Учебник Геометрия 7 класс Ершова Голобородько

А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский Геометрия#! общеобразовательная программа допрофильная подготовка углубленное изучение ИЗДАТЕЛЬаВч РАНОК Геометрия есть познание всего сущего. Платон, древнегреческий философ ДОРОГИЕ ДРУЗЬЯ! Вы начинаете изучение нового математического предмета. Со страниц этого учебника вы почерпнете знания, которые уже много веков приносят людям огромную пользу. В будущем эти знания помогут и вам. Наверное, каждый из вас когда-нибудь представлял себя великим путешественником, который, подобно Христофору Колумбу, прокладывает курс к неизведанным странам в бушующем океане. Кто-то мечтал стать знаменитым детективом, современным Шерлоком Холмсом, чтобы, используя стройное логическое мышление, решать самые сложные задачи, разгадывать тайны. Кто-то видел себя прославленным египетским фараоном, по чьей воле среди пустыни возводятся величественные пирамиды. Но, вероятно, не все вы догадывались, что есть наука, без которой невозможно осуществить эти мечты. Эта наука — геометрия, к изучению которой вы приступаете. Почему именно геометрия? Прежде всего, это одна из наиболее древних математических наук. Она возникла еще в Древнем Египте, где каждый год после разливов Нила жители вынуждены были восстанавливать границы земельных участков. Сам термин «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». Изучать геометрические формы нужно было не ?-олько земледельцам, но и строителям, ведь без геометрии ни одна из египетских пирамид не была бы построена. Геометрия как раздел математики, связанный с вычислениями и расчетами, способствовала их развитию. Благодаря геометрии стали возможны великие научные открытия, в частности географические. Не случайно в эпоху Средневековья геометрию относили к тем немногим наукам, которыми должен был овладеть каждый просвещенный человек. Отметим также, что геометрия — это искусство правильного мышления. Изучая этот предмет, можно увидеть, как закономерности окружающего мира отражаются в логических утверждениях, из которых извлекают полезные следствия. На протяжении многих веков основы геометрии почти не изменялись. Немало утверждений, которые вы будете изучать, даже более древние, чем Библия. Благодаря многим выдающимся ученым, среди которых Евклид, Пифагор, Декарт, Лобачевский, эта наука вышла на качественно новый уровень. Итак, в добрый путь! Не бойтесь задавать вопросы, находить и применять собственные методы решения задач. Не все будет получаться сразу. но внимание и настойчивость помогут вам получить истинное удовольствие от изучения геометри^!. Желаем вам успехов! Как пользоваться учебником Учебник имеет три главы, каждая из которых состоит из параграфов, а параграфы — из пунктов. В тексте содержится как теоретический материал, так и примеры решения задач. Важнейшие понятия и факты выделены полужирным шрифтом. Упражнения и задачи, представленные в учебнике, делятся на четыре группы. Устные задачи помогут вам понять, насколько успешно вы Усвоил теоретический материал. Эти упражнения не обязательно решать мысленно — вы можете выполнить необходимые рисунки, вычисления, записать ход рассуждений в черновике. После устных упражнений можно переходить к графическим упражнениям, которые выполняются в тетради или на компьютере. Далее следуют письменные задания. Сначала проверьте свои знания, выполняя задачи уровня А. Более сложными являются задачи уровня Б. И наконец, если вы хорошо овладели материалом и желает проявить свои творческие способности, вас ждут задачи уровня В. После каждого параграфа в рубрике «Повторение» указано, какие именно понятия и факты следует вспомнить для успешного изучения дальнейшего материала, и приведены задачи для повторения, которые подготовят вас к восприятию следующей темы. Для самостоятельной работы дом предназначены задачи, номера которых обозначены стрелками. Решать все задачи каждого уровня не обязательно. В конце каждой главы помещены контрольные вопросы и задач для подготовки к контрольным работам, благодаря которым вы сможете лучше выполнить тематическое оценивание. Дополнительные задачи к главам откроют вам новые грани геометрии, помогут обобщить изученный материал и почувствовать красоту нестандартного мышления. Итоговые обзоры в конце каждой главы послужат своеобразным геометрическим компасом и помогут ориентироваться в изученном материале. Приложения, приведенные в концы учебника, углубят ваши знания по отдельным изученным темам, а исторические справки познакомят с некоторыми интересными фактами, касающимися развития геометрии и деятельности выдающихся ученых-геометров. r'V^- Глава|Л 'Л?: ПРОСТЕЙШИЕ! ПЕЗМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУ1р| и^их свойстШ §1- § 2. Отрезки. Измерение и откладыеа* ^ ние отрезков i §3. Угол, Измерение и откладывание углов , ч § 4. Йараллельные прямые ] § 5- Смежные углы :| § 6. Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые / « Геометрия — правительница всех мысленных изысканий. Михаил Ломоносов, российский ученый Начиная возводить дом, строители сначала закладывают фундамент — основу, на которой будет держаться сооружение. Нечто подобное необходимо сделать и нам. Мы начинаем изучать планиметрию — раздел геометрии, в котором рассматриваются фигуры на плоскости. Из курса математики вы уже имеете представление о некоторых из них. Наша ближайшая цель — восстановить и дополнить эти начальные знания. Геометрические сведения мы будем излагать в определенной логической последовательности, чтобы они стали прочным фундаментом для дальнейшего изучения геометрии. Основу любой науки составляют утверждения, которые принимаются как исходные и не требуют обоснования. В математике такие утверждения называют аксиомами. Аксиомы планиметрии, которые мы рассмотрим в этой главе, выражают основные свойства простейших геометрических фигур. На их основе с помощью логических рассуждений мы будем получать более сложные геометрические факты. §1. Основные геометрические фигуры Планиметрия “ от латинского «пла-нум» - плоскость и греческого «мет-рео» - измеряю В А D Рис. 1. Точки Л и JD лежат на прямой а, а точки В и С не лежат на прямой а Рис. 2. Прямые а кЬ пересекаются в точке С А В Рис. 3. Прямая с проходит через точки Аи В 1.1. Точка и прямая Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Плоскость можно представить как лист бумаги, точку — как след, оставленный иголкой на этом листе, а прямую — как тонкую натянутую нить. Точки обычно обозначают прописными латинскими буквами (А, В, С, D , ...), а прямые — строчными латинскими буквами ( а, Ь, с , d, .,.). На рисунке 1 точки А и D лежат на прямой а, а точки В и С не лежат на прямой а. Можно это же сказать иначе: прямая а проходит через точки А и Х>, но не проходит через точки В и С. Прямая бесконечна и состоит из бесконечного множества точек. На рисунках мы изображаем лишь часть прямой. 1.2. Свойства точек и прямых Через одну точку на плоскости можно провести бесконечно много прямых. Рассмотрим прямые а и &, проходящие через точку С (рис. 2). В этом случае говорят, что прямые а и Ь пересекаются в точке С, а их общая точка С является точкой пересечения прямых а и Ь. Если на плоскости обозначены две точки' А и В, то через них можно провести прямую с (рис. 3). Отметим, что через точки А к В невозможно провести другую прямую, которая не совпадала бы с прямой с. * Здесь и далее, говоря «две точки» («две прямые», «три точки» и т. д.), мы будем считать, что эти точки (прямые) различны. ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Аксиома — от греческого «аксиос» - o6t46-принятый, безоговорочный, не вызывающий сомнения Рис. 4. Точка С лежит между точками А а В Это свойство называют аксиомой проведения прямой. Аксиома проведения прямой Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Из этого следует, что две прямые не могут иметь две или более общих точек: они либо имеют одну общую точку, либо не имеют общих точек вообще. Прямую, с выбранными на ней двумя точками, можно обозначать прописными буквами, которыми названы эти точки. Так, прямую на рисунке 3 можно назвать прямой АВ или прямой ВА . Через три точки плоскости не всегда можно провести прямую. Так на рисунке 1 нельзя провести прямую через точки А , В, D . На рисунке 4 точки А, В, С лежат на одной прямой, причем точка С лежит между точками А и В . Можно также сказать, что’точки А и В лежат по разные стороны от точки С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А , а точки А и С лежат по одну сторону от точки В. Аксиома расположения точек на прямой Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. ■^1 " ■"■2 Рис. S. Точка А делит прямую а на две полупрямые AA^ и АА^ 1.3. Луч Любая точка делит прямую на две части (рис. 5). Каждую из этих частей можно условно считать половиной прямой, поэтому образовавшиеся части прямой и получили название «полупрямые», или иначе — лучи. 8 §1-Основные геометрические фигуры Лучом {или полупрямой) называется часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от некоторой данной на ней точки, а также самой этой точки. Данная точка называется начальной точкой {или началом) луча. В с Рис. 6. Луч ВС На рисунке 5 точка А — начальная точка двух лучей прямой а. Лучи, как и прямые, можно обозначать строчными латинскими буквами или двумя точками: начальной (обязательно на первом месте!) и еще какой-нибудь точкой этого луча. Так, луч на рисунке 6 можно обозначить Ь или ВС , но нельзя обозначить СВ. Два различных луча одной прямой с общей начальной точкой называются дополнительными лучами. Рис. 7 На рисунке 5 AAj и АА^ — дополнительные лучи. Они дополняют друг друга до прямей а и имеют только одну общую точку — их начало. Зодача Но прямой точка С лежит между точками Л и В. Могут ли лучи АВ и АС быть дополнительными? Ответ обоснуйте. Решение Пусть А, В и С — данные точки (рис. 7). Поскольку точка С лежит между точками А и В, то точки С и В лежат по одну сторону от точки А, значит, они принадлежат одному лучу с началом А, Этот луч можно назвать АВ или АС. Следовательно, данные лучи совпадают, поэтому они не являются дополнительными. Ответ: не могут. ГЛАВА 1Лростейшие геометрические фигуры и их свойства В D б ф 1.4. Определение и его роль в геометрии в пункте 1.3 описаны два понятия — «луч», которое известно вам из курса математики 5 класса, и новое понятие — «дополнительные лучи». Благодаря этим описаниям можно четко представить, какие именно фигуры рассматриваются. Данные нами описания являются определениями, указывающими на особенности описанной фигуры, которые отличают ее от других фигур. Прочитаем еще раз определение дополнительных лучей. Если в нем пропустить лишь слова «одной прямой», то лучи MN и МК на рисунке 8, а придется считать дополнительными. Если же не уточнить, что дополнительные лучи должны иметь общее начало, то лучи АВ и CD на рисунке 8, б тоже следует назвать дополнительными. Таким образом, эти измененные определения не будут описывать тот объект, который мы имеем в виду. Эти соображения свидетельствуют о том, как важно уделять внимание каждому слову в определении: только так можно по-настоящему понять геометрию. Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. На прямой АВ отмечена точка С. Лежит ли точка А на прямой-ВС? Лежит ли точка В на прямой АС? 2. Точка А лежит на прямой с, а точка В не лежит на прямой с. Пересекаются ли прямые с и АВ ? Если да, то назовите точку их пересечения. 3. Через точку А проведены две прямые. Могут ли эти прямые иметь общую точку В, отличную от точки А ? 4. Точка В лежит на прямой между точками А и С. Как расположены точки В и С относительно точки А 7 Рис. 8. К объяснению понятия «дополнительные лучи»: а) лучи MN и МК не дополнительные; б) лучи АВ и CD не дополнительные 10 § 1. Основные геометрические фигуры К L М N Рис. 9 5. На прямой отмечены точки К , L, М, N (рис. 9), Назовите: а) точку, лежащую между точками L и N ; б) точки, лежащие между точками К к N ; в) две точки, лежащие по одну сторону от точки L; г) точку, по разные стороны которой лежат точки К и М . 6. На луче ЛВ отмечена точка С. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка В лежать между точками А и С? 7. Лучи DE и DF — дополнительные. Какая из точек D, Е vl F лежит между двумя другими? 8. Два луча имеют общую начальную точку. Обязательно ли они являются дополнительными? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 9. Проведите прямую. а) Отметьте точки А п В, лежащие на данной прямой, и точки С и В, не лежащие на данной прямой. Как можно обозначить данную прямую? б) Проведите еще одну прямую через точки А и С. Сколько* общих точек имеют построенные прямые? 10. Отметьте точку А. а) Проведите луч с началом А и отметьте на нем точку В . Назовите прямую, частью которой является луч АВ. б) Проведите луч с началом В, который не проходит через точку А . Можно ли назвать построенный луч ВА ? ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 11. Отметьте точки В и С. Проведите через них прямую. Проведите еще одну прямую так, чтобы она проходила через точку В, но не проходила через точку С. Сколько общих точек имеют эти прямые? 12. Отметьте две точки и от руки проведите через них прямую. Проверьте правильность построения с помощью линейки. Какую аксиому вы использовали? 11 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 13. На прямой точки Е и F лежат по разные стороны от точки D . Как расположены точки D и F относительно точки Е ? Может ли точка F лежать между точками D и Е7 —^ 14. Точки М и N лежат на прямой по одну сторону от точки К . Какая из этих трех точек не может лежать между двумя другими? Ответ объясните. 15. Отметьте точки А и В. Проведите луч АВ. Являются ли дополнительными лучи АВ и ВА ? 16. На прямой отмечены две точки. Сколько пар дополнительных лучей при этом образовалось? —^ 17. Постройте дополнительные полупрямые PQ и PR. Назовите точки, лежащие по одну сторону от точки R. Лежит ли точка Q на луче RP7 Уровень Б 18. Даны четыре точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из данных точек проведена прямая. Сколько прямых проведено? 19. Точки А, В ,С находятся на одной прямой, а точка D не лежит на данной прямой. Через каждые две из данных «точек проведена прямая. Сколько всего прямых проведено? 20. По пути из Днепропетровска в Харьков автомобиль проезжает Красноград, а по пути из Краснограда в Днепропетровск — Пере-щепино. Какой из этих городов расположен на пути из Харькова до Перещепино? —^ 21. На прямой отмечены точки X, У, Z, причем точки X и У лежат по одну сторону от точки Z , а точки X и Z — по одну сторону от точки У. Какая из трех точек лежит между двумя другими? 22. Точка С лежит на луче АВ, а точка В — на луче СА. Какая из этих трех точек лежит между двумя другими? 23. Точки А, В и С находятся на одной прямой, причем лучи АВ и АС не являются дополнительными, а точки А и С лежат по одну сторону от точки В . Какая из этих трех точек лежит между двумя другими? 24. Могут ли два луча одной прямой не быть дополнительными? Сделайте рисунок. 25. Два луча имеют единственную общую точку. Будут ли такие лучи дополнительными? Сделайте рисунки. 12 §1.0сновные геометрические фигуры Уровень В 26. Сколько прямых трасс необходимо проложить, чтобы соединить любые два из четырех городов? Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте рисунки. —^ 27. Даны три прямые, причем любые две из них пересекаются. Сколько точек пересечения может при этом образоваться? Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте рисунки. 28. Как должны быть расположены на плоскости п точек, чтобы они определяли ровно п прямых, если п > 2 ? —^ 29. На прямой отмечены три точки А, В и С. Сколько различных лучей можно назвать с помощью этих точек? Сколько среди этиз^ лучей пар дополнительных лучей? Изменится ли ответ, если данные точки не лежат на одной прямой? ПОВТОРЕНИЕ Теоретический материал • прямая и отрезок • построение и измерение отрезков Задачи 30. На прямой точка В лежит между точками А и С. Существует ли на данной прямой; а) точка, которая лежит между точками А и В, но не лежит между точками Л и С; б) точка, которая лежит между точками А и С, но не лежит между точками А и В? 31. На прямой отмечены пять точек. Определите, какие из данных утверждений верны: а) любые три из данных точек лежат между двумя другими; б) среди данных точек найдутся три, лежащие между двумя другими; в) среди данных точек существует по крайнех! мере одна, не лежащая между двумя другими данными точками; г) среди данных точек существует ровно одна, не лежащая между двумя другими данными точками. 13 §2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков Рис. 10. Отрезок АВ часть прямой АВ В а Рис. 11. Точка Cj лежит на отрезке АВ, точка не лежит на отрезке АВ 2.1. Определение отрезка Любой луч является частью прямой, «ограниченной» с одной стороны начальной точкой. Рассмотрим теперь отрезок — часть прямой, «ограниченную» точками с обеих сторон. Определение « Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух данных точек этой прямой (концов отрезка) и всех точек, лежащих между ними. Отрезок обозначают, записывая его концы в произвольном порядке. Так, отрезок на рисунке 10 можно назвать «отрезок АВ » или «отрезок ВА ». Очевидно, что отрезок АВ является частью прямой АВ. При этом следует различать, идет ли речь о прямой АВ или об отрезке АВ. Если рассмотреть вместе с точками А и В некоторую другую точку прямой, то, в соответствии с аксиомой расположения точек на прямой, она либо лежит между точками А и В, то есть принадлежит отрезку АВ (на рисунке 11 такой точкой является Cj), либо не лежит между точками А и Б, то есть не принадлежит отрезку АВ (на рисунке 11 такой точкой является С,). 2.2. Равенство отрезков. Середина отрезка Определение Два отрезка называются: равными, если они совмещаются наложением. §2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков Рис. 12. Отрезки АВ и А,Б, совмещаются наложением Рис. 13. Отрезки АВ и AjBj не совмещаются наложением D Е Рис. 14. Точка Е ~ середина отрезка DF Нанесем отрезок ДД на прозрачную пленку и наложим ег^на отрезок АВ так, чтобы точка Д совпала с точкой А и эти отрезки имели другие общие точки. Если точка В, совместится с точкой В (рис. 12), то отрезки АВ и A^B^ равны (пишут так: АВ~ A^B^). Если же точки В и В^ не совместятся, то меньшим из двух отрезков является тот, который составляет часть другого. На рисунке 13 точка В, совместилась с некоторой точкой отрезка АВ, отличной от точки В, поэтому отрезок АВ больше отрезка AjB,. Кратко это обозначают так: АВ> A,Bj • О п р е д е л е н и е Серединой отрезка называется точка отрезка, делящая его пополам (то есть на два равных отрезка). На рисунке 14 отрезки DE и EF равны, то есть точка Е — середина отрезка DF. Обычно на рисунках равные отрезки обозначают одинаковым количеством черточек. 2.3. Измерение и откладывание отрезков Важным свойством отрезка является его длина. Она выражается положительным числом, которое может быть определено сравнением данного отрезка с отрезком, принятым за единицу измерения,— единичным отрезком. В качестве единичного отрезка можно выбрать отрезок любой длины. На практике выбирают единичные отрезки длиной 1 мм, 1 см, 1 м и др. 15 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства D 0ММ 1 2 3 4 5 6 см ____________ Е 10 11 12 13 Рис. 15. Измерение отрезка с помощью линейки Например, на измерительной линейке, которой мы обычно пользуемся, маленькие деления задают единичные отрезки длиной 1 миллиметр, а большие — длиной 1 сантиметр (рис. 15). Прикладывая линейку к данному отрезку, мы определяем, сколько единичных отрезков и их частей в нем содержится. Это число выражает длину отрезка. Число, выражающее длину OTpefiJKa, зависит от единицы измерения. На рисунке 15 длина отрезка СЕ равна 70 мм, или 7 см, или 0,07 м и т. д. Длина отрезка CD равна 3 см, а отрезка DE — 4 см. Можно сказать, что отрезок СЕ состоит из двух частей — отрезков CD и DE . Точка D лежит между точками С и £, а длина отрезка СЕ равна сумме длин отрезков CD и DE (пишут так: CD -f DE = СЕ). Сформулируем аксиомы измерения и откладывания отрезков. i Аксиома измерения отрезков Каждый отрезок имеет онределенную длину, которая выражается поло^ жительным числом в заданных единицах измерения. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые отрезок делится любой его точкой. Аксиома откладывания отрезков На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок данной длины и только один. 16 Очевидно, что измерение отрезков состоит в последовательном наложении на данный отрезок определенного количества единичных отрезков. Поэтому равные отрезки имеют равные длины, а больший отрезок имеет большую длину. Верно и другое утверждение: если отрезки имеют равные длины, то они равны, а большим из двух отрезков является тот, который имеет большую длину. Таким образом, для сравнения отрезков можно сравнить их длины. §2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А VI В. Часто, говоря «отрезок АВ мы имеем в виду его длину. Зодоча Но луче АВ отмечена точка С, причем АВ = 12см, ВС = 7 см. Найдите длину отрезка АС. Решение Рассмотрим два случая расположения точки С на луче АВ. 1. Точка С не лежит но отрезке АВ (рис. 16, а). Тогда точка В лежит на отрезке АС. По оксиоме измерения отрезков АС = АВ + ВС, то есть АС = 12 +7 =19 (см). 2. Точка С лежит на отрезке АВ (рис. 16, б). Тогда АВ - АС * ВС, то есть 12 = АС +7. Таким образом, = 12 - 7 = 5 (см). Ответ; 19 см или 5 см. АС В б Рис. 16 Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 32. На прямой отмечены три точки. Сколько отрезков образовалось? 33. На прямой точка А лежит между точками В и С. Какой из отрезков с концами в данных точках является наибольшим? 34. Если точка С лежит на отрезке АВ, то она лежит и на луче АВ. Верно ли такое утверждение? 35. Если точка С лежит на луче АВ, то она обязательно лежит и на втревке АВ. Верно ли такое утверждение? 36. Можно ли разбить прямую на отрезок и два луча? Если да, то могут ли полученные лучи быть дополнительными? 17 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства___________ 37. Точки А, В иС находятся на одной прямой. Отрезок АВ больше отрезка АС . Может ли точка С лежать между точками А и В? Может ли точка А лежать между точками В и С ? 38. Отрезки АВ и ВС равны и лежат на одной прямой. Какая из точек А, В, С лежит между двумя другими? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 39. Проведите луч с началом в точке А . а) На данном луче отложите отрезок АВ, равный 6 см, и*отметь-те на этом отрезке точку С б) Измерьте длину отрезка АС . в) Вычислите длину отрезка СВ. Проверьте полученный результат измерением. 40. Проведите луч с началом в точке С. а) На данном луче отложите отрезок CD , равный 4 см. б) Постройте точку Е так, чтобы точка D была серединой отрезка СЕ. Какова длина отрезка СЕ ? , ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 41. На прямой точка М лежит между точками К w. N. Найдите длину отрезка: а) KN, если КМ = 2,9 см, MN = A,\ см; б) MN, еслиKN = 8,3 см, КМ = 5,8 см. 42. Точки В и С лежат на отрезке AD, равном 10 см. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,4 см, CD = 3,6 см. 43. На отрезке MN отмечены точки Р и R так, что МР = PR = RN. Сделайте рисунок. Какие еще равные отрезки с концами в данных точках образовались на рисунке? 44. На прямой точка В лежит между точками А и С. Какие из отрезков с концами в данных точках могут быть равными? Ответ обоснуйте. 18 §2. Отрезок. Измерение и откладывание отрезков 45. На луче с началом А отмечены точки В и С так, что АВ = 6,4 см, ВС = 2,6 см. Какой может быть длина отрезка АС ? Рассмотрите два возможных случая расположения точек на луче. 46. На луче CD отмечена точка Е. Найдите длину отрезка СЕ, если CD = 8 м, DE = 6,2 м. Сколько решений имеет задача? 47. На прямой отмечены точки Р , R и S, причем PR < PS < RS. Какая из трех данных точек лежит между двумя другими? Ответ обоснуйте. Уровень Б * 48. На прямой точка М лежит между точками К и N . Найдите длины отрезков: а) КМ и MN, если KN = 24 см, а отрезок КМ больше отрезка MN на 8 см; б) КМ и KN , если MiV = 9 см, а KN: КМ = 7:4. 49. Точки В и С лежат на отрезке AD. Найдите длину отрезка ВС , если AD = 10 см, АВ = 6,8 см, CD = 8,3 см. , 50. На отрезке MN отмечены точки А и В так, что МА = 7 мм, АВ = 4,3 мм, BN = 5,1 мм. Найдите длину отрезка MN. Рассмотрите все возможные случаи. 51. На луче с началом А отмечены точки В, С и D, причем АВ = 4 см, ВС = 5,2 см, CD = 2,4 см. Какой может быть длина отрезка AD ? Рассмотрите все возможные случаи. 52. Точка С — середина отрезка АВ, а точка D — середина отрезка АС . Найдите длину отрезка: а) BD, если АС = 16 см; б) АВ, если BD = 12 см. 53. На прямой отмечены точки М, N к К, причем отрезок MN больше NK, а отрезок NK не является наименьшим среди образовавшихся отрезков. Какой из полученных отрезков наименьший? Ответ обоснуйте. 54. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Назовите наибольший из отрезков с концами в данных точках, если точка С лежит на луче АВ, а точка В лежит на луче СА . Ответ обоснуйте. 19 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Уровень В 55. На прямой отмечены точки А и В, расстояние между которыми составляет 6 см. Укажите расположение на данной прямой всех точек М таких, что: а) AM + МВ = 8 см; б) AM + МВ = 6 см; в) АМ = 2МВ. 56. Отрезок разделен тремя точками на четыре части, каждая из которых равна а. Сколько при этом образовалось равных отрезков, длина которых не равна а ? Укажите их длины. 57. Точка С лежит на отрезке АВ. Докажите, что расстояние между серединами отрезков АС и СВ не зависит от расположения точки С. Найдите это расстояние, если АВ = 20 см. 58. Точка С лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АВ, если расстояние между серединами отрезков АС и СВ равно 5 см. 59. Отрезки АВ и CD лежат на одной прямой. Докажите, что если они имеют общую середину, то АС = BD. 60. На прямой отмечены точки А , В, С а D , причем АВ - CD . Образовались ли при этом другие равные отрезки с концами в данных точках? Если да, то докажите их равенство. * 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §3 Теоретический материал • угол • построение и измерение углов Задачи 61. Из точки А проведены лучи АВ и АС, не являющиеся дополнительными. Обязательно ли данные лучи будут совпадать? 62. Отрезки BD и DK имеют единственную общую точку D. а) Обязательно ли точка D лежит между точками В и К ? б) Может ли некоторая прямая, не проходящая через точку D , пересекать оба данных отрезка? 20 §3. Угол. Измерение и откладывание углов Рис. 17. Обозначение угла Рис. 18. Луч BD делит угол АВС на два угла 3.1. Определение угла При изучении дополнительных лучей мы рассматривали случай, когда два луча имеют общую начальную точку. Рассмотрим теперь случай, когда два луча имеют общую начальную точку, но не обязательно являются полупрямыми одной прямой. Определение Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон угла), исходящих из одной точки (вершины угла). Для обозначения углов используют знак Z. На рисунке 17, а изображен угол с вершиной В, сторонами которого являются лучи а и Ь (или ВА и ВС ). Этот угол можно обозначить одним из следующих способов: АВ , ZABC , ZCBA , Z(ab)^ Z(ba). Если угол обозначают по вершине и двум точкам на сторонах, то вершину обязательно указывают на втором месте. Иногда углы обозначают греческими буквами Р» У ■>••>) (рис. 17, б), или числами (рис. 17, в). Стороны угла делят плоскость на две части. Внутренней областью угла считается та из них, которая целиком содержит любой отрезок с концами на сторонах угла (на рисунке 17, а она заштрихована). Луч, который исходит из вершины угла и проходит в его внутренней области, делит данный угол на два угла. На рисунке 18 луч BD делит угол АВС на углы ABD и ВВС. 21 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства -С1. о в Рис. 19. Развернутый угол АОВ Определение Развернутым углом называется угол, стороны ко- На рисунке 19 изображен развернутый угол АОВ. Прямая АВ делит плоскость на две части, каждую из которых можно считать внутренней областью развернутого угла АОВ . Договоримся ту из частей, которую мы рассматриваем как внутреннюю, обозначать дужкой. й т Ф ^ Биссектриса ~ от латинского «бис» -дважды и «секте» — рассекаю - рассекающая пополам 3.2. Равенство углов. Биссектриса угла Определение Два ута ндаываютея равными, если ош совмещаются наложением. I На рисунке 20 изображены углы 1 и 2. Наложим угол 1 на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, сторона первого угла совместилась со стороной второго, а внутренние области этих углов были расположены по одну сторону от прямой, содержащей совместившиеся стороны. Если другие стороны этих углов тоже совместятся, то углы 1 и 2 являются равными (пишут так: Z1 = Z2). 22 §3. Угол. Измерение и откладывание углов Рис 22. Луч ЕК — биссектриса угла DEF Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, сторона которого принадлежит внутренней области второго угла. На рисунке 21 угол 1 является частью угла 2, то есть он меньше угла 2 (пишут так: Z1 < Z2 ). Определение Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины утла и делит угол пополам (то есть на два равных угла). На рисунке 22 углы DEK и KEF равны, поэтому луч ЕК — биссектриса угла DEF . Обычно на рисунках равные углы обозначают одинаковым количеством дужек. Градус - от латинского «градус» - шаг. По наблюдению вавилонян солнечный диск на дневном пути «делает 180 шагов» 3.3. Измерение и откладывание углов Измерение углов имеет много общего с измерением отрезков. Величина отрезка количественно выражается мерой (длиной) отрезка, а величина угла — мерой угла. Мера угла выражается положительным числом, которое можно определить измерением, основанным на сравнении данного угла с углом, принятым за единицу измерения. Обычно такой единицей является 1 гра- дус (обозначается 1°) — угол, равный 180 части 71 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Рис. 23. Измерение угла с помощью транспортира Рис. 24. Биссектриса делит развернутый угол на два прямых угла развернутого угла.1'^адусная мера угла указывает, сколько углов величиной 1° и их частей содержится в данном угле. Для измерения углов обычно используют транспортир, деления которого задают меру угла в градусах (рис. 23)4 Сформулируем аксиомы измерения и откладывания углов. Аксиома измерения углов Каждый угол имеет градусную меру, которая выражается положительным числом. Развернутый угол равен 180°. ^ Если луч делит данный угол на два угла, то градусная мера данного угла равна сумме градусных мер двух полученных углов. Аксиома откладывания углов От любого луча данной прямой можно отложить в заданную сторону от прямой угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. ^ Так, на рисунке 18 градусная мера угла АВС равна сумме градусных мер углов ABD и ВВС (это утверждение можно записать в виде равенства: Z АВС = Z ABD Z ВВС ). Часто, говоря «угол АВС », мы имеем в виду градусную меру этого угла. Биссектриса развернутого угла делит его на два угла, каждый из которых равен 90° (рис. 24). Такие углы называются прямыми. В отличие от других углов, обычно обозначаемых дужками, прямой угол обозначают знаком -i. В 7 классе мы будем рассматривать углы, градусная мера которых не превышает 180°. Для более точных измерений используется 1 минута (обозначает- , 1 -iff 1 ся 1 ) — — часть градуса и 1 секунда (обозначается ) — — часть минуты. 