жизненные задачи и проекты Помимо обычных учебных заданий разного уровня сложности, в учебник включены жизненные задачи и проекты. Ими можно заниматься в свободное от уроков время в группах или индивидуально. Что такое жизненная задача? Жизненная задача - это модель реальной ситуации, для разрешения которой необходим набор математических знаний, к этому моменту вам уже в основном известных. При этом жизненная задача отличается от привычных всем школьных учебных задач. Это отличие, прежде всего, заключается в том, что для её решения вам может понадобиться дополнительная информация, которую придётся добывать самим, причём, какая именно информация нужна, вы должны решать сами и самостоятельно искать источники этой информации. В случае затруднений вы можете обратиться к старшим товарищам, учителю или другим взрослым. В условии жизненной задачи также могут содержаться избыточные данные. Ведь в жизни чаще всего так и бывает: когда пытаешься разобраться в ситуации и анализируешь, что тебе о ней известно, то далеко не вся эта информация пригодится, значительная её часть, как постепенно выясняется в ходе анализа, не имеет отношения к делу. Кроме того, для решения жизненной задачи будут необходимы знания не только из области математики, но и других изучаемых вами областей (как это и происходит в реальной жизни). Таким образом, систематическое решение жизненных задач даст вам возможность не только углубиться в математику, увидеть взаимосвязь математики и других областей знаний, но и совершенствоваться в умении самостоятельно работать с информацией. Жизненные задачи, как принято в учебниках Образовательной системы «Школа 2100», оформлены следующим образом. СИТУАЦИЯ. Условия, в которых возникла проблема. ВАША РОЛЬ. Человек, в роли которого вы должны себя представить, решая проблему. 5 ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Более подробная характеристика ситуации. ЗАДАНИЕ. Что нужно сделать или что нужно получить в итоге. Что такое проект? Это любое самостоятельное дело, которое предполагает: 1. Оригинальный замысел (цель). 2. Выполнение работы за определённый отрезок времени. 3. Конкретный результат, представленный в итоге (мероприятие, решение проблемы, результат самостоятельных исследований и др.). Проектная деятельность даст вам возможность научиться работать в команде, распределять роли таким образом, чтобы наиболее эффективно использовать сильные стороны каждого, участвовать в мозговых штурмах и других формах коллективной интеллектуальной деятельности, представлять результаты своего труда в форме доклада, презентации, инсценировки и т.д. Предполагается, что проекты будут выполняться в свободное от уроков время. Они не являются обязательными. Что вы будете изучать и чему учиться в этом учебном году Раздел I. Повторяются известные вам обыкновенные дроби и изучаются дроби нового вида - десятичные дроби. Изучаются новые геометрические понятия -смежные и вертикальные углы, параллельность, центральная симметрия и решаются связанные с ними задачи. Раздел II. Изучаются очень важные в многочисленных практических применениях понятия пропорции (и связанные с ним понятия прямой и обратной пропорциональности величин, масштаба, подобия) и процента. Решаются разнообразные задачи на пропорции и проценты. Раздел III. Изучаются новые числа - отрицательные (сначала целые отрицательные, которые вместе с натуральными числами и нулём образуют множество целых чисел, а затем отрицательные дроби, которые вместе с положительными дробями и нулём образуют множество рациональных чисел). Изучаются правила выполнения действий с целыми и рациональными числами. Раздел IV. Даётся понятие о действительных числах, о нахождении длины отрезка и длины окружности. Рассматриваются геометрические задачи на клетчатой бумаге, на разрезание и составление фигур, а также на многогранники, их развёртки и сечения. Более глубоко, чем в пятом классе, изучаются задачи на перебор возможных вариантов и вычисление вероятностей. Каждый раздел соответствует одной учебной четверти. Особенности структуры учебника В начале каждого раздела вы будете планировать свою работу (намечать путь продвижения по материалам раздела), затем в соответствии с этим планом получать необходимые вам новые знания и умения и в конце - оценивать свои достижения. 6 При этом мы предлагаем вам на выбор три пути разного уровня сложности. Путь первого уровня состоит из входного теста, основных обучающих материалов и итогового теста. Путь второго уровня состоит из входного теста, основных обучающих материалов, жизненной задачи и итогового теста. Путь третьего уровня состоит из входного теста, основных обучающих материалов, задач для любителей математики, жизненной задачи и итогового теста. Давайте разберём, что представляет собой каждый из этапов, входящих в перечисленные выше пути. Каждый путь включает входной тест, основные обучающие материалы и итоговый тест - это минимальный набор этапов. Этот набор входит в каждый из путей. При этом основные обучающие материалы каждого раздела разбиты на главы, а каждая глава - на параграфы. Каждый параграф обозначается двумя числами: число слева от точки - номер главы, а число справа от точки - номер параграфа в этой главе. В каждой главе рассматривается некоторая тема, а в каждом параграфе -отдельные вопросы этой темы. Входной тест позволяет вам определить, насколько вы готовы к работе с данным разделом (имеются ли у вас базовые знания, без которых невозможно продвижение по этому разделу). Итоговый тест позволяет вам определить, насколько вы овладели новым материалом, изложенным в этом разделе. Путь второго уровня является более сложным, так как, помимо минимального набора этапов, включает также жизненную задачу. Эти задачи можно решать в свободное от уроков время в группах или индивидуально. Путь третьего уровня является максимально сложным из предлагаемых, так как включает ещё один этап - «Любителям математики». Этот этап содержит задачи повышенной трудности, которые обычно предлагаются на олимпиадах, интеллектуальных марафонах, математических кружках. Для решения таких задач не нужны никакие дополнительные знания, нужна смекалка, умение найти нестандартную точку зрения на привычную ситуацию, обнаружить взаимосвязи между вещами, на первый взгляд никак между собой не связанными. Многие из этих задач очень сложные, и будьте готовы к тому, что они потребуют длительных размышлений и значительных усилий. Выбрав один из путей, вы должны пройти по всем входящим в него этапам. Таким образом, ваш класс разобьётся на группы (от одной до трёх), и каждый из вас получит возможность сотрудничества внутри группы, предполагающего взаимопомощь, поддержку и совместные интеллектуальные усилия. Но в то же время у вас имеется дополнительная возможность погружения в предмет, если вы выберете работу с проектами, с историческими страницами или тем и другим. О проектной деятельности уже сказано выше, а что касается исторических страниц, то они написаны для тех, кто хочет больше узнать, как люди учились решать всё более и более сложные математические задачи, как формировались с течением времени изучаемые вами понятия. В начале каждого раздела мы поместили путеводитель, чтобы вы ясно видели все возможные пути движения и выбрали свой. Путеводитель к первому из разделов находится на страницах 10-11 этой части учебника. 7 РАЗДЕЛ I ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ -тест [~^ Выполните действия с дробями: ,13 ^ „ 3 22 ,18 3 а)--------; б) 2— —; в) — : 25 15 11 75 35 7 1 верный результат — 1 очко [~^ Выберите истинное высказывание: ,3 ^,.,11 12 , 35 39 а^ ^ -; б) — < —; в) — > —. 8 8 17 17 29 29 [~^ Выберите истинное высказывание: ,13 1^ 39 39 , 44 44 а) — > —; б) — < —; в) — > —. 19 19 41 42 15 17 [~^ Выберите истинное высказывание: 1 очко 1 очко ,11 ^ 5 9 , 37 49 а) — < —; б) — > —; в) — > —. 24 18 16 28 15 20 2 очка 8 [~^ Выберите истинное высказывание: ,53 „5 ,.,101 ,8 , „ 7 145 э) — = 2—; б) = ^; в) ^ =-----------. ^ 24 24 19 19 17 17 2 очка [~6] Какую часть стены рабочий оклеивает обоями за 1 ч, 1 если всю стену он оклеивает за 13 ч? 2 3 5 Ответы: а^ —; б^ —; в^ —. 3 4 6 2 очка 1^7] Пункты А и В находятся на расстоянии 65 км. Из А в В выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч и одновременно из В в А выехал другой велосипедист со скоростью 14 км/ч. Расстояние от места встречи велосипедистов до пункта А равно: а) 30 км; б) 31 км; в) 32 км. 3 очка 9 t Путь 1: а) входной тест; б) главы; в) итоговый тест. А Путь 2: а) входной тест; б) главы; в) жизненная задача; г) итоговый тест. 10 Проекты Путь 3: а) входной тест; б) главы; в) задачи для любителей математики; г) жизненная задача; д) итоговый тест. 11 ГЛАВА I ПОВТОРЕНИЕ. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ 1.1 Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю Повторяем, обобщаем знания О Приведите пример дроби. Что называется дробью? О Какое число называют числителем дроби? Какое число называют знаменателем дро би? ® Что показывает знаменатель дроби? Числитель дроби? i Дробь Числитель Знаменатель т Обыкновенная дробь - это число вида — , где шип- натуральные числа. п У Число п под чертой называют знаменателем дроби. Число ш ^ над чертой называют числителем дроби. Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое (единицу), а числитель — сколько таких частей взяли. О Какое свойство дроби называют основным? © Какие преобразования дробей вы умеете делать, используя это свойство? 12 Основное свойство дроби Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной. Это - основное свойство дроби. Его можно записать так: m m ■ a m m: a — = ----- или — = ----, где a, m, n — натуральные числа. n n ■ a n n: a Основное свойство дроби позволяет приводить дробь к новому знаменателю. Привести дробь к знаменателю а значит найти равную ей дробь со знаменателем а. Основное свойство позволяет сокращать дроби, поделив одновременно и числитель, и знаменатель на одно и то же число. В качестве этого числа можно брать любой общий делитель числителя и знаменателя. Несократимыми называют дроби, числитель и знаменатель которых — взаимно простые числа (т.е. не имеющие общих делителей, кроме единицы). Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь. Чтобы полу чить не сок ра ти мую дробь, рав ную дан ной дро би, на до данную дробь сократить на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. При сравнении, сложении и вычитании дробей их, как правило, приводят к общему знаменателю. При этом их можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателям данных дробей, однако чаще всего стараются подобрать наименьший общий знаменатель. В ка че ст ве об ще го зна ме на те ля дро бей всег да мож но взять произведение их знаменателей. Наименьший общий знаменатель дробей — это наименьшее общее кратное их знаменателей. Развиваем умения Н ^•Назовите числитель и знаменатель каждой дроби: ; —. Объясните, —' 118 5 на сколько частей в каждом из этих случаев разделили целое и сколько частей взяли. 0 На числовом луче отмечены точки. Запишите координаты точек A, C, N. а) б) в) A E • 0 Н 1— • h ? • 1 ► C 0 N ? 1 0 ? 1 13 о Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите примеры. [~^ С помощью основного свойства дроби докажите, что: 20 1 . 25 75 ) 1 2 б) 2 30 ) 7 28 ) а^ ^ -; б^ = —; в) — = —; г) 2 4 3 45 12 48 100 1 ) 25 ?' д)49 147 4^ а) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю? б) К какому общему знаменателю удобней всего приводить дроби? в) Любую ли дробь можно сократить? г) Как сок ра тить дробь, чис ли тель и зна ме на тель ко то рой не яв ля ют ся вза им но простыми числами? 3 4 5 1 4 8 I 6 I Приведите дроби: а) ‘4; 9; ^ к знаменателю 36; б) 3; 9; 75 к знаменателю 45; ч 4 7 19 ^ в^ —; —; — к знаменателю 90. 5 15 30 [~^ Можно ли привести дробь — к знаменателю: а) 10; б) 7; в) 35; г) 24? 5 8 Запишите числитель и знаменатель каждой дроби в виде произведений, содержащих одинаковые множители, и сократите дробь: ) 3 б) 12 ) 36 ) 10 ) 45 а^; б^; вИг^; г^; д^. 6 15 48 15 54 [~^ Определите, сократима ли дробь: ) 3 б) 1 ,4 ) 5 ) 8 ) 8 а^; б^; в^; г^; д^; е) т^' 6 12 11 15 9 12 ж) 10 11 И 15' Запишите в виде несократимой дроби: 20 49 60 450 700 а) ---; б) —; в) —; г) -------; д) ---; 100 63 75 1 000 900 Приведите дроби к общему знаменателю: ) 3 1 б) 3 4 ) 3 4 5 6 10 15 9 11 е) 130 360' Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Запишите координату точки A, отмеченной на числовом луче. A 0 1 б) Сократите дроби: ^; 16; 2-4. 24 18 60 14 г 112 7 5 1 в) Приведите дроби к общему знаменателю: — ^ ^ — и —— и ^ ^ 4851596 П Вариант II а) Начертите единичный отрезок и отметьте на нём точки A 156 132 60 f 1 ^ и B Г 7 ^ V 7. V 7 . б) Сократите дроби: 192 204 84 3 1 2 1 3 в) Приведите дроби -4; -8; 3; 3; 5 к наименьшему общему знаменателю. Тренировочные упражнения. Н 12 13 14 25 42 56 Сократите дроби: а) —; б) —; в) —. 75 63 60 Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 5 и 20; б) 3 и 4; в) 7 и 8; г) 3 и 27; д) 16 и 24; е) 21 и 28. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: )2 1б) 7 5 )23)1 5 )2 3 )2 4 а^ и —; б) — и —; в^ ^ —; г^ ^ —; д) — и —; е^ и —. 5 20 12 24 3 4 7 8 11 10 3 27 П 15 16 Начертите единичный отрезок и отметьте на нём точку с координатой: 1114 а) ^; б) ^; в) ^; г) —. 2 3 6 12 У ) 7 • 5 б) 12 • 4 Упростите: а) -; б) 15 • 14 8 • 9 М 17 Когда от пирога отрезали третью часть и ещё 5 одинаковых кусков, то от него осталось 7 таких же кусков. Сколько таких кусков составляла третья часть пирога? Ш Н 18 Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению знаменателей этих дробей: )11б)11)2 3 )3 4 )9 4 )23 8^ ^ -; б^ ^ —; в) — и —; г) — и —; д^ и —; е^ ^ —. 2 3 2 7 15 16 10 17 3 11 9 8 15 19 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю. Укажите ещё несколько общих знаменателей для каждой пары дробей: ,1 ^.,5 3,114,7 1 ,1 1 ,3 9 a) — ^ —; б^ ^ —; в) — ^ —; г) — ^ -; д^ ^ —; е^ и —. 10 4 6 8 15 9 24 3 6 9 4 25 ^ . 2^ 65 .140 Сократите дроби: а) 6^; б) 97; в) 20 т П 21 3 • 11 15 • 3 Упростите: а) ------; б) 11 • 21 12 • 25 22 гп . 1 5 1 19 Приведите дроби —; —; — и — к наименьшему общему знаменателю. 6 24 12 30 т М 23 В упаковке лежало несколько мячей. Когда из неё достали половину всех мячей и ещё два, в упаковке осталось три мяча. Сколько мячей было в упаковке первоначально? Повторяем, обобщаем знания I Какие дроби называют правильными? Приведите пример правильной дроби. I Какие дроби называют неправильными? Приведите пример неправильной дроби. I Как представить в виде дроби любое натуральное число? I Приведите пример смешанной дроби. 16 ® Как неправильную дробь представить в виде смешанной дроби? ® Как смешанную дробь представить в виде неправильной дроби? Правильные и неправильные Преобразование неправильной дроби в смешанную 7 i Пре об ра зо ва ние смешанной дроби в непра-виль ную F „ ш ^ m Дробь — называют правильной, если m < п. Дробь — назы- n п вают неправильной, если m > п или m = п (пишут также для краткости m > п). Дробь, числитель и знаменатель которой равны, соответствует п 3 целому, или единице: — = 1. Например: — = 1. п3 Ес ли чис ли тель неп ра виль ной дро би де лит ся на зна ме на тель нацело, то дробь равна натуральному числу. Например: ^ = 2. Любое натуральное число а можно представить в виде дроби 1 a со знаменателем 1, то есть а = —. 1 Если числитель неправильной дроби не делится на знаменатель нацело, то дробь можно представить в виде смешанной дроби, или смешанного числа. Для этого надо числитель неправильной дроби разделить на знаменатель с остатком. При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному, а дробная часть - остатку, поделённому на прежний знаменатель. 5 2 2 Например: 3 = I3, где I3 - смешанная дробь, у которой 1 - целая часть, ^ - дробная часть. 52 Эта запись означает, что — = 1 +— . 33 Каждую смешанную дробь можно записать в виде непра-виль ной дро би. Для это го зна ме на тель дроб ной час ти мож но ум но жить на це лую часть, к по лу чен но му чис лу при ба вить числи тель дроб ной час ти, ре зуль тат за пи сать в чис ли теле, а зна ме-натель оставить тот же. 2 2 7 • 3 + 2 23 Например: 3— = 3 + — =---= —. 7 7 7 7 41 Вспомните известные вам правила сравнения дробей. 17 Сравнение дробей Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше; из двух дробей с одинаковыми зна-ме на те ля ми боль ше та, у ко то рой чис ли тель боль ше. Для того чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, можно сначала привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с оди на ко вы ми зна ме на те ля ми. Смешанные дроби можно сравнивать двумя способами: а) записываем их в виде неправильных дробей и далее действуем по правилам, сформулированным выше; б) срав ни ва ем от дель но це лые и дроб ные час ти сме шан ных дробей: если целые части равны, то больше та дробь, у которой больше дробная часть; если целые части не равны, то больше та дробь, у которой больше целая часть. 11 1118 Например: 2— > ^, так как 2 = 2, а — ^ —; Ъ— > ^, так как 3 > 2. 2 9 2 Развиваем умения У Н 5 €» Продолжите предложения. а) Правильной называют дробь^ б) Неправильной называют дробь^ в) Смешанной называют дробь^ г) Натуральное число можно представить в виде дроби, у которой^ д) Если числитель неправильной дроби нацело делится на знаменатель, то... ПЛ п . 3 1 13 12 12 I 2 I Выпишите только неправильные дроби: ^; ^; “2; ^; ~2‘ [~^ Выпишите только те дроби, которые можно представить в виде натурального 3 1 13 12 12 числа: —^ —; —; —; —. 2 2 2 12 2 [~^ Запишите пять любых натуральных чисел в виде неправильных дробей. Придумайте для каждого числа несколько вариантов записи. €> Расскажите, приводя примеры, как а) записать неправильную дробь в виде смешанной дроби; б) записать смешанную дробь в виде неправильной дроби; 18 в) сравнить две смешанные дроби. [~6] Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей: 19 3 3 4 2 а) 1-; б) 5-; в) 103; г) 7-; д) 4-; е) 12-. 15 1^ 4 11 1^ 3 1^7] Запишите неправильные дроби в виде смешанных дробей: , 2^ 251 , 38 ,12 , 37 , 49 а) —; б) --; в) —; г) —; д) —; е) —. 5 24 3 11 14 20 , 15 2 3 а) Расположите числа в порядке возрастания: Т^7^7^7- 6 6 6 6 1 1 1 1 б) Расположите числа в порядке убывания: —; —; —; —. 6 30 12 24 [~9] Сравните дроби, приведя их к общему знаменателю: ,7 5,., 19 1 ,7 11 ,5 3 ,2 3 ,6 1 а^ ^—■; б^- ^-; в^- ^—; г^- ^-; д^ ^-; е^- 9 18 34 2 20 15 12 4 58 25 4 10 Сравните числа (>; <; =): , 12 24 а^ * —; 12 24 36 б) — *-; 23 36 48 в) — * —. 34 11 Сравните числа (>; <; =): 11 а) 11 * 11; 23 21 в) 37 * д) 2^ 11 б) 21 * 11; 23 г) в2 * 7 14 е) 52 ,3; 4; ,3 4 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. 1 3 2 а) Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей: 2-8; 3^; 55- 4 3 7 6 1 5 1 7 2 3 б) Сравните числа: — ^ —; — * —; 1— * 1—; 3— * 3—; 3— * ^- 9 5 14 12 12 12 8 14 34 П Вариант II. 10 30 20 а) Сократите дроби и выделите целые части: —; —^; 15- 10 18 16 21 б) Сравните числа: 2 и —; — и 3; — и —. 15 6 2 3 19 8 Тренировочные упражнения. Н 12 13 14 15 Найдите целые части дробей: , 12 16 ,15 , 29 , 36 , 107 а) —; б) —; в) —; г) —; д) —; е) -. 5 3 6 7 11 10 Сократите неправильные дроби и запишите их в виде смешанных дробей: ) 20 б) 15 ) 28 ) 10 ) 14 ) 40 а) —; б) —; в) —; г) —; д) —; е) —. 8 10 21 6 4 15 Упростите: а) ^^; б) 515; в) 1025; г) 726; д) 414; е) 12-. 15 18 75 39 21 6 Сравните числа (>; <; =): 4.1 -4^ ^4 .2 1 , ,2 .,3 ,.,2 ,3 ,.,2 1 ,2 „3 а) 1— * ^; б) ^ * 3—; в) ^ * ^; г) ^ * ^; д) ^ * ^; е) 1— * 2 3 7 14 3 4 3 4 5 2 3 4 П 16 4 2 3 4 Отметьте числа ^; 1—; 2—; 3— на числовом луче с единичным отрезком, 5 10 15 20 У ^ Hr равным пяти клеточкам. 17 Аня и Наташа бросали мяч в баскетбольное кольцо из одной и той же точки площадки. Аня произвела 24 броска и попала 14 раз, а Наташа произвела 18 бросков и попала 12 раз. Чей результат лучше? 18 Запишите все дроби со знаменателем 12, расположенные между числами 11 62 М 19 Оравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: ,6 1^ 10 15 а) — и —; б) — и —. 12 16 25 29 ш Н 20 Определите, какая из дробей меньше ^: а) 6; б) 3; в) —; г) —; д) —. 2 8 6 12 18 10 20 21 Определите, какая из дробей ближе к единице, и сравните их: 22 23 ,6 ^,10 17 a^ — ил^ —; б) — или —. 8 9 12 18 о 2,4,., 10, 3,6 Запишите дроби, которые меньше —: а) —; б) —; в^ —; г) —. 3 12 15 9 18 ,7 ^,., 7 3 ,5 3 ,2 3 , 25 1 Оравните дроби: а^ ^; б^ ^; в^:: ^; г^ ^; д^^Т; 84 52 12 4 58 100 4 Ш П 24 25 Запишите в виде дроби каждое из чисел: 6; 18; 21; d. Между какими двумя соседними натуральными числами на числовом луче находится число: ) 18 б) 35 ) 50 ) 32 ) 24 ) 40? а) —; б) —; в) —; г) —; д) —; е) —? 8 10 21 6 5 15 Ш М 26 27 11 Запишите несколько чисел, которые больше —, но меньше —. 32 Серёжа и Маша одновременно пошли от крыльца к колодцу. Кто из них быстрее доберётся до колодца, если Серёжа за 4 с делает 6 шагов, а Маша за 6 с -10 шагов? (Длина шагов одинаковая.) 1. Сложение и вычитание дробей Повторяем, обобщаем знания ■.J Вспомните правила и приёмы сложения дробей. 21 Складывая дроби с одинаковыми знаменателями, мы складываем только их числители, а знаменатель оставляем прежним. Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно за пи сать так: m к m + к — ^ — =-------. n n n Складывая дроби с разными знаменателями, предварительно ^приводим их к общему знаменателю, а затем складываем по 'правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Для дробей справедливы переместительное и сочетательное свой ства сло же ния: m k k m ^ m k') a m f k a ^ — + — = — + ; — + — + — = — + — n b b n ^ n b J г n 1 b Складывая смешанные дроби, складываем отдельно их целые и отдельно дробные части. По это му же пра ви лу скла ды ва ем на ту раль ные чис ла и сме шан-ные дро би, счи тая, что на ту раль ное чис ло име ет дроб ную часть, равную нулю. Если при сложении смешанных дро бей дробная часть оказалась неправильной дробью, то записываем её в виде смешанной дроби и далее действуем в соответствии с правилом сложения смешанных дробей. Если дробные части смешанных дробей имеют разные знаменатели, то при сложении их нужно сначала привести к общему знаменателю. yj Вспомните правила и приёмы вычитания дробей. Вычитание дробей Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно за пи сать так: k m - k m n n n J Для того чтобы найти разность двух дробей с разными знамена-те ля ми, надо при вес ти их к об ще му зна ме на те лю, а за тем вы читать по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Принято считать число 0 равным дроби — , где n — любое натуральное число. n Ес ли умень ша е мое рав но вы чи та е мо му, то раз ность рав на 0. Разность смешанных дробей можно найти, записав их в виде неправильных дробей и действуя так же, как при вычитании правильных дробей. Однако в этом случае вычисления могут быть громоздкими и трудоёмкими. 22 Рассмотрим, как можно вычитать смешанные дроби, не записывая их в виде неправильных дробей. Пример 1: целая часть уменьшаемого больше, чем целая часть вычитаемого, и дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого. 35 - 2— =(3 - 2) + ^ 5 17 17 ^ ^ 17 2 ^ ,А. 17 Пример 2: а) дробные части уменьшаемого и вычитаемого равны; б) целые части уменьшаемого и вычитаемого равны. -- — 1 v13 13^ 5 5 f 5 а) - 2— = (3 - 2) + 5 13 13 1; 5 2 f 5 б) = (3 - 3) + 5 13 13 13 13 13. Пример 3: целая часть уменьшаемого больше, чем целая часть вы чи та е мо го, а дроб ная часть умень ша е мо го мень ше, чем дробная часть вычитаемого. В этом случае в целой части уменьшаемого «занимаем» единицу. 17 5 7 f 5 1 7 f 221 4— - ^ = - ^ = 17 17 1 17j 17 1 17 J (3 - 2) + 22 17 17 7 1 J5 = 1—. 17 Пример 4: а) уменьшаемое — смешанная дробь, вычитаемое — натуральное число; б) уменьшаемое — целое число, вычитаемое — смешанная дробь. а) 45 - 2 = (4 - 2) + 12 г \ ----0 v12 у 212; 7 f 12I 7 f 12 7 1 4 - ^ = - ^ =(3 - 2) + 12 1 12J 12 / 1 ^ 12J 12 Пример 5: дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели. В этом случае приводим сначала дробные части к общему знаменателю. 11 5 11 10 1 3----2— = 3-2— = 1—. 12 6 12 12 12 Разность равных чисел равна 0. Вычитать из меньшего числа большее мы пока не научились. 23 Развиваем умения У Н Q V Продолжите предложения. а) Для того чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, ^ б) Для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, ^ в) От перестановки слагаемых ^ г) Чтобы к сумме двух дробей прибавить третью дробь, можно ^ о Расскажите, приводя примеры, как складывают смешанные дроби. [3\ Сложите дроби: )12б)3 2)1 9)4 7 а^ — ^ —; б^ — ^ —; в) — и —; г) — и —. 5 5 7 7 11 11 13 13 [~^ Найдите сумму удобным для вас способом: ,31764 ,., 52875 а) — + — + — + — + —; б) — + — + — + — + —. 19 19 19 19 19 27 27 27 27 27 [~5| Приведите дроби к общему знаменателю и сложите их: ,1 ^,11 5,5 11,3 7 а^ — ^ —; б) — ^ —; в) — и —; г^ — ^ —. 4 3 12 6 12 18 4 8 [~^ Выполните сложение дробей и представьте результат в виде смешанной дроби: ,7 ^,11 5,5 11,3 7 а) — ^ —; б) — ^ —; в) — и —; г^ — ^ —. 15 3 12 6 12 18 4 8 [~^ Выполните сложение: а) 31 + 1; б) 43 + 2; в) 4 + 11; г) 31 + —; д) 2— + —; е) 53 + —. 2 5 ^ 6 12 10 15 7 14 ^ 4^ а) Расскажите, как вычитают правильные дроби, и приведите примеры, б) Расскажите, как вычитают смешанные дроби, и приведите примеры. [~^ Найдите разность дробей. Сделайте проверку сложением: ^ 5 6 2.10 9.12 ^.^^2^10. а^ ^; б^ ^; bW ^; г^ ^-; д) 1 ^; е) 1 ^; ж) 1 ; з) 55 77 1111 1313 3 5 11 \2 Га' 10 Приведите дроби к общему знаменателю и найдите их разность: )2 1б)4 1)3 1)2 4 а^ — ^ —; б) — ^ —; в^ — ^ —; г^ — и —. 3 6 15 5 4 8 8 24 24 11 Вычислите: а) 10 - 5; б) 12 - 5; в) 11 - 12; г) 24 - 15; д) 3- - 2-; е) 10- - 9-; 9 9 1^ 99 5 ^ 3 3 ,.,11 ,,9 , ,„10 7 ,^4 ^ , .,„2 4 ж) 3--^; з) 5--^; и) 10--6—; к) 7-3—; л) 30 ^; 18 9 15 ^13 1^ 21 1^ ' 9 5 м) 21 18 23 13 1—; н) 12— 24 30 337; о) 1 17 40 12 41 1 13 5—; п) 13---9 —. 42 3 24 Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н ч „ J 2 „3 4 „ 1 8 а) Выполните сложение: 1—+—; 2—+ 3—; 9—+ 3 3 5 15 9 9 11 11 13 8 13 7 б) Выполните вычитание: 1-------; 5----5—; 1---------. 18 18 15 15 15 20 П Вариант II а) Вычислите: 3 8 2 - |;4 23 + 31 4 51 б) Сравните значения выражений: 1 1 1 1 „ ; 2 6 2 2 5 22 * 3 . 33 Тренировочные упражнения. Н 12 Вычислите: 42 а) —+—; 99 71 б) 1 ; 10 10 32 в)б + 12 г) 3 + 3; ) 4 2 99 ) 7 1 10 10 ж) 3 - 2) 6 б; з) — - —. 15 15 13 Вычислите: 11 а) —+—; 38 25 б) 1 ; 15 12 71 в) 64 + 20; 52 Г) 42 + 3; ) 4 1 д)9 - ) 5 5 6 12 ж)^ - А. ж) 10 15; з) — - -245 15 14 Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби: ) 2 9 б) 5 7 7 8 ) 16 7 а^ — и —; б^ — и —; в) — и —; г) — и —. 3 19 6 18 10 15 45 15 25 1 16 Выполните сложение: 57 а) 2— + 3—; 6 12 9 1 1 6)110 + 215; 63 в) 7 + 2 —. 7 14 Вычислите: 23 а)1 - г) 1 - —; 10 2 ж) 1 - —; 21 6) l| - 1; д) 12^ - 2; з) 14- - 10; 3 в) 25 - 14; 99 32 е) 45 - 35; и) 102 - 81 33 17 1 „ 1 а) На пошив платья ушло 2— дня, а на отделку вышивкой — на — дня больше. 4 2 Сколько дней ушло на пошив и отделку платья? б) Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Первый пешеход прошёл до встречи км, а второй — на км больше. Чему равно расстояние между пунктами А и В? 2 в) От пункта А до пункта В автомобиль ехал — ч, а от пункта В до пункта С — на 1 3 — ч меньше. Сколько времени затратил автомобиль, чтобы добраться от пунк- 6 1 та А до пункта С, если в пункте В он стоял ч? П 18 1111 Докажите, не выполняя сложения:-+-+— ^ —. 12 10 8 4 М 19 Назовите дроби со знаменателем 10, которые больше ■9, но меньше т Н 20 Сложите дроби: )12б)3 2)1 9)4 7 5 5 7 7 11 11 13 13 )42)7 1 )32)12 9 9 10 10 6 6 3 3 26 21 Найдите сумму удобным для вас способом: 22 23 , 23 21 27 26 24 ^,15 11 19 13 17 15 а) — + — + — + — + —; б) — + — + — + — + — + —. 55 55 55 55 55 87 87 87 87 87 87 Вычислите: ,5 ^ 7 1 , 23 1 , 5 1 , 5 5 , 5 5 , 29 11 + —; б) — + —; в) — + —; г) — ^ —; д)--------; е)-------; ж)------. 6 16 30 12 64 40 42 7 9 18 16 48 30 15 Вычислите: а) - 25; в) - 34; д) 1^^ - 21; ж) 912 - 26; и) 5^ - 52; ^18 9 ^25 ^15 5 18 9 ^15 5 б) 164 - 17; г) 5^ - ^^; е) - ^^; з) 33 + 11; к) 23 + 102. 9 9 15 30 13 26 8 8 5 5 24 Вычислите: ч 1 -,2 1 а) 3— - 2— + —; 8 3 6 в) 43 - 2 + —; 5 10 ч -,7 „3 1 д) 3^ - 24 + ^; б) 3 И 18 1 13 ^ 1 11 8 r 3 21 2 ; е) 2 30 1 10 5 J 15 1 10 5 J 25 26 27 28 Выразите в километрах: а) 1 км 500 м; б) 3 км 200 м; в) 2 250 м; г) 5 450 м; д) 2 300 м. Выразите в часах: а) 1 ч 20 мин; б) 3 ч 1 5 мин; в) 2 ч 30 мин; г) 4 ч 24 мин; д) 90 мин; е) 165 мин. Выразите в центнерах: а) 2 ц 50 кг; б) 1 ц 5 кг; в) 165 кг. 37 а) Масса дыни 2 5 кг, а масса тыквы 4^ кг. Чему равна масса тыквы и дыни вместе? Выразите ответ в килограммах и граммах. 54 б) На утреннюю пробежку Ася тратит — часа, а на вечернюю - на —часа боль- 65 ше. Сколько времени у Аси занимают утренняя и вечерняя пробежки вместе? Вы ра зи те от вет в ча сах и ми ну тах. 3 в) В магазин привезли 420 Ц лука, 105 кг из них продали. Сколько лука осталось? Выразите ответ в центнерах и килограммах. Ш П 29 Сравните значения выражений: 2 2 7 7 2 4 а) —+ x * —+ x; б)------d *------d; в) b----* b-----. 7 3 12 18 9 9 27 т М 30 ^ ^ ^ -1 От ленты отрезали — всей ее длины, а затем еще — остатка. Какую часть ленты отрезали? 6 2 Повторяем, обобщаем знания Вспомните правила и приёмы умножения дробей. Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей: m n k t m ■ k n ■ t Чтобы умножить дробь на натуральное число, достаточно числитель этой дроби умножить на это натуральное число. Для дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения: m к _ к m fm к" a m ' к a ^ n Ъ = Ъ ' n 1 L n Ъ. г n V Ъ г У m f к a ^ m к m a ■ — _ — ■ — + — ■ —. n 1Ъ n Ъ n г 28 • Придумайте две дроби и найдите их произведение. €1 Умножьте полученную дробь на какое-нибудь натуральное число, большее 2. €1 Запишите несколько верных равенств с дробями, используя переместительное и сочетательное свойства умножения и распределительное свойство умножения относительно сложения. 0 Вспомните правила и приёмы деления дробей. „ m n ^ Дроби — и — называются взаимно обратными. Их произведение nm Взаимно равно числу 1. ► обратные дроби Что бы раз де лить число на дробь, мож но де ли мое ум но жить на дробь, обратную делителю. Правило деления двух дробей записывается так: n a n Ъ n ■ b — ^ = — — = , где m Ф 0, b Ф 0и a Ф 0. mb m a m ■ a Деление Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, можно запи- дробей Г сать их в виде неправильных дробей и выполнить действия так же, как описано выше. V Придумайте две взаимно обратные дроби. Ф Придумайте две правильные дроби и найдите их частное. • Придумайте две смешанные дроби и найдите их частное. Развиваем умения Н П<~| • Продолжите предложения. а) Для того чтобы перемножить две дроби, ... б) Для того чтобы дробь умножить на натуральное число, . в) От перемены мест множителей произведение дробей . г) Чтобы сумму двух дробей умножить на третью дробь, можно . д) Чтобы произведение двух дробей умножить на третью дробь, можно Г2] Найдите произведение дробей: ) 3 4 14 19 б) 10 39 13 100 ) 6 8 16 9 ) 14 5 15 12 12 2 д) — ^ —; 18 3 34 15 е) — и —; 45 17 , 4 16 ж^ и —; 9 27 , 1 36 з) — и —; 18 37 ) 14 и) — и 25 к) — и 16 56' 2 ц. 29 [~^ Сравните (>, <, =), не вычисляя: ,12 2 1 а) —I— * —I—; 3 3 3 3 б) 1 3 v9 1 1Ь 4 * 14 А 4. 8 9 ' 8 11' 8; ,12 2 1 в^ — ^ —; 6 6 6 6 ) 5 А А * А 5 А г)9 19 31 31 9 19' [~А Продолжите предложения. а) Взаимно обратными называются дроби ^ б) Для того чтобы разделить одну дробь на другую, [А Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: ) 1. 1. а) 2 ■ 3; ) 2 : 5 в)5:6; ) 4 : 8 дАт ^; 99 ж) — 30 : 14. б) — ■ —; 42 21 , 16 64 г)25:75; ,100 75 е) : ; 121 88 з) 52 : 26 з) 81 : 27' [~А| Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: а)^ : 4; 6) 9 : 2; в)15:5; г) — : 2' 23 [~А а) Расскажите, как умножают смешанные дроби, и приведите примеры. б) Расскажите, как делят смешанные дроби, и приведите примеры. 8 Найдите произведение: а) 2 • 7; в) 4 19 1 б) -----•О; г) - 1000 3 2. 9; д) 7 • 1; 11 ж) 100 '3; и) 4 • 1; 3. е) 1^3 •26; 19 з) • 1 500; 1 000 к) 0 10 11 [~А Найдите квадрат и куб числа: ) 1 б) 2 ) 1 ) 5 а) 2; б) 5; в) 3; г) 2; д)12; е)31. 30 10 Выполните деление: а) 12 : 36; б) 100 : 30; в) 20 : 15; г) 7 : 8; д) 25 : 75; е) 39 : 65; ж) 84 : 96; з) 144 : 90. 11 Выполните деление: 2 а)1:5; д) 1: ^; и)1: ^; б)2:2; е)175: 3; к)196: 6; в) ^ : ^; 93 ж) 1- : 21; 3 2 л) ^7: 34; 16 20 г) — : —; 21 49 17 10 з) — : —; 30 51 ,15 40 м) — : — 28 49 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. 12 17 а) Найдите произведение: 1^ • 3^; 4у • 16" 2 1 о1^ о4 б) Выполните деление: ~ : ^~; 2 ” : 27 3 18 9 П В,аРиант II- 8 25 ,3 1 2 а) Найдите значение выражения: — ------+ ^; 2------- 15 32 4 6 3 _7 12 Г 1 ^ Г 1 1^ - • 1- : 10; 2 3 1 2j V2 - 3, Тренировочные упражнения. Н 12 Найдите значение выражения: ,17 9 а^ — • —; 7 9 14 324 б) 3-; 835 13 Найдите значение выражения: а) ; , 1 2 10 в^ — • —; 4 5 11 549 г)------ 12 15 11 24 3 55 + 4; в) 13 8 2 9 ; д) 54 14 5 + 15 • 7; 3 ' 14; 1: 11; 22 г) 25 7 • ^ 21; 25; е)|- 2I : 20. 4 31 14 Найдите значение выражения: а) f л f 4 4 ^ f 2 1 5 ^ — _ ; б) — + — + — 1 3 J 15 15J ^3 12 24j 12. 15 16 17 18 2 а) Известно, что a •Ъ = 1, b = 3 . Найдите а. 4 б) Известно, что а • Ъ = 1, а = 1—. Найдите Ъ. 15 а) Две трети зданий в городе составляют жилые дома, 2 3 из них — многоэтажные. Какую часть всех зданий в городе составляют многоэтажные жилые дома? 1 б) За 2 минуты пешеход прошёл 50 м. Сколько метров он пройдёт за час? Выразите его ско рость в километрах в час. 1 а) Масса дыни 53 кг, а масса арбуза в полтора раза больше. Чему равна масса арбуза? 11 б) За 1 ч автобус проехал 48 км. Сколько километров он проедет за — ч; — ч; 3 5 1 23 - ч; - ч; 3 ч; ^ ч? 4 6 2 41 а) В кувшине 2— л воды. В чашку входит — л воды. Сколько чашек воды в этом 55 кувшине? 11 б) Моток верёвки длиной 1^— м разрезали на куски по 2— м. Сколько таких кусков получилось? 3 в) За — часа автобус прошёл 30 км. С какой скоростью шёл автобус? 41 г) Скорость велосипедиста 10 2 км/ч. За какое время он проедет 7 км? П 19 20 1 Задуманное число уменьшили на — этого числа, и в результате получилось 360. Ка кое чис ло за ду ма ли? 5 а) За сутки теплоход проплыл — всего пути. Какую часть пути он проплыл за треть суток? 5 б) Бечёвку разрезали на 6 равных частей. Какую часть всей бечёвки составляет половина одной отрезанной части? 32 ш Н 21 Найдите произведение чисел: а) б) 1 5 — и —; 4 8 в) 16 9 3 и —; 10 6 27 Д) - и у; ж) А 32 7 5 — и —; 15 49 г) 10 26 и —; 45 е) ^ и А; ' 15 14 а) — 64 13 8 27' 12 17' 22 Выполните деление: 2 5 15 8 32 17 34 15 30 а) 2— : ^; б^ ^; в) 2— : 7; г^- ; д^- ; е^— . 19 3 52 17 15 45 15 75 28 77 23 Найдите значение выражения: а) ( 13^ г 1 ^ г 2 1 4 ^ ; б) 15 : — + — + — 1 15J 1 3 J ^5 15 25j 24 ) . 3 2 в) в граммах: 1^ кг; 5 ц ; 23 г) в минутах: 8^ ч; 1—^ суток. 25 26 Выразите 41 а) в секундах: 3 5 мин; 2^ ч; 12 б) в килограммах: 320 ц; 1 5 т; а) Один килограмм конфет стоит 72 р. Околько надо заплатить за — кг; — кг; 3 1 23 — кг; 2 кг; 2— кг? 4 2 1 б) В одну банку помещается 5 л варенья. Сколько понадобится таких банок, чтобы разлить 8 л варенья? 2 в) За 23 ч велосипедист проехал 24 км. За какое время он проедет 30 км? а) Сколько пакетов получится, если 3 кг крупы разложить в пакеты по — кг; по 1 кг; 1 2 5 по — кг? 10 11 б) Разлили 1 2 л растительного масла в бутылки по -4 л. Сколько бутылок наполнили? Ш П 27 52 От ленты отрезали — всей её длины, а затем ещё — остатка. Какая часть ленты при 6 3 этом осталась? 28 Сравните (>, <, =): 1 а : 2 * а : 2 , где а — отличное от нуля число. 33 1 Решение задач Повторяем, обобщаем знания Решите задачу: одна машинистка выполняет работу за 3 дня, а другая - за 6 дней. За сколько дней они выполнят всю работу, если будут работать вместе? Решали ли вы раньше задачи такого вида? • Как называется такой вид задач? • Какой общий подход применяется при решении задач такого вида? • Придумайте и решите похожую задачу. 40 Что означает такое понятие, как «производительность труда»? Решите задачу: две машины одновременно отправились из двух пунктов навстречу друг другу. Первая ма шина проходит это расстояние за 3 ч, вторая машина - за 6 ч. Через сколько часов они встретятся? • Решали ли вы раньше задачи такого вида? 40 Как называется такой вид задач? 