Учебник Геометрия 7 класс Бевз Бевз Владимирова

г. П. Бевз, В. Г Бевз, Н. Г Владимирова ГЕОМЕТРИЯ Учебник для 7 класса общеобразовательных учебных заведений Рекомендовано Министерством образования и науки Украины Киев «Вежа» 2007 БВК 22.151я72 В 36 Рекомеидова но MinicmepcmeoM oceimu I науки Украпш (рилсппя колеп! В1д 12.04.2007 р. № 5/1-19) Индано за рахунок державних коигпв. Продаж заборонено. Бевз Г. П. та 1н. Б 36 Геометр1я: П1дручник для 7 кл. серсдн1х загальноосв1тн1х заклад1в/ Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, II. Г. Влад1м1рова: Пер. 3 укр. — К.: Вежа, 2007. — 208 с.: 1л. — Мова рос. ISBN 966-7091-62-7. ISBN 966 7091-62-7 (рос.) ISBN 966-7091-60-0 (укр.) © «Вежн», 2007 © Г. II. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Влал1м1рова, 2007 ©А. О. Литвиненко. Переклад, 2007 © О. В. Коваль. Художне оформления, 2007 Юные друзья! ^ риглашаем вас в мир Геометрии. Это удивительный ^ мир: щедрый, совершенный, тесно связанный с ми-? рами Труда, Разума, Искусства. Геометрия возникла как наука об измерении земли. Греческое слово гео означает «земля», а метрео — «меряю». Египетские и греческие землемеры еще 3000 лет тому назад измеряли расстояния, углы, определяли площади земельных участков. Аналогичные знания и умения использовали строители, мореплаватели, астрономы, военные, художники. Геометрия нужна не только инженерам, архитекторам, конструкторам, художникам, чертежникам, но и столярам, слесарям, токарям, строителям, плотникам... Нужна она и ученикам: без знания геометрии невозможно учиться ни в старших классах, ни во многих высших учебных заведениях. Некоторые геометрические знания вы получили в предыдущих классах. Вы уже знаете, что такое отрезок, угол, треугольник, многоугольник, окружность, умеете находить площади и объемы некоторых геометрических фигур. Теперь вы начинаете изучать систематический курс геометрии. Вы сможете углубить и расширить свои геометрические знания, развить логическое мышление и пространственное воображение. А поможет вам в изучении геометрии этот учебник. В каждом naparpatjx? учебника есть теория и задачи. Читая теорию, основное внимание уделяйте словам, напечатанным курсивом и жирным шрифтом. Курсивом выделены геометрические термины, названия понятий. Необходимо уметь объяснять их содержагою, приводить соответствующие примеры. Жирным шрифтом напечатаны важные геометрические утверждения. Следует научиться понимать их, доказывать и использовать для решения задач. Окончание доказательства теоремы помечено значком □. В каждом парагра(1)с сеть рубрика «Для любознательных *. В пей дастся дополнительный и познавательный материал, который поможет вам заинтересоваться геометрией. Чтобы проверить, как вы усвоили и запомнили новый теоретический материал, попробуйте, ответить на вопросы и выполнить задания из рубрики «Вопросы и задания для самоконтроля», которые есть в каждом параграфе и повторяются после разделов. Чтобы усвоить курс геометрии, необходимо научиться решать задачи. С разными способами решения задач знакомит рубрика «Решаем вместе». Прежде чем приступать к выполнению домашних заданий, следует рассмотреть задачи этой рубрики. Номера задач, рекомендованных для домашних работ, выделены Задачи и упражнения в учебнике подслшпл па четыре группы; «Решите устно», группа А, группа Б и «Упражнения для повторения». Номера трудных задач помечены звездочками*. В некоторых задачах выделены жирным шрифтом важные утверждения, их полезно запомнить. Для обобщения и систематизации изученного материала внимательно прочитайте «Главное в разделе». Хорошо подготовиться к тематическому оцениванию вы сможете, решая задачи и выполняя задания из рубрик «Самостоятельная работа», «Тестовые задания» и «Типовые задачи для контрольной работы». В разделах есть задачи по готовым рисункам (как на с. 26). Условия таких задач заданы рисунками и краткими записями над горизонтальной чертой. Под чертой указаны величины, значения которых необходимо найти. Самые простые из этих задач можно решать устно. В конце учебника отдельно даны «Задачи повышенной сложности». Они предлагаются тем сообразительным учепи-К61М, которые любят математику. В огромном са,/|,у Геометрии каждый может выбрать для себя букет по вкусу. Выбирайте и вы — что кому нравится. Желаем всем успехов! Авторы ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИК СВОЙСТВА в этом разделе вы повторите и углубите свои знания о самых простых и важных геометрических фигурах: точках, прямых, лучах, отрезках, углах. Узнаете, как измеряют отрезки и углы, ознакомитесь с наиболее распространенными чертежными и измерительными инструментами. I Т((чка ~ это первая основа геометрии. Jlt'OHop^i^a Винчи Ираздап/ Простейшие геометрические фигуры и их свойства § Точки и прямые Геометрия — это наука о геометрических фигурах и их свойствах. Самая простая геометрическая фигура — точка. Любая другая геометрическая фигура состоит из точек. Например, окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 1). Отрезок также состоит из точек. Любое множество точек является геометрической фигу рой. Часть геометрической фигуры или объединение нескольких фигур — тоже геометрическая фигура (рис. 2). Одна из геометрических фигур — плос кость. Представление о части плоскости дает поверхность стола, потолка, пола. В геометрии плоскость считается неограниченной, идеально ровной и гладкой. Фигуры, расположенные па одной плоскости, называют плоскими. Все вышеназванные геометрические фигуры — плоские. А куб, шар, прямоугольный параллелепипед — неплоские фигуры (рис. 3). Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры па одной плоскости, называется планиметрией (латинское planum — плоскость). Мы начинаем изучать планиметрию. Прежде всего рассмотрим, как могут быть расположены па плоскости точки и прямые. Рис. 3 Точки и прямые § 1 Вы уже знаете, как с помощью линейки проводят прямые (рис. 4). Прямая в геометрии — идеально ровная и бесконечная в обе стороны. Как и любая другая фигура, прямая состоит из точек. Если точка А лежит па прямой а, говорят, что прямая а проходит через точку А. Записывают так: Asa. Е]сли точка В не лежит на прямой а, пишут: В а (рис. 5). Рис. 5 Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадле-жапще этой прямой, и точки, ей не принадлежащие. Через одну точку можно провести много прямых. На рисунке 6 вы видите прямые а и Ь, проходящие через точку Это их общая точка, других общих точек прямые а и 6 не имеют. Если две прямые имеют только одну общую точку, говорят, что они пересекаются в этой точке. Прямые а и Ь пересекаются в точке Р. Если прямой принадлежат точки А н В, говорят, что эта прямая проходит через точки А и В. ОбозначЕПОт ее так: АВ. V Через любые две то'нси можно провести пр5шую, и только одну. Можно ли провести прямую через три точки? Не всегда. Если точки А, В и С расположеЧхы, как показано па рисунке 7, через них прямую провести можно. А через точки А, В и В — нельзя. Говорят, что точки А, В и D не лежат на одной прямой. Точки А, В, С лежат на одной прямой, причем В — между А и С. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Рис. 8 К Из трех точек прямой одпа и только одна лежит между двумя другими. Если точка В лежит между А и С, говорят, что точки Л и С лежат по разные стороны от В, а точки Л и Б — по одну сторону от С. Напечатанные выше жирным шри(1)том три прсдложенния со значком Н — это ос новные свойства расположения точек на прямой. Любая точка А прямой делит эту прямую на две части (рис. 8). Каждую из частей прямой вместе с точкой А называют лучом, выходящим из точки А. Точку А называют началом луча. Если говорят «луч АВ», то имеют в виду, что начало луча находится в точке А (рис. 9). Два луча, имеющие общее начало и дополняющие друг друга до прямой, называются дополнительными. На рисунке 10 вы видите луч ОК — дополнителы1ый ;щя луча ОР и луч ОР — дополнительный для ОК. Рис. 9 О Рис. 10 Для любознательных МАТЕМАТИКА Рис. 11 Геометрия — часть математики (рис. 11). Геометрическая наука богата содержанием и методами исследования. Она включает элементарную геометрию, высшую гео метрию, неевклидовы геометрии, топологию и др. В школе изучают только элементарную геометрию. Геометрия тесно связана со многими другими науками, прежде всего с физикой. Но физика занимается изучением материальных тел (имеющих массу, температуру, цвет и т. п.), а в геометрии абстрагируются от всего материального. Абстрагироваться — означает мысленно отвлечься от конкретных объектов, окружающих нас. Абстрагируясь от материальных вещей, мы в воображении создаем идеальные объекты по сходным свойствам. Конец иголки, натянутая струна — это материальные объекты. Они имеют определенную 8 Точки и прямые иА толщину, длину, массу. Абстрагируясь от таких физических свойств, человеческое воображение создало абстрактные геометрические понятия точка, прямая. В природе абстрактной прямой нет, но это понятие существует в человеческом воображении. И очень полезное понятие, поскольку все свойства прямой и ее частей, выявленные в геометрии, переносятся на миллионы и миллиарды всех натянутых струн, прямолинейных рельсов, труб, лент и т. п. Не существует в природе и плоскость без толщины, идеально ровная и гладкая, бесконечная в каждом ее направлении. Но для науки это идеальное понятие очень важно, поскольку свойства, установленные в геометрии для плоскости и ее частей, можно переносить на свойства миллиардов конкретных стен, оконных стекол и других предметов, имеющих плоские поверхности. Чертите красиво Проводя отрезок, острием карандаша не следует касаться нижнего ребра линейки, а нужно немного отступить от него. Геометрический отрезок не имеет толщины. Но для того чтобы сделать рисунок понятнее и красивее, чертежники иногда изображают его утолщенной линией, иногда — штриховой линией или же другим цветом. Не так, а так. тонкая линия утолщенная линия штриховая линия Вопросы и задания для самоконтроля 1. Что такое геометрия? Что такое планиметрия? 2. Приведите примеры плоских и неплоских фигур. 3. Что означают записи Л е а. Be. ЬЧ 4. Опишите понятия точка, прямая, плоскость. 5. Приведите примеры материальных объектов, моделями которых являются точка, прямая, плоскость. 6. Сформулируйте основные свойства расположения точек на прямой. 7. Что означает выражение оточкаБлежитмеждуАиС»? 8. Что такое луч? Как обозначают лучи? 9. Какие лучи называют дополнительными? Простейшие геометрические фигуры и их свойства • Решаем вместе ш Па сколько частей могут разбивать плоскость три се прямые? ■ Если прямые расположены, как показано на рисунке 12, то они разбивают плоскость па 7 частей. Если они расположены, как показано на рисунке 13, то они разбивают плоскость на 4 или 6 частей. Ответ. Три прямые разбивают плоскость, которой они принадлежат, на 4, 6 или 7 частей. а ■ Рис. 13 • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 1. Через каждые ли две точки можно провести прямую? Существуют ли две точки, через которые можно провести прямую? 2. Через каждые ли три точки можно провести прямую? Существуют ли три точки, через которые можно провести прямую? 3. Просклоняйте слова: а) точка; б) прямая; в) плоскость. 4. Опишите, как взаимно расположены точки и прямые па рисунке 14. 5. На сколько частей делит прямую ее точка? А две точки? 6. Можно ли считать дополнительными D лучи РК и КР (см. рис. 10)? А лучи ОР и КР'^ Почему? ■ Рис. 14 10 Точки и прямые § 1 | 8. 9. Отметьте в тетради точки А и В и проведите через них прямую. Р1азовите эту прямую. Проведите прямую. Отметьте несколько точек, принадлежащих этой прямой, и несколько точек, ей не принадлежащих. Дана точка А. Проведите через нее три прямые. Можно ли через точку А провести десять прямых? А миллион прямых? 10. Прямая а и точки А, В такие, что А е а и В е. а. Изобразите это на рисунке. 11. Прямые k и р пересекаются в точке X. Изобразите это на рисунке. Верно ли, что X е киХ s р? 12. Прямая АВ пересекает прямую АС в точке А, а прямую ВС — в точке В. Принадлежит ли точка С прямой АВ? 13. Отметьте точки К, Р иТ так, чтобы через них можно было провести прямую. Как можно назвать эту прямую? 14. Отметьте на прямой точки А, В, С так, чтобы А и В лежали по одну сторону от С, а А и С — по одну сторону от В. Дана прямая а. Отметьте точки А, В и С так, чтобы прямые АВ и а перес^екались в точке С, лежащей между А и В. Прямые а и Ь пересекаются в точке Р. Сколько лучей получилось? 17. На сколько частей делит плоскость ее прямая? А две прямые? Рассмотрите все случаи. 15 16 18. Отметьте точки А, В, С и D так, чтобы прямые АВ и CD пе{)есекались, а лучи АВ и CD не пересекались. 19. Можно ли расположить точки А, В, С и D так, чтобы лучи АВ и CD пересекались, а лучи АС и BD не пересекались? 20. Начертите три прямые АВ, ВС и АС. На сколько частей разбивают эти прямые плоскость? 2Г. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три из них не лежали на одной С прямой (рис. 15). Сколько существует прямых, проходящих через любые две А из этих точек? На сколько частей разбивают эти прямые плоскость? е. D Рис 15 11 Простейшие геометрические фигуры и их свойства 22. Ученик провел сначала одну прямую, а потом, перевернув линейку, — другую, и получились линии, пересекающиеся в двух точках (рис. 16). Что можно сказать о его линейке? Почему? 23. Чтобы проверить линейку, следует смотреть вдоль ее ребра (рис. 17). Что ви;^иo, если линейка искривлена? ■ Рис. 16 ■ Рис. 17 N ■■ Практическое задание 24. Покажите, как, согнув лист бумаги, можно получить линейку для проведения прямых. ^ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ■■ 25. Назовите и изобразите геометрические фигуры, которые вы изучали в предыдущих классах. 26. Начертите отрезок длиной 4 см и отрезок вдвое длиннее. 27. Начертите углы: острый, прямой, тупой, развернутый. Закрасьте их внутренние области. 28. Найдите периметр треугольника, стороны которого равны 5 см, 7 см и 8,5 см. 29. Найдите периметр квадрата, если он больше длины одной из сторон на 6 см. 30. Перерисуйте в тетрадь часть древнегреческого орнамента (рис. 18). Сделайте ленту с ним вдвое длиннее. Рис. 18 12 Отрезки и их длины §2 I § 2J) Отрезки и их длины в Рис. 19 Рис. 20 В Две точки прямой делят эту прямую на три части: два луча и отрезок. Отрезком АВ называется та часть прямой, которая состоит из точек А и В и всех точек, лежащих между ними. Точки А и В называют концами отрезка АВ. Все другие точки этого отрезка — его внутренние точки. На рисунке 19 изображен отрезок АВ. Точки А и В — его концы, а любая точка, лежащая между А и В, — внутренняя точка отрезка А В. Два отрезка пересекаются, если они имеют только одщ' общую внутреннюю точку. Чтобы измерять отрезки, нужно иметь единичный отре.зок (единицу измерения). Опрезок, показанный на рисунке 20, будем считать единичным. Его длина равна 1 см. Если на отрезке АВ единичный отрезок откладывается ровно 3 раза, то это значит, что /щина отрезка АВ равна 3 см (рис. 21). Если на отрезке ЕР единичный отрезок откладывается два раза с остатком, а в остатке десятая часть единичного отрезка — 7 раз, то длина отрезка ЕР равна 2,7 см. Записывают так: АВ = 3 см, ЕР = 2,7 см. За единичный отрезок можно брать отрезки длиной 1 м, 1км, 1 (1>ут, 1 дюйм и т. д. Каждый отрезок имеет определенную длину. Два отрезка называются равными, если длины их равны. Из двух отрезков большим считается тот, /щина KOTopoi’o больше. В сантиметрах измеряют сравнительно небольшие отрезки. Большие отрезки измеряют в дециметрах, метрах, километрах; меньшие — в миллиметрах. Напомним, что 1 км = 1000 м, 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм. Длину отрезка называют также расстоянием между его концами. Если XY = 18 см, то это означает, что расстояние между точками X и Y равно 18 см. Расстояние между X и Y всегда равно расстоянию между У и X. 13 Простейшие геометрические фигуры и их свойства Рис. 22 В Если точка С отрезка ЛВ разбивает его на две части, длины которых равны, например 2 см и 1,2 см, то длина отрезка АВ равна 3,2 см (рис. 22). Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Напечатанные выше жирным шрифтом два предложения со значком Н — это основные свойства измерения отрезков. Серединой отрезка называется его внут-g р>енняя точка, разбивающая этот отрезок на две равные части. Если точка С — середина отрезка АВ, то АС = СВ (рис. 23). Если точка С не принадлежит отрезку АВ, то сумма длин отрезков АС и СВ больше длины АВ. Таким образом, для любых трех точек А, В пС всегда АВ -I- ВС > АС. Измерять длины отрезков приходится mhoitim специалистам. Чертежники измеряют их масштабными линейками, столяры — складными метрами, портные — клеенчатыми сантиметрами, строители — рулетками (рис. 24). Рис. 24 14 Отрезки и их длины §2 I I Для любознательных ••••• •••• •••• Измери1ельные приборы обеспечивают ту или иную точность. Расстояние между городами обь1чно определяют с точностью до километра, между берегами реки — с точностью до метра, длину карандаша — с точностью до миллиметра, диаметр детали ручных часов — с точностью до десятой, а то и сотой части миллиметра. Разумеется, для измерений разных длин и расстояний используют соответствующие измерительные приборы: кроме уже названных, циркули, кронциркули, штангенциркули, дальномеры и др. С некоторыми из них вы познакомитесь позже. Единицы длины бывают разные. В англоязычных странах чаще всего используют следующие: фут, дюйм, миля. Подробнее о них — дальше. На практике для различных расстояний существуют разные названия: длина, ширина, высота, глубина, дистанция, интерватЦрую. 25). ДИСТАНЦИЯ Рис. 25 Вопросы и задания для самоконтроля ]. Что такое отрезок? Что такое т^цщью^резка? 2. Что такое расстояние между ^гнумя точками? 3. Что означает выражение «два от|?езка пересекаются»? 4. С(1юрмулируйте основные t»t5HCTBa измерения отрезков. 5. Какие отрезки называются равными? 6. Что такое середина отрезЛа? 7. Какое неравенство вьтолняется для любых трех точек? 15 ^Щразввп 1 Простейшие геометрические фигуры и их свойства • Решаем вместе Луч — часть прямой. Можно ли утверждать, что луч короче прямой? Прямая и луч не имеют длины, поэтому сравнивать их длины нет смысла. Ответ. Нет. Точки К, РиТ лежат на одной прямой. Найдите расстояние между РиТ, если КР = 1,7 м, КТ = 4,8 м. Сколько решений имеет задача? Отметим точки К иТ так, что КТ = 4,8 м. Точка Р прямой находится на расстоянии 1,7 м от /Г. Возможны два случая (рис. 26): а) К лежит между РиТ: РТ = 1,7 м 4,8 м = 6,5 м; б) Р лежит между К и Т: РТ = 4,8 м - 1,7 м = 3,1 м. Р К__________Т_ К Р Т Рис. 26 Ответ. Задача имеет два решения: 6,5 м; 3,1 м. • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ШШ РЕШИТЕ УСТНО 31. Найдите длину отрезка АВ, если точка С — его середина и СВ = 5 дм. 32. Найдите длину отрезка, который длиннее своей половины на 35 см. 33. Точка С делит отрезок ЛВ в отношении 1 : 2 (рис. 27). Найдите: 1) СВ, если АС равна 1 см; 3 дм; 10 км; 2) АВ, если АС равна 2 см; 5 дм; 30 м; 3) АВ, если СВ равна 2 см; 6 м; 12 км. 34. Найдите длину отрезка, если точки К и Р делят его на три равные части и КР — 7 см. 35. Точки А и В лежат но разные стороны от прямой а. Пересекает ли отрезок АВ прямую а? 36. Точки К и Р лежат iio одну сторону от прямой с. Пересекает ли отрезок КР прямую с? А прямая с пересекает прямую КР? 37. Точка А лежит между В и С. Является ли точка В вщ'трен-ней точкой отрезка АС? 16 Отрезки и их длины § 2 38. Отметьте на прямой точки Л и В. Какой отрезок образовался? Покажите его середину. 39. Отметьте точки А, В, С. D так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. Постройте отрезки АВ, АС, AD, ВС. BD, CD. 40. Отметьте на прямой точки А, В. С, D так, чтобы отрезки ЛС и BD не имели общих точек и чtoбы точки С и В лежали между Л и D. Найдите общую часть отрезков ЛВ и CD. 41. Прямые ЛВ и CD пересекаются, С — внутренняя точка отрезка АВ. Пересекаются ли отрезки АВ и CD? 42. Отрезок АВ пересекает прямую а, а отрезок ВС не пересекает ее, причем С^ а. Пересекает ли прямую а отрезокЛС? 43. Начертите отрезки АВ. АС, AD, СВ, CD, BD такие, чтобы точка С лежала между А и В, а точка В — между С и D. Сколько общих точек имеют отрезки АС и BD, АС и СВ, АВ и CD? 44. Точка X лежит между Л и В. Найдите длину отрезкаЛВ, если: а) ЛХ = 2,5 см, ХВ = 3,4 см; б) ЛХ=5,Зм, ХВ = 4,2м; в) АХ = 21 дм, ХВ = 61 дм. 45. Точка М лежит между К пР. Найдите расстояние между М и Р, если: а) КР = 0,9 дм, КМ = 0,3 дм; б) КР = 2,6 дм, КМ = 1,4 дм; в) ХВ = 2| дм, КМ = ~ дм. 46. Точка С лежит между Л и В. АС = 5 см, расстояние ВС на 3 см больше. Найдите АВ. 47. Лежат ли точки Л, В и С на одной прямой, если: а) ЛВ = 2,5 см, ВС = 3,8 см, АС =1,3 см; б) ЛВ =1,9 дм, ВС = 2,9 дм,ЛС = 4,9 дм? 48. Точки А, В, С, К лежат на одной прямой. ЛВ = ВС = СК. Найдите СК, еслиЛС = 12 см. 49. Можно ли расположить точки А, В и С так, чтобы выполнялись равенства: а) ЛВ = 2,3 см, ВС = 3,5 см, ЛС = 6,3 см; б) ЛВ = 5,1 см, ВС = 3,5 см, ЛС = 6,8 см; в) ЛВ = 3,1 см, ВС = 7,2 см, ЛС = 10,3 см? 17 »зяол I Простейшие геометрические фигуры и их свойства 50. Может ли отрезок ВС лежать на луче АБ, если: а) АВ = 9,2 см, ВС = 3,8 см, АС “= 13 см; б) АВ =“ 9,2 см, ВС = 3,8 см, АС = 5,4 см; в) Л В = 9,2 см, ВС = 13,8 см, АС = 4,6 см? 51. На отрезке ХУ длиной 4,8 дм лежит точка С. Найдите расстояния ХС и CY, если: а) ХС - СУ = 1,3 дм; б) СУ = 2ХС; в) ХС : СУ = 1 : 5. 52. Точки А.Б и С лежат на одной прямой, АВ= 10 дм, ВС = 3 дм. Найдите АС. Рассмотрите все возможные варианты. 53. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, В - середина АС, ВС = 7 м, CD = 10 м. Найдите AD. 54. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Найдите CD, если АВ = 10 см, АС = 3 см, BD = 4 см. Рассмотрите все возможные варианты. 55. Дан отрезок АВ. Постройте отрезок КР: а) в три раза длиннее АВ; б) в два раза короче АВ; в) КР = 2,5 AS. 56. Как с помощью полуметровой линейки построить двухметровый отрезок? 57. Объясните, как провешивают прямые с помощью вех (рис. 28). Рис. 28 Практическое задание 58. Измерьте длину и ширину своей парты. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ i 59. Начертите окружность радиуса 4 см. Разделите ее на четыре равные дуги и найдите длину одной из них. 60. На сколько частей разделят плоскость две окружности, расположенные на ней? 61. Найдите длину ребра куба, если сумма длин всех его ребер равна 6 м. Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображенную на рисунке 29. Найдите ее площадь, если площадь одной клеточки равна 0,25 см^. 62 Рис. 28 18 Углы и их меры §3 I Углы и их меры Два луча, имеющих общее начало, разделяют плоскость на две части. Часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом, называется углом. Лучи, ограничивающие угол, называются сторонами, а их общее начало - вершиной угла (рис. 30, а). Такой угол называют углом АОВ, или углом ВОА, или углом О и записывают соответственно: Z АОВ, или Z ВОА, или Z О. Все точки угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область этого угла. Внутренняя область угла на рисунке 30, а закрашена. Иногда внутреннюю область у1'ла обозначают дугой, иногда никак не обозначают, а только представляют себе. На рисутсе 30, б, в вы видите углы с вершиной О и сторонами ОА и ОВ. Угол, стороны которого — дополнителыгые лy^ш, называют развернутым углом (рис. 31). Чтобы измерять углы, необходимо иметь единицу измерения. Такой единицей принято считать угол в 1 градус (сокращенно: 1°). В развернутом угле он вмещается 180 раз. Представим полуокружность, разделенную на 18 равных дуг (рис. 32). Если из ее центра О через все точки делеггия и концы цолу-окружности провести лучи, они разделят развернутый угол на 18 углов по 10°. Один из таких углов (АОВ) делим на 10°. Мера АОВ угла АОС равна 1°. щ Рис. 31 Рис. 30 Рис. 32 19 Простейшие геометрические фигуры и их свойства Каждый угол имеет определенную меру. Рис. 34 Рис. 35 Мера развернутого угла равна 180°. Меру угла обозначают так же, как и угол. Например, если мера угла ЛВС равна 60 градусам, пишут: Z АВС = 60°. Очень маленькие углы измеряют в минутах и секундах. Минутой называют часть градуса, ои а секундой —^ часть минуты. Записывают так: 1° = 60', 1' = 60". Углы в тетради и на классной доске измеряют транспортиром (рис. 33), а на местности — астролябией, (рис. 34), теодолитом (рис. 35) или другими угломерными приборами. Два угла называются равными, если их меры равны. Из двух углов большим считается тот, мера которого больше. Угол называется прямым, если его мера равна 90°, острым — если он меньше прямого, тупым — если он больше прямого, но меньше развернутого (рис. 36). Прямые углы на рисунках чаще обозначают не дугами, а квадратиками. Углы больше развернутого (см. рис. 30, в) пока рассматривать не будем. Луч, который исходит из вершины угла и лежит в его внутренней области. ПРЯМОЙ УГОЛ Рис. 36 20 Углы и их меры § 3 назынают внутренним лучом угла. Внутренний луч делит данный угол на два меньших угла. Например, внутренний луч ОК угла АОВ делит этот угол на углыЛОА" и КОВ (рис. 37). При этом Z АОК + Z КОВ = Z АОВ. Говорят, что угол АОВ равен сумме у1’Лов АОК и КОВ. Мера угла равна сумме мер углов, на которые данный угол делится его внутренним лучом. Два выделенных выше предложения со значком в — это основные свойства измерения углов. Внутренний луч, котчзрый делит ут ол на два равных угла, называется биссектрисой a-TOiT) у1'ла. На рисунке 38 луч ОС — биссек'1'риса у1'ла АОВ. Рис 37 Рис. 38 Для любознательных Углом часто называют также фигуру, составленную из двух лучей, имеющих общее начало, то есть углом называют и некую линию. Но разделить подобный угол на два или более равных углов нельзя. Таким образом, когда говорят о сложении, вычитании или делении углов, то угол рассматривают вместе с его внутренней областью. И хотя далее мы будем рассматривать в основном углы меньше развернутого, необходимо помнить, что бывают углы и больше развернутого, то есть больше 180^. Таким, например, является угол D четырехугольника ABCD (рис. 39). Существуют и специальные транспортиры, которыми измеряют углы больше развернутого (рис. 40). Понятие угла часто используют также для характеристики поворотов. Например, велосипедное колесо можно повернуть на 100‘, можно на 300'". А если колесо сделало полтора 21 / Простейшие геометрические фигуры и их свойства оборота? Считают, что оно повернулось на 360‘ и еще на 180', всего — на 540'^. Кроме градусов, минут и секунд, существуют и другие меры углов. Моряки измеряют углы в румбах. Румбом называют одну восьмую часть прямого угла, 1 румб = 11,25“ (рис. 41). Научные работники чаще всего измеряют углы в радианах. Что это такое, вы узнаете в старших классах. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Какая (j)nrypa называется углом? Как обозначают углы? 2. Какой угол называют; а) острым; б) тупым; в) прямым; г) развернутым? 3. Какими приборами и в каких единицах измеряют углы? 4. Что такое внутренняя область угла? Внутрешшй луч угла? 5. Что такое биссектриса угла? 6. Какие углы называют равными? 7. Сформул1труйте основные свойства измерения углов. 22 Углы и их меры §3 I • Решаем вместе Найдите меру угла АОВ, если лучи ОС и ОК делят его на три ранных угла и Z СОК »= 40". Угол СОК — третья часть угла АОВ. Поэтому Z СОК = = 40" 3= 120". Ответ. 120". Найдите меры углов, образованных стрелками часов: в 3 часа; в 5 часов (рис. 42). На циферблате часов полуокруж-нсхпъ сооч’ветс'гвуеч’ 6 часам. Поэтому одному часу соо'1'ве1ч;твует 1/6 часть развернутого угла, чю есть 30". Когда часы показывают 3 часа, угол между часовой и минутной стрелками равен 30" • 3 = = 90". Когда часы показывают 5 часов, угол между стрелками равен 30" • 5 = 150". Ответ. 90"; 150". • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 63. Сколько минут в 2"? А в полчюра градусах? 64. 1) Назовите все углы, изображенные на рисунке 43. Какие из них oei-рые, прямые, тупые? 2) Пусть Z МОА = 25°, Z COD = = Z DOB = 30", Z АОВ = прямой. Найдите Z МОВ и Z АОС. 3) Сравните углы МОС и AOD, AOD и СОВ. 65. Найдите угол между лучами, которые делят прямой угол на 3 равные части. 66. Лучи, проведенные из центра окружности, делят ее на 4 равные части. Найдите угол между двумя соседними лучами. Рис. 43 23 вэдвп. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 67. Начертите острый угол. Обозначьте буквами его вершину и стороны. Заштрихуйте его внут'реннюю область. 68. Начертите тупой угг;л. Обс^значьт-е его стороны буквами, а внутреннюю область — дугой. 69. Начертите развернутый угол КРТ. Назовите его вершину и с'юртшы. О-гметьте внутреннюю область угла дугой. 70. О-пчетьте три тючки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Постройте угол АВС. Може|’ ли этт/г угол бытъ развернутым? 71. Пользуясь транспорт’иром, постройте углы, меры которых равны 50'', 90", 120". 72. Постройт'е на глаз углы, меры ко'юрых 30'’, 45'', 60". Про-верьтю точностъ построения TpaHcnop-iTipoM. 73. Определите в градусах и минутах меры углов: 135'; 5000'. 74. Определите в минутах: 6''15'; 2"; 11,5°. 75. Выполните действия: а) 5°48' f 7“35'; б) 32''! 7' — 8''45'. 76. Выполните действия: а) ЗЗ'^ЗЗ' + 15°15'; б) 145°54' - 41°41'; в) 123' 45' + 54°32'; г) 44°14' - 14°44'. 77. Заполните таблицу, в которой Л — мера данного угла, В — мера угла между его биссектрисой и стороной. А 10" 60' 100" 180" В 50" 45° 78. Найдите меру уг ла ЛОВ, если ОС — его внутренний луч и Z АОС = 60', Z СОВ = 30". 79. Являетея ли луч РМ внутренним лучом угла КРТ, если Z КРТ = 70", Z КРМ = 80"? А если Z КРМ = 20"? 80. На какой угол гювернетея часовая стрелка за 20 мин; за 30 мин? 81. На какой угол повернется часовая стрелка за полчаса; за пять минут? 82. Найдите угол МОВ, если Z АОМ = 25° и Z АОМ : Z МОВ = = 4:5. 83. Найдите угол АОВ, если Z АОМ = 30°, Z МОВ = 60" и все эти углы расположены в одной плоскости. 24 Углы и их меры § 3 84. Даны углы АОВ и МОВ соответственно 120'^ и 60", расположенные в одной плоскости. Найдите меру угла >ШМ. Рассмотрите два варианта. 85. Начертите угол АОВ и его внутренние лучи ОК и ОМ так, чтобы Z АОВ = 90", Z АОК = 40°, Z МОВ = 30°. Найдите Z КОМ. 86. ОМ - биссектриса у1'ла АОВ, ОК — биссектриса угла АОМ, Во сколько раз Z КОМ меньше Z АОВ? 87. ОМ — биссектриса прямого углау10Б; ОК и ОР — биссектрисы углов АОМ и МОВ. Найдите меру угла КОР. 82. Z АОМ = 30°, а Z ВОМ на 20° больше. Найдите угол АОВ. Рассмотрите все возможные вариан'гы. 83. ОМ и ОК — внутренние лучи у1’ла АОВ, ОК — биссектриса угла МОВ, Z АОВ = 150°, Z КОВ на 40° меньше Z МОВ. Найдите Z АОМ и Z МОК. Практическое задание 90. а) Вырежьте из бумаги острый, прямой и тупой углы. Измерьте их т ранспортиром. б) Сгибая листы бумаги, сделайте модели ух’лов, меры которых равны 180°, 90°, 45°, 30°, 60°. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 91. Площадь квадрата равна 16 см2. Найдите его периметр. 92. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 40 см2, ^ одна из сторон 5 см. 93. На одной ли прямой расположены точки Л, В и С, если: а) АВ = 5 дм, ВС = 7 дм, АС — 10 дм; б) АВ = 35 см, ВС = 45 см, АС = 1 дм; 3 2 в) АВ = 7 дюйма, ВС = о дюйма. АС = J2 дюйма? 94. Как найти площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см? 95. Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображенную на рисунке 44. Раскрасьте ее в два цвета. 25 Дмчуум! / Прюстейшие геометрические фигуры и их свойства • Задачи по готовым рисункам Какие из точек: а) принадлежат прямой о; б) не принадлежат прямой о? К • N А АВ= i АС, ВС = Ъ. АВ, АС В. Укажите углы: АС ~ 10, АВ: ВС’’2: 3. АВ, ВС В АР = 20, ВС^СР’^ 2АВ. А В, ВС, СР, ВР В Z2 = 2Z1. ОС — биссектриса Z АОВ, ZAOM = ZMOC. 26 • Самостоятельная работа 1 шт Вариант 1 1 . С — внутренняя точка сл’резка АВ, АС = 6 см, ВС на 2 см меньше i4C. Найдите длину отрезка АВ. 2 . Z АОВ = 130“^, СХ' — его биссек’фиса. Найдите Z ВОС. 3’. Точки А, ВиС лежат на одной прямой. АВ = 9 см, ВС = = 4 см. Найдите длину отрезка АС. Рассмотрите два случая. 