60 60 24 §3. Угол. Измерение и откладывание углов П v_ Острый Прямой Тупой Рис. 25. Виды иерАзяеряутых углов Неразвернутые углы делятся на три вида (рис. 25): • острые углы, меньше 90°; • прямые углы, равны 90°; • тупые углы, больше 90°, но меньше 180°. * На практике для построения углов используют транспортир. Для построения прямых углов используют угольник. Измерение углов можно считать последовательным наложением на данный угол определенного (не обязательно целого) числа углов, равных 1°. Поэтому равные углы имеют равные градусные меры, а больший угол имеет большую градусную меру. Верно и другое утверждение: если углы имеют равные градусные меры, то они равны, а из двух углов большим является тот, который имеет большую градусную меру. Таким образом, для сравнения двух углов достаточно сравнить их градусные меры. Задача Луч Ь делит угол (ос), равный 1?0°, но дво угла, один из которых втрое меньше угла (ас) . Пойдите эти углы. Решение Пусть угол (аЬ) втрое меньше угла (ас). Тогда А (аЬ) 120° : 3 = 40°. Согласно аксиоме измерения углов, если луч Ь делит угол (ас) на два угла,, то их сумма равна данному углу: Z (ас) = А(аЬ) + А(Ьс). Тогда А(Ьс) = Z(ac) -- Z(ab): Z (bc) ~ 120° ^ 40° = 80°. Ответ: 40° 80°. 25 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 3.4. Аналогия в геометрии Иногда при решении задач о свойствах отрезков и углов применяются одни и те же методы и подходы. Это объясняется сходством некоторых свойств этих фигур. Такое сходство в науке называется аналогией. Объясним суть аналогии на примере двух следующих задач. Задача 1 На отрезке АВ, равном 20 см, отг мечена точка С. Найдите расстот яние между серединами отрезков АС и СВ. Задача 2 Луч С делит угол (аЬХ равный 140°, на два угла. Найдите угол между биссектрисами углов (ас} \л^(сЬ). На первый взгляд, перед нами совершенно разные задачи, поскольку в одной речь идет об отрезках, а во второй — об углах. Однако в обеих задачах дано некоторое «целое», разделенное на части. Кроме того, понятия середины отрезка и биссектрисы угла связаны с делением целого пополам, и в обеих задачах нам необходимо найти сумму Решение Пусть точка С принадлежит отрезку АВ. точки И, и S, — середины отрезков АС и СВ соответственно (рис. 26). i 1 Тогда А£ = — АС, СВ. - ^ СВ. 1 2 * 2 Найдем длину отрезка AJB'. А,В, = AjC t Сб, ? - (АС + СВ) = 1 - - /«а Пусть луч с делит угол (аЬ) на два угла, лучи а, и — биссектрисы углов (ас) и (сЬ) соответственно (рис. 27), Тогда Z (а,с) = — Z (ac),Z (сЬ.) = = j^(cb). 2 26 §3. Угол. Измерение и откладывание углов Поскольку по условию задачи АВ ■ 20 см, имеем: /16 =,£2. = 10 см. 1 1 2 Ответ: Ю см. Найдем градусную меру угла (ар,); Z (a,bjJ = Z (а,с) + Z (сЬ.) = = i(/(ac)+ Z(cb))= -Z(ab). 2 2 Поскольку по условию задачи Z(ab;) = 140®, имеем: Ответ: 70“ Как видим, в основе обоих решений лежит общая идея. Найдя ее при решении первой задачи, мы можем повторить основные этапы рассуждений применительно к условиям второй задачи, то есть решить ее аналогично. Рассуждения по аналогии довольно часто применяются и в других науках. Например, биологи установили, что летучая мышь в полете испускает ультразвуковые колебания и, воспринимая колебания, отраженные от преграды, ориентируется по этим сигналам в темноте. По аналогичному принципу ученые создали радиолокатор, определяющий местонахождение объектов в любых погодных условиях. Но аналогия в науке не всегда дает желаемый результат: в течение многих веков человек старался взлететь в небо с помощью искусственных крыльев, аналогичных птичьим, но эти старания были напрасными. И только более основательные научные исследования привели к созданию дельтапланов, самолетов и других летательных аппаратов, с помощью которых человек поднялся в воздух. Выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер считал аналогии «своими верными учителями» и подчеркивал, что «аналогиями менее всего следует пренебрегать в геометрии». Однако при этом нужно учитывать, что аналогия, полезная как способ рассуждений, сама по себе не может служить доказательством каких-либо свойств геометрических фигур. 27 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 63. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Может ли угол АВС быть развернутым? 64. Определите, каким (острым, прямым, тупым или развернутым) является угол, который образуют стрелки часов в 3 часа; в 8 часов; в 11 часов; в б часов. 65. Назовите градусную меру угла, на который поворачивается: а) минутная стрелка часов в течение 15 минут; 30 минут; 10 минут; б) часовая стрелка часов в течение 3 часов; 1 часа; 30 минут. 66. Луч I делит угол (mn) на два угла. Сравните углы (ml) и (mn). 67. На рисунке 28 назовите все острые углы; все прямые углы; все тупые углы. 68. Может ли сумма градусных мер двух острых углов быть: а) меньше градусной меры прямого угла; б) равна градусной мере прямого угла; в) больше градусной меры прямого угла; г) больше градусной меры развернутого угла? 69. Луч Ь — биссектриса неразвернутого угла (ас). Может ли угол (аЬ) быть прямым; тупым? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 70. Начертите угол АВС, равный 100°. а) Проведите биссектрису BD данного угла. Какова градусная мера угла DBC ? б) Перегните рисунок по прямой BD. Совпадают ли лучи ВА и ВС ? Как это объяснить? ?8 §3. Угол. Измерение и откладывание углов ^ 71. Начертите на отдельном листе острый угол (оЬ) и проведите из его вершины луч с, делящий данный угол на два угла. а) С помощью транспортира измерьте все образовавшиеся углы и сравните градусные меры углов (ас) и (сЬ). б) Покажите с помощью наложения, какой из углов меньше: (ас) или (сЬ). О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 72. Луч Ь делит угол (ас) на два угла. Найдите: а) угол (ас), если Z(ob) = 63°, Z(bc) = 63°; б) угол (аб),если z(ac) = 109°, Z{bc) = 2S°. 73. Лучи ОВ и ОС делят угол AOD на три угла. Найдите угол вое , если ZAOD = 142° , ZAOB = 12° , а угол COD прямой. 74. Может ли луч Ь делить угол (ас) на два угла, если Z(bc) = 70° , Z[ac) = 65° ? Ответ обоснуйте. 75. Луч BD — биссектриса угла АВС. Найдите углы АВС и ABD, если угол АВС больше угла ВВС на 38°. , 76. Луч Ь — биссектриса угла (ас). Найдите: а) угол (ас), если Z{bc) = 52° ; б) угол (аЬ), если Z[ac) прямой. Уровень Б 77. Луч Ь делит угол (ас), равный 150°, на два угла. Найдите углы (ab) и (Ьс), если: а) угол (аЬ) меньше угла (Ьс) на 40°; б) градусные меры углов (аЬ) и (бс) относятся как 2 : 3. 78. Луч ОВ делит угол АОС, равный 120°, на два угла. Найдите углы АОВ и вое , если: а) угол вое больше угла АОВ в 5 раз; б) градусные меры углов АОВ и ВОС относятся как 3 : 5. 79. Лучи ОВ и ОС делят угол AOD на три угла. Найдите угол ВОС, если ZAOD = 110° , Z АОС = 85°, ZBOO = 60°. 80. Угол (ad) разделен лучами Ь и с на три угла. Найдите угол (ac) , если Z(a&) = 28°, Z(bd) = 92°, Z(cd) = 44°. 29 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 81. Луч I — биссектриса угла [тп). Найдите угол {тп), если угол между биссектрисами углов {ml) и (in) равен 70°. 82. Луч ОБ — биссектриса угла АОС, а луч ОЕ — биссектриса угла вое . Найдите угол АОС, если угол АОЕ прямой. Уровень В 83. Луч ОК делит угол MON на два угла. Найдите угол MON, если угол между биссектрисами углов МОК и KON равен 40°. 84. Из данной точки проведены три луча так, что углы между любыми двумя из них равны. Найдите эти углы. 85. Из данной точки проведено несколько лучей так, что угол меж^у любыми двумя соседними лучами равен 72°. Сколько всего лучей проведено? 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §4 Теоретический материал • параллельные прямые Задачи 86. На плоскости отмечены точки А, В, С» не лежащие на одной прямой. Существует ли прямая, которая проходит через точку А: а) и пересекает прямую ВС , но не пересекает луч ВС ; б) пересекает луч ВС , но не пересекает прямую ВС ; в) не пересекает прямую ВС ? Выскажите предположение. 87. Внутри острого угла АВС отмечена точка D . Определите, какие из данных утверждений верны: а) существует прямая, которая проходит через точку D , пересекает луч ВА и не пересекает луч ВС ; б) существует прямая, которая проходит через точку D , пересекает луч ВА и не пересекает прямую ВС ; в) существует прямая, которая проходит через точку Б и не пересекает ни одну из прямых ВА и ВС . Изменятся ли ответы, если угол АВС будет прямым; тупым; развернутым? Выскажите предположение. 30 §4. Параллельные прямые Параллельный от греческого слова «параллелос» -идущий рядом Рис. 29. Параллельные прямые 4.1. Определение параллельных прямых Известно, что если две прямые на плоскости имеют только одну общую точку, то они пересекаются, Рассмотрим теперь случай, когда две прямые не имеют общих точек. Определение Дее прямые на плоскости назыйаются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных прямых дают, например, железнодорожные рельсы или линейки нотного стана. На рисунке 29 прямые о и fc параллельны. Кратко это обозначают так: а || 6 . Такая запись читается: «Прямая а параллельна прямой Ь^. Итак, можно выделить два случая взаимного расположения прямых на плоскости: две прямые на плоскости или параллельны, или пересекаются. Наряду с параллельностью прямых мы будем рассматривать также параллельность отрезков и лучей. Определение Два отрезка яазыеаются параллельными, если ши лежат на шраялельпых прямых. в D Рис. 30. Параллельные отрезки Аналогично формулируются определения параллельности двух лучей, прямой и отрезка, луча и отрезка и т. п. На рисунке 30 прямые АВ и CD параллельны, поэтому отрезки АВ и CD параллельны, лучи ВА и CD параллельны, отрезок АВ параллелен прямой CD и т. д. 31 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства На практике довольно часто приходится проводить прямую, параллельную данной,— например, делать разметку дороги или чертить поля в тетради. Всегда ли можно провести через данную точку прямую, параллельную данной? Сколько таких прямых проходит через точку, не лежащую на данной прямой? Ответ на эти вопросы дает аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной’. Мы сформулировали лишь некоторые из аксиом планиметрии. Более полный перечень аксиом представлен в Приложении 1. Рис. 31. Две прямые параллельны третьей 4.2. Теорема о двух прямых, параллельных третьей На основе аксиом с помощью логических рассуждений (доказательств) мы будем получать новые геометрические факты. В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Доказывая теорему, используют определения, аксиомы и теоремы, доказанные ранее. Итак, сформулируем и докажем первую теорему — теорему о параллельных прямых (рис. 31). Теорема (о двух прямых, параллельных третьей) Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. ' На самом деле имеет место такое утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну». Возможность провести такую прямую мы докажем в п. 14.3. 32 §4. Параллельные прямые Рис, 32. К предположению о том, что прямые а и fc не параллельны Рис. 33 Доказательство' □ Пусть а, 6 и с — данные прямые, причем а II с , ЬII с . Докажем, что прямые а и Ь параллельны. Предположим, что прямые о и Ь не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке С (рис. 32), Таким образом, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но согласно аксиоме параллельных прямых через точку вне данной прямой может проходить не более одной прямой, параллельной данной. Следовательно, наше предположение о том, что прямые а и Ь могут пересекаться, неверно, то есть эти прямые параллельны. Теорема доказана. ■ Применим доказанную теорему для решения задачи. Задача Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую’прямую. Докажите. Решение Пусть all Ь, и прямая с пересекает прямую а (рис. 33). Докажем, что прямые Ь и с пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются. В таком случае Ь|1с. Поскольку с||Ь и о||Ь, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, прямые а и с параллельны. Но это невозможно, так как по условию задачи прямые о и с пересекаются. Таким образом, предположение о том, что Ы|с, неверно. Значит, прямые Ь и с пересекаются, что и требовалось доказать. ’ Начало и окончание доказательства мы будем обозначать знаками D и ■ соответственно. 33 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Обратим внимание на рисунок 32, который использовался в ходе доказательства теоремы. Взаимное расположение прямых а, Ь, с па этом рисунке не соответствует формулировке теоремы, и это легко объяснить: ведь рисунок отражает предположение, впоследствии оказавшееся неверным. Вообще, рисункам в геометрических теоремах и задачах отводится особая роль — то, что на них изображено, следует из имеющихся у нас сведений, но не наоборот. Недоказанные свойства геометрических фигур, даже если они кажутся очевидными из рисунков, использовать нельзя. Рисунок в геометрии лишь отражает свойства и утверждения, вьфажен-ные словами, но сам по себе не является доказательством. К тому же рисунок может не охватывать всех возможных вариантов расположения элементов фигур, которые подразумеваются в задаче или теореме. Недаром геометрию называют «искусством правильно рассуждать на неправильных чертежах». 4.3. Условие и заключение теоремы. Доказательство от противного в формулировке любой теоремы всегда можно четко выделить две части: то, что дано (условие), и то, что надо доказать (заключение). Переформулируем теорему о двух прямых, параллельных третьей, следующим образом: «Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти прямые параллельны между собой». Нам известно, что две прямые параллельны третьей прямой — это условие теоремы. Требуется доказать, что эти прямые параллельны между собой — это заключение теоремы. Вообще говоря, выделить условие и заключение легче всего для утверждения, представленного в виде: «Если... (условие), то... (заключение)». Проанализируем доказательство теоремы о двух прямых, параллельных третьей. Сначала 34 §4. Параллельные прямые мы предположили, что прямые а и Ь не параллельны, то есть что заключение теоремы ошибочно. Затем, опираясь на известные свойства взаимного расположения прямых, установили, что через некоторую точку С проходят две прямые, параллельные с, то есть пришли к противоречию с аксиомой параллельных прямых. На основании этого противоречия мы сделали вывод о том, что наше предположение было неверным, а значит, верным является утверждение теоремы. Этот метод доказательства называется доказательством от противного, им мы воспользовались и в зa^^a-че, которую рассматривали после теоремы. Но этот метод не единственный: уже в следующем параграфе мы будем применять и другие методы доказательств. Метод доказательства от противного иногда используется как в других науках, так и в повседневной жизни. Например, врач, чтобы убедиться, что пациент не болен гриппом, может рассуждать так: «Допустим, что у больного грипп; тогда у него должны быть характерные симптомы: повышение температуры, головная боль и т. п. Но этих симптомов нет, то есть предположение о гриппе неверно. Значит, пациент не болен гриппом». Схема доказательства от противного Утверждение 1. Пусть А, но не В 2. Рассуждения 3. Противоречие 4. Тогда В Если А. то В Доказательство Предполагаем, что условие теоремы выполняется, а заключение — нет Проводим рассуждения, опираясь на аксиомы и ранее доказанные теоремы Получаем новое утверждение, противоречащее либо данному условию, либо одной из аксиом, либо ранее доказанной теореме Убеждаемся, что наше предположение ошибочно, т. е. данное утверждение является верным 35 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 88. Известно, что а\Ъ. Означает ли это, что Ь||а ? 89. Два отрезка не имеют общих точек. Означает ли это, что данные отрезки обязательно параллельны? 90. Прямые КМ и EF параллельны. Могут ли лучи МК и FE пересекаться? 91. На плоскости проведены три параллельные прямые. Может ли некоторая четвертая прямая: а) пересекать только одну из данных прямых; б) пересекать только две из данных прямых; в) не пересекать ни одной из данных прямых? 92. Можно ли провести два луча с началом в точке вне данной прямой, которые были бы параллельны данной прямой? Какими должны быть эти лучи? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 93. С помощью линейки проведите параллельные прямые а и &. а) Отметьте на прямой а точку А. Можно ли провести через точку А другую прямую, параллельную прямой Ь ? Почему? б) Постройте отрезок AD, параллельный прямой Ъ. Лежит ли точка D на прямой а ? в) Проведите через точку А прямую с, не совпадающую с прямой а. Пересекаются ли прямые Ь и с ? Почему? 94. С помощью линейки проведите параллельные прямые а я Ь. а) Проведите прямую с , параллельную прямой а . Параллельны ли прямые Ь и с? Почему? б) Отметьте на прямой с точки А , В и С. Назовите два луча, параллельные прямой Ь. 36 §4. Параллельные прямые ш А С Рис. 34 ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 95. Даны прямая а и точки А, В и С в (рис. 34). Сколько прямых, параллельных ^ прямой а, можно провести через данные точки? Проведите все такие прямые. Могут ли они пересекаться? Ответ обоснуйте. 96. Прямая параллельна одной из двух параллельных прямых. Может ли она пересекать вторую прямую? Ответ обоснуйте. » 97. Две прямые параллельны. Докажите методом от противного, что любая третья прямая не может пересекать обе данные прямые в одной и той же точке. 98. Докажите методом от противного утверждение: «Если прямая параллельна одной из сторон неразвернутого угла, то она не может быть параллельна другой его стороне». Уровень Б 99. Три параллельные шоссейные трассы пересекаются двумя другими параллельными трассами. Сколько пересечений образуется? 100. На плоскости проведены прямые а, 6, с и d, причем а\\Ь, с I! d . Прямые а и с пересекаются. Сколько всего точек пересечения имеют данные прямые? 101. Через точку, не лежащую на прямой с, проведены четыре прямые. Сколько из них могут пересекать прямую с? Рассмотрите все возможные случаи. 102. На плоскости проведены четыре прямые, причем три из них имеют одну общую точку. Сколько пар параллельных прямых может образоваться на плоскости? Рассмотрите все возможные случаи. 103. Прямая а параллельна прямой fc и не параллельна прямой с. Докажите, что прямые Ъ н с пересекаются. 104. Прямые а и Ь пересекаются, прямая с параллельна прямой Ь. Докажите, что любая прямая, параллельная прямой а, пересекает прямые Ь я с. 37 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Уровень В 105. На плоскости проведены несколько прямых, причем никакие три из них не пересекаются в одной точке. Всего образовалось три точки пересечения. Сколько прямых проведено? Рассмотрите все возможные случаи. 106. На плоскости проведены три прямые. При этом образовалось две точки пересечения. Докажите, что среди данных прямых есть параллельные. 107. На плоскости проведены четыре прямые. При этом образовалось шесть точек пересечения. Докажите, что среди данных прямых нет параллельных. 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §5 Теоретический материал • дополнительные лучи • измерение углов ♦ п. 1.3; 3.3 V Задачи 108. Лучи бис делят развернутый угол {ad) на три утла. Найдите угол (6d), если Z(ас) = 135°, Z(bc) = 20°. Сколько решений имеет задача? 109. Луч QAj является дополнительным к стороне ОА угла АОВ. Найдите угол АОВ , если он равен углу А^ОВ . }8 §5. Смежные углы Рис. 35. Углы АОС и СОВ смежные Рис. 36. Углы 1 и 2 имеют общую сторону, но не смежные Рис. 37. Стороны а и Ь углов 1 и 2 — дополнительные лучи, но Эти углы не смежные Рис. 38. Сумма углов (аЬ) и (fee) равна 180® 5.1. Определение смежных углов в предыдущих параграфах мы рассматривали виды углов в зависимости от их градусной меры. Перейдем к изучению углов, имеющих общие элементы. Пусть на прямой точка О лежит между точками А и В, а С — произвольная точка вне прямой АВ (рис. 35). Тогда углы АОС и СОВ имеют общую сторону, а стороны ОА и ОБ данных углов являются дополнительньпаи лучами. Определение * Два угла называются смежными, если они имеют общую сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. Пропуск хотя бы одного условия в формулировании определения недопустим; это может привести к тому, что будет описан иной геометрический объект. Так, если стороны двуз« углов не являются дополнительными лучами, то даже при наличии общей стороны такие углы — не смежные (рис. 36). Не являются смежными и углы, которые не удовлетворяют первому условию определения, то есть не имеют общей стороны (рис. 37). 5.2. Теорема о смежных углах. Следствия из теоремы Теорема (о смежных углах) Сумма смежных углов равна 180®. Доказательство □ Пусть углы (аЬ) и {Ьс) — данные смежные углы (рис. 38). Тогда по определению смежных углов лучи а и с дополнительные, то есть угол (ас) 39 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства развернутый, а его градусная мера равна 180°. Луч Ь делит угол (ас) на два угла, и по аксиоме измерения углов Z(ab)+Z(bc)= Z(ac) = 180° . Теорема доказана. ■ Рис. 39. Углы, смежные с равными углами, также равны Рис. 40. Углы, смежные с одним и тем же углом, равны Рис. 41. Угол, смежный с прямым углом, прямой Сформулируем теперь несколько утверждений, которые легко обосновать с помощью доказанной теоремы. 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. Действительно, по теореме о смежных углах Zl-t-Z2 = Z3-bZ4 = 180° (рис. 39). Если Z1 = Z3, то 180°-Z1 = 180°-Z3, тоесть Z2 = Z4. 2. Два угла, смежные с одним и тем же углом, равны. На рисунке 40 углы 1 и 2, а также углы 1 и 3 являются смежными. Поскольку сумма смежных углов равна 180°, то Z2 = Z3 = 180°-Z1. 1 3. Угол, смежный с прямым углом, также прямой. Угол, смежный с тупым углом,— острый. Угол, смежный с острым углом,— тупой. Эти утверждения вытекают из теоремы о смежных углах, поскольку 180°-90° = 90° (рис. 41), а если два неравных угла в сумме составляют 180°, то один из них больше 90° (то есть тупой), а второй — меньше 90° (то есть острый). В математике утверждения, непосредственно вытекающие из теорем (или аксиом), называют следствиями. Обосновывая следствия 1—3, мы всякий раз упоминали теорему о смежных углах, причем делали это двумя способами: либо указывали ее название, либо пересказывали ее содержание. Такие обращения к известному утверждению с целью обоснования нового называют ссылками. Ю §5. Смежные углы Решая геометрическую задачу или доказывая новую теорему, необходимо ссылаться на ранее изученные определения, аксиомы, теоремы и их следствия, а также на данные, содержащиеся в условии задачи или вытекающие из него. Например, при доказательстве теоремы о смежных углах мы ссылались на определения смежных углов, развернутого угла и аксиому измерения углов, а при доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, — на аксиому параллельных прямых. Задача Докажите, что если дао смежных угла равны, то они прямые. Решение Если Zl и Z2 — смежные углы, то Zl + Z2 =l80° (по теореме о смежных углох). Поскольку по условию задачи Zl = Z2, то каждый из этих углов равен 180°: 2 = 90°. то есть данные углы являются прямыми, что и требовалось доказать, Вопросы и задачи Ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 110. Два угла имеют общую сторону. Означает ли это, что: а) данные углы имеют общую вершину; б) сумма этих углов равна 180°? 111. Могут ли оба смежных угла быть: а) острыми; б) прямыми; в) тупыми? 41 ГЛАВА i. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 112. Лучи Ь и с делят развернутый угол (ad) на три угла (рис. 42). Сколько пар смежных углов при этом образовалось? Назовите эти углы. 113. Рисунок, на котором изображены смежные углы, перегнули по прямой, содержащей их общую сторону. При этом другие стороны данных углов совпали. Найдите данные смежные углы. 114. Найдите угол, смежный с углом, равным: 30°; 60°; 90°; 135°. Рис. 42 ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 115. Начертите развернутый угол (аЬ). а) Из вершины данного угла проведите луч с так, чтобы угол (ас) был тупым. Назовите образовавшиеся смежные углы. б) Измерьте транспортиром угол (сЬ) и вычислите градусную меру угла (ас), пользуясь теоремой о смежных углах. в) Проведите луч d, делящий угол (ас) на ’два угла. Сколько пар смежных углов образовалось на рисунке? 116. Начертите угол АВС, равный 45°. а) Проведите луч BD так, чтобы углы DBA и АВС были смежными. Найдите градусную меру угла DBA . б) Проведите луч ВМ, делящий угол DBA на два угла, один из которых равен углу АВС. Сколькими способами это можно сделать? Будут ли равные углы смежными? О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 117. Две прямые пересекаются. Сколько пар смежных углов при этом образовалось? 118. Через вершину неразвернутого угла проведена прямая, содержащая его биссектрису. Сколько пар смежных углов при этом образовалось? 42 §5. Смежные углы 119. Найдите смежные углы, если: а) их градусные меры относятся как 5:31; б) их разность равна 70°. 120. Найдите смежные углы, если один из них а) втрое больше другого; б) на 20° меньше другого. 121. Биссектриса делит угол АОВ на два угла, один из которых равен 50°. Найдите градусную меру угла, смежного с углом АОВ. 122. Углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 — две пары смежных углов. Сравните углы 2 и 4, если Zl> Z3. 123. На рисунке 43 ZAOB = 12°, ZCOD = 37°. Найдите угол ВОС . Уровень Б 124. Найдите данный угол, если сумма двух смежных с’ ним углов равна 240°. 125. Биссектриса угла образует с лучом, дополнительным к стороне данного угла, угол 130°. Найдите данный угол. 126. Найдите угол, сторона которого образует с лучом, дополнительным к биссектрисе данного угла, угол 165°. 127. Лучи Ь и с делят развернутый угол [ad) на три угла (рис. 42). Найдите наибольший из этих углов, если Z (ас) = 160°, Z(bd) = 140°. 128. Найдите угол ВОС (рис. 43), если Z BOD = 112°, Z АОС = 138°. Уровень В 129. Разность двух смежных углов относится к одному из них как 5:2. Найдите эти смежные углы. 130. Биссектриса данного угла образует с его стороной угол, равный углу, смежному с данным. Найдите данный угол. 43 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 131. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. 132. Сумма двух углов, имеющих общую сторону, равна 180°. Обязательно ли эти углы смежные? 133. Если биссектрисы углов АОВ и ВОС образуют прямой угол, то точки А, О и С лежат на одной прямой. Докажите. 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §6 Теоретический материал • перпендикулярные прямые • измерение углов 6 класж у п. 3.3 Задачи / 134. Углы (ттш) и [kp) являются смежными с углом (пр). Среди лучей m, п , k, р назовите пары дополнительных лучей.’ 135. Углы [аЬ) и (Ьс) смежные. Углы (Ьс) и {cd) также смежные, причем Z(cd) = 32°. Найдите углы (^ad) и (аЬ). 44 §6. Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые Вертикапьнь(й от латинского кеер' тикалис» -" вершинный В D Рис. 44. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов 6.1. Определение вертикальных углов Рассмотрим еще один случай взаимного расположения углов с общими элементами. Определение Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон второго. На рисунке 44 прямые АС и BD пересекаются в точке О. Стороны OD и ОА угла AOD являются дополнительными лучами сторон ОВ и ОС угла вое , поэтому эти углы — вертикальные. Вертикальными являются также углы АОВ и DOC. Таким образом, при пересечении двух прямых^ образуются две пары вертикальных углов. Наглядное представление о вертикальных углах дают, например, обычные ножницы. 6.2.Теорема о вертикальных углах. Угол между прямыми Основное свойство вертикальных углов выражает следующая теорема. Теорема (о вертикальных углах) Вертикальные углы равны. Здесь и далее, говоря об углах, образованных при пересечении двух прямых, мы будем иметь в виду неразвернутые углы. 45 ГЛАВА (.Простейшие геометрические фигуры и их свойства Рис. 45. Вертикальные углы являются смежными с одним и тем же углом Рис. 46 Доказательс.тво □ Пусть Z1 и Z2 — вертикальные углы, образовавшиеся при пересечении прямых а и Ь (рис. 45). Рассмотрим угол 3, сторонами которого также являются полупрямые прямых а и &. Углы 1 и 2 смежные с углом 3 (по определению смежных углов), поэтому по следствию из теоремы о смежных углах Z1 = Z2. Теорема доказана. ■ Зйдоча Сумма двух углов, образовавшихся при ^пересечении двух прямых, равна 100°. Найдите все образовавшиеся углы. Решение По условию задачи при пересечении двух прямых образовались два угла, сумма которых составляет 100°. Эти углы могут быть или смежными, или вертикальными. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому данные углы не могут быть смежными, значит, они вертикальные. Пусть Z1 + Z3 г 100 (рис. 46). Так как вертикальные углы равны, то каждый из двух данных углов равен 100° : 2 = 50°. Таким образом, Z1 = Z3 = 50°. Поскольку углы 1 и 2 смежные, то Z2 = 180°- Z1 = 180°- 50° = 130° (по теореме о смежных углах). Поскольку углы 2 и 4 вертикальные, то Z4 = Z2 = 130° (по теореме о вертикальных углах). Ответ. 50°; 130°; 50°; 130°. Определение Углом между двумя прямыми называется меньший из углов, образовавшихся при их пересечении. 46 §6Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые 150° Рис. 47. Две данные прямые пересекаются под углом 30° Перпендикулярный— от латинского слова «перпендикулярис» -отвесный Рис. 48. Прямые а яЬ перпендикулярны а п ь п с Рис. 49. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны На рисунке 47 две прямые при пересечении образуют два угла по 30° и два угла по 150°. Угол между данными прямыми по определению равен 30° (иначе говорят: прямые пересекаются под углом. 30°). Очевидно, что если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то все они равны 90°, то есть данные прямые пересекаются под прямым углом. 6.3. Перпендикулярные прямые Определение Две прямые называкэтся перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. На рисунке 48 прямые а и & перпендикулярны. Кратко это обозначают так: а ± Ь . Отрезки или лучи называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Докажем важное утверждение} связывающее понятия перпендикулярности и параллельности прямых. Теорема (о двух прямых, перпендикулярных третьей) Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 49. На этом рисунке aJ-C, Ь±с, а||Ь. Доказательство □ Пусть даны прямые и пер- пендикулярные прямой АВ. Докажем методом от противного, что II В^В^. Предположим, что данные прямые не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке (рис. 50). 