40 Какой общий подход применяется при решении задач такого вида? 40 Придумайте и решите похожую задачу. 40 Что означает такое понятие, как «скорость сближения»? • Похож ли способ решения этой задачи на способ решения предыдущей задачи на сов ме ст ную рабо ту? • Предположим, что вам нужно узнать, на каком расстоянии от пристани окажется ваш катер через некоторое время. Имеет ли при этом значение тот факт, происходит ли движение по реке или по озеру? • Предположим, что ваш катер движется по реке. Какие дополнительные сведения, кроме собственной скорости катера, вам понадобятся, чтобы узнать, на каком рас сто я нии от прис та ни ока жет ся ваш ка тер че рез не ко то рое вре мя? • Чем решение задач на движение по реке отличается от решения задач на движение в стоячей воде? 34 V Если в кулинарной книге записано, что для варенья на 2 части ягод следует взять 3 части сахара, то как узнать, сколько килограммов сахара следует взять на имеющиеся у вас ягоды? V Придумайте и решите похожую задачу. О Какой общий подход применяется при решении задач этого вида? V Как называются задачи этого вида? Развиваем умения Н [~^ а) За каждый час первая труба наполняет — часть бака, а вторая труба-часть 6 3 бака. За сколько часов они наполнят весь бак? б) Через первую трубу можно наполнить бак за — часа, через вторую трубу -—6 за 4 часа. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы? Г2] Одна бригада может выполнить работу за 6 дней, а другая - за 12 дней. Какую часть работы выполнят обе бригады за день, если будут работать вместе? 0 Две машины одновременно отправились из двух пунктов навстречу друг другу. Первая машина проходит за час 3 этого расстояния, вторая машина — 3 его часть. Через какое время они встретятся? 0 а) Найдите скорость катера по течению реки и скорость против течения, если его собственная скорость 4 6 1^— км/ч, а скорость течения реки--км/ч. 3 б) Скорость лодки по течению реки равна 12—0 км/ч, а 3 „ 10 скорость течения реки — 44 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и её скорость против течения реки. 101 Для варенья из малины на 3 части ягод надо брать 2 части сахара. а) Сколько килограммов сахара следует взять на 1 5 кг ягод? 1 б) Сколько килограммов малины надо взять на 15 кг сахара? 1 35 [~6] Требуется смешать 7 частей муки и 2 части сахара. Сколько муки и сколько сахара 1 в отдельности надо взять, чтобы получить 4 2 кг смеси? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Две машинистки выполнили работу за 4 дня. Если бы работала одна из них, она выполнила бы эту работу за 6 дней. Какую часть работы выполняла каждая машинистка за день? 1 б) Скорость лодки по течению реки равна 1^— км/ч, а скорость течения реки - 16 2^ км/ч. Найдите собственную скорость лодки и её скорость против течения реки. П Вариант II. 7 а) Скорость катера по течению реки равна 16— км/ч, а скорость течения реки 1 10 3 3— км/ч. На каком расстоянии от пристани окажется этот катер через — часа, 44 если будет двигаться против течения реки? б) В начинку для пирога кладут 4 части орехов и 1 часть сахара. Сколько орехов и 1 сколько сахара надо взять, чтобы приготовить — кг начинки? 4 Тренировочные упражнения. Н [~^ Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали две машины. Одна 11 машина проезжает за час 5 расстояния между городами, а другая 3 Какая часть расстояния будет между машинами через час после выезда? а) Два тракториста вспахали участок за 3 ч. Если бы первый тракторист работал один, то он выполнил бы эту работу за 5 ч. Какую часть работы выполнял второй тракторист за 1 ч? б) Один насос может выкачать воду из бассейна за 6 ч, а другой - за 4 ч. Какая часть бассейна останется заполненной водой после 1 ч их совместной работы? П Н Два пе ше хо да выш ли од нов ре мен но навстре чу друг дру гу и, встретившись в пути, продолжали идти дальше. Через — ч после их встречи расстояние между 3 „ 12 ними стало равным 3— км. С какой скоростью движется первый пешеход, если 41 скорость второго пешехода равна З2 км/ч? 36 8 М 10 а) От А до В плот плывёт 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько времени катер плывёт от В до А? б) Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а такое же расстояние по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние по реке? в) Пароход прошёл от А до В по течению реки за 2 ч, а вернулся назад за 3 ч. Сколько времени будет плыть бревно от А до В? Ш Н 11 12 Два токаря совместно выполнили работу за 36 мин. Первый токарь, работая один, выполнит ту же работу за 1 ч. За сколько часов второй токарь выполнит эту работу, работая один? Автобус проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч. Если автобус и легко вая ма ши на од нов ре мен но вы е дут из этих го ро дов навстре чу друг дру гу, то они встре тят ся че рез 12 ч. За сколь ко ча сов рас сто я ние меж ду го ро да ми про ез жа ет лег ко вая ма ши на? Ш П 13 14 а) Одна машинистка выполняет работу за 3 ч, а другая — за 4 ч. Какую часть работы 1 они выполнят, работая вместе, за ^ ч? б) Для приготовления крема берут 1 часть сметаны и 2 части сахарного песка. Сколь ко сме таны и сколь ко са хар но го пес ка на до взять, что бы при го то вить ^ кг крема? Заготовленных материалов хватит двум мастерам для работы на 10 дней или первому мастеру на 30 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы второму мастеру? Ш М 15 16 От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км 2 от этого причала находится второй. От него навстречу плоту через — ч после отплытия плота отправился теплоход. Через какое время после своего отплытия плот встре тит ся с теп ло хо дом, ес ли собствен ная ско рость теп ло хо да рав на 20 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч? Из пунктов А и В одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 20 мин после выхода, а через 10 мин ещё первый пришёл в пункт В. Через какое время после своего выхода из В второй пешеход пришёл в пункт А? 37 ГЛАВА II ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Понятие десятичной дроби. Запись и чтение десятичных дробей I Прочитайте дроби: —; 1 Вспоминаем то, что знаем 1 ;------. Какую часть от целого составляет каждая из них? 10 100 10000 ^ Открываем новые знания I Объясните, что означает каждое число справа от знака равенства в каждом из этих 4 3 7 равенств: 0,4^ —— - 0,03^ - 0,007. ^ 10 100 1 000 I Какой способ использован при записи этих чисел? 6 99 105 I Как записать дроби записи? 100 1 000 10 000 , пользуясь рассмотренным выше способом Как называют дроби 0,7; 0,23; 0,06? Объясните, что означают такие записи. Отвечаем, проверяем себя по тексту Дроби 0,1; 0,3; 0,01; 0,001; 0,005 и т.д. называются десятичными. Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1 000, ... (любой степени числа 10), можно записать в виде десятичной дроби. 38 Разряды десятичных дробей Способ записи десятичных дробей аналогичен обычному позиционному способу записи натуральных чисел: значение цифры зависит от её места в записи числа (разряда), и единицы двух соседних разрядов отличаются друг от друга в 10 раз. Для записи десятичных дробей используют разряды, которые идут слева направо от запятой, поставленной после разряда единиц. В них указывают доли единиц: в первом разряде после запятой указывают число десятых долей (это разряд десятых), во вто ром раз ря де пос ле за пя той ука зы ва ют чис ло со тых до лей (это разряд сотых) и т.д. Цифра 0 выполняет свою обычную роль, она показывает отсутствие единиц соответствующего разряда. единицы десятитысячные миллионные 0 4 7 8 десятые тысячные стотысячные При переходе от десятичной дроби к обыкновенной и наоборот сле ду ет пом нить, что в де ся тич ной дро би пос ле за пя той столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби. Г 5 4 „ , 15 ----= 0,05; — = 0,4;------ 100 ~ 10 “1 000 = 0,015. Вспоминаем то, что знаем 12 Даны две дроби: 4--- и 12,04. Какая из них чита ется так: «четыре целых двенад- цать сотых»? 100 Открываем новые знания в Запишите дробь 12,04 в виде обыкновенной и прочитайте её. Можно ли прочитать эту дробь, не переходя к обыкновенной? в Как читаются десятичные дроби? Отвечаем, проверяем себя по тексту 39 сотые 3 5 Чтение десятичных дробей 7 Десятичную дробь можно прочитать и не переходя к обыкновенной. При этом сначала читают часть, стоящую до запятой. Это целая часть данной дроби, поэтому после её прочтения произносят слово «целых». Затем читают часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего разряда. Например: 0,105 — «ноль целых сто пять тысячных». Вспоминаем то, что знаем ^ 3 1 .,3 I Изобразите точками на числовом луче числа 5; I5; Открываем новые знания I Как на числовом луче изобразить число 0,7? I Как изобразить точкой на числовом луче десятичную дробь? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Изображение десятичных дробей на числовом луче Десятичные дроби изображают на числовом луче так же, как и обыкновенные. Если мы хотим построить точку, соответствующую числу 0,7, то для этого сначала отметим на числовом луче точку 1, то есть выберем единичный отрезок, а затем разделим его на 10 равных час тей и отс чи та ем 7. 0 0,7 1 Для того чтобы построить точку, соответствующую десятичной дроби 0,75, делят на 10 равных частей десятую долю единичного отрезка, которая следует за точкой с координатой 0,7, получают сотые доли и отсчитывают 5 таких долей. 40 0 Развиваем умения Н Q • Продолжите предложения. а) Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой равен некоторой степени числа 10, можно заменить^ б) Разряды десятичных дробей слева направо от запятой называются^ в) Для того чтобы прочитать десятичную дробь, ^ [~2] Запишите обыкновенные и смешанные дроби десятичной дробью и назовите число единиц каждого разряда слева направо: ^,2 ^^15 ,2 ,,125 12 , 5476 , 62^ 11 а)3—; б)----; в)---; г) 5----; д) 2---; е)-----; ж)------; з)12---------. 10 100 100 1000 1000 1000 10 000 1000 000 Г3] Прочитайте десятичную дробь и назовите число единиц каждого разряда слева направо: а) 13,45; б) 4,07; в) 0,123; г) 105,0060; д) 70,100005. [~^ Запишите десятичную дробь и представьте её в виде суммы разрядных слагаемых. Образец: две целых четыреста тридцать пять тысячных — 2,435; 2,435 = 2 + — +----+------= 2 + 0,4 + 0,03 + 0,005. 10 100 1000 а) две целых шесть десятых; б) сем над цать це лых трид цать од на со тая; в) ноль целых двадцать семь тысячных; г) шестьдесят семь целых три стотысячных. [~^ Запишите в виде смешанной дроби: а) 1,5; б) 11,12; в) 256,073; г) 30,0009; д) 105,50000. [~6] Запишите в виде неправильной дроби: а) 12,3; б) 1,23; в) 10,123; г) 987,5; д) 98,76; е) 3, 3456; ж) 33, 456. 1^7] Назовите числа, отмеченные точками на числовом луче. а) A B С D 0 ? 1 ? 2 E K M б) h------^—I—I—•—I—I—I—I—I—I—I—I—•—I—I—I—I—I—•—I—I—► 0 5? 6 ? ? 7 41 г г Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Представьте в виде суммы разрядных слагаемых: 3,615. ^ 25 128 б) Запишите десятичнои дробью: 11^; 10000- П Вариант II а) Запишите десятичную дробь и представьте её в виде суммы разрядных слагаемых: семь целых триста сорок пять стотысячных. 1 896 25 б) Запишите десятичной дробью: ______; 20 10 000 100 000 Тренировочные упражнения. Н Запишите обыкновенные и смешанные дроби в виде десятичных и прочитайте получен ные за пи си: 15 3 2 а) 100; 30100; 100; б)^^;715 90 1 000 1 000 1 000 , , 5 „17 675 1 243 в) 6----; 2-----; ----; -----; 10 000 10 000 10 000 10 000 г) 7 100 000 ; 100 45 478 1111 100 000 100 000 100 000 [~^ Прочитайте дроби, назовите их целые части, назовите цифры разрядов десятых, сотых и т.д. а) 16,789; 0,1234; 100,56789; б) 0,023; 7,00526; 0,00017. 10 11 Начертите числовой луч (возьмите за единичный отрезок 10 клеточек) и отметьте на нём числа: 0,2; 0,25; 1,5; 1,25. Запишите координаты точек на числовом луче, обозначенных буквами. A BCD а) 0 0,1 0,2 б) E N 0 1,5 1,6 1,7 42 8 П 12 13 а) В числе 14 025 сначала отделите запятой одну цифру справа и прочитайте получившуюся десятичную дробь, затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево, пока это возможно, и читайте каждое получившееся число. б) В числе 3,056987 последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо, пока это возможно, и читайте каждую получившуюся десятичную дробь. Выразите в метрах и дециметрах: а) 4,5 м; б) 7,8 м; в) 0,3 м. Работайте по образцу: 9,2 м = 9 м 2 дм. М 14 Запишите все десятичные дроби, которые можно составить из цифр 0,1,2, причём запятую и каждую цифру в записи числа нужно использовать, и лишь один раз. Ш Н 15 Запишите смешанные дроби в виде десятичных: а) 1—: ' 10 б) 30—; ' 10 в) 4 368 г) 675 52 16 1000 10000 Запишите в виде обыкновенной или смешанной дроби: а) 0,68; 0,03; 0,206; в) 7,5; 4,05; 3,64; б) 0,007; 0,0021; 0,0005; г) 45,0471; 302,0054. 17 Д) 100 4 567 100 000' Начертите числовой луч (примите за единичный отрезок 10 клеточек) и отметьте на нём числа: 0,7; 0,5; 1,2; 2,1. Ш П 18 На числовом луче некоторые точки обозначены буквами. Какие из них соответствуют числам: 14,8; 15,15; 15,90? ABC D E K M [-----1—I—•—I—I—•—I—I—•—I—I—h*-l—h*-l—I—•—I—I—•— 14 15 16 19 Отметьте на числовом луче точки с координатами: а) 0,35; б) 0,29; в) 1,21. Ш М 20 Запишите значение величины, используя десятичные дроби: а) 5 м 6 дм; б) 7 м 54 см; в) 9 м 5 см; г) 11 ц 67 кг; д) 12 ц 6 кг; е) 3 р. 5 к. 43 Десятичные дроби и метрическая система мер Вспоминаем то, что знаем I Выразите в дециметрах: 5 м; 11 км. Открываем новые знания I Как выразить в дециметрах 4 см; 12 мм? Можно ли это сделать с помощью десятичных дробей? I Как выразить в килограммах 7 г? Можно ли это сделать с помощью десятичной дроби? Как? в Как, используя десятичные дроби, можно записывать соотношения, связывающие единицы длины? соотношения, связывающие единицы массы? Единицы измерения ещё каких известных вам величин можно достаточно просто выражать с помощью де ся тич ных дро бей? Отвечаем, проверяем себя по тексту Вам уже известно, что большинство людей в мире пользуются метрической системой мер. В этой системе одна единица получается из другой умножением или делением на 10, 100, 1 000 и т.д. Десятичные соотношения между различными метрическими единицами отражены в их названиях. Приставка «кило» означает увеличение в 1 000 раз. Например, километр - это 1 000 метров. 44 Метрическая система мер Соответственно, метр — это 1 1 000 километра, или 1 метр = = 0,001 километра. Приставка «гекто» означает увеличение в 100 раз. Например, гектар - это 100 ар. Соответственно, ар — это гектара, или, используя десятичные дроби, это соотношение можно записать так: 1ар = 0,01 гектара. Приставка «дека» означает увеличение в десять раз. Например, декалитр — это 10 литров. ► Соответственно, литр — это ^ декалитра, или, используя деся-тич ные дро би, это со от но ше ние мож но за пи сать так: 1 литр = = 0,1 декалитра. Приставка «деци» означает уменьшение в 10 раз. Например, дециметр — это 110 метра, или, используя десятичные дроби, это соотношение можно записать так: 1 дециметр = 0,1 метра. Соответственно, 1 метр = 10 дециметров. Приставка «санти» означает уменьшение в 100 раз. Напри- 1 мер, сантиметр — это 100 мет ра, или, ис поль зуя де ся тич ные дроби, это соотношение можно записать так: 1 сантиметр = 0,01 метра. Соответственно, 1 метр = 100 сантиметров. Приставка «милли» означает уменьшение в 1 000 раз. На- 1 пример, миллиметр — это 1 000 метра, или, используя деся- тич ные дро би, это со от но ше ние мож но за пи сать так: 1 мил ли-метр = 0,001 метра. Соответственно, 1 метр = 1 000 миллиметров. Развиваем умения Н Продолжите предложения. а) Десятая часть метра — это ... б) Сотая часть метра — это . в) Тысячная часть метра — это . г) Тысячная часть километра — это . 45 Заполните пропуски. Используйте при записи там, где это необходимо, десятичные дроби. а) 1 кг = ... г; 1 г = ... кг; б) 1 ц = ^ кг; 1 кг = ... ц; в) 1 т = ^ ц; 1 ц = ... т; г) 1 т = ... кг; 1 кг = ... т. [3\ Выразите а) в метрах и сантиметрах: 3,15 м; 8,54 м; 7,03 м; б) в килограммах и граммах: 8,537 кг; 9,056 кг; 7,008 кг; в) в тоннах и килограммах: 0,568 т; 4,035 т; 5,004 т. Работайте по образцу: 2,81 м = 2 м 81 см. [~^ Запишите значение величины, используя десятичные дроби. Образец: 12 дм 5 мм = 12,05 дм. а) 3 км 6 м; в) 7 м 4 мм; д) 4 м 25 см; б) 12 ц 54 кг; г) 1 т 4 ц; е) 15 кг 75 г. [~5| а) Назовите известные вам единицы площади и выпишите соотношения между ними. б) Как называется сотая часть квадратного метра, сотая часть квадратного дециметра, сотая часть квадратного сантиметра? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Выразите в метрах: 2 дм; 3 см; 5 мм. б) Выразите в тоннах: 2 ц; 3 кг; 4 г. П Вариант II а) Выразите в метрах: 500 см; 60 см; 2 м 3 см. б) Выразите в килограммах: 50 г; 60 ц; 3 г 15 мг. Тренировочные упражнения. Н [~^ Найдите ложные высказывания и исправьте в них правую часть равенства. а) 1 кг 85 г = 1,85 кг; в) 3 т 25 кг = 3,025 т; б) 35 мм = 0,35 см; г) 5 дм = 0,005 км. [7\ Выразите а) в метрах: 3 дм; 4 см; 72 см; 2 мм; 65 мм; 564 мм; б) в дециметрах: 6 см; 4 мм; 25 мм; в) в километрах: 126 м; 45 м; 4 м; 345 дм; 56 см; г) в килограммах: 356 г; 7 г; д) в тоннах: 4 ц; 44 ц; 6 кг; 678 кг; 5 г. 46 8 Какую часть составляет: а) 1 мм2 от 1 см2; б) 1 см2 от 1 дм2; в) 1 см2 от 1 м2; г) 1 мм2 от 1 дм2; д) 1 мм2 от 1 м2? Запишите ответ десятичной дробью. [~9] Найдите площадь прямоугольника со сторонами: 1,2 см и 2,4 см (в мм2). П 10 На двух участках прямоугольной формы посеяли пшеницу. Размеры первого участка 200 м X 350 м, а второго - 600 м х 400 м. С первого участка собрали 56 т пшеницы, а со второго - 156 т. Урожайность - это число центнеров пшеницы, собранных с одного гектара. Сравните урожайности этих двух участков. М 11 Выразите в метрах: 2,3 мм; 5,04 км. Ш Н 12 Выразите а) в метрах: 12 дм; 5 см; 12 см; 7 мм; 89 мм; 454 мм; б) в дециметрах: 13 см; 24 см; 25 мм; в) в километрах: 1 785 м; 4 560 м; 4 м; 3 789 дм; 56 см; г) в центнерах: 356 кг; 7 кг. 13 а) Длина прямоугольного участка земли 500 м, а ширина 300 м. Сколько центнеров зерна собрали с этого участка, если с 1 га собирали по 30 ц? б) С прямоугольного участка земли шириной 200 м и длиной 300 м собрали 180 ц ржи. Сколько центнеров ржи получили с одного гектара? Ш П 14 Выразите в метрах: 4 дм 7 см 5 мм; 12 дм 2 см 1 мм; 3 дм 9 мм. Ш М 15 Выразите в квадратных метрах: 3,6 дм2; 0,45 га. 47 2.3 Сравнение десятичных дробей Вспоминаем то, что знаем 4 40 40 400 I Сравните числа — и -; ---- и ----. ^ 10 100 100 1000 Открываем новые знания I Сравните числа 1,2 и 1,20; 1,20 и 1,200. Если отбросить нули, записанные в конце десятичной дроби, то как изменится дробь? Если приписать к десятичной дроби справа несколько нулей, то как изменится дробь? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Нули в конце записи десятичной дроби Ж 7 Запишем числа 2,6 и 2,60 в виде обыкновенных дробей и срав-26 260 ним: 2,6 = —; 2,60 =---. В соответствии с основным свойством 10 100 б 26 260 26 260 дроби — = -----, следовательно, 2,6 = 2,60. ^ 10 100 Такое же рассуждение можно привести для любой другой десятичной дроби. Например: 2,3 = 2,30 = 2,300 и т.д. 0,07 = 0,070 = 0,0700 и т.д. 48 Можно сделать следующий вывод: если к десятичной дроби приписать справа какое угодно количество нулей, то получится дробь, равная данной. Отсюда следует, что если в десятичной дроби последние цифры нули, то, отбросив их, получим дробь, равную данной. Например: 3,20 = 3,2; 0,05600 = 0,056. Вспоминаем то, что знаем 170 1700 в Сравните числа 17; -- и ---. 10 100 Открываем новые знания в Сравните числа 17; 17,0 и 17,00. Можно ли записать любое натуральное число в виде десятичной дроби? Как? Отвечаем, проверяем себя по тексту Натуральное число как деся- Любое натуральное число можно представить в виде обыкно-вен ной дро би с лю бым зна ме на те лем, являющимся степенью числа 10. 40 400 4 000 Например: 4 = — =----=------- и т.д. 10 100 1000 Переведя обыкновенные дроби в десятичные, получим: 4 = 4,0 = = 4,00 = 4,000 и т.д. Таким образом, любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби, приписав справа от него запятую, а после запятой — какое угодно количество нулей. Например: 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000 и т.д. 90 = 90,0 = 90,00 = 90,000 и т.д. Вспоминаем то, что знаем €» Сравните числа 5 000 и 4 999. Расскажите, какие есть способы сравнения двух натуральных чисел. 49 Открываем новые знания I Сравните числа 5 и 4,999. Как вы рассуждали? I Можно ли сравнить десятичные дроби, не заменяя их обыкновенными? Как это сделать? Отвечаем, проверяем себя по тексту Сравнение десятичных дробей Представим числа 2,989 и 2,012 в виде обыкновенных дробей и сравним их: 12 989 2-----> 2- 1 000 1 000 Теперь сравним числа 2,989 и 2,012 по разрядам. Результат, конечно, получается тот же самый: 2,989 > 2,012, так как целые части этих дробей равны, но различаются цифры в разряде десятых: 9 десятых больше, чем 0 десятых. Десятичные дроби сравнивают так же, как натуральные числа: по разрядам. Такой способ сравнения десятичных дробей значительно проще, чем способ, основанный на преобразовании десятичных дробей в обыкновенные. Далее мы увидим, что действия над десятичными дробями почти не от ли ча ют ся от действий с на ту раль ны ми чис ла ми и по э тому зачастую оказываются значительно проще, чем действия с обыкновенными дробями. Развиваем умения Н Выберите среди предложенных чисел равные и запишите их группами. Объясните свой выбор. а) 2,300; 2,003; 2,3; 2,30; 2,03; б) 80,0; 80,00; 8,000; 80. [~^ Ф Продолжите предложения. а) Ес ли к лю бой де ся тич ной дро би при пи сать спра ва три ну ля, то по лу чит ся чис-ло^ б) Ес ли к лю бо му на ту раль но му чис лу при пи сать спра ва три ну ля, то по лу чит ся число^ в) Ес ли к лю бо му на ту раль но му чис лу при пи сать спра ва запятую, а после неё три нуля, то получится число^ 50 [~3] Запишите только верные равенства. а) 11,30 = 11,3; б) 25 = 250; в) 1,03 = 1,30; г) 4 = 4,0. [~^ Замените десятичную дробь какой-нибудь равной ей десятичной дробью: а) 1,2000; б) 80,0200; в) 0,3050; г) 0,0030; д) 31,040400; е) 3,03800. [~^ Уравняйте число цифр после запятой у дробей: а) 2,2 и 3,51; в) 7,2001 и 8,00007; б) 3,125 и 0,54007; г) 0,00009 и 5,4000; [~6] Сравните числа (>; <; =): а) 6,35 * 5,19; б) 7,48 * 7,5; в) 12,39 * 1,2399; г) 4,1234 * 4,1231; д) 0,48 * 0,4; 1^7] Назовите десятичные дроби, отмеченные точками на числовом луче. е) 40,002 * 40,02; ж) 17,183 * 17,09; з) 29,5 * 29,53; и) 0,00041 * 0,0005; к) 8 * 7,99; д) 9,0001 и 7,09; е) 0,1100 и 4,1. л) 13,9 * 19,3; м) 0,001 * 0,010; н) 12,78 * 12,87; о) 1,708 * 1,78; п) 21,1 * 21,111. а) I--0 A B -Н-1-1—•—I--1--1--1—•—I-h 4,2 б) ь- С D ^—I—I—I—I—•—I—I—I—•—h 4,3 0 4,21 4,22 Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Замените десятичную дробь какой-нибудь равной ей дробью: 0,300; 20,050; 0,003. б) Сравните числа (>; <; =): 0,19 * 0,2; 6,542 * 6,541; 10,001 * 10,01. П Вариант II. а) Расположите числа в порядке убывания: 0,94; 0,09; 0,93; 0,091. б) Запишите три различные десятичные дроби, каждая из которых больше, чем 1,42, но меньше, чем 1,43. Тренировочные упражнения. Н Сравните числа (>; <; =): а) 30,001 и 30,01; в) 17,183 и 17,09; д) 459,259 и 459,295; б) 19,53 и 1,953; г) 13,004 и 12,9; е) 0,00007 и 0,0000700. Г9! Назовите какую-нибудь десятичную дробь, которая больше, чем 0,5, но меньше, чем 0,6. 10 Расположите числа а) в порядке убывания: 0,08; 0,10; 0,11; 0,081; б) в порядке возрастания: 2,356; 2,35; 2,36. 51 П 11 12 Запишите вместо « * » какую-нибудь цифру, чтобы получилось верное неравенство. а) 18,*5 < 18,45; б) 8,32* > 8,327; в) 2,341 < 2,3*1. Запишите вместо « * » какую-нибудь десятичную дробь, чтобы получилось верное неравенство. а) * < 0,2; б) * < 0,02. М 13 Сравните: 1 1 1 а) — и 0,5; б) 0,25 и —; в) — и 0,3. 3 4 7 14 Перенесите или поставьте запятую так, чтобы каждое из данных чисел содержало ровно 3 целых: а) 32; б) 0,32; в) 3200; г) 0,0032. Рас ска жи те, во сколь ко раз уве ли чи лось или умень ши лось каж дое из пер во начальных чисел. Ш Н 15 16 17 Сравните числа (>; <; =): а) 0,0015 и 0,01; в) 100,183 и 99,9; б) 1,42 и 1,402; г) 3,004 и 3,040. Расположите числа а) в порядке убывания: 0,815; 0,108; 0,180; 0,0815; б) в порядке возрастания: 1,150; 1,105; 1,510. а) Укажите среди перечисленных отрезок наибольшей длины: АВ = 367 см; CD = 5 698 мм; EF = 79 дм; GH = 2,8 м. б) Укажите среди перечисленных отрезок наименьшей длины: AK = 3,37 м; BD = 57,2 дм; MK = 167,24 см; LG = 6 318 мм. в) Укажите среди перечисленных отрезки одинаковой длины: MN = 0,0834 м; KL = 83,4 см; ST = 0,834 дм; PQ = 834 мм. т П 18 19 20 Назовите все возможные цифры, которые можно поставить вместо « * », чтобы получилось верное неравенство. а) 0,*1 < 0,21; б) 0,15* > 0,158; в) 0,070 < 0,0*0. Запишите вместо « * » какую-нибудь десятичную дробь, чтобы получилось верное неравенство. а) * > 0,2; б) * > 0,02. В десятичной дроби среди цифр, стоящих после запятой, есть ровно один нуль. Этот нуль вычеркнули. Сравните получившееся число с исходным, если этот нуль сто ял: а) в конце десятичной дроби; б) не в конце десятичной дроби. 52 Сложение и вычитание десятичных дробей Вспоминаем то, что знаем „ 9 16 Найдите сумму чисел 2— и 1 5--. ^ ^ 10 100 Открываем новые знания Как найти сумму чисел 13,4 и 1,7, не меняя их десятичной записи? Как складывают десятичные дроби? Отвечаем, проверяем себя по тексту Найдём сумму чисел 3,4 и 5,3. Это можно сделать, перейдя к обык но вен ным дро бям: 43 3— + 5— — 3 + 5 + 10 10 f v10 + 10у 10 Найдём сумму этих же чисел, складывая десятичные дроби так же, как и натуральные числа, - поразрядно: +3,4 Сравним полученные результаты: 8-70 — 8,7. 5,3 8,7. Сложение десятичных дробей, так же как и сложение натуральных чисел, можно выполнять поразрядно. В некоторых случаях это легко сделать устно. 53 Сложим числа 38,251 и 1,56. Устно это сделать сложно, поэтому запишем их в столбик так же, как мы поступали с натуральными числами: цифры, относящиеся к одному и тому же разряду, должны быть записаны строго друг под другом: 38,251 1,56 39,811. + ■ Обратите внимание, что действия с десятичными дробями отличаются от действий с натуральными числами только тем, что нужно правильно поставить запятую в полученном результате: запятая в сумме должна стоять под запятыми в слагаемых. Иногда для простоты вычислений принято уравнивать число разрядов в тех числах, над которыми производятся действия, приписывая нули на «пустых» местах. Это похоже на приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Например: 38 251 + 1,560 39,811. Для десятичных дробей выполняются переместительный и соче-та тель ный за ко ны сло же ния, так как эти за ко ны вы пол ня ют ся для равных им обыкновенных дробей. Это позволяет в сумме нес коль ких сла га е мых пе рес тав лять сла га е мые и зак лю чать их в скобки любым образом и опускать скобки по тем же правилам, что и для обыкновенных дробей. Вспоминаем то, что знаем ..4 2 I Найдите разность чисел 1 5— и -. 10 100 Открываем новые знания I Как найти разность чисел 15,9 и 9,2, не меняя их десятичной записи? I Как вычитают десятичные дроби? 54 Отвечаем, проверяем себя по тексту 5 - 3 + Найдём разность чисел 5,9 и 3,2. Это можно сделать так: f 9 - 2 ^ V10 10^ Найдём разность этих же чисел, вычитая десятичные дроби так же, как и натуральные числа, - поразрядно: 5,9 -3,2 5— - 3— 10 10 10 2,7. Сравним полученные результаты: 2— = 2 7 10 Вычитание десятичных дробей производится так же, как и вычитание натуральных чисел: по разрядам. При этом запятые пишутся друг под другом. Например: найдём разность чисел 3,51 и 1,489. Выполнить эти вы чис ле ния уст но слож но, по э то му про из ве дём вы чис ле ния в столбик. Уравняем при этом число разрядов в уменьшаемом и вычитаемом, приписав справа нуль в уменьшаемом: -3,510 1,489 2,021. Развиваем умения Н рГ] • Выполните сложение: а) 2,15 + 3,41; в) 50,24 + 8,32; б) 12,31 + 7,54; г) 1,72 + 18,05; [~2] Найдите сумму: а) 2,57 + 4,62; б) 0,513 + 0,478; в) 4,28 + 3,12; г) 0,315 + 0,026; д) 4,72 + 15,61; е) 0,003 + 2,147; ж) 2,56 + 2,73; з) 0,24 + 0,96; д) 7,19 + 3,01; е) 12,3 + 2,17; и) 11,29 + 8,71; к) 4,071 + 0,32; л) 2,22 + 2,022; м) 4,9 + 2,29; [~3] Проверьте записи и найдите неверные. Исправьте ошибки. а^ ^ М J J б^ ^ ^ J J в) L/ Л ‘2 1 п Ч '2 ,2 2 > 5 л:* 2 ж) 0,04 + 4,7; з) 11,2 + 3,191 н) 11,9 + 9,11; о) 6,78 + 3,9; п) 103,1 + 2,97; р) 4,64 + 6,46. } ) 11 2 2 7 2 55 [~^ Вычислите: а) 12,9 + 6,31; б) 0,82 + 1,5; в) 4,7 + 0,63; г) 104,2 + 6,77; д) 7,356 + 22,54; е) 0,033 + 15,37; ж) 123,6 + 1,234; з) 10,84 + 5,5; и) 2,11 + 0,099. [5\ а) Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых: 0,254; 2,37; 108,009. Образец: 13,152 = 10 + 3 + 0,1 + 0,05 + 0,002. б) Запишите число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 0,4 + 0,005 + 0,0001; 10 + 4 + 0,1 + 0,06. Q Найдите разность: а) 3,45 - 2,01; в) 50,34 - 8,21; д) 17,91 - 7,8; б) 12,54 - 7,31; г) 18,75 - 6,43; е) 0,017 - 0,009; [~^ Проверьте записи и найдите неверные. Исправьте ошибки. а) ж) 9,27 - 0,1; з) 3,8 - 2,65. 3 / J '2 б) 1 25 3 в) ] 2 1 ^ Ц 6 2 2 8 Вычислите: а) 12,9 - 6,31; б) 4,82 - 1,05; в) 4,7 - 0,83; Q Найдите разность: а) 130 - 38,01; б) 54 - 7,31; г) 104,2 - 6,77; д) 22,54 - 7,376; е) 15,033 - 0,37; ж) 123,6 - 1,234; з) 10,84 - 5,05; и) 2,11 - 0,099. в) 50 - 8,21; г) 108 - 62,43; д) 47 - 19,4; е) 20,3 - 7,07; ж) 17,2 - 9,79; з) 10 - 0,031. 10 Вычислите, применяя законы сложения и правила раскрытия скобок: а) 2,48 + 0,19 + 1,12 + 6,81; г) 4,72 + 15,61 + 0,08 + 0,19; б) 0,513 + 0,478 - 0,013; д) 12 - 2,147 - 0,003; в) 5,236 + (3,664 - 2,6); е) 4,756 - (2,5 + 1,056). Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Вычислите сумму: б) Вычислите разность: 5,4 + 0,73; 10,3 - 5,21; 0,045 + 11,23; 105,1 - 7,89; 4,12 + 0,081. 143,7 - 2,34. П Вариант II. а) Вычислите: 0,49 + 0,19 + 1,51; 12,567 - 2,56 - 0,007. б) Вычислите периметр прямоугольника, если его ширина равна 1 5 дм, а длина на 2,3 дм больше. 56 Тренировочные упражнения. Н 11 Вычислите: а) 1,5 + 4,7; б) 4,6 - 2; в) 6,8 - 2,25; г) 6 - 0,6; д) 0,2 + 6; е) 1,001 - 0,3; ж) 16,4 + 5,72; з) 9,17 - 7,8. 12 Вычислите: а) 7,12 + 0,57 + 1,08 + 5,53; б) 16,28 + 5,395 - 1,18; в) 6,2 + 7,49 + 1,8 + 1,29; г) 7,358 + 8,24 - 6,458 - 2,84. 13 14 Вычислите по образцу: 1,2 дм + 1,2 см = 1,2 дм + 0,12 дм = 1,32 дм. а) 12 см + 5,53 дм; г) 6,2 м + 1,29 дм; б) 12 м - 5,53 дм; д) 6,2 м - 1,29 см; в) 1,8 дм • 2; е) 4,8 м • 3. а) Вычислите периметр прямоугольника, если его длина равна 15 дм, а ши рина на 2,3 дм меньше. б) Скорость течения реки 4,2 км/ч, а соб ствен ная ско рость лод ки 7.5 км/ч. Определите скорость лодки по течению и против течения. в) Ско рость ка те ра по те че нию 22.5 км/ч, а против течения 18.5 км/ч. Какова собственная скорость катера? П 15 а) На числовом луче отмечена точка А (52,96). Найдите координаты точек В и С, если известно, что АВ = 12,387, АС = 5,079 и при этом точка В расположена правее, а точ ка С - левее точки А. б) На числовом луче отмечены точки А (17,3) и В (25,9). Найдите координату точки С, если известно, что АС больше AB на 2,85. Найдите все возможные решения. М 16 Запишите наибольшее и наименьшее возможное число, используя по одному разу цифры 3, 8, 0 и запятую. Найдите сумму и разность этих чисел. Ш Н 17 Вычислите: а) 0,45 + 3,55 + 4,38 + 6,5; б) 15,40 + 5,35 - 0,05; в) 7,3 + 7,49 + 2,7 - 1,29; г) 18,24 - 8,008 - 2,012. 57 18 Вычислите по образцу: 1,2 м + 10 см = 1,2 м + 0,01 м = 1,21 м. а) 9 см + 1,4 мм; б) 3,4 м + 9 дм; в) 10 дм - 6,43 см. т П 19 а) Щенок весит 2,5 кг, а котёнок на 1,9 кг меньше. Сколько весят щенок и котёнок вместе? б) Рустэм собрал 12,6 кг яблок - это на 2,8 кг больше, чем собрал Искандер, и на 1,4 кг меньше, чем собрал Феликс. Сколько килограммов яблок они собрали вместе? в) В кассе была некоторая сумма денег. Поступило в кассу 4 800,50 р., а выдано из кассы 583,80 р. Сколько денег было в кассе первоначально, если после всех операций в ней осталось 11 230,10 р.? Ш М 20 Как изменятся сумма и разность двух натуральных чисел, если каждое из них увеличить в 10 раз? уменьшить в 10 раз? Деление и умножение десятичной дроби на 10, 100, 1 000, Вспоминаем то, что знаем Выберите любое натуральное число и умножьте его поочерёдно на 10, 100, 1 000. Чем отличаются записи полученных результатов от записи исходного числа? Что нужно сделать с записью натурального числа, чтобы увеличить его в 1 0 раз, в 1 00 раз, в 10" раз? Открываем новые знания I Умножьте число 0,005 поочерёдно на 10, 100, 1000. Чем отличаются записи полученных результатов от записи исходной дроби? 58 Что нужно сделать с записью десятичной дроби, чтобы увеличить её в 10 раз, в 100 раз, в 10" раз? Отвечаем, проверяем себя по тексту Умножение деся тичной дроби на Умножим число 2,351 поочерёдно на 10, 100, 1 000. 2,351 • 10 2,351 • 100 2 351 10 _ 2 351 _ 1 000 1 _ 100 _ 2 351 100 2 351 1 000 1 10 23,51 _ 235,1 2,351 • 1 000 _ 2 351 1 000 2 351 1 000 1 1 _ 2 351 Сравним полученные записи результатов с записью исходной дроби: 2,351 ^ 23,51 ^ 235,1 ^ 2 351. Мы видим, что от числа к числу меняется положение запятой: при умножении на 10 она сдвигается вправо на один знак, при умножении на 100 — на два знака, при умножении на 1 000 — на три знака. При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. достаточно перенести в этой дроби запятую на столько знаков вправо, сколько нулей содержится в множителе. Это же правило можно сформулировать так: перенося запятую в записи дроби на п знаков вправо, мы увеличиваем эту дробь в 10" раз. Пользуясь этим правилом, увеличим дробь 2,351 в 100 000 раз: 2,35100^ 100 000 = 235 100. Обратите внимание: для того чтобы воспользоваться полученным правилом, нам пришлось приписать к исходной дроби справа два нуля, так как в данной дроби после запятой только три знака, а в множителе содержится пять нулей. Вспоминаем то, что знаем I Разделите число 456 000 поочерёдно на 10, 100, 1 000. Чем отличаются записи полу чен ных ре зуль та тов от за пи си ис ход но го чис ла? 59 Открываем новые знания I Разделите число 0,3 поочерёдно на 10, 100, 1000. Чем отличаются записи полученных результатов от записи исходной дроби? I Что нужно сделать с записью десятичной дроби, чтобы уменьшить её в 10 раз? в 100 раз? в 10" раз? Отвечаем, проверяем себя по тексту Деление десятич ной дроби на 10, 100, 1 000, ... Разделим число 235,1 поочерёдно на 10, 100, 1 000. 235,1 : 10 2 351 1 2 351 235,1 : 100 = 10 10 2 351 1 100 2 351 235,1 : 1 000 = 10 2 351 100 1 000 23,51 = 2,351 1 2 351 10 1 000 10 000 = 0,2351 Сравним полученные записи результатов с записью исходной дроби: 235.1 ^ 23,51 ^ 2,351 ^ 0,2351. Мы видим, что от числа к числу меняется положение запятой: при делении на 10 она сдвигается влево на один знак, при делении на 100 — на два знака, при делении на 1 000 — на три знака. Отсюда делаем вывод: при делении десятичной дроби на 10, 100, 1 000 и т.д. достаточно перенести в этой дроби запятую на столько знаков влево, сколько нулей содержится в делителе. Это же правило можно сформулировать так: перенося запятую в записи дроби на " знаков влево, мы уменьшаем эту дробь в 10" раз. Пользуясь этим правилом, уменьшим дробь 235,1 в 100 000 раз. Для этого нужно перенести запятую в записи дроби на 5 знаков влево. Но после переноса запятой на 3 знака влево мы обнаружим, что левее цифр уже нет, а нам надо перенести запятую влево ещё на два знака. В таком случае перед самой левой цифрой дописывают необходимое количество нулей. Нуль также ставят и перед запятой: 00235.1 : 100 000 = 0,002351. 60 Развиваем умения Н ~Т] • Как изменится дробь, если запятую в её десятичной записи: а) перенести на 2 цифры вправо; б) перенести на 5 цифр влево; в) перенести сначала на 3 цифры вправо, а затем на 2 цифры влево? [~^ • Как изменится положение запятой в записи десятичной дроби, если эту дробь: а) увеличить сначала в 10 раз, а потом ещё в 100 раз; б) уменьшить сначала в 100 раз, а потом ещё в 10 раз; в) сначала увеличить в 10 раз, а потом уменьшить в 100 раз? [~3] Какое число больше и во сколько раз: а) 51,675 или 516,75; б) 3 954,2 или 3,9542? [4\ Какое число меньше и во сколько раз: а) 17,68 или 1,768; б) 1,2345 или 123,45? \~5\ а) Увеличьте каждую дробь в 10, 100, 1 000 раз: 4,1567; 0,456; 0,060; 0,002. б) Уменьшите каждую дробь в 10, 100, 1 000 раз: 4156,7; 45,6; 6,5; 0,02. [~6] Выразите в килограммах: а) 1,540 ц; 15,40 ц; 154,2 ц; б) 154,2 т; 15,40 т; 1,540 т; в) 1542 г; 154,0 г; 15,4 г. [7\ Выразите а) в кубических метрах: 7 054 дм3; 705,4 дм3; 70 540 см3; б) в кубических миллиметрах: 7,054 см3; 7,054 дм3. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Увеличьте в 10,100,1 000 раз дробь 0,067. Уменьшите в 10,100,1 000 раз дробь 6,7. б) Выразите в метрах: 150 см; 1,5 см; 0,15 см. П Вариант II. а) Представьте в виде натурального числа 1,2 тыс. и 1,2 млн. б) Выразите в квадратных метрах: 1,5 а; 1,5 га. 61 Тренировочные упражнения. Н На какое число нужно умножить или разделить число 32,5, чтобы в результате получилось: а) 3 250; б) 32,5; в) 325; г) 0,0325; д) 32 500? [~^ Представьте в виде натурального числа: а) 1,5 тыс.; б) 0,9 тыс.; в) 0,05 тыс.; 1.5 млн; 0,9 млн; 0,05 млн; 1.5 млрд; 0,9 млрд; 0,05 млрд; 10 11 12 Выразите а) в метрах: 3,125 км; 2,5 км; 0,25 км; б) в миллиметрах: 10,5 м; 0,5 м; 0,01 м; в) в миллилитрах: 1,205 л; 0,125 л; 12,05 л. Выразите а) в метрах: 125 см; 2,5 см; 0,25 см; б) в сантиметрах: 10,5 мм; 5 мм; 0,05 мм; в) в литрах: 1 205 мл; 12,5 мл; 0,205 мл. Выразите а) в квадратных километрах: 1 254 га; 1 254 а; б) в квадратных сантиметрах: 4,754 дм2; 54 мм2. г) 0,001 тыс.; 0,001 млн; 0,001 млрд. П 13 Объясните, на чём основано рассуждение: 0,3 • 10 = 3, поэтому 0,3 • 20 = 6. Исходя из этого рассуждения, найдите значение выражения: 1,2 • 80. М 14 Известно, что 125 8 = 1 000. Найдите истинное высказывание: а) 1,25 • 0,8 = 100; б) 1,25 • 0,8 = 10; в) 1,25 0,8 = 1. Объясните свой выбор. т Н 15 16 а) Увеличьте каждую дробь в 10, 100, 1 000 раз: 8,9067; 0,573; 0,078; 0,004. б) Уменьшите каждую дробь в 10, 100, 1 000 раз: 975,8; 63,6; 8,3; 0,01. Выразите а) в килограммах: 1,45 ц; 0,54 т; 450 г; б) в граммах: 4,5 кг; 0,06 кг; 0,009 кг. 62 8 17 а) За 100 одинаковых ручек заплатили 1,25 тыс. р. Сколько надо заплатить за 10 таких ручек? б) За 10 одинаковых автомобилей заплатили 5,4 млн р. Сколько надо заплатить за 20 таких же автомобилей? за 200? Выразите ответ в рублях. Ш П 18 19 Убедитесь в верности равенств: 3 0,1 = 0,3; 3 0,01 = 0,03. Найдите значение выражения: 1,2 0,001. Сформулируйте правило умножения числа на 0,1; 0,01; 0,001. Сравните (>; <; =): а) 563 • 70 ^ 563 • 7; б) 563 • 70 ^ 56,3 • 70; в) 563 7 ^ 56,3 • 0,7; г) 56,3 • 70 ^ 563 • 7. Ш М 20 Известно, что 1 000 : 8 = 125. Найдите истинное высказывание: а) 1 : 0,8 = 1,25; б) 1 : 0,8 = 0,0125; в) 1 : 0,8 = 0,125. Объясните свой выбор. 2. Умножение десятичной дроби на натуральное число. Умножение десятичных дробей Вспоминаем то, что знаем О Найдите произведение чисел 24 и 63. Открываем новые знания © Найдите произведение чисел 0,24 и 63. Оравните полученное произведение с произведением чисел 24 и 63. Как найти произведение чисел 0,24 и 63, не заменяя десятичную дробь обыкновенной? 63 Как умножить десятичную дробь на натуральное число, не заменяя десятичную дробь обыкновенной? Отвечаем, проверяем себя по тексту Умножение десятичной дроби на натуральное число JJL Найдём произведение чисел 346 и 52. Это число 17 992. Найдём произведение чисел 3,46 и 52. Это число 179,92. 3,46 • 52 = 3 46 52 1 346•52 17992 92 = 179----= 179,92 100 1 100 100 100 Сравним эти произведения: второе (179,92) в 100 раз меньше первого (17 992). Почему? Вам уже известна следующая зависимость: произведение увеличивается или уменьшается во столь ко же раз, во сколь ко раз уве ли чи ва ет ся или умень ша ет ся один из мно жи те лей, ес ли вто рой мно жи тель ос та ёт ся не из-менным. Действи тель но, в пер вом про из ве де нии со дер жит ся мно жи тель 346, во втором — 3,46, а второй множитель в обоих произведениях одинаковый (52). Число 3,46 в 100 раз меньше числа 346. Сделаем вывод: перемножить числа 3,46 и 52 - это то же самое, что перемножить натуральные числа 346 и 52, а затем уменьшить полученное произведение в 100 раз. Уменьшить число в 100 раз — это значит отделить в нём запятой две цифры справа (столько же, сколько их содержится в десятичной дроби 3,46). Пра ви ло ум но же ния де ся тич ной дро би на на ту раль ное чис ло можно сформулировать так: при умножении десятичной дроби на натуральное число сначала надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в десятичной дроби. Вспоминаем то, что знаем I Найдите произведение чисел 15 и 47. Открываем новые знания I Найдите произведение чисел 0,15 и 4,7. Сравните полученный результат с произведением чисел 15 и 47. Как найти произведение чисел 0,15 и 4,7, не заменяя их обык-но вен ными дробями? Как умножают десятичные дроби, не заменяя их обыкновенными дробями? 64 Отвечаем, проверяем себя по тексту Умножение десятичных дробей i Найдём произведение чисел 346 и 52. Это число 17 992. Найдём произведение чисел 3,46 и 5,2. Это число 17,992. 3,46 • 5,2 = 3 46 ^2 = 10 346 • 52 7 992 992 = 1 7- л = 17,992 00 10 1 000 1 000 1 000 Сравним эти произведения: второе (17,992) в 1 000 раз меньше первого (17 992). Почему? Во втором произведении содержится множитель 3,46, в первом - 346. Число 3,46 в 100 раз меньше числа 346. Во втором произведении содержится множитель 5,2, в первом — 52. Число 5,2 в 10 раз меньше числа 52. Сделаем вывод: перемножить числа 3,46 и 5,2 — это то же самое, что перемножить натуральные числа 346 и 52, а затем уменьшить полученное произведение в 1 000 раз (в 100 и ещё в 10). Уменьшить число в 1 000 раз — это значит отделить в нём запятой три цифры справа (столько же, сколько их содержится в обоих множителях вместе). Правило умножения десятичных дробей можно сформулировать так: при умножении десятичных дробей сначала надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе. Таким образом, умножение десятичных дробей так же, как и сложение, сводится к действию с натуральными числами. Пользуясь сформулированным правилом, найдём произведение чисел 0,315 и 0,23. Перемножив эти числа без учёта запятых (315 и 23), мы получим число 7 245. Это четырёхзначное число, а общее число знаков после запятой, которые содержатся в двух множителях, равно пяти. Для того чтобы отделить в полученном числе пять знаков справа, нужно приписать к нему слева один нуль. Записываем результат: 0,315 • 0,23 = 0,07245. Развиваем умения Н [^•Вычислите значение первого выражения в каждой группе. Назовите значения остальных выражений, не делая вычислений. а) 15 4; б) 25 4; в) 27 3; 1.5 4; 0,25 ^ 4; 2,7 3; 15 0,4; 25 0,04; 0,27 0,3; 1.5 0,4; 2,5 0,04; 0,027 0,03; г) 19 5; 1,90,5; 0,19 • 5; 0,0190,5. 65 [~^ Вычислите: а) 31,54^32; б) 60,5^4,8; в) 613,245; г) 3,005 44,44. [~^ Вычислите и сравните значения выражений в каждой паре. Расскажите, какую закономерность вы заметили. Объясните эту закономерность. Придумайте и найдите значения произведений, где одним из множителей будут числа 0,0001; 0,00001; 0,000001. а) 72,5 0,1; 72,5 : 10; б) 135,6 • 0,01; 135,46 : 100; в) 4 568,2 • 0,001; 4 568,2 : 1 000. [~^ Вычислите и сравните значения выражений в каждой паре. Расскажите, какую закономерность вы заметили. а) 72 0,5; 72 : 2; г) 88 0,125; 88 : 8; б) 132^ 0,25; 132 : 4; д) 350 • 0,02; 350 : 50; в) 145 • 0,2; 145 : 5; е) 625 • 0,04; 625 : 25. [~5| Найдите значения выражений устно, применяя законы арифметических действий. а) 32,49657 0,5 2; в) 125 967,754 0,008; д) 125 0,2 123,89 0,4; б) 0,25 • 78,9876 4; г) 2,5^ 0,4 • 50 • 0,02; е) 1,25 • 500 • 0,2 • 0,08. [~^ Найдите значения выражений устно, применяя законы арифметических действий. а) 115 0,5 + 85^ 0,5; в) 15^ 0,25 + 25 • 0,25; б) 0,69 20 - 0,19 20; г) 170 0,125 - 90 0,125. [~^ Вычислите: а) 7,5 0,4 + 3,2 0,17; б) 4,28 0,2 - 1,7 0,3; в) 0,8 • 3,15 + 0,18^ 3,6; г) 7,1 • 1,3 - 0,19 • 5,02; д) (62 - 14,8) • (34 - 0,175) - 961,9196; е) 32,05 • (28,03 + 11,5) - 1 266,9365. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два грузовика. Скорость первого - 50,6 км/ч, а скорость второго - на 7,6 км/ч больше. Чему равно расстояние между этими городами, если грузовики встретились через 0,5 ч? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Вычислите рациональным способом: 5 10^ 0,2; 16 4^ 0,25. б) Вычислите: 3,55 • 6; 6,71 • 23; 44,4 • 2,2. П Вариант II. а) Вычислите рациональным способом: 8 • 0,5; 16 • 0,25. б) Вычислите: 14,25 6,04; 0,81 1,033. 66 8 Тренировочные упражнения. Н Г9] Убедитесь, что множители в каждом из этих произведений — взаимно обратные числа. а) 0,8 • 1,25; б) 2,5 0,4; в) 50 0,02. 10 11 Вычислите: а) 0,04^ 100 0,25 + 2,5 0,4; б) 3,75 20,5 - 0,05 200; Вычислите: а) 0,07^ 100 0,23 + 0,25^ 16,5; б) (0,48 + 0,36)4,05 - 1,002; в) 6,25 0,16 + 46,002 2,9; г) 71,2 0,2 - 3,125 0,32. в) (5,004 + 0,806)(9 - 3,2); г) (8,8 0,45 - 2,16) 0,12. 12 На соревнованиях по техническому моделированию с одной и той же точки прямолинейной трассы одновременно стартовали в одном направлении две машинки. Скорость первой машинки - 72 км/ч, а скорость второй - 63 км/ч. На какое расстояние через 5 с после старта вторая машинка отстанет от первой? П 13 Проверьте, что числа каждой пары являются взаимно обратными. Найдите ещё несколько пар взаимно обратных чисел. а) 6,25 и 0,16; б) 3,125 и 0,32; в) 0,15625 и 6,4. М 14 Турист шёл пешком полтора часа. Первые полчаса он шёл со скоростью 5,4 км/ч, затем 48 мин со скоростью 4,5 км/ч, а оставшееся время со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние прошёл турист за эти полтора часа? fffl Н 15 Вычислите устно: а) 2 3,90,5; г) 7,3^ 5 + 2,7 5; б) 4 •7,8 0,25; д) 4,2^ 1,5 + 4,2 0,5; в) 0, 21 80,5; е) 0,4^ 58,6 + 58,6 • 0,6 16 Вычислите: а) (0 ,08 • 0,17 + 6,1009) • 21,5 - 130,889; 17 б) 30,6 - 4,7 • (5,5 - 4,08 - 0,19); в) 0,24 • (3 000 - 2 974,5) + 0,078 • 240. а) Цена одного метра атласа - 42,8 р., а метр шёлка на 4,78 р. дешевле. Хватит ли 900 р. на покупку 9,75 м атласа и 10,5 м шёлка? б) Хватит ли 56 м ковровой дорожки для трёх коридоров, имеющих длину 27,4 м, 25,8 м, 13,7 м? Если не хватит, то сколько метров? 67 т П 18 Заполните таблицу. n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 n Вычислите: а) 1,92; 1,52; 1,82; б) 0,112; 0,172; 0,142; в) 0,0122; 0,0162; 0,0132. Ш М 19 а) Найдите число, квадрат которого равен: 0,64; 0,01; 0,0009. б) Найдите число, куб которого равен: 0,064; 0,008; 0,125. Деление десятичной дроби на натуральное число. Деление десятичных дробей Вспоминаем то, что знаем I Выполните письменное деление чисел 1 554 и 2. Открываем новые знания I Как найти частное чисел 15,54 и 2? Как разделить десятичную дробь на натуральное число? 68 Отвечаем, проверяем себя по тексту Деление деся тичной дроби на натуральное число I 7 Вы уже знаете, что действия сложения, вычитания и умножения с десятичными дробями похожи на действия с натуральными чис ла ми. Основное отличие арифметических действий с десятичными дробями по сравнению с действиями с натуральными числами заключается в необходимости специального правила для определения места запятой в полученном результате. Такое правило понадобится и для деления. Пример 1. Разделим десятичную дробь 34,75 на натуральное чис ло 5. Сначала сделаем это, пользуясь свойствами операции деления: 34,75 : 5 = (30 + 4,5 + 0,25) : 5 = 30 : 5 + 4,5 : 5 + 0,25 : 5 = 6 + + 0,9 + 0,05 = 6,95. Теперь выполним деление в столбик, действуя в соответствии с теми же алгоритмами, что и при делении натуральных чисел. 34,75 30 - 47 45 -25 25_ 0 5 6,95 Сначала раздели ли на 5 число 34 - целую часть дроби 34,75; получили в частном 6 единиц, после этого в частном поставили запятую. В остатке получили 4 целых, приписали к ним 7 десятых, получили 47 десятых, разделили их на 5, по лу чи ли в част ном 9 де ся тых. В ос тат ке получили 2 десятых, приписали к ним 5 сотых, полу чи ли 25 со тых, раз де ли ли их на 5, полу чи ли в частном 5 сотых. Нуль в остатке означает, что деление закончено. Частное чисел 34,75 и 5 равно 6,95. Правило деления десятичной дроби на натуральное число можно сформулировать так: деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел. После того как закончено деление целой части, в частном ставят запятую. Рассмотрим несколько отдельных случаев деления. Пример 2. Найдём частное чисел 1,15 и 5. Целая часть делимого равна 1; она меньше делителя. Поэтому в частном записали 0 целых, пос ле че го пос та ви ли за пя тую и про дол жи ли деление. Результат: 1,15:5 = 0,23. 1,15 5 1 0 0,23 15 15 0 69 40 "40 0 24,4 24 40 "40 0 300 24 -60 56 Пример 3. Найдём частное чисел 24,4 и 8. -24,40 Когда все цифры делимого 24,4 были снесены, 24 ноль в остатке не получился: следовало продолжить деление. Мы знаем, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать ну ли, по э то му при пи сы ва ли к де ли мо му нуль и находили следующие цифры частного до тех пор, пока в остатке не получили нуль. Результат: 24,4 : 8 = 3,05. Обратите внимание, запись может быть сделана иначе: нули можно приписывать не к делимо му, а не пос ре д ствен но к остат кам, получающимся в процессе деления. Пример 4. Найдём частное чисел 300 и 8. Разделив 300 на 8, получили в частном 37 и в остатке 4. После этого продолжили деление, при пи сав к ос тат ку 0. Результат: 300 : 8 = 37,5. Иногда при делении получается бесконечная десятичная дробь. Пример 5. Найдём частное чисел 2 и 3. Разделив 2 на 3, получили в частном 0 и в остатке 2. Далее на каждом этапе вычисления — 20 получается один и тот же остаток 2, а в част- 18 ном - одна и та же цифра 6. Процесс этот бес- - 20 конечен, он приводит к выражению 0,666^, 18 где многоточие показывает, что цифра 6 по- 2... вторяется бесконечно много раз. Значит, деление не закончится, сколько бы мы его ни продолжали. При этом частное чисел 2 и 3 существует: 2:3= ^. Его можно записать в виде обыкновенной дроби 2 , но нельзя 3 записать в виде конечной десятичной дроби. 3,05 3,05 37,5 40 ' 40. 0 2,0 1 8 3 0,666. Вспоминаем то, что знаем I Найдите и сравните частные 25 : 5 и 250 : 50. Открываем новые знания I Найдите и сравните частные 44,8 : 2,8 и 448 : 28. 70 8 8 I Почему частные равны? Как обнаруженную закономерность можно использовать для упрощения деления десятичных дробей? Отвечаем, проверяем себя по тексту Найдём частное чисел 1 225 и 49. Это число 25. Найдём частное чисел 122,5 и 4,9. Это число 25, поскольку, переходя к обыкновенным дробям, получим 5 9 1 225 49 122,5 : 4,9 = 12^ : ^ =--------: — 10 10 10 10 1255•10 1255 10 • 49 49 = 25. Сравним эти частные. Они равны. Почему? Во втором частном и делимое, и делитель в 10 раз меньше, чем делимое и делитель в первом частном. Вам уже известна следующая зависимость: част ное не ме ня ет ся при умень ше нии или уве ли че нии делимого и делителя в одинаковое число раз. Используя эту зависимость, мы можем увеличить делимое и i делитель в одинаковое число раз так, чтобы делитель стал натуральным числом. Правило деления десятичных дробей можно сформулировать так: при делении числа на десятичную дробь нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько знаков вправо, сколько их содержится после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. При переносе запятой в делимом может возникнуть ситуация, когда придётся приписать справа нужное количество нулей. Например: разделим 4,2 на 0,06. Для того чтобы превратить де ли тель в на ту раль ное чис ло, нуж но уве ли чить его в 1 00 раз или, говоря иначе, перенести запятую на два знака вправо. Так же следует увеличить делимое. Поэтому: 4,2 : 0,06 = 420 : 6 = 70. Внимание! Рассмотрим ещё один случай де- _0,5 3 ления с десятичными дробями. Если дробь 0,05 0 0,166... разделить на дробь 0,3 «уголком», то мы получим бесконечную дробь. Но если перейти к обыкновенным дробям, то получим: оо. ,.., 5 3 5 10 5 1 0,05 : 0,3 =--: — =------ — = — ^ —. 100 10 100 3 30 6 Подробнее об этом будет сказано позже. 5 ' 3 20 '18 _ 20 18 2... 71 Развиваем умения У Н [~^ Выполните деление. В случае затруднения найдите похожий случай деления на стр. 69—71 и выполните деление по образцу. а) 17,15 : 7; б) 224,4 : 11; в) 16,25 : 5; г) 7,47 : 3; д) 477,4 : 14. [~^ Выполните деление. В случае затруднения найдите похожий случай деления на стр. 69—71 и выполните деление по образцу. а) 8,28 : 9; б) 10,71 : 21; в) 0,115 : 5; г) 0,084 : 7; д) 4,65 : 15. [~^ Выполните деление. В случае затруднения найдите похожий случай деления на стр. 69—71 и выполните деление по образцу. а) 5,87 : 2; б) 13,8 : 15; в) 19,6 : 16; г) 44, 5 : 4; д) 10,63 : 2. [~^ Выполните деление. В случае затруднения найдите похожий случай деления на стр. 69—71 и выполните деление по образцу. а) 157 : 2; б) 490 : 4; в) 531 : 15; г) 33 : 60; д) 304 : 5. [~5| Найдите частное и, если возможно, выразите ответ десятичной дробью. В противном случае выразите ответ обыкновенной дробью. а) 3 : 20; б) 5 : 16; в) 8 : 12; г) 4 : 11; д) 0,04 : 1,2; е) 0,33 : 0,9; ж) 3 : 1,2. [~^ Вычислите устно. Сделайте проверку умножением. а) 0,9 : 3; г) 4,2 : 3; ж) 0,54 : 2; к) 0,52 : 4; б) 2,4 : 8; д) 3,4 : 2; з) 0,75 : 5; л) 0,84 : 7; в) 4,5 : 9; е) 0,91 : 7; и) 9,8 : 2; м) 4,2 : 14. Вычислите устно: а) 12 : 0,4; г) 0,5 : 0,25; ж) 1,4 : 0,07; к) 5,6 : 0,08; б) 15 : 0,3; д) 1,2 : 0,02; з) 3,9 : 0,13; л) 4,8 : 0,24; в) 36 : 0,6; е) 0,4 : 0,004; и) 0,64 : 0,8; м) 0,84 : 1,4. Выполните деление: а) 17,4 : 0,3; г) 512 : 0,16; ж) 0,2106 : 3,9; к) 468 : 3 600; б) 30,6 : 0,6; д) 198 : 0,036; з) 0,04 : 2,5; л) 27 : 25; в) 6,25 : 2,5; е) 1 050 : 4,2; и) 3,534 : 0,5; м) 94 : 400. а) Печенье разложили поровну в 4 коробки. Сколько печенья в каждой коробке, если всего было 3,6 кг печенья? б) Из 9,5 м ткани можно сшить 5 одинаковых платьев. Сколько ткани потребуется, чтобы сшить 3 таких же платья? Десять таких же платьев? 72 8 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Выполните деление: 882 : 36; 14,985 : 45; 88 : 0,45; 12,5 : 0,125. б) Решите уравнения: 4х = 2,12; 5х = 0,0095. П Вариант II. а) Вычислите: 8 : 0,5; 16 : 0,25 • 4; 19,44 : 7,2. б) Решите уравнения: 3,5х = 42; 0,024х = 3,6. Тренировочные упражнения. Н 10 11 12 13 Вычислите устно: а) 10 : 0,2; г) 0,3 : 0,03; ж) 25 : 0,5; к) 0,24 : 0,6; б) 16 : 0,8; д) 1,5 : 0,05; з) 34 : 0,17; л) 5,6 : 0,07; в) 32 : 0,8; е) 0,08 : 0,02; и) 64 : 3,2; м) 420 : 0,21. Вычислите и сравните значения выражений в каждой паре. Расскажите, какую закономерность вы заметили. Объясните, на чём основана эта закономерность. Придумайте выражения, где делителями будут числа 0,0001; 0,00001; 0,000001, и найдите их значения. а) 72,5 : 0,1; 72,5 • 10; б) 135, 6 : 0,01; 135,46 • 100; в) 4 568,2 : 0,001; 4 568,2 • 1 000. Найдите значение выражения: а) 4,96 : 10 + 35,8 : 100 - 0,0042; б) 72,492 : 12 + 78,156 : 36 - 123,03 : 15; в) (0,04 + 3,59) • (7,35 + 2,65) : 300; Решите уравнения: а) 5х = 3,15; г) 9х - 3х = 10,2; б) 23х = 22,747; д) 3х + 17х = 165; в) 3х = 0,0087; е) 2х + 2х = 6; г) 4,8 : 12 + 7,5 : 15 + 0,9; д) (0,84 : 14 - 0,96 : 16) : 36; е) (9 : 0,03 - 16 : 0,2) : 0,016. ж) 18х = 4,2 + 4х; з) 33х = 56 - 7х; и) 19х + 36 = 37х. 14 Точка С - середина отрезка АВ. Найдите её координату. Найдите среднее арифметическое чисел 12,36 и 12,57. Сравните полученный результат с координатой точ ки С. A С В 12,36 12,57 73 П 15 Сравните a и b. a + b Ш Н 16 Вычислите устно: а) 5,9 : 10; б) 5,9 • 10; в) 0,008 : 100; г) 0,008 • 100; д) 67 0,1; е) 67 : 0,1; ж) 98,5• 0,01; з) 98,5 : 0,01; и) 90 0,5; к) 90 : 0,5; л) 120 • 0,2; м) 120 : 0,2; н) 90 • 0,6; о) 90 : 0,6; п) 2,4 • 0,4; р) 2,4 : 0,4. 17 18 Решите уравнения: а) 19х - 0,18 = 19,01; б) 2,27 - 2х = 0,09; в) 5,08 + 12х = 29,74; Вычислите: а) 103,6 : 28 - 2,07; б) 14,18 + 8,32 : 16; в) 1 - 0,224 : 8; г) 3,2х + 5,6 + 5,8х = 17,21; д) 3х + 1,2х + 6,7х = 109; е) 6,7х + 1,9х + 3,3х = 38,08. г) 0,88 0,45 + 26,64 : 111; д) 0,96 : 12 - 0,32 0,05; е) 0,16 240 - 360 : 75. 19 а) Сеттер весит 54,5 кг. Болонка легче сеттера в 5 раз, а кошка легче сеттера в 10 раз. Сколько весит болонка и сколько кошка? б) В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором, а во втором - в 2 раза больше, чем в третьем. Сколько молока во втором бидоне и сколько в третьем, если в первом 4,5 л молока? т П 20 Расположите в порядке возрастания числа 2a, 2b и a + b. 74 0 a 0 b a Вычисления с десятичными дробями Повторяем, обобщаем знания Вспомните, как найти значение выражений: 4,56 + 13,0007; 5,670 - 3,5. Вспомните правила сложения и вычитания десятичных дробей и приведите различные примеры. Вспомните, как найти значение выражений: 4,56 • 13; 4,56 • 1,3. Вспомните правила умножения десятичных дробей и приведите различные примеры. Приведите примеры, связанные с делением десятичных дробей на натуральное число. Вспомните правило деления на десятичную дробь и приведите примеры. Развиваем умения Н [~^ Вычислите устно: а) 1,2 + 3,5; б) 0,09 + 0,11; в) 1 000 0,015; г) 90 0,1; д) 90 : 0,1; е) 1 - 0,6; ж) 0,29 • 100; з) 0,001 72; и) 0,4 • 0,6; к) 0,42 + 1,08; f2] Вычислите: а) 15 • (3,7 + 1,23); б) (6,43 + 4,97) • 39; в) (2,027 - 0,34) : 10; г) (1,265 + 5,735) • (1 - 0,785); д) 28,6 + 11 (6,595 + 3,405); л) 2,18 - 1,08; м) 60 : 0,2; н) 81,5; о) 592 : 100; п) 0,098 • 100. е) 4,92 - (0,025 + 0,001) : 0,01; ж) 5,64 + 9,036 : 1,8 - 0,86; з) 19,02 - 0,85 4,24 + 4,584; и) 7,2 - 4,06 + 3,15 : 0,6; к) 3,078 : (5,1 - 1,05) + 0,24. 75 [~^ Решите задачи на сложение и вычитание. а) Для приготовления крема взяли 2,3 кг сахарной пудры, 2,5 кг сметаны и 4,7 кг сливок. Сравни те массы взятых продуктов и узнайте, на сколько больше (меньше) масса сметаны, чем масса сахарной пудры и сливок. б) В два одинаковых ящика насыпано разное количество картофеля. Их общая масса с картофелем составляет 43,5 кг. Масса этих же пустых ящиков составляет 4,6 кг. Сколько килограммов картофеля находится во втором ящике, если в первом - 18 кг? в) Скорость движения катера против течения реки 19,5 км/ч, а скорость течения реки - 1,6 км/ч. Чему равна скорость катера в стоячей воде и его скорость по течению реки? г) Выполните измерения и вычислите периметры изображённых фигур. д) Вычислите длину неизвестной стороны треугольника, если его периметр равен 42,9 см, а длины двух других сторон равны 18,7 см и 13,6 см. [~^ Решите задачи. а) На участке, засеянном пшеницей, получили с 1 га по 27,8 ц пшеницы. Сколько пшеницы получили с 3 га, 4 га, 0,8 га, 0,2 га этого участка? б) Один килограмм крупы стоит 25 р. 50 к. Сколько надо заплатить за 2 кг, 1,5 кг, 0,45 кг, 0,75 кг, 800 г, 350 г такой крупы? в) Участок поля площадью 11,2 га был засеян рожью по 2,3 ц на 1 га, а участок площадью 7,2 га был засеян рожью по 2,25 ц на 1 га. Сколько осталось ржи, если на посев было закуплено 10 т? г) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, если одна сторона его равна 7,85 м, а другая -в 4 раза длиннее. Q Решите задачи. а) На пря мо ли ней ном участ ке же лез но до рож но го пути уложены рельсы, длина каждого из которых 12,5 м. Сколько рельсов уложено на 300 м пути? б) Вычислите скорость движения пешехода, который за 2,4 ч прошёл 10,8 км. в) На производство 1 т бумаги расходуется 250 т воды. Это в 12,5 раза больше, чем расходуется на производство 1 т стали, и в 6 раз меньше, чем на производство 1 т аммиака. Сколько тонн воды расходуется на производство 1 т стали и сколько - на про из во д ство 1 т ам ми а ка? 76 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Найдите периметр каждого прямоугольника на чертеже. 0,8 см 2,8 см 1,4 см 2,2 см П Вариант II. Известно, что с поля прямоугольной формы, стороны которого 0,06 км и 0,5 км, убрали капусту. Урожай капусты с 1 га составил 40 т. Какой урожай собрали с этого поля? Тренировочные упражнения. Н Q а) Сколько минут содержится в 1,2 ч; 0,8 ч; 0,75 ч; 0,3 ч? б) Скорость катера в стоячей воде - 15,3 км/ч, а скорость течения реки - 1,5 км/ч. Катер двигался сначала 2 ч вверх по реке, а потом 3 ч вниз. Сколько километров он прошёл за это время? в) Длина поля прямоуголь ной формы — 625 м, а ширина — на 177 м меньше. Урожайность зерна на этом поле составляет 42,7 ц зерна с гектара. Сколько цент не ров зер на соб ра ли со все го по ля? П [7\ Решите задачи. а) Маша купила 2 пирожных по 15 р., шоколадный крем за 25 р. 50 к., 3 упаковки печенья по 18 р. 20 к. и 4 шоколадки по 5 р.15 к. В кассу она отдала 150 р. Какую сда чу она долж на по лу чить? б) В дно реки забили 10-метровые бетонные столбы так, что на 3,4 м они погружены в грунт и на 1,8 м возвышаются над водой. Какова глубина реки в этом месте? в) В трёх мешках — 148,9 кг картофеля. В первом и во втором мешках вместе — 98,6 кг, во втором и третьем вместе — 96,9 кг. Сколько килограммов картофеля в каждом мешке? г) Скорость течения реки — 2,2 км/ч. Катер отошёл от пристани и пошёл по течению реки. Через 1,5 ч он повернул обратно, прошёл против течения 1,5 ч и остановился. На каком расстоянии от пристани он остановился? й Н а) Скорость автомобиля 72 км/ч. Какое расстояние пройдёт автомобиль за 1,2 ч, за 0,8 ч? б) Вычислите скорость движения пешехода, который за 1,8 ч прошёл 9,9 км. в) Пешеходу нужно пройти 14,4 км. Пешеход прошёл в два раза больше, чем ему осталось пройти. Сколько километров прошёл пешеход? 77 8 П Q а) На 332,50 р. купили 4 пачки печенья и 3 коробки конфет. Каждая коробка конфет стоила в 5 раз дороже пачки печенья. Сколько стоила коробка конфет? б) Скорость катера по тече нию реки в 7 раз больше, чем скорость течения, а скорость катера против течения — 15 км/ч. Какова собственная скорость ка те ра? в) В кассе была некоторая сумма денег. Поступило в кассу 480,50 р., а выдано из кассы 538,10 р., после чего в кассе осталось 794 р. Сколько денег было в кассе пер во на чаль но? 2.9 Приближение десятичных дробей Вспоминаем то, что знаем I Вспомните правило округления натуральных чисел. I Выполните округление числа 231 759 до указанного разряда: а) до десятков; б) до сотен; в) до тысяч; г) до десятков тысяч. Открываем новые знания I Выполните округление числа 23,1759 до указанного разряда: а) до тысячных; б) до сотых; в) до десятых. в Как округлить десятичную дробь до заданного разряда? Каким правилом можно воспользоваться? Всегда ли при округлении десятичных дробей надо заменять цифры после цифры указанного разряда нулями? 78 Отвечаем, проверяем себя по тексту Округление десятичных дробей 1 i i Приближение де ся тич ных дробей с недостатком и с избытком 7 Правило округления десятичных дробей очень похоже на правило округления натуральных чисел, но имеются и некоторые от ли чия. При округлении десятичной дроби до разряда единиц, десятых, сотых и т.д. все цифры последующих разрядов отбрасываются. При округлении десятичной дроби до разряда десятков, сотен, тысяч и т.д. (старше, чем разряд единиц) цифры последующих разрядов целой части числа заменяются нулями, цифры дробной части - отбрасываются. Цифра разряда, до которого выполняется округление, остаётся без изменения, если следующая за ней цифра меньше 5, в противном случае к числу, запись которого заканчивается этой цифрой, прибавляется единица (запятая при этом прибавлении единицы «не замечается»). Например, запишем результаты округления числа 826,4739: до тысячных — 826,474; до сотых — 826,47; до десятых — 826,5; до единиц (до целых) - 826; до десятков - 830; до сотен - 800; до тысяч - 1 000. Иногда кроме округления десятичных дробей до данного разряда полезно применять приближение до данного разряда с недостатком или с избытком. Если взять, к примеру, десятичную дробь 29,6274858 и отбросить в ней все знаки после запятой, начиная со второго, то получим 29,6. Если теперь прибавить к полученному числу 0,1, то получим 29,7. Наша начальная дробь заключена между числами 29,6 и 29,7. Это удобно записывать с помощью двойного неравенства: 29,6 29,6274858 29,7. Говорят, что 29,6 есть приближение числа 29,6274858 до десятых (или до первого знака после запятой, или до единицы первого разряда после запятой) с недостатком, а 29,7 - с избытком. Иногда вместо «приближение с недостатком» говорят «приближение снизу», а вместо «приближение с избытком» -«приб ли же ние свер ху». Можно рассмотреть приближения того же числа 29,6274858 с не дос тат ком и с из быт ком до со тых, ты сяч ных и т.д.: 29,62 29,6274858 29,63; 29,627 < 29,6274858 < 29,628. Иног да приб ли же ния с не дос тат ком или с из быт ком (или сразу оба) могут оказаться равными самой приближаемой дроби. Например, для дроби 15,34000 приближения до третьего раз-ря да пос ле за пя той и с не дос тат ком, и с из быт ком рав ны 15,340. 79 Значащие цифры i Округление десятичных дробей до выбранной значащей цифры 7 Отметим следующие свойства приближений десятичных дробей с недостатком и с избытком: 1) Дробь больше любого своего приближения с недостатком (или равна ему) и меньше любого своего приближения с избытком (или равна ему). 2) Приближения с недостатком увеличиваются (или иногда не ме ня ют ся), а приб ли же ния с из быт ком умень ша ют ся (или иногда не ме ня ют ся) при уве ли че нии но ме ра раз ря да после запятой, до которого выполняется приближение. Вы уже знаете, что иногда при делении десятичных дробей (или целых чисел) может получиться бесконечная десятичная дробь. Пока мы не умеем работать с такими дробями, поэтому частное в таких ситуациях обычно округляют до нужного разряда. Важную роль при работе с десятичными дробями играет понятие значащей цифры. Первой значащей цифрой десятичной дроби или натурального числа называется первая (слева направо) ненулевая цифра. Все цифры, стоящие правее первой значащей цифры, тоже называются значащими (соответственно второй, третьей и т.д.). Для примера в левом столбике записаны числа, а в правом столбике записаны те же числа, но в их записи значащие цифры подчёркнуты. 92 937 23,02 0,00741 0,400000000005 0,0000000237 92 937 23.02 0,00741 0,400000000005 0,0000000237 Часто число, записанное в виде десятичной дроби, или натуральное число округляют до той или иной значащей цифры. Под этим по ни ма ет ся ок руг ле ние до то го де ся тич но го раз ря да, в котором находится эта значащая цифра. Например, при округлении до второй значащей цифры записанных выше чисел получим: 92 937 - 93 000; 23,02 - 23; 0,00741 - 0,0074; 0,400000000005 - 0,40; 0,0000000237 - 0,000000024. Развиваем умения У Н 0 а) Расскажите, как округлить десятичную дробь до данного разряда. б) Рас ска жи те, как най ти приб ли же ние де ся тич ной дро би до дан но го раз ря да с недостатком и с избытком. 80 I ^ • Расскажите, что такое значащие цифры десятичной дроби. И Что значит округлить число до третьей значащей цифры? [~^ Округлите до третьего знака после запятой числа: а) 0,00176; б) 0,200004; в) 0,99991; г) 0,003; д) 0,0003. [~^ Найдите приближение с недостатком до второго знака после запятой: а) 22,3901; б) 0,9003; в) 0,99991; г) 0,003; д) 34,0983. [~6] Найдите приближение с избытком до первого знака после запятой: а) 134,3901; б) 0,9003; в) 0,999; г) 0,003; д) 651,011. 1^7] Для числа 17,002998 найдите приближение с недостатком, приближение с избытком и округление до указанного разряда: а) до 0,1; б) до 0,01; в) до 0,001; г) до 0,0001; д) до 0,00001. Для приближений запишите соответственные двойные неравенства. Округлите до третьей значащей цифры: а) 38,4811; б) 0,9003; в) 0,99991; г) 0,0040404; д) 52,080093; е) 1004,001. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Округлите число 1137,0325 до сотен, десятков, десятых, сотых. б) Округлите число 29,076001 до первой, второй, третьей, четвёртой значащей цифры. П Вариант II. а) Для числа 9,70042433 найдите приближение с недостатком и приближение с избытком до указанного разряда: 1) до 0,1; 2) до 0,01; 3) до 0,001; 4) до 0,0001. Запишите соответственные двойные неравенства. б) Найдите результат деления числа 2 на число 3, округлённый до второй значащей цифры. Тренировочные упражнения. Н И 9J Найдите результат деления 12,08 : 11, округлённый до: а) 0,1; б) 0,01; в) 0,001; г) 0,0001; д) 0,00001. Найдите приближение результата с недостатком и с избытком до тех же десятичных разрядов. Запишите соответственные двойные неравенства. 10 Найдите результат деления числителя на знаменатель, округлённый до сотых: , 4 , 3 , 54 .139 .175 . 221 . 12 а^; б) —; в^; г) —; д)----; е)-; ж)----; з) — . ^3 11 7 ^ 19 23 18 12 13 81 8 11 Подчеркните первую значащую цифру числа: а) 932; б) 0,0334; в) 0,01001; г) 4,00002; д) 0,004000; е) 0,00000101. 12 а) Может ли приближение десятичной дроби с недостатком уменьшиться при увеличении номера разряда после запятой, до которого выполняется это приближение? Может ли оно ос таться неизменным? Может ли оно увеличиться? б) Мо жет ли приб ли же ние десятичной дроби с из быт ком умень шить ся при уве личе нии но ме ра раз ря да после запятой, до ко то ро го вы пол ня ет ся это приб ли же-ние? Может ли оно остаться неизменным? Может ли оно увеличиться? П 13 Из справочника Валя узнал следующую информацию о некоторых старинных русских единицах измерения длины: 1 аршин = 71,12 см, 1 1 вершок = — аршина, 1 сажень = 3 аршина, 1 верста = 500 саженей. 16 Выразите приближённо, округляя каждый раз до целых в соответ-ству ю щих еди ни цах: а) ар шин в мет рах, в де ци мет рах, в сан ти мет рах, в мил ли мет рах; б) вер шок в сан ти мет рах, в мил ли мет рах; в) са жень в мет рах, в де ци мет рах, в сан ти мет рах, в мил ли мет рах; г) версту в километрах, в метрах. М 114 I Десятичную дробь с пятью знаками после запятой округлили до тысячных и получили 3,142. Какой наименьшей и какой наибольшей могла быть эта дробь? т Н 15 16 17 Вася утверждает, что округлить число до второй значащей цифры - всё равно что округлить его до второго знака после запятой. Прав ли Вася? Подчеркните значащие цифры числа: а) 1 900; б) 0,00761; в) 0,070007; г) 8,0000100; д) 0,000009; е) 0,00500005. Найдите результат деления числителя на знаменатель, округлённый до второй значащей цифры: ) 7 б) 35 ) 47 ) 48 ) 122 58 13 ,22 а) б) Т2'в) 5i'г) 5?' д) е) ТГ; ж) з) I?. т П 18 Из спра воч ни ка Ва ня уз нал сле ду ю щую ин фор ма цию о не ко то рых анг лийс ких еди- 11 ницах измерения длины: 1 ярд = 91,44 см, 1 фут = 3 ярда, 1 дюйм = ^ фута. 82 Выразите приближённо, округляя каждый раз до целых в соответствующих единицах: а) ярд в метрах, в дециметрах, в сантиметрах, в миллиметрах; б) фут в дециметрах, в сантиметрах, в миллиметрах; в) дюйм в сан ти мет рах, в мил ли мет рах. 19 Вася утверждает, что округление числа до данного разряда совпадает либо с приближением с недостатком, либо с приближением с избытком до этого разряда. Прав ли Вася? 20 Варя решила, что утверждение Васи из предыдущей задачи верно, и установила правило, когда округление числа приводит к приближению с недостатком и когда -к приближению с избытком. Попробуйте и вы сформулировать такое правило. Ш М 21 а) Для десятичной дроби с пятью знаками после запятой взяли приближение до тысячных с недостатком и получили 3,142. Какой наименьшей и какой наибольшей могла быть эта дробь? б) Для де ся тич ной дроби с пятью зна ка ми пос ле за пя той взя ли приб ли же ние до тысячных с избытком и получили 3,142. Какой наименьшей и какой наибольшей могла быть эта дробь? Приближённые вычисления с десятичными дробями Вспоминаем то, что знаем Вспомните, как выполнялись приближённые вычисления с натуральными числами. Округлите числа 23 159 и 15 672 до указанного разряда и сложите результаты округления: а) до тысяч; б) до сотен; в) до десятков. Открываем новые знания Округлите числа 23,159 и 15,672 до указанного разряда и сложите результаты округления: а) до единиц (до целых); б) до десятых; в) до сотых. 83 I Как приближённо вычислить сумму десятичных дробей? Каким правилом можно воспользоваться? Отвечаем, проверяем себя по тексту Приближённое вычисление суммы и разности десятичных дробей Г ж I 7 i Приближённое вычисление произведения и частного деся тичных дробей Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближений. Таким образом, для выполнения приближённых вычислений с чис ла ми, за пи сан ны ми в ви де де ся тич ных дро бей, нуж но за ме-нить эти числа их приближениями, произведя округление, и вы-пол нять вы чис ле ния с приб ли же ни я ми. При этом оказывается, что при нахождении сумм и разностей ис поль зу ет ся од но пра ви ло ок руг ле ния, а при на хож де нии произведений и частных — другое. Чтобы приближённо вычислить сумму или разность двух чисел, надо округлить эти числа до одного и того же разряда, а за тем сло жить или вы честь по лу чен ные приб ли же ния. Пример 1. Вычислить сумму чисел х = 123,389378 и у = 26,0258, округлив их до тысячных. Сначала выполним округление до указанного + разряда: х ~ 123,389; у ~ 26,026, а затем сложим. Таким образом, х + у = 149,415. 