Математика 5 класс Учебник Козлова Рубин часть 2

Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» С.А. Козлова, А.Г. Рубин МАТЕМАТИКА 5 класс • Часть 2 Москва ъ/тос 2015 УДК 373.167.1:51 ББК 22.14я721 К59 Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» шкт Совет координаторов предметных линий Образовательной системы «Школа 2100» -лауреат премии Правительства РФ в области образования за теоретическую разработку основ образовательной системы нового поколения и её практическую реализацию в учебниках На учебник получены положительные заключения по результатам научной экспертизы (заключение РАН от 14.10.2011 № 10106-5215/609), педагогической экспертизы (заключение РАН от 24.01.2014 № 000362) и общественной экспертизы (заключение НП «Лига образования» от 30.01.2014 № 169) Руководитель издательской программы — чл.-корр. РАО, доктор пед. наук, проф. Р.Н. Бунеев Козлова, С.А. К59 Математика. 5 кл. : учеб. для организаций, осуществляющих образовательную деятельность. В 2 ч. Ч. 2 / С.А. Козлова, А.Г. Рубин. — Изд. 2-е. — М. : Баласс, 2015. — 208 с. : ил. (Образовательная система «Школа 2100»). ISBN 978-5-85939-976-5 ISBN 978-5-85939-816-4 (ч. 2) Учебник «Математика» для 5 класса соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. Является продолжением непрерывного курса математики и составной частью комплекта учебников развивающей Образовательной системы «Школа 2100». Учебник ориентирован на развитие мышления, творческих способностей ребёнка, его интереса к математике, функциональной грамотности, вычислительных навыков. В нём рассматриваются элементы стохастики и способы решения некоторых занимательных и нестандартных задач. Может использоваться как учебное пособие. УДК 373.167.1:51 ББК 22.14я721 Данный учебник в целом и никакая его часть не могут быть скопированы без разрешения владельца авторских прав ISBN 978-5-85939-976-5 ISBN 978-5-85939-816-4 (ч. 2) © Козлова С.А., Рубин А.Г., 2010, 2012 © ООО «Баласс», 2010, 2012 КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ Вы продолжаете изучать предмет «Математика». Учебник Образовательной системы «Школа 2100» поможет вам в развитии умений (действий), которые необходимы в жизни. Напоминаем, что эти умения, или действия (они называются универсальными), развиваются через специальные задания, обозначенные в учебнике кружками и фоном условных знаков разного цвета. Каждый цвет соответствует определённой группе умений: □ □ □ © организовывать свои действия: ставить цель, планировать работу, действовать по плану, оценивать результат; работать с информацией: самостоятельно находить, осмысливать и использовать её; общаться и взаимодействовать с другими людьми, владеть устной и письменной речью, понимать других, договариваться, сотрудничать. Так обозначены задания, где нужно применить разные группы умений, мы называем их жизненными задачами и проектами. Как мы будем учиться? Для успешного изучения математики и овладения универсальными умениями на уроках открытия нового знания используется проблемный диалог (образовательная технология). Структура параграфа, где вводится новый материал, имеет в учебнике следующий вид. Вспоминаем то, что знаем Так обозначены вопросы, задания и упражнения по изученному материалу, который необходим для открытия нового знания. Открываем новые знания Ученики, проводя наблюдения, ищут решение и формулируют свои предположения о том, как решается данная задача, формулируют ответы на поставленные в учебнике вопросы. Отвечаем, проверяем себя по тексту Ученики читают, анализируют текст учебника, сопоставляют его со своими предположениями, проверяют правильность своих ответов на вопросы и сделанных на их основании выводов. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности. 3 Н П М Необходимый уровень. Эти задания должны уметь выполнять все учащиеся. Они помогут вам понять, усвоены ли основные понятия и факты, умеете ли вы применять их к решению стандартных задач. Повышенный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят углубить свои знания. Они требуют более глубокого усвоения учебного материала, для их решения, наряду с использованием уже известных вам приёмов и алгоритмов, может понадобиться создание собственных алгоритмов. Максимальный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят научиться решать более сложные нестандартные задачи. Работа над ними может потребовать значительных усилий, изобретательности и настойчивости. При этом выполнение всех содержащихся в учебнике заданий ни на каком из уровней не является обязательным! Они выбираются в соответствии с возможностями и потребностями учащихся под руководством педагога. Структура параграфа, где повторяются и обобщаются знания, имеет в учебнике следующий вид. Повторяем, обобщаем знания Так обозначены вопросы, задания и тексты по изученному и обобщаемому материалу. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности. Ориентироваться в учебнике вам помогут условные обозначения fil Проблемный вопрос. Это нужно прочитать и использовать полученную информацию в дальнейшей работе. Работа в группе (паре). Упражнения для домашней работы. Задание с использованием информационных технологий. Самостоятельная исследовательская работа. 4 Задачи на движение Вспоминаем то, что знаем 41 Что такое скорость движения? 41 Как связаны между собой скорость, время и расстояние? 41 Как найти скорость сближения двух объектов? 41 Как найти скорость удаления двух объектов? Движение одного объекта ш Вы уже умеете решать некоторые задачи на движение. В них рассматриваются три взаимосвязанные величины: v - скорость движения (расстояние, пройденное за единицу времени), t — время движения, s — пройденный путь. Эта взаимосвязь выражается формулами: s = v^t, t = s : v, v = s : t. В начальной школе мы с вами научились решать задачи, в которых рассматривалось движение одного объекта: пешехода, велосипедиста, автомобиля и т.д. Задача 1. Скорость движения пешехода — 6 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 3 часа? Решение: опираясь на знание взаимосвязи между скоростью, временем и расстоянием (s = v • t), находим, что пройденное расстояние равно 6 3 = 18 (км). t = 3 ч s - ? км Задача 2. Расстояние между двумя населёнными пунктами равно 18 км. Скорость движения пешехода — 6 км/ч. За какое время он пройдёт это расстояние? v n 5 Решение: опираясь на знание взаимосвязи между скоростью, временем и расстоянием (t = s : v), находим, что время равно 18 : 6 = 3 (ч). vn. = 6 км/ч t - ? ч s = 18 км Задача 3. Расстояние между двумя населёнными пунктами — 18 км. Пешеход прошёл это расстояние за 3 ч. Какова была его скорость движения? Решение: опираясь на знание взаимосвязи между скоростью, временем и расстоянием (v = s : t), находим, что скорость движения равна 18 : 3 = 6 (км/ч). vn - ? км/ч t = 3 ч s = 18 км Также мы научились решать задачи, в которых два участника движения, стартовав одновременно, двигались в противоположных направлениях. Задача 4. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них была 6 км/ч, а другого - 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа? Решение: каждый час расстояние между пешеходами увеличивается на 6 + 4 = 10 (км). Это значит, что скорость удаления пешеходов равна 10 км/ч. Найдём расстояние между пешеходами через 3 часа, опираясь на знание взаимосвязи между скоростью, временем и расстоянием: (6 + 4)3 = 30 (км). I, v1 = 6 км/ч IЧ V2 = 4 км/ч 1-------^ t = 3 ч Движение в противоположных направлениях (4 + 6) км ^3 f Эту же задачу можно решить другим способом: 6 3 + 4 3 = 30 (км). Мы также научились решать задачи, в которых два участника движения, стартовав одновременно, двигались навстречу друг другу. 6 Задача 5. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. Скорость одного из них — 6 км/ч, а другого — 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? = 6 км/ч t - ? встр. место встречи ------->€------ V2 = 4 км/ч 30 км Решение: каждый час расстояние между пешеходами уменьшается на 6 + 4 = 10 (км). Это значит, что скорость сближения пешеходов равна 10 км/ч. Так как расстояние между пешеходами 30 км и каждый час они вместе проходят по 10 км, то их встреча произойдёт через 30 : 10 = 3 (ч). Вспоминаем то, что знаем Из дома вышли и одновременно пошли в противоположных направлениях два пешехода: мальчик и девочка. Скорость мальчика — 100 м/мин, скорость девочки — 60 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 минуты? Открываем новые знания • Из дома вышли и одновременно пошли в одном направлении два пешехода: мальчик и девочка. Скорость мальчика — 100 м/мин, скорость девочки — 60 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 4 минуты? Что общего в условиях этих задач? Чем они отличаются? Как решается каждая из них? Отвечаем, проверяем себя по тексту Способ решения первой задачи нам известен. Рассмотрим решение второй. Движение в одном направлении ^ Начало движения ^ Мальчик Девочка v^ ^^СС^/мин Vд = 60 м/мин 7 100 м 100 м 100 м 100 м Через четыре М. минуты Д. 60 м 60 м 60 м 60 м Эту задачу можно решить двумя способами. I способ 1) 100^4 = 400 (м) - расстояние, которое за 4 минуты пройдёт мальчик; 2) 60 4 = 240 (м) - расстояние, которое за 4 минуты пройдёт девочка; 3) 400 - 240 = 160 (м) - расстояние между мальчиком и девочкой через 4 минуты. II способ 1) 100 - 60 = 40 (м/мин) - скорость удаления мальчика от девочки; 2) 40 • 4 = 160 (м) - расстояние между мальчиком и девочкой через 4 минуты. Вы видите, что общее в этих задачах то, что в обоих случаях пешеходы удаляются друг от друга и нам требуется найти скорость удаления, а затем, следуя общей формуле движения, найти расстояние между пешеходами через заданное время. Скорость удаления в рассматриваемом случае равна разности скоростей двух движущихся объектов: ^удаления V1 v2. Вспоминаем то, что знаем Из дома и из школы, расстояние между которыми 160 м, вышли и одновременно пошли навстречу друг другу два пешехода: мальчик и девочка. Скорость мальчика - 100 м/мин, скорость девочки - 60 м/мин. Через сколько минут они встретятся? 8 Открываем новые знания t» Из дома и из магазина, расстояние между которыми 160 м, вышли и одновременно пошли в одном направлении два пешехода: мальчик и девочка. Скорость мальчика — 100 м/мин, скорость девочки — 60 м/мин, причём мальчик догоняет девочку. Через сколько минут мальчик догонит девочку? • Что общего в условиях этих задач? • Чем они отличаются? €1 Как решается каждая из них? Отвечаем, проверяем себя по тексту Способ решения первой задачи нам известен. Рассмотрим решение второй. Начало движения VM = 100 м/мин М Vd = 60 м/мин Через четыре М. минуты Д 60 м 60 м 60 м 60 м Скорость мальчика — 100 м/мин, скорость девочки — 60 м/мин. Мальчик догоняет девочку, значит, расстояние между ними каждую минуту уменьшается на 100 - 60 = 40 (м). Скорость сближения мальчика и девочки 40 м/мин. Чтобы догнать девочку, мальчику нужно преодолеть первоначальное расстояние между ними (160 м). Чтобы найти время, необходимое для этого, нужно первоначальное расстояние разделить на скорость сближения: 160 : 40 = 4 (мин). Вы видите, что общее в этих задачах то, что в обоих случаях пешеходы сближаются друг с другом и нам требуется найти скорость сближения, а затем, следуя общей формуле движения, найти время, через которое один пешеход догонит другого. Скорость сближения в рассматриваемом случае равна разности скоростей двух движущихся объектов: Vсближения V1 V2‘ 9 Вспоминаем то, что знаем Собственная скорость первой лодки — 6 км/ч. Какое расстояние она проплывёт за 2 часа, двигаясь в стоячей воде? Открываем новые знания • Собственная скорость второй лодки — 6 км/ч. Двигаясь по течению реки, она за 2 часа проплыла 16 км. ф Почему, имея одинаковую собственную скорость и одинаковое время движения, лодки проплыли разное расстояние? Чем решение задачи на движение по реке отличается от решения уже известных нам задач? Отвечаем, проверяем себя по тексту В задачах на движение по реке есть своя особенность. Существует собственная скорость объекта - это скорость движения в стоячей воде, и также существует скорость течения реки, которую необходимо учитывать. При этом возникает скорость движения по течению и скорость движения против течения. Например: собственная скорость лодки - 6 км/ч. Скорость течения реки - 2 км/ч. Тогда скорость движения по течению складывается из собственной скорости лодки и скорости течения: 6 + 2 = 8 (км/ч). Vсобственная ^ vr v по течению ^течения Скорость движения против течения находим вычитанием скорости движения реки из собственной скорости лодки: 6 — 2 = 4 (км/ч). течения Vпротив течения Vсобственная Vi Задача. Лодка плыла по течению реки 2 часа. Какое расстояние она проплыла, если её собственная скорость равна 6 км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч? Решение: скорость движения по течению 6 + 2 = 8 (км/ч). За два часа лодка проплыла расстояние, равное 8 2 = 16 (км). 10 Развиваем умения Н Q а) Почтовый голубь за 4 ч пролетел 120 км. С какой скоростью он летел? б) Велосипедист ехал 3 ч со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние он проехал? в) Расстояние между двумя городами — 300 км. За какое время автомобиль проедет это расстояние, если будет двигаться со скоростью 60 км/ч? [~У| Чтобы обойти по периметру поле прямоугольной формы, фермеру нужно затратить 12 минут. Скорость его движения 100 м/мин. Какой ширины это поле, если его длина равна 500 м? [~3~| Как изменяется расстояние между двумя пешеходами и на сколько километров в час, если они движутся так, как показано на схемах? У]^ = 6 км/ч v2 = 5 км/ч У^ = 6 км/ч У2 = 5 км/ч а) б) [~Т] С автовокзала в противоположных направлениях выехали автобус со скоростью 40 км/ч и такси со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч, через 5 ч? Решите задачу двумя способами. [Т~| Два велосипедиста стартовали из одной точки в противоположных направлениях. Их скорости 200 м/мин и 250 м/мин. Через сколько минут расстояние между ними будет равно 900 м, 2 км 700 м? [~6] Из двух посёлков, расстояние между которыми 27 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, а второго - 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? Через какое время они встретятся? Решите задачу двумя способами. [~У| Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии они будут друг от друга за 2 ч до встречи? Петя и Коля одновременно стартовали навстречу друг другу. Петя бежал со скоростью 130 м/мин, а Коля - со скоростью 170 м/мин. Каково было расстояние между ними в момент старта, если они встретились через 3 мин? И 9 I Галя и Гуля вышли из подъезда и пошли в одном направлении. Через 5 мин Галя опережала Гулю на 1 00 м. Какова скорость Гули, если скорость Гали 80 м/мин? 11 8 10 Как изменяется расстояние между двумя пешеходами и на сколько километров в час, если они движутся так, как показано на схемах? v2 = 5 км/ч = 6 км/ч а) б) v^ = 6 км/ч v2 = 5 км/ч 12 11 Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста — 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? Какое расстояние было бы между ними через это же время, если бы первоначальное расстояние составляло 5 км и мотоциклист догонял велосипедиста? Автомобиль и автобус выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость автомобиля 80 км/ч, а автобуса — 40 км/ч. Определите время, через которое расстояние между ними будет 120 км. 13 Олег и Рустам побежали одновременно в одном направлении, причём расстояние между ними в этот момент было 150 м. Олег бежит со скоростью 140 м/мин, а Рустам — 170 м/мин, и Рустам догоняет Олега. Догонит ли он его за 5 мин? vP = 170 м/мин 150 м Vq^ = 140 м/мин 14 Две моторные лодки отошли одновременно от двух причалов и двинулись в одном направлении. Через 20 мин одна лодка догнала другую. Какое расстояние между причалами, если одна лодка шла со скоростью 300 м/мин, а другая - со скоростью 250 м/мин? > s - ? v2 = 250 м/мин 15 Два вертолёта одновременно поднялись в воздух из двух пунктов, расстояние между которыми 120 км, и полетели в одном направлении. Через 2 ч второй вертолёт догнал первый. С какой скоростью летел второй вертолёт, если скорость первого была 200 км/ч? v2 = ? км/ч v^ = 200 км/ч 120 км t = 2 ч ^встр. ^ ^ 12 16 Заполните таблицу. Собственная скорость Скорость течения Скорость по течению Скорость против течения 12 км/ч 2 км/ч 25 км/ч 28 км/ч 24 км/ч 21 км/ч 5 км/ч 15 км/ч 4 км/ч 15 км/ч 17 а) На путь из пункта А в пункт В катер затратил 40 мин, а на обратный путь — 30 мин, двигаясь с той же собственной скоростью. В каком направлении течёт река? б) Скорость течения реки — 2 км/ч. На какое расстояние переместится плот за 5 ч? 19 18 Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за это время, если скорость течения реки — 2 км/ч? Собственная скорость теплохода равна 27 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми 120 км, если он будет плыть: а) по течению реки; б) против течения реки? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Автомобиль и автобус выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость автомобиля - 60 км/ч, а скорость автобуса - 55 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? б) Катер проплыл 72 км по течению реки. Сколько времени у него занял этот путь, если собственная скорость катера - 21 км/ч, а скорость течения реки - 3 км/ч? П Вариант II. а) Два пешехода вышли из одного пункта и пошли в одном направлении. Через 10 мин один пешеход опережал другого на 1 00 м. Какова могла быть скорость второго пешехода, если скорость первого составляла 60 м/мин? б) Катер проплыл 72 км по течению реки и вернулся обратно. Сколько времени у него занял этот путь, если собственная скорость катера - 21 км/ч, а скорость течения реки - 3 км/ч? 13 Тренировочные упражнения. Н 20 Составьте и решите задачи, Объект Скорость Автобус 50 км/ч Автомобиль 80 км/ч Велосипедист 200 м/мин Лыжник 12 км/ч Пешеход 80 м/мин Самолёт 800 км/ч 21 а) Расстояние между двумя посёлками автомобиль проехал за 3 ч, двигаясь со скоростью 80 км/ч. На обратную дорогу ему потребовалось в два раза больше времени. С какой скоростью ехал автомобиль обратно? Смогли бы вы ответить на этот вопрос, если бы не знали, что автомобиль первоначально был в пути 3 ч? б) Пешеход и всадник начали движение одновременно навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 12 км. Какое расстояние будет между ними через четверть часа, если скорость движения пешехода - 8 км/ч, а скорость движения всадника - в два раза больше? в) В 17 ч 45 мин из дома одновременно вышли Коля и Серёжа и пошли в одном направлении. В какое время расстояние между ними стало равным 300 м, если Коля двигался со скоростью 80 м/мин, а Серёжа - со скоростью 100 м/мин? П 22 Артём вышел из школы и направился к дому со скоростью 100 м/мин. Через 7 мин из школы вышел Рубен и пошёл в противоположном направлении со скоростью 90 м/мин. Какое расстояние будет между мальчиками через 10 мин после выхода Артёма? через 10 мин после выхода Рубена? 23 Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В отправился скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления пассажирский поезд встретится со скорым? 24 От автобусной станции отошёл автобус со скоростью 40 км/ч. Через три часа в том же направлении выехал другой автобус со скоростью 60 км/ч. Через какое время второй автобус догонит первый? 14 25 Пешеход и велосипедист отправились одновременно из одного пункта в одном направлении. Пешеход двигался со скоростью 5 км/ч, велосипедист — 10 км/ч. Велосипедист проехал 30 км и повернул обратно, двигаясь с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения пешеход и велосипедист встретятся? 26 27 По течению реки моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения реки. Катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты? М 28 Лодка плывёт по течению реки. Гребец уронил в воду шляпу и, не заметив этого, продолжал плыть дальше. Какое расстояние будет между лодкой и шляпой через 10 мин, если собственная скорость лодки — 9 км/ч? 29 Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям, первый - со скоростью 70 км/ч, второй - 50 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него 9 с. Какова длина первого поезда? 30 Железнодорожный состав длиной 200 м проходит мимо километрового столба за 10 с, а через туннель при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля? Ш Н 31 Решите уравнение и сделайте проверку: а) а : 3 + 400 = 600; б) (500 — x)6 = 120; в) 600 : 2 + n = 400; г) (600 — 500) + у = 200. 32 Найдите НОД (а, b) и НОК (а, b), если: а) а = 34 11, b = 22 35 72; б) а = 22 33 ^ 7, b = 33 5. 33 Скорость теплохода в стоячей воде равна 27 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч. Определите: а) скорость теплохода по течению реки; б) скорость теплохода против течения реки; в) путь теплохода по течению реки за 2 ч; г) путь теплохода против течения реки за 3 ч. 15 т П 34 Две электрички двигались навстречу друг другу. Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало равным 6 км 300 м. Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала 1 200 м/мин? Выразите скорости электричек в км/ч. 35 Олег вышел из школы и направился к стадиону со скоростью 100 м/мин. Через 5 мин после его выхода от стадиона к школе направился Давид со скоростью 80 м/мин. Чему равно расстояние между школой и стадионом, если а) Олег встретил Давида через 20 мин после выхода; б) Давид встретил Олега через 10 мин после выхода? т М 36 37 Два охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстоянии 450 м друг от друга. Один шёл со скоростью 70 м/мин, другой — 80 м/мин. Собака одного из охотников побежала навстречу другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину, а потом снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег, пока охотники не встретились. Определите: а) сколько времени бегала собака между двумя охотниками; б) какое расстояние она пробежала, если бегала со скоростью 12 км/ч. Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропажу и повернул обратно. Он догнал флягу у второго моста. Найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между мостами 1 км. 3'п9' Углы. Измерение углов Повторяем, обобщаем знания Что называют углом1 V Что называют сторонами угла1 Что называют вершиной угла1 С Как обозначают углы? 16 i Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки. Эти лучи называют сторонами угла, а общую точку, из которой они выходят, - вершиной угла. Угол Стороны угла Вершина угла O ¥ A B O A B Ж h На левом чертеже изображены два различных луча ОА и ОВ с общим началом в точке О. Угол АОВ обозначают так: Z АОВ или Z О. При обозначении угла в виде Z АОВ положение точек А и В на лучах, являющихся его сторонами, несущественно. Поэтому на чертежах эти точки обычно не отмечают, а просто пишут буквы возле сторон угла (как мы написали буквы А и В на правом чертеже). €> Какие углы называют равными^. sJ Какие углы называют прямыми, тупыми, острыми? О Как измеряют углы? .J Какие существуют единицы измерения углов? Развернутый угол Два угла называют равными, если один угол можно наложить на другой так, что их вершины и стороны совпадут. C Z АОВ и Z ВОС на рисунке равны: если лист бумаги перегнуть по прямой ОВ, то они совпадут. Пишут: Z АОВ = Z ВОС. Говорят: «Угол АОВ равен углу ВОС». Возьмём лист бумаги, перегнём его пополам, развернём его и поставим на линии сгиба точку К. Два луча, которые вы увидите, образуют угол, который называют развёрнутым углом. M K -ф- N На рисунке изображён развёрнутый угол МKN. 17 Градус Прямой угол Углы измеряют в градусах. Принято считать, что развёрнутый угол содержит 180 градусов. Для измерения углов используется транспортир. M ъ аЬ ' \ N Градус обозначают знаком «°». Пишут: Z MKN = 180°. Перегнём лист бумаги так, чтобы лучи KM и KN совпали, и развернём лист. Линия сгиба разделит развёрнутый угол на два равных угла, каждый из которых является прямым. Так как прямой угол составляет половину развёрнутого угла, то он содержит 180 : 2, то есть 90 градусов. Прямой угол содержит 90 L Пишут: Z LKN = 90°. N Угол, величина которого меньше 90°, называют острым. O Угол, величина которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым. O Транспортир При измерении углов используют также доли градуса: минуты «'» и секунды «"». 1° = 60', 1' = 60", отсюда 1° = 3 600". Вы знаете, что для измерения углов пользуются транспортиром. 18 Транспортиром пользуются также и для построения углов заданной величины. A B Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными. Перпендикулярные прямые A K B C На рисунке прямая АВ перпендикулярна прямой КС. Пишут: АВ ± КС. Развиваем умения У Н П<~| Продолжите предложения: - Углом называют ^ - Стороны угла - это ... - Вершиной угла называют . - Развёрнутый угол содержит . - Прямой угол содержит . - Перпендикулярными прямыми называют [~2] Проверьте результаты измерения углов. B A O Z MNK = 60° Z AOB = 90° Какие из этих углов острые, тупые, прямые? 19 E F P N Z FPN = 140° [~^ Измерьте углы и запишите результаты измерений. A Постройте углы: Z MNK = 70°; Z PQR = 90°; Z DEF = — Z LKN = 135°. [~5| Выразите а) в минутах: 7°; 10°; 15°; 30°; 90°; 180°; б) в секундах: 1'; 1°; 2°1'; 4°5'. B C 120°; Z FDC = 45°; Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Измерьте углы и запишите результаты измерений. N K O P X б) Выразите в минутах: 2°; 12°. П Вариант II. C а) Постройте углы: Z MNK = 30°; Z PQR = 140° б) Выразите в секундах: 2°; 12°. Тренировочные упражнения. Н [~^ Измерьте углы АВС, ВСА и САВ. B A C 0 Постройте углы: Z MOB = 35°; Z KLN = 110°; Z DEF = 80° Луч ОС делит развёрнутый угол АОВ на две части так, что угол АОС на 40° больше угла ВОС. Найдите величину Z АОС и Z ВОС. 20 8 [~9~| Какой угол (острый, тупой, прямой или развёрнутый) образуют часовая и минутная стрелки часов: а) в 2 ч 30 мин; в) в 5 ч 30 мин; д) в 10 ч; б) в 11 ч; г) в 15 ч; е) в 18 ч? П 10 Постройте угол величиной 120° и разделите его на три равные части. Ш Н 11 Измерьте углы и запишите результаты измерений. N O X C 1^ Постройте углы: Z MOK = 15°; Z KLN = 85°; Z DEF = 100°. 13 б) (100 + 15 : 5)3; в) (80 9 - 800 : 8)2. Вычислите: а) 11210 + 142 : 2; 14 Найдите НОД (а, Ь) и НОК (а, b), если: а) а = 23^7, Ь = 22^ 32^ 7; б) а = 33^7, Ь = 53^7. 15 а) Из посёлка в город, расстояние до которого равно 1 44 км, в 9 ч утра отправился велосипедист со скоростью 16 км/ч. Два часа спустя навстречу ему из города отправился другой велосипедист со скоростью 12 км/ч. В котором часу произойдёт встреча велосипедистов? б) В бочке было 40 вёдер воды. Когда из бочки отлили несколько вёдер, воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько вёдер отлили? Ш П 16 Четыре купца собрали деньги на постройку больницы. Второй дал вдвое больше первого, третий - втрое больше второго, четвёртый - вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 000 р. Сколько дал первый? 21 3.10 Ломаные и многоугольники Повторяем, обобщаем знания • Что такое ломаная линия? • Что называют сторонами или звеньями ломаной? if Что называют вершинами ломаной? Ломаной называется геометрическая фигура, состоящая из отрезков, причём начало каждого следующего отрезка совпадает с концом предыдущего, и никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а их концы — вершинами ломаной. B D E C Отрезки AB, BC, CD, DE - это стороны или звенья ломаной. Концы отрезков (точки A, B, C, D, E) - вершины ломаной. Ф Что такое многоугольник? ф Что называют сторонами многоугольника? ф Что называют вершинами многоугольника? • Какие многоугольники вы знаете? © Что такое периметр многоугольника? Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная несамопересе-кающейся замкнутой ломаной линией. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. C Многоугольник D A 22 На рисунке изображён многоугольник ABCDE. Точки A, B, C, D, E -вершины многоугольника, отрезки AB, BC, CD, DE, ЕА — стороны многоугольника. Углы ABC, BCD, CDE, DEA, ЕАВ — углы многоугольника. Этот же многоугольник можно назвать по-другому, важно только последовательно перечислять его вершины, начиная с любой из них. Например, многоугольник BCDEA или EDCBA. Многоугольники называют по числу углов, однако, сколько у многоугольника углов, столько же у него вершин и столько же сторон. Например, многоугольник ABCDE — это пятиугольник, и у него также пять вершин и пять сторон. Многоугольник ABCD — это четырёхугольник, а многоугольник PQR — треугольник. B C P угольником. B C M N A D K L На рисунке изображён прямоугольник ABCD. У прямоугольника противоположные стороны равны и параллельны друг другу (прямые, на которых лежат эти стороны прямоугольника, не пересекаются). Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. На рисунке изображён квадрат KMNL. Длину границы многоугольника называют его периметром. Периметр обычно обозначают буквой P. Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон. Периметр многоугольника P = a + b + c + d + e. 23 d i На рисунке изображён четырёхугольник ABCD. Отрезок AC соеди- Диагональ няет две его вершины, не принадлежащие одной стороне. Это — диа- много- гональ четырёхугольника. В нём можно провести ещё одну диаго- угольника наль — BD. B Г A"\I/ Развиваем умения Н [~^ Назовите многоугольники на чертеже. A M N C B K E F G P N Расскажите, на какие два многоугольника диагональ AD разбила пятиугольник — ACDEF. C [~^ Скопируйте многоугольники в тетрадь. Проведите в них все диагонали. K [~^ Найдите периметр: а) треугольника, стороны которого равны 3 см; 4 см 5 мм; 5 см 3 мм; б) треугольника, стороны которого равны 4 см; 4 см; 7 см 3 мм; в) четырёхугольника, все стороны которого равны 4 см; г) четырёхугольника, две стороны которого равны 4 см и две стороны — 3 см. [~6] Составьте выражение и найдите периметр прямоугольника со сторонами: а) a = 5 см, b = 6 см 8 мм; б) a = 2 см 5 мм, b = 6 см. [~^ Составьте выражение и найдите периметр квадрата со стороной: а) 10 см; б) 4 см 7 мм. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Измерьте углы многоугольника. L M K N б) Найдите периметр, выполнив необходимые измерения. A D 25 П Вариант II. B а) Запишите названия всех треугольников на чертеже. б) Найдите периметр, выполнив необходимые измерения. L M K N Тренировочные упражнения. Н Начертите треугольник, у которого есть: а) прямой угол; б) тупой угол. [~^ Начертите четырёхугольник, у которого есть: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) три прямых угла. Постройте в тетради квадрат со стороной: а) 4 см; б) 34 мм. Найдите сторону прямоугольника, если одна из его сторон равна 16 см, а периметр: а) 7 дм 2 см; б) 400 мм. 10 11 П 12 Дайте все возможные названия фигурам на чертеже. LM — 13 A D Назовите все фигуры на чертеже. B F C K N 26 М 14 Перечислите все треугольники на чертеже. D F ш Н 15 Найдите периметр многоугольника. Измерьте его углы. B 16 а) Стороны прямоугольника равны 12 см и 8 см. Найдите сторону квадрата, имеющего такой же периметр, как данный прямоугольник. б) Как изменится периметр прямоугольника, если его длину увеличить на 3 см? в) Как изменится периметр квадрата, если его сторону увеличить в три раза? Ш П 17 Начертите в тетради любой квадрат и разделите его прямой линией на два одинаковых: а) прямоугольника; б) треугольника. Ш М 18 19 Сколько диагоналей у пятиугольника? у шестиугольника? У какого многоугольника 14 диагоналей? 20 диагоналей? 27 ГЛАВА IV ТАБЛИЦЫ И ДИАГРАММЫ 4.1 Чтение и составление таблиц Повторяем, обобщаем знания V Что вы знаете о таблицах? V Какие таблицы вы встречали в учебнике математики для 5-го класса и в других учебниках? tt Какие таблицы встречались вам в газетах и журналах? при работе на компьютере? на вокзалах, в аэропортах? Согласны ли вы, что во многих случаях запись информации в виде таблицы удобнее, чем в виде текста? V Как устроены таблицы? Таблицы Таблица - одна из наиболее удобных и распространённых форм представления информации. Таблица состоит из строк и столбцов. Они обычно начинаются с заголовков. На пересечении строки и столбца находится ячейка таблицы, в которой содержится информация о том, на что указывают два соответствующих заголовка. Так, в уже встречавшейся таблице сложения на с. 74 части 1 учебника заголовки строк и заголовки столбцов одинаковые, в них указаны слагаемые: 1,2, 3, ^, 9. Ячейки этой таблицы содержат суммы однозначных чисел, указанных в заголовках. Так же устроена таблица умножения, приведённая на с. 95 части 1 учебника. Зная устройство этих таблиц, мы можем быстро находить результаты нужных нам вычислений. Важное значение имеют балансовые таблицы. В них находятся суммы всех элементов каждого (или только некоторых) столбца или строки, а иногда и строк, и столбцов. Эти суммы помещаются в специально отведённые строки или столбцы с заголовком «Всего» или «Итого». 