Математика 6 класс Учебник Дорофеев Петерсон часть 2

tvs mI®№ ЦОСТ i о 'V гг •V' 3' vXkX -wi' (>*■-- 1. 'K. V"- i-j" •» jt!y'^ Ш 1. ^ Л •IV: V^l УДК 373 ББК 22.1я721 Д69 Лссоциация «Школа 2000...* Центр систсмно-дсятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и ППРО РФ шша21 U»FAiO«AI t ЛкИАЯ АССОЦИАЦИЯ Программа математического развития 0—6 «УЧУСЬ УЧИТЬСЯ» Научный РУ наводит ел ь доктор педагогических наук Л. Г. Петерсон umillS ЮВННТА Допущено Министерством образования и науки РФ Дорофеев 1'. В., Петерсон Л. Г. Д R9 Математика. 6 класс. Часть 2. — Иад. 2-е, персраб. / Г. В. Дорофеев, ,Л. Г. Петерсон. М.; Издательство «Ювента», 2010. — 128 с.; ил. I.4BN 978 5-Й.5129-2191 (1-й завод) Учебник ориенти(ижан на развитие мыш.зеныя и творческих способностей учащихся, форми-ропание у иих систе.мы п)ючных математических знаний, общру'’1ебных умений, готовности к саморазвитию. Является составной частью иенрерывного курса математики «Учусь учиться* для дошкол!.-IIUKOU, иачилыюй и средней школы, который соответствует новым обра.'юяатсльиы.м стандарта.м второго поколения (2009). Реализует образовательную систему деятельностного метода обучения «Школа 2000...* (Премия Президента РФ в области образования за 2002 год). Открытый УМК «Школа 2000...» включает в себя непрерывный курс математики «У'гусьучипля» и любые учебники Федеральных перечней ио другим у'чебным предметам иа основе деятельностного метода обучения. Может использоваться во всех типах шко;|. 1’екомендустся использование учебного пособия «Построй свою математику», б класс (эталоны -11()авила, (|)<)[)мулы, алгоритмы, способы действий \'чащихся по всем темам дшшоги учебника). УДК 373:51 ВБК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляет Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000...» АПК и НПРО РФ 125212 Москва, Головинское шоссе, д.8, корп.2 Те.т./фако: (195) 797-89-77. 452-22-.3,3 E-mail: [email protected] Интернет: m'ww.sch2000.ru ISBN 978-5-85429-219 1 (4 й завод) Издательство «Ювента», Л. Г. Петерсов, 2010, с из.чсисниями 'Ь' ООО «(;-инфо», г. R. До|ю«||1-с11, Л. I’. Петерсон. 1998 Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон МАТЕМАТИКА Учебник для 6 класса Часть 2 ЮВЕНТА 2010 Оглавление Глава 2. Арифметика § 3. Отношения. 1. Понятие отношения ......................................... 3 2. Масштаб .................................................. 10 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции............. 16 4. Свойства и преобразование пропорций........................ 24 § 4. Пропорциональные величины. 1. Зависимости между величинами ............................. 32 2. Прямая и обратная пропорциональности.......................40 3. Графики прямой и обратной пропорциональности...............44 4. Решение задач с помощью пропорций.......................... 50 5. Пропорциональное деление.................................. 58 Глава 3. Рациональные числа § 1. Понятие рационального числа. 1. Положительные и отрицательные числа........................69 2. Противоположные числа и модуль............................ 78 3. Сравнение рациональных чисел ..............................87 § 2. Арифметика рациона.тьных чисел. 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма..........94 2. Вычитание рациональных чисел............................. 105 3. Умножение рациональных чисел............................. 112 4. Деление рациональных чисел............................... 117 5. Какие числа мы знаем, и что мы о них знаем или не знаем....121 6*. О системах счисления ................................... 124 Ответы.......................................................128 в книге используются условные обозначения: О - задачи по новой теме для работы в классе, - задачи для домашней работы. повторение ранее пройденного, - задачи на смекалку. Глава 2 Арифметика § 3. Отношения 1. Понятие отношения. Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать разные значения одной и той же величины- массы, расстояния, времени, скорости, стоимости, объема, площади и т. д. Существуют два способа сравнения величин. Первый состоит в нахождении их разности и отвечает на вопрос “На сколько больше (меньше)?”. Второй состоит в нахождении частного и отвечает на вопрос “Во сколько раз больше (меньше)?”. Например, гиря массой 6 кг тяжелее гири массой 2 кг на 4 кг (6 кг - 2 кг = 4 кг), или в 3 раза (6 кг : 2 кг = 3). Эти два вида сравнения имеют специальные названия - разностное сравнение и кратное сравнение. Они часто встречаются в практической жизни и служат для разных целей. Разностное сравнение указывает разность, то есть на сколько величины отличаются друг от друга, а кратное - дает качественную, или относительную оценку этого отличия. Пусть, например, зарплата человека увеличилась на 1000 р. - много это или мало? Очевидно, что если раньше его зарплата была 4000 р., то новая зарплата стала в 5000 : 4000 = 1,25 раза, или на четверть, выше и прибавка является существенной. Если же старая зарплата составляла 20 000 р., то она повысилась всего лишь в 21 000 : 20 000 = 1,05 раза, то есть изменилась не так значительно. Таким образом, ответ на поставленный вопрос зависит не от самой величины прибавки, а от того, во сколько раз новая зарплата стала выше старой. Для ре.зультата кратного сравнения двух чисел или двух величин в математике часто используют термин отношение. Отношением двух чисел называют их частное. Как известно, при переводе с русского языка на математический и обратно используются два типа обозначения частного. Поэтому фразу “Отношение а к 6 равно 7” можно перевести как “а : & = 7”, или “ т ~ 7”. о Отношение двух чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго. Напри- О мер, отношение числа 8 к числу 3 равно — и показывает, что 8 больше, чем 3, 3 1* Глава 2, §3, п.1 2 о в 2— раза. А отношение числа 3 к числу 8 равно ^ и выражает часть, которую «5 О Q Q 3 составляет от 8. Заметим, что отношения 8 к 3 и 3 к 8, как и дроби — и — , 3 8 называют взаимно обратными. Для отношения двух чисел, как и для любого частного двух чисел, справедливы все свойства деления. В частности, отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. На основании этого свойства отношения чисел можно упрощать. Например, отношение чисел 25 и 20 можно заменить отношением 5 к 4, а отношение чисел 1,4 и 2- отношением 3 к 5: 25 20 25 : 5 20:5 5 4 ’ 1,4 1,4-10-3 2 — 3 10-3 Кроме того, для отношений справедливо “перекрестное” правило: 2 — 3 Z' Х-3 1 5 3 5 <=> ad = Ьс {Ьф0,йф0) о d В словесной форме: а относится к Ь как с относится к d в том и только в том случае, когда ad = bc {ЬфО, d^ 0). Итак, мы видим, что с точки зрения математики в понятии отношения нет ничего нового: отношение чисел - это их частное. Возникает естественный вопрос: зачем же использовать два названия для одного и того же понятия? Однако точнее спросить: “Почему в математике длительное время употребляются оба эти названия?” Все дело в том, что математика как наука возникла прежде всего для решения практических задач. А в реальной практике при сравнении величин употребляется обычное слово отношение, а вовсе не математический тер.мин “частное”. Вместе с тем средством для нахождения отношений является именно вычисление частного. Чтобы найти отношение одноименных величин (длин, масс и т. д.), необходимо выразить их в одной и той же единице измерения - в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя. Например, чтобы найти отношение 50 см к 1 м, надо сначала выразить обе эти величины либо в метрах, либо в сантиметрах и только после этого находить частное. Так как 50 см = 0,5 м, а 100 см = 1 м, то 0,5 : 1 = —, или 50 : 100 = . 2 2 Если этого не сделать, то получится, что 50 см больше 1 м в 50 : 1 = 50 раз. Глава 2, §3, п.1 Отношение иногда бывает удобно выражать в процентах. Как мы уже знаем, для этого достаточно умножить полученное частное на сто. Так, об увелргчении зарплаты в 1,5 раза можно иначе сказать, что новая зарплата составила 150% старой, а об увеличении ее в 1,05 раза - что новая зарплата составила 105% старой. Значит, в первом случае зарплата повысилась на 50%, а во втором - всего лишь на 5%. Процентное отношение широко используется для сравнения на практике, поскольку проценты соответствуют дробям с одним и тем же знаменателем 100, а дроби с одним знаменателем сравнивать гораздо проще. Итак, если а и 5 - два числа, причем Ь ф0,то 1) Отношение а : Ь - это частное от деления а на Ь. 2) Если а>Ъ, то отношение а : Ь показывает, во сколько раз а больше Ь. 3) Если а^Ь, то отношение а: Ь показывает, какую часть а составляет от Ь. 4) Процентное отношение а к Ь - это отношение а : Ь, выраженное в процентах', оно равно I ^ • lOOj %. Процентное отношение показывает, сколько процентов число а составляет от числа Ь. Как мы видели, отношение одноименных величин есть число. А вот отношение величин разных наименований образует новую величину. Так, скорость V - это отношение пройденного расстояния s ко времени движения t', цена а - отношение стоимости товара С к количеству товара п; производительность W - отношение объема выполненной работы А ко времени работы t; плотность вещества р - отношение массы этого вещества т к его объему И: S С А ^ т а--. W-J, Р-- и т. д. Каждая из этих новых величин представляет собой значение величины, стоящей в числителе дроби, приходящейся на единицу величины, стоящей в знаменателе. Скорость - это путь, пройденный за единицу времени, цена - это стоимость единицы товара, производительность - работа, выполненная за единицу времени, плотность - масса вещества в единице объема. Не случайно поэтому единицами измерения этих новых величин являются дроби: для скорости - км/ч, м./с, см/с; для цены - р./кг, р./билет; для производительности - шт./мин, деталей/ч; для плотности - кг/дм?, г/см? и т.д. В обычной речи для производительности и цены такие обозначения не употребляют, а выражают их словами: “8 страниц в час”, “5 рз^лей за килограмм”. Глава 2, §3, п.1 О а а Много или мало составляют: а) 5 уроков математики в день и в месяц; б) увеличение в весе в 1 г для муравья и для слона? Придумай свои примеры, когда одно и то же значение величины дает разную качественную оценку некоторой ситуации. Кобра живет около 15 лет, а крокодил - около 90 лет. Как можно сравнить продолжительность их жизни? Рассмотри все возможные варианты. Прочитай и упрости отношения. Какое свойство отношений при этом используется? Какими еще свойствами обладают отношения? а) 15:30; 48 б) 112’ в) 2,5 : 3; г)4:|: д) 0,34. 1.7 ’ е)з|:4|; V Ibahc . п L _L г. ж) , где а о, 6 0; з) (4х^) : (20ху), где х т!: 0, у 0. На клумбе 6 белых и 12 красных роз. Что показывают отношения: 6:12; 12:6; 6:18; 18:12? Какие еще отношения можно составить к данному условию задачи? I^J По данному условию составь какие-нибудь отношения и объясни их смысл. Упрости, если возможно, полученные отношения. а) В классе 10 мальчиков и 15 девочек. б) В тетради 12 листов, из них 4 исписано. в) Биатлонист сделал 5 выстрелов и 2 раза промахнулся. г) Из 200 участников викторины 50 стали победителями. а Найди процентное отношение чисел: а) 4 : 5; г) 77 : 28; Л5 Д)1.6:5|; т «л 9 е)^-’ 70 ’ ж) —, гдеа^ 0; 4а з) (8,4Ь): где Ь^О. Имеет ли значение порядок членов отношения? Почему? Вырази в процентах данное и обратное отношение чисел: г) 0,75. а) 1:3; 6)12:15; в) 7,2 : 36; 8 I Вырази данные отношения величин в процентах: а) 8 дм к 3,2 м; в)12цк4т; д) 6 мин к 1ч; б) 0,3 км к 500 м; г) 0,034 ц к 20 кг; е) 2 ч 20 мин к 40 мин. Глава 2, §3, п.1 [Ш Q2] ОН 1) Для определения процента всхожести семян посадили 300 семян. Из них проросло 273. Сколько процентов посаженных семян проросло? 2) Отношение каких величин характеризует всхожесть семян? 1) Отношение каких величин характеризует концентрацию раствора? 2) В 5,6 л воды растворили 140 г соли. Чему равна концентрация соли в полученном растворе? (Масса 1 л воды равна 1 кг.) 3) Смешали три раствора соли одинаковой массы. Концентрация первш’О раствора равна 18%, концентрация второго - 7%. Чему равна концентрация третьего раствора, если концентрация полученной смеси составляет 10% ? Найди отношение величин и назови, значение какой новой величины при этом образуется: а) 4 м к 2 мин; в) 280 р. к 7 м; д) 6 деталей к 3 мин; б) 25 км к 4 ч; г) 120 р. к 5 кг; е) 50 страниц к 2 ч. Начерти отрезок АВ и отметь на нем точку С так, чтобы выполнялось условие: 1. 1) = 1-^ ВС ’ 4) ^ = 2. ^ ВС И ' ВС вс 1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3. 2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно 5 : 3. 3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы. 4) Начерти угол, равный 60", и раздели его на 2 части, отношение которых равно 1:2. 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего. 2) Синус, косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X, cos X н tg X. Запиши отношения длин сторон треугольника АЛС, выражающие значения синусов, косинусов и тангенсов углов А и В. Образец: sin А = ВС АВ' tgB-^ АС ВС В Глава 2, §3, п.1 ------------------------------- ОБ 1) Измерь стороны треугольника АВС и вычисли синус, косинус и тангенс угла А. 2) Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса угла А. 3) Найди отношение синуса угла А к косинусу угла А и сравни его с тангенсом угла А. 4) Выполни три предыдущих задания для угла В треугольника АВС. Что ты замечаешь? 5) Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного треугольника. Сформулируй гипотезу. Попробуй доказать ее в общем виде, используя теорему Пифагора (см. № 18). О Щ 1) Увеличь 2,75 на -i. 2 2) Уменьши 4— в 3,1 раза. 15 3) Уменьши 9-^ на 4,37. 4) Увеличь 5,4 в 1^ раза. Щ] Запиши высказывания на математическом языке: 4) Число k составляет 80% числа t. 5) Число X на 28% больше числа у. 6) Число р на 40% меньше числа s. 1) Число а в 7 раз меньше числа Ь. 2) Число с на 3 больше числа d. ш 3) Число т составляет — числа п. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и 5, а гипотенуза - с. На сторонах этого треугольника построены квадраты. Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе: а а а Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке. ОБ Реши уравнения, используя правило “весов”: а) 0,9а + 4,96 = 3,6 + 1,4а; 6)4^6 + 5 = 66-10,4; в) 0,4(2х + 0,3) = |(6х-7,2); г) 5(1/-3,8) = 4,7(1/-4). 8 Глава 2, §3, п.1 Построй математическую модель задачи и найди ответ: 1) В первом вагоне трамвая ехало в 1,5 раза больше пассажиров, чем во втором. После того как из первого вагона вышли 5 пассажиров, а во второй вошли 3 пассажира, в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров ехгьло в каждом вагоне первоначально? 2) В бидоне было в 2 раза больше молока, чем в банке. После того как из банки отлили 2 л, а из бидона — 3 л, в банке осталось молока в 4,5 раз меньше, чем в бидоне. Сколько литров молока было в бидоне и в банке вместе? Найди процентное отношение чисел и величин: а) 0,56 : 0,7; 1±. ®^22 • ^11’ в) 3,6 : 2|; г) 8|:25; д) 2,8 см к 4 дм; е) 3 ч к 1 сут.; ж) 5 ц к 400 кг; з) 180 м к 3 км. Смешали три раствора соли с концентрацией соответственно 10%, 15% и 30%. Масса первого раствора равна 180 г, масса второго раствора в 2 раза больше массы первого, а масса третьего раствора на 100 г больше массы второго. Чему равна концентрация полученной смеси? Пользуясь определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника, приведенным на стр. 7, найди тангенс угла А в треугольниках АВС, ABjC,, ABjjCg, ABgCg, выполнив необходимые измерения. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна 24 75 Реши уравнения, используя правило “весов”: а) 12л: - 39 = 8л: + 5; б) 6(t/ - 1,4) — 3,оу -f- 1,6. Построй математическую модель задачи и найди ответ: На первой полке на 18 книг меньше, чем на второй. После того как число книг на первой полке удвоили, оно составило 80% от числа книг па второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально? 9 Глава 2, §3, п.2 Ш Вычисли процентное отношение чисел Аи В п определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А? (7| -2,125)-2| -39,48 : 5,6 В (3,4 • 0,9 - 2,7): 0,06 • 2| - 30,9 • 0,5 О [б,1 • 3,05 - 2,05 • (4I + 4,4б)] • 22,5 e(li+0.5-.2i):2i.0.m [^2TJ Старинная задача. Некто имеет 6 сыновей, один другого старше 4 годами, а самый старший сын втрое старше младшего. Чему равен возраст младшего сына? 2. Масштаб изображения. В предыдущем пункте мы рассмотрели задачи, приводящие к понятию отношения. Теперь мы познакомимся еще с одним распространенным примером отношения одноименных величин, имеющим специальное название - масштаб. В практической жизни человек часто пользуется не столько самими предметами, сколько их изображениями - чертежами, фотографиями, географическими картами. На этих изображениях все расстояния оказываются в уменьшенном или в увеличенном виде. Рассмотрим самый важный для практики случай, когда длины всех отрезков уменьшаются или увеличиваются в одно и то же число раз, в одном и том же отношении. Это число и называется масштабом изобра-лсения. Определение: Отношение длины отрезка на изображении к его реальной длине (в одних и тех же единицах измерения) называется масштабом изображения. Согласно этому определению, масштаб изображения - это число. На географической карте оно всегда меньше единицы -1:2,1: 10, 1 : 100 и т. д., - ведь ясно, что расстояние, например, от Москвы до Киева на карте значительно короче настоящего расстояния между этими городами. В технических же чертежах масштаб нередко оказывается большим 1 - если требуется изобразить детали маленького размера, например, детали наручных часов. В этом случае все размеры на чертеже, наоборот, увеличиваются в одно и то же число раз, так что масштаб получается с увеличением - 2 : 1, 10 : 1, 100 : 1 и т. д. Точно так же, рисуя, например, клетку растения, используют масштаб, болыпий 1. 10 Глава 2, §3, п.2 Масштаб карты можно записать в виде дроби с числителем 1 или в виде частного с делимым 1. Например, ^ или 1:1 000 000 (в современных картах обычно используют обозначение в виде частного). Это означает, что расстоянию в 1 см на карте соответствует расстояние на местности в 1 000 000 см = 10 км. Масштаб может задаваться также дробью с числителем, не равным 1, напри- 3 мер, дробью (или, соответственно, частным с делимым, не равным 1). 50000 Смысл масштаба при этом, конечно, не меняется: он означает, что отрезок в 3 см изображает расстояние в 50000 см, то есть в 500 м. Знание масштаба географической карты позволяет, проводя измерения на карте, узнавать расстояния на местности с помощью вычислений. Если, скажем, масштаб карты равен 1 : 1 000 000, то расстоянию на карте, равному 7.2 см, соответствует расстояние на местности в 1 000 000 раз большее, то есть 7.2 см-1 000 000 = 7 200 000 см = 72 км. Аналогично, если масштаб задан дробью с числителем 1, то для вычисления реального расстояния на местности длину соответствующего отрезка на карте достаточно умножить на знаменатель дроби. Задача 1. На карте с масштабом ^ расстояние между деревней и 1о0 000 станцией равно 2,8 см. Найти расстояние между ними на местности. Решение: 1 Масштаб означает, что расстояние на местности в 150 000 раз 150000 больше, чем на карте. Следовательно, искомое расстояние равно 2,8 • 150 000 = 420 000 (см). Так как 1 км = 100 000 см, то 420 000 см = 4,2 км. Ответ: расстояние от деревни до станции на местности равно 4,2 км. Обратная задача - нахождение расстояния на карте по расстоянию на местности - решается, естественно, обратным действием - делетием. Задача 2. Расстояние между двумя городами равно 560 км. Найти длину отрезка, соединяюш,его эти города на карте, выполненной в масштабе 1 : 4 000 000. Решение: Поскольку расстояние на карте в 4 000 000 раз меньше, чем на местности, то 560 км надо уменьшить в 4 000 000 раз. Для простоты вычислений вначале выразим это расстояние в сантиметрах, а затем выполним деление: 560 км = 56 000 000 см, 56 000 000 : 4 000 000 = 14 (см). Ответ: расстояние между городами на карте 14 см. 11 Глава 2, §3, п.2 о Ш НО _32 "зз 28 I 1) Что называют масштабом? Чему равен масштаб чертежа, если на нем детали увеличены в 5 раз, уменьшены в 100 раз? 2) Что означают выражения: а) масштаб плана местности равен 1 : 400; 6) масштаб карты равен 1 : 500 000; в) масштаб чертежа равен 3:1? Определи масштаб карты, если: 1) 1 см на карте соответствует 100 км на местности; 2) 3 см на карте соответствует 1 км 200 м на местности; 3) 50 км на местности соответствует 2 дм на карте. Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобрази шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб. Масштаб карты равен 1 : 1 000 000. Известно, что расстояние между двумя точками на этой карте равно; 1) 1 см; 2) 0,6 см; 3) 1, 8 дм; 4) 35 мм. Вычисли соответствующие расстояния на местности. Длина крыла насекомого, нарисованного в масштабе 20:1, равна 4 см. Чему равна его длина в действительности? Практическая работа. По карте определи приближенные расстояния между Москвой и городами: 1) Санкт-Петербург; 2) Казань; 3) Ижевск; 4) Киев; 5) Прага; 6) Берлин; 7) Париж; 8) Лондон. План земельного участка выполнен в масштабе 1 : 4000. Сделай необходимые измерения и вычисли его периметр и площадь. На рисунке изображен план квартиры в масштабе 1 : 200. Определи по плану, какие размеры имеют гостиная, спальня, кухня, прихожая, кладовая и ванная комната. Вычисли площадь этих помещений и общую площадь квартиры. [ 36 I Длина Москвы-реки примерно 470 км. Чему равна ее длина на карте, таб которой 1 : 5 000 000? масш- 12 Глава 2, §3, п.2 1Ж Размеры дачного участка прямоугольной формы 40 м х 30 м. Начерти план этого участка в масштабе 1 : 500. Изобрази на этом плане дом, размеры которого 10 м X 10 м, расположенный в центре участка. На одной из больших сторон прямоугольника посередине отметь ворота шириной 4 м. Практическая работа. Начерти план кабинета математики в масштабе 1 : 100. Размеры комнаты равны 4,2 м х 6 м. На плане комнаты ее длина изображена отрезком, равным 4 см. Чему равна длина отрезка, изображающего на этом плане ширину комнаты? На карте, масштаб которой 1 : 100 000, расстояние между двумя городами равно 12 см. Каким будет это расстояние на карте, масштаб которой 1:300 000? 41 I Найди число, которое в указанном ряду чисел нарушает закономерность: 1) 10; 2; 0,4; 0,08; 0,16; 0,032; 3) 3; 0,5; 6; 0,8; 12; 1,1; 18; 1,4; 2)|;1;1|;21;4;б|;10;1б|; 8 10 11 12 ’ 8 ’ 13’ 19’ 26’ 32’ 41’ 51’ 62' Имеется набор шестеренок в 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95,100, 105, 110, 115, 120 зубцов. Подбери такие пары шестеренок, чтобы отношение чисел их зубцов было равно: 2 1)5; 6) 7)^- 'в' 8)|. 4 Комиссионные магазины, продав вещь, берут с ее владельца комиссионный сбор, который составляет определенный процент от стоимости вещи. В одном магазине за вещь стоимостью 4000 р. взяли комиссионный сбор 240 р., а в другом за вещь стоимостью 18 000 р. взяли комиссионный сбор 900 р. В каком из этих магазинов комиссионный сбор больше? Крутизна участка дороги выражается отношением высоты подъема дороги h к горизонтальной протяженности этого участка а (см. рисунок): а а) Какова высота спуска, если на дорожном знаке, предупреждающем о спуске, указано 20%, а его горизонтальная протяженность равна 400 м? б) Чему равна крутизна участка дороги, если горизонтальная протяженность составляет 1,2 км, а высота спуска 30 м? 13 Глава 2, §3, п.2 ш Найди ложные высказывания и построй их отрицания: 1) Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой кратен 10, можно записать в виде конечной десятичной дроби. 2) Число, произведение цифр которого кратно 9, делится на 9. 3) Существуют числа, кратные трем, сумма которых не делится на 3. 4) Есть такие нечетные числа, произведение которых - число четное. Представь выражение в виде дроби, если а, Ь, с, d, k ^ 0: 1)^ + ^-’ 2а а2’ 2)1-^: d'^ 3) 3(i: ^ ; 4с 4) п 5*2 10А. ш о Блицтурнир. Составь и, если возможно, упрости выражение: 1) После увеличения цены альбома на 25% он стал стоить а р. Сколько стоил альбом первоначально? 2) В книге Ь страниц. В первый день Саша прочитал 20% книги, а во второй -половину остатка. Сколько страниц прочитал Саша за эти два дня? 3) Цена телевизора снизилась с л: р. до «/ р. На сколько процентов снизилась цена телевизора? 4) Длина комнаты прямоугольной формы с метров, а ширина составляет 70% длины. Чему равны ее периметр и площадь? 5) Клиент положил в банк d р. Какая сумма будет на его счете через 4 года, если банк начисляет доход в размере 5% в год (простые проценты)? 6) Население 1'орода составляет сейчас k тыс. жителей и увеличивается ежегодно на 3%. Каким оно станет через 2 года? Реши уравнения, пользуясь “перекрестным правилом’ 7 ^ 7,2 0,25’ 2) 4 0,6л: = 1А 3) 12 50д: 0,14 4,8 4) 1^ 2^ 17 11 13,75 Зх ' НО На туристской карте запись с указанием масштаба оказалась оторванной. Можно ли ее восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? Если это возможно, определи масштаб данной карты. Практическая работа. Возьми три географические карты с разным масштабом. По каждой из них найди расстояние между двумя городами, взятыми по твоему выбору. Практическая работа. Измерь размеры своей комнаты, задай масштаб и нарисуй план комнаты. Укажи на нем расположение окон, дверей, мебели. 14 Глава 2, §3, п.2 Приставить лестницу к стене можно более круто или более полого. Ее крутизна выражается отношением расстояния Л от пола до верхнего края лестницы к расстоянию а от нижнего края до стены. В каком случае лестница имеет большую крутизну: если Л = 1,5миа = 1,2м или если h = 2,4 м и а = 2 м? Составь и, если возможно, упрости выражение: 1) Жилищному кооперативу принадлежит а га земли, из которых Ь га занимают гаражи. Какой процент площади, принадлежащей этому кооперативу, отведено под гаражи? 