Учебник Геометрия 11 класс Бевз Бевз Владимирова

/1»^ Г.П. Бевз, в.г. Бевз, Н.Г Владимирова, В.Н. Владимиров уровень? Координаты Число измере- ний Координаты точек Координаты середины отрезка АВ Длина отрезка АВ 1 A(Xj), В(х,) Xi -ЬХо х = —i 2 IXg-xJ ИЛИ>/(Х2-Х1)^ 2 А(х,;«/,), 1/2) ^_^1+^2 ,,..У1+У2 2 2 yl(X2-Xif+(y2-yif 3 A(x,;i/,;Zj), В(дг2; у^; г^) „_^1+^2 ,,_У1+У2 2 2 ’ 21+^2 2 7(X2-Xj)4(y2-J/i)^ + + (22-2j)^ Если АС ; СВ = т: п, то координаты С: __njc,+/ПХ2 nj/j+myg. X — — ; у— ; z — т + п т + п т + п С ■ Векторы Если 0(0; 0; 0) иА(х; у; г), то ОА = (х; у; г). Если КРII ОА и \КР\ = |ОА|, то КР = бА. Если a = ix^',y^;г^), Ь = (х^\у^\г^, то а + 6 = (X, + y^ + у^; z, + z^), а - & = (X, - Xjj; I/, - у^, Z, - z^), ka = (kx^; fey,;*Zj), a ■ 6 = |а| ■ |b| • cos

ехгранныи многогранный 1 - призмы 2 - выпуклые призмы 3 — прямые 4 - правильные 5 - кубы Теорема Эйлера для выпуклых многогранников В + Г-Р = 2, где В, Г, Р - количество вершин, граней,ребер. В = 10 Г = 7 Р = 15 Правильные многогранники ГП. Бевз В.Г^евз Н.Г. Владимирова В.Н. Владимиров Учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений Академический уровень, профильный уровень Рекомендовано Министерством образования и науки Украины Перевод с украинского КИЕВ «ГЕНЕЗм« 2011 ББК 22.151я721 Г36 Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (приказ МОН Украины № 235 от 16.03.2011 г.) Издано за счет государственных средств. Продажа запрещена Переведено с издания:. Геометр1я : Шдручн. для 11 кл. загальноосв1т. навч. закл.: ака-дем. р1вень, проф. р1вень / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Влад1м1рова, В.М. Влад1м1ров. - К.: Генеза, 2011. - 336 с.: 1л. Научную экспертизу проводил Институт математики НАН Украины. Психолого-педагогическую экспертизу проводил Институт педагогики НАПН Украины. Геометрия : Учебн. для 11 кл. общеобразоват. учебн. Г36 заведений : академ. уровень, проф. уровень / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова, В.Н. Владимиров; пер. с укр. - К. : Генеза, 2011. - 336 с. : ил. - Библиогр. ; с. 310. ISBN 978-966-11-0090-8. Учебник предназначен для завершения изучения геометрии в средней школе. Он соответствует академическому и профильному уровням. Учебник состоит из разделов: «Координаты, геометрические преобразования и векторы в пространстве», «Многогранные углы. Многогранники», «Тела вращения», «Объемы и площади поверхностей геометрических тел» и «Приложения». ББК 22.151я721 ISBN 978-966-11-0090-8 (рус.) ISBN 978-966-11-0064-9 (укр.) ' Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г., Владимиров В.Н., 2011 ' Издательство «Генеза», оригинал-макет, 2011 ПРЕДИСЛОВИЕ В ваших руках - учебник геометрии цля 11-го класса. Ему присущи две особенности. Во-первых, это учебник, по которому вы будете завершать изучение геометрии в средней школе. Он содержит вторую часть стереометрии и материалы для повторения всей геометрии. Завершая изучение геометрии, желательно представить ее всю и понять, какое место занимает в ней материал 11-го класса. В таблице этот материал выделен цветом. ГЕОМЕТРИЯ Планиметрия Прямые, отрезки, углы, окружности, круги Треугольники, четырехугольники, многоугольники Длины, площади, меры углов и дуг Движение и преобразование подобия Координаты и векторы на плоскости Стереометрия Прямые и плоскости в пространстве Координаты, геометрические преобразования и векторы в пространстве Двугранные и многогранные углы Многогранники, тела вращения Площади поверхностей и объемы геометрических тел Вторая особенность учебника в том, что он двухуровневый, соответствует академическому и профильному уровням. Учебник содержит весь теоретический материал, предусмотренный программой академического уровня, и достаточное количество соответствующих упражнений. Кроме того, он содержит материал и систему упражнений для изучения геометрии на профильном уровне. Теоретический материал этих уровней в учебнике выделен значком ©. В классах академического уровня параграфы о геометрических преобразованиях и многогранных углах можно рассматривать сокращенно, без доказательств теорем. Упражнения и задачи в учебнике разделены на: упражнения для устного решения, уровни А, Б, В, упражнения повышенной сложности (обозначены *) и упражнения для повторения. Подавляющее большинство упражнений в уровне В предназначено для учеников, обучающихся по программе профильного уровня. Для старшеклассников, имеющих желание продолжать изучение геометрии, в учебнике есть раздел «Элементы геометрии 3 тетраэдра», список тем для самостоятельных научных исследований и перечень дополнительной литературы. В каждом параграфе учебника есть рубрика ДА «Выполним вместе». В ней приводятся задачи с решениями. Советуем просмотреть их, прежде чем выполнять домашнее задание. Знать геометрию - это в первую очередь уметь пользоваться ею. Учиться пользоваться геометрическими знаниями лучше всего решая геометрические задачи. В учебнике есть задачи по каждой теме и каждому параграфу. Задания, рекомендованные для домашней работы, выделены цветом. В конце каждого раздела есть задачи по готовым рисункам, условия которых представлены в виде рисунков и кратких записей. Для обобщения и систематизации изученного материала после каждого раздела есть «Главное в разделе». Проверить, как вы усвоили новый материал, и подготовиться к внешнему независимому оцениванию вы сможете решая задачи и выполняя задания из рубрик «Тестовые задания» и ” «Типовые задачи для контрольной работы». В учебнике представлена только часть современной элементарной геометрии, предусмотренная программой. В приложении «Элементы геометрии тетраэдра» есть еще несколько тем - углубленно рассматриваются некоторые важнейшие свойства простейшего многогранника - тетраэдра. Это темы для самостоятельной проработки ученикам, желающим заниматься посильной научно-исследовательской работой. Их можно рассматривать на математических кружках, на других внеклассных и внешкольных мероприятиях. А задачи из «Приложений» можно предлагать всем ученикам классов с углубленным изучением математики. Иногда считают, что важнейшее в геометрии - доказательство теорем. Конечно, учиться доказывать теоремы - дело полезное. Но не менее важную роль в этой науке играют понятия, их определение и классификация; геометрические фигуры, их построение и преобразование; геометрические величины, их измерение и вычисление. Один из известных геометров XX в. Д. Гильберт писал: «В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу». Приглашаем вас в этот богатый и удивительный мир Геометрии! Авторы i у fj •/ f f ^ c i 0 4... ^ сзэ®(?ш ^ Щ][о](^Й!Йй^^ c®6giSpax)gfi?o **' в [Щ)®ЙЙ®ОХШ0©о ■ :■ ' в 00[р®сЩрйШЗ^ Ж[Г®С!Я!оШ^^ сшщзйиао ' . • f РАЗДЕЛ ХГеозлетрия - наука, которая изучает двойства геометрических фигур, ^е меняющихся продвижении. | , Я. ЯгломА РАЗДЕЛ 1 ш ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Прямоугольная система координат на плоскости рассматривалась в предыдущих классах. Аналогичную систему координат можно ввести и для пространства. Пусть X, у, г - три попарно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О (рис. 1). Назовем их координатными осями: «ось ж», «ось у», «ось 2». Или соответственно: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Точка О - начало координат. Каждая ось точкой О разбивается на две полуоси - положительную, обозначенную стрелкой, и отрицательную. Плоскости, проходящие через оси хну, X W. Z, у и. г, - координатные плоскости. Обозначают их соответственно: ху, хг и уг. Координатные плоскости разбивают пространство на 8 октантов. Если задана такая система координат, то каждой точке пространства можно поставить в соответствие единственную упорядоченную тройку действительных чисел, а каждой тройке чисел - единственную точку. Пусть дана точка А. Опустим из нее на плоскости уг, хг, ху перпендикуляры АА^, АА^, АА^ (рис. 2). Длины а, Ъ, с этих перпендикуляров, взятые с соответствующими знаками, называют координатами точки А. Записывают: А(а; Ь; с), где а - абсцисса, Ь - ордината, с - аппликата точки А. Если точка лежит в какой-либо координатной плоскости, ее соответствующая координата равна нулю. Например, точка В{0; 2; -3) лежит в плоскости уг, точка С(5; 0; 0) - на оси х. Если через точку Л(а; Ь; с) провести плоскость, перпендикулярную к оси X, то она эту координатную ось пересечет в точке с координатой а. Плоскости, проходящие через точку А перпендикулярно к осям у н г, пересекают их соответственно в точках с координатами Ь и с. В общем, координаты точки Координаты, геометрические преобразования и векторы... f А(а; Ь; с) - это координаты проекций данной точки соответственно на координатные оси х, у, z. г ^ 5 4 ,м Например, точки (см. рис. 3) 3 ^ i имеют такие координаты: А(0; 5; 0), 2 1 1 Б(4; 0; 0), М(0; 5; 4), К{2; 3; 4), 1 Р(-2; 3; -4). Теорема 1. Квадрат расстояния а iwT<--y »(-« ► 4i 5 J/ j между двумя точками равен В сумме квадратов разностей их соответствующих координат. Рис. 3 га Mxi; yi; zi) "О '{Х2> У2> Z2) В. Рис. 4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть даны две точки А(х^; у^; z^) и В(Х2, i/g! ^2) (рис. 4). Докажем, что АВ2 = {х^ - x^f + (У2 - У if + (г^ - z^f. Рассмотрим случай, когда данные точки расположены, как показано на рисунке 4. Прямые и ВВ^, параллельные оси z, пересекают плоскость ху в точках А^(х^; 0) и Bjix^; Ур 0)- Проведем через точку В плоскость а, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую АА^ в некоторой точке С. По теореме Пифагора АВ^ = АС^ + СВ^. Отрезки СВ и А^В^ равны и, как известно из планиметрии, АД^ = (х^ - Xjf + (у^ - y^f. Длина отрезка АС = \z^ - 2 J, поэтому АВ^ = (Xg - Xj)2 -f- (z/g - + (2g - z^f. Если отрезок AB параллелен, например, оси 2, то АБ = = |2g - 2j|. Такой же результат дает и общая формула при х^ = х^ и i/2 = Уг Аналогично можно рассмотреть и другие случаи и убедиться, что всегда АБ2 = (Х2 - Х,)2 + (1/2 - y,f + (22 - 2,f. Доказанная теорема тесно связана с обобщенной для пространства теоремой Пифагора. Пусть в плоскости даны перпендикулярные прямые Ох, Оу и отрезок АВ (рис. 5). Если А^В^, А^В^ - проекции от- РАЗДЕЛ 1 резка АВ на прямые Ох, Оу и если АВ ^ Ох, АВ ^ Оу, то по теореме Пифагора АВ^ = А^В^ + А^В\ Это равенство справедливо и в том случае, когда АВ || Ох или АВ || Оу. Следовательно, теорему Пифагора можно обобп^ить так: квадрат длины отрезка равен сумме квадратов его проекций на две перпендикулярные прямые. Аналогичное утверждение справедливо и для пространства. f Теорема 2 (пространственная теорема Пифагора). Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим общий случай, когда данный отрезок АВ не перпендикулярен ни к одной из данных попарно перпендикулярных прямых Ох, Оу, Ог (рис. 6). Координаты проекций точек A(Xj; у^\ z^) и Bix^, У2} на координатные оси X, у и г равны и х^, у^ и у^, и г^. Длины проекций отрезка АВ на эти оси: А В. = \Х^ - Х^\, ^уВу = \Уг- yi\’A^z = \^2- ^г\ Из доказанного ранее равенства следует: АВ2 = А^В/ + ABJ^ -I- А^В/. (*) А если, например, АВ 1 Oz, то А В = О и АВ2 = AjB^2 ^ =А^В^ АВидим, что равенство (*) справедливо при любом расположении отрезка АВ. ••• t 1. 2. 3. 4. 5. 6. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое прямоугольная система координат в пространстве? Что такое координатные оси; начало координат? Назовите абсциссу, ординату и аппликату точки А(лг; га; k). Чему равен квадрат расстояния между двумя точками? Сформулируйте обобщенную теорему Пифагора. Сформулируйте пространственную теорему Пифагора. с) Координаты, геометрические преобразования и векторы... п Выполним вместе 1. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А(1; 2; 3) и начала координат, РЕШЕНИЕ. Пусть М(х; у, г) - любая точка искомого геометрического места точек. Тогда МА^ = МО^, или (1 - xf (2 - yf -t- (3 - zf = -I- отсюда X + 2у + Zz ~ 1 = Q. Это и есть искомое уравнение. 2. Найдите координаты точки С, лежащей на оси ординат, если известно, что ААВС с верпганами в точках А(-7; 1; 2) и В(5; 3; 1) прямоугольный. РЕШЕНИЕ. В задаче не сказано, какой из углов должен быть прямым. Поэтому нужно рассмотреть три варианта, когда прямым будет угол при вершине А, или при вершине В, или при вершине С, Рассмотрим случай, когда ZA = 90°, Тогда по теореме Пифагора ВС^ = АВ^ + АС^. Пусть С(0; у; 0) - искомая точка. Тогда ВС^ = 25 Ч- (I/ - 3)2 + 1 = (у - 3)2 -I- 26; АВ2 = 144 -I- 4 + 1 = 149; АС2 = 49 + (у - 1)2 -ь 4 = (у - 1)2 -f- 53. Получим уравнение (у - 3)2 -Ь 26 = 149 + (у - 1)^ + 53. Его корень у = 42. Следовательно, С^(0; 42; 0). Рассмотрев случаи, если прямым будет угол В или угол С, получим окончательный ответ: Cj(0; 42; 0); CjCO; 32,5; 0); С JO; 2 +S9; 0); С JO; 2 -yf^; 0). i ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 1. Назовите координаты точек, изображенных на рисунке 7. 2. Даны точки А(0; 3; 1), В(-2; 0; 0), С(0; 0; 4), П(0; -3; 0). Какие из них лежат: а) на оси х; б) на оси z; в) в плоскости ху; г) в плоскости yz? 3. Чем является геометрическое место точек пространства, для которых равна нулю: а) первая координата; б) вторая О 9 РАЗДЕЛ 1 I. , О 1 2 ,'3 У Рис. 7 Рис. 8 координата; в) третья координата; г) первые две координаты; д) вторые две координаты; е) первая и третья координаты; ж) все три координаты? 4^ Дана точка А(3; 3; 3) (рис. 8). Найдите расстояние от нее до: а) координатных плоскостей; б) осей координат; в) начала координат. 5. Найдите расстояния от точки М(2; -3; 1) до координатных плоскостей. 6. Дана точка К(2; -3; 1). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные плоскости. 7. Дана точка Р(2; 3; 1). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси. 8. Тетраэдр ABCD задан координатами вершин: А(2; 0; 3), В(-1; 0; 2), С(4; 0; -1), £)(1; 3; 1). В какой координатной плоскости лежит основание АВС тетраэдра? 9. Пирамида SABCD задана координатами своих вершин: S(-2; 3; -5), А(3; 1; -1), В(3; 2; 2), С(3; -1; 4), П(3; -2; -2). Как расположена плоскость основания ABCD относительно координатных плоскостей? 10. Какие из координатных плоскостей пересекают плоскость AMNK, если М(-2; 2; 4), N{0; -1; 4), ЩЗ; 5; 4)? А 11. Постройте в прямоугольной системе координат точки: А(6; 0; 0), В(0; 0; 5), С(0; 3; -2), П(4; -2; 0), Е{2; 4; 4), F(6;-4;-3). 12. Найдите координаты точек, удаленных от каждой из координатных плоскостей на 4. 13. Найдите расстояние между точками В(-2; 0; 3) и ЛГ(3; 4; -2). 14. Какая из точек - А(2; 1; 5) или В(-2; 1; 6) - лежит ближе к началу координат? 15. Даны точки А(1; 2; 3), В(2; 3; 1) и С(3; 1; 2). Найдите периметр треугольника ASC. Координаты, геометрические преобразования и векторы... 16. Даны точки К(0; 1; 1), Р(2; -1; 3) и ^(-l; у; 0). Найдите такое значение у, чтобы выполнялось условие КТ = РТ. 17. Являются ли точки А(1; 2; 3), В(2; 3; 4) и С(3; 4; 5) вершинами треугольника? 18. Даны точки А(а; Ь; с), В{2а; 2Ь; 2с), С(3а; 36; Зс) и Х>(4о; 46; 4с), где + 6^ + 0. Докажите, что точки В и С делят отре- зок AD на три равные части. 19. Найдите координаты точки, лежащей на оси у и равноудаленной от точек А(4; -1; 3) и В(1; 3; 0). 20. Найдите длины проекций отрезка АВ на координатные плоскости и оси, если координаты его концов А(1; 1; 1) и В(1; 4; 5). 21. Докажите, что точки А(-2; 0; 5), В(-1; 2; 3), С(1; 1; -3) и D(0; -1; -1) являются вершинами параллелограмма. 22. Установите вид ААВС и найдите его периметр и площадь, если: а) А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 3); б) А (2; 0; 5), В(3; 4; 0), С(2; 4; 0); в) А(2; 4; -1), В(-1; 1; 2), С(5; 1; 2). 23. Установите вид четырехугольника MNPK и найдите его площадь, если: а) М(0; -2; 0), 1; 0), Р(4; 1; 5), К{0; -2; 5); б) М(6; 8; 2), N(2; 4; 3), Р(4; 2; 8), К(8; 6; 7); в) М(1; 1; 1), N{1-, 0; 1), Р(1; 0; 0), JiTd; 1; 0). 24. Изобразите в системе коорд1гаат прямую, проходящую через точки А(0; 0; 5) и В(0; 5; 0). Найдите углы между прямой АВ и осями координат. 25. Даны точки А(0; 0; 4), В(0; 4; 0), С(0; 0; 2) и В(2; 0; 0). Найдите угол между прямыми АВ и CD. 26. Изобразите в системе координат плоскость, проходящую через точки А(0; 0; 4), В(0; 4; 0) и С(4; 0; 0), Под какими углами к этой плоскости наклонены оси координат? 27. Точки А(0; 0; 0), В(6; 0; 0), С(0; с; 0) и D{0; 0; h) - вершины параллелепипеда. Найдите координаты точек А^, Bj, Cj, Bj. 28. Точки А(1; 1; 1), В(-1; 1; 1), С(-1; -1; 1) и Cj(-1; -1; -1)-вершины куба. Найдите координаты точек Aj, Bj, Bj, В. 29. Найдите координаты точки, лежащей в плоскости ху и равноудаленной от точек А(0; 1; -1), В(-1; 0; 1) и С(0; -1; 0). 30. Найдите точки, равноудаленные от точек А(0; 0; 1), В(0; 1; 0), С(1; 0; 0) и удаленные от плоскости у г на расстояние 2. Cd 11 РАЗДЕЛ 1 31. Даны точки Р(3; 8; 1) и Q(2; 9; 1). В плоскости ху найдите координаты точки Д, если - правильный. 32. В ААВС вершины А и С имеют координаты: А(3; 2; 1), С(-2; -1; 3). На оси Ог найдите точку В такзчо, что ДАВС будет: а) равнобедренным; б) прямоугольным; в) равносторонним. 33. Докажите, что пирамида SABC, заданная координатами своих вершин S(0; 0; 0), А(2; 0; 0), В(0; 2; 0), С(0; 0; 2), -правильная. 34. Основание АВС правильного тетраэдра ABCD лежит в плоскости yz. Найдите координаты вершин В и D, если А(0; -2; 0), С(0; 2; 0). 35. Укажите геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих такому ургшнению: а) yl(x-6f+у^+z^ + ,]х^ +у^ + (г-8f = 10; б) ^jx^ +{y-3f +z^ + yjx’^ +у^^ +(z-4f = 4. Упражнения для повторения 36. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого лежат в точках А(0; 0), В(-1; 3), С(2; 4), Z)(3; 1). 37. Найдите длину медианы ND треугольника MNK, если М(-2; 4), N(2; 5), К(0; -2). 38. Сколько прямых, параллельных плоскостям аир, можно провести через точку, не принадлежащую этим плоскостям? §2 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ Как выражаются координаты х, у, z точки С{х; у; z) -середины отрезка АВ - через координаты его концов А(х^; у^; z^) и Bix^’, у^; z^)l I Теорема 3. Если С(х; у; г) - середина отрезка с концами I у^; 2j) и В(х^; у^; г^), то ,,_У1+У2 _ h+^2 ^ i—■»—• 12 Координаты, геометрические преобразования и векюры... Рис. 9 В В. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Спроектируем д точ1?и А, 5 и с на плоскость ху; их проекциями будут точки А^(л:^; i/j; 0), ^уг В^{х^\ у^, 0), С^(х; у; 0) (рис. 9). По- ByL скольку проекцией середины отрезка является середина его проекции, то точка - середина отрезка А^В^. А из планиметрии известно, что на плоскости ху координаты середины отрезка выражаются через координаты его концов по формулам XjJ^ .._Pi+l/2 2 2 ■ Спроектировав точки А, В, С на плоскость xz, аналогично найдем 2 Например, если С(х; у; г) — середина отрезка с концами А(3; 6; 5) и В(1; 0; -7), то 3 + 1 „ 6 + 0 5-7 , х =---= 2, у =--= 3, г =--= -1. Поэтому серединой отрезка АВ является точка С(2; 3; -1). Обобщим теорему 3. © Теорема 4. Если точка Р{х\ у, г) отрезка с концами А(х^; у^; г^) и В(х^; у^, г^) такая, что АР : РВ = т : п, то X = + тх2), у = ^^ -(пу1 + ту2), 1 т + п г = ■ 7П + П т + п {пг^ + mz2 ). А» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Xj ^ Xg, I/j J/g, ^ Zg (рис. 10). Спроектировав точки ^ А, В и В на плоскость ху и ось Ох, By будем иметь: А^Р^ : Р^В^ = АР : РВ = т : п, или (Xj - х) : (х - Xg) = m : /I. ^ U 1 г Отсюда X-------(nxj +/nXg), * Ш. + Л /о в. Рис. 10 I '*5 13 РАЗДЕЛ 1 Аналогично можно получить У = -^{пу1+ту2), z=-^{nz^+mz2). т + п т + п Если jCj = JCj, или j/j = j/g, или Zj = Zg, то доказьгеаемые формулы тоже правильны. Убедитесь в этом самостоятельно. Если числители и знаменатели рассматриваемых формул разделить на п и обозначить АР : РВ = к, то получим формулы: . t/i+Xt/2 1 + я. 1+я Zi -i-Xzo 2=-^^—И-1-(-Я Эти формулы задают координаты точки Р, которая делит отрезок АВ в отношении АР : РВ = Я. ••• • .* trt 1. 2. 3. 4. ' а ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Сформулируйте теорему о координатах середины отрезка. Чему равны координаты точки, которая делит в отношении т : п отрезок с концами A(Xj; г/^; Zj) и B(Xg; у^\ Zg)? Как найти координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении AM : МВ = Я? Чему равны координаты середины отрезка с концами в точках А(4; 0; 2) и В(6; 8; 6)? Выполним вместе 1. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках А(7; 0; 6), В(4; 2; 2), С(-3; 2; 2), В(0; 0; 6) - параллелограмм. РЕШЕНИЕ. Найдем координаты середины диагоналей АС и BD. 7-3 „ 0 + 2 , 6 + 2 , ^■=-^ = 2,!,,= —= 1,3,= —= 4. Следовательно, середина диагонали АС имеет координаты Oj(2; 1; 4). Аналогично 4 + 0 „ 2 + 0 , 2 + 6 , Х9= —= 2, 1/2= —= 1, z, = ^—= 4. = 1, Z2 = BD 2 имеет 2 ‘'"2 Т. е. середина диагонали BD имеет координаты Og(2; 1; 4). Поскольку координаты середин диагоналей совпадают, то это значит, что диагонали четырехугольника пересекаются и Координаты, геометрические преобразования и векторы... точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм. 2. Пирамида ОАВС задана координатами своих вершин: 0(0; 0; 0), А(3; 0; 0), В{0; 3; 0), С(0; 0; 3) (рис. 11). Найдите длину высоты ом. РЕШЕНИЕ. Найдем длины ребер данной пирамиды. Поскольку АВ = ВС = = АС = 3^/2 и ОА = ОВ = ОС = 3, то пирамида правильная. Следовательно, М{х; у; г) - точка пересечения медиан /\АВС. По свойству медиан треугольника СМ : МК = 2 : 1, т. е. X = 2. Поскольку точка К - середина АВ - имеет координаты 3 Л 0 + 21,5 , 0 + 21,5 , 3 + 2 0 , К\ о , то х =-----------= 1, у =------=1, z=------= 1. (2 2 / 1+2 1+2 1+2 Следовательно, координаты точки М(1; 1; 1). Тогда ОМ = Vl+1 + l = >/з. ОТВЕТ. ОМ = ^/3. L ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 39. Найдите координаты середины отрезка АВ, если: а) А(-1; 0; 0), В(1; 2; 0); б) А(0; 0; 0), В(2; 2; 2); в) А(-2; 4; 2), В(2; -4; 2). 40. Является ли начало координат серединой отрезка CD, если: а) С(-1; 0; 2), D(l; 0; -2); б) С(-4; 2; 6), П(4; -2; 6)? 41. На какой координатной оси лежит середина отрезка MN, если: а) М(2; 4; -6), N(-2; 2; 6); б) М(-3; 0; 7), ^^(3; 0; 2)? 42. Какой координатной плоскости принадлежит середина отрезка КР, если: а) К(2; 1; 4), Р(4; 0; -4); б) К(-6; 2; 1), Р(4; -2; 3)? 43. Найдите координаты середины ребер и центров граней куба, изображенного на рисунке 12. РАЗДЕЛ 1 о » * * • • • * ■ 44. Найдите координаты середины отрезка PQ, если: а) Р(1,2; -3; 6,3), Q(-2,6; 3,2; -5,1); б) P{S; 2; l-^/2), q(3>/3; 1; 1 + л/2). 45. Даны точки А(3; -1; 4), Б(-1; 1; -8), С(2; 1; -6), Б(0; 1; 2). Найдите расстояние между серединами отрезков: а) АВ и CD; б) АС и BD. 46. Точка М - середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А(2; -1; 6), М(1; 4; 0). 47. Точки М к N делят отрезок АВ на три равные части. Найдите координаты концов отрезка, если М(1; -1; 2), N{-3; 2; 4). 48. Найдите длины медиан ААВС, если А(3; 3; 0), В(-5; 1; 2), С(5; -3; -2). 49. Найдите длины средних линий AEFK, заданного координатами своих верпшн: Б(-1; 4; 2), F{-3; 2; -2), К(1; -2; -2). 50. Точки М и N - середины сторон АВ и ВС треугольника АВС. Найдите координаты вершин А и С, если В(2; 0; -4), М(3; -1; 2), N(1; -4; 0). 51. AM - медиана ААВС. Найдите длину медианы BN, если А(2; -4; 2), С(0; 0; 6), М(1; 2; 4). 52. Будет ли четырехугольник АВСБ параллелограммом, если: а) А(1; -3; 12), В(0; 2; 6), С(3; 3; -10), £)(4; -2; -4); б) А(4; 2; -5), В(-6; 2; 8), С(2; -3; 9), D(12; 2; -4)? 53. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если: а) А(4; 2; -1), В(1; -3; -2), С(-6; 2; 1); б) А(-1; 7; 4), В(1; 5; 2), С(9; -3; -8). 54. О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершин С и D, если А(1; 3; -2), В(-4; 0; 5), 0(1; 0; 2). 55. Найдите координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении AM : МВ = X, если: а) А(-5; 4; 2), В(1; 1; -1), X = 2; б) А(1; -1; 2), В(2; -4; 1), ?. = 0,5; в)А(1; 0; -2), В(9; -3; 6), Х = -. tJ 56. Найдите координаты точки пересечения медиан AMNP, если М(3; 2; 4), Л^(1; 3; 2), Р{-3; 4; 3). 57. Середина Р отрезка MN лежит на оси z (рис. 13). Найдите числа а та. Ь, если: Рис. 13 Координаты, геометрические преобразования и векторы... < г с- •#*- т » TS>'U.i а) М(а; -2; 3), N(2; Ь\ -1); б) M(2fl2; -ь- 1), Ща - 1; 1; 5); в) М(3а; & + 1; 4), N{b\ 1 - а; -2). 58. Найдите высоту ААВС, проведенную к наибольшей стороне, и его площадь, если А(1; -1; 2), В(4; 2; -1), С(1; 5; 2). 59. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 3; -1), В(3; -1; 1), С(3; 1; -1). Найдите: а) высоту, проведенную к наибольшей стороне; б) углы треугольника; в) площадь треугольника. 60. Даны координаты трех вершин параллелограмма: А^( 1; -2; 3), Ag(3; 2; 1), Ag(-1; 4; -1). Найдите координаты четвертой вершины. Сколько решений имеет задача? 61. Найдите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан ААВС, если А(-1; 2; 10), В(1; 0; 2), С(3; 4; -6). 62. Найдите координаты центра окружности, описанной вокруг ААВС, если: а) А(-1; 1; 5), В(5; -1; 1), С(1; 5; -1); б) А(-1; 3; 1), В(2; 4; 1), С(3; 1; 3). 63. Найдите координаты центра окружности, вписанной в ААВС, если: а) А(-2; 6; 4), В(4; -2; 6), С(6; 4; -2); б) А(5; 1; 2), В(2; 4; -1), С(-1; 1; 2). 64. Дан куб ABCDA^BjC.D., основание АВСВ которого лежит в плоскости ху и А(-2; 4; 0), В(2; 7; 0), С(5; 3; 0). Найдите координаты других вершин куба и координаты точки пересечения его диагоналей. 65. Найдите координаты вершины С треугольника АВС, если даны вершины А(3; 4; 0), В(7; 6; -5) и точка пересечения медиан М(1; 2; -2). 66. BL - биссектриса ААВС. Найдите координаты точки L, если А(5; 6; 3), В(3; 5; 1), С(0; 1; 1). 67. Найдите длину биссектрисы ML треугольника MNK, если М(4; 0; 1). iV(5; -2; 1), К(4; 8; 5). 68. Найдите расстояние от начала координат к плоскости, проходящей через точки А(6; 0; 0), В(0; 6; 0), С(0; 0; 6). 69. Плоскость а проходит через точки А(2; 0; 0), В(0; 2; 0) и С(0; 0; 2), а плоскость р - через точки .^(4; 0; 0), В(0; 4; 0) и Г(0; 0; 4). Докажите, что а || р. Найдите расстояние между этими плоскостями. 70. Найдите высоту SO пирамиды SABC и углы наклона ее боковых ребер к плоскости основания, если: а) 5(2; 2; 2), А(-2; 0; 4), В(4; -2; 0), С(0; 4; -2); б) 5(2; -1; 0), А(0; 4; 1), В(4; 4; 1), С(0; 0; 5). 24)eomalrtym, 11 М (пя) 17 I , ф РАЗДЕЛ • • и « • с 1 . т Упражнения для повторения 71. Установите вид LEFK, заданного координатами вершин: £(1; 5; 3), F(3; 1; 5), К(Ъ-, 3; 1). Найдите его периметр и площадь. 72. Запишите уравнение окружности, описанной около треугольника BCD, если В(-б; 2), С(-2; 5), Z)(l; 1). 73. Найдите длину вектора с = 2а + Ъ, если а = (-1; 2), Ь={6; -1). If -зг УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ, ПЛОСКОСТИ И ПРЯМОЙ Уравнением фигуры называют уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной фигуры и только точки данной фигуры. Из планиметрии известны уравнения прямой ах + by + с = О а окружности (л: - а)^ + (у ~ bf = г^. М(х; у; г) У расположенных на координатной плоскости. Аналогичные уравнения соответствуют многим фигурам в пространстве. Уравнение сферы. Сферой называют геометрическое место точек пространства, удаленных на одно и то же расстояние г от данной точки. Эта точка - центр сферы, а расстояние г - ее радиус. Сфера радиуса г с центром в точке А(а; Ь; с) - это множество всех точек, удаленных от А на расстояние г (рис. 14). По теореме 1 каждая точка М{х; у; г) данной сферы удовлетворяет уравнению: (х - а)^ + {у - Ь)^ + (г - с)^ = г^. Это уравнение сферы радиуса г с центром в точке А(а; Ь; с). Если а = Ь = с = О, получим уравнение сферы радиуса г с Рис. 14 центром в начале координат: х^ + у^ + = г2. ПРИМЕР. Сфере с центром в точке А(1; -2; 3) радиуса г = 4 соответствует уравнение (х - 1)^ + (у + 2)^ + (z - 3)^ = 16, или х^ + у2 + - 2х + 4у - б2 - 2 = 0. Уравнение плоскости. Пусть а - произвольная плоскость, а точки А(х^\ у^\ г^) и Bix^; у21 такие, что данная плоскость а перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через его середину М (рис. 15). Любая точка К{х; у; г) плоскости а равноудалена 18 Координаты, геометрические преобразования и векторы.. • ( yi; от А к В, поскольку АКМА = АКМВ. Поэтому АК^ = ВК^, или (X - + {у- y^f + (2 - 2j)2 = = (JC - X^f + (y- y^f + (2 - (*) Наоборот, если координаты x, у, z удовлетворяют уравнению (*), то точка К(х\ у, 2) равноудалена от А и 5, а следовательно, принадлежит плоскости а. Как видим, уравнение (*) является уравнением данной плоскости. Его можно представить в другом виде: 2(^2 - х^)х -I- 2(у2 - У^)У + 2(22 “ + ^1^ + У\ + ~ В(Х2\ У2\ гг) Рис. 15 - xj - у^ - 2,2 = 0. -г “2 Если обозначим 2(^2 - Xj) = а, 2{у^ - у^) = Ь, 2(z^^ - Zj) = с. + .1 . у,‘ + 2,2 - х/ - у^- «2 ах + by + CZ + d = 0. Следовательно, любой плоскости в декартовой системе координат соответствует уравнение ах Ьу + cz + d = 0. Уравнение прямой. Прямая в пространстве - линия Пересе- 0 чения двух плоскостей. Поэтому ей соответствует система двух линейных уравнений: \ax + by + cz+d = Q, \a^x + \y+c.^^г + d^ =0. Координаты каждой точки данной прямой удовлетворяют этой системе уравнений, и каждое решение системы - тройка значений х, у а z - координаты точки, лежащей на данной прямой. Если прямая АВ, которая проходит через точки А(х,; i/,; 2,) и В{х^; у^\ z^), не параллельна ни одной координатной плоскости, ей соответствует система уравнений 2 _ z„^ = d, получим уравнение: X-Xi ^ У-У1 ^ 2-2i Уг~У1 ^2-21 Хо-Х. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рисунок 16. Здесь М(х; у; z) - произвольная точка прямой АВ, А^, В^, - про- екции точек А, В и М на плоскость ху, а прямая АВ, параллельная А^В^, пересекает прямые ВВ^ и ММ^ в точках К и Р. К 19 а > РАЗДЕЛ 1 Прямоугольные треугольники АМР и АВК подобны, МР : ВК= AM : АВ, ^^^ = АМ:АВ. ^2-21 Аналогично, спроектщював прямую АВ на другие координатные плоскости, получим: Mrh. = AM:AB и ^~^~ = АМ:АВ. У2-У1 Х2-х^ © Из трех последних равенств следует система уравнений (**), которую называют уравнением прямой, проходящей через две точки. Например, прямой, проходящей через точки А(1; -2; 0) и В(3; 1; 4), соответствует система: х-1 у+2 г Если в системе уравнений (**) ввести обозначения х^- х^ = т, У^~ У\ = ^2 - Zj = р, то получим каноническое уравнение V- х-х^ _у-У1 т п р (***) Если в этом уравнении все отношения обозначить через t, Х-Хл у-у-1 Z-Z, ■ т. е. --- = -—— =----- = t, то получим систему I;.- т п р x = Xi+ mt, y = yi+nt, z = z^+ pt. Полученная система уравнений называется параметрическим уравнением прямой. Пользуясь параметрическим уравнением прямой, удобно находить точки пересечения прямых, прямой и плоскости, прямой и сферы. Отметим, что в каноническом уравнении прямой одно или два (но не три) из чисел т, п, р может равняться нулю, поскольку в данном случае это значит не деление на нуль, а условную форму записи. При этом если одно из этих чисел равно нулю, то прямая будет параллельна одной из координатных плоскостей. Если же нулю равны два числа, то прямая Координаты, геометрические преобразования и векторы... ^ т ф Ш Ф * ^ •«••#•••••.•« ФФФФФФФЩ9Ф0Ф ©будет параллельна одной из координатных осей. Например, ^ если т = О, то прямая параллельна плоскости уг, а если одно-•V.' временно m = О и л = О, то прямая будет параллельна оси Oz. 1. 2. 3. 5. а ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое уравнение фигуры? Какую геометрическую фигуру называют сферой? Какой вид имеет уравнение сферы? А сферы с центром в начале координат? Какой вид имеет уравнение плоскости? Как с помощью уравнений можно задать прямую в пространстве? Выполним вместе 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 2; -1), В(-1; 0; 3) и С(0; 0; 1). РЕШЕНИЕ. Уравнение плоскости ах + by + cz + d = 0. Поскольку точки А, В, С принадлежат плоскости, их координаты удовлетворяют ее уравнению, т. е. 4^а + 2Ь - с + d = о, -а + Зс + d = о, с + d = 0. Выразим коэффициенты а, Ь, с через d: с-d, а = -2d, Ь = 3d. Следовательно, -2dx + 3dy - dz + d = 0, откуда 2д: - Зу + 2 - 1 = 0. 2. Найдите длину хорды, которую отсекает сфера (х - 1)^ + + (у -f- 2)^ + {z + 1)^ = 35 от прямой АВ, если А(2; 0; 1), В(6; 1; -2). РЕШЕНИЕ. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: у-ух z-z^ Хг-Xi У2-У1 22-2i‘ Тогда уравнение прямой АВ будет иметь вид: х-2 у 2-1 1 -3 = t, откуда x = 4t + 2, y = t, 2 = -3f + l. 21 РАЗДЕЛ 1 Найдем координаты точек пересечения прямой и сферы: (4f + 1)2 + (« + 2)2 + (2 - 3f)^ = 35, или 16i2 + 8< + l + f2 + 4t + 4 + 4 — 12^ + 9f2 = 35, откуда 26f2 = 26, т. e. t = ±1. Тогда Mj(6; 1; -2), -1; 4). Поэтому M,Mn = V64 + 4 + 36 = Vl04 = 2л/^. i ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 74. Какие из уравнений не являются уравнением плоскости: а) 2л: + Зг/ - г - 2 = 0; б) л: + у = 5; в) 2 = 4; г) Jf2 + у2 - 2;2 = 5- д)у = 0; е)^+^+| = 1; ж) л: + 2у - л:у + Зг = 2? 2 3 5 75. Какая из плоскостей проходит через начало координат: а) X + 2у + 2 = 5; б) Зх - 2у + 2 = 0; 76. Какие фигуры задают такие уравнения: 3)£+^_f=o? ^234 а) 2 = 0; 6) у = 2; в)х2-2х + 1 = 0; г) х2 - у2 0; д) (X - 2)(у + 3) = 0; е) (2 - 2)(z + 4) = 0? 77. Составьте уравнение сферы с центром в начале координат радиуса 2. 78. Какая из прямых проходит через начало координат: 2 4 1 2 3 5 79. Составьте уравнение сферы радиуса г = 5 с центром в точке АН; 0; 4). 80. Назовите координаты трех точек, принадлежащих сфере радиуса г = 10 с центром в начале координат. 81. Принадлежит ли точка М(3; 2; -1) сфере, уравнение которой х2 + у2 2* - 2х + 4у - б2 - 2 = о? 82. Составьте уравнение сферы с центром в точке В(1; 1; 3), если известно, что она проходит через точку М{2; 0; -1). 83. Составьте уравнение сферы с диаметром АВ, если А(-2; 1; 4), В(0; 3; 2). 84. Составьте уравнение сферы, радиусом которой является отрезок АВ, если А(-2; 1; 3), В(0; 2; 1). 22 1^ Координаты, геометрические преобразования и векторы... 85. Найдите точки пересечения сферы, заданной уравнением - 4х = 12, с осью х. 86. Какие из координатных осей пересекает сфера, задбшная уравнением х^ + - 16x - 12у + 19 = О? Найдите координаты точек пересечения. 87. Дана сфера радиуса г = 5 с центром в точке А(2; 4; 3). Найдите длину линии пересечения этой сферы с плоскостью ху. 88. Составьте уравнение сферы с центром в точке (-2; 3; 1), касающейся плоскости: а) ху; б) уг; в) xz. 89. Найдите радиус и координаты центра сферы: а) х^ + у^ + z^ - 2х + 4у - 2z = 31; б) х^ + у^ + z^ + 6х - 2у = 26. 90. Проходит ли плоскость, заданная уравнением 2х + 4у + 3z — -7 = 0, через точку А(2; 3; -1)? А через точку В(-1; 0; 3)? 91. Найдите координаты точек, в которых плоскость, заданная уравнением 2х - у + 3z + 6 = 0, пересекает координатные оси. 92. Составьте уравнение плрскости, проходящей через ось х и точку А(1; 1; 1). 93. Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости ху и проходящей через точку А(2; 3; 4). 94. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки 0(0; 0; 0), А(1; 2; -3) и В(2; -2; 5). 95. Прямая задана системой уравнений x-y + 4z = 0n2x + + у + Зг - 1 = 0. Найдите координаты точек пересечения этой прямой с координатными плоскостями. 96. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 3; 2) и В(-5; 7; 4). Q7 ТТ о .. х-3 у-4 2 + 2 97. Прямая задана системой уравнении ---= ^--=----. 5-3 7 Назовите координаты каких-либо трех точек этой прямой. 98. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку Р(-1; 4; 2) и делит отрезок MN пополам, если М(4; -1; 3), N(-2; 3; 5). 99. Плоскость и прямая заданы уравнениями 3x-2y + z- 7 = 0 и х-2 _ у + 3 _г-3 . Пересекаются ли они? В какой точке? 100. Прямая и сфера заданы уравнениями х + 2 у-3 2 + 1 и 2 14 х^ + у^ + = 13. Пересекаются ли они? В каких точках? О 23 РАЗДЕЛ 1 101. Сфера с центром А(2; 3; 4) проходит через начало координат (рис. 17). Напишите уравнение окружностей, по которым координатные плоскости пересекают сферу. 102. Составьте уравнение сферы, про-ходяш;ей через точки; 0(0; 0; 0), Л(4; 4; 2), Б(0; 0; 2) и С(0; 4; 0). 103. Составьте уравнение сферы, если известно, что она проходит через ^ ^ точки А(0; 5; 1), В(-2; 0; 4), а ее центр лежит на оси z. 104. Найдите геометрическое место точек пространства, расстояние от которых до сферы (х - 2)^ + (у - 1)^ + (г + 4)^ = 25 равно 2. 105. В зависимости от значений параметра а установите взаимное расположение сфер: - 4х + 2у = 14vi(^x - Sf+ {у + If + {Z - а?. 106. Нарисуйте плоскость, заданную уравнением: а) X = 3; б) I/ = -4; в) г = 5; г) у - 4х = 0; д)у-2-2 = 0; е) X + у = 5; ж) х + у + z = 4. 107. Докажите, что каждой плоскости, проходящей через начало координат, соответствует уравнение вида ах + by + CZ = 0. 108. Докажите, что если точка А(а; Ь; с) -основание перпендикуляра, проведенного из начала координат на плоскость (рис. 18), то уравнение этой плоскости ах + by + CZ -- (а^ + Ь^ + с^) = 0. 109. На координатных осях даны точки Л, В, С такие, что ОА = ОБ = ОС = 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через эти точки. 110. Докажите, что если на координатных осях х, у, z даны точки А, В, С такие, что ОА = а, ОВ = Ъ, ОС = с, то плоскость, проходящая через эти точки, соответствует урав- X у Z . нению —I- = 1. а Ъ с 111. Точки 0(0; 0; 0), А(3; 0; 0), Б(0; 4; 0) и 0^(0; 0; 5) - вершины прямоугольного параллелепипеда. Составьте уравнения плоскостей всех его граней. 24 (В;;; Координаты, геометрические преобразования и векторы... 112. Координаты точек какой фигуры удовлетворяют системе неравенств: 0<х<2, 0j даны координаты вершин А(1; -1; 0), В(1; 1; 0). Укажите координаты вершин и Dj. 124. а) Выберите прямоугольную систему координат и изобразите куб, заданный системой неравенств: -2 < лс < 2, 0<у<4, 0 *3 + “з " *3 = "з* -I- flg. Ведь Говорят: любой вектор можно отложить от любой точки пространства. Длиной, или модулем, вектора называют длину направлен^ ного отрезка, изображающего его. Обозначают длину вектора а символом |а|. Длину вектора а = (х; у; г) можно выразить через его координаты (см. рис. 28). Стороны прямоугольника OE1AJP равны X и у, поэтому ОА^^ = + у^. В прямоугольном Д ОА А катет АА = г, следовательно, ОА^ - ОА ^ -f 2^ = + -Ь 2*. ' * 32 Координаты, геометрические преобразования и векторы.. Отсюда \a\--J' V.2 . „2 . _2 X +у +Z . Длина любого ненулевого вектора - число положительное. Длина нулевого вектора решна нулю. Векторы, которым соответствуют параллельные направленные отрезки, называют коллинеарными. Векторы ОА и ОВ коллинеарны только тогда, когда точки О, А и В лежат на одной прямой. Коллинеарные векторы бывают сонаправленными или противоположно направленными. Три вектора называют компланарными, если соответствующие им направленные отрезки расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Векторы ОА, ОВ и ОС компланарные только при условии, что точки 0,А,ВиС лежат в одной плоскости. ЗАМЕЧАНИЕ. В геометрии рассматриваются только свободные векторы. Физики чаще используют приложенные (связанные) векторы, определяемые не только длиной и направлением, но и точкой приложения. Хотя они имеют много общего со свободными векторами, все же существенно от них отличаются. Например, чтобы решить задачу о действии сил, приложенных к пружине (рис. 29), свободные векторы не подходят. Ведь в таких задачах не все равно, в каких точках прикладываются силы. В картографии векторами называют любые отрезки, даже криволинейные, показывающие направления морских течений, движения армии и т. п. Такие «векторы* нельзя ни складывать, ни умножать. Дальше будем рассматривать лишь свободные векторы, называя их просто векторами. ••• •/ в 4. 5. 4. 7, ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Какие величины называют векторными? Что такое координаты вектора? Какие векторы называют нулевыми? Как их обозначают? Что такое модуль вектора? Какие векторы называют коллинеарными? Какие векторы называются компланарными? Какие векторы называют свободными, а какие -прикладными? 33 I ill РАЗДЕЛ 1 M Выполним вместе 1. Найдите координаты вектора a = (a; 2a; -a), если его длина Si. РЕШЕНИЕ.+{2a)^ +{-a)^ =yf^, 6a^ = 54, = 9, откуда Cj = 3, Og = -3. ОТВЕТ. a = (3; 6; -3) или a = (-3; -6; 3). 2. Докажите, что при любых значениях ttg, Пд, Ьд, 6д, Сд, Сд векторы 5 = (0; 02‘, Оз), b=(0;b2;bg) и с = (0;с2;сз) компланарны. РЕШЕНИЕ. Первые координаты данных векторов - нули. Поэтому, если отложить эти векторы от начала координат, все соответствующие им направленные отрезки расположатся в плоскости yz. Следовательно, данные векторы компланарны. 3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, еслиА(-2; 3; 5), В(-1; 4; 2), С(4; 1;-3). _ РЕШЕНИЕ. Если ABCD параллелограмм, то AB = DC. Пусть точка D имеет координаты D(x; у; г). Тогда АВ = (1;1;-3) и DC = (4-x; 1-у;-3-г). Поскольку равные 4-Jc = l, векторы имеют равные координаты, то ■ -3-2 = -3. Отсюда ОТВЕТ. П(3; 0; 0). х=3, У = 0, 2 = 0. к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 149. Назовите координаты векторов, изображенных на рисунке 30. 150. Даны точки А(1; 1; 1), В(-7; 0; 2), С(3; -1; 4), 0(0; 0; 0). Укажите координаты векторов ОА, О В, ОС, ВО, СО, АВ. 151. Какие координаты имеет вектор MN, если NM = (2; -1; 4)? Координаты, геометрические преобразования и векторы... . ^ 3 . * Рис. 30 Рис. 31 152. Дан куб ABCDA^B^C^D^ (рис. 31). Назовите векторы: а) равные векторам АВ, DD^, АС\ б) противоположные векторам A^D-^,C(\,BD-, в) коллинеарные с векторами ВА, АА^; г) компланарные с векторами ABhAD.AChAjC 153. Известно, что |а| = |ь|. Следует ли из этого, что векторы а и Б равны? 154. Известно, что а = Ъ. Всегда ли |а| = |Б|? 155. В черчении направленными отрезками (прямолинейными стрелками) обозначают радиусы окружностей и дуг (рис. 32). Изображают ли такие направленные отрезки векторы? Рис. 32 '.г 156. Точки А, В, С, D, Е, F - вершины заданного в пространстве правильного шестиугольника. Задайте с их помощью пару векторов: а) равных; б) противоположно направленных; в) сонаправленных, но не равных. 157. Точка В - середина отрезка АС, а С - середина отрезка BD. Равны ли между собой векторы: s)CAvlDB\ б)АВиВС? ___________ ^58. Найдите координаты вектора АВ, если: а) А(1; 2; 3), В(3; 7; 6); б) Л(-3; 2; 1), В(1; -4; 3); I 4 ! г 1 РАЗДЕЛ 1 в) Л(а; -а; За), Б(2а; -За; -а). 159. Найдите длины векторов т = (1;-1;1), й = (0;2;-4), а = (2; 3;-1), 6 = (1; 2; 5), с = (-1; 4; 8), d = (0;l;-3). 160. Найдите координаты и длину вектора MN, если: а) М(4; -1; 3), ЛГ(1; -1; -1); б) М(19; 4; 35), iV(20; 3; 40); в) М(2а; а; -4а), ЩЗа; 4а; -5а). 161. Даны точки А(-1; 3; -2), В(4; 2; 1), С(-3; -1; 2), D(2; -2; 5). Найдите координаты векторов АВ, ВС, CD, АС, AD, BD. Есть ли среди этих векторов равные векторы? 162. Найдите координаты начала направленного отрезка АВ, соответствующего вектору а = (3; 4; 2), если его конец -точка В(-5; 4; 1). *•163. Найдите координаты конца направленного отрезка СВ, соответствующего вектору с = (-1; 3; -2), если его начало -точка С(-2; -1; -3). 164. Даны точки М(1; 3; 4), N{1; 5; 1), К(Ъ; -1; 4). Найдите координаты векторов MN, NK, МК и их модули. Установите вид IsMNK и найдите его периметр и площадь. 165. Будет ли четырехугольник АВСВ параллелограммом, если: а) А(1; -2; 3), В(4; -2; -1), С(-2; 2; -3), В(-5; 2; 1); б) А(-2; 4; 1), В(-1; 1; 5), С(4; 2; -3), В(3; -1; -7)? 166. Длины векторов а = (2; 1; 3) и Ь=(-Г,х;2) равны. Найдите X. 167. Как относятся длины ненулевых векторов а = (а; Ъ; с) и п = (2а; 25; 2с)? 168. ABCDA^Bf^D^ - куб. а) Коллинеарны ли векторы: 1)AiBihAB; 2)ABhCiBi; 3)BCihCBi; 4)AD^kBA^1 б) Напишите тройку комплбшарных векторов. Б 169. В прямоугольной системе координат обозначьте векторы 5 = (2; 4; 0), 5=(0; 3; 1), с=(0; 0; 2), d = (2; 2; 3). я Координаты, геометрические преобразования и векторы... 1 Ах 1 1 1 О ✓ / / А Рис. 33 170. В прямоугольной системе координат расположите куб ABCDAj^B.C^D^y ребро которого равно 1, как на ри- сунке 33. Найдите координаты векторов АВ, AD, АС^, AAj, BjC, А^, 171. Найдите координаты вектора, если его длина 2^2, а все координаты равны. 172. Найдите координаты вектора, являюпщеся последовательными членами арифметической прогрессии, если его длина равна зТП, а ордината - 4. 173. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если: « а) А(1; -3; 1), В(2; 4; -6), С(3; -1; 1); J б) А(2; -2; 1), В(4; 0; -1), С(1; 2; -3). 174. Даны четырехугольники ABCD и MNPK. Какой из четырехугольников является ромбом, а какой - квадратом, если: А(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D{2; 8; 4) и М(3; 5; 2), Щ7; 1; 2), Р(3; -3; 2), Щ-1; 1; 2)? 175. М, N, К - середины сторон АВ, ВС, АС ААВС. Найдите координаты вектора NK, если А(-1; 3; -5), М(3; 2; -6). 176. При каком значении а длина вектора тп равна если: а)т = (4;а;2); б)т = (а-1; 1; 4); в)т = {а; 1; а-1-2); г)/п = (а-1; а-2; а + 1)? 177. При каком значении т векторы а и Ь равны, если: 178. а) а = (1;-2;/п^),&=(1;-2;т); б) а = (/л-1; 9; 2т), 6=(-4; т^\ -6); в) а = (/га^-/п; /п + 3; 2т), В = (2; 2т-1-1; т^); г) а = {т-3; т^; -2), Ь=(-2т; 2т-1; -2)? Коллинеарны ли векторы: а) а = (1; 1; 0) иЬ = (1; 1; 2); б) А=(0; 1; 0) и р = (0; -2; 0)? 37 щ РАЗДЕЛ 1 179. ABCD - тетраэдр, К, Р, Т - середины его ребер АВ, АС и AD. Компланарны ли векторы: а) Ш, ВС и КР-, 6)CD, КТ я СВ? 180. Компланарны ли векторы а = (3; 2; 0); В = (6; 3; 0) и с = (8; 1; 0)? 181. ABCD - произвольный тетраэдр, К я М - середины его ребер АС я BD. Докажите, что векторы АВ, CD и КМ компланарны. Упражнения для повторения 182. Даны векторы а = (1; -2), В = (4; -5). Найдите: а) а + В\ б) а - В; в) 2а -f 3ft; г) 3ft - 2а. 183. При каком значении т векторы а = (1; т) я В = (-2; 4): а) коллинеарны; б) перпендикулярны? 184. Прямая ft пересекает прямую а, параллельную плоскости а. Каким может быть взаимное расположение прямой ft и плоскости а? ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Действия над векторами в пространстве обозначаются аналогично тому, как они обозначались для векторов на плоскости. Суммой векторов а = (х^‘, у^', я В = у^; г^) называют вектор а + В = (х^ + х^; i/j + У2-, + Zg). Свойства суммы векторов. Для любых векторов а, ft и с справедливы равенства: 1) а + В = В + а- переместительный закон сложения; 2) а 4- (ft -I- с) = (а -I- ft) -I- с - сочитательный закон сложения. Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие координаты левой и правой частей каждого векторного равенства. Геометрически сумму двух векторов пространства можно найти, пользуясь правилом треугольника: АВ + ВС =АС (рис. 34, а). . Ведь для любых трех точек А(х^\ у^\ г^, В^х^, ^2» C(JCg; i/g; 2g): АВ — (^2 x^i у2 Zg Zj), ВС (Xg Xg, j/g у2 Координаты, геометрические преобразования и векторы. ♦ • ‘ В \Ь а + Ь а) Рис. 34 Поэтому АВ + ВС = (х^~ х^; Уз - у^; Zg - z^) = АС. Можно пользоваться и правилом параллелограмма: если ABCD - параллелограмм, то АВ + AD =АС (рис. 34, б). Сумму трех некомпланарных векторов можно найти по правилу параллелепипеда: если ABCDA^B.^C^D^ - параллелепипед (рис. 35), то АВ + AD + АА^ = АСу Ведь по правилу параллелограмма АВ + AD = АС и ^ + А\=Шу Сумму нескольких векторов можно найти по правилу многоугольника. Например, как бы не были расположены в про-странстве точки А, В, С, D, Е, всегда АВ -Ь ВС -I- CD + -I- DE=AE. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называют противоположными. Векторы АВ и ВА направлены противоположно друг другу. При любых значениях х, у, z векторы а = {х; у; г) и Oj = (-х; -у, -z) противоположные. Разностью векторов а и5 называется такой вектор с, дающий в сумме с вектором Ь вектор а. Из этого определения следует, что всегда АС - АВ - ВС. И если а = (Xj; y^i z^), b = = (^2^ Уг’ то a - б = (Xj - Xg; y^ - y^, z^ - z^). Умножать на число вектор пространства можно так же, как и вектор плоскости. Если а = (х; у; z), то Ха = аХ = (Хх; Ху; Xz). Для любых векторов а и 6 справедливы равенства: 1) Ца -Ь 6) = Ха -I- Хб, где X - число; 2) (X + р)а = Ха -f ра, где X, р -числа; 3) |Ха| = |Х| • |а1, где X - число. Рис. 35 РАЗДЕЛ 1 Эти свойства непосредственно следуют из определения умножения вектора на число. При умножении вектора на число получаем вектор, колли-неарный данному, т, е. если Ь = Ха, то а и 6 коллинеарны. И наоборот, если векторы а и В коллинеарны, то, обозначив отношение их длин через Х{Х > 0), ползп1им, что В = Ха, если векторы сонаправленные, и Ь = -Ха, если векторы противоположно направленные. Поэтому имеет место такой признак коллинеарности двух векторов: векторы а и В коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число X такое, что В = Ха, или векторы а = у^, 2j) и & = (Xg; коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональ- ны, т. е. Уг Компланарность векторов. Несколько векторов компланарны, если соответствующие им направленные отрезки параллельны некоторой плоскости. Три вектора, среди которых есть по крайней мере один нулевой, компланарны. Из 9-го класса известно, что любой вектор с плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам о и б, т. е. существует единственная упорядоченная пара чисел а, р таких, что с = аа + рб. Следовательно, если вектор с компланарен с неколлинеарными векторами а и Ь, то имеет место равенство с = аа + рЬ. И наоборот, если для векторов а. В, с выполняется равенство с = аа + рь, то векторы а. В, с компланарны. Разложение вектора. Векторы е^ = (1; 0; 0), е^ = (0; 1; 0), gg = (0; 0; 1) называют ортами. Всегда, если а = (х; у; г), то а = х€у + уе^ + ге^. Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам (рис. 36). Оно всегда возможно и однозначно. Если даны три некомпланарных вектора ОА, ОВ, ОС, то любой вектор ОМ можно представить, причем единственным способом, в виде ОМ = аОА-^ЪОВ + сОС, где а, Ь, с - некоторые действительные числа. 40 i Координаты, геометрические преобразования и векторы... \ ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Какие действия можно выполнять над векторами в пространстве? Что такое сумма векторов? Как находят сумму векторов по правилу треугольника; параллелограмма; параллелепипеда? Чему равна разность векторов а = (а; а; а) и & = (Ь; Ь; Ь)? Что такое орты? Что значит разложить данный вектор по ортам? 2. 3. 4. 5. 6. А1 Выполним вместе 1. Пусть К и Р - середины отрезков АВ и CD, которые лежат на скрещивающихся прямых, а О - середина отрезка КР. Докажите, что ОА + ОВ + ОС + OD = б. РЕШЕНИЕ. Векторы ОК и ОР противоположны (рис. 37). Следовательно, ОА + ОВ + ОС + OD = 2 • ОК + 2 • ОР = = 2(ОК + ОР) = 0. 2. М - середина ребра ВС тетраэдра РАВС, О - середина AM. Выразите вектор РО через векторы РА = а, РВ = В, PC = с (рис. 38). РЕШЕНИЕ. По правилу параллелограмма (построенного на отрезках РВ и PC) имеем 2, • РМ = РВ + PC, откуда РМ = i(b + с). Аналогично находим: PO = i(PA + PM) = i|^a+i(& + c)l=i(2a + & + c). 2 2{ 2 J 4 3. Докажите, что когда точка М делит отрезок АВ в отношении AM : МВ = т : п, а X - любая точка пространства, то Рис. 38 i РАЗДЕЛ 1 ХМ =- т + п ХА + т т + п ХВ. РЕШЕНИЕ. ХМ + МА = ХА, ХМ + МВ = ХВ. Следовательно, пХМ + пМА = пХА, тХМ + тМВ = тХВ. Если сложить почленно эти векторные равенства и учесть, что пМА + тМВ = б, получим (т + п)ХМ = пХА + + тХВ, откуда ХМ = - п -ХА + - т ХВ. т+п т+п 4. Компланарны ли векторы: а) 5 = (1; 3; -2), 5 = (-2; -6; 4), S = (0,5; 1,5; -1); б) а = (-1; 2; 1), 5 = (-2; 5; 3), с = (4; -5; -1)? РЕШЕНИЕ, а) Соответствующие координаты данных веК’ торов пропорциональны, поэтому эти векторы коллине-арны, а следовательно, компланарны. Они или лежат в одной плоскости, или параллельны одной плоскости. б) Векторы аиЬ ае коллинеарны, поскольку их соответствующие координаты не пропорциональны. Если вектор с можно разложить по векторам а и Ь, то векторы а, 6 и с будут компланарными. Если такое разложение невозможно, векторы не будут компланарными. Поэтому установим, существуют ли такие числа а и Р, что с = аа + -I- р5, т. е. имеет ли решения система уравнений -а-2р = 4, ■ 2ач-5р = -5, а + Зр = -1. Суммируя первое и третье уравнение, получим, что Р = 3. тогда а = -10. Следоватёльно, с = -10а + 35. Это значит, что векторы а, 6, с - компланарны. к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 185. Найдите сумму и разность векторов: а) а = (-2; 0; 3) и 5 = (1; 1; 0); б) с = (-2; -1; 4) и 5 = (3; 1; -1). 186. Даны векторы а = (2; -3; 1), В = (-4; 1; 2). Найдите координаты векторов а + В; а - В; 5 - а; а + а; 5 - 5. 187. Умножьте вектор т = (-6; 4; 0) на: 2; -3; 0,5; . 4 Координаты, геометрические преобразования и векторы... 188. 189. 190. Коллинеарны ли векторы: а) а = (1; 1; 2) и 6 = (2; 2; 4); б) а = (1; 2; 3) и Ь = (3; 2; 1); в) а = (2; 4; 7) и 6 = (1; 2; 3,5)? Найдите сумму векторов: а) АХ + ХВ; б) MN + NP + РК. Найдите разность векторов: а) ХА - XT', б) МА - MD. 191 Найдите сумму векторов: а) а = (3; 1; -2), Ь = (3; -2; 5); б) 5 = (-2; 4; 11), & = (2; 6; 21); в) 5 = (-3,2; 4,6; 3), В = (-0,2; 2; 3,5); 192. Найдите сумму векторов ic= 0; 3; — 1 ^ I 4j 2=1-4;-; 2 |. 1 - II 1 3 и 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201. 202. Найдите сумму векторов: а) СХ и ХР; б) ВТ и АВ; в) АВ, ВС, CD ъ Ж. ABCD - тетраэдр. Чему равен АС + CD + DB? Докажите, что когда О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, то ОА + ОВ + ОС + OD = б. Докажите, что когда О - центр правильного шестиугольника ABCDEF, то ОА -I- ОВ + ОС + OD + ОЕ + OF = б. Найдите разность а - В, если: а) а = (4; 1; 5), В = (3; 5; -1); б) а = б, & = (3; 4; -2). Пусть О - центр правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что: а) АВ - ВС = ОВ; б) АВ - DC = АО._ Дан куб ABCDAjBjCjDj, у которого АВ = а, AD = В, AA.^ = с. Выразите через векторы а. В, с векторы ADj^, Ш, АС[, Afi. - 13 Умножьте вектор а = (3; -4; 2) на: 3; —; —; 0. Дан вектор р = (6; -8; 0). Найдите координаты вектора: а) 2р; б)-р; в)-1,5р; г) ip; р)0 -р. Даны векторы о = (-1; 3; 7) и & = (6; 2; -8). Найдите координаты вектора: а) 2а + ЗЬ; б) —а—Ъ; 2 4 в) 0,5о - 1,55. 1 I РАЗДЕЛ 1 203. Найдите длины векторов За = (2; 0; -3), Ь = (5; -1; 2). - 6 и 2а + 3&, если а = 204. Разложите по ортами вектор: а)а = (3; -4; 7); б) 6 =| 1 3 acj + Ье^ - сву 205. Найдите координаты вектора 2е^ + — е^. 206. Найдите числа а, Ъ, с, если т = (2; 3; 4) 207. Коллинеарны ли векторы а — 2Ь w. с, если а = (2; -2; 4), Ь = (-1; 3; 2), с = (-8; 16; 0)? 208. При каких значениях k векторы а и & коллинеарны: а) а = (2; k; -3), В = (-4; 10; 6); б) а = (k; -2; -1), В = (-3; 6; ЗА)? 209. Докажите, что векторы а, В, с компланарны, если: а) а = (-2; 4; 6), В = (-1; 2; 3), с = (1; -2; -3); б) а = (1; 2; 5), В = (0,3; 0,2; 1), с = (-3; -2; -10). 210. Даны точки А(-3; 2; 5), Б(4; -1; 2), С(1; 0; -2), D(-2; 6; 1). Найдите координаты векторов: AB + CD;AC + BD; AD + ВС\ Ж + BD; Ж + DC. 211. Даны векторы с = (3; -2; 1), В = (2; -3; -1), с = (-1; 5; 7). Найдите: \а + Ь|; |а + с|; |2а + Зс|; \В - 2а\; |2Ь - cj. 212. Докажите, что когда О - точка пересечения медиан треугольника АВС, то ОА + ОВ -f ОС = б. 213. Найдите числа х, у, г, если р = а + В, а = (х; 2; г), В = (-3; 2у; Зг - 1) и: а) р = (1;-5; 3); б) р = (3;-7; 12); в) р = (-1; 6;-9). 214. Найдите координаты вектора а, сонаправленного с вектором р, если р = (2; -2; -1) и |а| = 6. 215. Найдите координаты единичного вектора, противоположно направленного к вектору с = (1; -3; 2). 216. Лежат ли точки А, В, С на одной прямой, если ОА = = (-1; 2; -6), ОВ = (2; -4; 3), ОС = (2; -4; 6)? 217. Найдите координаты точки Р, лежащей на прямой MN, если М(4; -1; 2), ЛГ(3; 2; 1) и |мр| = 2ч/п. 218. Найдите все значения а, при которых векторы тип коллинеарны, если: а) m = (-1; 4; -2), п = (2; а; 4); Координаты, геометрические преобразования и векторы... б) 7П = (а 4-1; 2; а), п = (1; а; 2); в) m = (3; 5 - а; а), л = (5 + а; 7а + 1; 2). 219. При каких значениях а и Ь точки С принадлежат одной прямой, если АВ = (-1; а; Ь), АС = (3; 6; -1)? 220. Компланарны ли векторы: а) 5 = (-2; 1; 1), В = (1; -1; 2), с = (0; 2; -1); б) 5 = (1; -2; -1), В = (3; -4; 2), с = (-1; 4; 6)? 221. Векторы т,п,р- некомпланарны. Докажите, что компланарными являются векторы а = -2т + п - 2р, В = -Зт 4-4- 4,5л - 7р, с = т - 2п + Зр. 222. Даны векторы а = (1; 2; -3), В = (0; 3; 1), с = (2; 5; 2) и т = (4; 0; -7). Найдите числа а, & и с такие, чтобы выполнялось равенство т = аа + ЬВ + сс. 223*. Докажите, что каждый отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, проходит через центроид тетраэдра и делится им в отношении 3:1. 224*. Докажите, что когда О - центр правильного многоуголь-никаА^А^у.Л^, то ОА^ 4- ОА^ 4- QAg 4- ... 4- ОА^ = б. Упражнения для повторения 225. Найдите скалярное произведение векторов а = (-1; 4) и В = (2; 5). 226. При каком значении а векторы т = (-1; а) и л = (9; а) перпендикулярны? 227. Точки А, В, С, D не принадлежат одной плоскости. Через точку D проведите прямую, параллельную плоскости АВС. §7 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ Углом между двумя ненулевыми векторами называют угол между соответствующими им направленными отрезками, выходящими из одной точки. От выбора этой точки мера рассматриваемого утла не зависит. Считают, что угол между противоположно направленными векторами равен 180°, а между сонаправленными - 0°. Г 45 РАЗДЕЛ 1 Рис. 39 f Теперь введем понятие скалярного произведения двух векторов пространства. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Если угол между векторами а и Ь равен ф, то их скалярное произведение а • 6 = |а| • |&1 • совф. Если хотя бы один из векторов а или Ь нулевой, то а • Ь = 0. Пример применения скалярного произведения векторов известен из физики. Механическая работа А, которую выполняет постоянная сила F при перемещении S (рис. 39), равна скалярному произведению данных векторов: А = F • S = |F| • |i| • совф. Применяется это понятие и в геометрии. Из определения скалярного произведения векторов следует, что отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов АВ и CD равно нулю (признак перпендикулярности векторов). Важны и другие последствия. Чтобы пользоваться ими, надо знать свойства скалярного произведения векторов. Теорема 5. Скалярное произведение векторов а=(д:^; у^; г^) и Ь = У г Zg) равно -t- i/jpg -I- г^г^. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отложим данные векторы а и 5 от начала координат (рис. 40). Им соответствуют направленные отрезки ОА и ОВ, концы которых А(х^; у^; Zj) и В(х^; у^\ г^. Если данные векторы неколлинеарны, то АВО - треугольник. По теореме косинусов АВ2 = ОА^ + ОВ2 -2'ОАОВ откуда ОА ОВ совф =—(ОА* + ОВ* - АВ^). 2 Mxi\yi\Zi) сов ф. (*) Выразим квадраты длин векторов ОА, ОВ и АВ через их координаты: ОА* = X* -f- у* 2*, ОВ^ = X* + у* -f 2*, Рис. 40 + (Уг - + <^2 " ^j)*. Щx2^,Уг^г2) Координаты, геометрические преобразования и векторы... Поэтому 5-6 = |al|&|cos(p = QAOScos(p = ifjCi +i/f +z^ +1/2 +г| - 2 ' -(^2 - ^1 )^ - (У2 -У1 )^ - (^2 -2l )^ ) = + У1У2 + 2i22 . Доказанное соотношение справедливо и для углов ф, которые равны 0° или 180° (рис. 41). Ведь в первом из этих случаев АВ^ = \ОА - ОВ|2 = ОА^ + ОВ^ -- 2 • ОА • ОВ • соз0°, а во втором АВ^ = {ОА + OBf = ОА^ + ОВ2 -2-ОА-ОВ- cosl80°. Следовательно, доказываемая теорема правильна и для коллинеарных векторов. Всегда а ■ 5 = + г^г^. ПРИМЕР. Если а = (2; -1; 4), Ь = (1; 0; 3), то о • 6 = 2 • 1 + (-1) • о + 4 • 3 = 14. Какими б не были векторы а = (х^; у^; z^), Ъ = {х^; у^^; г^), с = {х^; у^; Zg), всегда а'б = Ь- аи(а + Ь)-с = а- с + Ь*с. Истинность этих свойств следует из тождеств: ^1^2 + У1У2 + = ^2^1 + У2У1 + (Xj -f Х2)х^ + (yj + Уд)Уз + (2j + 2д)2з = = (^1^3 + У1У3 + ^1^з) + (^2^3 + У2У3 + ^з^з)- Скалярное произведение а • а обозначают и называют скалярным квадратом вектора а. По определению скалярного произведения а • а = |а| • |а| • cos0° = |ар, откуда следует, что |а| = Доказанные свойства дают возможность сравнительно легко выполнять преобразование векторных выражений - по тем же правилам, по которым выполняют тождественные преобразования алгебраических выражений. С другой стороны, зная скалярное произведение двух векторов и их длины, можно легко вычислить косинус угла между ними. А это дает возможность применять скалярное произведение векторов во время решения многих задач. О ЗАМЕЧАНИЕ. Почему говорят скалярное произведение век-торов, а не произведение векторов? Потому что в высшей математике рассматривается еще векторное, косое и другие произведения. Косым произведением векторов о и Ь называют (Р '47 РАЗДЕЛ 1 © ЧИСЛО, равное произведению модулей этих векторов и синуса ориентированного угла между первым и вторым векторами. Векторным произведением векторов а я 5, угол между которыми равен ф, называют такой вектор с, что 1) |с1 = |а| • |Ь| ■ 81пф; 2) с ± а, с ± 6; 3) вектор е направлен так, что из его конца кратчайший поворот от а до 5 виден против движения часовой стрелки. Важную роль тут играет и ориентация пространства, утла и т. п. Поэтому для таких произведений переместительный закон не имеет места. ••• а 1. 2. 3. 4. 5. 4. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте определение угла между двумя векторами. Чему равно скалярное произведение векторов а = (х^; уг^) и 6 = (х^; у^; Чему равно скалярное произведение векторов, по крайней мере один из которых нулевой? Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов. Как найти длину вектора а? П Выполним вместе 1. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А(1; -3; -5), В(1; 1; -2), СИ; 3; 3). _ _ РЕШЕНИЕ. Введем векторы АВ и АС (рис. 42) и найдем их координаты АВ = (0; 4; 3), АС = (0; 6; 8)._ _ По определению скалярного произведения АВ • АС = |АВ| х X |АС| • созА. Поэтому соя А = . IabMacI в Поскольку АВ • АС = 0 + 24 + 24 = 48, |Ав1 = >/0+1бТ9=5, 1^1 = >/0+36+64=10, то 48 24 cosA=----= —. ^ 5 10 25 С 24 Рис. 42 ОТВЕТ. ZA = arccos- 25 48 IS& Координаты, геометрические преобразования и векторы... 2. Найдите \а + &1, если |а| = 2, |ь| = з7з, (а;&) = 30°. РЕШЕНИЕ. Поскольку |а| = то |а + &| = ^(а + Ь)^ =4а?‘ +2аЪ + Ь^ =>/|а|^ +2|а||&|-со830°+|б|* = = ^2Ч2-2-3>/з~+(з>/з)^ =V4 + 18 + 27 = n/49=7. ОТВЕТ. |а + Й = 7. 3. Найдите косинус угла между векторами а = (1; 2; 2) и & = = (2; 3; 6). РЕШЕНИЕ. аЪ С08<р = —-г:;т = 1 2+2-3+2-6 20 20 |а|-|ь| Vl^ + 2^+2^ •V2^+3^+6^ З 21 20 ОТВЕТ. С08ф = —. 21 4. Дан куб ABCDA^BjC^Dy Докажите, что B^D JL DjC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. I способ. Расположим данный куб в прямоугольной системе координат (рис. 43, а) и введем векторы BjZ) и DjC. Поскольку В^(0; 0; а), D(a; а; 0), I)j(a; а; а), С(0; а; 0), то B^D = (о; а; -о), 1>^С = (-а; 0; -а). Тогда BjD • DjC = -а^ + 0 + = 0. Следовательно, BjB ± DjC. Из чего следует, что перпендикулярными будут и отрезки B^D и DjC. II способ. Введем векторы DC = а, ДА = &, DD^ = с (рис. 43, б). Тогда В^Д = BjB + ВД = -с - а - 6, D^C = DC - DD^ = = а - с. Тогда В^Д • Д^С = -(а -f 6 + с)(а - с) = -(а^ -с^ + + а • В - 6 • с) = -(jaP - |с|^) = о, так как а-& = 0и&*с = 0. Следовательно, B^Д ± Д^С. Cl В i \Дг V 1 ч с\ ^ А /а б) Рш:. 