28 № п/п ^^\Месяц Класс Сентябрь Октябрь Ноябрь Всего 1 5 «А» 5 3 - 8 2 5 «Б» 4 4 2 10 Всего 9 7 2 18 Такие таблицы позволяют быстро находить многие необходимые сведения. Таблицы используются не только для удобного представления информации. Часто они являются незаменимым средством решения разных задач. Например, логическая задача на с. 154-155 части 1 учебника решалась нами с помощью таблицы истинности. В ячейке ставился знак «+», если в сосуде, указанном в заголовке строки, находился молочный продукт, обозначенный в заголовке столбца, в противном случае ставился знак «-». if Как заполняются таблицы? При заполнении таблицы сначала рисуется сама таблица, содержащая нужное количество пустых строк и столбцов, вписываются (если это необходимо) заголовки строк и столбцов. Потом в соответствующей ячейке таблицы делаются нужные записи. Развиваем умения Н Ш 1 I 9 Ниже приведено расписание ежедневных поездов, отправляющихся с Павелецкого вокзала г. Москвы. № поезда Пункт назначения Отправление Прибытие В пути 001И ВОЛГОГРАД 14.20 10.20 20.00 009Г САРАТОВ 17.55 08.57 15.02 085М МАХАЧКАЛА 19.20 10.20 39.00 017М САРАТОВ 19.55 12.08 16.13 015Й ВОЛГОГРАД 20.05 16.59 20.54 025Я ВОРОНЕЖ 20.48 08.05 11.17 029М ЛИПЕЦК 21.32 07.27 09.55 031Ч ТАМБОВ 22.10 07.35 09.25 183Й АСТРАХАНЬ 23.59 06.46 30.47 29 Ответьте на следующие вопросы: а) Какой из поездов находится в пути дольше всех? меньше всех? б) Какой наименьший интервал времени между отправлением двух поездов? в) Пассажир отправился в Махачкалу 21 декабря. Назовите дату прибытия. г) Пассажир отправился в Астрахань 30 августа. Назовите дату прибытия. д) До какого города ходит несколько поездов? Какой из них самый быстрый? самый медленный? [~2~| €> В таблице содержится информация о количестве работ, выполненных ребятами из школьной художественной студии. № п/п Вид работы Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь ВСЕГО 1 Акварель 22 30 15 28 95 2 Рисунок пером 14 17 20 19 70 3 Рисунок гуашью 25 32 21 18 96 4 Коллаж 9 7 12 16 44 5 Керамика 15 11 23 14 63 ВСЕГО 85 97 91 95 368 Ответьте на вопросы: а) Сколько коллажей было сделано в ноябре? б) В какой строке представлено количество рисунков пером? Сколько рисунков пером выполнено за 4 месяца? в) Сколько всего работ было выполнено в сентябре, в октябре? г) Каких работ было больше всего в декабре, за 4 месяца? д) В каком месяце общее количество работ было наибольшим? наименьшим? е) Суммой каких чисел является число, стоящее в ячейке, закрашенной зелёным цветом? Что оно показывает? [~3~| # Очень часто нам приходится собирать информацию и заносить её в таблицу. Рассмотрите таблицу и расскажите, какая информация в ней собрана и как это сделано. Обратите внимание на условное обозначение: | — один человек; при этом |>^ - 6 человек. № п/п Время за компьютером Проведение подсчётов Количество 1 Не провожу вообще К1К11_ 14 2 Менее 1 часа И| 7 3 От 1 часа до 2 часов 1_1 3 4 От 2 часов до 3 часов 1_ 2 5 Более 3 часов 1 1 30 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Заполните таблицу. П Вариант II. № п/п Класс I полугодие II полугодие Всего 1 5 «А» 4 6 2 5 «Б» 3 3 5 «В» 2 7 Всего 8 Изучите футбольную турнирную таблицу и запишите ответы на вопросы: № Команда 1 2 3 В* Н* П* Очки** Мячи Место 1 Вымпел 3 : 3 1 :2 - 1 1 1 4 : 5 3 2 Метеор 3 : 3 ® 5 : 5 - 2 - 2 8 : 8 2 3 Спутник 2 : 1 5 : 5 ® 1 1 - 4 7 : 6 1 а) Какая команда одержала больше всего побед, меньше всего? б) У какой команды больше всего ничьих, меньше всего? в) Какая команда забила наибольшее количество голов в соревнованиях? наименьшее? Тренировочные упражнения. Н н 4 I Выясните с помощью вашего дневника, сколько и каких отметок вы получили за каждую из четырёх последних недель. Результаты поместите в таблицу, похожую на таблицу из задания 2. Ответьте на вопросы: а) В какую из недель вы получили больше всего отметок, меньше всего? б) В какую из недель вы получили больше всего пятёрок, меньше всего? в) Каких отметок за четыре недели больше всего, меньше всего? Общепринятые сокращения: В - выигрыши, Н - ничьи, П - поражения. * В футболе за победу команда получает 3 очка, за ничью - 1 очко, за поражение - 0 очков. 31 [Т"! Результаты соревнований по футболу среди пятиклассников одной из московских школ приведены в турнирной таблице: № Команда 1 2 3 4 5 В Н П Очки Мячи Место 1 5 «А» Ф 2 : 3 1 : 2 0 : 0 2 : 1 1 1 2 4 5 : 6 4 2 5 «Б» 3 : 2 Ф 5 : 0 0 : 1 4 : 2 3 - 1 9 12 : 5 1 3 5 «В» 2 : 1 0 : 5 Ф 1 : 1 2 : 0 2 1 1 7 5 : 7 2 4 5 «Г» 0 : 0 1 : 0 1 : 1 Ф 2 : 2 1 3 - 6 4 : 3 3 5 5 «Д» 1 : 2 2 : 4 0 : 2 2 : 2 Ф - 1 3 1 5 : 10 5 Как устроена турнирная таблица? В каких ячейках записан результат матча между 1-й и 3-й командами? Почему в некоторых ячейках вместо счёта нарисован мяч? Как определить, какое место заняла команда? Ответьте с помощью турнирной таблицы на вопросы: а) Какая команда одержала больше всего побед, меньше всего? б) У какой команды больше всего ничьих, меньше всего? в) Какой счёт встречался чаще других? г) Какая команда забила в одном матче больше всего голов? д) Какая команда забила наибольшее количество голов в соревнованиях? наименьшее? П И ^ Может ли выиграть футбольный турнир команда, забившая меньше всего голов? команда, выигравшая меньше всего матчей? Н [~У| Выясните, сколько ваших одноклассников родилось в каждом месяце. Результаты представьте в виде таблицы. т П Возьмите в спортивной газете или найдите в Интернете турнирную таблицу по какому-нибудь интересующему вас виду спорта. Разберитесь, как она устроена. Что общего с таблицей из задания 5? Какие есть отличия? Какая команда лидирует? На сколько очков она опережает команду, занимающую второе место? М И 9 I В турнире участвовало 6 команд, причём каждые две команды сыграли между собой по одному матчу. Сколько всего матчей было проведено? Ответьте на вопрос задачи с помощью турнирной таблицы. Какой будет ответ, если команд было 7? п? 32 8 4. Чтение и построение линейных и столбчатых диаграмм Повторяем, обобщаем знания 41 Как выглядит линейная диаграмма? Как выглядит столбчатая диаграмма? Аня, Боря, Витя и Гуля соревновались: кто из них затратит меньше времени на устное решение уравнения. Результаты соревнований они занесли в таблицу и сделали рисунок. 25 с --20 с --15 с --10 с --5 с -- Имя участника соревнования Время на устное решение уравнения Аня 25 с Боря 10 с Витя 20 с Гуля 15 с А. Б. В. Г. Можете ли вы по таблице и рисунку сказать, кто победил в этих соревнованиях? Как на рисунке изображено время, которое каждый участник затратил на устное решение уравнения? Такой рисунок называется линейная диаграмма. Синим цветом на нём изображён прямой угол. На вертикальной стороне угла отмечено время. Отрезок I---1 соответствует промежутку времени 5 с. На горизонтальной стороне угла отмечены точки. Они обозначены начальными буквами имён участников соревнования. От каждой точки вертикально вверх проведён отрезок. Длина отрезка соответствует времени, которое затратил участник соревнования на решение уравнения. 33 Если вместо отрезков нарисовать полоски (столбики) соответствующей высоты, то получится столбчатая диаграмма. 25 с — 20 с -- 1 с „ Q. 15 с -------- QQ 10 с 5 с А. Б. В. Г. Развиваем умения Н • Используя диаграммы, приведённые выше, ответьте на вопросы: а) Кто из ребят затратил на решение уравнения меньше 18 с? б) На сколько меньше времени заняло решение уравнения у самого быстрого участника соревнования, чем у самого медленного? в) У кого общее время меньше — у девочек или у мальчиков? На сколько секунд? [~2~| • На столбчатых диаграммах показано количество осадков, выпавших в Москве и причерноморской степи. Используя эти диаграммы, ответьте на вопросы: а) В каком месяце в Москве выпадает больше всего осадков? меньше всего? Чему равна разность этих показателей? То же определите для причерноморской степи. б) В какие месяцы в Москве выпадает меньше 35 мм осадков? в) В какие месяцы в степи выпадает более 45 мм осадков? г) В какие месяцы в Москве выпадает осадков больше, чем в октябре? д) В какие месяцы в степи выпадает осадков меньше, чем в апреле? СО О Ct ПЗ U О о со н U ф т S с: о 80 70 60 50 40 -К-30 20 10 Москва февр. март апр. окт. нояб. дек. 34 янв май июнь июль авг сент 80 5 70 “ 60 СО о ct пз U о о со н U ф т S с: о 50 40 30 20 10 Причерноморская степь янв. февр. март апр. май июнь июль авг. сент. окт. нояб. дек. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Используя диаграммы из задания 2, выясните: в каком месяце в Москве выпадает осадков больше и на сколько — в марте или в ноябре? То же определите для степи. П Вариант II. Используя диаграммы из задания 2, выясните: в какие месяцы в степи выпадает осадков меньше, чем в Москве? больше? столько же? Тренировочные упражнения. Н [~3~| На основании столбчатых диаграмм из задания 2 на с. 34—35 составьте новые диаграммы — количество осадков по временам года: весна, лето, осень, зима. В какое время года в Москве выпадает больше всего осадков? меньше всего? Ответьте на аналогичные вопросы для причерноморской степи. П н ^ На основании столбчатых диаграмм из задания 2 на с. 34—35 назовите наибольшее количество идущих подряд месяцев: таких, чтобы в каждом следующем месяце в Москве выпадало больше осадков, чем в предыдущем; меньше, чем в предыдущем; не меньше, чем в предыдущем; не больше, чем в предыдущем. Ответьте на аналогичные вопросы для причерноморской степи. Н [~^ Постройте столбчатую диаграмму по данным таблицы из задания 3 на с. 30. П [~6] Постройте столбчатую диаграмму ваших отметок за предыдущий месяц. 35 М [~У] ^ Возьмите какое-нибудь стихотворение. Подсчитайте, сколько раз встречается каждая гласная буква в этом стихотворении. Какая буква встречалась чаще других? реже других? Постройте линейную диаграмму, показывающую, сколько раз встречается каждая гласная. Сравните ваши результаты с результатами других ребят. Всего гласных букв а е ё и о у ы э ю я 4.3 Опрос общественного мнения Уточняем то, что знаем V Как можно выяснить, в каких кружках занимаются ваши одноклассники и сколько в каждом из них человек? О В каком виде вы представили бы эту информацию? Опрос общественного Часто для принятия решения нужно собрать информацию о мнении членов некоторого коллектива людей по тому или иному вопросу или о принадлежности людей к той или иной группе. Это делается с помощью опросов общественного мнения. Результаты таких опросов обрабатываются и представляются в виде таблиц или диаграмм. Пятиклассники решили на зимние каникулы съездить на экскурсию в один из русских городов. В экскурсионном бюро им предложили экскурсии в Псков, Воронеж, Краснодар, Ярославль, Владимир. Ребята вписали названия городов в алфавитном порядке в таблицу и выяснили, кто из пятиклассников какую экскурсию предпочитает, после чего построили столбчатую диаграмму. 36 № п/п Название города Проведение подсчётов Количество желающих 1 Владимир Й1_ 8 2 Воронеж □ 4 3 Краснодар И 5 4 Псков К1И 11 5 Ярославль |_ 2 108-6 -42- д Владимир Воронеж Краснодар Псков Ярославль Развиваем умения Н и ^ На основании результатов опроса о выборе экскурсии ответьте на вопросы: а) В какой город вы посоветовали бы съездить ребятам? Почему? б) Если бы была возможность съездить на две экскурсии, какой бы второй город вы посоветовали посетить ребятам? Почему? в) На сколько человек больше хотели бы съездить на экскурсию в самый популярный у учеников этого класса город, чем в наименее популярный? Задания для самостоятельной работы. Был проведён опрос всех учащихся 5 «В» класса о занятиях в кружках. Результаты опроса представлены на линейной диаграмме. Известно, что нет ни одного пятиклассника, который занимался бы в двух кружках одновременно. о; U X S 3" пз т U ф т S с: о 10- 5- Хореографический Туристический Музыкальный Ответьте на вопросы. Компьютерный Не занимаются 37 Н Вариант I. а) Сколько всего ребят в 5 «В» классе? б) На сколько больше ребят, занимающихся в кружках, чем не занимающихся? П Вариант II. а) Есть ли кружки, которые посещает одинаковое количество ребят? б) Верно ли, что в двух самых популярных кружках занимается больше половины класса? Тренировочные упражнения. Н S 2] По данным диаграммы внизу с. 28 ответьте на вопросы: Если половина ребят, не занимающихся в кружках, придёт в хореографический кружок, а половина — в туристический, какой кружок станет самым посещаемым, а какой — наименее посещаемым? В каких кружках будет одинаковое количество ребят? П И ^ Выясните, сколько букв содержат фамилии ваших одноклассников. Сколько букв в самой длинной и в самой короткой фамилии? Какое количество букв в фамилиях ваших одноклассников встречается чаще всего? Н [~Т] • Опросите ваших друзей, какие фрукты они любят больше всего. По данным опроса составьте столбчатую диаграмму. П • Выясните, сколько времени ежедневно проводят ваши одноклассники за компьютером. Поскольку точное время никто не измеряет, таблицу предлагается заполнить следующим образом. № п/п Время за компьютером Проведение подсчётов Количество 1 Не провожу вообще 2 Менее 30 мин 3 30 мин — 1 ч 4 1 ч — 1 ч 30 мин 5 1 ч 30 мин — 2 ч 6 2 ч — 2 ч 30 мин 7 2 ч 30 мин — 3 ч 8 Более 3 ч Составьте по результатам опроса линейную или столбчатую диаграмму. 38 М 0 6 I Пятиклассник Вася проводил опрос, выясняя рост старшеклассников. Он опросил 20 человек и получил следующие результаты (в см): 157, 161, 162, 167, 169, 171, 172, 174, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 185, 188, 190, 194, 197. Когда Вася стал строить столбчатую диаграмму, откладывая на горизонтальной стороне угла рост, а на вертикальной — количество старшеклассников этого роста, то у него получились все столбики высотой 1! Помогите Васе обработать результаты его опроса. 4.4 Занимательные задачи Повторяем, обобщаем знания Решите задачу. На вопрос, кто из богатырей победил Змея Горыныча, Илья Муромец сказал: «Змея победил Добрыня Никитич». Добрыня Никитич сказал: «Змея победил Алёша Попович». Алёша Попович сказал: «Змея победил я». Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое слукавили. Кто победил Змея Горыныча? Рассмотрим каждый из трёх возможных вариантов. Запишем эти варианты в таблицу как заголовки строк. Теперь можно для каждой строки записать, истинным (И) или ложным (Л) является высказывание каждого из богатырей. 39 Высказывания Ильи Муромца Добрыни Никитича Алёши Поповича Змея победил Илья Муромец Л Л Л Змея победил Добрыня Никитич И Л Л Змея победил Алёша Попович Л И И Из таблицы видно, что условия задачи (одно высказывание истинное и два ложных) выполняются только для второй строки, то есть Змея победил Добрыня Никитич. Замечание: хотя таблицы дают наиболее надёжный способ решения логических задач, в некоторых случаях можно найти решение и без использования таблиц. Например, в нашей задаче поскольку Добрыня Никитич и Алёша Попович говорят одно и то же, то оба они лгут (иначе двое богатырей говорили бы правду, что противоречит условию). Значит, правду говорит Илья Муромец, то есть Змея победил Добрыня Никитич. Ответ: Змея победил Добрыня Никитич. Выполните задание (числовой ребус): Какие цифры можно записать вместо «К», чтобы вычисления оказались верными? 1 596 X * * *** ~1 ** 8* 3 80 Числовые ребусы В ребусе на умножение заметим, что в таблице умножения на 6 только два произведения оканчиваются четвёркой: 4 6 = 24 и 9 6 = 54. Если второй сомножитель равен 4, то получаем 1 596 • 4 = ► = 6 384, а если второй сомножитель равен 9, то получаем 1 596 • 9 = = 14 364, что невозможно, так как произведение должно быть четырёхзначным числом. Ответ: 1 596 4 = 6 384. 40 В ребусе на деление заметим, что имеется лишь одно произведение 80 на однозначное число, равное трёхзначному числу, начинающемуся с единицы, — это 80^2 = 160, а также есть лишь одно произведение 80 на однозначное число, равное двузначному числу, - это 80 1 = 80. Поэтому первые три цифры в делимом последовательно 1, 6, 8, а последняя цифра 3. В результате получается: 1 683 : 80 = = 21 (ост. 3). Ответ: 1 683 : 80 = 21 (ост. 3). В более сложных ребусах похожие рассуждения придётся выполнять несколько раз и рассматривать большее количество вариантов. Развиваем умения Н [~^ Рядом сидят мальчик и девочка. — Я мальчик, — говорит черноволосый ребёнок. - Я девочка, — говорит рыжий ребёнок. Известно, что хотя бы один из них говорит неправду. Какой цвет волос у девочки? [~2] Какие цифры можно записать вместо «к», чтобы вычисления —4^* 0 *0 оказались верными? --— I 2 ^ 0 **0 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Поставьте вместо «<» нужные цифры так, чтобы вычисления были верными. + 5* +*84 ***0 П Вариант II. В корзинке, миске и банке лежат малина, клубника и смородина. В корзинке смородина, а в банке — не смородина и не малина. Какие ягоды лежат в миске? — не Тренировочные упражнения. Н И 3] Какие цифры надо записать вместо «к», чтобы вычисления оказались верными? * 66* 12 **5 ■ * 99* 8 009 + 4 **7 11 670 41 [~Т~| С обратной стороны одного из этих листов изображён треугольник, другого -прямоугольник, а третьего — круг. На всех листах ложные высказывания. На каком листе какое изображение? Здесь круг или Здесь Прямоугольник треугольник не круг здесь П [~5| Из 24 монет одна фальшивая — более лёгкая. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без гирь вы сможете определить фальшивую монету? [~Г] Три пирата — одноглазый, хромоногий и однорукий — принесли капитану Кортесу по золотой монете. Одна из них оказалась фальшивой. Одноглазый пират сказал, что фальшивую монету принёс хромоногий. Хромоногий клялся, что это сделал одноглазый, а однорукий заявил: «Я не приносил фальшивую монету, и хромоногий тоже этого не делал». Кто же принёс фальшивую монету, если двое пиратов говорят правду, а один лжёт? М [~У| Какие цифры надо записать вместо ««», чтобы вычисления оказались верными? Найдите несколько решений. * *** ■ * 3 — ** 0 *0* Использовав ровно пять раз цифру 3, знаки действий и скобки, представьте любое целое число от 0 до 11. Подсказка: (3 — 3)^ 333 = 0. Постарайтесь найти как можно больше способов. Н [~^ Какие цифры надо записать вместо *, чтобы вычисления оказались верными? ■ *3* ■ *6 + 32^4 *6к0 2=90* **** ■ 9* —3* ** 32 *** 6* '** 0 10 Какие цифры надо записать вместо «1=», чтобы вычисления оказались верными? Найдите несколько решений. **8 ^ * 2 *64 * *35 *1 740 42 8 ш П 11 Артём, Борис и Вагит бегали наперегонки. На вопрос, кто же из них прибежал первым, они ответили: Артём: «Вагит». Борис: «Не я и не Артём». Вагит: «Первым был Артём». Кто из ребят прибежал первым, если известно, что двое сказали правду, а один солгал? Ш М 12 Какие цифры надо записать вместо «1<», чтобы вычисления были верными? + ^*6 ^ ;|о|« **012 ***18 + 3<9* ' ** **76 **84 ****6 13 Найдите несколько решений. Из палочек выложите прямоугольник, как на рисунке: а) уберите 6 палочек так, чтобы осталось 4 квадрата; б) уберите 4 палочки так, чтобы осталось 5 квадратов. Попробуйте найти несколько способов решения в каждом задании. 43 Исторические T-i фо страницы С давних времён математики решали задачи, связанные с простыми числами. Ещё в IV-III веках до новой эры выдающийся математик Древней Греции Евклид доказал, что не существует наибольшего простого числа и поэтому множество простых чисел бесконечно. Он же придумал удобный метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, который так и называется - «алгоритм Евклида». Начинают с деления большего числа на меньшее. Если деление выполнилось нацело, то (как вы уже знаете) наибольший общий делитель равен меньшему числу, а если с остатком, то (как доказал Евклид) наибольший общий делитель исходных чисел равен наибольшему общему делителю меньшего числа и полученного остатка. На следующем шаге делим большее из двух новых чисел на м^ньшее и т.д. В какой-то момент деление обязательно выполнится нацело, и в результате будет найден наибольший общий делитель последних двух чисел. А он равен наибольшему общему делителю исходных чисел. В § 3.5 части 1 учебника мы уже находили наибольший общий делитель чисел 60 и 24. Теперь найдём его с помощью алгоритма Евклида. 1) Делим 60 на 24: 60 : 24 = 2 (ост. 12). НОД (60, 24) = НОД (24, 12). 2) Делим 24 на 12: 24 : 12 = 2 (ост. 0). НОД (24, 12) = 12, значит, НОД (60, 24) = 12. Другой древнегреческий математик Эратосфен, живший в III-II веках до новой эры, разработал удобный способ нахождения простых чисел, который называют «решето Эратосфена». Покажем, как этот способ работает на примере нахождения всех простых чисел в пределах от 1 до 70. Выпишем все числа от 1 до 70. 1 Q 0 4 G) 6 (7 8 8 0 13 14' 15 16 17 18 19 20 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 44 Число 1 вычеркнем, так как оно не простое. Наименьшее из оставшихся чисел - 2 - простое. Обведём его кружочком, а все числа, делящиеся на 2, вычеркнем, так как они не простые. Наименьшее из оставшихся чисел - 3 - простое. Обведём его кружочком, а все числа, делящиеся на 3, вычеркнем, так как они не простые. Таким же образом будем действовать до тех пор, пока каждое число в выбранных пределах не окажется либо обведённым кружочком, либо вычеркнутым. Обведённые кружочками числа - все простые числа в пределах от 1 до 70. Кроме всего прочего, математика интересна ещё и тем, что в ней существуют задачи, поставленные очень давно, но не решённые до сих пор. При этом условия этих задач кажутся очень простыми. Рассмотрим две такие задачи. Первая задача. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, включая единицу, но не включая само это число. Например, три самых маленьких совершенных числа - это 6, 28 и 496. В настоящее время известно около 30 совершенных чисел, причём все они чётные. Но до сих пор неизвестно: а) существует ли хотя бы одно нечётное совершенное число; б) существует ли наибольшее совершенное число или множество совершенных чисел бесконечно. Эту задачу пытался решить ещё сам Евклид. Он установил, что если числа n и 2” - 1 - простые, то число 2n ^ 1 (2n - 1) - совершенное. Например, если n = 3, то 2” - 1 = 7. Оба эти числа (3 и 7) - простые, а число 2” - 1 (2n - 1) = 22^7 = 28 - совершенное. Если n = 5, то 2n - 1 = 31. Оба эти числа (5 и 31) - простые, а число 2n - 1 (2n - 1) = 24^31 = 496 - совершенное. С тех пор, более чем за 2 тысячи лет, ничего существенно нового в решении задачи о совершенных числах не появилось: все известные совершенные числа найдены по формуле Евклида. Вторая задача. Рассматривая таблицу простых чисел (например, на стр. 205), можно заметить пары простых чисел, разность которых равна 2, например, 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 137 и 139; 599 и 601, 809 и 811 и так далее. Такие пары простых чисел называются близнецами. До сих пор неизвестно, существует ли наибольшая пара близнецов или множество близнецов бесконечно. 45 Люб, ил^ «гел матема 1. Дано пять натуральных чисел таких, что наибольший общий делитель любых трёх из них равен наименьшему общему кратному двух остальных. Верно ли, что все пять чисел равны между собой? 2. В корзине лежит 11 яблок. Есть весы, с помощью которых можно найти общую массу любых двух яблок (но не массу одного яблока). Придумайте, как за 7 взвешиваний найти общую массу всех яблок. 3. Найдите все пары простых чисел, сумма и разность которых - тоже простые числа. 4. Расставьте по кругу четыре единицы, три двойки, три тройки так, чтобы сумма любых трёх идущих подряд чисел не делилась на 3. 5. Расставьте в клеточках цифры от 1 до 9 так, чтобы число на каждой горизонтали делилось на 7 и на 9. 6. Из палочек сложено мужское имя ТОЛЯ (см. рис.). Переложите ровно одну палочку так, чтобы получилось женское имя. 7. Числа 1,2, 3, 4, 5, 6 и 7 выписаны в строку в произвольном порядке. Каждое число сложили с номером места, на котором оно стоит. Могут ли все полученные суммы быть нечётными числами? 8. Есть ли такое трёхзначное простое число, что при любой перестановке его цифр опять получается простое число? 9. На доске было написано число 97. Вася вычислил и записал сумму цифр этого числа, а само число стёр. С новым числом он проделал то же самое, и так далее. Могло ли в какой-то момент получиться число 97? А число 72? 10. На некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали количество фигур нечётное. Докажите, что количество фигур, стоящих на белых клетках, чётное. 46 но Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Выборы президента школы. ВАША РОЛЬ. Председатель счётной комиссии. ОПИСАНИЕ. В президенты выдвинуты 5 кандидатов-одиннадцатиклассников. Голосуют учащиеся 5—11-х классов. Голосование проходит так: голосующий школьник получает бюллетень с фамилиями кандидатов и вычёркивает все фамилии, кроме одной. Если вычеркнуты все фамилии или оставлено больше одной, то такой бюллетень считается недействительным. Президентом избирается кандидат, набравший наибольшее количество голосов. ЗАДАНИЕ. Придумайте: а) таблицу обработки бюллетеней; б) как быть, если несколько кандидатов наберут одинаковое количество голосов. 47 Ут®г®®ый тест 0 Найдите НОД (96, 36): Ответы: а) 36; б) 96; в) 6; 0 Найдите НОК (96, 36): Ответы: а) 360; б) 96; в) 288; 01 Выберите верный результат измерения угла. Ответы: а) 100°; б) 95°; в) 90° ; г) 89°. г) 12. г) 576. А! 1 очко 1 очко 1 очко I 4 I ^автомобиля 100 км/ч O B 150 км Автомобиль догонит автобус через: а) 1 ч; б) 2 ч; в) 3 ч; г) 4 ч. ^автобуса 50 км/ч 2 очка И ^ Какую цифру нужно взять вместо «К», чтобы число 28<3 делилось на 9? Ответы: а) 5; б) 6; в) 7; г) 8. 2 очка 0 На линейной диаграмме приведено количество пятёрок, полученных ребятами за последний месяц занятий. 1 верный ответ — 1 очко 25-г 20 Т 15-105 -- Аня Боря Витя Гуля Выберите верный вариант ответа для каждого задания. 6.1 . Укажите двух ребят, показавших наилучшие результаты: а) Аня и Дима; б) Боря и Дима; в) Витя и Гуля; г) Аня и Гуля. 6.2. Укажите двух ребят, показавших наихудшие результаты: а) Аня и Дима; б) Боря и Дима; в) Витя и Гуля; г) Аня и Гуля. 6.3. Укажите разницу между наилучшим и наихудшим результатами: а) 3; б) 5; в) 10; г) 15. Тест считается успешно выполненным, если вы набрали хотя бы 7 очков. 48 Дима РАЗДЕЛ III ДРОБИ годней тест [~^ Выполните вычисления: а) 47 360 : 80; б) 17 675:35; в) 36 540 : 87. [~2] Выберите истинное высказывание: а) 70 000^2 < 21 000; б) 70 000 2 < 210 000; Г3] Найдите пятую часть от числа 140. Ответы: а) 700; б) 28; в) 70. 1 верный результат — 1 очко в) 70 000 2 < 2 100. 1 очко 1 очко [~Т] Шестая часть всех марок наклеена в красный альбом. Сколько всего марок, если в красном альбоме их 96? Ответы: а) 102; б) 16; в) 576. 1 очко [Т~| Две машинистки, работая вместе, перепечатают рукопись объёмом 72 стр. за 8 ч. Первая машинистка одна перепечатает эту рукопись за 24 ч. За сколько часов перепечатает эту же рукопись, работая в одиночку, вторая машинистка? Ответы: а) 3 ч; б) 12 ч; в) 16 ч. [~6] На каких рисунках изображено хотя бы одно большое яблоко? 2 очка <о> Ответы: а) I; б) I и IV; в) II и III; г) I, III и IV. IV 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали хотя бы 7 очков. Если вы не смогли выполнить все задания теста или набрали меньше очков, чем вам хотелось бы, не огорчайтесь. Переходите на следующие страницы нашего учебника, и вы научитесь решать те задачи, с которыми пока не справились. 49 II III Путь 1: а) входной тест; б) главы; в) итоговый тест. Путь 2: а) входной тест; б) главы; в) жизненная задача; г) итоговый тест. 50 Проекты t Путь 3: а) входной тест; б) главы; в) задачи для любителей математики; г) жизненная задача; д) итоговый тест. 51 ГЛАВА V ДРОБИ 5.1 Понятие дроби Повторяем, обобщаем знания V Как записать, что расстояние, которое прошёл пешеход, равняется четвёртой части километра? V Приведите пример дроби. 40 Что показывает знаменатель дроби? • Что показывает числитель дроби? Дробь Числитель Знаменатель Если целое, например отрезок, разделить на 4 равные части, то каждая из них будет составлять четверть или одну четвёртую часть этого отрезка. 1 4 Одну четвёртую часть обозначают так: ^ . Закрасим три четвёртых части этого же отрезка. Три четвёртых обозначают так: -4. Эта запись называется дробью. В общем виде дробь записывается таким образом: —, где m и n — натуральные числа. (Читается «эм энных» или «эм, делённое на эн».) Число n под чертой показывает, на сколько равных частей разделили целое. Его называют знаменателем дроби. Число m над чертой показывает, сколько таких частей взяли. Его называют числителем дроби. 52 Натуральные числа также можно записать в виде дробей. Сначала ответим на вопрос, как представить в виде дроби число 1. Вернёмся к изображению единичного отрезка - он разделён на 4 равные части, тогда весь единичный отрезок (т.е. 1) составит 4 . 4 4 = 1 4 Дробь, числитель и знаменатель которой равны, соответствует целому или единице: = 1. Позже вы научитесь представлять в виде дроби любое натуральное число. Развиваем умения Н [~^ а) Назовите числитель и знаменатель каждой дроби: ^; 5; 6. 12 8 6 Объясните, на сколько частей в каждом из этих случаев разделили целое и сколько частей взяли. б) Придумайте несколько дробей, значение которых равно 1. [~У| На каждом рисунке изображён отрезок FM, который является частью отрезка FN. Какая это часть? F а) F- M —I— N Н F в) M -I— N Н------1 F б) M —I— N н F г) M —I— N -I------1 ГУ] Постройте в тетради отрезок АВ длиной 5 см и разделите его на 5 равных частей. ^^ п 1. 2. 3. 4. 5 Покажите 5. 5. 5. 5. 5 этого отрезка. [~У] На числовом луче отмечены точки и записаны их координаты. Объясните, как это сделано. а) O б) O Ait (i72) O в) O- it 53 1 [~5| Запишите координату точки, отмеченной на числовом луче. а) ^ б) ^ A B E -i—► 1 E С D E E -*—► [~^ Постройте отрезок АВ длиной 12 см. Постройте отрезок CD, равный: а) 1AB; б) 1AB; в) 1AB; г) 1AB; д) 2AB. 2 3 4 6 3 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Запишите координату точки А, отмеченной на числовом луче. O -t- A E -i- ? 1 б) Постройте отрезок АВ, равный 15 см. Постройте отрезок CD, равный ^ АВ. П Вариант II. а) Начертите единичный отрезок и отметьте на нём точки А и В . б) Постройте отрезок АВ, равный 15 см. Постройте отрезок CD, равный -1 АВ. Тренировочные упражнения. Н Q Постройте отрезок АВ длиной 6 см. Постройте отрезки, равные: 1AB; 2 AB; 4AB. 666 Сравните числители и знаменатели заданных дробей и длины построенных отрезков. Сделайте вывод о том, как сравнить дроби с разными числителями и одинаковыми знаменателями. Постройте отрезок АВ длиной 6 см. Постройте отрезки, равные: 1AB; 1AB; 1AB. 2 3 6 54 ? Сравните числители и знаменатели заданных дробей и длины построенных отрезков. Сделайте вывод о том, как сравнить дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями. П [~9] Выберите изображение единичного отрезка, на котором удобнее отметить точки: А|(1; B(il; C); D(^l. 15 10 а) I I I I I I I I I I I I I I I I 0 1 б) I I I I I I I I I I I I I 0 1 10 Начертите единичный отрезок, на котором вы сможете отметить точки: А(21; B(^1; C(4); D(;(); ^(12 М 11 3 На рисунке показан отрезок, изображающий 4 ч. Постройте отрезки, изобра- 14 жающие 1 ч, ^ ч. i-1 Ш Н 12 Запишите координаты точек, отмеченных на числовом луче. 0 M 1 ---1— N -Ч— K E Ч--------1- 13 14 Постройте отрезок АВ, равный 10 см. Постройте отрезок CD, равный: а) -i АВ; б) -iАВ; в) ^ АВ; г) ^2 аВ. Найдите: а) НОК (42, 48); б) НОД (320, 40); в) НОК (35, 20); г) НОД (84, 96); д) НОК (56, 63); е) НОД (484, 44). Ш П 15 Сейчас 6 часов утра. Какая часть суток прошла? Какая часть осталась? 