Математика 5 класс Учебник Козлова Рубин часть 1

Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» С.А. Козлова, А.Г. Рубин МАТЕМАТИКА 5 класс • Часть 1 Москва ъ/тос 2015 УДК 373.167.1:51 ББК 22.14я721 К59 Федеральный государственный образовательный стандарт Образовательная система «Школа 2100» шк' от А Совет координаторов предметных линий Образовательной системы «Школа 2100» -лауреат премии Правительства РФ в области образования за теоретическую разработку основ образовательной системы нового поколения и её практическую реализацию в учебниках На учебник получены положительные заключения по результатам научной экспертизы (заключение РАН от 14.10.2011 № 10106-5215/609), педагогической экспертизы (заключение РАН от 24.01.2014 № 000362) и общественной экспертизы (заключение НП «Лига образования» от 30.01.2014 № 169) Руководитель издательской программы — чл.-корр. РАО, доктор пед. наук, проф. Р.Н. Бунеев Козлова, С.А. К59 Математика. 5 кл. : учеб. для организаций, осуществляющих образовательную деятельность. В 2 ч. Ч. 1 / С.А. Козлова, А.Г. Рубин. — Изд. 2-е. — М. : Баласс, 2015. — 208 с. : ил. (Образовательная система «Школа 2100»). ISBN 978-5-85939-976-5 ISBN 978-5-85939-815-7 (ч. 1) Учебник «Математика» для 5 класса соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования. Является продолжением непрерывного курса математики и составной частью комплекта учебников развивающей Образовательной системы «Школа 2100». Учебник ориентирован на развитие мышления, творческих способностей ребёнка, его интереса к математике, функциональной грамотности, вычислительных навыков. В нём рассматриваются элементы стохастики и способы решения некоторых занимательных и нестандартных задач. Может использоваться как учебное пособие. УДК 373.167.1:51 ББК 22.14я721 Данный учебник в целом и никакая его часть не могут быть скопированы без разрешения владельца авторских прав ISBN 978-5-85939-976-5 ISBN 978-5-85939-815-7 (ч. 1) © Козлова С.А., Рубин А.Г., 2010, 2012 © ООО «Баласс», 2010, 2012 КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ Вы продолжаете изучать предмет «Математика». Учебник Образовательной системы «Школа 2100» поможет вам в развитии умений (действий), которые необходимы в жизни. Напоминаем, что эти умения или действия (они называются универсальными) развиваются через специальные задания, обозначенные в учебнике кружками и фоном условных знаков разного цвета. Каждый цвет соответствует определённой группе умений: организовывать свои действия: ставить цель, планировать работу, действовать по плану, оценивать результат; □ работать с информацией: самостоятельно находить, осмысливать и использовать её; общаться и взаимодействовать с другими людьми, владеть устной и письменной речью, понимать других, договариваться, сотрудничать. Так обозначены задания, где нужно применить разные группы умений, мы называем их жизненными задачами и проектами. □ □ е Зачем мы будем учиться? Изучая математику в 5-м классе, вы научитесь решать задачи с использованием четырёх арифметических действий, задачи на перебор возможных вариантов и логические задачи; вычислять простейшие вероятности и находить выигрышные стратегии в некоторых математических играх. Вы будете изучать натуральные числа и нуль, делители и кратные, освоите дробные числа, научитесь производить действия с ними, познакомитесь с новыми геометрическими понятиями. Это поможет вам стать увереннее в себе, добиться успехов при решении возникающих в жизни задач, так как при этом очень часто нужно иметь дело с числами и фигурами! Задания на развитие предметных умений обозначены в учебнике серым цветом. Как мы будем учиться? Для успешного изучения математики и овладения универсальными умениями на уроках открытия нового знания используется проблемный диалог (образовательная технология). Структура параграфа, где вводится новый материал, имеет в учебнике следующий вид. Вспоминаем то, что знаем 3 Так обозначены вопросы, задания и упражнения по изученному материалу, который необходим для открытия нового знания. Открываем новые знания Ученики, проводя наблюдения, ищут решение и формулируют свои предположения о том, как решается данная задача, формулируют ответы на поставленные в учебнике вопросы. Отвечаем, проверяем себя по тексту Ученики читают, анализируют текст учебника, сопоставляют его со своими предположениями, проверяют правильность своих ответов на вопросы и сделанных на их основании выводов. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности. Н П М Необходимый уровень. Эти задания должны уметь выполнять все учащиеся. Они помогут вам понять, усвоены ли основные понятия и факты, умеете ли вы применять их к решению стандартных задач. Повышенный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят углубить свои знания. Они требуют более глубокого усвоения учебного материала, для их решения, наряду с использованием уже известных вам приёмов и алгоритмов, может понадобиться создание собственных алгоритмов. Максимальный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые хотят научиться решать более сложные нестандартные задачи. Работа над ними может потребовать значительных усилий, изобретательности и настойчивости. При этом выполнение всех содержащихся в учебнике заданий ни на каком из уровней не является обязательным! Они выбираются в соответствии с возможностями и потребностями учащихся под руководством педагога. Структура параграфа, где повторяются и обобщаются знания, имеет в учебнике следующий вид. Повторяем, обобщаем знания Так обозначены вопросы, задания и тексты по изученному и обобщаемому материалу. Развиваем умения Так обозначены задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности. 4 ш Ориентироваться в учебнике вам помогут условные обозначения f^u\ Проблемный вопрос. Это нужно прочитать и использовать полученную информацию в дальнейшей работе. Работа в группе (паре). Упражнения для домашней работы. Задание с использованием информационных технологий. Самостоятельная исследовательская работа. Жизненные задачи и проекты Помимо обычных учебных заданий разного уровня сложности, в учебник включены жизненные задачи и проекты. Ими можно заниматься в свободное от уроков время в группах или индивидуально. Что такое жизненная задача? Жизненная задача - это модель реальной ситуации, для разрешения которой необходим набор математических знаний, к этому моменту вам уже в основном известных. При этом жизненная задача отличается от привычных всем школьных учебных задач. Это отличие прежде всего заключается в том, что для её решения вам может понадобиться дополнительная информация, которую придётся добывать самим, причём, какая именно информация нужна, вы должны решать сами и самостоятельно искать источники этой информации. В случае затруднений вы можете обратиться к старшим товарищам, учителю или другим взрослым. В условии жизненной задачи также могут содержаться избыточные данные. Ведь в жизни чаще всего так и бывает: когда пытаешься разобраться в ситуации и анализируешь, что тебе о ней известно, то далеко не вся эта информация пригодится, значительная её часть, как постепенно выясняется в ходе анализа, не имеет отношения к делу. Кроме того, для решения жизненной задачи будут необходимы знания не только из области математики, но и других изучаемых вами областей (как это и происходит в реальной жизни). Таким образом, систематическое решение жизненных задач даст вам возможность не только углубиться в математику, увидеть взаимосвязь математики и других областей знаний, но и совершенствоваться в умении самостоятельно работать с информацией. Жизненные задачи, как принято в учебниках Образовательной системы «Школа 2100», оформлены следующим образом. 5 СИТУАЦИЯ. Условия, в которых возникла проблема. ВАША РОЛЬ. Человек, в роли которого вы должны себя представить, решая проблему. ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Более подробная характеристика ситуации. ЗАДАНИЕ. Что нужно сделать или что нужно получить в итоге. Что такое проект? Это любое самостоятельное дело, которое предполагает: 1. Оригинальный замысел (цель). 2. Выполнение работы за определённый отрезок времени. 3. Конкретный результат, представленный в итоге (мероприятие, решение проблемы, результат самостоятельных исследований и др.). Проектная деятельность даст вам возможность научиться работать в команде, распределять роли таким образом, чтобы наиболее эффективно использовать сильные стороны каждого, участвовать в мозговых штурмах и других формах коллективной интеллектуальной деятельности, представлять результаты своего труда в форме доклада, презентации, инсценировки и т.д. Предполагается, что проекты будут выполняться в свободное от уроков время. Они не являются обязательными. Что вы будете изучать и чему учиться в этом учебном году Раздел I. Изучаются натуральные числа и нуль, действия с натуральными числами, решаются задачи на четыре арифметических действия, задачи на перебор вариантов и логические задачи. Раздел II. Изучаются делимость чисел, делители и кратные; чтение и составление таблиц, линейных и столбчатых диаграмм (моделей для анализа разнообразной информации). Раздел III. Изучаются дробные числа и действия с ними, решаются задачи на нахождение части от целого или целого по его части, а также другие задачи с дробными числами и ряд занимательных задач. Раздел IV. Изучаются геометрические фигуры, их признаки и свойства, нахождение площадей и объёмов некоторых из них. Рассматриваются примеры вычисления простейших вероятностей, а также нахождение выигрышных стратегий в математических играх. Каждый раздел соответствует одной учебной четверти. Особенности структуры учебника математики В начале каждого раздела вы будете планировать свою работу (намечать путь продвижения по материалам раздела), а затем в соответствии с этим планом получать необходимые вам новые знания и умения и в конце - оценивать свои достижения. При этом мы предлагаем вам на выбор три пути разного уровня сложности. Путь первого уровня состоит из входного теста, основных обучающих материалов и итогового теста. 6 Путь второго уровня состоит из входного теста, основных обучающих материалов, жизненной задачи и итогового теста. Путь третьего уровня состоит из входного теста, основных обучающих материалов, задач для любителей математики, жизненной задачи и итогового теста. Давайте разберём, что представляет собой каждый из этапов, входящих в перечисленные выше пути. Каждый путь включает входной тест, основные обучающие материалы и итоговый тест - это минимальный набор этапов. Этот набор входит в каждый из путей. При этом основные обучающие материалы каждого раздела разбиты на главы, а каждая глава - на параграфы. Каждый параграф обозначается двумя числами: число слева от точки - номер главы, а число справа от точки - номер параграфа в этой главе. В каждой главе рассматривается некоторая тема, а в каждом параграфе - отдельные вопросы этой темы. Входной тест позволяет вам определить, насколько вы готовы к работе с данным разделом (имеются ли у вас базовые знания, без которых невозможно продвижение по этому разделу). Итоговый тест позволяет вам определить, насколько вы овладели новым материалом, изложенным в этом разделе. Путь второго уровня является более сложным, так как, помимо минимального набора этапов, включает также жизненную задачу. Эти задачи можно решать в свободное от уроков время в группах или индивидуально. Путь третьего уровня является максимально сложным из предлагаемых, так как включает ещё один этап - «Любителям математики». Этот этап содержит задачи повышенной трудности, которые обычно предлагаются на олимпиадах, интеллектуальных марафонах, математических кружках. Для решения таких задач не нужны никакие дополнительные знания, нужны смекалка, умение найти нестандартную точку зрения на привычную ситуацию, обнаружить взаимосвязи между вещами, на первый взгляд никак между собой не связанными. Многие из этих задач очень сложные, и будьте готовы к тому, что они потребуют длительных размышлений и значительных усилий. Выбрав один из путей, вы должны пройти по всем входящим в него этапам. Таким образом, ваш класс разобьётся на группы (от одной до трёх), и каждый из вас получит возможность сотрудничества внутри группы, предполагающего взаимопомощь, поддержку и совместные интеллектуальные усилия. Но в то же время у вас имеется дополнительная возможность погружения в предмет, если вы выберете работу с проектами, с историческими страницами или тем и другим. О проектной деятельности уже сказано выше, а что касается исторических страниц, то они написаны для тех, кто хочет больше узнать, как люди учились решать всё более и более сложные математические задачи, как формировались с течением времени изучаемые вами понятия. В начале каждого раздела мы поместили путеводитель, чтобы вы ясно видели все возможные пути движения и выбрали свой. Путеводитель к первому разделу находится на страницах 8-9 этой части учебника. 7 Путеводитель по первому разделу ГЛАВА I Натуральные числа и нуль Путь 1: а) входной тест; б) главы; в) итоговый тест. Путь 2: а) входной тест; б) главы; в) жизненная задача; г) итоговый тест. 8 Проекты Исторические страницы t Путь 3: а) входной тест; б) главы; в) задачи для любителей математики; г) жизненная задача; д) итоговый тест. 9 уРАЗделI ЧИСЛА Входной тест [~^ Найдите запись числа 23 004 тыс. Ответы: а) 2 300 400; б) 23 004 000; в) 230 040. [~^ Выберите истинное высказывание. а) 1 км = 1 000 000 мм; б) 1 км = 100 000 мм; 1 очко в) 1 км = 1 000 мм. [3\ Расшифруйте слово. © 4 500 : 900 @ 2 400 - 800 1 очко @ 160 4 @ 1811 © 130 : 5 @ 120^8 © 600 3 @ 1 219 - 419 @600:25 ® 1 210 - 905 ® 350:50 © 250:25 © 800 + 300 1 800 305 26 7 1 100 640 960 10 1 буква - 1 очко [4\ Дано уравнение: х : 600 = 600. Выберите истинное высказывание. а) корень уравнения - число 1; б) корень уравнения - число 360 000; в) корень уравнения - число 1 200. [~5| Сколько на чертеже отрезков с концами в отмеченных точках? B CD 2 очка A ф— Ответы: а) три; б) четыре; в) шесть. 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали хотя бы 10 очков. Если вы не смогли выполнить все задания теста или набрали меньше очков, чем вам хотелось бы, не огорчайтесь. Переходите на следующие страницы нашего учебника, и вы научитесь решать те задачи, которые пока не решили. 10 ГЛАВА I НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ 1.1 Плоскость, прямая линия, луч, отрезок Повторяем, обобщаем знания Как вы себе представляете плоскость? Какие объекты реальной жизни могут служить моделью части плоскости? Плоскость можно представлять себе в виде очень тонкой, туго натянутой ткани. Плоскость бесконечна. В реальной жизни моделью части плоскости может служить лист бумаги. © В качестве модели части плоскости мы назвали лист бумаги. Какие другие примеры вы можете привести? 11 W| V ' вы себе Предст Как работать с учебником зедставляете прямую линию? ’С» Какие объекты реальной жизни могут служить моделью части прямой? Понятие прямой линии Прямую линию можно представлять себе в виде очень тонкой, туго натянутой нити. Прямая линия бесконечна. Моделью части прямой может служить также линия, по которой граничат две соседние стены в комнате. С* В качестве модели прямой линии мы назвали туго натянутую нить. Какие другие примеры вы можете привести? Как провести прямую линию? V Сколько прямых можно провести через одну точку? О Сколько прямых можно провести через две точки? V Как можно обозначать прямую линию? Обозначение прямой линии Прямую линию проводят с помощью линейки. Через одну точку можно провести бесконечное число прямых линий. Через произвольные две точки можно провести только одну прямую линию. Называют прямую по любым двум принадлежащим ей точкам. Точки обозначают прописными (большими) латинскими буквами. D C прямая DC прямая CD прямая s Прямую можно обозначить и одной строчной (маленькой) латинской буквой. 12 s ^ Отметьте в тетради точку А - вершину какой-нибудь клеточки, отступите от неё три клеточки вправо, отметьте точку В, отступите от точки В три клеточки вверх и отметьте точку С. Проведите через каждые две точки прямую линию. Сколько прямых у вас получилось? Как они обозначаются? V На сколько частей разбивает прямую линию поставленная на ней точка? O V Как называются эти части прямой? О Как обозначают такие геометрические фигуры? Точка О, лежащая на прямой, разбивает её на две части. Каждую из этих частей называют лучом. Точку О называют началом луча. Принято считать, что начало луча принадлежит лучу. Луч обозначают двумя заглавными буквами. При этом на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором - буква, обозначающая любую другую точку, принадлежащую этому лучу. луч ОА V Отметьте в тетради две точки А и В. Проведите через них прямую линию. Сколько лучей у вас получилось? d Как называется часть прямой, лежащая между двумя точками? А B 13 к0б0значаюк aift^yafeceioiMe Tpy4eciHUfK^Mrypy? Отрезок Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. Точки А и В — концы отрезка. Принято считать, что концы отрезка принадлежат отрезку. Отрезок с концами А и В обозначают АВ или ВА. B A отрезок АВ отрезок ВА • Отметьте в тетради две точки А и В. Проведите через них прямую линию. Сколько отрезков у вас получилось? Развиваем умения Материалы для работы в классе. Проверьте себя. Н • Назовите фигуры, которые вы видите на рисунках. а) M N б) M N в) M N г) M • P • N • [~Y] Отметьте в тетради какие-нибудь две точки, обозначьте их и проведите через них прямую. Дайте несколько названий этой прямой, не обозначая на ней новых точек. Назовите лучи и отрезки, которые уже обозначены на этой прямой. [~^ Проведите прямую и отметьте на ней точки А, В, С так, чтобы: а) точка А не принадлежала лучу ВС; б) точка А принадлежала лучу ВС; в) точка В принадлежала лучу АС; г) точка В не принадлежала лучу АС. 14 [~Г] Скопируйте по клеточкам точки, изображённые на чертеже. Проведите через эти точки наибольшее возможное число прямых линий. A D C B J_____I_L [~^ Рассмотрите рисунок. Найдите и прочитайте вслух истинные высказывания: A B D C M f а) точка В принадлежит прямой f; б) точка М принадлежит прямой f; в) точка К принадлежит прямой f; г) точка В лежит на луче AD; д) точки А и С лежат на одном и том же луче с началом в точке В. [~6] Проверьте, пересекаются ли а) прямая АВ и прямая CD; б) прямая АВ и луч DC; B в) прямая АВ и луч CD; г) отрезки АВ и CD. K A Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Начертите отрезок АВ. Отметьте точку К, не принадлежащую прямой АВ. Проведите через точку К прямую, пересекающую прямую АВ, но не пересекающую отрезок АВ. П Вариант II. Начертите отрезок АВ. Отметьте точку К, не принадлежащую прямой АВ. Проведите отрезок, пересекающий отрезок АВ, одним из концов которого является точка К. 15 Тренйр' овочны! j уКра&.Ва!1Нй^ть с учебником Н ГУ] Постройте в тетради отрезок АЕ, равный по длине отрезку ВС. Постройте ещё несколько отрезков такой же длины, началом которых является точка А. B C 5 см 5 мм 8 Скопируйте чертёж в тетрадь. Запишите обозначения полученных отрезков. П ГУ| Отметьте в тетради точку А, поместив её в вершину клеточки. Постройте: а) точку В, отсчитав от точки А четыре клеточки вправо и две клеточки вверх; б) точку С, отсчитав от точки А четыре клеточки вправо и три клеточки вниз; в) точку О, отсчитав от точки В шесть клеточек влево и одну клеточку вниз. Соедините все полученные точки отрезками и запишите их обозначения. 10 Скопируйте чертёж в тетрадь. Запишите обозначения полученных отрезков. 11 Скопируйте чертёж в тетрадь. Начертите отрезок АВ так, чтобы он а) пересекал одну прямую; б) пересекал обе прямые; в) не пересекал ни одну из прямых. 16 М 12 13 Начертите две пересекающиеся прямые. Начертите отрезок АВ так, чтобы он пересекал а) только одну из двух прямых; б) обе прямые. Какие из этих фигур можно совместить с фигурой внизу? (Фигуры можно двигать по листу, но нельзя переворачивать обратной стороной.) д) Ш Н 14 Скопируйте в тетрадь отрезки АВ и СД, изображённые на чертеже. Найдите с помощью линейки точку пересечения прямых, на которых лежат данные отрезки. 15 мой, а третья точка — нет. Обозначьте точки буквами. Запишите название прямой. 17 14йве пРямЫе nfefaKcea^TCflr ^ (О-учеб ничкомя сколько лучей с началом в этой точке ^^они образуют? I 17 На прямой отметили три различные точки. Сколько образовалось отрезков с концами в этих точках? т Н 18 19 На прямой отметили четыре различные точки. Сколько образовалось отрезков с концами в этих точках? Перенесите чертёж в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых. Назовите все отрезки этих прямых с концами в этих точках. Сколько отрезков получилось? 20 Как разрезать торт тремя прямолинейными разрезами на семь частей так, чтобы на каждой части была розочка? 21 Можно ли двумя ударами кузнечного топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая части после первого удара? 18 1.^ Длина отрезка. Единицы измерения длины Повторяем, обобщаем знания Как можно сравнивать длины отрезков? Что такое единичный отрезок? Как измеряют длину отрезка? Длины отрезков можно сравнивать. Один из способов сравнения - наложить один отрезок на другой с помощью циркуля. Сравнение Вы видите, что отрезок CD длиннее отрезка АВ. Однако не всегда возможно применить такой способ. Представьте, например, что вам нужно сравнить по длине две парковые аллеи. Каким должен быть размер циркуля и рост того, кто будет пользоваться этим циркулем? 19 Единичный отрезок Существует другой способ сравнения: отрезки измеряются одной и той же меркой, а затем сравниваются полученные числа. A m мерка B m m m m D m m m m m m В отрезке АВ мерка уложилась 4 раза. В отрезке CD - 6 раз. 4 < 6, значит, отрезок АВ короче отрезка CD. Обычно при измерении длин отрезков используют единичные отрезки. Единичный отрезок — это любой произвольно выбранный отрезок, длину которого принимают за единицу. В нашей стране и во многих других странах мира единичным отрезком, принятым за основную единицу измерения, является метр. О Сравните длины данных отрезков с помощью циркуля. Какой из них длиннее? A B C D Измерьте длину отрезка АВ с помощью данных единичных отрезков е и а. Расскажите, как зависит полученное при измерении число от длины единичного отрезка. A I— B н Ч h €» Сравните длины данных отрезков с помощью единичного отрезка е. A B C D 20 е a i Десятичная система мер Многие другие единицы измерения длины связаны с метром. Эта связь выражается в их названии с помощью приставок к слову «метр». 7 Приставка Во сколько раз увеличивается Приставка Во сколько раз уменьшается кило-(метр) • 1 000 деци-(метр) : 10 санти-(метр) : 100 милли-(метр) : 1 000 Метрическая система единиц, или десятичная система мер: 1 м ■ 1 1 дм 1 000 1 км или 1 км = 1 000 м; 10 1 м или 1 м = 10 дм; 1 см =-----м или 1 м = 100 см; 100 1 мм 1 1 000 м или 1 м = 1 000 мм. Связь между единицами длины можно изобразить в виде такого схематического рисунка: 1 000 000 1 км 1 мм 1 000 1 000 Для измерения длин отрезков пользуются линейкой. На линейку наносится шкала из единичных отрезков — сантиметров и миллиметров. Начало отрезка совмещается с началом шкалы и определяется отметка, с которой совпадает конец отрезка. A чв Так, например, длина отрезка АВ равна 5 см 4 мм. 21 V Назовите единицы измерения длины, которые может применить человек, пользуясь только возможностями собственного тела. О Назовите основную единицу длины, принятую в десятичной системе мер. V В каких единицах удобно измерять: а) расстояние между домами на одной улице? б) расстояние между населёнными пунктами? в) длину письменного стола? г) толщину листа фанеры? V Представьте себе, что за основную единицу измерения длины приняли отрезок, длина которого выражается так: 1 дан. Расскажите, сколько данов содержится в: 1 килодане; 1 децидане; 1 миллидане; 1 сантидане. Развиваем умения Н [~^ Сравните длины отрезков на рисунке любым известным вам способом. Назовите отрезки в порядке возрастания их длин. ГГ] Измерьте отрезки на рисунке с помощью указанного единичного отрезка, назы- ваемого дюймом. A B дюйм На сколько дюймов отрезок CD длиннее отрезка АВ? 22 [~3] Постройте: а) в тетради — отрезки длиной 4 см 2 мм, 7 см; б) на классной доске или на большом листе бумаги — отрезки длиной 18 см, 2 дм, 1 м. [~Т] Начертите прямую, отметьте на ней точки А и В так, чтобы выполнялось равенство АВ = 5 см. Отметьте на этой прямой: а) точку С так, чтобы выполнялось равенство АС = СВ; б) точку D так, чтобы выполнялись равенства AD = 4 см, BD = 1 см. [~^ Заполните пропуски: а) 3 000 м = ... км; б) 500 см = ... м; в) 2 км 300 м = ... м; г) 45 см = ... дм ... см; д) 32 мм = ... см ... мм; е) 137 см = ... м ... дм ... см. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) С помощью линейки постройте отрезок, длина которого равна: - сумме длин отрезков, изображённых на рисунке; - разности длин этих отрезков. б) Выберите и запишите истинные высказывания: 2 м 30 см = 23 дм; 2 м 30 см = 2 300 см; 2 м 30 см = 230 мм. П Вариант II. а) С помощью линейки постройте отрезок, длина которого: - больше длины изображённого на рисунке отрезка АВ на 14 мм; — меньше длины отрезка АВ на 14 мм. A h- B —I б) Найдите ложные высказывания и замените их на истинные, заменив знак равенства на нужный знак (> или <): 140 см = 1 м 40 дм; 140 см = 14 дм; 140 см = 14 000 мм. 23 Тренировочные упражнения. Н [~^ Постройте отрезки длиной 4 см, 3 см 7 мм, 28 мм. [~У| На прямой даны точки А, В, С, причём АВ = 4 см, АС = 6 см. Найдите длину отрезка ВС, если: а) точки В и С лежат по одну сторону от точки А; б) точки В и С лежат по разные стороны от точки А. На прямой даны точки А, В, С, причём АВ = 7 см, АС = 8 см. Найдите длину отрезка ВС. (Найдите все решения.) Щ Выразите а) сантиметрах: 12 дм, 3 м 4 см, 1 м 90 см, 150 мм; б) в дециметрах: 3 м, 15 м, 1 м 4 дм, 80 см, 430 см; в) в миллиметрах: 6 см, 15 см, 4 см 7 мм, 10 дм; г) в метрах: 6 000 мм, 100 см, 50 дм, 4 км, 5 км 320 м; д) в километрах: 3 000 м, 100 000 см. П 10 Отрезок АВ измерили единичным отрезком е и получили, что АВ = 12е. Выразите длину единичного отрезка а в единичных отрезках е, если АВ АВ = 2а. = 3а; 11 Представьте, что 1 см в тетради изображает 100 м расстояния на местности. (Так изображают расстояния на карте масштабом 1 : 10 000.) Начертите в тетради отрезок, который изображает 200 м расстояния, 50 м, 150 м. М 12 Представьте, что у вас есть линейка только с тремя метками. 0 2 Как с помощью одной этой линейки построить отрезки длиной 4, 1,8? 24 5 ш Н 13 Используя циркуль, постройте в тетради ещё несколько отрезков, равных отрезку АВ. 3 14 Постройте несколько различных четырёхзвенных ломаных, длина каждой из которых равна 17 см. Звенья каждой ломаной должны иметь разную длину. Ш П 15 Значение какой длины из перечисленных ниже может выражаться ста пятьюдесятью сантиметрами (ответ может быть не один): а) расстояние между городами; б) длина коридора; в) рост человека; г) высота стола. Ш 16 М Измерьте длину кривой, изображённой на рисунке. 25 1.3 Натуральные числа и нуль. Запись и чтение чисел Повторяем, обобщаем знания ^ Какие числа называют натуральными? Как древние люди обозначали такие числа? С давних времён людям надо было знать, сколько собрано мешков зерна, сколько животных в стаде, сколько соткано кусков полотна. Числа, которые используют при счёте предметов, называют натуральными. В древности их обозначали с помощью камешков, зарубок на дереве, узелков на верёвке (например, сколько животных в стаде, столько и камешков или зарубок). ^ Обозначьте число рабочих столов в вашем классе по аналогии с тем, как это делали древние люди. Сколько знаков у вас получилось? 26 • Как вы думаете, почему от обозначения числа предметов камешками, зарубками, чёрточками на глиняных табличках люди перешли к другим способам записи? О Как называются цифры, используемые в системе записи, которой вы пользуетесь чаще всего? • Сколько всего таких цифр? Арабские цифры Десятичная система счисления Обозначать каждый предмет одним и тем же знаком удобно, когда количество предметов не очень большое. Если предметов много, трудно для их счёта использовать зарубки, узелки, камешки. Несколько тысячелетий назад люди догадались, что можно обозначать знаком не один предмет, а сразу несколько. Эти знаки были разными в разные времена и в разных странах, пока наконец почти повсеместно не получил распространение известный вам набор знаков. Для записи чисел используются десять цифр, которые мы называем арабскими. Поэтому наша система счисления называется десятичной. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 7 С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число. Отсутствие предметов для счёта условились обозначать числом нуль. Нуль не считают натуральным числом. Запишите число рабочих столов в вашем классе с помощью арабских цифр. Сколько знаков у вас получилось? Запишите число крокодилов в живом уголке вашей школы. От чего зависит значение цифры в записи числа? Что обозначает в записи числа цифра 0? Как прочитать число, записанное в десятичной системе? 27 Десятичная система счисления является позиционной: в ней значение цифры зависит от того, в каком разряде она находится и к какому классу относится этот разряд. Таким образом, имеет значение не только цифра, но и её место среди других цифр. Класс тысяч Позиционная система записи Разряд i сотен тысяч г Разряд десятков тысяч Разряд единиц тысяч Класс единиц Разряд сотен Разряд десятков Разряд единиц 2 4 Цифра 0 показывает отсутствие единиц в разряде. Наличие в записи числа этой цифры позволяет нам различать, например, такие числа, как 4 052 и 452. Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его разбивают на классы по три цифры в каждом, начиная справа. Самый левый класс может содержать три, две или одну цифру. Класс миллиардов Класс миллионов 045 Класс тысяч 127 Класс единиц 608 Читают число слева направо: 15 миллиардов 45 миллионов 127 тысяч 608. Любое многозначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 888 888 = 800 000 + 80 000 + 8 000 + 800 + + 80 + 8. 