Наглядная геометрия Рабочая тетрадь 2 Смирнов Смирнова Ященко часть 2

НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ А. СМИРНОВ, И. М. СМИРНОВА. И. В. ЯЩЕИНО Е РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКИ и ЛОМАНЫЕ СИММЕТРИЯ КРИВЫЕ КАК ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕК и 01 .. I. r^Uiciai- ^ К ^-----------------------------I В.А. СМИРНОВ И.М. СМИРНОВА И.В. ЯЩЕНКО НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь № 2 Многоугольники И ломаные Симметрия Кривые как траектории движения точек Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту Москва Издательство МЦНМО 2012 УДК 514.11 ББК 22.151.0 С50 Смирнов В. А., Смирнова И. М., Ященко И. В. С50 Наглядная геометрия. Рабочая тетрадь №2. — М.: МЦНМО, 2012.—88 с. ISBN 978-5-94057-934-2 ISBN 978-5-94057-996-0 (Тетрадь № 2) Рабочие тетради «Наглядная геометрия* предназначены для учащихся средней школы. Они позволяют начать изучение геометрии в 5—6 классах, ликвидировать пробелы в знаниях по геометрии в 7—8 классах, а в старших — подготовиться к РИА и ЕГЭ. Задачи, включенные в рабочие тетради, носят исследовательский характер и не требуют знания специальных формул и теорем. Они имеют различный уровень трудности, от простых до олимпиадных, и направлены на выявление математических способностей, развитие геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту. ББК 22.151.0 Владимир Алексеевич Смирнов Ирина Михайловна Смирнова Иван Валериевич Ященко НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь №2 Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83 Подписано в печать 11.03.2012 г. Формат 70xl00Vl6- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 5,5. Тираж 3000. Заказ Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Принт Сервис Групп» Москва, 2-й Лихачёвский пер., д. 7. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга». Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499)241-72-85. E-mail: [email protected] ISBN 978-5-94057-934-2 ISBN 978-5-94057-996-0 (Тетрадь №2) © Смирнов В. А., Смирнова И. М., Ященко И. В., 2012. © МЦНМО, 2012. Рабочая тетрадь №2 ' H Н ПРЕДИСЛОВИЕ Одной из основных причин, оказывающих негативное влияние на результаты обучения геометрии в школе, является недостаточное внимание к развитию геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Начинать развивать геометрические представления в 10-11-х классах уже поздно. Это нужно делать значительно раньше, как минимум с 5-6-х классов. Именно в этом возрасте развитие происходит наиболее интенсивно, что позволяет существенно повысить его эффективность, заложить основы дальнейшего изучения систематического курса геометрии. Предлагаемая тетрадь входит в комплект из четырёх рабочих тетрадей. Тетрадь № 1 содержит следующие пункты: 1. Отрезки и прямые. 2. Углы. 3. Геометрические места точек. Тетрадь № 2 содержит следующие пункты: 1. Многоугольники и ломаные. 2. Симметрия. 3. Кривые как траектории движения точек. Тетрадь № 3 содержит следующие пункты: 1. Паркеты. 2. Площадь. 3. Разрезание. Тетрадь № 4 содержит следующие пункты: 1. Многогранники. 2. Правильные многогранники. 3. Объём и площадь поверхности. Рабочая тетрадь № 2 Задачи, включенные в рабочие тетради, носят исследовательский характер и не требуют знания специальных формул и теорем. Они имеют различный уровень трудности, от простых до олимпиадных, и направлены на выявление математических способностей, развитие геометрических представлений и конструктивных умений учащихся. Каждый найдет среди них задачи посильного для себя уровня трудности. Их можно использовать при изучении геометрии в 5-6-х, 7-9-х и 10-11-х классах. Решение предлагаемых задач поможет развить геометрические представления, выработать необходимые конструктивные навыки, практические умения по построению геометрических фигур, подготовиться к экзаменам и участию в олимпиадах по математике. Все задачи сопровождаются рисунками, которые можно использовать для дополнительных построений и вычислений. В задачах на клетчатой бумаге стороны клеток предполагаются равными единице. В конце пособия приведены ответы ко всем предложенным задачам. Рабочая тетрадь № 2 1. и ломаные ■ 'V-.lvv 1. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок АБ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i \ 1 1 1 t 1 < 1 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I ( 1 t 1 t 1 1 1 1 1 1 % i i 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 А i t ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 В 1 1 1 1 t 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 t 2. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок АВ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. 6 Рабочая тетрадь № 2 3. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок АБ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. А В 4. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого является отрезок АС, а вершина В находится в одном из узлов сетки. А С Рабочая тетрадь № 2 5. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого является отрезок АС, а вершина В находится в одном из узлов сетки. 6. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого является отрезок АС, а вершина В находится в одном из узлов сетки. 8 Рабочая тетрадь № 2 7. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. А В 8. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. Рабочая тетрадь № 2 9 9. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. 10. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а вершина С находится в одном из узлов сетки. 10 'Г Рабочая тетрадь № 2 11. Изобразите квадрат, одной стороной которого является отрезок АБ. 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 1 1 1 А В 12. Изобразите квадрат, одной стороной которого является отрезок АВ. Рабочая тетрадь № 2 11 13. Изобразите квадрат, одной стороной которого является отрезок АВ. 14. Изобразите квадрат, одной стороной которого является отрезок АВ. 12 Рабочая тетрадь № 2 15. Изобразите прямоугольник, тремя вершинами которого являются точки А, Б, С. . . Л С ч р. . А d к --4 В 1 г г 16. Изобразите прямоугольник, тремя вершинами которого являются точки А, Б, С. 1 1 1 t t 1 1 1 i 1 1 1 > 1 1 t А, d A г T 1 1 I 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 ( 1 к 1 \ 1 1 1 1 Рабочая тетрадь Ж° 2 13 17. Изобразите квадрат, двумя противоположными вершинами которого являются точки А и С. 18. Изобразите квадрат, двумя противоположными вершинами которого являются точки А и С. л f г к а' W — 14 Рабочая тетрадь № 2 19. Изобразите квадрат, двумя противоположными вершинами которого являются точки А и С. ^ 1 f л с к г 20. Изобразите какой-нибудь прямоугольник, двумя противоположными вершинами которого являются точки А и С. Сколько решений имеет задача? Л С к А А ^ г i W Ответ. Рабочая тетрадь № 2 15 21. Изобразите какой-нибудь прямоугольник, двумя противоположными вершинами которого являются точки А и С. Сколько решений имеет задача? Л я... г А к А* f Ответ. 22. Изобразите квадрат, серединами сторон которого являются точки А, Б, С и D. . ... .л с к г D л к Л ,в г г л 1 я Г 16 Рабочая тетрадь № 2 23. Изобразите квадрат, серединами сторон которого являются точки А, В,С и D. D л к л с ч г г ^ f — й А В 24. Изобразите какой-нибудь четырехугольник, вершинами которого являются точки А, B,CnD. Сколько решений имеет задача? . . . d f щ г л Р d к щ г - А* f d ч в Ответ. Рабочая тетрадь № 2 17 25. Является ли шестиугольник, изображенный на рисунке, правильным? Ответ. 26. Является ли восьмиугольник, изображенный на рисунке, правильным? Ответ. 