55 ffl М 16 а) В пакете лежало несколько шоколадок. Когда достали половину всех шоколадок и ещё одну, в пакете осталось 2 шоколадки. Сколько шоколадок было в пакете первоначально? б) Когда Серёжа отдал Диме треть всех своих марок, у него осталось 12 марок. Сколько марок было у Серёжи вначале? кш Нахождение части от целого и целого по его части Повторяем, обобщаем знания V Сравните тексты задач. Выберите к каждой из них схему и сравните решения. а) От школы до дома — 240 м. Три четверти этого расстояния Лена прошла вместе с Наташей. Сколько метров Лена и Наташа прошли вместе? б) От дома до школы - 240 м, это 4 расстояния от дома до подземного перехода. Чему равно расстояние от дома до подземного перехода? 3 1) Ш 4 - ? м ? м Д 2) Д П 3 Ш 240 м 4 - 240 м О Как найти часть от целого? Как найти целое, если известна его часть? 56 Нахождение ш части от целого щ Т шн А Нахождение ш целого по его части Ш Найдём решение первой задачи. Будем считать, что расстояние от дома до школы - это целое, которое состоит из четырёх четвёртых долей. Тогда на одну четвёртую приходится 240 : 4 = 60 м, а на три четвёртых — в три раза больше: 60^3 = 180 м. Эти два действия можно записать так: 240 : 4 3. Чтобы найти от числа 240, можно это число разделить на знаменатель дроби и результат умножить на числитель. Найдём решение второй задачи. Будем считать, что искомое расстояние от дома до подземного перехода — это целое, состоящее из четырёх четвёртых долей. Три четвёртых этого расстояния составляют 240 м, тогда на одну четвёртую приходится 240 : 3 = 80 м, а на четыре четвёртых — в четыре раза больше: 80 4 = 320 м. Эти два действия можно записать так: 240 : 3 4. Чтобы найти число, 4 которого равны 240, нужно число 240 разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель. Развиваем умения Н П<~| • а) Расскажите, как найти от числа 60. 5 А б) Расскажите, как найти число, 55 которого равны 60. ГГ] а) Отрезок АВ равен 12 см, найдите длину отрезка CD, который равен отрезка — АВ. 3 б) На уроке физкультуры присутствуют 32 ученика, 4. играют в баскетбол. Сколько учащихся играют в баскетбол? 1 в) Путешественник должен проехать 480 км. В первый день он преодолел -т всего пути. Сколько километров ему осталось проехать? 3 г) У Ильи было 35 р. Он потратил на покупку открыток у этой суммы. Хватит ли ему оставшихся денег на покупку ручки, которая стоит 15 р.? 2 [~3] а) Определите длину отрезка АВ, которого равны 14 см. 2 б) Пятнадцать рублей составляют 3 всей имеющейся суммы денег. Какова эта сумма? 3 57 2 в) Путешественник проехал 540 км. Это з всего расстояния. Сколько ему ещё осталось проехать? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) В тетради 24 страницы, 3 из них исписано. Сколько страниц исписано? 8 2 б) Дочери 12 лет. Её возраст составляет 5 возраста матери. Сколько лет матери? П Вариант II. а) Есть отрезок АВ длиной 14 см и точка С на этом отрезке. Отрезок АС составляет 7 АВ. Чему равна длина отрезка ВС? б) В танцевальном кружке 15 девочек и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет -2 от числа девочек. Сколько всего ребят в танцевальном кружке? Тренировочные упражнения. У Н 1 [~4] а) Путешественники за 3 дня проехали 240 км. В первый день они проехали 3, а во второй день — всего расстояния. Сколько километров они проехали в третий день? 3 б) В банку насыпали 120 г крупы. Это составило 7 её вместимости. Сколько граммов крупы осталось насыпать для того, чтобы заполнить эту банку? [~5| Сравните дроби (>; <; =): а) 2 * б)6 * ?; в) I * 4; г) 3 * 3 г) 8 * 4 ■ Проверьте себя с помощью единичного отрезка. П [~^ Сравните дроби с помощью единичного отрезка (>; <; =): 2 * 1 . 6 3 М 0 7 I Когда использовали третью часть всей воды, имевшейся в ведре, и ещё 5 ковшей, в нём осталось 7 ковшей воды. Сколько ковшей воды было в ведре вначале? Ш Н а) В парке посадили 60 лип и рябин. Сколько посадили рябин, если липы составили 12- всех деревьев? 58 8 2 б) Из 30 дней июня 5 были дождливыми, а остальные — солнечными. Сколько солнечных дней было в июне? 3 [~9] Постройте отрезок АВ, если -З АВ составляют 6 см. 10 Найдите: а) НОК (40, 8); б) НОД (64, 16); в) НОК (51, 17); г) НОД (45, 9); д) НОК (56, 63); е) НОД (21,63). Ш П 11 11 На числовом луче точками отмечены числа — и — . Установите соответствие меж- 3 4 ду точками и числами. O A B -t—♦- E ш М 12 Найдите число, 4 которого в 5 раз больше, чем 6 числа 1 760. 9 11 Натуральные числа и дроби Повторяем, обобщаем знания Сравните тексты задач и их решения: а) Два друга разделили поровну четыре порции мороженого. Сколько досталось ? каждому б) Четыре друга разделили поровну две порции мороженого. Сколько досталось ? каждому Как записать решение данных задач? 59 1 Найдём решение первой задачи. Эта задача, как вам уже известно, решается делением 4 : 2 = 2 (п.) Найдём решение второй задачи. Понятно, что по целой порции мороженого друзьям не достанется. Разделим каждую порцию на 4 части, тогда каждый из друзей получит по две таких части, или по ^ порции. Эта задача так же, как и первая, решается делением, и ответ 22 можно записать в виде дроби 4, то есть 2 : 4 = 4 (п.) Теперь разберёмся, как представить в виде дроби любое натуральное число. Выберем произвольное натуральное число, например 6. Его можно представить как результат деления чисел 6 и 1 или в виде дроби . В виде такой же дроби со знаменателем 1 можно представить и любое другое натуральное число а, то есть а = a 1 . Вы видите, что любые два натуральных числа можно разделить друг на друга. Результат деления выражается или натуральным, или дробью. Развиваем умения Н \~1\ Представьте в виде дроби числа 5, 9, 12, 100. [~^ Выполните деление: а) 2 : 3; б) 3 : 7; в) 5 : 9; г) 16 : 25. [~^ а) Пять яблок разделили поровну на 6 человек. Сколько досталось каждому? б) Масса четырёх одинаковых дынь равна 3 кг. Чему равна масса каждой дыни? в) Из 3 м ткани сшили 10 одинаковых платков. Сколько метров ткани пошло на один платок? 60 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Два килограмма сахара разложили поровну в 5 пакетов. Сколько килограммов сахара в каждом пакете? П Вариант II. Таня прошла 3 км за 25 мин. С какой скоростью она шла? Тренировочные упражнения. Н [~^ а) За неделю Серёжа исписал 2 одинаковые тетради (каждый день одинаковое число страниц). Какую часть тетради он заполнял каждый день? б) Саша за 15 мин пробежал 2 км. С какой скоростью он бежал? П [5\ Сравните дроби: а) 4 * 1; б) 4 * . 6 3 6 2 М Н 6 I Коля за 2 с делает 3 шага, а Шура за 3 с - 5 таких же шагов. Кто из них идёт с большей скоростью? Н [~^ Выполните деление: а) 1 : 5; б) 4 : 17; в) 5 : 10; г) 11 : 12. [~8] а) Высота стеллажа из 5 одинаковых полок равна 2 м. Чему равна высота одной полки? б) Три куска мела израсходовали за 6 дней, поровну в каждый из дней. Сколько мела расходовали ежедневно? [~9] Найдите: а) НОК (135, 5); в) НОК (120, 10); д) НОК (13, 11); б) НОД (120, 60); г) НОД (52, 53); е) НОД (100, 175). Ш П 10 0 0/1 Каким натуральным числам равны дроби: 1; ■j; ■4? Ш М 11 Таня и Лена вырезают одинаковые снежинки. Таня вырезает 4 снежинки за 8 мин, а Лена - 2 снежинки за 3 мин. Кто из них работает быстрее? 61 5.4 Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю Вспоминаем то, что знаем ^ Какую часть от целого изобразили на каждом рисунке? а) б) Открываем новые знания ® Начертите числовой луч, приняв за единицу 12 клеток. Отметьте на нём точки с координатами 4' '7 и ^ . 3 6 12 в Сколько точек отмечено? Почему дробям 4, 7 на числовом луче соответствует одна и та же точка? 3 12 6 Отвечаем, проверяем себя по тексту На числовом луче одной и той же точке соответствуют равные дроби: — = 7 = —. Равенства, которые мы записали, показывают, что если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. 62 Основное свойство дроби П - 11-2^22 ■ 2 4 2 _ 2:2 _ 1 Действительно: 1 _ 3-2 _ 6' 2 _ 22 _ Т2 или 6 _ 6Г2 _ 3 и т д- Это - основное свойство дроби. Его можно записать так: — = m'a или m m : a n n - a n n: a , где a, m, n — натуральные числа. Вспоминаем то, что знаем # Какие числа записаны в виде произведений 6 ^ 8 и 6 4? • Назовите в этих произведениях общий множитель. Запишите числа 48 и 24 в виде ещё нескольких произведений с общими множителями. Открываем новые знания 2 €1 Преобразуйте дробь —, заменив её равной ей дробью со знаменателем 48. 6 О Л Ф Сократите дробь ■2-4', заменив её на равную ей дробь с однозначными числителем и знаменателем. Ф Что означает преобразовать дробь? Как сокращают дроби? Отвечаем, проверяем себя по тексту Дополни- тельный множитель Основное свойство дроби позволяет преобразовывать дроби. 2 Произведём преобразование дроби — , заменив её равной дробью 6 со знаменателем 48. /уу2 /уу2 , ^ Мы знаем, что основное свойство дроби записывают так: — ~ n n - a Из этого равенства следует, что для заданного преобразования и числитель, и знаменатель дроби нужно умножить на одно и то же число, которое называется дополнительным множителем, чтобы при этом в знаменателе получилось число 48. Найдём дополнительный множитель, разделив 48 на 6. Получим число 8. Чтобы получить дробь со знаменателем 48, умножим числитель и знаменатель ___би 2 на 8: 2 _ 2-8 _ 16 дро6и 2 на 8: 2 _ 68 _ Т8 ■ 63 Сокращение дробей 7 2 Принято говорить, что дробь Y привели к новому знаменателю 48. 6 Запись при этом удобно делать так: = 16. 6 48 О Л Произведём преобразование дроби —4, сократив её, то есть раз- 48 делим одновременно и числитель, и знаменатель на одно и то же число. В качестве этого числа можно брать любой общий делитель числителя и знаменателя. 24 Сократим дробь ^. Числитель и знаменатель этой дроби имеют общий делитель, равный 24. Разделим на него числитель и знаменатель г: 24 24 • 24 1 данной дроби: — = ^. ^ 48 48•24 2 Запись при этом удобно делать так: у 1 5 — г г Не каждую дробь можно сократить. Если числитель и знаменатель дроби - взаимно простые числа, то такую дробь называют несократимой. Например: ■2; ■5. Для каждой дроби существует единственная, равная ей, несократимая дробь. гг 4 к 12 ^14 14 ^ Например: = т= TF- Чтобы получить несократимую 8 215 515 15 дробь, надо данную дробь сократить на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. О Л Для дроби наибольшим общим делителем числителя и знаменателя является найденное нами число 24. Однако не всегда удаётся легко найти наибольший общий делитель; тогда сокращение можно выполнить последовательно. Например: сократим дробь 1—0-. Сначала сократим данную дробь 12U 8 2 на 10, а затем получившуюся дробь 1-2 сократим на 4 и получим . 64 Вспоминаем то, что знаем 1 3 © Замените дроби ^ и 5 равными им дробями со знаменателем 10. Открываем новые знания 1 3 • Можно ли сказать, что дроби ^ и 5 привели к общему знаменателю? 2 3 # Приведите к общему знаменателю дроби 3 и 4. в Как привести дроби к общему знаменателю? Отвечаем, проверяем себя по тексту Приведение дробей к общему знаменателю При решении многих задач дроби, имеющие разные знаменатели, заменяют равными им дробями с одинаковыми знаменателями - приводят дроби к общему знаменателю. Очевидно, что дроби можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателям данных дробей, однако, как правило, стараются подобрать наименьший общий знаменатель. В этом случае действия с дробями значительно упрощаются. и 4- >1 Например: приведём к общему знаменателю дроби Общим знаменателем этих дробей должно быть число, кратное 3 и 4. При этом желательно, чтобы это было наименьшее общее кратное. В данном случае это число 12 — произведение чисел 3 и 4. 65 Н П<~| С> Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример. [~^ Объясните с помощью рисунка, почему 1 = 2 = -4. 3 6 12 [~У| Начертите прямоугольник со сторонами 3 и 9 клеток. Разделите его на три равные части. а) На сколько равных частей надо разделить каждую третью часть, чтобы получить девятые доли? Сколько девятых долей в 1 ? б) На сколько равных частей надо разделить каждую девятую часть, чтобы полу- 11 чить восемнадцатые доли? Сколько восемнадцатых долей в -^ ? в 3 ? [~^ С помощью основного свойства дроби докажите, что: а) 1 = 2. б) 2 = 20. в) ^ = 28. г) 20 = I. п) 25 = 5 а) 2 4' ) 3 30' ) 12 48' ) 100 5' д) 45 9. 66 [~^ Дополните запись: а) 2 10 15 25; б)3 ^ 8 16 24 32 [~6] Дополните запись: а) 4 = 8 = 16 = 32; а) 9 - - - ; б)3 = 6 = ^ = 18 [7\ Приведите дробь: 2 5 а) 3 к знаменателю 6, 12, 18, 24, 120; б) ^ к знаменателю 16, 24, 32, 1 000. Приведите дроби: а) 4 , 8 , 16 к знаменателю 32; б) 3, ц, к знаменателю 44; 4 7 9 в) к знаменателю 60. 5 12 15 Г9! Приведите дроби к знаменателю 45, если это возможно: а) i3;;б) в) 172;г) 4; д) 10 Докажите, что: 11 а) А - 1. б) 20 _ 2. в) ^ _ 4. г) _ 1. д) \Ж - 1 а) 12 3; ) 50 5; ) 15 5; ) 24 3; д) 240 2‘ Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений, содержащих одинаковые множители, и сократите дробь: а) 3; б) 20; в) 8 ; _) 10; _) 1 1 а) 6; ) 50; ) 10; ) 15; д) 33' 12 Сократите дроби: а) 10; б) 12-; в) ^; г) ^; д) 16; е) 19; ж) -1^. 13 Сократите др°би: а) 1^; б) 145.; в) 38; г) ^; д) 48; е) 1^; ж) 1^. 14 15 3 3 5 5 13 13 Определите, сократима ли дробь: а) -6; б) 3; в) 10; г) 151; д) з3; е) з3. Сократите дроби, если это возможно: А; _6. Ш. 11 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12. 16 Приведите дроби к несократимому виду: а) б) 48; в) г^ д) 800. е) 1^ а) 150; ) 56; ) 75; ) 1000; д) 900; е) 140" 67 8 17 а) Какую часть метра составляет 1 см, 10 см, 50 см, 75 см? б) Какую часть килограмма составляет 1 г, 200 г, 250 г, 700 г? в) Какую часть часа составляет 1 мин, 5 мин, 15 мин, 20 мин? 18 а) Любые ли две дроби можно привести к общему знаменателю? б) К какому общему знаменателю лучше всего приводить дроби? 19 20 Найдите несколько чисел, кратных заданным. Укажите наименьшее общее кратное этих чисел: а) 3 и 5; б) 6 и 7; в) 5 и 10; г) 4 и 6. Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению знаменателей этих дробей: а) ^ и з; б) 2 и г в) 15 и Т6; г) Тс и Т7; д) 9 и ТГ; е) ^2 и 8- 21 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а)4 и I; б)| и 5; в) 2 и 4; г) 7 и 1; д) 15 и 13.; е) 4 и 22 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю. Найдите ещё несколько общих знаменателей для каждой пары дробей: а) 110 и 1; б) I и 8; в) 12 и 10; г) 2L и 1; д) 1 и 1; е) 4 и 2L. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н 1^ 12 24 а) Сократите дроби: 24; 18; 40' 1 11 13 1 б) Приведите дроби к общему знаменателю: т и —^ ^ и —. 4641086 П Вариант II. 312 66 . 120 а) Сократите дро6и: 384; 102; 168 б) Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: ^; ^1; ^; '2; Н 23 Тренировочные упражнения. Объясните, почему верно равенство: а) 15 1; б) -8-^ 24 в) 2 = 6 3; ) 7 21’ 68 24 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а) 2 .> J-; б) — 2 ы 3. 1 5. _3_. 2 20 12 24 ; в) о 25 а) На полках в магазине 12 мягких игрушек. Восемь из них — медведи, а остальные — зайцы. Какую часть всех игрушек составляют медведи, а какую - зайцы? б) Перед школой посадили 12 лип и 18 берёз. Какую часть всех деревьев составляют липы, а какую - берёзы? в) Вера была в пути 20 мин, двигаясь с постоянной скоростью. Какую часть пути она прошла за 15 мин? г) Батон колбасы стоит 120 р. Какую часть батона купил Сергей, если он заплатил за покупку 80 р.? 8 ; д) 11 10 : е) 27' П 26 Сократите дроби: а) 2S 2B' 2А-27' 2М^' : 7^ • 3^ _ 7^■ 3^ _ 3^ 2^-3 -7^ 2^-3^ -7^ Работайте по образцу: 7" • 5 7^2- 5 7^ • 5 27 Начертите числовой луч с единичным отрезком, равным 12 клеточкам, и отметьте на нём точки с координатами: 12-4. 2"-311 ■ 2^-5-7^ 2-З^ П^' ^ 2^ 5 7^ 28 1 С О т Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: 8 24 16 32 М 29 В каждом из случаев определите координату точки А. а) A -ф- б) 2 3 A 69 т Н 30 Приведите дробь: а) 4 к знаменателю 18, 27, 108; б) 1 к знаменателю 22, 33, 440. 9 6 31 Сократите дроби: а) ^; б) ^; в) 32 33 Приведите дроби к несократимому виду: а) 1200; б) 1725; в) 1"44' Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю. Найдите ещё несколько общих знаменателей для каждой пары дробей: а) 1 и — ■ б) — и 33 . в) 5 и 2. г) _7 и 5 а) 2 18; б) 10 100; ) 8 3; ) 15 9‘ 34 а) Какую часть сантиметра составляет 1 мм, 2 мм, 5 мм? б) Какую часть тонны составляет 1 кг, 10 кг, 100 кг, 200 кг, 500 кг, 750 кг? в) Какую часть минуты составляет 1 с, 5 с, 15 с, 20 с? т П 35 Сократите дроби: а) 131721|; б) т2525" 12-25 36 1 5 1 11 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: 30' т М 37 В каждом из случаев определите координату точки А. а) A Н—•—I- б) A н-----•-----1- 70 0 0 5.5 Сравнение дробей Вспоминаем то, что знаем 2 2 12 V Сравните дроби: 3 и 9; 3 и 3. Открываем новые знания 1 3 « V Как сравнить дроби 3 и 4 ? Чем этот случай отличается от предыдущих? Л ? ^ 9 7 9 о Что можно сделать с дробями а) 6; б) 9; в) ^; г) —; д) — и —, чтобы этот 8 6 12 18 1U 15 случай стал похож на один из предыдущих? t# Как сравнивать дроби, если у них разные числители и знаменатели? Отвечаем, проверяем себя по тексту В начальной школе вы уже научились сравнивать дроби с одинаковыми числителями и дроби с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше; из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше. 2 2 12 Например: —> — < —. 3 9 3 3 Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, их сначала нужно привести к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. 71 1 3 Например: сравним дроби 3 и 4' Приведём их к наименьшему общему знаменателю: 1 = = -4; 3 = = -9. Так как < -9, то 1 < 3. 3 3 • 4 12 4 4 • 3 12 12 12 34 Иногда дроби с разными числителями и знаменателями удаётся сравнить с помощью подходящих моделей. 13 Например: изобразим дроби 3 и 4 с помощью частей отрезка и частей круга. 31 Мы видим, что — > —. 4 3 Существует ещё ряд приёмов, позволяющих не приводить дроби к общему знаменателю. 2 5 Например: сравним дроби — и —. Для этого, не приводя их к обще- 5 8 1 му знаменателю, сравним каждую дробь с 1 — половиной от целого. 2 ^ ^ 2 ^5 — меньше половины от целого, а — больше, значит, — < -г. 5 8 5 8 Развиваем умения У Н \~1\ Расположите дроби в порядке возрастания: -з; -Т-; ■2-; .7. [2\ Расположите дроби в порядке убывания: ^; ^^j; ^L; з1^. ГГ] Начертите отрезок, длина которого равна 18 клеточкам. С помощью этого отрез- ^"115 и —. ^ ^ 18 9 ка сравните дроби: а) 7 и 5; б^ ^ и [~^ Сравните дроби, приведя их к общему знаменателю: а) 1 и —; б) ^ и 7; в) — и 10; г) — и —; д) 2 и —; е) — и 7. ^5 18 24 2 20 15 ^ 12 ^^^5 8 25 4 72 3 2 [Т] а) Девочка раскрасила ёлочных игрушек, а ей осталось раскрасить. Каких игрушек больше: раскрашенных или нераскрашенных? 3 1 б) Мальчики составляют — детей в классе, а девочки - —. Кого в классе больше: 4 3 девочек или мальчиков? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Сравните дроби, приведя их к общему знаменателю: а) 9 и 3; б) 134 и б) За день в магазине продали ^, всей имеющейся ткани, ^ ткани осталось не продано. Сравните проданную часть с оставшейся. П Вариант II. а) Сравните дроби между собой, сравнивая каждую с -j: а) 9 и 1; б) ^ и -6’ 10 12 б) Саша и Коля учатся играть в шахматы. Играя против одной и той же компьютерной программы, настроенной на один и тот же уровень, Саша из 6 партий выиграл 5, а Коля из 8 партий выиграл 6. Чей результат лучше? Тренировочные упражнения. Н И 1 6 2 3 9 7 Определите, какие из дробей меньше 1: а) 6; б) y; в) —; г) —; д) —. 2 8 6 12 18 10 [~^ Сравните дроби, определив, какая из них ближе к единице: _) 7 или 8. б) 1 1 или 17 а) — ил^ —; б) —— ил^ —-г. ^8 9 М2 18 Выпишите дроби, меньшие ■2: а) ^; б) f0; в) -|; г) 3 12 15 9 18 [~9] Сравните дроби: а) — и —; б) — и —; в) — и —; г) 9 и —; д) и 1. ^8 ^ 5 2 12 ^ 5 8 ’ 100 4 П 10 В классе, где учится Аня, из 24 учащихся 14 девочек, а в классе, где учится Наташа, из 18 учащихся 12 девочек. В каком классе девочки составляют большую часть от всех учащихся? 73 11 Запишите все дроби со знаменателем 12, которые расположены между числами 1 1 — и —. 6 2 М 12 Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю: а) .6 и б) ^ и 15 а) 12 16' б) 25 29' Ш Н 13 Сравните дроби, приведя их к общему знаменателю: а) ^ и ^L' б) -2 и _4' в) _2 и 10' г) 3 и _2' п) 5 и 19 а) 15 20' б) 13 11' ) 20 15' ) 8 20' д) 7 21 14 а) С одного садового участка собрали 1 ц 80 кг яблок, а с другого - в два раза 4 больше. На зиму отложили ^5 всего урожая, а остальное продали. Сколько яблок было продано? б) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 4 часа. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час? в) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Вместе они про- 1 ходят каждый час — всего расстояния. 8 Через сколько часов они встретятся? Ш П 15 1 Некто оставил в наследство жене, дочери и трём сыновьям 480 000 р. Жене — — 8 всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому наследнику? т М 16 99 Запишите несколько чисел, которые больше , но меньше 1. 74 ГЛАВА VI ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ 6.1 Сложение дробей. Свойства сложения Вспоминаем то, что знаем 1 1 Сложите дроби: zr и —. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями? 3 8 Открываем новые знания 2 2 19' 19' 19' б) ^' -^' ^' ^ 30 30 30' в) ^' 22' 29' ) 49' 49' 49' I"5! Сложите дроби и упростите полученный результат: а)1и6' в) 112и т2' д) 16 и 186' ж) 18 и 18' б) 42и 42' г) 64и 64' е) 9б и 9б' з) 14 и т4- 76 Г6] Сравните, не вычисляя (>, <, =): а) 1 + 1 * 2 + 1. а) 3 + 3 3 + 3' б) (1 + 2) + 4 * 1 + (2 + 4!' М9 9 9 9 \9 9' в) 1 , 2 * 2 , 1' в) 1 + 2 * 2 + 1' г) I~ + ~) + ~ * ~ + (~ + ~ I-М11 11 11 11 \11 11 1^7] Найдите сумму удобным для вас способом: а)^ + JL + ^ + 6 + ^' f 29 29 29 26 29' б) — + — + — + — + —-^ 35 35 35 35 35 ^ Приведите дроби к общему знаменателю и сложите их: а)1 и 2' в) 4 и 2' 10 3' д) 4и fj' ж)| б)2 г) 4 и ^' 30 12' е) 64и 40' з)42 и^- Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н 2 3 3 5 а) Сложите дроби и сократите полученную дробь: 1) 15 и 15' 2) 12 и 12- *Э О л ^ б) Сложите дроби и сократите полученную дробь: 1) — и —. 2) — и —- 4 16 14 21 П Вариант II. 5 1 7 а) Найдите сумму: 18 +18 +18- б) Сложите дроби, предварительно сократив их: 1) и -:5' 2) и -9-- 12 25 30 18 Тренировочные упражнения. Н Г9] Сложите дроби, предварительно сократив их-Работайте по образцу: 12 + =^1 = Ю- а)30ит6' б) ^ и ^' б) 64 30' в) 5^ и 20' ) 75 120' 10 Сложите дроби, предварительно сократив их-работайте по образцу: 16 + 23_ = ^ + .1 = 6 = 4-а) — и —' б) — и —' в) 10 и 60 ' г) 12 и а) 15 25' ) 45 36' ) 120 150' ) 360 20 480' г)1^и17- 77 11 Найдите сумму: а)1 + 1 + ±. б)1 + 1 + 3. в)1 + 1 + 3 а) 3 + 6 + 18' б) 2 + 5 + 7' в) 2 + 3 + 5' 12 1 а) До первой остановки автомобиль проехал ^ всего 3 пути, а от первой до второй — у всего пути. Какую часть пути проехал автомобиль от начала движения до второй остановки? б) Один рабочий выполнит всю работу за 3 ч, а другой — за 5 ч. Какую часть работы выполнит каждый из них за 1 ч? Какую часть работы они выполнят за час вместе? в) Один кран заполняет бак за 10 мин, а другой - за 15 мин. Какая часть бака будет заполнена за 1 мин, если открыть одновременно оба крана? П 13 Укажите дробь, которая дополняет данную до единицы: -2' 16' ■2'8-^' ■2-6. 14 Не выполняя сложения, сравните сумму с единицей (сравнивайте при этом каж-1 дую дробь с 2 ): а)1 + б) 22 + ’ 45 36 М 15 1111 Докажите, не вычисляя, что 15 + ^ + jy > 5' Ш Н 16 Найдите сумму удобным для вас способом и сократите полученную дробь: а) ^ ^ + 7 + ^ 30 30 30 30' б) — + — + — + — + —. ^ 42 42 42 42 42 17 Сложите дроби, предварительно сократив их: б) _L и И-б) 35 36' 10 50 в^ и 100 150 78 18 Александр может выполнить всю заданную работу за 5 дней, а Искандер 3 дня. Какую часть работы они выполнят вместе за 1 день? - за Ш П 19 Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали одновременно два автомобиля, которые двигались равномерно и без остановок. Известно, что первый автомобиль ехал из А в В 8 ч, а второй автомобиль ехал из В в А 9 ч. Могли ли они встретиться через 4 ч после выезда? Ш М 20 111111 Докажите, не вычисляя, что ^5 + ^ + Ц > 3. Вычитание дробей Вспоминаем то, что знаем 2 1 ф Найдите разность дробей: 3 и 3. Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями? 3 3 79 Открываем новые знания 2 2 0 Найдите разность дробей: 3 и 9. # Чем этот случай отличается от предыдущего? 2 2 if Что можно сделать с дробями 3 и 9, чтобы этот случай стал похож на предыдущий? if Как найти разность дробей с разными знаменателями? Отвечаем, проверяем себя по тексту Вам уже известно, что мы находим разность дробей с одинаковыми знаменателями, находя разность их числителей, а знаменатель оставляем прежним. 2 Например: ^ 1 3 Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями можно за- m к _ m - к писать так: n n n Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем вычитать по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. 3^0 X у| Например: 2 - 2 = '6 - 2 = ■4. Число 0 равно дроби тг' где n - любое натуральное число. Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна 0. 22г Например: 3 - 3 = 3 = 0. 80 Развиваем умения Н Q • Продолжите предложения. — Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями ^ — Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями ^ — Число 0 можно записать в виде дроби ^ Г2] Найдите разность дробей. Сделайте проверку сложением: а) 5 и 5. в)7 и2. д)1тиjl; ж) 13 и j2з; б) 9 и f. г)17> "10. е)^f; з) 195и 15^ Вычислите: а) 1 - f. в) 1 2. 5. д) 1 - Ц. ж)1 - 13. б)1 - г) 1 ■ 7 . 10. е) 1 - .2j; з) 1 -1- [~^ Запишите дробь в виде разности двух дробей: а) ■4; б) 16-; в) 45_; г) 16.. [~^ Запишите два следующих числа в каждом ряду: 47. 41. 35. ) 19. 17. ^. а) 19. 19. 19. ■■■ 16. _L. ^ б) 30. 30. 30. ■■■ в) 57 57 57 Г6! Приведите дроби к общему знаменателю и найдите разность: а)6и 6)|и 2. 3. в) 11 и f; д) ^ и 1 ж)2 и 7 . г) 40и е)5fи:Гi; з)4|и 12. 4_ 15' Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Найдите разность: 1) и 1_5; 2) и 3 1 11 3 б) Приведите дроби к общему знаменателю и найдите разность: 1) ^ 2) 4 8 21 7 81 П Вариант II. а) Найдите значение выражения: 3 - б) Найдите корень уравнения: + x = Тренировочные упражнения. Н [~^ Найдите корень уравнения: а) 8 + X = 5; б) 4 - Ь = 8; в) d + 8 = г) y -1=88; Найдите значения выражений: а) 3 - 8 + 3; б) 8- 8+8; в) (3 + 8)-Ц; г) 3- 3+1; Д) 3 - ^ = 9; г)ТЗ + ™ = 1^- д)| е)8 2 + 8; 3 + 4' 8 + 8 9 6 [~^ Найдите значения выражений удобным для вас способом: а) 33 + 33 + 33 + 53 + 33; в) б) (89+8)-8; 3 + 8 + 8 + 9 + i; 40 40 40 40 40' г) 1:8- 8) + 3- 10 9 а) Турист прошёл — всего пути. Какую часть пути ему осталось пройти? Какая 8 6 часть пути больше? На сколько? б) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. 3 Через некоторое время они проехали з всего пути, причём первый автомобиль 8 3 за это время проехал — всего пути. 6 Какую часть пути проехал второй автомобиль? 8 в) Таня прочитала 4 всей книги. Больше или меньше половины оставшаяся часть книги и на сколько? г) На ветке сидели воробьи. Когда треть воробьёв улетела, их осталось 6. Сколько воробьёв было на ветке? 82 8 П 11 Два тракториста вспахали поле за 4 дня. Первый тракторист может вспахать поле за 6 дней. Какую часть поля вспахивает каждый тракторист за день? Ш Н 12 Найдите значения выражений: 30 _9_ 36 20 , 15. 60 30' в) 36 1. 72 9' г) 19 - 16 , 1. 21 42 7' 6 100 13 Найдите значения выражений удобным для вас способом: 9 ' а> (19 + 1)-li' б)^ -(1 + Т-1. ^30 1з 30' 14 Найдите значения выражений: 1. б) 1 23. а)1 - 1' б)1 60 ' в)1 - 12' г)1 100 15 а) Найдите скорость лодки, плывущей по течению реки и против течения, если её 1 1 собственная скорость км/мин, а скорость реки км/мин. б) Два маляра покрасили ^ стены, причём один покрасил ^ стены. Какую часть стены покрасил другой? Ш П 16 а) Мастер и ученик сделали партию деталей за 3 ч. Если бы мастер работал один, то он выполнил бы эту работу за 4 ч. Какую часть работы выполнял каждый из них за 1 ч? б) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Известно, что один проехал весь путь за 4 ч, а другой — за 5 ч. Какая часть пути была между ними через 1 ч после начала движения? 83 Умножение дробей. Свойства умножения Вспоминаем то, что знаем Семь мальчиков взяли по 15 конфет каждый. Сколько всего конфет взяли мальчики? о Арбуз разделили на 15 равных частей. Семь мальчиков взяли по одной части каждый. Какую часть арбуза взяли семь мальчиков? Открываем новые знания ^ Арбуз разделили на 15 равных частей. Семь мальчиков взяли по две части каждый. Какую часть арбуза взяли семь мальчиков? ^ Как умножить дробь на натуральное число? Отвечаем, проверяем себя по тексту Умножение дроби на натуральное число Решим предложенную задачу с помощью вспомогательной графической модели. Сначала разделим целое на 15 равных частей, а затем возьмём 2 такие части и «дадим» каждому мальчику по арбуза. Рассмотрим рисунок. 2 15 I-^^^^^^^^^^^^^^------------1 __I I I-^-1 I-^-1 I-^-1 I-^-1 I-^-1 I I_ 2 7 раз по — 15 По рисунку видно, что эту задачу можно решить сложением: 222222 — + — + — + — + — + — 15 15 15 15 15 15 + .2 = ^. 15 15 84 Заменяя сложение одинаковых слагаемых умножением, делаем вывод: если 125 умножить на 7, то получим |-5 . Мы установили, что 125 7 = ■ Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно умножить на это натуральное число числитель дроби, оставив знаменатель без изменений. Докажем это для натурального числа, бсэльшего единицы. Так же как произведением натурального числа x на натуральное число n > 1 называется сумма n слагаемых, каждое из которых равно х, произ- x ведением дроби — на натуральное число n называется сумма n слаУ х гаемых, каждое из которых равно ■ — n раз x — n =--------+----+ ■■■ Ч---=--------------- У —___________У __________^ У n раз Т ' + х xn — Произведением дроби на единицу является сама эта дробь: хх 1 = хх. Вспоминаем то, что знаем 4^ Двадцать конфет разделили поровну между четырьмя мальчиками. Сколько конфет получил каждый из них? Открываем новые знания С! Пятую часть арбуза разделили поровну между четырьмя мальчиками. Какая часть арбуза досталась каждому из них? ® Три пятых арбуза разделили поровну между четырьмя мальчиками. Какая часть арбуза досталась каждому из них? €» Как разделить дробь на натуральное число? Отвечаем, проверяем себя по тексту 85 Деление дроби на натуральное число Понятно, что целое сначала разделили на 5 равных частей, а затем каждую пятую часть разделили на 4 равные части, в результате целое оказалось разделённым на (5 • 4), то есть на 20 равных частей. 1 При этом каждая часть, полученная мальчиком, составляет — от це- 1 1 20 лого. Таким образом, установлено, что 5 : 4 = 2'0- Теперь разделим 3 5 на 4. 20 1 20 А—^—h А—^—h А—^—h 3 20 3 3 Из рисунка видно, что 5 : 4 = ■ Чтобы разделить дробь на натуральное число, большее единицы, нужно умножить на это натуральное число знаменатель дроби. x Проверим, что дробь yn действительно является частным от деления x дроби — на натуральное число п. Для этого убедимся, что произведе- y x x . ние дроби —п на натуральное число п равно — (произведение частно- уп у го и делителя должно равняться делимому). По правилу умножения дроби на натуральное число и правилу сокращения дробей получаем, x xn x что действительно уп • п = уп = — ■ Вспоминаем то, что знаем Вспомните правило нахождения дроби от натурального числа. Открываем новые знания 2 3 €» Найдите 5 от у. Можно ли при этом применить правило, похожее на правило нахождения дроби от натурального числа? в Как умножить дробь на дробь? I Умножение дробей Ж Отвечаем, проверяем себя по тексту При нахождении дроби от натурального числа мы делим это натуральное число на знаменатель дроби, а затем умножаем на её числитель. При этом нахождение дроби от натурального числа соответствует умножению этого натурального числа на дробь. Точно так же умножению дроби на дробь соответствует нахождение дроби от дроби, то есть мы делим первую дробь на знаменатель второй дроби, а затем умножаем на её числитель: 86 X m y • n : n • m = X m = Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Развиваем умения Н П<~| С1 Продолжите предложения. — Чтобы перемножить две дроби ^ — Чтобы дробь умножить на натуральное число ... — От перемены мест множителей произведение дробей ^ — Чтобы сумму двух дробей умножить на третью дробь, можно ^ — Чтобы произведение двух дробей умножить на третью дробь, можно Г2! Найдите произведение дробей: а)1и|; 6)1и1; в) 9 и Ti; г)!1>и|- [~3] Сократите дроби: а) 3 • 4 . 