Математика 5 класс Учебник Никольский Потапов

МГУ-ШКОЛЕ Математика Э класс учебник для общеобразоватальных организаций с приложением на эле1сгронном носителе Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 13-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М34 Серия «МГУ—школе» основана в 1999 году Авторы: С. М. НИКОЛ1.СКИЙ, М. К. Потапов, И. Н. Решетников, А. В. Шевкип Но учебник пол)п1опы положительные .'жепертпые заключения по результатам нау«шой (заключение РАН № 10106-5215/586 от 14.10.11), педагогической (заключение РАО № 281 от 29.01.14) и общественной (заключение РКС № 313 от 07.02.14) экспертиз. М34 Математика. 5 класс: учеб, для общеобразоват. организаций / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкип]. — 14-е изд. — М.: Просвещение, 2015. — 272 с.: ил. — (МГУ — школе). — ISBN 978-5-09-033036-7. Данный учооник является первой частью двухлетнего курса математики для общеобразовательных ор|'анизаций. Новое издание учебника дополнено и переработано. Его математическое содержание позволяет достичь планируемых результатов обучения, предусмотренных ФГОС основного общего образования. В доработанном варианте в системе упражнений выделены специальные рубрики по видам деятельности. Также специально выделены задания для устной работы, задачи на построение, старинные задачи и задачи новыщенной трудности. Каждая глава учебника дополнена историческими сведениями и интересными .занимательными .заданиями. .УДК ,173.167.ir.'il ББК 22.1Я72 ISBN 978-3-09-0:13036-7 © Издательство «Просвещение*, 1999 © Издательство «Просвещение*, 2012, с изменениями © Художественное оформление. Издательство «Просвещение*, 2012 Все нрава защищены в этом году вы продолжите изучение математики. Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Слово МАТЕМАТИКА происходит от греческого слова, означающего ♦знание*. Одним из важнейших разделов математики является арифметика. Арифметика — наука о числах и правилах действий с ними. Слово АРИФМЕТИКА образовано от двух греческих слов, означающих «число* и «искусство*. Ещё в древние времена арифметика была нужна для торговли и других расчётов, а человек, владевший четырьмя арифметическими действиями, считался учёным, и таких учёных было мало. Арифметика нужна в повседневной жизни, так как у^гат не только правилам вычислений, но и способам решения многих практических задач. Изучение арифметики разовьёт ваши логические способности. Арифметика поможет вам в изучении не только математики, но и других предметов, изу^хение которых также требует умения рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, правильно вычислять. Недаром ещё в древние времена арифметику называли царицей наук. В этом хх)ду вам предстоит изучить натуральные числа, обыкновенные дроби и правила действий с ними, свойства этих действий, а также элементы хеометрии. Весь материал учебника разбит на 4 х'лавы, в каждой главе имеется несколько пунктов, содержащих теоретические сведения и практические упражнения. Новые термины (слова и словосочетания), важные факты выделены в тексте жирным шрнфто.м. Правила и свойства, которые полезно запомнить, даны на цветном фоне или в рамочке (см. с. 11). 1Саждая глава имеет дополнения. Изучение первого пункта дополнения позволяет расширить знания, полученные при изучении главы, и научиться решать более сложные задачи. В исторических сведениях приведена информация, дополняющая изученное в главе, рассказывающая о развитии математики и учёных-математи-ках. В пункте «Занимательные задачи* приведены задания, умение решать которые поможет успешному участию в различных конкурсах и олимпиадах. В конце учебника имеется раздел «Задания для повторения*, в котором собраны упражнения на вычисления и текстовые задачи. Здесь имеется много исторических .задач и заданий из старинных уч1>бникон и сборников задач, применявшихся при обучении ваших сверстников в давние времена. К некоторым задачам и упражххе-ниям в учебнике приведены ответы (см. с. 266). Если вы хотите учиться успешно, то с вниманием относитесь к тому, что написано в учебнике и что объясняет учитель, к выполнению домашнего задания. Перед выполнением дом1ппнего задания надо обязательно прочитать заданный на дом пункт учебника, вспомнить объяснение учителя. Это позволит вам подготовиться к выполнению упражнений и решению задач. Прочитайте вопросы, идущие после учебного текста, ответьте на них, а в случае затруднения найдите ответы в тексте учебника. Объяснение того или иного термина ищите в предметном указателе (см. с. 264), в котором все эти термины выписаны в алфавитном порядке. Особое внимание уделите решению текстовых задач. В 5 классе они решаются арифметическими способами. Это необходимо для развития умения понимать текст задачи, устанавливать связи из-вест11ых величин с неизвестными, составлять план решения задачи, осуществлять его и проверять, отвечает ли полученный результат условиям задачи. Именно арифметические способы решения текстовых задач развивают мышление и способность к учению. При выполнении 31хданий обращайте внимание на специальные значки рядом с номером упражнения. Они имеют следующие значения: %] — задания для устной работы; — задания повышенной трудности; ^ - старинные задачи; задачи на пострюение. Лучшему усвоению изученного поможет использование рабочей тетради, быстро проверить свои знания можно с помощью сборника тестов, а в дидактических материалах содержатся задания для самостоятельных и контрольных работ. В учебный комплект с нашим учебником входит ещё одна книга— 43адачи на смекалку». В ней имеется много задач, решая которые можно лу»ппе освоить изучаемый материал и хорошо подготовиться к конкурсам и олимпиадам. Желаем вам успехов в изучении арифметики — царицы наук! Авторы /п т: ГЛАСЯ - ' ^ НАТУРАЛЬНЫЕ МЧИСЛА Н НУЛЬ При изучении главы 1 вам предстоит привести в систему всё, что вы знаете о натуральных числах, познакомиться со свойствами сложения и умножения, научиться применять их для упрощения вычислений и >^нать много нового. Вы научитесь отвечать на устные вопросы по учебному тексту и решать текстовые задачи по действиям — с вопросами и пояснениями. Ряд натуральных чисел Ещё в глубокой древности потребности обмена, торговли, скотоводства и т. п. привели людей к необходимости уметь считать предметы. Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами. Таким образом, числа: один, два, три, ...» десять, ..., сто, ..., тысяча, ..., миллион, ..., миллиард, ... — натуральные числа. Натуральные числа 1, ^ э, =г, 5, 6, &, 9, 10, 11, 1.-; 13, 1*г, ..., записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют натуральный ряд, или ряд натуральных чисел. На первом месте в натуральном ряду стоит число 1, за ним следует число 2, затем число 3 и т. д. ,/1 в натуральном ряду есть первое число 1, но нет последнего числа — за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число, большее предшествующего на единицу. Поэтому все натуральные числа з£шисать невозможно, и при записи натурального ряда выписывают подряд несколько первых чисел, после которых ставят многоточие (три точки). Отсутствие предметов для счёта условились обозначать числом нуль (0). Нуль не считают натуральным числом. %1 а) Назовите 15 первых натуральных чисел. 6) Считают ли число нуль натуральным числом? Есть ли в натуральном ряду; а) первое число; 6) последнее число? У каждого ли числа в натуральном ряду есть: а) последующее число; 6) предшествующее число? а) Назовите число, которое следует в натуральном ряду за числом: 13. 276, 3590, 999 999. б) Назовите число, которое предшествует в натуральном ряду числу; 2, 74. 100. 3050, 438 109, 1 000 000. О Сколько чисел в натуральном ряду; а) от 1 до 29; 6) от 1 до 38; в) от 30 до 38; г) от 100 до 125? Q Сколько чисел в натуральном ряду между числами: а) 1 и 29; б) 1 и 38; в) 30 и 38; г) 100 и 125? О Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы: а) От какого слова происходит слово «арифметика»? б) Что изучает арифметика? в) В какое время и где жил Диофант — автор наиболее известного в древние времена учебника «Арифметика»? г) В каком году вышло первое издание известного в России учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого? д) В каких странах число нуль считают натуральным числом? С ^ В те далёкие времена, когда счёт не был хорошо развит, слово «семь» использовалось также в значении «много», что отражено в поговорках и загадках, например: семеро одного не ждут; семь одёжек и все без застёжек. Приведите как можно больше таких примеров. _________Десятичная система записи натуральных чисел Практическая деятельность потребовала от человека не только умения считать, но и умения записывать числа. В старину для записи натуральных чисел использовались и особые рисунки, и чёрточки, и буквы, и т. п. (см. «Исторические сведения» на с. 65). В настоящее время принята де<;ятичная сис;тема записи чисел (десятичная система счисления), в которой числа записывают при помощи десяти знаков: Эти знаки называют цифрами. При .отом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места (позиции), где она расположена в записи числа. Например, в записи числа 777 первая справа цифра 7 означает семь единиц, вторая — семь десятков, третья — семь сотен. Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной. Важную роль в десятичной системе с'шсления играет число 10. Десять единиц называют десятком, десять десятков — сотней, десять сотен — тысячей и т. д. 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 100 000 000 000 единица, десять, сто, тысяча, десять тысяч, сто тысяч, миллион, десять миллионов, сто миллионов, миллиард, десять миллиардов, сто миллиардов. Натуральные числа, записанные одной цифрой, называют однозначными, а записанные несколькими цифрами — многозначными: двумя — двузначными, тремя — трёхзначными и т. д. Нниримср, 1, 7, 9 — одпояначныс числа; 10, 77, 99 — диузнач* ные числа; 100, 357 — трсхзиачиыс числа; 537 633, 987 345 — шестизначные числа. Первая циф(>а справа в десятичной записи числа называется 1Шф|я)й первого разряда, вто1яш цифра справа — цифрой второго |)нзрндя и т. д. Каждые 10 единиц лм^бош |>азрядн составляют одну единицу следующего (более иысоко1Ч)) разряда. Первую 1|,ифру слева в записи натурального числа называют циф|юй BNCHieix) |>аз|)яла. Она всегда отлична от нуля. Чтобы прочитать мно1чх1начное число, цифры в его записи разбивают С11|ы1йл налево на группы по три цифры в каяедой. <)ти группы называют классами. П каяедом классе цифры справа налево обо;п1ачают единицы, десятки и сотни это1ч> класса. Первый класс справа называют классом единиц, второй — классом тысяч. т|>етий — классом миллионов, четвёртый — классом миллиардов и т. д. Например, чтобы прочитать число 148951784396, выделим в нём классы: 148 951 784 296 и прочитаем число единиц каждого класса слева направо: 148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296. Каждое натуральное чис^ю можно записать в виде суммы ра;{рядных слагаемых. 1Сак это делается, видно из следующих примеров: число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц, поэтому 99 = 9.10 + 9.1, число 3278 состоит из 3 тысяч, 2 сотен, 7 десятков и 8 единиц, поэтому 3278 = 3.1000 + 2.100 + 7.10 + 8.1. 8 ~ ‘ 1. Н8?УГ^Льны9 и нуш- Вот еще прюверы: 5031 =5 - 1000 + 0.100 + 3 - 10+ I • 1 = 5 • 1000 + 3 • 10+ 1 3700 = 3 . ККЮ t 7.100 + о • 10 + о . 1 =3.10(Ю + 7 • 100. 1. ъ “Ы Ъе ш СП СП СП СП СП ЕЛ Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе? Как называют эти знаки? Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего? Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа? Прочитайте следующие числа: 10. 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000, 10 000 000. Запишите следукмдие числа: сто тысяч, миллион, десять тысяч, сто миллионов, миллиард, десять миллионов, сто миллиардов, десять миллиардов. Запишите и про»титайте число: а) двузначное; 6) трёхзначное; в) четырёхзначное; г) семизначное. Запишите первое и последнее в натуральном ряду число: а) двузначное; б) трёхзначное; в) четырёхзначное. Сколько натуральных чисел: а) однозначных; б) двузначных; в) трёхзначных? В записи каждого из чисел назовите (щфры разрядов единитт, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч и т.д. а) 123; б) 1240; в) 102; г) 4397; д) 13 487 905; е) 2 000 009. Запишите число, состоящее из: а) 1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 5 единиц; б) 5 десятков тысяч, 9 тысяч, 7 сотен и 4 единиц; в) 8 сотен и 6 десятков; г) 7 сотен тысяч и 3 десятков. Прочитайте следую|цие числа, запишите их в виде суммы раз-ря/щых слагаемых: а) 48; Л) 102; и) 6401; б) 159; е) 150; к) 5060; в) 2945; ж) 4067; л) 12 007; г) 34 196; 3) 10 504; м) 104 090. Запишите числа: а) триста двадцать; б) сто тридцать тысяч пятьдесят; 1. и ну«ь в) двести восемь тысяч двадцать четыре; г) два миллиона три тысячи; д) одиннадцать миллионов двенадцать. ПГР Запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковых цифр, в записи которых используются цифры: ЕЗ Запишите все трёхзначные числа, в записи которых используются цифры: если разрешается повторять одинаковые цифры в записи одного числа. а) В книге 120 страниц. Сколько цифр напечатали для нумерации страниц, начиная с третьей страницы? б) Для нумерации страниц, начиная с третьей, использовано 169 цифр. Сколько страниц в книге? Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел? Если в записи многозначного числа какие-либо цифры заменены буквами, то над записью числа ставят черту. Например, запись о5ь7 означает, что это число содержит а тысяч (a?t0), 5 сотен, f> десятков и 7 единиц, то есть a5f}7 = а • 1000 + 5 • 100 + ft • 10 + 7. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа: а) 5ft; б) аЬ] в) 1с8; г) a9ft; д) аЬс\ е) 1aft8; ж) a9ft2; з) abed. Ио-См EI3 Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы: а) Известно, что цифры 0, 1, 2, 3, ..., которые мы используем в вычислениях, называют арабскими, но придумали их не арабы. Кто придумал эти цифры? б) Почему цифры о, 1,2, 3, ... называют арабскими? 10 1. Иптур>ши,иы*’ ЧИС»- и «JVJ4> Сравнение натуральных чисел Числа можно сравнивать при помощи HaxypiUibHoro ряда. Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала). Например: число 8 больше 'шсла 5, число 3 больше числа 1, так как в ряду натуральных чисел Я = ,0 -■ 7 , » ^ I 8 правее 5, а 3 правее 1. Натуральные числа можно сравнивать по их десятичной записи. 1) Из двух натуральных чисел больше то, у которого разрядов больше. Например, 1001 больше 999 потому, что число 1001 содержит разрядов больше, чем число 999. 2) Из двух натуральных чисел с одинаковым числом разрядов больше то, у которого больпхе первая (слева направо) из неодинаковых цифр'. Например, 2821 больше 2819 потому, что у пих одинаковое число разрядов, цифры четвёртых и третьих разрядов одинаковые, а цифры второго разряда у них разные: у первого числа больше, чем у второго. 3) Два натуральных числа равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры одинаковых разрядов равны. Например, числа 37 934 567 373 и 37 934 567 373 равны. В этом легко убедиться, записав их одно под другим: 37 934 567 373 37 934 567 373. Числа иногда удобно обозначать буквами латинского алфавита (см. форзац). Если число а больше числа Ь, то пишут а>Ь и говорят: «а больше 6», или пишут Ь<а и говорят: «6 меньше а*. ЕЗели а, Ь, с — натуральные числа и число Ь в ряду натуральных чисел находится правее «шела а, а число с находится правее числа Ь, то из этого следует, что число с находится правее числа а, т. е. из а<Ь и Ь<с следует, что а<с. ' Выражение «цифры ршшы» употреблиетеи дли yiipoiueimii речи. При этом подразумевается, что равны числа, им соответствующие. 11 в таких случаях пишут а<Ь<с и говорят: *Ь больше «, но меньше с». Если числа а и I) равны, то пишут « = /;. Вообще, равенство а = Ь означает, что а м Ь одно и то же число. Каждое натуральное число а больше нуля; это записывают так: а>0. Число, большее нуля, называют положительным. Поэтому натуральные ^гисла называют ещё целыми положительными числами. Число нуль также целое, но не положительное. Натуральные числа и число нуль называют ещё целыми неотрицательными числами, так как, кроме неотрицательных чисел, есть ещё и отрицательные числа. Они будут изу11ат1.ся в дальнейшем. Если к ряду натуральных чисел приписать слева число О, то получится ряд неотрицательных целых чисел: О ; I, J. ■<. $, 6, г S, % 10,.... ^3 Объясните, почему из а<Ь и Ь<с следует, что а<с. Какое число называют положительным? ^3 Является ли нуль положительным числом? Существует ли целое число, меньшее любого натурального числа? Ъе Прочитайте неравенство; а)1<2; б)7<10; г) 12>4; д)26>21; m Запишите неравенство: а) 3 больше 1; в) 17 больше 16; д) 100 больше 31; ^3 Верно ли поставлены знаки сравнения: а) 123>121: б) 1000<100; в) 14376> 13 999; г) 377551 <37 751; д) 105 987 >105 978; е) 756 453 < 756 454? в) 11 < 23; е) 123 <132. б) 121 меньше 203; г) 28 меньше 31; е) 15 меньше 1500. 12 г згз ■ упалииые ■- .,у,!ь m Поставьте знак сравнения (=, <, >) между числами: ЕИ Ъв а) 123 и 123; в) 253 и 252; д) 102 и 1000; ж) 4687 и 5687; и) 641 и 700; л) 1207 и 1207; Сравните числа: а) 60 и 66; г) 458 и 549; ж) о и 687; к) 6766 и 6666; Что больше: а) 20 см или 15 см; в) 1 м или 99 см; 6) 169 и 196; г) 348 и 299; е) 1250 и 999; 3) 154 932 и 9999; к) 5906 и 5096; м) 4090 и 4900. 6) 354 и 396; д) 302 и 3002; 3) 932 и 0; л) 8507 и 8570; е 0 в) 857 и 858; е) 1345 и 345; и) 649 и 650; м) 6080 и 6080. б) 120 см или 1 м; г) 5 м 25 см или 526 см? Миша старше Маши, а Маша старше Кати. Кто старше: Миша или Катя? Саша моложе Даши, а Даша моложе Коли. Кто моложе: Саша или Коля? Сосна выше ели, а ель выше берёзы. Какое дерево самое высокое? самое низкое? Арбуз тяжелее яблока, и дыня тяжелее яблока. Можно ли по этим данным определить, что тяжелее: арбуз или дыня? Книга дороже тетради, и альбом дороже тетради. Можно ли по этим данным определить, что дороже: альбом или книга? X ^ Сложение, Законы сложения Чтобы сложить числа 5 и 3, можно рассуждать так. Рассмотрим ряд натуральных чисел, отметим в этом ряду число 5 и отсчитаем от него вправо 3 числа. f 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Получится число 8, называемое суммой чисел 5 и 3: 8 = 5 + 3. Числа 5 и 3 называют слагаемыми. 13 г .П., .... Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3 и отсчитать от него вправо 5 чисел. Получится то же число 8, называемое суммой чисел 3 и 5: 8 = 3*5. То есть сумма не меняется от перестановки слагаемых: 3 + 5 = 5 + 3. Для любых натуральных чисел а и Ь верно равенство: а + ft = ft + а, выражающее переместительный закон сложения: От перестановки слагаемых сумма не меняется. Сложим теперь три числа 3, 2 и 4. Для этого, применяя уже известный способ, отметим в натуральном ряду число 3, отсчитаем от него вправо 2 числа — получим число 5, отсчитаем от него вправо ещё 4 числа, получим число 9. 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Следовательно, (3 + 2) + 4 = 9. Отметим в натуральном ряду число 3, отсчитаем от него вправо 2 + 4 = 6 чисел. Получим также 9: 3 + (2 + 4) = 9. Таким образом, мы получили равенство (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4), показывающее, что если к сумме (3 + 2) прибавить 4 или к 3 прибавить сумму (2 + 4), то результат будет один и тот же. Для любых натуральных чисел а, ft и с верно равенство: (а ♦ ft) + с = а + (ft + с), выражающее сочетательный закон сложения: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок: 3 + (2 + 4) = (3 + 2) + 4 = 3 + 2+ 4. 14 III Для любого числа а верны равенства: а + О = а; О+ а = а. Поэтому переместительный и сочетательный законы сложения верпы для любых неотрицательных чисел. Например: 5+ 0 = 0+ 5, (5 + 3)+ 0 = 5+ (3 + 0). В сумме нескольких слагаемых можно менять слагаемые местами и заключать их в скобки любым образом. Например, верны равенства: 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1; 1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 3) + (2 + 4). Докажем .эти равенства, применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения: 1 + 2 + 3 = 1 + (2 + 3)=1 + (3 + 2) = (3 + 2)+1 = 3 + 2+1; 1 + 2 + 3 + 4=1+(2 + 3) + 4=1+(3 + 2) + 4 = = (1 +3) + 2 + 4 = (1 + 3) + (2 + 4). Рассмотренные законы сложения широко применяются для упрощения вычислений. Например: 23+118+ 17 = (23 + 17)+ 118 = 40 + 118 = 158. [Ц "Ьё Q2 Запишите равенство, выражающее переместительный закон сложения. Сформулируйте этот закон. Запишите равенство, выражающее сочетательный закон сложения. Сформулируйте этот закон. По каким правилам складывают числа с числом О? Сложите числа: а) 20 + 30; г) 400 т 300; ж) 170+130; Вычислите: а) 60 + 24; г) 45 + 55; ж) 200 + 687; к) 606 + 160; б) 33 + 67; Д) 22 f 108; 3) 900 + 57; б) 35+12; д) 302 + 200; 3) 132 + 450; л) 3070 + 105; в) 67 + 33; е) 95 I 6; и) 23+100. в) 57 +13; е) 134 + 400; и) 649 + 101; м) 6009 f 1001. Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы: а) (725 + 48) + 809; б) 725 + (48 + 809). 15 m Примените законы сложения для упрощения вычислений; а) 46 + 22 + 18; в) 138^36 + 22; д) 664 + 13 + 87: ж) 7+ (93+ 456): Ш Вычислите сумму: а) 78 + 89 + 22; в) 437 + 39+ 13; д) 784 + 79 + 21; ж) 122 I (73 1 58): ЕП б) 19 + 56+11; г) 456 I 22 т 78; е) 134 + 408+ 166; 3) 42+ (58+ 495). б) 43 + 96 + 57; г) 353 + 22 + 7; е) 765 + 208+ 135; 3) 144 f (56 1 99). ВЗ При сложении чисел бывает удобно слагаемое представить в виде суммы. Например: 75+ 109 = (74+ 1)+ 109 = 74 + (1 + 109) = 74 + 110= 184 или 97 + 28 = 97 + (3 + 25) = (97 + 3) + 25=100 + 25=125. Используя этот приём, вычислите: а) 399 + 26; 6)819+153; в) 256 + 98; г) 48+ 197; д) 305 + 239; е) 999 + 536; ж) 7499 + 137; з) 893 + 98; и) 1999 + 48; к) 2998 + 56; л) 325 + 3997; м) 423 + 4999. Выполните сложение «цепочкой» по образцу^. 45 + 5+17 + 20 = 50 + 17 + 20 = 67 + 20 = 87. а) 8 + 9+13 + 22; в) 37 + 33+19 + 3; д) 4 + 6+19 + 21; ж) 38 + 2 + 5 + 28; б) 3 + 6 + 35+ 16; г) 513 + 2+15+17; е) 5 + 25 + 8+101; 3) 164 + 6 + 9 + 12. Вычитание Разностью чисел а и Ь назыш)ют такое число, которое ири сложении с числом Ь даёт число а. Число а называют уменьшаемым, число Ь — вычитаемым. Разность чисел а и 6 обозначают а-Ь. Таким образом, (а-Ь) + Ь = а или а - Ь + Ь = а. Покажем, как, используя натуральный ряд чисел, можно найти разность натуральных чисел а и Ь в случае, когда а > Ь. 16 Пусть надо найти разность 9-6, Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево шесть чисел. Получим число 3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Легко видеть, что сумма чисел 3 и 6 равна 9. 3 + 6 = 9. Поэтому число 3 есть разность чисел 9 и 6, т. е. 9-6 = 3. Отметим, что для любого числа а верны равенства: а-0 = «, потому что « + 0 = а; а-а = 0, потому что 0 + а = а. ; Замечание. С помощью неотрицательных целых чисел можно вычислить разность а и Ь только в том случае, когда а больше или равно Ь (пишут: а'^Ь). В дальнейшем будут введены новые числа — отрицательные, с помощью которых можно будет из меньшего числа вычесть большее. Какое число называют разностью чисел а \л Ы В равенстве 35-12 = 23 назовите уменьшаемое, вычитаемое, разность. Как обозначают разность чисел а и Ь, если а>Ы ^3 Чему равна разность равных чисел? Ъз Чему равна разность а - О? EJ2 Убедитесь с помощью натурального ряда, что 12-8 = 4. ЕО Вычислите: а) 40-30; 6)97-67; в) 67-33; г) 500-200; д) 200-108; е) 90-86; ж) 170-130; з) 600-87. Восстановите равенство, вставив пропущенное число (59, 60): 1-4д а) 63-45+ ... =63; в) 92- ... +45 = 92; д) (45+12)- ... =45; ж) (... +73)-31 =73; ЕЗ а) 20+ ... =30; б) в) 40- ... =23; г) б) ... -51+51=76; г) 56- ... + ... =56; е) (... +-16)-16 = 47; 3) (72+ ...)- ... =72. + 47 = 50; -32= 10. 17 m Найдите неизвестное число, обозначенное буквой х: а) 43 + х = 64; б) х + 45 = 59; в) 34-х = 26; г) х-53 = 35. Е1 Найдите разность чисел 46 и 22. Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1; по 2; по 3 и в каждом случае найдите разность. Сравните полученные результаты. Докажите, что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется. То есть если а — Ь = с, ТО {а л п)— {Ь + п) = с. СИ Используя утверждение, сформулированное в предыдущей задаче, вычислите; а) 68-19; 6)35-18; в) 65-17; г) 47-29; д) 302-99; е) 134-98; ж) 200-97; з) 132-96; и) 649-199; к) 606-399; л) 370-298; м) 793-495. Выполните действия «цепочкой» по образцу: 75-5+ 17-20 = 70+ 17-20 = 87-20 = 67. а) 18 f 9-23т 32 в) 37-33+19-3 д) 14-6 + 29-11 ж) 38 + 3-5-28; б) 33-6 f 25- 17; г) 53+12-15+17; е) 45+ 25-18т 101; 3) 64-16+19-2. ЕЗ а) Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66 (рис. 1,а). Каким действием можно найти задуманное число? Найдите его. а) t45 б) -45 в) + 120 -49 66 66 200 Рис. 1 б) Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66 (рис. 1,6). Найдите задуманное число. в) Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. Получили 200 (рис. 1, в). Найдите задуманное число. 18 X , Б Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания с помощью сложения и вычитания решают задачи, в которых тр>ебуется найти число, большее или меньшее данного на несколько единиц, ответить па вопросы 4на сколько больше?», 4на сколько меньше?», 4Сколько всего?», 4Сколько осталось?» и т. п. Решения таких задач можно о<})ормить с помощью вопросов и ответов на них. Задача 1. У покупателя было 50р. Из них он отдал 30р. за купленный товар и получил 2 р. сдачи. Сколько денег осталось у покупателя? Решение. 1) Сколько рублей стоил купленный товар? 30-2 = 28 (р.) 2) Сколько денег осталось у покупателя? 50-28 = 22 (р.) Ответ: 22 р. К выбору действия сложения или вычитания для решения задачи надо подходить очень внимательно, так как, например, слова 4на 10 больше» не всегда требуют сложения. Поэтому в решении задачи необходимо рассуждение, показывающее, какое действие надо применить. Задача 2. Некто истратил 40р., это на Юр. больше, чем у него осталось. Сколько рублей у него было первоначально? Решение. Истрачено на Юр. больше, чем осталось, значит, осталось на 10 р. меньше, чем истрачено. 1) 40 — 10 = 30 (р.) — осталось; 2) 40 + 30 = 70 (р.) — было первоначально. Ответ: 70 р. Е2 а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе? б) От Санкт-Петербурга до Петрозаводска 401 км, а от Петрозаводска до Мурманска на 643 км больше. Сколько километров от Санкт-Петербурга до Мурманска через Петрозаводск? ЕЗ а) Общая тетрадь стоит 20 р., а блокнот на 4 р. больше. Сколько стоят общая тетрадь и блокнот вместе? б) Мальчик прочитал 42 страницы книги, и ему осталось прочитать на 8 страниц больше, чем он уже прочитал. Сколько страниц в книге? 19 г '.ова Торговец купил некий товар за 7 р., продал его за 8 р., потом вновь купил за 9р. и опять продал его за Юр. Какую прибыль он получил? EZ3 а) В коллекции имеется 128 марок. Из них 93 российские, а остальные иностранные. Каких марок больше в коллекции и на сколько? б) За две недели бригада собрала 113 т картофеля. Из них за первую неделю — ^ т. В какую неделю картофеля собрано больше и на сколько? в) За сентябрь и октябрь завод выпустил 193 станка, причём за сентябрь 98 станков. В какой из этих месяцев было выпущено больше станков и на сколько? ЕП а) Туристы планировали за три дня пройти 65 км. В первый день они прошли 24 км, во второй —на 3 км меньше. Сколько километров им осталось пройти в третий день? б) В швейной мастерской было 900 м ткани. За первый месяц израсходовали 225 м ткани, за второй — на 23 м больше. Сколько ткани осталось в швейной мастерской к концу второго месяца? т Из «Арифметики» Л. Н. Толстого. а) У одного мужика 23 овцы, а у другого на 7 больше. Сколько у них овец вместе? б) У одного мужика 26 овец, а у другого на 5 овец меньше. Сколько у них вместе овец? в) У двух мужиков 50 овец, а у одного 15. На сколько овец у него меньше против другого? Задача С. А. Рачинского. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй —2, в третий — 3 и т. д. Сколько комаров налетело за сутки? EZ1 Первая бригада собрала за смену 52 прибора, вторая — на 9 приборов меньше, чем первая, а третья —на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько всего приборов собрали три бригады за смену? ЕИ а) Учащиеся 5 класса собрали 220 кг яблок, учащиеся 6 класса на 60 кг больше, а учащиеся 7 класса на 190 кг меньше, чем учащиеся 5 и 6 классов вместе. Сколько килограммов яблок собрали учащиеся трёх классов вместе? та 20 6) За первый день старшеклассники собрали 312 ящиков огурцов, а за второй — на 120 ящиков больше. За третий день они собрали на 218 ящиков меньше, чем за первые два дня вместе. Сколько ящиков огурцов собрали старшеклассники за три дня? ЕЗ В трёх классах 44 девочки — это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трёх классах? Е£В а) Сын на 24 года моложе мамы, а папа на 3 года старше мамы. Сколько лет папе, если сыну 10 лет? б) Мама на 23 года старше сына, а папа на 2 года старше мамы. Сколько лет сыну, если папе 34 года? EZ3 а) Алёша прыгнул в длину на Зм 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на 13 см хуже результата Вовы. Какой результат в прыжках в длину показал Боря? Какой — Вова? б) Доярки надоили за июль 300 тыс. литров молока. Это на 4 тыс. литров больше, чем в июне, и на 6 тыс. литров меньше, чем в августе. Сколько литров молока надоили доярки за летние месяцы? Е23 а) Маша сказала, что у неё сестёр на две больше, чем братьев. На сколько в семье Маши сестёр больше, чем братьев? б) Миша сказал, что у него сестёр на две больше, чем братьев. На сколько в семье Миши сестёр больше, чем братьев? Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы: а) В какое время жил известный российский учитель Сергей Александрович Рачинский и в какой школе он работал? б) На какой известной картине изображён урок С. А. Рачинского? ИССЛСДУЕИ m На первой полке стояло 12 книг, на второй — на 3 книги больше, а на третьей полке — на а книг меньше, чем на двух первых полках вместе. Сколько книг на третьей полке? а) Выберите такое число а, чтобы задача имела решение. Решите задачу с выбранным числом а. б) Какое самое большое число а можно взять, чтобы задача имела решение, если на третьей полке была хотя бы одна книга? в) Придумайте задачу, в которой число заменено буквой, и проведите похожее исследование. 21 ♦ ^ ♦ Умножение» Законы умножения Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 — значит найти сумму трёх слагаемых, каждое из которых 4. Получится число 12, называемое произведением чисел 3 и 4. Таким образом, 3-4 = 4 + 4 + 4 = 12. *1исла 3 и 4 называкуг множителями. Для любого числа а верно равенство: 1 • а = а. : Примеры: 5-3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3=15, 3-5 = 5 + 5 + 5=15, 31 = 1 + 1 + 1 = 3, 1-7 = 7. Для любых натуральных чисел а и Ь верно равенство: а • b = h- а. выражающее переместительный закон умножения: От nepetrraiioBKH множителей произведение не меняется. а) б) Рис. 2 Переместительный закон умножения легко проверить при подсчёте двумя способами числа квадратов на рисунке 2. Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадр>ата — всего 3 - 4 квадрата (рис. 2, а). Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата — всего 4 - 3 квадрата (рис. 2, б). Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то 3-4 = 4-3. Для любых натуральных чисел а, Ь и с верно равенство: (а - /;) - с = а - (& - с), выражающее сочетательный :1акоп умножения: 22 Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Сочетательный закон можно легко проверить при подсчёте числа кубиков на рисунке 3. Все кубики можно расположить в 2 столбца по 3-4 кубика в каждом — всего 2 • (3 • 4) кубика (рис. 3, а). Но можно расположить все кубики в 2 • 3 столбца по 4 кубика в каждом (рис. 3, б) — всего (2 • 3) • 4 кубика. а) Рис. 3 б) Так как число кубиков в обоих слу^шях одно и то же, то 2-(3-4) = (2-3)-4. Рассмотрюпиые законы умножения применяются для упрощения вычислений. Пример. Вычислим произведение (5 * 48) • 2. Для вычисления этого П1юизведения надо умноясить 5 на 48, а полученный результат умножить на 2. Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы умножения: (5 • 48) • 2 = (48 • 5) • 2 = 48 • (5 • 2) = 48 • 10 = 480. Из сочетательного закона умножения следует, что произведение трёх (и более) чисел можно записать и без скобок: (2 • 3) • 4 = 2 • 3 • 4, (2 • 3) • (4 • 7) = 2 • 3 • 4 • 7. Из законов умножения следует, что в произведении нескольких множителей можно менять местами множители и заключать их в скобки любым способом. Например, 3-4-5-6 = (3-4)-(5-6), 3-4*5-6 = 6- 5- 4-3. 23 Отметим, что для любш'о натурального числа а верны равенства: «0 = 0; о • а = 0. Кроме того, 00 = 0. Поэтому равенства a-h = h-a и {а-h) ■ с = а • {h • с) верны для любых целых неотрицательных чисел. Например: 5 • 0 = 0 • 5, (5 • 3) • 0 = 5 • (3 • 0). С помощью умножения решают задачи, в которых требуется найти число, большее данного в несколько раз. Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них, а можно испол1>зовать более короткую запись — после действия пояснять, что найдено этим действием. Задача. Покупатель истратил на первую покупку 150р., а на вторую — в 3 раза больше. Сколько денег он истрштил па обе покупки? Решение. 1) 150 • 3 = 450 (р.) — покупатель истратил на вторую покупку; 2) 150 + 450 = 600 (р.) — всего истратил покупатель. Ответ: 600 р. ’fn Что значит умножить число 5 на число 6? tn Чему равно произведение; а) единицы на любое натуральное число; б) нуля на любое натуральное число? m Запишите равенство, выражающее переместительный закон умножения, сформулируйте этот закон. m Запишите равенство, выражающее сочетательный закон умножения, сформулируйте этот закон. Ъз Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно найти следующим способом: а) 400 4 400 4 400; б) 3 • 400; в) 250 4 250 4 250 4 250; г) 4 • 250; д) 3 • 400 ♦ 4 • 250? P77I Замените сумму произведением: а) 75 4 75 = 2-75; б) 701 +701; в) 82 + 82 + 82; г) 603 + 603 + 603; д) 45 + 45 + 45 + 45 + 45; е) 16+16+16+16416+16; ж) 730 4 730 4 730 + 730; 3) 172+172+ 172+ 172+ 172. 24 сз Вычислите; а) 4 » 4 f 4 = 3-4=12; б) 7 f 7 + 7 + 7: г) 11 + 11 + 11 + 11 + 11; 0) 46 + 46 + 46 + 464 46 + 46; 3) 128+ 128+ 128+ 128+ 128; m Запишите в виде произведения: в) 8 I 8 + 8 + 8 I 8; д) 15+15+15+15; ж) 750 + 750 I 750 + 750; и) 2011 +2011 +2011. а) а + а + а = 3 • а; б) Ь 4 h + Ь 4 Ь\ д) а + а + а 4 а\ з) (/ + J + ti + ti; в) с л с л с л-с с\ е) ^4/^4 /^; и) а-\- а-\- ал^ а + а\ Г) d\d\d\ ж) с + с + е + с; к) ft + ft. ЕЭ а) Число 12 сначала увеличили в 2 раза, полученный результат увеличили ещё в 3 раза. Какой получился результат? 6) Задумали число, увеличили его в 3 раза, полученный результат увеличили ещё в 4 раза. Во сколько раз увеличилось число в итоге? m Какие законы использованы при следующих вычислениях: 20 • 30 = (2 -10)-(3-10) = (2-3).(10-10) = 6-100 = 600? Вычислите; а) 20-50; г) 50-400; ж) 2000-130; 6) 80 - 40; д) 200-100: 3) 700 - 8000; в) 200-40; е) 90 - 2000: и) 120-6000. Запишите число в виде произведения двух множителей; а) 48 = 8-г) 81=9- ж) 49 = 7- 6) 42 = 6 д) 36 = 6 3) 56 = 8 в) 72 = 8- е) 63 = 7 и) 54 = 6 Ш т Запишите число в виде произведения двух равных множителей: а) 1; б) 4; в) 0; г) 9; д) 16; е) 25; ж) 49; 3) 64; и) 36; к) 81; л) 100; м) 121. Запишите каждое из чисел 15; 25; 13; 24; 36; 14; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами. В школьную библиотеку привезли 20 пачек по 60 книг в каждой. Надо ли развязывать пачки, чтобы сосчитать число всех книг? Сколько книг привезли? 25 в девятиэтажном доме два подъезда. На каждом этаже в подъезде 6 квартир. Определите, какое из следующих произведений 2-6; 9-6; 2 • (9 • 6); (2 • 9) • 6 определяет количество квартир; а) в подъезде; б) на одном этаже в двух подъездах; в) в двух подъездах. tn Для упрощения вычислений полезно помнить, что 2-5=10; 4-25=100; 8-125=1000. Пользуясь этими равенствами, вычислите устно: а) 3-2-5; б) 2-7-5; в) 4-9-25; г) 7-25-4; д) 125-7-8; е) 12-8-125; ж) 2-17-5; 3)16-25-4; и) 13-125-8. ш Вычислите: а) 16-25 = 4-(4-25) = 4-100 = 400; б) 82-5; в) 36-25; г) 25-32; д) 28-25; е) 16-125; ж) 64-125; з)75-12; и) 75-44. П1 Вычислите: а) 6-25-4-125-0; б) (108-2 + 5-13)-0. ГГГЯ а) Увеличьте число 48 на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза. б) Увеличьте число 48 в 3 раза, полученный результат увеличьте на 3. в) Одинаковые ли результаты получены в пунктах а и б? а) В первый день туристы прошли пешком 18 км, а во второй день они проехали на автобусе в 5 раз больше. Какое расстояние туристы преодолели за два дня? б) В первом мотке 42 м проволоки, а во втором в 3 раза больше. Сколько проволоки в двух мотках? К['>я в многоквартирном доме 96 квартир, из них 24 — однокомнатные. Двухкомнатных квартир в 2 раза больше, чем однокомнатных. Остальные квартиры трёхкомнатные. (Сколько в доме трёхкомнатных квартир? ГГТР а) На овощную базу сначала привезли помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой, потом ещё на 8 машинах по 140 ящиков в каждой. Сколько всего Я1циков помидоров привезли на базу? б) Токарь за один час обтачивает 12 деталей, а другой токарь — 11 деталей. Над выполнением задания первый работал 2 ч, потом второй — 3 ч. Сколько деталей они обточили вместе? 26 1' г,:-. , .П1 cm a) Девочка купила 2 марки по 50 к. и 3 открытки по 65 к. Какую сдачу она должна получить с пяти рублей? б) В швейной мастерской было 12 кусков материи по 40 м в каждом и 8 кусков материи по 30 м в каждом. Сколько метров материи осталось после того, как израсходовали 340 м? в) На складе осталось 20 кусков материи по 40 м, 12 кусков материи по 30 м и 13 кусков материи по 20 м. Сколько метров материи осталось на складе? Распределительный закон Для любых натуральных чисел а, & и с верно равенство: а • (Ь + с) = а ‘ Ь \ а ‘ с\ 1 выражающее распределительный закон: *1тобы число умножить иа сумму двух чисел, можно ото число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Рис. 4 Поясним этот закон на примере. Подсчитаем двумя способами число квадратов, изображённых па рисунке 4. I способ. В каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 красных квадратов, а всего в каждом ряду (3 т 5) квадратов. В четырёх же рядах всего 4 • (3 + 5) квадратов. II способ. Жёлтые квадраты расположены в четырёх рядах по 3 квадрата в каждом, т. е. жёлтых квадратов 4 • 3. Красных квадратов 4 • 5, а всего 4 • 3 + 4 • 5 квадратов. Одно и то же число квадратов подсчитано двумя способами, поэтому 4 • (3 ч 5) = 4 • 3 -г 4 ■ 5. Отметим, что распределительный закон верен не только для двух, но и для любого числа слагаемых. Например, верно равенство: 9 • (3 + 4 + 5 + 6) = 9 • 3 ч 9 • 4 + 9 • 5 + 9 • 6. 27 и 7 • (5 - 3) раскрыли 4 • 3 + 4•5 и разность • (Л - с) соответствен по называют раскрытием Кроме того, если Ь больше или равно с (6>с), то верно равенство: а • ф - с) = а • Ь - а • с. Например: 7 • (5 - 3) = 7 • 5 - 7 • 3. Говорят, что в произведениях 4 • (3 + 5) скобки и получили соответственно сумму 7-5-7.3. Переход от произведений а • (/; + с) и а к сумме a-h { а-с и разности а - Ь-а-с скобок. Переход от суммы а-Ь л а - с к произведению а • (Л г с) и от разности а -Ь-а-с к произведению а-ф-с) называют вынесением общего множителя за скобки. Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления. Например: 1) 37-31 +37-69 = 37 .(31 +69) = 37- 100 = 3700; 2) 67-95-67-94 = 67 .(95-94) = 67- 1=67. Любое из чисел а, /; и с в равенстве а - ф \ с) = а - Ь \ а - с и в равенстве а - ф - с) = а • Ь - а • с ф'^с) может быть нулём, поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел. Так как для неотрицательных чисел справедлив переместительный закон умножения, то верны равенства: {ал-Ь)-с = а- с-^Ь-с и (а — Ь) - с = а - с - Ь • с. cm Запишите равенство, выражающее распределительный закон, сформулируйте этот закон. "tea Для каких чисел выполняется распределительный закон? Примените распределительный закон, раскрыв скобки: а) 5-(32+ 17) = 5-32 + 5. 17; 6) 19• (28 +43)= 19•... + 19•...; в) 7-(3 + 8); г) 10.(15 + 6): д)5.(10+12); е)6-(12 + 4). ко:я Используя распределительный закон, запишите произведение в виде суммы: а)10.(12 + 3); 6) (12 + 31) -15; в)(17 + 43)-8; г) (93 f 28) .16; д) 5. (8 + а); е) 7 • (х f 9); ж) 12.(a + fr); з) (х + //)-15; и) а- (х + у). Здесь а, Ь, х и i/ — натуральные числа. 28 cm Используя распределительный закон, запишите сумму в виде произведения; а)7-3 + 7-2: б) 5*3+ 5-8; в)8-9 + 8-7; г) 5-3 + 5-10. Вынесите общий множитель за скобки: а) 8-3 + 8-2: б)8-3 + 5-3; в) 9-13 + 7-9; г) 27-3 + 3-2. Запишите произведение в виде разности; а) 8-(18-10) = 8-18-8-10; б) 5-(22-14) = 5-...-5- в) 7-(13-8); е) (42-24)-15: г) 10-{15-6): ж) 5-(18-3): Д) (9-3)-12; 3) (91-1)-7. Используя распределительный закон, запишите разность в виде произведения; а) 7-13-7-2; б) 5-23-5-8; в) 18-9-18-7; г) 25-13-25-10. cm Вынесите общий множитель за скобки: а) 7-32-7-23; 6)9-31-9-17; в) 27-3-7-3; г) 71 -17-17-11. гт гт cm cm cm Вычислите, используя распределительный закон; а) 37-12 + 37-88; 6)7-12 + 8-7; в) 37-12-37-2; г) 7-102-2-7; д) 28-9 + 22-9; е) 25-11 -25-1; ж) 18-9+18-1; 3) 25-99 + 25; и) 101 -17- 17; к) 41-50-50. Перепишите, заполняя пропуски: а) ... -(15+12) = 5-15 + 5-12; б) 12-(... + ... )=12-7+12-8; в) ... .