28 Прочитайте число 108 567 002 300. Запишите это число в виде суммы разрядных слагаемых. Сколько слагаемых у вас получилось? Назовите цифры, которые могут стоять в высшем разряде записи числа. Сколько цифр может стоять в высшем классе записи числа? Как для данного числа найти следующее число? Предыдущее? Как образован ряд натуральных чисел? Можно ли записать весь ряд натуральных чисел? Каждое натуральное число, начиная с числа 2, получается из предыдущего прибавлением единицы: 2 = 1 + 1; 63 = 62 + 1; 1 000 = 999 + 1 Число 1 не имеет предыдущего, это первое число в натуральном ряду. Каждое натуральное число получается из следующего вычитанием единицы: 1 = 2 - 1; 62 = 63 - 1; 999 = 1 000 - 1. Это верно для всех натуральных чисел, потому что за каждым натуральным числом идёт следующее. Натуральный ряд Натуральные числа, расположенные в порядке их следования, образуют натуральный ряд, или ряд натуральных чисел. Его можно продолжать до бесконечности, поэтому при записи бесконечного ряда натуральных чисел выписывают подряд несколько первых чисел, после которых ставят многоточие: 1,2, 3, 4, ... • Как принято записывать натуральный ряд? €> Назовите первое число в натуральном ряду. • Назовите последнее число в натуральном ряду. • Для числа 1 назовите предыдущее натуральное число. • Запишите число, следующее за числом 34 529 600 003 941. 29 о Какие знаки использовали для записи чисел древние римляне? €» Какие правила они использовали при записи чисел? Для записи чисел древние римляне использовали буквы I, V, X, L, C, D, M, которые, по сути, являлись римскими цифрами: I — один; V — пять; X — десять; L — пятьдесят; C — сто; D — пятьсот; M — тысяча. С помощью этих знаков (римских цифр) можно записать разные числа. Цифры I, X, C, M могут повторяться, но не более трёх раз подряд. Имеет значение, как в записи числа цифры расположены друг относительно друга. Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, а если меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей. При этом меньшей цифрой, стоящей перед большей, не может быть V, L и D, а может быть: I перед V и X; X перед L и C; C перед D и M. Например, единицы записываются следующим образом: I - 1, II - 2, III - 3, IV - 4, V - 5, VI - 6, VII - 7, VIII - 8, IX - 9. Десятки записываются аналогично, лишь с заменой I на X, V на L и X на C: X - 10, XX - 20, XXX - 30, XL - 40, L - 50, LX - 60, LXX - 70, LXXX - 80, X - 90. Сотни записываются аналогично десяткам, лишь с заменой X на С, L на D и C на M: C - 100, CC - 200, CCC - 300, CD - 400, D - 500, DC - 600, DCC - 700, DCCC - 800, CM - 900. Для правильной записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков, затем единиц. Например, XLVII - 47, DCLXXIV - 674, MMCCCXLIX - 2349. Иногда используется сокращённый способ записи. При этом способе слева от большей цифры допустимо писать любую меньшую (а не только те, которые были перечислены выше). Например, число 999 вместо правильного CMXCIX записывают как IM; число 950 вместо правильного CML записывают как LM и т.д. О Запишите и прочитайте несколько чисел, которые можно записать с помощью римских цифр: а) I и V; б) Х и V. О Какие числа и в каких ситуациях в наше время принято записывать римскими цифрами? Развиваем умения У Н Расскажите, что означает цифра 7 в записи каждого числа. Сколько в каждом числе классов и разрядов? а) 17; б) 71; в) 701; г) 700 007; д) 701 007 170. 30 [~2] Прочитайте числа: а) 315 467; б) 320 007; в) 320 001 459. [~3] Запишите числа и представьте их в виде суммы разрядных слагаемых: а) сто двадцать три тысячи четыреста пятьдесят шесть; б) сорок тысяч сто пятнадцать; в) семь тысяч двадцать восемь; г) восемьдесят тысяч пятьдесят. [~^ Запишите число, в котором: а) 2 десятка тысяч, 1 единица тысяч, 4 сотни, 3 десятка; б) 3 миллиона, 1 сотня тысяч, 7 сотен, 8 единиц. [~^ Запишите и прочитайте три числа, следующих за числом 409 999. Н Дано число 20 100. Запишите и прочитайте три предыдущих числа. [~У| Запишите числа, представленные в виде суммы разрядных слагаемых, и прочитай- те их: а) 8 000 + 500 + 30 + 6; г) б) 600 + 5; д) в) 20 000 + 100 + 40; е) • Расскажите, сколько: а) десятков в сотне; в) б) сотен в тысяче; г) 31 8 [~^ Выразите в указанных единицах: а) 120 000 = ^ тыс.; 120 000 = ^ сот.; 120 000 = ^ дес.; б) 20 м = см; 1 200 см = м; 4 км = дм; 50 000 дм = ^ м. 10 Запишите римскими цифрами год своего рождения. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Запишите число, в котором: - 2 десятка тысяч 3 десятка 5 единиц; — 3 миллиона 7 тысяч 2 сотни. б) Продолжите каждый ряд на три числа: 995, 996, 997, 998, _; 10 005, 10 004, 10 003, 10 002, _ . в) Представьте числа в виде суммы разрядных слагаемых: 756; 1 365. г) Выразите в указанных единицах измерения: 3 м 54 дм = ^ дм; 120 см = ^ дм. П Вариант II. а) Выразите в указанных единицах: 128 000 = ^ тыс.; 12 000 000 = ^ млн; 12 003 000 = ^ дес. б) Запишите число, следующее за числом 9 999. в) Запишите число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 2 000 + 70 + 3. г) Выразите в указанных единицах измерения: 12 м = см; 3 400 см = дм. Тренировочные упражнения. Н 11 Прочитайте заданное число. Составьте другое число, пользуясь всеми теми же цифрами (в новом числе должно быть столько же знаков, как и в исходном). Прочитайте полученное число и объясните значение каждой цифры в его записи. Запишите любое из полученных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. а) 2 316; б) 13 007; в) 1 030 240. 32 12 Запишите и прочитайте: а) наибольшее шестизначное число; б) наименьшее семизначное число. 13 14 Запишите и прочитайте число: а) следующее за числом 9 999; б) предшествующее числу 100 000. Запишите цифрами число: а) 100 тыс.; б) 4 млн; в) 5 сот.; г) 12 сот.; д) 14 дес.; е) 12 200 тыс. 15 Выразите в метрах: а) 3 км; б) 400 км; в) 10 400 см; г) 12 000 мм; д) 42 000 000 дм; е) 50 дм. П 16 Запишите все возможные трёхзначные числа, в записи которых есть только цифры 1,2, 3. Цифры в записи числа не должны повторяться. М 17 Запишите все возможные трёхзначные числа, в записи которых есть только цифры 1,2, 3. Цифры в записи числа могут повторяться. Ш Н 18 Запишите числа: сто тысяч, миллион, десять тысяч, сто миллионов, десять миллионов, миллиард, десять миллиардов, сто миллиардов. 19 Запишите наименьшее и наибольшее число: а) однозначное; б) двузначное; в) трёхзначное; г) семизначное. 20 Запишите число, состоящее из: а) 2 тысяч, 1 сотни, 4 десятков и 2 единиц; б) 5 десятков тысяч, 3 тысяч, 4 сотен и 8 единиц; в) 7 сотен и 6 десятков; г) 7 десятков тысяч и 6 единиц. 33 21 Выразите а) в сантиметрах: 5 дм 3 см, 7 м, 6 м 8 дм 7 см, 4 км, 340 мм; б) в миллиметрах: 3 см 9 мм, 2 дм 5 см 7 мм, 9 м 12 см, 8 дм 3 мм; в) в метрах: 4 км 700 м, 1 км 4 м, 280 дм, 35 000 см. т П 22 Придумайте правило, по которому можно продолжить ряд чисел: 10, 200, 3 000, 40 000^ . Запишите три следующих числа. Разбейте каждое из этих чисел на классы. Ш М 23 Египтяне обозначали единицу знаком | , десяток знаком о , сотню знаком ^, Г , десяток тысяч - Г?. сто тысяч - миллион — ^vz . тысячу знаком S , сто тысяч - а , миллион ■ Чтобы записать какое-нибудь число, египетский писец повторял знак единиц столько раз, сколько в этом числе единиц, знак десятков столько раз, сколько в этом числе десятков и т.д. Прочитайте и запишите арабскими цифрами число, записанное египетским писцом за 3 тысячи лет до нашей эры. 34 1.4 Единичный отрезок, координаты, числовой луч Повторяем, обобщаем знания Какие отрезки мы называем единичными? Как выбирают единичный отрезок? Как с помощью единичного отрезка построить отрезок заданной длины? Числа можно изображать с помощью точек на прямой. Предположим, точка О на рисунке изображает число 0. Возьмём отрезок единичной длины (по-другому, единичный отрезок) и отложим его от точки О вправо. Получим отрезок ОЕ. При этом точке Е будет соответствовать число 1. Единичный отрезок можно выбирать произвольно. Единичный отрезок 35 Чтобы построить точки, соответствующие натуральным числам от единицы до данного числа, надо сначала отложить от точки, которая изображает число 1, один единичный отрезок. Получим точку, изображающую число 2. Отложив от этой точки ещё один единичный отрезок, получим точку, изображающую число 3. Так, шаг за шагом, можно построить точки, изображающие любое натуральное число от единицы до данного числа. Построение точек изображающих натуральные числа E А B C 1 2 3 4 о Как можно назвать луч, на котором с помощью точек изображены числа? О Как изобразить на числовом луче данное натуральное число? €» Что такое координата точки на луче? Числовой луч Луч, начало которого соответствует числу 0 и на котором выбран единичный отрезок, называется числовым лучом. Для изображения натурального числа на числовом луче нужно отложить от начала луча отрезок, длина которого равна этому числу. O А B C D E 0 1 2 3 4 5 Числа, отмеченные на числовом луче, называются координатами точек. Например, точка А имеет координату, равную 1, а точка Е - координату, равную 5. Записывают это так: А(1), Е(5). На числовом луче направление задаётся стрелкой. При движении в этом направлении по числовому лучу координаты точек увеличиваются. Мы будем, за исключением особо оговорённых случаев, изображать числовой луч горизонтальным, а направление брать слева направо. 36 Развиваем умения Н Q • Продолжите предложения. — Единичный отрезок — это ... — Числовой луч — это ... — Координата точки - это ... - Точку N, координата которой равна 100, записыва- ют так: ... [~2] Назовите числа, отмеченные на числовом луче зелёными точками. B C A 0 1 [~3] Запишите координаты точек А и К, отмеченных на числовом луче. A K 0 1 ^ Начертите луч с началом в точке О. За единичный отрезок на этом луче возьмите одну клеточку. Отметьте точки: А(4), D(6). ^ Начертите луч с началом в точке О. За единичный отрезок на этом луче возьмите три клеточки. Отметьте точки: А(4), D(6). И 0 [~6~| Начертите луч с началом в точке О. Отложите вправо от этой точки четыре клеточки, поставьте точку и подпишите под ней число 1. Отметьте на этом луче числа 3 и 5. [~У| Начертите луч с началом в точке О. Отложите вправо от этой точки четыре клеточки, поставьте точку и подпишите под ней число 8. Отметьте на этом луче числа 16 и 2. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Начертите луч с началом в точке О, возьмите единичный отрезок длиной 1 см и отметьте на числовом луче точки F(8) и Я(2). Во сколько раз отрезок OF длиннее отрезка OH? б) Сколько точек, координаты которых являются натуральными числами, лежит на числовом луче между точками Р(10) и Т(6)? 37 П Вариант II. а) Начертите луч с началом в точке О, самостоятельно выберите единичный отрезок и отметьте на числовом луче точки Р(6) и Q(2). Какую координату имеет середина отрезка PQ? б) Сколько точек, координаты которых являются натуральными числами, находится на числовом луче ближе к точке M(3), чем к точке N(9)? При необходимости сделайте чертёж. Тренировочные упражнения. Н На числовом луче отмечены точки, координаты которых являются натуральными числами, причём эти точки расположены: а) слева от точки с координатой 5; б) слева от точки с координатой 5 и справа от точки с координатой 2. Запишите координаты этих точек. ГГ] Начертите числовой луч. Отступите от его начала на 3 клетки и отметьте точку с координатой 3. Отметьте на этом же луче точки с координатами 1 и 6. П 10 Сделайте в тетради такой же чертёж и обозначьте координаты отмеченных точек. K A 0 1 0 4 0 11 Сделайте в тетради такой же чертёж и обозначьте координаты отмеченных точек. A K M 0 10 10 2: i0 12 На числовом луче отмечены точки А и B. Как вы думаете, какая из точек обозначает меньшее число, а какая — большее? Обоснуйте свой ответ. A B -Ф- 100 38 8 0 М 13 На числовом луче отмечены числа а и с. Сравните эти числа, запишите результат с помощью знака сравнения. 14 Назовите координаты точки на числовом луче, которая удалена от точки А(100) на 2 единицы. Обоснуйте свой ответ с помощью рисунка. Ш Н 15 Начертите числовой луч и отметьте на нём точки D(2), £(1), 0(0), A(6). Единичный отрезок равен 1 см. 16 17 Начертите числовой луч и отметьте на нём точки D(10), £(5), 0(0). Единичный отрезок равен 2 мм. Выберите единичный отрезок и отметьте на числовом луче точки, координаты которых 12, 17, 20. Ш П 18 Запишите число, которое соответствует точке В. B 49 19 Запишите число, которое соответствует точке С. C -К 49 ш М 20 Точки А и B имеют натуральные координаты и равноудалены от точки K(7). Определите координаты точек А и B. Найдите все решения. Обоснуйте свой ответ с помощью рисунка. 39 0 a c 5 5 и Сравнение чисел Повторяем, обобщаем знания О Как узнать, какое из двух различных натуральных чисел больше, а какое — меньше? tf Можно ли сравнивать числа с помощью числового луча? Как? t# Какое число меньше любого натурального числа? • С помощью каких знаков записывают результаты сравнения? V Как называется запись, в которой сравниваются числа? Если взять два любых различных натуральных числа, то одно из них будет больше, а другое - меньше. Больше будет то число, которое при счёте появляется позже. Например, число десять больше числа девять. Из сказанного можно сделать вывод: если числа отметить на числовом луче, то все числа, расположенные слева от какого-либо числа, будут меньше него, а все числа, расположенные справа, - больше. 15 20 Число 0 меньше любого натурального числа. Результат сравнения двух чисел записывают с помощью знаков > (больше) и < (меньше). 15 > 5 15 < 20 Такие записи называют неравенствами. 40 0 5 Как можно сравнивать многозначные числа? Сравнение многозначных чисел Многозначные числа можно сравнивать по разрядам. При этом сравнение происходит по следующему плану: а) Сравниваем число разрядов (знаков в записи каждого из чисел). Больше то число, в записи которого знаков больше. Например: 80 040 > 8 040. Число 80 040 больше, так как в его записи 5 знаков, а в записи числа 8 040 - 4 знака. б) Если в записи чисел оказалось одинаковое число знаков, то сравниваем числа в каждом разряде. Сравнение начинаем со старшего разряда. Например: сравнивая числа 80 040 и 90 040, видим, что число знаков в их записи одинаковое. Сравниваем числа старшего разряда (разряда десятков тысяч). Больше будет число 90 040, так как в нём 9 десятков тысяч, это больше, чем у числа 80 040, у которого 8 десятков тысяч. Итак, 80 040 < 90 040. Развиваем умения Н П<~| • Продолжите предложения. - Числа можно сравнивать с помощью числового луча. Для этого ... - Если число находится на числовом луче справа от данного, то ... - Если число находится на числовом луче слева от данного, то ... — Многозначные числа сравнивают так: ... — Наименьшее из чисел, с которыми мы сейчас работаем, — это ... — Для записи результатов сравнения используют ... [~2] Запишите неравенства: а) a меньше b; б) d больше с. [~3] Какое из чисел меньше: а) шестизначное или четырёхзначное; б) двенадцатизначное или десятизначное? 41 [~^ Пользуясь алгоритмом сравнения многозначных чисел на с. 35, сравните числа, поставив вместо нужный знак (>, <, =): а) 60 * 6 б) 6 766 * 6 566 в) 402 * 4 002 г) 857 * 857 д) 6 090 * 6 900 е) 8 507 * 8 570 (Г Алгоритм сравнения многозначных чисел * Для краткости в математике часто говорят: «сложите цифры», «сравните цифры» и т.д., имея в виду однозначные числа, которые этими цифрами записаны. 42 [~^ Запишите в тетрадь истинные высказывания (верные неравенства): а) 124 > 121; б) 12 099 < 12 098; в) 1 000 000 > 1 000 000. [~6~| Найдите ложные высказывания (неверные неравенства). Исправьте их на истинные, изменив знак неравенства, и запишите: а) 1 000 < 100; б) 377 511 > 377 411; в) 12 568 < 13 569. [~У| Запишите утверждения в виде неравенств. Подберите несколько значений чисел а, b, d, при которых неравенства верны: а) число а больше 100; б) число b меньше 17; в) число 34 меньше числа d; г) число b меньше 31; д) число 810 больше числа а; е) число d больше числа b. Запишите три числа, больших числа 1 099. [~9] Запишите три числа, меньших числа 1 099. 10 Сравните величины: а) 980 см и 98 м; б) 5 км и 500 м; в) 100 см и 10 дм; г) 100 см и 1 000 мм; д) 10 кг и 100 000 г; е) 2 т и 200 кг; ж) 2 ч и 120 мин; з) 6 мин и 360 с. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Сравните числа: 980 и 708; 9 905 и 9 509; 850 и 58. б) Запишите несколько чисел, больших числа 89. в) Запишите неравенства: а меньше b; с больше 45; 99 больше d. П Вариант II. а) Сравните величины: 78 дм и 708 см; 1 990 мм и 199 см; 120 000 м и 1 200 км. б) Запишите несколько чисел, меньших числа 100, но больших числа 50. в) Запишите несколько значений для а и b, если а меньше b; запишите несколько значений для с, если с больше 45, а 99 больше с. 43 8 Тренировочные упражнения. Н 11 12 13 14 15 16 Запишите пять чисел, больших числа 78, но меньших числа 85. Запишите четыре пары значений для a и b, если a больше b. Сравните числа и запишите вместо знака ««» знак «>» или «<»: а) 70 * 76; г) 7 058 * 758; б) 5 706 * 6 706; д) 6 700 * 6 900; в) 320 * 3 200; е) 4 705 * 7 504. Выберите единичный отрезок, отметьте на числовом луче точки, координаты которых 10, 20, 12. Обведите ту из отмеченных точек, которая расположена справа от точки с координатой 12. Начертите числовой луч и отметьте на нём точки D(8), £(1), А(3), если единичный отрезок равен 5 мм. Найдите среди данных величин равные: а) 400 м, 4 км, 400 000 см, 4 000 000 мм; б) 3 т, 3 000 кг, 30 000 г, 300 ц; в) 2 ч, 200 мин, 120 мин, 12 000 с; г) 1 неделя, 7 суток, 168 ч. П Подберите несколько значений для с, если 9 < с < 17. Подберите несколько значений для a, b, с, если 345 + с < 352; b + b > 300; 110 - a > 89. М 19 20 Число a больше числа b, а число b больше числа с. Какое из этих чисел больше всех, а какое — меньше всех? Число a больше числа b и число с больше числа b. Можно ли сказать, какое из чисел больше: a или с? 44 ш Н 21 Сравните числа и запишите вместо знака знак «>» или «<»: 22 а) 800 * 900; б) 5 006 * 6 005; в) 820 * 8 200; Сравните величины: а) 18 км и 18 000 м; б) 3 м и 300 дм; в) 100 см и 1 дм; г) 1 см и 1 000 мм; г) 7 058 * 758; д) 4 728 * 4 718; е) 2 105 * 2 104. д) 100 кг и 1 000 г; е) 2 т и 2 000 кг; ж) 2 суток и 24 ч; з) 60 мин и 1 с. 27 Запишите все двузначные числа, большие 90, в порядке возрастания. Отметьте на числовом луче все чётные числа, меньшие 16. Отметьте на числовом луче все нечётные однозначные числа. Запишите число, в котором: а) 3 десятка тысяч, 4 десятка, 7 единиц; б) 2 миллиона, 6 тысяч, 3 сотни. Продолжите каждый ряд на три числа: а) 895; 896; 897; 898; _ ; в) 447; 448; 449; _ ; б) 1 003; 1 002; 1 001; _ ; г) 3 013; 3 012; 3 011 _ . 45 28 Представьте числа в виде сумм разрядных слагаемых: 756; 1 365. 29 Проведите прямую и отметьте на ней точки А, В, С так, чтобы точка А: а) принадлежала отрезку ВС; б) принадлежала лучу ВС, но не принадлежала отрезку ВС; в) принадлежала лучу ВС, но не принадлежала лучу СВ. Ш П 30 Подберите вместо звёздочки какую-нибудь цифру так, чтобы получились истинные высказывания (верные неравенства): а) Нс 48 < 1 548; в) 2 342 > 234 *; б) 3^ 9 > 3 659; г) 2 589 < 2 * 89. Ш М 31 Фотограф сделал несколько снимков морских животных. Сколько снимков он мог сделать, если их было больше 16, а после того, как он подарил три из них, снимков осталось меньше 16? 46 1.6 Округление натуральных чисел Повторяем, обобщаем знания tf Какие данные называют приближёнными? • Почему многие данные приближённые? • Что можно делать с помощью приближённых чисел? Приближённые п;)|-||-1и.ю Иногда мы узнаём числовые данные о каком-либо явлении или событии, которые не являются точными, но незначительно отличаются от точных. Такие данные называют приближёнными. Например, взятые из географического справочника данные о длине Волги (3 530 км) или о площади территории Австралии (7 682 300 км2) - приближённые. Вообще приближёнными являются все данные, полученные в результате измерения той или иной величины, поскольку абсолютно точных измерительных приборов не существует. Важной характеристикой приближённых данных является погрешность. Это число, показывающее наибольшее возможное отличие приближённого значения от точного. Например, если мы знаем, что масса яблока равна приближённо 325 г с погрешностью 5 г, то это значит, что масса яблока является каким-то числом от 320 до 330 г. Приближённые данные дают нам возможность быстро сравнивать какие-либо величины и составлять общие представления о расстоянии между населёнными пунктами, площади территории городов, стран, материков и о многом другом. 47 Что значит округлить число? Округление Часто, чтобы получить приближённые данные, мы заменяем точные данные числами с нулями на конце, то есть округляем числа. Натуральные числа округляем до какого-либо заранее выбранного разряда: десятков, сотен, тысяч и т.д. Например, число 3 412 округлим до десятков. Для этого отбросим 2 единицы и заменим их одним нулём. Запишем: 3 412 « 3 410. Округлим число 3 412 до сотен. Для этого отбросим 12 единиц и заменим их двумя нулями. Запишем: 3 412 « 3 400. Знак « « » означает «приближённо равно». ® Как округлить число до выбранного разряда так, чтобы приближённое значение было самым близким? Правила Округляя число до выбранного разряда, надо найти ближайшее к нему круглое число. Например, мы хотим округлить число 3 412 до десятков. Рядом с числом 3 412 на числовом луче находятся два круглых числа: 3 410 и 3 420. Мы заменяем его ближайшим к нему круглым числом 3 410. 3 410 ч- 3 412 ч- 3 415 3 418 ч- 3 420 Ч-----h Для числа 3 418 ближайшим круглым числом является число 3 420. Число 3 415 находится на одинаковом расстоянии от чисел 3 410 и 3 420. В этом случае принято округлять до большего числа — 3 420. 48 Развиваем умения Н Q • Продолжите предложения. — Если мы хотим быстро сравнить какие-либо числовые данные и нам не нужна при этом большая точность, то мы можем воспользоваться числами, которые ... — Более точно значение величины указывает то круглое число, которое ... — Если мы хотим получить приближённое значение какой-либо величины, то ... [~Y] Рассмотрите рисунки и укажите, к какому из двух крайних чисел ближе число, отмеченное красным цветом. а) 560 566 570 560 б) I- 564 —I— 570 —I Г3] Напишите натуральные числа, которые на числовом луче находятся между числами 100 и 110: а) ближе к числу 100; б) ближе к числу 110. • Пользуясь алгоритмом округления чисел, округлите числа 2 378, 1 823, 755 до а) десятков; б) сотен; в) тысяч. 49 I"5! Кто из ребят правильно округлил до десятков: а) Валя: 17 « 20, Ваня: 17 « 10; б) Валя: 138 « 130, Ваня: 138 « 140; в) Валя: 1 945 « 1 940, Ваня: 1 945 « 1 950? [~Y] На футбольном матче присутствовало 12 238 зрителей. Комментатор матча сказал, что сегодня на стадионе присутствует примерно 13 000 зрителей, а в газете написали, что на стадионе было около 14 000 зрителей. Какое из этих сообщений точнее? А как сказали бы вы? [~^ Выразите приближённо: а) 29 мм в сантиметрах; б) 350 см в метрах; в) 12 400 м в километрах. 8 Ответьте на вопрос задачи, заменив точные значения величин приближёнными. От Кейптауна до Дурбана 1 295 км, а от Дурбана до мыса Вухимена — 1 418 км. Сколько приблизительно сотен километров от Кейптауна до мыса Вухимена? Дурбан мыс Вухимена Кейптаун Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Округлите число 35 729: - до десятков; - до сотен; - до тысяч; - до десятков тысяч. б) Выразите приближённо 3 729 564 миллиметра: - в сантиметрах; - в дециметрах; - в километрах. 50 П Вариант II. а) Округлите число 317 236: - до сотен; - до сотен тысяч; - до миллионов. б) Выберите и обоснуйте ответ, зная, что масса груза составляет 39 500 кг; масса груза составляет примерно 39 т; масса груза составляет примерно 40 т. Тренировочные упражнения. Н [~9] Округлите числа: а) до десятков: 382, 79, 15; б) до десятков тысяч: 13 260, 125 400; в) до десятков миллионов: 37 260 030, 245 400 997. 11 12 13 14 10 Выразите приближённо: а) 4 590 г в килограммах; б) 750 кг в центнерах; в) 59 600 кг в тоннах. В посёлке 5 470 жителей. Укажите их примерное количество, округлив данное число до сотен; до тысяч. • Продолжите предложения. — Если к числу приписать справа нуль, то оно увеличится в ^ — Если к числу приписать справа два нуля, то оно увеличится в ^ — Если к числу приписать справа три нуля, то оно увеличится в ^ Запишите вместо звёздочки какую-нибудь цифру, чтобы получилось истинное высказывание: а) 2 * 37 < 2 437; в) 790 > 7 * 9; б) 69 * > 697; г) 1 670 < 1 * 70. Выберите истинные высказывания и запишите их в тетрадь: а) 17 км > 17 000 м; д) 200 кг = 2 000 г; б) 3 м = 30 дм; е) 2 т < 3 000 кг; в) 10 см < 1 дм; ж) 2 суток < 74 ч; г) 1 см > 1 000 мм; з) 60 мин < 1 ч. 51 П 15 16 Олег задумал число и, округлив его до десятков, записал: 140. Какое число он мог задумать? Серёжа сказал, что в его классе примерно 40 учеников. Сколько учеников могло быть в его классе? М 17 Дайте ответ, не делая точных вычислений. Географический атлас стоит 359 р., а альбом репродукций - 180 р. Хватит ли на покупку 10 таких атласов и 10 таких альбомов 7 000 р.? ш Н 18 Округлите числа: а) до десятков: 38, 790, 155; б) до тысяч: 24 860, 142 400; в) до миллионов: 18 150 900, 179 288 000. 19 20 Выразите приближённо: а) 140 600 г в центнерах; б) 7 500 кг в тоннах; в) 59 600 м в километрах. Запишите числа: сто десять тысяч, миллион десять тысяч, сто десять миллионов. 21 Запишите число, состоящее из: а) 5 тысяч, 1 сотни, 7 десятков; б) 7 десятков тысяч, 5 тысяч, 3 сотен и 9 единиц; в) 9 сотен и 9 десятков; г) 7 тысяч и 7 единиц. 22 Заполните пропуски: а) 4 000 м = км; б) 200 см = ^ м; в) 1 км 3 м = ^ м; г) 93 см = ^ дм . д) 47 мм = . см е) 845 см = . м см; мм; дм . см. 23 Постройте в тетради отрезки длиной 5 см 9 мм, 1 дм. 52 ш П 24 Перенесите чертёж в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения этих фигур. 25 Рассмотрите двойные неравенства и укажите, каким из крайних чисел можно заменить среднее число при округлении. а) 300 < 390 < 400; в) 790 < 795 < 800; б) 1 300 < 1 358 < 1 400; г) 12 000 < 12 499 < 13 000. Ш М 26 Запишите число в современной системе записи. 53 ГЛАВА II ДЕЙСТВИЯ С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 2.1 Сложение. Свойства сложения Повторяем, обобщаем знания О Как принято обозначать произвольное натуральное число? О Как называют числа, которые складывают? О Как называют число, которое получается в результате сложения? О Как записать сумму двух произвольных натуральных чисел? Слагаемые Сумма Натуральное число можно обозначить буквой. Чаще всего используют маленькие буквы латинского алфавита. Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число, которое получается в результате сложения, называют суммой. Сумму двух натуральных чисел а и b можно записать так: а + b. Выражение a + b читается так: сумма чисел a и b. ► а + b = с слагаемые сумма €f Сформулируйте переместительное свойство сложения. 54 :тительное сложения Сумма чисел a и b равна сумме чисел b и а. Для любых натуральных чисел а и Ь выполнено равенство: а + b = b + а ^ Оно выражает переместительное свойство сложения. Можно сказать так: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Например: 3 + 5 = 8 и 5 + 3 = 8. Как формулируется сочетательное свойство сложения? Сочетательное свойство сложения Для любых натуральных чисел а, b и с будет верным равенство: (а + b) + с = а + (b + с). Оно выражает сочетательное свойство сложения: складывая три числа, можно найти сумму двух первых слагаемых, а затем прибавить третье число, а можно найти сумму двух последних слагаемых, а затем прибавить её к первому числу. Например: (3 + 5) + 8 = 16 и 3 + (5 + 8) = 16. Сочетательное свойство сложения позволяет записывать сумму трёх слагаемых без скобок, поскольку при любой расстановке скобок в сумме а + b + с получится тот же самый результат. Без скобок можно также записывать и сумму большего количества слагаемых. Какое правило следует из переместительного и сочетательного свойств сложения? Как можно группировать слагаемые? Для чего используют группировку слагаемых? Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует правило группировки слагаемых: слагаемые можно как угодно переставлять местами и объединять в группы. а + b + с + d = (а + b) + (с + d) = (а + с) + (b + d). Например: 24 + 99 + 76 + 101 + 47 = (24 + 76) + (99 + 101) + 47. 55 Группировку слагаемых используют для удобства вычислений. В приведённом примере первое и третье, а также второе и четвёртое слагаемые сгруппировали так, чтобы получились числа, запись которых заканчивается нулями, и к ним прибавили пятое слагаемое: (24 + 76) + (99 + 101) + 47 = 100 + 200 + 47 = 300 + 47 = 347. В результате вычисления стали проще, а значит, удобнее. ® Сформулируйте правило сложения чисел с нулём. Сложение с нулём Для любого числа а верны равенства: а + 0 = а; 0 + а = а. Например: 5 + 0 = 5 и 0 + 5 = 5. Развиваем умения Н ^ Запишите равенства, выражающие: а) переместительное свойство сложения; б) сочетательное свойство сложения. 0 ^ Сформулируйте: а) переместительное свойство сложения; б) сочетательное свойство сложения. [0 С а) Расскажите, по какому правилу складывают числа с нулём. б) Запишите сумму двух любых натуральных чисел и скажите, как называется каждое число в этой записи. 56 Q Сравните (>, <, =). а) 32 + 19 * 19 + 32; б) a + b * b + a; в) 32 + 19 * 19 + 0; г) a + 0 * a; д) (128 + 36) + 22 * 128 + (36 + 22); е) (a + b) + c * a + (b + c); ж) (128 + 36) + 22 * 128 + 60; з) (a + b) + (c + d) * a + (b + c) + d; и) 120 + (38 + 22) + 12 * (120 + 22) + (38 + 12); к) f + b + c + d * d + f + b + c. [~^ Вычислите удобным способом: а) 32 + 19 + 8; б) 128 + 36 + 22 + 14; в) 32 + 19 + 11; г) 96 + 54 + 107 + 9. [~6~| Сформулируйте на основе данной записи, в чём суть вычислительного приёма. Дайте ему название. Расскажите, какое свойство сложения лежит в его основе. 72 + 99 = (71 + 1) + 99 = 71 + (1 + 99) = 71 + 100 = 171 1^7] Вычислите, используя приём замены слагаемого суммой: а) 439 + 16; в) 8 457 + 32; д) 427 + 77; б) 143 + 68; г) 305 + 49; е) 7 377 + 434. а) В городе 8 спортивных школ, 10 математических и 102 обычные школы. Сколько всего в городе спортивных, математических и обычных школ? б) На покупку каната для спортзала потратили 1 509 рублей, на покупку мячей на 72 рубля больше, а маты для пола стоили на 5 000 рублей больше, чем канат и мячи вместе. Сколько стоили маты? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Выполните удобным способом: 45 + 38 + 25; 142 + 36 + 28 + 30; 529 + 27. 57 8 б) В магазин завезли яблоки, апельсины и бананы: яблок — 142 кг, апельсинов — на 18 кг больше, а бананов столько, сколько яблок и апельсинов вместе. Сколько всего килограммов фруктов завезли в магазин? П Вариант II. а) Сравните (>, <, =): а + 19 * 20 + а; (128 + Ъ) + 22 * 128 + (b + 20); c + 0 * c; 120 + (38 + /) + 12 * (120 + /) + 40. б) В начале пути на спидометре автомобиля было 12 500 км. Путь состоял из двух частей: 600 и 1 400 км. Определите, каким было показание на спидометре в конце пути. Тренировочные упражнения. Н [~^ Вычислите удобным способом: а) 53 + 19 + 27; б) 243 + 59 + 27 + 50; в) 748 + 39. 10 11 Сравните (>, <, =): а + 34 * 33 + а; (119 + Ъ) + 49 * 119 + (Ъ + 48); x + 0 * x; 270 + (13 + /) + 27 * (270 + /) + 40. а) Саша прыгнул в длину на 3 м 5 см. Это на 15 см меньше его личного рекорда. Чему равен его личный рекорд? б) По расписанию время отхода поезда — 3 ч 25 мин утра. Время его движения до конечной станции составляет 5 ч 15 мин. Когда поезд прибывает по расписанию на конечную станцию? 