43 11 М(пя) 49 РАЗДЕЛ 1 1 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Вл Ai В). Cl 228. ABCDA^B^C^D^ - куб с ребром 1 (рис. 44). а) Найдите угол между векторами: АВ и AD; AAj и AD; BD и ВС; ВС и BjCj; АВ и ADj и AD; AAj и ВВ^; В^В и DDy б) Найдите: АВ • AD; ВС • DD^; DC • АВ; AAj • DjB; ABj • AAj. 229. Найдите угол между двумя единичными векторами, если их скалярное произведение равно: 1 ^ л/2 D Рис. 44 а) -; б) —; в) 0; г) 1; д) -0,5; е) — 230. 231. 232. Найдите скалярное произведение векторов а и Ь, если: а) а = (0; 1; 2), 5 = (-3; 0; 1); б) а = (1; 1; 1), Ь = (2; 3; 4); в) а = (6; 0; -3), В = (-2; -5; 0); г) 5 = (4; 2; 1), В = (4; -2; -1). Какой знак имеет скалярное произведение двух векторов, если угол между ними: а) острый; б) тупой? Укажите вид угла между векторами, если их скалярное произведение: а) равно нулю; б) положительное; в) отрицательное. 233. В треугольнике АВС ZA = 50°, ZC = 90°. Найдите углы между векторами: а) ВА и ВС; б) СА и АВ; в) АВ и ВС. 234. Найдите скалярное произведение векторов а и В, если их длины и угол между ними равны: а) 5, 12, 60°; б) 3, 72, 45°; в) 5, 6, 120°; г) 4, 7, 180°. 235. Треугольник АВС - равносторонний, АВ = 12. Найдите скалярное произведение: а)АВ-АС; б)АВ - ВС. 236. Найдите скалярное произведение векторов: а) о = (1; 2; -3) и В = (-8; 2; 4); б) т = (-2; -3; 2) и л = (2; 3; 0,5); Координаты, геометрические преобразования и векторы... в) р = (-3; -7; 1) и ft = (-2; 10; -6); ^1 2 3 ^ и а = (2; 3; -10). г) с = 2’ 3’5 237. Даны векторы р = (1; -5; 2), q = (3; 1; 2). Найдите скалярное произведение векторов: а) р + дир- q; б) р + 2q и Зр - q; в) 2р + q и Зр - 2q. 238. Найдите косинус угла между векторами а и Ь, если: а) а = (1; 2; 0), Ь = (3; 1; 1); б) а = (2; 6; 4), В = (3; 0; -1); в) а = (-4; -8; 1), В = (-3; 3; 0); г) а = (-3; -4; 0), В = (3; -1; 2). 239. Найдите угол между векторами: а) а = (-2; 0; 2),_В = (0; 0; 4); б) х = (1; 1; 0), у = (0; -1; 1); в) с = (0; 0; 2), d = (1; 0; -1); г) р = (0; 2; 2), ft = (3; 0; 3). 240. Докажите, что треугольник с вершинами в точках А(2; 1; 3), В(7; 4; 5), С(4; 2; 1) - прямоугольный. 241. При каких значениях х векторы mvin перпендикулярны: а) m = (1; 2; 3), п = (х; 3; 1); б) т = (-3; х; 2), п = (9; х; 1); в) т = {х + 2; х; 3), п = (1; 3; -2); г) m = (JC - 3; х; 1), п = (4; х; -Зх)? 242. Найдите длину вектора а, если он коллинеарен вектору б = (2; -1; 2) и а • 6 = 18. 243. Вычислите угол между векторами а и В, если: а)|а| = 2, |б| = л/3, а В = 3\ б) |о| = 2V2, |б1 = 2, а В = -4. 244. Дано: |а| = |б| = |с| = 1, а 1 с, (а; В) = {В; с) = 60°. Вычислите скалярное произведение: а) (а Ч- В)(а - с); б) (2а + В)(ЗВ - 2с). 245. Вычислите |а + б| и |а - б|, если: а) [а] = |Ь] = 1, а ± Ь; б) |а| = 2, |б| = 5, а J. Ь; в) \В\ = |б] = 1, (O) = 60°; г) |а{ = 3, |Ь1 = 4, (О) = 120°. РАЗДЕЛ 1 246. Под действием силы 20 Н, приложенной под углом 30° к направлению перемещения, физическое тело переместилось на 3 м. Найдите выполненную этой силой работу. 247. Все ребра пирамиды SABCD равны, а в основании лежит квадрат ABCJD (рис. 45). Найдите угол между векторами: а) ^ и в) SB и SD; г) АС и BI); д) AS и АС. 248. Докажите, что если длины ненулевых векторов а и & равны, то векторы а + Ь и а - Ь перпендикулярны. 249. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если: а) А(0; -1; 1), В(-4; -1; -2), С(-3; -5; 1); б) А(2; -1; 1), В(0; 1; 3), С(-1; 1; 0). Даны точки А(1; 4; 8) и В (-4; 0; 3). Под каким углом отрезок АВ видно из начала координат? Даны три точки: А(0; 2; -1), В(1; 0; 1), С(-1; 1; 2). Найдите координаты точки D, чтобы выполнялось условие AD ± ВС, если точка D лежит: а) на оси Ох; б) на оси Оу; в) на оси Ог. 250. 251. 252. Даны векторы а = (3; 4; 5) и & = (-1; 2; 0). Найдите число I, при котором вектор а + 1Ъ перпендикулярен к вектору о. 253. Вычислите \а -t- если |а| = 13, = 19, |о - ^ = 24. 254. Вычислите скалярное произведение векторов а mb, если: а) |а| = 2, |Ь1 = 3, |о + 6| = 19; б) |а -Ь Ь| = |а - в) 1а + Ь| = 3, |о - 6] = 1. 255. Дано: |а| = |б| = |е| = 1, (о; ft) = (Ь; с) = 60°, Ь L с. Найдите длину вектора: а) а + 3&; б) а - 2с; в) а -f Ь + с. 256. Вычислите угол между векторами т = 2а-2Ь-сип = а + + 2Ь + с, где а, 5 и с - единичные взаимно перпендикулярные векторы. 257. Найдите координаты вектора а, если его длина равна 2у1з и он перпендикулярен к векторам m = (1; -2; 1), п = = (2; 1; -3). ,52 i Координаты, геометрические преобразования и векторы... г 258. Высота правильной треугольной призмы в 2 раза больше стороны основания. Найдите угол между прямыми: а) CAj и BCj; б) AS^ и ВС^. 259. Найдите углы между медианами двух граней правильного тетраэдра. Упражнения для повторения 260. Вектор, длина которого 10, имеет одинаковые координаты. Найдите их. ___ 261. От точки А(2; -5; 1) отложен вектор АВ = а. Найдите координаты точки В, если а = (1; 3; -2). 262. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA.^B^C^D^ плоскостью, пpoxoдяп:^eй через точки М, N, Р, если М е BjCj, N е CCj, Р еАВ. §8 ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ Векторы часто применяют в математике и физике. В геометрии с их помощью доказывают теоремы и решают интересные задачи. Многим свойствам геометрических фигур соответствуют те или иные векторные равенства. Например, если: ОА = ОВ - точки А и В совпадают; АВ = kCD - прямые АВ и CD параллельны; АВ = kAC - точки А, В, С лежат на одной прямой; ОА = хОВ + уОС - точки О, А, В, С - одной плоскости; АВ • CD = о - прямые АВ и CD перпендикулярны; о • Ь = 1а| • |Ь| • cos ф - угол между векторами а и Ь равен ф. Пользуясь такими соотношениями, можно решать геометрические задачи. Для этого данные в задачи соотношения между геометрическими объектами сначала как-бы «переводят» на язык векторов. Потом преобразовывают найденные векторные равенства и опять «переводят» их на обычный язык геометрии. Особенно часто при этом применяют теорему о центроиде системы точек. Точку G называют центроидом п данных точек Aj,Ag, ..., если GAj + GAg -f ... + GA^ = б (рис. 46). 53 РАЗДЕЛ 1 *G 4 •Л5 '^4 Рис. 46 t Теорема 6. Если G — центроид п точек А^, А^, а X — произвольнсм точка пространства, то XG=HxAi + XA2+... + XAn). п ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любых точек X, G, А^, А^, .... А^ выполняются векторные равенства ХА. = XG + GA., i = 1, 2, .... п (рис. 47). Сложив их, получим XAj + XAg + ... + ХА^ = nXG + GAj + GA^ + ... + GA^. Если G - центроид точек Aj, A2, .... A^, то сумма n последних слагаемых этого векторного равенства равна 0. Следовательно, nXG = XAj + XAg + ... -f- XA^. Умножив обе части этого равенства на —, получим то, что и нужно было доказать. ” Следствие. Если G — середина отрезка АВ, или точка пересечения медиан треугольника АВС, или центроид тетраэдра ABCD (рис. 48), то соответственно: 2 3 Ш=Нш+Ш+хс+Ш). 4 Рис. 48 Ш Координаты, геометрические преобразования и векторы.. Центроид тетраэдра - то же самое, что и центроид его вершин. ЗАДАЧА. Докажите, что уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору п = (а; Ь; с), имеет вид ах + by + сг + d = = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть плоскость а проходит через точку .А(Хд; г^) перпендикулярно к вектору п = (а; Ь\ с), а М(х; у; г) - произвольная точка плоскости а (рис. 49). Векторы п = (а; Ь; с) и AM = {х - у - у^\ г - перпендикулярны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: а(х - х^) + Ь(у - j/q) -t- с(г - г^) = 0. (*) Это - уравнение плоскости, которая проходит через точку A{Xq\ у^; Zg) и перпендикулярна к вектору п = (а; Ь; с). Этот вектор называют нормалью к плоскости. Если в уравнении (*) обозначить аХд -I- Ьуд -f czg = -d, его можно подать в виде ах + by + сг + d = Q. Это - общее уравнение плоскости. Используя векторный метод, можно записать и уравнение прямой, проходящей через точку Мд(Хд; Уд\ и параллельной вектору S = (т; п\ р), который называется направляющим вектором данной прямой. Возьмем на искомой прямой I произвольную точку М(х; у; г). Тогда векторы МдМ и s - коллинеарны, т. е. _у-Уо _z-2q т п р кое уравнение прямой, где числа т, п, р - координаты направляющего вектора данной прямой. Учитывая, что уравнение плоскости задает координаты вектора, перпендикулярного к этой плоскости, а уравнение прямой - координаты направляющего вектора, то, используя свойства векторов, можно находить угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями. Используя векторный метод, можно доказать еще одну очень полезную формулу, а именно - формулу расстояния от точки до плоскости. Расстояние d от точки Мд{Хд\ у^; Zg) до плоскости, заданной уравнением ах + by + cz + d = 0, опреде- 71 WXg -t- Ьуд +CZg+d\ ляется по формуле d = ■——■. Предлагаем доказать эту формулу самостоятельно. Получили уже известное вам каноничес- 55 I щи РАЗДЕЛ 1 It • • ■ « • • » ж i » ш • Следовательно, векторным методом можно решать не только задачи, содержащие векторы в условии, а более широкий класс задач. Но помните, что при решении таких задач нужно сначала ввести векторы и сформулировать условие задачи на векторном языке. ЗАДАЧА. ABCDA^B^C^D^ - параллелепипед, М - точка пересечения медиан треугольника (рис. 50). Докажите, что прямая АС^ проходит через М. В каком отношении точка М делит отрезок ACj? РЕШЕНИЕ. По правилу параллелепипеда ACj = АВ + AD + + AAj. А поскольку М — точка пересечения медиан треугольника A^BD, то AM = ^{aB+AD+AAi). Имеем: AM =—ACi. Следовательно, точка М лежит на прямой ACj, причем ACj = ЗАМ, т. е. AM : МС^ = 1:2. Векторы можно применять не только в геометрии, но и при решении алгебраических задач. Особенно удобно это делать, доказывая неравенства и при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции или выражения. Например, найдем наибольшее значение функции !/ = л/х+4^1-^+Зу/2. Преобразуем данную функцию у =-Ух-ь 4 —— + 3^ = у/х +2>l2 х f У 2 X \l2-x +3-J2 и учтем, что ее область определения D{y) = [0; 2]. Введем векторы a = (l;2>/2;з)иЬ={\[х;у12-х;^). Тогда данную функцию можно записать в виде у = а • Ь, ведь а • 6 = = l \fx + 2yf2 yl2-x + 3 yj2. Поскольку |а| = >/1+8+9 =-718=372, \b\ = yJx + 2-x + 2= 2, то р = а-5=|а|-|ь|-со8(р=б72со8<р. Поэтому наибольшее значение функции равно 6>/2 и достигается тогда, когда значение сое ф - наибольшее, т. е. если со8 ф= 1, а ф = 0°. Найдем, при каких х функция принимает наибольшее значение. Поскольку ф = 0°, то векторы а и Ь - сонаправлены, тогда их координаты пропорциональны, т. е. 1 272 3 [з7х=72, 2 у1х 72-х 72 , ,--- откуда х=-. з72^=4, 9 56 Координаты, геометрические преобразования и векторы... Следовательно, наибольшее значение функции равно 6\/2 и 2 достигается при ^ ~ g • ••• • / 1. ^ л. '' 3. 4. 5. 7, U ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое векторный метод решения задач? Какие векторные формулы вам известны? Как на языке векторов записать, что прямые параллельны; перпендикулярны; что точки совпадают; принадлежат одной прямой? Можно ли применять векторный метод к задачам, условие которых не содержит векторов? Как это сделать? Можно ли применять векторный метод к решению задач по алгебре? Приведите примеры. Сформулируйте теорему о центроиде п точек. Какой вид имеет уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору п = (а; Ь; с)? Выполним вместе 1. М- точка пересечения медиан грани АВС тетраэдра РАВС, РА = 3, РВ = 6, PC = 9 и ZAPB = ZBPC = ZCPA = 0L Найдите РМ. РЕШЕНИЕ. РМ=НрА + РВ + РС) 3 (рис. 51). Поэтому рм^=-{ра^+рв^+рс^+2-Шрв+ 9 + 2РВРС+2РСРА)= ^(3^+6Ч9Ч 2cosa(3-6 + 6*9 + 9-3)) =14-1- 22cosa. ОТВЕТ. РМ = Vl4-i-22cosa. 2. Все вершины правильного треугольника лежат на сфере, центр которой совпадает с центром треугольника. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки сферы до вершин треугольника постоянна (не зависит от положения точки на сфере). РАЗДЕЛ 1 QA, OB, OC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС - правильный треугольник, а М - точка на сфере радиуса г (рис. 52). МА = МО -Н бА, ШВ =^0 + ОВ, МС = МО + бс. Следовательно, МА2 = MQ2 + ОА^ + 2 МО МВ^ = МО^ + ОВ^ + 2- МО МС^ = МО^ + ОС^ + 2 - МО Сложим эти равенства: МА^ + МВ^ -Ь М^ = ШО^ ^0А2_+ 0В2 + ОС2 + 2МО ■ (ОА + ОВ + ОС). Учитывая, что ОА -Ь ОВ -I- ОС = б и что МО^ = ОА^ = ОВ^ = = ОС^ = г^, получим МА^ + МВ^ + МС^ - 6г^. Это значение одно и то же для любой точки М на сфере. 3. Докажите с помощью векторов, что когда прямая перпендикулярна к двум сторонам треугольника, то она перпендикулярна и к третьей его стороне (рис. 53). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если КР LAB и КР ± АС, то крШ = kp(Ml М) = = КР-ВА + КРАС = 0. Следовательно, КР ± ВС. jlL ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 263. Что можно сказать об отрезках АВ и CD, если АВ = 2СВ? 264. Установите взаимное положение точек А, В, С, если: а)АС = -АВ; 2 б) ВС = -ЗВА. 265. Лежат ли точки А, В, С на одной прямой, если: а) АВ = 2ВС; б) ^ = -ВС; в) \Ш\ = |ВС|? 266. Установите вид четырехзп'ольника ABCD, если: a)AB = DC‘, 6) ВС = 0,3AD. 267. Установите вид ААВС, если СА = (-2; 3; 0), СВ = (3; 2; -4). 268. Установите взаимное положение плоскостей: а) 2х -I- Зу - 5г - 16 = о и 2д: -I- Зу - 5z -Ь 12 = 0; б) Здг - 2у - 3z - 5 = о и X -Ь Зу - Z -f- 2 = 0. Координаты, геометрические преобразования и векторы... ■J 269. Составьте уравнение плоскости, которая перпендикулярна к вектору п = (5; 0; -3) и проходит через точку А(2; -1; 4). 270. Даны точки А(1; 2; -3) и В(4; -2; 4). Составьте уравнение плоскости, которая перпендикулярна к прямой АВ и проходит через точку А. 271. Дана точка А(а; Ь; с). Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат О перпендикулярно к прямой ОА. 272. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку А(1; -3; 5) и параллельна плоскости 2х-3у + + 2 + 10 = 0. 273. Найдите угол х-2 у-5 2-3 между прямыми х-1 у. 1 2-2 и 2 2-2 274. Найдите угол между плоскостями 2х + 3у-г + 2 = 0и х-2у+ 2- 4 = 0. 275. Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы (х - 1)^ + (у + 1)^ -f (2 - 2)^ = 6 в начале координат. 276. В тетраэдре ABCD АВ 1 CD. Докажите, что AD^ + ВС^ = = АС^ Ч- 57)2. 277. Точки К, L, М, N - середины ребер АВ, ВС, СВ, DA тетраэдра ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников AML и CNK совпадают. 278. Докажите, что как бы не были расположены в простргшс- AiBjCjBj, то середины В тве параллелограммы ABCD и отрезков AAj, ВВ^, СС^, DD^ -вершины параллелограмма или принадлежат одной прямой (рис. 54). 279. Дана неплоская замкнутая ломаная ABCDA. Длины звеньев АВ и CD равны а и б, а угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен ф. Найдите расстояние между серединами звеньев AD и ВС. 280. Используя векторный метод, докажите теорему о трех перпендикулярах. 281. Основанием призмы ABCA^BjCj является равносторонний ЛАВС. ZAjAB = ZAjAC. Докажите, что AAj ± ВС. ь л 59, РАЗДЕЛ 1 282. Медианы граней DAB и ВАС тетраэдра ABCD пересекаются соответственно в точках Mj и Mg. Докажите, что MjMg || ВС. 283. Концы отрезка АВ лежат на перпендикулярных плоскостях, пересекающихся по прямой т. Расстояния AAj и BBj от точек А и В до прямой т равны соответственно а и 6, а AjBj = с. Найдите длину отрезка АВ (рис. 55). 284. Три ребра тетраэдра, выходящие из одной верптины, равны, углы между ними также равны. Докажите, что каждое ребро такого тетраэдра перпендикулярно к противоположному. 285. Точка К - середина ребра АС правильного тетраэдра ABCD. Найдите косинус угла между прямыми АВ и KD. 286. Найдите косинус угла между прямыми, принадлежащими скрещивающимся медианам двух граней правильного тетраэдра. 287. Все вершины правильного тетраэдра лежат на сфере. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки сферы до вершин тетраэдра постоянная. 288. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ диагональ BBj перпендикулярна к плоскости, проходящей через точки А, В^, С. Докажите, что ABCDA^B^C^D^ - куб. 289. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^C^Dy Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки пространства до вершин А, By Су D равна сумме квадратов расстояний от этой точки до вершин Aj, В, С, Z)j. 290. Найдите угол между прямой, проходящей через точки А(1; 3; -2) и В(-3; 4; -1), и плоскостью дг + Зу- 2 + 3 = 0. 291. Найдите множество точек, равноудаленных от плоскостей: а) 2х - Z/ + Зг - 5 = о и 2х - I/ + Зг + 3 = 0; б) 2х + у - 2z + 5 = о и X - 2у + 2г - 4 = 0. 292. Найдите расстояние между двумя скрещивающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а. 293. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD, если А(2; -1; 0), В(3; 2; 1), С(1; 2; 2), D(-3; 0; 4). 294. Найдите наибольшее значение выражения: а) y = \Jl-x + \ll + x; 6)i/ = 3x+4a/i-x* +5. ■x + \fl + x; При каком значении х оно достигается? 1(60 Координаты, геометрические преобразования и векторы... Упражнения для повторения 295. Найдите скалярное 1^оизведевие векторов т = 2а - Ь w. л = а + 36, если а и Ь - единичные взаимно перпендикулярные векторы. 296. Найдите длину вектора а, если а = Зтл -Ь п + р, где |/л| = |п| = 1р| = 2, а углы между ними 60°. 297. Как разрезать куб на три равные четырехугольные пирамиды? А на шесть равных четырехугольных пирамид? §9 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВИЖЕНИЯ Если точки данной фигуры F сместить каким-либо способом, получим новую фигуру Fy Если разные точки первой фигуры смещаются (отображаются) на разные точки второй, говорят о преобразовании данной фигуры. Все пространство - также фигура. Поэтому можно говорить и о преобразовании пространства. В стереометрии, как и в планиметрии, из всех преобразований важную роль играют движения. Движением называют преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Далее мы рассмотрим важнейшие движения пространства: симметрии (относительно точки, плоскости, прямой), поворот, параллельный перенос и др. Но сначала докажем общие свойства всех движений. Теорема 7. Точки, принадлежащие прямой, в результате движения переходят в точки, принадлежащие прямой, и сохраняется порядок их взаимного положения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точки А, В и. С лежат на прямой, причем В - между А и Q, т. е. АВ + ВС-АС (рис. 56). Если какое-либо движение отображает данные точки на Ау By Су то вследствие сохранения расстояний между точками AjBj = АВ, А^С^ = АС, В^С^ = ВС, т. е. имеет место равенство + BjCj = ~ AjCj. А это значит, что точка Bj лежит Между Aj и Cj. Теорема доказана. 61 РАЗДЕЛ 1 СЛЕДСТВИЕ. Движение отображает прямую на прямую, лун - на луч, отрезок — на отрезок, равный данному. f Теорема 8. Движение отображает треугольник на треугольник, равный данному. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дан произвольный треугольник АВС (рис. 57). Движение отображает его стороны АВ, ВС, СА на отрезки А^В^, B.Cj, CjAj, образующие треугольник А^В^С^. При этом, вследствие сохранения расстояний AjBj = АВ, BjCj = ВС, CjAj = СА. Следовательно, по трем сторонам AAjBjCj = = ААВС. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Движение отображает угол на угол, равный ему. Можно доказать, что движение отображает плоскость на плоскость, тетраэдр - на тетраэдр и т. п. Определение симметрии относительно точки, известное из планиметрии, остается правильным и для стереометрии. Точки А и Aj называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка AAj. Преобразование, при котором каждая точка данной фигуры отображается на точку, симметричную ей относительно О, называется симметрией относительно точки О. Например, если даны тетраэдр ABCD и точка О (рис. 58), то, построив точки Aj, Bj, Cj, Dj, симметричные вершинам данного тетраэдра относительно О, получим вершины нового тетраэдра A^B^C^D^, симметричного данному. t Теорема 9. Симметрия относительно точки - движение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть симметрия относительно точки О отображает любые две точки А и В на точки Aj и By Докажем, что AjBj = АВ (рис. 59). Поскольку ОА = -OAj и ОВ = -ОВу то АВ = ОВ - ОА = ОА, - ОВ, = В.А Координаты, геометрические преобразования и векторы... Вектор АВ равен вектору BjA., следовательно, равны и их длины: АВ = -BjAj. А это и надо было доказать. Из доказанного равенства АВ = В^А^ следует также, что отрезки АВ и A^B^ параллельны или принадлежат одной прямой. Следовательно, симметрия относительно точки отображает прямую на параллельную прямую (или такую, что совпадает с ней), плоскость - на параллельную плоскость (или такую, что совпадает с ней). Если симметрия относительно некоторой точки О отображает данную фигуру на ту же фигуру, такую фигуру называют центрально-симметричной, а точку О - ее центром симметрии. Например, центрально-симметричной фигурой является каждый параллелепипед. Точка пересечения диагоналей - его центр симметрии (рис. 60). Центрально-симметричной является правильная л-угольная призма, если п - число четное. Ни одна пирамида не имеет центра симметрии. 1. 2. 3. и ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое геометрическое преобразование? А движение? Какие две точки называются симметричными относительно данной точки? А две фигуры? Что такое симметрия относительно точки в пространстве? Какие ее свойства? Какие фигуры называют центрально-симметричными? Приведите примеры. Выполним вместе что движение отображает плоскость на 1. Докажите, плоскость. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а - произвольная плоскость (рис. 61). Построим на ней треугольник АВС. Вследствие движения он отобразится на AAjBjCj, принадлежащий некоторой плоскости Oj. Покажем, что в результате такого движения плоскость а отображается на а^. Пусть К - произвольная точка плоскости а. Проведем через К прямую, пересекающую ААВС в точках Р и Т. Прямая КТ отображается движением на прямую К^Т^, пересекающую Ка^В^С^ в точках и Т^. Поскольку 63 РАЗДЕЛ 1 Pj 6 ttj И Tj е ttj, ТО И JTj е ttj (аксиома Cg). Получается, в результате рассматриваемого движения любая точка К плоскости а отображается на точку плоскости Oj. И любая точка плоскости ttj является образом некоторой точки К данной плоскости а. Следовательно, существует движение, отображающее плоскость а на Oj. 2. Найдите координаты точки, симметричной точке А(1; 2; 3) относительно точки М(а; Ь; с). РЕШЕНИЕ. Пусть Aj(x; у; г) - искомая точка. Поскольку .ж/ L ч ж ж х + 1 , у+2 г+3 М(а; о; с)-сере дина отрезка АА^, то а = —;^, Ь = -- - с=- откуда X = 2а - 1, у = 2ft - 2, Z = 2с - 3. ОТВЕТ. Aj(2a - 1; 2ft - 2; 2с - 3). i ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 298. Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур. 299. Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать самой фигуре? 300. Верно ли, что центрально-симметричный выпуклый многогранник имеет четное число вершин, ребер, граней? 301. Докажите, что точки А(1; 3; 5) и В(-1; -3; -5) симметричны относительно начала координат. 302. Симметричны ли точки А и Aj относительно точки О, когда известно, что ОА = OAj? 303. При некотором отражении сфера (х - 1)^ + (у - 2)^ + {г + -I- 3)^ = 1 отобразилась на сферу (х -t-1)^ + (у + 2)^ + (г - 3^ = = 4. Является ли данное отражение движением? Почему? 304. Симметричны ли любые две точки пространства относительно некоторой третьей точки? 305. В пространстве даны две параллельные прямые. Симметричны ли они относительно точки? Сколько таких точек существует? I 64 Координаты, геометрические преобразования и векторы... i** I I 306. Существуют ли точки, прямые, плоскости, которые при центральной симметрии отображаются на себя? Выполните соответствующие рисунки. 307. Могут ли два неравных отрезка быть симметричными относительно некоторой точки? 308. Найдите координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам А(1; -3; 2), В(-5; 0; 2), С(3; -1; 0), ЩО; 0; 0). 309. Найдите координаты точки М, относительно которой симметричны точки А(-3; 4; 6) и В(1; 2; -4). Найдите координаты точек, симметричных точке М относительно точек А и В. 310. Запишите уравнение сферы, симметричной сфере {х - 4)^ + + (у - 1)^ + (2 - 2)^ = 4 относительно точки 5(2; 3; -2). 311. Даны отрезок АВ и точка О, не принадлежащая прямой АВ. Постройте фигуру, симметричную данному отрезку относительно точки О. Докажите, что построенный отрезок лежит в плоскости ОАВ. 312. Постройте фигуру, симметричную данному ААВС относительно: а) произвольной точки О; б) вершины С; в) середины М стороны АВ. 313. Постройте треугольник, симметричный данному ААВС относительно точки О, которая не лежит в плоскости АВС. Докажите, что данный и построенный треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях. 314. ABCDKLMN - куб. Постройте фигуру, симметричную ему относительно: а) точки А; б) середины ребра СМ; в) центра греши CDNM (рис. 62). 315. Точки А, В, С, D расположены в про-стрешстве так, что А и С симметричны относительно В, а В и П симметричны относительно С. Можно ли через все эти точки провести плоскость? А прямую? 316. Могут ли пересекающиеся или скрещивающиеся отрезки быть симметричными относительно некоторой точки? 317. Является ли центрально-симметричной правильная призма: а) треугольная; б) четырехугольная; в) пятиугольная; г) шестиугольная? ] 318. Имеет ли центр симметрии наклонная призма, основание которой - правильный шестиугольник? 11 М(пм) 65 РАЗДЕЛ 1 319. Докажите, что центр симметрии центрально-симетрич-ного многогранника является центроидом его вершин. 320. Докажите, что движение отображает прямую, перпендикулярную к плоскости, в прямую, перпендикулярную к плоскости. 321. Докажите, что движение отображает двугранный угол в равный ему двугранный угол. 322. Напишите уравнение плоскости, симметричной плоскости x-2y + Zz-2 = 0 относительно начала координат. 323. Напишите уравнение прямой, симметричной прямой АВ относительно начала координат, если А(1; -2; 4), В(2; -1; 3). D 324. Дан правильный тетраэдр. Постройте тетраэдр, симметричный данному относительно: а) вершины тетраэдра; б) центра грани; в) середины бокового ребра. 325. Постройте параллелепипед, симметричный прямоугольному параллелепипеду ABCDA^B^CJ)^ относительно точки М такой, что BjM : MD = 3:1. Разными цветами закрасьте объединение и пересечение данного и построенного параллелепипедов. 326. Постройте тетраэдр, симметричный правильному тетраэдру ABCD относительно середины М его высоты, проведенной из вершины D (рис. 63). Разными цветами закрасьте объединение и пересечение данного и построенного тетраэдров. Рис. 63 • V Упражнения для повторения 327. Перпендикулярны ли плоскости: а) 2л: - 3i/ + 42 - 1 = О и Зх - 2у - 4г - 5 = 0; б) 5х - 6у + 2 - 12 = о и 2х + у - 4г = о? 328. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что имеет место равенство BC-M + BD-AC+AB-DC = 0. 329. О - центр окружности, описанной около ААВС. Принадлежит ли точка С плоскости, в которой лежат точки А, В, О? 66 W Координаты, геометрические преобразования и векторы... I o■^■ §10 СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО плоскости Точки А и Aj называются симметричными относительно плоскости, если эта плоскость перпендикулярна к отрезку AAj и делит его пополам (рис. 64). Преобразование, отображающее каждую точку фигуры на точку, симметричную ей относительно данной плоскости, называется симметрией относительно плоскости. I Теорема 10. Симметрия относительно плоскости -движение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть симметрия относительно плоскости а отображает точки А и Б на точки Aj и 5j (рис. 65). Докажем, что AjEj = АВ. Введем систему координат так, чтобы координатная плоскость ху совместилась с плоскостью а. Пусть координаты данных точек A(Cj; а^, Од) и B(bj; Ь^, Ь^). Симметричными им относительно плоскости а будут точки Aj(Cj; а^; -а^) и Bj(6j; Ь^; -Ь^). По теореме 1 AB = yj{bi-Oif +{bz-a2f +{Ь^~Os f , А,В, =sl{b,-a,f+{b^-a^f+{-b^+a^f. Как видим, АВ = А^В^. А это и надо было доказать. Следовательно, симметрия относительно плоскости - движение. Получается, она отображает отрезок на отрезок, равный ему, прямую - на прямую, плоскость - на плоскость, тело - на тело. Можно ли совместить (мысленно) фигуры F и F^, если они симметричны относительно некоторой плоскости? Не всегда. Например, если ребра а, Ь, с наклонного параллелепипеда F Рис. 64 ) РАЗДЕЛ 1 Рис. 66 не равны, то симметричный ему относительно плоскости а параллелепипед f ^ совместить с F невозможно (рис. 66). Говорят, что параллелепипеды F и имеют разные ориентации базисов. Они отличаются, как правый и левый ботинки одной пары, как правая и левая нарезки на болтах и т. п. Симметрия относительно плоскости изменяет ориентацию базиса. Рассмотрим куб ABCiiAjBjCjOj и плоскость а, проходящую через его ребра АА^ и CCj (рис. 67). Симметрия относительно плоскости а точки В и отображает на D и Oj, ребро ВВ^ -на ребро DDj, грань ABBjAj - на грань ADD^Aj, каждую внутреннюю точку X - на внутреннюю точку Xj этого самого куба. Говорят, что симметрией относительно плоскости а данный куб отображается на себя. Если некоторая фигура симметрией относительно плоскости а отображается на себя, эту фигуру называют симметричной относительно плоскости, а а - плоскостью симметрии данной фигуры. Например, правильная треугольная призма имеет четыре плоскости симметрии, а шар - бесконечно много. Симметричные относительно плоскости молотки, рубанки, стамески, лопаты, отвертки, кирпичи, трубы, подшипники, автомобили, самолеты, ракеты, корабли и многие другие орудия труда и механизмы, а также некоторые овощи, насекомые (рис. 68) и т.п. Учение о симметрии многогранников важно для кристаллографии. Оказывается, один и тот же кристалл в разных направлениях имеет разные физические свойства, например твердость. И обнаружить эти направления помогает исследование симметрии кристаллов. Симметрию относительно плоскости называют еще отражением в плоскости. Вспомните, как отображаются фигуры в зеркбше или на поверхности спокойного водоема: озера, реки и т. п. 68 Координаты, геометрические преобразования и векторы... • 8 ■ 1. ■ 2. 3. 4. 5. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Какие две точки называются симметричными относительно плоскости? Какие две фигуры называются симметричными относительно плоскости? Докажите, что симметрия относительно плоскости -движение. Что такое симметрия относительно плоскости в пространстве? Какие ее свойства? Фигура симметрична относительно плоскости. Что это за фигура? Приведите примеры. Какие свойства имеет фигура, симметричная относительно плоскости? Выполним вместе 1. Верно ли, что какие бы не были плоскости аир, они симметричны относительно некоторой плоскости со? РЕШЕНИЕ. Рассмотрим два случая. Если данные плоскости аир пересекаются, они симметричны относительно плоскости (О, которая проходит через прямую их пересечения, и делят угол между данными плоскостями пополам. Если плоскости аир параллельны, они симметричны относительно плоскости со, равноудаленной от а и р. Сформулированное утверждение верно. 2. Напишите уравнение плоскости, относительно которой симметричны точки А(-1; 3; -2) и В{3; 1; -4). РЕШЕНИЕ. Если точки А и В симметричны относительно плоскости, то эта плоскость проходит через середину М отрезка АВ перпендикулярно к нему (рис. 69). Поскольку координаты середины отрезка (1; 2; -3), а координаты вектора АВ = (4; -2; -2), то уравнение плоскости будет иметь вид Цх - 1) - 2(у - 2) -- 2(z -Ь 3) = О или Ах - 2у - 2г --6 = 0, откуда 2x-y-z-3 = Q. Следовательно, точки А(-1; 3; -2) и В(3; 1; -4) симметричны относительно плоскости 2х-у-г-3 = 0. A 330. 331. 332. 333. РАЗДЕЛ 1 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Укажите плоскости симметрии (если они существуют) таких фигур: прямой, отрезка, луча, правильного треугольника, квадрата, ромба, прямоугольника. Дан куб ABCDAjBjCjDj (рис. 70). Что является образом при симметрии относительно плоскости BDD^By а) точек А, В, С^; б) отрезков AAj, ВВ^, BD^, АС^\ в) AABjC, ABC^D; г) квадрата ABB^J Две одинаковые окружности лежат в одной плоскости. Будут ли они симметричны относительно некоторой плоскости? Если да, то что это за плоскость? Имеет ли плоскость симметрии фигура, которая состоит из двух сфер, имеющих внешнее касание, если радиусы сфер: а) одинаковые; б) разные? 334. Начертите фигуру, симметричную данному отрезку АВ относительно плоскости а. Рассмотрите все возможные случаи. 335. Плоскость Р не пересекает треугольник АВС. Начертите фигуру, симметричную треугольнику АВС относительно плоскости р. 336. Найдите координаты точек, симметричных точке A(Cj; Og; Og) относительно координатных плоскостей. 337. Отрезки АВ и А^В^ симметричны относительно некоторой плоскости. Могут ли они принадлежать скрещивающимся прямым? А пересекающимся прямым? 338. Могут ли быть симметричными относительно некоторой плоскости а два отрезка одной прямой? Как расположена плоскость а относительно этой прямой? 339. Точки А и В симметричны относительно плоскости р. Докажите, что когда М е р, то МА = МВ. 340. Отрезок АВ пересекает плоскость со в точке О. Отрезок ОВ^, -проекция отрезка ОВ на плоскость со. Псютройте фигуру, симметричную отрезку АВ относительно плоскости со. 70 С Координаты, геометрические преобразования и векторы... - г> » * - * ;- i ,. •* г о .1 ■ » 341. Прямая АВ наклонена к некоторой плоскости под углом ф и симметрична относительно этой плоскости прямой А^В. Найдите угол между прямыми АВ и А^В. 342. Дано изображение тетраэдра ABCD и его высоты DH. Постройте изображение фигуры, симметричной ему относительно плоскости АВС. 343. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма, отличная от куба? 344. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная пирамида, если ее боковая грань не равна основанию? 345. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида? Нарисуйте их. 346. Сколько плоскостей симметрии имеет куб? Сделайте соответствующий рисунок. 347. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр? Сделайте соответствующий рисунок. 348. Докажите, что точки А(2; -1; 4) и В(2; 1; 4) симметричны относительно плоскости хг. 349. Относительно каких координатных плоскостей симметричны точки: а) А(4; 2; -3), В(-4; 2; -3); б) М(-3; 2; 6), Щ-З; 2; -6); в) Р(7; -2; -4), К(7; 2; -4)? 350. Сколько плоскостей симметрии имеет тетраэдр, одно ребро которого в 2 раза короче каждого из остальных ребер (рис. 71)? 351. Сколько плоскостей симметрии имеет ----\~----Ув прямая призма, основанием которой является равнобедренная трапеция? А если трапеция не равнобедренная? 352. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная пирамида, в основании которой лежит многоугольник с числом сторон: а) четным; б) нечетным? 353. Даны точки А(2; -4; 3) и В(-6; 2; 1). Напишите уравнение плоскости симметрии данных точек. 354. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(3; -1; 2) и В(1; 2; 4), и прямой, симметричной данной относительно плоскости: а) ху; б) уг. 355. Дана сфера (х -2)^ + {у - 1)^ -I- (г -Ь 3)^ = 30. Напишите уравнение плоскости, касательной к сфере в точке А(1; -1; 2), и уравнение сферы, симметричной данной относительно этой плоскости. 71 РАЗДЕЛ 1 i, 356. В кубе две грани покрасили другим цветом. Сколько плоскостей симметрии имеет такой куб? Рассмотрите все возможные случаи. 357. Точки В и С симметричны точке А относительно перпендикулярных плоскостей Р и у, пересекающихся по прямой о. Найдите расстояние от А до прямой а, если ВС = 6 м. 358. Верно ли, что какие бы не были прямые а и Ь, они симметричны относительно некоторой плоскости а? 359. Постройте тетраэдр, симметричный тетраэдру ABCD относительно плоскости, проходящей через середины ребер DA, DB, DC. Разными цветами закрасьте объединение и пересечение данного и построенного тетраэдров. 360. Постройте пирамиду, симметричную правильной четырехугольной пирамиде относительно плоскости, проходящей через середину высоты пирамиды, перпендикулярно к ней. 361. Найдите координаты точки, симметричной точке А(1; -2; 3) относительно плоскости 2х - у + Зг + 1 = 0. 362. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости а. Найдите в плоскости а точку, разность расстояний от которой до точек А и В наибольшая. 363. Точки А и В не принадлежат плоскости а и расположены в одном полупространстве от нее. Найдите в плоскости а такую точку Р, чтобы сумма расстояний РА + РВ была наименьшей. Упражнения для повторения 364. Постройте тетраэдр, симметричный данному относительно точки, которая лежит: а) вне тетраэдра; б) внутри тетраэдра. 365. Найдите вершины треугольника, симметричного ЛАВС относительно точки М(1; -2; 4), если А(4; 0; 1), В(4; 4; 1), С(-1; 2; 0). 366. Дан куб ABCBAjBjCjBj. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку А и середины ребер CCj и C^Dy 367. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте проволочные модели ломаных из трех равных и попарно перпендикулярных звеньев и расположите их так, чтобы они оказались симметричными относительно: а) точки; б) плоскости. 72 Координаты, геометрические преобразования и векторы.. *”15 иТ ПОВОРОТ И СИММЕТРИЯ 39 ■ ■ I ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ Пусть даны прямая I и две точки А и А^. Если перпендикуляры АК и А.К, опущенные на прямую I, равны, имеют общее основание К и образуют угол (р, то говорят, что поворот вокруг прямой I на угол ф отображает точку А на Aj (рис. 72). Угол ф может быть положительным или отрицательным. Если каждую точку некоторой фигуры F повернуть вокруг прямой I на один и тот же угол ф, получим новую фигуру Fy Говорят, что поворот вокруг прямой I на угол ф отображает фигуру F на Fy Например, если куб F повернуть на угол 180° вокруг прямой I, проходящей через его ребро, получим новый куб Ej (рис. 73). Поворот вокруг прямой I на угол 180° отображает куб F па Fу Этот самый поворот отображает вершину С на Су ребро СР - на ребро BjCjjPjA’j и т. п. С,Ру грань ВСРК — на грань t Теорема 11. Поворот вокруг прямой является движением. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в результате поворота вокруг прямой I на угол ф точки Ап В данной фигуры отображаются на точки Aj и В^ (рис. 74). Если К - общее основание перпендикуляров, опущенных из точек А и Aj на прямую I, а Р -общее основание перпендикуляров, опущенных на прямую I из точек В и By то КА = КА^, РВ = РВу ZAKA^ = ZBPB^ = ф. Справедливы и такие векторные равенства: АВ=АК + КР + РВ, A^Bj^ =А^К + КР + РВу м ^ /! 7 /\ F к 7 1 Ml 1 1 1 £)• у / / у г 7 А Cl Рис. 73 73 Г:; РАЗДЕЛ 1 Возведем их (скалярно) в квадрат: АВ2 = АК^ + КР^ + РВ^ + 2АК • КР 4 2АК А^В\ = А^К^ + КР^ + РВ\ + 2А^К КР + 2А^К РВ + 2КР РВ, РВ, + 2КР • РВ Поскольку АК ± КР, КР 1 РВ, А^К X КР, КР 1 РВ^, АК = А^К и PBj = РВ, то АВ2 - A^Bf = 2АК ■ РВ - 2А^К • РВ^ = = -2КА • РВ • COSO) + 2КА • РВ • cosco. Здесь со - угол между лучами КА и РВ (он равен углу между лучами KAl^ и PBj). Найденная сумма равна О, поэтому АВ^ = AjBj, откуда АВ = AjSj. Теорема доказана. Поворот вокруг прямой I на угол 180° называется симметрией относительно прямой I. Например, кубы F и F^, изображенные на рисунке 73, симметричны относительно прямой I. Поскольку поворот является движением, а симметрия относительно прямой - вид поворота, то и симметрия относительно прямой - движение. Она отображает прямую на прямую, плоскость - на плос-ксхпъ, треугольник - на треугольник, равный данному. Если поворотом вокруг некоторой прямой на угол 360° : п, где натуральное число п > 2, фигура совмещается с собой, то эту прямую называют осью симметрии п-го порядка. Например, правильная пятиугольная пирамида имеет ось симметрии пятого порядка. Сфера имеет бесконечно много осей симметрии любого порядка. Обратите внимание: ось симметрии л-го порядка не всегда является осью симметрии данной фигуры. С поворотами материальных тел часто имеют дело токари, фрезеровщики, сверлильщики, буррьльщики и др. Теоретические вопросы, связанные с поворотами фигур в пространстве, важны для специалистов, создающих турбины, электромоторы, центробежные насосы, разнообразные центрифуги и особенно -современные роторные и роторно-конвейерные машины. « 1. 2. 3. 5. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое поворот? Докажите, что поворот вокруг прямой - движение. Какие две точки называются симметричными относительно прямой? А две фигуры? Что такое симметрия относительно прямой в пространстве? Каковы ее свойства? Приведите примеры фигур, симметричных относительно прямой. 74 Координаты, геометрические преобразования и векторы... и Выполним вместе 1. Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных ребер правильного тетраэдра, является его осью симметрии. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М и N — середины ребер АВ и CD правильного тетраэдра ABCD (рис. 75). Тогда AANB равнобедренный {AN = BN), поэтому MN 1 АВ. Аналогично, ADMC - равнобедренный, поэтому MN1 DC. Следовательно, прямая I, проходящая через точки Ми а N, является общим серединным перпендикуляром для отрезков АВ и CD. Тогда при симметрии относительно прямой I отрезок АВ отображается на отрезок ВА, CD - на DC, АС - на BD (так как точка А переходит в точку В, а точка С - в D) и ВС - на AD. Это значит, что симметрия относительно прямой I отображает вершины, ребра и грани тетраэдра ABCD на вершины, ребра и грани этого же тетраэдра, т. е. тетраэдр ABCD при симметрии относительно прямой I отображается на себя. Следовательно, прямая I является осью симметрии этого тетраэдра. 2. Куб повернули на 45° вокруг прямой, проходящей через центры противоположных граней. Нарисуйте объединение данного и образованного кубов. Изобразите оси симметрии этого тела. РЕШЕНИЕ. Плоскости граней, перпендикулярных к оси, в результате поворота отображаются на себя. Объединение основания данного куба и образованного в результате поворота - центрально-симметричный вевыпуклый 16-угольник с равными сторонами. Объединение рассматриваемых кубов - невыпуклая 16-угольная прямая призма. Она имеет 9 осей симметрии (рис. 76). ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Сколько осей симметрии имеет отрезок; прямая; плоскость? ^9. Имеет ли ось симметрии луч; параллелограмм; трапеция? 75 РАЗДЕЛ 1 370. 371. 372. Приведите примеры объектов окружающей среды, имеющих ось симметрии. Укажите координаты точки, в которую отобразится точка А(0; 5; 0) при повороте вокруг оси Ог по движению часовой стрелки на угол: а) 90°; б) 180°; в) 270°; г) 360°. Укажите координаты точки, симметричной точке М(1; 2; 3) относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) оси Ог. 373. 374. 375. 376. 377. 378. 379. 380. 381. 382. 383. 384. Даны прямая I и точки А и В. Выполните поворот вокруг прямой I на угол а: а) точки А; б) отрезка АВ1 Даны две точки. Сколькими поворотами одну из них можно отобразить на другую? Найдите координаты точки, в которую отображается точка >1(1; 2; 0) поворотом вокруг оси х на угол 90°. Найдите координаты концов отрезка, образованного в результате поворота вокруг оси у на угол 90° отрезка с концами Л(0; 3; 4) и В(0; 6; 0). Найдите координаты вершин треугольника, образованного поворотом треугольника с вершинами А{а\ 0; 0), В(0; а; 0), С(0; 0; а) вокруг оси г на угол 90°. Сколько осей симметрии имеет куб? А прямоугольный параллелепипед, отличный от куба? Сколько осей симметрии имеет правильная п-угольная пирамида? Сколько осей симметрии имеет сфера? Сколько осей симметрии имеет правильная шестиугольная призма? Имеет ли оси симметрии правильная пятиугольная призма? Имеет ли оси симметрии правильный тетраэдр? Сколько? Сколько осей симметрии имеет фигура, которая состоит 385. из двух равных квадратов, пересекающихся по их общей диагонали (рис. 77)? Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны. Сколько осей симметрии имеет тело, состоящее из двух таких пирамид с общим основанием? К 386. Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной четырехугольной пирамиды, является ее осью симметрии. 76 Координаты, геометрические преобразования и векторы... ■ <• ' 387. Докажите, что прямая, содержащая точки пересечения диагоналей противоположных граней прямоугольного параллелепипеда, является его осью симметрии. 388. Докажите, что точки А(2; -3; 1) и Б(2; 3; -1) симметричны относительно оси Ох. Укажите координаты точек, симметричных точкамАи В относительно оси: а) Оу; б) Oz. 389. Как построить ось симметрии двух скрещивающихся прямых? 390. Дан куб ABCDAjBjCjDj. Постройте ось симметрии фигуры, которая является об^динением двух прямых, содержащих ребра: а) AAj и CD; б) ВВ^ и АС; в) ABj и CD^; г) АС и В^В. 391. Постройте пирамиду, образовЕ1Нную поворотом правильной треугольной пирамиды вокруг высоты на угол 180°. 392. Докажите, что если каждое ребрю тетраэдра равно противоположному, то он имеет три оси симметрии. 393. Даны два равных отрезка. Сколькими поворотами один из них можно отобразить на другой? 394. Имеет ли куб оси симметрии третьего порядка? Сколько? 395. Имеет ли правильный тетраэдр оси симметрии третьего порядка? 396. Имеет ли оси симметрии третьего порядка правильная четырехугольная пирамида? '397. Постройте тетраэдр, имеющий только одну ось симметрии. 398. Найдите все повороты пространства, отображающие на себя: а) правильную треугольную пирамиду; б) правильную четырехугольную пирамиду; в) правильный тетраэдр. 399. Постройте тетраэдр, образованный из правильного тетраэдра ABCD при повороте его на угол 60° вокруг высоты DO. Разными цветами закрасьте объединение и пересечение данного и построенного тетраэдров. 400. Правильный тетраэдр повернули на 90° вокруг прямой, проходящей через середины его противоположных ребер. Нарисуйте объединение данного и образованного тетраэдров. Сколько граней имеет это объединение? 401*, Докажите, что если некоторая фигура имеет две перпендикулярные и пересекающиеся оси симметрии, то она имеет еще одну ось симметрии, перпендикулярную к ним. ^2. Прямая I наклонена к плоскости а под углом <р. В результате поворота плоскости а вокруг прямой I на угол (pj плоскость а отобразилась на плоскость р. Как найти угол между плоскостями аир? 77 РАЗДЕЛ 1 403*. Даны прямая I и точки Ап В такие, что прямые I и АВ скреп^ивающиеся. На прямой I найдите такую точку М, чтобы сумма расстояний AM 4- МВ была наименьшей. Упражнения для повторения 404. Изобразите тетраэдр, имеющий только: а) одну плоскость симметрии; б) две плоскости симметрии; в) три плоскости симметрии. 405. Найдите координаты точки, симметрршной точке А(2; 5; 0) относительно плоскости у = х. 406. Три плоскости попарно перпендикулярны. Докажите, что прямые их пересечения также попарно перпендикулярны. параллельный перенос Одним из примеров движения является параллельный перенос. Пусть КР - какой-нибудь вектор, а X - произвольная точка пространства (рис. 78). Если точка Х^ такая, что XXj = КР, то говорят, что параллельный перенос на вектор КР отображает точку X на Х^. Если выполнить параллельный перенос каждой точки некоторой фигуры F на один и тот же вектор КР, получим новую фигуру Fy Говорят, что параллельный перенос на вектор КР отображает фигуру F на F^ (рис. 79). В результате параллельного переноса все точки данной фигуры переносятся в одном направлении на одинаковые расстояния. Теорема 12. Параллельный перенос — движение. 78 Координаты, геометрические преобразования и векторы... ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть при параллельном переносе точки А и В отображаются соответственно на и Докажем, что А,В,=АВ. Возможны два случая. Если точки А, В, А., -Sj не принадлежат одной прямой, то JWB^A^ - параллелограмм (рис. 79) и, следовательно, AjBj =АВ. Если точки А, В, А^, Bj принадлежат одной прямой (рис. 80), то из равенства AAj = BBj следует: AjBj = ABj - AAj = ABj — BBj = = AB. Следовательно, если параллельный перенос отображает точки А и В на Aj и Bj, то всегда AjB^ = АВ. Как видим, параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, т. е. является движением. Из теорем 7, 8 и 12 следует, что параллельный перенос отображает прямую на прямую, отрезок - на отрезок, равный ему, треугольник - на треугольник, равный ему, и т. п. Пусть при параллельном переносе на вектор р = (а; Ь; с) точка А(х; у; г) переходит в точку А'{х'; у'; г'). Тогда АА' = р. Поскольку АА' = {х' - х; у' - у; г' - г), то из условия равенства векторов получим систему уравнений X -х-а, г/-у = Ъ, г' - г = с. откуда X =х+а, ]/ = У + Ь, г' = г + с. Эти отношения называют формулами параллельного переноса пространства на вектор р = (а; Ь; с). ПРИМЕР. Найдите координаты образа точки А(-1; 3; -5) при параллельном переносе на вектор р = (1; 2; 6). РЕШЕНИЕ. Пользуясь установленными отношениями, получим: х' = -1 + 1 = 0; г/' = 3 + 2 = 5; г' = -5 -I- 6 = 1. Следовательно, А'(0; 5; 1). Параллельный перенос, рассматриваемый в геометрии, - абстрактная модель поступательного движения физического тела. Отдельный сегмент ножа зерноуборочного комбайна (рис. 81) Можно получить в результате па-Рвллельного переноса смежного сегмента. То же можно сказать об отдельных секциях разложенной на Плоскости гусеницы тргпстора, за- РАЗДЕЛ 1 яц, стежки-«МОЛНИИ*, о кирпичах в стене, об отдельных этажах современного многоэтажного дома и т. п. о • в 1. 2. 3. 4. 5. П ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Какое преобразование называют параллельным переносом в пространстве? Докажите, что параллельный перенос пространства является движением. Какие свойства имеет параллельный перенос фигур в пространстве? Каким движением может быть композиция двух параллельных переносов? Как найти координаты образа точки А(х; у; г) при параллельном переносе на вектор р = (а; Ь; с)? Выполним вместе 1. Есть две окружности одинаковых радиусов с центрами в точках Oj и Og. При параллельном переносе на вектор а точка Oj отображается на точку О^- Верно ли, что при этом параллельном переносе окружность с центром является образом окружности с ценром Oj? РЕШЕНИЕ. Из того, что точка Oj при параллельном переносе отображается на точку О^, не следует, что каждая точка первой окружности отображается на точку второй окружности. Это будет только тогда, когда эти окружности лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. ОТВЕТ. Нет, не всегда. 2. Напишите уравнение плоскости, являющейся образом плоскости 2x + y-^z -^2 = 0 при параллельном переносе на вектор р = (1; -2; 3). РЕШЕНИЕ. В заданной плоскости выберем произвольную точку, например точку М(1; 2; 2). Образом точки М при параллельном переносе на вектор р = (1; -2; 3) будет точка М'(2; 0; 5). Поскольку при параллельном переносе плоскость отображается на параллельную плоскость, то нужно записать уравнение плоскости, которая проходит через точку М' параллельно плоскости 2х + у - 3z + 2 = 0, т, е. 2{х -2) + -I- 1(р - 0) - 3(z - 5) = о, или 2х + у - 3z + 11 = 0. ОТВЕТ. 2х + у - 3z + 11 = Q. 80 О Координаты, геометрические преобразования и векторы.,. к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Cl D Рис. 82 I 407. Дан куб ABCDA.fijC^D.^ (рис. 82). 1) Найдите образ отрезка: а) AAj при параллельном переносе на вектор АВ; АС; AD; DC; D.^C^; б) AD при параллельном перивносе на вектор АВ; ВВ.; DC.. i'' * * А 2) При каком параллельном переносе квадрат: а) ABCD является образом квадрата б) AAjBjB является образом квадрата 3) Существует ли параллельный перенос, при котором образом: а) отрезка AjCj является отрезок АС; б) отрезка ABj является отрезок CZ)^; в) квадрата AAjBjB является квадрат BB^CjC? 408. Даны два равных треугольника. Всегда ли существует параллельный перенос, отображающий один из треугольников на второй? 409. Как должны быть расположены две равные фигуры, одну из которых можно получить параллельным переносом второй, если этими фигурами являются: а) две окружности; б) два квадрата; в) две сферы; г) два куба? 410. При параллельном переносе на вектор а точка М(5; -1; 3) отобразилась на точку N^(2; 4; -1). Найдите координаты вектора о. 411. Найдите координаты образа точки А(-4; 10; 2) при параллельном переносе на вектор р = (1; 3; -2). 412. Найдите координаты точки, в которую переходит точка Х(2; 3; -1) в результате параллельного переноса, отображающего начало координат в точку А(1; 1; 2). 413. Найдите координаты точки, в которую переходит точка М(3; -2; 1) в результате параллельного переноса на ОМ, если О — начало координат. 414. Даны точки К(1; 0; 0), Р(-1; 3; 0) и треугольник с вершинами А(2; 2; 2), В(-1, 0; 3), С(0; 0; 1). Найдите координаты вершин треугольника, образованного в результате параллельного переноса на КР треугольника АВС. 11 М(пя) 81 РАЗДЕЛ 1 415. Существует ли параллельный перенос, отображающий точку А на точку В, а точку М - на точку N, если: а) А(1; 3; -2), В(3; -2; 1), М(4; 6; 2), Щ6; 1; 5); б) А(5; 3; -2), В(4; 8; -3), М(1; 3; -9), iV(0; -2; -10)? 416. Шестиугольник - пхюекция куба F. Можно ли считать, что фигуру Fj получили в результате преобразования фигуры F? 417. Можно ли параллельным переносом отобразить одну из скрещивающихся прямых на другую? 418. Сколькими параллельными переносами можно отобразить одну из двух параллельных прямых на другую? 419. Существует ли параллельный перенос, отображающий сторону: а) прямоугольника на противоположную ей сторону; б) равностороннего треугольника на другую его сторону? 420. Треугольники АВС и AjB^Cj равны и лежат в параллельных плоскостях. Можно ли один из них параллельным переносом отобразить на другой? 421. Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм. 422. При параллельном переносе тетраэдр A^B^C^D^ является образом тетраэдра ABCD (рис. 83). Докажите, что высоты DO и BjOj этих тетраэдров равны. 423. Постройте фигуру, на которую отображается тетраэдр РАВС параллельным переносом на АВ. 424. Дано изображение куба ABCBAjB^CjBj. Постройте изображение фигуры, в которую переходит этот куб в результате параллельного переноса на АВ. 425. Докажите, что при пар)аллельном переносе прямые, параллельные нащжвлению переноса, переходят сами в себя. 426. Докажите, что при пар)аллельном переносе плоскости, параллельные нащ>авлению переноса, переходят сами в себя. 82 Г" Координаты, геометрические преобразования и векторы... • • г * 427. Докажите, что если параллельный перенос отображает прямую а на Ь, то эти прямые параллельны или совпадают. 428. Докажите, что если параллельный перенос отображает плоскость а на р, то эти плоскости параллельны или совпадают. 429. Прямая а наклонена к плоскости а под углом 30°. Под каким углом наклонена к плоскости а прямая Ь, если она отображается на прямую а параллельным переносом? 430. Тетраэдр ABCD параллельным переносом отображается на тетраэдр A^B^C^Dy Следует ли из этого, что: а) их грани АВС и А^В^С^ равны; б) существует параллельный перенос, отображающий тетраэдр A^B^C^D^ на ABCD1 431. Один параллельный перенос отображает отрезок АВ на AjBj, а другой - отрезок AjBj на А^^ Существует ли параллельный перенос, отображающий отрезок АВ на А^^ 432. Отрезок т параллельным переносом отображается на отрезок п. Равны ли их проекции на одну и ту же плоскость? Почему? 433. Куб ABCDAjBjCjDj параллельным переносом на ACj отображается на другой куб (рис. 84). Найдите наибольшее расстояние между точками этих двух кубов, если АВ = а. 434. При параллельном переносе точка А(1; -2; 3) переходит в точку В(2; 4; -1). В какую точку перейдет точка М, симметричная точке А относительно: а) начала координат; б) плоскости уг; в) оси 0x7 “^5. Напишите уравнение прямой, являющейся образом прямой АВ при параллельном переносе на вектор р = (1; -1; 2), если А(3; -2; 1), В(1; 4; -2). ^6. Напишите уравнение плоскости, являющейся образом плоскости jc + y-2z-1-4 = 0 при параллельном переносе на вектор S = (2; -1; 3). ^7. Точка М - середина высоты DO правильного тетраэдра ABCD. Постройте тетраэдр, являющийся образом данного тетраэдра при параллельном переносе на вектор: а) W; б) бМ; в) Ш. 83 РАЗДЕЛ 1 438. Задайте направление параллельного переноса, чтобы сечением куба и его образа были: а) квадрат; б) точка; в) прямоугольный параллелепипед; г) куб. Упражнения ДЛЯ повторения 439. Дана точка А(1; -2; 3). Найдите координаты точки, симметричной данной относительно: а) начала координат; б) координатных плоскостей; в) координатных осей. 440. Как найти ось поворота, отображающего некоторую точку А на точку В? Сколько решений имеет задача? 441. Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь данного треугольника, если угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции равен 60°. КОМПОЗИЦИИ ДВИЖЕНИИ и РАВЕНСТВО ФИГУР До сих пор мы рассматривали отдельные виды движений. Заслуживают внимания и их композиции - последовательные выполнения одного геометрического преобразования за другим. Например, если симметрия относительно плоскости а отображает данную фигуру F на фигуру F^, а симметрия относительно плоскости ctj - фигуру Fj на F^, то отображение фигуры F на Fg называют композицией двух симметрий относительно данных плоскостей. Если плоскости а и параллельны, то эта композиция - параллельный перенос, отображающий фигуру F на Fg (рис. 85). Если плоскости а и Oj пересекаются по прямой I, то композиция таких двух симметрий является пово- Рис. 85 ' 84 Координаты, геометрические преобразования и векторы... рогом фигуры F вокруг прямой I (рис. 86). В частности, если а ± ttj, то композиция двух рассматриваемых симметрий - поворот вокруг прямой I на 180°, т. е. симметрия относительно оси L Некоторые композиции имеют специальные названия. Композицию поворота вокруг прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой называют винтовым движением. Композицию поворота вокруг прямой и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной к этой прямой, называют зеркальным поворотом. Различают движения первого и второго рода. Движения, сохраняющие ориентации базисов, называют движениями первого рода (параллельный перенос и поворот вокруг прямой). Движения первого рода могут быть реализованы непрерывным перемещением фигур в пространстве. Композиция любого числа движений первого рода — движение первого рода. Движения, изменяющие ориентации базисов, называют движениями второго рода (симметрия относительно точки и относительно плоскости). Поскольку каждое движение второго рода изменяет ориентацию фигуры, то композиция четного числа таких движений - движение первого рода, а композиция нечетного числа движений второго рода - движение второго рода. Движения первого и второго родов рассматривают и в планиметрии. Движение плоскости первого рода является или поворотом, или параллельным переносом; движение плоскости второго рода является композицией симметрии относительно прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой (теорема Шаля). В пространстве движений больше. Но все их можно свести к композиции симметрий относительно плоскости. Любое движение пространства первого рода - композиция двух или четырех симметрий относительно плоскости; движение пространства второго рода является или симметрией относительно плоскости, или композицией трех таких симметрий. Замечание. Симметрия относительно точки на плоскости -движение первого рода, а в пространстве - движение второго рода. Симметрия относительно прямой на плоскости -Движение второго рода, а в пространстве - движение первого рода. 85 ч>3 РАЗДЕЛ 1 Рис. 87 С геометрическими движениями тесно связано понятие равенства фигур. Две фигуры называют равными, если существует движение, отображающее одну из них на вторую. Имеют в виду движения и первого рода, и вто-^ I \^у'\ рого, и любые их композиции. Хотя деталь F L__K у—Л/' (см. рис. 87) нельзя заменить деталью f j, но в геометрии такие фигуры считаются равными. Отношение равенства геометрических фигур транзитивно, - если первая фигура равна второй, а вторая - третьей, то первая и третья фигуры также равны. С равными материальными предметами придется иметь дело многим рабочим. Современная промышленность производит большие партии геометрически равных изделий. Равны все заготовки, вылитые из одной формы, все детали, изготовленные станком-автоматом по одной программе. Для многих изделий существуют специальные Государственные стандарты. Служба стандартизации обязывает выпускать такие изделия по установленным стандартам, геометрично равные друг другу. ••• • « 1. 2. 3. 4. 5. 6. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что понимают под композицией движений? Приведите примеры композиций движений. Какую композицию называют винтовым движением? А зеркальным поворотом? Какие движения называют движениями первого рода? Приведите примеры. Какие движения называют движениями второго рода? Приведите примеры. Какие две фигуры называют равными? ДА Выполним вместе 1. Докажите, что композиция двух симметрий относительно двух пересекающихся плоскостей является поворотом. Найдите ось и угол этого поворота. РЕШЕНИЕ. Пусть даны плоскости аир, пересекающиеся по прямой I, а угол между ними равен (р. А - некоторая точка пространства, которая при симметрии относительно плоскости а отображается в точку Aj, которая при симметрии относительно плоскости р отображается в точку А, (рис. 88). Представьте, что через прямые АА, и 2 AjAg 86 Координаты, геометрические преобразования и векторы... проведена плоскость у. Она перпендикулярна к I (почему?). Пусть О - точка пересечения прямой I и плоскости у. Рассмотрим ААОАу Поскольку точки А и симметричны относительно плоскости а, то = = MjAj и OMj X ААу Поэтому, \ \ \ \ 'У' /р С' \ AAQAj - равнобедренный и ОА = = QAj. Аналогично QAj = ОА^. Из чего следует, что ОА = ОА^. А это означает, что отобразить точку А в точку Ag можно поворотом вокруг оси I. Определим угол поворота. Пусть ZAOM^ = ZMfiA.^ = cpj и ZAjOM^ = ZMJDA^ = (pg. Тогда ZAOA^ = 2ф^ + 2(f>^ = 2((p^ + + (pg) = 2(p. Следовательно, композицией двух симметрий относительно плоскостей аир, пересекающихся по прямой I под углом ф, является поворот вокруг прямой I на угол 2ф. 2. ABCDAjBjCjDj - куб. Докажите равенство пирамид AA^BD и C.^CB.^Dy ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть О - середина диагонали АС^ куба. В результате симметрии относительно точки О вершины пирамиды AA^BD отображаются на вершины пирамиды CjCBjBj (рис. 89). Эти пирамиды симметричны относительно точки О и, следовательно, равны. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно ^2. Приведите примеры равных фигур из окружающей среды. Дан куб ABCDAj^B^C^Dy М, N, К, Р, F - середины соответствующих ребер (рис. 90). Найдите образ: а) точки А при композиции параллельного переноса на вектор ВС и симметрии относительно точки Р; б) точки С при композиции поворота вокруг прямой BBj на угол 90° и симметрии относительно плоскости MNK; А Рис. 89 I 87 РАЗДЕЛ 1 в) отрезка АА^ при композиции параллельного переноса на вектор АС и поворота вокруг прямой DD^ на угол 45°. 444. Используя условие предыдущей задачи укажите, каким одним движением можно заменить в каждом случае заданные композиции. 445. Дана точка М(1; 2; 3). Найдите координаты точки, в которую отобразится точка М при композиции таких движений: а) симметрий относительно начала координат и плоскости ху; б) симметрий относительно плоскостей ху и yz; в) симметрии относительно оси Ох и параллельного переноса на вектор а = (1; 1; 1). 446. Начертите произвольный отрезок АВ и точку О {О i АВ). Постройте образ отрезка АВ при композиции центральной симметрии относительно точки О и поворота на угол 90° вокруг прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости АОВ. 447. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^C^D^, М е AAj, AM : MAj = 1:2. Плоскость а щюходит через точку М перпендикулярно к АА^. Постройте образ этого параллелепипеда при композиции параллельного переноса на вектор АС и симметрии относительно плоскости а. 448. Дана точка А(1; -2; 5). Найдите координаты образа этой точки при композиции центральной симметрии относительно точки М и параллельного переноса на вектор S = (-1; 2; 4), если: а) М(0; 0; 0); б) М(3; 4; -1). 449. Дана сфера - 2х + 4г = 9. Напишите уравне- ние сферы, являющейся образом данной при композиции центральной симметрии относительно начала координат и симметрий относительно плоскостей ху и хг. 450. Даны два равных отрезка с общим концом. Какими движениями можно отобразить один из них на второй? 451. Даны два равных куба с одной общей гранью. Какими движениями их можно совместить? 452. Куб образовался в результате поворота куба F на 90° вокруг его ребра. Какими еще движениями можно отобразить куб F ъй F^l 453. Пусть ABCD - правильный тетраэдр. Какими движениями можно отобразить: а) ребро АВ на СП; б) грань АВС , на грань ABD; в) высоту AAj на высоту ВВ^? 88 Координаты, геометрические преобразования и векторы.. I. « • 4 454. ABCDAjB^C^D^ — куб. Какими движениями можно отобразить: а) ребро АВ на ребро C^D^; б) ребро АВ на ребро ССр в) грань ABCD на грань AjBjCjDj; г) грань ABCD на грань AAjBjB; д) диагональ АС^ на диагональ B^Dl ■ 455. Может ли композиция двух поворотов быть поворотом? А параллельным переносом или симметрией относительно плоскости? - 456. Может ли композиция поворота вокруг прямой и симметрии относительно точки быть параллельным переносом? 457. Докажите, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом. Найдите вектор, который задает этот перенос. 458. Докажите, что композиция симметрий относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей является осевой симметрией. 459. Докажите, что у правильной четырехугольной пирамиды диагональные сечения равны. 460. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины трех его параллельных ребер. Докажите, что эта плоскость рассекает параллелепипед на равные многогранники. Является ли она плоскостью симметрии данного параллелепипеда? 461. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 2ф. Верно ли, что сечение, проведенное через сторону основания под углом ф к плоскости основания, рассекает данную пирамиду на две равные части? 462. Плоскость проходит через апофему правильной треугольной пирамиды и противоположное боковое ребро. Докажите, что эта плоскость рассекает данную пирамиду на два равных тетраэдра. Каким движением можно отобразить один из этих тетраэдров на второй? 463. В каждом из двух тетраэдров длина одного ребра а, а остальных - Ь. Равны ли эти тетраэдры? 464. В каждом из двух тетраэдров три ребра имеют длину с и три - длину Ь. Равны ли эти тетраэдры? 465. Диагонали параллелепипеда ABCDAjB.CjDj пересекаются в точке О. Равны ли пирамиды OABCD и “ ~ А пирамиды OABCD и OABBjAj? OAjBjCjDj? 89 I РАЗДЕЛ 1 466. Верно ли, что диагональное сечение параллелепипеда разбивает его на две равные призмы? 467. К, Р, Т, М, N - середины ребер АВ, АС, AD, BD и CD тетраэдра ABCD. Докажите равенство тетраэдров АКРТ и TMND. 468*. Докажите, что когда луч падает на систему из трех попарно перпендикулярных зеркал, то он возвращается к своему источнику (принцип действия углового отражателя). 469*. Установите и докажите свойства винтового движения. 470*. Сформулируйте и докажите важнейшие свойства зеркального поворота. щ>у . Упражнения для повторения 471. При параллельном переносе на вектор а точка М(5; -3; 4) отобразилась на точку ЛГ(1; -2; 3). Найдите вектор параллельного переноса и образ точки А(4; 7; -2) при этом переносе. 472. Докажите, что когда ограниченная фигура имеет центр симметрии и ось симметрии, то центр симметрии лежит на оси симметрии. 473. Диагональ куба ABCDA^B^C^Dj^ равна d. Найдите площадь ABC^D. §14 ГОМОТЕТИЯ и ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Пусть даны точка О, число k и фигура F. Преобразование, в результате которого каждая точка X фигуры F отображается на такую точку Xj, что OXj = kOX, называется гомотетией относительно центра О с коэффициентом k (рис. 91). Если все найденные таким способом точки Xj образуют фигуру F^, говорят, что данная гомотетия отображает фигуру F на Fy Фигура Ej называется гомотетичной фигу1>е F относительно центра О с коэффициентом к. Коэффициент гомотетии может быть любым действительным числом А ^ 0. Если fe = 1, фигура F отображается на себя. Если А = -1, фигура F отображается на фигуру F^, симметричную F относительно точки О. Симметрия относительно точки - отдельный случай гомотетии. 90 Координаты, геометрические преобразования и векторы... I ! Если коэффициент гомотетии k отличен от 1 и -1, она не сохраняет расстояний между точками, не является движением. Но при гомотетии соответствующие расстояния умножаются на одно и то же число. В результате изменяются размеры фигуры, но ее форма не изменяется. Теорема 13. Гомотетия отображает прямую, которая не проходит через центр гомотетии, на параллельную ей прямую. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть О и k - центр и коэффициент гомотетии, а - данная пр>ямая, которая не проходит через точку О (рис. 92). Все точки, гомотетичные точкам прямой а относительно центра О, лежат на лучах, выходящих из О и пересекающих а. Все эти лз^и лежат в одной плоскости, проходящей через О и а. Как известно из планиметрии, гомотетия плоскости отображает прямую а на параллельную ей прямую Пу Следовательно, и гомотетия пространства отображает прямую а на параллельную ей прямую Теорема доказана. Теорема 14. Гомотетия отображает плоскость, которая не проходит через центр гомотетии, на параллельную ей плоскость. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть О is. k — центр и коэффициент гомотетии, а а - плоскость, которая не проходит через точку О (рис. 93). Опустим перпендикуляр ОА на плоскость а и на прямой ОА обозначим точку Aj такую, что QAj = kOA. Рассмотрим плоскость Цр которая параллельна а и проходит через точку Ау Если В - любая точка плоскости а, то прямая ОВ пересекает плоскость Oj в такой точке By что АОВА AOBjAy Следовательно, OBj : ОВ = OAj : ОА, ОВ^ = ЮВ. Этим доказано, что данная гомотетия отображает каждую точку В плоскости а На некоторую точку Bj плоскости ttj. И наоборот: если Bj-произвольная точка плоскости Oj, то прямая OBj пересекает Плоскость а в такой точке В, что OBj = kOB. Следовательно, При рассматриваемой гомотетии каждая точка плоскости Oj является образом некоторой точки плоскости а. Теорема доказана. 91 1 РАЗДЕЛ 1 Плоскость или прямая, которая проходит через центр гомотетии, отображается этой гомотетией на себя. Композицию движения и гомотетии называют преобразованием подобия. Если фигура F равна Ej, а гомотетична фигуре Eg, то говорят, что преобразование подобия отображает фигуру F на F„. Фигуру F называют подобной F^, и наоборот. Пишут F F^ или Eg Е. Равенство фигур и гомотетия - отдельные случаи преобразования подобия. Если фигуры гомотетичны, они подобны. Но не всегда подобные фигуры гомотетичны. Чтобы две подобные фигуры стали гомотетичными, их надо соответствующим образом расположить в пространстве. Отношение подобия фигур транзитивное: если первая фигура подобна второй, а вторая - третьей, то первая и третья фигуры подобны. Признаки подобия, доказанные в планиметрии для треугольников одной плоскости, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях. Подобными могут быть и неплоские фигуры. Например, любых два куба подобны друг другу. То же можно сказать о двух правильных тетраэдрах, двух шарах и т. п. Пусть ребро одного куба в 3 раза длиннее ребра другого. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго? В 9 раз. В общем, площади поверхностей подобных тел относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. \ Теорема 15. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, гомотетично этому основанию относительно вершины пирамиды. Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть РАВС...К - произвольная пирамида, а параллельная ее основанию плоскость ttj пересекает пирамиду по многоугольнику (рис. 94). Гомотетия с центром Р и коэффициентом k = ЕА^ : РА отображает точку А на Aj, а плоскость основания а на параллельную ей плоскость Oj. Поскольку через плоскость. точку Aj проходит единственная параллельная основа- Координаты, геометрические преобразования и векторы... • W • V « • ВИЮ, то многоугольник АВС...к этой гомотетией отображается на многоугольник А^В^С^...Ку Следовательно, многоугольники АВС...К- и A^B.Cy.JC^ подобны, отношение их площадей равно k^. Если Ри и PH. -перпендикуляры к плоскостям а и ttj, то АРАН ^ АРА^Ну откуда РН^ : PH = к. Следовательно, если площадь сечения равна Sj, а площадь основания пирамиды S, то Sj : S = к^ = РН.^ : РН^. Это и надо было доказать. Свойства подс^ных фигур в пространстве часто используют в моделировании. Например, прежде чем строить самолет, корабль, плотину, завод, создают уменьшенные в несколько раз подобные им модели. На этих моделях выясняют особенности сооружений и своевременно устраняют дефекты проектов. называется ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Какое преобразование пространства гомотетией? Какие значения может принимать коэффициент гомотетии? При каких значениях коэффициента к гомотетия является движением? Сформулируйте и докажите свойства гомотетии. Какое преобразование пространства называется преобразованием подобия? Какие фигуры называются подобными? Укажите свойства преобразования подобия. • / i 1. 2. 3. 4. ’ 5. 6. 7. а 1. Докажите, что при гомотетии с коэффициентом к расстояние между точками изменяется в |/е| раз. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть даны точки А(х.^\ у^; Zj) и В{х^‘, 2g) и их образы при гомотетии с коэффициен- том к - точки А'{х^', i/j'; 2j') и В\х^\ у^\ г^). Рассмотрим гомотетию с центром в начале координат. По определению гомотетии ОА = кОА. Тогда Xj' = кХу у^ = ftj/j и = кг у Аналогично х^ = кх^, у^ = ку^ и г^' = кг^^. Рассмотрим расстояния АВ и А В'. I 2 2 2 АВ' = у]{х2-х[) +{y'2-yi) +(4-zi) = Выполним вместе 93 РАЗДЕЛ 1 = J{kX2 -kx^ f +{ку2-ky^ f +{kZ2-kZy f = = ((^2 -^1 f +{Уг -*/if + (^2 ~^f) = = \k\^{x2~Xi f +{y2-yif +(Z2 -2if =\k\-AB. Следовательно, расстояние между точками А и Б и их образами — точками А' и В' - изменяется в к раз. 2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Через точку М, лежащую ^ на высоте пирамиды, проведена плоскость параллельно основанию. В каком отношении точка М делит высоту пирамиды, если площадь 28 20 сечения равна — см*"? РЕШЕНИЕ. Пусть SABC - заданная пирамида, AjB^Cj - сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 95). Найдем площадь ААВС. Воспользуемся формулой Герона. Поскольку р = И±Н±1Ё = 21, то S = V21(21-13)(21-14)(21-15) = Рис. 95 = V21-8-7-6=84. Q 2 По теореме 15 _ SM ^ тогда откуда SM 1 ^ДАВС SO SM^ 28 SO^ 3-84 9 L SO 3 Следовательно, SM : MO =1:2. ОТВЕТ. SM : MO = 1:2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 474. Назовите примеры подобных фигур из окружающей среды. 475. Все ли гомотетичные фигуры подобны? 476. Всегда ли подобные фигуры гомотетичны? 477. Назовите фигуры, которые всегда гомотетичны. 94 Координаты, геометрические преобразования и векторы... 478. Назовите фигуры, которые всегда подобны. Какие из них гомотетичны? 479. Ребро правильного тетраэдра равно 4 см. Чему равно ребро тетраэдра, гомотетичного данному с коэффициентом гомотетии k, если: а) А = 2; 6)ft = --; в) Л = 1; г) * =-2? 480. Постройте фигуру, гомотетичную данному ААВС относительно данной точки Р с коэффициентом гомотетии k = 2. 481. Постройте фигуру, гомотетичную данному тетраэдру ABCD относительно его вершины D, если коэффициент гомотетии А: = 0,5. 482. Даны тетраэдр ABCD и точка Р, симметричная точке А относительно В. Постройте фигуру, гомотетичную данному тетраэдру относительно центра Р, если коэффициент гомотетии ft = -1. 483. Постройте тетраэдр, гомотетичный тетраэдру ABCD относительно его вершины А, если в результате этой гомотетии центроид грани АВС отображается на середину ребра ВС. Найдите коэффициент гомотетии. 484. Постройте куб, гомотетичный данному кубу относительно его вершины с коэффициентом гомотетии ft = -2. 485. Может ли одна из двух гомотетичных фигур лежать во внутренней области второй? 486. Как могут быть расположены две гомотетичные сферы? 487. Радиус одной из сфер является диаметром второй. Гомотетичны ли они? С каким коэффициентом гомотетии? Где находится центр гомотетии, если: а) центры сфер совпадают; б) сферы имеют внзггреннее касание; в) сферы имеют внешнее касание? 488. Напишите уравнение сферы, гомотетичной сфере + + (г/ - 1)^ -Ь (г + 3)^ = 4 с центром в начале координат и коэффициентом: а) ft = 3; б) ft = -2. 489. Напишите уравнение плоскости, гомотетичной плоскости 2х + у-3г + 6 = 0с центром гомотетии в начале координат и коэффициентом: а) ft = 2; б) ft = -3. 490. Докажите, что прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается этой гомотетией на себя. 491. Докажите, что плоскость, проходящая через центр гомотетии, отображается этой гомотетией на себя. 95 РАЗДЕЛ 1 492. Гомотетичны ли два куба, если они симметричны: а) относительно плоскости их общей грани; б) относительно прямой, содержащей их общее ребро? 493. Могут ли быть гомотетичными друг другу два треугольника, лежащих в перпендикулярных плоскостях? 494. Докажите, что композицией двух гомотетий с общим центром и коэффициентами и ft, является гомотетия с тем ft = ■ ■ Рис. 96 же центром и коэффициентом ft = ftj • ftg. 495. Сколько существует гомотетий, отображающих один из двух неравных параллельных отрезков на другой? 496. Две окружности радиуса г и i? лежат в разных параллельных плоскостях (рис. 96). Сколько существует центров гомотетий, отображающих одну окружность на другую? Чему при этом равен коэффициент гомотетии? 497. Найдите координаты точки, в которую отображается точка А(1; 0; 2) гомотетией с коэффициентом ft = 10 относительно: а) начала координат; б) точки В(2; 0; 0). 498. Относительно каких центров и с какими коэффициентами гомотетичны треугольники с вершинами А(0; 0; 1), В(0; 1; 0), С(0; 0; 1) hAj(0; 0; 4), 5^(0; 4; 0), С^(0; 0; 4)? 499. Найдите координаты вершин тетраэдра, гомотетичного тетраэдру с вершинами А(1; 1; 1), В(1; 2; 3), С(-1; 2; -3), 0(4; 0; 5) относительно начала координат с коэффициентом гомотетии ft = 5. 500. Тетраэдр ОАВС задан координатами своих вершин: 0(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 4; 0), С(0; 0; 4). Найдите координаты вершин тетраэдра, гомотетичного данному: а) с центром О и ft = -1; б) с центром А и k = 2. 501. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее высоту в отношении 2 : 3 (считая от вершины). Найдите площадь сечения, зная, что она меньше площади основания на 84 см^. 502. Боковое ребро пирамиды разделили на 10 равных частей и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию. Найдите площади сечений, если площадь основания пирамиды равна S. 503. Докажите, что композиция двух преобразований подобия с коэффициентами ft. и ft, является подобием с коэффици- ентом ft = ft, • ft 2* .96 Координаты, геометрические преобразования и векторы.. 504. Даны две правильные четырехугольные призмы. Сторона основания одной в 2 раза длиннее ее бокового ребра, а сторона основания другой в 2, раза короче ее бокового ребра. Подобны ли эти призмы? 505. Aj, Bj, Cj, Bj - центры граней правильного тетраэдра ABCD. Докажите, что тетраэдры ABCD и AjBjCjBj - подобны, и найдите коэффициент подобия. 506. Через вершину S пирамиды SABCD, в основании которой лежит параллелограмм ABCD, провели плоскость, которая делит основание на два равных параллелограмма, подобных данному. Найдите отношение сторон основания. При каких условиях образованные пирамиды будут равными? Будут ли подобными данная пирамида и образованные? 507. Плоскость, параллельная боковой грани правильной треугольной призмы, отсекает от нее меньшую треугольную призму. Подобны ли эти призмы? 508*. Все грани тетраэдра - подобные между собой прямоугольные треугольники. Найдите отношение наибольшего и наименьшего ребер этого тетраэдра. 509. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте из провода модели подобных ломаных из трех попарно перпендикулярных звеньев и расположите их в пространстве так, чтобы они были гомотетичными. Упражнения для повторения 510. Даны точки А(3; -4; 1) и В(1; -2; 7). Приведите примеры движений, которые отображают одну точку в другую. 511. Дана точка М{2; 4; 3). Найдите точку, являющуюся образом точки М при повороте на 90° вокруг оси Ох. 512. Прямые а и Ь и прямые & и с скрещивающиеся. Следует ли из этого, что прямые а и с скрещивающиеся? РАЗДЕЛ 1 ЗАДАЧИ ПО ГОТОВЫМ РИСУНКАМ А Б Найдите расстояние от точки М до: гк а) 0(0; 0; 0); 5 б) координатных плоскостей; в) координатных ^1^ осей. Найдите координаты вершин куба. у см = МВ. Разложите А]Ж по векторам о, ABCD - правильный тетраэдр. Найдите: __ ____ а) АВ • ВС; б) ВС • DC; АО = ОВ,АВ1 а. Запишите У1>авнение а. 98 МК : КВ = 1:3. Разложите вектор DK по векторам о, Ь, с. © ABCDAjBjCjjDj - куб. I Найдите: ’а) Ш[ ■ Щ; б) ■ Wfi; в) J3jB • АС. Запишите уравнение прямой АВ. Координаты, геометрические преобразования и векторы... А------- Б г Плоскость а - касательная к сфере в точке М(2; -1; 4); 0(1; -2; 3). Напишите уравнение а. а: 2х + у - г + 10 = 0. Найдите MN. (X и Р симметричны относительно Сферы Oj и Oj симметричны отточки О; а: X - 2у + Зг - 4 = 0. носительно a:jc + y- 2-t-3 = 0. Напишите уравнение р. . 0(-1; 1; 2) SABC — правильный тетраэдр, OOj - высота тетраэдра ОАВС. SO, : 0,0 = 2 : 3; (A,S,C,) Ц (ABC). Найдите 00,, Найдите “ ^да.в.с,- © SABCD - правильная пирамида. ABCDA.^Bfi^D^ - куб. Найдите угол между AN и DM. Найдите угол и расстояние I между ВО, и ОС,. © РАЗДЕЛ 1 I' ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ li_Даны точки А(0; -3; 2) и В(4; 0; -2). Середина отрезка ' ■АВ принадлежит: I а) оси Ох\ б) оси Оу; в) оси Ог; г) плоскости ху. . Найдите расстояние от точки А(3; 4; -3) до оси Ог. i а) 3; б) 5; в) 2>/3; г) Т34. I I - При каком значении т коллинеарны векторы (. а = {т^; 3; -4т-3) и 6 = (3; 4; 2т + 7)? I а) 1,5; б) -1,5; в) -1,5 или 1,5; г) -0,5 или 0,5. I, ■ ABCBAjBjCjBj - куб, АВ = 1. Вычислите ; (АБ + ВС) • BBj. .а) 1; б) 0; в) -1; г) 0,5. ! ^ Найдите координаты единичного вектора, сонаправлен-ного с вектором in = (2; -1; 2). ( . 1 ."1ч '2. 1.2' 1 2 ; 1,3 3 3 J Г. 10. При каких значениях р угол между векторами а = (1; 1; 0) и Ь = (0; 4; р) равен 60°? а) 4; б) -4 или 4; в) 16; г) -16 или 16. Укажите уравнение сферы с центром в точке (0; -1; 0), касаюпдейся плоскости у = 2. а) х^ + (у + 1)^ + 2^ = 4; б) х^ + (у - 1)^ + = 1; в) х^ + (у + 1)2 + 2^ = 9; г) х^ + (у - 1)2 + г2 = 3. Какая из точек симметрична точке М(-1; 2; -4) относительно плоскости J/2? а) (1; -2; 4); б) (1; 2; -4); в) (-1; -2; -4); г) (-1; 2; 4). Какая из плоскостей симметрична относительно начала координат плоскости х + у-2г+ 5 = 07 а) -X + у - 2г + 5 = 0; б) х + у - 2г - 5 = 0; в) X - у + 2г - 5 = 0‘, т) X + у - 2г + 5 = 0. Плоскости аир заданы соответственно уравнениями x + y-2z + 3 = 0n2x + 2y-4z + 9 = 0. Каково взаимное расположение прямых а с а и & с р? а) Пересекаются или параллельны; б) параллельны; в) параллельны или скрещиваются; г) пересекаются. ■100 Координаты, геометрические преобразования и векторы... ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ I"". Найдите координаты точки, симметричной точке А(-1; 3; 2) относительно точки Q(3; -1; 4). 2°. Найдите угол между векторами АВ и CD, если Л(2; -1; 3), В(1; -1; 2), С(4; 5; -2), D(4; 4; -1). 3' . Найдите длину медианы ВМ ААВС, заданного координатами своих вершин А(-2; 3; 5), В(1; -3; 2) и С(4; -3; 1). А*"- Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка MN перпендикулярно к нему, если М(-1; 2; 4), N{3-, 0; 6). 5*. Напишите уравнение сферы с центром в точке А(1; -2; 3), проходящей через точку М(3; -2; 4), и сферы, образованной параллельным переносом данной на вектор р Н-2; 1; -1). Найдите площадь четырехугольника ABCD, если А(7; 6; 8), В(2; 8; 6), С(3; 4; 2), В(8; 2; 4). В каком отношении плоскость z = 1,5 делит диаметр сферы 3^ + = 25, проходящей через точку А(0; 4; 3)? На прямой I взят вектор АВ = (3; 4; -5). Найдите угол между прямой I и плоскостью ху. Найдите координаты вектора с такого, что с ± а, с ± В, \с\ = 2у[з, если а = (1; -2; 2), В -- (2; 3; -1). 10". Докажите, что композиция двух симметрий относительно плоскостей у = X а у = -X является поворотом. Укажите ось и угол этого поворота. 11“. Даны точки А(1; 2; -3), В(2; -3; 1) и плоскость 2х-у-- 3z -Ь 1 = 0. Найдите: а) уравнение прямой АВ; б) точку пересечения прямой АВ с плоскостью; в) уравнение плоскости, симметричной данной плоскости относительно точки В; г) уравнение прямой, симметричной прямой АВ относительно заданной плоскости. Дан прямоугольный параллелепипед ABCBA.B.CjBj, у которого А(0; 0; 0), В(-2; 0; 0), В(0; 2; 0), Aj(0; 0; 1). Найдите угол между прямыми ABj и BD^ и расстояние между ними. ‘Задачи с отметкой ** только для учеников профильных классов. 6*. Г. Г. 9-‘ 101 РАЗДЕЛ 1 ГЛАВНОЕ В РАЗДЕЛЕ 1 Прямоугольная система координат дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками действительных чисел. А(х\ у, г) - точка с абсциссой jc, ординатой у и аппликатой г. Квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разности их соответствующих координат. Квадрат длины отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые. Если точка С(х; у; г) - середина отрезка с концами А(,х^\ у{, 2j) и В(х^, у^, г^, то ’ ' ■'г 2., 3. 4. 5. 6. 7. „_Уг+У2 2 ’ 2 г, -1-29 г = — 102 В,\ 9. i I 10.1 i ’1 Уравнение плоскости ах + by + сг + d = 0. Уравнение плоскости, проходящей через точку М{х^; у^; г^) перпендикулярно к вектору л(а; ft; с), - . а(х - х^) + Ь(у - у^) + с(г - г^) = 0. Уравнение сферы радиуса г с центром в начале координат х^ + у^ + г^ = г2, с центром в точке А(а; Ь; с) - (X - af + (у - bf + (2 - cf = г2. Прямую в трехмерном пространстве определяет система уравнений двух плоскостей. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х^; у^; Zj) и Bix^; у,; 2,), - X-Xi ^ У-У1 _ 2-2i Х2-Х1 У2-У\ Вектор — элемент векторного пространства. Изображать ненулевые векторы можно направленными отрезками. Любые векторы удобно представлять в координатной форме. Координатами вектора с началом в точке А{х^, у^; 2j) и концом В{х^; у^\ zj называют числа х = х^ - х^; у = у^ - у^\ Z = z^ - Zy Записывают так: АВ = (х; у; 2). Модулем вектора называют длину изображающего его направленного отрезка. Обозначают его символом \АВ\ или |а|. 1 Координаты, геометрические преобразования и векторы... 12- 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Если а = (х; у; г), то \a\ = yjx^ +у^ +z^. Суммой двух векторов а = (х^; y{i,z^ и 5 = (х^; у^\ называют вектор а + & = (Xj + х^, i/j + у^, Для сложения любых векторов правильны переместительный и сочетательный законы. Геометрически складывать векторы можно по правилу треугольника, параллелограмма или параллелепипеда. Разность двух векторов а = (Xj; i/j; 2j) и 6 = (х^; i/gJ ^2^ можно находить, пользуясь равенством i-b = (x^- х^; у^ - y^i - 2g). Множить любой вектор а = (х; у; г) на произвольное действительное число к можно так: ка = (кх; ку; кг). Векторы а = {х^; у^; Zj) и Б = {х^; у^; Zg) коллинеарны тогда и только тогда, когда Уг 22. Скалярным произведением двух векторов называют произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними: а • 6 = |а| • |б| • со8ф. Если а = (х^; у^\ Zj) и Б = (Xg; у^; Zg), то Б -Б = XjXg + у^у^ + ZjZg. Векторы а и 6 перпендикулярны тогда и только тогда, когда а ■ Б = 0. Если X - произвольная точка пространства, G - середина отрезка АВ или точка пересечения медиан треугольника АВС, то соответственно ^ = i® + XB); xS = i(XA + ZB+^). Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, гомотетично этому основанию относительно вершины пирамиды. Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды. /lWC2iuLl_-ClLU-LLL(i; Y LilLlc l4|:^L\lLliClLlULLUii •■ ■ 'Г,- • %х|щг)а}ахш]© ^jDMaio • ОШшщрбШ}ай]© Л [Г@(оШ1(ЩоШ30(^^ D!ra®ow[p©[xi)aDa2^ • Oi](o)cosc!J3©o • гащрасшшшхшх^ • racqo)g)D!acq®a со ^^эочшхкхшз (ш^р)шзкй!@° • [п]{рШБсайшхш)© EoxKoXiWipQKixijaraHo -s- ‘ • i,.*y ' РАЗДЕЛ Многог^щШЬ^ cocmaejifijpm, лшящс> сщ^ цюят^.^^ьн:ый предмет стерещ ~ А. AafiHoutdaaf Многогранные углы. Многогранники § 15 ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости с общей прямой, их ограничивающей, могут и не лежать в одной плоскости, а образовывать двугранный угол (рис. 97). Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей их ограничивающей прямой. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называют гранями, а прямую, их ограничивающую, - ребром двугранного угла. Двугранный угол разбивает пространство на две области -внутреннюю и внешнюю. Объединение двугранного угла и его внутренней области также называют двугранным углом. Двугранный угол с ребром ВС и точками А, D, принадлежащими его разным граням, обозначают ABCD. Проведем из какой-либо точки С ребра двугранного угла в его гранях лучи СА и CD, перпендикулярные к ребру (рис. 98). Угол ACD, образованный этими лучами, называют линейным углом данного двугранного угла. Можно сказать и так: линейный угол двугранного угла - это угол, образованный пересечением данного двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Мера линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. Ведь если построить какой-либо второй линейный зггол данного двугранного угла, он будет равен углу ACD, так как C^Aj || СА и || CD. Поэтому мера двугранного угла - мера его линейного угла. Меру двугранного угла, образованного полуплоскостями а и р, обозначают так: ар,^ меру двугранного угла, изображенного на рисунке 97, - ABCD. Двугранные углы можно сравнивать. Тот из двух двугранных углов считают большим, линейный угол которого боль- В 105 РАЗДЕЛ 2 90° 180° Рис. 99 ше. Двугранный угол называют острым, прямым, тупым, развернутым или больше развернутого зависимо от того, острый, прямой, тупой, развернутый или больше развернутого его линейный угол (рис. 99). Подобно углам в планиметрии, двугранные углы могут быть смежными (рис. 100) и вертикальными (рис. 101). Рис. 100 При этом справедливы и аналогичные теоремы о мерах этих углов. Полуплоскость, которая ограниченная ребром двугранного утла и делит его на два равных двугранных угла, называется биссекторной полуплоскостью, или биссектором данного двугранного угла (рис. 102). На рисунке 102 биссектором двугранного угла ар является полуплоскость у. Не следует отождествлять меру двугранного угла с углом между плоскостями. Угол между плоскостями может изменяться в пределах от 0 до 90°, а мера двугранного угла - от о до 360°. Вместо «двугранный угол, мера которого равна а», часто говорят короче: «двугранный угол а». В таких случаях под двугранным углом понимают и определенную фигуру, и соответствующую ей меру - значение величины. Многогранные углы. Многогранники Самыми простыми материальными моделями двугранного угла являются края режущих инструментов; зубил, стамесок, резцов для токарных станков и т. п. Они бывают более или менее острыми. Например, слесарное зубило для обработки алюмршиевых сплавов затачивают под углом 35°, для латуни - 45°, для стали - 60° и более. Измеряют такие углы угломерами (рис. 103). Рис. 103 •У ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ в ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что такое двугранный угол? Назовите его элементы. 2. Что такое линейный угол двугранного угла? 3. Какими бывают двугранные углы? 4. Что такое биссектор двугранного угла? Каковы его свойства? 5. Какой фигурой может быть сечение двугранного угла ‘плоскостью? И Выполним вместе 1. Найдите расстояние от основания высоты SO правильной четырехугольной пирамиды SABCD до боковой грани, если SO = Л, а двугранные углы при ребре основания равны а (рис. 104). РЕШЕНИЕ. Проведем ОК 1 CD и точку к соединим с точкой S. Тогда по теореме о трех перпендикулярах SK ± CD. Следовательно, ZSKO - линейный угол двугранного угла при ребре СЛ, ZSKO = а. В плоскости SOK проведем ОМ 1 SK. Поскольку плоскости SOK и SCD перпендикулярны, то ОМ - расстояние от точки О до грани SCD. Расстояние ОМ найдем с ASOM, учитывая, что ZOSM = 90° - а. Тогда ОМ = SO • sin(90° - а), или ОМ = hcosa. ОТВЕТ. ОМ = Лсоза. 2. Точка А находится внутри двугранного угла а (а < 180°) и удалена от граней угла на расстояния а и Ь. Найдите расстояние от точки А до ребра данного угла. 107 РАЗДЕЛ 2 РЕШЕНИЕ. Пусть точка А отдалена от граней двугранного угла с ребром CD на расстояния AM = а и AN = Ь (рис. 105). Рассмотрим четырехугольник АМВЛГ. Поскольку сумма его противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. Эта окружность будет описанной и вокруг прямоугольного ААМВ, а поэтому ее центр будет лежать на середине гипотенузы АВ. Следовательно, искомое расстояние АВ - диаметр окружности, описанной вокруг четырехугольника AMBN. По следствию из теоремы синусов MN 2R = —---, так как эта окружность описана и вокруг AMBN. HS^M^AN по теореме косинусов найдем MN. MN^ = - 2a&cos(180° - а) = + 2аЬсоза. Тогда АВ = yja^ +Ь^ + 2abcosa ОТВЕТ. АВ = sin а +Ь^ + 2abcosa sin а Чем является геометрическое место точек пространства, равноудаленных от граней острого двугранного угла? РЕШЕНИЕ. Геометрическим местом точек двугранного угла, равноудаленных от его граней, является ползшлос-кость, которая выходит из ребра данного двугранного угла и делящая каждый его линейный угол пополам, т. е. бис-секторная плоскость. Если через ребро АВ данного двугранного угла провести полуплоскости Oj и pj, перпендикулярные соответственно к граням аир данного двугранного утла, получим новый двугранный угол F (рис. 106). Каждая точка этого угла и его внутренней области также равноудалена от граней аир данного двугранного угла. Искомым геометрическим местом точек является объединение биссектора данного двугранного угла и двугранного угла F (вместе с его внутренней областью). 108 Многогранные углы. Многогранники « ' I ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 513. Найдите, угол между прямыми, перпендикулярными к граням двугранного угла, мера которого 100°. 514. Угол между двумя плоскостями 47°. Найдите градусные меры двугранных углов, образованных пересечением этих плоскостей. 515. Дан двугранный угол, мера которого 52°. Чему равна мера смежного с ним двугранного угла? А вертикального? 516. Чему равен двугранный угол между биссекторами двух смежных двугранных углов? 517. Точка А лежит на биссекторе двугранного угла мерой 60°. Найдите расстояние от точки А до граней этого угла, если от ребра она отдалена на 10 см. 518. Точка М лежит в одной грани двугранного угла мерой 30° и отдалена от другой грани на 6 см. Найдите расстояние от точки М до ребра этого угла. 519. Дан тетраэдр ABCD (рис. 107). Назовите линейные углы двугранных углов при ребрах АС, ВС, BD, DA. 520. Дан двугранный угол, мера которого 60°. Точка А, принадлежащая одной из его граней, удалена на 12 см от второй. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла. 521. Двугранный угол равен 45°. Точка В, принадлежащая одной из его граней, удалена от ребра на 8 дм. Найдите расстояние от точки В до второй грани. 522. Найдите меру двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной его грани, до второй в 2 раза меньше расстояния от этой точки до ребра. 523. Из точек Аи В одной грани острого двугранного злгла опущены перпендикуляры АА^, ВВ^ на вторую грань и АА^, ВВ^ - на ребро. Найдите длину перпендикуляра ВВ^, если AAj = 3 дм, АА^ - 5 дм, ВВ^ = 9 дм. 524. Точка А удалена от граней прямого двугранного з^гла на 3 дм и 4 дм. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного зп'ла. 109 РАЗДЕЛ 2 525. Двугранный угол равен 60°. Из точки С на его ребре в гранях проведены перпендикулярные к ребру отрезки СА = 3,2 дм и СВ =1,2 дм. Найдите расстояние от А до В. 526. Длины перпендикуляров, опущенных из точки А на грани двугранного угла, равны по 36 см. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если его мера 120°. 527. Найдите меру двугранного утла, если точка Р, лежащая внутри этого угла, удалена от его граней на /п и >/2т, а от ребра - на 2 т. 528. Расстояние между параллельными прямыми, лежащими в гранях двугранного угла, равно 13 см. Эти прямые удалены от ребра угла на 7 см и 8 см. Найдите меру этого двугранного угла. 529. Мера двугранного угла 100°. Найдите угол между плоскостью одной его грани и перпендикуляром ко второй грани (рис. 108). 530. На изображении правильного тетраэдра постройте изображение линейного угла одного из его двугранных углов. 531. Докажите, что все двугранные углы правильного тетраэдра равны. Найдите меру двугранного угла правильного тетраэдра. 532. В правильной п-угольной пирамиде боковое ребро равно 5 см, а ребро основания 6 см. Найдите двугранные углы при основании, если: а) га = 4; б) п = 3. 533. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см, а все двугранные углы при основании равны. Найдите эти двугранные углы, если высота пирамиды равна 4 см. 534. Ребро SB пирамиды SABCD перпендикулярно к плоскости основания ABCD и равно BD. Найдите меры двугранных углов при ребрах AD, DC и SB, если ABCD: а) квадрат; б) прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см; в) ромб, у которого ZBAD = 60°; г) параллелограмм со сторонами 4 см и 6 см и углом ZABC = 120°. 110 . 535. 536. 537. 538. 539. 540. 541. 542. Многогранные углы. Многогранники * . V ABCIMjBjCjDj - куб. Найдите меру двугранного угла BAC^D. В тетраэдре ABCD ребра АВ, АС и AD попарно перпендикулярны и равны. Найдите меры его двугранных углов при ребрах ВС, CD, BD. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Ребро SB перпендикулярно к плоскости основания и равно ребру основания. Найдите меры двугранных углов при ребрах АВ, AD, SD, SC. Основанием наклонной треугольной призмы АВСА^В^С^ является правильный треугольник со стороной а. Вершина Bj проектируется в центр основания АВС. Найдите меру двугранного угла при ребре ВС, если ребро BBj образует с плоскостью основания угол 45°. Точка Q лежит внутри двугранного угла, мера которого 60°, и удалена от его граней на 3 см и 5 см. Найдите расстояние от точки Q до ребра этого угла. Мера двугранного угла равна 60°. Расстояние между параллельными прямыми, лежащими в гранях этого угла, равно 14 см. Найдите расстояния от ребра двугранного угла до этих прямых, если одно из этих расстояний на 10 см больше другого. Концы отрезка АВ принадлежат разным граням двугранного угла мерой 120° и удалены от ребра на 6 см и 10 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек Л и В к ребру, равно 12>/2 см. Найдите длину отрезка АВ. Концы отрезка лежат на гранях прямого двугранного угла и удалены от его ребра на 12 см и 16 см. Найдите расстояние от данного отрезка к ребру двугранного угла. 543. Аи В - точки на ребре двугранного угла меры ср, АС и BD -перпендикуляры к ребру, проведенные в разных гранях. Найдите расстояние CD, если АВ = а, АС = Ь, BD = с. 544. Концы отрезка АВ лежат в гранях двугранного угла, а расстояния AM и BN от них до ребра равны. Докажите, что ZABM = ZBAN. 545*. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = АС и АВ 1 АС, согнули по диагонали АС так, что угол BAD стал 60°. Найдите меру двугранного угла, образованного плоскостями треугольников АВС и ADC. 546. Чем является геометрическое место точек острого двугранного угла, равноудаленных от его граней? 111 щ РАЗДЕЛ 2 547, Чем является геометрическое место точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? 548*. Докажите, что биссекторы всех двугранных углов любого тетраэдра проходят через одну точку. 549. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте из картона модель двугранного угла, обозначьте на нем его линейный угол. * V Упражнения для повторения 550. При каком значении а справедливо равенство т • п = -5, если т = (2; а; 5), п = (-3; 2; 1)? 551. При параллельном переносе точка А(-2; 3; 4) отображается на точку Aj(l; 3; -2). На какую точку отобразится середина отрезка AAj? 552. Докажите, что сумма расстояний от середины отрезка до плоскости, его пересекающей, равна модулю полуразности расстояний от концов отрезка до этой плоскости. 0 1§1б! ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Представьте фигуру, состоящую из трех углов АОВ, ВОС, СОА, которые не принадлежат одной плоскости (рис. 109). Такую фигуру называют трехгранным углом, точку О - его вершиной, а данные углы - гранями, лучи ОА, ОВ, ОС - ребрами. Эта фигура разбивает пространство на две части. Объединение такой фигуры и одной из этих частей также называют трехгранным углом. Если рюбра трехгранного угла а, Ь, с, то соответствующие им двугранные углы обозначают буквами А, В, С, а противоположные плоские углы - буквами а, р, у. Обычно рассматривают трехгранные углы, в которых каждый плоский угол меньше развернутого. При таком условии сумма всех трех плоских углов трехгранного угла больше 0 и меньше 360°. Каждый двугранный угол такого трюх-гранного угла может изменяться от о до 180°, но сумма всех трех двугранных углов трехгранного угла не может быть меньше 180°. Почему? Многогранные углы. Многогранники I Трехгранный угол называется прямым, если все его плос-кие углы прямые. Теорема 16 (косинусов для трехграннохх^угла). Если а, Р, у -плоские углы трехгранного угла, а С - его двугранный угол, противоположный у, то cosy = cosacosp + sinasinPcosC. f ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала трехгранный угол ОАВС с произвольным плоским углом у = = ZAOB и острыми углами а = ZBOC и Р = ZAOC (рис. 110). Через любую точку С луча ОС проведем перпендикулярные к ОС прямые, пересекающие лучи ОА и ОВ в точках А и. В. Угол АСВ - линейный угол двугранного утла при ребре ОС, поэтому ZACB = С. Применим теорему косинусов к треугольникам АОВ и АСВ: АВ^ = ОА2 + ОВ^-2-ОА-ОВ cosy, АВ^ = СА^ + СВ^ - 2 ■ СА-СВ • cosC, откуда ОА^ + ОВ^-2-ОА-ОВ- cosy = = СА2 + СВ^-2 • СА-СВ ■ cosC, 1 cosy=- ' 20АОВ + 2-САСВ-С08С 2 0А0В ОА^ -С/^ ^ОВ^ -СВ^ ^ 20С^ +2САСВ-созС \ ОС ос СА СВ ^ Q • о • я ------+-----cos с = cos Р cos а+sm Р sin а cos С. ОА ОВ ОА ОВ Следовательно, cosy = cosacosp + sinasinpcosC. Если а = р = 90®, то С = у. В этом ^ случае равенство справедливо: cosy =■ cos90° • cos90° -f -I- sin90° • sin90° • cosC. Если в трехгранном угле ОАВС углы аир тупые, то проведем луч OCj, который для ОС является дополняющим (рис. 111). В трехгранном •■««omwrty», 11 к1(гш) щ РАЗДЕЛ 2 0 угле ОАВС^ ZAOCj = 180° - р, ZBOC^ = 180° - а, ZAOB = у, а двугранный угол при ребре OCj равен С. По доказанному выше cosy = cos(180° - a)cos(180° - Р) + + sin(180° - a)sin(180° - P)cosC. Отсюда cosy = cosacosp + sinasinpcosC. Аналогично можно доказать теорему для остальных случаев. Всегда cosy = cosacosp + sinasinpcosC. Следствие. 1. Если С = 90°, то cosy = cosacosp. Если двугранный угол трехгранного угла прямой, то косинус противоположного плоского угла равен произведению косинусов двух других его плоских углов. Это свойство называется теоремой о трех косинусах. 2. Поскольку cosC > —1, sina > 0 и sinP > 0, то cosy > cosacosp — sinasinp = cos(a + P). Отсюда слудует, что у < a + P, т. e. каждый плоский угол выпуклого трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. t Теорема 17. Сумма мер двугранных углов трехгранного угла больше 180°. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть двугранные углы трехгранного угла рашны А, В, С. Возьмем внутри трехгранного угла РАВС произвольную точку S и опустим перпендикуляры SAj, SBj, SC^ на грани ВРС, АРС, АРВ соответственно (рис. 112). Обозначим ZB^SC^ = Oj, ZA^SCj^ = Pj, ZAjSBj = y^. Тогда Oj = = 180° - A; pj = 180° - B; y^ = 180° - C. Имеем: A + В + C = 540 ~ (Oj + pj + yj). Поскольку Oj, Pj, y^ - плоские углы трехгранного угла SAjBjCj, то «1 + Pi + У1 < 360°, тогда А + В + С > 540° - 360° = 180°. Следовательно, А + В + С > 180°. 114 i Многогранные углы. Многогранники -» а ■ * •} ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ^ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что такое трехгранный угол? Назовите его элементы. 2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов для трехгранного утла. 3. Сформулируйте и докажите теорему о трех косинусах. 4. Какие свойства имеют плоские утлы трехгранного угла? 5. Какие свойства имеют двугранные углы трехгранного угла? 6. Какой трехгранный угол называют прямым? и Выполним вместе 1. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, двугранный угол между ними - прямой. Найдите третий плоский угол. РЕШЕНИЕ. Если С - 90°, то cosy = cosacosP = cos45°x X cos45° = i. Следовательно, у = 60°. 2 ОТВЕТ. 60°. 2. Точки А, В, С лежат на ребрах прямого трехгранного угла ОАВС. Может ли быть прямоугольным или тупоугольным ААВС? РЕШЕНИЕ. Используя теорему косинусов, имеем (рис. 113): АС^ + ВС^ - АВ^ cos ZACВ = 2АС ВС АО^ + ОС^ + ВО^ + ОС^ - АВ^ 20С^ Рис. из >0. 2ЛС ВС 2АС•ВС Следовательно, ZACB < 90°. Аналогично доказываем, что углы АВС и ВАС также острые. 3. Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри трехгранного угла и равноудаленных от граней этого угла. РЕШЕНИЕ. Геометрическим местом точек двугранного угла, равноудаленных от его граней, является биссектор, который делит пополам линейный угол этого двугранного угла (см. задачу 3 на с. 108). Пусть биссекторы двух произвольных двугранных углов данного трехгранного угла пересекаются по лучу I, начало которого находится в вершине трехгранного угла. Тогда каждая точка этого луча будет равноудалена от плоскостей 115 РАЗДЕЛ 2 * - J В» ' в А 553. 554. 555. 556. 557. 558. 559. 560. 561. всех трех граней данного трехгранного угла, а следовательно, биссектор третьего двугранного угла также проходит через луч I. Следовательно, искомым геометрическим местом точек является луч с началом в вершине трехгранного угла, по которому пересекаются бис-секторы двугранных углов этого трехгранного угла (рис. 114). ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Может ли сумма плоских углов трехгранного угла быть равной 90°; 120°; 180°; 360°? А быть больше 360°? Два плоских угла трехгранного угла равны 65° и 95°. В каких пределах может изменяться мера третьего плоского угла? Два плоских угла трехгранного зпгла имеют меры по 110°. В каких пределах может изменяться мера третьего плоского угла? Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 45°; 80°; 130°; б) 76°; 34°; 110°; в) 20°; 60°; 70°? Могут ли двугранные углы трехгранного угла быть равными: а) 50°; 80°; 90°; б) 70°; 60°; 40°; в) 120°; 100°; 70°? Существует ли трехгранный угол, каждый двугранный угол которого равен 60°? Существует ли плоскость, перпендикулярная ко всем граням трехгранного угла? Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 45° и 60°; б) 20°, 30° и 60°? Сумма всех плоских углов трехгранного угла равна 180°. Докажите, что все эти плоские углы острые. 562. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Докажите, что и все его двугранные углы прямые. 563. Докажите, что если двугранные углы трехгранного угла равны, то каждый из них больше 60°. 564. Найдите двугранные углы трехгранного угла, если каждый его плоский угол равен 60°. 565. У трехгранного згла плоские углы равны 45°, 45° и 60°. Найдите его двугранные углы. 116 V? Многогранные углы. Многогранники 566. 567. 568. 569. 570. 571. Плоские углы трехгранного угла равны 120°, 120° и 90°. Найдите двугранный угол, противоположный меньшему плоскому углу. У трехгранного угла ОАВС ZBOC =■ 90°, ZAOB = ZAOC = = 60° и ОА = а. Найдите расстояние от точки А до плоскости угла вое. Все плоские углы трехгранного угла ОАВС равны 60°. Найдите угол между ребром ОА и плоскостью угла ВОС. У трехгранного угла РАВС ZBPC = 90°, а ребро РА образует с плоскостью этого угла угол 45°. Найдите ZAPB и ZAPC, если известно, что они равны. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Внутри его из вершины проведен отрезок, проекции которого на ребра равны 2 см, 3 см и 6 см. Найдите длину этого отрезка. Внутри прямого трехгранного угла взята точка М, которая удалена от ребер этого угла на 12 см, 16 см и 12 см. Найдите расстояние от этой точки до дершины угла. В 572. 575. Докажите, что в трехгранном угле напротив равных плоских углов лежат равные двугранные углы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. 573. ОАВС - прямой трехгранный угол (все его плоские углы -прямые). ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с. Найдите площадь треугольника АВС, 574. Внутри трехгранного угла с плоскими углами 90°, 90° и 120° взята точка, удаленная от граней этого угла на 12 см, 12 см и 2 см. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла (рис. 115). Внутри прямого трехгранного угла ОАВС взята точка Р, удаленная от граней угла на 6 см, 8 см и 24 см. Найдите углы, которые образует прямая ОР с гранями и ребрами данного трехгранного угла. 576. Внутри трехгранного угла, все плоские углы которого равны 60°, взята точка, удаленная от всех граней на 2 см. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла. 577. Внутри трехгранного угла, все плоские углы которого равны 60°, взята точка, удаленная от всех ребер этого угла на а. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла. 117 РАЗДЕЛ 2 578. Каждый плоский угол трехгранного угла равен а. Найдите угол между его ребром и биссектрисой противоположного плоского угла. 579*. Двугранные углы трехгранного угла равны 90°, А и А. Найдите его плоские углы. 580. Докажите, что если все двугранные углы трехгранного угла равны, то равны и все его плоские углы. 581. Найдите плоские углы трехгранного угла, если каждый его двугранный угол равен 120°. 582. Из точки А, не принадлежащей плоскости, проведены две взаимно перпендикулярные наклонные АВ и АС, образующие с плоскостью углы 15° и 75°. Найдите углы В и С ААВС. 583. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Докажите, что плоскость, отсекающая от ребер угла равные отрезки, перпендикулярна к плоскости прямого угла. 584. Докажите, что все три биссектора двугранных углов трехгранного угла имеют общую прямую. 585. Имеют ли общую прямую плоскости, проходящие через ребра непрямого трехгранного угла перпендикулярно к противоположным граням? 586. Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. 587. Докажите, что для плоских углов любого трехгранного угла имеет место неравенство cosacosP + cosPcosy + cosycosa + 1 > 0. Упражнения для повторения 588. Чему равен угол между ребром двзгранного угла и произвольной прямой, лежащей в плоскости его линейного угла? 589. В разных гранях двугранного угла взяты точки .А и В. Точка А удалена от ребра на 7,5 см, а от противоположной грани - на 6 см. Найдите расстояние от точки В до противоположной грани, если от ребра она удалена на 10 см. 590. Расстояние от центра основания правильной четырехугольной пирамиды до бокового ребра равно d. Найдите двугранный угол при боковом ребре и при ребре основания пирамиды, если сторона основания равна 2d. 118: Л §17 Многогранные углы. Многогранники МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Пусть F - произвольный многоугольник, а о - точка, не Лринадлежащая его плоскости. Фигура, которая состоит из всех лучей, выходящих из точки О и пересекающих многоугольник F, называется многогранным углом (рис. 116). Лучи ОА, ОВ, ..., ОК - его ребра, плоские углы АОВ, ВОС, ..., КОА-грани, а точка О - вершина данного многогранного угла. В зависимости от количества граней различают трехгранные, четырехгранные, ..., п-гранные углы. Угловыми элементами многогранного угла являются его плоские и двугранные углы. Например, в четырехгранном угле OABCD есть четыре плоских угла АОВ, ВОС, COD, DOA и четыре двугранных угла DOAB, АОВС, BOCD и CODA (рис. 117). Многогранный угол разбивает пространство на две области - внутреннюю и внешнюю. Объединение многогранного угла с его внутренней областью также называют многогранным углом. 1 Многогранный угол называется выпуклым, если он раполо-Жен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Мы будем рассматривать в основном выпуклые многогранные утлы. Самый простой из многогранних углов - трехгран-ч-Ь1й угол. Теорема 18. У выпуклого многогранного угла сумма плоских углов меньше 360°. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведем какую-либо плоскость со, пересекающую все ребра данного п-гранного угла. Пусть Aj, А^, •••> - точки ее пересечения с ребрами многогранного угла (Рис. 118). Многоугольник А.^А^^.. А^ - выпуклый, сумма ®сех его плоских углов равна 180°(л - 2). Л 119 РАЗДЕЛ 2 Рассмотрим трехгранные углы А^ОА^А^, А^ОА^^, А^ОА^2- Пусть S - сумма их плоских углов, не являющихся углами многоугольника А.^А^у.А^. Поскольку плоский зпх)л трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов, то S > 180°(л - 2). Если а - сумма всех плоских углов данного л-гранного угла, то а + S - сумма всех углов п треугольников: а + S = = 180°л. Следовательно, S = 180°л - ст, 180°л - а > 180°(п - 2), откуда а < 360°. Это и надо было доказать. 0 Многогранные углы - отдельные виды телесных углов. Представьте сферу с центром О, а на ней линию L, ограничивающую часть сферы. Множество всех лучей, выходящих из центра сферы и пересекающих линию L, - это телесный угол (рис. 119). Объединение такого телесного угла с частью пространства, ограничивающего его, также называют телесным углом. Это понятие часто рассматривают в оптике. Каждый телесный угол имеет определенную меру. Единицей меры телесного угла является 1 стерадиан. Это - телесный угол, который на сфере радиуса г с центром в его вершине вырезает фигуру площадью г^. Поскольку площадь всей сферы радиуса г равна 4яг^, то прямой трехгранный угол (он вырезает восьмую часть сферы) имеет 0,5л стерадианов (рис. 120). Прямой двугранный угол вырезает четвертую часть сферы (рис. 121), поэтому он имеет я стерадиан. Как видим, двугранные углы могут считаться отдельными видами углов многогранных. ••• 1. 2. 3. 4. 5. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое многогранный угол? Назовите его элементы. Какие многогранные углы называют выпуклыми? Сформулируйте теорюму о плоских углах выпуклого многогранного угла. Как можно обобщить понятие многогранного утла? Как измеряют телесные углы? Что такое стерадиан? 120 ё » • u Многогранные углы. Многогранники • ••• • • • • с Выполним вместе Рис. 122 Многогранный угол, все плоские углы которого равны и все двугранные углы равны, называют правильным. Каким может быть плоский угол правильного многогранного угла? А двугргшный угол? РЕШЕНИЕ. Представим многогранный угол при вершине правильной л-угольной пирамиды (рис. 122). Если высоту такой пирамиды уменьшать, то ее боковые грани будут приближаться к плоскости основания. При этом каждый двугранный угол будет стремиться к 180°, а сумма плоских углов - к 360°. Следовательно, плоский угол правильного л-гранного угла больше 0° и меньше 360° : л. Двугранный угол правильного л-гранного угла меньше 180°, но больше 180°(л - 2) : л. Последний результат следует из теоремы 17. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный 5-гран-ный угол? А правильный 6-гранный угол? РЕШЕНИЕ. Правильный л-гранный угол имеет столько плоскостей симметрии, сколько правильный л-угольник имеет осей симметрии (рис. 123). Следовательно, правиль- ный 5-гранный угол 6-гранный - 6. имеет 5 плоскостей симметрии, а 3. Существует ли: а) невыпуклый трехгранный угол; б) шестигранный угол, все 6 плоских углов которого прямые? РЕШЕНИЕ, а) Существует. Например при вершине Bj невыпуклой призмы (рис. 124, а). 121 РАЗДЕЛ 2 « 9 а * » Cl в о а) Рис. 124 б) б) Представим фигуру, образованную из трех равных кубов (см. рис. 124, б). Объединение прямых углов, которым принадлежат грани А, В, С, D, Е, F кубов, образует шестигранный угол, каждый плоский угол которого - прямой. Три его двугранных угла прямые, а три - по 270°. к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 591. Многогранный угол имеет п ребер. Сколько он имеет: вершин; граней; двугранных углов? 592. Существует ли выпуклый четырехгранный угол, плоские углы которого 30°, 30°, 30° и 100°? 593. Ученик утверждает, что если все плоские углы многогранного угла равны, то равны и все его двугранные углы. Верно ли это для трехгранного угла? А для л-гранного угла, где л > 3? 594. Существует ли четырехгранный угол, каждый плоский угол которого - прямой? 595. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный семигранный угол? 596. Существует ли пятигранный угол, имеющий только одну плоскость симметрии? 597. Могут ли иметь плоскости симметрии невыпуклые многогранные утлы? 598. Существует ли четырехгранный угол, плоские углы которого равны л°, 2л°, Зл°, 4л°? Каким может быть л? 599. Сколько существует разных четырехгранных углов, плоские углы которых равны л°, л°, л°, 2л°? Каким наибольшим может быть значение л? 122 Многогранные углы. Многогранники 600. Известно, что четырехгранный угол имеет только одну плоскость симметрии, а два его плоских угла — 30® и 40°. Найдите меры двух других его плоских углов. 601. Каким может быть двугранный угол правильного четырехгранного угла? 602. У каких многогранных углов каждый двугранный угол прямой? 603. Каждый плоский угол правильного четырехгранного угла равен 60°. Найдите меры его двугранных углов. 604. Каждый двугранный угол правильного пятигранного угла равен 150°. Найдите меры его плоских углов. В 605. Как прямой трехгранный угол можно разрезать на три равных четырехгранных угла? Найдите меры плоских (и двухгранных) углов такого четырехгранного угла. 606. Сколькими способами правильный прямоугольный трехгранный угол можно разрезать на четыре равных трехгранных угла? 607. Правильный октаэдр (рис. 125) имеет 8 граней, каждая из которых - правильный треугольник. Сколько он имеет многогранных углов? Охарактеризуйте их. 608. Существует ли четырехгранный угол с плоскими углами 40°, 70°, 110° и 140°? А выпуклый четырехгранный угол? 609. Докажите, что если все плоские углы четырехгранного угла равны, то: а) каждый его двугранный угол равен противоположному; б) плоскости, проходящие через его противоположные ребра, перпендикулярны. 610. Докажите, что выпуклый четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, что в сечении образуется параллелограмм. 611. Исследуйте, в каких случаях в сечении четырехгранного угла плоскостью можно получить прямоугольник; квадрат; ромб. 612*. Докажите, что во всяком многогранном угле каждый плоский угол меньше суммы остальных его плоских углов. 613. Как изменяются линейные и двугранные углы многогранного угла при гомотетии с коэффициентом k 17 123 РАЗДЕЛ 2 614. Аналогично углам на плоскости сформулируйте определение вертикальных многогранных углов. 615. Сформулируйте определение ртвенства многогранных углов. 616. Докажите, что два любых вертикальных многогранных угла равны. 617. Каким движением один из двух вертикальных многогранных углов можно отобразить на другой? 618. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте из плотной бумаги модели трехгранного и четырехгранного углов. Упражнения для повторения 619. Постройте сечение тетраэдра АВСП плоскостью, проходящей через внутреннюю точку грани ABD параллельно прямым СВ и CD. 620. Сколько общих точек имеют сферы Л- = \ vi: а) (X - 1)2 + (I/ + 2)2 + (Z - 2)2 = 4; б) (X + 3)2 + у2 + (2 _ 4)2 = 18; в) (х + 4)2 + (у — 2)2 + (г - 1)2 = 4? х-1 _у-^2 _ 621. Определите взаимное расположение прямой Z-1 3 и плоскости: а) 2х + г/ - z - 7 = 0; б) х - 2i/ + 4г - б = 0; в) Зх - у - 3z - 8 = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА В дальнейшем будем изучать свойства фигур, которые называются геометрическими телами. Содержание этого понятия раскроем, основываясь на понятиях «шар», «пространственная область» и др. Каждая сфера разбивает пространство на две области: внутреннюю, содержащую центр сферы, и внешнюю. Объединение сферы с ее внутренней областью называется шаром. Центром и радиусом шара называют соответственно центр и радиус сферы, его ограничивающей. Шар - самый простой пример геометрического тела; его внутренняя область - внутренняя область сферы - пример пространственной области. Сама сфера - поверхность этой пространственной области и поверхность шара. 124 Многогранные углы. Многогранники I s'*-------/ '' 1 Рис. 126 Обобщим этот пример. Точка А неплоской фигуры называется внутренней, если существует шар с центром в этой точке, полностью принадлежащей данной фигуре (рис. -126). Фигура называется пространственной областью, если все ее точки внутренние и любые две из них можно соединить ломаной, полностью принадлежащей данной фигуре. Точка В пространства называется граничной для данной области, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие области, так и не принадлежащие ей. Фигура называется ограниченной, если расстояние между любыми двумя ее точками не превышает некоторого определенного конечного расстояния. Например, трехгранный угол -фигура неограниченная, а тетраэдр - ограниченная. Ограниченная пространственная область вместе со всеми ее граничными точками называется геометрическим телом; множество всех ее граничных точек — поверхность этого геометрического тела. Поскольку никаких других тел, кроме геометрических, в геометрии не рассматривают, дальше мы их будем называть просто телами. Такие фигуры, как куб, параллелепипед, тетраэдр, - тела. Каждое из них состоит из некоторой пространственной области и всех ее предельных точек. Ни одна линия или поверхность не содержит пространственной области, поэтому не является телом. Но не каждая фигура, содержащая пространственную область, является телом. Например, объединение шара и плоского кольца, куба и отрезка или какой-либо плоской фигуры (рис. 127) - не тело, потому что многие точки этих фигур не принадлежат ни пространственной области, ни ее границе. Не является телом и фигура, содержащая несколько пространственных областей (рис. 128). Расстояние между наиболее отдаленными точками тела называют его диаметром. Например, диаметром куба является рас- стояние ACj, диаметром правильного тетраэдра - длина его ребра. Рис. 128 125 РАЗДЕЛ 2 Введем еще понятие опорной плоскости тела. Если тело имеет с плоскостью хотя бы одну общую точку и расположено от нее с одной стороны, такую плоскость называют опорной к этому телу (рис. 129). Например, опорными к тетраэдру являются: плоскость любой его грани, плоскость, проходящая через вершину или ребро тетраэдра, но не пересекающая его. Каждая плоскость, имеющая с шаром только одну общую точку, опорная к нему. Материальной моделью геометрического тела является физическое тело. Пространственную область можно только представить: часть тела без всей его поверхности. Если фигуры F и Fj не имеют общих точек и по крайней мере одна из них -пространственная область, то эти фигуры не имеют ближайших точек (см. следующую задачу и рис. 130). ••• • .* • Щ- 1. 2. 3. 4. 5. Д1 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое пространственная область геометрической фигуры? Каждая ли геометрическая фигура ее имеет? Что такое геометрическое тело? Приведите примеры. Какие точки пространственной области называются ее предельными точками? Что такое поверхность геометрического тела? Что такое опорная плоскость геометрического тела? Выполним вместе Даны шар и точка А, не принадлежащая ему. Существует ли точка внутренней области шара, ближайшая к А? Почему? РЕШЕНИЕ. Пусть даны шар с центром в точке О и точка А, не принадлежащая шару (рис. 130). Если отрезок ОА пересекает поверхность шара в точке М, то кратчайшее расстояние от точки А до шара равно МА. Но точка М не принадлежит внутренней области шара. Предположим, что существует точка К внутренней области шара, ближайшая к точке А. Тогда середина отрезка КМ также принадлежит внутренней области данного шара и находится ближе 126 Многогранные углы. Многогранники I к точке А, чем К. Следовательно, предположение приводит к противоречию. Поэтому во внутренней области шара не существует точки, ближайшей к данной точке А. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 622. Приведите примеры тел из окружающей среды. 623. Приведите примеры фигур, которые не являются телом. 624. Является ли телом двугранный или многогранный угол? ^ 625. Являются ли телом вертикальные двугранные углы? А смежные? 626. Является ли телом проекция какого-либо тела на плоскость? 627. Является ли телом изображенная на рисунке 131 фигура, состоящая из пяти квадратов? Почему? Рис. 131 628. Является ли телом фигура, состоящая из двух равных кубов, у которых общая: а) вершина; б) ребро; в) грань; г) диагональ? Сделайте соответствующие рисунки. Ответ обоснуйте. 629. Является ли телом фигура, состоящая: а) из двух шаров, которые не имеют общих точек; б) из двух шаров, которые имеют одну общую точку; в) из двух шаров, которые пересекаются; г) из пересечения двух шаров, имеющих разные радиусы и общий центр? Сделайте соответствующие рисунки. Ответ обоснуйте. 