18 Рабочая тетрадь № 2 27. На рисунке изображена замкнутая ломаная. Выясните, внутренней или внешней области принадлежат точки А, В, С. Ответ. 28. На рисунке изображена замкнутая ломаная. Выясните, внутренней или внешней области принадлежат точки А, В, С. Ответ. Рабочая тетрадь № 2 19 29. Изобразите четырехстороннюю ломаную, проходящую через все данные точки. -f- -i- ♦ Ф ♦ f...f Ф...I 30. Изобразите шестистороннюю ломаную, проходящую через все данные точки. А А ■—у ■■ ■ у -f- А А А А ▼— W ▼ у А А А А у у у 20 Рабочая тетрадь № 2 31. Изобразите треугольник, общей частью которого и данного треугольника АВС является четырехугольник. 32. Изобразите треугольник, общей частью которого и данного треугольника АВС является пятиугольник. Рабочая тетрадь № 2 21 33. Изобразите треугольник, общей частью которого и данного треугольника АВС является шестиугольник. 34. Изобразите четырехугольник, общей частью которого и данного треугольника АВС является восьмиугольник. 22 Рабочая тетрадь М 2 ^/Сймм!Н|иЯ]| Точки А и А' называются симметричными относительно точки О, если О является серединой отрезка АА'. Точка О считается симметричной сама себе. А' О Две фигуры F и F' называются симметричными относительно точки О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры. Точка О называется центром симметрии. Фигура F называется симметричной относительно точки О, если она симметрична сама себе. Точка О называется центром симметрии. Рабочая тетрадь №2 JII 23 Две точки А и А' называются симметричными относительно прямой с, если эта прямая проходит через середину отрезка АА' и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой с считается симметричной самой себе. А А' F Две фигуры F Vi F' называются симметричными относительно прямой с, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры. Прямая с называется осью симметрии. Фигура F называется симметричной относительно прямой с, если она симметрична сама себе. Прямая с называется осью симметрии. 24 Рабочая тетрадь № 2 Говорят, что точка А' плоскости получается из точки А поворотом вокруг точки О на угол ф, если ОА' = ОА и ZAOA' = ф. Говорят, что фигура F' получается поворотом фигуры F вокруг точки О, если все точки фигуры F' получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг точки О на угол ф. Рабочая тетрадь №2 ИI 25 1. Изобразите точку, симметричную данной точке А относительно точки О. А А к J к 1 г ^ *0 2. Изобразите точку, симметричную данной точке А относительно точки О. л к Г О А, к 26 I й Рабочая тетрадь № 2 3. Изобразите точку, симметричную данной точке А относительно точки О. Л -А к W о 4. Изобразите отрезок, симметричный данному отрезку АВ относительно точки О. А в А к F О Рабочая тетрадь № 2 27 5. Изобразите отрезок, симметричный данному отрезку АВ относительно точки О. 6. Изобразите отрезок, симметричный данному отрезку АВ относительно точки О. 28 Рабочая тетрадь М 2 7. Изобразите треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно точки О. С .... А к Я W О А в 8. Изобразите треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно точки О. Рабочая тетрадь № 2 29 9. Изобразите треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно точки О. 10. Изобразите четырехугольник, симметричный данному четырехугольнику ABCD относительно точки О. D С А к *0 А в 30 Рабочая тетрадь № 2 11. Изобразите четырехугольник, симметричный данному четырехугольнику ABCD относительно точки О. 12. Изобразите четырехугольник, симметричный данному четырехугольнику ABCZ) относительно точки О. Рабочая тетрадь 2 91 31 13. Изобразите прямую, симметричную данной прямой а относительно точки О. d О к. . г а 14. Изобразите прямую, симметричную данной прямой а относительно точки О. 32 I ^ Рабочая тетрадь № 2 15. Отрезки АВ и CD являются центрально-симметричными. Укажите центр симметрии. 