4*. Луч ОС делит Z АОВ = 80” на два угла так, что один из них в 3 раза больше другого. Найдите Z АОС и Z ВОС. Вариант 2 1 С — внутренняя точка отрезка АВ, ВС = 4 см, АС в 2 раза больше ВС. Найдите длину отрезка АВ. 2". ОС — биссектриса Z АОВ. Z АОС = 50”. Найдите Z АОВ. 3*. Точки М, N и К лежат на одной прямой. MN = 6 см, NK — = 10 см. Найдите длину отрезка МК. Рассмотрите два случая. 4*. Луч ОС делит Z АОВ = 80” на два угла ч-ак, что один из них на 20” больше другого. Найдите Z АСХ' и Z ВОС. Вариант 3 1'. С — внутренняя точка отрезка АВ, АС = 4 см, ВС на 3 см больше АС. Найдич-е длину отрезка АВ. 2”. Z АОВ = 60°, ОС — его биссектриса. Найдите Z АОС. 3*. Точки Е, F и Р лежат на одной прямой. EF = 7 см, FP = = 3 см. Найдич-е длину от'резка ЕР. Рассмотрите два случая. 4*. Луч ОС делит Z АОВ = 100° на два угла так, что Z АОС : Z ВОС = 2:3. Найдите Z АОС и Z ВОС. тт В^хлант 4 1°. С — внуч'ренняя точка отрезка АВ, АС = 9 см, ВС в 3 раза меньше АС. Найдиче длину отрезка АВ. 2”. ОС — биссекч'риса Z АОВ. Z ВОС = 40”. Найдич’е Z АОВ. 3*. Точки К, Р и Т лежач’ на одной прямой. КР = 12 см, РТ = 5 см. Найдите длину отрезка КТ. Рассмотрите два случая. 4*. Луч ОС делит Z АОВ = 120” на два угла так, что один из них на 30” меньше другого. Найдич’е Z АОС и Z ВОС. 27 ^раздал I Простейшие геометрические фигуры и их свойства • Тестовые задания 1 1. Прямые а и Ь пересекаются в точке О. Какой прямой а) а; б) Ь; в) а и Ь; г) не принадлежит ни принадлежит точка О? одной. 2. На сколько частей делят а) на 2; б) на 3; плоскость две пересекающиеся прямые? в) на 4; г) на 6. 3. Какая из трех точек лежит а)Х; б) У; между двумя другими, если XY=3,YZ=7,XZ= 4? B)Z; г) ни одна. 4. М — середина отрезка АВ, а) 14 см; б) 21 см; AM = 7 см. Найдите длину АВ. в) 3,5 см; г) 7 см. 5. К — внутренняя точка отрезка а) 13 см; б) 7 см; АВ, АК = 3 см, АВ = 10 см. Найдите длину КВ. в) 30 см; г) 8 см. 6. Найдите меру угла, если его а) 20°; б) 10°; биссектриса образует со стороной угол 20“. в) 30°; г) 40°. 7. Z АОВ = 110°, ОМ — его а) 50°; б) 170°; внутренний луч, Z ВОМ = 60“. Найдите Z АОМ. в) 90°; г) 70°. 8. ОМ — внутренний луч Z АОВ, а) 70°; б) 50°; Z АОМ = 40°, Z ВОМ на 10° больше. Найдите АОВ. в) 90°; г) 44°. 9. Точки А, В и С лежат на одной а) 17 см; б) 7 см; прямой. АВ = 5 см, ВС = 12 см. в) 17 см или 7 см; Найдите АС. г) 18 см или 8 см. 10. Z АОВ = 50°, Z вое = 20°. а) 70°; б) 30° или 70°; Найдите Z АОС. в) 30°; г) 70° или 40°. 28 I [ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. I 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. >22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. Вопросы и задания. для самоконтроля Что ч'Якое геометрия? Ч'го такое планиметрия? Г1риведи'1>е примеры плоских и неплсх;ких (})игур. Опиши'ге поня'гие точка. Опишите поня'гие прямая. Опишите понятие плоскость. Приведите примеры материальных субъектов, моделями KOTf)pbix являются точка, прямая, плоскосчъ. Что означакуг записи Л е а,Ае ЪЧ Ч'1Ю означает выражение ♦ч'очка В лежш’ между Л и С»? С<1юрмулируй'ге основные свойства расположения точки на прямой. Что такое луч? Как обозначаю'гоя лучи? Какие лучи называют дополнительными? Что такое отрезок? Что такое концы о'1'резка? В каких единицах измеряют отрезки? Сфсфмулируйте основные свойства измерения отрезков. 4tcj такое середина отрезка? Какое неравенство выполняется для любых трех точек? Что такое расстояние между двумя точками? Какая фигура называется углом? Как обозначают углы? Какой угол называют острым? Какой угол называют тупым? Какой угол называют прямым? Какой yiwi называют развернутым? В каких единицах измеряют углы? Что такое внутренняя область угла? Что такое внутренний луч угла? Сформулируйте основные свойства измерения углов. Что такое биссектриса угла? Какие углы называют равными? 29 Главное в разделе 1 Геометрия — наука о гесшетрических фигурах и их свойствах. Самая простая геометрическая фш ура — точка. Каждая ДРУ1ЯЯ геомеч'рическая (1>игура сслтоит из точек, то есть явля^-ся некоч-орым множеством точек. Другие (])игуры — пря мая, плоскость. Их содержание раскрывают не определениями, а описывая их основные свойства. Фигуры, расположенные на одной плоскости, называют плоскими. Раздел геометрии, в котором изучаю'1'ся фигуры на одной плоскости, называется планиметрией. Основные свойства расположения точек на прямой: • Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие. • Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. • Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Частт! прямой — отрезок и луч. Отрезок АВ — это часть прямой, содержащая '|>очки А, В и все точки, лежащие между ними. Каждому оч'резку соо-гветствует его длина. Длина отрезка — расстояние между его концами. Расстояние и длину измеряют метрами, сантиметрами, миллиметрами, километрами, фатами, дюймами и друч'ими единичными отрезками. Основные свойства измерения отрезков: • Каждый отрезок имеет определенную длину. • Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом, называетоя углом. Углы бывают острые, прямые, тупые, развернутые и больше развернутого. Меры углов определяют в градусах, минутах, секундах, румбах и некоторых других единицах измерения. Основные свойства измерения углов: • Каждый угол имеет определенную меру. • Мера угла равна сумме мер углов, на которые данный угол делится его внутренним лучом. Биссектриса угла — внутренний луч, разбивающий данный угол на два равных угла. 30 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСНОСТИ . I________11___ I в этом разделе учебника вы расширите и углубите свои знания о прямых и лучах одной плоскости, усвоите очень важные понятия: смежные углы, вертикальные углы, перпендикулярные прямые, параллельные прямые и т. д., а также важные общематемагические понятия: аксиома, теорема, следствие, доказательство, признак, определение. СМЕЖНЫЕ И (>ЕРТИКАЛЬНЫЕ ' ПЕРПЕНДИКУ ЛЯРНЫЕ И ПАРАЛГ ПРИЗНАКИ I ЯЛЛЕЛЬНОСТИI 1ЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЯМЫХ СВОЙСТВА ПА|Р|АЛЛЕЛЬНЫХ ПР ШЫХ Основная идея, которой проникну/ вся математика, — это идея равенства. Г. Спенсер раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости Смежные и вертикальные углы угла, на которые делится развернутый угол его внутренним лучом, называют смежными. Одна сторона у смежных углов общая, а две другие — дополнительные лучи. Если точки А, О, В лежат на одной прямой, а С — произвольная точка, не при-належащая прямой АВ, то углы АОС и СОВ — смежные (рис. 45). Свойство смежных у1'лов сформулируем в виде теоремы. В математике теоремой называют каждое утверждение, истинность которого устанавливается путем логш1еских рассуждений. Цепочку таких рассуждений называют доказательством. В нашем учебнике теоремы напечатаны жирным шрифтом и пронумерованы. Рис. 45 ТЕОРЕМА 1 Сумма мер двух смежных углов равна 180° ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Объединение двух смежных углов является развернутым углом. Мера развернутого угла равна 180°. Значит, какими бы ни были смежные углы, сумма их мер равна 180°. □ Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными лучами сторон другого. Например, если прямые АС и BD пересекаются в точке О, то углы AOD и ВОС — вертикальные (рис. 46). Каждый из них — смежный с угломАОВ. Углы АОВ и COD — тоже вертикальные. Рис. 46 м ТЕОРЕМА 2 Вертикальные углы равны. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть AOD и ВОС — любые вертикальные углы (см. рис. 46). Каждый из них смежный с углом АОВ. По теореме о сумме смежных углов Z AOD + Z АОВ = 180° и Z ВОС -Ь Z АОВ = 180°, 32 Смежные и вертикальные углы § 4 отсюда Z AOD = 180" - Z AOR и Z ВОС ~ 180" - Z АОВ. Правые части этих равенств одинаковые, поэтому Z AOD = Z ВОС. Что и следовало доказать.□ Для любознательных Рис. 47 Слово смежные употребляют не только применительно к углам. Смежный—это имеющий общую границу с чем-то или прилегающий к чему-то, соседний. Можно говорить о смежных комнатах, смежных полях и т. п. Относительно углов это понятие имеет особый смьюл. Не каждые два угла с общей стороной называют смежными. Например, на рисунке 47 углы АОВ и ВОС имеют общую сторону ОВ, но не являются смежными. Смежные углы — это два угла, состоящие в определенном отношении. Один угол не может бьпь смежным. Когда говорим, что какой-то угол смежный, то обязательно должны уточнить: смежный с каким углом? Отношение смежности углов имеет такое свойство: если угол А смежный с углом B, то и угол В смежный с углом А. Пусть угол А смежный с углом В, а угол 6 смежный с углом C. Что можно сказать об углах А и С7 Они либо вертикальные, либо угол С — это тот же угол А (рис. 48). Слово вертикальные также относится не только к углам. В основном вертикально расположенным считают продолговатый предмет, расположенный в направлении отвеса (перпендикулярно к горизонту). Всегда верно свойство: если угол А вертикальный углу В, то и угол В вертикальный углу А. I Вопросы и задания для самоконтроля 1. Какие углы называют смежными? 2. Сформулируйте и докажите свойство смежных углов. 3. Какие углы называют вертикальными? 4. Сформулируйте и докажите свойство вертикальных углов. 33 раздел J, Взаимное расположение прямых на плоскости • Решаем вместе Найдите меры смежных углов, если один из них на 50° больше другого. Пусть мера меньшего из смежных углов равна х, тогда мера большего угла х + 50°. По свойству смежных углов дг + X + 50° = 180°, откуда х = 65°, а х + 50° = 115°. Ответ. 65° и 115°. Один из четырех углов, образованных пересечением двух прямых, вдвое больше другого. Найдите меру каждого из полученных углов. При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы. Поскольку вертикальные углы равны, то они условие задачи не удовлетворяют. Делаем вывод: один из смежных углов вдвое больше другого, их меры X и 2х. По свойству смежных углов х -Ь 2х = 180°, откуда X = 60°, а 2х = 120°. Соответствующие им вертикальные углы равны 60° и 120°. Ответ. 60°, 120°, 60°, 120°. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Ш РЕШИТЕ УСТНО! 96. Назовите пары смежных углов, изображенных на рисунке 49. 97. Можно ли считать смежными углы КОВ и КОА (рис. 49)? А углы АОС и AOD? 98. Дан острый угол А. Может ли быть острым смежный с ним угол? А прямым? 99. Дан тупой угол. Каким будет смежный с ним угол? 1(Ю. Сумма углов А и В равна 180°. Смежные ли они? 101. Развернутый угол двумя внутренними лучами разбит на три меньших угла. Можно ли считать их смежными углами? 102, Вертикальны ли углы АОВ и COD, изображенные на рисунке 50? 34 Смежные и вертикальные углы § 4 lOJ^, Один из углов, образованных пересечением двух прямых, равен 100°. Найдите меры трех других углов (рис. 51). Рис. 50 Рис. 51 104. Мера одного из двух смежных углов равна 50°. Найдите меру другого угла. Постройте эти углы. 105. Дан угол, мера которого 160°. Найдите меру смежного угла. Постройте эти углы. Закрасьте их в разные цвета. 106. Найдите меру угла смежного с Z АВС, если: а) Z ЛВС = 34°; б) Z ЛВС =111°; в) Z ЛВС = 13°13'; г) Z ЛВС = 135°47'. 107. Докажите, что если смежные углы равны, то они прямые. 108. Найдите меры смежных углов, если один из них: а) на 30° больше другого; б) в два раза меньше другого. 109. Найдите меры смежных углов, которые относятся как: а) 4 : 5; б) 3 : 2. ПО Начертите угол, равный 45°. Постройте вертикальный ему угол. 111. Сумма мер двух вертикальных углов равна 120°. Найдите меру каждого из этих углов. 112. Найдите меры углов, образованных пересечением двух прямых, если мера одного из них равна: а) 50°; 6)110°; в) п°. 113. Перенесите таблицу в тетрадь и заполните ее. f Данный угол 10° 50° 60° 90° 120° 170° Вертикальный ему угол Смежный с ним угол 35 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости 114. Перерисуйте в тетрадь рисунок 46 и данную ниже таблицу. Используя рисунок, заполните пустые клетки таблицы. ZAOD 66° '50°5' Г— ZAOB 135° 177° ZBOC 39° 33°33' ZDOC 97° |99°9' 115. Могут ли углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, быть пропорциональны числам: а) 2, 3, 4 и 5; б) 5, 5, 5 и 8; в) 2, 3, 2 и 3; г) 1, 4, 2 и 8? 116. Докажите, что углы, смежные с равными углами, равны. 117. Нарисуйте три прямые так, чтобы они пересекались в одной точке. Сколько пар вертикальных углов полу^1илось? 118. Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов показано на рисунке 52? 119. На рисунке 53 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Докажите, что Zl-I-Z2 + Z3 = 180'’. Рис. 53 120. Найдите меры углов, образованных пересечением двух прямых, если: а) один из них на 20“^ больше другого; б) один из них равен половине другого; в) сумма мер двух из этих углов равна 100°. 121. Угол АОВ имеет 180°, луч ОМ делит его на два угла, один из которых больше другого на 20°. Найдите меры этих двух углов, а также угол между их биссектрисами. 36 Смежные и вертикальные углы § 4 122. Углы АОВ и вое смежные, ОМ — биссектриса угла ВОС. Найдите ZAOBy если: а) ZMOC = 30°; б) ZMOC = 45°; в) Z МОС = 60 '. 123. Начертите куб ЛВСОЛ,В,С,D,, Можно ли считать смежными его углы ABBi и BB^ С? Почему? Чему равна мера угла, смежного с углом ЛВВ,? 124. Найдите меру угла, если сумма двух смежных с ним углов равна 110°. 125. Углы АОВ и ВОС смежные, ОМ — биссектриса угла АОВ (рис. 54). Найдите Z МО В, если: а) Z АОВ - Z ВОС = 40°; б) Z АОВ : Z ВОС = 5°; в) Z АОВ : Z ВОС = 5:4; г) Z ВОС составляет | Z АОВ. 5 Практическое задание 126. Сгибая лист бумаги, образуйте пару смежных углов и пару вертикальных углов. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 127. Ребра двух кубов относятся как 1:2. Как относятся их объемы? А площади поверхностей? 128. Обозначьте на координатной плоскости точки А (1; -1), В (1; 3), С (5; 3), D (5; —1) и соедините последовательно их отрезками. Как называется образованная фигура ABCD1 Какие из ее сторон параллельны, а какие перпендикулярны? 129. Круг радиуса 3 см разделите радиусами на 6 равных секторов. Найдите площадь одного такого сектора. На сколько она меньше площади всего круга? 130. Фигуфа, изображенная на рисунке 55, состоит из 9 равных листьев. Найдите площадь одного листа, если А, В, С, D — вершины квадрата площади S. щ Рис. 55 37 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости • Задачи по готовым рисункам ! Q Укажите пары смежных углов. В Z 2 - Z 1 = 40". Z 1 = 60", Z 3 = 40". Z 1 = 120", Z 2 = Z 3. Z1=2Z2 Z 1,Z2 Z 1 :Z2 = 2: 7. Z1=Z2, Z3 = Z4. Доказать: Z KOP = 90“. 38 Перпендикулярные и параллельные прямые § 5 Перпендикулярные и параллельные прямые Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые. Если они пересекаются, то образуют четыре угла — две пары вертикальных углов (речь идет об углах меньше развернутого). Меньший из них считается углом между данными прямыми. Например, на рисунке 56 прямые АВ и CD пересекаются под углом бО'". Говорят также, что угол между прямыми AS и CD равен 50''. Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, говорят, что они пересекаются под прямым углом. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называют перпендикулярными прямыми. Прямые а и Ь на рисунке 57 перпендикулярны одна к другой. Записывают так: а ± Ь, или Ь La. Отрезки или лучи называют пер^ пендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Если отрезок АБ лежит на прямой, перпендикулярной к прямой а, говорят, что отрезок АВ перпендикулярен к прямой а. Если при этом точка В принадлежит прямой а, то отрезок АВ называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а (рис. 58). Точку В назьтают основанием перпендикуляра, а длину перпендикуляра АВ — расстоянием от точки А до прямой а. Рис. 56 Рис. 57 А L а В Рис. 58 39 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости ■ Рис. 62 Рис. 63 *1ерез произвольную точку Р всегда можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой а. Это можно сделать с помощью угольника (рис. 59) или транспортира (рис. 60). Позже вы узнаете, как можно выполнить такое построение с помощью линейки и циркуля. Можно доказать, что существует только одна прямая, перпендику-.1ярная к данной прямой и проходящая через данную точку. Не каждые две прямые пересекаются. Особого внимания заслуживают прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости. Две прямые на плоскости называются паро-члельными, если они не пересекаются (рис. 61). Если прямые а и Ь параллельные, пишут так: а || Ь. Представление о параллельных прямых дают линии в тетради, линии нотного стана (рис. 62), ребра бруска. Два отрезка или луча называют па раллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, если ABCD — прямоугольник, то АВ || DC и ВС II AD. Через любую точку Р, не ленсащую на прямой а, можно провести прямую, параллельную прямой а (рис. 63, а). Для этого можно через точку Р провести прямую с, перпендикулярную к прямой а, а потом прямую Ь, перпендикулярную к прямой с (рис. 63, б). При таком построении всегда Ь || а. Можно воспользоваться линейкой и угольником. Как проводить параллельные прямые с помощью линейки и циркуля, вы узнаете позже. 40 Перпендикулярные и параллельные прямые § 5 Для любознательных Можно доказать (попытайтесь!), что две прямые одной плоскости, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. То есть, если а 1 с и Ь1 с, то а II Ь. Но если прямые а и Ь не принадлежат одной плоскости, то такое утверждение ошибочно. Например, если — куб, то АВ1 ВБ, и Б, С, 1 ББ,, но прямые АВ и В, С, не параллельны (рис. 64). Слово параллельные происходит от греческого слова «параллелос», что в переводе означает «идущие рядом». Если говорить, что какая-либо прямая параллельна, то обязательно следует сказать, какой именно прямой она параллельна. Таким образом, параллельность прямых — это своеобразное отношение между двумя прямыми. Отношение параллельности прямых имеет такое свойство: если а || Ь, то и Ь II а. Другими отношениями являются перпендикулярность прямых, равенство углов и др. Символы этих отношений: II,-L, =. Позже вы узнаете о других отношениях между геометрическими объектами. ш Вопросы и задания для самоконтроля 1. Что такое угол между прямыми? 2. С()юрмулируйте оп1х;делеиие перпендикулярных прямых. 3. Какие отрезки называются перпендикулярными? 4. Какие две прямые называются параллельньпии? 5. Какие отрезки называются параллельными? 6. С помощью каких чертежных инструментов можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой? Как это делается? 7. Как можно провести прямую, параллельную данной прямой? 41 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости Рис. 66 • Решаем вместе Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Пусть Z АОВ и Z вое — смежные углы, ОК и ОР — их биссектрисы (рис. 65). Z КОР = Z КОВ + Z ВОР. Поскольку О К и ОР — биссектрисы, то Р/ Z КОВ = I Z АОВ, Z ВОР = i Z вое. Тогда zKOP = \ zAOB + \ zBoe = = 1 (Z АОВ + Z вое) = \ 180° = 90°. Итак, OK 1 OP. Обозначьте на координатной плоскости точки А (2; 3) и В (-4; -3). Найдите расстояния от этих точек до осей координат, если длина единичного отрезка равна 1 см. I Из точек Аи В опустим перпендикуляры на оси координат (рис. 66). Длина отрезка AM — расстояние от точки А до оси ОХ, а длина отрезка AN — расстояние от точки А до оси OY. По рисунку видим, что AM = 3 см, а AN = = 2 см. Аналогично определяем, что расстояние от точки В до осей координат равно 3 см и 4 см. Ответ. От точки А — 3 см и 2 см; От точки В — 3 см и 4 см. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ т РЕШИТЕ УСТНО як^шшшт 131. Приведите примеры материальных моделей: а) перпендикулярных прямых; б) параллельных прямых. 42 Перпендикулярные и параллельные прямые § 5 132. Какие из прямых, показанных на рисунке 67: а) перпендикулярные; б) параллельные? 133. Пользуясь клетками тетради (рис. 68), укажите: 1) через какую точку пройдет прямая, что: а) перпендикулярна к прямой а и проходит через точку А; б) перпендикулярна к прямой а и проходит через точку -D; в) параллельна прямой а проходит через точку F; г) параллельна прямой а проходит через точку К; 2) какое из утверждений верно: а)АВ±а; б) ВМ ± а; в)КР1а; г)/’/Г II а; д) ВС II а; е) КР || а? 134. ABCDA^B^CiDj — прямоугольный параллелепипед (рис. 69). 1) Назовите отрезки: а) параллельны АА^; б) параллельны AD; в) перпендикулярны кАА^; г) перпендикулярны к AD. 2) какое из утверждений верно: y4Aj ± AD; BjCj LA^B^, DC LAB- AiZ>i II AD-, CDllCjZ),; Z)Di lUiDi; CD II ABl Рис. 68 43 раздел 2, Взаимное расположение прямых на плоскости А 135. Проведите прямую а и обозначьте точки М и N такие, что М е а, N е а. Используя клетки тетради, проведите через точки М и N прямые, перпендикулярные к прямой а. 136. Точки М и N лежат по разные стороны от прямой а. Используя клетки тетради, проведите через точки М и N прямые, параллельные прямой а. 137. Точка А нс лежит на прямой с. Сколько прямых, перпендикулярных к с, можно провести через точку А? Почему? 138. Точка К не лежит на прямой а. Пользуясь угольником, проведите перпендикуляр из точки К к прямой а. 139. Назовите десять пар перпендикулярных отрезков, изображенных на рисунке 70. Являются ли перпендикулярами к прямой КР отрезки АН, ВН, СН.АВ. ВС? 140. Известно, что а || Ь. Верно ли, что Ь II а? 141. Лу'ш АВ и CD не пересекаются. Можно ли утверждать, что они параллельные? 142. Используя рисунок 67 и символы 1 и пуски: а)а...Ь; б) т ... п; в) л ... с; r)a...d; д) m ... с; e)b...d. 143. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ОМ — биссектриса Z СОВ. Найдите Z АОМ и Z MOD. 144. Обозначьте на координатной плоскости точки А (-3; 4), В(1; 8), С (4; 5), D{-2\ -1). Проверьте, перпендикулярны ли прямые AD и DC, АВ и ВС. Параллельны ли прямые АВ и CD, AD и ВС? 145. Обозначьте на координатной плоскости точки А (-3; -1) и В (2; 4). Через эти точки проведите прямые, перпендикулярные к прямой АВ. Найдите координаты точек пересечения построенных прямых с осями координат. Параллельны ли построенные прямые? Рис. 70 заполните про- 44 Перпендикулярные и параллельные прямые § 5 146. С помощью транспортира постройте Z АОВ = 30". Обозначьте точку М такую, что М е ОА и ОМ = 4 см. Из точки М опустите перпендикуляр на прямую ОВ. Измерьте {«сстояние от точки М до ОВ. 147. С помощью транспортира постройте Z АОВ = 130". Обозначьте М е ОА. Из точки М опустите перпендикуляр на прямую ОВ. Будет ли находится основание перпендикуляра на луче ОВ? А на прямой ОВ? Z АОВ = 90", М — внутренняя точка Z АОВ. Через точку М проведите прямые, параллельные сторонам угла. Убедитесь, что построенные прямые перпендикулярны. Z АОВ = 90", М — произвольная точка биссектрисы угла АОВ. Измерьте расстояния от точки М до лучей ОВ и ОА. 148. 149. 150. Z АОВ и Z вое — смежные углы. ОМ — внутренний луч Z АОВ, ОМ -L АС. Чему равен Z МОВ, если: a) Z вое = 40°; б) Z АОВ - Z ВОС = 30°; b) ZAOB: Z вое = 3:2; г) Z ВОС = I Z АОВ? о 151. Три прямые у4В, CD, MN пересекаются в точке О (рис. 71). Докажите, что CD i. MN, если: а) Z АОМ = 130°, Z СОВ = 140°; б) Z СОМ = Z АОС + Z МОВ; в) ZAOM = 135°, ОВ — биссектриса Z MOD. 152. Z АОВ = 90°. Постройте точку М, лежащую во внутренней области Z АОВ на расстоянии 2 см от каждой стороны угла. 153. Постройте перпендикулярные прямые а, с и точку М на расстоянии 3 см от прямой а и на расстоянии 1 см от прямой с. 154 С помощью транспортира постройте Z АОВ = 80° и проведите его биссектрису ОМ. Через прюизвольную точку К этой биссектрисы проведите прямые, перпендикулярные к сторонам угла. Измерьте расстояния от точки К до сторон угла и сравните их. 45 раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости 155. Решите предыдущую задачу, если Z АОВ равен 60", 90" и 130". Сформулируйте предположение о расстоянии от точек биссектрисы до сторон данного угла. 156. С помощью транспортира постройте Z АОВ = 60" и проведите его биссектрису ОМ. Через произвольную точку К этой биссектрисы проведите прямую EF, перпендикулярную к ОМ. Сравните длины отрезков, если Е е ОА, F G ОВ. 157. Решите предыдущую задачу, если Z АОВ равен 80", 90" и 120°. Сформулируйте предположение о свойстве прямой, перпендикулярной к биссектрисе угла. 158. Прикладывая угольник то одной, то другой стороной, >л1еник через точку А провел два перпендикуляра к прямой а (рис. 72). Что можно сказать о таком угольнике? Рис. 72 Практическое задание 159. Сгибая лист бумаги, образуйте модели перпендикулярных и параллельных прямых. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 160. Обозначьте на прямой а точки А, В, С, D, М так, чтобы точка В лежала между точками Ап D, точка М — между А и В, а С — между Ви D. 161. Принадлежит ли точка К отрезку АВ, если АК = 3 см, ВК = 5 см, АВ = 7см? 162. Найдите меры смежных углов, если они пропорциональны числам: а) 1 и 2; 6)1 и 4; в) 4 и 5; г)|и|. 163. Периметр четырехугольника равен Р. Найдите длины его сторон, если они пропорщтональны числам: а)1;2;3и4; б)3;5;3и7; в) | и 1. 46 Признаки параллельности прямых § 6 Признаки параллельности прямых Важную роль в исследовании параллельных прямых играют понятия секущей и некоторых пар углов. Пусть а и Ь — две произвольные прямые плоскости. Прямая с, пересекающая их, называется секущей прямых а и Ь (рис. 73). Прямые а и 6 с их секущей с образуют 8 углов. На рисунке 73 они пронумерованы. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия: • внутренние, накрест лежащие углы. 1 и 3, 2 и 4; • внутренние односторонние углы: 1 и 4, 2 и 3; • соответственные углы: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5. Обратите внимание! Если два каких-либо внутренних накрест лежащих угла равны, то также равны и внутренние накрест лежащие углы другой пары (рис. 74). Если, например, Z 1 = = Z3, tohZ2 = Z4, потому что углы, смежные с равными, равны. Случай, когда внутренние накрест лежащие углы равны, заслуживает особого внимания, поскольку именно при этом условии прямые а и 6 параллельны. ТЕОРЕМА 3 (признак параллельности прямых). Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные внутренние накрест лежащие углы. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть секущая АВ пересекает прямые а и Ь так, что образовавшиеся при этом внутренние накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Тогда, как показано выше, углы 2 и 4 тоже равны. Допустим, что при таком условии прямые а и Ь пересекаются в какой-то отдаленной точке С. В результате образуется 47 раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости треугольник АВС (на рисунке 75 он изображен схематически в виде пятиугольника). Представим, что этот треугольник повернули вокруг точки О — середины отрезка ЛВ — так, что отрезок ОА занял положение ОВ. Тогда, поскольку Zl = ZSuZ2 = Z4, луч АС совместится ^учом ВК, а луч ВС — с лу^юм АР. Так как лучи АС и ВС (по предположению) имеют общую точку С, то лучи ВК и АР тоже имеют какую-то общую точку С,. Это значит, что через две точки С и С] проведены две разные прямые. А этого не может быть. Таким образом, если Z 1 = Z 3, то прямые а и & не могут пересекаться. А поскольку они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны: а || Ь. Что и требовалось доказать.□ Обратите внимание на способ доказательства теоремы 3. Чтобы доказать, что прямые а и 6 параллельны, мы показывали, что они не могут пересекаться, то есть допускали противоречащее тому, что требовалось доказать. Такой способ рассуждения называют методом доказательства от противного. На основе доказанной теоремы 3 нетрудно доказать и другие признаки параллельности прямых. ТЕОРЕМА 4 Две прямые параллельны, если при пересечении с секущей они образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°. Рис. 76 ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, на рисунке 76 сумма внутренних односторонних углов 1 и 4 равна 180°. Сумма смежных углов 3 и 4 тоже равна 180°. Поэтому Z 1 = Z 3. Это — внутренние накрест лежащие утлы; если они равны, то прямые а и 6 параллельны. □ 48 признаки параллельности прямых § 6 ТЕОРЕМА 5 Две прямые параллельны, если при пересечении с секущей они образуют равные соответственные углы. Ш ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть секущая с пересекает прямые а и Ь так, что образовавшиес-я при этом соответственные углы 1 и 8 равны (рис. 77). Углы 8 и 3 равны, поскольку вертикальны. Поэтому если Z 1 = Z 8, Z 8 ^ А 3, то и Z 1 = Z 3, откуда следует, что а || 6.П Зас.дуживает внимания такое следствие из теоремы 3. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Ведь если каждая из прямых а и Ъ перпендикулярна к с, то образовавшиеся при этом внутренние разносторонние углы равны, поскольку они прямые (рис. 78). Следовательно, а и 6 параллельны. И Для любознательных • • • « • Углы 5 и 7 (а также 6 и 8) называ- • ют внешними накрест лежащими, а • углы 5 и 8 (а также 6 и 7) — внешни- • ми односторонними углами (рис. 79). • Используя эти понятия, попробуйте • сформулировать и доказать еще два • признака параллельности прямых. • Полезно также лучше понять • сущность метода доказательства от • противного. • Если утверждение А противоречит • утверждению В, то такие два утверждения называют проти- • воречащими или противными друг другу. Из двух взаимно • противоречащих утверждений всегда одно верно, а другое 49 раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости ложно. Поэтому если убедимся, что утверждения А и В противоречат друг другу и. например, что утверждение В ложное, то можем быть уверены, что утверждение А верно. Не следует путать противоречащие утверждения с противоположными. Например, когда речь идет о числовых выражениях и натуральных числах, то утверждения «выражение А положительное» и «выражение А отрицательное» или «число п простое» и «число л сложное» — противоположные, но не противоречащие, ведь каждое из них может быть неправильным. А вот утверждения «выражение А положительное» и «выражение А неположительное» или «число п простое» и «число л непростое» — взаимно противоречащие. Непростое означает со|ставное или равное 1; неположительное — отрицательное или равное нолю. Доказывая методом от противного, опровергать нужно не противоположное утверждение, а противоречащее данному. Опровергать что-либо — означает показать, что оно ошибочно. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Сформулируйте определение параллельных прямых. 2. Что такое секутцая двух прямых? 3. Какие углы называют внутренними накрест лежащими? А внутренними односторонними? Покажите на рисунке. 4. Какие углы называют соответственными? Покажите на рисунке. 5. Сформулируйте и докажите признаки параллельности прямых. А Рис. 80 • Решаем вместе Как построить параллельные прямые, пользуясь только линейкой и транспортиром? ■ Начертим произвольный луч АВ и отложим равные углы ВАС и АСР, как показано на рисунке 80. Прямые АВ и СР параллельны, ведь углы ВАС и АСР внутренние накрест лежащие, и по построению они равны. В 50 Признаки параллельности прямых § 6 Через концы отрезка АВ с одной стороны от прямой АВ проведены лу'ш АК и ВС так, что Z КАВ = 110°, а Z АВС = = 70°. Параллельны ли эти лучи? Прямую АВ можно считать секущей прямых АК и ВС (рис. 81). Углы КАВ и АВС — внутренние односторонние. Поскольку их сумма 110° + 70° равна 180°, то прямые АК и ВС — параллельные (теорема 4). Поэтому и лучи АК и ВС — параллельные. Ответ. Лучи АК и ВС параллельны. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО Рис. 82 164. Сколько углов образуется при пересечении двух прямых третьей? 165. Рассмотрите рисунок 82 и назовите пары углов: а) внутренних накрест лежащих; б) внутренних односторонних; в) внешних накрест лежащих; г) внешних односторонних; д) соответственных; е) смежных; ж) вертикальных. 166. Пользуясь рисунком 82, найдите суммы мер углов: а) 1, 2, 3 и 4; б) 1, 3, 5 и 7; в) 1, 4, 5 и 8; г) 5, 6, 7 и 8. 167. Параллельны ли прямые а и с на рисунке 82, если: а) Z 6 = Z 8; б) Z 7 = 101° и Z 5 = 101°; в) Z 5 + Z 8 = 180°; г) Z 1 + Z 7 = 180°? 168. Как расположены прямые аиЬ, если а ± с, Ь ± с и все они лежат в одной плоскости? 