2) 40% участников первого тура олимпиады прошли по второй тур, а 50% участников второго тура в количестве с человек прошли в третий тур. Сколько человек приняли участие в первом туре олимпиады? 3) Турист за три дня прошел путь, равный d км. В первый день он прошел 40% всего пути, а во второй день - 75% пути, пройденного в первый день. Сколько километров прошел турист в третий день? Реши уравнения, пользуясь “перекрестным правилом’ 1 2 6,125 _ 0,35 2 7 1 !)_£_= _2_. 4,3 2,8’ ’ ..5 0,25х’ ^6 3) 4х 2 — ,, 1 0,125х ‘^3 Вычисли и запиши в последовательности ответов следующее число, сохраняя закономерность: 1) (4,5 + з|) • 0,6; 2) 3,7 : (l I - 0,4); 3) 4:|-0,3 2,88:4,8’ 4) О а|-^):2.8 [^5^ 1) в квадрате размером 10x10 клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером 2x2 клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером 2x2 клетки? Обоснуй свой ответ. 2) Рассмотри теперь квадраты размером 3x3 клетки и найди в них группы из трех чисел, суммы которых будут одинаковы. 1 2 3 4 О 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 33 36 37 38 39 40 41 12 43 44 45 46 47 48 49 50 51 02 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 15 Глава 2, §3, п.З 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции. Математической моделью многих практических задач является равенство двух отношений. Рассмотрим несколько примеров. Задача 1. План местности сделан в масштабе g 40 000* расстоянии от реки находится дом, который на плане удален от реки на 3,6 см1 Все расстояния на плане уменьшаются в одно и то же число раз, поэтому отношения соответствующих расстояний равны между собой и равны 3 40 000 искомое расстояние х, получаем, что число 3,6 так относится к х, как 3 к 40 000: 3,6 3 д: 40000 * Задача 2. Автомобилист заметил, что расстояние 58 км он проехал за 45 мин. За сколько времени он преодолеет оставшиеся 174 км, если будет ехать с той же скоростью? Скорость равна отношению пути ко времени. По условию, она не изменяется, поэтому 58 _ 174 45 у ’ где у - искомое время в минутах. Как удобнее и проще найти в полученных моделях неизвестные числа хиу7 Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо провести математическое исследо- (I С I вание истинных равенств вида — , где а, Ь, с, d ^ 0. Для них уже много о d , веков существует специальное название - пропорция. Итак, пропорцией называется истинное равенство двух отношений. \ Пропорции записывают так: ■ ^ с . . — = — или а : о = с : d, j о d \ где а, Ь, с, d Ф 0. Читают: “Отношение а к h равно отношению с к d" или “а относится к Ь как с относится к d”. На основании перекрестного правила можно записать: ! о с _ , . j 6 = d I и тогда любой член пропорции легко вычисляется, исходя из перекрестного ! правила и правила нахождения неизвестного множителя. 16 Глава 2, §3, п.З Так, в первой задаче 3,6 ____3 « 3jc = 3,6 • 40 000 ^^ 3,6-40000 ^ = 48 000, X 40000 о то есть дом находится на расстоянии 48 000 см = 480 м от реки. Во второй задаче 58 174 — ----- о о8у = 45-174 <=> 45 у У 45»Ж «/ = 135, и, значит, оставшееся расстояние автомобиль пройдет за 135 мин = 2 ч 15 мин. Таким образом, перекрестное правило является основой решения задач на пропорции, и поэтому его также называют основным свойством пропорции. При переводе решения задач с математического языка на русский часто используются ставшие традиционными термины “крайние” и “средние” члены пропорции. Эти названия связаны с тем, что при записи пропорции в строчку два члена располагаются “по краям”, а два - “посередине”, причем это как раз те члены, которые в записи пропорции с помощью дробей расположены “перекрестно”: крайние члены крайние члены I-------1 а : Ь = с : d LJ средние члены В этих терминах основное свойство пропорции читается так: CL С Равенство — = — , где а, b,c,d^ 0, является о о пропорцией тогда и только тогда, когда произведение крайних членов а и d равно произведению средних членов Ь и с. средние члены А правила нахождения неизвестных членов пропорции формулируются следующим образом: 1) Чтобы найти крайний член пропорции, надо произведение ее средних членов разделить на второй крайний член: Ьс , he а= —, d= —. а а 2) Чтобы найти средний член пропорции, надо произведение ее крайних членов разделить на второй средний член: и ad ad О ^ с , • с о 2~Дороф«>»м. Ь кл. Ч. 2 17 Глава 2, §3, п.З Отметим, что новая терминология по сути ничего не добавляет к хорошо известному нам перекрестному правилу, а является лишь сложившимся языком, описывающим решение задач на пропорции. Этот язык удобен при решении практических задач, поэтому каждому полезно его знать. .^ГР£И-£СГ./ пгмьшо / . :х о 57 I Запиши равество двух отношений двумя способами. Проверь, является ли оно пропорцией. Если да, то назови крайние и средние члены пропорции. а) 7 так относится к 14, как 3 относится к 6; б) отношение 8 к 3 равно отношению 40 к 15; в) 36 во столько раз больше 20, во сколько раз 9 больше 5; г) 2 составляет такую же часть от 10, какую 3 составляет от 15. НО Выбери из данных отношений те, из которых можно составить пропорцию: 1)5 : 15; 3)3 : 1,2; 2)|:|; 4)0,2:3; 5) g : 3; 6) 4,2 : 21; 9) 3| : 50; 7) 1,2: 4; 8) 0,1:0,4; 10)1,5:0,05. 1Ж1 в чем заключается основное свойство пропорции! Запиши его для пропор- X Z ций: 1)т:л = А:р; 2) — — — . Как иначе называют это свойство? 601 Прочитай пропорцию разными способами, назови ее крайние и средние члены: “>1 = Г2= B)0,5:i = 6:0,4: ч 8 _ 5 ^^2,4 1,5’ а)9 : 1 = 18 : 2; Докажи истинность утверждений, используя основное свойство пропорции. [б0 Проверь двумя способами, является ли равенство пропорцией. Какой из способов проверки удобнее применить в каждом случае? а)4:1^ = 5:1,5; 5 Чо 0,01’ B)7:14=2i:4|: ч 3 _ 4 ’'2,5 Г "'з 1Ж1 Составь, если возможно, пропорцию из 4 данных чисел. Можно ли составить из этих чисел другие пропорции? а) 2; 5; 20; 8; б) 18; 4; 24; 3; в) 4,5; 6; 9; 12; г)1;0,2;|;1. [^6^ Напиши пропорцию, в которой каждое отношение равно: а) 2; б) 18 Глава 2, §3, п.З Составь различные пропорции из равенства 3 • 6 = 2 • 9. Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9? Какие свойства чисел при этом используются? Проверь истинность равенств. Из букв, соответствующих пропорциям, составь математический термин. Что он означает? 2 [Р] 1,5:5-|:2 |:li-0,2;0,3 0,125 ^ 5 ^ 0,2 8 fol 0,08 о. Н В 1,2:4=15:0,5 М 0,48 2,4 0,06 3 3 ^ 0,3 15 44-^ = 7-А 4,4.? ¥1 ll : 2 = 2 : 3,5 — 6 X 66 I Найди неизвестный член пропорции (устно): 1)-^=^-^ 12 6’ 2)^=-^-Ь 4’ 2,5 7,5 3) 4)1- “ 8 6,4’ Реши уравнения: 1) 5,4 :а = 1,8: 6,8; 5) /г:25 = 4:5; 6) 1,5: 2 = л: 8; 2)6:|-б1:4|; 5) 2,4:(0,5А) = 3,6: 1|; 6) 7:(^ щ) = 56:3,2; 7) 7:х = 2:3; 8) 0,3 : 4 = 9 : у. 9) 4 : (л: - 3) = 2 : 3; + 1,6 _ 30 . ^ 0,8 2,5’ 3) 4) 720 ^ с . 91,2 0,513 ’ з1 и =_9 . d ’ ^7 7^ — = ^>4 . ’ 9 0,45’ 8) 4 2Д ______ 27 0,3р’ 11) 12) 1,5 _ 0,4 . 4д: - 1 д: + 4 ’ _ и - 0,9 4 0,2 68 I Найди значения ха. у такие, чтобы каждое из двух равенств было верным: 1)£=з Ч 8 25 5 ’ 2)х:1|=р:з| и р : 1,5 = 0,2 : 0,75. d с Дана пропорция — = з . Запиши другие пропорции, членами которых яв-0 d ляются те же числа а, 6, с и d. Копировальная машина уменьшает размеры изображения в отношении 3:5. 1) Чему равна длина отрезка в оригинале, если на копии она равна 7,5 см? 2) Какой размер на копии будет иметь отрезок, длина которого в оригинале равна 8 см? 2* 19 Глава 2, §3, п.З НО На рисунке показаны размеры фигуры и ее копии, увеличенной с помощью копировальной машины: D D. 1Ж1 & 1) в каком отношении увеличено изображение? Вырази это отношение в процентах. 2) Найди неизвестные длины сторон. В сплаве золота и серебра масса золота так относится к массе серебра, как 2:5.1) Чему равна масса золота в сплаве, содержащем 80 г серебра? 2) Чему равна масса серебра в сплаве, содержащем 18 г золота? В любой окружности отношение длины окружности к ее диаметру постоянно и равно примерно 22 : 7.1) Чему примерно равна длина окружности, если ее диаметр равен 10 см? 2) Чему примерно равен диаметр окружности, если ее длина равна 60 см? Ответы округли с точностью до десятых. Математическое исследование. 1) Проведи окружность произвольного радиуса и две хорды АВ и CD этой окружности, пересекающиеся в точке О. Измерь длины отрезков хорд, на которые они разбиваются точкой О. Сравни произведения АО • ОВ и СО • OD. 2) Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной? 3) Какие пропорции можно составить из полученного равенства? 75J Какое выражение может быть “лишним”? Как можно записать оставшиеся выражения с помощью одного буквенного равенства (в общем виде)? 1) 2д: + 4; 7л:+11; l,2x + 5; д:" + 8; х+1; 0,4л: + 25; х + 3,2; 16л: + 9; 2) Ьу + 2у; 1,6у + у; 0,2у + 4у; ^уЫу; Зг/+ 4,6; У + у + 0,7у. 20 Глава 2, §3, п.З Найди истинные и ложные высказывания. Обоснуй свой ответ. Построй отрицания ложных высказываний. l)VaeA^; % = —; 3)3 b^R: + 9 = О (Д - множество дробей); 2) 3 п е Л^: - 16 = 0; 4) V с е Д: HD — > (Д - множество дробей). 5 6 HD ~8Л Найди ложные высказывания и построй их отрицгшия: 1) Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. 2) Отношение двух чисел может быть равно обратному отношению этих чисел. 3) Масштаб изображения всегда выражается числом, меньшим 1. 4) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних членов. 5) Правильная дробь может быть равна 1. 6) Множество натуральных чисел является подмножеством множества дробей. Запиши процентное отношение чисел 28 к 35 и 35 к 28. На сколько процентов первое число меньше второго? Па сколько процентов второе число больше первого? Как и на сколько процентов изменилось число, если; 1) его удвоили; 5) взяли от него треть; 2) его увеличили в 3,5 раза; 6) в.эяли от него две пятых; 3) его уменьшили в 4 раза; 7) разделили его пополам; 4) его уменьшили на четверть; 8) умножили его на 5? Мотоциклист проехал путь между городами М и N со скоростью на 20% больше намеченной, а обратный путь - со скоростью на 20% меньше намеченной. Во сколько раз скорость мотоциклиста на обратном пути была меньше, чем по пути из М в N7 Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, равное 36 км, за 40 мин, а легковой автомобиль - на 40% быстрее. Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи? Скорость велосипедиста на 250% больше скорости пешехода. Через 1,5 ч после того, как они одновременно начали двигаться из одного и того же пункта в одном направлении, расстояние между ними стало равно 16,5 км. Чему равны скорости движения велосипедиста и пешехода? 21 Глава 2, §3, л.З ш из Расстояние между двумя пристанями s км. От этих пристаней одновременно отплыли два катера со скоростями о, и Ujj Построй формулу зависимости расстояния d между катерами от времени движения t, если они движутся: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием. (Считать, что встречи за это время не произойдет.) Расстояние h, которое проходит в вакууме падающее вниз тело, не зависит от его массы, а зависит лишь от времени падения t. Приближенные значения величины Л м в первые 5 секунд падения приведены в таблице. Построй формулу и график этой зависимости, подобрав на осях координат удобные единицы измерения. t с 0 1 2 3 4 5 h м 0 5 20 45 80 125 85 I Найди верные равенства и из соответствующих им букв составь название денежной единицы. В каких странах она используется? 1,75 = 3,5 0,2 4 l| 0,1: 0,01 т 0 0,2:6 = 1 Б 2 _ 0,7 3 10,5 Ь 0 2:| = 3:0,5 О 2,7 _ 3 0,36 0,4 н 1,5:3 = 3:4 Л 1 10 7 0,7 у 0,9 : 6 = 0,06 : 4 К 2,4 20 0,6 5 р Реши уравнения: l)x: 250 = 5,08: 12,5; 2)1,32:3у = (1,4г/): 1 у 6,3:3 = 2:100 0,04 0,8 3) 0,5 10 4,8 _______м 2г + 15 5 • Размеры фигур, приведенных на рисунках 1 и 2, были увеличены в отношении 3 : 2. 1) Вырази увеличение изображения в процентах. 2) Изобрази в тетради копию чертежа, приведенного на рис. 1, произведя необходимые измерения и вычисления. 3) По копии чертежа, приведенного на рис. 2, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертеж в тетради. М Рис. 1 D 22 Глава 2, §3, п.З Стороны прямоугольника относятся как 4 : 7, а его большая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону, периметр и площадь этого прямоугольника. Расстояние между двумя городами 145 км. Грузовая машина может пройти это расстояние за 2,5 ч. Скорость легковой машины на 50% больше скорости грузовой. Через сколько часов эти машины встретятся, если одновременно выедут из этих городов навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи? Площадь прямоугольника равна 12 см^. Построй формулу зависимости длины стороны Ь см этого пря.моугольника от длины а см его второй стороны. Заполни таблицу соответственных значений а и 5 и построй график зависимости Ь от а. а см 1 1,5 2 3 4 8 12 Ь см Математическое исследование. 1) Начерти окружность радиуса 3 см и проведи ее диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол, образованный хордами. Проведи те же самые построения и измерения еще для двух точек окружности. Что ты замечаешь? 2) Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной на основании проведенных тобой измерений? Почему? 1) Найди значения выражений А, Б, С и D и из полученных чисел составь пропорцию. Можно ли из этих же чисел составить другую пропорцию? 0 3,6.(|.|.А) [g (41-1). о,160.14),.0,014 5 (84,8 • 0,125): (10,07 : 0,95) 0 0,28 • 4500 : 50,4 16,2-12f 190 + 0,l) 2) Сколько различных пропорций можно составить из этих чисел? Назови их. ■•й I 93 I Найди наименьшее число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу. [^9^ Выполняя домашнее задание, Петя спешил на футбол и сделал ошибку. Вместо того чтобы данное однозначное число возвести в квадрат, он его удвоил. В результате он получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и искомый квадрат, но в обратном порядке. Какой правильный ответ доллсен был получить Петя? Глава 2, §3, п.4 Предстоят спортивные соревнования между четырьмя шестыми классами одной школы. В учительской живо обсуждаются возможные результаты и высказываются прогнозы. - Первое место займет 6 “Л”, а второе - 6 “Б”,-сказал учитель математики. - Да что вы! - сказал учитель географии. - Я недавно ходил с ними в поход и знаю их возможности. 6 “Л” займет второе .место, а 6 “Г”- только третье. - А я думаю, что на втором месте будет 6 “Б”, а б “Г” будет на последнем месте. Оказалось, что у каждого учителя один прогноз сбылся, а другой - нет. Какое место занял каждый 4. Свойства и преобразование пропорций. В предыдущем пункте мы назвали основным свойством пропорций следу- а с ющее утверждение: равенство — = — , где а, b,c,d^ О, является пропорцией о а тогда и только тогда, когда произведение крайних членов аи d равно произведению средних членов Ь и с. Как мы уже отмечали, основное свойство пропорций есть не что иное, как другая формулировка уже известного нам “перекрестного” правила равенства дробей: ^ <=> ad = Ьс (а,Ь, Су d ^ 0). о а Иначе говоря, мы имеем одно утверждение - “перекрестное” правило для дробей, а называть его можно и основным свойством пропорций, и условием равенства дробей, и условием равенства отношений. Использование различных терминов, имеющих один и тот же математический смысл, обусловлено тем, где и как они формировались. В арифметике, имеющей дело с числами, удобно говорить на языке дробей, язык отношений - со времен Древней Греции - распространен в геометрии, а язык пропорций общепринят в повседневной практике и при проведении математических расчетов в физике, химии и т. п. Применение пропорций для решения различных практических задач требует определенной техники вычислений - использования некоторых дополнительных свойств пропорций. Эти свойства вытекают, естественно, из основного свойства пропорций, то есть все из того же “перекрестного” правила. 24 Глава 2, §3, п.4 Простейшие преобразования пропорций связаны с перестановкой ее членов. Итак, .мы знаем, что п п ad = be. а с Г = Т ^ Ь d Ясно, что равенство не нарушится, если, например, в нем поменять местами множители avid. Следовательно, в пропорции можно поменять местами ее крайние члены, то есть Ь d ^ Ь а' Точно так же в пропорции можно поменять местами ее средние члены. А значит, пропорция не нарушится, если в ней поменять местами одновременно и крайние, и средние члены: в этом случае получится пропорция, составленная из обратных отношений. На математическом языке данные равносильные преобразования можно записать так: £ =£. £ = £. h d ^ с d’ £ = £ .--V ^ = А Ь d с а' Вообще, из данной пропорции можно составить несколько новых пропорций следующими преобразованиями: 1) поменять местами крайние члены; 2) поменять местами средние члены; 3) составить пропорцию из отношений, обратных данным; 4) в четырех имеющихся пропорциях поменять местами правую и левую части. Однако при всех преобразованиях полезно проверять себя “перекрестным” правилом, поскольку числа, составляющие пропорцию, нельзя переставлять произвольным образом. Например, -f- = -^ , но — ^ . об 2 6 Существуют и другие, менее очевидные преобразования пропорций. Например, пропорция не нарушится, если к каждому крайнему ее члену прибавить ‘^соседний” средний член: £ — £ а + б _ с + с/ Ь d ^ Ь d ' Для доказательства этого свойства достаточно к левой и правой части исходной пропорции прибавить по единице: а с Ь d ^ <=> а + Ь с ^ d Ь d • Далее, применим полученное свойство к пропорции, составленной из обратных отношений, и получим новое свойство: ас Ь d а Ь с + d а с -=- о - = - <=> ---=----- о - Ь d ас а Аналогично можно доказать, что ас а - Ь с - d а с_ d а - Ъ с - d а 'г Ь с + d ‘ {а > Ь, о d) и т. д. 25 Глава 2, §3, п.4 Пропорции, получаемые подобными преобразованиями, называют обычно производными пропорциями. Несмотря на то что приведенные рассуждения имеют достаточно общий характер, производные пропорции часто оказываются полезными для решения практических задач. Например, мы знаем, что при равномерном движении скорость не меняется, поэтому отношения соответствующих значений расстояния и времени образуют пропорцию: 51 _ ^ fl t2 Поменяв в полученной пропорции местами крайние члены, а затем левую и правую части равенства, получим новую пропорцию: 52 _ ^ Si ti ' Эта пропорция означает, что при равномерном движении пройденный путь увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз увеличивается (уменьшается) время движения. Поэтому, не выполняя вычислений, можно, например, сказать, что если скорость движения не изменяется, то при увеличении времени движения в 4 раза пройденный путь также увеличится в 4 раза. О Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее: ч 2 . 1 _ 3 3 ' 6 5 а) 1 ; 2 = 5 : 10; ^ . 20 ’ д) т : п = k : р; б) 0,4 _ 1,6 ч ^ ^ r)i;|;5:8. А 2 . 12 ” 8 ’ 0,8 3,2 Составь из равенства проиорцию и сделай все перестановки ее членов, не нарушающие эту пропорцию: а)2-9-3-6: 6)4-0,5-2 -1; в) 2-| • 3 - 3-| • 2; r)ah-xy. Ц] Составь пропорцию из данных чисел и сделай все перестановки ее членов, не нарушающие эту пропорцию: а)2;3;4;6; 6)3; 5; 12; 20; в) 0,5; 4; 1,6; 0,2; Составь различные пропорции из соответствующих значений величин: 1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара; 2) времени работы и объема выполненной работы при постоянной производительности; 3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны; 4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации. Сделай вывод. 26 Глава 2, §3, п.4 Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны: с 0 а + 6 с + d a c ~ d Ь d ’ 0 a + b ~ c + d' < с 0 а - Ь с - d 0 a c d Ь d ’ a - b c-d' с Ь - а d - с a c ~ d 0 Ь d ’ b - a d-c' 7) а с Ь~ d a + b a - h c + d c - d a + b ^ c + d a c - b -d' Пользуясь свойствами, установленными в предыдущем задании, составь из данной пропорции три производные пропорции: 1)3 ^15. ’2 10 ’ 2) ^ • 15 ’ 04 ^ ^ . п р 4) - = 7-У t Математическое исследование. 1) Стороны углаА пересечены параллельными прямыми 5jC,, и В3С3. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла А, и сравни 2) Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных прямых В,С,, В^С^ и В3С3, пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной посредством проведенных измерений и вычислений? О Ч\ п В1В2 d) Считая равенство 7-77 ВгВг Cf, истинным, докажи, что BlB-2 В1В3 С.Сз 1^0^ Найди верные равенства и расшифруй фамилию известного ученого. Когда и в какой стране он жил? Что ты о нем знаешь? И Ф П 0,2 1,3 4 2,6 [a]|:5-0.1:| Ц] 2|-: 10=1,3:6 0 9,6 0,3 0,32 0,01 3:0.5 0 3,131 9,6 31 0,3 60 1,2 0,5 1 ff] 5,5 0,77 1—1 11 0,7 0 1,5:0,18 = 5:0,6 27 Глава 2, §3, п.4 _____________________________________________________ Поставь вместо звездочек знаки действий так, чтобы получились верные высказывания: а) 0,4 *1 И 15 6)3*2 в) l|- *1=0,75; 1051 (Устно.) Найди неизвестные члены пропорций: о а 21 — = — • ^^7 3 ’ 3)2:с = 5:7; 4)0,3 : 2 = d: 8; 5) 0,5 = 4:11; п 6)9:2 = ^; О 1061 Реши уравнения: 1) 2^ : (1,5а) =^: 0,8; 4 8 2 2) ^=(1,26):б|; ^9 г) 2-^ *0,5 о 7) — ; 4 = — • ^3 6 ’ 8) ^ = 2 : У 4 3)3,8:(4с + 3) = 2:2^ о 1 16 *^3 5) 6) Зх - 1 X + 1 0,5t/ <7 Ь 3 4 9 8 1071 Составь уравнения и реши их, используя праврмо “весов”: 1) Задуманное число увеличили в 5 раз, затем уменьшили на 3 и полученную разность уменьшили вдвое. В результате получили число на 0,3 меньше задуманного. Какое число задумали? 2) Задуманное число утроили, затем результат вычли из 10, полученную разность увеличили в 2 раза, а потом еще на 2. Число, полученное в результате всех преобразований, оказалось в 5 раз больше задуманного. Какое число задумали? 1081 1) Один трактор вспахал 15% всего поля и еще 1,2 га, а второй - — всего --- 5 поля и остальные 0,3 га. Вместе они вспахали все поле. Чему равна площадь поля? 2) Рабочий сделал 60% всего задания и еще 8 деталей, а его ученик - пятую часть всего задания и остальные 7 деталей. Вместе они сделали все задание. Сколько всего деталей сделали вместе мастер и ученик? 1091 в результате реконструкции на одном заводе выпуск автомобилей увеличился с 8 до 10 тыс. штук в год, а на другом - с 10 до 12 тыс. штук в год. На каком заводе увеличение выпуска продукции в процентном отношении больше? ш Выпуск продукции в прошлом году снизился на 10%, а в текущем - повысился на 20%. (Выпуск продукции сравнивается каждый раз с предыдущим годом.) Как изменился процент выпуска продукции за два года? 111| Во время эпидемии резко - в 3,6 раза по сравнению с обычным уровнем -возросло число заболеваний дифтерией. В результате лечебно-профилактических мероприятий число заболеваний снизилось па 75%. Когда заболеваемость была ниже - до эпидемии или после проведения профилактических мероприятий - и на сколько процентов? 28 Глава 2. S3, п.4 Для рабочих некоторого предприятия в зависимости от разряда установлены различные тарифные ставки, причем для каждого следующего разряда тарифная ставка увеличивается на величину, равную 25% от ставки работника 1-го разряда. Чему равна зарплата у работника 9-го разряда, если у работника 1 -го разряда она равна 8000 р. ? Во сколько раз отличаются зарплаты работников 9-го и 1 -го разрядов? На сколько процентов отличаются их зарплаты? Тест состоит из четырех заданий. Максимальная оценка за каждое задание составляет 100 баллов. Средний результат среди всех участников - 75 баллов. Коэффициентом успеха ученика называется отношение среднего балла этого ученика к среднему результату всех участников тестирования. В таблице указаны результаты прохождения теста несколькими учениками. Фамилия, имя Задача Пример Уравне- ние Логика Средний . балл Коэф. успеха 1. Логинов Боря 34 56 83 7 2. Снежина Ира 95 100 96 69 3. Тонков Ваня 21 75 99 45 4. Осипова Катя 98 60 48 82 5. Бейлин Витя 100 82 56 74 6. Корин Саша 100 96 100 100 7. Петрова Ира 57 100 93 44 Найди коэффициент успеха каждого ученика из приведенного списка и расположи полученные числа в убывающем порядке. Если порядок коэффициентов определен верно, то из третьих букв соответствующих им фамилий учеников составится слово. Что оно означает? Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее: а) 16:8 = 2: 1; Для данной пропорции составь несколько производных пропорций. Рядом запиши в буквенном виде, какие равносильные преобразования пропорций для этого использовались. ^ч0,3 _ 2 . ^ т X в) — = —, п у , 5 10 14 ’ Реши уравнения: 0,4 1)-= ^25 0,15’ 2)iA «Ч 3 _ 18 12 ’ (0,8у)= у:3,6; ч 2 6 ^^5 =15- 1,25 2 - 6 . ^0,06 2,4 ’ 4^ t 29 Глава 2, §3, п.4 иш Математическое исследование. 1) В треугольнике АВС проведен отрезок MN, параллельный стороне АС: В 9 Измерь длины отрезков AM, МВ, BN и NC и составь пропорцию из полученных чисел. Повтори исследование для произвольного треугольника АВС и отрезка MN, параллельного его стороне АС. Сформулируй гипотезу. 2) Используй преобразования пропорций, чтобы, исходя из гипотезы, получить новые свойства данной фигуры. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать гипотезу и ее следствия верными для общего случая? Почему? Две трети учащихся класса поехали на экскурсию, а оставшиеся 25% учащихся и 3 человека пошли в кино. Сколько всего учащихся в классе? При какой месячной процентной ставке (простой процентный рост) вклад на сумму 5000 р. возрастет за 6 месяцев до 5225 р.? Чему равна в этом случае годовая процентная ставка (то есть процент роста вклада за год)? Задуманное число удвоили, а затем уменьшили на 6. В результате оказалось, что полученное число так относится к 9, как 4 относится к 4,5. Какое число задумали? 1) Разрежь фигуру А по линиям сетки на три одинаковые части. 2) Разрежь фигуру В по линиям сетки на 8 одинаковых по площади частей так, чтобы в каждой части был один кружок. В О о о о о о о о Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся как 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз? 30 Глава 2, §3, п.4 Задачи для самопроверки. Прочитай и упрости отношения: а) 18 : 30; б) 7,2 : 0,64; 1241 Найди процентное отношение: а) 3 к 4; 6)0,15 к -; в) 5— : 3,2; в) 7 м к 5 м; г) ^ (а ^ 0). 