630. Дана точка О и расстояние г (г > 0). Чем является множество всех точек X пространства, удовлетворяющих условию ОХ < г? 631. Определите сферу, шар и внутреннюю область шара с помощью неравенств. 632. Чем является множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют условию: а) -f {/2 -f 2^ = 4; б) + 2^ < 4; в) < 4? Какая из этих трех фигур является геометрическим телом, какая - пространственной областью? 633. Изобразите в декартовой системе координат фигуру, координаты которой удовлетворяют условию: 0 < л: < 1, 0<1/<1,0<2<1. Является ли эта фигура прострвшс-твенной областью? А телом? 127 РАЗДЕЛ 2 634. 635. Является ли телом фигура, координаты которой удовлетворяют условию 0<х<1, 0<у<1, 0 4 я х^ + у2 + z^< 9? 647. Найдите диаметр тетраэдра ОАВС, вершины которого находятся в точках 0(0; 0; 0), А(2; 0; 0), В(0; 2; 0) и С(0; 0; 2). '128 ?> Многогранные углы. Многогранники 648. Ребро SB пирамиды SABCD перпендикулярно к плоскости основания. Найдите диаметр пирб1миды, если SB =АВ = а и: а) ABCD - квадрат; б) ABCD - ромб, ZABC = 120°. 649. Найдите диаметр параллелепипеда, все грани которого -рюмбы со стороной а и углом 60°. 650. Расстояние между параллельными опорными плоскостями к правильному тетраэдру равно Л. Найдите пределы значений h, если ребро тетраэдра равно а. 651. Напишите уравнение опорной плоскости, проведенной к шару -t- 1/^ + - 2х + 4г/ < 20 в точке А(4; -2; 4). 652. Тетраэдр ОАВС задан координатами вершин: 0(0; 0; 0), А(3; 0; 0), 5(0; 3; 0), С(0; 0; 3). Напишите уравнение опорных плоскостей, проходящих через грани тетраэдра. Упражнения для повторения 653. У трехгранного угла ОАВС ZBOC = 90°, ZAOB = ZAOC = 60°. Найдите угол между ребром АО и плоскостью угла ВОС. 654. Плоские углы АОВ и АОС трехгранного угла ОАВС равны. Докажите, что П1юекцией ребра ОА на грань ВОС является биссектриса ZBOC. 655. Найдите угол между плоскостями 4x-3j/-z + 2 = 0h X - 4у - З2 - 5 = 0. [§19 МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются гранями. Стороны граней - ребра, а их концы - вершины многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, - диагональ многогранника (рис. 132). Место многогранников в системе геометрических фигур показбшо На схеме. *В*отвМуа. 11 и (пи) вершина ребро грань диагональ Рис. 132 129 9 РАЗДЕЛ 2 Как и другие геометрические фигуры, многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Фигура называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя своими точками она содержит и отрезок, их соединяющий. Каждый тетраэдр, куб, параллелепипед - многогранники выпуклые. А многогранники на рисунке 133 - невыпуклые. Выпуклый многогранник расположен с одной стороны от плоскости каждой его грани. Если многогранник невыпуклый, плоскости некоторых его граней рассекают его на части (рис. 134). Каждая грань выпуклого многогранника - выпуклый многоугольник. Если поверхность многогранника разрезать по нескольким его ребрам и разложить на плоскости, получим развертку данного многогранника. Поверхность одного и того же многогранника можно развернуть по-разному. На рисунке 135 поданы некоторые развертки куба. Площадь поверхности многогранника - это сумма площадей всех его граней. Она равна площади развертки данного многогранника. На с. 92 речь шла о подобных пирамидах. Подобными могут быть также многогранники других видов. Два многогранника называются подобными, если один из них можно отобразить на другой каким-либо преобразованием подобия, т. е. композицией гомотетии и движения. Например, если много- Рис. 135 130 Многогранные углы. Многогранники Рис. 136 I гранник F гомотетией отображается на а F^ движение отображает на F^, то каждый из этих трех многогранников подобный каждому из двух других (рис. 136). Поскольку все линейные размеры фигуры гомотетия изменяет в том же отношении k, то отношение площадей гомотетичных граней равно k^. Поэтому площади поверхностей подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, Например, если отношение соответствующих ребер двух подобных тетраэдров равно k, то отношение площадей поверхностей этих тетраэдров равно k^. Интересную теорему о соотношении между числом граней f, ребер k и вершин е доказал Л. Эйлер. Теорема 19. Для любого выпуклого многогранника e + f-k = 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дан произвольный выпуклый многогранник, у которого f граней, k ребер и е вершин (рис. 137). Определим двумя способами сумму всех его плоских углов. Пусть Oj, Og, Cg, ..., - числа сторон в 1-й, 2-й, 3-й, ..., /-Й грани. Тогда сумма всех плоских углов данного многогранника в радианах: Za = (Oj - 2)л + (Og - 2)п + ... + (а^- 2)к = = (Oj + flg + ... + а^)п - 2fn. Поскольку каждое ребро многогранника является стороной двух граней, то Oj -I- Cg + ... + = 2/г и Za = 2n{k - f). Cl ♦it? РАЗДЕЛ 2 Вычислим сумму la другим способом. Для этого деформируем данный многогранник, не изменяя значений f, k и е. Возьмем одну из его граней за основание и мысленно растянем ее так, чтобы проекции всех других ребер многогранника оказались во внутренней области этого основания. Данный многогранник будет отображаться на f плоских многоугольников, расположенных будто бы в два слоя. Если основание имеет п вершин, то сумма его плоских углов равна {п - 2)п. Других вершин е - п. Сумма плоских углов всех граней многогранника, кроме основания, равна (л - 2)к + (е~ - л) • 2тг. Следовательно, Za = (л - 2)я + (л - 2)п + (е - п)2п = 2л{е - 2). Приравняв этот результат к найденному раньше, получим: 2п{е - 2) = 2n{k - f), откуда е ~ k + f = 2. Доказанная теорема выполняется и для многих невыпуклых многогранников, которые можно деформировать описанным выше способом, не изменяя числових значений е, f и k. Но, например, для многогранников, изображенных на рисунке 133, б, теорема Эйлера не выполняется. С разными, иногда очень сложными, материальньпаи моделями многогранников имеют дело камешцики, плотники, шлифовщики, строгальщики, гранильщики, минералоги, кристаллографы и другие специалисты. Например, столяр ежедневно делает десятки деталей в виде самых разнообразных многогранников. Экскаваторщики роют разные траншеи, котлованы и другие выемки также преимущественно в виде многогранников. На рисунке 138 изображены природные формы кристаллов граната. Известный чешский писатель Карел Чапек, ознакомившись с кристаллами и поняв их роль в жизни людей, пропел им большой гимн - словом и рисунком (рис. 139). «И в человеке Рис. 138 Рис. 139 132 Многогранные углы. Многогранники спрятана сила кристаллизации. Число и фантазия, закон и достаток - вот живые, творческие силы природы: не сидеть под землей деревом, а создавать кристаллы и идеи, вот что означает быть вместе с природой!» • / « 1. 2. 3. 4. 5. и ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое многогранник? Назовите его элементы. Как связаны понятия: геометрические фигуры, тела и многогранники? Покажите на диаграмме. Какие многогранники называют выпуклыми, а какие - невыпуклыми? Что такое площадь поверхности многогранника? Сформулируйте теорему Эйлера о многогранниках. Выполним вместе 1. Многогранник имеет 9 ребер. Докажите, что его гранью не может быть пятиугольник. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. К пятиугольной грани многогранника прилегает не менее 5 смежных граней, образовывающих не менее 5 ребер. Следовательно, если хотя бы одна из граней многогранника - пятиугольник, то он имеет не менее 10 ребер. 2. Докажите, что когда все грани выпуклого многогранника -треугольники, то их число - четное. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть все грани выпуклого л-гран-ника - треугольники. Всех сторон у этих треугольников Зл. Поскольку каждое ребро данного многогранника является общей стороной для двух треугольников, то многогранник 3/1 3/1 имеет — ребер. Число — должно быть целым. Следовательно, число л - четное. А ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 656. Приведите примеры многогранников из окружающей среды. Какие из них выпуклые, а какие - невыпуклые? 657. Назовите многогранник, который имеет наименьшее количество граней. Сколько у него вершин? А ребер? 658. Одна из граней многогранника семиугольник. Какое наименьшее количество ребер и граней он может иметь? J) 183 РАЗДЕЛ 2 659. Пирамида имеет 26 ребер. Сколько она имеет вершин? А граней? 660. В призме 36 ребер. Сколько она имеет граней и вершин? 661. Всегда ли объединение выпуклых фигур является фигурой выпуклой? 662. Может ли выпуклая пирамида иметь три боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания? А если пирамида невыпуклая? 663. Укажите количество граней, ребер и вершин для многогранников, изображенных на рисунке 140, и убедитесь в справедливости теоремы Эйлера для каждого из них. 664. Нарисуйте невыпуклый многогранник, все грани которого выпуклые многоугольники. 665. Нарисуйте многогранник, имеющий 4 грани. Сколько ребер и вершин он имеет? Как называется такой многогранник? 666. Нарисуйте многогранник, имеющий 5 граней и 5 вершин. Сколько ребер он имеет? 667. Нарисуйте многогранник, имеющий 5 граней и 6 вершин. Сколько ребер он имеет? 668. Существует ли многогранник, отличный от тетраэдра, все грани которого треугольники? Сделайте рисунок. 669. Докажите, что произвольный выпуклый многогранник можно разбить на конечное количество треугольных пирамид. 670. Нарисуйте развертку правильного тетраэдра, длина ребра которого 2 см. Найдите площадь развертки. 671. Площадь поверхности правильного тетраэдра Зб7з см^. Найдите длину его ребра. 672. Если от куба ABCDA^B^C^D^ отрезать тетраэдр AjABjDj, останется многогранник ABCDD^B^Cy Сколько граней, ребер и вершин он имеет? Найдите площадь его наибольшей грани, если АВ = а. 673. Площади трех граней параллелепипеда 2 м^, 3 м^ и 4 м^. Найдите площадь его поверхности. J— Рис. 140 134J Многогранные углы. Многогранники 67 !• Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина одного из ребер а, а площади прилежащих к нему граней S. и S„. 675. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если ребер: а) 12; б) 15? Выполните соответствующие рисунки. 676. Начертите многогранник, для которого не выполняется теорема Эйлера. 677. Докажите, что пирамида является выпуклым многогранником тогда и только тогда, когда ее основание - выпуклый многоугольник. 678. Найдите площадь поверхности тетраэдра ABCD, если АС = СВ = BD = DA = DC = а и ZACB = ср. Вычислите, если а - 1,2 м, ф = 50°. 679. Длина одного ребра тетраэдра а, а каждого из оставшихся Ь. Докажите, что о < о < &\/3. 680. Может ли проекция многогранника иметь вид, как на рисунке 141? 681. Докажите, что когда все грани выпуклого га-гранника -пятиугольники, то он имеет 2,5л ребер. 682. Докажите, что у произвольного многогранника количество граней с нечетным количеством сторон - четное. 683. Докажите, что когда все грани многогранника - четырехугольники, то ребер он имеет в 2 раза больше, чем граней. 684*. Докажите, что только у тетраэдра все грани - треугольники и все многогранные углы - трехгранные. 685*. Докажите, что когда все грани многогранника - треугольники и все многогранные углы четырехгранные, то он имеет 8 граней. 686*. Докажите, что не существует многогранника с 7 ребрами. 687*. Чему равна сумма всех плоских углов выпуклого многогранника, имеющего п вершин? 688*. Докажите, что выпуклый многогранник имеет по крайней мере одну треугольную грань или один трехгранный угол. Упражнения для повторения 689. Какие из фигур не являются телом: куб, тетраэдр, круг, сфера, трехгранный угол? 135 РАЗДЕЛ 2 690. Дан параллелепипед ABCDA^B^C^Dy Разложите вектор АС по векторам ABj, АС^, ADj. 691. Точка М находится на расстоянии 8 см от всех сторон ААВС. Найдите угол между плоскостями AM В и АВС, если стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. г§20 ПРИЗМЫ призмой называется многогранник, две грани которого -равные п-угольники, а остальные п граней - параллелограммы. Покажем, как можно построить такой многогранник. Пусть а и ttj - две параллельные плоскости, I - прямая, их пересекающая, и АВС...К - тг-утольник в плоскости а (рис. 142). Проведем через каждую точку X этого п-угольника прямую, параллельную прямой I, и обозначим через Xj точку пересечения ее с плоскостью а,. Все за- Рис. 142 построенные так отрезки хЗ^, ABBjAj полняют некоторый многогранник. Этот многогранник - призма. Его грани АВС...К и AjBjCj...Xj - равные л-угольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные п граней: - параллелограммы. Равные л-угольники АВС...X и AjBjC^...Xj построенной призмы называют ее основаниями, параллелограммы АА^В^В, BBjCjC, ..., КК^А^ - боковыми гранями, отрезки AAj, ВВ^, CCj, ..., КК^ -боковыми ребрами призмы. Поверхность такой л-угольной призмы состоит из двух равных л-угольников и л параллелограммов, боковая поверхность - из л параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основанию. Другие призмы - наклонные. Каждая боковая грань прямой призмы - прямоугольник. Высота призмы - расстояние между плоскостями ее оснований. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра. Призма называется правильной, если она прямая и ее основания - правильные многоугольники. Все боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники. На рисунке 143 136 Многогранные углы. Многогранники а) б) в) Рис. 143 изображены правильные треугольная, четырехугольная и шестиугольная призмы. Если призма выпуклая, то любая плоскость, проходящая через боковое ребро и диагональ основания, рассекает ее на две другие призмы. Такая плоскость называется диагональной плоскостью, а сечение призмы этой плоскостью - диагональным сечением. Диагональное сечение любой призмы - параллелограмм, а прямой призмы - прямоугольник. Форму призмы имеет обычный кирпич, железобетонный блок, брусок, доска, граненый карандаш и т. п. Можно ли считать, что изображенная на рисунке 144 фундаментная подушка имеет форму призмы? Да, но поставлена на боковую грань. Площадью боковой поверхности призмы называют сумму площадей ее боковых граней. I I- Теорема 20. Площадь боковой поверхности прямой при-^ змы равна произведению периметра ее основания на I высоту призмы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть высота данной прямой призмы равна h, а периметр основания АВ -I- ВС -I- ... + КА = Р (рис. 145). Докажем, что площадь ее боковой поверхности = Ph. Каждая боковая грань прямой призмы - прямоугольник. Его основание равно соответствующей стороне основания призмы, а высота - высоте призмы. Поэтому Sg=AB • Л-ЬВС • Л + ...-hKA-h = = (АВ -Ь ВС + ... + КА) • h = Ph. Теорема доказана. Чтобы найти площадь боковой поверхности наклонной призмы, надо найти площадь каждой ее боковой грани и результаты Сложить. Для нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы иногда удобно Пользоваться такой теоремой. 137 РАЗДЕЛ 2 t Теорема 21. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на боковое ребро. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть MNK -перпендикулярное сечение призмы ABCAjBjCj (рис. 146), т. е. сечение, проведенное перпендикулярно к ее боковым ребрам. Тогда MN, NK, МК -высоты боковых граней. Поскольку все боковые ребра призмы равны, то S^ = MN АА^ + NK BBj + МК • АА^ = AA^ + NK ■АА^ + МК-АА^ = = MN AA^(MN + NK + МК) =АА^ • Теорема доказана. ПРИМЕЧАНИЕ. Имеется в виду, что упоминавшееся в теореме «перпендикулярное сечение» существует. Для наклонных призм с малыми боковыми ребрами (рис. 147) формулировку теоремы следует уточнить. Как? Площадь поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и удвоенной площади основания: S„ = S. + 2S. ПО О ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ 4 для САМОКОНТРОЛЯ 1. Что такое призма? Назовите элементы призмы. 2. Какими бывают призмы? 3. Какие призмы называют прямыми? А правильными? 4. Что такое диагональ призмы? А диагональная плоскость; диагональное сечение призмы? 5. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы? А наклонной? 4. Чему равна площадь поверхности произвольной призмы? U Выполним вместе 1. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна I и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Вычислите, если 1 = 28 смг а = 53°. 138 Многогранные углы. Многогранники • • ь • е РЕШЕНИЕ. Пусть призма АВСА^В^С^ правильная, а диагональ В^А ее боковой грани имеет длину I (рис. 148). Сторона основания ВА - проекция этой диагонали на плоскость основания, поэтому ZBjAB = а. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы S = ЗаЛ, где о - сторона основания, h - высота призмы. Из прямоугольного ZvBjAB находим: а = АВ = = /cosa, h = BjB = Zsina. Следовательно, S = 3 • Zcosa • Zsina = l,5Z^sin2a. S = 1,5 • 282sinl06° *1130 (cm^) ОТВЕТ. S = l,5Z2sin2a « 11,3 (дм^). Вершина Bj призмы ABCAjBjCj равноудалена от вершин правильного ЛАВС. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если сторона основания равна 10 см, а боковое ребро - 13 см. РЕШЕНИЕ. Если точка В^ равноудалена от вершин ААВСу то она проектируется в точку О -центр окружности, описанной вокруг этого треугольника. Она является точкой пересечения его медиан AM, CN и ВК (рис. 149). Если BjO 1 (АВС) и AM 1 СВ, то по теореме о трех перпендикулярах BjM 1 СВ. Тогда SgCiBiB “ ‘ СВ. Поскольку BjM = BjiV и АВ = СВ, то Из ABjMB по теореме Пифагора найдем В^М: В^М^ = ВВ,2 - МВ2, BjM2 = 169 - 25 = 144, В^М = 12. Тогда Вес,в,в = ^АА.ВгВ = 12 • Ю = 120 (см^). Прямая КВ - проекция прямой В,В на плоскость основания призмы. Из условия задачи ВК 1 АС, поэтому по теореме о трех перпендикулярах ВВ, ± АС. Поскольку ВВ, «6=2 ОТВЕТ. 370 см*. СС,, то CCj ± АС. Следовательно, А4^С,С - прямоуголь-CCj, S^^cjc = 10 ■ 13 = 130 (см^). Тогда 120 -Ь 130 = 370 (см2). 189 А РАЗДЕЛ 2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 692. Приведите примеры тел из окружающей среды, которые имеют форму призмы. 693. Равны ли диагональные сечения правильной четырехугольной призмы? А шестиугольной? 694. Дана правильная треугольная призма. Чему равна мера двугранного угла при: а) ребре основания; б) боковом ребре? 695. Чему равна площадь поверхности куба с ребром 2 см? 696. В одной прямой п-угольной призме сторона основания равна а, а боковое ребро & (а < Ь). В другой прямой л-угольной призме сторона основания равна Ь, а боковое ребро а. Сравните площади боковых поверхностей этих призм; площади полных поверхностей. 697. Все ребра правильной шестиугольной призмы равны 3 см. Найдите площадь ее боковой поверхности. 698. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна 48 см^. Найдите боковое ребро призмы, если сторона основания равна 4 см. 699. Могут ли площади боковых граней правильной треугольной призмы быть равны 20 см^, 30 см^ и 50 см^? 700. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равно 5 см, 7 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро равно 10 см. 701. Существует ли призма, которая имеет ровно 100 ребер? Сколько вершин, ребер и граней имеет 100-угольная призма? 702. Сколько диагоналей и диагональных плоскостей имеет правильная десятиугольная призма? А га-угольная? 703. Найдите градусную меру двугранного угла при боковом ребре правильной пятиугольной призмы. 704. Боковое ребро призмы равно I и наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите высоту призмы. 705. Равны ли диагональные сечения правильной четырехугольной призмы? А правильной пятиугольной? 706. Высота правильной четырехугольной призмы равна Л, и сторона основания а. Найдите площадь: а) боковой поверхности; б) диагонального сечения призмы- 140 Многогранные углы. Многогранники 707. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна d и наклонена к плоскости основания под углом ср. Найдите площадь: а) диагонального сечения; б) боковой поверхности призмы. 708. В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144 см^, а высота - 10 см. Найдите площадь диагонального сечения. 709. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы равна 40 см^, а ее боковой поверхности - 32 см^. Найдите высоту призмы. 710. Три грани призмы - квадраты со стороной 2 см, а две другие - треугольники. Начертите эту призму и ее развертку. 711. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности равна 27 см^. Найдите площадь основания. 712. В правильной четырехугольной призме площадь диагонального сечения S. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 713. Основание призмы - ромб с углом 60° и стороной а, а все боковые грани - квадраты. Найдите длины диагоналей призмы и площади диагональных сечений. 714. Докажите, что если диагональные сечения призмы пересекаются, то их общий отрезок равен боковому ребру призмы и параллелен ему. 715. Найдите меру наибольшего двугранного угла при боковом ребре треугольной призмы, если стороны перпендикулярного сечения равны 7 см, 8 см и 13 см. 716. Расстояние между боковыми ребрами треугольной призмы равно 18 см, 20 см и 22 см, а боковая поверхность равновелика площади перпендикулярного сечения. Найдите боковое ребро призмы. 717. Основанием прямой призмы является трапеция ABCD, в которой AD = 21 см, ВС = 11 см, АВ = CD = 13 см. Найдите площадь полной поверхности призмы и площадь сечения, проходящего через ребра AD и В^С^, если периметр диагонального сечения равен 58 см. 718. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, все боковые грани которой квадраты, равна 12 см®. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проведенной через ребро основания и середину противолежащего бокового ребра (рис. 150). А Рис. 150 141 РАЗДЕЛ 2 722. 719. Через сер>едины двух сторон основания правильной треугольной призмы под углом а к основанию проведена плоскость, пересекающая два боковых ребра. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна а. Вычислите, если о = 15,7 см, а = 30°. 720. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна S. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно к большей диагонали основания и делит эту диагональ пополам. 721. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две боковые грани по прямым, угол между которыми равен а. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания призмы. Диагонали боковых граней прямой треугольной призмы равны 10 см, S\f^ см и бл/Гз см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если в ее основании лежит прямоугольный треугольник. 723. Докажите, что в правильной четырехугольной призме ABCDAjBjCjDj угол между диагоналями А^С и B^D равен 60°, если BjZ) 1 BBj. 724. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна d и образует с боковой гранью угол а. Найдите: а) угол между диагональю призмы и плоскостью основания; б) площадь диагонального сечения; в) площадь боковой поверхности. 725. Через сторону нижнего основания и противоположную ей сторону верхнего основания правильной шестиугольной призмы проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если длина каждого ребра призмы равна а. 726. Основание прямой призмы - трапеция ABCD, АВ = ВС = = CD = 0,5DA. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь диагонального сечения. 727. ABCAjBjCj - правильная треугольная призма. Найдите косинус угла А^ВА, если ZBA^C = а. 728. В правильной треугольной призме ASCAjBjCj угол между прямыми AjB и ACj равен а. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если АА^ = Ь. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной а. Вершина В^ проектируется в середину стороны АС. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если: а) боковые ребра образуют с плоскостью основания угол 60°; б) двугранные углы при ребрах АВ и ВС равны 60°. 729. 142 ё Многогранные углы. Многогранники t 730. Все ребра наклонной призмы АВСА^В^С.^^ равны а. Боковое ребро BBj образует со сторонами АВ и ВС угол а. Найдите площадь поверхности призмы. 731. В треугольной призме каждая сторона основания равна а. Проекция одной из вершин основания - центр второго основания. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 732. В правильной треугольной призме площадь основания равна Sj, а площадь сечения, проходящего через ребро нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, - Sg. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 733. В правильной четырехугольной призме через середину отрезка, соединяющего центры оснований, и середины двух смежных сторон основания проведена плоскость. Нбшдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если сторона основания призмы равна о, а боковое ребро - Ь. 734. В правильной треугольной призме со стороной основания 2о и боковым ребром о через сторону нижнего основания под углом а к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения. Рассмотрите все возможные случаи. 735. В правильной шестиугольной призме площадь меньшего диагонального сечения равна S. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 736. Назовите место центроида всех вершин правильной призмы. 737. Основание призмы - трапеция, параллельные стороны которой 8,8 дм и 5,6 дм, а непараллельные - по 3,4 дм. Одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно к основанию и является ромбом с углом 45°. Найдите высоту и диаметр призмы. 738. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Вырежьте из плотной бумаги развертку треугольной призмы и сделайте из нее модель призмы. Упражнения для повторения 739. Плоскость BC^D разбивает куб ABCDA^B.^CJ).^ на два многогранника. Сколько ребер и граней в каждом из них? 740. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (1; 2; -3) и 5 = (-5; 1; -1). ^41. Найдите стороны трапеции, описанной около окружности радиуса R, если ее основания относятся как т : п. 143 РАЗДЕЛ 2 TS2lT ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ Параллелепипедом называется призма, основание которой - параллелограмм. Все шесть граней паргшлелепипеда -параллелограммы (рис. 151). Противоположные грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях, противоположные ребра равны и параллельны (почему?). Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. В нем все боковые грани -прямоугольники, а основания - параллелограммы. Бели все грани параллелепипеда - прямоугольники, его называют прямоугольным параллелепипедом. Длины трех его ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны, называется кубом. Правильная четырехугольная призма - отдельный вид прямоугольного параллелепипеда. Соотношение между разными видами параллелепипедов подано на схеме. Рассмотрим важнейшие свойства диагоналей параллелепипеда. i Теорема 22. Диагонали параллелепипеда пересекаются в 1 одной точке и делятся этой точкой пополам. 144 V Многогранные углы. Многогранники ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABCiMjBjCjDj - произвольный параллелепипед (рис. 152). Его ребра АВ, DC, DjC^^, равны и параллельны. Следовательно, четырехугольники ABC^D^ и DCByA.^ - параллелограммы, их диагонали пересекаются. Пусть диагонали АС^ и BZ)j первого параллелограмма пересекаются в точке О, а диагонали DB^ и CAj второго - в точке Oj. Поскольку точкой пересечения каждая диагональ параллелограмма делится пополам, то О и - середины отрезков ACj и DBy Эти отрезки - диагонали параллелограмма ADC^By их середины совпадают. Таким образом, середина каждой диагонали ACj, BDy CAj, ПВ, - одна и та же точка О. А это и надо было доказать. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Это следует из пространственной теоремы Пифагора. Если ACj - диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^Dy то АВ, AD, AAj — ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые (рис. 153). Следовательно: ACf =АВ^ -Ь AD^ + AAj^. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. О ЗАМЕЧАНИЕ. Под ^диагональю» в одном случае понимают отрезок, а в другом - длину этого отрезка. Названия ♦высота», ♦боковое ребро», «сторона основания» также употребляются для обозначения двух разных понятий: отрезка и его длины. Вместо «длина диагонали равна d* пишут «диагональ равна d» или еще короче: «диагональ d*. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют кирпичи, бруски, контейнеры, ящики для овощей и фруктов, некоторые упаковки продуктов питания, лекарств и т. п. С непрямоугольными параллелепипедами часто приходится иметь дело Минералогам и кристаллографам. ’•Xlwinwtrtya. 11 И (П1») 145 РАЗДЕЛ 2 ••• :Е«с;э*е» 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Сформулируйте определение параллелепипеда. Назовите его элементы. Какие бывают параллелепипеды? Покажите на диаграмме. Какой параллелепипед называется прямым? Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Сформулируйте и докажите свойства диагоналей параллелепипеда. Чему равен квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда? Выполним вместе 1. Найдите плоп(адь поверхности прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна 5\fl0 см, а диагонали боковых граней - 13 см и 15 см. РЕШЕНИЕ. Пусть ABCDA^B^C^D^ - прямоугольный параллелепипед, у которого DBy =5^/^0 см, DC^ = 13 см, DA^ = = 15 см (рис. 154). Обозначим измерения параллелепипеда AD = а, DC = Ь, DDj = с. Тогда по теореме Пифагора DC^ = = Ь^ + с^, DAf =а^ + и DB^ = + с^. Получим систему уравнений =250, Ь4с^=169, аЧс^ =225. Если вычесть из первого уравнения второе и третье, получим, что = 81 и = 25, тогда = 144. Следовательно, AD = 9 см, DC = 5 см, Z)Z)j = 12 см. Тогда Sg = • Л = 2(5 + 9) • 12 = 336 (см^). = Sg + 2S^. Поскольку jS^ = 5 • 9 = 45 (см^), то = 336 + 2 • 45 = = 426 (см2). ОТВЕТ. S = 426 см2. 146 i Многогранные углы. Многогранники Стороны АВ и AD основания прямого параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ равны 6 см и 8 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь сечения параллелепипеда, которое проходит через AD и SjCj, если высота параллелепипеда равна 4 см. РЕШЕНИЕ. Сечение ABjCjD - параллелограмм (рис. 155). Пусть В^Н - высота этого параллелограмма. Тогда ^ABiCiD В^Н. Если В^Я ± AD, то по теореме о трех перпендикулярах ВН 1AD. Если ZBAD = 30°, то ВН = 3 см. Тогда по теореме Пифагора из АВ.^ВН найдем В^Н: В^Н^ = BjB2 + ВЯ^; В^Я2 = 16 + 9 = 25. Тогда В^Я = 5 см и = 5 • 8 = 40 (см^). ОТВЕТ. = 40 см2. 3. Докажите, что если диагональ прямоугольного параллелепипеда с плоскостями его граней образует углы а, р, у, то sin^a -I- sin^p + sin^y = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Данные углы изображены на рисунке 156. Поскольку параллелепипед прямоугольный, то ребро B^Aj перпендикулярно к плоскости DD^A^, а следовательно, и к диагонали DA^. Следовательно, ZB.^AJ) = 90°. Аналогично ZBjCjB = 90°. Если BBj = d, то из прямоугольных треугольников BjBA^, В^ВВ и BjBCj найдем измерения параллелепипеда: BjAj = dsina, BjB = dsinp, BjCj = dsiny. Поэтому d^sin^a + d^sin^p -l- d^sin^y = d^, откуда sin^a -I- sin^p -t- sin^y = 1. Ч'^ д РАЗДЕЛ 2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 742. Приведите примеры тел, имеющих форму параллелепипеда, из окружающей среды. 743. Три грани параллелепипеда - прямоугольники. Следует ли из этого, что данный параллелепипед прямоугольный? 744. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 4 см, 5 см и 10 см. 745. В основании прямого параллелепипеда с высотой 5 см лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите: а) площади диагональных сечений; б) площадь боковой поверхности; в) площадь полной поверхности. 746. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 3 см, 4 см и 12 см. 747. Дан параллелепипед, каждая грань которого - ромб со стороной а и углом а. Найдите площадь его поверхности. 748. ABCDA^BjC^Dj^ - прямой параллелепипед, & К, L, М -середины р^ер АВ, А^В^, B^Cj соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки К, L, М. Найдите площадь сечения, если A4.J = 3 см, а КМ = 5 см. 749. ABCDA^B^C^D^ - наклонный параллелепипед, М - середина его ребра А^Ву Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки В, D, М. 750. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA^BjC^D^ плоскостью, которая проходит через середины ребер АВ, CD, ВВу Определите вид сечения, если параллелепипед; а) прямоугольный; б) прямой; в) наклонный. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3, 4 и 5. Под каким углом наклонена диагональ параллелепипеда к плоскости нгшменьшей его грани? Как связаны между собой измерения а, Ь, с прямоугольного параллелепипеда, если его диагональное сечение ' квадрат? 753. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней 42 см^, 72 см^ и 84 см^. 754. Найдите площади диагональных сечений прямого параллелепипеда, если стороны его основания равны 2,3 м и 1,1 м, угол между ними 60°, а боковое ребро 1 м. 751 752. 148 Многогранные углы. Многогранники 755. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, все ребра которого равны а, а угол в основании 60°. 756. Стороны основания прямого параллелепипеда 6 см и 8 см, а одна из диагоналей основания равна 2л/14 см. Найдите диагонали параллелепипеда, если его боковое ребро равно 5 см. 757. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами 3 см, 5 см и углом 60°. Найдите площадь поверхности парбшлелепипеда, если площадь большего диагонального сечения равна 42 см^. 758. Площади диагональных сечений прямого параллелепипеда, в основании которого лежит ромб, равны 9 см^ и 12 см^. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 759. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда образуют с плоскостью основания углы 30° и 45°. Какой угол с плоскостью основания образует диагональ параллелепипеда? 760. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если они образуют с плоскостью основания углы 30° и 45°, а стороны основания равны 7 см и 17 см. 761. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна I и образует со стороной основания угол а, а с диагональю параллелепипеда - угол р. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 762. Найдите площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDAjBjCjDj, если DB^ = 6 см, DB = 5 см, BCj = 4 см. 763. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда cf = 0,5(dj* -I- + d^), где rfj, d^, dg - диаго- нали трех граней, которые выходят из одной вершины. 764. Могут ли диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда иметь длины: а) 30 см, 40 см и 70 см; б) 30 см, 40 см и 50 см? 765. Докажите, что сумма квадратов диагоналей любого параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер. Докажите, что сумма квадратов площадей диагональных сечений прямого параллелепипеда равна сумме квадратов площадей всех его граней. 767. Можно ли пересечь прямоугольный параллелепипед плоскостью так, чтобы в сечении образовался: а) равносторонний треугольник; б) прямоугольный треугольник? 149 РАЗДЕЛ 2 В, М, 5л D, М в Рис. 157 768. ЗАДАЧА С НЕОЖИДАННЫМ ОТВЕТОМ. ABCDA^B^C^D^ - правильная призма, в которой AAj = 15 см, АВ = 5 см. М и -середины ее ребер AD и С^Ву Найдите кратчайшее расстояние между точками М и Mj по поверзшости призмы (рис. 157). 769. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол а, а с плоскостью боковой грани - угол р. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. Вычислите, если d = 6 м, а = 30°, р = 60°. 770. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с боковыми гранями углы аир. Какой угол эта диагональ образует с плоскостью основания? 771. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Одна из диагоналей параллелепипеда равна I и образует с плоскостью основания угол а, а с плоскостью боковой грани -угол ф. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. Вычислите, если ( = 12 м, а = 30°, ф = 45°. 772. Найдите площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, диагонали которого равны 14 см и 16 см, а стороны основания 6 см и 10 см. 773. Найдите площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда ABCjDAjSjCjDj, если DAj = 15 см, DC^ = 13 см, а вершина Bj удалена от сторон AD и DC на 2>/б1 см и 6\/l3 см соответственно. 774. В прямом параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ проведено сечение A-BjCjB. Площади четырехугольников ABCD и A-BjCjB равны 12 см^ и 20 см^. Найдите площадь: а) грани BBjCjC; б) четырехугольника DAjBjC, если AD : DC = 2:1. 775. Основанием параллелепипеда является квадрат со стороной 4 см. Одна из вершин основания равноудалена от вершин второго основания. Найдите площади диагональных сечений параллелепипеда, если его боковое ребро равно 3 см. 776. Основание параллелепипеда AjBCjDAjBjCjDj - квадрат ABCD. Найдите BDy если АВ = AAj = а, ZAjAB = ZAyAD. ТП. Боковое ребро AAj параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ равно 2-Jll см и образует со сторонами АВ и AD равные острые 150 Многогранные углы. Многогранники • • • я « • 1* углы. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, если его высота равна 2 см, а в основании лежит ромб, у которого АС = 20 см и BD = 15 см. 778. Через сторону основания прямого параллелепипеда проведена секущая плоскость под углом 60° к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если в основании лежит ромб со стороной 2а и углом 30°, а высота параллелепипеда равна а. 779. Диагональ EjD прямого параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ образует с боковым ребром угол 60° и отдалена от АА^ и АС на 3 см и 2 см соответственно. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, если ABCD - ромб. 780. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами углы а, р, у. Докажите, что cos^a + cos^p -f- cos^ = 1. 781‘.Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с тремя его ребрами углы а, р, у. Докажите, что а + р + у < 180°. 782*. Каждая грань параллелепипеда - ромб со стороной а и углом 60°. Найдите длины диагоналей параллелепипеда. 783*. Даны параллелепипед и сфера с центром в точке пересечения его диагоналей. Найдите сумму квадратов расстояний от любой точки сферы до всех вершин параллелепипеда, если радиус сферы г, а сумма квадратов всех ребер параллелепипеда а. 784. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте из картона или дерева модель наклонного параллелепипеда. Упражнения для повторения 785. Вершина В^ призмы АВСА^В^С^, в основании которой лежит правильный ЛАВС, проектируется в центр нижнего основания. Докажите, что ZB^BA = ZB^BC. 786. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 9 см, а площадь поверхности 144 см^. 787. Найдите точки, симметричные середине отрезка АВ относительно координатных плоскостей, если: а) А(1; 4; 2), В(3; 0; 4); б) А(0; 1; -1), В(2; 3; 1); в) А(-1; 4; -2), В(3; 0; -6). 161 РАЗДЕЛ 2 §22 ПИРАМИДЫ И УСЕЧЕННЫЕ ПИРАМИДЫ Пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный многоугольник, а другие грани - треугольники, имеющие общую вершину (рис. 158). Эти треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, их общую вершину - вершиной пирамиды. Грань пирамиды, которая не является боковой, - основание пирамиды. В зависимости от числа сторон основания различают треугольные, четырехугольные, ..., п-угольные пирамиды. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. Каждое ребро пирамиды, не являющееся стороной основания, называют боковым ребром. Если пирамида выпуклая, то любая плоскость, проходящая через боковое ребро и диагональ основания, рассекает ее на две другие пирамиды. Такая плоскость называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды этой плоскостью - диагональным сечением. Каждое диагональное сечение пирамиды - треугольник. Треугольная пирамида диагональных сечений не имеет. Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания, или длина этого перпендикуляра. Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а его центр совпадает с основанием высоты пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны и все ребра при основании равны. Все боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой пирамиды. Неправильные пирамиды апофем не имеют. На рисунке 159 изображены правильные треугольная и четырехугольная пирамиды. 152 Многогранные углы. Многогранники Рис. 161 Отрезки РО - их высоты, а РМ - апофемы. Боковая поверхность пирамиды состоит из всех боковых граней. В пирамиде желательно различать углы: плоский угол при вершине а, угол наклона бокового ребра к плоскости основания р, двугранный угол при боковом ребре у, двугранный угол при ребре основания ф и т. п. (рис. 160). Обратите внимание: двугранный угол при боковом ребре может быть больше 180° (рис. 161). Двугранный угол при основании пирамиды также может быть тупым. Поэтому двугранный угол при основании может не быть равным углу, под которым боковая грань наклонена к плоскости основания. § Теорема 23. Площадь боковой поверхности правильной • пирамиды равна произведению полупериметра ее основания на апофему пирамиды. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если сторона основания данной пирамиды а, а апофема I, то площадь одной ее боковой грани равна -al. Боковая поверхность Sg рассматриваемой пирамиды со- А стоит из п таких граней, ее площадь в п раз больше. Поэтому, если периметр основания пирамиды равен Р, то S* =—aln =—Pl. ® 2 2 Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади ее боковой поверхности и площади основания: S = S. + S. П О О Если каждый двугранный угол при основании пирамиды Равен ф, а площадь ее основания S^, то площадь боковой поверхности: S =А- ® СОЗф Это следует из теоремы о площади ортогональной проекции. 153 РАЗДЕЛ 2 » Если произвольную п-угольную пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, эта плоскость отсечет от пирамиды многогранник, две грани которого подобные п-угольники, а остальные п граней - трапеции. Такую часть пирамиды называют усеченной пирамидой. Параллельные грани усеченной пирамиды называют ее основаниями, а все другие - боковыми гранями. Высота усеченной пирамиды - расстояние между плоскостями ее оснований. Усеченную пирамиду называют правильной, если она является частью правильной пирамиды. На рисунке 162 изображена правильная четырехугольная усеченная пирамида ABCDA^BjC^Dy Грани ABCD и - ее основания, отре- зок MMj - апофема. Теорема 24. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть периметры оснований и апофема данной правильной усеченной п-угольной пирамиды равны Р., Р2 VI т. Каждая ее боковая грань - трапеция, стороны кото- 1» рой — и—, а высота т. Плоп^адь одной такой трапеции равна п п , т п п ) 2 Площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды V S.=„. л+ft “ = о ■т. п п ' ~ Это и надо было доказать. ЗАМЕЧАНИЕ. Усеченная пирамида не является пирамидой, поскольку не соответствует определению пирамиды. Поэтому нельзя утверждать, что «усеченная пирамида -это такая пирамида, у которой...* или что «пирамиды бывают полные и усеченные». *.• ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ щ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Сформулируйте определение пирамиды, элементы. Назовите ее 2. 3. 4. 5. 6. Т. 8. II Многогранные углы. Многогранники - % * в --- - Что такое диагональная плоскость пирамиды? А диагональное сечение? Какие пирамиды называют правильными? Что такое апофема правильной пирамиды? Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды? Что такое усеченная пирамида? Назовите ее элементы. Является ли усеченная пирамида пирамидой? Чему равна площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды? Выполним вместе 1. Основание пирамиды - трапеция. Постройте прямые, по которым пересекаются плоскости противоположных боковых граней пирамиды. РЕШЕНИЕ. Пусть дана пирамида PABCD, у которой АВ II CD (рис. 163). Плоскости ее боковых граней РАВ и PCD пересекаются по прямой РК, параллельной АВ. Если прямые AD и ВС пересекаются в точке М, то плоскости граней PAD и РВС имеют общие точки Р и М. Следовательно, они пересекаются по прямой РМ. Поэтому строим: а) прямую РК, параллельную АВ; б) прямую РМ, где М - точка пересечения прямых AD и ВС. Прямые РК и РМ искомые. 2. Докажите, что когда все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то основание ее высоты - центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если все боковые ребра пирамиды РАВС...К наклонены к плоскости основания под углом р (рис. 164), то прямоугольные треугольники РОА, РОВ, ..., К Рис. 164 155 РАЗДЕЛ 2 РОК равны (по катету РО и противолежащему углу). Тогда равны и отрезки ОА, ОВ, ОК. Следовательно, все вер. шины основания данной пирамиды лежат на одной окруж-ности с центром в точке О. 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Боковая грань пирамиды, проходящая через гипотенузу, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом р. Найдите высоту пирамиды. РЕШЕНИЕ. Пусть SABC - пирамида, у которой АВ = с, ZACB = 90°, ZBAC = а (рис. 165). Боковая грань ASB перпендикулярна к плоскости основания, SO -высота пирамиды. Проведем ОМ 1 АС, ON X ВС, точки М и N соединим с точкой S. По теореме о трех перпендикулярах SM 1 АС и SN 1 ВС. Следовательно, ZSMO и ZSNO - линейные утлы двугранных углов при ребрах АС и ВС: ZSMO = ZSNO = р. Поскольку ASOM = ASON (по катету и противолежащему углу), то ОМ = ON. Рассмотрим ААВС. Имеем: АС = ccosa, ВС = csina, 1 1 2 1 2 5дддс =~АС-ВС =—с sinacosa =—с sin2a. 2 2 ^ Рассмотрим ЛАОС и АВОС. Пусть ОМ = ON = х. Поскольку 4- S^q^ и 5даос =^ACOM = |cxcosa, S^oc =-ВС-ON =—сдгзша, 2 2 1 1 . 1 2 . о ТО -cxcosa+—cxsma =—с sm2a, 2 2 4 или 2cx(cosa + sina) = c^sin2a, с sin 2a откуда x~------------. 2(cosa + sina) Тогда из ASOM найдем SO: csin2atgP SO = OMtgp, или SO = 2(cosa+sina) 156 Многогранные углы. Многогранники •• •» Попробуйте решить эту задачу другим способом, например используя подобие треугольников. ОТВЕТ. csin2atgP 2(cosa+sina) Через середину высоты усеченной пирамиды параллельно основаниям проведено сечение. Найдите площадь сечения, если площади оснований S и Q. РЕШЕНИЕ. Основания усеченной пирамиды и серединное сечение - подобные многоугольники. Обозначим их соответствующие стороны: АВ =; а, AjBj = = 6, АдВц = с (рис. 166). Тогда а + Ь S с =----и - = 2 Q а sfs а + Ь у/s + ^Jq откуда- = ^, —— =------j=—. Ь yjQ Ь Рис. 166 Если площадь сечения равна X, то Q { 2Ь ) ^^Q 4 ОТВЕТ. 0,25{yfs + jQf I ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 788. Сколько граней, вершин и ребер имеет л-угольная пирамида? Существует ли пирамида, которая имеет 125 ребер? 789. Найдите апофему правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 4 см, а сторона основания - 6 см. 790. Двугранный угол при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды равен 60°, а апофема - 10 см. Найдите площадь основания. 791. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности пирамиды, если сторону основания увеличить в 2 раза, а апофему - в 3 раза? 157 щ РАЗДЕЛ 2 угольники, если стороны одного равны 3 см и 5 см, а второго - 4 см и 6 см? 793. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно Ь и наклонено к плоскости основания под углом а (рис. 167). Найдите: а) высоту пирамиды; б) радиус окружности, описанной вокруг основания; в) диагональ основания; г) площадь диагонального сечения; д) сторону основания. 794. Апофема правильной треугольной пирамиды равна т и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите: а) высоту пирамиды; б) радиус окружности, вписанной в основание; в) радиус окружности, описанной вокруг основания; г) сторону и площадь основания; д) площадь боковой грани (рис. 168). 795. Ученик рассуждает: «Треугольная пирамида называется тетраэдром. Следовательно, правильная треугольная пирамида - это правильный тетраэдр». Прав ли он? Каждая ли правильная треугольная пирамида является правильным тетраэдром? 796. Известная пирамида -Хеопса в Египте - правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна 147 м, а площадь основания - 5,3 га. Найдите меру двугранного угла при ребре ее основания и угол наклона к плоскости основания ее бокового ребра. 797. Площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды в 2 раза меньше площади основания. Докажите, что противоположные боковые ребра пирамиды перпендикулярны. 158 О Многогранные углы. Многогранники 9 ' 798. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Каждое боковое ребро равно 26 см. Найдите высоту пирамиды. 799. Найдите площадь поверхности тетраэдра, вершины которого - точки 0(0; 0; 0), А(2; 0; 0), В(0; 2; 0), С(0; 0; 2). 800. Высота четырехугольной пирамиды равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если в основании лежит: а) квадрат со стороной 8>/з см; б) прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см; в) ромб с диагоналями 12 см и 16 см; г) параллелограмм площадью 24 см^ со сторонами 3 см и 4 см. 801. На^ите площадь поверхности правильного тетраэдра, если: а) сторона основания равна а; б) апофема равна (; в) высота равна Л. 802. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если: а) сторона основания равна а, а двугранный угол при ребре основания а; б) высота пирамиды равна Л, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°; в) боковое ребро равно Ь и образует с плоскостью основания угол Р; г) расстояние от основания высоты до боковой грани равно d, а двугранный угол при ребре основания а; д) расстояние от основания высоты до бокового ребра равно I, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол р. 803. Найдите площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если: а) сторона основания равна а, а двугранный угол при ребре основания а; б) высота пирамиды равна Л, а двугранный угол при ребре основания а; в) боковое ребро равно Ь и образует с плоскостью основания угол Р; г) расстояние от основания высоты до боковой грани равно d, а двугранный угол при ребре основания а; д) расстояние от основания высоты до бокового ребра равно If а боковое ребро образует с плоскостью основания угол р. Основание пирамиды - ромб, острый угол которого 45°, а радиус вписанной окружности 3 см. Высота пирамиды проходит через центр этой окружности и равна 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 169 РАЗДЕЛ 2 805. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна а, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Вычислите, если а = 7 см, а = 45°. 806. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом а. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом (3. Найдите высоту пирамиды. 807. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и утлом при вершине а. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом р. Найдите расстояние от основания высоты пирамиды до ее бокового ребра. 808. Докажите, что когда все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то основание ее высоты -центр окружности, вписанной в основание пирамиды. 809. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Каждый из двугранных углов при ребрах основания равен 60°. Найдите высоту пирамиды. 810. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 11 см, 24 см и 31 см. Высота пирамиды равна 2 см. Все двугранные углы при ребрах основания равны. Найдите эти углы. 811. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, основание которой - квадрат со стороной а, а высота проходит через одну из вершин основания и равна h. 812. Основание пирамиды - ромб, сторона которого а, а острый угол 60°. Высота пирамиды равна а и проходит через вершину острого угла основания. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 813. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной а. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья нгпслонена к ней под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 814. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный ААВС, у которого ZC = 90°, ZA = а, АВ = с. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если грани, содержащие стороны АВ и АС, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань образует с ним угол р. 815. В треугольной пирамиде плоские углы при вершине равны а, а, р. Боковое ребро, являющееся общей стороной равных углов, перпендикулярно к плоскости 160 Многогранные углы. Многогранники основания и равно а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 816. Основание пирамиды - правильный треугольник со стороной а. Одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 817. Основание пирамиды - правильный треугольник. Одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 60°. Как наклонено к плоскости основания наибольшее боковое ребро? 818. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с углом а и противоположным катетом а. Боковая грань, проходящая через этот катет, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом ф. Найдите высоту пиргиииды. 819. В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии d от противоположной грани. Найдите площадь поверхности пирамиды, если двугранный угол при ребре основания равен а. 820. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол а. Через диагональ основания, параллельно боковому ребру, щюведена плоскость. Найдите площадь сечения, если апофема пирамиды равна I. 821. Высота пирамиды равна 12 см, а площадь основания 288 см^. На каком расстоянии от основания надо провести сечение, параллельное основанию, чтобы его площадь была равна 50 см^? 822. Сечение пирамиды, параллельное основанию, делит боковое ребро в отношении 2:3, считая от вершины пирамиды. Найдите площадь основания, если она больше площади сечения на 63 см^. 823. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 12 см. Стороны оснований 20 см и 38 см. Найдите: а) длину ее бокового ребра; б) площадь сечения, которое проходит через диагонали оснований; в) площадь поверхности. 824. Стороны основания правильной усеченной пирамиды равны 8 см и 12 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите боковое ребро и апофему, если усеченная пирамида: а) четырехугольная; б) треугольная; в) шестиугольная. 825. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, диагональ которой ’’■0«отм1(ув, 11 U(ius) 161 РАЗДЕЛ 2 равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 30°, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. 826. Основанием усеченной пирамиды является квадрат. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ним угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, если стороны оснований а и 2а (рис. 169). 827. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна n/2 см, а высота боковой грани, проведенная к боковому ребру, - -Уз см. Найдите боковое ребро пирамиды. 828. Основанием пирамиды является квадрат. Двугранные углы при основании пропорциональны числам 1, 2, 4 и 2. Определите эти углы. 829. Найдите площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна Л, а двугранный угол при боковом ребре а. 830. Расстояние от основания высоты правильной треугольной пирамиды до середины бокового ребра равно стороне основания. Найдите косинус угла между смежными боковыми гранями. 831. Основание пирамиды - правильный треугольник. Найдите меры двугранных углов при ребрах основания, если высота пирамиды проходит через один из центров внеш-невписанной окружности и равна ее радиусу. 832. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 см, а площадь поверхности 64 см^. Найдите сторону основания пирамиды. 833. Двугранные углы пирамиды при основании равны 60°. Найдите площадь сечения, которое параллельно основанию и делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины, если площадь поверхности пирамиды равна 192 см^. 834. Найдите площадь поверхности пирамиды, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной I, а одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и также равно I. 835. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной о. Двугранный угол при одном из ребер основания прямой, а двугранные углы при соседних с ним ребрах основания равны аир. Найдите высоту пирамиды. 162 Многогранные углы. Многогранники g36, В основании пирамиды лежит трапеция ABCD, АВ = CD = = К = 2 см, ВС = 4 см, AD = 6 см. Грани SAB и SCD перпендикулярны к плоскости основания, а двугранный угол при ребре AD равен 30°. Найдите высоту пирамиды и двугранный угол при ребре ВС. 837. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а, если плоскость, проведенная через сторону основания перпендикулярно к противоположной боковой грани, делит эту грань на две равновеликие части. 838. Дана правильная пирамида, у которой: а - угол наклона боковой грани к плоскости основания, р - угол наклона бокового ребра к плоскости основания, у - плоский угол при вершине пирамиды, <р - двугранный угол при боковом ребре. Зная один из этих углов, найдите другие, если пирамида: а) 4-угольная; б) 3-угольная; в) б-угольная. 839. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны о. На сторонах ВС и CD взяты точки М и iV, а на поверхности пирамиды точка Р так, что PAMN - правильная треугольная пирамида с вершиной Р. Найдите SP. 840. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если сторона основания равна а, а угол между гранями SAB и SEF - а. 841. Расстояния от основания высоты правильной четырехугольной пирамиды до бокового ребра и до боковой грани соответственно равны тип. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды. 842. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания равна т, двугранный угол при ребре этого основания 60°, а площадь поверхности Q. Найдите сторону верхнего основания. 843. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 18у1з см^, а площадь поверхности 27\1з см^. Высоту пирамиды разделили на три равные части и через точки деления провели сечения, параллельные основанию. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, ограниченной этими сечениями. 844. Плоскости сечений, параллельных основаниям, делят высоту усеченной пирамиды на три равные части. Найдите отношение площадей этих сечений, если площади оснований относятся как 1 : 4. Стороны верхнего и нижнего оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 2о и За, а боковая грань образует с плоскостью основания угол а. Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью. 163 РАЗДЕЛ 2 проходящей через центр нижнего основания и среднюю линию боковой грани. 846. Высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Докажите, что суммы квадратов скрещивающихся ребер пирамиды равны между собой. 847. Докажите, что в тхюугольной пирамиде с прямым трехгранным углом при вершине квадрат площади основания равен сумме квадратов площадей боковых граней. 848*. Из двух треугольных пирамид с общим основанием одна расположена внутри другой. Может ли сумма ребер внутренней пирамиды быть больше суммы ребер внешней? 849*. Докажите, что когда в треугольной пирамиде все грани имеют равные площади, то все они равны. 850*. Пусть АВ и КР - две стороны, принадлежащие разным основгшиям правильной усеченной пирамиды. Докажите, что проекции АВ и КР на прямую, проходящую через их середины, равны между собой. Упражнения для повторения 851. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и наклонена к плоскостям двух его граней под углами а и р. Найдите длины ребер параллелепипеда. 852. Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через две противоположные стороны верхнего и нижнего оснований, если сторона основания равна 3 см, а боковое ребро 13 см. 853. Точка пространства Р равноудалена от сторон прямоугольной трапеции с основаниями 10 см и 15 см. Найдите эти расстояния, если от плоскости трапеции точка Р удалена на 8 см. §23 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник называется правильным, грани - равные правильные многоугольники, одинаково удалены от некоторой точки. если все его а все вершины Эта точка называется центром правильного многогранника. Например, куб - правильный многогранник, поскольку все его грани - равные квадраты, а все вершины одинаково удалены от точки пересечения диагоналей куба. 164 О Многогранные углы. Многогранники Рис. 170 Рис. 171 Если соединим отрезками концы двух скрещивающихся диагоналей противоположных граней куба, получим каркас правильного тетраэдра (рис. 170). Каждая его грань - равносторонний треугольник, а каждая вершина одинаково удалена от центра куба. Соединив отрезками центры смежных граней куба, получим каркас правильного октаэдра (рис. 171). Каждая его грань - равносторонний треугольник, а все вершины одинаково удалены от центра данного куба. Существует всего пять видов правильных многогранников. Кроме трех названных, еще правильный додекаэдр и правильный икосаэдр (рис. 172). Куб называют еще правильным гексаэдром.. Названия тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр в переводе с греческого значат: четырехгранник, шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник и двадцатигранник. Форму куба имеют кристаллы кухонной соли и некоторые алмазы. Другие алмазы кристаллизуются в форме правильных октаэдров. Кристаллы пирита (железного колчедана) имеют форму правильного додекаэдра. Она настолько характерна для пирита, что кристаллографы додекаэдры чаще называют пиритоэдрами. Свойства правильных (и производных от них) многогранников используют также архитекторы и строители, сооружающие сетчатые купола, специалисты, изучающие структуры веществ, и др. Если центр О правильного га-гранника соединить отрезками со всеми вершинами, его можно разбить на п правильных пирамид, основаниями которых являются грани данного многогранника, а общей вершиной - точка О (рис. 173). Эти пира- щ РАЗДЕЛ 2 МИДЫ В каждом правильном многограннике равны, так как равны все их основания и все боковые ребра. У равных правильных пирамид равны высоты и двугранные углы при основаниях. Поэтому в любом правильном многограннике каждая грань одинаково удалена от центра и все двугранные углы равны. ^ Центр О каждого правильного многогранника, кроме тетраэдра, является центром его симметрии. Правильные многогранники имеют и другие элементы симметрии. Плоскости симметрии, оси и центр симметрии, а также оси вращения разных порядков называют элементами симметрии. Перечислим элементы симметрии куба: 1 центр симметрии, 9 плоскостей симметрии, 6 осей симметрии второго порядка, 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси третьего порядка, 4 оси зеркальной симметрии шестого порядка. Такие же элементы симметрии имеет и правильный октаэдр. Ведь вершины правильного октаэдра расположены в центрах граней некоторого куба (эти многогранники взаимны). И при каждом самосовмещении одного из этих многогранников самосовмещается и другой. Аналогично центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра и наоборот. Поэтому каждый из них имеет те же элементы симметрии, что и другой (1 центр симметрии, 15 плоскостей симметрии, 15 осей симметрии, 6 осей симметрии пятого порядка и 10 осей симметрии третьего порядка). Если ко всем преобразованиям симметрии данной фигуры присоединить тождественное преобразование, получим группу симметрии данной фигуры. Например, группа симметрии куба (и правильного октаэдра) содержит 28 элементов. Много элементов симметрии имеют и полуправильные многогранники, каждый из которых ограничен правильными, но не одноименными многоугольниками. Примеры таких тел нетрудно получить, если при каждой вершине правильного многогранника отрезать соответствующих размеров правильные пирамиды (рис. 174). Рис. 174 б) 166 Многогранные углы. Многогранники 0 В 1. i. 3. 