47 ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Рис. 50. К предположению о том, что прямые и пересекаются 11ерегнем рисунок по прямой АВ. Поскольку прямые углы 1 и 2 равны, то при перегибе луч АА^ совместится с лучом АА^. Аналогично луч ВВ^ совместится с лучом ВВ^. Поэтому точка К^, в которой пересекаются данные прямые, должна совместиться с некоторой точкой , также лежащей на этих пря- мых. Таким образом, через точки и проходят две прямые А^А^ и В^В^, что невозможно по аксиоме проведения прямой. Следовательно, наше предположение неверно, то есть прямые А^А^ и В^В^ параллельны. Теорема доказана. I Свойство, описанное в теореме, используется для построения параллельных прямых с помощью линейки и угольника (рис. 51). Дважды прикладывая угольник к линейке, можно провести две прямые, перпендикулярные краю линейки. По доказанной теореме такие прямые параллельны. Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 136. Могут ли две прямые при пересечении образовать три острых угла; только один тупой угол; четыре прямых угла? 48 §5 Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые 137. Верно ли утверждение: «Два равных угла с общей вершиной являются вертикальными»? 138. Углы 1 и 2 образовались при пересечении двух неперпендикулярных прямых. Определите, являются ли данные углы смежными или вертикальными, если: а) их сумма больше 180°; б) лишь один из них острый; в) их сумма меньше суммы двух других полученных углов. 139. Градусные меры двух смежных углов — ос и Р. Могут ли ос и Р быть градусными мерами двух вертикальных углов? В каком случае? 140. При пересечении двух прямых образовался тупой угол а. Чему равен угол между данньпаи прямыми? 141. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, ни один из которых не является острым. Под каким углом пересекаются данные прямые? 142. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых а и Ъ проведена прямая с. Может ли она быть перпендикулярна какой-либо из прямых а VI Ы ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 143, Начертите прямые а и Ь, пересекающиеся в точке О под углом 80°. а) Выделите цветом все пары вертикальных углов, образовавшихся на рисунке. Каковы градусные меры этих углов? б) Проведите через точку О прямую, перпендикулярную прямой а. Будет ли эта прямая перпендикулярна прямой Ъ ? 144. Начертите перпендикулярные прямые а н Ь, пересекающиеся в точке О. а) Отметьте на прямой а точку В. С помощью угольника проведите через эту точку прямую с, перпендикулярную прямой а. ♦. б) Параллельны ли прямые Ь и с? Почему? 49 ГЛАВА i. Простейшие геометрические фигуры и их свойства О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 145. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 125°. Найдите остальные углы. Чему равен угол между данными прямыми? 146. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если: а) биссектриса отсекает от одного из них угол 23°; б) один из углов втрое больше другого. 147. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечений двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 320°; б) один из этих углов на 50° меньше другого. 148. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке К. Назовите: а) три отрезка, перпендикулярных прямой CD; б) четыре луча, перпендикулярных отрезку АК . 149. Один из углов, образовавшихся при пересечении* двух прямых, тупой. Докажите методом от противного, что ни один из остальных образовавшихся углов не может быть прямым. 150. При пересечении двух прямых образовались четыре угла, один из которых прямой. Докажите, что остальные углы также являются прямыми. 151. Прямые а и Ь перпендикулярны. Прямая с проходит через точку их пересечения и образует с прямой а угол 70°. Найдите угол между прямыми с и Ь. 152. Прямая с проходит через точку пересечения прямых а и Ь, причем прямые а и Ь пересекаются под углом 25°, прямые а и с перпендикулярны. Найдите угол между прямыми Ь и с. Уровень Б 153. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если: а) сумма трех из них равна 295°; б) градусные меры двух из этих углов относятся как 4 : 5. 50 §6. Вертикальные углы. Перпендикулярные прямые 154. Найдите угол между двумя пересекающимися прямыми, если: а) сумма двух образовавшихся углов на 80° меньше суммы двух других углов; б) один из образовавшихся углов вдвое меньше суммы трех остальных углов. 155. Три прямые пересекаются в одной точке так, что два из образовавшихся при пересечении углов равны 56° и 39° (рис. 52). Найдите четыре других угла между соседними лучами. 156. Две прямые пересекаются в точке О. Биссектриса oднo^o из углов, образовавшихся при пересечении, составляет с одной из данных прямых угол 72°. Найдите угол, под которым пересекаются данные прямые. 157. Даны прямые а, Ь, с и d, причем а±с, Ь ±с, a\d- Докажите, что прямые bad параллельны. 158. Прямые а и Ь пересекаются, а прямая с перпендикулярна прямой а. Докажите, что прямые Ь и с не могут быть перпендикулярными. Уровень В 159. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен сумме двух других углов. Найдите угол между данными прямыми. 160. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов являются дополнительными полупрямыми. 161. Два равных утла имеют общую вершину, а их биссектрисы являются дополнительными лучами. Докажите, что эти углы вертикальные. 162. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых проведена третья прямая. Найдите наименьший из тупых углов, которые образовались при пересечении этих трех прямых, если наибольший из образовавшихся тупых углов равен 165°. 163. Через точку на плоскости проведены пять прямых. Какое наибольшее количество пар- перпендикулярных прямых может быть среди данных прямых? 51 ГЛАВА I Простейшие геометрические фигуры и их свойства ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §7 Теоретический материал • треугольник • равные отрезки • равные углы 5 класс п. 2.2; 3.2 Задачи 164. Отрезки АВ и CD лежат на одной прямой и имеют общую се- редину О. Найдите длину отрезка CD, если ОА = 4 см, АС = 12 см. Сколько решений имеет задача? * 165. Углы [аЬ) и (cd) имеют общую вершину и общую биссектрису I. Найдите угол (сЬ), если Z(ab) = 50°, Z(d/) = 10°. Сколько решений имеет задача? Задачи для подготовки к контрольной работе № 1 « 1. На луче с началом в точке А постройте отрезки АВ и АС так, чтобы АВ = 8 см, АС = 5 см. а) Какая из трех данных точек лежит между двумя другими? б) Какова длина отрезка ВС ? 2. Луч OL делит угол MON на два угла так, что ZMOL = 84° и ZLON -18° . Луч ОК — биссектриса угла MON • Найдите угол KOL. 3. Прямые а и Ь пересекаются, прямая с параллельна прямой а. Докажите методом от противного, что прямые Ь и с не параллельны. 4. Разность двух смежных углов равна одному из них. Найдите эти смежные углы. 5. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 60° больше четвертого угла. Найдите угол между данными прямыми. 6. Углы АОВ и СОВ смежные, причем ZAOB = 108°. Из точки О проведен луч OD так, что ZCOD = 126°. Является ли луч OD биссектрисой угла АОВ ? Ответ обоснуйте. 52 Итоги итоговый ОБЗОР ГЛАВЫ I ТОЧКА И ПРЯМАЯ Аксиома проведения прямой Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну Аксиома расположения точек на прямой Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Пересекаются Параллельны Углом между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из углов, образовавшихся при их пересечении Д. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются Перпендикулярными прямыми называются две прямые, пересекающиеся под прямым углом Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной ТЕОРЕМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ Теорема о двух прямых, параллельных третьей Теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей ~1 п Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны 53 Луч Лучом называется часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от некоторой данной на ней точки (начала луча), а также самой этой точки Отрезок Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух данных точек этой прямой (концов отрезка) и всех точек, лежащих между ними Дополнительными лучами называются два разных луча одной прямой с общей начальной точкой Угол Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон угла), исход5Пцих из одной точки (вершины угла) Равными отрезками называются отрезки, которые совмещаются наложением Аксиомы измерения и откладывания отрезков * Каждый отрезок имеет определенную длину, которая выражается положительным числом в заданных единицах измерения. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые отрезок делится любой его точкой. ‘ На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок данной длины, и только один Равными углами называются углы, которые совмещаются наложением Аксиомы измерения и откладывания углов *■ Каждый угол имеет градусную меру, которая выражается положительным числом. Развернутый угол равен 180°. Если луч делит данный угол на два угла, то градусная мера данного угла равна сумме градусных мер двух полученных углов " От любого луча данной прямой можно отложить в заданную сторону от прямой угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один 54 -h -h Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит угол пополам ВИДЫ УГЛОВ (ПО ГРАДУСНОЙ МЕРЕ) ZIi. Острый угол — угол, меньший 90° Прямой угол — угол, равный 90° Тупой угол — угол, больше 90°, но меньше 180° Развернутый угол — угол* равный 180° УГЛЫ, ОБРАЗУЮЩИЕСЯ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ Смежные углы — два угла, которые имеют общую сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами Теорема о смежных углах Сумма смежных углов равна 180° Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополнительными лучами сторон другого Теорема о вертикальных углах Вертикальные углы равны Следствия из теоремы о смежных углах 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. 2. Два зтла, смежные с одним и тем же углом, равны. 3. Угол, смежный с прямым углом, также прямой. Угол, смежный с тупым углом, — острый. Угол, смежный с острым углом, — тупой 55 ГЛАВА Простейшие геометрические фигуры и их свойства О КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. Как они обозначаются? 2. Сформулируйте аксиому проведения прямой. 3. Сформулируйте аксиому расположения точек на прямой. 4. Какая фигура называется лучом (полупрямой)? Как обозначаются лучи? 5. Какие лучи называются дополнительными? 6. Дайте определение отрезка. Как обозначается отрезок? 7. Какие отрезки называются равными? Как сравнить два отрезка? * 8. Сформулируйте аксиому измерения и откладывания отрезков. Как сравнить два отрезка с заданными длинами? 9. Дайте определение середины отрезка. 10. Дайте определение угла. Как обозначаются углы? 11. Какой угол называется развернутым? 12. Какие углы называются равными? Как сравнить два угла? 13. Сформулируйте аксиомы измерения и откладывания углов. Как сравнить два угла с заданными градусными мерами? 14. Назовите единицу измерения углов. Какие углы называются острыми, прямыми, тупыми? 15. Дайте определение биссектрисы угла. 16. Дайте определение параллельных прямых. Назовите два случая взаимного расположения прямых на плоскости. Какие отрезки (лучи) называются параллельными? 17. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. В чем состоит отличие аксиом от теорем? Приведите примеры аксиом из курса геометрии. 18. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, параллельных третьей. 19. В чем состоит метод доказательства от противного? Опишите этапы рассуждений при доказательстве от противного. 20. Дайте определение смежных углов. 21. Сформулируйте и докажите теорему о смежных углах. 22. Сформулируйте следствия из теоремы о смежных углах. S6 Итоги к главе I О 23. Дайте определение вертикальных углов. 24. Сформулируйте и докажите теорему о вертикальных углах. 25. Дайте определение угла между прямыми. Сколько острых, тупых, прямых углов может образоваться при пересечении двух прямых? 26. Дайте определение перпендикулярных прямых. 27. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных третьей. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 166. На прямой отмечены точки А и С так, что АС = 3 . Точка В лежит на отрезке АС , причем АВ: ВС = 2:1. Найдите на данной прямой все точки D такие, что AD + BD = CD. 167. Точки А VI В движутся по прямой. Определите, на какую величину переместится середина отрезка АВ, если точка А переместится на 3 единицы, а точка В — на 7 единиц. Рассмотрите случаи движения точек в одном направлении и в противоположных направлениях. 168. На линейке отмечены три деления: О см, 2 см и 5 см. Как при помощи такой линейки построить отрезок длиной 6 сМ? 169. Как при помощи угольника с углом 35° отложить угол 40°? 170. Дан шаблон угла в 17°. Как при помощи этого шаблона построить: а) угол 7°; б) угол 10°? 171. Как при помощи шаблона угла в 27° построить две перпендикулярные прямые? 172. Сколько углов, меньших 180°, изображено на рисунке 53? 173. Лучи бис делят угол [ad) на три равных угла. Докажите, что биссектриса угла (бс) является биссектрисой угла (ad). 174. Точка М лежит вне внутренней области угла АОВ . Луч ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ. 175. Точка М лежит во внутренней области угла АОВ . Луч ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол МОС равен модулю по-луразности углов АОМ и ВОМ. 57 Историческая справка Древнейимя н«1ука reoMf оия как и математика в целом, зарождалась из потребностей практической деятельности. Везде, где жили и работали люди, необходимо было измерять, вычислять, размышлять. Первые документальные свидетельства о геометрических знаниях дошли до нас из Древнего Египта. Каждый год воды Нила затапливали почти все прибрежные земли, поэтому египтянам приходилось вновь их размежевывать. Именно так в процессе работы устанавливались простейшие свойства геометрических фигур. Стэ*^г. тение геометрии. Становление геометрии как строгой науки связано с работами древнегреческих ученых: Фалеса (ориент. 625-547 гг. до н. э.), Пифагора (ориент. 570~500 гг. до н. э.), Евдокса (ориент 408-355 гг. до н. э.). Одной из выдающихся фигур в истории геометрии по праву считается Евклид Александрийский (ориент. 330-275 гг. до н. э.). Его произведение «Начала» стало учебником, по которому изучали геометрию на протяжении почти двух тысяч лет. Евклид первым применил именно тот подход к изложению геометрии, которым мы пользуемся сейчас; сначала сформулировал основные определения и свойства простейших фигур (аксиомы), а затем, опираясь на них. доказал многие другие утверждения. Евклид Возведенные за две-четыре тысячи лет до нашей эры, египетские пирамиды и сегодня поражают точностью метрических отношений; строители уже тогда знали немало геометрических положений и расчетов. А. П. Киселев А. В. Погорелов ' - - ■ i н . Интересные страницы истории развития геометрии, в частности ее преподавания в школе, связаны с Украиной. Именно здесь, в одной из харьковских гимназий, в конце XIX в. начинал свою деятельность известный русский педагог Андрей Петрович Киселев (1852-1940), по учебнику ко- Профессор Харьковского университета Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002) обогатил современную геометрию новейшими исследованиями и создал школьный учебник, по которому занимались несколько поколений учащихся. Исследования и открытия ученых-геометров нашли применение во многих областях человеческой деятельности. Геометрия аала элементом общечеловеческой культуры - ведь без знания основ геометрии невозможно представить себе современного просвещенного человека. ГЛАВА I. Простейшие геометрические фигуры и их свойства ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ К ГЛАВЕ I 1. Измерение расстояний и углов на местности. 2. Происхождение основных геометрических терминов. 3. Система геометрических аксиом — от Евклида до наших дней. 4. А. В. Погорелов — выдающийся украинский геометр. 5. Логическая правильность определений. 6. Аналогия как вид умозаключения. Рекомендованные источники информации ^ 1. Математична хрестоматая.— К.: Рад. шк., 1970.— Т. 1, 2. 2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл.— М.: Просвещение, 1982. 3. Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? (Популярные лекции по математике, вып. 38).— М.: Физматгиз, 1963. 4. Перельман Я. И. Занимательная геометрия.— М.: Физматгиз, 1959. 5. Гетманова А. Д. Логика.— М.: Дрофа, 1995. , 6. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirrorO.mccme.ru/ 7. Гранд геометрии. А. В. Погорелов. https://kharkov.vbelous.net/avp/ homepage.htm/ 60 .■ -г /РЛ' .'■-^...:^-Т >т'г I/ )5ч.-».4; М ^ f/ f |^ава II ТРЕУГ©ЛЬН1^И § 7. Треугольник и его элементы § 8. Первый признак равенства треугольников и его применение « § 9. Перпендикуляр к прямой § 10. Второй признак равенства треугольников и его применение § 11. Равнобедренный треугольник § 12. Медиана, биссектриса и высота треугольника § 13. Третий признак равенства треугольников и его применение § 14. Признаки параллельности прямых § 15. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей § 16. Сумма углов треугольника § 17, Прямоугольные треугольники § 18. Сравнение сторон и углов треугольника Ш Среди равных умов — при одинаковых прочих условиях — превосходит тот, кто знает геометрию. Блез Паскаль, французский ученый Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники. В этой главе мы не только изучим «внутрен-нее устройство* треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам щзедстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии. §7. Треугольник и его элементы В Рис. 54. Треугольник АВС Периметр — от греческого «пери» -вокруг и «метрео» -измеряю, измеренный вокруг -Л "«да» 7.1, Определение треугольника и его элементов о п редел ен ие Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки. * Треугольник обозначается знаком Д и перечислением его вершин в произвольном порядке. На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А , В , С к сторонами АВ, ВС , АС . Этот треугольник можно обозначить так: Л АВС, ABAC, АСВА и т. д. Определение Углом треугольника АВС при вершине А называется угол ВАС. Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол АВСр) или одной буквой, которая указьшает его вершину (например, «угол А треугольника АВС »). Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае уз'ол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике АВС угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС . Стороны и углы треугольника часто называют его элементами. Определение Периметром треугольника называется сумма всех его сторон. 63 ГЛАВА > Треугольники и их свойства Рис. 55. Фигури F, и совмещаются наложением Периметр обозначается буквой Р . По определению Рд^вс = +ПС + АС. Любой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника. 7.2. Равенство фигур. Равные треугольники Согласно ранее данным определениям, два отрезка (угла) называются равными, если они совмещаются наложением. Обобщим это определение для произвольных фигур. пределение Две геометрические фигуры называются равными, если они совмещаются наложением. На рисунках 55 изображен^! фигуры и Fj. Если представить, что фигура изображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру (той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры и F^. В таком случае фигуры Fj и F^ по определению равны. Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства «==». Запись Fj = F^ означает «фигура Fj равна фигуре F^ ». Рассмотрим равные треугольники^ АВС и vijEjCj (рис. 56). По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле- ' Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1. 64 §7. Треугольник и его элементы В Рис. 56. Треугольники АВС и AiBfii равны менту треугольника АВС будет соответствовать равный элемент треугольника A^B^C^. Условимся, что в записи AABC = AA,B,Cj мы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если А АВС = AyljBjCj, то = ZB = ZB^ , ZC = ZC^ , АВ = А^В^, ВС = В,С,, АС = ДС,. Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обыч-* но обозначают одинаковым количеством черточек, а соответственно равные углы — одинаковым количеством дужек (рис. 56). А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем. Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 176. На прямой отмечены три точки. Могут ли эти точки быть вершинами треугольника? 177. В треугольнике КМР назовите: а) углы, прилежащие к стороне МР ; б) угол, противолежащий стороне КР ; в) сторону, противолежащую углу К ; г) стороны, прилежащие к углу Р . 178. Два треугольника равны. Равны ли их периметры? 179. Периметры двух треугольников равны. Обязательно ли ржвны сами трзеугольники? 65 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 180. Известно, что ААВС = AAjJSjCj, Означает ли это, что: а) ACAB = ACjAiBi; б) ААВС^АА^ед? 181. Известно, что AABC = ADEF . Назовите: а) угол, который при наложении треугольников совместится с углом Е; б) сторону, которая при наложении треугольников совместится со стороной АС; в) угол, равный углу С; г) сторону, равную стороне DE . ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 182. Начертите треугольник АВС . а) Измерьте стороны треугольника и вычислите его периметр. б) Вырежьте построенный треугольник и с помощью полученного шаблона начертите треугольник, равный данному (или скопируйте построенный треугольник на экране компьютера). Почему треугольники будут равны? 183. Начертите треугольник АВС и вырежьте его цз бумаги. а) С помощью полученного шаблона начертите треугольник MNK, равный треугольнику АВС . б) Приложите шаблон к треугольнику MNK так, чтобы отрезки MN и АВ совместились, а точки С п К лежали по разные стороны от прямой АВ. Обведите шаблон. в) Перегните рисунок по прямой АВ. Обязательно ли точки С и К совпадут? О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 184. В треугольнике АВС АС = 6 см, сторона АВ меньше ВС па 2 см, а стороны, прилежащие к углу С, равны. Найдите периметр треугольника. 185. Периметр треугольника АВС равен 24 м, причем АВ = 10 м, а сторона ВС втрое меньше АС . Назовите угол треугольника, противолежащий его наибольшей стороне. 66 §7. Треугольник и его элементы 186. Известно, что AABC = AKMN . Найдите: а) угол N , если ZC = 125°; б) сторону АВ, если КМ = 11 см; в) периметр треугольника KMN, если АВ = 11 см, MN = 8 см, KN = 1 см. 187. Известно, что Z,BAC=Z^EFK. а) Назовите наибольший угол треугольника ВАС , если наибольший угол треугольника EFK является протршолежа-щим стороне EF. б) Назовите наименьшую сторону треугольника EFK , если АВ>ВС>АС. ^ в) Назовите треугольник, равный треугольнику АВС. 188. На рисунке 57 треугольник АВС равен треугольнику с вершинами в точках Р , Q, R . Закончите равенство А АВС = А— 189. Треугольник АВС равен треугольнику с вершинами в точках X , У, Z . Запишите равенство этих треугольников, если АВ = YZ, BC = ZX. AC = YZ. Уровень Б 190. Точки А, В н С лежат на одной прямой, а точка D не лежит на прямой АС • Сколько треугольников с вершинами в данных точках можно построить? Сделайте рисунок. 191. В треугольнике АВС АВ: ВС: АС = 3:5:7. Найдите: а) периметр треугольника, если ВС = 15 мм. б) наименьшую сторону треугольника, если его периметр равен 60 мм. в) наибольшую сторону треугольника, если разность двух других его сторон равна 4 мм. 192. Периметр треугольника АВС равен 18 см, причем АВ + ВС = = 12 см, ВС + АС = 13 см. Назовите углы, прилежащие к наибольшей стороне треугольника. 193. Известно, что ААВС = ADEF =AKMN , причем ZA = 45°, ZF = 80°, ZM = 55°. Найдите неизвестные углы этих треугольников. 67 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 194. Известно, что AABC = ADEF~AKMN, причем АБ = 9 см, MN = 8 см, “24 см. Найдите неизвестные стороны этих тре- угольников. 195. Могут ли быть равными треугольники, у которых наибольшие углы не равны? Ответ обоснуйте. —^ 196. Если периметры двух треугольников не равны, то и сами треугольники не равны. Докажите. Уровень 6 197. Известно, что AABC-AKMN и ZA = ZN . Докажите, что треугольник АВС имеет равные углы, назовите их. 198. Известно, что AABC-AKMN . Назовите наименьший угол треугольника АВС, если в треугольнике KMN ZK> ZN , а угол, противолежащий стороне КМ, не наименьший. 199. Треугольник АВС равен треугольнику с вершинами в точках X , У, Z. Запишите равенство этих треугольников, если ZA> ZX, ZAZZ. 200. Треугольник АВС равен треугольнику с вершинами в точках X , Y , Z . Запишите равенство этих треугольников, если АВ ~ YZ, ZA следовательно. 69 ГЛАВА И. Треугольники и их свойства сторона A,Bj совместится со стороной АЗ, а сторона AjQ — со стороной АС • Таким образом, точка Bj совместится с точкой В, а точка Cj — с точкой С, то есть стороны BjC, и ВС также совместятся. Значит, при наложении треугольники АВС и AjBjCj совместятся полностью. Итак, AABC=AA^Bfi^ по определению. Теорема доказана. Ш Задача Отрезки АВ и СО пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и ВОО (рис. 59^. Решение В треугольниках АОС 1л ВОО АО = ВО vi СО = 00 по условию, ^АОС - ZBOO по теореме о вертикальных углах. Таким образом, ААОС - A60D по первому признаку равенства треугольников. Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера. * Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А, С, В, В, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО = АО и DO = СО. D Т1ГЖУ Рис. 60. Определение расстояния на местности с помощью первого признака равенства треугольников 70 §8. Первый признак равенства треугольников и его применение Рис. 61. Две стороны и угол двух треугольников соответственно равны, но сами треугольники не равны Контрпример — от латинского «контра» - против Тогда, согласно предыдущей задаче, AAOC=ABOD по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить. 8.2. Опровержение утверждений. Контрпример Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным. Действительно, рассмотрим треугольники АВС и A^BjCi (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А^В^, ВС = ), но равные углы С и Cj лежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны. С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочньпм. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет. Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера. УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В КОНТРПРИМЕР А, но не В 71 ГЛАВА П.Треугольники и их свойства Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно. Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример». ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 203. В треугольниках АВС и AjB,C^ АС = и ВС = В^С^. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы можно было доказать равенство данных треугольников по первому признаку? 204. В треугольниках АВС и AjB,Cj АС = AjCj и ZC = ZCi. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы можно было доказать равенство данных треугольников по первому признаку? 205. Можно ли утверждать, что AABC=ADEF , если AB = DE , AC = DF, ZA = ZE7 206. Если сумма двух сторон и угол между ними одного треугольника соответственно равны сумме двух сторон и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Верно ли это утверждение? Приведите контрпример. 72 §8Лервый признак равенства треугольников и его применение ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 207. Начертите две прямые, пересекающиеся в точке О . а) Отложите на одной прямой по разные стороны от точки О равные отрезки ОА и О В, а на другой - равнью отрезки ОС и OD . б) Соедините последовательно точки А, С, В и D. Выделите цветом пары равных треугольников. Как доказать их равенство? 208. Начертите треугольник АВС. а) От луча АС отложите угол САМ, равный углу САВ, так, чтобы точки В VI М лежали по разные стороны от прямой АС . б) На луче AM отложите отрезок AD, равный отрезку АВ. Соедините точки Z) и С. ' в) Докажите равенство треугольников АВС и ADC по первому признаку равенства треугольников. Как нужно перегнуть рисунок, чтобы доказать равенство этих треугольников по определению? 0 ^ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 209. По данным рисунка 62 докажите равенство треугольников АВС и AjBjCj. 210. На рисунке 63 ABAC = ABAC, АВ = AD. Докажите равенство треугольников АВС и ADC. 211. На рисунке 64 Z ABD = А CDB, АВ = CD . Докажите равенство треугольников ABD и CDB . А 8 В, 8 Рис. 62 D Рис. 63 Рис. 64 73 'ЛАВА II. Треугольники и их свойства 212. Через точку D — середину отрезка АВ — проведена прямая CD, перпендикулярная АВ. а) Докажите равенство треугольников ACD и BCD. б) Найдите длину отрезка ВС , если АС = 8 см. 213. В треугольнике АВС АВ = СВ, ZA = ZC. Точка М — середина стороны АС. а) Докажите равенство треугольников АВМ и СВМ . б) Найдите угол АВМ, если ZCBM = 25°. 214. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения: а) если точка С лежит на луче АВ, то она лежит между точками А и В; б) если два равных угла имеют общую вершину, тР эти углы вертикальные. -> 215. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения: а) если луч ОС делит тупой угол АОВ на два угла, то оба эти угла острые; б) если два луча не пересекаются, то они параллельны. Уровень Б 216. На рисунке 65 AD = АЕ, BD = СЕ. Докая^ите, что ZB = ZC. 217. На рисунке 66 точка С — середина отрезка АЕ, АВ = DE , Z1 = Z 2. Докажите, что ВС = DC. В D Рис. 66 218. В треугольнике АВС ZA = ZC. На сторонах АВ и ВС отложены равные отрезки AAj и СС, соответственно. Найдите длину отрезка AQ, если СА^ = 14 см. 219. В треугольнике АВС АВ = СВ . Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Найдите длину отрезка AD» если АС = 8 см. § 8. Первый признак равенства треугольников и его применение 220. Известно, что AABC=AAjBjC, . На сторонах АВ и отложены равные отрезки AD и AJD^ соответственно. Докажите, что AACD=AAiC,i)i. —^ 221. Известно, что AABC = AA^BiC^. Точки D и Е — середины сторон АВ и ВС, а точки и — середины сторон А^В^ и BjQ соответственно. Докажите, что DE = В^Е^. 222. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждения: а) если прямая параллельна стороне треугольника, то она пересекает две другие его стороны; б) если два угла имеют общую сторону и в сумме составляют 180°, то эти углы смежные. 223. С помощью рисунка-контрпримера опровергните утверждеЬия: а) если прямая пересекает один из двух параллельных лучей, то она пересекает и второй луч; б) если биссектрисы двух углов являются дополнительными лучами, то эти углы вертикальные. Уровень В 224. В треугольнике АВС АВ = СВ. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D . Докажите, что прямые АС и BD перпендикулярны. 225. Через середину отрезка АВ проведена прямая I, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка прямой I равноудалена (лежит на одинаковом расстоянии) от точек А и В. Повторение перед изучением §9 Теоретический материал • теорема о смежных углах и ее следствия • перпендикулярные прямые п. 5.2; 6.3 Задачи 226. Представьте, что на рисунке изображена пара смежных углов и их биссектрисы. Какое наибольшее количество прямых углов может быть на таком рисунке? 227. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка М , причем А ВАМ -АСАМ. Найдите градусные меры углов AM В и АМС. 75 §9. Перпендикуляр к прямой Рис. 67, Прямая проходит через точку А и перпендикулярна прямой а 9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой. Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну. Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения: 1) существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой; 2) такая прямая единственна. Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно. Доказательство □ Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой. 1) Существование. Пусть даны прямая а и точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой а точки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67). 76 §9. Перпендикуляр к прямой Рис. 68. К предположению о том, что прямые Ь и bj перпендикулярны а и проходят через точку А д. Рис. 69. От любой полупрямой прямой а можно отложить прямой угол с помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой а. На луче ВС отложим отрезок ВА^, равный отрезку ВА, и соединим точки А и А^. Пусть D — точка пересечения отрезка АА^ с прямой а. Рассмотрим треугольники ABD и A^BD . Они имеют общую сторону BD, а Z.ABD = - ZA^BD и ВА = ВА^ по построению. Таким образом, AABD = AAj^BD по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ZADB = ZA^DB, Но эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах ZADB = АА^Ьв =. = 180°: 2 = 90°. Итак, прямая АА^ перпендикулярна прямой а. 2) Единственность. Применим метод доказательства от противного. Пусть через точку А проходят две прямые Ь и , перпендикулярные прямой а (рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, & II . Но это невозможно, поскольку прямые Ь и bj имеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой а, единственна. Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой а. От любой полупрямой прямой а с начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла. Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана. ■ Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами 77 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства В Рис. 70. Отрезок АВ — перпендикуляр к прямой а существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений. Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова»^ не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного. 9.2. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой Оп ределение Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки Д называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А, а вторым (основанием перпендикуляра) " точка пересечения этик прямых. На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой о, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а , проведенный из точки А. Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Определение Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. 78 §9. Перпендикуляр к прямой Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а • Задача Точки А\л С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и СО — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = СО (рис. 71). Докажите, что Ай = СВ. Решение Рассмотрим треугольники АВй и СОВ. У них сторона ВО общая, АВ = СО по условию. По определению * расстояния от точки до прямой /б и СО — перпен- . дикуляры к прямой а. то есть ZAB0 - АСОВ = 90°. Тогдо А/460 = АСОб по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что АО = СВ, что и требовалось доказать. Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 228. Могут ли два угла треугольника быть прямыми? Почему? 229. На прямой отмечена точка. Сколько через эту точку можно провести: а) прямых, перпендикулярных данной прямой; б) перпендикуляров к данной прямой? Изменятся ли ответы, если точка не будет лежать на данной прямой? 230. Среди геометрических фигур с заданными свойствами укажите те, которые существуют и являются единственными: а) луч, дополнительный к данному лучу; б) отрезок, равный данному отрезку; в) угол, смежный с данным неразвернутым углом; г) угол, вертикальный данному неразвернутому углу. 79 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 231. Среди геометрических фигур с заданными свойствами укажите те, которые существуют, но не являются единственными; а) прямая, параллельная данной прямой; б) прямая, проходящая через точку вне данной прямой и параллельная данной прямой; в) точка, являющаяся концом данного отрезка; г) точка, делящая данный отрезок пополам. ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 232. Проведите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. , а) С помощью угольника проведите через точку А перпендикуляр АВ к данной прямой. б) Измерьте расстояние от точки А до прямой а. в) Отметьте на данной прямой точку С, не совпадающую с точкой В. Измерьте отрезок АС и сравните его длину с длиной отрезка АВ. Выскажите предположение о сравнении длины отрезка АВ и длин других отрезков, соединяющих точку А с точками прямой а . 233. Проведите прямую Ь и отметьте на ней точку В. а) С помощью угольника проведите через точку В прямую, перпендикулярную прямой Ь, и отметьте на ней точку А . б) На прямой Ь по разные стороны от точки В отложите равные отрезки ВС и BD. Соедините точки С и D с точкой А . Равны ли треугольники АВС и ABD ? Почему? ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 234. в треугольнике АВС ZB = 90°. Назовите отрезок, который является расстоянием: а) от точки С до прямой АВ; б) от точки А до прямой ВС . 235. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Отрезок AD — расстояние от точки А до прямой ВС . Какой отрезок является расстоянием от точки С до прямой AD ? ЯП §9. Перпендикуляр к прямой 236. Через точку на плоскости проведены три прямые. Сколько прямых углов может при этом образоваться? Рассмотрите все возможные случаи. 237. Отрезки АС и ВС — перпендикуляры, опущенные из точек А и В на прямую с. Могут ли точки А, В п С не лежать на одной прямой? Ответ обоснуйте. Уровень Б 238. Точка А лежит на прямой а, а точка В лежит на прямой Ь. Отрезок АВ — расстояние от точки А до прямой Ь и расстояние от точки В до прямой а, Определите взаимное расположение прямых а и Ь. Ответ обоснуйте. -> 239. На плоскости даны точки А, В, С, D , Е. Определите, какие четыре из этих точек лежат на одной прямой, если BD — расстояние от точки В до прямой АС, а ED — расстояние от точки Е до прямой BD. 240. Известно, что AABC=AKMN и отрезок АС — расстояние от точки А до прямой ВС. Какой отрезок является расстоянием: а) от точки К до прямой MN; ^ б) от точки М до прямой KN ? 241. Известно, что ААВС = ААВС^ и точка В лежит на отрезке CCj. Какой отрезок является расстоянием: а) от точки А до прямой СС^; б) от точки С до прямой АВ ? Уровень В 242. Точка D лежит внутри неразвернутого угла В. Отрезки DA и DC — расстояния от точки D до сторон угла, причем DA - DC и ВА = ВС. Докажите, что луч BD — биссектриса угла В. 243. Точка С — середина отрезка АВ, отрезок DC — расстояние от точки D до прямой АВ. Докажите, что луч DC — биссектриса угла ADB. 244. Расстояния от сел Антоновка и Вольное до прямой автомагистрали равны 5 км и 7 км соответственно. Может ли расстояние между Антоновкой и Вольным быть равным 12 км; 2 км? Ответ обоснуйте. 81 ГЛАВА II.Треугольники и их свойства —^ 245. Отрезки АА^ и ВВ^ — расстояния от точек А и В до прямой с. При каком условии прямые АВ и с будут перпендикулярны? Ответ обоснуйте. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §10 Теоретический материал • определение треугольника и его элементов • равные треугольники п. 7.1; 7.2 Л-. Задачи 246. В треугольнике АВС точка М — середина стороны ВС . Данный треугольник перегнули по прямой AM, причем углы АМВ и АМС и отрезки МВ и МС совместились. Совместятся ли при таких условиях углы АМВ и ACM; отрезки АВ и АС ? 247. Известно, что ААВС = АА^В^С^. На сторонах ВС и BjCj отмечены точки М и Mj соответственно, причем ААВМ = АА^В^М^, Докажите равенство треугольников ACM и А^С^М^. 82 §10. Второй признак равенства треугольников и его применение Рис, 72. Треугольники АВС и равны по стороне и прилежащим к ней углам 10.1. Второй признак равенства треугольников в первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы. Теорема (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стрроне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство □ Пусть даны треугольники АВС и А^В^С^, у которых АС = А^С^, ZA = ZA^, ZC = ZCj (рис. 72). Докажем, что А АВС = Л А^В^С^. Поскольку АС = ДС,, то треугольник А^В^С^ можно наложить на треугольник АВС так, чтобы сторона АС совместилась со стороной A,Cj, а точки Б и Bj лежали по одну сторону от прямой АС. По условию Z А = Z Д и ZC = ZC^, поэтому сторона AjBj наложится на луч АВ, а сторона CjBi — на луч СВ. Тогда точка Bj — общая точка сторон А^В^ и CjB^ — будет лежать как на луче АВ, так и на луче СВ, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким 83 ГЛАВА И.Треугольники и их свойства образом, совместятся стороны АВ и , а также ВС и BjCj. Значит, при наложении треугольники АВС и AjBjCi совместятся полностью, то есть по определению ААВС = АА^В^С^ . Теорема доказана. ■ 10.2. Решение геометрических задач «от конца к началу» Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи. <1 Задача Но рисунке 73 ZX - Z.Z, Z3 = Z4. Найдите угол 0, если АВ - 110°. Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему? 1) Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: ZB~110°. Таким образом, можно предположить, что углы в W. D должны быть как-то связаны. Как именно? 2) Заметим, что углы В тл D являются углами треугольников АВС и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы В и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников АВС и ADC . 84 § 10. Второй признак равенства треугольников и его применение 3) Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники АВС и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Z1 = Z2, Z3 = Z4. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его. 4) Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника АВС, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к стороне АС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников. Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту. , Решение Рассмотрим треугольники АВС и АОС. В них сторона АС общая, Zl = Z2, Z3= Z4 по условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, йАВС = ААйС по второму признаку равенства треугольников. Углы 6 и D — соответственно равные углы равных треугольников. Значит, ZD= ZВ-110°. Ответ: 110°. Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению. 85 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 248. В треугольниках АВС и ZC=ZCj. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по второму признаку? 249. В треугольниках АВС и А^В^(\ АВ = ДВ, ZA = ZAj. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по второму признаку? ^ 250. Можно ли утверждать, что AABC = ADEF , если AB — DE , ZA=ZD,ZB=ZF4 251. Если сторона и сумма прилежащих к ней углов одного треугольника соответственно равны стороне и сумме прилежащих к ней углов другого треугольника, то такие треугольники равны. Верно ли это утверждение? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 252. Начертите острый угол А и проведите его биссектрису AD • а) От луча DA по разные стороны от прямой DA отложите равные углы и отметьте точки В и С — точки пересечения сторон построенных углов со сторонами угла А. б) Равны ли треугольники ABD и ACD ? Как это доказать? 253. Начертите тупой угол А и проведите его биссектрису АВ. а) Проведите через точку D прямую, перпендикулярную прямой AD, и отметьте точки В и С — точки пересечения по-строезаной прямой со сторонами угла А. б) Выделите цветом равные треугольники и докажите их равенство. 86 § 10. Второй признак равенства треугольников и его применение ^ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 254. По данным рисунка 74 докажите равенство треугольников АВС и В В, 255. На рисунке 75 ZB=ZC, ВО = СО, Докажите равенство треугольников АОВ и DOC. 256. На рисунке 76 ZABD = ZCDB , ZABB — ZCBD . Докажите равенство треугольников ABD и CD В. Рис. 75 257. На биссектрисе угла В отмечена точка JD, а на сторонах угла — точки А и С, причем ZADB = ZCDB. Найдите длину отрезка DC, если DA = 8 см. 258. В треугольнике АВС АВ = СВ, ZA = ZC. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М . Докажите: а) равенство треугольников АВМ и СВМ ; б) что прямые АС и ВМ перпендикулярны. Уровень Б 259. На рисунке 77 ZA-ZF , ZADE = ZFCB, AD = FC . Докажите равенство треугольников АВС и FED. 87 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 260. На рисунке 78 /.BAD = ZCDA, ZCAD = ZBDA. Докажите равенство треугольников ABD и DCA . Е В С Рис. 77 Рис. 78 261. В треугольнике АВС на равных сторонах АС и ВС отмечены точки D и Е соответственно, причем ZCAE = ZCBD. Докажите, что АЕ = BD . 262. Отрезки АС ч BD пересекаются в точке О, которая является серединой отрезка BD , причем АВ1BD , CD J. BD. а) Докажите равенство треугольников АОВ и COD . б) Найдите длину отрезка АС , если АО = ^ см. 263. На биссектрисе неразвернутого угла А отмечена точка В. Докажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе АВ и проходящая через точку В, отсекает на сторонах угла равные отрезки. Уровень В 264. с помощью контрпримера опровергните утверждение: «Если сторона и два угла одного треугольника равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны». 265. В пункте 8.1 приведен способ нахождения расстояния между точками А и С на местности (см. рис. 60), основанный на применении первого признака равенства треугольников. Предложите другой способ нахождения этого расстояния на основании второго признака равенства треугольников. 266. Треугольники АВС и A^Bfi.^ равны. На сторонах АС и AjCj отмечены точки D ^ D^ соответственно, причем ZABD=-ZA^B^D^. Докажите, что BD = ВхД . 88 § 10. Второй признак равенства треугольников и его применение 267. На рисунке 79 Л АВС - Л DCB. Докажите, что Л АОВ = Л DOC. 268. На рисунке 80 А AOD - А СОЕ. Докажите, что А АВЕ = А CBD. В Рис. 79 В Рис. 80 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §11 Теоретический материал • равенство отрезков • равенство углов • существование и единственность перпендикуляра к прямой С п. 2.2; 3.2 \ п. 9.2 \ Дока- Задачи 269. Известно, что А АВС = AMNK , АВ = ВС, NK = МК . жите, что все стороны данных треугольников равны. 270. Точки С и D лежат по разные стороны прямой АВ, причем ZCAB = ZDAB, ZCBA = ZDBA . Среди треугольников, вершинами которых являются данные точки, назовите треугольники, обязательно имеющие две равные стороны. Ответ обоснуйте. 89 §11. Равнобедренный треугольник В Рис. 83. Луч BD — биссектриса угла В В Доказательство □ Пусть дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС - Докажем, что ZA-ZC. Проведем биссектрису угла В. Пусть она пересекает сторону АС в точке D (рис. 83). Рассмотрим треугольники ABD и CBD • У них сторона BD общая, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника, ZABD = ZCBD по определению биссектрисы угла. Значит, AABD=ACBD по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство соответствукуцих углов этих треугольников, то есть ZA = ZC, что и требовалось доказать. ■ Следствие В равностороннем треугольнике все углы равны. Задача Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. Решение Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки й, Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник DEF равнобедренный. Рассмотрим треугольники OAF и ECF. У них АО = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина АС), Z А = ZC как углы при основании равнобедренного треугольника АВС. Следовательно, L.OAF - LECF по первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки OF = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник OEF равнобедренный. 91 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Рис. 85. К доказательству признака равнобедренного треугольника 11.3. Признак равнобедренного треугольника Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой. Теорема (признак равнобедренного треугольника) Если в тр^тчзяьнше два угла равны, t© он равнобедренный: * Доказательство □ Пусть в треугольнике АВС ZA = ZC. Докажем, что этот треугольник равнобедренный. Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d, перпендикулярную АС . Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точ- * ке Д (рис. 85). Соединим точки С и Б, и рассмотрим треугольники AB^D и CB^^D. У них сторона BjD общая, ZADB^-ZCDB^= 90° и AD = CD по построению. Таким образом, AAB^D-ACB^D по первому признаку. Отсюда АВ^=СВ^, ZB^AD = ZB^CD . Поскольку по построению точка В^ лежит на луче АВ, угол B^AD совпадает с углом А треугольника АВС. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: ZB^AJD = ZBAD = ZBCD-ZBjCD . Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы BjCB и BCD совпадают, то есть точка В, лежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки В и Bj совпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана. И 92 §11. Равнобедренный треугольник Рис. 86. Признак равностороннего треугольника Следствие Если в fуглы равны^ то ом раеше»* роиний. Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный: 1) по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон); 2) по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов). % Задача На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ИбС отмечены точки D и f, причем Ай = СЕ (рис. 87). Докажите, что треугольник йВЕ равнобедренный. ' Решение Рассмотрим треугольники йАВ и ЕСВ. У них Ай = = СЕ по условию, АВ = СВ как боковыё стороны равнобедренного треугольника АВС. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника АВС Z ВАС = ^ВСА, тогда ^йАВ - ^ЕСВ как углы, смежные с равными углами. Значит, ййАВ = йЕСВ по первому признаку равенства треугольников. Завершить доказательство можно одним из двух способов. 1- й способ. Поскольку ййАВ = йЕСВ, то Вй = BE. Таким образом, треугольник йВЕ равнобедренный по определению. 2- й способ. Поскольку ййАВ = йЕСВ, то ZD = ^С. Таким образом, треугольник йВЕ равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. 93 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 11.4. Прямая и обратная теоремы Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой). Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем. ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА Если А, то В ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА Если В, то А Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные. Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геометрию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе. 94 §11- Равнобедренный треугольник Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано. ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 271. Является ли равнобедренным любой равносторонний треугольник? Является ли равносторонним любой равнобедренный тpeVгoль-ник? 272. В треугольнике DEF DE = ЕЕ . Назовите равные углы треугольника. 273. В треугольнике KMN ZM = ZN • Назовите равные стороны треугольника. 274. В треугольнике АВС стороны, прилежащие к углу В, рав- ны, и углы, прилежащие к стороне АВ, равны. Определите вид треугольника. * ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 275. Начертите угол В и отложите на его сторонах равные отрезки ВА и ВС. а) Соедините точки А и С. Является ли треугольник АВС равнобедренным? Почему? б) Измерьте углы А и С треугольника АВС . Сделайте вывод. 276. Начертите угол А, равный 60°, и проведите его биссектрису AD. а) Проведите через точку D прямую, перпендикулярную прямой AD, и отметьте точки В и С — точки пересечения построенной прямой со сторонами угла А . б) Измерьте стороны и углы треугольника АВС • Сделайте вывод. 95 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 277. Периметр равнобедренного треугольника равен 2,6 м. Найдите стороны треугольника, если его основание больше боковой стороны на 0,2 м. 278. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Найдите: а) основание треугольника, если его боковая сторона равна 7,5 см; б) боковую сторону треугольника, если его основание равно 4 см; в) стороны треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 3 : 4. 279. Если боковая сторона и угол, противолежащий основанию одного равнобедренного треугольника, соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите. 280. Если основание и угол, прилежащий к основанию одного равнобедренного треугольника, соответственно равны основанию и углу, прилежащему к основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите. 281. По данным рисунка 88 докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и назовите его боковые стороны. 282. По данным рисунка 89 докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и назовите его основание. 283. Треугольники ABD и CBD равны (рис. 90). Докажите, что треугольники АВС и АВС равнобедренные. 284. В равнобедренном треугольнике АВС точки Aj и С,— середины боковых сторон АВ и ВС соответственно. Докажите, что Za4,Ci = ZBCjA,. Рис. 88 В 96 §11. Равнобедренный треугольник Уровень Б 285. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 м. Найдите стороны треугольника, если одна из них больше другой на 3 м. Сколько решений имеет задача? 286. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 18 см, причем основание АС меньше боковой стороны на 3 см. Найдите периметр равностороннего треугольника ADC . 287. В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к боковой стороне, равны. Докажите, что данный треугольник равносторонний. 288. Докажите, что середины сторон равно- д; стороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника. 289. На рисунке 91 АВ - ВС, CD - DE. Докажите, что ABAC = ZDEC • 290. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС (см. рис. 90). Докажите равенство треугольников ABD и CBD . 291. На продолжениях боковых сторон АВ и СВ равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки jBAj и BCj (рис. 92). а) Докажите равенство треугольников АС^В и СА^В . б) Докажите равенство треугольников ACjC и CAj А . 292. На рисунке 93 треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, точка D — середина отрезка АС. Докажите, что треугольник АЕС равнобедренный. 293. На рисунке 94 треугольник ADC равнобедренный с основанием АС, ZADE = ZCDE . Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. В В Рис. 92 97 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Уровень В 294. Сформулируйте утверждения, обратные: а) теореме о смежных углах; б) теореме о двух прямых, параллельных третьей; в) первому признаку равенства треугольников. Какие из этих утверждений верны? 295. Проанализируйте доказательство признака равнобедренного треугольника (рис. 85). Почему прямая d не может быть параллельна: а) каждой из прямых АВ и СВ ; б) одной из прямых АВ или СВ ? 296. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС (точки В а D лежат по разные стороны от прямоа АС). Отрезки BD и АС пересекаются в точке К . Докажите, что точка liT — середина отрезка АС . 297. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС (точки В и D лежат по одну сторону от прямой АС). Докажите, что прямые BD и АС перпендикулярны. 298. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки и CCj соответственно. Отрезки AC^ и CAj пересекаются в точке О • Докажите, что треугольник АОС равнобедренный. 299. Треугольники АВС и ABD равны. Докажите, что их общая сторона перпендикулярна прямой CD . Повторение перед изучением §12 Сч Гп. 2.2; 3.2 Ч С п.9.'2 Теоретический материал • середина отрезка • биссектриса угла • перпендикуляр к прямой Задачи 300. Дан угол АОВ • Из точки А проведен перпендикуляр AD к прямой ОВ. Лежит ли точка О между точками В и D , если данный угол острый; тупой; прямой? 301. в треугольнике АВС АВ = ВС • Проведите из вершины В отрезок, который делит данный треугольник на два равных треугольника. Какие свойства имеет этот отрезок? Приведите необходимые доказательства, выскажите предположения. 98 §12. Медиана, биссектриса и высота треугольника Рис. 95. Отрезок ВМ — медиана треугольника АВС Рис. 96. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке биссектриса треугольника АВС Рис. 98. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке 12.1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия. Определение Медианой треугольника назьгвается отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника АВС • В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)'. Определение Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на. противолежащей стороне. На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника АВС . Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее). Определение Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону. ^ Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны. 99 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Рис. 99. Отрезок ВН — высота треугольника АВС На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника АВС. По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее). Три высоты лежат внутри треугольника Две высоты совпадают со сторонами треугольника Две высоты лежат вне треугольника г»«---v-\. Рис. 100, Расположение высот в треугольнике j4.BC 12.2. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Теорема (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основэник>, совпадают. Доказательство □ Доказательство данной теоремы состоит из трех частей. 1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника АВС , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника АВС • Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, ZA = ZC как углы при основании 100 §12. Медиана, биссектриса и высота треугольника В Рис. 101. Отрезок BD — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС ь ш ^ Медиана ~ от латинского «ме-дианус» - средний равнобедренного треугольника, AD — CD по определению медианы. Следовательно, А ABD = АCBD по первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что ZABD = ZCBD^ то есть BD — биссектриса треугольника АВС. Кроме того, ZADB- ZCDB, а поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника АВС - Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника АВС, проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника. 2) Пусть теперь BD — биссектриса равнобед-» ренного треугольника АВС, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника АВС - Действительно, в этом случае AABD=/SCBD по второму признаку (ZA = ZCy АВ = СВ, ZABD = ZCBD). Отсюда AD-CD, то есть BD — медиана треугольника, и ZADB = ZCDB = 90°, то есть BD — высота треугольника. * 3) Пусть BD — высота треугольника АВС. Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана и биссектриса BJDg, не совпадающие с BD- Тогда по доказанному выше отрезки BJDj и BD^ также являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки BD, BD^ и BJD„ совпадают, то есть BD — медиана и бис- сектриса данного треугольника. Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают. Теорема доказана. ■ 101 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Следствие В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают. Теорюма, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно). На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков: 1) если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный; 2) если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный; 3) если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3. Задача Докажите равенство равнобедренных Уреугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию. Решение Пусть АВС и AjBjCj — данные равнобедренные треугольники с основаниями АС и A^Cj, А АВС = В/Л и — медианы этих треугольников, причем 6^1 = B^fAj (рис. 102). Докажем, что ААВС = AAfi^C^. Рассмотрим треугольники АВМ и По условию ВМ = BjMj. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника ВМ и B/Aj являются также биссектрисами равных углов АВС и А}В^С^. то А АВМ = AAjBjMjl оУрезки ВМ и В^М^ — высоты равнобедренныхтреугольников,поэтому ААВМ= AA^BJA^ = = 90°. Таким образом, А АВМ = AAfi^M^ по второму признаку равенства треугольников, откуда АВ - Afi^. тогда ВС = - BjCj. Знйчит, треугол ьники АВС и Afi^Cj равны по первому Признаку рабенства треугольников. Рис. 102 10? §12. Медиана, биссектриса и высота треугольника 12.3*. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы^ Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче. Задача Если в треугольнике медиана и биссектриса^ проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный, Докажите, Рис. 103 Решение Пусть 60 — медиана и биссектриса данного треугольника ЛВС (рис. 103). Докажем, что треугольник АВС равнобедренный. На луче 60 от точки 0 отложим отрезок'06„ рав^ ный 60 (то есть удвоим медиану 60). Рассмотрим треугольники ВОС и В,йА. У них Ай = Сй по определению медианы, 60 г В,й по построению, ^ВОС = Z В,ЬА как вертикальные. Таким образом, А ВйС - Л6,0И по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, чтр Z 3 = Z 2 и А6, = - СВ. Рассмотрим теперь треугольник 6/6^. С учетом того, что 60 биссектриса угла АВС, имеем Z 1 = Z 2, тогда Z 1 = Z 3. По признаку равнобедренного треугольника, треугольник ВАВ, равнобедренный с основанием 66^ Отсюда Л6, = АВ. а поскольку по доказанному А6, = СВ. то АВ = СВ. Таким оброзом, треугольник АВС равнобедренный, что и требовалось доказать. ' Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным. 103 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник B^DA . Доказав его равенство с треугольником ВВС, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу. Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD. Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанный на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы. ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Е Рис. 104 302. в треугольнике ВЕР проведен отрезок ЕА (рис. 104). Определите, является ли этот отрезок медианой, биссектрисой или высотой данного треугольника, если: а) ВА = РА; б) ABAE = ZFAE; в) ZBEA^ZFEA; г) BE = FE и BA = FA. 303. Может ли лежать внутри треугольника только одна из трех его высот; только две из трех его высот? 304. Может ли медиана треугольника совпадать с его высотой, но не совпадать с биссектрисой, проведенной из той же вершины? 305. В треугольнике АВС отрезок АВ — медиана, биссектриса и высота. Назовите равные стороны треугольника. 306. В треугольнике АВС ZA = ZC, Биссектриса какого из углов треугольника совпадает с медианой и высотой? 307. В равнобедренном, но не равностороннем треугольнике проведены все медианы, биссектрисы и высоты. Сколько разных отрезков проведено? Как изменится ответ, если данный треугольник равносторонний? 