16-21' б) 6 • 8 ' 24-12' в) 3 • 5 ' 15-21' г) 26-32 48•39' [~^ Найдите произведение дробей: а)T3^и7; б)134и7' в) 12 и 2. в) 18 и 3' r)?nif. [~^ Сравните, не вычисляя (>, <, =): а) 1 + 2 * 2 + 1. а) 3 + 3 3 + 3' б) (1 + i) . 4 * 1 • 4 + i • 4; ’ \9 11 8 9 8 118 Г6] Запишите в виде дроби числа: 6' 18' 21' d. 1^7] Найдите произведения чисел: в) 1 • 2.2 • 1' ’ 6 6 6 6 г) (5 • ^^ ^ • (5 • ^ ’ \9 19 31 31 \9 19 а)T3^и7' б)т3^и2' в) 12 и 2' в) 18 и 2' г) 4 и 17. 87 X y 2 а) Две трети учащихся школы танцев составляют девочки, 3 из них — ученицы младших классов. Какую часть учащихся школы танцев составляют ученицы младших классов? W W 1 б) В каждый из первых 4 дней похода туристы расходовали — всех запасённых 16 продуктов. Какую часть всех продуктов они израсходовали за первые 4 дня? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н О *Э Q л а) Найдите произведение дробей: 1) • J34; 2) 192 • 2'у- б) Половина всех книг на полке — учебники. Пятая часть всех учебников — учебники литературы. Какую часть от всех книг на полке составляют учебники литературы? П Вариант II. а) Найдите произведение дробей: 3L • _3_ • _Z_. б) У мальчика было 25 р. Он потратил ^ всей этой суммы и ещё остатка. Сколько денег он потратил? Тренировочные упражнения. Н [~^ Вычислите: а) 14 5. 2 5 6; б) Z ^ _9. в) б) 8 35 10; ) ^ IZ 35. 85 21 36; г) ^ ^ 16 19 96 35' 10 Замените сложение умножением: а)^ + 3 + ^. б)^ + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + _1. в)^ + 5 а) 16 + 16 + 16; б) 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35; ) 24 + 24. 11 1 а) За одну минуту через первую трубу наполняется 9 бассейна, а через вторую 11 10 . Какая часть бассейна наполнится через обе трубы за 3 минуты? 21 б) У Назара было 36 марок. 3 этих марок он поместил в альбом, а 4 оставшихся подарил другу. Сколько марок он подарил другу? 88 8 П 12 5 2 Лена отрезала от ленты — всей её длины, а затем ещё — остатка. Какую часть 6 3 ленты отрезала Лена? 13 а) Запишите пять чисел, первое из которых равно 3, а каждое следующее число 1 3 получается умножением предыдущего на 2 ■ Какое число больше — первое или последнее? б) Запишите пять чисел, первое из которых равно 21^, а каждое следующее число получается умножением предыдущего на 2. Какое число больше — первое или последнее? Ш Н 14 Найдите произведение дробей: а) 2 и 110’ б)!и21о; \ 3 8 в) 4 и 58 г) Тб и т?. 15 Вычислите: а) 09 . 4 . а) 11 5 72 ’ б) Т • ^ • 5; ^ 2 10 6 в) 7 • • 4. ^ 8 28 5 16 1 Туристы прошли за три дня 48 км: в первый день — 2 всего расстояния, а во второй день — 3. того расстояния, что они прошли в первый. Сколько километров они прошли в третий день? Ш П 17 Туристы прошли за три дня некоторое рас- 1 стояние: в первый день — — всего расстоя- 12 ния, а во второй день — 3 того расстояния, что они прошли в первый. Какую часть всего расстояния они прошли в третий день? 89 6.4 Деление дробей Вспоминаем то, что знаем V Какое число называют частным натуральных чисел а и b? V Как разделить дробь на натуральное число? Открываем новые знания 6 9 п Разделите число — на 20 . 7 21 Как найти частное дробных чисел? Отвечаем, проверяем себя по тексту Если взять любую дробь m и «перевернуть» её, поменяв числитель и n знаменатель местами, то получим дробь —. Дроби — и — называ- n — ются взаимно обратными. Например: 5 и 6 - взаимно обратные дроби. 6 5 1 1 Найдём произведение взаимно обратных дробей: — ■ — = —^— = 1. n — —■ — 11 Используя взаимно обратные дроби, мы можем деление дробей свести к умножению. Правило деления двух дробей записывается как: n . ^ _ n ^ _ n ■ b ^ ' b — a — ■ a , где — Ф О, b Ф О и a Ф 0. 90 Чтобы разделить дробь на дробь, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например, нам надо найти частное чисел ^ и 2I0-. 3 3 6 2П 6 21 6424 9 Запись вычислений ведётся так: — : = — • -24 = 'г4 = 7 21 7 2П 2П 1П 1 1П Вспоминаем то, что знаем V Представьте в виде дроби из этих дробей обратную. со знаменателем 1 числа 3, 12, 78, а. Запишите к каждой Открываем новые знания • Разделите число у на 3. Разделите 1 на у. V Какие вопросы можно сформулировать? • Как ti Как разделить дробь на натуральное число? разделить натуральное число на дробь? Отвечаем, проверяем себя по тексту Деление дроби на натуральное число Ранее при делении дроби на натуральное число мы пользовались специальным правилом: умножали на это натуральное число знаменатель I дроби: ^ : n У x yn ■ 91 Убедимся, что сформулированное выше общее правило даёт тот же результат: Х-у /yt yt л yt , л yt • /‘V'\ ф " ^ ^ . fi — . ~ — • — — . у 1 у у n у ■ n yn Найдём ответ на вопрос, как разделить натуральное число а на дробь —: Деление натурального числа на дробь n a : . m _ a . m _ a n _ a ■ n n ^ n 1 m m Чтобы разделить натуральное число на дробь, можно взять обратную дробь и умножить её числитель на натуральное число. Развиваем умения М Н П<~| • Продолжите предложения. — Взаимно обратными называются дроби ^ - Чтобы разделить две дроби ... [~^ Найдите частное и проверьте результат умножением: а) 120 : 3; б) 125 : 25; в) 121 : 11. [~^ Запишите дроби, обратные данным: а) 1; б) ^; в) ^8; г) [~^ Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: а) 1 : 1- а) 2 : 3; б) ^ : ^; ^ 42 21 в) 5 :1- г) 16 : 64. ) 25 : 75; д) ^: -р. е) 100 : 50. ) 111 : 81; ж) X : ) 30 : 15; з) ^ : 26. ^ 81 27 [~5| Запишите в виде дроби пять любых натуральных чисел. Запишите к каждой из этих дробей обратную дробь. [~^ Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: а) 2 : 4- 6) 9: 2; в) 15 ■ 5в) 16 : 5; г)30: 2. 1 [~У| а) Отрезок длиной 1 м разделили на равные части длиной м каждая. Сколько частей получилось? 92 1 1 б) За 2 часа улитка преодолела ^ qqq км. С какой скоростью двигалась улитка? Сколько метров она проползает за час? в) За сутки теплоход проплыл ^ всего пути. Какую часть пути он проплыл за треть суток? г) Ленту разрезали на 5 равных частей. Какую часть всей ленты составляет половина одной из этих частей? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. 2 22 5 а) Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: : 45; ; 5. б) От бечёвки отрезали 5 всей её длины. Какую часть всей бечёвки составляет чет- 6 верть отрезанной части? Вариант II. П а) Решите уравнения: 5 : x = ^; x : 4 = -:8. 6 12 9 27 б) От бечёвки отрезали ^ всей её длины. Какую часть всей бечёвки составляет четверть оставшейся части? Тренировочные упражнения. Н Решите уравнения: а) Х'^ = 28; б) ^ ; Х = 17!; в) 26 . Х = в) 27 Х = 54; г) х + 7 1; Г9] Запишите частное в виде дроби: 10 а) 3 : 5; б) 12 : 15; в) -2: 8; г) 8 :-2 ; д) 5 : 5. Вычислите: д) Х : 3 = д) Х : 7 15; е) Х — -5 = 1 е) Х 16 4. а)1 - ^: 6;б)1 -15:5.в)1 - i3): 2. 93 8 11 1 1111 Разделите на 8 и 8 чИсла: 8; Тб' 48; 60- 12 а) Покупатель потратил пятую часть своих денег и половину остального. После этого у него осталось 200 р. Сколько денег было у него вначале? 2 1 б) В магазин привезли арбузы. До обеда продали 5, после обеда - 3 привезённых арбузов и осталось продать 160 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин? П 13 Вычислите: а) + 6 3 + (4 - 8 9; б) (3 - ^). 3 - X : 1. 12 16 8 14 а) Запишите пять чисел, первое из которых равно -1, а каждое следующее число 1 8 получается делением предыдущего на ^. Какое число больше — первое или последнее? Во сколько раз? б) Запишите пять чисел, первое из которых равно 1, а каждое следующее число 8 получается делением предыдущего на 2. Какое число больше — первое или последнее? Во сколько раз? ш Н 15 Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: а) 3 : 2; а) 8 : 5; б) : -3; ’ 25 15 в) 2 : 4. в) 5 : 5; г) -3 : 4. ^45 15 94 16 Найдите частное и сделайте проверку результата умножением: а)110: 3; б)149:2; в)136: 4- 17 1 а) Задуманное число уменьшили на этого числа, получилось 270. Какое число задумали? б) Шест вкопали в землю на ^ его длины. Он возвышается над землёй на 55 дм. Определите длину шеста. Ш П 18 2 Капитан на вопрос, сколько у него в команде людей, отвечал, что 5 его команды в карауле, ^ - в работе, ^ - в лазарете, да ещё 27 человек налицо. Сколько у него в команде людей? Задачи на совместную работу Повторяем, обобщаем знания Объясните, что записано в таблице, и составьте к ней задачу. Производительность (v) 3 детали/час Время (t) 9 часов Выполненная работа (A) ? деталей • Расскажите, что называют производительностью. €1 Объясните, как связаны между собой величины: A, v, t. 95 Работа Время Производительность Вам уже известно, что производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Например, в приведённой выше таблице производительность труда будет выражаться в деталях, сделанных за час. Производительность принято обозначать маленькой латинской буквой V, время - маленькой латинской буквой t, сделанную работу -большой латинской буквой А. Зависимость между этими величинами записывается так: A = vt; v = A : t; t = A : v. Чтобы найти производительность, нужно всю выполненную работу разделить на время, затраченное на выполнение этой работы. Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Работа равна производительности, умноженной на время работы. Чтобы найти время выполнения работы, надо работу разделить на производительность. Вспоминаем то, что знаем €# Как решается такая задача: одна машинистка напечатает 30 страниц за 3 дня, а другая - за 6. За сколько дней они напечатают 30 страниц, если будут работать вместе? Открываем новые знания • Решите задачу: одна машинистка выполняет работу за 3 дня, а другая - за 6. За сколько дней они выполнят всю работу, если будут работать вместе? t# Сравните условия этих задач. Ф Как найти решение второй задачи, если неизвестно, какую работу должны выполнить машинистки? Ф Можем ли мы принять выполняемую работу за целое (единицу)? 96 Отвечаем, проверяем себя по тексту Решение задач на работу Вспомним решение первой задачи: 1) 30 : 3 = 10 стр./день — производительность одной машинистки; 2) 30 : 6 = 5 стр./день - производительность другой машинистки; 3) 10 + 5 = 15 стр./день — производительность обеих машинисток при совместной работе; 4) 30 : 15 = 2 дня — за это время машинистки напечатают 30 страниц, если будут работать вместе. Найдём решение второй задачи. Сравним сначала условия обеих задач. Вы видите, что во второй задаче не указан объём выполняемой работы, во всём остальном эти задачи похожи. Можем ли мы в таком случае воспользоваться уже известным нам способом решения первой задачи для решения второй? Всю работу, выполняемую в том и в другом случае, можно принять за целое (1); тогда оказывается, что это не разные задачи, а одна и та же задача, и решение находится тем же способом. 1 1) 1 : 3 = 3 всех страниц в день — производительность одной машинистки; 1 - 2) 1 : 6 = — всех страниц в день — производительность другой машинистки; 6 113 1 3) ^ ^ V - V - ^ всех страниц в день — совместная производительность 3662 обеих машинисток; 1 4) 1:^ = 2 дня — за это время машинистки напечатают все страницы, если будут работать вместе. Аналогичные рассуждения применимы для решения многих задач на совместную работу. Развиваем умения Н Q а) Через первую трубу бак можно наполнить за 2 ч, а через вторую — за 3 ч. Какую часть бака наполнит первая труба за 1 ч? вторая труба за 1 ч? 97 1 1 б) За каждый час первая труба наполняет — часть бака, а вторая - — часть бака. Ка- 6 3 кую часть бака наполнят обе трубы за 1 ч? За сколько часов они наполнят весь бак? в) Через первую трубу бак наполняется за 10 мин, через вторую - за 15 мин. За сколько минут наполняется бак через обе трубы? [~У| Одна бригада выполнит работу за 6 дней, а другая - за 12. За сколько дней выполнят эту работу обе бригады, если будут работать вместе? ^ Две машины одновременно выехали из двух пунктов навстречу друг другу. Первая машина проезжает это расстояние за 3 ч, а вторая - за 6 ч. Через сколько часов они встретятся? ^ На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, хватит ли привезённого корма уткам и гусям на 15 дней. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Мастер выполнит всю работу за 6 дней, а его ученику понадобится в два раза больше времени. За сколько дней они выполнят эту работу, если будут работать вместе? П Вариант II. Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 18 ч, а легковая — за 9 ч. Машины одновременно выехали из двух городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся? Тренировочные упражнения. Н И ^ Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч. Если грузовая и легковая машины одновременно отправятся из этих городов навстречу друг другу, то они встретятся через 12 ч. За сколько часов расстояние между городами проезжает легковая машина? 0 ^ Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха в течение 30 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха? М [~У| а) Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки -за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть это же расстояние по реке? 98 б) Пароход спустился вниз по течению реки от пункта А к пункту В за 2 ч, а назад вернулся за 3 ч. Сколько времени между этими же пунктами будет плыть бревно? Ш Н Через первую трубу бассейн наполняется за 20 ч, а через вторую - за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы? Ш П и 9] Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле? Ш М 10 Плот от пункта А до пункта В плывёт 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько времени катер плывёт от пункта В до пункта А? 6.6 Понятие смешанной дроби Вспоминаем то, что знаем €> Запишите частное в виде дроби: а) 1 : 3; б) 2 : 3; в) 3 : 3; г) 5 : 3; д) 6 : 3. Открываем новые знания • Разбейте полученные дроби на группы, сравнивая между собой числитель и знаменатель каждой дроби. 99 8 н a 2. Развиваем умения Н [~Т] • Продолжите предложения. — Правильной называют дробь ^ — Неправильной называют дробь ^ — Смешанной называют дробь ^ 102 Например: 2— > 21, так как 2 = 2, а 1 > 3— > 2-21, так 9 6 6 29 Г2] Расскажите, приводя примеры, как: а) записать неправильную дробь в виде смешанной дроби; б) записать смешанную дробь в виде неправильной дроби; в) сравнить смешанные дроби. 03 1 13 12 12 Выпишите только неправильные дроби: ^; 2; ^; ^; ГТ] Выпишите только те дроби, которые можно представить в виде натурального чис-^^ : 3.1. \_Ъ. \2. Ц ла: 2;2; 2;12; 2" [~^ Сравните числа: 1^ . 2^. а) ^ * 2-4; ^ 1 2 б) 24 * ^ 2 3 в) 36 * 48 ^3 4 ■ [~6~| Запишите пять любых натуральных чисел в виде неправильных дробей. Придумайте для каждого числа несколько вариантов записи. 1^7] Представьте смешанные дроби в виде суммы целого числа и правильной дроби: а) з2. б) 1п2- в) 31I.3. 6)10.|; в) 3^1|; г) 811. ^ 39 ^ Запишите сумму в виде смешанной дроби: а) 4 + 6)1 + f: в)7 + З. г)1 + Ц. [~9] Запишите неправильные дроби в виде смешанных дробей: а) 24. б) 251. в) г) п) е) ^ ) 5 . ) 24 . ) 3 . ) 11. д) 13. ) 25" 10 Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей: а)1JL; б) 5l2o; в)10|; г)7^; д) 4i3; е)12|. 11 Сравните числа: а) 1^ * 11; в) 3| . bJj: д) 2| * 24; б) 2^ * 1^. г) * 4l4; е) 5| . 2|. 103 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей: 21; 37; 5—. 8 10 5 б) Сравните числа: 1) Ij— * ll—; —) 3^8 * з_15; 3) 3^ * 4^. П Вариант II. а) Сократите дробь и запишите результат в виде смешанной дроби: 14); .2.00; 10^. б) Упростите: 2Т—; б30; 145- Тренировочные упражнения. Н 12 Запишите в виде смешанной дроби: а) 22; б) 16; в) 15; г) 29; д) 36; е) 108 а) ?—' б) "З"' в) 14"' г) "1"; д) ЗГ' е) Зз8' 13 Сократите неправильную дробь и запишите её в виде смешанной дроби: а) —0. б) в) —8- г) 10- д) 14. е) 4U а) 8 ' б) 10' в) 21' г) 6 ' д) 4 ' е) 15' 1^,^ 28 10. 14. 40 14 Упростите: а) 1Т"' 6)5Ц; B)t02^; г) 73Г' д) 414; е)124 151 Сравните числа: а) ll * 21' в) * 3ТТ4; д) 5| * 3—; б) 3^ »5З: г) 3^ * 4-1' е) 1■1 » 2^4- П 16 Расскажите, между какими двумя соседними натуральными числами на числовой оси находится число: а) 19. б) 3J_. в) г) д) 24. е) 41 а) 8 ' б) 10' в) 21' г) 7 ' д) 5 ' е) 15- 104 17 Сравните числа: а) 2 и 10; б) 18 и 3; в) 16 и i3!. М 18 Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а другая - за 12 дней. Первая бригада проработала 3 дня, а потом вторая завершила работу. За сколько дней было выполнено задание? Ш Н 19 Запишите неправильные дроби в виде смешанных дробей: а) “I1; б) 24; в) f; г) f; д) 17; е) 19. 20 „ч 19. 30. 40. 44 Ш П 20 Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей: а) 20; б) 19; в) 3-4; г) 5117. 21 Сравните числа: а) 2|» 21; б) 48 * 416; в) 517 * 34- ш М 22 23 Запишите все неправильные дроби с числителем 6. Какие из них являются натуральными числами? Два путника находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Они отправляются друг другу навстречу. Первый путник проходит за 2 ч 7 миль, а второй - за 3 ч 8 миль, но второй выходит на час позже, чем первый. Сколько миль пройдёт первый путник до встречи со вторым? 105 6.7 Сложение и вычитание смешанных дробей Вспоминаем то, что знаем О Сложите дроби: 2 и 2; 1 и 2. 3 9 3 9 Открываем новые знания 2 5 8 1 ^ Сложите смешанные дроби: 2^ и ^^; 3^ и 13 13 9 12 Как вы рассуждали? «в Как складывают смешанные дроби? Можно ли выполнить задание, записав смешанные дроби в виде неправильных дробей? Отвечаем, проверяем себя по тексту Сумму смешанных дробей можно найти, записав их в виде неправильных дробей. При этом мы будем действовать так же, как при сложении правильных дробей. Однако в этом случае вычисления могут быть громоздкими, трудоёмкими. Поэтому для удобства вычислений обычно используют другой способ, основанный на свойствах действия сложения. Вы уже знаете, что для дробей справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения: m + к _ к + m. n b b n' n m + к) + a _ m + Ik + a n 106 Найдём сумму смешанных дробей, опираясь на эти свойства. 2 5 Например: вычислим 213 + 313" 213 + 313=(2+г3)+(3+i1>)=(2+3)+(г3+13)=5+= 5i7>- 2 5 7 Обычно эти действия записывают короче: 213 + 313 = 533. Чтобы сложить смешанные дроби, можно сложить отдельно целые и отдельно дробные части. По этому же правилу складываем натуральные числа и смешанные дроби, считая, что натуральное число имеет дробную часть, равную нулю. Например: 2 + 312- = 512-. При сложении смешанных дробей сумма дробных частей может оказаться неправильной дробью. В этом случае действуем по образцу: 71118 18 213 + 313 = 513. Запишем неправильную дробь 13 в виде смешанной дроби: 13 = 113, тогда 513 = 5 + 112 = б13. Если дробные части смешанных дробей имеют разные знаменатели, то при сложении их нужно привести сначала к общему знаменателю. 35 Например: вычислим 2^ + ^^. Приведём дробные части к общему 83/3 125/2 ,9 знаменателю 24, тогда 2^ + = ^^. 8 12 24 Вспоминаем то, что знаем 2 2 1 2 • Найдите разность дробей: ^ и ^; ^ и ^. Открываем новые знания 5 2 18 • Найдите разность смешанных дробей: 317 и 217; 417 и 3-9. tf Как вы рассуждали? • Как вычитают смешанные дроби? €1 Можно ли выполнить задание, записав смешанные дроби в виде неправильных дробей? 107 Отвечаем, проверяем себя по тексту i Вычитание смешанных дробей Разность смешанных дробей можно найти, записав их в виде неправильных дробей. При этом мы будем действовать так же, как при вычитании правильных дробей. Однако в этом случае вычисления могут быть громоздкими, трудоёмкими. Поэтому используют другой способ, без записи смешанных дробей в виде неправильных дробей. Рассмотрим примеры вычитания смешанных дробей. Пример 1: целая часть уменьшаемого больше, чем целая часть вычитаемого, и дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого. 5 2 3 3 2 5 3^ - 2— = М-. Сделаем проверку вычислений: + 2— = ^;-. 17 17 1^ 17 17 17 Вычитание выполнено верно. Пример 2: а) дробные части уменьшаемого и вычитаемого равны; б) целые части уменьшаемого и вычитаемого равны. а)3г2- 2152 = ’; б) = ^. ’ 17 17 17 5 5 3 2 5 Сделаем проверку вычислений: а) 1 + = 3-5; б) ^ = 3-5. 12 12 17 17 17 Вычитание выполнено верно. Пример 3: целая часть уменьшаемого больше, чем целая часть вычитаемого, а дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого. В этом случае в целой части уменьшаемого «занимают» единицу. 4i52 - 2i72=(3+-^Ц-2172=(3+12)-2i72='12='!• В дальнейшем будем вести запись проще: - = 3^ - = '5 12 12 12 12 12 6. Пример 4: а) уменьшаемое — смешанная дробь, вычитаемое — натуральное число; б) уменьшаемое — натуральное число, вычитаемое — смешанная дробь. •)4г2-2■ 2i^; ')4- (3 * 12 12 12 Пример 5: дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели. В этом случае приводим сначала дробные части к общему знаменателю. зИ -225 = 3ii - 2^ = ^1. 12 6 12 12 12 Сделав проверку сложением, убедимся, что получился правильный ответ. 108 Развиваем умения Н П<~| • Расскажите, приводя примеры, как складывают смешанные дроби. [~2] Прочитайте смешанную дробь, запишите её в виде суммы целой и дробной частей: а) 54; б) 12d1|; в) 305; г) 16119. [~3] Запишите сумму в виде смешанной дроби: а) 3 + Ц; б) 12 + ^; в) 65 + 1; г) 19 + Ц; д)15 + 3; е)100 + 19^. [~Т] Рост Серёжи — 1 м и четверть метра. Запишите эту величину в виде смешанной дроби. [~^ Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби: 27. 15. 9. г) 17. 30. 45. ж) 67. з) 128. и) 401 а) 10' б) Т' в) 5; г) у д) 1з; е) ТГ; ж) 19; з) ТТ; и) ТГ- [~6] Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби: а) 3Т2Т; б) 12|; в) 1о7; г) 1б7; д) 917; е) 6Т3Т; ж) 21^. 1^7] Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби: а)175и^; в)тiиf; д)l52итт; ж) 3 и 7; б)?итD; г) 6и 178; е)^ит5; з)тfиl78• Выполните сложение: а)3^ + 1^; в) 4| + 25; д)12тD + 2тD; ж) 6Т7 + 3Т:Т; б) 3| + 1iт; г) 2| + 10|; е)53+■2; з) 48+1т■ Выполните сложение: а) 3-1 + 1; в) 43 + 2; д) 4 +1^; ж) 41+3тт; б) 32 +172; г) + А; ^ 10 15 е)53+14; з) 9lf+736. 109 10 Выполните сложение: а) ’?+1; г) +2 Ж)ю1 + 2; б)31+1; д) б4 + 1|; з) 57 + 5^6; в)26+ е)1т0+ и) 7!+2Т4 11 V а) Расскажите, как вычитают правильные дроби, и приведите примеры, б) Расскажите, как вычитают смешанные дроби, и приведите примеры. 12 Вычислите: а) 15 15' в) ^ -) 12 12' д)Т7 - ж) 7 - 17' Ж) 8 б) 4 2 ' ) 9 15' г)4- Т2; е)l5: - il:; з)1| - 13 Вычислите: а) Т7 - 5' ) Т9 9' г) 2|- 5; ж)то§ -1; б) - т Д)т25 - 2; з) 14| - 10; в) 29- ^4; е) 43 - 31; и) 102 - 8Т. 33 14 Вычислите: а)1 - ^; г)т - 2; ж)т - Ц; б) 10 - 7; A)T2 - 5; з)1Т - Ц; в) 29- т|; е) 3?- 2|; и) 10Т - 9|. 33 15 Вычислите: а) З11 - 2Т‘ а)318 25; г) 5i7; - 4|; ж) 1010 - ^3-ж)1013 610' ^ 21 21 д) 30^ - ■44; 3)21i7i -124; в) 1213 317. в)Т230 - 320’ е)”1^- -5^; и)135- 9Т3. 16 Вычислите: а) 41- 2f; г) 8:6;- 34; ж)12125 - 25; 110 8' 2 15' 17 в) 9|| - 27; Вычислите: а) - 21 + ’; 6)3|8 - 1 - 9; 15 ;И '15 - 423; з) 7-^3- 623б; - 5|; и)-0|-3 -19). - 2+-7o; д) 38 - 0 -(---0 +1); е) 2-8- - 4 2' 3 + 3 10 5 18 Выразите в километрах: а) 1 км 500 м; б) 3 км 200 м; в) 2 250 м; г) 5 450 м; д) 2 300 м. 19 20 21 Выразите в часах: а) 1 ч 20 мин; б) 3 ч 15 мин; в) 2 ч 30 мин; г) 4 ч 24 мин; д) 90 мин; е) 165 мин. Выразите в центнерах: а) 2 ц 50 кг; б) 1 ц 5 кг; в) 165 кг. 3 7 а) Масса дыни 3^ кг, а масса арбуза ^ кг. Чему равна масса арбуза и дыни вме- 5 8 сте? Выразите ответ в килограммах и граммах. б) На дорогу от школы до дома Вера тратит ■5 часа, а на дорогу от дома до спортивной школы — на 5 часа больше. Сколько времени у Веры занимает дорога от дома до спортивной школы? Выразите ответ в часах и минутах. в) В магазин привезли 3170 ц картофеля. Двести десять килограммов картофеля продали. Сколько картофеля осталось? Выразите ответ в центнерах. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Выполните сложение: 1) 1:1 + ■2-; 2) 2-^ + 3-4-; 3) 9^ + 188. б) Выполните вычитание: 1) 113 - 1^; 2) 511 - ^^; 3) 113 - 17. ^ ^ 18 18 ^ 15 15 ^ 15 20 П Вариант II. 23 + 11. а) Вычислите: 1) 3-1 - 2 - ■4; 2) 4 85 б) Сравните значения выражений: 1) ^ + ^2 * ^2 + ^5; 2) 2 - ^ * 3 - ^. Тренировочные упражнения. Н 22 Отметьте числа 1-2j, 2-3-' 32() на числовом луче с единичным отрезком, рав- ным 5 клеточкам. 111 23 Вычислите: а) 4 -(- -i); б) 3i - (22 + 11; в) s! - (22 + 3 ] + 1. 24 Сравните значения выражений: а) 31 + 2 * 31 + 1; ^ 8 3 8 6 б) 31 - 2 * 31 - 1. ^ 8 3 8 6 25 а) Найдите скорость катера по течению реки и против течения, если собственная 1 скорость катера 12 км/ч, а скорость течения реки - 15 км/ч. б) Скорость катера по течению реки равна 1510 км/ч, а скорость течения реки - 24 км/ч. Найдите собственную скорость катера и его скорость против течения реки. в) Бак наполняется через кран за 17 мин. Какая часть бака останется незаполненной, если открыть кран на 2 мин? П 26 а) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали две машины. Одна машина может проехать это расстояние за S ч, а другая - за 3 ч. Какую часть пути им останется проехать? б) Два тракториста вспахали поле за 4 дня. Если бы первый трактор работал один, он вспахал бы поле за 6 дней. Какую часть поля вспахивал каждый тракторист за день? в) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья — за 18 дней; первая и третья — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе? М 27 Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше ^, но меньше ■7. т Н 28 Выполните сложение: а) 33 +1; в) + 2; д)12 + 217о; б)31+1; г) 74+4; е)43+f 112 29 Выполните сложение: 30 31 32 а) 35 + tf; в) 85 + 21; д) 20 + 210; б) ’? + г)125+1^5; е)87+1г4. Выполните вычитание: а)31- .9; в) 113 - 5; д) 210 - Тз; б) '4 - 3; г) i!-1; е) 31- ;т. Выполните вычитание: а) 430- 'з^; в)1411- 41i; д) 3—5-110; б)13^- ’Ц; Г)131 - 10116; е)1625 - 12ТS Выразите: а) в миллиметрах: 2-2 см; 3-4 см; б) в сантиметрах: 113о м; м; 33 в) в м0трах: 31000 км; l-i_ а) Светлане сшили костюм. На пошив юбки ушло 2'2 дня, а на пошив жакета — на 3 „ 2 5 дня больше. Сколько дней шили костюм Светлане? б) Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. W 3^2 Первый пешеход прошёл до встречи км, а второй — на 5 км больше. Чему 10 5 равно расстояние между пунктами А и В? в) От стоянки до первого светофора автомобиль ехал ^ ч, а до второго светофора — на 1 ч меньше. Сколько времени затратил автомобиль на движение от сто- 6 1 янки до второго светофора, если на первом светофоре он стоял з1о ч? г) Туристы отправились осматривать достопримечательности, затратив на дорогу туда 2— ч. Обратный путь у них занял на 1 ч больше. Сколько времени длился 5 2 2 осмотр, если на всю экскурсию ушло б-2 ч? Ш П 34 а) Мастер и ученик сделали партию деталей за 3 ч. Если бы мастер работал один, то он выполнил бы эту работу за 4 ч. Какую часть работы выполнил каждый за 1 ч? 113 б) Один насос выкачивает воду из бассейна за 6 ч, а другой - за 4 ч. Какая часть бассейна останется заполненной водой после 1 ч их совместной работы? т М 35 Из пунктов А и В одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин, а через 32 минуты после встречи первый пришёл в пункт В. Через сколько часов после выхода из пункта В второй пешеход пришёл в пункт А? Умножение и деление смешанных дробей Вспоминаем то, что знаем 2 12 1 •.J Найдите произведение и частное дробей: 3 и ^; 9 и 3- Открываем новые знания Найдите произведение смешанных дробей: 3^ и Найдите частное смешанных 11 12 6 дробей: 3-2 и 2-2. Как вы рассуждали? Как умножают и делят смешанные дроби? Можно ли выполнить задание, записав смешанные дроби в виде неправильных дробей? 114 Отвечаем, проверяем себя по тексту Умножение и деление смешанных дробей 1 Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, можно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия так же, как с правильными дробями. Рассмотрим примеры умножения смешанных дробей. П^имер 1: = = = Пример 2: (iff = V • V = ^ = Пример 3: 3^ -2 = {з + ■ 2 = 3 • 2 + 17 \ 17/ 17 2 = 6 + 17 17 Рассмотрим примеры деления смешанных дробей. Пример 1: 3J- 2-= - • — = — • — = — = 1— р р : 2 5 2 5 2 11 22 22' Пример 2: 3-^ : 3 = 3-^ 12 12 • 21 -7.11 - Z . 5_ _ 35 - '5 2 ■ 5 2 11 22 Ыз + А) .1=3.1+-^. 3 1 12/ 3 3 12 1 3 _5_ ^ 36 36 Развиваем умения Н [~^ а) Расскажите, как умножают смешанные дроби, и приведите примеры. б) Расскажите, как делят смешанные дроби, и приведите примеры. [~2] Представьте в виде неправильных дробей любые пять натуральных чисел, включая единицу. Представьте какое-нибудь из этих чисел в виде нескольких дробей с разными знаменателями. Г3] Найдите произведение: а) 2 ■ .7; 1 1 г) 4 • ^; б) 100 3; д)143 •1 в)1 • 3; е)14326; [~^ Найдите произведение: а) 2 • 1 1 1' в) 4 • 2^; ж) 7• 1; з) и) 19 1000 19 1000 0; 1 500. д) 2 • 5^; 115 6)lii'4; г>257'9; I"5! Найдите произведение: е) 3г4'7- а) 92 ■ 210; в) 21 • —■ ) 23 28; д) 416 б) • 21; г) 21 • 3; ^ 2 5 е) 12' 1 . И1 2 1 5 1 1 Вычислите квадрат и куб числа: а) -2; б) -I; в) 3; г) -З; д) 1-1; е) 3-1. [7\ Выразите 13 3 2 а) в часах: 2-1 суток; 3^ суток; б) в минутах: 110 ч; 4-5 ч; 13 в) в граммах: 31000 кг; кг. а) Рабочий день Васиной мамы длится 6-1 ч. Сколько часов в неделю она работает при пятидневной рабочей неделе? б) Сутки - это 123. того времени, что длился поход. Сколько времени длился поход? [~У| а) Запишите обратные дроби для чисел: а) 5; б) 7; в) 1; г) ■2; д) j-7 . б) Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей и укажите обратные им числа : а) 1175;б) '6Й;в) 5li;г) 430; д) 7i"3;е) 626- 10 Выполните деление: а) 12 : 36; б) 100 : 30; в) 20 : 15; г) 7 : 8; д) 25 : 75. 11 12 2 1 2 Выполните деление: а) 1 : -2-; б) 1 : -j; в) 1 : -^. 2 7 9 Выполните деление: а) ^ : 2; б) 15 : 3; в) Тб : 6. 13 Выполните деление: а) 31: 21; г) if:22; ж) 1^ б)16:-0; д) 17 : 34; д) 30 : 75; з)^ ^ 28 в) 32 : 2; е) 3 : 1|; и) 1^: 14 а) Сколько пакетов получится, если три килограмма конфет разложить в пакеты 1 1 1 по — кг, по — кг, по — кг? 548 1 1 б) Расфасовали 1-1 кг масла в пачки по -4 кг. Сколько пачек получилось? 116 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. 12 17 а) Найдите произведение: 1) ^ • Ъ^; 2) ^ . 2 5 7 16 б) Выполните деление: 1) — : 11; 2) Ъ-1 : 24. 27 3 18 9 П Вариант II. 11 25 3 1 2 7 а) Найдите значения выражений: 1) • 25 + 13; 2) 2—---------2 • -7- 15 33 4 16 3 12 б) Найдите значения выражений: 1) ^ : 10; 2) (1 - -2-) : - 3 Тренировочные упражнения. Н 15 Найдите значения выражений: а) 1 1 3 2 4. 224 ; б) 835 1 2 10. г) 3 2 4 8 3 5' ; в)1 • 2 • 10; г) 4 5 11 16 Найдите значения выражений: а) ^ ^ + 3; б)1| - 2 • ^; в) 51 + ^ • 5 12 55 8 3 32 15 7 17 18 Найдите значения выражений: 2 ^ - 4); а) |1 б)^(^- И); Найдите значения выражений: 3 + i + .5, 4 + 12 + 24)' в) 12 г) 25 •I18 + 11. ’ 46 I25 5' 19 а) 1 • 1 : 11-а) 2 2 : 12; б) 25 • 1^5 : # Найдите значения выражений: в)|2-4 : 20. а) 1+22): -1^5) б) (-2+12+^ 20 21 Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться: а) правильными дробями; б) неправильными дробями; в) натуральными числами; г) смешанными дробями? а) Известно, что а^Ъ = 1, b = 1 . Найдите а. 35 б) Известно, что а^Ъ = 1, а = 211. Найдите Ъ. 117 22 а) Масса дыни 3 кг, а масса арбуза в полтора раза больше. Чему равна масса арбуза? б) За 1 ч автомобиль проехал 80 км. Сколько километров он проедет за — ч, 1 ч 3 ч 5 чз ч 1— ч? 2 3 Ч' 4 Ч' 6 Ч' 3 Ч' '2 Ч' 3 в) На покраску стены требуется 4 ч. Сколько времени потребуется на покраску стены, размеры которой в полтора раза больше? 23 11 а) В чайнике 21 л воды. В стакан входит 1 л воды. Сколько стаканов воды в этом чайнике? 2 2 б) Моток верёвки длиной 21 м разрезали на куски по 2— м. Сколько кусков получилось? 3 в) За -4 часа автобус прошёл 30 км. С какой скоростью шёл автобус? 1 г) Скорость велосипедиста 12'2 км/ч. За какое время он проедет 5 км? П 24 а) Одна швея выполняет работу за 3 ч, а другая — за 4 ч. Какую часть работы они выполняют за 4 ч, работая вместе? б) Для приготовления крема берут 1 часть сливочного масла и 2 части сахарного пе- 1 ска. Сколько масла и сколько сахара надо взять, чтобы приготовить 12 кг крема? М 25 От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км 2 от первого причала находится второй. От него навстречу плоту через ч после отплытия плота отправляется теплоход. Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом, если собственная скорость теплохода — 25 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч? Ш Н 26 2 1 3 а) Один килограмм яблок стоит 54 р. Сколько надо заплатить за — кг, 3 кг, — кг, 3 3 4 3 кг, 1^L кг? 23 б) Сколько часов длятся 5 уроков, если один урок длится 4 ч? 27 а) Мама сварила 6 кг варенья и разложила его в баночки, каждая из которых вме-3 щает по ю кг варенья. Сколько таких баночек потребовалось? 118 4 б) В одну банку помещается -2 л сока. Сколько понадобится банок, чтобы разлить 8 л сока? 4 в) Какую часть стены маляр красит за 1 ч, если всю стену он красит за 1-2 ч? г) За 2^ ч велосипедист проехал 24 км. За какое время он проедет 30 км? Ш П 28 а) В начинку для земляничного пирога кладут 4 части земляники и 1 часть сахара. Сколько земляники и сколько сахара потребуется, чтобы приготовить кг начинки? 2 б) Верёвку длиной 18-2 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одного куска верёвки была в два раза больше длины второго куска. Какой длины должен быть каждый кусок? Ш М 29 Два пешехода шли навстречу друг другу и в пути встретились. Через :5 ч после их 3 „ 12 встречи расстояние между ними стало равным 34 км. С какой скоростью движется первый пешеход, если скорость второго равна 3 км/ч? Занимательные задачи Повторяем, обобщаем знания о Как вы понимаете фразу: «На дереве сидят по меньшей мере две вороны»? ^ Как решить задачу: «Во дворе 7 деревьев. На них расселись 8 ворон. Верно ли, что по меньшей мере две вороны сидят на одном дереве?»? 119 Самый «неудобный» случай Когда мы говорим «по меньшей мере две вороны», то имеем в виду, что ворон или две, или больше двух. Также можно сказать «по крайней мере две вороны», «хотя бы две вороны», подразумевая, что ворон никак не меньше двух (а больше быть может). Ответ в задаче о 8 воронах, рассевшихся на 7 деревьях, почти всем ясен сразу: «Верно». Но как это обосновать? Ведь птицы могут рассесться по деревьям очень многими способами, и рассмотреть все возможные случаи очень непросто. Но оказывается, что в этом и нет надобности. В некоторых из этих случаев всё понятно сразу. Например, если на каком-то дереве сидят три вороны, то ответ очевиден, как бы ни сидели птицы на остальных деревьях. Это простой для рассмотрения случай. Попробуем понять, а какой же случай самый сложный, самый «неудобный». Если на первом дереве сидит одна ворона, на втором одна, на третьем одна и т.д., то ситуация долго остаётся неясной. По-видимому, в этой задаче и в других похожих на неё задачах самый «неудобный» случай, когда ворон на каждом дереве примерно поровну. Конечно, понять, какой случай самый «неудобный», - важный шаг в решении таких задач. Но этого мало! Нужно ещё привести рассуждение, которое убедительно покажет верность ответа. В обсуждаемой задаче оно может выглядеть примерно так. Предположим, что такого дерева, где сидят хотя бы две вороны, нет. Что это означает? Что на каждом дереве сидит одна ворона или меньше! Тогда на всех деревьях сидит 7 ворон или меньше. Но это невозможно, так как ворон 8. Противоречие! Значит, есть такое дерево, на котором сидят хотя бы две вороны. А как быть, если ворон 70, а деревьев 17? Для выяснения, какой случай здесь самый «неудобный», попробуем рассадить птиц по деревьям примерно поровну: 70 : 17 = 4 (ост. 2). Тогда на одном дереве окажется по крайней мере 5 ворон. Проводим такое же рассуждение, как в примере выше. Предположим, что такого дерева, где сидят хотя бы 5 ворон, нет. Это значит, что на каждом дереве сидят 4 вороны или меньше. Тогда на всех деревьях сидит 17 4, то есть 68 ворон или меньше. Но это невозможно, так как ворон 70. Полученное противоречие доказывает, что есть такое дерево, на котором сидят хотя бы 5 ворон. Развиваем умения Н Ш ^ В математическом кружке занимается 14 пятиклассников. Верно ли, что хотя бы двое из них родились в одном месяце? 120 [~У| Ребята обсуждали, что значит фраза «хотя бы пять». Валя сказал: «То же самое, что и просто пять». Ваня сказал: «Пять или больше». Вася сказал: «Не меньше пяти». Кто из ребят прав? [~У| В каждом из 20 пеналов лежит либо 4, либо 5, либо 6 карандашей. а) Верно ли, что найдётся хотя бы 7 пеналов с одинаковым количеством карандашей? б) Можно ли с уверенностью утверждать, что найдётся хотя бы 8 пеналов с одинаковым количеством карандашей? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н В школе учатся 400 человек. Докажите, что хотя бы двое из них празднуют день рождения в один и тот же день. П Вариант II. В коробке лежат шары красного, синего, жёлтого и зелёного цветов - всего 30 шаров. Можно ли с уверенностью утверждать, что найдётся по крайней мере 8 шаров одинакового цвета? Тренировочные упражнения. Н [~Т] В 5-м классе одной школы учатся дети не младше 10 и не старше 12 лет. Всего в этом классе 17 учеников. а) Докажите, что в этом классе по меньшей мере шестеро учащихся — одногодки. б) Можно ли с уверенностью утверждать, что в этом классе хотя бы семеро учащихся — одногодки? [Т] В коробке лежат 6 одинаковых на ощупь карточек — 2 синие и 4 красные. Какое наименьшее количество карточек нужно не глядя вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно: а) оказалась хотя бы одна красная карточка; б) оказалась хотя бы одна синяя карточка; в) оказались хотя бы две карточки одного цвета; г) оказались хотя бы две карточки разного цвета? При поиске решения этой задачи надо понять, какой вариант будет самым «неудобным». Самый «неудобный» вариант в задании а), например, когда поначалу вынимаются только синие карточки, а первая красная появляется только после того, как вынуты все синие. Таким образом, предполагаемый ответ: 3 карточки. Доказать верность этого ответа можно, например, так. Двух карточек может не хватить, так как обе могут оказаться синими. Предположим, что не хватит и трёх карточек. Тогда среди них нет ни одной красной, а значит, все три — синие. Но это противоречит условию задачи, поскольку синих карточек в коробке всего две. 121 П [~Г] В коробке лежат 16 одинаковых на ощупь карточек — 6 синих и 10 красных. Какое наименьшее количество карточек нужно не глядя вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно оказались: а) хотя бы две красные карточки; б) хотя бы две синие карточки? 0 7\ Известно, что у человека не более 200 000 волос на голове. В Москве около 8 млн жителей. Найдётся ли в этом городе хотя бы 30 человек с одинаковым количеством волос? М Четверо друзей пошли на рыбалку, причём все вернулись с уловом, а всего они поймали 9 рыб. Докажите, что хотя бы двое из них поймали одинаковое количество рыб. Н Q В кошельке лежит 14 купюр: 10-рублёвые, 50-рублёвые и 100-рублёвые. Верно ли, что в кошельке: а) имеется хотя бы пять купюр одинакового достоинства? б) есть хотя бы пять 10-рублёвых купюр? Хотя бы пять 100-рублёвых купюр? в) есть хотя бы шесть купюр одинакового достоинства? т П 10 В коробке лежат 12 одинаковых на ощупь карточек — 2 синих, 4 зелёных и 6 красных. Какое наименьшее количество карточек нужно не глядя вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно: а) оказалась хотя бы одна красная карточка; б) оказалась хотя бы одна зелёная карточка; в) оказались хотя бы две красные карточки; г) оказались хотя бы две карточки одного цвета; д) оказались хотя бы две карточки разного цвета; е) оказались хотя бы три карточки одного цвета; ж) оказались хотя бы три карточки разных цветов? ш М 11 Наугад написали 11 различных натуральных чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, разность которых делится на 10? 122 8 Как показывают многочисленные историко-математические исследования, дробные числа появились у разных народов в древние времена (вскоре после натуральных чисел). Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. При этом система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа. Важную роль играли также многочисленные заимствования идей при культурных контактах различных цивилизаций. В Древнем Египте за основу брались дроби с единицей в числителе (такие дроби математики называют аликвотными). Дробь — со знаменателем, большим 4, обо- n значалась знаком числа n, над которым ставился иероглиф СИ;> («часть»). Для 1 1 1 обозначения дробей -^-, — и 1 применялись особые иероглифы. Все остальные 2 3 4 5 дроби записывались в виде суммы аликвотных дробей, например, вместо 2'4 писа- 1 1 2 1 1 1 ли ^ + 12, вместо ■2 писали -1 + i4 + и т.д. Представление дроби в виде суммы аликвотных дробей - непростая задача (к тому же её решение не является единственным), но египетские писцы владели этим искусством виртуозно. Для облегчения вычислений было составлено множество специальных таблиц. Например, папирус Райнда (XIX в. до н.э.) начинается с таблицы разложений в 2 сумму аликвотных дробей всех дробей вида — при n от 3 до 101. В математике Древнего Вавилона, основанной на шестидесятиричной системе счисления, таблицы играли ещё большую роль, чем в Древнем Египте. Полная вавилонская таблица умножения должна была бы содержать произведения от !•! до 59^ 59, то есть 1 770 чисел, а не от !•! до 9^9, то есть 45 чисел, как наша десятичная. Запомнить наизусть такую таблицу практически невозможно. Даже в записанном виде она была бы очень громоздкой. Поэтому для умножения, как и для деления, существовал обширный набор различных таблиц. 123 Операцию деления в вавилонской математике можно назвать «проблемой номер один». Деление числа m на число n вавилоняне сводили к умножению числа m на дробь —, и даже термина «делить» у них не существовало. Например, при вычис-n лении того, что мы записали бы как x = m : n, они всякий раз рассуждали так: 1 1 возьми обратную от n, ты увидишь —, умножь m на —, и ты увидишь х. Разумеется, nn вместо наших букв жители Вавилона называли конкретные числа. Таким образом, важнейшую роль в вавилонской математике играли многочисленные таблицы обратных величин. В Древней Греции в VI веке до н.э. начали работать с дробями общего вида (правда, записывали их совсем по-другому), причём умели выполнять с ними все арифметические действия. Сложение и вычитание производилось путём приведения к общему знаменателю, дроби умели сокращать, умножать, делить. Уже в V веке до н.э. у греческих математиков, кроме конкретных правил вычислений с дробями, появляются теоретические исследования дробей: что следует понимать m под записью —, как определить для таких записей равенство или неравенство и дать общее определение операций над ними. Дроби в Древнем Китае появились почти одновременно с целыми числами. 11 2 Первыми дробями были ^, и 3. Забавны их китайские названия: «половина», «малая половина» и «большая половина», повсеместно применявшиеся и в математических текстах, и в обыденной жизни. Ко II веку до н.э. китайцам удалось достаточно полно разработать все операции с дробями. Для сокращения дроби отыскивался наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью техники, похожей на алгоритм Евклида, о котором вы уже знаете из исторических страниц к разделу II. Сложение и вычитание производилось по правилам, отличавшимся от современных лишь незначительно: наименьший общий знаменатель не находился, бралось произведение имеющихся знаменателей, а затем дробь при возможности сокращалась. Умножение рассматривалось на конкретных задачах определения площади земельного участка прямоугольной формы, причём стороны его часто выражались не только правильными, но и смешанными дробями. Подойти к делению как к умножению на обратную дробь для китайских математиков длительное время было затруднительно, и они предпочитали рассматривать задачи на деление как задачи о распределении некоторого количества монет между несколькими лицами. Правда, при этом приходилось считать, что и количество монет, и количество людей может быть дробным, но это, как видно, не смущало китайских математиков. Например, повсеместно решались задачи наподобие следующей, взятой из рукописи II века до н.э.: «Имеется 31 человека; делится (между ними поровну) 61 цяня (монеты)». 3 I 3 Лишь в V веке н.э. Чжан Цюцзянь перешёл к правилу, по которому деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь. 124 В Древней Индии дроби были известны очень давно. Ещё в середине II тысячелетия до н.э. упоминаются такие дроби: ардха (-2), пада (-1), трипада (-3), кала Г1). Индусы записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числи-\16/ тель над знаменателем, только без дробной черты. Дроби отделялись друг от друга и от остального текста горизонтальными и вертикальными линиями. Современная Сложение обозначалось записью дробей рядом. m n дробь m записывалась в виде n Точно так же записывалось и умножение! Современному человеку это кажется очень неудобным, даже недопустимым, но недоразумений у индийских математиков при такой записи не возникало, поскольку каждый раз из условия задачи было понятно, о каком действии идёт речь. При записи смешанной дроби целая часть помещалась сверху. Например, запись 2 7 . Иногда целое число записывали в виде 2 смешанной дроби 5^ выглядела так дроби со знаменателем 1, и тогда смешанную дробь записывали как сумму целой и 5 2 1 7 2 дробной частей, то есть запись смешанной дроби могла выглядеть и так: Правила действий с дробями у индусов почти не отличались от современных. Так, Шридхара (IX в. н.э.) приводит правила: «При сложении дробей после приведения дробей к общему знаменателю сложи числители», «Произведение дробей равно произведению числителей, делённому на произведение знаменателей», «Квадрат дроби равен квадрату числителя, делённому на квадрат знаменателя». Учение о дробях заимствовали у индусов арабские математики, которые пользовались индийской системой записи дробей, дополнив её около XI-XII веков н.э. разделительной чертой между числителем и знаменателем. 125 Люб, «гел матема 1. Вася задумал натуральное число, умножил его на 13 и зачеркнул последнюю цифру результата. Полученное число он умножил на 7 и опять зачеркнул последнюю цифру результата. Получилось число 21. Какое число задумал Вася? 2. В аквариуме лежат одинаковые стеклянные шарики. Если вынуть половину всех шариков, то уровень воды в аквариуме понизится на одну треть. На какую часть (от нового уровня) понизится уровень воды, если вынуть половину оставшихся шариков? 3. (Старинная задача.) Три хозяйки готовили обед в общем очаге. Одна из них принесла одно полено, другая - два полена, а третья - ни одного, заплатив первым двум хозяйкам 10 монет. Как по справедливости должны разделить их между собой первая и вторая хозяйки? 4. Как по справедливости должны были бы разделить между собой 1 0 монет первая и вторая хозяйки в предыдущей задаче, если бы первая принесла два полена, а вторая - три полена? 5. Два лекарства испытывали на мужчинах и женщинах. Каждый человек принимал только одно лекарство. В отчёте об испытаниях написано: «Доля людей, почувствовавших улучшение, больше среди принимавших лекарство А. Доля мужчин, почувствовавших улучшение, больше среди мужчин, принимавших лекарство Б. Доля женщин, почувствовавших улучшение, больше среди женщин, принимавших лекарство Б». Возможно ли это? 3 6. Пройдя 8 длины моста, ослик Иа-Иа заметил при ближающийся сзади со скоростью 60 км/ч автомобиль. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста, а если побежит вперёд, то автомобиль догонит его в конце моста. С какой скоростью бегает ослик? 126 7. (Задача Л.Н. Толстого.) Артель косцов должна скосить два луга, площадь одного из них в два раза больше площади второго. Полдня артель косила большой луг, а на вторую половину дня разделилась пополам. Одна половина осталась докашивать большой луг, а вторая начала косить малый. К концу дня большой луг был скошен, а от малого осталась часть, которая была скошена за следующий день одним косцом. Сколько косцов было в артели? 8. Египтяне записывали любую дробь в виде суммы нескольких различных дробей с числителем 1. Запишите египетским способом дроби: а) 8; б) т2; в) г) 9. Можно ли записать дробь 1 2 100 в виде суммы различных дробей с натуральными знаменателями и числителями, равными единице, так, чтобы количество слагаемых в этой сумме было равно а) 2; б) 3; в) 4; г) любому натуральному числу? 10. В некотором городе каждый десятый математик — шахматист, а каждый шестой шахматист — математик. Кого больше — шахматистов или математиков? Во сколько раз? 11. Олимпиада началась между 10 и 11 часами утра, когда минутная и часовая стрелки лежали на одной прямой, но были направлены в разные стороны, а закончилась между 16 и 17 часами того же дня, когда стрелки совпали. Сколько длилась олимпиада? 1 1 1 1 12. Докажите, что числа 1; 1; 1; —;...; ^ нельзя 2 3 4 12 разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равны. 13. Имеется набор из 30 гирек, масса которых равна 1 г, 2 г, 3 г, ^ , 30 г. Из набора убрали треть гирек, общая масса которых равна трети общей массы всего набора. Всегда ли можно оставшиеся гирьки разложить на две чашки весов по 1 0 штук на каждой чашке таким образом, чтобы весы были в равновесии? 127 ф Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Экспедиция. ВАША РОЛЬ. Штурман. ОПИСАНИЕ. Вы собрались в краеведческую экспедицию по местам сражений Великой Отечественной войны. У вас есть новая карта этой местности и старая. На новой карте указан масштаб, но содержится только часть маршрута - от тупика подъездной дороги к железнодорожным путям до пересечения просёлочной дороги с речкой Нарой, недалеко от места её впадения в Нарские пруды. На старой карте нанесён весь маршрут, от станции Акулово до заброшенной партизанской землянки, но отсутствует масштаб. Новая карта ЗАДАНИЕ. Определите длину всего маршрута. 128 цто ■®г®®ый тест [~^ Выполните действия с дробями: а) 13 7 . б) 2^ . 22; ^ 11 75 25 15 [~^ Выберите истинное высказывание: а)8 > |; б) и < 12; ' 17 75 [~^ Выберите истинное высказывание: а) 2^ > 2^. а) 38 > 35; б) ^ < ^; ’ 41 42 [~^ Выберите истинное высказывание: а) 11 < а) 24 < 18; б)16 > з8; [~5| Выберите истинное высказывание: а) 5^ = 2_^. а) 24 224; б) ^ = ^8; ’ 19 19 в) ^ : 63. ^ 35 7 в) 35 > 39. i 29 29 в) 44 > М5 17 в) ^ > 49. ’ 15 20 1 верный ответ — 1 очко 1 очко 1 очко 2 очка в) 8^ = ’ 17 17 2 очка [~Y] Какую часть стены рабочий оклеивает обоями за 1 ч, если всю стену он оклеивает за 1 ч? 3 л Ответы: а) 1; ’ 3 б) 4; в) I- 2 очка [~У| В коробке лежат красные, синие и зелёные дискеты - всего 23 штуки. Верно ли, что в этой коробке есть хотя бы восемь дискет одинакового цвета? Ответы: а) точно верно; б) точно неверно; в) может быть и верно, и неверно. 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали не менее 8 очков. 129 РАЗДЕЛ IV ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ тест [~^ Выберите ложное высказывание: а) треугольник называется тупоугольным, если у него один угол тупой; б) треугольник называется прямоугольным, если у него один угол прямой; в) треугольник называется остроугольным, если у него один угол острый. [~^ Площадь прямоугольника со сторонами 2 дм и 18 см равна: а) 36 см2; б) 36 дм2; в) 360 см2; г) 360 дм2. [~^ Периметр прямоугольника со сторонами 12 м и 15 м равен: а) 27 м; б) 180 м; в) 54 м. 1 очко 1 очко 1 очко [~У| Величина прямого угла равна: а) 100°; б) 90°; в) 80°; г) 180° [~^ Выберите истинное высказывание: а) равны все три фигуры А, В, С; б) равны только фигуры А и В; в) равны только фигуры В и С. B 1 очко С 2 очка 130 f6] Выберите истинное высказывание. Квадрат разрезан на равные фигуры только на рисунках: 2 3 а) 1,2; б) 1, 3; в) 2, 3; г) 1, 2, 3. 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали не менее 6 очков. 131 1 Путеводитель по четвёртому разделу Путь 1: а) входной тест; б) главы; в) итоговый тест. А Путь 2: а) входной тест; б) главы; в) жизненная задача; г) итоговый тест. 132 Проекты Итоговый тест Площади и объёмы Путь 3: а) входной тест; б) главы; в) задачи для любителей математики; г) жизненная задача; д) итоговый тест. 133 ГЛАВА VII ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ Со многими геометрическими фигурами вы уже знакомы с младших классов. В этой главе мы их ещё раз вспомним и познакомимся с некоторыми новыми. 7.1 Треугольники и их виды Повторяем, обобщаем знания О Какая фигура называется треугольником? О Какие виды треугольников вы знаете? Виды треугольников Вы уже знаете, что треугольником называется трёхзвенная замкнутая ломаная. Вершины этой ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — его сторонами. Треугольником также называется часть плоскости, ограниченная этой ломаной. Треугольник с вершинами А, В и C обозначают А АВС. Тот же самый треугольник можно обозначить и по-другому, например, А ВСА, А АСВ и т.д. 1Вы также знаете, что треугольники бывают разных видов. Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным треугольником (на рисунке слева). Стороны прямоугольного треугольника имеют свои названия. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона - гипотенузой. Треугольник, у которого один угол тупой, - тупоугольный треугольник (на рисунке справа). Треугольник, у которого все углы острые, - остроугольный треугольник (на рисунке в центре). 134 Виды треугольников можно также определять по числу равных сторон. Треугольник, у которого все стороны имеют разные длины, называется разносторонним (на рисунке слева). Треугольник, у которого имеются две равные стороны, называется равнобедренным (на рисунке в центре). Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (на рисунке справа). У равностороннего треугольника все углы также равны. Вспоминаем то, что знаем if Расскажите, как измеряют углы треугольника. • Какой прибор для этого используется? €> Какие единицы измерения углов вы знаете? Открываем новые знания • Начертите произвольный треугольник так, чтобы его углы было удобно измерять. • Измерьте величины углов этого треугольника в градусах. Сложите полученные три числа. Сколько у вас получилось? t! Выполните то же самое ещё для нескольких треугольников, не похожих друг на друга. Какие выводы можно сделать? Является ли сумма углов треугольника одной и той же для любого треугольника? • Чему равна эта величина? Отвечаем, проверяем себя по тексту Сумма углов любого треугольника равна 180° Позже вы научитесь доказывать это утверждение. Вспоминаем то, что знаем • Начертите произвольную незамкнутую ломаную. • Соедините начало и конец этой ломаной отрезком. • Сравните длину ломаной и длину этого отрезка. • Сделайте выводы. 135 Открываем новые знания t# Начертите произвольный треугольник. • Измерьте длины сторон этого треугольника. Сложите длины любых двух сторон и сравните с длиной третьей стороны. • Какое число больше? Почему сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны? Отвечаем, проверяем себя по тексту Неравенство треугольника I Поскольку длина отрезка, соединяющего две точки, меньше длины любой ломаной, соединяющей эти же точки, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Это неравенство так и называется: неравенство треугольника. Например, треугольника со сторонами 34 дм, 52 дм и 15 дм не существует, так как ,сумма сторон с длинами 15 дм и 34 дм равна 49 дм, что не больше третьей стороны (52 дм). Для того чтобы убедиться, что треугольник с заданными длинами сторон существует, нет необходимости проверять все три возможных неравенства — достаточно убедиться, что самая длинная сторона меньше суммы двух других. Развиваем умения Н [С|~| • Продолжите предложения. — Если у треугольника есть один прямой угол, то треугольник называется ^ — Треугольник называется тупоугольным, если ^ — Количество тупых углов тупоугольного треугольника равно ^ — Количество острых углов остроугольного треугольника равно ^ [~Y] tf Дополните предложения. — Сумма всех углов треугольника равна ^ — Если у треугольника есть тупой угол, то два других его угла ... — Если у треугольника есть прямой угол, то сумма двух других его углов равна — Сумма любых двух сторон треугольника . его третьей стороны. — Количество острых углов тупоугольного треугольника равно . [~^ Может ли у треугольника быть три прямых угла? Два прямых угла? [~^ Какое наибольшее количество тупых углов может иметь треугольник? 136 и В треугольнике один угол равен 30°, а другой - 40°. Найдите третий угол. Г6! Определите вид треугольника, если два его угла равны 55° и 36°. 1^7] Можно ли начертить треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 12 см? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Периметр равнобедренного треугольника равен 33 дм, а равные стороны имеют длины по 12 дм. Найдите длину третьей стороны. П Вариант II. Длины всех сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, — натуральные числа. Какой может быть длина третьей стороны, если первые две стороны — 2 см и 3 см? Какой наименьший и какой наибольший периметр может иметь такой треугольник? Тренировочные упражнения. Н Внимательно изучите рисунок. Выпишите все треугольники по видам: а) остроугольные; б) прямоугольные; в) тупоугольные; г) равнобедренные; д) равносторонние; е) разносторонние; ж) равнобедренные остроугольные; з) равнобедренные тупоугольные; и) равнобедренные прямоугольные. C X Y Z R [~9~| В треугольнике один угол равен 42°, а другой в два раза больше. Найдите третий угол этого треугольника. 10 11 Определите вид треугольника, зная два его угла: а) 39° и 58°; б) 55° и 35°; в) 32° и 56°. Существует ли треугольник со сторонами: а) 7 см, 9 см и 16 см? в) 133 м, 276 м и 322 м? б) 3 км, 599 км и 601 км? г) 41 мм, 27 мм и 15 мм? 137 8 П 12 Постройте треугольник по данным трём сторонам: 2 см, 3 см и 4 см. Решение. Сначала строим отрезок, равный одной из сторон, например, АВ = 4 см. Затем проводим дугу окружности радиусом 2 см с центром в точке B и дугу окружности радиусом 3 см с центром в точке A. Пусть С — точка пересечения дуг. Построим отрезки АС и ВС. Тогда стороны построенного А АВС имеют нужные длины: АВ = 4 см, АС = 3 см, ВС = 2 см. 2 см 3 см 4 см 13 Сколькими разными способами можно обозначить треугольник с вершинами А, В и С? Выпишите все эти способы. М 14 Начертите на бумаге в клеточку треугольник, вершины которого лежат в узлах. Начертите треугольник, стороны которого в два раза длиннее, чем у данного. Что можно сказать про углы большего треугольника? Можно ли начертить треугольник, углы которого в два раза больше, чем у данного? ш Н 15 В равнобедренном треугольнике известны длины двух сторон: 13 м и 24 м. Чему может быть равен периметр этого треугольника? 16 Начертите А АВС, у которого Z А = 40°, АВ = 4 см, АС = 8 см. Измерьте его неизвестные углы и стороны. Определите вид А АВС. 17 Начертите А DEF, у которого EF = 9 см, Z E = 45°, Z F = 30°. Измерьте его неизвестные углы и стороны. Определите вид А DEF. т П 18 Постройте равносторонний треугольник со стороной 6 см. Измерьте углы этого треугольника. Какой можно сделать вывод? 19 Постройте треугольник со сторонами: 3 см, 4 см и 5 см. Измерьте углы этого треугольника. Определите вид треугольника. 138 20 Начертите разносторонний треугольник. Измерьте его стороны и углы. Сравните величины углов, лежащих напротив наибольшей, средней и наименьшей сторон. Выполните такую же работу, начертив несколько других разносторонних треугольников. Попробуйте установить закономерность. Ш М 21 22 23 Можно ли разрезать остроугольный треугольник на два тупоугольных треугольника; на три? Можно ли разрезать остроугольный треугольник на два остроугольных треугольника; на три; на четыре? Существует ли такой остроугольный треугольник, который можно разрезать на два равнобедренных треугольника? а тупоугольный? 7J Равенство геометрических фигур Вспоминаем то, что знаем • Рассмотрите треугольники на рисунке. • Можно ли назвать их равными? О Почему? €# Какие фигуры называются равными? 139 Открываем новые знания Сложите вместе два листа бумаги, начертите на верхнем листе любой четырёхугольник и вырежьте его так, чтобы разрезались одновременно оба сложенных листа. В результате у вас должно получиться два четырёхугольника. Можно ли сказать, что они равны друг другу? €» Равны ли соответственные стороны этих четырёхугольников? Равны ли их соответственные углы? tf Какие фигуры называют равными? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Равенство геометриче- Две геометрические фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали (совместились) одна с другой. Для совмещения фигур используют прозрачную плёнку или прозрачную бумагу — кальку. L A B C Q M R P K Все три треугольника на рисунке равны между собой. При этом левый треугольник можно совместить с центральным, передвигая его по листу бумаги, а совместить левый треугольник с правым можно, только перевернув его. Пишут: А АВС = А KLM = А RPQ. У равных многоугольников равны между собой соответственные стороны и соответственные углы (те, которые совпали друг с другом при наложении). Например, у равных треугольников АВС и KLM АВ = KL, АС = KM, ВС = LM, Z А = Z K, Z В = Z L, Z С = Z M. Часто установить равенство геометрических фигур можно, не накладывая их друг на друга, а используя специальные признаки равенства. Например: Если длины отрезков равны, то равны и сами отрезки. Если величины углов равны, то равны и сами углы. Если радиусы окружностей равны, то равны и сами окружности. Если у двух прямоугольников равны и длина, и ширина, то прямоугольники равны. 140 Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны. Позже вы научитесь доказывать эти и некоторые другие признаки равенства геометрических фигур. Развиваем умения Н П<~| • Продолжите предложения. — Если две геометрические фигуры можно совместить друг с другом, то они называются ^ — Если фигура равна пятиугольнику, то она является ^ — Если длина и ширина одного прямоугольника равны длине и ширине другого, то эти прямоугольники ^ — Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то ... — Если два треугольника равны, то периметры этих треугольников . — Если периметры двух треугольников равны, то эти треугольники . [~2] Верно ли, что любые две прямые равны? А любые два луча? [~3~| Начертите прямоугольник ABCD и проведите диагональ АС. Назовите равные геометрические фигуры на чертеже. [~Т] Проведите в прямоугольнике ABCD из предыдущего задания вторую диагональ BD. Назовите равные геометрические фигуры на чертеже. [~У| Существует ли такой четырёхугольник, который равен некоторому треугольнику? пятиугольнику [~6~| На прямой взята произвольная точка и проведён луч с началом в этой точке, перпендикулярный прямой. Какие из фигур равны между собой? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Имеются два равных треугольника. Известно, что один из углов первого треугольника равен 30°, а один из углов второго — 70°. Найдите все углы первого треугольника. 141 П Вариант II. В остроугольном А АВС на стороне АВ взята точка М так, что А АМС = А ВМС. Найдите величину угла АМС. Тренировочные упражнения. Н [У] Валя придумал признак равенства треугольников: «Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то треугольники равны». Прав ли Валя? Вася придумал признак равенства четырёхугольников: «Если четыре последовательные стороны одного четырёхугольника равны четырём последовательным сторонам другого четырёхугольника, то четырёхугольники равны». Прав ли Вася? [~У| Существует ли треугольник, который можно разрезать на два равных треугольника? П 10 Начертите два равных равносторонних треугольника. Вырежьте один из них. Попробуйте наложить его на второй так, чтобы вершины заняли новые положения. Сделайте вывод: чему равны углы равностороннего треугольника? 11 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ Равны ли треугольники АВЕ и СВЕ? ВС) точка Е - середина стороны АС. М 12 13 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) точка Е - середина стороны АС. Верно ли, что ВЕ А Ас? а) Любой ли треугольник можно разрезать на два равных треугольника? б) Верно ли, что если треугольник можно разрезать на два равных треугольника, то он обязательно равнобедренный? Ш Н 14 15 16 17 Проведите две перпендикулярные прямые. Назовите равные геометрические фигуры на полученном чертеже. Начертите квадрат ABCD и проведите в нём обе диагонали. Назовите равные треугольники на полученном чертеже. Начертите прямоугольник. Проведите прямую, которая разобьёт его на два равных треугольника. Сколько разных решений вы нашли? Начертите прямоугольник. Проведите прямую, которая разобьёт его на два равных прямоугольника. Сколько разных решений вы нашли? 