6а г) 9 см^ к 0,2 дм^. 1) Расстояние между Москвой и Харьковом на карте равно 18,6 см, а в действительности - 744 км. Чему равен масштаб карты? 2) Расстояние от Москвы до Севастополя 1490 км. Какое расстояние между этими городами на карте, масштаб которой 1 : 10 000 000? 3) На карте, масштаб которой равен 1 : 8 000 000, расстояние от Москвы до Ростова-на-Дону 13,7 см. Какое расстояние между этими городами в действительности? 1261 ш \т Найди неизвестный член пропорции: 2)5:5=15:12; 3) 1) « = 9. ^8 4 ’ 3,6 1,44’ 4)0,5 : 3 = 1^ :d. О Реши уравнения: 18 ^ 3 . 5 + X 2 ’ 1) 2)(4i/):l,2=| :0,1; 0.7 2г-11 9 ■ Сделай все возможные перестановки членов пропорции — = — , не нарушающие пропорцию. ^ Реши уравнения, используя правило “весов”: 1) 1,5а - 3 = а f 7,5; 2) 1,85 = 3(5 - 0,12). Составь выражение и, если можно, упрости его: 1) Аэросани прошли а км, что составляет 20% всего пути. Чему равен весь путь? 2) Машинистке надо напечатать 5 страниц рукописи. В первый день она напечатала 30% всей рукописи, а во второй - 25% всей рукописи. Сколько страниц ей еще осталось напечатать? 3) Пылесос стоил с р. Его цена увеличилась на d р. На сколько процентов увеличилась цена пылесоса? 4) В соревновании участвовало х человек. Из них 10% стали призерами соревнований. Среди призеров 40% составили женщины. Сколько женщин получили призы? Найди значения выражений: 1) 27,21 + (з| - l,14l) : 0,45 • 14,5; 2) [7,8: (4| -1^) -ь 0,312] : 0,02 - 3,89 • 40. 31 Глава 2, §4, п.1 § 4. Пропорциональные величины 1. Зависимости между величинами. Как нам уже известно, математика зародилась тысячи лет назад и создавалась для решения многочисленных практических задач, возникавших как в жизни каждого человека, так и в жизни обпдества. Одним из наиболее значимых для практики результатов пройденного пути являются верные равенства, описывающие зависимости между величинами -формулы. Мы уже узнали многое из того, что открыли математики древности, в частности, формулу площади прямоугольника: S = аЬ, где буквой S обозначена площадь прямоугольника, а буквами аиЬ — его длина и щирина. Эта формула описывает соотношение между тремя величинами -длиной, шириной и площадью прямоугольника. И надо сказать, что, хотя это соотношение было известно еще в Древнем Египте и Месопотамии, пользоваться им могли лишь самые образованные люди того времени, так как действия умножения и деления были в те времена “высшей математикой”. Практический смысл формулы S = аЬ состоит в том, что для вычисления площади заданного прямоугольника нет необходимости измерять ее непосредственно, то есть укладывать прямоугольник квадратами единичной площади и подсчитывать их число. Достаточно лишь измерить и перемножить его длину и ширину. Установление взаимосвязей между величинами имеет большое практическое значение. Например, в физике далеко не всякую величину можно измерить непосредственно каким-нибудь прибором, и, открывая связи между величинами, физики получают возможность вычисления значений таких величин с использованием формул. А математики разрабатывают способы вычислений, создавая аппарат для физики и других наук. Примеро.м физической формулы является хорошо известная нам формула пути S = vt, описывающая равномерное прямолинейное движение. Эта формула дает возможность по любым двум из величин - путь (s), скорость (о), время {t) -найти третью величину с помощью вычислений по одной из формул: s = vt, v = s : t, t = s : V. Нам хорошо известны и многие другие зависимости между величинами. Каменщик выкладывает стену из кирпичей, наборщик набирает на компьютере текст, вода из трубы заполняет плавательный бассейн - во всех этих случаях совершается некоторая работа. Количественной характеристикой выполненной работы является соответственно число уложенных кирпичей, число набранных страниц, объем перекачанной воды. 32 _____ Глава 2, §4, г#, 1 Еще одной важной характеристикой работы является то, насколько быстро она совершается. Для каменщика важно, сколько кирпичей он укладывает за час или за день, для наборщика - сколько страниц он набирает также за час или за день, при наполнении бассейна водой важно, сколько воды поступает в него через трубу за секунду, минуту, час. В любом случае речь идет о том, какой об7>ем работы совершается в некоторую единицу времени. Эта величина и называется производительностью труда, или просто производительностью. Само понимание производительности приводит к соотношению между основными понятиями, связанными с работой, - объемом работы, производительностью и временем работы. В самом деле, если в каждую единицу времени совершалась работа объемом w, то за время t будет совершена работа wt, и поэтому объем выполненной работы А = wt. Вообще зависимости, в которых одна из величин является произведением двух других, часто встречаются в жизни. В таблице приведены .тишь некоторые примеры таких величин. Произведение Множитель Множитель Формула Путь (,s) Скорость (v) Вре.мя (0 . t = — t V 34 Глава 2j §4, п, 1 Тзз| Построй формулу, устанавливающую зависимость: 1) числа п купленных тетрадей от их цены а, если стоимость всей покупки равна 600 р.; 2) времени t набора рукописи на компьютере от производительности w, если в рукописи 240 страниц; 3) массы т соли в растворе от массы М раствора, если концентрация раствора 30%. Перерисуй в и-етрадь и заполни таблицу единиц измерения величин в формулах: 1) s = vt S V t м м/с км/ч ч км мин см/с с Прочитай формулу одновременного движения: s = . Что обознача- ют входящие в нее буквы? Перепиши эту формулу для случаев встречного движения и движения вдогонку, выразив через скорости и движущихся объектов (и, > Ug)' Г1о каждой из полученных формул вычисли: 1) S, если Oj = 36 км/ч, о, = 14 км/ч, = 0,5 ч; встр. 2) , если S = 30 км, и, = 18 км/ч, = 12 км/ч; 3) у,, если « = 120 км, t =1,5ч, о. =20 км/ч. Две машины едут по одному шоссе со скоростями соответственно и (Uj > ). Сейчас расстояние между ними равно s„. Построй формулу зависи- мости расстояния d между машинами (до встречи) от времени движения t, если машины движутся: 1) навстречу друг другу; 2) в противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием. Вырази из этих формул величины t и Запиши известные тебе формулы зависимостей величин, описывающие: 1) движение по реке; 2) процентное отношение чисел; 3) простой процентный рост; 4) сложный процентный рост. Вырази из этих формул (там, где это возможно) значения всех входящих в них величин. При отправлении телеграммы оплата производится так: за подачу телеграммы оплачивается 18 р. и дополнительно за каждое слово -1,1р. Построй формулу зависимости стоимости С телеграммы от числа п слов в ней. Построй формулу, устанавливающую зависимость между: 1) объемом Vкуба и его ребром а; 2) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами аиЬ; 3) диаметром D и радиусом R некоторой окружности; 4) длиной стороны а прямоугольника, его периметром Р и площадью S; 5) площадью полной поверхности S куба и его ребром а; 6) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а, 6 и с. 3* 35 Глава 2, §4, n. 1 140I Ниже приведен график зависимости расхода бензина В л для автомобиля “Лада” от пройденного расстояния s км. Заполни таблицу и построй формулу зависимости В от н. 141I На рисунке изображены графики полета двух самолетов, вылетевших из аэропорта Внуково в одном направлении. 1) В какое время самолеты вылетели с аэродрома и вернулись обратно? 2) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них? Чему равна продолжительность этих остановок? 3) С какой скоростью летели самолеты на всех у^гастках пути? 4) На каком расстоянии от Внуково были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин? Где были самолеты в это время - на земле или в воздухе? 5) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Внуково? 36 ____Глава 2, §4, п.1 142| На рисунке показано, как изменялся рост брата и сестры в первые 22 года жизни (черная линия - график роста брата, а цветная - график роста сестры). 1) Какой был их рост при рождении, в 5 лет, в 16 лет, в 18 лет, в 20 лет? 2) В каком возрасте каждый из них достиг роста 120 см, 150 см, 190 см? 3) Кто был выше в 10 лет и на сколько сантиметров? 4) В каком возрасте брат был выше сестры, сестра была выше брата? Когда рост их был одинаков? 5) На сколько вырос каждый из них в первые 5 лет жизни, в период с 16 до 20 лет? Производительность трубы, через которую вода поступает в бассейн, равна 2 м^/мин. Построй формулу зависимости объема налитой воды V м^ от времени работы трубы t мин. Заполни таблицу и построй график этой зависимости. t мин 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1441 в таблице показана зависимость скорости и м/с течения реки на отдельных участках от площади поперечного сечения Р м^на этих участках. Построй формулу зависимости и от Р и ее график. Рм2 120 80 60 48 40 30 24 20 V м/с 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,2 Глава 2, §4, п. 1 В треугольнике АВС отрезок BD перпендикулярен к основанию АС, АС = а, BD = h. Площадь треугольника АВС равна S. Построй формулу зависимости S от а и h. Вырази из этой формулы каждую из входящих в нее величин. 1461 Объясни, какие преобразования пропорций произведены: ч 7 _ 14 _ 6 _ 14 ^^ 3 6 3 7 ’ -.8^1 8 16 2 1 2 ’ 2 ^04 ^ J__ о . 1 0,4 2 ’ , 3 5 12 20 9=^15 ^¥ = 15’ , 5 20 5 20 ^>6=^ ^ Т = Т* е)1=8 о 1 = 14 ^3 6 1 2 • Реши уравнения: 4,8 3’ 04 2,5 _ Зс _ 0,4 ’ 3) X + 1 7,2 £ 4 ’ 4) 12f/-9 0,5 2у 4 148 Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди х: 1) Зх + 2— ц 9 . 2 ’ 2) 5,2 2х - 5,2 4 4 19 3) 13 13 1,3х - 0,72 0,72 Из поселка А в поселок В выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через 2 ч ему навстречу из В в А вышел пешеход, скорость которого составляет 35% скорости велосипедиста. Через 1,5 ч после выхода пешехода расстояние между ним и велосипедистом стало равно 10,8 км. Чему равно расстояние между поселками А и В? Два поезда выехали с одной станции в одном направлении. Скорость первого поезда 72 км/ч, что составляет 80‘!<) скорости второго поезда. Второй поезд выехал па 2,5 ч позже первого. Через сколько времени он догнал первый поезд? Иа каком расстоянии друг от друга были поезда через 4 ч после выхода второго поезда? Через 15 ч после выхода второго поезда? Автомобиль проехал по шоссе 250 км, а по проселочной дороге - на 80% меньше, чем по шоссе. Расход на каждые 100 км по шоссе составлял 12 л, а по проселочной дороге - на 50% больше. Сколько литров бензина в среднем расходовал автомобиль на каждые 10 км пути? 1) Среднее арифметическое трех чисел равно 9,4. Первое число на 3,5 больше второго, а третье составляет 60% второго. Найди меньшее число. 2) Среднее арифметическое четырех чисел равно 5,6. Второе число в 2,5 раза больше первого, третье составляет 120% второго, а четвертое на 1,6 меньше первого. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел. 38 Глава 2, §4, п.1 О Ц5^ Построй формулу, устанавливающую зависимость между: 1) периметром Р квадрата и его стороной а; 2) площадью S квадрата и его стороной а; 3) объемом V прямоугольного параллелепипеда, площадью его основания S и высотой Л. 1541 На рисунке изображен график зависимости между массой т кг купленных яблок и их стоимостью С р. Перерисуй график в тетрадь и задай зависимость Сот т таблицей и формулой. 155J Расстояние между двумя городами Аи В равно 18 км. Задай с помощью формулы зависимость скорости v км/ч равномерного движения от времени t ч прохождения расстояния между данными городами. Заполни таблицу и построй график этой зависимости. t 1 2 3 4 4,5 6 9 18 V Ш Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди х: 1) 2 1ZI 2 7 48,3 0,7 ’ 2) — = ’ 6,8 0.042 1-^х + 0,042 6 с одной автобусной станции отошли в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус вышел на 0,8 ч раньше второго и через 2 ч прибыл в город Л. Одновременно с ним второй автобус прибыл в город В, удаленный от Л на 210 км. С какой скоростью ехали автобусы, если известно, что скорость второго автобуса была на 25% больше скорости первого автобуса? ^5^ Вычисли значения А, В, С и D и составь из полученных чисел какую-нибудь пропорцию: [а] (160,272:3,18-3,18): 7,87 6: (2^ • 3,74 - 2,74 • 2^) d] 64,78:(3,16-2,05)-(8^:8,12) l| . о,625 : | + [(l|f - |]: 2,1 В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 л и 17 л. Сколько было бидонов? 39 Глава 2, §4, п.2 2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Если пешеход идет с постоянной скоростью 4 км/ч, то движение его описывается формулой 8 = 4f. Из нее видно, что при увеличении множителя t в несколько раз во столько же раз увеличивается и произведение s. Например, если t увеличится в 3 раза, то и s увеличится в 3 раза: 8^ 4t 3s = 4 • (3<). .Этот “математический” вывод согласуется и с житейскими представлениями. Действительно, если скорость постоянна, то за время в 3 раза большее и расстояние будет пройдено в 3 раза большее. Величины, обладающие указанным свойством, называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными). В нашем примере путь при постоянной скорости прямо пропорционален времени движения. Это новое название величин связано с тем, что, как мы уже видели раньше, их соответственные значения образуют пропорцию: t-j_^ 11 Si И вообще, две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Примеры таких величин возникают из формул вида а = Ьс, когда одна из величин постоянна. Если, например, величину Ь считать постоянной, то при увеличении с в несколько раз величина а увеличится во столько же раз, значит, величина а прямо пропорциональна величине с. Точно так же величина а прямо пропорциональна величине Ь - если считать постоянной величину с. В частности: - стоимость товара пропорциональна его количеству при постоянной цене; - количество товара пропорционально его стоимости при постоянной цене; - объем выполненной работы пропорциона.п.ен времени работы при постоянной производительности; - время работы пропорционально объему выполненной работы при постоянной производительности и т. д. Постоянную величину в формуле а = Ьс принято обозначать буквой /г, а переменные величины - буквами х я у. Полученную формулу у = кх назовем формулой прямой пропорциональности, а число k в этой формуле -коэффициентом пропорциональности. Рассмотрим теперь пример движения транспорта между двумя городами, расстояние .между которыми 280 к.м. Мотоциклист, средняя скорость которого равна 40 км/ч, проедет это расстояние за 7 ч, а автомобиль, имеющий среднюю скорость 80 км/ч, - за 3,5 ч. Во сколько раз увеличилась скорость, во столько же раз уменьшилось и вре.мя пути. 40 Глава 2, §4, п.2 Этот вывод можно было сделать и не обращаясь к конкретным числам, а проанализировав формулу 240 = vt, которая описывает данное движение. Произведение в ней постоянно - это число 240. Поэтому во сколько раз увеличивается один множитель, во столько же раз уменьшается и второй. Величины, обладающие таким свойством, называются обратно пропорциональными. В рассмотренном примере время обратно пропорционально скорости движения при постоянном пути. И вообще, две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Величины, зависимость между которыми описывается формулой а = Ьс, обратно пропорциональны, если значение произведения постоянно. Так, обратно пропорциональными являются - время работы и производительность при постоянном объеме работы, - цена и количество товара при постоянной стоимости, - длина и ширина прямоугольника при постоянной площади и т. д. Если, как и раньше, постоянную величину в формуле а - Ьс обозначить буквой k, а переменные величины - буквами л: и г/, то получим к = ху, или, как принято записывать, k Полученную формулу назовем формулой обратной пропорциональности. Таким образом, понятия прямой и обратной пропорциональности тесно связаны между собой. Их объединяет формула произведения а = Ьс. Обе эти зависимости яв.гяются частными случаями формулы прои.тедения: прямая пропорциональность - при постоянном множителе, а обратная - при постоянном произведении. Заметим, что далеко не всякие величины связаны друг с другом пропорциональной зависимостью. Например, рост человека зависит от его возраста, тормозной путь автомобиля - от его скорости, площадь квадрата - от его стороны. Однако все эти и многие другие зависимости не являются прямо или обратно пропорциональными. Так, увеличение возраста человека в 2 раза вовсе не означает, что в 2 раза увеличился и его рост. Некоторые из непропорциональных зависимостей также могут быть описаны общими формулами, помогающими выявлять аналогию между различны.ми физическими процессами. Например, если автомобиль, стоящий около дома, начал движение с постоянным ускорением и время движения увеличивается в 2, 3, 4 и т.д. раз, то пройденный им путь увеличивается соответственно в 4, 9, 16 и т.д. раз. Подобная же зависимость существует между длиной стороны квадрата и его площадью. Если для зависимостей между величинами формулы еще не найдены, то их описывают табличным или графическим способом. Глава 2, §4, п.2 Что общего у формул: .s = 5f, С = 2,4п, A=16t, m =0,4M, S = 5b, Р ■= Aal Запиши зависимость между величинами, которую задают эти формулы, в обобщенном виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры. Какая формула может быть “лишней”: 12 а — 45 : /г, ^ = а6 = 5,6, d = 18 + 4f, k = 0,S:M, 360 = Щ? Запиши зависимость мелсду величинами, которую задают остальные формулы, в обобщенном виде. Как называется такая зависимость? Придумай свои примеры. Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорционгшьностью.Найди коэффициент пропорциональности и .запиши формулу зависимости между этими величинами: 1) скорость и время движения на участке пути 50 км; 2) скорость движения и путь, пройденный за 3 ч; 3) объем работы, выполненной за 7 ч, и производительность труда; 4) производительность станка и время изготовления на нем 300 деталей; 5) стоимость отреза ткани и его длина при цене 120 р. за метр; 6) цена тетрадей и их количество, которые можно купить на 24 р.; 7) длина и ширина прямоугольника, площадь которого равна 60 м^; 8) масса вещества в 200 г раствора и его концентрация. 1) Автомобиль проехал за некоторое время расстояние 60 км. Какое расстояние проедет он за это же время, если: а) увеличит скорость в 1,5 раза; б) уменьшит скорость в 2 раза? 2) Велосипедист проехал некоторое расстояние за 0,6 ч. За какое время он проедет то же расстояние, если; а) увеличит скорость в 1,5 раза; б) уменьшит скорость в 2 раза? 3) На некоторую сумму денег можно купить 12 порций мороженого. Сколько порций мороженого можно будет купить на эти же деньги, если цена на мороженое; а) увеличится на треть; б) уменьшится на 50% ? 4) За некоторое время с помощью принтера было распечатано 400 страниц. Сколько страниц распечатает за это же время принтер, производительность которого: а) па 100% больше; б) на 75% меньше? Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются пи тем, ни другим? 1) Р = 5,26; 2) a — Sq+ 1; 3)/. = f; 8 7) М = m : 5; 4)c = 4:d; 6) 300 = Щ; 8)а6=18; 5)а = ~; 10)S = a2. 42 Глава 2, §4, п.2 \т Каждая из зависимостей, приведенных в таблице, является прямой или обратной пропорциональностью. Установи вид зависимости, запиши ее формулу и заполни пустые клетки: 1) 2) X 1 2 3 4 5 6 у 2,8 5,6 X 0,5 1 1,5 2 2,5 3 У 60 30 3) 4) X 0,8 3,2 4,8 2,4 У 4 16 20 8 д: 2 0,2 1 0,8 У 4 40 0,5 3,2 1661 Реши задачу двумя способами: 1) Имеется 100 граммов 30% -го раствора соли. Его смешали с 200 граммами воды. Чему равна концентрация полученного раствора? 2) К 300 граммам 20%-го сахарного сиропа добавили 100 граммов воды. Чему равна концентрация полученного сиропа? Какое выражение может быть ‘^лишним”: ^ ^ ^ ; а :(Ь + с); (а + 6): с; а + Ь : с 1) а Ь + с' 2) а : с - Ь : с; а - Ь а-Ь : С", 1681 Найди X из пропорции: а_ с h с 1)Т^ = 1 0,3 0,01’ 1 л. 2) —- = — • Ьх .2’ ^3 3) л:-3,8 0,4 Зх 5 1б9| 1) Поезд дит расстояние между двумя станциями за 3,2 ч. Сколь- ко времени ему понадобится, чтобы пройти с той же скоростью путь: а) в 4 раза меньший; б) в 2,5 раза больший? 2) Бригада рабочих отремонтировала некоторый участок дороги за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на ремонт этого участка бригаде, производительность которой: а) на 20% выше; б) на 50% ниже? По таблице установи вид зависимости между величинами, если известно, что она является прямой или обратной пропорциональностью. Построй формулу и график этой зависимости. 1) X 1 2 3 4 5 6 У 3 6 9 12 15 18 2) X 1 2 3 4 6 9 18 У 18 9 6 4,5 3 2 1 1711 Реши задачу двумя способами: Смешали 200 граммов 25% -го раствора серной кислоты и 300 граммов воды. Чему равна концентрация полученного раствора? 172| Найди наименьшее число, которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9. 43 Глава 2, §4, п.З — 3. Графики прямой и обратной пропорциональности. Зависимости между величинами можно задавать с помощью таблиц, формул и графиков. В таблицах фиксируется результат измерения величин, графики наглядно представляют зависимости между ними, а формулы позволяют исследовать их свойства. Именно поэтому способ задания зависимостей с помощью формул называется аналитическим, в отличие от табличного и графического способов. Рассмотрим три ситуации: движение автомобиля со скоростью 2 км/мин, покупку тесьмы по цене 2 р./дм и распечатку текста на принтере с производительностью 2 стр./мин. Зависимости между временем движения и пройденным расстоянием, стоимостью покупки и длиной тесьмы, временем распечатки и числом напечатанных страниц являются прямо пропорциональными и задаются формулами: s = 2<, С = 2л, А = 2t. Составим таблицы и построим графики этих зависимостей: s = 2t С = 2п A = 2t t 1 2 3 4 5 8 2 4 6 8 10 п 1 2 3 4 5 С 2 4 6 8 10 t 1 2 3 4 5 А 2 4 6 8 10 t мин Мы видим, таким образом, что таблицы и графики получились совершенно одинаковыми, только обозначения на осях имеют разный смысл. Отвлекаясь от конкретных величин и обозначая их буквами хиу, получим общую формулу у = 2х, ее таблицу и график. Он называется графиком прямо пропорциональной зависимости у = 2х. Этот график позволяет анализировать все три рассмотренные выше ситуации одновременно. Так, определив по графику, что значению х = 3,5 соответствует у — 7, мы тем самым определяем сразу, что за 3,5 мин автомобиль проедет 7 км, за 3,5 дм тесьмы надо заплатить 7 р., а за 3,5 мин принтер распечатает 7 страниц. у = 2х X 1 2 3 4 5 У 2 4 6 8 10 44 Глава 2, §4, п.З дается формулой у Вначале составим таблицу некоторых значений х и X 1 2 3 4 6 8 12 у 12 6 4 3 2 1.5 1 Формула у = 2х является частным случаем формулы у = kx при k = 2. Придавая коэффициенту k различные значения, мы будем получать различные расположения графиков па плоскости, но все эти графики - прямые линии. Построим теперь график обратной пропорциональности при /г = 12. Он за-12 X соответствующих им значений у, отметим точки с координатами (х; у) на координатной плоскости и соединим точки линией. Полученный график может служить моделью разнообразных практических ситуаций. Например, если расстояние между двумя поселками равно 12 км, то по этому графику можно проследить, как зависит время у прохождения этого пути от скорости х: при скорости 2,4 км/ч весь путь будет пройден за 5 ч, при скорости 8 км/ч - за 1,5 ч, а при скорости 12 км/ч - всего лишь за 1 ч. При различных значениях k графики обратной пропорциональности будут получаться различными. Но все они, как и графики прямой пропорциональности, будут похожи друг на друга. У 4 12 5 4 2 1.5 1 12 У X лтг \ ' :\ч i ; i i f t ■ -Д- - ! — . л! -- • ' — 1 ' \ . : V. -1-^1 1 i. i i Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй ее таблицу и график и реши с помощью графика все четыре задачи одновременно. 1) Лыжник идет со скоростью б км/ч. Какое расстояние он пройдет за 2,5 ч? За какое время он пройдет 27 км? 2) Литр питьевой воды стоит 6 р. Сколько надо заплатить за 2,5 л питьевой воды? Сколько питьевой воды можно купить на 27 р.? 3) Через кран поступает в минуту 6 л воды. Сколько воды поступит через крап за 2,5 мин? За сколько времени через кран поступит 27 л воды? 4) Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на угол б“. На какой угол повернется она за 2,5 мин? За сколько времени повернется минутная стрелка на угол 27"? ЕЦ Построй на одном чертеже графики зависимостей: 1/ = 0,5дг, у = х, у = 2х, у = 4х, у = Ьх. Рассмотри их расположение и сделай вывод. Глэза 2. §4, п.З На чертежах представлены графики прямой пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. Какие значения может принимать когда х изменяется в границах: 1 < л: < 4? Построй формулу, описывающую зависимости мелсду величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй для нее таблицу и график. Используя график, реши все четыре задачи одновременно. 1) Расстояние от поселка до железнодорожной станции 24 км. Чему должна быть равна скорость движения, чтобы преодолеть это расстояние за 1,5 ч? За сколько времени пройдет его пешеход со скоростью 6 км/ч? 2) Объем бассейна 24 м^. Чему равна производительность трубы, подведенной к бассейну, если бассейн наполняется через нее за 1,5 ч? За сколько времени наполнится этот бассейн трубой производительностью 6 м^/ч? 3) За 1,5 кг моркови заплатили 24 р. Чему равна цена моркови за килограмм? Сколько капусты по цене 6 р. за килограмм можно купить на эти же деньги? 4) Площадь прямоугольника 24 см^. Чему равна его длина, если ширина равна 1,5 см? Чему равна ширина прямоугольника той же площади, длина которого равна 6 см? Построй на одном чертеже графики данных зависимостей. Рассмотри их расположение и сделай вывод. 