123,389 26,026 149,415 Пример 2. Вычислить разность чисел х = 75,20562 и у = 49,5, округлив их до сотых. 75 21 Сначала выполним округление до указанного -49 50 разряда: ' х ~ 75,21; у ~ 49,50, а затем вычтем. 25,71 I Таким образом, х - у = 25,71. Что бы приб ли жён но вы чис лить про из ве де ние или част ное двух чисел, надо округлить эти числа до одной и той же значащей цифры, перемножить или разделить полученные приближения, а затем результат округлить до той же значащей цифры. Пример 3. Вычислить произведение чисел х = 31,812205 и у = = 0,05612, округлив их до третьей значащей цифры. 84 Сначала выполним округление до указанной значащей цифры: х ~ 31,8; у ~ 0,0561, а затем перемножим. Теперь округлим произведение до третьей значащей цифры: х • у ~ 1,78. Таким образом, х • у ~ 1,78. X 31,8 0,0561 + 318 1908 1590 1,78398 Пример 4. Вычислить частное чисел х = 0,08075616 и у = 0,377062, округлив их до второй значащей цифры. Сна ча ла вы пол ним ок руг ле ние до ука зан ной значащей цифры: х ~ 0,081; у ~ 0,38, а затем разделим. Те перь ок руг лим част ное до вто рой значащей цифры: х : у ~ 0,21. Таким образом, х:у ~ 0,21. 0,08,1 - 7 6 0,38, 0,213... 50 ' 38 120 114 60... Развиваем умения Н [Т] • Расскажите, как найти приближённо сумму двух чисел и разность двух чисел. [^•Расскажите, как найти приближённо произведение двух чисел и частное двух чисел. 0^ В чём основное отличие правил приближённого нахождения суммы и произведения? [~^ Округлив числа х и у до сотых, вычислите приближённо их сумму и разность: а) х = 34,826, у = 33,0384; г) х = 6,0729, у = 1,02741; б) х = 13,785, у = 2,400801; д) х = 42,0551, у = 0,48912; в) х = 0,0124, у = 0,00829; е) х = 0,94027, у = 0,0689. [^ Округлив числа х и у до 0,0001, вычислите приближённо их сумму и разность: а) х = 4,08826, у = 0,030084; б) х = 0,0145134, у = 0,00276346. [~6] Округлив числа х и у до второй значащей цифры, вычислите приближённо их произведение, а также частные х : у и у : х: а) х = 781,5, у = 23,876; б) х = 0,00090237, у = 0,0036864746. Вычислите приближённо произведения и частные этих же чисел, округлив их до третьей значащей цифры. Сравните полученные результаты. 85 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Найдите приближённо сумму чисел 123,389378 и 26,0258, округлив их до второго знака после запятой. б) Найдите приближённо произведение чисел 0,0211001 и 233,001, округлив их до второй значащей цифры. П Вариант II. а) Найдите приближённо разность чисел 3,0089202 и 0,099748, округлив их до четвёртого знака после запятой. б) Найдите приближённо частное чисел 0,0423778 и 0,26478, округлив их до третьей значащей цифры. Тренировочные упражнения. Н [~^ Расстояние 727 км автомобиль преодолел за 12 ч. Найдите среднюю скорость автомобиля. Ответ округлите до второй значащей цифры. Найдите площадь прямоугольного участка длиной 233 м и шириной 127 м: а) в квадратных метрах; б) в арах; в) в гектарах. Ответ дайте до третьей значащей цифры. [~^ Округлив числа х и у до 0,01, вычислите приближённо их сумму и разность: а) х = 32,6034, у = 5,082738; б) х = 11,12347, у = 10,8939. 110 I Округлив числа х и у до третьей значащей цифры, вычислите приближённо их произведение, а также частные х : у и у : х: а) х = 12,8934, у = 0,00070456; б) х = 0,026317, у = 1580,43367. П 11 Верно ли, что точная сумма двух чисел больше суммы приближений с недостатком до любого разряда (или равна ей) и меньше суммы приближений с избытком до любого разряда (или равна ей)? М 12 Ищется сумма двух чисел. Проведём два вычисления. 1) Округлим каждое слагаемое до данного разряда и после этого выполним сложение. 2) Вы пол ним сло же ние ис ход ных чи сел, а за тем сум му ок руг лим до то го же разряда. Обязательно ли результаты будут равны? Если не обязательно, то на сколько единиц соответственного разряда они мо гут мак си маль но раз ли чать ся? 86 ш Н 13 Округлив числа х и у до тысячных, вычислите приближённо их сумму и разность: а) х = 20,08826, у = 0,9663307; б) х = 0,01312456, у = 0,00285766. 14 Округлив числа х и у до второй значащей цифры, вычислите приближённо их произведение, а также частные х: у и у : х: а) х = 703,12, у = 33,003; б) х = 0,0049568237, у = 0,0848995. 15 Велосипедист проехал 75 км, двигаясь со средней скоростью 14 км/ч. Найдите, сколько часов длилась поездка, с точностью до второй значащей цифры. Ш 16 П Решая предыдущую задачу, Вася разделил 75 на 14 и получил приближённо 5,3571429. Он удивился, зачем в условии требуется так грубо округлять результат, если его ответ намного точнее. Валя ответил Васе, что 75 км и 14 км/ч — величины, безусловно, приближённые, и раз мы знаем их с точностью до второй значащей цифры, то и ответ нужно округлить до второй значащей цифры. Прав ли Валя? 17 Используя соображения предыдущей задачи, найдите площадь прямоугольной пластины размером 87 см х 32 см, самостоятельно определив, как нужно округлить результат. Ш 18 М Правило приближённого нахождения суммы двух чисел, которым мы пользуемся, является достаточно грубым. Например, сумма чисел 2,745 и 5,54801 равна 8,29301. Если округлить слагаемые до десятых и сложить, то получим 2,7 + 5,5 = = 8,2. А если округлить сумму до десятых, то получим 8,3. Поэтому нельзя говорить, что, ок руг ляя сла га е мые до не ко то ро го раз ря да, мы по лу чим приб ли жён ное значение суммы с точностью до этого же разряда (хотя в большинстве случаев так и получается). Имеется более точное правило. Например, для нахождения приближённого зна-че ния сум мы с точ ностью до де ся тых нуж но ок руг лить сла га е мые до со тых, сложить приб ли же ния и их сум му ок руг лить до де ся тых. Найдите приближённое значение суммы чисел 2,745 и 5,54801 до десятых, пользуясь новым правилом. 87 2.11 Преобразование обыкновенных дробей в десятичные Вспоминаем то, что знаем I Запишите какую-нибудь десятичную дробь и представьте её в виде обыкновенной. I Расскажите, как вы это сделали. „ 3 I Представьте в виде десятичной обыкновенную дробь —. 4 Открываем новые знания I Разложите на простые множители числа 10, 100, 1 000. I Расскажите, на какие простые множители можно разложить числа, в старшем разряде которых стоит цифра 1, а во всех младших - нули. I Попробуйте объяснить, как обыкновенную дробь представили в виде десятичной: 3 3 3 • 5 • 5 75 4 2 • 2 2 • 2 • 5 • 5 100 0,75. Попробуйте представить в виде десятичной дробь ^. • Всякую ли обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной? # Какие обыкновенные дроби можно представить в виде десятичных? Ф Как это сделать? 88 Отвечаем, проверяем себя по тексту 1 i Условие, при котором возмож но преобразование обыкновенной дроби в десятичную ■ г- По определению, в виде десятичной дроби можно записать любую обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1 000 и вообще 10". Любую десятичную дробь можно представить в ви де обык но вен ной, зна ме на тель ко то рой ра вен степени числа 10. 403 536 134 Например: 0,403 =____; 5,36 = 1 000 100 25 Поп ро бу ем от ве тить на воп рос: вся кую ли обык но вен ную дробь можно представить в виде десятичной? Для того чтобы это сделать, нужно привести её к знаменателю, равному степени числа 10. Число 10 представляется в виде произведения двух простых чисел - 2 и 5: 10 = 2 5. Поэтому любая степень числа 10 представляется в виде произведения степени числа 2 на такую же степень числа 5. 10 = 2 5; 100 = 10^ 10 = (2 5)^(2 5) = 2252; 1 000 = 10 10 10 = (2 5) (2 5) (2 5) = 23^ 53; 10 000 = 10 • 10 • 10 • 10 = (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) = 24 • 54 и т.д. 3 Рассмотрим дробь ^б. Сначала, домножив числитель и знаменатель на нужное натуральное число, представим её в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. Чис ло 1 6 мож но раз ло жить на прос тые мно жи те ли сле ду ю щим образом: 16 = 2 2 2 2. Если мы умножим его на четыре пятёрки, то получим 10 000. 3 Делаем вывод: дробь — можно представить в виде десятичной. 16 3 3 • 5 • 5 • 5 • 5 1 875 16 2 • 2 • 2 • 2•5 • 5 • 5•5 10 000 0,1875. Наши рассуждения позволяют нам сформулировать следующее правило: если знаменатель об^ькновенной дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то эту дробь можно представить в виде десятичной. 89 Способы преоб разования обыкновенных дробей в десятичные ЖГТ 4 Рассмотрим теперь дробь —. Разложим на простые множители её знаменатель: 15 = 3 5. На какие бы целые числа мы ни домножали число 15, полученное произведение никогда нельзя будет разложить на одни только простые множители «двойки» и «пятёрки» — среди простых множителей всегда будет присут-ство вать чис ло 3. Делаем вывод: если знаменатель об^ькновенной несократимой дроби имеет другие простые делители, кроме 2 и 5, то эту дробь нельзя представить в виде десятичной. Обратите внимание: в последнем утверждении речь идёт только о несократимых дробях. Возьмём, например, сократимую дробь 60. Её знаменатель содержит простой множитель 3, но после сокращения дроби он исчезнет и полученную несократимую дробь, а значит и исходную сократимую, можно будет „12 1 представить в виде десятичной: 60 = 5 = 0,2. Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную имеется два основных способа. Один из них мы уже рассмотрели. Он сводится к умножению чис ли те ля и зна ме на те ля обык но вен ной несократимой дро би на некоторые степени чисел 2 или 5 так, чтобы в знаменателе полу чи лась сте пень чис ла 1 0. и 3 3 3 • 2 • 2 • 2 24 Например: ----=--------=----------------=------= 0,024. 125 5•5 • 5 5•5•5•2•2•2 1000 Другой — это способ деления числителя на знаменатель «уголком». 3 125 = 3 : 125 = 0,024. Заметьте, что в случае, когда обыкновенную дробь нельзя разложить в конечную де ся тич ную, част ным от де ле ния её числителя на знаменатель будет бес ко неч ная десятичная дробь. Нап ри мер, рас смот рим обык но вен ную дробь 9. Это несократимая дробь, знаменатель которой содержит простой множитель 3, следовательно, она не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. При делении 7 на 9 получится бесконечная десятичная дробь 0,777^ 3 0 30 ~ 0 300 250 -500 500 0 125 0,024 90 Развиваем умения Н ~Т] • Укажите, какие из обыкновенных дробей можно представить в виде конечных десятичных, а какие нельзя. Обоснуйте свой ответ. 14 11 а) —; б) —; в) —; г) —; д) 64 48 56 24 128 11 —; е) —; ж) - 78 256 1 ) 1 ; з) 625 [~2] Запишите дробь в виде несократимой и скажите, можно ли её представить в виде десятичной. . 7 .33 .15 .28 .64 .38 .927 24 21 44 24 52 ^ 96 95 1 536 [~3] Запишите в виде обыкновенной несократимой дроби. а) 0,4; б) 0,12; в) 0,45; г) 0,125; д) 0,04; е) 0,384; ж) 0,375; з) 0,96. [~^ Найдите двумя способами представление обыкновенных дробей в виде конечных десятичных. 3 11 1 7 17 9 15 27 а^ —; б) —; в) —; г) —; д) -----; е) -----; ж) —; з) —. ’ 4 ’ 25 ’ 20 ’ 5^^^ 500 ’ 125 16 40 [~^ Запишите частное в виде обыкновенной дроби и, если возможно, преобразуйте её в конечную десятичную. а) 11 : 2; д) 9 : 8; и) 9 : 36; н) 12 : 16; б) 23 : 5; е) 8 : 9; к) 15 : 24; о) 11 : 8; в) 43 : 25; ж) 4 : 12; л) 16 : 6; п) 13 : 20; г) 13 : 20; з) 24 : 15; м) 10 : 30; р) 42 : 56. Г6] Найдите частное от деления числителя на знаменатель. Деление выполняйте «уголком». а) —■ б) —■ в) — ■ г) — ■ д) е) ж) 4 ■ з) 16' ° 25' 20' 28; д) 75; е) 80; ж) 125; з) 40. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Найдите двумя способами представление обыкновенных дробей в виде конечных ч 7 .3 десятичных: а^ —; б) --; в) —. 8 125 40 П Вариант II. Определите, можно ли записать данные обыкновенные дроби в виде конечных десятичных дробей (те, которые можно, запишите): ) 5 б) 7 ) 20 а) —; б) —; в) —. 16 84 22 91 Тренировочные упражнения. Н [~^ Представьте обыкновенные дроби в виде конечных десятичных и запомните результат: 1 13 11 а) ,2; б) 1; в) 4; г) 1; д) 1. 2 4 4 5 8 Определите, можно ли записать данные дроби в виде конечных десятичных (те, которые можно, запишите): . ^ 33 . 18 . 7 .20 .9 ) 19 ) 39 ’ 24 ’ 60 ’ 32 ’ 8^’ 123 ’ 121 95 52 [~4| Оократите дроби и представьте их в виде конечных десятичных. . 12 ,. 18 . 54 .22 .32 .42 , 15 ) 9 60 90 300 110 400 700 75 144 П 10 Выразите время в часах и, если возможно, запишите ответ в виде конечной десятичной дроби. а) 1 ч 10 мин; в) 20 мин; д) 18 мин; ж) 2 ч 24 мин; б) 2 ч 45 мин; г) 3 ч 40 мин; е) 4 ч 9 мин; з) 156 мин. т Н 11 12 Определите, можно ли записать данные дроби в виде конечных десятичных (те, которые можно, запишите): .5 .,21 ,18 ,14 ,11 ,49 ,6 3 а) —; б) —; в) -----; г) —; д) —; е)-----; ж) —; з) —. 30 35 120 56 88 84 96 8 Выразите время в часах и, если возможно, запишите ответ в виде конечной десятичной дроби. а) 30 мин; в) 6 мин; д) 20 мин; ж) 18 мин; б) 1 мин; г) 15 мин; е) 45 мин; з) 48 мин. П т 13 Не значению выражения 0,5 — 0,2. ) 3 1 б) 1 1 ,1 1 4 4 2 5 2 8 92 ГЛАВА III Элементы геометрии Смежные и вертикальные углы Вспоминаем то, что знаем Что называется углом? Измерьте изображённые на чертеже углы. A K Q P B C L M R Как называется изображённый на чертеже угол? Чему равна его величина? Открываем новые знания Из вершины развёрнутого угла провели луч. Сколько углов получилось? Определите, не выполняя измерений и вычислений, чему равна сумма углов АОС и ВОС. C O B €# Как бы вы назвали пару углов АОС и ВОС, учитывая их положение относительно друг друга? I Начертите несколько развёрнутых углов. В каждом из них проведите луч с началом в вершине угла. Будет ли сумма двух полученных углов одной и той же во всех случаях? 93 Отвечаем, проверяем себя по тексту Смежные углы Если взять прямую и отметить на ней произвольную точку, то получится два луча с общим началом. Эти два луча дополняют друг друга до прямой, или являются дополнительными лучами. Вы уже знаете, что угол, образованный такими лучами, называется развёрнутым. Величина развёрнутого угла - 180°. Возьмём развёрнутый угол АОВ с вершиной О и проведём луч ОС, не совпадающий ни с одним из лучей ОА и ОВ (правый чертёж). Углы АОС и ВОС называются смежными. Ясно, что ААОС + АВОС = 180°, поскольку смежные углы вместе образуют развёрнутый угол. 180° A O B A O B Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна 180°. Вспоминаем то, что знаем Начертите прямые АС и BD, пересекающиеся в точке О. Какие углы образовались? Какие пары смежных углов вы можете назвать? Открываем новые знания Что вы можете предположить о величинах углов АОВ и СОD? 9 Не выполняя измерений, найдите на вашем чертеже равные между собой углы. Отвечаем, проверяем себя по тексту Возьмём прямые АС и ВD, пересекающиеся в точке О. Углы, стороны которых являются дополнительными лучами, называются вертикальными. На чертеже вертикальные углы - это ААОВ и ZСОD, а также углы АВОС и ZАОD. B B 94 Вертикальные углы Вертикальные углы равны. Докажем, к примеру, что АЛОВ = ZCOD. Для доказательства заметим, что АЛОВ и АВОС являются смежными, значит, АЛОВ + АВОС = 180°, и поэтому АЛОВ = 180° - АВОС. Аналогично АСОD и АВОС - смежные, значит, АСОD + ^+ АВОС = 180°, и поэтому АСОD = 180°- АВОС. Получили, что каждый из двух вертикальных углов (и АЛОВ, и АcОD) равен 180°- АВОС, значит, АЛОВ = АСОD, что и требовалось доказать. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Углы каждой такой пары равны между собой, а углы из разных пар - смежные. Если углы одной пары острые, то углы другой пары тупые. Две прямые могут пересекаться таким образом, что равны между собой все четыре угла. Тогда величина каждого угла 90°, а такие прямые называются перпендикулярными. Это слово в переводе с латыни означает «отвесный». Перпендикулярность прямых обозначается знаком Например, на левом чертеже ЛС А ВD. Перпендикулярные прямые удобно проводить с помощью угольника. Если точка М лежит вне прямой ЛВ, а точка С лежит на прямой ЛВ, причём МС А ЛВ, то отрезок МС называется перпендикуляром, проведённым из точки М к прямой ЛВ. Перпендикуляр МС короче любого отрезка МD, где D - точка на прямой ЛВ, не сов па да ю щая с точ кой С. Рас сто я ни ем от точ ки до пря мой на зы ва ет ся дли на пер пен ди ку-ляра, проведённого из точки к прямой. M 95 Развиваем умения У Н Q о Продолжите предложения. а) Смежными называются углы, у которых^ б) Cумма смежных углов равна_ в) Сумма углов треугольника равна_ г) Если две стороны треугольника перпендикулярны, то треугольник^ д) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна_ е) Вертикальными называются углы, у которых^ ж) Прямые называются перпендикулярными, если^ з) Расстоянием от точки до прямой называется^ [~^ а) Сформулируйте свойство смежных углов. V б) Сформулируйте свойство вертикальных углов. О в) Докажите свойство вертикальных углов. [~^ Верны ли высказывания: а) если сумма двух углов равна 180°, то они смежные; б) если два угла с общей вершиной равны, то они вертикальные? И Один из смежных углов равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°; е) 135°; ж) 150°. Найдите другой угол. [~5| Один из смежных углов на 40° больше другого. Найдите эти углы. [~^ Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найдите эти углы. И На чертеже указаны величины некоторых углов. Найдите величины всех остальных углов. 8 При пересечении двух прямых образовались четыре угла, причём известно, что сумма двух из них равна 100°. Найдите величины всех углов. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) При пересечении двух прямых образовались четыре угла, один из которых равен 130°. Найдите величины остальных углов. б) В треугольнике АВС ZB = 70°. На стороне АВ взята такая точка D, что CD ± АВ. Найдите углы треугольника BCD. 96 П Вариант II. а) При пересечении двух прямых образовались четыре угла, один из которых равен сумме двух других. Найдите величины всех углов. б) В треугольнике АВС ZB = 30°, ZC = 90°. На стороне АВ взята такая точка Е, что СЕ Z АВ. Найдите углы треугольника САЕ. Тренировочные упражнения. Н [~9] Начертите с помощью транспортира две прямые, пересекающиеся под углом: а) 30°; б) 45°; в) 60°. 10 11 12 Известен один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых: а) 15°; б) 70°; в) 90°; г) 130°. Найдите остальные углы. Какую часть развёрнутого угла составляет угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°; е) 135°; ж) 150°? Начертите в тетради прямую и возьмите точку вне этой прямой. Проведите с помощью угольника перпендикуляр из точки к прямой. П 13 14 15 Можно ли провести из точки, не лежащей на прямой, два различных перпендикуляра к этой прямой? Верны ли высказывания: а) если сумма двух углов с общей вершиной равна 180°, то они смежные; б) если сумма двух углов с общей стороной равна 180°, то они смежные; в) два разных угла, смежных одному и тому же углу, вертикальны? Даны прямая и точка. С помощью угольника проведите через данную точку прямую, перпендикулярную данной прямой. Рассмотрите отдельно два случая: а) данная точка лежит на данной прямой; б) данная точка не лежит на данной прямой. М 16 17 Углы треугольника называются также его внутренними углами. Угол, смежный с внутренним углом треугольника, называется его внешним углом. а) Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных. б) Чему равна сумма внешних углов треугольника (берётся по одному внешнему углу при каждой вершине)? а) Чему равна сумма внутренних углов четырёхугольника? б) Чему равна сумма внешних углов четырёхугольника (берётся по одному внешнему углу при каждой вершине)? 97 Н ш 18 При 19 20 21 каждого из этих углов, если известно, что: а) один из углов равен 48°; б) сумма двух углов равна 156°; в) сумма трёх углов равна 232°. Один из смежных углов на 100° меньше другого. Найдите эти углы. Один из смежных углов в 5 раз меньше другого. Найдите эти углы. Начертите в тетради прямую и возьмите точку вне этой прямой. Измерьте расстояние от точки до прямой. т П 22 Начертите в тетради острый угол и возьмите точку внутри этого угла. Измерьте рас-стоя ние от точки до сторон угла. 23 Начертите несколько пар углов так, чтобы стороны одного угла были перпендикулярны сторонам другого угла. Измерьте каждый из углов. Выскажите предположение, как свя за ны меж ду со бой ве ли чи ны углов со вза им но пер пен ди-кулярными сторонами. 24 Начертите на листе бумаги прямую и выберите точку. Перегибая лист бумаги, получите прямую, проходящую через выбранную точку перпендикулярно начерченной прямой. Рассмотрите отдельно два случая: а) точка выбрана на начерченной прямой; б) точка выбрана вне начерченной прямой. Ш М 25 На листе клетчатой бумаги начерчена прямая и взята точка, как на чертеже. Проведите через взятую точку прямую, перпендикулярную начерченной прямой. 26 Докажите, что углы со взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо дают в сумме 180°. 98 Параллельные прямые Вспоминаем то, что знаем Начертите прямоугольник. Какие из сторон этого прямоугольника параллельны? Открываем новые знания Начертите на листе клетчатой бумаги две параллельные прямые. Имеется ли у параллельных прямых хотя бы одна общая точка? Отвечаем, проверяем себя по тексту Расположение прямых на плоскости Две различные прямые на плоскости могут пересекаться, причём только в единственной точке, а могут не пересекаться (то есть не иметь общих точек). P K F Q M N Две прямые на плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными. Это слово в переводе с греческого языка обозначает «идущие ря дом». Параллельность прямых обозначается с помощью знака ||. К примеру, на правом чертеже KL || MN. 99 Вспоминаем то, что знаем Вспомните, какие прямые называются параллельными. Открываем новые знания На каком из чертежей прямые параллельны? Обоснуйте ваш ответ. if Измерьте углы а и р, у и 5. На каком из чертежей прямые параллельны? а I Начертите прямую. Постройте ещё одну прямую, параллельную первой, с помощью линейки и угольника. tf Сформулируйте условие параллельности прямых. Отвечаем, проверяем себя по тексту Когда мы работаем с чертежом, то всегда видим лишь части прямых. При этом может оказаться, что эти части на чертеже не пересекаются, и тогда неясно: то ли точка пересечения прямых лежит вне чертежа, то ли её вообще нет. Если мы попытаемся продолжить части этих прямых, то наши возможности окажутся ограниченными размерами листа бумаги (или классной доски), на которых выполнен чертёж, и если на «улучшенном», «более полном» чертеже точка пересечения отсутствует, то это вовсе не значит, что её нет вообще. Например, весьма сложно сказать, параллельны ли прямые KL и MN на пра вом чер те же, ис хо дя лишь из то го, что па рал лель ны ми называются прямые на плоскости, которые не пересекаются. K L M N Есть более удобные способы проверки параллельности. Пусть имеются две прямые — неважно, параллельные или нет. 100 в Характеристи ческое свойство параллельных прямых Прямая, которая пересекает обе данные прямые, называется секущей (левый чертёж). С помощью секущей можно сформулировать характеристическое свойство параллельных прямых, т.е. такое свойство, которым обладают параллельные прямые и только они. Если секущая пересекает каждую из прямых под одинаковым углом, то прямые параллельны, и наоборот, если прямые параллельны, то секущая пересекает их под одинаковым углом. В частности, если прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Углы а и в на левом и правом чертежах называются соответственными — они занимают одинаковые положения на «перекрёстках», образуемых секущей с каждой из прямых. Характеристическое свойство параллельных прямых позволяет не толь ко уста нав ли вать на ли чие или от су т ствие па рал лель но-сти, но и строить прямую, параллельную данной, с помощью линейки и угольника (или двух угольников). Для этого одну из сто рон уголь ни ка рас по ла га ют вдоль дан ной пря мой, к дру гой сто ро не прик ла ды ва ют ли ней ку, сдви га ют уголь ник вдоль линейки и проводят прямую вдоль той его стороны, которая была совмещена с начальной прямой. Вместо линейки можно использовать другой угольник. Вспоминаем то, что знаем • Начертите две одной из них. параллельные прямые. Проведите прямую, перпендикулярную Открываем новые знания I Докажите, что эта прямая перпендикулярна обеим параллельным прямым. I Докажите, что отрезки AM и BN на чертеже равны. M N □ С □ С A B 101 9 Сформулируйте свойство параллельных прямых, которое вы увидели на чертеже. Отвечаем, проверяем себя по тексту к Расстояние между параллельны- Из характеристического свойства параллельных прямых следует, что пря мая, пер пен ди ку ляр ная од ной из па рал лель ных прямых, перпендикулярна также и другой. Отрезок этой прямой, заключённый между параллельными прямыми, называется общим перпендикуляром параллельных прямых. M N A B Длина любого общего перпендикуляра двух данных параллельных прямых одна и та же; она не за висит от того, где именно проведён этот перпендикуляр (ведь четырёхугольник ABNM на чертеже - прямоугольник). Это свойство часто выражают словами «параллельные прямые являются равноотстоящими». Расстоянием между параллельными прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Развиваем умения Н ПП Продолжите предложения. а) Параллельные прямые — это^ б) Секущей двух прямых называется^ в) Соответственными углами называются^ г) Если соответственные углы равны, то прямые^ д) Если соответственные углы не равны, то прямые^ е) Если прямые параллельны, то соответственные углы^ ж) Общим перпендикуляром двух параллельных прямых называется^ з) Расстоянием между параллельными прямыми называется^ [~^ а) Сформулируйте характеристическое свойство параллельных прямых. б) Расскажите, как с помощью угольника и линейки провести прямую, параллельную данной прямой. в) Расскажите, как найти расстояние между параллельными прямыми. 102 и На чертеже, где АВ || CD, указаны величины некоторых углов. Найдите величины всех остальных углов. И На чертеже указаны величины некоторых углов. Какие из прямых параллельны? [~^ Верно ли, что противоположные стороны прямоугольника параллельны? [~6] Докажите, что параллельные прямые являются равноотстоящими. 1^7] Верно ли, что две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает сторону АС в точке М, а сторону ВС - в точке К. Докажите, что углы треугольника МСК равны углам треугольника АВС. б) Начертите две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. П Вариант II. а) Равносторонние треугольники АВС и АВD имеют общую сторону АВ. Параллельны ли прямые ВС и АD? Обоснуйте свой ответ. б) Расстояние между параллельными прямыми равно 3 см. Расстояние от точки до одной из прямых равно 1 см. Найдите расстояние от этой точки до другой прямой. Сколько решений имеет задача? Тренировочные упражнения. Н Проведите в тетради две параллельные прямые. Выполняя необходимые построения и измерения, найдите расстояние между этими прямыми. 103 8 [~^ Докажите, что расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. 10 С помощью линейки и угольника проведите через точку вне данной прямой прямую, параллельную данной. П 11 12 Решите предыдущую задачу с помощью одного лишь угольника. Начертите несколько пар углов так, чтобы стороны одного угла были параллельны сторонам другого угла. Измерьте каждый из углов. Выскажите предположение, как связаны между собой величины углов со взаимно параллельными сторонами. М 13 14 Докажите характеристическое свойство параллельных прямых. На листе клетчатой бумаги начерчена прямая и взята точка, как на чертеже. Проведите через взятую точку прямую, параллельную начерченной прямой. Ш 15 16 Н а) Через точку М, лежащую между параллельными прямыми, проведены две секущие, пересекающие одну из параллельных прямых в точках А и В, а другую - в точках С и D. Убедитесь, что у треугольников МАВ и MCD одинаковые углы, причём для каждого угла одного треугольника укажите равный ему угол другого треугольника. б) Будет ли верно утверждение предыдущей задачи, если точка М не лежит между параллельными прямыми (и не лежит ни на одной из них)? Начертите в тетради прямую. Проведите параллельную прямую на расстоянии 3 см от начерченной прямой. Сколькими способами можно провести требуемую параллельную прямую? 104 ш П 17 Расстояние от точки до одной из параллельных прямых равно 2 см, а до другой — 4 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми. Сколько решений имеет задача? 18 в Из углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, специальные названия имеют не только пары соответственных углов, но и некоторые другие пары. На чертеже углы а и у, а также углы в и 5 называются внутренними односторонними (название объясняется тем, 1 / 5 что они лежат между прямыми, т.е. «внутри», и по одну сторону от секущей). На чертеже углы а и 5, а также у и в называются внутренними накрест лежащими (название объ яс ня ет ся ана ло гич но). Убедитесь в верности следующих высказываний: а) если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны; б) если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; в) если прямые параллельны, то внутренние односторонние углы дают в сумме 180°; г) если внутренние односторонние углы дают в сумме 180°, то прямые параллельны. Ш 19 20 М Докажите, что углы со взаимно параллельными сторонами либо равны, либо дают в сумме 180°. Начертите на прямоугольном листе бумаги прямую и выберите точку. Перегибая лист, получите прямую, проходящую через выбранную точку параллельно начерченной прямой. Параллелограмм Вспоминаем то, что знаем Начертите прямоугольник на нелинованной бумаге. 105 Открываем новые знания I Начертите четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, но при этом не являющийся прямоугольником. I Измерьте противоположные стороны полученного четырёхугольника и сравните их длины. I Измерьте углы, не имеющие общих сторон (такие углы четырёхугольника называются противоположными), и сравните их величины. I Проведите диагонали, измерьте отрезки, на которые их разбила точка пересечения, и сравните длины этих отрезков. I Вырежьте четырёхугольник, с которым вы работали, из листа бумаги, а затем разрежь те по од ной из ди а го на лей и поп ро буй те на ло жить друг на дру га об ра зо вав-шиеся треугольники. Сделайте вывод. €# Оформулируйте свойства четырёхугольника, противоположные стороны которого попарно параллельны. Отвечаем, проверяем себя по тексту Четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом. B C B C ^AB || CD; BC || AD D A AABD= ABCD AD AD Свойства сторон, углов и диагоналей параллелограмма Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника. Противоположные стороны параллелограмма равны. Противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Каждое из свойств параллелограмма, набранных жирным шрифтом, - характеристическое. Про каждое из этих свойств можно сказать, что из всех че ты рё ху голь ни ков им об ла да ет только параллелограмм. Другими словами: 1) если в четырёхугольнике АВСD АВ=СD и ВС=АD, то ABCD - параллелограмм; 2) если в четырёхугольнике ABCD АА= А С и AB=AD, то ABCD - параллелограмм; 3) если в четы рё ху голь ни ке ди а го на ли точ кой пе ре се че ния де лят ся по полам, то этот че ты рё ху голь ник - па рал ле лог рам м. 106 Виды параллелограммов Некоторые виды параллелограммов имеют особые названия. Параллелограммом является уже знакомый вам прямоугольник (левый чертёж). Он отличается от других параллелограммов тем, что все его углы прямые, а также тем, что его диагонали равны. L 7 1 A B Г D C N Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом (правый чертёж). Диагонали ромба перпендикулярны. Вспоминаем то, что знаем Вспомните, как найти площадь произвольного треугольника. Вырежьте из бумаги два равных, но не прямоугольных и не равнобедренных треугольника. Сложите из них параллелограмм. Открываем новые знания Найдите площадь полученного параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма на чертеже. Как найти площадь параллелограмма? Отвечаем, проверяем себя по тексту Высота параллелограмма 7 Вы со той па рал ле лог рам ма на зы ва ет ся любой общий перпендикуляр двух его ^противоположных сторон. Чаще всего высоту проводят так, чтобы один из её концов совпадал с вершиной параллелограмма. B A E C / Zx a /F D 107 Площадь параллелограмма 7 B C F Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Диагональ BD параллелограмма ABCD делит его на равные треугольники ABD и BCD, поэтому площадь параллелограмма в 2 раза больше площади AABD. Проведём высоту ВЕ параллелограмма из вершины В к стороне AD. Пусть AD = = а, ВЕ = h. По известной нам формуле 1 площадь AABD равна —ah, а значит, площадь параллелограмма ABCD равна ah, что и требовалось доказать. A E D S ABCD = AD • BE S ABCD = CD • BF Развиваем умения У Н Q €» Продолжите предложения. а) Параллелограмм - это^ б) Треугольники, на которые параллелограмм разбивается диагональю, ... в) Противоположные углы параллелограмма. г) Ромбом называется. д) Прямоугольником называется. е) Квадратом называется. €» а) Сформулируйте характеристические свойства параллелограмма. б) Запишите формулу для нахождения периметра параллелограмма. в) Запишите формулу для нахождения площади параллелограмма. [~^ В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке Е. Найдите диагонали параллелограмма, если AE = 3 дм, ВЕ = 5 дм. [~^ а) Найдите периметр параллелограмма со сторонами 3 см и 4,5 см. б) Периметр параллелограмма равен 29 м, а одна из его сторон равна 9 м. Найдите другую сторону. I"5! а) Докажите, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. б) Один из углов параллелограмма равен 50°. Найдите все остальные углы. [~^ Начертите в тетради произвольный параллелограмм. Проведя необходимые измерения и вычисления, найдите его периметр и площадь. 108 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке Е. Найдите длины отрезков АС и DE, если АЕ = 7 мм, ВЕ = 8 мм. б) Одна сторона параллелограмма равна 12 дм, а другая на 4 дм короче. Найдите периметр параллелограмма. П Вариант II. а) В параллелограмме высоты равны 12 м и 18 м, а одна из сторон равна 30 м. Найдите другую сторону. Сколько решений имеет задача? б) Четырёхугольники ABCD и АВЕС - ромбы. Найдите величину угла АВС. Тренировочные упражнения. Н 1^7] Периметр параллелограмма равен 24 м. Найдите его стороны, если известно, что одна из них в 3 раза длиннее другой. Периметр параллелограмма равен 12 м. Найдите его стороны, если известно, что одна из них на 2 м длиннее другой. [~9] Верно ли высказывание «Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника» ? П 10 11 12 13 Верно ли высказывание «Если диагональ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник параллелограмм»? Параллелограмм разрезали на четыре треугольника по диагоналям. Площадь одного из треугольников равна 12 см2. Найдите площадь параллелограмма. Постройте квадрат с диагональю 7 см. Постройте ромб с диагоналями 6 см и 5 см. М 14 15 Постройте ромб с диагональю 6 см и стороной 5 см. Верно ли высказывание «Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник»? Обоснуйте свой ответ. 