(... + ... )=14-15+14-29. Вынесите общий множитель за скобки: з) 20-47 + 20-23; 6) 57-81 -39-81; в) 51-43+12-43; г) 38-39-38-20. Вычислите: а) 47-42 + 42-153; в) 61-45 + 55-61; б) 57-81 -71-57; г) 39-138-137-39. Вычислите: а) 7-55 + 7-45 + 3-45 + 3-55; б) 8-2 + 2-92 + 8-98 + 2-8; в) 37-59 + 37-41 +63-59 + 41 -63; г) 356 -73 + 644-27 + 73-644 + 27 - 356. 29 rm Первый рабочий изготовляет 25 деталей в час, а второй — 20 деталей в час. Укажите, какое из следующих выражений 20 + 25; 4 • (20 + 25); 4 • 25; 4 • 20 + 4 • 25; 4 • 20 определяет число деталей, изготовляемых: а) первым рабочим за 4 ч; ^ 7^ + 4 *25 б) вторым рабочим за 4 ч; в) двумя рабочими за 1 ч; г) двумя рабочими за 4 ч. ИССЛСДУСН ЬКу'Л а) Каким может быть число а, чтобы вы могли устно вычислить разность двух произведений: 987 • 654 - 987 • а? Приведите несколько примеров. б) Какое самое большое натуральное число а можно взять, чтобы разность в задании а была натуральным числом? в) Какое число а нужно взять, чтобы разность в задании а была нулём? » Сложение и вычитание чисел столбиком При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей сложения: 1 2 3 4 Гу 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 8 9 К) 11 12 13 14 15 16 17 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Результаты сложения и вьп1итания однозначных чисел надо помнить наизусть. 30 Многозначные »шсла складывают и вычитают по разрадам, используя переместительный, сочетательный и распределительный законы. Например, 1) 35-ь 21 = 3-10->-5 +2-10 + 1 = (3 + 2)-10 +(5+1) = 50+ 6 = 56; 2) 68 - 43 = 6 • 10 + 8 - 4 • 10 - 3 = (6 - 4) • 10 + (8 - 3) = 20 + 5 = 25. Обычно сложение и вычитание 3 5 6 8 выполняют столбиком, записывая +- 2 1 /4 3 числа друг под другом так, чтобы 6 цифры одинаковых разрядов стоя- Ь ли друг под другом, и начинают 5 0 2 0 вычисления с разряда единиц. 5 6 2 5 +- 2 5 6 6 8 4 3 2 5 Рис. 7 Рис. 8 Эти вычисления можно записать столбиком подробно (рис. 5 и 6). Рис. 5 Рис. 6 Обычно вычисления записывают короче (рис. 7 и 8). Если сложение в каком-либо {жзряде даст в результате число, большое или равное 10, то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего (справа налево) разряда, прибавляя эту единицу к цифре следующего р^шряда. Например, 45 + 39 = 4 • 10 + 5 + 3 • 10 + 9 = = (4 + 3)- 10 + (5 + 9) = = 7- 10+ 14 = 7-10 + 1 • 10 + 4 = = (7 + !)• 10 + 4 = 80 + 4 = 84. Это вычислепие можно запи- s 4 сать столбиком подробно (рис. 9). Обычно пишут короче, запоминая. Рис. 9 Рис. 10 что в разряд десятков добавляется один десяток (рис. 10). При этом говорят так: к 5 прибавим 9 — получим 14, нищем 4 (единицы) и 1 (десяток) запоминаем, к 4 прибавим 3 — получим 7, да ещё 1 запомнили — будет 8 (десятков), пишем 8. Если при вычитании в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то нужно «запять» одну единицу в следующем (справа налево) разряде уменьшаемого. Например, 72-9 = 7- 10 ) 2-9 = 6- 10 1 (10 I 2)-9 = = 6-10 + (12-9) = 60 + 3 = 63. + 4 5 3 9 8 4 31 7 9 7 2 3 9 6 0 в 3 в 3 Рис. 11 Рис. 12 Это вычисление задисывают, отмечая точкой разряд, в котором «занята» единица (рис. 11). Обычно пишут короче (рис. 12). Говорят: из 2 вычесть 9 нельзя, занимаем 1 десяток, из 12 вычтем 9 — получим 3 (единицы), пишем 3, из 6 вычтем О — получим 6 (десятков), пишем 6. Объясните на примере, как выполняют сложение и вычитание столбиком. Какие законы используют при сложении и вычитании столбиком? Перепишите в тетрадь и выполните сложение: б) , 824 в) . 875 а) ^375 _ 123 ■*‘326 *^324 г) ^ 575 ^ 394 гт rm rm fFTl б) 6292 и 4596; д) 6312 и 1599; 3) 3928 и 4215. Вычислите сумму: а) 325 и 866; г) 9128 и 7357; ж) 6565 и 3535; Прибавьте к числу: а) 4890 число 1716 в) 9091 число 909; д) 5617 число 9861 ж) 8435 число 6890 Увеличьте число: а) 756 на 234; 6) 592 на 343; г) 709 на 2570; д) 383 на 2154; Вычислите сумму (127—129). а) 784 + 296; б) 365 + 645; г) 652 » 999; д) 3599 1^111; а) 52 338 + 4691; в) 757 664+15 979; д) 1234 + 4321; а) 10 004 + 57 806; в) 384 759 + 240 901 д) 191 919 I 919 191 ж) 123 321 +876 679 в) 2099 и 85 204; е) 4890 и 1716; б) 399 число 1523; г) 999 число 3001; е) 7831 число 2169; з) 376 число 9734. в) 2592 на 375; е) 1708 на 2425. в) 999 » 854; е) 234 + 7214. 6) 6856 + 77 281; г) 18 635 + 574 985; е) 56 789 + 98 765. б) 30 008 + 7992; г) 159 996 + 7 080 004; е) 454 545 * 545 455; 3) 987 654 + 123 456. 32 cm Перепишите в тетрадь и выполните вычитание: а) 728 б) 1356 в) 92 507 г) 10101 325 246 2 400 9 898 cm а) Уменьшите 309 на 12. б) Уменьшите произведение чисел 409 и 5 на 920. в) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9. г) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз. д) Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000. е) Вычтите произведение чисел 12 345 и 9 из числа 1 000 000. cm Вычислите неизвестное число х, удовлетворяющее равенству: а) х +209 = 700; б) 296 + дг = 925; в) д:-283 = 79: г) х-8096= 10951; д) 756-х = 236; е) 839-х=125. СТГЯ На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и вычитание, потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами. Перепишите примеры, заменяя буквы цифрами так, чтобы опять получились верные записи: а) 72и б) д52 в) 5ин г) ну56 ‘ 1рЗ * д79 ~ 5л8 т98 28а о381 88ь Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры: а) бЗб 766 аЗОО 6) а4а 33а 6084 в) удар удар драка д)^ деталь деталь изделие Выполните действия (135, 136). cm а) (5486 + 3578)+ 1422; б) 4523+ (3788+1477): в) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643); г) (357+ 298+ 428)+ (102+ 572+ 643): д) (259 + 728 + 293) + (541 + 607 + 272). СШ а) 375 026 + 408 724-49 678; б) 700 000 - (50 345+168 724); в) 900 000-(125 480+ 89 256): г) 1 700 000 - (836 724 » 64 048); д) 1 000 000-(35 724-5928). В 33 Умножение чисел столбиком Для вычисления произведения однозначных чисел удобно пользоваться таблицей умножения: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 Г> 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Таблицу умножения однозначных чисел надо помнить наизусть. Кроме того, надо помнить, что для любого числа а верны равенства: а + 0 = д, а-1=а, а-0 = 0. Вычисление произведения однозначного и многозначного чисел, и тем более двух многозначных чисел, требует применения не только таблицы умножения, но и законов сложения и умножения. Пример 1. Вычислим произведение 327 • 8. 327-8 = (300 + 20 + 7)-8 = = 300 • 8 + 20 • 8 + 7 • 8 = 2400 t 160 i 56= 2616. П 3 2 7 « 5 6 6 о 2 4 0 0 2 6 16 Рис. 13 ш ^‘1 2 6 16 П " Рис. 14 Это решение можно записать столбиком подробно (рис. 13). Обычно пишут короче (рис. 14) и говорят: 7 умножим на 8 — получим 56, 6 пишем, 5 запоминаем; 2 умножим на 8 — получим 16, да ещё 5 запомнили, будет 21, 1 пишем, 2 запоминаем; 3 умножим па 8 — полу^шм 24, да ещё 2 запомнили, будет 26, пишем 26. 34 Рис. 15 2 9 2 4 1 3 1 6 8 0 3 2 6 7 8 9 6 Рис. 16 3 1 5 8 7 8 9 6 3 2 2 0 4 3 9 7 2 0 0 0 0 6 4 8 0 0 6 5 7 7 2 Рис. 1/ Пример 2. Вычислим произведение 329 • 24. 329-24 = 329.(20 + 4) = = 329 - 20 + 329 • 4 = 6580 + 1316 = 7896. Это решение можно записать столбиком подробно (рис. 15). Обычно пишут короче (рис. 16). Пример 3. Вычислим произведение 324 • 203. 2 4 0 3 9 6 4 8 7 2 6 5 7 7 2 Рис. 18 324 • 203 = 324 • (200 + 3) = 324 • 200 + 324 • 3 = 64 800 ( 972 = 65 772. Это решение можно записать столбиком подробно (рис. 17). Обычно пишут короче (рис. 18). Пример 4. Вычислим произведение 460 • 48. Так как 460-48 = 46- 10-48, то можно сначала умножить 46 на 48 и полученный результат умножить на 10, т. е. приписать к нему справа нуль. Вычисления можно записать столбиком (рис. 19). Аналогично поступают и в других случаях (рис. 20). Рис. 19 Рис. 20 35 Г iiftfta ‘“•'-'л ^ЕИ Какие законы используют при умножении столбиком? Объясните, как выполнено умножение: a) 748 б) 973 в) 7050 6 ^ 50 7 4488 48650 49350 Г) 926 Д) 326 е) 4830 ^ 38 ^502 ^ 4900 7408 . 652 . 4347 + 2778 1630 1932 35188 163652 23667000 Вычислите произведение чисел (139-143). гт a) 12-10; б) 32-100; в) 65- 1000; г) 20-100: д) 300-1000; е) 1500-100; ж) 10-190; 3) 1000-20; и) 100-380; к) 129-100: л) 1000-130; м) 2900-10. cm а) 24 - 2; б) 31-3; в) 52-4; г) 71 -9; Д) 23-8; е) 9-18; ж) 65-4; 3)76-5; и) 48-9; к) 8-34; л) 7-85; м) 9-78. cm а) 132-5; б) 645-3; в) 5-418; г) 7-338; Д) 106-4; е) 401 -6; ж) 4381-2; 3) 7713-8 и) 7-6204; к) 9-5007; л) 6 - 5769; м) 7 - 777. cm а) 23-11; б) 42-12; в) 22-33; г) 53-31; Д) 68-61; е) 64 - 24; ж) 79 - 23; 3) 72 - 25; и) 42 - 68; к) 37-33; л) 74-15; м) 37-66: н) 48-37; 0) 54 • 29; п) 63-36. cm а) 86-49; б) 92-16; в) 88-97; г) 951 -18; д) 663 - 26; е) 847-64; ж) 101-332; 3) 302 - 648; и) 321-562; к) 955-317; л) 861 - 242; м) 999-732; н) 679-679; 0) 125- 125; п) 420-450. cm Вычислите наиболее простым способом; а) 24 - 98 1 24 2; б) 305 - 199 1 305- 1; в) 49- 18 f 18; г) 153- 598 f 306. cm Выполните действие: а) 325 - 40; б) 3508 - 250; в) 7380 - 420; г) 3800-550; Д) 48-9: е) 789-1020. 36 ИССЛЕДУЕН Произведение четырёх последовательных натуральных чисел ; равно 3024. Найдите эти числа. На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел, потом некоторые цифры стёрли и вместо них поставили звёздочки. Восстановите стёртые цифры. ^кк 2й 1 ^ VC ■^135 кк ккк ккк 0 •к'к 2^-8 кккк СПЗ /'Йя сйз Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек купил ладану 137 пудов. За каждый пуд заплатил по 6 р. и захотел узнать, сколько стоит покупка. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил зерна 2359 четвертей, за четверть платил по 65 коп. и отдал всех денег 153 335 коп. Проверьте вычисления. а) Купили дюжину (12 штук) носовых платков по 1 р. за штуку, 4 пары носков по 4р. за пару и 2 майки по Юр. за штуку. Сколько денег заплатили? б) С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом Я1цике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода? 37 ИССЛСДУЕН Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь, чтобы умножение было с некоторым удивлением, т. е. в произведении получилось 111 111, или 222 222, или 333 333, и так до 999 999, то умножай 777 на 143 и будет 111111. А когда 143 умножишь на 2 и результат умножишь на 777, то получишь 222 222, и т. д. Получите описанным способом произведения от 333 333 до 999 999. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь в произведении иметь 121 212, возьми 12, умножь на 2 и на 10, будет 240, прибавь первое число, будет 252. Этот результат умножь на 481, будет 121 212. Получите описанным способом числа 232 323, 343 434 и 898 989. 1.ХХ. Степень с натуральным показателем Мы уже знаем, что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче — в виде произведения: 5 + 545 + 5 = 4-5. Произведение одинаковых чисел также записывают короче: 5 • 5 • 5 • 5 = S'* и называют степенью. Читают «пять в степени четыре». Запись 2^ («два в степени три») означает 2-2-2. При этом число 2 называют основанием степени, а число 3 — показателем степени. Число 3 показывает, сколько раз нужно взять множителем основ11ние степени — число 2: 23 = 2-2-2 = 8. Степенью числа а с натуральным показателем п (п>1) называют произведение п множителей, каждый из которых равен а: а"= а ’ а • а •а (л>1). Л раз Пример 1. Вычислим 2*. 2<=2-2-2-2 = 16. 4 рааа 38 г пп Пример 2. Вычислим 3^. 3^=3-3-3 -3-3-3-3 = 2187. 7 рая Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем, большим единицы. Остаётся выяснить, что означает запись 2\ т. е. степень числа с показателем 1. Принято считать, что 2' = 2, 5* = 5, 100'= 100, т. е. первая степень любого числа равна самому числу: 11 = i Вторую степень числа называют также квадратом числа. Запись 5^ читают «пять в квадрате». Третью степень числа называют кубом числа. Запись 5^ читают «пять в кубе». О происхождении этих названий будет рассказано в следующей главе. Ос^ую роль в десятичной системе играют числа 10, 100, 1000 и т. д. Их можно записать в виде степени: 10 —10', 100 -102, 1000 —102, 10 000 — 10^ 100 000 — 10\ 1 000 000 — 10®, 10 000 000 —10^ 100 000 000 -10», 1 000 000 000 — 10», 10 000 000 000 -Ю'О, 100 000 000 000 —10". с названиями этих чисел вы уже знакомы (см. с. 7). Следующие степени числа 10 называют так: 1 000 000 000 000 — 10'2 — триллион, 1 о 000 000 000 000 — 10'2 — десять триллионов, 100 000 000 000 000 — 10" — сто триллионов. 39 Д^шьше идут квадриллионы, квинтиллионы и т. д., но этими названиями на практике почти не пользуются. Например, скорость света 300 000 000 (триста миллионов) метров в секунду удобнее записать так: 3 • 10* м/с. Что называют степенью числа а с натуральным показателем п (я>1)? YH3 Чему равна первая степень любого числа? "fes Что называют: а) квадратом числа; б) кубом числа? СТ71 Запишите сумму в виде произведения: а) 5 + 5; б) 8 + 8 + 8-ь 8; в) а + а + а. ГТТД Запишите произведение в виде степени: а) 5-5; б) 8* 8* 8-8: в) а-а-а. tel Используя специальные названия второй и третьей степени, прочитайте степени: 2^; 2*; 3'-^; З'-^; 4^; 5^. Вычислите (159—162). • 2; д) 9^*: е) 9 • 2; ж) 2*; з) 2-3. д) 8^; е) 9?: ж) 10?; з) 1?. д) О'-'; е) 10*; ж) 6*; з) Т\ д) 100'; е) 1'; ж) 11?; з) 12? ГГГЯ Составьте таблицу квадратов чисел от О до 15. Гт Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10. Гт Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10. гт Запишите число в виде квадрата натурального числа: а) 9; б) 25; в) 100; г) 16; д) 49; е) 81; ж) 64; з) 36. ГГ71 Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7. Н-1 д Запишите в виде степени с основанием 10 число: а) 100; б) 1000; в) 10 000; г) 10; д) 100 000; е) 1 000 000. {Г? 1 Запишите число в виде произведения одинаковых чисел: а) 4; б) 1; в) 27; г) 256. tU’Jl Запишите каждое число в виде степени: 8; 125; 64; 243. ИССЛЕДУЕН cm Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа т \л п такие, что п"* = т'*. Найдите эти числа. ПИ а) 3?; б) 3-: 2; в) 5?; г) 5 cm а) 2?; б) 4?; в) 6?; г) 7?; rm а) 3*; б) 4*; в) 5*; г) 1*; rm а) 3^ б) 35; в) 1®; г) 0^; 40 X . X £ • Деление нацело Пусть а и Ь — натуральные числа и а больше или равно Ь (а ^ Ь). Говорят, что а делится на Ь нацело, если существует натуральное число с, при умножении которого на Ь получается а: а = Ь’С. Обычно слово нацело» в этой фразе опускается. При этом пишут: a:h = c и называют а — делимым, h — делителем, с — частным. Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя: I « : 1 = «, а ; а = 1, так как «•!=«, !•« = «. Например, 12 делится на 1 и на 12. При делении нуля на любое натуральное число получается нуль: О : а = О, потому что 0-а = 0. Делить иа нуль нельзя. Любое натуральное число а делить на нуль нельзя, потому что не существует такого числа с, для которого выполнялось бы равенство а : О = с (так как с • О = О а). Так как с • О = О для любого числа с, то можно было бы считать, что 0:0 = с. Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают, что нуль на нуль делить нельзя. Отметим важное свойство частного: делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число — частное от этого не изменится. Например: 48:24 = 2, (48 • 2) : (24 • 2) = 96 : 48 = 2; (48 : 2): (24 : 2) = 24 ; 12 = 2. Хеи Когда говорят, что натуральное число а делится нацело на натуральное число 6? ХеП Назовите делимое, делитель и частное в примере 35; 5 = 7. 41 г ,пеа Ъти Ъш Ътщ Ъп Ът Ъп гт ПТР гпи ГТТР пп rm На какие числа делится нацело любое натуральное число? Что получается при делении нуля на любое натуральное число? Можно ли делить на нуль? Какое число называют частным чисел 8 и 2; 20 и 4? Докажите, что 18:2 = 9; 12:4 = 3; 0:5 = 0. Объясните, почему верно равенство: а) (42 ; 6) • 6 = 42; б) (625: 25) • 25 = 625. Заполните пропуски: а) (56:8)- ... =56; б) (54: ... )-9 = 54; в) (45: ... )• ... =45; г) (50: ... )• ... =50. Вычислите: а) (144: 12)-12; б) (132 : 11)• 11. Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами: а) 12; б) 15; в) 25; г) 20; д) 27; е) 0; ж) 16; з) 24. Объясните, как найти неизвестное число х: а)31-д: = 93; б)х-4=168; в) 120:х = 40; г) х:42 = 2. Найдите частное чисел: а) 40 и 8; б) 72 и 9; в) 64 и 8; г) 560 и 7; д) 140 и 7; е) 360 и 6; ж) 606 и 2; з) 808 и 4; и) 909 и 9. Вычислите частное по образцу: а) 400:80 = (400: 10):(80: 10) = 40:8 = ...; б) 800 :400; в) 16 000: 800; г) 300 : 50; д) 6400 : 1600; е) 20 000 : 4000; ж) 2000 : 500. l!t iJ При делении на 5 и на 50 иногда удобно бывает умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 или 100 соответственно. Вычислите частное по образцу. а) 95:5 = (95-2):(5-2)=190: 10 = ...; б) 2400: 50 = (2400-2): (50-2) = 4800:100 = ...; в) 3200:5; е) 2350:50; г) 1320:5; ж) 7200:50; Д) 4320:5; 3) 9200:50. 42 ГГгЖ Вычислите; а) 120:5; 6) 320:5; в) 440:5; г) 2100:50; д) 2020:5; е) 2130:5; ж) 700: 50; з) 800 : 50; и) 3100:50; к) 170:5; л) 1800:50; м) 600:50. Докязывяси %Ц Докажите, что если каждое из натуральных чисел а и Ь делится на натуральное число с, то верно равенство (а + Ь): с = а : с + h : с. »![ Выполните деление по образцу: а) (48 + 88):8 = 48:8 + 88:8 = 6+11 = 17; б) (99+ 810): 9; в) (150 + 55): 5; г) (33 + 99): 3; д) (44 + 88): 2. Вычислите, записав делимое в виде суммы, по образцу. а) 84:4 = (80 + 4):4 = 80:4 + 4:4 = 20+ 1 =21; б) 92:4 = (80+ 12):4 = ...; в) 96:3; е) 51 :3; г) 56:4; ж) 132:11; Д) 81 :3; 3) 264:12. ^ Решение текстовых задач с помощью умножения и деления с помощью умножения и деления решают задачи, в которых требуется найти число, большее или меньшее данного в несколько раз, ответить на вопросы «во сколько раз больше?», «во сколько раз меньше?» и т. п. Задача 1. Число 50 увеличили в 3 раза, полученное число увеличили на 100. Во сколько раз увеличили число 50 за два раза? Решение. 1) 50-3 = 150 — число, полученное после первого увеличения; 2) 150 + 100 = 250 — число, полученное после второго увеличения; 3) 250 : 50 = 5 (раз) — во столько раз увеличили число 50 за два раза. Ответ: в 5 раз. 43 к выбору умножения и деления для решения задачи надо подходить очень внимательно, так как, например, слова 4В 3 раза больше» не всегда требуют умножения. Поэтому в решении задачи необходимо рассуждение, показывающее, какое действие надо применить. Задача 2. Некто прочитал 90 страниц книги, это в 3 раза бол1.ше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге? Решение. Прочитано в 3 раза больше страниц, чем осталось прочитать, поэтому осталось прочитать в 3 раза меньше, чем уже прочитано. 1) 90 : 3 = 30 (с.) — осталось прочитать; 2) 90 + 30= 120 (с.) — в книге. Ответ: 120 страниц. При решении текстовых задач часто приходится применять все арифметические действия. Задача 3. В понедельник магазин продал 5 коробок яиц, а во вторник — 7 коробок. Известно, что от продажи яиц во вторник магазин выручил на 720 р. больше, чем в понедельник. Сколько денег выру^шл магазин от продажи яиц за два дня? Решение. 1) 7-5 = 2 (кор.) — стоят 720 р.; 2) 720 : 2 = 360 (р.) — стоит одна коробка яиц; 3) 7+5=12 (кор.) — продано всего; 4) 360 • 12 = 4320 (р). — выручил магазин за два дня. Ответ: 4320 р. ?ш а) За 8 марок заплатили 4 р. Сколько стоит одна марка? б) Одна линейка стоит 2 р. 80 к. Сколько купили линеек, если за них заплатили 8 р. 40 к.? в) За один час поезд прошёл 60 км. За сколько часов он пройдёт 240 км, если будет идти с той же скоростью? г) За три часа велосипедист проехал 36 км. Сколько километров он проезжал в час? Мальчику 12 лет. он в 3 раза старше своей сестры, а) На сколько лет мальчик старше своей сестры? б) На сколько лет мальчик будет старше своей сестры через 4 года? в) Во сколько раз мальчик будет старше своей сестры через 4 года? Гт а) На каждую телегу нагрузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72 мешка? 44 б) в некоторые из 40 пакетов насыпали сахарный песок. Осталось 10 пустых пакетов. Во сколько пакетов насыпали сахарный песок? в) В швейной мастерской осталось 2 куска материи по 60 м. Сколько метров материи осталось? Гт а) у Алёши, Бори и Васи вместе 120 марок. У Алёши марок столько, сколько у Бори и Васи вместе. Сколько марок у Алёши? б) Коля, Миша и папа поймали 24 карася. Папа поймал столько, сколько его сыновья вместе, а они поймали карасей поровну. Сколько карасей поймал Коля? Родник в 24 мин даёт бочку воды. Сколько бочек воды даёт родник в сутки? гт а) В магазин привезли 720 бутылок лимонада в ящиках по 20 бутылок. Сколько было ящиков? б) В мешке 60 кг сахара. Весь сахар рассыпали в пакеты по 500 г. Сколько получилось пакетов? гт а) Уменьшите число 64 на 8, полученный результат уменьшите в 4 раза. б) Уменьшите число 64 в 4 раза, полученный результат уменьшите на 8. гт а) Велосипедисты проехали от города А до города В 168 км, а от города В до города С — в 3 раза меньше. Сколько всего километров проехали велосипедисты? б) Девочка прочитала 56 страниц, и ей осталось прочитать в 4 раза меньше, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге? t ш Маме 36 лет, сыну 12, а дочери 4 года. Во сколько раз дочь моложе матери? Во сколько раз брат старше сестры? а) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась коллекция? б) У Коли было 42 р., он потратил 36 р. Во сколько раз у Коли стало меньше денег? FTTP Для награждения победителей математической олимпиады купили 10 книг по 9 р. и 12 комплектов головоломок — на общую сумму 222 р. Сколько стоит один комплект головоломок? 45 а) в 12 коробках — 144 карандаша. Сколько карандашей в 15 таких же коробках? б) Автомат на кондитерской фабрике заворачивает 324 конфеты за 3 мин. Сколько конфет он завернёт за 5 мин? ^ТТЯ а) Для поездки трёх взрослых и двух детей по железной дороге купили билеты общей стоимостью 600 р. Сколько стоит детский билет, если билет для взрослого стоит 160 р.? б) Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 98 800 р. Сколько стоит кресло, если стул стоит 860 р.? в мягком вагоне 18 спальных мест, а в плацкартном вагоне 54 места. В составе скорого поезда 1 мягкий вагон, 6 плацкартных и 11 купейных. Сколько спальных мест в купейном вагоне, если во всех вагонах состава 738 спальных мест? а) Велотурист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему необходимо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней? б) Велотурист в каждый из 10 дней проезжал по 21 км. За сколько дней он может вернуться обратно, если будет проезжать в день по 35 км? Некто работает 24 дня в месяц, тратит в каждый из тридцати дней по 50 р. и откладывает за месяц 900 р. Сколько он получает за рабочий день? а) Маме 36 лет, она на 31 год моложе бабушки и в 6 раз старше дочери. Сколько лет каждой? б) Папе 34 года, он в 2 раза моложе дедушки и на 29 лет старше сына. Сколько лет каждому? а) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы? б) Первый рабочий за один час делает 32 детали, а второй за 4 ч делает столько деталей, сколько первый за 5 ч. За сколько часов они вместе сделают 216 деталей? На изготовление 2100 деталей первая бригада затрачивает на 2 ч меньше, чем вторая, которая делает 420 деталей за 1 ч. Сколько деталей за час делает первая бригада? 46 Fin a) В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально? б) На двух полках лежало 196 пачек печенья. Когда с первой полки на вторую переложили 28 пачек, то на двух полках печенья стало поровну. Сколько пачек печенья было на каждой полке первоначально? FTT1 а) У брата и сестры вместе 28 открыток. Сестра отдала брату 4 открытки, и открыток у них стало поровну. Сколько открыток было у каждого из них сначала? б) У брата и сестры вместе было 46 марок. Брат отдал сестре 3 марки, и марок у них стало поровну. Сколько марок было у каждого из них первоначально? Fin а) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую —8 человек, то в комнатах людей стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально? б) В двух комнатах 45 человек. Из первой вышли 9. а из второй — 14, и людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в комнатах сначала? FTFP а) В магазин привезли 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов привезли в магазин? б) На заправочную станцию привезли 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько бензина привезли на станцию? %п На четырёх полках стояло 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй переставили на третью 15, а на четвёртую поставили 12 новых книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? Fin За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 5100 р. Сколько денег получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй — 54 детали? FIT1 На лугу паслось несколько коров. У них ног на 54 больше, чем голов. Сколько коров паслось на лугу? 47 ИССЛСДУЕН ГГЯ в коллекции папы 1250 марок, а в коллекции его сына Васи марок в п раз меньше. Сколько марок у папы и Васи вместе? а) Выберите такое натуральное число п, чтобы задача имела решение. Решите задачу с выбранным числом п. б) Какое самое большое и какое самое маленькое число п можно взять, чтобы задача имела решение? Задачи «на части» Рассмотрим задачу, в которой явно упоминаются части (равные) некоторой величины. Такие задачи обычно решаются с помощью простых рассуждений. Задача 1. Для варенья из малины па 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара следует взять на 6 кг ягод? Решение. По условию задачи ягод 6 кг, и это количество составляет 2 части, поэтому на каждую часть приходится 6 : 2 = 3 кг. Сахара надо взять 3 такие же часгги, т. е. 3 • 3 = 9 кг. Ответ: 9кг. Теперь рассмотрим задачи, для решения которых некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей. При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки, облегчающие решение. Задача 2. На двух полках стоит 120 книг — на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг стоит на каждой полке? Решение. Если книги, стоящие на второй полке, составляют 1 часть, то на первой полке — 3 такие части. Выполним схематический рисунок (рис. 21). Рис. 21 I полка II полка 3_части н-------\- 1 часть I-------1 Q 120 книг 48 1) Сколько частей составляют 120 книг? 1 + 3 = 4 (части). 2) Сколько книг приходится на 1 часть (стоит на II полке)? 120:4 = 30 (книг). 3) Сколько книг стоит на I полке? 30 ■ 3 = 90 (книг). Ответ: 90 и 30 книг. Задача 3. За рубашку папа заплатил на 120р. больше, чем за галстук. Известно, что рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит рубашка? Решение. Е1сли стоимость галстука составляет 1 часть, то стоимость рубашки составляет 4 такие же части (рис. 22). р^'башка I- 120 р. Рис. 22 галстук Ь 1) 4-1=3 (части) — приходится на 120р.; 2) 120: 3 = 40 (р.) — приходится на 1 часть (стоит галстук); 3) 4 • 40 = 160 (р.) — стоит рубашка. Ответ: 160 р. Гт Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара. а) Сколько сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод? б) Сколько килограммов малины было у мамы, если для варки варенья она взяла 4 кг 500 г сахара? Fm При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова. а) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава весом 350 г? б) Сколько свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца? Fm При помоле ржи на каждые три части муки получается одна часть отходов. Сколько смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов? 49 а) Для компота купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части, а сливы — 2 части общего веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив было в отдельности? б) Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы — 5 частей веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 1600 г сухофруктов? ■ '.f_ '•ЗЯ Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Сколько взяли яблок? Сколько всего взяли фруктов? а) При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г и на изготовление всей партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория? б) При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, а кофе и цикория вместе израсходовали 26 кг? а) Сплав содержит 1 часть свинца и 2 части олова. Во сколько раз в этом сплаве олова больше, чем свинца? б) Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на 1 часть свинца? ТЯ Купили 60 тетрадей, причём тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Пользуясь рисунком 23, определите, сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради. Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько — в клетку? Рис. 23 в клетку 1 1 [ 1 1 !в линейку 2 ча стй 1 1 1'ча!сть ! 1 1 1 i 1 37^ а) За рубашку и галстук папа заплатил 200 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук? б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в плацкартном и мягком вагонах 72 места. Сколько спальных мест в мягком вагоне? 50 г 1згэ -урапы(Ы© 1ИСЛГ- ■■ ..уль Fm а) Календарь дороже общей тетради в 2 раза, а вместе они стоят 36 р. Сколько стоит календарь? б) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности? в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка? а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку, причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик? б) На первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке? а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Известно также, что она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка? б) Книга дороже тетради в 3 раза, а тетрадь дешевле книги на 12 р. Сколько стоит книга? Задача С. А. Рачинского. Я провёл год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провёл я в дороге, в Москве и в деревне? Придумайте задачу «на части». Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение. Прочитайте задачу классу, и пусть кто-то её решит, а вы оцените это решение. ♦ Деление с остатком Пример 1. Число 14 пе делится нацело па 3, так как пет натурального числа, при умножении которого на 3 получится 14. В самом деле, будем перемножать последовательно числа на-турально1’о ряда на 3. Получим числа, расположенные в порядке возрастания: 1-3 = 3, 2-3 = 6, 3-3 = 9, 4-3=12, 5-3=15.... 51 Первое из этих чисел есть 3, второе больше первого на 3, третье больше второго тоже на 3 и т. д. Среди этих чисел нет числа 14. Но среди них есть наибольшее число, меньшее 14, — это число 12 = 4'3. Чтобы полу'шть число 14, надо прибавить к 12 число 2, которое меньше 3. Итак, справедливо равенство 14 = 4-3 + 2, где 4 — наибольшее число, произведение которого на 3 меньше 14. Это число называют неполным частным от деления 14 на 3, а число 2 — остатком. Остаток меньше делителя. Результат деления 14 па 3 записывают так: 14:3 = 4 (остаток 2). Пример 2. 38 = 7 • 5 + 3, где 3 < 5. Здесь 7 — неполное частное от деления 38 на 5, а 3 — остаток. Поэтому можно записать: 38:5=7 (остаток 3). Если одно число делится нацело на другое, то иногда удобно считать, что оно делится с остатком, равным нулю. 'Гтобы разделить число а па число Ь, надо пайти частное а: h, если а делится нацело па Ь, или пайти неполное часггное и остаток, если а не делится нацело на Ь. Для однозначных и двузнаадых чисел деление, как правило, производится в уме, а для многозначных — уголком. Объясним это на примерах. Пример 3. Разделим 42 на 3. 42:3 = (30+12):3 = 30;3+12:3=10 + 4 = 14. Пример 4. Разделим 356 на 4. 356:4 = (320 + 36) : 4 = 80 + 9 = 89. Такое деление записывают обычно короче — уголком (рис. 24). 4 2 3 1 4 3 5 6 3 2 3 6 3 6 8 9 Рис. 24 52 Пример 5. Разделим 14 688 на 36 (рис. 25). Число тысяч — 14 — меньше 36. Будем делить на 36 число сотен — 146. 146 : 36 = 4 (остаток 2). Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен — 2 сотни и десятки — 8 десятков, т. е. 28 десятков, на 36. 28:36 = 0 (остаток 28). Остаётся разделить остаток от деления десятков (28) и единицы (8), т. е. 288 единиц, па 36. 288:36 = 8. Таким образом, 14 688 : 36 = 408. 1 4\6 8 8 l\4 4 2 8 о 3 6 4 0 8 2 8 8 2 8 8 Рис. 25 _ 1 4 1 4 о 9 2 о 1 Пример 6. Разделим 1409 на 7 q (рис. 26). “ о Делим на 7 число сотен — 14. ^ 14 : 7 = 2 (остаток 0). Делим на 7 число ~ у десятков. 0:7 = 0. Делим на 7 число — единиц — 9. 9:7=1 (остаток 2). Таким ^ образом. Рис. 26 1409:7 = 201 (остаток 2). Так как при делении натуральных чисел на 2 имеется два различных остатка, то множество всех натуральных чисел можно {)азбить на два класса, содержащих бесконечно многю чисел. В первый класс включим все числа, имеющие остаток 0 при делении на 2. Вот первые 10 чисел этого класса: 2, 4, б, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Во второй класс включим все числа, имеющие при делении на 2 остаток 1. Вот первые 10 чисел этого класса: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Так как при делении натуральных чисел на 3 имеется три различных остатка, то множество всех натуральных чисел можно разбить па 3 класса. При делении на 3 числа первого класса имеют остаток о, числа второго класса — остаток 1, числа третьего класса — остаток 2. Очевидно, что получаемые таким образом классы чисел не имеют общих чисел — каждое натуральное число входит только в один класс. 53 "?ЕЕ1 Приведите пример деления с остатком, назовите делимое, делитель, неполное частное, остаток. Чему равен остаток при делении нацело? Объясните, как выполнено деление: а) 3222 27___ _52 45 -72 72 358 б) 2187 208 _ 107 104 126 |8^ 3 (ост.) в) 1463761321 1284 |456 _ 1797 1605 1926 1926 г) 16100146 138 |350 _230 230 Д) 14084128 140 е) 503 979631951 951 103 я ЗП ЕШ _8 ____ о _84 84 о Выполните деление; а) 261:7; 6) 1872:8; г) 1742:13; д) 3685: 15; Вычислите: а) 18 147:23; 6) 18 600:24; г) 6278:51; д) 32 614:46; Найдите частное: а) 288 и 8; 6) 738 и 9; г) 9899 и 99; д) 3778 и 47; Выполните деление (238—241). а) 9331 :31; г) 560:80; ж) 24 000 :800; а) 8100:90; г) 9600:30; а) 5180: 140; г) 263 900 : 1300; а) 123 123: 123; г) 17 145: 135; ж) 56 088 :456; 286 о 2863 2853 10 (ост.) в) 2144:6; е) 15 216: 16. 6) 37 324: 62; д) 900:30; 3) 5400:600; 6) 2700:90; д) 14 400:80; 6) 28 600 : 520; д) 54 720 : 90; 6) 98 532 : 322; д) 67 176:311; 3) 114 103:943; в) 9576:21; е) 46 066: 57. в) 798 и 8; е) 3450 и 75. в) 20 558:51; е) 7200:900; и) 6300:700. в) 48 000: 80; е) 1380:60. в) 129 600:320; е) 192 290:670. в) 140 751 :351; е) 80 772:381; и) 101 952:236. 54 Fm Выполните деление с остатком; а) 49:8; 6)73:8; в) 58:7; г) 118:23; д) 400 : 57; е) 487:17; ж) 456: 6; з) 683: 5. Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) на 2; 6) на 3; в) на 4; г) на 7? Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 5? Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел? Fm Разбейте множество натуральных чисел на классы по остаткам от деления на 3; 4; 7. Выпишите первые десять чисел каждого класса. У1УЛ Ученик выполнил деление; 148: 15 = 8 (ост. 28). В чём заключается ошибка? Выполните деление правильно. Fm На доске написано несколько примеров на деление с остатком. В каждом примере делимое стёрли и заменили буквой. Найдите делимое. а) а : 12 = 3 (ост, 2); б) Л: 26 = 7 (ост. 4); в) с : 18 = 5 (ост. 2); г) fc : 48 = 5 (ост. 8). Fm Определите неполное частное: а) 76: 12 = а (ост. 4); б) 12:26 = Ь (ост. 12); в) 808.35 = к (ост. 3); г) 442 : 29 = d (ост. 7). Fm Определите делитель: а) 56 : а = 11 (ост. 1); в) 146:с=12 (ост. 2); Fm Какой остаток получится от деления числа 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10+1 на: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6; е) 7; ж) 8; з) 9; и) 10; к) 100? FTFl Проволоку длиной Зм нужно разрезать на куски по 12 см. Сколько таких кусков получится? Fm В классе 33 человека. Ребят построили в колонну по 4 человека в ряд. Сколько человек стоит в последнем (неполном) ряду? FT71 Класс построили в колонну по 4 человека в ряд. Получилось 8 полных и один неполный ряд из трёх человек. Сколько человек в классе? б) 93:ft = 2 (ост.З); г) 228:d = 3 (ост.З). 55 ЕШ в подъезде семнадцатиэтажного дома расположены квартиры с 1 по 68. На каком этаже расположена квартира 63? ЕШ Семь девочек играли в прятки. Они решили, что водить будет та из них, которая окажется 25-й при счёте по кругу. Вера начала счёт с себя: 1, 2, 3, .... Катя, не дожидаясь окончания счёта, сказала: «Водить буду я». Какой номер был у Кати в начале счёта? Какое наименьшее число при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке: а) 0; б) 1; в) 2? X»J- В > Числовые выражения Число 4 можно записать в виде суммы 3 + 1, разности 9-5, произведения 2-2, частного 12:3, степени 2^ или другими способами: 12:2-2; 3 -(12-11) г 1 и т. д. Запись, в которой используются только числа, знаки арифметических действий и скобки, называют числовым выражением. Числовые выражения могут быть сложными. Их упрощение, т. е. постепенное выполнение действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме — числу, нередко требует серьё.зных усилий. Для правильного упрощения числовых вы1>ажений мало знать правила выполнения отдельных действий. Нужно ещё знать порядок выполнения этих действий. 1) Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то эти действия выполняют по порядку слева направо. Например, укажем порядок действий в двух выражениях: 1 .4 8-3+5 + 10 и 7-8:2:4-5. 56 Г"зел ' -.,,_.uiuu.+ 1ИС 2) Если в числовом выражении есть скобки, то сначала выполняют все действия в скобках, а потом аа скобками. Например: (5+ 32) -8 и 5 + (32 : 8). Скобки, в которые заключено одно действие умножения или деления, принято для краткости опускать. Например, вместо 5 + (32 -8) и 5 + (32 : 8) пишут 5 + 32-8 и 5 + 32:8. Но первыми выполняют те действия, которые должны были стоять в скобках. 3) Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление), то сначала выполняют умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо). Например: 15 + 48:6-3-52:26 + 3 и 7-9-12:3+12:12. 4) Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем, то сначала нужно записать её в виде числа и только после этого приступать к выполнению остальных действий. Например: 6« - 5» + 10 : 5 = 36 - 25 + 10 : 5. Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения. Например: 48 • 26 + 52 - 26 = 26 - (48 + 52). Заметим, что последнее по порядку действие в числовом выражении определяет название числового выражения. Например, 48:6 + 2 — сумма, 48 : (6 + 2) — частное. Мы уже зпаем, почему нельзя число делить па пуль. Про числовые выражения, которые содержат деление на нуль, говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 3 : (4 - 5 - 20) не имеет смысла, так как 4 - 5 - 20 = 0. д Что называют числовым выражением? По каким правилам упрощают числовые выражения, записанные без скобок? Про какие числовые выражения говорят, что они не имеют смысла? 57 Эщ ЕШ ЕШ ЕШ ЕШ Определите порядок действий: а)3-2т5-7; б)3-7-6-3; в)5-(4*12); г)20:(10-6). Какое действие выполняется последним? Как называется результат последнего действия? Замечание. В числовых выражениях вида а + (Ь-с), а-[Ь-с), а + (Ь :с), а-{Ь:с) ... принято опускать скобки, но подразумевать их. Таким образом, пишут: a + (h-c) = a + b‘C, a-{b‘c) = a — b-c, а + {b : с) = а + b : с, а-{Ь : с) = а — Ь : с. Например, пишут: 2 + 3-5 = 2+15=17; 12-8:2 = 12-4 = 8. Упростите числовое выражение: а) 17 + 73-59 + 90: б) 3-15-4: 9:20-8. Укажите порядок действий: а) 53-2 + 44; 6) 320-56-2 + 120:6; 8)48:16+13-4; г) 53-(2+ 44); д) 320-(56-2+120:6); е) (48:6+13)-4. Укажите порядок действий и упростите числовое выражение: а) 28-2 + 4; б)28-(2» 4); b)100:4i6; г) 100: (4+ 6): д) 320-64:8+16; е) (320 - 64): 8 + 16. Вычислите (265—267). а) 320-(64:8 + 16); в) 98-72:9-(35 + 55):3; д) 26-(53-48)-4-4; ж) 66-(65-47):6 + 3; а) 848 + 6-756: (45-45: 5): в) 9 + 252:(108: 18-5): а) 48 - 57 + 52 • 57; в) 145:5 + 455:5; д) 6324: 102+14 076: 102; б) 45 + 24-5-(59-9): г) 270:(303:3-11) + 48; е) 48-(31-15)-2-2; 3) 54:(13-10)-2 + 36. б) 48:4+ 1200:(75-75:5); Г) 655-324: (48: 12-3). б) 123-36 + 77-36; г) 333:9 + 666:9; е) 2628:36 + 972:36. Прочитайте выражение, используя слова «сумма», «разность», «произведение», «частное», «квадрат числа», «куб числа» (268-271). а) 3+15; б) 15-6; в) 15-3; г) 15:3; д) (3 + 5)2; е) (15-3)2; ж) (15-3)2; 3) (15:3)2; и) 32+ 52; к) 82 + 92; л) 92-72; м) 102-22. а)45:(5»4); 6)45:5 + 4; в) 13-12-11; г) 13-(12-11): д) 18-(8-6:3); е) 18-8-6:3; ж) 18-(8-6):3; 3) (18-8-6):3; и) 18-8 + 6:3. 58 РУЛ РТЛ а) а + /;; б) а-Ь\ в) а • ft; д) (а + 6)'^; е) (а - &F; ж) {а + 6Р; и) (а • ЬУ\ к) (а : ЬУ\ л) (а • Ь)^\ н) а^ + Ь^\ о) + п) где а и 6 — натуральные числа. а) « ; {Ь » с): 6) а : 6 + с; г) a-ib-cY, д) а • (fr-c : с/): ж) « • (ft — с); с1\ з) (а • Ь — с): d] где а, Ь, с \л d — натуральные числа. Запишите и вычислите: а) сумму чисел: 1) б) разность чисел: 1) в) сумму квадратов чисел: 1) г) квадрат суммы чисел: 1) д) разность квадратов чисел: 1) е) квадрат разности чисел: 1) ж) сумму кубов чисел: 1) з) куб суммы чисел: 1) и) разность кубов чисел: 1) к) куб разности чисел: 1) Вычислите (273, 274). а) (5 I 2)2; б) (9-8)^; в) г) 52 + 22; д) Q2-8; е) в) а е) а и) а 49 и 51; 59 и 34; 7 и 2; и 11; и 4; и 3; и 3; 13 и 7; 4 и 3; 49 и 46; 5 f 22; 92-82. г) а: ft; з) (a-ft)'*^; м) (а : ft)2; р) — Ь-с\ b-c\d\ ft + с : 2) 56 и 72; 2) 66 и 42; 2) 2) 2) 2) 2) 2) 2) 2) 56 и 52. а) (714; 7-100)'*; б) (824 ; 8-102)-*; в) (954 : 9 - 636 : 6)»; г) (758 - 659)2. (33 + 61)? Используя четыре цифры 3, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; е) 5; ж) 6; 3) 7; и) 8; к) 9; л) 10 м) 12. Р О LLI 0 Н И 6 а) 3 + 3-(3т3) = 0; б) (3 + 3): (3 + 3)= 1. Найдите другие решения для 0 и 1. Используя четыре цифры 8, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; Д) 6; е) 7; ж) 8; 3) 9; и) 10. 59 г - пупа, S [|]Е н^ш ИИ ш ЕШ Вычислите: а) 6?