Учебник Геометрия 8 класс Шлыков

в. в. Шлыков ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений с русским языком обучения Допущено Министерством образования Республики Беларусь 3-е издание, переработанное Минск «Народная асвета» 2011 Правообладатель Народная асвета УДК 514(075.3=161.1) ББК 22.151я721 Ш69 Рецензенты: кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета (кандидат физикоматематических наук, доцент С. Г. Кононов); учитель математики высшей категории Браславской государственной гимназии Д. Г. Мацкевич Шлыков, В. В. Ш69 Геометрия : учеб. пособие для 8-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения / В. В. Шлыков. — 3-е изд., перераб. — Минск : Нар. асвета, 2011. — 166 с. : ил. ISBN 978-985-03-1524-3. УДК 514(075.3=161.1) ББК 22.151я721 ISBN 978-985-03-1524-3 © Шлыков В. В., 2006 © Шлыков В. В., 2011, с изменениями © Оформление. УП «Народная асвета», 2011 Правообладатель Народная асвета ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1 Многоугольники § 1. Многоугольник. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника.................................... 7 § 2. Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма 19 § 3. Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника 30 § 4. Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата . . 38 § 5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника .. 48 § 6. Трапеция. Средняя линия трапеции............. 56 Глава 2 Площадь фигуры § 1. Понятие площади. Площадь прямоугольника...... 68 § 2. Площадь параллелограмма и треугольника ........ 75 § 3. Площадь трапеции .............................. 87 § 4. Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 94 Глава 3 Подобные треугольники § 1. Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники . . 106 § 2. Первый признак подобия треугольников ......... 114 § 3. Второй и третий признаки подобия треугольников . . . . 119 § 4. Применение подобия к решению задач............ 133 § 5. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника ................................... 145 Ответы ............................................ 161 Приложение ........................................ 164 Правообладатель Народная асвета Дорогие друзья! Данное учебное пособие предназначено для дальнейшего изучения систематического курса геометрии, которое было начато в предыдущем классе. В первой главе рассматривается понятие многоугольника, изучаются свойства параллелограмма, прямоугольника, квадрата, ромба и трапеции, доказываются признаки этих фигур. Кроме того, здесь рассматривается теорема Фалеса, вводятся понятия средней линии треугольника и трапеции, доказываются их признаки. Учебный материал второй главы касается вопросов, связанных с понятием площади многоугольника. Здесь вводится понятие площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и дается вывод формул для вычисления площадей этих фигур, доказывается теорема Пифагора и теорема, ей обратная. В третьей главе учебного пособия изложен материал, связанный с понятием подобия фигур. Излагаются свойства подобных треугольников, доказывается теорема об отношении площадей подобных треугольников, признаки подобия треугольников, рассматривается вопрос о соотношениях между сторонами и углами прямоугольного треугольника. При изложении теоретического материала и построении системы задач в учебном пособии уделено внимание рассмотрению плоских геометрических фигур в контексте многогранников. Такой подход позволяет развивать навыки распознавания свойств плоских фигур, расположенных в различных гранях прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и пирамиды. Система графических моделей и геометрической графики, приведенная в учебном пособии, способствует развитию навыков мысленного моделирования и чтения графических моделей. Правообладатель Народная асвета Правообладатель Народная асвета Исследования Евклида подвели определенный итог многовековой научной деятельности мыслителей Древней Греции, благодаря которой геометрия стала восприниматься как средство познания природы, как инструмент, позволяющий расширить горизонты знания о ней за пределы, доступные человеческому опыту. Многовековое развитие науки убедительно подтвердило догадку древнегреческих мыслителей о том, что многие принципы, на которых базируется мироздание, можно выразить на языке математики и что геометрия, являясь ее важной составляющей, служит ключом к открытию многих тайн природы. Размышления мыслителей древности о роли геометрии в познании мира положили начало осмыслению значения геометрии в области астрономии и физики. Итальянский астроном Галилео Галилей (1564—1642) подчеркивал особую роль геометрии в раскрытии тайн Вселенной, был убежден в невозможности ее познания без понимания геометрического языка, на котором, по его мнению, она написана. Человечеству периодически предоставляется возможность увидеть универсальность геометрических закономерностей, понять их роль в понимании устройства мира, значение в формировании научных представлений об окружающем пространстве и необходимость для познания законов Вселенной. Ярким примером, иллюстрирующим роль геометрии как связующего звена между поколениями, служат исследования древнегреческого геометра и астронома Аполлония (ок. 262—190 до н. э.). Изучая «земные» свойства конических сечений, ученый вряд ли предполагал, что они найдут применение для характеристики космических законов движения планет, открытых в ХУП веке астрономом Иоганном Кеплером (1571—1630). Под впечатлением открытия, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, ученый восхищался величием геометрии и отмечал, что весь окружающий нас мир выражается в символах «геометрического искусства». Благодаря развитию геометрии дедуктивный метод мышления расширил перед человеком горизонты знаний об окружающем пространстве за пределы чувственной области знаний. Математик Герман Вейль (1885—1955) отмечал, что именно геометрия явилась началом формирования математического способа мышления, «той особой формы рассуждений, посредством которой математика проникает в науки о внешнем мире — в физику, химию, биологию, экономику и т. д.». Правообладатель Народная асвета Глава 1 МНОГОУГОЛЬНИКИ § 1. Многоугольники. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника 1. Многоугольники. В предыдущем классе было определено понятие треугольника — фигуры, состоящей из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ею ограниченной. Теперь введем понятие многоугольника. Предварительно напомним понятие ограниченной плоской фигуры. Плоская фигура называется ограниченной, если существует некоторый круг, которому принадлежит каждая точка данной фигуры. Если такого круга не существует, то фигура называется неограниченной. Примерами ограниченных фигур служат отрезок, треугольник, квадрат. Такие фигуры, как прямая, луч и угол, являются неограниченными. Пусть на плоскости дана простая замкнутая ломаная, т. е. замкнутая ломаная, у которой любые два звена, кроме смежных, не имеют общих точек. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, пусть дана простая замкнутая ломаная ABCDFE, имеющая шесть звеньев. На рисунке 1, а и 1, б изображены соответственно ограниченная и неограниченная фигуры, на которые ломаная ABCDFE разделяет оставшиеся точки плоскости. Рис. 1 Правообладатель Народная асвета 8 Гла^ 1. Многоугольники Определение. Многоугольником называется геометрическая фигура, состоящая из простой замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — его сторонами. Две вершины многоугольника называются соседними, если они принадлежат одной стороне. Точки многоугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними. Многоугольник, имеющий n вершин (а значит, и n сторон), называется n-угольником. Например, на рисунках 2, а, 2, б и 2, в изображены соответственно четырехугольник ABCF, шестиугольник ABCDOF и восьмиугольник ABCDEFOT. б) Рис. 2 в) Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом сторон. Если от листа бумаги, имеющего форму прямоугольника, отрезать уголки, как показано на рисунке 3, а, б, то в результате получится модель пятиугольника. Заметим, что фигура, представляющая собой объединение многоугольников, может не быть многоугольником. Например, фигура, состоящая из двух треугольников, имеющих только одну общую вершину, не является многоугольником (рис. 3, в). Среди множества многоугольников выделяются выпуклые и невыпуклые многоугольники. Правообладатель Народная асвета Многоугольники. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника 9 Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Многоугольник, который не является выпуклым, называется невыпуклым. Например, на рисунке 4, а изображен выпуклый пятиугольник ABCDF, а на рисунке 4, б — невыпуклый шестиугольник ABCDEF. Шестиугольник ABCDEF не является выпуклым, так как он не лежит в одной полуплоскости, например, относительно прямой, проходящей через соседние вершины E и F. Рис. 4 Модель невыпуклого шестиугольника мы получим, если от листа бумаги, имеющего форму квадрата, отрезать часть листа, также имеющую форму квадрата, например, так, как показано на рисунке 5, а, б. Правообладатель Народная асвета 10 Гла^ 1. Многоугольники Рис. 5 Примерами выпуклых многоугольников служат известные уже вам геометрические фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник. Два многоугольника могут лежать в одной плоскости или лежать в различных плоскостях. Примером служат две грани параллелепипеда. На рисунке 6, а изображен выпуклый пятиугольник ABCDF, который лежит в грани прямоугольного параллелепипеда. Рис. 6 Примерами многоугольников, расположенных в различных плоскостях являются также два пятиугольника и пять прямоугольников, образующих поверхность прямой пятиугольной призмы, которая изображена на рисунке 6, б. Модель прямой шестиугольной призмы, основаниями которой служат невыпуклые шестиугольники, получим, если от деревянного бруска, имеющего форму прямоугольного па- Правообладатель Народная асвета Многоугольники. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника 11 раллелепипеда, отпилить часть, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, например, так, как показано на рисунке 7, а, б, в. а) б) Рис. 7 в) Диагональю многоугольника называется отрезок, концами которого служат его несоседние вершины. Например, отрезки AC, AD, BF — диагонали выпуклого шестиугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 8, а. Отрезок CA является диагональю выпуклого пятиугольника ABCDF, лежащего в боковой грани прямой четырехугольной призмы, которая изображена на рисунке 8, б, в. Рис. 8 Любой четырехугольник имеет только две диагонали. Вершины четырехугольника, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Стороны четырехугольника, не являющиеся смежными, называются противолежащими. Правообладатель Народная асвета 12 Гла^ 1. Многоугольники Например, в четырехугольнике ABCD, изображенном на рисунке 9, а, противолежащими вершинами являются вершины A и C, B и D, а противолежащими сторонами — стороны AB и CD, BC и AD. Рис. 9 Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр многоугольника A^AaAg^A^ _ ^A^ обозначается следующим образом: PAa^ a . Углами (или внутренними углами) выпуклого n-угольника A^A^Ag^A^ _ называются углы A^nA1A2, A^A^Ag, ^, A^n _ вершинами которых являются вершины n-уголь- ника, а стороны содержат стороны n-угольника. Например, для пятиугольника ABCDF внутренними являются углы FAB, ABC, BCD, CDF и DFA. Стороны угла ABC содержат стороны AB и BC пятиугольника ABCDF (рис. 9, б). Внешним углом многоугольника при вершине многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника, вершина которого совпадает с данной вершиной многоугольника. Например, угол 1 является внешним углом пятиугольника ABCDF при вершине С (см. рис. 9, б). 2. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника. Как известно из курса геометрии седьмого класса, сумма градусных мер углов треугольника равна 180°. Теперь рассмотрим вопрос о сумме градусных мер углов любого выпуклого многоугольника. Пусть у нас имеются, например, выпуклые четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник (рис. 10, а, б, в). В каж- Правообладатель Народная асвета Многоугольники. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника 13 дом из них проведем все диагонали, соединяющие какую-то вершину с остальными вершинами. Тогда четырехугольник разделится на два треугольника, пятиугольник — на три треугольника, а шестиугольник — на четыре треугольника. а) Аналогично любой п-угольник диагоналями, проведенными из одной вершины, разделится на п - 2 треугольника. Теперь докажем теорему о сумме градусных мер углов выпуклого многоугольника. Теорема (о сумме градусных мер углов выпуклого многоугольника). Сумма градусных мер углов выпуклого n-угольника равна 180° (п - 2). Доказательство. 1) Пусть дан выпуклый п-угольник. На рисунке 11 для определенности изображен семиугольник А1А2АзА4АдАдА7. 2) Проведем из какой-либо вершины все его диагонали, тогда п-угольник разделится на п - 2 треугольника. 3) Сумма градусных мер углов выпуклого п-угольника равна сумме градусных мер углов треугольников, на которые он разделится проведенными диагоналями. Так как сумма градусных мер углов каждого треугольника равна 180°, то сумма градусных мер углов выпуклого п-угольника равна 180° (п - 2). Теорема доказана. Из данной теоремы получим следствие. Правообладатель Народная асвета 14 Гла^ 1. Многоугольники Следствие. Сумма градусных мер углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Задача. Отрезок AC — диаметр окружности, а точки B и D лежат на окружности и расположены по разные стороны от прямой AC (рис. 12). Докажите, что Z BAD + ZBCD = 180°. Доказательство. 1) Пусть точка O — центр окружности, тогда отрезок BO — радиус данной окружности. 2) Треугольник AOB — равнобедренный, так как отрезки AO и BO — радиусы окружности. Следовательно, Z 1 = Z 2. 3) Треугольник BOC является равнобедренным, поскольку BO = CO. Отсюда следует, что Z 3 = Z 4. 4) Сумма градусных мер углов любого треугольника равна 180°, следовательно, Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 = 180°. Отсюда получим, что 2(Z 2 + Z 3) = 180°, т. е. ZABC = 90°. Аналогично можно доказать, что Z ADC = 90°. 5) Сумма градусных мер углов четырехугольника ABCD равна 360°. Следовательно, Z BAD + ZBCD = 360° - (ZABC + + Z ADC) = 180°. Что и требовалось доказать. Вопросы к § 1 1. Какая фигура называется многоугольником? 2. Какой многоугольник называется выпуклым? 3. Какой отрезок называется диагональю многоугольника? 4. Какой угол называется: внутренним; внешним углом многоугольника? 5. Что называется периметром многоугольника? 6. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого п-угольника? 7. Чему равна сумма градусных мер всех углов выпуклого п-угольника? 8. Чему равна градусная мера угла выпуклого десятиугольника, если все его углы равны между собой? Правообладатель Народная асвета Многоугольники. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника 15 9. Существует ли такой многоугольник, у которого сумма градусных мер углов равна: а) 540°; б) 2000°? Если существует, то сколько в нем сторон? 10. Какие вершины (стороны) четырехугольника являются противолежащими? Задачи к § 1 1. а) Назовите выпуклые и невыпуклые многоугольники, которые изображены на рисунке 13, а. б) В какой грани прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит выпуклый четырехугольник BOFC (рис. 13, б)? в) В какой грани лежит треугольник ADF (рис. 13, в)? Рис. 13 2. Вычислите градусную меру угла D выпуклого четырехугольника ABCD, если известно, что ZA = 60°, Z B = 120° и Z C = 150°. 3. Вычислите градусные меры углов выпуклого четырехугольника ABCD, если известно, что Z A = Z D и Z B = Z C = 2Z A. 4. Углы выпуклого четырехугольника ABCD удовлетворяют условиям: Z B - ZD = 90°, ZA + Z C = 210°. Вычислите градусные меры углов B и D. 5. Все углы выпуклого н-угольника равны между собой. Вычислите градусные меры этих углов, если число сторон равно: а) 4; б) 6; в)12. Правообладатель Народная асвета 16 Гла^ 1. Многоугольники 6. Стороны и BC выпуклого четырехугольника A^CD равны и взаимно перпендикулярны. Вычислите длину диагонали AC, если известно, что Z ВА^ = 105°, Z BCD = 135° и AD = 8 см. 7. В выпуклом четырехугольнике ABCD градусные меры углов A^C и ADC равны соответственно 160° и 70°. Вычислите градусную меру угла BAD, если известно, что BC = ВО = CO, где точка О — середина диагонали BD. 8. Точка О — середина диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD, при этом AB = АО = BO. Вычислите длину стороны AB, если известно, что Z BAD = Z BCD = 120° и AD = 16 см. 9. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ABC, перпендикулярна стороне CD и в два раза больше стороны AB. Вычислите градусные меры углов BCD и ADC, если медиана AO треугольника ABD равна стороне AB. 10. Вершины четырехугольника ABDC лежат на окружности так, что диагональ AD является диаметром, а вершины B и C лежат по разные стороны от прямой AD (рис. 14, а). Вычислите градусные меры углов BAC и BDC, если известно, что стороны AB и AC равны радиусу окружности. Рис. 14 11. В выпуклом пятиугольнике ABCDF, изображенном на рисунке 14, б, стороны BC и BA равны, Z 1 = Z 2, Z 3 = Z 4. Вычислите периметр четырехугольника BCDF, если BC = 4 см, CD = 3 см, BD = 6 см, FD = 2 см. Правообладатель Народная асвета Многоугольники. Сумма градусных мер углов выпуклого многоугольника 17 12. Вершина D выпуклого четырехугольника ABCD лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC так, что Z ADC = 60°. Вычислите периметр четырехугольника A^CD, если А^ = 2 см, BC = 5 см, а длина диагонали AC равна 6 см. 13. В выпуклом пятиугольнике A^CDF вершина А лежит на серединном перпендикуляре к стороне CD, Z CBA = Z DFA = 90°, BC = DF = 2 см. Вычислите периметр треугольника CDA, если Z BAF = 120° и Z BCA = 60°. 14. Вершина B лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD, а диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Докажите, что прямая BC параллельна прямой AD. 15. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC перпендикулярна стороне CD, ZBCD = 120°, CD = 5 см, AD = 10 см. Докажите, что сторона BC параллельна стороне AD. 16. В выпуклом четырехугольнике ABCD градусная мера угла DCB равна 120°, диагональ AC перпендикулярна стороне DA, а сторона DC в два раза больше стороны DA. Верно ли, что стороны BC и AD параллельны? 17. Диагонали TO и FD выпуклого четырехугольника TFOD перпендикулярны сторонам OD и FT соответственно, а TF = OD. Докажите, что стороны FO и TD параллельны. 18. В выпуклом четырехугольнике ABCD ZABC = 120°, а Z BAD = 60°. Биссектрисы углов ABC и BAD пересекаются в точке O. Вычислите длину отрезка BO, если AB = 16 см. 19. В выпуклом четырехугольнике ABCD сумма градусных мер углов ABC и BAD равна 180°, а биссектрисы этих углов пересекаются в точке F. Докажите, что прямая BF параллельна серединному перпендикуляру к отрезку AF. Правообладатель Народная асвета Науку и искусство иногда рассматривают как противоположные друг другу виды человеческой деятельности. Наука имеет дело с абстракциями, а искусство оперирует конкретными образами, неизменно обращается к ощущениям и чувствам. В науке господствует расчет и рационализм, искусству ближе эмоции, оно более интуитивно. Но только на первый взгляд эти два рода деятельности человека являются взаимоисключающими. Что касается геометрии и искусства, то это разграничение представляется наименее антагонистичным. Например, если говорить об архитектуре и живописи, то здесь очень важную роль играет геометрический расчет. Произведение искусства тем более притягательно, оказывает тем большее эмоциональное воздействие на зрителя, чем гармоничнее сочетание геометрического расчета и чувственных переживаний художника. Созданные на протяжении многих столетий произведения художников и архитекторов служат яркой иллюстрацией гармонии геометрических законов перспективы и духовного потенциала, свидетельствуют о постоянном стремлении человека посредством искусства проникнуть в тайны творчества и выразить в произведениях архитектуры и живописи извечное стремление человека к поиску ответов на вопросы философского характера. Неповторимые шедевры оказывают огромное эстетическое воздействие на зрителя и вызывают ощущение красоты именно благодаря удивительно гармоничному сплаву духовности и геометрических закономерностей. Не случайно известный итальянский ученый и теоретик искусства Раннего Возрождения Леон Альберти (1404—1472) подчеркивал, что ни один живописец не может создать впечатляющие художественные произведения без соответствующих знаний по геометрии, вообще не способен понять правила создания художественных произведений, вызывающих ощущение красоты. Красота произведений искусства тесно связана также с применением геометрического аспекта понятия симметрии, посредством которой, как отмечал Герман Вейль, «человек на протяжении многих веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Понятие симметрии постоянно находилось в поле зрения художников, архитекторов и ученых. История развития цивилизации свидетельствует, что эстетические взгляды человека формировались под воздействием проявления симметрии, постижению тайн которой и способствует изучение геометрии. Правообладатель Народная асвета § 2. Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма 1. Параллелограмм и его свойства. Среди множества четырехугольников выделяют такие, которые удовлетворяют определенным условиям и называются параллелограммами. В данном параграфе дадим определение параллелограмма и рассмотрим его свойства. Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Рис. 15 Например, пусть параллельные прямые а и b пересекают параллельные прямые c и d в точках A, B, C и D, как показано на рисунке 15, а. Тогда четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как AB | CD и BC | AD. Модель параллелограмма, не являющегося прямоугольником, можно получить, если от листа бумаги, имеющего форму прямоугольника, отрезать две модели равных прямоугольных треугольников, как показано на рисунке 15, б, в. Если через внутреннюю точку O треугольника ABC проведены прямые DL, TF и KE, параллельные сторонам АС, ВС и AB соответственно, то тогда четырехугольники ADOK, TBEO и OLCF являются параллелограммами (рис. 16, а, б). Правообладатель Народная асвета 20 Гла^ 1. Многоугольники Рис. 16 Теперь рассмотрим теоремы о свойствах параллелограмма. Теорема 1 (о свойстве сторон и углов параллелограмма). В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.. Доказательство. 1) Пусть дан параллелограмм ABCD (рис. 17). Докажем, что А^ = CD, BC = AD и Z BAD = Z BCD, Z ABC = = Z ADC. 2) Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника. Треугольник ABC равен треугольнику CDA по стороне и двум прилежащим к ней углам (AC — общая сторона, Z 1 = Z 2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC, Z 3 = Z 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и DC секущей AC). 3) Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что AB = CD, BC = AD и ZABC = ZADC. 4) Кроме того, Z BAD = Z 1 + Z 3 = Z 2 + Z 4 = Z BCD. Теорема доказана. Теорема 2 (о свойстве диагоналей параллелограмма). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Правообладатель Народная асвета Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма 21 Доказательство. 1) Пусть ABCD — параллелограмм, а О — точка пересечения его диагоналей АС и BD (рис. 18). Докажем, что AO = OC и BO = OD. 2) Заметим, что треугольник BOC равен треугольнику DOA по стороне и двум прилежащим к ней углам (BC = AD как противолежащие стороны параллелограмма, Z 1 = Z 2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC, Z 3 = Z 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей BD). 3) Из равенства треугольников BOC и DOA следует, что BO = OD и AO = OC. Теорема доказана. 2. Признаки параллелограмма. По определению параллелограмма признаком, по которому среди множества четырехугольников можно выбрать параллелограмм, является параллельность противолежащих сторон четырехугольника. Теперь рассмотрим другие признаки параллелограмма, позволяющие среди множества четырехугольников выделять те, которые являются параллелограммами. Теорема 3 (первый признак параллелограмма). Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. 1) Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и равны (рис. 19). Докажем, что такой четырехугольник является параллелограммом. 2) Так как AB | CD, то достаточно доказать, что BC | AD. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA, на которые она делит четырехугольник ABCD. 3) Треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, AB = CD по условию, Правообладатель Народная асвета 22 Гла^ 1. Многоугольники Z 1 = Z 2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC). 4) Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что Z 3 = Z 4. Так как Z 3 и Z 4 являются накрест лежащими при пересечении прямых ВС и AD секущей AC, то по признаку параллельности прямых получаем, что BC | AD. Таким образом, AB | CD по условию и BC | AD по доказанному, т. е. в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, а значит, он является параллелограммом. Теорема доказана. Теорема 4 (второй признак параллелограмма). Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. 