Учебник Геометрия 10 класс Ершова Голобородько самостоятельные и контрольные работы

/l.'H» S^bccco&a, 7(Mo^a^^i^ik(ca ГЕОМЕТРИЯ r' ^/Л»410С^(УР^(НСЛ’^ЯШ' и ря0оти ИЛЕКСА А.П. Ершова, В.В. Голобородько САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10 КЛАССА 6-е издание, исправленное Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для общеобразовательных учебных учреждений Москва ИЛЕКСА 2013 УДК 372.8:514 ББК 74.262.21-26+74.202 Е80 Рецензенты: Ю.В. Гандель, доктор физико-математических наук, профессор Харьковского Национального университета им. В.Н. Каразина; Е.Е. Харик, Заслуженный учитель Украины, преподаватель математики ФМЛ № 27 г. Харькова Перепечатка отдельных разделов и всего издания — запрещена. Любое коммерческое использование данного издания возможно только с разрешения издателя Ершова А.П., Голобородько В.В. Е80 Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.— 6-е изд., испр.— М.: ИЛЕКСА, — 2013, — 208 с. ISBN 978-5-89237-326-5 Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса геометрии 10 класса. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся. УДК 372.8:514 ББК 74.262.21-26+74.202 ISBN 978-5-89237-326-5 © Ершова А.П., Голобородько В.В. © ИЛЕКСА, 2010 2009 ПРЕДИСЛОВИЕ Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ: 1. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу геометрии 10 класса, как основному, так и углубленному. Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятельные работы — на 35-45 минут, в зависимости от темы и уровня подготовки учащихся. Внимание! Поскольку специфика оформления решений геометрических задач во многом зависит от требований учителя, советуем учителям в некоторых работах при необходимости сокращать предлагаемые варианты, ослабл5пъ требования к оформлению решений или проводить работы за 1,5—2 урока. 2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б — среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено 2 расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте. 3. В книгу включены домашние самостоятельные работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в качестве зачетных, а также использоваться как дополнительные задания для проведения контрольных работ. По усмотрению учителя выполнение нескольких или даже одного такого задания может оцениваться отличной оценкой. Ответы к контрольным и домашним самостоятельным работам приводятся в конце книги. 4. Тематика и содержание работ охватывают требования учебников «Геометрия - 10-11» Л. С. Атанасяна и др. и «Геометрия» А. В. Погорелова. Задачи в наборах к каждому из учебников не повторяются, поэтому по каждой теме в книге приведено два варианта работ. Для удобства пользования книгой приводится таблица тематического распределения работ. Наш адрес в Интернете; www.ilexa.ru Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. ВВЕДЕНИЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ СА-1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ Вариант А1 Вариант А2 Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB’, в плоскости АВС', б) плоскость, в которой лежит прямая MN; прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC. 0 Точка с— общая точка плоскостей аир. Прямая I проходит через точку С. Верно ли, что плоскости аир пересекаются по прямой I? Ответ объясните. О Через прямую а и точку А можно провести две различ- SAC и САВ. 0 Плоскости аир имеют три общие точки. Верно ли, что эти плоскости совпадают? Ответ объясните. 0 Через точки А, В и С можно провести две различные плос- Введение. Параллельность прямых и плоскостей ные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А? Ответ объясните. кости. Каково взаимное расположение точек А, В и С? Ответ объясните. Вариант Б1 Вариант Б2 Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE; прямую EF; б) прямую, по которой пересекаются плоскости AEF и SBC; BDE и SAC; в) две плоскости, которые пересекает прямая АС. прямая SB. О Прямые а, Ь и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните. е Плоскости аир пересекаются по прямой I. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость р. Каково взаимное расположение прямых а п 11 Ответ объясните. О Прямые а, Ь У1 с попарно пересекаются. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните. Плоскости аир пересекаются по прямой I. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает прямую I. Каково взаимное расположение прямой а и плоскости р? Ответ объясните. 8 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант В1 Вариант В2 В, и I I I !в с г С прямую BjC; B^CD и AA^D^ А D Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую ABj; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ADCj и AjBjB; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CBj. О Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните. О Вершина С плоского четырехугольника ABCD лежит в плоскости а, а точки А, В иВ не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и AD пересекают плоскость а в точках В^ и соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В^ и В,? Ответ объясните. с прямой BCj. О Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли, что данные плоскости имеют общую прямую? Ответ объясните. О Точка В не лежит в плоскости а. Прямые а и & проходят через точку В и пересекают плоскость а в точках А и В соответственно. Прямая I не проходит через точку В, пересекается с а и & и пересекает плоскость а в точке L. Каково взаимное расположение точек А, В и L? Ответ объясните. Введение. Параллельность прямых и плоскостей СА-2. простейшие ПОСТРОЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 В, ^1 I I Вг I в\ м С 7 1 N D По данным рисунка постройте: а) точки пересечения прямой MN с плоскостью прямой MN с плоскостью АА^В^ и прямой A^N с плос- CC^D^ и прямой С^М с плоскостью CDD^’, костью АВВ^; б) линию пересечения плоскости C^MN с плоскостью вв,с,. плоскости A^MN с плоскостью DAA,. 0 •м с. *в D На данном рисунке плоскость а содержит точки А, В, С п D, но не содержит точку М. а) Постройте точку К — точку пересечения прямой АВ и плоскости MCD. прямой CD и плоскости МАВ. б) Лежит ли точка К в плоскости а? Ответ объясните. 10 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. 0 0 D На данном рисунке А е а, Б е р, На данном рисунке точки А, В Cel. Верно ли, что С е АБ? По- и С лежат в плоскости а, Ке чему? AD, Me BD, Ne CD. Верно ли, что М е KN? Почему? Вариант Б1 Вариант Б 2 в /"1 7 1 1 1 б! А М D По данным рисунка постройте: а) точки пересечения прямой ВМ с плоскостью AAjCj и прямой D^M с плоскостью AjDB; б) линию пересечения плоскости BjAC с плоскостью BDD^. прямой см с плоскостью BB^D^ и прямой AjM с плоскостью D^AC; плоскости C^BD с плоскостью AjAC. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 11 е На данном рисунке точки А п В лежат в плоскости а, а точки С и D — в плоскости р. а) Постройте линии пересечения плоскости ABD с плоскостями плоскости CDA с плоскостями аир. аир. б) Определите, при каком расположении точки D в плоскости Р линия пересечения плоскостей ABD и р совпадает с прямой I. Ответ объясните. точки А в плоскости а линия пересечения плоскостей CDA и а совпадает с прямой I. Ответ объясните. © © D D —>С На данном рисунке вершины треугольника MNK лежат на отрезках AD, BD и ВС, а точка Р — на отрезке АС. Лежит ли точка Р на отрезке МК1 Почему? На данном рисунке вершины треугольника MNK лежат на отрезках АВ, ВС и CD, а точка Р — на отрезке MN. Лежит ли точка Р на отрезке DB? Почему? 12 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант В1 Вариант В2 На данном рисунке точка К лежит в плоскости AS В, а точка N — на отрезке AD. Постройте: а) точки пересечения прямой BN с плоскостью ASC прямой CN с плоскостью SBD и прямой СК с плоскостью и прямой DK с плоскостью SBD-, ASC; б) линию пересечения плоскости SKC с плоскостью плоскости SKD с плоскостью SBN. SCN, О •М D На данном рисунке точки А, В, С и D лежат в плоскости а, а М ^ а. а) Постройте линию пересечения плоскостей МАВ и MCD. плоскостей MAC и MBD. б) Определите, при каком взаимном расположении точек А, В, С и D линия пересечения данных плоскостей не будет пересекаться с плоскостью а. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 13 е е На данном рисунке изображено сечение куба плоскостью. В чем ошибка данного рисунка? Дайте объяснение. СА-3. ПРИМЕНЕНИЕ АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЙ В ЗАДАЧАХ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Вариант А1 Вариант А2 Стороны АВ и АС треугольника АВС лежат в плоскости а. Докажите, что и медиана AM этого треугольника лежит в плоскости а. О Прямая а лежит в плоскости а. Прямая Ь пересекает плоскость а в точке В, не лежащей на прямой а. Докажите, что прямые а и & не пересекаются. О Докажите, что через две точки можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей? Точки А, В и С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что данные точки лежат на одной прямой. О Прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и BD не пересекаются. О Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей? 14 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 Докажите, что если через прямую а и точку А можно провести единственную плоскость, то А г а. 0 Из точки А, не лежащей в плоскости а, проведены три луча, пересекающие плоскость а в точках В, С и D. Прямая Ь пересекает эти лучи в трех различных точках. Докажите, что точки В, С и D лежат на одной прямой. 0 Прямые а и Ь пересекаются. Докажите, что существует плоскость, содержащая только одну из двух данных прямых. Сколько существует таких плоскостей? Докажите, что если через три точки можно провести единственную плоскость, то эти точки не лежат на одной прямой. 0 Плоскость а и плоскость треугольника АВС имеют общую точку А. Точка D — середина отрезка АС. Прямые ВС и BD пересекают плоскость а в точках Cj и Z)j. Докажите, что точки А, Cj и Dj лежат на одной прямой. 0 Прямая а и плоскость а пересекаются. Докажите, что существует плоскость, пересекающая и прямую а, и плоскость а. Сколько существует таких плоскостей? Вариант В1 Вариант В2 Из четырех данных точек одна не лежит в плоскости, определяемой тремя другими. Докажите, что этим свойством обладают и три другие данные точки. Дано п точек (л > 4), среди которых любые четыре лежат в одной плоскости. Докажите, что все п данных точек лежат в одной плоскости. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 15 0 Даны плоскости а, (3 и у. Докажите, что если линия пересечения плоскостей аир пересекается с линией пересечения плоскостей а и у, то плоскости а, Р и у имеют ровно одну общую точку. О Три прямые пересекаются попарно, но не имеют общей точки. Докажите, что существует плоскость, пересекающая все три данные прямые. Всякая ли плоскость обладает таким свойством? 0 Даны плоскости а, Р и у. Докажите, что если линия пересечения плоскостей аир пересекает плоскость у, то плоскости а, Р и у имеют ровно одну общую точку. 0 Три прямые имеют общую точку. Докажите, что существует плоскость, пересекающая все три данные прямые. Всякая ли плоскость обладает таким свойством? СА-4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 в Треугольник АВС и квадрат AEFC не лежат в одной плоскости (см. рисунок). М N Квадрат ABCD и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости (см. рисунок). 16 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Точки К И М — середины отрезков АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что КМ || EF, б) Найдите КМ, если АЕ = = 8 см. О Отрезок АВ не пересекается с плоскостью а. Через концы отрезка АВ и его середину — точку М — проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А^, Bj и Mj соответственно. а) Докажите, что точки А^, В^ и Mj лежат на одной прямой. б) Найдите AAj, если ВВ^ = = 12 см, MMj = 8 см. О Прямая с пересекает параллельные прямые а и Ь. Докажите, что прямые а, Ь и с лежат в одной плоскости. Точки А и D — середины отрезков КМ и NL соответственно. а) Докажите, что KL || ВС. б) Найдите ВС, если KL = = 10 см, MN = 6 см. О Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через точку М — середину отрезка АВ — и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Mj и Bj соответственно. а) Докажите, что точки А, В^ и Mj лежат на одной прямой. б) Найдите BBj, если ММ^ -- 4 см. О Даны пересекающиеся прямые а и Ь. Прямая с параллельна прямой а и пересекает прямую Ь. Докажите, что прямые а, Ь и с лежат в одной плоскости. Вариант Б1 Вариант Б2 Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точки Е, F, М, К — середины отрезков АВ, ВС, CD и AD соответственно. Точка А не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки Р, R, S и Т — середины отрезков АВ, AD, CD и ВС соответственно. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 17 а) Докажите, что EFMK — параллелограмм . б) Найдите периметр EFKM, если АС = 6 см, BD = 8 см. е Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке С. Через точки А VI В проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках A^vi В а) Докажите, что точки А^, В^ и С лежат на одной прямой. б) Найдите АВ, если АА^ = = 9 см, ВВ^ - 3 см, АС = = 6 см. Ф Докажите, что все прямые, пересекающие каждую из двух параллельных прямых, лежат в одной плоскости. а) Докажите, что PRST — параллелограмм . б) Найдите АС, если BD = = 6 см, а периметр PRST равен 14 см. Ф Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках В, и Cj. а) Докажите, что точки А, В^ и Cj лежат на одной прямой. б) Найдите СВ, если ВВ^ - - 12 см, CCj = 4 см, АС - - 5 см. Ф Докажите, что все прямые, параллельные одной из двух пересекающихся прямых и пересекающие другую, лежат в одной плоскости. Вариант В1 Вариант В2 Точка М, лежащая вне плоскости треугольника АВС, соединена с его вершинами. Точки D и Е — точки пересечения медиан треугольников МАВ и МВС соответственно. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точки К и М — точки пересечения медиан треугольников ADB и DBC соответственно. 18 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. а) Докажите, что ADEC — трапеция. б) Найдите DE, если АС = - 12 см. а) Докажите, что КМ || АС. б) Найдите АС, если КМ = = 6 см. Дан параллелограмм ABCD и плоскость а, не пересекающая его. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А^, В^, С^ и Найдите = 12 см, = 6 см. DD^, ВВ, ^ если 7 см. СС, = е Через прямую а проведена плоскость а, а через прямую Ъ — плоскость р. Плоскости аир пересекаются по прямой с. Докажите, что если с не пересекается с а и Ь, то а I Ь. ВВ, = DD^ = Найдите АА^, если = 5 см, CCj = 4 см, = 7 см. 0 Прямая с не имеет общих точек с плоскостью Y- Через прямую с проведены плоскости аир, пересекающиеся с плоскостью Y по прямым а и Ь соответственно. Докажите, что а \\Ь. СА-5. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Вариант А1 Вариант А2 Плоскость а проходит через основание AD трапеции ABCZ). Точки Е и F — середины отрезков АВ и CD соответственно. Докажите, что EF || а. Плоскость а проходит через сторону АС треугольника АБС. Точки D и Е — середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что DE || а. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 19 0 в треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D такая, что BD: ВА =1:3. Плоскость, параллельная прямой АС и проходящая через точку D, пересекает отрезок ВС в точке а) Докажите подобие треугольников DBD^ и АВС. б) Найдите АС, если DD^ = - 4 см. 0 Плоскости аир пересекаются по прямой с. Плоскость Y, параллельная прямой с, пересекает плоскости а и р по прямым а и 6 соответственно. Докажите, что а || р и 6 || а. Вариант Б1 0 Точка D лежит на отрезке АВ, причем BD : ВА =1:4. Через точку А проведена плоскость а, а через точку D — отрезок DD^, параллельный а. Прямая BD^ пересекает плоскость а в точке С. а) Докажите подобие треугольников DBD^ и АВС. б) Найдите DD^, если АС -= 12 см. 0 Параллельные прямые а и Ь лежат в плоскости у. Через прямую а проведена плоскость а, а через прямую Ъ — плоскость р так, что плоскости а и Р пересекаются по прямой с. Докажите, что с || у. Вариант Б2 Точка А лежит в плоскости а, параллельной прямой а. Через точку А проведена прямая Ъ, параллельная прямой а. Докажите, что прямая Ъ лежит в плоскости а. 0 На стороне AD параллелограмма АВСП выбрана точка А^ так, что DA^ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку А^ и пересекает сторону CD в точке С^. Прямые а и Ь параллельны. Через точку В, лежащую на прямой Ь, проведена плоскость а, параллельная прямой а. Докажите, что плоскость а проходит через прямую Ь. 0 На стороне ВС параллелограмма ABCZ) выбрана точка так, что CjB = 3 см. Плоскость, параллельная диагонали АС, проходит через точку и пересекает сторону АВ в точке А^. 20 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. а) Докажите подобие треугольников C^DA^ и АВС. б) Найдите АС, если ВС = = 10 см, AjCj = 6 см. 0 Докажите, что если каждая из двух пересекающихся плоскостей параллельна данной прямой, то линия их пересечения также параллельна этой прямой. а) Докажите подобие треугольников ADC и С^ВА^. б) Найдите AD, если А^С^ = = 4 см, АС = 12 см. 0 Точка S не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что линия пересечения плоскостей SAB и SCD параллельна плоскости параллелограмма. Вариант В1 Вариант В2 Отрезки AAj, BBj и СС^ не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости А,СВ,. 0 Точка М не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. На отрезке AM выбрана точка Е так, что ME : ЕА =2:3. а) Постройте точку F — точку пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. б) Найдите АВ, если ЕЕ = = 10 см. Через точку О — точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD — проведена прямая КМ, не лежащая в плоскости АВС, причем О — середина отрезка КМ. Докажите, что прямая КВ параллельна плоскости AMD. 0 Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке ВМ выбрана точка F так, что МВ : ВВ = 1: 3. а) Постройте точку К — точку пересечения прямой МС с плоскостью AFD. б) Найдите FK, если AD = = 16 см. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 21 е Плоскости а, р и у попарно пересекаются. Докажите, что если существует прямая, параллельная двум из данных плоскостей и пересекающая третью плоскость, то плоскости а, Р и у имеют только одну общую точку (рассмотрите три случая взаимного расположения плоскостей). е Плоскости а, р и у попарно пересекаются. Докажите, что если не существует прямой, параллельной каждой из данных плоскостей, то плоскости а, р и у имеют только одну общую точку (рассмотрите три случая взаимного расположения плоскостей). СА-6. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Вариант А1 Вариант А2 Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Среди прямых, проходящих через любые две из данных точек, укажите прямую, которая является скрещивающейся с прямой АВ. с прямой ВС. Ответ обоснуйте. 0 Прямые а н Ь — скрещивающиеся. Известно, что прямая а лежит в плоскости а. параллельна плоскости а. Определите, может ли прямая Ь: а) лежать в плоскости а; б) быть параллельной плоскости а; в) пересекать плоскость а. Ответы подтвердите чертежами или обоснованиями. 22 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. © Прямая а параллельна плоскости а. Постройте прямую, лежащую в плоскости а и скрещивающуюся с прямой а. © Точка А не лежит на прямой а. Постройте прямую, проходящую через точку А и скрещивающуюся с прямой а. Вариант Б1 Вариант Б2 Дан куб ABCDA^B^C^D^. Укажите три прямые, проходящие через точку D и скрещиваю- через точку и скрещивающиеся с прямой АВу щиеся с прямой A^D. Дайте обоснование ответа. © Сформулируйте утверждение, обратное признаку скрещивающихся прямых. Будет ли оно верным? Почему? © Даны пересекающиеся прямые а и Ь и точка С, не принадлежащая им. Постройте прямую, проходящую через точку С и скрещивающуюся саиб. © Сформулируйте утверждение, обратное утверждению о существовании плоскости, проходящей через одну из двух скрещивающихся прямых параллельно другой прямой. Будет ли оно верным? Почему? © Даны параллельные прямые а и б и точка С, не принадлежащая им. Постройте прямую, проходящую через точку С и скрещивающуюся саиб. Вариант В1 Вариант В2 Дан куб ABCDAfi^CJ)^. Укажите в данном кубе количество пар Введение. Параллельность прямых и плоскостей 23 скрещивающихся ребер. скрещивающихся диагоналей граней. Дайте обоснование взаимного расположения для одной из этих пар. О Плоскости аир пересекаются по прямой I, которая является скрещивающейся с прямой а. Докажите, что прямая а пересекает хотя бы одну из плоскостей аир. е Прямая а лежит в плоскости a, а прямая Ь пересекает плоскость а в точке, не лежащей на прямой а. Постройте прямую, проходящую через данную точку пространства М и скрещивающуюся с прямыми а и b. Для любой ли точки М такое построение возможно? О Плоскости а, р и Y имеют только одну общую точку. Докажите, что любая прямая, параллельная линии пересечения плоскостей аир, является скрещивающейся хотя бы с одной из двух других прямых пересечения данных плоскостей. е Пусть а иЬ — скрещивающиеся прямые, точка М не лежит ни на одной из них. Постройте прямую, проходящую через точку М и пересекающую а и Ь. При каком расположении точки М относительно а и Ь это возможно? СА-7*. НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ В НЕСТАНДАРТНЫХ ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Докажите, что четырехугольник является плоским, если 24 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. его диагонали пересекаются. продолжения двух его противолежащих сторон пересекаются. Верно ли обратное утверждение? Ответ объясните. 0 ABCDE — замкнутая пространственная ломаная. Середины четырех ее звеньев лежат в одной плоскости. Лежит ли в этой плоскости середина пятого звена? Ответ объясните. Середины всех ее звеньев лежат в одной плоскости. Сколько вершин данной ломаной лежит в той же плоскости? Ответ объясните. ВС и BjCj 0 Через точки В и С, лежащие на прямой I, проведены прямые В^В и С^С, перпендикулярные к I, причем точки Bj и Cj выбраны так, что отрезки В^В и CjC равны. Определите, могут ли прямые BjC и CjB а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. Для каждого возможного случая опишите условия, при которых он реализуется. Дана прямая I и точки А и В, не принадлежащие ей. Постройте плоскость, проходящую через А и В и параллельную I. Сколько существует таких плоскостей в зависимости от расположения А, В и I? Даны прямые а и Ь и точка С, не принадлежащая им. Постройте плоскость, проходящую через точку С и параллельную а и Ь. Сколько существует таких плоскостей в зависимости от расположения а, Ь и С? Введение. Параллельность прямых и плоскостей 25 © Каждая из плоскостей а, р и у пересекается с двумя другими. Определите, возможно ли в этом случае выполнение следующих условий: а) любая прямая, пересекающая одну из данных плоскостей, пересекает две другие; б) любая прямая, параллельная двум данным плоскостям, параллельна третьей плоскости или лежит в ней; в) существует прямая, пересекающая все три данные плоскости; г) существует прямая, параллельная двум данным плоскостям и пересекающая третью. а) любая прямая, пересекающая две данные плоскости, пересекает и третью; б) любая прямая, параллельная одной из данных плоскостей, параллельна двум другим или лежит хотя бы в одной из них; в) существует прямая, параллельная всем данным плоскостям; г) существует прямая, пересекающая две данные плоскости и параллельная третьей. Утвердительные ответы проиллюстрируйте, отрицательные ответы обоснуйте. КАИ. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТИ Вариант А1 Вариант А2 Прямые а VI Ь пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые Ь VI с быть параллельными? Прямые а VI Ь пересекаются. Прямые а и с параллельны. Могут ли прямые бис быть скрещивающимися? 26 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. О о Плоскость а проходит через середины боковых стороны АВ и CD трапеции ABCD — точки М nN. а) Докажите, что AD || а. б) Найдите ВС, если AD = 10 см, MN - 8 см. © Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. а) Докажите, что МА и ВС — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если ZMAD = = 45°. Плоскость а проходит через основание AD трапеции Л5СП. Точки М и N — середины боковых сторон трапеции. а) Докажите, что MN || а. б) Найдите AD, если ВС -= 4 см, MN - 6 см. © Прямая CD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. Точки Е и F — середины отрезков АВ и ВС. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ZDCA -= 60°. Вариант Б1 Вариант Б2 Прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ь лежит в плоскости а. Определите, могут ли прямые а и 6: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. © Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD (AD Ц ВС). Прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ь пересекает плоскость а. Определите, могут ли прямые а и Ь: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. О Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причем КР Ц MN, EF II АС. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 27 а) Докажите, что треугольники MAD и МВС имеют параллельные средние линии. б) Найдите длины этих средних линий, если AD : ВС -= 5 : 3, а средняя линия трапеции равна 16 см. © Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая КА, не лежаицая в плоскости квадрата. а) Докажите, что КА и CD — скреициваюЕциеся прямые. б) Найдите угол между прямыми КА и CD, если ZAKB = = 85°, ZABK = 45°. а) Докажите, что АС || КР. б) Найдите КР и MN, если КР : MN = 3 : 5, АС = 16 см. © Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. а) Докажите, что МС и AD — скреициваюЕциеся прямые. б) Найдите угол между прямыми МС и AD, если Z МВС = = 70°, Z ВМС = 65°. Вариант В1 Вариант В2 Плоскости аир пересекаются по прямой I. Прямая а параллельна прямой I и является скреициваюЕцейся с прямой Ь. Определите, могут ли прямые а и Ь: а) лежать в одной из данных плоскостей; б) лежать в разных плоскостях аир; в) пересекать плоскости аир. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых I м Ь. Плоскости аир пересекаются по прямой I. Прямые Z и а пересекаются, а прямые Z и Ь параллельны. Определите, могут ли прямые а и Ь: а) лежать в одной из данных плоскостей; б) лежать в разных плоскостях аир; в) пересекать плоскости аир. В случае утвердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и Ь. 28 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. О Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, причем AM : МВ = 3:4, CN:BC= 3:7. а) Докажите, что АС || а. б) Найдите АС, если MN = = 16 см. О Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС = 6 см, BD = = 8 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС равно 5 см. О Плоскость а проходит через сторону АС треугольника АВС. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках М и N соответственно, причем BN : NC =2:3, АМ:АВ = 3:5. а) Докажите, что MN || а. б) Найдите MN, если АС = = 30 см. 0 Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если АВ = CD - 6 см, а расстояние между серединами отрезков AD и ВС равно 3 см. СА-8. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые А^А и С^С, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскостей А^АВ и C^CD. плоскостей AjAD и С^СВ. 0 Параллельные прямые а и Ь пересекают одну из двух параллельных плос- Введение. Параллельность прямых и плоскостей 29 костей в точках и В^, а другую — в точках и соответственно. а) Докажите, что А^В^ || А^В^. б) Найдите ZA^^B^, если 140°. ZA^A^B^ Ф Основания трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что боковые стороны трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните. Вариант Б1 -^2^2" если а) Докажите, что А^В^ - б) Найдите ZB^B^^, ZB^A^A^ = 50°. Ф Боковые стороны трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что основания трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните. Вариант Б2 Параллелограммы ABCD и A^B^CD не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей ВСВ^ иАВА^. О Параллелограммы ABCD и ABCjDj не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей СВС, и DAD 1‘ Точки А к В лежат в плоскости а, а точки С и D — в плоскости р, причем а II р, АВ — CD, а отрезки АС и BD пересекаются. а) Докажите, что АВ || CD. б) Один из углов четырехугольника АВСП равен 65°. Найдите остальные углы. Ф Точка М не лежит в плоскости а. Докажите, что все прямые, проходящие через точку М а) Докажите, что AD | ВС. б) Один из углов четырехугольника ABCD равен 130°. Найдите остальные углы. Ф Плоскости аир параллельны. Прямая а лежит в плоскости а. Через точку В, лежащую в 30 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. И параллельные плоскости а, лежат в одной плоскости. Вариант В1 плоскости р, проведена прямая Ь, параллельная а. Докажите, что Ь лежит в плоскости р. Вариант В 2 Каждая из двух прямых параллельна плоскостям аир. При каком взаимном расположении данных прямых можно гарантированно утверждать, что а II р? Ответ объясните. О Концы двух равных пересе-каюпдихся отрезков АС и BD лежат на двух параллельных плоскостях. а) При каком дополнительном условии пересечения отрезков ABCD — прямоугольник? б) Докажите, что если ABCD не является прямоугольником, то ABCD — равнобедренная трапеция. Прямая а лежит в плоскости а и параллельна плоскости р. Прямая Ъ параллельна плоскостям аир. При каком взаимном расположении данных прямых можно гарантированно утверждать, что а || Р? Ответ объясните. О Концы двух перпендикулярных отрезков АС и BD лежат на двух параллельных плоскостях. а) При каком дополнительном условии пересечения отрезков ABCD — ромб? б) Докажите, что если ABCD не является ромбом, то ABCD — трапеция, в которой высота равна средней линии. Ф Две скрещивающиеся прямые пересекают три параллельные плоскости в точках А,, А„, А. и 1^0 ®2’ ®з- Известно, что AjAg = 3 см, В^^ = = 12 см, А^Ад = В^В^. Найдите Известно, что AjAg - В^^, А^Ад = = 16 см, -В^Бд = 4 см. Найдите А,Ад и Б^Бд. AjAg и Б^Бд. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 31 СА-9. ТЕТРАЭДР. СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА Вариант А1 Вариант А2 в тетраэдре DABC точки А^, Bj и Cj — середины ребер DA, DB и DC соответственно. а) Докажите подобие треугольников АВС и AjBjCj. б) Найдите площадь треугольника если площадь тре- угольника АВС равна 44 см^. 0 Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью MNK, S 0 В тетраэдре DABC точки М и N — середины ребер DA и DB. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки М и N параллельно прямой DC. Определите вид построенного сечения. В тетраэдре DABC точки В^, Cj и — середины ребер АВ, АС и AD соответственно. а) Докажите подобие треугольников BjCjBj и BCD. б) Найдите площадь треугольника BCD, если площадь треугольника BjCjBj равна 12 см^. 0 Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью MNK. S __„^С 0 в тетраэдре DABC точки М и К — середины ребер DA и ВС. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки М и К параллельно прямой DC. Определите вид построенного сечения. 32 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 в тетраэдре DABC все ребра равны а. Точки и — середины ребер DA, DB и DC соответственно. а) Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точку параллельно плоскости ВА^С. б) Найдите площадь построенного сечения. О в тетраэдре SABC точка К лежит в плоскости АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. О в тетраэдре DABC точка Е лежит на ребре AD. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точку Епараллельно прямым АС и DB. Определите вид построенного сечения. В тетраэдре DABC все ребра равны а. Точки Aj, Bj и Cj — середины ребер DA, DB и DC соответственно. а) Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точку В^ параллельно плоскости АС^В. б) Найдите площадь построенного сечения. О в тетраэдре SABC точка М лежит в плоскости ASB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. е в тетраэдре DABC точка F лежит на ребре ВС. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точку Fпараллельно прямым АВ и CD. Определите вид построенного сечения. Вариант В1 Вариант В2 В тетраэдре DABC все ребра равны а. Точка М лежит на В тетраэдре DABC все ребра равны а. Точка М — середи- Введение. Параллельность прямых и плоскостей 33 ребре АВ, причем AM : МВ = = 1:3, точка N — середина ребра CD. а) Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки М и N параллельно прямой АС. б) Найдите площадь построенного сечения. 0 в тетраэдре SABC точка О лежит в плоскости АВС, а точка К — на отрезке SO. Постройте сечение тетраэдра плоскостью АСК. 0 D В тетраэдре DABC точка Е — середина ребра CD, точка F лежит в плоскости АВС. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки Е и F на ребра BD, точка N лежит на ребре АС, причем CN : NA = = 3:1. а) Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки М и N параллельно прямой АВ. б) Найдите площадь построенного сечения. 0 в тетраэдре SABC точка О лежит в плоскости АВС, а точка М — на отрезке SO. Постройте сечение тетраэдра плоскостью ВМС. О D В тетраэдре DABC точка М — середина ребра AD, точка N лежит в плоскости АВС. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки М и N 34 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. параллельно прямой AD. При каких дополнительных условиях такое сечение будет параллелограммом? параллельно прямой BD. При каких дополнительных условиях такое сечение будет параллелограммом? СА-10. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Вариант А1 Вариант А2 Дан параллелепипед ABCDA^B^CJ)^. Докажите параллельность прямых АВ^ и DCj. О Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС. © В параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ точка М — середина ребра ВВ^. Постройте сечение, проходящее через прямую AM параллельно прямой Докажите параллельность прямых В^С и A^D. О А 7 I А* I I I I С А / / / Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС. © В параллелепипеде ABCDA^BjC^D^ точка К — середина ребра AD. Постройте сечение, проходящее через прямую КВ параллельно прямой CD^. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 35 Вариант Б1 Вариант Б2 в параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ диагонали равны. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ABJ) — прямоугольник. Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС. 0 в параллелепипеде ABCDA^B^CJ^^ постройте сечение, проходящее через прямую BD параллельно прямой А^С. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью CDAj — прямоугольник. Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС. О в параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ постройте сечение, проходящее через прямую А^С^ параллельно прямой B^D. Вариант В1 Вариант В2 Все грани параллелепипеда — ромбы. Каково наибольшее количество пар перпендикулярных диагоналей в таком параллелепипеде? В параллелепипеде существует три пары перпендикулярных диагоналей. Определите вид граней параллелепипеда и углы, которые образует боковое ребро с ребрами оснований. 36 Работы по учебнику Л. С.Атанасяна и др. 0 Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС. О в параллелепипеде точка К — середина ребра CD. Постройте сечение, проходящее через точку К параллельно прямым ВС и B^D. 0 Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью АВС. 0 в параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ точка М — середина ребра Постройте сечение, проходящее через точку М параллельно прямым BD^ и А^В^. СА-11*. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ФИГУРЫ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Дана параллельная проекция равнобедренной трапеции. Постройте изображение высоты трапеции, проведенной из вершины тупого угла. Дана параллельная проекция трапеции, диагональ которой равна большему основанию. Известно, что около трапеции можно описать окружность. Постройте изображение центра этой окружности. Введение. Параллельность прямых и плоскостей 37 0 Дана параллельная проекция окружности. Постройте изображение центра окружности. О Точки А W. В — параллельные проекции вершин правильного треугольника, точка О — проекция его центра. Постройте изображение данного треугольника. 0 Дана параллельная проекция окружности с центром О. Постройте изображение двух перпендикулярных диаметров. 0 Точки А и В — параллельные проекции вершин квадрата ABCD, точка О — проекция его центра. Постройте изображение данного квадрата. Даны параллельные проекции сторон АВ и ВС правильного шестиугольника ABCDEF. Постройте изображение этого шестиугольника. 0 Дано изображение прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как 2:3. Постройте изображение высоты треугольника, проведенной к гипотенузе. Даны параллельные проекции стороны АВ и диагонали AD правильного шестиугольника ABCDEF. Постройте изображение этого шестиугольника. 0 Дано изображение прямоугольника, стороны которого относятся как 1:2. Постройте изображение перпендикуляра, проведенного из его вершины к диагонали. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ и ПЛОСКОСТЕЙ СА-12. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ Вариант А1 Вариант А2 в треугольнике АВС ZC = 90°. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем вале. а) Докажите, что прямая АС перпендикулярна к плоскости DCB. б) Верно ли, что прямая DC перпендикулярна к плоскости АВС? О ABCD — квадрат. Вне плоскости квадрата выбрана точка К, причем КА1АВ. а) Докажите, что прямая АВ перпендикулярна к плоскости AKD. б) Верно ли, что прямая AD перпендикулярна к плоскости АКВ? Отрезок АВ не пересекает плоскость а. Через точки А п В проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее в точках А^п В^ соответственно. Найдите АВ, еслиА^В^= 12 см, AAj = 6 см, BBj = 11 см. 0 Через вершины А и В прямоугольника ABCD проведены параллельные прямые А^А и Найдите AjBj, еслиАВ= 13 см, AAj = 3 см, BBj = 8 см. 0 Через вершины А и В ромба ABCD проведены параллельные прямые AjA и В^В, не ле- Перпендикулярность прямых и плоскостей 39 В^В, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что A^AIAB и AjAlAD. Найдите В^В, если BJ) = 25 см, АВ = - 12 см, AD = 16 см. жащие в плоскости ромба. Известно, что B^BlAB, B^BLBC. Найдите AAj, если А^С = 13 см, BD = 16 см, АВ = 10 см. Вариант Б1 Вариант Б2 Точка К не лежит в плоскости ромба ABCD. Известно, что КВ1АВ, KB1BD. а) Докажите, что прямая АС перпендикулярна к плоскости KBD. б) Верно ли, что прямая BD перпендикулярна к плоскости КАС? В треугольнике АВС ZA = 90°, АН — высота треугольника. Вне плоскости АВС выбрана точка D, причем DBLBC, DB1AB. а) Докажите, что прямая АН перпендикулярна к плоскости DBC. б) Верно ли, что прямая СН перпендикулярна к плоскости DAB? 0 Отрезок АВ пересекает плоскость а в точке О. Прямые АА^ и ВВ^ перпендикулярны к плоскости а и пересекают ее в точках А, и В, соответственно. Найдите АВ, если А^А = 4 см, ZAjAO = 60°, AjO : ОВ^ - 1 : 2. О Прямая КА перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите перпендикулярность прямых КВ и ВС. Найдите АВ, если В^В= sV2 см, ZOBBj = 45°, AjA : В^В =1:3. О Прямая МВ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD. Докажите перпендикулярность прямых МС и CD. 40 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант В1 Вариант В2 Квадраты ABCD и AECF расположены так, что BDLEF. а) Докажите, что прямая EF перпендикулярна к плоскости АВС. б) Найдите угол между прямыми АС и ED. О Квадраты ABCD и ABEF расположены так, что AD1AF. а) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна к плоскости AEF. б) Найдите угол между прямыми АЕ и BD. Через вершины В тл D прямоугольника ABCD проведены прямые В^В и D^D, перпендикулярные к плоскости прямоугольника. а) Докажите параллельность плоскостей ABBj и CDD^. б) Известно, что ВВ^ = DD^ --12 см. Отрезок B^D^ пересекает плоскость АВС. Найдите его длину, если АВ = 6 см, ВС = 8 см. О Одна из диагоналей ромба лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости а. Докажите, что вторая диагональ ромба параллельна плоскости а или лежит в этой плоскости. а) Докажите параллельность плоскостей СВВ^ и DAA^. б) Отрезок BjBj пересекает плоскость АВС, причем ВВ^ = = DD^ = 12 см, B^D^ = 26 см. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если АВ : ВС = = 3:4. О Сторона АВ прямоугольника ABCD лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости а. Докажите, что если вершина D лежит в плоскости а, то сторона AD также лежит в плоскости а. Перпендикулярность прямых и плоскостей 41 СА-13. РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКАМИ, ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ в ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ К ПЛОСКОСТИ Вариант А1 Вариант А2 Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и АС. а) Найдите расстояние от точки А до плоскости а, если АВ = 20 см, АС =15 см, а длины проекций АВ и АС на плоскость а относятся как 16 : 9. б) Определите, лежат ли обе наклонные и их проекции в одной плоскости, если ВС = - 22 см. О Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка АВ, если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45°, а расстояние между данными плоскостями равно 4л/2 дм. © Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, площадь которого равна 36 см^. Обоснуйте и найдите расстояние между прямыми КА и ВС. а) Найдите расстояние от точки А до плоскости а, если АВ : АС = 13 :15, а длины проекций АВ и АС на плоскость а равны 5 см и 9 см. б) Определите, лежат ли проекции данных наклонных в плоскости АВС, если ВС = = 10 см. О Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 4 дм. Точки А и В лежат в данных плоскостях, а угол между отрезком АВ и его проекцией на одну из плоскостей равен 30°. Найдите АВ. © Отрезок МВ — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD. Обоснуйте и найдите расстояние между прямыми МВ и CD, если АС = 8л/2 см. 42 Работы по учебнику Л. С.Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 Из точки к плоскости а проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если наклонные имеют равные длины по Зл/2 см, угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями — прямой. угол между данными наклонными равен 60°, а их проекции равны по 3 см каждая и взаимно перпендикулярны. е Два отрезка упираются концами в две параллельные плоскости. Длина одного из отрезков равна длине проекции другого отрезка. Найдите расстояние между плоскостями, если длины отрезков равны 5 см и Vil см. о Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника АВС. Найдите расстояние между прямыми ВС и КА, если периметр треугольника равен 24 см. Найдите расстояние между плоскостями, если проекции отрезков равны 3 см и 5 см. 0 Отрезок КВ — перпендикуляр к плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (ZB = 90°). Найдите расстояние между прямыми КВ и АС, если АВ+ ВС = 4>/2 см. Вариант В1 Вариант В2 Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы, сумма которых Перпендикулярность прямых и плоскостей 43 равна 90°. Найдите расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных равны 3 см и 12 см. О Два равных взаимно перпендикулярных отрезка упираются концами в две параллельные плоскости. Найдите расстояние между плоскостями, если расстояния между концами отрезков, лежащими в одной плоскости, равны 4 см и 8 см. Ф В плоскости а к окружности с центром О и радиусом 6 см в точке А проведена касательная I. Через точку окружности В перпендикулярно к плоскости а проведена прямая к. Найдите расстояние между прямыми I и к, если ZAOB = 60°. если длины наклонных равны 15 см и 20 см. О Два равных отрезка, пересекающихся под углом 60°, упираются концами в две параллельные плоскости. Найдите расстояние между плоскостями, если расстояния между концами отрезков, лежащими в одной плоскости, равны 6 см и 12 см. Ф Через середину хорды АВ окружности радиуса 25 см проведена прямая I, перпендикулярная к плоскости окружности. Найдите расстояние между этой прямой и диаметром АС, если ВС = 40 см. СА-14. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Вариант А1 Вариант А2 в треугольнике АВС АВ = ВС = = 10 см, АС = 12 см. Через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см. Отрезок КА длиной 3 см — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, в котором АВ -= 5 см, BD - б см. 44 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. а) Укажите проекцию треугольника DAC на плоскость АВС. б) Найдите расстояние от точки D до прямой АС. 0 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости квадрата, SO = = 4>/2 см. а) Докажите равенство углов, образуемых прямыми SA, SB, SC и SD с плоскостью квадрата. б) Найдите эти углы, если периметр ABCD равен 32 см. 0 Вершины А W. D параллелограмма ABCD лежат в плоскости а. Докажите, что прямые ВА и CD образуют с плоскостью а равные углы. а) Укажите проекцию треугольника КВС на плоскость ромба. б) Найдите расстояние от точки К до прямой BD. 0 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости квадрата, SO = 4 см. Точки К, L, М, N — середины сторон квадрата. а) Докажите равенство углов, образуемых прямыми SK, SL, SM и SN с плоскостью квадрата. б) Найдите эти углы, если площадь ABCD равна 64 см^. 0 Вершины А и В прямоугольника ABCD лежат в плоскости а. Докажите, что прямые СА и DB образуют с плоскостью а равные углы. Вариант Б1 Вариант Б 2 Отрезок SA длиной 15 см — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором АС = 10 см, АВ = 6 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость прямоугольника имеют равные площади. Отрезок SA длиной 6 см — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, в котором АС = 8л/2 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость квадрата равны. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45 б) Найдите расстояние от точки S до прямой CD. О в треугольнике АВС ZC - 90°, ZA = а, СВ - а. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем DC1CA, DC1CB. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если перпендикуляр, проведенный из точки D к прямой АВ, образует с плоскостью АВС угол р. е в тетраэдре ABCD DO — перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что если ребра DA, DB и DC образуют одинаковые углы с плоскостью АВС, то точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. б) Найдите расстояние от точки S до прямой ВС. О в треугольнике АВС ZC = 90°, ZA - а, АВ = а. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем DB1BC, DB1AB. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если перпендикуляр, проведенный из точки D к прямой АС, образует с плоскостью АВС угол р. О в тетраэдре ABCD DO — перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что если перпендикуляры, проведенные из точки D к сторонам треугольника АВС, образуют равные углы с плоскостью АВС, то точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Вариант В1 Вариант В2 Отрезок DC — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС (ZC = 90°). Отрезок DM — расстояние от точки D до прямой АВ. а) Сравните площади проекций треугольников DAM и DBM, если ZA > 45°. Отрезок DC — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС (ZC = 90°). Отрезок СМ — высота треугольника АВС. а) Сравните площади проекций треугольников DAM и DBM, если ZB < 45°. 46 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. б) Найдите DM, если АС -= 15 см, ВС = 20 см, DC = = 16 см. е Вершины А и D ромба ABCD лежат в плоскости а. Диагональ ромба BD равна 4л/2 см и наклонена к плоскости а под углом 45°. Найдите угол между диагональю АС и плоскостью а, если периметр ромба равен 8>Уб см. е Через вершину прямого угла проведена прямая, образующая со сторонами этого угла углы, равные 60°. Найдите угол между данной прямой и плоскостью прямого угла. б) Найдите DM, если АС = = 30 см, АВ = 50 см, DC - - 7 см. 0 Через сторону ВС ромба ABCD проведена плоскость а, образующая с диагональю АС угол 30°. Найдите угол между диагональю BD и плоскостью а, если BD = 4V2 см, а площадь ромба равна 16V2 см^. О Прямая, проходящая через вершину прямого угла, образует с его сторонами углы 45° и 60°. Найдите угол между данной прямой и плоскостью прямого угла. СА-15. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Вариант А1 Вариант А2 Двугранный угол равен 60°. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на Qy/з см. Найдите расстояние от данной точки до второй грани. Двугранный угол равен 45°. Точка на одной из граней угла удалена от второй грани на 5V2 см. Найдите расстояние от данной точки до ребра угла. Перпендикулярность прямых и плоскостей 47 О Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник ADC не лежат в одной плоскости. Отрезок BD является перпендикуляром к плоскости ADC. Найдите двугранный угол BACD, если АВ = ВС - 2\[ъ см, АС - 4 см. О в тетраэдре SABC ZABC = - 90°, отрезок SO — перпендикуляр к плоскости АВС, причем точка О лежит на отрезке АС. Постройте линейный угол двугранного угла SABO. О Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС, равное 12 см. Отрезок BD является перпендикуляром к плоскости ADC. Найдите двугранный угол BACD, если АВ = ВС = = см, а ZADC = 90°. О в тетраэдре SABC ZBAC = = 90°, отрезок SO — перпендикуляр к плоскости АВС, причем точка О лежит на отрезке АВ. Постройте линейный угол двугранного угла SACO. Вариант Б1 Вариант Б2 Прямая, лежащая в одной из граней двугранного угла, параллельна его ребру. Найдите величину двугранного угла, если расстояние между данной прямой и ее проекцией на вторую грань равно расстоянию от проекции до ребра угла. 0 Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют площади 15 см^ и 40 см^, а их общее основание АС имеет длину 10 см. Найдите BD, если двугранный угол BACD равен 60°. Прямая, лежащая в одной из граней двугранного угла, параллельна его ребру. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от данной прямой до второй грани вдвое меньше расстояния от данной прямой до ребра угла. 0 Боковые стороны равнобедренных треугольников АВС и ADC равны 10 см и см, а их общее основание АС равно 12 см. Найдите BD, если двугранный угол BACD равен 60°. 48 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. © Вершина А ромба ABCD лежит в плоскости а, а BD || а. Постройте линейный угол двугранного угла с гранями АВС и а. © Вершина В правильного треугольника АВС лежит в плоскости а, а АС II а. Постройте линейный угол двугранного угла с гранями АВС и а. Вариант В1 Вариант В2 На разных гранях двугранного угла выбраны точки, удаленные от ребра угла на 20 см и 30 см. Одна из точек удалена от противолежащей грани на 24 см. Найдите расстояние от второй точки до противолежащей грани. © Квадрат и прямоугольник, площади которых соответственно равны 64 см^ и 24 см^, имеют общую сторону. Расстояние между сторонами этих фигур, противолежащими их общей стороне, равно 7 см. Найдите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника. © Точка К равноудалена от вершин квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. Постройте линейный угол двугранного угла с гранями АКВ и СКВ. На разных гранях двугранного угла выбраны точки, удаленные от противолежащих им граней на 10 см и 25 см. Одна из точек удалена от ребра угла на 24 см. Найдите расстояние от второй точки до ребра угла. © Квадрат и прямоугольник с периметрами 20 см и 26 см соответственно имеют общую сторону. Найдите угол между плоскостями данных фигур, если расстояния между их сторонами, противолежащими общей стороне, равно 7 см. © Точка М равноудалена от сторон квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. Постройте линейный угол двугранного угла с гранями ВМС и AMD. Перпендикулярность прямых и плоскостей 49 СА-16. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Прямая DA проходит через вершину треугольника АВС, причем DA1AB и DA1AC. Докажите перпендикулярность плоскостей ВАС и АВС. О Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание, а двугранный угол BACD — прямой. Найдите BD, если АС = 6 см, а боковые стороны треугольников равны Зл/2 см и 5 см. 0 Ромб ABCD с точкой пересечения диагоналей О перегнули по диагонали BD так, что А01.0С. Докажите, что плоскости АВС и АВС перпендикулярны. Прямая SA проходит через вершину квадрата АВСВ, причем SA1AD. Докажите, что плоскость квадрата перпендикулярна к плоскости SAB. О Прямоугольные треугольники АВС и АВВ имеют общий катет АВ, равный 4 см, а двугранный угол САВВ — прямой. Найдите СВ, если известны длины гипотенуз ВС = 5 см и ВВ = см. 0 Правильный треугольник АВС перегнули по высоте АВ так, что ВВА.ВС. Докажите, что плоскости ВАВ и САВ перпендикулярны. Вариант Б1 Вариант Б2 Прямая SO перпендикулярна к плоскости ромба АВСВ и проходит через точку О пересечения его диагоналей. Докажите перпендикулярность плоскостей ASC и BSB. Прямая SA перпендикулярна к плоскости квадрата АВСВ. Докажите перпендикулярность плоскостей SAB и SAB. 50 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. О Стороны АВ и АС правильного треугольника АВС лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Найдите площадь треугольника, если точки В и С удалены от прямой пересечения плоскостей на Зл/2 см. е Докажите, что если две различные плоскости Р и у перпендикулярны к одной прямой о, то Р II у. е Стороны АВ и АС равнобедренного треугольника АВС равны 5 см и лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Точки В и С удалены от прямой пересечения плоскостей на 4л/2 см. Найдите площадь треугольника. е Докажите, что если плоскость а и не лежащая в ней прямая а перпендикулярны к одной плоскости Р, то а II а. Вариант В1 Вариант В2 Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD, причем AM = СМ, ВМ = DM. Докажите перпендикулярность плоскостей АМС и BMD. 0 Концы отрезка АВ лежат в двух перпендикулярных плоскостях и удалены от прямой их пересечения на 6 см и 7 см. Найдите длину отрезка АВ, если расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек А и В к прямой пересечения плоскостей, равно 6 см. Точка М равноудалена от вершин квадрата АВСВ. Докажите перпендикулярность плоскостей АМС и BMD. 0 Концы отрезка АВ, равного V41 см, лежат в двух перпендикулярных плоскостях и удалены от прямой их пересечения на 3 см и 4 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек А и В к прямой пересечения плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей 51 е Докажите, что если три плоскости попарно перпендикулярны, то линии их пересечения также попарно перпендикулярны. е Докажите, что если линии пересечения трех плоскостей попарно перпендикулярны, то и сами плоскости попарно перпендикулярны. СА-17. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Вариант А1 Вариант А2 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 25 см, а диагональ одной из его граней — 24 см. Найдите длину ребра, перпендикулярного к данной грани. О Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его гранями, имеющими общее ребро, равные углы. Докажите, что грань, перпендикулярная к общему ребру, — квадрат. О Ребро куба ABCDAjBjCjDj равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точки В^, А и С, и найдите его площадь. Диагональ одной из граней прямоугольного параллелепипеда равна 15 см, а ребро, перпендикулярное к этой грани, имеет длину 8 см. Найдите диагональ параллелепипеда. О Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя его ребрами, выходящими из одной вершины, равные углы. Докажите, что две грани параллелепипеда — квадраты. е в кубе ABCBAjBjCjDj диагональ равна d. Постройте сечение куба, проходящее через точки А, В и Cj, и найдите его площадь. 52 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда. 0 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 4 см и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей скрещивающейся с ним диагонали грани. 0 Ребро куба ABCDAjBjCjDj равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точки В^, D и середину ребра А^А, и найдите его площадь. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см и 20 см. Найдите диагональ параллелепипеда. 0 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 6 см и 7 см. Найдите расстояние от наибольшего ребра до наименьшей скрещивающейся с ним диагонали грани. 0 В кубе ABCDA^B^C^D^ диагональ равна d. Постройте сечение куба, проходящее через точку А и середины ребер ВВ^ и DD^, и найдите его площадь. Вариант В1 Вариант В2 Периметры трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 20 см, 32 см и 36 см. Найдите диагональ параллелепипеда. 0 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 2 см и 2V2 см. Найдите расстояния между диагональю Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 24 см^, 48 см^ и 72 см^. Найдите диагональ параллелепипеда. 0 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны I0V2 см, 10V2 см и 15 см. Найдите расстояния между Перпендикулярность прямых и плоскостей 53 параллелепипеда и скрещивающейся с ней наименьшей диагональю грани, 0 Ребро куба равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку Aj и середины ребер CD и AD, и найдите его площадь. диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней наименьшей диагональю грани. 0 Ребро куба ABCDA^B^CJ)^ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку Bj и середины ребер AD и АВ, и найдите его площадь. СА-18*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЯХ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек. 0 Точка S, не лежащая в плоскости прямоугольника ABCD, равноудалена от его сторон. Найдите площадь ABCD, если АС = 4л/2 см. 0 Вершины А и D параллелограмма ABCD лежат в плоскости а. Известно, что ВС = Отрезок АВ — общее основание равнобедренных треугольников. Найдите фигуру, которую образуют третьи вершины таких треугольников. 0 Точка S, не лежащая в плоскости ромба ABCD, равноудалена от его вершин. Найдите площадь ABCD, если BD = 8 см. 0 Сторона АВ ромба ABCD лежит в плоскости а, а сторона CD удалена от нее на 21 см. 54 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. = 19 см, АВ =15 см, а проекции диагоналей на плоскость а равны 20 см и 22 см. Найдите расстояние между прямой ВС и плоскостью а. Найдите проекции сторон AD и ВС на плоскость а, если проекции диагоналей АС и BD равны 31 см и 39 см. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых, Ф Двугранный угол равен 135°. Точка А находится внутри угла и удалена от его ребра на 10 см. Найдите расстояния от точки А до граней угла, если они относятся как 1: Зл/2 . О Точка, не лежащая в плоскости равнобедренной трапеции с основаниями 16 см и 30 см, удалена от каждой из сторон трапеции на 11 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости трапеции. О в тетраэдре DABC все ребра равны. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA перпендикулярно к плоскости АВС и к ребру АС. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся прямых. Ф Точка А находится внутри двугранного угла, равного 150°, и удалена от его граней на 11 см и вТз см. Найдите расстояние от точки А до ребра угла. Ф Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 15 см. Точка, не лежащая в плоскости трапеции, удалена от каждой из ее сторон на 10 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости трапеции, О в тетраэдре DABC ребра DA, DB и DC взаимно перпендикулярны и равны. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DC перпендикулярно к плоскости АВС и к ребру АС. Перпендикулярность прямых и плоскостей 55 О Дан куб ABCDA^B^Cj^D^. Постройте сечение куба, проходящее через прямую АВ^ перпендикулярно к плоскости D^DB, и найдите его площадь, если диагональ куба равна d. О Ребро куба АВСDA^B^C^D^ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через прямую А^^В перпендикулярно к плоскости С^СА, и найдите его площадь. КА-2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ±ВС. а) Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный. б) Докажите перпендикулярность плоскостей КАС и АВС. в) Найдите КА, если АС = = 13 см, ВС = 5 см, ZKBA = = 45°. О Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости а. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если АВ = 20 см, АС = = 24 см, а двугранный угол между плоскостями АВС и а равен 30°. Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD, KD1CD. а) Докажите, что ABCD — прямоугольник. б) Докажите перпендикулярность плоскостей KAD и АВС. в) Найдите АС, если КА -= 8 см, KD = 10 см, ZCAD = = 60°. О Катет АВ прямоугольного треугольника АВС (ZB = 90°) лежит в плоскости а. Найдите расстояние от точки С до плоскости а, если АС = = 17 см,АВ - 15 см, а двугранный угол между плоскостями АВС и а равен 45°. 56 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. О Из точки А к плоскости а проведены наклонные АВ и АС, образующие с плоскостью а равные углы. Известно, что ВС - АВ. Найдите углы треугольника АВС. Вариант Б1 © Из точки А к плоскости проведены перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ВС = ВО. Найдите углы треугольника вое. Вариант Б 2 Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Точка М — середина стороны ВС, KMLBC. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. б) Докажите перпендикулярность плоскостей КВе и КАМ. в) Найдите площадь треугольника АВС, если ZBKC - 60°, ВС = 6 см, КА = 3n/2 см. о Точка S удалена от каждой из вершин правильного треугольника АВС на л/Гз см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ = 6 см. © Прямая АВ — ребро двугранного угла, равного 90°. Прямые AAj и BBj принадлежат разным граням данного угла и перпендикулярны к прямой АВ. Докажите, что AA^i.BBj. Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD. Точка О — точка пересечения АС и BD, KOA.BD. а) Докажите, что ABCD — ромб. б) Докажите перпендикулярность плоскостей KBD и КОА. в) Найдите площадь ABCD, если ZBKD = 90°, BD = = 10 см, КА = 3 см. © Точка S удалена от каждой из сторон правильного треугольника АВС на л^9 см. Найдите угол между прямой SA и плоскостью АВС, если АВ = 6 см. © Прямые AAj и ВВ^ — перпендикуляры к ребру АВ двугранного угла, принадлежащие разным граням угла. Докажите, что если АА^±ВВ^, то данный двугранный угол прямой. Перпендикулярность прямых и плоскостей 57 Вариант В1 Вариант В2 Точка О лежит на биссектрисе угла АВС, равного 60°. Отрезок DO — перпендикуляр к плоскости АВС. а) Докажите, что точка D равноудалена от сторон угла АВС. б) Пусть DA и DC — расстояния от точки D до сторон угла. Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и DOB. в) Найдите DB, если АС -= 6 см, DO = 4 см. О Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС, а двугранный угол BACD — прямой. Найдите углы, образуемые прямой BD с плоскостями треугольников, если ZABC = 60°, а ZADC - 90°. 0 в кубе ABCDAjSjCjDj постройте и найдите линейный угол двугранного угла между плоскостями сечений AB^C^D и CB^A^D, Отрезок DO — перпендикуляр к плоскости угла АВС, равного 120°, причем точка О лежит внутри угла, а точка D равноудалена от его сторон. а) Докажите, что ВО — биссектриса угла АВС. б) Пусть DA и DC — расстояния от точки D до сторон угла. Докажите перпендикулярность плоскостей DOB и DAC. в) Найдите DO, если АС -= 6 см, DB - 8 см. О Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС, а двугранный угол BACD — прямой. Найдите тангенс двугранного угла BADC, если ZABC = 60°, а ZADC = 90°. 0 в кубе ABCDA^B^C^D^ постройте и найдите линейный угол двугранного угла между плоскостями сечений CD^A^B и DA^B^C. МНОГОГРАННИКИ СА-19. ПРИЗМА Вариант А1 Вариант А2 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. О Основание прямой призмы — ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см^. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. Ф Все боковые грани наклонного параллелепипеда — ромбы с острым углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его высота равна 2л/2 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. О Основание прямой призмы — ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности — 240 см^. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. Ф Две боковые грани наклонной треугольной призмы — ромбы с острым углом 30°, а третья боковая грань — квадрат. Высота призмы равна 4л/2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Многогранники 59 Вариант Б1 Вариант Б2 Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. О Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм^. Диагональ основания призмы равна 4л/2 дм. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющие общую вершину. е в наклонном параллелепипеде основание и боковая грань — квадраты, плоскости которых образуют угол 30°, а площадь каждого из них равна 36 см^. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. О Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16 дм^. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. е Основание и две боковые грани наклонного параллелепипеда — квадраты, а две другие боковые грани — ромбы с острым углом 30°. Высота параллелепипеда равна 4 см. Найдите площадь его полной поверхности. Вариант В1 Вариант В2 Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник 60 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. С боковой стороной 6 СМ И углом при вершине 120°. Диагональ наибольшей боковой грани образует с плоскостью основания призмы угол 60°. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. е Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна Q. Сечение призмы, проходящее через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, образует с плоскостью основания призмы угол а. Найдите площадь сечения. 0 Основание наклонной призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см. Боковое ребро, исходящее из вершины прямого угла, равно 8 см и образует с катетами треугольника равные углы 60°, Найдите площадь полной поверхности призмы. с основанием 6л/3 см и углом при основании 30°. Диагональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания призмы угол 45°. Найдите площади боковой и полной поверхностей призмы. О Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна S. Сечение призмы, проходящее через середину бокового ребра и диагональ основания, не пересекающую данное ребро, образует с плоскостью основания угол а. Найдите площадь сечения. 0 Основание наклонной призмы — правильный треугольник со стороной 6 см. Одно из боковых ребер призмы, равное 8 см, образует с прилежащими сторонами основания равные углы 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы. СА-20. ПИРАМИДА. ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Вариант А1 Вариант А2 Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см Основание пирамиды — ромб с диагоналями 10 см и 18 см. Многогранники 61 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды. О Сторонаоснования правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота — y/l3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. е в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно I, а плоский угол при вершине — а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Вариант Б1 Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите большее боковое ребро пирамиды. е Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота — y/l3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 0 Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна I, а плоский угол при вершине — а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Вариант Б2 Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Высота пирамиды равна 16 см и проходит через вершину прямого угла. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания. О в правильной треугольной пирамиде апофема образует с высотой угол 30°. Найдите Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через середину гипотенузы основания. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту и вершину прямого угла основания. 0 Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60°. Найдите 62 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. площадь боковой поверхности пирамиды, если отрезок, соединяющий середину высоты с серединой апофемы, равен V3 см. е Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно I и образует с ребром основания пирамиды угол а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно 3 см. е в правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н. Вариант В1 Вариант В2 Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой 65 см и катетом 25 см. Высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна 80 см. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через меньший катет основания перпендикулярно к большему боковому ребру. 0 Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если отрезок, соединяющий точки пересечения медиан двух ее боковых граней, равен т. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой 39 см и катетом 15 см. Высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна 20 см. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через больший катет основания перпендикулярно к среднему боковому ребру. 0 Апофема правильной треугольной пирамиды образует угол а с ее высотой. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если отрезок, соединяющий середину бокового ребра с серединой апофемы противолежащей боковой грани, равен т. Многогранники 63 © в правильной четырехугольной пирамиде высота равна Н, а плоский угол при вершине — а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. © В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна I, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. СА-21. ПИРАМИДЫ, В КОТОРЫХ ВЫСОТА ПРОЕКТИРУЕТСЯ В ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ИЛИ ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОСНОВАНИЯ Вариант А1 Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Все боковые ребра пирамиды равны 26 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания. б) Найдите высоту пирамиды. © Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны р. Вариант А2 О Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см. Все боковые ребра пирамиды равны 13 см, а ее высота равна 12 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания. б) Найдите площадь основания пирамиды. © Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны р, а ее высота равна Н. 64 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание. б) Докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите высоту пирамиды. Вариант Б1 а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание. б) Докажите, что высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны, и найдите основание равнобедренного треугольника. Вариант Б2 Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом 4л/з см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания. б) Найдите боковые ребра пирамиды. 0 Основание пирамиды — ромб с острым углом а. Высота пирамиды равна Н, а все двугранные углы при основании пирамиды равны р. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом 30°. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45°. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания. б) Найдите площадь основания пирамиды. 0 Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом а. Высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, наклонены к плоскости основания под углом р. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Многогранники 65 Вариант В1 Вариант В 2 Основание пирамиды — треугольник с углами аир. Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой углы, равные у. Высота пирамиды равна Н. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь основания пирамиды. О Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с основаниями 4 см и 16 см. Все боковые грани пирамиды образуют с ее высотой углы, равные 30°. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Основание пирамиды — треугольник с углами а и р. Все боковые ребра пирамиды равны I и наклонены к плоскости основания под углом у. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь основания пирамиды. О Основание пирамиды — прямоугольная трапеция с боковыми сторонами 30 см и 50 см. Все боковые грани пирамиды удалены от основания ее высоты на 12 см. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. СА-22. ПИРАМИДЫ, В КОТОРЫХ ОДНА ИЛИ ДВЕ БОКОВЫЕ ГРАНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ К ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЯ Вариант А1 Вариант А2 Основание пирамиды — квадрат со стороной 6 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 8 см. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 см и 16 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 12 см. 66 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. а) Докажите, что боковые грани пирамиды — попарно равные прямоугольные треугольники. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. О Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной а. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом р. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания. б) Найдите высоту пирамиды. Вариант Б1 а) Докажите, что боковые грани пирамиды — прямоугольные треугольники. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. О Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом о. Боковая грань, содержащая гипотенузу основания, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом р. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания. б) Найдите высоту пирамиды. Вариант Б2 Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см. Боковые грани пирамиды, содержащие меньший катет и гипотенузу основания, перпендикулярны к плоскости основания. Наибольшее боковое ребро равно л/369 см. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь наибольшей боковой грани пирамиды. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник. Боковые грани пирамиды, не содержащие больший катет основания, перпендикулярны к плоскости основания. Два больших боковых ребра пирамиды равны 10 см и 2-у/41 см. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь боковой грани пирамиды, не перпендикулярной к плоскости основания. Многогранники 67 е Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань, содержащая его гипотенузу, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом (3. Высота пирамиды равна Н. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. е Основание пирамиды — правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом р. Высота пирамиды равна Н. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Вариант В1 Вариант В2 Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Боковые грани пирамиды, содержащие эти катеты, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом 60°. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. е Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Боковая грань, содержащая гипотенузу, перпендикулярна Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и высотой 12 см. Боковые грани пирамиды, не содержащие гипотенузу, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом 60°. а) Обоснуйте положение высоты пирамиды. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. е Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом о и прилежащим к нему острым углом а. Боковая грань, содержащая вто- 68 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. К ПЛОСКОСТИ основания, а две другие боковые грани наклонены к ней под углом р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. рои катет, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани наклонены к ней под углом р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. СА-23. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА Вариант А1 Вариант А2 Правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 12 см, пересечена плоскостью, параллельной основанию пирамиды и проходящей через середину ее высоты. Найдите высоту и апофему полученной усеченной пирамиды. О Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 3 см и 7 см, а острый угол боковой грани — 45°. Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 18 см, пересечена плоскостью, параллельной основанию пирамиды и проходящей через середину бокового ребра. Найдите высоту и апофему полученной усеченной пирамиды. О Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 3 см и 11 см, а боковое ребро — 5 см. Вариант Б1 Вариант Б2 Площади оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 см^ и 64 см^, а боковое ребро обра- Диагонали оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3^2 см и 9V2 см, а боковое Многогранники 69 зует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды. О Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, в которой высоты оснований равны 6 см и 9 см, а двугранный угол при основании — 60°. ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды. О Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, в которой площади оснований равны эТз см^ и З6л/3 см^, а двугранный угол при основании — 60°. Вариант В1 Вариант В2 Площади оснований усеченной пирамиды равны 18 см^ и 128 см^. Найдите площадь сечения, параллельного основаниям и делящего высоту пирамиды в отношении 2:3, считая от меньшего основания. О Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 3 см и 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Высота усеченной пирамиды разделена на три равные части. Найдите площади сечений, параллельных основаниям и проходящих через точки деления, если площади оснований равны 2 см^ и 32 см^. О Площади оснований и сечения правильной четырехугольной усеченной пирамиды, проходящего через центры оснований и середину одного из ребер основания, равны 72 см^, 392 см^ и 60 см^ соответственно. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 70 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. СА-24. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Вариант А1 Вариант А2 Высота правильного тетраэдра равна 6 см. Найдите ребро тетраэдра. е Постройте сечение куба ABCDA^B^CJ)^ плоскостью, проходящей через диагональ и вершину Aj. Будет ли плоскость сечения плоскостью симметрии куба? О Расстояние между двумя противолежащими вершинами правильного октаэдра равно d. Найдите площадь поверхности октаэдра. Вариант Б1 Диагональ куба равна 6^/3 см. Найдите площадь грани куба. О Постройте сечение правильного тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через ребро DA и середину ребра ВС. Будет ли плоскость сечения плоскостью симметрии тетраэдра? О Сечение правильного октаэдра, плоскость которого является плоскостью симметрии октаэдра, имеет площадь S. Найдите площадь поверхности октаэдра. Вариант Б2 Площадь сечения правильного тетраэдра DABC, проходящего через ребро АС и середину ребра DB, равна 9V2 см^. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. О Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D^, проходящее Площадь сечения правильного тетраэдра DABC, проходящего через вершину D и высоту треугольника АВС, равна 4-J2 см^. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. О Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D^, проходящее Многогранники 71 через вершину А и середины ребер и BjCj. Будет ли плоскость симметрии данного сечения плоскостью симметрии куба? О Середины ребер правильного тетраэдра являются вершинами правильного октаэдра. Найдите площадь поверхности октаэдра, если высота тетраэдра равна Н. через середину ребра AD и прямую AjCj. Будет ли ось симметрии данного сечения осью симметрии куба? О Середины ребер правильного тетраэдра являются вершинами правильного октаэдра. Найдите площадь поверхности тетраэдра, если расстояние между противолежащими вершинами октаэдра равно d. Вариант В1 Вариант В2 Сечение правильного тетраэдра, проходящее через середины четырех его ребер, имеет площадь 9 см^. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. О Дан куб ABCBAjBjCjBj. Докажите, что многогранник BAjCjD — правильный тетраэдр. Сколько общих плоскостей симметрии он имеет с данным кубом? О Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Найдите отношение площадей поверхностей октаэдра и куба. Сечение правильного тетраэдра DABC, проходящее через середины ребер DA и ВС параллельно ребру АВ, имеет площадь 36 см^. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра. 0 Дан куб ABCDA^B^C^D^. Докажите, что многогранник AB^CD^ — правильный тетраэдр. Сколько общих плоскостей симметрии он имеет с данным кубом? О Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра. Найдите отношение площадей поверхностей октаэдра и куба. 72 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. СА-25*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ О МНОГОГРАННИКАХ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы соответственно равны 30 см^, 128 см^, 200 см^ и 312 см^. Найдите высоту призмы. О Диагонали правильной шестиугольной призмы равны 7 см и 8 см. Найдите высоту призмы. © Основание прямого параллелепипеда — ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны Р и Q. О Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер. Диагонали боковых граней прямой призмы равны 8 см, 14 см и 16 см. Найдите высоту призмы, если ее основание — прямоугольный треугольник. О Диагонали смежных боковых граней правильной шестиугольной призмы, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота равна 4 см. © Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы. О Докажите, что сумма квадратов площадей диагональных сечений параллелепипеда равна сумме квадратов площадей боковых граней. Многогранники 73 0 Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра, проходящего через одно из ребер и делящего пополам двугранный угол при этом ребре. О Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом а. Высота пирамиды равна Н, а все двугранные углы при основании равны. Точка высоты пирамиды равноудалена от ее вершины и стороны основания, причем перпендикуляр, проведенный из этой точки к стороне основания, образует с плоскостью основания угол р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны большего основания равно 7 см. 0 Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра, проходящего через центр его основания перпендикулярно к боковому ребру. 0 Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом а при вершине. Все двугранные углы при основании пирамиды равны. Точка высоты пирамиды, удаленная на расстояние Ь от ее вершины, равноудалена от боковой грани и плоскости основания. Отрезок, соединяющий эту точку с серединой основания треугольника, образует с плоскостью основания угол р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. О Диагональ правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части, равные 2 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 74 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. КА-3. МНОГОГРАННИКИ Вариант А1 Вариант А2 Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат. О Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. е Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости ВВС, и найдите площадь этого сечения. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань — квадрат. О Высота правильной четырехугольной пирамиды равна л/6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. е Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения. Вариант Б1 Вариант Б2 Основание прямого параллелепипеда — ромб с диагоналями Основание прямого параллелепипеда — ромб с меньшей Многогранники 75 10 см и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. О Основание пирамиды — правильный треугольник с площадью 9л/3 см^. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом 30°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. е Ребро куба ABCDAjBjCjDj равно а. Постройте сечение куба, проходящее через прямую В^С и середину ребра AD, и найдите площадь этого сечения. диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16^2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. О Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 4^2 см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. е Ребро куба ABCDAjBjCjDj равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DAj, и найдите площадь этого сечения. Вариант В1 Вариант В2 Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 13 см. Наименьшее сечение призмы, проходящее 76 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, — квадрат. О Основание пирамиды — ромб с большей диагональю d и острым углом а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны р. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. О Ребро куба ABCDAjBjCjDj равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AAj, и CD, и най- дите площадь этого сечения. через ее боковое ребро, является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы. О Основание пирамиды — ромб с тупым углом а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны р. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н. О Ребро куба ABCDA^B^C^D^ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AjBj, CCj и AD, и найдите площадь этого сечения. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СА-26. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ Вариант А1 Вариант А2 в 7 1 1 1 1в X D Дан куб ABCDA^B^C^Dj (см. рисунок). Назовите: а) вектор с началом в точке С, равный вектору DA, ; б) вектор с концом в точке D, противоположно направленный с вектором BBj . а) вектор с началом в точке Bj, равный вектору D^D ; б) вектор с концом в точке С, сонаправленный с вектором аД. в) Найдите |-DCjj, если ребро куба равно 4>/2 . 0 Векторы АВ и ВС коллинеар-ны. Верно ли, что Ав| -t- ВС = АС ? Ответ объясните. в) Найдите BCj , если В,В| = = 4^2 . О______________ Векторы АВ и АС коллинеар-ны. Верно ли, что АВ + АС = |ВС| ? Ответ объясните. 78 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 D Дан правильный тетраэдр DABC (см. рисунок). Точки М, N и К — середины ребер АВ, ВС и CD соответственно. Назовите: а) вектор с началом в точке А, равный вектору МВ ; б) вектор с концом в точке К, сонаправленный с вектором Ш. в) Найдите MN , если DM = ^. О Векторы АВ и ВС колли-неарны. Сравните длины и направления этих векторов. если АС - АВ - ВС . а) вектор с началом в точке D, равный вектору КС; б) вектор с концом в точке N, противоположно направленный с вектором СА . в) Найдите \АК^, если MN = = 4^3. © Векторы АВ и АС колли-неарны. Сравните длины и направления этих векторов, если ВС = АС - АВ . Вариант В1 Вариант В2 Дан правильный тетраэдр DABC (см. рисунок). Точки К, L, М п N — Векторы в пространстве 79 середины ребер АВ, AD, DC и ВС соответственно. D Назовите: КМ а) вектор, равный вектору KN; б) два вектора, коллинеарные вектору KL и имеющие противоположные направления, в) Найдите АС , если -3^/2 , © Ненулевые векторы АВ и АС коллинеарны, причем АВ ВС ВС АС Сравните длины и направления данных векторов. а) вектор, равный вектору MN; б) два вектора, коллинеарные вектору ML и имеющие противоположные направления. в) Найдите \^Ц » если BD -3^/2 . © Ненулевые векторы АВ и ВС коллинеарны, причем АВ\ = АС ВС АС Сравните длины и направления данных векторов. 80 Работы, по учебнику Л. С. Атанасяна СА-27. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Вариант А1 Вариант А2 D а) 2ВК-, б) AD + Ш; в) АС-^-, DABC — треугольная пирамида (см. рисунок). Точки К и М — середины ребер АВ и ВС соответственно. Назовите вектор с началом и концом в вершинах пирамиды или данных точках, равный: а) 2МС ; б) АС + CD ; г) -BC + MD + DA 2 в) ВМ - AM ; г) -BA + KC + CD 2 О Дан квадрат ABCD и произвольная точка О. Докажите, что а) \В0 + OD\ = \АО - СО\; б) -[а6+ ОВ) ^--CD . 2 2 е а) \A0 + 0D\ = \B0-C0\ ; б) -[b6 + oc) = --da. 2 2 Определите взаимное расположение на прямой точек А, В п С, если Векторы в пространстве 81 АВ = -ЗАС. Вариант Б1 АС = -ВС . 4 Вариант Б2 SABCD — правильная четырехугольная пирамида (см. рисунок). Точка О — центр основания пирамиды. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный; а) AS + SC + CD; б) 2(aD-^); в) + + 2 г) + 2 О а) AB + BS + SO-, б) 2(ВС-0С); в) ~[М + ^) + ОС ; 2 г) ^-i(CB + Co). Точки А, В, С я D не лежат в одной плоскости. Докажите, что а) -(ad-ab) -(cb-cd) ; а) -(вс-ва) -(da-dc\ 2' ' 2' ' б) AB-CD = AC-BD . б) AB + DC = AC + DB 82 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и a-Sb и а + Ь. Вариант В1 О Векторы а и Ъ коллинеарны. Докажите коллинеарность векторов а+ 2Ь и а- Ь Вариант В2 в, /1 7 Аг 1 К 1 1 / L D в кубе ABCDA^B^C^D^ (см. рисунок) точка К — середина ребра АА^, точка О — центр ABCD. Назовите вектор с началом и концом в вершинах куба или данных точках, равный: а) |(В,А + В,С); б) 2Ш - DK ; в) АО - ВО + СС, - D,A^ ; а) |(С,В + С,£>); б) Щ* - 2КА^ ; в) Вд-Сд + А^-Ш; г) 2КО + DA^ + BA. О г) - ДС + OBj - DA 2 Точка О равноудалена от вершин прямоугольника ABCD. Докажите, что а) OD-BA OC + DA а) ОА - СВ = OD + AB б) OB + OD = ОА + ОС. б) BO--BD = АО--АС. 2 2 Векторы в пространстве 83 2, 5 и 9. © Определите, может ли равняться нулевому вектору сумма трех векторов, длины которых равны 1, 3 и 5. Ответ объясните. СА-28. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Вариант А1 Вариант А2 Дан куб ABCDA^B^CJ)^. Определите, являются ли компланарными векторы: а) AB^,AD и BjZ); б) АВ, AD и АА^ . Ответ объясните. О а) BCj, CjZ) и BD; б) DA, DC и DB^ . В кубе ABCDA^B^C^D^ найдите вектор, начало и конец которого являются вершинами куба, равный сумме векторов: а) CjBj + CjBj + CjC ; б) АВ + A^D^ + АА^ . © а) ВА + ВС + BBj ; б) В^А^ + ВС +■ BjB В параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ разложите: а) вектор АС^ по векторам АВ, AD и АА^; а) вектор ДВ по векторам ДД, ДД и ДВ>; 84 Работы по учебнику Л. С.Атанасяна и др. б) вектор AAj ПО векторам ДД, Z)jCj иДС. б) вектор BBj по векторам СВ, CD и BjZ). О Даны некомпланарные векторы а, Ь и с. Известно, что d = а-2Ь + Зс . d - За -Ь + 4с . Найдите разложение по векторам а, Ъ и с вектора 4, , если векторы d и dj сонаправле-ны, а длина вектора dj в три раза больше длины вектора d. векторы d и dj противоположно направлены, а длина вектора d^ вдвое больше длины вектора d. Вариант Б1 Вариант Б2 а) ДВ и ДBJ ; б) ABj и ДВ. О Дан куб ABCBAjBjCjDj. Назовите вектор с началом и концом в вершинах куба, который вместе с двумя данными векторами составлял бы тройку компланарных векторов: а) CD и CCj ; б) ВД и АС . В параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ найдите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный сумме векторов: а) DA -1- DC -1- BBj а) ВА + ВС + BDj ; Векторы в пространстве 85 б) АА^ + -BjCj + DC, О б) DD-y + -Ay By + СВ В тетраэдре DABC точки М и N — середины ребер DA и DC соответственно. Разложите: а) вектор МС по векторам ВА, BD и ВС ; б) вектор АВ по векторам ВМ, Ш и Ш, а) вектор NA по векторам ВА, BD и ВС ; б) вектор ВС по векторам mi, Ш и Ш. О Даны некомпланарные векторы а, Ь и с. Известно, что d = a + b-c, е-а-Ь + Ъс , Найдите разложение вектора а по векторам с, d не. d -Ъа + Ь + с, е = -а + Ь- с. Найдите разложение вектора Ь по векторам а, d н е . Вариант В1 Вариант В2 Дан куб ABCDAyByCyDy. Назовите вектор с началом и концом в вершинах куба, который вместе с любыми двумя из трех данных векторов составлял бы тройку некомпланарных векторов: а) ВА, ВС и ВВу ; б) АВу, ADy и ССу . а) DA, DDy и DC ; б) АС, АВу и DDy . 86 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. О в параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ найдите вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равный сумме векторов: а) ВА + ВС + ВВ^ + D^A ; а) АВ + ААу + AD + CjD : б) ВВ^ + CD + A^D.^ + D^B . © б) АВ + CCj + AyD.^ + СуА . В правильном тетраэдре DABC точка О — центр треугольника АВС, точки М и N — середины ребер AD и CD соответственно. Разложите: а) вектор BD по векторам AM, АО и Ж; б) вектор АС по векторам BN, BD и ВА . а) вектор AD по векторам civ, СО и АВ ; б) вектор АС по векторам ВМ, ВС и ВО. Даны некомпланарные векторы а, Ъ и с . Докажите, что векторы I, т п п компланарны, и разложите один из них по двум другим, если I = 2а - Ь - с, 1 = а-Ь-с, т = 2Ь - с - а, т = а - Ь + с, п = 2с - а-Ь. п - с. Векторы в пространстве 87 СА-29*. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Треугольники АВС и имеют об- щую точку пересечения медиан. Известно, что А^А - а, В^В = Ь. В^А = а, А^В = Ъ. Выразите через а и б вектор СС^. О Известно, что а, Ь и с — некомпланарные векторы. Определите, при каких значениях k векторы ha + b + с, а + kb + с a + b + kc и ka + kb + с, а + kb + kc ka-b + kc также будут некомпланарными. е Дан тетраэдр ABCD и точки К, L, М и N на его ребрах, причем AM = -АВ, AN = хАС, 3 Ш = -Ш, CL = yCD, 3 АМ = хАВ, CN = -CA, 4 Ш = -ВС, 4 и MN = KL. MN = KL. Найдите х и у. 88 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. ABCDA^BjC^Dj^ — параллелепипед. Докажите, что диагональ АС^ проходит через точку пересечения медиан треугольника А^Б!) и делится этой точкой в отношении 1:2. О А, Б, С, Aj, Бр Cj — точки пространства, удовлетворяющие условиям АБ = ХВС, А^В^ = ХВ^С^ (X, ^ 0). Докажите, что середины отрезков АА^, ББ^ и CCj лежат на одной прямой. диагональ BJ) проходит через точку пересечения медиан треугольника AD^C и делится этой точкой в отношении 2:1. О Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. КА-4. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 В, ( I I 1 !б D Дан куб ABCDA^B^CJ)^ (см. рисунок). а) Назовите вектор Векторы в пространстве 89 с началом в точке D^, равный с концом в точке С^, равный вектору АВ . вектору AD . 6) Назовите вектор, равный ABj + B-^D . D^D-D^B ВС^ + CjX). в) Назовите вектор, равный AjC - AjCj . г) Назовите вектор х, удовлетворяющий равенству DA + дг + — Z)Bj . О Bj.Aj + 5jCj + X — B^D В правильном тетраэдре DABC с ребром а точка О — центр треугольника АВС. а) Постройте вектор — DB - 1 —• ^ ---DA и найдите его длину. 2 а) Постройте вектор — DC 1—■ ^ — DB и найдите его длину. 2 б) Найдите DA + АС - ОС 0 Отрезок МЛ — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD. Разложите вектор МС по векторам АВ, AD и AM . б) Найдите ОВ -I- ВС - DC . О Отрезок МВ — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Разложите вектор МС по векторам АВ, АС и МВ . Векторы а и Ь неколлинеар-ны. Найдите значения k, при которых векторы с = ka + и d - a + kb коллинеарны. Векторы а VL Ь неколлинеар-ны. Найдите значения к, при которых векторы с = ка + ЗЬ и d - За+ кЪ коллинеарны. 90 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 Дан параллелепипед ABCDA^B^C^D^ (см. рисунок). а) Назовите вектор с началом в точке D, равный с концом в точке В^, равный АВ + ВВ^ . DA + АА^ . б) Назовите вектор, равный АС + DA^ . CjX) + СВ . в) Назовите вектор, равный A^D - А^В + АА^ . В^А — В^С + ВВ^ . г) Назовите вектор х, удовлетворяющий равенству AjBj + ДД = AjC - X . DA + DC - DB^ - X . О в правильном тетраэдре DABC с ребром а точка О — центр треугольника АВС. а) Постройте вектор а) Постройте вектор DC + i{СА + СВ^ и найдите — {^DB + DC^ - DO и найдите его длину. его длину. Векторы в пространстве 91 б) Найдите DO - — DA е Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Разложите вектор АС по векторам ОБ, ОС и OD . О Даны параллелограммы ABCD и ABCJ)y Докажите, что векторы СД, CjD и АВ компланарны. б) Найдите — DC - DO е Точка О не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Разложите вектор ОС по векторам АВ, ВС и АО. Даны параллелограммы ABCD и A^B^CD. Докажите, что векторы АС, BD и AiBj компланарны. Вариант В1 Вариант В2 Дан правильный октаэдр EABCDF (см. рисунок), а) Назовите вектор с началом в точке В, равный с концом в точке С, равный FD-FC. Ш-ЁА. 92 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. б) Назовите вектор, равный Ш. + ¥в + св. ¥в + ^ + Ш.. в) Назовите вектор, равный -{da + dc]--Je. -(fd + fb)--ac . 2^ > 2 2^ > 2 г) Назовите вектор х, удовлетворяю- щий равенству ^-BF = x + DC. BD-EC = x + FD . О в правильном тетраэдре DABC с ребром а точка Р — центр треугольника АВС, точка Q — центр треугольника ВВС. а) Постройте вектор i {^АВ -ь АСj -ь PQ и найдите его длину. б) Найдите AQ - — AD 3 0 Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника АВС (ZB = 90°). Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости АВС. Разложите вектор SO по векторам АВ, ВС и SB . О Точки М и N — середины ребер BD и АС правильного а) Постройте вектор — ^DB -ь ПС) -ь QP и найдите DP--DA 3 его длину, б) Найдите 0 Точка S равноудалена от сторон ромба ABCD. Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости ромба. Разложите вектор SO по векторам АВ, и ^ . О Точки М и N — середины ребер AD и ВС правильного Векторы в пространстве 93 тетраэдра DABC. Докажите, что векторы MN, AD и ВС компланарны. тетраэдра DABC. Докажите, что векторы MN, АВ и CD компланарны. КА-5. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант А1 Вариант А2 Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС = = 13 см и катетом ВС -Ъ см. Отрезок SA, равный 12 см, — перпендикуляр к плоскости АВС. а) Найдите AS + SC + СВ|. б) Найдите угол между прямой SB и плоскостью АВС. О в правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна 8^/2 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. е Постройте сечение куба ABCHAjBjCjHj, проходящее через вершину D и середины ребер A4.J и А^В^. Определите вид многоугольника, полученного в сечении. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 16 см и ВС = 12 см. Отрезок SC, равный 20 см, — перпендикуляр к плоскости АВС. а) Найдите |CS + SB + ВА| . б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью АВС. О в правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4^/з см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. е Постройте сечение куба ABCHAjBjCjHj, проходящее через прямую АВ и середину ребра BjCj. Определите вид многоугольника, полученного в сечении. 94 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Вариант Б1 Вариант Б2 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SA — перпендикуляр к плоскости ромба, SA = 3>/3 см, АС = 6 см, BD = 8 см. а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна к плоскости ЗАО. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Отрезок ЗА — перпендикуляр к плоскости ромба, АВ = 5 см, BD = 8 см, 30 = 6 см. а) Докажите перпендикулярность плоскостей 3BD и ЗАО. —• 1 /—■ —-\ 1 /—■ —-\ —• SZ) + -(DA + DC) . б) Найдите -{AD + АВ\ + 03 2^ > б) Найдите в) Найдите двугранный угол 3DBA. О в правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 0 Постройте сечение правильного тетраэдра DABC, проходящее через середины ребер AD и ВС параллельно ребру DB, и определите вид многоугольника, полученного в сечении. в) Найдите угол между прямой 30 и плоскостью АВС. О в правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 0 Постройте сечение правильного тетраэдра DABC, проходящее через середины ребер AD и АВ параллельно ребру АС, и определите вид многоугольника, полученного в сечении. Векторы в пространстве 95 Вариант В1 Вариант В2 Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС. Отрезок SB — перпендикуляр к плоскости АВС. Двугранный угол SAC В равен 45°. а) Докажите перпендикулярность плоскостей SBA и SBC. б) Точка М — точка пересечения медиан треугольника SAC. Разложите вектор ВМ по векторам BS, ВА и ВС. в) Найдите углы наклона прямых SA и SC к плоскости АВС. О Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим углом а. Боковые грани пирамиды, содержащие данный катет и гипотенузу основания, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Д£1н равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС, Отрезок SB — перпендикуляр к плоскости АВС. Прямые SA и SC образуют с плоскостью АВС угол 30°. а) Докажите перпендикулярность плоскостей SAC и SBD, если D — середина АС. б) Точка М — точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите вектор SM по векторам SA, SB и в) Найдите двугранный угол SACB. О Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основания, перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом р. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 96 Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. е Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящее через середины ребер основания AD и CD параллельно боковому ребру SD. О Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящее через середины ребра основания AD и бокового ребра SB параллельно прямой АС. Работы по учебнику А. В. Погорелова АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ СП-1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ Вариант А1 Вариант А2 D Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две точки, не принадлежащие плоскости АВС; плоскости ABD\ б) прямую, по которой пересекаются плоскости BCD и АВМ; АВС и ADK-, в) плоскость, проходящую через прямые AM и CD. DK и ВС. е Даны две прямые, через которые нельзя провести плоскость. Могут ли эти прямые пересекаться? Ответ объясните. е Даны две плоскости, которые не пересекаются. Могут ли эти плоскости иметь общую точку? Ответ объясните. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 99 0 Плоскости аир имеют общие точки А, В и С. Верно ли, что эти плоскости обязательно совпадают? Ответ объясните. 0 Прямая а пересекается с каждой из прямых & и с. Верно ли, что прямые а, Ь и с обязательно лежат в одной плоскости? Ответ объясните. Вариант Б1 Вариант Б2 Б, 7 I I I \в Cl А D Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие точку В; точку D^; б) прямую, по которой пересекаются плоскости AjBjCj и B^BD; BCD и А^АС; в) плоскость, проходящую через прямые AD и CjA. BDj и 0 0 Прямые а, & и с не лежат в одной плоскости, но пересекаются в одной точке. Сколько различных плоскостей можно провести через эти прямые, беря их попарно? Ответ объясните. Три различные плоскости а, р и Y имеют общую точку, но не имеют общей прямой. Сколько различных прямых можно полз^ить при попарном пересечении этих плоскостей? Ответ объясните. 100 Работы по учебнику А. В. Погорелова аксиоме С^. е Сформулируйте утверждение, обратное аксиоме С„. О Будет ли оно верным? Почему? Вариант В1 Вариант В2 Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три различные плоскости, не содержащие точку А; точку С; б) прямую, по которой пересекаются плоскости СМК и SBC; DKM и SAB; в) плоскость, проходящую через прямые SA и КС. SB и MD. О о Точка D является общей для двух различных плоскостей а и р и прямой а. Как может располагаться прямая а относительно аир? Укажите все возможные случаи. Точка D является общей для двух различных прямых а и Ь и плоскости а. Как могут располагаться прямые а и & относительно плоскости а? Укажите все возможные случаи. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 101 о Каждая из трех различных прямых пересекается с двумя другими. Сколько различных плоскостей можно провести через данные прямые, взятые попарно? Укажите и обоснуйте все возможные варианты. О Три различные плоскости имеют общую точку. Сколько различных прямых может образоваться при пересечении этих плоскостей? Укажите и обоснуйте все возможные варианты. СП-2, простейшие следствия аксиом СТЕРЕОМЕТРИИ Вариант А1 Вариант А2 В, С и / I I I \в у У D Пользуясь данным рисунком, выполните задания: а) назовите плоскость, проходящую через точку и прямую AjCj, точку А и прямую BD, и укажите две прямые, принадлежащие этой плоскости; б) укажите точку пересечения прямой ACj с плоскостью D^DC. прямой BD^ с плоскостью A^AD. 102 Работы по учебнику А. В. Погорелова 0 Точки Л, Б, С и D не лежат в одной плоскости. Выбирая из данных точек по три, постройте две плоскости, которые пересекались бы по прямой ВС. по прямой AD. Какие аксиомы и теоремы при этом использовались? 