-5^ + 3^-2^; 6) 13+2^ + 3'-2^; в) (8?: 16-2)2 + 23; г) (9?: 27 - 2) • б?. Пешеход шёл 3 ч со скоростью 5 км/ч и ещё 2 ч со скоростью 4 км/ч. Что можно узнать, вычислив значение числового выра- Ж6НИЯ1 а) 3 + 2; 6)3-5; в) 2-4; г)3-5 + 2-4; д) 3-5-2-4? ЕШ Решите задачу, составив числовое выражение: а) Сейчас брату 5 лет, а через 3 года ему будет в 2 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Сколько лет сестре сейчас? б) Сейчас брату 5 лет, а через 3 года ему будет в 2 раза меньше лет, чем сестре. Сколько лет сестре сейчас? в) Сейчас брату 5 лет, а год назад ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре сейчас. Сколько лет сестре сейчас? г) Сейчас брату 5 лет, а год назад ему было в 3 раза меньше лет, чем сестре. Сколько лет сестре сейчас? а) В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12 пассажиров, на второй —вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в автобусе после второй остановки? б) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38? ___________Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности При решении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности помогают схематические рисунки. Задача. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке? Решение. Выполним схематический рисунок: ВI коробке Во II коробке 6 кар. 1 . ' 30 1 < _1 _ MJ — 60 и нуль Если из первой коробки вынуть 6 каранд{иней, в ней станет столько же карандашей, сколько и во второй, а в двух вместе — в 2 раза больше, чем во второй: 1) 30-6 = 24 (кар.). Найдём число карандашей во вто1ЮЙ коробке: 2) 24 : 2 = 12 (кар.). Теперь вернём 6 карандашей в первую коробку, т. е. найдём число карандашей в первой коробке: 3) 12+ 6 = 18 (кар.). Ответ: 18 и 12 карандашей. К ПИ а) В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то в двух пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально? б) В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке? Решите задачу, используя рисунок 27. I II ^ ; - i Рис. 27 FT71 а) Мама дала сыну и дочери вместе 64 р. Дочери она дала на 4 р. больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому? б) Саша собрал в саду на 5 кг яблок больше, чем Коля, а вместе они собрали 43 кг яблок. Сколько килограммов яблок собрал каждый? к а) Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат помнит, что он нашёл на 7 грибов больше, чем его сестра. Сколько белых грибов нашёл каждый? б) В классе 36 учащихся, причём девочек на 4 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе? FTT1 а) Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными. Найдите эти числа. 6) Сумма двух чисел 350. Одно из них больше другого на 10. На сколько нужно уменьшить большее число, чтобы получились равные числа? Найдите эти числа. 61 ПТР а) Сумма двух чисел 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа. б) Сумма двух чисел 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа. ТП а) Сумма двух чисел равна 96, а разность равна 18. Найдите эти числа. б) Сумма двух чисел равна 87, а разность равна 19. Найдите эти числа. в) Сумма двух чисел равна 500, а разность равна 6. Найдите эти числа. Из «Арифметики» Л. Н. Толстого. а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец? б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого? ТП а) На двух полках книг было поровну. С первой полки переставили 10 книг на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой? б) В первой пачке на 30 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы уравнять число тетрадей в пачках? в) Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 рублей больше, чем у меня? Бутылка масла весит 900 г. Масло на 100 г тяжелее бутылки. Сколько весит пустая бутылка? На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил загадкой: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения». Когда родился учитель математики? - ■г t-' i: я ‘ h . ! W .) Придумайте задачу на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Убедитесь, что числовые данные для задачи подобраны хорошо и она имеет решение. Прочитайте составленную вами задачу классу, и пусть кто-то её решит, а вы оцените это решение. 62 допалнсння к глясе х в настоящее время широкое распространение для вычислений получили калькуляторы. Они позволяют практически мгновенно выполнять арифметические операции (действия). На верхней панели калькулятора имеются клавиши: Ш. [1, [Ц. и. [Ц. [Ц. Ш. [Ц. [о] — для ввода чисел, И. □» 0. 0 — для ука.зания арифметических операций, 0 — для вывода на табло результата вычислений; [с] — для сброса (очистки) табло. Вывести результат операции на табло можно нажатием любой из клавиш И, 0» 0. 0 вместо клавиши 0- Этим пользуются для упрощения вычислений. Если в процессе вычислений произошла ошибка, то нужно нажать клавишу и повторить все вычисления сначала. Примеры. 1) Вычислите сумму 12 345 + 67 890. Нажмите клавиши в следующем порядке: 000000000000 На табло, но мере наж«1тия клавиш, вы увидите первое слагаемое 12 345, затем второе слагаемое 67 890 и, наконец, результат 80 235. Итак, 12 345 + 67 890 = 80 235. Аналогично выполняются и другие арифметические операции. 2) Вычислите разность 7549-825. 000000000 3) Вычислите произведение 48-571. 0000000 4) Вычислите частное 10 148 : 236. 0000000000 5) Вычислите 129 + 256 + 354. 000000000000 Ответ: 739. Ответ: 6724. Ответ: 27408. Ответ: 43. 63 6) Вычислите 999-123-321. [ЦШШЕШШШЕШШШЕ ответ: 555. Особого внимания требует порядок выполнения действий в числовых выражениях, в которых имеются (или подразумеваются) скобки. 7) Вычислите 9-12 + 5. ЕЕШШВЕВ Ответ: 113. 8) Вычислите (9 + 12) • 5. ЕВШШЕШЕ Ответ: 105. Заметим, что если примеры 7 и 8 записать так: 5 + 9 -12 и 5 (9+12), то результат первого действия нужно вводить в «память» калькулятора или использовать клавиши В и [J] для введения скобок, если это возможно на данном калькуляторе. Если такой возможности нет, то промежуточный результат надо запомнить или записать. Этих сложностей можно избежать, применив переместительный закон: 5 + 9-12 = 9-12 + 5 (см. пример 7), 5-(9+12) = (9+12)-5 (см. пример 8). Для вычитания и деления переместительный закон не выполняется, поэтому прюмежуточный результат надо запомнить (записать). 9) Вычислите 55 — 99:11. ЕЕЕШШЕ (результат: 9 — запомнили) ЕЕЕЕЕЕ Ответ: 46. 10) Выполните задание 9, используя «память* калькулятора: ЕЕЕППППГм+| (результат: 9 — введён в «память»). В Е Е ЕIМКС| В (нажатием клавиши |MRC| число 9 извлекается из «памяти»). Вычислите с помощью калькулятора (292, 293). ЕШ а) 784 т239; 6) 928 т 1075; в) 1985 + 999; г) 9753 + 2468; д) 7499-4636; е) 9284-3959; ж) 7548 - 3494; з) 3763-2579. 64 П! ЕШ а) 123-321; г) 755-755: ж) 252 525 :75; 6) 509-703; д) 153 117: 159; 3) 808 707:101; в) 999-999; е) 88 825: 209; и) 161616:6734. Проверьте равенства калькулятором (294, 295). а) 9735 + 7427 = = 17 162; б) 808 - 404 = 326 432; в) 808 404 -789 789 = 18 615; г) 273429 369 = = 741. 0 9+1 = 1 1 - 8+1 = 9 1 9 + 2 = 11 12- 8 + 2 = 98 12 9 + 3 = 111 123- 8 f 3 = 987 123 9 + 4 = 1111 1234- 8 + 4 = 9876 1234 9 + 5 = 11111 12 345- 8 + 5 = 98 765 12 345 9 + 6 = 111 111 123 456- 8 + 6 = 987 654 123 456 9 + 7 = 1 111 111 1 234 567 - 8 + 7 = 9 876 543 1 234 567 9 + 8 = 11111111 12 345 678 - 8 + 8 = 98 765 432 FTT1 Вычислите с помощью калькулятора: 3)752 = 75-75 = 5625; Ш [5] Ы Ш [I] Е] б) 3112; в) 252; г) 53; д) 12^: е) Т\ ж) 88. РТ7Д У многих калькуляторов предусмотрено упрощение вычислений при возведении в степень: 22 = 2-2; 23 = 2-2-2; 2^ = 2-2-2-2. [ЦЫВ ШИВЕ] шыввв Вычислите степень с помощью калькулятора: а) 23; б) 28; в) г) 28; д) 2«; е) 2’°; ж) 3’«: з) 33^ у разных пародов в разное время употреблялись различные системы счисления (нумерации). У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Ещё в XIX веке у многих племён Австралии и Полинезии было только два обозначения — для числа «один* и для числа «два*. Эти обозначения они комбинировали. Число «три* они называли «два и один*, число «четыре* — «два и два*, число «пять* — «два, два и один*, число «шесть* — «два, два и два*. А числа, большие шести, они не различали и называли словом «много*. 65 ‘•у ль Егиитяне за 3000 лет до н. э. применяли, в сущности, десятичную систему счисления. Единицу они обозначали знаком |, десяток — , сотню — \ . Число 345 записывалось так: cccmmiiiii Десятичная система, которой широко пользуются в настоящее время во всём мире, более совершенна. Вместо палочек, взятых от одной до девяти, используют цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения десятков, сотен и т. д. не нужны новые значки, так как те же цифры используют и для записи десятков, сотен и т. д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную систему счисления называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа. Народы пришли к этой системе постепенно. Она зародилась в Индии в V веке. В IX веке ею уже владели арабы, в X веке она дошла до Испании, а в XII веке появилась в других странах Европы, но широкое распространение получила в XVI веке. Долгое время развитие позиционной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль. Только после введения нуля система стала совершенной. В России десятичная система счисления начала распр<хггра-няться в XVII веке. В 1703 году был и.здан первый печатный учебник математики — «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, в котором все вычисления велись в десятичной системе записи чисел. До этого числа записывали буквами славянского алфавита. Числа от 1 до 9 записывали так: 66 Г^Г,,'Т Над одной или несколькими буквами стсшили особый знак (титло), чтобы подчеркнуть, что полученная запись не буква, не слово, а число: — 10, -11, - 12, I — 20, — 21, — 30, —40. —100, —101, ... Интересно, что числа от 11 (один-на-десять) до 19 (девять-на-десять) записывали так же, как говорили, т. е. «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков. Пример использования букв для обозначения чисел находим на циферблате часов кремля в Суздале. В некоторых странах использовались системы с'шсления с другими основаниями — 5, 12, 20, 60. Например, древняя вавилонская система счисления была шестидесятеричная. Следы этой системы сохранились сейчас в единицах измерения времени: 1 4 = 60 мин, 1 мин = 60 с. Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система. В ней числа записывают с помощью следующих цифр: 1 = 1, V = 5, Х=10, L = 50, С =100, 0 = 500, М=1000. Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: XV =15, XVI =16. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IV = 4, IX = 9, XL = 40, ХС = 90, СО = 400, СМ = 900. В других случаях правило вычитания не применяется. Числа от 1 до 21 обозначают так: Используя римскую систему счисления, запишем год выхода «Арифметики» Л. Ф. Магницкого — MOCCIII. Это 1000 + 500 -ь 200 + 3 = 1703 год. Римскую систему нумерации используют и сейчас для обозначения веков, глав в книгах и т. п. 67 в электронно-вычислительных машинах используется двоичная система счисления, в которой всего две цифры: О и 1. Для примера запишем в двух системах числа от О до 9: Десятичная система 0 1 2 = 2 3 = 2 + 1 4 = 2* 5 = 2*+1 6-2* + 2 7 = 2* + 2+ 1 8 = 2* 9 = 2* + 1 Двоичная система 0 1 К) 11 100 101 110 111 ККИ) 1001 Таблицы сложения и умножения для однозначных чисел в двоичной системе счисления очень просты: 0 + 0 = 0; 1+0=1; 1 + 1 = 10; 0-0 = 0; 1-0 = 0; 1-1 = 1. Вот несколько примеров на сложение, вычитание и умножение в двоичной системе: 1) 101 ^110 2) 1011 1111 101 1010 3) 111 101 111 111 100011 ПТЯ а) Прочитайте числа, записанные в римской системе нумерации; I. II, IV, VII, IX, XI, XVII, MCMXCV. б) Запишите в римской системе нумерации числа; 6. 8. 12. 18. 19. 20, 23. 24. ЕШ На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасадах которых обозначены даты их постройки; MDCCCCV и MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом? В предыдущем задании упростите запись чисел, учитывая, что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут. 68 4 9 2 3 5 7 8 1 6 1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16 rm Первый магический квадрат был составлен в Китае в V—IV веке до н. э. Другой магический квадрат был составлен в Индии в I веке н. э. Сравните суммы чисел в строчках, столбцах и диагоналях квадратов. В чём заключается магическое свойство этих квадратов? в квадрате 3x3 расставьте числа 0. 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так. чтобы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали была одинакова. Сначала определите, какой должна быть эта сумма. ГГТЯ Докажите, что сумма всех чисел любого магического квадрата 3x3 делится на 3. Гт в Древней Индии умножали многозначные числа совсем не так, как мы это делаем теперь. Чтобы перемножить, например, 537 и 82, индусы рисовали прямоугольник со сторонами 3 и 2 клетки (по числу цифр в записи множителей), подписывали рядом с клетками прямоугольника цифры первого числа слева направо, цифры второго числа снизу вверх; клетки прямоугольника делили диагоналями (рис. 28). Затем перемножали попарно цифры множителей и результат записывали в соответствующую клетку таблицы так: цифру единиц писали вверху клетки, цифру десятков — внизу. После этого складывали полученные результаты вдоль диагоналей квадратов. Считать начинали с правого верхнего угла квадрата. Так получали цифры ответа по разрядам. В нашем примере: единицы: 4 десятки: 6 + 1 т 6=13 (3 пишем, 1 запоминаем) сотни: о г4 + 5+ 1 = 10 (0 пишем, 1 запоминаем) тысячи: 1 т 0 + 2+ 1 = 4 десятки тысяч: 4 Ответ: 537-82 = 44 034. Проверим результаты обычным способом: 537 ^ 82 1074 4296 44034 2 8 \о 1 \ \ 6 \ 4 1 \ \о 4 \ X \ 6 5 \ Рис. 28 69 rm Вычислите произведение двух чисел индийским способом и сделайте проверку обычным способом: а) 38-57: 6)932-43; в) 34-269. Запишите в двоичной системе нумерации числовые выражения; а) 2': 22; 23; 2\ 2^\ 2^; 2’\ 28; 23; 2<0; б) 1 4 2 I 2?+23 + 2'' + 28 4 28 4 2^ + 28 ь28+2'0; в) 2^4-1; 28 4-1; 2^4-1; 2«4-1; 2П 1; 2'«4-1. ?Т7^ Проверьте, что в двоичной системе нумерации справедливы равенства: а) 1U 11 = 110: б) 101 4-11 = 1000; в) 101-11 = 10; г) 100-11 = 1; д) 101 -11 = 1111; е) 11-11 = 1001; ж) 111-11 = 10101; 3) 1011-11 = 100001. Гт а) Тройка лошадей проскакала 90 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь? б) Чтобы сварить яйцо всмятку, мама держит его 2 мин в кипящей воде. Сколько минут потребуется, чтобы сварить всмятку 8 яиц? а) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, сумма которых равна 912. Найдите двузначное число. б) К двузначному числу приписали цифру 1 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, сумма которых равна 926. Найдите двузначное число. в) К трёхзначному числу приписали цифру 2 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, сумма которых равна 5929. Найдите трёхзначное число. г) К трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, сумма которых равна 8360. Найдите трёхзначное число. 70 Рис. 29 а) К двузначному числу приписали цифру 5 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 234. Найдите двузначное число. б) К двузначному числу приписали цифру 6 сначала слева, а потом справа — получили два трёхзначных числа, разность которых равна 162. Найдите двузначное число. в) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 2214. Найдите трёхзначное число. г) К трёхзначному числу приписали цифру 9 сначала слева, а потом справа — получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 639. Найдите трёхзначное число. Автотурист отправился в путешествие на четырёхколёсном автомобиле с одним запасным колесом. По дороге он менял колёса с таким расчётом, чтобы каждое колесо проехало один и тот же путь. Определите; а) Сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км? б) Сколько километров проехал автомобиль, если каждое из пяти колёс проехало 4000 км? Ш'Д На столе лежат девять спичек (рис. 29). Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было: а) по 4 спички; б) по 6 спичек; в) по 9 спичек; г) по 11 спичек. Из спичек сложили шесть неверных равенств; а) 01 б) IV V в) г) д) л а) V" Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными. 71 rm Из спичек сложены верные равенства. Надо в каждом из равенств переложить одну спичку так. чтобы получились другие верные равенства. а) б) ]Ъ •' •J Jr- 1 :./ * ?^с-2 А п < J в) г) \/ ^ ./ . *— м * J— г д) е) г! t. •—* 'ГГ J а) Гости спросили: сколько лет исполнилось кахщой из трёх Марки — 8 Монеты — 5 сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестёр? б) На XXII Олимпийских играх в Москве (1980 г.) спортсмены СССР получили 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности полу^тили спортсмены СССР? Гт а) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек. монеты —5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько — только монеты? (Решите задачу, используя рисунок 30.) б) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной 72 •п.,га 1. Н- и И, ГГУД и Е я секции. Сколько учащихся занимаются и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции? в) Из 35 учащихся класса 12 участвовали в конкурсе чтецов, 10 —в конкурсе на лучший рисунок, 4 принимали участие в обоих конкурсах. Сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе? г) В нашем классе 32 учащихся. Из них 23 любят кошек, 18 — собак. Причём 10 учащихся любят и кошек, и собак. Сколько учаицихся нашего класса не любят ни кошек, ни собак? д) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино —21, а 5 учащихся не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько учащихся нашего класса ходили и на экскурсию, и в кино? е) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино и в музей — 6. а 2 учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся нашего класса ходили в кино? Два арбуза весят столько, сколько весят три дыни. Что тяжелее: один арбуз или одна дыня? Из спичек сложили рака, который ползёт вверх (рис. 31). Переложите 3 спички так, чтобы он полз вниз. Корова, выложенная из спичек, смотрит влево (рис. 32). Переложите две спички так, чтобы она смотрела вправо. Спички сложены, как показано на рисунке 33. Переложите 2 спички так, чтобы получилось 5 равных квадратов. I. 1 Рис. 33 73 а) □ □ В Q О □ □□□□□ 1 2 3 П П □ □ П □□□□□ А Рис. 34 tTTP Из точки Л, показанной на схеме города, надо попасть в точку В, двигаясь только вправо и вверх. На рисунке 34, а показан один из маршрутов движения. Убедитесь, что это можно сделать только 6 способами. Решение. Чтобы убедиться, что различных маршрутов движения от А к В только 6, можно их нарисовать по отдельности. Мы поступим проще. Укажем в каждой точке, в которой МОЖ1Ю изменить направление движения, число способов, которыми можно прийти в эту точку (рис. 34. б). В точку В можно прийти 3 + 3«6 способами. ^ТТР Если мы захотим показать все маршруты движения (только вправо и вверх) из Л в ii (рис. 34, в), то придётся много потрудиться. Гораздо проще подсчитать их число описанным выше способом Подсчитайте. ГУГР Коля написал два раза своё имя (рис. 35, а). Его сосед по парте заметил, что Коля может прочитать своё имя более чем 10 способами, и показал один из них (рис. 35. б). Сколькими способами Коля может прочитать своё имя? FTT1 На рисунке 36 показано, как можно прочитать слово «МАРШРУТ». Подсчитайте число всех способов, которыми можно прочитать это слово. а) к О л я >1 !• К о л я 1 б) К-О^Л я .1 1' К о . } -и л' ‘ J Рис. 35 Рис. 36 **. / \ / 1И' .V ■ I» I ^ I иГ 74 Гпава 1. Иг TV" ' ij-i- 'тлг.:т и »Л'пь ИССЛЕДУЕН mi Учащиеся выполняли задание, в котором требуется найти пропущенные числа: □ @ И □ 0 у них получились разные ответы: rieirielfiFI 24191126 и 521 000 000 |Т] [2б| [52] 000 Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки, и придумайте ещё одно решение. ДоКЯЗЫвЯЕН "|УП Докажите, что предыдущая задача имеет бесконечно много решений. mi Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана: а) 3 л воды; б) 7 л воды? %13 Из нескольких монет только одна фальшивая — она легче остальных. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету; а) за одно взвешивание, если монет 3; б) за два взвешивания, если монет 9; в) за три взвешивания, если монет 27? FTT1 Используя три цифры 5, знаки арифметических действий и скобки, составьте несколько выражений, имеющих различные значения. Гт Верёвку разрезали на части. При этом сделали б разрезов. Сколько частей получилось? ПТР Имеются брёвна по 4 м и 5 м. Сколько брёвен каждого вида надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов? 75 rm Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 1 мин 30 с. Сколько времени потребуется на эту работу? Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый? Сколькими способами можно уплатить без сдачи 28 рублей, имея монеты по 1 и 5 рублей? Сколькими способами можно разменять 50 рублей монетами в 1 и 5 рублей? %зз Однажды Чёрт предложил Бездельнику заработать. — Как только ты перейдёшь через этот мост, — сказал он, — так твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и... после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала? Три брата получили 24 яблока, причём младшему досталось меньше всех. Видя это, младший брат предложил такой обмен яблоками: «Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат, а за ним старший поступят так же». Братья согласились. В результате у всех яблок стало поровну. Сколько яблок было у каждого первоначально? Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причём сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день —2 р., в третий день —Зр. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу? 76 г ЛОЛ ■г' ,\W м ///, / 80 %Ш H3M£FEHHC величин Изучая главу 2, вам предстоит повторить всё, что знаете о геометрических фигурах и их измерении, а также узнать много нового и интересного об углах, треугольниках и четырёхугольниках, окружностях и кругах, о равных фигурах. Решая геометрические задачи, вы будете встречать знакомые предметы окружающего вас мира, познакомитесь с различными единицами измерения величин, с формулами, знание которых поможет вам не только успешно учиться, но и решать практические задачи. Вам предстоит научиться решать текстовые задачи на движение в одном направлении и навстречу друг другу, а также на движение по реке. Такие понятия, как длина, площадь, объём, масса, время, скорость и т. д., называют величинами. Величина есть результат измерения, она определяется числом, выраженным в некоторых единицах. Для обозначения величины пишут число, а рядом — название единицы. Например: 5 см, 10 кг, 12 км, 4 т, 5 мин. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например: 5 см = 50 мм, 1 4 = 60 мин, 2 кг = 2000 г. Прямая. Луч. Отрезок Поверхность стола или поверхность воды в пруду (в безветренную погоду) может служить примером части плоскости. Всю плоскость невозможно изобразить потому, что она бесконечна, но её можно представить себе. в D Рис. 38 В D А С Рис. 39 Рис. 40 Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет частью прямой линии. Коротко — частью прямой. Прямая не имеет ни начала, ни конца — она бесконечна. На рисунке всегда изображается только часть прямой, которую прюводят с помощью линейки. Прямую обозначают одной строчной (малой) латинской буквой, например I (рис. 37), и читают: «прямая эль». Точки обозначают заглавными (большими) латинскими буквами, например А, В, С (рис. 37). Отметим па прямой I две различные точки С и D (рис. 38). Тогда эту прямую I называют также «прямая CD*. Через любые две точки можно провести только одну прямую. Отсюда следует, что две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Две различные прямые на плоскости могут и не пересекаться, сколько бы их ни продолжали. Такие прямые называют параллельными. Если прямые АВ и CD (или а и Ь) паргшлельны, то это обозначают так: АВ II CD (или а || Ь) (рис. 39). На рисунке 40 показано, как с помощью угольника и линейки провести параллельные прямые. Точка А, лежащая на прямой, делит её па две части (рис. 41). Каждую из этих частей называют лучом с началом в точке А. Луч, так же как и прямую, обозначают двумя заглавными буквами. При этом на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором — буква, обозначающая какую-либо другую его точку: луч АВ (рис. 42). Луч с началом в точке А (рис. 43) можно обозначить и АВу и АС. 78 2. М: Часть прямой, ограниченную точками Л и lij называют отрезком АН. Точки А н В называют его концами (рис. 44). Отрезок с концами в точках А и В обозначают АВ или В А. Два отрезка АВ и CD называют равными отрезками, если они совмещаются при наложении (рис. 45). Пишут: AB = CD. В частности, равны отрезки АВ и В А. Представление о плоскости даёт поверхность стола. Приведите другие примеры. fej Представление о прямой даёт туго натянутая нить. Приведите другие примеры. а) Можно ли в школьной тетради изобразить всю прямую? б) Сколько прямых можно провести через две разные точки? в) Как могут располагаться две прямые на плоскости? г) Какие прямые называют параллельными? д) Что называют лучом? е) Что называют отрезком? Нарисуйте прямую, обозначьте её. Отметьте на ней точку, обозначьте её. Запишите обозначения прямой и полученных лучей. ПТР Отметьте две точки. Проведите от руки прямую, проходящую через эти точки. Проверьте точность построения с помощью линейки. Гт На рисунке 46 найдите параллельные прямые. Проверьте с помощью линейки и угольника справедливость ваших утверждений. гт Нарисуйте от руки параллельные прямые. Обозначьте их. Проверьте с помощью линейки и угольника точность построения. Рис. 41 А В Рис. 42 Л В С Рис. 43 В Рис. 44 А В С D Рис. 45 79 rm Проведите прямую АВ и вне её точку С. Через точку С проведите прямую, параллельную прямой АВ. Сколько прямых можно провести через одну точку? гт Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено? Гт Даны четыре точки так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено? Гт На сколько частей прямая делит плоскость? ПТР На сколько частей делят плоскость две прямые, если они: а) пересекаются: б) параллельны? ГГУ1 На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми? ГГГР Отметьте на листе бумаги точку, проведите несколько лучей с началом в этой точке. Сколько таких лучей можно провести? ГГГЯ Отметьте на прямой две точки А и В. Сколько получилось лучей с началом в этих точках? П71 Сколько получится лучей, если на прямой отметить: а) 3 точки; б) 5 точек; в) 100 точек? Две прямые пересекаются в одной точке. Сколько лучей с началом в этой точке они образуют? Назовите все лучи с вершиной в точках А, В \л С (рис. 47). Сколько лучей получилось? Гт Назовите все отрезки с концами в точках М. N \л К (рис. 48). Сколько отрезков получилось? На прямой отметили четыре точки. Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках. Проверьте. fTTI Перечертите рисунок 49 в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых, продолжив их. если нужно. На сколько частей разделилась плоскость? Выберите правильный ответ. A. 10 частей Б. 11 частей B. 12 частей М А Рис. 47 А М Рис. 48 В N С N К В 80 2. М: * Измерение отрезков Ученик 5 класса и его сестра-десятикласснида подсчитали число шагов от школы до дома. Получилось, что одно и то же расстояние равно 300 шагам брата и 250 шагам сестры. Очевидно, что разные результаты полу^шлись из-за того, что сестра измеряла расстояние большими шагами, чем брат. В таких случаях говорят, что были использованы различные единицы измерения длины. Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называют единичным отрезком. С его помощью измеряют произвольные отрезки. Возьмём, например, отрезок длиной 1 см в качестве единичного. Тогда измерение удобно производить при помощи сантиметровой линейки. Пусть задан отрезок Л В, длину которого надо измерить. Приложим к пему шкалу с.антиметропой линейки, совместив её пулевую точку о с концом отрезка Л (рис. 50). Если при этом окажется, что точка В совпадает с делением шкалы — например, 5, то говорят, что длина отрезка ЛИ равна 5 см, и пишут: ЛВ = 5см. Л •— 2 3 4 5 6 7 Рис. 50 Длину отрезка АВ называют ещё расстоянием между точками А и В. Отметим, что два равных отрезюг имеют равные длины. Понятно, что всякий отрезок имеет определённую длину, но длина не всякого отрезка в точности равна целому числу сантиметров. Если, приложив шкалу с{штиметровой линейки к отрезку ЛВ так, что точка 0 совпадёт с точкой Л, окажется, что точка В не совпадает с делением шкалы, то можно указать два деления, между которыми находится точка В, — например, 5 и 6 (рис. 51). 0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 51 81 в этом случае точная длина отрезка А В осталась неизвестной. Однако известно, что 5 см < АВ < 6 см, при этом величины 5 см и 6 см отличаются от АВ не более чем на 1 см. Их называют приближениями или приближёнными значениями длины АВ с точностью до 1 см и пишут: АВ « 5 см, АВ « 6 см. Знак «« называют знаком приближённого равенства и читают «приближённо равно». В рассмотренном примере длина отрезка АВ при6.тижённо равна 5 см с недостатком и 6 см с избытком с точностью до 1 см. Однако ещё можно получить приближённую длину отрезка с точностью до 1 см с округлением. Поясним эти слова. Так как точка В расположена ближе к делению 6, то более точным приближением длины отрезка АВ является 6 см. В таком случае говорят, что длина отрезка АВ приближённо равна 6 см с округлением с точностью до 1 см. Если же точка В оказ*1лась бы ближе к делению 5, то мы сказали бы, что длина отрезка АВ приближённо равна 5 см с округлением с точностью до 1 см. Остаётся ещё третий случай, когда точка В оказалась точно посередине между делениями линейки 5 и 6. В этом случае условились считать, что 6 см есть приближённая длина отрезка АВ с точностью до 1 см с округлением. 5ЕП В тетради постройте три отрезка различной длины. С помощью циркуля и линейки постройте отрезки, им равные. В тетради постройте отрезок. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок: а) в 2 раза больший первого; б) в 3 раза больший первого. Как называют отрезок, длина которого принята за единицу измерения? Что называют расстоянием между двумя точками? Постройте отрезки длиной 7 см, 11 см 4 мм, 14 см 6 мм. С помощью линейки постройте отрезок, длина которого равна: а) сумме длин отрезков, изображённых на рисунке 52; б) разности длин отрезков, изображённых на рисунке 52. В С D Рис. 52 82 п"п 2. 'Л\ м. KUMtl-. iP.H rm Fm [Ш sn im >->1Я Точка С расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка ЛС равна 8 см. длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС. Найдите длину отрезка АВ. Точка А расположена на прямой между точками В и С. Длина отрезка СВ на 3 см больше длины отрезка АС. Найдите длину отрезка А В. На прямой даны точки А, В \л С, причём Лй = 6см, ЛС=13см. Найдите длину отрезка ВС, если: а) точки Л и С лежат по одну сторону от точки А\ б) точки В и С лежат по разные стороны от точки А. На прямой даны три точки Л. Л и С, причём ЛЛ=13см, Л(; = 4см. Найдите длину отрезка ВС. (Задача имеет два решения.) На прямой даны три точки А, В v\ С, причём ЛЛ = 83см, АС = 97 см. Найдите длину отрезка ВС. Сколько решений имеет задача? На луче AM отложили отрезки АВ и АС, ЛС = 89 см. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ на 15 см длиннее ЛС; б) Л Л на 15 см короче АС. Объясните на примере, как измерить длину отрезка с точностью до 1 см: а) с недостатком: б) с избытком; в) с округлением. Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением. Отметьте в тетради две точки. Определите на глаз расстояние между ними. Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближённо его длину. С помощью линейки измерьте отрезки, изображённые на рисунке 53, с точностью до 1 см: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением. Л D Рис. 53 Рейка длиной 147 см разрезана на 4 равные части. Какую длину имеет каждая часть с точностью до 1 см: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением? 83 Метрические единицы длины в России и в большинстве стран мира за основную единицу длины принят метр (см. «Исторические сведения» на с. 130). Для измерения малых отрезков пользуются долями метра: дециметром, сантиметром и миллиметром. Метр состоит из 10 дециметров: 1 м = 10 дм. Дециметр состоит из 10 сантиметров: 1 дм = 10 см. Сантиметр состоит из 10 миллиметров: 1см = 10 мм. 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм. Примеры: 1) 2358мм = 2м 3 дм 5 см 8мм = 2м 35 см 8 мм. 2) 15 м 48см 4 мм = 15 м 4 дм 8см 4мм=15 484мм. Для измерения больших расстояний введена единица длины километр, равная 1000 метрам: 1 км = 1000 м. Очень большие расстояния — астрономические — выражают в виде степеней числа 10 или в виде произведения некоторого числа и степени числа 10. Например, радиус Солнца равен 700 000 км = 7 • 10^ км, а среднее расстояние от Земли до Солнца равно 150 000 000 км = 15 • 10^ км. Очень малые длины измеряют микронами и микромикропамн: 1мм =1000 микрон, 1 микрон = 1000 микромикрон. При измерении ещё меньших длин указывают, какую часть микрона они составляют. "?П!1 Как называют основную единицу длины? гЕСЯ Какие единицы длины используют для измерения небольших отрезков? Какие единицы длины используют для измерения больших расстояний? ’Im Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы: 1 мм 1 см 1 дм 1 м Юм ИИ ) м 1 км а) Во сколько раз увеличиваются единицы длины при переходе слева направо на одну клетку? 84 2. М: 6) Во сколько раз уменьшаются справа налево на одну клетку? в) Во сколько раз: 1) 1 см больше 1 мм; 3) 1 м больше 1 мм; 5) 100 м больше 1 мм; 7) 1 дм больше 1 см; 9) Юм больше 1 см; 11) 1 км больше 1 см; 13) Юм больше 1 дм; 15) 1 км больше 1 дм; единицы длины при переходе 2) 1 дм больше 1 мм; 4) Юм больше 1 мм; 6) 1 км больше 1 мм; 8) 1 м больше 1 см; 10) 100 м больше 1 см; 12) 1 м больше 1 дм; 14) 100 м больше 1 дм; 16) 1 км больше 1 м? ПП птя гт и m в) 10 дм; е) 27 000 мм. Выразите в метрах; а) 1 км; б) 17 км; г) 270 дм; д) 9700 см; Выразите в дециметрах; а) 1 м; б) 43 м; в) 1 км; г) 17 км; д) 30 см; е) 9700 см. Выразите в сантиметрах; а) 1 м; б) 27 м; в) 1 км; г) 17 км; д) 9700 мм; е) 27 000 мм. Выразите в миллиметрах; а) 9 см; б) 27 см; в) 10 дм; г) 270 дм; д) 1м; е) 17 м. Выполните упражнение по образцу. 2308мм = 2м 3дм 0см 8мм = 2м 3дм 8мм. а) 1937 мм; б) 2079 мм; в) 12 938 мм; г) 179 см; д) 92 703 см; е) 62 074 дм. ГГ7^ Выполните упражнение по образцу. 2 м 3 дм 8мм = 2м 3 дм 0 см 8 мм = 2308 мм. а) 1 м 3 дм 8 см 4 мм; б) 2 м 7 см 9 мм; в) 23 м 7 дм 3 см б мм; г) 4 м 7 дм 6 см; д) 567 м 1 см; е) 2 км 504 м 4 дм. КМ дм мм м см 85 rm Данные величины запишите с точностью до 1 дм с недостатком: с избытком; с округлением по образцу: 6 дм 7 см « 6 дм с недостатком: 6 дм 7 см « 7 дм с избытком и с округлением. а) 7 дм 6 см: б) 8 дм 4 см; в) 3 дм 5 см; г) 1 м 8 дм 3 см; д) 4 м 5 дм б см; е) 7 м 3 дм 5 см; ж) 29 см; з) 41см; и) 235 см. Гт Туристы прошли 70 км за 4 дня. Определите, какое расстояние они проходили в день, если считать, что каждый день они проходили одно и то же расстояние. Ответ выразите приближённо с точностью до 1 км: а) с недостатком; б) с избытком: в) с округлением. Нще ЕЗ Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы: а) Что означают приставки кило-, санти-, деци-, милли-? б) Какие ещё приставки используют при измерении расстояний? в) Что такое световой год? Где используют эту единицу? ^ Представление натуральных чисел на координатном луче Числа удобно представлять точками прямой. Для этого задают луч, выходящий из точки О в направлении, отмеченном стрелкой, и отрезок, длину которого принимают за единицу. Этот отрезок называют единичным отрезком. На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины (рис. 54). Будем считать, что точка О представляет число нуль, правый конец первого единичного о'грезка — число 1, правый конец вто|ЮГО единичного отрезка — число 2 и т. д. Мы построили координатный луч. С его помощью натуральные числа и нуль изображаются точками. Начальную точку О называют нулевой то»жой или точкой 0 (ну.чь). Говорят ещё, что точка О О h- Рис. 54 86 Г 13^ 2. И:,‘м.' к ис имеет координату О, и нишут О (0). Следующие точки называют соответственно: точка 1, точка 2 и т. д. Координатный луч напоминает линейку, на которой отмечены числа о, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д., с той лишь разницей, что любая линейка ограничена (конечна), а координатный луч неограничен (бесконечен). Невозможно полностью изобразить бесконечный координатный луч, но можно себе его представить (вообразить). Поэтому на координатной оси можно изобразить только несколько первых натуральных чисел. Произвольное натуральное число п изображается на координатном луче точкой, расстояние от которой до нулевой точки равно п единичным отрезкам. Эту точку называют точкой п или точкой с координатой л. О Рис. 55 о 1 6 Например, на рисунке 55 отмечена точка А с координатой 5, пишут Л (5). ДлиЕга отрезка ОЛ равна 5 едипичпым отрезкам. Обычно координатный луч располагают горизонтально и направляют слева направо. В этом случае точка, имеющая большую координату, расположена на координатном луче правее. Поэтому натуральные числа можно сравнивать при помощи координатного луча по правилу: Из двух натура.чьных чисел больше то, которое на координатном луче находится правее. Какой отрезок называют единичным? Как построить координатный луч? ^П2 Как сравнивают натуральные числа при помощи координатного луча? Гт Дан координатный луч. Некоторые его точки обозначены буквами (рис. 56). Укажите координаты точек А, В, С, I) и Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки. Например, А (2), О А = 2. О А В С D Е Рис. 56 0 1 2 3 4 5 6 87 [■ '.па . * ' ' ■ ‘ .11 rm Постройте координатный луч с единичным отрезком 1 см (2 клетки тетради). Отметьте точки 1, 2, 3. 4, 5, 6, 7. Обозначьте точки с координатами 7, 5, 3, 1 соответственно буквами Л, В, С и D. Гт Какая из точек Л (5), B(^00) и С (56) расположена на координатном луче: а) правее других; б) левее других? Назовите три точки, расположенные на координатном луче правее точек с указанными координатами, и три точки, расположенные левее их; а) 7; б) 13; в) 100; г) 998. ТП Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами; а) о и 9; б) 4 и 14; в) 90 и 120? На рисунке 57 изображён координатный луч. Назовите отмеченные на нём точки. а) В б) С D 17 18 179 180 в) К 1999 2000 г) М N а а + 1 Рис. 57 -[ОД По рисунку 58 определите координату точки А приближённо с точностью до 1: а) с недостатком; б) с избытком. а) б) 5 9 5 7 Рис. 58 Гт Кузнечик прыгает вдоль координатного луча попеременно; на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево. Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть: а) в точку 6; б) в точку 7? 88 2. М: Окружность и круг. Сфера и шар Установим острие циркуля неподвижно в точке О, а ножку с карандашом будем свободно вращать, не меняя раствора циркуля. Карандаш начертит на плоскости замкнутую линию — окружность (рис. 59). Точку О называют центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой, называют радиусом. Его длину тоже называют радиусом. Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние, равное радиусу. Можно также сказать, что окружность состоит из точек, удалённых от её центра на расстояние, равное радиусу. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 60 отрезки OL, О А, ОБ — радиусы окружности, АВ — её диаметр, CD — хорда. Две точки делят окружность на две части, называемые дугами. Обычно рассматривается одна из дуг окружности, определяемая по смыслу задачи. Часть плоскости, состоящую из всех точек окружности и всех точек, лежащих внутри окружности, называют кругом. На рисунке 61 и.зображён круг с центром О и радиусом О А. Круг состоит из точек, удалённых от данной точки на В 89 Рис. ?Г71 ?m ГГТР rm П7Я1 62 расстояние, меньшее или равное его радиусу. Все точки пространства, удалённые от данной точки (центра) на одно и то же расстояние, образуют сферу. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой, называют радиусом сферы. Часть пространства, состоящую из всех точек сферы и всех точек, находящихся внутри сферы, называют шаром (рис. 62). Все точки шара удалены от его центра на расстояние, меньшее или равное радиусу шара. а) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму окружности. б) Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму круга. Назовите центр, радиус, диаметр окружности, изображённой на рисунке 60. а) Представление о сфере даёт теннисный мяч. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму сферы. б) Представление о шаре даёт арбуз. Назовите какой-нибудь предмет, имеющий форму шара. Задача-шутка. На рисунке 63 изображён воздушный шарик. Как его было бы правильнее назвать — «шариком» или «сфериком»? Начертите окружность, радиус которой равен: а) 2 см; б) 5 см; в) 7 см; г) 3 см 5 мм. Какая из фигур, изображённых на рисунке 64, является окружностью? Какая — кругом? Рис. 63 2) 3) Рис. 64 90 2. М: А I- гт ЪГ9 TtTP ?П! Начертите окружность, радиус которой равен отрезку ЛИ (рис. 65). На окружности с центром О и радиусом 2 см отметьте точку Л. Постройте окружность с центром А и радиусом 2 см. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой D (рис. 66). С помощью циркуля от точки В отметьте дуги, равные дуге А В. Убедитесь, что конец шестой дуги, считая от точки А, совпадает с точкой А. С помощью циркуля выполните рисунок 67 на альбомном листе, раскрасьте его цветными карандашами или фломастерами. На рисунке 68 показан цветок, построенный с помощью циркуля. а) Объясните, как этот рисунок получен из рисунка 67. б) Придумайте свой рисунок цветка. Выполните его на альбомном листе и раскрасьте цветными карандашами или фломастерами. Внутри или вне окружности расположены точки, удалённые от её центра на расстояние: а) большее её радиуса; б) меньшее её радиуса? Расстояние между точками А и В равно 5 см. Постройте точку, удалённую от точки А на расстояние 4 см, а от точки В — на расстояние 3 см. Сколько таких точек можно построить? Внутри или вне сферы расположены точки, удалённые от её центра на расстояние; а) большее её радиуса; б) меньшее её радиуса? Дан отрезок АВ. Постройте две окружности с центрами А и В и радиусом АВ. Точки пересечения окружностей обозначьте буквами М и N. Постройте отрезки AM, AN, ВМ, BN. Равны ли отрезки АВ, AM, AN, ВМ и BN1 Убедитесь, что прямая MN делит отрезок АВ пополам. 91 %I3 Ictn im Ha отрезке ЛВ отметьте точку С. а) Постройте две окружности: с центром А и радиусом АС и с центром В и радиусом СВ. Построенные окружности имеют только одну общую точку С. Говорят, что они касаются внешним образом. б) Постройте две окружности: с центром А и радиусом АВ v\ с центром С и радиусом СВ. Построенные окружности имеют только одну общую точку В. Говорят, что они касаются внутренним образом. Постройте две окружности радиусами 3 см и 4 см, касающиеся: а) внешним образом; б) внутренним образом. Постройте две окружности с центрами А \л В \л радиусами 3 см и 5 см, касающиеся внешним образом. Постройте третью окружность, центр которой лежит на отрезке АВ \л которая касается двух первых окружностей внутренним образом. > Углы» Измерение углов Рис. 70 На рисунке 69 изображены два различных луча В А и ВС с общим началом В. Они делят плоскость на две части, называемые углами. Обычно рассматривают один из этих углов — его определяют по смыслу задачи и отмечают дугой или пггриховкой. Угол АВС обозначают так: ZABC. Точку В называют вершиной утла, лучи В А и ВС — его сторонами. Иногда для краткости угол обозначают одной буквой, обозначающей вершину угла. Тот же угол ЛВС обозначают так: ZB. Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении. Па рисунке 70 изображены два угла: ZABT) и ZDBC. Если лист бумаги перегнуть по прямой BD, то лучи ВА и ВС совпадут. Углы ABD и ВВС равны. Пишут: ZAFil) = ZDBC — и говорят: «Угол ABD равен углу ВВС*. Равные углы отмечают одинаковыми дугами. 92 2. М: Если на нрямой отметить точку, то образуется два луча, выходящих из одной точки. Эти лучи тоже делят плоскость на две части, каждую из которых называют развёрнутым углом. На рисунке 71 изображён развёрнутый угол ЛИС. Перегнём лист бумаги так, чтобы лучи ПА и ВС совпали, и расправим лист. Тогда линия сгиба MN разделит каждый из развёрнутых углов па два равных угла, каждый из которых называют прямым углом (рис. 72). Углы измеряют в градусах. Считается, что развёрнутый угол содержит 180 градусов. Его половина — прямой угол — содержит 90 градусов. Градус обозначают знаком «“*. Пишут: Z.ABC=im\ ZABM = 90\ Для более точного измерения углов используют доли градуса: минуты *'» и секунды «"*. 1° = 60'; Г = 60", откуда 1° = 3600". Для измерения углов в градусах пользуются транспортиром. На рисунке 73 показано, как измеряют углы с помощью транспортира. Транспортир используют также для построения углов с заданной градусной мерой. На рисунке 74 показано, как с помощью транспортира можно построить угол АВС, равный 60°. Угол, меньший прямого, называют острым. Величина острого угла меньше 90". Угол, больший прямого, но меньший развёр- Рис. 73 /ЛВС - 120“ /MNK-G0° 93 Г.'.ава sent, .ии в Рис. 74 нутого, называют тупым. Величина тупого угла больше 90'^, но меньше 180°. На рисунке 75 показаны острый угол АВС и тупой угол МОК. Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными. На рисунке 72 прямая MN перпендикулярна прямой АС. Пишут: MN ± АС. Отметим, что на рисунке 72 изображены 4 прямых угла: ZABM = ZCBM = ZCBN = Z ABN = 90°. Ъти Что называют углом, вершиной угла, сторонами угла? а) Какие углы называют равными? б) Какой угол называют развёрнутым? прямым? острым? тупым? Ътж Сколько градусов содержит развёрнутый угол, прямой угол? Ъш Какие прямые называют перпендикулярными? На рисунке 76 изображены углы. Проверьте результаты измерения. Назовите острые, прямые и тупые углы. rFTl С помощью транспортира измерьте углы на рисунке 77 и сделайте в тетради соответствующие записи. ГГГР С помощью транспортира постройте углы, равные; 90°; 50°; 30°; 60°; 100°; 95°; 105°; 45°; 135°; 15°. Рис. 75 М О К 94 2. ‘4: а) К R iW Р Q D / MNK = 70’ /. PQR = 90’ Z.XYZ = 90’ О Н AGOH = 135’ К Рис. 77 Определите угол между направлениями (рис. 78): а) север и восток; б) север и юг; в) север и запад: г) запад и восток; д) северо-восток и восток; е) северо-восток и юго-восток; ж) северо-восток и юго-запад; з) северо-запад и восток. Рис. 78 95 г ;пва И уощ.. rm тз %I3 а) Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в: 6 ч; 3 ч; 1 ч; 5 ч? б) На какой угол повернётся часовая стрелка за: 6 ч; 3 ч; 1ч; 4 ч? в) На какой угол повернётся минутная стрелка за: 30 мин; 15 мин; 10 мин; 1 мин? Выразите в минутах: 1°; 7°; 10°; 30"; 90"; 180". Выразите в секундах: 1'; 1"; 1°1'; 4"3'; 10"; 10'. Выполните сложение по образцу: 4"7'19"+ Г52'48"= 5"59'67"= 5"60'7"= 6"7". %Ц а) 37"12' + 5"7'19"; в) 5"27' + 3"56'; д) 23'52" + 8"; 6) 49'33" + 24'28"; г) 4Ч7'29'Ч Г45'38"; е) 89"59'59"+ 1". ГПИ ГГП1 %ти Выполните вычитание по образцу: 4"17'9" - 3"29'28" = 4°16'69" - 3"29'28"= 3"76'69" - 3"29'28" = = 47'41". а) 17"-29'; 6) 9"31'-2"58'; в) 5'47"-3'56"; г) 4°37'19"-3"39'58"; д) 23'5"-8"; е) Г-1"; ж) Г-1'; 3) Г-59'55". а) На отрезке А В отметьте точки С и 7). Сколько отрезков получилось? б) Постройте острый угол АОВ. Проведите внутри этого угла два луча OD и ОЕ. Сколько острых углов получилось? Внутри развёрнутого угла АВС проведите луч BI). Он разбивает развёрнутый угол на два угла ABD и BDC, которые называют смежными углами. Чему равна сумма величин смежных углов? Луч ОС делит развёрнутый угол АОВ на два смежных угла АОС и вое так, что угол АОС на 30" больше угла ВОС. Найдите /АОС и /ВОС. Луч ОС делит развёрнутый угол АОВ на два смежных угла АОС и ВОС так, что угол АОС в 3 раза больше угла ВОС. Найдите /АОС и /ВОС. Могут ли смежные углы быть: а) оба прямые; б) оба острые; в) оба тупые? 96 П"П 2. 'Л\ ‘А‘ у,. KU' /U-. iP.H 1> )2 О 1) В Внутри развёрнутого угла ЛОВ ^ проведены два луча OD и ОС так, что ZAOC =iS0’\ а ZDOB= 120°. Найдите ZDOC. Прямые А В Vi CD пересекаются С в точке О (рис. 79). Углы АОС и BOD называют вертикаль- Рис. 79 ными. Назовите другую пару вертикальных углов. Чему равна сумма величин углов 1 и 3? Чему равна сумма величин углов 3 и 2? Верно ли, что Zl+z3 = z3 + z2? Верно ли, что Zl=z2? Верно ли утверждение: вертикальные углы равны? При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Определите величины этих углов, если один из них: а) в 5 раз больше другого; б) на 40" больше другого. Исследуем %!Я Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. На рисунке 80 изображены окружность с центром О, касательная АВ и радиус окружности ОС. С —точка касания. а) Определите углы, образованные касательной и радиусом окружности, проведённым в точку касания. б) Покажите, как должны располагаться две окружности, чтобы они имели а общих касательных? Рассмотрите все возможные случаи: а = 0, 1, 2. 3, 4. 97 Треугольники Воаьмём на плоскости три точки А, В и С, не лежащие па одной прямой, и соединим их отрезками. Полученную фигуру называют треугольником (рис. 81). Точки Л, В и С называют вершинами треугольника. Углы Л, В и С называют углами треугольника, отрезки АВ, АС и ВС — его сторонами. Треугольник с вершинами Af В н С обозначают так: t\ABC, читают: «треугольник АВС*. Заметим, что треугольником АВС называют как линию, составленную из отрезков АВ, ВС и АС, так и эту линию вместе с частью плоскости, расположенной внутри этой линии. В Рис. 81 А Л \ /1______к ' С Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником. Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником. Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным ^’реугольником. В треугольнике не может быть больше одного прямого или тупого угла. На рисунке 82 tsABC — остроугольный, tsMNK — прямоугольный, /SPQR — тупоугольный. Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным, а если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонни.м. Если все стороны треугольника имеют разные длины, то его называют разносторонним. Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром. Рис. 82 В N М Q 98 2. М: Два треугольника называют равными, если их можно совместить при наложении. Например, на рисунке 83 треугольники ЛВС и MNK равны, так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой I. На рисунке 84 показан порядок построения равнобедренного треугольника с основанием 3 см и боковой стороной 4 см с помощью циркуля и линейки. Построить треугольник, длины сторон которого равны длинам заданных отрезков, можно в том случае, если длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков. Например, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см построить можно, так как 3 см < 4 см + 5 см, 4 см < 3 см + 5 см, 5 см < 4 см I 3 см. А треугольник со сторонами 1 см, 2 см и 5 см построить нельзя, так как 5 см > 1 см I 2 см. Треушль-ник со сторонами 1 см, 2 см и 3 см тоже построить нельзя, так как 3 см = 1 см 2 см. 3 см 1 в / N / \ 1 \ У \ / \ J \ / V / ' \ А С к м ГП' о 1 3 см г 3 см Рис. 83 Рис. 84 99 Рис. 85 О В Какие виды треугольников вы знаете? Что такое периметр треугольника? Определите вид треугольника на рисунке 85. Гт Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треугольник с основанием 4 см и боковой стороной 3 см. Сравните углы при основании построенного треугольника. Сделайте вывод. Постройте отрезок АВ. Постройте равносторонний треугольник со стороной АВ. Измерьте углы построенного треугольника. Сделайте вывод. Гт Кузнечик прыгает на 5 единичных отрезков в любом направлении на плоскости. Сможет ли он за несколько прыжков из точки О координатного луча попасть в точку 4? Если сможет, то покажите, как кузнечик это сделает. ИУД Постройте треугольник: а) остроугольный: б) прямоугольный: в) тупоугольный: г) равнобедренный: д) равносторонний: е) равнобедренный и остроугольный: |.\ ж) равнобедренный и тупоугольный. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Измерьте его углы. гт а) Одна сторона треугольника равна 10 см, она на 2 см меньше второй стороны и на 3 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. б) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 4 см больше второй стороны и на 3 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. в) Одна сторона треугольника равна 12 см, она на 3 см меньше второй стороны и на 2 см больше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. г) Одна сторона треугольника равна 25 см, она на 4 см больше второй стороны и на 5 см меньше третьей. Вычислите периметр этого треугольника. 100 г пп 2. И: rm a) Сторона равностороннего треугольника равна 7 см. Вычислите периметр этого треугольника. б) Периметр равностороннего треугольника равен 27 см. Вы- ____ числите сторону этого треугольника. В равнобедренном треугольнике даны длины двух сторон: 5 см , и 6 см. Каким может быть периметр треугольника? Периметр равнобедренного треугольника ЛИС равен 30 см, а одна из сторон на 3 см больше другой. Какими могут быть ^ стороны треугольника ЛВС? а) Верно ли, что если два треугольника равны, то их периметры равны? б) Верно ли, что если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны? Ю5 Четырёхугольники Возьмём на плоскости четыре точки Л, В, С и D, такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой, и соединим их отрезками ЛВ, ВС, CD и DA (рис. 86—88). Если отрезки ЛВ, ВС, CD и DA не имеют других общих точек, кроме точек А, В, С и D, то полученную фигуру называют четырёхугольником ABCD. На рисунках 86 и 88 изображен четырёхугольник А BCD, а на рисунке 87 изображена фигура, не являющаяся четырёхугольником, в дальнейшем такие фигуры рассматриваться не будут. Отрезки АВ, ВС, CD и DA называют сторонами, углы А, В, С и D — углами, а точки А, В, С и D — вершинами четырёхугольника ABCD. Заметим, что четырёхугольником ABCD называют как линию, составленную из отрезков АВ, ВС, CD и DA, так и эту линию вместе с частью плоскости, расположенной внутри этой линии. Сумму длин сторон четырёхугольника называют его периметром и обозначают буквой Р. Таким образом, P=AB+BC+CD+DA. В D В с у В с Л _ D D А Рис. 86 Рис. 87 Рис. 88 101 [■ ■ . П|. Рис. 89 Два чотырсхугольпика называют равными, если их можно совместить при наложении. Например, на рисунке 89 четырёхугольники ЛВСЬ и KLMN равны, так как они совмещаются при перегибании листа бумаги по прямой т. Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называют пря-моугольником. На рисунке 90 изображён прямоугольник AUCD. Точки А, В, С и I) называют вершинами прямоугольника, а отрезки АВ, ВС, CD и AD — его сторонами. Нижнюю и верхнюю стороны прямоугольника называют ещё основаниями прямоугольника. Они равны и параллельны. Две другие стороны называют высотами, они тоже равны и параллельны. Принято считать, что слово «сторона» означает не только от-рюзок, но и его длину. Прямоугол1,пик, у которого все стороны р>авпы, называют квадратом. На рисунке 91 изображён квадрат MNKL. В L А Рис. 92 102 2. М: D rm Определите периметр четырёхугольника ЛВС1) (рис. 92). Найдите на рисунке 93 равные четырёхугольники. Гт Постройте два равных четырёхугольника. ^Н2 а) Верно ли, что если четырёхугольники равны, то равны и их периметры? 6) Верно ли, что если периметры двух четырёхугольников равны, то эти четырёхугольники равны? Ъги Какой четырёхугольник называют прямоугольником? а) Какой прямоугольник называют квадратом? б) Является ли любой квадрат прямоугольником? Является ли любой прямоугольник квадратом? Какой из четырёхугольников, изображённых на рисунке 94, является: а) прямоугольником; б) квадратом? Постройте в тетради прямоугольник со сторонами: а) 5 см и 3 см; б) 71 мм и 27 мм. Постройте в тетради квадрат со стороной: а) 4 см; б) 34 мм. Гт Найдите периметр прямоугольника со сторонами: а) 12 см и 9 см; б) 93 см и 2 см; в) 11 см и 47 мм; г) 17 см и 3 дм. В Рис. 94 N, D М К Fr G II Q в 103 Гг|^м rm Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами: а) 15 см и 32 см; б) 15 см и Ьсм] в) а см и 32 см; г) « см и &см. Гт Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 37 см, а другая; а) на 6 см больше; б) на 8 см меньше. Гт Найдите периметр прямоугольника, если одна из его сторон равна 26 см, а другая; а) в 3 раза больше; б) в 2 раза меньше. Периметр прямоугольника равен 56 см, одна из его сторон равна 17 см. Найдите его другую сторону. гт а) Периметр прямоугольника равен 48 см. основание на 4 см больше высоты. Найдите высоту прямоугольника. б) Периметр прямоугольника равен 54 см, основание на 5 см больше высоты. Найдите большую сторону прямоугольника. в) Периметр прямоугольника 36 дм, основание на 6 см больше высоты. Найдите стороны прямоугольника. гт Сторона квадрата равна 13 см. Найдите его периметр, а) б) В Л^| А С м L D Рис. 96 В Рис. 95 Рис. 97 104 авя _ Измкг'^нив ""ЛИчИ! rm Стороны прямоугольника равны 16 см и 12 см. Найдите сторону квадрата, имеющего такой же периметр, что и данный прямоугольник. :у^р Сторону квадрата увеличили на 2 см. На сколько сантиметров увеличился периметр квадрата? Как изменится периметр квадрата, если его сторону; а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 3 раза? ГУЛ Убедитесь, что на рисунке 95, а изображено 18 прямоугольников. Учтите, что квадрат является прямоугольником. Сколько прямоугольников изображено на рисунке 95, б? ГУЛ Четырёхугольник, все стороны которого равны, называют ромбом. На рисунке 96 изображены ромбы Л BCD и MNKL. Измерьте их стороны и вычислите периметры. ГУЛ а) Чему равен периметр ромба, если одна его сторона равна 20 см? | б) Чему равна сторона ромба, если его периметр равен 20 см? Постройте ромб KLMN, если КЬ = 4 см, ZK = S0''. Измерьте длину отрезка LN и величину угла L, Периметр треугольника ЛИП равен 12 см, периметр треугольника В ПС — 30 см. а периметр четырёхугольника ЛИСП — 32 см (рис. 97). Определите длину отрезка ВП. Площадь прямоугольника. Единицы площади Говорят, что квадрат со стороной 1 м имеет площадь один квадратный метр (1 мЯ). квадрат со стороной 1 дм имеет площадь один квадратный дециметр (1дм^), квадрат со стороной 1 см имеет площадь один квадратный сантиметр (1 см*), квадрат со стороной 1 мм имеет площадь один квадратный миллиметр (1 мм*), квадрат со стороной 1 км имеет площадь один квадратный километр (1 км*). Вместо слов «единица измерения длины* часто говорят «линейная единица*, а квадрат, сторона которого равна линейной единице, называют единичным квадратом. Говорят, ^гго площадь единичного квадрата равна одной квадратной единице (1 м*, 1 дм*, ...). 105 ft - 5 CM a = 3 CM Рис. 98 C помощью единичных квадратов измеряют площади прямоугольников. Если прямоугольник можно разрезать на k единичных квадратов, то говорят, что он имеет площадь S, равную k квадратным единицам. Например, на рисунке 98 изображён прямоугольник с основанием а = 3см и высотой 6 = 5 см. Е1го можно разрезать па 5 слоёв по 3 квадрата в каждом слое, т. е. па 5-3=15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно, его площадь S равна 5-3=15 (см^). Е^сли основание и высота прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а и Ь, то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту: S — a-h (квадратных единиц). Так как у квадрата все стороны равны, т. е. а = Ь, то S = a‘a = a^ (квадратных единиц), т. е. площадь квадрата равна второй степени его стороны. Поэтому часто вторую степень числа называют квадратом числа. Так как 1 см = 10 мм, то 1 см^= 10 -10 мм^= 100 мм^. Аналогично 1 дм^ =10-10 см'* = 100 см'*, 1 м^ = 10 -10 дм'* = 100 дм*, 1 км* = 1000 - 1000 м* = 1 000 000 м*. Используя степень числа 10, квадратный километр можно записать так: 1 км*= 10® м*. Для измерения площадей небольших земельных участков оказалось удобным ввести единицу измерения — 1 ар (обозначают 1 а). Это площадь квадрата со стороной 10 м. Так как 1 а = 10 -10 м*= 100 м*, то эту единицу измерения площади часто называют соткой. 106 2. М: 0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 99 Т---1---Г J____L Рис. 100 Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели единицу измерения — 1 гектар (обозначают 1 га). Это площадь квадрата со стороной 100 м. То есть 1 га = 100 • 100 м^ = 10 000 м'^; 1 га = 100 а. Равные прямоугольники имеют равные площади. При измерении площадей чаще всего используют приближённые значения величин. Например, пусть требуется найти площадь S прямоугольника ABCD (рис. 99). Измерив его стороны АВ и AD, получим /1Д«Зсм и А Г) ^5 см с недостатком, значит, площадь S прямоугольника ABCD больше чем 3-5=15(см2), т. е. ^S>15cm2. Если взять длины сторон с избытком: Л/1«4см, Л/)«6см, то площадь прямоугольника ABCD будет мепьгпе чем 4-6 = 24(см2), т. е. S < 24 см2. Таким образом, 15см2<5<24 см^. а) Какой квадрат называют единичным? б) Чему равна площадь прямоугольника? в) Чему равна площадь квадрата? г) Какие единицы измерения площади вы знаете? Определите, сколько единичных квадратов содержит прямоугольник на рисунке 100. 107 rm a) Определите площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см. б) Определите площадь квадрата со стороной 6 см. Гт Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы: 1 мм 1 см 1 дм 1 м Юм 100 м 1 км 1 мм^ 1 см^ 1 дм2 1 м2 1 а 1 га 1 км2 ГГ71 а) Во сколько раз увеличиваются единицы площади, записанные во второй строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку? б) Во сколько раз уменьшаются единицы площади, записанные во второй строке таблицы, при переходе справа налево на одну клетку? в) Во сколько раз: 1) 1 СМ'' больше 1 мм^: 1 дм^ больше 1 мм^: 1 м'^ больше 1 см^; 1 а больше 1 м^; 1 а больше 1 см'-^; 1 га больше 1 м^; 13) 1 км^ больше 1 га; 15) 1 км^ больше 1 м^; Сложите величины: 3) 5) 7) 9) 11) 2) 4) 6) 8) 10) 12) 14) 16) 1 ДМ'' больше 1 см^; 1 м^ больше 1 дм^; 1 м^ больше 1 мм^; 1 а больше 1 дм^; 1 га больше 1 а; 1 га больше 1 дм^; 1 км^ больше 1 а; 1 км^ больше 1 дм^? а) 63 СМ'' 17 мм^ б) Зм^ 76 дм''' 98 см! '*'32 см'-^ 90 мм^ "^9 м^ 58 дм^ 43 см‘ В) 45 га 72 а г) 32 а 74 м'-^ 21 дм'*' ^ 56 га 55 а ^48 а 62 м? 83 дм^ ГГТР гт гт гт Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 дм и сложили полученные квадраты в ряд. Какой длины получился ряд? Если квадрат со стороной 1 м разрезать на квадраты со стороной 1 см и сложить полученные квадраты в ряд, то какой длины получится ряд? Во сколько раз 18 гектаров больше 8 соток? Сад имеет форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м. Выразите его площадь в квадратных метрах; в арах; в гектарах. 108 2. М: ГГТ^ Поле площадью 5 га разделили на 8 равных участков прямоугольной формы. Определите площадь каждого участка в квадратных метрах, :м=Д Площадь прямоугольника 91 см^, а его высота 7 см. Определите основание прямоугольника. Квартира состоит из двух комнат, кухни и подсобных помещений. Размеры первой комнаты 4 м х 5 м, второй — 3 м х 5 м. кухни 4 м X 3 м, а площадь подсобных помещений равна 10 м^. Определите общую площадь квартиры. Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см. а) Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. б) Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади данного прямоугольника. Гт а) Верно ли, что если прямоугольники равны, то их площади равны? б) Верно ли, что если площади прямоугольников равны, то прямоугольники равны? Как изменится площадь прямоугольника, если: а) его длину увеличить в 2 раза; б) его длину и ширину увеличить в 2 раза; в) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза? Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить; а) в 2 раза; б) в 3 раза; в) в 10 раз? __• Прямоугольный параллелепипед Классная комната, коробка конфет или кирпич дают представление о прямоугольном параллелепипеде. Па рисунке 101 изображён прямоугольный параллелен!!- ^ пед. Снизу, сверху и с боков он ограничен гранями. Каждая грань — прямоугольник. Нижнюю и верхнюю грани называют основаниями прямоугольного иар^шлеленинеда, остальные грани — боковыми гранями. Грани пересекаются по отрезкам — рёбрам прямоугольного параллелепипеда. Точки, В, в А Рис. 101 длина 7} D 109 Рис. 102 Рис. 103 в которых пересекаются рёбра, называют вершинами прямоугольного параллелепипеда. У прямоушльного параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Три 1)ебра прямоугольного параллелепипеда, которые сходятся в одной вершине, называют еш длиной, шириной и высотой. Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равпы, называют кубом. На рисунке 102 изображена корюбка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда. Если её разрезать по вертикальным рёбрам, а затем развернуть, то получится развёртка прямоугольного параллелепипеда (рис. 103). fel На рисунке 101 изображён прямоугольный параллелепипед. Назовите его грани, рёбра и вершины. Сколько у прямоугольного параллелепипеда граней, рёбер и вершин? а) Что называют кубом? б) Является ли любой прямоугольный параллелепипед кубом? Является ли любой куб прямоугольным параллелепипедом? Выполните в тетради рисунок прямоугольного параллелепипеда. Обозначьте его вершины буквами. Постройте развёртку куба со стороной 2 см. гт Постройте развёртку спичечного коробка на альбомном листе в натуральную величину. Вырежьте её, оставляя в нужных местах 110 2. И: Рис. 104 б) 2 Е52Й %Ц %Ц припуски для склеивания. Склейте прямоугольный параллелепипед. а) Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь поверхности куба, т. е. сумму площадей всех его граней. б) Ребро куба равно 10 см. Вычислите площадь поверхности куба. На гранях куба (рис. 104) написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма чисел на двух противоположных гранях равна семи. Рядом с кубиком изображены его развёртки, на которых указано одно из этих чисел. Укажите остальные числа. На рисунке 105 изображены игральный кубик и его развёртка. Какое число изображено на: а) нижней грани; б) боковой грани слева; в) боковой грани сзади? На рисунке 106 изображены два одинаковых игральных кубика в разных положениях. Какие числа изображены на нижних гранях кубиков? Маша собралась клеить кубики, и для этого она нарисовала различные заготовки (рис. 107). Старший брат посмотрел её работу и сказал, что некоторые из них не являются развёртками кубика. Какие заготовки являются развёртками кубика? а) б) Рис. 106 % i а) Рис. 107 б) 111 - in;] 2. в) и-'Щ-:; г) А А А / Рис. 109 Рис. 110 Перерисуйте рисунок 108 в тетрадь и обведите жирной линией видимые рёбра куба так, чтобы куб был виден; а) сверху и справа; 6) снизу и слева. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. а) Найдите площадь его основания и площадь боковой поверхности, т. е. сумму площадей боковых граней. б) Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Объясните, почему в задании «а» могут получиться три разных ответа. На рисунке 109 изображён куб, сложенный из восьми одинаковых кубиков с ребром 1 см. Сколько прямоугольных параллелепипедов на этом рисунке? ЧЮ Окрашенный куб распилили на 27 одинаковых кубиков с ребром 1 см (рис. 110). У скольких маленьких кубиков окрашена только одна грань; только две грани; три грани? ^ * Объём прямоугольного параллеле- пипеда. Единицы объёма Говорят, что куб с ребром 1 м имеет объём один кубический метр (1 м^), куб с ребрюм 1 дм имеет объём один кубический дециметр (1 дм=*), куб с ребром 1 см имеет объём один кубический сантиметр (1 см3), куб с ребром 1 мм имеет объём один кубический миллиметр (1 мм3), куб с ребром 1км имеет объём один кубшюский километр (1 кмЗ). 112 2. М: / / / / ^ / Куб, ребро которого равно линейной единице, называют едипич-ным кубом. Объём единичного куба принимают за единицу измерения обт.-ёмов. р]сли прямоугольный параллелепипед можно разрезать на k единичных кубов, то говорят, что его об'ьём V равен k кубическим единицам: V—k куб. ед. На рисунке 111 изображён прямоушльный параллелепипед, у которого ширина равна 3, длина — 4, а высота — 2 линейным единицам. Этот прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя, в каждом из которых по 3 • 4 единшгаых куба. Всего прямоугольный параллелепипед содержит 2-(3-4) = 24 единичных куба, т. е. его объём равен 24 единицам объема. Если три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота — измерены одной линейной единицей и выражены натуральными числами а, 6 и с, то объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: Рис. 111 V = a-b' с (кубических единиц). Площадь S основания прямоугольного параллелепипеда равна а • Ь, поэтому V = S -с. Объём V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Так как у куба все рёбра равны, т. е. а = Ь = с, то V = а*, т. е. объём куба равен третьей степени длины его ребра. Поэтому часто третью степень числа называют кубом числа. Выразим одни единицы объёма через другие: 1 см^= 10 • 10 • 10 мм^= 1000 мм^, 1 дм'^= 10 • 10 • 10 см-^= 1000 см^, 1 м=^ = 10.10 • 10 дм^ = 1000 дм», 1 км-‘= 1000 • 1000 • 1000 м-‘= 1 000 000 000 м'‘= 10» м\ 113 Для измерения объёмов жидкостей и сыпучих веществ используют специальную меру — литр (обозначают 1 л): 1 л = 1 дм^. Ът а) Какой куб называют единичным? б) Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда? в) Чему равен объём куба? г) Какие единицы измерения объёмов вы знаете? Рассмотрите таблицу и ответьте на вопросы; 1 мм 1 см 1 дм 1 м 10 м 100 м 1 км 1 мм^ 1 см^ 1 дм? 1 м? 1 а 1 га 1 км? 1 мм^ 1 см3 1 дм3 1 м3 1000 м3 1 000 000 м3 1 кмз 1ТП1 im а) Во сколько раз увеличиваются единицы объёма, записанные в третьей строке таблицы, при переходе слева направо на одну клетку? б) Во сколько раз уменьшаются единицы объёма при переходе справа налево на одну клетку? в) Во сколько раз: 1) 1 см'* больше 1 мм'*; 2) 1 дм'* больше 1 см'*; 3) 1 дм^ больше 1 мм^: 4) 1 м^ больше 1 дм^; 5) 1 м^ больше 1 см^; 6) 1 км^ больше 1 м^? а) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 дм и сложили их в ряд. Какой длины получился ряд? 6) Если куб с ребром 1 м разрезать на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд, то какой длины получится ряд? Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны; а) 18 см, 16 см, 5 см; б) 12 см, 45 см, 2 см; в) 16 см, 23 см, 25 см; г) 11см, 11см, 11см. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, площадь основания и высота которого равны: а) 136см^, 5 см; б) 298 см^, 4 см; в) 154см^, 8 см; г) 91 см^, 19 см. а) Площадь пола комнаты 24 м^, высота комнаты 3 м. Найдите объём комнаты. б) Объём комнаты 45 м'-*, а площадь пола 15м'< Найдите высоту комнаты. в) Объём комнаты 48 м-*, а высота 3 м. Найдите площадь пола. 114 1эва 2. ‘И;, мс FTTP Аквариум имвет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 45 см, ширина 30 см, а высота 25 см. Сколько раз придётся наполнить водой трёхлитровую банку, чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см? %ГЗ Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если; а) его длину увеличить в 2 раза; б) увеличить его длину в 2 раза, а ширину — в 3 раза; в) увеличить его длину в 2 раза, ширину — в 3 раза, а высоту — в 4 раза; г) его длину увеличить в 4 раза, а ширину и высоту уменьшить в 2 раза? %П Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его ребра; а) в 2 раза; б) в 3 раза; в) в 10 раз? lilUe-r-. г^нФОРМЯЦМШ [ТП Найдите в справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы; а) Какую величину на Руси измеряли вёдрами? б) Что измеряют галлонами? баррелями? В каких странах используются эти единицы измерения? в) На ёмкостях иностранного производства иногда встречается такое обозначение объёма; 100 с/ (100 сантилитров). Выразите этот объём в принятых в России единицах. . Единицы массы Основная единица массы — грамм. Тысячу граммов называют килограммом: 1 кг= 1000 г. Тысячу килограммов называют тонной: 1 т = 1000 кг. Грамм — это масса 1 кубического сантиметра воды при температуре 4 "С. Значит, килограмм — это масса 1 кубического дециметра (литра) воды при 4 "С, а тонна — это масса 1 кубического метра воды при 4°С. 115 Часто употребляют ещё одну единицу массы — центнер: 1 ц = 100 кг. В повседневной жизни слово «масса» заменяют словом «вес». Например, говорят: «вес яблока 100 граммов» вместо «масса яблока 100 граммов». Поэтому в задачах мы будем чаще писать «вес» вместо «масса». Какие единицы массы вы знаете? Как определяется 1 г, 1 кг, 1 т? а) Какой объём при 4 “"С занимает 1 г, 1 кг, 1т воды? б) Какой объём при 4 "С занимает 3 г, 7 кг, 79 т воды? PfTl Выразите данную массу в килограммах: а) 1ц; б) 12 ц; в) 1т; г) 25 т; д) 37 ц: е) 12 т 24 ц. im Выразите данную массу в граммах: а) 1 кг; б) 87 кг; г) 24 ц; д) 1 т; ж) 35 т 7 ц; з) 37 ц 15 кг; FTT1 Выполните действия: а) 37 г 4 г; 6)9 кг 326 г -г 2 кг + 457 г; в) 23 кг - 2 кг 754 г; г) 43 кг 271 г - 5 кг 39 г. (•-fl-il Данные величины запишите с точностью до 1 кг: а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением. 6кг 721 г«6кг с недостатком; 6кг 721 г«7кг с избытком и с округлением. 1) 5 кг 768 г; 2) 9 кг 326 г; 3) 4 ц 36 кг 125 г; 4) 5 т 7 ц. в) 1 ц; е) 13 т; и) 35 т 36 ц 12 кг. Единицы времени Любые процессы и движения происходят во времени. Время одного движения сравнивают с временем другого. Например, время движения поезда сравнивают с временем движения стрелки 116 2. И: часов, которое, в свою очередь, сравнивают с временем вращения Земли вокруг своей оси. Сутки — основная единица времени. За сутки Земля совершает полный оборот вокруг своей оси. Одни сутки содержат 24 часа. Один час содержит 60 минут, одна минута содержит 60 секунд: 1 сутки = 24 ч, 1 4 = 60 мин, 1 мин = 60 с, 1 ч = 3600 с. В науке основной единицей измерения времени считается секунда. Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью степени числа 10. Приходится иметь дело и с долями секунды. В некоторых видах спортивных соревнований достижения измеряются в десятых и даже в сотых долях секунды. Кроме того, используют такие единицы измерения времени, как год, месяц, неделя — эти названия вам знакомы, а также квартал и декада. Год — В1к?мя обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 5—6 минут. Один год составляет 365 суток и 6 часов. По действующему сейчас во всём мире календарю считается, что год содержит 365 суток. Указанная выше прибавка в 6 часов в течение 4 лет составляет целые сутки, которые добавляют к каждому четвёртому году. Считается, что если номер года делится на 4 (например, 2012), то год содержит 366 суток. Такой год называют високосным. Год состоит из 12 месяцев. Так как 365 и 366 не делятся нацело на 12, то дни распределили между месяцами неравномерно: январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь содержат по 31 дню, апрель, июнь, сентябрь, ноябрь — по 30 дней, а февраль содержит 28 дней в обычном году и 29 — в високосном году. Квартал содержит 3 месяца, декада — 10 суток, неделя — 7 суток. 117 fea "бп rm (m pm а) Какой промежуток времени называют сутками? б) Какие единицы измерения времени вы знаете? Какой год называют високосным? Сколько месяцев в году имеют ровно по 31 дню? по 30 дней? Сколько дней в феврале? Сколько минут содержат: а) 2 ч; 6) Зч; в) сутки; Сколько секунд содержат: а) 2ч; 6) Зч; в) сутки; Вычислите: а) Зч 15мин I 2ч 12мин; в) 7 ч 43 мин + 2 ч 25 мин; д) 3 мин 20 с + 1 мин 13 с; ж) 7ч 43мин-2ч 25мин; и) 3 мин 20 с - 1 мин 13 с; г) неделя? г) неделя? 6) 3 ч 20 мин I 1 ч 40 мин; г) 5 ч 53 мин + 3 ч 48 мин; е) Змин 48 с+ 21 мин 49 с; з) 5 ч 23мин-3ч 48 мин; к) 3 мин 48 с - 1 мин 49 с. ^23 ES3 Самолёт поднялся в воздух в 12ч 35 мин и находился в полёте 2 ч 40 мин. Когда приземлился самолёт? Самолёт поднялся в воздух в 14 ч 45 мин и приземлился в 17 ч 10 мин. Сколько времени он находился в полёте? а) Может ли в феврале быть 5 понедельников и 5 вторников? А в марте? б) Мальчик купил абонемент на 6 посещений бассейна в месяц. Верно ли утверждение, что в одну из недель этого месяца он посетит бассейн дважды? Увеличьте: 3 раза; б) 1 ч 20 мин в 4 раза; 3 раза; г) 2 ч 12 мин в 7 раз. а) 3 ч 15 мин в в) 5 ч 24 мин в Уменьшите: а) 3 ч 15 мин в в) 6 ч 56 мин в раза; раза; б) 4 ч 48 мин в г) 2 ч 55 мин в раза; раз. X ^ * Задачи на движение Путь, скорость, время. Говорят, что тело движется равномерно, если оно за каждую единицу времени проходит одно и то же расстояние. Например, если тело за каждый час проходит v км, говорят, что скорость тела v километров в час, и пишут: v км/ч. Если тело движется равномерно < ч со скоростью о км/ч, то оно проходит путь SKM, и при этом верно равенство s = vt. 118 2. М: MTtuc, чтобы найти путь, пройденный телом при р^^вномерном движении, нужно его скорость умножить на время движения (в дальнейшем слово «равномерное» для краткости опускается, но цoдpaзyмeв^^eтcя). Чтобы найти скорость, нужно путь разделить па время движения (о = S; t), а чтобы найти время, нужно путь разделить па скорость (< = S : о). Задача 1, Поезд шёл 4 ч со ско1>остыо 65 км/ч. Какой путь он прошёл? Решение. Умножим скорость поезда на время движения: 65 • 4 = 260 (км) — путь поезда. Ответ: 260 км. Задача 2. Пешеход за Зч прошёл 12км. Какова его скорость? Решение. Разделим путь, пройденный пешеходом, на время движения: 12:3 = 4 (км/ч) — скорость пешехода. Ответ: 4 км/ч. Задача 3. Велосипедист проехал 24 км со скоростью 8 км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? Решение. Разделим путь, который проехал велосипедист, на его скорость: 24 : 8 = 3 (ч) — время движения велосипедиста. Ответ: 3ч. Движение по реке. Скорость катера в стоячей воде (в о.зере) называют ещё собственной скоростью катера. Если катер движется по течению 1>еки, то его ско]юсть равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки; если же катер движется против течения реки, то его скорость равна разности его собственной скорости и ско1Юсти течения {юки. Задача 4. Скорость катера в стоячей воде равна 15км/ч, а скорость течения реки — Зкм/ч. Какова скорость катера по течению и скорость катера против течения реки? Решение. 1) 15 + 3= 18(км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 15 - 3 = 12 (км/ч) — скорость катера против течения реки. Ответ: 18 км/ч и 12 км/ч. Обратим внимание: скорость катера по течению реки — это сумма его собственной скорости и скорости течения реки, а скорость катера против течения реки — это разность его собственной скорости и скорости течения реки, поэтому 119 скорость по течению реки больше скорости против течения на удвоенную скорость течения. ЗП7' Скоро I I - - - - [ : сть по теч. I I Ут. I I I I j I ! Скорость пр. т1еч.' I I I I —:—1 ' I I I I Задача 5. Скорость моторной лодки по течению реки равна 48 км/ч, а против течения — 42 км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость моторной лодки? Решение. 1) 48-42 = 6 (км/ч) — удвоенная скорость течения; 2) 6:2 = 3 (км/ч) — скорость течения; 3) 48 - 3 = 45 (км/ч) — собственная скорость. Ответ: 3 км/ч и 45 км/ч. Скорость удаления, скорость сближения. Рассмотрим задачи, при решении которых полезно использовать скорость удаления и скорость сближения. Задача 6. Два пешехода вышли одновременно в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, а второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними черюз 3 ч? Решение. Эту задачу можно решить, вычислив предварительно путь, пройденный каждым пешеходом. I способ. 1) 3*4 = 12 (км) — прошёл 1-й пешеход за 3 ч; 2) 3*5= 15 (км) — прошёл 2-й пешеход за 3 ч; 3) 12 т 15 = 27 (км) — расстояние между пешеходами через 3 ч. Для решения той же задачи можно составить числовое выражение 3 • 4 т 3 • 5, вынести общий множитель 3 за скобки: 3 • 4 + 3 • 5 = 3 • (4 + 5). Теперь видно, что задачу можно решить вторым способом. Сумма 4 + 5 показывает, на сколько километров в час удаляются пешеходы друг от друга, эту величину называют скоростью удаления. II способ. 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) — скорость удаления; 2) 9-3=27 (км) — расстояние между пешеходами через 3 ч. Ответ: 27 км. 120 г-—:. 2. И:, Задача 7. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 27 км. Через сколько часов они встретятся, если скорость первош 4 км/ч, а скорость вторюго 5 км/ч? Решение. Решим эту задачу, определив скорость сближения. 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) — скорость сближения; 2) 27 : 9 = 3 (ч) — через это время пешеходы встретятся. От вег. через Зч. а) Пешеход за Зч прошёл 12км. Какова его скорость? б) Какой путь прошёл катер по озеру за 2 ч со скоростью 12 км/ч? в) Бревно плывёт по реке, скорость течения которой 3 км/ч. За какое время оно проплывёт 15 км? ^ПЗ а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки? б) На путь из пункта Л в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь —2 ч. В каком направлении течёт река? в) Скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч. Какой путь пройдёт катер за 3 ч? г) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (щепку, плот, лодку) за 1 ч, за 5 ч? Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? против течения? пт Скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а скорость течения реки —3 км/ч. Определите: а) скорость катера по течению реки; б) скорость катера против течения реки; в) путь катера по течению реки за 3 ч; г) путь катера против течения реки за 5 ч. ГГГР а) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними 120 км? б) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если её собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч? 121 1-1 ^1^ FTTP grp Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние проплыл катер за всё время, если скорость течения реки 2 км/ч? а) Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь между причалами туда и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч? б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки Зкм/ч? Определив скорости, заполните таблицу: ^^собсю. *^гочония ^по том. ^’пр. точ. 1 12 км/ч 4 км/ч 2 25 км/ч 28 км/ч 3 24 км/ч 20 км/ч 4 5 км/ч 17 км/ч 5 3 км/ч 16 км/ч 6 45 км/ч 39 км/ч [ИЗ Определите, какая скорость получится следующим действием; а) б) Уе.-Ут.: в) ,+у,.: г) + д) »^,ю. а) По течению моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения. б) Катер проплыл 72 км по течению за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты? Скорость течения равна 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше скорости против течения? 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шёл на высоте 250 м и преодолел всё расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче являются лишними? 122 2. М: rm a) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины. Их скорости 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления автомашин. б) Два поезда вышли с одной станции в противоположных направлениях. Их скорости равны 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколь- ____ ко часов расстояние между поездами будет 260 км? Гт а) Из двух сёл, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? Определите скорость сближения пешеходов. б) Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения ав-____ томашин. ГПГР а) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, а второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? б) Старинная задача. Идёт один человек в другой город и проходит в день по 40 вёрст’, а другой человек идёт навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся? а) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? через 1 час после встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? б) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу? Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сёл. расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов велосипедисты будут друг от друга на расстоянии ____ 27 км, если их скорости 12 км/ч и 15 км/ч? а) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? Здесь и далее старинные единицы и.тме1)ения смотри на ({юрзаце. 123 l-i'f J SO EE3 6) Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, а второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого? Некий юноша пошёл из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 вёрст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день по 45 вёрст. Через сколько дней второй догонит первого? Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери? Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, одновременно навстречу друг другу вышли товарный и скорый поезда. Товарный поезд может пройти это расстояние за 18 ч, а скорый — вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся? а) Расстояние мехсду городами А \л В равно 720 км. Из Л в Я вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из Л в Л вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся? б) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через Зч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода? Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за Змин. Если он идёт вверх, то поднимается за 2 мин. С какой скоростью идёт пассажир метро, если длина эскалатора 150 м? Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа, если собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения Зкм^? Нет ли в задаче лишних данных? 124 Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям —один со скоростью 100 км/ч. другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него 12 с. Какова длина первого по-езда? Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости -___ за 3 мин. Какова длина туннеля? а) Из пункта А в пункт Л вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из Л в Л выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до Л, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между л и Л 30 км? б) Из пункта А в пункт Л, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в Л вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до Л, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся? в) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростью 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз? далолнемня к глявс Возьмём на плоскости несколько точек, например Л, Л, С, D, Е, и соединим топки А и Л, Л и С, С и D, D и Ё отрезками. Если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой, то полученную линию называют ломаной линией или, коротко, ломаной и обозначают АЛСЛЕ. Отрезки АЛ, ЛС, CD и DE называют звеньями ломаной. На рисунке 112 изображена ломаная АЛСЛЕ, она имеет че'гыре звена АЛ, ЛС, CD и DE. Рис. 112 125 Г '.оаа эель-..^м Е Рис. 113 В ^ Сумму длин всех звеньев ломгшой на- зывают длиной ломаной. Например, длина ломаной ABCDE на рисунке 112 есть ЛВ » ВС f CD ч DE. Длина ломаной ABCDE В больше расстояния АЕ между её концами. Если конец ломаной совпадает с её началом, то ломаную называют замкнутой. Например, ломаная ABCDE А на рисунке 113 замкнутая. Фигуру, образованную такой замкнутой ломаной линией, что никакие два её звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной, называют многоугольником. На рисунке ИЗ изображён многоугольник, а па рисунке 114—замкнутая ломаная линия, не являющаяся многоугольником. Рис. 114 В многоугольнике звенья ломаной назы- вают сторонами многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, — углами многоугольника, а их вершины — вершинами многоугольника. Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром. Заметим, что многоугольником называют как замкнутую ломаную, так и эту линию вместе с частью плоскости, расположенной внутри этой линии. Многоугольник называют выпуклым, если он весь расположен по одну сторюну от каждой прямой, содержащей его сторону, Например, на рисунке 115 многоугольник ABCDE выпуклый, а многоугольник MNKLO нет. Наименьшее число сторон в многоугольнике равно трём. По числу сторон многоугольник называют треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д. Многоугольник называют правильным, если все его углы и все стороны равны. Примером правильного многоугольника является квадрат. Два многоугольника называют равными, если их можно совместить при наложении. Например, на рисунке 116 многоуголь-Рис. 115 ники ABCDE и KLMNO равны, так как С D Г 126 2. М: Рис. 116 с А Рис. 117 D они совмещаются при наложении. Равные многоугольники имеют равные площади. Для определения площади части плоскости, находящейся внутри многоугольника или какой-либо другой фигуры, надо выяснить, сколько раз выбранная единица площади содержится в этой части плоскости. fel а) Какую линию называют ломаной линией? б) Что называют звеньями ломаной? в) Как обозначают ломаную? г) Какую ломаную называют замкнутой? Fm Постройте ломаную ABODE. Назовите все её звенья. Существует ли замкнутая ломаная, имеющая три звена, длины которых равны: а) 1см, 2 см, 2 см; б) 1см, 2 см, 3 см; в) 1см, 2 см, 4 см? FT71 На рисунке 117 изображена ломаная ABCD. ЛД = Зсм, ДС = 4см, С/7=13см, Л/7=12см. Определите длину ломаной ABCD и расстояние между её концами. Дакязывл£и Докажите, что длина ломаной АВС больше длины ломаной а) Что называют многоугольником? б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника? в) Что называют периметром многоугольника? г) Какой многоугольник называют выпуклым? д) Какие многоугольники называют равными? Гт Постройте пятиугольник ЛИСП К. Назовите все его стороны и вершины. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырёхугольнике ЛИС!) отрезки АС и /i/> —диагонали (рис. 119). Сколько диагоналей в выпуклом; а) четырёхугольнике; б) пятиугольнике: в) шестиугольнике: г) семиугольнике? %1Я Сколько диагоналей в выпуклом; а) десятиугольнике; б) двадцатиугольнике? Исслсдусм Рис. 119 а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника (л). Результаты занесите в таблицу. Л 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 1 2 б) Задайте формулой зависимость d от л. ГУД а) Исследуйте зависимость числа диагоналей ( ё Признаки делимости Если число окапчиваотся цифрой О, то оно делится на 10. Например, число 4560 оканчивается цифрой О, его можно прюд-ставить в виде произведения 456-10, которое делится на 10 (по свойству 1). Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 =4560 т 1 — сумма числа 4560, делящегося но 10, и числа 1, не делящегося на 10 (по свойству 4). 137 Если число оканчивается одной из цифр О или 5, то оно делится на 5. Например, число 2300 делится на 5, потому что это число делится на 10, а 10 делится на 5 (по свойству 2). *1исло 2305 оканчивается цифрой 5, оно делится на 5, так как его можно записать в виде суммы (2300 + 5) чисел, делящихся на 5 (по свойству 3). Число 52 не делится на 5, потому что 52 = 50 i 2 — сумма числа 50, делящегося па 5, и числа 2, не делящегося па 5 (по свойству 4). Если число оканчивается одной из цифр О, 2, 4, G, 8, то оно делится на 2. Например, число 130 оканчивается цифрой 0, опо делится па 10, а 10 делится на 2, следовательно, 130 делится на 2 (по свойству 2). Число 136 оканчивается цифрой 6, оно делится на 2, так как его можно записать в виде суммы (130 + 6) чисел, делящихся па 2 (по свойству 3). Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7 — сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (по свойству 4). Число, делящееся на 2, называют чётным. Число, не делящееся на 2, называют нечётным. Например, числа 152 и 790 — чётные, а числа 111 и 293 — нечётные. Если сумма цифр числа делится па 9, то и само число делится па 9. Например, сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5=18 числа 7245 делится на 9. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде суммы 7 • 1000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 = 7 • (999 + 1) + 2 • (99 + 1) + 4 • (9 + 1) + 5 = = (7 • 999 + 2-99 I 4 • 9) + (7 + 2 + 4 ) 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках — сумма цифр данного числа — также делится на 9 (по свойству 3). Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3 f 7 » 5= 15 не делится на 9. Это можно доказать следующим образом: 138 vp.' _ л 375 = 3 (99 f 1) + 7.(9ч 1) f 5 = (3-99 f 7 • 9) 4 (3 f 7 f 5), где сумма в первых скобках делится па 9, а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — не делится на 9 (по свойству 4). Если сумма цифр числа делитс,я на 3, то и само число делится на 3. Например, у числа 375 сумма цифр 3 + 7+5 = 15 делится на 3 и оно само делится на 3, потому что 375 = (3 • 99 + 7 • 9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках — сумма цифр числа 375 — также делится на 3. Сумма цифр числа 679, равная 6 + 7 + 9 = 22, не делится на 3, и само число не делится на 3, потому что 679 = (6 • 99 + 7 • 9) + (6 + 7 + 9), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках — сумма цифр числа 679 — не делится на 3. Примечание. Когда говорят «число оканчивается цифрой...*, имеют в виду «десятичгшя запись числа закапчивается цифрой...». Сформулируйте признаки делимости на 10, на 5, на 2. Какое число называют чётным? Назовите 6 чётных чисел. Какое число называют нечётным? Назовите 7 нечётных чисел. Сформулируйте признаки делимости на 9, на 3. Гт Какие из чисел 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440 делятся на: а) 2; 6) 5; в) 2 и 5; г) 10? ГТП Напишите шесть чисел, которые делятся на: а) 2; б) 5; в) 2 и 5; г) 10. гт а) Напишите все числа от 15 до 95, которые делятся на 10. б) Напишите все числа от 23 до 46, которые делятся на 5. в) Напишите все числа от 51 до 73, которые делятся на 2. ГГГЯ С помощью цифр 2, 3, 5, 7 (без повторения) запишите все четырёхзначные числа, которые делятся; а) на 2; б) на 5. гт Можно ли с помощью цифр 1, 2, 5, 6 (без повторения) составить трёхзначное число, которое делилось бы: а) на 2; б) на 3; в) на 5; г) на 10? и Покажите, что чётные числа 18, 20, 48, 96 можно записать в виде 2 • k, где k — некоторое натуральное число. 139 I VI-VwHJSfJX ‘lb Дакязывясн Докажите, что произведение чётного числа и любого натураль-: ного числа есть число чётное. Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом. Покажите, что нечётные числа 7, 9, 5, 13 можно записать в виде 2 • /г + 1, где k — некоторое натуральное число. Докязывясм ГТГЯ Докажите, что сумма двух нечётных чисел является чётным I числом. ГУП Определите, делится ли число 111 111 111 111 111: а) на 3; б) на 9. !ТГР Какую цифру нужно поставить вместо звездочки, чтобы полученное число делилось на 9: а) 4*: б) 5*: в) 85*: г) 738*: д) 6*7: е) 7*2: ж) 24*0: 3) 2090*? ТГЯ Ученик выполнил сложение: а) 3548 + 7256 + 8108 = 18 911; б) 9756 + 8322 + 6565 = 24 642. Учитель, не проверяя вычислений, определил, что в обоих примерах допущена ошибка. Как он обнаружил ошибку? !ТП1 Назовите наибольшее и наименьшее шестизначное число, которое делится на: а) 2: б) 3: в) 5: г) 9: д) 10. %а Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 6 р., несколько карандашей по 60 к. и несколько обложек для книг по 1 р. 20 к. Продавец сказал, что нужно заплатить в кассу 34 р. 25 к. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он определил, что продавец ошибся в подсчётах? 140 ф.' Дакязывясн ГПИ Докажите признак делимости на 4; если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. (Считайте записи 00, 04 и 08 записями чисел 0. 4 и 8.) Гт Какие из чисел 7928; 3553; 1996; 1795; 7 568 936; 1000; 5700 делятся на 4? Используя признак делимости на 4, определите четыре первых високосных года XXI века. Не выполняя сложения, определите, каким числом (чётным или нечётным) является сумма: а) 1 +3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+15; б) 5+ 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65; в) 9 + 29 + 49 + 69 + 89+109+ 129+ 149+ 169. Дакязывясн Докажите, что нельзя подобрать: : а) три нечётных числа, сумма которых равна 12; : б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100. Докажите, что: а) сумма чётного числа нечётных слагаемых чётная; б) сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётная. 3 3. Простые и составные числа Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя: р:1=р, р:р=1. Простым числом называют такое HaTyptuibHoe число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя. Вот первые десять простых чисел: h Ъ, 5, ■*, Г.. 13 17 '.9, ЬЪ, Р). 141 г пва яату! чисол HenpocTiJfi натуральные числа, большие единицы, называют составными. Каждое составное число делится на 1, само на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число. Вот все составные числа, меньшие 20: % 6, &, 7. 'О, V., 15, V, 1.. Принято считать, что единица не является пи простым, ни составным числом. Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы. Простых чисел бесконечно много, есть первое число — 2, но нет последнего простого числа. На <|юрзаце учебника помещена таблица простых чисел, в которой записаны все простые числа от 2 до 997. а) Какое число называют простым? б) Какое число называют составным? Является ли число 1; а) простым; 6) составным? Из каких чисел состоит множество всех натуральных чисел? Назовите наименьшее простое число. На какие числа делится каждое из приведённых ниже чисел? Какие из этих чисел являются простыми, какие — составными? Используя признаки делимости, докажите, что число: а) 7690; 6)7395; в) 4256; г) 12 375; д) 12 321 является составным. Не пользуясь таблицей простых чисел, докажите, что число: а) 29; б) 41; в) 53; г) 59 является простым. С помощью таблицы простых чисел: а) определите, какие из чисел 47; 69; 127; 301; 447; 517; 673; 879 являются простыми; б) назовите все простые числа, большие 30, но меньшие 50; в) назовите все составные числа, большие 30, но меньшие 50. Являются ли простыми числа 998; 999; 1000? 142 г-зга J Де;:иыос1ь .uirypanuvj.- 'r.ic Дакязывясн Докажите, что, кроме числа 2, не существует других чётных простых чисел. Исслсдусн ‘'fen Можно ли простое число записать в виде суммы: а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел; в) чётного и нечётного чисел? Гт а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? б) Верно ли, что сумма любых двух простых чисел является простым числом? Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так, чтобы каждому досталось нечётное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить? Гт в следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3: а) 35а25; б) 4аМ0; в) 5я2й5; г) 72аЬ8. Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4? Гт а) Напишите четырёхзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делиться на 3? б) Напишите четырёхзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9. ^ ^ Делители натурального числа Если натуральное число а делится на натуральное число Ь, то число Ь называют делителем числа а. Например, делителями числа 13 являнугся числа 1 и 13, делителями числа 4 — числа 1, 2, 4, а делителями числа 12 — числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. 143 3. Каждое простое число имеет только два делителя — единицу и само себя, а каждое составное число, кроме единицы и себя, имеет и другие делители. Если делитель — простое число, то его называют простым делителем. Например, число 13 имеет простой делитель 13, число 4 — простой делитель 2, а число 12 — простые делители 2 и 3. Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей. Например: 28 = 2-2-7 = 22-7; 81 = 3 • 3 • 3 • 3 = 3^; 22 = 2-11; 100 = 2-2-5-5 = 22-52. Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28, 22, 81 и 100. Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней. Покажем, как можно разложить число 90 на простые множители. 1) 90 делится на 2, 90:2 = 45; 2) 45 не делится на 2, но делится на 3, 45:3 = 15; 3) 15 делится на 3, 15:3 = 5; 4) 5 не делится на 3, но делится па 5, 5:5=1. Таким образом, 90 = 2 - 45 = 2 - 3 -15 = 2 - 3 - 3 - 5. Решение этой задачи коротко записывают так: 90 = 2 - 3 • 3 - 5 = 2 - 32 - 5. 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Все делители числа 90 можно получить из разложения числа 90 па простые множители. Для этого надо взять каждый из простых делителей числа 90, их всевозможные произведения, содержащие не больше одного множителя 2, двух множителей 3 и одного множителя 5. И ещё надо добавить множитель 1. Получатся все делители числа 90: 1, 2, 3, 5, 2-3 = 6, 3-3 = 9, 2-5=10, 3-5 = 15, 2-3-3=18, 2-3-5 = 30, 3-3-5 = 45, 2-3-3-5 = 90. И других делителей у числа 90 нет. 144 jpf 7-' i-щ а) Что называют делителем натурального числа: простым делителем натурального числа? б) Что значит разложить число на простые множители? Укажите все делители числа; а) 2; б) 6; в) 12; г) 16; д) 18; е) 20; ж) 1; 3)48; и) 100; к) 104; л) 121; м) 256. Гт Запишите пять натуральных чисел, имеющих делителями числа: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 9; е) 10; ж) 2 и 3; з) 3 и 4; и) 2 и 5; к) 4 и 9. ГТП1 Запишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме: а) 2; б) 3; в) 5; г) 2 и 3; д) 2 и 5. гт Найдите все делители числа а: а)а = 2-3-5; б)а = 3-5-7; в)а = 3-3-11; г)а = 3-5-5-7. Решение, а) Число а имеет простые делители: 2, 3 и 5. Другие делители найдём, составляя различные произведения из этих простых делителей: 2-3 = 6; 2-5=10; 3-5=15; 2-3-5 = 30. Кроме того, число а делится на 1. Ответ. 1, 2, 3, 5, 6, 10. 15, 30. ПТР Разложите на простые множители число: а) 16; б) 18; в) 26; г) 35; д) 48; е) 70; ж) 144; 3) 210; и) 800; к) 216; л) 343; м) 1024. Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1: а) 20-24; 6)12-25; в) 164-10; г) 8-125; д) 125 - 64; е) 112-147; ж) 1001-37; з)47-201. [-1--П1 Запишите в порядке возрастания все делители числа; а) 12; 6) 15; в) 18; г) 24. ГИ1 Выполняя предыдущее задание, можно заметить, что делители числа 18 обладают интересным свойством: 1, 2. 3, 6, 9. 18 1 -18 = 2-9 = 3-6=18. Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18. Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 18: 1, 2, 3, 6. После того как найдена «середина» в ряду делителей, остальные делители найдём делением: 18:2 = 9, 18: 1 = 18. Используя этот приём, найдите все делители числа: а) 32; 6) 48; в) 56; г) 36; д) 98. 145 Запишите число в виде произведения двух множителей всеми возможными способами: а) 32; б) 62; в) 51; г) 100. Гт Разложите на простые множители число: а) 10; б) 100; в) 1000; г) 10 000; д) 100 000. Решение. д) 100 000 10 000 1000 100 10 1 100 000 = 2-2-2-2-2-5-5-5-5-5 = 25.55. Разложите на простые множители число: а) 64; б) 200; в) 288; г) 256; д) 333; е) 346; ж) 512; з) 8100; и) 4096; к) 2500; л) 888; м) 2525. Гт Определите, является число простым или составным: а) 89; б) 123; в) 279; г) 335; д) 642; е) 601; ж) 729; з) 835; и) 1571; к) 2563; л) 7777; м) 442 233. а) Подберите такие натуральные числа а и &, чтобы выполнялось равенство: 3 • а + 6 • 6 = 1998. б) Почему нельзя подобрать такие натуральные числа а и Ь, чтобы выполнялось равенство: 3 • а + 6 • = 1999? в) Можно ли подобрать такие натуральные числа а и Ь, чтобы выполнялось равенство: 18 • а 4 81 • ft = 996? а) Представьте число 8 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 8. б) Представьте число 35 в виде произведения нескольких множителей так, чтобы сумма этих множителей была равна 35. Г7П а) Вася считает, что любое простое число можно записать в виде суммы натуральных чисел, произведение которых является простым числом. Подтверждая своё мнение, он приводит примеры: 3 = 2+1, 2-1=2 — простое число, 5 = 3+1 + 1,3-1-1=3 — простое число и т. п. Приведите контрпример, показывающий, что Вася не прав, б) Как исправить утверждение Васи, чтобы оно стало верным? 146 iypr-n’.Jt.. 3 S ♦ Наибольший общий делитель Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12. Число 54 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Мы видим, что числа 12 и 54 имеют общие делители 1, 2, 3, 6. Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6. Наибольший общий делитель чисел а и Ь обозначают: НОД (а, Ь). Например, пишут: НОД (12, 54) = 6. Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего делителя. Пример 1. Найти НОД (180, 336). 3-7. В разложении чисел 180 и 336 подчёркнуты все их общие делители, поэтому НОД (180, 336)= 1 • 2 • 2 • 3 = 12. Пример 2. Найти НОД (56, 45). Разложим числа 56 и 45 на простые множители: Разложим числа 180 и 336 па простые множители: 180 2 336 2 90 2 168 2 45 3 84 2 Итак, 180=1-2-2-З-З-5=1 15 3 42 2 336 = 1-2-2-2-2-3-7=1-2^' 5 5 21 3 1 7 1 7 56 2 45 3 28 2 15 3 14 2 5 5 7 1 7 1 56 = 1 • 2 -2 -2 - 7; 45=1 НОД (56, 45) = 1. З -З - 5. Числа, не имеющие общих простых делителей, называют взаим-но простыми числами. Наибольший общий делител!. взаимно простых чисел равен 1. Напрршер, числа 56 и 45 взаимно простые: НОД (56, 45)= 1. Отметим, что два различных простых числа (например, 17 и 23), а также два соседних натуральных числа (например, 24 и 25) являются взаимно простыми. Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них. Например, 12 делится на 4, следовательно, ИОД (12, 4) = 4. 147 ч>. . JX ' 1Л 2H 231 “fea fm а) Каки0 числа называют взаимно простыми? Приводите примеры взаимно простых чисел. б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел? в) Известно, что число а делится нацело на число Ь. Чему равен НОД (а, 6)? Найдите все делители чисел 45 и 60. Найдите все общие делители чисел 45 и 60. Найдите: б) НОД (50. 45): в) НОД (42, 48): д) НОД (124, 93): е) НОД (46. 69). а) НОД (30, 36): г) НОД (120, 150): Найдите: а) НОД (24. 48): г) НОД (256, 32): б) НОД (62. 31): д) НОД (45. 15): в) НОД (132.11): е) НОД (21,63). Число 12321 делится на 111. Найдите НОД(12321, 111). Найдите: а)НОД(14,7): б) НОД(26, 13): в)НОД(48.8): г) НОД(64. 16): д)НОД(45,9): е) НОД(11,66). С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа: а) 24 и 35: б) 56 и 99: в) 63 и 88: г) 12 и 25: Д) 32 и 33. Найдите: а) НОД (13. 5): б) НОД(3, 11): в) НОД (29. 19): г) НОД (54. 55): Д) НОД (62. 63): е) НОД (98. 99). Дакязывясн Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми. Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми. :--ИгЖ Придумайте пять пар таких чисел я и &, чтобы НОД (я, 6) = 1. Найдите: а) НОД (320, 40): б) НОД (233, 79): в) НОД (278: 279): г) НОД (484. 44): д) НОД (84. 96): е) НОД (100: 175). : tz- я Ученик нашёл НОД (33, 198) и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал? НОД (33, 198) = 66 148 1|. %Z3 ши Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел: а) не может быть больше одного из этих чисел; б) делится на все общие делители этих чисел. Даны разложения чисел а и 6 на простые множители. Найдите НОД (а, Ь). б) а = 2^.3^*-52- 113, ft=2-53.7 -19'’. а) а = 23.3^ • 5 • 7^ ft = 2^-3^>-5?-7; Найдите: а) НОД (1,48): г) НОД (100, 25): б) НОД(15,55): в) НОД (182, 82); д) НОД (1000, 125): е) НОД (121, 11). Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится? Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок. В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так, чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок? 31 ♦ В Наименьшее общее кратное Число, делящееся на 12, называют кратным числу 12. Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т. д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д. Мы видим, что имеются числа, кратные одновременно 12 и 18. Например, 36, 72, 108, .... Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18. Наимеиыним общим кратным натуральных чисел а и h называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из чисел а и ft. Это число обозначают: НОК (а, ft). Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов. Рассмотрим их. Найдём НОК (18, 24). I способ. Будем выписывать числа, кратные 24 (большему из данных чисел), проверяя, делится ли каждое из них на 18: 24 • 1 = 24 — не делится на 18, 149 24 • 2 = 48 — не делится на 18, 24-3 = 72 — делится на 18, поэтому НОК(24, 18) =72. II способ. Разложим числа 24 и 18 на гцюстые множители: 24 = 2-^-3, 18 = 2-32. ПОК(24, 18) должно делиться и на 24, и на 18. Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 (т. е. числа 2, 2, 2, 3) и ещё множители из разложения меньшего числа 18, которых нет в разложении большего числа (т. е. ещё одно число 3). Поэтому НОК(18, 24) = 2 -2 -2 -3 -3 = 72. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, 24 и 25 — взаимно простые числа. Поэтому НОК (24, 25) = 24 - 25 = 600. Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело па 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120. гт Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел? Найдите несколько чисел, кратных 10. и несколько чисел, кратных 15. Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 15. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 15? Найдите: б) НОК (15. 25): в) НОК (16. 12): д) НОК (35. 20): е) НОК (56, 63). а) НОК (6. 8): г) НОК (48. 42): Найдите: а) НОК (6. 12): г) НОК (33,3): б) НОК (40. 8): в) НОК (51. 17): д) НОК (34, 2): е) НОК (16,48). Число 123 454 321 делится на 11111. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел, не выполняя разложения чисел на простые множители. Найдите: а) НОК (135, 5): 6) НОК (120, 10): в) НОК (432, 2): г) НОК (234, 9): д) НОК (123,3): е) НОК (16. 64). Известно, что число а делится нацело на число Ь. Чему равно НОК (а. Ь)? 150 ГГ7^ Являются ли взаимно простыми числа: а) 12 и 25 г) 22 и 51 ж) 17 и 48 б) 40 и 39 д) 48 и 49 з) 11 и 45 в) 55 и 42; е) 39 и 50; и) 13 и 50? Ьтщ гт 222 [212 гтп Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Найдите: а) НОК(4,5): б)НОК(3,11): в)НОК(7,8): г)НОК(9, 10); д)НОК(5, 13); е)НОК(17.3); ж) НОК(13, 11): 3) НОК(10, 11); и) НОК(19,20). Напишите пять пар чисел а \л Ь, чтобы НОК(а, 6) = а. Найдите: а) НОК(36,48): б) НОК(49,50): в) НОК(14, 15); г) НОК(99, 100): д) НОК(28, 21): е) НОК(24, 23). Найдите: а) НОК(19, 10); б) НОК(11. 110); в) НОК(26, 52); г) НОК(11,23): д) НОК (88. 66): е) НОК (198, 9). НОК (33, 198) = 99 Ученица нашла НОК (33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал? Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел: а) не может быть меньше любого из этих чисел; б) делится на все делители этих чисел. Даны разложения чисел а и ft на простые множители, найдите НОД (а, ft) и НОК (а, ft), а) а = 2з.З'’-5, б) а = 2^-3^-5^, b = 2'^^3^^5^: ft = 3^-53. (Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.) Убедитесь, что НОД (36. 24) • НОК (36. 24) = 36 • 24. Выполняется ли это свойство для других пар чисел? Докязывясм Докажите, что НОД (а, ft) • НОК (а, ft) = а а) для взаимно простых чисел; б) для любых чисел. 151 Г;;пп,] 3. 1. I. VI ‘1И Какой наименьшей длины может быть верёвка, чтобы её можно было разрезать без остатков на куски: а) как по 4 м, так и по 5 м; б) как по 4 м, так и по 6 м? Мальчик хочет купить несколько пачек мороженого по 8 р., но у него только 5-рублёвые монеты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число пачек мороженого он может купить? Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая —28 зубцов. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки будут совпадать? дапалнсния к глясе :з I. fib Использование идеи чётности позволяет решать разнообразные задачи, в условии которых ничего не говорится о чётности. Задача 1. Можно ли разменять 20р. семью монетами, достоинство каждой из которых 1 р. или 5 р.? Если взять любые две монеты, то получится чётное число рублей: 1 + 1 = 2, 1 + 5 = 6, 5 + 5=10, поэтому любые шесть монет дают чётное число рублей. Если же добавить седьмую монету (достоинством 1 р. или 5 р.), то получится нечётное число рублей. Следовательно, 20 р. нельзя разменять семью монетами по 1 р. и 5 р. В рассмотрюнной задаче требуется чётное число (20) представить в виде суммы нечётного числа (7) нечётных слагаемых (1 и 5). Сделать это невозможно, как и показано выше. Задача 2. Имеется 13 палочек. Некоторые из них разломали или на 3, или на 5 частей. Затем некоторые из палочек опять ра.зломали или на 3, или на 5 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 палочек? 152 Нн vpe 4 г Здесь не сказано, сколько палочек разламывали на части каждый раз и на сколько именно частей, поэтому перебор всех возможных вариантов довольно сложен. Если одну палочку разломать на 3 части, то палочек станет на 2 больше, а если одну палочку разломать на 5 частей, то палочек станет на 4 больше. Разламывая палочку или на 3, или на 5 частей, мы увеличиваем их общее число или на 2, или на 4 палочки, т. е. на чётное число палочек. Первоначальное число палочек 13 — нечётное, и, добавляя к нему каждый раз чётное число палочек, невозможно получить чётную сумму 100, так как сумма нечётного и чётного чисел нечётная. Задача 3. Можно ли, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисовать одним росчерком: а) распечатанный конверт (рис. 134); б) нераспечатанный конверт (рис. 135)? Нарисовать, соблюдая условия задачи, распечатанный конверт умеют многие пятиклассники, а вот нарисовать нераспечатан-пый конверт не удалось ещё пикому. В чём тут дело? Обратим внимание на то, что в одних точках сходится чётное число линий (назовём их чётными узлами), а в других — нечётное число линий (назовём их нечётными узлами). Отметим, что если узел нечётный, то в нём обязательно должно или начинаться, или заканчиваться рисование линии (рис. 136). Ек:ли же узел чётный, то в нём не обязательно начинать или заканчивать рисование линии — его можно пройти один или несколько раз, но если всё же в нём начать рисование линии, то в нём же нужно и закончить (рис. 137). Рис. 136 Рис. 137 153 Рис. 138 Рис. 139 Если на рисунке 134 отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами и то получится рисунок 138. На нём всего два нечётных узла, поэтому, начав рисование в одном из них и пройдя по всем линиям по одному разу, закончим рисование в другом нечётном узле. Так как па рисунке 138 имеется два нечётных узла и у линии, которую мы рисуем, одно начало и один конец, то распечатанный конверт можно нарисовать, соблюдая условия задачи (на рисунке 139 стрелками показано направление движения карандаша). Если на рисунке 135 отметить чётные и нечётные узлы соответственно буквами 44* и то получится рисунок 140, на котором нечётных узлов больше двух. Начав рисование линии в одном из них, невозможно его закончить во всех остальных нечётных узлах одновременно, так как искомая линия имеет одно начало и один конец. Поэтому нераспечатанный конверт нельзя нарисовать, соблюдая условия задачи. Вася записал на листе бумаги несколько нечётных чисел. Петя их не видел, но утверждает, что по количеству записанных чисел легко определит, чётная или нечётная у них сумма. Прав ли Петя? гГТР Некто утверждает, что знает 4 натуральных числа, произведение и сумма которых нечётные числа. Не ошибается ли он? Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали или на 7, или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или на 7, или на 9 частей, и так несколько раз. Можно ли после нескольких таких операций получить 100 частей? 154 jpr Рис. 141 Записано четыре числа: О, О, О, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 равных числа? "Чы !> В шести коробочках лежат деньги. В первой 1р., во второй 2 р., в третьей Зр. и т. д., в шестой 6 р. За один ход разрешается в любые две коробочки добавить по 1 р. Можно ли за несколько ходов уравнять суммы в коробочках? Fm Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, нарисуйте фигуры, изображённые на рисунке 141. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды, попробуйте нарисовать фигуры, изображённые на рисунке 142. ТиТЖ в задании 706 вам не удалось нарисовать две последние фигуры. Оказывается, этот результат зависит от числа «нечётных» узлов фигуры, в которых сходится нечётное число линий. Сколько «нечётных» узлов должно быть, чтобы фигуру можно было нарисовать? F771 Какую из фигур, изображённых на рисунке 143, нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды? б) Рис. 143 155 Глава 3. Делимое;^ иатуральяых чисол Fm Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии дважды. Почтальон разнёс почту во все дома деревни, после чего зашёл с посылкой к Феде. На рисунке 144 показаны все тропинки, по которым проходил почтальон, причём, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды. В каком доме живёт Федя? Каков мог быть маршрут почта-____ льона? ^>гТП Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так, чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возмож- ____ ных маршрутов (рис. 145). Задача Л. Эйлера. Можно ли поочерёдно обойти все семь мостов г. Кёнигсберга (ныне Калининград), соединяющих районы этого города с островами на реке Прегель (рис. 146), проходя по каждому мосту только один раз? Рис. 144 1 2 3 4 5 6 7 8 Lil Lii Рис. 145 а) .г-'’] / у / б) Рис. 146 Рис. 147 156 FTFP На рисунке 147, а линия проведена так, чтобы она пересекала каждую сторону каждого маленького прямоугольника только один раз. Можно ли такую линию нарисовать на рисунке 147, б? Если можно, то покажите как, если нельзя, то объясните почему. В старину на Руси говорили: «Умноженье — моё мученье, а деление— беда*. Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался большим математиком — ведь в школах тогда учили только сложению, вычитанию и таблице умножения. Делимость натуральных чисел интересовала математиков уже в глубокой древности. Особое внимание они уделяли простым числам. Ведь эти числа входят множителями в любое составное число— «составляют* его. Поэтому очень важно узнать тайны простых чисел — сколько их, как они распределены в натуральном ряду и т. д. В книге «Начала* древнегреческого учёного Евклида (III в. до н. э.) доказано, что простых чисел бесконечно много. В этой же книге указан способ (алгоритм) нахождения НОД двух натуральных чисел. Во II веке до и. э. другой древнегреческий математик — Эратос-(|)ен предложил довольно лёгкий способ отыскания простых чисел. Немного изменяя способ Эратосфена, запишем «шсла от 1 до 100 в таблицу по 6 чисел в строке. 1 не простое число и не составное — вычеркнем его. Число 2 простое — обведём его кружком, а все числа, кратные ему (они стоят во втором, четвёртом и шестом столбцах), вычеркнем. Первое из незачёркпутых чисел 3. Оно простое — обведём его кружком, а все 157 Глава ч/. Депимос.;1> ипурапьмых чисел л. Эйлер П. л. Чебышев И М. Виноградов незачёркнутые числа, кратные ему (они стоят в третьем столбце), вьиеркнем. Теперь первое из незачёркнутых чисел 5. Оно простое — обведём его кружком, а все незачёркнутые числа, кратные ему (они расположены на параллельных прямых), вычеркнем. После вычеркивания из таблицы чисел, кратных 7 (они также расположены па паршллельпых прямых), в пей останутся только простые числа — они тоже обведены кружком. Аналогичные рассуждения можно провести, если взять больше 100 чисел. При этом в таблице как бы просеиваются составные числа и остаются только простые. Эратосфен записывал свою таблицу на папирусе, натянутом на рамку, и составные числа прокалывал. Получалось своеобразное числовое сито, через кото1юе составные числа просеивались, а простые оставались. Поэтому таблицу и сам способ стали называть «решетом* Эратосфена. Он позволяет сократить обч>ём работы при составлении таблицы простых чисел. С древнейших времён математики пытались понять, как расположены простые числа в натуральном ряду, и найти общую формулу для нахождения простых чисел. Например, если в формулу P=n^-n^'il подставлять вместо л натуральные числа 1, 2, 3, 4, ..., 40, то будут получаться простые числа: при л = 1 Р= 1^-1-f41 = 41, при л = 2 Р = 2^-2 +41 = 43, при п = 3 Р = 3^-3-4-41 = 47, при л = 4 Р = 4^ - 4 4-41 = 53 и т. д. Но общей формулы простых чисел пока не найдено. Начиная с некоторого номера л, формулы перестают «работать*. Если взять л = 41, то по рассмотренной формуле получится P = 4l2 —41-г41 — составное число, делящееся на 1, 41, 41^. Великий математик, академик Петербургской академии наук Л. Эйлер (1707—1783), уделял большое внимание вопросам дели- 158 мости — это ему ыринггдлежит формула Р = - п \ Л. Эйлер рас- сматривал и такую задачу: ♦Определить, сколько простых чисел содержится между двумя данными натуральными числами, не пересчитывая их непосредственно*. Этой задачей в дальнейшем занимались многие крупные математики всего мира. Большой вклад в её решение внёс великий русский математик академик П. Л. ^Гебышёв (1821—1894), доказавший, в частности, что между числами п и 2п (л>1) имеется по крайней мере одно простое число. Л. Эйлер более двухсот лет назад сформулировал гипотезу, называемую проблемой Эйлера: «Доказать, что каждое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел*. Проблема Эйлера не решена до настоящего времени. Более двухсот лет назад член Петербургской академии наук X. Гольдбах (1690—1764) сформулировал гипотезу — проблему Гольдбаха: «Доказать, что каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел*. В 1937 году выдающийся русский математик академик И. М. Виноградов (1891—1983) доказал, что проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших чисел. Но в общем виде эта задача не решена до сих пор. Нсслсдусн %П а) Почему после «просеивания» чисел, кратных 2, 3, 5, 7, в таблице натуральных чисел от 1 до 100 остались только простые числа? б) На каком числе следует остановить «просеивание», если в таблице будет 150; 10 000 первых натуральных чисел? в) Используя «решето» Эратосфена, получите все простые чис-. ла в промежутке от 1 до 200. а) Петя придумал новую формулу для нахождения простых чисел: Р = л^+п+ 41. Для любых ли натуральных п число Р простое? б) Сколько различных простых чисел можно получить по формуле P = n^+n + Л^, если брать последовательные натуральные числа, начиная с л=1? 159 Глпп.) 3. гТП Если в одной руке кто-нибудь спрячет пятирублёвую, а в другой — двухрублёвую монету, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухрублёвая монета. Для этого я попрошу умножить число рублей в правой руке на 2, в левой — на 3 и результаты сложить, а мне сообщить лишь, является сумма чётной или нет. Если сумма чётная, то двухрублёвая монета в левой руке, если нечётная, то в правой. Разгадайте секрет фокуса. Отметим, что; 1) для данного фокуса подойдут и другие монеты: рублёвая и двухрублёвая, пятирублёвая и десятирублёвая, но не подойдут рублёвая и пятирублёвая монеты; 2) умножать можно на 2 и 5, на 4 и 5, на 6 и 9, но нельзя на 3 и 5. Научитесь выполнять этот фокус. 717Ж Найдите все числа вида ZaAb, кратные 36. л Я предлагаю товарищу записать (так, чтобы я не видел) любое трёхзначное число, состоящее из различных цифр (без нуля). Пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. Пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачеркнёт одну цифру в полученной разности и назовёт мне сумму незачёркнутых цифр. Тогда я могу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. Объясните с помощью признака делимости на 9 этот фокус. Вася увидел в тетради старшего брата странную, как ему показалось, запись: 5!. — Что это за восклицательный знак? — спросил он. — Это не восклицательный знак. Запись 5! читается «5 факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до 5. А для любого натурального числа п (л> 1) запись л! читается «эн факториал» и означает произведение натуральных чисел от 1 до п: л! = 1 • 2 • 3 •... • л. Считается, что 1!=1. Вычислите 2!, 3!, 4!, 5!, 7!. ДакязывЯЕм Докажите, что: а) 99 • 99! + 99! = 100!; б) 1000! - 999! = 999 • 999!. 160 <м(.1(. H.i Старший брат выписал из справочника число 15! (см. задачу 719), а Вася случайно поставил в ого тетради кляксу на одну цифру. Вот что из этого получилось: 'i^hf3ogm3^'Sooo. Рис. 148 Определите пропавшую цифру без справочника и не вычисляя произведение 1 - г-з-... • 15. а) Имеются ли среди чисел 21, 31, 41. 51, (см. задачу 719) взаимно простые Рис. 149 61. 71. числа? б) Чему равен наибольший общий делитель чисел 100! и 50!? в) Чему равно наименьшее общее кратное чисел 100! и 50!? Задачи на рисование линии по указанным ранее правилам можно усложнить. Пусть требуется нарисовать фигуру таким образом, чтобы линия не пересекала себя. Например, «конверт», изображённый на рисунке 148, можно нарисовать, как на рисунке 149. Нарисуйте фигуру (рис. 150), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды так, чтобы линия не пересекала себя ни в одной точке. Укаэзкие. сригуру следует раскрасить «в шахматном порядке», отсоединить закрашенные области друг от друга так, чтобы каждая из них имела не больше одной общей точки с какой-либо другой закрашенной областью. Остаётся обвести закрашенные и незакрашенные области по периметру (рис. 151). Рис. 150 Рис. 151 161 Г :пва »>. Дипил#-:х:!1> иатуралЫ1ЫХ чисол гТП Нарисуйте по правилам, приведённым в задаче 723, фигуру, изображённую на рисунке 152. Нарисуйте по тем же правилам (см. задачу 723) фигуру, изображённую на рисунке 153. г7П Придумайте свои фигуры, которые можно нарисовать., не отрывая карандаша от бумаги, не проводя по линии дважды и без самопересечений. Головоломка. Имеется 3 штырька, на один из которых насажены 3 кольца (рис. 154). За сколько ходов можно перенести пирамиду из этих трёх колец на другой штырёк, если за один ход разрешается переносить только одно кольцо; при этом нельзя большее кольцо класть на меньшее. Решите задачу; а) для четырёх колец; б) для пяти колец. Рис. 152 Рис. 153 О Рис. 154 162 ;с"11мость натуралы»1х чисел При изучении главы 4 вам предстоит освоить обыкновенные дроби. Вы научитесь их сравнивать, выполнять с ними четыре арифметических действия, применять законы сложения и умножения для упрощения вычислений. Эти умения будут использоваться не только в 5—6 классах, но и при изучении алгебры, физики и других школьных предметов в старших классах. В главе 4 вам встретятся задачи «на дроби» и «на совместную работу», среди которых есть интересные старинные задачи. Понятие дроби Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части, то каждая из них будет иметь длину, равную половине сантиметра. 