12 Расскажите, сколько всего в числе 42 519: а) единиц; б) десятков; в) тысяч; г) десятков тысяч. 58 14 15 13 Округлите число 42 519: - до десятков; - до сотен; - до тысяч; - до десятков тысяч. В выборах мэра участвовали два кандидата. За одного из них проголосовало 253 477 избирателей, а за другого - на 9 430 избирателей больше. Сколько всего избирателей голосовало? Замените звёздочку какой-нибудь цифрой так, чтобы получились истинные высказывания (верные неравенства), и запишите их в тетрадь: а) 3 * 29 < 3 629; в) 1 215 > 1 21 *; б) 2 7 * 0 > 2 729; г) 4 300 < 4 * 89. П 16 17 Представьте число 7 500: а) в виде суммы двух многозначных чисел; б) в виде суммы трёх многозначных чисел. Вариантов ответа может быть несколько. Запишите три следующих числа. Объясните, почему вы записали именно эти числа. а) 70, 73, 77, 82, 88, _ б) 70, 73, 74, 77, 78, 81, _ М 18 В коробке лежат карандаши трёх цветов. Сколько всего карандашей в коробке, если красных и синих карандашей 50 штук, синих и зелёных - 80, а красных и зелёных - 70? Ш 19 Н Вычислите удобным для вас способом: а) 5 050 + 3 100 + 350 + 0; б) 780 + 400 + 1 000 020 + 600; в) 4 000 + 120 000 + 80 000 + 6 000; г) 130 000 000 + 8 000 + 70 000 000 + 15 000 + 12 000. 59 20 Найдите значения выражений, используя приём замены слагаемого суммой: 21 22 г) 124 + 18; д) 906 + 35; е) 1 072 + 25. а) 179 + 29; б) 4 217 + 67; в) 537 + 48; Сравните (>, <, =): а) 12 000 700 * 12 000 708; б) 5 987 * 5 897; в) 15 000 000 * 1 500 000. а) За первые два дня автомобиль проехал 700 км, что на 100 км меньше, чем в следующие два дня. На пятый день он проехал 300 км. Околько километров проехал автомобиль за эти 5 дней? б) На первой остановке в автобус зашли 15 человек, на второй — на 10 человек больше, на третьей — столько, как на первой и второй вместе, а на четвёртой — столько же, как и на третьей. Сколько человек зашли в автобус за эти 4 остановки? т 23 24 П На овощной базе находится 15 040 кг овощей и 1 2 050 кг фруктов. Сколько примерно тонн овощей и сколько примерно тонн фруктов хранится на этой базе? Найдите сумму а) наибольшего и наименьшего четырёхзначных чисел; б) наименьшего семизначного числа и числа, непосредственно следующего за ним. ш М Известно, что a + Ь = 19. Чему равно (а + 7) + (b - 7)? Известно, что a - Ь = 19. Чему равно (а + 7) - Ь? 60 2.2 Вычитание Повторяем, обобщаем знания При каком условии можно найти разность натуральных чисел а и b? Как записать разность чисел а и b? Как в равенстве а - b = с называется каждое число? Уменьшаемое Вычитаемое Разность Разностью чисел а и b называется число с, которое при сложении с числом b даёт число а: b + с = а. Разность чисел а и b обозначают так: а - b. Выражение a - b читается так: разность чисел a и b. При этом число а называется уменьшаемым, а число b - вычитаемым. а - b = с уменьшаемое вычитаемое разность Например: 15 - 3 = 12, так как 12 + 3 = 15. Таким образом, действие вычитания определяется на основе действия сложения. Из натурального числа а можно вычесть натуральное число b, если а > b или а = b. Например, из 7 можно вычесть 6, так как 7 > 6; из 5 можно вычесть 5, так как 5 = 5. 61 Сформулируйте свойства вычитания, связанные с нулём. Вычитание с нулём Развиваем умения Н €> а) При каком условии можно найти разность натуральных чисел а и Ь? б) Какое число называют разностью чисел а и b? в) Прочитайте выражение: 45 - 15. г) Назовите уменьшаемое, вычитаемое, разность в равенстве 45 — 15 = 30. д) Найдите разность а — 0; а — а. [~^ €> Объясните, как связаны между собой равенства, опираясь на взаимосвязь между компонентами действий сложения и вычитания. Можно ли сказать, что сложение и вычитание — взаимно обратные действия? а + b = с с — b = а b + а = с с — а = b Q а) Используя равенство 650 + 350 = 1 000, найдите значения выражений: 1 000 — 650; 1 000 — 350. б) Расскажите, приводя примеры, как сделать проверку сложения. в) Расскажите, приводя примеры, как сделать проверку вычитания. [~^ Вычислите и сделайте проверку: а) 70 — 30; в) 700 — 200; б) 14 300 + 600; г) 15 000 — 7 000; [~5| Найдите неизвестное число: а) b + 1 500 = 4 500; в) 5 550 + х = 5 600; б) n — 340 = 660; г) 8 900 — к = 900; д) 1 000 + 500; е) 4 800 000 — 800 000. д) z — 4 900 = 4 900; е) 4 900 + у = 4 900. 62 f6] Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>, <, =): а) (42 + 34) - 22 * (42 - 22) + 34; в) 54 - (40 + 14) * (54 - 40) - 14; б) (а + b) - c * (a - c) + b; г) a - (b + c) * (a - b) - c; д) (12 + 7) - (10 + 3) * (12 - 10) + (7 - 3); е) (a + b) - (c + d) * (a - c) + (b - d). [~У| а) В вагоне электрички было 50 пассажиров. На первой остановке вышли 12 и вошли 10 пассажиров, на второй - вышли 15 и вошли 5 пассажиров. Сколько пассажиров осталось в вагоне электрички после второй остановки? б) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке из автобуса вышли 4 и вошли 7 пассажиров, на второй остановке вышли 5 и вошли 1 0 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе в начале поездки, если после второй остановки их стало 16? Н Задания для самостоятельной работы. Вариант I. а) Вычислите и сделайте проверку: 80 - 50; 1 700 - 300; 1 200 + 800; 15 400 + 600; 18 200 - 8 200. б) Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>, <, =): 40 + 30 * 42 + 34; 40 - 30 * 40 - 20; 50 - 40 * 54 - 40; 37 + 20 * 37 + 40. в) Мама на два года младше папы, а папа на 21 год старше сына. Сколько лет сыну, если маме 30 лет? Вариант II. а) Вычислите: (19 + 47) - 9; 56 - (17 - 16); 37 - 7 - 13; (780 + 200) - (100 + 80). б) Задумали число, уменьшили его на 50 и получили 90. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. в) Бабушка на 43 года старше внука, а дедушка на 3 года старше бабушки. Сколько лет внуку, если дедушке 56 лет? П Тренировочные упражнения. Н Вычислите и сделайте проверку: а) 900 - 300; б) 7 000 - 500; в) 30 000 + 50 000; г) 12 200 + 800; д) 15 900 - 3 600; е) 3 900 000 - 3 200 000. 63 8 [~^ Вычислите удобным для вас способом, работая по образцу. Образец: (27 + 8) - 17 = (27 - 17) + 8 = 18; (35 + 49) - (5 + 9) = (35 - 5 ) + (49 - 9) = 30 + 40 = 70; 320 - (120 + 90) = (320 - 120) - 90 = 110; 450 - 190 - 110 = 450 - (190 + 110) = 150. 10 а) (127 + 190) - 90; б) 110 - 50 - 60; в) 47 - (40 + 7); г) (320 + 400) - (100 + 20). а) Задумали число, увеличили его на 15 и получили число 60. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. б) Задумали число, уменьшили его на 15 и получили число 60. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. в) Из числа 60 вычли задуманное число и получили 15. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. 11 а) В саду растёт 160 яблонь - это на 80 больше, чем груш, и на 20 меньше, чем слив. Сколько в этом саду груш и сколько слив? б) За июль художник сделал 18 эскизов - это на 9 больше, чем за июнь, и на 7 меньше, чем за август. Сколько эскизов сделал художник за лето? в) Маша сказала, что у неё сестёр на две больше, чем братьев. Сколько девочек в Машиной семье, если у Маши 2 брата? 13 12 а) Найдите приближённое значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда: 19 950 + 27 530. б) Найдите приближённое значение разности, округлив уменьшаемое и вычитаемое до старшего разряда: 3 200 - 1 100. Определите последнюю цифру в значении выражения: а) 319 + 107; б) 319 - 107; в) 429 + 50; г) 429 - 50; д) 456 + 123; е) 456 - 123. 64 П 14 15 Разность первого и второго чисел на 10 больше разности второго и третьего. Найдите второе число, если первое равно 794, а третье - 516. Запишите три предыдущих числа. Объясните, почему вы записали именно эти числа. а) _, 9, 13, 18, 24, 31; в) _, 181, 172, 164, 157; б) _, 110, 160, 220, 290; г) _, 825, 745, 705, 685, 675. М Известно, что a - b = 9. Чему равно (а - 7) - b? Известно, что а - b = 9. Чему равно (а + 7) - (b - 4)? Ш Н 18 Вычислите: а) 5 500 - 3 100 + 400 - 0; б) 680 + (20 + 200) + 800; в) 6 700 + 300 + 6 000 - 6 000; г) 200 000 - 100 000 - 5 000 + 0; 19 Вычислите удобным способом: а) (139 + 60) - 39; б) 400 - 90 - 10; д) 4 500 - 800 - 1 200; е) 19 400 - 8 700 + 3 600; ж) 7 920 - (3 200 + 1 920); з) 81 400 + 61 900 - 1 700. в) 119 - (40 + 19); г) (320 + 180) - (20 + 80). 20 21 Запишите, сколько всего в числе 153 978: а) единиц; б) десятков; в) тысяч; г) десятков тысяч; д) сотен тысяч. Округлите число 153 978 до: а) десятков; б) сотен; в) тысяч; г) десятков тысяч; д) сотен тысяч. 65 22 а) На базе было 1 800 ц картофеля. В первый день вывезли 500 ц, а на второй день на 100 ц больше. Сколько картофеля осталось на базе? б) На овощную базу завезли картофель, морковь и свёклу. Картофеля завезли 450 ц, что на 150 ц больше, чем моркови, и на 150 ц меньше, чем свёклы. Сколько всего овощей завезли на базу? т П 23 Миша сказал, что у него сестёр на две больше, чем братьев. На сколько в семье Миши девочек больше, чем мальчиков? 24 Найдите: а) разность наибольшего четырёхзначного и наименьшего трёхзначного числа; б) сумму наименьшего четырёхзначного числа и числа, непосредственно следующего за ним. Ш М Известно, что a - b = 0. Чему равно (а + 6) - (b + 6)? Докажите, что если а - b = с, то (а + х) - (b + х) = с. 66 Умножение. Свойства умножения Повторяем, обобщаем знания Как записать сумму четырёх одинаковых слагаемых, равных 12? Как ещё можно найти число, которое должно получиться в результате? Каким действием здесь можно заменить действие сложения? Как называют числа, которые перемножают? Как называют результат действия умножения? Что значит умножить число а на число b? Как называется выражение а • b? Если в сумме все слагаемые равны друг другу, то действие сложения можно заменить действием умножения. Например: 12 + 12 + 12 + 12 = 124. ^ Числа 12 и 4 называются множителями (или сомножителями). Результат действия умножения называется произведением. Например, 12 + 12 + 12 + 12 = 48, значит, 12 4 = 48. Число 48 - произведение чисел 12 и 4. Умножить число а на натуральное число b, большее 1, - значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Выражение а•b также называется произведением чисел а и b. Перед буквенным множителем не пишут знак умножения. Вместо а•b принято писать аb. 67 €> Какие свойства умножения натуральных чисел вы знаете? €> Сформулируйте переместительное свойство умножения. €1 Сформулируйте сочетательное свойство умножения. • Можно ли в произведении нескольких множителей менять их местами и группировать любым удобным способом? Произведение чисел а и b равно произведению чисел b и а. Для любых чисел а и b верно равенство: аЬ = Ьа. Оно выражает переместительное свойство умножения. Раньше вы говорили так: от перестановки множителей произведение не меняется. Например, 2 3 = 6 и 3 2 = 6, значит, 2 3 = 3 2. Переместитель ное свойство умножения О о о о о о 3 2 ОО оо ОО 2 • 3 Одно и то же число кружков выражено двумя способами. Сочетательное свойство умножения Для любых чисел а, b и с будет верным равенство: (аb) с = а (Ьс). Оно выражает сочетательное свойство умножения: перемножая три числа, можно сначала найти произведение двух первых множителей и затем умножить полученный результат на третье число, а можно найти произведение двух последних множителей и затем умножить первое число на полученный результат. Например: (3 4) 2 = 24 и 3 (4 2) = 24. (3 4)2 3(4 2) Одно и то же число треугольников найдено двумя способами. 68 Сочетательное свойство умножения позволяет записывать произведение трёх множителей без скобок, поскольку при любой расстановке скобок в произведении а •Ъ • с получится один и тот же результат. Без скобок можно также записывать и произведение большего количества множителей. Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют сформулировать правило: множители в произведении можно как угодно переставлять и объединять в группы. (ab)(cd) = a(bc)d = (ad)(bc) Например: (2 • 15) • (5 • 10) = (15 • 10) (2 5) = 150 10 = 1 500. Почему 1 • n = n? Чему равно произведение n 1? Почему? Чему равно произведение 0 • т? Чему равно произведение т • 0? Почему? Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 •п = п. Например: сумма 5 слагаемых, каждое из которых равно 1, равна 5. Умножение с нулём и с единицей Г 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 Ч_______________'' 5 слагаемых Сумма т слагаемых, каждое из которых равно 0, равна 0. 0 •т = 0. Например: сумма 5 слагаемых, каждое из которых равно 0, равна 0. 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 -------_______^ 5 слагаемых Верны также равенства: п^ 1 = п и т^0 = 0. 69 Развиваем умения У Н tf в четырёх коробках лежит по 10 карандашей, а в трёх пеналах по 5 ручек. Выберите выражения, с помощью которых можно найти число карандашей и число ручек: а) 10 + 10 + 10 + 10; б) 5 3; в) 10^4; г) 3 + 3 + 3 + 3 + 3. V Дополните и продолжите предложения. — В записи аЪ = c число а называется число b называется число c называется ... — Если в произведении первый множитель 5, а второй множитель 4, то это произведение можно заменить суммой . слагаемых, где каждое слагаемое равно . — Знак умножения перед . не ставится. — Произведение единицы на любое натуральное число равно . — Произведение нуля на любое натуральное число равно . [~^ V Запишите: а) числовое и буквенное равенства, выражающие переместительное свойство умножения; б) числовое и буквенное равенства, выражающие сочетательное свойство умножения; в) сформулируйте эти свойства. [~^ Замените сумму произведением и вычислите: а) 8 + 8 + 8; б) 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7; в) 15 + 15 + 15 + 15 + 15; г) 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20; д) 9 999 + 9 999. [~5| Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>; <; =): а) 15(2 10) * (15 2)10; в) 150 3 * 3 160; б) 200 1 * 200 0; г) 2 4 5 5 * (2 5) (4 5). [~У| Вычислите, рассуждая по образцу. Расскажите, какие свойства умножения вы используете. Образец: 20 30 = (2^ 10) • (3 • 10) = (2 3)^ (10^ 10) = 6^ 100 = 600. а) 40 • 50; в) 90 • 20; д) 7 • 300; б) 500 • 50; г) 2 000 • 20; е) 700 • 8 000. 70 I^7] Решите задачи, составив выражения. а) Для отделки одного платья нужно 3 м кружева. Сколько кружева нужно для отделки 10 таких же платьев? б) Перед соревнованием всех спортсменов построили в 4 колонны. В каждой колонне 5 рядов по 10 спортсменов. Сколько всего спортсменов? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Замените сумму произведением и вычислите: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9; 40 + 40 + 40 + 40; 12 + 12 + 12 + 12 + 12. б) Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>, <, =): 200 5 * 200 4; (50 2)5 * 50^ 10; 400 2 * (4 2)^ 100; 3456 * 1525. в) Каждый час автомобиль проезжает 80 км. Какое расстояние он проедет за 5 часов? П Вариант II. а) Вычислите удобным способом: 9 5 2 10; 41 000 5; 2 8^ 100; 672 5. б) Задумали число, увеличили его в 50 раз, а затем в 10 раз. Во сколько раз увеличили задуманное число? в) Каждую минуту автомобиль проезжает 1 км. Сколько метров он проедет за час? Тренировочные упражнения. Н ^ Известно, что 2 5 = 10; 4 25 = 100; 8 125 = 1 000. Вычислите удобным способом, работая по образцу: 2155 = 2515 = 1015 = 150; 12 6 25 = (3 4)6 25 = (3 6)(4 25) = 18 100 = 1 800. 71 а) 4^2^5; в) 2-9-S; д) 4в^25; ж) 16^125; б) 15^8 125; г) 4 25 1 000; е) 100^3 2 5; з) 25 14 IS. [~^ Найдите ответ, составив выражения. а) Число 10 увеличили в 6 раз, полученный результат увеличили в 3 раза. Какое число получили? б) Задумали число, увеличили его в 10 раз, полученный результат увеличили в 7 раз. Во сколько раз увеличили задуманное число? а) Сколько килограммов в 5 т? 6 т? 3 ц? 10 ц? б) Сколько граммов в 3 кг? 10 кг? в) Сколько метров в 4 км? 7 км? г) Сколько сантиметров в 20 м? 15 м? 12 дм? 10 П 11 12 Сливочное масло привозят в магазин коробками. Чему равна масса масла в этой коробке, если оно упаковано в пачки по 200 г, пачки сложены в коробку в 4 слоя, каждый слой состоит из 5 рядов по 6 пачек в каждом ряду? Садовник наполнил водой бочку вместимостью 120 л за час, наливая её 10-литровым ведром. Сколько воды он мог бы налить за это же время, имея 5-литровое ведро? Предполагается, что садовник будет делать в единицу времени столько же зачёрпываний. т 13 14 Н Вычислите удобным способом: а) 8 2 5; б) 8 7 25; в) 310 - 60 - 50; г) 4 25^ 10; д) 80 + 360 + 120 + 40; е) (640 + 270) - (70 + 140). Вычислите, рассуждая по образцу. Образец: 40 20 = (4^ 10) (2 10) = (4 2) (10 10) = 8^ 100 = 800. а) 30 20; б) 600 • 70; в) 60 • 30; г) 3 000 • 30; д) 9 • 400; е) 500 • 2 000. 72 15 а) Сколько минут в 2 ч? 3 ч? б) Сколько секунд в 4 мин? 30 мин? 16 Решите задачи, составив выражения. а) Конфеты в коробке лежат в 4 ряда по 5 конфет в каждом ряду. Сколько конфет в 10 таких коробках? б) В одном пакете 20 кусков мыла массой по 100 г каждый, а в другом таком же пакете — 30 кусков мыла массой по 50 г. Масса какого пакета с мылом больше и на сколько граммов? 17 Найдите неизвестное число: а) Ъ + 300 = 700; в) 400 + x = 900; б) n - 200 = 400; г) 800 - к = 100; д) у + 600 = 600; е) г - 600 = 600. Ш П 18 Известно, что аЪ = 15. Чему равно а(Ъ • 3)? Ш М 19 На верхней полке в два раза больше книг, чем на нижней. Если 8 книг с верхней полки переложить на нижнюю, то книг станет поровну. Сколько книг на каждой полке? 73 .4 Распределительное свойство Вспоминаем то, что знаем V Сформулируйте правило умножения числа на сумму. Открываем новые знания в Объясните, как найдены значения выражений. Сравните эти значения. а) 4(6 + 8 + 4 + 2) = 4 20 = 80; б) 46 + 48 + 44 + 42 = 24 + 32 + 16 + 8 = 80; в) 4(12 - 2) = 4 10 = 40; г) 4(12 - 2) = 4 12 - 4 2 = 48 - 8 = 40. • Верно ли правило умножения числа на сумму для любого количества слагаемых? Можно ли это проверить при помощи вычислений? t> Существует ли правило умножения числа на разность? Можно ли это проверить при помощи вычислений? ^ Как формулируется правило умножения числа на разность? 74 Отвечаем, проверяем себя по тексту Для любых натуральных чисел а, b и c верно равенство: a (b + c) = ab + ac. Это равенство выражает распределительное свойство умножения относительно сложения («совместное» свойство умножения и сложения): чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и произведения сложить. Например: 4(3 + 5) = 4 8 = 32 и 4 3 + 4 5 = 12 + 20 = 32. свойство умножения относительно сложения JT 4(3 + 5) 43 + 45 ^Эдно и то же число квадратиков найдено двумя способами. Распределительное свойство умножения относительно сложения верно для любого числа слагаемых. Например: 4 (3 + 5 + 2 + 7) = 4 3 + 4 5 + 4 2 + 4 7. Для любых натуральных чисел a, b и c, если b > c или b = c, верно равенство, выражающее распределительное свойство умножения относительно вычитания («совместное» свойство умножения и вычитания): a(b - c) = ab - ac. Чтобы умножить число на разность, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Например: 4(5 - 3) = 42 = 8 и 45 - 43 = 20 - 12 = 8. Любое из чисел a, b и c в равенствах a(b + c) = ab + ac и a(b - c) = ab - ac может быть равно 0. Переход от произведения a(b + c) к сумме ab + ac и от произведения a(b - c) к разности ab - ac называют раскрытием скобок. 75 Развиваем умения У Н о Запишите числовое равенство, выражающее распределительное свойство умножения относительно сложения. Сформулируйте это свойство. [~2~| ^ Запишите числовое равенство, выражающее распределительное свойство умножения относительно вычитания. [~3~| V Расскажите, какие значения могут быть у переменных а, Ь и с в равенствах a(b + c) = ab + ac и a(b - c) = ab - ac. Q Как называют переход от произведения a(b + c) к сумме ab + ac? [~5| Объясните, как выполнено умножение: а) 35 6 = (30 + 5)6 = 180 + 30 = 210; б) 125 5 = (100 + 20 + 5)5 = 500 + 100 + 25 = 625. Используя распределительный закон, найдите значения выражений, раскрыв скобки. Работайте по образцу: 4(10 + 5) = 4^ 10 + 45 = 40 + 20 = 60. а) 10 • (12 + 3); б) 5 (20 + 30); в) 100 • (8 - 2); г) 3 (100 - 80). [~У| Используя распределительный закон, найдите значения выражений, вынося общий множитель за скобки. Работайте по образцу: / • 13 + / • 17 = 7 (13 + 17) = = 730 = 210. а) 9 13 + 7 9; б) 8 19 - 8 9; в) 5 23 - 5 20; г) 4 8 + 2 4. Сравните значения выражений, не выполняя полных вычислений (>, <, =): а) (20 + 46)3 * 20 3 + 46 3; в) 45 7 * 40 7 + 3 7; б) (19 - 15)4 * 19 4 - 14 4; г) 23 15 * (20 + 3)15. Г9! Составьте к задачам по два выражения. а) Миша печатает 50 знаков в минуту, а его папа -150. Сколько знаков они напечатают за 3 минуты, работая одновременно? б) В наборе для вышивания 10 мотков шёлка и 20 мотков шерсти. Сколько всего мотков шёлка и шерсти нужно для 6 таких наборов? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Вычислите, вынося общий множитель за скобки: 1) 15 3 + 25 3; 2) 17 4 + 6 17; 3) 20 5 + 40 5. 76 8 б) Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>, <, =): 1) (10 + 16) 3 * 10 3 + 15 3; 2) (20 - 9) ^ 5 * 25 5 - 9 5. в) Составьте два разных выражения, дающих ответ на вопрос задачи. В одной пачке 250 листов бумаги. Бумагу разложили в три коробки: в первой 4 пачки, во второй 5 пачек, в третьей 6 пачек. Сколько всего листов бумаги в этих коробках? П Вариант II. а) Сделайте вычисления, заменив один из множителей суммой: 1) 20 15; 2) 32 4; 3) 102 6. б) Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>, <, =): 1) 28 3 * 20 3 + 8 3; 2) 30 5 * (12 + 17)5. в) При посадке огурцов высадили 2 ряда по 20 семян в каждом ряду, а потом в оба ряда добавили ещё по 10 семян. Сколько всего семян огурцов посадили? Тренировочные упражнения. Н 10 Вычислите удобным способом, заменив один из множителей суммой. Работайте по образцу: 20 12 = (10 + 2) 20 = 10 20 + 2 ^ 20 = 240. а) 48 5; б) 2^ 56; в) 123 4; г) 2116; д) 8^ 320; е) 1 053 • 7. 11 Вычислите удобным способом, применяя распределительное свойство: 12 а) 7 15 + 7 25 + 3 12 + 3 8; б) 98 2 - 2 90 + 8 17 + 3 8; в) 37 59 + 37 41 + 63 49 - 39^ 63; В швейной мастерской осталось 20 кусков материи по 8 м и столько же кусков по 2 м. Сколько метров материи осталось в швейной мастерской? в) 1112 + 29 12 + 16 43 + 84 43; г) 142 37 - 42 37 + 43 18 + 7^ 18; д) 41 79 + 4^ 17 + 41 21 + 16^ 17. П 13 Для того чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно записать это число дважды без пробелов. Например, 23 • 101 = 2 323. Объясните, почему это верно, опираясь на распределительное свойство. 77 М 14 Задумали число, умножили его на 15. Затем это же число увеличили в 9 раз. Первое произведение на 42 больше, чем второе. Чему равно задуманное число? Ш Н 15 Вычислите удобным для вас способом, применяя распределительное свойство: а) 4^ 13 + 74 + 2^ 15 + 5 2; б) 36^6 - 6 30 + 9 12 + 9^8; в) 43 6 + 43 4 + 27 49 - 39 27. 16 Два мастера работают на фабрике ёлочных игрушек. Один из них расписывает по 16 шаров в час, а другой — по 14. Сколько шаров они распишут вдвоём за 5 дней, если будут работать по 6 часов каждый день? 17 Сравните значения выражений, не делая полных вычислений (>, <, =): а) (30 + 90) + (70 + 10) * (10 + 90) + (70 + 30); б) 127 9 * (100 + 20 + 5)9; в) (100 9)(10 9) * 810 000; г) (800 + 50) — (700 + 40) * 110. т П 18 Известно, что a + b = 15. Чему равно (а • 3) + (b • 3)? т М 19 20 Задумали число, увеличили его в 5 раз, а затем полученное число увеличили в два раза и получили 320. Какое число задумали? Пятиклассник Валя придумал следующее доказательство распределительного свойства умножения относительно сложения: а •(b + с) = а + а + ... + а = (а + а + ... + а) + (а + а + ... + а) = а • b + а • с. b + с раз b раз с раз а) Как вы считаете, верно ли доказательство Вали? б) Валина одноклассница Варя сказала, что доказательство Вали неполное. Согласны ли вы с Варей? 78 Деление Повторяем, обобщаем знания • Что значит разделить натуральное число а на натуральное число b? • Всегда ли можно разделить одно натуральное число на другое? • Как записать частное чисел а и b? • Как в равенстве а : Ъ = с называется каждое число? • Как связаны действия деления и умножения? • Можно ли делить на нуль? I Найти частное чисел a и b — значит то же самое, что и разделить число a на число b. Частным чисел а и b называется натуральное число с, которое при умножении на число b даёт число а, то есть b^c = а. Действие деления можно выполнить не для всяких натуральных чисел. Например: число 5 разделить на число 2 невозможно, так как нет такого натурального числа с, что 2 с = 5. Частное чисел а и b обозначают как а : b. частное ш i При этом число а называется делимым, а число b - делителем. Делимое Делитель Частное ' 1 т т а : b = с делимое делитель частное Например: 15 : 3 = 5, так как 5^3 = 15. делимое делитель частное Таким образом, действие деления определяется на основе действия умножения. На нуль делить нельзя! 79 Какие свойства деления, связанные с нулём и единицей, вы знаете? Деление с нулём и с единицей Из свойства умножения 1 • а = а следуют свойства деления, связанные с единицей: а : 1 = а а : а = 1 РПри делении натурального числа на единицу получается само это число. При делении натурального числа на себя получается единица. Из свойства умножения 0 а = 0 следует такое свойство деления, связанное с нулём: 0 : а = 0 (при а не равном 0) При делении нуля на любое натуральное число получается нуль. Развиваем умения М Н ПП ® Когда натуральное число а делится на натуральное число Ь? Прочитайте выражение: 45 : 5. Назовите делимое, делитель, частное в равенстве 45 : 5 = 9. Чему равно частное а : 1; а : а ; 0 : а ? [~2~| ® Объясните, как связаны между собой равенства, опираясь на свойства действия умножения и взаимосвязь компонентов этого действия. Можно ли сказать, что умножение и деление — взаимно обратные действия? а^Ь = с Ъ^а = с c : a = b c : b = a [~^ а) Используя равенство 500 •З = 1 500, найдите значения выражений: 1 500 : 500; 1 500 : 3. • б) Расскажите, приводя примеры, как сделать проверку результата деления. [~^ Найдите частное. Сделайте проверку: а) 100 : 10; в) 700 : 100; б) 140 : 70; г) 15 000 : 5 000; [~5| Найдите неизвестное число: а) Ь 5 = 45; в) 50 ^ х = 500; б) n : 30 = 6; г) 800 : к = 10; [~^ Сравните значения выражений (>, <, =): а) (20 + 40 + 10) : 2 * 20 : 2 + 40 : 2 + 10 : 2; д) 1 000 : 500; е) 4 800 : 8. д) 700 •у = 700; е) г : 700 = 700. 80 б) 12 : 6 * (12 • 10) : (6^ 10); в) 12 : 6 * (12 : 2) : (6 : 2); г) (40 - 10) : 2 * 40 : 2 - 10 : 2. К какому из полученных равенств подходят формулировки: а) Чтобы разделить сумму на число, можно каждое слагаемое разделить на это число и частные сложить. б) Чтобы разделить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое разделить на это число и найти разность полученных частных. в) Если делимое и делитель разделить или умножить на одно и то же число, то частное от этого не изменится. П [~^ Вычислите частное по образцу: 86 : 2 = (80 + 6) : 2 = 80 : 2 + 6 : 2 = 40 + 3 = 43. а) 66 : 2; в) 55 : 5; д) 72 : 2; ж) 52 : 4; б) 660 : 2; г) 550 : 5; е) 720 : 2; з) 520 : 4; и) 96 : 8; к) 960 : 8. Вычислите частное по образцу: 800 : 400 = (800 : 100) : (400 : 100) = 8 : 4. а) 100 : 50; б) 4 500 : 500; в) 1 800 : 300; г) 720 : 90. [~9~| а) В магазин привезли 810 банок варенья в коробках по 90 банок. Сколько было коробок? б) На склад привезли 6 ц сахара и разложили его в мешки по 60 кг. Сколько мешков получилось? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н 2) 72 : 6; а) Вычислите: 1) 45 : 3; б) Вычислите: 1) 90 : 30; 2) 80 : 20; в) Найдите неизвестное число: 1) Ь9 = 81; 2) 500 : х = 50. П Вариант II. 3) 84 : 3. 3) 600 : 300. 3) 6 500 : 500. а) Вычислите: 1) 320 : 20; 2) 840 : 70; б) Найдите неизвестное число: 1) n : 300 = 600; 2) 900 : к = 90. в) Сок из 45-литрового бидона разлили по трёхлитровым банкам. Сколько банок понадобилось? 81 Тренировочные упражнения. Н 11 10 Вычислите: а) 105 : 5; в) 91 : 7; д) 64 : 4; ж) 84 : 6; б) 60 : 20; г) 800 : 200; е) 1 600 : 800; з) 960 : 80. Выполните деление, подбирая частное с помощью умножения: а) 36 : 12; в) 45 : 15; д) 48 : 24; ж) 32 : 16; б) 60 : 12; г) 75 : 15; е) 96 : 24; з) 80 : 16. Расстояние между городами составляет 240 км. Каждый час автомобиль проезжает 60 км. На сколько меньше времени понадобилось бы ему, чтобы проехать это расстояние, если бы он ехал со скоростью 80 км/ч? 12 П 13 Автомобиль проехал от одного города до другого со скоростью 80 км/ч за 6 часов. Сколько суток потребовалось бы, чтобы проехать это расстояние на велосипеде со скоростью 10 км/ч? М 14 Пешеход делает за 1 секунду 2 шага. Шагая с такой скоростью, он пройдёт 280 м за 2 мин 20 с. Чему равна длина шага этого пешехода? Ш Н б) 85 : 1; [~15| Найдите значение выражения: а) 0 : 27; [~i6j Вычислите: а) 85 : 5; г) 147 : 7; ж) 56 : 4; б) 90 : 30; д) 400 : 200; з) 1 200 : 300; в) 48 : 12; е) 60 : 15; и) 72 : 24; в) 87 : 87. к) 490 : 14; л) 128 : 32; м) 360 : 72. 17 За 6 блокнотов заплатили 144 рубля. Сколько стоит ластик, если его цена в 3 раза меньше цены блокнота? т П 18 Денис идёт с постоянной скоростью от дома до остановки автобуса, расстояние до которой равно 1 км 200 м. Через 1 0 мин после выхода ему остаётся пройти 600 м. Сколько минут требуется Денису на эту дорогу? ш М 19 Рашид идёт с постоянной скоростью от дома до школы. Через 8 мин после выхода ему остаётся пройти 550 м, через 10 мин — 450 м. Сколько минут занимает у Рашида вся дорога? Чему равно расстояние от дома до школы? 82 Упрощение вычислений Вспоминаем то, что знаем Сформулируйте — правило умножения суммы на число; — правило умножения разности на число; — правило группировки множителей. Открываем новые знания Запишите в виде числовых и буквенных равенств сформулированные вами свойства и правила. Найдите значение выражений: а) 4^137 + 6^ 137 = 548 + 822 = _; б) 4 137 + 6^ 137 = (4 + 6)^ 137 = 10^ 137 = _; в) 2 687 5 = 1 374 5 = _; г) 2 687 5 = 2 5 687 = 10 687 = _ Можно ли сказать, что в некоторых случаях найти значения выражений было проще? • В каких случаях? • Как это сделано? Как можно упростить вычисления? 83 Отвечаем, проверяем себя по тексту Вынесение общего множителя за скобки V Распределительное, сочетательное и переместительное свойства сложения и умножения применяются для упрощения вычислений. Распределительное свойство позволяет выносить общий множитель за скобки. Например: 27 16 + 27^ 14 = 27 (16 + 14) = 27 30 = 810; 18 11 + 22 11 = (18 + 22)11 = 40^ 11 = 440; 27 16 - 27 14 = 27 (16 - 14) = 27 2 = 54; 22 11 - 18 11 = (22 - 18)11 = 4 11 = 44. Вынесенный за скобки общий множитель можно записывать как слева, так и справа от скобок. Группировка Сочетательное и переместительное свойства умножения позволяют группировать множители. Например: 2 7 5 10 = (2 5 10) 7 = (10 10) 7 = 100 ^ 7 = 700. Сочетательное и переместительное свойства сложения позволяют группировать слагаемые. Например: 2 + 7 + 8 + 3 = (2 + 8) + (7 + 3) = 10 + 10 = 20. Развиваем умения Н П<~| • Продолжите предложения. - Общий множитель можно выносить за скобки на основании - Группировать множители можно на основании ... - Группировать слагаемые можно на основании ... 