16. Треугольники АВС и DEF являются центральносимметричными. Укажите центр симметрии. Рабочая тетрадь ЛГ° 2 33 17. Имеет ли правильный треугольник центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. 18. Имеет ли квадрат центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. 34 Рабочая тетрадь М 2 19. Имеет ли четырехугольник, изображенный на рисунке, центр симметрии? Если да, укажите его. D С В" А Ответ. 20. Имеет ли четырехугольник, изображенный на рисунке, центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. Рабочая тетрадь № 2 35 21. Имеет ли правильный пятиугольник центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. 22. Имеет ли правильный шестиугольник центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. 36 Рабочая тетрадь № 2 23. Имеет ли шестиугольник, изображенный на рисунке, центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. 24. Имеет ли восьмиугольник, изображенный на рисунке, центр симметрии? Если да, укажите его. Ответ. Рабочая тетрадь № 2 37 25. Какие буквы русского алфавита, изображенные на рисунке, имеют центр симметрии? АБВГДЕЖЗИКЛМНОПР СТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ Ответ. 26. Какие буквы латинского алфавита, изображенные на рисунке, имеют центр симметрии? ABCDEFGHIJKLM NOPQRS TUVWXYZ Ответ. 38 Рабочая тетрадь № 2 27. Изобразите точку, симметричную данной точке А относительно прямой с. С А, к Г 28. Изобразите точку, симметричную данной точке А относительно прямой с. Рабочая тетрадь № 2 39 29. Изобразите точку, симметричную данной точке А относительно прямой с. 30. Изобразите отрезок, симметричный данному отрезку АВ относительно прямой с. 40 Рабочая тетрадь М 2 31. Изобразите отрезок, симметричный данному отрезку АВ относительно прямой с. 32. Изобразите отрезок, симметричный данному отрезку АВ относительно прямой с. Рабочая тетрадь № 2 41 33. Изобразите треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно прямой d. 34. Изобразите треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно прямой d. 42 Рабочая тетрадь М 2 35. Проведите прямую, относительно которой симметричны треугольники АВС и DEF. 36. Проведите прямую, относительно которой симметричны треугольники АВС и DEF. Рабочая тетрадь № 2 43 37. Сколько осей симметрии имеет треугольник, изображенный на рисунке? Изобразите их. Ответ. 38. Сколько осей симметрии имеет четырехугольник, изображенный на рисунке? Изобразите их. Ответ. 44 Рабочая тетрадь № 2 39. Сколько осей симметрии имеет шестиугольник, изображенный на рисунке? Изобразите их. Ответ. 40. Сколько осей симметрии имеет восьмиугольник, изображенный на рисунке? Изобразите их. Ответ. Рабочая тетрадь № 2 45 41. Сколько осей симметрии имеет правильный треугольник? Изобразите их. Ответ. 42. Сколько осей симметрии имеет квадрат? Изобразите их. Ответ. 46 Рабочая тетрадь № 2 43. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник? Изобразите их. Ответ. 44. Сколько осей симметрии имеет пятиугольная звезда? Изобразите их. Ответ. Рабочая тетрадь № 2 II 47 45. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник? Изобразите их. Ответ. 46. Сколько осей симметрии имеет снежинка, изображенная на рисунке? Изобразите их. Ответ. 48 Рабочая тетрадь № 2 47. Какие буквы русского алфавита, изображенные на рисунке, имеют оси симметрии? АБВГДЕЖЗИКЛМНОПР СТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ Ответ. 48. Какие буквы латинского алфавита, изображенные на рисунке, имеют оси симметрии? ABCDEFGHIJKLM NOPQRS TUVWXYZ Ответ. Рабочая тетрадь № 2 49 49. Изобразите точку, полученную поворотом данной точки А вокруг точки О на угол 90° против часовой стрелки. 4 1 Ч Г О ...Л 50. Изобразите точку, полученную поворотом данной точки А вокруг точки О на угол 90° по часовой стрелке. 4. Ь J к г W О 50 I с:. Рабочая тетрадь № 2 51. Изобразите треугольник, полученный поворотом данного треугольника АВС вокруг точки О на угол 90° против часовой стрелки. 