169. Как могут быть расположены в пространстве прямые а и Ь, если а ± с, & ± с? 51 раздел 2, Взаимное расположение прямых на плоскости А 170. Запишите названия пар углов, изображенных на рисунке 82: а) Z 1 и Z 5; б) Z 6 и Z 3; в) Z 7 и Z 2; v) Z 3 и Z I; д) Z 2 и Z 3; е) Z 8 и Z 5. 171. Известно.что Z 1 = 87“, Z 3 = 78° (рис. 82). Вычислите меры углов 2, 4, 5, 6, 7, 8. 172. Пользуясь рисунком 82, вычислите: а) меры углов 1, 2, 3, 4, 5, 8, если Z 7 = КЮ*^, Z 6 = 90°; б) Z1 fZ4HZ2-l-Z3, если Z 5 + Z 8 = 170°; в) Z 4 - Z 5, если Z 4 - Z 2 = 10°. 173. Параллельны ли прямые а и с (рис. 82), если: a) Z 1 = 50°, Z 7 = 130°; 6)Z6 = 65°, Z8 = 115°; b) Z 1 + Z 7 = 180°; г) Z 2 = 140°, Z 3 на 80° меньше Z 2? 174. ВМ — биссектриса Z КВС (рис.83). Параллельны ли прямые АС и ВМ, если Z А = 50° и: а) Z СВМ = 50°; б) ZABM = 130°; в) Z ВСА = Z КВМ\ г) Z АВМ на 50° больше Z CAS? 175. Прямая КР пересекает прямую АВ в точке К, а прямую CD — в точке Р. Параллельны ли прямые АВ и CD, если Z АКР = 90° и Z К PC = 90°? 176. Прямая КР пересекает прямую АВ в точке К, а прямую CD — в точке Р так, что точки В и D лежат по одну сторону от прямой КР. Параллельны ли прямые АВ и CD, если Z ВКР = 89°39' и Z KPD = 90°21'? 177. Через концы отрезка AS с одной стороны от ншхэ проведены лучи АР и ВС. Параллельны ли эти лучи, если: а) Z РАВ = 105°, а ZABC = 75°; б) Z РАВ = 93°, а Z АВС = 87°? 178. Докажите, что противоположные стороны прямоугольника лежат на параллельных прямых. 52 Признаки параллельности прямых § 6 179. Прямые а и Ь с секущей об-рауют равные острые углы. Следует ли из этого, что а II ft? 180. Найдите меры углов 1 и 2, изображенных на рисунке 84, если Z 1 + Z 4 = 160‘ и: а) Z 4 на 20"’ меньше Z 1; б) Z 2 в два раза больше Z 1; в) Z 4 : Z 2 = 2 : 3; г) Z 4 составляет 60 % угла 2. 181. Параллельны ли прямые а и ft, показанные на рисунке 85, если: а) Z 4 - Z 1 = 30' и Z 3 = 75°; б) Z 1 = 60' hZ2:Z3 = 2:1? 182. Установите взаимное расположение прямых а, ft и с, изображенных на рисунке 86, если: a) Z 3 = Z 5 = Z 9; 6)Z2 = Z8hZ7 = Z9; b) Z12 = Z8hZ64Z3 = = 180'. 183. Секущая п пересекает прямые a,bvLC так, что углы, обозначенные на рисунке 86 числами 2, 8 и 12, равны. Докажите, что прямые а, ft и с попарно параллельны. 184. В изображенном на рисунке 87 шестиугольнике Z 1 = = Z4, Z2 = Z5hZ3 = Z6. Докажите, что каждая сторона данного шестиугольника параллельна противолежащей стороне. Рис. 86 53 раздал Z Взаимное расположение прямых на плоскости 185. Параллельны ли прямые а и &, с и d, если Z 1 “ 60', Z 2 вдвое больше, а Z 2 - Z 3 = =» 60' (рис. 88)? 186. Как можно построить параллельные прямые с помощью угольника? 187. С помощью двух одинаковых угольников параллельные прямые можно провести, как показано на рисунке 89. Аргументируйте такое построение. 188. Закончите предложение: ♦ Чтобы узнать, параллельны ли данные прямые, нужно провести их секущую и измерить соответственные углы. Если...» О В Рис. 89 Практическое задание 189. Сделайте модель для иллюстрации доказательства теоремы 3. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 190. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Во сколько раз уменьшится периметр треугольника, если каждую его сторону уменьшить на 5 см? 191. На сколько частей могут разделить плоскость расположенные на ней прямая и окружность? 192. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О, ОМ — биссектриса угла АОВ. Найдите меры углов МОВ и MOD, если Z СОВ — 70°. 193. Один из двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 90° больше другого. Во сколько раз он больше другого угла? 54 Свойства параллельности прямых § 7 Свойства параллельности прямых ■ Задача тш Даны прямая а и точка Р, не принадлежащая этой прямой. Проведите через точку Р прямую, параллельную прямой а. Ш С помощью линейки и угольника построение можно выполнить, как показано на рисунке 90. Можно ли через точку Р провести две разные прямые, параллельные прямой а? Геометры издавна считали ис-тинньии такое утверждение: I----------- I , и" ,' Рис. 90 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Древнегреческий геометр Е1вклид это утверждение принял без доказательства. Его назвали аксиомой Евклида, потому что все утверждения, принимаемые без доказательств, назы вают аксиомами. (Подробнее об аксиомах и теоремах — в следующем параграфе.) Не все ученые считают аксиому Евклида верной. Геометрию, в которой аксиому Евклида признают верной, называют евклидовой геометрией. Вы изучаете евклидову геометрию. ТЕОРЕМА 6 (обратная теохюме 3). Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы, образованные ими с секущей, равны. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть прямые АВ и CD параллельны, а КС — их секущая, проходящая через точку А (рис. 91). Докажем, что Z САВ = Z ACD. 55 раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости Допустим, что Z САВ Ф Z ACD. Проведем прямую АВ, так, чтобы выполнялось равенство Z САВ^ = Z ACD. По признаку параллельности прямых ASj || CD, а по условию АВ || CD. Получается, что через точку А проведены две разные прямые, параллельные прямой CD. Это противоречит аксиоме Е1вклида. Таким образом, сделанное нами допущение приводит к противоречию. Поэтому Z САВ = Z ACD. □ ■ СЛЕДСТВИЕ. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой. Действительно, если с ± а и а || Ь, то Z 1 = Z 2 = 90", то есть с ±Ь (рис. 92). Сформулируйте и докажите теоремы. Рис. 92 обратные теоремам 4 и 5. с а 1 2 Ь ТЕОРЕМА 7 Две прямые, параллельные третьей, параллельны. а ш ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть каждая из прямых а к Ь параллельна прямой с. Докажем, что а \\ Ь. Допустим, что прямые а и fc не параллельны (рис. 93), а пересекаются в некоторой точке Р. Получается, что через -£____________ точку Р проходят две разные прямые а и &, параллельные с. Это противоречит аксио- ■ Рис. 93 ме Евклида. Поскольку прямые а и Ь не могут пересекаться, они параллельны. □ ■ ПРИМЕЧАНИЕ. Доказательство теоремы верно и в случае, если прямая с лежит между о и Ь. Для любознательных • Последнюю теорему называют теоремой о транзитивности • 0 параллельности прямых (лат. transitivus — переходной), • 0 поскольку она утверждает, что параллельность двух пар парал- • 0 лельных прямых переходит на третью пару: • 0 если а II Ь и Ь II с, то а II с. ф 56 Свойства параллельности прямых § 7 Чтобы это утверждение было верным всегда, договорились считать, что каждая прямая параллельна сама себе, то есть а || а. Ведь если а II Ь и Ы| а, то а II а Отрезки одной прямой тоже считанэт параллельными. Например, если Л, В, С, К — точки одной прямой, то каждый из отрезков АВ, АС, АК, ВС, ВК, СК параллелен любому из них (рис. 94). В целесообразности такой договоренности вы убедитесь позже, изучая параллельные переносы, параллельное проектирование и т. п. А в седьмом классе основное внимание будет обращаться на параллельность отрезков и лучей, не лежащих на одной прямой. Существуют геометрии, в которых аксиома Евклида не считается верной. Их называют неевклидовыми геометриями. Такова, например, геометрия Лобачевского (см. с. 195). Вопросы и задания для самоконтроля 1. С({юрмулируйте аксиому Евклида о параллельности прямых. 2. Что вы знаете о Евклиде, о его «Началах»? 3. С(|юрмулируйте и докажите теорему о внутренних накрсют лежащих углах при параллельных прямых и секущей. 4. Скрормулируйте и докажите теорему о двух прямых, пар£1ллельных третьей. 5. Что такое метод доказательства от противного? 57 раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости • Решаем вместе ■ Докажите, что прямые, перпендикулярные к непараллельным прямым, пересекаются. ■ Пусть прямые а к Ь пересекаются, а прямые тип перпендикулярны к ним: т ± а, п L Ь (рис. 95). Тогда Z 1 = Z 2 = 90'’. Допустим, что m || л, то есть Z 1 = Z 3. Тогда и Z 2 = Z 3, откуда следует, что а || Ь. Это противоречит условию задачи. Значит, прямые m и л не могут быть параллельными, они пересекаются. Рис. 95 • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ шт РЕШИТЕ УСТНО 194. Сколько пар параллельных прямых вы видите на рисунке 96? А сколько пар непараллельных прямых? 195. Угол между прямыми а и х равен ТО'’. Найдите углы между всеми парами прямых, имеющимися на рисунке 96. 196. Объясните, как можно проводить параллельные прямые, пользуясь рейсшиной (рис. 97). 197. На рисунке 98 изображен самодельный рейсмус. Как таким рейсмусом можно проводить на брусе прямые, параллельные его ребрам? Рис. 96 Рис. 98 58 Свойства параллельности прямых § 7 198. Мера одного из углов, образованных двумя параллельными прямыми с их секущей, равна 35°. Найдите меры других углов. 199. На стороне угла АВС взята точка А. Через нее проведена прямая, параллельная ВС. Найдите меры углов при вершине А, если Z АВС = 50‘. 200. Докажите, что если прямая пересекает две параллельные прямые, то: а) соответственные углы равны; б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°. 201. Найдите меры всех углов, изображенных на рисунке 99, если а II Ь и: а) Z 1 = 60°; б) Z 5 -I- Z 7 = 250°; в) Z 2 - Z 1 = 50°. 202. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую. 203. Прямые а и Ь не параллельны прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и 5 не параллельны? 204. Докажите, что биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых параллельны. 205. Докажите, что если одна секущая с двумя прямыми образует равные соответственные углы, то и любая другая секущая с этими прямыми образует равные соответственные углы. 206. Угол между одной из двух параллельных прямых и их секущей равен 80°. Под каким углом биссектриса этого угла пересекает другую прямую? 207. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки К и Р такие, что КР \\ АС. Найдите углы четырехугольни- ка АКРС, если Z ВКР = 60°, Z ВРК = 80°. 59 эаздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости Б Рис. 100 В 208. Если прямые с секущей образуют неравные соответственные углы, то они пересекаются. Докажите это. 209. ЛучиЛБ.ЛС и КР разные и такие, что АВ || КР.АС || А^Р. Найдите меру угла ВАС. 210. С помощью рисунка 99, где Z 1 = = Z 3, вычислите меры углов 3 и 4, если: а) Z 4 - Z 1 = 50"; б) Z 4 в 3 раза больше Z 6. 211. Стороны AD и ВС замкнутой ломаной ABCDA пересекаются и Z В = Z С (рис. 100). Докажите, что Z А = Z D. 212. Каждая сторона четырехугольника ABCD параллельна противолежащей стороне (рис. 101). Докажите, что: a) ZA-l-ZB= 180"; 6)ZB4 ZC = 180"; b) ZA = ZC; г) ZB = ZD. 213. В четырехугольнике ABCD ВС || II AD и Z В = Z С (рис. 102). Докажите, что: &)ZA = ZD\ б) Z А 4 Z С = 180". 214. Через точку, не лежащую на прямой а, проведены три прямые. Докажите, что по крайней мере две из них пересекают прямую а. 215*. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами равны или сумма их мер равна 180°. 216. На рисунке 103 Z1 = 70", Z2 = 50" и АВ || CD. Найдите меры углов 3, 4 и 5. Рис. 101 В Рис. 102 60 Свойства параллельности прямых § 7 Е D Ы1шш ■ Рис. 103 217. На рисунке 104 Z АВС = 50“^, Z CDE = 36"', АВ II DE. Найдите ZBCD. 218. Одна насечка напильника образует с его ребром угол 65°, а другая — 74° (рис. 105). Найдите меру острого угла между насечками. Практическое задание 219. Измерьте транспортиром угол между прямыми в тетради в косую линейку (см. рис. 52). Определите другие углы. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 220. Найдите диаметр окружности, если он больше радиуса: а) на 3 см; б) на 3,5 см. 221. Чему равна длина окружности, диаметр которой: а) 10 см; б) 0,1 м? 222. Сколько общих точек могут иметь: а) прямая и окружность; б) прямая и круг; в) окружность и окружность? 223. Перерисуйте в тетрадь фигуру с рисунка 106. Как называют такую фигуру? Назовите ее вершины, ребра, грани. 224. Сколько разных пар параллельных ребер имеет куб? 61 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости §8j Теоремы и аксиомы Вы уже имеете представление о теоремах. Теорема — это утверждение, в истинности которого убеждаются с помощью логических рассуждений, доказательств. Обычно теорема содержит условие (то, что дано) и заключение (что требуется доказать). Чтобы вычленить условие и заключение теоремы, ее удобно подать в форме ♦Если... , то...». Например: ♦Если углы вертикальные, то они равны*. Здесь слова перед запятой содержат условие теоремы, а п(х;ле запятой — заключение. Часто условие теоремы записывают после слова «дано», а заключение — псюле слова «д<жазать*. Например, теорему о вертикальных углах можно <х}х)рмить так. Д а н о: Z AOD, Z ВОС — вертикальные углы (рис. 107). Доказать: ZAOD = Z ВОС. Доказательство. ZAOD= 180°-ZAOB (Z AOD и Z АОВ — смежные), Z ВОС = 180° - Z АОВ (Z ВОС и Z АОВ — смежные). Следовательно, Z AOD = Z ВОС. Поменяв условие и згислючение теоремы местами, получим новое утверждение (истинное или ложное). Если полученное таким способом утверждение истинное, его называют обратной теоремой. Ш ПРИМЕРЫ 1. «Если углы вертикальные, то они равны» — данная теорема. «Если углы равны, то они вертикальные» — обратнее утверждение (ложное). 2. «Если ссх>тветственные углы равны, то прямые параллельные» — данная теорема. «Если прямые параллельные, то соответственные углы равны» — обратная т«)рема. Важнейшие теоремы, в которых даются критерии чего- либо, называют признаками. 62 Теоремы и аксиомы § 8 Доказывая теорему, ссылаются на другие истинные утверждения. Но в самом начале изучения геометрии еще никаких «других истинных утверждений* нет. Поэтому некоторые первые утверждения обычно принимают без доказательств. Называют их аксиомами. Некоторые аксиомы вам уже известны. С{)юрмулируем их еще раз. Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие. Через любые две точки можно провести пр51мую, и только одну. Из трех точек пр5»юй одна и только одна лежит между двумя другими. Каждый отрезок имеет определенную длину. Каждый угол имеет определенную меру. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. От теорем и аксиом следует отличать определения, в которых раскрывается содержание понятия. Например: «Отрезком ешзы-вается часть прямой, ограниченная двумя точками* — определение отрезка; «Острым утлом называется угол, К(угорый меньше прямого» — определение острого угла. В определениях, аксиомах и теоремах — основное содержание геЕ)метрии. Их нужно знать, но формулировать (правильно!) можно и своими словами. Например, определение отрезка можно сформулировать так: «Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя ее точками», или так: «Часть прямой, ограниченная двумя ее точками, называется отрезком». Для любознательных Слово аксиома греческого происхождения; сначала это ело- • во обозначало: уважение, авторитет, неоспоримость; впослед- • ствии словом «аксиома» начали называть утверждение, • принимаемое без доказательства. • 63 М1вл Z Взаимное расположение прямых на плоскости Слово теорема тоже греческого происхождения. Сначала теоремой называли зрелище, театральное представление. Первым геометрам доказанные ими теоремы казались довольно неожиданными, удивительными, словно интересные зрелища. И в самом деле удивительно: из немногих примитивных утверждений, принимаемых без доказательств, путем одних рассуждений челсшек может получить миллионы неочевидных следствий. Даже таких, которых в природе нигде не наблюдается. И таких, о существовании которых не догадывался ни один мыслитель. Чтобы и вы поняли, какое удовлетворение ощущали первые геометры, открывая и доказывая все новые и новые свойства геометрических фигур с помощью одних лишь рассуждений, попробуйте ответить на один из таких вопросов. П(х:мотрите на рисунок 108. На нем выделены 6 точек: середины сторон треугольника АВС и основания его высот. Кажется, все эти точки лежат на одной окружности. Действительно ли это так? В каждом треугольнике? Кто первым обнаруживал подобные закономернсюти и обосновывал их, тот испытывал огромное удовлетворение, словно путешественник. при1ледший первым туда, где еще никто не бывал, или спортсмен, побивший мировой рекорд. Рис. 108 Вопросы и задания для самоконтроля 1. Что такое теорема? Приведите примеры теорем. 2. Что такое аксиома? Приведите примеры аксиом. 3. Что такое определение? Приведите примеры определений. 4. Какое утверждение называется обратной теоремой? 5. Что такое признак? 64 Теоремы и аксиомы § 8 • Решаем вместе Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных секущей с двумя параллельными прямыми, параллельны. Докажите. Сформулируйте обратное утверждение. ■ Пусть ВС — секущая прямых А В и CD, углы АВС и BCD — внутренние накрест лежащие, а ВК и СР — их биссектрисы (рис. 109). Покажем, что если АВ II CD, то ВК II СР. Если АВ II CD, то Z АВС = Z BCD как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Половины равных углов равны, поэтому Z К ВС = - Z ВСР. Эти углы — внутренние накрест лежащие для прямых КВ и СР и секущей ВС. Шжкольку эти углы равны, то прямые КВ и СР параллельны. А это и требовалось доказать. Обратное утверждение: если биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя прямыми с их секупдей, параллельны, то параллельны и данные прямые. Два луча называют сонаправленны-ми, если один из них является частью другого или если они параллельны и расположены по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Приведите примеры. ПРИМЕРЫ ЛучиЛйГ и ВК (рис. 110), а также л^^и АК и ВТ (рис. 111). Докажите, что углы с сонаправленны-ми сторонами равны. ■ Докажем, что если лучи ВА и РК, ВС и РТ сонаправлен-ные, то углы 1 и 2 равны. Если данные углы расположены, как показано на рисунке 112,toZ1=Z3hZ3=Z2, поэтому Z1 = Z 2. Если данные углы расположены, как показано на рисунке 113, то луч РТ с(к:тавляет часть луча ВС. В этом случае Z 1 = Z 2, как соответственные углы при параллельных прямых ВА и РК. Рис. 110 65 1Э2Д0Л Z Взаимное расположение прямых на плоскости Рис. 112 • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 225. С(]юрмулируйте определения: а) вертика.т1ьных углов; б) смежных углов. 226. С<1х)рмулируйте аксиомы о расположении точек па прямой. 227. Сфт)рмулируйте аксиомы об измерении отрезков. 228. Ск}юрмулиру'йте аксиому Евклида о параллельшжти прямых. 229. Можно ли через каждые три точки провести прямую? Существуют ли три точки, через которые можно провести прямую? 230. Существуют ли 4 точки, через которые можно провести прямую? 231. Сформулируйте признак делимости натуральных чисел на 3. Как можно сформулировать его иначе? 232. Какие из утверждений верны: а) «Если каждое из натуральных чисел делится на 10, то и их сумма делится на 10»; б) «Если сумма двух натуральных чисел делится на 10, то каждое из них делится на 10»? 233. С(}юрмулируйте теорему о смежных углах. Представьте ее в форме «Если... , то...*. Укажите ее условие и заключение. 234. Сформулир>т1те теорему о двух прямых, параллельных третьей. Запишите ее с помощью математических символов. 235. Какие из данных утверждений истинны: а) «Если углы равны, то они вертикальные»; б) «Если углы не вертикальные, то они не равны»; б) «Если ^тлы не равны, то они не вертикальные»? 66 Теоремы и аксиомы § 8 236. С(1юрмулируйте утверждение, обратное теореме 1. Можно ли считать его теоремой? Почему? 237. С(]юрмулируйте утверждение, обратное теореме 5. Является ли оно теоремой? 238. Рассматривая рисунок 114, ученик рассуждает: «Если Л В || КР н ВС || РТ, ToZl = Z3 = Z2. Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами равны». Верно ли он рассуждает? Рассмотрите другие возможные случаи. 239. Можно ли считать правильными такие определения: а) «Биссектрисой угла называется прямая, делящая этот угол пополам»; б) «Биссектрисой угла называется луч, делящий этот угол на равные части»? 240. Прочитайте три первых абзаца § 3 «Углы и их меры». Есть ли в них определения? С^юрмулируйте одно из них. 241. Сформулируйте определение параллельных прямых. Можно ли слова «па пл(х;кости» опустить? Почему? 242. Какие из утверждений верны: а) «Если каждое из трех натуральных чисел делится на 5, то и их сумма делится на 5»; б) «Если сумма трех натуральных чисел делится па 5, то каждое из них делится на 5»? 243. Докажите, что угол между биссектрисами двух вертикальных углов развернутый. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение о биссектрисах двух смежных углов. 244. Сформулируйте словами и докажите утверждения: а) если а II 6 и 6 II с, то а || с; б) если а Lb иЪ Lc,TO а || с. Верны ли эти утверждения, если прямые а, Ь и с не лежат в одной плоскости? 245. Докажите, что: а) если угол А равен углу В, а угол В — углу С, то углы А и С равны; б) если отрезок АВ равен отрезку КР, а КР — отрезку МГ, то отрезок АВ равен отрезку МТ. 67 раздел Z Взаимное расположение прямых на плоскости с углом С, 240. Верны ли утверждения: а) «Если угол А смежный с углом В, а угол В то углы АиС смежные*; б) «Если угол А вертикальный углу В, а угол В — углу С, то углы АнС тоже вертикальные*; в) «Если прямые а и с лежат в одной плоскости и прямые с и п — в одной плоскости, то прямые а и п тоже лежат в одной плоскости * ? 247. Параллельные железнодорожные рельсы, лучи солнца и много других моделей прямых на (1ютографиях и картинах часто изображают в виде непара.алелы1ых прямых (рис. 115). Приведите примеры изображений, на которых непараллельные прямые имеют вид параллельных. 248. Докажите, что секущая, пересекая параллельные прямые, образует с ними: а) равные внешние накрест лежащие углы; б) внешние одшжторонние углы, сумма которых равна 180°. 249*. Докажите, что углы с соответсггвенно перпендикулярными сторонами равны или сумма их составляет 180°. Рис. 115 УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ I 250. Сколько на прямой может быть точек, которые находится между ее точками А и В? 251. На какие части делят прямую две ее точки? 252. Сколько разных отрезков показано на рисунке 116? Назовите их. ^ р 253. Сколькими разными ломаными можно соединить две данные точки К и Р? А сколькими отрезками? Сколькшии дугами окружностей ? 254. Дюйм — это 2,5 см. Сколько квадратных сантиметров в квадратном дюйме? 68 Взаимное расположение прямых на плоскости Типовые задачи для контрольной работы 1''. Точки А,В\\С лежат на одной прямой. АВ = 7,3 см, ВС = = 3,7 см. Найдите длину отрезка АС. 2Внутренний луч ОК угла АОВ разбивает его на углы АОК и КОВ. Найдите меру угла: а) ЛОВ, если Z АОК = 30", Z КОВ = 40"; б) КОВ, если ZAOB = 79", Z КОА = 53". в) КОА, если он па 20" меньше Z КОВ и Z АОВ = 80". 3°. Начертите ZABC = 120". Проведите его биссектрису ВМ и биссектрису ВК угла МВС. Найдите меры углов КВС кАВК. 4°. Найдите меры четырех углов, образованных пересечением двух прямых, если один из них 45°. 5*. Найдите меры смежных углов, если один из них: а) на 25° больше другого; б) в 3 раза меньше другого. 6*. С помощью рисунка 117 установите: а) параллельны ли прямые АВ и СВ; б) меру угла КРМ. Рис.117 7*. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой так, что сумма двух из восьми образованных углов равна 240". Найдите меры всех образованных углов. Отрезки АВ и КР пересекаются в точке О. Докажите, что когда Z АКО = Z ОРВ, то Z КАО = Z ОВР. Прямые АВ и КР пересекаются в точке О. ОМ — биссектриса угла АОР. Найдите меру угла КОМ, если Z АОК -- ZAOM = Z&\ 10**. Докажите, что биссектрисы соответственных углов при параллельных прямых параллельны. 8* 9 69 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости Задачи по готовым рисункам В Zl = 50°, Z2 = 130°. Доказать: а \\ Ь. а Ь Z 1 : Z 2 = 3 : 2, Z 3 “ 72°. Доказать: а || Ь. 11 а Z1-Z2, Z3 = 80°. Z4 Z 2 = Z 3. Доказать: К Z3 + Z4 = 180'. Доказать: Z 1 = Z 2. а II Ь, Z 1 = Z 2. Доказать: с || d. а II Ь. ZC а А 70 Самостоятельная работа 2 Вариант 1 1 . Отрезки АВ и КР пересекаются во внутренней точке О так, что Z АОК = 50°. Найдите меры углов АОР, ВОР, ВОК. 2 . Один из двух смежных углов больше другого на 18°. Найдите эти углы. 3*. Через концы отрезка АВ по одну сторону от прямой А В пуюведите лучи АК и ВС так, чтобы Z КАВ — 107°, а ZABC = 73°. Параллельны ли эти лучи? Почему? ■■ Вариант 2 1 . Отрезки MN и КТ пересекаются во внутренней точке X так, что Z МХК = 65°. Найдите меры углов МХТ, TXN, KXN. 2 . Найдите меры двух смежных углов, если один из Frax втрюе больше другого. 3*. Через концы отрезка АВ по одну сторону от прямой АВ проведите лучи ЛМ и ВС так, чтобы Z МАВ = 102°, а Z АВС = 77°. Параллельны ли эти лучи? Почему? I 1 Вариант 3 Отрезки АС и МР пересекаются во внутренней точке О так, что Z МОС = 48°. Найдите меры углов АОР, АОМ и РОС. 2 . Найдите меры двух смежных углов, если один из них на 26° больше другого. 3*. Через концы отрезка КР по одну сторону от прямой КР проведите лучи КА и РВ так, чтобы Z АКР = 97°, а Z КРВ = 83°. Параллельны ли эти лучи? Почему? 1 Вариант 4 Отрезки АВ и CD перес-екаются во внутренней точке М так, что Z АМС = 35°. Найдите меры углов AMD, СМ В и BMD. 2 . Найдите меры двух смежных углов, если один из них на 15° меньше другого. 3*. Через концы отрезка АВ по одну сторону от прямой АВ проведите лу'чи АК и ВМ так, чтобы Z КАВ = 58°, а Z АВМ — 123°. Параллельны ли эти лу^и? Почему? 71 раздел 2 Взаимное расположение прямых на плоскости Тестовые задания 2 1. Какова мера угла, смежного с углом 100'? 2. Каким является угол, смежный с тупым углом? а) 100"; б) 80''; в) 8"; г) 50'. а) тупой; б) прямой; в) острый; г) развернутый. 3. Z АОР и Z вое — вертикальные углы. Какой знак следует поставить вместо *: Z АОР * Z ВОС? а) <; в) >; 4. Сумма трех углов, полученных при а) 100'; пересечении 2 прямых, равна 280'. в) 90'; Найдите меру четвертого угла. б) =; г) б) 80' г) 70' Для выполнения заданий 5-10 воспользуйтесь рисунком 118. 5. Какой знак следует поставить вместо *: СВ * LP? 6. Какие из прямых параллельны? 7. Каким является угол Z АВС? 8. ZALM= 130'. Найдите Z LAB. 9. Найдите Z САВ, если Z MLA = = 145°. а) II; в) € -, б) =: г) 1. а) ВР и LC. б) СР и АВ; в) АВ и LP\ г) СВ и LP. а) острый; б) тупой; в) прямой; г) развернутый. 10. Расстояние от точки С до прямой МР равно 12 см. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ, если СВ = ВР. а) 50'; б) 80"; в) 130°; г) 120'. а) 145°; б) 45°; в) 25°; г) 35°. а) 12 см; б) 4 см; в) 6 см; г) 24 см ■J 72 Вопросы и задания для самоконтроля 1. Какие углы называют смежными? 2. Сформулируйте и докажите свойства смежных углов. 3. Какие углы называют вертикальными? 4. С^юрмулируйте и докажите свойства вертикальных углов. 5. Что такое угол между прямыми? 6. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых. 7. Какие отрезки называются перпендикулярными? 8. Какие две прямые называются параллельными? Э. Какие отрезки называются параллельными? 0. С помоп1ью каких чертежных инструментов можно провести прямую, перпендикулярную к даггной прямой? Как это делают? 11. Как можно провести прямую, параллельную данной прямой? 12. Сформулируйте определение параллельных прямых. 13. Что такое секущая двух прямых? 14. Какие углы называют соответственными? Покажите на рисунке. 15. Какие углы называют внутренними накрест лежащими? Внутренними односторонними? Покажите на рисунке. 16. С(}юрмулируйте и докажите признак параллельности прямых. 17. С^юрмулируйте аксиому Евклида о параллельности прямых. 8. Что вам известно о Евклиде, о его «Началах»? Э. Сформулируйте и докажите теорему о внутренних накрест лежаищх углах при параллельных прямых. 20. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей. 21. Что означает слово транзитивный? Сформулируйте и докажите теорему о транзитивности параллельных прямых. 22. Что такое теорема? Приведите примеры теорем. 23. Что такое аксиома? Приведите примеры аксиом. 24. Что такое определение? Приведите примеры определений. 25. Какое утверждение называется теоремой, обратной данной? 26. Что такое признак? 73 Главное в разделе 2 Два угла, на которые разбивается развернутый угол его внутренним лучом, называются смежными. Сумма мер двух смежных углов равна 180". Два угла называются вертикальными, если стороны одгтого угла являются дополнительными лу'шми сто{юн другого угла. Вертикальные углы равны. Если две прямые пересекаются, они образуют четьцю угла: две пары вертикальных углов. Меньший из них — угол между данными прямыми. Две прямые называклтл перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Прямая, пересекающая две другие прямые, называется их секущей. С двумя данными прямыми она образует 8 углов, некоторые пары этих углов имекгг отдельные названия: 1 и 3, 2 и 4 — внутренние накрест лежащие; I и 4,2 и 3 — внутренние односторонние; 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5 — соответственные; 5 и 7, 6 и 8 — внешние накрест лежащие; 5 и 8, 6 и 7 — внешние односторонние. Признак параллельности прямых: • Две прягмые параллельны, если с секущей они образуют равные внутренние накрест лежащие углы, или равные соответственные углы, или такие внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°. Свойства параллельных прямых: • Секущая с двумя параллельными прямыми образует равные внутренние накрест лежащие углы, равные соответственные углы, такие внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°. • Две прямые, параллельные третьей, параллельны. • Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендвшулярна и к другой прямой. Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны. 74 ТРЕУГОЛЬНИКИ в этом разделе вы повторите свои знания о треугольниках, полученные в предыдущих классах, и узнаете о многих других их свойствах. Основное в разделе — три признака равенства треугольников. Они часто используются в геометрии. От того, насколько хорошо вы изучите эти признаки, будет зависеть усвоение следующих разделов учебника. ТРЕУГОЛЬНИК и ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ СУММА углоё 'треугольника о РАВЕНСТВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР признаки РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ РАВНОБЕДРЕ^1НЫЙ ТРЕУГОЛЬ»|^ ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА TPEyronbHvgtoB ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК НЕРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИ»С^ Геометрия Евклида является лишыгервым шагом к изучению фцрм реального пространства, А. Смогоржевский Треугольники Рис.119 Рис. 120 Треугольник и его элементы Если три точки, не лeжau^иe на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — ото замкнутая ломаная из трех звеньев. Па рисунке 119 изображен треугольник АВС (пишут: А АВС). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ. ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны. Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120). Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему? Огрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. Па рисунке 121 изображен А АВС, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН. Каждый треугольник имеег три медианы, три биссектрисы и три высоты. Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником. 76 Треугольник и его элементы § 9 Углами треугольника ARC называют углы ВАС, АВС и АСВ. Их обозначаютeu^eтак: ZA,ZB,ZC. Каждый треугольник имеет три угла. Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены. Рис. 122 Для любознательных Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину. Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см». Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника. Вопросы и задания для самоконтроля Что такое треугольник? Назовите элементы треугольника. Какими бывакуг треугольники? Сформулируйте их определения. Что такое биссектриса, медиана и высо'га треугольника? Чем отличается биссектриса треугольника от биссектрисы угла? 77 здел J Т реугольники • Решаем вместе На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника? Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом — вто-1ЮЙ и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части. Рис. 123 Рис 124 Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника. Если а,Ь,с — стороны треугольника, а Р — его перимстр, то дл„ ; = т, откуда Р = 3 т. • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 255. Могут ли две стороны треугольника быть перпендикулярными к третьей его стороне? 