84 д) 3^47 + 13 47; е) 94 ^23 + 74^ 23. f2] Вычислите, вынося общий множитель за скобки: а) 90 25 + 10 25; в) 4 16 + 16 6; б) 50 32 - 49 32; г) 134 25 - 34 25; [~3] Вычислите, используя распределительное свойство: а) (100 + 12)20; б) 105 30; в) (200 - 25)4; г) 192 2. [~^ Вычислите, сгруппировав множители: а) 3 10 2 5; б) 25 13 410; в) 25 32^8. [~^ Вычислите, сгруппировав слагаемые: а) 180 + 250 + 120 + 150; б) 270 + 130 + 60 + 40; в) 125 + 75 + 100 + 10 + 90; г) 424 + 317 + 146 + 263. [~6] Расскажите, как предлагается сделать вычисления, и найдите значения выражений: а) 234 5 = (200 + 30 + 4)5 = 200 5 + 30 5 + 4 5 = _; б) 963 : 3 = (900 + 60 + 3) : 3 = _; в) 40 50 = (4^ 10)(5^ 10) = (4 5)(10^ 10) = _; г) 600 : 200 = (600 : 100) : (200 : 100) = _; д) (84) : 6 = (60 + 24) : 6 = _ . 1^7] Вычислите: а) 50 30; в) 36 3; д) 123 4; б) 60 : 30; г) 36 : 3; е) 91 : 7. Решите задачи, записав выражения. а) На первом принтере за одну минуту можно распечатать 6 страниц, а на втором - 8. Сколько страниц можно распечатать на этих двух принтерах за 10 минут, если они будут работать одновременно? б) Картонки с пуговицами уложили в большую коробку в 6 слоёв. В каждом слое 2 ряда по 5 картонок. Сколько пуговиц положили в коробку, если на каждой картонке прикреплены 20 пуговиц? 85 8 Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Вычислите, используя распределительное свойство: 1) 90^15 + 10^15; 2) 150^40 - 149 40. б) Вычислите устно: 1) 40 : 2; 2) 700 6; 3) 840 : 3. в) Петя потратил на дорогу от дома до стадиона 4 минуты, а от стадиона до школы — 6 минут. Чему равно расстояние от дома до школы, если скорость движения Пети 60 м/мин? Дом •— Стадион Школа П Вариант II. а) Вычислите, используя распределительное свойство: 1) 102 20; 2) (100 — 5)2; 3) 280 3. б) Вычислите устно: 1) 200^ 300; 2) 900 : 300; 3) 480 : 20; 4) 120 4. в) Малыш построил дом из кубиков. В нём кубики лежат в пять слоёв, по 4 ряда из 3 кубиков в каждом слое, и венчает постройку башня из 2 кубиков. Сколько всего кубиков в этом доме? Тренировочные упражнения. Н [~^ Вычислите устно: а) 450 : 50; б) 54 : 3; в) 30 • 20; 10 11 г) 900 : 300; д) 98 : 7; е) 154; ж) 420 : 2; з) 600 : 200; и) 420 • 2; к) 270 : 90; л) 72 : 12; м) 43 • 4. Придумайте задачу, для решения которой можно использовать каждое из двух выражений: 3 2 + 7 2; (3 + 7)2. Найдите неизвестное число: а) Ь 20 = 0; в) 500 • x = 500; д) у • 400 = 0; б) n : 40 = 0; г) 70 : к = 1; е) г : 19 = 1. 86 П 12 Ученик задумал число, умножил его на 9, потом это же задуманное число умножил на 11 и результаты сложил. У него получился ответ 180. Какое число задумал ученик? М 13 Для упрощения вычислений можно использовать равенства: 37 3 = 111; 71113 = 1 001. Вычислите, воспользовавшись одним из равенств: а) 37 12; б) 77 26; в) 182 66; г) 39 14 22. Ш Н 14 15 16 Вычислите устно: а) 105 5; б) 84 : 7; в) 44 : 4; г) 30 20. Выполните деление, подбирая частное с помощью умножения: а) 48 : 12; б) 30 : 15; в) 72 : 24; г) 34 : 17. Петя прошёл расстояние от дома до школы за 5 минут. За первую минуту он прошёл 100 м, а за каждую последующую - на 5 метров больше, чем за предыдущую. Чему равно расстояние от дома до школы? Ш П 17 Некоторые числа можно умножить на 15 устно. Например: 42 • 15 = 42 • (10 + 5) = 420 + 210 = 630. Вы видите, что этот же результат можно было получить, приписав к числу 42 справа нуль и прибавив половину полученного числа. Пользуясь этим приёмом, выполните умножение на 15 чисел а) 62; б) 120; в) 32; г) 780; д) 1 420. Ш М 18 Старинная русская задача. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади. Он взял на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почём? 87 .7 Устное и письменное сложение и вычитание чисел Повторяем, обобщаем знания ■«-< Как выглядит таблица сложения и вычитания однозначных чисел? ■W* Как принято делать вычисления с помощью этой таблицы? При сложении и вычитании однозначных чисел удобно пользоваться таблицей: Таблица сложения и вычитания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 12 14 15 7 8 9 10 11 12 12 14 15 16 8 9 10 11 12 12 14 15 16 17 9 10 11 12 12 14 15 16 17 18 В верхней строке и крайнем левом столбце записаны слагаемые. Цветом выделен результат сложения. Например: число 5, выделенное зелёным цветом, — это результат сложения 2 и 3. Результаты сложения и вычитания однозначных чисел обычно заучивают наизусть и действия выполняют устно, так как это даёт возможность делать вычисления быстро. 88 • Какие многозначные числа удобно складывать и вычитать устно? €> Какие приёмы устного сложения и вычитания многозначных чисел вы знаете? ^KpRiEB^IL Запись некоторых многозначных чисел заканчивается нулями. Это так называемые круглые числа. Убрав нули, мы узнаем число содержащихся в них десятков, сотен, тысяч и т.д. Например: убрав в числе 150 нуль в конце записи, мы узнаем полное число десятков, так как 150 = 15 10; в числе 1 500 - 15 сотен или 150 десятков, так как 1 500 = 15^ 100 или 150 10; в числе 15 000 - 15 тысяч, или 150 сотен, или 1 500 десятков, так как 15 000 = 15 1 000, или 150^ 100, или 1 500^ 10. Мы можем складывать или вычитать некоторые круглые числа устно, опираясь на распределительное свойство умножения. Например: 50 000 + 70 000 = 5^ 10 000 + /• 10 000 = (5 + /)• 10 000 = 120 000. Сокращённо это делается так: 5 дес. тыс. + 7 дес. тыс. = 12 дес. тыс. = 120 000. Принято считать, что многозначные числа удобно складывать и вычитать устно, если действия над ними можно свести к сложению и вычитанию в пределах 100. • В каких случаях сложение и вычитание многозначных чисел выполняют письменно? • Как называется форма записи чисел при письменных сложении и вычитании? • Как располагаются числа при этих письменных вычислениях? Почему? • С какого разряда начинают делать эти письменные вычисления? ® Как при этом складывают и вычитают числа? Сложение и вычитание многозначных чисел выполняют письменно, если устные вычисления сделать трудно. Вычисление суммы или разности многозначных чисел требует не только знания таблицы сложения и соответствующих случаев вычитания, но и свойств этих действий. Например: сумму чисел 35 и 41 устно можно найти так: (30 + 5) + (40 + 1) = (30 + 40) + (5 + 1) = (3 + 4)^ 10 + (5 + 1) = = 7 10 + 6 = 76. Вычисления здесь сделаны по разрядам: десятки складывают с десятками, единицы с единицами. Письменное сложение обычно записывают столбиком: так удобнее делать вычисления по разрядам. При этом числа располагают друг под другом таким образом, чтобы разряд одного числа находился под таким же разрядом другого числа. Начинают вычисления с младшего разряда. 89 Здесь число 35 складывают с числом 41. Сначала складывают цифры в разряде единиц* 5 + 1 = 6. Полученную цифру 6 записывают в разряде единиц. Затем складывают цифры в разряде десятков: 3 + 4 = 7 десятков. Полученную цифру 7 записывают в разряде десятков. Так же по разрядам производят действие вычитания. О Как поступают, если сложение цифр в каком-либо разряде даёт число, большее девяти^ Как поступают, если при вычитании цифра в разряде уменьшаемого меньше цифры в разряде вычитаемого? i Сложение и вычитание с переходом в другой разряд Если сложение в каком-либо разряде даёт в результате число, большее девяти, то поступают так: десять единиц разряда, в котором складывают, заменяют единицей следующего разряда и прибавляют к единицам следующего разряда, а единицы этого разряда записывают в разряде, в котором складывают. Например: 1 i • ■ 5 1 1 2 8 Здесь к числу 135 прибавляют число 293. Сначала складывают цифры в разряде единиц: 5 + 3 = 8. Полученную цифру 8 записывают в разряде единиц. Затем складывают цифры в разряде десятков: 3 + 9 = 12 'десятков. Двенадцать десятков нельзя полностью записать в один разряд - это 10 десятков и 2 десятка. Десять десятков заменяют 1 сотней и прибавляют к сотням, а два десятка записывают в разряде десятков. Складывают цифры в разряде сотен: 1 + 1 + 2 = 4 сотни. Полученную цифру 4 записывают в разряде сотен. * Для краткости принято говорить «складывают цифры», имея в виду, что складывают однозначные числа, записанные этими цифрами. 90 Если при вычитании цифра в разряде уменьшаемого меньше цифры в разряде вычитаемого, то поступают так. «Занимают» одну единицу в следующем старшем разряде уменьшаемого. Эти вычисления записывают, отмечая точкой разряд, в котором «занята» единица. Например: « 1 2 8 1 б и Здесь из числа 172 вычитают число 8. Вычитают цифры в разряде единиц: 2 < 8, значит, из двух нельзя вычесть восемь. Занимают одну единицу следующего старшего разряда (десятков). Один десяток - это десять единиц. 10 + 2 = 12. 12 > 8. Из числа 12 можно вычесть восемь: 12 — 8 = 4. Полученную цифру 4 записывают в разряде единиц. Развиваем умения Н • Объясните записи , 280 + 315 595 4 000 ____9 3 991 [~2] Разбейте выражения на группы: в одну группу запишите те из них, значения которых можно найти устно, а в другую — те, значения которых проще найти с помощью письменных вычислений. Обоснуйте свой ответ. а) 7 + 9; б) 700 + 900; в) 703 — 629; г) 12 000 — 4 000; д) 4 578 + 3 925; е) 23 — 12. [~3] Вычислите устно: а) 12 800 + 4 000 + 200 + 6 000; б) 4 700 — 1 200 + 500 — 2 200; в) 150 + 250 + 10 000 — 400. [~Г~| а) Увеличьте 408 на 12. б) Уменьшите 10 000 на 999. в) Найдите сумму чисел 9 999 и 1. г) Найдите разность чисел 1 000 000 и 1. 91 I"5! Вычислите письменно и сделайте проверку: а) 784 + 296; д) 1 356 - 246; б) 999 + 324; е) 92 603 - 1 799; в) 6 856 + 86 281; ж) 10 101 - 9 898; г) 159 996 + 9 070 004; з) 987 654 - 123 456. [~^ Найдите неизвестное число: а) Ь + 509 = 600; в) 416 + х = 701; д) у - 804 = 804; б) n - 219 = 567; г) 900 - к = 99; е) 317 + с = 317. [~У| а) Автомобиль за три дня проехал 907 км. За первые два дня он проехал 618 км. Сколько километров проезжал автомобиль в каждый из трёх дней, если во второй день он проехал на 129 км больше, чем в третий? б) В коробке 850 конфет в фантиках разного цвета: красного, синего, жёлтого и зелёного. Конфет в красных и синих фантиках - 204 штуки, конфет в жёлтых фантиках - на 20 штук меньше, чем в красных, а в зелёных - на 41 8 штук больше, чем в красных. Сколько конфет в фантиках каждого цвета лежит в коробке? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Вычислите и сделайте проверку: 1) 823 - 515; 2) 1 714 - 306; 3) 1 247 + 823; 4) 5 442 + 608. б) Сравните значения выражений, делая вычисления устно (>, <, =): 450 + 350 * 420 + 360; 4 200 - 3 100 * 4 800 - 2 900; 500 - 400 * 540 - 440; 370 + 30 * 320 + 60. в) Купили три отреза ткани. Длина синего отреза равна 355 см, это на 159 см меньше длины красного и на 70 см больше длины жёлтого. Выразите длину красного и жёлтого отрезов в метрах и сантиметрах. П Вариант II. а) Вычислите и сделайте проверку: 1) 3 926 + 77 275; 3) 1 506 - 156; 2) 148 897 + 50 009; 4) 91 630 - 1 898. б) Задумали число, уменьшили его на 519 и получили 991. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. в) В многоквартирном доме 340 квартир: однокомнатных, двухкомнатных и трёхкомнатных. Двухкомнатных и трёхкомнатных - 220, а однокомнатных на 20 больше, чем трёхкомнатных. Сколько в этом доме квартир каждого вида? 92 Тренировочные упражнения. Н 8 Вычислите и сделайте проверку: а) 920 - 410; г) 13 600 + 400; б) 6 300 - 200; д) 5 500 - 2 500; в) 25 000 + 45 000; е) 920 000 - 200 000. Г9] Определите последнюю цифру результата: а) 415 + 117; б) 1 703 - 94; в) 5 928 + 6 432; г) 1 500 - 193. 10 Вычислите: а) (5 486 + 3 578) + 1 422; б) (357 + 589) + (211 + 643); в) 4 523 + (3 788 + 1 477); г) 4 317 + (849 + 1 983) + 941. 11 а) Задумали число, увеличили его на 200 и получили число 315. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. б) Задумали число, уменьшили его на 200 и получили число 315. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. в) Из числа 315 вычли задуманное число и получили 200. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. П 12 а) Масса яблока и апельсина составляет 415 г, апельсина и груши - 430 г. Чему равна масса каждого из этих фруктов в отдельности, если вместе они весят 565 г? б) В гирлянде 44 фонарика четырёх цветов. Красных, синих и зелёных фонариков вместе 37 штук; синих, зелёных и жёлтых - 29 штук; красных, зелёных и жёлтых - 32 штуки. Сколько в этой гирлянде фонариков каждого цвета? 13 Замените знаки нужными цифрами. а) +72* + Ьк3 *98 б) *52 6к4 28* в) + 5** + *79 *381 М 14 15 Тройка лошадей пробежала 50 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь? Чтобы сварить яйцо, нужно 5 мин. Сколько нужно времени, чтобы сварить 2 яйца? 10 яиц? 93 т Н 16 17 Вычислите: а) 4 200 - 200 + 400 + 600; б) (30 + 100) + (900 + 670); в) 5 000 + (800 + 7 200) - 0; г) 200 000 - 100 000 + 5 000 - 5 000 + 0; Вычислите: д) 5 900 - 4 000 + 10 - 900; е) (540 + 290 ) - (190 + 340); ж) (919 - 127 ) - (139 + 203); з) 18 000 - 1 800 - 180. а) 191 919 + 919 191; б) 7 080 004 - 159 996; в) 545 455 - 454 545; г) 10 004 + 34 806. 18 19 20 а) Сколько килограммов в 102 т, в 450 ц? б) Сколько граммов в 20 кг, в 2 ц? Сравните (>, <, =): а) 5 км * 500 м; в) 300 кг * 3 ц; б) 1 ч * 70 мин; г) 60 с * 2 мин. К началу учебного года в коробке было 160 кусков мела. В сентябре из коробки достали 39 кусков мела - это на 11 кусков меньше, чем в октябре, а к началу второй четверти в коробку добавили 85 кусков. Сколько кусков мела было в коробке к началу второй четверти? Ш П 21 22 В коробке лежат мотки ниток для вышивания, мотки кружев и клубки шерсти. Сколько в этой коробке мотков кружев, если мотков ниток для вышивания и мотков кружев в ней 9 штук, мотков кружев и клубков шерсти - 1 1 штук, а мотков для вышивания и клубков шерсти - 10 штук? Папа с сыном играют в солдатики. У папы на два солдатика больше, чем у сына, а всего у них 12 солдатиков. Сколько солдатиков у каждого? ш М 23 В примерах на сложение одинаковые цифры были заменены одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами (в каждом примере по-своему). Восстановите первоначальные записи. а) + удар б) удар + деталь деталь изделие 24 драка Сколько существует двузначных чисел, у которых вторая цифра больше первой? 94 Устное и письменное умножение чисел Повторяем, обобщаем знания Как выглядит таблица умножения однозначных чисел? Как делают вычисления с помощью этой таблицы? При умножении однозначных чисел принято пользоваться таблицей: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 49 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 В верхней строке и крайнем левом столбце записаны множители. Цветом выделен пример нахождения произведения чисел 2 и 3. Результаты умножения однозначных чисел обычно заучивают наизусть и выполняют устно, так как это даёт возможность делать вычисления быстро. 95 о Какие многозначные числа удобно перемножать устно? ^ Какие устные приёмы умножения многозначных чисел вы знаете? Перемножать устно, так же как складывать и вычитать, удобно такие круглые числа, у которых после отбрасывания крайних справа нулей остаётся один-два разряда. Например: 50 000 6 = 5 10 000 6 = (5 6)10 000 = 30^ 10 000 = 300 000 или 50 000 60 = (5 6)^ (10 000 • 10) = 30 • 100 000 = 3 000 000. Здесь мы выполнили вычисления, опираясь на переместительное и сочетательное свойства умножения. Зная эти свойства, произведение 50 000 • 6 можно найти ещё проще: 5 10 000, это 5 десятков тысяч. Умножаем 5 дес. тыс. на 6, получаем 30 дес. тыс. Чтобы получить окончательный результат, 30 надо умножить на 10 000 или приписать к числу 30 справа четыре нуля, получаем 300 000. Найдём произведение 480 • 2. 480 2 = (400 + 80)2 = 400 2 + 80 2 = (4 2^ 100) + (8 2 10) = = 800 + 160 = 960. Здесь мы выполнили вычисления, опираясь на сочетательное, распределительное и переместительное свойства умножения. Этот же результат можно найти так: 48 дес. 2 = 96 дес. К числу 96 справа приписываем нуль и получаем результат 960. Принято считать, что многозначные числа удобно перемножать устно, если действия над ними можно свести к умножению чисел в пределах от 1 до 100. О В каких случаях умножение многозначных чисел выполняют письменно? Произведение многозначных чисел находят письменно, если устные вычисления трудно сделать, что может привести к ошибке. Умножение многозначного числа на однозначное или многозначного на многозначное требует знания не только таблиц сложения и умножения, но и свойств этих действий. Например, произведение чисел 167 и 3 можно найти так: 167 • 3 = (100 + 60 + 7) • 3 = 100 • 3 + 60 • 3 + 7 • 3 = 300 + 180 + + 21 = 501. Письменные вычисления записывают столбиком, делая эти вычисления по разрядам. Найдём произведение чисел 167 и 3. 96 7! 6 7 i Сначала умножаем 7 единиц на 3, получаем 21 единицу, это 2 десятка и 1 единица, 1 единицу пишем в разряд единиц, 2 десятка запоминаем, чтобы прибавить к десяткам после умножения десятков. Затем умножаем 6 десятков на 3, получаем 18 десятков, да ещё 2 десятка запомнили, 20 десятков - это 2 сотни 0 десятков, 0 пишем в разряде десятков, 2 сотни запоминаем, чтобы прибавить к сотням после умножения сотен. Дальше умножаем 1 сотню на 3, получаем 3 сотни, да ещё 2 сотни запомнили, получаем 5 сотен. Пишем 5 в разряде сотен. Читаем ответ: 501. Развиваем умения Н # Объясните записи: а) 2 9 2 1 1 д 8 9 6 б) 2 9 и б б 8 б А А А в) 7:. 2 9 / h 0 1 i б 8 9 б С г) 7 2 9 7) 2 Ц 6 б 9 б 6 I 7 I # Расскажите, какие свойства действий используют при умножении многозначных чисел. Г3] Вычислите произведения устно: а) 3 000^400; б) 1 200 4; в) 2313; [~^ Вычислите письменно: а) 132 5; г) 640 3; б) 80 338; д) 105 40; в) 955 317; е) 302 648; [~^ Вычислите, вынося общий множитель за скобки: а) 25 980 + 20 25; б) 510 18 - 10 18; 0 а) За 3 ручки заплатили 150 р. Сколько стоит одна ручка? б) Купили 4 одинаковых альбома по цене 300 р. Чему равна стоимость покупки? ж) 5 • 409; з) 4 020 • 60; и) 4 200 4 500; г) 1 202 • 4. к) 217 3; л) 47 • 34; м) 407 • 34. в) 302 99 + 302. 97 в) Общая стоимость 7 одинаковых шоколадок составляет 280 р. Чему равна цена такой шоколадки? [~У| а) Для библиотеки купили 20 книг по 90 р. и столько же альбомов с репродукциями — на общую сумму 2 800 р. Сколько стоит один альбом с репродукциями? б) Комплект мебели для класса состоит из 30 стульев и такого же количества столов. Стоимость комплекта — 90 000 р. Сколько стоит один стул, если стоимость всех столов составляет 60 000 р.? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Вычислите письменно: 1) 3 207; 2) 60 245; 3) 203 30. б) Сравните значения выражений, выполняя вычисления устно (>, <, =) : 1) 50 5 * 40 6; 2) 420 : 7 * 4 200 : 700. в) В поезде 6 плацкартных вагонов и 10 купейных. В плацкартном вагоне 54 спальных места. Сколько спальных мест в купейном вагоне, если всего в этих вагонах 684 спальных места? Вариант II. П а) Вычислите письменно: 1) 127 415; 2) 701329; 3) 3 700 ^ 2 100. б) Задумали число, уменьшили его в 500 раз и получили 90. Какое число задумали? Запишите действие, с помощью которого его можно найти. в) В кинотеатре два зрительных зала: большой и малый. В большом зале 45 рядов по 55 мест в каждом, в малом - 23 ряда по 25 мест в каждом. На сколько в большом зале мест больше, чем в малом? Тренировочные упражнения. Н 8 Вычислите письменно: а) 86 • 49; б) 942 • 18; в) 101 332; г) 93^ 15; д) 763 • 27; е) 302 • 648; ж) 83 • 97; з) 847 • 64; и) 321 562. 98 [~9] Найдите неизвестное число: а) у • 50 = 950; в) 400 : x = 200; д) 50 ^ m = 350; б) к : 25 = 8; г) 90 ^ d = 720; е) 105 : m = 15. 10 11 а) Электричка проехала 250 км за 5 часов. С какой скоростью она двигалась? б) Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние он преодолел за это время? в) Турист прошёл 15 км со скоростью 5 км/ч. Сколько времени он был в пути? б) Автотурист ехал со скоростью 80 км/ч и в каждый из трёх дней проезжал по 400 км. Сколько часов он был в дороге за эти три дня? а) Семья отправилась в отпуск на автомобиле. Они потратили на дорогу 3 дня, проезжая каждый день по 450 км. Сколько километров в день им надо проезжать на обратном пути, если они хотят вернуться домой за 2 дня? П 12 Поезд проехал 100 км за 1 ч 30 мин. Какое расстояние, двигаясь с такой же скоростью, он проехал за 45 мин, за 3 часа? М 13 Возьмите любое трёхзначное число, припишите к нему такое же число. Разделите полученное шестизначное число на 7. Результат разделите на 11. Результат разделите на 13. У вас получилось то трёхзначное число, с которого вы начали. Почему? 99 ш Н 14 Вычислите: а) 420 : 60; г) 567 : 567; ж) 180 : 30; б) 42 : 2; д) 84 : 6; з) 44 : 11; в) 30 : 1; е) 0 4; и) 0 0. 15 Вычислите: а) 16 •59; г) 103^ 12; ж) 63 • 45; б) 925 • 12; д) 853 • 37; з) 917 84; в) 202 • 437; е) 330 • 640; и) 1 200 • 56. 16 17 18 Вычислите письменно: а) 271 659 + 839 451; в) 646 466 - 466 646; б) 9 090 001 - 239 889; г) 12 003 + 98 807. а) Сколько минут в 3 ч, 15 ч? б) Сколько часов в 2 сутках, 5 сутках? в) Сколько секунд в 1 ч, 3 ч? а) В 20 коробках - 140 фломастеров. Сколько фломастеров в 25 таких же коробках? б) Автомат на кондитерской фабрике заворачивает 217 конфет за 3 минуты. Сколько конфет он завернёт за 6 минут? Ш П 19 Верстальщик за 30 дней должен был сделать 450 страниц. Но он верстал в день на 3 страницы больше. На сколько дней раньше он выполнил задание? т М 20 Шесть котов за шесть минут съедают шесть баночек сметаны. Сколько котов за сто минут съедят сто баночек сметаны? 100 Степень числа. Квадрат и куб числа Вспоминаем то, что знаем Найдите значение выражения 2^2^2^2^2^2^2^2. • Сравните выражения слева и справа от знака равенства и объясните, что означает каждый знак в записях. а) 4 4 4 = 43; б) 5 5 5 5 5 = 55; в) 12 12 = 122. Открываем новые знания О Как кратко записать произведение 2 2 2 2 2 2 2 2? • Что означает каждый знак в такой записи? Отвечаем, проверяем себя по тексту Произведение, в котором все множители равны друг другу, можно записать короче. Например: 2 2 2 2 2 2 2 2 = 28. Запись 28 называют степенью и читают «два в восьмой степени». В этой записи число 2, которое перемножали, называют основанием степени, число 8, которое показывает, сколько множителей было в произведении, называют показателем степени. 101 Отвечаем, проверяем себя по тексту Степенью числа а с натуральным показателем п, большим единицы, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. а^а^а^...^а, = ап ^ ^ ^ п Вычислим 34: 34 = 333 3 = 81. Первая степень числа — само это число. Первая степень числа Квадрат числа Куб числа 1 а' = а. 7 Вторую степень числа называют также квадратом числа. Запись 32 читают «три во второй степени» или «три в квадрате». Третью степень числа называют также кубом числа. Запись 53 читают «пять в третьей степени» или «пять в кубе». Развиваем умения М Н [Т] • Запишите сумму в виде произведения: а) 5 + 5; б) 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9; в) 15 + 15 + 15 + 15 + 15. [~^ Запишите произведение в виде степени: а) 5 5; б) 9999999999; в) 15 15 15 15^ 15. [~^ Прочитайте степени: 51, 53, 54, 52, 56. Закончите предложения: — Произведение п множителей, каждый из которых равен а, называется — Принято считать, что первая степень числа равна ^ — Квадратом числа называют ^ — Кубом числа называют ^ 102 [~^ Вычислите: а) 42; б) 63; в) 54; г) 25; д) 73; е) 82; ж) 111; з) 122; и) 1003. Г6! Сравните значения выражений (>, <, =): а) 2^3 * 23; б) 54 * 5 4; в) 45 * 4 5^ 5. 1^ Запишите числа 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000 в виде степени с основани-— ем 10. Запишите число в виде степени несколькими способами: а) 4; б) 8; в) 9; г) 81; д) 64. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Вычислите: 1052; 123. б) Запишите числа в виде степени с основанием 2: 2; 8; 32. в) Сравните значения выражений (>, <, =): 5^3 * 53; 52 * 25; 34 * 43. Вариант II. П а) Запишите квадраты чисел от 0 до 10. б) Запишите число, куб которого равен: 27; 8; 125. в) Сравните значения выражений (>, <, =): 12 3 52 * 53^ 36; (90 : 30)2 * (9 : 3)3; 312 - 62 * 312 - 63. Тренировочные упражнения. Н [~9] Начертите в тетради такие же таблицы и заполните их. а) a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a2 a3 б) a 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a2 103 8 10 Найдите значения выражений, пользуясь таблицами из упражнения 9: а) 10 43; д) 103 : 200; б) 73 • 20; е) 202 : 40; в) 400 - 500 : 52; ж) 203 12 - 162; г) (100 - 82)2 : 3; з) (76 - 66)3 • 20. 11 12 Вычислите, используя таблицы из упражнения 9: а) 2 2 2 2 2 4; в) (32)(32)(32); б) 145 5 5; г) 7 7 7 2 2 2. Сторона квадрата равна а см. Площадь этого квадрата: а-а = а2 (см2). а см а см 13 14 Найдите площадь квадрата со стороной: 1 см, 2 см, 9 см, 12 см. С помощью степеней числа 10 число 427 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых таким образом: 427 = 4 102 + 2 10 + 7. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: а) 642; б) 5 986; в) 401; г) 4 062. Определите, по какому правилу составлен ряд чисел, и запишите следующие три числа: а) 1,4, 9, 16, _ ; б) 1,8, 27, 64, _ ; в) 1, 16, 81, _ . П 15 В некоторых случаях при вычислении степени числа можно сделать прикидку результата, округлив основание степени до старшего разряда этого числа. Например: 482 » 502 = 2 500. Выполните прикидку результата таким же образом: а) 392; б) 523; в) 912. М 16 Докажите, что данные высказывания ложные, не выполняя точных вычислений: а) 242 = 4 016; б) 362 = 4 036; в) 1022 = 1 004. 104 17 Докажите, что данные высказывания истинные, не выполняя точных вычислений: а) 392 < 2 000; б) 562 < 4 000; в) 622 > 3 000. Ш Н 18 Вычислите: а) 262; б) 373; в) 413; г) П1; д) 112. 19 Найдите значения выражений, пользуясь таблицами из упражнения 9: 20 а) 15 43; б) 102 : 50; в) (92 - 82)3 : 2; Вычислите письменно: а) 101 809 + 729 001; б) 1 080 990 - 159 009; г) 103 : 20; д) 300 + 100 : 52; е) (16 + 24)220; в) 525 255 - 125 969; г) 15 004 + 105 906; 21 22 Вычислите письменно: а) 12 30; в) 105 11; б) 435 15; г) 240 750; Вычислите устно: а) 450 : 50; г) 107 : 107; б) 44 : 11; д) 96 : 6; в) 50 : 1; е) 0 : 400; д) 60 • 93; е) 1 100 33; ж) 160 : 40; з) 66 : 33; и) 60 0; ж) 83^ 10; з) 104^ 15 - 122; и) 172 + 132 - 73. д) 419 011 - 57 478; е) 19 961 + 16 349. ж) 116 24; з) 103 407. к) 226 : 113; л) 84 : 6; м) 205 : 5. 23 а) В первый день автомобиль был в дороге 4 часа, двигаясь со скоростью 80 км/ч, а во второй день - 5 часов и проехал такое же расстояние, как и в первый день. В третий день он двигался с такой же скоростью, как и во второй, и проехал 640 км. Сколько часов был этот автомобиль в дороге в третий день? Какое расстояние он проехал за 3 дня? 105 б) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 часов печатает столько же страниц, сколько первая за 4 часа. Сколько страниц напечатают обе машинистки за 3 часа совместной работы? в) На полке стоят три книги. В первой книге 360 страниц. Это на 310 страниц меньше, чем во второй книге, и в шесть раз больше, чем в третьей. Сколько страниц во второй и третьей книгах? г) Папе 35 лет. Он в два раза моложе дедушки и на 28 лет старше сына. Сколько лет дедушке и сыну? Ш П 24 25 Вычислите приближённо, предварительно округлив основания степени: а) 193; б) 283; в) 212; г) 322. Запишите цифру, которой оканчивается: а) квадрат числа: а) 421; б) 103; в) 202; г) 27; б) куб числа: а) 125; б) 263; в) 92; г) 437. т М 26 Впишите вместо звёздочек такие цифры, чтобы получилось верное равенство: а) (Н<)2 = **1; б) (^)2 = ***6; в) (^)2 = ***9. 106 i„lO' Деление с остатком Повторяем, обобщаем знания Всегда ли можно разделить большее натуральное число на меньшее? Как число 17 разделить на 2? Как число 89 разделить на 21? Как называется такое деление? Деление Г Г\ГТЛТиГ\Кк Деление одного натурального числа на другое, как вам уже известно, не всегда возможно. Например, число 17 не делится на 2, так как нет такого натурального числа, при умножении которого на 2 получилось бы 17. ► Число 17 делится на 2 с остатком. Возьмём наибольшее число до 17, которое делится на 2 без остатка. Это 16. Делим 16 на 2, получаем 8, находим остаток: 17 - 16 = 1. Таким образом, 17 : 2 = 8 (ост. 1). Число 17 здесь делимое, 2 - делитель, 8 - неполное частное, 1 - остаток. Может ли остаток быть больше делителя? Может ли остаток быть равен делителю? В каком случае остаток равен нулю? Как найти неизвестное делимое при делении с остатком, если известны делитель, неполное частное и остаток? Как найти делимое при делении с остатком I Остаток всегда меньше делителя. Если делимое делится на делитель без остатка, или нацело, то иногда говорят, что остаток равен нулю. Если при делении с остатком известны делитель, неполное частное и остаток, но не известно делимое, то для его нахождения нужно неполное частное умножить на делитель и прибавить остаток. Например, если x : 2 = 8 (ост. 1), то x = 8 2 + 1, или x = 17. 107 Развиваем умения Н 1^ • Приведите пример деления с остатком, назовите делимое, делитель, неполное частное, остаток. [~^ Продолжите предложения. - При делении нацело остаток ... - При делении с остатком остаток всегда . - При делении с остатком неизвестное делимое находят так: . [~У| а) Какой наибольший остаток может получаться при делении натуральных чисел на 2; на 3; на 4; на 5? б) Какие остатки получаются при делении натуральных чисел на 6? в) Какой наименьший остаток может получиться при делении натуральных чисел? [~^ Объясните, не выполняя вычислений, почему данные высказывания ложные: 150 : 25 = 5 (ост. 25); 451 : 112 = 3 (ост. 115). [~5| Выполните деление с остатком: а) 50 : 8; г) 83 : 9; ж) 58 : 7; б) 46 : 15; д) 35 : 11; з) 60 : 23; в) 67 : 5; е) 23 : 60; и) 12 : 20; [~^ Найдите делимые: а) a : 15 = 3 (ост. 2); в) c : 11 = 4 (ост. 1); б) d : 8 = 16 (ост. 4); г) m : 42 = 3 (ост. 41); к) 111 : 21; л) 405 : 8; м) 974 : 121. д) x : 9 = 1 (ост. 8); е) у : 17 = 0 (ост. 10). [~У| а) На пошив одного платья требуется 3 м ткани. Сколько таких платьев можно сшить из 200 м ткани? Сколько ткани останется? б) Объём воды в бочке составляет 95 л. В какое количество четырёхлитровых банок можно разлить воду из бочки? Сколько воды останется? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Выполните деление с остатком: 1) 45 : 8; 2) 74 : 9; 3) 37 : 6. б) Шнур длиной 3 м нужно разрезать на куски по 11 см. Сколько таких кусков получится? 