109 ш Н 16 17 18 19 В треугольнике АВС точка М — середина стороны ВС. На прямой АМ взята такая точка К, что МК = АМ. Докажите, что четырёхугольник АВКС - параллелограмм. В параллелограмме АВСВ точка К - середина стороны АВ, а точка L - середина стороны ВС, причём KBLB — прямоугольник с площадью 20 м2. Найдите площадь параллелограмма АВСВ. Верно ли высказывание «Если стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм — ромб»? Верно ли высказывание «Если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёх-уголь ник - пря мо у голь ник»? Ш П 20 Найдите площадь ромба с диагоналями 20 мм и 28 мм. 21 а) Постройте параллелограмм, если изображена его сторона и точка пересечения диагоналей (левый чертёж). Сколько решений имеет задача? б) Пост рой те па рал ле лог рамм, ес ли изоб ра же на его сто ро на и вер ши на, не принадлежащая этой стороне (средний чертёж). Сколько решений имеет задача? в) Пост рой те па рал ле лог рамм, ес ли изоб ра же ны три его вер ши ны (пра вый чертёж). Сколько решений имеет задача? При построении параллельных прямых пользуйтесь линейкой и угольником. При откладывании равных отрезков пользуйтесь циркулем. т М 22 23 24 а) Постройте параллелограмм, один из углов которого равен 45°, а стороны равны 3 см и 5 см. б) Постройте параллелограмм, диагонали которого равны 4 см и 6 см и пересекаются под углом 40°. в) Пост рой те па рал ле лог рамм, ди а го на ль ко то ро го рав на 5 см, а сто ро ны рав ны 2 см и 4 см. Вер но ли выс ка зы ва ние «Ес ли сто ро ны че ты рё ху голь ни ка рав ны, то этот че ты рё х-угольник — ромб»? Обоснуйте свой ответ. Вася прочитал в одном учебнике вывод формулы для площади параллелограмма. В параллелограмме АВСВ проводилась высота ВМ, после чего треугольник АВМ отрезался от параллелограмма и затем приклеивался к нему в положении BCF 110 (левый чертёж). После такой перекройки площадь параллелограмма ABCD оказывалась равной площади прямоугольника MBCF. Вася начертил свой параллелограмм ABCD (правый чертёж) и решил выполнить такие же построения. Удастся ли ему это сделать? F B C .4 Центральная симметрия Вспоминаем то, что знаем Точки А и А1 на чертеже симметричны относительно точки О. A1 O A Открываем новые знания Измерьте и сравните длины отрезков ОА и ОА1. Изобразите точку Q. Возьмите любую точку Р и постройте точку, симметричную ей относительно точки Q. Какие точки называются симметричными относительно точки О? 111 Отвечаем, проверяем себя по тексту Симметрия относительно точки Возьмём на плоскости произвольную точку О. Точки А и В называются симметричными относительно точки О (или относительно центра симметрии О), если точка О является серединой отрезка АВ. Считается, что центр симметрии симметричен самому себе. i Если центр симметрии О выбран, то для построения точки, симметричной данной точке М: 1) строим прямую ОМ; 2) откладываем от точки О на луче, дополнительном к лучу ОМ, отрезок ОМ, равный отрезку ОМ. Второй пункт можно выполнить и по-другому: 2а) проводим окружность с центром О и радиусом ОМ. Берём точку пересечения окружности с прямой ОМ, отличную от точки М. Действия, изложенные в пункте 2а), позволяют заключить, что если точку М повернуть на 180° вокруг точки О, то получим симметричную ей точку. Две фи гу ры на зы ва ют ся сим мет рич ны ми от но си тель но точки, если при повороте вокруг этой точки на 180° первая фигура совместится со второй, а вторая — с первой. Ж /а Или: если для каждой точки первой фигуры симметричная ей точка принадлежит второй фигуре, и наоборот, для каждой точки второй фигуры симметричная ей точка принадлежит первой фигуре. Фигура, симметричная отрезку, - это равный ему отрезок. Поэтому для построения отрезка, симметричного данному, дос та точ но пост ро ить точ ки, сим мет рич ные кон цам от рез ка, а затем начертить отрезок с концами в этих точках (правый чертёж). 112 i Центрально- симметричные фигуры Фигуры, симметричные относительно точки, равны. Возможен случай, когда фигура, симметричная данной фигуре относительно точки, совпадает с ней самой (левый чертёж). Например, окружность симметрична самой себе относительно своего цент ра; от ре зок сим мет ри чен се бе от но си тель но сво ей середины; прямая симметрична себе относительно любой своей точки. Такие фигуры называются центрально-симметричными. B C A D Центрально-симметричной фигурой является параллелограмм, при чём цент ром сим мет рии яв ля ет ся точ ка пе ре се че ния ди а го-налей. Действительно, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому сторона АВ симметрична стороне СD, а сторона ВС - стороне АD (правый чертёж). Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные фигуры. Развиваем умения Н ^ • Продолжите предложения. а) Точки К и L называются симметричными относительно точки M, если^ б) Две фигуры называются симметричными относительно точки, если^ в) Фигуры, симметричные относительно точки, ^ г) Фигура называется центрально-симметричной, если^ д) Центром симметрии отрезка является^ е) Центром симметрии окружности является^ ж) Центром симметрии параллелограмма является^ [~^ • а) Что можно сказать о прямой, проходящей через центр симметрии фигуры? б) Расскажите, как связаны между собой симметрия относительно точки и поворот на 180° вокруг этой точки. [~3] Отметьте две произвольные точки А и В. а) Постройте точку, симметричную точке А относительно точки В. б) Постройте точку, симметричную точке В относительно точки А. [~^ Верно ли, что круг является центрально-симметричной фигурой? [~^ Какие из заглавных букв русского алфавита имеют центр симметрии? А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 113 [~^ Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? [~^ Верно ли, что четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, обязательно яв ля ет ся па рал ле лог рам мом? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Постройте отрезок, симметричный данному отрезку АВ, если центр симметрии совпадает с точкой А. б) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке М, а сторону CD в точке N. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырёхугольника AMND равна 48 м2. П Вариант II. а) Постройте отрезок, симметричный данному отрезку АВ, если центр симметрии лежит на прямой АВ вне отрезка АВ. б) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВCD проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке М, а сторону CD в точке N. Верно ли, что четырёхугольник АМCN — параллелограмм? Обоснуйте свой ответ. Тренировочные упражнения. Н На левом чертеже изображён параллелограмм АВCD. Назовите фигуры, симметричные относительно точки О: а) точке А; б) отрезку АВ; в) отрезку ВЕ; г) А АВО; д) А FOD; е) четырёхугольнику АВЕ¥; ж) четырёхугольнику DOEC. B E C C D E [~^ На правом чертеже изображён шестиугольник АВCDEF, о котором известно, что он имеет центр симметрии О. а) Докажите, что противоположные стороны шестиугольника равны, т.е. АВ = DE; ВС = EF; CD = FА. б) Докажите, что противоположные углы шестиугольника равны, т.е. ^А = ZD; ZВ = ZE; ZC = ZF. 114 8 П 12 13 10 Постройте отрезок, симметричный данному отрезку АВ, если центр симметрии: а) совпадает с серединой отрезка АВ; б) лежит внутри отрезка АВ и не совпадает с его серединой. 11 Постройте окружность, симметричную данной окружности, если центр симметрии: а) совпадает с центром окружности; б) лежит вне окружности; в) лежит на окружности; г) лежит внутри окружности, но не совпадает с её центром. Прочитав в учебнике, что две фигуры симметричны относительно точки, если при повороте вокруг этой точки на 180° первая фигура совместится со второй, а вторая — с первой, Валя решил, что последняя часть текста «а вторая — с первой» лишняя, её можно отбросить, потому что она следует из первой части текста. Прав ли Валя? Про чи тав в учеб ни ке, что две фи гу ры сим мет рич ны от но си тель но точ ки, ес ли для каждой точки первой фигуры симметричная ей точка принадлежит второй фигуре и, на обо рот, для каж дой точ ки вто рой фи гу ры сим мет рич ная ей точ ка при над лежит первой фигуре, Вася решил, что часть текста, начиная со слова «наоборот», лишняя, её можно отбросить, потому что она следует из первой части текста. Прав ли Вася? М 14 На левом чертеже изображён прямоугольник, из которого вырезан круг, а на правом - параллелограмм, из которого вырезан квадрат. 15 Для каждой закрашенной фигуры проведите прямую, делящую её на две части, имеющие равные площади. Верно ли, что в предыдущей задаче полученные части фигур не только имеют равные площади, но и равны между собой? Ш Н 16 17 Какие из заглавных букв латинского алфавита имеют центр симметрии? A B C D E F G H I J K L М N O P Q R S T U V W X Y Z Могут ли два непараллельных отрезка быть симметричны друг другу относительно не ко то рой точ ки? 115 18 Верно ли, что два отрезка, симметричные друг другу относительно некоторой точки, параллельны? т П 19 20 Имеет ли центр симметрии пара параллельных прямых? Имеет ли центр симметрии пара пересекающихся прямых? 21 Имеет ли центр симметрии какой-нибудь треугольник? 22 Постройте треугольник, симметричный данному треугольнику АВС, если центр симметрии: а) лежит вне треугольника АВС; б) совпадает с точкой А; в) совпадает с серединой стороны АВ; г) лежит на стороне АВ, но не совпадает с её серединой; д) ле жит внут ри тре у голь ни ка АВС. Ш М 23 Проведите через точку А прямую, делящую фигуру на две равные фигуры. / / / / / / / / / A / / / 24 Два шестиклассника играют в такую игру. Они по очереди кладут на прямоугольный стол одинаковые пя ти руб лё вые мо не ты, при чём но вую мо не ту мож но класть на любое свободное место так, чтобы она не налегала на положенные ранее монеты. Может ли начинающий гарантированно выиграть? 116 Итоговый тест [~^ Выполните действия с дробями: а) 12,1 - 9,75; б) 134,09 + 97,97; в) 1,843,9; г) 1,32 : 0,024. 1 верный результат — 1 очко f2] Выберите истинное высказывание: а) 5,679 > 56,79; б) 9,82 < 8,29; в) 14,2001 > 14,199999. [~3] Выберите ложное высказывание: а) 0,001 га = 0,1 а; б) 0,52 т = 5,2 ц; в) 8,003 км = 800,3 м. [4\ Найдите 0,34 от числа 17,3. Ответы: а) 58,82; б) 5,882; в) 0,5882. \~5\ Найдите число, 0,075 от которого равно 9,6. Ответы: а) 0,72; б) 72; в) 128. 3 [~6] Запишите число — в виде десятичной дроби. 8 Ответы: а) 0,3; б) 0,375; в) 0,38. 1^7] Запишите число 12,56 в виде обыкновенной дроби. 1 очко 2 очка 1 очко 1 очко 1 очко Ответы: а) 1^; 6 23 б) 1223; 40 в) 12^. 25 1 очко Округлив слагаемое до нужного разряда, вычислите с точностью до сотых: 15,37509 + 0,0981. Ответы: а) 15,47319; б) 15,47; в) 15,48. 2 очка [~9] Сколько из заглавных букв латинского алфавита имеют центр симметрии? A B С D E F G H I J K L М N O P Q R S T U V W X Y Z Ответы: а) 6; б) 7; в) 8 . 3 очка 117 8 Исторические страницы Идея, на которой основано понятие десятичной дроби, - не писать знаменателей и выполнять действия максимально похожие на действия над целыми числами -появилась ещё у древних вавилонян. Правда, их дроби были не десятичными, а шестидесятиричными, а система выполнения действий не была полностью разрабо-та на; осо бые труд нос ти вы зы ва ло де ле ние. Начиная с III века н.э. десятичные дроби стали появляться у китайских мате-ма ти ков, но в ос нов ном лишь для за пи си чи сел; действия с та ки ми дро бя ми вы-пол ня лись лишь эпи зо ди чес ки, и об щей сис те мы пра вил не бы ло. В 953 году н.э. появилось сочинение аль-Укл идиси из Дамаска «Книга разделов об индийской арифметике». Не давая общего описания системы десятичных дробей и их свойств, автор рассмотрел примеры их употребления в некоторых вычислениях. Целую часть он отделял от дробной апострофом сверху. Однако трактат аль-Уклидиси не оказал влияния на современников, и десятичные дроби не получили распространения. Подробное описание системы десятичных дробей и правил выполнения операций над ними было дано в сочинении «Ключ арифметики» аль-Каш и из Самарканда (1427 г.). Его целью было добиться выполнения действий над дробями как над целыми числами. Дробную часть аль-Каши отделял от целой чертой или писал другим цветом. Он не только сформулировал основные правила действий с десятичными дробями, но и начал регулярно применять десятичные дроби при решении задач. Использование десятичных дробей в Европе началось после выхода сочинения голландского математика и инженера Симона Ст евина «Десятая» (1585 г.). Первоначальные геометрические понятия были известны многим народам древности, но развитие геометрии как науки началось в Древней Греции. Своеобразной эн цик ло пе ди ей ма те ма ти чес ких зна ний то го вре ме ни ста ло со чи не ние Евк лида «Начала» (IV-III вв. до н.э.). В нём, в частности, изложена стройная система древнегреческой геометрии. Она основывалась на результатах, полученных многими геометрами более раннего времени. Ещё в Древней Греции считалось, что равенство вертикальных углов впервые доказал Фалес из Милета (VI в. до н.э.). Теория параллельных прямых и свойства параллелограмма были подробно изучены Пифагором и его учениками (V в. до н.э.). В это же время появились представления о симметрии (само это слово в переводе с греческого означает «соразмерность»). 118 Люби М матема 1. После окончания занятия в шахматной секции тренер опросил всех ребят, сколько партий сыграл сегодня каждый из них. Шестеро ответили, что сыграли по две партии, и трое - что сыграли по три партии. Могли ли все сказать правду? Если да, то сколько всего партий было сыграно? Если нет, то почему? 2. В двух кошельках лежит 100 рублей, причём в одном из них денег вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть? 3. У шестиклассника 10 учебных предметов. Его средний балл за первую четверть 4,6. Сколько у него «троек», «четвёрок» и «пятёрок», если известно, что есть все эти оценки? 4. Имеются две деревянные палочки. Можно при к ла ды вать па лоч ки друг к дру гу и де лать за-сеч ки на лю бой па лоч ке. При ду май те, как узнать, что больше: длина первой палочки или 2 — длины второй палочки? 5. К Варе на день рождения пришли 5 девочек. 1 1 Первой она дала — часть пирога, второй 6 1 часть остатка, третьей 5 — часть вновь полу-4 1 следующего чившегося остатка, четвёртой - — 1 3 остатка и пятой - — последнего остатка. Какая из де во чек по лу чи ла на и боль ший ку сок пи ро га? 6. В квадрате 7 х 7 клеточек закрасьте некоторые клеточки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце было ровно по три закрашенные кле-т очки. 7. 10 мальчиков и 10 девочек разбили на пары мальчик - девочка так, что в каждой паре мальчик оказался выше девочки. После этого их разбили на па ры маль чик - де воч ка по-дру го му. Может ли теперь оказаться, что в девяти парах из десяти девочка выше мальчика? 119 HQ §0 Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Требуется определить расстояние между двумя точками на местности, разделёнными прудом. B A ВАША РОЛЬ. Землемер. ОПИСАНИЕ. Надо на местности измерить расстояние между точками А и В. Преграда в виде пруда не даёт вам возможности проложить отрезок АВ и выполнить измерения непосредственно. ЗАДАНИЕ. Определите это расстояние на местности без использования планов и карт (они отсутствуют). 120 РАЗДЕЛ II ПРОПОРЦИИ И ПРОЦЕНТЫ ВХОднОй тест Q Найдите 1,62 от числа 30,5. Ответы: а) 49,41; б) 49,401; в) 49,041; г) 49,041. [~2] Найдите число, 0,36 от которого равно 16,2. Ответы: а) 50,4; б) 45; в) 40,5; г) 54. [~3] Какую часть от числа 640 составляет число 224? Ответы: а) 0,35; б) 0,38; в) 0,4; г) 0,45. 1 очко 1 очко 1 очко и Для окраски стены смешали 3 части синей и 4 части зелёной краски. Сколько взяли синей краски, если зелёной было взято 300 г? Ответы: а) 225 г; б) 250 г; в) 320 г; г) 400 г. 1 очко [~^ Известно, что для приготовления фруктово-ореховой смеси на каждые две части орехов берётся три части фруктов. Сколько орехов в 600 г такой смеси? Ответы: а) 200 г; б) 240 г; в) 360 г; г) 400 г. 2 очка [~6] Выберите истинное высказывание. От дома до школы Вася шёл 9 минут. Чтобы затратить на этот путь в 1,5 раза меньше времени, ему нужно: а) увеличить скорость в 1,5 раза; б) уменьшить скорость в 1,5 раза; в) нельзя точно сказать, так как неизвестно расстояние от дома до школы. 2 очка [~^ Есть две карты: старая с масштабом 1 : 1 000 000 и новая с масштабом 1 : 200 000. Расстояние между пунктами Л и В на новой карте: а) в 2 раза больше, чем на старой; б) в 5 раз больше, чем на старой; в) в 5 раз меньше, чем на старой; г) нельзя точно сказать. 3 очка 121 Путеводитель по второму разделу ГЛАВА IV Пропорции t Путь 1: а) входной тест; б) главы; в) итоговый тест. Путь 2: а) входной тест; б) главы; в) жизненная задача; г) итоговый тест. 122 Проекты t Путь 3: а) входной тест; б) главы; в) задачи для любителей математики; г) жизненная задача; д) итоговый тест. 123 ГЛАВА IV ПРОПОРЦИИ 4.1 Отношения чисел и величин Вспоминаем то, что знаем I Прочитайте выражение 5 : 50. I Выражение 5 : 50 читается ещё и так: отношение числа 5 к числу 50. Числа 5 и 50 — члены отношения. Открываем новые знания 1 2 I Запишите отношение числа ^ к числу 3; числа 0,6 к числу 0,3. I Подберите синоним для понятия отношение двух чисел. I Какое определение можно дать понятию «отношение двух ненулевых чисел»? Как можно записать отношение двух ненулевых чисел? Отвечаем, проверяем себя по тексту Отношение чисел Отношением двух ненулевых чисел называется частное этих чисел. Сами числа называются членами отношения. 1^ Например, отношение числа 5 к числу 3 можно записать в виде 5 : 3 или — . 3 1 1 11 Отношение числа — к числу — можно записать в виде — : — . 5^3 53 124 Вспоминаем то, что знаем © Запишите отношение двух любых известных вам чисел, не равных 0. Открываем новые знания Запишите отношения следующих пар величин: 10 км к 2 км; 10 км к 2 ч. Чему равны эти отношения? © Чем выражается отношение 10 км : 2 км? © Как называется отношение 10 км : 2 ч? © Чем является отношение двух величин? Отвечаем, проверяем себя по тексту Отношение величин Отношением двух величин называется частное этих величин. Отношение одноимённых величин (масс, площадей, длин, стоимостей и т.д.), представленных в одинаковых единицах изме-L рения, выражается числом. i От но ше ние разноимённых величин как новая величина Например, 5 см 3 см 5 4т 40ц ^; — = —^ = 20. 3 2ц 2ц 7 Отношение разноимённых величин (расстояния и времени, стоимости товара и его количества и т.д.) является новой величиной. Отношение расстояния ко времени есть скорость. В зависимости от того, в каких единицах измерены расстояние и время, получаются различные единицы измерения скорости. В самой за пи си еди ниц ско рос ти вид но от но ше ние рас сто я ния ко вре ме- ^ км м ^ ни —, — и т.д. . Для удобства единицы скорости чаще всего V ч с у! записывают с помощью наклонной черты (км/ч, м/с и т.д.). Например, путь измерен в километрах, а время — в часах, тогда ско рость бу дет вы ра же на в ки ло мет рах в час: 50км 50 км -----=--------= 25км/ч. 2 ч 2 ч 125 Отношение стоимости покупки к количеству, массе, длине и т.д. купленного товара есть цена этого товара. Например, стоимость покупки выражена в рублях, а количество - в килограммах, тогда цена будет выражена в рублях за килограмм. Обратите внимание, что при этом не пишут 120 р/кг, а пишут 120 р за 1 кг, и т.д. Различие в за писи скорости и цены не име ет ни ка ких осо бых при чин - так ис то ри чес ки сло жи лось, и это следует просто запомнить. Вспоминаем то, что знаем I Вспомните основное свойство дроби. Запишите несколько дробей, равных дроби ^ Открываем новые знания I Верны ли записи: 20 : 10 = 4 : 2; 20 : 10 = 200 : 100? Почему? Как можно сформулировать данное свойство отношения? Отвечаем, проверяем себя по тексту к Основное свойство отношения 7 Основное свойство отношения: если оба члена отношения умножить или разделить одновременно на одно и то же ненулевое число, то отношение не изменится. а Действительно, отношение чисел а и Ь — это a : b или — , а нам известно, что ^ _ а ■ ^ _ а : d а : b b b ■ c b : d b , где с Ф 0, d Ф 0. С помощью основного свойства отношения можно отношение дробных чисел заменить равным ему отношением целых чисел. Для этого оба члена отношения умножают на общий знаменатель дробей. 7 5 Например: задано отношение числа — к числу — . 7 — 5_ 12 7 ■ 36 5■36 28:15. 9 12 Тот же результат получится, если первый член отношения разделить на второй: 7 : 5 _ 7 ■ 12 4_ 28 9 : 12 _ У■ 5 _ 15. 3 126 Вспоминаем то, что знаем С» Как можно сравнить 15 и 10; 9 и 6; 1 050 и 1 000? V Как сравнить величины 15 мин и 10 мин; 9 км и 6 км? Открываем новые знания • В прошлом году в школьном конкурсе бальных танцев участвовали 12 человек, а в этом году на 6 человек больше. • Как узнать, большой ли это прирост? €# Что показывает отношение двух чисел? Отвечаем, проверяем себя по тексту Разностное и кратное сравнение к При сравнении двух чисел иногда недостаточно знать, какое число больше или меньше другого; часто возникает необходимость знать, на сколько или во сколько раз одно число больше или меньше другого. Такое сравнение чисел называется соответственно разностным сравнением и кратным сравнением. Например, путь от подъезда до входа в школу составляет 150 м, если идти по аллее сквера, и 100 м, если идти дворами. Сравнивая эти данные, можно сказать, что путь по аллее на 50 м длиннее, а путь по дворам на 50 м короче (150 - 100 = 50). Можно также сказать, что путь по аллее в 1,5 раза длиннее, чем по дворам (150 : 100 = 1,5), или что путь дворами составляет 2 „ (10^ 2 ^ от пути аппеей парка ---- — — 150 3 3 от пути аллеей парка * Необходимость сравнения величин постоянно возникает при решении практических задач. Сравнение при помощи деления используют в тех случаях, когда хо тят ка че ст вен но оце нить си ту а цию, ис пользуя при этом термин «отношение». Например, известно, что число новорождённых и в городе N, и в городе M в этом году увеличилось на 100 человек. В каком из городов прирост новорождённых больше? От вет за ви сит от то го, сколь ко но во рож дён ных бы ло в этих городах в прошлом году. В городе N в прошлом году родилось 100 детей, и, следовательно, в этом году новорождённых стало в 2 раза больше (200 : 100 = 2). Можно сказать, что отношение числа детей, рождённых в го-ро де N в этом году, к числу детей, рождённых в прошлом году, равно 2. Это достаточно большой прирост. 127 В городе M в прошлом году родилось 1 000 детей, и, следовательно, в этом году новорождённых стало в 1,1 раза больше (1 100 : 1 000 = 1,1). Можно сказать, что отношение числа детей, рождённых в городе M в этом году, к числу детей, рождённых в прошлом году, равно 1,1, то есть их число не очень сильно изменилось. Если первый член отношения больше второго, то отношение показывает, во сколько раз он больше. Если первый член отношения меньше второго, то отношение показывает, какую часть от второго члена составляет первый. Если члены отношения равны, то отношение равно единице. Итак, отношение двух различных чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Развиваем умения У Н V Прочитайте выражение, используя термин «отношение»: а) 2 : 3; в) 1 : 200; д) 0,5 : 3,5; б) 15 : 17; г) 1 : 100 000; е) - : 4. 35 3 [~^ Запишите несколько отношений, равных: а) 3; б) 0,5; в) —. 4 [~^ Автомобиль проехал 75 км, и ему осталось ещё проехать 150 км. а) Во сколько раз непройденное расстояние больше, чем пройденное? б) Какую часть пройденное расстояние составляет от непройденного? Составьте ещё несколько отношений, пользуясь данными задачи. Что показывают эти отношения? [4\ Есть два ненулевых числа: a и b. Что показывает отношение a : b, если: а) a > b; б) a < b? [~5| На рисунке изображены отрезки a, b, с. a h + + + н Найдите отношение: a b a c c b b a c a b c Что показывает каждое из этих отношений? 128 b c Г6] Могут ли длины сторон квадрата относиться, как: а) 5 : 5; б) 2 : 2; в) 3 : 2? 1^7] а) Верно ли, что если увеличить оба члена отношения на одно и то же число, то отношение не изменится? Обоснуйте свой ответ. б) Верно ли, что для любого отношения дробных чисел можно записать равное ему отношение натуральных чисел? 8 Запишите отношение в виде дроби, упростив её, если это возможно: а) 2 : 3; в) 56 : 49; д) 500 : 800; б) 35 : 700; г) 520 : 460; е)27 : 81. [~9] Замените отношение дробных чисел равным ему отношением натуральных чисел ) 1 2 53 ) 3 : 4 73 м3 11 д) ^ ^; 11 3 12 1 б) ^ : 11; 15 3 28 ) 7 21 8 32 10 Выразите величины в одинаковых единицах измерения и упростите отношение: а) 12 м ; 1 8 дм б) 18 кг 540 г' в) 550 кг ; 1 т ' г) 500 см3 2 дм3 11 а) Найдите скорость машины, если пройденное ею расстояние равно 30 км, а 2 время движения — 5 ч. 1 б) Найдите цену товара, если его стоимость 100 р., а количество - 2— кг. 21 в) Найдите производительность труда рабочего, если он сделал 5 деталей за — ч. 4 Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) На рисунке изображены отрезки a и Ъ. Найдите отношения — и —. b a h + + + + + Н Ъ I-----------h Н б) Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел: 0,125 : 0,5; 4 : —. 5 15 П Вариант II. а) Найдите отношение, не равное двум другим: 45 : 9; 5 : 15; a 2 : 2 5 : 25 б) Сравните числа a и Ъ, если — < 1. Ъ 129 Тренировочные упражнения. Н 12 Прочитайте каждое отношение и, если возможно, упростите его: 1 3 а) 135 : 9; в) 2,16 : 0,3; д) 31 : 13; 55 б) 185 : 74; г) 2,5 : 3,6; 31 е) 8— : 17 7 13 14 15 В тетради 24 чистых и 6 исписанных страниц. Что показывает отношение 24 : 6? Что показывает отношение 6 : 24? После осмотра клумб на пришкольном участке выяснилось, что отношение числа распустившихся тюльпанов к числу взошедших равно — . Этот результат иногда описывают так: «каждые 4 из 5 тюль панов рас пус тились»; «каж дый пятый тюльпан не распустился»; «из каждых пяти тюльпанов один не распустился»*. Опишите аналогичным образом следующие ситуации: 3 а) отношение числа решённых задач к числу нерешённых равно —; 41 б) отношение числа пропущенных шайб к числу бросков по воротам равно 5 . Расстояние в 1,5 км пешеход прошёл за 20 мин. Чему равна его скорость? Ответ выразите в следующих единицах измерения: а) км/ч; б) км/мин; в) м/ч; г) м/мин; д) м/с. П 16 Что представляет собой отношение двух чисел, выражающих одно и то же расстояние в разных единицах измерения (например, в километрах и метрах; в футах и аршинах и т.д.)? 17 Начертите отрезок АВ. Отметьте на нём точку С таким образом, чтобы выполнялось условие: а) --= 1; б) -< 1; в) --> 1; г^^ = 3. BC BC BC BC Такие фразы не надо понимать буквально; они, безусловно, весьма неудачны, но, несмотря на это, время от времени употребляются, и поэтому необходимо познакомиться с такими фразами. 130 М 18 Вы знаете, что отношение пройденного расстояния ко времени, за которое оно пройдено, называется скоростью. (Говоря кратко, отношение расстояния ко времени есть скорость.) Скорость — хорошо знакомая вам величина. А что представляет собой отношение времени к расстоянию? Что показывает эта величина? В каких единицах она измеряется? Ш Н 19 Прочитайте отношение и, если возможно, упростите его: а) 100 : 25; в) 25 : 100; д) - : —; 7 14 б) 18 : 0,2; г) 0,2 : 18; е) 24 : 11-. 7 21 20 21 22 а) На числовом луче отмечены точки А(2) и В(10). Найдите координату точки С, расположенной на отрезке АВ, если известно, что АС : СВ = 3 : 1. б) На числовом луче отмечены точки А(2) и В(10). Найдите координату точки С, расположенной вне отрезка АВ, если известно, что АС : СВ = 3 : 1. Начертите какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно: а) 1 : 2; б) 2 : 3; в) 1 : 1. Запишите отношение числа 3 к числу 5 в виде: а) обыкновенной дроби; б) частного; в) десятичной дроби. Ш П 23 24 Скорость легковой автомашины 75 км/ч. Какой путь она проедет за: 3 а) — ч; б) 40 мин; в) 50 мин; г) 135 мин? 4 Скорость легковой автомашины 1 500 м/мин. За сколько часов машина проедет: а) 135 км; б) 30 км; в) 9 км; г) 54 км? Ш М 25 Из двух посёлков, расстояние между которыми равно 36 км, одновременно вы е ха ли навстре чу друг дру гу два велосипедиста. Через какое время они встретятся, если первый проезжает 1 км за 4 мин, а второй — за 5 мин? 131 4. Деление числа в данном отношении Вспоминаем то, что знаем I В кулинарной книге записано, что для приготовления фруктово-ореховой смеси на 10 частей фруктов следует взять 3 части орехов. Сколько граммов фруктов следует взять на 120 г орехов? Открываем новые знания I Фруктово-ореховая смесь состоит из фруктов и орехов, массы которых относятся, как 10 : 3. Масса смеси 520 г. Чему равна масса фруктов и масса орехов в этой смеси? -в» Как разделить число 520 в отношении 10 : 3? 9 Похожи ли эти задачи? Чем именно? Отвечаем, проверяем себя по тексту При ре ше нии прак ти чес ких за дач час то воз ни ка ет не об хо ди-мость раз де лить ве ли чи ну на час ти, от но ше ние ко то рых за да но (разделить величину в заданном отношении). Рассмотрим и решим несколько таких задач. Пример 1. В поваренной книге дан рецепт фруктово-молочного коктейля. В нём сказано, что сок и молоко нужно смешивать в от но ше нии 2 : 3. Сколько нужно взять сока и молока, чтобы приготовить 500 г такого коктейля? Решение: очевидно, что если 500 г коктейля представлять как целое, то в нём будет 2 части сока и 3 части молока. Таким образом, мы приходим к уже известной нам задаче на части. Всего имеется 2 + 3 = 5 (частей). Если на 5 частей приходится 500 г, то на каждую часть 500 : 5 = 100 (г). Тогда сока надо взять 100 2 = 200 (г), а молока потребуется 100 3 = 300 (г). Ответ: 200 г сока и 300 г молока. 132 Задачи на отно шения как зада- Если два числа относятся как m : n, то удобно считать, что первое число содержит m одинаковых частей, а второе число — n таких же частей. Во многих реальных задачах отношение, в котором нужно разделить число, не задано в явном виде, а его нужно установить са мос то я тель но, ис хо дя из дру гих дан ных за да чи. Пример 2. Два фермера сложили свои деньги для покупки трактора. Первый внёс 150 000 р., второй - 250 000 р. Через некоторое время они продали этот трактор за 320 000 р. Как им справедливо разделить между собой вырученные деньги? Решение: вырученные деньги справедливо разделить в том же от но ше нии, в ко то ром бы ли вло же ны день ги на по куп ку, т.е. 150 000 : 250 000, или 3 : 5. Первый фермер должен получить: 320 000 : (3 + 5)3 = 320 000 : 8 3 = 40 000 3 = 120 000 р. Второй фермер должен получить: 320 000 : (3 + 5) 5 = 320 000 : 8^ 5= 40 000 5 = 200 000 р. Иногда число приходится делить не на две, а на б(6льшее количество частей в данном отношении. Пример 3. Три купца составили товарищество для ведения торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй - 9 000 р., третий - 12 000 р. По окон ча нии тор го во го де ла они по лу чи ли об щей при бы ли 6 000 р. Сколько денег из этой прибыли следует получить каж-до му куп цу? Решение: прибыль следует разделить в том же отношении, в котором были вложены денежные средства: 15 000 : 9 000 : 12 000 = = 5 : 3 : 4. Первый купец должен получить: 6 000 : (5 + 3 +4)5 = 6 000 : 12 Второй купец должен получить: 6 000 : (5 + 3 +4)3 = 6 000 : 12 Третий купец должен получить: 6 000 : (5 + 3 + 4)4 = 6 000 : 12 4 = 500 4 = 2 000 р. 5 = 500 5 = 2 500 р. 3 = 500 3 = 1 500 р. Развиваем умения Н ~Т] • а) Разделите отрезок АВ в отношении 2 : 3, считая от точки А, отметив на нём точку M. A h 10 см B ч Разделите отрезок АВ в отношении 2 : 3, считая от точки B, отметив на нём точку N. 133 б) Разделите отрезок CD в отношении 2 : 3 : 5. Сколько решений имеет задача? С 10 см D ч [~^ Начертите отрезок длиной 15 см. Разделите его в отношении 7 : 3. [3\ а) Установка двери стоила 2 100 р. Мастер и его помощник разделили эти деньги в отношении 2:1. Сколько получил каждый? б) Две девочки разделили между собой 16 тетрадей в отношении 3 : 5. Сколь ко тет ра дей дос та лось каж дой? в) На вы пол не ние до маш не го за да ния по рус ско му язы ку и 2 математике у ученика шестого класса ушло 3 часа. Время, которое он затратил на выполнение задания по математике, от но сит ся ко вре ме ни, зат ра чен но му на выполнение задания по русскому языку, как 3 : 5. Сколько минут ушло на выполнение каждого из этих заданий? г) Сплав состоит из меди и цинка, массы которых относятся как 4 4 : 3. Масса сплава — ^ кг. Сколько в этом сплаве цинка? 5 д) Во ва, Ри нат и Рус лан сло жи ли свои день ги для по куп ки мас ки для под вод но го плавания. Вова внёс 50 р., Ринат - 60 р., а Руслан - 40 р. Через некоторое время они продали эту маску за 90 р. Сколько денег следует получить каждому из ребят? [~^ Постройте угол MNK и разделите его двумя лучами в отношении 2 : 3 : 5, если: а) ZMNK = 180°; б) ZMNK = 90°. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Раз де ли те чис ло 90 в от но ше нии: 4 : 5; 3 : 6; 2 : 3 : 4. б) Сплав состоит из олова и свинца, массы которых относятся как 2:1. Масса сплава — 26,4 кг. Сколько в этом сплаве олова и сколько свинца? П Вариант II. а) Раз де ли те чис ло 42 в от но ше нии: 2 : 5; 1 : 2 3: 3 б) Для приготовления фарфора смешивают белую глину, песок и гипс в отношении 25 : 2 : 1. Определите массу каждого из этих веществ для приготовления 112 кг смеси. 134 Тренировочные упражнения. Н [~^ Разделите число 120 в отношении: 1 2 а) 2 : 4; б) 3 : 3; в) 1,5 : 2,5. И Два числа относятся, как 7 : 5. Найдите эти числа, если: а) их сумма равна 48; б) их разность равна 1. 1^7] Пять чисел относятся между собой, как 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Найдите эти числа, зная, что: а) сумма первого и третьего чисел равна 40; б) разность пятого и второго чисел равна 51. Два числа относятся, как 2 : 7. Найдите эти числа, если их произведение равно: а) 14; б) 56. П Отрезки АС и АВ относятся, как 3 к 5. Чему равно отношение: а) АС : СВ; б) СВ : АВ? A h C -h B Ч 10 В математическом кружке занимаются мальчики и девочки. Отношение числа мальчиков к числу девочек при этом равно 5 : 4. Оп ре де ли те: а) чему равно отношение числа мальчиков к числу всех занимающихся в кружке; б) какую часть от занимающихся в кружке составляют девочки. М 11 Разделите число а в отношении m: n. 12 В квартире три комнаты: маленькая, средняя и большая. Их общая площадь — 75 м2. При этом площадь большой комнаты на 5 м2 больше, чем площадь средней, а площадь средней относится к площади маленькой, как 3:1. Чему равна площадь каждой комнаты? [щ] Н 13 Выберите равные между собой пары отношений. а) 15 : 30; в) 8,4 : 2,1; д) -1 : -2; б) 120 : 30; г) 1,5 : 0,5; ) 1 1 е^ : —. 5 15 14 Отношение длины комнаты к её ширине равно 4 : 3. а) Найдите площадь комнаты, если её длина равна 6 м. б) Найдите площадь комнаты, если её длина больше ширины на 0,9 м. 135 8 15 В театральной студии занимаются мальчики и девочки. Отношение числа мальчиков к числу девочек равно 1 : 3. а) Сколько в студии девочек, если мальчиков 4? б) Сколько в студии мальчиков, если девочек на 12 больше? в) Сколько в студии человек, если в ней 18 девочек? г) На сколько девочек больше, чем мальчиков, если всего в студии 24 человека? Ш П 16 Постройте прямоугольник, у которого стороны относятся, как 5 : 8, а периметр равен 18,2 см. 17 Пирожные разложили в две коробки в отношении 7 : 4. Когда из одной коробки взяли 12 пирожных, то в коробках их стало поровну. Сколь ко пи рож ных бы ло пер во на чаль но? Ш М 18 Разделите число а в отношении m : n : k. Пропорции Вспоминаем то, что знаем I Прочитайте равенство 6 : 3 = 24 : 12. Это равенство называется пропорцией. Числа 6; 3; 24; 12 - члены пропорции. 136 Открываем новые знания €» Как прочитать эту пропорцию, используя понятие «отношение»? • Придумайте свой пример пропорции. Ф Можно ли составить пропорцию из отношений 2 : 5 и 10 : 4? Что называют пропорцией? Какие члены пропорции можно назвать крайними, а какие - средними? Отвечаем, проверяем себя по тексту Пропорция — это верное равенство двух отношений. Слово «пропорция» произошло от латинского pro portio, что означает «на порции, на части». Пропорция может быть записана в виде a :Ъ = с : d или в виде ^ _ c Ъ d Прочитать эти записи можно по-разному. «От но ше ние a к Ъ рав но от но ше нию с к d». «От но ше ния a к Ъ и с к d равны». «a от но сит ся к Ъ, как с от но сит ся к d». г Входящие в пропорцию четыре числа называются членами пропорции. В пропорции а:Ъ = с :d числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа Ъ и с — средними членами пропорции. средние члены I I а: Ъ = с : d I_________I крайние члены Такие названия понятны из расположения чисел при записи пропорции в виде а: Ъ = с: d, но они же используются и при запи- ac си пропорции в виде — - — . Ъ d Названия «крайние члены» и «средние члены» относительны, достаточно записать пропорцию в обратном порядке (справа налево), как с : d = а :Ъ, и бывшие крайние члены становятся средними, и наоборот. Вспоминаем то, что знаем tf Найдите и сравните произведение крайних и произведение средних членов каждой из данных пропорций: 6 : 3 = 24 : 12; 1 : 5 = 17 : 85; 20 : 8 = 5 : 2. 