0 Известно, что через точки А, В и С можно провести бесконечно много различных плоскостей. Каким образом нужно выбрать точку D, чтобы плоскость, проходящая через А, В, С и D, была единственной? Ответ объясните. 0 Известно, что через прямую а и точку А можно провести бесконечно много различных плоскостей. Каким образом нужно выбрать точку В, чтобы плоскость, проходящая через прямую а и точки А и В, была единственной? Ответ объясните. Вариант Б1 Вариант Б2 —— Пользуясь данным рисунком, выполните задания: а) назовите плоскость, проходящую через прямую MN и точку В, прямую KN и точку D, и укажите прямую ее пересечения с плоскостью ABD; с плоскостью ADC; б) постройте точку пересечения Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 103 прямой MN с плоскостью BCD. прямой KN с плоскостью BCD. О Прямые а и Ь пересекаются в точке С. Выберите в пространстве точку D, которая вместе с данными прямыми определяла бы две плоскости, пересекающиеся по прямой CD. пересекающие плоскость данных прямых. Какие аксиомы и теоремы при этом использовались ? 0 Точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Каким образом должны располагаться эти точки, чтобы через А, Б и С можно было провести плоскость, не содержащую точку Б? Почему другое расположение точек не обеспечивает выполнение данного условия? чтобы любая плоскость, проходящая через Б и С, содержала бы А и Б? Вариант В1 Вариант В2 в к 1 1 1 1 1 1 1 R! X D м с Пользуясь данным рисунком, выполните задания: 104 Работы по учебнику А. В. Погорелова а) назовите плоскость, проходящую через точку К и прямую через точку М и прямую АС, и укажите прямую ее пересечения с плоскостью АВС; с плоскостью б) постройте точку пересечения прямой BCD. МК с плоскостью прямой км с плоскостью AiBiCj. О Прямая I проходит через точку А, но не проходит через точку В. Выберите в пространстве точку С, которая вместе с данной прямой, а также вместе с двумя данными точками определяла бы две плоскости, пересекающиеся по прямой АС. вместе с двумя данными точками определяла бы плоскость, пересекающую плоскость, содержащую Z и В, по прямой АВ. Какие аксиомы и теоремы при этом использовались? е Точки А, В, С и £> лежат в одной плоскости. Рассмотрите все случаи их взаимного расположения и укажите те случаи, при которых через точки В и С можно про- через точки А и В нельзя провести плоскость, не содержа- вести плоскость, не содержащую точек А и D. щую ни точки С, ни точки D. Почему другое расположение точек не обеспечивает выполнение данного условия? Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 105 СП-3. ПРИМЕНЕНИЕ АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЙ В ЗАДАЧАХ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Вариант А1 Вариант А2 Прямые АВ и CD пересекаются. Докажите, что прямые AD и ВС лежат в одной плоскости. О Прямые АВ и I не лежат в одной плоскости. Плоскость а содержит прямую I и точку В. Докажите, что точка А не лежит в плоскости а. © Докажите, что через любые три точки можно провести плоскость Точки А, Б и С не лежат на одной прямой. Точки К н М лежат на отрезках АС и ВС соответственно. Докажите, что прямые КМ и АВ лежат в одной плоскости. О Прямые АВ, АС и AD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые ВС и AD не пересекаются. через любую прямую и точку можно провести плоскость (в доказательстве рассмотрите два случая). Вариант Б1 Вариант Б2 Три вершины квадрата лежат в плоскости а. Докажите, что и четвертая вершина квадрата также лежит в плоскости а. Две соседние вершины и точка пересечения диагоналей трапеции лежат в плоскости а. Докажите, что и две другие вершины трапеции лежат в плоскости а. 106 Работы по учебнику А. В. Погорелова О Плоскости аир пересекаются по прямой т. Прямая I пересекает плоскость а в точке А, а плоскость р — в точке В (точки Л и В не лежат на прямой т). Докажите, что прямые т и I не пересекаются. е Прямые а н Ь пересекаются. Докажите, что существует прямая с, пересекающая каждую из двух данных прямых, но не лежащая с ними в одной плоскости. О Точки А и В — общие точки плоскостей аир. Прямая а лежит в а, не лежит ври проходит через точку А. Прямая Ь лежит в р, не лежит в а и проходит через точку В. Докажите, что прямые а и Ь не пересекаются. е Плоскости аир пересекаются по прямой I. Докажите, что существует плоскость у, не совпадающая с а и р и содержащая прямую I. Вариант В1 Вариант В2 Середины сторон пятиугольника лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости. 0 Плоскость а пересекает прямые МА, МВ и МС в точках Aj, Bj и Cj соответственно. Докажите, что данные прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда точки Aj, Bj и Cj лежат на одной прямой. Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости и не совпадают. Докажите, что вершины пятиугольника лежат в той же плоскости. 0 Плоскости аир пересекаются по прямой I. Точки А и В лежат в плоскостях аир соответственно. Докажите, что отрезок АВ пересекается с прямой I тогда и только тогда, когда один из его концов лежит на прямой I. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 107 0 Концы отрезка АВ лежат в двух различных плоскостях, пересекающихся по прямой а. Докажите, что существует плоскость, содержащая прямую а, относительно которой точки А и В лежат в разных полупространствах. 0 Четыре точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что существует плоскость, проходящая через две из них так, что две другие точки лежат относительно нее в разных полупространствах. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ СП-4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Вариант А1 Вариант А2 Известно, что точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. не лежат в одной плоскости. Определите, могут ли прямые АВ и CD: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. Ответы подтвердите ссылками на соответствующие теоретические факты. е е Даны параллельные прямые а Даны пересекающиеся прямые и Ь и прямая с, пересекающая а и Ь и прямая с, параллельная а, но не пересекающая Ъ. а, но не пересекающая Ъ. Докажите, что Ь и с — скрещивающиеся прямые. 0 К 0 Е F Параллельность прямых и плоскостей 109 Треугольник ВКС и прямоугольник ABCD не лежат в одной плоскости (см. рисунок). Точки М и N — середины отрезков ВК и КС соответственно. а) Докажите, что AD\\MN. б) Найдите AD, если MN = = 4 см. Вариант Б1 Квадрат ABCD и трапеция BEFC {ВС и EF — основания) не лежат в одной плоскости (см. рисунок). Точки М и N — середины отрезков BE и FC соответственно. а) Докажите, что MiV||AD. б) Найдите MN, если АВ = = 8 см, EF = 4 см. Вариант Б2 О Известно, что прямые а и Ь пересекаются, а прямые Ь и с параллельны. прямые а и Ь — скрещивающиеся, а прямые Ь и с параллельны. Определите, могут ли прямые а и с: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. Утвердительные ответы подтвердите рисунком; отрицательные ответы аргументируйте. О в параллелограмме ABCD через вершину В проведена прямая I, не лежащая в плоскости параллелограмма. Докажите, что прямые I и AD — скрещивающиеся. О в треугольнике АВС через вершину В проведена прямая I, не лежащая в плоскости треугольника. Докажите, что прямые I и АС — скрещивающиеся. 0 Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью а 110 Работы по учебнику А. В. Погорелова В точке В. Через точки А и М проведены параллельные прямые, пересекающие а в точках и Mj. в точке М. Через точки А и В проведены параллельные прямые, пересекающие а в точках и Ej. а) Докажите, что точки А^, Mj и В лежат на одной А^, М и В^ лежат на одной прямой. прямой. б) Найдите длину отрезка АВ, если AAj: MMj = 3:2, AM = б см. АА^: ВВ^ = 3:2, AM = 6 см. Вариант В1 Вариант В2 Треугольники АВС и АВС^ не лежат в одной плоскости. Точки К, М, N, L лежат на отрезках АС, СВ, ВС^, АС^ соответственно (см. рисунок). Определите, могут ли отрезки KL и MN отрезки KN и ML а) быть параллельными; б) пересекаться; в) лежать на скрещивающихся прямых. Утвердительные ответы подтвердите рисунком; отрицательные ответы аргументируйте. Параллельность прямых и плоскостей 111 О Плоскости аир пересекаются по прямой с. Плоскость у пересекает данные плоскости по двум параллельным прямым а и Ь соответственно. Докажите, что прямая с параллельна каждой из этих прямых. О Даны две параллельные прямые а и Ь и точка М, не лежащая в плоскости этих прямых. Через а и М проведена плоскость а, а через Ь и М — плоскость р. Докажите, что прямая пересечения аир параллельна каждой из данных прямых. © Через вершину А параллелограмма ABCD проведена плоскость а. Через точки В, С и D проведены параллельные прямые, пересекающие а в точках В^, и соответственно. Найдите ВВ^, если ВВ^ - 4 см. Найдите CCj, если ВВ^ - 3 см. CCj = 12 см. ВВ, = 7 см. СП-5. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Известно, что прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ь пересекает плоскость а. лежит в плоскости а. Определите, могут ли прямые а и Ь: а) пересекаться; б) быть параллельными; в) быть скрещивающимися. 112 Работы по учебнику А. В. Погорелова е в с Через сторону AD четырехугольника ABCD проведена плоскость а (см. рисунок). Известно, что ZBCA = ZCAD. Докажите, что ВС || а. ZABC + ZDAB = 180°. © © Дан треугольник АВС. Постройте плоскость, параллельную плоскости данного треугольника. Дан квадрат ABCD. Постройте плоскость, параллельную плоскости данного квадрата. Вариант Б1 Вариант Б2 Известно, что прямые а и Ь — скрещивающиеся, а прямая с параллельна а. Плоскость а пересекается с о. Плоскость определяется параллельными а определяется пересекающи-прямыми а и с. мися прямыми а и с. Определите, может ли прямая Ъ: а) быть параллельной плоскости а; б) пересекаться с плоскостью а; в) лежать в плоскости а. © Через вершину А ромба ABCD проведена прямая AM, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что прямая ВС параллельна плоскости MAD. 0 Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВК, не лежащая в плоскости квадрата. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВК. Параллельность прямых и плоскостей 113 е Прямая а параллельна плоскости а. Постройте плоскость Р, параллельную а и проходящую через прямую а. О Постройте плоскость, параллельную плоскости двух параллельных прямых а и Ь. Вариант В1 Вариант В2 прямой с. о Известно, что плоскости аир пересекаются по прямой с. Прямая I параллельна плоскости р и является скрещивающейся с с. Определите, может ли прямая I: а) быть параллельной плоскости а; б) пересекаться с плоскостью а; в) лежать в плоскости а. 0 Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точка М — середина отрезка AD. Через прямую ВМ и середину отрезка DC проведена плоскость. Докажите, что эта плоскость параллельна прямой АС. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точка М — середина отрезка AD. Докажите, что плоскость MDC параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АВ и ВС. 0 Отрезки АА^, ВВ^ и СС^ не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке К, которая является серединой каждого из них. Докажите, что плоскости ABjCj и А^ВС параллельны. Докажите, что плоскости АВС и AjBjCj параллельны. 114 Работы по учебнику А. В. Погорелова СП-6. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ Вариант А1 Вариант А2 Даны параллельные плоскости аир. Параллельные прямые а н Ь пересекают плоскость а в точках А и В, а плоскость р — в точках и В^. Докажите, что АВ = А^В^. Докажите, что ZBAA^ = ZA^B^B. О Перечислите геометрические фигуры, которые могут быть параллельными проекциями: а) отрезка; а) луча; б) параллелограмма. б) трапеции. О Определите, могут ли две пересекающиеся прямые две скрещивающиеся прямые проектироваться: а) в две пересекающиеся прямые; б) в две параллельные прямые; в) в одну прямую; г) в прямую и точку. Треугольник АВС — параллельная проекция равнобедренного треугольника {АС — проекция основания). Параллельность прямых и плоскостей 115 В Постройте проекцию средней линии треугольника, соединяющей середины его боковых сторон. Вариант Б1 биссектрисы треугольника, проведенной из вершины, противолежащей основанию. Вариант Б2 Даны параллельные плоскости а и р. В плоскости а проведена прямая а. Через точку В плоскости р проведена прямая Ъ, параллельная а. В плоскости р выбрана точка В, и через нее проведена прямая Ь, параллельная плоскости а. Докажите, что прямая Ъ лежит в плоскости р. О Перечислите геометрические фигуры, которые могут быть параллельными проекциями: а) окружности; б) двух скрещивающихся прямых. Ф Определите, может ли при параллельном проектировании прямоугольника ромба получиться: а) параллелограмм; 6) квадрат; в) трапеция; г) отрезок. а) треугольника; б) двух пересекающихся прямых. lie Работы no учебнику A. В. Погорелова Параллелограмм ABCD — параллельная проекция ромба. Постройте проекцию перпендикуляра, проведенного из точки Е к прямой АС. Вариант В1 Треугольник — парал- лельная проекция равнобедренного треугольника АВС (AjCj — проекция основания). Постройте проекцию перпендикуляра, проведенного из середины боковой стороны к основанию треугольника. Вариант В 2 Даны параллельные плоскости аир. Точки А и В лежат в плоскости а, а точки С н D — в плоскости р. Известно, что Отрезки AD и ВС пересекаются и равны, а АВ = CD. Найдите величину угла ACD. отрезки АВ и CD равны, а отрезки AD и ВС пересекаются. Определите, в каком отношении отрезки AD и ВС делятся точкой пересечения. е Перечислите геометрические фигуры, которые могут быть параллельными проекциями: а) двух параллельных отрезков; а) двух параллельных прямых; б) острого угла. б) тупого угла. О Укажите расположение плоскости данного Параллельность прямых и плоскостей 117 правильного треугольника квадрата относительно плоскости проекции, если направление проектирования перпендикулярно плоскости проекции а проекцией является: а) равнобедренный треугольник; б) правильный треугольник; в) треугольник с высотой, равной высоте данного треугольника; г) отрезок. а) прямоугольник; б) квадрат; в) ромб; г) отрезок. О Дана параллельная проекция окружности с центром в точке О. Постройте изображение квадрата, описанного около данной окружности. правильного треугольника, вписанного в данную окружность. СП-7*. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 D Точка Е лежит в плоскости АВС. 118 Работы по учебнику А. В. Погорелова Постройте точку пересечения прямой DE с плоскостью MNK. прямой DE с плоскостью ВМС. О Точка М не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Постройте линию пересечения плоскостей АВМ и CDM. плоскостей ВСМ и ADM. О Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины шести отрезков с концами в этих точках являются вершинами трех параллелограммов, О Через середины двух медиан треугольника проведена плоскость, не совпадаюш;ая с плоскостью треугольника. Докажите, что проведенная плоскость параллельна одной из сторон треугольника. Ф Дана параллельная проекция равнобокой описанной трапеции. Постройте проекции точек касания сторон трапеции со вписанной окружностью. прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке. О в плоскости а выбраны точки А и В, а в параллельной ей плоскости р — точки С и D, причем середины отрезков АС и BD не совпадают. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и BD, параллельна плоскостям аир. Ф Дана параллельная проекция равнобедренного прямоугольного треугольника. Постройте проекцию квадрата, вписанного в данный треугольник так, что две вершины квадрата лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Параллельность прямых и плоскостей 119 О Дана параллельная проекция правильного шестиугольника ABCDEF. Постройте проекции: а) биссектрисы угла ABD; б) биссектрисы угла между АС и BE. а) биссектрисы угла BDE; б) биссектрисы угла между СЕ и AD. КП-1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Даны параллельные плоскости а и Р и прямая I, которая параллельна плоскости а. пересекает плоскость а. Определите, может ли прямая I: а) быть параллельной плоскости Р; б) пересекать плоскость Р; в) лежать в плоскости р. 0 0 Две соседние вершины и точка пересечения диагоналей квадрата лежат в плоскости а. Докажите, что и две другие вершины квадрата лежат в той же плоскости. Сторона АВ и диагональ BD прямоугольника ABCD лежат в плоскости а. Докажите, что и вершина С прямоугольника лежит в той же плоскости. 0 Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает 120 Работы по учебнику А. В. Погорелова сторону АВ в точке а сторону ВС — в точке С^. Найдите А^С^, если АС - 12 см, Найдите АС, если А^С^ - 3 см, ВА-.ВА=1: 3. ВС : ВС = 4 : 1. Вг Cl Oi Точки Aj, Bj и Cj — параллельные проекции вершин А, В и С ромба ABCD на данную плоскость. Постройте проекцию вершины D на эту плоскость. '^1 Точки Aj, и Oj — параллель- ные проекции вершин А и D квадрата ABCD и точки пересечения его диагоналей О на данную плоскость. Постройте проекции вершин В и С на эту плоскость. Вариант Б1 Вариант Б2 Прямая а и плоскость а параллельны прямой Ь. параллельны плоскости р. Определите, может ли прямая а: а) быть параллельной плоскости а; б) пересекать плоскость а; в) лежать в плоскости а. 0 Докажите, что каждая из двух параллельных прямых каждая из двух пересекающихся прямых не может пересекать каждую из двух скрещивающихся прямых. Параллельность прямых и плоскостей 121 и Bj лежат в плоскости а, а © Точки Aj точки и — в плоскости р, параллельной а, причем отрезки А^А^ и В^В^ пересекаются в точке С. Найдите А^А^, если - = 18 см, В^С = 8 см, СА^ = = 5 см. А^А^ Найдите В^В^, если = 20 см, CAg = 12 см, В^С - 6 см. в Треугольник А^В^С^ — проекция прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой АС, в котором АВ : ВС = 1:3. Постройте проекцию биссектрисы прямого угла этого треугольника. Вариант В1 D Параллелограмм ABCD — проекция ромба с острым углом 60° (углы В VI D — проекции тупых углов ромба). Постройте проекцию перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к стороне ромба. Вариант В2 Плоскости аир параллельны. Плоскость у пересекает эти плоскости по прямым а и & соответственно, а прямая I параллельна прямой а. пересекается с прямой а. Определите, может ли прямая h а) быть параллельной плоскостям р и у; б) пересекаться с плоскостями Р и у; в) лежать хотя бы в одной из плоскостей Р и у. 122 Работы по учебнику А. В. Погорелова О Докажите, что две различные прямые параллельны, если любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую. О Плоскость а пересекает стороны угла АСВ в точках и В^, а параллельная ей плоскость р — в точках А^ и В^ соответственно. Найдите В^В^, если CEj -14 см, СА^ : А^В^ = = 2:5, = AjEj, О М В Треугольник АВС — проекция равнобедренного треугольника, причем АС — проекция его основания, а СМ — высоты. Постройте проекцию центра окружности, описанной около треугольника. 0 Докажите, что две различные плоскости параллельны, если любая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую. О Из точки D, не лежащей ни в одной из двух параллельных плоскостей аир, проведены два луча, пересекающие плоскость а в точках А^ и Ag, а плоскость Р — в точках В^ и Eg соответственно, дите AjAg, если DB^ Най- ^Л = = 2:3, Z>Ag = 20 см, В^В^ = О Треугольник АВС — проекция треугольника, точка О — проекция центра описанной окружности. Постройте проекции высот треугольника. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ СП-8. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Вариант А1 Вариант А2 Прямые а иЬ перпендикулярны одной и той же прямой с. Могут ли прямые а и Ь пересекаться? быть скрещивающимися? О к Прямая КС перпендикулярна плоскости квадрата ABCD (см. рисунок). Найдите КВ, если К А - = >/34 см, АС = 3 л/2 см. О Через точку О — точку пересечения диагоналей ромба ABCD — проведена прямая SO, перпендикулярная плоскости ромба. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости BSD. Найдите К А, если ВС - 2 см, КВ = см. о Через вершину С прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой АВ проведена прямая МС, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости МВС. 124 Работы по учебнику А. В. Погорелова Через сторону АВ прямоугольника ABCD проведена плоскость а, перпендикулярная стороне ВС. Докажите, что ADla. О Плоскость а перпендикулярна сторонам AD и ВС четырехугольника ABCD, причем AD ВС. Докажите, что ABCD — трапеция. Вариант Б1 Вариант Б2 AA.1AD. Через вершины А и В параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые АА^ и ВВ^, причем ввлвс. Определите взаимное расположение а) прямых BBj и ВС; а) прямых АА^ и AD; б) плоскостей A^AD и В^ВС. б) плоскостей A^AD и BJBC. О в. Прямая К А перпендикулярна плоскости ромба ABCD (см. рисунок). Найдите КС, если КВ= Vl9 см, ВС= л/Зсм, ZB= 120°. е Точка М не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. Известно, что МА = = МВ - МС = MD и О — точка пересечения АС и BD. Докажите, что МО±{АВС). Найдите ifB, если КС= ^/^ см, ВВ = 4 см, ZC = 60°. е Точка М не принадлежит плоскости квадрата ABCD. Известно, что ZAMO = = ZCMO, ZBMO = ZDMO, где О — точка пересечения диагоналей ромба. Докажите, что МО±(АВС). Перпендикулярность прямых и плоскостей 125 Даны три попарно перпендикулярных отрезка DA, DB и DC. Прямая I параллельна линии пересечения плоскостей ADC и ВВС. Докажите, что IUDBA). Прямоугольные треугольники АВС и ABD UABC = AABD -= 90°) имеют общий катет и не лежат в одной плоскости. Прямая I перпендикулярна прямым DC и ВС. Докажите, что I II АВ. Вариант В1 Вариант В2 Даны две перпендикулярные прямые а и Ь и плоскость а. Возможно ли такое их взаимное расположение, при котором а) обе прямые параллельны а? б) обе прямые параллельны одной и той же прямой, лежащей в а? О а) одна из прямых параллельна а, а другая перпендикулярна а? б) обе прямые перпендикулярны а? Прямая А К перпендикулярна плоскости прямоугольника А BCD (см. рисунок). Найдите КА, если КВ = 13 см, КС = 1273см, KD = I2V2 см. 0 Точка О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, прямая МА перпендикулярна Найдите ЛГС, если ifB = 12\/2см, KD = 13 см, BD = у/Ш см. 0 Точка D — середина стороны АС правильного треугольника АВС, прямая ВК 126 Работы по учебнику А. В. Погорелова ПЛОСКОСТИ квадрата. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости АМО. О Плоскость у пересекает параллельные плоскости а и р по прямым а VI Ь соответственно, а плоскость 6 пересекает плоскости а, р и у. Известно, что a_L5. Докажите, что Ь±д. перпендикулярна плоскости треугольника. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости BKD. О Плоскость у пересекает две пересекающиеся плоскости а и р. Прямая I, по которой пересекаются а и р, и прямая к, не лежащая ни в одной из данных плоскостей, перпендикулярны плоскости у. Докажите, что прямая к параллельна плоскостям аир. СП-9. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. СВОЙСТВА ТОЧКИ, РАВНОУДАЛЕННОЙ ОТ ВЕРШИН МНОГОУГОЛЬНИКА Вариант А1 Вариант А2 Из точки S к плоскости а проведены перпендикуляр SO н наклонные SA и SB. Найдите SB, если SA = 20 см, АО - 16 см, ОВ = 5 см. 0 Точка S находится на расстоянии 4 см от плоскости правильного треугольника и равноудалена от всех его вершин. Периметр треугольника равен 9у[з см. Найдите расстояние Найдите ОА, если SB - 17 см, ОВ =15 см, SA = 10 см. 0 Точка S удалена от каждой из вершин квадрата ABCD на 13 см. Площадь квадрата равна 288 см^. Найдите расстояние от точки S до плоскости квадрата. Перпендикулярность прямых и плоскостей 127 от точки S до вершин треугольника. е Отрезки АВ, CD и EF упираются концами в две параллельные плоскости. Известно, что проекция отрезка АВ на одну из данных плоскостей больше проекции отрезка CD, но меньше проекции EF. Сравните длины отрезков АВ, CD и EF. Вариант Б1 АВ > CD > EF. проекции данных отрезков на одну из плоскостей. Вариант Б2 Из точки к плоскости проведены две наклонные. Известно, что длины наклонных 25 и 30 см, а разность длин их проекций — 11 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости. разность длин наклонных равна 5 см, а их проекции равны 7 и 18 см. Площадь прямоугольного треугольника — 24 см^, а разность длин его катетов равна 2 см. Точка, удаленная от плоскости треугольника на 12 см, равноудалена от всех его вершин. Найдите расстояние от данной точки до вершин треугольника. Один из катетов прямоугольного треугольника на 4 см меньше гипотенузы, а второй катет равен 12 см. Точка вне плоскости треугольника удалена от каждой из его вершин на 26 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. 