1) Пусть в четырехугольнике ABCD выполняются условия AB = CD и BC = AD (рис. 20). Докажем, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. 2) Рассмотрим треугольники ABC и CDA, на которые диагональ AC делит четырехугольник ABCD. 3) Треугольник ABC равен треугольнику CDA по трем сторонам (AC — общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). 4) Из равенства треугольников ABC и CDA следует, что Z 1 = Z 2. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей AC. Следовательно, по признаку параллельности прямых BC | AD. 5) Таким образом, BC = AD и BC | AD. Следовательно, по признаку параллелограмма (теорема 3) четырехугольник ABCD — параллелограмм. Теорема доказана. Теорема 5 (третий признак параллелограмма). Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехуголь- ник параллелограмм. Правообладатель Народная асвета Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма 23 Доказательство. 1) Пусть A^CD — четырехугольник, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам, т. е. AO = OC и BO = OD (рис. 21). 2) Треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними (AO = OC и BO = OD по условию, Z 1 = Z 2 как вертикальные). Следовательно, AB = CD и Z 3 = Z 4. 3) Углы 3 и 4 являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей AC, а, значит, по признаку параллельности прямых AB | CD. 4) Таким образом AB | CD и AB = CD. Отсюда по признаку параллелограмма (теорема 3) следует, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Теорема доказана. Задача. В четырехугольнике ABCD AB | DC, BC | AD и CD = a. Прямая AD и серединный перпендикуляр l к стороне AB пересекаются в точке F. Найдите расстояние от точки F до вершины B, если ZABC = 120° (рис. 22, а, б). Дано: ABCD — четырехугольник, AB I CD, BC I AD, Z ABC = 120°, l — серединный перпендикуляр к отрезку AB, F = AD n l. Рис. 22 Найти: BF. Решение. Пусть O — середина отрезка AB (O e l). Точка F принадлежит серединному перпендикуляру l к отрезку AB, следовательно, BF = FA. Таким образом, расстояние от точки F Правообладатель Народная асвета а) б) 24 Гла^ 1. Многоугольники до вершины B равно длине отрезка FA, который является гипотенузой прямоугольного треугольника AOF. 1) Так как BC | AD и ZABC = 120°, то Z BAF = 180° -- 120° = 60° (сумма градусных мер односторонних углов при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AB равна 180°). 2) По условию AB | DC, BC | AD, таким образом, по определению следует, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, а, значит, по свойству параллелограмма AB = CD = a. 3) В прямоугольном треугольнике AOF (ZAOF = 90°, ZAFO = 90° - 60° = 30°, AO = a) катет AO лежит против угла, равного 30°, значит, AF = 2AO = а. Таким образом, BF = FA = а. Ответ: а. Вопросы к § 2 1. Какой четырехугольник называется параллелограммом? 2. Каким свойством обладают противолежащие углы параллелограмма? 3. Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма? 4. Верно ли, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам? 5. Верно ли, что сумма градусных мер углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°? 6. В четырехугольнике две стороны равны и параллельны. Верно ли, что этот четырехугольник является параллелограммом? 7. Верно ли, что четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом? 8. Каким свойством должны обладать диагонали четырехугольника, чтобы он являлся параллелограммом? Задачи к § 2 20. Точки O и F лежат соответственно на сторонах CD и AD выпуклого четырехугольника ABCD так, что Z 1 = Z 2 и Z 3 = Z 4 (рис. 23, а). Докажите, что четырехугольник ABOF — параллелограмм. Правообладатель Народная асвета Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма 25 Рис. 23 21. ABCD — тетраэдр (рис. 23, б). Точки O, F и T лежат на ребрах AC, AD и DC соответственно так, что FO | DC и TO I AD. Верно ли, что четырехугольник DFOT, лежащий в грани ACD, является параллелограммом? 22. Точки F и E лежат соответственно на сторонах BC и AD параллелограмма ABCD так, что AF | CE. Отрезки FE и AC пересекаются в точке T. Докажите, что FT = TE и AT = TC. 23. Дан параллелограмм ABCD. Точки O и F лежат соответственно на сторонах BC и AD так, что AO | CF. Диагональ BD пересекает отрезки AO и CF в точках T и E соответственно. Точка P лежит на стороне CD так, что Z COP = ZCBD, отрезки OP и CF пересекаются в точке Q. Верно ли, что четырехугольник TOQE — параллелограмм? 24. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, BD = 12 см, AD = 7 см и AO = 11 см. Вычислите периметр треугольника BOC, если AB | CD и BC | AD. 25. Периметр четырехугольника ABCD, в котором AB | CD и BC I AD, равна 24 см. Вычислите длины сторон четырехугольника, если длина одной из них больше длины другой на 2 см. 26. В параллелограмме ABCD градусная мера угла CDA равна 150°, а расстояние от вершины D до прямой AB равно 4 см. Вычислите длины сторон параллелограмма, если его периметр равен 42 см. Правообладатель Народная асвета 26 Гла^ 1. Многоугольники 27. В параллелограмме A^CD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите периметр параллелограмма, если Z BCD = 60° и BC = а. 28. Периметр параллелограмма ABCD равен 18 см. Вычислите длины сторон параллелограмма, если Z ADB = 90° и Z ABC = 120°. 29. Точка O лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки F и E — на боковых сторонах AB и AC соответственно так, что OE | AB и OF | AC. Вычислите длину боковой стороны треугольника, если POFAE = 16 см. 30. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке O. Вычислите периметр параллелограмма, если BO = 7 см, OC = 2 см. 31. Периметр параллелограмма ABCD равен 20 см. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке F, а прямую CD — в точке T. Вычислите длину отрезка CT, если BF = 3 см. 32. Точки O и F — середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что четырехугольник AOCF есть параллелограмм. 33. ABCD — параллелограмм, точки F и E лежат соответственно на сторонах BC и AD так, что Z BAF = ZDCE. Верно ли, что четырехугольник AFCE является параллелограммом? 34. Четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 24, а). Точки O, F, E и T лежат на лучах DC, AD, BA и CB так, что CO = 1 DC, AE = 1 AB, TB = 1 BC и DF = 1 AD. Докажите, что четырехугольник TOFE является параллелограммом. 35. Чет^1рехугольник ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения его диагоналей. Точки F и T лежат на прямой AC так, что AF = FO и CT = TO (рис. 24, б). Докажите, что четырехугольник FBTD есть параллелограмм. Правообладатель Народная асвета Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма 27 Рис. 24 36. ABCD — параллелограмм, точки F и O лежат на прямой CD так, что DF = CD и CO = CD. Докажите, что четырехугольники ABDF и ABOC — параллелограммы. 37. Точка O лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC, а точки T и F лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что Z OFC = 40° и Z OCF = 70°. Вычислите длину отрезка TB, если FC = 5 см и ZAOT = 70°. 38. Точки O и F лежат на диагонали BD параллелограмма ABCD так, что BO = DF. Докажите, что четырехугольник AOCF есть параллелограмм. 39. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC, а точки F и E соответственно на сторонах AB и AC. Докажите, что треугольник ABC является равнобедренным, если отрезки AO и FE имеют общую середину, а Z FOE = Z BCA. 40. Периметр параллелограмма ABCD равен 36 см. Длина одной из сторон на 2 см больше длины другой. Вычислите расстояние от вершины B до прямой AD, если ZADC = 150°. 41. Постройте параллелограмм по сторонам а, b и диагонали т. 42. Постройте параллелограмм по двум диагоналям т1, т2 и углу в между ними. 43. Постройте параллелограмм по стороне а, диагонали т и углу в между ними. Правообладатель Народная асвета 28 Гла^ 1. Многоугольники 44. Постройте параллелограмм по стороне а, диагонали m и углу в, противолежащему этой диагонали. 45. Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если BO = OD и Z OAD = Z OCB. 46. Точки O, K и F лежат соответственно на сторонах AC, AB и BC равностороннего треугольника ABC так, что Z FOC = ZAOK = 60°. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр четырехугольника KBFO равен а. 47. Периметр параллелограмма равен 30 см, а градусная мера его острого угла равна 60°. Диагональ параллелограмма делит тупой угол на части в отношении 1 : 3. Вычислите длины сторон параллелограмма. 48. На сторонах BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки O и F так, что пары отрезков BF и AO, FC и OD имеют общие середины. Вычислите градусную меру угла BCD, если Z ABC = 110°. 49. Постройте треугольник по двум сторонам а, b и медиане m, проведенной к третьей стороне. 50. Постройте параллелограмм по диагонали d, стороне а и высоте h, проведенной к данной стороне. 51. Постройте параллелограмм по стороне а, диагонали d и углу а, лежащему против этой диагонали. Правообладатель Народная асвета Развитие геометрии происходило, по меньшей мере, благодаря двум аспектам. С одной стороны, она развивалась благодаря причинам, вытекающим из внутренних потребностей, определяемых логикой развития самой геометрии, а с другой стороны, благодаря внешнему фактору, который определялся необходимостью применения геометрических методов в области искусства и естествознания. Геометрическая интуиция и геометрические закономерности в различные периоды развития естествознания способствовали осмыслению наблюдений астрономов и физиков, а во многих случаях являлись источником идей и принципов, на которых создавались новые научные теории. Развитие цивилизации подтверждает, что взаимодействие геометрии и естествознания не является чем-то таким, что может быть определено однозначно, оно также богато и разнообразно, как и само естествознание. Примером тому служат исследования древнегреческого математика Архимеда (ок. 287—212 до н. э.), который свою научную деятельность начинал как инженер и создатель различных механических приспособлений, широкое использование которых в строительстве и в быту способствовало приобретению им известности во всей Древней Греции. Заслуженную славу Архимеду снискали его научные результаты, характеризующиеся многообразием подходов к решению сложных задач геометрии и механики и оказавших существенное влияние на развитие многих областей науки. Например, геометрические методы Архимеда, применяемые при вычислении площадей и объемов геометрических фигур, явились предвестниками созданного через многие столетия трудами Г. В. Лейбница (1646—1716) и И. Ньютона (1643—1727) интегрального исчисления. Научные работы Архимеда служат примером того, как идеи механики могут способствовать получению геометрических результатов, которые, в свою очередь, находят применение в естествознании. Плодотворность взаимного влияния геометрии и конкретной области естествознания иллюстрирует сферическая геометрия, возникновение и развитие которой было обусловлено потребностями астрономии. В ряде случаев для решения различных научных проблем естествознания являются важными геометрические методы и те идеи, источником которых служит область геометрии. Применение теорий, построенных на основе идеи симметрии в области элементарных частиц и кристаллографии, подтверждает точку зрения Германа Вейля (1885—1955) о том, что «все априорные утверждения физики имеют своим источником симметрию». Правообладатель Народная асвета § 3. Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника 1. Прямоугольник и его свойства. Среди множества всех параллелограммов можно выделить те из них, у которых все углы прямые. Такие параллелограммы называются прямоугольниками . Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Как уже отмечалось ранее, представление о форме прямоугольника дает страница книги или тетради. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 25, а, б, то в результате получим две модели прямоугольника. б) Рис. 25 Пусть точка O лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC и отрезки OF, OD — перпендикуляры, проведенные из точки O соответственно к прямым AC и BC (рис. 25, в). Тогда четырехугольник CFOD является прямоугольником. Действительно, так как FO | CD и FC | OD, то CFOD — параллелограмм. Кроме того, Z FCD = Z CFO = = Z CDO = Z FOD = 90°, следовательно, параллелограмм CFOD является прямоугольником. Примерами прямоугольников, лежащих в различных плоскостях, являются грани любого прямоугольного параллелепипеда. Заметим, что так как каждый прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Правообладатель Народная асвета Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника 31 1) Противолежащие стороны прямоугольника параллельны. 2) В прямоугольнике противолежащие стороны равны. 3) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Теперь докажем еще одно свойство прямоугольника. Теорема 1 (о диагоналях прямоугольника). Диагонали прямоугольника равны. Доказательство. 1) Пусть четырехугольник ABCD — прямоугольник, диагонали которого AC и BD (рис. 26). Докажем, что AC = BD. 2) Прямоугольные треугольники CDA и BAD равны по двум катетам (AD — общий катет, AB = CD). 3) Из равенства треугольников BAD и CDA следует, что AC = BD. Теорема доказана. Например, пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, изображения которого даны на рисунке 27, а, б, в. Диагонали A1B и B1A грани AA1B1B равны между собой, так как каждая грань, а значит, и грань AA1B1B прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником. б) Рис. 27 в) 2. Признаки прямоугольника. Согласно определению прямоугольника признаком, по которому среди множества па- Правообладатель Народная асвета 32 Гла^ 1. Многоугольники раллелограммов можно выбрать прямоугольник, является то, что градусная мера каждого из его углов равна 90°. Теперь рассмотрим еще один признак, по которому из множества параллелограммов можно выделить те, которые являются прямоугольниками. Теорема 2 (признак прямоугольника). Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Доказательство. 1) Пусть четырехугольник A^CD — параллелограмм и его диагонали AC и BD равны (рис. 28). Докажем, что выполняются равенства Z DAB = ZABC = = Z BCD = Z CDA = 90°. 2) Треугольник BAD равен треугольнику CDA по трем сторонам (AD — общая сторона, AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма, AC = BD по условию теоремы). 3) Из равенства треугольников BAD и CDA следует, что Z DAB = Z CDA. А так как в параллелограмме противолежащие углы равны, то Z DAB = ZBCD и Z CDA = ZABC. Таким образом, Z DAB = ZABC = ZBCD = Z CDA. Так как Z DAB + ZABC + ZBCD + + Z CDA = 360°, то Z DAB = ZABC = Z BCD = Z CDA = 90°. Теорема доказана. Задача 1. Точки F и O — середины сторон CD и AB прямоугольника ABCD соответственно. Найдите периметр четырехугольника AOCF, если ZAFC = 120° и CD = a. Дано: ABCD — прямоугольник, F е CD, DF = FC, O е AB, AO = OB, Z AFC = 120°, CD = a (рис. 29, а, б). Н айти: PA б) Рис. 29 Правообладатель Народная асвета Прямоугольник. Свойства и признак прямоугольника 33 Решение. 1) Определим вид четырехугольника AOCF. Так как ABCD — прямоугольник, то AB = CD и AB | CD. По условию задачи AO = 1AB, CF = 1AB, значит, AO = CF = a. В четырехугольнике AFCO противолежащие стороны AO и CF равны и параллельны. Следовательно, AOCF — параллелограмм и PAOCF = 2FC + 2AF. 2) В прямоугольном треугольнике ADF находим ZAFD = = 180° - Z AFC = 180° - 120° = 60°. Следовательно, Z FAD = 30°. 3) В прямоугольном треугольнике ADF катет FD лежит против угла в 30°, значит, FD = 1AF, т. е. AF = 2FD = а. 4) Теперь находим PAOCF Ответ: 3а. = 2FC + 2AF = 2 • a + 2а = 3а. 2 Задача 2. Диагонали A1B и AB1 грани AA1B1B прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке O. Вычислите периметр треугольника OB1B, если B1A + B1B = 14 см (рис. 30, а, б). Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, B1A П A1B = O, Bj_A + BB1 = 14 см. Вычислить: P. ■‘^OB1B • Рис. 30 б) Решение. 1) Так как ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, то каждая его грань является прямоугольником. Следовательно, грань AA1B1B также есть прямоугольник. 2) Периметр POB^B = B1O + OB + BB1. Так как грань AA1B1B является прямоугольником, то ее диагонали A1B и B1A равны и точкой пересечения делятся пополам, т. е. A1O = OB = B1O = AO. Правообладатель Народная асвета 34 Гла^ 1. Многоугольники 3) Таким образом, Pqb^b = B-^O + OB + BB^ = B^A + BB^ = = 14 см. Ответ: 14 см. Вопросы к § 3 1. Какой параллелограмм называется прямоугольником? 2. Какими свойствами обладает прямоугольник? 3. Каким свойством обладают диагонали прямоугольника? 4. Какому условию должны удовлетворять диагонали параллелограмма, чтобы этот параллелограмм являлся прямоугольником? 5. Верно ли, что четырехугольник, у которого три угла прямые, является прямоугольником? 6. В четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Верно ли, что такой четырехугольник есть прямоугольник? Задачи к § 3 52. Вычислите периметр прямоугольника ABCD, если AB = 7 см, а длина стороны BC на 2 см больше длины стороны AB. 53. Вычислите периметр прямоугольника, если длина его большей стороны равна 17 см, а разность длин сторон — 7 см. 54. Периметр прямоугольника равен 32 см. Вычислите длины его сторон, если длина одной стороны в три раза больше длины другой стороны. 55. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Вычислите периметр треугольника COD, если CD = 4 см и Z CAD = 30°. 56. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник. 57. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и AC + CD = 10 см. Вычислите периметр треугольника COD. Правообладатель Народная асвета Прямоугольник. Свойства и признаки прямоугольника 35 58. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Точки F и P — середины сторон AB и AD соответственно. Докажите, что четырехугольник AFOP — прямоугольник (рис. 31, а). 59. Отрезок BO — высота равнобедренного треугольника ABC. Точки K и F лежат на боковых сторонах AB и BC соответственно так, что KF Т BO. Точки D и E лежат на основании AC так, что KD | BO и FE | BO. Верно ли, что четырехугольник DKFE является прямоугольником (рис. 31, б)? 60. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, O — точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, а точка F — середина ребра A1B1. Вычислите градусную меру угла A1D1B1, если Z FOA-^ = 40° (рис. 31, в). Рис. 31 61. Докажите, что вершины прямоугольника лежат на окружности с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, равным половине диагонали. 62. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, отрезок OF — высота треугольника AOD. Вычислите градусную меру угла COF, если ZADB = 40°. 63. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, отрезок BF — высота треугольника ABO. Вычислите длину отрезка FO, если Z BAO = 60°, CD = 4 см. Правообладатель Народная асвета 36 Гла^ 1. Многоугольники 64. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, отрезок DF — биссектриса треугольника OCD. Вычислите длину стороны AB, если Z BOA = 60° и FO = 3 см. 65. ABCD — прямоугольник, градусная мера угла ABD которого в два раза больше градусной меры угла ADB. Найдите длину диагонали AC, если известно, что CD = a. 66. В прямоугольнике ABCD диагональ AC в два раза больше стороны CD. Чему равна градусная мера угла COD, где O — точка пересечения диагоналей прямоугольника? 67. Точки F и O лежат соответственно на боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC так, что AF = CO. Отрезки FD и OE — перпендикуляры, проведенные из точек F, O к основанию AC. Докажите, что четырехугольник DFOE — прямоугольник. 68. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, отрезок BF — высота треугольника ABO. Вычислите длины диагоналей прямоугольника, если AB = 10 см, а точка F является серединой отрезка AO. 69. Биссектриса угла B прямоугольника ABCD делит его сторону на отрезки AO и OD так, что AO = 2OD. Вычислите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 28 см. Рис. 32 Правообладатель Народная асвета Прямоугольник. Свойства и признак прямоугольника 37 70. ABCA^B-^Ci — прямая треугольная призма, O — точка пересечения диагоналей грани CC^B^B. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с углом CiAiBi, градусная мера которого равна 30°, и гипотенузой A^B^ = a. Найдите длины диагоналей грани CC^B^B, если высота B^F треугольника B^C^O делит отрезок C^O пополам (рис. 32, а, б, в). 71. Отрезок AB — диаметр окружности, а точки C и ^ лежат на окружности по разные стороны от прямой AB так, что AC = BD. Докажите, что четырехугольник ACBD — прямоугольник. Правообладатель Народная асвета § 4. Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата 1. Ромб. Свойства и признаки ромба. Среди множества всех параллелограммов можно выделить те, у которых все стороны равны. Такие параллелограммы называются ромбами. Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Например, пусть ABCD — прямоугольник, а точки O, F, K и T — середины сторон А^, BC, CD и DA соответственно. Тогда четырехугольник OFKT — ромб. Действительно, прямоугольные треугольники TAO, FBO, FCK и TDK попарно равны по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует, что TO = OF = FK = KT. В четырехугольнике OFKT противолежащие стороны попарно равны, значит, OFKT — параллелограмм, а так как в параллелограмме OFKT все стороны равны, то OFKT — ромб (рис. 33, а). Модель ромба получится, если от листа бумаги прямоугольной формы отрезать равные уголки, как показано на рисунке 33, б, в. в) Ромбом, который лежит в боковой грани AA^BB^ прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^D^, является четырехугольник FOET, вершинами которого служат середины ребер AA^, A^B^, B^B и AB соответственно (рис. 34, а, б). Грань AA^B^B изображена без искажений на рисунке 34, в. Правообладатель Народная асвета Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата 39 Так как ромб есть параллелограмм, у которого все стороны равны, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Таким образом, ромб имеет следующие свойства. 1) Противолежащие стороны ромба параллельны. 2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. 3) Противолежащие углы ромба равны. а) б) Рис. 34 в) Теперь докажем еще одно свойство ромба, которое не следует непосредственно из определения ромба. Теорема 1 (о свойстве диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Доказательство. 1) Пусть ABCD — ромб, отрезки AC и BD — его диагонали, которые пересекаются в точке O (рис. 35). 2) Треугольник BAD равнобедренный, так как по условию BA = AD. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, следовательно, отрезок AO — медиана равнобедренного треугольника BAD. 3) Так как медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является высотой и биссектрисой этого треугольника, то AO ± BD и Z BAC = Z DAC. Аналогично можно доказать, что Z ABD = Z CBD. Правообладатель Народная асвета 40 Гла^ 1. Многоугольники Теорема доказана. Теперь докажем признак ромба, пользуясь которым можно определить, является ли параллелограмм ромбом. Теорема 2 (признак ромба). Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Доказательство. 1) Пусть ABCD — параллелограмм, диагонали которого AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O (рис. 36). Докажем, что A^CD — ромб. 2) Так как по условию теоремы диагонали перпендикулярны, то треугольники BOC, DOC, DOA и BOA являются прямоугольными. 3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, следовательно, прямоугольные треугольники BOC, DOC, DOA и BOA попарно равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что AB = BC = CD = DA, т. е. ABCD — ромб. Теорема доказана. 2. Квадрат. Свойства и признаки квадрата. Среди множества прямоугольников выделяются такие, которые называются квадратами. Рассмотрим свойства и признаки квадрата. Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. б) Рис. 37 Правообладатель Народная асвета Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата 41 Например, пусть ABCD — квадрат, а точки F, O, K и T — середины его сторон, тогда четырехугольник FOKT также является квадратом (рис. 37, а, б). Действительно, равнобедренные прямоугольные треугольники TAF, OBF, OCK и KDT равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что TF = FO = OK = KT. Так как эти треугольники прямоугольные и равнобедренные, то каждый их острый угол равен 45°. Отсюда следует, например, что AOFT = 180° - (Z1 + Z2) = 90°. Аналогично AFOK = = AOKT = AKTF = 90°, т. е. FOKT — прямоугольник. Таким образом, FOKT есть прямоугольник, у которого все стороны равны, а значит, он является квадратом. Если от листа бумаги, имеющего форму квадрата, отрезать части, имеющие форму равных прямоугольных равнобедренных треугольников, то в результате получим еще одну модель квадрата (рис. 38, а, б). Рис. 38 Четырехугольник OFKT, вершинами которого служат середины ребер A1D1, A1B1, B1C1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1, является квадратом, служащим частью грани A1B1C1D1 куба (рис. 39, а, б, в). Так как прямоугольник является параллелограммом, то и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. квадрат является ромбом. Таким образом, отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. 1) Противолежащие стороны квадрата параллельны,. 2) Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам. Правообладатель Народная асвета 42 Гла^ 1. Многоугольники Рис. 39 3) Диагонали квадрата равны. 4) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам. Признак, по которому можно определить, является ли четырехугольник квадратом, содержится в определении квадрата. Если четырехугольник является прямоугольником, у которого все стороны равны, то такой четырехугольник есть квадрат. Теперь докажем еще один признак квадрата. Теорема 3 (признак квадрата). Если в прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот прямоугольник есть квадрат. Доказательство. Пусть ABCD — прямоугольник, у которого диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Всякий прямоугольник является параллелограммом. Следовательно, имеем, что в параллелограмме ABCD диагонали взаимно перпендикулярны. Отсюда на основании признака ромба получаем, что прямоугольник A^CD есть ромб, т. е. AB = BC = CD = DA. Таким образом, в прямоугольнике ABCD все стороны равны, а значит, он является квадратом. Теорема доказана. Задача. Отрезок AO — высота равностороннего треугольника ABC. Точки D и F расположены на сторонах AB и AC соответственно так, что DO | AC и FO | AB. Вычислите длину отрезка DF, если POFad = 20 см. Правообладатель Народная асвета Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата 43 Дано: AABC, AB = BC = CA, D е А^, F е AC, DO I AC, FO I AB, P OFAD = 20 СМ (рис. 40, а, б). Вычислить: FD. а) б) Рис. 40 Решение. 1) Прежде всего определим вид четырехугольника OFAD. Так как DO | AF и FO | AD, то четырехугольник OFAD является параллелограммом, а, значит, DO = AF и FO = AD. Отрезок AO — высота равностороннего треугольника, следовательно, AO является биссектрисой угла CAB, т. е. Z1 = Z2. Кроме того, Z1 = Z3 как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых DO и AF секущей АО. 2) Из равенств Z1 = Z2 и Z1 = Z3 следует, что Z2 = Z3, а, значит, треугольник OAD — равнобедренный, AD = DO. Из равенств FO = AD, DO = AF и AD = DO следует, что четырехугольник OFAD есть ромб. 3) В треугольнике FAD угол A равен 60° и AF = AD, отсюда следует, что этот треугольник является равносторонним, а, значит, FD = FA. Таким образом, FD = FA = 1 PoFAD = 4 ■ 20 = 5 (см). Ответ: 5 см. Вопросы к § 4 1. Какой параллелограмм называется ромбом? 2. Верно ли, что диагонали ромба перпендикулярны? 3. Верно ли, что диагонали ромба делят его углы пополам? 4. При каком условии параллелограмм является ромбом? 5. Верно ли, что четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом? Правообладатель Народная асвета 44 Гла^ 1. Многоугольники 6. Будет ли четырехугольник ромбом, если его диагонали перпендикулярны и только одна диагональ делится их точкой пересечения пополам? 7. Какой прямоугольник называется квадратом? 8. Какими свойствами обладает квадрат? 9. При каком условии прямоугольник является квадратом? Задачи к § 4 72. Отрезок AO — биссектриса треугольника ABC (рис. 41, а). Отрезки OT и OF параллельны сторонам AC и AB соответственно. Докажите, что четырехугольник ATOF — ромб. 73. На рисунке 41, б изображен тетраэдр DABC. Отрезок AO — медиана грани DAC, точки F и T лежат на ребрах DA и AC соответственно так, что OF | AC и OT | DA. Докажите, что четырехугольник AFOT, лежащий в грани DAC, является ромбом. б) Рис. 41 в) 74. Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом. 75. Отрезок BF — медиана равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Точка D лежит на луче BF так, что BF = FD. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом. 76. Хорда CD окружности с центром в точке O перпендикулярна радиусу OA и проходит через его середину F (рис 41, в). Докажите, что четырехугольник ACOD — ромб. Правообладатель Народная асвета Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата 45 77. Отрезки BF и DO — перпендикуляры, проведенные из вершин ромба A^CD соответственно к прямым, содержащим стороны CD и BA. Докажите, что четырехугольник BFDO — прямоугольник. 78. Вычислите периметр ромба ABCD, если известно, что серединный перпендикуляр к стороне BC проходит через вершину D и BD = 10 см. 79. Вычислите градусные меры углов ромба ABCD, если его периметр равен 24 см и AC = 6 см. 80. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей ромба к его сторонам, равны. 81. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Отрезки OF и OT — перпендикуляры, проведенные к сторонам CD и BC соответственно. Вычислите градусные меры углов треугольника TOF, если диагональ BD равна стороне DA . 82. Диагональ AC ромба ABCD равна а. Найдите периметр ромба, если известно, что угол между перпендикулярами, которые проведены из точки пересечения диагоналей к сторонам AB и BC, равен 120°. 83. Из вершины B тупого угла ромба ABCD проведен перпендикуляр BF к стороне AD. Вычислите длину диагонали BD ромба, если BC = 6 см и 2BF = AC. 84. Диагонали ромба образуют с его стороной углы, один из которых в два раза меньше другого. Вычислите длину меньшей диагонали ромба, если его периметр равен 16 см. 85. Постройте ромб: а) по двум диагоналям а и b; б) по стороне а и одной из диагоналей т; в) по диагонали d и углу а, который эта диагональ образует со стороной. 86. В прямоугольном треугольнике ACB отрезок CF — биссектриса прямого угла, отрезки FO и FD — перпендикуляры, проведенные к катетам AC и BC соответственно. Докажите, что четырехугольник COFD — квадрат (рис. 42, а). Правообладатель Народная асвета 46 Гла^ 1. Многоугольники в) 87. Дан куб ABCDA^B^CiD^, диагонали D^C и CiD грани DDiCiC пересекаются в точке O, а точки F и T — середины ребер DD1 и DC соответственно. Докажите, что четырехугольник FOTD, расположенный в грани DD-^CiC, является квадратом (рис. 42, б). 88. ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом B, отрезок BO — медиана этого треугольника. Точка F лежит на луче BO так, что BO = OF. Докажите, что четырехугольник ABCF — квадрат. 89. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Точки F, E, T и K — середины отрезков OB, OC, OD и OA соответственно. Верно ли, что четырехугольник FETK — квадрат? 90. В треугольнике ABC угол C прямой и AC = BC. Отрезок CO — высота этого треугольника, точки F и T — основания перпендикуляров, проведенных из точки O к сторонам AC и BC соответственно. Найдите длину стороны AB, если FT = a. 91. Отрезки AC и BD — взаимно перпендикулярные диаметры окружности с центром в точке O. Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат (рис. 42, в). 92. ABCD — квадрат, а точки O, F, T и K лежат на сторонах BC, CD, DA и AB соответственно так, что BO = CF = DT = AK. Докажите, что четырехугольник OFTK — квадрат. Правообладатель Народная асвета Ромб. Квадрат. Свойства, признаки ромба и квадрата 47 93. Точки O и F лежат на диагонали BD квадрата ABCD так, что BO = DF. Докажите, что четырехугольник AOCF — ромб. 94. Докажите, что параллелограмм, у которого расстояния от точки пересечения диагоналей до его сторон равны, является ромбом. 95. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Вычислите градусные меры углов ромба. 96. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к его стороне. Вычислите градусную меру угла между большей диагональю и проведенным перпендикуляром, если известно, что перпендикуляр в два раза меньше большей диагонали. 97. ABCD — прямоугольник, биссектрисы внутренних углов которого пересекаются в точках O, F, K и T (рис. 43, а). Докажите, что четырехугольник OFKT — квадрат. Рис. 43 98. ABCDA^B^C^D^ — прямая призма, основаниями которой служат ромбы ABCD и A^B^C^D^ (рис. 43, б). Найдите длину ломаной BADC^B^, если B^D^ = a, градусная мера угла A^B^C^ ромба равна 120° и Z D^DC^ = 30°. Правообладатель Народная асвета § 5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника В данном параграфе докажем теорему Фалеса и рассмотрим признак и свойства средней линии треугольника. 1. Теорема Фалеса. Теорема 1 (теорема Фалеса). Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую прямую, то они отсекут на ней равные между собой отрезки. Рис. 44 Доказательство. Пусть на прямой a отложены равные отрезки A1A2, A2A3, A3A4,... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую b в точках B1, B2, B3,... (рис. 44, а, б). Требуется доказать, что отрезки B1B2, B2B3, B3B4,... равны между собой. Первый случай (прямые a и b параллельны,). Если прямые a и b параллельны, то Aj_A2 = B1B2, A2A3= B2B3 как противолежащие стороны параллелограммов A1B1B2A2 и A2B2B3A3 (рис. 44, а). Так как по условию A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3. Аналогично можно доказать, что B2B3 = B3B4 и т.д. Второй случай (прямые a и b пересекаются). 1) Проведем через точки B1 и B2 соответственно прямые с и d, параллельные прямой a. Пусть F = c П A2B2 и O = d П A3B3, T = c П A3B3. Рассмотрим треугольники B1FB2 и B2OB3. По доказанному в первом случае имеем, что B1F = FT. Кроме Правообладатель Народная асвета Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 49 того, FT = B2O как противолежащие стороны параллелограмма FB20T. Следовательно, B^F = B2O. 2) Заметим, что Z1 = Z2 как соответственные углы при пересечении параллельных прямых A2B2 и A3B3 секущей a (рис. 44, б). Кроме того, Z1 = Z3 (как соответственные углы при пересечении параллельных прямых a и c секущей A2B2) и Z2 = Z4 (как соответственные углы при пересечении параллельных прямых a и d секущей A3B3). Из этих равенств следует, что Z3 = Z4. 3) Z5 = Z6 как соответственные углы при пересечении параллельных прямых c и d секущей b. 4) Таким образом, А B1FB2 = А B2OB3 по второму признаку равенства треугольников (B1F = B2O, A3 = А4, А5 = А6). Отсюда следует, что B1B2 = B2B3. Аналогично можно доказать, что B2B3 = B3B4 и т. д. Теорема доказана. Замечание. Теорема Фалеса верна и в том случае, если равные отрезки последовательно откладывать от точки пересечения прямых. Доказательство проводится аналогично. Задача (деление отрезка на n равных частей). С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок AB на n равных отрезков. Решение. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Фалеса. 1) Проведем луч AF, который не лежит на прямой AB (рис. 45, а). б) Рис. 45 Правообладатель Народная асвета 50 Гла^ 1. Многоугольники 2) От точки A на луче AF отложим последовательно n равных отрезков: AA^ = A1A2 = ^ = An _ 1An (на рисунке 45, б показан случай, когда n = 3). Проведем прямую AnB. 3) Построим прямые, которые проходят через точки A^, A2, ^n - 1 и параллельны прямой AnB. Пусть B1, B2, Bn - 1 — точки пересечения этих прямых с отрезком AB. Тогда по теореме Фалеса AB1 = B1B2 = ^ = Bn - 1B (на рисунке 45, в показан случай, когда n = 3). 2. Средняя линия треугольника. Дадим определение средней линии треугольника и докажем признак средней линии треугольника и теорему о ее свойствах. Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Любой треугольник имеет три средние линии. Рис. 46 Например, пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, а точка F — середина стороны CD, тогда отрезок OF — средняя линия треугольников BCD и ACD (рис. 46, а). Если T — точка пересечения диагоналей грани CC1B1B прямой треугольной призмы ABCA1B1C1, а отрезок TE — высота треугольника B1TB (рис. 46, б), тогда отрезок TE есть средняя линия треугольника C1B1B. Действительно, точка T — середина отрезка C1B, так как грань CC1B1B есть прямоугольник, а диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Точка E — середина ребра B1B, так как высота TE в равнобедренном треугольнике B1TB, проведенная к его основанию B1B, является и медианой. Правообладатель Народная асвета Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 51 Теорема 2 (признак средней линии треугольника). Если отрезок параллелен стороне треугольника, а его концы лежат на сторонах так, что один из них есть середина стороны, то отрезок является средней линией треугольника. Дано: А ABC, O е AB, AO = OB, OF I AC, F е BC (рис.47, а, б). Доказать: OF — средняя линия А ABC. а) Рис. 47 б) Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что точка F — середина стороны BC. Для этого воспользуемся теоремой Фалеса. Так как AO = OB и OF | AC, то по теореме Фалеса выполняется равенство BF = FC, т. е. точка F — середина стороны. Таким образом, отрезок OF — средняя линия треугольника, так как соединяет середины O и F сторон AB и BC треугольника. Теорема доказана. Теперь рассмотрим свойства средней линии треугольника. Теорема 3 (о свойствах средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. Дано: А ABC, O е BC, F е AC, OF — средняя линия (рис. 48, а). Доказать: OF I AB, OF = 1 AB. 2 Правообладатель Народная асвета 52 Гла^ 1. Многоугольники OF = 1AB 2 Доказательство. 1) Пусть OF^ — отрезок, который параллелен стороне А^ и Fj е AC. Тогда по признаку средней линии OF1 — средняя линия треугольника ABC, т. е. отрезок OF совпадает с отрезком OF1, а, значит, OF | AB. 2) Проведем отрезок FT, параллельный стороне BC, тогда AT = TB. Так как четырехугольник OFTB — параллелограмм, то OF = TB. Таким образом, OF = TB = AT, т. е. (рис. 48, б). Теорема доказана. Пусть ABC — равносторонний треугольник, отрезки AF и CO — его высоты (рис. 49, а). Тогда OF | AC и OF = 1 AC. Действительно, так как треугольник ABC является равносторонним, то его высоты AF и CO являются также и его медианами. Следовательно, точки F и O — середины сторон, а, значит, отрезок OF — средняя линия треугольника ABC. Отсюда по теореме о средней линии треугольника следует, что OF | AC и OF = 1 AC. Рис. 49 Если SABC — тетраэдр, AF и AO — высоты граней ASC и ACB соответственно, то OF = 1 SB (рис. 49, б). Каждая грань тетраэдра является равносторонним треугольником, следовательно, высоты AF и AO являются также и медианами граней ASC и ACB соответственно. Следовательно, точки F и O — середины ребер SC и BC. Таким образом, OF — средняя линия грани SCB, а, значит, OF = 1 SB. Правообладатель Народная асвета Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 53 Вопросы к § 5 1. Сформулируйте теорему Фалеса. 2. Какой отрезок называется средней линией треугольника? 3. Сформулируйте признак средней линии треугольника и докажите его. 4. Какими свойствами обладает средняя линия треугольника? 5. Верно ли, что длина стороны треугольника в два раза больше длины отрезка, соединяющего середины двух других сторон? Задачи к § 5 99. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон параллелограмма, есть параллелограмм. 100. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника A^CD являются вершинами параллелограмма. 101. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. 102. Точки O и F — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Вычислите периметр треугольника ABC, если POBF = 7 см. 103. В равнобедренном треугольнике ABC точки T и O — середины боковых сторон AB и BC соответственно. Вычислите длину отрезка TO, если длина основания треугольника на 2 см больше длины боковой стороны, а периметр треугольника ABC равен 20 см. 104. В параллелограмме ABCD точки K и F — середины сторон AB и AD соответственно, а диагонали пересекаются в точке O. Вычислите периметр параллелограмма, если OF = 7 см, а длина отрезка OK на 2 см больше длины отрезка OF. 105. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точка F — середина CD. Вычислите длины сторон параллелограмма, если OF = 5 см, а PABCD = 32 см. Правообладатель Народная асвета 54 Гла^ 1. Многоугольники 106. Точки K и F — соответственно середины сторон BC и CD ромба ABCD, в котором ZA = 60°, а диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что диагонали четырехугольника KFDO взаимно перпендикулярны. 107. ABCD — ромб, диагонали которого пересекаются в точке O, и Z BCD = 120°. Точки T и F — середины сторон AB и BC соответственно. Вычислите периметр четырехугольника ATFO, если CD = 8 см. 108. Точки O, F и D — середины сторон AB, BC и AC равностороннего треугольника ABC (рис. 50, а). Точки K, P, T и E — середины сторон четырехугольника OBFD. Докажите, что диагонали четырехугольника EKPT равны. 109. Отрезки CF и BK — высоты соответственно граней SBC и SBA тетраэдра SABC (рис. 50, б). Вычислите длину ломаной ASCB, если KF = 2,1 см. 110. В прямоугольнике ABCD диагональ BD делит угол B так, что ZABD = 2Z CBD. Вычислите периметр четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника, если CD = 6 см. а) б) Рис. 50 в) 111. Отрезок AB — диаметр окружности, C — произвольная точка окружности, прямая l — серединный перпендикуляр к хорде AC, который пересекает диаметр AB в точке S. Докажите, что отрезок FS — средняя линия треугольника ABC, где F — точка пересечения прямой l и хорды AC (рис. 50, в). Правообладатель Народная асвета Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 55 112. ABCD — параллелограмм, точки O и F лежат на лучах BC и AD соответственно так, что CO = DF. Точки E и S — точки пересечения диагоналей четырехугольников ABOF и DCOF. Докажите, что отрезок ES параллелен стороне AD. 113. ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, точки O, F, T и E — середины соответственно сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что отрезки EF и OT точкой пересечения делятся пополам. 114. Основанием прямой призмы ABCAiBiCi служит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, точки F, E, O и T — середины ребер AiCi, CiBi, CiC и CB соответственно (рис. 51, а). Вычислите длину ломаной FEOT, если Z B1CB = 30°, BB1 = 8 см и A1B1 = 10 см. Рис. 51 115. ABCD — параллелограмм, точки O и F — середины сторон BC и AD соответственно, E = BF П AO, T = FC П OD (рис. 51, б). Вычислите длину отрезка ET, если PABCD = 30 см, а длины сторон BC и DC относятся как 2 : 1. 116. Точка S лежит внутри угла AOB. Постройте отрезок, который делится точкой S пополам, а концы этого отрезка лежат на сторонах данного угла. Правообладатель Народная асвета § 6. Трапеция. Средняя линия трапеции 1. Трапеция. Среди множества четырехугольников выделяются такие, у которых две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Основаниями трапеции называются ее параллельные стороны, а две другие стороны называются боковыми сторонами. Чтобы установить, что четырехугольник является трапецией, достаточно доказать параллельность двух сторон и непараллельность двух других сторон. Например, пусть ABCD — параллелограмм, а точка F — внутренняя точка отрезка BC, тогда четырехугольник ABFD — трапеция, основания которой — отрезки BF и AD, а боковые стороны — отрезки А^ и FD (рис. 52, а). б) Рис. 52 в) Модель трапеции получим, если от листа бумаги прямоугольной формы отрезать два уголка, например, как показано на рисунке 52, б, в. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой. Высотой трапеции называется перпендикуляр (или его длина), проведенный из любой точки прямой, содержащей одно основание, к прямой, содержащей другое основание. Правообладатель Народная асвета Трапеция. Средняя линия трапеции 57 Например, если треугольник ABC равнобедренный, а точки F и O — середины боковых сторон А^ и BC соответственно, то четырехугольник A^OC — равнобедренная трапеция (рис. 53, а). Действительно, FO | АС, так как отрезок FO — средняя линия треугольника ABC, стороны AF и OC не параллельны и AF = OC = 1BC. Если точки K и T — середины ребер правильной треугольной пирамиды SABC, то четырехугольник CKTB служит примером равнобедренной трапеции, которая лежит в грани SCB (рис. 53, б). в) Если ABCD — прямоугольник, а точка O — внутренняя точка отрезка BC, то четырехугольник AOCD — прямоугольная трапеция (рис. 53, в). Пусть ABCD — прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке O, а точки F и T — середины сторон AB и AD соответственно (рис. 54, а, б). Рис. 54 Правообладатель Народная асвета 58 Гла^ 1. Многоугольники Тогда, например, отрезки FA и OT — высоты прямоугольной трапеции AFOD. Действительно, FA ± AD, так как ABCD — прямоугольник, а OT ± AD, так как медиана OT, проведенная к основанию AD в равнобедренном треугольнике AOD, является высотой. Модель прямой призмы ABCDA^B^C^D^, основаниями которой являются прямоугольные трапеции ABCD и A^B^CiD^ (рис. 55, а), получим, если от деревянного бруска, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, отпилим брусок в форме прямой треугольной призмы, основаниями которой являются прямоугольные треугольники, как показано на рисунке 55, б, в. б) Рис. 55 в) 2. Средняя линия трапеции. Рассмотрим признак и свойства средней линии трапеции. Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Например, пусть АВС — треугольник, точки O и F — соответственно середины сторон AB и BC, а точки K и T — середины отрезков AO и FC соответственно (рис. 56, а, б). Тогда четырехугольник AOFC — трапеция, а отрезок KT — средняя линия этой трапеции. Пусть ABCDA1B1C1D1 — куб, точки T и E — середины ребер DD1 и CiD^^, а точки F и O — середины отрезков DT и ECi соответственно. Тогда отрезок FO — средняя линия равнобедренной трапеции DTECi, которая лежит в грани CC1D1D. Действительно, TE | DC^_, так как отрезок TE — средняя линия треугольника DD1C1, а стороны TD и EC^_ не Правообладатель Народная асвета Трапеция. Средняя линия трапеции 59 б) Рис. 56 в) параллельны, т. е. DTECi — трапеция. Так как DT = ECi, то трапеция DTEC^ является равнобедренной (рис. 56, в). Докажем теорему, которая позволяет установить, что отрезок является средней линией трапеции. Теорема 1 (признак средней линии трапеции). Если отрезок параллелен одному из оснований трапеции, его концы лежат на боковых сторонах, а один из них есть середина стороны, то отрезок является средней линией трапеции. Дано: ABCD — трапеция, ........ О е АВ, АО = ОБ, OF I AD, F е CD (рис. 57, а, б). Доказать: OF — средняя линия. б) Доказательство. 1) Так как OF | AD и AD | BC, то OF | BC. 2) Из того, что AO = OB, OF | AD и OF | BC, по теореме Фалеса следует, что CF = FD. Таким образом, отрезок OF — средняя линия трапеции ABCD. Теорема доказана. Теорема 2 (о свойствах средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований. Правообладатель Народная асвета 60 Гла^ 1. Многоугольники Дано: ABCD — трапеция, FO — средняя линия (рис. 58, а, б). Доказать: FO I ^, FO I BC; FO = 1( AD + BC). а) б) Рис. 58 Доказательство. 1) Пусть отрезок, концы которого лежат на боковых сторонах трапеции ABCD, проходит через точку F и параллелен основанию AD. Тогда по признаку средней линии трапеции этот отрезок есть средняя линия трапеции ABCD, т. е. он совпадает с отрезком FO. Отсюда следует, что FO | AD и FO I BC. 2) Проведем диагональ BD трапеции ABCD (см. рис. 58, б). Пусть E = FO П BD. 3) В треугольнике ABD отрезок FE проходит через середину F стороны AB и параллелен прямой AD, следовательно, по признаку средней линии треугольника FE — средняя линия треугольника ABD и FE = 1AD. 4) В треугольнике BCD отрезок OE проходит через середину стороны CD и параллелен BC, значит, по признаку средней линии треугольника OE — средняя линия треугольника BCD и OE = 1BC. 2 5) Таким образом, FO = FE + EO = 1AD +1BC = ^(AD + BC). Теорема доказана. 3. Свойства равнобедренной трапеции. Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции. Свойство 1. Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, боковые стороны которой AB и CD (рис. 59, а, б). Докажем, что Правообладатель Народная асвета Трапеция. Средняя линия трапеции 61 Рис. 59 Z BA^ = Z CDA и ZABC = Z BCD. Пусть BF и CO — перпендикуляры, проведенные из вершин B и C к основанию AD. Тогда прямоугольные треугольники AFB и DOC равны по гипотенузе и катету (AB = CD, BF = CO). Из равенства этих треугольников следует, что Z BAF = Z CDO, т. е. Z BAD = Z CDA. Так как, кроме этого, ZABC = 180° - Z BAD и Z BCD = 180° - Z CDA, то ZABC = ZBCD. Опираясь на свойство 1, можно доказать следующее свойство. Свойство 2. Диагонали равнобедренной трапеции равны. Если ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями BC и AD, то AC = BD (рис. 60, а, б). б) Рис. 60 Действительно, AC = BD, так как треугольники ADC и DAB равны по двум сторонам и углу между ними (AB = CD, AD — общая сторона, Z BAD = Z CDA). Правообладатель Народная асвета 62 Гла^ 1. Многоугольники Вопросы к § 6 1. Какой четырехугольник называется трапецией? 2. Какие стороны трапеции называются основаниями (боковыми сторонами)? 3. Какая трапеция называется равнобедренной (прямоугольной)? 4. Что называется высотой трапеции? 5. Верно ли, что сумма градусных мер углов, прилежащих к каждой из боковых сторон трапеции, равна 180°? 6. Какой отрезок называется средней линией трапеции? 7. Какими свойствами обладает средняя линия трапеции? 8. Сформулируйте признак средней линии трапеции. 9. Какими свойствами обладает равнобедренная трапеция? Задачи к § 6 117. Четырехугольник ABCD — параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке O, точка F — середина стороны AB (рис. 61, а). Докажите, что четырехугольник AFOD — трапеция. 118. Точки O и F лежат соответственно на сторонах BC и AB треугольника ABC так, что AF = FO и AO — биссектриса угла BAC (рис. 61, б). Верно ли, что четырехугольник AFOC является трапецией? Рис. 61 Правообладатель Народная асвета Трапеция. Средняя линия трапеции 63 119. Точки O и T — середины ребер 00^ и CiB^ прямой треугольной призмы ABCAlBlCl соответственно. Докажите, что четырехугольник COTBl — трапеция. Вычислите длину основания OT этой трапеции, если основание призмы есть равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 5 см и Z BlCB = 60° (рис. 61, в). 120. Точки O и F — середины сторон BC и AC равностороннего треугольника ABC соответственно. Вычислите периметр трапеции ABOF, если PABC = 12 см. 121. В равнобедренном треугольнике ABC, основание которого AC, точка O — середина боковой стороны BC, отрезок OT — медиана треугольника AOC. Вычислите периметр трапеции ABOT, если периметр треугольника ABC равен 17 см, а длина боковой стороны на 1 см больше длины его основания. 122. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, точка T — середина стороны AD (рис. 62, а). Докажите, что четырехугольник TOCD — трапеция, и найдите ее высоту, если AC = a и Z BCA = 60°. Рис. 62 123. Диагонали DC1 и CD1 грани DD1C1C прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке O, точка F — середина ребра DC (рис. 62, б). Докажите, что четырехугольник FOC1C, лежащий в грани DD1C1C, является трапецией, и вычислите длину отрезка D1C, если высота трапеции FOC1C равна 2 см, а Z DC1C = 30°. Правообладатель Народная асвета 64 Гла^ 1. Многоугольники 124. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, точка F — середина стороны CD. Докажите, что четырехугольник AOFD — трапеция, и вычислите длину ее средней линии, если BD = 8 см, Z ACD = 30°. 125. Отрезки CE и AF — медианы, проведенные соответственно к боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что четырехугольник AEFC — трапеция, и вычислите длину ее средней линии, если AC = 6 см. 126. Длины оснований BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 см и 10 см. Вычислите длины отрезков FO и OK, на которые диагональ BD делит среднюю линию FK трапеции (рис. 63, а). 127. Длина большего основания трапеции равна 10 см. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, длина одного из которых на 4 см больше длины другого. Вычислите длину меньшего основания трапеции. 128. Основаниями прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служат квадраты, точки O и T — середины ребер A1B1 и BB1 соответственно, а точка F — середина отрезка AO (рис. 63, б). Вычислите длину отрезка FT, если длина стороны основания данного параллелепипеда равна 6 см. Рис. 63 б) 129. Длина средней линии трапеции равна 20 см. Вычислите длины оснований трапеции, если они относятся как 1 : 3. Правообладатель Народная асвета Трапеция. Средняя линия трапеции 65 130. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD луч AC является биссектрисой угла BAD. Вычислите длину средней линии трапеции, если AB = 3 см, а разность длин оснований трапеции равна 5 см. 131. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD длина средней линии равна 9 см. Точка F лежит на основании AD так, что BF I CD. Вычислите длины оснований трапеции, если AF = 2 см. 132. ABCD — равнобедренная трапеция с боковыми сторонами AB и CD. Вычислите длину средней линии трапеции, если длины большего основания и боковой стороны соответственно равны 14 см и 8 см, а угол при меньшем основании равен 120°. 133. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Точка F — середина стороны BC. Вычислите расстояние между серединами отрезков AO и BF, если острый угол ромба равен 60°, а длина его меньшей диагонали равна 8 см. 134. ABCD — квадрат, а точка F лежит на луче AD так, что отрезок DF в два раза больше отрезка AD. Вычислите высоту трапеции ABCF, если расстояние между серединами отрезков AB и CF равно 18 см. 135. В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°, а длины меньшей боковой стороны и меньшего основания равны по 6 см. Вычислите длину средней линии трапеции. 136. В прямоугольной трапеции ABCD острый угол BAD равен 60°. Найдите длину меньшего основания трапеции, если AB = AD = а. 137. Длина меньшего основания BC прямоугольной трапеции ABCD равна 8 см. Вычислите длину большего основания трапеции, если угол ABC равен 120°, а вершина D лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. 138. Постройте прямоугольную трапецию по меньшему основанию а и боковым сторонам c и b (b > c). Правообладатель Народная асвета 66 Гла^ 1. Многоугольники 139. Постройте равнобедренную трапецию по боковой стороне а, большему основанию b и высоте h трапеции. 140. Диагональ равнобедренной трапеции составляет с боковой стороной угол 120° и лежит на биссектрисе угла при большем основании трапеции. Вычислите градусные меры углов трапеции. 141. A^CD — равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равна меньшему основанию BC и в два раза меньше большего основания. Докажите, что треугольник ACD является прямоугольным. 142. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Вычислите длину основания BC, если Z BAC = 30°, AD = 6 см. 143. Средняя линия трапеции делит ее на две трапеции, длины средних линий которых равны 5 см и 9 см. Вычислите длины оснований трапеции. 144. Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции. 145. Постройте равнобедренную трапецию по острому углу а, диагонали а и высоте h. 146. Постройте трапецию по большему основанию а, боковой стороне b, углу между ними а и диагонали т, проходящей через общую вершину стороны b и основания а трапеции. 147. Постройте трапецию по двум диагоналям d1 и d2, углу а между ними и боковой стороне а. 148. Постройте трапецию по четырем сторонам а, b, c, d. 149. Постройте ромб по стороне а и сумме s его диагоналей. 150. Постройте ромб по стороне а и разности т его диагоналей. Правообладатель Народная асвета Правообладатель Народная асвета Глава 2 ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ § 1. Понятие площади. Площадь прямоугольника 1. Понятие площади. В повседневной практической деятельности человек достаточно часто пользуется понятием площади. Так в процессе проведения строительных или ремонтных работ площадь учитывается при подсчете необходимого количества строительных материалов. Например, знание площади пола комнаты учитывается при определении площади паркета, необходимого для покрытия пола и т. д. Довольно часто требуется измерить площадь участка поверхности, имеющего форму некоторого многоугольника. В данной главе будет рассмотрен вопрос о вычислении площадей различных многоугольников. Аналогично измерению длин отрезков измерение площади многоугольника осуществляется с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площади принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Например, если за единицу измерения отрезков принят 1 см, то за единицу измерения площадей принимается квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Площадь может измеряться также в квадратных метрах (м2), квадратных километрах (км2), квадратных миллиметрах (мм2) и т.д. Рис. 64 Площадь многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике. Правообладатель Народная асвета Понятие площади. Площадь прямоугольника 69 Например, если за единицу измерения площадей принят квадрат в 1 см2, то для определения площади многоугольника необходимо узнать, сколько раз в данном многоугольнике укладывается квадратный сантиметр. Например, на рисунке 64, а изображен восьмиугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно пять раз, значит, его площадь равна 5 см2. В восьмиугольнике, изображенном на рисунке 64, б, квадратный сантиметр укладывается четыре с половиной раза, следовательно, площадь этого восьмиугольника равна 4,5 см2. Площадь многоугольника F обозначается SF. При измерении площадей пользуются следующими аксиомами площади. 1) Каждый многоугольник имеет площадь, которая выражается некоторым положительным числом. 2) Площадь квадрата, сторона которого равна a единиц измерения длины, равна а^. 3) Равные многоугольники имеют равные площади (если F1 = F2, то SF1 = SF2 ). 4) Если многоугольник представляет собой объединение многоугольников, каждые два из которых не имеют общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Например, площадь восьмиугольника ABCDEFKT, изображенного на рисунке 65, а, б, равна сумме площадей квадрата CDEF и четырехугольников ABCF, AFKT. Геометрические фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади. Правообладатель Народная асвета 70 Глава 2. Площадь фигуры 2. Площадь прямоугольника. Рассмотрим вопрос о вычислении площади прямоугольника. Докажем, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Рис. 66 Доказательство. 1) Пусть дан прямоугольник A^CD со сторонами = b и BC = а, площадь которого равна S (рис. 66, а). Докажем, что S = ab. 2) Достроим этот прямоугольник до квадрата FOCE со стороной а + b, как показано на рисунке 66, б. По аксиоме 2 площадь этого квадрата равна (а + b)2. 3) Построенный квадрат является объединением данного прямоугольника ABCD, равного ему прямоугольника FTAQ и двух квадратов TOBA и QADE, площади которых соответственно равны b2 и а2. 4) Площадь каждого из прямоугольников ABCD и FTAQ равна S. По аксиоме 4 выполняется равенство (а + b)2 = S + + S + а2 + b2, или а2 + 2ab + b2 = S + S + а2 + b2. Отсюда получим, что S = ab. Теорема доказана. Вопросы к § 1 1. Сформулируйте аксиомы площади. 2. Сформулируйте теорему о площади прямоугольника. 3. Какие вы знаете единицы измерения площади? 4. Какие фигуры называются равновеликими? Правообладатель Народная асвета Понятие площади. Площадь прямоугольника 71 Задачи к § 1 151. Вычислите площадь прямоугольника, если его периметр равен 16 см, а длина одной из его сторон равна 2 см. 152. Вычислите периметр прямоугольника, если его площадь равна 32 см2, а одна из сторон в два раза больше другой. 153. Вычислите площадь прямоугольника, если его периметр равен 30 см, а длины сторон относятся как 1 : 4. 154. Длины диагоналей ромба равны 10 см и 6 см. Вычислите площадь четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон ромба. 155. Точка O — середина гипотенузы BC прямоугольного треугольника ABC, OF и OE — перпендикуляры, проведенные из точки O соответственно к прямым AB и AC (рис. 67, а). Вычислите площадь четырехугольника OFAE, если AB = 6 см, AC = 8 см. Рис. 67 156. Высота прямоугольной трапеции ABCD равна 4 см, отрезок BF — перпендикуляр, проведенный из вершины B к прямой AD (рис. 65, б). Вычислите площадь четырехугольника FBCD, если периметр трапеции равен 24 см, разность длин ее оснований равна 3 см, а длина большей боковой стороны — 5 см. Правообладатель Народная асвета 72 Глава 2. Площадь фигуры 157. Основаниями прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ служат квадраты. Вычислите площадь боковой грани параллелепипеда, если известно, что площадь основания равна 36 см2, а длина ломаной ADD^C^B^ равна 25 см (рис. 67, в). 158. Длины сторон AB и BC параллелограмма ABCD равны соответственно 8 см и 10 см. Отрезки BF и CE — перпендикуляры, проведенные соответственно из вершин B и C к прямой AD. Вычислите площадь четырехугольника FBCE, если Z BAD = 30°. 159. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка F — середина стороны AB; FE и OT — перпендикуляры, проведенные из точек F и O к прямой AD. Вычислите площадь четырехугольника EFOT, если BC = 16 см, а расстояние между прямыми BC и AD равно 10 см. Рис. 68 160. От листа жести, имеющего форму прямоугольника, длины сторон которого 100 см и 80 см, отрезали две части прямоугольной формы, как показано на рисунке 68, а, б. Вычислите площадь оставшейся части листа жести, если длины сторон одной из отрезанных частей равны 50 см и 20 см, а другой — 50 см и 40 см. 161. Сколько необходимо кафельных плиток прямоугольной формы, длины сторон которых равны 20 см и 10 см, для облицовки части стены, имеющей форму прямоугольника с длинами сторон 5 м и 4 м? Правообладатель Народная асвета Понятие площади. Площадь прямоугольника 73 162. Сторона прямоугольника в два раза больше другой его стороны. Вычислите расстояния от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямых, содержащих его стороны, если площадь прямоугольника равна 32 см2. 163. Чему равно отношение площадей прямоугольников, если длины сторон одного из прямоугольников в три раза больше длин сторон другого прямоугольника? 164. Как изменится площадь прямоугольника, если длину одной его стороны увеличить в три раза, а длину другой увеличить в пять раз? 165. От листа фанеры квадратной формы отрезаны две равные части, каждая из которых также имеет форму квадрата (рис. 69, а). Вычислите площадь оставшейся части, если длина стороны каждой из отпиленных частей в три раза меньше длины стороны листа фанеры и имеет площадь 100 см2. б) Рис. 69 в) 166. От деревянного бруска, имеющего форму куба, отпилены две части в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 69, б). Основаниями отпиленных частей служат квадраты, стороны каждого из которых в три раза меньше ребра куба, а их площади равны по 36 см2. Вычислите сумму площадей всех боковых граней полученной модели прямой восьмиугольной призмы (рис. 69, в). 167. Биссектриса угла B прямоугольника ABCD пересекает сторону AD в точке F так, что AF = 4 см и FD = 6 см. Вычислите площадь данного прямоугольника. Правообладатель Народная асвета 74 Глава 2. Площадь фигуры 168. ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом при вершине D, Z BAD = 30°, BF — перпендикуляр, проведенный из вершины B к прямой А^. Вычислите площадь прямоугольника FBCD, если диагональ AC трапеции является биссектрисой угла BA^, а длина большей боковой стороны — 8 см. 169. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до стороны в три раза больше, чем длина этой стороны. Вычислите площадь прямоугольника, если его периметр равен 56 см. 170. Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали. 171. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон трапеции, если средняя линия трапеции равна а. 172. Вычислите площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах данного прямоугольника и не имеющих общих внутренних точек, если площади квадратов равны 16 см2 и 36 см2. 173. Площадь шестиугольника, вершинами которого служат середины сторон и две противолежащие вершины прямоугольника, равна 36 см2. Вычислите площадь этого прямоугольника. 174. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. Правообладатель Народная асвета § 2. Площадь параллелограмма и треугольника В этом параграфе рассмотрим формулы для вычисления площади параллелограмма и площади треугольника. 1. Площадь параллелограмма. Высотой параллелограмма, проведенной к стороне, называется перпендикуляр (или его длина), проведенный из любой точки противолежащей стороны к прямой, содержащей эту сторону. в) Например, пусть ABCD — параллелограмм. Тогда каждый из перпендикуляров BF, TE и CO, проведенных соответственно из точек B, T и C к прямой, содержащей сторону AD, является высотой параллелограмма ABCD, проведенной к этой стороне (рис. 70, а). Перпендикуляры DO и FK, проведенные соответственно из точек D и F к прямой, содержащей сторону AB, являются высотами параллелограмма ABCD, проведенными к стороне AB (рис. 70, б). Пусть ABCD — прямоугольник, а точки O и F — середины сторон BC и AD соответственно (рис. 70, в). Тогда отрезок CD — высота параллелограмма AOCF, проведенная к стороне AF, а отрезок AB — высота, проведенная к стороне OC. Теорема 1 (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведенную к ней. Правообладатель Народная асвета 76 Глава 2. Площадь фигуры б) Рис. 71 Доказательство. 1) Пусть ABCD — параллелограмм, BF — высота этого параллелограмма, проведенная к стороне А^ (рис. 71, а). Докажем, что площадь S параллелограмма ABCD вычисляется по формуле S = AD • BF. 2) Проведем высоту CO к стороне AD, тогда четырехугольник FBCO является прямоугольником. Докажем, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FBCO (см. рис. 71, a). 3) Треугольники AFB и DOC равны по гипотенузе и острому углу (AB = DC и Z 1 = Z 2 как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), следовательно, равны их площади, т. е. SAFB = SDOC. 4) Так как трапеция ABCO составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DOC, то SABCD = SABCO - SDOC. Кроме того, трапеция ABCO представляет собой объединение треугольника AFB и прямоугольника FBCO, следовательно, SFBCO = SABCO — SAFB. Поскольку SAFB = SDOC, то SABCD = SFBCO (рис. 71, а, б, в). 5) По теореме о площади прямоугольника SFBCO = BC • BF, следовательно, SABCD = SFBCO = BC • BF. Так как BC = AD, то S ABCD =AD • BF. Теорема доказана. 2. Площадь треугольника. Рассмотрим вопрос о нахождении площади треугольника. Напомним, что высотой треугольника называется перпендикуляр (или длина перпендикуляра), проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. Правообладатель Народная асвета Площадь параллелограмма и треугольника 77 Теорема 2 (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведенную к ней. Дано: А АВС, BF1AC, F е AC (рис. 72, а). Доказать: Sabc = ^ AC • BF. а) б) Рис. 72 Доказательство. 1) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC, как показано на рисунке 72, б. 2) Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (AB = DC и AC = BD как противолежащие стороны параллелограмма, BC — общая сторона), следовательно, SABC = SDCB. 3) Таким образом, SABDC = 2SABC. Отсюда следует, что SABC = 2 SabDC = -1AC • BF. Теорема доказана. Из данной теоремы получим следующие следствия. Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Действительно, например, катет AC прямоугольного треугольника ACB является высотой, проведенной к катету BC. Следовательно, на основании доказанной теоремы получим, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов (рис. 73, а). Следствие 2. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты. Например, пусть точка T лежит на основании AC треугольника ABC так, что AT : TC = 2 : 1, тогда SABT : SBTC = 2 : 1 (рис. 73, б). Правообладатель Народная асвета 78 Глава 2. Площадь фигуры Действительно, пусть BF — перпендикуляр, проведенный из вершины B к прямой AC, тогда отрезок BF — высота каждого из треугольников ABT и TBC. Следовательно, SABT = 1 AT • BF и SBTC = TC • BF и S 'ABT • SBTC = AT : TC = 2 : 1. Рис. 73 Задача 1. Длины катетов AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны соответственно тип, а длина гипотенузы равна с. Найдите высоту CF, проведенную к гипотенузе AB (рис. 74, а, б). Дано: А ABC, Z ACB = 90°, AC = т, BC = п, AB = с, CF1AB, F е AB. Найти: CF. Решение. Воспользуемся тем, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны и высоты, проведенной к этой стороне. 1) Треугольник ABC — прямоугольный, следовательно, его площадь равна половине произведения длин его катетов, т. е. ^= 1AC • BC = 1 т • п. Правообладатель Народная асвета Площадь параллелограмма и треугольника 79 2) Кроме того, площадь прямоугольного треугольника ABC равна произведению длины его гипотенузы на высоту, проведенную к ней, т. е. = 1AC • CF = 1 c • CF. 3) Таким образом, из равенства 1 m • n = 1 c • CF найдем CF__ m *n Ответ: Задача 2. ABCA^B^Ci — прямая треугольная призма, основанием которой служит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B (рис. 75, а). Представление о такой призме дают модели, которые получатся, если модель прямоугольного параллелепипеда, основанием которого служит квадрат, распилить вдоль ребра, как показано на рисунке 75, б, в. Вычислите площадь основания призмы, если BC^ = 12 см, Z B1BC1 = 30°. в) Решение. Основанием данной призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник. Так как площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов, то для вычисления площади основания призмы необходимо знать длину катета треугольника ABC. Правообладатель Народная асвета c c 80 Глава 2. Площадь фигуры 1) Призма A^CA^B^C^ является прямой призмой, следовательно, ее боковыми гранями служат прямоугольники. Таким образом, треугольник BB1C1 является прямоугольным с прямым углом при вершине B1. Катет B1C1 лежит против угла в 30°, значит, B1C1 = 1BC1 = 6 см, A1B1 = B1C1 = 6 см. 2) Теперь найдем \А1B1 • B-^C-^ = -1б • 6 = 18 (см2). Ответ: 18 см2. Задача 3. Докажите, что площадь ромба ABCD равна половине произведения длин его диагоналей, т. е. Sabcd = ^ AC • BD. Дано: ABCD — ромб. Доказать: Sabcd = ^AC • BD. Рис. 76 Доказательство. Ромб ABCD разбивается диагоналями на четыре попарно равных прямоугольных треугольника. Следовательно, площадь ромба равна сумме площадей этих треугольников (рис. 76, а, б). 1) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда Sabcd = 4Sboc. Так как треугольник BOC является прямоугольным, то его площадь равна половине произведения длин катетов, т. е. Sboc = 1 BO • OC. 2) Теперь Sabcd = 4Sboc = 4 • ^OC • BO = 2(2OC • 2BO = = 1 AC •BD. 2 Что и требовалось доказать. Правообладатель Народная асвета Площадь параллелограмма и треугольника 81 Вопросы к § 2 1. Выведите формулу площади параллелограмма. 2. Сформулируйте теорему о площади треугольника. 3. Чему равна площадь прямоугольного треугольника, если известны длины его катетов? 4. Приведите примеры неравных треугольников, имеющих равные площади. 5. Чему равна площадь параллелограмма, если известна длина его стороны и высота, проведенная к ней? 6. Чему равно отношение площадей треугольников, если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника? Задачи к § 2 175. В параллелограмме ABCD длина стороны равна 6 см, а высота, проведенная к этой стороне, равна 5 см. Вычислите площадь параллелограмма. 176. Длина стороны параллелограмма равна 9 см, а высота, проведенная к этой стороне, меньше ее на 5 см. Вычислите площадь параллелограмма. 177. Точки O и F — середины сторон BC и AD прямоугольника ABCD соответственно. Вычислите площадь параллелограмма AOCF, если AB = 5 см, AD = 16 см (рис. 77, а). а) Рис. 77 178. ABCD — прямоугольная трапеция с прямым углом при вершине D, а точка F лежит на основании AD так, что Правообладатель Народная асвета 82 Глава 2. Площадь фигуры отрезки AB и CF параллельны. Вычислите площадь четырехугольника A^CF, если BC = 5 см, CD = 4 см (рис. 77, б). 179. Длина стороны AB параллелограмма ABCD равна 8 см. Вычислите высоту, проведенную к этой стороне, если площадь параллелограмма равна 12 см2. 180. Площадь параллелограмма ABCD равна 25 см2. Вычислите расстояние от вершины B до прямой AD, если BC = 10 см. 181. Высота, проведенная из вершины A к прямой, содержащей сторону CD параллелограмма ABCD, равна 7 см, а его площадь равна 35 см2. Вычислите длину стороны AB. 182. Расстояние от вершины D параллелограмма ABCD до прямой AB равно 10 см, а площадь параллелограмма равна 30 см2. Вычислите длину стороны CD. 183. Длины сторон параллелограмма равны 10 см и 6 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 3 см. Вычислите высоту, проведенную к меньшей стороне параллелограмма. 184. Высоты, проведенные к сторонам AD и AB параллелограмма ABCD, равны 2 см и 3 см соответственно. Вычислите длину стороны A.B, если AD = 9 см. 185. Вычислите длину стороны ромба, если его площадь равна 16 см2, а высота — 4 см. 186. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Вычислите длину стороны ромба, если его площадь равна 30 см2, а высота треугольника OCD, проведенная из вершины O, равна 3 см. 187. Длина диагонали ромба равна 12 см. Вычислите площадь ромба, если вторая диагональ в три раза меньше данной диагонали. 188. Площадь ромба ABCD равна 40 см2, а длина одной из диагоналей равна 10 см. Вычислите длину другой диагонали ромба. Правообладатель Народная асвета Площадь параллелограмма и треугольника 83 189. Докажите, что площадь квадратаABCD равна полови- 1 2 1 2 не квадрата длины его диагонали, т. е. SABCD = — AC = — BD (рис. 78, а). Рис. 78 190. ABCDA1B1C1D1 — куб. Вычислите площадь поверхности куба, т. е. сумму площадей всех его граней, если A1B = 8 см (рис. 78, б, в). 191. В параллелограмме ABCD длины смежных сторон AB и AD равны соответственно 8 см и 10 см. Вычислите площадь параллелограмма, если Z BAD = 30°. 192. Длины сторон параллелограмма равны 5 см и 6 см, а градусная мера одного из его углов равна 150°. Вычислите площадь параллелограмма. 193. Вычислите площадь параллелограмма, у которого одна из сторон в два раза больше другой, высота, проведенная к большей стороне равна 3 см, а периметр параллелограмма равен 24 см. 194. Вычислите площадь параллелограмма, если длина одной из его сторон равна 8 см, а длина перпендикулярной ей диагонали равна 6 см. 195. Точка F лежит на большем основании AD трапеции ABCD так, что отрезок CF параллелен боковой стороне A.B. Вычислите площадь параллелограмма ABCF, если высота трапеции равна 3 см, а длины ее средней линии и большего основания равны 5 см и 8 см соответственно. Правообладатель Народная асвета 84 Глава 2. Площадь фигуры 196. Длина боковой стороны прямоугольной трапеции A^CD с прямым углом при вершине D равна 8 см, Z BAD = 30°. Точка O лежит на основании AD так, что отрезок CO параллелен стороне AB. Вычислите площадь четырехугольника ABCO, если BC = 7 см. 197. Вычислите площадь треугольника ABC, если длина стороны AC равна 12 см, а высота, проведенная к этой стороне, меньше ее в два раза. 198. Площадь треугольника ABC равна 16 см2, а длина стороны AB равна 8 см. Вычислите высоту этого треугольника, которая проведена к стороне AB. 199. Вычислите высоту треугольника, если она в три раза меньше стороны, к которой проведена, а площадь треугольника равна 24 см2. 200. В треугольнике ABC длины сторон AC и AB равны соответственно 12 см и 6 см. Вычислите высоту, проведенную к стороне AB, если высота, проведенная к стороне AC, равна 4 см. 201. В треугольнике ABC проведены высоты CD и AE. Вычислите длину стороны BC, если известно, что AE = 4 см, AB = 5 см и CD = 12 см. 202. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если длина меньшего из его катетов равна 4 см, а длины катетов относятся как 3 : 1. 203. В треугольнике ABC высота, проведенная к стороне AC, равна 5 см. Вычислите расстояние от вершины C до прямой AB, если AC = 12 см, AB = 6 см. 204. Вычислите длины катетов прямоугольного треугольника, если они относятся как 4 : 3, а его площадь равна 24 см2. 