137 Открываем новые знания I Придумайте свой пример пропорции и проведите такую же работу. Какую закономерность вы увидели? Эта закономерность — основное свойство пропорции. I Сформулируйте и докажите основное свойство пропорции. Отвечаем, проверяем себя по тексту Основное свойство пропорции Основное свойство пропорции: в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. ^ _ c _ При записи пропорции в виде — — — основное свойство часто I о d формулируют так: произведения членов пропорции крест- накрест равны между собой. Действительно, возьмём пропорцию — — C и приведём дроби ad bc0 d к общему знаменателю bd: — — —. Поскольку знаменатели bd bd равны, то равны и числители: —d = bc, что и требовалось доказать. Вспоминаем то, что знаем I Подберите какие-нибудь четыре числа, не равные нулю, так, чтобы произведение первых двух было равно произведению третьего с четвёртым. Открываем новые знания I Попробуйте составить пропорции из этих чисел. I Сколько пропорций можно составить? Как при переходе от одной пропорции к другой переставляются члены пропорции? Свойства пропорции Отвечаем, проверяем себя по тексту Из основного свойства пропорции —d = bc следует, что в каждой к пропорции можно переставить: а) крайние члены; б) средние члены; в) крайние на место средних и наоборот, получив при этом новые пропорции. 138 ,, a Ъ d c Ъ d Действительно, если ad = Ъс, то — ^ ^ ^ ^ ^ — и т.д. c d Ъ a a с Таким образом можно составить 8 пропорций. Например: есть пропорция: 1) 10 : 2 = 20 : 4. Поменяем местами крайние члены пропорции, получим: 2) 4 : 2 = 20 : 10. Это новая пропорция. Поменяем в первой пропорции средние члены, получим: 3) 10 : 20 = 2 : 4. Это ещё одна новая пропорция. Снова возьмём пропорцию 10 : 2 = 20 : 4. Переставим в ней крайние члены на место средних и наоборот, получим обратную пропорцию: 4) 2 : 10 = 4 : 20. У нас уже четыре пропорции: 10 : 2 = 20 : 4; 4 : 2 = 20 : 10; 10 : 20 = 2 : 4; 2 : 10 = 4 : 20. Можно составить ещё четыре: 20 : 10 = 4 : 2; 20 : 4 = 10 : 2; 4 : 20 = 2 : 10; 2 : 4 = 10 : 20. Вспоминаем то, что знаем • Найдите неизвестное число: x • 12 = 15^ 16. Открываем новые знания X 8 ^ „ €» Дана пропорция: 3^ = 5. Надо найти её неизвестный член. Применим основное свойство пропорции: x 5 = 30 8. Продолжите решение и найдите х. о 30 5 „ • Задана пропорция: — ^ —. Найдите х. x8 Как найти неизвестный член пропорции, если три остальные её члена известны? Отвечаем, проверяем себя по тексту Решение пропорций Наиболее распространённая задача на пропорцию: найти неизвестный член пропорции, если остальные три её члена известны. Чаще всего это формулируют так: «Решить пропорцию». x 7 Пример 1. Решить пропорцию: — = ^. Пер вый спо соб ре ше ния про пор ции зак лю ча ет ся в ис поль зо ва-основного свойства: x12 = 4 7, откуда нии её 4 • 7 x = 12 т.е. x = —. 3 139 Второй способ решения данной пропорции — умножение обеих 1 ^ 7 частей равенства на 4: x = ' 4, т.е. x = 3. Если бы неизвестным был не первый член пропорции, а какой-то другой, то при решении пропорции вторым способом можно было бы переписать её в таком виде, что неизвестный член стал бы первым (используя свойства пропорций). 5 8 Пример 2. Решить пропорцию: — ^ —. 6 x x 8 Поменяем местами 5 и x, получим пропорцию — ^ —. Умножим обе час ти раве н ства на 6: 6 5 8 48 x = 5 • 6, т.е. x = — или x = 2,4. Развиваем умения У Н V Используя основное свойство пропорции, проверьте, являются ли пропорциями следующие равенства: а) 5 : 1,5 = 10 : 3; б) 1 : 0,25 = 0,6 : 0,15; 2 3 в) 5 : 2- = 3 : 1-; 35 г) 0,1 : 0,01 = 0,2 : 0,02. О Используя основное свойство пропорции, проверьте, можно ли составить пропорцию из данных чисел: а) 5; 6; 10; 12; в) 2; 6; 4; 12; д) 6; 9; 8; 12; б) 9; 1; 9; 81; г) 12; 22; 30; 65; е) 14; 21; 30; 45. [~^ В следующих пропорциях переставьте числа так, чтобы снова получились пропорции: 1111 1 а) 4 : 2 = 12 : 6; б)- : — = — : —; в) 1 : 4 = 5 : 40. 5 15 10 30 ' 2 [~^ Замените каждое равенство несколькими пропорциями: а) 12 2 = 6 4; б) 24 10 = 2 120; в) 15 6 = 9 10; г) 42 3 = 118. [~5| Решите пропорцию: x а) — 15 16 б) — ^ -; г^ —— ^ ^; е) — = —; з^ = x 5 0,38 x 21 14 1 x 1; 3; . 0,1 x в) = ; 3,5 4,02 x д)-= 1 ; ^; x ж) — 16 4; ; 5 , 2,5 6,5 г) = —; 0,38 x е) 12 = 21 x . 14; , 8 з)1 = 140 [~6] Решите пропорцию: а) x : 1 = 3 : 5; 2 б) x ^ = 3 : 4; 3 1 в) x : 5 = 7 ^; 2 1 г) x : 6 ^ — : 8. 3 Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н „ 3 15 20 35 а) Проверьте, является ли пропорцией следующее равенство: — = —; — = —. x 2 25 5 4 20 8 14 б) Решите пропорцию^ — ^ ^ —. 3 5 x 7 П Вариант II. 1 3 1 3 а) Проверьте, является ли пропорцией следующее равенство: — ^ ^. 2x 4 2 3 б) Решите пропорцию: — ^ ^ — = —. 3 9 7 4x Тренировочные упражнения. Н 1^7] Решите пропорцию: . x 3 60 5 . 2,2 6 9 X 7 ^3,5 Найдите значение x из пропорции: 3 7 x - 5 6 x 3,85 ; г) x: 2,43 = 2: 5. а) x + 3 7 x - 5 —; б)------^ -; 15 20 7 2 3 11 22 в^ = —; г) — =------. 7 4x 17 68x П [~^ Где на числовом луче должно быть изображено число х, чтобы была верна про- порция: . a x a) b = d ■ d x б) i: = ~; b a . a b в^ = 7; xd г) x = b ? ba I-^^^^^-h 141 8 d 0 М 10 Даны тройки чисел: а) 4; 16; 32; б) 6; 18; 54. Для каждой тройки чисел подберите четвёртое число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Сколько разных чисел можно подобрать для каждой тройки? т Н 11 Замените каждое равенство несколькими пропорциями: а) 18 3 = 9 6; б) 2,5 3 = 1,5 5; в) 95 ^ 6 = 19 30. 12 Проверьте, является ли пропорцией равенство: 11 а) 6 : 1,8 = 10 : 3; б) 2 : - = 6 :-; в) 10 : 0,5 = 20 : 0,1. 24 13 Решите пропорцию: . x 6 а^ — = —; 5 10 б) 40 = 18. б) — ; x9 2 5 x в)2,5 = x; г) x : 1,4 = 3 : 7. 3 6 Ш П 14 Найдите значение x из пропорции: а) б) 2 = 7_ x + 2 = 28' 2x = 4; Т = 9; в) г) x - 3 = 3 ; 30 = 3x = 9 ; Т = ^; ) 1 = Ад) 8 2x' е) 8 15 6x; А' ж)^ = ^' ж) 12 9x' ,12 18x з) — =---. 13 39 Ш М 15 При каком значении а получится пропорция: .а 9 a 9 .a a . a а) — ^ -; б^ = —; в^ = —; г^ ^ - ? 16 a a 16 a 16 a a 142 Прямая и обратная пропорциональные зависимости Вспоминаем то, что знаем Скорость автомобиля — 60 км/ч. Заполните таблицу. Время (ч) t1 = 2 t2 = 6 t3 = 12 t4 = 3 Расстояние (км) Si = ? S2 = ? S3 = ? S4 = ? S Можно ли составить пропорцию из пар отношений: ti . ^2 и . S2^ ^2 * ^3 и S2 • S3] t3 • t4 и S3 • S4? Ширина прямоугольника равна 3 см. Заполните таблицу. Длина (см) а1 = 5 а2 = 10 а3 = 2 а4 = 6 Площадь (см2) Si = ? S2 = ? S3 = ? S4 = ? • Можно ли составить пропорцию из пар отношений: • а2 и S! • S2; a2 • a3 и S2 • S3; ^3 • a4 и S3 • S4? Открываем новые знания tt Скорость поезда постоянна. От города А до города В он проехал 200 км, а от города В до города С - 600 км. Как сравнить время движения поезда на этих отрезках пу ти? • Длины двух прямоугольников равны. Ширина одного из них — 12 дм, а другого — 4 дм. Сравните площади этих прямоугольников. Существует ли связь между значениями времени и значениями пути при движении с постоянной скоростью? Какая это связь? 143 I Существует ли связь между значениями длины и значениями площади прямоугольника при неизменной ширине? Какая это связь? I Можно ли записать эти связи в виде пропорции? Отвечаем, проверяем себя по тексту Прямо пропор циональные величины Если нам известно, что скорость автомобиля составляет 60 км/ч, то мы можем рассчитать пройденное им расстояние за любой отрезок времени: Время (ч) 1 2 3 4 5 6 Расстояние (км) 60 120 180 240 300 360 Данные этой таблицы подчиняются зависимости: если время уве ли чить (умень шить) в не ко то рое число раз, то и рас сто я ние увеличится (уменьшится) в это же число раз, то есть связь меж ду зна че ни я ми вре ме ни и зна че ни я ми рас сто я ния мож но 2 120 3 180 записать в виде пропорции: - =--^ =----- и т.д. 3 180 4 240 Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной в несколько раз вторая увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными. Если две величины прямо пропорциональны, то отношение любых двух значений первой величины равно отношению соответствующих значений второй величины, например: — = —^ при t2 S2 постоянной скорости; —- = —- при постоянном времени. v2 S2 Прямо пропорциональными величинами являются: — количество товара и его стоимость при постоянной цене; — длина прямоугольника и его площадь при постоянной ширине; — объём параллелепипеда и площадь его основания при посто-ян ной вы со те; — величина дроби и её числитель при постоянном знаменателе; — объём выполненной работы и затраченное на неё время при пос то ян ной про из во ди тель нос ти тру да; — производительность труда и объём выполненной работы при пос то ян ном вре ме ни; — длина пути, проходимого равномерно движущимся телом, и вре мя его дви же ния; — скорость и длина пути при постоянном времени и некоторые другие величины. 144 Решим задачу на движение, используя эту зависимость между величинами. Пример. За 2 часа машина прошла 120 км. Требуется узнать, какое расстояние она пройдёт за 6 ч, если скорость останется неизменной. Сначала узнаем, во сколько раз увеличится время движения: 6 : 2 = 3 раза. Следовательно, путь также увеличится в три раза: 120 • 3 = 360 (км). Условие этой задачи можно записать так: 120 км - 2 ч I х км - 6 ч I Одинаково направленные стрелки показывают, что величины прямо пропорциональны, то есть отношение значений расстояния 120 : х равно отношению соответствующих значений вре-ме ни 2 : 6. Решение: составим пропорцию: 120 x 2 6 т ■■ 120 • 6 пп -3/ ^ Теперь решим её: x =-------, т.е. х = 120 ^ 3 (км); х = 360 км. 2 Часто вместо «прямо пропорциональные величины» говорят короче: «пропорциональные величины». Вспоминаем то, что знаем Скорость автомобиля — 60 км/ч. Заполните таблицу. Время (ч) t1 = 2 t2 = 6 t3 = 12 t4 = 3 Расстояние (км) ^1 = ? ^2 = ? ^3 = ? ^4 = ? ^1. ^2. ; t1 ; t2 ; t3 t4 Что вы заметили? б) 1^- б) ^,; ^2; ^3; ^4. Открываем новые знания I Несколько рабочих проработали одно и то же время. Что можно сказать о частном двух величин: выполненной работы и производительности? Что можно сказать о частном прямо пропорциональных величин? 145 Отвечаем, проверяем себя по тексту i Характеристическое свойство прямо пропорциональных величин 7 Если две величины прямо пропорциональны, то их частное — величина постоянная, и наоборот, если частное двух величин постоянно, то эти величины прямо пропорциональны. Пример 1. Мы знаем, что скорость v и путь S при постоянном времени — прямо пропорциональные величины. Рассмотрим SS частное этих величин: —. По известной нам формуле — = t, а vv по условию t — величина постоянная. Пример 2. Рассмотрим все возможные прямоугольники с одной и той же длиной а и убедимся, что у таких прямоугольников площадь S и ширина b — прямо пропорциональные величины. Возьмём отношение этих величин, а именно S к b. S Поскольку — = а, а длина а — величина постоянная, S и b — прямо b пропорциональны. Теперь ясно, почему при перечислении пар прямо пропорциональных величин обычно упоминается условие постоянства некоторой третьей величины. Проанализировав пары известных прямо пропорциональных величин, можно обнаружить третью величину (частное этих величин) и убедиться, что она постоянна. Проведём рассуждение, доказывающее в общем виде утверждение о постоянности частного прямо пропорциональных величин*. Предположим, что величины а и b — прямо пропорциональны. Возьмём конкретное значение а, величины а и соответствующее ей значение b, величины b. Если а, увеличить в k раз и получить а2 = k • а,, то b, тоже увеличится в k раз и получится b2 = k^bi- „ а а Сравним между собой частные — = — и убедимся, что они равны. Действительно: bb „2 _ k ■ а. b2 k ■ b i = " b, И наоборот, предположим, что частное величин а и b постоянно, а скажем, ^ ~ m. Рассмотрим а, и а2 — два значения величины а; а также b, и b2 — соответствующие им значения величины b. Приведённое ниже доказательство адресовано только желающим; оно не является обязательным для изучения. 146 Убедимся, что если а2 = к • а^, то и Ъ2 = к • Ъ^. Так как ^ = ши а2 а2 ai = т, то — = — Ъ2 Ъ2 Ъ1 а2 Ъ2 Ъ1 Ъ Но поскольку Поменяем местами а1 и Ъ2, получим а2 Ъ2 1 1 — = к, то и — = к, или Ъ2 = к • Ъ1, в чём и требовалось убе- а1 Ъ1 диться. Можно утверждать следующее: если величины а и Ъ прямо пропорциональны, то они связаны между собой формулой а — = т, или а = т • Ъ, где т — некоторая постоянная величина. Вспоминаем то, что знаем Расстояние между двумя городами — 600 км. Заполните таблицу. Скорость (км/ч) v1 = 50 v2 = 100 v3 = 150 Время (ч) t1 = ? t2 = ? t3 = ? • Верны ли равенства: v1 : v2 = t1 : t2; v1 : v2 = t2: t1; v2: v3 = t3 : t2? Надо изготовить 540 деталей. Заполните таблицу. Производительность (дет. в день) v1 = 20 v2 = 60 v3 = 90 Время (дней) t1 = ? t2 = ? t3 = ? Составьте пропорции из пар отношений: v1 : v2; t1 : t2; t2 : t1; v2 : v3; t2 : t3; t3 : t2. Открываем новые знания Известна длина пути. Первый путник прошёл этот путь со скоростью 20 км/день, а второй — со скоростью 40 км/день. Как сравнить время движения? Известен объём работы. Производительность труда мастера составляет 12 деталей в час, а его ученика — 4 детали в час. Как сравнить время работы масте ра и его ученика? V Существует ли связь между значениями времени и значениями скорости равномерного движения при неизменном значении пройденного пути? Какая это связь? €1 Существует ли связь между значениями производительности труда и значениями вре ме ни ра бо ты при не из мен ном зна че нии объ ё ма ра бо ты? Ка кая это связь? • Можно ли записать эти связи в виде пропорции? 147 Отвечаем, проверяем себя по тексту i Обратно пропорциональные величины Известно, что длина пути составляет 360 км. Зависимость скорости и времени движения на этом отрезке пути задана таблицей: Время (ч) 3 4 9 12 Скорость (км/ч) 120 90 40 30 7 Данные таблицы подчиняются известной нам со времён начальной школы зависимости: если скорость движения уменьшить (увеличить) в некоторое число раз, то время движения увеличится (уменьшится) во столько же раз, то есть связь между зна че ни я ми ско рос ти и зна че ни я ми вре ме ни мож но за писать в . 3 90 4 40 виде пропорции: — =----^ — = — и т.д. 4 120 9 90 Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной в несколько раз вторая уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными. Если две величины обратно пропорциональны, то отношение любых двух значений первой величины равно обратному отношению соответствующих значений второй величины, например: при неизменном расстоянии. _1 = _2_ t2 v1 Обратно пропорциональными величинами являются: — количество товара и его цена при одинаковой стоимости покупки; — скорость и время движения равномерно движущегося объекта при оди на ко вой дли не пу ти; — производительность труда и время работы при одинаковом объ ё ме ра боты; — число рабочих и время выполнения ими заданной работы при одинаковой про из во ди тель нос ти тру да всех рабочих; — величина дроби и её знаменатель при постоянном числителе и некоторые другие величины. Решим задачу на движение, используя эту зависимость между величинами. Пример 1. Машина затратила 2 часа на движение по некоторому участку пути со скоростью 50 км/ч. Требуется узнать, за какое время она пройдёт этот же участок пути, если её скорость будет 100 км/ч. 148 Сначала узнаем, во сколько раз увеличится скорость движения: 100 : 50 = 2 раза. Следовательно, время движения уменьшится в 2 раза и станет равным 2 : 2 = 1 ч. Условие этой же задачи можно записать так: 50 км/ч - 2 ч I I 100 км/ч - х ч Противоположно направленные стрелки показывают, что величины обратно пропорциональны, то есть отношение значений скорости 50 : 100 равно обратному отношению соответствующих значений времени х : 2. ^ 50 X ,, „ Решение: составим пропорцию: ----. Найдем неизвестный 50 . 2 100 2 член пропорции: x =------, т.е. х = 100 : 100 (ч); х = 1 ч. 100 Вспоминаем то, что знаем Расстояние между двумя городами — 600 км. Заполните таблицу. Скорость (км/ч) v1 = 50 v2 = 100 v3 = 150 Время (ч) t1 = ? t2 = ? t3 = ? Рассмотрите произведения: v1t1; Vjtj; v3t3. Что вы заметили? Открываем новые знания I Несколько рабочих выполняли одинаковые задания. Что можно сказать о произведении двух величин: времени работы и производительности? V Что можно сказать о произведении обратно пропорциональных величин? Отвечаем, проверяем себя по тексту Если две величины обратно пропорциональны, то их произведение есть величина постоянная, и наоборот, если произведение двух величин постоянно, то эти величины обратно про пор-ци о наль ны. Пример 1. Мы знаем, что скорость v и время движения t при постоянном пути S — обратно пропорциональные величины. Рас смот рим про из ве де ние этих ве ли чин: vt. По из ве ст ной нам формуле vt = S, а по условию S — величина постоянная. 149 i Характеристическое свойство обратно пропорциональных величин т Пример 2. Рассмотрим все возможные прямоугольные треугольники с одной и той же площадью S и убедимся, что длины их катетов а и Ь — обратно пропорциональные величины. Вспом- 1 ним формулу площади прямоугольного треугольника: S = ^ аЬ; отсюда аЬ = 2S, то есть произведение катетов есть величина постоянная, значит, они обратно пропорциональны. Теперь ясно, почему при перечислении пар обратно пропор-ци о наль ных ве ли чин обыч но упо ми на ет ся ус ло вие пос то я н ства некоторой третьей величины. Проанализировав пары обратно про пор ци о наль ных ве ли чин, всег да можно обна ру жи ть третью величину (произведение этих величин) и убедиться, что она постоянна. Проведём рассуждение, доказывающее в общем виде утверждение о постоянности произведения обратно пропорциональных величин*. Предположим, что величины а и Ь — обратно пропорциональны. Возьмём конкретное значение а1 величины а и соответствующее ей значение Ь1 величины Ь. Если а1 увеличить в k раз и получить а2 = k • а1, то Ь1 уменьшится в k раз и получится Ь2 = Ь^. k Убедимся, что произведения а1 • Ь1 и а2^ Ь2 равны. Действительно, а2 ■ Ь2 1 k ■ а. ■ 1 k k ■ а. ■ Ь. k а1 ■ Ь.. _ ^-*^1 Ь1 = а1 И наоборот, предположим, что произведение величин а и Ь постоянно, скажем, а •Ь = n. Рассмотрим а. и а2 - два значения величины а, а также Ь. и Ь2 — соответствующие им значения ве ли чи ны Ь. Убедимся, что если а2 = k • а., то Ь2 = —.. Так как а. • Ь. = n и k а2^Ь2 = n, то а. • Ь. = а2 • Ь2 , откуда Ь2 = в чём и требовалось убедиться. Можно утверждать следующее: если величины а и Ь — обратно пропорциональны, то они связаны между собой формулой n а •Ь = n или а = — , где n — некоторая постоянная величина. Ь а2 k Ь. = Ь. а. k Приведённое ниже доказательство адресовано только желающим; оно не является обязательным для изучения. 150 Вспоминаем то, что знаем Начертите в тетради такую же таблицу и заполните её: Сторона квадрата (см) Площадь квадрата (см2) • Верно ли, что при увеличении стороны квадрата его площадь тоже увеличивается? Если сторону квадрата увеличить в два раза, то во сколько раз увеличится его площадь? V Являются ли сторона квадрата и его площадь прямо пропорциональными величинами? • Являются ли прямо пропорциональными величинами периметр прямоугольника и его длина при постоянной ширине? Открываем новые знания В самосвал грузят одинаковые бетонные блоки. Являются ли прямо пропорциональными величинами количество загруженных блоков и масса самосвала с блоками? Являются ли обратно пропорциональными длина и ширина прямоугольника при по-сто ян ном пе ри мет ре? I Две величины связаны друг с другом таким образом, что с увеличением одной величины увеличивается и вторая. Можно ли утверждать, что эти величины прямо про-пор ци о наль ны? I Две величины связаны друг с другом таким образом, что с увеличением одной величины вторая уменьшается. Можно ли утверждать, что эти величины обратно про-пор ци о наль ны? Отвечаем, проверяем себя по тексту Обратите внимание: если одна величина увеличивается, когда увеличивается другая, то это не обязательно означает, что они прямо пропорциональны. Нужно ещё, чтобы увеличение обеих величин происходило в одинаковое число раз. Например, вам известно, что с увеличением одного из слагаемых уве личи вает ся и сум ма, од на ко бы ло бы оши боч но счи тать, что сум ма пря мо про пор ци о наль на этому сла га е мо му, так как они увеличиваются не в одинаковое число раз. 151 Развиваем умения У Н V а) Если одну из двух прямо пропорциональных величин уменьшить в несколько раз, то как изменится вторая величина? б) Если одну из двух обратно пропорциональных величин уменьшить в несколько раз, то как изменится вторая величина? Выберите из перечисленных пар величин прямо пропорциональные величины. Обоснуйте свой ответ. Какие из перечисленных пар величин являются обратно пропорциональными? Какие — не являются пропорциональными? а) Количество товара и стоимость покупки при постоянной цене. б) Скорость движения и время при постоянном расстоянии. в) Производительность труда и время при постоянном объёме работы. г) Скорость движения и путь при постоянном времени. д) Длина и ширина прямоугольника данной площади. е) Длина стороны квадрата и его площадь. ж) Длина стороны квадрата и его периметр. з) Объём куба и длина его ребра. и) Масса воды и её объём. 4^ Расскажите, как составили пропорцию к задаче, используя таблицу. За 4 пакета молока заплатили 144 р. Сколько таких пакетов можно купить на 288 р.? Цена Количество Стоимость Одинаковая 4 п. 144 р. ? п. 288 р. а) ^ x 144; 2'^' б) x 4 288' 144' в) 144 288 x г) x 144 288 о Расскажите, как составили пропорцию к задаче, используя таблицу. Автомобиль проехал некоторое расстояние между городами за 4 ч, двигаясь со скоростью 50 км/ч. На обратном пути он проехал это же расстояние за 5 ч. С ка кой ско ростью дви гал ся ав то мо биль на об рат ном пу ти? Расстояние Время Скорость Одинаковое 4 ч. 50 км/ч 5 ч. ? км/ч 4 x 5 50 а^ = —; б^ = —. 5 50 4 x Можно ли составить к этой задаче такое равенство: 50 4 = х 5? 152 [~^ Какая пропорция составлена по условию задачи: «Пассажирский поезд, который двигался со скоростью 65 км/ч, затратил на путь между станциями 4 ч. За сколько часов пройдёт этот же путь товарный поезд, если его скорость 40 км/ч?»: .65 ^ 40 x .40 4 .4 x а) — ^ —; б) — ^ —; в) — ^ —; г) — = —. 40 x 65 4 65 x 65 40 Г6! Для каждой задачи определите, прямо пропорциональны или обратно пропорциональны величины, о которых идёт речь. Составьте пропорции и решите задачи. а) В упаковке — 6 стаканчиков сметаны. Масса сметаны в такой упаковке составляет 2 кг 100 г. Найдите массу 5 таких стаканчиков сметаны. б) Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песка. Сколько килограммов ягод нужно на 10 кг сахарного песка? в) Четыре маляра могли бы покрасить забор за 3 дня. За сколько дней тот же забор покрасят 6 маляров, ес ли у всех ма ля ров оди на ко вая про из во ди тель-ность труда? г) Две шестерёнки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая — с 40 зубьями? д) Двенадцать тракторов вспахали поле за 88 ч. Сколько понадобилось бы таких же тракторов, чтобы вспахать это поле за 33 ч? [~^ За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а его ученик - 4 такие же детали. а) Сколько деталей сделает ученик токаря за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей? б) Сколько времени потратит ученик токаря на задание, которое токарь выполняет за 1 ч? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Составьте пропорцию и решите задачу. а) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли в 250 г этого раствора? б) Автомобилист проехал тоннель за 1 мин, двигаясь со скоростью 60 км/ч. За какое время он проехал бы этот тоннель, двигаясь со скоростью 50 км/ч? П Вариант II. Составьте пропорцию и решите задачу. а) Для окраски 15 м2 пола израсходовали 1,5 кг эмали. Сколько килограммов эмали потребуется для покраски пола в комнате размером 5 х 6 м? б) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько ещё маляров надо пригласить, чтобы выполнить эту же работу за 3 дня? 153 Тренировочные упражнения. Н ^ Пешеход прошёл 6 км, а велосипедист проехал 18 км за одинаковое время. а) Сколько километров проехал велосипедист за то время, за которое пешеход прошёл 10 км? б) Сколько времени потратил велосипедист на тот путь, который пешеход прошёл за 2 ч? [~^ Составьте пропорции к задаче, используя таблицу. От города А до города В автомобиль двигался 4 ч, а от города В до города С -6 ч. Известно, что второй отрезок пути на 130 км больше первого. Чему равно расстояние от города А до города В и от города В до города С (скорость движения ав то мо би ля бы ла пос то ян ной)? Скорость Время Расстояние 4 ч. ? км Одинаковая 6 ч. ? км (6—4) ч. 130 км 10 а) На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 40 л бензина, второй — 60 л такого же бензина. Первый заплатил на 540 р. меньше, чем второй. Сколько заплатил за бензин каждый водитель? б) Турист прошёл сначала 12 км, а потом ещё 18 км, двигаясь с одной и той же скоростью. Какое время он затратил на каждый участок пути, если на движение по второму участку ему понадобилось времени на час больше? П 11 Вася, прочитав в старом дедушкином учебнике, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз, остался недовольным. «А почему там не сказано, что при умень ше нии од ной ве ли чи ны в нес коль ко раз вто рая то же умень ша ет ся во столько же раз?» — возмутился он. Что бы вы ответили на замечание Васи? М 12 Валя заинтересовался, могут ли две величины быть связаны так, что при увеличении одной из них на не ко то рое чис ло значение вто рой уве ли чи ва ет ся на такое же число. Можете ли вы помочь Вале привести примеры таких вели чин? т Н 13 а) Некоторое расстояние первый поезд прошёл за 3 ч со скоростью 80 км/ч. За сколько часов второй поезд пройдёт то же расстояние со скоростью 60 км/ч? б) Восемь метров сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 14 м сукна? в) Один килограмм металлолома заменяет 2,5 кг железной руды. Сколько руды за ме ня ют 4 т ме тал ло ло ма? 154 г) Для приготовления каши на один стакан молока требуется 2 столовые ложки крупы. Сколько нужно взять стаканов молока, чтобы приготовить кашу из 6 ложек крупы? Ш П 14 Велосипедист движется со скоростью на 10 км/ч большей, чем пешеход. На один и тот же путь велосипедисту требуется 2 ч, а пешеходу — 7 ч. Найдите скорости велосипедиста и пешехода. Ш 15 М Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему двадцать человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в тридцать дней. А господину надобно в пять дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней? 4. Решение задач на пропорции Открываем новые знания Пропорциональные величины часто встречаются в жизни. Один из способов решения задач, где они присутствуют, заключается в том, что неизвестное значение одной из величин принимают за X и составляют уравнение. Пример 1. За 1,5 кг гречневой крупы заплатили 30 р. Сколько придётся заплатить за 20 кг такой же крупы? 155 Масса и стоимость товара — прямо пропорциональные величины, поэтому условие этой задачи можно записать так: 1,5 кг - 30 р. \ 20 кг - х р^ 15 30 Решение. Составим пропорцию: —о = — ■ 20 ^ 20 • 30 Найдём неизвестный член пропорции: x = —7^—, т.е. х = 400 р. 1,5 Пример 2. Шесть рабочих выполнили некоторую работу за 18 дней. За сколько дней выполнят эту же работу 9 рабочих, если будут работать с такой же производительностью? Число рабочих и продолжительность работы - обратно пропорциональные величины, поэтому условие этой задачи можно за-пи сать так: 6 р. - 18 дн. I \ 9 р. - х дн. 6 x Решение. Составим пропорцию: — ^ тг. Н й ё й 9 ^8 6 • 18 1 _ Найдём неизвестный член пропорции: x =-------, т.е. х = 12 (дн.). 9 Рассмотрим с новой точки зрения задачу на деление числа в данном отношении. Теперь мы можем сказать так: разделить число в отношении m: n значит разделить его на две части, прямо пропорциональные числам тип. Пример 3. Разделить число 84 в отношении 7:5. Пер вое ре ше ние. Пусть первая часть равна х, тогда вторая часть равна 84 - х. Сос тав ля ем про пор цию. х - 7 ) г (84 - х) - 5 Тогда 7 (84 - х) = 5х; 588 - 7х = 5х. Уменьшаемое равно сумме разности и вычитаемого, значит, 5х + 7х = 588. 12х = 588; х = 588 : 12; х = 49. Тогда 84 - х = 35. Второе решение. Вы уже знаете: если два числа относятся, как m : n, то удобно считать, что первое число содержит m частей, а второе число - п таких же частей. Это можно сказать и так: первое число равно тх, а второе равно пх. (По сути, мы обозначили через х одну часть.) При решении нашей задачи обозначим первую часть 7х, а вторую 5х. Тогда 7х + 5х = 84, отсюда 12х = 84; х = 7, следовательно, 7х = 49; 5х = 35. Вто рое ре ше ние мо жет быть распро ст ра не но на не сколь ко чисел. Пример 4. Разделить число 84 в отношении 7:5:2. Первое решение. Прежде всего следует узнать, какое число приходится на одну часть. 156 Общее количество частей равно 7 + 5 + 2 = 14, поэтому на 84 одну часть приходится — = 6. Последовательно умножив 6 на 7, 5, 2, получим соответственно 42, 30, 12. Очевидно, что 84 42 30 12 ^ = — = — = —. То есть число 84 разделили на три части х, у, z так, что первая часть относится к числу 7 так, как вторая к ^ _ у _ z числу 5, а третья к числу 2: у = 5 = у- Таким образом, деление в заданном отношении — это деление на части прямо пропорционально заданному ряду чисел . Второе решение. Решим эту задачу при помощи пропорции . Обозначим искомые части числа 84 через х, у, z. 84 = x 84 = у; 84 = 7' 14 = ' Составим пропорции: 14 5 14 z 2' 84 84 84 Отсюда x = — • 7' у = — • 5' z = — • 2. 14 14 14 Внимание! (Тем, кто предпочитает решать учебные задачи с помощью готовых правил, не проводя каждый раз рассуждения.) Чтобы разделить число на части пропорционально заданным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное последовательно умножить на каждое из этих чисел. В некоторых задачах возникает необходимость разбить число на несколько частей не прямо пропорционально заданным числам, а обратно пропорционально. Разбить число обратно пропорционально числам n, m, k — всё равно что раз делить его пря мо про пор ци о наль но чис лам 111 —' —^ . При разбиении числа на две части правило можно n m k сформулировать ещё проще: разбить число обратно пропорционально числам n и m — всё равно что разделить его прямо про пор ци о наль но m и n. Пример 5. Первый велосипедист движется со скоростью 10 км/ч, второй — 9 км/ч. Они отправились одновременно навстре чу друг дру гу из пунк тов, рас сто я ние меж ду ко то ры ми 95 км. Какой путь проехал до встречи каждый из них? Решение. Поскольку велосипедисты были в пути одно и то же время, а при постоянном времени расстояние прямо пропорционально скорости, то разделим 95 км в отношении 10:9. Первый велосипедист проехал: 95 : (10 + 9) • 10 = 95 : 19 • 10 = = 50 км. Второй велосипедист проехал: 95 : (10 + 9) • 9 = 95 : 19 9 = = 45 км. 157 Пример 6. Первая машинистка печатает 10 страниц в час, вторая — 9 страниц в час. Как разделить между ними рукопись в 95 страниц, чтобы они закончили работу одновременно? Решение. Поскольку объём работы прямо пропорционален производительности (при одинаковом времени), то заданный объём работы (95 страниц) нужно разделить прямо пропорционально производительностям машинисток, то есть в отношении 10:9. Первая машинистка должна получить: 95 : (10 + 9) • 10 = = 95 : 19^ 10 = 50 страниц. Вторая машинистка должна получить: 95 : (10 + 9) • 9 = = 95 : 19 9 = 45 страниц. Пример 7. Два велосипедиста отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 27 км. Какой путь проехал до встречи каждый из велосипедистов, если известно, что первый велосипедист проезжает за 4 ч такое же расстояние, какое второй проезжает за 5 ч? Решение. Мы уже знаем из примера 5, что расстояние — 27 км нуж но раз де лить пря мо про пор ци о наль но ско рос тям ве ло си пе-дистов. Но скорости велосипедистов нам не известны! Зато мы зна ем, что при дан ном рас сто я нии ско рость обрат но про пор -циональна времени. Таким образом, 27 км нужно разделить обратно пропорционально числам 4 и 5, то есть прямо про-пор ци о наль но чис лам 5 и 4. 27 : (4 +5) 5 = 15 км проехал до встречи первый велосипедист; 27 : (4 + 5)4 = 12 км проехал до встречи второй велосипедист. Пример 8. Первая машинистка перепечатывает рукопись в 420 страниц за 3 дня, а вторая - за 4 дня. Сколько страниц рукописи нуж но дать каж дой ма ши ни ст ке, что бы они за кон чи ли ра боту од нов ре мен но? Решение. Мы уже знаем из примера 6, что рукопись нужно раз де лить пря мо про пор ци о наль но про из во ди тель нос тям машинисток. Но производительность обратно пропорциональна времени. Таким образом, 420 страниц нужно разделить между пер вой и вто рой ма ши ни ст ка ми об рат но про пор ци о наль но числам 3 и 4, то есть прямо пропорционально числам 4 и 3. 420 : (3 + 4)4 = 240 страниц следует отдать первой машинистке; 420 : (3 + 4)3 = 180 страниц следует отдать второй машинистке. Пример 9. Одновременно из пунктов А и В, расстояние между ко то ры ми 1 4 км, друг за дру гом отп ра ви лись пе ше ход и ве ло-сипедист. Скорость пешехода равна 5 км/ч, а скорость ве ло си пе дис та 12 км/ч. На ка ком рас сто я нии от пунк та В вело-си пе дист до гонит пе ше хо да? 158 Решение. Раньше вы решали такие задачи, находя скорость сближения: 12 — 5 = 7 (км/ч). Таким образом, велосипедист догонит пешехода через 14 : 7 = 2 (ч) после старта. Пешеход за это время пройдёт 5 2 = 10 (км). Рассмотрим теперь решение с помощью пропорции. Пусть велосипедист догнал пешехода на расстоянии х км от точки В. A h B Ч- C Пос коль ку при дан ном вре ме ни рас сто я ние пря мо про пор-ци о наль но ско рос ти, то за пи шем это так: (14 + х) км - 12 км/ч х км - 5 км/ч Отсюда 12х = 5 (14 + х); 12х = 70 + 5х. Слагаемое 70 равно разности суммы 12х и слагаемого 5х: 12х - 5х = 70; 7х = 70; х = 10. Пример 10. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А нап ра вил ся пе ше ход, причём скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. За какое время прошёл расстояние от А до В пешеход, если известно, что он встретил велосипедиста через 1,5 ч после начала движения? Решение. Расстояния, преодолённые велосипедистом и пеше-хо дом от на ча ла дви же ния до встре чи, пря мо про пор ци о наль ны их скоростям. Значит, велосипедист проехал до встречи с пешеходом в 3 раза большее расстояние, чем прошёл пешеход. А это, в свою очередь, означает, что пешеходу после встречи с велосипедистом осталось пройти расстояние в 3 раза большее, чем он прошёл до встречи, а поскольку при постоянной скорости время пря мо про пор ци о наль но рас сто я нию, то это зай мёт у не го 3 • 1,5 = 4,5 (ч). Таким образом, от В до А пешеход шёл 1,5 + 4,5 = 6 (ч). место встречи Г. A B В заключительной стадии решения можно было рассуждать и по-другому: из рисунка видно (и это вытекает из пропорциональности величин), что расстояние от В до А в 4 раза больше, чем расстояние от В до места встречи, а значит, и время движения тоже в 4 раза больше, то есть составляет 1,5 4 = 6 (ч). 159 x Развиваем умения У Н [~^ Прочитайте задачу, определите, прямо пропорциональны или обратно пропорциональны величины, о которых идёт речь, составьте пропорцию и решите за да чу. а) В четырёх коробках 48 карандашей. Найдите число карандашей в 30 таких коробках. б) Расстояние между городами А и В автомобиль проехал за 4 ч, двигаясь со средней скоростью 65 км/ч. За сколько часов проедет это же расстояние автобус, средняя скорость которого составляет 40 км/ч? в) Есть два прямоугольника равной площади. Длина первого — 15 см, ширина — 6 см. Чему равна ширина второго прямоугольника, если его длина 20 см? г) Для окраски 15 м2 забора потребовалось 1,5 кг краски. Сколько нужно краски, чтобы покрасить забор площадью 18 м2? д) Ту рис ты пла ни ро ва ли прой ти марш рут за 6 дней, но вмес то 52 км они про хо ди ли в день 39 км. За сколько дней был пройден туристами этот маршрут? е) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько дней выполнит такое же задание другая бригада - из 5 человек, если все члены обеих бригад ра бо та ют с оди на ко вой про из во ди тель ностью? [2\ Разделите число: а) 12 в отношении 1 : 3; б) 15 в отношении 2 : 3; в) 48 в отношении 3 : 5; 11 г) 100 в отношении — ^; 23 13 д) 96 в отношении — ^; 35 11 е) 90 в отношении — ^. 45 [~^ а) Разделите число 125 пропорционально числам 2 и 3. б) Раз де ли те чис ло 90 об рат но про пор ци о наль но чис лам 2 и 3. в) Из «Арифметики» А.П. Киселёва. Три купца составили товарищество для ведения некоторого торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй -10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7 500 р. Спрашивается: сколько из этой прибыли придётся получить каж до му куп цу? г) Старинная задача. Чтобы приготовить стекло, берут 10 частей поташу, 31 часть песку и 2 части мелу. Сколько нужно этих материалов на 86 пудов стекла? 