1) У = X 3) X X 0,5 1 2 3 6 12 у 12 . -i) i/--: X 2 3 4 6 8 12 У X 1 2 3 4 6 12 У 36 X 3 4 6 9 12 у 46 -----------------------------------------------------Глава 2, §4, п.З 1781 На чертежах представлены графики обратной пропорциональности. Определи по ним коэффициенты пропорциональности и запиши формулы. При каких значениях х значения у изменяются в границах: 2 < // < 5? О [1791 Счет-тест. (Каждое задание выполняется в течение 2 мин. Записываются только ответы.) 0,3 + 4 2)0,6-10 3)5,8: 10 4)0,5-0,1 1,2 + 0,5 100-2,4 3,6 : 0,1 0,18 : 0,2 0,04 + 0,6 0,08-8 2,5 : 100 0,42 + 5,8 0,52 + 0,4 0,3-0,05 9,6 : 0,01 2,4-0,125 21,8 + 0,6 0,72 0,56 : 7 3,6 - 2,9 4-0,9 0,9-0 4,8 : 0,4 600-0,7 1-0,08 7,2-0,01 6 : 0,15 4 : 0,25 2,5-0,7 1,25-0,8 0,48 : 0,006 1,04-0,76 0,3-0,03 0,4-0,25 0,26 : 1,3 545,4 : 54 5,06 - 1,5 0,2'^ 3,418 : 341,8 2-0,012 1801 Вычисли значение выражения, запиши ответы в таблицу и расшифруй математический термин: >—•13 9 0 6:si 10,32-8,6 К 0.9. l| э 4,78-20,5 А f+ 2,7 О 5 22,57 : 7,4 Н 4|: 1,9 4 ф 23-1,75 3^7 ^ 5,625 : f 6 1,2 22 11 12 6,75 6,75 6 1 — 12 6 97,99 2,5 3,05 47 Глава 2, §4, л.З _ ID к данной тройке чисел подбери четвертое натуральное число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Укажи все возможные варианты. 1)12; 4; 6; 2)3;1;15. Докажи утверледенил, если Ь ^ О, d 0\ а + пЬ с + nd лч а с пЬ - а nd - с d ^ 1) £ = £ ’ Ь d о 2) f h d ' ' b d b d Являются ли величины прямо или обратно пропорциональными: а) время движения и пройденный путь при постоянной скорости; б) пройденный путь и скорость движения при постоянном времени; в) скорость и время, затраченное на один и тот же путь в школу; г) стоимость и количество товара при данной цене; д) производительность труда и объем выполненной работы при постоянном времени; е) длина и масса стандартного трамвайного рельса; ж) долгота дня и ночи в сутках; з) масса нескольких одинаковых конфет и их количество; и) расстояние по железной дороге и стоимость билета при постоянном тарифе за один километр; к) длина окружности колеса и количество оборотов этого колеса на данном расстоянии? Реши задачу двумя способами: 1) За 2 кг картошки заплатили 30 р. Сколько стоят 8 кг картошки? 2) Два одинаковых трактора, работая равномерно, вспахали поле за б дней. За сколько дней вспашут это поле 4 таких трактора, если будут работать с той же производительностью? 3) Поезд проехал 612 км за 9 ч. Сколько километров он проедет за 3 ч, если будет ехать с той же скоростью? 4) Автомобиль на путь 250 км затратил 18 л бензина. Сколько бензина потребуется ему, чтобы проехать 500 км при том же расходе бензина па 1 км? Реши уравнения: 0,2.г 3 1,1л: 5 ’ 1) 0,35 0,45 10’ 3) 2 11 2) (бд: + 2,4) :3|= 2,25 :|; На рисунке изображен план фасада дома, выполненный в некотором масштабе. Длина фасада реального дома равна 10 м. Выполни на чертеже необходимые измерения и определи: а) высоту стен реального дома; б) высоту дома с учетом крыши. 0,8 = (5д: + 6): 13. 48 Глава 2, §4, п.З О Длина первого прямоугольника па 20% больше длины второго, а ширина -на 40% меньше ширины второго. На сколько процентов площадь первого прямоугольника меньше площади второго прямоугольника? Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при сохранении оплаты за единицу продукции заработная плата выросла на 5% ? |289j Построй формулу, описывающую зависимости между величинами в данных задачах. Построй таблицу и график этой зависи.мости и реши по графику обе задачи одновременно. 1) Спортсмен бежит со скоростью 5 м/с. Какое расстояние он пробежит за 4 с? За сколько секунд он пробежит расстояние, равное 15 м? 2) Набор одной страницы рукописи на компьютере стоит 5 р. Сколько рублей надо заплатить за набор 4 страниц? Сколько страниц набрано, если оплата составила 15р.? Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех трех задачах. Построй таблицу и график этой зависи.мости и реши но графику все три задачи одновременно, 1) Расстояние от деревни до поселка 6 км. За сколько времени проедет его велосипедист, скорость которого 12 км/ч? С какой скоростью надо идти пешеходу, чтобы пройти это расстояние за 2 ч? 2) Бак вмещает 6 м^ воды. За сколько времени выкачает воду из этого бака насос, производительность которого 12 м'^/ч? С какой производительностью работает насос, который выкачивает всю воду за 2 ч? 3) В бидоне 6 л молока. Его разлили поровну в 12 банок. Сколько литров молока в каждой банке? Сколько двухлитровых банок можно наполнить из этого бидона? Реши каждую задачу несколькими разными способами: 1) За 3 одинаковые книги заплатили 324 р. Сколько рублей стоят 12 таких книг? 2) Заготовленного корма хватит двум хомякам на 60 дней. На сколько дней хватит этого корма 8 хомякам при постоянном расходе корма на одного хомяка в день? 192| Реши уравнения: 1)3:с:0,2 = 2у:^; 2) 6,8 _ 2 X + S X Докажи высказывания, если Ь ^ 0, d ^ 0, Ь ^ d: а с .. а + 26 с + 2d 1) Ь d ^ 2) ^ ^ Ь d а - с b-d с_ d 4~Лорофссв. U К.1. Ч. 2 49 Глава 2, §4, п.4 1941 Найди значение выражений Л, В и С. Подбери четвертое число так, чтобы получилась пропорция. Сколько различных чисел можно подобрать? 0 0,992 + (8,109 : 1,5 + 840 • 1,04 - 791,406): 12,5; [c][l8i:ll+0.8-(4i-3f)f. Имеется 4 арбуза различной массы. Как, пользуясь чашечными весами без гирь, расположить их по возрастанию массы посредством не более пяти взвешиваний? 1961 Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся на 2, но не делятся на 3; б) делятся на 2 или на 3; в) не делятся ни на 2, ни на 3? 4. Решение задач с помош;ыо пропорций. Если зависимости прямо или обратно пропорциональные, то соответствующие значения величин образуют пропорцию. Действительно, из формулы прямой пропорциональности у = kx следует, что k = поэтому отношения соответствующих значений пропорциональных величин равны к и, следовательно, равны между собой: Ё1 = XI Х2 ' Переставив в этой пропорции крайние члены, получим пропорцию ^ = Ml Xi~ J/l ’ Другими словами, если величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины. Аналогичные рассуждения проведем для обратно пропорциональных вели- чин. Из формулы обратной пропорциональности У ~ ~ следует, что к = ху, а значит, произведения соответствующих значений величин х и у равны. Из равенства х^ • y^ = х.^ • у.^ на основании перекрестного правила получаем х,-у,=х^’ J/2 уг Таким образом, если величины обратно пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины. Установленные правила позволяют использовать пропорцию для решения задач, в которых говорится о прямо или обратно пропорциональных величинах. 50 Глава 2, §4, п.4 Алгоритм решения задач с помощью пропорций сформулируем следующим образом: 1. Внимательно прочитать условие и вопрос задачи. 2. Установить вид зависимости (прямая или обратная пропорциональность). 3. Проверить соответствие единиц измерения. 4. Обозначить неизвестную величину х. 5. Составить по условию задачи таблицу. 6. Записать пропорцию. 7. Решить полученное уравнение. 8. Проверить соответствие полученного ответа реальности. 9. Ответить на вопрос задачи. Приведем несколько при.меров решения задач с помощью пропорций. Задача 1. Автомобиль на 56,8 км пути затратил 4,26 л бензина. Сколько литров бензина потребуется ему, чтобы проехать 160 км при постоянном расходе бензина на 1 км? Решение: Пусть X л - расход бензина на 160 км. Количество израсходованного бензина при данных условиях задачи пропорционально пройденному пути. I 56,8 км — 4,26 л I т 160 км — хл т 56,8 4,26 <=> X 160-4,26 о X 5^. <=> дг= 12 160 X 56,8 О т в е т: потребуется 12 л бензина. Задача 2. На путь от одного поселка до другого велосипедист, двигаясь со скоростью 12,5 км/ч, затратил 0,7 ч. С какой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть этот путь за 0,5 ч? Решение: Пусть X км/ч - искомая скорость велосипедиста. Скорость движения (при постоянном пути) обратно пропорциональна времени. I 12,5 км/ч — 0,7 ч j т X км/ч — 0,5 ч I 12,5 X 0,5 0,7 о _12,5-0,7 0,5 25 <Р> Х = 126-7 о jc = 17,5 Ж- 10 1 Ответ: велосипедист должен был ехать со скоростью 17,5 км/ч. С помощью пропорций можно рещать и задачи на проценты, так как число процентов пропорционально соответствующей части величины. Преимущество данного способа состоит в том, что с помощью пропорций все три типа задач на проценты решаются одинаково. Приведем пример. 4* 51 Глава 2, §4, п.4 Задача 3. Цена сыра, равная 280 р., увеличилась на 15%. Какой стала новая цена сыра? Решение: 1) Пусть X р. - сумма, на которую произошло повышение цены. 1 280 р. хр. о X = 280 100 15 2) 280 + 42 = 322 (р.) 15 100% 15% • 280 100 <=> х = 42 Ответ: новая цена сыра 322 р. Конечно, вычислить 15% от 280 р. быстрее умножением 0,15 • 280. Но зато способ пропорций “унифицирует” задачи на проценты, то есть делает их одинаковыми. Каким способом действовать - пусть каждый выбирает сам. Лучше всего знать оба способа, а решать тем, который удобнее. О Ш в чем состоит способ пропорций! Объясни, почему величины в задачах прямо пропорциональны, и реши их способом пропорций. 1) Наташа готовит для школьного вечера пригласительные билеты. За полчаса она успела оформить 4 билета. За сколько времени, работая с той же скоростью, она оформит 30 билетов? 2) Для приготовления 4 порций салата требуется 50 г майонеза. Сколько майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата? 3) Спортсмен, пробежав по кругу стадиона 20 раз, преодолевает 9 км. Сколько километров он преодолеет, пробежав 14 кругов? 4) Из 14 м ткани можно сшить 5 одинаковых платьев. Сколько метров ткани нужно на 3 таких платья? Объясни, почему величины в задачах обратно пропорциональны, и реши их способом пропорций. 1) Автомобиль, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проехал расстояние между двумя городами за 4 ч 30 мин. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы пройти обратный путь за 4 ч? 2) Машинистка печатает со скоростью 180 знаков в минуту. Она может набрать некоторую рукопись за 8 ч. За сколько времени наберет ее машинистка, печатающая со скоростью 200 знаков в минуту? 3) В магазин привезли одинаковое количество яблок и груш. Яблоки разложены в 25 ящиков по 18 кг в каждом, а груши - в 30 ящиков поровну. Сколько килограммов груш в каждом ящике? 4) Маленькое колесо повозки, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов сделало при прохождении этого же расстояния большое колесо с длиной окружности 3 .м? 52 Глава 2, §4, п.4 Определи вид зависимости между величинами в задачах и реши их способом пропорций. 1) Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает с той же скоростью 300 страниц? 2) В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150 г? 3) Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40 л, если расход бензина на 1 км останется прежним? 4) На первой из двух сцепляющихся шестерен 32 зубца, а на второй - 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов? Реши задачи на проценты способом пропорций. 1) Сколько серной кислоты в растворе массой 75 г, если концентрация раствора составляет 12% ? 2) В 80 т железной руды после ее обогащения содержится 76 т железа. Какой процент железа в обогащенной руде? 3) Вкладчик положил деньги в банк под 6% годовых и получил через год доход 81р. Какая су.мма была положена в банк? Определи, какие компоненты арифметических действий связаны прямой, а какие - обратной пропорциональной зависимостью. Используя способ пропорций, реши задачи. 1) Если некоторое число умножить на 9 -д, то получится 3,5. Что получится, если умножить это же число на 0,8? 2) Если некоторое число разделить на 2 , то получится 28. На сколько надо разделить это же число, чтобы получить в частном 0,6? 3) Если 7,68 разделить на некоторое число, то получится 240. Какое частное получится, если разделить на тот же делитель число 1,44? Задача-шутка. Один петух разбудил своим пением двух человек. Сколько надо таких петухов, чтобы разбудить 10 человек? Поп со своим работником Балдой возвращались с базара домой со скоростью 4,5 версты в час и 2 прошли весь путь за 1 — ч. С какой скоростью они должны были идти, чтобы вернуться домой на 10 мин раньше? 53 Глава 2, §4, n.4 |Ш1 Самолет, двигаясь со скоростью 720 км/ч, пролетел расстояние между двумя городами за 2,25 ч. На сколько ему надо увеличить скорость, чтобы сократить время перелета на 15 мин? Мотоциклист за 1,5 ч проехал 40% всего пути. Через сколько времени ему останется проехать треть всего пути, если скорость его не изменится? Четверо рабочих могут выполнить некоторую работу за 18 ч. Сколько еще надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи? Первая машинистка печатает страницу за 8 мип, а вторая - за 10 мин. Первая машинистка отпечатала за некоторое время 25 страниц. Сколько страниц отпечатала за это же время вторая машинистка? Некоторое расстояние автомобиль проезжает за 3 ч, а грузовик - за 4 ч. Они одновременно выехали из двух городов навстречу друг другу. Автомобиль проехал до встречи 120 км. Какое расстояние проехал до встречи грузовик? Реши задачи двумя способами - способом пропорций и по правилам решения задач на проценты. Какой способ ты находишь более удобным? 1) Площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли 45% всей площади. Сколько гектаров поля засеяно кукурузой? 2) Завод выпустил за первую декаду месяца 1540 автомобилей, что составило 44% месячного плана. Сколько автомобилей должен по плану выпустить завод за месяц? 3) Из 150 деревьев, посаженных в парке, 84 тополя. Какой процент всех посаженных деревьев составляют тополя? Найди два способа решения задачи. Из 100 кг молока получается 8 кг сыра. Сколько килограммов молока нужно для приготовления 30 кг сыра? Бригада из 4 человек выложила за 6 ч стену из кирпичей высотой 4,8 м. За какое время могла бы выложить стену такой же ширины и высотой 8 м бригада из 2 человек, работающих с такой же производительностью? Для трех лошадей запасли 900 кг сена на 60 дней. Сколько сена надо запасти для пяти лошадей на 120 дней, если расход сена на каждую лошадь одинаков? 54 Глава 2, §4, п.4 Для 8 человек, отправляющихся в экспедицию на 30 дней, заготовлено 180 кг крупы. 1) Сколько килограммов крупы при той же норме надо добавить к уже заготовленной, если в экспедицию отправляются 5 человек на 80 дней? 2) На сколько дней хватит 360 кг крупы, если в экспедицию отправляются 12 человек? щщ [22^ Интеллектуальная разминка. Подбери для данных трех слов четвертое так, чтобы оно “относилось” к третьему, как второе к первому: 1) Труд - награда, лень - ... 3) Кино - экран, театр - ... 2) Дружба - любовь, вражда - ... 4) Человек - туловище, дерево - ... 2151 Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности: 1,2-0,5 3) 1600-0,00075 4) 4^-2,75 0,024 : 0,08 6-2| 10,556 : 5,2 1в:в| 3,1 - 2,95 3,5+ 5| о 5-1,996 1Ц+1.5 0,005 + 0,07 nf.2,4 2,647 + 1,3535 1— • 4 9 Как изменятся: 1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 5, а другое увеличить на 4; 2) разность, если уменьшаемое увеличить на 5, а вычитаемое увеличить на 4; 3) произведение, если один множитель уменьшить в 3 раза, а другой -уменьшить в 6 раз; 4) частное, если делимое уменьшить в 3 раза, а делитель уменьшить в 6 раз? Сравни выражения (d, k ^ 0): 1) а + 1,8 и а + 1у; 3) с• if- и 1,6с; 5 5) л - 2,5 и «-2|; 2) 2^-Ь и 1,4-5; 4 4) d : и d:^; 6) 1^ :А и Найди число, если: 1) четверь его трети составляет 3 ^ ; О 2) 80% от его половины равны 0,72; 7 3) —- числа на 0,5 меньше — этого числа; 12 6 4) 120% от числа в 4 раза больше разности этого числа и 3,5. 55 Глава 2, §4, п.4 219| 1) Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби у, чтобы получить дробь, равную 0,5? 22’ 2) Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби 2 чтобы получить дробь, равную — ? О 3) Знаменатель дроби на 8 больше числителя. Если к числителю дроби прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, то получится дробь, равная 0,4. Чему равен знаменатель донной дроби? 4) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится дробь, равная 0,125. Чему равен числитель данной дроби? 220| Придумай но данному выражению задачу о “доходах” (прибавлении денег) и “расходах” (уменьшении денег) и найди ответ: 1) (+3) + (-7); 2) (-5) + (+8); 3) (-1) + (-4). 2211 Придумай задачу о доходах и расходах по данному выражению и схеме. Как, пользуясь этой аналогией, записать выражение короче, без скобок? ^ -3 _ (+2) -I- (-3) ---1- -3 -2 -1 о 1 222| Найди значения выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой: 1)4-5; 2) -3 + 8; 3)-2-4; 4) -1 + 5. 2231 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 2) Найди на рисунке отрезки, являющиеся медианами треугольников: 3) Сколько медиан в треугольнике? 4) Начерти произвольный треугольник и проведи все его медианы. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать построенную гипотезу доказанной на основании выполненных построений? 56 Глава 2, §4, п.4 2241 Вычисли: [(40,6-7,48): 1,6 - (44,6 • 0,0108): 0,24]: 2,79 + (132 f 14,042 i 3,25): 45,24. Реши задачи способом пропорций: 1) Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см? 2) Для класса куплено 120 тетрадей по 12,5 р. Сколько тетрадей по цене 15 р. можно купить на ати же деньги? Реши задачи на проценты способом пропорций: 1) За перевозку мебели заплатили 1200 р., что составило 4% ее стоимости. Сколько рублей стоила мебель? 2) Костюм до снижения цен стоил 7500 р. Цена на костюм снижена на 6%. На сколько рублей снижена цена? 3) В растворе массой 280 г содержится 56 г соли. Чему равна концентрация этого раствора? Подводная лодка, передвигаясь со скоростью 15,6 км/ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на 30 мин быстрее? Длина прямоугольника 18,4 см, а площадь - 276 см^. На сколько надо увеличить длину, чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 см2? Реши задачу двумя способами: В зале расставили 288 стульев в 12 одинаковых рядов. Сколько таких дов получится из 360 стульев? ря- Бригада из 4 человек за 28 дней сшила 560 одинаковых комплектов белья. За сколько дней сошьет 300 таких же комплектов бригада из 6 человек, если все портные будут работать с одинаковой производительностью? Числитель дроби на 8 меньше знаменателя. Если числитель увеличить в 2 2 раза, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная —. На 1 сколько данная дробь больше, чем — ? о 232| Построй треугольник АВС и проведи в нем медианы AM и BN. Пусть О -точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков АО : ОМ и ВО : ON, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать данное утверждение доказанным? 57 Глава 2, §4, п.5 [23^ Вычисли: [(4 •2,4+ 0,6-3 ) 1у: 2,6+ 0,4 28 :0,1 9 9 (3-125 + 2341 Адам Рис (1492 — 1559 гг.) Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев? Йз1 Бхаскара I (VI в.) Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящееся на 7. Бхаскара II (1114 — 1185 гг.) Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящены соответственно богам Шиве, Вишну и Сурье, одна четвертая - Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок? 5. Пропорциональное деление. Необходимость разделить заданную величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека - при приготовлении различных смесей, растворов, блюд по кулинарным рецептам, при распределении прибыли или мест в парламенте и т. д. Например, если два предпринимателя вложили в проект соответственно 3 млн. р. и 5 млн. р. и получили 12 млн. р. прибыли, то справедливость требует, чтобы полученная прибыль делилась пропорционально их вложениям, выраженным соответственно числами 3 и 5. Само слово “пропорционально” происходит от латинского proportio - “соразмерность”. Как же узнать, сколько денег должен получить каждый предприниматель? Обозначим части, которые они должны получить, соответственно а и Ь. Тогда а : ft = 3 : 5. Поменяем в пропорции местами средние члены и обозначим коэффициент пропорциональности к. Получим равенство ah. 3 5^’ из которого следует, что а = 3к, Ь = Ък. Так как сумма двух частей составляет 12 млн. р., то значение к должно удовлетворять равенству ЗЛ + 5/г=12 8/г = 12 о Л=1,5. Значит, при справедливом распределении прибыли первый предприниматель должен получить 1,5 • 3 = 4,5 млн. р., а второй - 1,5 • 5 == 7,5 млн. р. 58 Глава 2, §4, п.5 Задача. Для приготовления строительного раствора на 2 части цемента берут 2 части песка и 0,8 частей воды. Сколько цемента, песка и воды потребуется для приготовления 180 кг раствора? Решение: 1) Пусть для приготовления строительного раствора требуется а кг цемента, Ь кг песка и с кг воды. Обозначим коэффициент пропорциональности /е, тогда — = — = — = ь 2 2 0,8 Следовательно, а = 2/е, Ь = 2k, с = 0,8/г. По условию, сумма всех частей равна 180 кг, значит: 2/г + 2Л + 0,8й = 180 « 4,8/г = 180 о /г = 37,5. 2) 37,5 • 2 = 75 (кг) - потребуется песка и цемента. 3) 37,5 • 0,8 = 30 (кг) - потребуется воды. Ответ: потребуется 75 кг цемента, 75 кг песка и 30 кг воды. Для краткого обозначения условия таких задач - задач о прямо пропорциональном делении - в математическом языке используют иногда “длинные отношения”. Например, условие последней задачи можно записать так: а : Ь : с = 2 : 2 : 0,8. При этом говорят: “Числа а, Ь мс относятся как 2 к 2 к 0,8”. Другими словами, длинные отношения - это условные .записи, которые показывают, сколько равных долей величины, принятой за единицу, приходится на каждую часть. Их нельзя понимать как запись деления нескольких чисел. Действительно, подставив в последнее равенство вместо букв соответствующие им значения а,Ьмс, получим верное высказывание 75 : 75 : 30 = 2 : 2 : 0,8, тогда как при непосредственном подсчете левой и правой части получаются разные числа: в левой части - , а в правой - 1,25. oU Зато длинные отношения можно преобразовывать, как обычные дроби: умножать все его члены на одно и то же число, сокращать. Эти преобразования позволяют упрощать запись, а значит, и решение задач. Так, если бы в нашей задаче мы сначала умножили все члены отношения на 10, а затем разделили их на 4, то избавились бы от дробей: 2 : 2 : 0,8 = 20 : 20 : 8 = 5 : 5 : 2 и тем самым получили более простое уравнение. Решая задачи на пропорциональное деление, мы вновь наблюдаем, как абстрактные математические понятия - в данном случае прямая и обратная пропорциональность - помогают отвечать на серьезные практические вопросы. 59 Глава 2, §4, п.5--------------------------------------------------- о |23Т| Раздели число: а) 60 в отношении 5 : 7; б) 15,4 в отношении 3 : 8; в) 210 в отношении 1 : 2 : 3; г) 0,32 в отношении 2:5:9. |238| Упрости отношения: а) 2,5 : 4,5; б) у : 5; в) 2 : 4 : 12; г) 5 : 35 : 45; д) 0,2: 0,4: 0.5; ч 1 . 2 . 8 . 9 ■ 9 ■ 9 ’ Раздели число: а) 39 в отношении 0,25 : 6,25; 5 2 б) 8,4 в отношении ^ ’ 3 в) 216 в отношении 0,3 : —; 14 г) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8; 2 3 д) 5 — в отношении — : 2 : 1,5; 3 4 7 15 е) 250 в отношении — : 2,5 : — : — 12 4 6 240| в ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Его передали двум бригадам, в одной из которых 8 человек, а в другой - 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при пропорциональном распределении заказа между работниками? 2411 За компьютерный набор рукописи два оператора получили 3500 р. Один из них набрал 105 страниц данной рукописи, а другой - остальные 35. Какая сумма денег была выплачена за эту работу каждому оператору, если стоимость страницы набора была постоянна? Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2 : 5, причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой. Найди длину каждой части. 243| Отрезок MN разделен точками К и Т в отношении 1:2:3, причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой. Чему равна длина всего отрезка? Периметр треугольника равен 150 м. Чему равны длины его сторон, если их отношение равно 3:3:4? 245| Длины сторон четырехугольника пропорциональны числам 2, 5, 3 и 7, а его большая сторона на 30 см превышает меньшую. Чему равен периметр четырехугольника? 246| Для праздника купили красные и белые шары в отношении 5 : 3. 1) Чему равно отношение числа красных шаров к числу всех шаров? 2) Чему равно отношение числа белых шаров к числу всех шаров? 3) Сколько процентов всех шаров составляют красные, а сколько - белые шары? 60 Глава 2, §4, п.5 ш 2^ Число однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир в доме относится как 2:3:5. 1) Чему равно отношение числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир? 2) Сколько процентов всех квартир составляют однокомнатные квартиры? Число мужчин, женщин и детей, отдыхающих в пансионате, пропорционально числам 3, 4 и 1. 1) Сколько всего отдыхающих в пансионате, если детей в нем 12? 2) Сколько мужчин в пансионате, если женщин и детей вместе 45? 3) Сколько в пансионате детей, если женщин на 42 больше, чем мужчин? 4) Сколько процентов всех отдыхающих составляют дети? В хоровой студии занимаются 96 детей. Отношение числа детей в младшей, средней и старшей группах равно соответственно 7:5:4. На сколько больше детей занимается в младшей группе, чем в старшей? При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых деревьев относилось как 10 : 3 : 7. Сколько деревьев каждого вида следует посадить на прямоугольном участке размером 180 м х80 м, если под каждое дерево выделяют участок 45 м^? Лиственные деревья занимают 40% площади лесного участка. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причем их площади относятся как 2:3. Определи площадь всего участка, если сосновый лес занимает на 54 га меньше, чем еловый. Три коммерсанта вложили в проект соответственно 0,5 млн. р., 1,6 млн. р. и 2,9 млн. р. Проект принес 32% прибыли. На 80% полученной прибыли они закупили оборудование, а остальные деньги распределили пропорционально вложенным суммам. Сколько денег получил каждый из коммерсантов? В трех шестых классах школы 108 учащихся. Число учащихся 6 “А” относится к числу учащихся 6 “Б” как 4 : 5, а число учапщхся 6 “В” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “А” и 6 “Б”. Сколько учеников в каждом из шестых классов? Среднее арифметическое трех чисел равно 8,4. Первое из них на 20% меньше второго, а второе относится к третьему как 5:9. Найди эти числа. 61 Глава 2, §4, п.5 Раздели число а на три части a^, a.^w а^, если: 1) а = 75, : ag = 3 : 4 и а2:аз = 8:11; 2) а = 12,3, а, : = 2 : 3 и : ag = 4 : 7; 3) а = 150, ttj : = 0,8 : Y и : ад = 1,5 : 1,8; 4) а = 15-i, : «2 = 0,5 : 2 и Og: а = 0,5 :. ----h ^ 256| Для изготовления фарфора берут глину, гипс и песок в следующих отношениях: масса гипса относится к массе глины как 1 : 25, а масса песка относится к массе гипса как 2:1. Сколько этих материалов надо взять, чтобы изготовить 56 кг фарфора? 257| Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника, если АВ относится к ВС как 3 : 4, а ВС относится к АС как 2:3. 258| 1) Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как 3:8, второе к третьему - как 2 : 5, а сумма первого и третьего равна 4,6. 2) Найди три числа, если первое относится ко второму как 0,5 : 0,6, второе 2,1 к третьему - как — : 17г. а разность третьего и первого равна 5,5. О О 3) Найди числа а, Ь, с и с/, если а : Ь = 1 : 2, Ь : с = 3 : 4, c:d = 2:7, аих сумма равна 90. 3 1 4) Найди числа а, 5, с и d, если а : Ь= — : 0,5, Ь : с = 1,2 : —, с : d = 5 : 2, 4 о а их среднее арифметическое равно 1,3. 259| Трем победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей суммой 15 млн. р. При этом вторая премия составила 2 60% первой и относится к третьей как 1 : —. Чему равны размеры этих премий? Фермер засеял три участка земли. Площадь первого составляет 30% площади второго, а площадь второго относится к площади третьего как 2,5 : 3. Чему равна общая площадь всех трех участков, если известно, что площадь третьего больше площади первого на 4,5 га? О 12^ Вычисли устно. Составь ряд, образованный ответами примеров, и продолжи его на два числа, сохраняя закономерность: 248 + 32 700 : 14 6-2,8 1 : 4 3,8 : 19 4,7+ 1,3 : 40 •9 : 4 -0,2 •24 :0,1 •60 - 70 •3 •8 : 3 •0,25 -90 : 20 + 0,8 ■f 0,35 + 5,4 : 50 : 33 + 6 : 3,2 : 0,3 : 70 - 0,05 ? ? ? ? ? ? 62 Глава 2, §4, п.5 'Щ Выполни действия и расшифруй математические термины. Какие из них тебе уже известны, а какие - еще нет? 1^ 0,768 ^4,32 0 3,6-41,25 0 0,216:0,06 0 0,6472:0,8 0 8- 7,095 0 2,75 • 4,08 0 0,6606 : 0,009 0 293,48 : 5,8 0 4,24 - 2,756 0 1500-0,602 0 0,0595:1,7 0 14,408:1,6 0 40,7-4,07 0 80,4-4,05 0 213,3:0,79 0 1701,6:0,24 1,484 903 3,6 5,088 0,035 11,22 270 0,905 50,6 0,035 5,088 3,6 0,035 1,484 0,905 0,905 1,484 5,088 50,6 325,62 0,035 1,484 7090 11,22 9,005 148,5 73,4 36,63 0,809 7090 11,22 9,005 Что общего и что различного в выражениях? Прочитай выражения и найди их значения при а = , 5 = 0,5: О 1) За + 2) (За+ 5)2; 3) 3(а + 5)2; 4) 3(а + 52). ш Переведи на математический язык: 1) Разность удвоенного числа а и куба числа 5 на 4 больше половины числа с. 2) 40% числа с/ на 5 меньше отношения квадратов чисел тип. 3) Частное суммы двух чисел и первого из них в 12 раз меньше разности квадратов первого и второго числа. 4) Произведение разности двух чисел и вычитаемого составляет 20% от утроенного квадрата уменьшаемого. Дачи двух друзей - Петра и Антона - находятся на одном шоссе: дача Петра - на расстоянии 60 км от Москвы, а дача Антона - на расстоянии 80 км от Москвы. Однажды друзья выехали одновременно со своих дач в Москву на велосипедах. Петр ехал со скоростью 15 км/ч, а Антон - со скоростью 20 км/ч. Запиши формулу зависимости расстояния d км между ними от времени движения t ч (до момента встречи). Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений 0 < < < 4. 63 Глава 2, §4, п.5 266| в физике установлен следующий закон (закон Гука): F = kx, где F - сила упругости при растяжении (сжатии) упругого тела, k - коэффициент упругости этого тела, х - изменение его длины. Укажи вид зависимости между F VIX при постоянном k. Вырази из этой формулы значения kvix. 267| Найди среди данных формул прямую и обратную пропорциональности. Построй для каждой из них таблицу и график: 1) I/ = X +5; 2) у= 12-х; 3) t/ = 2х; 5) у = х^; 6) у = ох - 3; 7)у = 8:х; Q4 12 2б8| Для 6 порций суфле из тыквы требуется 800 г тыквы, 150 г манной крупы, 100 г муки, 8 яиц, 50 г сыра, 0,5 стакана молока, 100 г сливочного масла, 1 столовая ложка сахара и 1 чайная ложка соли. Какое количество каждого из продуктов потребуется для приготовления 15 порций этого суфле? 2691 Найди X из пропорций, если значения всех переменных отличны от нуля: ш а с Реши уравнения: 2,5 _ 2,1 2) - = - ; X п 31 —= —• ’ т 2т' 4\—=:hl Ь X ' 1) „2 X - 0,6 ’ ®3 3 ^ ^ 0,05 “ ~ 40х 3 2)(2х + 4): 4,5 = 1^ : 0,01; 4)4у:(16х + 8) = 0,25:х. Реши задачи способом пропорций: 1) Машина грузоподъемностью 2,5 т может перевезти некоторый груз за 18 рейсов. За сколько рейсов сможет перевезти этот груз машина, грузоподъемность которой на 1 т меньше, если загрузка машин в обоих случаях полная? 2) Хозяйка купила 4,5 кг крупы по цене 12,8 р. за килограмм. Сколько крупы по цене на 3,2 р. за килограмм большей можно купить на эти деньги? 2721 Найди неизвестную операцию: 1) 2) + 3 -8 01"° J0 -4 □ -5 3) 4) - 7 + 5 0, -3 0, + 6 + 5 64 Глава 2, §4, п.5 Пользуясь числовой прямой, найди ответы примеров: ш -5-4-3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1-4=? -3+7=? Реши примеры: а) с помощью понятий доходов и расходов; б) пользуясь числовой прямой. 1) -1 + 4; 3)+1-5; 5) - 4 + 8; 7) - 2 - о; 2) -3 + 2; 4) -1-2; 6) + 3 - 9 ; 8) - 8 + 6. I I -I-------1- i t 6 -10 -9 -8 -7 -6 -5-4-3-2-10 1 2 3 4 275| Раздели число: а) 240 в отношении 4:11; в) 56 в отношении 2:3:9; 8 9 10 б) 7,2 в отношении 0,8 : 1 -г-; О Q г) 12,5 в отношении — ; 1,5 : 4. 4 ш 1) Отрезок АВ длиной 15 см разделен точкой С в отношении 3 : 7. Найди длину каждой части. g 2) Отрезок MN разделен точкой К в отношении 3,4 : 1—, причем одна из У частей отрезка на 8 м больше другой. Чему равна длина всего отрезка? 3) Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 6, а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм. Чему равен периметр треугольника? Число девочек в классе относится к числу мальчиков как 2:3. 1) Сколько в классе девочек и сколько мальчиков, если всего в классе 35 человек? 2) Сколько в классе мальчиков, если девочек в нем 8? 3) Сколько в классе девочек, если мальчиков в нем 15? Предприятие выпустило акции. Владельцами 40% акций стали его работники, а остальные акции приобрели фирмы М и N в отношении 7 : 9. У какой из этих фирм акций больше и на сколько, если работникам этого предприятия принадлежат 48 000 акций? 65 Глава 2, §4, п.5 279| Раздели число а на три части a^, и а^, если: 1) а = 88, а, : = 1 : 2 и а^: = 4 : 5; 2) а = 12,4, Uj: = 9 : 7,2 и а^: а^ = ^ : 0,125. Три кладоискателя нашли клад, в котором оказалось 5600 одинаковых старинных монет. Государству принадлежит 75% всех монет, а 30% оставшейся части составили налоги. После уплаты налогов кладоискатели разделили между собой монеты так, что доли первого и второго относились как 2 : 3, а доли второго и третьего - как 5:8. Сколько монет полу^1ил каждый кладоискатель? 281| Реши задачи способом пропорций: 1) Поезд проехал 420 км, что составило 35% ei’O пути. Чему равен путь поезда? 2) За 3,2 м ткани заплатили 284,8 р. Сколько рублей надо заплатить за отрез такой же ткани, в котором на 1,6 м больше, чем в первом? 282| Раздели число 21 на части пропорционально числам А и В: 0 (1200- 1,2): 0,74-0,508+7,704 ; 0,1 - (3,59 - 3,59) • 8^; Ф 1,75 : 1,25 + 1,4 • 1Y + (2,88 + 1^) • 0,1 1: [(2,5:^-0,9): 0,09] [283| Сделай один ступенчатый разрез фигуры, изображенной на рисунке, так, чтобы из двух получившихся частей молено было сложить квадрат. Разрежь три одинаковых треугольника по разным медианам, показанным на рисунке, и сложи из полученных кусков один треугольник. 285| Разрежь квадрат на три части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник. 66 . Глава 2, §4, п.5 Задачи для самопроверки. Пусть длина шага пешехода равна I, а число сделанных им шагов - п. 1) Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния а, пройденного пешеходом, от / и п. 2) Какие из двух величин в этой формуле при постоянной третьей прямо пропорциональны, а какие - обратно пропорциональны? 3) Вырази из этой формулы величины / и п. Волк гонится за зайцем. Скорость волка 12 м/с, а скорость зайца - 8 м/с. Сейчас между ними 100 м. Пусть через t секунд расстояние между волком и зайцем станет d м. Запиши формулу зависимости расстояния d от времени движения i до момента их встречи. Для определения возможностей спортсменов А, В и С тренер предложил им бежать по шоссе “как можно быстрее и дальше”. Используя графики их бега, определи: 1) Кто пробежал дальше всех? 2) Кто бежал дольше всех? 3) Сколько километров пробежал спортсмен А за первый час? Где в это время находились спортсмены В и С - впереди или позади А? 4) Сколько времени бежал спортсметг В? Сколько километров он пробежал? Чему равна его средняя скорость? 5) Кто бежал быстрее всех (с наибольшей средней скоростью)? 6) Сколько километров пробежал спортсмен В, когда С пробежал 12 км? 289| Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим? [T]s = 7a {^а = Ь + 3 d = Зт^ [2]o = y = f 0ап = 7,2 \з]к = 8:М 0A = O,5f Щ ft = 2/г - 3 67 Глава 2, §4, п.5 Определи, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью или не является ни тем, ни другим: 1) путь, пройденный за данное время, и скорость движения; 2) время выполнения данного объема работы и производительность труда; 3) число мальчиков и девочек в классе при постоянном общем количестве учеников. Чтобы приготовить 10 штук сладкого перца, фаршированного кабачками, потребуется 75 г жира и 400 г кабачков. Сколько жира и кабачков надо взять для приготовления 28 штук такого перца? Пешеход, скорость которого 3 км/ч, прошел некоторое расстояние за 2 ч 40 мин. За сколько времени проедет это расстояние повозка, если ее скорость 6 км/ч? Реши задачи способом пропорций: 1) На конвейерной линии расфасовывается 5,4 кг сухого картофеля за 2,5 мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час, если производительность линии постоянная? 2) Оператор набрал на компьютере рукопись за 4,2 ч, работая с производительностью 15 стр./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого составляет 21 стр./ч? 3) Картошка стоила 15 р. Ее цена увеличилась на 20%. Чему равна новая цена картошки? Раздели число: а) 85 в отношении 3 : 14; б) 9,6 в отношении 0,2 : 0,4 : 0,6. В квартире проживают две семьи. Одна из них состоит из четырех человек, а другая - из трех. Как эти семьи должны распределить абонентскую плату за телефон, которая составляет 350 р. в месяц, если все они в одинаковой степени пользуются телефоном? Периметр треугольника равен 68 см, а длины сторон пропорциональны числам 4, 5 и 8. Найди разность большей и меньшей сторон этого треугольника. Сплав состоит из меди, олова и сурьмы, которые входят в него в отношении соответственно 3 : 11:6. Найди процентное содержание в этом сплаве меди, олова и сурьмы. Чему равна масса сплава, если олова в нем на 4 кг больше, чем меди? Площадь трех участков земли 45 га. Площадь первого участка составляет 20% общей площади, а площади второго и третьего относятся как 11:7. На сколько гектаров площадь первого участка меньше площади третьего? Вычисли: 1) (2,35 • 70,2): 23,4 - (38,36 + 19,8) *0,1; 0,75 + 2)1б|: 1,4- 12 7 11 1,6. 68 Глава 3 Рациональные числа §1. Понятие рационального числа 1. Положительные и отрицательные числа. Числа появились в практической деятельности для подсчета количества предметов и измерения величин — расстояний, масс, скоростей и т. п. Они были нужны прежде всего для ответа на вопрос “Сколько?” - два человека, восемь пальм, миллион рублей, 40 000 км, 100 кг, 60 км/ч. Для тех случаев, когда нужное количество не выражалось натуральным числом, люди придумали дроби - делили целое на несколько равных частей, и тогда ответ на вопрос “Сколько?” мог быть дан в виде некоторого числа таких 3 7 частей---урожая, — пути, 8,5 лет. 5 10 Однако и дробных чисел не всегда хватает, чтобы измерить, например, температуру воздуха. В самом деле, информация о том, что температура воздуха 15°, недостаточна, чтобы правильно выбрать одежду. Необходимо уточнить: 15° тепла или 15° мороза? Для обозначения противоположного понятия в обычном языке для удобства иногда используется знак “минус”. Всем известно, что 15“ мороза обозначается “-15°”. Таким образом, появляются новые, так называемые отрицательные, числа, противоположные к уже известным нам. Вспомним, что и в логике отрицание - это «противоположное» высказывание. Отрицательные числа используются для обозначения величин, таких, как: расход - то есть отрицательный доход, долг - отрицательное имущество, глубина - отрицательная высота и т. п. Например, отметка “-1733,5” на географической карте означает глубину в 1733,5 м. Итак, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со О ^ знаком "минус”: -1, ”5 у, -6,25 и т. д. Читают: “минус 1”, “минус 5 у ”, “минус 6,25” и т. д. Как только у нас появился термин “отрицательное число”, то, по законам развития языка, мы должны дать новое название и для “старых”, уже известных там чисел: неудобно говорить, что (-3) - это отрицательное число, а 3 - это 69 Глава 3, §1, п.1 “просто” число. Поэтому “старые” числа, кроме О, для противопоставления с отрицательными числами принято называть положительными. Иногда их записывают со знаком “плюс”. Например, вместо 3 пишут +3 (читают: “плюс 3”). А число О не является ни положительным, ни отрицательным. Введенные таким образом положительные и отрицательные числа вместе с нулем составляют множество рациональных чисел (обычно его обозначают буквой Q). Термином “рациональное число” мы будем далее часто пользоваться, иногда говоря для краткости просто “число”. Все положительные числа и О можно изобразить точками координатного луча. Аналогично для всех рациональных чисел есть место на координатной прямой. Координатной (числовой) прямой называют прямую, на которой выбраны начало отсчета, единичный отрезок и направление отсчета. Началу отсчета - точке О - соответствует, как и раньше, число 0. Положительные числа располагаются в положительном направлении от числа 0 (положительное направление указывается стрелкой), а отрицательные числа - в противоположном направлении на соответствующем расстоянии от нуля: число (-1) на расстоянии 1, число (-2,5) на расстоянии 2,5, а число . Л ч И (“4—) - на расстоянии 4— и т. д.: О о С(-4|) В(-2,5) А(-1) -5 _4l -4 3 -3-2,5 -2 -1 о 1 2 2,5 3 4 4I 5 3 Число, показывающее положение точки на координатной прямой, называют координатой этой точки. Таким образом, координатой точки А является число (-1), координатой точки В - число (-2,5), а точки С - число (-4-^). Обозначение координат остается прежним: А (-1), В (-2,5), С (-4-^). О о Натуральные числа, противоположные к ним отрицательные числа и число о образуют множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается буквой Z. С помощью фигурных скобок его записывают так: Z = {...-3, -2,-1,0, 1,2, 3,...}. -7 6 5 -1 -3 -2 -1 о Таким образом, теперь мы можем сказать, что рациональное число - это число вида , где р - целое число, ад — натуральное число. Множество рациональных чисел Q можно записать так: Q = гдер е Z, <7 е 7V}. 70 Глава 3, §1, п.1 Координатная прямая может располагаться на плоскости по-разному. Но обычно ее располагают горизонтально, а положительное направление выбирают “слева направо”. На координатной прямой точно так же, как и на координатном луче, можно показывать изменение величины числа: увеличение - с помощью перемещения на соответствующее число единиц вправо, а уменьшение - с помощью перемещения влево. Увеличение обозначается знаком а уменьшение - знаком Например, увеличение числа (-2) на 3 единицы можно показать стрелкой, идущей от точки (-2) на 3 единицы вправо, и обозначить это увеличение через “-f-3”: -ь 3 Значит, -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -2-f 3= 1. А уменьшение этого же числа на 3 единицы обозначается знаком “-3”. Изобра- жается и записывается это уменьшение так: -3 -5 -4 2 О 3-2-10 1 -2-3 =-5. При решении практических задач часто возникает необходимость сравнивать рациональные числа, выполнять с ними арифметические действия. Например, чтобы узнать, какое понижение температуры было более значитель- j ным - с +3 °С до (-15) "С или с (-8) “С до (-24) "С, надо: 1) составить выражения (4-3) - (-15) и (-8) - (-24); 2) найти их значения и сравнить полученные числа; 3) на основании полученного результата ответить на вопрос задачи. Поэтому теперь нам надо научиться сравнивать рациональные числа и выполнять с ними арифметические действия. [300| Используя знаки “4-” и запиши: а) 7" тепла; в) расход 140 р.; д) выигрыш 8 очков; б) 12" мороза; г) доход 560 р.; е) проигрыш 4 очка. 1) Используя знаки “4-” и запиши: а) увеличение на 12"; б) уменьшение на 5 кг; 2) Во время наблюдений за изменениями уровня воды в реке в течение недели были сделаны записи, приведенные в таблице. Что они означают? Дни недели пн ВТ ср чт пт сб вс Изменение уровня воды (м) + 0,40 + 0,95 + 0,20 -0,30 -0,55 -0,70 -0,80 Приведи примеры использования положительных и отрицательных чисел в практических задачах. 71 Глава 3, §1, п.1 303| а) В чемпионатах по футболу места команд при равном числе набранных очков определяют по разности забитых и пропущенных мячей. Объясни, что означают записи: Команда Разница забитых и пропущенных мячей “Спартак” + 2 “Сатурн” 0 “Метеор” -3 б) Вырази числом разницу забитых и пропущенных мячей у команд: Команда Число забитых мячей Число пропущенных мячей Разница забитых и пропущенных мячей “Динамо” 7 4 О “Зенит” 5 5 9 “Рубин” 3 4 9 “Комета” 2 6 *> в) Какой стала разница забитых и пропущенных мячей у этих команд, если каждая из них сыграла еще по одному матчу со счетом (первое число равно числу мячей, забитых данной командой, а второе - число мячей, забитых ее соперниками): Команда Счет “Динамо” 3 : 2 “Зенит” 1 : 3 “Рубин” 2 : 1 “Комета” 4 : 2 1) Установи на модели термометра температуру: +5 ; -3°; 0°; -15°; +2,3°; -8,2°. 2) Какой станет температура, если она: а) увеличится с -5" на 8"; б) уменьшится с 2° на 6°; в) уменьшится с -3° на 7"; г) увеличится с -4° на 10°? 1) Определи по изображенной на рисунке шкале прибора значение величины, которое показывает стрелка в положении А, В, С, D, Е, F. 2) Пользуясь циркулем и транспортиром, построй данную шкалу прибора в тетради (i? = 3 см). Отметь на шкале точки с указанными координатами: М(+20), ЛГ(-45), В(+125), Я(-160), S(-72), Г(+98). -10 ; +14 72 .Глава 3, §1, п.1 Изобрази в тетради шкалу термометра и отметь на ней температуру: п) +6”; б) -2”; в) -7"; г) +3,6‘’; д) -5,8"; е) -4,3". Какие из перечисленных ниже признаков являются существенными для понятия “координатная прямая”; а) на прямой выбрано начало отсчета; б) на прямой выбран единичный отрезок; в) на прямой выбрано направление; г) прямая расположена горизонтально? Сформулируй определение координатной прямой, перечислив все ее существенные признаки. Сравни построенное тобой определение с определением, приведенным в тексте учебника на стр. 70. Какие из прямых на рисунке являются координатны.ми прямыми, а какие -нет? а) 1 0 + б) в) г) д) -3 -2 -] 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 з) -3 -2 -1 о 309| Найди в тексте учебника на стр. 70 определение координаты точки. Построй 3 на координатной прямой точки О (0), Л (1), В (-3), С (5,8), £) (-12 -^). 310| На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D, Е и F. Запищи их координаты. Какие закономерности ты наблюдаещь? 1) А В С D Е F -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 в 2) А В С D Е F -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3) А С Е F D В -2 -1 0 1 2 • 1 3 4) С А F В D Е -40 -20 -10 0 10 20 30 40 73 Глава 3, §1, п.1 31И Начерти координатную прямую и отметь на ней точки. Что ты замечаешь? 1) Л (-9), В (-8), С (-5), D (-4), Е (-1), F (0), G (3), Н (4) (единичный отрезок - 2 клетки); 2) Л (2|). В (1,5), С (0,25), D (-1), Е (-2^ ), F (-3,5) (единичный отрезок - 4 клетки); 3) Л (1,4), В (0,8), С (0,2), D (-0,4), Е (-1), F (-1,6) (единичный отрезок - 10 клеток); 4) А(-2|), B(-li), С(-|), Д(|), £(li), F (2,5) (единичный отрезок - 6 клеток). 312| На координатной прямой даны точки Л (3) и В (-2). Отметь на этой прямой начало отсчета и единичный отрезок. Запиши координаты точек С, DnE. н—I—+- D В(-2) -t—t-1—I—f—I—H H------1-----1----1- H---1 < c A(S) E По данным выражениям придумай задачи о доходах и расходах и реши их. Запиши эти выражения без скобок, используя представления об изменении величин. Проверь ответы с помощью координатной прямой. а) (-4) +(+6); б) (+3) + (-7); в) (-2) +(-5); г) (-1) + (+4) + (-1). Запиши сумму чисел и найди ее с помощью координатной прямой. Что ты замечаешь? ш 1) +5 и -3; 2) -3 и +5; 3) -4и-1; 4) -1 и-4; 5) -8 и +2; 6) +2 и -8; 7) -5и0; 8) о и-5; 9) 4 7и-7; 10) -7 и+7. Переведи запись на язык “изменения температур”. Найди результаты этих изменений, пользуясь координатной прямой: а) 1-3; б) -4 - 6; в) -2 + 7; г) 5 - 8; д) -1 + 5 е) -3 - 4; ж) 2 - 4 + 1; з) -3-2 + 6. 1^ 4 2 л == {7; -2; 0; 3,6; —; 54; -l"^; -3108}. Назови элементы множества Л, 9 3 которые являются натуральными числами, целыми числами, рациональными числами. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств N, Z и Q, где N - мнолсество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, а. Q - множество рацио- 3 1 нальных чисел. Отметь на диаграмме числа: 3; -0,2; 5у; 0; -1; 24; 1,8; - —. 74 Глава 3, §1, п.1 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Выпиши истинные высказывания и из соответствующих им букв составь имя русского полярного исследователя. 3eZ Н Oe/V В [Д]-7еЛГ Т OeZ И g -5^ Q Б 0 Q п -4 е Q I- 0,9 Щ 812eN 0з|й0. В заключение уточним правило знаков при раскрытии скобок в выражениях с рациональными числами. Так как знак “плюс” не изменяет знака числа, то +(-Ьа) = +а, -t-(—а) = —а. Знак “минус”, наоборот, меняет знак числа на противоположный, то есть -(+а) = -а, -(-а) = +«• Из этих равенств видно, что два одинаковых знака дают в итоге а два разных знака дают Чтобы лучше запомнить этот вывод, составим таблицу определения знака числа: + (+)= + + (-)=- -(-)= + -(f) = - 79 Глава 3, §1, п.2 о -о; Какие числа называют противоположными? Найди пары взаимно противоположных чисел: -11; ^з|; -11; +5; -2,3; -з|; +2,3. О О 343;] Прочитай равенство и объясни, почему оно верно: а) -(+4) = -4; б) -(-2) = +2; в) -О = 0. 344^ Назови и запиши число, противоположное данному: ^5; -12; -7; -800; +2-1; -4,28; 0; -1. 6 3 Можно ли считать, что символ (-а) обозначает отрицательное число? Приведи контрпример. Сделай вывод. [34^1 Запиши без скобок: а) -(+9); Д) -(-(+1)); ж) -(-(-(+5))); б) -(-З); г)-(+1,7); е)-(-(-2)); з)-(-(-(-6))). ш Допиши равенства так, чтобы получились верные высказывания: 34^ а) -(...) = 8; в) -(...) = -15; д) -(...) = |; ж) -(...) = +а; б) -(...) =-8; г)-(...) = 7; е) -(...) = -3,5; 3) -(...) = -&. Реши уравнения: а) -X = 5,4; в) -2 = -(+2); г) -^ = -(-|). Закончи предложения: 1) Если число положительно, то противоположное к нему число ... 2) Если число отрицательно, то противоположное к нему число ... 3) Если число неотрицательно, то противоположное к нему число ... 4) Если число неположительно, то противоположное к нему число ... 3501 Прочитай высказывания и определи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний: 1) V а е Q: а = -а; 2) 3 а 6 Q: а =-а; 3) V а е Q: -а; 4) V а е Q: - (-а) = а. ЗЗП| Прочитай равенство, используя слова “модуль” и “расстояние”. Является ли это высказывание истинным? 1)|-3| = 3; 2)|4| = 4; 3)1-51 = 5; 4)-|-7| = -7. 352|| Отметь на координатной прямой точки, модуль которых равен 2,6,0. Сколь-ко точек отмечено в каждом случае? Сделай записи. 80 Глава 3, §1, п.2 DJI Запиши множество чисел, модуль которых равен: а) 39; о “'I?- в) 4,8; Найди модули чисел и запиши значение модулей. Расположи данные числа в порядке убывания модулей, сопоставь им соответствующие буквы, и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков. На каком материке находится эта точка? Н42; 0; -96; +8; +1^; -45; -0,02; -100. 49 К Л И 0 Сравни модули чисел. Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей рациональных чисел. а) 2 и -5; б) -8 и -6; Вычисли: а) |-4 I + 1 -5 I; б) 1-1.81:1^1; в) |-5,бИ-1|; r)|2,25|-|-lj в) -3 и 2,96; 5 . д) Y и - у; г) -4,2 и -0,45; е) - у и - ; , 5 2 ж)~з и--; , 5 8 12 “'is- и)|-б|-1-4,2|:|0,7!; д) |-24,51 + |01; е) |-з| 1-1-0,54 I; ж) I 8,2 I - I -0,32 I; л) | -3 | : 1 -7 1 • | -3,5 | - 0,6; к)1-1у 1-1-0,1 1 + 1-0,125 1; з)1-7,42|:|-:^|; м)1-^1-1-91-0,25-|0 357| Известно, что | а | = 5. Чему равен | -а |? Сделай вывод. Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний: 1) V а е Q: I -а I = I а I; 3) V а е Q: | а | > 0; 2) 3aeQ: |-а | = И а |; 4) 3 а е Q: | а 1 < 0. Реши уравнения с объяснением, пользуясь понятием “расстояние”: а) 1 л: 1 = 3; д) |-а | = 8; и) 1 m 1 = 0; н)-|/г1 = -7; б) 5 = 11/1; е) 1-5 1=1; к) Н л | = 0; о)-|р1=10; в) 1г| = -2; ж)1-с1 = -6; л) 1 лг - 4 1 = 0; п)-|-а | = 5; г) -9 = U 1; з) I -d I = -4; м) 1 2i/1 = 0; р) -1-51 = -6. 