52. Изобразите треугольник, полученный поворотом данного треугольника АВС вокруг точки О на угол 90° по часовой стрелке. Рабочая тетрадь № 2 51 53. Изобразите четырехугольник, полученный поворотом данного четырехугольника ABCD вокруг точки О на угол 270° против часовой стрелки. 54. Изобразите четырехугольник, полученный поворотом данного четырехугольника ABCD вокруг точки О на угол 270° по часовой стрелке. 52 Рабочая тетрадь JV? 2 55. Треугольник DEF получен поворотом треугольника АВС на угол 90° против часовой стрелки. Укажите центр поворота. 56. Отрезок CD получен поворотом отрезка АВ на угол 90° по часовой стрелке. Укажите центр поворота. Рабочая тетрадь М° 2 53 57. На какой наименьший угол нужно повернуть квадрат вокруг точки пересечения его диагоналей, чтобы он совместился сам с собой? Ответ. 58. На какой наименьший угол нужно повернуть правильный шестиугольник вокруг точки пересечения его диагоналей, чтобы он совместился сам с собой? Ответ. 54 ^ Рабочая тетрадь № 2 59. На какой наименьший угол нужно повернуть правильный восьмиугольник вокруг точки пересечения его диагоналей, чтобы он совместился сам с собой? Ответ. 60. На какой наименьший угол нужно повернуть снежинку вокруг точки О, чтобы она совместилась сама с собой? Ответ. Рабочая тетрадь М9 2 ^ : 55 i^ 3. Кривые как 9Ер9;#ктории |рижения точек Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся по прямой, называется циклоидой, что в переводе с греческого языка означает кругообразная. Циклоиду, например, описывает точка, закрепленная на ободе колеса велосипеда, катящегося по ровной дороге. Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642). Он же придумал и ее название. 1. Для изображения циклоиды отложим на прямой отрезок АВ, равный длине окружности. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками ..., А„. Пусть точка, закрепленная на окружности, находится в положении Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) Б; б) А^; в) Ag; г) А^; д) А^; е) А^; ж) А^; з) А^. (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг, северо-восток, северо-запад, юго-восток, юго-запад.) Соедините полученные точки плавной кривой. А Aq Ai ^2 “^3 -^4 Ответ: а) ; б) в) ; г) д) ; е) ж) ; з) Ау Aq=B 56 Рабочая тетрадь № 2 Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о некоторых из них. Свойство 1. (Ледяная гора.) В 1696 году И. Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время. А В Ясно, что кратчайшим путем из точки А в точку В является отрезок АВ. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим. Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения. Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г. Лейбниц, И. Ньютон, Г. Лопиталь и Я. Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида. Рабочая тетрадь № 2 57 Свойство 2. (Часы с маятником.) Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629-1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кривой, по которой движется шарик, является окружность. Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды. 58 Рабочая тетрадь № 2 Кривая, которую описывает точка, закрепленная на продолжении радиуса окружности, катящейся по прямой, называется удлиненной циклоидой. 2. Пусть точка закреплена на продолжении радиуса окружности, находящейся в положении А^. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) В; б)А^; в)А^; r)Ag; д)А^; е)Ад; ж)Ад; з) А^. Соедините полученные точки плавной кривой. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на радиусе внутри окружности, катящейся по прямой, называется укороченной циклоидой. 3. Пусть точка закреплена на радиусе окружности, находящейся в положении А^. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) В; б) А^; в) А^; г) Ag; д) А^; е)А^; ж) А^; з) А^. Соедините полученные точки плавной кривой. Рабочая тетрадь № 2 59 4. Нарисуйте траекторию движения вершины правильного треугольника, катящегося по прямой. 