160 а) Скорость автомобиля в 2 раза больше скорости автобуса. Они одновременно направились навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км. Сколько километров проехал каждый из них до встречи? б) Расстояние между двумя посёлками равно 60 км. Из этих посёлков одновременно выехали навстречу друг другу тракторист и велосипедист. Сколько километров проехал каждый из них до встречи, если велосипедист проехал расстояние между посёлками за 6 ч, а тракторист - за 2 ч? (Решите задачу двумя способами.) в) Канаву длиной 18 м первый землекоп прорывает за 3 ч, а второй — за 6 ч. Они прорыли эту канаву, начав рыть с разных её концов одновременно. Сколько метров канавы прорыл каждый землекоп? г) Над выполнением задания 3 дня работала первая бригада из 5 плотников и 4 дня вторая бригада из 6 плотников. За работу им заплатили 3 900 р. Какую сумму получит вторая бригада, если все плотники работали с одинаковой производитель ностью? [~^ а) Легковой автомобиль проезжает путь между городами А и В за3ч. Когда автомобиль выехал из города А в город B, одновременно с ним из города В в город А выехал грузовик. Через 2 ч они встретились. Сколько времени осталось ехать гру зо ви ку до прибытия в город А? б) Одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 3,5 км, друг за другом отправились два пешехода. Скорость одного пешехода равна 5 км/ч, а скорость второго — 6 км/ч. На каком расстоянии от пункта В второй пешеход догонит первого? (Решите задачу двумя способами.) место встречи A 3,5 км Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Для строительства двух домов требуется 150 м3 пиломатериалов. Сколько куби-чес ких мет ров пи ло ма те ри а лов пот ре бу ет ся для стро и тель ства 5 та ких до мов? б) Маша купила 40 шоколадок, а Наташа — 25 таких же шоколадок. Маша заплатила за покупку на 105 р. больше. Сколько заплатила Наташа? П Вариант II. а) Автомобилист планировал проехать расстояние между двумя городами за 3 ч, но из-за плохой погоды его средняя скорость была ниже, чем он предполагал: вместо запланированных 70 км/ч он двигался со скоростью 56 км/ч. За сколько часов он про е хал свой марш рут? б) Длина Волги в реальности равна приблизительно 3 530 км, а на карте её длина составляет 17,7 см. Каково реальное расстояние между городами, если на этой же кар те оно сос тав ля ет 8,75 см? 161 Тренировочные упражнения. Н И ^ а) Одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 150 км, в одном направлении отправились два автомобиля. Скорость первого равна 70 км/ч, а скорость второго — 40 км/ч. На каком расстоянии от пункта В первый автомобиль догонит второй? место встречи A 150 км б) Маше и Кате поручили раскрасить звёзды на декорации к школьному спектаклю. Маша раскрашивает 2 звезды за минуту, а Катя - 3 звезды за минуту. На декорации 60 звёзд. Как им поделить работу так, чтобы закончить её одновременно? в) Реальное расстояние между городами составляет 250 км. На карте это же расстояние изображается отрезком длиной 5 см. Какую длину на этой карте будет иметь отрезок, изображающий расстояние в 150 км? П И ^ Две бригады вместе выполнили работу за 5 дней. За сколько дней выполнила бы эту работу вторая бригада, если первая выполняет её за 15 дней? М 8 Разделите число 62 обратно пропорционально числам 2; 3; 5. i] Н 9 I а) Первая машинистка перепечатывает 90 страниц за 10 часов, а вторая - за 15 часов. Как распределить между ними 90 страниц, чтобы они были перепечатаны в крат чай ший срок? б) Два брата сложили свои деньги для покупки акций. Старший брат внёс 500 р., а младший - 300 р. Через некоторое время они продали акции за 1 000 р. Как им спра вед ли во раз де лить по лу чен ные день ги? в) Шесть маля ров, работающих с одинаковой производительностью, выполнят работу за 5 дней. Сколько ещё маляров, работающих с такой же производительностью, на до приг ла сить, что бы вы пол нить эту ра бо ту за 3 дня? т П 10 а) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста в 4 раза меньше скорости мотоциклиста. Че рез сколь ко ми нут ве ло си пе дист встре тит ся с мо то цик лис том, ес ли на путь от А до В мо то цик лис ту тре бу ет ся 20 мин? б) Два насоса, работая одновременно, осушают котлован за 1 ч. За сколько часов осу шит котло ван вто рой на сос, ра бо тая один, ес ли перво му на со су на это по надо би лось 3 ч? 162 ш М 11 а) Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, одновременно с ним из пункта В в пункт А направился пешеход, причём скорость пешехода была в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Во сколько раз дольше шёл от места встречи до пункта А пешеход, чем ехал от места встречи до пункта В велосипедист? б) Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали два автомобиля, причём известно, что первый прибыл в конечный пункт через 9 ч после встречи, а второй — через 16 ч после встречи. Найдите отношение скоростей автомобилей. Масштаб Вспоминаем то, что знаем Что общего у приведённых фрагментов карт и чем они отличаются? 163 Открываем новые знания Какую из данных карт можно назвать более крупномасштабной? Почему? €# Как реальное расстояние изобразить на карте? Как записать произведённые действия так, чтобы читающий карту понял, каково это реальное расстояние? Отвечаем, проверяем себя по тексту С древних времён путешественникам помогают планы и карты, на ко то рых в умень шен ном ви де изоб ра же ны час ти зем ной поверхности. При этом планы и карты должны давать представление о настоящих размерах изображённых на них объектов. Для этого на плане и карте обязательно указывают её масштаб. Масштабом называется отношение длины любого отрезка на пла не или кар те к дли не со от ве т ствующего от рез ка в действительности. По установившейся традиции масштаб принято записывать в виде не любого отношения, а лишь такого, один из членов которого равен единице: 1 : 100; 1 : 5 000; 2 : 1; 1 000 : 1 и т.д. Если масштаб меньше единицы, то расстояния на плане, карте или чертеже меньше соответствующих реальных расстояний, а если масштаб больше единицы, то больше. Например, при масштабе чертежа 1 : 10 расстояние на чертеже меньше в 1 0 раз, чем в действительности, а при масштабе 10 : 1 — больше в 10 раз, чем в действительности. Масштаб географической карты показывает, какую часть от реальных расстояний составляют расстояния на карте. 164 Например, масштаб карты на предыдущей странице 1 : 200 000 1 200 000 ; это означает, что 1 см на карте соответствует 200 000 см (или же 2 км) на местности. Иногда вместо указания масштаба так и говорят: «В 1 см — 2 км». Здесь приведены две карты одной и той же местности. Левую из них принято называть более мелкомасштабной, а правую — более крупномасштабной. Чем мелкомасштабнее карта, тем изображения объектов на ней более мелкие (т.е. меньше по размеру). Сравните, например, размеры озера Пирос на приведённых картах - на левой размеры озера мельче, а на правой - крупнее. Можно сказать и так: из двух карт более мелкомасштабной является та, масштаб которой меньше. Например, если сравниваются карты с масштабами 1 : 500 000 и 1 : 200 000, то первая из них более мелкомасштабная, так как 1 < 1 500000 200000 Развиваем умения И Н [Т] • Являются ли следующие величины прямо пропорциональными или обратно пропорциональными или ни теми ни другими: а) соответственные расстояния на карте и в действительности; б) соответственные расстояния на двух различных картах? [~2] Вы знаете, что масштаб принято записывать в виде такого отношения, один из членов которого равен единице. Что показывает второй член этого отношения? 165 [~^ а) На какой из карт уменьшение больше? б) У какой из карт масштаб больше? в) Какая из карт более крупномасштабная? г) Во сколько раз уменьшение на одной из карт больше, чем на другой? Проверьте, верны ли утверждения: а) 1 см расстояния на карте равен 2 000 м на местности; б) 1 см расстояния на карте равен 200 м на местности; в) расстояние между точками А и В на местности равно 1 км. М 1 : 20 000 [~5| Запишите отношение, которое показывает, какую часть первая величина составляет от второй. Помните, что обе величины следует выразить в тех единицах измерения, в каких выражена первая величина. а) 1 см от 1 м; б) 1 см от 1 км; в) 1 см от 20 км; г) 1 см от 50 км; д) 1 см от 100 км. [~^ Запишите масштаб карты, на котором расстояние 100 км изображено отрезком: а) 1 см; б) 2 см; в) 5 см; г) 10 см. На какой из этих карт самый мелкий масштаб (какая карта самая мелкомасштабная)? На какой — самый крупный (какая карта самая крупномасштабная)? 166 На какой из этих карт наиболее крупное изображение местности? наиболее мелкое? [~^ Определите при помощи карты, чему равно расстояние между Степашево и Семигорьем, между Арменками и Пустошью, между Митино и Комсомольском. М 1 : 1 000 000 8 Между Петровским и Ивантеевкой 5 км. Чему будет равно соответствующее расстояние на карте с масштабом 1 : 50 000? Г9] Имеется две карты: с масштабами 1 : 50 000 и 1 : 200 000. Какая из них более крупномасштабная? 10 Каков масштаб изображённой карты, если известно, что от Казани до Ижевска 300 км? РЕСПУБЛИКА/ [КИРОВСКАЯ/ УДМУР/(^»КАЗ^ ( МАРИЙ ЭЛ Г'" р ЁС И К А Г //Л.' \ 167 Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Отрезку на карте длиной 4 см соответствует расстояние на местности 200 км. а) Каков масштаб карты? б) Каково реальное расстояние между городами, если расстояние между ними на данной карте равно 1,5 см? П Вариант II. а) Оп ре де ли те при по мо щи кар ты, че му рав но рас сто я ние меж ду Лунино и Чамзинкой. б) Расстояние на местности между двумя населёнными пунктами, изображёнными на этой карте, составляет 100 км. Чему равно соответствующее расстояние на карте? Какие это населённые пункты? М 1 : 1 000 000 Тренировочные упражнения. Н 11 а) Рустам, познакомившись с понятием масштаба, выяснил, что масштаб одна стотысячная (1 : 100 000) означает, что 1 см на карте с таким масштабом соответствует 1 км в реальности. После этого, работая с географической картой, он стал рассуждать так: «Масштаб карты 1:10 000 000. Зачеркну во втором числе пять ну лей и уз наю, сколь ко ки ло мет ров ре аль но го рас сто я ния изоб ра жа ет 1 см на этой карте». Верны ли рассуждения Рус тама? Обоснуйте свой ответ. б) Сколько километров содержится в 1 см на карте с масштабом 1 : 500 000; 1 : 5 000 000? 168 в) На карте с масштабом 1 : 1 000 000 расстояние между двумя городами равно 4,7 см. Чему равно это расстояние в реальности? 12 Отрезку на карте длиной 2,5 см соответствует расстояние на местности 12,5 км. а) Каков масштаб этой карты? б) Каково расстояние между двумя городами на местности, если на карте оно изображено отрезком длиной 5,1 см? Найдите ответ с помощью пропорции. 13 На карте, масштаб которой 1 : 10 000 000, расстояние от Воронежа до Саратова равно 4,7 см. Чему равно реальное расстояние между этими городами? 14 Получить уменьшенные или увеличенные изображения объектов можно с помощью фотографии. Как вы думаете, увеличен или уменьшен предмет и во сколько раз, если он изображён на фотографии в масштабе: а) 1 : 10; б) 10 : 1; в) 2 : 1; г)1 : 100? 15 На чертежах принято указывать реальные размеры предмета в миллиметрах. В каком масштабе выполнен чертёж разводного ключа? 16 На чертежах принято указывать реальные размеры предмета в миллиметрах. Определите масштаб чертежа гайки. 17 а) Длина детали на чертеже равна 50 мм, а в реальности - 25 см. Чему равен масштаб этого чертежа? б) Длина детали на чертеже равна 50 мм, а в реальности - 2,5 см. Чему равен масштаб этого чертежа? П 18 а) Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1 : 5, равна 52 мм. Длина этой же детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:10, будет больше или меньше? Во сколько раз? б) Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1 : 10, равна 52 мм. Каким будет масштаб чертежа, на котором изображение этой же детали будет крупнее в два раза? мельче в два раза? М 19 Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1 : 5, равна 60 мм. Чему будет равна длина этой детали на чертеже, сделанном в масштабе: а) 1 : 3; б) 2 : 1; в) 1 : 10? т Н 20 Длина комнаты на плане составляет 25 мм, а ширина — 15 мм. Какие реальные размеры у этой комнаты, если масштаб плана 1 : 200? Выразите длину и ширину комнаты в метрах. 21 На рисунке изображён план квартиры. Определите: а) масштаб этого плана; б) площадь этой квартиры; в) площадь кухни. 7 м кухня т П 22 Каковы будут размеры вашего класса на плане с масштабом: а) 1 : 100; б) 1 :5? Какой из этих планов поместится на тетрадном листе? т М 23 а) Площадь квартиры на плане равна 70 см2. Чему равна площадь этой квартиры в реальности, если масштаб плана 1 : 100? б) Площадь этажа одноподъездного жилого дома составляет 300 м2. Чему равна площадь этого этажа на плане с масштабом 1 : 500? в) Площадь детской площадки равна в реальности 1 20 м2, а на плане - 30 см2. Определите масштаб этого плана. 170 4. Пропорциональность в геометрии. Подобные фигуры Вспоминаем то, что знаем vj На рисунке изображены фигуры, которые называются подобными. Что у них общего и чем они отличаются? и Можно ли сказать, что длины соответствующих сторон данных фигур прямо пропорциональны? Открываем новые знания и Сравните длины соответственных сторон данных прямоугольников. B C A D AB M N K L d Верна ли пропорция: BC ? NM MK vj Можно ли сказать, что эти фигуры подобны? Почему? # Какие фигуры называют подобными? 171 Отвечаем, проверяем себя по тексту I Подобие фигур Если рассматривать две карты одной и той же местности, выполненные в разном масштабе (как, например, на стр. 165), то каждой точке на одной карте соответствует точка на другой карте (обе эти точки являются изображениями одной и той же точки на местности). Если брать на каждой карте по паре соответствующих друг другу точек и измерять расстояния между ними, то окажется, что отношение этих расстояний — число постоянное. Говорят, что такие карты подобны друг другу. ^ Две геометрические фигуры называются подобными, если отношение расстояния между любыми двумя точками первой фигу ры к рас стоя нию меж ду со от ве т ствен ны ми точ ка ми дру гой фигуры постоянно (выражается одним и тем же числом). Это число называется коэффициентом подобия. Можно сказать короче: две геометрические фигуры называются подобными, если их соответственные размеры пропорциональны. Например, прямоугольник ABCD подобен прямоугольнику 1 KNML с коэффициентом подобия ^ . Можно также сказать, что прямоугольник KNML подобен прямоугольнику ABCD с коэффициентом подобия 2. Подобные многоугольники N B A C M L D K Установить подобие многих геометрических фигур можно гораздо проще, чем сказано выше. Два многоугольника подобны, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. R AB Z A = Z P Z B = Z Q Z C = Z R Z D = Z S BC CD DA PQ QR RS SP Для установления подобия тре у голь ни ков дос та точ но, чтобы выполнялось лишь одно из названных требований — или равенство углов, или пропорциональность сторон; второе при этом выполняется автоматически. 172 Подобие треугольников Два треугольника подобны, если их соответственные стороны пропорциональны. E B A C Треугольники ABC и DEF подобны, т.к. AB _ BC _ CA DE ~ EF ~ FD Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны. При этом, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, то достаточно равенства двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника. Q N i Подобие объёмных геометрических фигур M K Треугольники MNK и PQR подобны, т.к. Z M = Z P; Z N = Z Q R Любые две окружности подобны. Подобными могут быть и объёмные геометрические фигуры. Так, например, подобны любые два куба, любые два шара. 7 Развиваем умения Н 3] ф Найдите среди изображённых прямоугольников пары подобных, выполнив необходимые измерения. ш 173 [~^ На рисунках изображены пары подобных фигур. Чему равен коэффициент подобия? а) б) в) [~^ Первая фигура подобна второй с коэффициентом подобия 2. Верно ли, что вторая фигура подобна первой? Если да, то чему равен коэффициент подобия? [~^ Первая фиг ура подобна второй с коэффициентом подобия 2, а вторая подобна третьей с коэффициентом подобия 3. Верно ли, что первая фигура подобна третьей? Ес ли да, то че му ра вен ко эф фи ци ент по до бия? [~5| а) Найдите пары подобных треугольников. Назовите равные углы и соответственные стороны подобных треугольников. Еа L B X А C D K б) Найдите пары подобных многоугольников. Назовите равные углы и соответственные стороны подобных многоугольников. Bi B C А Ai B, C2 >D Ci Di Е, D2 Аз F3 Вз Ез Сз D3 [~^ Найдите истинные высказывания. а) Геометрические фигуры, имеющие одинаковые формы и размеры, называют равными. б) Геометрические фигуры одинаковой формы называют подобными. в) Два квадрата равны, если равны их стороны. г) Любые два квадрата подобны. д) Любые два равносторонних треугольника подобны. е) Любые два равнобедренных треугольника подобны. ж) Если сторону куба увеличить в а раз, то его объём увеличится в а3 раз. [~^ Площадь одного квадрата равна 54 см2, а площадь другого - 864 см2. Найдите ко эф фи ци ент по до бия этих квад ра тов. 174 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Укажите среди изображённых фигур пары подобных и запишите коэффициент подобия. B K ---------, F А C D П Вариант II. Укажите среди изображённых фигур пары подобных и запишите коэффициент подобия. N Q T U M P Тренировочные упражнения. R V Н 8 Найдите среди изображённых фигур пары подобных. 2 [~9] Стороны треугольника АВС равны 4 см, 8 см и 10 см. а) Найдите стороны подобного ему треугольника KMN, если наименьшая сторона этого треугольника равна 2 см. б) Найдите стороны треугольника LFG, подобного треугольнику АВС, если его наибольшая сторона равна 25 см. в) Подобны ли треугольники KMN и LFG? Если да, то найдите коэффициент подобия. 10 а) Подобны ли треугольники АВС и MBN? Обоснуйте ваш ответ. B E C б) Убедитесь, что треугольники KEF и LEG подобны. Найдите коэффициент подобия. 175 П 11 Прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см подобен прямоугольнику, одна из сторон которого равна 10 см. Чему может быть равна вторая сторона этого прямоугольника? М 12 а) Докажите, что прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него подобный треугольник. б) Верно ли, что прямая, параллельная одной из сторон прямоугольника, отсекает от него подобный прямоугольник? Н ш 13 Как Как изменится площадь квадрата, если его сторону: а) увеличить в 1,5 раза; б) уменьшить в 1-^ раза? 14 Измерьте стороны треугольников АВС и LBK. Подобны ли эти треугольники? Если да, то чему равен коэффициент подобия? 15 Как изменится объём куба, если его сторону: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 2 раза? т П 16 Коэффициент подобия двух квадратов равен 5. Как отличаются площади этих квад-ра тов? т М 17 На г СЕ ± АВ. Докажите, что все три треугольника на рисунке подобны. 176 С В E ГЛАВА V ПРОЦЕНТЫ Понятие о процентах Вспоминаем то, что знаем и Найдите: а) 0,1 от 600; б) 0,01 от 500. 1 1 ^ Найдите: а) Ю00 от 7 500; б) от 8 000. 100 Открываем новые знания €» Прочитайте высказывания и сделайте предположения о том, что означает запись 1%: 1% от 500 равен 5; 1% от 1 000 равен 10. ® Верны ли высказывания: 50% от 50 - это 25; 100 % от 50 - это 50? 1 1 # Знаете ли вы существительное для названия дроби ^? а дроби 3 ? в Вспомните ещё несколько дробей, имеющих особые названия. €> Что означает слово «процент»? Отвечаем, проверяем себя по тексту 1 Процентом от данного числа называется этого числа. Для обозначения процента используется знак %. Вместо «процент от данного числа» можно говорить «процент данного числа». 177 Исторически сложилось так, что некоторые дроби с числителем 1 имеют, кроме общепринятого математического стандартного названия (оно выражается числительным), ещё и своё индивидуальное название (выражается существительным). 1 Например, дробь 9 индивидуального названия не имеет и может быть названа только стандартно — «одна девятая», а вот дробь ^ может быть названа и стандартно — «одна вторая», и индивидуально — «половина». Дробей, имеющих индивидуальные названия, мало. Большинство ^1Л /1л из вас вспомнят ещё «треть» г 1 ^ даже «осьмушку» V 8 у V 3у и «четверть» 1 , а некоторые . В названии последней дроби хорошо видно устаревшее русское название цифры 8 - «осемь», или «осмь». В старину индивидуальные названия имело большее количество дробей, чем сейчас. Более того, была даже некоторая система названий таких дробей. В старых книгах, наряду с названием «треть», можно встретить наз ва ния «пол треть» г 1 ^ треть» — V 12у г 1 ^ V6y , т.е. по ло ви на от тре ти, «пол по л- , т.е. половина от полтрети, и т.д. Вместо совре- мен но го «чет верть» раньше го во ри ли «четь» ствен но «пол четь» 1 V 16у г 1 ^ v8y г 1 ^ v4y и со от ве т- , т.е. по ло ви на от чет вер ти, «пол пол четь» , т.е. по ло ви на от пол чет вер ти, и т.д. 1 Индивидуальное название дроби (десятина) вы, наверное, слышали на уроках истории. 1 Из Западной Европы пришло название дроби ^ (унция), которое сейчас почти не употребляется. ^ К числу индивидуальных названий дробей относится и слово 1 «процент» для дроби . Вы, вероятно, обратили внимание, что почти во всех индивидуальных названиях дробей присутствуют названия их знаменателей. Процент в этом отношении не яв ля ет ся иск лю че ни ем - это слово в пе ре во де с ла ты ни значит «от сотни», «из сотни». Кстати, старое русское название про цен та - «от со ток». 178 Таким образом, проценты — это всего лишь специальные названия для некоторых дробей. Сказать «сорок три процента» всё равно что сказать «сорок три сотых». Написать 43% — то же 43 п и-з самое, что написать -- или 0,43. 100 Следовательно, задачи на проценты, по сути, являются задачами на дроби, но дроби особого вида (со знаменателем 100). 1 Часто рассуждают так: поскольку 1% от числа - это этого числа, то всё число содержит 100%. 100 Развиваем умения Н П<~| • Квадраты на рисунках содержат по 100 клеток. Для каждого квадрата ответьте на вопросы: а) Сколько сотых долей квадрата закрашено? б) Сколько процентов площади квадрата составляет закрашенная часть? в) Какую часть площади квадрата занимает закрашенная часть? г) Сколько процентов площади квадрата составляет незакрашенная часть? д) Какую часть площади квадрата занимает незакрашенная часть? а) б) в) г) д) 179 [~^ Заполните таблицу до конца, используя в случае необходимости в качестве модели числа квадрат размером 10 х 10 клеток. Сотая часть числа 1% Десятая часть числа 10% Пятая часть числа Четвёртая часть числа Половина числа Три четверти числа [~^ Выразите проценты обыкновенной несократимой дробью: 10% 15% 20% 25% 50% 75% 80% 1 10 [~^ Выразите в процентах: а) 100 б) 18 ; 100' в) 69 100' [~5| Выразите проценты обыкновенными дробями и, если можно, сократите их: а) 15%; б) 25%; в) 30%; г) 40%; д) 60%; е) 80%; ж) 55%; з) 49%. [~^ Проведя анализ распределения времени светового дня в декабре, шестиклассники установили, что 75% этого времени они учатся, а остальное время используют для посещения различных занятий по интересам. Ответьте на вопросы: а) Какая величина принята за 100%? б) Сколько процентов времени отведено для занятий по интересам? Ш В городской детской библиотеке 69% всех книг - это художественная литература, научно-популярной литературы в три раза меньше, чем художественной, а остальные книги — справочники и словари. Ответьте на вопросы: а) Ка кая ве ли чи на при ня та за 1 00%? б) Сколь ко про цен тов от всех книг биб ли о те ки приходится на на уч но-по пу ляр ную ли те ра ту ру? в) Какой процент от всех книг составляют справочники и словари? 8 а) Половина книг на полке — учебники. Сколько процентов книг на полке составляют ос таль ные кни ги? 180 б) Десятая часть всех украшений в шкатулке представлена кольцами. Какой процент составляют остальные украшения в шкатулке? в) Четверть коллекции филателиста — это марки, выпущенные в России. Сколько процентов его коллекции составляют марки, выпущенные в других странах? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Десятую часть всех найденных грибов составляют сыроежки. Сколько процентов приходится на остальные грибы? 12 2 4 3 б) Выразите в процентах: ---; —. ’ ^ ^ 100 10 5 4 П Вариант II. а) В блокноте Никиты 30% страниц занято планированием дел, 20% — телефонными номерами. Весь ли блокнот заполнен записями планов и номеров телефонов? б) Начертите квадрат 10 х 10 клеток. Закрасьте 20% этого квадрата. Тренировочные упражнения. Н [~9] Начертите круг и закрасьте: а) 25%; б) 50% ; в) 75% этого круга. 10 11 Начертите квадрат 10 х 10 клеток и закрасьте: а) 22%; б) 26%; в) 78%; г) 100% этого квадрата. а) Перед 8 марта Руслан 40% всех своих денег потратил на подарок маме, столько же - на подарок бабушке, а 20% - однокласснице Свете. Все ли свои деньги пот ра тил Рус лан? б) В го ро дс кой спор тив ной олим пи а де при ни ма ли учас тие 25% всех уча щих ся школы, а остальные ребята приходили за них болеть. Сколько процентов учащихся шко лы ста ли бо лель щи ка ми? в) Автотурист в первый день проехал 50% всего маршрута, а во второй день — 40%. Весь ли маршрут был преодолён авто туристом за два дня? г) В классе 55% девочек. Какой процент от всех учащихся класса составляют мальчики? П 12 Выразите в процентах: а) — от числа; б) — от числа. ^ 10 ^5 181 М 13 Шестиклассник Валя, начав изучать главу «Проценты» и прочитав параграф «Понятие о процентах», решил разработать новый раздел математики «Осьмушки». Он даже придумал специальный значок для обозначе ния осьмушек: #. Например, 3# обозначает 3 осьмушки. а) Переведите осьмушки в проценты: 2#, 3#, 4#, 10#, 20,5#. б) Переведите проценты в осьмушки: 50%, 125%, 62,5%, 20%, 21%. ш Н 14 Что больше: а) половина или 60% урожая; б) 20% или четверть всего населения города; в) 40% или треть класса? 15 а) С контрольной работой справились 85% учащихся класса. Какая часть учащихся с ней не справилась? б) В коллекции нумизмата английские монеты составляют 21% от общего числа монет, португальские монеты — 15%, китайские — 8%, а остальная часть его коллекции — это российские монеты. Какую часть коллекции составляют российские мо не ты? 16 Какая часть прямоугольника закрашена? Выразите эту часть в процентах. а) б) в) ш П 17 1 1 2 Выразите в процентах — от числа; — от числа; — от числа. 363 т М 18 Переведите проценты в осьмушки*: 40%, 72%, 65%, 140%, 12,5%. См. задание 13. 182 * Нахождение процентов от числа и числа по известному количеству процентов от него Вспоминаем то, что знаем 4J Решите задачи: а) В школьную столовую привезли 450 кг картофеля. Для приготовления гарниров использовали -2 всего картофеля. Сколько это килограммов? 2 б) В овощной магазин привезли 450 кг картофеля. Это 5 всех овощей, которые есть в этом магазине. Какова масса всех овощей в магазине? Открываем новые знания Ф Решите задачи. а) В школе 500 учащихся. В театральном кружке занимается 3% от всего этого количества. Околько ребят посещает театральный кружок? б) В школьной спортивной секции записано 60 ребят. Это 12% от всего количества учащихся в школе. Сколько ребят учится в школе? ® Как решаются задачи на нахождение процентов от числа и числа по известному количеству процентов от него? Отвечаем, проверяем себя по тексту Нахождение процентов от числа и числа по известному количеству процентов от него — это две наиболее простые и в то же время наиболее распространённые задачи на проценты. Поскольку процент - это всего лишь особое название дроби , то эти две задачи, по сути, являются задачами на дроби. 183 Нахождение процентов от числа i Первая опорная задача. Найти п% от данного числа. При решении этой задачи можно рассуждать по-разному. Рассуждение 1 (подход к задаче на проценты, как к задаче на дроби). п Поскольку процент - это --, то п% - это --. Значит, нуж- 7 но найти п 100 100 от данного числа, а это уже известная задача - 100 найти дробь от числа. Рассуждение 2 (выяснение, сколько приходится на один процент). Сначала найдём 1% от числа, для это г о разделим его на 100. Затем для нахождения n% умножим полученную величину на n. Рассуждение 3 (использование пропорции). Число принимаем за 100%, а n% от него обозначаем какой-нибудь буквой, например х. После этого составляем пропорцию («числа под числами, проценты под процентами»), затем решаем её. Рассмотрим применение всех этих рассуждений при решении конкретного примера. Пример 1. Найти 42% от числа 180. 42 Решение 1. 42% - это ---, или 0,42. Теперь умножим 180 на 100 0,42 и получим: 180 • 0,42 = 75,6. ( 1 ^ Решение 2. Сначала найдём 1 % 100 от числа 180: / 42 ^ 100 , получим: 1,842 = 180 : 100 = 1,8. Теперь найдём 42% = 75,6. Решение 3. Число 180 - это 100%. Необходимо найти 42% от этого числа. Обозначим эту величину х, тогда: 180 - 100% 1 г х - 42% V x = 180 • 42 756 100 10 = 75,6. Быстрее всего действовать по правилу: чтобы найти п процен- тов от числа, нужно умножить это число на Замечание. Часто дробь п п 100 удоб но за пи сать как де ся тич ную (так мы поступали при решении примера 1). Но это возможно 3 далеко не всегда, например, если нужно найти от числа 12 7% или же х%. 184 i Нахождение числа по известному количеству процентов от него Вторая опорная задача. Найти число, если известно п% от него. Рассуждать можно такими же тремя способами, как при решении первой задачи. Пример 2. Найти число, 35% которого равно 280. Решение 1. 35% - это 35 100 , или 0,35, и чтобы найти число по 7 известной дроби от него, нужно число разделить на дробь: 280 : 0,35 = 800. Решение 2. Так как 280 - это 35%, то на 1% приходится 280 : 35 = = 8. Отсюда всё число (составляющее 100%) - это 8^ 100 = = 800. Решение 3. Обозначим искомое число через х и составим пропорцию. х - 100% \ 280 - 35% 280•100 x 35 800. Быстрее всего действовать по правилу: чтобы найти число, n про цен тов от ко то ро го рав но дан но му чис лу, нуж но раз де- лить данное число на n Заметим, что вторую опорную задачу можно свести к первой. При решении примера 2 можно рассуждать так. Пусть неизвестное число х. Найдём 35% от него, получим 0,35х, что по условию равно 280, т.е. 0,35х = 280. Отсюда х = 280 : 0,35, или х = 800. Развиваем умения Н а) Автотурист за 3 дня проехал 1 500 км. В первый день он проехал 35% всего пути, во второй день - 40%, а в третий - остальной путь. Ответьте на вопросы: - Какая величина здесь принята за 100% и известна ли она? - Можно ли определить, чему равен 1%, и как это сделать? - Сколько километров проехал автотурист в первый день? - Сколько километров проехал автотурист во второй день? - Сколько километров проехал автотурист в третий день? б) Автотурист был в пути 3 дня. В первый день он проехал 630 км, что составляет 35% всего пути, во второй - 40%, а в третий - остальной путь. 185 Ответьте на вопросы: — Какая величина здесь принята за 100% и известна ли она? — Можно ли определить, чему равен 1%, и как это сделать? — Сколько километров проехал автотурист в первый день? — Сколько километров проехал автотурист во второй день? — Сколько километров проехал автотурист в третий день? [2\ Найдите: а) 1% от 250; г) 1% от 25; б) 2% от 250; д) 10% от 250; в) 1,5% от 250; е) 0,5% от 250; ж) 1% от 2; з) 50% от 225; 1 и) 3^% от 225. ' 3 Найдите число, если: а) 1% от него равен 5; б) 1% от него равен 25; г) 2% от него равны 50; д) 10% от него равны 200; в) 1% от него равен 0,5; е) 50% от него равны 250; ж) 1,5 % от него равны 0,9; з) 0,5% от него равны 2,5; 5 и) 35 — % от него равны 70. И а) В школе 1 200 учащихся, 8% от этого количества занимаются в математических круж ках. Сколь ко уча щих ся этой шко лы за ни ма ют ся в математических круж ках? б) В коллекции 180 старинных испанских монет. Это 5% всей коллекции. Сколько все го мо нет в кол лек ции? в) В городской спартакиаде принимали участие 180 учеников из школ Зареченского района. Это 3% всех учащихся района. Сколько учеников в Зареченском районе? г) Длина дороги от города до посёлка Таёжный 150 км. После зимы 25% этой дороги тре бу ется ре мон т. Сколь ко ки ло мет ров до ро ги нуж но от ре мон ти ро вать? [~5| а) На приобретение оборудования химической лаборатории выделили 108 тыс. рублей. Это 60% стоимости необходимого оборудования. Сколько денег нужно добавить на покупку оборудования? б) В коробке шоколадного ассорти 30 конфет. Конфеты с ореховой начинкой составляют 20% всех конфет, с фруктовой начинкой — 50% , а остальные — с пралине. Сколько конфет каждого вида в этой коробке? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) В математических классах школы учится 240 учащихся, 80% от этого количества — мальчики. Сколько мальчиков учится в математических классах этой школы? б) На полке 18 журналов. Это 9% всех журналов, которые есть в библиотеке. Сколько все го жур на лов в биб ли о те ке? П Вариант II. а) Автотурист проехал за 2 дня 1 440 км. В первый день он проехал 55% всего пути, а остальную часть — во второй день. Сколько километров проехал турист во второй день? б) Туристы прошли до первого привала 16 км, что составляет 20% всего пути. Сколько ки ло мет ров им ос та лось прой ти? 186 Тренировочные упражнения. Н Г6] а) Денис прочитал книгу в 240 страниц за 3 дня. В первый день — 30% всей книги, во второй — 45%, а остальную часть — в третий день. Сколько страниц прочитывал Денис в каждый из трёх дней? б) Аня прочитала книгу за 4 дня. В первый день — 52 страницы, что составило 13% всей книги, во второй — 26% всей книги, а в третий и четвёртый дни — оставшуюся часть. Сколько страниц прочитала Аня за третий и четвёртый дни? в) Масса сушёных грибов составляет 14% массы свежих. Сколько сушёных грибов можно получить из 0,5 центнера свежих? Сколько свежих грибов надо взять, чтобы получить 0,28 центнера сушёных? П [7\ а) Во сколько раз увеличится стоимость товара, если она вырастет на 100%, 30%, 150%? б) Во сколько раз уменьшится стоимость товара, если его уценят на 20%, 50%, 90%? На овощной базе находится 0,5 т фруктов. Яблоки составляют 40% всех фруктов, причём 50% из них — антоновка. Сколько килограммов антоновки на этой базе? И 9 I Выберите верные ответы. Замените неверные ответы верными: а) 4 десятины составляют 40% всего количества; б) 4 осьмушки составляют 50% всего количества; в) 3 унции — это 36% всего количества. М 10 11 Для приготовления мази требуется 3 унции от четверти объёма розового масла. Сколько процентов объёма розового масла требуется для приготовления этой мази? Как вы помните, шестиклассник Валя разрабатывает новый раздел математики «Осьмушки». Он даже придумал специальный значок для обозначения осьмушек: #. а) Найдите 3# от числа 112. б) Найдите число, 5# от которого равно 70. в) Закончите предложение: «Чтобы найти n# от данного числа, нужно^» ш Н 12 а) Банк начисляет на вклад ежегодно 12%. Сколько денег будет на счету через год, если в начале года было вложено 6 000 р.? б) Костюм, цена которого 2 500 р., уценили на 15%. Чему равна новая цена? в) Ма ши ни ст ка долж на бы ла пе ре пе ча тать 250 стра ниц ру ко пи си, но пе ре пе ча та ла на 20% мень ше. Сколь ко стра ниц пе ре пе ча та ла ма ши ни ст ка? 187 8 г) Себестоимость товара составляет 500 р. Расходы на его перевозку и хранение составляют 15% от себестоимости. Какова должна быть цена товара, если она складывается из себестоимости и указанных расходов? т П 13 Общая площадь прогулочных площадок детского сада равна 200 м2. Из них 20% отведено для младшей группы, а остальная часть разделена в отношении 3:2 между средней и старшей группами детского сада. Сколько квадратных метров пло-щад ки от ве де но для каж дой груп пы? т М 14 В селе Весёловке 480 жителей. Из них 60 - младше 8 лет. Какой процент от общего числа жителей Весёловки составляют дети младше 8 лет? Процентное отношение двух чисел Вспоминаем то, что знаем I Какую часть число 60 составляет от числа 480? Запишите ответ в виде обыкновенной дроби и в виде десятичной. I Что показывает выражение 30 : 180? Открываем новые знания I Найдите отношение чисел 5 и 20 и выразите его в процентах. Как выразить в процентах отношение двух чисел? 