4. 5. и ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Какие многогранники называюгся правильными? Назовите правильные многогранники. Что такое центр правильного многогранника? Сформулируйте наиболее важные свойства правильных многогранников. Какие многогранники называют полуправильными? Выполним вместе 1. Сколько граней может иметь правильный многогранник с пятиугольными гранями? Сколько он имеет вершин и ребер? РЕШЕНИЕ. Если такой многогранник имеет п граней, то 5п _ ребер он имеет —, поскольку каждая грань имеет 5 сторон и каждое ребро является стороной для двух граней. В одной вершине такого многогранника сходится по 3 грани, 5га тт о- , 5л 5га поэтому вершин у него —. По теореме Эйлера ган---= 2, 3 3 2 откуда га = 12. Следовательно, пятиугольные грани из правильных многогранников имеет только 12-гранник. Это правильный додекаэдр. Вершин у него 5га : 3 = 20, а ребер 5га : 2 = 30. ОТВЕТ. 12, 20, 30. 2. Покажите, что куб имеет 4 оси зеркальной симметрии шестого порядка. РЕШЕНИЕ. Сечением куба плоскостью а, которая проходит через середину О диагонали ACj и перпендикулярна к ней, является правильный шестиугольник (рис. 175). Мысленно повернем данный куб вокруг прямой ACj на 60°. При этом точка Mj перейдет в Мд, Мд - в Мд, ..., М.~ В Mj, а данный куб F - в F^. Кубы F и Fj^ симметричны относительно плоскости а. Следовательно, композиция поворота на 60° вокруг прямой ACj и симметрии относительно плоскости а 167 4 РАЗДЕЛ 2 отображает данный куб F на себя. Поскольку 360° : 60° = 6, то прямая АСJ - ось зеркальной симметрии шестого порядка. Всего диагоналей у куба четыре. Следовательно, куб имеет 4 оси зеркальной симметрии шестого порядка. к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 854. Ученик рассуждает: «Каждая призма - многогранник, следовательно, каждая правильная призма — правильный многогранник». Прав ли он? 855. Является ли правильная пирамида правильным многогранником? 856. Существует ли пирамида, являющаяся правильным многогранником? А призма? 857. Будет ли правильным многогранник, который является объединением двух правильных тетраэдров, имеющих общее основание? 858. Чему равен плоский угол при вершине правильного икосаэдра? А гексаэдра? 859. Площадь грани правильного додекаэдра равна 10 см^. Чему равна его площадь поверхности? 860. Площадь поверхности правильного гексаэдра равна 54 см^. Чему равно его ребро? 861. Поверхность какого полуправильного многогранника напоминает поверхность футбольного мяча? 862. Из каких двух четырехугольных пирамид можно сложить правильный октаэдр? Как относятся высота и сторона основания такой пирамиды? 863. Является ли правильным многогранник, вершины которого - центры всех граней правильного: а) тетраэдра; б) октаэдра? 864. Является ли правильным многогранник, вершины которого - середины всех ребер: а) куба; б) правильного тетраэдра; в) правильного октаэдра? 865. Из одной вершины куба проведены три диагонали боковых граней и их концы соединены отрезками. Будет ли образованная пирамида правильным многогранником? 866. Найдите сумму плоских углов при вершине каждого правильного многогранника. 168 Многогранные углы. Многогранники 867. От каждой вершины тетраэдра с ребром 4 см отсекают тетраэдр с ребром 2 см. Какой многогранник останется? Найдите сумму всех его ребер. 068. Под каким углом из центра куба видно его ребро? А из центра правильного октаэдра? 869. Найдите длину ребра правильного октаэдра, если его вершина удалена от центра на 1 дм. 870. Ребро правильного октаэдра равно 4 см. Найдите площадь сечения этого октаэдра его плоскостью симметрии. 871. Найдите площадь поверхности правильного икосаэдра, если его ребро равно а. 872. Найдите ребро правильного октаэдра, если площадь его поверхности равна S. 873. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного икосаэдра, если его ребро увеличить в 3 раза? 874. Найдите меру двугранного угла при ребре правильного: а) тетраэдра; б) октаэдра. 875. Изобразите на рисунке все оси симметрии правильного октаэдра. 876. Покажите, что правильный тетраэдр имеет: 6 плоскостей симметрии; 3 оси симметрии; 4 оси симметрии третьего порядка. 877. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. 878. Докажите, что можно выбрать 4 вершины куба так, что они будут вершинами правильного тетраэдра. Сколькими способами это можно сделать? 879. Ребро куба равно а. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней куба, 880. Ребро правильного тетраэдра равно о. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней данного тетраэдра. 881. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней данного октаэдра. 882. Найдите площадь поверхности правильного додекаэдра, ребро которого равно т. 883. Найдите меру двугранного угла при ребре правильного: а) додекаэдра; б) икосаэдра. 884. Докажите, что в правильном октаэдре противоположные: а) ребра параллельны; б) грани лежат в параллельных плоскостях. 169 РАЗДЕЛ 2 885. Найдите расстояние между противоположными вершинами правильного октаэдра, ребро которого равно а. 886. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между параллельными опорными плоскостями правильного октаэдра, если его ребро равно а. 887. Дан куб ABCDA^B^C^y Докажите, что сечением тетраэдров AB^CD^ и CjBAjI) является правильный октаэдр. 888. Докажите, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные п-уголь-ники, когда п > 6. 889*. Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина М лежит на высоте АО первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит через центр грани АВС и середину ребра BD. Найдите отношение ребер тетраэдров. 890*.Докажите, что существует только пять видов правильных многогранников. 891‘.Сколько элементов имеет группа симметрии правильного тетраэдра? 892*. Сколько элементов имеет группа симметрии полупра-вильного многогранника, изображенного на рисунке 174? 893*.Сечение.правильного икосаэдра - правильный десятиугольник. Найдите его площадь, если ребро данного икосаэдра равно а. 894. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Вырежьте из плотной бумаги развертки правильного октаэдра, правильного додекаэдра, правильного икосаэдра и склейте из них многогранники. Упражнения ДЛЯ повторения 895. Высота правильной треугольной пирамиды в 2 раза больше стороны основания. Найдите двугранный угол при боковом ребре. 896. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны. Найдите угол между апофемой и плоскостью соседней боковой грани. 897. Три отрезка, не принадлежащих одной плоскости, имеют общую точку и делятся ею пополам. Докажите, что концы этих отрезков являются вершинами параллелепипеда. 170 Многогранные углы. Многогранники . • ............................................ ЗАДАЧИ ПО ГОТОВЫМ РИСУНКАМ А Б J^CA^B^C. - прямая призма, ABCDA.B^C^D^ - прямая приз-^СВ = 90°; АС = ВС = 4. ма, ABCD - ромб, ^ = S. Найдите S^. ABCDA^Bfi^D.^ - прямоугольный ABCDA^Bfi^D^ - прямоуголь- ^раллелепипед, S DDiCiC • ^BBiCiC = ный параллелепипед. Найдите S. \ ОгУ1 В; ✓ г '' / ABCDEFAjB^C^D^E^F^ - правиль- СМ 1 ВВ^, AM 1 ВВ^, ная призма, C^F = d. Найдите S . В, Cl (Ч Fl /| Л 1 1 d>' 1 El Bi ч У ZAMC = 120°, СМ = 7, AM = 8. Найдите S^. РАЗДЕЛ 2 А SABCD — правильная пирами- SABCD - правильная пирамида. ABCD - параллелограмм, SC ± (АВС). АВ = ВС, /LABC = Р, ASKB = а. АВСА^В.^С^ - правильная усе- MABCDN - правильный октаэдр-ченная пирамида, АС = 8, А^С^ = Найдите: а) MN; б) расстояние = 5, OOj = 3, OOj - высота. от А до (MDC). Найдите S. М Многогранные углы. Многогранники ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Найдите площадь поверхности куба, если его диагональ равна d. а) б) 2cf2; в) г) 6d2. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 6 см и образует с плоскостью основания угол 45°. а) Зл/2 см^; б) 18 см^; в) 9>/2 см^; г) 36 см^. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°, Найдите высоту пирамиды. а) 10 см; б) 5 см; в) б-Уз см; г) бУз см. Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 32 см^, а площадь полной поверхности - 40 см^. а) 2л/з см; б) 4 см; в) 4-У2 см; г) 8 см. Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь диагонального сечения, а) 10 см^; б) 20 см^; в) 5 см^; г) 10^^ см^. Комната имеет размеры 8 м, 7 м и 3 м. Найдите площадь стен, которые необходимо покрасить, если площадь окон и дверей составляет 20 % от площади стен, а) 90 м^; б) 108 м^; в) 72 м®; г) 54 м^. Найдите меру плоского угла при вершине правильной четырехугольной пирамиды, высота которой в 2 раза меньше диагонали основания, а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранные углы при ребрах основания равны 60°. а) ТЗаЬ; б) аЬ; в) 0,5а5; г) 2аЬ. Найдите сумму плоских углов шестиугольной призмы, а) 2160°; б) 1800°; в) 2880°; г) 3600°. Найдите ребро октаэдра, если площадь его поверхности равна а) 272 24УЗ см; см“ б) зТз см; в) 2 см; г) 2Уб см. 173 л РАЗДЕЛ 2 ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1 Точка А двугранного угла удалена от его ребра на 10 см, а от граней на 5 см. Найдите меру двугранного угла. 2°. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно а. Найдите площадь поверхности призмы. 3°. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна а, а диагональное сечение - прямоугольный треугольник. 4''. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 8 см. Одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания, а две другие образуют с ней углы по 60°. Найдите площадь поверхности пирамиды. 5'. Через сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра правильной треугольной призмы проведено сечение под углом 45° к плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы, если площадь сечения 4л/з см^. 4*. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите S^, если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, а высота пирамиды \1з см. 7*. Найдите расстояние между центрами двух соседних граней правильного октаэдра, если его ребро равно I. в*. Основание прямого параллелепипеда - ромб с острым углом 30° и стороной 4 см. Высота параллелепипеда равна 2 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через ребро основания и образует с плоскостью основания угол 60°. 9“. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8\/3 см и б7з см. Через боковое ребро и середину противоположной стороны нижнего основания проведена плоскость. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды, если площадь сечения 10,5 л/З см^. 10". В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна а, а угол между смежными боковыми гранями а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 11". Основание наклонной призмы АВСА^В^С^ - ААВС (ZC = 90°). Вершина проектируется в середину ребра ВС. Найдите призмы, если боковое ребро равно I и образует с плоскостью основания угол а, а двугранный угол при ребре ВВ^ равен р. 174 Многогранные углы. Многогранники ГЛАВНОЕ В РАЗДЕЛЕ 2 1. Элементами многогранника являются, кроме других, двугранные и многогранные углы. 2. Двугранный угол - фигура, образованная двумя полуплоскостями, с общей прямой, их ограничивающей. Эта общая прямая - ребро двугранного угла, полуплоскости - его грани. Линейным углом двугранного угла называют угол, по которому данный двугранный угол пересекает плоскость, перпендикулярную к его ребру. Двугранные углы бывают острые, прямые, тупые, раз-вернзггые, больше развернутых. Последние двугранные углы невыпуклые. 3. Трехгранный угол - это фигура, состоящая из трех плоских углов, каждые два из которых имеют общую сторону и не принадлежат одной плоскости. Эти три плоских угла называют гранями, их общие стороны - ребрами, а общую вершину - вершиной данного трехгранного угла. Трехгранные углы бывают выпуклые и невыпуклые (рис. 124, а). Каждый угол выпуклого трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Сумма всех плоских углов выпуклого трехгранного угла меньше 360°. Сумма всех трех двугранных углов трехгранного угла больше 180° и меньше 540°. 4. Если один из двугранных углов выпуклого трехгранного угла прямой, то косинус противолежащего ему плоского угла равен произведению косинусов двух других его плоских углов. 5. Многогранный угол - фигура, описанная на с. 119. Каждый многогранный угол имеет грани (плоские углы), ребра (стороны этих углов) и вершину - общую вершину всех этих плоских углов. В зависимости от количества граней (или ребер) различают трехгранные, четырехгранные, ..., л-гранные многогранные углы. Многогранные углы бывают выпуклые и невыпуклые. Сумма всех плоских углов вьшуклого многогранного угла меньше 360°. 6. Каждый из таких двугранных (трехгранных или многогранных) углов - определенная поверхность, которая делит все пространство на две пространственные области. Объединение такой поверхности и одной из пространственных областей называют также: двугранным (трехгранным или многогранным) углом. 175 ф РАЗДЕЛ 2 7, Двугранные, трехгранные и многогранные углы - это отдельные виды телесных углов. Это - геометрические фигуры (множества точек). Их не следует путать с углами и угловыми мерами. Ни один двугранный, трехгранный или многогранный угол не является углом, так как не удовлетворяет определению утла. 9. Телесные углы измеряют в стерадианах. Прямой двугранный угол имеет п стерадиан, а прямой трехгранный - в 2 раза меньше. 9 Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного количества плоских многоугольников. Важнейшие элементы многогранника - грани, ребра, вершины. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Объединение всех граней многогранника - его поверхность. Самые щюстые и важнейшие виды многогранников - призмы, пирамиды, усеченные пирамиды, правильные многогранники. 10. Призмой называют многогранник, у которого две грани -равные л-угольники, а остальные л граней - параллелограммы. Упоминавшиеся равные л-угольники - основания призмы, все другие л ее граней - боковые грани. Все боковые грани призмы - параллелограммы, их стороны, не являющиеся сторонами оснований, - боковые ребра призмы. Все боковые ребра призмы попарно параллельны. Если они перпендикулярны к основаниям, такая призма прямая. Все боковые грани прямой призмы -прямоугольники. В зависимости от числа л различают треугольные, четырехугольные, ..., л-угольные призмы. Призма называется правильной, если она прямая и ее основания - правильные многоугольники. '/1. Параллелепипедом называют призму, в основании которой - параллелограмм. Все шесть граней параллелепипеда - параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях. Все четыре диагонали каждого параллелепипеда пересекаются в одной точке - центре параллелепипеда. 17.. Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям оснований, его называют прямым параллелепипедом. В прямом параллелепипеде 4 грани" прямоугольники. Если все 6 граней параллелепипеда прямоугольники, его называют прямоугольным параллелепипедом. Правильная четырехугольная призма - отдельный вид прямоугольного параллелепипеда. Квадрат 176 I Многогранные углы. Многогранники [ диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Все диагонали прямо-I угольного параллелепипеда равны.. I Пирамидой называют многогрб1нник, одна грань которого - произвольный многоугольник, а все другие грани - треугольники, имеющие общую вершину. Элементы пирамиды - основание, боковые грани, ребра основания, боковые ребра, вершина. Высота пирамиды -перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания, или длина такого перпендикуляра. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а его центр совпадает с основанием высоты. Все боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, - апофема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупери-метра ее основания и апофемы. Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на два многогранника: меньшую пирамиду и усеченную пирамиду. Усеченная пирамида имеет два основания, которые лежат в параллельных плоскостях. Все другие грани усеченной пирамиды - трапеции. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все вершины одинаково удалены от некоторой точки. Существует всего 5 видов правильных многогранников: правильные тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. f . 11 и (пя) 177 ' J* ajJd * ca [ю®в@[|ЕЭД^^ v*' ^ ОЛрайЕа}оя(ри ' * ■ .;f. ^ C3$coj73 CO ^5®®p[]©cacQEa35 сшх®®= -1• ОООщр ю ®cOx§(^ *' v^‘ i ^ С35»и®[жш]п^ [ЛЭ@шщ?хмсо©с§са^ ■й®Шо ■" ■ ■ ; лГт^/:Г^ :,;•■■• - ■ ■ ■ ■ rV„.,;' . . §24 Тела вращения ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Представим, что плоский многоугольник j^CDE вращается вокруг прямой АВ (рис. 176, а). При этом каждая его точка, не принадлежащая прямой АВ, описывает окружность с центром на этой прямой. Весь многоугольник ABCDE, вращаясь вокруг прямой АВ, описывает некоторое тело вращения (рис. 176, б). Прямая АВ - ось этого тела. Плоскость, которая проходит через ось тела вращения, является его плоскостью симметрии. Таких плоскостей симметрии каждое тело вращения имеет бесконечно много. Любая плоскость, проходящая через ось тела вращения, пересекает это тело. Образованное сечение - его называют осевым сечением - симметрично относительно оси. В частности, осевое сечение тела вращения может состоять из двух плоских фигур, симметричных относительно оси (рис. 177). Сечением тела вращения плоскостью, перпендикулярной к оси, является круг, или плоское кольцо, или несколько колец и т. п. Для примера представим тело, образованное вращением фигуры (см. рис. 178) вокруг прямой АВ. Если его пересекать плоскостями, которые перпендикулярны к оси и проходят через точки А, В, С, то в сечении получим соответственно круг, круг и кольцо, два кольца. Если тело вращения выпуклое, то секущая Алоскость, перпендикулярная к оси вращения, пересекает его по *^РУгу (рис. 179). Чтобы задать тело вращения, достаточно назвать его ось и фигуру, вращением которой оно образовано. Описывая такое тело словами, вместо оси иногда называют отрезок, принадле-ясащий ей. Например, вместо «тело, образованное вращением РАЗДЕЛ 3 треугольника вокруг оси, содержащей его сторону», говорят короче: «тело, образованное вращением треугольника вокруг его стороны». Следует различать понятия «фигура вращения» и «тело вращения». Не каждая фигура является телом. Например, круг, кольцо, сфера - фигуры вращения, но не тела. Соотношения между разными видами фигур вращения поданы на схеме. Другими тут названы фигуры вращения, не являющиеся ни телами, ни поверхностями. Например, окружность, объединение шара с плоским кольцом (см. рис. 127, а) и т. п. Фигуры вращения Тела вращения Поверхности вращения Другие Примеры материальных моделей тел вращения; хоккейная шайба, линза, заклепка, снаряд, патрон, труба, катушка, обычная бутылка, пробирка, колба, спортивный диск, обруч и т. п. Большинство деталей, изготовленных на токарном станке, имеют форму тел вращения. Но, например, сверло, шпилька с нарезкой - не тела вращения. Каждая фигура вращения - это некоторое множество окружностей. Проекцией окружности на плоскость, не перпендикулярную к плоскости окружности, является эллипс (рис. 180). Поэтому наглядное изображение тела вращения содержит эллипсы. Эллипс имеет центр симметрии и две оси симметрии. Самое простое уравнение эллипса в декартовой системе координат имеет вид: 2 2 X у , — + —= 1. .,2 и2 а о Рис. 180 Строить эллипсы можно с помощью шаблонов или от руки. • / 9 1. а. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Как можна образовать тело вращения? Что такое ось вращения; осевое сечение тела вращения? Какой фигурой может быть осевое сечение тела вращения? А сечение плоскостью, перпендикулярной к оси вращения? Как связаны между собой фигуры вращения и тела вращения? Покажите это с помощью диаграммы. 180 Тела вращения Выполним вместе 1, Какую плоскую фигуру надо вращать вокруг прямой I, чтобы получить фигуру, изображенную на рисунке 181? РЕШЕНИЕ. Данную фигуру можно получить, вращая вокруг прямой I: а) АЛОВ; б) ААВС; в) АКАВ, где К е ОС. При вращении вокруг прямой I отрезка ОВ получим круг, отрезок АВ опишет кривую поверхность, а АО отобразится на себя. В 2. Изобразите фигуру, которая образуется при вращении отрезка с концами в точках А(1; 1; 0) и В(2; 4; 0) вокруг оси Оу. РЕШЕНИЕ. Начертим систему координат в пространстве и изобразим в ней данные точки А и В (рис. 182). Вращаясь вокруг оси Оу, точки А VIВ опишут окружности радиусов 1 и 2. Отрезок АВ опишет часть кривой поверхности (боковую поверхность усеченного конуса). ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 898. Назовите примеры фигур вращения из окружающей среды. 899. Какие из приведенных на рисунке 183 фигур являются телами вращения? 900. Какая фигура образуется при вращении точки вокруг прямой, которая: а) не проходит через данную точку; б) проходит через данную точку? рщ;. 183 .••О 181 РАЗДЕЛ 3 901. Какая фигура образуется при вращении отрезка АВ вокруг прямой, которая перпендикулярна к АВ и: а) проходит через одну из точек А или В; б) не пересекает отрезок АВ; в) пересекает отрезок АВ в точке С? 902. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 2 см вращается вокруг одного из катетов. Найдите площадь осевого сечения полученного тела вращения. 903. Ромб с диагоналями 6 см и 8 см вращается вокруг одной из диагоналей. Найдите площадь осевого сечения. 904. Какая фигура будет осевым сечением тела, образованного вращением правильной четырехугольной пирамиды вокруг высоты? 905. Нарисуйте тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны. 906. Нарисуйте тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг: а) катета; ,—|—^ —|- б) гипотенузы. / j 907. Может ли плоскость симметрии тела вращения не проходить через его ось? 908. Нарисуйте тела вращения, проекции которых на две взаимно перпендикулярные плоскости изображены на рисунке 184. 909. В плоскости прямоугольника вне его и параллельно одной из его сторон проведена прямая. Нарисуйте тело, образованное вращением этого прямоугольника вокруг данной прямой. 910. Может ли быть невыпуклым тело, образованное вращением вокруг оси выпуклой плоской фигуры? 911 Может ли центр симметрии тела вращения не принадлежать данному телу? Приведите примеры. 912. Нарисуйте фигуру, образующуюся вргпцением куба вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней куба. 913. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, равна 30 см, точками К и Р разделена на три равные части. Найдите длины окружностей, которые описывают эти точки при вращении треугольника вокруг его катета. 914. Найдите площадь осевого сечения тела, образованного вращением равностороннего треугольника вокруг его стороны, если ее длина 2 дм. 182 Тела вращения 915. Трапеция, боковая сторона которой перпендикулярна к основанию, вращается вокруг этой боковой стороны. Найдите площади фигур, описанных вращением оснований трапеции, если их длины 3,5 см и 5,2 см. 916. Сколько метров стыковых швов пришлось сварить электросварщикам, сооружающим газопровод длиной 1450 км, с использованием двадцатиметровых труб диаметром 1420 мм? О* ■ ■ Прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 5 см и AD = 7 см вращается сначала вокруг стороны АВ, а потом вокруг стороны AD. Найдите отношение площадей осевых сечений образованных тел вращения. 918. Кривая задана уравнением у = х^, х е [0; 3]. Нарисуйте поверхность, образующуюся вращением этой кривой вокруг: а) оси Оу; б) оси Ох. 919. Начертите фигуру, образованную вращением кривой 4 у =—, X е [1; 4] вокруг: X а) оси Ох; б) оси Оу; в) прямой у = х; т) прямой у = —х. 920. Нарисуйте фигуру, полученную вращением прямой у = х вокруг осей координат, если: а) дг € [0; 3]; 6) х е [1; 4]; в) JC е [-2; 5]. 921. Прямоугольник ABCD, у которого АС = d та. /.CAD = а, является осевым сечением тела вращения. Какую плоскую фигуру вращали? Каковы ее размеры? Рассмотрите все возможные случаи. ^ Равнобедренный треугольник с основанием а и углом при вершине а является осевым сечением некоторого тела вращения. Какую плоскую фигуру вращали? Каковы ее размеры? Сколько решений имеет задача? 923. Треугольник АВС, у которого АС = ВС = а, ZC = 120°, вращается вокруг прямой, которая содержит высоту треугольника, проведенную из вершины А. Выполните соответствующий рисунок. Найдите длины окружностей, которые вращаясь опишет каждая из вершин треугольника. Тело образовано вращением прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета, который с гипотенузой образует угол а. Найдите отношение шлощади круга, описанного большим катетом, к площади осевого сечения тела. ’25. Квадрат ABCD вращается вокруг прямой, проходящей через точку А, параллельно диагонали BD. 183 РАЗДЕЛ 3 а) Найдите сторону квадрата и площадь осевого сечения тела вращения, если при этом вращении точка С описывает окружность длиной 8л см. б) Решите задачу а) в случае, если ось вращения образует со стороной АВ угол 15®. 926. Пострюйте фигуру, образованную вращением параллелограмма вокруг большей из его диагоналей. 927. Нарисуйте фигуру, образованную вращением плоской w-подобной ломаной из четырех равных звеньев вокруг ее крайнего звена. 928. Нарисуйте фигуру, образованную вращением окружности вокруг ее касательной. Является ли эта фигура телом вращения? 929. Отрезок а и прямая I не принадлежат одной плоскости. Нарисуйте фигуру, образованную вращением отрезка а вокруг прямой I. 930*. Нарисуйте осевое сечение тела, образованного вращением куба вокруг его диагонали. Упражнения для повторения 931. Центр одного основания куба и середины сторон второго основания являются вершинами пирамиды. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ребро куба равно а. 932. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде площади оснований равны Qj и Q^, а площадь боковой поверхности S. Найдите площадь диагонального сечения. 933. Диагонали основания прямого параллелепипеда равны 10 см и 16 см, а угол между ними - 60°. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если его меньшая диагональ равна 26 см. §25 цилиндр Цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Если прямоугольник ОАВО. вращается вокруг оси 00^ (рис. 185), его стороны ОА и О^В описывают равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Эти круги называют основаниями, а их радиус - радиусом цилиндра. Сторона АВ, параллельная оси цилиндра, описывает кривую поверхность, 184 Тела вращения ^ $ •••• Рис. 186 которую называют боковой поверхностью цилиндра. Каждый отрезок этой поверхности, равный АВ, - образующая цилиндра. Все образующие одного цилиндра равны и параллельны друг другу, поскольку каждая из них равна вращающейся стороне прямозпюльника, и параллельна оси цилиндра. Длина образующей - высота цилиндра-, она равна расстоянию между плоскостями оснований. Все осевые сечения цилиндра - равные прямоугольники (рис. 186). Их диагонали проходят через середину G отрезка, который соединяет центры оснований цилиндра. Поэтому точка G - центр симметрии цилиндра. Плоскость, проходящая через точку G перпендикулярно к оси цилиндра, - плоскость его симметрии. Другие плоскости симметрии цилиндра проходят через его ось. Каждая секущая плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его по кругу, равному основанию (рис. 187). Ведь любая точка С образующей АВ отдалена от оси ОО^ на расстояние СО^ = ОА. Плоскость, пересекающая все образующие цилиндра, но не перпендикулярная к ним, пересекает боковую поверхность цилиндра по эллипсу (рис. 188). Плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и не имеет с ним других общих точек, называется касательной плоскостью к цилиндру. Она перпендикулярна к осевому сечению цилиндра, проведенному через эту же образующую (рис. 189). Рис. 189 РАЗДЕЛ 3 Если поверхность цилиндра разрезать по окружностям оснований и какой-либо образующей, а потом развернуть на плоскости, получим развертку цилиндра (рис. 190). Она состоит из прямоугольника -развертки боковой поверхности цилиндра - и двух равных кругов. Если радиус цилиндра г, а высота Л, то его боковую поверхность можно развернуть в прямоугольник со сторонами 2кг и h. Площадь этой развертки 2nrh принимают за площадь боковой поверхности цилиндра. Поэтому, если г и Л - радиус основания и высота цилиндра, то площадь его боковой поверхности S= 2nrh. Более строгий вывод этой формулы приведен на с. 26Y. Чтобы найти площадь поверхности цилиндра S^, надо к площади его боковой поверхности прибавить площади оснований: = 2кгН + 2т1Г^ = 2кг{г + h). Примеры физических тел, имеющих форму цилиндра: металлическая бочка, консервная банка, хоккейная шайба, графитовый стержень в батарейке. Цилиндр двигателя внутреннего сгорания или поршневого насоса, ствол шахты, отверстие, просверленное в доске перпендикулярно к ее грани, - полости цилиндрической формы. ЗАМЕЧАНИЕ. Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны, в курсах для высших учебных заведений называют прямым круговым цилиндром. Цилиндр в широком понимании - это тело, составленное из двух ограниченных плоских областей, которые можно совместить параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих их соответствующие точки (рис. 191). Под это определение подходят каждая призма и тела, подобные изображенным на рисунке 192. Если образующие Т81КОГО цилиндра перпендикулярны к плоскости основания. Рис. 191 Рис. 192 186 Тела вращения его называют прямым цилиндром. Если его основания - ^ круги, его называют круговым. Из всех цилиндров только прямой круговой является телом вращения. Дальше будем рассматривать только прямые' круговые цилиндры, называя их просто цилиндрами. • / • 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое цилиндр? Назовите его элементы. Чем является осевое сечение цилиндра? Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной (параллельной) к его оси? Каким может быть сечение цилиндра плоскостью, проведенной под некоторым углом к оси цилиндра? Что такое развертка поверхности цилиндра? Как можно оцределить площадь поверхности цилиндра? Что такое «цилиндр в широком понимании»? Какими бывают такие цилиндры? Выполним вместе 1. Осевые сечения двух разных цилиндров - равные прямоугольники со сторонами 4 м и 6 м. Найдите площадь поверхности того цилиндра, у которого она больше. РЕШЕНИЕ. Нгшдем по формуле S = 2пг{г + Л) площади поверхностей обоих цилиндров. 1) Если г=2ий = 6, то<8 = 2л-2-8 = 32п (м^); 2) если г=3ий = 4, ToS = 2rt-3-7 = 42я (м^). ОТВЕТ. 42л м^. 2. Цилиндр с радиусом 1 и высотой 0,5 пересекается плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на х. Как зависит площадь и периметр сечения от х1 РЕШЕНИЕ. Пусть сечение АВВ^А^ цилиндра удалено от оси 00^ на ОС = X (рис. 193). Тогда АС = = 'joA^ -ОС^ =\Il- х^. Искомая площадь сечения S = AAj • АС • 2 = = у11- х^, а периметр Р = 2(AAj + АВ) = 1 + 4л/1-х^ 187 - 4»-* & 934. 935. 936. 937. 938. 939. РАЗДЕЛ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Приведите примеры тел из окружающей среды, имеющих цилиндрическую форму. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, высота которого равна 10 см, а радиус основания - 2 см. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Диагональ осевого сечения цилиндра образует с плоскостью основания угол 45°. Как относится высота цилиндра к радиусу основания? Радиус цилиндра г, а высота Л. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра. Сколько существует плоскостей, которые рассекают данный цилиндр: а) на два равных цилиндра; б) на две равные фигуры? 940. Радиус цилиндра г, а диагональ осевого сечения d. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь диагонального сечения; в) площадь поверхности цилиндра. 3^1 Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите: а) высоту цилиндра; б) диаметр основания; в) площадь боковой поверхности цилиндра. 942. Площадь осевого сечения цилиндра S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Можно ли по этим данным однозначно найти площадь поверхности цилиндра? 943. Докажите, что плоскость, которая проходит через образующую цилиндра, но не касается его, пересекает цилиндр по прямоугольнику. 944. Площадь поверхности и площадь боковой поверхности цилиндра равны 50 см^ и 30 см^. Найдите радиус и высоту цилиндра. 945. Из квадрата, площадь которого Q, свернули боковую поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра. 946. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус г, а образующую из центра основания видно под углом а. 9-'^ Найдите площадь поверхности цилиндра, если диаметр его основания d из центра другого основании виден под углом а. 188 Тела вращения 948. Дан прямоугольник с неравными сторонами. Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндров, образованных вращением этого прямоугольника вокруг неравных сторон, равны. 949. Как относятся площади сечений цилиндра плоскостями, проходящими через его образующую, если угол между этими плоскостями 30°, а одна из плоскостей проходит через ось цилиндра? 950. Радиус цилиндра г, а высота h. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, которая перпендикулярна к основанию и отсекает от окружности основания дугу 60°. 951 Высота цилиндра равна 16 см, радиус 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, которая отдалена от нее на 60 мм. 952. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен а, проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, которая стягивает дугу, градусная мера которой 90°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если образованное сечение - квадрат. КЗ В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, которую видно из центра этого основания под углом а. Диагональ образованного сечения равна d и образует с плоскостью основания угол р. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 954. На каком расстоянии от оси цилиндра, параллельно ей, надо провести сечение площадью 48 см^, если стороны сечения пропорциональны числам 1 и 2, а радиус основания равен 5 см? 355. Хорду длинной а одного основания цилиндра видно из центров оснований под углами 90° и 60°. Найдите высоту цилиндра. 956. Сколько квадратных метров жести пойдет на изготовление водосточной трубы длиной 5 м и диаметром 20 см, если на швы добавляют 10 % площади поверхности трубы? 957. Хватит ли 8500 м^ изоленты для двукратного покрытия ею километра трубы газопровода диаметром 1420 мм? 958. Высота консервной банки цилиндрической формы равна 4 см, а радиус основания - 6 см. Сколько таких банок можно изготовить из 15 000 м^ жести, если 10 % материала идет на отходы и швы? 189 РАЗДЕЛ 3 959. Диаметр цилиндрического парового котла длиной 3,8 м равен 0,8 м. Найдите давление пара на полную поверхность котла, если на 1 см^ пар давит с силой 10 Н. 960. Точки А и В лежат на окружностях разных оснований цилиндра. Найдите расстояние от оси цилиндра до прямой АВ, если радиус основания цилиндра равен R, а отрезок АВ = 2i? и образует с плоскостью основания угол 60°. ЭД1. Плоскости двух сечений AAjBjB и АА^С^С цилиндра проходят через образующую ААу Их площади равны по 10 см^, а площадь сечения ВВ^С^С равна 16 см^. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 962. Плоскость пересекает основание цилиндра по хордам длиной 6 см и 8 см, расстояние между которыми равно 14 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 5 см. Рассмотрим два случая. 963. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, высота которого равна 12 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны относятся как 1:2. 964. ABCD - осевое сечение цилиндра. Его площадь равна 240 см^. Точки А, В и М лежат на окружности нижнего основания, Е и F - середины отрезков МВ и MD. Найдите площадь поверхности цилиндра, если EF = 13 см. Точка М делит дугу АВ нижнего основания цилиндра, мера которой равна 90°, в отношении 1:2, считая от точки А. Образующая АС = 8 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости САМ и угол, который прямая ВС образует с этой плоскостью, если радиус основания цилиндра равен 2 см. Все вершины квадрата, сторона которого равна о, лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна к одной из сторон квадрата и образует с его плоскостью угол а. Найдите радиус цилиндра. 965. 966. 967. ABCD и MNPK - два взаимно перпендикулярных осевых сечения цилиндра, их диаметры AD и МК принадлежат одному основанию. Точка F - середина образующей АВ. Найдите площадь поверхности цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см^ и FK ± АС. 968. Правильный тетраэдр и цилиндр расположены так, что скрещивающиеся ребра тетраэдра - диаметры оснований цилиндра. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ребро тетраэдра равно а. 190 Тела вращения Щ ■ 969*. Две вершины куба лежат на оси цилиндра, шесть - на окружностях его оснований. Найдите радиус и высоту цилиндра, если ребро куба равно а.. 970. К цилиндру радиуса г проведена касательная прямая под углом а к плоскости его основания. Найдите расстояние от центра нижнего основания до этой прямой, если расстояние от этого центра до точки касания равно d. 971, ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте из плотной бумаги развертку цилиндра, осевое сечение которого - квадрат со стороной 16 см. < V . Упражнения для повторения 972. Основание прямой призмы - ромб с острым углом а. Большее диагональное сечение призмы имеет площадь S. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 973. Высота правильной треугольной пирамиды равна 12 см, а апофема - 13 см. Вычислите площадь поверхности пирамиды. 974. Основание пирамиды - треугольник с углами а и р и радиусом описанной окружности R. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если все двугранные углы при основании пирамиды равны у. §26 КОНУС и усеченный конус Конусом называется тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета. Если прямоугольный треугольник ОРА вращать вокруг катета РО, его гипотенуза РА опишет боковую поверхность, а катет ОА - круг - основание конуса (рис. 194). Радиус этого круга называют радиусом конуса, точку Р, отрезок РО, прямую РО - соответственно вершиной, высотой и осью конуса. Все осевые сечения конуса - равные равнобедренные треугольники. Каждая плос-*^ость, проходящая через ось конуса, является плоскостью его симметрии. Центра симметрии Конус не имеет. Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности его основания, - образу-’ощая конуса. Все образующие конуса равны. 191 РАЗДЕЛ 3 поскольку каждая из них равна гипотенузе треугольника, вращением которого образован конус. Плоскость, проходящая через образующую конуса и не имеющая с ним дру. гих общих точек, называется касательной плоскостью к конусу. Она перпендикулярна к осевому сечению, проведенному через эту же образующую (рис. 195). Если боковую поверхность конуса разрезать по какой-либо образующей и развернуть на плоскости, получим ее развертку. Развертка боковой поверхности конуса радиуса г с образующей I является сектором радиуса I, длина дуги которого 2пг (рис. 196). Площадь такой развертки - площадь боковой поверхности конуса. Она во столько раз меньше площади круга радиуса I, во сколько раз 2пг меньше 2к1. Поэтому п1^ = 2пг : 2п1, откуда Sg ^ = лН. Более строгое выведение этой формулы дано на с. 267. Чтобы найти площадь поверхности конуса S^, надо к площади его боковой поверхности прибавить площадь основания: = nrl + = яг(г + I). Секущая плоскость, параллельная основанию, пересекает конус по кругу. При этом получаем два тела вращения: меньший конус, гомотетичный данному, и усеченный конус (рис. 197). Усеченный конус можно рассматривать и как тело, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг меньшей ее боковой стороны. Усеченный конус огра- Р 192 Тела вращения Рис. 200 ничен двумя кругами - его основаниями - и боковой поверхностью. Расстояние между основаниями - высота усеченного конуса. Отрезок, соединяющий ближайшие точки кругов оснований, - образующая. Длину этого отрезка также называют образующей усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляют по формуле: S = -I- Tg), где Tj, Tg, I - радиусы его оснований и образующая (см. задачу 2, с. 195). Если секущая плоскость не параллельна основанию конуса, но пересекает все его образующие, она пересекает коническую поверхность по эллипсу (рис. 198). Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих конуса, она пересекает коническую поверхность по части параболы (рис. 199). Если секущая плоскость параллельна двум образующим, она пересекает коническую поверхность по части гиперболы (рис. 200). В теоретических курсах конусом часто называют поверхность, образованную вращением одной из двух пересекающихся прямых вокруг второй (рис. 201). Именно такие *конусы» имеют в виду, говоря о конических сечениях. Если секзпцая плоскость проходит через вершину такого «конуса», то она пересекает его по двум пересекающимся прямым. Если Нее она не щюходит через вершину конуса, то пересекает его поверхность по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Вместе их называют кривыми второго порядка, Поскольку в декартовой системе координат Па плоскости им соответствуют уравнения пторой степени. л' '^■^•omefriya. 11 W (ша) 193 РАЗДЕЛ 3 >>(««••»«•« bn*t* Кривые второго порядка Фигура Вид Уравнение Окружность У1 п 1 Л. + у^= к Эллипс у 1 2 2 X У _л а 0 Парабола У‘ 1 2рх О Гипербола г . 2 2 ^ У .,2 1,2 ^ а 0 О Форму конусов имеют насыпанные на горизонтальной поверхности кучи песка, зерна, угля, породы, щебня и т. п. Каждому такому материалу соответствует угол естественного уклона - угол наклона образующей к плоскости основания конуса. Для песка он равен приблизительно 30°, для угля -42°, для породы - 46°. ЗАМЕЧАНИЕ. В курсах высшей геометрии конусом (в широком понимании) называют тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - вершину конуса - с точками некоторой ограниченной плоской фигуры - основания конуса (рис. 202). При этом конус, в основании которого круг, называется круговым. А если прямая, соединяющая вершину такого конуса с центром его основания, перпендикулярна к основанию, его называют прямым круговым конусом. Из всех конусов только прямой круговой является телом вращения. Выше шла речь именно о таких конусах. И дальше будем рассматривать только прямые круговые конусы, называя их просто конусами. I Тела вращения 4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Сформулируйте определение конуса. Назовите элементы конуса. Какой фигурой является осевое сечение конуса? А сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к его оси? Как можно вычислить площадь боковой поверхности конуса? А площадь поверхности конуса? Сформулируйте определение усеченного конуса и его элементов. Как вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса? Что вы знаете о конических сечениях? Что такое «конус в широком понимании»? Выполним вместе 1. Высота конуса 4, образующая 5. Найдите угол сектора, являющегося разверткой боковой поверхности этого конуса. РЕШЕНИЕ. Радиус основания конуса ОА = -4^ = 3 (рис. 203). Поэтому длина окружности его основания С = 2я ■ 3 = бтс. Такая же длина дуги сектора АМА^. Эта длина во столько раз меньше длины окружности радиуса РА = = 5, во сколько раз искомый угол Ф сектора меньше 360°. Следовательно, ф : 360° = 6л : Юл, откуда Ф = 216°. ОТВЕТ. 216°. Выведите формулу для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса. РЕШЕНИЕ. Если радиусы оснований усеченного конуса ОА = Tj, OjB = Tj, а образующая АВ = I (см. рис. 197), то площадь его боковой поверхности равна разности площадей боковых поверхностей конусов с образующими РА и РВ. Обозначим: РВ = х, тогда РА = ж + (. Из подобия треуголь- X х + 1 Х = - ников РВО, и РАО имеем: ~ ^ ^2 П r^l Следовательно, S = кг.^{х + I) - пг^х = л/(г^ -Ь г^). РАЗДЕЛ 3 3. Вычислите площадь поверхности тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с боковой стороной а и углом при вершине 120° вокруг прямой, содержащей боковую сторону треугольника. РЕШЕНИЕ. Пусть ААВС, у которого АС = ВС = а, ZC = 120°, вращается вокруг прямой ВС (рис. 204). Образованная фигура является конусом радиуса ОА и высотой ВО, из которого вырезали конус радиуса ОА и высотой СО. Тогда площадь образованной фигуры равна сумме площадей боковых поверхностей этих конусов, т. е. S = S„„ -f -I- S„Q, где = п • АО • АВ и = л • АО ’ АС. Из ААВСпо теореме косинусов найдем АВ: АВ^ = АС^ + ВС^ - 2 ■ АС ' ВС • соз120°, АВ^ = -f - 2а^ • = За^, АВ = а\1д. Если ZACB = 120°, то ZABC = 30° и АО = — АВ 2 2 Тогда Sdq = л- Следовательно, S = И Sco=n a^/з •а = - 7Ш' '■S Зла^ па^у/З па^у/з (S+1). ОТВЕТ. S = па‘ '■у1з I ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 975. Приведите примеры тел из окружающей среды, имеющих форму конуса или усеченного конуса. 976. Высота конуса равна 8 м, радиус -6 м. Найдите образующую. 977. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите радиус и высоту конуса. 978. Может ли осевым сечением усеченного конуса быть неравнобедренная трапеция? 979. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 6 см, а высота - 5 см. Найдите площадь его осевого сечения. 196 Тела вращения 980. Высота конуса равна радиусу основания. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. 981. Образующая конуса равна 5 см, высота - 4 см. Найдите площадь его боковой поверхности. 982. Найдите площадь боковой поверхности конуса радиуса R, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник. 983. Образующая конуса равна I и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите: а) высоту конуса; б) площадь осевого сечения; в) радиус основания; г) площадь основания конуса; д) периметр осевого сечения. 984. Площадь основания конуса 9 см^, а площадь его поверхности 27 см^. Под каким углом наклонена образующая к плоскости основания? 985. Высота конуса 6 см, радиус основания 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу 60°. 986. Через вершину конуса проведена плоскость, которая отсекает от окружности основания дугу 90° и наклонена к плоскости основания конуса под углом 60°. Найдите угол при вершине сечения. 987. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с дугой, которая равна: а) 90°; б) 180°; в) 270°. 988. Сколько квадратных метров ткани нужно, чтобы пошить конусообразную палатку высотой 3 м и диаметром 4 м? 989. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 дм и 6 дм, а образующая 5 дм. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь его осевого сечения; в) угол наклона образующей к плоскости основания. 990. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь его боковой поверхности. 991. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг: а) меньшего катета; б) большего катета; в) гипотенузы. 992. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом а вокруг прямой, проведенной через вершину прямого угла, параллельно гипотенузе. 197 РАЗДЕЛ 3 у‘ 993. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением прямоугольной трапеции с основаниями 2 см и 6 см и высотой 3 см вокруг: а) меньшей боковой стороны; б) большего основания; в) меньшего основания. 994. Докажите, что из всех сечений конуса плоскостями, проходящими через вершину, наибольший периметр имеет осевое сечение. 995. Верно ли, что из всех сечений конуса плоскостями, проходящими через вершину, наибольшую площадь имеет осевое сечение? 996. Образующие двух конусов наклонены к плоскостям оснований под равными углами. Докажите, что высоты этих конусов относятся как образующие. А как относятся площади их боковых поверхностей? 997. Докажите, что площади основания конуса и его сечения плоскостью, параллельной основанию, относятся как квадраты расстояний этих плоскостей от вершины конуса. 998. Высота конуса h. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь сечения была в 2 раза меньше площади основания? 999. Разность между образующей и высотой конуса равна о, а угол между ними а. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 1000. Радиус основания конуса 2 см, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей основания и осевого сечения. Найдите высоту конуса. 1001. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проведе-ной через вершину конуса на расстояние 12 см от центра его основания, если высота конуса равна 20 см, а радиус основания 25 см. 1002. Через две образующие конуса, угол между которыми а, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол р. Найдите высоту конуса, если площадь сечения равна S. 1003. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если площадь его осевого сечения равна площади сечения, проведенного через вершину конуса под углом 60° к плоскости его основания. 1004. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, которая проходит через вершину конуса под углом а к его основанию, если поверхность конуса равна Q, а образующая образует с плоскостью основания угол ф. 198 Тела вращения 1005. Две взаимно перпендикулярные образующие делят боковую поверхность конуса на части, площади которых пропорциональны числам 1 и 2. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен г. , Круг разделили на два сектора так, что площадь одного из них в 3 раза больше площади второго. Из каждого из этих секторов сделали боковые поверхности конусов. Найдите отношение высот образовавшихся конусов. 1007. Найдите площадь поверхности усеченного конуса, если его образующая равна I, наклонена к плоскости основания под углом а, а площади оснований относятся как 1 : 4. к ' ' В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая I с плоскостью основания образует угол а. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса. 1009. Площади оснований усеченного конуса и его боковой поверхности пропорциональны числам а, Ь, с. Найдите угол между образующей конуса и его основанием. 1050 Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением ромба со стороной а и углом 60° вокруг прямой, содержащей его сторону. 1011. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением треугольника со сторонами 7 см и 8 см и углом между ними 120° вокруг прямой, содержащей наименьшую сторону треугольника. ICi. Треугольник со сторонами 6 см и 10 см и углом между ними 120° вращается вокруг высоты, проведенной из вершины наименьшего угла. Найдите площадь поверхности тела вращения. 1013. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением тупоугольного треугольника с острыми углами а и Р и наименьшей высотой h вокруг стороны, противоположной углу а. 1014*. Через середину высоты конуса проведена прямая, образующая с высотой угол ф и пересекающая боковую поверхность конуса в точках А и В. Найдите расстояние АВ, если образующая конуса равна I и наклонена к плоскости основания под углом а (рис. 205). 1015*. Через вершину конуса проведена плоскость, делящая его боковую : 199 ф РАЗДЕЛ 3 поверхность на две части. Если эти части развернуть на плоскость, то получим два сектора с углами аир. Найдите угол при вершине в проведенном сечении. 1016. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ. Сделайте из плотной бумаги развертки конуса и усеченного конуса. Упражнения для повторения 1017. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра, если площадь основания относится к площади осевого сечения как л : 4. 1018. Отрезок, соединяющий точки окружностей верхнего и нижнего оснований цилиндра, равен а и образует с плоскостью основания угол а, а его проекцию на плоскость основания видно из центра этого основания под углом р. Найдите площадь поверхности цилиндра. 1019. Нарисуйте развертку правильного октаэдра, ребро которого равно 2 см. Найдите площадь его поверхности. §27 ШАР И СФЕРА Шаром называется тело, образованное вращением круга вокруг его диаметра. Сферой называется фигура, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра. Любой отрезок, соединяющий центр шара с какой-либо точкой его поверхности, называют радиусом шара. Длину этого отрезка также называют радиусом шара. Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через центр, - диаметр шара, его концы - диаметрально противоположные точки шара. Плоскость, которая проходит через диаметр шара, - диаметральная плоскость. Она является плоскостью симметрии шара и разбивает его на два равных полушара. Сечение шара диаметральной плоскостью называют большим кругом. Окружность больших кругов называют экватором шара, а точки пересечения поверхности шара с осью, перпендикулярной к плоскости экватора, - полюсами шара. Как могут быть расположены в пространстве шар и плоскость? 200 Тела вращения Пусть расстояние от центра шара до плоскости равно d, а радиус шара г. Возможны три случая (рис. 206): 1. Если d > г, плоскость и шар не имеют общих точек. 2. Если d < г, плоскость пересекает шар по кругу радиуса OiM = ylr^-d^. Из этой формулы следует, что сечение шара тем больше, чем меньше d, и что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по равных кругах. 3. Если d = г, плоскость и шар имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что плоскость касается шара, а их общую точку называют точкой касания. % I Теорема 25. Касательная к шару плоскость перлендику-• ' лярна к радиусу, проведенному в точку касания. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть даны шар с центром в точке О и плоскость а, касающаяся этого шара в точке А (рис. 207). Докажем, что О А 1 а. Предположим, ОА - наклонная к плоскости а. Тогда должен существовать и перпендикуляр QAj к этой плоскости. По предположению Aj е а и ОА^ < ОА, точка А^ общая для плоскости и шара. Следовательно, А не единственная их общая точка. В таком случае плоскость а не касательная к шару, что противоречит условию теоремы. Значит, радиус щара ОА не может быть наклонной к плоскости а, т. е. ОА 1 а. Теорема доказана. Прямая, имеющая с пшром только одну общую точку, называется касательной к Шару (и к его сфере). Она перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Докажите это по рисунку 208. 201 РАЗДЕЛ 3 Если две сферы имеют только одну общую точку, говорят, что они касаются друг друга. Касание сфер может быть внешним (рис. 209) и внутренним (рис. 210). В первом случае расстояние между их центрами равно сумме радиусов {0^0^ ~ "*■ ^2^’ во втором - разности радиусов (OjOg '"i “ ^2 ^ < Tj + Tg, то данные сферы пересекаются по окружности (рис. 211). Часть шара, которую отсекает плоскость, называется шаровым сегментом (рис. 212). Его поверхность состоит из сферического сегмента и круга - основания шарового сегмента. Расстояние от основания шарового сегмента до параллельной ему плоскости, касательной к нему, называют его высотой. Часть шара, находящаяся между двумя параллельными секущими плоскостями, - шаровой слой (рис. 213). Кривая поверхность шарового слоя называется сферическим поясом. Перпендикуляр, проведенный из точки одного основания шарового слоя к плоскости второго, называют высотой шарового слоя (сферического пояса). Сферический сегмент и сферический пояс можно рассматривать и как фигуры вращения. Если вращением полуокружности CABD (рис. 214) вокруг диаметра CD образуется сфера, то вращением дуги АС этой полуокружности вокруг диаметра CD образуется сегментная поверхность, а вращением дуги АВ - сферический пояс. Тело, образованное вращением выпуклого кругового сектора вокруг радиуса, ограничивающего его, называется шаровым сектором. Поверхность шарового сектора состоит из сферичес- 202 Тела вращения кого сегмента и боковой поверхности конуса. На рисунке 215 изображены два шаровых сектора; выпуклый и не выпуклый. Тело, образованное вращением кругового сектора вокруг прямой, проходящей через центр окружности (рис. 216), также называют шаровым сектором. Его поверхность состоит из поверхности сферического пояса и боковых поверхностей двух конусов. Примеры материальных шаров: шарики подшипника, спортивные ядра, охотничья дробь, конфеты-драже, некоторые окатыши, получаемые из руды на обогатительной фабрике, и т. п. Измеряют диаметры шаров кронциркулем (рис. 217) или штангенциркулем (рис. 218), а если нужна большая точность - микрометром. Рис. 216 Рис. 217 Рис. 218 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что такое шар? Что такое сфера? Назовите их элементы. Что такое диаметральная плоскость шара? А экватор; полюс? Какой фигурой является сечение шара плоскостью? Какую плоскость называют касательной к шару? Каковы ее свойства? Какую прямую называют касательной к шару? Каковы ее свойства? При каком условии одна сфера касается другой? Что такое шаровой сегмент; сегментная поверхность; основание и высота шарового сегмента? V ф РАЗДЕЛ 3 8. 9. Д1 Что такое шаровой слой; шаровой пояс; основание и высота шарового пояса? Какую фигуру называют шаровым сектором? Выполним вместе 1. Из одной точки к шару провели две касательные прямые. Докажите, что расстояния от данной точки до точек касания равны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть МА —----- м и МВ - отрезки касательных, проведенных к шару из точки М, а О - центр данного шара (рис. 219). Треугольники АМО и ВМО равны по общей гипотенузе МО и катетам ОА, ОВ. Следовательно, МА = МВ, что и надо было доказать. 2. Три шара радиуса г касаются одной и той же плоскости и каждый из них касается двух других. Найдите радиус шара, который касается плоскости и трех данных шаров. РЕШЕНИЕ. Пусть шары с центрами Oj, Og, Og касаются плоскости а в точках А, В, С (рис. 220). Тогда 0^0^ = Ofi^ = = OgOj = 2г и OjA = OgB = OgC = г. Если четвертый шар радиуса х касается трех данных шаров радиуса г, то его центр О расположен так, что ОО^ = OOg = OOg = х + г. Точка О равноудалена от Oj, Og, Og. Следовательно, прямая, перпендикулярная к плоскости а и проходит через точку О, пересекает плоскость равностороннего треугольника OjOgOg в его центре М. Прямая МО пересекает плоскость а в точке Н, в которой четвертый шар касается этой плоскости. Как видим, ОН = х, ОМ = г - л:. Из прямоугольного трюугольника ОМО^ имеем: 001 = + ^^1 > (г -I- х)^ = (г - х)^ + откуда х = —. 3 ОТВЕТ. -. 3 204 Тела вращения 4 ' S. 1020. 1021. 1022. 1023. 1024. 1025. 1026. 1027. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполним устно Приведите примеры тел из окружающей среды, имеющих форму шара или сферы. Найдите площадь большого круга шара и длину экватора, если его радиус 2 м. Диаметр шара 38 дм, а плоскость удалена от его центра на 20 дм. Имеет ли эта плоскость с шаром общие точки? Точки Aw. В лежат на поверхности шара радиуса 12 см. Найдите длину отрезка АВ, если из центра шара его видно под углом 60°. Две сферы радиусов и Tg имеют единственную общую точку. Найдите расстояние между их центрами. Составьте уравнение сферы радиуса 5 с центром в точке А(1; 2; 3). Дан шар радиуса 10 м и секущая плоскость на расстоянии 6 м от центра. Чему равна высота образованного шарового сегмента? Чему равна высота шарового слоя, если его основания находятся на расстояниях 2 см и 5 см от центра шара? 1028. Точки Aw В лежат на поверхности шара радиуса 50 см. Найдите расстояние от центра шара до отрезка АВ = 80 см. 1029. Точка А лежит на сфере радиуса 13 см и удалена от концов диаметра MN на расстояния, пропорциональные числам 5 и 12. Найдите эти расстояния. 1030. Шар радиуса 10 см пересекли плоскостью, удаленной от центра на 6 см. Найдите площадь основания образованного шарового сегмента. 1031. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярно к нему плоскость. Как относится площадь основания образованного шарового сегмента к площади большого круга? 1032. Две окружности радиусов 30 см и 40 см лежат в параллельных плоскостях и на поверхности шара радиуса 50 см. Найдите высоту образованного сферического пояса. 1033. Найдите радиус шара, если площади оснований шарового слоя высотой 15 см равны б4л см^ и 19л см^. 1034. Угол в осевом сечении шарового сектора равен 60°. Найдите отношение высоты шарового сегмента к высоте соответствующего конуса. 205 РАЗДЕЛ 3 1035. На поверхности шара радиуса г даны две точки, расстояние между которыми равно радиусу шара. Найдите кратчайшее расстояние между этими точками по поверхности шара. 1036. Радиус шара равен 2. Секущая плоскость удалена от его центра на х. Как зависит площадь сечения S от х? 1037. Радиус шара равен г. Через конец радиуса проведена плоскость под углом а к нему. Найдите площадь сечения. 1038. Верщины равностороннего трезп’ольника со стороной 10 см лежат на поверхности щара радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра щара к плоскости треугольника. 1039. На сфере радиуса 26 см даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 12 см, 16 см и 20 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости, проходящей через эти точки. 1040. Прямые, которым принадлежат стороны треугольника, касаются щара радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра шара к плоскости треугольника, если его стороны равны 26 см, 28 см и 30 см. 1041. Прямые, которым принадлежат стороны ромба с углом 150°, касаются сферы диаметра 20 см. Найдите периметр и площадь ромба, если расстояние от центра сферы к плоскости ромба равно 8 см. 1042. Шар радиуса г касается граней двугранного угла. Найдите расстояние от центра щара до ребра угла, если этот угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 120°; г) а. 1043. Из точки М, которая удалена от центра щара радиуса 2 см на 6 см, проведены касательные МА и МВ (А, В -точки касания). Найдите расстояние АВ, если плоскости МОА и МОВ перпендикулярны. 1044. Сколько существует сфер радиуса 2, касающихся координатных плоскостей? Напищите уравнение одной из них. 1045. Найдите геометрическое место центров сфер радиуса г: а) которые касаются данной плоскости; б) которые проходят через данную точку. 