104 § 12. Медиана, биссектриса и высота треугольника ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 308. Начертите неравнобедренный треугольник АВС • а) Отметьте точку М — середину стороны ВС • Проведите отрезок AM. Как он называется? б) Проведите биссектрису угла В и отметьте точку L ее пересечения со стороной АС. Как называется отрезок BL ? в) Проведите из точки С перпендикуляр СН к прямой АВ. Как называется построенный отрезок в треугольнике АВС ? 309. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и тупым углом В. а) Проведите высоту AD • Лежит ли точка D на отрезке вд ? б) Проведите медиану ВМ. Равны ли углы АВМ и СВМ ? Почему? ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 310. в равнобедренном треугольнике АВС отрезок BD '— медиана, проведенная к основанию. Найдите периметр треугольника АВС, если Рддвд = 12 см, BD = 4 см. 311. В равнобедренном треугольнике АВС отрезок BD — медиана, проведенная к основанию. Найдите периметр треугольника ВВС, если = 18 см, BD = 5 см. 312. В треугольнике АВС ZA = ZC, BD — биссектриса треугольника. Докажите, что АВ = СВ. 313. В треугольнике АВС отрезок CD является медианой и высотой. Докажите, что ZA~ZB. 314. На высоте МР равнобедренного треугольника KMN с основанием KN отмечена точка О (рис. 105). Докажите, что треугольник KON равнобедренный. 315. В равнобедренном треугольнике KON с основанием KN на продолжении биссектрисы ОР отмечена точка М (см. рис. 105). Докажите, что треугольник KMN равнобедренный. 105 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 316. Докажите, что медианы равных треугольников, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. 317. Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведенные из вершин соответственно равных углов, равны. Уровень Б 318. в равнобедренном треугольнике АВС отрезок BD — биссектриса, проведенная к основанию. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 28 см, а периметр треугольника ABD равен 20 см. 319. Докажите, что треугольник, в котором медиана делитдтериметр пополам, равнобедренный. 320. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. 321. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны. 322. Треугольники АВС и ВВС равны (рис. 106). Докажите, что точка пересечения отрезков AD и ВС делит отрезок AD пополам. 323. Перпендикулярные отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, причем ZABC = Z ВВС (рис. 106). Докажите, что треугольник АСВ равнобедренный. 324. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и проведенной к нему медиане. 325. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу, лежащему против основания, и высоте, проведенной из вершины этого угла. В М Рис. 105 Рис. 106 1 6 § 12. Медиана, биссектриса и высота треугольника Уровень В 326. Докажите равенство треугольников по стороне, прилежащему углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла. 327. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между ними. 328. Докажите равенство треугольников по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника. 329. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе, проведенной из вершины этого угла, и углу, который она образует с противолежащей стороной. Повторение перед изучением §13 Теоретический материал равенство треугольников равнобедренный треугольник ( п. 7.2; § 11 ■ С Задачи 330. Даны треугольники АВС и А^В^С^, в которых АВ = ДД, ВС = iSjCj, ZА = ZЛ,, ZB = ZB^. Какое из четырех данных условий можно исключить, чтобы оставшихся условий было достаточно для доказательства равенства треугольников по первому признаку; по второму признаку? 331. Треугольники АВС и АВ^С имеют общую сторону АС, причем точки В и Bj лежат по разные стороны от прямой АС, Z ВАС = = ZB^AC. Назовите дополнительное условие, необходимое для доказательства равенства треугольников. Приведите все возможные ответы. 107 §13. Третий признак равенства треугольников и его применение Рис. 107. Прикладывание треугольника к треугольнику АБС 13.1. Третий признак равенства треугольников Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников. Теорема (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам) ^ Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство □ Пусть даны треугольники АВС и , у которых АВ = А^В^, ВС ^ Bfi^, АС = • До- кажем, что AASC^AAjBjCi. Приложим треугольник A^B^t^ к треугольнику АВС так, чтобы вершина А^ совместилась с вершиной А, вершина В^ — с вершиной В, а точки С и Cj лежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая: 1) луч CCj проходит внутри угла АСВ (рис. 107, а); 2) луч CCj проходит вне угла АСВ (рис. 107, б); 3) луч CCj совпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в). Рассмотрим случаи 1 и 2. Поскольку по условию теоремы АС = AjCj и ВС = В^С^, то треугольники ACCj и BCCj равнобедренные с основанием CCj. По свойству равнобедренного треугольника Z1 = Z2, Z3 = Z4.Тогда ZACB=ZAC^B как суммы (или разности) равных углов. Таким образом, А АВС = А AjBjCj по первому признаку равенства 108 §13. Третий признак равенства треугольников и его применение треугольников. В случае 3 равенство углов С и Cj следует из свойства равнобедренного треугольника с основанием СС^, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана. ■ Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами. В Задаче Докожите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них. Решение Пусть ЛВС и — донные треугольники с медианами 6Л1 и В^М, соответственно, причем ЛВ = AjBj, АС - Afi^, ВМ = BjMj (рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники АВМ и А^В,М^. В них АВ = AjB, и 6Л1 = по условию, а AtA - /,Л1, как половины равных сторон АС и Af^ то есть Л/46Л1 = C^A^BJA^ по третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что /.А = ^A^. Тогда ААВС ^ по первому признаку (АВ = A^Bj. АС = AjCj по условию, ^А = А.А, по доказанному). 109 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 13.2*. Свойства и признаки Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения). Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «ЕсЛи два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов. Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак. Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра О — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10. Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе. 110 §13.Третий признак равенства треугольников и его применение ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 332. В треугольниках АВС и АС = А^С^ и BC = Bfi^. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы равенство данных треугольников можно было доказать по третьему признаку? 333. Три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. Равны ли углы между соответственно равными сторонами этих треугольников? Почему? 334. Верно ли, что два равносторонних треугольника равны, если они имеют одинаковые периметры? 335. Верно ли, что два произвольных треугольника равны, если они имеют одинаковые периметры? Является ли верным обратное утверждение? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 336. Начертите равнобедренные треугольники АВС и ADC с общим основанием АС. * а) Соедините точки В и D. Выделите цветом равные треугольники, равенство которых можно доказать по третьему признаку. б) Назовите углы, биссектрисы которых лежат на прямой BD . 337. Начертите равные треугольники АВС и А^В^С^. а) Проведите медианы ВМ и В^М^, б) Выделите цветом пары равных треугольников, образовавшихся на рисунке. Можно ли доказать их равенство по первому признаку; по второму признаку; по третьему признаку? ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 338. На рисунке 109 АВ = CD , ВС = AD. Докажите равенство треугольников ABD и CDB. 339. На рисунке 110 АВ = СВ , AD-CD. Докажите равенство треугольников ABD и CDB. 111 ГЛАВА П. Треугольники и их свойства 340. Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. Докажите. 341. Если две стороны и периметр одного треугольника соответственно равны двум сторонам и периметру другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажите. 342. На рисунке 111 А АВС =ACDA. Докажите, что AABD =ACDB. Рис. 110 Уровень Б 343. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС и лежат по одну сторону от прямой АС. Докажите, что ZADB = ZCDB . 344. На рисунке 112 АВ = CD , АС = BD. Докажите равенство треугольников ABD и DCA. 345. На рисунке 113 АВ = CD, BF = СЕ, АЕ = FD. Докажите, что треугольник EOF равнобедренный. 346. На рисунке 112 AAOB=ADOC . Докажите равенство треугольников АВС и DCB. С помощью каких признаков равенства треугольников его можно обосновать? 347. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АВС и BAD . 112 §13. Третий признак равенства треугольников и его применение Уровень В 348. Точки А, В, С тл. D лежат на одной прямой, причем AEj = AEj, ВЕ^ = ВЕ^ (рис. 114). Докажите, что треугольники CDJSj и CDE^ равны. 349. Точки А, В, С и D лежат на одной прямой, причем AEj = АЕ^, CJSj = СЕ^ (см. рис. 114). Докажите, что треугольники BDE\ и BDE^ равны. 350. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенным из одной вершины. 351. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой стороне и проведенной к ней медиане. D Рис. 114 Задачи для подготовки к контрольной работе* №2 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 105 см, а боковая сторона относится к основанию как 7 : 3. Найдите стороны этого треугольника. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. причем AO = DO, СО = ВО (рис. 115). а) Докажите равенство треугольников АОС и DOB . б) Найдите периметр треугольника АОС, если АС = 4 см, CD = 8 см. 3. Из концов отрезка АВ, пересекающего прямую а в точке О, проведены к этой прямой перпендикуляры АС и BD, причем СО = DO (рис. 116). Докажите, что точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от прямой а . 4. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ, АС = BD (рис. 117). Докажите, что треугольник COD также равнобедренный. 5. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и периметру. 113 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 6. В треугольнике АВС высота ВН делит сторону АС пополам. Биссектриса AD треугольника равна 15 см. Найдите длину биссектрисы СЕ этого треугольника. D О Рис. 116 0 6.3; § 4 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §14 Теоретический материал • теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей • параллельные прямые Задачи 352. Определите, какие из приведенных утверждений верны: а) две прямые, перпендикулярные третьей, перпендикулярны; б) две прямые, параллельные третьей, параллельны; в) через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной; г) через любую точку плоскости можно провести не больше одной прямой, параллельной данной. 353. Через точку С, не принадлежащую ни одной из прямых а и Ь, проведена прямая с. Определите взаимное расположение прямых Ь и с, если: а) а\\Ь, сЦа; б) а ±Ь , с±а. Изменятся ли ответы, если точка С лежит на прямой Ь ? 114 §14. Признаки параллельности прямых Рис. 118. Прямая с пересекает прямые а и Ь 14.1. Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых а и Ь (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых аи Ь. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия: • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и Ь по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5; • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и Ь по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6; • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8. 14.2. Признаки параллельности прямых Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны: 1) если две прямые параллельны третьей, то они параллельны; 2) если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны. Докажем еще несколько признаков параллельности прямых. Теорема (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей) Если при’тересеченйи даух прй1иых оекуи^ей внутрен- ние шхрест углы рйвны, to прямые парал- .лельны. , 115 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Рис. 119. /Л = Z2, тогда а II Ь Доказательство □ Пусть прямая с пересекает прямые а и Ь в точках А и В соответственно, причем Z1 = Z2 (рис. 119). Докажем, что а || 6 . Если углы 1 и 2 прямые, то а±с и Ыс. Тогда а IIЬ по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр ОН^ к прямой а. Пусть — точка пересечения прямых ОН^ и Ь. * Рассмотрим треугольники ОАН^ и ОБЩ. У них Z1 = Z2 по условию, Z3 = Z4 как вертикальные и АО-ВО по построению. Итак, АОАН^ = АОВН^ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда ZOH^A = ZOH^B = 90°, то есть прямая перпендикулярна прямым а и Ь. Тогда а||Ь по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.’ I Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов. Рис. 120. Z2 + Z3 = = 180°, тогда а II Ь Следствие 1 Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180®, то прямые параллелшьь Действительно, если Z2-I-Z3 = 180° (рис. 120) и по теореме о смежных углах Zl-l-Z3== 180°, то Z1 = Z2 = 180°-Z3. Тогда по доказанной теореме а\\Ь. 116 § 14. Признаки параллельности прямых Рис. 121. Z1 = Z3, тогда а II 6 Следствие 2 Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Действительно, если Zl = ZS (рис. 121), а Z2 = Z3 как вертикальные, то Zl = Z2. Тогда по доказанной теореме а || Ь. Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий: 1) внутренние накрест лежащие углы равны; 2) сумма внутренних односторонних углов равна 180°; 3) соответственные углы равны, то данные прямые параллельны. Если вьшолняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно). Задача На рисунке 122 АВ = ВС, АС — биссектриса угла ВАЬ. Докожите, что ВС || АЬ. Решение ТТо условию задачи треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. По свойству углов равнобедренного треугольника Z\ - -^3, Вместе с тем Z1 = Z2, так как АС — биссектриса угла ВАй. Отсюда, Z2 = = Z3. Углы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых АО и ВС и секущей АС. Поскольку эти углы равны, то по признаку параллельности прямых АО II ВС, что и требовалось доказать. 117 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Рис. 123. Прямая CD проходит через точку С и параллельна прямой АВ 14.3. О существовании прямой, параллельной данной Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование. На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать. * Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу САВ, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и САВ — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку АВ || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельн9 прямой АВ. Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме. Теорема (о существовании и единственности прямой, параллельной данной) точку, не Аежащучо на данной прямой, mojkho провести прямую^ параллельную данной, и ojihitom тшько одну Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия вьщающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется. 118 § 14. Признаки параллельности прямых Вопросы и задачи Ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 354. На рисунке 124 укажите угол, который вместе с углом 4 составляет: а) пару внутренних накрест лежащих углов; б) пару внутренних односторонних углов; в) пару соответственных углов. 355. По рисунку 124 определите, будут ли прямые а и Ь параллельными, если: a) Z3 = Z6; 6)Z5=Z8; b) Z1 = Z7; r)Z2=Z6; Д) Z3-l-Z5 = 180°; e) Z2-bZ4 = 180°. 356. По рисунку 124 определите, при каких значениях п будет верным утверждение: а) если Z6- Zn, то а || 6 ; б) если Z6-l-Zn = 180°, то а\\Ь . 357. Определите, какие из следующих утверждений верны: а) если при пересечении двух прямых секущей образуются восемь равных углов, то прямые параллельны; б) если при пересечении двух прямых секущей образуются четыре равных угла, то прямые параллельны; в) сумма двух углов треугольника может быть равна 180°. ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 358. Начертите прямые а и Ь и проведите секущую с. а) Выделите на рисунке одну пару внутренних накрест лежащих углов красным цветом, а другую пару — синим цветом. б) Выделите углы, соответственные с «красными» углами, — красным цветом, а углы, соответственные с «синими» углами, — синим цветом. 119 ГЛАВА ИТреугольники и их свойства 359. Начертите угол АВС, равный 60°. а) От луча АВ отложите угол DAB, равный 120°, так, чтобы точки С и D лежали по одну сторону от прямой АВ. б) Параллельны ли прямые AD и ВС1 Почему? О (ЯПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 360. Дан треугольник АВС. Прямая I пересекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС — в точке Е. Назовите внутренние накрест лежащие, внутренние односторонние и соответственные углы при прямьйс АВ и ВС и секущей DE. 361. По данньпу! рисунка 125, а—в докажите, что а\\Ъ . -> 362. По рисунку 124 определите, параллельны ли прямые а и Ь, если: а) Z4 = 125°, Z5 = 125°; б) Z5 = 115°, Z3 = 65°; в) Z3 = 65°, Z7 = 65°. 363. На рисунке 126 AABD = ACDB . Докажите, что AD || ВС. 364. На рисунке 127 AAOB = ACOD. Докажите, что AB\\CD. 120 § 14. Признаки параллельности прямых Уровень Б 365. Прямые а и Ь пересекают прямую с под равными углами. Обязательно ли а II & ? 366. По данным рисунка 128, а—в докажите, что а\\Ь . В 367. По рисунку 124 определите, параллельны ли прямые а и Ь, если: а) Z5 = 135°, а Z4 втрое больше, чем Z3; б) Z2=72°, а Z6:Z8 = 2:3. 368. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке, которая является их общей серединой. Докажите, что АС || BD. 369. На рисунке 129 АВ = ВС, CD = DE . Докажите, что прямые АВ и DE параллельны. —^ 370. Известно, что ААВС = ACDA. Назовите параллельные стороны этих треугольников и докажите их параллельность. 371. В треугольнике АВС проведена биссектриса BL. На стороне ВС отмечена точка К так, что ВК = KL. Докажите параллельность прямых АВ и KL. -> 372. В треугольнике АВС АВ = ВС, ZC = 80° . Прямая I пересекает стороны АВ и ВС в точках D и Е соответственно, причем AD-DE и Z£AC = 40°. Докажите, что III АС . 121 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Уровень В 373. На рисунке 130 AD = CF, BC = DE, Z1 = Z2. Докажите, что АВIIEF. 374. На рисунке 131 AB = DE, BC — EF, AD = CF. Докажите, что ВС||-Б^. BE 375. В треугольнике АВС ZA = 20°, ZB = 80° . Из точки В проведен луч BD так, что ВС — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. 376. В треугольнике АВС ZA = 70° , ZB = 40° . На луче СВ отмечена точка D, не принадлежащая отрезку ВС. Луч BE — биссектриса угла ABD. Докажите, что прямые АС и BE параллельны. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §15 Теоретический материал: • параллельные прямые • определение перпендикуляра; расстояние от точки до прямой • смежные углы • вертикальные углы Задачи 377. В треугольнике построены все медианы, все биссектрисы и все высоты. Какое наименьшее количество отрезков построено внутри треугольника? Какое наибольшее количество отрезков построено вне треугольника? 378. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС и пересекающая сторону ВС, пересекает также и сторону АС. Докажите. 122 §15. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей 15.1. Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей в предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых. Теорема (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей) ^ис. 132. К предположе-аию о том, что внутренние аакрест лежащие углы три параллельных прямых а и Ь не равны 1) внутренние накрест углы равньр 2) сумма внутреннш рдноеторонних углов равна* 180'^ 3) еостеетственные углы равны. Доказательство □ Докажем первое из утверждений теоремы. Пусть секущая с пересекает параллельные прямые о и 6 в точках Ап В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны. Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Oj так, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых и Ь п секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем а, ||& . Но а\\Ъ по условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую. 123 ГЛАВА И. Треугольники и их свойства а с п Ь п Рис. 133. а II 6, с ± а, тогда с 1 Ь параллельную Ь. Таким образом, мы получили противоречие. Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно). ■ Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой. « Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133. Задача Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы. Решение « Пусть а 11 Ь, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Z 4 + Z 5 = 210° (рис. 134). Поскольку а II Ь, то Z 4 = Z 5 = 210°;2 = 105°. Тогда: Z 1 = 105°, так как углы 1 и 5 соответственные; Z 3 = 180° - 105° = 75°, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Z 2 = 75°, так как углы 2 и 3 вертикальные; Z 6 = 75°, так как углы 5 и 6 смежные; Z 7 = 75°, так как углы 7 и 3 соответственные; Z 8 = 105°, так как углы 8 и 4 соответственные. 124 §15. Свойства углов при параллельных прямых и секущей ис. 135. а II Ь, точки A^ равноудалены от рямой Ь 15.2. Расстояние между параллельными прямыми Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых. Теорема (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой) « Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны Доказательство □ Пусть а и 6 — данные параллельные прямые, А А и А^2 — расстояния от точек и А прямой а до прямой Ь (рис. 135). Докажем, что АА=А^2- Поскольку по определению расстояния от точки до прямой AjEj ± & и 16, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, АА IIАА- Рассмотрим треугольники А^В^А^ и В^А^В^. У них сторона В^А^ общая, Z1 = Z2 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых о и 6 и секущей В^А^ , Z3= Z4 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых A^B^ и А А и секущей А А • Таким образом, ZiAjfijА = ^ААА по второму признаку равенства треугольников, откуда Aj А = АА • Теорема доказана. ■ Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой о до прямой 6 не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой а. Это позволяет сформулировать следующее определение. 125 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства LL В Рис. 136. Перпендикуляр АВ — расстояние между прямыми а и Ь Определение Расстоянием между параллельными прямы* ми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую. На рисунке 136 а\\Ь , АВ ±Ь, то есть АВ — расстояние между прямыми а и Ь. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов,^образо-ванных при пересечении параллельных прямых секущей, АВ X а , то есть АВ — общий перпендикуляр к прямым а я Ь. Вопросы и задачи ф УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 379. Обязательно ли среди углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей, найдутся: а) ровно четыре острых угла; б) не больше четырех острых углов; в) не меньше четырех тупых углов; г) не меньше четырех равных углов? 380. При пересечении двух параллельных прямых секущей образовались два угла с градусными мерами 80° . Могут ли эти углы быть: а) внутренними накрест лежащими; б) внутренними односторонними; в) соответственными? 381. Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 120°. Может ли один из остальных семи углов равняться 50° ? Почему? 126 §15. Свойства углов при параллельных прямых и секущей 382. Внутренние односторонние углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Под каким углом секущая пересекает данные прямые? 383. Отрезок АВ — расстояние между параллельными прямыми а и Ь. Под каким углом секущая АВ пересекает прямые о и 6? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 384. Начертите параллельные прямые а и & и секущую с, не перпендикулярную им. а) Закрасьте восемь образовавшихся углов красным или синим цветом так, чтобы сумма любых двух углов разных цветов была равна 180°. б) Из точки пересечения прямых а и с проведите отрезок, являющийся расстоянием между параллельными прямыми а и 6. Под каким углом этот отрезок пересекает прямую 6? 385. Начертите треугольник АВС. а) Проведите прямую, параллельную стороне АС и пересекающую стороны АВ и ВС в точках D и Е соответственно. б) Отметьте красным цветом угол треугольника АВС, равный углу BDE. в) Отметьте синим цветом угол треугольника АВС, сумма которого с углом DEC равна 180°. Ф ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 386. По данным рисунка 137, а, б найдите углы 1 и 2, если а\\Ъ. 127 ГЛАВА П. Треугольники и их свойства 387. Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 18°. Найдите остальные углы. 388. Угол АВС равен 62°, а угол BCD равен 118°. Могут ли прямые АВ и СВ: а) быть параллельными; б) пересекаться? Ответ обоснуйте. 389. Угол АВС равен 29°, а угол BAD равен 141°. Могут ли прямые AD и ВС быть параллельными? Ответ обоснуйте. 390. На плоскости проведены прямые а, Ь и с, причем о || 6 , а i- с. Определите взаимное размещение прямых бис. 391. Прямые а и б параллельны. Точки Aj и А^ лежат на прямой о, отрезки AjBj и А2В2 — расстояния между прямыми а и б. Назовите отрезки, которые являются расстояниями между прямыми AjBj и А2В2. Ответ обоснуйте. Уровень Б 392. По данным рисунка 138, о, б найдите угол х. Рис. 138 393. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из внутренних односторонних углов на 30° больше другого; б) сумма двух соответственных углов равна 56° • 394. По данным рисунка 137, а определите, параллельны ли прямые avib, если Z2-Z1 = 54°. 395. Угол АВС равен 72°. Из точек А и С внутри угла проведены лучи, параллельные сторонам угла и пересекающиеся в точке D. Найдите угол АВС. 128 §15. Свойства углов при параллельных прямых и секущей Рис. 139 396- Дан угол АВС (рис. 139). Через точку А проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая биссектрису данного угла в точке D. Докажите, что треугольник ABD равнобедренный. 397. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Прямая, параллельная АС, пересекает сторону АВ в точке Aj, а сторону ВС — в точке Cj. Докажите, что треугольник AjBCj равнобедренный. 398. Отрезок АВ — расстояние между параллельными прямыми о* и Ь. Точка М — середина отрезка АВ. Докажите, что любой отрезок с концами на данных прявдых, проходящий через точку М, делится ею пополам. 399. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС проведена прямая I, параллельная основанию АС. Отрезок ВК — медиана треугольника АВС. Докажите, что ВК — расстояние между прямыми I и АС. Уровень В 400. По данным рисунка 140, а. б определите, параллельны ли прямые АВ и CD. В В Рис. 140 401. Найдите все углы, которые образовались при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) пять из них — не острые; б) сумма двух внутренних накрест лежащих углов в пять раз меньше суммы двух других внутренних углов; в) сумма шести из них равна 620°. 129 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 402. Биссектрисы внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, взаимно перпендикулярны. Докажите. 403. Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны. Докажите. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §16 Теоретический материал: ‘ смежные углы * равнобедренный и равносторонний треугольники \. §5; 11 Задачи 404. Прямая I проходит через вершину В остроугольного треугольника АВС параллельно стороне АС. Докажите, что прямая I образует с прямыми АВ и СВ углы, равные двум углам треугольника. 405. В треугольнике АВС АВ + ВС = ВС + АС = АВ + АС . Докажите, что AA = Z.B — AC. 130 §16. Сумма углов треугольника В Рис. 141. К доказательству теоремы о сумме углов треугольника 16.1. Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия Теорема (о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство □ Пусть АВС — произвольный треугольни^. Докажем, что Z.A+ZB + ZC = 180° . Проведем через вершину В прямую Ъ, параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Ь и АС и секущей АВ. Аналогично Z3 = Z5 как внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Zl-i-Z2+Z3 = Z4 + Z2-f-Z5 = 180° . Теорема доказана. ■ * Следствие 1 В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме. Следствие 2 Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°, Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен 180°:3 = 60°. Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы. 131 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства В В Рис. 142 Задача Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60° то этот треугольник равносторонний. Докажите. Решение Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая. 1) Пусть угол 60° — один из углов при основании, например zA = 60° (рис. 142, а). Тогда zC = zA - 60° как углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, zB - 180° - z/i - zC = = 180° - 60° - 60° = 60° Значит, zA = zB = ZC, TO есть ABC — равносторонний треугольник. 2) Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть zB = 60° (рис. 142, 6). Тогда zA - zC как углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° - 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника АВС равны, значит, этот треугольник равносторонний. Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная». 16.2. Виды треугольников по величине углов. Классификация Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая: 1) все углы треугольника острые — остроугольный треугольник; 2) два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник; 3) два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник. 132 §16. Сумма углов треугольника Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида; остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143). Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники. Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы. Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, 133 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей. Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии. D А Рис. 144. Внешний угол треугольника АВС при вершине А Рис. 145. Внешние углы треугольника АВС Рис. 146. Внешний угол 4 равен сумме углов 2 и 3 16.3. Внешний угол треугольника Определение Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника. На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника АВС при вершине А. Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145). Теорема (о внешнем угле треугольника) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Доказательство □ Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника АВС, а ^4 — внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Z2+Z3 = 180°-Z1. С другой стороны, по теореме о смежных углах Z4 = 180°-Z1. Отсюда, Z4 = Z2-t-Z3, что и требовалось доказать. ■ 134 §16. Сумма углов треугольника Следствие Сумма внешних углов треугольника, взйтых по одному при каждой вершине, равна 360°. Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Z6 = Z1 + Z2, Z4 = Z2 + Z3 и Z5 = Z1 + Z3. Тогда для их суммы имеем: Z6 + Z4 + Z5 = (Z1 + + Z2)+(Z2 + Z3) + (Z1 + Z3) = 2(Z1 + Z2 + Z3) = = 2180° = 360°. Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 406. Может ли треугольник иметь три тупых угла; два тупых угла; не иметь ни одного тупого угла? 407. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым; прямым? 408. Может ли прямоугольный треугольник быть равнобедренным; равносторонним? 409. Могут ли быть равны тупоугольный и прямоугольный треугольники; тупоугольный и остроугольный треугольники? 410. Даны три внешних угла треугольника при разных вершинах. Сколько из них могут быть острыми? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 411. Начертите остроугольный треугольник АВС. а) Измерьте углы треугольника и вычислите их сумму. б) На луче АС отметьте точку D, не принадлежащую отрезку АС. Определите градусную меру угла BCD, используя теорему о внешнем угле треугольника. в) Определите вид треугольника BCD по величине углов. 135 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 412. Начертите треугольник АВС с тупым углом А. а) Проведите высоту BD и определите вид треугольника ABD по величине углов. б) Измерьте угол BAD. Как связана его градусная мера с градусными мерами углов треугольника АВС? О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 413. Найдите неизвестный угол треугольника, если два его угла равны: а) 65° и 45°; б) 120° и 18°; в) 90° и 64°. 414. Найдите неизвестные углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при его основании равен 40° ; б) угол, противолежащий его основанию, равен 40° , 415. Найдите неизвестные углы треугольника: * а) прямоугольного, с углом 28°; б) равнобедренного, с углом при основании 80° . 416. Докажите методом от противного, что угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым. 417. Докажите методом от противного, что треугольник не может иметь больше одного прямого угла. 418. Найдите внутренние углы треугольника, если внешние углы при двух его вершинах равны 135° и 110°. 419. Один из внутренних углов треугольника равен 40° , а один из внешних — 125°. Найдите остальные внутренние и внешние углы. 136 Уровень Б 420. Найдите все углы треугольника, если: а) один из них вдвое меньше второго и на 20° больше третьего; б) их градусные меры относятся как 1:3:5. §16 Сумма углов треугольника 421. Один из углов равнобедренного треугольника равен 50°. Найдите другие углы. Сколько решений имеет задача? 422. Найдите: а) углы треугольника, если их градусные меры относятся как 2:7:9; б) углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 100°. 423. Может ли треугольник с углом 40° быть равным треугольнику с углом 140°? Ответ обоснуйте. 424. Треугольник с углом 120° равен треугольнику с углом 30°. Докажите, что данные треугольники равнобедренные. 425. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы данного треугольника, если ZAOC = 150°. 426. Отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Найдите угол А, если ZC = 35°, ZBOC = 105°. 427. В треугольнике АВС биссектрисы, проведенные из вершин А и В, пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ, если ZA = 82° , ZB = 38°. 428. В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы, проведенные из вершин при основании АС, пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника, если ZAOC = 140°. 429. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 60°. Найдите внутренние углы треугольника. 430. Внешние углы треугольника относятся как 3:4:5. Найдите внутренние углы треугольника. 431. Найдите внутренние углы треугольника, если сумма двух из них равна 150°, а один из внешних углов равен 80° . Уровень В 432. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла при основании, равна основанию треугольника. Найдите его углы. 433. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла при основании, пересекает боковую сторону под углом, равным углу при основании. Найдите углы треугольника. 137 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства 434. Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного треугольника пересекает продолжение боковой стороны. Длина отрезка биссектрисы от начала до точки пересечения равна основанию треугольника. Найдите внутренние углы треугольника. 435. Биссектриса внешнего угла при основании равнобедренного треугольника пересекает продолжение боковой стороны под углом, равным углу при основании треугольника. Найдите углы треугольника. 436. В треугольнике АВС биссектрисы, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если ZB = а. 437. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника при вершине, противолежащей основанию, параллельна основанию треугольника. Докажите. '* 438. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи. 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §17 Теоретический материал * признаки равенства треугольников • медиана, биссектриса и высота треугольника Г § 8, 10, 13 §12 Задачи 439. Известно, что ААВС == Л7)ВС , причем точка С лежит на отрезке AD. Докажите, что равные треугольники прямоугольные. 440. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС (точки В и D лежат по одну сторону от прямой АС). Докажите, что BD ± АС. 138 §17. Прямоугольные треугольники Рис. 147. Прямоугольный треугольник Рис. 148. Прямоугольные треугольники АВС и .4,В,С, равны по двум катетам Рис. 149. Прямоугольные треугольники АВС и A,BiC, равны по катету и прилежащему острому углу 17.1. Элементы прямоугольного треугольника Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике АВС Z В = 90° , АС — гипотенуза, АВ и ВС — катеты. Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трвг угольника равна 90° . Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный. 17.2. Признаки равенства прямоугольных треугольников Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников. Приведем сначала два из них. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. 139 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Рис. 150. Прямоугольные треугольники АВС и Л,Б,С, равны по катету и противолежащему углу Рис. 151. Прямоугольные треугольники АВС и А,В,С, равны по гипотенузе и острому углу Гипотенуза — DT греческого «гипо-гейнуса» - стягивающая. Название связано :о способом построе-1ИЯ прямоугольных ■реугольников натяги-1анием бечевки Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников. Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. ^ Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис, 151) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если данные треугольники имеют по равному острому углу а, то другие острые углы этих треугольников равны 90° - а , то есть также соответственно равны. Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно. Теорема (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство □ Пусть АВС и A^B^Cl — данные прямоугольные треугольники, в которых ZB = ZB^ = = 90° , АС = AjCj, ВС = EjCj (рис. 152). Докажем, что ААВС = AAjEjCj. 40 §17. Прямоугольные треугольники Рис. 152. Прямоугольные треугольники АВС и А,П,С, равны по гипотенузе и катету На продолжениях сторон СВ и отло- жим отрезки BD и BjD,, равные катетам ВС и BjCj соответственно. Тогда AABD = ААВС и = AA^B^C^ по двум катетам. Таким образом, AD = АС = AjCj - A^DJ . Это значит, что AADC -/\A^D^C^ по трем сторонам. Отсюда ZC = ZC,. И наконец, ААВС = АА^В^С^ по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана. Я Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного. ^ Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет. 17.3*. Прямоугольный треугольник с углом 30° Прямоугольный треугольник,' в котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство. Опорная задача В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы. Докажите. Решение Пусть в треугольнике АВС ZA =30°, Z6=90° Докажем, что ВС-0,5АС. Очевидно, что в треугольнике АВС ZC-60°. Отложим на продолжении стороны СВ отрезок Вй, равный ВС (рис. 153). Прямоугольные треугольники АВС и АВЬ равны по двум катетам. Отсюда следует, что Zb- ZC-60° и ZbAC= =30°+30°=60°. Таким образом, треугольник ЬАС равносторонний, а отрезок АВ — его медиана, то есть ВС-0.ЪЬС=0,ЬАС, что и требовалось доказать. 141 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства Катет - от греческого «катетос» -отвес Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°. Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному. ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 441. В прямоугольном треугольнике АВС ZA + ZB = ZC . Назовите гипотенузу треугольника. 442. В прямоугольном треугольнике DEF высота ЕА лежит внутри треугольника. Назовите катеты треугольника. 443. Прямоугольный треугольник с острым углом а равен прямоугольному треугольнику с острым углом 20°. Каким может быть значение а? 444. В треугольниках АВС и А^В^С^ = АВ = А^В^, ВС -B^C^. По каким признакам можно доказать равенство этих треугольников, если: а) угол А прямой; б) угол В прямой? 445. Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь две пары ссютветственно равных катетов; равные гипотенузы? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 446. Начертите прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. а) Измерьте угол А и вычислите градусную меру угла В. б) Отметьте на рисунке наименьший внешний угол треугольника. Какова его градусная мера? в) Проведите высоты треугольника. Сколько отрезков вы провели? 142 Прямоугольные треугольники 447. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. а) Проведите высоту BD. Выделите цветом равные треугольники и докажите их равенство с помощью различных признаков равенства прямоугольных треугольников. б) Назовите высоты треугольника BCD, проведенные к катетам. ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 448. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. 449. В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите углы треугольника CAD. * 450. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если: а) один из этих углов в пять раз меньше другого; б) их разность равна 10° . 451. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если: а) один из его внешних углов равен 130°; б) их градусные меры относятся как 2 : 7. 452. На рисунке 154 Z А = ZC , ZADB = Z.CDB. Докажите равенство треугольников ADB и CDB. ^ 453. На рисунке 155 AD||BC, ZBAC = ZDCA = 90° . Докажите равенство треугольников ВАС и DCA. 454. В треугольнике АВС углы А и С острые, BD — высота треугольника. Какая из точек А, С, D лежит между двумя другими? 455. В треугольнике АВС угол С тупой, BD — высота треугольника. Какая из точек А, С, D лежит между двумя другими? 456. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота ВН. Найдите углы треугольника АВН, если ZC = 25° . 457. В треугольнике АВС высота AD делит угол А на два угла, причем ZBAD = SS°, ZCAD = 42°. Найдите углы треугольника АВС. В D Рис. 155 143 ГЛАВА il. Треугольники и их свойства Уровень Б 458. в прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС ZA- 45° , катет АВ ~ 8 см. Найдите катет ВС. 459. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, образует с основанием треугольника угол 35°. Найдите углы данного треугольника. -> 460. В треугольнике АВС ZB = 90° . Биссектриса угла А пересекает катет ВС под углом 74°. Найдите острые углы треугольника АВС. 461. Если в треугольнике две высоты равны, то этот треугольник равнобедренный. Докажите. 462. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи. 463. В треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите углы данного треугольника, если ZABD = 25° , ZCBD = 40° . Сколько решений имеет задача? 464. Биссектриса, проведенная из вершины прямого угла треугольника, пересекает гипотенузу под углом 70°. Найдите углы, которые образует с катетами высота, проведенная к гипотенузе. 465. Докажите равенство прямоугольных треуголь^риков по катету и высоте, проведенной к гипотенузе. 466. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведенной к гипотенузе. 467. В равнобедренном треугольнике KMN с основанием KN высоты КА и NB пересекаются в точке О. Найдите углы данного треугольника, если .4^ KON ~ 140°. —^ 468. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты AD и BE пересекаются под углом 50°. Найдите углы данного треугольника. Уровень В 469 (опорная). Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Докажите. 470 (опорная). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. Докажите. §17 Прямоугольные треугольники 471. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 22°. Найдите острые углы треугольника. 472. Высота, проведенная из вершины при основании равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы данного треугольника. 473. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность между гипотенузой и катетом, прилежащим к данному углу, равна 6 см. Найдите эти стороны треугольника. 474. В треугольнике АВС ZB = 90°, а внешний угол при вершине С равен 120°. Найдите стороны ВС и АС, если их сумма равна 21 см. 475. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°, равен 18 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной к данному катету. —^ 476. В треугольнике АВС ZC = 90°. Биссектриса В£ образует с катетом АС угол 60°. Найдите катет АС, если СЕ = 4 см. © п. 1.2; § 11 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §18 Теоретический материал * свойства точек и прямых ' равнобедренный треугольник Задачи 477. В треугольнике АВС медиана ВМ равна стороне ВС. Отрезок ВН — высота треугольника. Найдите длину стороны АС, если НС = 2 см. 478. В треугольнике АВС биссектриса BL равна стороне ВС. Отрезок ВН — высота треугольника. Найдите угол АВС, если ZCBH = 20°. 145 §18. Сравнение сторон и углов треугольника 18.1. Соотношения между сторонами и углами треугольника Рис. 156. К доказательству соотношений между сторонами и углами треугольника Теорема (соотношения между сторонами и углами треугольника) В треугольнике: 1) против большей стороны лежит ббпьший угол; 2) против ббльшего угла лежит большая сторона. Доказательство ' □ Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно. 1) Пусть в треугольнике АВС АВ > АС . Докажем, что ZC>ZB . Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В, значит, угод 1 является частью угла С, то есть ZC>Z1. Очевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Zl= Z2 . Кроме того, угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z2> ZB, Следовательно, имеем: ZB ZB . Докажем от противного, что АВ > АС . Если это не так, то АВ = АС или АВ < АС . В первом случае треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС, то есть Z В = Z С. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть ZB> ZC .В обоих случаях имеем противоречие условию ZC> ZB . Таким образом, наше предположение неверно, то есть АВ > АС. Теорема доказана. ■ 146 §18. Сравнение сторон и углов треугольника Следствие 1 В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, - наибольшая. Следствие 2 6 прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Рис. 157. К доказательству неравенства треугольника 18.2. Неравенство треугольника Теорема (неравенство треугольника) * В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон. Доказательство □ Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АС < АВ -ь ВС . Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BQD равнобедренный с основанием CD, откуда Z1 = Z2. Но угол 2 является частью угла ЛСД то есть Z2< ZACD . Таким образом, в треугольнике ACD ZC> ZD. Учитывая соотношение между сторонами и углами треугольника, имеем; АС < AD = АВ + BD = АВ + ВС . Теорема доказана. ■ Следств ие Если для трех точек А, В. С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти точки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками Л и С Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС < АВ+ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС. 147 ГЛАВА II Треугольники и их свойства Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, Ь, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, Ь, с невозможно. С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.). Задоча Точки /1 и б лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158). Решение Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок OAj, равный АО. Для любой точки С прямой с прямоугольные треугольники АОС и AtOC равны по двум катетам, откуда АС ~ AiC \а АС * СВ - AiC + СВ. Очевидно, что по следствию неравенства треугольника AtC + СВ будет наименьшей в случае, когда точки Aj,, С \л В лежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка А\В с прямой с. Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СВ образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки А, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения. 148 §1ь Сравнение сторон и углов треугольника Вопросы и задачи э & УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 479. Назовите: а) наибольшую сторону треугольникаDEF, если ZD < ZE < ZF; б) наименьший угол треугольника MNK, если МК > NK > MN. 480. Из одной вершины треугольника проведены медиана, биссектриса и высота, причем никакие два из этих отрезков не совпадают. Какой из данных отрезков наименьший? 481. Определите: ^ а) могут ли стороны треугольника быть равны 13 см, 20 см и 6 см; б) может ли сторона треугольника составлять половину его периметра; в) могут ли стороны треугольника относиться как 2:3:5; г) может ли основание равнобедренного треугольника быть втрое больше боковой стороны? 482. В треугольнике АВС сторона АС наименьшая. Может ли угол В быть прямым или тупым? Ответ обоснуйте. * 483. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 16 см, а другая — 5 см. Найдите длину основания треугольника. ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 484. Начертите треугольник АВС, в котором ZC = 100° . а) Назовите наибольшую сторону треугольника и проверьте свой ответ с помощью измерений. б) Измерьте все стороны треугольника и проверьте, выполняется ли неравенство треугольника для сторон треугольника АВС. в) Пользуясь результатами измерений, назовите наименьший угол треугольника. 485. Начертите остроугольный треугольник АВС. а) Измерьте углы треугольника и определите его наибольшую и наименьшую стороны. б) Проведите медиану BD. Запишите неравенство треугольника для стороны BD в треугольниках ABD и CBD. 149 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А ^ 486. в треугольнике АВС АВ = 3,3 см, ВС = 3— см, АС = 3— см. Назовите наибольший угол треугольника. 487. В треугольнике АВС АВ < ВС , Z А < Z В . Назовите наименьший угол треугольника. 488. В прямоугольном треугольнике АВС ZB ВС , ZB> ZA . Назовите основание треугольника. 496. В треугольнике АВС ZA = ZC , Назовите наименьший угол треугольника, если АС < АВ. 497. Сторона равнобедренного треугольника на 3 см больше другой стороны. Найдите все стороны треугольника, если его периметр равен 18 см. 150 ^18 Сравнение сторон и углов треугольника 498. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 м. Найдите стороны треугольника, если одна из них равна 10 м. 499. Две стороны треугольника равны 1,2 м и 0,4 м. Найдите длину третьей стороны, если она выражается целым числом метров. 500. Докажите, что медиана треугольника меньше половины его периметра. 501. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра. У. овень Р 502. В прямоугольном треугольнике АВС отрезок CD — биссектриса, проведенная из вершины прямого угла. Назовите наименьшую ст(Ч)о-ну треугольника, если угол CDA тупой. 503. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота CD. Назовите наименьший угол треугольника, если AD < BD. 504. Высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла, лежит вне треугольника. Докажите. 505. Даны положительные числа а и Ь. Известно, что существует треугольник со сторонами а + ЬЪ , 5а + 6Ь и За + 2Ь . Какое из чисел больше: а или Ь? * 506. Две стороны треугольника равны аиЬ (п > &). В каких пределах может изменяться: а) длина третьей стороны; б) периметр треугольника? 507. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она проходит. 508. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §19 Теоретический материал • окружность и круг • свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника 5 класс; п. 12.2 151 ГЛАВА II. Треугольники и их свойства_____________________________ Задачи 509. На плоскости отмечена точка О. Сколько точек, удаленных от точки О на заданное расстояние а, существует: а) на луче с началом О; б) на прямой, проходящей через точку О; в) на двух прямых, пересекающихся в точке О; г) на плоскости? Выскажите предположения. 510. Прямые а и Ь пересекаются в точке О. На прямой а от точки О отложены равные отрезки ОА и ОС, на прямой Ь — равные отрезки ОВ и OD. Запишите все пары образовавшихся равных треугольников и докажите их равенство. Задачи для подготовки к контрольной работе N?3 1. Определите, параллельны ли прямые а и 6, если Z1 = 36°, а угол 2 в 4 раза меньше угла 3 (рис. 159). 2. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если внутренние односторонние углы относятся как 11:25. 3. Найдите углы треугольника АВС, если угол А на 35° меньше угла В, а угол В на 25° больше угла С. 4. Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точке О, ZAOC = 100°. Найдите /.АВС . 5. Докажите, что треугольники ABD и DCA равны, если /В = /С = Ж и АО^ DO (рис. 160). 6. В треугольнике АВС ZC = 90°, ZABB = 120°, ZABC = 60°, A_D = 16 CM (рис. 161). Найдите CD. Рис. 160 152 Итоги итоговый ОБЗОР ГЛАВЫ II ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Первый признак (по двум сторонам и углу между ними) Второй признак (по стороне и прилежащим к ней углам) Третий признак (по трем сторонам) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны Если сторона и прилезца-щие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны Если три стороны одного треугольника соатветствен-но равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний 153 МЕДИАНА. БИССЕКТРИСА И ВЫСОТА Медианой треуголь- Биссектрисой тре- ника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны угольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину данного угла с точкой на противолежащей стороне ТРЕУГОЛЬНИКА Высотсш треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит противолежащую сторону D РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ Если при пересечении двух прямых третьей вьшолняется хотя бы одно из условий: 1) внутренние накрест лежащие углы равны; 2) сумма внутренних односторонних углов равна 180°; 3) соответственные углы равны, то прямые параллельны СВОЙСТВА УГЛОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ Если секущая пересекает две параллельные прямые, то: 1) внутренние накрест лежащие углы равны; 2) сумма внутренних односторонних углов равна 180°; 3) соответственные углы равны 154 ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И РАССТОЯНИЯ ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну а в Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую а □ ь □ В Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от любой точки одной из данных прямых до другой прямой СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Сумма углов треугольника равна 180° Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой верши- ZH-Z2-i-Z3 = 180° ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ По двум катетам По катету и прилежащему острому углу По катету и противолежащему углу Если два катета одного йрямоугольно-го треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны 155 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (продолжение) По гипотенузе и острому углу По гипотенузе и катету Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК с УГЛОМ 30° * в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30° СРАВНЕНИЕ СТОРОН И УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон 6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение треугольника. 2. Какие фигуры называются равными? 3. Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников. 4. Сформулируйте и докажите теорему о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной. 5. Дайте определение перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. 156 Итоги к главе II 6. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников. 7. Дайте определение равнобедренного треугольника. Как называются его стороны? 8. Сформулируйте и докажите свойство углов равнобедренного треугольника. 9. Сформулируйте и докажите признак равнобедренного треугольника. 10. Дайте определение равностороннего треугольника. Сформулируйте его свойство и признак. 11. Дайте определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 12. Сформулируйте и докажите свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника. 13. Сформулируйте и докажите третий признак равенства треуг(?ль-ников. 14. Объясните по рисунку, какие углы при двух прямых и секущей называются внутренними накрест лежащими, внутренними односторонними, соответственными. 15. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух прямых, пересеченных третьей. Сформулируйте следствия этой теоремы. 16. Сформулируйте теорему о существовании и единственности прямой, параллельной данной, и докажите существование та^ой прямой. 17. Сформулируйте и докажите свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. 18. Докажите теорему о расстояниях от точек прямой до параллельной ей прямой. Дайте определение расстояния между параллельными прямыми. 19. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. Какие следствия она имеет? 20. Назовите виды треугольников по величине углов. 21. Дайте определение внешнего угла треугольника. 22. Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника. 23. Как называются стороны прямоугольного треугольника? 24. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 25. Сформулируйте свойство прямоугольного треугольника с углом 30°. 26. Сформулируйте и докажите теорему о сравнении сторон и углов треугольника. Какие следствия она имеет? 27. Сформулируйте и докажите неравенство треугольника. ГЛАВА II. Треугольники и их свойства О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 511. Докажите равенство треугольников АБС и A^Б^C^, если: а) AB = A,Bi, ZA = ZAi=85°, ZB = 40°, ZC^ = 55°; б) AB = AjB,, = ZB = 30°, ZAj =72°, ZCj =78°. 512. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные противолежапщм сторонам. Сколько треугольников, равных данному, при этом образовалось? Докажите их равенство. 513. Угол одного из двух равных треугольников равен сумме двух углов другого треугольника. Докажите, что данные треугольники прямоугольные. л 514. В треугольниках АБС и MNK АВ = MN, ZA = ZM, ZBit ZN. Монсет ли треугольник АБС быть равен треугольнику с вершинами М. N. К? 515. Треугольник пересекается четырьмя параллельными прямыми. Докажите, что по крайней мере одна из них не проходит через вершину треугольника. 516. Стороны треугольника лежат на прямых, углы между которыми равны 20°, 30° и 50°. Найдите углы треугольника. 517. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными? Ответ обоснуйте. 518. Докажите, что две высоты треугольника не могут точкой пересечения делиться пополам. 519. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при основании. 520. Треугольники АБС. BCD и ВСЕ равносторонние. Докажите: а) параллельность прямых АЕ и BD; б) равенство треугольников ABD и EDB; в) равенство треугольников АВЕ и EDA. Найдите углы треугольника АВЕ. 521. Треугольники АБС и АБ,С равны, причем точки Б и Б^ лежат по разные стороны от прямой АС. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек В и В^ па прямую АС, имеют общее основание. 522. Прямая CD перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Докажите равенство треугольников ACD и BCD. 158 ___ Итоги к главе II 523. Прямые а иЬ параллельны, если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ь. Докажите. 524. Точки Аи В лежат по одну сторону от прямой о на равных расстояниях от нее. Докажите, что АВ ]\ а . 525. Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся ею в отношении АО: ОВ = СО: OD. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник DMB равнобедренный. 526. Один из углов треугольника равен а. Найдите угол между прямыми, которые содержат высоты, проведенные из вершин двух других углов. 527. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины одного из углов треугольника, равен половине разности двух других углов треугольника. Докажите. 528. Медиана AM треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе BL. Найдите ВС, если АВ - 3 см. 529. Перпендикуляр, проведенный из вершины А треугольника АБС к медиане ВМ, делит эту медиану пополам. Найдите АВ, если АС = 10 см. 530. Через вершины А и С треугольника АБС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АБС и пересекающие лучи ВС и БА в точках К и М соответственно. Найдите длину стороны АВ, если AM - 2 см, ВС = 7 см. Сколько решений имеет задача? 531. В треугольнике АБС АВ < ВС < АС . Один из углов треугольника вдвое меньше второго угла и на 100° меньше третьего. Найдите угол Б. 532. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, лежащими на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон. 533. Определите, сколько треугольников можно составить из отрезков длиной: а) 2, 3, 4, 5; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7. 159 Историческая справка . Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом. i . . <. .1 /. ... . . ...v.: .i Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результатьс венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие. М. И. Лобачевский Становление "£■'метрическо!* аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического поароения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002). Геог-.'«'тр1ш треуг ‘иков. Евклид ввел понятие О равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «Началам» Евклида). Давид Гильберт ГЛАВА II. Треугольники и их свойства ____ 0 ТЕМАТИКА СООБЩЕНИЙ И РЕФЕРАТОВ 1. Евклид Александрийский — родоначальник современной геометрии. 2. Н. И. Лобачевский — реформатор геометрической науки. 3. Признаки равенства для различных видов треугольников. Прикладные задачи, связанные с равенством треугольников. 4. Неравенства в треугольнике и их следствия. Кратчайшие пути на плоскости. 5. Доказательство и опровержение. Логические основы теории аргументации. ' 6. Деление и классификация понятий. Рекомендованные источники информации 1. Бевз Г. П. Геометр1я трикутника.— К.: Генеза, 2005. 2. Гетманова А. Д. Логика.— М.: Дрофа, 1995. 3. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII кл.— М.: Просвещение, 1982. 4. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirrdrO.mccme.ru/ 5. KymHip I. А. Трикутник i тетраедр в задачах.— К.: Рад. шк., 1991. 6. Математична хрестомайя. Т. 1, 2.— К.: Рад. шк., 1970. 7. Холодковський В. Микола 1ванович Лобачевський.— К.: Рад. шк., 1950. 8. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9.— М.: Дрофа, 1997. 162 1гЕ©тЕШИИМЕ6КИЕ П€©1!Р0Е1ШЩ w § 19. Окружность § 20. Касательная к окружности ^ § 21. Задачи на построение § 22. Геометрическое место точек § 23. Описанная и вписанная окружности треугольника Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность. Дэвид Юм, английский философ В предыдущих главах вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе. Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения. Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур. §19. Окружность Рис. 162. Расположение точек плоскости, удаленных от точки О на рас- стояние R Рис. 163. Окружность и круг Радиус - от латинского «радиус» - луч, спица Хорда - от греческого «хорда» - струна, тетива Диаметр — от греческого «диа» - насквозь и «мет-рео» - измеряющий насквозь; другое значение этого слова - поперечник 19.1. Определение окружности и ее элементов Пусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигу-л ра, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр*. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности. Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 ОА,, ОА^,... — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или г). 165 ГЛАВА III Окружность. Геометрические построения Рис. 164. Хорда, радиус и диаметр окружности О пределе н ие Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности. На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d — 2R . Построение окружности выполняют с помощью циркуля. ^ 19.2. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде Опорная задача Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите. Решение Пусть Сй — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, АВ 1 Сй. Докажем, что Л1 — точка пересечения отрезков АВ \л Сй — середина отрезка Аб. В случае, когда хорда АВ само является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы ОА и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЛ1 является медианой. Итак, AM ~ ВМ, что и требовалось доказать. Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде. 166 § 19. Окружность ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 534. Даны окружность радиуса R с центром О и точка А. Сравните Л с длиной отрезка ОА , если точка А : а) лежит на данной окружности; б) лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью; в) не принадлежит кругу, ограниченному данной окружностью. 535. Сколько общих точек с окружностью имеет: а) луч, началом которого является центр окружности; б) прямая, проходящая через центр окружности? 536. Точка пересечения двух диаметров окружности соединена с точкой окружности. Какую длину имеет полученный отрезок, если диаметр окружности равен d ? 537. Две хорды окружности имеют общий конец. Могут ли обе они быть диаметрами? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 538. Начертите окружность с центром О и радиусом 3 см. ’ а) Проведите в данной окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром. Какой из этих отрезков не проходит через центр окружности? б) Выделите на рисунке отрезок, длина которого равна 6 см. в) Отметьте внутри окружности точку, не совпадающую с точкой О. Сколько радиусов, диаметров, хорд можно провести через отмеченную точку? 539. Начертите окружность. Сотрите изображение центра окружности и вырежьте круг из бумаги. С помощью сгибаний полученного шаблона восстановите центр окружности. ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 540. Найдите диаметр окружности, если он на 8 см больше радиуса этой окружности. 167 ГЛАВА HI. Окружность. Геометрические построения^ 541. Диаметр циферблата часов равен 11 см. Найдите длину минутной стрелки. 542. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О. а) Докажите равенство треугольников АОВ и COD . б) Найдите периметр треугольника COD, если АС = 14 см, АВ = 8 см. 543. Отрезки ОА и ОВ — радиусы окружности с центром О, причем ZA05 = 60°. Найдите периметр треугольника АОВ, если АВ = 5 см. Уровень Б * 544. Из одной точки окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. -> 545. Из одной точки окружности проведены две хорды, равные радиусу окружности. Найдите угол между ними. 546. На рисунке 166 отрезки АВ и CD — равные хорды окружности с центром 0. 2) Докажите равенство углов АОС и BOD . 547. Отрезок АВ — диаметр окружности с центром О, АС и СВ — равные хорды этой окружности. Найдите угол СОВ . 548. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от ее центра. 549. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи № 548. 550. Докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружности. Уровень В 551. Если одна из двух перпендикулярных хорд точкой пересечения делится пополам, то вторая хорда является диаметром окружности. Докажите. 552. Расстояние от центра окружности О до хорды АВ вдвое меньше радиуса окружности. Найдите угол АОВ . 168 1. §19. Окружность 553. Расстояние от центра окружности О до хорды АВ вдвое меньше хорды АВ. Найдите угол АОВ . 554. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от центра окружности до точки их пересечения равно расстоянию между серединами этих хорд. 555. Хорды, пересекающие диаметр в точках, которые делят данные хорды пополам, параллельны. Докажите. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §20 Теоретический материал * существование и единственность перпендикуляЕ>а к прямой * медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника * сумма углов треугольника * свойства и признаки п. 9.1; 12.2 п. 16.1; 13.2 Задачи 556. Докажите, что прямые а и Ь, перпендикулярные параллельным прямым с V. d, отсекают на этих прямых равные отрезки. 557. В Т1>еугольнике АВС, ZB = 130°,AD —высота треугольника. Найдите углы треугольника ABD. 169 Рис. 167. Секущая и касательная к окружности §20. Касательная к окружности 20.1. Определение и свойство касательной Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей Ъ. Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Определение Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А. Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания. Теорема (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство □ Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что ОА ± а. Применим метод доказательства от противного. Пусть отрезок ОА не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОБ к прямой а. Рис. 168. К доказательству свойства касательной 170 §20. Касательная к окружности Рис. 169. К доказательству признака касательной На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ, и соединим точки О и С. Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС , то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть ОА = ОС. Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть ОА ± а. Теорема доказана. ■ 20.2. Признак касательной Докажем теорему, обратную предыдущей. Теорема (признак касательной) Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности. Доказательство * □ Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем ОА ± а. Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного. Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В, отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника ZOBA = ZOAB = 90^ , что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности. ■ 171 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 20.3. Свойство отрезков касательных Пусть даны окружность с центром О и точка А , не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170). Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А . ^ Рис. 170. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А Опорная задача Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите. Решение Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и\^АОС. По свойству касательной ОВ L АВ, ОС L АС, то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами (Об = ОС как радиусы окружности). Следовательно, ААОВ - ААОС по гипотенузе и катету, откуда АВ = АС. 20.4*. Касание двух окружностей Определение Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную. Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей. 172 §20. Касательная к окружности 'ис. 171. Касание двух ок-ужностей: .) внутреннее; ) внешнее Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а); Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б). По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, пер-^ пендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружное-^ тей лежат на одной прямой. Касающиеся окружности имеют единственную общую точку — точку касания. Если данные окружности имеют радиусы R иг (к > г), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и /?-1-г в случае внешнего касания. Вопросы и задачи э УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 558. Прямая АВ касается окружности с центром О в точке А . Может ли треугольник ОАВ иметь тупой угол? 559. Сколько касательных к данной окружности можно провести через точку, которая лежит: а) на данной окружности; б) внутри круга, ограниченного данной окружностью? 560. АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из точки А к данной окружности. Определите вид треугольника АВС. 173 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 561. Расстояние между центрами двух касающихся окружностей, имеющих радиусы i?j и , равно d. Определите, является ли касание данных окружностей внутренним или внешним, если: а) = 8 см, Л2 = 2 см, d = 6 см; б) Л^ = 3 см, Лз = 6 см, d = 9 см. ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 562. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. а) С помощью угольника проведите через точку А касательную к данной окружности. Какая теорема при этом используется? б) Проведите хорду АВ, не являющуюся диаметром. Проведите касательную к окружности в точке В. Отметьте точку С — точку пересечения двух касательных — и сравните длины отрезков АС и ВС. 563. Начертите окружность с центром О и радиусом 2,5 см. а) Отметьте на окружности точку А и начертите окружность с центром -К и радиусом 1,5 см, касающуюся данной окружности в точке А внешним образом. ^ б) Проведите общую касательную построенных окружностей. Под каким углом она пересекает прямую ОК ? ШШ ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ■‘кровен L. А 564. Прямая АВ касается окружности с центром О в точке А. Найдите: а) угол ОВА , если ZAOB-20° \ б) радиус окружности, если ААОВ = 45°, АВ = 8 см. 565. Прямая АВ касается окружности с центром О в точке А. Найдите углы ОВА и АОВ , если ОА — АВ . 566. Через точку окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 567. В окружности с центром О проведена хорда АВ, причем Z АОВ = 120° . Найдите угол между этой хордой и касательной, проведенной к окружности в точке В. 174 §20. Касательная к окружности 568. На рисунке 170 ZBOC = 150°, Найдите угол ВАС. 569. Йа рисунке 170 ZBAC = 50° . Найдите угол ВОС . 570. Радиусы двух касающихся окружностей равны 14 см и 11 см. Найдите расстояния между центрами окружностей в случаях внутреннего и внешнего касания. Уровень »- 571. Докажите, что касательные, проведенные к концам диаметра окружности, параллельны. 572. Радиус, проведенный в точку касания окружности с прямой а, делит пополам хорду АВ. Докажите, что АВ || а. * 573. Окружность касается сторон неразвернутого угла. Докажите, что центр окружности лежит на биссектрисе угла. 574. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ . ” 575. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите угол ВАС, если Z ОВС = 40° . 576. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 8 см, касаются внутренним образом. Радиус одной из окружностей равен 10 см. Какую длину может иметь радиус второй окружности? -> 577. Две окружности, расстояние между центрами которых равно 8 см, касаются внешним образом. Найдите диаметры этих окружностей, если их разность равна 4 см. Уровень о 578. Докажите, что: а) три касательные к одной окружности не могут пересекаться в одной точке; б) прямая не может пересекать окружность более чем в двух точках. 579. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите радиус окружности, если ZBOC = 120°, АО = 30 см. ^ 580. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите расстояние АО, если АВ = 7 см, ZАВС = 30° , 175 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 581. Даны две окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и имеет центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояние между их центрами равны соответственно: а) 5, 2 и 1; б) 3, 4 и 5. Для каждого случая найдите все возможные решения. ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §21 Теоретический материал измерение отрезков измерение углов неравенство треугольника п. 2.3; 3.3 п. 18.2 Задачи 582. Докажите, что в равностороннем треугольнике: а) любые две медианы пересекаются под углой 60°; б) расстояния от вершин до прямых, содержащих противолежащие стороны, равны. 583. Прямая I пересекает отрезок АВ в его середине. Докажите, что расстояния от точек А и В до прямой I равны. 176 §21. Задачи на построение Ф ^ ^ ё Циркуль ~ от латинского «циркулус» — окружность, круг 21.1. Что такое задачи на построение? Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести: • произвольную прямую; • прямую, проходящую через данную точку; • прямую, проходящую через две данные точки. Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины. С помощью циркуля можно: • провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с произвольным или заданным центром; • отложить от начала данного луча отрезок заданной длины. Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей. Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи. Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая. 177 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 21.2. Основные задачи на построение Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ I Q Пусть даны отрезки длиной а, Ь и с. * Построим треугольник со сторонами *а, Ь * : и с. а Проведем произвольный луч и отметим на нем точку А . Раствором циркуля, равным а, построим окружность с центром А. Пусть В — точка пересечения этой окружности с лучом. i А В С К 1 Раствором циркуля, равным Ь, опишем окружность с центром А, а раствором циркуля, равным с,— окружность с центром В. Пусть С — точка пересечения этих окружностей. А 1в С Проведем отрезки АС и ВС. По построению треугольник АВС имеет стороны длиной а, Ь и с, то есть треугольник АВС иcкoмый^. А 1В По данным задачи можно построить четыре разных треугольника с общей стороной АВ. По третьему признаку эти треугольники равны, то есть совмещаются наложением. В таких случаях решением задачи считают любой из этих равных треугольников. 178 §21. Задачи на построение Отметим, что эта задача имеет решение при условии, что длины отрезков а , Ъ vi с удовлетворяют неравенству треугольника. С помощью описанных операций несложно решить задачу о построении угла, равного данному неразвернутому углу А. Для этого достаточно отложить на сторонах данного угла А отрезки АВ и АС и построить треугольник, равный треугольнику АВС. ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА Пусть дан неразвернутый угол с вершиной А . Построим его биссектрису. С помощью циркуля построим окружность произвольного радиуса с центром А. Пусть В и С — точки пересечения этой окружности со сторонами данного угла. Построим окружности того же радиуса с центрами В и С. Пусть D — точка пересечения этих окружностей. Проведем луч AD. По построению AABD = =AACD (по третьему признаку). Отсюда ZBAD = ZCAD , то есть AD — биссектриса данного угла А. 179 ГЛАВА Hi. Окружность. Геометрические построения а JIOCTPOEHHE ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОМ ПРЯМОЙ \ Пусть даны прямая а и точка О. Построим : прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а. Рассмотрим два слу- О О чая. Точка О лежит на прямой а 1 i t i Построим окружность произвольного радиуса с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой окружности с прямой а. а' О ^ 1 Построим окружности радиуса АВ с центрами А и В. Пусть С — одна из точек их пересечения. Проведем прямую через точки С и О. i Q ^ / f\ По построению отрезок СО — медиана равностороннего треугольника АВС , которая является также его высотой. Итак, СО .LAB, то есть прямая СО — искомая. А' о “ о Точка о не лежит на прямой а Построим окружность с центром О, которая пересекает прямую а в точках А и В. В 180 §21. Задачи на построение О • \ /а X Ох Построим окружности того же радиуса с центрами А w. В. Пусть Oj — точка пересечения этих окружностей, причем точки О и Oj лежат по разные стороны от прямой а. С Х, а Проведем прямую ОО^. Пусть С — точка пересечения прямых OOj и а. По построению AAOOi=ABOOi (по третьему признаку). Отсюда /-АОС = ZBOC. Тогда ОС — биссектриса равнобедренного треугольника АОВ , проведенг ная к основанию. Она также является медианой и высотой треугольника. Следовательно, ОС±а, го есть прямая ОО, — искомая. А ( \ Рис. 172. Построение середины отрезка с О С а Г ъ Рис. 173. Построение прямой, параллельной данной Отметим, что построенная прямая OOj перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку. Пользуясь описанными построениями, несложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, параллельной данной. Для построения середины отрезка АВ достаточно провести две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В (рис. 172). Обозначив точки пересечения этих окружностей через О и Oi, можно определить середину отрезка АВ как точку пересечения прямых АВ и OOj, после чего провести доказательство, аналогичное доказательству предыдущей задачи. Для построения прямой, проходящей через данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую Ь, перпендикулярную а , и прямую с, перпендикулярную Ь (рис. 173). Тогда а||с по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. 181 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие: 1) построение треугольника с данными сторонами; 2) построение угла, равного данному неразвернутому углу; 3) построение биссектрисы данного неразвернутого угла; 4) построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой; 5) построение серединного перпендикуляра к данному отрезку; 6) построение середины данного отрезка; 7) построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Если эти задачи применяются как вспомогательные при решенщ! более сложных задач, соответствующие построения можно подробно не описывать. 21.3.* Решение задач на построение Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов: анализ, построение, доказательство, исследование. ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ, 1 Анализ Выполнение рисунка-эскиза искомой фигуры и установление связи между ее элементами и данными задачи. Определение плана построения искомой фигуры. 2 Построение Осуществление плана, разработанного в ходе анализа. 3 Доказатель- ство Обоснование того, что построенная фигура имеет заданную форму, а размеры и расположение ее элементов удовлетворяют условию задачи. 4 Иccлeдoвaниe^ Определение количества решений и условий существования искомой фигуры или обоснование невозможности ее построения. Если задача достаточно проста, то отдельные этапы ее решения можно проводить устно. * В некоторых задачах для исследования необходимы геометрические утверждения и соотношения, изучаемые в 8—9 классах. В этих случаях исследования мы будем проводить в сокращенном виде или вообще опускать. 182 §21. Задачи на построение т. Рис, 174 Рассмотрим на конкретных примерах некоторые методы решения задач на построение. Задача Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них. Решение Пусть а. Ь, гпь “ две стороны и медиана треугольника АВС, который необходимо построить (рис. 174). Анализ Допустим, что треугольник АВС построен (рис. 175). Если ВМ — данная медиана треугольника АВС, то в треугольнике АВМ известны длины трех сторон Ь (АВ = а, б/И = Wfc, АМ = - по условию задачи). Таким образом, мы можем построить треугольник АВМ и найти вершины А и 6 искомого треугольника. Чтобы найти вершину С, достаточно отложить на луче АЛ1 отре- W Ь зок МС длиной -. Построение ' 1. Разделим отрезок Ь пополам. 2. Построим треугольник АВМ со сторонами АВ = а. ВМ = Шь, AM - ^ 3. Отложим на луче AM отрезок МС - - . 4. Соединим точки 6 и С. Дсжазательство В треугольнике АВС АВ - а, АС - Ь, ВМ - ВМ — медиане (по построению). Следовательно, треугольник АВС искомый. Исследование Задача имеет решение при условии существования Ь треугольника АВМ, то есть, если числа а. п\ь, -удовлетворяют неравенству треугольника. В 183 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения Сравним только что решенную задачу с задачей о доказательстве ра венства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной ис них (п. 13.1). Решая обе эти задачи, мы использовали треугольник АВМ в котором все стороны известны по условию. Его рассмотрение помоглс в задаче на доказательство получить необходимые соотношения для угло1 данных треугольников, а в задаче на построение — найти две вершинь искомого треугольника. Треугольник АВМ называют вспомогательным а соответствующий метод решения — методом вспомогательного тре угольника. Решение задач на построение с помощью метода вспомогательногс треугольника подробно рассмотрено в Приложении 2. ф Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 584. Опишите, как разделить: а) данный отрезок на четыре равных отрезка; б) данный угол в отношении 1:3. , Опишите, как построить: а) угол 45°; б) угол 135°. 585. ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 586. Решите в тетради или на экране компьютера основные задачи на построение. Вьвделите полужирными линиями исходные данные задачи, пунктирными линиями — промежуточные построения, красным цветом — результаты решения. ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А 587. Даны отрезки а и Ь, причем а<Ъ. а) За; б) Ь-а; в) а + 2Ь. Постройте отрезок длиной: 184 §21. Задачи на построение 588. Даны острые углы а и Р, причем а<р. Постройте угол с градусной мерой: а) 0,5Р; б) а+Р; в) 2р-а. 589. Постройте треугольник АВС по следуюпдим данным: а) АВ = 4 см, ВС = 3 см, ZB = 45°; б) АВ-& см, ВС = 10 см, АС-8 см; в) АВ = 3 см, ZA = 30°, ZB = 70°. 590. Постройте треугольник АВС по следующим данным: а) АС = 5 см, АВ = 3 см, ZA = 60°; ^ б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 6 см; в) ВС = 4 см, ZC = 90°, ZB = m° . 591. Дан треугольник АВС . Постройте треугольник АВС,, равный данному треугольнику. 592. Дан треугольник. Постройте все его: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты, если данный треугольник остроугольньщ; г) высоты, если данный треугольник тупоугольный. 593. Постройте: а) отрезок, равный расстоянию между двумя данными параллельными прямыми; б) касательную, проходящую через точку данной окружности. Уровень Б 594. Постройте угол 60°. 595. Постройте углы и 120° и 30°. 596. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и периметру. 597. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к основанию. 598. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании. 185 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 599. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. 600. Постройте прямоугольный треугольник по катету и углу, противолежащему данному катету. 601. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, противолежащему основанию. Уровень В 602. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведенной к боковой стороне. 603. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. ^ 604. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне. —^ 605. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной к одной из двух других сторон. 606. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон. 607. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон. 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §22 ( п. 19.1 > Теоретическим материал • определение окружности { • перпендикуляр к прямой • биссектриса угла Задачи 608. На сторонах острого угла О отмечены точки А и В, причем ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, пересекающиеся в точке С. Докажите, что ОС — биссектриса данного угла, если: а) ACLOA, ВСАОВ-, б) АСАОВ, ВСАОА. 609. Найдите расстояние между параллельными прямыми, если от секущей, пересекающей их под углом 30°, они отсекают отрезок длиной 22 см. 186 §22. Геометрическое место точек 22.1. Понятие о геометрическом месте точек До сих пор мы описывали геометрические фигуры с помощью определений и устанавливали их особенности путем доказательства свойств и признаков, относящихся к фигуре в целом. Для случаев, когда определенное свойство и соответствующий ему признак имеет каждая точка фигуры, существует еще один способ описания. Определение ^ Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удовлетворяющих определенному условию. Например, по определению окружность является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки плоскости на одинаковое расстояние. В определении ГМТ обратим внимание на слово «всех». Оно указывает на то, что для выяснения геометрического места точек недостаточно доказать, что точки указанной фигуры удовлетворяют определенному условию (то есть установить свойство точек). Необходимо также показать, что других точек, удовлетворяющих данному условию, на плоскости нет, то есть доказать соответствующий признак: если точка удовлетворяет указанному условию, то она принадлежит данной фигуре. Иначе говоря, доказательство того, что некоторая фигура F является геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Р, состоит из доказательства двух утверждений — прямого и обратного: 1) если определенная точка принадлежит фи гуре F, то она удовлетворяет условию Р; 2) если определенная точка удовлетворяет ус ловию Р, то она принадлежит фигуре F, 187 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 22.2. Основные теоремы о ГМТ Часто геометрическим местом точек является прямая или часть прямой. Докажем две важные теоремы о ГМТ. Теорема (о серединном перпендикуляре) Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка. Рис. 176. Точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка Рис. 177. Точка, равноудаленная от концов отрезка, принадлежит серединному перпендикуляру Доказательство □ Нам необходимо доказать два утверждения: 1) если точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка; 2) если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит середицному перпендикуляру к этому отрезку. Докажем первое из этих утверждений. Пусть точка С лежит на прямой с , перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину — точку О (рис. 176). В треугольнике АСВ отрезок СО — медиана и высота, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием АВ. Отсюда АС = ВС, то есть расстояния от точки С до концов отрезка АВ равны. Докажем второе утверждение. Пусть точка D равноудалена от точек А и jB , то есть AD = BD (рис. 177). Тогда в равнобедренном треугольнике ADB отрезок DO — медиана, проведенная к основанию, которая является также и высотой. Таким образом, прямая DO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Теорема доказана. ■ 188 § 22. Геометрическое место точек Теорема (обиссектрисе угла) Биссектриса неразвернутого угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла’. рисы угла равноудалена от его сторон ноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе Доказательство □ По аналогии с предыдущей теоремой докажем сначала, что любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Пусть даны неразвернутый угол с вершиной А и точка D на его биссектрисе (рж. 178). Опустим из точки D перпендикуляры DB и DC на стороны данного угла. По определению, DB и DC — расстояния от точки D до сторон угла А . Прямоугольные треугольники DBA и DCA имеют общую гипотенузу DA , Z DAB = Z DAC по условию. Тогда ADBA=ADCA по гипотенузе и острому углу. Отсюда DB = DC, то есть точка D равноудалена от сторон данного угла. Теперь докажем, что любая точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Пусть F — некоторая точка, равноудаленная от сторон угла А, то есть перпендикуляры FB и FC, опущенные из точки F на стороны данного угла, равны (рис. 179). Соединим точки F W. А. Тогда прямоугольные треугольники FBA и FCA равны по гипотенузе и катету. Отсюда Z FAB = Z. FAC, то есть луч AF — биссектриса угла А. Теорема доказана. ■ ^ Здесь и далее, говоря о точках, равноудаленных от сторон угла, мы имеем в виду точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от прямых, содержащих его стороны. 189 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 22.3. Метод геометрических мест Понятие ГМТ часто используется при решении задач на построение. Например, пусть необходимо построить точку, удовлетворяющую условиям Р, и Pg. Если геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Pj, является фигура Pj, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Pg,— фигура , то искомая точка будет общей для фигур Pj и Pg, то есть точкой их пересечения. ^ Рассуждения по такой схеме лежат в основе метода геометрических мест. Задача Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Рис. 180 Решение Пусть в искомом прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна с. катет ВС равен а (рис. 180). Для построения треугольника воспользуемся методом геометрических мест. Для этого на стороне прямого угла С отложим катет ВС, ВС = а (рис. 181). Точка А должна принадлежать второй стороне прямого угла и быть удаленной от точки В на расстояние с, то есть А — точка пересечения окружности с центром В радиуса с со второй стороной прямого угла. Построенные точки А, В \л С являются вершинами искомого прямоугольного треугольника АВС. В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника задача имеет решение при условии а < с. 190 § 22. Геометрическое место точек э Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 610. Фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих условию Р. Верно ли, что: а) на плоскости существуют точки, удовлетворяющие условию Р, но не принадлежащие F ; б) среди точек фигуры F есть точки, не удовлетворяющие условию Р; в) любая точка, удовлетворяющая условию Р, принадлежит фигуре F? * 611. Можно ли круг радиуса 5 см считать геометрическим местом точек, удаленных от центра этого круга на расстояние: а) равное 5 см; б) не более 5 см; в) не менее 5 см; г) не более 4 см? 612. Отрезок АВ равен 4 см. Можно ли считать серединный перпендикуляр к этому отрезку геометрическим местом точек, крторые: а) удалены от А и Б на 2 см; б) удалены от А и В на одинаковые расстояния; в) являются вершинами равнобедренных треугольников с основанием АВ? 613. Луч BD — биссектриса угла АВС . Можно ли считать его геометрическим местом точек, которые равноудалены: а) от лучей ВА и ВС ; а) от прямых ВА и ВС 7 ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 614. Начертите треугольник АВС. а) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от вершин А и В. б) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от сторон АС и АВ. в) Отметьте точку пересечения построенных геометрических мест и опишите ее свойства. 