188 Отвечаем, проверяем себя по тексту i Сколько процентов одно число составляет от другого 7 Третья опорная задача. Сколько процентов одно число составляет от другого? Можно решать эту задачу, сводя её к известной задаче на дроби. Сначала выясним, какую часть одно число составляет от другого, для чего разделим первое число на второе. Но так как требуется выразить полученное частное в процентах, то есть в сотых долях, то умножим его на 100. Чтобы узнать, сколько процентов составляет первое число от второго числа, нужно разделить первое число на второе и затем умножить на 100. Пример. Сколько процентов составляет число 54 от числа 180? По сформулированному правилу получим 541 лт 100 = 30. Замечание 1. Можно рассуждать и так. Найдём отношение 54 к 54 180. Получим 180. Попробуем перейти к десятичным дробям: 54 : 180 = 0,3. От этой де сятичной дроби можно перейти к процентам: 0,3 - это 0,30, а следовательно - 30%. Замечание 2. Чтобы перейти от десятичной дроби к процентам, нужно эту десятичную дробь умножить на 100. Замечание 3. Поскольку при решении третьей опорной задачи мы сна ча ла на хо дим от но ше ние чи сел, а за тем вы ра жа ем его в про цен тах, эта за да ча час то на зы ва ет ся за да чей на про це нт ное отношение двух чисел. Многие ребята предпочитают сводить третью опорную задачу к первой опорной задаче. При решении рассмотренного примера они рассуждают так. Пусть число 54 составляет х% от числа 180. Это значит, что х% x Та- от числа 180 равно 54. Но х% от числа 180 равно 180 ^ .on ^ ^ 18^ ^ 100 ким образом, 180 •----= 54, или ---• х = 54, откуда х = 30. 100 100 Ответ: 30%. Развиваем умения Н Выразите в процентах: а) 0,25 массы товара; б) 0,03 массы товара; в) 0,5 массы товара; г) 1,2 массы товара; г) 0,8 массы товара; д) 3,6 массы товара. 189 [~^ Выразите дроби в процентах: а) в тексте — всех заданий составляют задачи на проценты; 3 10 б) 5 всех жителей посёлка старше 18 лет; в) водой заполнили — бочки; 20 14 г) 25 всех овощей в рагу составляет картофель. [~^ Каждый участник математической олимпиады получил 10 заданий. Определите, какую часть составляет число заданий, выполненных названными ниже участниками, от числа всех заданий, и выразите эту часть в процентах: а) Анна выполнила 4 задания; б) Расул выполнил 5 заданий; в) Олег выполнил 8 заданий. И ^ а) Из 600 участников радиовикторины верно ответили на вопрос 150 человек. Каков процент верно ответивших на вопрос вик торины? Сколько процентов ответили неверно? б) В посёлке 1 200 жителей, из них 900 человек работают в рыбацкой артели. Сколько процентов жителей работают в этой артели, а сколько - нет? в) Посадили 200 семян огурцов, 100 из них проросло. Каков процент проросших семян? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Баскетбольная команда забросила в кольцо противника 48 мячей. Определите, какую часть составляет число попаданий, сделанных названными ниже игроками команды, от числа всех попаданий, и выразите эту часть в процентах: а) Сергей забросил 12 мячей; б) Илья забросил 18 мячей. П Вариант II. В посёлке было 1 200 жителей. В течение года их число увеличилось на 6 человек. На сколько процентов увеличилось число жителей посёлка? Тренировочные упражнения. Н 5 а) Костюм стоил 2 000 р. В конце лета его цена понизилась на 600 р. На сколько про цен тов по ни зи лась це на кос тю ма? б) Сто и мость про ез да в ав то бу се по вы си лась на 3 р. На сколь ко про цен тов по вы си-лась стоимость проезда в автобусе, если до повышения билет стоил 15р.? в) Контрольную работу по математике писали 150 шестиклассников: 18 из них получили «5»; 66 человек — «4»; 63 получили «3», а остальные ученики — «2». Вычислите, сколько процентов учащихся выполнили работу на каждую из отметок. 190 Г6] Выразите десятичную дробь приближённо в процентах, предварительно округлив её до сотых: а) 0,925; б) 0,409; в) 0,5777; г) 0,1391; д) 0,0438. П 1^7] Замените обыкновенную дробь приближённо десятичной дробью с двумя знаками после запятой. Найдите, сколько примерно процентов составляют: а) ~ объёма бака машины; 1 б) — площади стены; 6 в) 1 на се ле ния го ро да; 15 г) — бюджета предприятия; 11 д) 23 денежного вклада; е) 9 всех учащихся школы. Определите, какой примерно процент площади фигуры составляет закрашенная часть: а) 40%; б) 60%; в) 90%. а) 20%; б) 30%; в) 50%. М И 9J Банк начисляет на вклад ежегодно 8%. Сколько денег будет на счету через 2 года, если была вложена сумма 20 000 р.? 10 Как вы помните, шестиклассник Валя разрабатывает новый раздел математики «Осьмушки». Он даже придумал специальный значок для обозначения осьмушек: #. а) Сколько осьмушек составляет число 3 от числа 40; число 488 от числа 128? б) В посёлке было 1 200 жителей. В течение года их число увеличилось на 6 человек. На сколь ко ось му шек уве ли чи лось чис ло жи те лей по сёл ка? в) Закончите предложение: «Чтобы узнать, сколько осьмушек составляет первое число от второго числа, нужно^» Ш Н 11 а) Диван до распродажи стоил 18 000 р. Во время распродажи его цена была снижена на 5 400 р. На сколько процентов была снижена цена дивана? б) Диван, цена которого до распродажи составляла 1 5 000 р., уценили на 1 5%. Чему равна новая цена? в) В городе 30 000 избирателей. В голосовании приняли участие 12 000 человек. Какой процент избирателей участвовал в голосовании? 191 8 12 В заводской столовой за неделю было израсходовано 2 ц овощей. Используя диаграмму, дайте ответы на вопросы: а) Сколько процентов составила свёкла? б) Сколько килограммов овощей каждого вида было из рас хо до ва но? т П 10% лук 13 В домашней библиотеке есть художественные книги и научные. Число художественных книг относится к числу научных, как 3 : 2. а) Какую часть от всего числа книг составляют художественные? Выразите эту часть в про цен тах. б) Ка кую часть от все го чис ла книг сос тав ля ют на уч ные? Вы ра зи те эту часть в процен тах. ш М 14 Во вре мя вы бо ров городского головы го лоса из би ра те лей расп ре де ли лись между двумя кандидатами в отношении 3 : 4. Сколько примерно процентов избирателей про го ло со ва ли за по бе ди те ля? Сколь ко отдали свои голоса за про иг рав ше го? (Ответ округлите до единиц.) .4 Увеличение и уменьшение числа на данное количество процентов Вспоминаем то, что знаем I В начальных классах школы учится 120 детей, 45% от этого количества — мальчики. Сколько мальчиков учится в этих классах? 192 Открываем новые знания €» В прошлом году в начальных классах школы училось 120 детей, в этом году их количество увеличилось на 45%. Сколько детей в этом году учится в начальных классах? €» В прошлом году центр творчества посещали 120 детей, в этом году их количество умень ши лось на 45%. Сколь ко де тей в этом го ду по се ща ет центр твор че ст ва? • Как решаются задачи, в которых надо увеличить данное число на n%? уменьшить данное число на n%? Отвечаем, проверяем себя по тексту Как увеличить и как уменьшить Увеличение числа на п% В новостях часто сообщают, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась какая-то величина. Например: дневная выручка магазина увеличилась на 15%, про из во д ство то ва ра за ме сяц уве ли чи лось на 1 0%, потребление электроэнергии уменьшилось на 3%, население города за год увеличилось на 8% и т.д. Четвёртая опорная задача. Увеличить данное число на n%. Пятая опорная задача. Уменьшить данное число на n%. Решение каждой из этих опорных задач можно получить за два шага, используя первую опорную задачу. Первый шаг: найти n процентов от данного числа. Второй шаг: прибавить то, что получилось, к данному числу (или вычесть из него). Од на ко ког да не ко то рая ве ли чи на уве ли чи ва ет ся или умень ша-ет ся нес коль ко раз под ряд (ска жем, мы ин те ре су ем ся на се ле-нием страны на начало каждого из пяти последовательных лет), то даже два шага - слишком громоздко, поэтому следует научиться делать это быстрее. Проделаем это для четвёртой опорной задачи. Пусть х - данное число. Первый шаг: n процентов от числа х — это x n Вто рой шаг: при бав ля ем x n С n \ ф '“У* ф I I 100 n 1 + — V 100у n x 100 к данному числу х: 100 + n 100 Таким образом, мы установили следующее правило: Увеличить число на n процентов — всё равно что умножить его 100 + n на -------. 100 193 Уменьшение числа на п% Аналогично устанавливается правило: Уменьшить число на n процентов — всё равно что умножить 100 - n I его на 100 Увеличить число можно на любое число процен тов, а уменьшить — только на число процентов, меньшее 100. Пример 1. Число умножили на личили число? 131 100 . На сколько процентов уве- Известно, что увеличить число на х процентов — это умножить 100 + X mn . 1-D1 , значит, 100 + х = 131, т.е. число увеличили на его на 100 31%. Иног да встре ча ют ся за да чи, в ко то рых го во рит ся о нес коль ких пос ле до ва тель ных уве ли че ни ях или умень ше ни ях. Пример 2. Зарплата была повышена на 10%, а затем ещё на 20%. На сколько процентов повысилась первоначальная зар-п ла та? Решение. Пусть первоначальная зарплата была х р. После пер- 110 „ во го по вы ше ния она ум но жи лась на 100 , т.е. стала равной 1,1х, а после второго - умножилась на 120 100' т.е. стала равной 1,1х • 1,2, или 1,32х. Таким образом, после двух увеличений зарплата умножилась на 1,32, т.е. повысилась на 32%. Пример 3. После увеличения длины и ширины прямоугольника его площадь увеличилась на 65%. На сколько процентов была уве ли че на дли на, ес ли ши ри на бы ла уве ли че на на 1 0%? Решение. Предположим, что длина была увеличена на х%. Ши- 110 100 + X рина была умножена на ---, а длина умножена на 100 т.е. пло щадь ока за лась умно жен ной на 110 100 + X 100 . Но с дру- 100 100 гой стороны, так как площадь по условию уве ли чи лась на 65%, то 165 ^ она умножилась на ---. Отсюда получаем, что 110 100 + X 100 165 100 + X 100 100 100 100 165 100 + X 3 ---; --------^ ; х = 50%. 110 100 2 194 Развиваем умения Н а) Число умножили на 1,25. На сколько процентов увеличили число? б) Число умножили на 0,9. На сколько процентов уменьшили число? [~2] Имеет ли смысл высказывание: производство товара уменьшили на 120%? [~3] а) Число увеличили в 2,5 раза. На сколько процентов увеличили число? б) Число увеличили на 200%. Во сколько раз увеличили число? в) Число уменьшили в 2,5 раза. На сколько процентов уменьшили число? г) Число уменьшили на 20%. Во сколько раз уменьшили число? [~^ а) Число умножили на 1,2, а потом ещё на 1,5. Увеличили или уменьшили число? На сколько процентов? б) Число умножили на 0,2, а потом ещё на 0,5. Увеличили или уменьшили число? На сколько процентов? \~5\ а) Костюм стоил 2 500 р. Во время распродажи его цена была уменьшена на 16%. Найдите новую цену этого костюма. б) При покупке плаща со скидкой 10% за него заплатили 5 400 р. Какова была первоначальная цена плаща? в) Во время распродажи ц^ ны на один и тот же товар в одном магазине были снижены на 30%, а в другом — в 1,4 раза. В каком магазине стало выгоднее покупать этот товар, если до снижения цен он стоил в обоих магазинах одинаково? г) Во время распродажи цена на один и тот же товар была снижена сначала на 15%, а потом ещё на 20%. На сколько процентов была снижена первоначальная цена? И а) В городе А проживало 36 500 человек. После строительства в этом городе нефтеперерабатывающего комбината его население увеличилось на 20%. Сколько стало жителей в городе А? б) Количество ребят, занимающихся в спортивных секциях города, по сравнению с прош лым го дом уве ли чи лось на 25%. Сколь ко че ло век за ни ма лось в спор тив-ных секциях в прошлом году, если в этом году их стало 600? [~^ а) Выпуск продукции швейной фабрики увеличился в четыре раза. На сколько процентов увеличился выпуск продукции? б) Потери рабочего времени уменьшились в четыре раза. На сколько процентов уменьшились эти потери? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Товар стоил 2 000 р. Во время распродажи его цена была уменьшена на 20%. Какова новая цена этого товара? 195 б) Выпуск товара по сравнению с прошлым годом увеличился на 25%. Во сколько раз увеличился выпуск товара по сравнению с прошлым годом? П Вариант II. а) Число увеличили в три раза. На сколько процентов его увеличили? б) Число уменьшили на 80%. Во сколько раз его уменьшили? Тренировочные упражнения. Н 8 а) В прошлом году городской центр творчества посещали 2 500 человек. В этом году это количество увеличилось на 4%. Сколько людей посещают город-с кой центр творчества в этом году? б) Производство каждого наименования продукции молокозавода по сравнению с прошлым месяцем увеличилось на 10%. Сколько бутылок молока произвёл завод в прошлом меся це, если в этом месяце их было выпущено 3 300? в) Количество первоклассников в школе после её реконструкции увеличилось в 1,2 раза. На сколько процентов увеличилось количество первоклассников? г) После реконструкции школы площадь пришкольного участка уменьшили в 1,25 раза. На сколько процентов уменьшили его площадь? И В марте прибыль составляла 120 000 р., в апреле она увеличилась на 5%, а в мае уменьшилась на 2% по сравнению с апрелем. Какова прибыль в мае? П 10 а) Число a увеличили на b процентов. Сколько получилось? б) Число a уменьшили на b процентов. Сколько получилось? 11 Числитель дроби увеличили на 50%, а знаменатель уменьшилась дробь? На сколько процентов? — на 20%. Увеличилась или М 112 I Длину прямоугольника увеличили на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить его ширину, чтобы площадь осталась неизменной? 13 На заводе два цеха, причём во втором цехе ра бо та ет в 1 ,5 ра за боль ше сот руд ни ков, чем в первом. После реконструкции завода ко ли че ст во сот руд ни ков пер во го це ха увеличилось на 10%, а второго — уменьшилось на 14%. Увеличилось или уменьшилось об щее ко ли че ст во сот руд ни ков и на сколь ко про цен тов? 196 ш Н 14 а) Выразите проценты десятичными дробями: 15%; 25%; 30%; 40%; 60%; 80%; 55%; 49%. б) Выразите в процентах: 0,45 объёма; 0,01 объёма; 0,4 объёма; 1,2 объёма. 15 Выразите дроби в процентах: а) в контрольной ^ всех заданий относятся к обязательному уровню сложности; 1 б) — всех участников спортивного соревнования младше 14 лет; 29 в) картофель составляет всего количества овощей в магазине; г) банку заполнили соком на всего объёма. 16 а) Учебники составляют 30% всей учебной литературы, выпускаемой издательством. Сколько процентов при хо дит ся на ос таль ную учеб ную ли те ра ту ру этого издательства? б) Пятая часть всех участников соревнований — легкоатлеты. Какой процент составляют остальные участ ни ки со рев но ва ний? в) Товар до распродажи стоил 15 000 р. Во время распродажи его цена была снижена на 600 р. На сколь ко про цен тов бы ла сни же на це на то ва ра? г) То вар, це на ко то ро го до расп ро да жи бы ла 5 000 р., уценили на 5%. Чему равна новая цена? д) В по не дель ник це на ак ции сос тав ля ла 2 000 р., в сре ду она умень ши лась на 5%, а в пят ни цу она уменьшилась на 10% по сравнению со средой. Какой была цена акции в пятницу? Ш 17 18 П Число увеличили на 20%, затем то, что получилось, уменьшили на 20%. Как в результате изменилось первоначальное число: увеличилось, уменьшилось или осталось прежним? Если увеличилось или уменьшилось, то на сколько процентов? Фи ли ал мо лоч но го за во да про из во дит толь ко ке фир и прос ток ва шу, при чём ке фир составляет 40% от всей продукции. За месяц производство кефира увеличилось на 20%, а производство простокваши уменьшилось на 20%. Сколько теперь процентов от всей продукции составляет кефир? 197 т М 19 Как вы помните, шестиклассник Валя разрабатывает новый раздел математики «Осьмушки». Он даже придумал специальный значок для обозначения осьмушек: #. а) Число увеличили на 3,5#. Во сколько раз увеличили число? б) Число уменьшили на 3#, а затем ещё на 3#. На сколько осьмушек в результате умень ши лось пер во на чаль ное чис ло? в) Закончите предложение: «Увеличить число на n# — всё равно что умножить его на ^» г) Закончите предложение: «Уменьшить число на n# — всё равно что умножить его на...» 23 24 20 Ваня и Варя взяли одно и то же число, не равное нулю. Ваня сначала увеличил его на n%, а затем то, что получилось, увеличил на m%. Варя поступила наоборот: сначала увеличила число на m%, а затем то, что получилось, увеличила на n%. У кого из ребят в результате получилось большее число? Как зависит ответ от m и n? 21 Объёмы ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин относятся, как 7 : 6 : 5. Планируется уменьшить годовую добычу из первой скважины на 4%, а из второй — на 2%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился? 22 Брюки на 40% дороже рубашки, но на 20% дешевле пиджака. На сколько процен тов пид жак до ро же ру баш ки? Доход семьи состоит из зарплаты мужа и зарплаты жены. Если бы зарплата мужа увеличилась в 2 раза, а зарплата жены осталась бы прежней, то доход семьи возрос бы на 60%. На сколько процентов возрос бы доход семьи, если бы в 2 раза увеличилась зарплата жены, а зарплата мужа осталась бы прежней? В прошлом году первый завод выпускал продукции на 20% больше, чем второй. За год выпуск продукции на первом заводе вырос на 15%, а на втором - на 25%. На сколь ко про цен тов те перь боль ше про дук ции вы пус ка ет пер вый за вод, чем вто рой? 198 Итоговый тест [~^ Для пропорции — = — записано основное свойство пропорции. Выберите верную запись: x q а) —— = xq; б) —q = x—; в) x— = q—. f2] Найдите неизвестный член пропорции 15 : х = 27 : 18. Ответы: а) 32,4; б) 22,5; в) 10. [~3] Число 98 разделили в отношении 3 : 4. Меньшая часть равна: а) 35; б) 36; в) 42. [4\ Найдите 34% от числа 17,3. Ответы: а) 58,82; б) 5,882; в) 0,5882. 1 очко 1 очко 2 очка 1 очко И В нашей стране налог от любого дохода составляет 13%. Бизнесмен Иванов заплатил 52 000 р. подоходного налога. Доход бизнесмена Иванова составлял: а) 58 760 р.; б) 400 000 р.; в) 452 000 р. 1 очко [~6] На распродаже компьютер был куплен со скидкой 15% за 17 000 р. Компьютер пер во на чаль но сто ил: а) 17 015 р.; б) 19 550 р.; в) 20 000 р. 2 очка 1^7] Первая машинистка, работая одна, перепечатывает рукопись объёмом 240 страниц за 7 дней, а вторая эту же рукопись перепечатывает за 5 дней. Рукопись разделили между ними таким образом, чтобы они закончили работу одновременно. Первая машинистка получила: а) 100 страниц; б) 140 страниц; в) 160 страниц. Число уменьшили в 1,6 раза. На сколько процентов уменьшили число? Ответы: а) 16%; б) 37,5%; в) 60%. 2 очка 3 очка [~9] Число увеличили на 30%, а затем то, что получилось, увеличили ещё на 30%. В результате первоначальное число увеличилось на: а) 60%; б) 69% в) 90%. 3 очка 199 8 Исторические страницы Общую теорию отношений создал выдающийся древнегреческий математик ЕвдОкс (V в. до н.э.). Она опиралась на разработанную им общую теорию величин, позволяющую с единой точки зрения рассматривать самые различные величины. Основные положения теории величин Евдокса следующие: 1. Равные одному и тому же равны между собой. 2. Если к равным прибавляются равные, то и суммы будут равны. 3. Если от равных отнимаются равные, то и разности будут равны. 4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой. 5. Целое больше части. При построении теории отношений добавляется ещё одно положение: 6. Величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут пре взой ти друг дру га. Теория отношений Евдокса намного опередила своё время глубиной понимания вопро са. Чёткая трактовка числа как отношения присутствует во «Всеобщей арифметике» Ньютона (1707 г.): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколь ко отв ле чён ное от но ше ние ка кой-ни будь ве ли чи ны к дру гой ве ли чи не, при-ня той на ми за еди ни цу». Задачи на пропорции люди решали с давних времён. Они встречаются ещё на кли но пис ных таб лич ках древ них ва ви ло нян. Первая энциклопедия математических знаний Древнего Китая «Математика в девяти книгах» (II в. до н.э.) содержит подробное изложение методов решения задач на пропорции и пропорциональное деление. Так, в книге 2 «Соотношение между раз лич ны ми ви да ми зер но вых куль тур» ре ша ют ся за да чи на про пор ции, в книге 3 «Деление по ступеням» - задачи на деление числа в данном отношении, пря мую и об рат ную про пор ци о наль ные за ви си мос ти, а в кни ге 6 «Про пор ци о наль-ное расп ре де ле ние» - бо лее слож ные за да чи на про пор ции. Понятие процента возникло из практики займа денежных средств за вознаграждение пропорционально занятой сумме. При возврате долга бралась определённая плата с каждой занятой сотни денежных единиц. Само слово «процент» в переводе с латыни значит «от сотни». Существовали специальные таблицы расчёта процентов при длительном сроке пользования займом. Первую из таких таблиц составил уже упоминавшийся первооткрыватель десятичных дробей в Европе голландец Стевин. 200 ■Люб) математ 1. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе с постоянными скоростями в одном направлении. В какой-то момент мотоциклист оказался в 100 м сзади велосипедиста и в 400 м сзади пешехода. Через 6 мин мотоциклист обогнал велосипедиста и ещё через 6 мин обогнал пешехода. Через какое время после этого велосипедист обгонит пешехода? 2. На столе лежали конфеты. Первый мальчик взял 10% всех конфет. Второй взял 10% того, что осталось, и ещё 10% того, что взял первый. Третий взял 10% того, что осталось, и ещё 10% того, что взяли первые двое. Четвёртый взял 10% того, что осталось, и ещё 10% того, что взяли первые трое. Так продолжалось до тех пор, пока конфеты не закончились. Сколько было мальчиков и кому из них досталось больше всего конфет? 3. - Я задумала такое число,- сказала Варя,-что если к нему прибавить сумму его цифр, то по лу чит ся 2 000. - А я задумал такое число,- сказал Вася,- что если из него вычесть сумму его цифр, то получится 2 000. - Этого не может быть,- возразила Варя. Какое чис ло за ду ма ла Варя и по че му она так от ве ти ла Васе? 4. Отец и сын катаются на коньках по круговой дорожке. Вре мя от вре ме ни отец об го ня ет сы на. Когда сын стал двигаться по кругу в противопо-лож ном нап рав ле нии, они ста ли встре чать ся в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает на коньках быстрее сына? 5. Имеется таблица 3x3 клетки. В клетках записаны все натуральные числа от 1 до 8 и ещё число х так, что сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце одна и та же. Найдите число х. 6. Три трёхз нач ных чис ла, в за пи си ко то рых ис-поль зо ва ны все циф ры, кро ме ну ля, да ют в сумме 1 665. В каждом числе поменяли местами первую и последнюю цифры и получили три новых трёхзначных числа. Чему равна сумма полученных чисел? 201 Ш1Э§[1 Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Выбор банка для оптимального вклада. ВАША РОЛЬ. Казначей фонда спортивной секции. ОПИСАНИЕ. Для спортивной секции строится новое здание, которое будет готово через год. Имеющиеся в фонде секции деньги нужно вложить на этот год в банк. В городе есть три банка: Бета-банк, Гамма-банк и Дельта-банк. Бета-банк выплачивает 6% каждые полгода, Гамма-банк - 4% каждые четыре месяца, а Дельта-банк - 3% каждые три месяца. ЗАДАНИЕ. Выберите банк, в который выгоднее вложить деньги сроком на 12 месяцев, и рассчитайте, на сколько процентов выгоднее по сравнению с другими дву мя банками. 202 © □ Проекты 1. Вы знаете, что десятичные дроби более удобны для выполнения большинства арифметических операций, чем обыкновенные. Как вы считаете, почему они были придуманы позже, чем обыкновенные? Проанализируйте разные точки зрения, найдя их в различных источниках информации. Сравните их, сопоставьте со своими раз мыш ле ни я ми на эту те му, под го товь те компь ю тер ную пре зен та цию. 2. Изучите условия потребительского кредитования на конкретную интересующую вас покупку (компьютер, телевизор и т.д.) в нескольких банках вашего города или региона и обоснованно выберите наиболее выгодный. При необходимости составьте таблицы, диаграммы, доклад, реферат. 203 Ответы 1.1. № 16. а) -; б) № 17. 6. № 21. а) -; б) —. № 22. ^20; ^25; ^°; № 23. 10. ' 6 3 V ^ 20 120 120 120 120 3 4 5 1.2. № 17. Наташин. № 18. —; —; —. № 19. а) первая дробь меньше 1, а вторая - 12 12 12 1 5 11 17 больше; б) первая дробь меньше ^ , а вторая - больше. № 26. ^; 24; 44 и др. № 27. Маша. 1 1 6 1.3. № 17. а) 5; б) 1 км; в) 1—ч. № 18. Второе и третье слагаемые больше ^. № 19.Ю; 7 11 10. № 28. а) 7 кг 300 г; б) 2 ч 28 мин; в) 3 ц 10 кг. № 29. а) первое меньше. № 30. ^. 2 2 1 1.4. № 18. а) 14; б) 7; в) 40 км/ч; г) 3 ч. № 19. 450. № 20. а) ^^; б) ^. № 26. а) 6; 15; 30; б) 6. № 27. —. № 28. Первое число больше. 18 7 2 7 1 1 1.5. № 7. —. № 8. а) —; б) —. № 9. 5— км/ч. № 10. а) 5 ч; б) 30 ч; в) 12 ч. № 11. ^ ч. 15 15 12 2 2 7 1 1 № 12. 20 ч. № 13. а) 33; б) 4 кг и ^ кг. № 14. 15. № 15. 1 ч 25 мин. № 16. 1 ч. 2.1. № 13. а) 4 м 5 дм; б) 7 м 8 дм; в) 3 дм. № 14. 0,12; 0,21; 1,02; 1,20; 2,01; 2,10; 10,2; 12,0; 20,1,21,0. № 18. С, D, M. № 20. а) 5,6 м; б) 7,54 м; в) 9,05 м; г) 11,67 ц; д) 12,06 ц; е) 3,05 р. 2.2. № 9. 288 мм2. № 10. Урожайность первого участка больше. № 11.0,0023 м; 5 040 м. № 13. а) 450; б) 30. № 14. 0,475 м; 1,221 м; 0,309 м. № 15. 0,036 м2; 4 500 м2. 1 1111 2.3. № 13. Указания: а) 0,5 = 4; б) 0,25 = 4; в) 7 < 5, а 5 = 0,2. № 18. а) 0; 1; б) 9; в) 8; 9. № 20. а) числа равны; б) получившееся число больше. 2.4. № 14. а) 55,4 дм; б) 11,7 км/ч; 3,3 км/ч; в) 20,5 км/ч. № 15. а) В(65,347); С(47,881); б) С(28,75) или С(5,85). № 16. 83,0; 0,38; сумма 83,38; разность 82,62. № 19. а) 3,1 кг; б) 36,4 кг; в) 7 013,40 р. № 20. Увеличится в 10 раз; уменьшится в 10 раз. 2.5. № 14. в). № 19. г) равны. № 20. а). 2.6. № 12. 12,5 м. № 14. 7,3 км. № 19. а) 0,8; 0,1; 0,03; б) 0,4; 0,2; 0,5. 2.7. № 14. С(12,465). № 15. a < b. № 19. а) 10,9 кг; 5,45 кг; б) 1,5 л; 0,75 л. № 20. 2a; a + b; 2b. 2.8. № 5. а) 48, если железная дорога - одноколейка, и 96, если двухколейка; б) 4,5 км/ч; в) 20; 1 500. № 7. а) 19 р. 30 к.; б) 4,8 м; в) в первом 52 кг, во втором 46,6 кг, в третьем 50,3 кг; г) 6,6 км. № 8. а) 86,4 км; 57,6 км; б) 5,5 км/ч; в) 9,6. № 9. а) 87,50 р.; б) 18 км/ч; в) 851,60 р. 2.9. № 12. а) нет; да; да; б) да; да; нет. № 13. а) 1 м; 7 дм; 71 см; 711 мм; б) 4 см; 44 мм; в) 2 м; 21 дм; 213 см; 2 134 мм; г) 1 км; 1 067 м. № 14. 3,14150; 3,14249. № 18. а) 1 м; 9 дм; 91 см; 914 мм; б) 3 дм; 30 см; 305 мм; в) 3 см; 25 мм. № 19. Прав. № 21. а) 3,14200; 3,14299; б) 3,14101; 3,14200. 2.10. № 11. Верно. № 12. Не обязательно. На одну. № 15. 5,4 ч. № 16. Да. № 17. 2 800 см2. № 18. 8,3. 204 , 1 2.11. № 9. а) 0,2; б) 0,2; в) 0,18; г) 0,2; д) 0,08; е) 0,06. № 10. а) 1- ч; б) 2,75 ч; 12 1 6 в) т ч; г) 1— ч. № 12. а) 0,5 ч; б) — ч; в) 0,1 ч; г) 0,25 ч. № 13. б). 3 3 60 3.1. № 8. 50°; 50°; 130°; 130°. № 13. Нет. № 14. а) нет; б) нет; в) да. № 16. б) 360°. № 17. а) 360°; б) 360°. № 19. 40° и 140°. № 20. 30° и 150°. № 23. Либо равны, либо дают в сумме 180°. 3.2. № 12. Либо равны, либо дают в сумме 180°. № 17. 6 см; 2 см. 3.3. № 7. 9 м; 3 м. № 8. 4 м; 2 м. № 9. Да. № 10. Нет. № 11. 48 см2. № 15. Да. № 17. 40 м2. № 18. Да. № 19. Нет. № 20. 280 мм2. № 23. Да. № 24. С проведением высоты ВМ нет. 3.4. № 5. Ж, И, Н, О, Ф, Х. № 6. Да. (Например, прямая). № 7. Да. № 8. а) точка С; б) отрезок CD; в) отрезок DF; г) ACDO; д) AEOB; е) четырёхугольник CDFE; ж) четырёхугольник BOEA. № 12. Да. № 13. Нет. № 14. На левом чертеже это прямая, проходящая через центры прямоугольника и круга, на правом - через центры параллелограмма и квадрата. № 15. Нет. № 16. H, I, N, O, S, X, Z. № 17. Да. (Например, любые два равных отрезка, лежащие на одной прямой.) № 18. Нет. (Но если добавить в условие «не лежащие на одной прямой», то да.) № 19. Да. № 20. Да. № 21. Нет. № 23. Прямая, проходящая через центр симметрии фигуры (у каждой из фигур он есть). № 24. Да. 4.1. № 14. а) на каждые три решённые задачи приходится четыре нерешённые; б) каждый пятый бросок по воротам приводил к пропущенной шайбе. № 15. а) 4,5 км/ч; б) 0,075 км/мин; в) 4 500 м/ч; г) 75 м/мин; д) 1,25 м/с. № 16. Вторую единицу, измеренную с помощью первой. № 18. Время, затрачиваемое на преодоление единицы расстояния. Измеряется в часах на километр, секундах на метр и т.д. — можно писать по аналогии со скоростью ч/км, с/м. № 22. а) — ; б) 3 : 5; в) 0,6. № 23. а) 56 км 250 м; б) 50 км; 51 в) 62,5 км; г) 168 км 750 м. № 24. а) 1,5 ч; б) 3 ч; в) 0,1 ч; г) 0,6 ч. № 25. 1 ч 20 мин. 4.2. № 5. а) 40; 80; б) 40; 80; в) 45; 75. № 6. а) 28; 20; б) 3,5; 2,5. № 7. а) 10; 20; 30; 40; 50; б) 17; 34; 51; 68; 85. № 8. а) 2; 7; б) 4; 14. № 9. а) 3 : 2; б) 2 : 5. № 10. а) 5 : 4 am an ... 9; б) — . № 11. --; -----. № 12. 10 м2; 30 м2; 35 м2. № 13. а) и д); б) и в); г) и 9 m + n m + n е). № 14. а) 27 м2; б) 9,72 м2. № 15. а) 12; б) 6; в) 24; г) на 12. № 17. 44. № 18. am an ak m + n + k'm + n + ^ m + n + k' 31 4.3. № 7. а) х = 2; б) х = 84; в) х = 2,42; г) х = 0,972. № 8. а) х = 3у; б) х = 22^; в) х = 2,625; г) х = 0,5. № 10. а) 2; 8; 128; б) 2; 18; 162. Если числа в начальной тройке различны, то можно подобрать три числа. № 12. а) да; б) нет; в) нет. № 13. 2 а) х = 3; б) х = 20; в) х = 5; г) х = 0,6. № 14. а) х = 6; б) х = 3 ; в) х = 12; г) х = 1,5; д) х = 12; е) х = 0,8; ж) х = 10; з) х = 2. № 15. а) 12; б) ни при каком; в) 16; г) при любом, отличном от нуля. 205 4.4. № 8. а) 30; б) 40 мин. № 10. а) 1 080 р.; 1 620 р.; б) 2 ч; 3 ч. № 12. Например, длина стороны треугольника и его периметр, при условии, что две другие стороны постоянны. № 13. а) 4; б) 110,25; в) 10 т; г) 3. № 14. 14 км/ч; 4 км/ч. № 15. 120. 4.5. № 6. а) 750 км; б) Маше 24 звезды, Кате - 36; в) 3 см. № 8. 30; 20; 12. № 9. а) 54; 36; б) старшему 625 р., младшему - 375 р.; в) 4. № 10. а) 16; б) 1,5. № 11. а) в 9 раз; б) 4 : 3. 4.6. № 9. Первая. № 11. а) верны; б) 5; 50; в) 47 км. № 12. а) 1 : 500 000; б) 25,5 км. № 13. 470 км. № 14. а) уменьшен в 10 раз; б) увеличен в 10 раз; в) увеличен в 2 раза; г) уменьшен в 100 раз. № 15. 1 : 5. № 16. 5 : 1. № 17. а) 1 : 5; б) 2 : 1. № 18. а) меньше в 2 раза; б) 1 : 5; 1 : 20. № 19. а) 10 см; б) 60 см; в) 3 см. № 20. 5 м; 3 м. № 21. а) 1 : 200; б) 84 м2; в) 12 м2. № 23. а) 70 м2; б) 12 см2; в) 1 : 200. 1 4.7. № 8. 1 и 6; 2 и 3; 5 и 8. № 9. а) 2 см; 4 см; 5 см; б) 10 см; 20 см; 25 см; в) да; — . 3 5 5 № 10. а) да; б) — . № 11. 16 см, или 6,25 см. № 12. б) нет. № 13. — . № 14. а) увели- 5 7 8 чится в 2,25 раза; б) уменьшится в 2^ раза. № 15. а) увеличится в 8 раз; б) уменьшится в 8 раз. № 16. В 25 раз. 5.1. № 11. а) все; б) 75%; в) нет; г) 35%. № 12. а) 50%; б) 40%. № 13. а) 25%; 37,5%; 50%; 125%; 256,25%; б) 4#; 10#; 5#; 1,6#; 1,68#. № 14. а) 60%; б) четверть; 1 2 1 в) 40%. № 15. а) 15%; б) 56%. № 16. а) —, или 12,5%; б) —, или 20%; в) —, или 20%. 1228 10 5 № 17. а) 33^%; б) 16-%; в) 66-%. № 18. 3,2#; 5,76#; 5,2#; 11,2#; 1#. 3 3 3 5.2. № 6. а) 72; 108; 60; б) 244; в) 7 кг; 2 ц. № 7. а) в 2 раза; в 1,3 раза; в 2,5 раза; б) в 1,25 раза; в 2 раза; в 10 раз. № 8. 100 кг. № 9. а) верно; б) верно; в) неверно; n ~8 3 унции - это 25%. № 10. 6,25%. № 11. а) 42; б) 112; в) умножить это число на № 12. а) 6 720 р.; б) 2 125 р.; в) 200; г) 575 р. № 13. Для младшей 40 м2; для средней 96 м2; для старшей 64 м2. № 14. 12,5%. 5.3. № 5. а) 30%; б) 20%; в) на «5» - 12%; на «4» - 44%; на «3» - 42%; на «2» - 2%. № 6. а) 93%; б) 41%; в) 58%; г) 14%; д) 4%. № 7. а) 0,33, или 33%; б) 0,17, или 17%; в) 0,07, или 7%; г) 0,09, или 9%; д) 0,04, или 4%; е) 0,11, или 11%. № 8. в); б). № 9. 23 328 р. № 10. а) 0,6#; 30,5#; б) на 0,04#; в) разделить первое число на второе и затем умножить на 8. № 11. а) на 30%; б) 12 750 р.; в) 40%. № 12. а) 15%; б) картофеля 60 кг; капусты 50 кг; моркови 40 кг; свёклы 30 кг; лука 20 кг. № 13. а) 3 , или 60%; б) - , или 40%.№ 14. - 57%; - 43%. 5 5 a (100 + Ъ) 5.4. № 8. а) 2 600; б) 3 000; в) на 20; г) на 20. № 9. 123 480 р. № 10. а) --; б) a (100—Ъ) . № 11. Увеличилась на 25%. № 12. На 20. № 13. Уменьшилось на 4,4%. 100 № 16. а) 70%; б) 80%; в) на 4%; г) 4 750 р.; д) 1 710 р. № 17. Уменьшилось на 4%. № 18. 50%. № 20. Одинаковые. № 21. На 8%. № 22. На 75%. № 23. На 40%. № 24. На 10,4%. 206 Содержание Как работать с учебником ......................................................3 РАЗДЕЛ I. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ Входной тест..................................................................8 Путеводитель по первому разделу ...............................................10 Глава I. Повторение. Обыкновенные дроби 1.1. Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю ........................................12 1.2. Преобразование и сравнение дробей ......................................16 1.3. Сложение и вычитание дробей ............................................21 1.4. Умножение и деление дробей..............................................28 1.5. Решение задач ..........................................................34 Глава II. Десятичные дроби 2.1. Понятие десятичной дроби. Запись и чтение десятичных дробей ............38 2.2. Десятичные дроби и метрическая система мер .............................44 2.3. Сравнение десятичных дробей ............................................48 2.4. Сложение и вычитание десятичных дробей .................................53 2.5. Деление и умножение десятичной дроби на 10, 100, 1 000,.............58 2.6. Умножение десятичной дроби на натуральное число. Умножение десятичных дробей ..63 2.7. Деление десятичной дроби на натуральное число. Деление десятичных дробей .68 2.8. Вычисления с десятичными дробями .......................................75 2.9. Приближение десятичных дробей ..........................................78 2.10. Приближённые вычисления с десятичными дробями............................83 2.11. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные .......................88 Глава III. Элементы геометрии 3.1. Смежные и вертикальные углы.............................................93 3.2. Параллельные прямые ....................................................99 3.3. Параллелограмм ........................................................105 3.4. Центральная симметрия ................................................ 111 Итоговый тест ..............................................................117 Исторические страницы .................................................118 Любителям математики ..................................................119 Жизненная задача ......................................................120 РАЗДЕЛ II. ПРОПОРЦИИ И ПРОЦЕНТЫ Входной тест .............................................................. 121 Путеводитель по второму разделу ............................................122 Глава IV. Пропорции 4.1. Отношения чисел и величин .............................................124 4.2. Деление числа в данном отношении ......................................132 207 4.3. Пропорции ............................................................ 136 4.4. Прямая и обратная пропорциональные зависимости ....................... 143 4.5. Решение задач на пропорции ........................................... 155 4.6. Масштаб ...............................................................163 4.7. Пропорциональность в геометрии. Подобные фигуры ...................... 171 Глава V. Проценты 5.1. Понятие о процентах................................................... 177 5.2. Нахождение процентов от числа и числа по известному количеству процентов от него_183 5.3. Процентное отношение двух чисел ...................................... 188 5.4. Увеличение и уменьшение числа на данное количество процентов .................... 192 Итоговый тест ..............................................................199 Исторические страницы .................................................200 Любителям математики ..................................................201 Жизненная задача ......................................................202 Проекты................................................................203 Ответы .....................................................................204 Козлова Светлана Александровна, Рубин Александр Г ригорьевич МАТЕМАТИКА 6 класс В 2 частях. Часть 1 Концепция оформления и художественное редактирование - Е.Д. Ковалевская Подписано в печать 17.05.15. Формат 84х108/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Журнальная. Объём 13 п.л. Тираж 4 000 экз. Заказ № Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 - литература учебная Издательство «Баласс». 109147 Москва, Марксистская ул., д. 5, стр. 1 Почтовый адрес: 111123 Москва, а/я 2, «Баласс» Телефоны для справок: (495) 368-70-54, 672-23-34, 672-23-12 https://www.school2100.ru E-mail: [email protected] Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство “Высшая школа”» 214020 Смоленск, ул. Смольянинова, 1