128 Работы по учебнику А. В. Погорелова © Отрезки АВ, CD и EF упираются концами в две параллельные плоскости. Отрезки АВ^, CD^ и EF^ — их проекции на одну из этих плоскостей. Известно, что ZABSj > ZCDD^ > ZEFF^. ZBAB^ < ZDCD^ < ZFEF^. Сравните длины отрезков АВ, CD и EF. Вариант В1 Вариант В2 Из точки к плоскости проведены две наклонные. Известно, что одна из них имеет длину 4\[5 см, а длина ее проекции — 8 см. Угол между проекциями равен 60°, а отрезок, соединяющий основания наклонных, равен 7 см. Найдите длину второй наклонной. Сколько решений © Точка, расположенная на расстоянии 60 см от плоскости равнобокой трапеции, равноудалена от всех ее вершин. Диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, равной 30 см. Высота трапеции равна 24 см. Найдите расстояние от данной точки до вершин трапеции. одна из них имеет длину 11 см, а длина ее проекции — см. Угол между наклонными равен 60°, а отрезок, соединяющий основания наклонных, равен см. Найдите длину проекции второй наклонной. имеет задача? © Точка удалена от каждой из вершин равнобокой трапеции на 65 см. Диагональ трапеции равна 40 см и перпендикулярна боковой стороне, а проекция диагонали на большее основание трапеции равна 32 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости трапеции. Перпендикулярность прямых и плоскостей 129 © Отрезки АВ, CD и EF упираются концами в две параллельные плоскости. Известно, что cos а > cos р > cos у, где а, Р и у — углы между данными отрезками и их проекциями на одну из данных плоскостей соответственно. углы между данными отрезками и перпендикулярами, проведенными из точек А, С и Е соответственно на плоскость, содержащую точки В, D и F. Сравните длины отрезков АВ, CD и EF. КП-2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Вариант А1 О Наклонная, проведенная из точки к плоскости, равна 10 см и образует со своей проекцией на данную плоскость угол 30°. Найдите расстояние от точки до плоскости. О Через вершины А и В треугольника АВС проведены параллельные прямые AAj и ВВ^, причем AAjIAB -aAA^lAC. Докажите, что BB^LBC. Вариант А2 Из точки, удаленной от плоскости на 8 см, к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, угол между которыми равен 60°. Найдите длину наклонной. О Через вершины А и В треугольника АВС проведены прямые АА^ и ВВ^, причем AA^lAB, AA^IAC, BB^lAB, BBjlBC. Докажите, что AAj|BB^. 130 Работы по учебнику А. В. Погорелова е Точка S не лежит в плоскости прямоугольника ABCD и равноудалена от всех его вершин. Найдите расстояние от точки S до плоскости прямоугольника, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см, а SA = = 13 см. Найдите расстояние от точки S до вершин прямоугольника, если расстояние от точки S до плоскости АВС равно 24 см, АВ = 12 см, ВС = 16 см. Вершина А треугольника АВС является основанием перпендикуляра AD к плоскости треугольника. Докажите, что если ZBDA = ZCDA, то ZDBC = ZDCB. если ZDBA = ZDCA, то ZDBC = ZDCB. Вариант Б1 Вариант Б 2 Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость а, не совпадающая с плоскостью треугольника. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если стороны АВ и ВС соответственно равны 23 см и 33 см, а их проекции на плоскость а относятся как 2:3. О Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная прямым AD и АС. Докажите, что ABZ{AMD). АВ : ВС = 13 : 15, а их проекции на плоскость а равны 10 см и 18 см. О Прямая СК перпендикулярна катету АС и высоте CD прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°). Докажите, что ВС1(АСК). Перпендикулярность прямых и плоскостей 131 о Точка удалена от каждой из вершин равнобедренного треугольника на 65 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника, если его основание и боковая сторона соответственно равны 48 см и 40 см. О Плош;адь равнобедренного треугольника с основанием 48 см равна 768 см^. На расстоянии 60 см от плоскости треугольника выбрана точка, находяпдая-ся на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника. Найдите это расстояние. DB = BE. Вершина А треугольника АВС является серединой отрезка DE, перпендикулярного плоскости треугольника. Докажите, что DC = СЕ. Вариант В1 Вариант В2 Отрезки АВ и CD упираются концами в две параллельные плоскости, причем отрезок АВ равен проекции отрезка CD на одну из плоскостей. Найдите расстояние между плоскостями, если больший из отрезков равен 7 см, а меньшая из проекций — 1 см. е Через точку, не лежапдую на прямой I, проведены две плоскости, одна из которых параллельна I, а другая — перпендикулярна I, а также прямая т. Найдите расстояние между плоскостями, если меньшая из проекций равна 3 см, а больший из отрезков — л/41 см. е Через точку, не лежаш;ую на прямой I, проведены две различные плоскости, параллельные I, и прямая т, перпендикулярная I. Как расположена 132 Работы по учебнику А. В. Погорелова параллельная I. Как расположена прямая т по отношению к линии пересечения плоскостей? О Точка вне плоскости квадрата удалена от каждой из его вершин на 40 см. Другая точка удалена от данной точки и от каждой из вершин квадрата на 25 см. Найдите площадь квадрата. прямая т по отношению к линии пересечения плоскостей? О Точка удалена от плоскости правильного треугольника на 32 см и равноудгшена от всех его вершин. Другая точка удалена от вершин треугольника и от данной точки на 25 см. Найдите площадь данного треугольника. Определите геометрическое место точек, равноудаленных от данной плоскости и от прямой, лежащей в этой плоскости (без доказательства). от данной плоскости и от точки, лежащей в этой плоскости (без доказательства). СП-10. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Вариант А1 Вариант А2 Отрезок МА — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой АВ. Докажите, что MCLBC. О Катет ВС прямоугольного треугольника АВС {ZB = 90°) Отрезок МА — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. На стороне ВС выбрана точка О, причем MD1BC. Докажите, что AD — высота треугольника АВС. О Основание АС равнобедренного треугольника АВС лежит в Перпендикулярность прямых и плоскостей 133 лежит в плоскости а. Из вершины А к плоскости а проведен перпендикуляр АО. Найдите ВС, если ОВ - 6 см, ОС -= 10 см. плоскости а. Из вершины В к плоскости а проведен перпендикуляр ВО. На стороне АС выбрана точка D так, что OD1AC. Найдите BD, если АВ - ВС - 26 см, АС - 48 см. © Отрезок КВ — перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD. Постройте расстояние от точки к до прямой AD. от точки К до прямой АС. Вариант Б1 Вариант Б2 Отрезок В^В — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите перпендикулярность прямой АС и плоскости BfiB. 0 Из точки к плоскости прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 20 см проведен перпендикуляр длиной 16 см. Основание перпендикуляра — вершина прямого угла треугольника. Найдите расстояние от данной точки до гипотенузы. Отрезок CjC — перпендикуляр к плоскости ромба АВСП, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите перпендикулярность прямой BD и плоскости CjOC. 0 Из точки к плоскости треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см проведен перпендикуляр, основание которого — вершина угла, противолежащего стороне 14 см. Расстояние от данной точки до этой стороны равно 20 см. Найдите расстояние от точки до плоскости треугольника. 134 Работы по учебнику А. В. Погорелова е Точка К — середина стороны АВ квадрата А BCD. МК — перпендикуляр к плоскости квадрата. Постройте расстояние от точки М до прямой АС. от точки М до прямой BD. Вариант В1 Вариант В2 Дан куб ABCDA^B^C J)Докажите перпендикулярность прямой АС и плоскости B^BD. О Из точки М к плоскости ромба ABCD проведен перпендикуляр AM длиной 8 см. Известно, что расстояние от точки М до прямой ВС равно 10 см, ZB = 120°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD. прямой BD и плоскости С^СА. О Из точки М к плоскости ромба ABCD проведен перпендикуляр ВМ. Известно, что BD = = б см, ZA = 60°, а расстояние от точки М до прямой CD равно б см. Найдите расстояние от точки М до прямой АС. е Дана трапеция ABCD (AD\\BC). К плоскости трапеции проведен перпендикуляр КМ (точка М лежит на стороне CD). Диагональ BD является биссектрисой угла CDA. Постройте расстояние от точки К до прямой BD. Диагональ АС является биссектрисой угла BCD. Постройте расстояние от точки К до прямой АС. Перпендикулярность прямых и плоскостей 135 СП-11. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. СВОЙСТВА ТОЧКИ, РАВНОУДАЛЕННОЙ ОТ СТОРОН МНОГОУГОЛЬНИКА Вариант А1 Вариант А2 Через сторону AD квадрата ABCD проведена плоскость а. Из вершины В на эту плоскость опуш,ен перпендикуляр BBj (см. рисунок). Найдите проекцию диагонали BD на плоскость а, если BD = - 6 \/2 см, ZB^DA = 60°. е Площадь правильного треугольника равна 27 у/з см^, а расстояние от данной точки до каждой из сторон треугольника равно 5 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. О Перпендикуляр проведен из точки D к плоскости угла АВС. Точка D. лежит на бис- Найдите диагональ квадрата, если В^А = 2 л/2 см, ZDB^A = = 45°. е Точка удалена от каждой из сторон правильного треугольника на 10 см, а от плоскости треугольника — на 8 см. Найдите площадь данного треугольника. О Точка D не лежит в плоскости угла АВС и находится на одинаковом расстоянии от сторон 136 Работы по учебнику А. В. Погорелова сектрисе этого угла. Докажите, что точка D равноудалена от сторон угла. этого угла. Отрезок DD^ — перпендикуляр к плоскости АВС. Докажите, что точка лежит на биссектрисе угла АВС. Вариант Б1 Вариант Б2 Через большее основание AD равнобокой трапеции ABCD проведена плоскость а (см. рисунок). Найдите плош;адь трапеции, если ее основания равны 10 см и 20 см, сторона ВС удалена от плоскости а на 12 см, а угол между проекциями высоты и боковой стороны трапеции равен 45°. 0 Точка равноудалена от всех сторон прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 12 см и находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника. Найдите расстояние от данной точки до сторон треугольника. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости а, если боковая сторона и высота трапеции соответственно равны 13 см и 12 см, а угол между их проекциями на плоскость а равен 45°. 0 Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 12 см и 15 см. Расстояния от данной точки до каждой из сторон треугольника равны 5 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. Перпендикулярность прямых и плоскостей 137 0 Из точки к плоскости равнобедренного треугольника с основанием 30 см и площадью 300 см^ проведен перпендикуляр длиной 5 см, основание которого лежит на основании треугольника. Данная точка находится на одинаковом расстоянии от боковых сторон треугольника. Найдите это расстояние. 0 Из точки к плоскости равнобедренного треугольника проведен перпендикуляр, основание которого лежит на основании треугольника. Основание и боковая сторона треугольника равны 30 см и 25 см. Данная точка удалена от каждой из боковых сторон треугольника на 15 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. Вариант В1 Вариант В 2 Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость а. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости а, если площадь ромба равна 20 см^, сторона — 5 см, а угол между проекциями стороны CD и высоты СН (Н е AD) равен 45°. 0 Из точки, удаленной от плоскости квадрата на 36 см, к сторонам квадрата проведены равные перпендикуляры. Другая точка того же полупространства удалена от этих перпендикуляров и от плоскости квадрата на 10 см. Найдите площадь квадрата. площадь ромба равна 80 см^, высота — 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45°. 0 Перпендикуляры, проведенные из данной точки к сторонам правильного треугольника, равны. Другая точка того же полупространства удалена от этих перпендикуляров и от плоскости треугольника на 10 см, а от первой точки — на 26 см. Найдите площадь треугольника. 138 Работы по учебнику А. В. Погорелова О Диагональ прямоугольника равна 20 см, а его площадь — 192 см^. Из точки вне плоскости прямоугольника, удаленной от каждой из его больших сторон на бТб см, к плоскости прямоугольника проведен перпендикуляр, основание которого лежит на меньшей стороне. Найдите расстояния от данной точки до меньших сторон прямоугольника. Ф Диагональ прямоугольника равна 20 см. Из точки, удаленной от каждой из меньших сторон прямоугольника на 8л/бсм, к плоскости прямоугольника проведен перпендикуляр длиной 16 см, основание которого лежит на одной из больших сторон. Найдите расстояния от данной точки до больших сторон прямоугольника. СП-12. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Прямая SA проходит через вершину прямоугольника ABCD и перпендикулярна его сторонам АВ и AD. Докажите перпендикулярность плоскостей SAD и АВС. SAB и АВС. Ф Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием АВ перпендикулярны. Найдите CD, если AD= см, АВ = 6 см, ZACB = 60°. Найдите CD, если AD = 10 см, АВ = 16 см, ZCAB - 45°. Перпендикулярность прямых и плоскостей 139 0 Даны две перпендикулярные плоскости а и р. Точка А удалена от плоскости а на 8 см, а от линии пересечения плоскостей — на 17 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости р. Точка А удалена от линии пересечения этих плоскостей на 8V2 см и находится на одинаковом расстоянии от а и р. Найдите это расстояние. Вариант Б1 Точка S равноудалена от всех вершин квадрата ABCD. Докажите перпендикулярность плоскостей SAC и SBD. Вариант Б 2 О Прямая SO проходит через точку пересечения диагоналей ромба ABCD и перпендикулярна каждой из них. Докажите перпендикулярность плоскостей SAC и SBD. О Квадрат ABCD и прямоугольник AB^C^D с общей стороной AD лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Найдите площадь квадрата, если ABj = 8 см, СВ^ = 10 см. Найдите площадь прямоугольника, если площадь квадрата равна 9 см^, а ВС - л/43 см. 0 Плоскости аир перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Плоскость у пересекает плоскости а и р по параллельным прямым анЬ соответственно. Найдите расстояние между прямыми а и с, если расстояние Найдите расстояние между прямыми Ь и с, если расстоя- 140 Работы по учебнику А. В. Погорелова между а и 6 равно 30 см, а между 6 и с — 24 см. ние между а и с равно 12 см, а между а и 6 — 20 см. Вариант В1 Вариант В 2 Прямая MD перпендикулярна плоскости квадрата АВСП. Докажите перпендикулярность плоскостей МВС и MDC. 0 Прямоугольник ABCD перегнули по диагонали BD так, что плоскости ABD и CBD оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками А и С, если АВ -30 см, ВС = 40 см. Прямая DA перпендикулярна плоскости треугольника АВС (ZC = 90°). Докажите перпендикулярность плоскостей ВАС и ВВС. 0 Прямоугольник АВСВ перегнули по диагонали АС так, что плоскости АВС и АВС оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками В и В, если АВ = 20 см, АС - 25 см. 0 Перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой с. Отрезок АВ лежит в плоскости а и не пересекает плоскость р. Прямая Ь лежит в плоскости р и параллельна с. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите расстояние от точки М до прямой Ь, если точка А удалена от прямой Ь на 13 см, а расстояния от точек А и В до прямой с равны 5 см и 27 см соответственно. расстояние от точки В до прямой с, если точки А и М удалены от прямой & на 13 см и 20 см соответственно, а расстояние от точки А до прямой с равно 5 см. Перпендикулярность прямых и плоскостей 141 СП-13*. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Вариант А1 Вариант А2 /1— у 1 1 1 \в ^ А Дан куб ABCDAjBjCjflj. Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а) AjA и CD; б) А^В и С^В. О Через вершину А равностороннего треугольника АВС проведена прямая I, перпендикулярная плоскости треугольника. Периметр треугольника равен 24V3m. Найдите расстояние между: а) прямой I и высотой BD; б) прямой I и стороной ВС. а) CjC и АВ; б) АС и О Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая I, перпендикулярная плоскости квадрата. Площадь квадрата равна 18 м^. Найдите расстояние между: а) прямой I и стороной AD; б) прямой I и диагональю АС. е Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Расстояние между любыми двумя из данных точек равно а (см. рисунок). 142 Работы по учебнику А, В. Погорелова D С АК = КВ = DM = МС. Докажите, что отрезок КМ — расстояние между АВ и CD, и найдите его длину. АР = PD = BN = NC. Докажите, что отрезок PN — расстояние между AD и ВС, и найдите его длину. Вариант Б1 Вариант Б2 1 1 1 \в Z Дан куб ABCDAjBjCjDj. Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся прямых: а) B^D и CjC; б) АС и В,П. 0 Через середину N катета АВ прямоугольного треугольника АВС {ZB = 90°) проведена прямая MN, перпендикулярная плоскости АВС, Найдите расстояние от прямой MN до гипотенузы АС, если АВ = = 40 см, АС = 50 см. а) AjC и DJ)-, б) BD и А^С. 0 Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости а, отстоящей от вершины В на 36 см. Найдите расстояние между АС и прямой, проходящей через точку В перпендикулярно а, если АВ - 75 см, ВС = 100 см. Перпендикулярность прямых и плоскостей 143 © Точки Л, в, С и П не лежат в одной плоскости. Расстояние между любыми двумя из данных точек равно а (см. рисунок). D —__>С Отрезок DO — перпендикуляр к плоскости АВС. Точки К, М и N — середины отрезков АВ, AD и BD соответственно, PT\\D0. Докажите, что отрезок РТ — расстояние между MN и СК, и найдите его длину. D Отрезок СО — перпендикуляр к плоскости ADB. Точки Е, F и К — середины отрезков АС, ВС и АВ соответственно, MN II СО. Докажите, что отрезок MN — расстояние между EF и DK, и найдите его длину. Вариант В1 Вариант В2 Дан правильный тетраэдр ABCD (все грани — правильные треугольники). Точка О — центр треугольника АВС (см. рисунок). 144 Работы по учебнику А. В. Погорелова Постройте общий скрещивающихся а) DO и АВ; б) AD и ВС. 0 Точки М и N — середины сторон АВ и CD прямоугольника ABCD. Прямоугольник перегнули по прямой MN так, чтобы плоскости MNA и MNC были перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми АС и MN, если диагональ прямоугольника равна 5 см, а MN = -\/l7 см. перпендикуляр прямых: а) DO и ВС\ б) АВ и DC. 0 Точки М VL N — середины сторон ВС и AD квадрата ABCD. Квадрат перегнули по прямой MN так, чтобы плоскости MNB и MND были перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми MN и BD, если диагональ квадрата равна см. 0 Дан куб ABCDA^B^CJ)^ с ребром а (см. рисунок). Точка М — центр треугольника АВ^С, точка О — центр квадрата ABCD. Докажите, что отрезок МО — расстояние между ВМ и АС, и найдите его длину. Точка М — центр треугольника BC^D, точка О — центр квадрата ABCD. Докажите, что отрезок МО — расстояние между AjM и BD, и найдите его длину. Перпендикулярность прямых и плоскостей 145 СП-14*. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите задачи на доказательство, а) Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то расстояния от данной прямой до всех прямых плоскости, не параллельных данной, одинаковы. б) Докажите, что если вершины параллелограмма, не пересекающего плоскость, не принадлежат данной плоскости, то суммы расстояний от противолежащих вершин параллелограмма до данной плоскости равны. расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения одной из прямых с перпендикулярной ей плоскостью до проекции второй прямой на эту плоскость. если вершины правильного треугольника, не пересекающего плоскость, не принадлежат данной плоскости, то расстояние от центра треугольника до нее равно среднему арифметическому расстояний от вершин треугольника до этой плоскости. в) Из точки А к плоскости проведены наклонные АВ и АС и перпендикуляр AD. Докажите, что если ZABD + ZACD = 90° AD2 = DB ■ DC. то если ZBAD + ZCAD = 90°, то DB : DC = АВ^ : АС\ О Найдите геометрическое место: 146 Работы по учебнику А. В. Погорелова а) прямых, проходящих через данную точку прямой перпендикулярно этой прямой; б) прямых, проходящих через точку вне данной плоскости параллельно этой плоскости; в) точек, делящих пополам отрезки с одним концом в данной точке, а другим — на данной плоскости, не содержащей эту точку. а) прямых, проходящих через данную точку вне прямой перпендикулярно данной прямой; б) прямых, пересекающих одну из двух скрещивающихся прямых и параллельных второй прямой; в) середин отрезков, концы которых лежат на каждой из двух данных параллельных плоскостей. 0 Решите задачи на построение. а) Даны две скрещивающиеся прямые и точка, не принадлежащая им. Постройте прямую, проходящую через данную точку и пересекающую данные прямые. б) На данном изображении прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, постройте изображение центра окружности и точек ее касания со сторонами трапеции, если острый угол трапеции равен 60°. в) Даны две пересекающиеся плоскости и две точки, каждая из которых лежит в одной из данных плоскостей и не лежит в другой. Постройте плоскость, проходящую через дгшные точки и параллельную линии пересечения данных плоскостей. а) Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте прямую, пересекающую две из данных прямых и параллельную третьей прямой. б) На данном изображении равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, постройте изображение центра окружности и точек ее касания со сторонами трапеции, если тупой угол трапеции равен 120°. в) Даны две параллельные плоскости и по одной точке в каждой из них. Постройте плоскость, проходящую через данные точки и перпендикулярную данным плоскостям. Перпендикулярность прямых и плоскостей 147 О Решите вычислительные задачи. а) Точка вне плоскости параллелограмма удалена от каждой из его вершин на 10 см и от каждой из его сторон — на 8 см. Найдите площадь параллелограмма и расстояние от данной точки до его плоскости. б) Точка вне плоскости правильного треугольника удалена от каждой из его вершин на 4л/т см. Периметр треугольника равен 36 см. Найдите расстояние от стороны треугольника до прямой, проходящей через противолежащую вершину треугольника и данную точку. в) Из точки к плоскости прямоугольного треугольника с катетами 21 см и 28 см на равных расстояниях от катетов проведен перпендикуляр, основание которого лежит на гипотенузе. Из той же точки к меньшему катету проведен перпендикуляр длиной 15 см. Другая точка на первом перпендикуляре равноудалена от второго перпендикуляра и от плоскости треугольника. Найдите расстояние между данными точками. а) Точка вне плоскости треугольника удалена от каждой из его вершин на 5 см и от каждой из его сторон — на 4 см. Найдите площадь треугольника и расстояние от данной точки до его плоскости. б) Точка вне плоскости квадрата удалена от каждой из его вершин на 6V2 см. Площадь квадрата равна 16 см^. Найдите расстояние от стороны квадрата до прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно противолежащей стороне квадрата. в) Катет прямоугольного треугольника равен 21 дм, а гипотенуза — 35 дм. Из точки вне плоскости треугольника, равноудаленной от катетов, к плоскости треугольника проведен перпендикуляр длиной 9 дм с основанием на гипотенузе. Другая точка прямой, содержащей данный перпендикуляр, равноудалена от первой точки и данного катета. Найдите расстояние между данными точками. 148 Работы по учебнику А. В. Погорелова КП-3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Плоскость а проходит через основание АС равнобедренного треугольника АВС, 50_La, BD — высота треугольника (см. рисунок). а) Докажите перпендикулярность прямой АС и плоскости BDO. б) Докажите перпендикулярность плоскостей ВСО и а. в) Найдите периметр АВС, если ВО = 3 см, DO - V? см, СО = 4 см. 0 Точка, удаленная от плоскости квадрата на 8 см, равноудалена от всех его сторон. Площадь квадрата равна 144 см^. Найдите расстояния от данной точки до сторон квадрата. 0 Плоскость а проходит через катет АС прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°), ВО±а (см. рисунок). а) Докажите перпендикулярность прямой АС и плоскости вое. б) Докажите перпендикулярность плоскостей ВАО и а. в) Найдите периметр АВС, если АС =12 см, СО = 4 см, ВО - 3 см. 0 Точка удалена от каждой из сторон квадрата на 13 см. Диагональ квадрата равна 10V2cM. Найдите расстояние от данной точки до плоскости квадрата. Перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой I. Отрезки ОА и Перпендикулярность прямых и плоскостей 149 ОВ, лежащие в плоскостях а и |3 соответственно, перпендикулярны прямой I, а их общий конец — точка О — лежит на прямой I. Найдите длину отрезка АВ, если ОА = 20 см, а ОБ : АВ = = 12 : 13. Найдите длины отрезков ОА и ОБ, если АВ = 40 см, а ОА : ОБ = 3 : 4. Вариант Б1 Вариант Б 2 м м Через вершину С ромба ABCD проведена прямая МС, перпендикулярная сторонам ромба ВС и CD. Точка О — точка пересечения диагоналей ромба (см. рисунок). а) Докажите перпендикулярность прямой BD и плоскости МОС. б) Докажите перпендикулярность плоскостей MBD и МОС. в) Найдите площадь ромба, если МВ = 10 см, МО - 8 см, BD : АС = 2 . 3. О Стороны треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Точка вне плоскости треугольника-удалена от каждой из его сто- Через вершину Б прямоугольника ABCD проведена прямая МБ, перпендикулярная сторонам прямоугольника АВ и ВС (см. рисунок). а) Докажите перпендикулярность прямой CD и плоскости МВС. б) Докажите перпендикулярность плоскостей MCD и МВС. в) Найдите площадь прямоугольника, если MD =13 см, МС = 12 см, AD : CD = 8 : 5. О Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Точка, равноудаленная от всех сторон треугольника, находится 150 Работы по учебнику А. В. Погорелова рон на 17 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. 