191 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 615. Начертите окружность с центром О и проведите хорду АВ, не являющуюся диаметром. а) Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от точек А W В. Проходит ли построенная прямая через точку О ? Почему? б) Постройте геометрическое место точек окружности, равноудаленных от сторон угла АОВ . О ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ Уровень А * 616. Дан отрезок АВ. Постройте геометрическое место точек С, таких, что треугольник АВС равносторонний. 617. Дан луч ВС . Постройте геометрическое место точек А таких, что угол АВС прямой. 618. На географической карте Украины постройте точку, равноудаленную от Чернигова, Луцка и Запорожья. 619. Даны точки А , В, С. Постройте точку, которая равноудалена от точек Л и jB и находится на заданном расстоянии от точки С. 620. Постройте точку, которая равноудалена от сторон данного угла и лежит на расстоянии d от его вершины. 621. Точка А лежит на данной окружности радиуса R. Постройте точки данной окружности, которые удалены от точки А на расстояние R. Уровень Б 622. Докажите, что геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой а на расстояние d, являются две прямые, параллельные а и отстоящие от нее на d. —^ 623. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная данным прямьпч и проходящая через середину их общего перпендикуляра. Докажите. 624. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через данные точки А и В. 192 § 22. Геометрическое место точек 625. Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса R, проходящих через данную точку А. 626. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся сторон данного неразвернутого угла. 627. Дан отрезок АВ. Найдите геометрическое место точек С, которые являются вершинами треугольников с основанием АВ и заданной высотой h. 628. Дана прямая АВ. Постройте точки, которые равноудалены от точек А и В и лежат на расстоянии I от прямой АВ. 629. На сторонах неразвернутого угла В отмечены точки А и С, причем АВ Ф СВ , Постройте точку, равноудаленную от сторон данного угла и равноудаленную от точек А и С. Сколько решений имеет задача, если АВ = СВ ? 630. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон. Уровень В 631. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, параллельных данной прямой. 632. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих заданную длину. 633. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности с центром О в данной точке А . 634. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых. 635. Постройте окружность, касающуюся каждой из двух пересекающихся прямых, причем одной из них — в данной точке. 636. Постройте окружность данного радиуса, которая проходит через данную точку и касается данной прямой. 637. На рисунке 182 изображен угол (аЬ), вершина которого недоступна. Постройте биссектрису этого угла. 638. Постройте треугольник по стороне и двум высотам, проведенным к другим сторонам. 639. Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте. 193 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения 0 ПОВТОРЕНИЕ ПЕРЕД ИЗУЧЕНИЕМ §23 Теоретический материал * окружность касательная к окружности С С §19; 20^> Задачи ^ 640. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника в точках А и В, а центр окружности О лежит на гипотенузе. Найдите угол АОВ. 641. Вершины А VI В треугольника АВС лежат на окружнЬсти с центром О , причем точка О лежит на стороне АС. Докажите, что касательная к окружности в точке В параллельна прямой АС, если ZBAO = 45°. 194 §23. Описанная и вписанная окружности треугольника Рис. 183. Окружность, описанная около треугольника АВС В Рис. 184. Точка О — точка пересечения серединных перпердикуляров к сторонам треугольника АВС 23.1. Окружность, описанная около треугольника Определение Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности. В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность. На рисунке 183 окружность с центром О описана около треугольника АВС. Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности. Теорема (об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Доказательство □ Пусть прямые а и & — серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС данного треугольника АВС (рис. 184). Сначала докажем методом от противного, что прямые а и Ь пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются, то есть а || Ь. Тогда поскольку а ± АВ, то АВ -Lb по следствию из теоремы о свойствах углов при параллельных прямых. Но ВС Lb по построению, отсюда АВ|| ВС , что невозможно по условию. Следовательно, прямые а и Ь пересекаются в некоторой точке О. 195 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения По теореме о серединном перпендикуляре точка О равноудалена от точек А и В (то есть ОА = ОБ) и равноудалена от точек В и С (то есть ОБ = ОС ). Отсюда ОА = ОБ - ОС. Следовательно, существует окружность с центром О , проходящая через все вершины треугольника АБС. Докажем методом от противного, что такая окружность единственна. Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с О, точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной. И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне АС содержит вое точки, равноудаленные от точек А и С. Поскольку точка О также равноудалена от точек А и С, то этот серединный перпендикуляр проходит через точку О . Теорема доказана. ■ Следствие Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Отметим, что центр описанной окружности не всегда лежит внутри треугольника; он также может лежать на одной из его сторон или вне треугольника (рис. 185). Внутри треугольника На стороне треугольника Вне треугольника Рис. 185. Расположение центра описанной окружности ------------- - . m--._‘■^’3 196 §23. Описанная и вписанная окружности треугольника В Рис. 186. Окружность, вписанная в треугольник АВС В Рис. 187. Точка О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС 23.2. Окружность, вписанная в треугольник Определение Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник является описанным около данной окружности. На рисунке 186 окружность с центром О вписана в треугольник АВС . Прямые, содержащие стороны треугольника, являются касательными к вписанной окружности, а точки касания лежат на сторонах треугольника. Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам данного треугольника. Далее в таком случае мы будем говорить, что центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник) , В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника. Доказо■ельс во □ Пусть AD и BE — биссектрисы данного треугольника АВС (рис. 187). Докажем методом от противного, что эти биссектрисы пересекаются. Пусть AD и BE не пересекаются. Тогда ADII BE, а углы BAD и АВЕ — внутренние односторонние при параллельных прямых AD и BE и секущей АВ, Сумма этих углов должна быть равна 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Итак, биссектрисы AD и BE пересекаются в некоторой точке О. Тогда по теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ и АС, а также равноудалена от сторон АВ и ВС . Таким 197 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения образом, три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны данного треугольника, равны. Следовательно, существует окружность с центром О, которая касается всех сторон треугольника ЛВС . Докажем методом от противного, что эта окружность единственна. Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда ее центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с О, точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной. И наконец, биссектриса CF содержит все точки, равноудаленные от сторон СА и СВ. Поскольку точка О также равноудалена от СА и СВ, то эта биссектриса проходит через точку О, Теорема доказана. ■ Следствие Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Поскольку все биссектрисы треугольника лежат внутри него, то и центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника. Задача В равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Докажите. Решение В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы AAj, Sб^ и CCj являются также медианами и высотами (рис. 188). Это означает, что прямые АА^, ВВ^ и СС| — серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС. Поскольку все они пересекаются в одной точке, то эта точка — центр описанной и вписанной окружностей треугольника АВС. 198 §23. Описанная и вписанная окружности треугольника ф Верно также и обратное утверждение: если в треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают, то этот треугольник равносторонний. Попробуйте доказать это самостоятельно. Вопросы и задачи УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 642. Даны треугольник и окружность. Определите, является ли данная окружность описанной около треугольника или вписанной в него, если: а) центр окружности равноудален от всех сторон треугольника; б) центр окружности равноудален от всех вершин треугольника; в) все стороны треугольника — хорды окружности; г) все стороны треугольника касаются окружности. 643. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О . Означает ли это, что: &) ОА = OB', • б) ZABO = ZCBO; в) точка О может лежать на одной из сторон треугольника? 644. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС . Означает ли это, что: а) ОА-=ОВ; б) ZABO = ZCBO; в) точка О может лежать вне данного треугольника? 645. Около треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Могут ли эти окружности иметь равные радиусы; общий центр? ГРАФИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 646. Начертите окружность и отметьте на ней точки А, В и С. Проведите перпендикуляры из центра окружности к сторонам треугольника АВС. В каком отношении они делят стороны треугольника? 199 ГЛАВА III Окружность. Геометрические построения Ф 647. Начертите окружность с центром О и проведите к ней три попарно пересекающиеся касательные. Обозначьте точки пересечения касательных А, В и С. В каком отношении лучи АО, ВО и СО делят углы треугольника АВС ? ПИСЬМЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ в в Уровень А 648. Около равнобедренного треугольника АВС [АВ = ВС) описана окружность с центром О (рис. 189). а) Докажите, что Z.AOB = ZCOB, б) Найдите угол АОС, если Z АВС = 40°. 649. В равнобедренный треугольник АВС [АВ = = ВС) вписана окружность с центром О (рис. 190). а) Докажите, что треугольник АОС равнобедренный. б) Найдите угол АВС, если ZAOC = 100°. 650. Постройте окружность, вписанную в данный треугольник. 651. Постройте окружность, описанную около данного треугольника. 652. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, OD — расстояние от точки О до стороны АВ. Найдите длину отрезка АВ, если AD = 9 см. 653. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС . Найдите угол ВАО, если ZBAC = 100° . .ровень ь 654. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите длину стороны АВ, если ОА - 8 см, ZAOB = 60°. 655. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол ВАС, если АВ = ВС, ZABO = 35°. 200 §23. Описанная и вписанная окружности треугольника Рис. 191 ТУ 656. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. 657. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. 658. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вписанная окружность касается сторон треугольника в точках D, Е тл. F (рис. 191). Найдите периметр треугольника, если AF = 5 см, BD = 6 см. 659. Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону равнобедренного треугольника на отрезки 3 см и 5 см, начиная от основания. Найдите периметр треугольника. ♦ Уровень В 660. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности. 661. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным из одной вершины, и радиусу описанной окружности. 662. Периметр равнобедренного треугольника равен 220 см. Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки в отношении 3 : 4. Найдите стороны треугольника. Сколько решений имеет задача? 663. а) В треугольнике АВС вписанная окружность касается сторон треугольника АВ, ВС и АС в точках D, Е, F соответственно. Докажите, , АВ + АС-ВС что AD =-----------. б) (Опорная.) В прямоугольном треугольнике с катетами а, Ь и гипотенузой с радиус вписанной окружности вычисляется а + Ь — с ПО формуле г = ■ . Докажите. 664 (Опорная.) а) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. б) Если радиус окружности, описанной около треугольника, равен половине его стороны, то этот треугольник прямоугольный. Докажите. 201 ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения Задачи для подготовки к контрольной работе №4 1. Через точку А окружности с центром О проведены хорда АВ и диаметр АС. Найдите угол ВАС, если угол ВОС равен 70°. 2. Прямые СА и СВ — касательные к окружности с центром в точке О (рис. 192). Докажите, что ОС — биссектриса угла АОВ . 3. Две окружности с радиусами 32 см и 12 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей. Сколько решений имеет задача? 4. Точка касания вписанной окружности делит сторону равностороннего треугольника на два отрезка, один из которых на 15 см меньше периметра треугольника. Найдите сторону треугольника. 5. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе, проведенной к основанию, и радиусу описанной окружности. 6. Две равные и взаимно перпендикулярные хорды окружности точкой пересечения делятся на части длиной 4 см и 16 см (рис. 193). Найдите радиус окружности, которая касается этих хорд и имеет общий центр с данной окружностью. 202 Итоги итоговый ОБЗОР ГЛАВЫ III ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ Окружиостыо называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Диаметр, проведенный ч^з середину хорды, не являющейся диамет1юм, перпендикулярен этой хорде КАСАНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку 203 Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания Признак касательной: если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны КАСАНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную Внешнее касание Внутреннее касание ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ Построение треугольника с данными сторонами 204 Построение угла, равного данному Точка О лежит на данной прямой Построение биссектрисы данного неразвернуто* го угла Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку О Точка Р лежит вне данной прямой Построение середины данного отрезка и серединного перпендикуляра к нему Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой 205 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК Окружность — геометрическое место точек, удаленных от данной точки плоскости на одинаковое расстояние Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка Биссектриса неразвернутого угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от стс^н этого угла ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника 4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение окружности. В данной окружности укажите центр, радиус, диаметр, хорду. 2. Дайте определение касательной к окружности. 3. Сформулируйте и докажите свойство и признак касательной, 4. Сформулируйте и докажите свойство отрезков касательных, про-веденньпс из одной точки к окружности. 5. Дайте определение касания двух окружностей. Назовите виды касания окружностей. 6. Объясните, как построить треугольник с данными сторонами. 7. Объясните, как построить угол, равный данному неразвернутому углу. 8. Объясните, как разделить данный угол пополам. 9. Объясните, как провести через данную точку прямую, перпендикулярную данной прямой. 10. Объясните, как построить серединный перпендикуляр к данному отрезку. 207 ГЛАВА Н) Окружность. Геометрические построения О 11. Объясните, как разделить данный отрезок пополам. 12. Объясните, как провести через данную точку прямую, параллельную данной прямой. 13. Дайте определение геометрического места точек. Назовите геометрическое место точек, удаленных от данной точки на заданное расстояние. 14. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку. 15. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла. 16. Дайте определение окружности, описанной около треугольника. 17. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описр1ной около треугольника. 18. Дайте определение окружности, вписанной в треугольник. 19. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 665. Парешлельные прямые а и 6 являются касательными к окружности радиуса R. Найдите расстояние между данными прямыми. 666. Отрезок АВ — диаметр окружности, хорды АС и BD параллельны друг другу. Докажите, что отрезок CD также является диаметром окружности. 667. На плоскости необходимо найти точки, удаленные от каждой из данных точек А и В на 3 см. Как зависит количество таких точек от длины отрезка АВ ? 668. Если прямая пересекает две окружности, имеющие общий центр (концентрические окружности), то ее отрезки, заключенные между этими окружностями, равны. Докажите. 669. Прямая, параллельная хорде АВ, касается окружности в точке С. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 670. Докажите равенство равнобедренных треугольников по боковой стороне и радиусу описанной окружности. 671. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в равные треугольники, равны. 208 Итоги к главе ill 672. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, проведена касательная, пересекающая две стороны треугольника. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного. 673. На окружности строится последовательность точек: первая точка выбирается произвольно, а каждая последующая точка удалена от предыдущей на расстояние, равное радиусу окружности. Какое наибольшее количество различных точек можно построить таким способом? 674. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на одной из его высот. Найдите углы треугольника, если один из них втрое больше другого. 675. Центр О окружности, описанной вокруг треугольника АВС,« лежит на медиане ВМ. Найдите углы данного треугольника, если = 140°. 676. Известно, что А АВС-А ADC . а) Докажите, что прямая АС — геометрическое место точек, равноудаленных от В и £). б) Всегда ли луч АС является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла BAD ? Ответ обоснуйте. 677. Постройте на катете прямоугольного треугольника точку, одинаково удаленную от гипотенузы и второго катета. 678. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает сторону ВС в точке М . Найдите угол MAC , если ZC = 70°. 679. Точки D, Е, F — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника АВС. Докажите, что биссектрисы углов треугольника АВС перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника DEF. 680. Если две окружности с центрами и пересекаются в точках А и В, то прямые АВ и OjOg взаимно перпендикулярны. Докажите. 681. Точка А лежит вне окружности с центром О. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через точку А. 682. В треугольник АВС (АВ = с , ВС = а , АС = Ь) вписана ок' ружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны АВ и ВС в точках К к L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL, 209 Историческая справка oc j. ' Возникновение задач на построение было обусловлено необходимостью измерения земельных участков и строительством. Значительных успехов в решении таких задач достигли древнегреческие ученые, прежде всего Евклид и Платон, в VII-II1 в, до н. э. Именно со времен Платона в решении задач на построение стали выделять четыре этапа: анализ, собственно построение, доказательство и исследование. (а/ ,.оз( ■ - -е U ■- : , и ‘ -йк' Особый интерес математиков древности вызывали три классические задачи, которые не удавалось решить с помощью циркуля и линейки - о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Задача о квадратуре круга состояла в построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга. В задаче о трисекции угла пытались разделить данный угол на три равные части. Такую задачу несложно решить для некоторых конкретных углов, например развернутого, прямого, но не для любого угла. Задача об удвоении куба состояла в построении куба, объем которого вдвое больше объема данного куба. Невозможность решить эти задачи с помощью циркуля и линейки была доказана в XIX в. .-.к^ ■ ' - Интересна история ограничений в выборе инструментов для решения задач на построение. В X веке арабский математик Абу-ль-Вафа предложил ограничиться в геометрических построениях односторонней линейкой и циркулем постоянного раствора. В 1797 г. итальянец Лоренцо Маскерони доказал: любая задача на построение, решенная с помощью циркуля и линейки, может быть решена и с помощью одного циркуля (при этом предполагалось, что через любые две точки может быть проведена прямая). А еще раньше, в 1672 г. к такому же выводу пришел датчанин Г. Мор. Так, теорема о возможности построений только циркулем получила название «теоремы Мора - Маскерони». В 1833 г. швейцарский геометр Якоб Штейнер показал, что, при наличии на плоскости окружности с отмеченным центром, любую задачу на построение можно решить с помощью одной линейки. Задачи на построс ;ие играют особую роль в обучении геометрии, ведь они прекрасно развивают логику и абстрактное мышление. Специалисты считают * задачи на построение одними из самых полезных ^ и красивых задач геометрии. 'toltil'ii II II ~ ГЛАВА III. Окружность. Геометрические построения ТЕМАТИКА СООБЩЕНИИ И РЕФЕРАТОВ К ГЛАВЕ III 1. Окружность в математических играх и головоломках. 2. Касание двух и трех окружностей. 3. Вневписанная окружность треугольника. 4. Методы геометрических построений. Построения, выполненные одним циркулем, одной линейкой. 5. Геометрические места точек. ^ Рекомендованные источники информации 1. Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение.— М.: УРСС, 2004. 2. Бурда М. I. Розв’язування задач на побудову.— К.: Рад. шк., 1986. 3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.— М.: Оникс, 1994. 4. Глейзер Г. И. История математики в школе. Vlf—VIII кл.— М.: Просвещение, 1982. 5. Интернет-библиотека МЦНМО. https://ilib.mirrorO.mccme.ru/ 6. Методика розв’язування задач на побудову / О. М. Астряб, О. С. Смогоржевський, М. Б. Гельфанд та 1н.— К.: Рад. шк., 1960. 7. Перельман Я. И. Занимательная геометрия.— М.: Физматгиз, 1959. 8. Тесленко I. Ф. Геометричн! побудови.— К.: Рад. шк., 1956. 212 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Об аксиомах геометрии В главе I вы ознакомились с начальными понятиями геометрии: точкой и прямой, а также лучом, отрезком и углом. Их основные свойства — аксиомы — не доказываются, но являются фундаментом для доказательства других утверждений. Первую попытку провести логическое обоснование геометрии с помощью систематизированного перечня исходных положений (аксиом или постулатов) осуществил древнегреческий математик Евклид в своей знаменитой книге «Начала». На протяжении многих веков ученые-геометры опирались именно на евклидовы аксиомы. Но в XIX—XX вв., после создания Лобачевским неёвк-лидовой геометрии, исследования системы геометрических аксиом вышли на качественно новый уровень. Одним из тех, кто внес заметный вклад в усовершенствование аксиоматики, был выдающийся украинский математик Алексей Васильевич Погорелов. В своей фундаментальной работе «Основания геометрии» (1983) он разработал собственную усовершенствованную систему аксиом евклидовой геометрии, которая решила проблему преодоления ряда существенных трудностей, возникших при введении понятия меры для отрезков и углов. Более того, А. В. Погорелов предложил упрощенный вариант геометрической аксиоматики, предназначенный именно для преподавания геометрии в школе. Этот вариант был положен в основу учебника «Геометрия», по которому свыше четверти века изучали и, без сомнения, будут изучать геометрию в школе. Вот как выглядит система аксиом школьного курса, предложенная А. В. Погореловым. I. II. III. IV. V. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. 213 приложения VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник, в заданном расположении относительно данной полупрямой. IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. Этой системы аксиом мы придерживаемся и в нашем учебнике с учетом принятой нами терминологии. Некоторые аксиомы бы.г1И сформулированы в главе I, другие аксиомы не формулировались, но фактически использовались в рассуждениях. Отметим, что авторы не ставили цель представлять в этом учебнике абсолютно совершенную и логически завершенную систему аксиом, а сосредоточили основное внимание на практическом применении основных свойств простейших геометрических фигур при доказательстве теорем и решении задач. В дальнейшем, при изучении свойств фигур в пространстве, формулировки некоторых аксиом будут уточнены, а сама система аксиом — расширена. Вообще же, система аксиом должна удовлетворять условиям независимости (не содержать аксиомы, которые можно вывести с помощью других аксиом), непротиворечивости (не иметь явных или скрйтых противоречий) и полноты (содержать достаточное количество аксиом, чтобы доказать основные утверждения). Исследование проблем построения таких систем аксиом является содержанием одного из разделов современной геометрии. Приложение 2. Метод вспомогательного треугольника Метод вспомогательного треугольника применяется при решении многих задач на построение. Используя этот метод, необходимо придерживаться следующей последовательности действий: 1) предположив, что искомый треугольник построен, выполнить рисунок-эскиз и найти на нем вспомогательный треугольник, способ построения которого известен (или получить такой треугольник путем дополнительных построений); 2) установить, какие вершины искомого треугольника мы получим, построив вспомогательный треугольник; 214 Приложения 3) 4) 5) b + с Рис. 194 определить на основании данных задачи последовательность построения других вершин, предположив, что вспомогательный треугольник построен; осуществить все намеченные построения; провести необходимые доказательства и исследования. Довольно часто метод вспомогательного треугольника используют в сочетании с другими методами. Рассмотрим такие случаи на примерах. Зодачс ТТостройте прямоугольный треугольник по катету и сумме второго катета и гипотенузы. Р* иение * Пусть о и Ь+с — катет и сумма второго катета и гипотенузы треугольника АВС, который необходимо построить (рис. 194). '■^нали Допустим, что треугольник АВС построен (рис. 195). Отложим на луче ВС отрезок СЬ длиной с и соединим точки /4 и D. Треугольник АВО прямоугольный с катетами о и Ь*с, то есть может быть построен по данным задачи и является вспомогательным. Построив его, получим вершины А\л В искомого треугольника. Для построения вершины С воспользуемся одним из признаков равнобедренного треугольника. Точка С является точкой пересечения серединного перпендикуляра к стороне АЬ с лучом SD. Построение 1. Построим прямой угол с вершиной В. 2. Отложим на сторонах этого угла отрезки АВ=а и ВЬ-Ь*с и соединим точки /4 и D. Треугольник /460 вспомогательный. 3. Построим перпендикуляр к отрезку /40, который проходит через его середину £ Пусть С — точка его пересечения с лучом 60. 4. Соединим точки /4 и С. Приложения m Рис. 196 Доказательство В треугольнике АВС ZB=90°, АВ=а по построению. В треугольнике АСй СЕ — высота и медиана (по построению). Значит, треугольник АСЬ равнобедренный с основанием АЬ, откуда СА = СЬ=с. По построению 60= *Сй =bfC, следовательно, ВС*СА = Ь+с. Таким образом, треугольник АВС искомый. Исследование В соответствии с неравенством треугольника, задача имеет решение при условии а< Ь* с. При решении этой задачи мы использовали метод спрямления. Суть его такова: если в условии задачи на построение заданы сумма (или разность) отрезков, то на рисунке-эскизе их необходимо отложить на одной прямой от общего конца так, чтобы другие концы этих отрезков образовали заданный отрезок-сумму (разность). Благодаря такому дополнительному построению, удается получить вспомогательный треугольник. Задача Постройте треугольник по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника. Решение Пусть т — медиана треугольника АВС. который необходимо построить, а и — углы, на которые медиана делит угол треугольника (рис. 196). Анализ Допустим, что треугольник АВС построен (рис. 197). Применим метод удвоения медианы. Для этого на луче 6Л1 отложим отрезок A4D, равный т. и соединим точки D и А. По первому признаку равенства треугольников AAMD=hCMB (АМ = СМ по определению медианы, 6Л1 = 0Л1 по построению, ZAMb= = ZCMB как вертикальные). Тогда ZADM= ZCBM=f). 216 Приложения В Следовательно, треугольник АВЬ вспомогательный, поскольку его можно построить по стороне и прилежащим к ней углам (60*2т, /- АВС>=а, ^АйВ-(>). Построив этот треугольник, получим вершины /I и б искомого треугольника. Для построения вершины С достаточно удвоить в треугольнике АВй медиану AM. Построение (сокращенный план) 1. Построим треугольник АВй, в котором 60*2т, Z-ABC)=c, ZA0B=[) . Треугольник АВЬ вспомогательный. 2. Построим в треугольнике ABD медиану AM и на ее продолжении отложим отрезок МС, равный AtA. 3. Соединим точки 6 и С. Доказательство LAMb-йСМВ по первому признаку равенства треугольников (Мй=МВ, АМ-МС по построению, ААМЬ~^СМВ как вертикальные). Тогда Z.CBM- /-АЬМ-Ь- Также по построению Z.ABM-0.. В треугольнике АВС ВМ-т — медиана, гт,оскольку по построению 60= 2т и АМ~МС. Таким образом, треугольник АВС — искомый. а т Рис. 198 Зодача Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону. Решение Пусть а — сторона искомого треугольника АВС, т„ — проведенная к ней медиана, — высота треугольника, проведенная к другой стороне (рис. 198). Построим ЭТОТ треугольник. Анализ Пусть треугольник АВС построен (рис. 199). Тогда прямоугольный треугольник ВСН можно построить по гипотенузе 6С и катету ВН: на стороне прямого 217 Приложения угла Н отложим катет тогда С — точка пере- сечения окружности с центром В радиуса а со второй стороной прямого угла. Таким образом, мы построим вершины В \л С искомого треугольника. Для построения вершины А снова используем метод геометрических мест. Поскольку основание высоты ВН принадлежит стороне АС, то точка / лежит на прямой НС. Поскольку Ай=т^, то точка А должна лежать на расстоянии от точки й Это означает, что / — точка пересечения прямой СН и окружности радиуса с центром D. ^ Построение 1. Построим прямой угол с вершиной Н. 2. Отложим на стороне этого угла отрезок ВН, ВН--И,. 3. Построим окружность с центром В радиуса о. Пусть С — точка пересечения этой окружности с другой стороной прямого угла. 4. Соединим точки fi и С и разделим отрезок ВС пополам. Пусть точка D — его середина. 5. Проведем прямую СН. 6. Построим окружность с центром D радиуса /п^,. Пусть А — точка пересечения этой окружности с прямой СН. 7. Соединим точки А \а В. Доказательство В треугольнике АВС ВС=а, Ab — медиана, ВН- ВН — высота (по построению). Следовательно, треугольник АВС — искомый. Исследование В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника вспомогательный треугольник существует, если \<а. В зависимости от длины медианы задача имеет одно или два решения, или не имеет ни одного. 218