108 в) Найдите делимые: 1) d : 4 = 12 (ост. 3); П Вариант II. 2) m : 54 = 2 (ост. 53). а) Найдите ложные высказывания и замените их на истинные: 1) 45 : 15 = 2 (ост. 15); 3) 35 : 11 = 3 (ост. 1); 2) 65 : 8 = 8 (ост. 1); 4) 85 : 25 = 3 (ост. 11). б) Спортсменов построили в колонну по 10 человек в ряд. Получилось 5 полных рядов и один неполный из 8 человек. Сколько спортсменов стоит в колонне? в) Определите делители: 1) 56 : m = 11 (ост. 1); 2) 85 : d = 2 (ост. 15). Тренировочные упражнения. Н 8 Выполните деление с остатком: а) 47: 13; в) 25 : 12; б) 57 : 4; г) 13 : 16; [~9] Выполните деление с остатком: а) 86 : 15; в) 14 : 20; б) 80 : 35; г) 44 : 12; Определите делители: а) 49 : m = 12 (ост. 1); б) 140 : с = 25 (ост. 15); д) 70 : 33; е) 33 : 70; д) 219 : 93; е) 333 : 16; ж) 54 : 17; з) 114 : 20. ж) 611 : 6; з) 6 : 611. 10 в) 93 : d = 3 (ост. 3); г) 200 : а = 3 (ост. 20); д) 501 : x = 19 (ост. 7); е) 500 : у = 6 (ост. 44). 11 Найдите ложные высказывания и замените правые части равенств так, чтобы высказывания стали истинными: а) 70 : 25 = 2 (ост. 20); б) 810 : 90 = 9 (ост. 1); в) 44 : 11 = 3 (ост. 11); г) 800 : 3 = 250 (ост. 50). 12 В подъезде двенадцатиэтажного дома находятся квартиры с первой по сорок восьмую. На каком этаже расположена квартира под номером 37? Число квартир на каждом этаже одинаковое. П 13 Если карандаши разложить в коробки по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько карандашей, если их больше 60, но меньше 100? 109 М 14 Путешественник провёл в дороге 73 часа. При этом он шёл пешком, летел в самолёте и ехал на поезде. На самолёте он передвигался в 8 раз дольше, чем пешком, а на поезде в 8 раз дольше, чем самолётом. Сколько времени он передвигался каждым из названных способов? т Н 16 15 Выполните деление с остатком: а) 35 : 12; в) 47 : 14; д) 80 : 3; ж) 75 : 16; б) 43 : 3; г) 15 : 30; е) 68 : 5; з) 109 : 19. а) Сколько километров и метров в 2 300 м, в 75 750 м, в 153 000 см? б) Сколько метров и сантиметров в 211 см, в 1 212 см? в) Сколько минут и секунд в 400 с, в 250 с, в 1 600 с? г) Сколько часов и минут в 150 мин, в 1 500 мин, в 800 мин? Найдите неизвестное число: а) у 40 = 480; в) 45 : x = 15; д) t - 54 = 54; б) к : 17 = 12; г) 905 - d = 729; е) 421^w = 1 263. 17 ffl П 18 Масса чугунной болванки 15 кг. Сколько таких болванок понадобится для отливки 40 деталей, каждая из которых имеет массу 13 кг? Сколько чугуна останется? т М 19 20 В коробке лежат ложки. Когда их пересчитали десятками, то не хватило двух ложек до последнего полного десятка; когда их пересчитали дюжинами , то осталось 8 ложек. Сколько в коробке ложек, если их больше 150, но меньше 200? В овчарне несколько овец. У них ног на 36 больше, чем голов. Сколько в овчарне овец? 110 Устное и письменное деление Повторяем, обобщаем знания Какие приёмы устного деления многозначных чисел вы знаете? Устное деление S Приёмы устного деления основаны на таблице умножения и деления, взаимосвязи между компонентами действия деления, а также правилах деления суммы и разности на число. Например: 30 : 5 = 6, так как 6 5 = 30, или 50 000 : 5 = 10 000, так как 5 10 000 = 50 000. Найдём частное 480 : 2. 480 : 2 = (400 + 80) : 2 = 400 : 2 + 80 : 2 = 200 + 40 = 240. Здесь мы выполнили вычисления устно, опираясь ещё и на правило деления суммы на число. Делить устно, так же как складывать, вычитать и умножать, удобно числа до 100 и когда действия над числами можно свести к делению чисел до 100. 111 о В каких случаях деление многозначных чисел выполняют письменно? Частное многозначных чисел находят письменно, если устные вычисления трудно сделать. Например, частное чисел 183 и 3 можно найти так: 183 : 3 = (180 + 3) : 3 = 180 : 3 + 3 : 3 = 60 + 1 = 61. Вы видите, что такие вычисления сложны, поскольку надо помнить все промежуточные результаты. Поэтому деление многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное, как правило, производится уголком. Например: выполняем деление 183 на 3 уголком: Выбираем первое неполное делимое. Число сотен в делимом — 1 — меньше делителя, значит, первое неполное делимое здесь - 18 десятков. Первая цифра частного будет записываться в разряде десятков, значит, в частном намечаем две цифры. Делим: 18 : 3 = 6. Десятки поделились нацело. Записываем первую цифру частного (6) в разряд десятков. Делим единицы: 3 : 3 = 1. Единицы поделились на-'цело. Записываем вторую цифру частного (3) в разряд единиц. Читаем результат: 61. Разделим 14 580 на 36. Выбираем первое неполное делимое. Число десятков тысяч в делимом - 1 - меньше делителя, число тысяч в делимом - 1 4 - меньше делителя, значит, первое неполное делимое здесь - 145 сотен. Первая цифра частного будет записываться в разряде сотен, значит, в частном намечаем три цифры. Делим: 145 : 36 = 4 (остаток 1). Сотни поделили с остатком. Записываем первую цифру частного (4) в разряд сотен. Теперь необходимо разделить второе неполное делимое на 36. Второе неполное делимое - это остаток от деления сотен - 1 сотня и десятки - 8 десятков, то есть 18 десятков. Делим: 18 : 36 = 0 (ост. 18). Записываем вторую цифру частного (0) в разряд десятков. Теперь необходимо разделить последнее неполное делимое. Это 180 единиц. Делим: 180 : 36 = 5. Записываем третью цифру частного в разряд единиц. Читаем результат: 405. Эту же запись уголком можно сделать сокращённо: 183 -3 3_ 0 14580 144 18 - 0 -180 180 0 3 61 36 405 14580 144 -180 180 0 36 405 112 Развиваем умения Н [Т] • Объясните, как удобнее выполнить деление устно: а) 65 : 5; в) 90 : 30; д) 60 : 15; б) 480 : 30; г) 1 000 : 500; е) 900 : 450; [~^ €> Объясните, как выполнено деление с остатком: а) 49 : 8 = 6 (ост. 1); б) 62 : 5 = 12 (ост. 2); [~^ • Объясните, как выполнено письменное деление: а) - ж) 750 : 50; з) 5 600 : 80. в) 12 : 80 = 0 (ост. 12). б) - 2864 8 в) 1932 24 д) 129600 320 24 358 192 80 1280 405 46 12 (ост.) 160 40 0 64 1600 64 1600 0 0 16100 46 г) 14084 28 е) - 97963 951 138 350 140 503 951 103 230 8 286 230 0 - 0 0 84 2863 84 0 [~^ Выполните деление устно и сделайте проверку: а) 56 : 4; г) 84 : 7; ж) 80 : 4; б) 85 : 17; д) 90 : 45; з) 32 : 16; в) 450 : 5; е) 4 800 : 800; и) 8 000 : 4; 2853 10 (ост.) к) 64 : 16; л) 72 : 24; м) 1 600 : 800. 113 I"5! Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 45 : 14; в) 29 : 2; д) 73 : 10; ж) 67 : 8; б) 61 : 11; г) 98 : 22; е) 145 : 70; з) 470 : 150. [~^ Выполните деление и сделайте проверку: а) 259 : 7; в) 1 872 : 8; б) 1 876 : 14; г) 3 675 : 15; [~^ Выполните деление и сделайте проверку: а) 9 632 : 32; в) 36 722 : 61; б) 14 400 : 80; г) 1 380 : 60; д) 2 142 : 6; е) 15 216 : 16. д) 20 553 : 51; е) 6 440 : 70. Выполните деление и сделайте проверку: а) 5 180 : 140; г) 28 600 : 520; б) 17 145 : 135; д) 67 176 : 311; в) 56 088 : 456; е) 114 103 : 943; [~^ Найдите неизвестное число: а) у 42 = 4 410; в) 5 400 : x = 600; б) к : 800 = 6; г) 905 ^ d = 4 525; ж) 129 600 : 320; з) 80 772 : 381; и) 101 952 : 236. д) z63 = 1 920; е) и : 84 = 31. 10 а) Околько центнеров и килограммов в 5 670 кг? б) Сколько килограммов и граммов в 2 050 г? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Выполните устное деление и сделайте проверку: 1) 75 : 25; 2) 70 : 35; 3) 54 : 18; 4) 520 : 40. б) Выполните письменное деление и сделайте проверку: 1) 18 147 : 23; 2) 18 600 : 24; 3) 9 576 : 21. в) Сколько тонн и центнеров в 2 560 ц, в 25 600 кг? П Вариант II. а) Выполните устное деление и сделайте проверку: 1) 480 : 8; 2) 3 200 : 400; 3) 9 000 : 2; 4) 9 600 : 800. б) Выполните письменное деление и сделайте проверку: 1) 124 107 : 123; 2) 98 532 : 322; 3) 140 751 : 351. в) В вагоне поезда несколько купе, по 4 места в каждом. Какой номер купе, в котором находится место под номером 15? 114 Тренировочные упражнения. Н 12 13 14 11 Выполните деление устно и сделайте проверку: 360 : 6; 8 100 : 900; 6 000 : 3; Выполните деление письменно и сделайте проверку: а) 259 : 7; г) 18 147 : 23; ж) 9 006 : 79; б) 1 872 : 8; д) 18 600 : 24; з) 7 722 : 117; в) 2 148 : 6; е) 9 576 : 21; и) 16 384 : 256. а) В коробку помещается дюжина* ложек. В такие коробки разложили 290 ложек так, что все коробки оказались заполненными и на столе осталось лежать менее дюжины ложек. Сколько полных коробок получилось? Сколько ложек осталось лежать на столе? б) Отпуск учителя длился 45 дней. Сколько это недель и дней? 5 600 : 800. а) За работу, выполненную двумя мастерами, заплатили 15 300 рублей. Сколько денег получил каждый, если первый мастер сшил 39 пар туфель, а второй - 12 пар туфель той же стоимости? б) В понедельник в магазине продали только пять пар туфель, а во вторник — семь таких же пар. Известно, что за все эти туфли магазин получил 6 300 рублей. На сколько выручка, полученная магазином во вторник, больше, чем выручка, полученная в понедельник? П 15 16 Мальчик нарисовал ряд кружков, в котором повторяются четыре кружка разного цвета: красного, синего, зелёного, жёлтого и снова красного, синего, зелёного, жёлтого и так далее. Какого цвета кружок под номером 10, кружок под номером 21? Не выполняя деления, определите остаток, который получается при делении числа 10 580 а) на 10; б) на 100; в) на 1 000. 1 дюжина = 12. 115 * М 17 Сколько в сентябре понедельников, если 1 сентября — пятница? т Н 18 Выполните деление с остатком: а) 118 : 23; в)400 : 57; б) 458 : 6; г) 683 : 5; д) 487 : 17; е) 588 : 13; 19 Найдите значения выражений: а) 120 23; в) 1003 : 10; б) 103 : 500; г) 500 + 1 500 : 52; ж) 744 : 39; з) 1 011 : 24. д) 42105; е) 1 050 : 15 + 122. 20 21 а) Сколько десятков в числе 1 850? 14 200? б) Сколько сотен в числе 2 900? 15 610? в) Сколько десятков тысяч в числе 110 850? 2 564 200? Наташа и Лена вышли одновременно из одного и того же подъезда и направились в одну сторону. За 4 минуты Наташа прошла на 80 м больше, чем Лена. С какой скоростью шла Наташа, если скорость Лены — 60 м/мин? т П 22 На двух полках 28 книг. На нижней полке книг на 4 больше. Сколько книг на каждой полке? 23 На изготовление 21 0 наволочек первая бригада швей тратит на 2 ч меньше, чем вторая, которая шьёт 42 наволочки за час. Сколько наволочек за час шьёт первая бригада? т М 24 25 До каникул осталось 30 дней. Сколько понедельников может оказаться среди этих дней? а) Найдите какое-нибудь двузначное число, которое при делении на 2 и 3 даёт в остатке 1. б) Найдите какое-нибудь двузначное число, которое при делении на 2, 3 и 5 даёт в остатке 1. 116 Числовые выражения. Порядок действий в выражениях Повторяем, обобщаем знания Что вы знаете о числовых выражениях? Как получить значение выражения? Как устанавливается порядок действий в выражении? Числовые выражения составляют из чисел с помощью знаков арифметических действий. Иногда в записи выражений используют и скобки. Например: 3 + 4; 14 - 7; 18 : 2; (7 + 8) ^5 - это числовые выражения. Если выполнить все указанные в числовом выражении действия, то получится число, которое называют значением выражения. При вычислении значения числового выражения, в котором содержится более одного действия, нужно каким-то образом указать, в каком порядке должны выполняться эти действия. Для этого используется специальная система договорённостей. Порядок действий в выражениях без скобок: а) Если в числовом выражении требуется выполнить только действия сложения и вычитания или только действия умножения и деления, то их выполняют по порядку слева направо. 12 3 12 3 Например: 10 + 15 - 6 - 8 или 15 : 5 4 : 6. б) Если в числовом выражении требуется выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо. 3 14 2 Например: 10 - 15 : 3 + 6^8. 117 в) Если в числовом выражении есть степень числа, то сначала нужно записать её в виде числа и после этого приступать к выполнению остальных действий по уже сформулированным правилам. 2 3 1 Например: 43 - 32 + 6^8 = 64 - 9 + 6 ^8. Порядок действий в выражениях со скобками. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, учитывая уже сформулированные правила. 12 4 3 4 3 2 1 Например: (25 - 10) : 3 + 6 8 или 42 + 18 : (6 + 12 : 4). Следует подчеркнуть, что правила, определяющие порядок действий в выражении, - это общепринятая договорённость, упрощающая записи. Эти правила не выражают свойств чисел или действий с числами — просто так договорились записывать выражения, чтобы запись была по возможности проще. Развиваем умения И Н ПП V Дополните и продолжите предложения. — Из чисел с помощью знаков арифметических действий и ^ составляют — Значением выражения называется ^, которое получают ^ — При вычислении значения выражения необходимо соблюдать ^ [~^ В каких случаях порядок действий указан неправильно? 1 3 2 а) 15 3 + 12 : 4; 3 1 2 в) 35 + (60 - 3)^7; 1 3 2 б) 12 32 - (87 - 39); 3 1 2 г) 100 - (45 + 35 : 7). [~^ Укажите порядок действий в выражении и выполните вычисления устно: а) 120 + 120 : 20 - 10; в) (120 + 120) : 20 - 10; б) 120 + 120 :(20 - 10); г) (120 + 120) : (20 - 10). [~^ Найдите значения выражений: а) 136^ (670 - 570) + 402 : 2; в) 1 808 + (171 734 : 17 - 10 000); б) 1 122 : 11 + 1 890 : 9 + 198; г) 7 000 - (120 • 50 - 900). 118 [~^ Запишите и вычислите: а) сумму чисел 1 011 и 999; б) разность чисел 1 011 и 999; в) произведение чисел 803 и 11; г) частное чисел 803 и 11; д) разность квадратов чисел 4 и 2; е) квадрат разности чисел 4 и 2. Решите задачу, составив выражения. Туристы в первый день прошли 40 км, во второй — на 8 км меньше, чем в первый, а в третий день — в два раза меньше, чем во второй. Сколько километров прошли туристы в третий день? Сколько километров прошли туристы за три дня? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Запишите и вычислите: сумму чисел 409 и 91; разность чисел 300 и 17; произведение чисел 390 и 60; частное чисел 164 880 и 16. б) Укажите порядок действий в выражении и найдите его значение 4 500 : 50 + 100 : 10 - 3; 4 500 : (50 + 100) : 10 - 3. в) Составьте выражение к задаче. В вазе стоят 11 ромашек, в кувшине в два раза больше, чем в вазе, а в корзинке на 5 ромашек меньше, чем в кувшине. Сколько ромашек в корзинке? П Вариант II. а) Найдите значение выражения: 1 224 : 12 + 2 718 : 9 + 425. б) Составьте выражение и найдите его значение: частное произведения 45^ 15 и числа 5. в) Составьте выражение к задаче. В вазе стоят 11 ромашек, в кувшине в два раза больше, чем в вазе, а в корзинке на 5 ромашек меньше, чем в кувшине. Сколько всего ромашек в корзинке, кувшине и вазе? 119 6 Тренировочные упражнения. Н [~^ Сравните значения выражений (>, <, =): а) 15 + 60 : (10 : 2) * 15 + (60 : 10) : 2; б) 2 (50 - 46) - 5 * (2^ 50) - (46 - 5); в) 600 : (15 2) : 10 * 600 : (15 2 : 10). Запишите и вычислите: а) сумму кубов чисел 4 и 5; б) куб суммы чисел 4 и 5; в) произведение квадратов чисел 4 и 5. И ^ Решите задачи, составив числовые выражения. а) Для праздника купили 4 упаковки с шоколадными конфетами по 500 г в каждой упаковке и 5 упаковок с мармеладом по 200 г в каждой упаковке. Сколько килограммов сладостей купили? б) Купили 14 коробок с пирожными по 9 пирожных в каждой и 6 коробок по 12 пирожных в каждой. Эти пирожные разложили поровну на 18 тарелок. Сколько пирожных на каждой тарелке? П 10 Поставьте скобки в выражении 32 + 8 3 - 2 несколькими способами. Найдите значение каждого полученного выражения. М 11 В выражении 3 3 + 3 : 3 - 3 расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число: а) 3; б) 9; в) 1. 120 8 ш Н 12 Выполните действия: а) 2 346 : (209 - 186) • 15; б) (1 539 : 27 + 400)50; в) 8 570 - 32 (372 : 12); г) 6 720 : 12 40 - 890. 13 Вычислите: а) 152 + 122 : 4; б) (15 + 12 : 4)2; в) (900 : 9 - 600 : 60)3 14 а) Путешественник направляется из одного города в другой, расстояние между городами 320 км. Он проехал 3 часа на электричке со скоростью 50 км/ч, потом 2 часа на автомобиле со скоростью 80 км/ч, а оставшееся расстояние решил пройти пешком со скоростью 5 км/ч. Сколько времени ему понадобится, чтобы пройти это расстояние? б) Двум учительницам надо проверить 350 тетрадей. Первая учительница проверяет за час 20 тетрадей, а вторая - 15 тетрадей. Сколько тетрадей им останется проверить через два часа совместной работы? Ш П 15 Выполните деление. (Попробуйте сделать это без записи уголком.) Проверьте результат умножением. а) 575 757 : 57; б) 36 024 012 : 12; в) 4 590 135 : 45. Ш М 16 Используя четыре цифры 8, знаки арифметических действий и скобки, составьте числовое выражение, равное: а) 1; б) 2; в) 3. 121 2.1 Е Буквенные выражения Повторяем, обобщаем знания ^ Как можно обозначать числа? О Какое выражение называют буквенным? О Как называют числа, которые подставляют вместо букв? Буквенные выражения Переменная Значение переменной Числа можно обозначать буквами. Чаще всего для этого используют буквы латинского алфавита. Выражение, содержащее буквы, называют буквенным выражением. Например, сумму двух натуральных чисел a и Ъ можно записать с помощью выражения a + Ъ. Буква в таких выражениях может принимать много различных значений, меняться, поэтому её называют переменной. Числа, которыми можно заменять букву, называют значениями ^ переменной. ^Например, в выражении 15 — a значениями переменной a могут быть числа от 0 до 15. 122 Развиваем умения Н [Т] • Прочитайте выражения, используя словосочетания «сумма чисел», «произведение чисел», «разность чисел», «частное чисел»: а) a + b; в) a - b; д) c • (a + b); ж) (a + b) : c; б) a : b; г) a • b; е) a • b + c : b; з) a • b - c. Подобрав нужные из выражений а) - з), дополните и продолжите предложения. — Здесь есть произведение числа ^ и суммы чисел ^ — Здесь есть частное суммы чисел ^ и числа ^ — Здесь есть сумма произведения чисел ^ и частного чисел ^ [~2] Запишите выражения: а) сумма чисел a - b и 5; б) разность чисел a : b и 17; в) разность чисел a - 6 и c : 4. [~^ • Прочитайте буквенные равенства. Какие свойства действий они выражают? а) a + b = b + a; б) (a + b) + c = a + (b + c); в) a • b = b • a; г) (a • b) • c = a •(b • c); д) (a + b)^c = a • c +b •c. [~^ Найдите значения выражений: а) (150 + c) - 13, если c = 73; 65; 0; б) a - (b + 15), если a = 100; b = 45. [~^ Заполните таблицу: Значение переменной а 0 1 2 3 4 Значение выражения а + 10 Значение выражения 14 - а При каких значениях a из таблицы: а) 14 - a < a + 10; б) 14 - a > a + 10; в) 14 - a = a + 10. 123 Q а) Маме a лет, а бабушка старше её на b лет. Сколько лет бабушке? Составьте выражение и решите задачу при: 1) a = 34; b = 20; 2) a = 25; b = 35. б) В корзинке c яблок, а в вазе на х яблок меньше. Сколько яблок в вазе? Составьте выражение. При любых ли значениях c и х оно имеет смысл? Имеет ли оно смысл, если c = 12, а х = 15? [~^ На числовом луче, начало которого недоступно, отмечена точка А(х). Отметьте на этом луче точки F(x + 5) и N(x — 2), если единичный отрезок равен 5 мм. А x Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Запишите выражения: 1) сумма чисел x и 91; разность чисел x и 17; 2) произведение чисел 300 и х; частное чисел 600 и х. Найдите значения этих выражений при х = 60. б) Спортивная форма состоит из футболки и трусов. Цена футболки х рублей, а цена трусов с рублей. Сколько стоит спортивная форма? Составьте выражение и решите задачу при х = 140; с = 100. П Вариант II. а) Найдите значение выражения (109 + а) - b при: 1) а = 11; b = 38; 2) а = 21; b = 19. б) На числовом луче отмечены точки А(1) и N(х). Отметьте на этом луче точку F(х + 2). O А N 1 x Тренировочные упражнения. Н На числовом луче отмечены точки А(4) и N(х). Отметьте на этом луче точки F(х + 4) и М(х - 4). O А N x 124 8 4 [~9~| а) На рисунке указаны длины сторон треугольника АВС. Чему равна сумма длин всех сторон (периметр) этого треугольника? Составьте выражение и решите задачу при а = 23, b = 27. B 10 см а см A C б) Точка F лежит на отрезке АВ длиной х см. Составьте выражение для длины отрезка AF, если длина отрезка FB = 12 см. X см A г л B 12 см 10 Утром в магазине было а кг картофеля, а вечером там осталось b кг картофеля. Сколько картофеля было продано за день? Составьте выражение и решите задачу при а = 500; b = 260. П 11 Известно, что а + b = 20. Чему равно значение выражений: а) а + (b + 15); б) (а + 15) + b; в) (а - 15) + b; г) а + (b - 15)? М 12 Ученик задумал число, умножил его на 15, затем это же число умножил на 8. Первое произведение оказалось на 21 больше второго. Какое число задумал ученик? 125 ш Н 13 14 15 16 Вычислите: а) 62 - 52 + 32 - 22; в) (82 - 27 + 400)2 + 53; б) (62 - 52) • (32 - 22); г) (93 : 27 - 2)^ 42. Найдите значения выражений: а) c + 150 : 3, если c = 50; 150; 250; б) (а - Ь)^ 15, если a = 200; b = 2. Вычислите, вынося общий множитель за скобки: а) 12 15 + 15 13 + 15 21; б) 50 80 - 60 50 + 50 31; в) 27 18 + 27 13 + 14 27. Пешеход шёл 2 ч со скоростью 6 км/ч и ещё 3 ч со скоростью 4 км/ч. Что можно узнать, вычислив значение числового выражения: а) 2 + 3; б) 6 2; в) 4 3; г) 6 2 + 4 3? П 17 Известно, что а • Ь = 15. Чему равны значения выражений: а) а (Ь 2); б) (а 2) ^ Ь; в) (а 2) ^ (Ь 2)? М 18 Догадайтесь, как умножить устно любое трёхзначное число на 1 001. Рассмотрите несколько примеров. Объясните этот способ. 126 ]4 Уравнение Повторяем, обобщаем знания Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение? Уравнением называют равенство, которое содержит неизвестную величину. Как правило, эту неизвестную величину обозначают буквой латинского алфавита. Например, нам надо найти массу тыквы, которая лежит на весах. Весы находятся в равновесии, значит, масса на левой чаше весов равна массе на правой чаше. На левой чаше весов лежат тыква и гиря массой 2 кг, а на правой — гиря массой 5 кг. Можно записать равенство, в котором неизвестная величина (масса тыквы) обозначена буквой х, а именно: х + 2 = 5. Это и есть уравнение. Переменная х может принимать разные значения, но при одних значениях переменной мы получим верное равенство, а при других - неверное. Равенство х + 2 = 5 верно только при х = 3. 127 Корень уравнения Значение переменной, при котором из уравнения получается Дверное числовое равенство, называют корнем уравнения. Например, число 3 является корнем уравнения х + 2 = 5, так как числовое равенство 3 + 2 = 5 верное, а число 7 не является корнем этого уравнения, так как числовое равенство 7 + 2 = 3 неверное. Решить уравнение - это значит найти все его корни (или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня). При этом должно быть обосновано, что найдены действительно все корни, т.е. других корней у уравнения нет. • Объясните, как связаны между собой равенства, опираясь на взаимосвязь между компонентами действия сложения и действия вычитания, а также знание свойств действия сложения. а + b = с b + а = с с - а = b с - b = а tf Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое? i Решение уравнений (нахождение неизвестных слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого) Решим уравнение х + 15 = 75. В этом уравнении надо найти неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 75 - 15, то есть х = 60. Число 60 является корнем уравнения х + 15 = 75, так как при подстановке его вместо неизвестного получаем 60 + 15 = 75, то есть верное равенство. Решим уравнение y - 15 = 75. В этом уравнении надо найти неизвестное уменьшаемое. Здесь y является суммой чисел 75 и 15. Таким образом, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность: y = 75 + 15, то есть y = 90. Число 90 является корнем уравнения y — 15 = 75, так как 90 - 15 = 75. Решим уравнение 60 - г = 15. В этом уравнении надо найти неизвестное вычитаемое. Здесь число 60 является суммой чисел г и 15: г + 15 = 60, значит, г = 60 - 15. Таким образом, чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность: г = 60 - 15, то есть г = 45. Число 45 является корнем уравнения 60 - г = 15, так как 60 - 45 = 15. 128 Объясните, как связаны между собой равенства, опираясь на знание свойств действия умножения и взаимосвязь между компонентами действия умножения и действия деления. а •Ь = с Ь • а = с с : а = Ь с : Ь = а Как найти неизвестный множитель, делимое, делитель? Решение уравнений (нахождение неизвестных множителя, делимого, делителя) Решим уравнение х • 15 = 45. В этом уравнении надо найти неизвестный множитель. Как вы уже знаете, действия умножения и деления являются взаимно обратными. Из равенства a^b = c следует, что c : Ь = a; c : a = b. Таким образом, чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 45 : 15, то есть х = 3. Число 3 является корнем уравнения х 15 = 45, так как 3 15 = 45. Решим уравнение y : 15 = 3. В этом уравнении надо найти неизвестное делимое. Здесь y является произведением чисел 3 и 15. Таким образом, чтобы найти неизвестное делимое, надо перемножить делитель и частное: y = 15 3, то есть y = 45. Число 45 является корнем уравнения y : 15 = 3, так как 45 : 15 = 3. Решим уравнение 60 : г = 15. В этом уравнении надо найти неизвестный делитель. Здесь число 60 является произведением чисел г и 15: г 15 = 60, значит, г = 60 : 15. Таким образом, чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное: г = 60 : 15, то есть г = 4. Число 4 является корнем уравнения 60 : г = 15, так как 60 : 4 = 15. Развиваем умения Н • Дополните и продолжите предложения. — Равенство, содержащее неизвестную величину, которую требуется найти, называется ^ — Корнем уравнения называют ^ — Найти все корни уравнения, или ^ — это значит ^ уравнение. 129 Q Подберите уравнение к задаче. Расскажите, как его составили. В корзине было 40 яблок. При этом в ней было несколько красных яблок и 35 зелёных. Сколько красных яблок было в этой корзине? Всего - 40 ябл. Г зелёные красные 4- 35 ябл. ? ябл. Л а) х - 40 = 35; б) х + 35 = 40. [~^ Решите задачу с помощью схемы и уравнения. а) Для отделки платья купили несколько метров тесьмы. После того как отрезали 3 м, осталось 4 м. Сколько метров тесьмы купили? б) Рейсовый автобус был в пути 2 ч. При этом он двигался 1 ч 45 мин, а остальное время стоял на остановках. Сколько времени потрачено на остановки? в) В вагоне электрички было 70 человек, а когда вошли ещё несколько человек, в нём стало 85 человек. Сколько человек вошли в этот вагон? Q Подберите уравнения к задаче. Расскажите, как его составили. За день фермеры собрали 600 кг картофеля и разложили его в несколько мешков по 50 кг в каждом. Сколько было мешков? а) 600 : х = 50 б) 50 + х = 600 в) х - 50 = 600 г) 50 ^ х = 600 Всего - 600 кг 1 м. 1 м. I-------1--------V Л 50 кг 50 кг ? мешков [~5| Решите задачи с помощью схем и уравнений. а) Для отделки платья купили несколько метров тесьмы. После того как её разрезали на 3 равные части, оказалось, что длина каждой части составляет 4 м. Сколько метров тесьмы купили? б) В одной коробке лежит 30 конфет. К празднику купили несколько таких коробок, и оказалось, что всего купили 150 конфет. Сколько коробок купили? 130 f6] Решите уравнения с объяснением и проверкой: а) 307 + х = 850; г) m - 940 = 160; б) 1 042 - n = 142; д) 25 • у = 625; в) 1 635 : г = 15; е) d : 18 = 120; [~У| На одной чаше весов лежат камбала и гиря массой 2 кг, а на другой чаше весов — 3 гири по 5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса камбалы? Чтобы определить массу камбалы, составили уравнение: х + 2 = 5 3. Расскажите, что означает каждый знак в этом уравнении. Расскажите, как найдено решение этого уравнения. Ответ: масса камбалы 13 кг. ж) и • 14 = 560; з) t + 914 = 1 201; и) 1 960 : h = 70. х + 2 = 5 3 х + 2 = 15 х = 15 - 2 х = 13 Придумайте задачи к рисункам и уравнениям. Найдите решение каждого уравнения и объясните, как вы это сделали. х + 1 = 5 + 2 х6 = 23 [~9] Выпишите уравнения с равными корнями: а) а 2 = 120; г) 100 — n = 42; ж) 12 ^ у = 16 18; б) 100 — d = 84 : 2; д) х 2 = 40 3; з) 14 + t = 402; в) г : 4 = 120; е) Ь : 4 = 80 + 40; и) w — 192 = 216. 10 Подберите к задачам схемы и составьте уравнения. Найдите решения. а) Масса двух одинаковых пакетов с мукой равна массе шести четырёхкилограммовых пакетов с сахаром. Чему равна масса одного пакета с мукой? б) Купили шесть четырёхкилограммовых пакетов сахарного песка. Два пакета израсходовали. Сколько килограммов сахарного песка осталось? 1) (4 • 6) кг 2) (4 • 6) кг Л г л ? кг ? кг 131 8 11 Решите уравнения с объяснением и проверкой: а) d : 30 = 200 - 80; в) 6^х = 420 + 120; б) 140 - г = 630 : 7; г) 320 : а = 72 : 36. 12 На одной чаше весов лежат коробка печенья и три гири массой по 500 г, а на другой чаше весов — гиря массой 2 кг. Как узнать, чему равна масса коробки печенья? Чтобы решить задачу, составили уравнение и схему. Всего — 2 кг ^печенье гири ^ ? г 500 г 500 г 500 г х + 500 3 = 2 000 х + 500 3 = 2 000 х + 1 500 = 2 000 х = 2 000 — 1 500 х = 500 Расскажите, как найдено решение этого уравнения. Прочитайте записи. Решите уравнения: 13 14 а) х + 600 ^ 2 = 3 000; Неизвестное Известное Сумма слагаемое слагаемое б) а — 300 : 2 = 1 800; Неизвестное Известное Разность уменьшаемое вычитаемое в) у (150 + 50) = 4. Неизвестное Известный Частное делимое делитель Решите уравнения: а) х + (1 200 — 900) = 1 500; б) (50 30) : у = 15; в) с : (1 200 : 2) = 3; г) та (16 + 32) = 1 920; д) 432 : 36 — n = 11; е) г + 42 9 = 630. 132 15 На одной чаше весов лежат две коробки печенья одинаковой массы и гиря массой 500 г, а на другой чаше весов — гиря массой 2 кг. Чему равна масса коробки печенья? Чтобы решить задачу, составили уравнение и схему. Всего - 2 кг п гиря печенье 500 г ? г ? г X •З + 500 = 2 000 Л X 2 + 500 = 2 000 X 2 = 2 000 - 500 X 2 = 1 500 X = 1 500 : 2 X = 750 16 17 Расскажите, как найдено решение этого уравнения. Прочитайте и объясните записи. Решите уравнения: а) X • 2 Неизвестное слагаемое б) а : 2 Неизвестное уменьшаемое в) (у + 120) Неизвестное делимое + 600 Известное слагаемое З00 : 2 Известное вычитаемое 50 Известный делитель Решите уравнения с объяснением и проверкой: а) (1 600 + X) : 80 = 60; б) 2 000 : а - 670 = 1 330; в) 1 300 - (у - 678) = 400; 3 000; Сумма 1 800; Разность 4. Частное г) 1 600 : 80 + X = 60; д) (2 000 - 600) : а = 70; е) у - (1 300 - 678) = 400. 133 18 Подберите к задачам схемы и составьте уравнения. Найдите решение. а) Трое друзей поделили поровну 15 карандашей. Когда один из них отдал соседке по парте несколько карандашей, у него осталось три карандаша. Сколько карандашей он отдал соседке? б) Трое друзей поделили карандаши так, что каждому досталось поровну. Когда после этого один из них отдал соседке по парте три карандаша, у него осталось 15 карандашей. Сколько всего карандашей поделили трое друзей? (15 : 3) к. 1) отдал осталось Л х к. 3 к. 2) г; отдал 3 к. (х : 3) к. осталось 15 к. Л Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Решите уравнения: 1) X + 1 800 : 2 = 1 100; 2) (500 + 400) : у = 30; 3) с (200 6) = 2 400. б) Решите задачу с помощью уравнения. В лукошке 300 г земляники. В магазин привезли 3 кг земляники в таких лукошках. Сколько лукошек земляники привезли в магазин? П Вариант II. а) Решите уравнения: 1) 1 800 : X - 8 = 80; 2) (2 000 + а) - 500 = 3 000; 3) 1 200 : (у - 600) = 400. б) Решите задачу с помощью уравнения. В пяти одинаковых коробках 30 пирожных. Когда из одной такой коробки взяли несколько пирожных, в ней осталось два пирожных. Сколько пирожных взяли из коробки? Тренировочные упражнения. Н 19 Найдите корень уравнения, используя равенство 9 889 + 111 = 10 000: а) 111 + а = 10 000; б) 10 000 - х = 111; 20 Найдите корень уравнения, используя равенство 989 11 = 10 879: в) 10 000 - у = 9 889. а) 11а = 10 879; б) 10 879 : х = 11; в) 10 879 : у = 989. 