205. Точка F делит сторону AD прямоугольника ABCD в отношении 1 : 3 (рис. 79, а). Вычислите площадь треуголь- Правообладатель Народная асвета Площадь параллелограмма и треугольника 85 ника FDC, если периметр прямоугольника ABCD равен 20 см, а длина стороны AB равна 2 см. 206. Основанием прямой треугольной призмы ABCA^B^Ci служит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B и площадью 6 см2 (рис. 79, б, в). Вычислите длину ребра A^B^ , если BC^ = 8 см, AC^BB^ = 30°. в) 207. ABCD — параллелограмм, длина диагонали BD которого равна 10 см. Вычислите площадь параллелограмма, если расстояние от вершины C до прямой AD равно 4 см, а вершина D лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. 208. Длина стороны AB параллелограмма ABCD равна 6 см, а его периметр равен 32 см. Вычислите высоту, проведенную к стороне AB, если высота, проведенная к стороне BC, равна 3 см. 209. Периметр параллелограмма равен 16 см. Вычислите площадь параллелограмма, если градусная мера одного из его углов равна 150°, а длина одной из сторон равна 3 см. 210. Сторона параллелограмма в четыре раза больше проведенной к ней высоты. Вычислите длины сторон параллелограмма, если его площадь равна 16 см2, а периметр равен 24 см . Правообладатель Народная асвета 86 Глава 2. Площадь фигуры 211. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна 15°. Найдите площадь треугольника, если длина его боковой стороны равна т. 212. Длины сторон треугольника равны 3 см и 8 см. Вычислите площадь треугольника, если градусная мера угла между данными сторонами равна 150°. 213. Площадь равнобедренного треугольника равна 16 см2. Вычислите длину боковой стороны треугольника, если градусная мера угла при его основании равна 75°. Правообладатель Народная асвета § 3. Площадь трапеции В этом параграфе рассмотрим вопрос о вычислении площади трапеции. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин ее оснований на высо- ту ( S = a + b h, где a, b — длины оснований, h — высота Дано: ABCD — трапеция, BF 1AD, F е AD, AD = а, BC = b, BF = h (рис. 80, а). Доказать: „ а + b h. Доказательство. 1) Проведем диагональ BD и высоту DO трапеции ABCD (рис. 80, б). Тогда площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников ABD и BCD, т. е. SABCD = SABD + SBCD. 2) Отрезок BF есть высота треугольника ABD, проведенная к стороне AD, следовательно, SABD = 1 AD • BF = 1 ah. 3) Отрезок DO — высота треугольника BCD, проведенная к стороне BC, значит, SBCD = 1BC • DO. Так как OD = BF, то SBCD = 1 BC • BF = 1 bh. BCD 2 2 4) Таким образом, SABCD Теорема доказана. = 1 ah + 1 bh = a + b 2 h. Задача 1. В равнобедренной трапеции длины оснований равны 10 см и 16 см, а градусная мера острого угла равна 45°. Вычислите площадь трапеции. Правообладатель Народная асвета ABCD 88 Глава 2. Площадь фигуры Дано: ABCD трапеция, AB = CD, BC = 10 см, А^ = 16 см, Z BAD = 45°. Вычислить: SABCD. Рис. 81 Решение. Так как по условию задачи даны длины оснований трапеции, то для вычисления площади трапеции необходимо найти ее высоту. 1) Пусть отрезок BF — высота трапеции ABCD (рис. 81, а, б). Тогда Sabcd = BC-2AD ' BF. 2) Треугольник AFB — прямоугольный с углом 45°, следовательно, BF = AF. Теперь найдем длину отрезка AF. 3) Проведем высоту CO трапеции. Треугольники AFB и DOC равны по гипотенузе и катету (AB = CD, BF = CO). Отсюда следует, что AF = OD. Так как FO = BC,то AF = -1(AD - FO) = = !(AD - BC) = |(16 - 10) = 3 (см), т. е. BF = 3 см. 4) Таким образом, SABCD = 39 (см2). Ответ: 39 см2. BC + AD BF = 1(16 + 10) • 3 = Задача 2. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит прямоугольная трапеция ABCD с прямым углом при вершине D (рис. 82, а). Представление о призме, основаниями которой служат прямоугольные трапеции, дает модель, которая получится, если от модели прямоугольного параллелепипеда отрезать часть, имеющую форму прямой треугольной призмы, как показано на рисунке 82, б, в. Вычислите площадь основания призмы, если известно, что AD : BC = 2 : 1, ZADA1 = 60°, A1D = 4 см, DC = 2 см. Правообладатель Народная асвета Площадь трапеции 89 б) Рис. 82 Решение. Основание призмы — трапеция. Для нахождения площади трапеции необходимо знать длины ее оснований и высоту. В данном случае основания Л^, BC трапеции и ее высота DC являются ребрами призмы. Так как длина отрезка DC известна, то для решения задачи необходимо вычислить длины отрезков AD и BC. 1) Данная призма является прямой, значит, все ее боковые грани являются прямоугольниками. В прямоугольном треугольнике A1AD катет AD лежит против угла 30°, поэтому AD = 1 A-.D = 2 см. Так как AD : BC = 2 : 1, то BC = 1 см. 2 1 ’ 2) Таким образом, SABCD Ответ: 3 см2. BC + AD DC = • 2 = 3 (см2). Задачи к § 3 214. Вычислите площадь трапеции ABCD, если длина ее средней линии равна 10 см, AB = 6 см, градусная мера угла ABC при основании BC равна 150°. 215. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD градусная мера угла BAD равна 30°. Вычислите площадь трапеции, если AB = BC = 8 см и AD : BC = 3 : 1. 216. Вычислите площадь равнобедренной трапеции, периметр которой равен 32 см, длина боковой стороны — 5 см, а ее высота — 4 см. 217. Периметр прямоугольника ABCD равен 18 см, а длины его сторон относятся как 2 : 1 (рис. 83, а). Точки O и F Правообладатель Народная асвета 90 Глава 2. Площадь фигуры лежат на прямой так, что отрезки BF и СО параллель- ны диагоналям ЛС и BD прямоугольника соответственно. Вычислите площадь четырехугольника FBCO. 218. Точки О и F — соответственно середины боковых сторон Л^ и BC равнобедренного треугольника ЛВС, отрезок BT — медиана треугольника (рис. 83, б). Вычислите длину медианы ВТ этого треугольника, если ЛС = 12 см, а площадь четырехугольника ^OFC равна 72 см2. 219. Точки О и F — середины сторон ЛВ и СВ равностороннего треугольника ЛВС соответственно (рис. 84, а). Вычислите площадь четырехугольника OACF, если площадь треугольника ЛВС равна 48 см2. 220. Точки О и F — середины ребер CD и BD тетраэдра DЛBC (рис. 84, б). Вычислите площадь четырехугольника COFB, если площадь поверхности данного тетраэдра равна 64 см2. б) Рис. 84 в) Правообладатель Народная асвета Площадь трапеции 91 221. ABCA^B^C^ — прямая треугольная призма, основаниями которой служат равносторонние треугольники, точка F — середина ребра A^B^ (рис. 84, в). Вычислите площадь трапеции AA^FB, если периметр основания призмы равен 12 см, а площадь боковой грани равна 40 см2. 222. Площадь квадрата ABCD равна 36 см2, точка F лежит на прямой AD так, что отрезок CF параллелен диагонали BD квадрата. Вычислите площадь четырехугольника ABCF. 223. Периметр параллелограмма ABCD равен 44 см, длина стороны AB равна 10 см, а ZABC = 150°. Вычислите площадь четырехугольника ABCF, вершина F которого лежит на прямой AD так, что отрезок CF параллелен диагонали BD параллелограмма. 224. Градусная мера острого угла прямоугольной трапеции равна 45°, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит трапецию на треугольник и квадрат, площадь которого равна 36 см2. Вычислите площадь трапеции. 225. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, у которой градусная мера тупого угла равна 135°, а длины меньшего основания и меньшей боковой стороны равны по 4 см. 226. Периметр прямоугольной трапеции равен 15 см, а ее площадь — 9 см2. Вычислите длину большей боковой стороны трапеции, если длина ее меньшей боковой стороны равна 3 см. 227. Длина большего основания трапеции на 4 см превышает длину ее меньшего основания. Вычислите длины оснований трапеции, если ее высота равна 4 см, а площадь 16 см2. 228. Площадь трапеции равна 36 см2, а длины ее оснований относятся как 2 : 1. Вычислите высоту трапеции, если длина меньшего основания равна 4 см. 229. Длины оснований трапеции относятся как 3 : 1, а ее высота равна 3 см. Вычислите длины оснований трапеции, если ее площадь равна 24 см2. Правообладатель Народная асвета 92 Глава 2. Площадь фигуры 230. В трапеции ABCD длина основания BC равна 4 см, а ее высота равна 8 см. Вычислите площадь трапеции, если площадь треугольника ACD равна 30 см2. 231. Длины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно относятся как 2 : 1. Вычислите площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника ABC равна 8 см2. 232. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников ABO и DCO равны. 233. ABCD — квадрат, площадь которого равна 64 см2. Точки O и F лежат на прямой BC так, что отрезки DO и AF параллельны соответственно диагоналям AC и BD квадрата. Вычислите площадь четырехугольника ADOF. 234. В равнобедренной трапеции угол при меньшем основании равен 135°. Вычислите площадь трапеции, если длина большего основания равна 18 см, а ее высота равна меньшему основанию трапеции. 235. В трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Вычислите площадь трапеции, если известно, что длина основания AD равна 12 см, AB = 8 см, Z ABC = 150°. 236. Длина меньшего основания прямоугольной трапеции равна 8 см. Меньшая диагональ трапеции составляет с ее меньшим основанием угол, градусная мера которого равна 45°. Вычислите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135°. 237. Длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна 16 см, а градусная мера одного из ее углов равна 150°. Вычислите периметр трапеции, если ее площадь равна 88 см2. 238. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, длина одного из которых составляет одну третью длины меньшего основания. Вычислите площадь трапеции, если разность длин ее оснований равна 4 см, а высота трапеции — 8 см. Правообладатель Народная асвета Площадь трапеции 93 239. В трапеции ABCD с основаниями BC и угол ADC равен 60°, а биссектрисы углов BCD и ADC пересекаются в точке O. Найдите площадь трапеции, если OD = т, BC = а, AD = b. 240. В трапеции ABCD (AD | BC) диагональ BD перпендику- лярна основаниям, Z CAD = ZCAB, AD = \fs см, AB = ^/3 см, а площадь трапеции равна см. Вычислите расстояние между прямыми AD и BC. 241. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, а ее высота равна h. 242. Основания равнобедренной трапеции равны а и b. Найдите площадь трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны. 243. Середина боковой стороны трапеции соединена с концами другой боковой стороны. Найдите площадь трапеции, если площадь полученного треугольника равна S. в) Рис. 85 244. На рисунке 85, а, б изображена прямая призма ABCDA^B^C^D^, основанием которой служит прямоугольная трапеция ABCD с прямым углом при вершине D. Развертка такой призмы изображена на рисунке 85, в. Вычислите площадь основания призмы, если Z ABC = 135°, Z DBC = 45°, DCi = 8 см, ZDC1C = 30°. Правообладатель Народная асвета § 4. Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 1. Теорема Пифагора. В практической деятельности часто возникает необходимость вычисления длин сторон прямоугольного треугольника. Например, в процессе проведения строительных работ или при изготовлении мебели требуется знание размеров конструкций или деталей, имеющих форму прямоугольного треугольника. Докажем теорему, которая характеризует зависимость длин сторон прямоугольного треугольника. По мнению историков, доказательство этой теоремы было дано древнегреческим ученым Пифагором, который жил примерно в VI веке до н. э. Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов. Д ано: А АСВ, Z ACB = 90° (рис. 86, а). Доказать: AB2 = BC^ + AC2. Рис. 86 Доказательство. Пусть AC = b, BC = a, AB = c. I. Рассмотрим случай, когда b > a. 1) Построим прямоугольный треугольник BOF с прямым углом при вершине О так, чтобы точка O лежала на луче CB, BO = b, FO = a, а точки A и F были расположены по одну сторону от прямой CB (рис. 86, а, б). Треугольник BOF равен треугольнику ACB по двум катетам. 2) Четырехугольник ACOF — прямоугольная трапеция. Действительно, так как AC Z CO и FO Z CO, то AC | FO. Так как AC > FO, то стороны AF и CO не параллельны. Правообладатель Народная асвета Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 95 3) Треугольник ABF является прямоугольным, так как ZA^F = 90°. В самом деле, ZABF = 180° - (Z 2 + Z 3). В прямоугольном треугольнике ACB выполняется равенство Z 1 + Z 2 = 90°. Так как Z 1 = Z 3, то Z 2 + Z 3 = 90°. Следовательно, Z ABF = 180° - 90° = 90°. 4) Трапеция ACOF представляет собой объединение треугольников ACB, BOF и ABF, которые не имеют общих внутренних точек. Следовательно, SACOF = SACB + SBOF + SABF, или -1(a + b)(a + b) = 1 ab + 1 ab + 1 c2. Отсюда получим, что (a + b)2 = ab + ab + c2, a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2, т. е. c2 = a2 + b2. II. Рассмотрим случай, когда b = a. 1) Построим прямоугольный треугольник BOF с прямым углом при вершине О так, чтобы точка O лежала на луче CB, BO = a, FO = a, а точки A и F были расположены по одну сторону от прямой CB (рис. 87). 2) Четырехугольник ACOF — прямоугольник, так как он является параллелограммом (AC = FO, AC | FO), у которого все углы прямые. 3) Прямоугольник ACOF есть объединение прямоугольных треугольников ACB, BOF и ABF, которые не имеют общих внутренних точек. Значит, SACOF = SACB + SBOF + SABF, или a • 2a = 1 a2 + 1 a2 + 1 c2. Отсюда получим, c2 = 2a2, т. е. c2 = a2 + a2. Теорема доказана. Рассмотрим примеры решения задач на применение теоремы Пифагора. Пусть ABCD — прямоугольник, длины сторон которого 3 см и 4 см (рис. 88, а). Тогда по теореме Пифагора можем вычислить длину диагонали прямоугольника. В прямоугольном треугольнике ACD по теореме Пифагора AC2 = AD2 + DC2. Отсюда получим, что AC = \1 AD2 + DC2 = = V16 + 9 = 5 (см). Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллеле- пипед, у которого длина ребра DC равна 6 см, а длина Правообладатель Народная асвета 96 Глава 2. Площадь фигуры б) Рис. 88 в) диагонали DCi грани DD^C^C равна 10 см (рис. 88, б, в). Воспользовавшись теоремой Пифагора, можем вычислить длину ребра CC1. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками, следовательно, грань DD1C1C — прямоугольник. В прямоугольном треугольнике DCC1 по теореме Пифагора DC''^ = DC^ + CCf. Отсюда получим CC1 =^JdC^ - DC^ =^l100 - 36 = 8 (см). На основании теоремы Пифагора можно доказать свойства наклонных и их проекций. Напомним, что если AO — перпендикуляр, проведенный из точки A g b к прямой b, а точка C лежит на прямой b и не совпадает с точкой O, то отрезок AC называется наклонной, проведенной из точки A к прямой b. При этом отрезок OC называется проекцией наклонной AC на прямую b (рис. 89). Свойство 1. Если из одной точки, не лежащей на прямой, проведены к ней наклонные, то наклонные равны, если равны их проекции. Свойство 2. Если из одной точки, не лежащей на прямой, проведены к ней наклонные, то та наклонная больше, которая имеет большую проекцию. Докажите свойства 1 и 2 самостоятельно. 2. Теорема, обратная теореме Пифагора. Данная теорема позволяет, зная длины сторон треугольника, выяснить, является ли треугольник прямоугольным. Правообладатель Народная асвета Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 97 Теорема 2 (теорема, обратная теореме Пифагора). Если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Доказательство. 1) Пусть в треугольнике ABC выполняется равенство AB^‘ = AC^ + BC^. Докажем, что ZACB = 90°. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом при вершине C1, у которого A1C1 = AC и B1C1 = BC. 2) Тогда по теореме Пифагора A1 Bj2 = A-^C^ + B-^C^. Следовательно, A1= AC^ + BC^. Так как по условию теоремы AB^ = AC^ + BC^, то AB^ = A1 Bj2. Отсюда следует, что AB = A1B1. 3) Таким образом, имеем A1C1 = AC, B1C1 = BC и AB = A1B1, т. е. треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам. Следовательно, ZACB = ZA1C1B1, т. е. треугольник ACB — прямоугольный с прямым углом при вершине C. Теорема доказана. Задача 1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Докажите, что высота такого треугольника рав- ^J3 на Дано: А ABC — равносторонний, AB = а (рис. 90, а, б). Доказать: высота треугольника ABC равна ^[3 2 ' Доказательство. 1) Пусть BO — высота треугольника ABC, тогда треугольник BOC — прямоугольный. 2) Отрезок BO — высота равностороннего треугольника ABC, поэтому BO является также его медианой, а значит, OC = а. 2 Правообладатель Народная асвета 2 98 Глава 2. Площадь фигуры 3) В прямоугольном треугольнике BOC по теореме Пифагора BC^ = BO^ + OC^. Отсюда найдем BO = \lBC^ - OC^ = a2 - ^ . Что и требовалось доказать. Задача 2. ABCA^B^C^ — прямая треугольная призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник ACB с прямым углом при вершине C (рис. 91, а). Развертка такой призмы изображена на рисунке 91, б. Вычислите длину диагонали боковой грани AA1B1B призмы, если площадь основания призмы равна 6 см2, AC = 3 см, а площадь грани CC1B1B равна 40 см2. Рис. 91 Решение. Диагональ боковой грани прямой призмы служит гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого является стороной основания призмы, а другой — ее боковым ребром. Таким образом, для вычисления длины диагонали боковой грани можем воспользоваться теоремой Пифагора. 1) Каждая боковая грань прямой призмы является прямоугольником. Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABB1 длина гипотенузы AB-^ = AB2 + BBj2. Теперь найдем длины отрезков AB и BB1. 2) Треугольник ACB — прямоугольный, следовательно, SABC = 1 AC • BC. Так как SABC = 6 см2, AC = 3 см, то BC = 4 см. Теперь найдем длину гипотенузы AB = \1 AC^ + BC'2 = = \l\6+9 = 5 (см). Правообладатель Народная асвета Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 99 3) Грань CC^B^B — прямоугольник, следовательно, ее площадь SCcbB = BB^ • BC. Из уравнения 40 = 4BB^ найдем BB^ = 10 см. 4) Таким образом, AB1 = ^JaB^+Bb^ = 100 + 25 = (см). Ответ: W5 см. Вопросы к § 4 1. Сформулируйте теорему Пифагора. Для каких треугольников она применяется? 2. Докажите теорему Пифагора. 3. Какие данные достаточно иметь в прямоугольном треугольнике, чтобы найти по теореме Пифагора: а) длину гипотенузы; б) длину катета? 4. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора. 5. Верно ли, что существует прямоугольный треугольник, для которого площади квадратов, сторонами которых служат стороны прямоугольного треугольника, равны 9 см2, 16 см2 и 35 см2? 6. Верно ли, что треугольник, длины сторон которого равны 9 см, 12 см и 15 см, является прямоугольным? 7. Дан прямоугольный треугольник. Верно ли утверждение, что площадь равностороннего треугольника, стороной которого служит гипотенуза, равна сумме площадей равносторонних треугольников, сторонами которых служат его катеты? Задачи к § 4 245. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 3 см, а длина другого — на 1 см больше. Вычислите длину гипотенузы треугольника. 246. Вычислите длину катета прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 13 см, а длина другого катета на 1 см меньше длины гипотенузы. 247. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 4 см, а градусная мера острого угла равна 60°. Вычислите длину катета, лежащего против угла в 60°. Правообладатель Народная асвета 100 Глава 2. Площадь фигуры 248. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна с, а градусная мера острого угла равна 60°. Докажите, что длина катета, лежащего против угла в 60°, равна с4ь 2 ' 249. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Вычислите высоту, проведенную к гипотенузе треугольника. 250. Периметр прямоугольника равен 28 см, а длина одной из сторон равна 6 см. Вычислите длину диагонали прямоугольника. 251. Вычислите площадь прямоугольника, длина диагонали которого равна 10 см, а длина одной из сторон — 8 см. 252. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 24 см, а длина боковой стороны — 15 см. Вычислите площадь треугольника. 253. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 48 см2, а длина его основания AC равна 12 см. Вычислите длину боковой стороны треугольника. 254. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если длина его основания равна 18 см, а противолежащий угол — 120°. 255. Вычислите длину стороны равностороннего треугольника, если его высота равна 8 см. 256. Сторона равностороннего треугольника равна а. Докажите, что его площадь S вычисляется по формуле S = 257. Точка F — середина боковой стороны BC, а точка O — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC (рис. 92, а). Вычислите высоту трапеции ABFO, если AC = 12 см, BC = 10 см. Правообладатель Народная асвета а 4 Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 101 258. Отрезок BO — высота равнобедренного треугольника ABC с основанием AC; FK и TD — средние линии треугольников AOB и COB соответственно (рис. 92, б). Вычислите площадь четырехугольника FTDK, если AB = 17 см, AC = 16 см. 259. Точка F — середина ребра DB тетраэдра DABC (рис. 92, в). Вычислите площадь поверхности тетраэдра, если AF = \[3 см. Рис. 92 260. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 17 см, а длина медианы, проведенной к основанию, равна 15 см. Вычислите периметр треугольника. 261. Вычислите периметр ромба, если длины его диагоналей равны 12 см и 16 см. 262. Длина одной из диагоналей ромба равна 12 см, а длина его стороны — 10 см. Вычислите площадь ромба. 263. ABCDA1B1C1D1 — прямая призма, основаниями которой служат квадраты (рис. 93, а). Развертка такой призмы изображена на рисунке 93, б. Вычислите длину замкнутой пространственной ломаной A.B1C1CA, если площади основания и боковой грани призмы равны соответственно 9 см2 и 12 см2. 264. В прямоугольной трапеции длины оснований равны 6 см и 9 см, а длина большей боковой стороны равна 5 см. Вычислите площадь трапеции. Правообладатель Народная асвета 102 Глава 2. Площадь фигуры Рис. 93 265. Вычислите длину большей боковой стороны прямоугольной трапеции, если ее площадь равна 120 см2, а длина большего основания и высота равны 18 см и 8 см соответственно. 266. Длины оснований равнобедренной трапеции равны 12 см и 28 см, а длина боковой стороны равна 10 см. Вычислите площадь трапеции. 267. Вычислите длину боковой стороны равнобедренной трапеции, если длины ее оснований равны 9 см и 21 см, а площадь 120 см2. 268. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD является биссектрисой угла BAD. Вычислите длину средней линии трапеции, если длина ее боковой стороны AB равна 10 см, а высота BF = 8 см (рис. 94, а). Рис. 94 Правообладатель Народная асвета Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора 103 269. Периметр ромба ABCD равен 40 см, а длина его диагонали AC равна 16 см. Вычислите высоту BF ромба (рис. 94, б). 270. Вычислите длину диагонали параллелограмма, являющейся его высотой, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность длин его сторон равна 1 см. 271. Отрезок AB — диаметр окружности радиусом R, точка C лежит на этой окружности так, что ZABC = 60°. r2 /3 Докажите, что площадь треугольника ABC равна — (рис. 94, в). 272. Вычислите площадь треугольника, длины сторон которого равны 13 см, 5 см и 12 см. 273. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника относится к длине его катета как 5 : 3. Вычислите площадь данного треугольника, если длина другого катета равна 8 см. 274. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, у которого высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 3 см и 12 см. 275. Градусная мера острого угла прямоугольной трапеции равна 45°. Вычислите площадь этой трапеции, если длина ее большей боковой стороны равна W2 см, а длина меньшей диагонали равна 5 см. 276. Докажите, что треугольник является прямоугольным, если длины его сторон пропорциональны числам 7, 24 и 25. 277. Длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна л/2б см, а высота трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен 1 см. Вычислите площадь этой трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны. Правообладатель Народная асвета 104 Глава 2. Площадь фигуры 278. В равнобедренной трапеции длина диагонали равна 25 см, а высота равна 15 см. Вычислите площадь трапеции. 279. Длина средней линии равнобедренной трапеции равна 20 см, а ее высота — 15 см. Вычислите длины диагонали и боковой стороны трапеции, если длины ее оснований относятся как 3 : 7. Правообладатель Народная асвета Правообладатель Народная асвета Глава 3 ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ § 1. Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники 1. Пропорциональные отрезки. Определим понятие пропорциональных отрезков. Определение. Отношением отрезков AB и CD называ- AB ется отношение длин этих отрезков, т. е. Говорят, что отрезки AB, CD, FE пропорциональны со- AB CD ответственно отрезкам A^B^, C^D^, F^E^, если ^ ^ ~ с D = = EF ^ ^ ^ ^ Ei Fi . Ранее мы изучили понятие равных треугольников. В повседневной жизни встречаются предметы, которые имеют одинаковую форму, но различные размеры. Например, любые два листа жести, имеющие форму квадрата (рис. 95, а) или форму равностороннего треугольника (рис. 95, б), обладают указанными свойствами. Рис. 95 2. Подобные треугольники. Рассмотрим понятие подобных треугольников. Пусть между вершинами двух треугольников установлено взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие вершины обозначаются буквами A и А^, B и В^, C и Ci. Правообладатель Народная асвета Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники 107 Тогда для треугольников ABC и A^B-^Ci соответствующими являются ZA и ZА]_, Z B и Z В]_, Z C и Z Ci и стороны AB и AiBi, BC и BiCi, AC и A1Cl(рис. 96, а). Определение. Два треугольника называются подобными, если между их вершинами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иначе говоря, два треугольника ABC и AiBiCi называются подобными, если ZA = ZAi, ZB = ZBi, Z C = Z Ci и = k (рис. 96, а). A^B^^ B^C^^ CiAi ’ Число k, равное отношению соответствующих сторон, называется коэффициентом подобия. Подчеркнем, что при обозначении подобных треугольников соответствующие друг другу вершины ставятся на одинаковые места. Если треугольник ABC подобен треугольнику AiBiCi, то пишут: AABC ^ АAiBiCi. Например, пусть отрезок OF — средняя линия треугольника ABC (рис. 96, б). Тогда треугольник ABC подобен треугольнику OBF, так как Z i = Z 2 (как соответственные при пересечении параллельных прямых AC и OF секущей AB), Z 3 равен Z 4 (как соответственные при пересечении параллельных прямых AC и OF секущей CB, Z B — общий и AB = BC = AC = 2) OB BF OF ). б) Рис. 96 в) Пусть ABCDAiBiCiDi — прямая четырехугольная призма, точка F — середина ребра DDi, а точка O — точка пересечения диагоналей грани DDiCiC (рис. 96, в). Тогда тре- Правообладатель Народная асвета 108 Глава 3. Подобные треугольники угольник DD^Ci подобен треугольнику DFO. Действительно, точка O — середина отрезка DC]_, так как диагонали прямоугольника DD^C^C точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, отрезок OF — средняя линия треугольника DD1C1, следовательно, треугольник DD1C1 подобен треугольнику DFO. Теперь докажем теорему, которой воспользуемся в дальнейшем для доказательства свойства площадей подобных треугольников. Теорема 1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы. Дано: AABC, АA1B1C^, Z CAB = Z CiAiBi (рис. 97, а), Доказать: Sabc = AB • AC SAiBiCi AiBi • AiCi Доказательство. 1) Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной A, а стороны A1B1 и A1C1 лежали на лучах AB и AC соответственно (рис. 97, б). 2) Пусть CF — высота треугольника ACB (см. рис. 97, б), тогда отрезок CF является также высотой треугольника ACB1. Так как треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся как длины оснований, т. е. SABC S ACBi AB AB1 (1) 3) Пусть отрезок B1O — высота треугольника ACB1, тогда отрезок B1O также высота треугольника AB1C1. Правообладатель Народная асвета Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники 109 Следовательно, площади этих треугольников относятся как длины оснований, т. е. S AC AC. (2) 4) Умножив равенства (1) и (2), получим: Sabc = AB • AC ^AB.C. AB1 • AC1 Так как AB. = A.B., AC. = A.C. и S Sabc AB • AC 'AB1C1 = SA1B1C1, то SA1B1C1 A1B1 • A1C1 Теорема доказана. Теорема 2 (об отношении площадей подобных треугольников). Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Дано: А ABC ~ А A1B1C1, k — коэффициент подобия (рис. 98, а, б). Доказать: S : S = k2 '•^AB^ ‘^A1B1C1 “ • Доказательство. 1) Так как треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1 и коэффициент подобия равен k, то ZA = ZA1, Z B = Z B1, Z C = Z C1 и AB BC B1C1 CA = k. 2) Так как, например, Z B = Z B1, то (по теореме 1) вы- Sabc = AB • BC полняется равенство мы AB = k и BC B1C1 Теорема доказана SA1B1C1 A1 B1 • B1C1 = k, следовательно, . По условию теоре- Sabc S, = k2. A1B1C1 Правообладатель Народная асвета 1 110 Глава 3. Подобные треугольники Рассмотрим пример. Пусть отрезок FT — средняя линия треугольника ABC (рис. 99, а). Треугольник ABC подобен треугольнику TFC с коэффициентом подобия k = 2. Следовательно, по теореме об отношении площадей подоб- SABC ных треугольников имеем, что STFC = 4, т. е. SABC = 4 STFC • Рис. 99 Задача 1. Сумма площадей всех боковых граней правильной треугольной пирамиды DABC равна S. Точки O и F — середины ребер DA и DC соответственно. Найдите площадь треугольника DOF. Решение. 1) Так как отрезок OF — средняя линия треугольника DAC, то треугольник DOF подобен треугольнику DAC с коэффициентом подобия k = 1 (рис. 99, б). 2) Треугольник DOF подобен треугольнику DAC, следовательно, по теореме об отношении площадей подобных треугольников ^SdAL = .4 или Sdof = -4 Sdac . SDAC 4 4 3) По условию DABC — правильная треугольная пирамида, значит, все ее боковые грани — равные равнобедренные S и S = S 3 и Sdof = 12 треугольники. Таким образом, SD^A^C = S и SD^O^F = S. Ответ: S 12 Теорема 3 (о свойстве биссектрисы треугольника). Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону в таком отношении, в каком находятся прилежащие стороны. Правообладатель Народная асвета Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники 111 Доказательство. 1) Пусть AF — биссектриса треугольника Л^О. Докажем, что = ЛВ (рис. 100, а, б). FO АО ^ 2) Пусть АО ± ВО, O е ВО. Тогда отрезок АО — общая высота треугольников ABF и A0F. Следовательно, площади этих треугольников относятся как длины оснований BF и OF, т. е. ' " (1) 1 = Z 2. Следовательно, SAOF BF OF ' 3) Так как AF — биссектриса, то Z по теореме 1 выполняется равенство ^ABF SAOF AB • AF AC • AF AB AO ' (2) BF AB 4) Из равенств (1) и (2) следует, что = ^^^. Теорема доказана. Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABO длины основания AO и боковой стороны BO равны соответственно 2,5 см и 10 см, AF — биссектриса треугольника. Вычислите длины отрезков, на которые точка F делит боковую сторону. Дано: А ABC, AB = BO, AF — биссектриса, BO = 10 см, AO = 2,5 см. Вычислить: BF, FO. Правообладатель Народная асвета 112 Глава 3. Подобные треугольники Решение. 1) Так как отрезок AF — биссектриса, то по теореме 3 мо- жем записать: . Так как А^ = BC, то (рис. FC AC FC AC 101, а, б). 2) Пусть BF = X, тогда FC = 10 - х. Следовательно, имеем AB BF BC равенство = 10 : —. Отсюда получим, что х = 8. 10 - X 2 Таким образом, BF = 8 см и FC = 2 см. Ответ: 8 см, 2 см. Вопросы к § 1 1. Что называется отношением отрезков? 2. Какие треугольники называются подобными? 3. Какое число называется коэффициентом подобия треугольников? 4. Сформулируйте теорему об отношении площадей подобных треугольников. 5. Сформулируйте теорему о свойстве биссектрисы треугольника. Задачи к § 1 280. Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1, ZА = ZА1, Z C = Z C1, BC = 14 см, B1C1 = 7 см, A1C1 = — см. Вычислите длину стороны AC. 281. В треугольнике ABC длины сторон AB и AC равны 12 см и 8 см соответственно, длина стороны FT треугольника FTO равна 6 см. Вычислите длину стороны FO, если треугольник ABC подобен треугольнику FTO, Z A = Z F, Z B = Z T. 282. Длины двух соответствующих сторон подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равны 3 см и 9 см соответственно. Вычислите площадь треугольника A2B2C2, если площадь треугольника A1B1C1 равна 7 см2. 283. Длины сторон треугольника равны 4 см, — см и 7 см. Вычислите длины сторон подобного ему треугольника, периметр которого равен 112 см. 284. Площади двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равны 9 см2 и 16 см2 соответственно. Длина одной из сторон треугольника A1B1C1 равна 3 см. Вычислите длину соответствующей стороны треугольника A2B2C2. Правообладатель Народная асвета X Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники 113 285. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 286. Длины соответствующих сторон подобных треугольников и A2B2C2 равны 4 см и 12 см соответственно. Вычислите периметр треугольника A2B2C2, если периметр треугольника A1B1C1 равен 17 см. 287. В треугольнике ABC отрезок AD является биссектрисой. Вычислите длины отрезков BD и DC, если AB = 14 см, BC = 20 см, AC = 21 см. 288. Вычислите длины двух сторон треугольника, если сумма их длин равна 18 см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 2 : 1. 289. Вычислите длины отрезков, на которые делит гипотенузу прямоугольного треугольника биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, если длины катетов треугольника равны 6 см и 8 см. 290. Длины соответствующих сторон подобных треугольников равны 3 см и 2 см, а сумма их площадей равна 26 см2. Вычислите площади этих треугольников. 291. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, длины которых 20 см и 15 см. Вычислите площадь треугольника. 292. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки, длины которых 20 см и 12 см. Вычислите периметр треугольника. 293. Диагональ AC трапеции ABCD (AD | BC) делит ее на два подобных треугольника ABC и DCA. Вычислите длину диагонали AC, если BC = 4 см, AD = 9 см. 294. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит боковую сторону на отрезки, длины которых равны 30 см и 25 см. Вычислите периметр треугольника. 295. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC биссектриса AD отсекает треугольник CAD, подобный треугольнику CBA. Вычислите градусные меры углов треугольника ABC. Правообладатель Народная асвета § 2. Первый признак подобия треугольников Для того чтобы выяснить, являются ли подобными два треугольника, требуется проверить, равны ли их соответствующие углы и пропорциональны ли лежащие против них стороны. Вместе с тем, оказывается, что существуют другие более рациональные способы установления подобия треугольников. Рассмотрим один из таких способов. Теорема (первый признак подобия). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Дано: ААВС, А AlBlCl, Z A = Z Ai, Z B = Z Bi (рис. 102, а, б). Доказать: А ABC ~ А A1B1C1. Доказательство. Необходимо доказать, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. 1) Докажем, что соответствующие углы равны. По теореме о сумме градусных мер углов треугольника имеем, что Z C = 180° - (ZA + Z B) и Z С1 = 180° - (ZA1 + Z B1). Отсюда следует (с учетом условия теоремы), что Z С = Z С1. Таким образом, углы треугольника ABC соответственно равны углам треугольника A1B1C1. 2) Докажем, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Так как ZA = ZA1 и Z С = Z С1 то Sabc = 'AC^ и S ’A1B1C1 Sa1B1C1 BC • AC B1C1 • AiC1 1-1 Правообладатель Народная асвета S ABC Первый признак подобия треугольников 115 Отсюда следует, что AB BC (1) 3) Аналогично, используя равенства Z A = Z A1, Z B = Z B1 и теорему 1, § 1, главы 3, получим AC AiCi BC BiCi (2) 4) Из равенств (1) и (2) следует, что AB BC AC т. е. соответствующие стороны треугольников ABC и A1B1C1 пропорциональны. Теорема доказана. Рассмотрим пример. Пусть точки T и F лежат соответственно на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что отрезок TF параллелен стороне AC (рис. 103, а). Тогда треугольник TBF подобен треугольнику ABC. Действительно, Z 1 = Z 2 как соответственные при пересечении параллельных прямых TF и AC секущей AB, а Z 3 = Z 4 как соответственные при пересечении параллельных прямых TF и AC секущей BC. Таким образом, треугольник TBF подобен треугольнику ABC по первому признаку подобия. Рис. 103 Рассмотрим еще один пример. Пусть AD и BF — высоты, проведенные соответственно к боковой стороне BC и основанию AC равнобедренного треугольника ABC. Тогда треугольник ADC подобен треугольнику BFC по первому признаку подобия (рис. 103, б). Действительно, у этих треугольников Z 1 — общий, а Z 3 = Z 2 = 90°. Правообладатель Народная асвета 116 Глава 3. Подобные треугольники Задача 1 (обобщенная теорема Фалеса). Докажите, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Рис. 104 Доказательство. 1) Пусть А1, A2, A3 и B1, B2, B3 — точки пересечения параллельных прямых a1, a2, a3 со сторонами угла, вершина В1В2 которого — точка O. Докажем, что (рис. 104, а). 2) Проведем отрезки B1F (F е A2B2) и B2T (T е B^Ag), параллельные прямой OAg. Тогда треугольник B1B2F подобен треугольнику B2B3T по первому признаку подобия. Действительно, Z 1 = Z 2 как соответственные углы при пересечении параллельных прямых B1F и B2T секущей OB3, а Z 3 = Z 4 как соответственные углы при пересечении параллельных прямых а2 и а3 секущей OB3. 3) Из подобия треугольников B1B2F и B2B3T следует, что Bi B B B ^ 2 = -2-3. Кроме того, B1F = A1A2 и B2T = A2A3 как проти- B1F B2T волежащие стороны параллелограммов A1B1FA2 и A2B2TA3. B1B2 = B2B Следовательно, a B1B2 = OB1 Аналогично, можно дока- зать, что OAi 1 Что и требовалось доказать. Задача 2. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, а отрезок DF | AB, AB = 5 см, AC = 15 см (рис. 104, б). Найдите отношение, в котором точка F делит сторону АС, считая от вершины А. Правообладатель Народная асвета Первый признак подобия треугольников 117 Решение. 1) Так как DF | AB, то --=----. ^ DC FC 2) По условию задачи отрезок AD — биссектриса, следовательно, BD = AB = — = i. Таким образом, AF = ^. DC AC Ответ: 1 : 3 15 3 FC Вопросы к § 2 1. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников. 2. Верно ли, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки? 3. Точки А1 и C1 — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Верно ли, что треугольники ABC и A1BC1 подобны? 4. Верно ли, что прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному? Задачи к § 2 296. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка F — середина стороны AB. а) Докажите, что треугольники AFO и ABC подобны. б) Верно ли, что треугольники FBO и ABD подобны? 297. В остроугольном треугольнике ABC отрезки BT и AF — высоты, проведенные соответственно к сторонам AC и BC, пересекаются в точке O (рис. 105, а). а) Докажите, что треугольники ATO и BFO подобны. б) Верно ли, что треугольник BFO подобен треугольнику BTC? 298. Отрезок CF — высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника ACB (рис.105, б). а) Докажите, что треугольник BFC подобен треугольнику BCA. б) Верно ли, что треугольник AFC подобен треугольнику ACB? 299. Точка O лежит на стороне BC, а точка T — на стороне AC треугольника ABC. Отрезки OF и OT параллельны Правообладатель Народная асвета 118 Глава 3. Подобные треугольники б) Рис. 105 соответственно сторонам AC и (рис. 105, в). Докажите, что треугольник FBO подобен треугольнику TOC. 300. Через вершину C параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке F, а прямую AB — в точке O. Докажите, что треугольник FDC подобен треугольнику FAO. 301. Диагонали трапеции ABCD (BC | AD) пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOD и COB подобны. 302. В остроугольном треугольнике ABC отрезки AO и CF — высоты. Докажите, что треугольник AOB подобен треугольнику CFB. 303. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC так, что SABD : SBDC = 1 : 3, а точка F лежит на стороне BC так, что отрезок DF параллелен стороне AB. В каком отношении точка F делит сторону BC, считая от точки C? 304. Точки O, F и T лежат соответственно на сторонах BC, AB и AC треугольника ABC, отрезок FO параллелен стороне AC, а отрезок OT параллелен стороне AB. Докажите, что FB • TC = OT • FO. 305. Диагонали трапеции ABCD (BC | AD) пересекаются в точке O, а площади треугольников BOC и DOA относятся как 1 : 16. Вычислите длину основания AD, если BC = 2 см. Правообладатель Народная асвета Первый признак подобия треугольников 119 306. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O. Вычислите длины оснований трапеции, если их сумма равна 12 см, а SBOC : SDOA = 1 : 9. 307. В прямоугольном треугольнике ACB с прямым углом при вершине C отрезок CF — высота, AF : AC = 1 : 3. Найдите площадь треугольника ACB, если площадь треугольника AFC равна S. 308. Отрезок CD — высота, проведенная к гипотенузе AB прямоугольного треугольника ACB. Докажите, что треугольник ADC подобен треугольнику CDB. 309. В прямоугольном треугольнике ACB с прямым углом при вершине C отрезок CD — высота (рис. 106, а). Вычислите длину отрезка CD, если AB = 100 мм, DB = 64 мм. 310. Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O (рис. 106, б). Вычислите длины отрезков AO и OC, если AC = 20 см, PBOC : PDOA = 2 : 3. б) Рис. 106 в) 311. Точки O, F и T — середины соответственно ребер A1C1, C1B1 и BB1 прямой призмы, основаниями которой служат равносторонние треугольники, а все ребра призмы равны между собой, K = A1F П B1O, D = C1T П CF (рис 106, в). а) Докажите, что треугольник B^FK подобен треугольнику B1OC1. б) Верно ли, что треугольники C^^DF и CC^F подобны? Правообладатель Народная асвета 120 Глава 3. Подобные треугольники 312. Отрезок CF — высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника ACB. Вычислите площадь треугольника ACB, если CF = 6 см, А^ = 3 см. 313. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна его стороне AB, отрезок DF — высота, проведенная из вершины D к стороне BC. Вычислите площадь параллелограмма, если DF = 8 см, FC = 4 см. 314. ABCD — прямоугольная трапеция с прямыми углами при вершинах C и D, у которой диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB. Вычислите площадь трапеции, если BC = 6 см, CD = 12 см. 315. В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и AF — высоты. Докажите, что выполняется равенство OC • AC = FC • BC. 316. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AB, отрезок BO — высота, проведенная из вершины B. Вычислите площадь параллелограмма, если AO = 2 см, AB : AD = 1 : 2. 317. Длины оснований трапеции равны 2 см и 4 см, а ее высота — 3 см. Вычислите расстояния от точки пересечения диагоналей трапеции до прямых, содержащих ее основания. 318. Отрезок CF — высота, проведенная из вершины C прямого угла треугольника ABC. Вычислите длины катетов данного треугольника, если CF = 6 см, AB = 13 см. Правообладатель Народная асвета § 3. Второй и третий признаки подобия треугольников 1. Второй признак подобия треугольников. Докажем второй признак подобия треугольников. Теорема 1 (второй признак подобия). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Дано: А ABC, А A^B^C^, Z A = Z Ai, AB = AC AiBi AiCi (рис. 107, а, б). Доказать: А ABC ~ АA1B1C^. Доказательство. 1) Рассмотрим треугольник AOB, у которого Z 1 = ZA1 и Z 2 = Z B1 (см. рис. 107, а). 2) Треугольники AOB и A1C1B1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Следовательно, AB A1B1 AO A-.C-. AB AC AB AO следует, что 3) Из равенств ^ и A.1B1 .A1C1 A.1B1 A.1C1 AC = AO. 4) Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику ABO по двум сторонам и углу между ними (AB — общая сторона, Z A = Z 1, AC = AO). 5) Из равенства треугольников ABC и ABO следует, что Z B = Z2. Так как Z 2 = Z B1, то Z B = ZB1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников (ZA = ZA1, ZB = ZB1). Теорема доказана. Рассмотрим пример. Пусть точки O и F лежат соответственно на сторонах BC и AC треугольника ABC так, что Правообладатель Народная асвета 122 Глава 3. Подобные треугольники BC = 3BO и AC = 3AF. Тогда треугольники ABC и FOC подобны по второму признаку, так как у них Z C — общий, BC : OC = AC : FC = 3 : 2 (рис. 108, а). Рассмотрим еще один пример. Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямая четырехугольная призма, точки T и Q — лежат на отрезках BB1 и AB1 соответственно так, что BT : TB1 = =AQ : QB1 = 1 : 3. Тогда треугольники AB1B и QB1T, лежащие в грани AA1B1B, подобны по второму признаку подобия (Z 1 — общий, AB1 : QB1 = BB1 : TB1 = 4 : 3) (рис. 108, б). 2. Третий признак подобия треугольников. Докажем третий признак подобия треугольников. Теорема 2 (третий признак подобия). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Дано: А ABC, А A1B1C1, AB = BC = AC A1B1 B1C1 A1C1 (рис. 109, a, б). Доказать: A ABC ~ A A1B1C1. Доказательство. 1) Для доказательства теоремы достаточно доказать, учитывая второй признак подобия треугольников, например, что Z A = Z A1. Правообладатель Народная асвета Второй и третий признаки подобия треугольников 123 2) Рассмотрим треугольник AFB, у которого Z 1 = Zи Z 2 = Z B1. Треугольник ABF подобен треугольнику A1B1C1 по первому признаку подобия треугольников, следовательно, AB BF FA Л1В1 B1C1 C1 Л, 3) Из равенств AB BC B1C1 AC и AB BF FA сле- дует, что BC = BF и AC = AF, значит, А ABC = А ABF (по трем сторонам). 4) Из равенства треугольников ABC и ABF следует, что ZA = Z 1. Так как Z 1 = ZA1, то ZA = ZA1. Теорема доказана. Теперь докажем теорему о свойстве медиан треугольника. Теорема 3 (о свойстве медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. Доказательство. 1) Пусть ABC — произвольный треугольник, AF, BT и CD — медианы треугольника. Докажем, что медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. 2) Обозначим буквой O точку пере- сечения медиан AF ВТ треугольника ABC (рис. 110). Рис- 110 3) Так как отрезок TF — средняя линия треугольника ABC, то TF I AB, а значит, Z 1 = Z 2 и Z 3 = Z 4. Отсюда следует, что треугольник AOB подобен треугольнику FOT по двум углам. 4) Из подобия треугольников AOB и FOT следует, что = AB. Так как отрезок TF — средняя линия, то OF TO TF ^ ^ AB TF = 2 : 1. Таким образом, = 2:1. OF TO Следовательно, точка O пересечения медиан AF и BT делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. 5) Аналогично доказывается, что точка O^ пересечения медиан BT и CD делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая Правообладатель Народная асвета 124 Глава 3. Подобные треугольники от вершины, а значит, она совпадает с точкой O. Таким образом, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке O и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. Теорема доказана. Заметим, что понятие подобия можно определить не только для треугольников, но и для многоугольников. Пусть два н-угольника A1A2A3^An _ 1An и B1B2B3^Bn _ 1Bn такие, что их углы соответственно равны: Z А1 = Z B1, ZA2 = ZB2, ^, ZA^n = ZBn. Тогда стороны A1A2 и B1B2, A2A3 и B2B3,..., A^n_-^A^n и Bn_ 1Bn таких н-угольников называются соответствующими. Определение. Два ге-угольника называются подобными, если между их вершинами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иначе говоря, два н-угольника A1A2^A^n_ 1An и B1B2 ^ Bn_ ]Bn называются подобными, если ZА1 = ZB1, ZA2 = ZB2, ^, A-i An An An An -1 An ZAn = Z Bn и = k. B1B2 B2 B3 Bn-1Bn Число k называется коэффициентом нодобия. Если n-угольник A1A2A3^A^n _ 1 A^n подобен n-угольнику B1B2B3 ^ Bn - 1Bn, то пишут: AjAsA^^An - 1An ~ B1B2Bn^Bn - 1Bn. Например, любые два квадрата являются подобными четырехугольниками. На рисунке 111, а изображены подобные пятиугольники 0А1А2А3А4 и ОВ1В2В3В4, а на рисунке 111, б изображены подобные шестиугольники. Для подобных многоугольников, как и для треугольников, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Правообладатель Народная асвета Второй и третий признаки подобия треугольников 125 Задача 1. Докажите, что отношение площадей подобных п-угольников равно квадрату коэффициента подобия. Рис. 112 Доказательство. 1) Для определенности доказательство проведем для по- добных пятиугольников A^CDF и A1B1C1D1F1. Пусть их коэффициент подобия равен k (рис. 112, а, б). Докажем, что Ч • Ч — k2 '•^ABCD^ '•^A1B1C1D1F1 ~ • 2) Из соответствующих друг другу вершин C и С^_ проведем диагонали CA, CF и CiAj_, C1F1. Каждый из многоугольников разбивается на три треугольника. 3) Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1 по второму признаку подобия треугольников. Действительно, Z B — Z B1 как углы подобных пятиугольников ABCDF и A1B1C1DF l, AB BC — k. A1B1 B1C1 Аналогично можно доказать, что треугольник CDF подобен треугольнику C1D1F1 с коэффициентом подобия k. 4) Треугольник ACF подобен треугольнику A1C1F1 по второму признаку подобия. В самом деле, Z 1 — Z BAF - Z 2, Z 3 — Z B1A1F1 - Z 4. Из подобия пятиугольников следует, что Z BAF — Z B1A1F1. Так как треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то Z 2 — Z 4. Таким образом, Z 1 — Z 3. Кроме того, из подобия данных многоугольников и треугольников ABC и A1B1C1 следует, что AC CF — k. 5) Так как пятиугольник ABCDF является объединением треугольников ABC, ACF и CDF, которые не имеют общих внутренних точек, то SABCDF — SABC + SACF + SCDF. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффи- Правообладатель Народная асвета 126 Глава 3. Подобные треугольники циента подобия, следовательно, S — k2 S S — h2S AB^ ^ ^ '•^ACF — п, A1C1F1 И SCDF — k SCiDiFi ' Таким образом, S — k2 S + '^ABCDF ‘“’AiBiCi ^ + kSA1C1F1 + т. е. S ClDiFi — k2 (S AiBiCi + S AiCiFi + S. CiDiFi — k^S AiBiCiDiFi • ABCDF • SAiBiCiDiFi — k^. Что и требовалось доказать. : S, Задача 2. Длина стороны AC треугольника ABC равна i2 см. Отрезок DF проходит через точку O пересечения медиан треугольника и параллелен стороне AC, при этом D е AB и F е BC. Вычислите длину отрезка DF. Дано: ААВС, O — точка пересечения медиан, DF I AC, O е DF, AC — i2 см (рис. ii3, а, б). Вычислить: DF. Решение. Для решения задачи можем воспользоваться первым признаком подобия треугольников и тем, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан в отношении 2 : i, считая от вершины. 1) Треугольник ABC подобен треугольнику DBF по двум углам (ZABC — общий, Z i — Z BCA как соответственные углы при пересечении параллельных прямых DF и AC секущей BC). 2) Из подобия треугольников ABC и DBF следует, что BD : BA — BF : BC — DF : AC. 3) Так как точка O — точка пересечения медиан, то BO : OQ — 2 : i. Из обобщенной теоремы Фалеса (задача 1, § 2, глава 3) следует, что BD : DA — BO : OQ — 2 : i. Таким образом, BD : BA — 2 : 3. 4) Так как DF : AC — BD : BA — 2 : 3, то DF — 2 AC — 2 • i2 — — 8 (см). Ответ: 8 см. Правообладатель Народная асвета Второй и третий признаки подобия треугольников 127 Задача 3. Основанием правильной треугольной пирамиды DABC служит равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 24 см, а длина бокового ребра пирамиды — 15 см. Вычислите длину отрезка DO, где O — точка пересечения медиан грани DCB. Д ап о: DABC — правильная пирамида (рис. 114, а, б), T е CB, CT = TB, F е DB, DF = FB, O = DT П CF, СВ = 24 см, DB = 15 см. Вычислить: DO. Решение. Воспользуемся тем, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины. Таким образом, для решения задачи необходимо прежде всего вычислить длину соответствующей медианы. 