Геометрия 8 класс Рабочая тетрадь Лысенко Кулабухова

8 КЛАСС Самостоятельные работы Тематические тесты Тесты для промежуточной аттестации Справочник РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Учени класса школы isr лдо 1^0 •j\0 If tP ■S'. -tss s|4 9i. Учебные пособия издательава «Легион» допущены к использованию в образовательном процессе приказом Минобрнауки России № 729 от 14.12.2009 Учебно-методический комплекс «Математика. Подготовка к ГИА-9» Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС >4 Самостоятельные работы Тематические тесты Тесты для промежуточной аттестации Справочник Рабочая тетрадь Учен и класса школы тм ЛЕГИОН Ростов-на-Дону 2012 ББК22.1 М34 Рецензент: Л. Н. Евич — кандидат физ.-мат. наук. Г. Л. Нужа — отличник просвещения РФ. Ольховая Л.С., Коннова Е. Г, Резникова Н. М. М34 Геометрия. 8-й класс. Рабочая тетрадь.: учебно-методическое пособие Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион, 2012. — 144 с. — (ГИА-9) ISBN 978-5-9966-0289-6 Предлагаемое пособие является частью учебно-методического комплекса «Математика. Подготовка к ГИА-9» и дополняет книгу издательства «Легион» «Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Промежуточная аттестация». Оно составлено в формате рабочей тетради, что позволит учащимся поэтапно отработать учебный материал по геометрии, необходимый для подготовки к ГИА. Содержательная часть пособия разработана с учётом положений нового Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования. Рабочая тетрадь состоит из четырёх разделов, включающих самостоятельные работы, составленные в двух вариантах, и тематические контрольные работы, составленные в трёх вариантах (предполагается, что один из вариантов будет либо разобран в классе, либо предложен в качестве домашнего задания). Итоговая работа представлена в восьми вариантах и включает в себя задания с выбором ответа, с кратким и развернутым ответами. Такой объем материала даст возможность учителю выбрать необходимое для осуществления контроля обученности количество заданий, их форму и уровень сложности. Пособие предназначено прежде всего обучающимся восьмых классов, учителям и методистам. Также оно будет полезно девятиклассникам при подготовке к ГИА-9. Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно присылать по почте или на электронный адрес: legionrus(®legionrus.com. Обсудить пособие, оставить свои замечания и предложения, задать вопросы можно на официальном форуме издательства https://legionrus(®rossite.org. Следите за дополнениями и методическими рекомендациями на сайте издательства www.legionrus.ru в связи с возможными изменениями спецификаций экзаменационных работ, разрабатываемых ФИПИ. (Доступ к материалам сайта свободный.) ББК22.1 ISBN 978-5-9966-0289-6 © ООО «Легион», 2012 Оглавление Часть I. Многоугольники ...................................... 5 1.1. Работа № 1.......................................... 5 1.2. Работа №2........................................... 7 1.3. Работа №3.......................................... 12 1.4. Работа №4.......................................... 15 1.5. Работа №5.......................................... 21 Итоговая работа по теме «Многоугольники» .................... 24 Часть 2. Площадь............................................. 27 2.1. Работа №1.......................................... 28 2.2. Работа №2.......................................... 31 2.3. Работа №3.......................................... 34 2.4. Работа №4.......................................... 36 2.5. Работа №5.......................................... 39 2.6. Работа №6.......................................... 41 Итоговая работа по теме «Площадь»............................ 44 Часть 3. Подобие............................................. 48 3.1. Работа № 1......................................... 49 3.2. Работа №2.......................................... 51 3.3. Работа №3.......................................... 