134 21 Решите уравнения и сделайте проверку: а) (2 400 + z) : 40 = 80; г) (2 400 : 40) + v = 80; б) 1 500 : x - 300 = 200; д) (1 500 - 300) : у = 200; в) 2 800 - (t - 357) = 100; е) h - (2 800 - 357) = 100. 22 Решите задачи с помощью уравнений. а) Вася задумал число. Если к этому числу прибавить 40, а затем вычесть 30, то получится 200. Какое число задумал Вася? б) В коробке было 60 карандашей. Несколько карандашей взяли для урока рисования, 10 карандашей - для урока труда, после чего в коробке осталось 30 карандашей. Сколько карандашей взяли для урока рисования? 23 Подберите к задачам схемы и составьте уравнения. Найдите их решения. а) После того как рабочий проработал три часа, делая каждый час по 6 деталей, ему осталось сделать 150 таких деталей. Сколько всего деталей надо было сделать рабочему? б) Рабочему надо было сделать 150 одинаковых деталей. Сколько деталей ему осталось сделать после того, как он проработал три часа, делая по 6 деталей в час? 1) Всего - 150 дет. 2) Всего - х дет. ^ Го /осталось I-----------h Х дет. сделал ----1--------1----- 6 дет. 6 дет. 6 дет. осталось I-----------1- сделал 4-------h Л 150 дет. 6 дет. 6 дет. 6 дет. П 24 Известно, что a : b = 14. Чему равно значение выражения: а) a : (b • 2); б) (a : 2) : b; в) (a 2) : b? М 25 Токарь и его ученик выточили 150 деталей. Они работают с одинаковой скоростью. Токарь начал работу, через час к нему присоединился ученик, и ещё через час они закончили работу. Сколько деталей выточил каждый из них? 135 т Н 26 Решите уравнения и сделайте проверку: а) 400 + f : 80 = 600; б) 500 ^ X - 600 = 400; в) 1 300 - (b + 800) = 400; 27 г) 600^20 - n = 60; д) (600 - 500) : у = 20; е) d : (1 300 - 800) = 4. Решите задачи с помощью уравнений. а) В коробке было 29 апельсинов. Когда в неё добавили ещё апельсины, в ней стало 100 апельсинов. Сколько апельсинов добавили в коробку? б) Мотоциклист едет из города в село, расстояние до которого 100 км. Сколько километров ему осталось проехать, если он уже проехал 80 км? 28 Выберите уравнение к каждой задаче. Найдите решения. а) В детский сад привезли 60 л фруктового сока. Двадцать литров этого сока дали детям на завтрак, а оставшийся сок решили разлить в двухлитровые банки. Сколько банок потребуется? б) В детский сад привезли 60 л фруктового сока. После того как его разлили поровну в три бидона, из одного бидона взяли несколько литров для завтрака. Сколько литров сока взяли для завтрака, если в бидоне осталось 5 л? 1) (60 - 20) : X = 2 2) (60 : 3) - X = 5 30 29 Найдите значения выражений. Делайте вычисления удобным для вас способом. а) (b + 179) - 79, если b = 56, 75; б) (а + 80) : 2, если а = 60, 70; в) с • 12 2, если с = 5, 50. Выполните действия: а) 2 346 : (209 - 186)20; б) (542 781 : 27 + 129)5; в) 9 000 - 15 (1 224 : 12); г) 3 015 : 15 30 - 109. 136 31 Вычислите: а) 112^10 + 142 : 2; б) (100 + 15 : 5)3; в) (80^9 - 800 : 8)2; г) 162 - 53; д) 63 - 152; е) 452 : 34; ж) 5 • 62 + 6 52; з) 82 + 152 - 172; и) (40 : 22 - 32)9. 32 Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых: а) 3 103 + 4 102 + 6 10 + 1; в) 5 104 + 2 102 + 8; б) 7 103 + 1102 + 5 10; г) 2 103 + 3 10 + 7. Ш П 33 34 Расставьте в выражении 4 4 - 4 : 4 пару скобок всеми возможными способами и найдите значение каждого выражения. Пакет, в котором 4 груши и 20 орехов, весит 600 г, а пакет, в котором 2 груши и 20 орехов, весит 400 г. Сколько весит груша и сколько орех? Ш М 35 Алексей на 5 лет старше Егора и на 3 года младше Семёна. Сколько лет каждому из них, если вместе им 43 года? 36 Маша, Даша и Наташа поочерёдно парами становились на весы. Маша и Даша вместе весят 55 кг, Даша и Наташа - 58 кг, а Маша и Наташа - 59 кг. Сколько весит каждая девочка? 137 L1! Задачи на части Вспоминаем то, что знаем • Придумайте и решите задачу с помощью схемы. I полка f II полка 150 книг ? книг • Объясните, как вы рассуждали. • Пользовались ли вы при решении этой задачи понятием часть? Каким образом можно использовать это понятие при решении данной задачи? Открываем новые знания В кулинарной книге записано, что для варенья из вишни на 2 части ягод следует взять 3 части сахара. Сколько сахара требуется на 4 кг ягод? Как рассчитать количество сахара? t# Каким образом при этом можно использовать понятие часть? V Как найти решение с помощью схемы? 138 Отвечаем, проверяем себя по тексту Решение. ягоды I" сахар 2 части - 4 кг 3 части - ? кг В задаче спрашивается, сколько сахара надо взять для варенья. По условию задачи известно, что сахара следует взять 3 части, значит, чтобы найти количество сахара, нужно узнать, сколько килограммов составляет одна часть, а затем умножить это количество на 3. По условию задачи 4 кг ягод - это 2 части, поэтому каждая часть составляет 4 : 2 = 2 кг. Сахара надо взять 2 3 = 6 кг. Развиваем умения Н [~^ Для варенья из малины на 3 части ягод надо брать 2 части сахара. а) Сколько сахара следует взять для 1 кг 200 г ягод, для 5 кг 400 г ягод? б) Сколько малины нужно на 1 кг 200 г сахара, на 5 кг 400 г сахара? [~2] Требуется смешать 3 части муки и 2 части сахара. Сколько муки и сколько сахара понадобится, чтобы получить 4 кг 500 г смеси? [~У| Для соуса нужно 60 г приправы. Чёрный перец составляет 3 части, соль - 1 часть, мускатный орех - 2 части общей массы приправы. Сколько граммов чёрного перца, соли и мускатного ореха необходимо для приправы? И 4 I Фруктово-ореховая смесь состоит из 6 частей сушёных бананов, 4 частей изюма и 3 частей миндальных орехов. Найдите общую массу смеси, если в ней содержится: а) 120 г сушёных бананов; б) 120 г изюма; в) 120 г миндальных орехов. И 5 I Для праздничного стола купили фрукты, которые по массе составили: апельсины - 2 части, бананы - 3 части и яблоки — 4 части. Чему равна масса всех фруктов, если апельсинов и бананов вместе - 2 кг 500 г? 139 [~Т~| При помоле зерна на каждые 3 части муки приходится 1 часть отходов. Сколько смололи зерна, если получилось: а) 12 ц отходов; б) муки на 12 ц больше, чем отходов? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Для компота купили 1 кг 200 г смеси из сухофруктов. Яблоки составляют 3 части, груши — 2 части, чернослив — 1 часть от всей массы смеси. Сколько было сухофруктов каждого вида? П Вариант II. Сплав содержит олова в три раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на одну часть свинца? Тренировочные упражнения. Н ш ^ Объясните, как составлена схема к задаче. Решите задачу. Купили 60 синих и красных надувных шаров, причём синих шаров было в 2 раза больше, чем красных. Сколько частей приходится на шары каждого цвета? Сколько шаров каждого цвета купили? синие И красные ? частей ? шаров 60 шаров ? частей ? шаров 8 Объясните, как составлена схема к задаче. Решите задачу. За коробку конфет заплатили на 100 рублей больше, чем за коробку печенья. Сколько стоит коробка конфет, если она в пять раз дороже коробки печенья? ? р. конфеты !■ 140 [~9~| а) В двух корзинах 120 грибов. Сколько грибов в каждой корзине, если в первой их в два раза меньше, чем во второй? б) Ученик купил тетрадей в клетку в 4 раза больше, чем в линейку, причём тетрадей в клетку он купил на 12 больше, чем в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик? П 10 11 Дочка младше мамы в 3 раза и младше бабушки в 5 раз. Сколько лет каждой из них, если вместе им 108 лет? В двух коробках 36 кусков мела. Когда из одной коробки израсходовали 1 2 кусков, в ней стало в 3 раза меньше мела, чем в другой. Сколько кусков мела было в каждой коробке вначале? М 12 В пяти маленьких коробках на 1 2 пирожных меньше, чем в двух больших. Сколько пирожных во всех маленьких коробках и сколько во всех больших, если в маленькой коробке в 3 раза меньше пирожных, чем в большой? ш Н 13 При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова. а) Сколько свинца и сколько олова содержит сплав массой 280 г? б) Сколько свинца и сколько олова содержит сплав, в котором олова на 150 г больше, чем свинца? 141 14 Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Известно также, что она прочитала на 60 страниц больше, чем осталось не прочитано. Сколько страниц ей осталось прочитать? ш П 15 У Сени в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Вени, а у Жени — в 2 раза больше, чем у Вени. Сколько марок у каждого, если у Жени на 60 марок больше, чем у Сени? 16 В двух банках было 5 л молока. Когда в одну банку добавили 1 л, то в ней стало в 2 раза больше молока, чем в другой. Сколько литров молока было в каждой банке первоначально? ш М 17 18 В трёх больших пакетах и четырёх маленьких находится 550 г печенья. Сколько граммов печенья в маленьком пакете, если в него входит в 2 раза меньше печенья, чем в большой? Решите задачу с помощью уравнения. У Риммы в 2 раза больше пятёрок, чем у Димы, а у Димы на 6 пятёрок меньше, чем у Риммы. Сколько пятёрок у Димы? 142 L1( Нахождение двух чисел по их сумме и разности Вспоминаем то, что знаем Придумайте и решите задачу с помощью схемы. 30 книг I полка !■ II полка ? книг Объясните, как вы рассуждали. Открываем новые знания Придумайте и решите обратную задачу. ? книг I полка !■ II полка ? книг Объясните, как вы рассуждали. 50 книг 143 tf Как решаются такие задачи? Отвечаем, проверяем себя по тексту Нахождение двух чисел по их сумме и разности % f На двух полках 50 книг, причём на первой полке на 10 книг больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке? ? книг I полка f II полка 50 книг ? книг Решение. Уравняем мысленно число книг на полках. Например, «уберём» с первой полки 10 книг. Тогда на двух полках окажется 50 — 10 = 40 книг. Так как теперь на полках книг поровну, то на одной полке 40 : 2 = 20 книг. Таким образом, мы узнали, что на второй (с меньшим числом книг) полке 20 книг. Для того чтобы узнать, сколько книг было на первой (с большим числом книг) полке, «вернём» обратно 10 книг: 20 + 10 = 30 книг. Проверка: 30 + 20 = 50 (книг). Ответ: на первой полке 30 книг, на второй полке 20 книг. Развиваем умения М Н [~^ В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух этих коробках 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке? [~2] В классе 27 учеников, причём девочек на 7 человек больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в этом классе? [~У| Аня на 4 года младше своей сестры, а вместе им 20 лет. Сколько лет каждой из них? [~Г] Журнал дороже газеты на 25 р., а вместе они стоят 43 р. Сколько стоят журнал и газета в отдельности? 144 [~У| Из «Арифметики» Л.Н.Толстого. а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец? б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько овец у каждого? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Сумма двух чисел равна 87, а разность 19. Найдите эти числа. б) В двух карманах 20 орехов. Сколько орехов в каждом кармане, если в правом орехов в 4 раза меньше, чем в левом? П Вариант II. а) Представьте число 77 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на 3 больше другого. б) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке? Тренировочные упражнения. Н [~6] Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа. [~У| Представьте число 75 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на 1 больше другого. а) Сумма всех сторон прямоугольника равна 20 см. Его длина на 2 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника. б) Периметр прямоугольника равен 24 см. Его длина на 4 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника. [~9~| Семья состоит из четырёх человек: матери, отца, сына и дочери. Отец на 5 лет старше матери, мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов составляет 103 года? (Возраст матери следует принять за 20 частей.) 10 Решите задачу с помощью уравнения. У мальчика в правом кармане втрое больше орехов, чем в левом, а в левом на 20 меньше, чем в правом. Сколько орехов в правом кармане? 145 т Н 11 В соревнованиях приняли участие 112 спортсменов, причём юношей на 34 больше, чем девушек. Сколько юношей и сколько девушек участвовали в соревновании? 12 Решите уравнения и сделайте проверку: а) а : 2 - 400 = 600; в) 600 2 - n = 400; б) (500 + х) : 6 = 100; г) (600 - 500) + у = 200. 13 Подберите к задаче схему и составьте уравнение. Найдите решение. В бидоне было 24 л молока. Молоко разлили в несколько одинаковых банок. После того как из одной банки взяли 2 л молока, в ней остался 1 л. Во сколько банок разлили молоко? а) (24 : х) л б) (24 • х) л Г взяли осталось^ Ч---------1 Г взяли осталось Ч---------1 2 л 1 л 2 л 1 л 14 Фруктовый салат состоит из 3 частей бананов, 2 частей яблок и 1 части апельсинов. Найдите общую массу салата, если в нём содержится: а) 60 г бананов; б) 50 г яблок; в) 100 г апельсинов. Ш П 15 Найдите три последовательных числа, сумма которых равна 48. т М 16 Решите задачу с помощью уравнения. У Саши втрое больше марок, чем у Пети, а у Пети на 8 марок меньше, чем у Саши. Сколько марок у каждого? 146 .17 Перебор возможных вариантов Повторяем, обобщаем знания ^ Как подсчитать число вариантов? У путешественников есть три лески — красная, жёлтая и зелёная — и два крючка — большой и маленький. Им нужно сделать удочку, состоящую из лески и крючка. Сколькими способами они могут это сделать? Перебор вариантов 1 Один из возможных подходов к решению этой задачи такой. Изобразим в нижнем ряду три точки, соответствующие лескам: К, Ж и З, а в верхнем ряду - две точки, соответствующие крючкам: Б и М (рис. а). Тогда каждой удочке соответствует отрезок, один конец которого лежит в нижнем ряду, а второй - в верхнем. Например, удочке с красной леской и маленьким крючком соответствует отрезок КМ (рис. б). Теперь для решения задачи нужно соединить отрезком каждую точку в нижнем ряду с каждой точкой в верхнем ряду и подсчитать количество полученных отрезков (рис. в). Таких отрезков оказалось 6. Ответ: шестью способами. Б M Б M Б M • • м • • ш • • /лА Ж З ТУ» «ш» о З ту» «ш» о К З а) б) в) 147 о Как подсчитать число вариантов в задаче? Аня, Боря и Витя хотят встать в ряд друг за другом. Сколькими способами они могут это сделать? Перебор вариантов Каждый из способов будем кратко записывать по первым буквам имён ребят. Например, БАВ означает, что первым стоит Боря, второй — Аня, третьим — Витя. Осталось выписать все воз-|^можные варианты и подсчитать их количество. Важно не забыть ни один из вариантов. Для этого удобно выписывать их в алфавитном порядке: сначала все варианты, начинающиеся на букву А, затем на Б и т.д. В нашей задаче получится: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Всего вариантов 6. Ответ: шестью способами. €» Как эти же задачи решить с помощью дерева выбора? Дерево выбора Задачи, которые мы рассмотрели, а также многие другие можно решать с помощью особого рисунка, называемого деревом выбора, поскольку он действительно напоминает дерево. Дерево выбора удобно рисовать последовательно, веточка за веточкой. При этом, собираясь рисовать очередную веточку, нужно учитывать все имеющиеся возможности. Чтобы подсчитать количество вариантов, нужно пройтись по дереву, начиная с корня, всеми возможными способами. Решение задачи об удочках с помощью дерева выбора 148 Решение задачи о построении в ряд с помощью дерева выбора V Как определить число всех возможных пар, составленных из участников похода? Аня, Боря, Витя, Гуля и Дима пошли в поход. Им нужно назначить двух дежурных. Сколькими способами можно это сделать? Изобразим каждого из ребят точкой с первой буквой его имени. В Б А. Г .Д Тогда каждой паре дежурных будет соответствовать отрезок, соединяющий соответствующие точки. Например, если дежурят Аня с Витей, то это будет отрезок АВ на рисунке. В Б АJ Г Д 149 Теперь для решения задачи нужно соединить отрезком каждую пару точек и подсчитать количество полученных отрезков. В Таких отрезков оказалось 10. Ответ: 10 способов. При решении многих задач нет необходимости подписывать точки. Например, решение только что рассмотренной задачи даёт такой рисунок: Г Д с» Как определить число пар, составленных из участников похода в другой задаче, где пары могут быть не любыми, — они должны соответствовать определённым требованиям? Аня, Боря, Витя, Гуля и Дима пошли в поход. Им нужно назначить двух дежурных. Сколькими способами можно это сделать, если дежурить должны: 1) мальчик и девочка; 2) два мальчика; 3) две девочки? Решение задания 1) находится из рисунка: В Д Здесь каждый отрезок соединяет кружки разного цвета. Количество таких отрезков равно 6. Решение задания 2) находится из рисунка: В Б А, Г Д Здесь каждый отрезок соединяет кружки чёрного цвета. Количество таких отрезков равно 3. Решение задания 3) находится из рисунка: Б Г А. Д Здесь каждый отрезок соединяет кружки белого цвета. Количество таких отрезков равно 1. Развиваем умения Н Катя взяла в поездку юбку, брюки, шорты, майку, блузку и водолазку. Сможет ли она каждый день одеваться по-разному, если поездка продлится 8 дней? У маленькой Риммы есть три любимые куклы. Сколькими способами она может рассадить их в ряд на полочке? 51 [~^ Четверо мальчиков обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. Ваня, Даня и Таня пошли в двухдневный поход. Каждый день будет дежурить один турист, и никто не будет за время похода дежурить более одного раза. Сколько различных графиков дежурств можно составить? П Вариант II. Ваня, Даня, Саня и Таня пошли в двухдневный поход. Каждый день будет дежурить один турист, и никто не будет за время похода дежурить более одного раза. Сколько различных графиков дежурств можно составить? Тренировочные упражнения. Н [~^ Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7 и 8? [~5| Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7 и 0? П Сколько различных чётных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7 и 8? 1^ Сколько различных чётных двузначных чисел можно записать, используя цифры 2, — 7 и 0? М В поход пошли n ребят. Им нужно назначить двух дежурных. Сколькими способами можно это сделать? Сначала попробуйте найти ответ для n, равного 6 и 7. 152 8 Н [~9~| Сколько различных трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7 и 8, если все цифры в числе различны? 10 11 Сколько различных трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7 и 0, если все цифры в числе различны? Ваня, Даня и Таня пошли в поход на три дня. Каждый день будет дежурить один турист, и никто не будет за время похода дежурить более одного раза. Сколько различных графиков дежурств можно составить? Ш П 12 13 Ваня, Даня, Саня и Таня пошли в поход на три дня. Каждый день будет дежурить один турист, и никто не будет за время похода дежурить более одного раза. Сколько различных графиков дежурств можно составить? Сколькими способами могут встать в ряд 4 ребят? 5 ребят? Ш Н 14 У путешественников есть m различных лесок и n различных крючков. Им нужно сделать удочку, состоящую из лески и крючка. Сколькими способами они могут это сделать? 15 У путешественников есть к различных удилищ, m различных лесок и n различных крючков. Им нужно сделать удочку, состоящую из удилища, лески и крючка. Сколькими способами они могут это сделать? 153 Занимательные задачи Повторяем, обобщаем знания Как решить логическую задачу с помощью таблицы истинности? В кувшин, банку и миску налиты молоко, сметана и простокваша. Известно, что в кувшине не сметана, а в миске не сметана и не молоко. Куда налито молоко? Один из способов решения логических задач - с помощью таблицы истинности. Кувшин Банка Миска Молоко Сметана Простокваша Рассмотрим подробно, как это делается. Расставим знаки «+» или «-» в соответствии с условием. Зная, что в миске не сметана и не молоко, а в кувшине не сметана, ставим знаки «-» в соответствующих ячейках. Кувшин Банка Миска Молоко - Сметана - - Простокваша В каждой строке и в каждом столбце должен стоять один «+» и остальные знаки «-». Из таблицы видно, что в миске должна быть простокваша, а в банке -сметана. В этих ячейках поставим знак «+». 154 Кувшин Банка Миска Молоко - Сметана - + - Простокваша + Заполним строку «Простокваша». Два оставшихся знака в ней должны быть знаками «—»: Кувшин Банка Миска Молоко - Сметана - + - Простокваша - - + Теперь посмотрим на столбец «Кувшин». Понятно, что в строке «Молоко» должен стоять знак «+»: Кувшин Банка Миска Молоко + - Сметана - + - Простокваша - - + Ответ: Молоко налито в кувшин. Замечание: нет необходимости каждый раз рисовать новую таблицу, знаки можно последовательно расставлять в одной таблице. Мы специально подробно перерисовывали таблицу, чтобы объяснить, как она заполняется. Можно записать решение задачи без таблицы - с помощью рассуждения. Например, так. В миске не сметана и не молоко, значит, в миске простокваша. Теперь можно узнать, что налито в кувшин. Если в миске простокваша, то в кувшине не может быть простокваши. Но там не может быть и сметаны (по условию задачи), значит, там молоко. 155 ® Как решить логическую задачу с помощью графа? Том Сойер, Гек Финн, Джо Гарпер, Бекки Тэчер и Тим Бартон бегали наперегонки. Скорость движения Тима больше скорости Гека, скорость Джо больше скорости Бекки, но меньше скорости Гека, а скорость Тома больше скорости Тима. Кто из ребят бегает быстрее всех; медленнее всех? Один из способов решения таких логических задач - с помощью графа. Граф - это рисунок, состоящий из точек и линий или стрелок, соединяющих некоторые из этих точек. Изобразим ребят точками. Пользуясь условиями задачи, нарисуем стрелки от тех, кто бегает медленнее, к тем, кто бегает быстрее. Гек Бекки Тим, Джо Из графа видно, как можно сравнить скорости ребят. Ответ: быстрее всех бегает Том Сойер, а медленнее всех - Бекки Тэчер. Развиваем умения Н [~Т] • Продолжите предложения (так, чтобы все предложения получились разные). - Логические задачи можно решать с помощью ... - Логические задачи можно решать с помощью ... - Логические задачи можно решать с помощью ... [~^ Решите задачу с помощью таблицы. В школьных соревнованиях по бегу золотой, серебряной и бронзовой медалями были награждены Иван, Степан и Хасан. Иван получил не золотую и не серебряную медаль, а Степан - не серебряную. Кто какую медаль получил? [~^ Решите задачу с помощью графа. В 5 «А» классе одной школы отличников больше, чем в 5 «Б», но меньше, чем в 5 «Д». В 5 «Г» отличников меньше, чем в 5 «Б», но больше, чем в 5 «В». В каком из пятых классов больше всего отличников; меньше всего? 156 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. В столовой на десерт приготовили яблочный пирог, клубничный кисель и малиновое мороженое. Миша не любит яблоки и малину, Костя не ест пирогов, а Витя любит любые десерты. Какой десерт взял каждый из ребят, если к их возвращению из похода в столовой осталось по одной порции десерта каждого вида? (Ребята выбрали только то, что им нравится.) П Вариант II. Дениска, Мишка, Костик, Алёнка и Денискины папа с мамой придумывали задачи. Папа придумал задач больше, чем Костик, а Дениска больше, чем Мишка. Мама придумала задач больше, чем папа, но меньше, чем Мишка. Алёнка придумала задач меньше, чем Костик. Кто из них придумал больше всего задач? Тренировочные упражнения. Н [~Г] Как неверное равенство (слева) превратили в верное (справа), переложив одну палочку Есть ли другие способы выполнить это задание, перекладывая одну палочку? Сколько способов вы нашли? И 5 I В одном королевстве был родник с живой водой. Брать воду и наливать её можно было только с помощью серебряных королевских вёдер объёмом 5 л и 8 л и большой королевской бочки, стоящей у родника. Выливали излишки воды или обратно в родник, или в эту бочку, в которой можно было и накапливать нужный объём воды. Король разрешил просителям взять 1 л, 2 л или 7 л. Как же они могли набрать этот объём живой воды? Такие задачи можно решать с помощью таблицы. Количество вёдер Объём воды, набранный 5-литровыми вёдрами Объём воды, набранный 8-литровыми вёдрами 1 5 8 2 10 16 3 15 24 4 20 32 5 25 40 6 30 48 157 Из таблицы видно, что для того, чтобы набрать 1 л воды, достаточно дважды налить в бочку воду восьмилитровым ведром и трижды вычерпать пятилитровым, выливая излишки в источник. Объясните с помощью таблицы, как набрать 2 л; 7 л. [~Г] Костю и Мишу отправили к источнику за водой. Как им набрать с помощью пятилитрового и семилитрового вёдер и вкопанной у источника бочки ровно 3 л воды? Смогли бы они выполнить это задание, если бы их вёдра были объёмом 6 л и 8 л? [~У] На столе лежит 6 монет, из которых одна -фальшивая — легче настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету? • Разберитесь в следующих рассуждениях. Положим на каждую чашу весов по 3 монеты. После взвешивания станет ясно, среди каких трёх монет находится фальшивая. При втором взвешивании положим на каждую чашу весов по одной монете из этих трёх, а одну монету оставим на столе. Если одна чаша легче другой, то фальшивая монета там. Если весы в равновесии, то фальшивая монета на столе. Можно ли решить задачу по-другому? П Переложите две палочки так, чтобы получилось верное равенство. Х + 111 = Найдите несколько способов. [~У| На столе лежит 8 монет, из которых одна — фальшивая — тяжелее настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету? 10 М Решите задание 6 на этой странице, если бочки возле источника нет. 158 8 ш Н 11 12 Из Костромы Оля привезла три сувенира: деревянную медаль, льняное полотенце и фарфоровую чашку. На них изображены монастырь, герб Костромы и ваза с фруктами. На полотенце нет изображений монастыря и герба, а на чашке нарисован монастырь. Школьному музею Оля подарила деревянную медаль. Что изображено на этой медали? Известно, что площадь Африки меньше площади Евразии, но больше площади Северной Америки. Площадь Южной Америки больше площади Антарктиды, но меньше площади Северной Америки. Антарктида по площади больше Австралии. Как называется материк с наибольшей площадью; с наименьшей? Ш 13 П Переложите три палочки так, чтобы получилось верное равенство. X 1_ - VII = 1_ - IV Это задание можно выполнить, перекладывая только две или только одну палочку. Как это сделать? Попробуйте найти несколько вариантов решения для каждого случая. Ш 14 М Переложите две палочки так, чтобы равенство стало верным. мсмхи- .XI = MMIZCXXII Постарайтесь найти несколько способов. 15 На столе лежит 20 монет, из которых одна — фальшивая — легче настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету? Можно ли за три взвешивания найти фальшивую среди 25 монет? 27? 29? 159 Как раньше выполняли письменные вычисления Привычные для нас алгоритмы письменного выполнения действий с многозначными числами (например, умножение столбиком, деление уголком и т.д.) приняли современный вид только в Средние века. Раньше использовались другие приёмы письменных вычислений, причём часто в разных странах они сильно отличались друг от друга. Рассмотрим для примера, как выполнялось письменное умножение в Древнем Египте и в Древней Индии. Древнеегипетский способ умножения основывался на последовательном удвоении большего сомножителя. Удвоение числа можно легко делать устно, и запись велась по строкам, где число в каждой следующей строке в 2 раза больше, чем в предыдущей. Поскольку двукратное удвоение - это умножение на 4, трёхкратное - умножение на 8 и т.д., эти множители (2, 4, 8, 16...) выписывались рядом с числом каждой строки. Возле начального сомножителя (числа первой строки) писалось число 1. Например, при умножении 146 на 37 древний египтянин сделал бы запись, которую вы видите слева. 1 1 46 / 1 1 46 2 292 2 292 4 584 / 4 584 8 1 168 8 1 168 16 2 336 16 2 336 32 4 672 / 32 4 672 5 402 Новые строки выписывались до тех пор, пока левое число в них оставалось меньшим меньшего сомножителя вычисляемого произведения (или равным ему). В нашем примере выписывание строк прекращено, поскольку в следующей стро- 160 ке левое число уже должно быть 64, что больше, чем меньший сомножитель 37. Затем из левых чисел выбирались и отмечались чёрточкой такие, сумма которых равна меньшему сомножителю. В нашем примере это 32, 4 и 1, так как 32 + 4 + 1 = 37 (эти числа видны на записи справа). И наконец, находилась сумма правых чисел из строк, отмеченных чёрточкой. Она и равна искомому произведению. В нашем примере 146 + 584 + 4 672 = 5 402. Итак, 146 ■ 37 = 5 402. Интересно отметить, что древнеегипетский способ умножения используется в современных компьютерах! В основе древнеиндийского способа умножения - разбитый на клетки прямоугольник, длины сторон которого равнялись количеству разрядов в сомножителях. Каждая клетка делилась пополам диагональю, идущей из правого верхнего в левый нижний угол. Сомножители записывались снаружи этого прямоугольника: один вдоль верхней стороны (слева направо), другой - с правой стороны (сверху вниз). Начальный вид такого прямоугольника для нахождения произведения 146 • 37 изображён на левом рисунке. Потом в каждой клетке прямоугольника записывали произведение однозначных чисел, соответствующих его сторонам, - число десятков этого произведения в верхней левой части, а число единиц - в нижней правой (см. правый рисунок). / 3 X 2 1 X / 8 / 7 2 X / 8 4 X X 2 Наконец, складывали все числа из каждой наклонной полосы (раскрашены на левом рисунке внизу). Если сумма получалась однозначной, то её записывали возле свободного края полосы (внизу или слева). Если сумма была двузначной, то возле края полосы записывали число единиц, а число десятков прибавляли к сумме следующей полосы (аналогично переносу в следующий разряд, принятому при сложении столбиком). X 3 IX X 2 IX X 8 X 7 2 X X 8 4 X X 2 4 0 2 В результате вдоль левой (сверху вниз) и нижней (слева направо) сторон прямоугольника получалось искомое произведение (см. правый рисунок). В нашем примере это 5 402. 161 3 7 3 3 5 7 7 Люб '^^ед fiM матера 1. Жители города Правдина всегда говорят правду, а жители города Лгунова всегда лгут. Разговаривают двое жителей. Первый: «Ты лжец». Второй: «Да мы оба лжецы». Кто из них из какого города? 2. Двое игроков по очереди ставят крестики и нолики в клетки квадратной таблицы размером 5 х 5. Когда таблица полностью заполнится, каждый получит очко за каждую строку и столбец, где его знаков больше. Сможет ли начинающий игру выиграть? 3. На покраску большого деревянного куба размером 3 х 3 х 3 ушёл 1 л краски. Однако понадобились кубики поменьше, и большой куб распилили на кубики размером 1 х 1 х 1. Сколько нужно ещё краски, чтобы докрасить маленькие кубики? 