1046. Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся: а) данной плоскости в данной на ней точке; б) данной прямой в данной точке. 1047. Радиус Земли равен 6400 км. На какую высоту над горизонтом следует подняться, чтобы линия горизонта проходила на расстоянии 100 км от наблюдателя? 206 Тела вращения 1048, ц:^г 1050. iJir 1052, 1054. Радиус Земли 6,4 тыс. километров. Какой путь проходят за сутки вследствие вращения Земли города Одесса, Львов и Киев, широты которых 46°29', 49°49' и 50°27'? ЗАДАЧА С НЕОЖИДАННЫМ ОТВЕТОМ. Представим, что два шара - один большой, как Земля, а второй, как футбольный мяч, - по экваторам обтянуты обручами. Если каждый обруч продлить на 1 м, они отойдут от поверхностей шаров (равномерно) на некоторые расстояния. Где это расстояние будет больше: у большего или меньшего шара? Сфера проходит через точки А(2; 0; 1), Б(2; 0; 3), С(1; 4; 0), П(1; 2; 2). Найдите ее радиус и координаты центра. Как расположены шар радиуса о и плоскость равностороннего треугольника со стороной За, если все вершины треугольника удалены от центра на 2а? Точки MviN делят диаметр AS шара на части, пропорциональные числам 1, 2 и 3. Через точки М и N под углом а к прямойАВ проведены параллельные плоскости. Найдите отношение площадей образованных сечений. Шар радиуса 10 см касается одной грани двугранного угла меры 120° и пересекает другую грань по кругу, площадь которого равна 36л см^. Найдите расстояние от центра шара до ребра двугранного угла. Два взаимно перпендикулярные сечения шара имеют общую хорду длиной 16 см. Найдите радиус шара, если площади этих сечений равны 100л см^ и 144л см^. Из точки поверхности шара радиуса 2л/з см проведены три равные хорды под углом а друг к другу. Найдите длины этих хорд. 1056*. Как построить сферу, которая проходит через три данные точки и касается данной плоскости? 1057. Найдите геометрическое место точек, из которых можно провести к данному шару радиуса г три касательные, образующие прямой трехгранный угол. 1058. Найдите геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую. 1059*. В двугранный угол, равный 60°, вписаны две сферы радиуса г, касающиеся друг друга. Найдите радиус сферы, которая касается обеих граней двугранного угла и обеих сфер (рис. 221). 207 РАЗДЕЛ 3 1060*. Четыре сферы равных радиусов г расположены так, что каждая из них касается внешне трех других. Найдите радиус сферы, которая внутренним образом касается всех четырех сфер. 1061*. Шесть сфер радиуса г, центры которых являются вершинами правильного шестиугольника со стороной 2г, касаются сферы радиуса Зг. Найдите радиус сферы, касающейся всех семи сфер. 1062*. На прямой I расположены центры трех шаров радиусов 1, 2 и 5, причем шар радиуса 2 касается двух других внешним образом. Прямая р касается всех трех шаров. Найдите угол и расстояние между прямыми I и р. Упражнения для повторения 1063. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вокруг прямой, проходящей через вершину среднего угла параллельно противоположной стороне. 1064. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, если его боковая поверхность равна 80тг см^, а образующая и высота соответственно равны 10 см и 8 см. 1065. Найдите площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, апофема которой I образует с высотой угол а. §28 КОМБИНАЦИИ ТЕЛ До сих пор мы рассматривали свойства самых простых геометрических тел: призм, пирамид, цилиндров, конусов, шаров. Но многим специалистам часто приходится иметь дело с более сложными телами, которые являются разными комбинациями (объединениями) названных тел. Например, на рисунке 176 изображено тело, состоящее из усеченного конуса и цилиндра, на рисунках 210, 211 - другие комбинации тел. А литейщикам, формовщикам, фрезеровщикам, электросварщикам, токарям, слесарям и другим рабочим приходится создавать детали более сложных конфигураций (рис. 222). 208 Тела вращения Рис. 223 Из разнообразных комбинаций геометрических тел особого внимания заслуживают вписанные и описанные тела. Уточним эти понятия. Шар называется вписанным в многогранник, если он касается каждой грани многогранника. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. Аналогичные определения можно сформулировать и для других фигур, вписанных друг в друга. Но следует иметь в виду, что такие общие определения не гарантируют однозначного положения вписанных фигур. Например, правильную треугольную призму в конус можно вписать так, как показано на рисунке 223, и еще несколькими способами. & ЗАМЕЧАНИЕ. Если вписанное тело рисуется другими цветами, то его видимые линии можно изображать сплошными. Для однозначного задания комбинаций рассматриваемых тел следует уточнить, как именно вписано одно из них в другое. Но для пар призма-цилиндр и пирамида-конус принята договоренность, которую выражают такими определениями. Призма называется вписаной в цилиндр, если основания призмы вписаны в окружности оснований цилиндра. Пирамида называется вписаной в конус, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в окружность основания конуса. Если одно тело вписано в другое, дрзп’ое тело называют описанным вокруг первого. На рисунке 224 изображены четырехугольные пирамиды - вписанная в конус и описанная вокруг конуса. Как комбинации цилиндров, конусов и усеченных конусов можно рассматривать тела, образовашные вращением многоугольников. Например, тело, образованное вргпцением правильного шестиугольника вокруг его стороны, является объединением цилиндра и двух усеченных конусов, из которого изъято два конуса (рис. 225). Рис. 225 11 ld(iu«) 209 РАЗДЕЛ 3 • • ^ • ■ # 1. 2. 3. 4. 5. А1 Фигура, образованная вращением круга вокруг оси, которая лежит в его плоскости, но не пересекает круг, называется тором, (рис. 226). Форму тора имеют на-дзггая камера автомобильной шины, баранка, спортивный обруч. Чтобы задать тор, достаточно назвать радиус г вращающегося круга и расстояние р от центра этого круга до оси вращения. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Какой шар называется вписанным в многогранник? Какой многогранник называется вписанным в сферу? Дайте определение призмы, вписанной в цилиндр. Дайте определение пирамиды, вписанной в конус. Какая фигура называется тором? Выполним вместе 1. Образующая конуса равна I и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите длину ребра куба, вписанного в конус так, что четыре его вершины лежат на основании, а четыре - на боковой поверхности конуса. РЕШЕНИЕ. Пусть РМ - образующая конуса, проходящая через вершину вписанного в конус куба (рис. 227). Вершина А куба принадлежит радиусу ОМ. По условию задачи РМ = I, ZPMO = а. Если ребро куба равно х, то X ОА = Из прямоугольного АРОМ имеем: ОМ = РМ • сова = /сова, MA = MO-OA = lcosa~- А А Поскольку —i— МА %/2/вша = tga, то- X Ж X - = tga. /cosa- откуда X = ОТВЕТ. л/2 + tga л/2/вша N/2-Mga 210 V Тела вращения В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида. Найдите высоту пирамиды, если двугранный угол при ребре основания равен а. РЕШЕНИЕ. Пусть сторона основания данной в задаче a-v/з пирамиды (рис. 228) равна о. Тогда ОК =-и из ASOK найдем SO: SO = OKtga, т. е. SO=--tga Выразим а через R. Из AOjOA (ZO = 90°) АО = Если SOj < SO, то OOi=SO-R =-tga-jR. В общем случае АО = |SO - R\. По теореме Пифагора AOj^ = АО^ + 00^^, т. е. Ол/з чим: — Rtg а = -^ (4 -I- tg^ а), откуда а = 3 12 4-t-tg а Тогда a^Уз аТз Лу/З tga-R . Упростив это уравнение, полу-4V3/?tga (4-i-tg^a)-6 4 + tg“a Для составления уравнения можно воспользоваться и другим способом. Пусть SSj - диаметр шара (рис. 229). Тогда ZSASj = 90°. По свойству высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла, АО^ = SO • SjO, или АО^ = SO(2R — SO). Подставив значение АО и SO, получим такое же уравнение, как и в первом случае 1 I РАЗДЕЛ 3 к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 1066. 1067. 1068. 1069. 1070. 1071. 1072. Найдите радиус шара, вписанного в куб с ребром а. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в куб с ребром 2 см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, в который вписан шар радиуса R. В любой ли цилиндр можно вписать шар? Чему равна высота усеченного конуса, в который вписан шар радиуса R? Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной а. Чему равна высота пирамиды, вписанной в этот конус? Площадь боковой поверхности конуса Q, его радиус г. Найдите длину бокового ребра вписанной в этот конус правильной пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной; в) л-угольной. 1073. 1074. 1075. 1076. 1077. 1078. 1079. 1080. Найдите диагональ куба, вписанного в шар радиуса 8 см. Нарисуйте описанную вокруг шара правильную призму: а) четырехугольную; б) треугольную; в) шестиугольную. Нарисуйте описанную вокруг шара правильную пирамиду: а) четырехугольную; б) треугольную; в) пятиугольную. Нарисуйте вписанную в конус правильную пирамиду: а) треугольную; б) четырехугольную; в) шестизл-ольную. Впишите в правильную четырехугольную пирамиду куб так, чтобы одна его грань лежала на основании пирамиды, а вершины противоположной грани: а) на боковых ребрах пирамиды; б) на апофемах пирамиды. В основании прямой призмы - прямоугольный треугольник. Опишите вокруг нее: а) цилиндр; б) сферу. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы 27 см^. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в нее цилиндра. Найдите радиус шара, вписанного в правильную «-угольную пирамиду, сторона основания которой равна а, а двугранный угол при ребре основания - а, если: а) л = 4; б) л = 3; в) л = 6; г) л = /л. Тела вращения 1081. 1082. 1083. 1084. 1085. 1086. 1087. Вокруг шара радиуса г описан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь осевого сечения конуса при г = 2 м, а = 50°. В прямой параллелепипед с диагоналями основания 6 см и 8 см вписан шар. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите радиус сферы, описанной вокруг пирамиды. Вокруг правильной шестиугольной призмы, высота которой равна 12 см, описана сфера радиуса 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Радиус сферы, описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, равен 13 см, а расстояние от ее центра до плоскости основания пирамиды - 5 см. Найдите боковое ребро пирамиды. Рассмотрите два случая. В шар радиуса 10 см вписана пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 м и 24 м, а все двугранные углы при основании пирамиды равны по 60°. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду. 1088. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол р. Найдите боковую поверхность конуса, описанного вокруг пирамиды. 1089. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной с и прилегающими углами аир. Диагональ боковой грани, проходящей через данную сторону, образует с плоскостью основания угол ф. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного вокруг призмы. 1090. В сферу радиуса г вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите высоту пирамиды. 1091. Найдите диаметр сферы: а) описанной вокруг прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, б и с; б) описанной вокруг прямой призмы, если высота призмы равна с, а в ее основгшии лежит прямоугольный треугольник с катетами о и ft; 213 ф РАЗДЕЛ 3 в) описанной вокруг пирамиды, боковые ребра которой попарно перпендикулярны, а их длины а, Ь и с. 1092. Ребро куба ABCDA^B^C^D^ равно а; точка Aj - середина отрезка АР. Найдите площадь поверхности тела, которое является общей частью данного куба и пирамиды PABCD (рис, 230). 1093. Боковое ребро наклонной призмы равно 12 см, а радиус вписанной сферы - 3 см. Найдите угол наклона бокового ребра призмы к плоскости основания. 1094. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите радиус сферы: а) вписанной; В б) описанной; в) которая касается всех ребер данного правильного октаэдра. 1095. Найдите площадь поверхности прямой призмы, если периметр ее основания равен Р, а радиус вписанной сферы - г. 1096. Найдите радиус сферы, вписанной в усеченный конус, если радиусы его оснований равны г и R. 1097. Центр шара, описанного вокруг правильной четырехугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 3 : 4. Найдите меру двугранного угла при боковом ребре пирамиды. ' 033. В правильный тетраэдр SABC вписана сфера радиуса R. Найдите радиус сферы, которая касается данной и трех граней тетраэдра, выходящих из вершины S. 1099. Радиус основания конуса равен R, а высота - Н. Найдите ребро вписанного в него куба. 1100. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, высота которой в 2 раза больше стороны основания, если эта призма вписана в конус, высота которого равна 5\/з см, а радиус основания - 10 см. 1101. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен а, а расстояние от основания высоты до середины бокового ребра равно т. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду. 1102. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной с и прилегающими углами аир. Диагональ боковой грани, проходящей через данную сторону, образует с 214 Тела вращения плоскостью основания угол <р. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в призму. В 1103. Сфера радиуса R касается тора радиусов р и г по окружности. Найдите длину этого круга (рис. 231). 1104. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус шара, который касается всех ребер тетраэдра. 1105*. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD, если АВ = CD = 6, а каждое из остальных его ребер равно %/Й. 1106*. Найдите плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если центры вписанного и описанного шаров совпадают. Обобщите задачу на случай п-угольной пирамиды. 1107. Центры двух равных сфер лежат на диагонали куба. Каждая сфера KaqaeTca трех граней куба, которые сходятся в одном из концов отмеченной диагонали, и второй сферы. Найдите отношение радиуса сферы к ребру куба. 1108*. Ребро куба равно а, АВ - его диагональ. Найдите радиус сферы, которая касается трех граней, сходящихся в вершине А, и трех ребер, выходящих из вершины В. 1109*. Ребро куба равно о. В этот куб вписана сфера. Найдите длину хорды этой сферы, которую она отсекает на отрезке, соединяющем середины скрещивающихся ребер куба. Упражнения для повторения 1110. Вершины треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см лежат на поверхности шара. Найдите радиус шара, если расстояние от его центра к плоскости треугольника равно 10 см. 1111. Вершины квадрата со стороной 12>/2 см лежат на поверхности шара, а расстояние от центра шара к плоскости квадрата равно 16 см. Найдите высоты сферических сегментов, на которые шар разбивает плоскость квадрата. 1112. Два правильных треугольника лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины этих треугольников лежат на одной сфере. 215 РАЗДЕЛ 3 ЗАДАЧИ ПО ГОТОВЫМ РИСУНКАМ 00,.||(АВС). Найдите S^. АВ = ВС^ АС, ^ААВС~ Найдите S^. S„ = 2S.. П О Найдите S.: 8=5:3. D О OK = d, ZAOB = 90°. Найдите q>. OOj=3. 216 ■'c) ’'ABCD = Q. Тела вращения OOj : ОО2 = 3:4. Найдите R шара. АВ= 18, 00, = 8, 00^= 12, 90». ABCAjBjCj — правильная приз- SABCD — правильная пщ>ами- ма. да, ZASB = а. Найдите S, 6 ц Найдите поверхность тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг прямой I. ABCD — квадрат, НАС. 1\АВ. 217 РАЗДЕЛ 3 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ В цилиндр нельзя вписать призму, в основании которой лежит: а) квадрат; б) прямоугольник; в) ромб, отличный от квадрата; г) треугольник. Найдите площадь боковой поверхности тела, образованного вращением прямоугольника площадью Q вокруг одной из сторон. а) 2Q; б) nQ; в) 2nQ; г) 4nQ. Ортогональной проекцией сферы является: а) круг; б) окружность; в) эллипс; г) любая из перечисленных фигур. Площадь диагонального сечения куба равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного вокруг куба. а) S; б) 7iS; в) 2л8\ г) nS\j2. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг большего из них. Найдите площадь поверхности образованного тела вращения, а) 90л см^; б) 65 см^; в) 120 см^; г) 65тс см^. Шар радиуса 10 см пересекли плоскостью на расстоянии 6 см от центра. Найдите площадь сечения, а) 16тг см^; б) 8л см^; в) 64л см^; г) 128л см^. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, которую видно из центра основания под углом 90°, а из вершины - под углом 60°. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения. Тз . . ^/з а) 90°; б) arccos^/3; в) агссоз—; 3 г) arcsin—. 3 В цилиндре на расстоянии 4 см от оси, параллельно ей, проведено сечение. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра 8 см, а радиус основания 5 см. а) 8 см^; б) 48 см^; в) 72 см^; г) 24 см^. Найдите угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости большего основания, если радиусы его оснований 3 см и 5 см, а площадь осевого сечения 16 см^. а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) arctg2. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 180°. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. 218 Тела вращения ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1“. Прямоугольная трапеция вращается вокруг большей боковой стороны. Выполните рисунок. Из каких фигур состоит образованное тело вращения? 2'\ Диаметр шара пересекает каждую из двух плоскостей под углом 30° и делится точками пересечения на три равные части. Найдите расстояние от каждой плоскости до центра шара, если его радиус равен 12 см. 3°. Плоскость пересекает конус по равностороннему треугольнику со стороной а и отсекает от окружности основания ее четвертую часть. Найдите высоту конуса. 4°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, в которую вписан шар радиуса 4 см, если двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. 5*. Через две образующие конуса проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания. Найдите углы образованного сечения, если угол в осевом сечении конуса равен 120°. 6*. Найдите площадь поверхности цилиндра, в который вписана правильная треугольная призма, диагональ боковой грани которой равна d и образует с плоскостью основания угол а. 7*. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с боковой стороной Ь и углом при вершине а вокруг прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно его основанию. 8*. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 8%/2 см^, а угол в развертке боковой поверхности составляет 120°. 9". Точки А и В принадлежат окружностям разных оснований цилиндра, радиус основания и высота которого равны 13 см й 10 см соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если он удален от оси цилиндра на 5 см. 10*'. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскостей сечений, если площадь одного из них 169д см^, а площадь большого круга сферы равна 200л см^. ^1**. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d. Найдите радиус основания и высоту цилиндра с наибольшей площадью боковой поверхности. 219 РАЗДЕЛ 3 i 2. . 5. ГЛАВНОЕ В РАЗДЕЛЕ 3 Если какую-либо фигуру вращать (на угол, не меньше 360°) вокруг какой-либо оси, каждая точка этой фигуры, за исключением точек оси, будет описывать окружность. Объединение всех таких окружностей представляет фигуру вращения. Если образованная фигура вращения является телом, ее называют телом вращения. Важнейшие тела вращения - цилиндр, конус, усеченный конус, шар, шаровой сегмент, шаровой сектор. Цилиндр - тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны. Если цилиндр образован вращением прямоугольника ОАВО^ вокруг стороны OOj, то прямая OOj - ось цилиндра, отрезки ОА и О^А опишут равные круги - основания цилиндра, а отрезок АВ опишет кривую поверхность - боковую поверхность цилиндра. Каждый отрезок этой поверхности, равный АВ, - образующая цилиндра. Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Основания цилиндра - равные круги, лежащие в параллельных плоскостях, боковую поверхность можно развернуть в прямоугольник. Поэтому, если радиус и высота цилиндра гик, площадь его боковой поверхности S = 2nrh. А площадь поверхности S = 2лг(г + Л). Конус - тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета. При таком вращении один катет описывает круг - основание конуса, а гипотенуза - кривую поверхность, боковую поверхность конуса. Развертка последней - круговой сектор. Если радиус конуса г, а образующая I, то площадь боковой поверхности конуса S = пг1, а площадь поверхности S = лг(г + I). Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разрезает его на две части: меньший конус и усеченный конус. Усеченный конус имеет два основания - разные круги, лежащие в параллельных плоскостях, и боковую поверхность. Боковая поверхность усеченного конуса " часть боковой поверхности конуса. Если радиусы оснований усеченного конуса и г^, а образующая I, то площадь его боковой поверхности S = п1{г^ -f- г^. Шар - тело, образованное вращением круга вокруг его диаметра. Центром ишра называют центр круга, вращением которого он образован. Отрезок, соединяющий i220 . Тела вращения i центр шара с произвольной точкой его поверхности, -радиус шара. Отрезок, который соединяет две произ^-" вольные точки поверхности шара, - его хорда. Хорда шара, которая проходит через центр, - диаметр шара. Сфера - поверхность шара; она может быть образована вращением окружности вокруг ее диаметра. Плоскость (прямую), которая имеет с шаром только одну общую точку, называют касательной плоскостью (прямой) к шару. Если две сферы имеют только одну общую точку, говорят, что они касаются в этой точке. Секущая плоскость разрезает шар на два шаровых сегмента, а сферу - на два сферических сегмента. Две параллельные секущие плоскости разрезают шар на два шаровых сегмента и шаровой слой. Кривая поверхность шарового слоя - сферический пояс. Тело, образованное вращением выпуклого кругового сектора вокруг радиуса, его ограничивающего, - шаровой сектор. Шар называется вписанным в многогранник, если он касается каждой гргши многогранника. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вйисаны в окружности оснований цилиндра. Пирамида называется вписанной в конус, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в окружность основания конуса. Если одно тело вписано в другое, то другое тело называют описанным вокруг первого. . *УК ■ -^ Ш](5Х1а£1йгаэ ®@[ь©сШа ^ (Шозоса оцййшэй шщюэсш) га олгашжщ^о * (Шьщ} га гасчошшщкОо * ®©5Ь(ша сзэса$5®а га ^^эеесшхкхшэ сзэо1®<э®о ^ @©ib©Ga (МЩо)@ со (ШЭ 'ЧШШЭЙо " Ш®(охшш1 [1^5гаэдгак1©о ' (Ш!ШШП(§1да ООСШЩрЖХо^^ Объемы и площади поверхностей геометрических тел §29 ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА О Каждое тело занимает часть пространства: кирпич - больше, чем карандаш, куб с ребром 1 дм - больше, чем с ребром 1 см. Чтобы можно было сравнивать такие части пространства, вводят понятие объема. Объем - это количественная характеристика тела, удовле-творяюп^ая таким условиям (свойствам объема): 1. Каждое тело имеет определенный объем, выраженный положительным числом. 2. Равные тела имеют равные объемы. 3. Если тело разбито на несколько частей, то его объем равен сумме объемов всех этих частей. 4. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице. Объем - одна из величин, как и длина, площадь, мера угла. Значение объема задается не только числом, но и наименованием. Например, объем 1 дм® можно представить как 1000 см® и как 0,001 м®. Чтобы не усложнять изложение, в теоретических рассуждениях за единицу длины берут длину некоторого (единичного) отрезка и в зависимости от нее вводят единицы площади и объема. Площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку, - единица площади, а объем куба, ребро которого равно единичному отрезку, - единица объема. При такой договоренности наименования можно не писать. ЗАМЕЧАНИЕ. Строгое изложение общей теории объемов является очень сложным. Поэтому тут, говоря об объемах тел, принимаем во внимание только простые тела: многогранники, цилиндры, конусы, сферы и разнообразные комбинации из конечного числа таких тел. Объемы тел измеряют или вычисляют. Например, объем небольшой детали мож-во измерить с помощью мензурки с деле-Виями (рис. 232), объем ведра - наливая в Вего воду посудой известного объема. Но объем комнаты, доменной печи подобным способом измерить невозможно. Их вы-висляют. Нгшример, объем куба с ребром а Равен а®, а объем прямоугольного парал-•'^влепипеда вычисляют, пользуясь такой '^’воремой. Рис. 232 li 223 г ' ^ РАЗДЕЛ 4 1 Теорема 26. Об-ьем прямоугольного параллелепипеда 2 равен произведению трех его измерений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим три случая. 1. Пусть измерения а, Ъ, с прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами. Талсой параллелепипед можно разрезать на с шаров, каждый из которых содержит аЬ единичных кубиков (рис. 233). Следовательно, объем этого параллелепипеда V = аЬс. Рис. 233 „ „ . 2. Пусть а, о, с - десятичные дроби с числом десятичных знаков не больше п. И пусть I - отрезок в 10" раз короче единичного. Ребра данного параллелепипеда, длины которых а, Ь, с, можно разбить соответственно на 10"а, 10"6 и 10"с таких отрезков. Числа 10"а, 10"&, 10"с натуральные. Поскольку 10"а • 10"й • 10"с = 10®"а6с, то данный параллелепипед вмещает ровно 10^"а6с кубиков с ребром I. А единичный куб вмещает 10®" таких кубиков, ведь 10" • 10" • 10" = = 10®". Как видим, отношение объема данного параллелепипеда к объему единичного куба равно аЬс. Это значит, что объем данного параллелепипеда V = аЬс. 3. Пусть хотя бы одно из чисел а, Ь, с выражается бесконечной десятичной дробью. Обозначим через а^ и приближенные значения числа а с недостачей и с излишком с точностью до п десятичных знаков. С той же точностью приближенные значения с недостачей и с излишком числа Ь обозна-а числа с - через с. и с„. Каждое из чисел чим через и Oj, Cg, fej, ^1» ^2 выражается конечной десятичной дробью. Поэтому, согласно доказанному в п. 2, объемы прямоугольных параллелепипедов с измерениями а^, Cj и Cg, bg, Cg соответственно равны и а^Ь^с^. Первый из этих параллелепипе- дов можно поместить вовнутрь данного параллелепипеда, а данный - вовнутрь другого. Следовательно, объем V данного параллелепипеда находится между OjbjCj и а^Ь^с^. Поскольку CjbjCj и - приближенные значения числа аЪс с любой наперед заданной точностью, то и в этом случае V = аЬс. Теорема доказана. Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту- 224 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 9 ^ Ф = - J *.# 0 А ^ Л 0 i ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Перечислите свойства объема. ' В каких единицах определяют объем? Как можно измерять объемы? Чему равен объем куба с ребром а? . Сформулируйте и докажите теорему об объеме прямо-угольного параллелепипеда. Выполним вместе 1. Площади попарно перпендикулярных граней прямоугольного параллелепипеда равны Sg и Sg. Найдите его объем. РЕШЕНИЕ. Если измерения параллелепипеда х, у, z, то ху = Sj, XZ = Sg, yz = Sg. Перемножим эти равенства: x^y^z^ = = SjSgSg. Следовательно, объем параллелепипеда V = xyz = ОТВЕТ. V = . 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью основания угол а, а с плоскостью боковой грани - угол р. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна h. РЕШЕНИЕ. Пусть в прямоугольном параллелепипеде ABCDAj^B^Cj^D.^, BBj = h, ZB^DB = a, ZB^DC^ = p (рис. 234). Из AB^BD (ZB = 90°) найдем BD и B^D: h BD = Actga и BjD sin a Из AB^C^D (ZC^ = 90°) BjCj = = BjDsinp, T. e. sin a Тогда no теореме Пифагора из ABCD (ZC = 90°) можем найти ребро DC: DC^ = BD^ - BC^ T. e. sin^a sin^a sin^ p sin^a sin^a (cos^a-sin^p). ’® 3) призму, площадь основания которой S, а высота h. Ее можно разбить (например, диагональными сечениями) на несколько треугольных призм, а каждую треугольную - на две призмы, в основаниях которых - прямоугольные треугольники (рис. 236). Любую прямую призму можно разбить на конечное число k прямых призм, в основаниях которых — прямоугольные треугольники. Высота каждой из этих призм равна Л, а сумма площадей их оснований Sj -Н Sg + ... -Ь = S. Объем данной га-угольной призмы равен сумме объемов треугольных призм, составляющих ее. Поэтому V = SjA -Ь S^h + ... -f- S^h = = (Sj -I- Sg = ■5Л. Следовательно, объем прямой призмы можно вычислить по формуле V = Sh. Теорема доказана. Теорема 28. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. 229 j РАЗДЕЛ 4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дан цилиндр с площадью основания S и высотой л. Впишем в него правильную л-угольную призму и опишем вокруг него правильную л-угольную призму (рис. 237). Если площади оснований этих призм и то их объемы равны SJh, и S'Ji. Поскольку вписанная призма находится в цилиндре, а цилиндр - в описанной призме, то объем V данного цилиндра больше, чем SJi, но меньше, чем S'Ji: S h/ctg^a+ctg^p ctgactgp = ■y/ctg^a + ctg^P 4a^ctgactgP 7(ctg^a + ctg^P)® ОТВЕТ. V(ctpC( + ct^)^ 2. В цилиндр, радиус основания которого равен 7 см, под углом к оси вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях оснований. Найдите объем цилиндра, если сторона квадрата равна 10 см. С РЕШЕНИЕ. Пусть ABCD - квадрат, вписанный в цилиндр, АВ = 10 см, ОВ = 7 см (рис. 239). Проведем DK перпендикулярно к плоскости основания. Поскольку АВ J. AD, то по теореме о трех перпендикулярах АК -L АВ, т. е. ZBAK = 90°. Следовательно, ВК - диаметр основания цилиндра, ВК = 14 см. Из АВАК (ZA = 90°) по теореме Пифагора найдем АК: АК^ = ВК^ - АВ^, АК^ = 196 - 100 = 96. Тогда DK^ = AD^ - АК^, т. е. DK^ = 100 - 96 = 4. Следовательно, DK = 2 см. Поскольку V = nr^h, то И = л • 49 • 2 = 98л (см^). ОТВЕТ. V = 98п см^. А Рис. 239 ,281 РАЗДЕЛ 4 д 1151. 1152. 1153. 1154. 1155. 1156. 1157. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 5 см. Найдите объем призмы, если ее высота равна 3 см. Найдите объем цилиндра, радиус основания которого равен 2 см, а высота - 5 см. Найдите объем правильной треугольной призмы, все ребра которой равны а. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, большая боковая грань -квадрат. Найдите объем призмы. Осевое сечение цилиндра - квадрат со стороной а. Найдите объем цилиндра. Найдите объем цилиндра, в который вписан шар радиуса R. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата со стороной а вокруг прямой, содержащей сторону квадрата. 1158. Диагональ грани правильной треугольной призмы равна d и наклонена к стороне основания под углом а. Найдите объем призмы. 1159. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 см^, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 4 см. Найдите объем призмы. 1160. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция с основаниями 6 см и 10 см. Через большее основание трапеции и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите объем призмы, если площадь сечения равна 48 см^. 1161. Сторона основания прямого параллелепипеда равна а. Через нее и противоположную ей сторону верхнего основания проведено сечение под углом а к плоскости основания. Площадь сечения S. Найдите объем параллелепипеда. 1162. Основание прямого параллелепипеда - ромб. Одна из диагоналей параллелепипеда равна d и наклонена к плоскости основания под углом а, другая - под углом р. Найдите объем. 1163. Найдите объем прямого параллелепипеда, сторона основания которого равна а, а радиус вписанного шара - г. 232 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1164. Вокруг цилиндра описан прямой параллелепипед с острым углом а в основании. Найдите объем параллелепипеда, если высота цилиндра равна h, а радиус - г. 1165. В прямую призму, стороны основания которой равны 13 см, 14 см и 15 см, вписан шар. Найдите объем призмы. 1166. Нужно прорыть канаву длиной 200 м и глубиной 1,5 м. Ширина канавы наверху 3 м, около дна 2 м. Сколько кубометров почвы придется выкопать? 1167. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 18 м, верхним 8 м и высотой 3 м. Найдите объем 1 км насыпи. 1168. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите объем цилиндра. 1169. Развертка боковой поверхности цилиндра - квадрат со стороной 1,8 дм. Найдите объем цилиндра. 1170. Найдите отношение объемов цилиндров, вписанного в правильную треугольную призму и описанного вокруг этой призмы. 1171. Площади боковых поверхностей двух цилиндров равны. Докажите, что их объемы относятся как радиусы оснований. 1172. Через образующую цилиндра проведены две плоскости, которые пересекают цилиндр и угол между которыми равен 120°. Найдите объем цилиндра, если его высота равна 5 см, а площади сечений - по 30 см^. 1173. Параллельно оси цилиндра на расстоянии d от нее проведено сечение площади S, которое отсекает от окружности основания дугу а. Найдите объем цилиндра. 1174. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, -квадрат, который отсекает от окружности основания радиуса г дугу р. Найдите объем цилиндра. 1175. В цилиндрическую посуду, внутренний диаметр которой 20 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в посуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? 1176. Длины двух круглых колод равны, а их диаметры относятся как 2:3. Как относятся их объемы? 1177. Найдите площадь круглого пятна на поверхности моря, образованного 1 м® вылитой нефти, если толщина пленки 1 мм. 1178. В цилиндрической посуде уровень жидкости достигает 16 дм. Каким он станет, если жидкость перелить в посуду, диаметр которой в 2 раза больше первого? 233 РАЗДЕЛ 4 1179. Сколько метров стального провода в мотке, если его масса 30 кг, а диаметр провода 6 мм? Плотность стали 7600 кг/м®. 1180. Железобетонная панель имеет размеры 600x120x22 см. По всей ее длине 6 цилиндрических отверстий, диаметры которых 14 см. Найдите массу панели, если плотность материала 2,5 т/м®. 1181. Сколько тонн стальных труб пошло на сооружение газопровода длиной 4450 км, если его внешний диаметр 1420 мм, а толщина трубы 22 мм? Плотность стали 7600 кг/м®. 1182. Сколько квадратных метров бумаги в рулоне, высота которого 85 см, а радиусы 45 см и 2 см? Толщина бумаги 0,1 мм. 1183. Найдите объем двухметрового прута, форма и размеры сечения которого (в мм) изображены на рисунке 240. 1184. Докажите, что произвольная плоскость, проходящая через центр куба, делит его на две части, объемы которых равны. 1135. Стороны оснований прямого параллелепипеда равны типи образуют угол 60°. Найдите объем параллелепипеда, если его меньшая диагональ равна большей диагонали основания. 1186. Каждое ребро прямого параллелепипеда равно 1 см, а одна из его диагоналей 2 см. Найдите объем этого параллелепипеда. 1187. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 24 см®, а площади боковых граней - 3 см®, 4 см® и 5 см®. Найдите объем этой призмы. 1188. Найдите объем правильной пятиугольной призмы, каждое ребро которой равно а. 1189. Найдите объем правильной шестиугольной призмы в которой AjF = 12 м, A^D = 13 м. 1190. В правильной треугольной призме ABCAjBjCj через сторону ВС и вершину Aj проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем призмы, если расстояние от вершины А до этой плоскости равно d. 1191. Высота пирамиды равна 8 м, а площадь основания - 12 м®-Найдите объем призмы, одно основание которой принадлежит основанию пирамиды, а другое - сечению пирамиды плоскостью, проведенной на расстояние 2 м от вершины. 1192. Через боковое ребро правильной шестиугольной призмы проведено сечение, которое делит призму на части, 234 Объемы и площади поверхностей геометрических тел объемы которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения, если площадь боковой грани призмы равна S. Рис. 241 1193. Докажите, что плоскость, которая пересекает боковую поверхность правильной 2л-угольной призмы, но не пересекает ее оснований, делит ее боковую поверхность и объем в одном и том же отношении. 1194. Найдите объемы частей цилиндра, изображенных на рисунке 241. 1195. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол а. Найдите объем цилиндра, описанного вокруг данной призмы, если площадь сечения равна Q. 1196. Высота цилиндра Л. Четыре точки, лежащие на окружностях его оснований, - вершины квадрата со стороной а. Найдите объем цилиндра. 1197. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу 60°. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость разделила цилиндр. 1198'. Из всех цилиндров данного объема найдите цилиндр, площадь поверхности которого наименьшая. Найдите отношение его высоты к радиусу. 1199*. Из всех цилиндров, вписанных в сферу радиуса г, найдите цилиндр наибольшего объема. Чему равен его объем? Упражнения для повторения 1200. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 17 см, а их площади пропорциональны числам 2 и 5. Найдите объем параллелепипеда. 1201. Прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат со стороной а, вписан в сферу радиуса R. Найдите его объем, 1202. Равнобедренный треугольник с основанием 6 см и углом при вершине 120° вращается вокруг прямой, содержащей основание. Найдите площадь поверхности тела вращения. 'Л 235 РАЗДЕЛ 4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА Пусть тело Т находится между двумя опорными параллельными плоскостями аир (рис. 242). Введем систему координат так, чтобы ось х была перпендикулярной к этим плоскостям. Абсциссы точек пересечения плоскостей аире осью х обозначим через а и Ь {а < Ь). Плоскости а и Р не пересекают тело Т, а только касаются его. Но договоримся и их считать секущими плоскостями (вырожденными). Получается, что каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси х и проходит через точку х ее отрезка [а; Ь], пересекает тело Т. Пусть S(x) - площадь соответствующего сечения. Поскольку каждому значению X из [а; 6] соответствует единственное значение площади S(x), то S(jc) - функция, заданная на [а; &]. Если эта функция непрерывная, то объем данного тела Т можно выразить через S(x), а и Ь. Разобьем отрезок [а; 6] на п равных частей точками а < X, < х^ < ... < X = Ь. 1 iS П Проведенные через эти точки плоскости, перпендикулярные х л к оси X, рассекают данное тело на п слоев толщиной Ах -- п (рис. 243). Объем i-vo шара приближенно равен S(Xj)Ax, а объем всего тела V « S(Xj)Ax + S(x^)Ax + ... + SixJАх. (*) Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слой, т. е. чем больше п. Можно доказать, что когда л -> 00, то интегральная сумма правой части приближенного равенства (*) стремится к объему V данного тела. Следовательно, по определению интеграла: ь V = ^S{x)dx. а Рассмотрим конкретный пример. Пусть данное тело - произвольный цилиндр (в широком понимании), площадь основания которого S, а высота h (рис. 244). Расположим систему координат так, чтобы одно основание цилиндра было в плоскости yz, а плоскость второго основания пересекала ось х ® 236 Объемы и площади поверхностей геометрических тел точке h. Каждая секущая плоскость, перпендикулярная к оси X, пересекает данный цилиндр по фигуре, равной основанию; площадь каждого такого сечения равна S. Поэтому объем данного цилиндра: V = jSdx = Sjc | =5Л. о о Следовательно, объем любого цилиндра (в широком понимании) равен произведению площади его основания на высоту. Следствия. Объем наклонной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Объем кругового цилиндра, у которого радиус основания г и высота h, можно вычислять по формуле V = nr^h. Если плоскость, перпендикулярная к боковому ребру, пересекает все боковые ребра призмы, то сечение призмы такой плоскостью называют перпендикулярным сечением. Если многогранник М, отрезанный от наклонной призмы ее перпендикулярным сечением, перенести параллельно в положение Mj, образуется прямая призма такого же объема (рис. 245). Следовательно, правильно такое утверждение: объем наклонной призмы равен произведению площади ее перпендикулярного сечения и бокового ребра. Аналогичное утверждение правильно и для произвольного (в широком понимании) цилиндра (рис. 246). Всегда Sh = Ql. Рис. 245 Рис. 246 Г 237 РАЗДЕЛ 4 9 1. 2. 3. 4. 5. ДА ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Как с помощью интеграла можно найти объем тела? Выведите формулу для нахождения объема тела через интеграл. Какая плоскость называется опорной? Чему равен объем наклонной призмы? Как найти объем наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения? Чему равен объем цилиндра? Выполним вместе 1. Основанием призмы является правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина Aj проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА^ образует с плоскостью основания угол а. Найдите объем призмы. Вычислите, если а = 25,3 см, а = 68°12'. РЕШЕНИЕ. Задаче удовлетворяет призма ABCA^BjC^, изображенная на рисунке 247. А^О - ее высота, ZA^AO = а. Если О - центр правильного ААВС, сторона которого АВ = а, то его пло- щадь S =-----, а радиус описанной окружности ОА=—^. Из прямо- 7з угольного находим: треугольника AjOA А,О = AOtga = -=tga. v3 Тогда объем призмы: V = Sh = а —— • -f=tga = —tga. 4 V3 4 Если о = 25,3 и а = 68°12', то V = 25,3" tg68°12'« 10119. ОТВЕТ. V =—tga, V « 10 дм®. 4 2. В наклонной треугольной призме расстояние от бокового ребра до диагонали противоположной боковой грани равно d, а площадь этой грани - Q. Найдите объем призмы. 238 Объемы и площади поверхностей геометрических тел РЕШЕНИЕ. Расстояние от бокового ребра BBj призмы ABCA.BjCj до диагонали А.С грани ^jCjC равно расстоянию от ребра ВВ^ до грани A4jCjC (рис. 248). Достроим к данной призме ABCAjBjCj еще одну треугольную призму, чтобы образовался параллелепипед ADBCA^DyB^C.^ (рис. 248). Достроенная призма имеет такой же объем, как и данная, поскольку у них равны основания и высоты, параллелепипеда равен Qd. Объем данной призмы в меньше. ОТВЕТ. V = -Qd. 2 Объем 2 раза ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 1203. Найдите объем призмы, если площадь ее основания равна 10 м^, а высота - 3 м. 1204. Найдите высоту наклонной призмы, объем которой равен 12 см^, а в основании лежит квадрат со стороной 2 см. 1205. Основание призмы - прямоугольник со сторонами а и Ь. Боковое ребро призмы равно с и образует с плоскостью основания угол а. Найдите объем призмы. 1206. В основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной 3 см. Боковое ребро равно б см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем параллелепипеда. 1207. Найдите объем наклонной призмы, у которой площадь перпендикулярного сечения равна 9 м^, а боковое ребро 5 м. 1208. Основание наклонной призмы - квадрат. Верно ли, что произвольная плоскость, которая проходит через центры оснований, делит призму на две части равных объемов? 1209. Найдите объем наклонного кругового цилиндра, у которого радиус основания равен 2 см, а образующая - 10 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. 1210. Площадь основания призмы Q, боковое ребро равно I и наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите объем призмы. 239 РАЗДЕЛ 4 1211. Стороны основания параллелепипеда равны 6 дм и 8 дм, угол между ними 45°. Боковое ребро равно 7 дм и наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем параллелепипеда. 1212. Две грани параллелепипеда - квадраты со стороной а, остальные - ромбы с углами по 60°. Найдите объем параллелепипеда. 1213. Основание параллелепипеда - ромб со стороной 4 см и углом 60°. Найдите объем параллелепипеда, если большая диагональ равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 60°. 1214. Найдите объем параллелепипеда, основание которого ромб со стороной 6 см и углом 60°, а боковые грани -ромбы с углом 45°. 1215. Найдите объем параллелепипеда, если все его грани -ромбы со стороной а и углом 60°. 1216. Постройте сечение наклонного параллелепипеда плоскостью, которая проходит через середины двух смежных ребер основания параллельно боковому ребру. Найдите отношение объемов полученных призм. 1217. Основанием призмы является правильный треугольник со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания и является ромбом с острым углом а. Найдите объем призмы. Вычислите, если а = 17 см, а = 65°. 1218. Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна Ь. Найдите объем призмы. 1219. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней Q, а расстояние от противоположного ребра к плоскости этой грани т. Найдите объем призмы. 1220. Основание наклонной призмы - равнобедренная трапеция, стороны которой 44 см, 17см, 28 см и 17 см. Одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно к основанию и является ромбом с углом 45°. Найдите объем призмы. 1221. Найдите объем наклонного кругового цилиндра, если радиус его основания 12 см, а образующая равна 23 см и наклонена к плоскости основания под углом 72°. 1222. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны по 8 см, а расстояния между ними - 13 см, 14 см и 15 см. Найдите объем призмы. 1223. Площади двух боковых граней наклонного параллелепипеда равны 21 см^ и 49 см^, а угол между ними 60°- 240 Объемы и площади поверхностей геометрических тел Найдите объем параллелепипеда, если его боковое ребро равно 7 см. 1224. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро равно 10 см и отдалено от двух других ребер на 5 см и 12 см. Найдите объем призмы. 1225. Основание призмы - правильный треугольник со стороной а. Все боковые грани - ромбы. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объем призмы. 1226. Основанием параллелепипеда является параллелограмм со сторонами 6 см, 14 см и меньшей диагональю 12 см. Большее диагональное сечение перпендикулярно к плоскости основания и его площадь равна 80 см^. Найдите объем параллелепипеда. 1227. У наклонного параллелепипеда ABCDyLB.CjOj АС = 10 см, BjDj = 8 см, угол между ними равен 30°, а расстояние -5 см. Найдите его объем. 1228. Длины трех рюбер параллелепипеда, которые выходят из одной вершины, равны а, Ь и с. Ребра а и Ь перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда. 1229. Постройте сечение наклонного параллелепипеда плоскостью, которая проходит через данную точку стороны основания и делит этот параллелепипед на две призмы равных объемов. 1230. Постройте сечение треугольной призмы плоскостью, которая проходит через боковое ребро и рассекает ее на две части, объемы которых относятся как 1:2. В 1231. В наклонной призме АВСА^В^С^ АС = 8 см, ВВ^ = 6 см, угол между АС и ВВ^ равен 60°, а расстояние от ВВ^ до грани AAjCjC равно 5 см. Найдите объем призмы. 1232. Докажите, что из всех призм, имеющих одно и то же основание и боковое ребро, наибольший объем имеет прямая призма. 1233. Найдите объем наклонного цилиндра, если его образующая равна I, а секущая плоскость, перпендикулярная к образующим, пересекает его по кругу радиуса г. 1234*.Пользуясь формулой объема наклонной призмы, докажите теорему о площади проекции многоугольника на плоскость. 1235*.Пользуясь формулой объема цилиндра, выведите формулу для вычисления площади эллипса. ^^•QBometriya. 11 М (гш) 241 РАЗДЕЛ 4 Упражнения ДЛЯ повторения 1236. Плоскость, параллельная оси цилиндра, удалена от нее на 15 см. Диагональ образованного сечения равна 20 см. Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен 17 см. 1237. Основанием прямой призмы АВСА^В^С^ является прямоугольный треугольник АВС (ZC = 90°), у которого АС = а, ABAC = а, а диагональ В^С образует с плоскостью АА^В^ угол (р. Найдите объем призмы. 1238. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением ромба с диагоналями 6 см и 8 см вокруг прямой, содержащей сторону ромба. ! ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ И УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ Выведем формулы для вычисления объемов пирамиды и усеченной пирамиды. Теорема 29. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана пирамида, площадь основания которой S, а высота h. Возьмем ее вершину за начало координат, а ось х направим перпендикулярно к плоскости основания (рис. 249). Каждая секущая плоскость, перпендикулярная к оси X, пересекает пирамиду по многоугольнику, подобному основанию. Если секущая плоскость удалена от начала координат на х, то по теореме 15 соответствующая площадь сечения S(x) удовлетворяет условию 5(л:) : 8 = х^ : h^. Рис. 249 242 Объемы и площади поверхностей геометрических тел S о Отсюда 5(л:) = -7л: . h‘‘ Эта функция квадратична, поэтому и непрерывна на [0; А]. Следовательно, объем данной пирамиды: А СТ о „3 Л V = \—x^dx=—^--=—Sh, J А^ 3 i 3 О' Теорема доказана. V = -Sh. 3 Теорема 30. Объем усеченной пирамиды, площади оснований и высота которой равны соответственно S, 3^ и А, можно найти по формуле V = -h(S-\- S^). 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Р - вершина пирамиды, частью которой является данная усеченная пирамида, то объем усеченной пирамиды равен разности объемов двух пирамид (рис. 250). Площади S и их оснований относятся как квадраты расстояний от соответствующих плоскостей до вершины Р. Поэтому, если = х, то 3 _(x + hf S, ' откуда X =■ а7^ Следовательно, объем данной усеченной пирамиды: F = |(x-l-A)S-|a:Si =i(AS-i-a:(S-Si)) = AS-и (^3-3) = |a(S-h7^' + Si). T. e. Теорема доказана. F = iA(S-i-7^+Si). le* '243 РАЗДЕЛ 4 Как относятся объемы подобных пирамид? Если коэффициент подобия к, то отношение их высот равно ft, отношение площадей оснований — ft^, отношение объемов подобных пирамид равно ft®. Следовательно, объемы подобных пирамид относятся как кубы их соответствзпющих линейных размеров. Подобные многогранники можно разбить на попарно подобные треугольные пирамиды. Поэтому и объемы подобных многогранников относятся как кубы их соответствующих линейных размеров. Можно доказать, что и объемы любых подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров. ••• о • 1. 2. 3. 4. 5. 6. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Как найти объем пирамиды? Выведите формулу для нахождения объема пирамиды. Чему равен объем усеченной пирамиды? Выведите формулу для нахождения объема усеченной пирамиды. Как относятся объемы подобных многогранников? Как относятся объемы подобных тел? Выполним вместе 1. Найдите объем треугольной пирамиды, если длина каждого ее бокового ребра а, а плоские углы при вершине 60°, 90° и 90° (рис. 251). РЕШЕНИЕ. Возьмем за основание пирамиды ее грань, которая является равносторонним треугольником. Его пло- о тт е щадь S =----, а высота пирамиды а. Поэтому объем дан- ной пирамиды 244 уЛ.^^.а = ^а\ OTBET.V = —a^. 12 Рис. 251 12 Объемы и площади поверхностей геометрических тел Докажите, что если многогранник, описанный вокруг шара радиуса г, имеет площадь поверхности S, то его объем F = -Sr. 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Соединив центр шара с каждой вершиной описанного л-гранника, получим п пирамид. Высота каждой равна радиусу шара г, а площадь основания - площади соответствующей грани многогранника. Если S^, S^, - площади граней описанного многогранника, то + -HS2 +...+S„)r = ^Sr. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 1239. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 4 см, а высота - 3 см. 1240. Найдите объем треугольной пирамиды, в основе которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а гипотенуза равна высоте пирамиды. 1241. Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит ромб с диагоналями аиЬ, если высота пирамиды равна h. 1242. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 8 см®, а высота - 6 см. Чему равна сторона основания? 1243. Найдите объем треугольной пирамиды, у которой боковые ребра взаимно перпендикулярны и каждое из них равно а. 1244. Объем куба ABCiMjBjCjDj равен V (рис. 252). Найдите объем пирамиды: а) A^ABD; б) A^^C^BD. 1245. Через середину высоты пирамиды проведена секущая плоскость, параллельная основанию. Как относятся объемы образованных частей пирамиды? 1246. Площади поверхностей двух подобных пирамид относятся как т : п. Как относятся их объемы? 1247. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 1 дм. 1248. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональное сечение - правильный треугольник со стороной а. 245 ф РАЗДЕЛ 4 1249. Найдите объем пирамиды Хеопса, площадь основания которой 5,3 га, а высота 147 м. 1250. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно Ь, а плоский угол при вершине 90°. 1251. Найдите объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны а, Ъ, с, а углы между ними прямые. 1252. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно Ь и: а) наклонено к плоскости основания под углом а; б) образует угол р с высотой пирамиды; в) наклонено к стороне основания под углом у. 1253. Диагональное сечение правильной шестиугольной пирамиды делит ее на две неравные части. Как относятся их объемы? 1254. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной а. Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при ребрах ее основания 90°, 45° и 45°. 1255. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно а. 1256. Основание пирамиды - треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Двугранные углы при каждом ребре осно-вгшия равны по 45°. Найдите объем этой пирамиды. 1257. Основание пирамиды - равнобедренная трапеция со сторонами 4 см, 7 см, 7 см и 10 см, все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем этой пирамиды. 1258. По боковому ребру Ь и плоскому углу 2а при вершине найдите объем правильной пирамиды: а) треугольной; б) шестиугольной; в) п-угольной. 1259. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 25 см и 29 см, а ее объем - 80 см®. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если все двугранные углы при ее основании равны между собой. 1260. Найдите объем треугольной пирамиды, если одна из сторон основания равна 10 м, противоположное ей боковое ребро 16 м, а все другие ребра имеют длину 13 м. 1^'. Найдите объем правильного октаэдра, если его ребро равно а. 1262. Через середины каждых трех ребер куба, которые выходят из одной вершины, проведено сечение. Найдите объем образованного 14-гранника, если ребро куба равно а. 246 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1263. Плоскость, параллельная основанию, делит пирамиду на два многогранника равных объемов. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды? 1264. ЗАДАЧА ДЛЯ СООБРАЗИТЕЛЬНЫХ. Вы тратите мыло равномерно. Через семь дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. На сколько дней вам еще хватит этого мыла? 1265. Дно котлована - прямоугольник со сторонами 12 м и 24 м, его глубина 4 м. Найдите объем котлована, если его двугранные углы при основании по 120°. Можно ли объем такого многогранника вычислить по формуле объема усеченной пирамиды? 1266. Найдите объем усеченной пирамиды, основания которой - квадраты со сторонами 2 см и 5 см, одна из боковых граней - равнобедренная трапеция, перпендикулярная к плоскости основания, а противоположная грань образует с основанием угол 45°. '/■п7 Плоскости, параллельные основанию пирамиды объема V, делят ее высоту на три равные части. Определите объем усеченной пирамиды, ограниченной этими плоскостями. 1268. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 12 см^ и 75 см^, а высота полной пирамиды - 15 см. 1269. Одно ребро треугольной пирамиды равно Ь, а каждое из остальных - а. Найдите объем пирамиды. 1270. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный ААВС, у которого АВ = ВС и /ЛВС = а. Грань АВС перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами ф. Найдите объем пирамиды, если расстояние от основания высоты до боковой грани ASB равно I. //f' Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом а. Боковая грань, которая проходит через гипотенузу треугольника, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие нгпслонены к ней под углом 45°. Найдите объем пирамиды. 1272. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, а угол между смежными боковыми гранями а. ’ ^ 3. Углы правильного тетраэдра с ребрами а срезали так, что получился многогранник, у которого четыре грани -правильные треугольники и четыре грани - правильные шестиугольники. Найдите объем образованного многогранника. 1274. Найдите объем тетраэдра, вершины которого - точки Р(1; 2; 6), 0(0; 0; 0), А{2; 0; 0), В(0; 5; 0). 247 РАЗДЕЛ 4 1275. Найдите объем чердака с размерами, указанными на рисунке 253. 1276. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а. При какой высоте ее объем будет наибольшим? 1277. Боковое ребро правильной л-угольной пирамиды равно а. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды. 1278. Вычислите объем общей части двух пирамид с одинаковой высотой h, если общим их основанием является квадрат со стороной а, а высоты проходят через противоположные вершины квадрата основания. 1279. Найдите объем тетраэдра ABCD, если АВ = CD = а, AC = BD = b,AD = BC = c. 1280. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Через ребро АВ и середину SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пщзамиды? 1281. В правильную четы1>ехугольную пирамиду, двугранный угол при основании которой равен а, вписан шар радиуса г. Найдите объем пирамиды, вершина которой лежит в центре шара, а вершины основания - в точках касания шара к боковым граням данной пирамиды. 1282. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. К шару, параллельно основанию пирамиды, проведена касательная плоскость, которая делит объем пирамиды в отношении а : Ь, считая от вершины. Найдите угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью. 1283. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды к боковому ребру и боковой грани проведены перпендикуляры длиной тип соответственно. Найдите объем пирамиды. 1284. Найдите объем усеченной треугольной пирамиды, основаниями которой являются правильные треугольники со сторонами 2 м и 6 м, если одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а две другие образуют с плоскостью основания угол 30°. 1285. Куб объема V составлен из шести равных четырехзгголь-ных пирамид. Найдите площадь поверхности такой пирамиды. 1286*. Найдите объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если известны длина I средней линии боковой грани и расстояние d между центрами вписанного и описанного шаров. 248 Объемы и площади поверхностей геометрических тел Упражнения для повторения ^ 1287. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 см, а боковая поверхность - 32 см^. Найдите объем призмы. 1288. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб ABCD со стороной 4 см и углом 60°. Ребро СС^ также равно 4 см и образует с ребрами СВ и CD углы 45°. Найдите объем параллелепипеда. 1289. В правильной треугольной призме ABCAjBjCj плоскость, проведенная через середину ребра АА^ и ребро ВС, перпендикулярна к плоскости АВ^Су Найдите объем призмы, если АВ = а. Ц§зз] ОБЪЕМ КОНУСА И УСЕЧЕННОГО КОНУСА Если в формулировках и доказательствах теорем 29 и 30 заменить слова «пирамида» на «конус», а «усеченная пирамида» на «усеченный конус», получим теоремы об объемах конуса и усеченного конуса (рис. 254, 255). ^ Теорема 31. Объем конуса равен одной трети произведе-• ния площади его основания на высоту. ^ Теорема 32. Объем усеченного конуса, площади осно- ваний которого S формуле и S^, а высота h, можно найти по r = |ft(S+V^+Si). Рис. 254 РАЗДЕЛ 4 Основания конуса и усеченного конуса - круги, а площадь круга радиуса г равна лг^. Поэтому объем конуса можно вычислить по формуле ^ V =—nr^h, 3 где h - его высота, а г - радиус основания. Если h - высота усеченного конуса, а г и Tj - радиусы оснований, то его объем V =—яй(г^ + щ + Г1 ). 3 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Чему равен объем конуса? Чему равен объем усеченного конуса? Чему равна площадь круга радиуса г? Как найти объем конуса, зная радиус его основания и высоту? ••• • / Д. 1. 2. 3. 4. А1 Выполним вместе 1. Конус и цилиндр имеют равные радиусы и высоты. Как относятся их объемы? РЕШЕНИЕ. V nr^h = 1:3. . V = -nr^h к ц 3 ОТВЕТ. 1 : 3. Найдите объем конуса, образующую которого I видно из середины высоты конуса под углом а. РЕШЕНИЕ. Пусть РА = I - образующая конуса, РО - его высота, М - середина высоты и ZPMA = а (рис. 256). Обозначим ОА = х. Тогда из прямоугольного ААМО найдем: МО = xctgZAMO = A!:ctg(180° - а) = -jcctga. РО = 2 • МО = -2xctga. Из АРОА по теореме Пифагора имеем: х^ + i-2xctgaf = 1\ х = - ’’ ■y/l-i-4ctg^a Это радиус основания конуса. Найдем его высоту: 2(ctga A=-2xctga = - i/lH-4ctg^a 250 Объемы и площади поверхностей геометрических тел Следовательно, объем конуса: 2я/ ctg а / г 1 / N 2Zctga ^l-i-4ctg^a Vl + 4ctg^a 3V(l + 4ctg2af Тут 90° < а < 180°, ведь ZAMO острый. ОТВЕТ. V = - 2Krctga 3T(l+4ctgW , где 90° < а < 180°. Найдите объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника с А гипотенузой с и острым углом а вокруг прямой, которая проходит через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. РЕШЕНИЕ. Пусть ААВС, у которого ZC = 90°, АВ = с и ZBAC = а, вращается вокруг прямой I (рис. 257). В результате образуется цилиндр, из ^ которого вырезаны два конуса с высотами СО и COj. Чтобы найти объем образованного тела, надо из объема цилиндра вычесть объемы конусов, т. е. V^nKC^OOi- -пКС^СО + -пКС^СО, 3 3 ‘ =л КС^ OOi--n-KC^(CO + COi) = 3 ^к КС^ ОО,--л КС^ ■ 00,=-л КС^ ОО,. * 3 ^ 3 ^ Найдем КС из ААВС, используя метод площадей: АС ВС Поскольку АС = ccosa, ВС = csina, то ccosa csina . 1 . „ КС =-----------= ccosasina =—С8ш2а. 2 2 1 1 Тогда V = — л—c^sin^ 2а с=—тгс® sin^2a. ОТВЕТ. У = -лс^sin^ 2а 6 А ■ 1290. 1291. 1292. 1293. 1294. 1295. 1296. 1297. 1298. 1299. 1300. 1301. 1302. 1303. 1304. РАЗДЕЛ 4 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Найдите объем конуса, высота которого равна 3 см, а радиус основания 1 см. Найдите объем конуса, высота которого равна 2 м, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с катетом 3>/2 см. Найдите объем конуса. Найдите объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 5 см вокруг большего из катетов. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите отношение объема усеченного конуса к объему всего конуса. Найдите объем конуса, если его образующая равна I и наклонена к плоскости основания под углом а. Свинцовый конус, высота которого 18 см, переплавили в цилиндр с таким же основанием. Найдите высоту цилиндра. Куча щебня имеет форму конуса, образующая которого 4 м. Найдите ее об^м, если угол естественного уклона (угол наклона образующей к плоскости основания) для щебня 30°. Есть два конуса одинакового зерна, один в 2 раза выше второго. Во сколько раз в первом конусе больше зерна, чем во втором? Докажите, что объемы двух подобных конусов относятся как кубы их соответствующих линейных размеров. Найдите объем конуса, развертка боковой поверхности которого - полукруг радиуса 12 см. Докажите, что объем конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду, в 4 раза меньше объема конуса, описанного вокруг этой пирамиды. Определите объем конуса, если в его основании хорда т стягивает дугу ф, а угол между образующей и высотой равен а. Найдите площадь поверхности конуса, высота и объем которого равны Л и V. Из центра основания конуса до образующей проведен перпендикуляр длиной d. Найдите объем конуса, если этот перпендикуляр образует с плоскостью основания угол а. 252 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1305. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. Найдите объем конуса, если площадь его поверхности равна 12л см^. 1306. Найдите объем конуса, если радиус Вписанного ша1>а равен г, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. 1307. В шар радиуса 2г вписгш конус, радиус основания которого г. Найдите объем конуса. 1308. В сферу радиуса г вписан конус, образующая которого с высотой образует угол а. Найдите объем конуса. 1309. Радиусы оснований усеченного конуса 10 см и 16 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем этого усеченного конуса. 1310. Объем усеченного конуса, радиусы оснований которого 4 см и 22 см, равен объему цилиндра такой же высоты. Найдите радиус цилиндра. 1311. Через точки, которые делят высоту усеченного конуса на три равные части, проведены плоскости, параллельные основаниям. Найдите объемы образованных частей данного усеченного конуса, если его высота равна 18 см, а радиусы оснований 5 см и 11 см. 1312. Найдите объем тела, образованного при вращении ромба со стороной 6 см и углом 60° вокруг прямой, проведенной через вершину тупого угла перпендикулярно к меньшей диагонали. 1313. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол а и пересекает основание конуса по хорде, которую видно из центра основания под углом р. Найдите объем конуса, если его образующая равна I. 1314. Через две образующие конуса, угол между которыми а, проведена плоскость под углом р к плоскости основания. Найдите объем конуса, если площадь сечения равна Q. 1315. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Найдите отношение объемов полученных частей конуса. 1316. Два конуса имеют концентрические основания и общую высоту h. Разность углов, образованных образующими с осью, равна р, угол наклона образующей внутреннего конуса к плоскости его основания равен а. Найдите объем части пространства, находящейся между поверхностями конусов. 253 РАЗДЕЛ 4 1317. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 16 см, а боковое ребро - 10 см. Вокруг боковой грани описана окружность, являющаяся основанием конуса, образующая которого принадлежит прямой, содержащей боковое ребро пирамиды. Найдите объем конуса. 1318. Найдите объем конуса, если радиус вписанного в него шара равен г, а угол, под которым из центра шара видна образующая, равен а. 1319. Периметр осевого сечения конуса равен 10 дм. Каким должен быть диаметр основания, чтобы объем конуса был наибольшим? 1320. Найдите отношение высоты конуса к диаметру, если при заданной площади боковой поверхности он имеет наибольший объем. 1321. Найдите наименьший объем конуса, описанного вокруг шара радиуса г. 1322. Боковая поверхность конуса касается вписанного шара по параллели 60°. Найдите объем конуса, если радиус шара равен 2. 1323. Найдите зависимость между радиусом шара г, площадью поверхности S и объемом V описанного усеченного конуса. 1324. Найдите объем усеченного конуса, в который вписан шар радиуса г, если из центра шара диаметр большего основания виден под углом а. 1325. Найдите объем усеченного конуса, у которого диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая равна I и наклонена к плоскости большего основания под углом а. 1326. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной о и острым углом а вокруг прямой, которая проходит через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. 1327*. В конус вписан шар радиуса г. Найдите объем конуса, если известно, что плоскость, которая касается шара и перпендикулярна к одной из образующих конуса, отдалена от вершины конуса на расстояние d. 1328*. Вершина конуса совпадает с вершиной куба. Основание конуса касается трех противолежащих граней куба. Осевое сечение конуса - правильный треугольник. Найдите отношение объема конуса к объему куба. 254 i V' Объемы и площади поверхностей геометрических тел Упражнения для повторения 1329. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 7П, а угол между смежными боковыми гранями равен ф. Найдите объем пирамиды. 1330. В конус вписан цилиндр, диагонали осевого сечения которого параллельны образующим конуса. Образующая конуса равна I и образует с плоскостью основания конуса угол а. Найдите объем цилиндра. Вычислите, если I = 27 см, а = 70°. 1331. Найдите расстояние от центра сферы к плоскости ромба, все стороны которого касаются этой сферы, если радиус сферы 10 см, сторона ромба 8^/з см, а острый угол 60°. §34 ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ Сначала выведем формулу для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокрзч' ее основания. Представим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции Z = fix), осью X, прямыми X = а и X = Ь (рис. 258). Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси X, получим некоторое тело вращения. Каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси х и пересекает ее в точке х е [а; Ь], пересекает данное тело по кругу радиуса f{x). Площадь сечения S{x) = nf^(x). Если функция fix) непрерывна, то непрерывна и функция S(x). Следовательно, объем данного тела V = ]six)dx, V = n\fix)dx. ? На основе этой общей формулы докажем теорему об объеме Шара. Теорема 33. Объем шара радиуса г равен — дг®. 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Шар радиуса г можно получить вращением вокруг оси X криволинейной трапеции, ограниченной 265 РАЗДЕЛА Рис. 260 I ЭТОЙ осью и графиком функции г = >/г^-х^ (рис. 259). Следовательно, объем такого шара V = 7tJ(r^-*^)dx=7t^r^x-i«® jj Повторим некоторые сведения о частях шара. Часть шара, отсекаемая плоскостью, называется шаровым сегментом. Его поверхность состоит из сферического сегмента и круга - основания сферического сегмента. Расстояние от основания шарового сегмента до параллельной ему плоскости, касательной к сегменту, называют высотой сферического сегмента. Формулу для вычисления объема шарювого сегмента радиуса г и высоты h можно найти так (рис. 260): Тело, образованное вращением кругового сектора вокруг радиуса, ограничивающего его, называется шаровым сектором. На рисунке 215 изображены два шаровых сектора: выпуклый и невыпуклый. Чтобы найти объем выпуклого шарового сектора, надо к объему шарового сегмента прибавить объем соответствующего конуса +—{r-h){r^-{r-hyf =-nr^h. = nh^(r-— ’ [ 3 Чтобы найти объем невыпуклого шарового сектора, надо из объема сферического сегмента вычесть объем соответствующего конуса. Результат в обоих случаях будет одинаковым (убедитесь в этом самостоятельно). Если надо найти объем шарового слоя, то можно из объема шара вычесть объемы двух сегментов. Следовательно, вычислить объем шара, шарового сегмента, шарового сектора можно по формулам: V =-пг®, “ 3 V =7СЛ' сет 1-1} V =-nF^h. сект g 256 /7" Объемы и площади поверхностей геометрических тел ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Как найти объем тела, образованного вращением кри-. волинейной трапеции вокруг ее основания? 2. Докажите формулу для нахождения объема шара. 3. Сформулируйте определение шарового сегмента. 4. ' Как найти объем шарового сегмента? 5. Сформулируйте определение шарового сектора. 6. .( Как найти объем шарового сектора? 7. .. Сформулируйте определение шарового слоя. Как найти его объем? Выполним вместе 1. Найдите объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой а, а двугранный угол при ребре основания а. РЕШЕНИЕ. Центр Oj шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте РО (рис. 261). Шар касается боковой грани РАВ в некоторой точке К, принадлежащей апофеме РМ. ОМ=-ОС = ^ 2 6 = АО^КМ, АОрМ ZO,MO=-ZPMO = -. ^ 2 2 Из прямоугольного находим: РАЗДЕЛ 4 2. Круговой сектор с углом а и радиусом г вращается вокруг радиуса, ограничивающего его. Докажите, что объем обра- 2 3 зованного тела равен — кг (1-cosa). ^ 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сектор ОАВ, у которого ОА = = ОВ = г и ZO = а, вращается вокруг прямой ОВ (рис. 262). Если С - проекция точки А на прямую ОВ, то если а < 90°, ВС = ОВ - ОС = г - гсоза. Если а > 90°, ВС = ВО + + ОС = г + rcos(180° - а) = г - гсоза. Если а = 90°, ВС = ОВ = г - гсоза. Следовательно, при любом значении угла а ВС = г -- гсоза = г(1 - соза). Тогда 2 2 2 V =—лг^ А=—лг^•г(1-соза)=—дг®(1-соза). Л 1332. 1333. 1334. 1335. 1336. 1337. ЗАДАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно Чему равен объем niapa радиуса 2 см? Как изменится объем шара, если его диаметр увеличить в 2 раза? Найдите объем щарового сегмента, высота которого равна 3 см, а радиус - 5 см. Найдите объем шарового сектора, если г = 3 см, Л = 1 см. Чему равен объем шара, вписанного в куб, объем которого равен 8 м®? Найдите площадь осевого сечения цилиндра, в который вписан шар объема ^л см®. 1338. Дан куб с ребром а. Найдите объем шара: а) вписанного в куб; б) описанного вокруг куба. 258 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1339. Найдите объем шара, вписанного в конус, образуюш;ая которого равна I и наклонена к плоскости основания под углом а. 1340. Докажите теорему Архимеда: объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра. 1341. Из цилиндра, высота которого равна диаметру, выточили шар наибольшего объема. Сколько процентов материала использовано? 1342. Из цилиндра, осевое сечение которого - квадрат со стороной 10 см, кузнец сковал шар. Найдите радиус этого шара. 1343. Из свинцового шара радиуса 10 мм делают цилиндрический диск толщиной 3 мм. Какой диаметр диска? 1344. Найдите объем шара, описанного вокруг конуса, образующая которого равна I и наклонена к плоскости основания под углом а. 1345. Центр шара радиуса г лежит на ребре прямого двугранного угла. Найдите объемы тел, на которые данный шар рассекается гранями двугранного угла. 1346. Из центра шара радиуса г проведены попарно перпендикулярные лучи QA, ОБ и ОС. Найдите объем меньшей части шара, ограниченной плоскостями углов АОВ, БОС и СОА. 1347. Шар радиуса г рассечен двумя параллельными плоскостями так, что диаметр, перпендикулярный к этим плоскостям, делится точками пересечения на три равные части. Найдите объемы этих частей шара. 1348. Плоскость, перпендикулярная к диаметру шара, разбивает этот диаметр на отрезки, пропорциональные числам 1 и 3. Найдите объемы образованных шаровых сегментов, если радиус шара равен 12 см. 1349. Найдите объем шарового слоя, площади оснований которого равны 225я см^ и 264я см^, а радиус шара - 17 см. 1350. Полукруг радиуса 9 см, разбитый радиусами на три равных круговых сектора, вращается вокруг диаметра. Найдите объемы тел, образованных вращением этих секторов. 1351. Сколько шариков диаметра 0,6 см можно отлить из куска свинца массой 1 кг? Плотность свинца 11,4 кг/дм®. 1352. Диаметр одного арбуза в 2 раза больше диаметра другого. Во сколько раз первый арбуз тяжелее второго? 1353. Пересыпая песок из полого полушара радиуса г в конус, радиус и высота которого равны г, ученик пришел к выводу, что объем полушара в 2 раза больше объема конуса. Соответствует ли результат этого эксперимента теории? 259 РАЗДЕЛ 4 1354. Масса полого чугунного шара 1,57 кг, его внешний диаметр 10 см. Найдите внутренний диаметр, если плотность чугуна 7,3 кг/дм^. 1355. Какой должна быть общая масса космического аппарата, в форме шара радиуса 1 м, чтобы он не тонул в воде? 1356. Из капли мыльного раствора диаметра 6 мм мальчик выдул пузырь диаметром 30 см. Найдите толщину пленки пузыря. 1357. Шар плавает в воде так, что погружена в воду только его половина. Найдите плотность материала, из которого изготовлен шар. 1358. Плоскость делит шар на два сферических сегмента, объемы которых 252я см® и 720л: см®. Найдите высоту большего сегмента. 1359. Найдите объем шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром а. 1360. Найдите объем шара, вписанного в правильный октаэдр с ребром а. 1361. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен F, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а. Найдите объем шара. 1362. Найдите объем шара, описанного вокруг правильной треугольной пирамиды с высотой h и плоским углом при вершине а. 1363. Найдите объем шара, описанного вокруг правильной усеченной шестиугольной пирамиды, у которой стороны оснований равны 3 см и 4 см, а высота 7 см. 1364. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите объем шара, если расстояние от центра шара до стороны основания равно л/б м, а до бокового ребра - >/з м. 1365. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Найдите отношение объема шара к объему пирамиды, если площадь боковой грани пирамиды равна площади основания. 1366. Отношение объема усеченного конуса к объему вписанного в него шара равно т. Найдите угол наклона образующей конуса к плоскости основания. 1367. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, в ' который вписан шар радиуса R, если его объем в k раз больше объема шара. 260 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1368. Шар радиуса 6 дм плавает в воде. Найдите высоту части шара, выступающей из воды, если плотность материала шара 0,7 г/см®. 1369*. Шар объема V касается 12 ребер куба. Найдите объем куба. 1370*. Шар касается одной грани куба и четырех ребер, которые принадлежат противоположной грани. Найдите отношение объема куба к объему этого шара. Упражнения для повторения 1371. Найдите отношение объемов конусов, один из которых описан вокруг правильной треугольной пирамиды, а другой вписан в эту пирамиду. 1372. Осевым сечением конуса является треугольник, у которого угол при вершине равен а, а радиус вписанной окружности г. Найдите объем конуса. 1373. Найдите объем тела, образованного при вращении прямоугольного ЛАВС (ZC = 90°), у которого ВС = а, ZA = 60°, вокруг прямой, которая проходит через вершину угла А перпендикулярно к: а) АС; б) AS; в) биссектрисе угла А. §35 ТЕОРЕМА ГУЛЬДИНА 0 Рационализировать вычисления объемов многих тел вращения дает возможность теорема Гульдина. У Теорема 34. Объем тела, образуемого вращением плоской • фигуры вокруг оси, которая лежит в ее плоскости и не пересекает ее, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной ее центром масс. Полное доказательство этой теоремы громоздкое. Мы докажем ее только для случая, когда фигура, которая вращается, симметрична относительно прямой или точки. Пусть дана фигура F, симметричная относительно прямой I, параллельной оси X и удаленной от этой оси на расстояние р (рис. 263). Если кривой АтВ отвечает заданная на 261 РАЗДЕЛ 4 ^ отрезке [а; &] функция г = Р + f(x), то кривой АпВ — заданная на этом же отрезке функция г = р - f(x). Поэтому объем V тела, образованного вращением фигуры F вокруг оси х, равен ь ь ь njip + f(x)fdx-njip-fix)^)dx = 4Kpjf(x)dx. а а а Ь Интеграл ^f(x)dx выражает площадь фигуры, ограничен- а ной линией АтВ и осью I, он равен 0,5S. Следовательно, объем рассматриваемого тела вращения V = 2лр5, где S - площадь плоской фигуры, которая вращается, 2пр - длина окружности, описанной центром масс G фигуры F. Если фигура F не выпуклая, ее можно разбить на части. Например, если S, S^, - площади фигур, ограниченных ли- ниями АВ^ВВ^, АВ^СВ^ и ВВ^СВ^В (рис. 264), то S = S^-и искомый объем V = 2npSj - 2xpSg = 2np(Sj - Sg) = 2npS. Если фигура вращения F центрально-симметричная, то проведем через ее центр симметрии прямые I и t, параллельные соответственно осям х и z (рис. 265). Пусть Вир- площадь фигуры F и расстояние от ее центра масс до оси х. Заменим в фигуре F ту ее часть, которая находится ниже прямой I, на симметричную ей относительно прямой ^. Получим новую фигуру Ej, симметричную прямой I. Объем тела, образованного вращением фигуры F^ вокруг оси х, равен 2прВ. Площади фигур F и F^ равны, равны и объемы тел, образованных вращением этих фигур вокруг оси X. Поэтому объем тела, образованного вращением фигуры F вокруг оси х, и ъ этом случае равен 2крВ. Следствие. Объем тора, радиусы которого риг (см. рис. 226), можно найти по формуле V = 2тг2рг2. 262 Объемы и площади поверхностей геометрических тел •• 9 1. 3. 3. 4. 5. 6. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Сформулируйте теорему Гульдина. Докажите теорему Гульдина для случая, если фигура, которая вращается, симметрична относительно прямой. Выполняется ли теорема Гульдина для случая, если фигура, которая вращается, не выпуклая? Докажите теорему Гульдина для случая, когда фигура F симметрична относительно точки. Чему равен объем тора? Как найти центр масс для: а) треугольника; б) квадрата; в) правильного шестиугольника? Выполним вместе Рис. 266 1. Найдите объем тела, образованного вращением круга радиуса г вокруг касательной к его окружности. РЕШЕНИЕ. На рисунке 266 изображено осевое сечение рассматриваемого тела вращения. Площадь круга, который вращается, равна яг^. Расстояние центра круга О от оси вращения равно г. Поэтому по теореме Гульдина объем тела V = яг^ • 2яг = 2я^г^. 2. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг прямой, которая параллельна стороне треугольника и находится на расстоянии d (d > а) огт нее. Найдите объем тела вращения. РЕШЕНИЕ. Возможны два варианта положения треугольника относительно прямой I, вокруг которой он вращается (рис. 267, а, б). Центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан. Медиана равностороннего тре- Ол/з а\1з угольника равна----, поэтому ОМ =----. Тогда ОК - расстояние от центра масс треугольника до прямой I - в первом слу- чае равно ан-----, а во втором случае 6 ч 263 РАЗДЕЛ 4 Зная, что площадь треугольника равна найти объем образованного тела. В первом случае V = a^^/з 2к d + а во втором случае V = Q-yfS ~6~ а^Тз = л (аЧ4ъ ^ 1 2 "^4 ОТВЕТ. V = n 'a^d^/3 ^ ' 2 "^4 2л или F = л можем \ aS] ) { аЧуЦ а® Л d 6 V > = п 2 4 ^ / ^ a^dyfs о® ~2 Т / ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 1374. Чему равна длина окружности, описанной центром масс квадрата при вращении этого квадрата вокруг его стороны, которая равна а? 1375. Чему равна длина окружности, описанной центром масс правильного шестиугольника при вращении этого шестиугольника вокруг стороны, которая равна а? 1376. Определите объем тела, образованного при вращении квадрата со стороной а вокруг его стороны. 1377. Чему равен объем тела, образованного вращением равностороннего треугольника со стороной а вокруг его стороны? 1378. Квадрат со стороной 2 см вращается вокруг прямой, которая параллельна его стороне и удалена от нее на 3 см. Найдите расстояние от этой прямой до центра масс квадрата и объем образовгшного тела вращения. Сколько решений имеет задача? 1379. 1380. 1381. Найдите объем тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h вокруг его основания. Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси, которая проходит через вершину острого угла параллельно его диагонали. Найдите объем тела вращения. Найдите объем тела, образованного вращением правильного шестиугольника со стороной а вокруг стороны. 264 Г Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1382. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата вокруг оси, которая проходит через вершину квадрата и параллельна его диагонали, если длина диагонали d. 1383. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата вокруг оси, которая проходит через вершину квадрата и перпендикулярна к его диагонали, если длина стороны квадрата а. Доопределите задачу. 1384. 1385. 1386. ’ 1387. 1388. 1389. 11 1390. 1391. * 1392. 1393. Найдите положение центра масс данного полукруга. Полукруг радиуса г вращается вокруг прямой, которая касается полуокружности и параллельна диаметру. Найдите объем тела вращения. Найдите объем тела, образованного вращением круга радиуса г = 25 см вокруг касательной к его окружности. Докажите теорему Гульдина для случая, когда фигура F - треугольник. Равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна Ь, а угол при вершине а, вращается вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения. ABCD - прямоугольник. Найдите отношение объемов тел, образованных вращением треугольников ABD и BCD вокруг прямой АВ. Обобщите задачу в случае параллелограмма. Найдите отношение объемов тел, образованных вращением треугольника вокруг каждой из его сторон, если они равны а, Ь, с. Параллелограмм вращается вокруг оси, которая проходит через вершину тупого угла параллельно диагонали. Найдите объем тела вращения, если площадь параллелограмма равна S, а большая диагональ d. ABCD - параллелограмм, АК || BD. Найдите отношение объемов тел, образованных вращением треугольников ABD и BCD вокруг прямой АК. Точки А(1; 1; 1), Б(2; 3; 1), С(2; 3; 4) - вершины треугольника. Найдите объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг прямой: а) АС; б) ВС, 1394. В треугольнике даны основание а и прилегающие углы а и 90° + а. Найдите объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания. Вычислите, если а = 18 дм, а = 41°. 265 РАЗДЕЛ 4 1395. Найдите объем тела, образованного вращением прямоугольника ABCD вокруг оси, которая проходит через его вершину А параллельно диагонали BD = d, если угол ADB равен а. 1396. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата вокруг оси, которая проходит через середины его смежных сторон. Сторона квадрата равна а. 1397. Найдите объем тела, образованного вращением куба вокруг его ребра, если длина ребра куба равна а. 1398. Найдите объем тела, образованного вращением правильного тетраэдра вокруг его ребра, если длина ребра равна а. 1399*. V - объем тела, образованного вращением куба вокруг его диагонали, длина которой равна d. Что больше: V vura—ndh Упражнения для повторения 1400. Основания цилиндра, осевое сечение которого - квадрат, являются сечениями шара. Найдите отношение объемов шара и цилиндра. 1401. Полукруг радиуса 9 см, который вращается вокруг своего диаметра, разбит радиусами на три круговых сектора с углами 60°, 90° и 30°, взятых в таком порядке. Найдите объемы тел, образованных вращением этих секторов. 1402. В правильную четырехугольную усеченную пирамиду, стороны оснований которой относятся как а : 6, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченной пирамиды и шара. §36 ПЛОи^ЩИ ПОВЕРХНОСТЕЙ Формулы для вычисления площадей боковых поверхностей цилиндра и конуса были выведены через развертки этих поверхностей (см. § 25 и § 26). Но развернуть сферу на плоскость невозможно. Поэтому обобщим понятие площади поверхности. Пусть дана некоторая поверхность F - плоская или кривая, но такая, что в каждой ее точке можно построить плоскость, касательную к данной поверхности. Именно такими являются поверхности шара, цилиндра, конуса, тора и других тел, которые рассматриваются в этом учебнике. Представим, что от каждой точки данной поверхности с одной от нее стороны 266 Объемы и площади поверхностей геометрических тел проведен отрезок длиной t, перпендикулярный к плоскости, касающейся поверхности в этой точке. Тело, образованное всеми такими отрезками, назовем слоем толщины t поверхности F (рис. 268). Наглядно - его можно представить как слой краски толщиной t, нанесенный на данную поверхность с одной стороны. Объем этого слоя может быть числовой характеристикой площади. Например, если на окрашивание шара идет краски в S раз больше, чем на окрашивание листа жести площадью 1 м^, то площадь поверхности шара равна приблизительно S м^. Если толщина слоя t, то на окрашивание листа и шара идет соответственно f м® и = St м® краски. Следовательно, V S=-^. Это равенство тем точнее, чем меньше t. Вот почему имеет смысл принять такое определение. Пусть Fj - объем слоя толщины t поверхности F. Тогда площадью данной поверхности будем называть предел отноше- F F ния —, когда t -> О, то есть S = lim—. t t-*o t Если поверхность F - плоский многоугольник или круг с площадью S, то соответствующий слой толщины t - призма или цилиндр объема F^ = St. В этом случае lim —= lim — = S. t—>0 t t—^0 t Для боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h объем слоя толщины t Fj = я(г + t)^h - nr^h = nht(2r + t). V. Поэтому ее площадь * ^ Для боковой поверхности конуса, образующая которого AD = I, а радиус HD = г, объем F^ слоя толщины t равен объему тела, образованного вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АЛ (рис. 269). Если ОМ - расстояние от прямой АН до середины диагонали АС, то по теореме Гульдина F^ = 2л • МО • AD • АВ = = 2л • МО • It. Если t о, то С -> D и МО 2 S = lim — = lim nh(2r +1) = 2nrh. Следовательно, S = lim— = lim 2nl ■ MO = nrl. t t-*o 267 РАЗДЕЛ 4 t Как видим, новое определение площади поверхности не противоречит предыдущей трактовке площади многоугольника, круга, боковой поверхности цилиндра и конуса. Но оно дает возможность вычислять площади и таких поверхностей, которые развернуть на плоскости невозможно. Теорема 35. Площадь сферы радиуса г равна 4тсг^. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана сфера радиуса г (рис. 270). Слой толщины t для нее - тело, которое находится между двумя концентрическими сферами радиусов г и г + ^. Его объем Vf дг® =—-l-f®). 3 3 3 Следовательно, площадь поверхности данной сферы S = lim— = lim—д(3г^ 3/t) = 4пг^. ^—♦0 t >0 3 Теорема доказана. Рис. 270 Рис. 271 Формулу для нахождения площади сферического сегмента можно вывести аналогично. Пусть сферический сегмент - поверхность, образованная вращением дуги АВ сектора ОАВ вокруг прямой ОВ (рис. 271). Если ОВ = г, ВС = h, АА^= t, то, как следует из задачи 2 на с. 258: 2 2 Vf =—7c(r + i)®(l-cosa)—дг®(1-соза) = 3 3 2 =—л:(1 - cos aX3r^f -i- 3rt^ + t^). Следовательно, V 2 S = lim—= lim—7c(l-cosa)(3r^ +3rt + t^) = t-40 ^ (-^0 3 = 2nr^(l - cosa) = 2лгЛ. Вычислим еще площадь поверхности тора, радиусы которого р и г. Объем слоя толщины t для данного тора равен разности объемов двух торов: = 2д2р(г + ty - 2д2рг2 = 2л^р(2П + t^). 268 Объемы и площади поверхностей геометрических тел Поэтому площадь поверхности данного тора S = lim— = lim 2л^р(2г +1) = 4л^рг. (->0 t t-^o ^ Следовательно, площади сферы, сферического сегмента и тора можно вычислять по формулам: S. = 4лг^, = 2nrh, S = 4л^рг. cm ' сегм ' т ^ ••• ♦ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ Что называют площадью поверхности F7 Выведите формулу для нахождения площади боковой поверхности цилиндра. Как найти площадь боковой поверхности конуса? По какой формуле вычисляют площадь сферы? Докажите формулу для нахождения площади сферы. Как найти площадь сферического сегмента? По какой формуле находят площадь поверхности тора? и Выполним вместе 1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно Ь и наклонено к плоскости основания под утлом а. Найдите площадь сферы, описанной вокруг пирамиды. РЕШЕНИЕ. Высота РО^ пирамиды PABCD лежит на диаметре PPj описанной сферы (рис. 272). Угол РАР^ прямой, так как опирается на диаметр окружности, проходящей через точки А, Р и Ру Углы РР^А и РАО^ равны, поскольку каждый из них дополняет угол АРР^ до 90°. Если радиус сферы равен г, то PPj = 2г. Из прямоугольного треугольника PAPj имеем: АР Ь Ь 2г = - г = - sinZPPjA sin а' 2 sin а Следовательно, площадь сферы 5 = 4лг^ =4л 4sin^a sin^a ОТВЕТ. S = Tib . 9 • sin а Рис. 272 269 РАЗДЕЛ 4 2. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, вписан в шар радиуса R. Найдите площадь поверхности тела, ограниченного боковой поверхностью цилиндра и шаровым поясом, который находится между плоскостями оснований цилиндра. РЕШЕНИЕ. Пусть радиус основания цилиндра равен г (рис. 273). По свойству диагонали квадрата BD = Ad42, т. е. 2К = 2гу/2, откуда Ryfz г~ г= ^ . Тогда АВ-Ел12 и площадь боковой поверхности цилиндра: 2п^^ ■ r42 = 2тсД^. 2 Чтобы найти площадь поверхности шарового пояса, найдем сначала площади поверхностей сферических сегментов, которые от шара отсекают плоскости оснований цилиндра. „ Дл/2 „f2-^/2 Поскольку высота сегмента равна R- ■ = R то =2nR R сегм 2-^/2 = тtД2(2-^/2). Найдем площадь поверхности шарового пояса: S = S -2S ^=4tiR^-2-nR^(2-sf2] = 2TiR^{2-2 + yf2] = 2^TiR^. Л ш сегм \ / \ / Тогда S = 2nR^ -i- 2-j2nR^ = 2%R^ (l + V2). Jl ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выполните устно 1403. Найдите площадь сферы радиуса 5 см. 4 1404. Объем шара равен —я см®. Чему равна площадь его поверхности? ^ 1405. Найдите радиус сферы, если ее площадь равна Збя м®. 1406. Найдите площадь поверхности сферы ж® + у® -Н г® = 5. 1407. Объемы двух шаров относятся как т : п. Как относятся площади их поверхностей? 1408. Найдите площадь поверхности шарового сегмента радиуса г и высоты h = 0,5г. 270 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1409. Шар вписан в цилиндр. Найдите отношение площади поверхности шара к площади боковой поверхности цилиндра. 1410. В каком случае расходуется больше материала: на никелирование одного шара диаметром 8 см или на никелирование 15 шаров диаметром 2 см каждый? 1411. Найдите площадь сферы - 4х + + 2у + = 4^. 1412. Точки А(2; 0; 3) и В(0; 4; 7) - концы диаметра сферы. Найдите ее площадь. 1413. Сфера с центром А(1; 1; 1) проходит через точку М(2; -1; 8). Найдите площадь сферы. 1414. Как относятся площади сфер, вписанной в куб и описанной вокруг него? 1415. Найдите площадь сферы, описанной вокруг прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 3 дм, 4 дм и 5 дм. 1416. Найдите площадь сферы, вписанной в правильную пирамиду, апофема которой равна т и наклонена к плоскости основания под углом а. Вычислите, если m = 15 см, а = 60°. 1417. У правильной треугольной пирамиды сторона основания равна а, а двугранный угол при ребре основания а. Найдите площадь сферы, вписанной в пирамиду. 1418. Центр шара, вписанного в правильную четырехзч'ольную пирамиду, делит ее высоту в отношении 5:3. Найдите отношение площади поверхности шара к площади боковой поверхности пирамиды. 1419. Найдите поверхность сферы, вписанной в правильный октаэдр, площадь поверхности которого равна 72>/з см^. 1420. Из центра О сферы радиуса г проведены три попарно перпендикулярных луча ОА, ОВ, ОС. Найдите площадь меньшей части сферы, ограниченной плоскими углами АОВ, вое и СОА. 1421. Сферу радиуса г пересекает плоскость, удаленная от центра на расстояние d = — г. Найдите площади сферических 3 сегментов. 1422. Найдите площадь поверхности шарового сегмента радиуса г и высоты Л = 0,5г. 1423. Найдите площадь поверхности выпуклого шарового сектора, если его радиус г, а высота конуса h. 1424. Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением круга радиуса г вокруг его касательной. 1425. Радиусы сечений сферы двумя перпендикулярными плоскостями равны 3 см и 4 см. Найдите площадь сферы, если сечения имеют только одну общую точку. 271 РАЗДЕЛ 4 1426. В шаре радиуса R проведены два параллельных сечения, которые делят перпендикулярный к ним диаметр на части, пропорциональные числам 1, 2 и 3. Найдите площадь поверхности шарового слоя, который находится между плоскостями этих сечений. 1427. Два шара радиусами 8 см расположены так, что центр одного лежит на поверхности второго. Найдите плйщадь поверхности тела, являющегося общей частью этих шаров. 1428. Основание конуса является сечением шара радиуса R, а его вершина находится на поверхности шара. Найдите площадь поверхности тела, ограниченного боковой поверхностью конуса и сегментной поверхностью шара, которая содержит вершину конуса, если угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°. 1429. Как относятся площади сфер, вписанной в правильный октаэдр и описанной вокруг него? 1430. Найдите площадь поверхности шара, описанного вокруг пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной 6 см, а одно из боковых ребер равно 4 см и перпендикулярно к плоскости основания. 1431. Вокруг правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой и высота равны 6 см, описана сфера. Вторая сфера проходит черюз центр первой и все вершины основания пирамиды. Найдите отношение площадей поверхностей сфер. 1432. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине пирамиды а. Найдите площадь поверхности вписанного шара. 1433. Отношение объема конуса к объему вписанного в него шара равно 8:3. Найдите отношение площадей их поверхностей. 1434. В вершинах правильного тетраэдра с ребром а расположены центры четырех равных сфер, которые попарно касаются друг друга. Найдите площадь поверхности сферы, которая касается всех этих сфер. 1435. Докажите, что объемы шара и многогранника, описанного вокруг него, относятся как площади их поверхностей. 1436. Центр сферы радиуса г лежит на ребре двугранного угла. Найдите площадь части сферы, которая вырезается гранями двугранного угла, если его линейный угол равен л°. 1437. Найдите площадь части сферы радиуса г, которая вырезается гранями прямого трехгранного угла, если его вершина лежит в центре сферы. 272 Объемы и площади поверхностей геометрических тел 1438. Найдите площадь поверхности велосипедной камеры, радиусы которой равны 30 см и 30 мм. 1439. В шар вписана правильная треугольная призма ABCAjBjCj, у которой вершина А удалена от плоскости А^ВС, образующей с плоскостью основания угол 45°, на а. Найдите площади поверхностей сегментов, на которые шар разбивается плоскостью боковой грани призмы. 1440. Полушар и конус с высотой 20 см и радиусом основания 15 см имеют общее основание. Найдите площадь поверхности части полушара, которая находится: а) снаружи конуса; б) внутри конуса. 1441. Радиусы сегментних поверхностей двувыпуклого стекла равны 10 см и 17 см, а расстояние между их центрами 21 см. Найдите площадь поверхности стекла. 1442. Найдите площадь поверхности выпукло-вогнутой линзы, у которой радиусы поверхностей равны 25 см и 29 см, а расстояние между центрами 6 см. В 1443. В усеченный конус с площадью боковой поверхности Q вписан шар с площадью поверхности q. Найдите угол между образующей и плоскостью большего основания усеченного конуса. 1444. Поверхность шара, вписанного в правильную треугольную усеченную пирамиду, относится к поверхности пирамиды как л:6л/3. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды. 1445*. Докажите, что площадь поверхности конуса больше площади поверхности вписанного в него шара. 1446. Определите радиусы двух шаров, которые, пересекаясь, образуют двувьшуклую линзу, когда известно, что толщина линзы 2а, площадь ее поверхности S и диаметр линзы 2г. •X Упражнения для повторения 1447. Радиусы двух шаров пропорциональны числам 1 и 3, а разность их объемов равна 936л см®. Найдите объемы этих шаров. 1448. Шар вписан в прямой параллелепипед, диагонали основания которого равны ряд. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. 1449. Периметр прямоугольного треугольника равен 16 см, а один из острых углов а. Найдите объем тела, образованного при вращении треугольника вокруг гипотенузы. ^^ЧЗ«от»(г1уа. 11 U (rus) 273 PABCD - правильная пирами- AB = BC = CD^a, ZSAO =ZSBO = ZSCO = ZSDO = p, Объемы и площади поверхностей геометрических тел ш • - 00, II (АВС), ZA0D = а, ZAOS = р. Найдите V. OABCDOy- правильный октаэдр. Найдите F : V. 18* I РАЗДЕЛ 4 • > ( • ■ • ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Найдите площадь поверхности шара, вписанного в куб, объем которого равен 27 см®. а) 36л см®; . б) 9л см®; в) Зл см®; г) 12л см®. Найдите объем правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно а. 3^, 4 2 12 В тетраэдре три ребра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны и равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите объем тетраэдра. а) 60 см®; б) 20 см®; в) 10 см®; г) 27 см®. Найдите площадь поверхности сферического сегмента, у которого R = 5 см, h = 0,4J?. а) Юл см®; б) 20л см®; в) 200л см®; г) 4л см®. Два цилиндра имеют равные высоты, а площадь боковой поверхности первого в 3 раза больше площади боковой поверхности второго. Найдите отношение объемов этих цилиндров. а) 3 : 1; б) 6 : 1; в) 9 : 1; г) 27 : 1. Сторона основания правильной четырехзтольной пирамиды равна 4 см, а высота - 6 см. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем образованной усеченной пирамиды, а) 24 см®; б) 20 см®; в) 28 см®; г) 84 см®. Найдите объем цилиндра, в который вписан шар радиуса R. а)лД®; 6)2xi?®; в)-тсД®; г) ^лД^ 3 3 Найдите объем тела, образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой с вокруг прямой, содержащей гипотенузу. 3 8' 24 в’ г) ПС и Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и середины сторон нижнего основания являются вершинами пирамиды. Найдите ее объем, если объем призмы равен V. а)-1^; 6)-V; b)-V; r)-V. 2 3 ' 6 ' 3 276 Объемы и площади поверхностей геометрических тел ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является правильным треугольником. 2°. Найдите объем призмы, вписанной в шар радиуса 7 см, если основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами б см и 8 см. 3°. Определите площади поверхностей частей шара радиуса 13 см, на которые он разбивается секущей плоскостью площадью 25л см^. 4°. Прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем и площадь поверхности образованного тела вращения. 5". Найдите объем конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 60°, а расстояние от центра основания конуса до его образующей - I. 6*. Радиусы оснований двух цилиндров пропорциональны числам 2 и 3. Найдите отношение объемов этих цилиндров, если площади их боковых поверхностей равны. 7*. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в шар радиуса R, если боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 45°. 8*. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см, а боковое ребро равно 4 см и образует со смежными сторонами основания углы по 60°. Найдите объем параллелепипеда. 9". В прямую призму, основанием которой является равнобедренная трапеция, вписан куб таким образом, что его вершины лежат на серединах сторон оснований призмы. Найдите объем призмы, если площадь поверхности куба S. 10**. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 5 см, а угол между диагоналями осевого сечения 60°. Найдите объем усеченного конуса. 11**. В полушар вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение объема этого цилиндра к объему полушара. 12**. На плоскости лежат три одинаковых шара радиуса i?, каждый из которых касается двух других. Найдите объем четвертого шара, который лежит на той же плоскости и касается всех трех шаров. 277 £,.Г^ РАЗДЕЛ 4 ЕдГ, Ч У'' ГЛАВНОЕ В РАЗДЕЛЕ 4 1. Объем - количественная характеристика тела, которая удовлетворяет таким условиям: • каждое тело имеет определенный объем, выраженный положительным числом; • равные тела имеют равные объемы; • если тело разбито на несколько частей, то его объем равен сумме объемов всех этих частей; • объем единичного куба равен единице. 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: V = аЬс. Объем призмы (и цилиндра) равен произведению площади основания на высоту: V = Sh. Объем цилиндра V = nr^h. 3. Объем пирамиды (и конуса) равен трети произведения площади основания на высоту: V = —Sh. Объем конуса V=—nr^h. 3 3 4. Объем усеченной пирамиды (и усеченного конуса), площади основания которой S и S,, а высота А, можно опре- делить по формуле V = -A(S + yJs^ + Si). 3 S- Объем шара радиуса г определяется по формуле V =—пг^, 3 Объем шарового сегмента радиуса г и высотой h: V=nh^ir-~). 3 Объем шарового сектора радиуса г и высотой Л: V = -Tii^h. 3 6. Площадь поверхности цилиндра: конуса: усеченного конуса: шара: сферического сегмента: тора: S, „ = 2лгЛ, б Ц ’ = 2nr{r + Л); Sg ^ = nrl, = nrir + 1); ^шара = 471^2; ^сегм = 2лгЛ; S = 4л2рг. 7. Объемы подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных элементов. 278 Задачи для повторения Задачи ДЛЯ повторения Существует ли многогранник, который одной плоскостью рассекается на пять многогранников? Нарисуйте многогранник, отличный от куба, все грани которого - квадраты. Докажите, что не существует многогранника, каждая грань которого имеет больше пяти сторон. Докажите, что не существует многогранника, каждый многогранный угол которого имеет больше пяти граней. Сторона основания правильной четырехугольной призмы а, а высота h. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, которая делит двугранный угол при боковом ребре в отношении 1:2. 1455. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30°. Найдите угол наклона ее к основанию. 1456. Дано изображение куба. Постройте общий перпендикуляр для диагонали этого куба и скрещивающегося с ней ребра. 1457. Сторона основания правильной четырехугольной призмы 10 см. Найдите расстояние от бокового ребра до скрещивающейся с ним диагонали призмы. 1458. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15 см, высота призмы - 20 см. Найдите расстояние от стороны основания до скрепщвающейся с ней диагонали призмы. 1459*. ABCZlAjBjCjDj - куб. Найдите угол между плоскостями AAjCj и ABCj. 1460*. Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если ребро куба равно а. 1461. На поверхности куба найдите точки, равноудаленные от концов одной из его диагоналей. 1462. На поверхности куба найдите три точки, из которых его диагональ видно под наименьшим углом. 1463. Докажите, что когда все ребра параллелепипеда касаются сферы, то параллелепипед - куб. 1464. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол при боковом ребре 120°. Найдите высоту пирамиды. 1465. Каким может быть двугранный угол при боковом ребре правильной пятиугольной пирамиды? 279 ..•'ioH 1466*. Ha грани ABC правильного тетраэдра ABCD дана о 5 точка М. Вычислите DM, если МА = —, МВ = —а, DA = а. 2 6 1467*. Ребра тетраэдра, которые выходят из вершины А, попарно перпендикулярны и равны а, Ь и с. Найдите длину ребра куба, вписанного в тетраэдр так, что одна из его вершин совпадает с вершиной А. 1468. Докажите, что квадрат площади любой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей остальных его граней без удвоенных щюизведений площадей этих граней, взятых попарно, на косинусы двугранных углов между ними. 1469*. Зная площади оснований усеченной треугольной пирамиды, найдите площадь треугольника с вершинами в точках пересечения диагоналей ее боковых граней. 1470*. В пространстве расположены три правильных пятиугольника ABCDE, АЕКРТ, АТНМВ. Докажите, что прямые АС, АК и АН попарно перпендикулярны. 1471. Можно ли через точку в пространстве провести шесть разных прямых так, чтобы зп'лы между любыми двумя из них были равны? 1472. Угол развертки боковой поверхности конуса равен 120°, а образующая 15 см. Найдите радиус основания. 1473. Вписанный в тетраэдр ABCD шар касается его граней АВС и CDB соответственно в точках М тл К. Докажите, что ZAMB = ZCKD. 1474. Найдите геометрическое место проекций данной точки пространства на плоскости, которые проходят через другую данную точку. 1475. Четыре плоскости, пересекаясь между собой, образуют тетраэдр. Сколько существует сфер, каждая из которых касается всех четырех плоскостей? 1476. Найдите геометрическое место точек пространства, расположенных в данной плоскости и равноудаленных от двух данных точек. 1477. Найдите множество прямых в пространстве, равноудаленных от двух данных точек. 1478. Постройте сферу, которая проходит через две данные точки и касается двух данных плоскостей. 1479. Найдите геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную точку. 1480. Н - точка пересечения всех высот тетраэдра ABCD, а О -центр сферы, описанной вокруг него. Докажите, что ОН = ЦоА + ОВ+ОС + ОВ). 280 Задачи для повторения 1481. 1482* 1483* 1484*, 1485. I486*, 1487*. 1488. 1489. 1490. 1491*. 1492*. 1493. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус сферы, которая проходит через вершину А и центры граней ABD, АВС, ACD. .Каждое из четырех звеньев замкнутой ломаной касается сферы. Докажите, что все точки касания лежат в одной плоскости. .На сфере даны точки А, В, С. Нгшдите на сфере такие точки М, чтобы сумма МА^ + МВ^ + МС^ была: а) наибольшей; б) наименьшей. . Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки сферы радиуса г до вершин правильного треугольника, описанного вокруг ее экватора, постоянна. Найдите эту сумму. Найдите сумму квадратов длин всех ребер и диагоналей правильного икосаэдра, если радиус описанной вокруг него сферы равен г. , В сферу радиуса г вписаны два куба. Найдите сумму квадратов расстояний от вершин одного куба до всех вершин второго. , Сфера касается трех граней куба, имеющих общую вершину, и делит каждое из трех ребер, исходящих из противоположной вершины, на части 2 см и 8 см. Найдите радиус сферы. Из всех правильных четырехугольных призм данного объема найдите призму, площадь поверхности которой наименьшая. Из всех правильных четырехугольных призм, вписанных в сферу радиуса г, найдите призму наибольшего объема. Вычислите ее объем. На скрещивающихся ребрах параллелепипеда даны две точки. Проведите через них плоскость, которая делит параллелепипед на два многогранника равных объемов. Ребро куба равно 1. Диагональ АС^ куба является осью вписанной в куб правильной шестиугольной призмы. Найдите объем призмы, если ее высота в 3 раза меньше диагонали куба. Из данного деревянного куба вытесана правильная шестиугольная призма наибольшего объема. Какой процент материала использован? В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см, противоположное ей боковое ребро - 18 см; каждое из остальных четырех ребер равно 17 см. Найдите объем этой пирамиды. 281 '' 5.<< SX'* 1494. Докажите, что каждая плоскость, которая проходит через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равные по объему части. 1495*. В треугольной пирамиде ABCD даны два ребра АВ = = 6 см, CD = 8 см, угол между ними ф = 60° и расстояние 5 см. Найдите объем пирамиды. 1496. Секущая плоскость делит боковые ребра треугольной пирамиды в отношениях: OTj : п^, т,: п^, : Лд (считая от вершины). Найдите отношение odbeMOB образованных многогранников. 1497. Докажите, что если Л^, Лд, Лд, - высоты тетраэдра, а „ ^ 11111 г - радиус вписанной сферы, то — + —+— + — = —. *1 *2 Лз Л4 г 1498. Точки пересечения медиан граней тетраэдра являются вершинами другого тетраэдра. Найдите отношение объемов этих тетраэдров. 1499. Докажите, что когда все высоты тетраэдра равны, то все его плоские углы острые. 15(Ю. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания правильной пирамиды до плоскостей боковых граней постоянная. 1501. Докажите, что если все грани тетраэдра равны, то сумма расстояний от любой его внутренней точки до граней постоянная. 1502. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите радиус сферы, касающейся всех его ребер. 1503. Докажите, что объем конуса равен произведению площади его поверхности и одной трети радиуса вписанного шара. Обобщите задачу. 1504. Докажите, что объем конуса во столько раз больше объема вписанного в него шара, во сколько раз поверхность конуса больше поверхности шара. 1505. В треугольнике даны основание а и прилегающие к нему углы а и а + 90°. Найдите объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты. 1506. Отношение высоты конуса к радиусу описанного вокруг него шара равно п. Найдите отношение объемов этих тел. При каких п задача имеет решения? 1507. Из всех конусов данного объема найдите конус, площадь боковой поверхности которого наименьшая. 1508. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади основания конуса как 4:3. Найдите угол при вершине конуса. 1509. В правильной четырехугольной пирамиде центр описанного шара и центр шара, который касается всех ребер 282 Задачи для повторения О пирамиды, совпадают. Найдите отношение объема пирамиды к объему вписанного в него шара. 1510. Покажите, что объемы призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента h можно вычислять по формуле Симпсона У =—(S^ +4Sg -f-Sg), 6 где Sj и S2 - площади оснований, - площадь среднего сечения, а Л - высота тела. 1511. Призматоидом называется многогранник, у которого две грани - основания - произвольные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а каждая из остальных граней - треугольник или четырехугольник, все вершины которого принадлежат основаниям. Докажите, что объем призматоида можно вычислять по формуле Симпсона. 1512. Посуда имеет форму перевернутого конуса, осевое сечение которого - равносторонний треугольник. В нее налита вода так, что когда бросили в посуду металлический шар радиуса г, поверхность воды оказалась касательной к шару. На какой высоте будет вода, если шар вынуть? 1513. Если для человека ростом 165 см нормальной считается масса тела 57 кг, то какая средняя нормальная масса для человека ростом 170 см? 1514. В Антарктиде около 30 млн км® льда. На сколько метров поднялась бы вода в океанах, если бы он весь, растаял? Радиус Земли равен приблизительно 6000 км. 1515. Из всех конусов данного объема найдите конус, площадь поверхности которого наименьшая. 1516. Какой наименьший объем может иметь конус, описанный вокруг шара радиуса г? 1517. Отношение высоты конуса к радиусу описанного шара равно п. Как относятся объемы этих тел? При каких п задача имеет решение? 1518. Внутри куба с ребром а находится конус, вершина которого совпадает с вершиной куба, а окружность основания касается трех граней куба, которые сходятся в противоположной вершине. Образующая конуса образует с его осью угол а. Найдите объем конуса. 1519. Найдите отношение объемов правильного октаэдра и куба, вершинами которого являются центры граней такого октаэдра. 1520. Тор касается плоскости по окружности радиуса г. Касательный к этой плоскости шар радиуса г касается тора также по окружности. Найдите длину этой окружности и объем тора. 283 ВОПРОСЫ и ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1. Что такое прямоугольная система координат в пространстве? 2. Докажите теорему о квадрате расстояния между точками. 3. Выведите уравнение сферы; плоскости; прямой. 4. В чем суть координатного метода решения задач? 5. Что такое вектор? Какие бывают векторы? 6. Что такое координаты вектора? Объясните запись Q — (н^; Hg* ^3)* 7. Сформулируйте правила сложения векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника, параллелепипеда). 8. Что называют разностью векторов? Как ее найти? 9. Как умножить вектор на число? Докажите свойства этого умножения. 10. Что значит разложить вектор по трем некомпланарным векторам? 11. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. 12. Докажите теорему о центроиде п точек. Сформулируйте следствия из нее. 13. В чем суть векторного метода решения задач? 14. Что такое движение? Какие бывают движения пространства? 15. Докажите важнейшие свойства движений пространства. 16. Докажите, что параллельный перенос, поворот, симметрии относительно точки и плоскости - движения. 17. Что такое композиция движений? Приведите примеры. 18. Что такое центр симметрии; плоскость симметрии фигуры? 19. Какие геометрические фигуры называют равными? 20. Какие фигуры называют гомотетичными? Подобными? 21. Сформулируйте важнейшие свойства гомотетии. 22. Дайте определение правильного многогранника. Назовите все пять видов правильных многогранников. 23. Перечислите элементы симметрии куба. 24. Что такое двугранный угол; многогранный угол? 25. Сформулируйте и докажите пространственную теорему Пифагора. 26. Сформулируйте теорему косинусов для трехгранного угла. 27. Что такое геометрическое тело; поверхность тела? 28. Сформулируйте определение многогранника. Назовите элементы многогранника. 29. Какие многогранники называют выпуклыми? 284 Вопросы и задания для повторения 30. Сформулируйте теорему Эйлера о многогранниках. 31. Сформулируйте определение призмы. Какими бывают призмы? 32. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности прямой призмы. 33. Что такое параллелепипед? Какими бывают параллелепипеды? 34. Докажите теорему о пересечении диагоналей параллелепипеда. 35. Что такое пирамида? Перечислите элементы пирамиды. 36. Дайте определение правильной пирамиды. 37. Докажите теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды и правильной усеченной пирамиды. 38. Сформулируйте и докажите теорему о сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию. 39. Что такое тело вращения? Приведите примеры. 40. Дайте определение цилиндра. Назовите элементы цилиндра. 41. Дайте определение конуса. Назовите элементы конуса. 42. Как вычисляют площади поверхности цилиндра; конуса? 43. Какими бывают конические сечения? 44. Дайте определение шара; сферы. Назовите их элементы. 45. Как могут быть расположены две сферы? Сфера и плоскость? 46. Докажите теорему о касательной плоскости к шару. 47. Дайте определение шара, вписешного в многогранник, и шара, описанного вокруг многогранника. 48. Дайте определение призмы, вписанной в цилиндр, и пирамиды, вписанной в конус. 49. Перечислите свойства объема. 50. Чему равен объем призмы? 51. Чему равен объем цилиндра? 52. Как найти площадь поверхности призмы? А пирамиды? 53. Как с помощью интеграла найти объем тела? 54. Как найти объем пирамиды? 55. Как найти объем усеченной пирамиды? 56. Как найти объем конуса? А усеченного конуса? 57. Как найти площадь поверхности цилиндра, конуса? 58. Как относятся объемы подобных многогранников? 59. Как найти объем шара? А площадь сферы? 60. Как найти объем шарового: а) сегмента; б) сектора; в) слоя? 285 Элементы геометрии тетраэдра paecj^ik « Тетраэдр и шар. г’-"Л, '• Рав»1С>граммыр геграэдЩы^;'-^ ‘ ;л1‘\ «* ’ " -'-ШШ ■.--^ Г ■ 'J ^ -iTJ / , • .^1 ч Vj ОЖЕНИЯ Элементы геометрии тетраэдра [§37 Г- ТЕТРАЭДР И ШАР 1. Шар называется описанным вокруг тетраэдра, а тетраэдр вписанным в шар, если все вершины тетраэдра лежат на поверхности этого шара. Вокруг каждого тетраэдра можно описать один шар. Действительно, множеством точек, равноудаленных от трех вершин В, С и D тетраэдра, является прямая ООд, перпендикулярная к плоскости треугольника BCD и проходящая через центр описанной вокруг него окружности (рис. 274). Множеством точек, равноудаленных от вершин А я В, является плоскость со, которая перпендикулярна, к р ребру АВ и проходит через его середину К. Плоскость со обязательно пересечет прямую 00^, ведь АВ не лежит в плоскости BCD, следовательно, со не параллельна ОО^. Пусть со и ОО^ пересекаются в точке О. Тогда ОА = ОВ = = ОС = 0D, следовательно, все вершины тетраэдра ABCD лежат на поверхности шара с центром О радиуса ОА. Такой шар единственный, потому что прямая ООд и плоскость со пересекаются только в одной точке. 2. Шар называется вписанным в тетраэдр, а тетраэдр описанным вокрзт шара, если все грани тетраэдра касаются этого шара. В каждый тетраэдр можно вписать шар, и только один. Как известно, множеством точек, равноудаленных от плоскостей граней АВС, ABD и ACD тетраэдра ABCD, является биссектриса АА^ его трехгранного з^ла А (рис. 275), а множеством точек, равноудаленных от плоскостей граней ABD и BCD, является биссекторная плоскость А BLD двугранного угла при ребре BD. Эта плоскость пересекает прямую АА^ в некоторой точке I. Точка I равноудалена от всех граней тетраэдра, следовательно, она является центром вписанного в этот тетраэдр шара. Существует только одна точка пересечения прямой AAj и плоскости BLD. Следовательно, вписанный в тетраэдр шар существует только один. рцо. 275 -у-------PC 287 I ПРИЛОЖЕНИЯ Определим радиус г вписанного шара. Для этого соединим его центр со всеми вершинами данного тетраэдра и тем самым разделим тетраэдр на четыре меньших: IABC, IADC, IABD, IBCD (рис. 276). Эти тетраэдры имеют равные высоты h^ = h^ = = hjj = г. Най- дем объемы тетраэдров: Г Г Г ^lABC ^lABD ^lACD = Рис. 276 V — —S ^ IBCD “ 3^-^ Сумма их равна объему данного тетраэдра: §(Sa+Sb + Sc + Sx,) = F, откуда г = • 3F Так выражается радиус вписанного в тетраэдр шара через объем этого тетраэдра и его площадь поверхности. Радиус г вписанного шара можно выразить и через высоты *в’ ^с> тетраэдра: г hj^ hg Hq hj) • Выведите последнее равенство из предыдущего. 3. Точки, в которых вписанный в тетраэдр шар касается трех его граней, лежат в плоскости, перпендикулярной к биссектрисе трехгранного угла, образованного этими гранями. Пусть вписанный в тетраэдр ABCD шар с центром I (рис. 277) касается граней ADC, ABD, АВС соответственно в точках Т^, Т^, Tj^. Докажем, что плоскость T^T^Tj^ перпендикулярна к прямой IA. Отрезки АТ^, АТ^, ATj^ равны между собой как касательные к шару, прюведенные из одной точки А. Поэтому треугольники А1Т^, А1Т^, AITjj равны (по трем сторонам). Перпендикуляры, проведенные из точек Т^, Т^, Tjj к биссектрисе AI тетраэдра, пересекают ее в одной и той же точке Q. Тогда луч AI перпендикулярен QT^, QT^ и Из этого следует, что АГ 1 ( ГдТ^Гд). 288 Элементы геометрии тетраэдра Рис. 277 Рис. 278 4. Шар, который касается одной грани тетраэдра и продолжений трех других его граней, называется вневписанным шаром тетраэдра. Проведем биссектрису CCj трехгранного угла С тетраэдра ABCD и биссекторную плоскость двзп’ранного угла, смежного с двугранным углом при ребре BD этого тетраэдра (рис. 278). Они пересекаются в некоторой точке (доказывать этот оче-ВР1ДНЫЙ факт не будем). Точка одинаково удалена от плоскостей всех четырех граней тетраэдра, т. е. является центром шара, касающегося всех этих плоскостей. Это и является одним из вневписанных шаров тетраэдра АВС£>. Будем называть' его вневписгшным шаром тетраэдра ABCD при грани ABD. Аналогично можно построить вневписанные шары при трех других гранях тетраэдра. Каждый тетраэдр может иметь четыре вневписанных шара. Чтобы вывести формулы для определения радиусов г^, г^, Гр, Гд вневписанных шаров, соединим центр одного из них, например /р, со всеми вершинами тетраэдра. Тогда объем данного тетраэдра будет равен: V = ^S. +^S„+^Sn-^S, ’С» откуда ^с = 3V Формулы ДЛЯ определения радиусов других вневписанных шаров аналогичны. Например: 3V 'А~ г л =• -SA+Sg+Sc-i-Sj)' 194)eom^i1ya. 11 U (rut) 289 I ПРИЛОЖЕНИЯ 5. Кроме вневписанных шаров, в тетраэдре рассматривают еще шары, которые касаются продолжений всех четырех граней. Если продолжить каждую грань тетраэдра ABCD, например, за ребро BD (рис. 279), то получим «клин* BDBjBgDjDg. В некоторых случаях в такой «клин* можно вписать шар так, чтобы он касался всех четырех граней «клина*. Этот шар называют вневписанным шаром второго рода. Выведем формулы для вычисления радиусов таких шаров. Соединим центр одного из них со всеми вершинами данного тетраэдра. При этом образуются тетраэдры /^^АВС, IgjjBCD. Легко понять, что разность между суммой объемов двух первых и суммой объемов двух последних равна объему данного тетраэдра V. Поэтому, обозначив радиус рассматриваемого шара с центром буквой получим: откуда 3F Из ЭТОГО равенства следует, что существует и является положительным числом, если -I- + S^. Поэтому если при одном ребре тетраэдра есть вневписанный шар второго рода, то при противоположном к нему ребре такого шара не будет. Следовательно, тетраэдр может иметь не более трех вневписанных шаров второго рода. Однако их может быть и два, и один, и вовсе не быть. Например, в правильном тетра- эдре таких шаров нет, так как для него 8^ 4-следовательно, не существует. S^ = 0, 6. Можно ли построить шар, который касался бы всех шести ребер тетраэдра? Не всегда. Предположим, что для тетраэдра ABCD такой шар существует. Пусть он касается ребер в точках К, L, М, N, Е, F (рис. 280). Тогда АВ + СП = АЛГ+ КВ-h СМ MD, АС + BD =AL -Ь LC -I- ВЛГ + ND, (*) AD -{■ СВ = АЕ ED BF -h FC. 290 Элементы геометрии тетраэдра Но, как известно, отрезки касательных к шару, проведенных из одной точки, равны между собой. Нгшример, АК = = АЕ = AL, ВК = BN = BF и т. д. Таким образом, правые части равенств (*) равны между собой. Тогда равны и левые части: АВ + CD =АС + BD =AD + ВС. Следовательно, чтобы можно было построить шар, который касался бы всех ребер тетраэдра, необходимо, чтобы суммы противоположных ребер этого тетраэдра были равны. Этого условия достаточно. Если оно выполняется, то существует такой шар, который касается всех ребер данного тетраэдра. Докажем это. Пусть в тетраэдре ABCD (рис. 281) суммы противоположных ребер одинаковы: AB + CD=AC +BD=AD +ВС. (**) Впишем в грани ACD и BCD круги с центром и О^. Пусть первый касается ребра CD в точке М, а второй - в Му Тогда СМ - MD = CL-DE= АС -AD я СМ + MD = CD, откуда СМ = i(AC -AD + CD). Аналогично из треугольника BCD найдем CMj = i(CB -BD + CD). Но из условия АС + BD = AD + ВС следует: АС - AD = = СВ - BD, поэтому CMj = СМ. Следовательно, если выполняется условие (**), то вписанные в грани ACD и BCD окружности касаются ребра CD в одной точке М. Так же можно доказать, что окружности, вписанные в каждые две грани рассматриваемого тетраэдра, касаются их общего ребра в одной точке. 19- 291 I t ПРИЛОЖЕНИЯ Проведем из точек и перпендикуляры к граням BCD и ACD. Они принадлежат плоскости О^МО^ и, следовательно, пересекаются в некоторой точке О. Точка О равноудалена от F, N, М, Е, L. Аналогично можно показать, что перпендикуляры, проведенные к граням CBD и ABD через центры вписанных в них окружностей и О^, также пересекаются, например в точке Oj. Следовательно, равноудалена от F, N, М, К, Е. А это возможно лишь тогда, когда совпадает с точкой П, которая равноудалена от F, N, М, Е, L, К. Следовательно, сфера D радиуса ОМ касается всех ребер данного тетраэдра. Сферу, которая касается всех шести ребер тетраэдра, называют полувписанной сферой тетраэдра. А тетраэдр, для которого такая сфера существует, будем называть тетраэдром полувписанной сферы. к ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1521. Докажите, что прямая, которая проходит через вершину D тетраэдра ABCD и его центровд G, пересекает описанную вокруг него сферу в точке так, что DA^ +DB^ -^DC^ DDi =- 4DG 1522. Докажите, что в каждом тетраэдре VbMb > 256г^, где hg, hf., hg - высоты тетраэдра, а г - радиус вписанного в него шара. 1523. Докажите, что точки Tg, Т^, Tg, в которых вписанный в тетраэдр ABCD шар с центром I касается трех граней трехгранного угла А, лежат на сфере диаметра AI. 1524. Докажите, что центр вписанного в тетраэдр шара лежит в середине тетраэдра, образованного точками касания. 