256. Сколько высот треугольника могут лежать вне его? 257. Может ли высота треугольника совпадать с его стороной? 258. Найдите периметр А АВС, если: а) Л В ==6,ВС = 3, АС = 7; б)АВ = 2,2, ВС = 8,5, АС = 8,8. 259. Существует ли треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см? 78 Треугольник и его элементы §9 I 260. Начертите любой треугольник. Обозначьте его вершины буквами К, Р. Т. Назовите стороны и углы треугольника. Найдите его периметр. 261. Начертите остроугольный треугольник АВС. Проведите из его вершины А медиану, биссектрису и высоту. 262. Пост{ЮЙте произвольный треугольник. Проведите его медианы и высоты. 263. Стороны треугольника 3,8 см, 4,5 см и 7,5 см. Чему равен его периметр? 264. Периметр треугольника равен 12 см. Найдите сторону квадрата, периметр которого вдвое больше периме'гра треугольника. 265. AM и BN — медианы А АВС, AN = 5 см, ВМ = 7 см. Найдите периметр А АВС, если АВ =15 см. 266. Верно ли, что на рисунке 125 отрезки АА|, BB^, CCj — высоты треугольника АВС? 267. Треугольник делит плоскость на две части: ограниченную и неограниченную. Л на сколько частей могут делить плоскость треугольник и прямая, расположенные на ней? А треугхшьник и окружность? 268. Сколько разных треугольников изображено на рисунке 126? 269. Периметр А АВС равен 26 см. Найдите его стороны, если АС = 10 см и: а) ВС = 3 АВ; б) АВ : ВС = 3 : 5; в) АВ = ВС; г) ВС — АВ = 6 см. Рис. 125 270. Каждый ли треугольник можно разрезать на 2 треугольника? А на произвольное число п треугольников? Какими способами можно разрезать произвольный треугольник на 3 меньших треугольника? А на 4 треугольника? 271. Покажите, как можно разрезать квадрат на 2, 3, 4, 5 треугольников. 79 im3 Треугольники 272. Найдите стороны треугольника, если одна из них больше второй вдвое, третье!! — в полтора раза, а вторая сторона меньше третьей на 2 см. 273. Найдите периметр треугольника, если он больше первой стороны на 7 м, второй — на 8 м и третьей — на 9 м. 274. Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно 10 дм. Найдите периметр треугольника. 275. Периметр квадрата равен 4 дм. Можно ли вырезать из него треугольник периметра 3 дм? 276. CyutecTByeT ли треугольник, периметр которого в 1000 раз больше одной из его сторон? А одной из высот? 277. Стороны треугольника пропорциональны числам 4, 5 и 8. Найдите периметр треугольника, если наибольшая его сторона больше наименьшей на 24 см. 278. Постройте тупоугольный треугольник и проведите его высоты. 279. Найдите высоту ВН треугольника АВС, если периметры треугольников АВС, АВН и ВНС равны соответственно 26 см, 14 см и 18 см. 280. ВМ — медиана треугольника АВС, а периметры треугольников АВМ и ВМС равны. Докажите, что АВ = ВС. 281. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К такие, что МК || АС. Докажите, что углы треугольника МВК равны соответственно углам треугольника АВС. ■■ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ЯН 282. Вспомните, как определить площадь прямоугольника. А квадрата? 283. Какие единицы площади вы знаете? 284. Сколько квадратных метров в 1 км^, 1 га, 1 аре? 285. Верно ли, что из двух любых равных прямоугольных треугольников можно сложить один прямоугольник? 286. Как найти площадь прямоугольного треугольника? 287. Поле прямоугольной формы имеет площадь 20 га, а одна его сторона — полкилометра длиной. Найдите длину второй стороны поля. 288. Сумма углов АОВ и ВОС равна 100''. Найдите угол между их биссектрисами, если луч ОВ для угла АОС — внутренний. 80 Сумма углов треугольника § 10 Д Сумма углов треугольника ТЕОРЕМА 8 Сумма углов треугольника равна 180" К ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ. Полученные углы ЛС/С и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. Тогда Z А = Z1, Z В = Z2, как BHyjpeHHue накрест лежапще углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180". Поэтому ZA \ ZB \ ZC = Z\^ Z2 +ZC= 180". Таким образом, ZA + ZB + ZC = 180".П ■ ПРИМЕЧАНИЕ. В доказанной 'геореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол о. ■ СЛЕДСТВИЕ. Треугольник не может иметь два прямых или два тупых уг-.та. В каждом треугольнике по крайней мере два угла — <х;трые. Иногда кроме углов 'греугольника (внутренних) рассма'гривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной ■ЛЖугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника АВС при вершине А является угол/САС (рис. 128). ■ Рис. 128 ТЕОРЕМА 9 Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Z КАС — внешний угол Л АВС (рис. 128). Тогда Z КАС = 180" — Z ВАС (согласно теореме о смежных углах). 81 «в» 3 Треугольники К Рис. 129 Z В + Z С = ХвО*" - Z ВАС (согласно теореме о сумме углов треугольника). Значит, Z КАС Z В + ZC.U ■ СЛЕДСТВИЕ. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. ВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ЛВС при вершине Л (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу. Для любознательных Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники. Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырехугольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°. Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°. Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного л-угольника. 82 Сумма углов треугольника §10 I Вопросы и задания для самоконтроля 1. С({юрмул1фу1Чте теорему о сумме ух’лов треугольника. 2. Что такое внешний угол треугхэльника? 3. С(|юрмул1фуйте теорему о внешнем ух’ле треу1Х)льника. 4. Верно ли, что внешний угол треугольника больше каждош внутреннего угла, нс смежного с ним? 5. Чему равна сумма углов четьфехугюльника? • Решаем вместе D— Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному? ■ Пусть АВС — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника Z1=ZB + ZC. Z2 = ZA + ZB, Z3 = ZA + ZC. Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим: Zl + Z2-t-Z3 = = 2(ZA + ZB + ZC) = 2 180'^ = 360". Иной способ: Z1 + Z2 + Z3=1S0°- ZA + 180"-ZB +180°-ZC = = 540" -(ZA-l-ZB-f-ZC)= 540" - 180" = 360". Ответ. 360°. I Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60" и угол не меньше 60". ■ Если бы каждый угол треугольника был меньше 60", то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60", то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно. Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не больше 60" и угол не меньше 60". 83 won 3 Треугольники • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 289. Сумма двух углов треугольника равна 80". Найдите тре'гий угол. 290. Два угла треугольника имеют по 30'. Найдите тре'гий угол. 291. Существуе'г ли треугольник с углами 60", 70" и 80°? 292. Два угла 'греугольника 20" и 80". Найдите третий угол. 293. Найдите углы прямоугольного треугольника, если один из них 30". 294. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам: а) 2,3 и 5; б) 1,5 и 6; в) |, |,|. 295. Докажите, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90". 296. Заполни'ге пустые клетки таблицы об углах Л АВС. А 30" 20° 83" 95" 54" В 70" 45° 35° 47° ~54~ С 100° 45° 17° 67" 297. Найдите углы треугольника, если один из них: а) равен второму и меньше третьего на 30"; б) больше второго на 20° и третьего — на 40°; в) больше второго в 2 раза и третьего — на 10°. 298. В треугольнике АВС углы А и В по 65°. Найдите внешний угол треугольника при вершине С. 299. Может ли каждый внешний угол треугольника быть равным 100"? 300. Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2 и 3. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. 84 Сумма углов треугольника 121М 301. Найдите углы Л АВС, если Z А + Z. В = 100" и ZB + ZC= 120". 302. ZABC = 30". Под каким углом прямая АС пересекает луч ВС, если луч ВА она пересекает под углом 45"? 303. СН и CL - высо'га и биссектриса Л АВС, Z А = 60", Z В = 30". Найдите Z HCL. 304. CL - биссектриса А АВС, ZA = 80°, Z В = 40°. Найдите: а) Z CLA; б) под каким углом пересекаются биссектрисы углов А и В? 305. СН - высота А АБС. Найдите Z АС// и Z ВСН, если: а) ^А = 30"иАБ = 60"; б) ZA = 30"hZS = 120". 306. Найдите меры внешних углов А АБС, если: a) ZA = 40°, ZБ = 50°; б) ZB = 120", ZC = 40"; b) ZA + ZB = 100", ZB + ZC = 130"; r)ZA + ZC = 95", ZB + ZC= 135°. 307. Углы A и Б треугольника АБС равны. Докажите, что биссектриса внешнего угла А АБС при вершине С параллельна стороне АБ. 308*. Найдите сумму углов А, Б, С, D, Е пятиугольной звезды (рис. 133). 309. Треугольник расположен на поверхности куба, как показано на рисунке 134. Найдите сумму углов, обозначенных на рисунке цифрами. А В 85 едел J Т реугольники 310. Прямолине11ный тоннель АВ пробивают с двух сторон горы (рис. 70). Верно ли выбраны направления А,А и BjB, если измерения показали, что Z А, = бО'ЧО', Z В, =-= 48°20' и Z С = 80°5'? Рис. 135 ' Практическое задание 311. Начертите произвольный треугольник и проведите все его биссектрисы. Что вы заметили? Можно ли утвер-жда'гь, что все три биссектрисы треугольника проходят через одну точку? А если вместо биссектрис провести медианы треугольника? УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 312. Отрезок, длина которого равна а, разделен на два неравных отрезка. Найдите расстояние между серединами полученных отрезков. 313. В А АВС медиана ВМ = МС. Найдите периметр Л АВС, если периме'гр А АВМ равен 16 см, а ВС = 8 см. 314. М и N — середины сторон АВ и ВС А АВС. Периметр А MBN в 2 раза меньше периметра А АВС. Найдите MN, если АС =10 см. 315. Треугольник с периметром 22 см разделен медианой на два треугольника с периметрами 12 см и 16 см. Найдите длину медианы. 316. Секущая с образует с параллельными прямыми а и 6 внутренние односторонние углы, которые относятся как 2 : 3. Как относятся углы, образованные биссектрисами этих углов и секущей с? 86 о равенстве геометрических фигур §11 I О равенстве геометрических фигур На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, а в'горой — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совмести'гь с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, ■ю они равны. Равными друг другу бывакуг не только треутюльники, но и отрезки, углы, окружности и другие (IjOTyphi. Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. А фигуры, изображенные на рисунке 138, неравны, их нельзя совместить. Для обозначения равных фигур использукуг знак равенства ♦=«>. Например, АВ = КР, Z А = Z В, Л АВС = А КРТ. Рис. 137 Рис. 138 Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны. С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В ^юрме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки. 87 ZB>ZC,ZK>ZP>ZT. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника АВС совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Z Аф Z К. Значит, данные треугольники не могу'г быть равными. • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО . ^ ~ 317. Равны ли две фигуры на рисунке 140? 318. Верно ли, что если данный треугольник прямоугольный, тупоугольный или равносторонний, то и равный ему треугольник тоже соответственно прямоугольный, тупоугольный или равносторонний? Рис. 140 89 iqвлЗ Треугольники В_N_( й м Рис. 141 D Рис. 142 319. Равны лн треугольники, изображенные на рисунке 141? 320. Середины сторон квадрата ABCD последовательно соединили отрезками так, что образовались 4 треугольника (рис. 142). Верно лн, что каждый из этих треугольников равен другому? 321. Равны ли как геоме-грические фигуры символы: а) О и 0; б) < и >; г) = и II; в) Г и L? 322. Мохут ли быть равными прямоугольный и тупоугольный треугольники? А прямоугольный и остроугольный? 323. Треугольники АВС и КРТ равны. Равны ли их периме'гры? 324. Периметры треугольников АВС и КРТ равны. Равны ли сами 'греугольники? 325. Один из двух смежных углов можно совмес-гить с другим. Какие это углы? 326. Какие из фигур, изображенных на рисунке 143, равны? ТПЗЕ mHEL Рис. 143 90 о равенстве геометрических фигур § 11 327. 328. 329. 330. 331. 332. 333. Могут ли быть равными треугольники, наименьшие стороны которых не равны? Прямая, проходящая через центр окружности, разбивает ее на две полуокружности. Равны ли они? Как совместить одну полуокружность с другой? Найдите периметр треугольника КРТ, если Л КРТ = = А АВС, АВ = 3 см, ВС = 4 см и АС = 5 см. Треугольники АВС и AjBjCj наложили друг на друга так, что совместились верпшны А и А,, Б и В,, С и Cj. Совместятся ли стороны АВ и А,В,. АС и AjCj, ВС и В,С,? Л медианы AM иА,М]? Фигуры ABCD и НТРК равны (рис. 144). Найдите угол Т и расстояние КТ, если BD = 3,8 см и Z В = = 70^. Найдите углы треугольника АВС, если Л АВС = = А КРТ, ZK = 60^ и Z Р = = 60°. В К Стороны АВ и РТ не равны. Могут ли быть равными треугольники АВС и КРТ? Т Рис. 144 334. Углы АВС и КРТ равны. Сколькими способами один из них можно совместить с другим? 335. А АВС — тупоугольный, а углы А AjBjC, пропорциональны числам 5, 6 и 7. Могут ли быть равными эти треугольники? 336. А АВС = А MNK, Z N = 2 Z А. Найдите углы треугольников, если Z С = 60°. 337. Z АОВ и Z вое — смежные, Z ВОС — Z АОВ = 30°. Z МКР и Z PKN — смежные, Z МКР : Z PKN =7:5. Укажите пары равных углов, если ош1 есть. 338. Периметр каждого из прямоугольников ABCD и MNPK равен 28 см. Постройте эти прямоугольники так, чтобы: а) они были равны; б) они не были равны. 91 WM1. треугольники 339. Одна из сторон прямоугольника ABCD на 3 см больше другой, а его периметр равен 34 см. Площадь прямоугольника MNPK равна 70 см^. Могут ли быть равными эти прямоугольники? А если площадь прямоугольника MNPK равна 72 см^? 340. На координатной плоскости даны точки А (1; 4), В (2; 7), С (2; 4), D (2; 1), К (4; 1). Равны ли треугольники АВС и ADC? А треугольники АВС и CDK1 341. Прямоугольники ABCD и В С ' КРТМ равны друг другу и АВ = КР. Найдите КТ, если АС = 26 см. 342. Точки А, В, С, D, Е делят окружность с центром О на 5 равных дуг. Равны ли отрезки АВ и £!Л? А треугольники ОВС и ОАЕ7 343*. Верно ли, что каждая прямая, проведенная через центр О квадрата или прямоугольника (рис. 145), разре-.эает его на две равные фигуры? Практическое задание 344. Начертите А АВС па бумаге и А AjBjCi на прозрачной пленке таким образом, чтобы их можно было совместить. Н УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 345. Начертите круг диаметром 6 см. Чему равны его площадь и длина окружности, ограшгчивающей его? 346. Начертите круг радиусом 3 см. Разделите его на 5 равных секторов. Закрасьте один сектор и найдите его площадь. 347. На сколько частей могу'т разрезать плоскость две окружности? А три окружности? 348. Сколько гектаров вмещает круг, диаметр которого равен 1 км? 349. В А АВС утолЛ = 70°, угол В на 20° больше С. Под каким углом пересекаются биссектрисы углов В и С? 350. В А АВС все углы равны. Докажите, что биссектрисы любых двух из них пересекаются под равными углами. 92 Признаки равенства треугольников §12 I Признаки равенства треугольников Если треугольники АВС и равны друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Л и А,. В и Bj, С и С], то совместятся и (ггороны: АВ и AjBj, ВС и В,С,.СА и CjAi и углы: ZAn Z Aj, Z Ви Z Bj, Z С и Z Cj. Значит, если Л АВС = А AjB,C,, то АВ =А,В,, ВС = BjCj, СА = CjAi, ZA = ZAi.ZB = ZBi,ZC = ZCi. Чтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств. ТЕОРЕМА 10 (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС и AjBjCj — два треугольника, у которых АВ =A,Bj,AC =AjCj и ZA = = Z Aj (рис. 146). Докажем, что А АВС = = А AjBjC,. Наложим А AjBjCj на А АВС таким образом, чтобы вершина Aj совместилась с А, вершина В, — с В, а сторона AjCj наложилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условию AjBj = АВ и ZA, = = Z А. Поскольку AjCj = АС, то при таком наложении точка С, совместится с С. В результате все вершины А AjBjCj совместятся с соответствующими вершинами А АВС. Итак, А AjBjCj = А АВС.П В С, Рис. 146 ТЕОРЕМА 11 (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежахцие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС и AjBjCj — два треугольника, у которых АВ=AiBi, Z А=Z А, и Z В = Z Bi (рис. 147). Докажем, что А АВС = А A^BjC^. 93 щеп 3 Треугольники Рис. 147 Наложим Л Л,В,С, на Л ЛВС таким образом, чтобы вершина Aj совместилась с А, вершина В, — с В, а С, сторона A,Cj наложилась на АС. Это можно сделать, потому что АВ = AjB, и Z А = Z Aj. Поскольку Z В = Z Bj, то сторона В,С] наложится на ВС. Следовательно, при таком наложении луч AjCj совместится с АС, а луч BjCj — с ВС. Точка С,, в которой пересекаются лучи А,С, и В,С|, совместится с точкой С пересечения лучей АС и ВС. Как видим, Л A,B,Ci можно совместить с А АВС, а это значит, что А АВС = А AiBjCj.D Для любознательных Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14). На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников; 1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по стороне и двум прилежащим углам, 3) по трем сторонам (его докажем позже). Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др. Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого. Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками. 94 Признаки равенства треугольников §12 I Вопросы и задания для самоконтроля 1. Сформулируйте первый признак равенства треугольников. 2. Сформулируйте второй признак равенства треугольников. 3. Докажите признак равенства треугольников но двум сторонам и углу между ними. 4. Докажите признак равепгггва треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. • Решаем вместе Отрезки ЛВ и CD пересекаются в точке О так, чтоЛО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD. Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны: АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Д АСО = = Л DBO. Стороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD. Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны. Пусть у А АВС сторона АВ =АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Д АВК = Д АСР, поскольку АВ — = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР. Рис. 149 • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 351. Пользуясь рисунком 150, докажите: В а) если АВ Ai ADhZ1 = Z2, то А АВС = Д ADC; б) если Zl = Z2iiZB = Zn, то А АВС = А ADC. Рис. 150 95 вл 3 треугольники 352. На рисунке 151 АВ ■= CD, АВ II CD. Докажите, что А АОВ = А COD. 353. В четырехугольнике ЛВС!) АВ II CD и ВС II AD (рис. 152). Докажите, что ZB = ZD. Рис. 151 Рис. 152 Отре.зки ЛВ и CD пересекаются в точке О так, что ЛО = ОВ и СО = OD. Докажите, что А АОС = А BOD. Огре.зки КР и EF пересекаются в точке М так, что КМ = МР и ЕМ — MF. Найдите расстояние КЕ, если PF = 12 см. Ученики построили в тетрадях треугольники с двумя сторонами 3 см и 5 см и углом 60^ между ними. Равны ли эти треугольники? Докажите, что А ЛВС = А A,J5,Ci, если АС = А,С,, Z А = = Z А^ и Z В = Z В^. Пусть AM - медиана треугольника ЛВС и МК = МЛ (рис. 153). Докажите, что А ACM = А КВМ. 354. 355. 356. 357. 358. 359. Ученики построили в тетрадях треугольники со стороной 5 см и прилежащими к ней углами 30‘ и 70“^. Равны ли эти треугольники? 360. На биссектрисе угла А обозначена точка D, на сторонах угла — точки В и С такие, что Z BDA = Z ADC. Докажите, что BD = CD. 361. В равностороннем А ЛВС проведите биссектрису AL и докажите, что: а) BL = LC; б) AL ± ВС. 362. В четырехугольнике ABCjDAB || CD и ВС || AD. Проведите отрезок BD и докажите, что: a)AB = CD; 6) ВС = AD; b)ZA = ZC. 96 Признаки равенства треугольников § 12 I 363. Равны ли друг другу треугольники, изображенные на рисунке 154? 364. Чтобы измерить на местности рас;-стояние между пунктами А и В, между которыми невозможно пройти (рис. 155), выбирают такую точку С, от KOTopoii можно пройти к Л II В. Потом на прямых АС и ВС откладывают отрезки СТ = АС и СР = ВС. Расстояние РТ равно ЛВ. Почему? 365. Предыдущую задачу можно решить иным способом (рис. 156). Откладывают Z ВСМ = Z. ВСА и СМ = СА. Тогда ЛВ = ВМ. Почему? 366. Через концы отрезка ЛВ проведены параллельные прямые АС и BD, а через середину О отрезка ЛВ — прямая, пересекающая прямые АС и BD в точках С и D. Найдите расстояние АС, если BD — 8 см. 367. Равные отрезки ЛВ и CD пересекаются в точке О так, что ОА = ОС, Докажите, что Z ЛВС = Z ADC и Z BAD = Z BCD. 3()8. Отрезки ЛВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из Ю1Х. Докажите, что AC\\BD. Рис. 154 369. Докажите, что медианы равных треугольников, проведенные к равным сторонам, равны. 370. Докажите, что в равных треугольниках равны соответственные: а) биссектрисы; б) высоты. 97 aisnJ Треугольники 371. Все стороны шестиугольника ABCDEF равны и все углы равны (рис. 157). Докажите, что треугольник ЛС£ равносторонний. 372. На рисунке 158 AD = CF, Z I = Z 2 и Z 3 = Z 4. Докажите, что Л ЛВС = = Л DEF. 373. Биссектриса AL треугольника АВС перпендикулярна к стороне ВС. Докажите, что АВ = АС. 374. '1тобы найти расстояние между пунктами Л и X (рис. 159), на берегу реки отметили точки В и С так, чтобы выполнялись равенства Z\ = Z2nZ3 = Z4. Искомое расстояние АХ равно АС. Почему? Рис. 157 В Рис. 158 Рис. 159 УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 375. Один из углов на 40"^ больше другого. Найдите эти углы, если смежные с ними углы относятся как 7 : 5. 376. Имеет ли треугольник равные стороны, если две его стороны относятся как 5 : 4, третья на 1 см больше их полусуммы, а периметр треугольника равен 28 см? 377. Чему равен угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника, взятых при одной вершине? 378. Сколькими способами можно разрезать прямоугольник на два равных прямоугольника? А на две равные фигуры? 379*. Как два равных квадрата разрезать на две равные части и сложить из них один квадрат? 98 • Самостоятельная работа 3 ЯШ Вариант 1 1°. Начертите (хг/роугольный треугольник и проведите ei’O медианы. 2'. Два угла треугольника равны 35° и 68°. Найдите 3-й угол. 3*. Периметр треугольника равен 35 см. Найдите длины его сторон, если одна из них длиннее второй на 3 см и короче третьей на 5 см. 4*. В треугольнике ЛВС стороны ЛВ и ВС равны, а BII — биссектриса. Докажите, что А ЛВИ = А СВН. Вариант 2 1°. Начертите прямоугольный треугольник и проведите его биссектрисы. '2°. Два угла треугольника равны 120° и 57°. Найдите 3-й угол. 3*. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них длиннее на 8 м второй и на 5 м третьей, а периметр треугольника равен 50 м. 4*. В треугольнике КРТ высота РМ одновременно является биссектрисой. Докажите, что А КРМ = А ТРМ. Вариант 3 1°. Начертите тупоугольный треугольник и проведите его медианы. 2°. Два угла треугольника равны 87° и 56°. Найдите 3-й угол. 3*. Периметр треугольника равен 62 см. Найдите длины его сторон, если одна из них длиннее второй в 2 раза, а третьей — на 8 см. 4*. В треугольнике АВС углы А и С равны, а ВМ — высота. Докажите, что А АВМ = А СВМ. Вариант 4 1°. Начертите произвольный треугольник и проведите все его высоты. 2°. Два угла треугольника равны 130° и 25°. Найдите 3-й угол. 3*. Периметр треугольника равен 85 м. Найдите длины его сторон, если одна из них короче второй в 2 раза, а третьей — на 1 м. 4*. В треугольнике КРТ высота PH одновременно является и медианой. Докажите, что А КРН = А ТРИ. I 99 ip$n3 Треугольники • Задачи по готовым рисункам = I ZC. ZA,ZC ВО, со — биссектрисы. Z1 =30°. В Z САВ = ZC = 50°. 100 Вопросы и задания для самоконтроля J 1. Что такое треугольник? 2. Назовите элементы треугольника. 3. Какими бывают треугольники? Сформулируйте их определения. 4. Что такое биссектриса, медиана, высота треугольника? 5. Чем отличается биссектриса треугольника от биссектрисы угла? 6. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. 7. Что такое внешний угол треугольника? 8. Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника. 9. Верно ли, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним? 10. Чему равна сумма углов четырехугольника? 11. Какие фигуры называют равными? 12. Каким знаком отношения обозначают равенство фигур? 13. Сформулируйте свойства равенства фигур. 14. Сформулируйте признак равенства двух окружностей. 15. Сформулируйте первый признак равенства треугольников. 16. Сформулируйте второй признак равенства треугольников. 17. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 18. Докажите признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. 19. Сформулируйте признак равенства равносторонних треугольников. jc=b 101 вдел J Т реугольники • Тестовые задания 3 J 1. Один из углов треугольника 40°, а) 100°: 6)80°; второй — на 20' больше. Третий угол равен: в) 60°; г) 120°. 2. Внешние углы треугольника равны а) 60°: 6) 90°: 100° и 120°. Найдите внутренний угол* при третьей вершине. в) 40°; г) 80°. 3. Углы треугольника пропорцио- а) 30°: б) 54°: нальны числам 2. 3 и 5. Найдите наименьший угол треугольника. в) 28°; г) 36°. 4. Л АВС= Л Какой знак а) <: б) =: следует поставить вместо *: Z 4 * Z А? в) >: г) 5. Л АВС= Л A^B^C^. Какой знак а) <; б) >; следует поставить вместо *: АВ* A^B^7 в) =: г) 6. А АВС= Л А^ВуС-,, АВ=5 СМ, а) 11 см; 6) 19 см; АС = 7 см. Найдите ВС, если периметр Л = 21 см. в) 10 см; г) 9 см. 7. Л АВС= Л A,6,Ci. Z А = 70°, а) 50°: б) 90°; Z В = 60°. Найдите Z С,. в) 30°; г) 70°. Для выполнения заданий 8-10 воспользуйтесь условием: отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так. что АО = ВО и СО = DO. 8. Какой треугольник равен a)AAOD, б) А BOD, Л АОС7 в) А СОВ; г) А CBD. 9. Какому углу равен Z ОАС7 а) Z ODD, б) Z OBD, в) Z BOD, г) Z AOD. 10. Какое утверждение ложно? а) АС= BD, б) АС II BD; в)АВ 11 CD,r) АО= ОВ. 102 Треугольники • Типовые задачи для контрольной работы 1". Нарисуйте произвольный треугольник и проведите к его большей стороне медиану, биссектрису и высоту. 2 . Два угла треугольника равны 95° и 43°. Найдите меру третьего угла треугольника. 3'. Найдите углы треугольника АВС, если он равен треугольнику КРТ, у которого Z К = 70°, ZP = 50°. 4‘. Найдите периметр треугольника KLM, если Л KLM = = А АВС и АВ = 5 см, ВС = 3 см, АС = 4 см. 5*. ВК — высота Л АВС. Найдите ЛС, если АК = 5 см, КС = = 11 см, ZA = 120°. 6*. Отрезки АВ и КР пересекаются в точке О так, что ОА = = ОВ, О К = ОР. Докажите, что Л АОР = Л ВОК. 7*. Изображенные на рисунке 160 треугольники АВС и АКС такие, что Z ВАС = Z КАС и Z ВСА = Z КСА. Докажите, что АВ = АК. К Рис. 160 8*. Найдите углы треугольника, если внешние его уг’лы пропорциональны числам 3, 7 и 8. 9’*. В треугольнике АВС проведены высоты АР и ВН. Докажите, что АР = ВН, если PC = НС. 10**. В треугольнике АВС проведены медианы АР и ВН. Докажите, что А АРС = А вне, если АС = ВС. 103 (Дел 3 Треугольники §1(0 Равнобедренный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием. Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренное треугольника (рис. 161). В В В равнобедренный ТРЕУГОЛЬНИК разносторонний ТРЕУГОЛЬНИК ТРЕУГОЛЬНИК Рис. 161 л ТЕОРЕМА 12 в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой. Рис. 162 ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = АС, AL — общая сторона, Z BAL = = Z CAL, то по двум сторонам и углу между ними Д ABL — А ACL. Из равенства этих треугольников следует: а) Z В = Z С, то есть углы при основании А АВС равны; б) BL = CL, то есть AL — медиана А АВС; в) Z ALB = Z ALC = 90°, то есть AL — высота А ABC.U 104 Равнобедренный треугольник § 13 | ТЕОРЕМА 12 Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в Л АВС ZB = ZC (рис. 162). Докажем, что АВ = АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник на два: Л ABL и А АСЬ. У них Z В = Z С и Z BAL = Z CAL, поэтому Z ALB = Z ALC. По стороне AL и прилежащим к ней углам Л BAL = Л CAL. Следовательно, АВ — AC.U Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Для любознательных Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги. Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольнику/? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники» можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164): ^ ТРЕУГОЛЬНИКИ ^ Z РАВНОБЕДРЕННЫЕ РАЗНОСТОРОННИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ТРЕУГОЛЬНИКИ Рис. 163 Рис. 164 105 |эдвл^ Треугольники Вопросы и задания для самоконтроля 1. Какой треугольник называют равнобедренным? 2. Как называют стороны равнобедренного треугольника? 3. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. 4. Какой треугольник называют равносторонним? 5. » Как соотносятся понятия треугольники и равнобедренные треугольники? • Решаем вместе Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны. Основание данного треугольника не может быть равно 6 см, поскольку 2 см -I- 2 см < 6 см. Следовательно, речь идет о треугольнике с основанием 2 см и боковыми сторонами по 6 см. Ответ. 6 см. Покажите на диаграмме соотношения между понятиями: треугольники, равнобедренные треугольники и равносторонние треугольники. Равносторонний треугольник является одновременно и равнобедренным треугольником. Следовательно, соотношения между названными видами треугольников можно изобразить схематггчески, как на рисунке 165. Рис. 165 • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ . JP РЕШИТЕ УСТНО -------- 380. Докажите, что угол при основании равнобедренного треугольника не может быть прямым. 381. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120^^. Найдите угол при основании. 382. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен углу при основании. 106 Равнобедренный треугольник § 13 383. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите угол при вершине. 384. Стороны равнобедренного треугольника равны 5 см и 10 см. Какая из них — основание? 385. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если еш основание равно 10 см, а боковая сторона 20 см. 386. Основание равнобедренного треугольника равно 15 см, а боковая сторона 26 см. Найдите периметр треугольника. 387. Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см, а боковая сторона 5 см. Найдите основание. 388. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80°. Найдите углы при основании. 389. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°. Найдите угол при вершине. 390. Найдите у1’лы равнобедренного треугольника, если: а) один из них на 30° больше другого; б) один из них вдвое больше другого. Рассмотрите два варианта. 391. Докажите, что если какой-нибудь угол равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник равносторонний. 392. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. 393. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80°. Найдите угол между: а) основанием и биссектрисой, пхюведенной к боковой стороне; б) боковой стороной и биссектрисой, проведенной к ней; в) основанием и высотой, пхюведенной к боковой стороне. 394. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см. Найдите его стороны, если они пропорциональны числам: а) 1, 2 и 2; б) 3, 3 и 4. 395. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30°. Найдите угол между высотами, проведенными к боковым сторонам. 107 13^1 3 Треугольники 396. Если медиана треугольника является его высотой, то такой треугольник равнобедренный. Докажите. 397. Если высота треугольника является его биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный. Докажите. 398. В А АВСАВ = ВС, ZB = 36*^, АК — биссектриса. Докажите, что ВК = К А = АС. 399. 400. В А АВС АВ = ВС. Найдите длину медианы BD, если периметры треугольников ABD и АВС равны соответственно 40 см и 50 см. Докажите, что в каждом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны. 401. Равные отрезки ЛВ и CD пересекаются в точке М так, что AM = MD. Докажите, что А АВС = А DC В. 402. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если одна из них меньше периметра на 30 см, а другая — на 40 см. 403. Докажите, что сумма двух неравных углов равнобедренного треугольника превышает 90''. 404. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) сумма двух из них равна 60^; б) сумма двух из них равна 150°; в) один из его внешних углов равен 15°; г) один из его внешних углов равен 115°. 405. Сформулируйте и докажите признаки равенства равнобедренных треугольников: а) по основанию и прилежащему к нему углу; б) по основанию и противолежащему углу; в) по боковой стороне и углу при основании. 