4. На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них лежат два чёрных шара, в другом — два белых, в третьем — один чёрный и один белый. На ящиках сделаны надписи «два чёрных», «два белых», «чёрный и белый», причём ни одна из надписей не соответствует действительности. Как, вынув только один шар из одного ящика, определить, какие шары лежат в каждом ящике? 5. Больному прописали таблетки двух наименований А и Б, не отличающиеся по внешнему виду. Через определённые промежутки времени он должен одновременно принимать одну таблетку А и одну таблетку Б — любые другие сочетания этих таблеток небезопасны для здоровья больного. Когда до окончания курса ему осталось принять 4 таблетки (2 таблетки А и 2 таблетки Б), он их случайно перемешал. Присутствовавший при этом друг больного (любитель математики) успокоил его, сказав, что можно благополучно, без риска для здоровья, завершить лечение. Как это сделать? 6. Какое наибольшее количество прямоугольников размером 1 х 5 можно вырезать из квадрата размером 9 х 9? 162 7. Три математика ехали в разных вагонах одного и того же поезда. Подъезжая к станции, они начали подсчитывать скамейки на привокзальном перроне. У них получилось 7, 12 и 15 скамеек. Отъезжая от станции, математики стали заново подсчитывать количество скамеек, причём один насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. Сколько скамеек насчитал третий? 8. В некоторых клетках таблицы размером 8 х 8 стоят крестики, а в остальных — нолики. Когда Аня подсчитала количество крестиков в каждой строке, у неё все числа оказались разными. Ваня подсчитал количество крестиков в каждом столбце. Может ли оказаться так, что ни одно из чисел, полученных Ваней, не совпадёт ни с одним из чисел, полученных Аней? 9. Закрасьте несколько клеток квадрата размером 10 х 10 так, чтобы каждая клетка (и закрашенная, и незакрашенная) имела общую сторону с двумя закрашенными клетками. 10. В футбольном турнире участвуют 16 команд, причём каждая команда играет с каждой один раз. Может ли после завершения турнира оказаться, что у каждой команды число её побед равно числу её ничьих? 11. Найдите и обоснуйте закономерность, которой подчиняются числовые равенства: 1 + 2 = 3; 4 + 5 + 6 = 7 + 8; 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15; _ Допишите ещё несколько равенств, подчиняющихся этой же закономерности. 12. Три весёлых маляра раскрасили рёбра куба в три цвета (каждое ребро в какой-то один цвет) так, что не оказалось двух рёбер одного цвета с общей вершиной. Докажите, что рёбер каждого цвета четыре. 13. Существуют ли такие четыре различных натуральных числа, что каждое из них делится нацело на разность любых двух из трёх остальных? 163 14. Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Обязательно ли тогда станет ещё больше квартир? Может ли их стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, а на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.) 15. Старейший шахматист среди математиков и старейший математик среди шахматистов — это обязательно один и тот же человек или, возможно, разные люди? 16. Лучший шахматист среди математиков и лучший математик среди шахматистов — это обязательно один и тот же человек или, возможно, разные люди? 17. Несколько пятиклассников и шестиклассников обменялись рукопожатиями. При этом каждый пятиклассник пожал руку шести шестиклассникам, а каждый шестиклассник — пяти пятиклассникам. Кого было больше — пятиклассников или шестиклассников? 18. Сто гирек выложены в ряд так, что масса двух соседних гирек отличается ровно на 1 г. Можно ли разложить все эти гирьки на две чашки весов так, чтобы весы были в равновесии? (Масса гирек не обязательно различная!) 19. В ряд стоит 100 различных фишек. Разрешается переставлять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли с помощью таких перестановок расставить фишки в обратном порядке? 20. На столе лежит 2 000 палочек. Двое играющих по очереди берут при каждом ходе неколько палочек. За один ход можно взять 1, 10 или 11 палочек. Тот, кто не может сделать очередной ход, так как палочек на столе не осталось, проигрывает. Кто победит? Придумайте выигрышную стратегию. 164 но Жизненная задача СИТУАЦИЯ. Расшифровка текстов. ВАША РОЛЬ. Исследователь старинных рукописей. ОПИСАНИЕ. Найдена старинная рукопись, в которой известны расшифровки записи некоторых чисел, записанных способом, принятым на Руси до правления Петра I: ЗАДАНИЕ. 1. Расшифруйте записи: Л т ^ тчг I-J ,ицп 2. Запишите допетровским способом следующие числа: 7; 11; 56; 712; 444; 2 008. 165 Ут®г®®ый тест Q Расшифруйте слово. @204 • 18 @ 3 720 : 60 ® 5 670 : 90 @ 208^ 120 ® 4 796 + 9 214 ® 13 000 - 4 908 3 672 62 8 092 24 960 I® Сравните числа 28 и 36. Ответы: а) 28 > 36; б) 28 < 36; в) 28 = 36. I® Рассмотрите рисунок. Найдите истинное высказывание. D C A N 1 буква - 1 очко 2 очка B а) точка N принадлежит прямой f; б) точка C принадлежит прямой f; в) точка В лежит на луче AD; г) точки А и С лежат на одном и том же луче с началом в точке В. 2 очка [~Т] У Вити и Мити 620 марок, причём у Вити в четыре раза больше марок, чем у Мити. Сколько марок у Мити? 2 очка Ответы: а) 155 марок; б) 124 марки; в) 120 марок. [~5| Выберите уравнение к задаче. В одной упаковке 4 одинаковых коробки с фломастерами. Сколько фломастеров в одной коробке, если в двух упаковках 160 фломастеров? Ответы: а) х 4 2 = 160; б) х4 : 2 = 160. 2 очка [~Г] Сегодня дежурят пятиклассники Быков, Светлова, Умаров и Чумаченко. Сколькими способами можно выбрать из них пару дежурных по школьной раздевалке? Ответы: а) четырьмя; б) пятью; в) шестью. 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали не менее 11 очков. 166 f РАЗДЕЛ II ДЕЛИМОСТЬ тест [~^ Выполните вычисления: а) 18 147 : 23; б) 18 600 : 24; в) 9 576 : 21 1 верный результат — 1 очко [~2] Сколько истинных высказываний среди приведённых: а) 120 • 23 = 960; б) 1003 : 10 = 100 000; в) 42 105 = 1 680. Ответы: а) три; б) два; в) одно; г) ни одного. 0 Дано уравнение: (1 600 + х) : 80 = 60. Найдите и запишите истинное высказывание. Ответы: а) корень уравнения — число 6 400; б) корень уравнения - число 3 200; в) корень уравнения — число 480. 1 очко 2 очка [~Г] Две электрички двигались навстречу друг другу. Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало 7 км 500 м. Определите скорость второй электрички, если скорость первой 1 200 м/мин. Ответы: а) 2 500 м/мин; б) 1 300 м/мин; в) 3 800 м/мин. 2 очка [~У| В алфавите племени уауа имеются только две буквы — «у» и «а». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого пле мени? Ответы: а) 6; б) 7; в) 8. 3 очка Тест считается успешно выполненным, если вы набрали хотя бы 7 очков. Если вы не смогли выполнить все задания теста или набрали меньше очков, чем вам хотелось бы, не огорчайтесь. Переходите на следующие страницы нашего учебника, и вы научитесь решать те задачи, с которыми пока не справились. 167 Путеводитель по второму разделу Путь 1: а) входной тест; б) главы; в) итоговый тест. Путь 2: а) входной тест; б) главы; в) жизненная задача; г) итоговый тест. 168 Проекты Итоговый тест ГЛАВА IV Таблицы и диаграммы Жизненная задача Выборы президента школы Любителям математики Исторические страницы t Путь 3: а) входной тест; б) главы; в) задачи для любителей математики; г) жизненная задача; д) итоговый тест. 169 ГЛАВА III ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В главе II мы повторяли операцию деления. Вы знаете, что одно натуральное число может делиться на другое нацело или же с остатком. В этой главе мы будем рассматривать только деление натуральных чисел нацело. 31 Делимость. Свойства делимости Вспоминаем то, что знаем Делится ли 72 на 8? Обоснуйте свой ответ. ^ Делится ли 72 на 10? Обоснуйте свой ответ. Открываем новые знания ^ Есть два числа: 72 и 8. Вы уже убедились, что число 72 делится на число 8. Как называется число 8 по отношению к числу 72? ^ Знаете ли вы, как называется число 72 по отношению к числу 8? ^ Что значит: одно натуральное число делится на другое? ^ Какие числа называют делителями данного числа? ^ Какие числа называют кратными данного числа? 170 Отвечаем, проверяем себя по тексту Мы говорим, что натуральное число а делится на натуральное число b, если найдётся такое натуральное число с, что а = bc. Например, 72 делится на 8 потому, что нашлось такое натуральное число 9, что 72 = 8 9. Если натуральное число a делится на натуральное число b, то число b называется делителем числа a, число a называется кратным числа b. Например, 8 - делитель 72, 72 - кратное 8. Вспоминаем то, что знаем • Можно ли произведение 72 • 94 записать в виде произведения, где один из множителей равен 8? Будет ли в этом случае ясно, что 72 • 94 делится на 8? • Делится ли сумма 72 + 32 на 8? Почему? Открываем новые знания • Делится ли 72 на 8? • Делится ли 8 на 4? • Можете ли вы сказать, не делая вычислений, делится ли 72 на 4? • Делится ли аb на с, если а или b делится на с? • Делится ли а + b на с, если и а и b делятся на с? ® Известно, что а делится на b, а b делится на с. Обязательно ли а делится на с? Отвечаем, проверяем себя по тексту 1. Если одно из двух чисел делится на данное число, то их произведение тоже делится на данное число. Если a и b - два числа, причём a делится на x, то найдётся такое число y, что a = xy. Тогда для произведения ab получим: ab = (xy)b = x(yb), а это значит, что ab делится на х. 171 2. Если каждое из двух чисел делится на данное число, то их сумма и разность тоже делятся на данное число. Если каждое из чисел a и b делится на х, то найдутся такие числа у и z, что a = ху, а b = xz. Тогда для суммы a + b получим: a + b = ху + xz = = х(у + z), а это значит, что a + b делится на х. Для разности a - b проводится аналогичное рассуждение. Из свойства 2 вытекает: если одно из двух чисел делится на данное число, а второе нет, то их сумма и разность не делятся на данное число. Для доказательства, скажем, в случае суммы предположим, что а делится на х, b не делится на х, а сумма a + b, вопреки утверждению, делится на х. Применяя свойство 2 к числам a + b и a, каждое из которых делится на х, получаем, что их разность (a + b) - a = b делится на х, что противоречит условию. 3. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье. Пусть a делится на b, а b делится на с. Убедимся, что a делится на с. Поскольку a делится на b, то найдётся такое число х, что a = Ьх; а так как b делится на с, то найдётся такое число у, что b = cy. Тогда получим: a = Ьх = (су)х = с(ух), а это значит, что a делится на с. Развиваем умения У Н ПП • Известно, что а : Ъ = с. Как бы вы назвали число с? [~^ Продолжите предложения. — Кратным данного числа называется ... - Делителем данного числа называется ... Сформулируйте свойства делимости. [~^ Подберите несколько делителей и кратных для числа 30. 1^ Можно ли утверждать, что 29 184 делится на 512, если известно, что 29 184 делится на 9 728, а 9 728 делится на 512? [~^ Проверьте, будет ли число: а) 38 610 кратно 54; б) 38 610 кратно 27; в) 434 208 кратно 96; г) 434 208 кратно 32. Каждый ли раз для того, чтобы выполнить задание, надо было делать вычисления? 172 [~^ Проверьте, будет ли число: а) 87 делителем 22 881; в) 49 делителем 3 283; б) 29 делителем 22 881; г) 7 делителем 3 283. Каждый ли раз для того, чтобы выполнить задание, надо было делать вычисления? 8 Подберите среди заданных выражений то, значение которого кратно 80: а) 60 • 160; б) 60 + 160; в) 160 - 60. И 9] а) Двадцать восемь человек разделили на равные группы, причём групп не менее двух. Сколько человек может быть в каждой группе? б) В коробке лежало 35 пирожных. Их разложили на несколько тарелок поровну, причём все тарелки были использованы (не осталось ни одной пустой тарелки). Известно, что тарелок было больше 3. По сколько пирожных могло быть на каждой тарелке? Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н а) Есть ли среди чисел 456 и 145 кратное 2, кратное 3, кратное 5? б) Выпишите только те выражения, значения которых кратны 16: 1) 32 + 48; 2) 64 3; 3) 64 - 24. П Вариант II. а) Запишите число 24 в виде произведения так, чтобы показать, что оно делится на 12; запишите число 72 в виде произведения так, чтобы показать, что оно делится на 9. б) Запишите число 560 в виде суммы и в виде разности так, чтобы показать, что оно делится на 4. Тренировочные упражнения. Н 10 11 12 Запишите в виде произведения произвольное натуральное число, которое а) делится на 2; в) делится на 5; д) делится на 44; б) делится на 17; г) делится на 89; е) делится на 197. Докажите, что: а) 4а + 4Ь делится на 4; (а, b, с - натуральные числа.) б) ас + Ьс делится на с. Напишите по 3 числа, кратных числу: а) 3; б) 4; в) 9. 173 13 а) Туристы проехали первую половину расстояния в 480 км на автомобиле со скоростью 80 км/ч, а вторую половину - на автобусе, который двигался со скоростью 40 км/ч. Сколько времени потребовалось туристам на это путешествие? б) Для фруктового салата купили 3 кг разных фруктов. Яблоки составляют 3 части, апельсины — 2 части и сливы — 1 часть от всей массы фруктов. Сколько было фруктов каждого вида? П 14 15 Вася придумал общие свойства делимости: «Если хотя бы одно из нескольких чисел делится на данное число, то их произведение тоже делится на это число» и «Если все числа делятся на данное число, то их сумма тоже делится на это число». Прав ли Вася? Валя придумал свои свойства делимости: «Если ни одно из двух чисел не делится на данное число, то их произведение, их сумма и их разность тоже не делятся на это число». Прав ли Валя? М Известно, что a делится на b, а с делится на d. Обязательно ли ас делится на bd? Все слагаемые, кроме одного, делятся на данное число. Делится ли на данное число сумма этих слагаемых? Обоснуйте свой ответ. Ш Н 18 Проверьте, будет ли число: а) 1 356 кратно 2; б) 7 361 кратно 3; в) 123 456 789 кратно 9. 19 а) В двух коробках 120 груш. Сколько груш в каждой коробке, если в первой груш в три раза меньше, чем во второй? б) Ученик купил карандашей в 5 раз больше, чем ручек, причём карандашей он купил на 16 больше, чем ручек. Сколько всего карандашей и ручек купил ученик? т П 20 а) За набор красок и две кисти заплатили 32 р. 19 к., а за набор красок и кисть — 21 р. 72 к. Сколько стоит набор красок? Сколько стоит кисть? б) За две тетради и ручку заплатили 12 р. 66 к., а за тетрадь и две ручки — 15 р. 93 к. Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка? в) За три линейки и угольник заплатили 25 р. 20 к., а за линейку и три угольника — 40 р. 40 к. Сколько стоит линейка? Сколько стоит угольник? 174 ш М 21 Известно, что произведение двух чисел делится на данное число. Верно ли, что один из сомножителей обязательно делится на данное число? 22 Математик Нуликов купил 20 одинаковых карандашей и несколько ластиков. Стоимость каждого ластика 15 р., а стоимость карандаша он забыл, помнит только, что она выражается целым числом рублей. Сможет ли Нуликов расплатиться за покупку без сдачи только пятирублёвыми монетами? Признаки делимости Вспоминаем то, что знаем Выполните деление и скажите, делится ли 2 470 на 10. Делится ли 5 600 на 100? Открываем новые знания Назовите, не выполняя вычислений, среди данных чисел сначала те, что делятся на 10, затем те, что делятся на 100, и потом те, что делятся на 1 000: 60; 450; 67 000; 1 200. Какие числа делятся на 10? 100? 1 000? 175 Отвечаем, проверяем себя по тексту Признак делимости на 10, 100, 3 Если десятичная запись числа заканчивается нулём, то это число делится на 10. Если десятичная запись числа заканчивается двумя нулями, то это число делится на 100. L Если десятичная запись числа заканчивается n нулями, то это число делится на число, десятичная запись которого состоит из еди-f ницы, после которой следует n нулей. Т Вспоминаем то, что знаем Выполните деление и скажите, делится ли 420 на 5. Делится ли 635 на 5? Делится ли 638 на 5? Открываем новые знания ^ Ответьте, не вычисляя, делится ли 670 на 5. ^ Делится ли 245 на 5? ^ Делится ли 368 на 5? Какие числа делятся на 5? Отвечаем, проверяем себя по тексту Признак делимости на 5 Если последняя цифра числа* нуль или пятёрка, то это число де-i лится на 5. \ Например: как мы уже знаем, 670 делится на 10, а 10 делится на К 5, значит, опираясь на свойство делимости, можно сделать вывод, что 670 делится на 5. Запишем число 245 в виде суммы: 245 = 240 + 5. В этой сумме оба слагаемых делятся на 5, значит, эта сумма делится на 5. * Будем так говорить для краткости: вместо «последняя цифра в десятичной записи числа нуль или пятёрка» или «десятичная запись числа заканчивается нулём или пятёркой». 176 Если последняя цифра числа не нуль и не пятёрка, то это число не делится на 5. Например: запишем число 368 в виде суммы: 368 = 360 + 8. В этой сумме первое слагаемое делится на 5, а второе - нет, значит, эта сумма не делится на 5. Вспоминаем то, что знаем Выполните деление и скажите, делится ли 420 на 2. Делится ли 635 на 2? Делится ли 638 на 2? Открываем новые знания • Ответьте, не выполняя вычислений, делится ли 670 на 2. • Делится ли 7 456 на 2? Делится ли 1 363 на 2? Какие числа делятся на 2? Отвечаем, проверяем себя по тексту Признак делимости на 2 7 Если последняя цифра числа чётная (0, 2, 4, 6 или 8), то это число делится на 2. Например: как мы уже знаем, 670 делится на 10, а 10 делится на 2, значит, 670 делится на 2. Запишем число 7 456 в виде суммы: ^7 456 = 7 450 + 6. В этой сумме оба слагаемых делятся на 2, значит, эта сумма делится на 2. Если последняя цифра числа нечётная (1, 3, 5, 7 или 9), то это число не делится на 2. Например: запишем число 1 363 в виде суммы 1 363 = 1360 + 3. В этой сумме первое слагаемое делится на 2, а второе - нет, значит, эта сумма не делится на 2. Вспоминаем то, что знаем • Выполните деление и скажите, делится ли 108 на 9. • Делится ли 118 на 9? 177 Открываем новые знания €> Ответьте, не выполняя вычислений, делится ли 486 на 9. €» Делится ли 748 на 9? t> Какие числа делятся на 9? Отвечаем, проверяем себя по тексту Признак делимости на 9 Если сумма цифр числа делится на 9, то это число делится на 9. Например: сумма цифр числа 486 равна 4 + 8 + 6 = 18 и делится на 9, поэтому само число 486 делится на 9. Докажем это. Запишем число 486 в виде суммы разрядных слагаемых и выполним преобразования: 486 = 4100 + 810 + 6 = = 4(99 + 1) + 8(9 + 1) + 6 = (4 99 + 8 9) + (4 + 8 + 6). Слагаемое в первых скобках делится на 9, а слагаемое во вторых скобках представляет собой сумму цифр числа 486. В данном случае она равна 18 и тоже делится на 9. Таким образом, число 486 делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то это число не делится на 9. Например: сумма цифр числа 748 равна 7 + 4 + 8 = 19 и не делится на 9, поэтому само число 748 не делится на 9. Докажем это. Запишем число 748 аналогично тому, как мы выше записывали число 486: 748 = (7 99 + 4 9) + (7 + 4 + 8). Слагаемое в первых скобках делится на 9, а слагаемое во вторых скобках представляет собой сумму цифр числа 748. В данном случае она равна 19 и не делится на 9. Таким образом, число 748 не делится на 9. Вспоминаем то, что знаем Выполните деление и скажите, делится ли 108 на 3. Делится ли 118 на 3? Открываем новые знания ® Ответьте, не выполняя вычислений, делится ли 732 на 3. • Делится ли 458 на 3? 178 о Какие числа делятся на 3? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Если сумма цифр числа делится на 3, то это число делится на 3. Признак 1 Если сумма цифр числа не делится на 3, то это число не делит- делимости ся на 3. на 3 Эти результаты получаем, рассуждая так же, как в приведён- Г ных выше примерах для делимости на 9. Развиваем умения Н ПП • Сформулируйте признаки делимости на 10, 100, 10". Q Продолжите предложение. Если запись числа заканчивается нулём, то это число делится на ^ 0 Какие из чисел 126, 415, 500, 406, 850, 1 000, 1 200: а) делятся на 10? на 100? б) делятся на 5? в) делятся на 2? 101 Запишите четыре трёхзначных числа, которые: а) делятся на 3, но не делятся на 9; б) делятся на 9. [~У| С помощью цифр 4, 3, 5, 9 (без повторения) запишите несколько четырёхзначных чисел, которые делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 3. Г6! Запишите все числа от 17 до 57, которые: а) делятся на 10; б) делятся на 5; в) делятся на 9. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Из чисел 124, 305, 800, 810, 722, 720 выберите и запишите числа, которые делятся: а) на 5; б) на 2; в) на 9. Какие из этих чисел делятся на 2 и 5? на 2, 5 и 9? 179 П Вариант II. Поставьте вместо «<» цифру так, чтобы полученное число делилось на 3: а) ^; б) ^; в) 4^; г) 7 3^. Тренировочные упражнения. Н [~У| Докажите, что произведение чётного числа на любое натуральное число является чётным числом. [~^ Докажите, что сумма двух чётных чисел является чётным числом. [~У| Покажите, что нечётные числа 21, 23, 43 можно записать в виде 2п + 1, где n - натуральное число. 10 11 12 13 Докажите, что сумма двух нечётных чисел является чётным числом. Поставьте вместо цифру так, чтобы полученное число делилось на 9: а) 12<; б) 5^; в) 17^; г) 52^. а) Можно ли разменять 20 р. семью монетами по 1 р. и 5 р.? б) Можно ли разменять 20 р. восемью монетами по 1 р. и 5 р.? в) Можно ли разменять 22 р. восемью монетами по 1 р. и 5 р.? а) В рукописи 60 страниц. Одна машинистка перепечатает рукопись за 12 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись при совместной работе? б) Две бригады убрали 120 ц картофеля за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней может выполнить эту же работу вторая бригада? в) Бочка вмещает 60 л воды. Через первый кран её можно заполнить за 3 мин, а через второй — за 6 мин. За сколько минут можно заполнить бочку через оба крана? г) Скорый поезд проезжает расстояние между двумя городами, равное 900 км, за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов два этих поезда встретятся, если одновременно выйдут из двух городов навстречу друг другу? П 14 15 Докажите, что нельзя подобрать: а) три нечётных числа, сумма которых равна 12; б) пять нечётных чисел, сумма которых равна 100. Не выполняя сложения, определите, каким числом (чётным или нечётным) является сумма: 180 а) 1 + 5 + 7 + 9 + 11 + 12 + 13 + 15; б) 5 + 15 + 25 + 35 + 45; в) 3 + 13 + 23 + 33 + 43 + 57. М 16 17 Пятиклассник Вася придумал признак делимости на 18: «Если сумма цифр числа делится на 18, то это число делится на 18». Прав ли Вася? Васин одноклассник Валя сказал Васе*: «Твой признак делимости на 18 неправильный. У числа 36 сумма цифр не делится на 18, а само оно делится на 18». Согласны ли вы с возражением Вали? Ш Н 18 19 Запишите по 4 числа, которые делятся на: а) 2; б) 5; в) 9; г) 3. На числовом луче точке А соответствует чётное число. Какие числа соответствуют точкам В и С — чётные или нечётные? O E C A B 20 Определите, какие из чисел, перечисленных в этом ряду, чётные и какие нечётные, если а - чётное: а + 1; а + 2; а + 3; а + 4; а + 5. 21 а) Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику потребуется в два раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 заготовки при совместной работе? б) Расстояние между двумя городами 750 км. Рейсовый автобус проезжает это расстояние за 15 ч, автотуристу на этот путь потребуется 10 ч. Через сколько часов они встретятся, если одновременно отправятся из двух городов навстречу друг другу? в) Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 2 части слив. Груш и слив вместе оказалось 2 кг 100 г. Сколько взяли яблок? Сколько всего взяли фруктов? 22 Решите задачи с помощью схем и уравнений. а) Для варенья купили несколько килограммов ягод. После того как их разделили на 4 равные части, оказалось, что каждая часть составляет 4 кг. Сколько килограммов ягод купили? б) В одном фотоальбоме помещается 20 снимков. У Сергея несколько таких фотоальбомов, в которых всего 160 снимков. Сколько у Сергея фотоальбомов? См. задание 16. 181 b т П 23 24 Проверьте признак делимости на 4: если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и всё число делится на 4. Используя признак делимости на 4, определите пять последних високосных годов перед 1999 годом. т 25 26 27 28 М Было 7 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 7 частей, потом некоторые ещё разрезали на 7 частей, и такие действия повторили несколько раз. Могло ли в результате получиться 1 000 листов бумаги? Математик Нуликов купил 27 одинаковых тетрадей, некоторое количество фломастеров стоимостью по 45 р. и по 54 р. и 108 одинаковых листов бумаги. Когда кассир сказал Нуликову, что за покупку нужно заплатить 754 р. 50 к., Нуликов ответил, что он не помнит стоимости одной тетради и одного листа бумаги, не помнит, сколько и каких фломастеров он купил, но наверняка знает, что кассир ошибся. Прав ли Нуликов? Почему он решил, что кассир ошибся? Придумайте признак делимости на 8. Обоснуйте на конкретных числовых примерах признак делимости на 11. Вычислим сумму цифр, стоящих в разрядах с чётными номерами, и сумму цифр, стоящих в разрядах с нечётными номерами. Если эти суммы равны или их разность делится на 11, то и число делится на 11. 3.3 Простые и составные числа Вспоминаем то, что знаем Чему равно произведение а 1, где а - натуральное число? Верно ли, что каждое натуральное число, большее 1, имеет не менее двух различных делителей? 182 Открываем новые знания Имеются ли числа, у которых делителей только два? Приведите примеры. Имеются ли числа, у которых делителей больше двух? Приведите примеры. Рассмотрите таблицу внизу с. 206. Как вы думаете, какие числа называются простыми? Отвечаем, проверяем себя по тексту Натуральное число, имеющее только два различных делителя (единицу и самого себя), называется простым. Натуральное число, имеющее более двух различных делителей, называется составным. Единица не является ни простым, ни составным числом (у неё только один делитель). Наименьшее простое число 2. Это единственное чётное простое число; все остальные простые числа нечётные. Простых чисел бесконечно много: нет наибольшего простого числа. В конце каждой части учебника приведена таблица всех простых чисел, меньших 1 000. Вспоминаем то, что знаем • Верно ли, что число 30 составное? • На какие простые числа делится 30? Открываем новые знания • Запишите в виде произведения простых чисел числа 30, 40, 99. • Выберите любое составное число и запишите его в виде произведения простых чисел. Верно ли, что всякое составное число делится на некоторое простое число? Верно ли, что всякое составное число можно записать в виде произведения простых множителей? 183 Разложение на простые множители i Отвечаем, проверяем себя по тексту Всякое составное число можно записать в виде произведения простых множителей: разложить на простые множители. Делается это так. Сначала выясняют, делится ли число на 2 — наименьшее простое число. Если делится, то производят деление до У тех пор, пока это возможно. Затем то же самое делается со следующим простым числом и т.д. Запись разложения на простые множители принято выполнять с помощью вертикальной черты. Рассмотрим несколько примеров. 7 11 13 48 2 525 3 1 001 24 2 175 5 143 12 2 35 5 13 6 2 7 7 1 3 1 48 = 3 24^3 1 525 = 3 •52^7 1 001 = 7 Развиваем умения М Н ПП €» а) Какое число называют простым? б) Какое число называют составным? €> Продолжите предложения. — Ни простым, ни составным числом не является ^ — Число два - это — Ряд простых чисел ^ Не пользуясь таблицей простых чисел, проверьте, что числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59 являются простыми. Q Какие простые делители имеет число 48, число 525, число 1 001? [Т"! Используя признаки делимости, докажите, что числа 750, 1 255, 2 826, 4 502 являются составными. [~^ С помощью таблицы простых чисел а) определите, является ли простым числом 127, !301,447, 517, 673; б) назовите все простые числа, большие 60, но меньшие 80; в) назовите все составные числа, большие 60, но меньшие 80. 184 I^7] Разложите на простые множители числа: а) 22; б) 18; в) 12; г) 16; д) 18; е) 25; ж) 35; з) 40; и) 90. Определите, простое или составное данное число: а) 123; б) 279; в) 335; г) 642. Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) С помощью таблицы простых чисел запишите сначала все простые числа, большие 50, но меньшие 60, а затем все составные числа, большие 50, но меньшие 60. б) Разложите на простые множители число 54. П Вариант II. а) Являются ли простыми числа: 998; 999; 1 000? б) Определите, простое или составное число 89. Тренировочные упражнения. Н [~9~| Можно ли простое число записать в виде суммы а) двух чётных чисел; б) двух нечётных чисел; в) чётного и нечётного числа? 10 11 12 Запишите все возможные трёхзначные числа, в запись которых входят только цифры 1, 7 и 9, причём цифры в записи каждого числа не должны повторяться. Сколько всего чисел вы записали? Сколько среди них простых? (Пользуйтесь таблицей простых чисел.) а) Известно, что число а делится на 4. Простое или составное число а? б) Запишите несколько двузначных чисел, которые делятся на 5. Простые или составные эти числа? Из чисел 1,2, 3, 4, 5, 8, 10, 20, 40 выберите те, которые являются а) делителями числа 40; б) кратными числа 4. П 13 Запишите четырёхзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делиться на 3? 185 8 14 М Вася подставляет в формулу p = п2 — n + 41 различные натуральные числа. При n = 1 получается p = 41, при п = 2 и п = 3 соответственно p = 43 и p = 47. Все полученные числа простые! Проверьте, получатся ли простые числа при п = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Возьмите сами несколько значений п и проверьте, получатся ли простые числа. Верно ли, что эта формула даёт простые числа при любом п? Ш Н 15 18 19 Известно, что число m делится на 11. Простое или составное это число, если m > 11? Запишите пять двузначных чисел, удовлетворяющих этому условию. Докажите, что числа 49, 25, 36, 16 являются составными. Докажите, что: а) число 14 616 - кратное числа 29; б) число 56 - делитель числа 44 968. Докажите, что числа 72, 54, 27, 63 можно записать в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых кратно числу 9. а) В магазине продали 480 кг моркови и картофеля. Сколько килограммов картофеля продали, если его продали в три раза больше, чем моркови? б) Из 580 г шерсти связали 4 пары носков. Хватит ли 2 кг 320 г шерсти, чтобы связать 16 пар носков? т П 20 У четверых купцов есть некоторая сумма денег. Известно, что, сложившись без первого своего товарища, они соберут 90 000 р.; без второго - 85 000 р., без третьего - 80 000 р., без четвёртого - 75 000 р. Сколько у кого денег? ш М 21 Антон предложил задумать любое трёхзначное число и, храня его в тайне, приписать это же число рядом с задуманным, полученное шестизначное число разделить на 7, потом частное разделить на 11, затем новое частное разделить на 13 и результат сообщить ему. После этого Антон берётся сказать, какое число было задумано. а) Возьмите любое трёхзначное число и проделайте с ним всё, что предложил Антон. б) Почему Антон уверен, что все три деления удастся выполнить? в) В чём секрет этого математического фокуса? 