1525. Если наложить три грани тетраэдра на четвертую, повернув их вокруг ребер, образующих четвертую грань, то все точки касания вписанного в этот тетраэдр шара совпадут в одной точке Т, а вершины трех первых граней расположатся на окружности с центром в точке Т. Докажите. 1526. Дана развертка тетраэдра. Укажите на ней точки касания вписанного в этот тетраэдр шара. 1527. Выразите радиусы вневписанных шаров через высоты тетраэдра. ■ 292 Элементы геометрии тетраэдра 1528. Докажите, что 11112 г где г - радиус шара, вписанного в тетраэдр, а г^, г^, г^, Гд - радиусы вневписанных в него шаров. 1529. Если вследствие пересечения сферы с ребрами тетраэдра образуется шесть равных между собой хорд, то это тетраэдр полувписанной сферы. Докажите. 1530. Докажите, что когда ABCD - тетраэдр полувписанной сферы, то АВ + DC - АС -I- BD = AD -I- ВС. ]>3«F РАВНОГРАННЫЕ ТЕТРАЭДРЫ 7. Тетраэдр, все грани которого являются равными между собой треугольниками, называется равногранным. Возьмем любой остроугольный треугольник и перегнем его по средним линиям АВ, АС, ВС (рис. 282) так, чтобы вершины 1)д, Dg, Df, совпали. Получим тетраэдр, все четыре грани кото- рого являются равными между собой треугольниками. Это и есть равногранный тетраэдр. В равногранном тетраэдре противоположные ребра попарно равны между собой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что в равногранном тетраэдре ABCD (рис. 283) АВ CD. В нем грани АВС и ACD равны между собой, следовательно, ВС = CD или АС = CD. Поэтому по крайней мере один из треугольников BCD и ACD равнобедренный. Но тогда каждая грань этого равногранного тетраэдра имеет по два ребра, равных CD. По предположению АВ Tt CD, следовательно, АС = AD = ВС = BD = CD и грань ACD - равносторонний треугольник. Тогда и треугольник ABD должен быть равносторонним, т. е. АВ = CD, а это противоречит предположению. Таким образом, предположение не- Рис. 282 Рис. 283 293 ПРИЛОЖЕНИЯ правильно. В равногранном тетраэдре противоположные ребра всегда равны между собой. Обратная теорема очевидна. Если АВ = CD, АС = BD, AD = ВС, то все грани тетраэдра равны между собой (по трем сторонам). 8. Каждый тетраэдр, все четыре грани которого равновеликие, является равногранным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть у тетраэдра ABCD (рис. 284) площади всех граней одинаковые. Параллельно AD проведем отрезки BBj, CCj, равные AD, и соединим точки А, Bj, Cj, т. е. достроим к данному тетраэдру ABCD четырехугольную пирамиду ABCCjjBj так, чтобы вышла треугольная призма AB^C^DBC. Очевидно, что треугольники ABD и АВВ.^, ACD и ACCj, BCD и ABjCj попарно равны, поэтому все боковые грани пирамиды АВСС^В.^ имеют одинаковые площади, так как все грани данного тетраэдра равновеликие. А если грани АВВ^ и ACCj имеют одинаковые площади, то их высоты AF и ЕА, проведенные к равным отрезкам BBj и CCj, равны между собой. Поэтому равны между собой и проекции A^F, А^Е этих высот на основание пирамиды. Другими словами, основание Aj высоты пирамиды ABCCjBj равноудалено от BBj и CCj. Аналогично можно доказать, что точка Aj равноудалена от ВС и В^Су ведь грани АВС и ABjCj также равновеликие. Получается, что Aj -центр параллелограмма BCCjBj. Тогда AjB = A^Cj и, следовательно, АВ = ACj = CD. Аналогично можно доказать, что АС = BD и AD = ВС. Таким образом, если все грани тетраэдра равновеликие, то его противоположные ребра попарно между собой равны. Следовательно, данный тетраэдр равногранный. А 9. В равногранном тетраэдре все грани - остроугольные треугольники. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что какой-либо плоский угол равногранного тетраэдра ABCD, например ZABD, тупой или прямой (рис. 285). Повернем грань ADC вокруг AD так, чтобы она расположилась в одной плоскости с гранью ABD. Поскольку в равногранном тетраэдре АВ = DC и 294 Элементы геометрии тетраэдра АС = BD, то получим параллелограмм ABDCy Его диагональ AD по предположению лежит напротив тупого или прямого угла ABD, а поэтому она не меньше другой диагонали ВС у = BE + ЕС. Но BE + ЕС > ВС. Следовательно, AD > ВС, а такого в равногранном тетраэдре не может быть. Как видим, не существует равногранного тетраэдра с прямыми или тупыми плоскими углами. Все плоские углы равногранного тетраэдра острые. 10. Каждая средняя линия равногранного тетраэдра перпендикулярна к двум другим его средним линиям и к двум противополозкным ребрам, середины которых она соединяет. Для доказательства опишем вокруг данного равногранного тетраэдра ABCD параллелепипед (рис. 286). В равногранном тетраэдре противоположные ребра между собой равны, поэтому все грани описанного параллелепипеда - прямоугольники. Например, ВА = CD = C^D^, а поэтому AC^BD^ - прямоугольник. Как видим, вокруг равногранного тетраэдра описан прямоугольный параллелепипед. Средние линии КМ, LN, EF равногранного тетраэдра соединяют центры противоположных граней прямоугольного параллелепипеда, следовательно, они попарно перпендикулярны: КМ J. LN 1 ЕЕ. Каждая средняя линия перпендикулярна и к двум граням параллелепипеда, а следовательно, и к тем двум ребрам тетраэдра, которые лежат в этих гранях: КМ 1АВ и CD, LN 1 BD и АС, ЕЕ 1AD и ВС. Можно и иначе доказать это утверждение. В равногранном тетраэдре четырехугольники KLMN, NELE, КЕМЕ - ромбы, поэтому их диагонали КМ, NL, ЕЕ (они являются средними линиями тетраэдра) попарно перпендикулярны. А если КМ LNLii КМ 1 ЕЕ, то КМ 1 (ELEN), АВ и CD параллельны плоскости ELNE, следовательно, КМ ± АВ и КМ 1 CD. 11. Повернем равногранный тетраэдр ABCD на 180° вокруг его средней линии КМ (рис. 287). Поскольку КМ 1 АВ, КМ J- CD и АК = КВ = СМ = MD, то вследствие такого поворота вершины А и В, С и D поменяются местами и тетраэдр совпадет сам с собой. При этом совпадут трехгранные углы А я В, С а D, медианы AG^ и BG^, ВНд, СН^ и DHj^, отрезки AG и BG, CG и DG и т. д. Если повернуть данный тетраэдр на 180° вокруг средней линии NL, то поменяются местами вершины А и С, В и D. CG^ и DG^, высоты АН^ и 295 ПРИЛОЖЕНИЯ А Как видим, вращением равногранного тетраэдра вокруг его средних линий можно добиться, чтобы любой его трехгранный угол совпал с каждым из трех других. То же можно сказать и о медианах, высотах, радиусах вписанных и описанных шаров, противоположных двугранных углах и т. п. Следовательно, в каждом равногранном тетраэдре: а) все высоты равны между собой; б) все медианы равны; в) все трехгранные углы равны (рис. 288); г) двугранные углы при противоположных ребрах равны; д) центроид является центром вписанного и описанного шаров. Правильны и обратные утверждения. Докажите их самостоятельно. 12. В каждом равногранном тетраэдре (и только в равногранном) центры вписанной и описанной сфер совпадают с центроидом тетраэдра. Первая часть этого утверждения следует из рассуждений, приведенных в п. 11. Поэтому достаточно доказать вторую часть. Для этого из общего центра О вцисанной в тетраэдр ABCD и описанной вокруг него сфер опустим перпендикуляры ОО^, ООд, OOf. и ООд на все грани тетраэдра (рис. 289). Эти ^ перпендикуляры как радиусы впи- санной сферы имеют равные длины. Следовательно, все грани тетраэдра равноудалены от О. Поэтому окружности, описанные вокруг его граней, также равны между собой. А в одинаковых окружностях на равные дуги опираются равные вписанные углы: CAD = CBD, BAD = ЁСВ, ВАС = BDC. Но CBD + BCD + BDC = 180°, 296 Элементы геометрии тетраэдра поэтому CAD + BAD + Лас = 180°, т. е. сумма плоских углов трехгранного угла А равна 180°. Аналогично можно доказать, что сумма плоских углов каждого из других трехгранных углов тетраэдра равна 180°. А такое свойство, как мы знаем из п. 11, имеет только равногранный тетраэдр. Рассмотрим рисунок 290. Пусть вписанный в равногранный тетраэдр ABCD шар с центром О касается грани ACD в точке Од. Тогда Од - центр описанной вокруг треугольника ACD окружности. Из прямоугольного треугольника АОО^ следует: 001= АО^ - А01, или г^=д2-р2=д2- откуда = 1 + - cosacosPcosy’ 1 cosacosPcosy Такая зависимость существует между радиусами шаров, вхшсанного в равногранный тетраэдр и описанного вокруг него. Следствие. Радиус вписанного в равногранный тетраэдр шара не больше — радиуса шара, описанного вокруг этого тетраэдра. ^ 13. Все четыре высоты равногранного тетраэдра равноудалены от его центроида. Опустим из центроида G равногранного тетраэдра ABCD на его высоты АА^^, BBf^, ССд, ППд перпендикуляры GAq, GBq, GCq, GBq (рис. 291). Тогда AAAjG AAAfi^, причем AG : AG^ = 3:4. Следова- 3 тельно, АА„ = — АА.. Так же мож- с , ft но доказать, что ВВ„ = -ВВ, а 4 " 297 ПРИЛОЖЕНИЯ И т. п. Но В равногранном тетраэдре все высоты равны между собой: AAg = ВВд = СС^ = DD^. Кроме того, AG = BG = CG = DG, потому что это радиусы описанного шара. Как видим. Тогда AAA^G = ABB^G = АССр = ADDjG. GAg = GBg = GCg = GDg, что и надо было доказать. Из этих рассуждений следует, что центроид G равногранного тетраэдра является центром сферы, которая касается всех его высот. Точки касания делят каждую высоту тетраэдра в отношении 1:3, считая от основания. Из прямозп’ольного треугольника AAgG определим радиус этой сферы: Д 2 = ag^ АА^. Но Поэтому AG = Д и АА„ = —h = Зг. Д2 - 9г2. 14. В равногранном тетраэдре ортоцентр любой грани и основание высоты тетраэдра, опущенной на эту грань, симметричны относительно центра окружности, описанной вокруг этой грани. Рассмотрим развертку равногранного тетраэдра ABCD (рис. 292). Пусть Од - центр окружности, описанной вокруг грани BCD. Нд - ортоцентр грани, а А^^ - основание высоты тетраэдра, опущенной на эту грань. Понятно, что А^^ - ортоцентр ZiAjAgAg. Пусть прямые AjA^ и DH^ пересекают ВС в точках и Eg, а прямые А^А^ и СНд пересекают BD соответственно в точках и N^. Поскольку A^BDC - параллелограмм, то AAjBEj = ACDE^. Следовательно, ВЕ^ = СЕ^ и середина Е отрезка ВС делит пополам Аналогично можно доказать, что середина N отрезка BD делит пополам отрезок N^N^. Тогда Од - точка пересечения средних линий трапеций E^E^^i^ и //^Л^дЯдАд - лежит на середине общей стороны ЯдА^ этих трапеций. Поэтому точки Яд и А. симметричны относительно О А" 98 Элементы геометрии тетраэдра 15. Пусть - основание высоты, опущенной на грань BCD равногранного тетраэдра АВСП (рис. 293), Од - ортоцентр этой грани и центр описанной вокруг нее окружности. Как показано выше, Н^р.= О^А^. Следовательно, прямая -ПдО пересекает высоту тетраэдра АА. в точке Aj так, что AjA^ = 200д. Но ООд - радиус вписанного шара, он равен (докажите это). Тогда А,А, = 200. = 2~АА, = -АА., то есть Aj - середина высоты АА^. Центроид О - середина гипотенузы А^Нд прямоугольного треугольника А^А^^Н^, поэтому GAj = GA^ = GH^. Как видим, точка О равноудалена от ортоцентра грани Н^, основания высоты тетраэдра А^ и середины этой высоты Aj. Если повернуть данный тетраэдр на 180° вокруг его средней линии КМ, то высота совпадет с высотой АА^, а центроид О не изменит своего положения. Значит, точки В^, Bj, находятся от центроида О на таких же расстояниях, как и точки A^j, Aj, Нд. Повернув данный тетраэдр на 180° вокруг средней линии LN, убеждаемся, что ортоцентры всех граней, основания и середины всех высот данного тетраэдра равноудалены от его центроида О. Следовательно, в равногранном тетраэдре ортоцентры всех граней, основания и середины всех его высот лежат на одной сфере. Назовем ее сферой двенадцати точек равногранного тетраэдра. Радиус этой сферы можно определить из прямоугольного треугольника A^jG, где AjA^ = г, AjG = Л,, (см. п. 13). Отсюда = AjG2 = + Д2 ^ _ 8^^ Bi2=VB^-8r^ Если все грани тетраэдра - правильные треугольники, то основания высот тетраэдра совпадают с ортоцентрами граней и центрами описанных вокрзч’ них окружностей. В этом случае сфера двенадцати точек касается граней тетраэдра, т. е. является вписаной сферой. Во всех иных случаях сфера двенадцати точек равногранного тетраэдра пересекает плоскости его граней по равным окружностям, центры которых совпадгпот с центрами окружностей, описанных вокруг граней тетраэдра. Г 299 ПРИЛОЖЕНИЯ 16. Отдельным видом равногранного тетраэдра является правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии (которые проходят через каждое ребро тетраэдра и середину противоположного ребра), четыре оси симметрии третьего порядка (каждая из них проходит через вершину и центр противоположной грани) и три оси симметрии второго порядка (они проходят через середины противоположных ребер тетраэдра). Если ребро правильного тетраэдра равно а, то его высота (медиана) h = ^'^' средняя линия радиус вписанного шара радиус описанного шара радиус внешневписанного шара площадь поверхности объем плоский угол двугранный угол трехгранный угол п = - г = - i? = Гл =- 3 o-n/2 1“’ a-v/б Т2-’ a-Jb ал1б S = - V = а^л/З 4 ’ a®V2 12 а = 60°; а = arccos—= 70,5°; 3 А = 0,55 стерадиан. 1^^^^ * ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Докажите утверждения 1531—1542. 1531. Если соединить отрезками центры окружностей, описанных вокруг граней равногранного тетраэдра, то образованный этими отрезками тетраэдр также будет равногранным. 1532. В ргшногранном тетраэдре синусы двугранных углов относятся как длины соответствующих им ребер, т. е. sina sinS sine (300 Элементы геометрии тетраэдра 1533. Сумма косинусов всех двугранных углов равногранного тетраэдра равна 2. 1534. Если все грани тетраэдра имеют равные периметры, то тетраэдр равногранный. 1535. В каждом равногранном тетраэдре: 1 а) cosacos&cosc< 27 .-4.2О -2b . 2 с ^ б) sin —I- sin — + sm — = 1; 2 2 2 .. а . b .с , в) sin—+sin—+ sin—= 1; 2 2 2 г) cosa = 1 - 2ctgP • ctgy; д) A = a + b + c - k; е) = 4S^; ж) n nji = 3V. 1536. В равногранном тетраэдре радиус вневписанного шара равен диаметру вписанного. 1537. Квадрат диаметра описанного вокруг равногранного тетраэдра шара равен сумме квадратов всех средних линий этого тетраэдра. 1538. Из всех тетраэдров, описанных вокруг шара с радиусом г, в равногранном тетраэдре произведение высот наименьшее. 1539. Вписанный в равногранный тетраэдр шар касается всех граней восьмигранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. 1540. Сумма квадратов расстояний от всех вершин равногранного тетраэдра до точки X, взятой на вписанной в него сфере, не зависит от положения точки X на сфере. 1541. Вписанный в равногранный тетраэдр шар касается его граней в точках, которые являются центрами окружностей, описанных вокруг его граней. 1542. Каждую грань правильного тетраэдра из середины высоты, опуш[енной на эту грань, видно под прямым трехгранным углом. 1543. Найдите косинус утла наклона ребра РА правильного тетраэдра РАВС к его грани АВС. 1544. Точка К - середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Найдите угол наклона прямой АК к плоскости грани АВС. ш .801 I "'"'ш ПРИЛОЖЕНИЯ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК Геометрия - одна из самых древних наук. Исследовать разные пространственные формы издавна побуждала человека его практическая деятельность. Первые геометрические открытия были сделаны египетскими, шумеро-вавилонскими, китайскими и другими учеными Древнего мира. Совершались они сначала опытным путем, без логических доказательств. Как наука геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные сначала опытным путем, были собраны в систему и доказаны как теоремы. Один из математических трудов тех далеких времен дошел и до нас. Это - «Начала» александрийского математика Евклида (ок. 365 - ок. 300 г. до н. э.). Развивалась геометрия и после Евклида. В частности, Архимед (1П в. до н. э.) предложил новые способы вычисления площадей и объемов геометрических тел, Аполлоний (III-II в. до н. э.) исследовал сечения конуса, Менелай (1-П в.) развил геометрию и тригонометрию сферы. Но в последующие века вплоть до эпохи Возрождения в Европе геометрия не развивалась. Только во второй половине прошлого тысячелетия здесь опять были сделаны геометрические открытия. Создавались новые методы исследования свойств геометрических фигур и появлялись не исследованные ранее области древней науки: аналитическая, проективная, начертательная, дифференциальная геометрии. Совершим краткий исторический обзор тем, рассмотренных в этом учебнике. Координаты и векторы. Метод координат. Впервые понятия координат (астрономических и географических, которые назывались широтой и долготой) появились в работах древнегреческих ученых Эратосфена (Ш в. до н. э.) и Гиппарха (П в. до н. э.). Со временем метод географических координат был усовершенствован и трансформирован на другие системы координат точек на плоскости и в пространстве. Основоположниками метода координат считаются П. Ферма и Р. Декарт. П. Ферма рассматривал только положительные значения х ау, & потому его система координат состояла фактически из одного первого квадранта. У Ф. Декарта система координат также состояла из одной фиксированной оси (абсцисс), но в отличие от П. Ферма он рассматривал точки с положительными и отрицательными ординатами. С помощью метода координат Ф. Декарта подавалась геометрическая интерпретация отрицательных чисел. Таким способом 302 Исторический очерк Декарт Рене (1596-1650) Выдающийся французский философ, математик, физиолог, физик. Р. Декарт ввел метод координат, понятие переменной, заложил основы аналитической геометрии, ввел современные обозначения степеней, знаки «+» и «-» для обозначения положительных и отрицательных чисел. Более известен как философ, основатель картезианства. Против его взглядов резко выступали католики и протестанты. Его труды, в частности «Рассуждение о методе», «Начала философии», «Страсти души», раньше были внесены в «Индекс запрещенных книг». значения отрицательных и положительных чисел уравнивались. Метод координат П. Ферма разработал раньше Р. Декарта, но последний первым опубликовал свои результаты. Термины «абсцисса», «ордината» и «аппликата» имеют греческое щю-исхождение и использовались в теории о конических сечениях. В современном понимании их начал использовать Г. Лейбниц, он также ввел термин «координаты», чтобы подчеркнуть равноправие «абсциссы» и «ординаты». Но общепринятыми эти термины стали лишь с середины XVIII в. Термин «ось абсцисс» ввел И. Барроу (в 1670 г.), а термин «ось ординат» -значительно позже Г. Крамер (в 1750 г.). Сначала метод координат использовали для плоскости, а в XVIII в. И. Бернулли, А. Клеро и другие математики распространили его на трехмерное пространство. Вывел уравнение плоскости и решил большинство задач трехмерной аналитической геометрии Г. Монж. Систематизировал аналитическую геометрию пространства Л. Эйлер. Векторы в математику входили из трех источников: исчисления отрезков, исследования векторных величин и теории кватернионов. Теорию направленных отрезков на плоскости и в пространстве впервые изложил норвежский геодезист и картограф К. Бессель в труде «Опыт об аналитическом представлении направления и его применении, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников». Новое исчисление направленных отрезков К. Бессель строил почти так, как оно представляется в современных учебниках: вводил понятия направленного отрезка, базисной единицы, направления (отклонения) отрезка, формулировал правила для выполнения действий с направленными отрезками и показы- 303 ПРИЛОЖЕНИЯ f вал их применение на плоскости и в пространстве. К. Весселю также принадлежит первая попытка векторного построения тригонометрии со строгим обоснованием всех ее формул. Векторные величины относительно проблем механики исследовал английский математик Д. Валлис в труде «Механика, или Геометрический трактат о движении». Геометрическое сложение и вычитание векторов Д. Валлис осуществлял по правилу параллелограмма и параллелепипеда. Рассматривая разложение заданной силы на компоненты, он уточнял, что выполнить такое действие можно бесконечным количеством способов. Понятие «вектор» ввел в 1846 г. ирландский математик У.Р. Гамильтон, рассматривая векторы в связи с кватернионами (числами вида а + Ы + cj + dk, где i, у, k - мнимые единицы). Он писал: «Отрезок АВ, у которого рассматривается не только длина, но и направление, называется вектором. Его начальная точка называется origin, а конечная - term. Вектор АВ, ... - разность двух своих предельных точек». Обозначение г предложил в 1887 г. О. Коши. Одним из первых отечественных ученых, которые разрабатывали теорию векторов, был профессор Киевского университета П. Ромер. Систематическое и детальное изложение векторного исчисления и теории кватернионов он осуществил в докторской диссертации «Основные начала метода кватернионов» (1866 г.). Среди отечественных ученых геометрическое направление в формировании теории векторного исчисления представлял профессор Киевского университета В. Ермаков. В Киеве в 1887 г. он издал труд «Теория векторов на плоскости. Применение к исследованию конических сечений». В 1890 г. в Одессе Д.Н. Зейлигер опубликовал книгу «Теория векторов». Гамильтон Уильям Роуэн (1805-1865) Ирландский математик. Читать научился в 3 года, в 10 лет стал студентом, в 12 лет знал 10 языков. С 22 лет - профессор астрономии и директор астрономической обсерватории. Его основные труды касаются механики, дифференциальных уравнений и функционального анализа. Исследовал числовые множества, создал систему кватернионов, ввел термин «вектор». В геометрии исследовал волновые поверхности, в алгебре - группы, одну из которых называют группой Гамильтона. 304 Исторический очерк Обобщенный взгляд на векторы как элементы векторного пространства предложил Г. Вейль. Векторным пространством называется любое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения на число (при этом должны выполняться 4 закона сложения и 4 закона умножения). Примеры векторных пространств: множество всех пар точек пространства; множество всех троек действительных чисел; множество всех параллельных переносов плоскости или пространства и т. п. Понятие ге-мерного пространства введено в математику почти одновременно с понятием вектора - в середине XIX в. Чтобы задать точку на плоскости (в двухмерном пространстве), достаточно указать две ее координаты: А(а^; а^). Чтобы задать точку в трехмерном пространстве, надо указать три ее координаты: А(а^; а^; Пд). Между всеми точками трехмерного пространства и упорядоченными тройками действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие: каждой точке пространства соответствует единственная тройка чисел, а каждой тройке чисел - единственная точка. Поэтому математики множество всех пар действительных чисел почти отождествляют с плоскостью (двухмерным пространством), а множество всех троек действительных чисел - с трехмерным пространством. Логично множество всех упорядоченных четверок действительных чисел назвать четырехмерным пространством. Рассуждая по аналогии, договорились, что А(а^; Од; Сд; aj, В{Ь^\ Ь^; Ь^; Ь^) - точки четырехмерного простран- (01+&1. 02+^2. «3+^3. 04+^4 ства. 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 (Cj - bjf ■+■ (Cg - 6g)^ + (Cg ~ 6g)^ + (O^ ~ Ь ~ КВЭДРаТ ДЛИНЫ этого отрезка и т. п. Введя эти и некоторые другие понятия, математическими методами исследуют свойства пространства созданного таким способом. Эти исследования оказались достаточно содержательными и полезными не только для математики. Например, в механике, кроме трех пространственных координат X, у, г, рассматривают и четвертое «измерение» - время t, которое входит во все механические соотношения. Подобным способом можно ввести пятимерное и другие 71-мерные пространства. Их при л > 4 называют многомерными пространствами. История возникновения учения о многомерных пространствах достаточно интересна. Философы и другие специалисты, далекие от математики, вначале критиковали такие исследования. Впоследствии они изменили свои - середина отрезка АВ, I 20-Geometriya. 11 к1 (гиб) 805 J. ПРИЛОЖЕНИЯ Гулак Николай Иванович (1822-1899) Родился на Полтавщине, работал в канцелярии Киевского генерал-губернатора. Один из основателей Кирилло-Мефодиевского братства, за что в 1847 г. был арестован. Только через 12 лет вернулся в Украину, работал учителем математики, географии, русского языка в Одессе, Керчи, Ставрополе, в Грузии. В 1877 г. в Тифлисе опубликовал монографию «Попытка геометрии четырех измерений». Еще один труд «Этюды о трансцендентных уравнениях» на французском языке напечатал в Одессе. Р. Иванычук написал о Н. Гулаке роман «Четвертое измерение». взгляды, кое-кто стал даже утверждать, что четырехмерное пространство существует в реальном мире. Допускали даже существование «медиумов», которые могут перемещать тела из реального трехмерного пространства в четырехмерное и наоборот. Замечательный материал для фантастов! Но математики, которые создали и хорошо знают многомерные пространства, воспринимают их практически и реальнее. Многогранники. Понятия «куб», «параллелепипед», «призма», «пирамрща», «тело» были хорошо известны древнегреческим геометрам. Вот несколько определений из книги XII «Начал» Евклида: «Телом называется то, что имеет длину, ширину и глубину. Границами тела являются поверхности... Пирамида - это тело, ограниченное плоскостями, проведенными от какой-либо плоскости до точки, которая лежит вне этой последней плоскости. Призма - это тело, ограниченное плоскостями, из которых две противоположные равны, подобны и параллельны, остальные же являются параллелограммами... Куб - это тело, ограниченное шестью равными квадратами». Правильные многогранники были известны даже предшественникам Евклида. В «Началах» доказано, что существует только 5 видов правильных многогранников, и показано, как можно построить каждый из них. Архимед открыл существование 13 видов полуправильных многогранников. Тела вращения были известны еще древнегреческим геометрам. В «Началах» Евклида сформулированы такие определения: «Шар описан полукругом, который вращается на неподвижном диаметре... Конус описан прямоугольным треугольником, который вращается вокруг неподвижной перпен- 306 Исторический очерк I Кавальери Бонавентура (1598-1647) Итальянский математик, преподаватель Болонского университета, автор «Геометрии», в которой изложен метод неделимых. Он умел решать задачи, которые сейчас решают, вычисляя интегралы l|x"dx при натуральных п < 10. Другие его труды «Сто разных задач...», «Тригонометрия плоская и сферическая, линейная и логарифмическая». дикулярной стороны. Цилиндр образуется при вращении прямоугольника вокруг неподвижной стороны». Объемы некоторых многогранников умели находить еще в Древнем Египте. В одном папирусе, который дошел до наших дней, кроме других, решается задача об определении объема усеченной четырехугольной пирамиды высотой 6 и со сторонами основания 4 и 2. Архимед умел находить объемы даже параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения, а также площади поверхностей цилиндра, конуса, шара. Новые методы определения объемов геометрических тел разработал итальянский математик Б. Кавальери: Его рассуждения были нестрогими, интуитивными, потому что ссылался он на еще не доказанные утверждения, считая их очевидными. Только впоследствии они были доказаны методами математического анализа. В учебнике основное утверждение Кавальери принято за аксиому, поэтому все теоремы об определении объемов доказаны корректно. Строгую современную теорию объемов, площадей и других О Лебег Анри Леон (1875-1941) Французский математик, доктор философии. Один из основателей современной теории функций, создал теорию меры, ввел новое понимание интеграла - интеграл Лебега. Новое понятие интеграла дает возможность интегрировать достаточно широкий класс функций, а следовательно, решать много важных прикладных задач. По вопросам средней школы опубликовал книги «Лекции о геометрических построениях», «Конические сечения», «Об измерении величин». (] 307: X ПРИЛОЖЕНИЯ Георгий Феодосьевич Вороной (1868-1908) Украинский математик. Родился в с. Жу-равка (Черниговская обл.). Исследовал проблемы геометрической теории чисел и геометрии многогранников. Математики всего мира все чаще используют понятия: алгоритм Вороного, клетки Вороного, метод Вороного, многоугольники Вороного, диаграммы Вороного, разбиение Вороного, мозаика Вороного и т. п. величин разработал известный французский математик А. Лебег. На основе общего понятия меры он ввел новое, более обобщенное понятие интеграла (теперь называют интегралом Лебега). Много сделал для развития школьной геометрии выдающийся украинский математик М. В. Остроградский (1801-1862). Он в 1855-1860 гг. напечатал в трех частях книгу «Руководство начальной геометрии», всего 748 страниц. Книга переиздана на украинском языке в 2001 г. в Тернополе. Много сделал для развития геометрии известный украинский математик Г.Ф. Вороной - творец геометрической теории чисел. В частности, он исследовал разные заполнения пространства равными многогранниками. Значительный вклад в развитие геометрической науки сделали украинские математики М.Е. Ващенко-Захарченко (1825-1912), С.О. Шатуновский (1859-1929), А.С. Смогоржевский (1896-1969), Н.И. Кованцов (1924-1988), А.В. Погорелов (1919-2002) и многие другие. Как видим, большинство свойств геометрических фигур, изучающихся в современной школе, были известны и 2 тыс. лет тому назад. Со временем их дополняли новыми открытиями, передавали из поколения в поколение, потому что эти сведения очень нужны людям. Известный архитектор Ле Корбюзье писал: «Никогда еще до этого времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмышлять о прошлом, вспомнить то, что было и раньше, и мы будем потрясены, увидев, что окружающий нас мир - это мир геометрии, чистый, истинный, безукоризненный в наших глазах. Все вокруг - геометрия». В будущем окружающий нас мир, безусловно, изменится, но геометрия останется. Даже еще больше обогатится новыми сведениями и методами, потому что она очень нужна людям. 308 С Темы для научных исследований ТЕМЫ ДЛЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ 1. Аналогии в геометрии. 2. Геометрия и логика. 3. Геометрия и кристаллография. 4. Геометрия и архитектура. 5. Геометрия и искусство. 6. Геометрические построения в пространстве. 7. Геометрические пространства. 8. Геометрические преобразования и группы. 9. Геометрия и теория вероятностей. 10. Фракталы. 11. Геометрические места точек пространства. 12. Движения в пространстве. 13. Инверсии на плоскости и в пространстве. 14. Поверхности вращения и винтовые поверхности. 15. Лист Мебиуса. 16. Периодические поверхности. 17. Геометрическая теория чисел. 18. Стереометрические экстремальные задачи. 19. Пространственные обобщения теоремы Пифагора. 20. Окружность Эйлера и ее пространственные аналоги. 21. Тетраэдр и сфера. 22. Ортоцентрические тетраэдры. 23. Равногранные тетраэдры. 24. Прямоугольные тетраэдры. 25. Полуправильные многогранники. 26. Многогранники на полотнах известных художников. 27. Тор и его свойства. 28. Начертательная геометрия. 29. Проективна геометрия. 30. Тела вращения и токарное дело. 31. Тела вращения и гончарство. 32. Заполнение пространства равными тетраэдрами. 33. Заполнение пространства равными многогранниками. 34. От циркуля до штангенциркуля. 35. Создание украинской геометрической термршологии. 36. История школьных учебников по геометрии. 37. Учебник по геометрии М.В. Остроградского. 38. Стереометрия помогает планиметрии. 39. Стереометрические задачи на олимпиадах. 309 I f nV*' ПРИЛОЖЕНИЯ 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 310 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА AKcioMH для нащадк1в: Украшськ! 1мена у св1тов1й науц! / упо-ряд. О.К. Романчук. - Льв1в, 1992. Бевз В.Т. IcTopia математики. — Харк1в, 2006. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика - К., 2005. Бевз Г.П. Математика в школах Украши. — К., 2009. Бевз Г.П. Геометр1я трикутника i тетраедра. — К., 2009. Бород1н O.I., Бугай А.С. Бюграф1чний словник д1яч1в у галуз! математики. - К., 1973. Бродський Я.С., Павлов О.Л. Статистика, ймов1ршсть, комб1на-торика у старш1й школ!. - Харк1в, 2008. Василенко О. Серенада математищ. - Харк1в, 2003, 2009, 2011. Василенко 0.0. Жшки й математика. - Харк!в, 2008. В!рченко Н.О. Математика в афоризмах i висловлюваннях. - К., 1974. Вороний О.М. Готуемось до ол!мп!ади з математики. - Харк!в, 2008. - Кн. 1, 2. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. — М., 1982. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. — М., 1983. Демьянов В.П. Геометрия и Марсельеза. - М., 1979. Игнатьев Е.И. Хрестоматия по математике. - Ростов-на-Дону, 1995. Кованцов Н.И. Математика и романтика. — К., 1980. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. - М., 1991. Конфорович А.Г. Колумби математики. - К., 1982. Конфорович А., Сорока М. Остроградський. - К., 1980. Конфорович А.Г. У пошуках штеграла. - К., 1990. Л1о Ki. Ломиголовки. - К., 1996. Математика в школ!: журнал. Математика у школах Укра!'ни: журнал. Математика: газета. Математика шсля урок!в / упоряд. I.C. Маркова. - Харк!в, 2004. Математична хрестомат!я / За редакщею M.I. Кованцова. - К., 1977. Сорока М. Колимська теорема Кравчука. - К., 1991. Фадеев В.А. От живописи к проективной геометрии. - К., 1988. Фадеев В.О. Геометр!я, 11 клас. - Ферношль, 2004. Фадеев В.О. Математика. Флумачний словник-довщник. - Фер-ношль, 1999. У св!т! математики. - К., 1968-1991. - Вип. 1-20. У св!т! математики: журнал для школяр!в. Шафаревич И. Есть ли у России будущее? - М., 1991. Шляхами математики / упоряд. Ф.М. Хмара. — К., 1999. Шмигевський М.В. Видатн! математики. - Харк!в, 2004. Энциклопедический словарь юного математика. - М., 1985. J f Справочный материал СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ Прямоугольный треугольник — = sina; (теорема Пифагора); ^ - = соза; = а • с; - = tga; b^ = b ‘с; Ь — = ctga; = а - Ь: а ‘ . S = —ab; S =—ch; S = —bcsin.a; Л = —; 2 2 2 с ^=1 г = - а + Ь-с Равносторонний треугольник , Ол/З А = ; г = ^Л; ол/з г = ; 2 3 6 /h Д = -Л; Л/ / ^ 4 i? = 2г; 3 h = R + г. 3 / ^ Произвольный треугольник S = —ahi S =—absiny; 2 2 Р = - а + Ь + с S = yjpip-a)(p-b){p-c) (формула Герона); о аЬс S „а 4S р 2sina _ 2&ccosa (теорема косинусов); а Ь с sin а sinP sin у (теорема синусов). 311 312 AL - биссектриса 1) Z1 = Z2; 2) ^ = ^ LC AC' AO : ON = 2 \ 1. M Окружность и круг = -ZAOB = i. 2 2 ZAMB = ZANB. AM^ = ME • MF\ ME • MF = MP ’ MK; FC-CB = КС- CP. ZACB = -(AB-MN). 2 Квадрат d = a-j2; ( r = - B = 4a; B = S = a^; s= ayj2 ~2~' 2 Справочный материал Параллелограмм ZA + ZB = 180°; Р = 2{а + 6); S = ah', S = abaina; 'S = ^«^i<^sin^У2. г^+^г2 l-f-Я, 1-1-Х 1-ьХ, \ / рая делит отрезок АВ в отношении AM : МВ = X; • AB = ^J(X2-Xlf +(y2-yxf +(z2~Zif - длина отрезка АВ; - координаты точки М, кото- 314 е » • » « « • |i * • г ах + by + cz + d = Q - общее уравнение плоскости; а(х - Хд) + Ь(у - + с(г - 2^) = О - уравнение плоскости, проходящей через точку М{х^; у^; г^) перпендикулярно к вектору п = (а; Ь; с); x-Xi _ у-у1 _ г-г^ Хг-х^ Уг~Уу 22-2j рез две точки А(д;^; у^, г^) и В(х^; у^; г^); ^-^0 _У-Уо т п р рез точку М{Хд1 у^; г^) параллельно вектору s = (а; Ь; с); (д: - а)^ + (I/ - Ь)^ + (2 - с)^ = - уравнение сферы радиуса R с центром в точке М(а; Ь; с); - уравнение прямой, проходящей че- - уравнение прямой, проходящей че- ,_|axo-b&t/o-Hczo+d| - расстояние от точки М{х^; у^; 2^) до плоскости ах + by CZ + d = Q. Векторы В Справочный материал ОА + ОВ = ОС - сложение векторов по правилу параллелограмма. а • 6 = |а| • |&|cosa - скалярное произведение векторов а и Ь. а ■ Ь = О - условие перпендикулярности векторов а и Ь. а = ХЬ - условие коллинеарности векторов а и 5. // 316 ПРИЛОЖЕНИЯ Векторы, заданные координатами АВ = (^2 - х^; у2 - координаты вектора АВ, где А{х^\ i/j; Zj), В(х^, у^; г^. Пусть а = (Xj; у^\ Zj), Ь = {х^\ у^; Zg); а ± Ь = (Xj ± Xg; у^ ± у^; Zj ± Zg); ka = (AXj; Аг/j; ftZj); 5 • 6 = XjXg + y^i/2 + ZjZg; ^-K-h. Уг = k- условие коллинеарности ненулевых векто- ров а и b; x^Xg + у^у^ + ZjZg = О - условие перпендикулярности ненулевых векторов а и &; \a\ = -\Jx^ + у^ + !^ - длина вектора а = (х; у; г); XjXz +У1У2 +^1^2 cos(a;b) = r? ^ H'FI +У\+^-4^2+у1-^ 4 1 1 1 1 \d 1 Л- ✓ / \ V МНОГОГРАННИКИ Куб d = ayl3; S„ = 6a2; V=a^. Прямая призма «п = «6 + 2S„; S, = P^-h; v=s - л. о Наклонная призма АВС - перпендикулярное сечение. Sn = Se + 2S„; V=S^-h. Справочный материал Пирамида = ■s'e + К=-5 • h. 3 ” Для правильной пирамиды Sg = • Ag, 2 где А, - апофема; s. = - СОЗф Усеченная пирамида Sjj = Sg + Sj + Sg, где Sj и Sg - площади оснований; F = iA(S,+V^+S2). Для правильной усеченной пирамиды S. S-= 2ягА; S„ = 2тггА + 2лг^; У = лг^А. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Цилиндр г.-* Конус Sg = %rl; S„ = nrl + лг^; У = -яг^А. 3 317\ ПРИЛОЖЕНИЯ • -••«•••••«•A S • Усеченный конус Sg = nl(R + г); V = ^nh{R^+Rr + r^). Шар и сфера 8^ = 4яЯ“; V = lltfl’. шара g Сектор и сегмент V =-KR^h; сект g ’ Тор У = 2nW- Предметный указатель - - • ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсцисса точки 6 Аппликата точки 6 Апофема пирамиды 152 Биссектор двугранного угла 106 Боковая поверхность конуса 191 - пирамиды 152 - призмы 136 - цилиндра 184 Боковые грани пирамиды 152 - призмы 136 - ребра пирамиды 152 Большой круг шара 200 Векторы 31, 33 - компланарные 33 - приложенные 33 - противоположные 39 Векторное пространство 304 Вершина конуса 191 - многогранника 129 -многогранного угла 119 -пирамиды 152 -трехгранного угла 112 Винтовое движение 85 Вневписанный шар 289 - второго рода 290 Вписанные тела 209 Высота конуса 191 -пирамиды 152 -призмы 136 - цилиндра 185 - шарового сегмента 202 Геометрические щ)еобразова-ния 61 Геометрическое тело 124 Геометрия 302 Гомотетия 90 Грань двугранного угла 105 -многогранника 129 -трехгранного угла 112 Группа симметрии 166 Движение 61 - второго рода 85 Двугранный угол 105 Действия над векторами 38 Диагональ многогранника 129 -параллелепипеда 144 Диагональная плоскость 137 Диагональное сечение пирамиды 152 -призмы 137 Диаметр тела 125 - шара 200 Длина вектора 32 Додекаэдр правильный 165 Измерения 144 Икосаэдр правильный 165 Касательная плоскость к конусу 191 - цилиндру 185 - шару 201 Касательные сферы 202 Комбинации тел 208 Конус 191 -прямой, круговой 194 Координатные оси 6 - плоскости 6 Координаты вектора 31 - точки 6 Коэффициент гомотетии 90 Кривые второго порядка 193 Куб 144 319 ПРИЛОЖЕНИЯ Линейный угол двугранного угла 105 Метод координат 25 Многогранник 129 - вписанный 209 - выпуклый 130 - полуправильный 166 -правильный 164 Многогранный угол 119 - выпуклый 119 Модуль вектора 32 Начало координат 6 Нормаль к плоскости 55 Нулевой вектор 32 Образующая конуса 191 -цилиндра 185 Объем конуса 243 - куба 223 - параллелепипеда 224 - пирамиды 242 - призмы 229 - тела вращения 255 -тора 262 - цилиндра 229 - шара 256 - шарового сегмента 256 Октаэдр правильный 165 Описанные тела 209 Орты 40 Осевое сечение 154 Основание конуса 193 -пирамиды 152 Основания призмы 136 -цилиндра 184 Ось абсцисс 6 - аппликат 6 - конуса 191 - ординат 6 - симметрии 74 - тела вращения 179 Параллелепипед 144 - прямой 144 Параллельный перенос 78 Пирамида 152 - правильная 152 Планиметрия 3 Плоскость опорная 126 - симметрии 68 Площадь поверхности 266 -конуса 192, 267 -многогранника 130 - пирамиды 153 - призмы 137 - сферического сегмента 268 -сферы 268 -тора 269 - цилиндра 186, 267 Поверхность тела 125 -вращения 180 Поворот 73 Подобные фигуры 92 Полюса шара 200 Правило параллелепипеда 39 - многоугольника 39 - треугольника 38 Преобразование подобия 91 Призма 136 -наклонная 136 Применение векторов 53 - координат 25 Пространственная область 125 - теорема Пифагора 8 Равные векторы 32 - фигуры 85 Радиус конуса 191 - шара 200 -цилиндра 184 Развертка конуса 192 - многогранника 130 -цилиндра 186 Разложение вектора 40 320 Предметний покажчик Ребро двугранного угла 105 - многогранника 129 -призмы 136 -трехгранного угла 112 Симметрия относительно плоскости 67 — прямой 74 — точки 62 Система координат 6 — сферическая 27 — цилиндрическая 27 Скалярное произведение векторов 46 Стерадиан 120 Стереометрия 3 Сфера 18, 200 Сферический пояс 202 Телесный угол 119 Тело вращения 124 -геометрическое 179 Теорема Гу льдина 261 -о трех косинусах 114 - Пифагора обобщенная 9 - Эйлера 131 Тетраэдр 152 -правильный 165 Тор 210 Трехгранный угол 112 - прямой 113 21-Qaometrtya. 11 М <Ш8) Угол между векторами 45 - естественного уклона 194 Урбшнение плоскости 18 - прямой 19 -сферы 18 Усеченная пирамида 154 Усеченный конус 192 Фигуры вращения 179 - подобные 92 Центр гомотетии 90 • правильного многогранника 164 -симметрии 63 -шара 124 Центроид тетраэдра 53 - п точек 26 Цилиндр 184 -круговой, прямой 186 Шар 124, 200 Шаровой сегмент 202 - сектор 202 Экватор шара 200 Эллипс 180 821 V ОТВЕТЫ 15.'3\^. 16. -4. 17. Нет. 19. (0; -2; 0). 22. в) Равнобедренный, Р = 6(1 + 73), S = 9n/2. 23. а) Квадрат, S = 25. 25. 60°. ч/б 26. arccos 29. (-0,25; 0,25; 0). 30. (2; 2; 2) или (-2; -2; -2). 31. (3; 9; 0) или (2; 8; 0). 32. а) (0; 0; 0); (0; 0; 6); (0; 0; -4); 47б - 2у1з] ; 0; —I или или (0; 0; 3 ± л/зз). 34. В^(0; 0; 2л/з), Dgf-—0; 35. а) Точки отрезка АВ, где Л(6; 0; 0), В(0; 0; 8); б) таких точек не существует. 46. В(0; 9; -6). 47. А(5; -4; 0), В(-7; 5; 6). 48. 5; 50. А(4; -2; 8); С(0; -8; 4). 52. а) Да; б) нет. 54. С(1; -3; 6); Z)(6; 0; -1). 55. а) (-1; 2; 0); в) [з; о]. 56. [|; 3; з]. 57. а) а = -2; 5 = 2. 58. Л = Зл/2; S = 9^2. 59. а) л/2; б) 30°; 30°; 120°; в) 2-М. 61. 3. зМ-1, 7-гМ 2 ’ 2 4М 62. а) (^5_ 5, 5 ,3’3’3, ; б) (1; 2; 2). 63. б) 65. С(-7; -4; -1). 66. | '884 2; 67. . 68. 2М. 70. а) SO = arcsin^. 84. (х + 2)^ + (у - 1)^ + (z - 3)^ = 9 или + (I/ - 2)2 + (Z - 1)2 = 9. 85. (6; 0; 0) и (-2; 0;0). 87. 8я. 88. а) {х + 2)2 + (у - 3)2 + (z - 1)2 = 1. 89. а) (1; -2; 1), В = 5. 92. I/ - Z = 0. 93. Z = 4. 94. 4д: - 11у - 6z = 0. 95. м/^;|;0 М ^-;0; --5 5 . 98. х+1 у-4 Z-2 -3 99. (4; 7; 9). 100. ' 3 3 3 12 22 3 и 102. (X - 2)2 + (у - 2)2 + + (Z - 1)2 = 9. 103. х2 + I/ 2 + (2 + 1)2 = 29. 105. а е -8) и |322.^.-i^:, Ответы u (-2; 2) u (8; oo) - общих точек нет, а е (-8; -2) и (2; 8) - пересекаются, а = ±8 — внутреннее касание, а = ±2 — внешнее касание. 109. x + y + z- 2 = 0. 112. Прямоугольный параллелепипед. 113. Нет. 114. 7\/2п. 115. 2 : 1. 127. П(6; 6; 6) или Д-2; -2; -2), Л = 4>/з. 129. 2 : 3. 130. а) Да. 131. 132. —. _______ 6 4 133. 9ч/з. 136. 6о2. 140. 3:1. 142. (2a±V5b^-а^ J:5. Желатель- а%/5 /— но выполнить исследование. 143. —144. 3. 145. 2V14 или 162. А(-8; 0; -1). 165. а) Да; б) нет. 166. X = ±3. 171. 2>/б 2S 2Тб' или 2Тб 2S 2>/б . 172. (2; 4; 6) или (6; 4; 2). 173. а) (2; -8; 8). 175. (-4; 1; 1). 176. б) а = 3 и 5 а = -1; г) а = -- и а = 3. 177. б) m = -3; в) m = 2; г) m = 1. О ____ _______ 178. а) Нет; б) да. 179. а) Да; б) да. 180. Да. 203. и ч/т. 205. (2; 3; -1). 207. Да. 208. а) k = -5. 213. а) х = 4; у = -3,5; 2 = 1. 214. (4; -4; -2). 215. л/14’лЯ4’ n/14 . 217. Р(2; 5; 0) или jP(6; -7; 4). 218. б) а = -2; в) а = 1. 219. о = -2; Ь = —. 3 220. а) Нет; б) да. 222. о = 2; Ь = -3; с =1. 233. а) 40°; б) 130°; в) 140°. 235. а) 72; б) -72. 237. а) 16; в) 150. 239. а) 45°; б) 120°; в) 135°; г) 60°. 241. а) х = -9; в) х = 1; г) х = -4; х = 3. 242. 6. 243. а) 30°; б) 135°. 244. а) 1; б) 5. 245. а) |а-)-б| = |а-ь| = = ч/2; r)|o-i-&| = >/l3; |а-ь| = ч/^. 250. arccos —. 251. а) Д-0,5; 0; 0). ^ 7б 252.1 = -10. 254. а) 174; б) 0; в) 2. 256. п - arccos—. 257. (2; 2; 2) 6 5 или (-2; -2; -2). 258. а) arccos 0,7; б) arccos 0,7. 259. arccos—; 6 2 11 1 arccos-; arccos—; arccos-. 272. 2x - 3w -I- 2 - 16 = 0. 273. arccos—. 3 6 3 ^ 9 274. arccos275. x - у + 2г = 0. 279. +b^ +2abcos(p. 283. +b^ +c^. 285. arcsin—. 290. arcsin—. 292. .52^. 6 6 3 323 293. Зл/2 10 . 294. a) 2 при ж = 0; б) 10 при х = 0,6. 310. + + (у ~ .5)^ + (z + 6)^ = 4. 316. Нет. 317. а) Нет; в) нет. 322. ж - 21/ + Зг + 2 = 0. 323. = = 34I. 2<р, если 11-1 Ф < 45°, 180° - 2ф, если ф > 45°. 343. 5. 344. 3. 345. 4. 350. 2. 353. 4JC - Зу + Z + 3 = 0. 355. д: + 2у - 5г + 11 = 0; + + (у + 3)2 + (2 - 7)2 = 30. 357. 3 м. 358. Нет. 361. (-3; 0; -3). 374. Таких поворотов существует огромное количество. 375. (1; 0; 2) или (1; 0; -2). 379. Если п - число четное, то одну. Если данная пирамида - правильный тетраэдр, то 3. 382. Да. 385. 9. 394. 4. 395. Да. 396. Нет. 410. (-3; 5; -4). 411. (-3; 13; 0). 414. А'(0; 5; 2); В'(-3; 3; 3); С'(-2; 3; 1). 415. а) Да; б) нет. 417. Нет. 419. а) Да; б) нет. 420. Не всегда. 429. 30°. 431. Да. 432. Да. 433. 2-Ла. 434. а) (0; 8; -7). 435. = = 436. X + у - 222 + 69 = 0. 448. а) (-2; 4; -1); б) (4; 12; -3). 449. (х + 1)2 + у2 + (г + 2)2 = 14. 455. Да. 461. Нет, если пирамида не является правильным тетраэдром. 463. Да. 464. Не обязательно. 466. Да. 485. Да. 488. а) х2 + (у - 3)2 + + (2 + 9)2 = 36; б) х2 + (у + 2)2 + (2 - 6)2 = 16. 489. а)2х + у-- 32 + 12 = 0; б) 2х + у - 32 - 18 = 0. 492. Да. 493. Нет. 497. а) (10; 0; 20); б) (-8; 0; 20). 501. 16 см2. 502. 0.01S, 0,045 ..., 0,815. 504. Нет. 506. v2 : 1; пирамиды не подобны. 507. Нет. 508. VV5-2. 520. 8л/з см. 523. 15 дм. 524. 5 дм. 525. 2,8 дм. 526. 24^/з м. 527. 75°. 528. 120°. 529. 10°. 532. а) sirccos—; б) arccos—. 533. 45°. 535. 120°. 538. arctg2. 4 4 539. . 540. 6 см и 16 см. 541. 22 см. 543. +Ь^ +с^ -2Ьсcosф. 545. 45°. 564. А = В = С = arccos -. 567. ^2^. 568. arccos—. 3________________2 3 570. 7 см. 571. 4>Л7 см. 573. 0,5>/aV+aV+&V. 574. 14 см. г~ г“ cos ос 576. 2v5 см. 577. aV3. 578. arccos--. 579. а, а и ф, где а cos — 2 cosa = ctgA, cosф = ctg2A. 581. a, где cosa = 582. 15° и 75°. О 585. Да. 608. Невыпуклый существует. 630. Шар. 632. а) Сфера; б) шар; тело; в) внутренняя область шара; про- 324 ! I i i Ответы странственная область. 633, Тело. 634. Нет. 635. Пространственная область. 636. Существует. 637. 3 см. 638. \1а^ +Ь^ +с^. 639. а< h< ау/з. 641. Да. 644. 1. 645. Нет. 646. Да. 647. 2у/2. 648. а) a^/3; б) Ол/З. 649. aS. 650. — < Л < а. 651. Злг -Ь 4г - 28 = = 0. 652. X = 0; у = 0; Z = 0; X + у + Z = 3. 665. Тетраэдр. 666. 8. 667. 9. 668. Да. 670. 4л/3см^. 671. 6 см. 672. 7 граней, 12 ребер, верпшн. 673. 18 м2. 674. 2 678. а2 IS --+ 8Шф 2 , S » 2,3 м2. 680. Нет. 684. Покажите, что ” Зл рассматриваемый л-гранник имеет — ребер, а вершин л. 2 3/1 3/1 686. Рассматриваемый л-гранник имеет — ребер и — вер- шин. Дальше примените теорему Эйлера. 687. 360°(л - 2). 707. а) d2sin(pcos(p; б) 2\[2 d2sin(pcos(p. 709. 4 см. 712. 2л/25. 715. 120°. 716. 2J2 см. 717. S = 906 см2; 240 см2. 7^3 300. о 719. , S « 92,4 см2. 720. ^s. 721. ^/з tg-. 722. 360 см2. 16cosa 2 ц [Б a п 6b^COS — 725. Зл2. 726. —. 727. 2sin-. 728. ----. 5 2 vl-2cosa 729. a) a^y[3{2 + yfl3) _ a^S(4 + y/7) 6) . 730. s 2sina-(-lH- — 2 731. ;^-^f\/4-3cos^a + l). 732. eJsf -Sf. 733. arctg— 3cosa\ / V .s 1 ^ a^yfS о2(2л/3-с1§а) 734. , если a < 30°; -------;=------, если a > 30°. byf2 ( cos a ■v/Ssina 737. h = 3,9\l2 дм; d = 7,S\l2 + yj2 дм. 748. 12 см2. 751. 45°. 752. a2 -b 62 = ^2 753 q 7 j2 cm. 755. a>/2 и 2a. 756. 9 CM и 13 см, 757. (96 + 15л/3) см2. 753 30 cjj2_ 759. arcctg2. 760. 13л/2 см и 26 см. 762. 10 см2. 734 Нет; б) нет. 767. Нет. 768. 5>Яз см. Воспользуйтесь раз- 325 верткой призмы. 769. 2d^ sin a^yjcos^ a-sin^P+sinpj. 770. arccos Usin^ a + sin^ P j. 771. .772.96>/io cm^. ' ' vcos^a-sin^cp 773. 336 см2. 774 ig ^^^2. g) 4^ ^„2 775 4^ ^„2 j, ^Зл/З см^. 776. a^/3. 777. 560 см^. 778. i£-^. 779. —см^. 3 3 782. d, = a^/6; = ay/2. 783. 8r2 + -. 798. 24 cm. 2 799. 2 (3 + ^/3). 800. a) 128л/з см. 801. a) а^ТЗ; б) 4n/3/2 зТзл^ 803. a) — —6) 373A^ctgactg-; 4cosa 2 b) b) д) 4sin^Pcosp 2cosa S « 194,5 см2. 806. g07. . 809. 4>/з см. 810. 30°. о fou2 о / ,_______ V 6\l3d^ctg— 3v36cosP/r ~ ^ . ^2 --------tl|y4-3cos^P + cosP|; r)----—• sin 2a зУз;^(У4-з^р>^^ За^'ДЗ cos a 2 COS a 2 cos a r-„-^ a2^2+^/7) . о 811. ah + ay!a^+h^. 812. —--L 813. a2. 815. + 2 ^ cos (X + 8ie. 817, 8J8 ocoso^ ” " 2 Y 8 cos a 2 cos 2>/3d2ctg^ /2 ^________ ). - -- . ■ - 820. — cosavl + cos^ a. 821. 7 cm. 3 sin 2a 2 825. 50J7 CM. 826. 3a2(V2 + 1). 827. 2 cm. 828. 30°; 60°; 120°; 819. 822. 75 см2. 60°. 829. - 834. —(6 + n/7 + 3n/s). 836. 3 cm; 7i-arctg—. 837. o^>/4+^. 2h^cosa 2 a cos — 2 . 830. —. 832. 2V2 cm. 833. 4 см2. 15 839. 840. Эа'* 2Vl-2cosa 841. arccos 72ra^ - /П m I 326 ■ Ответы 842. 843. 6V3 см^ 844. i®. 845. . V 3 25 IGcosa 848. Может. 862. 1 : V2. 863. Да. 864. а) Нет; б) да; в) нет. 868. arccos^; 90°. 869. л/2 дм. 870. 16 см^ и 8л/2 см^. О 872. .1^^. 874. а) arccos-; б) n-arccos-. 879. а^\[з. 880. ^ . V 6 3 3 _____^ 882. Зт^725 + 10^. 885. aN/2. 886. —; aV2.893. 3 16 913. 10л/2я см; 20Т2я см. 923. 0; Зла; ла. 924. лtga. 925. а) 272 см; 16 см^; б) см; ^ см^. 944. см и 1,5.1— см. 945. —. 946. 2лг^1да.'947. -л^^(1 + ctg—). 950. rh. V л 4л 2 2 I I 953. ^ sin2p ggg ^ g g RcT. 2sin-2 960. 961. —Л CM^. 962. a) 10л7195 см^; б) 10л7147 см^. 2 3 963. 160 см^ или 72 см^. 964. 290л см^ или 528л см^. 965. 72 см; arcctgTsS. 966. —7l + sin^a. 967. 24л см^. 2 968 . 0,5ла^Т2. 969. г = /t = —970. 7rf^cos^а + г^sin^а. 974. + 984. 60°. 985. вТз см^. 986. arctg0,5. cos а 1 3 987. а) 2 arcsin—; б) 60°; в) 2 arcsin—. 988. » 23 м^. 989. 4 дм; 4 4 о Г- 36 дм2; arcsin 0,8. 990. 992. ла^(2 + 72). 993. а) 80л см^; COSrt б) 36л см2; 3) 60л см2. 993 999 ^ юоо. (1-cosa) л^ -l’ I 1001. 500 см2. 1002. ?-Р. 1003. arctg—. 1 327 4 1004. ctg^(p-ctg^a Ф . 1005. —. 1006. n/15 : ^/7.1007. nl^cosa : - 7Tsinactg(pctg— 2 X (3 + 5cosa). 1008. nZ^sina. 1009. arccos b-a 1010. 2у/3па^. 1011. 84n/3t:. 1012. ЗООл. 1013. +P) (gin(a+P)+sinp). sin'^asinp . 1015.2arcsin| —11029.10 cm 1014.- Z sin a sin 2a sin Ф cos2a+cos2(p I 2л a+P и 24 CM. 1030. 64л CM^. 1032. 10 cm или 70 см. 1033. 10 см. 1035. —. 1036. S = л(4 - x% 1038. см. 1039. 24 см. 3 3 1040. 6 см. 1041. 288 см^; 96 см. 1043. — см. 1044. 8; (х - 2f + 3 + (у - 2)^ + (z - 2)^ = 4. 1045. а) Две плоскости, параллельные данной плоскости; б) сфера радиуса г. 1048. Киев » 26 тыс. км. 1049. Расстояния равны. 1050. 0(8; 4; 2), R = л/^. 1051. Касаются. 1052. 1053. 4л/т см. 1054. 6л/б см. 9 1055. 4^3-4sin^^ см. 1057. Сфера радиуса Гл/З с центром О, где г и О - радиус и центр данной сферы. 1059. -(5 ± лЯз). 3 1060. (1 + ^/^5)г. 1061.1,5г. 1079. 3^/3л см. 1081. '•^gactg^-;« 22 м^. 2 1082. 144 см2. 1083. 4^3 см. Ю85. 4л/1з см или 6л/13 см. 1087. 32л см2. 1088. -------^-------. 1089. 4sin^2acosP sin(a+3) I--------- я2 1090. rsin2atga. 1091. a) Va^+6^+c^. 1092. —(11 -I- 3>/5). Jq Jo 1093. 30°. 1094. —a;—a;-. 1095. 3rP. 1096. у/r?. 6 2 2 r- 1 R \l2RH 1097. л-arccos—. 1098. —. 1099.---?=~* 1101. 4ят 15 Я + >/2Д‘ cosa(4 + tg'^ a) 8ina + 8inP+sin(a+P) 4 328 / О Ответы 1105. 1,2. 1106. 45°. 1107. 1108. а(2 - -В). 1109. —. 4 2 1121. 1,95 дм®. 1122. 17500 м®. 1123. а) >/о®; б) — 9 1124. 392 см®. 1125. ^27V®. 1126. id®sin2acosa; « 6 дм®. 4 ______ 1127. 9 см. 1129. 30 дм. ИЗО. 6 см. 1134. abtga-Ja^ +Ь^. 1 а® 1135. 19 дм®. 1140. 20лЯТ см®. 1144. V: 6. 1145. - дм®. 1146. —. 6 3 1158. —d^cos^asina. 1163. 4аг®. 1165. 672 см®. 1166. 750 м®. 4 1167. 39 000 м®. 1168. -d® sinacos^ а. 1172.180л см®. 1176. 4 : 9. 4 1188. — a^tg54°. 1194. а) — A^ctg®/2. 9 J4 1217. — а® sin а. 1220. 10 530>/2 см®. 1222. 672 см®. 1230. Секу-4 щая плоскость проходит через точку, которая делит сторону основания призмы в отношении 1 : 2. 1233. nr^l. 1248.------. О О ^ ^ 2 1252. а) —Ь^sinacos^ а; б) —Ь^ cospsrn^Р; в) —6®cos^у.^/-со82у. —3 /т^-ч/й /--------- 1254.—. 1255. 1256.112 см®. 125а a)^sin^aV3-48in*a. 16 12 3 1261. 1262. —. 1263. 1 : - 1). 1264. 1 день. 3 6 , ah I-------- “ * 1265. Нет. 1269. —л/За^-Ь^. 1274. 10. 1278. 12 6 • 1279. -с^)(а^ +с^ +с^-а!^)'. 1280. 3 : 5. 6v2 1281. ^r®sm2asina. 1282. 2 j 1285. ^l + >/2jF®. 1295. —Td^sinacos^a. 1296. 6 cm. 1297. 8n m®. 1298. В 8 раз. 1305. ®!E2^ см. 1308. —jir®sin^2acos^a. 3 3 I! 329 n Ответы 1439. -тш^и — па^. 1441. 148л см^. 1446. ( —+ аМ 1:(а + М) и 3 9 1^4л J ^ ^ ——ам\.(а-М), где = ^ - а^. 1450. Да. 1451. Напри- 4п ) 2 ( мер, симметричный многогранник, составленный из семи равных кубов. 1452. Воспользуйтесь теоремой Эйлера. 1454. —ah. 1455. 45°. 1457. 5>/2см. 1458. 12 см. 1459. 60°. 3 зТз 2 1460. ---а . 1461. Правильный шестиугольник. 1464. 1 дм. аЬс 1465. 108° < ф < 180°. 1466. —л/315-12%/42. 1467. 18 аЬ + ас + Ьс 1469. SQ г, где S и Q - площади оснований. 1472. 5 см. 1474. Сфера. 1475. 5, 6, 7 или 8. 1476. Прямая или вся плоскость, или пустое множество. 1479. Сфера, часть сферы или а>/б 1483. М - точка на сфере такая. точка. 1481. 8 что векторы МО и ОА + ОВ + ОС противоположно направленные или сонаправленные. О - центр сферы. 1484. 15г^. 1485. 40г^. 1486. 128г2. 1487. (11 - ч/Тэ) см. 1488. Такой призмой является 8ч/з 3 куб. 1489.----г . 1490. Секущая плоскость должна проходить 9 через центр симметрии параллелепипеда. 1491. — куб. ед. . 3 1493. 306 см®. 1495. 20ч/з см®. Опишите вокруг дгшной пирамиды параллелепипед, диагона ней которого - АВ и CD. 1496. , . , ,, {щ+711)[т2+П2){т^+п^) Докажите, что объемы двух тетраэдров с равными трехгранными углами относятся как произведения ребер, которые образуют эти трехгранные углы. 1497. 1 : 18. Воспользуйтесь а, 7ta^sin2cc формулой объема пирамиды. 1502. —. 1505. ------5---. 2 6 cos® 2а 1506. -пН2 - п), где о < п < 2. 1508. 60°. 1509. . пирамиды параллелепипед, диагонали противоположных гра- ЩЩЩ_________ 331 1512. гЩъ. 1513. « 62 кг. Объемы подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров. 1514. » 100 м. 1521. Если прямая GO пересекает описанную вокруг тетраэдра АВСХ). сферу в точках Р и (рис. 294), то хорда РР^, как и проходит через центроид G, поэтому DG • GD^ = PG • GPy Но PG • GP^ = (Д - GOXP + GO) = Д2 _ dq • GOj = OG x X (OOj - DG) - Z)G • OOj - DG^. Следовательно, DG • DOj = = DG^ + - GO^. Дальше выразите DG^ и - GO^ через ребра данного тетраэдра. 1522. Используйте соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим чисел 1111 т. —,——• 1525. Если I - центр вписанного в тетраэдр «л ^^в «с '^D ABCD шара, Т^ъТд- точки касания его к граням BCD и ACD, то /Гд i. CD и 1Т^ i. CD. Следовательно, плоскость IT^T^ перпендикулярна к CD (рис. 277). Обозначим буквой М точку пересечения этой плоскости с CD. Тогда МТд = МТ^. Получается, что если наложить грань ACD на BCD, то точки Тд и Т„ совпадут. Аналогично можно доказать, что точки Т„, Т D также совпадут с Тд, если грани ABD и АВС наложить на BCD, повернув их вокруг BD и ВС. Вторая часть утверждения следует из того, что все отрезки касательных, проведенных к шару из одной точки, одинаковы по длине. 1527. Из равен- ства 111 —-ь—+—+ §37 1 1 -S. следует, что — = + —^-+—^ + 3V 3V 3V 3V 'D _ и т. д. 1528. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 1530. Пусть полувписанная сфера с центром Q касается ребер тетраэдра ABCD в точках К, L, М, N, Е, F. Если Од, Од, Ор, Ojj - центры кругов, вписанных в грани 332 Ответы данного тетраэдра (рис. 295), то ДПО^М = = ADO^F. АПОдЬ = АПОдМ = АПОдЕ и т. д. Пусть Шб^ = ПМО^ = =^рА = ауСШдд=пЕОд = ОЁбд = р, ОШ^ = ОКО^ = ПЁб^ = у, OFOg = QKOg = OLOg = 5. Тогда АВ + СХ> = а + Р + у + 5,ЛС + + BD = а + р + у + 5, AD + ВС = а + р + у + 5. Следовательно, АВ + CD = АС + + BD = AD + ВС. 1531. Обратите внимание на то, что вследствие поворота данного тетраэдра на 180° вокруг его средней линии образуется тетраэдр, который накладывается сам на себя. 1532. Покажите сначала, что объем равногранно- 2 2 го тетраэдра можно вычислять по формуле V =-------S sina. Зп 1533. Используйте теорему косинусов для произвольного тетраэдра. 1535. а) Из теоремы 1^инусов для равногравного тетраэдра следует, что cosa + соаб + cosc = 1. Используйте соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим чисел cosa, cosb, cosc; г) используйте формулы теоремы косинусов для трехгранного згла; д) учтите, что в равногранном тетраэдре все трехгранные углы равны между собой, а противоположные двугранные углы также одинаковы. 1536. Радиусы вневписанных шаров любого тетраэдра можно определить по формулам. В равногранном тетраэдре площади всех граней равны между собой, поэтому Л = = С. ~ “ —• ЗУ gfi 2S М М М ''a = ^b = ^c = ^d = 2г. 1537. В равно- гранном тетраэдре центр описанного шара О и центроид G совпадают, поэтому =—{а^ +Ь^ +с^ +а^ +Ь^ +cf). Следует учесть 16 еще соотношение п^+п^ +п^ =—{а^ +Ь^ +с^ +а^ +1^ +cf). 4 гг 11111^/1 1538. Покажите, что — =—н--I--—>44 ^ ^ ^А ^ 1539. Обратите внимание на то, что диаметр вписанного в равногранный тетраэдр шара равен половине высоты этого тетраэдра. 1540. Центр О вписанного в равногранный тетраэдр шара совпадает с его центроидом G. Поэтому для каждой точки X, взятой на поверхности этого шара, сумма ХА^ + ХВ^ -f-+ ХС^ + XD^ имеет одно и то же значение (теорема Лейбница). 1541. Сформулированное в задаче утверждение следует из того, что в равногранном тетраэдре центры вписанных и описанных шаров совпадают. 1542. Обозначьте ребро правильного тетраэдра какой-либо буквой и выполните вычисления. 333 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ...................................... 3 Раздел 1. Координаты, геометрические преобразования и векторы в пространстве...................5 § 1. Прямоугольная система координат................6 § 2. Деление отрезка в заданном отношении..........12 § 3. Уравнение сферы, плоскости и прямой...........18 § 4. Применение координат..........................25 § 5. Векторы в пространстве........................31 § 6. Действия над векторами........................38 § 7. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами ..............................................45 § 8. Применение векторов...........................53 § 9. Геометрические преобразования в пространстве. Движения......................................61 § 10. Симметрия относительно плоскости.............67 § 11. Поворот и симметрия относительно прямой......73 § 12. Параллельный перенос.........................78 § 13. Композиции движений и равенство фигур........84 § 14. Гомотетия и преобразование подобия...........90 Задачи по готовым рисункам....................98 Тестовые задания.............................100 Типовые задачи для контрольной работы........101 Главное в разделе 1..........................102 Раздел 2. Многогранные углы. Многогранники........104 § 15. Двугранные углы.............................105 § 16. Трехгранные углы............................112 § 17. Многогранные углы ..........................119 § 18. Геометрические тела.........................124 § 19. Многогранники...............................129 § 20. Призмы......................................136 § 21. Параллелепипеды.............................144 § 22. Пирамиды и усеченные пирамиды...............152 § 23. Правильные многогранники....................164 Задачи по готовым рисункам...................171 Тестовые задания.............................173 334 Типовые задачи для контрольной работы.........174 Главное в разделе 2 ..........................175 Раздел 3. Тела вращения............................178 § 24. Тела и поверхности вращения..................179 § 25. Цилиндр......................................184 § 26. Конус и усеченный конус......................191 § 27. Шар и сфера..................................200 § 28. Комбинации тел...............................208 Задачи по готовым рисункам....................216 Тестовые задания..............................218 Типовые задачи для контрольной работы.........219 Главное в разделе 3...........................220 Раздел 4. Объемы и площади поверхностей геометрических тел........................222 § 29. Понятие объема...............................223 § 30. Объем прямой призмы и цилиндра...............229 § 31. Вычисление объемов тел с помощью интеграла . . . 236 § 32. Объем пирамиды и усеченной пирамиды..........242 § 33. Объем конуса и усеченного конуса.............249 § 34. Объем шара и его частей......................255 § 35. Теорема Гульдина.............................261 § 36. Площади поверхностей.........................266 Задачи по готовым рисункам....................274 Тестовые задания..............................276 Типовые задачи для контрольной работы.........277 Главное в разделе 4...........................278 Задачи для повторения..............................279 Вопросы и задания для повторения...................284 Приложения. Элементы геометрии тетраэдра ..........286 § 37. Тетраэдр и шар...............................287 § 38. Равногранные тетраэдры.......................293 Исторический очерк.................................302 Темы для научных исследований..................... 309 Дополнительная литература..........................310 Справочный материал................................311 Предметный указатель . ............................319 Ответы.............................................322 335 - у Навчальневидання БЕВЗ Григорш Петрович БЕВЗ Валентина Григор1вна ВЛАД1МВРОВА Натал1я Григор1вна ВЛАД1М1РОВ Володимир Миколайович ГЕОМЕТР1Я Шдручннк для 11 класу загальноосв1тшх навчальних закладав Акадеяинний р1вень, профЬльний рЬвень Рекомендовано MinicmepcmeoM oceimu i науки Украти Видано за рахунок державних коштхв. Продаж заборонено Переклад з украгнсъког Редактор Н. Дашко Обкладинка, 1лххпраци В. Марущинця Макет С. Железняк Художнш редактор В. Марущинець Техшчний редактор Ц. Федос1хта Комп’ютерна верстка О. Вилохвост, Л. €мецъ Коректори 1.1ванюсь, Л. Леуська Формат 60x90/jj. Умовн. дрзпс. арк. 21,0. Обл.-вид. арк. 20,78. Тираж 44020 пр. Вид. № 1135. Зам. № 11-0190. Видавництво «Генеза», вул. Тимошенка, 2-л, м. Кшв, 04212. Св1доцтво про внесения суб’екта видавничо! справи до Державного реестру видавщв сер1я ДК № 3966 в1д 01.02.2011. Вщдруковано з готових позитив1в у ТОВ «ПЕТ», вул. Ольм1нського, 17, м. Харк1в, 61024. Св1доцтво про внесения суб’екта видавничо! справи до Державного реестру видавщв сер!я ДК № 3179 в1д 08.05.2008. Тела вращения Цилиндр Конус Уравнение сферы (х - а)* + (у -Ь)^ + {г- сУ = Объемы и площади поверхностей тел V=-Sh 3 ” s = s +s. V = -nr^h 3 Sj - nrl S=nrir+l) S = 4я/^ V=—nr^h 3 Л F=-/i(r^ + rrj + rf) .2. Top F = 2n^pr^ S = 4n^pr Теорема Гульдина К=2яр5 Учебно-методический комплект «Геометрия-11» создан в соответствии с действующей программой с учетом современных тенденций развития школьного образования. Он состоит из учебника, книги для учителя и дидактических материалов. ISBN 978-966-11-0090-8 9 789661 100908 >