54 3.4. Работа JSf94....................................... 58 3.5. Работа №5.......................................... 62 3.6. Работа №6.......................................... 65 4 Оглавление 3.7. Работа №7......................................... 68 Итоговая работа по теме «Подобие»........................... 71 Часть 4. Окружность......................................... 75 4.1. Работа №1......................................... 76 4.2. Работа №2......................................... 79 4.3. Работа №3......................................... 82 4.4. Работа №4......................................... 85 4.5. Работа №5......................................... 90 4.6. Работа №6......................................... 95 Итоговая работа по теме «Окружность»........................ 99 Работы на построение........................................104 Итоговая работа для промежуточной аттестации за 8 класс.....109 Справочник .................................................122 Ответы .....................................................141 Ответы к итоговым работам по темам.....................141 Ответы к итоговой работе для промежуточной аттестации..142 Л1 ногоугольники Часть 1. Многоугольники 1.1. Работа № 1 Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника Вариант 1 1. Продолжите предложение. Многоугольником называют 2. Нарисуйте а) невыпуклый пятиугольник, б) выпуклый семиугольник. а) 3. Какие из данных фигур (см. рис. 1) — а) многоугольники? б) выпуклые многоугольники? Рис. В ответ запишите номера фигур. Ответ: а)______________ б)_ б) 6 Многоугольники 4. Найдите сумму углов выпуклого 12-угольника. Запишите решение. Решение. Ответ: 5. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого все углы равны по 108°? Если существует, найдите число его углов. Запишите решение. Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложение. Многоугольник называют выпуклым, если он 2. Какие из изображенных на рисунке фигур (см. рис. 2) а) многоугольники? б) выпуклые многоугольники? Многоугольники в ответ запишите номера фигур. Ответ: а)_______________ б)_ 3. Нарисуйте а) невыпуклый шестиугольник, б) выпуклый восьмиугольник. а) 4. Найдите сумму углов выпуклого 22-угольника. Запишите решение. Решение. б) Ответ: 5. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого все углы равны по 120°? Если существует, найдите число его углов. Запишите решение. Решение. Ответ: 8 Многоугольники 1.2. Работа №2 Параллелограмм Вариант 1 1. Продолжите предложения. а). Параллелограммом называют______ тивоположные стороны__________________ у которого про-_________, сумма б). В параллелограмме противоположные углы ____________ соседних углов_______________. 2. Нарисуйте 2 различных параллелограмма и отметьте в каждом из них а) равные углы и равные стороны; б) равные отрезки диагоналей. а) б) 3. ABCD — параллелограмм (см. рис. 3). ВС = 5 см, CD = 3 см, АА — 46°. Запишите величины: АВ =______см, AD =______см, ZC -______, AD =______, АВ = Периметр параллелограмма Pabcd =. см. Многоугольники 9 4. МРКТ — параллелограмм (см. рис. 4). О — точка пересечения диагоналей. РТ = Ъ,РК = 3, МО=4. К Запишите величины: О К =___, КМ =____, РО =____, Рмот =____• 5. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК. AD = 7 см, CD = 6 см, АК — 5 см. Найдите периметр ADCK. Запишите решение. Решение. Ответ: 6. Используя данные рисунка 6, а) укажите параллелограммы. Ответ: 10 Многоугольники Л) Б) В) Рис. 6. б) Докажите, что все указанные вами четырёхугольники граммы. Доказательство. параллело- Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) В параллелограмме противоположные углы положные стороны__________________. б) В параллелограмме диагонали_________ противо- 2. Нарисуйте 2 различных параллелограмма и отметьте а) равные углы и равные стороны; б) равные отрезки диагоналей. а) б) Многоугольники и 3. МРКТ — параллелограмм (см. рис. 7). МР = 4 см, РК = 7 см, ZM=112°. Запишите величины: ТК =_____см, МТ =_____см, ZK =_____, ^Р =_____, ZT = см. Периметр параллелограмма Рмркт =___ 4. ABCD — параллелограмм (см. рис. 8). Т — точка пересечения диагоналей. ВТ = 2,АС = 7, АВ=4. С Запишите величины: TD =____, СТ =____, BD =____, АТ = PCDT 5. в параллелограмме ABCD проведена биссектриса ВК (см. рис. 9). AD = 7 см, АВ = 8 см, ВК = 9 см. Найдите периметр ADKB. Запишите решение. 