1 Это згшисывают так: — см. 2 Если 1 кг сахара рассыпать поровну в четыре пакета, то каждый из них будет иметь вес, равный четверти килограмма. Это 1 записывают так: — кг. 4 Напомним, что в повседневной жизни слово «масса* заменяют словом «вес*. Если буханку хлеба весом 1 кг разрезать на три равные по весу части — каждая по трети килограмма (iH’ то две такие части будут иметь вес, равный двум третьим килограмма. Это за-2 писывают так: — кг. Если же буханку разре.зать на 4 равные части, то 3 такие части будут весить три четверти килограмма. Это за- 3 писывают так: — кг. 4 Если на отрезке АН ровно три раза укладывается отрезок длиной 4 дм, то длина отрезка Л/i равна трём четвёртым дециметра: 4 3 -дм. 4 Записи —, —, —, —, —, ... называют обыкновенными дробями 2 3 4 3 4 ИЛИ, короче, дробями. Дробь означает половину, или одну вторую часть единицы (миллиметра, килограмма, часа и т. п.). Дробь 4 означает одну тре- 3 тью часть единицы. Дробь означает две третьих части единицы. Такой же смысл имеют дроби — — пять шестых, —-------семь ^6 11 5 одиннадцатых,----пять четвертых и т. д. 4 Если д — натуральное число, то дробь — (читается «одна ку- Ч тая*) означает одну кутую часть единицы. Если р и д — натуральные числа, то дробь — (читается «пэ ку- 4 тых*) означает пэ кутых части единицы. Например, если 1 км разделить на д равных частей, то каждая часть будет иметь длину — км, а р таких частей будут иметь Ч длину — км. Ч Число, которое можно записать в виде где р vi д — натуральные числа, называют рациональным числом. Для упрощения речи вместо слов «рациональное число — * го- Ч ворят «дробь — *. 164 Число р, находящееся над чертой дроби, называют числителем дроби число q, находящееся под чертой, называют знаменателем дроби —. я Дробь с числителем р и знаменателем 1 есть другая форма записи натурального числа р: f = p. Например, у = 5; = 1; y = 1- 1пз а) Сколько граммов в половине килограмма? б) Сколько часов в одной трети суток? в) Сколько килограммов в четверти тонны? г) Сколько метров в одной восьмой километра? д) Сколько минут в четверти часа? а) Сколько миллиметров в j сантиметра? б) Сколько минут в часа? в) Сколько сантиметров в метра? 4 г) Сколько граммов в 4 килограмма? 5 а) Какую часть часа составляет одна минута? б) Какую часть сантиметра составляет один миллиметр? в) Какую часть гектара составляет один ар? г) Какую часть градуса составляет одна минута? д) Какую часть 1 см^ составляет 1 мм^? е) Какую часть 1 м^ составляет 1 дм^? а) Купили 100 м лески. Половину всей лески намотали на катушки. Сколько метров лески осталось? б) От мотка телефонного провода длиной 36 м отмотали его четвёртую часть. Сколько метров провода осталось в мотке? Сколько сантиметров в; а) ^м; б) 1м: 165 1. О FTTl На рисунке 155 изображены часы. а) Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками, считая от минутной стрелки к часовой по их ходу, в 6 ч 00 мин; в 3 ч 00 мин? б) Какую часть окружности пройдёт конец минутной стрелки: за 30 мин; за 15 мин; за 20 мин; за 45 мин; за 40 мин? в) Какую часть часа составляет: 10 мин; 5 мин; 25 мин; 55 мин? ri-IM Перечертите в тетрадь квадрат 4x4 клетки (рис. 156). Закрасьте: а) квадрата; 1 X 1 б) J квадрата; в) квадрата. На рисунке 157 отрезок АВ разделён на 6 равных частей. Какую часть отрезка л В составляет отрезок Л/;? Постройте отрезок длиной 6 см. Отметь-12 3 4 5 6 6- 6- 6- 6- 6- 6 Постройте отрезок ЛВ = всьл. Постройте отрезок CD, равный: ri-TJ ri-IH а) 1лд; б) ^АВ] в) |ЛЛ. Рис. 156 Постройте отрезок АВ=]5см. Отметьте на этом отрезке точки С, D, М так, чтобы АС = ^АВ, AD = ^AB, AM = ^АВ. 3 5 3 а) Какую часть от 12 см составляет: 6 см; 3 см; 4 см; 1 см? б) Какую часть от 42 см составляет: 6 см; 7 см; 14 см? Отрез ткани длиной 15 м разрезали на 5 равных частей. Запишите в виде дроби, какую часть отреза составляет: одна такая часть; две части; три части; четыре части; пять частей. Запишите длины получаемых при этом частей отреза. А D В б) Л D в в) “4 D ^ В г) ^ D в Рис. 157 166 ц. FTTP a) Потратили от 400 p. Сколько рублей потратили? б) Длина верёвки 27 м. Отрезали её длины. Сколько метров верёвки отрезали? о в) От каната длиной 100 м отрезали — его длины. Сколько мет- 4 ров каната отрезали? Сколько метров осталось? Fryi Сколько граммов содержат: а) кг: б) —— кг: в) 4 кг: г) 1 кг? 10 100 4 5 Чему равна: а) у от 50: б) у от 45: в) 4 от 120: 4 г) ^ от 10: д) ^ от 80: е) от 90? 30 Вычислите: а) 1 от 12: б) 4 от 45: 5 в) у от 140: г) 1 от 96: О д) от 176: е) 1 от 6. Из пакета с картофелем, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Какая часть картофеля осталась в пакете? Длина автобусного маршрута 24 км. Определите длину оставшейся части маршрута, если расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет; 15 3 а) — маршрута: б) — маршрута: в) - маршрута. а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли за каждый час? б) Бассейн наполняется за 5ч. Какая часть бассейна наполняется за каждый час? в) Пешеход прошёл некоторое расстояние за 6 ч. Какую часть этого расстояния он проходил за каждый час? а) Путник проходит в час 4 пути. За сколько часов он прой- О дёт весь путь? б) За каждый час труба наполняет ^ бассейна. За сколько ча- ь сов она наполнит весь бассейн? в) В каждый день выполняется у некоторого задания. За сколько дней будет выполнено всё задание? 167 г л 4. о ‘?нз ini Ъп ■?za а) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через Зч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час? б) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят каждый час j всего пути. Через сколько часов они встретятся? а) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть этого расстояния он пройдёт за 1 ч? за 2 ч? за 3 ч? за 8 ч? б) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни? в) В магазин привезли 200 лампочек: 5 из них оказались неисправными. Какую часть от числа всех лампочек составляют неисправные лампочки? г) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы? Прочитайте дроби: -I; -|: -Ц: —. к мк 2’ 5 7 3 17 30 3 2 q а) Какое число называют рациональным числом? б) Как ещё называют рациональное число? в) Является ли натуральное число рациональным числом? Запишите пять каких-либо обыкновенных дробей. Прочитайте их, назовите числители и знаменатели. Назовите три дроби; а) с числителем 3; б) со знаменателем 10. Запишите две дроби, у которых: а) числитель на 2 больше знаменателя: б) знаменатель на 4 больше числителя. . Э ♦ Равенство дробей 4 Рис. 158 Для любой дрюби можно указать ряд равных ей дробей. Например: 1=1=1=1= 2 4 6 8 ■ Это можно объяснить так: если отрезок разделить пополам, а каждую половину ещё пополам, то половина отрезка будет состоять из двух четвертей этого отрезка (рис. 158), т.е. -^ = 168 Так же можно показать, что половина равна трём шестым и т. д. Можно ещё сказать, что дроби — и — определяют одно и то же 2 4 2 8 число, записанное разными способами; д1Х)би — и — также опре- о 1 ^ дел я ют одно и то же число. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: Р‘П q-n (1) Это свойство называют основным свойством дроби. С его помощью можно получать дроби, равные данной. Например: ^ „. 2 2 4 8 50’ '2 3-4 12’ l)i = ^ ^ 5 5-10 = l = = ^ 1 1-3 3 Равенство (1) можно записать и в обратном порядке: 41 6 = - = = — ^ 1 1-2 2 ' ри _ £ qn q (2) Левая часть равенства (2) есть дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий множитель п. Говорят, что можно сократить дрюбь на л и получить равную ей дробь Поэтому основное qn q свойство дроби можно сформулировать и так: Екгли числитель и знаменатель дроби имеют общий множн* тель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него и числитель, и знаменатель. Получится равная ей дробь. .1 У- 3 ^■4 1 6 8 15 16 8’ 6’ 3 ’ 16’ 1 8 _ 6 ~ Х4 ^•3 _ 4 3 169 г. о 1 15 Л-5 5 'л 1 . 1б] МТ-1 1 3 Л 1 1 1 16 МГ-1 1 / 1 1 Дробь называют несократимой, если её числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей. Например, дроби , 2 4 5 11 —---несократимые дроби, так как числа 1 и 2, 3 и 4, 5 и 7, I О II и 8 не имеют общих простых делителей, т. е. являются взаимно простыми числами. Дроби — сократимые. 8 6 3 16 Для каждой дроби существует едипствеппая равная ей несократимая дробь. Например: А = 1 li = l 11 = 1 1 = 1 12 .3’ 1.5 .5’ 14 2’ .5 .5* Левые части равенств — данные дроби, а правые — равные им несократимые дроби. Чтобы получить несократимую дробь, надо сократить данную дробь па наибольший общий делитель её числителя и знаменателя. 192 Например, сократим дробь 2.56 1 Так как НОД (192, 256) = 64, то ^ = 2.56 4 • 64 1 ^lacTO наибольший общий делитель числителя и знаменателя сразу указать трудно. В этом слу»1ае сокращение дроби выполняют пос1Ч)пеипо. Например: 192 _ 2 96 _ 2.48 _ _ 2_^ _ 3 256 ~ 2-128 “ 2-64 ~ 8-8 “ 2 4 “ 4* Из основного свойства дроби следуе'г, что если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. В самом деле, если числитель дроби р делится на знаменатель 7, то его можно .записать в виде произведения q • п, тогда — = = — = п, где п — частное от деления р на q. П 80-4' 20 _ 1. ^ 100 5’ г) 20 - 1 . 100 10’ ' 600 30’ 100 1. 200 _ 2. ^ 500 5’ Ж) ^ 200 10 з)-^ = 1. ' 400 5 1000 10' 4 16 . 1. 4’ 6)^2=^; ' 15 5’ в) А = ' 27 3’ г) ^=2 ^ 24 4 ’ 36 . . 6. е)^=2-^ 48 3’ ж) 20 = 1 . ' 8000 400’ з)-1^ = -1 ’ 480 4■ 42 ■ 7’ 171 4. О гГП Сократите дроби по образцу. 1 1 2 a)^ = lil2=iii = i короче- ^ = i-36 2'.18 3.J6 3’ ^ 3- 1 1 3 6) 1. А. А. А; 8’ 36 28’ 35 . ^ 45 _8_________ ^ 35’ 54’ 400 ’ 256’ . ^ ’ 49’ 32’ 36’ 2Г в) 2. А. 12. 8’ 24’ 28 100’ . _12 _18 ^ 18’ 20’ 24’ 30’ . 21 144 156 396 ' 56’ 120’ 128’ 240’ Запишите натуральные числа 1, 2, 5 в виде дроби со знаменателем; а) 1; б) 2; в) 3; г) 10; д) 100. г7П Замените букву х числом так, чтобы равенство стало верным: Fm а) А = £; ' 27 3 ’ 5 60. б) - = —; 7 X В) - = А; ' 6 24’ а) Найдите дробь со знаменателем 18, равную дроби —. б) Найдите дробь с числителем 7, равную дроби в) Можно ли найти дробь, числитель которой натуральное чис- 5 ло, а знаменатель 121, равную дроби г) Можно ли найти дробь, знаменатель которой натуральное 35 ЧИСЛО, а числитель 144, равную дроби —? г7П Сократите дробь; а) ' 100’ б) А; ' 63’ в) А; ' 60’ е) 25 ж) 42’ 3) ' 32’ Найдите несократимую дробь, равную дроби: а) ' 100’ б) ' 56’ В) ' 125’ г) М; '144’ д) 720 в) -!22-; 1000 ж) ' 1000’ 0) 1000’ и) iil; 6400 К) ' 1000 172 пЛ Ц. Определите, сократима ли дробь (772, 773); б) В) ' 335’ г) 240 F7T1 a.§ б) М; 402 В) ' 80Г Г) 29 Укажите все общие делители и НОД числителя дроби, затем сократите дробь: а) 35' б) ii; 64’ в) 80’ Г) 66 Сократите дробь: а) а) ^2' б) 68’ В) ' 64’ г) ’ 54’ е) ' 49’ 3) ' 64’ И) ' 168’ ^ 98’ 48’ о) ’ 125’ Д) ” 628 Д) ” 46 Д) 51 Задачи на дроби Рассмотрим решения задач, в которых требуется найти часть числа или число но его части. Задача 1. Было 600р., — этой 4 суммы истратили. Сколько денег истратили? Решение. Чтобы найти — от 600 р., надо эту сумму разделить на 4: 600:4 = 150 (р.). Ответ 150 р. Задача 2. Было 1000р., — этой 5 суммы истратили. Сколько денег истратили? Решение. Будем считать, что 1000р. состоит из пяти пятых долей. Сначала найдём одну пятую от 1000 р., а потом две пятых: 1) 1000: 5 = 200 (р.); 2) 200-2 = 400 (р.). Эти два действия можно об'ьединить: 1000 : 5 • 2 = 400 (р.). Ответ 400 р. 173 Гла=л 4. 0»iUKHCS.; yjOn Чтобы найти — числа 1000, можно число 1000 разделить на 5 знаменатель дроби и результат умножить на её числитель. Справедливо правило: Если часть целого выражена дробью, то, чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель. Задача 3. Потратили 50р., это составило — первоначальной (> суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег. Решение. 50 р. в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 р. ^1тобы найти эту сумму, надо 50 р. умножить па б: 50-6 = 300 (р.). Ответ: 300 р. 2 Задача 4. Потратили 600р., это составило — первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег. Решение. Будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию его две трети равны 600. Сначала найдём одну треть первоначальной суммы, а потом и три третьих: 1) 600 : 2 = 300 (р.); 2) 300-3 = 900 (р.). Эти два действия можно объединить: 600: 2 -3 = 900 (р.). Ответ: 900 р. 2 Чтобы найти число, — которого 1)авпы 600, можно 600 разде-3 лить на числитель Д1юби и {к*.зультат умножить на её знаменатель. Справедливо правило: Если часть искомого целого выражена дробью, то, чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель. ?7ГЯ а) Как найти ^ числа 30? 5 о 6) Как найти число, — которого равны 30? 5 174 7Т7Ж а) На ветке сидели 12 птиц; - из них улетели. Сколько птиц улетело? 3 б) В классе 32 учаицихся; — из них катались на лыжах. Сколько учащихся каталось на лыжах? F77H а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км. В первый день 2 они проехали — всего пути. Сколько километров они проехали во второй день? б) Некто, имея 35 р., потратил у своих денег. Сколько денег у него осталось? 5 в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала — всех страниц 8 тетради. Сколько осталось неисписанных страниц? Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они 2 ..3 проехали —, а во второй день —— 5 8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день? F771 а) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число 3 мальчиков составляет — числа дево-8 чек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке? б) В коллекции 45 юбилейных рублёвых монет. Число трёх- и пятирублёвых монет составляет 2 — числа рублёвых монет. Сколько всего юбилейных монет достоинством в один, три и пять рублей в коллекции? О а) 12 р. составляют — имеющейся суммы денег. Какова эта сумма? 3 б) Определите длину отрезка, — которого равны 15 см. 5 2 Iri а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет у возраста отца. Сколь- ко лет отцу? б) Дочери 12 Сколько лет матери? б) Дочери 12 лет. Её возраст составляет возраста матери. 5 175 ■с. О -- F7T1 а) Школьники собрали с одного участка 504 кг моркови, с другого—в 3 раза меньше. всей собранной моркови израсходовали, Сколько килограммов моркови израсходовали? б) На сахарный завод привезли в первый день 633 т 600 кг свёклы, во второй день —в 2 раза меньше. Сколько сахара получилось из всей свёклы, если масса сахара составляла массы свёклы? О в) Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей: в первый месяц этих овощей, во второй месяц — в 2 раза меньше, чем в первый, а остальные овощи — поровну в третий и четвёртый месяцы. По скольку овощей расходовала столовая в третий и четвёртый месяцы? Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трём сыновьям 48 000 рублей и завещал жене всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников? г/З-И На покупку овощей хозяйка израсходовала 180 р., что составило 4- имевшихся у неё денег. Затем она купила 2 кг яблок ь по 54 р. за килограмм. Сколько денег у неё осталось после этих покупок? гГП Отец купил сыну костюм за 96 р., на что израсходовал своих денег. После этого он купил книгу, и у него осталось 156 р. Сколько стоила книга? 2 ri-УЛ Сыну 8 лет; его возраст составляет — возраста отца. А возраст 3 отца составляет — возраста дедушки. Сколько лет дедушке? 5 F7n а) Уменьшите 90 р. на -j^ этой суммы. 2 б) Увеличьте 80 р. на — этой суммы. г7=ГЯ В прошлом месяце цена товара составляла 90 р. Теперь она 3 понизилась на — этой суммы. Какова теперь цена товара? в прошлом месяце зарплата мамы составляла 4800 р. Теперь 2 она увеличилась на — этой суммы. Какова теперь зарплата мамы? 5 176 Из папируса Ахмоса (Египет, ок. 2000 пет до н. э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают; — Сколько приводишь ты из своого многочисленного стада? Пастух отвечает; — Я привожу две трети от трети скота. Сколько быков в стаде? Г Приведение дробей к общему знаменателю Дроби Щ имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что 25 7 I ОНИ имеют общий знаменатель 25. Дроби — и — имеют разные К знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю. Для этого найдём число, которое делится на 8 и на 3, например 24. Приведём дроби к знаменателю 24. Для этого умножим числитель 7 и знаменатель дроби — на дополнительный множитель 3. Допол- О нительный множитель обычно пишут слева над числителем: ^ 7_^ ^ ^ 8 8-3 24’ Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный О множитель 8: 3 1 8 3-8 8 24 7 1 7 21 1 8 Дроби — и — приведены к общему знаменателю: — = -—, — = —. 8 3 8 24 3 24 3 5 Пример 1. Приведём дроби — и — к общему знаменателю. 8 12 Так как произведение знаменателей 8*12 = 96, то 3 _ 3 12 _ _5_ _ 5 8 _ 8 ~ 812 “ 96 12 128 96 Однако общим знаменателем этих дробей может быть любое из чисел, делящихся на 8 и на 12: 24, 48, 96, 120, — Наименьшим среди этих чисел является число 24. Примем 24 за общий знаменатель дробей — и —. ^ 8 12 177 г ;лпл Так как 24 = 8*3 и 24=12*2, то Щ _ _3^ _ _9^. _ 5-2 _ _10 8 8*3 24’ 12 12*2 24* Любые две дроби можно привести к общему знаменателю, которым может быть произведение их знаменателей. Но для упрощения вычислений нужно стараться привести дроби к наименьшему общему знаменателю. 5 7 Пример 2. Приведём дроби — и — к наименьшему общему 36 .'>4 знаменателю. Так как НОК(36, 54) =108, то наименьший общий знаменатель равен 108, поэтому _ .5 • 3 _ _1^, 36 ~ 36-3 ~ 108’ 7-2 64 64.2 14 108 ‘ 3 1 Пример 3. Приведём дроби — и — к наименьшему общему зна- 4 8 менателю. Так как ИОК(4, 8) = 8, то к знаменателю 8 надо привести толь- 2/з 6 ко первую дробь: *- = —. 4 8 ?7Т1 а) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю? б) К какому общему знаменателю лучше всего приводить две дроби? а) Сколько четвёртых содержится в -^7 б) Сколько двадцатых содержится в ^? в) Сколько тридцатых содержится в -|? гГП Для дроби — запишите равную ей дробь со знаменателем: а) 30; б) 12: в) 24; г) 102. гГТ1 Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12: а) д) |: е,|. 1 о с *7 гГГЯ Дроби 2‘ ’4’ g' ^ знаменателю 24. 178 112 5 F77^ Дроби — приведите к знаменателю 36. м Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению знаменателей дробей: а) и 2 3 6, 1и1: г) 4 и I; 2 9 Д.Н: е)1и|: ж) 1 и З.Н; к)|и|: 1? ” 77' “’Ж'^ТТ' "> Ж ■’ Ж' Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а)1и1; *> 7Ж ” Ж' Приведите дроби к общему знаменателю (800, 801). <4^ в) И 6 8 г) и 6 9 1о ” Ts' То ” Ж' *' ж ^ Ж' з) Ж7Т и 7=7Т-30 50 Ж ” Ж' '”Ж‘’7^' "> ж ” 7Ж^ Жо ” 40' "> W " Ж' 40 ” Ж' HTTP 75 ” Т2’ 7б ” 72' ж ” 77' *> Ж ” Ж' 7Ж ” Ж' “'Ж”Ж' Р) -55 и i3. 98 72 пт Приведите дробь к знаменателю 10, или 100, или 1000. а) I; б) в) г) д) —; е) —: ж) з) -. с/ 2- 4- 0- 5' 25’ 125 4 5 179 ;лв1 4. О rm Определите, равны ли дроби. Результат запишите с помощью знаков = и а)| и так как 1 = 3 3-5 15 . 14 ^ 15 2 ^ 3 — =------= — И — Ф —, то — ^ —. 7 7 5 35 35 35’ 5 7 6) иЯ-20 24’ в)^ ' 35 «41; 28’ д) Я и^- 22 33’ е) 30 36. 48 56’ ж)^ 84 108 и) ^9иМ. 63 85 4.5♦ Сравнение дробей На рисунке 160 изображён отрезок АВ, разделённый на 7 равных частей. 4 А D В н---1 Рис. 160 Екхни принять длину отрезка АВ за 1, то отрезок АС имеет длину —, а отрезок AI) имеет длину у. Длина отрезка AD больше длины отрезка АС, т. е. Д1юбь у больше дроби у. Пишут: у > у. Из двух дробей с общим знаменателем больше та дтробь, у которой числитель больше, т. е. если р>г, то . Я Я „ 2 1 6 4 13 12 Например: — > —, — > —, — > —. 3 3 7 7 11 И 180 '1.ЧВЗ Оонкиовенмые jipoOvt Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их нуж> но привести к общему знаменателю, а затем применить пра* вило сравнения дробей с общим знаменателем. Например, сравним дроби: -I и 8 14 Наименьший общий знаменатель этих дробей равен 56. т, 3-7 21 4/ 5-4 56 56’ 14 14-4 „ „„ 21 20 3 5 Так как 21 > 20, то — > —, т. е. — > —. 56 56 8 14 При сравнении дробей полезно следующее утверждение: Если первая дробь меньше второй, а вторая дробь меньше третьей, то первая дробь меньше третьей. Доказательство. Пусть даны три дроби: р г S П П П Так как первая дробь меньше второй, то р < г, а так как вторая дробь меньше третьей, то r — = 1. ^ 5 5 3 3 Отсюда следует, что любая правильная Д1юбь меньше неправильной. 181 о а) Как сравнивают дроби с общим знаменатолом? б) Как сравнивают дроби с разными знаменателями? а) Какую дробь называют правильной? б) Какую дробь называют неправильной? Сравните: а) правильную дробь с 1; б) неправильную дробь с 1; в) правильную дробь с неправильной. 3 113 С помощью рисунка 161 объясните, почему j "2 "4 ■ Рис. 161 Гт Постройте отрезок АВ=\2см. Отметьте на А В точку С так, чтобы: а) АС = ^АВ: б) ас = ^ав. 4 Ь Сравните длины отрезков АВ \л АС, ВС и АС, ВС и АВ. !т Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знака > или <: 27 „ 33 . 100 100’ 1700 1800 0) ТТГГ7Г И 1995 '■ 1995' ■ Сравните дроби и результат сравнения запишите с помощью знаков = \л 3 7 ГТП а) Что тяжелее: — кг конфет или — кг печенья? 0 1 9 б) Что тяжелее: — кг пуха или — кг железа? Сравните дроби с одинаковыми числителями: 1 и 4; 6) 4 и 4: и|; 2 3 7 4 5 3 3 3 7.7. 8 5 "г ^ 13 15’ в)- "77 182 I U Дакязывясн Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. ГГГР Сравните дроби с числом 1, а затем между собой: а) I и б) 6 7 а,|и|: г) 1 И D е) 8 7 «1 90 ад 89' ГГГР Сравните дроби с числом —, а затем между собой: 6) А и а)1и|; б)1и|; г)|и|; В некоторых случаях бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби 7 8 1 — и —. Чтобы из первой дроби получить 1. надо добавить —, 8 9 8 а чтобы из второй дроби получить 1, надо добавить меньше: 1 7 8 —. Следовательно, вторая дробь больше: -г <^- 8 Сравните дроби: V 39 38 г) И 40 39 е) 1995 1996 1996 1997 а) Алёша с папой стреляли в тире. Алёша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше? б) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше? 183 L О ИССЛСДУЕН а) Найдите все дроби со знаменателем 10, которые боль- 5 7 ше —, но меньше —. б) Найдите все дроби со знаменателем 13, которые боль- 1 2 ше -, но меньше —. t "ll t-л а) Найдите все несократимые дроби со знаменателем 60, большие но меньшие Сколько таких дробей? 6) Найдите все несократимые дроби с числителем 60, боль- шие -1, но меньшие Сколько таких дробей? ^, Б Сложение дробей Па рисунке 162 изображён отрезок ЛВ, разделённый на 9 равных частей. Если принять длину отрезка АВ за 1, то /1C = —, 3 5 CD = —, AD = —. Длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АС и CD: лтл 2 3 2 + 3 5 AC + CD = AD, т. е. —+ —=----= —, 9 9 9 9 Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен знаменателю данных дробей: (1) в (1юрмуле (1) и далее числители и знаменатели дробей — натуральные числа. ,.1 2 1 +2 3 ... 3 5 3 + 5 *" 5 “ 5 “ 5’ ^ Л Л 9 2 + 9 И .. 5 1 5 + 1 7 “ 7 " 7 ’ 4) — + — = ’ 6 6 е Рис. 162 D -I— 184 г 1зга -онные Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения дробен с общим знаменателем. 5/2 3/3 2-5 3-3 10 9 10 + 9 Например: — + — =------+---= — + — =------- ^ 3 Г, 3 5 5-3 15 15 15 Дроби можно складывать по формуле: 19 15 ^ + - = г _ р-я ^ г • q 7 я (2) 2 3 Например, сложим по (|юрмуле (2) дроби — и —: 3 5 2 3 _ 2 5 + 3-3 3^5 35 10 + 9 Вот еще пример: "g + = 15 15* 1 • 12 + 7 • о ^ ^ 72 G.12 72 4 Если знаменатели двух дробей не являются взаимно простыми числами, как в первом примере, то сложение по формуле (2) приводит к липшим вычислениям. Однако эта формула универсальна, и её полезно запомнить. Для упрощения вычислений нужно стараться приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, а получаемые результаты приводить к несократимому виду. 7 2 7 0 3 ^ ^ 6 12 12 12 12 4 Чтобы сложить несколько дробей, надо к первой дроби прибавить вторую, к полученной сумме прибавить третью дробь и т. д. 3/i 2/i 1 3 2 1 2/5 3/j IQ 3 13 2 3 4 6 6 4 6 4 12 12 12 а) Как складывают дроби с общим знаменателем? б) Как складывают дроби с разными знаменателями? С ПОМОЩЬЮ рисунка 163 объясните, почему -^ + 4 = 4- В О •—I—I—I—I ♦ ♦ « < Рис. 163 185 L О о 2 1 !m Покажите с помощью рисунка, что Jq = 2 Д'^- ГТГЯ Вычислите: , 3 3 а) — с + — с; ' 10 10 ' ■ТГР Вычислите: а) — а + — а; ’ 10 10 6) 4 ч; 3 3 3 21 в) М + -г;;г м. 100 100 127 123 в) ттгтпг КМ + Ътщ 1000 1000 Вычислите: 1 3. 5^ 5' 5 3 . 16 16’ !ТП Вычислите: а) + 33 33 км; 6) е) 6) е) г) 1000 1000 1 1. 2 + 2’ 7 4 . ^ 10 10’ г)|. 3 7 . 20 20’ Ж) А + _1- ’ 19 19’ 11 12. 17 12. ^ 60 60’ г1 32 . 35 35’ 55 12 12. 48 48’ 99 ^ 99’ 5. 8’ 13 13 Может ли сумма двух правильных дробей быть правильной дробью; неправильной дробью? Приведите примеры. !ТП Вычислите: 1+2 + 3. в) 3 + 2 5^55’ 7^7 А + А + ±- е) 7 10 10 10’ 26 1 1 1. а) + тт + тг 3 3 3 ' 30 30 30’ Гт Сложите дроби, полученную дробь сократите: 2 2 13 13 13’ ^ 96 '*■ 96 '*■ 96 96’ 1 15 17 9 . 19 53 37 21 1. •^7’ ^ + -1. ?6 26 1 1. 1 2 1 5. 3"" З"" З'^З- 2 + 2’ 2 . .1 5 11 ^ 96 96 96 13’ 17 9 . 42 42 ’ ^,19 53 . 37 . е) + 78 78 78 с помощью рисунка 164 объясните почему; о\ 1 1 3. лх 1 1 5 ^>2П=4' ®>2*3 = 6- !ТП Сделав рисунок, покажите, что ^ дм + ^ дм = -^ дм. Рис. 164 186 rm Сложите дроби; <4^ 9){4; ж) 2 6 '■>т4’ Вычислите (833—836). 1 7 . б) 21 1 3 9 . ^ 5 ^ 10’ 10 ^ 100’ 100 ■"То’ 15 3. е) 7 16. ж) -1 + 1-12^6’ 24 8’ 6^ 18’ 2 5. з'^б' 1 3 2 10' [ ?-1-я э) + •^; 36 9 ^ 24 8 ’ б) 2 3 . 5 20’ 5 . 12’ г\ 11 0. G) 8 32’ *>ж 9 50 Тб'^Ш 1 1. 6 9’ 2 5. 9 6’ п\ 2 3. 9*8’ 2 6 . 9 4 . п*к.' 10 15’ 3 5. 4 18’ 4 5 . 7 8 . 450 180 .И 9 7 ' 180 120 210 140’ 14 9 . 1 3 7 . 5 10 20’ 3 7 в) -г— 4* 4* 20 30 4 7 28’ 17 23 11. 20 30 50’ 7 11 40'" то"* 20 30 60’ 40’ 11 30' ГТТ^ Запишите дробь в виде суммы двух дробей; а) |: б) в) I: г) ^ 9’ ' 7’ ' 10’ [■>1=1 Подберите дробь, которая в сумме с данной дробью даёт 1; ^4: б,|: д) 4Г е)^ е; 27• Гт Сложите дроби, предварительно сократив их; A:=lll lli = l 1 = 1- ' 15 25 5-3 ■^5-5 5 5 5’ 10 3 . 30 8 . . 60 75 . . 24 16 ' 16 24’ '45 36 ' 120 150’ 360 480 187 L. О ' ' * - ■ i,, 2 1 !m Девочка прочитала - книги, потом ещё -. Какую часть книги она прочитала? 3 5 ; а) За завтраком съели — торта, за обедом съели — торта. 8 8 Весь ли торт съели? б) За первый день машинистка перепечатала ^ рукописи, 16 а за второй день—^ рукописи. Закончила ли она перепечатку рукописи? 2 •ТТЯ Первый тракторист вспахал j поля, 3 второй — — ПОЛЯ. Вместе они вспахали Юга. Какова площадь всего поля? ГТГЯ а) За каждый час первая труба наполняет бассейна, а вторая — -I бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? б) Первая бригада может выполнить за день задания, а вторая — задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы? в) Легковая машина в час проезжает ^ расстояния между городами, а грузовая —этого расстояния. На какую часть этого расстояния в час будут сближаться машины при движении навстречу друг другу? _________Законы сложения Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы сложения: От перестановки слагаемых сумма не меняется: 188 Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего: \q sj п q Vs n) Пример 1. Покажем, что — + — = — + 7 7 7 7 Так как переместительный закон сложения верен для натуральных чисел, то 1 + 1 = 7 7 2+4 4+2 4 2 7 7' (1 3 ^ 2 1 Лз 2 ^ - + -1 + - = - + 1 — + -!• ш сочетательный зако! (1 з") 2 1 ч 3 2 [ 5 ^ 5 J 5 “ Г> 5 Так как сочетательный закон сложения верен для натуральных чисел, то (I + 3)-»2 I + (3 + 2) 1 3+2 Из законов сложения следует, что сумму нескольких дробей можно записывать без скобок; любые слагаемые в ней можно менять местами и заключать в скобки. Этим часто пользуются для упрощения выражений. Например: 1 1 - = {- ll+ 1 = 1 + 1 = 1:1 + lli = 11 + 11 = И Ъгщ Запишите и сформулируйте переместительный закон сложения: сочетательный закон сложения. Выполняется ли для дробей переместительный закон сложения; сочетательный закон сложения? Можно ли в сумме чисел менять местами слагаемые, заключать слагаемые в скобки? ГТУ^ На рисунке 165 изображён отрезок Л В, разделённый на четыре равные части. Л/?=12см. а) Найдите длины отрезков АС и СВ. 13 3 1 б) С помощью рисунка покажите, что т + т = т + т- 4 4 4 4 Рис. 165 А ь- 189 i. О---.- Вычислите, используя законы сложения (848—854). а) 13 + (15+12): 6)21+7 + 23; в) 19 + (37+11); г) 37+14 + 26; д) 2 + 7 + 8 + 3; е)9 + 7 + 3+1; ж) 15 т8 I 2 f 5; з) 13 t 14т7 t 6. б) 25 + 97 + 75; г) 631 +783 + 369; е) 1594 » 920 I 3080. ?тгя 33 а) 34 + 87 + 66; в) 371 + 483 + 629; д) 4344 I 1256 » 744; а) л + -^ + 17. б) 19 .L 18 Л. 12. в) 25 X 17 X 15. 48 48 48’ 55 *г 55 X 55’ 64 Т 64 Т 64’ г) 23 38 7 . Д) 28 52 19. е) 17 11 23. бэ"' 69 69’ 43 + 43 4* 43’ 45 4“ 45 4" 45’ ж) i 2 7 . 3) 13 15 17. и) 16 8 4 45 ^ 45 45’ 44 4* 44 4- 44’ 77 4- 77 4- 77' ГТТИ , 17 28 15 + 2 + 28 а) — + — =------------ 30 30 30 6) ГГП1 ГТ?1 г) 29 37. 40 40’ ^ 58 45. . 257 199. ■^61’ ' 300 300’ V 379 127 401 40Г 61 1 8 7 . «si 2 3. 7 ^ 21 7’ oS 1 2 7 . ^ 15 45 ^ 15’ 5 25 ^ 25 ’ 3 5 4. 10 15 30’ 1 1 1 ^ 12 18 12’ 49 ^ 7 49 ’ «+-Ц-5) 80 i 16 80 У J_ + fA + lV 15 4l5 5j' 1 5 1. 2 5 1 . 9 6 18’ oS 2 1 3 . ^ 15 5 10’ 27 9 3’ 3 5 1 . 1 3 5. 4 8 16’ 5 3 1 ^ 7 14 2Г 8 12 24’ Используя сочетательный закон сложения для натуральных чисел, проверьте равенство: ; Запишите переместительный закон сложения для чисел: а,М; и п в> 6 " 5^ В).^И А. П П 190 ГГЯ Запишите сочетательный закон сложения для чисел: а) у, у, у. Гт Вычислите: и и с, 6) 5 5 5 ^ т п k в) —, —, —. Р Р Р „ч 12 15 3 5. б) Д -L _i_ _L- ' 12 10 100 ^ 12’ .3 5 4 4 г) _ + _ + _ + у. а) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 ч, а второй — за 6 ч. На какую часть расстояния они приблизятся за 1 ч? б) Для постройки купальни наняты три плотника. Первый сде- 2 17 лал в день — всей работы, второй——, третий — —. Какую 3S 11 55 часть всей работы сделали все они за день? в) Для переписки сочинения наняты 4 писца. Первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй — за 36 дней, третий —за 20 дней, и четвёртый —за 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они за один день, если будут работать вместе? Отпили полчашки чёрного кофе и долили её молоком. Потом отпили у чашки и долили её молоком. Потом отпили чашки и долили её ь молоком. Наконец допили содержимое чашки до конца. Чего выпили больше: кофе или молока? 4»В. Вычитание дробей Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое. „ 3 12 2 13 Например,-----= —, так как —к — = —. •5 5 .5 5 Гу Гу Будем пока рассматривать случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого. 191 Г,;.'1ПЛ 4. . Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей уменьшаемого и вычитаемого: 7 <7 7 ‘ (1) Равенство (1) верно, так как сумма разности мого — равна уменьшаемому —: 7 7 р-г и вычитае- р-г г _ р — г\г _ р 7 '-1 193 f пл,) 1. O'-. ■ rm Найдите число х, для которого верно равенство; 1 . - 5 . ®> 3 + ^-i2’ 2. 6’ птж : f^rЩ г) X - 3 _ 4 . 7 “ 21’ Д) 4 5 X = • Вычислите (871 , 872). а) 8 8 . б) 7 5 . 18 27’ 16 ■ ■ 24’ г\ 12 15. Л \ 9 11. г; 13 26’ Д/ 28 ■ ■ 35’ д \ 25 18. 40 35. а/ 28 35’ и/ 63 ' ' 72’ В) х-^-1-^ 20 “ 5’ е) |-л: = 4- 8 3 39 19 40-й В) 22-11; 21 22 Г) 40 143 41 . 156’ Д) 43 126 41 . 135’ е) 239 240 229 288' Г7П Придумайте две дроби, разность которых равна: г,|; д)|: е,|. ; пй : yj-il ^7Г1 ■ У#/ Тракторист должен вспахать -f по- 5 3 ля. До обеда он вспахал — поля. Какую часть поля ему осталось вспахать? Из двух сёл навстречу друг другу вышли два туриста. Через 1 некоторое время они прошли — всего пути, причем первый прошёл всего пути. Какую часть пути прошёл за это время второй турист? Два тракториста скосили -| луга, причём первый тракторист 2 скосил — луга. Какую часть луга скосил второй тракторист? а) Взрослый человек спит примерно суток. Какую часть суток он бодрствует? 1 3 б) Туристы прошли у, потом ещё у всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти? 194 iJi и.. Рис. 166 [=/2=я а) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьёв улетела, их осталось 6 (рис. 166). Сколько воробьёв было на ветке? 3 б) Некто израсходовал — своих денег, и у него осталось 20 р. Сколько денег у него было? 2 в) в первый день туристы прошли — намеченного маршрута, 5 а во второй день оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута? г) Сейчас у Васи в коллекции 200 марок. Известно, что за последний год число марок в коллекции увеличилось на -j. Сколько марок было в коллекции год назад? Г7П а) За куски ленты длиной -^м и ^м заплатили 18р. Сколько стоит 1 м ленты? б) За м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за м такой 2 5 же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы? 2 3 Гт До обеда токарь выполнил — задания, после обеда — — за- О в Дания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить? Г=!ТР а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали 2 1 — ПОЛЯ. Первый тракторист вспахал — поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист? б) Две машины, движущиеся навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на ^ расстояния между двумя городами. Первая машина проехала этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина? в) Через две трубы за каждый час наполняется ^ бассейна. Через первую трубу за час наполняется -j^ бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу? 195 '.nBj 4. о Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом ещё 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи? Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идёшь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если ещё пройдёшь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько вёрст осталось ещё идти первому прохожему? Из книги «Косс» Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась -j- этой суммы, на долю второго —у. а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш? Умножение дробей Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен пронзведспню числителей, а зпамепатель — произведению знаменателей этих дробей. P..L = Р'' (/ S q-s „ 2 5 2-5 10 Например: — • — = —т = тгг-*^,3 7 2-7 21 Так как любое натуральное число п можно представить в виде дроби у, то справедливо равенство: п-р _ р п р п-р Доказательство: П'— = — — = — Ч 1 ч ч 196 iiiJi и.. Таким образом. чтобы умножить натуральное число на дробь, можно числитель дроби умножить на ото натуральное число, а знаменатель оставить тот же. ,, „23-26 Можно считать, что П1юизведепие натурального числа п (я>1) па дробь — есть сумма п слагаемых, каждое из которых равно <1 дроби —. п Например: 3 • 2 + 2-1-2 2 2 5 5 ^ 5 ^ 5' Дробь — называют обратной для дроби — (р^О, q^O). Я Р Дроби — VI — называют взаимно обратными дробями (числами). Я Р Произведение взаимно обратных чисел равно 1. 2 5 Например, — и ---взаимно обратные числа: 2-5 _ ^ J 5-2 “ 10 ~ ' 2 6 5 ’ 2 Чтобы умножить несколько дробей, надо первую дробь умножить на вторую, полученное произведение умножить на третью дробь и т. д. 13 6 1-3 6 1-3-.5 16 ,, 1 о •) I • 3 а Например: —--— = -г----— = „ ^ 2 4 7 2-4 7 2-4-7 = —, или, короче, 56 1 -3-5 _15 56 247 2-4-7 Определением степени с натуральным показателем можно пользоваться и для дробей. „ ('2V 2 2 2 2-2-2 8 Ндиримврг 1“1 — — ' — I \б) 6 6 6 5-5-5 125 (!И- а) Как умножить две дроби? Приведите пример. б) Как умножить натуральное число на дробь? Приведите пример. 197 “059 1. ОбЫКНОвО»1^=^ ?Н2 ?нз : Назовите дробь, обратную дроби у. Какие дроби называют взаимно обратными? Приведите пример. Чему равно произведение взаимно обратных чисел? Вычислите произведение: а) 2.^: ' 3 9’ 6)1.А; ' 5 11 в) 1.1; ’ 8 5’ г) 1.1. ' 8 7 Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведения натуральных чисел и сократите полученную дробь по образцу: . 6 3-2 3. 8 = 4T2 = 4' Сократите дробь: а) Д) б) —: ' 24’ 7-8 . б) 6- 15 . в) 4-15’ 30 ■18’ 18-45. 63 •56. 40-27’ 49 -45’ ж; 89 . 27-6’ 12-15.26. 13-120 Вычислите произведение (892—899). 3) г) ' 30 35-42. 30-49’ 48-5-12 30.16-8‘ а) 5 7. б)1..1: B)il ^ 7 9’ ' 13 2. г) ^ 12 8’ 3’ 9 16' 14 10. e)i3.M- ж)-11 ’ 10 39 ’ ’ 14 7. 3)il-ll. ' 34 15 25 49’ 12’ 1 4 5. 6)1. А. 10; ' 8 35 9 ’ в) 13 24 15. 2 5 6’ 12 65 32’ 5 8 4. д)£2.16.15 ^ 56 5 36’ в) 5 8 9 16 15 3’ 8 9 10' 1 2. б)®. 5; B)i-'76' 10 10. 2 3’ 11’ 15 17’ 14 5 . е) —. —• ж) — • 15 26’ ’ 28 7 . 3) 3s.iZ. ' 51 15 15 42’ 30’ 1 2 3. 5 7 13. ГТз'ш’ В) 1.ll.il 'и 39 16 2 3 4’ 42 1 39. . 101 102 103. 102 ■ 103 ■ 104’ ,3 8 13 ’ 8 ' 13 ■ 18 ■ 39 42 60’ 3 1^ 0.7. в)А.^. 76’ ' 10 27’ г) 17 46 5 23 5Г 198 г г-п ■ . .Ц,:: nm 2 _ 2. ' 1 3’ б)|.2; В) J-2; Я)^-3; е)^.2; *)|.3: и) 6. А а) 1.3; Г) 7.1; д)1-2; в) 2-—: ' 20’ 3) 3~. 24 18-f' «> ж)|.6; 3) ^-15. 20 Запишите произведение в виде суммы: kl'Ii я а) 3.1; б) 5.|; В) — • 4; ' 10 ’ г) 1.6. Запишите сумму в виде произведения: а) 1 1 1. — + — + —, 2 2 2 7 7 7 7. б) тт + тг + тт + тг 3 3 3 3 1 . 1 1 1.1. 3 3 3 3 3 .2 2 2 2 2 2 5’^5'*'5'"5'^5'"5- ь1'>Я гт гт Упростите числовое выражение: .1.(1.i) »,2:(1.1.1,1). «(rrti-5' "(Н-Н)¥- Укажите числа, обратные данным: в) 2; 3; 4; 1. а) 1; 1; 1; 2 3' 5' 3' й, 5, 6. 3. 8. ®> 6' ?• Т' Т' 2 63 Являются ли числа ^ и ^ взаимно обратными? Ответ обо-/ 10 снуйте. а) Вычислите произведение ^ и числа, обратного числу 3. б) Вычислите произведение 7 и числа, обратного числу 199 i. О Ttm rm rm rTFl Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно; а) правильными дробями; б) неправильными дробями; в) натуральными числами? Могут ли взаимно обратные числа быть одновременно: а) меньше 1; б) больше 1; в) равны 1? Какое число обратно самому себе? а) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится: большее или меньшее 2? б) Может ли при умножении числа 3 на некоторую правильную дробь получиться число, меньшее 1? Если да, то приведите два примера. в) Может ли при умножении числа 4 на некоторую правильную дробь получиться число, большее 1? Если да, то приведите два примера. г) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получится число, меньшее этого натурального числа? Если да, то приведите два примера. 5 В равностороннем треугольнике длина стороны равна — м. Найдите периметр треугольника. Вычислите периметр квадрата, сторона которого равна: а) 4 м; 4 Вычислите: б) - дм; 4 в)^м; r)f дм. r'l кд гтп За минуту наполняется бассейна. Какая часть бассейна наполнится за: 2 мин; 4 мин; 10 мин; 20 мин? За сколько минут наполнится весь бассейн? За минуту через первую трубу наполняется бассейна, а через вторую трубу —бассейна. а) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 мин? б) Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 6 мин? в) Наполнится ли бассейн через обе трубы за 8 мин? 200 Законы умножения. Распределительный закон Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются пер>е-местительный и сочетательный законы умножения: От перестановки множителей произведение не меняется: £. L я q‘ Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел: [р rj пг _ р Гг m I W л <7 nj‘ Пример 1. Покажем, что 2 5 _ 5 ^ 3 ’ 7 7 ' 3' Так как переместительный закон умножения верен для нату-p^^льныx чисел, то 2- 5 3- 7 52 5 2 73 “ 7 3* Л 5 _ 2 i) 7 3 U 7J умножения верюп , 2 . (15) _ 2 1-5 _ 3(8-7) 3 8-7 ных чисел, то Для дробей —, — и — выполняется распределительный закон: q S п Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить: I jP .fl + = £.£ + £. ^ j 6 Например: 1) 2) 8 : - = 8 • - = 8 • 2 = 16; '21 .5 ■ 5 1 5 2 5-2 5' ^lacTHoe любых двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю. Например: 2 : 3 = у : у = у 1 = 1 3 3‘ Итак, для любых натуральных чисел р гл q всегда есть их частное: дробь 7 Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаменатель. Поэтому часто говорят не «две третьих*, а «два, делённое на три*. Например: у = 7 : 3, 2 : 9 = у. Принято считать, что в записях вида ' ^ черта дроби также означает знак деления, т. е. 3 2 _ [7^7j’3’j_^J_ [2 3j42^sj’2_3 7'[ 7)’ В записях, в которых черта /цюби используется несколько раз, знак «=* ставится у черты дроби, означающей последнее по порядку действие деления. 5 3 3 2 1 1 1 7 7 2 3 7 1 ’ 1 1 ’ 2 3 2 ' 3 7 1 . 7 1 .(о. „ 5 ,, 2 2 5 7 3 4 Папример:- = 5:-,- = 204 Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно её знаменатель умножить на это число. тг Р Р п Р 1 р-1 р Доказательство: -i- : п = — : — = ---------- —— = —. q Ч q • п q • п 7 ^ 7 3 7 I 7-1 7 81 8 3 8-3 24 J_ 24 ‘ Отметим, что число О, делённое на любую отличную от пуля дробь, даёт 0. 0:£ = o.-2. = ibi= " =0. 