142 ш П 18 19 20 Начертите прямоугольник. Проведите прямую, которая разобьёт его на две равные фигуры — не треугольники и не прямоугольники. Сколько разных решений вы нашли? Начертите прямой угол АОВ с помощью транспортира. Разделите его на две равные части, то есть проведите такой луч ОС, чтобы Z АОС = Z ВОС. Как с помощью транспортира разделить прямой угол на три равные части? на пять равных частей? Ш М 21 22 Верно ли, что в равнобедренном треугольнике два угла равны? Обоснуйте свой ответ. Верно ли, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона? Обоснуйте свой ответ. 7.3 Окружность и круг Повторяем, обобщаем знания Что такое окружность? Что такое центр окружности? Как можно начертить окружность? Что такое круг? Окружность - это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки - центра окружности. Это расстояние называется радиусом окружности. Радиусом также называется отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром. Часть плоскости, ограниченная окружностью, - это круг. Окружность является границей круга. Чертят окружность с помощью циркуля. 143 Хорда Дуга Диаметр окружности в два раза длиннее её радиуса. Часть окружности, заключённая между двумя точками, называется дугой. Угол, вершиной которого является центр окружности, а сторонами - радиусы, называется центральным углом. i Диаметр Центральный угол Г 144 Развиваем умения Н Q • Продолжите предложения. - Замкнутая кривая линия, все точки которой равноудалены от одной точки плоскости, называется ^ - Центром окружности называется ^ - Радиусом окружности называется ... - Круг - это . - Диаметр окружности длиннее её радиуса в . Г2] Верно ли, что диаметр - самая длинная хорда окружности? Г3] Отметьте на окружности две точки. Сколько дуг у вас получилось? [~^ Начертите окружность радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности? [~У| Точка О является центром окружности радиусом 7 дм. АО = 6 дм, ВО = 8 дм, CD = 15 дм. Внутри или вне окружности лежит точка А? Точка В? Могут ли обе точки C и D лежать внутри окружности? вне окружности? [~6~| Начертите окружность и проведите в ней любые два диаметра. На сколько дуг они разбили окружность? Есть ли среди этих дуг равные? На сколько частей эти диаметры разбили круг? Есть ли среди них равные? [~У| Начертите окружность и проведите в ней два перпендикулярных диаметра. На сколько равных частей они разбили окружность? Соедините соседние концы этих диаметров отрезками. Как можно назвать эти отрезки? Какую фигуру они образуют? Начертите окружность и проведите в ней два перпендикулярных радиуса. На сколько дуг разбилась окружность? Во сколько раз одна из этих дуг длиннее другой? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Начертите окружность с центром А. Возьмите на окружности любую точку В и начертите окружность такого же радиуса с центром В. Обозначьте точки пересечения окружностей буквами К и М. Что можно сказать о треугольниках АКМ и ВКМ? П Вариант II. На окружности с центром О взяты последовательно точки А, В и С так, чтобы Z АОВ = Z ВОС = Z СОА. Верно ли, что А АВС - равносторонний? Обоснуйте свой ответ. 145 8 Тренировочные упражнения. Н [~У| Начертите окружность с центром О. Проведите в ней хорду АВ, равную радиусу. Что вы можете сказать о треугольнике ОАВ? Чему равны углы этого треугольника? 10 Начертите окружность. Изобразите центральные углы величиной 45°; 100°; 150°. 11 На окружности с центром О взяты последовательно точки А, В и C так, чтобы Z АОВ = 120°, Z ВОС = 90°. Измерьте величину Z СОА, сделав чертёж. 12 Начертите окружность и проведите в ней любые два перпендикулярных радиуса. Проведите третий радиус так, чтобы он разделил образованный центральный угол пополам. П 13 Начертите окружность с центром О. Начертите последовательно три хорды, равные радиусу, так, чтобы начало каждой следующей хорды совпадало с концом предыдущей: АВ = ВС = CD. а) Верно ли, что отрезок AD является диаметром окружности? б) Измерьте углы треугольника АВD. в) Попробуйте определить углы треугольника АВD, не выполняя измерений. М 14 Вася сказал, что окружность - это геометрическая фигура, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, а Валя сказал, что такая фигура — не обязательно окружность. Кто из них прав? т Н 15 16 17 Начертите окружность и проведите её диаметр. Есть ли на чертеже равные фигуры? Какие именно? Начертите окружность и проведите в ней два перпендикулярных диаметра. Есть ли на чертеже равные фигуры? Какие именно? Начертите окружность и проведите в ней любые два не перпендикулярных диаметра. Есть ли на чертеже равные фигуры? Какие именно? 146 18 Отметьте на плоскости точку М. Изобразите на плоскости все точки, находящиеся на расстоянии 5 см от точки М. Ш П 19 Начертите отрезок MN. Изобразите все точки, находящиеся на расстоянии 5 см и от точки М, и от точки N. Всегда ли можно найти такие точки? Сколько может быть таких точек? Ш М 20 Сколько различных дуг получилось на чертеже к заданию 17? 21 22 Последовательно начертите в окружности хорды, равные радиусу, так, чтобы начало каждой следующей хорды совпадало с концом предыдущей. Сколько хорд удалось начертить? Измерьте несколько углов получившегося многоугольника. Все ли углы будут равны? Сможете ли вы ответить на этот вопрос, не измеряя углы? На окружности радиуса 1 с центром в точке О взята точка Q и проведена окружность радиуса 1 с центром в точке Q. Окружности пересекаются в точках А и В. Найдите все стороны и все углы четырёхугольника OAQB. Повторяем, обобщаем знания Какой угол называют центральным углом? Вы уже знаете, что угол, вершиной которого является центр окружности, а сторонами - радиусы, называется центральным углом. На рисунке на следующей странице изображён центральный угол АОВ. 147 i Центральный угол 7 Дуга АВ, лежащая внутри угла АОВ, закрашена. Принято говорить, что центральный угол АОВ опирается на эту дугу. Выясним, какую часть окружности составляет дуга, на которую опирается центральный угол величиной 1°. Если провести два перпендикулярных диаметра, то они разделят окружность на четыре равные дуги. Следовательно, центральный 1 угол величиной 90° опирается на 4 окружности. A B 1_ 360 Если теперь разделить прямой центральный угол на 90 равных частей (каждая величиной 1 °), то и дуга, на которую он опирается, разделится на 90 равных дуг, каждая из которых составит, таким образом, 11 4 : 90 = 360 окружности. Итак, дуга, на которую опирается центр альный угол величиной 1°, составляет ^ окружности. Соответ- 360 ственно дуга, на которую опирается центральный угол величиной, -,-гп 37 W скажем, 37°, составляет -tTq окружности, а центральный угол в I-„-,0 120 1 120° - 360 , или, после сокращения, 3 окружности и т.д. Внизу на рисунке слева изображены три центральных угла DOE, EOF и FOD и отмечены дуги, на которые они опираются. Поскольку вместе эти дуги составляют всю окружность, сумма углов равна 360°: Z DOE + Z EOF + Z FOD = 360°. Если изобразить такие же углы, но без окружности, то понятно, что их сумма по-прежнему равна 360° (рисунок в центре). Рассуждая так же, можно утверждать, что если провести из точки несколько лучей, то сумма всех углов, образованных парами соседних лучей, равна 360° (рисунок справа). D D E E F F 148 • Что называется окружностью? • Что называется кругом? • Чем они отличаются друг от друга? Какая между ними связь? d На каком рисунке изображена окружность и на каком - круг? • Что называется треугольником? €» На каком рисунке изображён треугольник? • Чем отличаются эти рисунки? i Фигуры и их границы 1 7 Различие между окружностью и кругом в том, что окружность - это линия, а круг - часть плоскости, ограниченная этой линией. Окружность является границей круга. В случае треугольника ситуация гораздо запутаннее. Так исторически сложилось, что и замкнутая трёхзвенная ломаная линия, и часть плоскости, ограниченная этой линией, называются одинаково — треугольник. Таким образом, слово «треугольник» употребляется в двух разных смысловых значениях: |1) замкнутая трёхзвенная ломаная; 2) часть плоскости, ограниченная треугольником в 1-м значении. По аналогии с окружностью и кругом можно сказать, что треугольник в 1-м значении является границей треугольника во 2-м значении. В большинстве случаев это смысловое различие не приводит к путанице, но тем не менее его нужно чётко осознавать. Вспоминаем то, что знаем Что называется углом? • Как изображают углы? 149 Открываем новые знания ^ На каком рисунке изображён угол? • Чем отличаются эти рисунки? ® Какой угол вы измеряли транспортиром? На сколько частей угол делит плоскость? Отвечаем, проверяем себя по тексту Плоские углы Как вы уже знаете, углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из общего начала (рисунок слева). В отличие от окружности и треугольника (в 1-м значении), угол не ограничивает никакую часть плоскости, поскольку лучи бесконечны. Но угол разбивает плоскость на две части (рисунки в центре и справа), у которых есть свои названия. Они называются плоскими углами. Угол с левого рисунка является общей границей этих двух плоских углов. Отмечать плоский угол можно либо цветом, либо дужкой. Оба плоских угла развёрнутого угла равны между собой. Если же угол не является развёрнутым, то его плоские углы не равны. Один из них меньше развёрнутого, а другой — больше. Раньше мы всегда измеряли транспортиром плоский угол, меньший развёрнутого. Величину другого плоского угла находят из условия, что сумма величин этих двух плоских углов составляет 360°. Во всех случаях, когда специально не оговорено другое, под величиной угла понимается величина меньшего из плоских углов. В других случаях, как правило, о каком плоском угле идёт речь, понятно из текста. Развиваем умения У Н Продолжите предложения. — Центральным называется угол, ^ 150 — Центральный угол величиной 1° опирается на ^ — Прямой центральный угол опирается на ^ — Плоским углом называется ^ — Если провести два луча, выходящие из одной точки, то сумма величин образовавшихся плоских углов равна ^ 2 1^ Чему равен центральный угол, опирающийся на 1 окружности? -з окружности? I—^ 112 3 5 — окружности? — окружности? — окружности? 6 8 3 ГУ] На какую часть окружности опирается центральный угол, равный 20°, 36°, 60°, — 140°, 150°, 210°? [~^ Найдите величины указанных плоских углов на рисунках. а) а) На окружности с центром О взяты последовательно точки А, B, С, D так, что — Z DOA = 50°; Z ВОС = 30°; Z DOC = 70°. Найдите Z АОВ. б) Из точки О проведены последовательно лучи ОМ, ON, OK, OL и OP так, что Z MON = 90°; Z NOK = 45°, Z LOP = 75°; Z MOP = 90°. Найдите Z LOK. ryi а) Из точки О проведены последовательно лучи OD, OE и OF так, что Z DOE = 140°; — Z EOF = 100°. Найдите Z FOD. б) Как изменится ответ в предыдущем задании, если убрать из условия слово «последовательно»? []7] Постройте плоский угол величиной: 200°; 270°; 300°. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Из точки А проведены последовательно лучи AL, АМ и AN так, что угол MAN в два раза больше, чем угол LAM, и в три раза меньше, чем угол LAN. Найдите величины этих углов. П Вариант II. Внутри равностороннего треугольника АВС взята такая точка Е, что треугольники АВЕ, ВСЕ, АСЕ равны. Найдите величины углов каждого из этих треугольников. 151 Тренировочные упражнения. Н Окружность разделена на 5 равных дуг. Найдите величину центрального угла, опирающегося на одну из этих дуг. [~^ Разделите окружность на 5 равных дуг с помощью транспортира. 10 Из точки выходят 4 луча, образующие последовательно 4 угла таким образом, что величина каждого следующего угла в 2 раза больше, чем предыдущего. Найдите величины этих углов. П 11 12 Разделите окружность на 6 равных дуг с помощью: а) транспортира; б) циркуля. Начертите окружность с центром О и изобразите на чертеже центральный угол Z АОВ = 120°. Возьмите на бсэльшей из дуг любые две точки М и К. Измерьте величины углов АМВ и АКВ. Что вы заметили? М 13 14 Верно ли, что если две дуги окружности равны, то равны и соответствующие этим дугам хорды? Верно ли, что если две хорды окружности равны, то равны и соответствующие этим хордам дуги? т Н 15 16 17 Из точки А проведены последовательно лучи AL, AM и AN так, что угол MAN на 80° больше, чем угол LAM, и на 20° меньше, чем угол LAN. Найдите величины этих углов. Постройте три луча с общим началом так, чтобы образовались последовательно углы 60°, 90° и 210°. Постройте два луча с общим началом так, чтобы величина одного из образовавшихся плоских углов была в 1"2 раза больше, чем другого. т П 18 Начертите окружность и проведите в ней три радиуса так, чтобы один централь- 12 ный угол опирался на 3 окружности, а другой - на 9- окружности. На какую часть окружности будет опираться третий центральный угол? 152 19 Начертите окружность и проведите в ней четыре радиуса так, чтобы последова- 111 5 тельные центральные углы опирались соответственно на ^; 6; 3 и ^ окружности. Ш М 20 21 22 В окружности с центром О проведён диаметр АВ. На окружности взята точка С, отличная от точек А и В. Сравните величины углов СОВ и САВ. На окружности с центром О взяты произвольные точки А, В и С. Сравните величины углов COB и CAB. В окружности с центром О проведён диаметр АВ. На окружности взята точка С, отличная от точек А и В. Найдите величину угла АСВ. 7.5 Круговые диаграммы Повторяем, обобщаем знания Круг обозначает целое: всех пятиклассников, посещающих кружки, причём известно, что каждый из них посещает только один кружок. Ф В каком кружке больше всего учащихся? 4! В каких кружках одинаковое число учащихся? в В каком кружке больше учащихся: в музыкальном или в художественном? « Как называется такой рисунок? 153 Круговые диаграммы i и Секторы Такой рисунок знаком вам с четвёртого класса. Он называется круговая диаграмма. Части круга, которые вы видите на круговой диаграмме, называются секторы. Сектор - это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, заключённой между концами этих радиусов. На рисунках внизу видно, что если в круге провести два радиуса, то получится два разных сектора; если провести три радиуса, то получится три непересекающихся сектора и т.д. Сумма центральных углов всех этих секторов равна 360°. Открываем новые знания • Рассмотрите круговую диаграмму наблюдения за погодой в апреле. • Чем эта круговая диаграмма отличается от круговой диаграммы на предыдущей странице? Как узнать, какую часть всех апрельских дней составляют дни с осадками? Каких дней больше: с переменной облачностью или пасмурных и во сколько раз? Как читают круговую диаграмму? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Чтение круговой диаграммы 7 Если на круговой диаграмме нет числовых данных, то можно измерить центральные углы каждого её сектора и выяснить, какую часть от целого составляет величина, представленная этим сектором. Например, на нашей диаграмме величины центральных углов равны 36°, 36°, 108° и 180°. Сумма центральных углов всех этих секторов равна 360°. ' Поскольку дни с осадками представлены сектором с центральным углом 36°, а 36 составляет 336q, или 1I0 от 360, то дни с осадками составляют 1I0 всех апрельских дней. Так же можно ответить и на другие вопросы, связанные с круговой диаграммой. 154 Открываем новые знания Пятиклассники одной школы участвовали в спортивных соревнованиях. Постройте круговую диаграмму количества завоёванных ими медалей по информации, содержащейся в таблице. Медали Количество Золотые 7 Серебряные 3 Бронзовые 8 Всего 18 Как строят круговую диаграмму? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Построение круговой диаграммы JL 7 Поскольку речь идёт о медалях трёх видов, то для построения круговой диаграммы нужно разбить круг на три сектора, причём, как вы уже знаете, центральные углы всех секторов дают в сумме 360°. Количество золотых медалей составляет 1^8 от общего количества медалей, значит, центральный угол соответствующего сектора будет равен — от 360°, то есть — 360° = 140°. ■^1^ 18 Рассуждая таким же образом, устанавливаем, что величины центральных углов секторов, соответствующих серебряным и бронзовым медалям, равны 60° и 160°. Теперь можно построить секторы с помощью транспортира. 155 Развиваем умения Н • Закончите или дополните предложения. — Сектором называется ^ — Сектор с центральным углом 120° составляет круга. — Сектор с центральным углом 300° составляет круга. — Если круг разбит на несколько секторов, то сумма центральных углов этих секторов равна ... — Если круг разбит на 8 равных секторов, то центральный угол каждого из них равен . — Если круг разбит на равные секторы с центральными углами 72°, то количество секторов равно . [~Y~| Пятиклассники рассматривали круговую диаграмму количества медалей на с. 155. Ваня сказал, что если увеличить радиус круга в несколько раз, то количество золотых, серебряных и бронзовых медалей увеличится в такое же количество раз. Прав ли Ваня? [~У| Круг разбит на 5 секторов — 2 синих и 3 красных. Синие секторы равны между собой, и красные секторы равны между собой. Центральный угол синего сектора равен 60°. Чему равен центральный угол красного сектора? [~Г] Круг разбит на 5 секторов — 2 синих и 3 красных. Синие секторы равны между собой, и красные секторы равны между собой. Центральный угол одного из секторов равен 30°. Чему равны центральные углы всех остальных секторов? [~5| Прочитав в Валином учебнике о построении круговой диаграммы количества медалей, Валин прадедушка Игорь Валентинович сказал: «Эту задачу можно решить без дробей. Всего медалей 18, а сумма всех центральных углов 360°, значит, на одну медаль приходится 360° : 18 = 20°. Золотых медалей 7, поэтому сектор «Золотые медали» должен содержать 7 • 20° = 140°. Секторы «Серебряные медали» и «Бронзовые медали» должны содержать 3 • 20° = 60° и 8 • 20° = 160°». Прав ли Игорь Валентинович? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н У Васи 3 робота, у Вали — 4, а у Вани — 5. Постройте круговую диаграмму количества роботов у мальчиков. 156 П Вариант II. У Вики наклеек в 2 раза больше, чем у Лики, а у Лики — в 3 раза больше, чем у Ники. Постройте круговую диаграмму количества наклеек у девочек. Тренировочные упражнения. Н [~6~| На круговой диаграмме представлено количество птиц в фермерском хозяйстве. Ответьте на вопросы: а) Каких птиц больше всего, а каких меньше всего? Каких птиц поровну? б) Во сколько раз уток больше, чем гусей? в) Во сколько раз индюков меньше, чем кур? г) Какую часть от всех птиц составляют утки, а какую - куры? д) Сколько птиц каждого вида, если всего их 900? е) На сколько уток больше, чем индюков? [~У| Заполните таблицу с помощью круговой диаграммы. Всего в музыкальной школе учится 720 человек, и каждый из них играет только на одном музыкальном инструменте. Музыкальные инструменты Количество учащихся Фортепиано Духовые Струнные Ударные Постройте по информации, содержащейся в таблице, круговую диаграмму распределения участников соревнований по метательным видам лёгкой атлетики. Известно, что каждый спортсмен выступал только в одном виде. Виды Количество спортсменов Метание копья 20 Толкание ядра 14 Метание диска 8 Метание молота 6 157 8 П [~V| Как вы считаете, в чём заключаются преимущества, а в чём недостатки круговых диаграмм по сравнению с линейными и столбчатыми? 10 Валя построил круговую диаграмму по таблице. В другой таблице все числа больше в 1^^ раза. Валя считает, что для построения новой круговой диаграммы нужно 2 1 центральные углы всех секторов увеличить в 1^ раза. Прав ли Валя? Как бы вы посоветовали Вале строить новую круговую диаграмму? 11 М Читая круговую диаграмму, Алина получила при измерении центральных углов следующие четыре значения: 56°, 94°, 103° и 108°. а) Как вы думаете, почему эти данные насторожили Алину? б) Чем может объясняться полученный Алиной результат? в) Что бы вы посоветовали Алине делать дальше? т Н 12 13 На круговой диаграмме представлено количество разных игрушек в магазине. От ветьте на вопросы: а) Каких игрушек больше всего, а каких — меньше всего? Каких игрушек поровну? б) Во сколько раз зверюшек больше, чем кукол? в) Во сколько раз пирамидок меньше, чем машинок? г) Какую часть от всех игрушек составляют зверюшки, машинки, пирамидки? Заполните таблицу с помощью круговой диаграммы. Всего цветов на клумбе 640. Название цветов на клумбе Количество цветов Красные тюльпаны Жёлтые тюльпаны Сиреневые тюльпаны Нарциссы Нарциссы 158 14 Для приготовления сплава берётся 6 частей золота, 7 частей серебра и 11 частей меди. Постройте круговую диаграмму состава сплава. Ш П 15 ^ Проведите опрос среди учащихся вашего класса, какие виды спорта они предпочитают. По результатам опроса постройте круговую диаграмму. Ш М 16 На рисунках представлены круговые диаграммы успеваемости (количество полученных оценок) за два идущих подряд месяца. Во сколько раз увеличилось или уменьшилось количество «двоек», «троек» и «пятёрок», если известно, что количество «четвёрок» не изменилось? 17 У юных биологов есть круговая диаграмма родсэв деревьев, растущих в дендрарии (самая левая), а также круговые диаграммы видов каждого рода деревьев (три остальные). Постройте подробную круговую диаграмму всех видов деревьев, растущих в дендрарии. Клёны 159 ГЛАВА VIII ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМЫ 8.1 Единицы измерения площадей. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника Повторяем, обобщаем знания • Что вы знаете о площадях фигур? t» Как измеряют площади фигур? Какие единицы измерения площадей вы знаете? Ещё из начальной школы вам знакома такая величина, как площадь. Вам также известны основные свойства площадей. Равные фигуры имеют одинаковые площади. Если фигуру разбить на несколько частей, то площадь этой фигуры равна сумме площадей частей. За единицы измерения площадей приняты площади квадратов со сторонами, равными единичным отрезкам 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Обозначаются эти единицы измерения так: 1 мм2, 1 см2, 1 дм2, 1 м2, 1 км2. Как же измеряют площади геометрических фигур? В самых простых случаях площади фигур удаётся вычислить, разбив их на одинаковые квадраты со стороной, равной единичному отрезку. Фигуры на чертеже разбили на квадраты со стороной 1 см, после чего осталось сосчитать, сколько таких квадратов содержится в каждой фигуре. Площадь левой фигуры равна 12 см2, а правой - 13 см2. 160 Понятно, что такой метод вычисления площадей основывается на свойствах площадей, сформулированных в начале информационного блока. Но не всякую фигуру можно разбить на одинаковые квадраты, например, нельзя разбить прямоугольный треугольник. В то же время формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника вы знаете уже с четвёртого класса. Далее мы вспомним, как выводится эта формула, и увидим, что её вывод основан на тех же свойствах площадей. Мы также научимся вычислять площадь произвольного треугольника. После этого можно будет в принципе вычислить площадь любого многоугольника — ведь его можно разбить на треугольники. Хотя вы много раз говорили о площадях геометрических фигур с криволинейными границами (например, о площадях материков, стран, островов, озёр или их изображений на картах и планах), тем не менее, какой строгий математический смысл имеет понятие площади для таких фигур и как вычисляются некоторые из таких площадей, вы узнаете только в старших классах. t! Как выбирают единицы для измерения площадей? в Как они связаны между собой? Единицы измерения площадей выбирают в зависимости от того, какую площадь надо измерить. Площади геометрических фигур, начерченных в ваших тетрадях, удобно измерять в квадратных сантиметрах. Площадь поверхности рабочего стола — в квадратных дециметрах, площадь комнаты — в квадратных метрах, территорию города — в квадратных километрах. Для измерения площадей небольших земельных участков принято пользоваться площадью квадрата со стороной 10 м. Эта единица измерения площади называется один ар и обозначается 1 а. В просторечии эту единицу площади называют соткой. Для измерения площадей более крупных земельных участков ввели площадь квадрата со стороной 1 00 м. Эта единица измерения площади называется один гектар и обозначается 1 га. 1 км2 = 1 000 000 м2; 1 м2 = 100 дм2; 1 дм2 = 100 см2; 1 см2 = 100 мм2; 1 а = 100 м2; 1 га = 10 000 м2 = 100 а. Чему равна площадь прямоугольника! • Чему равна площадь квадрата! Чему равна площадь прямоугольного треугольника? 161 €> Как найти площадь многоугольника на рисунке? Ещё из начальной школы вы знаете, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Площадь прямоугольника ► ъ Площадь квадрата 8прямо!гольиика = ЯЪ Так как у квадрата все стороны равны, то площадь квадрата равна второй степени длины его стороны. Именно поэтому вторую степень числа называют квадратом числа. Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат. S = П2 ^ квадрата Прямоугольник на рисунке разбит на два равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого из них равны смежным сторонам прямоугольника. Площадь каждого такого треугольника равна половине площади прямоугольника. Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. 1 Площадь прямоугольного треугольника 7 S =—яЪ ^прямоугольного треугольника 2 162 а а Вспоминаем то, что знаем t! Как найти площадь прямоугольного треугольника? • Можно ли разрезать не прямоугольный треугольник на два прямоугольных? Ш Как найти площадь любого треугольника? Открываем новые знания • Как найти площадь треугольника АВС на левом чертеже? Верно ли, что она равна сумме площадей прямоугольных треугольников ABD и ACD? A A B D C B П C D Как найти площадь треугольника АВС на правом чертеже? Верно ли, что она равна разности площадей прямоугольных треугольников ABD и ACD? t# Как называется отрезок, проведённый из вершины треугольника к противоположной стороне (или её продолжению) под прямым углом? • Как найти площадь произвольного треугольника? if Как записать формулу площади треугольника? Отвечаем, проверяем себя по тексту Площадь треугольника Возьмём треугольник ABC. Проведём из вершины А отрезок AD перпендикулярно противоположной стороне BC (левый чертёж). Такой отрезок называется высотой треугольника. Длину высоты принято обозначать буквой h. A A B D C B B A C h П CD 163 h Если один из концов стороны, к которой проводится высота, является вершиной тупого угла треугольника, то высота будет проведена к продолжению этой стороны (правый чертёж на с. 163). Если один из концов стороны, к которой проводится высота, является вершиной прямого угла треугольника (то есть эта сторона является катетом), то высотой будет второй катет (нижний чертёж на с. 163). Во всех случаях можно сказать, что высота - это отрезок, проведённый из вершины треугольника перпендикулярно прямой, содержащей противоположную сторону. На левом чертеже высота лежит внутри треугольника, на правом — вне треугольника, а на нижнем - совпадает с одной из сторон треугольника. Выведем формулу площади треугольника. A h с B D C На чертеже выше площадь треугольника АВС равна сумме площадей прямоугольных треугольников АВD и АСD; кроме того, длина отрезка ВС равна сумме длин отрезков ВD и DС, поэтому _ 1 2 SABC SABD + SACD ^ ' ВD • АD + ^ • DC • АD 1 2 = -2 •(ВD + DC)•АD = -2 ВС•АD. На чертеже справа площадь треугольника АВС равна разности площадей прямоугольных треугольников АВD и АСD; кроме того, длина отрезка ВС равна разности длин отрезков ВD и DС, поэтому A h B П CD SABC = SABD S ACD -2 •BD^AD - -2 •DC^AD = 1 •(BD - DC)^AD = -2 •BC^AD. Видно, что в каждом из рассмотренных случаев площадь треугольника находится по одной и той же формуле. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. S треугольника ah. 164 a a Развиваем умения Н Q • Продолжите предложения. — Единичным называют квадрат, сторона которого ^ — Для измерения площадей применяют следующие единицы: Г2! Определите площади фигур на рисунке: а) б) в) Г3] Разбейте фигуру на квадраты со стороной 1 см и определите её площадь. Q Выразите а) в квадратных сантиметрах: 3 дм2, 400 мм2, 1 дм2 30 см2; б) в квадратных метрах: 4 км2, 500 дм2, 7 а, 9 га. Г3"! • Продолжите предложения. — Для того чтобы найти площадь прямоугольника, надо^ — Площадь квадрата равна_ — Площадь прямоугольного треугольника равна_ Г6] Определите площадь: а) прямоугольника со сторонами 3 дм и 5 дм; б) квадрата со стороной 2 м; в) прямоугольного треугольника, катеты которого равны 4 см и 5 см. 1^7] Определите площади фигур на рисунке, выполнив необходимые измерения а) г) На какие фигуры можно разбить многоугольник? Определите его площадь, выполнив необходимые измерения. [~У| Найдите площадь многоугольника, выполнив необходимые измерения. 10 11 Площадь прямоугольника равна 42 см2. Могут ли стороны этого прямоугольника иметь указанные длины: а) 6 см и 7 см; б) 2 дм и 21 дм; в) 1 см и 42 см; г) 30 мм и 140 мм? а) Стороны прямоугольного садового участка составляют 20 м и 30 м. Выразите площадь этого участка в арах. б) Поле имеет форму квадрата со стороной 500 м. Выразите площадь поля в гектарах. 12 В каждом треугольнике проведите высоту, выполните необходимые измерения и 2 B а) найдите площадь в мм . P N C K г) C S K L Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Поле имеет форму прямоугольника со сторонами 400 м и 260 м. Какова площадь поля? Ответ выразите в гектарах. П Вариант II. Длина прямоугольного участка равна 320 м, а ширина в 4 раза меньше. Чему равна площадь этого участка? Ответ выразите в арах. 166 8 Тренировочные упражнения. Н 13 а) Площадь прямоугольника равна 60 м2, а одна из его сторон — 12 м. Чему равна другая его сторона? б) Найдите площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 7 дм 2 см, а другая — на 17 см меньше. в) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один его катет равен 25 мм, а другой - в два раза больше. 14 Определите, в каких случаях записана площадь прямоугольника со сторонами, равными 17 м и 2 м: а) 340 дм2; б) 34 м2; в) 340 000 см2, г) 3 400 000 мм2. 15 Найдите площади фигур, выполнив необходимые измерения: а) б) в) 16 Поле имеет площадь 12 га. На каждый квадратный метр приходится 2 саженца винограда. Сколько всего саженцев винограда на этом поле? П 17 а) Площадь прямоугольника равна 12 см2. Какими могут быть длины его сторон, если известно, что они выражаются целым количеством сантиметров? б) Площадь прямоугольника равна 16 дм2. Каким может быть его периметр, если известно, что длины сторон прямоугольника выражаются целым количеством дециметров? 18 а) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в два раза? б) Сторона первого квадрата в два раза длиннее стороны второго квадрата. Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго? 19 Изобразите на листе бумаги в клеточку прямоугольный участок площадью 4 а, если одна клеточка изображает участок площадью: а) 25 м2; б) 50 м2. М 20 Площадь участка прямоугольной формы — 400 м2. При каких длинах сторон забор вокруг него будет наименьшей длины? 167 21 Найдите площадь прямоугольника FDNM, если площадь треугольника FLM равна 225 мм2. D L N ш Н 22 Найдите площадь фигуры. Начертите квадрат с такой же площадью. 23 Выразите а) в квадратных дециметрах: 3 м2, 400 см2, 5 м2 3 дм2; б) в квадратных сантиметрах: 4 дм2, 500 мм2, 7 м2. 24 Вычислите площадь многоугольника, разбив его на части и выполнив необходимые измерения. 25 Вычислите площади треугольников, выполнив необходимые измерения. B C 168 E в) L K F Ш П 26 Площадь квадрата равна 81 м2. Чему равна его сторона? 27 Какую часть от площади прямоугольника составляет площадь закрашенной фигуры? Ш М 28 Прямоугольник имеет стороны 2 см и 8 см. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника. Геометрические фигуры в пространстве Повторяем, обобщаем знания Назовите какие-нибудь предметы, форму которых вы можете определить. Какой формы предметы вы назвали? Какие пространственные геометрические фигуры вы уже знаете? 