406. Найдите периметр равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь. 407. а) Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр 2р, а боковая сторона Ь; б) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если ei’o периметр 2р, а основание Ь. 108 Равнобедренный треугольник §13 I 408. В Докажите, что в равностороннем треугольнике: а) все медианы равны; б) все высоты равны; в) все биссектрисы равны. 409. Покажите, что равносторонний треугольник можно разрезать на 4 равных равносторонних треугольника. 410. Как можно разрезать равносторонний треугольник на три равных равнобедренных треугольника? 411. Как расположены вершины всех равнобедренных треугольников, имеющих общее основание (рис. 166)? 412. Приложив друг к другу два равнобедренных треугольника с углом 100°, получили четырехугольник. Определите углы четырехугольника. Рис. 166 Практическое задание 413. Вырежьте из бумаги остроугольный, прямоугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники. Сгибая их по биссектрисе угла при вершине, повторите доказательство теоремы 12. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 414. Найдите меру угла, если его биссектриса со стороной образует угол 48°. 415. Найдите меры двух смежных углов, если они пропорциональны числам: а) 1 и 2; б) 2 и 3. 416. Найдите периметр равностороннего треугольника, если он на 4 см больше стороны. 417. Среднее арифметическое всех сто-рюн треугольника равно 10 дм. Чему равен его периметр? 418. Перерисуйте в тетрадь фшуру, изображенную на рисунке 167, и прю-ведите прямую так, чтобы она разрезала закрашенную фигуру на две части равных площадей. Рис. 167 109 пел. Треугольники Третий признак равенства треугольников Вам уже известны два признака равенства треугольников. Зная свойства равнобедренного треугольника, можно доказать еще один признак. ТЕОРЕМА 14 I (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. В В, В Рис. 168 ПРИМЕЧАНИЕ. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в треугольниках АВС и Л,В,С, АВ = A,Bi, АС = A^Cl 1Л ВС -= В,С, (рис. 168). Докажем, что Л АВС = = AAjB^Ci. Приложим треугольник А^В^С^ к треушльнику АВСтак, чтобы вершина Aj совпала с Л, В, — с В, а Cj и С оказались по разные стороны от прямой АВ. Тогда Д AjB^Ci займет положение А АВСг. Проведя отрезок CCg, получим равнобедренные треугольники CACg и СВС^, так как АС = ACg и ВС = ВС^-В этих треугольниках углы при основаниях равны: Z АСС2 = А АС2С, Z BCCg = = Z ВС2С. Следовательно, равны также углы лев и ACgB. Поэтому по двум сторонам и углу между ними А АВС = = А ABCg. По построению А АВС2 = = А А,В,С,. Таким образом, А АВС = = А AiBfii, что и требовалось доказать. □ Мы рассмотрели случай, когда отрезки АВ и CCg пересекаются. Для случаев, когда эти отрезки не пересекаются, в доказательстве теоремы требуется кое-что изменить. Предлагаем вам рассмотреть эти случаи самостоятельно, используя рисунки 169 и 170. 110 Третий признак равенства треугольников § 14 Д 6 Л, Рис. 169 Рис. 170 Третий признак равенства треугольников утверждает, что тремя сторонами т1>еугольник задается однозначно. Представим, что каждый семиклассник построил в тетради треугольник, стороны которого равны, например, 3 см, 4 см и 5 см. Один отложил сначала наибольший отрезок, а из его концов провел дуги радиусами 4 см и 5 см (рис. 171). Другой сначала отложил наименьший из данных отрезков и т. д. Хотя строили они разными способами, но в результате получили равные треугольники. Вспомнив два других признака равенства треугольников, можно сделать такой вывод. Треугольник определяется (задается) однозначно: 1) двумя сторонами и углом между ними; 2) стороной и двумя прилежащими углами: 3) тремя сторонами, т ПРИМЕЧАНИЕ. В пункте 2) речь идет об углах, сумма которых меньше 180°, а в пункте 3) — о трех отрезках, каждый из которых меньше суммы двух других. Рис. 171 Для любознательных Третий признак равенства треугольников свидетельствует о том, что треугольник — фигура жесткая. Чтобы лучше понять, о чем идет речь, представьте сбитые гвоздями из отдельных планок треугольник и четырехугольник (рис. 172). Такой четырехугольник нетрудно деформировать: изменить углы, не меняя длин сторон. Треугольник так деформировать нельзя. Три стороны треугольника Рис. 172 111 яздвл 3 Треугольники Рис. 173 однозначно определяют его углы! Так же, зная две стороны треугольника и угол между ними, можно однозначно определить третью сторону и два других угла; зная сторону и два прилежащих к ней угла, можно определить две другие стороны и т. д. Как это сделать, узнаете в старших классах. Зная, что из всех многоугольников только треугольник — фигура жесткая, ажурные конструкции изготавливают так, чтобы они имели как можно больше треугольников (рис. 173). Вопросы и задания для самоконтроля 1. Сформулируйте третий признак равенства треугольников. 2. С(}юрмулируйте первый и второй признаки равенства треугольников. 3. Как вы поштмаете выражение ♦треугольник задается тремя его сторонами»? 4. Какими элементами определяется треугольник? 5. Как следует понимать, что треугольник — фигура жесткая? • Решаем вместе Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то и противолежаггцте углы равны. ■ Пусть в четырехугольнике ABCD АВ = CD и ВС = AD (рис. 174). Проведем отрезок АС, в результате образуются два треугольника АВС и CDA. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = CD и ВС = AD, а сторона АС у них общая. Следовательно, Л АВС = = А CDA. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Поэтому ZB ^ Z D. 112 Третий признак равенства треугольников § 14 Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Z 1 = Z 3 и Z 2 ■= Z 4 (рис. 175), либо проведя отрезок BD. На окружности с центром О обозначены точки А, В, К м Р такие, что Л В "=*К^Р(рис. 176). Докажите, что Л АОВ = А КОР. Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = ОВ = ОК = ОР — как радиусы. Поэтому Л АОВ = Л КОР. Рис. 175 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ т РЕШИТЕ УСТНО 419. Л АВС = Л КРТ. Найдите периметр треугольника КРТ, если: а) каждая сторона А АВС равна 5 см; б) Л В = ВС = 3 дм, АС = 4 дм. 420. На рисунке 177 АВ = CD и АС = BD. Докажите, что: а) ZA = ZD; б) ВК = СК; B)ZACK = ZDBK. 421. Точка О равноудалена от вершин Л, В и С равностороннего треугольника. Докажите, что: ZAOB = Z вое = Z АОС; Z ОАВ = Z ОВС = Z ОСА. 422. Если каждая сторона четырехугольника параллельна противоположной стороне, то его противолежащие углы равны. Докажите. 113 здап* Треугольники 423. Если отрезки АО и ОВ равны, а точка X равноудалена от А и В, то точка X лежит на прямой, которая делит угол АОВ пополам. Докажите. 424. Если М — произвольная точка высоты BFI треугольника АВС, в котором АВ = ВС, то: а) МА = МС; б) Л АВМ = = А СВМ; в) ЛАМН= А СМН. Докажите. 425. Прикладывая два равных треугольника с углами 30' и 70° равными сторонами, можно получить несколько разных четырехугольников. Изобразите их на рисунке, определите углы полученных четырехугольников. 426. Докажите, что когда основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника равны соответственно основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны. 427. Докажоте, что когда сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то такие треугольники равны. 428. На окружности с центром О обозначены точки А, В и С такие, что Л В = ВС = СА. Докажите, что: а) А ОАВ = А ОВС = А ОСА; б) Z АОВ = Z вое = А СОА = 120°; в) А ОАВ = А ОВС = А ОСА = 30“^. 429. На окружности с центром О обозначены точки А, В и С такие, что АВ = = ВС — СА, а AM — диаметр. Докажите, что: а) ВМ = СМ; б) А ОВМ = А ОСМ. 430. Докажите равенство двух треугольников по двум данным сторонам и медиане, проведенной к одной из них. 431. Замкнутая ломаная АВеВЛ такая, что АВ = CD и AD = ВС. Докажите, что ZA = ZCvlZB = ZD. Рассмотрите два варианта (рис. 178, 179). 114 Третий признак равенства треугольников § 14 Д 432. Попробуйте обобщить задачу 431 для слу^шя, когда данная ломаная не лежит в одной плоскости (рис. 180). 433. Равнобедренные треугольники АРС и АВС имеют общее основание АС. Прямая РВ пересекает его в точке О. Докажите, что: а) Z РАВ = Z РСВ; б) АО = ОС; в) АС 1 ВР. 434. Из каждых ли четьцюх равных треугольников можно сложить один треугольник? Покажите на рисунке. Равносторонними треугольниками, будто паркетинами, можно выложить всю плоскость (рис. 181). Можно ли выложить плоскость равными неравносторонними треугольниками? Если можно — покажите на рисунке. Два равных разносторонних треугольника А ВС и КРТ можно совместить лишь одним способом. Два равных равнобедренных треугольника — двумя способами, совмещая сторону АВ с КР или с ТР. Сколькими способами можно совместить два равных равносторонних треугольника? 435. 436. Рис. 181 шт УПРАЖНЕНИЯ для ПОВТОРЕНИЯ шшт 437. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 2, 3 и 4. 438. Найдите среднее арифметическое углов треугольника. 439. Среднее арифметическое сторон треугольника равно 20 см. Найдите его периметр. 440. Полупериметр треугольника равен р. Найдите среднее арифметическое его сторон. 441. Докажите, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Найдите среднее арифметическое его углов. 115 эдвп 3 Треугольники Прямоугольный треугольник Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Сумма двух других его углов равна 90^ , поскольку 180° - 90° = 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — это гипотенуза, две другие его стороны — катеты (рис. 182). На рисунке прямой угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов. Позже нам будут необходимы признаки равенства прямоугольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют такие признаки. Рис. 182 II Два прямоугольных треугольника равны, если: 1) катеты одного из них равны соответственно катетам другого; 2) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны соответственно катету и прилежащему острому углу другого; 3) гипотенуза и прилежащий угол одного треугольника равны соответственно гипотенузе и прилежащему углу другого. Еще один признак равенства прямоугольных треугольников т^юбует доказательства. ТЕОРЕМА 15 Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в треугольниках АВС и A,BiC, углы С и Cj прямые и АВ = AjBp АС = AjCj (рис. 183). Докажем, что А АВС = = А AjBjC,, Приложим А AjBjCi к А АВС так, чтобы BepmnHaAj совместилась с А, Cj — с С, а А А,В,С, занял положение А ABgC. Поскольку углы С и Cj прямые, то точки В, С и Bg расположатся 116 Прямоугольный треугольник § 15 [ Рис.183 Рис. 184 на одной прямой. Л ARB2 — равнобедренный, Z В = Z ~ = Z В,. Тогда и Z А — Z А,. Таким образом, в данных треугольниках между соответственно равными сторонами АВ = А,В, и АС = А,С, лежат равные углы А и А,. По первому признаку равенства треугольников Л АВС и А A,B,Ci равны.□ Введем еще несколько важных понятий, ^ связанных с прямоугольным треугольн1жом. --- Если АНМ — прямоугольный треугольник с прямым углом Н, то его катет АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой НМ (рис. 184). Гипотенузу AM на- ---- зывают также наклонной, проведенной из точки А к прямой НМ, а катет НМ — про екцией этой наклонной на прямую НМ. Длину перпендикуляра Ai/ называют также расстоянием от точки А до прямой НМ. -Вообще, расстояние между двумя геометри- Р ческими фигурами — это расстояние между их ближайшими точками (если такие точки * существуют). Например, расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-лшбо точки одной прямой к другой прямой (рис. 185). А расстояние от точки К до отрезка РТ (рис. 186) равно КТ. Рис. 185 К Т I Для любознательных ••••••••••••• Прямоугольные треугольники составляют только часть всех треугольников. Если у треугольника нет прямого угла, его называют непрямоугольным треугольником. Таким образом, в зависимости от того, есть у треугольника прямой угол или его нет, все треугольники можно разделить на два класса. Схематически это деление можно изобразить рисунком 187. 117 вздел 3 Треугольники Если катеты прямоугольного треугольника равны, то он одновременно является и равнобедренным треугольником. Соотношение между такими видами треугольников показано на рисунке 188. 1 — ТРЕУГОЛЬНИКИ 2 — РАВНОБЕДРЕННЫЕ 3 — ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ 4 - ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ РАВНОБЕДРЕННЫЕ ■ Рис. 187 Прямоугольные треугольники в геометрии играют важную роль, поскольку любой треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, а для каждого прямоугольного треугольника истинна знаменитая теорема Пифагора; квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Подробнее о теореме Пифагора, а также о применении свойств прямоугольных треугольников вы узнаете в 8 классе. Вопросы и задания для самоконтроля Сформулируйте определение прямоугольного треугольника. Как называют стороны прямоугольного треугольника? Сформулируйте и докажите признаки равенства прямоугольных треугольников. Что такое перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной? Что такое расстояние от точки до прямой? Что такое расстояние между фигурами? • Решаем вместе Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть в Л АВС Z С = 90° \iZA = 30° (рис. 189). Докажем, что ВС = 0,5 ЛВ. 118 Прямоугольный треугольник §15 I На прямой ВС отложим отрезок CD, равный СВ, и проведем отрезок AD. По двум катетам А ВСА ~ А DCA. Посколь- ку Z BAD = 60°, то Z В = ^ D = (180° - - 60°) : 2 = 60°. Следовательно, все углы А ABD равны по 60°. Таким свойством обладает только равносторонний треугольник. Поскольку BD = АВ и ВС = = CD, то ВС= 0,5 ЛВ. • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 442. Найдите углы прямоугольного треугольника, если один из них равен: а) 30°; б) 45°; в) 70°. 443. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них больше другого: а) вдвое; б) в 9 раз; в) на 30°. 444. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м. Какая из них является гипотенузой? 445. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. 446. Один из острых углов прямоугольного треугольника на 10° больше другого. Найдите эти углы. 447. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 5 и 8. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. 448. Один из углов треугольника на 30° больше второго и на 30° меньше третьего. Чему равны углы этого треугольника? 449. Докажите, что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом 45°. 450. Найдите углы прямоугольного треугольника, если его высота, проведенная из вершины прямого угла, образует с катетом угол 50°. 451. Из точки D, лежащей на биссектрисе угла В, к сторонам угла проведены перпендикуляры DA и DC. Докажите, что DA = DC. 119 ЦИ1 3 Треугольники 452. Точка В лежит на внутреннем луче угла А; ВК и ВМ — равные перпендикуляры к сторонам угла. Докажите, что А В — биссектриса угла Л. 453. Прямая т пересекает отрезок v4B в его середине О. Докажите, что точки Л и В равноудалены от прямой т. 454. По рисунку 190 объясните, как можно вычислить ширину реки, испо^хьзуя свойства прямоугольного равнобед1)енного треугольника. 455. Прямоугольные треугольники АВС и A^BiC расположены так, как показано на рисунке 191. Найдите меру угла ACAi, если Z BCBj = а (греческая буква «альфа*). 456. Если катет и противолежащий угол одного треугольника равны соответственно катету и противолежащему углу другого, то такие треугольники равны. Докажите. 457. В Д АВС Z С = 90% ZA = 60', АВ = 32 см. Найдите АС. 458. Сформулируйте и докажите утверждение, обратное сфор-мулированому в задаче, решенной на с. 118-119. 459. В А АВС АВ = 18 см, Z В = 30°, ZC = 90°. Найдите: а) расстояние от точки А до прямой СВ; б) проекцию наклонной АВ на прямую АС. 460. В А АВС Z А = Z В = 45°, АВ = 19 см. Найдите: а) расстояние от точки С до прямой АВ; б) проекцию отрезка АС на прямую АВ. 461. Найдите расстояние между параллельными прямыми, если от сек>чцей, пересекающей их под углом 30', прямые отсекают отрезок длиной 54 см. 120 Прямоугольный треугольник §15 I 462. Найдите углы прямоугчэльного треугольника, если биссектрисы двух его углов пересекаются под углом 463. Moi^T ли биссектрисы двух углов прямоугольно1'о тре-угчэльника пересекаться под углом 40^? 464. Зная, что всесто|юны квадрата равны и все углы п{)ямые, докажите, что квадрат ЛВСН от1х*.зками АС и BD разбивается на 4 |)авных прямоугольных равнобедренных Т1)еугольника. 465. Постройте на координатной плоскости треугольники с вершинами А (0; 1), В (2; 3), С (0; 3) и с вершинами К (1; 0), В (3; 0), Т (3; 1). Равны ли эти Т1>еугольники? 4(W). Медиана какого треугольника разбивает его на два меньших треугольника, равных друг другу? 467. СМ — высота прямоугольного равнобедренного треуг оль-ника АВС, проведенная к гипотенузе. Найдите АВ, если СМ = т. 4()8. Гипотенуза АВ прямоугольного т|>еугольника АВС равна 20 см, Z В = 30*^', СК — высота. Найдите АЛГ. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ШЯШ 4<)9. Сг1юрмулируйте какой-либо признак равенства равнобедренных треугольников и попробуйте его доказать. Л АВС = Л MNK, Z А = 70“^, Z В = 80'^. Найдите углы Л MNK. 470. 471. 472. Существует ли треугольник, углы кото1юго равны 91°, 52° и 44°? Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = СО, а углы т1)еугольника AOD пропорциональны числам 2, 3 и 5. Найдите углы треугольника СОВ. 473. Перерисуйте в тетрадь фигуру с рисунка 192 и проведите прямую так, чтобы она разрезала закрашенную фигуру на две части равных площадей. 121 здел^ Треугольники Неравенства треугольника Вы уже знаете, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других eix) сторон. Чтобы доказать это утверждение как теорему, сначала рассмотрим дру|'ую теорему. ТЕОРЕМА 16 В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Рис. 193 ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше АС. Покажем, что угол С больше угла В (рис. 193). Отложим на стороне АВ отрезок АК, равный АС. Поскольку отложенный от{)езок ко1юче АВ, то точка К лежит между А и В, а Z АСК является частью у1’ла АСВ. Углы АКС и АСК равны, то есть Z 1 = Z 2, поскольку А КАС равнобедренный. Z 1 больше Z В, поскольку является внешним для треугольника ВКС. Следовательно, весь угол С больше Z 2, а Z 2 больше Z В. Этим мы доказали, что если в треугюльнике АВ > АС, то Z О Z В. 2) Пусть в Л АВС угол С больше угла В. Докажем, что тогда АВ > АС. Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше друг-ого. Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС. □ ■ СЛЕДСТВИЯ. 1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета. 2. Перпендикул5ф, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной из этой же точки к той же прямой. 3. Проекция наклонной всегда меньше наклонной. 122 Неравенства треугольника § 16 ТЕОРЕМА 17 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. В Рис. 194 ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим г1рои.звольный А АВС и покажем, что АВ < ВС + СА (рис. 194). Для до^казательства отложим на п1Юдолжении стороны АС отрезок СР, равный ВС, и рассмотрим треугольник Л ВР, Углы СВР и СРВ равны, так как СВ ~ СР. Угол АВР больше Z Р. А поскольку против большего угла лежит бельшая сто1юна, то АВ <АР. Учитывая, что АР = ЛС -I- СР = АС -f- СВ, получим АВ < АС + СВ. Так же можно пгжазать, что ВС < СА + АВ, АС < СВ + ВЛ.П Из доказанной теоремы следует такое утверждение. ■ Если точки Л, Б, С не лежат на одной прямой, то верны неравенства: АВ<ВС + СА, ВС<СА + АВ, АС<СВ + ВА. Каждое из этих трех неравенств называют неравенством треугол ьн и ка. Для любознательных • • t Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одно из приведенных выше неравенств преобразуется в равенство, а два других остакэтся верными. Например, когда точка С лежит между Л и В (рис. 195), то верны такие соотношения: АВ=ВС+ СА, ВС< СА + АВ, СА < АВ + ВС. Учитывая вышеизложенное, можно сделать следующий вывод. Как бы ни были расположены три точки Л, В, С, всегда: АВ< ВС+ СА, ВС< СА + АВ, СА< АВ+ ВС. Из трех расстояний между любыми тремя точками каждое не превышает суммы двух других. А_______________С_______В ■ Рис. 195 123 щол J Треугольники Вопросы и задания для самоконтроля 1. Верно ли, что в т|)еугольнике против меньшей стюроны лежит меньший угол, а против меньшего угла — меньшая сторона? (^1юрмулируйте HepaoeHCTBfj треутчшьника XYZ. Чп'О означает выражение «точка В лежит между Л и С»? Как связаны между собой расстояния между точками А, В и С, если В лежит между А и С? Сформулируйте свойства расстояний между произвольными точками А, В и С. В • Решаем вместе Докажите, 'гго отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с произвольной внутренней точкой основания, короче боковой стороны треугольника. ■ ПустьЛС — основание П1хзизвольнш'о равнобедренного т|)еугольника АВС, а К — произвольная внутренняя точка его основания (рис. 196). Покажем что, ВК < АВ. Угол ААГВ — внешний в Д КВС, поэтому Z АКВ > Z С. Поскольку Z С = = Z А, то Z АКВ > Z А. Следовательно, в Л АВК сторона ВК лежит против меньшего угла, чем тот, против кото{Юго лежит сто1Юна АВ. Таким образом, ВК <АВ. Прямая КР, пересекающая Л АВС, параллельна АС (рис. 197). Какая из сторюн, АВ или ВС, данного треугольника больше, если ВК < ВР? ■ II рю нумеруем некоторые углы, как показано на рисунке 197. Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны, поэтому Z1 = Z3hZ2 = Z4. Поскольку в А ВКР ВК < ВР, то Z 4 < Z 3, тогда и Z 2 < Z 1. Следовательно, АВ < ВС. Рис. 196 В 124 Неравенства треугольника §16 I • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 474. Посмотрев на рисунок 198, сравните В стороньМВ и ВС треугольника АВС, если: 1)ZAZC; 3)ZA = ZC; 4)ZAеу1'ольника быть равной половине его периметра? 48(>. Докажите, что каждая сторона тIx^yгoльникa больше половины 1>азности двух друг’их его сторон. 487. Сосуществует ли треугольник, одна сторона которого равна разности двух других? 488. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны соответственно 5 см и 8 см. Чему равна сторона ВС1 489. Докажите, что каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон. 490. Две стороны треугольника равны 98 см и 28 см. Каким может быть периметр этого треугольника? 491. Сумма двух равных сторон треугольника составляет 0,6 его периметра. Верно ли, что угол между равными сторонами больше 60^? УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 492. Найдите меры двух смежных углов, если их разность равна 30*^ . 493. Сумма двух углов, образованных пе1}есечением двух прямых, равна 200°. Найдите меры двух других углов. 494. В paBHo6efl|XiHHOM треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А н С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС также равнобедренный. 495. Докажите, что когда биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне Т1}еугольника, то такой треугольник равнобедренный. 496. Докажите, что прямая, параллельная любой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него равнобедренный треугольник. 126 г • Самостоятельная работа 4 Вариант 1 1°. Сформулируйте определение равнобед1жнного треуголь- ] ника. 2°. Л АВС — прямоугольный (Z С = 90“). Найдите Z А, если Z В = 70^ 3*. Точки К нР — середины боковых сто|юн АВ и АС равнобед-1жнно|Х) -лжугольника АВС. Докажите, »гго Л А КС = Л АРВ. 4*. Найдите углы треугольника, если один из них вдвое больше другого и на 40‘ меньше третьего. ■■ Вариант 2 1°. Сс1юрмулируйте определение прямоугольного треугольника. . Л АВС — равнобедренный (АВ = ВС). Найдите Z А, если Z В = 70^ . Точки К пР — середины боковых сторон АВ и АС {швнобед-ренного треугольника АВС'. Докажите, что Л КВС = Л РСВ. . Найдите углы треугольника, если один из них вдвое меньше другого и на 12'^ больше третьего. ■■I Вариант 3 , Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника. . Л АВС — прямоугольный (Z С = 90*^) и равнобедренный. Найдите Z В. . То'жи К и М лежат на основании АС |)авнобедренно1'о треугольника АВС. Z ВКА = Z ВМС. Докажите, что ВК = ВМ. . Найдите углы треугольника, если один из них втрое больше другого и на 40° меньше третьего. шт Вариант 4 . Сформулируйте один из признаков прямоугольного треугольника. . А АВС — равнобедренный (АВ = ВС). Найдите Z В, если Z С = 50°. . Точки К и М лежат на основании АС {равнобедренного треугольника АВС, Z ВКА = Z ВМС. Докажите, ч^оАК = СМ. . Найдите углы треугольника, если один из них вт{)ое , меньше Д{ругого и на 5° больше т|ретьего. i 127 хврцпЗ Треугольники • Задачи по готовым рисункам щ Г Q ВС = и. Z1=Z2,BK~ 10. АВ АК, КС В % а , . / г А С А К АК = КВ = 8. AiB = CD, п f АВ = CD, AD = ВС. Q Z1 = Z2, Z3 = Z4. Доказать: Д ABO = А DCO. D В D 128 Треугольники • Тестовые задания 4 1. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см равен; а) 17 см; в) 11 см; б) 16 см; г) 30 см. 2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100‘". Вычислите другие углы треугольника. а) 100° и 60°; б) 80° и 80°; в) 40° и 40°; г) 100° и 160°. 3. Угол при вершине В равнобедренного Д АВС (ав = ВС) равен 80°. Угол между боковой стороной и медианой, проведенной из вершины В: а) 50°; в) 60°; б) 40°; г) 25°. 4. Угол при основании равнобедренного прямоугольного Д АВС равен: а) 45°; в) 30°; б) 60°; г) 90°. 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из углов 30°. Длина меньшего катета равна: а) 20 см; в) 10 см; б) 5 см; г) 15 см. 6. Углы треугольника пропорциональны числам 4,5 и 9. Данный треугольник: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный; г) равнобедренный. 7. Диагональ АС прямоугольника ABCD разбивает его на два треугольника. Какое из утверждений ложное? а) А АВС ■■ б) Z ВАС в) Z АСВ г) Z АВС: = А СОА; = Z ACD; = ZACD; = Z ADC. 8. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5 см, а прилежащий угол 60°. Г ипотенуза равна; а) 10 см; в) 2,5 см; б) 5 см; г) 20 см. 9. В Д АВС Z А = 50°. Z В = 70°. Какой знак надо поставить вместо*: АВ * ВС7 а) <; в) <; 6)=; г)>. 10. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60^, а сумма наименьшей и наибольшей его сторон равна 6 см. Найдите длину гипотенузы. а) 7 см; в) 4 см; 6) 2 см; г) 1 см. 129 1ЗД8Л 3 Tpeyi Г. 2‘. 3°. 4°. 5*. 6*. 7*. 8*. ельники • Типовые задачи для контрольной работы 10* Периметр равнобедренного треугольника равен 112 см, основание 34 см. Найдите боковую сторону. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. Найдите основание равнобедренного т|х;угольника, если е1Х)\5оковая сторона равна 17 см, а периметр 54 см. Т1>еугольники АВС и КРН равносторонние и АВ = КР. Найдите КН, если ВС = 5 см. Найдите углы равнобедренного Т1м;угольника, если его угол п|)и ве[)шине вт1юе больше угла при основании. Периметр равнобедренного треугольника равен 73 см. Найдите стороны этого треугольника, если его боковая сторона на 7 см меньше основания. Докажите, что в 1)авностороннем треугольни1се все медианы равны. Докажите, что два прямоугольных треугольнтса равны, если катеты одного соответственно равны катетам д1>угого. ВМ и В^Му — соответственно медианы треугольников АВС и AiB^Ci. АВ = АуВ^, АС = AiCi, ВМ = В^М^. Докажите, что А АВС = Л AjBjCj. ’. Найдите по рисунку 199 меру угла COD, если АВ = CD, BD = АС, Z BDA = 35°. Рис. 199 130 11. 14. Вопросы и задания для самоконтроля Какой треугольник называют равнобедренным? Как называют стороны равнобедренного треугольника? Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. Какой треугольник называют равносторонним? Как соотносятся понятия треугольники и равнобедренные треугольники"} Сформулируйте третий признак равенства треу гол ьн и ков. Сформулируйте первый и второй признаки равенства треу гол ьн и ков. Как вы понимаете выражение: треугольник задается тремя его сторонами! Какими элементами определяется треугольник? Как следует понимать, что треугольник — фигура жесткая! Сформулируйте определение прямоугольного треугольника. Как называют стороны прямоугольного треугольника? Сформулируйте и докажите признаки равенства прямоугольных треугольников. Что такое перпендику.пяр, наклонная, проекция наклонной? Что такое расстояние от точки до прямой? Что такое расстояние между фигурами? Верно ли, что в треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол, а против меньшего утла — меньшая сторона? Сформулируйте неравенства треугольника XYZ. Что означает выражение: точка В лежит между точками А и С! Как связаны между собой расстояния между точками А, В и С, если В лежит между А и С! С<])ормулируйте свойства расстояний между произвольными точками А, В и С. 131 Главное в разделе 3 Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр. Сумма углов треугольника равна 180°. Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. Если А АВС = А КРТ, то АВ = КР, ВС = = РТ. СА = ТК, ZA^ZK, ZB = ZP, ZC=ZT. Три признака равенства треугольников: в Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между HinviH другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (1П). Треугольник, у которого две стороны равны, называется ров нобедренным. Равные стхэрош>1 равпобедрешюго треугольника называются боковыми сторонами, а третья — его основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный. Если у треугольника все стороны равны, его называют равносторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. В зависимости от углов треугольники делят на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ -I- ВС > АС. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего утла — большая сторона. I 132 OKPnKHOCTbHKPVrJ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРО^НЯ I в этом разделе вы расширите и углубите свои знания об окружности и круге, узнаете о взаимном расположении прямой и окружности, двух окружностей, о свойствах касательной к окружности, о касающихся окружностях, об окружностях, вписанных и описанных около треугольника. А еще усвоите, что такое геометрическое место точек, научитесь выполнять основные геометрические построения и решать более сложные задачи на построение циркулем и линейкой. ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ ГЕОМЕТРТ^ЧеСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК ОКРУЖНОСТЬ и ТРЕУГОЛЬНИК ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ круг — первая самая простая ц самая совершенная f фигура. Прокл раздел 4 Окружность и круг. Геометрические построения Окружность и круг Окружность — это фигура, cocToauiaa из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эту точку называют центром окружности. Отрезок, соединяюищй любую точку окружности с ее цешром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра. (Почему?) Окружность на бумаге описывают с помощью циркуля. Считается, что из данного центра на плоскости можно описать только од1ту окружность данного радиуса (рис. 201). Прямая и окружность могут иметь: две общие точки (рис. 202, а), одну общую точку (рис. 202, б) или не иметь ни одной (рис. 202, в). Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. а Рис. 202 134 Окружность и круг »17 I Прямая, имеюи^ая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Их общую точку называют точкой касания. (Речь идет о фигурах одной плоскости.) Точка касания лежит на окружности, поэтому касательная удалена О'г центра окружности на расстояние, равное длине радиуса. Bet'другие точки касательной лежат вне окружности, расстояния от них до центра окружности больше длины радиуса. Отсюда следует, что касательная к окружности перпендикулярна к ее радиусу, проведенному в точку касания. Чтобы '1срез данную на окружности точку К провсюти касательную к этой окруяаюсти, нужно провести радиус ОК, потом — прямую/СЛ/, перпендикулярную к этому радиусу (рис. 203). Если две разные окружности имеют две общие точки, то говорят, что данные окружности пересекаются в этих точках. Точки пересечения двух ок-ружносч-ей лежат по разные стороны от прямой, проходящей через центры этих окружностей. На рисунке 204 показш]ы окружности с центрами О и Oj, перепекающиеся в точках .