7 Р Р Р Делить на пуль нельзя. Короче: — : 3 = —^ 8 8-3 При вычислении значений числовых выражений, содержащих дроби, пользуются теми же правилами порядка действий, что и для натуральных чисел. Например, найдём значение числового выражения: 24 ’ 5 ~ 8 ■ 1,10 2j' 9 9 1) — + ± = _ + Мо 2 10 10 11 = 1‘ 10 5’ и. 56’ ' 8 Это решение можно записать короче: 2) '85 8-7 4) 7/5 ^ 3 _ 25 3 24 * 5 24.5 ^ ^ _ J15 ’ 56 ~ 56 56 5-1 _ 5, 8-1 “ 8’ ^ = А 56 “ 14 24 3 20 8-7 8 "г-7 9 5Л 10 ^ 2 14 25-3 24-5 7 ii Дб S 7/5 8 3-5 8-7 35-15 8-7 Ъти а) Как разделить одну дробь на другую? б) Как разделить дробь на натуральное число? Можно ли делить: а) нуль на дробь, отличную от нуля; б) дробь на нуль; в) натуральное число на натуральное число; г) нуль на нуль? 205 м 4. O'-- rm Найдите частное и проверьте ответ умножением: а) 80: 2: 6) 100:25; в) 1000:8; г) 121:11; д) 625 : 25. Вычислите частное и проверьте ответ умножением: 1 , 2 ■ , 1. ■ 3’ 6)1:1; ' 2 4’ 8 . 4. 0)^1^:^; 25 35 ж,|:§ 9 ■ 21’ 75 82' Назовите делимое и делитель, дробь, обратную делителю, и замените деление умножением на дробь, обратную делителю. Вычислите полученное произведение. '9 3’ 38 19 . 75=Ж’ 1 . 6 ' 1. 2’ «'1 = 1. 6’ в,|: 6. 7’ 15 . 10. . 25. . "18. 16 ■ 24' ■ 34’ ■ 25’ 1 . 2 ‘ 2; 3; л) 3: 1. 2’ м) 8 : — 23 ^пз Найдите число х, для которого равенство верно: £ 15 а) х.1 = ±-^ 5 1с;’ 2 7. в) = Ч 7’ 12 3 25=*=5- а) Отрезок длиной 1 м разделили на несколько равных частей длиной м. Сколько таких частей получилось? б) 1 кг кофе рассыпали в пакеты по кг. 4 Сколько таких пакетов получилось? в) 1 кг чая рассыпали в пакеты по ^ кг. Сколько таких пакетов получилось? г) За 1ч выполняют -I- некоторой работы. За сколько часов выполнят всю работу? д) Два путника одновременно вышли навстречу друг другу из двух сёл. За 1 ч они проходят расстояния между сёлами. Через сколько часов путники встретятся? а) Верёвку, длина которой 20 м, разрезали на 3 равные части. Какова длина каждой части? б) Рыболовную леску, длина которой 11 м, разрезали на 4 равные части. Какова длина каждой части? 206 н rm Автомат фасует масло в пачки по -^кг. Сколько пачек полу-чится из: а) 4 кг; б) 5 кг; в) 6 кг; г) 11 кг масла? Периметр квадрата равен: а) 16 см; б) 14 см; в) 13 см; г) 17 см. Найдите длину стороны квадрата. Ленту надо разрезать на равные куски длиной м. Сколько таких кусков получится из ленты длиной: а) 1м; 6) 3 м; в) 11 м; г) 17 м? Числа 20. 30, 40, 50 разделите: а) на 4; б) на 4 1 3 3 5 1 Числа —, —, —. — разделите: а) на 3; б) на —. ^ О ^ Г Запишите в виде дроби частное: а) 1 :2; б) 2:5; Вычислите (936—940). а) 15:3; б) 13:2; д) 123:13; е) 123:12; в) 7: 10; г) 8:5. в) 17:4; ж) 168:22; г) 27:5; 3) 168:23. а) гт е) f 1 . 3 4].3. 6,v . 3 4.3. U ■ 4 gj' 5’ ’8 9*5’ 3 .f 9 3 8V 9 3 8 5 Л10 5'gJ' 10 5 ’ 9' и 1 и 3 - 1 . 5 7 35 ’ 6) I.5 + —-1:1; ' 8 56 7 5' 353.9 3 13. ,4.5 4 24 1 . 2 ■ 6 2 * 10 2 ' 18' '5*8 5 ‘ 25 25 * 5 3 5 -1: 6) I-; 2 3 Г) Д) 3 16 34 1 1 2 4 ж) _9_ 16 3) и) 1 1 2 6. К) J7 14 11 1 21 7 ГГТГЯ а) J-.fi..11 + 19 ( 7\ _| __L U 3j'7. 20 ll2 2J 80. I 1lj 4 22 fl+21 6.' U 3) 11 J3 24 ' ('-S' 207 ;. о Нахождение части целого и целого по его части с помощью умножения и деления дробей можно решать задачи на нахождение части целого и целого цо его части. Найдём — от 17. Для этого разделим 17 на 5: 5 I 17 — от 17 есть —. .'> .*> А 1 on 20 1 24 „ Аналогично — от 20 есть —, — от 24 есть — = 6. 3 3 4 4 Найдём теперь от 17. Это число в 4 раза больше, чем ^ от 17: 5 5 4 .17 4-17 4 — от 17 есть 4---=-----= — 17. .5 1 ^ = 1.40. 7-1 7 Аналогично — от 40 есть 2 • — 7 7 Чтобы найти у числа, можно у умножить на это число. Пусть теперь надо найти число, — которого равны 60. Из ска- 5 занного выше следует, что число 60 можно получить умножением дроби — на неизвестное число. Тогда это неизвестное 'шсло можно .5 2 2 найти, разделив 60 на —. Итак, число, — которого равны 60, есть 5 .5 число 60 : - = = 150. Аналогично «шсло, — которого равны 30, есть число 30 : = 70. 7 3 ’?П1 Найдите: а) у от 11; ITF1 Найдите число: 1 б) у от 20; в) I от 7; г) J от 28. а) — которого равна 5; б) у которого равны 21. 208 а) от 45 м или ^ от 30 м; 5 5 Гт Что больше: 2 3 3 2 6) — от — м или — от — м? 3 5 5 3 а) Уменьшите 900 р. на этой суммы. 2 б) Увеличьте 150 р. на — этой суммы. 5 Число 200 увеличили на этого числа, полученный результат уменьшили на его Получилось ли снова число 200? Проверьте. 2 ^•1а) Найдите число, которого равны 60. о б) Найдите число, — которого равны 99. 2 ГТУ^ а) За 4 дня похода израсходовали — всех запасённых продук- 5 тов. На сколько дней было запасено продуктов? б) На стоянке автомашин было 15 «Жигулей». Они составля- 3 ли — всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке? 3 Гт а) Число уменьшили на — этого числа, получилось 210. Найдите число. б) Задумали число, увеличили его на у этого числа и получили 56. Какое число задумали? Гт Столб вкопали в землю на у его длины. Он возвышается над землёй на 2 м 30 см. Определите длину столба. 2 а) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал —, 5 после обеда —у привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин? б) Некто израсходовал половину своих денег и у остатка. После этого у него осталось 6 р. Сколько денег было у него первоначально? 209 L О nrw Из бочки вылили - находившейся V 1 в ней воды, потом — остатка, потом ^ нового остатка. Какую часть воды вылили? Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве — третья доля этого множества, Вишну — пятая и Солнцу — шестая; четвёртую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков? /ПЙ1 Капитан на вопрос «Сколько у него в команде людей?» ответ- 2 2 1 ствовал, что ^ его команды в карауле, у в работе, — в лаза- &1Я рете да ещё 27 человек налицо. Спрашивается число людей его команды. Задача Гврона Александрийского (1в.). Бассейн ёмкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна даёт в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час — четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб? « - Задачи на совместную работу Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о совместном выполнении некоторой работы. При этом всё равно, какую работу выполняют и чем эту работу измеряют — числом деталей, количеством вспаханных гектаров пашни и т. п. Если, например, некоторая работа выполняется за 10 ч, то за 1 ч, очевидно, выполняется ^ всей работы, а вся работа составляет десять таких частей: — = 1. Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы. Задача 1. Первая бригада может выполнить задание за 36ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за 18 ч. За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе? 210 Решение. Примем всю работу за единицу, тогда за 1ч первая бригада выполняет 1:36 = —, а вторая — 1 :18 = — всей работы. При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют J_ 36 18 _3_ 36 J_ 12 1 всей работы, поэтому всю работу они выполнят за 1 : -^ = 12 ч. Ответ: за 12 ч. Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна, и прохождение некото-1ЮГО пути при движении навстречу друг другу и т. п. Метод решения остаётся тем же. Задача 2. Расстояние между двумя сёлами пешеход проходит за 60 мии, а велосипедист проезжает .за 20 мин. Через сколько минут они встретятся, если отправятся одновременно навстречу друг другу из этих сёл? Решение. Примем расстояние между сёлами за единицу. 1) 1 : 60 = -^ (расстояния) — проходит пешеход за 1 мин; 60 2) 1 : 20 = — (расстояния) — проезжает велосипедист за 1 мин; 3) 1 •V1 ^ 1 60 20 ~ 60 ~ Тб — такую часть расстояния они проходят за 1 мин при движении навстречу друг другу; 4) 1 : — = 15 (мин) — время движения до встречи. Ответ: через 15 мин. Задача 3. За пять недель пират Ерёма Способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоём? Решение. Примем объем бочки за единицу и выразим время ♦ работы* каждого пирата в днях: пират Ерёма выпьет бочку рома за 5-7 = 35 дней, а пират Емеля выпьет эту бочку рома за 2 • 7 = 14 дней. 211 L О 1) 1:35 = — (бочки) — выпивает пират Ерёма за 1 день; 35 2) 1 :14 = (бочки) — выпивает пират Емеля за 1 день; 2/1 5/j 7 1 3) —+ — = — = — (бочки) — выпивают они при совмест- 35 14 70 10 ' ' ной «работе* за 1 день; 4) 1: — = 10 (дней) — за такое время пираты выпьют бочку рома. Ответ: за 10 дней. Задача 4. Старинная задача. Муж выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, за сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь. Решение. Примем объём кади за единицу. (кади) — выпивает (кади) — выпишгют муж за 1 день; 2)l:10 = -jL вместе муж и жена за 1 день; 7/i 5/ 1 о 1 15- й =15 = 55 выпивает жена за 1 день; 4) 1: -^ = 35 (дней) — время, за которое жена выпьет 35 кадь пития. Ответ: за 35 дней. Эту задачу в дгшние времена умели решать и без дробей. Рассмотрим такое решение. «За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140; 4 = 35 дней*. Отметим, что многие задачи на совместную работу можно решить этим старинным способом, не пользуясь дробями. Гт а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за Зч, через вторую —за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч? 212 птщ гггя гт б) За каждый час первая труба наполняет ^ бассейна, а вторая — бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы 6 за 1 ч? За сколько часов наполнится весь бассейн, если открыть обе трубы? в) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую —за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы? Путешественник идёт из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов? а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе этих труб? б) Один ученик может убрать класс за 20 мин. а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе? в) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся? На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит этого корма и уткам. и гусям вместе. Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы только второго цеха? Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле? Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь? 213 О ггз Из пунктов А \л В одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько минут после своего выхода из В второй пришёл в л? Из пункта Л в пункт В выехала грузовая машина Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и ещё через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из Л в Л? а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза —за два месяца, овца —за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена? б) Первый плотник может построить дом за год, второй — за два года, третий — за три года, четвёртый — за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе? ; ~ ri ^ , .. i V Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел. Первая бригада может выполнить задание за 40 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за ач. За сколько часов эти бригады выполнят задание при совместной работе? . Понятие смешанной дроби Напомним, что если числитель дроби делится на знаменатель (нацело), то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Например: — = 6:3 = 2. Любую неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, можно прюдставить в виде суммы натурального числа и правильной дроби. „ 17 15 + 2 15 2 - 2 Например: — = —-— = Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращённо, без знака «+», и называют смешанной дробью. При атом натуральное число называют целой частью, а правильную дробь — дробной частью смешанной дроби. 214 Например, ^ ^ — смешанная дробь, у которой 3 — целая часть, — дробная часть. Смешанную дробь 3-^ читают так: «три целых и одна вторая». Чтобы записать неправильную дробь (числитель которой не делится нацело на .знаменатель) в виде смешанной дроби, надо её числитель разделить па знаменатель с остатком. При этом целая часть смешанной дроби будет равна неполному частному, а дробная часть — остатку, делённому на знаменатель. 17 2 Например, так как 17:3 = 5 (ост. 2), то — = 5—. 1Саждую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Для этого надо сложить её целую и дробную части по правилу сложения дробей. „ » 1 « 1 3 1 3 2 1 3 2 + 1 7 ^ ^ 2 212 1-2 2 2 2 Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби, знаменатель дробной части умножают на целую часть, прибавляют числитель дробной части и полученное число записывают в числитель, а знаменатель оставляют тот же. Смешанные дроби можно сравнивать, не записывая их в виде неправильных дробей. Если целые части смешанных дробей равны, то больше та дробь, у которой дробная часть больше. Например, 3 -^ > 3 —. Если целые части смешанных дробей не равны, то больше та дробь, у которой целая часть больше. 6 1 Например, Зу<4—, так как 3<4. q6...1 о6.1 В самом деле, 3—<4и4<4—, следовательно, 3 < 4 —. fea Что называют смешанной дробью? Приведите пример. Ti-уд Что называют: а) целой частью смешанной дроби; б) дробной частью смешанной дроби? Приведите пример смешанной дроби, укажите её целую и дробную части. 215 О rm а) Как записать неправильную дробь в виде смешанной дроби? б) Как записать смешанную дробь в виде неправильной дроби? в) Как сравнивают смешанные дроби? Запишите дробь в виде целого числа: а) -If = 12:4 = 3; б) % 4 в) f; <■ а) |; 6) г) 20, Г7ГЯ Является ли данная дробь целым числом: Ъп Определите числитель дроби в равенстве: в) А 2’ ^ 3’ Найдите целое число, равное дроби: а) 6) в) г) 3 20 25 3 д) 1000 а)2 = -: 6)2 = -; в)2 = -; Г) 2 = -. В виде дроби со знаменателем: ■ Vi-Я ;>zw Запишите сумму в виде смешанной дроби: Запишите числа 3, 5, 7 а) 3; б) 5; в) 7. а) 5 + ^: б) 13 +у: в) 2 +у: г)17 + |. Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) 5^: в) 12—’ В) г) 8-^. 39 Г7П Разделите с остатком числитель дроби на знаменатель и за- пишите результат в виде смешанной дроби: а)|; г.|: д)^: М/ g . ‘’-f к)^ К] g . Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби: а)|: д)|: ж) |; К) f; „1 90 П) 216 rm Упростите запись смешанной дроби: а) 3|; 6) ; ГУП Сравните числа: а) 1 и 1; ж) 2^ и li; к)11и21; 6) I и I; Д)3| И31; З)з|и41; л)4§ И31; г) 5 — ^39' в.|и1; в)2|и2|: и) з| и 5|; м) 5|иЗ§. S 4 0 в гт Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби: а)1|: 6)ll; B)li; ДМ|: e)2l; ж)з1; 3)8l; и)2|; К) 9|: B)lA; M)1A; и)бА; п) 12| i Я Выделите целую часть дроби: r,f; д) 39. 9 ’ к) 257 25 ■ ^0» Сложение смешанных дробей Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения. 1 2 Пример 1. Вычислить 2 — + 3 —. Те же вычисления записывают обычно короче, выполняя часть действий устно: 2 — + 3— = 5—. fi 5 Г) Чтобы сложить смешанные дроби, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить. 217 i. О Заметим, что любое натурггльное »шсло имеет дробную часть, равную нулю, и любая правильная дробь имеет целую часть, равную нулю. Поэтому складывать правильные дроби и натуральные числа со смешанными дробями можно по этому же правилу. Пример 2. 1) 3 — + 5 = 8 8 о 2) 4| + | = 4|. 7 7 7 При сложении дробных частей двух смешанных дробей может получиться неправильная дробь. В этом случае вычисления можно записать так: Пример 3. l)3- + 2- = 5f- = 5fl- = 6-; 2)2- + 3- = 5 + - = 5-н1 7 7 7 6. Если дробные части слагаемых имеют разные знаменатели, то сначала Р1ужпо привести их к общему знаменателю, а потом выполнить сложение. 2/^ 3/f 2 .3 .6 Пример 4. 1) 2 — + 4 — = 2 — t 4 — = 6 —; ^ ^ ' Я 2 6 6 6’ •Vo 2/7 27 14 41 11 11 2) 6 — +1 — = 6-^ + 1-^ = 7 + — = 7 + 1-!-!- = 8 ' 10 1.*> 30 30 30 30 30 Как складывают смешанные дроби? Приведите примеры. im Запишите сумму в виде смешанной дроби; а) 5 + б) 4 + ^: в)3.|: г) 12 + 15 1Г Гт Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а)б|; 6) 7 в) 5 J6. 25’ Г) 1 20 Вычислите сумму: а) 9 + 5I; г) 13 + 21; ж) 12 + 23^: б) 3^ + 5: о Д) 3 + 28|; 3) 39+ 42 А 8) 8^ + 7; е) 481 + 13; О Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби: 6) 9; в) А; г) я) Я; в) Я. 8 13 2 15 3 218 ГГ7Ж Запишите сумму в виде смешанной дроби; а,2.| = 2.,| = з|; б) з + |: О в)4 + |: г)8 + |; О О «)7.f. Вычислите сумму (988—997). гтти 6)3-^.-^: 3) 3 + у: И) 4 4- |. а) 4 + 6) 3-1 т5|: 5 5 в) 7y + 3-|: г) 9| + 74: 8 8 с 13 . 1 . ^ 15 15’ а) з|+1^; б)4|.1§; в) Зу + 5^: г) 8| + 4Ь 9 9 е)бД4-4^1. ' 28 28 Я с 3 .3. а) 5- + 1-. б) Зу + 2|: В) 4| + 7|: 8 8 Г) д| + 11^: 9 9 д) 1Д + 2 —: 13 Q 17 е)4-.8-. 3 1 а)1б|.71; б)17|.9|: г) 14-1.28. ; e)14|.li ‘?тп a)2l + li; а)б1.з|: Д)4§.1|; e)2-i.lA; Ж)31.2§: и)8|.9|. а) 21.1; б) 3 —+ -: в) 5-^12 6* 5 3 . .X V 6 1 ■"То' "’^35'" 5- 219 г -in.) 4. O' ГГГР а)з|4: ^ 20 30' о\ >1 13 2 . г\ С 1 1 • ^ ® 12 18’ е) 9 А + ' 24 36 а) 2 8 г) 10-L + 6-: 20 5 Д)1А.2|: 6) 1з1.4|; р)7— + 8--, ^ 20 5 ’ rm На отрезке Л В отметили точку С так. что (7Я = -^м, а ЛС на 1 м больше СВ. Найдите длину отрезка АВ. о Гт На отрезке ЛВ отметили точку С так, что СЛ = 7 —м. и СВ на м меньше ЛС. Найдите длину отрезка ЛВ. Даны три числа. Первое 4 второе на 5 больше, чем первое, 5 а третье на 3 больше второго. Какова сумма трёх чисел? 5 ^ ♦ J ^ • Вычитание смешанных дробей Рассмотрим примеры вычитания меньшего числа из большего. Если целая и дробная части уменьшаемого больше соответственно целой и щюбной частей вычитаемого, то вычитание целых и дробных частей выполняют отдельно и результаты складывают. Пример 1. 4 — -1 — = 3-^. 5 .5 5 В правильности вычислений можно убедиться, выполнив сложение: 3l + l2=4i. 5 5 5 Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то вычитание выполняют так же, как и выше. 220 Пример 2. 1) Sj-lj = 7; 2)6-^-6-i = |. В правильности вычислений можно убедиться, выполнив сложение: 3 3 1)7-и| = 8|; 2)1 + 61 = 6^. '9 9 9 Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то в целой части уменьшаемого «занимают* единицу. Пример 3.4|-1|=(з-н1|)-(1ч-1]=(з + 1)-(и-1)=2|. С помоп^ью сложения можно убедиться, что полу^гился верный ответ. В том случае, когда одно из двух чисел является натуральным числом или правильной дробью, вычисления выполняются аналогично. Пример 4. 1)8|-1 = 7|: 2) 4 -i = (з + |)-1 = з1. Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала нужно привести их к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание. Примерз. 4 --2 _ =4--2- = ^3 + -J-2- = l-. Напомним, что разность равных чисел равна нулю. Вычитать большее число из меньшего нельзя, оставаясь среди неотрицательных чисел. tin Как вычитают смешанные дроби? Вычислите (1002—1015). Д) СЕЯ а) 1-4: СЕПа) 12-у: СЕЭа) 12-^: 7 5 . 8 4 . D \ 17 11. г\ 17 2 . 12 ■ ■ 12’ о; 15 ■ ' 15’ о) 36 ■ ■ 36’ • 1 45 ■ ■ 45’ 5 1 . е) 5 5 . ж) 1 1 . 3) 3 4 48 ' " 12’ 12 ' ■ 18' 14 ■ " 2Г 26 ■ " 39' б) 21- 4 . 13’ 8)45-§: Г) 99 б) 36-^: в) 35 74 45’ г) 46 -1|. 62 221 I. О teUa) 8^-4; 4 б)б|-3; а>4Я.з: r) 9 ^ _ ^• ПУу 3. ^^^5 5’ -И- tE21a>9|-i; б) 8---: ' 16 8’ а) 101 1. 4’ ^>»^-4 n^ i'i ^9 1. ^ 36 9’ 5 6' шиза) 5-1-2^; б) 12|-7у: “>«•1 -ЗА; 16’ г)4Я_4А; ' 19 19’ «> >^4-^4 “>^i -?А. 25 г) ll_l- СГШа) Cnna)4±-l|,; г)5-^-4-!в: ' 19 19’ tEtQa)4A_i|: «>4-1 • 4 2’ «>'H> Д) 9 «>'M- “>>44 “>>H- 3--5-: 7 7’ в) 7 —-2—: ^ 13 13’ 5 с 9 . 16 ^16’ ^-31; 5 5’ “>>^й-^4 ^>>«t->4 д) 27 — - 6 —: G) 23 — - 2 —. 39 13’ ' 34 17 СППа) 4^-3^; 30 20 6)14 —-1—; в)3 —-1—: ' 12 18’ 25 10’ ^>>^4->4 n)i3_L_io—: g)i6-?-_i2 — 18 12’ ' 25 15 “™«>4-4"4 в) 3--2- + -; ^ 8 4 2’ ^>3-^-1-f ™“>^f-(>44] в) 4 1 ^ ®^^45 ^5 5’ 222 ИССЛЕДУЕН СПЗ Дано выражение 3—-2 — - 3—-а. а) Каким числом надо заменить букву а, чтобы можно было устно найти значение этого выражения? б) Какое число а можно взять, чтобы значение данного выражения было равно нулю? Умножение и деление смешанных дробей Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, можно :шпис,ать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями. Пример 1. 1) 2 — 2) 7-5- ^ 2 ll = 11..^ = ^ Л Г, ' Л 11-5 = 11 = 21; Л л 3 1 21. - — ^ 2~ 2 ’2“ 2*5“ = 3. 2-й 1 1 Перед возведением в степень смешанную дробь записывают в виде неправильной дроби и эту неправильную дробь возводят в степень. чЗ пример 2.(li)=(|} = |.|.| = |f| = В несложных случаях можно не записывать смешанные дроби в виде неправильных дробей. С помощью распре делите л ьнош закона можно упрощать вычисления. Пример 3. з1-2 = |з + 1|-2 = 3- 2 + 1- 2 = 6 + 1 = 6-1. 5 VS/ й •'» •’> Эти вычисления обычно записывают короче, умножая устно целую и дробную часгги смешанной дроби на 2: з1 2 = 6-^. Пример 4.(- + 3-]-2 = --2 + 3--2 = - + 6- = 1 + 6- = 7-. \2 Я) 2 Я 2 Я Я Я 223 гriasa 4. ООыкис-во"ш,-о Иногда с помощью распределительного закона можно коротко выполнить деление смешанной дроби на натуральное число. Пример 5. 3 у : 3 = 1 у. Здесь отдельно разделили целую и дробную части смешанной дроби па 3 (т. е. умножили на -^) и полученные результаты сложили: 7 I, 7; 3 3 7 3 7 7 Как умножают и делят смешанные дроби? Вычислите произведение (1018, 1019). ПИЗ а) 1-^-2; 5 б) 2-1 5 •3; в) 8-з1: 4 Г) з|-8; д) 2.5|: 4 e)2f •9: Ж) 12-5|; 312ifg. шла) if 1; б) 2|. 2. ' 3’ a.f4l; a)2f ж)7§.21; ПВЗДля чисел 1^, 2-1, 2-|, 1у укажите обратные им числа. 2 ПЗПа) Известно, что а-/> = 1, а Найдите Ь. 5 2 б) Известно, что а • 6 = 1, Ь = 2—. Найдите а. Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями? Вычислите частное (1023, 1024). ПЗПа) 1^:2; б) 21: 3; 5 a)9:2f Г) з|:2; Д)2:б1; e)2f 7; Ж) 12:2|; 3) 2ll:5. ПШа) 5 5 A)2f lf; a)3f 11; *)2|:lf 224 'tjf' ц;. м, Вычислите, используя распределительный закон (1025, 1026). а) lI.2 = fl + -l-2 = 1-2 + --2 = 2 + - = 2-: 2 { З) 3 33 б) 1^.2; e)2-5l; В) 2^-3: Э ж) 2|-9; г) 3^.3: 3)2-51; д) 2^-3: H)2f3. СШЭ • 2 = 3.2 = 6; 6) il.3 + 1.3; 5 5 в)2|.3-1.3: д) 21. - - 11.1; ^' 5 8 5 8’ ж) 4-i.7-L_6l- Ж14з ^"12 Вычислите (1027—1029). СЕЕПа) 4-j^.8^-6; 9 19’ ^' 7 12 4 7 2’ Ж) 1:14 :11^ : 1: 3 7 7 8 25 22 11 б)б1.1§.8: ' 8 2 16’ 3 .1 V 1 о ^ -32._2:2-- —+ 2-, 103 4 32 3’ (l5 ^ ^ 12) б)Г7--2--12-:-1:6 + 3- + 5-; Ч2 3 49j 8 7’ B)5l:6- + fl2:3---V- + 7-; 3 5 [ 5 2)2 5’ г) 21-^-|-Гз-^:^-1:1^1:2. 59 5 I, 28 28 49 j 3)l^:lJ- 16 48 1. 2’ о 1 . 2 2 .24 7 49 ■ 125 ■ 225 о ■%ini2a) в) д) 6) г) 20:2 —+ 25-:1 — 15 7 35. 7 ? ’ 21^:4^ -1 9 3 10 I, 10 20 J. 1:5 ll-j-sMfг) ' Представление дробей б1;9 + 24:---; — _4_______7 9 21 531_22 —:2- 3 15 3 е) •43 к 1 39 Н'-Аб -l■•20 + l:10 5 10 4 4 на координатном луче На координатном лу^ю можно изобразить любую дробь — 7 (рис. 167). Для этого надо — часть единичного отрезка отложить 7 р раз на координатном луче от точки 0. 4 Рис. 167 ^ 3 ^3 4 oj_AAi. — •i -f- -t- -f* 1 2 3 4 5 6 7 3 3 3 3 3 3 3 1 ‘i 1-^ ^ 2 ^ 4 2 2— 2-^ ^4 ^2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 226 ‘пез OOfJicHoeeMH..- -0 А В С D 0 1 1 ll 3 4 ^ 2 Рис. 168 говорят: «точка А Точку, изображающую на координатном луче дробь —, называют 7 точкой с координатой — или, корот-7 ко, точкой Например, точка А 7 (рис. 168) имеет координату —. Пишут 3 „ 1 с координатой — Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами, а точки, изображающие их на луче, называют положительными рациональными точками. Луч обычно располагают горизонтально и направляют вправо. Если а и Ь — два положительных рациональных числа и Ь>а, то: 1) точка h на координатном луче находится правее точки а; 2) расстояние между точками а ч h равно Ъ-а' а Ь а I h В h 3) точка является серединой igg отрезка, соединяющего точки а и Ь (рис. 169). В самом деле, чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка АВ, надо к числу а прибавить половину длины отрезка АВ: ()-а _ 2а h-а _ 2а t h-а _ а i Ь ^ ^ 2 “ Т'*’ 2 ~ 2 “ 2 3 Пример. Найдём длину отрезка, соединяющего точки а = — 5 и Ь = 1, и координату середины этого отрезка. Очевидно, что — < 1, поэтому точка 1 находится на координатном 5 3 , 3 луче правее точки —, а длина отрезка, соединяющего точки 1 и —, 5 5 р^хвна Ь-а = 1-^ = ^. Середина этого отрезка имеет координату: а + ft -i + 1 5 8 ^ 8-1 2 2 5 ■“ 5-2 227 r;nBj I. О--- Таким образом, можно вычислить координату середины отрезка, соединяющего любые две рациональные точки. Отсюда следует, что между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка. Число а -ь 6 называется средним арифметиче<;кнм чисел а и б. е. Например, среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно = 4, а среднее арифметшхеское чисел — и — равно 3 (| 1,3 6 J 6 12 Вообще, Средним арифметическим нескольких чисд^л называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Например, для чисел 1, 3, 7 среднее арифметическое равно 1 -НЗЧ-7 _ 11 _ о 2. 3 3 3’ для чисел 1, 2, 3, 4 среднее арифметическое равно И- 2 ч 3 М _ 10 _ „ 1 4 4 2' СЕНЗ Изобразите на координатном луче (возьмите единичный отре- , «123456789 10 зок длиной 6 см) точки о, 11 12 п 1 1 2 , . 1 , 1 о —, —. Покажите на этом луче точки —, -г, -г, 1. 2. об 2 3 3 2 3 СЕШ Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки: а) 0. 1, 2. 3. 2 2 6) о, 2, 2-. 2-. 2-. ' 4’ 2’ 4’ ’ 4’ 2’ 4 СЕЕЭ Изобразите на координатном луче точки ^(2). Найдите длину отрезков ЛВ, ВС, ЛС. [Е!Ш! Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки: а) 1 и 7; б) 3 и 8; 228 в)2^и|; г)з1из| СЕЗ Даны точки А (2) ил(21). Найдите координаты; точки С — се- редины отрезка АВ, точки D —середины отрезка СВ, точки Е — середины отрезка CD. Изобразите эти точки на коор-_____динатном луче. СЕЯ Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С —середины отрезка АВ: а) А (2), С (5); б) А С (3); в) А j. С j. %вз Найдите координаты точек, делящих отрезок АВ на три равные части; а)Л(5),в(91); б)л(1],й(|). CHZ Найдите среднее арифметическое чисел; а) 4 и 6; 6)3 и 4: в) 1-1 и 4: г) з| и 24- Z о Z 3 А "^ЕЕГЗНа рисунке 170 указаны координаты точек Лий. найдите координаты точек С и D. я) А а С В ь б) А а В а ~ Ь в) Л В а а I h 2 Рис. 170 D г) Л D СИЛЗ Найдите среднее арифметическое чисел; а) 5, 3, 7; б) 1, 2, 10; в) 12. 15, 18; _____г) 1. 2. 5. 12; д) ЮО. 200, 300; е) 3, 4. 5. 6, 7. СИИ а) Среднее арифметическое двух чисел равно 5. Найдите сумму этих чисел, б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 2. Найдите сумму этих чисел. СИП Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся игроков оказался равным 20-4 года. Сколько лет игроку, получившему травму? ь 229 i. О □222 Дети спросили своего учителя математики: — Сколько вам лет? — Если подсчитать средний возраст 32 учеников нашего класса. то получится 10^ года. Если же при подсчётах учесть и мой возраст, то получится 11 лет. Сколько лет учителю математики? Площадь прямоугольника. Объём прямоугольного параллелепипеда Если длина и ширина прямоугольника выражены натуральными числами а и Ь, то его площадь S вычисляется как произведение а ’ Ь. При этом предполагается, что стороны прямоугольника измерены в одинаковых линейных единицах. Формула S = a -h верна и при дробных а и Ь. На рисунке 171, « изображён прямоугольник со сторонами а = 4 дм и ft = •§ дм. По- 8 кажем, что его площадь равна .. 3 2 3-2 I , 2л Достроим прямоугольник до квадрата со стороной 1 дм (рис. 171, б). Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части; три из них составляют длину прямоугольника. Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части; две из них составляют ширину прямоугольника. а) — дм 4 б) Рис. 1Л дм 4 |дм 1 дм 230 г 1ПГП ' — ДМ 3 1 дм ц: ^'1*: Квадрат разделён на 4 • 3 равные части, площадь каждой из 1 9 которых равна -j—^дм^. Прямоугольник состоит из 3 • 2 таких частей, поэтому его пло- оо 1 3-2 32 24 щадь равна 3 • 2 • = —— = -•- = - (дм^). 4 •О 4*0 4 3 3 Итак, S = J • -| = ^ ^ (дм®). 4 о 4*0 d Если основание а и высота Ь прямоугольника измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями, то площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту: S = a-b (квадратных единиц). Р и где а = —, Ь = —. Ч » Бели длина, ширина и высота прямоугольнош параллелепипеда выражены натуральными числами а, Ь и с, то его объём У вычисляется как произведение а - Ь - с. При этом предполагается, что рёбра прямоугольного параллелепипеда измерены в одинаковых линейных единицах. Формула У=а - Ь ■ с верна и при дробных а, Ь и с. На рисунке 172 изображён прямоугольный параллелени-2,1 пед с рёбрами а = — дм "=2 дм И 2 с = — дм. Покажем, что его объём ра- 1/= 2.1.2 = 5 2 3 212 -----= — (ДМ^). 5-23 15 ^ ^ Для этого достроим прямоугольный параллелепипед до куба с ребром 1 дм (рис. 173). Одно ребро куба разделим на пять равных частей; две из них составляют ширину параллелепипеда. Другое ребро куба разделим на две равные -i- ДМ 2 2 — ДМ 3 Рис. 172 т: дм 231 i. О части; одна из них cocт^шляeт длину параллелепипеда. Третье ребро разделим на три равные части; две из них составляют высоту параллелепипеда. В результате куб разделён на 5 • 2 • 3 равные части, объём ш\ждой из которых равен -р-^-^дм'^. Прямоугольный параллелепипед состоит из 2 • 1 • 2 таких частей. Поэтому его объём равен Итак, о 1 о 1 _ 21-2 _ 2 1 2 , 3, 5-2-3 5-2 3 .5 ” 2 ’ 3 2 1 2 2*1*2 2. “ 5 ’ ¥ ’ 3 “ 5*2*3 “ Т5 Если три измерения а, Л и с прямоушльнош параллелепипеда (длина, ширина и высота) измерены одной линейной единицей и выражены обыкновенными дробями, то объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: S = a-b‘C (кубических единиц), Р и г t где а = —, Ь = —, с = —. q я и 9 5 Пример 1. Стороны прямоугольника равны 4 см и — см. Его площадь равна „ . 9 5 49 *5 ^ \ , 2ч S = 4 — • — = = 3 — (см^). 10 7 10*7 Пример 2. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3--ДМ, -—дм, -^дм. Его объём равен О 10 Q 1, о1 4 3 10*4*3 1, 3, 3 10 8 3*10*8 2 ' ' ^[■ii-Fa) Как вычислить площадь прямоугольника, зная длину и ширину? 6) Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, зная длину, ширину и высоту? СЕН! Вычислите площадь прямоугольника, стороны которого равны: а)|ми|м: б):|миАм; В) 1 *1 дм и дм. ^ о 232 t ['I Площадь прямоугольника равна 4 дм^. Вычислите длину прямоугольника, если его ширина равна; а) ^ дм; б) |дм; в) 1|дм: г) 14 дм. 4 ЕПЗ Вычислите площадь и периметр прямоугольника, длина и ширина которого равны: а) 1 м и 3 4 м; 5 4 б) 4 Ц-и 3 4 м. 20 3 ей Вычислите площадь и периметр квадрата со стороной: 2 а) — см; 5 б) 4 дм; 5 X 3 г) 1тД“- 4 Ь[-1! И Сколько банок краски потребуется для покраски железной крыши дома, если содержимого одной банки хватает на покраску 10м^ поверхности? (Размеры крыши указаны на рисунке 174.) Рис. 174 ь ['IJ Необходимо покрыть кафельной плиткой пол, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м 50 см и 2 м 40 см. Плитки имеют форму квадрата со стороной 15 см. Сколько ящиков плитки потребуется, если в каждом ящике 50 плиток? EI3 Вычислите объём куба с ребром: а) ^м; б) 4 м: 4 В) 1-^см; г) 2-|дм. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны; а) 4 м. 4м и 4 м; 2 3 4 3 в) 50 ММ, 2 см и — м; I ии 2 3 5 б) - дм, - дм и - дм: 5 4 7 3 23 То 100^ 233 о Вычислите площадь всех граней и объём куба с ребром: ЕИИ а) - см; 6)|м. Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны: а) 14-дм, дм и -4 дм; 3 4 2 б) 4-ДМ. 14-ДМ И 4-ДМ. 5 4 3 Вычислите объём классной комнаты в литрах, если её ширина 6 м, длина 8 м, а высота 3 -4 м. Вычислите, сколько литров воз- 4 духа приходится на каждого из 25 учащихся, занимающихся в этом классе. Составьте и решите аналогичную задачу, учитывая размеры вашей классной комнаты и число учащихся вашего класса. СИЯВ магазине продаются аквариумы. Какой из двух аквариумов имеет больший объём, если их размеры: 42 см, м, 2-^ дм и 54 см, 4 м, 2 4 дм? 4 5 Площадь пола комнаты 16 м''', высота комнаты 2 4 м. Опреде- 4 лите объём этой комнаты. Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда, рёбра 2 1 1 которого —дм, -гдм, -;гдм. Вырежьте развёртку из бумаги, 5 4 2 оставляя припуски для склеивания, и склейте прямоугольный параллелепипед. Определите обьём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда. i Постройте развёртку куба, ребро которого -;4- м. Вырежьте раз- 2Ь вёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте куб. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба. I Квадрат площадью 1 м^ разрезали на несколько равных квадратов площадью: снз а) 4 м^: б) -4 м=^: 4 9 Сколько таких квадратов получилось? 234 дапалнсния к глявс ^ цгашзпгооаЕ1шшп11тп¥1ШЖ1^ с па Рассмотрим задачи на движение по реке, при решении которых удобно весь путь принимать за единицу, а скорость катера по течению реки, против течения и скорюсть течения реки выражать как часть пути, пройденного за единицу времени. Задача 1. Расстояние между пристанями Л и Л на реке плот проплывает за 12 ч. Такое же расстояние теплоход проплывает по озеру за 4 ч. За сколько часов теплоход проплывёт расстояние между пристанями Л и Л: а) по течению |>еки; б) против течения реки? Решение. Примем всё расстояние между пристанями Л и Л за единицу, тогда за 1 ч плот проплывает по реке 1 12 = — 12 этого расстояния, а теплоход за 1 ч проплывает по озеру 1:4 = ^ такого же расстояния, а) За 1ч по течению 3/, реки теплоход проплывает — + —- = -I 1 лп = — = — расстояния ЛЛ, за 1 : = 3 ч. 3 значит, расстояние Л Л он проплывает 3/1 J б) За 1 ч против течения реки теплоход проплывает т “ ТТТ = Л 12 2 1 ЛЛ, значит, расстояние ЛЛ он проплывает = -j-^ = — ргюстояния за 1 : — = 6 ч. G Ответ: а) за 3 ч; б) за 6 ч. Задача 2. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы преодолеть такое расстояние по реке? Решение. Примем всё расстояние за единицу. 1) 1:6 = -^ (расст.) — проплывает катер по озеру за 1 ч; 6 235 '“тап 4. Обыкново»аис цмХл' 2) 1 : 5 = — (расст.) — проплывает катер по течению реки за 1 ч; 04 1 1 1 / ч 1 1 3) ----= — (расст.) — па — расстояния за 1 ч относит по те- чению катер (плот); 4) 1 : = 30 (ч) — будет плыть плот это расстояние по реке. 30 Ответ: 30ч. Расстояние между пристанями Л и Л на реке плот проплывает за 6 ч, а теплоход проплывает по озеру такое же расстояние за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывает расстояние между пристанями Ли/?: а) по течению реки; б) против течения реки? Расстояние между пристанями Л и /? на реке бревно проплывает за 12 ч. Теплоход проплывает расстояние ЛИ по течению реки за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывёт расстояние Л/?: а) по озеру: б) против течения реки? Расстояние между пристанями Л и /? на реке плот проплывает за 15 мин. а катер проплывает расстояние АВ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние л/?: а) по озеру; б) по течению реки? Расстояние между пристанями Ли/? катер проплывает по течению реки за 8 мин, а такое же расстояние по озеру — за 12 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями Л и /?: а) плот; б) катер против течения реки? Расстояние между пристанями Лий моторная лодка проплывает против течения реки за 30 мин, а такое же расстояние по озеру —за 10 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями Л и /?: а) плот; б) моторная лодка по течению реки? Расстояние между пристанями Ли/? моторная лодка проплывает по течению реки за 15 мин, а против течения — за 60 мин. За сколько минут проплывёт то же расстояние: а) бревно по реке; б) моторная лодка по озеру? а) Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона? б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно —7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты? 236 Прнд'-мыаяьм зядя‘-у t Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел. Из пункта Л в пункт п против течения реки теплоход плывёт 20ч. А из пункта R в пункт Л—яч (6<д<18). За сколько часов из пункта П в пункт А приплывут плоты? □|ДГД7и;цг:ог1;|^<=7Чг:тч^!1!1.?--^------------^----: С древних времён до нас дошли памятники письменности разных народов. Так, в Древнем Вавилоне (ок. 4000 лет назад) запись делали деревянными палочками на мягкой глине. Получались глиняные таблички, испещрённые клинышками. Среди сохранившихся образцов клинописи есть и математические тексты. Для обозначения единицы использовали знак У, десяти — / и т. д. Вот несколько примеров таких записей: Основу системы мер веса и денег в Древнем Вавилоне составлял 1 талант; его делили на 60 мин, а мину — на 60 шекелей. Например, 2 таланта 13 мин 41 шекель записывали так: Позднее в математических текстах так же обозначали и отвлечённые (неименованные) числа. Например, та же запись означала 237 Г laea 4. 00ы-;;::зсяя1,о не только 2 таланта 13 мин 41 шекель, но и 2 единицы третьего разряда, 13 единиц второго разряда и 41 единицу первого разряда, причём единицы каждого следующего разряда (справа налево) в 60 раз больше единиц предыдущего разряда. В вавилонских клинописях более позднего времени наряду с шестидесятеричной системой записи натуральных чисел и дробей встречаются обозначения обыкновенных и сметанных дробей. Например, в клинописи 666 года до н. э. числа и 42 записаны так: Шестидесятеричпая система записи натуральных чисел дала основу для записи дробей, так, 2 таланта 13 мин 41 шекель состав- 13 л\ ляют 2 • 60^ + 13-60 + 41 текель или 2 + — + —г таланта. 60 60^ Таким образом, шестидесятые доли таланта, мины (любой единицы) записывали с помощью натуральных чисел. Это позволяло долго вести расчёты с долями единицы как с натуральными числами. В дальнейшем шестидесятеричная запись дробей была усовершенствована, появились специальные обозначения и названия для дробей: — = 1'=1 минута, —= —-—=1"=1 секунда, 60 ' ’ бО-! 36(H) ’ —т = •;—:---= 1'" = 1 терция и т. д. 60 216000 После того как были открыты правила действий с обыкновенными дробями, не произошло полного вытеснения шестидесятеричных дробей, так как они имели важное преимущество перед обыкновенными дробями — записывались без знаменателей и их было удобно складывать и вычитать. В Древнем Египте в пр>актических расчётах использовали дроби 1 1 1 1 тт с числителем 1: —, —, — и т. д. Для них существовали специальные 2 4 8 обозначения. Дроби с числителем, отличным от единицы (кроме 238 iji ц. дроби —), появились значительно позже. Поэтому, например, дробь 5 1 1 — выражали как сумму двух дробей: ^ В Индии дроби записывали так же, как мы это делаем сейчас, но черту дроби не писали. Дроби отделяли друг от друга вертикальными и горизонтальными линиями. Например, дробь запи- сывали так Знака «+* для записи суммы в то время ещё не существовало. 1 2 4 и сумму — н— + — записывали так: ^2 3 5 Кроме обыкновенных дробей, в Индии умели записывать и сме- ¥ шанные дроби. Дробь 3— записывали так: Целую часть писали над дробью. Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1. 3 2 1 5 что соответствовало Ту же дробь 3— записывали так: 5 3 2 2 сумме — -f- —, или 3 -н —. 15 5 Одним из примеров практического применения дробей может служить нотная запись в музыке. Здесь фактически используется понятие Д1юби и даже сложение дробей. Так, длительности поло- « 111 винные, четвертные и восьмые соответствуют дробям —, —, —, 2 4 8 а схема длительностей (рис. 175) соответствует суммам - = 2 4 4 1 = 1 1 4 ~ 8 8‘ Схема длительностей Рис. 175 1 \ ^ — половинная J J — четвертная ^ /\ ^— восьмая ^ ^ 239 4. о ал* Обозначение J* длительности наполовину. Например (нота с точкой) используется для увеличения , что соответству- Музьпсальное произведение состоит из одинаковых по длительности отрезков — тактов. Длительность каждого такта определяет его размер. Он обозначается дробью, так как нижняя цифра обозначает длительность доли (на рисунке 176 — четвертная), а верхняя цифра — количество долей в такте (две доли). Отличие заключается в том, что черту дроби не пишут и дробь не сокращают. RirJi I -ty iTITIIT CCS3B старых русских руководствах по арифметике использовали такие названия дробей: 4- — половина, 4 — четь, 4 — полчеть, 2 4 8 4г — полполчеть, -4т — полполполчеть. 16 32 Определите, каким дробям соответствовали тогда названия: треть, полтреть, полполтреть, полполполтреть. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны. Сколько надо дать за полдевятажды полдевята аршина? 1- .. и и е. На Руси некоторые смешанные дроби имели свои названия: 1 ^ — полтора, 2 — полтрети, 3 ^ — полчетвер- та, 4 ^ — полпята и т. Д- В задаче упоминаются произведения дробей: 2 2 24-24: 2 2 8 4 • 8 4- 2 2 240 г .'tpri iMiJI Ц..: Ананий из Ширака (Армения, Vila.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, — за два часа, третья, ещё более тонкая, — за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём. ■|риг,1С“ а ” "О, Ананий дал такой ответ: j Ис- ^ пользуйте его для проверки своего решения. AciViP За 11 к. куплены одна пятириковая и одна шестириковая стеариновые свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей? (Пятириковая свеча весила а шестириковая —фунта.) ,/^EQ Из египетских папирусов, а) Количество и его четвёртая часть дают вместе 15. Найдите количество, б) Число и его половина составляют 9. Найдите число. Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите её двумя способами. Разделите полтину на половину. Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей: — + + а h ч —+ —, где а, ь, с, f/ —нечётные натуральные числа? ___ ^ ^ Ы'У/ Р Задача-шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая муха хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше приползёт обратно? СЗПа) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то осталось две книги (рис. 177). Сколько книг лежало на столе первоначально? Рис. 177 было-? Е осталось 241 г '.'ш.'! 4. OijiJKiiO.! Рис. 178 дочери осталось б) Мама дала детям конфеты; дочери половину всех конфет и ещё одну (рис. 178), сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям? ! а) Отец даёт денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 р., среднему — половину остатка и ещё 1 р., младшему — половину остатка и последние 3 р. Сколько было денег? б) Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 р.; второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 р. и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально? СЕПЗа) У Васи есть три шоколадки (рис. 179). Он утверждает, что сможет взять половину имеющегося шоколада и ещё полшоколадки, не ломая ни одной из них. Сможет ли Вася выполнить своё обещание? Если сможет, то как? Рис. 179 б) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и ещё пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик? в) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и ещё полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально? Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая — половину остатка и ещё пол-яйца, а третья — последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок? 242 К табун1цику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки: как это табунщик будет делить лошадей пополам? Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков? У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 4- часть пирога, второму —остатка, третьему —^ того, что 6 5 4 осталось, четвёртому — ^ нового остатка. Последний кусок Саша разделил поровну с пятым другом. Кому достался самый большой кусок? а) В нашем классе есть певцы и танцоры: ^ всех певцов ещё и танцует, а 4- танцоров ещё и поёт. Кого у нас в классе боль-4 ше: певцов или танцоров? б) В делегации иностранных гостей говорящих по-английски 6 говорит и по-немецки, а 4 говорящих по-немецки говорит и 5 по-английски. Кого больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски? в) В делегации иностранных гостей 4 англичан знала немецкий О язык, а J немцев знала английский. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на вопрос задачи? Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 3 ч. а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся? Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. 2 3 Золото и медь составляют —, золото и олово ——, золото и 3 железо — — общего веса. Определите вес каждого металла в отдельности. 1 243 4. О СППЗа) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся, причём всех учащихся девочки. Папа сказал, что такого не может быть. Почему? О б) Известно, что — класса учится на «4» и «5». Сколько уча- 15 щихся может быть в классе? 1 3 в) Известно, что - класса — отличники, а - класса — девочки. о о Сколько учащихся может быть в классе? 3 1 г) Известно, что — класса— девочки, — 5 7 ИЗ НИХ — ОТЛИЧНИЦЫ. Сколько учащихся может быть в классе? %ГЕ1 а) В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков? б) В классе высоких мальчиков столько же, сколько невысоких девочек. Кого в классе больше: высоких детей или девочек; невысоких детей или мальчиков? '■ЕЗЦва охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй — 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и с той же скоростью побежала навстречу своему хозяину. Встретила его, повернула и побежала навстречу второму охотнику и т. д. Так она бегала от одного охотника к другому, пока те не встретились. Сколько километров пробежала собака? Вычислите: 92-93-94 - 91-92-93 93.94.95-92-93.94' СЕЗЗПапа и сын стартовали одновременно на двух соседних дорожках плавательного бассейна. Папа первым доплыл до конца дорожки, развернулся и поплыл навстречу сыну. Через сколько минут после старта они встретятся, если длина дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м/мин и 11 м/мин соответственно? 244 а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и ещё полгуся, а на втором — остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае? б) Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей? tiill Первый рабочий выполнил зада- 4 ния, второй — ^ остатка, третий — остатка, а четвёртый выполнил задание до конца. Какой из рабочих выполнил больший объём работы? %ТТР На первом экзамене в институт получили двойки у всех абитуриентов, на втором экзамене —остальных абитуриентов. О на третьем экзамене — ^ оставшихся абитуриентов. Какая часть У всех абитуриентов сдала три экзамена без двоек? 245 Глава 4. ООыкноеоиныо _%poC>i' _ зядяния для поятаясяня Выполните действия (1094—1100). в) 615 + 876; е) 284-139; в) 74 • 506; е) 276:23; rrm а) 325 + 723; б) 729 + 628; г) 359 + 987; д) 354 - 221; ж) 923-281; з) 725-189. ГТТРа) 39-48: 6)75-324; г) 708 • 807; д) 294:7; ж) 2842 : 49; з) 11 328:16. СЕЯа) 450-240-1200-45-4500-12 + 5; б) (4750: 19- 19- 13)-84-242; в) (723 600 :90 - 40 - 201 )•( 1234 • 4321 - 1999) + 5; г) 1998-1999-1998^^-1993. еттт? а) 9357 - 7288 + 3579 + 7290 - 3578; 6) 5544 : 88 - 5481 : 87 < 5454 :(100 - 46). ЕТТП а) 354 - 49 : 1239 + 357 - 48 : 56: б) 56-749:49-836:44-45. feu а) 938 + 356-356-938; б) 328-72-72-328; в) 728 - 357: 357 » 2; г) 432-724:432:724. ПЕЗа) 35-17-35-16 + 65-99-65-98; б) 79-23 + 21-23-(23-123-23-23). <*Г.11|Ч| ИК ff t,l f W < Из «Сборника задач и упражнений» Е. С. Березанской. Выполните действия (1101, 1102). СПИ а) ((16 000:32-1640:82): 15-7000-192 000): 40; б) ((97 264:8 + 1 284 200; 100): 1000-7 + 947)- 100; в) ((24 - 250 I 18 - 350); 60 • 400 + (44 - 4500 + 108-1500): 20): 400; г) (64-125+128- 75): 800 - 5000 - (300 -400 + 5107-800): 70; д) (24 347 420:8105 + 572 580: 180)-504+18 999 380: 9223; е) (31 440+ 1040: (150-2400: (67+ 53))-20): 395+ 1001; ж) 960 : (2000 ;(1 о 002 - (6085 + 2926) - 966)); (367 710:35 - 2 335 242:329)-375 . з) И) ((16 531 - 343 + 763 -1099): 718 - 65) - 71 ■ (41811:1267 + 506-(3000 - 2877)): 153 (1293 516:1827 - 608 597:907)-11 ‘ 246 СГЕЗа) 48-35 t 20 731:17 + 2109:37 45-37 + 35 53-35 - 221 3942:54 + 1755:65’ 46-64-1306 16807:7 ♦ 702:18 646:17 ^ШЗИз чисел 325, 729, 256, 428, 720, 1233 выберите числа, кратные: а) 2; б) 3; в) 5; г) 9; Ттт Делится ли сумма: а) 3295 + 4890 на 5; в) 3630+-336-49 на 3; Делится ли разность: а) 3210-1230 на 3; в) 14 900-17-2586 на 2; 343-7 Д) 10. 3^ 729 1 б) 324 + 891 на 9; г) 17-254+-19-132 на 2? б) 7470 - 333 на 9; г) 4258-125-350-729 на 10? Докязывяси ПЕЗ Докажите, что выражение: а) 45 - 38 +■ 45 - 11 делится на 49; б) 48-56-48-39 делится на 17; в) 725-47-47-701 делится на 12; г) 289-376-289-327 делится на 7; д) 17-386-17-254 + 17 -138 делится на 10. ПЕЯ Сократите дробь; а) 96 д) 100’ и) -1^; 208’ б) ' 240’ е) М; ’ 640’ к) М-380’ л) ^ Найдите целую часть дроби: 6,f; 64 , г) 128’ ^ 225’ 385. 3) ’ 225’ 440’ 750 . м) Ш 3456 1875’ 89. г) 16’ ^ 13’ 404. 45 ’ 125. 19 ’ 247 ШЭ Обратите смешанную дробь в обыкновенную дробь: а)5|; 6)9|: а)4|: Д)5|; : ж) 8 А; и) 16f: к) 171; 1000 ШИ Сравните дроби: а) I и б) I и f i- 3 2 Выполните действия (1111 — 1114). а) -^ + у; 7^3. _5^ 24 - 59 39. Д)31.21; а) 6 А ШНа) |-1; 5 4, ®> 3-9’ ^ 25 15’ r)il--ll; ' 80 90’ Д)5-2А; е)81-з1 а) — ’ 3 2 . ®> S'W Г) 5. А; д) - • 1 ^'5 3’ e)3flf ШПа) 4:|; 5 7 6)i^:li; ' 46 23’ В) 8:|; г) — : 9; 'и ’ Д) 8 - : 3 9’ е)з1:2. 3‘ Из «Сборника арифметических задач и численных примеров» В. А. Евтушевского. Выполните действия (1115—1135). —ГШ 340 29 43 74 Г 53 37 W3 12^ 567 42 54 81 “V60 84 J il4’^35j' 248 f р р I ■ j3«4 *1 ® ^ mn tJt-9 +12~ + li:4 1^1:4 4. 20 36 15 5 2 pyv^w jQ 21 27 y|/j 2 j-y 2 125 q 216 j(- 17 nn 31 3 5 8 7 .fl5 14 24 13')Г„1 «2 4 7 9 10 Л16 39 25 21 j' Г 8 7 .2-1^.Д2 17 3 loej. “^(7••f^H-зf).зI]:(6I:9]. “Sl(7:f-8l)-2|:((f.|.A].|), _пГГ32 27^1 19 (2S 48^1 10 f74 АдЛ ^5^ 3 [1,57 38j‘ 29 ^[26 65J' 51 “^[75 ^ 5oJ‘ 5э]‘ 5’ Enn(l6:l|-4|*2|:11.3l]:((7l-6|).A). nm 3 7 9 7 2 2 + 2- 4 12 10 8 5 3 3 "■ 7 5 3^3 5 10 8 6 4 7 249 rrrFl ь ь ^ У ГПТР fal + gll.ll Гб1-3-1.5- l 4 6j 5 _ Is 7j 6 fioA_8ll.i ■ I 10 2j 9 3--3-3 6 -29§. f28:l4 + 1^:22 + i|.9A + 4:1 V 4 3 11 lUl 2) 7 67 4 -47-I 7 7 6-1 + 2 : A-30; 4) :2l . 3 15 2) 15 28 j 4 М-ГЙ-5 а<*-й(“гн-а ■ Из «Сборника задач и упражнений» Е. С. Березанской. Выполните действия: n.fef rf <АМС*Д<1 д) e) М UK • и\Ч.«Н1ПА1И.ииА l7 A) 28 5 «3 r 1 11 5 S\ 18 8 lie 36 48 isj 250 **" ПП2а) На экскурсию поехало в 3 раза больше девочек, чем мальчиков. Сколько девочек было среди 56 учащихся, ездивших на экскурсию? б) Дедушке в 7 раз больше лет, чем внуку, который моложе дедушки на 48 лет. Сколько лет дедушке? в) Под картофель в хозяйстве занята в 5 раз ббльшая площадь, чем под морковь, а всего под картофель и морковь занято 27 га. Какая площадь занята под картофель? ППЗа) В коллекции 357 марок, причём российских марок на 45 больше, чем иностранных. Сколько в коллекции российских марок? б) У Васи было 28р. Он потратил на Юр. больше, чем у него осталось. Сколько денег у него осталось? в) В автобусе ехало 55 человек. На остановке вышло на 7 человек меньше, чем осталось. Сколько человек осталось? г) В магазин привезли 200 кг яблок. До обеда было продано на 12 кг больше, чем осталось. Сколько килограммов яблок было продано до обеда? Задачи С. А. Рачииского. а) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов? б) В школе равное число девочек и мальчиков. Я принёс 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке — по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принёс столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принёс? Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома? В бочке было 40 вёдер воды. Когда из бочки отлили несколько вёдер, то воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько вёдер отлили? (Индия, III—IVbb.). Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал _____первый? ^ьглра) Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. Чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватит. Сколько детей? 251 б) в вазы поставили по пять роз, и две розы остались лишними. Чтобы поставить по шесть роз, четырёх роз не хватит. _____Сколько ваз? ^^ЕЗа) Если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 тетрадей останутся лишними. А если выдать по 3 тетради, шести тетрадей не хватит. Сколько учащихся? Сколько тетрадей? б) В актовый зал школы привезли стулья. Если их расставить по 25 штук в ряд, то четырёх стульев не хватит. Если же их расставить по 24 стула в ряд. то двенадцать стульев останется. Сколько стульев? Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бед-ных? ^«бППа) Для детского сада купили 20 пирамид; больших и маленьких — по 7 и по 5 колец (рис. 180). У всех пирамид 128 колец. Сколько больших пирамид? б) В детском саду 20 велосипедов — трёхколёсных и двухколёсных. У всех велосипедов 55 колёс. Сколько двухколёсных велосипедов в детском саду? Вася посчитал, что если каждая девочка посадит по 3 дерева, а каждый мальчик — по 5 деревьев, то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева. Сколько в классе мальчиков? ГР Ловвнвкитайская задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке? i ь L ГР у юного биолога в аквариуме жили жуки и пауки. Всего их было 5, и у них было 34 ноги. Сколько жуков было в аквариуме? 252 сшз 'fen а) Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продаёт рожь. Если он продаст 15 ц ржи. то ему не хватит для покупки лошади 80 рублей, а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки лошади у него останется 110 рублей. Сколько стоит лошадь? б) Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека? а) Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы —по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других? б) Из рассказа А. П. Чехова «Репетитор». Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а чёрное — 3 р. Из «Арифметики» А. П. Киселёва, а) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Сколько стоит фунт смеси? б) Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чаю стоит 2 р. 85 к.? Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого он платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого —по 10 алтын; узнайте, сколько старых и сколько молодых баранов купил он. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца. а) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на первой полке и сколько — на второй. 253 дп; пг=т рсн‘*я б) у Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у девочек яблок стало поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки? в) Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; наконец, третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у мальчиков оказалось по 8 яблок. Сколько . яблок было вначале у каждого мальчика? ^лНЗа) За краски и две кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть —21 р. 72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть? б) За две тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к., а за тетрадь и две ручки заплатили 9 р. 93 к. Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка? в) За три линейки и угольник заплатили 11 р. 20 к., а за линейку и три угольника заплатили 22 р. 40 к. Сколько стоит линей- . ка? Сколько стоит угольник? У*ььиг#Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка _____и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок? ПИЗ а) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу? б) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись при совместной работе? в) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй —за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана? г) Скорый поезд проезжает расстояние между двумя городами, равное 900 км, за 10 ч, а товарный —за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу? ПЕЭа) Токарь может обточить 72 заготовки за Зч, а его ученику на выполнение той же работы потребуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе? б) На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на выполнение той же работы потребуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков? 254 ЗnдлlIИ^< qnfl по!'торои:1я ПЕЯАлёша и Боря вместе весят 82 кг, Алёша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят ^ вместе Алёша, Боря и Вова? /йи а) Четверо купцов имеют некото-рую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго,—85р.; сложившись без третьего, — 80 р.; сложившись без четвёртого, — 75 р. Сколько у кого денег? б) Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего—9 годам, третьего и шестого —6 годам, четвёртого и седьмого — 4 годам, а седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому? (Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом.) Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропажу и повернул обратно. Он догнал флягу у второго моста. Найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между мостами 1 км. Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 10 поленьев, вторая —8 поленьев, а у третьей дров не было —она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны поделить яблоки по справедливости? ПШНа солнышке грелись кошка и несколько котят. У всех у них лап на 24 больше, чем хвостов. Сколько котят было у кошки? ь i Несколько торговцев продавали бананы по 24 р. за 1 кг, а один —по 21р. 60 к. за 1кг. Когда контролёры проверили его весы, то оказалось, что при весе 800 г они показывали ровно 1 кг. По какой цене на самом деле продавал бананы этот торговец? ь к Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одно- временно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 ч и что скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. 255 ПП2а) Два пешехода вышли из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов между ними будет 45 км? б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся? в) Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами в предыдущей задаче составит 170 км? г) Скорость моторной лодки по течению 38 км/ч. а против течения — 33 км/ч. Какова скорость течения реки? д) Расстояние между пристанями, равное 40 км, моторная лодка прошла по течению за 2 ч, против течения — за 4 ч. Какова скорость течения реки? О а) В классе 32 учащихся, -- их числа учатся на «4» и «5». Сколь- 4 КО учащихся учится на «4» и «5»? 3 б) В классе 18 человек учатся без троек —это составляет ~ 5 всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе? в) В классе 12 девочек и 16 мальчиков. Какую часть класса составляют девочки? Какую — мальчики? 2 □Юа) Первое слагаемое составляет — второго, а их сумма равна 45. Найдите слагаемые. 2 б) Первое слагаемое составляет — суммы и на 45 больше второго слагаемого. Найдите слагаемые. 2 в) Первое слагаемое равно 45, а второе составляет - суммы двух слагаемых. Найдите сумму, 2 г) Вычитаемое составляет — уменьшаемого, а их разность равна 45. Найдите уменьшаемое и вычитаемое. i i а) Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго — за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно? б) Грузовая машина проедет расстояние между городами за 60 мин, а легковая — за 40 мин. Через сколько минут встретятся машины, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу? 256 *» в) Два пешехода вышли одновременно из пунктов А \л В навстречу друг другу и встретились через 20 мин, а ещё через 25 мин первый пешеход пришёл в пункт В. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришёл в пункт А? г) Если бы не было дырки в баке, то он наполнился бы из крана за 7 мин. Вся вода вытекает из полного бака за 56 мин. Определите, за сколько минут наполнится этот дырявый бак из того же крана? Считайте, что вода из бака вытекает равномерно. ШПа) Половина книг школьной библиотеки— учебники. Шестая часть всех учебников — учебники математики. Какую часть от всех книг составляют учебники математики? 2 1 б) В классе 18 мальчиков и 16 девочек, — мальчиков и — де- 9 4 вочек занимаются в литературном кружке. Сколько учащихся класса занимается в литературном кружке? а) У мальчика было 24 р. Он потратил этой суммы и остатка. Сколько денег он потратил? б) Туристы отправились в поход. За три дня они прошли 48 км. В первый день туристы прошли всего расстояния, а во второй день — •! остатка. Сколько километров они прошли в третий день? Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 часов утра. В 12 часов выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идёт 5 вёрст в каждый час, а барин едет 11 вёрст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика? I Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. А проходит в 2 ч 7 миль, /? —в Зч 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. Сколько миль пройдёт А до встречи с В? Первая бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая—за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, а потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней выполнено задание? Расстояние между двумя пристанями по течению реки катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на тот же путь по озеру? 257 il'i- Г;ОБТ' а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами Л и Д по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь? б) Плот плывёт от л до Д 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывёт от Д до Л? Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка? ПИЗ а) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе? б) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы? в) По условию задачи а) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно. (Китай, Ив.). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Однажды дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся? Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом Л может выполнить её один раз за 3 недели. В — три раза за 8 недель, С — пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считайте, что в неделе 6 рабочих дней по 12ч.) кьга) Каждый день турист проходит намеченного маршрута. Ка- 1 3 кую часть маршрута он пройдёт за 2 дня; за - дня; за дня? 2 4 3 2 б) Метр ткани стоит 96 р. Сколько стоит j м; — м ткани? 3 в) Некто купил — аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна? На прямой отметили 5 точек. Сколько отрезков и сколько лучей при этом образовалось? 258 ПЕН Дан треугольник АВС. На стороне АВ отметили точку М, на стороне ВС — точку N, на стороне АС — точку К. На сколько частей разбивают треугольник АВС отрезки МС, NA и КВ при различных положениях точек М, N \л К1 Выразите в сантиметрах: а) 60 мм; б) 65 мм; в) 5 мм. Выразите в квадратных дециметрах: а) 500 см^; б) 50 см^; в) 5 см^. ПШЯ Выразите в кубических метрах: а) 8000 дм^; б) 800 дм^; в) 80 дм^. ПШЗ Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли, длина и ширина которого: а) 25 и 24 м; б) 75 и 32 м; в) 50 и 28 м. ПЕЗ Какое расстояние проходит по озеру моторная лодка за 10 с, если её скорость: а) 60 м/мин; б) 120 м/мин; в) 180 м/мин; г) 132 м/мин? С Ь Какое расстояние проезжает автомашина за 20 с, если её скорость: а) 90 км/ч; б) 126 км/ч; в) 108 км/ч; г) 162 км/ч? СШ1 Выразите в метрах в минуту: а) 60 км/ч; б) 120 км/ч; в) 72 км/ч; г) 48 км/ч. ШЗ Выразите в метрах в секунду: а) 300 м/мин; б) 420 м/мин; в) 600 м/мин; г) 36 км/ч; д) 72 км/ч; е) 54 км/ч. ПЕН а) Для укладки 100 м труб можно купить трубы длиной Зм по 38 р. за штуку или длиной 4 м по 50 р. за штуку. Какие тру- бы обойдутся дешевле? б) Для покрытия пола кафельной плиткой можно купить 8 упаковок по 36 плиток размером 15 х 15 см или 7 упаковок по 24 плитки размером 20x20 см. В ка- ком случае будет больше отходов? в) Для оклейки комнаты можно купить 8 кусков обоев шириной 50 см или 7 кусков обоев шириной 60 см. В каком случае будет больше отходов, если длина обоев в куске в обоих случаях 1 о м? Какое условие задачи лишнее? 259 ИССЛСДУЕН EmtTP Некто имел 99 м сетки для ограждения участка прямоугольной формы. Каковы должны быть размеры участка, чтобы он занимал наибольшую площадь, если ограда должна иметь калит- ____ку шириной 1 м? ШЕИ Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки. Какими могут быть длина и ширина этого ____участка? В каком случае периметр участка будет наименьшим? СЕЙ В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы, сумма трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см? В каком случае объём этой коробки будет наибольшим? Определите на глаз длину отрезка: а) в сантиметрах (рис. 181); б) в миллиметрах (рис. 182). Проверьте результат с помощью линейки. а) б) в) А В с D М N Рис. 181 '— а) в « в) N А с М Рис. 182 D ПШ Определите на глаз величину угла зультат с помощью транспортира. (рис. 183). Проверьте а) б) в) Л м X / \ В с N К Y Рис. 183 260 *» ПЕЗ Постройте угол АВС, равный 90". С помощью транспортира разделите угол АВС на; а) 2 равные части; б) 3 равные части. СЕЭ Постройте угол АВС, равный 120"". С помощью транспортира разделите угол АВС на два угла так, чтобы один угол был: а) в 2 раза больше другого; б) в 3 раза меньше другого; в) на 20" больше другого; г) на 30° меньше другого. СЕШС помощью транспортира постройте угол величиной 100". Из вершины угла проведите луч так, чтобы один из образовавшихся углов был: а) в 4 раза больше другого; б) на 20° больше другого. Сколько решений имеет каждая из задач а) и б)? СПЗ На сколько частей могут разбить круг три различные хорды? Постройте окружность и разделите её с помощью циркуля на: а) 6 равных частей; б) 3 равные части. [\___ Дана окружность, постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этой окружности. СЗЯ Плохо отрегулированные часы отстают в каждые 2-^ часа на минуты. Стрелки часов поставили точно в 12.00 дня. Какое время покажут часы через 5 дней в 17.00? Через сколько суток часы отстанут ровно на 1 час? Из «Сборника арифметических задач и численных примеров» В. А. Евтушевского. Решите задачу (1206—1213). 3 Я прочитал — книги и ещё 52 страницы и заметил, что мне О осталось прочесть ещё ^ книги без 12 страниц. Сколько страниц в книге? Из крепости по случаю торжества стреляли в продолжение -| ч 3 так, что один выстрел следовал за другим через — мин. Сколь- 4 КО выстрелов сделано? Д к»: и Два обоза вышли из города в одно время. Один в каждые 4 ч О А делает 12— версты, а другой в каждые Зч делает 9— версты. 15 5 Какой обоз пройдёт больше другого за 15 ч и на сколько? 261 fiOBT■ /шЭТри крестьянки привезли на рынок масло; одна 4 кадки по 5 2 — пуда в каждой, вторая 2 кадки по — пуда, а всё масло третьей крестьянки было разложено поровну в 5 кадок и весило 3 пуда. Первые две крестьянки продали всё своё масло, а третья — только одну кадку. Сколько денег получили три крестьянки вместе, если каждый пуд масла продавали по 12 р.? ЭДва господина держали пари: чья лошадь перегонит, тот за каждую лишнюю версту получает 200 р. Лошади бежали 8 мин, и лошадь первого в каждые 1 мин делала версты, а лошадь 2 4 1 3 второго в каждые 2 — мин делала 1 j версты. Кто из них выиграл и сколько? Подрядчик поставил для войска 2500 лошадей. Для кавалерии 12 2 — всех лошадей, для артиллерии — того, что для кавалерии, 25 3 а для обоза того, что для артиллерии. За лошадь для кава-8 3 лерии ему заплатили 258 —р., за лошадь для артиллерии — 4 2 — того, что за лошадь для кавалерии, а за лошадь для обо-5 за —^ того, что за лошадь для артиллерии. Сколько получил он за всех лошадей, купленных для обоза? ^4 5 — часа может написать — 5___ 5 _______ _____. 1_______ 9 Один писарь в ^ часа может написать листа, другой в — часа — — листа, третий в 1 — часа — — листа. Сколько по-8 12 f 14 лучат все три писаря за 1 час работы, если с каждого листа 3 им платят — рубля? 5 с луга скосили 936 -1 пуда травы и полученное сено употреби-4 ли на прокормление двух быков и шести коров. На сколько дней хватило этого сена, если каждому быку выдавали еже- 7 3 3 дневно — пуда, каждой корове — — пуда, а из 123-7 пуда тра- 8 о 4 3 вы получали 24 -- пуда сена? 4 262 -ьти' Рис. 18/J ШП Бригадир подготовил два плана устройства асфальтовой дорожки через газон (рис. 184). В каком из этих случаев потребуется меньше асфальта, если отрезки АВ и CD равны? Края дорожки параллельны. Человек прошёл узкого моста, когда заметил, что сзади его догоняет велосипедист. Если человек побежит назад, то встретится с велосипедистом в начале моста, а если побежит вперёд, то велосипедист догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости бегущего человека? 263 Здания для пояторени. Пг€ДМ€ТНЫИ УКЯЗЯТСЛЬ Лр 106 Величина 77 Вершина угла 92 мпогоугольпию» 126 — прямоугольного параллелепипеда 110 треугольника 98 — четырёхугольника 101 Нынесепие об1цего множителя за скобки 28 Вычитаем<м; 16 Гектар 106 Градус 93 Грамм 115 Делимое 41 Делитель 143 Дециметр 84 Диагональ многоугольника 128 Диаметр 89 Длина ломаной 126 Дополнительный множитель 177 Дроби взаимно обратные 197 Дробная часть смешанной дроби 215 Дробь неправильная 181 — несократимая 169 — обратная данной 197 — обыкповеппая 164 — п|>авильная 181 — смешанная 214 — сократимая 169 Единицы времени 116 — длины 81, 84 — массы 115 — объема 112 — пло1цади 105 Знаменатель дрюби 164 Измерение длины отрезка с избытком 82 — — — с недостатком 82 — — — с округлением 82 Касательная 97 Квадрат 102 числа 39 Килограмм 115 Координатный лу^1 227 Кратное 149 Круг 89 Куб ПО — числа 39 Литр 113 Ломаная 125 Луч 78 Миллиметр 84 Минута 93, 116 Многоугольник 126 Множитель 22 Иаиболыний общий делитель 147 Наименьшее общее кратное 150 Неполное частное 52 Общее кратное 149 Общий делитель 147 — знаменатель 177 Обпгём прямоугольного параллелепипеда 113, 232 Окружность 89 Основание степени 38 Основное свойство дроби 169 Остаток 52 От|>езок 79 — единичный 81 Переместителы1ый закон сложения 14, 188 — — умножения 22, 201 Периметр многоугольника 126 — треугольника 98 — четырёхугольника 101 Площадь прямоугольника 106, 230 Позиционная система счиления 7 Показатель степени 38 Признаки делимости 137 Произведение 22, 196 Прямая 78 Прямоугольник 102 Прямоугольный парюллелепи-пед 109 Прямые параллельные 78 — перпендикулярные 94 264 Поедм:;—указетоль Рядиус окружности 89 Разложение на простые множители 144 Разность 1(>, 191 Раскрытие скобок 28 Распределительный закон 27, 201 Расстояние между точками 82 Ромб 105 Сантиметр 84 Свойства делимости 135 Система счисления двоичная 67 — — десятичная 7, 67 Слагаемое 13 ('мешанная дрюбь 214 Ожращение д|к>би 169 Сочетательный закон сложения 14, 189 — —- умножения 23, 201 Среднее арифметическое 228 Степень числа 38 ('тороны т{М’уголы1ика 98 — угла 92 ('умма 14, 184 С^ра 90 Тонна 115 Точка касания 97 Треугольник 98 — остроугольный 98 — прямоугольный 98 — равно^дренный 98 — равносторонний 98 — тупоугольный 98 Углы вертикальные 97 — смежные 97 Угол 92 — прямой 93 — острый 93 — развёрнутый 93 — тупой 94 Умепыпаемое 16 Хорда 89 11адей; в) 5 р. 289. 400 г. 290. 17.03.51. 309. а) 37; б) 75; в) 357; г) 123. 310. а) 81 или 29; б) 48 или 84; в) 753; г) 928. 311. а) 32(И)км; б) .5(НИ) км. 315. а) 15, 13 и 10 лс?т; б) 80, 69 и 46 м€!дп-лей. 316. в) 17 учащихся. 322. 56 способов. 323. 16 способов. 324. 72 способ»». 330. 7 частей. 331. 8 б|)ёвен по 4 м и 2 бревна по 5 м. 332. 7 мин 30 с. 335. 11 способами. 338. Богач потерял 58 р. 83 к. глявя е .349. 6 прямых. 352. На 4, 6 и 7 частей. 357. 6 лучей. 360. Б. 367. 19 см. 368. 3 см. 369. а) 7 см; б) 19 см. 370. 9 и 17 см. 371. 2 решения: 14 и 180 см. 377. а) .36 см; б) 37 см; в) 37 см. 389. а) 17 км; б) 18 км; в) 18 км. 434. 105° и 75°. 451. 16 и 17см. 452. 9, 9, 12см и 11, 11, 8см. 463. а) 42 см. 46.5. а) 160 см. 466. а) 208 см. 467. 11 см. 468. а) 10 см; б) 16 см2. 470. 14 см. 477. 5 см. 481. а) В 100 раз. 48.3. Юм. 484. 100 м. 485. В 225 раз. 488. 13 см. 490. а) 25 см2. 500. а) 1.50 см2. 504. р). 507. 27. 508. а) 27, 8 и 1 кубик. 511. а) 100 м; б) 10 км. 512. а) 1440 см». .513. а) 680см2. .51.5. 9 раз. .542. 7.3 км. .543. а) 5 ч; 6) 5 ч. .546. а) 2 км/ч; б) за 12 ч. 547. На 6 км/ч. 548. 120 км/ч. Лишние условия — высота полета и дата события. .5.51. а) Через 2 ч; б) через 10 дней. .5.53. Через 1ч и 3 ч. 555. *1ерез 8 дней. 556. 156 вёрст. 557. 6 ч. 559. 15 мин. 560. 25 м/мин. 561. 2 км. Лишние условия: плывут против течения и 3 км/ч. .562. 600 м. .563. 2 км. 564. а) Через 4 ч; б) через 2 ч; в) через 2 ч. .57.3. а) .35; б) 170. 576. 8 и 8 см. .581. 31 см2. ^ 3 д„я. 590. 12 фигур. .592. 11 развёрток. 593. В 100 |>аэ. 266 глявя 3 620. а) Да; б) нет. 621. а) 5; б) 4; в) .*>; г) 0 или 9. 646. Потому, что сумма четырёх нечётных чисел не может быть равна 99. 653. а) 1, 2, 3, 4, 6, 12. 6.59. а) Например, 3 • 664 + 6 • 1 = 1998; б) потому, что сумма З-а + 6-б делится на 3, а число 1999 нет. 660. а) 8 = 4-2-1-1. 676. а) 2^-3'‘-,5-7. 678. 12 человек, .5 команд. 694. а) ПОД(а, ft) = = 23.3<-5; HOK(a,fe) = 2<-3^-52. 697. а) 20 м; б) 12 м. 698. .5 пачек. 699, 7 и 4 оборота. 701. Ошибается. Если прои:*ведение четырёх натуральных чисел нечётное, то эти числа нечётные, а их сумма чётная. 702. Нелыэя. 703. Нелызя. 708. Фигуру а. 714. а) 11; б) 97. 71.5. Ист, так как при « = 41 число Р делится на 1, на Р и на 41. ГЛЯЯЯ А 74.5. 746. а) 2.3 км; б) 19 км; в) 1.5 км. 747. а) —. 748. а) За .5 ч. 3 4 749. а) Па расстояния. 7.59. а) — или 769. а) б) в) да; 3 16 8 18 63 г) пет. 778. а) 16км; б) Юр.; в) 9 страниц. 779. 81 км. 780. я) .3.3 учащихся; б) .5.5 монет. 781. а) 16 р.; б) 2-5 см. 782. а) 3.5 лет; б) 30 лет. 783. а) 224 кг. 784. ИСене и дочери — по 6000 р., сыновьям — по 12 000 р. 785. 792 р. 786. 36 р. 787. 60 лет. 789. 63 р. 790. 6720 р. 811. а) Кон<1>еты 199.5 1996 тяжелее. 816. е) ----- < -----. 817. я) У папы реяультат лучше; б) у Коли 1996 1997 0,0 ч 6 7 ч 8 17 ,13 ,9 ,169 результат лучше. 818. а) — и —. 8.16. а) —; б) —; в) —; г) —; д)----------; I J IQ 'гг* ' on* ' 0/4* ' * ''' on/4* 20 30 300 643 5 5 е) ---. 841. а) Да; б) нет. 842. 14 га. 843. а) — бассейна; б) -— задания; 840 6 24 в) всего пути. 859. а) На расстояния; б) всей работы; в) со- 24 16.5 40 чинения. 860. Кофе и молока поровну. 874. поля. 875. -р пути. 876. р луга. 878. а) 9 воробьёв; б) 80 р.; в) 25 км; г) 160 марок. 879. а) 40 р.; б) 20 р. 880. 64 детали. 882. 60 страниц. 88.3. 8 вёрст. 884. 28 флоринов. 918. а) 27; б) 4; в) -; г) —; д) —; е) —. 919. а) 48; б) 5.5; в) —; г) -; д) -; е) 1. 920. а) —; б) -; в) г) -. 937. а) —; б) —. 9Ж а) »е»''о»'о»'к ' or?» ' пт ’ к ' 95 27 27 5 б) 939. а) б) в) г) д) 4; е) ж) з) и) 2; к) 4 Z Ь 6 S Ь Z d 4 940. а) б) 4; в) 1. 941. а) б) 4; в) —; г) 16. 942. а) 15; б) 49. 6 .3 .5 945. Пе получилось. 946. а) 1.50; б) 363. 947. а) Па 10 дней; б) 25 авто- 267 машин. 948. а) 300; б) 49. 949. 3 м 4.6 см. 9.61. —. 955. а) и — бассейна; 8 3 6 б) бассейна, на 2 ч; в) за 6 мин. 9.56. Через 6 дней. 9.57. а) За 12 ч; б) за 12 мин; в) через 12 ч. 958. На 18 дней. 959. На 30 дней. 960. За 15 ч. 962. Через 90 мин. 963. Зч 20 мин. 964. а) За месчща; в) за ^ 1Ч)да. 1015. а) 1-^. 1028. а) 2-^; 6)9-f^; в) Ю^; г) 19. Ziy Ю IZ 9() 1029. а) 9-; б) -; в) 12; г) -; д) —; е) 9-. 1036. а) 6- и 8; б) — и '8^8 ' 3 ' 39 ' 9 '2 27 1041. 23 года. 1042. 27 лет. 1048. 5 банок. 1049. 10 ящиков. 10.54.1.56 000 л, 6240 л. 10.56.36 м '. 1060. а) 2 ч; б) 6 ч. 1061. а) 4 ч; б) 6 ч. 1062. а) 10 мин; б) 6 мин. 1063. а) 24 мин; б) 24 мин. 1064. а) 15 мин; 6) 6 мин. 1065. а) 40 мин; 6) 24 мин. 1066. а) 24 дня; б) 35 суток. 1069. 2(И)— гривны. 1070.—. 1071. 30 к. 1074.1р. 36 И 107.5. Нслыш. 1076. Ilepima. 1077. б) 22 кон(}мп'ы. 1078. а) .30р.; б) 18 р. 1079. а) (’может, взяв 2 целые шоколадки. 1080. 4.3 яЙ1р1. 1081. 24, 12, 6 лошадей. 108.3. а) Пепиов больше; б) говоржцих по-английски больше; в) ответить на вопрос задачи нельзя. 1085. Золота, меди, олова и железа было ЗО-^, 9-^, 14-^, 5— мины. 1086. я) 35 не делится на 3. 1087. а) Но- 2 2 2 2 слушных детей и мальчиков по{к>вну. 1088. 16 км. ЗЯДАНИЯ ДЛЯ П□ST□f>€t4ИЯ 1097. а) 9360; б) 101. 1098. а) 320; б) 1. 1100. а) 100; б) 0. 1101. а) 800; б) 112 200; в) 250; г) 49 920; д) 3 119 300; е) 1081; ж) 12; з) 2; и) 1. 1102. а) 0; 6) 2. 111.5.2. 1116.-. 1117.2. 1118.6. 1119.26 963—. 9 9 1120.2. 1121.36 162. 1122.5. 1123.0. 1124.4. 1125.1^. 1126.1. 1127. 3. 1128. 18. 1129. 78-. ИЗО. 10-. 1131. 41132. 6-. 1133. 2. 5 8 9 3 1134.194. 1135.5. 1136. а) 10; б)2-|; в) г) 13; д) 14; е) 8. 1137. а) 42 девочки; б) .56 лет; в) 22-^ га. И:)8. а) 201 марка; б) 9 р.; в) 31 человек; г) 106 кг. 1139. а) 83 ореха; б) 312 о;>ехов. 1140. По 2000 р. 1141. 5 вёдер. 1142. 4. 1143. а) 5 детей; б) 6 ваз. 1144. а) 25 учащихся, 69 тетрадей; 6) 396 стульев. 1145. 11 бедных. 1146. а) 14; 6) 5. 1147. 16 мальчиков. 1148. 12 кроликов и 23 фазана. 1149. 3 жука. 268 1150. я) 650 р.; б) 18 р. 20 к. 11.51. а) 18 ко|юв по 18 р. и 26 коров по 26 р.; б) 63 аршина синего и 75 аршин чёрного сукна. 1152. а) 6 к.; б) 24 фунта первого сорта и 8 <1)уитов второго. 1153. КЮ старых ба|>а-нов и 12 молодых. 1154. 80 р. 1155. а) 9 и 3 книги; б) 5 и 3 яблока; в) 13, 7 и 4 яблока. 11.56. а) 11р. 25 к. и Юр. 47 к. 1157. 4(Ю г. 1158. а) За 12 дней; б) за 2 ч; в) за 6 мин; г) через 6 ч. 1159. а) За 4 ч; б) за 6 ч. 1160.125 кг. 1161. а) 20, 25, 30 и 35 р. 1162. 3 км/ч. 1163. 6 и 3 яблока. Замечание. Яблоки даны только за тс поленья, которыми воснолы'ювалась третья хо.зяйка. 1164. 7 кш’ят. 1165. 27 р. 1166. 55 км/ч и 45 км/ч. 1167. г) 2-^ км/ч; д) .3 км/ч. 1169. а) 18 и 27; б) 90 и 45; в) 135; г) 135 и 90. 1170. а) За 3 мин; 6) через 24 мин; в) через 16 мин; г) .за 8 мин. 1171. б) 8 y^iaiiinxcH. 1172. а) 15 р.; б) 16 км. 1173. На 65-й версте. 1174. 35 миль. 1175. За 11 дней. 1176. 9 ч. 1177. а) 4 ч. 1178. 6 р. 48 к. 1179. а) «За 8 дней; б) :ш 60 мин; в) за 15 72 дня. 1180. Через 3— дня. 1181. За 5 дней и 4ч. 1182. в) 12р. 16 1183. 10 отрезков и 10 лупчей. 1188. а) 6 а. 1189. а) 10 м. 1190. а) .500 м. 1191. а) 1000 м/мин. 1192. а) 5 м/с; г) 10 м/с. 1194. 25x25 м. 1201. а) 3 решения: 20"“ и ЗО*^', 52“ и 208“, 2.5“ и 100“; б) 3 решения: 40“ и 60“, 120“ и 140“, 80“ и 100“. 120.5. 16.35, через '2-^ суток. 1206. .320 страниц. 1207. .51 выстрел. 1208. Второй, па 2 версты. 1209. 44 р. 1210. Вто-;>ой выиграл 400 р. 1211. 28 7.50 р. 1212. 1р. 30 к. 1213. На .3.5 дней. 1215. В 3 раза. 269 1ГЛЯСЛСННС Глявя 1. НЯТУРЯЛЬМЫЕ ЧИСЛЯ и НУЛЬ............................. 5 I.J. Ряд натуральных чисел....................................... — I.S. Десятичная система записи натуральных чисел................. 7 1.В Сравнение натуральных чисел................................ 11 1 Сложение. Законы сложения.................................. 13 1-_ Вычитание.................................................. 1Б 1.М Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания.... 19 1.1 . Умножение. Законы умножения................................ S2 1.Б Распределительный закон.................................... S7 1.^. Сложение и вычитание чисел столбиком....................... 30 i.lu Умножение чисел столбиком.................................. 34 1.11 Степень с натуральным показателем.......................... ЗВ Деление нацело........................................... 41 1.13. Решение текстовых задач с помощью умножения и деления .... 43 1.14. Задачи «на части»......................................... 4В 1.1 Деление с остатком......................................... 51 1.1Б. Числовые выражения........................................ 5Б 1.17. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности .... ВО Дополнения к главе 1.......................................... вз 1. Вычисления с помощью калькулятора.................. — 2. Исторические сведения................................. В5 3. Занимательные задачи.................................. 7D глявя а. ИЗМЕРЕНИЕ вЕЛИЧИН.................................... 77 а.1. Прямая. Луч. Отрезок........................................ — а.? Измерение отрезков......................................... В1 а.З. Метрические единицы длины.................................. В4 а.-г Представление натуральных чисел на координатном луче....... ВБ а.Ь. Окружность и круг. Сфера и шор............................. ВЭ —.G Углы. Измерение углов...................................... 9В а.7. Треугольники............................................... 9В а.Е Четырёхугольники........................................... Ю1 Площадь прямоугольника. Единицы площади..................105 а.10 Прямоугольный параллелепипед............................. 109 270 ОгчйЁленмс 2.11. Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма. 11S Единицы МОССЫ.......................................... 115 2.1^ Единицы времени....................................... 11Б ^14 Задачи но движение.................................... 11В Дополнения к главе 2.......................................... 125 1. Многоугольники....................................... — 2. Исторические сведения.............................. 130 3. Занимательные задачи............................... 132 Глявя 3. ДЕЛИМОСТЬ НЯТУРЯЛЬНЫХ ЧИСЕЛ......................... 135 3.1. Свойства делимости...................................... — З.Ё:: Признаки делимости.................................... 137 3.—. Простые и составные числа............................. 141 3.4. Делители натурального числа........................... 143 3.5 Наибольший обилий делитель............................ 147 3. to. Наименьшее общее кратное.............................. 145 Дополнения к главе 3.......................................... 152 1. Использование чётности при решении задач............. — 2. Исторические сведения.............................. 157 3. Занимательные задачи............................... 155 ГлЯЯЯ 4. ОБЫКМОвЕНМЫЕ ДРОБИ........................ 1ВЗ 4. JL. Понятие дроби........................................... — 4.2. Равенство дробей...................................... 15В 4.а. Задачи но дроби....................................... 173 4.4. Приведение дробей к общему знаменателю................ 177 4.^ Сравнение дробей...................................... 1ВО 4.Б. Сложение дробей....................................... 1В4 4.7. Законы сложения..................................... 1ВВ 4.В Вычитание дробей...................................... 151 4.5. Умножение дробей...................................... 155 4.10. Законы умножения. Распределительный закон.............. 201 4.11. Деление дробей..........................................203 4.12. Нахождение части целого и целого по его части...........20В 4.13. Задачи на совместную работу............................ 210 4.14. Понятие смешанной дроби................................ 214 4.15. Сложение смешанных дробей.............................. 217 271 4.ХБ. Вычитание смешанных дробей.................................SSO 4.17 Умножение и деление смешанных дробей........................eS3 4 1^ Представление дробей на координатном луче...................SSB 4.19 Площадь прямоугольника. Объём прямоугольного параллелепипеда гэо Дополнения к главе 4.............................................гз5 1. Сложные задачи на движение по реке..................... — 2. Исторические сведения................................ ез7 3. Занимательные задачи..................................240 Задания для повторения...........................................24Б Предметный указатель.............................................ев4 Ответы ..........................................................гвБ Учеоное издание Серин «МГУ — школе» Никольский Сергей Михайлович Потапов Михаил Константинович Решетников Николай Николаевич Шевкнн Ллександр Владимирович МАТЕМАТИКА 5 класс Учебник для общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т.Л. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Е.В.Трошко Художники О. П. Богомолова, А. Г. Воробьев Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика А. Г. Вьюнаковской Техническое редактирование и компьютерная вс|>стка Е, Б.Саватеева Корректор М.А. Терентьева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 00.5-93—9.*)3000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 14.04.14. Формат 70 x 90 Vie* Кумага офсет11ая. Гарнитура Школьная, Прагматика. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 13,11 f0,51 форз. Доп. тираж 15000 экз. Заказ № Открытое акционерное общество *И.здатсльство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство «Высшая школа». 214020, г, Смоленск, ул. Смольянинова, 1. Тел.: ♦7(4812)31-11-96. Факс: ♦7(4812)31-31-70 E-mail: spk(^rnolpk.ru https://www.smolpk.ru