5. Нарисуйте траекторию движения вершины квадрата, катящегося по прямой. □l tl. А А^= В 6. Нарисуйте траекторию движения вершины правильного шестиугольника, катящегося по прямой. 60 ILJ Рабочая тетрадь № 2 Траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности того же радиуса, называется кардиоидой. 7. Для изображения кардиоиды разделим окружность на 8 равных частей точками А^, ..., А^=А. Пусть точка, закрепленная на окружности, находится в положении А. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) А^; б) А^\ в) Ag; г) Aj; д) Ад; е) А^; ж) А^. (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг, северо-восток, северо-запад, юго-восток, юго-запад.) Соедините полученные точки плавной кривой. ) Ответ: а) ; б) в) ; г) д) ; е) ж) ; з) Рабочая тетрадь № 2 61 Кривая, которую описывает точка, закрепленная на продолжении радиуса окружности, катящейся по другой окружности, называется удлиненной кардиоидой. 8. Пусть точка закреплена на продолжении радиуса окружности, находящейся в положении А. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) б) А^; в) г) А^; д) А^\ е) А^; ж) А^. Соедините полученные точки плавной кривой. ) Кривая, которую описывает точка, закрепленная на радиусе внутри окружности, катящейся по другой окружности, называется укороченной кардиоидой. 62 Рабочая тетрадь № 2 9. Пусть точка закреплена на радиусе окружности, находящейся в положении А. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а)А^; б)А^; в) Ag; г)А^; д) Ад; е) А^; ж) А^. Соедините полученные точки плавной кривой. 1 10. Изобразите траекторию точки, закрепленной в вершине А правильного треугольника, катящегося по другому правильному треугольнику АВС. Рабочая тетрадь № 2 63 11. Изобразите траекторию точки, закрепленной в вершине А квадрата, катящегося по другому квадрату A^CD. С В D )■ 12. Изобразите траекторию точки, закрепленной в вершине А правильного шестиугольника, катящегося по другому правильному шестиугольнику AECZ)£F. 64 I _ Рабочая тетрадь № 2 13. Изобразите траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности, в 3 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 3 раза меньше длины большой окружности.) 14. Изобразите траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по другой окружности, в 2,5 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 2,5 раза меньше длины большой окружности.) Рабочая тетрадь № 2 65 Траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся внутри другой окружности в 4 раза большего радиуса, называется астроидой. 15. Для изображения астроиды разделим окружность на 8 равных частей точками ..., А^. Пусть точка закреплена на окружности, находящейся в положении А. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) А^; б) А^\ в) Ag; г) д) Ад; е) А^; ж) А^. (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг, северо-восток, северо-запад, юго-восток, юго-запад. Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 4 раза меньше длины большой окружности.) Соедините полученные точки плавной кривой. Ответ: а) ; б) в) ; г) д) ; е) ж) ; з) 66 Рабочая тетрадь № 2 16. Изобразите траекторию движения вершины квадрата со стороной 1, катящегося с внутренней стороны по другому квадрату со стороной 4. 17. Изобразите траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся внутри другой окружности в 2,5 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 2,5 раза меньше длины большой окружности.) Рабочая тетрадь №2 _ Н Н ОТВЕТЫ 1; ТГМногоЖ’ШЮШШИ^и ло^ 67 1. 6 решений. 5. В Н- К С /1 А 2. 6 решений. { -f ^ ! С, 1 А , L » J L в 4. 1 1 1 1 1 1111 111(1 1 1 > 1 ! ! ! 1 1 1 1 1 < 1 А 1 1 t 1 1 till 1 1 1 1 1 1(11 1 1 1 1 1 t 1 ( 1 1 1 1 1 1 111 5 1 I I I I 111! ^ 1 1 » « 11!» 1 Y 1 . .. . 