А и В. Если две окружности имеют только одну общую точку, юворят, что они касаются в эчой точке. Касание двух окружностей может быть внешним (рис. 205) и внутренним (рис. 206). В обоих случаях точка KacanHii и центры окружностей лежат на одной прямой. Рис. 203 135 адап^ Окружность и круг. Геометрические построения D Две окружности одной плоскости, имеющие общий центр, называют концентрическими окружностями (рис. 207). Обычно окружности чертят, пользуясь циркулем. Но иногда удобнее это делать с помощью специальных шаблонов с вырезанными кругами разных радиусов. Окружность делит плоскость на две части (области). Объединение окружности с ее внутренней областью называется кругом. Граница круга — окружность. Поэтому центром, радиусом, диамет ром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду данной окружности (рис. 208). Форму окружности имеет обруч, форму круга — дно ведра, видимый диск Солнца и др. Колесо па рельсе — материальная модель окружности, касающейся прямой. На схематическом изображении подшипника (рис. 209) видны несколько касающшсся окружностей. Как вам известно из предыдущих классов, длина С окружности и площадь S круга выражаются через радиус г следующими формулами: С = 2лг; S - лг^. Строгие доказательства этих формул будут рассмотрены в старших классах. Для любознательных Слово коло древнеукраинское и древнерусское. Оно одного корня со словами кольцо, кольцевать, колобок, кольчуга, колесо, колея, коловорот, околица, околыш и др. До XIX в. в русской научной литературе вместо слова окружность писали округ, кружение, окружие, циркумференция, периферия и даже периметр, а всесто круг — циркуль, обруч, колесо. Например, в «Арифметике» Л. Магницкого — первой математической книге, напечатанной в России (1703 г.), читаем: «Чрез центр колесе линию проведи яже нарицается меридиана», что 136 Окружнсхггь и круг § 17 I • в современном прочтении означает; «Через центр круга проведи • отрезок, называемый диаметром». щ в давние времена круг также называли колом (окружностью), Ф часто путая эти поняттвд. Например, в украинской народной песне ^ поется: «Ой з1йди, з1йди, ясен м1сяцю, як млиновее коло». Хотя и полный месяц, и камень в мельнице, как известно, имеют форму • круга, а не окружности. Такая же путаница до сих пор в некоторых • названиях; Полярный круг (укр. Полярно коло)\ круг почета (укр. • коло пошани) и др., где вместо слова «окружность» употребляет- • ся слово «круг». Вопросы и задания для самоконтроля 1. Что такое окруокиосгь? Це{1тр окружности? Радиус? Диаметр? Хорда? 2. Что такое крут? Чем отличается круг от окружности? 3. Сколько общих точек могут имс“гь: а) прямая и окружность; б) две окружн(юти? 4. Сформулируйте определение касательной к окружности. Какое свойство имеет касательная к окружности? 5. Какие окружности называют касающимися? Что такое точка касания? 6. Как могут касаться две окруяаюсти? 7. Какие окружноеги называют концентрическими? • Решаем вместе Докажите, что точки касания окружности к сторонам треугольника равноудалены от ei4) вершины. Пусть окружность с центром О касается сторон угла А в точках В и С (рис. 210). Докажем, что АВ=АС. Радиусы ОВ и ОС, проведенные в точки касания, перпендикулярны к соответствующим касате.тхь-ным и равны. Поэтому прямоугольные треуго.т1Ьники АВО и АСО равные по катету и гипотенузе. С-чедовате-ньно, АВ = АС. ■ Рис. 210 137 вздел 4 Окружнсхл'ь и круг Геометричсч:кие построения К Рис. 211 Докажите, что диаметр окружности. проходящий через середину хорды, отличной от диаметра, пер-11е1щнкулярен к ней. Пусть ЛВ — хорда окружности, не проходящая через центр О окруж-нос'ти, а КР — диаметр окружности, проходящий через середину М хорды АВ (рис. 211). Треугольник ОАВ равнобедренный, поскольку ОА = ОВ. А медиана ОМ равнобед-ргчшого т{х?у1Ч)льника, проведенная к его основанию, также является высотой треугольника. По.этому ОМ lAB, а следовательно, иКРВАВ. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов гиг, (рис. 212). Площадь S кольца равна разности площадей кругов радиусов гиг,: .S = 717^ - nri^ = П (г^ - г,2). • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 497. Сколько разных окруншостей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки? 498. Сколько общих точек могут иметь: а) окрулсность и прямая; б) две окружности; в) окружность и треуго.чьник; г) окружность и плоскость? 499. Дана окружность с центром О. Сколько общих точек имеет окружность с: а) прямой ОА; б) лучом ОМ? 500. Сколько разных касательных к данной окружности можно провести через данную точку, лежащую: а) на окружности; б) вне окру'жности; в) внутри окружности? 501. Сколько пар касающихся окружностей на рисунке 209? А сколько пар концентрических окруясностей? 138 Окружность и круг § 17 т А ■ 502. Начертите ок1)ужность. Проведите ее радиус, диаметр, хорду. 503. Докажите, что диаме-гр — самая большая хорда данной окружности. 504. Даны окружность и отрезок меныне диаметра. Проведите хорду, длина которой равна длине данного отрезка. 505. Найдите расстояние между' центрами окружностей радиусов 5 м и 7 м, которые касаются: а) внешним способом; б) внутренним способом. 506. Имеют ли обнцте точки две окружности, радиусы кото[)ых 3 см и 4 см, если расстояние между их центрами равно 5 см? 507. АБ и СВ — 1)авные хорды окружности с центром О. Докажите, что Л АВО = Л С1Ю. 508. Окружности с центрами О и О, пересекаются в точках Л и Б. Докажите, что: 1) А ОАО^ = Л ОБО,; 2) Л ОАБ и А O^ЛB — равнобедренные. 500. Окружности с центрами О и О, пересекаются в точках Л и Б, причем каждая из них проходит через центр другой. Найдите Z ЛОБ и Z ОАО^. 510. Каждая из трех окружностей проходит через центры двух других. Докансите, что их центры - вершины равностороннего треугольника. 511. Докажите, ч'го равные хорды равноудалены от центра окружности. 512*. Как построить касательную к данной окружности: а) параллельную дашюй прямой; б) перпевдикулярную к данной прямой? 513. Садовник описывает окружность д.ая клумбы с помощью ко-чьпп-ков и веревки (рис. 213). Почему описанная таким способом фигура — окрунсность? По.тучится ли окружность, если веревка будет наматываться на ко.чышек? 139 |вл 4 Окружность и круг. Геометрические построения 514. Найдите радиусы двух касающихся окружностей, если они пропорциональны числам 1 и 3, а расстояние между центрами окружностей равно 16 см. Рассмотрите два варианта. 515. Из точки >1 к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что АВ — биссектриса угла ВАС. 516. Из точки А к окружности с центром О проведены две каса-те.г1ьные, угол между которыми равен 60". Найдите радиус окружности, если ОА = 10 см. 517. Из точки А к окружности проведены две касательные. Найдите угол между ними, если расстояние от А до то^ши касания равно радиусу окружности. 518. Окружность касается сторон угла А в точках В и С так, что АВ = АС. Найдите меру угла А. 519. Три равные окружности с центрами Oj, О2, О3 попарно касаются в точках К, Р ч Т. Докажите, что: 1) = О2О3 = О3О1; 2) КР = РТ= ТК. 520. Из центра окружности провели три луча, разбившие да1шую ок-руясность на три дуги, длина каждой из которых равна 3 см. Найдите угол между этими лучами и радиус окружности. 521. Докагките, что площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов г и Г|, равна среднему арифметическому Д.ЧИН этих окружностей, умноженному на разность радиусов, то есть S = 1т (рис. 214). I Рис. 214 * УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 522. Отрезок д-чшюй а разделен на 3 равные части. Какую часть а составляет расстояние между серединами первой и третьей частей? 523. Найдите длину биссектрисы треугольника с периметром 40 см, если она разбивает его на два треугольника с периметрами 20 см и 30 см. 524. Найдите среднее арифметическое сторон треугольника, периметр которого равен 36 см. 525*. Найдите площадь квадрата АВСВ, если АС = 10 см. 140 Геометрическое место точек §18 Геометрическое место точек в Чтобы решать более сложные задачи на построение, следует знать, что такое геометрическое место точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая^из всех точек, имеющих определенное свойство. Рассмотрим несколько геометрических мест точек плоскости. Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Круг радиуса г — геометрическое место точек, расстояния от которых до данной точки не превышают г. Ш ЗАДАЧА 1. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от концов данного отрезка. ■ РЕШЕНИЕ. Пусть дан отрезок АВ. Его середина М равноудалена от Аи В (рис. 215, а). Проведем прямую МК, перпендикулярную к АВ. Каждая ее точка К, отличная от М, также равноудалена от А и В, поскольку Л КАМ = А КВМ. Таким образом, КА = КВ. Если же точка Р не лежит на прямой МК, она не может быть равноудаленной отЛ и Б (рис. 215, б). Действительно, из допущения, что РА = РВ, следует перпендикулярность прямых РМ и АВ, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ является его высотой. Тогда сумма двух прямых углов РМВ и КМ А не равнялась бы 180°, а этого не может быть. Следовательно, вне прямой МК не существует точки, р>авно-удаленной от А и Б. Таким образом, любая точка прямой МК равноудалена от А и Б, а точка, не лежащая на МК, не может быть равноудаленной от А и Б. 141 раздел 4 Окружность и круг. Геометрические построения Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром данного отрезка. Из этого следует, что н геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является его серединный перпендикуляр. ■ ЗАДАЧА 2. Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри уг ла и равноудаленных от ег о сторон. I 1) Пусть М — точка угла, равноудаленная от его сторон ОА и ОБ (рис. 216). Перпендикуляры МА и МВ, опущенные из М на стороны угла, равны. Поэтому Л МОЛ = = А МОЕ по катету и гипотенузе. Следовательно, Z АОМ = Z БОМ, то есть точка М прггнадлежит биссектрисе данного угла ЛОБ. 2) Если М — произвольная точка бггссектрисы угла АОБ, а МА и МБ — перпендикуляры на ОА и ОБ (см. рис. 216), то Л ОАМ = Л ОБМ (по г ипотенузе и острому углу). Поэтому МЛ = МБ, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла. Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла. I ПРИМЕЧАНИЕ. Здесь имеются в виду углы меньше развернутого. Для любознательных Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком условии геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является обг^единение биссектрисы I данного угла и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217. 142 Геометрическое место точек §18 I М Рис. 217 Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон данного угла АОВ (речь идет об углах меньше развернутого). Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок. А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218). Подумайте, как расположена эта плоскость относительно данного отрезка. Геометрические места точек пространства изучают в старших классах. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Что такое геометрическое место точек? Приведите примеры. 2. Что такое серединный перпендику.пяр данного отрезка? 3. Что является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка? 4. Что является геометртпгеским местом точек угла, равноудаленных от его сторон? 143 авдал' Окружность и круг. Геометрические гюстроения • Решаем вместе н Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются. ■ Пусть п ч т — серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что « II Тогда прямая, перпендикулярная к гг, должна быть перпендикулярной и к т, то есть ВС J. /г и ВС ± т. Но по условию и AS ± m. А две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые л и m не могут быть параллельными. Они пересекаются. Рис. 219 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ т РЕШИТЕ УСТНО 526. Верно ли, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла? 527. Верно ли, что биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла? 528. Чем является геометрическое место точек, лежащих на расстоянии 2 м от некой точки? 529. Чем является геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых? 530. АВСК — квадрат (рис. 220). Чем является геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и С? А от точек В и К? В Рис. 221 144 Геометрическое место точек §18 I 531. АВ и СК — перпендикулярные диаметры одной окружности (рис. 221). Чем является серединный перпендикуляр диаметра АВ1 532. Серединный перпендикуляр отрезка АВ проходит через точку С. Верно ли, что треугольник АВС равнобедренный? 533. Две равные окружности с центрами ОкОу касаются внешним способом (рис. 222). Верно ли, что их общая касательная, проведенная через точку касания, является серединным перпендикуляром отрезка OOi? 534. 535. 536. 537. 538. 539. 540. 541. 542. Даны точки А 1Л В. Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от Л и В. Дан прямой угол. Постройте геометрическое место to^ick, находящихся внутри этого угла и равноудаленных от его сторон. Постройте геометрическое место точек, удаленных от данной точки на данное расстояние а. Чем является геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от дгшной прямой? Даны две параллельные прямые. Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от этих прямых. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки. Найдите геометрическое место центров равных окружностей, касающихся данной прямой. Найдите геометрическое место центров равных окружностей, проходящих через данную точку. Дан острый угол. Постройте геометрическое место центров окружностей, касающихся сторон этого угла. 145 [раэдеп^ Окружность и круг. Геометрические построения 543. 544. 545. 546. 547. 548. 549. 550. Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса 2 г, касающихся окружности радиуса: а) г; б) 3 г. Дана окружность радиуса б см. Чем является геометрическое место точек, делящих ее диаметры в отношении 1 : 2? Чем является геометрическое место вершин прямых y^лoв, обе стороны которых касаются данной окружности? Даны две параллельные прямые а и Ь. Постройте геомет-1Шческое место точек, которые лежат между данными прямыми и расстояния от которых до а и б пропорциональны числам 1 и 2. Даны две параллельные прямые. Чем является геометрическое место точек, расстояния от которых до данных прямых пропорциональны числам 2 и 3? Дан отрезок АВ длиной 10 см. Чем является геометрическое место точек, удаленных от одного из концов на расстояние 6 см, а от другого — на 8 см? Дан прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Чем является геометрическое место точек, удаленных от какой-либо из ближайших сторон на расстояние 1 см и лежащих: а) во внутренней области прямоугольника; б) вне прямоугольника? Докажите, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех сторон треугольника. ■■ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 551. Найдите меру угла, который в 3 раза больше смежного с ним угла. Может ли высота треугольника быть в 100 раз больше суммы двух других его высот? А в 100 раз меньше суммы двух других его высот? В каком треугольнике биссектрисы углов пересекаются под углом 45°? 554. Высота какого равнобедренного треугольника делит его на два равнобедренных треугольника? 555. Найдите меры двух равных тупых углов, одна сторона которых общая, а две другие перпендикулярны. 552. 553. 146 Окружность и треугольник §19 I 91^ Окружность и треугольник Окружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживают внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее. 1. Описанная окружность. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223). ТЕОРЕМА 18 Около каждого треутольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В к С. Геометрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АБ; геометрическое место точек, равноудаленных от Б и С, — серединный перпендикуляр п отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в некой точке О. Л она равноудалена от А, Б и С. Следовательно, ОА = ОБ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около АБС. Для каждого отрезка АБ существует серединный перпендикуляр т, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр п, и только один. И точка их пересечения существует всегда, и только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну.П 147 аздап 4 Окружность и круг, гвометрические построения СЛЕДСТВИЯ. Серединные перпендикуляры всех трех сторон произвольного треугольника проходят через одну и ту же точку. Через любые три точки, пе лежащие па одной прямой, можно провести окружность, и только одну. Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника АВС окружность, достаточно: 1) построить серединные перпендикуляры двух сторон данного треугольника; 2) определить точку О, в которой эти серединные перпендикуляры пересекаются; 3) из центра О провести окружность радиуса ОА. Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его стороне (рис. 225). 2. Вписанная окружность. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника (рис. 226). Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит во внутренней области этого треугольника. ТЕОРЕМА 19 ___________ В каждый треугольник можно вписать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС — произвольный треугольник. Определим точку О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри утла А и равноудаленных от 148 Окружность и треугольник §19 I сторон ЛБ и АС, — биссектриса I угла А. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внут1)и угла В, — биссектриса t угла В. Эти две биссектрисы обязательно пересекаются (докажите это!). Точка О, в которой пересекаются биссектрисы / и <, равноудалена от всех трех сторон данною треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС.П Рис. 227 СЛЕДСТВИЕ. В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно: 1) провести две его биссектрисы; 2) из точки их пересечения О опустить перпендикуляр OL на произвольную сторону треугольника; 3) из центра О радиуса OL описать окружность. Она касается каждой стороны треугольника, следовательно, является вписанной в данный треугольник. I Для любознательных ТЕОРЕМА 20 Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы. Пусть АВС — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228). Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то OA=OClлZ^ =Z2. Тогда Z 8 = 90“=-- Z 1 и Z 3 = 90° — Z 1, то есть Z В = = Z 3 и ОВ= ОС. ОА = ОС= ОВ, то есть 149 а2^ел 4 Окружность и круг. Геометрические построения точка О— середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника. ■ СЛЕДСТВИЕ. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе. ТЕОРЕМА 21 Из любой точки окружности ее диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С — произвольная точка окружности, отличная от А и Б (рис. 229). Покажем, что Z АСВ = 90”. Поскольку ОА = ОВ = ОС, то Z 1 = = Z2hZ3 = Z4. Тогда Z1+Z2 + + Z 3 + Z 4 = 180”, откуда Z С = Z 2 + + Z 3 = 180” ; Z 2 = 90”. ■ ИНОГДА ГОВОРЯТ; Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Объясните, какую окружность называют описанной около треугольника. Какую окружность называют вписанной в треугольник? Око.по каждого ли треугольника можно описать окружность? В каждый ли треугольник можно вписать окружность? Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? 6. Где лежит центр окружности, оггасанной около тре-ухтгльтша? А около прямоуто.пьного треугольнхжа? 150 Окружность и треугольник §19 I • Решаем вместе Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного т{)еугольника с гипотенузой 6 см. Диаметр окружности, описанной около пртгмоугольного т1)еугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см. Докажите, что диаметр окружности* вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и ^ Ь и гипотенузой с, равен а + Ь — с. Пусть в А АВС угол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в т11еугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР = = АТ VI ВК = ВТ, то АС ^ ВС -— АВ = PC -I- СК — 2г, или 2г = = аА h- с. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ РЕШИТЕ УСТНО 556. Сколько общих точек могу'г иметь окружность и пртгмая? 557. Сколько общих точек могут иметь круг и прямая? 558. Сколько общих точек имеют треу10льник и описанная около него окружность? 559. Сколько общих точек могут иметь треугольник и окружность? 560. Через любые ли 4 точки можно провести окружность? 561. Можно ли в окружность диаметра 1 м вписать треугольник с периметром 8 м? А треугольник с периметром 8 см? 562. Начертите произвольный треугольник и опишите около него окружность. 563. Начертите произвольный треугольник и впишите в него окружность. 151 ^ходеп 4 Окружность И круг. Геометрические построения 564. 565. 566. 567. 568. 569. 570. 571. 572. 573. 574. 575. 576. 577. Каждая из хорд АВ и ВС равна радиусу окружности. Найдите углы треугольника АВС. Докажите, что не существует окружности, п^юходящей через три точки одной прямой. Почему две разные окружности не могут иметь три общие точки? Сравните длину окружности и периметр вписанного в нее треугольника. Прикиньте, как относятся радиусы окружностей: описанной около равностороннего треугольника и вписанной в него. Могут ли касаться две окружности: вписанная в треугольник и описанная около того же треугольника? Может ли центр окружности, вписанной в треугольник, быть центром окружности, описанной около того же т1>е-угольника? Покажите на рисунке, что центр окружности, описанной около треугольника, может лежать в его внутренней области, либо на его стороне, либо вне треугольника. Около равностороннего треугольника описана окружность. Под каким углом из центра этой окружности видна сторона треугольника? В равносторонний треугольник вписана окружность. Под каким углом из центра этой окружности видна сторона треугольника? Центр окружности О, описанной около треугольника АВС, соединен отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что треугольники ОАВ, ОВС и ОСА равны. Треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см прямоугольный. Чему равен радиус описанной около него окружности? Каждый треугольник, стороны которого пропорциональны числам 3, 4 и 5, — прямоугольный. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 15 м, 20 м и 25 м. Одна окружность вписана в равносторонний треугольник, другая — описана около того же самого треугольника. Докажите, что: а) центры этих окружностей совпадают; б) радиусы окружностей прюпорциональны числам 1 и 2. 152 Окружность и треугольник § 19 | 578. Вписанная в т1)еугольник АВС окружность касается его ctojkjh в точках К, Р, Т (рис. 231). Докажите, что: 1) АР + СК f ВТ = АТ + ВК + СР; 2) ВК = 0,5 (АВ ^ ВС-АС). 579. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. 580. Найдите периметр прямоугольного треугольника, описанного около окружности радиуса г, если его гипотенуза равна с. 581. Вписанная в прямоугольный треугольник АВС окружность касается его катетов ЛС и СВ в точках Р к К. Найдите длину ломаной К ВАР, если АВ = 17 см. 582. На сто{Х)нах угла В, равного 120'", отложены отрезки АВ = = ВС = 4 см. Через точки А, В, С проведите окружность и найдите ее радиус. 583. Докажите, что одна из медиан (какая именно?) разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Н УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 584. Найдите длину окружности и площадь круга радиуса 8 см. 585. Найдите площадь прямоугольника, периметр которого равен 200 м, а одна сторона в полтора раза больше другой. 586. А АВС = А MNK. Стороны А АВС пропорциональны числам 2, 3 и 4. Найдите стороны А MNK, если его периметр 45 см. 587. А АВС = А MNK, АС = 17 см, MN -NK = 5 см. Найдите с1ч>роны А АВС, если Вд = 38 см. 588. Стороны треугольника пропорциональны числам 7, 5 и 8. Найдите периметр треугольника, если: а) сумма наименьшей и наибольшей сторон равна 39 см; б) разность наибольшей и наименьшей сторон равна 9 см; в) наименьшая сторона на 12 см короче полупериметра; г) наибольшая сторона меньше суммы двух других на 8 см. 153 1здел 4 Окружность и круг. Геометрические построения §20j Геометрические построения Пользуясь линейкой' и циркулем, можно выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения. ЗАДАЧА 1. Постройте треугольник по данным сторонам. РЕШЕНИЕ. Пусть даны три отрезка: а, Ь к с (рис. 232). Нужно постуюить треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = = а. Раствором циркуля, равным с, описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса Ь с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник АВС — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам, построенные дуги не пересекаются. ‘В Рис. 232 ПРИМЕЧАНИЕ. Если требуемый треугольник пост1юить невозможно. Это бывает в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме. ЗАДАЧА 2. Постройте угол, равный данному углу. РЕШЕНИЕ. Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный Z АОВ (рис. 233). Проводим луч РТ и дуги равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих дут-пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая — луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным AS, описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — тот. ‘ Будем считать, что линейка без делений. 154 Геометрические построения §20 I который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому Z КРТ = Z АОВ. ЗАДАЧА 3. Постройте биссектрису данного угла. РЕШЕНИЕ. Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть Л и В — точки пересечения этой дуги с лучами ОА и ОВ. Из цент^ювЛ и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса yi-ла АОВ. Действительно, А AOD = А BOD (по трем сторонам). Поэтому Z AOD = Z DOB. ЗАДАЧА 4. Разделите данный от-1)езок пополам. РЕШЕНИЕ. Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек Атл В радиусом АВ описьшаем дуги. Они пересекутся в неких точках С и В. Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам. Действительно, по трем сторонам А ACD = А BCD, поэтому ZACM = = Z ВСМ. По первому признаку равенства треугольников А ACM = = А ВСМ. Итак, АЛ/ = ВМ. ■ Рис. 235 е 155 »здвл 4 Окружность и круг. Геометрические построения ЗАДАЧА 5. Через данную точку Р ii{X)-ведите прямую, перпендикулярную к данной прямой а. РЕШЕНИЕ. В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно гюшить, как показано на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения са-мостоятел ьно. ЗАДАЧА 6. Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ. РЕШЕНИЕ. Че!)ез точку Р и произвольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, чтобы эти углы стали соответственными при прямых РЛГ, АВ и секущей АР. Построенная таким образом прямая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку Z ТРМ = Z РАВ. Для любознательных Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5,6 или 7 равных частей? Рис. 239 156 Геометрические построения §20 I Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад. Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюсозначало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности. В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и ццжуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями. Вопросы и задания для самоконтроля 1. Объясните, как построить треуттшьник по трем данным сторонам. 2. Kaic построить угол, равный данному? 3. Как построить биссектрису данного ут ла? 4. Как раздситить данный отрезок пополам? 5. Как через /щнную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой? 6. Как через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой? • Решаем вместе Разделите данную дугу окружности на две равные части. Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим уголАОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги AJC и КВ равны. 157 |раз|вап^ Окружность и круг. Геометрические построения Пост1юйте угол вдвое больше данного. ■ Пусть ЛОВ — данный угол (рис. 241). Опишем дугу окружности с центром О. Если она пересечет стороны данного угла в точках Л и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и прове-О дем луч ОС. Угол АОС вдвое больше Z АОВ, поскольку Л ЛОВ = А ВОС. • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ШЁ РЕШИТЕ УСТНО I 589. Какие из утверждений верны: а) Чтобы разделить угол на две равные части, нужно П1Ю-вести его биссектрису? б) Чтобы разделить отрезок на две равные части, нужно провести его серединный перпендикуляр? в) Чтобы разделить дугу окружности на две равные части, нужно провести серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего концы данной дуги? г) Чтобы найти центр окружности, описанной около треугольника, нужно п1Х)вести серединные перпендикуляры двух сторон треугольника? 590. Разделите данный угол на 4 равные части. 591. Постройте прямой угол. 592. Постройте угол, мера которого: а) 45°; б) 22,5°; в) 60°; г) 30°. 593. Постройте угол втрое больше данного острого утла. 594. Разделите данный отрезок на 4 равные части. 595. Как поделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше самого большого раствора циркуля? 596. Постройте отрезок в два раза больше данного. 597. Постройгге от1)езок в 3 раза больше данного отрезка. 598. Разделите дашгую дугу окружности на четыре равные части. 599. Постройте треугольник, равный данному треугольнику. 6(Ю. Постройте равносторонний треугольник по данной его стороне. 158 Геометрические построения §20 I 601. Пост1Х)йте равнобед1)енный треугольник по основанию и боковой стороне. 602. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам. 603. Постройте т1>еугольник по двум сторонам и углу м(;жду ними. 604. Постройте равно6ед1тенный треугольник по боковой стороне и углу при вершине. 605. Постройте треугольник по стороне и прилежащим углам. 606. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании. К т а м в Рис. 242 607. Постройте треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Опишите около него окружность. 608. Постройте треугольник и проведите его медианы. 609. Дан треугольник. Постройте его А биссектрисы. 610. Дан треугольник. Постройте его высоты. Рассмотрите все возможные варианты. 611. Чтобы через данную точку Р провести прямую, параллельную AS, можно сначала провести РМ А. АВ, а потом РК ± РМ (рис. 242). Аргументируйте это построение. 612*. Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую под данным углом. Н УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ЯН 613. Найдите меру угла, который в сумме с двумя смежными ему углами образует угол ЗСЮ". 614. Докажите, что каждая сторона квадрата ABCD с прямой АС образует углы по 45°. 615. Определите вид треугольника, в котором сумма двух углов меньше третьего. 616. Под каким углом пересекаются две медианы равностороннего треугольника? 617. Постройте равносторонний треугольник АВС, если АВ = = 4 см, и опишите около него окружность. 159 |реедал^ Окружность и круг. Геометрические построения Задачи на построение С геометрическими построени>1ми имеют дело различные специалисты. Геометрические построения выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические (1)игу-ры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной —«а ткани, садовник — на земле. В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять оп1>еделенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощью линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (Гюз делений) и циркуль. Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче т1>ебуется найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К", а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. То есть X — точка пересечения фигур К и Р. Ш ЗАДАЧА. Постройте прямоугольный треугольник по данному катету а и пшотенузе с (рис. 248). ■ РЕШЕНИЕ. Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С к В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья вершина должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на расстоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центром В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, то треугольник АВС — именно тот, который требовалось по-стрюить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с. Рис. 243 160 Задачи на построение §21 I ■ Второй способ (рис. 244). Откладываем отр с. Примечание. Если задача несложная и способ ее решения изв(ч;тен, анализ можно не описывать. А в р<;шении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и илгледование. Для любознательных В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно выполнить, а какие невозможно. В частности, выясняли: 1) можно ли любой угол разделить на три равные части; 2) можно ли построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга; 3) можно ли построить ребро такого куба, объем которого был бы в 2 раза больше объема данного куба. Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три класические задачи древности получили специальные названия: 1) трисекция угла, 2) квадратура круга, 3) удвоение куба. Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой, согласно которой оракул бога Аполлона согласился сласти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в де-лосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно. В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения класических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно. 162 Задачи на построение §21 I Вопросы и задания для самоконтроля 1. Какими инструмонтами чащи всчч-о выполняют ПОСТрСК?НШ1 в гсюм(ггрин? 2. Назовите? составные? чае?ти ре?1ие?ния задачи на 110строе?ние?. 3. Что такое? трисекция угла, квадратура круга, ydeof'itue куба? т Решаем вместе Найдите? центр данной окружнеюти. Обозначим на данной окружнехгги три ироизвешные* точки А,ВнС (рис. 246). 11ре?дставим хорды AR, ВС и ирове?-де?м их се?ре?динные? иерпе?ндикуляры пит. Точка О, в которой пере?се?ка-ются прямые? пит, — це?нтр данной окружности. Ве?дь ОА = ОВ = ОС. ^1е?ре?з данную точку проведите? каса-те?льную к данной окружности. Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую А/С, пе?рпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, ке>торую и тре?бовалось пеютроить. Если точка А ле?жит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пере?сече?тся с данной окружнеютью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касате?льные?, поскольку АК ± ОК и АР -L ОР. (Из точек К и Р вспомогате'льной окружности ее диаме?тр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имее?т два реп1е?ния. Рис. 246 Рис. 247 163 pasnen 4 Окружность и круг. Геометрические построения Ек^ли точка А л(!жит внутри окружности, задача нс имеет рс*-шения, потому что касатчи1ьную нров<'сти нельзя. • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 618. 619. 620. 621. 622. 623. 624. 625. 626. 627. 628. 629. 630. 631. Постройте равноб<'дренный треугольник но основанию и высоте, проведенной к его основанию. Постройте прямоугольный треугольник: 1) но гипотенузе и острому углу; 2) по гипотенузе и катету; 3) по катету и прил(?жащему к нему острому углу; 4) по катету и противолежащему углу. Постройте тр АС, г) АВ Ф АС. касания). Какое утверждение верно? 7. Окружности радиусов 3 см и 7 см а) 2 см; б) 4 см; касаются внешним способом. Рас- в) 10 см; г) 5 см. стояние между их центрами: 8. Ширина кольца, образованного а) 8 см; б) 2 см; концентрическими окружностями в) 4 см; г) 4л см. радиусов 3 см и 5 см, равна: 9. Из точки А к окружности с центром О а) острый; проведена касательная АВ (6 — б) прямой; точка касания). Z АВО. 'Г/пой; г) развернутый. 1 о. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от данной точки, является: а) окружность; б) квадрат; в) круг; г) куб. 169 вдел 4 Окружность и круг. Геометрические построения ш • Типовые задачи для контрольной работы 1°. Начертите окружность диаметра 5 см. Чему равен ее радиус? 2'. Имеют ли общие точки две окружности, радиусы которых 2 см и 5 см, а расстояние между их центрами 8 см? 3 . Найдите? меру угла, под которым из ц(?нтра окружности видна сторона вписаннош равностороннею треугольника. 4 . Постройте? отре?зок втрое больше? данного. 5*. Уюл между двумя радиусами окружности равен ISO^'. Найдите уюл между касате?льными, ирове?денными через концы этих радиусов. 6*. Две окружности имеют внешне?е касание, а расстояние между их центрами равно 16 см. Найдите радиусы этих окружностей, если они пропорциональны числам 3 и 5. 7*. Около тре?угольника АВС с углами Z Л = 30“ и Z В = 60“ описана окружность. Найдите ее радиус, если АВ = 10см. 8*. Постройте прямоугольный тре?угольник по гипоте?нузе АС = 5 см и катету АВ = 3 см. Опишите около не?го окружность. 9**. Докажите, что если две окружнеюти с центрами О и О, пересекаются в точках А и В, то АВ J. ОО,. 10**. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне (6 см) и проведенной к ней медиане (5 см). 170 Главное в разделе 4 Окружность — Ошгу^^а, состоящая из всех точек шюскости, равноудаленных от данной точки. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку и лежащая в плоскости окружности, называется касательной к окружности. Хорда окружности — отрезок, концы KOTopoi'o принадлежат данной окружности. Самая болАшая хорда окружности — ее диаметр. Диаметр окружности, приведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к ней. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку luicaiiHH. Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около данного треугольника. Окружность, которая касается всех сторон т1>еугольника, называется вписанной в данный треугольник. Около каждого треугольника можно описать окружность и в каждый треугольник можно вписать окружность. Цент1юм окружности, вписанной в треугольник, является точка пе1№сечения биссектрис треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, — точка пе1>есечения серединных перпендикуляров сторон данного треугольника. Серединный перпендикуляр отре.зка — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину. Пользуясь только линейкой и циркулем, можно: строить треугольник по т{>ем данным сторонам и угол, равный данному; проводить биссектрису угла; делить отрезок пополам; ст{юить прямую, перпендикулярную к данной прямой, и т. п. Один из самых важных видов геометрических задач — задачи на построение. Их чаще всего решают методом геометрических мест. Геометрическое место точек — это множество точек, имеющих определенное свойство. Геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрез1са. Речь идет о фигурах одной плоскости. Геометрическое место точек угла, равноудаленных от его сторон, — биссектриса этого угла. 171 Задачи для повторения ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ к§1 647, Пользуясь рисунком 250, скажите: а) в какой точке пересекаются прямые аиЬ; б) ка#сие точки принадлежат прямой а, прямой Ь; в) какие точки не принадлежат ни одной из прямых а и Ь; г) принадлежит ли точка О прямой а, прямой Ь7 648. Точки А, В п С лежат на прямой А. Точки М, N, К не принадлежат прямой а. Изобразите это на рисунке. М & а, N € а, К € а, причем Л' и К лежат по разные стороны от а. Изобразите это на рисунке. На прямой а даны точки А и В. Изобразите точки М а N так, чтобы М лежала между Аи В,а В — между М и N. 651. Изобразите на рисунке: а) три прямые, пересекающиеся в одной точке; б) три прямые, две из которых не пересекаются; в) три прямые, попарно пересекающиеся в трех точках. Па сколько частей в каждом случае прямые разбивают плоскость? 649. 650. К§2 652. М — внутренняя точка отрезка АВ. Найдите ;щину АВ, если ВМ = 5 см и: а) AM на 2 см больше ВМ; б) AM в 3 раза больше ВМ; в) AM : ВМ = 3:2; г) АВ^ЗАМ. 653. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем отрезок АВ в 3 раза меньше ВС. Найдите АВ и ВС, если АС = 8 см. Сколько решений имеет задача? 654. Точки А, B,CvlD лежат на одной прямой, причем отрезок АВ = 2 см, ВС = 4 см, CD = 7 см. Чему равен отрезок AD? Рассмотрите все возможные случаи. 172 Задачи для повторения J 655. 656. 657. 658. 659. 660. 661. 662. 663. Точка С — середина отрезка Ай, D — середина отрезка АС. Найдите отношения AZ^: Ай, AD : ВС, ВС : CD. Точка С — середина отрезка Ай, D — середина СВ. Найдите Ай, если: а) CD = 2 см; б) ВС - CD = 3 см; в) АС - DC = 4 см. М — внутренняя точка отрезка Ай. К п Р — середины отрезков AM и МВ соответственно. Найдите КР, если Ай = = 10 см. Точка М — середина от|тезка Ай, а точка К делит отрезок AM в отношении АА": КМ =1:2. Найдите МК, если: а) Ай = 12 см; б) ВМ = 9 см; в) МВ — АК = 10 см. На прямой а лежат точки А, й и С, причем отрезок Ай = = 12 см, АС И- СВ = 15 см. Найдите дл1шы о-грезков Ай и ВС. Точки А, й и С лежат на одной прямой. ВС = 6 см. Ай + + АС = 10 см. Найдите Ай и АС. Ай = 10 см. С — середина Ай. На прямой Ай найдите все такие точки D, что DA + DB + DC = 12 см. Изобразите эти точки на рисунке. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой а, точка М е а. AM = 10 см, ВМ = 15 см. Ай = 23 см. Является ли точка М точкой пересечения прямых Ай и а? Имеется линейка с делениями 3 см и 7 см. Как с помощью этой линейки построить отрезок длиной 4 см? 11 см? К§3 664. ОМ — внутренний луч Z АОВ. Найдите Z АОМ и Z ВОМ, если Z АОВ = 80^ и: а) Z АОМ в 3 раза меньше Z МОВ; б) Z ВОМ на 20“^ больше Z АОМ; в) Z АОМ: Z ВОМ =1:3; r)ZBOM = ZAOM. 665. Прямой угол разбили двумя внутренними лучами на углы, один из которых на 20^ больше другого и на 20^ меньше третьего. Найдите эти углы. 666. ОС — биссектриса Z АОВ, ОМ — биссектриса Z АОС. Найдите Z АОВ, если Z МОС = 20“^. 667. Z АОВ = 80'", Z вое = 20'". ОМ — биссектриса Z АОС. Найдите Z МОС. Рассмотрите все возможные случаи. 173 Задачи для повторения 668. ОС — биссектриса Z АО В, ОМ — внутренний луч Z ЛОС. Z АОМ : Z МОС =1:3. Найдите Z АОМ и Z ЛОВ, если Z М(Х: = 60‘. 669. Развернутый угол раздолен лучом на два угла так, что половина одного из них равна трети другого. Найдите эти углы. 670*. ОС — биссектриса Z АОВ, М — внутренняя точка Z АСЮ. До-калсите, что Z МСЮ равен полуразности углов ВОМ а АОМ. 671*. ОС — биссектриса Z АОВ, ОА — биссектриса Z МОС. Докажите, что Z МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ. 672. Имеется угольник с углом 50°. Как с его помощью построить углы 100^; 80^; 160°? К§4 673. Z АОМ и Z ВОМ — смежные углы. Определите Z АОВ, если: а) Z ВОС = 50°; б) Z ВСЮ больше Z АОВ на 20°; в) Z ВОС меньше Z АОВ в 4 раза; г) ZAOB : Z ВСЮ = 3:2; д) Z АОВ - Z ВОС = 30°. 674. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 35°25'. Вычислите другие углы. 675. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 2 раза больше другого. Определите меры полученных углов. 676. Прямые ЛВ и CD пересекаются в точке О, причем Z АОС = 130°. Найдите угол между биссектрисами: а) Z СОВ и Z BOD; б) Z СОВ и Z AOD. 677. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что биссектрисы углов БОС и АОС перпендикулярны. 678. Прямые АБ и CD пересекаются в точке О, ОЕ — биссектриса Z BOD, Z DOE = 55°. Найдите ZAOC и Z СОВ. 679. Z АОВ и Z БОС — смежные углы, ОЕ — биссектриса Z ВСЮ, Z ЕСЮ = 45°. Докажите, что ОБ LAC. 680. Один из углов, пол^'ченных при пересеченгш двух прямых, в 9 раз меньше суммы трех др^тих углов. Найдите эти углы. 681. Один из углов, пол^'ченных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше суммы двух смежных с ним углов. Вычислите эти углы. 174 Задачи для повторения К§5 682. С момон^ью транспортира постройте Z. АОВ = 70°. М — внутренняя точка Z АОВ. Че|>ез точку М проведите прямые, перпендикулярные к сторонам угла. 683. С помощью транспортира постройте Z АОВ = 120°. М — внутренняя точка Z АОВ. Через точку М проведите прямые, параллельные сторонам угла. 684. Площадь квадрата ABCD равна 16 см^. Найдите расстояние от точки А до сторон ВС и CD. 685. Периметр прямоугольника равен 20 см. АВ меньше ВС на 2 см. Постройте данный прямоугольник и найдите расстояние от точки А до сторон ВС и CD. 686. Пусть ZAOB и Z ВОС — смежные углы. 11ерпендикулярны ли лучи ОМ и ON (М — внутренняя точка Z АОВ, а N — Z ВСЮ), если: а) Z ВОС = 50°, ON — биссектриса Z ВСЮ, ZAOM = 70°; б) Z АОВ : Z ВСЮ = 2 : 1, Z МОВ = | Z АОВ, Z CON = 10°; ii)ZAOB - Z ВСЮ = 20°, Z MOB = ZNCЮ = 40°; г) Z DOC = I Z AOB, Z NOC : Z NOB = 1 : 2, Z AOM -- Z BOM = 24°? K§6 687. Параллельны ли прямые a и h (рис. 251), если: а) Z 1 = 40°, Z 2 = 140°; б) Z 1 в 3 раза меныие Z 2, Z 2 на 90° больше Z 1; в) Z 1 : Z 2 = 1 : 4, Z 1 на 108° меньше Z 2? 688. ВМ — биссектриса ZABC (рис. 252). Параллельны ли прямые а и Ь, если: а) Z 1 = 160°, Z АВМ = 80°; б) Z СВМ = 50°, Z 1 = 120°; в) Z АВМ в 2 раза меньше Z 1? Рис. 252 175 Задачи для повторения 689. 690. 691. 692. 693. 694. Запишите пары параллельных прямых (рис. 253), если: а) Z 1 = 120% Z 2 = 70% Z 3 = 60% б) Z 1 = 120% Z 3 = 80% Z 4 = 100% в) Z 2 = 60% Z 3 = 80% Z 4 = 120% г) Z 3 = Z 2 - 60% Z 4 - 120% Докажите, что противоположные cTopf^ibi квадрата лежат на параллельных прямых. В четырехугольнике ABCD Z BAD в 2 раза меньше Z АВС, а Z АВС на 60“ больше Z BAD. Докажите, что ВС II AD. В четырехугольнике ABCD прямая BD делит пополам Z АВС и Z ADC. Параллельны ли противоположные стороны четырехугольника, если: а) ZABC = 140% Z BDC = 70“; б) ZABC^ZADC? Запишите пары параллельных прямых (рис. 254), если: а) Z 1 = 70% Z 2 = 80“, Z 3 = 110% б) Z 1 = 60% Z 2 = 60“, Z 3 = 100% в) Z 1 = 50“, Z 2 = 80% Z 3 = 100“; г) Z 1 = Z 2 = 40% Z 3 = 140% На сторонах АВ и ВС Л АВС (рис. 255) взяты точки М и N так, что МС — биссектриса Z AMN, Z ACM = 50“. Докажите, что: MN II АС, если Z BMN = 80“. К§7 695. Прямые а и Ь параллельны (рис. 256). Найдите Z 3, если: а) Z 1 = 70“; б) Z 1 на 30“ меньше Z 2; в) Z 1 : Z 2 = 4 : 5; О г) Z 1 составляет т Z 2. Рис. 254 В 176 Задачи для повторения J 696. Решите задачи, пользуясь рисунком 257: а) Z 1 = 80% Z 2 = 100% Z 3 = 60°. Найдите Z 4; б) Z 4 = Z 3, Z 2 = 2 Z 1. Найдите Z 1 и Z 2; в) Z 1 = 55% Z 2 = 125°, Z 5 : Z 3 = 3 : 1. Найдите Z 4; г) Z 3 = 70°, Z 5 = 110°, Z 2 - Z 1 = 70°. Найдите Z 1 и Z 2. 697. АВ II CD, AD — биссектриса Z CAB (рис. 258). Z ADC — — 50°. Найдите Z ACD. 698. На сторонах АВ и ВС А АВС взяты точки М и N так, что MN II АС ( см. рис. 255). Z ACM = 65°. МС — биссектриса Z AMN. Найдите Z BMN и Z ВАС. 699. Параллельны ли прямые « и с (рис . 259), если: а) Z 1 -I- Z 2 = 180° , Z3 = Z4; б) Z 2 = 50°, Z3 = 100°, Z 4 = 100°, Z 1-Z4 = = 30°; в) Z 2 : Z 3 = = 1:2, Z 3 - Z 2 = 60°, Z 1 = Z3, Z4 = 130°? Рис. 259 К§8 7(Ю. Докажите, что углы, полученные при пересечении двух перпендикулярных прямых, равны. 701. Докажите, что внешние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми, равны. 702. Докажите, что сумма внешних односторошвнх углов, образованных секущей с параллельньпли прямыми, равна 180°. 177 Задачи для повторения 703. 704. 705. 706. 707. 708. Докажите, что п^ютиноположные стороны прямоугольника параллельны. Докажите, что биссектрисы внешних накрест лежащих углов, образо|)анных секущей с параллельными прямыми, параллельны. Прямая, параллельная стороне ВС равносторонне1-о Л АВС, пересекает его стороны АВ и АС в точках К и Р. Докажите, что А А" = КР = РА. в четырехугольнике ABCD ВС || AD. Докажите, что сумма углов А и В данного четырехугольника равна сумме углов С и D. В Л АВС Р е АВ, К е ВС, РК || АС. Докажите, что углы А АВС равны углам Л РВК. 4ei№3 точку на плоскости проведены 4 прямые. Докажите, что по крайней мере один из полученных углов меньше 47°. К§9 709. 710. 711. 712. 713. 714. 715. Найдите периметр треугольника, если одна из его сторон равна 5 см, вторая на 3 см больше, а третья на 3 см меныпе суммы двух первых. Существует ли треугольник, у которого одна сторона в 2 раза больше второй, третья на 3 см меньше второй, а периметр равен 11 см? Дре стороны треугольника равны 2 см и 3 см. Какому целому числу сантиметров может быть равна третья сторона треугольника? Из вершины В А АВС проведена высота ВК. Найдите КС, если АС = 10 см, АК = 3 см. Рассмотрите случаи, когда: а) Z А — острый; б) Z А — тупой. В А АВС проведена высота ВК. АК: КС = 3:5, АС = 16 см. Найдите АК и КС, если: а) Z А — острый; б) Z А — тупой. Высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные из верпишы прямого угла, делят угол на три равные части. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенной из этой вершины. Из вершины тупого угла В А АВС проведены высота, биссектриса и ме/щана. Угол между биссектрисой и высотой в 2 раза меньше угла между биссектрисой и медианой. Найдите эти углы, если угол между высотой и медианой равен 60°. 178 Задачи для повторения К§10 716. 717. 718. 719. 720. 721. 722. 723. 724*. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам 2, 3 и 7. Найдите внутренн11е углы треугольника, если один из них в 3 раза больше другого, а внешний угол при третьей вершине pajieH 100^. Найдите внутренние углы треугольника, если внешние углы пропорциональны числам 3, 4 и 5. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 20"^. В прямоузюльном Л АВС (Z С = 90^ ) проведена высота СН. Докажите, что Z НСВ = Z САВ. Найдите углы Л АВС, если Z В = 100'^‘; а биссектриса В является одновременно и высотой. Один из углов треугольника на 20'" больше в'горого и на 50“ меньше третьего. Найдите угол между биссектрисами меньших углов треугольника. В А АВС АА = 70“, Z В = 30“. Найдите угол между: а) биссектрисами, проведенными из вершин А и С; б) высотами, проведенными из вершин А и С. Докажите, что угол между высотой и биссектрисой, проведенными из верпшны неравнобедренного А АВС, равен полуразности углов А и С. К§11 725. Точка М 5 см и 7 CD, если 726. Z АОВ ZCOM: ZAOB. 727. А АВС = 728. А АВС = стороны делит отрезок АВ на два отрезка, длины которых см. На какие отрезки разделит точка N отрезок CD = АВ hCN : ND = I : 5? = Z COD, ОМ — внутренний луч угла COD, Z MOD = 2 : 3, а Z MOD - Z COM = 30“. Найдите A AiB,C,. Z A = 70“, Z В = 50“. Найдите Z C. = A AjBiCi. AC = 7 CM, AB — BC = 2 cm. Найдите A AjBjCi, если его периметр равен 21 см. 179 Задачи для повторения 729. Равны ли углы треугольников АВС иА^В^Сх, если ZA = 70'"% Z С = 80'^, а углы Л A^Bfi^ пропорциональны числам 7,5 и 8? 730. Равны ли квадраты ABCD и A^B^C^D^, если периметр квадрата ABCD равен 20 см, а площадь квадрата равна: а) 36 см2; б) 25 см2? 731. Радиус одной из окружностей 5 см, а длина другой Юл см. Равн1>1 ли эти окружности? 732. Длина одной из двух окружностей 14л см, а площадь круга, ограниченного второй окружностью 64л см2. Равны ли эти окружности? К§12 733. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. AD || СВ и AD — = СВ. Докажите, что А AOD = А СОВ. 734. Равные отрезки АВ и CD пересекаются так, что Z АВС — = Z BCD. Докажите, чтоЛС = BD. 735. Даны отрезок АВ и точки С и D такие, что Z АСВ = Z ADB и Z САВ = Z ABD. Докажите, что АС = BD. Рассмотрите случаи, когда точки С н D лежат в о/щой полуплоскости относительно прямой АВ и в разных полуплоскостях. 736. На параллельных прямых а пЬ взяты точки А, В, С к D, как показано на рисунке 260, и АВ = CD. Докажите, что АС II BD. 737. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. АО = СО, ВО = DO. Докажите, что Z OBD = Z ODB. 738. В окружности с центром О проведены диаметры АВ и CD. Докажите, что AC=BDu АС II BD. 739. На окружности с центром О по одну сторону от дггаметра взяты точки В и С такие, что Z АОВ — = Z COD. Докажите, что BD - АС. 740. CD — медиана А АВС, CiBi — медиана А А^В^С^. Докажите, что А АВС = А AjBiCx, если А ADC = А AiB,Ci. 741. А АВС = А AjB,Ci. Докажите, что биссектрисы, проведенные из вершин В и Bj, равны. 180 Задачи для повторения 742. А АВС = А AiBiC^. Докажите, что высоты, проведенные из вершин Л и Aj, равны. 743. А АВС “ А AjBiCi. Докажите, что медианы, проведенные из вершин В и В|, равны. К§13 744. Один из углов равнобедренного треугольника равен 110°. Вычислите другие углы треугольника. 745. Один из углов равнобедренного треугольника равен 80°. Вычислите другие углы треугольника. Сколько решений имеет задача? 746. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 3 см больше другой. Найдите стороны треугольника, если его периметр 21 см. Рассмотрите все возможные случаи. 747. На основании АС равнобедренного А АВС взяты точки М и N такие, что AM = CN. Докажите, что А DKB — равнобедренный. 748. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Под каким углом пересекаются: а) равные биссектрисы треугольника; б) продолжения равных высот треугольника? 749. В А АВС медиана AM перпендикулярна к биссектрисе ВК. Найдите ВС, если АВ = 10 см. 750. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, ржвны. 751. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. АО = СО, ВО = = DO, АО ^ ВО. К — точка пересечения прямых АП и ВС. Докажите, что А DKB — равнобедренный. Рассмотрите случаи: а) АО < ВО; 6) АО > ВО. 752. Найдите углы ржвнобедренного треугольника, если угол между биссектрисами, прюведенными к боковым сторю-нам, в 2 раза больше угла при вершине. 753. Найдите углы ржвнобедренного треугольника, если угол при вершине ржвен углу между биссектрисами, проведенными к основанию и к боковой стороне. 181 Задачи для повторения 754. В равнобедренном Л АВС угол при вершине В в 2 раза меньше угла при (х^новании, AD — биссектриса, D е ВС. Докажите, что Л CAD и Д ADB равнобедренные. К§14 755. ДаньГ отрезок АВ и точки С и D вне прямой АВ такие, что АС = BD и AD = ВС. Докажите, что Л АС В = Л BDA. Рассмотрите разные случаи расположения точек С и D. 756. Противоп(хложные стороны четырехуго.чьника ABCD попарно равны. Докажите, что Л АВС = А CDA. 757. Противополоншые стороны четырехугольника ABCD попарно равны. Докажите, что они параллельны. 758. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. АО = СО, ВО = = DO. Докажите, что Л А DC = Л CBD. 759. Внутри равнобедренного А АВС с основанием АС взята тч)ч-ка D такая, что AD = CD. Докажите, что Z ADB = Z CDB. 760. Точки С и Z) лежат по разные стороны от прямой АВ, АС—AD и ВС = BD. Докажите, что АВ — биссектриса Z CAD. 761. Треугольники АСВ и ADB имеют общее (юнование АВ. АС = AD, ВС = BD. Докажите, что АВ JL CD. 762. Точки С к D лежат по одну сторону от прямой АВ, АС = = BD и AD = СВ. Докажите, что А АОВ — равнобедренный, где О — точка пересечения отрезков AD и ВС. 763. Точки С и D лежат по одну сторону от прямой АВ, АС = = BD и AD = СВ. Докажите, что А АКВ — равнобедренный, где К — точка пересечения отрезков АС и BD. К§15 764. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, ес.™ один из них в 4 раза больше другого. 765. Углы треугольника пропорциональны числам 1, 2 и 3. Докажите, что треугольник прямоугольный. 766. Один из углов треугольника равен сумме двух других. Докажите, что треугольник прямоугольный. 182 Задачи для повторения 767. Один из катетов прямоугольного треугольника больше ДРУГ01Ч) на 7 см и меньше гипотенузы на 1 см. НаГтдите стороны треугольника, если его периметр 30 см. 768. Медиана треуго-пьника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треупшьник прямо-уго.пьный. 769. Найдите меньший катет прямоугольного треуп)льника, гипотенуза которого равна 10 см, а один из углов 30'^. 770. Гипотенуза прямоуто.пьного треугольника равна 12 см, а один из уг.тюв 30^. Найдите отрезки, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу. 771. В Л АВС Z С = 90% Z В = 60% ВР — биссектриса, ВР = = 5 см. Найдите АС. 772. В Л АВС ZC = 90% Z Л = 30% СК1АВ, К е АВ. Найдите расстояние от точки К до ВС, если АС = 8 см. 773. Гипотенуза равнобедренно1Ч) прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите длину высоты, проведенной из вершины прямого угла. 774. Катеты равнобедренного прямоугольного треуго.пьника равны по 10 см. СК — высота, проведенная из вершины прямой) угла. Найдите расстояние от точки К до катетов. 775. М, N, Р и К — середины сторон квадрата АВСН. Докажите, что MNP К — квадрат. К§16 776. В А АВС Z А = 70^, Z В = 80^. Укажите наибо.лыиую и наименьшую стороны треугольника. 777. В Л АВС АВ : 2 = ВС : 3 = АС : 7. Укажите наибо.льший и наименьший уг.лы треугольника. 778. Докажите, что наибольшая сторона треугольника лежит против наименьшего внешнего угла. 779. В Л АВС на стороне АС в;4ята точка К такая, что АВ = = КВ. Докажите, что Z А > Z С. 780. Высота ВК Л АВС де.лит сторону АС в отношении АК : КС =1:3. Сравните углы А и С. 781. Две стороны равнобедренного прямоугольного треугольника равны 3 см и 6 см. Определите третью сторощ' треугольника. 183 Задачи для повторения 782. Одна сторона равнобедренного треугольника равна 39 см, периметр треугольника — 157 см. Найдите другие стороны треугольника. 783. Две стороны треуп)льника равны 3 см и 10 см. Каким натуральным числом может быть выражена длина третьей стороны? 784. Одна сторона треугольника равна 0,6 см, другая — в 3 раза больше. Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны — натуральное число. 785. Две стороны равнобедренного треугольника равны 5 см и 2 см. Может ли длина высоты, проведенной к (х^нованию, быть выражена натуральным числом? 786. Боковая сторона и основание равнобедренного треугольника равны соответственно 5 см и 6 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию, воспользовавшись теоремой Пифагора (см. с. 118). К§17 787. Хорда АВ окружности с центром О равна радиусу этой окружности. Найдите ZAOB. 788. Найдите расстояние от центра О окружности радиуса г до хорды АВ, если Z АОВ = 120°. 789. Диаметры АВ и CD окружности с центром О перпендикулярны. Докажите, что Z АС В = 90°. 790. В окружности с центром О проведены хорды АВ и CD. Z АОВ = 90°, Z COD = 120°. Какая из хорд лежит от центра окружности дальше и почему? 791. Хорды АВ и CD параллельны и лежат на одинаковом расстоянии от центра окружн(юти. Докажите, что АВ = CD. 792. Даны две окружности с радиусами 3 см и 5 см. Как распо-.пожены эти окружности, если расстояние между их центрами равно: а) 6 см; б) 8 см; в) 10 см? 793. Две окружности касаются внешним способом. Расстояние между их централш равно 12 см. Найдите радиусы окружностей, если один из них больше другого на 2 см. 184 Задачи для повторения 794. Две окружности имеют внутреннее касание. Расстояние между их центрами равно 8 см. Найдите радиусы окружностей, если один из них в 3 раза меньше другого. 795. Три окружн(юти с центрами Оц О2 и О3 попарно касаются внешним способом. Найдите их радиусы, если они про-пор11Иональны числам 2, 3 и 4, а периметр А ОхОзОу равен 36 см. 796. Из точки А к окружности проведены касательные АВ и АС, прямая РК касается окружности в точке М (рис. 261). Найдите АВ и АС, если периметр А АКР = 36 см. 797. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС. Z вое = 120°, АВ = 7 см. Найдите периметр А АВС. 798. Найдите АВ — ширину кольца, образованного концентрическими окружностями радиусов 10 см и 7 см. 799. Найдите радиусы двух концентрических окружностей, если они относятся как 2 : 5, а ширина кольца равна 9 см. 8(Ю. Даны две концентрические окружности. Из точки А окружности радиуса 10 см к окружности меньшего радиуса проведены касательные АВ и АС (рис. 261). Найдите радиус меныпей окружности, если Z ВАС = 60°. К§18 801. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от концов хорды АВ окружности с центром О. 802. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от концов основания равнобедренного треугольника. 185 Задачи для повторения 803. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от вершин равнсжтороннего треупшьника. 804. Найдите геометрическое место то'£ек, равноудаленных от сторон равностороннего треугольника. 805. Найдите геометрическсх; местх) точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых. 806. Найдите геометрическое место центров окружнсютей, которые "касаются двух паралле.пьных прямых. 807. Дана окружность с центром О радиуса г. Найдите геометрическое место точек, лежащих на расстоянии 2г от точки О. 808. Дана окружность радиуса 10 см. Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса 3 см, которые касаются данной окружнсжти: а) внешним способом; б) внутренним способом. 809. Даны две окружности равных радиусов, каснющиеся внешним способом. Докажите, что геометрическим местом точек, равноудаленных от центров (жружностей, является ()бщая касательная этих окружностей, проходящая через точку касания. К§19 810. Угол В прямоугольного А АВС равен бО^", катет ВС = 5 см. Найдите радиус описанной окружности. 811. Стороны прямоугольного А АВС равны 9 см, 12 см и 15 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей. 812. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см вписана окружность радиуса 3 см. Найдите периметр данного треугольника. 813. Точка касания окружности, вписанной в треугольник, делит одну из сторон на отрезки 5 см и 7 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 44 см. 814. В А АВС сторона АС =15 см. Точка касания вписанной в треугольник окружности делит сторону АВ пропорционально числам 2 и 1, начиная от вершины А. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 42 см. 815. Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые точка касания вписанной окружности делит наибольшую сторону. 186 Задачи для повторения 816. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см. Найдите радиус описанной окружн(х;ти. 817. В треугольнике центры вписанной и описанной окружнтх;-тей совпадают. Найдите углы треугольника. 818. В А АВС вписана (жружжкггь, ВС = а. Дсжажите, что р»»сстояние от точки А до ближайшей точки касания равно р- а, где р — полупериметр. 819. В прямоугольный треугольник со сторонами АВ = 10 см, АС = 8 см и ВС = 6 см вписана окружность. MN — касательная к окружности, проведенная параллельно ВС (М е АВ, N е ВС). Найдите периметр А AMN. 820. Дан А АВС со сторонами 7 см, 9 см и 10 см. На его меньших сторонах АВ и ВС взяты точки Р и К такие, что прямая РК касается окружности, вписанной в треугольКик. Найдите периметр А РВК. К§20 821. Разделите данный отрезок в отношении 1 : 3. 822. Постройте прямой угол и проведите его биссектрису. 823. Постройте прямоуп)ЛЬный треугольник с катетами 3 см и 4 см. 824. Постройте треугольник со сторонами 5 см, 7 см и 9 см. 825. Постройте равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной Ь. 826. Постройте равнобедренны!! треугольник с основанием а и углом при основании а. 827. Постройте остроугольный и тупоугольный треуго.чьники и впишите в них окружности. 828. Постройте прямоугольный треугольник с катетами а и 6 и опишите около него окружность. 829. Постройте треугольник со сторонами а и б и углом между ними 120'^. Найдите центр описанной окружности и опишите эту окружность. 830. Постройте треугольник по двум сторонам и внешнему углу при их общей вершине. 831. Начертите две параллельные прямые, расстояние между которыми равно данному отрезку. 187 Задачи для повторения К§21 832. Постройте треугольник, периметр которого равен 18 см, а стороны пропорциональны числам 2, 3 и 4. 833. Постройте прямоупшьник, периметр которого равен 20 см, а неравные стороны пропорциональны числам 2 и 3. 834. Данщ пересекающиеся прямые а и с и отрезок КР. На прямой а укажите точку, удаленную от прямой с на расстояние КР. 835. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон. 836. С помощью циркуля и линейки шютройте угол, равный: а) 30°; 6)60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 75°. 837. Постройте треугольник по двум его внешним углам и стороне, соединяющей вершины этих углов. 838. Опишите около данной окружности: а) квадрат; б) равносторонний треугольник. 839. Впишите в данную окружность: а) квадрат; б) равносторонний треугольник. 840. Дана окружнсють радиуса г. Постройте геометрическое место середин его хорд длины г. 841. Даны точки А, В, С. Проведите через точку А прямую, равноудаленную от Б и С. 842. Около данной окружности опишите треугольник, два угла которого даны. 843. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся обеих сторон данного угла. 844. Постройте такую окружность данного радиуса, чтобы она касалась одной стороны данного угла, а ее центр находился на другой его стороне, 845. Постройте окружность данного радиуса, которая касалась бы данной прямой в данной ее точке. 846. Постройте геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под: а) прямым углом; б) углом 60°. 847. Постройте окружность, касающуюся каждой из двух данных концентрических окружностей. 