186 Делители и кратные Вспоминаем то, что знаем Какое число называется делителем данного числа? Открываем новые знания Найдите все делители чисел 7; 9; 15; 27; 30; 50. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел? Есть ли у числа наименьший делитель? наибольший? Как найти все делители данного числа? Отвечаем, проверяем себя по тексту Трудность нахождения всех делителей данного числа зависит от того, какое число взято. Каждое простое число имеет только два различных делителя -единицу и само себя. Для составного числа нужно сначала выполнить разложение на простые множители. В результате число окажется записанным в виде произведения своих простых делителей или их степеней. Все возможные произведения простых делителей также являются делителями данного числа. Например: 1) Представим число 9 в виде произведения простых делителей. 9 = 3 3; или 9 = 32. Делители: 3; 32, а также 1. Всего 3 различных делителя: 1; 3; 9. 187 2) 27 = B^B^B = 33. Делители: 3; 32; 33, а также 1. Всего 4 различных делителя: 1; 3; 9; 27. 3) 30 = 2 3 5. Делители: 2; 3; 5, их попарные произведения 2 3; 2 5; 3 5, произведение всех трёх простых делителей 2^3^5, а также 1. Всего 8 различных делителей: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30. 4) 50 = 2 • 52. Делители: сначала «только с двойкой» (2), затем «только с пятёркой» (5; 52), наконец «и с двойкой, и с пятёркой» (2 5; 2 52), а также, как всегда, 1. Всего 6 различных делителей: 1; 2; 5; 25; 10; 50. Вспоминаем то, что знаем О Какое число называется кратным данного числа? Открываем новые знания Найдите несколько кратных числа 9. Проверьте, что 162 - кратное числа 9. Найдите два следующих кратных числа 9. О Найдите два предыдущих кратных числа 9. О Найдите наименьшее кратное числа 9. о Как определить все кратные данного числа? Отвечаем, проверяем себя по тексту Найдём ответ на вопрос, как определить все кратные данного числа. Как вам уже известно, кратное данного числа - это такое число, которое делится на данное число, значит, кратное числа а имеет вид а•n, где n - натуральное число. Наименьшее кратное числа - это а 1, то есть само это число. Например, наименьшее кратное числа 9 - это 9 1, то есть 9. a^1 a^2 a^3 a^n 188 Любое натуральное число им,еет бесконечное количество кратных. Последовательные кратные числа а - это а; 2а; 3а; 4а и т.д. Наибольшего кратного данного числа не существует. Если к любому кратному числа а прибавить а, то получим следующее кратное числа а в натуральном ряду. Если взять кратное числа а, не равное самому числу а, то при вычитании из него числа а получим предыдущее кратное числа а в натуральном ряду. Развиваем умения Н рГ] • а) Что называют простым делителем натурального числа? б) Что значит разложить число на простые множители? [~^ • Разложите на простые множители числа: а) 22; б) 18; в) 12; г) 16; д) 26; е) 35; ж) 48; з) 70; и) 144; к) 210; л) 216; м) 800. [~^ • Определите, является число простым или составным: а) 601; б) 729; в) 835; г) 1 571. • Найдите все делители числа а: а) а = 223; б) а = 357; в) а = 3311; г) а = 55713. [~^ Укажите все делители числа: а) 2; б) 8; в) 12; г) 16; д) 18; е) 5; ж) 25; з) 20; и) 28; к) 7; л) 48; м) 100. [~6] Запишите по три натуральных числа, не имеющих других простых делителей, кроме чисел: а) 2; б) 3; в) 5; г) 2 и 3; д) 3 и 5; е) 7; ж) 2 и 7. Какие ещё делители имеют эти числа? 1^7] Запишите по три натуральных числа, имеющих среди делителей числа: а) 2; б) 4; в) 9; г) 10; д) 4 и 5; е) 2 и 9. Какие ещё делители имеют эти числа? Назовите наименьшее кратное каждого числа и ещё по три любых кратных этих чисел: а) 2; б) 8; в) 12; г) 16; д) 18; е) 5; ж) 25; з) 20; и) 28; к) 7; л) 48; м) 100. 189 8 Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Укажите все делители чисел: 45; 50. б) Запишите три любых кратных числа 129. П Вариант II. а) Представьте произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от единицы: 20 • 24; 12 25. б) Запишите число 32 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами (порядок множителей в произведении не важен). Тренировочные упражнения. Н [~У| Представьте произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1: а) 120 8; б) 150 15; в) 1 000 11; г) 300 7. 10 11 Разложите на простые множители числа: 100; 1 000; 10 000; 100 000. Помните при этом, что 10 = 2 5. а) Два велосипедиста движутся навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми равно 40 км. Через какое время они встретятся, если скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а скорость второго - 8 км/ч? б) Два пешехода одновременно вышли из одного пункта и движутся в противоположных направлениях. Скорость одного - 100 м/мин, а другого - 80 м/мин. Какое расстояние будет между ними через час? П 12 Назовите какое-нибудь число, имеющее ровно 5 различных делителей. 13 М Пятиклассник Вася утверждает, что, какое бы натуральное число n ни назвал ему Валя, он сможет назвать в ответ такое натуральное число, у которого ровно n различных делителей. Прав ли Вася? Попробуйте понять, как он собирается это сделать. 190 14 Верно ли, что среди любых 7 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся одно, делящееся на 7? Может ли найтись два таких числа? Ш Н 18 Укажите все делители чисел: 12; 105; 700. Запишите три любых кратных для каждого из чисел: 12; 105; 700. Выразите а) в метрах: 4 км; 400 см; б) в сантиметрах: 20 м; 3 км; 6 000 мм; в) в килограммах: 2 т 4 ц; 300 ц; 2 000 г; г) в граммах: 5 кг; 1 т. а) В книге 60 страниц. Девочка прочитала треть всей книги. Сколько страниц ей осталось прочесть? б) Девочка прочитала 60 страниц. Это треть всей книги. Сколько страниц ей осталось прочесть? Ш П 19 Сколько различных делителей имеют числа 250, 400? Указание: 250 = 2 53; 400 = 24 • 52. Придумайте, как определить количество различных делителей составного числа, пользуясь деревом выбора. Ш М 20 Есть три простых числа, такие, что разности между вторым и первым и между третьим и вторым равны 2, — это 3, 5 и 7. Есть ли ещё одна такая тройка простых чисел? 191 Наибольший общий делитель Вспоминаем то, что знаем ^ Найдите все делители каждого из чисел 24 и 60. Открываем новые знания ^ Найдите общие делители чисел 24 и 60. ^ Какой из них наибольший? наименьший? ^ Чему равен наименьший общий делитель данных чисел? ^ Как найти наибольший общий делитель данных чисел? Отвечаем, проверяем себя по тексту Наибольший общий делитель У любых двух натуральных чисел есть наибольший общий делитель. Для того чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел, нужно: а) разложить числа на простые множители; б) взять простые множители, входящие в каждое разложение, и перемножить. Например, найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 60. 24 = 2-2-2-3, 60 = 2-2-3-5. Простые множители, входящие в каждое разложение, подчёркнуты, это 2, 2, 3, значит, НОД (24, 60) = 2-2-3 = 12. 192 Взаимно простые числа При этом необязательно полностью расписывать числа в виде произведения. Краткая запись выглядит так: 24 = 23 • 3, 60 = 22 3 5, значит, НОД (24, 60) = 22 3 = 12. Наибольший общий делитель чисел равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшими показателями степени. Для чисел 24 и 60 это 2251. Данный алгоритм позволяет находить наибольший общий делитель любого количества чисел. Наибольший общий делитель делится на любой общий делитель. Если у чисел нет общих простых множителей, то их наибольший общий делитель равен 1. Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1 , назы-^ ваются взаимно простыми числами. Можно сказать по-другому: взаимно простые числа не имеют общих простых делителей. Например: 56 = 2 2 2^7, 45 = 3 3 5. НОД (56, 45) = 1. Развиваем умения Н [~^ Найдите все делители чисел 30 и 36. Найдите все общие делители чисел 30 и 36. [~2] Найдите: а) 24 и 35; б) 63 и 88; Q Найдите: 30); г) НОД (66, 44); ж) НОД (40, 60); 25); д) НОД (18, 36); з) НОД (45, 60). 40); е) НОД (30, 45); разложения чисел на простые множители докажите, что данные чис-взаимно простыми: в) 56 и 99; д) 63 и 88; ж) 32 и 33; г) 48 и 49; е) 11 и 17; з) 81 и 98. 7); г) НОД (14, 17); ж) НОД (24, 6); 55); д) НОД (24, 12); з) НОД (98, 99). 5); е) НОД (64, 63); [TJ • а) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел. б) Известно, что число а делится нацело на b. Чему равен НОД (а, Ь)? 193 [~Г] Ученик искал НОД (60, 240) и получил 120. Не выполняя вычислений, установите, может ли этот ответ быть верным. [~У^ о Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше меньшего из этих чисел. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Найдите: а) НОД (14, 49); б) НОД (48, 24); в) НОД (60, 36); г) НОД (30, 21). П Вариант II. Найдите: а) НОД (30, 45, 60); б) НОД (45, 270, 100); в) НОД (18, 72, 120). Тренировочные упражнения. Н Найдите: а) НОД (320, 40); в) НОД (233, 79); д) НОД (278, 279); б) НОД (484, 44); г) НОД (84, 96); е) НОД (100, 175). Щ Найдите: а) НОД (100, 125, 1000); б) НОД (180, 98, 286); в) НОД (120, 500, 180, 90). 10 11 Найдите среди данных чисел пары взаимно простых чисел: а) 105 и 16; в) 315 и 78; д) 495, 119; б) 180 и 98; г) 47 и 53; е) 29, 61. Даны разложения чисел a и Ъ на простые множители. Найдите НОД (a, b). а) a = 23^32^54^ 7, Ъ = 22^3^52^72; б) a = 22 3 52 ^ 7, 12 13 Ъ = 2^53^7^112. Назовите по три любых кратных чисел: а) 11; б) 18; в) 22; г) 30; д) 78; е) 500. Не вычисляя значения выражений, докажите, что: а) 45 8 делится на 15; б) 1145 делится на 55; в) 12 63 делится на 42; г) 152 кратно 25; д) 2 • 123 кратно 54. Образец. Докажем, что 12 8 делится на 16. Выделим в произведении множитель 16: 12 8 = 4 3 4 2 = (4 4)(3 2) = 16(32). 194 14 а) В одной группе 36 девочек, а в другой -24 мальчика. Их надо разделить на равные команды, каждая из которых состоит или только из мальчиков, или только из девочек. Какое наибольшее число детей может быть в каждой команде? Сколько команд получится? б) Для новогодних подарков купили 184 мандарина и 138 яблок. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно подготовить из этих фруктов? в) Когда туристы прошли 20 км, оказалось, что это четвёртая часть оставшегося пути. Чему равна длина всего пути? П Найдите НОД (24, 60, 84). Известно, что а и b — взаимно простые числа, b и c — тоже взаимно простые. Верно ли, что числа а и c — взаимно простые? М 17 Докажите, что два соседних натуральных числа — взаимно простые. Ш Н 18 Найдите: а) НОД (14, 42); б) НОД (11,7); в) НОД (17, 24); г) НОД (30, 45). 19 20 21 Из данных числовых выражений сначала выберите те, которые кратны 6, а потом — 15: а) 9 3; б) 5 5 3; в) 22^ 105; г) 23 • 9; д) 22 • 77. Верно ли, что значение каждого выражения кратно 12? а) 22 • 105; б) 32 20; в) 22 77. а) В одной группе 36 спортсменов, а в другой — 40. Их надо разбить на равные команды с наибольшим возможным числом человек в команде, причём в одной ко- 195 манде могут быть спортсмены только из одной и той же группы. Сколько команд получится? б) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 40 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Через какое время они встретятся, если скорость пешехода 5 км/ч, а велосипедиста — 15 км/ч? т П 22 Докажите, что любые два различных простых числа являются взаимно простыми. т М 23 24 а) Верно ли, что наибольший делитель данного числа делится на все его другие делители? б) Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел делится на все другие общие делители. Что можно сказать о натуральном числе п, произведение всех делителей которого равно: 2. _) пЗ. г) П^? а) п; б) п^; в) п ; 3.6 Наименьшее общее кратное Вспоминаем то, что знаем О Какое число называется кратным данного числа? О Есть ли у числа наименьшее кратное? 196 Есть ли у числа наибольшее кратное? Как выписать последовательные кратные данного числа, начиная с наименьшего? Открываем новые знания Найдите общие кратные чисел 24 и 60. Какое из них наименьшее? ^ Как найти наименьшее общее кратное данных чисел? I Отвечаем, проверяем себя по тексту Наименьшее общее кратное УГ JIL 7 Последовательные кратные числ^ 24: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, 264, _ . I Последовательные кратные числ^ 60: 60, 120, 180, 240, 300, _ . 1г Общие кратные: 120, 240, _ . Наименьшее общее кратное равно 120. Это записывают так: НОК (24, 60) = 120. Наибольшего общего кратного нескольких чисел не существует. Вспоминаем то, что знаем • Разложите числа 24 и 60 на простые множители. Открываем новые знания • Найдите НОК (24, 60), если 24 = 2 2 2^ 3 = 23 3; 60 = 2 2 3^5 = 223^5. о Как найти наименьшее общее кратное данных чисел, если известны их разложения на простые множители? Отвечаем, проверяем себя по тексту Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, можно воспользоваться следующим алгоритмом: а) разложить числа на простые множители; 197 наименьшего общего кратного б) взять б(>льшее из чисел и умножить его на все простые множители, не входящие в разложение б(>льшего числа, но входящие в разложение меньшего. Например, найдём НОК для чисел 24 и 60. 24 = 2^22^3, 60 = 2^2^35. Простые множители, входящие в каждое разложение, подчёркнуты. В разложение числа 60 не входит лишь один множитель 2, который входит в разложение числа 24, значит, НОК (24, 60) = = 60 2 = 120. Имеется другой алгоритм: нужно взять произведение всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного числа, причём с наибольшим показателем степени. Например, для чисел 24 и 60 это будет записываться так: НОК (24, 60) = 23 3 5 = 120. Второй алгоритм позволяет находить наименьшее общее кратное не только двух, но и произвольного количества чисел. Вспоминаем то, что знаем Являются ли числа 24 и 25 взаимно простыми? Делится ли 120 нацело на 30? Открываем новые знания ^ Найдите НОК (24, 25); НОК (120, 30). Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел? Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых нацело делится на другое? Отвечаем, проверяем себя по тексту i Взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, поэтому их наименьшее общее кратное равно произведению этих чи- Особые случаи нахождения сел. наименьшего Например, НОК (24, 25) = 24 25 = 600. общего кратного Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело на 30, следовательно, НОК (120, 30)= 120. 198 Развиваем умения Н [~^ Найдите несколько кратных числг! 10 и несколько кратных числг! 12. Найдите несколько общих кратных чисел 10 и 12. Чему равно наименьшее общее кратное чисел 10 и 12? [~2] Найдите: а) НОК (6, 8); в) НОК (15, 25); д) НОК (16, 12); б) НОК (48,42); г) НОК (35, 20); е) НОК (56, 63). [~3] Найдите: а) НОК (5, 25); в) НОК (36, 12); д) НОК (24, 48); б) НОК (16, 32); г) НОК (35, 70); е) НОК (56, 112) [4\ Известно, что число а делится нацело на Ъ. Чему равно НОК (а, Ь)? [~^ Придумайте пять пар таких чисел а и Ъ, чтобы НОК (а, Ъ) = а. а. [~6~| Являются ли данные числа взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. а) 12 и 25; б) 17 и 59; в) 55 и 42; д) 11 и 48; г) 50 и 51; е) 39 и 50. [~^ • Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел? Ученик искал НОК (60, 240) и получил 120. Не выполняя вычислений, установите, может ли этот ответ быть верным. [~^ • Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше никакого из этих чисел. Задания для самостоятельной работы. Вариант I. Н Найдите: а) НОК (99, 100); П Вариант II. б) НОК (11, 110); в) НОК (28, 21). Найдите НОД (а, Ъ) и НОК (а, Ъ), если а = 23327, Ъ = 243352. — -)4 -зЗ г2 199 Тренировочные упражнения. Н 10 11 Найдите: Найдите: 48); в) НОК (49, 50); д) НОК (16, 15); 49); г) НОК (28, 21); е) НОК (11, 17). 10); в) НОК (15, 45); д) НОК (16, 48); 66); г) НОК (198, 9); е) НОК (26, 52). 12 Найдите НОД (а, Ь) и НОК (а, Ь), если: а) а = 23^34^7, Ь = 22^33^ 72; б) а = 22^33^52, Ь = 33^ 52. 13 Верно ли, что первое произведение делится на второе произведение без остатка: а) (335 7) : (3 3 5); б) (2 2 13 7) : (2 2^ 13); в) (33355) : ( 33^ 7); г) (7 7 115) : (7 1111)? 14 Какой наименьшей длины может быть лента, чтобы её можно было разрезать на куски а) как по 3 м, так и по 4 м; б) как по 4 м, так и по 6 м? 15 16 а) Ученица задумала число, меньшее 30, которое кратно 3 и 5. Какое число она задумала? б) Из двух сцепленных шестерёнок одна имеет 16 зубцов, а другая - 28. До начала вращения шестерёнок соприкасающиеся зубцы пометили мелом. Через какое наименьшее число оборотов каждой шестерёнки метки совпадут? Масса бутылки, наполненной растительным маслом, составляет 950 г. Когда из неё вылили половину масла, её масса стала 550 г. Чему равна масса масла? Чему равна масса пустой бутылки? П 17 Найдите НОК (24, 60, 84). 18 Верно ли, что наименьшее общее кратное двух соседних натуральных чисел равно произведению этих чисел? 200 М 19 Верно ли, что если одно из двух чисел делится на другое, то их наименьшее общее кратное равно большему числу? Верно ли, что если одно из нескольких чисел делится на все остальные, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему числу? Обоснуйте ваш ответ. 20 Верно ли, что все общие кратные двух данных чисел делятся на их наименьшее общее кратное? Ш Н 21 Найдите: а) НОК (18, 24); б) НОК (45, 46); в) НОК (5, 7); г) НОК (48, 12); д) НОК (11, 12); е) НОК (15, 50). 22 23 24 Найдите: а) НОД (14, 11); б) НОД (52, 26); в) НОД (3, 13); г) НОД (60, 42). Найдите НОД (а, b) и НОК (а, b), если а = 2 32711, b = 22 34^ 11. а) Половину урожая картофеля в фермерском хозяйстве положили на хранение, треть из неё оставили на семена. Сколько центнеров картофеля собрали, если на семена оставили 5 ц? б) Из двух посёлков, расстояние между которыми 54 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Какова была скорость каждого из них, если известно, что они встретились через 2 часа и что скорость одного была на 3 км/ч больше скорости другого? Ш П 25 Спортсменов построили в колонну по 6 человек, а потом перестроили, поставив по 4 человека. Сколько всего спортсменов, если их больше 90, но меньше 100? Ш М 26 27 Пятиклассник Вася утверждает, что наибольший общий делитель нескольких чисел равен наименьшему общему кратному всех общих делителей этих чисел. Прав ли Вася? Верно ли, что НОД (та, п) • НОК (та, п) = m • n для любых натуральных чисел m и п? 201 .7 Единицы измерения времени Повторяем, обобщаем знания Какие единицы измерения времени вы уже знаете? Как они связаны друг с другом? Что вы знаете о таких единицах измерения времени, как квартал и декада? Единицы измерения времени При решении различных задач нам часто бывает необходимо определить время движения, время выполнения работы, время наполнения каких-либо ёмкостей. Сутки — основная единица времени. За сутки Земля совершает полный оборот вокруг своей оси.Сутки делятся на 24 часа, каждый час — на 60 минут, каждая минута — на 60 секунд. Кроме того, используют такие единицы измерения времени, как год, месяц, кварт<1л, неделя, декг1да. Год - время обращения Земли вокруг Солнца. С точностью до 11-12 минут один год составляет 365 суток и 6 часов. Более двух тысяч лет назад договорились считать, что в году 365 суток, но в каждом четвёртом году 366 суток, так как прибавка в 6 часов каждые 4 года складывается в сутки. Такой год назвали високосным. Однако на протяжении многих сотен лет те самые 11-12 минут постепенно тоже могут складываться в сутки, и поэтому правило чередования простых и високосных годов пришлось уточнить. Сейчас оно устроено следующим образом. Если номер года не делится на 4, то в таком году 365 суток. 202 Если номер года не заканчивается двумя нулями и делится на 4, то год считается високосным. Если номер года заканчивается двумя нулями, то год считается високосным, если его номер делится на 400, и не високосным, если его номер на 400 не делится. Например, 2000 год был високосным, а вот, скажем, 1900-й, 1800-й - не были. Не будет високосным и 2100 год. Этот календарь был введён Римским Папой Григорием XIII в 1582 году и называется григори<1нским. Год делится на 12 месяцев, но дни между месяцами распределены неравномерно: январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь содержат по 31 дню; апрель, июнь, сентябрь, ноябрь - по 30 дней; в феврале в обычном году — 28 дней, а в високосном — 29. Квартал содержит 3 месяца, неделя — 7 суток. Иногда месяц делят на три декады; при этом первая и вторая декады содержат по 1 0 суток, а продолжительность третьей декады разная (в зависимости от продолжительности месяца). Развиваем умения Н П<~| • Продолжите предложения. — Сутками называют ^ — Год составляет ... — Високосным называют . I — Квартал содержит . — Декада — это . [~2] Выразите а) в минутах: 2 ч, 3 ч, сутки, неделю; б) в секундах: 2 ч, 3 ч, сутки, неделю. [~3] Вычислите: а) 3 ч 15 мин + 2 ч 45 мин; в) 3 ч 20 мин — 1 ч 50 мин; б) 7 мин 45 с + 2 мин 25 с; г) 7 мин 45 с — 2 мин 25 с. 203 [~Т] а) Железнодорожный экспресс отправился от станции в 11 ч 40 мин и находился в пути 2 ч 50 мин. Найдите время прибытия экспресса в пункт назначения. б) Железнодорожный экспресс отправился от станции в 8 ч 55 мин и прибыл на станцию в 14 ч 20 мин того же дня. Сколько времени он находился в пути? Задания для самостоятельной работы. Н Вариант I. а) Выразите: 1 сутки = ^ с; 1 неделя = ^ ч. б) Вычислите: 3 мин 20 с + 1 мин 13 с; 3 мин 20 с - 1 мин 13 с. П Вариант II. а) Выразите: 1 сутки = ^ мин; 1 неделя = ^ мин. б) Вертолёт поднялся в воздух в 14 ч 45 мин и приземлился в 17 ч 10 мин того же дня. Сколько времени он находился в полёте? Тренировочные упражнения. Н И 5 I Вертолёт поднялся в воздух в 12 ч 35 мин и находился в полёте 2 ч 40 мин. В какое время приземлился вертолёт? [~Т~| а) Через остановку проходят автобусы, идущие по трём маршрутам. Один из них подходит к остановке через каждые 3 мин, другой - через каждые 6 мин, третий - через каждые 10 мин. В 8 ч 45 мин к остановке одновременно подошли все три автобуса. В какое ближайшее время там снова окажутся три автобуса? В какое ближайшее время к остановке подъедут два автобуса? б) В кошачьем семействе, состоящем из кошки и котят, лап на 21 больше, чем хвостов. Сколько у кошки котят? П 0 ^ Купец купил 110 фунтов табака. Пятьдесят фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем заплатил сам. Подсчитайте прибыль купца. 204 М а) Может ли в феврале быть 5 понедельников? А в апреле? б) Может ли в апреле быть 5 вторников и 5 четвергов? А в мае? Н [~9] Выразите а) в часах: сутки, декаду; б) в минутах: сутки, декаду. 10 11 Вычислите: а) 3 ч 15 мин 3; б) 3 ч 15 мин : 3; в) 3 мин 20 с - 2 мин 25 с. а) Одно и то же расстояние в 141 м сначала прошли шагами по 50 см, а затем — шагами по 60 см. Сколько раз совпали следы? б) Известно, что в классе от 25 до 35 учеников. Им раздали поровну восемьдесят семь карандашей. Сколько карандашей получил каждый ученик? Сколько учеников в классе? ш П 12 В декабре мальчик посещал бассейн по одним и тем же двум дням каждой недели, шедшим через день (например, это могли быть понедельник и среда, вторник и четверг и т.д.). Сколько раз мальчик мог посетить бассейн в этом месяце? 205 8 Таблица простых чисел (до 1 000) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 1 01 1 03 1 07 109 113 1 27 1 31 137 1 39 1 49 151 157 1 63 1 67 1 73 1 79 1 81 191 1 93 1 97 1 99 21 1 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 31 1 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 41 9 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 61 3 617 61 9 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 71 9 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 91 1 91 9 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Ответы 1.3. № 22. Число разрядов и число единиц старшего разряда увеличивается на 1. 1.4. № 11. А(50), К(20С), М(350). № 13. а < с. № 14. 98 или 102. № 18. 54. № 19. 44. № 20. Указание: точки могут находиться по разные стороны от точки К. 1.5. № 31. 17 или 18 снимков. 1.6. № 17. Хватит, так как (400 + 200) 10 = 6 000. № 25. а) 400; б) 1 400. 2.1. № 17. а) 95, 103, 112; б) 82, 85, 86. № 18. 100. № 23. 15 т и 13 т. № 25. 19. № 26. 26. 2.2. № 14. 650. № 15. а) 3, 4, 6; б) 20, 40, 70. № 16. 2. № 17. 20. № 23. 1. № 26. 0. 2.3. № 11.24 кг. № 12. 60 л. № 18. 45. № 19. 32 и 16. 2.4. № 14. 7. № 18. 45. № 19. 32. 2.5. № 13. 2 сут. № 14. 1 м. № 18. 20 мин. № 19. 950 м. 2.6. № 12. 9. № 18. 8 р., 32 р. и 128 р. 2.7. № 7. а) 200 км, 418 км и 289 км; б) Кр. - 124, Ж. - 104, Син. - 80, Зел. - 542. № 12. а) 135 г, 150 г и 280 г; б) Кр. - 15, Ж. - 7, Син. - 12, Зел. - 10. № 14. 50 км. № 15. 5 мин. № 21.5. № 24. 36. 2.8. № 12. 50 км и 200 км. № 19. На 5 дней. № 20. 6. 2.10. № 12. 10. № 13. 77. № 19. 188. № 20. 12. 2.11. № 15. Синего; красного. № 22. 12 и 16. № 23. 70. 2.13. № 12. 3. 2.14. № 24. а) 7; б) 7; в) 28. № 25. 100 и 50. № 34. 100 г и 10 г. № 35. Егору 10 лет, Алексею 15 лет, Семёну 18 лет. № 36. Указание: узнайте, сколько весят Маша, Даша и Наташа вместе. 2.15. № 11. По 18. № 12. 60 и 72. № 15. 12, 36 и 72. № 16. 3 л и 2 л. № 17. 55 г. № 18. 6. 2.16. № 15. 15, 16, 17. № 16. 4 и 12. 2.17. № 11.6. № 12. 24. № 13. 24; 120. № 14. m • те. № 15. k^m^n. 2.18. № 9. Указание: сначала положите на каждую чашу весов по 3 монеты. №10. Указание: сначала налейте в семилитровое ведро 5 литров, затем из пятилитрового ведра долейте ещё 2 литра. № 15. Указание: сначала положите на каждую чашу весов по 6 монет, затем по 3, затем по 1. 3.1. № 15. Нет. Указание: можно проверить на конкретных примерах. № 16. Да. № 17. Нет. № 20. а) 11 р. 25 к. и 10 р. 47 к.; б) 3 р. 13 к. и 6 р. 40 к.; в) 4 р. 40 к. и 12 р. № 21. Нет. № 22. Да. Указание: каждое слагаемое содержит один из множителей, кратный 5. 3.2. № 1 4. Указание: сумма двух нечётных чисел - число чётное; сумма чётного числа и нечётного числа - число нечётное. № 25. Нет. № 26. Указание: каждое слагаемое содержит один из множителей, кратный 9. 3.3. № 19. а) 360 кг. № 20. 20 000 р., 25 000 р., 30 000 р., 35 000 р. 3.6. № 16. 800 г, 150 г. № 24. а) 30 ц; б) 12 км/ч и 15 км/ч. № 25. 96. № 26. Да. 3.7. № 7. 80 р. № 11. а) 48 раз; б) 3, 29. № 12. 8, 9 или 10. 206 Содержание Как работать с учебником .............................................................3 Путеводитель по первому разделу ......................................................8 РАЗДЕЛ I. ЧИСЛА Входной тест ....................................................................... 10 Глава I. Натуральные числа и нуль 1.1. Плоскость, прямая линия, луч, отрезок ......................................... 11 1.2. Длина отрезка. Единицы измерения длины ........................................ 19 1.3. Натуральные числа и нуль. Запись и чтение чисел................................26 1.4. Единичный отрезок, координаты, числовой луч ....................................35 1.5. Сравнение чисел ................................................................40 1.6. Округление натуральных чисел ...................................................47 Глава II. Действия с натуральными числами 2.1. Сложение. Свойства сложения ....................................................54 2.2. Вычитание ..................................................................... 61 2.3. Умножение. Cвойства умножения ..................................................67 2.4. Распределительное свойство .....................................................74 2.5. Деление ....................................................................... 79 2.6. Упрощение вычислений ...........................................................83 2.7. Устное и письменное сложение и вычитание чисел .................................88 2.8. Устное и письменное умножение чисел ............................................95 2.9. Степень числа. Квадрат и куб числа ............................................101 2.10. Деление с остатком ...........................................................107 2.11. Устное и письменное деление ..................................................111 2.12. Числовые выражения. Порядок действий в выражениях ............................117 2.13. Буквенные выражения ..........................................................122 2.14. Уравнение ....................................................................127 2.15. Задачи на части ..............................................................138 2.16. Нахождение двух чисел по их сумме и разности .................................143 2.17. Перебор возможных вариантов ..................................................147 2.18. Занимательные задачи .........................................................154 Исторические страницы .........................................................160 Любителям математики ..........................................................162 Жизненная задача ..............................................................165 Итоговый тест ......................................................................166 РАЗДЕЛ II. ДЕЛИМОСТЬ Входной тест .......................................................................167 Путеводитель по второму разделу ....................................................168 Глава III. Делимость натуральных чисел 3.1. Делимость. Свойства делимости .................................................170 3.2. Признаки делимости ............................................................175 3.3. Простые и составные числа .....................................................182 3.4. Делители и кратные ............................................................187 3.5. Наибольший общий делитель .....................................................192 3.6. Наименьшее общее кратное.......................................................196 3.7. Единицы измерения времени .....................................................202 Таблица простых чисел до 1 000 .....................................................206 Ответы .............................................................................206 207 Козлова Светлана Александровна, Рубин Александр Григорьевич МАТЕМАТИКА 5 класс В 2 частях. Часть 1 Концепция оформления и художественное редактирование - Е.Д. Кова.левская Подписано в печать 28.05.15. Формат 84x108/16. Гарнитура Журнальная. Печать офсетная. Бумага офсетная. Объём 13 п.л. Тираж 3 000 экз. Заказ № Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — литература учебная Издательство «Баласс» 109147 Москва, Марксистская ул., д. 5, стр. 1 Почтовый адрес: 111123 Москва, а/я 2, «Баласс» Телефоны для справок: (495) 368-70-54, 672-23-12, 672-23-34 https://www.school2100.ru E-mail: [email protected] Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство "Высшая школа”» 214020 Смоленск, ул. Смольянинова, 1