81 Глава 3, §1, п.2 360| \) А - множество целых чисел, модуль которых меньше 4; В - множество целых чисел, модуль которых меньше или равен 4; С - множество натуральных чисел, модуль которых меньше или равен 4. Запиши множества А, Б и С с помощью фигурных скобок и отметь их элементы па координатной прямой. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств Л, Б и С. 2) Е - множество целых чисел, модуль которых больше 2; F - множество целых чисел, модуль которых больше или равен 2; М - множество отрицательных целых чисел, модуль которых больше или равен 2. Запиши множества Е, F яМ с помощью фигурных скобок и сделай рисунки. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств Е, F и М. Найди множество всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству, и сделай рисунки. а) 1 д: 1 <■ 3; Д)5>|у|; и) 1 2 1 < 1,8; н) 1 < 1 /1 < 4; б)|дг|< 3; е) 2 > 11/1; к) 1 2 1 < 1,8; o)K\t\<4; в) 1 X 13; ж)К\у\; л) 1 2 1 > 1,8; п) 1 < 1 f 1 <4; г) 1 X 1 > 3; 3) 6 < 1 у 1; м) 1 2 1 > 1,8; р) 1 < U 1< 4. Образец: 2<|а 1<5 -6 -5 -4 - -3 -2-10 1 2 3 4 5 6 {-4; -3; -2 ;2;3;4} 36^ Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков: а) -(17); д) +(+2); и) -(-6); н) +(-(+3)); б) -(-5); е) +(-1); к) -(+4); о) -(1 (+5)); ж) +(4 |-); л) +(--|); п)+(1(-(-7))); Г) -(1 3,2); з) +(-0,5); м) +(+1,6); Р) -(+(-(+9))). [36^ Вычисли устно и продолжи ряд ответов на два числа, сохраняя зако-номерность: ®'5 /-^-3,6 : 0,9 -0,2 /—N+0,05 —(j-^ о— 1) 2) 4,5 —► 3)/-^+1,7 \ :5 /—N -0,1 ^N-0,03/-N: 0,01 0-^ О—о—о—Q- 82 Глава J- S 1. n.2 Найди координаты точек координатной прямой, удаленных: а) на 3 единицы от тонкий (1); б) на 2 единицы от точки Б (-1); в) на 4 единицы от начала координат. 4 3 А = (-16; - —; -0,3; 9; 1^; 0; -5; 2; 4,8}. Составь из элементов этого множества подмножества: 1) Б - отрицательных рациональных чисел; 2) С -натуральных чисел; 3) Б - целых чисел; 4) Б - целых отрицательных чисел. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В,С, Dvi Е. Определи координаты точек А, Б, С и D: I) D В АС о п 2) D В « <---------Н _1-----1- Н--1—Н---1" Н--Н—I--1---\ I k Л- \ Прочитай неравенство и найди множество его целых решений. Сделай чертеж. 1)-2<д:<3; 2)-5<х<-1; 3)-3Г2- 76. ' 18’ 4) -г—2 , 4а*' ап h 2^. 6)Ь-~, ОЛ.ЛП 2 10с d 8) 45ас^: — • . а 6а^ 84 Глава 3, §1, п.2 е Найди значение выражения наиболее рациональным способом: l)(l2,75 + 2,25-l| -l| - 12,75+ a,6*l|) : 24,4; 2, 11,2-3,06-3,05»(13,25-3,69 : 1,8) ^ 0,056-8,09-3,09 *0,056 [37Т| Вставь число так, чтобы получилось истинное высказывание. Переведи высказывание с математического языка на русский и сделай чертеж: а)-(+2) = ...; б)-(...) = 5; в) 3 = г)-4 = -(...). Реши уравнения и расположи их корни на координатной прямой. Если задание выполнено верно, то соответствующие им буквы образуют имя древнегреческой богини судьбы и случая. И = 1 Е -у = -4 0-2 = -(-3) [^-(+2) = -f Перерисуй в тетрадь и заполни таблицу. Запиши на математическом языке закономерности, которые ты наблюдаешь. Число X 5 -3 0 П ротивоположпое число 2 -4 Модуль числа Модуль противоположного числа |-х| 5 3801 Пайди значение выражения: 1) I л: I + 11/1, если л: = 2^, г/ = -1,3; 2) I X I - 11/1, если X = -5,28, у = -2,8; 3) II • IУ I. если X = -4,8, У = “2 ^; 4) I X 1: 11/1, если х = -872,9, у = 14,5. Реши уравнения: а)|х| = 6; б) I-у 1=1; Найди множество целых решений неравенства и сделай рисунок: а)\х\<2; б)|х1<2; в)|х|>2; г) | х | > 2. 85 в) I г 1 = 0; г) - I ^ I = 5. Глава 3, §1, п.2 [38^ Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков: а) -(+7); в) +(+2); д) -(-6); ж) +(-(+3)); б) -(-5); г)+(-1); е)-( + 4); з)-(+(+5)). 384| Прочитай выражения и запиши их перевод с математического языка на русский. Найди значения этих выражений при 6 = 12, с = 3: 1) 2Ь-с^; 3)2(6-с)"; 2) 2(6 - с^); 4) (26 - с)\ В классе число мальчиков относится к числу девочек как 8: 5. На сколько процентов мальчиков в классе больше, чем девочек? На сколько процентов девочек меньше, чем мальчиков? 386| Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 27 км, и через 25 мин расстояние между ними стало равно 12 км. Скорости велосипедистов относятся как 5 : 4. а) Через сколько времени после своего выезда они встретились? б) Какое расстояние проехал до встречи каждый велосипедист? [38Т| Придумай задачу по схеме, считая, что в течение указанного времени вид движения не менялся. Придай переменным значения, соответствующие условию твоей задачи, и найди ответ. 388| Найди значения выражений: 1)0,9:(з| 2) 2,8-2,79+ 7,2 : 2j +2,79); 15,04 • 2,5 - 2,4 • (85,24 - 84,24 : 1,2) 0,047-16,9-0,9-0,047 Путешественник Вася, живущий в 50 км от мест проведения турнира Архимеда, решил поехать на турнир на велосипеде. Рассчитав время, он проехал первые 10 км с запланированной скоростью, но затем велосипед сломался и Васе пришлось пойти пешком. Через некоторое время Васе повезло, и последние 24 км он ехал на попутной машине. Удалось ли Васе приехать на турнир к запланированному сроку, если скорость Васиной ходьбы была в 2,5 раза меньше скорости велосипеда, а скорость машины - в 6 раз больше? 86 , Глава 3, §1, п.З Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум дру-ги.м, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих? Реши уравнения: 1) I л: I = дг; 3) 1 д: I = 2х; 2) I л: I = -х; 4) | 2х | = 6; Реши неравенства: 1)|д:|<0; 2)|х-5|>0; 5) |х-1| = 0; 6) |2х - 1 1 = 0; 7) 1 X + 1 I = 8) I X - 2 I = 4; -3. 3) I X + 1 I < 3; 4) I X - 1 I > 2. 3. Сравнение рациональных чисел. Для того чтобы использовать отрицательные числа при решении практических задач, мы должны научиться сравнивать их и совершать над ними арифметические действия. При этом правила сравнения и правила действий с рациональными числами должны стать естественным продолжением соответствующих правил действий с уже известными нам положительными числами, иначе мы придем к противоречию. Правила сравнения рациональных чисел можно вывести из известного нам правила сравнения положительных чисел, которое подсказывает нам координатная прямая. Если она изображена, как обычно, горизонтально (см. стр. 70), то из двух чисел на координатной прямой, больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее. Как мы уже говорили, положительные числа изображаются на координатной прямой точками, расположенными правее 0, отрицательные - левее 0. Это означает, что любое положительное число больше 0 и больше любого отрицательного числа, а любое отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел левее расположено число с большим модулем, поэтому оно меньше. Например, 10 -9 -8 -7 -а -5 -4 -3 -2 -1 -3 > -10; -3 < 0; о 1 2 3 4 2>-3, 8 9 10 2>0. 87 Глава 3, §1, п.З Тем самым мы приходим к следующим правилам сравнения рациональных чисел: 1) любое положительное число больше О и больше любого отрицательного числа; 2) любое отрицательное число меньше О и меньше любого положительного числа; 3) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Установленные правила сравнения рациональных чисел хорошо согласуются и с житейскими представлениями о сравнении реальных величин, которые могут изменяться в двух противоположных направлениях. Например, при температуре 2 “с на улице теплее, чем при температуре -3 °С, а при температуре -3 "С теплее, чем при -10 °С, то есть опять 2 > -3, а -3 > -10. В предыдущем пункте мы ввели понятие модуля числа. Определение модуля было дано нами на геометрическом языке - с помощью координатной прямой. Однако геометрическое определение бывает далеко не всегда удобно. Сформулируем то же самое определение в алгебраической, буквенной форме. Как .мы видели, 1) модуль положительного числа а - само число а, 2) модуль отрицательного числа а - противоположное ему число (-а), 3) модуль числа 0 - само число 0. Заметив схожесть первой и третьей строк, можно сказать и так: если число а больше или равно 0, то его модуль равен самому числу а; если же число а меньше 0, то его модуль равен (—а). Здесь в первый раз встречается так называемое “разветвленное” определение. Модуль заданного числа вычисляется не сразу: надо сначала узнать, как заданное число “располагается” относительно 0 - больше, равно или меньше, -и лишь затем воспользоваться соответствующим правилом. Наглядно эту ситуацию можно представить в виде блок-схемы: Такие ситуации в математике часто записываются с помощью фигурной скобки: а, если а> 0; а = -а, если а < о. Найдем по этому определению, например, модули чисел 2 и -3: - так как 2 > 0, то по первой строчке определения | 2 | = 2; - так как -3 < 0, то по второй строчке определения | -3 |= -(-3) = 3. 88 Глава 3, §1, п.З Необходимость записи ответа в “разветвленной” форме возникает и при решении задач. Пусть, например, магазин предоставляет торговую скидку 5% от стоимости покупки, начиная с 10 000 р., а скидку 10% - начиная с 50 000 р. Обозначив у р. реальную стоимость покупки, а х р. - ее стоимость по прайс-листу, соотношение между у и хна математическом языке можно записать так; ' X, если о < X < 10 000; у = ^ 0,95х, если 10 000 < х < 50 000; . 0,9х, если X > оО 000. Тогда очевидно, что за товар стоимостью 8000 р. покупатель должен заплатить по первой строчке, то есть всю сумму 8000 р., за товар стоимостью 40 000 р.-по второй строчке, то есть 0,95 • 40 000 = 38 000 р., а за товар стоимостью 50 000 р. - по третьей строчке, то есть 0,9 • 50 000 = 45 000 р. 393| Какое значение температуры больше, а какое - меньше? Запиши ответ, используя знак > или знак <: а) 5 "С и о "С; б)-3”СиО°С; в) 2 “С и-4 "С; г)-10 "С и-6 °С. 39^ 1) Отметь схематически на координатной прямой числа: 2,4; -5; у! -3,8; -10,5. Сравни их с нулем. Сделай вывод. 5 1 2) Сравни с нулем числа: -4,36; 0,01; “7-^; - — ; 2,05; -0,058. О О 3951 Запиши на математическом языке: 1) Число а - положительное. 2) Число Ь - отрицательное. 3) Число, противоположное с, - положительное. 4) Число, противоположное d, - отрицательное. Отметь числа a,b,cvid на координатной прямой, если | а | < | & |< | с | < | d 396| Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний: 1) V X е N: -X < 0; 3) V а е Z: а > 0; 2) 3 (/ е Z: -у > 0; A)3h^Z: \Ь\ = -h. [397| Отметь схематически числа на координатной прямой и сравни их. Что общего и что различного в примерах каждого столбика? Сделай вывод. 1) -2 и 5; 2) 3 и -3,4; -А 2 . 3) и 4) 5,12 и -5,72; 5) -1 и -7; 6) -2,8 и -4; 7) -| и-з1; 8) -19,2 и -8,9. 89 Глава 3, §1, п.З 398| Сравни числа: а) 2 и -4,5; б) -1,8 и -1,6; в) -95,3 и 0,24; г) -59,9 и -60; ч 1 1 д) -д И -у; е) 2,6 и -6,2; ж) -| и -|; к) -0,806 и -7,5; , 5 11 л) -5 и м) -4,009 и -4,01. з) -0,2 и -0,03; 3991 Какие числа соответствуют точкам А, Б, С, D и Е координатной прямой? Запиши эти числа: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. DEC В А н—н -t—I- 0 1 Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают? 1) 8,5; -2,19; -2,9; -15; -9^; -16,4; 3; -9,2. Я ц И [Е 0 S и п 0; -52у; -0,4; -39,6; 7,2; 2) -7,8; -60; 1] 0 [с] @ 0 0 5,6; -18у; -21,5. Поставь вместо звездочки знак > или знак < : а) о * -8,3; г)2| *2^; 0 [т] 1^ [F ж)-4»-9А; д) -0,048 * -0,05; е) 1д * -1,4; з) -21,3 * 0; и) -2,318 * -2,6. б) -3,9 * 2,7; в) -5,18 * -5,4; Прочитай неравенство и запиши множество его целых решений: 1) дг<2; 3)д:>-5; 5) - 2 < д; < 4; 7) - 5 < д: <-0,5; 2) д:<-3; 4)дг>-1,4; 6)-3<дг<1; 8) - 2,7 < д: < 2,7. Известно, что а п Ь - положительные числа, а т и п - отрицательные. Сравни: а) о и а; г) а и л; ж) -а и 6; к) а и | а |; б) о и т; д) m и 5; з) - m и -а; л) |т|и т; в) -л и 0; е) л и -т; и) - 6 и -л; м) | -л | и -л. Найди множество чисел, удовлетворяющих условию, и запиши его, если возможно, с помощью двойного неравенства: 1) |x|<3; 3)|д:|<1,5; 5) | д: | < а, где а > 0; 7) | д: | < с, где с < 0; 2) |д:1<4; 4)|х|<2,8; 6) | д: [ < Ь, где 6 > 0; 8) | х | < d, где rf < 0. 90 Глава 3, §1, п.З Стоимость X р. билета в театр зависит от номера ряда л, в котором расположено место, в соответствии со следующими расценками: 1500, если 1 < л < 10; ^ ^ 1200, если 10 < л < 15; , 900, если 15 < л < 20. Сколько стоит билет в этот театр на места, расположенные в 8-м ряду, 10-м ряду, 15-м ряду, 18-м ряду, 20-м ряду? 14061 Скорость V км/ч пешехода изменялась в зависимости от времени его движения t ч следующим образом: '' 3, если о < / < 1,5; 4,2, если 1,5 < ^ < 2; о, если 2 < ^ < 3; 2,8, если 3 < # < 5, 0= < Чему была равна скорость пешехода через 40 мин после выхода, через 1 ч 50 мин, через 2 ч 30 мин, через 4 ч 10 мин? Запиши определение модуля в “разветвленной” форме. Пользуясь им, найди модули чисел: 1 ^ 2 1) 9; 2) -5; 3) -3,6; 4) 0; 5) 1-; 6) -7,4; 7) -82; 8) 4,5; 9) 0 3 ; 10) -12,3. Найди множество корней уравнения, пользуясь определением модуля в “разветвленной” форме: О 1) |д:| = 4; 3) I 2 I =-3; 5) | х | = а, где а > 0; 2) \у\ = 0; 4)|#|=1,5; 6) | х | = Ь, где Ь > 0; 7) I X I = с, где с < 0; 8) I X I = d, где d < 0. 09| Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера-Венна множеств N,ZviQ и отметь на ней элементы множества Л = {-6; 2,5; 0; 4; |;-l|}. О 7 W10I Реши уравнения: 1) (|а-0,7):1,5 + 0,5=||; 2) 4,2-0,2:(-i +36) = з|; о 5 3) 2с -К 0,2с - 0,8с + 3,4с = 6,4; 4) fd-id + или знак < : 0 И Д а) if * -1,85; г) -3,06*2,6; ж)-4^ л. -4^; б)-78,9 * 0; д)-9,4 *-9,2; 3) 12,045 * 12,35; в) -15 * -17; е)-2|.-2|; и)-7| * -7,8. 4181 Реши уравнения: 1) (3,6-2,5x)*l|-| = l,6; 2) ^у + 2у < |£/+ 1,5j/ = 0,35; 3) 92 - 14 = 72 + 8; 1,6 3 4) л f 6 5л 419 Юбка, блузка и пиджак стоят вместе 5040 р. Стоимость блузки составляет ''* 2 40% стоимости пиджака и — стоимости юбки. Сколько стоит каждая вещь? Во сколько раз стоимость юбки больше среднего арифметического стоимости пиджака и блузки? Выполни деление 15,5151 : 0,36 и округли результат: 1) до десятков; 2) до единиц; 3) до десятых; 4) до сотых; 5) до тысячных. Ш Ф [4^У Старинная задача. У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трех вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трех вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец? Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку? 93 Глава 3, §2, п.1 § 2. Арифметика рациональных чисел 1. Сложение рациональных чисел. Алгебраическая сумма. ! Чтобы установить правила сложения рациональных чисел, рассмотрим прак- ! тические задачи с “доходами” и “расходами”. Для простоты мы будем прово-i дить рассуждения, используя целые числа. Нетрудно будет убедиться, что они I останутся верными и для дробных чисел. Положительные числа, то есть числа, обозначающие доходы, мы склады-! вать умеем: I (+5) + (f2) = +7. I Если израсходовано сначала 5 р., а потом 2 р., то всего израсходовано 7 р., ! значит: I (-5) +(-2) =-7. Приведенные примеры иллюстрируют общее правило: чтобы сложить два I числа с одинаковыми знаками, можно сложить их модули и поставить \ общий знак. I Рассмотрим теперь сложение чисел с разными знаками. При доходе 5 р. и I расходе 2 р. получается прибыль 3 р.: ; (+5) + (-2) = +3, I а при расходе 5 р. и доходе 2 р. получается убыток 3 р.: I (-5) + (+2) = -3. В обоих случаях величина прибыли и убытка в итоге ищется вычитанием 5 - 2 = 3, а знак зависит от того, какое слагаемое “перевешивает”: если доход больше расхода, то возникает прибыль, в противном случае - убыток. Вообще говоря, чтобы сложить два числа с разными знаками, можно вычесть их модули и поставить перед полученной разностью знак числа с большим модулем. Представим теперь, что доход и расход одинаковы и равны, например, 5 р. В этом случае прибыль равна нулю: (+5) + (-5) = 0. И вообще, сумма двух противоположных чисел равна нулю: а + (-а) = 0. Аналогично рассуждая, нетрудно получить и i правила сложения рациональных чисел с числом О, j обобщающие соответствующие правила сложения I для положительных чисел: ! а + 0 = 0 + а = а. 94 Глава 3, §2, п.1 Сложение рациональных чисел можно проиллюстрировать на координатной прямой: прибавление положительного числа - перемещением на соответствующее число вправо, а прибавление отрицательного числа - перемещением влево. Например, -2 +2 -2 +2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 (+5) + (+2) = +7; (+5) + (-2) = +3; 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 о (-5) + (+2) = -3; (-5) + (-2) =-7. I Правила знаков при раскрытии скобок позволяют упростить запись суммы. Так, сумму чисел (-4) + (+5) + (- 3)+ (+!) +(-2) можно записать короче: -4-Ь5-3 + 1- 2.И наоборот, полученное выражение можно прочитать как сумму чисел -4, -Ь5, -3, -Ми -2: -4 + 5- 3+1-2 = (-4) + (+5) + (- 3) + (+1) t (-2). И вообще, выражения, в которых содержатся одновременно плюсы и минусы, можно записать в виде суммы. Поэтому такие выражения часто называют алгебраическими суммами, или просто суммами, - несмотря на то что в них встречаются и знаки “минус”. Несложно показать, что результат подсчета доходов и расходов зависит лишь от величины доходов и расходов и не зависит от порядка слагаемых и порядка действий. Значит, для рациональных чисел выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения. Напомним эти свойства: а + Ь == Ь + а - переместительное свойство сложения; (а + Ь) + с = а + (Ь + с) - сочетательное свойство сложения. Свойства сложения позволяют переставлять слагаемые и объединять их в группы произвольным образом, что помогает упрощать вычисления. Пример!. 52 - 78 + 20 - 52 + 8 = (52 - 52) + 20 + (8 - 78) = 0 i 20 - 70 = -50. В практических вычислениях можно записать короче: 78 + 20 -^-Ь 8 = 20 - 70 = -50. Еще раз обратим внимание на то, что сумма противоположных слагае.мых равна о, а сложение с 0 не изменяет результата. Поэтому, если в сумме есть противоположные слагаемые, их обычно вычеркивают, или, как принято говорить, “взаимно уничтожают”. 95 Глава 3, §2, п.1 Если объединение слагаемых не позволяет свести решение примера к устным вычислениям, то для выполнения вычислений можно сначала сложить положительные числа, затем сложить отрицательные числа и к первой сумме прибавить вторую. П р и м е р 2. 1) 475 i 208 27 710 2) 712 289 1001 3) 1001 710 291 Так обычно и поступают, подводя итоги проведенных за день денежных операций: сначала подсчитывают отдельно доходы и отдельно расходы, а затем находят итоговый результат. Запиши данные изменения в виде суммы рациональных чисел и выполни действия: а) доход 5 р. и расход 8 р.; б) расход 30 р. и расход 40 р.; в) расход 2 тыс. р. и доход 7 тыс. р.; г) уменьшение температуры на 6 °С и увеличение на 2 °С; д) уменьшение температуры на 3 °С и уменьшение на 9 ”С; е) увеличение уровня воды в реке на 25 мм и уменьшение на 40 мм; ж) из автобуса вышли 7 человек, а вошли 6 человек; з) со склада увезли 4 т картофеля, а привезли Ют. 42^ Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ; а) (-9) +(+4); б) (+6)(+3); в) (-5) + (-2); г)(-1) + (+7). 425| Выполни сложение чисел с помощью координатной прямой: а) (-3) + (+8); б) (-1) 4- (-4); в) (-6) + (+4); г) (-2) + (f5) + (-3). 42^ Что больше: 1) сумма двух положительных чисел или одно из них; 2) сумма двух отрицательных чисел или одно из них? 427| Найди результат действия, ориентируясь на некоторую практическую ситуацию, и проверь полученный ответ с помощью координатной прямой. Что общего в примерах каждого столбика? Сделай вывод. а) (+2) + (+3) б) (-3) + (+4) в) (+2) + (-5) г) (-4) + (+4) (-5)-Ь(-1) (-1)4 (+5) (+1) 4 (-3) (4-1)-ь(-1) (+4) 4-(-2) (-3) + (-4) (-2) + (-7) (4-6) 4- (-3) (-4) 4- (+3) (-6)-f (4-1) (-5) + (+5) (+2) -f (-2) 96 _____________________________________________________ Глава 3, §2, п. 1 42^ Рассмотри блок-схему алгоритма сложения рациональных чисел. Верно ли она составлена? рациональных чисел, найди сумму: б) (-32) + (-Ь32) в) (-9)-!-(+17) а)(-28) + (-14) (-|) + (+7) + ' 2' ' 3' (-2,4) + (-3,6) (-1,18)+ (+1,18) (-0,8) +(+4) |430| Определи знак суммы: а) (-12) + (-7); в) (+15) + (-8); д) (-24) + (+19); б) (-8) + (+3); г) (-6)+ (-11); е) (+53) + (-35); Щ Какое правило иллюстрирует следующая схема: (+П)+(-ггп )=(-Ш) ? г)(+3) + (-18) (+1,7)+ (-7,3) ж) (-3,7)+ (-8,4); з) (-245) + (+300). Дорисуй схемы и сформулируй правила: "" = б) (- а) ( - □ ) + ( 43^ Что общего в примерах а) (+3) + (-0,9) (+|) + (-1,2) (-1,2)+ (+0,3) (-if) + (+6i) ) + ( + I I) = каждого столбика? Выполни действия: б) (-10,2) +(-8) в) (-l|) + (-2,5) (-|)+(+2i) (-2,4)+ (-0,16) (+0,04) + (-0,2) , - 7 V « 5 , , , 11 1 (-lY5) + (-3g) 97 Глава 3, §2, п.1 4331 Вычисли и расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставив их соответствующим буквам. Если вычисления выполнены верно, то полученное слово - название второго по высоте действующего вулкана в мире. В какой части света он находится? (-3) + (+11) 0 (-9) + (-6) 0 (+8) + (-10) (-5) + (-7) 0 (-0,1)+ (-0,02) Ш\ (--|) + (+0,25) (-2,08) + о 0 (--|) + (+0,5) = -6; ж) о + ... = -7; = 0; з)(-2) + ... = -2. (+1,2)+ (-0,8) (+0,7) + (-2) (-0,4) + (-0,6) 0 (-0,2) + (+5) Подбери неизвестные слагаемые в сумме: а) (+7) + ... =+4; в) (-1) + ... =-5; д) (-8) + б) (+3) +... = -2; г)(-4) +... =+2; е) (+9) + Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний: 1) VaeQ:a + 0 = 0 + a = a; 3)VaeQ:a + |a| = 0; 2) 3 а е Q: а + (-а) 0; 4) 3 а, 6 е Q: | а -I & | > | а 1 + | 6 |. 1) Сформулируй переместительное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь переместительное свойство для значений переменных: а)-4,8 и 0,3; 6)-3-j и-1,15. 2) Сформулируй сочетательное свойство сложения рациональных чисел и запиши его на математическом языке. Проверь сочетательное свойство для 3 значений переменных: а)-1,5;+2,7;-0,2; б)-2—;-1,4;+0,8. 5 3) Проверь переместительное и сочетательное свойство сложения для произвольно выбранных тобой рациональных чисел. В чем значение этих свойств для практических вычислений? Приведи примеры. Раскрой скобки и запиши выражение в виде алгебраической суммы. Есть ли в этой сумме противоположные слагаемые? Если да, подчеркни их. 1) (-3) + (-8) + (+9) + (-6) + (+8); 3) (-а) + (+6) + (-дг) + (-6) + (-х); 2) (+0,2) + (-1,4) + (-2,3) + (-1,4); 4) (+п) + (-d) + {-у) + (-п) + (-d). Запиши выражение в виде суммы и назови противоположные слагаемые, если они есть: а) -4 - 5; в) 2 - 7 + 2; д)-9 - 8 + 6 + 9 - 8; ж) -а + Ь + с - а - с; б) 3 - 12; г) о - 5 - 5; е) 0,7 - 1,2 + 0,7 + 1,2; з) х - у + п - х - у. Переставь слагаемые в сумме всеми возможными способами: 1)-1-2; 2)3-4; 3)-5 - 7 + 9; 4)-а + &; Ь)х-у-г. 98 . Глава 3, §2, п.1 Вычисли: а) -8 + 5; б) 4-6; в) -2-9; г) -3 + 7; д) -1,9 + 2; е) 6,4-8; ж) -0,5 - 0,7; з) -1,3 1 0,6; и) + 0,15; к) 0-4,8; л) -1,8+ l4; о м) -5,2 + 0; н) 2,45-3,7; о) -6,42-0,358; n)-lf+ 2,71; 4 р) -0,64-9,36. Переведи с русского языка на математический; 1) Сумма противоположных чисел равна нулю. 2) Модули противоположных чисел равны. 3) Сумма любого числа с нулем равна самому числу. 4) При перестановке слагаемых значение суммы не меняется. 5) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Сложив сначала противоположные числа, найди значения выражений: а) 158 - 392 + 75 - 158 - 75; в) -2,49 ) 3,5 + 2,49 - 1,67 - 3,5; б)-4— +1-^^__2 — +4 — -1 — • ^ ^ 56 ^40 ^ 18 56 ^40’ r)0,6-lj-| f 2,25 + 1,875-2 т. 8 5 4 4441 Найди значения выражений, сложив отдельно положительные и отрицательные числа: а) 18- 72-9 + 39-54 + 17-39; б) -46 + 283 - 745 + 179 - 594 + 745 + 82; в) 0,17-6 + 1,3 + 2,8-0,17-0,9 + 7,4; г) -6,4 + 12 - 2,5 - 6,4 + 2,5 + 8,9 - 5,8; д) -0,1 - 14 + 3,05 ) 4,2 - 0,85 - 0,05 + 0,85; е) -98,9 + 4,38 - 3,27 + 32,7 + 60,215 - 1,15 + 3,27. Выбрав удобный порядок вычислений, найди значения выражений: а) з|-5,2-1| + 0,2; б) -7,2-2|-0,3 + Д; 6 о л 1_3 17 _ 5 ,2 „ li« ^'*25 16 г) 3 16 5 12 25 1,4-5|-2,6 + 2^. 445 Вычисли наиболее удобным способом: а) (-2,25 + 4|) + (7,6 - l| - l|) - 7,6; б) (-^+1,18-|)+1^ +(-1,68 I 2^). 99 Глава 3, §2, п.1 О та Вычисли устно: 2 5 Выбери из множества А = {—; 0; 1; -3,8; 9 о подмножество: 1) В - положительных чисел; 2) С - отрицательных чисел; 3) D - целых чисел; 4) Е - натуральных чисел; о) F - неотрицательных целых чисел; 6) К - отрицательных дробных чисел. Построй диаграмму множеств А, В, С и D и отметь на ней элементы множества А. Расположи числа в порядке возрастания. Запиши ответ с помощью двойного неравенства: а) 0; -1,75; Щ; б) 0,3; -0,4; 0,05; в) - у; ; г) -1; -0,5; -1. Сколько элементов содержит множество целых решений неравенства: 1)-5<х<6; 2)-14<1/<23; 3)-47<д:<-2; 4)-50 < х < 100? Пользуясь рисунками, сравни числа а и he нулем, между собой и сравни их модули: 1) 2) о а о 3) 4) а о а о Образец: 451 Объясни, почему равносильны высказывания: X = а, где а > 0 дг = а или х = -а X < а, где а>0 о -а < х < а Пользуясь ими, реши уравнения и неравенства: а) |х| = 5; в)|21 = 0,4; д) | д: 1 < 2; б) 11/1 = 9; г) 1 f I = 28; е) [ I/1 < 7; ж) I 2 I < 6; з) |П< 15. 100 Глава 3, §2, л.1 Ш ш Длина прямоугольника на 3 см больше ширины. Чему равны периметр и площадь прямоугольника, если: 1) длина больше ширины в 1,3 раза; 4 2) ширина составляет — длины; 3) длина на 60% больше ширины; 4) ширина на 10% меньше длины? Блицтурнир. 1) Ширина прямоугольника а см, а длина на 30% больше. Чему равен периметр прямоугольника? 2) Длина прямоугольника Ь дм, а ширина на 20% меньше. Чему равна площадь прямоугольника? 3) Ширина прямоугольника с м, что составляет его длины. Чему равна .4 «5 длина стороны квадрата с тем же периметром ! 4) Сторону квадрата, равную d см, уменьшили на 40%. На сколько квадратных сантиметров уменьшилась его площадь? 5) Длина прямоугольника а дм, а площадь - п дм^. Чему ровен периметр прямоугольника? 6) Ширина прямоугольника 6 м, а периметр - р м. Чему равна площадь прямоугольника? 1) Одну сторону прямоугольника уменьшили на 25%, а вторую - увеличили на 60%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов? 2) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше ширины. Длину уменьшили на 40%, а ширину увеличили па 40%. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов? Прочитай и упрости отношения, если значения всех переменных отличны от нуля. Какое свойство отношений при этом используется? а) 39: 52; в) 4:1,6; д) 0,3 : 0,18 : 0,12; ж) (3,2^^) : (8ттг); «ч 320 г) 5| : 2,125; е) 7:2| :2,8; 3) 4,5а5 5,4&2 ■ 456 в прямоугольнике ABCD точка М делит сторону ЛВ в отношении 1 : 6, а точка N делит сторону CD в отношении 3:4, считая соответствоппо от вершин А и D. Известно, что АВ = 14 см, AD = 5 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD7 Найди лишние данные в условии этой задачи. М В Глава 3, §2, п.1 7| в прямоугольнике ABCD точки М п N делят сторону Ав в отношении 2 : 1 : 3, считая от вершины А. Известно, что АВ = 24 см, AD = 15 см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD1 Найди лишние данные в условии этой задачи. М N В 4581 Найди неизвестный член пропорции: . а ^ 6 . 15 25’ б)-8 оО Ь ' в) 4,8 459J Реши уравнения: Зх ^ 5 . х + Ъ 7’ а) б) У-^ 2у 3. 8’ 35’ , 26 _ 7 2-2 г) г) М ^ 0,04 d 0,1 ■ 3m4- 4 _ 2тп 0,8 “ 0^ 460| 1) Знаменатель дроби на 20% больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 4, а знаменатель увеличить в 3 раза, то дробь обратится в . Чему равен знаменатель дроби? 2) Отношение трех чисел равно 2,4 : 0,8 : 0,64, а четвертое число составляет 25% третьего. Чему равно среднее арифметическое этих чисел, если сумма первых двух равна 8? 461| Сумма четырех чисел равна 200. Первое число составляет 24% всей суммы 2 3 1 и — второго числа, а третье и четвертое относятся как ^ ^ • Найди эти 3 2У 29 числа. Какую часть четвертое число составляет от среднего арифметического первых трех чисел? Вырази эту часть в процентах. 462| Найди процентное отношение чисел А и В: 4,928 : 0,16 - 0,16 • (52,1 • 1^ + 47,9 -1^); 2,4 • з| • 0,34-2| -1,5 0,16 •• 2,8-з!* 0,45 о 6 В О ^6^ Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму: в) (-8)+ (+11) г) (-21)+ (+16) а) (-36) + (-9) б) (-5,8) + о (-|) + (-|) (-0,7) + (-0,5) (+-|) + (-0,5) о + (-4,3) (+ 4,2) + (-|) (-3) + (+1,6) (+|)-K-2i) (-5,2)+ (+4,7) 102 Глава 3, §2, п.1 Вычисли и расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что обозначает получившееся слово? Что тебе известно о нем? (-7) + (-9) (-3) + (+12) (+5)+ (-11) 0 (-4) + (-8) (+0,05) + (-0,5) М А| (+|) +(-0,125) И (-3,6) +о Щ (+1|) + (-1,8) (-1,4)+ (+0,8) (-0,9) + (-0,5) Д (+3,7) +(-4) (-2,9) + (+6) Подбери неизвестные слагаемые в сумме: а) (+5)+...=-3; г)(+3)+...= -9; б) (+4)+...= +!; д)(-1)+...= +3; в) (-2)+...= -7; е)(-9)+...= -7; Вычисли: а) -3 + 9; г) 4,5-5; б) 5-7; д) -0,6 - 0,8; в) -4-6; е)-2,9+ 5,4; 4671 Найди значения выражений и расположи их в порядке возрастания. Ответ запиши в виде двойного неравенства. Щ -36 - 14 + 29 - 56 + 67 + 14; 225 - 536 + 439 - 74 - 439 + 382; +0,42 - 9,3 + 2,4 + 3,8 - 0,9 + 1,08. ж) + 0,75 - — з) 0-2,4; и) -2,6+ l|; о ж) (+12) +...= 0; з) о + ... = -6; и) (-4) +...= -4. к) 1,08-2; л) -2,56 - 4,4; м) -31 + 3,7. 4681 Реши уравнения и неравенства: а)|х| = 7; б)|«/|=1,2; b)|x|<4; г) 11/1 < 5. 4б9| Ширина прямоугольника на 8 м меньше длины. Найди периметр и площадь прямоугольника, если: 1) ширина составляет длины ; 2) длина больше 5 ширины в 1,4 раза; 3) ширина на 20% меньше длины; 4) длина на 80% больше ширины. 1) Одну сторону прямоугольника увеличили на 50%, а вторую уменьшили на 30%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов? 2) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 60%, а ширину уменьшили на 40‘М>. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов? 4^ 103 Глава 3, §2, п.1 М В в прямоугольнике ABCD сторона AD равна 20 см, а сторона АВ па 60% больше стороны AD. Точка М делит сторону АВ в отношении 4:1, считая от вершины А. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD7 Найди лишние данные в условии этой задачи. 1) Числитель дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то получится дробь, равная ^ . Чему равен знаменатель дроби? 2) Отношение двух чисел равно 0,5:0,3, а их разность равна 1 . Чему равно их среднее арифметическое? 473| Сумма четырех чисел равна 4,2. Отношение первых трех чисел равно 1,2:4: 0,8, а четвертое число составляет 60% второго. Найди первое число. Какую часть оно составляет от среднего арифметического остальных трех чисел? Вырази эту часть в процентах. 4741 Найди процентное отношение чисел А и В: [а] (7-^ • 14,9 - 7:^ • 3,9) • 5,68 - 4,68 • (526,35 : 8,7) + 8,74; G 11 ’11 4,2 0,35-8,1 0,049-5,4-0,15 JK?faSuirtri<< Офизм чшт Математические софизмы. Софизм (от греческого sophisma - хитрая уловка, измышление) - логически неправильное рассуждение, выдаваемое за правильное. \) Дважды два - пять! Возьмем верное равенство: 28 + 8 - 36 = 35 -г 10 - 45. В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий множитель: 4 (7 +2-9) = 5(7 + 2-9). Теперь, разделив обе части равенства на общий множитель (7 + 2-9), получим, что 4 = 5, то есть 2 • 2= 5. Где ошибка? 2) Последние годы нашей жизни короне, чем первые! Говорят, что в молодости время идет медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек в течение десятого года проживает десятую часть своей жизни, в течение двадцатого - двадцатую часть, в течение тридцатого - тридцатую часть, в течение сорокового - сороковую часть и т. д. Очевидно, что 10 ’ 20 30 40 50 60 " 70 ^ Что неверно в этих рассуждениях? 104 Глава 3, §2, п.2 2. Вычитание рациональных чисел. О — ш о-— I В предыдущем пункте мы научились складывать любые рациональные числа. Получить правило вычитания можно примерно так же, как и правило сложения, - с помощью практических задач о доходах и расходах, изменении температуры и др. Например, если температура повысилась с -3 "С до 5 "С, то всего она изменилась на 5 -f- 3 = 8 "С, С другой стороны, изменение температуры равно разности 5 - (-3), и поэтому 5-(-3) = 5 + 3 = 8. Таким образом, вычитание числа (-3) в данном примере свелось к прибавлению противоположного ему числа 3. Этот вывод имеет общий характер. Вспомним сначала, что разность двух чисел аиЬ- это такое число с, которое при сложении с Ь дает а: а - h = с с + Ь - а. Легко догадаться, что таким числом с в множестве рациональных чисел является число с = а -(- {-Ь). Действительно, при сложении его с числом Ь последние два слагаемых взаимно уничтожатся и останется как раз а: с + 6 = а + (-6) + 6 = а + 0 = а. Значит, с = а - Ь = а + (~Ь), то есть вычитание рациональных чисел можно заменить сложением. Итак, чтобы вычесть из данного числа другое число, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а — Ь = а (—Ь). Например, (-12) - (-8) = (-12) + (+8) = -12 + 8 = -4, (-8) - (+12) = (-8) + (-12) = -8 - 12 = -20. И аналогично а - (-6) = а + Ь, а - (+6) = а-Ь. Эти равенства показывают, что правила знаков при раскрытии скобок для вычитания остаются прежними: “минус минус” преобразуется в “плюс”, а “минус плюс” - в “минус”. Значит, любое выражение, содержащее только знаки сложения и вычитания, можно записать в виде алгебраической суммы, например: (-8) + (+4) - (+12) - (-3) + (-5) = -8 + 4 - 12 + 3 - 5, а значения алгебраических сумм мы уже вычислять умеем. Правила знаков сохраняются и для случая, когда в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел, например: а - {-Ь + c) + (d-fe + n) = a + 6- c + d- /t + rt. 105 Глава 3, §2, n.2 Представление выражений в виде алгебраической суммы позволяет упрощать вычисления. Пример!. Найти значение выражения (-8 -I- 35) - (4 - 19 -Ь 13) + (2-19). Решение: Раскроем скобки и вычислим значение полученной алгебраической суммы: (-8 + 35) - (4 - 19 + 13) + (2 - 19) = -8 ч- 35 - 4 + 13 + 212. 1) 35 + 2 = 37; 2) 8 + 4+13 = 25; 3) 37-25 = 12. Легко показать, что правило вычитания рациональных чисел сохраняет все известные нам ранее свойства вычитания. Так, в частности: а — 0 = а, а — а = 0. Действительно, а - О = а + (-0) = а + 0 = а, а-а = а + (-а) = 0. Аналогичным образом сохраняются правила нахождения неизвестных компонентов действий при решении уравнений. П р и м е р 2. Решить уравнение -1,2 + (-д:) =-0,9. Решение: В левой части уравнения числа (-1,2) и (-дг) - это слагаемые, а в правой части число (-0,9) - это сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы надо вычесть известное слагаемое: -д: =-0,9 - (-1,2) -д: = -0,9 + 1,2 -X = 0,3 X = -0,3 Ответ: -0,3. Заметим, что перед решением уравнения его левую часть можно было упростить, раскрыв скобки: -1,2-д: = -0,9. Тогда в левой части уравнения (-1,2) можно рассматривать как уменьшаемое, X - как вычитаемое, а (-0,9) - как разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность: д: = -1,2-(-0,9) д: = -1,2 + 0,9 д: = -0,3 Естественно, получился тот же самый ответ - ведь корень уравнения не зависит от того, каким способом мы его находим. 106 Заметим также, что для рациональных чисел останется верным следующее утверждение, рассмотреное нами ранее для случая положительных чисел: длина отрезка на координатной прямой равна разности координат его правого и левого концов. Например, если А (-3), В (2), то АВ = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5, Глава 3, §2, п.2 что наглядно видно на чертеже: А В -3 0 12 Таким образом, установленное правило вычитания расширяет возможности решения задач и уравнений, распространяя уже известные нам способы действий на множество рациональных чисел. 4761 Назови уменьшаемое и вычитаемое в разности. Замени вычитание сложением и вычисли: а) (+1)-(+9); д)3-8; и) 16 - (-5); н)-9 - (-9); б) (-3)-(+6); е)-2-(-б); к)-23-9; о)-37-0; в) (+4)-(-2); ж) 5-(-4); л) 14 - 30; п)0-25; г) (-7)-(-5); з)-7-3; м)-30-(-12); р)-46 - (-46). 477| Выполни предыдущее задание, представляя выражения в виде алгебраической суммы. Какой способ вычислений ты находишь более удобным? [47^ Вычисли: а) 34 - (-6); б) 5-32; в) -12-9; г) -28-(-4); д) -0,7-0,7; и) 2,5-4,1; н) 0 - 2,96; ч 3 , 1, 8 ^ 4^’ ,3,5, ^)-4-^-6^’ о) -4у-(-4у ж) -5 - (-0,2); л) 1,6 -(-1,6); п)- 7,24-0; . 7 8 ^^2 9 ’ ч 2 1. 15 3 ’ Р) 3,8-з|. 479| Найди значения выражений, расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Как ты думаешь, что обозначает получившийся математический термин? 0 (+6) - (+9) + (-2) - (-4) - (+11) 0 (-8)-(+1)-(-14)-0 + (-7) 0 (+24) + (-2) - (-3) - (+24) + (-5) 0 (-4) - (+7) + (-16) - (-16) - (+1) - (-4) (+2) - (-5) + (-12) - (+2) - (-12) + (+5) (-9) + (+1) - (+18) - (-9) + (-1) + (-18) (-12) + (- 6)-(-3) (+7) - (+4) + (-14) [Й] (-5) - (-15) - (+8) [Н] (+1)-(^2) + (-3)-(-4) (-4) + (-8) - (-7) - (+9) [Р] (+3) + (-10)-(+6)-(-7) 107 Глава 3, §2, п.2 4801 Вставь пропущенное число: а) 7 - ... = -6; в) -8 - ... = -5; д)... - (-9) = 8; ж) О - ... = 10; б) 4-...= 9; г)-3-... = -7; е)... - (+12) =-5; з)-2-... = -2. 4811 Реши уравнения двумя способами. Сделай проверку. 1) 2,5 + i-x) = 3,2; 2) -0,6 - (-у) = 0,9; 3) -2 + (-4,8) = -1,6. 482| Реши уравнения и сделай проверку: 1) -д: = -7,2; 4) 2+1,4 = -!; 3 2) -а = - 16’ кч 1 2 2 5) 3; 3) -у = -2 - (-0,8); 6) Ь- 5,6 = -4; 7) -0,6 - (-У) = -0,4; 8) 3,1+(-п) = -2^; О 9) -д:-(-1,2) =-0,8. 483| Найди значения двух данных выражений и сравни их. Какие закономерности ты наблюдаешь? Запиши их в обобщенном виде. а) 5 - 8 и 8-5; б) 11 - 7 и 7-11; в) 4-11 и 11-4; г) 10-(-5) и -5-10; д) 3-(-9) и -9-3; е) -2 - 6 и 6 - (-2). 4841 Раскрой скобки в выражении а - (Ь + с) и переведи с математического язы-* ка на русский правило вычитания суммы из числа. Проверь его при: 1) а = -4;5 = -2;с= 7; 2) а = 1,5; 5 = -0,6; с = -2,9; 3) произвольно выбранных тобой значениях переменных. 48^ Раскрой скобки и упрости выражения: 1) а - (Ь - с + d) - с + (d + h - а); 3) {а - Ь - с) - {а - d) + d - (Ь - с); 2) -(а - Ь + с) - (d + Ь - а + с) + d; 4) - {с - Ь - d) + а - (h + с) - {d - а). 48^ Раскрой скобки и упрости выражения: а) -(2,4 + 3,5) - (4,2 + 0,6 - 3,5) + 2,4; б) о - (2,5 - 5,8 + 0,4) f (-14,07 + 2,5 - 0,58); в) 0,62 + (3,9 - 12,04 f 0,5) - (-0,62 - 12,04 + 7,2); г) (0,376 + 2,8 - 9,12) + 3,5 - (4,35 + 2,8 - 9,12 - 0,524). 8^ Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом: а) -3,4 + (-l| + 5,07-6^) - |- (-2,53+1^ -3,4) б) (8,9-|)-(-1,2 + б|-2^ + ^ ) + (0,6-4^ "2^). 108 _________________________________________________Глава 3, §2, п.2 488| На координатной прямой отмечены точки А (-2,4), В (0,8), С (-4) и D (-0,9). Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков. 48у Реши уравнения и сделай проверку: 1)|д:-ь2|=1; 2)|г-4| = 6; 3)|i/-5| = 3; Образец: 1 д: - 9 1 = 4 д: - 9 = -4 или д:-9 = 4 д: = -4 + 9 д: = 4 + 9 д: = 5 д:= 13 Ответ: {5; 13}. 4901 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как “имущества”, а отрицательные числа - как “долги”. Вот как в рукописях VII в. излагались правила сложения и вычитания: “Сумма двух имуществ есть имущество”, “Сумма двух долгов есть долг”, “Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества”. Переведи эти древнеиндийские правила на современный математический язык. 49!| Найди значение выражения а + Ь, если: 4)1 л-н 7| = 2. 2) а = +4; 6 = -0,8; 3) а = + |;< о 1^- 7’ 4)а = -7,5; & = 0; 7) а = -0,625; 6 = 0,8; 5) а = -0,9; h = -0,3; 8)a = +0,05;ft = - ■0,3; -1,3; 6)a = +l|;6 = -0,7; 9) а = -0,84; 6 = - 3 ’ 5 ‘ сложения, и сопоставь ответы соответствующим буквам. Расшифруй имя древнеиндийского математика (VII в.), сформулировавшего правила сложения “долгов” и “имуществ”. [р1 12-50 + 24 + 38-26 Ш -42 + 73-58+ 11 +27-9 [а] -89 + 300- 156-211 + 160 -298 + 96 + 379 - 702 + 521 572-387+ 197 + 128-513 |~Г1 0,25 - 0,58 + 0,75 - 0,4 - 0,32 -0,44 + 0,98 + 0,2 - 0,56 + 0,02 И -4,81 + 2,48 - 0,98 - 1,19 + 4,52 -1,45 + 7,16 - 8,55 + 1,97 + 0,84 -0,03 -2 4 -4 0,02 4 -0,3 0,2 -3 2 4 109 Глава 3, §2, п.2 !4931 Отметь числа m и п на координатной прямой, если известно, что: 1) /п > 0; л < 0; I m I > I п |; 3) m < 0; л < 0; | m | < 1 п |; 2) лг < 0; л > 0; 1 лг I < I л I; 4) лг < 0; л < 0; | лг | > I л I. Реши уравнения (устно): 1) а + 0,2 = 5; 3) с - 0,9 = 0,5; 5) 0,1 - х = 0,02; 2) 4,6-5= 1,4; 4) 3,9+ £/ = 6,4; 6) г/- 0,6 = 0. ш Переведи условие задачи па математический язык и реши уравнение: 1) Задумали число, увеличили его в 4 раза, потом увеличили на 12, результат уменьшили в 5 раз, затем вычли 6 и получили 2. Какое число задумали? 2) Задумали число, увеличили его в 3 раза, а затем уменьшили на 18. В результате получилось число в 1,5 раза больше задуманного. Какое число задумали? 496 Составь по данной математической модели задачу и реши ее: 1)0,48:(1,6-2х) + 5,2 = 6; 2) 2(х- 1,8)= f X. О 4971 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом проб и ошибок: Задуманное положительное число сначала увеличили на 0,3, потом его же уменьшили на 0,2, полученные результаты перемножили и получили 0,36. Найти задуманное число. Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора: Если цифры двузначного числа поменять местами, то оно уменьшится на 45. Какое это число? 14991 Построй треугольник АВС, проведи три его медианы и найди их точку пересечения О (см. № 223, стр. 56). Найди для каждой медианы отношение отрезков, на которые она делится точкой О, считая от вершины. Повтори эксперимент. Что ты замечаешь? Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер'^ Как называется высказывание, являющееся предположением? 5001 Вычисли: а) (+2) - (-8); г) 7 - 25; б) (-5) - (+4); д) 9 - (-3); в) (+3)-(+11); е)-8-(-1); 01| Реши уравнения и сделай проверку: а)-х=1,8; б) г/+ 5,6 =-4; в)-3-г = -2,6; ж) -2,9 - 0,6; з) |-1,5; 5 к) о - 9,6; л) -1| -(-4); и) 0,8 - (-0,5); м)-3,4-2,8. г)/-(+0,8) = -0,05. 110 -_____Глава 3, §2, п.2 ш Раскрой скобки и найди значение полученной алгебраической суммы: а) -0,8 - (1,6 - 9,2) + (-3,6 + 7,4 - 9,2); б) 0,3 - (8,04 - о + 5,306 - 0,09) + 0 - (-5,36 + 1,004 - 8). На координатной прямой отмечены четыре точки М(-0,7), N{-b,2), Р(1,5) и Q(-3,4). Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков. Реши уравнения: а) I л: 1 = 9; б)|г/-3| = 5; в)12 + 1| = 4; г) | а-I-2 | = 0. Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение: Задуманное число уменьшили в 3 раза, результат вычли из 40, то, что получилось, увеличили в 5 раз, потом уменьшили на 50 и получили 90. Какое число задумали? Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом проб и ошибок: Одно из двух положительных чисел на 0,5 больше другого, а их произведение равно 0,14. Найти эти числа. Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора: Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа. Какое это число? Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом: а) (5,219-l|)-(|-1,781); б) -(1,08 + з|)-(1|-5,8). |509| Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину от того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно? В бассейне с горизонтальным дном площадью 0,5 га содержится 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию? Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответ- 119 ^ 13 3 ственно — , — VI — своего задания, а второй за эти же дни - —, — и — своего 7 6 20 411 7 задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день? 111 Глава 3, §2, п.2. 3. Умножение рациональных чисел. Свойства арифметических действий Сформулируем теперь правила умножения рациональных чисел. Начнем с умножения целых чисел. Как понимать, например, произведение двух отрицательных чисел (-2) • (-3)? Ясно, что нельзя взять число (-2) сомножителем (-3) раза. Поэтому в данном случае мы будем исходить не из житейской практики, а из того, что при умножении рациопа.зы1ых чисел до.тжны выполняться установленные ранее свойства умножения положительных чисел, в частности: аЬ = Ьа- переместительное свойство; (аЬ)с = a(hc) - сочетательное свойство; а{Ь + с) = аЬ + ас - распределительное свойство. Кроме того, должны выполняться частные случаи умножения на О и 1: а-1 = 1-а = а а-0 = 0-а = 0 Рассмотрим вначале произведение (-2) * 3. Так как второй множитель -натуральное число, то мы можем воспользоваться “старым” определением, известным еще из начальной школы: (-2) • 3 есть сумма 3 слагаемых, каждое из которых равно (-2). Поэтому (-2) • 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6, то есть (-2)-3 = -6 Мы видим, что умножить число (-2) на число 3 можно по простому правилу: перемножить “числа без знаков” (то есть модули) и перед произведением поставить знак “минус”. Теперь рассмотрим пример умножения положительного числа на отрицательное. Так как при перестановке множителей произведение не должно меняться (переместительное свойство умножения), то сохранится и правило, по которому мы ищем рузультат. В нашем примере: 3 • (-2) = (-2) • 3 = -6 Таким образом, мы рассмотрели оба случая умножения двух чисел с разными знаками. Остается случай, когда и первый, и второй множители отрицательны, например (-2) • (-3). Попробуем сначала понаблюдать имеющиеся закономерности. Заметим, что в последнем примере 3 • (-2) = -6 при умножении на отрицательное число модули перемножаются, а знак произведения противоположен знаку первого множителя. Распространяя данное свойство на случай, когда первый множитель отрицателен, приходим к равен- (-2)-(-3) = 6. Полученное равенство можно проиллюстрировать также, используя известные свойства чисел. 112 .Глава 3, §2, п.З Для этого составим сумму произведений (-3) • (-2) и 3 • (-2) и применим к ней сначала распределительное свойство умножения, а затем свойство суммы противоположных чисел: (-3) • (-2) + 3 • (-2) = (-2) • (-3 f 3) = (-2) -0 = 0. Следовательно, числа (-3) • (-2) и 3 • (-2) должны быть противоположны. А поскольку 3 • (-2) = -6, то следует считать, что (-3) • (-2) = 6. Произведение двух отрицательных чисел оказывается положительным. Полученные правила умножения можно распространить на умножение любых рационгшьных чисел. Итак, произведение двух чисел одного знака положительно, а произведение двух чисел разных знаков отрицательно; чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули сомножителей. Запомнить правила знаков для умножения очень просто - они совпадают с известными нам правилами знаков при раскрытии скобок. Коротко их можно сформулировать так: “Плюс на минус дает минус", “Минус на минус дает плюс". Обычно вначале определяют знак, а потом уже находят модуль прюизведения, например: (-5)-0,8 = -(5-0,8) =-4, (-|) -(-3,6) = I -3,6= 1,2. В “длинных” выражениях, в которых фигурирует только умножение, при четном числе отрицательных множителей ответ будет положительным, а при нечетном числе - отрицательным. Например, в выражении (-8)-(-5)-(-2)-(-3)-125-(-1) пять отрицательных множителей. При умножении знак результата будет “минус”. Произведение модулей вычисляем, уже не глядя на знаки: 8 • 5 • 2 • 3 • 125 • 1 = (5 • 2) • (8 • 125) • 3 = 30 000. Следовательно, значение данного выражения равно числу (-30 000). Особую роль при умножении рациональных чисел играет число (-1). При умножении на (-1) любое число меняется на противоположное. На математическом языке это свойство числа (-1) можно записать так: а • (-1) = (-1) • а = -а. Ош Запиши в виде произведения сумму: 1) a + a + a-i-a-t-a + a + a-fa-i-a; 3) - 4х - 4х - 4х - 4х - 4х; 2) -п - п - п - п - п - п - п; 4) {Ь - 2с) + (Ь - 2с) + ф - 2с). 113 Глава 3f §2, п.З. 513 Составь блок-схему алгоритма умножения рациональных чисел. 514 Переведи с математического языка на русский частные случаи умножения рациональных чисел: 1)а*0 = 0*а = 0; 2)а’1 = 1*а = а; 3) а • (-1) = (-1) • а =-а. 515 Выполни умножение: а) -3 - 9; д)8-(-0,7); и)0-(-7,4); н) -0,125-(-6,4); б) -4-(-15); е) -0,5 - 40; к)-|-3; О) 2,4-(-4^); 6 в) 12-(-7); ж) -0,1 - (-3); л) -0,04-(-10); п)-1 -3,2; г) -45 - (-1); 3)0,9-(-0,6); м) J -(-9-|-); 5161 Реши уравнения: а) -2(х - 9) = 0; б) -0,5(1/ + 7) = 0; в) -а(а - 4) = 0; г) Sn{n + 6) = 0; д) -3(ft+l)(ft-l) = 0; е) с(с - 5)(с + 2) = 0. 5171 Сравни с нулем: 74 а) -23,798-(-18 в)-34г^ • 0,0000125; 7U5 д) (-16 б) 450,06 • (-9,9042); г)-7,30329 • (-56,080808); е) (-42,725)-'. 518| Запиши па математическом языке: 1) Числа а и Ь одного знака. 2) Числа х и у разных знаков. 519| Каким числом - положительным, отрицательным или нулем - является произведение: а) (-l)-(-D-(-l) •(-!); б) (-1)-(~1)-(-1)-(-1) •(-!); в) (-1)-(-2)-(-3)-...'(-2007); г) (-1)-(-2)-(-3)-...-(-2008); д) (-3)-(-2)-(-1)-0-1-2-3; 52^ Найди значения выражений: 3 7 е) (-1-2-3-4-5-6)-(-56); ж) (1-2 + 3- 4 + 5- 6 + 7-8)- (-678); з) (-1 + 2 - 3 + 4 - ... -9 + 10) - (-10); и) (-1)=^ - (-1)3- (-1)^- (-1)5- (-1)6. (-1)7; к) 1-(-!)-2-(-2)-... -п-(-п)? 0; 1; -1; 4; -30; -3,2; 15 »; 1; -1; 7 ; 350; -1,4; -8^; -2- - —-3’ -0,4; -0,05; -if; 4 -2; -0,3; -i; -0,01; -2f. 5 22 114 .Глава 3, §2, п.З 521| Вычисли: а) (-3,4 + 4) *(-1,6-0,9); б) (-0,8-0,5 + 2,1)-(|- - 1); О в) (-0,05 - (-0,5) - (+1,2)) • (-4,8); г) 0,375 • (- 0,08 - 0,52 - (-0,04)). 1) Запиши на математическом языке переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения и проверь их для произвольно выбранных тобой значений переменных. 2) Вычисли, используя законы умножения: а) -50 • 0,9 • (-2) • (-0,03); г) 0,3 • (-4,28) 4 0,3 • (-5,72); д) -15,87 • (-1,09) - (-5,87) • (-1,09); е б) -12,5 • 0,25 • (-0,6) • 0,8 • (-4); Раскрой скобки, пользуясь распределительным законом умножения: 1) -(а-6); 4)л:(-х + 2«/+ 1); 7)-4(а - 2Ь + Зс - 0,5); 2) -3(с + dy, 5) -у{х -у + 3); 8) с(-3а + 2с - с? + 1); 3) 2(-х + у); 6)-2а(-а + 6 - 4); 9)-5д:(л: - 0,2t/ + 0,6п - 1,8). Заключи выражение в скобки двумя способами - ставя перед скобками знак “+” и знак 1) а-Ь; S) X + у - 2; Ь) а + Ь - с; 2) -с - d; 4) -т + п + 6; 6) -х + у - z; Вынеси за скобки общий множитель: 1) -2а + 2Ь; 3)-5т - 10; 5)-14дг - 21j/+ 28; 2) хс - xd; 4)-Зл + 6)-am + - Sbm; |52^ Вычисли: а) 0,3 • 0,6 б) 15 • 0,01 7) -За - 6 + 2с - 4; 8) 2х - 5у + Z + 3. 7) 4а^ + 12af> -16ас; 8) -15ху + 3yz - 9у'^. 0,08-40 0,7-0,12 0,04-1,5 2у -3,5 0,68-1000 0-3,412 4,56-1 ^■5,5 в) 2 - 2 - 4 - 5 - 5 - 25 16-0,25-0-8,6 4-3,9-0,5-2-2,5 8-0,01 - 7,4-12,5 5,6-3-1--|- г) -12-6 8-15 —0,5 + 0,9 3,4-(-0,8) -2-1 -8,5 5 По таблице, задающей зависимость между хну, построй формулу и график зависимости и установи, является ли она прямой или обратной пропорциональностью. Придумай по три примера величин, которые могут быть связаны этой зависимостью. 1) X 1 2 3 4 5 6 у 1,5 3 4,5 6 7,5 9 2) X 1 2 3 4 5 6 У 12 6 4 3 2,4 2 115 Глава 3, §2, п.З. 528| Реши задачи, составляя пропорции: 1) Выкурив 3 сигареты, человек принимает 2,4 мг яда никотина. Сколько яда примет человек, если выкурит за день пачку сигарет (20 штук)? 2) Из 0,4 т винограда получается 72 кг изюма. Сколько надо взять винограда, чтобы получить 0,18 т изюма? 3) Если пешеход будет идти со скоростью 3,6 км/ч, то он пройдет путь от деревни до станции за 0,5 ч. Сколько он сэкономит времени, если увеличит скорость на 25% ? 4) Фермер засеял под картошку 7,5 га и получил урожай 14 т картофеля с гектара. На сколько процентов надо увеличить урожайность картофеля, чтобы сократить посевные площади на 0,5 га? (Ответ округли с точностью до целых.) 529J Реши уравнения: 1)|а + 5| = 4; 2)1б-8|=1; 3)1л:-3| = 7; 4)|i/ + 2| = 6. 5301 Реши неравенства (ответ запиши в виде двойного неравенства): 1)|дг|<2,5; 2)|i/|<9,6; 3)|a-l|<3; 4)|n + 2h5. Вычисли: а) -3,6 • (-0,25); д) 4,32 • (-12,5); б) - Y • 14,56; в) 0,75-(-480); г) -2^ -(-2,6); 532| Реши уравнения; а) -8(jf + 6) = 0; е) -g (-18,18); ж) -2,106-1050; з) 704,5 • (-2,008); б) -yiy - 3) = 0; 533| Вычисли, используя законы умножения: а) ^-(-4,75)-(--|) - ^-2,8-(-15); и) (1,6-12)-(-2,5 + 3); к) (-9 ^ 6,8 - 1,2) - (-0,49 - 0,51); л) -1,2 - (-0,4 - (-4,6) - (+4,7)); м) [-0,9 - 2,5 - (-8,2)] - ( 0,625). в) 3(г + 2)(2 - 4) = 0. 53^ Заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке. X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 1 3 1 4 1 5 0 х'^ х^ 116 Глава 3, §2, п.4 Реши задачи, составляя пропорции: 1) В 2,5 стаканах 400 г пшеничной муки. Сколько пшеничной муки в 1,5 стаканах? 