169 Предметы, окружающие нас, имеют множество различных признаков, в том числе и форму. Изучая форму предметов, рассматривают идеальные математические модели, которые называются пространственными геометрическими фигурами или геометрическими телами. Названия и вид многих из этих тел вам уже знакомы. Это куб, параллелепипед, шар, цилиндр, конус, пирамида. Геометрические фигуры О Все эти тела имеют объём, они не могут быть полностью расположены на плоскости. Это геометрические фигуры, которые располагаются в пространстве. Иногда их называют также объёмными телами. Форму, близкую к форме шара, мы можем заметить у некоторых природных объектов, например, плодов или небесных тел. Цилиндр можно увидеть, мысленно «освободив» ствол дерева от сучьев и листьев и т.д. Некоторые предметы, созданные руками человека, очень близки по форме к перечисленным геометрическим телам. Например, стаканы и карандаши часто имеют форму цилиндра, многие мячи — форму шара, предметы мебели, здания - форму кубов и параллелепипедов и т.д. Так же как любая замкнутая линия делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, являясь при этом границей этих областей, так и поверхность каждого геометрического тела делит пространство на внутреннюю и внешнюю области. Поверхность шара называют сферой. Поверхности многих геометрических тел специальных названий не имеют. 170 Назовите форму кирпича, обувной коробки, панельного здания, построенного в прошлом веке. Что вы знаете о параллелепипеде и кубе? Кирпич, обувная коробка, большинство панельных зданий с точки зрения геометрии имеют форму прямоугольного параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней, причём каждая грань является прямоугольником. Именно этим объясняется название прямоугольный параллелепипед. В дальнейшем мы будем для краткости говорить просто параллелепипед. ребро Параллелепипед J 1 ✓ ✓ вершина грань у 7' ✓ ✓ высота длина Противоположные грани параллелепипеда равны. Нижняя и верхняя грани параллелепипеда называются основаниями. Остальные грани называются боковыми. Параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Параллелепипед, все три измерения которого равны между собой, называется куб. 1 1 J у * 'Z Все грани куба - квадраты, которые равны между собой. Вспоминаем то, что знаем Назовите известные вам геометрические тела, имеющие грани. Открываем новые знания • Что общего у геометрических тел на рисунке справа? • Придумайте для них общее название. д Как называются геометрические тела, поверхность которых состоит из многоугольников? 171 Отвечаем, проверяем себя по тексту Геометрические тела, изображённые на рисунке, называются многогранниками. 17 Они разного вида, но при этом поверхность каждого из них состоит из граней (многоугольников), вершин и рёбер. Развиваем умения У Н [~^ Назовите номера только объёмных тел. Как они называются? л; 5 6 7 8 [Л Назовите несколько предметов, имеющих форму параллелепипеда. [~У| Возьмите любую коробку в форме параллелепипеда. Выделите цветом вершины этого параллелепипеда. Раскрасьте одним и тем же цветом равные рёбра. Расскажите, рёбра какого цвета выходят из каждой вершины. Сколько этих рёбер? Раскрасьте одним и тем же цветом равные грани. Расскажите, как они расположены. Выберите одну вершину и расскажите, для какого числа граней она является общей. [~Т~| Перерисуйте в тетрадь параллелепипед, изображённый на рисунке. Обозначьте вершины буквами. Назовите: а) переднюю грань параллелепипеда; б) заднюю грань; в) нижнее основание; г) верхнее основание; д) левую грань; е) правую грань. 172 4 [Т] На рисунке изображён многогранник. Расскажите, сколько у него граней. Назовите их форму. Назовите число граней, вершин, рёбер этого многогранника. [~6~| На рисунке изображён параллелепипед и обозначены длины его рёбер. а) Назовите равные рёбра и их длины. б) Назовите равные грани и их размеры. в) Найдите периметр и площадь каждой грани. г) Начертите нижнее основание параллелепипеда. E A H 7с м D C 4 см 5 см Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Перерисуйте в тетрадь изображение параллелепипеда и добавьте невидимые рёбра штриховой линией. П Вариант II. Начертите левую грань данного параллелепипеда, если известно, что она является квадратом. 1 , Тренировочные упражнения. Н [~^ Какой длины проволоку надо взять, чтобы сделать каркас: а) куба с ребром 3 см; б) параллелепипеда с измерениями 4 см, 3 см, 2 см. На рисунке изображён многогранник, сложенный из 8 одинаковых кубиков. Сколько на этом рисунке параллелепипедов? И 9 I Имеется прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 4 см, 3 см, 2 см. Начертите по одной грани из каждой пары противоположных. П 10 Вычислите площадь поверхности (сумму площадей всех граней) куба, изображённого на рисунке. /1 7 1 1 1 1 ✓ у у 5 см 173 8 11 Какие из этих многогранников одинаковые? а) б) в) 0 12 На рисунке изображён параллелепипед. Начертите его переднюю и левую грани и обозначьте вершины. L M B C K N 4 A D 1 у см М 13 а) Если сложить параллелепипед из одинаковых кубиков, выложив в длину 4 кубика, в высоту 3 кубика, в ширину 2 кубика, то сколько таких кубиков потребуется? б) Если складывать такой же параллелепипед, выкладывая его слоями: сначала основание, затем второй слой и т.д., то сколько кубиков будет в каждом слое? Как найти это число с помощью действия умножения? Сколько слоёв будет в этом параллелепипеде? Как найти общее число кубиков в этом параллелепипеде с помощью действия умножения? Ш Н 14 15 Ребро куба равно 4 см. Найдите площадь его боковой поверхности (сумму площадей всех боковых граней). Перечертите данные многогранники и закрасьте их видимые грани. 174 ш П 16 Сколько шпагата потребуется, чтобы перевязать коробку так, как это изображено на рисунке? На бантик необходимо оставить 2 дм. 17 Рёбра параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Чему равна сумма площадей его боковых граней? Сколько разных ответов может получиться в этой задаче? Почему ответ не единственный? Ш М 18 От куба отрезали часть так, как это показано на рисунке. Сколько у получившегося многогранника граней? а) 8.3 Объём параллелепипеда. Единицы измерения объёма Повторяем, обобщаем знания Как можно измерить объём параллелепипеда? 175 Единицы объёма Объём — это величина, которая может быть измерена. Так, вместимость аквариума можно узнать, заполняя его водой с помощью сосудов известного объёма, скажем, литровых банок. Основные свойства объёмов аналогичны основным свойствам площадей. Равные геометрические тела имеют одинаковые объёмы. Если геометрическое тело разбито на несколько частей, то его объём равен сумме объёмов этих частей. Объёмы геометрических тел обычно вычисляют, разбивая их на кубы, рёбрами которых являются единичные отрезки. Объём куба с ребром 1 см - кубический сантиметр (1 см3). Объём куба с ребром 1 м - кубический метр (1 м3). л- 1 см 1 м Объём куба с ребром 1 дм - кубический дециметр (1 дм3). Один кубический дециметр имеет и другое название - литр. В литрах обычно измеряются объёмы сыпучих и жидких тел. Вычислим объём параллелепипеда на рисунке. Объём будем вычислять в кубических сантиметрах. Уложим в один слой единичные кубы, полностью закрыв основание данного параллелепипеда. Видно, что вдоль ребра, равного 4 см, укладывается 4 единичных куба и таких рядов в этом слое три (в соответствии с длиной ребра, равного 3 см). Таким образом, число кубов в одном слое можно узнать, перемножив длину основания на его ширину: 4 3 = 12 единичных кубов. 176 Чтобы заполнить этот параллелепипед единичными кубами полностью, надо выложить два таких слоя (в соответствии с длиной ребра, равного 2 см). Для этого понадобится (4 • 3) • 2 = 24 единичных куба. Объём параллелепипеда Вы видите, что объём параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: длины, ширины и высоты. В виде формулы это записывается так: V = abc, где V - это объём; а, b, c - длина, ширина и высота параллелепипеда. Так как у куба все его рёбра равны, то объём куба равен третьей степени длины его ребра: V = a3. Вот почему третью степень числа называют кубом числа. 1 см3 = 10 мм • 10 мм • 10 мм = 1 000 мм3; 1 дм3 = 10 см^ 10 см^ 10 см = 1 000 см3 и т.д. Развиваем умения Н а) Что такое единичный куб? б) Как измеряются объёмы? в) Чему равен объём параллелепипеда? г) Чему равен объём куба? [~2] Назовите объёмы многогранников на рисунке, выразив их в единичных кубах. а) б) в) И [~3] Назовите объём параллелепипеда на рисунке, выразив его в единичных кубах. 177 Вычислите объём параллелепипеда, если его рёбра равны: а) 2 м, 3 м, 4 м; б) 12 дм, 15 дм, 7 дм; в) 11 см, 45 см, 2 см. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Вычислите объём параллелепипеда, если его измерения равны 15 см, 23 см, 25 см. П Вариант II. Вычислите объём параллелепипеда, если площадь его основания равна 150 см2, а высота - 2 дм. Тренировочные упражнения. Н [~5| Выполните измерения и вычислите объём любой коробки, имеющей форму параллелепипеда. Q Сравните: а) 30 мм3 и 3 см3; б) 700 см3 и 7 дм3; в) 60 000 дм3 и 6 м3; г) 16 л и 1 600 см3. а) Площадь пола комнаты 34 м2, высота комнаты 31 м. Найдите объём комнаты. — 3 2-4 б) Объём комнаты 45 м3, площадь пола 18 м2. Найдите высоту комнаты. П 8 Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если: а) его длину увеличить в n раз; б) его длину увеличить в n раз, а ширину в m раз; в) его длину увеличить в n раз, ширину в m раз, а высоту в к раз? [~^ Как изменится объём куба, если длину его ребра увеличить в n раз? М 10 Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в ряд. Какой длины этот ряд? т Н 11 Выразите а) в кубических дециметрах: 1 м3, 4 м3 32 дм3, 42 см3; 178 12 б) в кубических сантиметрах: 1 дм3, 30 мм3, 2 м3; в) в кубических миллиметрах: 1 см3, 5м3, 3 дм3. Какими могут быть размеры параллелепипеда объёмом 50 м3, если известно, что его длина, ширина и высота выражаются целым числом метров. П 13 Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 45 см, 40 см, 25 см. Сколько трёхлитровых банок воды вмещает этот аквариум? Ш М 14 Площади трёх граней параллелепипеда равны 54 см2, 36 см2 и 24 см2. Найдите объём этого параллелепипеда. 8.4 Понятие о вероятности Повторяем, обобщаем знания Положите в непрозрачную коробку 12 одинаковых на ощупь картонных карточек: 5 белых и 7 чёрных. Проведите такой опыт: выньте из коробки одну карточку наугад. Карточку какого цвета вы вынули? Случайный эксперимент Вы уже знаете, что в результате проведения этого опыта может произойти два события: можно вынуть белую карточку (Б) или чёрную карточку (Ч), причём какое событие осуществится, сказать заранее, до проведения опыта, невозможно. Вы знаете также, что такие опыты (эксперименты) называются случайными. Употребляется также и более длинное название: опыты со случайными исходами. 179 Событие Событие, которое в данном случайном эксперименте может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием, причём произойдёт оно или нет, выяснится только после проведения случайного эксперимента. Событие, которое в данном случайном эксперименте не может произойти, называется невозможным событием. Событие, которое в данном случайном эксперименте произойдёт обязательно, называется достоверным событием. ^ Проведите такой же опыт, как описано выше. Вы уже знаете, что в нём могут произойти такие события: Б (вынута карточка белого цвета) и Ч (вынута карточка чёрного цвета). О Как вы думаете, какое из этих событий имеет больше шансов произойти (или, по-другому, какое событие более вероятное)? Вероятность события Выясним, сколько всего возможных результатов (исходов) может иметь этот опыт. В коробке всего 12 карточек. Вынуть можно любую из них, значит, количество возможных результатов этого опыта равно 12. Пять результатов этого опыта приводят к событию Б (ведь в коробке пять белых карточек), а семь — к событию Ч. Принято говорить, что пять результатов благоприятны событию Б, а семь результатов — событию Ч. В нашем опыте все карточки одинаковы на ощупь, и мы вынимаем карточку наугад. Это значит, что ни один из возможных результатов не имеет никаких преимуществ перед другими: все эти результаты равновозможны. Если все результаты опыта равновозможны, то вероятностью события называется дробь, у которой числитель равен числу благоприятных данному событию результатов, а знаменатель — общему числу результатов*. Значит, в нашем опыте вероятность события Б равна 12, а вероят- 7 12 ность события Ч равна ^ . Естественно, такую дробь при возможности сокращают. 180 • Какое событие называется достоверным, а какое — невозможным? О Какие результаты случайного эксперимента благоприятны достоверному событию, невозможному событию? • Найдите вероятности достоверного и невозможного событий. Вероятности невозможного и достоверного событий Достоверное событие происходит при любом результате случайного эксперимента (все результаты благоприятны достоверному событию), значит, вероятность достоверного события равна 1. Невозможное событие не происходит ни при каком результате случайного эксперимента (ни один результат не благоприятен невозможному событию), значит, вероятность невозможного события равна 0. © В непрозрачной коробке лежат четыре одинаковых на ощупь шарика: 3 чёрных и 1 белый. Наугад вынимается два шарика. Найдите вероятности следующих событий: A) оба шарика чёрные; B) оба шарика белые; C) один шарик чёрный и один белый. Миша рассуждал так: «Чтобы вычислить вероятность по известному нам правилу, надо убедиться, что все результаты опыта равновозможны. В опыте наугад вынимается пара шариков. Ни одна такая пара не имеет никаких преимуществ перед другими парами, значит, все результаты этого опыта равновозможны». Выясню, сколько всего результатов может иметь этот опыт. Их столько же, сколько различных пар можно составить из 4 предметов. Событию А благоприятны такие результаты. О Событию — благоприятны такие результаты. Закончите рассуждения Миши. 181 Развиваем умения Н [~^ Оцените событие, о котором сейчас прочитаете, как невозможное, достоверное, случайное. Вы открыли этот учебник наугад и увидели номер одной из страниц. Оказалось, что: A) это число записано цифрами; Б) это число записано буквами; B) это число трёхзначное; Г) это число четырёхзначное; Д) запись этого числа заканчивается нулём; Е) это число — правильная дробь. [~Y~| Пятиклассники обсуждали, как найти вероятность события, когда все результаты случайного эксперимента равновозможны. Ваня сказал: «Нужно количество благоприятных данному событию результатов разделить на количество всех возможных результатов». Настя сказала: «Нужно узнать, какую часть от всех возможных результатов составляют благоприятные данному событию результаты». Кто из ребят прав? [~У| Приведите по несколько примеров невозможных, достоверных и случайных событий. [~Т] В непрозрачной коробке лежат семь одинаковых на ощупь шариков: 4 белых, 2 синих и 1 красный. Наугад вынимается один шарик. Найдите вероятности следующих событий: Б) вынутый шарик белый; Д) из коробки вынут один шарик; К) из коробки вынут красный шарик; С) вынутый шарик синий; З) вынутый шарик зелёный; Л) из коробки вынута лягушка. [~5| При подбрасывании монеты может выпасть либо орёл (О), либо решка (Р). Какие результаты может иметь проведённый дважды случайный эксперимент по подбрасыванию монеты? Выпишите все эти результаты. Вычислите вероятности событий: А) орёл выпал дважды; Б) орёл выпал один раз; В) орёл выпал трижды; Г) орёл не выпал ни разу. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Какова вероятность того, что взятое наугад однозначное натуральное число чётное? б) Какова вероятность того, что взятое наугад двузначное число чётное? 182 П Вариант II. а) С помощью цифр 1 и 3, взятых наугад, записано двузначное число (цифры в записи числа могут повторяться). Какова вероятность того, что это число простое? б) С помощью цифр 1 и 3, взятых наугад, записано трёхзначное число (цифры в записи числа могут повторяться). Какова вероятность того, что это число простое? Тренировочные упражнения. Н [~6~| Три грани кубика выкрашены в синий цвет, две — в зелёный и одна — в красный. Какова вероятность того, что при бросании кубика верхняя грань окажется синей, зелёной, красной? [~У| Наугад взято двузначное число, меньшее 20. Какова вероятность того, что это число делится на 3? на 4? на 5? является простым? Имеются три одинаковые карточки, на одной из которых записано число 1, на другой — 2, на третьей — 3. а) Наугад выбирается одна карточка. Какова вероятность того, что написанное на ней число будет чётным? нечётным? б) Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что сумма написанных на них чисел будет чётной? нечётной? П В ящике лежат 2 белых и 2 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какое событие более вероятное: вынутые шары одинакового цвета или вынутые шары разного цвета? Попробуйте сначала сделать прикидку ответа, не вычисляя вероятностей, а затем вычислите вероятности указанных событий и сравните их. 10 Аня, Боря, Витя, Гуля и Дима отправились в поход. Им надо назначить двух дежурных по лагерю. Они написали свои имена на одинаковых бумажках, сложили их в пустой рюкзак и вынули наугад две бумажки. Какова вероятность того, что дежурить будут 2 мальчика? 2 девочки? мальчик и девочка? М 11 Аня, Боря, Витя, Гуля и Дима отправились в поход. Им надо назначить трёх дежурных по лагерю. Они написали свои имена на одинаковых бумажках, сложили их в пустой рюкзак и вынули наугад три бумажки. Гуля и Дима очень хотят дежурить вместе. Какова вероятность этого события? 183 8 т Н 13 12 Какова вероятность того, что взятое наугад однозначное натуральное число делится на 3? на 4? на 5? является простым? Наугад взято двузначное число. Какова вероятность того, что это число является квадратом натурального числа? кубом натурального числа? четвёртой степенью натурального числа? а) Дима, Сима и Тима случайным образом расселись в кружок. С какой вероятностью Дима и Сима окажутся рядом? б) Дима, Сима и Тима случайным образом расселись в ряд на скамейке. С какой вероятностью Дима и Сима окажутся рядом? 14 Ш П 15 16 В ящике лежат 3 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Какое событие более вероятное: вынутые шары одинакового или разного цвета? Попробуйте сначала сделать прикидку ответа, не вычисляя вероятностей, а затем вычислите вероятности указанных событий и сравните их. В непрозрачной коробке лежат четыре одинаковые на ощупь карточки, на которых записаны числа: один, два, три, четыре. Наугад вынимаются две карточки. Найдите вероятности таких событий: A) оба числа на вынутых карточках чётные; Б) оба числа на вынутых карточках нечётные; B) одно число чётное, а другое нечётное; Г) сумма чисел на вынутых карточках чётная; Д) сумма чисел на вынутых карточках нечётная; Е) сумма чисел на вынутых карточках равна пяти. Ш М 17 Пятеро друзей пошли в кино. Перед сеансом они решили наугад послать двоих ребят в буфет за попкорном. Вася очень хочет оказаться в этой паре. Что вероятнее: И) Вася идёт в буфет. Н) Вася не идёт в буфет. Вычислите вероятности этих событий и сравните их. 184 Занимательные задачи Вы уже знаете, что учиться математике можно не только решая задачи, но и играя в математические игры. С некоторыми из таких игр вы уже познакомились в начальной школе. Среди математических игр есть много интересных и весёлых, на первый взгляд даже не очень серьёзных, но в то же время требующих для нахождения выигрышной стратегии серьёзных рассуждений, глубокого изучения ситуации и применения математических знаний. В математике существует даже целый раздел, который называется «Теория игр». Повторяем, обобщаем знания На бумаге в клеточку нарисован прямоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. В левой нижней клетке находится фишка. За один ход разрешается передвинуть фишку на любое количество клеток вверх или вправо, не выходя за границы прямоугольника. Тот, кто не может сделать очередной ход, считается проигравшим. (Это произойдёт, когда фишка окажется в правой верхней клетке.) Поиграйте в эту игру на прямоугольниках 3 х 4, 5 х 5, 6 х 8. 1? Всегда ли начинающий может выиграть? t? Всегда ли второй игрок может выиграть? tn Зависят ли ответы на эти вопросы от размеров прямоугольника? Это математическая игра, в которой можно 4 относительно несложно найти выигрышную стратегию. 3 Начнём с игры на поле 3 х 4. Рассмотрим це- 2 почку клеток, имеющих друг с другом лишь 1 единственную общую вершину, причём эта a b c цепочка начинается в правой верхней клетке (на рисунке эти клетки закрашены). 185 Если фишка стоит в закрашенной клетке, то тот игрок, кому в этот момент нужно ходить, проигрывает. Как бы он ни пошёл, его противник всегда сможет опять поставить фишку в закрашенную клетку (действительно, при любом ходе вправо противник ответит ходом на столько же клеток вверх, а при любом ходе вверх — ответит ходом на столько же клеток вправо). При такой игре фишка через ход будет находиться на закрашенной клетке, двигаясь вправо — вверх, и в какой-то момент окажется в правой верхней клетке. В результате игрок, начинавший ходить с закрашенной клетки, проиграет. Таким образом, выигрышная стратегия может быть сформулирована одной фразой: «Ставь фишку на закрашенную клетку». Здесь, правда, нужно добавить: «Если сможешь». В игре на поле 3 X 4 это удастся сделать с помощью первого хода а1-а2 и дальнейшего плана игры, описанного выше. Итак, в этой игре начинающий выигрывает. При игре на поле 5 х5 в начальный момент фишка уже стоит в закрашенной клетке, так что начинающий, при всём желании, не сможет поставить её в закрашенную клетку! Как бы он ни играл, при стратегии игры, описанной выше, выигрывает второй игрок. abode Ответ: если игровое поле квадратное (количество строк равно количеству столбцов), то начинающий проигрывает. Если игровое поле не квадратное (количество строк не равно количеству столбцов), то начинающий выигрывает. Двое играют в такую игру. На числе 1 числового луча стоит фишка. За один ход разрешается передвинуть её на одну или на две единицы вправо. Игрок, первым поставивший фишку на заранее выбранное число, выигрывает. • Поиграйте в эту игру для различных заранее выбранных чисел, например 10, 12, 25, 50. €> Придумайте, как нужно играть, чтобы выиграть. €1 Кто будет выигрывать — начинающий или его противник? Зависят ли ответы на эти вопросы от заранее выбранного числа? 186 5 4 3 2 В данной игре, как и во многих других математических играх, игровая ситуация всё время меняется, и поэтому не стоит особенно «привязываться» к конкретным числам. Это означает следующее: в предложенных четырёх разных вариантах игры в начальный момент до заранее выбранного числа имеется какое-то количество единичных шагов (соответственно 9, 11,24 и 49), но с каждым сделанным ходом это количество меняется! А раз так, то нужно понять, как играть при любом количестве шагов до заранее выбранного числа. Придумаем удобную и краткую терминологию. Будем называть заранее выбранное число «целью» и положение фишки задавать словами: «столько-то шагов до цели». Например, начало самого первого варианта игры можно назвать «9 шагов до цели». Напомним, что за один ход можно приблизиться к цели или на один, или на два шага. Ясно, что в процессе игры количество шагов до цели уменьшается, пока не станет равным нулю. Самым важным (хотя и очень простым) соображением при анализе этой игры является следующее: «Сначала разберись, как играть, когда до цели осталось совсем мало шагов — 1,2, 3, 4 и т.д. Затем, при постепенном увеличении количества шагов, ты сможешь сводить дальнейший анализ к уже проанализированным ситуациям». Итак, примемся за анализ. Будем проводить его с точки зрения игрока, чьё право хода в данный момент. Если до цели 1 шаг, то мы делаем 1-шаговый ход и выигрываем. Если до цели 2 шага, то мы делаем 2-шаговый ход и выигрываем. Таким образом, позиции «1 шаг до цели» и «2 шага до цели» — выигрышные (ещё раз напомним — с точки зрения игрока, имеющего право хода). Проанализируем позицию «3 шага до цели». Если мы сделаем 1-шаговый ход, то наш противник при своём праве хода окажется в выигрышной позиции «2 шага до цели», а если мы сделаем 2-шаговый ход, то наш противник при своём праве хода окажется в выигрышной позиции «1 шаг до цели». Значит, какой бы ход мы ни сделали, мы проиграем. Установлено, что позиция «3 шага до цели» — проигрышная. Позиция «4 шага до цели» — выигрышная, так как если мы сделаем 1-шаговый ход, то наш противник при своём праве хода окажется в проигрышной позиции «3 шага до цели». Позиция «5 шагов до цели» тоже выигрышная: если мы сделаем 2-шаговый ход, то наш противник при своём праве хода окажется в проигрышной позиции «3 шага до цели». Позиция «6 шагов до цели» — проигрышная, ведь, как бы мы ни пошли, мы окажемся либо в позиции «5 шагов до цели», либо в позиции «4 шага до цели» — выигрышных для нашего противника (так как будет его право хода). 187 Подведём итоги. Позиции «3 шага до цели», «6 шагов до цели», «9 шагов до цели», «12 шагов до цели» и т.д. являются проигрышными; остальные позиции — выигрышные. Стратегия игры заключается в том, чтобы ставить противника в проигрышную позицию (если это возможно). При следовании этой стратегии (иногда говорят «при правильной игре»), если начальная позиция выигрышная, то начинающий выигрывает, а если проигрышная, то начинающий проигрывает. При ошибках партнёра (либо машинальных, по невнимательности; либо вызванных тем, что он не знает стратегию игры) может оказаться, что, находясь в выигрышной позиции, он сделает неверный ход, то есть не поставит вас в проигрышную позицию (а тем самым поставит в выигрышную!), и вы сможете этим воспользоваться и выиграть. Ответ: при заранее выбранном числе 10 или 25 начинающий проигрывает. При заранее выбранном числе 12 или 50 начинающий выигрывает. На листе бумаги в клеточку нарисован прямоугольник размером 2 х 4. Двое играющих по очереди закрашивают клеточки внутри этого прямоугольника, причём за один ход можно закрасить либо одну клеточку, либо две соседние (по горизонтали или по вертикали) клеточки. Тот, кто не может сделать очередной ход (так как все клеточки уже закрашены), проигрывает. Ф Сыграйте несколько партий в эту игру. €1 Придумайте, как нужно играть, чтобы выиграть. Ф Кто будет выигрывать — начинающий или второй игрок? ф Поиграйте в такую же игру на прямоугольнике других размеров 2 х п, где n — натуральное число, например, 2 х 5, 2 х 6, 2 х 8, 2 х 9. Как изменятся ответы на поставленные вопросы? Рассмотрим сначала игру на прямоугольнике размером 2 х 4. Разместим игровое поле горизонтально. В нём есть два горизонтальных ряда — верхний и нижний. Пронумеруем клеточки верхнего ряда числами от 1 до 4 слева направо, а клеточки нижнего ряда — числами от 1 до 4 справа налево. 188 1 2 3 4 4 3 2 1 Обратите внимание: нет такого «двухклеточного» хода, при котором удалось бы закрасить две клеточки с одинаковыми номерами. На этом основана выигрышная стратегия второго игрока: как бы ни пошёл начинающий, какие бы клеточки он ни закрасил, закрашивай своим ходом столько же клеточек, причём с теми же самыми номерами. Таким образом, у второго игрока всегда есть ход. А поскольку начинающий должен всё время искать, какой ход ему сделать, какие клеточки закрасить, рано или поздно настанет момент, когда ходить будет некуда, так как все клеточки уже будут закрашены. При анализе игры на прямоугольнике размером 2 х 5, как и прежде, разместим игровое поле горизонтально и пронумеруем клеточки верхнего ряда числами от 1 до 5 слева направо, а клеточки нижнего ряда -числами от 1 до 5 справа налево. 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 Предложенная выше для игры на прямоугольнике размером 2 х 4 стратегия основывалась на том обстоятельстве, что не было такого «двухклеточного» хода, при котором удалось бы закрасить две клеточки с одинаковыми номерами. В игре на прямоугольнике размером 2 х 5 это уже не так (взгляните на клеточки с номером 3). Но поскольку такая пара клеточек единственная, то это позволяет разработать выигрышную стратегию для начинающего. Первым своим ходом он закрашивает две клеточки с одинаковыми номерами. После этого уже невозможно сделать такой «двухклеточный» ход, при котором удалось бы закрасить две клеточки с одинаковыми номерами, и начинающий начинает пользоваться описанной выше стратегией второго игрока для игры на прямоугольнике размером 2 х 4. Единственное отличие заключается в том, что теперь роли меняются: у начинающего всегда есть ход, а поскольку второй игрок должен всё время искать, какой ход ему сделать, какие клеточки закрасить, рано или поздно настанет момент, когда ходить будет некуда, так как все клеточки уже будут закрашены. В результате начинающий выигрывает. Так же анализируются игры на прямоугольниках размером 2 х п, где n — произвольное натуральное число. Ответ: при нечётных п существует выигрышная стратегия для начинающего, а при чётных п — выигрышная стратегия для его партнёра. 189 Развиваем умения Н [~^ На листе бумаги в клеточку нарисован прямоугольник размером 1 х 5. Двое играющих по очереди закрашивают клеточки внутри этого прямоугольника. За один ход можно закрасить либо одну клеточку, либо две соседние. Тот, кто не может сделать очередной ход (так как все клеточки уже закрашены), проигрывает. Сыграйте несколько партий в эту игру. Придумайте, как нужно играть, чтобы выиграть. Кто будет выигрывать — начинающий или второй игрок? Поиграйте в такую же игру на прямоугольнике других размеров, 1 х п, где n - натуральное число, например, 1 х 8, 1 х 9, 1 х 20. Как изменятся ответы на поставленные вопросы? [~Y~| Двое играют в «Крестики-нолики» на поле размером 3 х 3: ставят по очереди в пустые клетки один игрок крестики, другой — нолики. Тот, кто первым поставил три своих знака подряд (по вертикали, горизонтали или диагонали), выигрывает. Если никому не удалось этого сделать, а свободных клеток не осталось, игра считается закончившейся вничью. а) Начинающий первым ходом поставил крестик в центральную клетку, а второй игрок ответил, поставив нолик в боковую клетку (имеющую с центральной общую сторону). Покажите, как начинающий может выиграть эту партию. б) Верно ли, что при любом своём первом ходе и любом ответе на него второго игрока начинающий может дальше играть так, что не проиграет? в) Может ли начинающий гарантированно выиграть? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н На листе бумаги в клеточку нарисован прямоугольник размером 1 х 9. Двое игроков по очереди закрашивают клеточки внутри этого прямоугольника. За один ход можно закрасить только одну клеточку, причём так, чтобы никакие закрашенные клеточки не имели общей стороны. Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Опишите выигрышную стратегию для начинающего. П Вариант II. На листе бумаги в клеточку нарисован прямоугольник размером 1 х 20. Двое игроков по очереди закрашивают клеточки внутри этого прямоугольника. За один ход первый игрок может закрасить любые три идущие подряд свободные клеточки, а второй игрок — любые четыре идущие подряд свободные клеточки. Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Придумайте и опишите выигрышную стратегию первого игрока. Тренировочные упражнения. Н [~У| На столе лежит 12 палочек. Двое играющих берут по очереди 1 или 2 палочки. Тот, кто не может сделать очередной ход (так как палочек на столе больше не осталось), проигрывает. 