1) Каждая боковая грань правильной треугольной пирамиды является равнобедренным треугольником. Медиана DT равнобедренного треугольника DCB, проведенная к его основанию BC, является высотой. Поэтому в прямоугольном треугольнике DTB длина катета DT = \1 DB2 - BT^ = ^152^122 = 9 (см). 2) Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, то DO : OT = 2 : 1. А это значит, что DO = — DT = — ■ 9 = 6 (см). Ответ: 6 см. Вопросы к § 3 1. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников. 2. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треугольников. Правообладатель Народная асвета 128 Глава 3. Подобные треугольники 3. Верно ли, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке? 4. В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан? Задачи к § 3 319. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что = DO. Докажите, что Z CBO = Z DAO. OB OC ^ 320. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точки F и T лежат соответственно на отрезках OC и OD так, что CF : FO = 1 : 3 и DT : TO = 1 : 3 (рис. 115, а). Докажите, что треугольники AOB и FOT подобны. 321. Четырехугольник ABCD — трапеция, диагонали которой пересекаются в точке O. Точки F и E лежат соответственно на отрезках OD и OA так, что OF = 2BO и OE = 2CO (рис. 115, б). Верно ли, что треугольники BOC и FOE подобны? б) Рис. 115 в) 322. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точки F и E лежат соответственно на лучах OC и OD так, что OC : CF = OD : DE = 2 : 1 (рис. 115, в). Докажите, что Z BAO = Z EFO. 323. Отрезки AO и CF — биссектрисы углов A и C при основании равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что треугольники ABC и FBO являются подобными. Правообладатель Народная асвета Второй и третий признаки подобия треугольников 129 324. Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что прямые BC и AD параллельны, если BO = 16 см, AO = 30 см, AC = 54 см и DO = 20 см. 325. В треугольнике ABC AB = 12 см, AC = 24 см, BC = 16 см. Точки O и F лежат соответственно на лучах AB и CB так, что BF = 6 см и BO = 8 см. Вычислите длину отрезка FO. 326. Точки O и F лежат соответственно на сторонах AB и BC треугольника ABC. Докажите, что прямые FO и AC параллельны, если AB = 48 см, CB = 32 см, AO = 18 см, BF = 20 см. 327. В прямоугольном треугольнике ACB с прямым углом C длины катетов равны 5 см и 12 см, а длины гипотенузы и катета прямоугольного треугольника A1C1B1 (Z C1 = 90°) равны соответственно 26 см и 10 см. Докажите, что треугольники ACB и A1C1B1 подобны. 328. Медианы AF и BT треугольника ABC пересекаются в точке O. Отрезки BD и OE — высоты треугольников ABC и AOT соответственно (рис. 116, а). Докажите, что BD = 3OE. Рис. 116 329. Точка F — середина стороны AD прямоугольника ABCD, диагональ BD и отрезок CF пересекаются в точке O. Вычислите длины перпендикуляров OT и OE, проведенных Правообладатель Народная асвета 130 Глава 3. Подобные треугольники из точки O соответственно к сторонам CD и AD прямоугольника, если AB = 12 см и BC = 9 см (рис. 116, б). 330. Точки В1 и С1 лежат соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC. Медианы ВО и B1O1 треугольников ABC и AB1C1 параллельны. Докажите, что треугольники BOC и B1O1C1 подобны. 331. В равностороннем треугольнике ABC отрезок FT проходит через точку O пересечения медиан и параллелен стороне AC (рис. 117, а). Вычислите площадь четырехугольника AFTC, если длина стороны треугольника ABC равна 243 см. Рис. 117 332. DABC — тетраэдр, O — точка пересечения медиан DF и CT грани ADC (рис. 117, б). Вычислите длину пространственной трехзвенной ломаной CTBD, если OF = 43 см. 333. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 25 см, а длина его основания — 14 см. Вычислите расстояния от точки пересечения медиан треугольника до его вершин. 334. Длины сторон AB и BC прямоугольника ABCD равны соответственно 3 см и 3/2 см. Точка K — середина стороны AD, отрезок BK пересекается с диагональю AC в точке T. Докажите, что треугольник ATK является прямоугольным. Правообладатель Народная асвета Второй и третий признаки подобия треугольников 131 335. ABCD — ромб с острым углом A в 60°. Точка F — середина стороны BC. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке O. Вычислите длины отрезков BO и OD, если AB = 6 см. 336. Сторона ромба ABCD равна его меньшей диагонали AC. Найдите расстояние между точками пересечения медиан треугольников ABC и ACD, если AB = а. 337. Взаимно перпендикулярные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, при этом AO = 10B , OD = 4OC. Вычислите градусную меру угла ACO, если Z DBO = 37° 338. Длины сторон одного пятиугольника равны 6 см, 8 см, 7 см, 12 см и 11 см. Меньшая сторона подобного ему пятиугольника равна 18 см. Вычислите длины других сторон этого пятиугольника. 339. В четырехугольнике ABCD AB = 24 см, BC = 18 см, CD = 30 см, AD = 36 см. Вычислите длины сторон подобного ему четырехугольника, периметр которого равен 324 см. 340. Докажите, что отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. 341. Отрезок CF — биссектриса треугольника ABC, отрезок FO (O е BC) параллелен стороне AC. Вычислите длину отрезка FO, если AC = 300 см, BC = 100 см. 342. Длина основания AC равнобедренного треугольника ABC равна 8 см, а длина его боковой стороны — 12 см, отрезки CE и AF — биссектрисы треугольника. Вычислите длину отрезка EF. 343. Точки O, F и T лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC так, что OF | AC и OT | BC. Найдите площадь треугольника ABC, если SOBF = S1, SAOT = S2. 344. В равнобедренном треугольнике ABC, основание которого AC, через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная основанию. Эта прямая пересекает сто- Правообладатель Народная асвета 132 Глава 3. Подобные треугольники роны AB и BC соответственно в точках K и T. Вычислите длины отрезков, на которые точка K делит сторону AB, если KT = 6 см, SABC = 27 см2. 345. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высоты BF и AD. Вычислите площадь треугольника FDC, если FC : DC = 3 : 2 и SABC = 1 см2. 346. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны BC. Отрезок AK пересекает диагональ BD в точке O. Вычислите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника BOK равна 2 см2. 347. Длины сторон треугольника равны а и b, а градусная мера угла между этими сторонами равна 120°. Найдите длину биссектрисы этого угла треугольника. 348. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см. Высота, проведенная к боковой стороне, отсекает от нее отрезок длиной 2 см, если считать от основания. Вычислите длины сторон треугольника. Правообладатель Народная асвета § 4. Применение подобия к решению задач 1. Свойства высоты прямоугольного треугольника. Рассмотрим применение подобия при решении задач. Задача 1. Докажите, что высота CD, проведенная к гипотенузе AB прямоугольного треугольника ACB, делит его на два треугольника, подобных данному. Дано: ААВС, Z ACB = 90°, CD 1AB, D е AB (рис. 118, а, б). Доказать: А ADC ~ А ACB, А CDB ~ А ACB. Доказательство. 1) Докажем, что АADC ^ АACB. Треугольники ADC и ACB подобны по первому признаку подобия треугольников, так как Z A — общий и Z ADC = Z ACB = 90°. 2) Докажем, что А CDB АACB. Треугольники CDB и ACB подобны по первому признаку треугольников, так как Z B — общий и Z BDC = Z ACB = 90°. Задача 2. Докажите, что высота CD, проведенная к гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, делит его на два подобных треугольника. Дано: А ABC, Z ACB = 90°, CD 1 AB, D е AB (рис. 119, а, б). Доказать: АADC ~ А CDB. Правообладатель Народная асвета 134 Глава 3. Подобные треугольники Доказательство. Треугольник ADC подобен треугольнику CDB по первому признаку подобия треугольников, так как ZADC = Z CDB = 90° и Z CAD = Z BCD (каждый из этих углов равен 90° - Z CBD). Задача 3. Докажите, что квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу. Дано: ААВС, Z ACB = 90°, CD 1AB, D е AB (рис. 120, а, б). Доказать: 1) AC2 = AD • AB. 2) BC2 = BD • AB. а) Рис. 120 б) Доказательство. 1) Треугольник ADC подобен треугольнику ACB, следова- 1ьно, , т. е. AC2 = AD • AB. ^ AB AC" 2) Треугольник BDC подобен треугольнику BCA. Отсюда = BR, т. е. BC^ = BD • AB. AB BC ’ следует, что Задача 4. Докажите, что квадрат высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, равен произведению длин проекций катетов на гипотенузу. Дано: ААВС, Z ACB = 90°, CD 1 AB, D е AB (рис. 121, а, б). Доказать: CD2 = AD • DB. Правообладатель Народная асвета Применение подобия к решению задач 135 Доказательство. Треугольник ADC подобен треугольнику CDB, следовательно, AD = CD. Отсюда получим, что CD^ = A^ • DB. Или CD = ad • DB, т. е. CD — среднее геометрическое AD и DB. Задача 5. Вычислите периметр прямоугольного треугольника, если длины проекций его катетов на гипотенузу равны 18 32 — см и — см. 5 5 Рис. 122 Решение. 1) Пусть ACB — прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB, CF ± AB, F е AB. Тогда по 18 32 условию задачи BF = — см, FA = — см (рис. 122, а, б). 55 2) Так как квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин проекций катетов на гипотенузу, то CF2 = AF • FB или CF = I18 ■ 32 = (см). 5 5 5 3) В прямоугольном треугольнике CFB длина гипотенузы CB = VbF2 + CF2 = 6 (см). 4) В прямоугольном треугольнике CFA длина гипотенузы CA = s/fA^+CF2 = 8 (см). 5) Таким образом, PABC = AB + CB + CA = 10 + 6 + 8 = 24 (см). Ответ: 24 см. 2. Задачи на построение. Рассмотрим примеры решения задач на построение. Правообладатель Народная асвета 136 Глава 3. Подобные треугольники Задача 1. Разделите отрезок AB в отношении m : n, считая от точки A, где m и n — данные отрезки. Рис. 123 Поиск решения. Предположим, что точка 01 делит отрезок AB в таком отношении, в котором находятся данные отрезки, т. е. A01 : 01B = m : n (рис. 123, а). На луче AT таком, что угол BAT не является развернутым, отложим отрезки AF1 = m, F1D1 = n и проведем отрезки F101, BD1. Тогда треугольники A01F1 и ABD1 подобны по второму признаку (Z A — общий, A01 = AFi = m ) AB ADi m + n Из подобия треугольников A01F1 и ABD1 следует, что 0iFi I DiB. Воспользуемся этим фактом для осуществления необходимых построений. Построение. 1) Проводим луч AT (рис. 123, б). 2) На луче AT последовательно отложим отрезки AF = m и FD = n. Проведем отрезок DB (см. рис. 123, б). 3) Через точку F проведем прямую l, параллельную отрезку BD, и отметим точку 0 ее пересечения с отрезком AB (рис. 123, в). Точка 0 делит отрезок AB в нужном отношении, т. е. A0 : 0B = m : n. Докажем это. Доказательство. 1) По построению F0 | BD. 2) Так как F0 | BD, то AF : FD = A0 : 0B. 3) По построению AF = m и FD = n, значит, A0 : 0B = = m : n. Правообладатель Народная асвета Применение подобия к решению задач 137 Задача 2. Разделите отрезок в отношении 2 : 1, считая от точки А. Рис. 124 Поиск p ешения. Предположим, что точка F1 делит отрезок А^ в отношении 2 : 1, т. е. А^1 : F1B = 2 : 1 (рис. 124, а). На произвольном луче AT таком, что угол BAT не является развернутым, от точки А последовательно отложим три равных отрезка АО = а, OD = а, DC = а и проведем отрезки CB и DF1. Треугольник DAF1 подобен треугольнику САВ по второму признаку по- добия ( ZА — общий, = 2 \ ^ ’ АВ АС 3 Из подобия этих тре- угольников следует, что DF1 | СВ. Теперь выполним построение. Построение. 1) На луче АТ отложим последовательно три отрезка, равные некоторому произвольному отрезку а: АО = а, OD = а, DC = а. Проведем отрезок СВ (рис. 124, б). 2) Через точку D проведем прямую l, параллельную отрезку СВ, и отметим точку F пересечения этой прямой с отрезком АВ. Точка F делит отрезок АВ в отношении 2 : 1, считая от точки А, т. е. АТ : FB = 2 : 1 (рис. 124, в). Докажем это. Доказательство. 1) По построению DF | СВ. Отсюда следует, что AF : FB = АВ : DC. 2) Кроме того, по построению AD : DC = 2а : а = 2 : 1. Следовательно, АВ : FB = 2 : 1. Правообладатель Народная асвета 138 Глава 3. Подобные треугольники Задача 3. Постройте треугольник A^C по углам а и в при вершинах A и B соответственно и медиане т, проведенной из вершины C. а) в) б) Рис. 125 Поиск решения. Предположим, что задача решена и треугольник ABC, удовлетворяющий условию задачи, построен, т. е. Z CAB = а, Z CBA = в, AD = DB, CD = т (рис. 125, а). Проведем отрезок A1B1, параллельный стороне AB, A1 е CA, В1 е CB. Пусть D1 = CD П A1B1. Тогда треугольник A1CB1 подобен треугольнику ACB и Z CA1B1 = а, Z CB1A1 = в. Кроме того, отрезок CD1 — медиана треугольника A1CB1. Таким образом, искомый треугольник ACB подобен треугольнику A1CB1 и AB IA1B1. Точка D лежит на луче CD1 так, что CD = т (D е AB). Воспользуемся этим для построения треугольника ABC. Построение. 1) Отложим произвольный отрезок A1B1 и построим треугольник A1CB1, у которого Z CA1B1 = а и Z CB1A1 = в (см. рис. 125, б). 2) Делим отрезок A1B1 пополам, отметим середину D1, проведем медиану CD1. На луче CD1 отложим отрезок CD = т (см. рис. 125, б). 3) Через точку D проведем прямую l, параллельную отрезку A1B1, и отметим точки A, B пересечения этой прямой с лучами CA1 и CB1 соответственно (см. рис. 125, в). Треугольник ABC удовлетворяет условию задачи. Докажем это. Правообладатель Народная асвета Применение подобия к решению задач 139 Доказательство. 1) По построению Z CA^B^ = а и Z CB^A^ = в и А^ | A^B^. Следовательно, Z CAB = Z CA1B1 = а и Z CBA = Z CB1A1 = в. 2) По построению отрезок CD1 — медиана треугольника CA1B1, т. е. A1D1 = D1B1. Так как AB I A1B1, то AD : DB = =A1D1 : D1B1 = 1 : 1, т. е. отрезок CD — медиана треугольника CAB. Кроме того, по построению CD = m. Таким образом, треугольник ACB удовлетворяет всем условиям задачи. Задача 4. Постройте треугольник ABC, у которого угол A равен данному углу а, высота, проведенная из вершины A^, равна данному отрезку h и AB : AC = m : n, где m, n — данные отрезки. б) Рис. 126 Поиск решения. Предположим, что задача решена и треугольник ABC, удовлетворяющий условию задачи, построен, т. е. Z BAC = а, AB : AC = m : n, AF Z BC, F e BC, AF = h (рис. 126, а). На лучах AB и AC отложим отрезки AB1 = m и AC1 = n. Тогда треугольник AB1C1 подобен треугольнику ABC, так как у них ZA — общий и AB : AB1 = AC : AC1. Отсюда следует, что BC I B1C1 и BC проходит через точку F, лежащую на луче AF1, где AF1 — высота треугольника AB1C1. Теперь осуществим построение. Построение. 1) Строим треугольник AB1C1 по сторонам AB1 = m, AC1 = n и углу между ними а (рис. 126, б). 2) Строим высоту AF1 треугольника AB1C1 и на луче AF1 отложим отрезок AF = h (рис. 126, б). Правообладатель Народная асвета 140 Глава 3. Подобные треугольники 3) Через точку F проведем прямую l, параллельную отрезку В-^С-^ и отметим точки B, C пересечения этой прямой с лучами ABi и ACi соответственно (рис. 126, в). Треугольник ABC — искомый. Докажем, что построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Доказательство. 1) По построению Z BAC = а. 2) Так как по построению BC | B1C1, то = AFL. Кроме того, по построению AB1 = m и AC1 = n. AB, AB AB1 AC AC-. или AC AC1 Следовательно, m. 3) Отрезок AF A BC, так как по построению AF1 А B1C1 и BC I B1C1. По построению AF = h. Таким образом, высота AF треугольника ABC равна h. Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. 3. Задачи практического характера. В практической деятельности человека часто возникает необходимость в нахождении расстояний между объектами и высот зданий не непосредственным измерением, а с помощью вычислений, при которых используются свойства подобных треугольников. Рассмотрим некоторые практические задачи. 1. Нахождение расстояния между объектами на местности. Рассмотрим задачу нахождения расстояния между двумя деревьями A и B, невозможность нахождения которого непосредственно обусловлена рельефом местности (рис. 127, а). Рис. 127 Правообладатель Народная асвета Применение подобия к решению задач 141 Например, найти расстояние между деревьями можно следующим образом. 1) Выбрать на местности некоторую точку O так, чтобы расстояние между этой точкой и точками A и B можно было измерить. 2) Предположим, что OA = 200 м и OB = 300 м. На лучах OA1 и OB1 отложим соответственно, например, отрезки OA1 = 1OA = 40 (м) и OB-^ = 1 OB = 60 м. Измерим расстоя- 5 5 ние A1B1. Допустим A1B1 = 30 м. 3) Треугольник A1OB1 подобен треугольнику AOB, так как у них Z O — общий и = ^. Следовательно, OBi OA OB A1B1 -^1B1 = 1 и AB = 5A1B1 = 150 (м). AB 5 11 ^ ^ 2. Определение высоты предмета. Предположим, что нам нужно определить высоту дерева (рис. 127, б). Нахождение высоты дерева можно осуществить следующим образом. 1) На некотором расстоянии от дерева поставить вертикально шест A1B1 с вращающейся планкой. Направить планку на верхнюю точку B дерева и отметить на поверхности земли точку O, в которой прямая BB1 пересекает поверхность земли. 2) Измерить высоту шеста A1B1, а также расстояния OA и OA1. 3) Треугольник OAB подобен треугольнику OA1B1, так как Z OA1B1 = Z OAB = 90° и Z O — общий. Следовательно, A1B1 OA1 ^ „ A1B1 • OA 1 ^ - -. Отсюда получим, что AB = 11 AB OA OA1 Вопросы к § 4 1. Верно ли, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику? 2. Верно ли, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника? Правообладатель Народная асвета 142 Глава 3. Подобные треугольники 3. Верно ли, что квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу? 4. Чему равен квадрат высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника? Задачи к § 4 349. В прямоугольном треугольнике ABC длина катета BC равна 13 см, а высота CD, проведенная к гипотенузе А^, равна 12 см. Вычислите длину проекции катета BC на гипотенузу и длину катета AC. 350. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 5 см, а длина одного из катетов — 13 см. Вычислите длину гипотенузы треугольника. 351. В прямоугольнике ABCD длина стороны CD равна 5 см, а длина перпендикуляра DF, проведенного из вершины D к диагонали AC, равна 3 см (рис. 128, а). Вычислите периметр прямоугольника. Рис. 128 352. Высота AD, проведенная к боковой стороне CB равнобедренного треугольника ABC, делит эту сторону в отношении 1 : 3, считая от вершины B. Вычислите длину отрезка DF (F е AB), параллельного высоте CO, если AB = 24 см (рис. 128, б). 353. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Отрезок BO служит диаметром окружности, которая пересе- Правообладатель Народная асвета Применение подобия к решению задач 143 кает сторону BC в точке E. Вычислите площадь ромба, если OE = 12 см и AC = 30 см. 354. На рисунке 129, а изображена развертка прямой призмы ABCA1B1C1 (рис. 129, б), основаниями которой служат прямоугольные треугольники A1C1B1 и ACB (ZACB = 90°). Представление о такой призме дают модели, которые получаются при распиливании модели прямоугольного параллелепипеда вдоль ребра, как показано на рисунке 129, в, г. Вычислите площадь грани AA1B1B, если высота C1F1 треугольника A1C1B1 равна 6 см, F1B1 = 9 см, а площадь грани CC1B1B равна 3^/Т3 см2. в) Рис. 129 355. Данный отрезок AB разделите в отношении 1 : 2 : 4. 356. Постройте треугольник ABC по углам а и в при вершинах A и B и высоте h, проведенной из вершины C. Правообладатель Народная асвета 144 Глава 3. Подобные треугольники 357. Постройте треугольник АВС по углам а и в при вершинах А и B соответственно и биссектрисе с, проведенной из вершины C. 358. Постройте треугольник АВС по данному углу C, отношению сторон СА : СВ = 2 : 3 и биссектрисе т, проведенной из вершины С. 359. Постройте ромб, диагонали которого относятся как т : п, где т, n — данные отрезки, а сторона равна данному отрезку а. 360. Отрезок АВ — диаметр окружности, точка С — точка, лежащая на окружности, СВ — перпендикуляр, проведенный из точки С к прямой АВ. Вычислите площадь треугольника АВС, если FB = 9 см и СВ = 4 см. 361. Сторона АВ прямоугольника АВСВ является диаметром окружности, которая пересекает диагональ ВВ прямоугольника в точке K так, что DK : КВ = 1 : 3. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к диагонали ВВ, равна 6 см. Вычислите площадь прямоугольника. 362. Длина средней линии равнобедренной трапеции равна 9 см, а ее плошадь — 54 см2. Вычислите длины оснований трапеции, если диагонали трапеции перпендикулярны боковым сторонам. 363. Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами р1 и p2. Найдите периметр данного треугольника. 364. Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники, у которых радиусы вписанных окружностей равны г1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник. 365. Высота СВ, проведенная из вершины прямого угла треугольника АСВ к гипотенузе А.В, в три раза меньше катета СВ. Найдите длину медианы FT треугольника АВС, если АВ = а. Правообладатель Народная асвета § 5. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла прямоугольного треугольника. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C. Катет BC является противолежащим углу A, а катет AC — прилежащим к этому углу. Катет BC является прилежащим к углу B, а катет AC — противолежащим углу B (рис. 130, а, б). Рис. 130 Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла а обозначается sin а (читается «синус альфа»). Для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C: sin A = , sin B = AC A^’ AB Отсюда получим, что длина катета, противолежащего углу, равна произведению длины гипотенузы на синус этого угла: BC = AB sinA, AC = AB sin B. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается cos а (читается «косинус альфа»). Для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C: cos A = , cos B = . AB AB Правообладатель Народная асвета 146 Глава 3. Подобные треугольники Отсюда следует, что длина катета, прилежащего к углу, равна произведению длины гипотенузы на косинус этого угла: AC = AB cos A, BC = AB cos B. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс угла а обозначается tg а ( читается «тангенс альфа»). В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C: tg A = , tg B = . ® AC^ ^ BC Заметим, что tg A = BC BC : AC_ AB ■ AB sin A, tg B = sin B AC AB AB cos A cos B Отсюда следует, что длина катета, противолежащего углу, равна произведению длины другого катета на тангенс этого угла: BC = AC tg A, AC = BC tg B. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс угла а обозначается ctg а (читается «котангенс альфа»). В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C: ctg A ^, ctg B = ^ • Заметим, что ctg A = -cosA, ctg B = -cosB. sin A sin B Отсюда получим, что длина катета, прилежащего к углу, равна произведению длины другого катета на котангенс этого угла: AC = BC ctg A, BC = AC ctg B. Теорема 1. Если ABC и A-^B-^C^ — два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и С1 такие, что Z A = Z A]_, то sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1 и ctg A = ctg A1. Доказательство. 1) Из условия теоремы следует, что треугольники ABC и A1B1C1 являются подобными по первому признаку подобия. 2) Из подобия треугольников ABC и A1B1C1 следует, что AB BC CA выполняются равенства ---=-----=-----. Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 147 3) Из равенства sin A = sin A^. 4) Из равенств cos A = cos A]_. 5) Из равенств AB BC A1B1 B1C1 AB CA A1B1 C1A1 BC CA B1C1 C1A1 следует, что получим, что получим, что BC AB CA AB BC CA BiCi AiBi BiCi т. е. т. е. т. е. tgA = tgA1. Отсюда вытекает, что ctgA = ctgA1. Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что в прямоугольном треугольнике отношение двух сторон не зависит от их длин, а зависит лишь от величины острого угла. Каждому значению острого угла а соответствует только одно значение sin а, cos а, tg а, ctg а этого угла, так как в прямоугольном треугольнике для каждого угла, независимо от длин его сторон, можно найти единственное отношение. Таким образом по определению функции получаем, что sin а, cos а, tg а, ctg а являются функциями угла а. Эти функции называются тригонометрическими функциями, так как связаны с измерениями в треугольнике. Рассмотрим примеры. Пусть необходимо найти площадь прямоугольника ABCD, у которого диагональ AC = m и образует со стороной CD угол, равный а (рис. 131, а). Катет AD лежит против угла а, следовательно, его длина равна произведению длины гипотенузы на синус этого угла, т. е. AD = m sin а. Длина прилежащего к углу а катета CD равна произведению длины гипотенузы на косинус этого угла, т. е. CD = m cos а. Таким образом, SABCD = AD • CD = m2 sin а cos а. Рис. 131 Правообладатель Народная асвета 148 Глава 3. Подобные треугольники Пусть требуется найти площадь боковой грани прямой четырехугольной призмы ABCDA^B^C^D^, основаниями которой служат квадраты ABCD и A^B^CiD^, если известно, что SABCD = Q, а диагональ AB1 боковой грани образует с ребром A1B1 основания угол, равный в ( рис. 131, б). Данная призма прямая, а ее основаниями служат квадраты, значит, все боковые грани призмы являются равными прямоугольниками. Таким образом, Saa^bb = AA1 • A1B1. Так как Sa^b^Cd^ = Q, то A1B1 = -JQ. В прямоугольном треугольнике AA1B1 угол A1B1A равен в, следовательно, длина противолежащего ему катета AA1 = ^JQtgв. Получим SAA1B1B = Q tg в. 2. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 60° и 45°. I. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла 30°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник, у которого угол C — прямой, Z A = 30°, Z B = 60° (рис. 132, а). Рис. 132 BC 1) Имеем sin 30° = sin A = -^. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, = —. Таким образом, sin 30° = 1. 2) cos 30° = cos A = AC. Из теоремы Пифагора следует, что AC = ^ABA-bC2 = ^|AB2^-^AB^ = . Значит, cos 30° = = A^\fs : AB = ~ 2 ■ “ 2 . Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 149 3) Теперь найдем тангенс и котангенс угла 30°: tg 30° = sin30° = 1-Л = 1 =л, ctg 30° = ^2S301 = Vs. cos 30° 2 2 J3 ^ ^ ^ sin30° II. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла 60°. AC 1) Можем записать, что sin 60° = sin B = . Так как ^ ’ AB AC = AB^, следовательно, sin 60° = AC : AB = A^^ : AB = = 2/3 2 ■ 2) cos 60° = cos B = . Поскольку BC = , то cos 60° = AB = BC = AB : AB = 1 AB 2 - 2. 3) tg 60° = sin60° ^/3 : 1 ^/3; ctg 60° = cos60° = ^ cos60° 2 2 sin60° III. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла 45°. Пусть ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом C (рис. 132, б). В этом треугольнике AC = BC, ZA = ZB = 45°. 1) sin 45° = sin A = BC. По теореме Пифагора AB2 = =AC2 + BC2 = 2BC2. Следовательно, BC = AC = AB. Таким об- г '^2 разом, sin 45° = AB : AB = i = —. v2 v2 2 2) cos 45° = cos A = AB = AB : ab = ^. ’ AB 4/22 3) tg45° = = 1, ctg 45° = ^osi5: = 1. ’ ^ cos 45° 2 2^^ sin 45° 3. Основное тригонометрическое тождество. Докажем, что для острого угла а справедливо следующее равенство: sin2 а + cos2 а = 1. Пусть в прямоугольном треугольнике ACB(Z C = 90°) и Z A = а. Так как sin а = ВВ и cos а = ZIZ, то sin2 а = BC 2 и cos2 а = AC BC 2 AB AB AC2 AB2 . Таким образом, sin2 а + cos2 а = AB2 BC2 , AC2 BC2 + AC2 AB2 По теореме Пифагора BC2 + AC2 = AB2. Следовательно, si-n2 а + cos2 а = 1. Равенство sin2 а + cos2 а = 1 называется основным тригонометрическим тождеством. Правообладатель Народная асвета AB2 AB2 150 Глава 3. Подобные треугольники 4. Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании острого угла. Заметим, что sin 30° < sin 45° < sin 60°, а cos 30° > cos 45° > cos 60°. Таким образом, можем предположить, что при увеличении острого угла синус этого угла увеличивается, а косинус угла уменьшается. Докажем следующее утверждение. Теорема 2. Пр~и возрастании острого угла синус этого угла увеличивается, а косинус уменьшается. Доказательство. I. Докажем, что при возрастании острого угла синус этого угла увеличивается. 1) Пусть АВС — пр5шоугольный треугольник с прямым углом C (рис. 133). Пусть точка O — внутренняя точка катета BC, Z BAC = в, Z OAC = а. Заметим, что в > а. 2) Пусть ZAOC = Y и ZABC = 5. Так как Y — внешний угол треугольника AOB, то Y > 5. 3) Докажем, что sin y > sin 5. Так как sin Y = AC AO AC и sin 5 =-, то нуж- AB’ ^ и AC AC но доказать, что >—. AO AB 4) По теореме Пифагора имеем, что AO = \1 AC'2 + CO AB = \JAC'2 + CB2 . Так как CO < CB, то AO < AB. 5) Так как дроби AC и AC имеют равные числители, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй дро- AC AC би, то > -^, т. е. sin Y > sin 5. Таким образом, y > 5 , а si- n Y > sin 5. Что и требовалось доказать. II. Докажем, что при возрастании острого угла косинус угла уменьшается. 1) Имеем в > а. Докажем, что cos в < cos а. Так как PAC AC AC AC =--- и cos а =--, то нужно доказать, что - < --. AB AO AB AO Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 151 2) Дроби AC и имеют равные числители, а знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби, то , т. е. cos В < cos а. AB AO’ ^ Аналогично можно доказать, что при возрастании острого угла тангенс угла увеличивается, а котангенс уменьшается. Замечание. Из теоремы 2 следует, что каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный угол. Ранее уже было отмечено, что значению градусной меры угла соответствует единственное значение каждой тригонометрической функции. Значение тригонометрической функции по градусной мере угла или градусную меру угла по значению тригонометрической функции можно находить с помощью таблицы (см. Приложение) или с помощью микрокалькулятора. Например, если угол а = 28°, то, воспользовавшись таблицей, найдем, что sin 28° « 0,46947, а cos 28° « 0,88295. Если sin а « 0,60182, тогда угол а « 37°. 5. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°. Определим синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0°до 180°. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Oxy и ra(O, R) — окружность с центром в точке O и радиуса R. Пусть а — градусная мера угла, сторонами которого служат лучи Ox и OM, где M — произвольная точка верхней полуокружности, (x; у) — координаты этой точки (рис. 134, а, б). Рис. 134 б) Правообладатель Народная асвета 152 Глава 3. Подобные треугольники Синусом угла а называется отношение ординаты точки M к радиусу окружности га(0, R), т. е. sin а = У. Из определения следует, что sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0. Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки M к радиусу окружности ra(O, R), т. е. cos а = x. R В силу определения ясно, что cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = -1. Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки M к ее абсциссе, т. е. tg а = У, x ф 0. x Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки M к ее ординате, т. е. ctg а = x, у ф 0. Для угла а справедливо основное тригонометрическое тождество: sin2 а + cos2 а = 1. Действительно, sin а = у, cos а = x, R R 2 2 следовательно, sin2 а + cos2 а = ^Уj2 + ^Уj2 = x +2У . Так как X2 + у2 = R2, то получим, что sin2 а + cos2 а = 1. Заметим, что данные здесь определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла от 0° до 180° в случае, если угол а острый, равносильны определениям, данным в пункте 1 данного параграфа. Докажем это, например, для синуса угла. Пусть точка F — основание перпендикуляра, проведенного из точки M к оси Ox. Тогда в прямоугольном треугольнике OFM катет MF = у, а гипотенуза OM = R (см. рис. 134, а). Следовательно, sin а = У = Найдем связь между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом одного и того же аргумента. По определению tg а = у. Так как у = R sin а, x = R cos а, MF . у R sin а то tg а = — =----------- x R cos а (cos а ф 0). . . у R cos а Аналогично ctg а = — = (sin а ф 0). x R sin а sin а Найдем связь между тангенсом и синусом, котангенсом и косинусом одного и того же аргумента. Правообладатель Народная асвета sin а cos а cos а Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 153 Разделим обе части тождества sin2 а + cos2 а = 1 на cos2 а, получим: + 1 = tg2 а + 1 = (cos а Ф 0). Разделим обе части равенства sin2 а + cos2 а = 1 на sin2 а, получим: 1 + • 2 sin а 2 sin а 1 + ctg2 а = 2 sin а ( sin а Ф 0). Можно доказать, что справедливы формулы (формулы приведения) для угла 180° - а: sin (180° - а) = sin а, cos (180° - а) = -cos а, где а — острый угол. Например, sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = а cos 120° = = cos (180° - 60°) = -cos 60° = -1. Для углов 90 ± а также справедливы формулы приведения: sin (90° - а) = cos а, sin (90° + а) = cos а, cos (90° - а) = sin а и cos (90° + а) = -sin а, где а — острый угол. 6. Решение прямоугольных треугольников. Тригонометрические функции острого угла выражают соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Эти соотношения позволяют решать задачи на нахождение, например: а) неизвестных сторон треугольника, если известна одна из его сторон и острый угол; б) острых углов и третьей стороны, если известны две другие стороны. Такие задачи называются задачами на решение прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые примеры решения задач. Задача 1 (нахождение элементов треугольника по гипотенузе и острому углу). В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = c и Z BAC = а. Найдите катеты и другой острый угол. Дано: А ABC, Z ACB = 90°, AB = c, Z BAC = а (рис. 135, а, б). Найти: AC, CB, Z B. Правообладатель Народная асвета 2 1 1 sin cos2 а cos2 а cos2 а cos2 а 154 Глава 3. Подобные треугольники Решение. 1) Z B = 90° - а. 2) Катет, лежащий против угла а, равен произведению гипотенузы на синус этого угла, т. е. CB = AB sin а = c sin а. 3) cos а = AC = . Следовательно, AC = c cos а. Ответ: c cos а, c sin а , 90° - а. Задача 2. В прямоугольном треугольнике AOB с прямым углом O гипотенуза AB = а, а ZABO = р. Найдите высоту OF треугольника AOB (рис. 136, а, б). Дано: ААВО, Z AOB = 90°, OF 1 AB, F е AB, Z ABO = P, AB = a. Найти: FO. Решение. Для решения задачи можем воспользоваться определением синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника. 1) В прямоугольном треугольнике OFB катет FO лежит против угла р, следовательно, он равен произведению гипотенузы на синус угла р, т. е. FO = BO sin р. Таким образом, необходимо найти BO. 2) В прямоугольном треугольнике AOB отрезок BO — катет, прилежащий к углу р, значит, BO = AB cos р = а cos р. 3) Следовательно, FO = BO sin р = а cos р sin р. Ответ: а cosр sin р. Задача 3. ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма, основание которой прямоугольный треугольник A1C1B1 (ZA1C1B1 = 90°), в котором ZA1B1C1 = а и катет B1C1 = b. Найдите площадь грани AA1C1C, если диагональ AB1 образует с ребром AA1 угол ф (рис. 137, а, б). Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 155 Решение. Так как данная призма есть прямая призма, то каждая ее грань является прямоугольником. Следовательно, = AA-^ • . Для нахождения AA^ и A^Ci можем вос- пользоваться тем, что AA1 — катет треугольника AAlBl, а AlCl — катет треугольника AlClBl. 1) В треугольнике AlClBl AlCl = BlCl tg a = b tg a. BiCi = b 2) В треугольнике A1C1B1 A1 B1 = cos a cos a b ctg Ф 3) В треугольнике AA1B1 AA1 = A1B1 ctg ф = cos a 2 4) Таким образом, S^CC = bctgф b tg a = b ctgфtga . > f ’ AA1c1c cos a ^ cos a Ответ: b2 ctg Ф tg a Задача 4. Длины сторон параллелограмма равны a и b, а градусная мера острого угла — ф. Докажите, что площадь S параллелограмма можно найти по формуле S = ab sin ф. Решите данную задачу самостоятельно. Вопросы к § 5 1. Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника? 2. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. 3. Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? 4. Дайте определение котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Правообладатель Народная асвета 156 Глава 3. Подобные треугольники 5. Чему равен синус углов: 30°, 45°, 60°? 6. Чему равен косинус углов: 30°, 45°, 60°? 7. Верно ли, что синус острого угла возрастает при возрастании этого угла? 8. Как изменяется косинус острого угла при возрастании этого угла? Задачи к § 5 366. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов AB и AC равны соответственно 3 см и 4 см. Вычислите синус и косинус угла B. 367. В равнобедренном треугольнике ABC длина боковой стороны равна 10 см, а длина основания — 12 см. Вычислите синус и косинус угла при основании треугольника. 368. Длины оснований равнобедренной трапеции равны 5 см и 15 см, а длина боковой стороны — 13 см. Вычислите синус и тангенс острого угла трапеции. 369. Сторона прямоугольника в два раза больше другой стороны, а его периметр равен 18 см. Вычислите синус и косинус угла, образованного диагональю прямоугольника с большей стороной. 370. Площадь прямоугольника равна 16 см2, а стороны относятся как 1 : 4. Вычислите тангенсы углов, образованных диагональю прямоугольника с его сторонами. 371. В прямоугольном треугольнике ABC отрезок CF — высота, проведенная к гипотенузе AB, AF = 4 см, BF = 9 см. Вычислите синус, косинус и тангенс угла A. 372. В трапеции ABCD (ВС | AD) углы C и D — прямые, BC = 4 см, CD = Wb см и AD = 8 см. Вычислите градусную меру угла BAD. 373. Периметр ромба равен 16 см, а длина одной из его диагоналей равна Wb см. Вычислите градусные меры углов ромба. 374. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10 см, а синус одного из острых углов равен 0,4. Вычислите длины катетов треугольника. Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 157 375. Вычислите градусные меры острых углов прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 14 см, а длина одного из катетов — Т/3 см. 376. В прямоугольном треугольнике ACB с прямым углом C катет AC = m и ZABC = ф. Найдите длины гипотенузы и другого катета треугольника. 377. Вычислите синус, косинус и котангенс острого угла равнобедренной трапеции, разность длин оснований которой равна 16 см, а сумма длин боковых сторон — 20 см. 378. Длина катета прямоугольного треугольника равна 12 см, а синус противолежащего угла равен 0,8. Вычислите длины других сторон этого треугольника. Рис. 138 379. ABCD — равнобедренная трапеция, у которой диагональ перпендикулярна боковой стороне, а высота CF = 6 см. Вычислите длины отрезков, на которые точка F делит основание трапеции, и длину ее боковой стороны, если тангенс угла CAD равен — (рис. 138, а). 3 380. AB — диаметр окружности, точка C лежит на этой окружности (рис. 138, б). Вычислите диаметр окружности и длину хорды BC, если расстояние CD от точки C до прямой AB равно 12 см, а котангенс угла CBA равен 1,5. 381. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AB, а его высота BO равна 24 см. Вычислите Правообладатель Народная асвета 158 Глава 3. Подобные треугольники площадь параллелограмма, если тангенс угла BDA равен 3. 2 382. Высота ромба равна h, а его острый угол — а. Найдите площадь ромба. 383. Периметр ромба равен P, а его острый угол — р. Найдите площадь ромба. 384. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее острый угол при основании равен а, а длины боковой стороны и средней линии равны сооответственно m и b. Рис. 139 385. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, AB1 и A1D — диагонали его боковых граней (рис. 139, а, б). Найдите площади боковых граней параллелепипеда, если AB = а, ZA1B1A = а, ZA1DA = р. 386. В прямоугольном треугольнике ABC длина гипотенузы AC равна 8 см, а градусная мера угла треугольника равна 28°. Вычислите длины катетов треугольника. 387. Длина катета прямоугольного треугольника равна 6 см, а градусная мера угла равна 47°. Вычислите длины гипотенузы и другого катета. 388. Градусная мера угла при основании равнобедренного треугольника равна 35°, а длина боковой стороны равна 16 см. Вычислите длину основания треугольника. Правообладатель Народная асвета Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 159 389. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а градусная мера угла при вершине равна 48°. Вычислите длину боковой стороны треугольника. 390. Периметр ромба равен 32 см, а градусная мера острого угла равна 34°. Вычислите длины диагоналей ромба. 391. Длина диагонали прямоугольника равна 40 см, и эта диагональ образует с одной из сторон прямоугольника угол, градусная мера которого равна 72°. Вычислите периметр прямоугольника. 392. Длины диагоналей ромба равны 16 см и 12 см. Вычислите градусные меры углов ромба. 393. Длина основания равнобедренного треугольника равна 16 см, а высота, проведенная к основанию равна 4 см. Вычислите градусную меру угла при основании. 394. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 8 см, а длина катета равна 7 см. Вычислите градусные меры углов треугольника. 395. Высота равнобедренного треугольника в два раза больше его основания. Вычислите градусные меры углов треугольника. 396. Вычислите: а) tg 45° + sin 30°; б) cos 60° + sin 30°; в) cos 30° + cos 45°. 397. Вычислите: а) 2 tg 60° - 2 cos 30°; б) л/2 sin 45° + \[3 tg 30°; в) sin 60° cos 30° +-------; ^ tg45°’ г) tg 60° tg 30° - \[2 cos 45°. 398. Упростите выражение: а) 1 - cos2 a; г) cos a - cos a sin2 a; б) 1 + cos2 a - sin2 a; д) (1 - cos a)(1 + cos a) + sin2 a. в) tg2a cos2 a + cos2 a; Правообладатель Народная асвета 160 Глава 3. Подобные треугольники 399. Вычислите: а) cos а и tg а, если sin а = 0,3; б) sin а и ctg а, если cos а = 0,6; в) sin а и tg а, если sin а = 12; 13 3 г) sin а и cos а, если tg а . 400. Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АСВ равна 10 см, а ZАВС = 60°. Вычислите: а) длины катетов треугольника; б) высоту CF треугольника; в) площади треугольников АСВ и CFB. 401. Из точки пересечения диагоналей ромба проведен перпендикуляр к стороне ромба, который делит ее на отрезки, длины которых — 9 см и 16 см. Вычислите тангенсы углов, образованных стороной ромба и диагоналями. 402. Длина катета прямоугольного треугольника равна b, а градусная мера противолежащего ему угла — р. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины этого угла. 403. Площадь равнобедренной трапеции равна 32 см2. Котангенс угла между диагональю трапеции и ее основанием равен 2. Вычислите высоту трапеции. 404. В равнобедренной трапеции ABCD длина боковой стороны равна а. Диагональ делит угол, градусная мера которого равна а, при нижнем основании пополам. Найдите площадь трапеции. 405. Градусная мера острого угла параллелограмма равна а, а длины его сторон равны а и b. Найдите тангенсы острых углов, которые образует со сторонами параллелограмма его большая диагональ. 406. Градусная мера угла при вершине ромба равна а, а его площадь равна S. Найдите длины диагоналей ромба. 407. В равнобедренной трапеции длина диагонали равна а, и диагональ образует с основанием угол, градусная мера которого равна а. Найдите площадь трапеции. Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Глава 1 § 1 I. а) Выпуклые: ABCF, ABCDFE, невыпуклые: KFOT; AEFTL; б) в грани BBiCiC; в) в грани AA^D-iD. 2. 30°. 3. 60°; 60°; 120°; 120°. 4. ZB = 120°; Z D = 30°. 5. а) 90°; б) 120°; в) 150°. 6. 4 см. 7. 40°. 8. 4 см. 9. Z BCD = 30°; Z ADC = 120°. 10. Z BAC = 120°; Z BDC = 60°. II. 15 см. 12. 19 см. 13. 12 см. 16. Да. 18. 8 см. § 2 23. Да. 24. 24 см. 25. 5 см; 5 см; 7 см; 7 см. 26. 8 см; 8 см; 13 см; 13 см. 27. 6а. 28. 3 см; 3 см; 6 см; 6 см. 29. 8 см. 30. 32 см. 31. 4 см. 33. Да. 37. 5 см. 40. 4 см или 5 см. 46. . 47. 5 см; 5 см; 10 см; 10 см. 48. 70°. § 3 52. 32 см. 53. 54 см. 54. 4 см; 4 см; 12 см; 12 см. 55. 12 см. 57. 10 см. 59. Да. 60. 40°. 62. 130°. 63. 2 см. 64. 6 см. 65. 2а. 66. 60°. 68. 20 см; 20 см. 69. 5,6 см; 5,6 см; 8,4 см; 8,4 см. 70. а; а. § 4 78. 40 см. 79. 60°; 60°; 120°; 120°. 81. 30°, 30°, 120°. 82. 4а. 83. 6 см. 84. 4 см. 89. Да. 90. 2а. 96. 60°. 98. 5 а. § 5 102. 14 см. 103. 4 см. 104. 64 см. 105. 10 см, 10 см, 6 см, 6 см. 107. 16 см. 109. 12,6 см. 110. 24 см. 114. 21 см. 115. 5 см. § 6 118. Да. 119. 5 см. 120. 10 см. 121. 14,5 см. 122. —. 123. 8 см. 124. 3 см. 4 125. 4,5 см. 126. FO = 5 см, OK = 3 см. 127. 2 см. 128. 4,5 см. 129. 10 см, 30 см. 130. 5,5 см. 131. 8 см, 10 см. 132. 10 см. 133. 6 см. 134. 9 см. 135. 9 см. 136. 0,5а. 137. 16 см. 140. 40°, 40°, 140°, 140°. 142. 2 см. 143. 3 см, 11 см. Глава 2 § 1 151. 12 см2. 152. 24 см. 153. 36 см2. 154. 15 см2. 155. 12 см2. 156. 24 см2. 157. 42 см2. 158. 40 см2. 159. 40 см2. 160. 5000 см2. 161. 1000 штук. 162. 2 см; 4 см. 163. 9 : 1 или 1 : 9. 164. Увеличится в 15 раз. 165. 700 см2. 166. 1296 см2. 173. 48 см2. 167. 40 см2. 168. 32 см2. 169. 96 см2. 171. 2 2 2 172. 50 см 2 175. 30 см2. 176. 36 см2 § 2 177. 40 см2. 178. 20 см2. 179. 1,5 см. 180. 2 ,5 см. 181. 5 см. 182. 3 см. 185. 4 см. 186. 5 см. 187. 24 см2. 188. 8 см. 190. 192 см2. 191. 40 см2. 192. 15 см2. 193. 24 см2. 194. 48 см2. 195. 6 см2. 196. 28 см2. 197. 36 см2. 198. 4 см. 199. 4 см. 202. 24 см2. 204. 8 см, 6 см. Правообладатель Народная асвета 2 а 16 2 Ответы 205. 6 см2. 206. 3 см. 207. 40 см2. 208. 5 см. 209. 7,5 см2. 210. 8 см, 8 см, 2 4 см, 4 см. 211. . 212. 6 см2. 213. 8 см. 4 § 3 214. 30 см2. 215. 64 см2. 216. 44 см2. 217. 36 см2. 218. 16 см. 219. 36 см2. 220. 12 см2. 221. 30 см2. 222. 54 см2. 223. 90 см2. 224. 54 см2. 225. 24 см2. 226. 6 см. 227. 2 см; 6 см. 228. 6 см. 229. 4 см; 12 см. 230. 46 см2. 231. 12 см2. 233. 128 см2. 234. 72 см2. 235. 40 см2. 236. 96 см2. 237. 54 см. 238. 64 см2. 239. 244. 24 см2. a + b 2 • m. 241. h2. 242. (a + b )2 . 243. 2S. § 4 245. 5 см. 246. 5 см. 247. 2/3 см. 249. 4,8 см. 250. 10 см. 251. 48 см2. 252. 108 см2. 253. 10 см. 254. 2^3 см2. 255. см. 257. 4,8 см. 3 258. 60 см2. 259. W3 см2. 260. 50 см. 261. 40 см. 262. 96 см2. 263. (12+W^) см. 264. 30 см2. 265. 10 см. 266. 120 см2. 267. 10 см. 268. 16 см. 269. 9,6 см. 270. 5 см. 272. 30 см2. 273. 24 см2. 274. 4^6 см2 или 67,5 см2. 275. 20 см2. 277. 25 см2. 278. 300 см2. 279. 25 см; 17 см. Глава 3 § 1 280. 10 см. 281. 4 см. 282. 63 см2. 283. 28 см, 35 см, 49 см. 284. 4 см. 2 5 286. 51 см. 287. 8 см, 12 см. 288. 12 см, 6 см. 289. 4— см, 5— см. 7 7 290. 8 см2, 18 см2. 291. 294 см2. 292. 96 см. 293. 6 см. 294. 176 см или 1555 см. 295. 72°, 72°, 36°. 6 § 2 296. б) Да. 297. б) Да. 298. б) Да. 303. 3 : 1. 305. 8 см. 306. 3 см, 9 см. 307. 9S. 309. 48 мм. 310. АО = 12 см, ОС = 8 см. 311. б) Да. 312. 45 см2. 313. 160 см2. 314. 216 см2. 316. 1W3 см2. 317. 1 см, 2 см. 318. W13 см, WT3 см. § 3 325. 12 см. 329. ОТ = 3 см, ОЕ = 4 см. 331. см2. 332. 6^/3 + 1) см. 333. 16 см, л/113 см, V113 см. 335. ВО = 2 см, ОВ = 4 см. 336. 3 337. 53°. 338. 21 см, 24 см, 33 см, 36 см. 339. 54 см, 72 см, 90 см, 108 см. 341. 75 см. 342. 4,8 см. 343. ^/S^ ^/S— )2.344. 2,5 см, 5 см. 345. 1 см2. 346. 24 см2. 347. -ab-. 348. 6 см, 9 см, 9 см. a + b Правообладатель Народная асвета Ответы 163 § 4 349. DB = 5 см, AC = 31- см. 350. 14— см. 351. 17,5 см. 352. W7 см. 5 12 353. 600 см2. 354. 130 см2. 360. 215 см2. 361. 4^3 см2. 362. 5 см, 13 см. 9 363. . 364. ^frf^r2. 365. FT = -|. § 5 366. sin B = 4; cosB = -. 367. 4; -. 368. i2; i2. 369. l/5 ; . 5 5 5 5 13 5 5 5 370. 2; 4. 371. sin A = ^Z^; cos A = ^Z^; tg A = 2. 372. 60°. 373. 60°; 60°; 120°; 120°. 374. 4 см; см. 375. 30°; 60°. 376. ; mctgф. sin ф 3 4 4 377. —; —; —. 378. 9 см; 15 см. 379. 4 см; 9 см. 380. AB = 26 см; 553 BC = Wl— см. 381. 1248 см2. 382. . 383. — Р2 sinр. 384. mb sin а. sin а ^ 16 385. а2 tg а; а2 tg2 а ctg р. 401. 3; —. 402. Ь ctg,f . 403. 4 см. 3 АПА 2 ^ ^ At\t^ а sin а 404. а (1 + cosа)sinа. 405. р cos 2 b sin а b + а cos а’ а + b cos а 406. J2Stg^; 2S ctg а. 407. а2 sin а cos а. Правообладатель Народная асвета Приложение Значения тригонометрических функций 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° cos 1 2 ^/2 2 1 2 0 1 2 ^/2 2 2 -1 sin 0 1 2 2 ■Д 2 1 ■Д 2 2 1 2 0 tg 0 1 V3 1 V3 — -1 1 ^/3 0 ctg — V3 1 1 V3 0 1 ^/3 -1 ^3 — Значения тригонометрических функций для углов меньше 45° находят, пользуясь верхними наименованиями столбцов; значения тригонометрических функций для углов больше 45° находят, пользуясь нижними наименованиями столбцов. Гра- дусы sin cos tg ctg Гра- дусы 0 0,00000 1,00000 0,00000 — 90 1 0,01745 0,99985 0,01746 57,28996 89 2 0,03490 0,99939 0,03492 28,63625 88 3 0,05234 0,99863 0,05241 19,08114 87 4 0,06976 0,99756 0,06993 14,30067 86 5 0,08716 0,99619 0,08749 11,43005 85 6 0,10453 0,99452 0,10510 9,51436 84 7 0,12187 0,99255 0,12278 8,14435 83 8 0,13917 0,99027 0,14054 7,11537 82 9 0,15643 0,98769 0,15838 6,31375 81 10 0,17365 0,98481 0,17633 5,67128 80 11 0,19081 0,98163 0,19438 5,14455 79 12 0,20791 0,97815 0,21256 4,70463 78 Гра- дусы cos sin ctg tg Гра- дусы Правообладатель Народная асвета Значения тригонометрических функций 165 Гра- дусы sin cos tg ctg Гра- дусы 13 0,22495 0,97437 0,23087 4,33148 77 14 0,24192 0,97030 0,24933 4,01078 76 15 0,25882 0,96593 0,26795 3,73205 75 16 0,27564 0,96126 0,28675 3,48741 74 17 0,29237 0,95630 0,30573 3,27085 73 18 0,30902 0,95106 0,32492 3,07768 72 19 0,32557 0,94552 0,34433 2,90421 71 20 0,34202 0,93969 0,36397 2,74748 70 21 0,35837 0,93358 0,38386 2,60509 69 22 0,37461 0,92718 0,40403 2,47509 68 23 0,39073 0,92050 0,42447 2,35585 67 24 0,40674 0,91355 0,44523 2,24604 66 25 0,42262 0,90631 0,46631 2,14451 65 26 0,43837 0,89879 0,48773 2,05030 64 27 0,45399 0,89101 0,50953 1,96261 63 28 0,46947 0,88295 0,53171 1,88073 62 29 0,48481 0,87462 0,55471 1,80405 61 30 0,50000 0,86603 0,57735 1,73205 60 31 0,51504 0,85717 0,60086 1,66428 59 32 0,52992 0,84805 0,62487 1,60033 58 33 0,54464 0,83867 0,64941 1,53987 57 34 0,55919 0,82904 0,67451 1,48256 56 35 0,57358 0,81915 0,70021 1,42815 55 36 0,58779 0,80902 0,72654 1,37638 54 37 0,60182 0,79864 0,75355 1,32704 53 Гра- дусы cos sin ctg tg Гра- дусы Правообладатель Народная асвета 166 Значения тригонометрических функций Гра- дусы sin cos tg ctg Гра- дусы 38 0,61566 0,78801 0,78129 1,27994 52 39 0,62932 0,77715 0,80978 1,23490 51 40 0,64279 0,76604 0,83910 1,19175 50 41 0,65606 0,75471 0,86929 1,15037 49 42 0,66913 0,74314 0,90040 1,11061 48 43 0,68200 0,73135 0,93252 1,07237 47 44 0,69466 0,71934 0,96569 1,03553 46 45 0,70711 0,70711 1,00000 1,00000 45 Гра- дусы cos sin ctg tg Гра- дусы Правообладатель Народная асвета Учебное издание Шлыков Владимир Владимирович ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений с русским языком обучения 3-е издание, переработанное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. Н. Ясницкая. Художник Е. В. Шлыков. Художественный редактор Е. П. Протасеня. Технический редактор М. И. Чепловодская. Корректоры В. С. Бабеня, Д. Р. Лосик, Т. Н. Ведерникова, А. В. Алешко. Подписано в печать 14.03.2011. Формат 60 X 90 '/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 10,5. Уч.-изд. л. 8. Тираж 90 600 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. Республиканское унитарное предприятие «Минская фабрика цветной печати». ЛП № 02330/0494156 от 03.04.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка ученику за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Правообладатель Народная асвета