2) Мясо теряет при варке 36% своей массы. Сколько надо взять свежего мяса, чтобы получить 960 г вареного? |53^ Через железнодорожную станцию прошло три военных состава. В первом находилось 462 солдата, во втором - 546 и в третьем - 630. Сколько вагонов было в каждом составе, если известно, что в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат и что это число солдат было максимальное из всех возможных? На месте единиц в трехзначном числе стоит цифра 2. Если эту цифру поставить впереди двух остальных, то получится число, большее заданного на одну треть (от заданного числа). Какое число задано? 4. Деление рациональных чисел. Деление рациональных чисел уже не представляет проблем, поскольку деление - это действие, обратное умножению. Как известно, разделить число а на число Ь - это значит найти такое число с, которое при умножении на h дает а: а : Ь = с о с • Ъ = а Поэтому, например, 2,8 : (-7) = - 0,4, так как (-0,4) • (~7) = 2,8, (-4): (-5) = , так как • (-5) = -4. 5 5 Уже из приведенных примеров видно, что деление рациональных чисел производится самым естественным образом: операцию деления выполняют, пользуясь тем же правилом знаков, что и при умножении. Итак, частное двух чисел одного знака положительно, а частное двух чисел разных знаков отрицательно; чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя. Ясно, что таким же образом преобразуются и дроби: ведь черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления. Например, — 2 9 9 9 -f = (-2): 7 = - I, ^ = 2 : (-7) = - |. И вообще, для любых чисел аиЬ -а____а____ а_ h ~ -Ь~ Ь' так что для преобразования дроби знак ''минус” можно перенести из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а можно поставить его перед самой дробью. 117 Глава 3, §2, п.4. При вычислении “длинных” выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления значения выражения 2 • (-3) • (-4) • 5 • (-6) • (-7) (-1)(-2)-3(-4)*6 можно заметить, что в числителе четыре знака “минус”, которые при умножении дадут “плюс”. Аналогично в знаменателе три знака “минус”, которые при умножении дадут “минус”. Поэтому после совершения всех действий у результата получится знак “минус”. Дальнейшие действия с модулями чисел выполняются так же, как и раньше: 111 1 Ж-Ж-/‘5-Ж-7_ 5-7 1111 Отметим, что все известные ранее правила деления с О и 1 распространяются и на множество рациональных чисел: а : 1 = а, а:а = 1, 0:а = 0 (а э* 0). На ноль, как и раньше, делить нельзя! = -35. |53^ Составь блок-схему алгоритма деления рациональных чисел. [539| Переведи с математического языка на русский и докажи утверждения: 1) а : (-1) = -а; 2) а : (-а) = (-а): а = -1. (а ^ 0) ш Выполни деление: а) -45: (-9); д)-12: 0,3; б) -84 : (-6); е) 0,18 : (-0,2); в) -64: 16; ж)-0,36 : (-9); г) 132:(-1); з)-1,5 : 0,005; и)-7,8: 7,8; K)-g :(--); л) о : (-16,2); н) 0,3: (-0,125); о) -l|:(-0,25); п) -4,2:(-1); м)-12^:(-3); р)-2^: 0,13. 541 Найди значения выражений: 1) -3,6 : а, если а= -1; 0,01; -0,4; -10; -180; 2) JC : (-3-|-), если х= 0; 3^; -0,1; 10; -2,5; 5421 Реши уравнения: а) -8д: = 2,4; г) -0,5(-а) = -2; ж) 4^ - 70; б) 0,72 : (-у) =-0,4; д)-6 : 0,06 =-60; з)-1,8т = -1; в) -Z : 5,6 = -3у; е) 0,4 : с = - -; и) ^-0.5, 118 .Глава 3, §2, п.4 Найди значения выражений: . 2Д -(-4,5) 0,14 (-0,6). -1,2'(-0,49) 0,9 -1-2,1 (-4,2) -0,35-(-^)-1,6-(-4,8) . -0,36 • (-1,7) ♦ 0,05 - (-6,4) • 2,7 . ^ 4,8-(-0,51)-(-5,4)-0,08 б) г) ■(-l,5)-(-lf)-8,l -0,18 ■ (-6,3)(-7.5)-(-|) 5^ Какие из дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Расположи их в порядке убывания, сопоставь соответствующим буквам и расшифруй название озера. Остальные дроби переведи в бесконечные периодические дроби, указав период. 7_ ^ _12 1 30’ 25’ 75’ -20’ 800’ 11’ 8 -4’ 240’ l)VaeQ: =_i; -a a 2)3 a gQ: (-a)^ < 0; Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний: а 1«‘ 3) V а G Q. а > 0: J—Г = — |а| а а I ц I 4) VaeO,a<0: = i-1 |а| а Вычисли и проверь с помощью умножения: а) 44,24 : (-5,6); б) -190,76 : (-3,8); в) -2,7744 : 1,36. -= 1; = -1. Известны следующие свойства деления для положительных чисел: 1) {а + h): с = а : с + h : с; 3) {а ’ Ь): с = {а : с) ■ h = {h : с) - а; 2) (а - Ь): с = а : с - h : с; 4) а : (h • с) - {а : Ь): с == {а : с): Ь. Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных чисел. Вычисли, используя свойства деления: а) (^0,78-4,6): (- 0,78); б) (-^-(-12|)):(-3); в) (25,8-(-6,09)): (-60,9); Выполни действия: г) 17 000 : (17 • (-125)); д) -1|:(-0,25-1|); е) -0,548 : (-0,548 • (-1,5)). 3 . 1 а) -3^ + (-0.25:(-i)-1.5:(-:jj)):(-4^), б) (6^ : (-1) - (-0,8) • (-0,1)): (-0,25 : 1,25 - l|: (-о|-)). 119 Глава 3, §2, п.4_____________ [550| Вычисли (устно): а) 5 : 8 0,12:0,4 4,8 : 0,06 б)-7 + 36 -0,8-0,4 0,5 4 —6 + 4,3 в) -0,3 • (-0,5) -3,6 *0,1 ^•(-300,2) -0,06 • (-0,7) 1) Вторая в мире по длине река, Амазонка, на карте с масштабом 1:40 000 000 имеет длину 16 см. Чему примерно равна ее длина в действительности? 2) Длина самого большого по протяженности пролива. Мозамбикского, равна примерно 1760 км. Чему будет равна длина этого пролива на карте с масштабом 1 : 25 000 000? 3) На плане, масштаб которого 3:8, отрезок имеет длину 12см. Чему будет равна длина этого отрезка на плане с масштабом 5 : 4? 5521 Через один кран бак наполняется за 2 ч, а через второй - за 3 ч. На сколько 2 времени надо открыть оба крана, чтобы наполнить — бака? О 553| в бассейн подведено две трубы - большая и маленькая. Через большую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через маленькую - за 15 ч. После того как в течение 2,5 ч работала одна большая труба, дополнительно была подключена маленькая. Через сколько времени работы обеих труб бассейн наполнился на три четверти? [55^ Выполни деление: а) -128 : (-40); в) (-7,5): 0,015; б) 0,24 : (-0,3); Д) о : (-9,7); 5551 Реши уравнения: е) -8,48: f; 5 ж) 3,56 : (-3,56); з) -24^ : (-2,4). 1)-7,2:(-;с) = -1-; 55^ Чайди значения выражений: 2)-3^1/= -17,5; 3)^;|=4,5. а) -5,6-0,38 (-4,2) -1,9 *(-4,9)-0,96 0,4 б) -2у • 6,4 -(-0,45) 0,5 11 (-0,72)-(-з|) б)-5:((--|--|):(-1,9) t |:(-2)). 557| Выполни действия: а) (-|- + |)-0,6-0,6:(-|); 558| 1) Расстояние от Екатеринбурга до Челябинска равно примерно 202 км. Чему равна длина отрезка, соединяющего эти города, на карте с масштабом 1 : 2 000 000? 2) Земельный участок имеет форму прямоугольника. Найди его периметр и площадь, если па плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см. 120 ________________________________________________________Глава 3, §2, п.5 155^ Один экскаватор может вырыть котлован за 24 дня, а второй - за 36 дней. За сколько времени, работая вместе, экскаваторы выроют ^ котлована? Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя? 9 5. Какие числа мы знаем, и что мы о них знаем или не знаем. Мы знаем, что числа были придуманы на заре развития человечества для решения практических задач - счета предметов и измерения величин. Проходили века и тысячелетия, и на вопрос “Сколько?” людям становились необходимы более точные ответы. Появлялись и исчезали различные способы записи чисел и действий над ними, шло осмысление свойств этих действий. Так медленно и постепенно создавалась арифметика. За последний год мы узнали, как развивалась математика, по сути, в течение нескольких веков, и наши представления о числах отражают сегодня примерно те представления, которые сложились к XVI-XVII вв., то есть около 300-400 лет назад. Итак, мы знаем, что множество натуральных чисел бесконечно: N = {1,2, 3,4,5,...}, умеем записывать натуральные числа в десятичной позиционной системе записи, представлять их в виде суммы разрядных слагаемых, например: 28 156 = 2 • 10* + 8 • 10-* + 1 ' 10^ + 5 • 10' + 6 • 10", умеем выполнять над натуральными числами арифметические действия, знаем свойства этих действий, среди которых основными являются переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения. На множестве натуральных чисел любые два числа можно сложить и перемножить, но вычесть одно число из другого можно не всегда. Например, нельзя из 3 вычесть 5. Расширением множества натуральных чисел до множества, в котором выполнима операция вычитания, является множество целых чисел Z: Z={...-3, -2,-1,0, 1,2, 3...}. Таким образом, арифметика целых чисел, образно говоря, “богаче” арифметики натуральных чисел. Вместе с тем на множестве целых чисел не всегда можно разделить одно число на другое. Например, 7 не делится на 5 до тех пор, пока не появляются дроби. Расширением множества целых чисел до множества, в котором выполнима операция деления на число, не равное 0, является множество рациональных чисел Q. 121 Глава 3, §2, п.5. Любое рациональное число можно представить в виде дроби, в которой числитель - целое число, а знаменатель - натуральное, поэтому множество рациональных чисел обычно записывают так: Q = {^, гдер 6Е Z, f/ G N}. На множестве рациональных чисел самая “богатая” арифметика - в нем всегда выполнимы все четыре арифметические действия (кроме деления на 0). И конечно, в каждом из множеств N, Z и Q выполняются основные свойства арифметических действий. На диаграмме, показывающей соотношение между множествами N,ZnQ, хорошо видно, что натуральные числа являются в то же время целыми. Вместе с тем и натуральные, и целые числа являются рациональными. В самом деле. 5 = Y - 5 е Z, 1 е Л/"; -7 eZ, 1 е /V. Еще мы знаем, что любое рациональное число может быть и.зображено точкой числовой прямой. А вот верно ли обратное? Любая ли точка числовой прямой является рациональным числом? Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице. Согласно известной теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов, поэтому = + 1^ = 2. Ясно, что число d не является целым, так как 1 < d < 2. Но d не является и дробным. Действительно, если бы число d можно было записать в виде несократимой 2 дроби — (<7 Ф 0), то ее квадрат - несократимая дробь — 0) - был бы равен целому числу 2. А значит, р : 2 => q\ 2. п (Знак “ : ” означает “делится”.) Следовательно, дробь — сократима, что противоречит условию о ее несократимости. Таким образом, получается, что диагональ у квадрата есть, а выразить ее длину мы пока не можем. Эта проблема была известна еще математикам Древней Греции, но они не смогли ее решить, осознав, что их числового запаса (как и нашего сейчас) для измерения отрезков недостаточно. Возникла необходимость в изобретении новых чисел. Их назвали иррациональными, то есть “недоступными для понимания” (“ratio” в переводе с латинского - “разум”). Тогда привычные, “хорошие”, “понятные” числа для противопоставления и стали называть “разумными”, рациональными. 122 .Глава 3, §2, п.5 Мы познакомимся с иррациональными числами в старших классах. А сейчас придется смириться с тем фактом, что если на координатной прямой поставить все рациональные числа, то на ней останутся “свободные места” - например, точка А: \ А -3 -2 -1 1 / 561| 1) Какая разница между цифрами и однозначными числами? 2) Назови классы и разряды в записи чисел: 518,1045, 27 019, 780 780, 1 230 456. Представь эти числа в виде суммы разрядных слагаемых. 562| Выпиши основные арифметические законы и известные тебе свойства арифметических действий. Выполняются ли они на множествах N, Z, Q? 563| А = {-2; 0,8; 15; -36; 0; -1; 3-^; 4}. Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна 11 5 множеств N, Z, Q и отметь на ней элементы множества А. 564| Выбери из множества А = {5; 0; -12; -7,8; 1:^; -0,95; 8,6; 21;-3-^} 7 1о 5 подмножество: 1) В - положительных чисел; 2) С - отрицательных чисел; 3) В - целых чисел; 4) Е - натуральных чисел; 5) F - неотрицательных целых чисел; 6) К - отрицательных дробных чисел. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В, С и D. Обведи на ней красным карандашом множество В, зеленым - множество F, а желтым - множество К. 5651 Является ли рациональным числом: а) длина диагонали квадрата со стороной, равной 2; б) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2? [56^ Приведи примеры точек координатной прямой, координаты которых не принадлежат множеству рациональных чисел. О 56Т| Вычисли (устно): а) о-(-4,8) б)-0,3+ 1,2-0,5-0,4 в) -0,2 • (-0,5) г) 0,9 : (-1,8) 2,6-2 + -^-0,8 5 4.5 .(-з) -0,6 + 0,24 -1,5-2,25+1,9-0,25 56^ Сравни числа А и В и их модули: (21-7^) *(-0,54): (-0.7) 0 -5,6: 0,1 -80,8 • (-0,25) (-0,009:0,01): -0,8 + |) (й ■ (-й)■ S• Ий)) ■ Н I ■" <- I > • '-«•'>2) - 4.76) 123 Глава 3, §2, п.6 569| Найди значения выражений: О а) (-0,864 : 1,2 - 0,2 • (-3,5 ’ ^ ~ ^ ' 7,5) + 0,92): (- у); б) (2,19 • (-5,4)): (-2,19) - (-1,25 • 0,7 • (-8)): (-l|) - (0,21 : (-0,1)). 7^ Выбери из множества А = {1,5; -7; у; 0; 9; ~2у; 68} подмножество: 1) В - натуральных чисел; 2) С - целых чисел; 3) D - рациональных чисел. Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств А, В, С и D и отметь но ней элементы множества А. 5711 Выполни действия: а) 3,27-5,4; г) 0,04 - 0,096; ж) 0,08 • (-260); к)-45,54 : 0,9; б) -0,56+ 2,5; д)-13,9-8,21; з)-1,6-3,46; л)-1,203 : (-0,6); в) -1,38-14,2; е)-15,172+17,2; и)-40,8 • (-1,05); м) 17,69 : (-5,8). 572| Найди длину отрезка АБ координатной прямой, если координаты точек А и В равны значениям выражений: 2,4-(-0,08)-7,4-(-2,5) 0 -6,4 -3,7 *(-0,75) В 0,48 : : (-у) + 0,9 : (-2)) + (-5,4) 573| в школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике - 50, по информатике - 48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ “в двух” дали вдвое меньше человек, чем ответ “в одной”, а ответ “в трех” - втрое меньше, чем “в одной”. Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах? 6*. О системах счисления. В десятичной позиционной системе записи чисел 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу следующего разряда. Если же в группы объединять не 10, а другое число единиц - например, 2, 3, 4 и Т.Д., - то получим систему записи чисел (или систему счисления) с основанием соответственно 2, 3, 4 и т. д. Эти системы называют соответственно двоичной, троичной, четверичной и т. д. системами счисления. В десятичной системе числа записывают с помощью степеней числа 10. Подобно этому и в остальных системах счисления числа записывают с помощью степеней основания. Так, чтобы записать в троичной системе некоторое число - например, 145, - надо выяснить, сколько в нем содержится троичных “единиц”, “десятков”, “сотен”, “тысяч” и т. д., то есть соответствующих степеней числа 3. Ими являются: 3°=1, 3‘=3, 3^=9, 3^=27, 3^=81, З"" = 243... 124 .Глава 3, §2, п.6 Для этого вначале разделим 145 с остатком на 3^ - наибольшую возможную в нашем случае степень числа 3 - и определим цифру разряда десятков тысяч, затем остаток разделим на 3* - определим цифру разряда тысяч и т. д. В итоге получим: 145 = 1 • 3^ + 2 • 33 + 1 • 32 4 Q • 3‘ +1 • 3«. Значит, 145,„ = 12 lOl,. Перевод натурального числа из десятичной системы в троичную можно делать по более простому правилу, а именно: цифрами, представляющими число в троичной системе, будут остатки от последовательного деления этого числа на 3, записанные в обратном порядке. В сокращенном виде последовательную запись деления можно провести так: 3 'L_3_ 3_ 3 145 ____ (1)48 (0) 16 Ф 145,„=12 101з 5 L (2) ф Чтобы понять происхождение этого правила, достаточно разделить по этой же схеме какое-нибудь натуральное число в десятичной системе на основание этой системы - число 10. При переводе из троичной системы в десятичную надо представить число в виде суммы разрядных слагаемых и найти значение полученного выражения. Например, 2011з= 2 • 3» 4- Q • 3^ 4-1 • 3» + 1 • 3<> = 54 + 0 + 3 + 1 = 58, Поскольку остатки не могут быть больше делителя, то в троичной системе для записи любого числа достаточно трех цифр - 0, 1 и 2. Аналогично записываются числа и в других позиционных системах счисления. Например, в пятеричной системе будет использоваться пять цифр (от 0 до 4), в восьмеричной -восемь цифр (от 0 до 7) и т. д. Натуральный ряд в разных системах счисления выглядит по-разному. Па-пример, в пятеричной системе он имеет вид: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, ... А вот как необычно выглядят в ней таблицы сложения и умножения: 4- 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2 3 4 10 11 3 4 10 11 12 4 10 11 12 13 • 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 11 13 3 3 11 14 22 4 4 13 22 31 Можно себе представить, как считали бы люди, если бы в разных странах использовались разные системы счисления. Для сравнения результатов вычислений нужны были бы специальные числовые словари. 125 Глава 3, §2, п.6. Самая простая система счисления, получившая широкое распространение в современной компьютерной технике, имеет основание 2. Натуральный ряд в этой системе записывается так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1111 ... И особенно просто выглядят в ней таблицы сложения и умножения: + 1 1 10 Таким образом, кроме равенств 1 + 1 = 10и1*1 = 1 ничего и помнить не нужно. Только, к сожалению, запись чисел в двоичной системе гораздо длиннее: например, 2000jg= lllllOlOOOOg. |57^ Запиши первые 15 чисел натурального ряда в троичной системе счис-ления. Построй в этой системе таблицы сложения и умножения. [575| Переведи в десятичную систему счисления числа: 11 OlOg, 2103^, 555^, 424з, 176,. 7^ Переведи числа 7, 25, 42, 79, 156, 273 из десятичной системы счисления в пятеричную. Сделай проверку. О |577| Прочитай стихотворение и переведи числа в десятичную систему счисления. Ей было 1100 лет. Она в 101 класс ходила. По 100 учебников носила. Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног. Она шагала по дороге. За ней бежал ее щенок Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали, И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно... Но станет все совсем обычным. С одним хвостом, зато - стоногий! Когда поймешь ты наш рассказ. (Стариков А. Н.) Реши уравнения: а) X + 1,8 = -5,8; 6)-2j-y 4^ в) -2 + 0,7 = 1,02; г) т : (-6,4) = д) -4 + I а I = -2,6; -п + 0,5 0,8 е) = -1,5. 15791 Найди значения выражений; а) (+2,5)-(+1,9)-(-4,2)+ (-5,3); в)-| • 3,5 • (-l|) • (-0,3) • 4^; б) -0,1 - (-0,1)2 + (-0,1)2; г) (_зд5 + 6). (_11) + (_ii): (0,5 -1). 126 .Глава 3, §2, п.6 580| Построй математическую модель и реши ее методом перебора'. G На двух полках было 52 книги. Когда с первой полки взяли 40% стоящих на ней книг, а со второй полки - -д стоящих на ней книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? |5^lJ Запиши число IGOj^ в двоичной, пятеричной, восьмиричной, двенадцатиричной системах счисления. Составь таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления и выполни действия: а) 21 021д + 210 202^; б) 102д' 201д. Задачи для самопроверки. Закончи предложение и переведи его на математический язык: 1) Число, противоположное числу +4, равно ... 2) Число, противоположное числу -2,5, равно ... Сравни: а) -8 и 4; Вычисли: б)-3,6 и -5; в) -7 и 0; . 2 2 г)-з И-- а) 0,3-3; в)-2,4+ 0,9; б) -1,4-5,8; г)-4,6 + 4|; э д) -2,9 • (-0,2); ж) -4,048 : (-0,8); е)1,2:(-^); 3) -1,35 -. 5861 Реши уравнения: 1)-2,4 + а = -4; 3) 8 + (-д:) =-3,5; 5) 2с(с + 6) = 0; d 2)-0,7ft = -0,28; 4) i/- 1,7 =-6,2; 6) -5,3 0,1; 7) |mi = 4; 8) А.-з. Найди значения выражений: а) -2,5 + (-7,4) - (-1,2) - (+3,9) + (+0,6); в) -2 • 1,9 • (-5) • 2,5 • (-0,4) • 3; б) -(4,8 - 1,92) - (-5,4 + 8,04) - 1,92; г) -5,4-3,9-(-0,02) 0,42-(-0,18) *(-2,6) ’ В доме 126 квартир. Число однокомнатных квартир в 1,5 раза больше числа двухкомнатных, а число трехкомнатных составляет 75% числа двухкомнатных. Остальные 9 квартир - четырехкомнатные. Сколько в доме однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир? Длина прямоугольника на 1,2 см больше ширины. Чему равны пло1цадь и периметр прямоугольника, если: а) длина больше ширины в 1,6 раза; б) ши-2 рина составляет — длины; в) длина на 30% больше ширины; г) ширина на О 20% меньше длины? 127 Ответы _________________________________________________________________________________________________ Глава 2. § 3.3. ж)^ ; з) ^ . 6. з) 200 %. 7. г) 60 %. 1бб|-%. 8. е) 350 %. 19. в) 2,1; г) . 20. 2) 7,2 л. 21. г) Зз|-%; ж) 125 %. 22. 21%. 24. б) 4. 25.12 и 30 кн. 26. Л = 9; H 36. 1) На 75 % меньше; 2) на 300 % больше. 27.10 лет. 48.4)8,5. 49.1:80000. 53. 2) 5е чел.; 3)0,3d к.м. 54. 2) 1; 4) 30. 67.3)4,05; 5) г|; 8) 100; 11)61; 12) 3,6. 73. 2) ' 19,1 с.м. 80. В 1,5 раза. 81. Через 15 .мни; лишнее данное - 36 к.м. 86. 2) 0,25. 92. 1)5:1 - 15 : 3. 93.1 023 457 896. 94. 81. 95.1 - 6 “Л”; II - 6 “В”; III - 6 “Г’; IV - б “Б”. 106. 1) 3,2; 3) j ; 6)-^. 107.1)0,8; 2) 2. 108.1)6 га; 2) 75 д. 110. Увеличился иа8 %. 112. 24 000р.; в 3 раза; на 200%. 116. 2)35; 4) 3. 118. 36 уч. 119.0,75%; 9%. 120. 7. 122. Во II раз - 9, 18, 27, 36, 45. 124. б) 40 %; г) 45 % . 126.3)2,8; 4)8. 127.2)0,5: 3) 16.129.1)21; 2)0,3.130.1)5акм; 2) 0,45ft стр.; 3)12^ %; 4) 0,04дг чел. 131. 1) ИК); 2)0. §4.;-;8.2)5:3) Ui. 149. 75.2 к.м. 150. Че1и;,: Ш ч; :0« 90 к,.:. 1,3.т. 152. 1)5,7:2)6.4.156. 1)20; 2)0,1. t57.viUi;..i ч; 75 i;.M ч. 1.58.-4 - 6. Б 10,С o,D 5. 159. 7 б. i;o 10 л, 9 6. по 17 л. 168. 3) 5. 169. 2. а)10 д.; .') 2 1 1.172.2 008 440.181.1) 2; 8; 18: 2) 5: 45. 185.1) 70: 4) 1.2.187. На 28 "< . 188. На 20‘V-. 192.1)0.4; 2) 3-j. ^ .А - ti, И — 10. С - 4. Числа 3,2; 5: 20.11М>. а) 33; б) 66; п)33.204. На 90 км/ч. 20.5. Через 1 ч. 206.2 рабочих. 208. 90 к.м. 211. 3 т. 213. 1)120 кг; 2) 40 дн. 218. 3) 2. 219. 2) 7; 3) 11.224. И). 227.18 км/ч. 228. На 1,6 см. 230. 10 дп. 231. На 0.3. 233. 5. 234. 144. 48 и 12 гульд. 236. 120 цв. 245.102 с.м. 250.160 яблонь. 48 груш, II2 КОСТ. лер. 254.5.6; 7; 12.6.255.1) 18. 24, 33; 3)84.30. 36.258. 2)5:6; 10,5; 1)2,7:1.8; 0.5; 0,2. 260.12,5 га. 270.1) 6,2; 4) 14.271.1) 30 рейсов; 2) 3.6 кг. 27.5. б) 2,7 и 4,5; г) 1,5; 3 и 8. 276. 2) 28 м; 3) 5,2 м. 278. На 9000акций больше у N. 279. 2) 6; 4,8; 1,6. 280. 200, 300 и 480 монет. 281.2) 427,2 р. 282. Л = 900, В = 360; 15 и 6. 292. 1 ч 20 мин. 294. б) 1,6; 3,2; 4.8. 295. 200 р. и 150 р. 296.16 см. 299.1) 1,234; 2) 11. Глава3. § 1.322.2) На 6 км; липшее условие 1 ч 15 мин. 323. 2) .50; 4) 0,15.326. 2) 70 га. 329.1) 5(а - ft) км; 2) 4с км/ч; 3) 0,9с/ к.м/ч; 4) км/ч. 33,3. 3 ч 45 мин. 334. 2) 4; 3) 2,4. 335. На 15 000 акций. 336. 3) . .>37.12 к.м ч. 338.1) 9,876; 2) 40.339.18 лет. 356. к)0,25; л)0.9.372. На 24 км/ч. 373.8,5 км. 376.1) -j; 2)0,4. 380. 1) 4-^ : 4)60,2. ;184.1) 15; 2)6; 3) 162; 4) 441. :188. 1)0,075; 2)2. 390. В 2,5 раза. 391. 1)х >0; 2) jc < 0; 4)3; 3: 6) 0.5; 7) 3; -5; 8) 0. ,392.1) 0; 2) х л 5; 3) -4 < х < 2; 4) х < -1 или х > 3. 404. 6) -ft 4 х ft; 7) 0; 8) {0}. 408. 2) {0}; 3) 0: 5) {- а; а}; 6) {0), если ft = 0; {- ft; ft}, если ft > 0: 7) 0:8) {0}. 410. 2) ; 1) 2; 6) 10: 8) 1.411.80, 40. 24 и 36 книг: па 25 %. 412. 27, 30, 24 и 25 учеников; на 8 %. 414. 2) а 0,50; 4) = 20,20. 418.1) 0,9; 2) 0,07; 3) 11; 4) 3,6. 419. 2520 р., 720 р.. 1800 р.; в 2 раза. 420. 3) == 43.1; 4) =: 43,10. 421. У Власа 3, 4 и17; у Тараса -3, 6 и 15; у Панаса - 2, 6 и16 лошадей, коров и овец соответственно . 2 § 2.440. ж) -1,2; з) - 0,7; п) i 0,96; р) -10. 443. б) -96; г) i 2,3; е) -2,755. 444. б) - 9; в) 11.6. 445. а) -1-^ . 453. 5) 2(а -( п : а) дм; 6) ft(p : 2 ft) м*. 454. 2) Ум. на 8 %. 456. 2 : 5; лишние условия -ЛВ iiAD. 459. в) 10,4; г) 20. 460. 1) 6: 2) 2,5. 461. 48, 72, 60 и 20; 33 j %. 462. Л = 7,8; В = .50; 15,6 %. 463. в) f3; 4 3,6; -1,4. 466. л) -6,96; м) 0,075.467. -3 < -2,5 < 4.168. г) -5 < у < 5.469.2) 96 м; 560 м^; 4) 56 м; 180 м^. 470.2) Ув. на40 %. 472.1) 8; 2) 2 J. 474.1) Л = 180, В - 300; 60 %. 486. в) -1,56; г) +0.05.487. а) -2; б) -1.3.489.1) -3; -1; 2) -2; 10; 3) 2; 8; 4) -9; -5. 495. 1) 7; 2) 12. 497. 0,6. 498. 50, 61. 72, 83, 94. 500. е) -7; л) 2 . 501. в) 0.4. 502. а) 1,4; б) -0.6.503.6 отрезков: NP = 6,7 ед.; NQ 1,8 ед. 504. в) 3; -5; г) -2. 506.0,2 и 0, 7. .507.92. .508. а) 5; б) -0,28. 509. часть пути. 511.189 д.; 132 д. 521. в) 3,6; г) -0,21.522. г) -3; д) 10,9; е) 7.528.2) 1 т; 3)6 мин; 4) г ца 7 %. 531. ж) -2211,3; з) 1414,636; л) 0,6; м) -3. 533. а) -5; б) -1,4. 535. 2) 1 кг 500 г. 536. 42 солдата; 11, 13 и 15 вагонов. 537. 162. 542. ж) -0,05; и) 4,7. .543. в) -0,5; г) 1-|. 549. а) -5,55; б) -64. 551. 3) 40 см. 552. 0,8 ч. 553. 3 ч. 556. а) 2,5; б) -5. 557. а) 1,1; б) -12. 558. 2) 190 м; 15 а. 559. 12 дней. 568. Л = 3,3; В “ -6: 3,3 > -6; I 3,3 i < I -6 |. 569. а) -3,5: б) 12. 571. в) -15,58; г) -0,056; е) 2.028; и) 42,84; л) 2,005; м) -3,05. 572. Л = -0,2, В - -3; АВ - 2,8 сд. 575. 26,147, 215, 276, 150. 576. 7,„ - 12^; 25,„ - 100,; 42„- 132,; 79,„ - 304,; 1.56,„ - 1111,; 273,5 = 2043,. 578. а)-7.6; б) 1^; в) 0,32; д)-1,4; 1,4; е) 1.7. 579. 6)-0,111; в)-3; г) 4. 580. 25 и 27 книг. 581. 100„ 1 100 100^; 100,5 400,: 100,5 144.: 100,„ = 84„. 582. а) 1 002 000; б) 21 202. 585. ж) 5,06; 2 1 3) -0.9. .586.1) -1,6; 4) -4,5; о) 0; -6: 7) 4; -4; 8)^ . 587. а) -12; б) -7.44: в) -57; г) 2у. .588. .54, 36 и 27 квартир. .589. а) 10,4 см; 6,4 см^; б) 12 с.м: 8,64 см^; г) 21.6 см; 28,8 см’'. 128 ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (до 1000) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Дорофееп Георгий Владммнроиич Петерсон Людмила Георгиевиа Математика 6 класс. ^1асть 2 Ответственный лп выпуск Ю. Н. Веслинский Научный редактор Д. Л. Лбрароо Художник С. Ю. Гаарилова Техиичесжнй редактор В. Вегунола Компьютерная верстка Р. Ю. Шапоиалие. А. В. Каляева Корректоры О. В. Андрюхина. И. Н. Павлова, If. В. .Тин, О. Н. Коалова, И. А. Хромова Подпнетю о печать 18.12.2009. Формат 8-1х 108 И>. О&ъем8,0 п. л. Уел. печ. л. 1.3,41 Бумага <н|к'ет1шя. 11ечать офсетная. Гарнитура П1ко.лы1ая. Тираж 115 001 — 190 000 ака. (4 й аавод). Заказ .V' 21.369 (К sci. Иадатсльетн» «Юиоита* (структурное гюдраадс.аепие ООО *С-инфо*) 125284 Москва, а я 42 Тел.: (495) 796-92-9.4 Факс: (495) 796-92-99 K-mail: booksale;«si.ni Адрес в Интернете: www.booka..