0 Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. на расстоянии 3 см от плоскости треугольника. Найдите расстояния от данной точки до сторон треугольника. Сумма расстояний от концов отрезка до данных плоскостей равна 22 см, а его проекции на плоскости равны 20 см и 24 см. Найдите длину отрезка. Вариант В1 Сумма проекций отрезка на данные плоскости равна 44 см, а его концы удалены от этих плоскостей на 7 см и 15 см. Найдите длину отрезка. Вариант В2 Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости окружности, проходящий через ее центр — точку О. Через середину хорды АВ — точку К — проведен радиус ОС (см. рисунок). а) Докажите перпендикулярность прямой АВ и плоскости SCO. б) Докажите перпендикулярность плоскостей SAB и SCO. Отрезок SO — перпендикуляр к плоскости окружности, проходящий через ее центр — точку О. В плоскости окружности через точку С проведена касательная АВ (см. рисунок). а) Докажите перпендикулярность прямой АВ и плоскости SCD. б) Докажите перпендикулярность плоскостей SAB и SCD. Перпендикулярность прямых и плоскостей 151 в) Найдите угол АСВ, если SK^ А см, SB ^ 5 см, ОС = = 6 см. о Из точки к плоскости прямоугольного треугольника с катетами 21 см и 28 см проведен перпендикуляр длиной 9 см. Основание перпендикуляра лежит на гипотенузе треугольника, а расстояния от данной точки до катетов одинаковы. Найдите эти расстояния. О в) Найдите угол АВС, если SA - 10 см, SC = 8 см, ОС = = 3 см. О Из точки к плоскости прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 32 см проведен перпендикуляр, основание которого лежит на большем катете. Меньший катет и гипотенуза треугольника удалены от данной точки на 20 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Известно, что проекции отрезка на данные плоскости равны. Середина отрезка удалена от прямой пересечения плоскостей на 2л/2см. Найдите расстояния от концов отрезка до прямой пересечения плоскостей. расстояния от концов отрезка до прямой пересечения плоскостей равны 2 л/2 см. Найдите расстояние от середины отрезка до прямой пересечения плоскостей. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СП-15. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 Даны точки: Л(2;-4;0), В(0;5;0), С(0;0;-1), В(-4;0;-2), £(3;4;5). Укажите среди них точки, которые лежат а) на оси г; а) на оси г/; б) в плоскости ху. б) в плоскости XZ. в) Найдите расстояние от точки Е до плоскости XZ. от точки А до плоскости yz. г) Определите, пересекается ли с плоскостью ху отрезок СЕ. отрезок DE. О Даны точки А(2;-1;0) и Б(-4;2;2). А(-1;4;3) и В(5;-2;0). а) Найдите координаты середины отрезка АВ. б) Точка В — середина отрезка АС. Найдите координаты точки С. в) Найдите длину отрезка АВ. О Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(7;3;-2), В(1;3;6), С(0;0;-1). А(2;0;5), В(3;4;0), С(2;4;0). Декартовы координаты и векторы в пространстве 153 а) Найдите длину средней линии треугольника, параллельной стороне АВ. стороне ВС. б) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите прямоугольный, его основание. его гипотенузу. О Точка С является серединой отрезка АВ, причем и укажите точка А лежит в плоскости у г, а точка В — на оси х. точка А лежит на оси г, а точка Б — в плоскости ху. Найдите координаты концов отрезка и его длину, если С(2;6;3). С(3;2;6). Вариант Б1 Вариант Б 2 Даны точки .А(1;-2;3), Б(-1;2;-3), С(-1;-2;3), Б(-1;-2;-3), Б(4;4;3). Укажите среди них точки, которые а) определяют прямую, парал- а) определяют прямую, параллельную оси х‘, лельную оси у; б) лежат ниже плоскости ху. б) лежат выше плоскости ху. в) Найдите расстояние от точки Е до оси абсцисс. от точки Е до оси ординат. г) Определите, какие координатные плоскости пересекают отрезок AD. отрезок ВС. О Даны точки Л(-2;3;5) и С(3;-1;2). А(1;2;2) и С(4;-2;-1). 154 Работы по учебнику А, В. Погорелова а) Точка С — середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В. б) Найдите точку, равноудалеиную от А п С 1/1 лежащую на оси абсцисс. в) Точки и Cj — основания перпендикуляров, проведенных из точек А и С к плоскости у2. к плоскости ху. Найдите А^С^. аппликат. 0 Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(3;5;0), В(3;1;0), С(0;-6;0). А(4;0;-2), В(-16;8;-18), С(2;-4;-6). а) Найдите длину медианы, проведенной из вершины С. б) Найдите координаты точки Z), если А BCD — параллелограмм. Докажите, что точки М(1;7;5), N(-5;4;-7), А-(-3;5;-3) М(6;-1;0), К(0\3-,-2) лежат на одной прямой. Какая из них лежит между двумя другими? N(3;l;-1), Вариант В1 Вариант В2 Одна из вершин куба ABCDA^B^CJ)^ совпадает с началом координат, а три его ребра лежат на координатных осях (см. рисунок). Декартовы координаты и векторы в пространстве 155 А Z XI -^1 1 1 Вг 1 \d X у X У А В Ребро куба равно 1. а) Найдите координаты точек А^, В, С^. б) Запишите уравнения плоскостей и CjCB. в) Найдите длину диагонали DB^. г) Укажите координаты какой-либо точки Е, если отрезок С^Е пересекает плоскости XZ и уг, но не пересекает плоскость ху. плоскости ху и yz, но не пересекает плоскость XZ. О Даны точки С(-2;4;2) и D(4;0;-2). С(4;1;-1) и П(0;5;5). а) Точки С и D делят отрезок АВ на три равные части. Найдите координаты концов отрезка АВ. б) Найдите целочисленные координаты какой-либо точки М, которая лежит в плоскости xz и равноудалена от С и D. лежит в плоскости yz и равноудалена от С и £). © Даны точки £(1;2;1), У(2;4;-4), Ji:(4;l;-1). Е{8;2;-2), У(4;8;-8), Ji:(2;4;2). Эти точки являются серединами сторон треугольника АВС. Найдите координа- 156 Работы по учебнику А. В. Погорелова ТЫ вершин треугольника АВС и укажите вершину, ближайшую к плоскости уг. к плоскости хг. Составьте уравнение сферы с диаметром MNf если М(3;-2;3), Л^(-1;2;5). М(-3;4;3), Л^(5;-2;-1). СП-16. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ (СИММЕТРИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС, ПОДОБИЕ) Вариант А1 Вариант А2 точке А б) точки В; в) плоскости уг\ г) оси X. Даны точки А(-1;3;2) и В(5;-1;4). Запишите координаты точек, симметричных точке В относительно: а) начала координат; б) точки А; в) плоскости ху; г) оси Z. О Параллельный перенос в пространстве задан формулами: х' = X + 2, у' = у -1, z' = Z - S. х' = X - 4, у' = у + 2, z' = Z-1. а) В какую точку при таком переносе переходит точка А(1;0;-2)? б) Какая точка при таком переносе переходит в точку В'(3;4;-5)? Декартовы координаты и векторы в пространстве 157 О При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k треугольник АВС переходит в треугольник а) Найдите ZCj, если ZA= 72°, ZBj = 38°. ZAj = 100°, ZB = 28°. б) Найдите координаты вершин треугольника А^В^С^, если k=S, А(0;0;-2), В(1;0;0), С(0;2;0). А=2, А(4;0;0), В(0;-3;0), С(0;0;2). Вариант Б1 Вариант Б2 О Даны точки А(-2;1;4) и В(6;-3;2). А(3;-2;8) и В(-1;4;0). Запишите координаты точек, симметричных середине отрезка АВ относительно: а) плоскости xz; а) плоскости у г; б) оси ординат; б) оси аппликат; в) точки А; в) точки В; г) прямой АВ. г) прямой АВ. О При параллельном переносе точка А(-3;-2;1) А(2;-4;3) переходит в точку В(1;0;3). В(-3;1;8). а) В какую точку при таком переносе переходит точка С(1;-1;2)? б) Какая точка при таком переносе переходит в начало координат? 158 Работы по учебнику А. В. Погорелова Ф Из точки S проведены три луча, пересекающие плоскость а в точках А^, В^ и Cj, а параллельную ей плоскость р — в точках А^, соответственно. а) Докажите подобие треугольников Л,В,С, и A^Bf^ по двум углам. по трем сторонам. б) Найдите неизвестные стороны треугольников, если AjBj - б см, BjCj = 9 см, ^1^1 = 3 ^ Afl^ = 15 см, = 18 см. Ар^ = 22 см, =12 см. Вариант В2 Вариант В1 О Даны точки Л(-4;3;1) и В(2;-1;5). Л(6;-2;1) и В(2;4;-3) Запишите координаты точек, симметричных точке С — середине отрезка АВ — относительно: а) точки Щ-2;1;-3); б) середины отрезка ЛС; в) плоскости X = 1; г) прямой пересечения плоскостей X = у и Z = 0. а) точки Щ2;-1;3); б) середины отрезка СВ; в) плоскости у = 2; г) прямой пересечения плоскостей X = у и Z = 0. О Отрезок О А — радиус сферы с центром в точке О, где 0(1;-1;3), Л(-1;3;-1). 0(2;-3;4), Л(4;1;0). При параллельном переносе центр сферы переходит в точку, диаметрально противоположную точке Л. а) Составьте уравнение сферы, полученной в результате такого переноса. Декартовы координаты и векторы в пространстве 159 б) В какую точку при таком переносе переходит середина отрезка АОЧ О Через точку S, лежащую между параллельными плоскостями аир, проведены три прямые, пересекающие плоскость а в точках А^, B^i/i Cj, а плоскость р — в точках А^, и соответственно. а) Докажите подобие треугольников по трем сторонам. по двум сторонам и углу между ними. б) Найдите стороны треугольника А^В^С^, если А^В^ = 5 см, AjCj = 8 см, ZAg = = 60°, а периметр треугольника равен 60 см. BjCj = 7 см, = 8 см, ZB^ -- 120°, а периметр треугольника A^B^Cg равен 84 см. СП-17. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ. УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Вариант А1 Вариант А2 Из точки S к плоскости а проведена наклонная SA. Найдите длину наклонной и ее проекции, если точка S Найдите длину проекции наклонной и расстояние от точ- 160 Работы по учебнику А. В. Погорелова удалена от плоскости а на 6 см, а наклонная образует с плоскостью угол 30°. 0 Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость а. Найдите угол наклона катета ВС к плоскости а, если АС = 24 дм, АВ = 26 дм, а точка С удалена от плоскости а на 5 дм. 0 Через вершину А равностороннего треугольника АВС проведена плоскость, параллельная стороне ВС. Докажите, что стороны АВ и АС образуют с этой плоскостью равные углы. О* Через вершину В ромба ABCD проведена прямая, образую-ш;ая со стороной ВС угол 30°. Найдите угол между данной прямой и прямой AD. ки (S до плоскости а, если наклонная равна 6 см и образует с плоскостью угол 60°. 0 Через катет АВ прямоугольного треугольника АВС (ZA= 90°) проведена плоскость а. Найдите угол наклона гипотенузы к плоскости а, если АС = 6 дм, АВ = 8 дм, а точка С удалена от плоскости а на 5 дм. 0 Через вершину А квадрата ABCD проведена плоскость, параллельная диагонали BD, Докажите, что стороны АВ и AD образуют с этой плоскостью равные углы. О* Через вершину А трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD проведена прямая под углом 45° к стороне AD. Найдите угол между этой прямой и прямой ВС. Вариант Б1 Вариант Б2 Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если наклонные образуют с плоскос- Найдите расстояние между основаниями наклонных, если-данная точка удалена от плос- Декартовы координаты и векторы в пространстве 161 тью углы, равные 30°, между собой — угол 60°, а расстояние между основаниями наклонных равно 8 дм. О Через вершину В равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная основанию АС. Найдите углы наклона боковых сторон к этой плоскости, если основание АС равно 12 см и удалено от данной плоскости на 5 см, а площадь треугольника равна 48 см^. е Докажите, что если точка вне плоскости треугольника равноудалена от всех его вершин, то отрезки, соединяющие эту точку с вершинами треугольника, одинаково наклонены к плоскости треугольника. кости на 2V2 дм, а наклонные образуют с плоскостью углы, равные 45°, а между собой — прямой угол. е Через вершину А ромба ABCD проведена плоскость, параллельная диагонали BD. Найдите углы наклона сторон АВ и AD к этой плоскости, если диагональ BD равна 16 см и удалена от данной плоскости на 5 см, а площадь ромба равна 96 см^. е Докажите, что если наклонные, соединяющие данную точку с вершинами треугольника, одинаково наклонены к плоскости треугольника, то данная точка равноудалена от всех вершин треугольника. а) АВ и CjD; б) ABj и ВС. Дан куб ABCDA^BjC^D^. Найдите углы между прямыми а) AjB и CjB; б) CD и BjA. Вариант В1 Вариант В2 Через сторону АС равностороннего треугольника АВС проведена плоскость а. ВО — перпендикуляр к плоскости а. 162 Работы по учебнику А. В. Погорелова а) Обоснуйте угол между прямой ВО и плоскостью АВС. б) Найдите площадь треугольника АВС, если прямая ВО образует с плоскостью АВС угол 30°, а точка О удгьпена от плоскости АВС на 3 см. О Через вершину А ромба ABCD проведена плоскость, паргьп-лельная диагонали BD. Найдите углы наклона прямых СВ и CD к этой плоскости, если прямая BD удалена от данной плоскости на 4 дм, а периметр ромба равен 32 дм. е Через вершину прямого угла проведен луч, образующий с его сторонами углы, равные 60°. Найдите угол, который образует этот луч с плоскостью данного угла. б) Найдите расстояние от точки О до плоскости АВС, если прямая ВО образует с плоскостью АВС угол 60°, а площадь треугольника АВС равна 16л/3 см^. О Плоскость проходит через вершину В квадрата ABCD параллельно диагонали АС. Найдите углы наклона прямых DA и DC к данной плоскости, если прямая АС удалена от нее на 2 дм, а площадь квадрата равна 8 дм^. е Три луча с общим началом попарно образуют углы, равные 60°. Найдите угол наклона одного из лучей к плоскости двух других. D Дан правильный тетраэдр ABCD (все грани — правильные треугольники). Декартовы координаты и векторы в пространстве 163 а) АС и BD\ б) АБ и СЕ. Точка Е — середина AD (см. рисунок). Найдите углы между прямыми а) АВ и DC; б) BE и АС. СП-18. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ. ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА Вариант А1 Вариант А2 Плоскости а и р пересекаются по прямой с. Найдите угол между а и р, если точка, лежащая в плоскости а, удалена от плоскости р на 2V2 м, а от прямой с — на 4 м. О Ортогональной проекцией прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 16 см является треугольник. Угол между плоскостями треугольников равен 60°. Найдите площадь проекции. точка, лежащая в плоскости р, удалена от прямой с на 6 м, а от плоскости а — на 3 м. О Ортогональной проекцией данного треугольника является правильный треугольник со стороной 4 >/з см. Угол между плоскостями треугольников равен 30°. Найдите площадь данного треугольника. © Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и не лежат 164 Работы по учебнику А. В. Погорелова В одной плоскости. Основанием перпендикуляра, проведенного из вершины первого треугольника к плоскости второго, является вершина второго треугольника. Боковая сторона и основание второго треугольника равны 5 см и б см соответственно, а угол между плоскостями треугольников равен 60°. Найдите площадь первого треугольника. Боковая сторона и высота первого треугольника равны 10 см и 8 см соответственно, а угол между плоскостями треугольников равен 60°. Найдите площадь второго треугольника. Вариант Б1 Вариант Б2 Плоскости а и |3 пересекаются по прямой с. Прямая d параллельна прямой с. Найдите угол между а и Р, если прямая d лежит в плоскости а, и расстояние между прямыми d и с в два раза больше расстояния от прямой d до плоскости р. О Квадрат со стороной 8 см и треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см лежат в плоскости а. Ортогональная проекция квадрата на плоскость р — параллелограмм с площадью 32 см^. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость р. прямая d лежит в плоскости Р, и отношение расстояний от нее до прямой с и до плоскости а равно О Ромб с периметром 52 см и диагональю 10 см и прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см лежат в плоскости а. Ортогональная проекция треугольника на плоскость р — треугольник с площадью 12 см^. Найдите площадь ортогональной проекции ромба на плоскость р. Декартовы координаты и векторы в пространстве 165 0 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание длиной 20 см. Угол между плоскостями треугольников равен 60°, а их площади равны 60 см^ и 160 см^. Найдите расстояние между вершинами треугольников. Сколько решений имеет задача? 0 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание длиной 16 см, а их плоскости образуют угол 60°. Боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а другого — 8 V2 см. Найдите расстояние между вершинами треугольников. Сколько решений имеет задача? Вариант В1 Вариант В2 Плоскости аир пересекаются по прямой с. Найдите угол между аир, если точка, удаленная от каждой из плоскостей на 3 см, удалена от прямой с на 6 см. 0 Ортогональной проекцией квадрата, одна из сторон которого параллельна плоскости проекции, является прямоугольник со сторонами 6 см и 3>/3см. Найдите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника. 0 Меньшее основание трапеции, равное 24 см, является основанием равнобедренного треугольника, плоскость ко- проекции на плоскости а и Р точки, удаленной от прямой с на 12 см, удалены от прямой с на 6V^ см. 0 Ортогональной проекцией прямоугольника со сторонами 8 см и 4 7з см на плоскость, параллельную одной из его сторон, является квадрат. Найдите угол между плоскостями прямоугольника и квадрата. 0 Основание равнобедренного треугольника, равное 8 см, является стороной ромба, плоскость которого составля- 166 Работы по учебнику А. В, Погорелова торого составляет угол 60° с плоскостью трапеции. Боковая сторона треугольника равна 13 см, а большее основание и плош;адь трапеции — 32 см и 84 см^. Найдите расстояние от вершины треугольника до большего основания трапеции. Сколько решений имеет задача? ет угол 60° с плоскостью треугольника. Площади треугольника и ромба равны 12 см^ и 40 см^ соответственно. Найдите расстояние от вершины треугольника до стороны ромба, параллельной плоскости треугольника. Сколько решений имеет задача? СП-19. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 Даны точки Л(3;-1;2) и Б(5;1;1). а) Найдите координаты и модуль вектора АВ . вектора ВА . б) Найдите координаты точки С, если АС(-4;0;2). БС(3;-2;1). в) Точка D лежит на оси у, на оси х. Найдите ее координаты, если \bd\ = уШ. \ad\ = yfE. О — 7 1 1 1 \В Cl Декартовы координаты и векторы в пространстве 167 Дан куб ABCDA^B^C (см. рисунок). Назовите: а) вектор с началом в точке А^, равный вектору АВ; а) вектор с началом в точке D, равный вектору ДС, ; б) сумму векторов Afi■^ и ДС; в) разность векторов БД и ДД. б) сумму векторов АВ и ВВ^; в) разность векторов АС^ и СД . 2а - Ь. © Даны векторы а(-2;3;1) и Ь(4;-1;2). а) Найдите вектор а + ЗЬ, б) При каком значении у и z вектор c(8;y;z) и вектор а коллинеарны? и вектор Ь коллинеарны? в) Определите, совпадают ли в этом случае направления векторов а и с . направления векторов Ьи с . г) Найдите координаты вектора d , если векторы Ь и d сонаправлены и Idl = 2|б|. векторы and противоположно направлены и W = 3 а . Дан вектор т(-6; 4; 12) . Найдите вектор п, который сонаправлен с /п и имеет модуль, равный 7. противоположно направлен с т и имеет модуль, равный 28. 168 Работы по учебнику А. В. Погорелова Вариант Б1 Вариант Б2 Даны точки А(-1;-3;2), В(5;-1;-1), С(3;0;2). а) Найдите координаты и модуль вектора ВА . вектора СА . б) Найдите координаты точки D, если ^ = ВС. ^ = CD. в) Найдите координаты точки F, лежащей на оси г, если лежащей на оси у, если AF = \ВС\. CF = ^1. 0 >1 7 1 1 1 1 |в Z Дан куб ABCDAfi^CJ)^ (см. рисунок). Найдите: а) вектор с началом в точке С^, равный вектору В^А ; а) вектор с началом в точке D, равный вектору CBj ; б) сумму векторов АВ, AD и А\\ в) разность векторов В^С и ~AD. б) сумму векторов CD, СВ и в) разность векторов АС^ и DD^. Декартовы координаты и векторы в пространстве 169 2а —Ь. 3 е Даны векторы а(4;-8;2) и Ь(-6;9;3). а) Найдите вектор 2& + ^а. 2 б) Найдите значения хну, при которых векторы Ь и с + d коллинеар- векторы а и ны, если с(д:;2;1), d(-l;y;5). коллинеарны, с(-1;у;-6), d(x;3;-2). в) Сравните направления и длины векторов Ь и с + d. а и c-d . г) Найдите вектор е, удовлетворяющий равенству 0,5е - 2а-I-Ь = 0. 2е-За-2Ь = 0. c-d если Не вычисляя длин отрезков, определите, лежат ли на одной прямой точки М(б;-1;0), Щ0;3;-2). Вариант В1 Л^(3;1;-1), М(1;7;5), Щ2;8;6). Л^(-5;4;-7), Вариант В2 О Даны точки А(-1;2;0) и Б(3;б;-2). А(3;0;-1) и Б(1;-4;3). а) Найдите координаты точки О, удовлетворяющей равенству ^ = ОБ. БО = QA. 170 Работы по учебнику А. В. Погорелова б) Найдите координаты и модуль вектора АО. вектора ВО. в) ABCD — параллелограмм. Найдите координаты точек С и D, если точка С лежит на оси г, а точка D — в плоскости ху. точка С лежит в плоскости хг, а точка D — на оси у. О в 7 1 [N М' \В / L D Дан куб ABCDA^B^CJ)^. О — точка пересечения диагоналей квадрата А BCD. М и N — середины отрезков АА^ и BB^ (см. рисунок). Постройте: а) вектор с началом в точке А^, равный вектору МО; б) сумму векторов AN, MD^ и В^В; а) вектор с началом в точке D, равный вектору ON; б) сумму векторов BD, CN и в) разность векторов и аД. в) разность векторов 2АМ и DN. 0 Даны векторы а(^;0;6), Ь(9;-3;-3), с(1;-1;3). Декартовы координаты и векторы в пространстве 171 - 1-- а) Найдите 1 _ _ 2а--Ь-с -а-Ь + Зс 3 __ ^ ~ 2 б) Найдите вектор d , перпедикулярный оси у, если перпедикулярный оси х, если векторы а + Ь и c-d коллине- векторы а -Ь и с + d коллине-арны. арны. в) Сравните направления и длины векторов а + Ь и с -d . а-Ь и с + d. г) Найдите вектор е , если Зе -0,5а = 4с + е. О Даны точки М{1;у;5), N{x;S;6), К(-5;4;7) 2е + —Ь-Зс-е. 3 М(0;3;-2), K{Q;y;0). Найдите х к у, если известно, что данные точки лежат на одной прямой. СП-20. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 Найдите скалярное произведение векторов а н Ь, если: а) а(2;-1;4), &(3;2;-1); а) а(-2;3;1), &(-1;-1;4); 172 Работы по учебнику А. В. Погорелова б) а| = 3, |й| = 4, cos|a,b| = -g. б) а =2, Ы = 5, cos(o,b) = 0,1. О Найдите значение т, при котором векторы а п Ъ перпендикулярны, если а(2;-4;т), Ь(3;-1;5). о(3;2;-1), Ы2‘,т\-2). О Даны точки Л(3;-2;1), В(-2;1;3), С(1;3;-2). Найдите угол между векторами ШиВС. АВ иАС . О Известно, что о и Ь — единичные взаимно перпендикулярные векторы. Найдите (а-Зг?)(2а-Ь), (а + 2bj^4a - bj. О Дан треугольник АВС с вершинами А(2;2;2), Б(2;2;0), С(2;0;2). А(6;-4;2), В(3;2;3), С(3;-5;-1). Докажите, что данный треугольник — прямоугольный, и назовите его прямой угол. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите скалярное произведение векторов Декартовы координаты и векторы в пространстве 173 а) а и Ь, если а = 2, Ь =4, а) а и Ь, если а a,^jj = 60°; а,ь| = 30°; = ч/з. = 8, б) АВ и ВС, если А(2;-1;0), б) АС и СВ, если А(3;4;-1), В(-3;2;4), С(0;1;5). В(2;0;1), С(-1;-1;0). е Даны векторы а(1; 2; т) и Ь(-2; -1; 2т). Найдите значения т, при которых векторы а и а- Ь перпенди- векторы а и Ь-а перпендикулярны. кулярны. О Даны точки А(3;-2;1), В(-2;1;3), С(1;3;-2). Найдите угол ВАС. Найдите угол САВ. Найдите а — Ь , если = 3, = 5, = 60°. а = 3, Ь -8, а,Ь =120°. 0 Даны точки А(1;2;0), Б(1;0;2), С(1;3;5), D(4;2;0). Докажите, что прямая AD перпендикулярна прямая ВС перпендикулярна плоскости АВС. плоскости ABD. Вариант В1 Вариант В 2 Найдите скалярное произведение векторов а и Ь , если: 174 Работы по учебнику А. В. Погорелова а) а(2;-1;-2),|ь| = 8, |a,bj = 120°; а) \а\ = 4, &(5;1;-1), = 150°; б) = 2, а-Ь = 6. б) а\ h 1, а + Ь = 4. О Даны векторы а(2; -2; 4) и Ь(-1; 1; 2). Найдите значения Я,, при котором вектор а + ХЬ перпендикулярен вектору а . перпендикулярен вектору & © Треугольник АВС имеет вершины в точках А(3;-2;1), В(-2;1;3), С(1;3;-2). Найдите внешний угол треугольника при вершине С. при вершине А. Найдите угол между единичными векторами а и Ь,если векторы о, 4а - 25 и За - 5 перпендикулярны. векторы а - 35 и а - 0,25 перпендикулярны. © Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;3;-2), В(4;-1;2), С(1;3;-2). параллелограмма ABCD, если А(-1;2;6), В(0;4;4), С(-2;3;2), Г>(-3;1;4). Декартовы координаты и векторы в пространстве 175 СП-21*. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Найдите длины отрезков, на которые плоскость XZ делит отрезок АВ, плоскость yz делит отрезок АВ, если А(-1;4;3), В(2;-2;9). если А(-6;3;-1), Б(2;-5;3). О Отрезок АЕ разделен точками В, С и D на четыре равных части. Найдите неизвестные координаты точек, если А(-3;2;5), £>(6;-1;-4). В(-4;1;6), Б(5;-2;0). О Запишите уравнение сферы с центром в точке 0(5;12;9), касающейся а) плоскости yz; а) плоскости ху; б) оси аппликат. б) оси абсцисс. Найдите центр и радиус окружности, по которой сфера (x~Vf + (у+2,у + (г- 3)^ = 25 пересекается с плоскостью jc = -3. с плоскостью у = -Ъ. е Разложите вектор л(1;-8;2) л(-5;8;9) а) по единичным векторам ij(l;0;0), ё2(0;1;0), ёз(0;0;1); 176 Работы по учебнику А. В. Погорелова б) ПО векторам а(4; -3; -5), Ь(1; 3; -2), с(-1; 1; 3) . О Известно, что |а| = 2,|б| = 3,|а + б| = yfl9. Вычислите: а) угол между векторами а и Ь ; б) |2а - 61. б) |а - 361. а = 1, 6 = 2, а - 6 = 3 . О Найдите углы, образуемые вектором а(1;-1;л/2) вектором a(V2;l;-l) с координатными лучами Ох, Оу и Oz. О Используя свойства векторов, докажите для любых чисел х^, х^, х^ и j/i. г/2’ Уз неравенство Коши-Буняковского: kiJ/i + + х^Уз\ ^ неравенство Минковского: +у,f + < < -y/xj + х^ + лГз ■ yjy^ + У2 + Уз- < yjx^ + х^ + Xg + yjy^ +у1+у1. © Составьте уравнение плоскости: а) проходящей через ось абсцисс и точку ось ординат и точку М(3;1;-2); М(-1;2;3); б) проходящей через точки Щ2;-5;1) и N(-l;2;-5) и точки K(l;3;-i) и N(0;l;5) и параллельной оси ординат; параллельной оси аппликат; Декартовы координаты и векторы в пространстве 177 в) параллельной плоскости 2х- у-3z + 7 = 0n проходя- x + 4y-2z-5 = 0n проходящей через точку В(2;1;-1); щей через точку В(-1;2;-3); г) перпендикулярной вектору АВ и проходящей через точку А, если А(2;3;-4), через точку В, если А(-2;1;3), В(-1;2;2). В(1;-2;4). 0 Дан вектор а(б;-12;т) и плоскость а, заданная уравнением 2х - 4у + 6z -3 = 0. -Зд: + 6у - 2z - 5 - 0. Определите, при каком значении т вектор а и плоскость а: а) перпендикулярны; б) параллельны. Ф Плоскость Р задана уравнением Ъх + у - 3z - \Ъ = 0. 4х - Зу + 2z - 12 = 0. Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью Р на осях координат, и постройте линии пересечения плоскости Р с координатными плоскостями. Ф Найдите расстояние от начала координат до плоскости бд: - 2i/ -I- 3z -I- 49 = о x-2y + 2z-^ = 0 и точку, симметричную началу координат относительно данной плоскости. 178 Работы по учебнику А. В. Погорелова СП-22*. УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Наклонная образует с плоскостью угол а. В данной плоскости через основание наклонной проведена прямая, образующая с наклонной угол р. Найдите угол, который образует эта прямая с проекцией наклонной. с проекцией наклонной угол р. Найдите угол между наклонной и данной прямой. О Точка S удалена от каждой из вершин квадрата ABCD на расстояние, равное стороне квадрата. Найдите угол между плоскостями: а) SAB и SBC; б) SAB и АВС. © а) SAB и SCD; б) SCD и BCD. Треугольник АВС ортогонально спроектирован на плоскость а, после чего полученная проекция ортогонально спроектирована на плоскость АВС. В результате получен треугольник Найдите угол между плоскостями АВС и а, если площадь треугольни- ка А^В^С^ составляет 75 % площади треугольника АВС. 25 % площади треугольника АВС. Декартовы координаты и векторы в пространстве 179 Дан куб ABCDA^B^C^D^. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Найдите угол между прямыми AjZ) и CjO. © Равнобедренные прямоугольные треугольники АВС и ADC имеют общую гипотенузу АС, равную 4 см. Ортогональной проекцией пространственного четырехугольника ABCD на плоскость а является равнобедренный треугольник AD^C, в котором AD^ = D^C = л/б см (точка D проектируется в точку Z)j). Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники. Сколько решений имеет задача? AjO и В^С. © Равносторонние треугольники АВС и ADC имеют общую сторону АС, равную 4 см. Ортогональной проекцией пространственного четырехугольника ABCD на плоскость а является равнобедренный треугольник АВ^С, в котором АВ^ = В^С = = sl7 см (точка В проектируется в точку Bj). Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники. Сколько решений имеет задача? КП-4. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Вариант А1 Вариант А2 Дан треугольник АВС с вершинами А(11;-2;-9), Б(2;6;-4), С(8;-6;-8). А(11;-2;-9), В(2;6;-А), С(14;2;-10). а) Найдите координаты середины отрезка ВС. 180 Работы по учебнику А. В. Пого} б) Найдите координаты и модуль вектора ВС. в) Найдите вектор АВ + ВС . г) Докажите перпендикулярность векторов АВ и АС. О Дан вектор а(2; 1; -2). а) Известно, что а = EF. Найдите координаты точки Е, если Д4;-1;-2). точки F, если £(2;0;3). б) Найдите значения тип, при которых векторы а 1л Ь коллинеарны, если Ь[-4;т;п). b(m;n;-4). в) Найдите координаты и модуль вектора с, если с = 2а . © Даны векторы а(-3;0;4) и Ь(1;-2;2). а) Найдите вектор с =—а - ЗЬ . 2 с = -За а(-2;-2;1) и Ь(0;-4;3). с = 4а + —Ь 3 б) Найдите (а -ь Ь ) • (а - Ь ). в) Найдите косинус угла между векторами а и & . О Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, и найдите центр его симметрии, если А(-2;-4;1), В(-5;-6;-1), А(-1;4;3), В(-3;6;-5), С(4;10;3), В(7;12;5). С(3;0;-5), В(5;-2;3). Декартовы координаты и векторы в пространстве 181 Вариант Б1 Вариант Б2 Даны точки >1(3;-1;2) и В(2;1;-4). а) Найдите координаты точки D, если А — середина отрезка BD. В — середина отрезка AD. б) Сравните модули векторов АС и ВС, если С(1;5;-2). С(-4;3;2). в) Найдите вектор ^[ВА + ВС). -^(аС + АВ). г) На оси X найдите точку М такую, что треугольник АВМ — прямоугольный с гипотенузой AM. с гипотенузой ВМ. О Дан вектор а (4; 2; . а) Известно, что а =2АВ, А(1;2;-3). 1 а= — АВ, В(3;-2;1). Найдите координаты точки в. точки А. б) Найдите координаты вектора с , противоположно направленного с вектором а , если |с| = 3. сонаправленного с вектором а , если |с| = 12. в) Найдите модуль вектора Ь, если а Ь = 6, ^а,Ь j = 60= 0 Даны векторы а(1;-1;2) и Ь(6;0;4). а Ь =12л/з, (а,ь) = 30°. а (-4; 2;-8) и Ь(-1;1;2). 182 Работы по учебнику А. В. Погорелова а) Найдите 1 - 1 За--Ь -а+ 26 2 2 б) Найдите (а + ь) • (а - Зь) в) Сравните угол между векторами а и Ъ с прямым углом. о Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник, и найдите точку пересечения осей его симметрии, если А(4;-4;3), В(1;2;4), А(-1;5;-4), В(3;2;4), С(-2;1;1), В(1;-5;0). С(6;-2;1), В(2;1;-7). Вариант В1 Вариант В2 Даны точки >1(-3;2;1) и В(5;-2;7). а) Найдите на отрезке АВ точку М такую, что AM : МВ = 3 : 1. AM : МВ = 1 : 3. б) Найдите координаты точки С, если L4C = ВС и точка С лежит на оси абсцисс. на оси ординат. в) Найдите вершину D треугольника ABD, если середина стороны AD лежит на оси 2, а середина стороны BD — в плоскости ху. г) Найдите вектор |(Ы-м). середина стороны AD лежит в плоскости yz, а середина стороны BD — на оси X. -(DB-DA). Декартовы координаты и векторы в пространстве 183 О Дан вектор а (-1; 2; 2). а) Найдите координаты точек А н В, если АВ = 2а , и середина отрезка АВ = -2а , и середина отрезка АВ — точка О(0;-1;3). АВ — точка О(-2;1;0). б) Найдите координаты вектора Ь , коллинеарного вектору а , если а Ь - -18. а Ъ = 27. в) Найдите угол между векторами а и с, если а с = —Зу/З, |с| = 2. а ■ с = -6, с = 4. © Даны векторы а(2;-2;1) и Ь(8;4;1). а) Найдите вектор с , если 2с + За - 56 = 0. 5а - 26 + Зс = О . б) Найдите (За-б)". (а-2б)'. в) Найдите площадь параллелограмма, треугольника, построенного на векторах а и 26 . 2а VI Ь . Докажите, что четырехугольник ABCD — равнобокая трапеция, если А(6;-4;2), В(1;-1;4), С(-1;4;1), Л(2;6;-4). прямоугольная трапеция, если А(10;-6;4), В(14;-4;5), С(17;-8;1), В(16;-14;-4). 184 Работы по учебнику А. В. Погорелова КП-5. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ, УГОЛ МЕЖДУ плоскостями Вариант А1 Вариант А2 Через вершину А к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр МА. Угол между прямой МС и плоскостью квадрата равен 45°, аМА^ 4V2 см. Найдите площадь квадрата. 0 Диагональ квадрата равна 2V2 см, а прямая МВ наклонена к плоскости квадрата под углом 45°. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата. Плоскости аир пересекаются по прямой с. Через точку М, лежащую на прямой с, в данных плоскостях проведены отрезки AM п ВМ, перпендикулярные прямой с. Найдите AM, если AS = ВМ -= 2 дм, а угол между плоскостями аир равен 60°. 0 Гипотенуза АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости а. Угол между плоскостями АВС и а равен 45°, а ортогонгшьная проекция треугольника АВС на плоскость а имеет площадь 1бл/2 см^. Найдите расстояние от точки С до плоскости а. Отрезки AM и АВ равны. Найдите их длины, если ВМ = = 4 дм, а угол между плоскостями а и Р равен 60°. 0 Сторона АС равностороннего треугольника АВС лежит в плоскости а, а вершина В удалена от этой плоскости на 3 см. Угол между плоскостями АВС и а равен 30°. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника АВС на плоскость а. Декартовы координаты и векторы в пространстве 185 Вариант Б1 Вариант Б2 Из точки, удаленной от данной плоскости на 6 см, к плоскости проведены две наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если наклонные образуют с плоскостью углы 45° и 60°, а между собой — прямой угол. О наклонные образуют с плоскостью углы 30° и 45°, а угол между их проекциями — прямой. Плоскости аир пересекаются по прямой с. Через точку М, лежащую на прямой с, в плоскости а проведен отрезок МА. Найдите его длину, если точка А удалена от плоскости Р на л/2 см, угол между отрезком МА и прямой с равен 45°, а угол между данными плоскостями равен 30°. О Сторона AD квадрата ABCD лежит в плоскости а, а плоскость квадрата составляет с плоскостью а угол 60°. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости а, если ортогональная проекция квадрата на плоскость а имеет площадь 18 м2. Найдите расстояние от точки А до прямой с, если угол между данными плоскостями равен 30°, а отрезок МА имеет длину 8^/2 см и составляет с плоскостью Р угол 45°. О Сторона AD прямоугольника ABCD лежит в плоскости а, составляющей с плоскостью прямоугольника угол 60°. Прямая ВС удалена от плоскости а на 4л/3 дм. Найдите площадь данного прямоугольника, если его ортогональная проекция на плоскость а — квадрат. 186 Работы по учебнику А. В. Погорелова Вариант В1 Вариант В2 Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с данной плоскостью углы, один из которых вдвое больше другого. Найдите расстояние от данной точки до плоскости, если длины наклонных равны б см и 2л/з см. О Ортогональной проекцией ромба с диагоналями 5 дм и 10 дм на плоскость, содержащую одну из его вершин, является квадрат. Найдите угол между плоскостями ромба и квадрата. проекции наклонных на эту плоскость равны л/З см и Зл/з см. О Ортогональной проекцией квадрата на плоскость, содержащую одну из его вершин, является ромб с диагоналями 2л/2 дм и 4л/2 дм. Найдите угол между плоскостями ромба и квадрата. е Плоскости аир пересекаются по прямой с под углом 45°. Через точку М, лежащую на прямой с, в плоскостях а и р проведены два луча. Найдите угол между этими лучами, если один из них перпендикулярен прямой с, а другой образует с ней угол 45°, если искомый угол — острый. Угол между этими лучами равен 60°. Один из лучей перпендикулярен прямой с. Найдите угол между прямой с и вторым лучом. Декартовы координаты и векторы в пространстве 187 КП-6. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант А1 Вариант А2 Точки А, В, С и D пе лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков DA и DB, параллельна плоскости АВС. О прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости ВВС. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из наклонных равна 10 см и имеет проекцию длиной 8 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с данной плоскостью угол 30°. е Отрезок SC — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника АВС (ZB = = 90°). Найдите расстояние от точки S до прямой АВ, если АС = 13 см, АВ - 5 см, SC -= 16 см. о Плоскости аир пересекаются по прямой с. В плоскости а проведена прямая а, перпендикулярная прямой с. Дока- Одна из наклонных равна 16 см и образует с данной плоскостью угол 30°. Найдите длину второй наклонной, если ее проекция на данную плоскость равна 6 см. е Отрезок SA — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD. Найдите его длину, если АВ = 5 см, BD = 13 см, а точка S удалена от прямой CD на 15 см. Прямая I лежит в плоскости а. Прямая Ь не лежит в плоскости а и пересекается под прямым углом с прямой I. 188 Работы по учебнику А. В. Погорелова жите, что угол между плоскостями аир равен углу наклона прямой а к плоскости р. Через прямые Ь и I проведена плоскость р. Докажите, что угол между прямой Ь и плоскостью а равен углу между плоскостями аир. Вариант Б1 Вариант Б2 Прямоугольник ABCD и треугольник АВМ не лежат в одной плоскости. Точки Е и F — середины отрезков AM и ВМ соответственно. Определите вид четырехугольника DEFC. О Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. Точки Е и F — середины отрезков МВ и МС соответственно. Определите вид четырехугольника AEFD. Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с данной плоскостью углы 30° и 45°. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если большая 2-^6 см. наклонная равна а угол между на- клонными — прямой. проекция меньшей наклонной равна 3 см, а угол между проекциями наклонных — прямой. 0 0 Точка удалена от каждой из вершин правильного треугольника на 10 см, а от каждой из его сторон — на yflS см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника. Точка удалена от каждой из вершин квадрата на ^/4^ см, а от каждой из его сторон — на 5 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости квадрата. Декартовы координаты и векторы в пространстве 189 О Прямая МА перпендикулярна стороне АВ и диагонали АС ромба ABCD. Найдите угол между плоскостями МАВ и MAD, если диагональ ромба BD равна его стороне. Прямая МВ перпендикулярна стороне АВ и высоте ВК ромба ABCD. Найдите угол между плоскостями МАВ и МВС, если точка К — середина стороны AD. Вариант В1 Вариант В2 Дан куб ABCDAjBjCjDj. Докажите параллельность плоскостей и BDC^. AD^C и А^С^В. О Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них равна 6 см и образует с данной плоскостью угол 60°, а вторая имеет длину 2л/Гз см. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если угол между их проекциями равен 120°. 0 Одна из них имеет проекцию Зл/2 см и наклонена к данной плоскости под углом 45°. Проекция второй наклонной равна V46 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если угол между наклонными равен 60°. Точка М равноудалена от сторон равностороннего треугольника АВС. Найдите угол между плоскостями МАВ и АВС, если прямая МА наклонена к плоскости АВС под углом а. Найдите угол наклона прямой МС к плоскости АВС, если угол между плоскостями МВС и АВС равен а. 190 О Через центр О окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник АВС {ZB = 90°), проведена прямая МО, не лежащая в плоскости АВС и перпендикулярная катетам треугольника. Найдите угол между плоскостями АМО и СМО. Работы по учебнику А. В. Погорелова Через вершину А треугольника АВС проведена прямая МА, не лежащая в плоскости АВС и перпендикулярная стороне ВС и медиане АК. Найдите угол между плоскостями МАВ и MAC, если ВС - 2АК. ОТВЕТЫ ОТВЕТЫ К РАБОТАМ ПО УЧЕБНИКУ Л.С. АТАНАСЯНА И ДР. КА-1 А1 А2 Б1 1а) Да Да Да 16) Нет 1в) Да 26) 6 см 8 см 6 см; 10 см 36) 45° 60° 50° КА-1 Б2 В1 В2 1а) Нет Нет Да, пересекаются 16) Да Да, пересекаются Да, скрещиваются 1в) Да Нет Нет 26) 6 см; 10 см 28 см 12 см 36) 45° 90° 60° КА-2 А1 А2 Б1 Б2 1в) 12 см 12 см 9 см^ 40 см^ 2 8 см 4\/2 см 30° 60° 3 60°; 60°; 60° 60°; 60°; 60° — — КА-2 В1 В2 1в) 8 см 4 см 2 30°; 60° 3 120° 120° КА-3 А1 А2 Б1 1 240 см^ 150 см^ 760 см2 2 а)2\[2 см; а)2\[2 см; а) 3 см; 3\/5 см; 6)1б73см^ 6) 4^7 см2 см; 6) 36 см2 3 а^Тз а"7з ^.2 — а 16 16 8 Ответы к работам по учебнику Л.С. Атанасяна и др. 193 КА-3 Б2 В1 В2 1 832 см2 1020 см2 370 см2 2 а) 2V2 см; 2л/б см; 2л/б см; б) I6V2 см2 .2х « 1 "1 ^ 1 + 2 cos|3 J 4Я^РГл 1 "1 sin а cosP J 3 ^.2 — а 8 3^/3a" 4 зТЗа" 4 1а) А1 А2 Б1 £»Ci 16) AD BD АВ, 1в) DB С,С ВД 1г) DC ВВ, 2а) ау/з ау/з ал/б 26) а%/б а%/б а 2 AB + AD-AM МВ + АС-АВ 20С -OD-OB ±2 ±3 1а) Б2 СВ, В1 ВА В2 ВС 16) 1в) 1г) 2а) С, А СД ау[з СА DF АЕ ал/б ВВ FA ВА ал/б 194 ОТВЕТЫ К A-4 Б2 B1 B2 26) a 2 аТз 3 fflVs 3 3 AB + BC-AD ^ + ab) ^(^+^-ab) 4 — — — KA-5 A1 A2 Б1 Б2 la) 12 CM 20 CM — — 16) 45° 45° 6 CM З-Уз см iB) — — 60° 60° 2 192 CM^ 192 CM^ 36л/3 см2 81>/з см2 3 Трапеция Прямоугольник Квадрат Квадрат 16) В1 i(BA + BC + BS) В2 -(SA + SB + SC) iB) arctg-^; arctg^ V2 V2 arctg I (sin a sin |3 + sin (3 + cos a) 2 sin a cos |3 — sin 2atg|3 X 4 sina+cosa+ sinP СА-7* Вариант 1 Вариант 2 1 Нет(контрпример -плоский невыпуклый четырехугольник) Нет (контрпример -параллелограмм) 2 Да 5 За) Да, если ВВ, Ц СС, и В, и Cj лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС Да, если ВВ, || СС, и В, и С, лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ВС Ответы к работам по учебнику Л.С. Атанасяна и др. 195 СА-7* Вариант 1 Вариант 2 36) Да, если ВВ^ | СС^ и и Cj лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ВС Да, если ВВ^ Ц СС^ и В^ и лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС Зв) Да, если ВВ^ и СС^ не параллельны Да, если ВВ^ и СС^ не параллельны 4 Бесконечно много, если АВ I 1\ одна, если АВ и 1 — скрещивающиеся прямые; ни одной, если прямые АВ и 1 пересекаются Бесконечно много, если а 1 Ь и С лежит в плоскости а и Ь; одна, если а Ц Ь или а и Ь пересекаются и С не лежит в плоскости а и Ь; или если а и Ь — скрещивающиеся и Сг Yj и Сг ни одной, если а пересекается с Ь и С лежит в плоскости а и Ь или если а и Ъ — скрещивающиеся и Ceyj или Cs у^; Yj и у^ — плоскости, параллельные одной из прямых а и 6 и содержащие другую 5а) Нет Нет 56) Да Нет 5в) Да Да 5г) Да СА-18* Вариант 1 Вариант 2 1 Плоскость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках и проходящая через его середину Плоскость, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину М (без точки М) 2 16 см^ 32 см^ 3 12 см 20 см 4 Плоскость, проходящая через его середину общего перпендикуляра данных прямых и перпендикулярная к нему Две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых, и перпендикулярные к плоскости данных прямых 196 ОТВЕТЫ СА-18* Вариант 1 Вариант 2 5 \[2 см; 6 см 14 см 6 1 см 8 см 8 d^y/З а^у/з 6 2 СА-25* Вариант 1 Вариант 2 1 16 см 2 см 2 2 см 96-^2 см^ 3 2yjp^ + 2y[2Q 5 а^у/2 4 9 6 H'ctg' 45^ cos^ Р ctg^ 2Pctg^ 1^45° - ^ / ' г» \ ^ 2 COS ( 45° "*■ 2 ] ( at xj^l + ctg- tga cos 2P 7 54 см^ 2oV^ CM^ CA-29* Вариант 1 Вариант 2 1 a + b d + b 2 k Ф —2; fe 1 k ^ 1 3 1 2 л: = -; у = -3 3 1 1 ^ = V^ = ~4 Ответы к работам по учебнику А.В. Погорелова 197 ОТВЕТЫ К РАБОТАМ ПО УЧЕБНИКУ А.В. ПОГОРЕЛОВА КП-1 А1 А2 Б1 Б2 В1 62 1а) Да Нет Да Да Да Нет 16) Нет Да Нет Нет Нет Да 1в) Да Нет Да Да Да Да 3 4 см 12 см 9 см 15 см 35 см 30 см КП-2 А1 А2 Б1 Б2 1 5 см 16 см 9 см 24 см 3 12 см 26 см 60 см 65 см КП-2 В1 В2 1 2>/б см 4 см 2 Перпендикулярно Перпендикулярно 3 1152 см^ 432л/з см2 4 Плоскость, проходящая через данную прямую перпендикулярно данной плоскости Прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно данной плоскости КП-3 А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 1в) 16 см 30 см 108 см2 40 см2 150° 45° 2 10 см 12 см 15 см 5 см 15 см 16 см 3 52 см 24 см, 32 см 25 см 25 см 4 см 2 см КП-4 А1 А2 Б1 1а) (5;0;-б) (8;4;-7) D(4;-3;8) 16) ВС (6;-12;-4), ВС = 14 ВС (12;-4;-6), ВС =14 АС > ВС 1в) ^(-3;-4;1) ^(3;4;-1) (0;1;4) 1г) — — М(-24;0;0) 2а) Е(2;-2;0) ^'(4;1;1) В(3;3;-5) 198 ОТВЕТЫ КП-4 А1 А2 Б1 26) т = -2, п = 4 т = 4, п = 2 с(-2;-1;2) 2в) с(4;2;-4),|с =6 с (-6; —3; 6), |с| = 9 2 За) с (-4,5; 6; -4) cf-8; -9^;51 1 3 J 5 36) 16 -16 -178 Зв) 1 3 11 15 (аь)< 90° 4 (1;3;2) (1;2;-1) (1;-1.5;2) КП-4 Б2 В1 В2 1а) D(l;3;-10) М(3;-1;5,5) М(-1;1;2,5) 16) АС < ВС С(4;0;0) С(0;-8;0) 1в) (-4;3;-3) Л(3;-2;-7) 1>(3;2;-7) 1г) М(17;0;0) (-4;2;-3) (4;-2;3) 2а) А(11;2;-7) А(1;-3;1); В(-1;1;5) А(-3;3;2); В(-1;-1;-2) 26) с (8; 4;-8) Ь(2;-4;-4) Ь(-3;6;6) 2в) 4 150° 120° За) 5 с (17; 13; 1) с(-2;6;-1) 36) 86 108 297 Зв) |abj > 90° 36^У2 18^2 4 (2,5;1,5;-1,5) — — КП-5 А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 1 16 см^ 2 см 2л/30 см 12 см 3 см 3 см 2 2 дм 4 дм 4 см 16 см 60° 60° 3 4 см 18 см^ Зл/з м 32 дм^ 60° 45° Ответы к работам по учебнику А.В. Погорелова 199 КП-6 А1 А2 Б1 1 — — Трапеция 2 12 см 10 см 6 см 3 20 см 9 см 8 см 4 — — 60° КП-6 Б2 В1 В2 1 Трапеция — — 2 6 см 7 см 2\fl3 см 3 3 см arctg(2tga) Г1 "i arctg -tga 4 120° 135° 90° СП-13* А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 2а) 4>/з м Зу/2 м 12 см 48 см 1см \I2 см 26) 12 м 3 м 3 a\l2 a\l2 ~2~ аМ 6 ал[б ~6~ аМ а\!б ~6~ СП-14* Вариант 1 Вариант 2 2а) Плоскость, перпендикулярная данной прямой Плоскость, перпендикулярная данной прямой 26) Плоскость, параллельная данной Плоскость, проходящая через первую прямую параллельно второй 2в) Плоскость, параллельная данной Плоскость, параллельная данным 4а) 144 см^, 4>/т см 9>/з см^, >Яз см 46) 12^ см 16 ' СМ Vl7 4в) 5 см 12,5 дм 200 ОТВЕТЫ СП-21* Вариант 1 Вариант 2 1 6 и 3 9 и 3 2 В(0;1;2); С(3;0;-1); £(9;-2;-7) Л(-7;2;8); С(-1;0;4); Z)(2;-l;2) За) (л:-5)2 + (,v-12)=^ + (2-9)2=25 (л:-5)2 + (y-\2f + (2-9)2=81 36) (х-5)2+ (у-12)Ч (2-9)2=169 (x-5)2 + (y-l2f + (2-9)2=225 4 (-3;-2;3), ТЬЗ (l;-5;3), i?=4 5а) п = ё^~ 8^2 + 2ёз П = -5ij + + 9e^ 56) п = а - 2Ь + с n = ~a + b + 2c 6а) 60° 180° 66) 7 7 60°; 120°; 45° 45°; 60°; 120° 9а) 2y+z=0 Зл:+2=0 96) 2x-z-3=0 2x-y+l=0 9в) 2x-y~3z-6=0 x+4y-2z-13=0 9г) 3x+y-6z-33=0 3x-3y+z-13=0 10а) 18 4 106) -10 -45 11 3; 15; 5; Ьх+у=\Ь\ 3; 4; 6; 4х-Зг/=12; .I/-32-15; 5x-32=15 -Зг/+2г=12; 4x+2z=12 12 7; (-12; 4;-6) 3; (2; -4; 4) СП-22* Вариант 1 Вариант 2 1 ( cos в ^ arccos — (^cosa j arccos (cosa cos (3) 2a) 1 71 - arccos — 3 1 arccos — 3 26) 1 arcos yfs 1 arccos -7= yf3 3 30° 60° 4 1 arccos —1= 2V3 30° 5 45° или 135° 30° или 150° Литература 1. л. с. Атанасян и др. Геометрия 10-11. М., 1992. 2. А. В. Погорелое. Геометрия 7-11. М., 1992. 3. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11. М., 1999. 4. Л. М. Лоповок. Сборник задач по геометрии для 10-11 классов. К., 1993. 5. Л. М. Лоповок. Факультативные занятия по геометрии для 7-11 классов. К., 1990. 6. О. Н. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М., 1955. Содержание Работа Атанасян Погорелов 7-11 Погорелов 10-11 Стр. Работы по учебнику Л. С. Атанасяна и др. 6 Введение. Параллельность прямых и плоскостей 6 СА-1. Аксиомы стереометрии и их следствия п. 1, 2 § 15 § 1 6 СА-2. Простейшие построения в пространстве п. 1, 2 § 15 § 1 9 СА-З. Применение аксиом стереометрии и их следствий в задачах на доказательство п. 1, 2 § 15 § 1 13 СА-4. Параллельные прямые в пространстве п. 4, 5 п. 136, 137 п. 7, 8 15 СА-5. Параллельность прямой и плоскости п. 6 п. 138 п. 9 18 СА-6. Скрещивающиеся прямые п. 7-9 п. 136, 137 п. 7, 8 21 СА-7*. Начала стереометрии в нестандартных вопросах и задачах (домашняя самостоятельная работа) Гл. 1, §1, 2 п. 130-138 п. 1-9 23 КА-1. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскости Гл. 1, §1, 2 п. 130-138 п. 1-9 25 СА-8. Параллельность плоскостей п. 10, 11 п. 139 п. 10 28 Содержание 203 СА-9. Тетраэдр. Сечения тетраэдра п. 12, 14 п. 176, 177 п. 47, 48 31 СА-10. Параллелепипед. Сечения параллелепипеда п. 13, 14 п. 169-173 п. 40-46 34 СА-11*. Параллельная проекция фигуры. Изображение пространственных фигур (домашняя самостоятельная работа) прил. 1 п. 142 п. 13 36 Перпендикулярность прямых и плоскостей 38 СА-12. Перпендикулярность прямой и плоскости. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости п. 15-18 п. 144-146 п. 15-17 38 СА-13. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями в пространстве. Перпендикуляр и наклонная к плоскости п. 19 п. 147, 150 п. 18, 21 41 СА-14. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью п. 20, 21 п. 148, 161 п. 19, 32 43 СА-15. Двугранный угол п. 22 п. 162, 166 п. 33, 37 46 СА-16. Перпендикулярность плоскостей п. 23 п. 149 п. 20 49 СА-17. Прямоугольный параллелепипед п. 24 п. 174, 175 п. 44, 45 51 СА-18*. Дополнительные задачи О перпендикулярных прямых и плоскостях (домашняя самостоятельная работа) Гл. 2 §17, 19 § 3, 5 53 КА-2. Перпендикулярность прямых и плоскостей Гл. 2 § 17, 19 § 3, 5 55 204 СОДЕРЖАНИЕ Многогранники 58 СА-19. Призма п. 25-27 п. 169-171 п. 40-42 58 СА-20. Пирамида. Правильная пирамида п. 28, 29 п. 176-179 п. 47-50 60 СА-21. Пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной или вписанной окружности основания Гл. 3, § 2 п. 176-179 п. 47-50 63 СА-22. Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания Гл. 3, § 2 п. 176-179 п. 47-50 65 СА-23. Усеченная пирамида п. 30 п. 178 п. 49 68 СА-24. Правильные многогранники п. 31-33 п. 180 п. 51 70 СА-25*. Дополнительные задачи О многогранниках (домашняя самостоятельная работа) Гл. 3 § 19 § 5 72 КА-3. Многогранники Гл. 3 § 19 § 5 74 Векторы в пространстве 77 СА-26. Понятие вектора в пространстве. Равенство векторов п. 34, 35 п. 164 п. 35 77 СА-27. Сложение векторов. Умножение вектора на число п. 36-38 п. 165 п. 36 80 СА-28. Компланарные векторы п. 39-41 - - 83 СА-29*. Применение векторов в пространстве (домашняя самостоятельная работа) Гл. 4 § 18 §4 87 КА-4. Векторы в пространстве Гл. 4 § 18 §4 88 КА-5. Годовая контрольная работа - - - 93 Содержание 205 Работы по учебнику А.В. Погорелова 97 Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 98 СП-1. Аксиомы стереометрии п. 1-3 § 15 § 1 98 СП-2. Простейшие следствия аксиом стереометрии п. 1-3 § 15 § 1 101 СП-3. Применение аксиом стереометрии и их следствий в задачах на доказательство п. 1-3 § 15 § 1 105 Параллельность прямых и плоскостей 108 СП-4. Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых п. 4, 5 п. 136, 137 п. 7, 8 108 СП-5. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей п. 6, 10 п. 138, 139 п. 9, 10 111 СП-6. Свойства параллельных плоскостей. Изображение пространственных фигур на плоскости п. 11, прил. 1 п. 140-142 п. 11-13 114 СП-7*. Начальные понятия стереометрии (домашняя самостоятельная работа) Гл. 1 § 15, 16 § 1, 2 117 КП-1. Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей Гл. 1 § 15,16 § 1. 2 119 Перпендикулярность прямых и плоскостей 123 СП-8. Перпендикулярность прямых в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости п. 15-18 п. 143— 146 п. 14-17 123 СП-9. Перпендикуляр и наклонная. Свойства точки, равноудаленной от вершин многоугольника п. 19 п. 147 п. 18 126 206 СОДЕРЖАНИЕ КП-2. Перпендикулярность прямой и плоскости п. 15-19 п. 143-147 п. 14-18 129 СП-10. Теорема о трех перпендикулярах п. 20 п. 148 п. 19 132 СП-11. Применение теоремы о трех перпендикулярах. Свойства точки, равноудаленной от сторон многоугольника п. 20 п. 148 п. 19 135 СП-12. Перпендикулярность плоскостей п. 23 п. 149 п. 20 138 СП-13*. Расстояние между скрещивающимися прямыми п. 19 п. 150 п. 21 141 СП-14*. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей (домашняя самостоятельная работа) Гл. 2 § 17 §3 145 КП-3. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикулярность плоскостей Гл. 2 § 17 §3 148 Декартовы координаты и векторы в пространстве 152 СП-15. Декартовы координаты в пространстве п. 42-45 п. 152-154 п. 23-25 152 СП-16. Преобразование фигур в пространстве (симметрия, параллельный перенос, подобие) п. 49-52 п. 155-159 п. 26-30 156 СП-17. Угол между прямой и плоскостью. Угол между скрещивающимися прямыми п. 21, 9 п. 160, 161 п. 31, 32 159 СП-18. Угол между плоскостями. Площадь ортогональной проекции многоугольника п. 22 п. 162, 163 п. 33, 34 163 СП-19. Векторы в пространстве. Действия над векторами в пространстве Гл. 4 п. 164, 165 п. 35, 36 166 Содержание 207 СП-20. Скалярное произведение векторов в пространстве п. 46-48 п. 165 п. 36 171 СП-21*. Координаты и векторы в пространстве. Уравнение плоскости (домашняя самостоятельная работа) Гл. 4, 5 § 18 §4 175 СП-22*. Углы между прямыми и плоскостями (домашняя сг1мостоятельная работа) Гл. 1, 2 § 18 §4 178 КП-4. Декартовы координаты и векторы в пространстве Гл. 4, 5 § 18 §4 179 КП-5. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями Гл. 1, 2 § 18 §4 184 КП-6. Годовая контрольная работа - - - 187 Ответы 191 Литература 201 Для детей старше шести лет. В соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2010 г. № 436-ФЗ. Алла Петровна Ершова Вадим Владимирович Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса Подписано в печать 31.10.2012. Формат 60x88/16. Усл.-печ. л. 12,71. Тираж 10 000 экз. Заказ 2020. ООО «Илекса», 107023, г. Москва, ул. Буженинова, д. 30, стр. 4, сайт: www.ilexa.ru. E-mail: [email protected], телефон: 8(495) 964-35-67 Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография» Филиал «Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1 Сайт: www.chpk.ru. E-mail: [email protected], факс 8(496) 726-54-10, телефон 8(495) 988-63-87