190 Сыграйте несколько партий в эту игру. Придумайте, как нужно играть, чтобы выиграть. Кто будет выигрывать — начинающий или второй игрок? Поиграйте в такую же игру, когда сначала на столе лежит не 12, а другое количество палочек, например 20, 25, 50. Как зависят ответы на поставленные вопросы от начального количества палочек? П И ^ Двое по очереди обрывают лепестки у ромашки. За один раз можно оборвать либо один, либо два рядом растущих лепестка. Тот, кто уже не сможет оборвать ни одного лепестка, проигрывает. Как нужно играть, чтобы выиграть? Зависит ли стратегия игры от начального количества лепестков? М [Т] Валя и Галя тренируются перед игрой в морской бой на квадратном поле размером 7 X 7. Валя нарисовал единственный четырёхпалубный корабль (четыре клетки подряд по горизонтали или по вертикали), а Галя хочет его «ранить». За какое наименьшее число «выстрелов» она сможет это сделать наверняка? Н [~6~| Поиграйте в такую же игру, как в задании 3, при условии, что за один ход можно брать или 1, или 2, или 3 палочки. Ответьте на те же вопросы. Придумайте, как нужно играть, чтобы выиграть. Кто будет выигрывать — начинающий или его противник? Поиграйте в такую же игру, когда сначала на столе лежит не 12, а другое количество палочек, например 20, 25, 50. Как зависят ответы на поставленные вопросы от начального количества палочек? П И 7] Проанализируйте игру, с разбора которой начинался этот параграф (игру № 1), при условии, что за один ход разрешается передвинуть фишку вверх или вправо, но не на любое количество клеток, а лишь: а) на одну клетку; б) либо на одну, либо на две клетки. Ш М В ряд выписаны числа с пробелами между ними: 12 3 4 5 6 7 8. Двое играющих по очереди ставят на место пробела либо «+», либо « • » до тех пор, пока все пробелы не будут заполнены (скобки ставить нельзя). Если в результате получится выражение, значение которого — чётное число, то выигрывает начинающий, а если нечётное, то его партнёр. У какого из игроков имеется выигрышная стратегия? 191 8 Древние египтяне уже около 2000 года до н.э. умели вычислять не только площади прямоугольников, треугольников, объёмы параллелепипедов, но и площади и объёмы некоторых других геометрических фигур. Многие найденные ими результаты были достойны восхищения, но в отдельную отрасль математики геометрия у египтян ещё не превратилась. Все геометрические задачи возникли при проведении землемерных работ и только в этой практике и использовались. Не было термина «сторона геометрической фигуры», не было и самого термина «фигура». Говорили о поле, об участке с границами (или с длиной и шириной, причём эти слова применялись не только для прямоугольников). Такого рода терминология была свойственна не только древним египтянам, но и другим народам на той же стадии развития геометрических представлений. Геометрические знания вавилонян, как и египтян, относились большей частью к измерению простейших фигур, встречающихся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.д. Сохранилось немало планов земельных угодий, разделённых на прямоугольники, треугольники и четырёхугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчёты. Познания вавилонян в геометрии, по-видимому, превосходили египетские, так как в текстах помимо задач, знакомых египтянам, встречаются первые измерения углов и задачи, связанные с углами. Кстати, к Древнему Вавилону восходит и единица измерения углов - градус. Жрецы считали, что свой дневной путь по небу (полуокружность) Солнце совершает за 180 шагов, и таким образом один шаг 1 соответствует 180 части развёрнутого центрального угла (опирающегося на дугу, равную полуокружности). А поскольку, как вы уже знаете, вавилоняне пользовались шестидесятиричной системой счисления, то более мелкие единицы получались делением более крупных на 60 равных частей (1° = 60', 1' = 60''). Затем эти единицы измерения перенимались другими народами, в частности римлянами, которые слово «шаг» перевели на латынь, где оно звучало как «градус». Это латинское слово (а не его перевод на русский язык!) мы и используем для названия единицы измерения углов. 192 Геометрические знания были развиты и в Древнем Китае. Своеобразной энциклопедией древнекитайской математики явилась «Математика в девяти книгах», написанная в начале нашей эры. В четырёх из этих книг значительное внимание уделялось геометрическим вопросам. Книга I называлась «Измерение полей» и содержала методы нахождения площадей простейших многоугольников. Интересно, что единицей измерения площади у древних китайцев служил прямоугольник со сторонами 15 бу и 16 бу (то есть шагов, 1 бу = 133 см). В книге IV речь шла о нахождении стороны прямоугольника по данным значениям площади и другой стороны. Много внимания уделялось задачам нахождения стороны квадрата по известной площади и ребра куба по известному объёму. В книге V под названием «Оценки работ» были собраны задачи, связанные с расчётами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычислялись как объёмы разных тел, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях. В книге IX рассматривались вопросы, связанные с геометрией прямоугольного треугольника. Знания и открытия индийских математиков в области геометрии значительно уступали их знаниям и открытиям по арифметике и алгебре. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, геометрические сведения сообщались в арифметических или астрономических трактатах. Изложение геометрических знаний чаще всего сводилось к чертежу со словом «Смотри», который в редких случаях сопровождали краткие указания. В геометрических задачах вопрос сводился к вычислению и никогда - к построению. Однако многими видами геометрических построений индийцы владели и пользовались в строительном деле. Настоящего расцвета геометрия достигла в Древней Греции. Геометрические знания были систематизированы в сочинении «Начала» Евклида (IV-III вв. до н.э.). Древнегреческая геометрия из науки, основанной на опыте, превратилась в науку теоретическую, где центральное место стали занимать доказательства геометрических утверждений, а не простая их формулировка. Но об этом мы поговорим уже в шестом классе, когда более широко и глубоко познакомимся с геометрией. 193 Люб, «гел матема !\У^^ 1. В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке монет в два раза больше, чем в другом. Как это может быть? 2. Отрезок АВ разбит точкой С на два отрезка, расстояние между серединами которых равно 16 м. Какова длина отрезка АВ? 3. Существует ли такой треугольник, у которого величина каждого угла выражается целым числом градусов, причём все эти числа простые? 4. Сколько прямоугольников на рисунке? 5. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на три части, из которых можно сложить прямоугольник? 6. Разрежьте прямоугольник размером 1 х 5 на пять частей и сложите из них квадрат. 7. Разрежьте равносторонний треугольник на пять различных равнобедренных треугольников. 8. Плоскость раскрашена в два цвета - чёрный и белый, то есть каждая точка плоскости либо чёрная, либо белая. Докажите, что обязательно найдётся две точки одинакового цвета, расстояние между которыми равно 1 дм. 9. Верно ли, что в условии предыдущей задачи обязательно найдётся две точки разного цвета, расстояние между которыми равно 1 дм? 194 10. Часовая стрелка установлена на отметке 12 часов. Двое играющих по очереди передвигают стрелку либо на 3 часа, либо на 4 часа вперёд. Тот, кто первым поставит стрелку снова на 12 часов, выигрывает. Кто победит в этой игре — начинающий или его противник? Как он должен для этого играть? 11. В ряд выписано несколько единиц. Двое играющих по очереди ставят между соседними единицами либо знак сложения «+», либо знак умножения « • » (скобки ставить нельзя!). Когда все знаки расставлены, вычисляется значение полученного выражения. Если полученное число чётное, то выигрывает первый, а если нечётное, то второй. Кто победит в этой игре — начинающий или его противник? Как он должен для этого играть? Зависит ли ответ от начального количества единиц? 12. Прямоугольник размером 2 х 3 составлен из квадратиков. Две его противоположные вершины отмечены зелёными точками P и Q. P о Q Двое играющих по очереди красят зелёным цветом единичные отрезки — стороны квадратиков (можно закрасить любую ещё не закрашенную сторону любого квадратика). Выигрывает тот, у кого раньше получится соединить точки P и Q цепочкой отрезков. Кто победит в этой игре — начинающий или его противник? Как он должен для этого играть? 13. Квадрат размером 4 х 4 разбит на 16 одинаковых квадратиков размером 1 х 1 . Двое играющих по очереди ставят красные точки в центры квадратиков. Проигрывает тот, после чьего хода образовался квадрат размером 2 х 2, все вершины которого — красные точки. Кто победит в этой игре — начинающий или его противник? Как он должен для этого играть? 195 ШЕЗ Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Раскройка ткани. ВАША РОЛЬ. Закройщик. ОПИСАНИЕ. Есть кусок старинной драгоценной ткани, имеющий форму квадрата со стороной 3 м 60 см, из которого нужно вырезать одинаковые детали прямоугольной формы размером 2 м х 40 см. Главное условие — они должны быть цельными, то есть не могут быть составлены из меньших частей. ЗАДАНИЕ. Необходимо из данного куска ткани вырезать наибольшее возможное число требуемых деталей. 196 г®г®®ый тест 1 очко [~^ В А АВС сторона АВ равна 12 дм, а высота СК равна 18 дм. Найдите площадь А АВС. Ответы: а) 30 дм2; б) 216 дм2; в) 15 дм2; г) 108 дм2. [~^ Наибольшая хорда окружности равна 18 м. Найдите радиус этой окружности. Ответы: а) 8 м; б) 9 м; в) 10 м; г) 18 м. [~^ Определите вид треугольника, два угла которого равны 35° и 50°. Ответы: а) остроугольный; б) тупоугольный; 1 очко в) прямоугольный; г) нельзя определить однозначно. 1 очко [~Т] Параллелепипед, измерения которого равны 5 см, 7 см и 8 см, составлен из кубиков с ребром 1 см. На сколько кубических сантиметров уменьшится объём параллелепипеда, если удалить внешний слой кубиков по всей поверхности параллелепипеда? Ответы: а) 190 см3; б) 180 см3; в) 90 см3; г) 20 см3. 2 очка [~У| На круговой диаграмме представлено содержание фруктов во фруктовом салате. Чего больше и во сколько раз — яблок или апельсинов? Ответы: 4 а) апельсинов больше, чем яблок в 11 раза; 8 4 б) яблок больше, чем апельсинов в 11 раза; 8 1 в) апельсинов больше, чем яблок в 1-1 раза; 1 г) яблок больше, чем апельсинов в 1у раза. [Т"! В коробке лежат 10 неразличимых на ощупь шариков одинакового размера и массы: 5 белых, 3 чёрных и 2 красных. Наугад вынимается один шарик. Найдите вероятность того, что вынутый шарик красного цвета. Ответы: 2 2 1 а) 3 ; б) 5; в) 5 ; г) нельзя определить однозначно - зависит от случая. 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали хотя бы 6 очков. 197 Задания для повторения [~^ Выполните действия: а) 426 + 847; б) 839 + 628; в) 725 + 935; г) 359 + 897. [~^ Выполните действия: а) 847 - 426; б) 1 009 - 458; в) 9 357 - 7 288; г) 8 590 - 3 578. [~^ Выполните действия: а) 26 • 47; б) 39 • 600; в) 72 • 935; г) 309 • 907. [~^ Выполните действия: а) 294 : 7; б) 2 842 : 49; в) 276 : 23; г) 11 328 : 16. [~5| Выполните действия: а) 670 230 - 1 200 45 - 1 500 11 + 149; б) (4 750 : 19 - 17 11)95 - 198; в) (723 600 : 90 - 30 190)^ (1 145 4 522 - 1 999) + 500; г) 2 998 1 999 - 1 093 - 1 802. [~^ Выполните действия: а) 9 357 - 7 082 + 357 - 1 290; б) 5 544 : 88 - 5 481 : 87 + 5 454 : (100 - 46); в) 354 49 : 1 239 + 357 • 48 : 56; г) 56 749 : 49 - 836 : 44 45. [~^ Выполните действия: а) (16 000 : 32 - 1 640 : 82) : 15; б) (97 000 - 192 000 : 2) • 1 202; в) (97 264 : 8 + 1 284 200 : 100) :1 000. Сократите дробь: 16; п) 27; д) 36; и) и) 72; 20' 48; 96; е) 64; е) 128; к) 80 ; К) 100; 204; ж) 182) 208; л) 304; ) 380; 255; 750 ; 1 875; з) 384; 3) 640; м) 150 ) 450 [~^ Запишите неправильные дроби в виде целых чисел: а)75; б) 120. в) 80. в) 16; г) 13 ; д) 196; 14 ; е) 2560 10 40 16 13 14 640 Запишите неправильные дроби в виде смешанных дробей: б) 77. 5 ; в) 89. в) 16; д) Ц; Ж) Ж) 15; и) 12,4; 11 л) 124. 15 ; 404; 45 ; г) 457; г) 45 ; е)457- З) 363; ) 23 ; К) 125- К) 19 ; м) 856 41 198 11 Запишите смешанные дроби в виде неправильных дробей: 17 18 а) 513; б) 9^; в) 4 17 ' г) 2 53 ' 100' )2175' д) 3 75' е) 620. 181 83 12 Сравните дроби: а) 2 и 7; б) ili и Тб' в) 171 и 31 13 Выполните действия: а) 3 + 2- а) 8 + 7' в)9+т д)24+И' б)^ + ^' ^ 60 40 г) 31+2;f; e)5l + if 14 Выполните действия: а) 3 - !■ а) 8 7' в)| - 9 д) 23 11' д) 25 15' б) и - И' ^ 80 90 г) 6 - 2т|; е) 81 - 31. ^ 8 9 15 Выполните действия: а) 2.3' а) 5 8' в) 3 • Ш' ) 5 21' п) 15 8' д) 16 9' б) 5 • 127' 11 г) 3 • 11' г) 5 '3' е) 31 • 13. 28 16 Выполните действия: а) 4 • а) 5 • 15' в)4f•т|; д) 8 • I' б) 13: • 9' 11 г) 83:f; е) 31 • 21. 23 а) На экскурсию в Англию поехало в три раза больше учительниц английского языка, чем учителей. Сколько учительниц было среди 56 экскурсантов, если на экскурсию ездили только учителя и учительницы английского языка? б) Бабушке в 7 раз больше лет, чем внучке, которая моложе бабушки на 48 лет. Сколько лет внучке? а) В коллекции 357 марок, причём российских марок на 45 больше, чем иностранных. Сколько в коллекции российских марок? б) У Лены было 28 р. У неё осталось на 10 р. меньше, чем она потратила. Сколько денег она потратила? в) В вагоне электрички ехало 50 человек. На остановке вышло на 10 человек больше, чем осталось. Сколько человек осталось? г) В магазин привезли 200 кг яблок. До обеда было продано на 12 кг больше, чем осталось. Сколько килограммов яблок было продано до обеда? 19 Через первую трубу бассейн наполняется за 2 ч, а через вторую - опорожняется за 3 ч. За какое время наполнится пустой бассейн, если одновременно открыть обе трубы? 199 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 а) Два пешехода, скорости которых 3 км/ч и 4 км/ч, вышли из одного пункта в противоположных направлениях. Через сколько часов расстояние между ними будет 28 км? б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся? в) Скорость моторной лодки по течению 28 км/ч, а против течения — 23 км/ч. Какова скорость течения реки? г) Расстояние между пристанями, равное 40 км, теплоход прошёл по течению за 1 2^ часа, а против течения — за 4 ч. Какова скорость течения реки? а) В группе спортсменов 32 человека, 3 из них — пловцы. Сколько в этой группе пловцов? 4 б) В группе спортсменов 12 человек — пловцы. Это составляет 3 всех спортсменов в группе. Сколько всего спортсменов в группе? 4 в) В группе спортсменов 12 девочек и 16 мальчиков. Какую часть группы составляют девочки? Какую часть группы составляют мальчики? Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго — за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно? Два пешехода вышли одновременно из двух пунктов А и В навстречу друг другу, встретились через 20 мин, а ещё через 25 мин первый пешеход пришёл в пункт В. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришёл в пункт А? Два путешественника добирались из пункта А в пункт В. Первый путешественник сначала прошёл половину пути пешком, а затем вторую половину пути проехал на автобусе. Второй путешественник тоже шёл сначала пешком с такой же скоростью, как и первый путешественник, а затем тоже ехал на автобусе с такой же скоростью, как и первый путешественник. При этом оказалось, что второй путешественник шёл пешком столько же времени, сколько ехал на автобусе. Какой путешественник добрался из А в В за меньшее время? Постройте угол АВС, равный 90°. С помощью транспортира разделите его а) на две равные части; б) на три равные части. Постройте угол АВС, равный 120°. С помощью транспортира разделите его на два угла так, чтобы один угол был: а) в два раза больше другого; б) в три раза меньше другого. На сколько частей могут разбить круг: а) две различные хорды? б) три различные хорды? Выразите: а) в сантиметрах: 60 мм, 65 мм, 5 мм; б) в квадратных дециметрах: 500 см2, 50 см2 5 см2; в) в кубических метрах: 8 000 дм3, 800 дм3, 80 дм3. Сколько отрезков и сколько лучей образовалось, когда на прямой отметили: а) три различные точки; б) четыре различные точки; в) пять различных точек? 200 31 32 34 35 37 38 39 40 41 42 43 30 Определите площадь прямоугольного участка земли, длина и ширина которого: а) 25 м и 24 м; б) 75 м и 32 м; в) 50 м и 28 м. Выразите в метрах в минуту: а) 60 км/ч; б) 120 км/ч; в) 72 км/ч. Выразите в метрах в секунду: а) 300 м/мин; б) 36 км/ч. 33 а) Из четырёх участников похода нужно выбрать трёх дежурных. Сколькими различными способами можно это сделать? б) Такой же вопрос при выборе трёх дежурных из пяти участников похода. в) Такой же вопрос при выборе четырёх дежурных из шести участников похода. У двух чисел одинаковые суммы цифр. Обязательно ли разность этих чисел делится: а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 5; д) на 9? Какой остаток может иметь при делении на 6 простое число, бсэльшее 6? 36 Может ли сумма трёх различных простых чисел, бсэльших 5, делиться: а) на 3; б) на 4; в) на 5? Какой может быть последняя цифра: а) у квадрата натурального числа; б) у куба натурального числа? Докажите, что среди любых шести натуральных чисел обязательно найдутся два, разность которых делится на 5. В коробке, стоящей в тёмной комнате, лежат 5 пар чёрных и 5 пар синих носков одинакового размера. Какое наименьшее количество носков нужно взять из коробки, чтобы среди них наверняка оказалась пара носков одного цвета? В коробке, стоящей в тёмной комнате, лежат 5 пар чёрных и 5 пар синих перчаток одинакового размера. Какое наименьшее количество перчаток нужно взять из коробки, чтобы среди них наверняка оказалась пара перчаток одного цвета? Окружность разбита на несколько дуг, каждая из которых выкрашена либо в красный, либо в синий цвет (крайние точки дуг выкрашены в один из цветов). При этом сумма центральных углов, опирающихся на синие дуги, больше, чем сумма центральных углов, опирающихся на красные дуги. Докажите, что имеется такой диаметр, обе крайние точки которого — синие. Сумма десяти различных натуральных чисел равна 56. Найдите эти числа. а) Как, имея два ведра вместимостью 14 л и 15 л, набрать из реки 7 л воды? б) Убедитесь, что с помощью этих вёдер можно набрать любое количество литров, выражаемое натуральным числом, меньшим 14. 201 44 45 46 Ночью к мосту через речку подошла семья: мальчик, мама, папа и бабушка. Мост выдерживает только двоих. Двигаться они могут со скоростью того, кто идёт медленнее, и при этом у них обязательно должен быть фонарик. За какое наименьшее время семья сможет переправиться на противоположный берег, если в одиночку для перехода через мост требуется: мальчику — 2 минуты, папе — 1 минута, маме — 5 минут, бабушке — 10 минут, а фонарик у них только один? (Нельзя светить издали, носить друг друга на руках, перебрасывать фонарик через мост.) Начертите по клеточкам такую же ломаную, как на рисунке. Запишите названия углов, отмеченных дугой. Подчеркните названия тупых углов. Арина, Карина и Марина участвовали в конкурсе, и одна из них стала победительницей. На вопрос, которая же из них победила, девочки ответили: Арина: «Не я и не Карина». Карина: «Не я и не Марина». Марина: «Не я». Какая из девочек стала победительницей конкурса, если известно, что две из них сказали правду, а одна - неправду? 47 В каноэ, вмещающем только двух человек, должны переправиться через реку три следопыта и три индейца. Следопыты не хотят оставаться на каком-нибудь берегу реки в меньшинстве. Только один следопыт и один индеец умеют управлять каноэ. Как им всем переправиться на противоположный берег? 48 Двенадцативедёрная бочка наполнена водой. Как разлить эту воду на две равные части, пользуясь пустыми пятиведёрной и восьмиведёрной бочками? 49 Две девочки, Даша и Маша, и два мальчика, Паша и Саша, пошли по грибы, причём кто-то из них нашёл огромный боровик. На вопрос, кто же именно, они ответили: 202 50 Даша: «Кто-то из мальчиков». Маша: «Не Даша и не Саша». Паша: «Кто-то из девочек». Саша: «Его нашла Маша». Установите, кто же нашёл огромный боровик, если известно, что среди высказываний детей больше истинных, чем ложных. Можно ли фигуру, изображённую на рисунке, разрезать на прямоугольники размером 1 X 2? 51 52 53 Проведите опрос среди ваших одноклассников, куда бы каждый хотел съездить на летние каникулы. Составьте по результатам опроса столбчатую и круговую диаграммы. В непрозрачной коробке лежат четыре одинаковые карточки, на двух из которых написана буква «А» и на двух — буква «М». Карточки вынимаются наугад и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «МАМА»? В непрозрачной коробке лежат шесть одинаковых карточек, на одной из которых написана буква «О», на двух — буква «А» и на трёх — буква «Б». Карточки вынимаются наугад и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «БАОБАБ»? 54 В ситуации, описанной в предыдущей задаче, из коробки наугад вынимаются три карточки и выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово: а) «ОБА», б) «БОБ», в) «БОА»? 203 © Проекты Тема: Натуральные числа и действия над ними ^ Проект № 1. Инсценировка «Как выполняли арифметические действия в древности» Возможный план работы: 1. Работайте в группе. Распределите роли. 2. Найдите необходимую информацию (выбирайте любой удобный для вас источник). 3. Изучите информацию и разберитесь, как в древности выполняли арифметические действия. 4. Напишите сценарий инсценировки. 5. Представьте свой проект. Тема: Математические игры ^ Проект № 2. Фестиваль интеллектуальных игр Возможный план работы: 1. Подберите несколько математических игр. 2. Для каждой игры составьте список игроков. 3. Если игроков мало, то каждый может сыграть с каждым. Победителем станет тот, кто одержит больше всего побед. Если игроков много, то играйте по принципу «проигравший выбывает». 4. Создайте судейскую бригаду, пригласив в неё учителей, старшеклассников, родителей. 5. Проведите фестиваль. 6. Подведите итоги и наградите наиболее отличившихся. Тема: Занимательные задачи Проект № 3. Математический бой Возможный план работы: 1. Создайте две команды игроков. 2. Создайте судейскую бригаду, пригласив в неё учителей, старшеклассников, родителей. 3. Если вы хотите провести тематический бой, то выберите одну тему. Можно проводить бой, никак не ограничивая тематику задач. 4. Каждая команда подбирает заранее условленное количество задач (несколько задач рекомендуется иметь в запасе для непредвиденных случаев). 5. Проведите бой, обмениваясь на каждом этапе задачами и защищая найденное решение. При защите команды задают друг другу вопросы, пытаясь найти в решении противника слабые места, неточности и т.д. 6. Подведите итоги и наградите наиболее отличившихся. Тема: Единицы измерения величин ^ Проект № 4. Игра-конкурс «Старинная ярмарка» Возможный план работы: 1. Создайте две команды. В каждой команде должны быть режиссёр, сценарист, художник по костюмам, историк, математик, они же могут быть актёрами. 204 2. Пригласите зрителей: они будут решать задачи, поставленные исполнителями. 3. Прежде чем писать сценарий инсценировки, соберите необходимую историческую и математическую информацию о мерах массы, длины, площади, объёма, денежных единицах разных народов в интересующую вас эпоху. 4. Продумайте, как организовать работу зрителей. 5. Проведите игру-конкурс. 6. Подведите итоги и наградите наиболее отличившихся. Тема: Сбор и обработка информации ^ Проект № 5. Мониторинг успеваемости вашего класса Возможный план работы: 1. Соберите группу ребят, которые на протяжении некоторого времени (одного месяца, одной четверти и т.д.) будут проводить мониторинг успеваемости учеников вашего класса. 2. В конце каждой недели эта группа собирает из классного журнала всю информацию об успеваемости класса, обрабатывает её, строит различные диаграммы за прошедшую неделю (по отдельным предметам, отдельным учащимся), а также динамику изменения успеваемости по сравнению с предыдущими неделями. 3. Продумайте, как вы будете обрабатывать эту информацию (с помощью компьютера, вручную и т.д.), а также как будете её представлять (в виде таблиц, диаграмм и т.д.). 4. Обдумайте, в каком виде эта информация будет представлена классу: настенный экран успеваемости, специально организованный сайт или что-нибудь другое. Таблица простых чисел (до 1 000) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 1 01 1 03 1 07 109 1 13 1 27 1 31 137 1 39 1 49 151 1 57 1 63 1 67 1 73 1 79 1 81 191 1 93 1 97 1 99 21 1 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 31 1 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 41 9 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 61 3 617 61 9 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 71 9 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 91 1 91 9 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 205 Ответы 3.8. № 22. 1 270 м и 2 600 м. № 23. 4 ч. № 24. 6 ч. № 25. 4 ч. № 26. 2 км/ч. № 27. 12 ч. № 28. 1 км 500 м. № 29. 300 м. № 30. 3 км 400 м. № 34. 900 м/мин; 54 км/ч и 72 км/ч. № 35. а) 3 км 200 м; б) 2 км 300 м. 3.9. № 9. Указание: предварительно вычислите величины углов. № 16. 4 000 р. 4.4. № 6. Одноглазый. № 11. Вагит. 5.1. № 10. Указание: единичный отрезок должен иметь 12 делений. № 11. Указание: разбиваем данный отрезок на 3 равные части. Одна часть - ^. № 12. M), N 1^1), K№ 15. Указание: в сутках 24 часа. № 16. а) 6; б) 18. 5.3. № 6. Шура. № 10. 2; 1; 2. № 11. Лена. 5.4. № 25. а) ^2> 1; б) ;5, |; в) 4; г) ^3. № 29. а) А(j4); б) А№ 37. а) А); б) А). 5.5. № 10. В классе Наташи. № 11. 132' 1“2' 152' № 12. Указание: сравните каждую дробь с дробью -1. № 14. а) 432 кг; б) ^; в) 8 ч. № 15. Жене - 60 000 р., дочери - 60 000 р. и каждому сыну - по 120 000 р. № 16- Г550' 1ТШ0'ГШ и т.д. 1 1 1 6.1. № 15. Указание: каждая из дробей ^ и больше 15, следовательно, сумма трёх дробей больше ^^т. № 19. Не могли. № 20. Аналогично № 15. 6.2. № 11. 1 и 112. № 16. а) 4 и 112; б) 11 ^12 12 20' 6.3. № 11. а) 279_; б) 3 марки. № 12. 18. № 16. 16 км. № 17. 3. 6.4. № 13. а) ; б) -1. № 18. 420. 6.5. № 5. 20 ч. № 6. 15 дней. № 7. а) 30 ч; б) 12 ч. № 8. 12 ч. № 9. 15 ч. № 10. 5 ч. 6.6. № 18. 11 дней. № 23. 35 миль. 6.7. № 26. а) 17г; б) ^ и 1:2; в) 8 дней. № 27. 160' -Z_. № 34. а) -1 и 13; б) 1~2. № 35. 1-1 ч. 7 1 6.8. № 24. а) 1^; б) ^ кг масла и 1 кг сахарного песка. № 25. 1 ч 16 мин. № 29. 6 км/ч. 6.9. № 6. а) 8; б) 12. № 10. а) 7; б) 9; в) 8; г) 4; д) 7; е) 7; ж) 11. № 11. Да. 7.1. № 13. 6. № 21. На два - нет; на три - да. № 22. На два - нет; на три - нет; на четыре - да. 7.2. № 11. Да (по трём сторонам). № 12. Да (развёрнутый угол делится пополам). 7.3. № 14. Валя. № 20. 12. 7.4. № 18. ^. № 19. Указание: предварительно вычислите величины всех углов. № 21. 90°. 7.5. № 5. Прав. № 10. Не прав. 8.1. № 18. а) Уменьшится в 2 раза; б) в 4 раза. № 20. 20 м и 20 м (участок будет иметь форму квадрата). № 27. ^. № 28. 25 см2. 8.2. № 10. 150 см2. № 16. 31 дм. № 17. 70 см2; 54 см2; 64 см2 (основаниями могут быть разные грани). № 18. а) 7; б) 7. 8.3. № 8. а) Увеличится в n раз; б) Увеличится в nm раз; в) Увеличится в nmk раз. № 9. Увеличится в n3 раз. № 10. 10 км. № 13. 15. Указание: выразите размеры в дециметрах. 8.4. № 9. Вынутые шары разного цвета с вероятностью ^. № 10. 10; г3-; 5 . № 11. г3- 10 10 5 10 3 112 11 № 15. Вынутые шары разного цвета с вероятностью 5. № 16. А) 3; Б) ^ ; В) 3; Г) 3; Д) № 17. Вася не идёт в буфет с вероятностью 5. 8.5. № 5. 12. № 8. У начинающего. Е) 206 3 Содержание 3.8. Задачи на движение ...............................................................5 3.9. Углы. Измерение углов .......................................................... 16 3.10. Ломаные и многоугольники........................................................22 Глава IV. Таблицы и диаграммы 4.1. Чтение и составление таблиц......................................................28 4.2. Чтение и построение линейных и столбчатых диаграмм ..............................33 4.3. Опрос общественного мнения ......................................................36 4.4. Занимательные задачи ............................................................39 Исторические страницы ...........................................................44 Любителям математики ............................................................46 Жизненная задача ................................................................47 Итоговый тест ........................................................................48 РАЗДЕЛ III. ДРОБИ Входной тест .........................................................................49 Путеводитель по третьему разделу .....................................................50 Глава V. Дроби 5.1. Понятие дроби ...................................................................52 5.2. Нахождение части от целого и целого по его части ...............................56 5.3. Натуральные числа и дроби ...................................................... 59 5.4. Основное свойство дроби. Приведение дробей к общему знаменателю .................62 5.5. Сравнение дробей ................................................................71 Глава VI. Действия с дробями 6.1. Сложение дробей. Свойства сложения...............................................75 6.2. Вычитание дробей ............................................................... 79 6.3. Умножение дробей. Свойства умножения ........................................... 84 6.4. Деление дробей ..................................................................90 6.5. Задачи на совместную работу .................................................... 95 6.6. Понятие смешанной дроби .........................................................99 6.7. Сложение и вычитание смешанных дробей ..........................................106 6.8. Умножение и деление смешанных дробей ...........................................114 6.9. Занимательные задачи ...........................................................119 Исторические страницы ..........................................................123 Любителям математики ...........................................................126 Жизненная задача ...............................................................128 Итоговый тест .......................................................................129 РАЗДЕЛ IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Входной тест ........................................................................130 Путеводитель по четвёртому разделу ..................................................132 Глава VII. Геометрические фигуры на плоскости 7.1. Треугольники и их виды .........................................................134 7.2. Равенство геометрических фигур..................................................139 7.3. Окружность и круг ..............................................................143 7.4. Центральные углы и дуги ........................................................147 7.5. Круговые диаграммы .............................................................153 207 Г лава VIII. Площади и объёмы 8.1. Единицы измерения площадей. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника ..............................................160 8.2. Геометрические фигуры в пространстве.............................................169 8.3. Объём параллелепипеда. Единицы измерения объёма .................................175 8.4. Понятие о вероятности ...........................................................179 8.5. Занимательные задачи ............................................................185 Исторические страницы ...........................................................192 Любителям математики ............................................................194 Жизненная задача ................................................................196 Задания для повторения ...............................................................198 Проекты ..............................................................................204 Таблица простых чисел до 1 000 .......................................................205 Ответы ...............................................................................206 Козлова Светлана Александровна, Рубин Александр Григорьевич МАТЕМАТИКА 5 класс В 2 частях. Часть 2 Концепция оформления и художественное редактирование - Е.Д. Кова.левская Подписано в печать 28.05.15. Формат 84x108/16. Гарнитура Журнальная. Печать офсетная. Бумага офсетная. Объём 13 п.л. Тираж 3 000 экз. Заказ № Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная Издательство «Баласс» 109147 Москва, Марксистская ул., д. 5, стр. 1 Почтовый адрес: 111123 Москва, а/я 2, «Баласс» Телефоны для справок: (495) 368-70-54, 672-23-12, 672-23-34 https://www.school2100.ru E-mail: [email protected] Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство "Высшая школа”» 214020 Смоленск, ул. Смольянинова, 1