1 В 1 ; 1 1 1 ; a| i ! 1 ' ! 1 1 S ! ! ! 1 1 1 1 1 till C i 1 >1111 S 1 1 { >1111 I 1 1 1 till! 1 1 1 1 t > I 1 ( 1 1 > 1 6. A В C 68 7. Рабочая тетрадь М° 2 13. D С А В 8. t 1 А\ . 1 • t 1 V 1 V t V t 1 В \ 10. 14. D • W ) 1 С 1 i А 1 / %J |В Рабочая тетрадь № 2 15. 69 D С Л В.. 17. 21. Три решения. 16. D С В Л 20. Три решения. 70 23. Н Рабочая тетрадь № 2 24. Три решения. 25. Нет. 26. Нет. 27. Точки А и С принадлежат внутренней области, точка В принадлежит внешней области. 28. Точки А и С принадлежат внешней области, точка В принадлежит внутренней области. 29. 30. ; А е В' А \с в I ■ 1 А'\ ё \ В' 1 / а: \: / • в ■С' 1 Рабочая тетрадь №2 33. 71 1. 3. 2. Симметрия 2. 4, Н 0 А’ ,—- 1 1 I ,0.1 ! 1 ...... 1 ...а; i S fe"' ...... -1 А • : 4. А в 1 ; *д Б' А' 72 5. I Рабочая тетрадь № 2 D "i/i .4 П ; О li / / 1 / 1 X / 1 / C'i i • ■ 1 1 £)' • C., A 1 \B 4'... !• I ...... ...... / oj f If / * 1 ”i ”” * 7 A jB’ 8. D C '"A о [A D’ B' 12. г c ...... \ж] / w\ ...... ■■"A Рабочая тетрадь № 2 13. 73 Г" а о 1.—^ а 15. 17. Нет. 18. Да. 20. Да. I с D I *0 в 1 14. f— а а 16. i \Е ■ : F А D ■■ С .. ....Уй... 19. Да. D с 1 В" А 74 21. Нет. 22. Рабочая тетрадь № 2 24. Да. 23. Да. г С 1 в 1 \ Е О : j 1 и \й 25. И, Н, о, X. 26. Н, I, N, О, S,X, Z. 28. 1 < 1 1 lilt 1 1 1 I till ! Ч* ! ! С \ \ % I t 1 1 ^ 1 1 • • ■ ■ X. I 1 t 1 i i i ^'1 • ( 1 1 II ^1 1 IX* i ^ I 1 « t i 1 1 X * 1 1 Xi 1У 1 1 1 1 1 1 1 1 «X 1 1 1 X / i I А; : i \A' ! 1 1 —t ♦ 1 ✓ t "j4^T t « ! i Al' i « 1 1 t 1 t 1 1 1 1 till tilt III! till Рабочая тетрадь № 2 75 Г В'1 Ч Ч С/ у ч А к — ч ч Л... \ У \ \А' 33. 30. А' 32. г А 1 с) В' \ N. { \ "Ч \ *ч \« N. 1 N N. А' N. N 1 / \ /* / ^ • 1 В... 34. 76 37. Одну. Рабочая тетрадь № 2 с\ i /|\ 1 ' i 1 X !с ! \ • I \ А 1 1 1 ; В 39. Две. 43. Пять. 38. Две. Рабочая тетрадь № 2 45. Шесть. 46. Шесть. 77 47. А, В, Е, Ж, М, Н, О, П, С, Т, Ф, X, Ш, Ю. 48. А, В, С, D, Е, Н, I, М, О, Т, и, V,W, X, Y. 49. о. / / ч ч S Л / / ч ч ч А' 1 51. t В' с "с р7 А.. ‘"Л 50. А L ^ \ ►...Ч \ \ X X X ^ X "о 52. 78 53. Рабочая тетрадь № 2 54. 6^ А ; i i у..'. о ; • ---I- в i i 57. 58. 59. 60. 90°. 60°. 45°. 60°. 3. кривые как щаектории Щижения точек 1. а) Юг; б) север; в) запад; г) восток; д) юго-запад; е) северо-запад; ж) северо-восток; з) юго-восток. Рабочая тетрадь № 2 2. 79 3. 4. 80 5. Рабочая тетрадь № 2 7. а) Запад; б) восток; в) восток; г) юг; д) север; е) юг; ж) север. 8. Рабочая тетрадь № 2 9. 81 10. 11. 82 12. 11_ Рабочая тетрадь № 2 13. 14. Рабочая тетрадь № 2 83 15. а) Запад; б) север; в) юг; г) северо-восток; д) северо-запад; е) юго-запад; ж) юго-восток. 16. 17. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ............................... 3 1. Многоугольники и ломаные................ 5 2. Симметрия.............................. 22 3. Кривые как траектории движения точек . 554 Ответы 1. Многоугольники и ломаные............... 67 2. Симметрия............................. 710 3. Кривые как траектории движения точек .. 78 J l=JU КНИГУ можно КУПИТЬ в МАГАЗИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА» в здании Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО) 119002, Москва, Большой Влосьевский пер., 11. (м. «Смоленская», «Кропоткинская») . Ежедневно, 10.00-20.00, кроме воскресенья biblio.mccme.ru » e-mail: [email protected] 8 (499) 241-72-85 • 8 (495) 745-80-31 КНИГОТОРГОВАЯ КОМПАНИЯ «АБРИС » ОД абрис абрис.рф • www.texbook.ru Москва: 8 (495) 229-67-59 Санкт-Петербург: 8 (812) 327-04-50 e-mail: [email protected] Оптовые заказы: [email protected] Розничные заказы: Интернет-магазин UMLIT.RU www.umlit.ru • e-mail: [email protected] 8(495)981-10-39 Рабочие тетради «Наглядная геометрия» позволяют: начать изучать геометрию в 5-6-х классах - ликвидировать пробелы - подготовиться к ГИА - подготовиться к ЕГЭ ISBN 978-5-94057-996-0 9 785940 5799 > /