188 Задачи повышенной сложности ЗАДАЧИ повышенной СЛОЖНОСТИ к 848. Расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 149 500 тыс. км, а от Земли до Луны — 400 тыс. км. Найдите расстояние от Луны до Солнца во время: а) солнечного затмения; б) лунного затмения. 849. Точки Л, В, С лежат на одной прямой; точки К, Р,Т — середины отрезков ЛЛ.ЛС и ВС. Докажите, что КР = ВТ. 850. Точка С — середина отрезка АВ. Найдите на отрезке АВ такую точку X, чтобы выполнялось равенство ХА = = 1,5(ХВ-ЬХС). 851. Один из смежных углов в три раза больше их разности. Найдите меры этих углов. 852. Точки Л, В. С, D расположены на плоскости так, что AS = = BC = CAviDA = DB = DC. Найдите меру угла ADB. 853. Найдите сумму углов А, В, С. D. Е, F, К семиугольной звезды (рис. 263). 854. Внутри треугольника АВС обозначена произвольная точка X. Докажите, что угол ЛХС больше угла АВС. 855. Постройте угол на 25% больше данного острого угла. 856. Могут ли две высоты треугольника точкой пересечения делиться пополам? 857. Найдите периметр треугольника, если он больше одной стороны треугольника на а, второй — на 6, третьей — на с. 858. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра, но больше полу периметра. 859. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на несколько равнобедренных треугольников. 860. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АС = = АО = ВО = BD. Докажите, что ОС = OD. В Рис. 263 189 Задачи повышенной сложности 861. Отрезок ВВ^ — биссектриса Л АВС. Докажите, что АВ > ABi и ВС > B^C. 862. Докажите, что сумма расстояний от .любой точки (юнова-ния (х;трт)уго.льного равнобедренного треуго-льника до его боковых сторон яв.ляется постоянной. 863. В Л АВС АВ = ВС, ZB = 20“^. На стороне АВ обозначена такая точка М, что ВМ = АС. Найдите угол ACM. % 864. Острые углы прямоугольного треугольника пропорциональны числам 1 и 3. Докажите, что биссектриса его прямого угла равна одному из катетов. 865. Один из острых углов прямоугольного треугольника на п° больше другого. Найдите угол между медианой и высотой треугольника, проведенными из вершины прямого угла. 866. Высота и медиана, проведенные из вершины треугольника, делят его угол на три равные части. Найдите углы это-IX) треугольника. 867. Докажите, что каждая сторона треугольника из центра вписанной в него окружности видна под тупым углом. 868. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность. Точка К окружности лежит внутри угла С. Докажите, что КА + КВ = КС. 869. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза длиннее прове-денно11 к ней высх)ты. Найдите меры острых углов треугольника. 870. Найдите ошибку в рассуждениях. Д(жажем, что прямой угач равен тупому. Пусть угол АВС тупой, а DAB прямой (рис. 264). Отложим ЛП = ВС, проведем отрезок DC и серединные перпендикуляры КО и РО отрезков АВ и CD. Они пересекутся в некоторой точке О, поскольку прямые АВ и CD не параллельны. (Соединив точку О с А, В, С и D, получим равные треугольники OAD и ОВС (по трем сторонам). Следовательно, Z ОАО = Z ОВС. Углы ОАВ и ОВА тоже равны. Поэтому Z DAB - Z АВС, то есть прямой угол равен тупому. 190 Задачи повышенной сложности 871. Катеты прямоугольного треугольника 1м>вны аиЬ,а гипотенуза — с. Найдите диаметр вписанной окружности. 872. Постройте прямоугольный треугольник: 1) по катету и разности двух других его сторон; 2) по гипотенузе и разности катетов. 873. Все всадники на лошадях, изображенные на рисунке 265, — равные с1)игуры. Найдите площадь одной фигуры, если точки Л, B,C,D — верпшны четырехугольника площадьюS. ■ Рис. 265 874. Постройте треугольник по двум углам и разности противолежащих им сторон. 875. Дан тупоугольный треугольник. Проведите прямую, чтобы она отсекала от него такой треугольник, две стороны и угол которого были бы равны двум сторонам и углу данного треугольника. 876. Проведите часть биссектрисы угла, вершина которого недоступна (лежит за пределами тетради). 877. Постройте треугольник по периметру и двум углам. 191 Задачи повышенной сложности 878. Решите кроссворд (рис, 266). По горизонта л и Наибольшая хорда окружности. 5. Определенный промежуток времени в школьных занятиях. 7. Инструмент для вычерчивания окружностей. 8. Геодезический прибор для построения прямых углов на местности. 9. Часть прямой. 10. Замкнутая ломаная из трех звеньев. 11. Латинская буква. 12. Западное направление. 13. Прибор для измерения длины и расстояний на местности. 14. Территория, пространство в определенных границах. 15. Доказываемое утверждение. По вертикал и: 2, Инструмент для измерения очень малых линейных размеров. 3. Сумма трех одночленов. 4. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 6, Меньшая сторона прямоугольного треугольника. 8. Предварительный набросок рисунка. Рис. 266 192 Из истории геометрии Геометрия — наука древняя. Один греческий историк еще в V веке до н. э. писал: «Геометрия, по свидетельству очень многих, была открыта египтянами и возникла при измерениях земли. Эти измерения были необходимы им, поскольку, разливаясь, Нил постоянно смывал границы. Ничего удивительного нет в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека». Из Египта геометрические сведения перешли в Грецию. Здесь появилось и название науки (от греческих слов Tfj — «земля» и ргтрео) — «меряю»), то есть сначала геометрией называли землемерие. Позже содержание геометрии расширилось. Нужны были люди, которые умели измерять не только земельные участки. Строителям надо было откладывать прямые углы, проводить прямые линии, чертить окружности. Мореплавателям, чтобы ориентироваться по звездному небу, часто приходилось измерять углы. Для этого еще задолго до начала нашей эры бьша создана астролябия. Сначала свойства геометрических фигур устанавливали опытным путем. Только в первом тысячелетии до нашей эры их начали доказывать как теоремы. Одним из первых творцов геометрической науки был древнегреческий ученый Фалес (VI в. до н. э.). Он доказал теоремы о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о вписанном угле, опирающемся на диаметр окружности. Знал Фалес и второй признак равенства треугольников, и свойство прямоугольного треугольника с углом 45°. На основании последнего свойства он вычислил высоту египетской пирамиды. "■ —' Пользуясь астролябией, Фалес предсказал Фалес солнечное затмение 28 мая 585 г. до н. э. 193 Из истории геометрии Пифагор Пифагор (VI в. до н. э.) — древнегреческий филос!о<1) и математик. Со своими учениками он исследовал свойства чисел, геометрических фигур, небесных светил. В его школе открыто и доказано несколько l eoMe-трических теорем, в частности о том, что в каждом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эту теорему теперь называют теоремой Пифагора. Как наука геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные сначала опытным путем, были приведены в систему. Один из математических трудов того далекого времег1и дошел и до нас. Это — «Начала» древнегреческого математика Евклида (III в. до н. э.). Они состоят из тринадцати книг-сувоев; первые шесть посвящены планиметрии. Работа Евклида интересна не только своим богатым содержанием, но и с}юр-мой изложения. В ней сначала сформулированы определения и аксиомы, а все последующие утверждения доказаны как теоремы. Евклид не сам открыл и доказал все изложенные им теоремы. Многое сделали его предшественники. Но Евклид настолько удачно систематизировал известные ему математические знания, что его «Начала» были основным учебником по математике в течение 2000 лет! Интересный факт из биографии Евклида. Однажды царь спросил математика, нет ли в геометрии короче пути, чем тот, который предлагает Евклид в своих книгах. На что Евклид ответил: «Нет, в математике даже для царей нет других путей!..» После Евклида много сделали для развития геометрии Архимед, Аполлоний и другие древнегречеекие математики. Следующие полторы тысячи лет геометрия в Европе почти не развивалась. Только в эпоху Ренессанса она начала возрождаться. Когда Нравобережная Украина входила в состав Польши, юноши из многих украинских городов, учась в высшей школе, изучали геометрию по латинскому переводу «Начал» Евклида, а позже — по польскому учебнику С. Гжепского, напечатанному Евклид 194 Из истории геометрии в Кракове в 1565 г. На титульной странице было написано: «Геометрия, то есть Землемерная Наука, кратко изложенная на польском языке по греческим и латинским книгам. В ней найдешь ты также, как наши землемеры измеряли нивы волоками или лапами. Здесь также о том, сколько вме щает югер. Л еще — как измерить башни или что-либо иное высокое...» Студентов Киево-Могилянской академии геометрии учили не всегда, а 1<огда учили, то на латыни. Сохранился конспект лекций по геометрии, прочитанных в 1707-1708 гг. известным украинским философом и церковным деятелем Феофаном Прокоповичем. В нем объяснялось: «Геометрия делится на общую и специальную... Специальная геометрия иначе называется геодезией». Лекцию о геодезии Прокопович начинал так: «Специальная геометрия, которую иногда называют практической геометрией, а иногда геодезией, есть одна из са мых благородных, самых полезных и самых интересных обла стей математики». Особенно значительны вклады в геометрию Р. Декарта, Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского. Вам уже известна аксиома Евклида о параллельных прямых. Более 2000 лет сотни хчзометров стремились доказать утверждение, которое Евклид принял без доказательства. Много времени потрачено, много бумаги исписано... Но настоящего доказательства так никто и не нашел. Николай Иванович Лобачевский (1792- 1856) положил конец этим бесплодньпй занятиям. Он установил, что утверждение Евклида нельзя доказать как теорему, и создал новую геометрию, которую теперь называют геометрией Лобачевского. То, что сделал Лобачевский в геометрии, специалисты сравнивают с революционным переворотом Коперника в астрономии. .Лобачевский родился в России, а его род происходил из Волыни. Из украинских математиков наибольший вклад в развитие геометрии внесли Г. Ф. Вороной, М. Е. Ващенко-Захарченко, А. С. Смогоржевский. Георгий Феодосиевич Вороной (1868-1908) родился в селе Журавка Черниговской области. Был профессором Петербургского и Варшавского университетов. f-f Лобачевский 195 Из истории геометрии Г. Вороной Исследовал вопросы о заполнении плоскости и пространства равными фигурами. Является творцом геометрической теории чисел. Михаил Егорович Ващенко-Захарченко (1825-1912) родился в селе Макеевка на Полтавщине. Учился в Киеве и Париже, был профессором Киевского университета. Исследовал вопросы истории развития геометрии, напечатал несколько пособий по геометрии, перевел на русский язык ♦ Начала» Евклида. Александр Степанович Смогоржевский (1896-1969) родился в селе Лесовое (сейчас в Винницкой обл.). Учился в Немирове и Киеве, был профессором Киевского политехнического института. Исследовал вопросы, связанные с геометрическими построениями, напечатал несколько пособий и учебников, в частности учебник по основам геометрии для студентов университетов. Его работы переведены на английский, болгарский, чешский, японский и другие языки. Развивается геометрическая наука и сейчас. Геометрия продолжает служить людям. Вот что писал один из самых известных архитекторов XX века Ле Корбюзье: ♦Никогда еще до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период... Окружающий нас мир — это мир геометрии, чистый, истинный, безупречный в наших глазах. Всё вокруг — геометрия». 196 Пре;|метный указатель Аксиома 63 » - Евклида 55 Астролябия 20 Биссектриса треугольника 76 - угла 21 Вершина треугольника 76 - угла 19 Внешний угол треугольника 81 Внутренние точки отрезка 13 Внутренний луч угла 21 Внутренняя область угла 19 Высота треугольника 76 Геометрические построения 154 Геометрическое место точек 141 Геометрия 3 - Евклидова 55 - Лобачевского 57 - треугольника 77 - элементарная 8 Гипотенуза 116 Градус 19 Диаграмма Эйлера 105 Диаметр круга 136 - окружности 134 Длина окружности 136 - отрезка 13 Доказательство 32, 62 - от противного 49 Дюйм 15 Задачи на построение 160 Измерительные приборы 15 Касание двух окружностей 135 Касательная к окружности 135 Катет 116 Концентрические окружности 136 Круг 136 Линейка 7 Лучи 8 - дополнительные 8 - сонаправленные 65 Медиана треугольника 76 Мера угла 19 Минута 20 Наклонная 117 Начало луча 8 Неравенство треугольника 122 Окружность 134 - вписанная 148 - описанная 147 Отношение параллельности 41 Отрезок 13 - единичный 13 Параллельные лучи 40 - отрезки 40 - прямые 40 Периметр треугольника 76 Перпендикуляр 39 - серединный 142 Перпендикулярные прямые 39 Планиметрия 6 Плоскость 6 197 Предметный указатель Построения классические 162 - приближенные 162 Признаки 62 - параллельности прямых 47 - равенства прямоугольных треугольников 116 - равенства треугольников 93 Проекция наклонной 117 Прямая 7* Равенство 87 - отрезков 13 - треугольников 93 - углов 20 - фигур 87 Радиус круга 136 - окружности 134 Расстояние 14 Румб 22 Секунда 20 Секущая двух прямых 47 - окружности 134 Середина отрезка 14 Серединный перпендикуляр 142 Сторона треугольника 77 - угла 19 Сумма углов треугольника 81 Теорема 32, 63 - обратная 62 Точка 6 - касания 135 Транспортир 20 Треугольник 76 - остроугольный 77 - прямоугольный 77 - равнобедренный 104 - равносторонний 104 - разносторонний 104 - тупоугольный 77 Углы вертикальные 32 - внутренние односторонние 47 - накрест лежащие 47 - смежные 32 - соответственные 47 - треугольника 77 - четырехугольника 82 Угол 19 - острый 20 - прямой 20 - развернутый 19 - тупой 20 Утверждения противные 49 - противоположные 50 Фигура геометрическая 6 - неплоская 6 Фут 15 Хорда окружности 134 Центр окружности 134 - круга 136 Циркуль 134 Об авторах эпиграфов Леонардо да Винчи (1452-1519) — итальянский архитектор, скульптор, художник, изобретатель. Спенсер Герберт (1820-1903) — английский философ, социолог, психолог. Александр Степанович Смогоржевский (1896-1969) — украинский математик. Прокл Диадох (410-485) — греческий философ. 198 Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства. Биссектриса треугольника — часть биссектрисы угла треугольника, лежащая в его внутренней области. Бнссс1стриса угла — внутренний луч угла, делящий угол на две равные части. Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение. Геометрическая фигура — произвольное множество точек. Геометрическое место точек — множество всех точек, удовле-творяюпщх определенные условия. Геометрия — часть математики, в которой исследуются свойства геометрических фигур. Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. Градус — yIp часть развернутого угла. Диаметр окружности — хорда окружности, проходящая через ее центр. Доказательство — обоснование истинности утверждения. Касательная к окружности — прямая, лежащая в плоскости данной окружности и имеющая с ней только одну об1цую точку. Катет — сторона прямоугольного треугольника, противолежащая острому углу. Круг — конечная часть плоскости, ограниченная окружностью. Луч — бесконечная часть прямой, лежавцая по одну сторону от некоторой точки этой прямой. Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 199 Краткий толковый словарь Окружность — множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой ее точки. Отрезок — часть прямой, лежащей между двумя ее точками. Параллельные прямые — две прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Периметр треугольника — сумма длин всех сторон треугольника. Перпендикулярные прямые — две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Прямая — геометрическая фигура (неопределяемое понятие, содержание которого раскрывается системой аксиом). Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой. Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами. Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Равные фигуры — две геометрические фигуры, которые можно совместить наложением. Радиус окружности — отрезок, соединяющий произвольную точку окружности с ее центром. Расстояние от Л до В — длина отрезка АВ. Теорема — утверждение, истинность которого устанавливается доказательством. Точка — простейшая геометрическая фигура (ее смысл определяется системой аксиом). Треугольник — замкнутая ломаная из трех звеньев или конечная часть плоскости, ограниченная такой ломаной. Углы вертикальные — два угла, стороны которых образуют две пересекающиеся прямые. Углы смежные — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие — дополнительные лучи. Угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. Хорда окружности — отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности. 200 Отв' i ты и указания 7.АВ. 11. Да. 12. Не принадлежит. 13. КР, РТ, КТ, РК, ТР, ТК. 16. 4. 19. Можно. 21. 6. Иа 16, 17 или 18 частей. 28. 20,5 см. 29. 8 см. 31. 10 дм. 33. 1) 2 см; 6 дм; 20 км. 34. 21 см. 42. Да. 44. а) 5,9 см. 45. а) 0,6 дм. 46. 13 см. 48. 6 см. 50. а) и б) да. 52. 13 см и 7 см. 54. 3 см, 9 см, 11 см, 17 см. 61. 0,5 м. 65. 30". 70. Нет. 73. 2" 15'; 83" 20'. 78. 90". 79. Нет; может быть. 81.15°; 2,5°. 82. 31° 15'. 83. 90" или 30". 84. 180"; 60". 85. 20". 86. В 4 раза. 87. 45°. 89. 70" и 40". 102. Нет. 104. 130°. 105. 20°. 106. а) 146°; г) 44° 13'. 108. а) 75° и 105°. 109. б) 72" и 108°. 111. 60". 120. в) 50", 130", 50" и 130". 121. 80"; 100"; 90". 122. а) 120". 124. 130". 125. а) 55°. 127. Как 1 : 8; как 1 : 4. 140. Верно. 143. 135° и 135°. 145. (0; 6), (6; О), (О; -4), (-4; О). Да. 150. а) 50". 161. Нет. 162. а) 60" и 120°; г) 108" и 72". 163. а) 0,1 Р, 0,2Р, 0,3 Р, 0,4 Р. 172. 90", 90°, 80", 100", 90", 80". 173.а)да. 174.а)да. 175. Да. 176. Да. 177.а)да. 180. а) 90" и 90°; в) 120" и 60". 181. а) да. 182. а) а || 6 Ц с; в) а || б || с. 185. Да. 198. 145°, 35° и 145°. 199. 50°, 130". 206. 40". 209. 180". 210. а) 65° и 115°. 216. 50", 70° и 60". 217. 86". 218. 71°. 220. а) 6 см; б) 7 см. 222. б) ни одной; одну; множество. 235. Утверждение в). 238. Углы с соответственно параллельными сторонами не всегда равны. 239. а) нет; б) нет. 242. Утверждение а) . 246. а) нет; б) нет; в) нет. 263. 15,8 см. 264. 6 см. 265. 39 см. 266. Да. 269. а) 4 см и 12 см; б) 6 см и 10 см; в) 8 см и 8 см; г) 5 см и 11 см. 272. 12 см, 6 см, 8 см. 273. 12 см. 274. 30 см. 275. Да. 276. Да. 277. 102 см. 279. 3 см. 287. 20 м. 288. 50". 294. а) 36°, 54°, 90"; б) 15°, 75°, 90"; в) 54°, 54°, 72". 297. а) 50", 50°, 80°; б) 80", 60", 40"; в) 76", 38", 66°. 298. 130". 299. Нет. 301. 60°, 40" и 80". 302. 75° или 15°. 303. 15°. 304. а) 70°; б) 60". 305. а) 60°, 30°; б) 60°, 30". 306. а) 140°, 130°, 90°; в) 130°, 130°, 100°. 201 Ответы и указания 308. 180'. 309. 270°. 310. Нет. 312. 0,5 а. 313. 24 см. 314. 5 см. 315. 3 см. 316. 2 : 3. 327. Нет. 329. 12 см. 330. Да. 331. 70' , 3,8 см. 332. 60' , 60°, 60°. 333. Да. 340. Да. Нет. 341. 26 см. 345. 9п см^; 6п см. 346. 1,8л см^. 348. 25л га. 349. 55°. 355. 12 см. 356. Да. 359. Да. 364. Потому что Л СТР = Л САВ. 366. 8 см. 369. Пусть ВМ и — медианы равных треуголь- ников АВС и i4iBjCj. Докажите, что Л АВМ = Л AiB^M^. 375. 40', 86'. 376. Да. 377. 90°. 386. 67 см. 387. 2 см. 388. 50°. 389. 120'. 390. а) 50°, 50°, 80° или 40°, 70°, 70°; б) 36°, 72°, 72° или 90°, 45°, 45°. 393. а) 25°; б) 75°; в) 40°. 394. а) 10 см, 20 см и 20 см; б) 15 см, 15 см и 20 см. 395. 30°. 398. Z >1. 399. 15 см. 402. 20 см, 20 см и 10 см или 15 см, 15 см и 25 см. 404. а) 120', 30°, 30°; б) 30°, 75°, 75° или 120°, 30°, 30°; в) 165°, 7,5°, 7,5°; г) 50°, 65°, 65°. 406. 2а I Ь. 407. а) 2р - 26. б) р - |. 411. Лемсат на прямой, перпендикулярной к АВ и проходящей через ее середину. 412. 80°, 80°, 100°, 100°. 414. 96°. 415. а) 60° и 120°; б) 72° и 108°. 416. 6 см. 417. 30 дм. 421. Докажите равенство треугольников ЛОВ, вое пАОС. 429. а) Докажите сначала, что Л ЛОВ = = Л АОС, а затем докажите равенство треугольников АВМ и ACM. б) Докажите равенство треугольников ОВМ и ОСМ. 431.1) Проведите/щагональ BD и докажите, что Д ABD — А CDB\ 2) Проведите отрезок АС и докажите, что Л АСВ = А CAD. 433. а) Докажите равенство треугольников Л/^В и СРВ. 437.40°, 60°, 80°. 438. 60°. 439. 60 см. 440. | р. 441.90°. 446. 40° и 50°. 448. 30°, 60°, 90°. 450. 40° и 50°. 454. АС = ВС. 455. 180° - а. 457.16 см. 459. а) 9 см; б) 9 см. 460. а) 9,5 см; б) 9,5 см. 461. 27 см. 462. 50° и 40°. 463. Нет. 465. Нет. 467. 2т. 468. 5 см. 470. 70°, 80°, 30°. 471. Нет. 472. 36°, 54°, 90°. 477. а)ЛС — наибольшая, ВС — наименьшая. 478. ZB — наибольший, Z С — наименьший. 479. Нет; да. 480. Нет. 481. Нет. 483. Нет. 485. Нет. 487. Нет. 488. 3 см < ВС < 13 см. 490. 70 см < В < 126 см. 491. Да. 492. 75° и 105°. 493. 80° и 80°. 498. а) 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6; г) 0, 1, 2 или множество. 505. а) 12 м; б) 2 м. 506. Да. 509. 120°, 60°. 511. Если О — центр окружно(;ти, то А АВО = А CDO (по трем сторонам). А в равных треугольниках соответствующие высоты равны. 512. а) Из центра данной окружности проведите прямую с, перпендикулярную к данной прямой. Если прямая с пересекает окружность в точках Л и В, то проведите касательные в этих точках. 514. 4 см и 12 см или 8 см и 24 см. 515. Прямоугольные 202 Ответы и указания треугольники ЛОВ иЛОС равны. 516. 5 см, поскольку катет, ле-лсащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. 517. 90°. 518.60°. 519. Каждая из (ггорон О1О2,0-^01 ^тавна сумме двух равных радиусюв. Поэтому Л КРТ равно<ггоронний. 520. 120°, <= 1,4 см. 521. В = - кг{^ = ж (г~ - г{^) = ж (г- /‘iK/’ I rj) = тп (г I + Tj) = ml. 522.1 а. 523. 5 см. 524. 12 см. 525. Разрежьте мысленно квадрат на 4 равных прямоу1ч>льных треутольншса и сдюжите из них один прямоугольник. 527. Нет, потжольку пропущено слово «угла». 529. Прямая, параллельная данным прямым и равноудаленная от них. 530. Прямая ВК, прямая ВС. 531. Прямая СК. 532. Да, если точка С — не серединаЛВ. 533. Да. 537. Две прямые, параллельные данной прямой. 540. Две прямые, параллельные данной прямой и равноудаленные от нее. 541. Окруж-но(лЧ). 543. а) Данная окружность и концентрическая ей окруж-но(;ть радиуса Зг. 544. Окружность, концентрическая данной; ее диаметр равен трети диаметра данной окружности. 545. Окружность, концентрическая данной. 547. 4 прямые, параллельные данным прямым. 548. 4 точки. 551. 135°. 557. 0, 1 или бесконечное множе<ггво. 559.0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. 561. Нет. С периметром 8 см — можно. 564. 30°, 30° и 120°. 567. Длина окружности больше. 569. Пет. 572. 120”. 574. 30°, 30° и 120°. 575. 5 см. 576. 12,5 см. 577. Пусть О — центр вписанной в Д АВС окруок-но(;ти. Треугольники ОАВ, ОВС и ОСА равные равнобедренные, поскольку в них утлы при основаниях — по 30°. Следовательно, ОА = ОВ = ОС — радиусы описанной окружности. Если вписанная окружносл'ь касае-гсл к ЛВ в точке Н, то ОН ^0,5 ОВ — как катет против угла 30°. 578. Точки касания окружности к сторонам угла равноудалены от его вершины. 579. 1. 580. 2 (с + + /•). 581. 34 см. 582. 4 см. 583. Медиана, проведенная из вершины прямого угла. 590. Пров(,'дите биссектрису данного угла и биссектри(;у его половины. 595. От обоих концов данного отрезка отложите равные отрезки, а средний отрезок поделите пополам. 600. Постройте треугольник по трем данным равным отрезкам. 611. Секущая РМ с данной и построенной прямыми образует равные внутренние накрест лежащие углы. 612. Если данный угол не прямой, задача имеет два решения. 613. 60". 614. Треугольник ЛВС прямоугольный и равнобедренный, поэтому Z ВАС = Z ВСА = 45°. 615. Треугольник тупоугольный. 616.60°. 618. Постройте прямой угол и на одной его стороне от вершины отложите половину основания, а на другой — высоту. 619.1) Постройте сначала данный угол, на его стороне от вершины 203 Ответы и указания отлоисите отрезок, равный гипотенузе. По(;тройте окружно<ггь, диаметром которой являетс;я этот от1зезок. 620. Постройте всию-могательиый треугольник по трем известным отрезкам: медиане, данной сггороне и половине друтй ггороны. 621. 1) П^юведите две параллельные прямые, расстояние мелсду которыми равно данной высоте, и на одной из них отложите одну из данных сторон. Задача может иметь 0, 1 или 2 решения. 623. Воспользуйтесь методом ГМТ. Если данные прямые не параллельны, задача имеет 2 решения. 624. Проведите серединный перпендикуляр отрезка, концами которого являются данные точки. 625. Через данную на стороне угла точку проведит»; прямую, перпендикулярную к этой стороне. Эта прямая пересекает бис;сектрису данного угла в точке, являюхцейся центром окруж-ноел’и, которую нужно поеггроить. 626. Гипотенуза треугольника вдвое длиннее данного радиуса окружности. 627. Сначала пгюведите окружноелч» данного радиуе;а, а из какой-нибудь ее точки — две хорды данных длин. Задача может иметь 0, 1 или 2 решения. 628. Проведите сначала окружноеггь данного радиу-е:а, а в ней — хорду данной длины. 629. Проведите окружность данного радиуса и хорду, равную данному основанию треугольника. Серединный перпендикуляр этой хорды пересечет окружность в вершинах треугольников, которые нужно построить. 630. Проведите окружноеггь данного радиуса и ее диаметр. В конце диаметра отложите данный острый угол. 631. Проведите прямую, равноудаленную от данных параллельных пр5пупых. Из данной точки А как из центра ошшпгге духу радиусом, равным половине расеггояния между данными прямыми. Задача имеет 2 решения. 632. Проведите окружно<ггь данного радиуса и в ней хорды АВ = ВС = DE = EF = г. Треугольники ОАВ, О ВС, ..., О ЕЕ равные равноегюронние, все их углы — по 60'^. Поэтому Z FOA — 60^ и А OFA тоже равносторонний. Следовательно, /SACE — тот, который требовалось построить. 2-й способ. По(Угройте А АОС по данным сторонам ОА = ОС = г и углу между ними Z АОС — 120°. АС — сторона равностороннего треугольника, который тр ZC. 781.6см. 782. 59 см и 59 см. 783.8см, 9см, 10 см, 11 см, 12 см. 784. 4,4 см. 785. Нет. 786. 4 см. 787. 60°. 788. | г. 790. АВ. 793. 5 см и 7 см. 794. 4 см и 12 см. 795. 4 см, 6 см, 8 см. 797. 21 см. 798. 3 см. 799. 6 см и 15 см. 800. 5 см. 805. Биссектрисы образованных углов. 807. Окружно<ггь с центром О радиуса 2г. 808. а) Окружность с центром О радиуса 13 см; б) окружность с центром О радиуса 7 см. 810. 5 см. 811. 7,5 см и 3 см. 812. 46 см. 813. 12 см, 15 см, 17 см. 814. 9 см и 18 см. 815. 4 см и 6 см. 816. 8 см. 819. 12 см. 820. 6 см. 848. а) 149 100 тыс. км; б) 149 900 тыс. км. 850. X — середина отрезка СВ. 851. 108° и 72°. 852.120°. 853.180°. 854. Если луч ВХ пересекает АС в точке К, то Z АХК > Z АВК и Z СХК > Z СВК. 855. Разделите данный 205 Ответы и указания угол на 4 равные части и дсн;тройте к данному углу одну из таких частей. 856. Не могут. Е(;ли вькюты АН и СЕ Д АВС пересекаются в точке О, то А АОЕ = Л СОН, АО = ОЕ, что невозможно. 857. 5 (а ( 6 + с). 859. Каждый треугольник можно разр(?зат1. на два прямоугольных треугольника, а медиана, ггро-веденная к гипотенузе прямоугольного треутчзльника, делит его на два равнобедренных тр«!угольника. 860. Докажите, что треугольники АОС и BOD равнобе/фенные и равные. 861. Пусть Z ABBi = Z ВуВС = а. Докаисите, что каждый из углов АВ^В и BBfi больше а. Для этого через вершину В проведите прямую, параллельную АС. 862. Пусть на основании равнобедренного треугольника АВС лежит точка М. Проведите отрезок MD II АВ, D € ВС и докажите, что MD — /ХЛ 863. 70“. Обозначьте внутри А АВС такую точку К, что АК = КС = АС. Тогда Л ВМС = А АКВ, Z ВСМ = 10^ 866. 90", 30" и 60". Пусть СИ, СМ — высота и медиана А АВС. Z АСН = ZIICM = Z МСВ = а, а прямая СМ пересекает описанную окружность в точке К. Тогда Z СКВ = Z САВ и Z СВК = Z СНА = 90". СК — диаметр описанной окружности, а по<;кольку AiW = МВ, то и АВ — диаметр. 867. Эти углы: 90‘ + 0,5 Z А, 90" 4 0,5 Z В, 90" f 0,5 Z С. 869. 15° и 75°. 871. а + h-c. 872. 1) Пусть ЛВС — треугольнргк, который нужно построить, к К — такая точка гипотенузы АВ, что АК = АС. Отрезки СВ и КВ даны. Па луче АС отложите CBj = КВ. Треугольники АСК и АВ^В — равнобедренные. Постройте А CBBi и проведите серединный перпендикуляр отрезка BBj. 874. Пусть ЛВС — треугольник, который нужно построить, и на его стороне АВ такая точка К, что АК = АС. Найдите угол СКВ, посггройте А ВКС и проведите серединный перпендикуляр отрезка СК. 875. Пусть в А ЛВС угол С тупой К — такая точка сггороны АВ, что АК = СВ. Прямая СК такая, какую требовалось провести. 877. Постройте сначала треугольник по данному отрезку и прилежащим к нему половинам данных углов. Потом проведите серединные перпендикуляры двух сторон построенного треугольника. 206 СОДЕРЖАНИЕ От авторов .................................3 Раздел /. ПРОСТЕЙШИЕ ХТЮМЬТРИЧЕСКИЕ ФИ I’yРЫ И ИХ СВОЙСТВА ...........................5 § 1. Точки и прямые..........................6 § 2. Отрезки и их длины ....................13 §3. Углы и их меры..........................15 " Самостоятельная работа 1..............27 Тестовые задания 1....................28 — Главное в разделе 1 .................30 Раздел . ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ............................31 § 4. Смежные и вертикальные углы ...........32 § 5. Перпендикулярные и параллельные прямые .... 39 § 6. Признаки параллельности прямых ........47 § 7. Свойства параллельных прямых ..........55 § 8. Теоремы и аксиомы......................62 ■■ Самостоятельная работа 2.............71 ■“ Тестовые задания 2...................72 ■— Главное в разделе 2 .................74 Раздел 5. ТРЕУ1’ОЛЬНИКИ...........................75 §9. Треугольник и его элементы..............76 § 10. Сумма углов треугольника...............81 §11.0равенстве геометрических фигур .........87 § 12. Признаки равенства треугольников ......93 * Самостоятельная работа 3..............99 —• Тестовые задания 3..................102 § 13. Равнобедренный треугольник............104 § 14. Третий признак равенства треугольников ... 110 §15. Прямоугольный треугольник .............116 § 16. Неравенства треугольника .............122 “ Самостоятельная работал................127 N- Тестовые задания 4...................129 — Главное в разделе 3.................132 а 4% 207 Раздел 4. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. 1’ЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ...............................133 § 17. Окружность и круг.......................134 §18. Геометрическое место точек...............141 § 19. Окружность и треугольник ...............147 §20. Геометрические построения................154 § 21. Задачи на построение....................160 Самостоятельная работа 5..............168 Тестовые задания 5....................169 шт Главное в разделе 4 ..................171 • Задачи для повторения.......................172 • Из истории геометрии........................193 • Предметный указатель........................197 • Краткий толковый словарь ...................199 • Ответы и указания ..........................201 Навчальне аидання БЕВЗ Григорий Пе-грович БЕВЗ Валентина Григор1вна ВЛАД1М1РОВА Натал1я Гритр1вна ГЕОМЕТР1Я ГПдручник для 7 класу загальноосв1ТН1х навчальних заклад1в Видано за рахуиок державки х кошт1в. Продаж заборонено. Переклад з укралнськт. Моеа росшська Редактори А. О. Литвиненко, С. А. Попадюк Художне оформле1П!я О. В. Коваль Коми’ютерна верстка А. О. Литвиненко Коректор Г. В. Брезницька ГБдписаио до друку 15.06.2007. Формат 60x90Vie* Tlanip офсегний. Гаршт^фД шкичьна. Друк офсетпнй. Умов. друк. арк. 13,41. Обл.*внд. арк. 14,25. Наклал 140 600 пр. Вид. М 88. ♦Вежа». 02125, Khib, вул. СтароЫльська, 2. тел. 512-25-09, 510-59-03. Св1доцтво про впесенпя с>’6'скта видавничо! справи до Державного реестру видавц1в ДК J^.362 вщ 15.03.2001 р. В1ддруковаио у ТОВ «Ф»кп>р-Дру'к». 61030, м. Хдрк1в, вул. Сар&товська, 61. Тел.:(057) 717-Ы-85, 717-53-55. Наклад 140600 прим. Замов.1еинл № 3892 Газетно-видавнпча корпорацЫ ♦Новая печать». 83000, Доыецьк, вул. Постишева, 117. Св1доцтво про внесепня суб’екта видавничоТ справи до Державного реестру Украпш видав|;1в, вигот1вник1в i розповслодж^'вачгв видавничо! продукца дкл?: 1498 В1Д 17.09.2003 р.