12 Многоугольники Решение. D Ответ: 6. Используя данные рисунка 10, а) укажите параллелограммы. А Б В Ответ: б) Докажите, что все указанные вами четырёхугольники — параллелограммы. Доказательство. Многоугольники 13 1.3. Работа №3 прямоугольник и ромб Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Прямоугольник — это параллелограмм, у которого б) Диагонали ромба 2. Нарисуйте а) ромб с диагоналями 4 см и 3 см; б) прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см. а) б) 3. ABCD — прямоугольник (см. рис. 11). В А = 3, AD = 4, BD=5. Запишите величины: CD =____, СВ =____, АС =____, Paod =____• 14 Многоугольники 4. МРКТ — ромб (см. рис. 12). О -МР = 25, РО = 24, МО=7, ШТО = (3. точка пересечения диагоналей. Запишите величины: Рмркт =___» ТР =___, ZMOP =____, ZOTK =____, ZTKP =____ Ркто =___• Рис. 12. Вариант 2 I. Продолжите предложения. а) Ромб — это параллелограмм, у которого б) Диагонали прямоугольника 2. Нарисуйте а) ромб с диагоналями 4 см и 5 см; б) прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см. а) б) Многоугольники 15 3. MFC к — ромб (см. рис. 13). РК = 6,МС = 8, РС=5. Са Запишите величины: РО =____, СО =____, ZPOM =____, РмРСК =___• 4. АВЕК — прямоугольник (см. рис. 14). О — точка пересечения диагоналей. ВК = 50, В А = 48, ЛЛ'=14, /.ЕВК = а. Запишите величины: АЕ =_____ Раек =___, ZABK =____, ZBEO =____ ZBOE = 16 ж ногоугольники 1.4. Работа №4 Трапеция Вариант 1 1. Продолжите предложения, а) Трапеция — это________ у которого б) У равнобедренной трапеции боковые стороны углы _ 2. Нарисуйте а) прямоугольную трапецию; б) равнобедренную трапецию; а) б) в) у каждой трапеции обозначьте вершины, отметьте и выпишите равные элементы, если они есть. элементы а) б) стороны углы диагонали 3. ABCD — трапеция (см. рис. 15). АА — 48°, ZC = 62' С Многоугольники 17 Запишите величины; =_____, /.D =____. 4. ABCD — трапеция (см. рис. 16). АВ = 6, ВС = 5, KD = 3, АА = 60°, BH±AD, CKLAD. D Рис. 16. а) Как называют отрезок ВЮ Ответ:_______________ б) Найдите AD и Рдвсо-Запишите решение. Решение. Ответ: 5. Дана равнобедренная трапеция МРКТ с основаниями МР = 4, КТ = 10 и боковой стороной РК = 7. Сделайте чертеж, проведите высоты МН и PF. Найдите и запишите следующие величины: МТ =___, ТН =___, РН = 18 Многоугольники FK = РтМРК 6. Запишите градусную меру углов и длины отрезков, используя чертежи трапеций (см. рис. 17). АН =_ СН = DH =_ AD =_ ABCD = ZHCD = б) МРКТ — равнобедренная трапеция. РТ =_____, Z.PKT = ZPMT = Z.T = Вариант 2 1. Продолжите предложения, а) Основания трапеции____ б) У равнобедренной трапеции диагонали 2. Нарисуйте а) прямоугольную трапецию; Многоугольники 19 б) равнобедренную трапецию; а) б) в) у каждой трапеции обозначьте вершины, отметьте и выпишите равные элементы, если они есть. элементы а) б) стороны углы диагонали 3. ABCD — трапеция (см. рис. 18). /.В = 105°, /.D = 94°. Запишите величины: /Л =_____, ZC =_____. 4. МВСР — трапеция (см. рис. 19). ВН = 4, ВС = 5, KP=S, ZM = 45°, ВНА.МР, СК±МР. Рис. 19. 20 Многоугольники а) Как называют С К? Ответ: б) Найдите МР и Рнвск-Запишите решение. Решение. Ответ: 5. Дана равнобедренная трапеция CDEF с основаниями CD = 6 и EF = 14 и боковой стороной СЕ = 9. Сделайте чертеж, проведите высоты СН и DT. Найдите и запишите следующие величины: DE =___, ТН =___, FH =___, ТЕ = Рг CDEF 6. Запишите градусную меру углов и длины отрезков, используя чертежи трапеций (см. рис. 20). К а) ABCD — трапеция. Многоугольники 21 АН = DH = AD =_ ZC = ZABC = ZABH = 6) MPKT — равнобедренная трапеция. ВТ =_____, ZPKT = ZPMT =_ ZT = 1.5. Работа №5 Квадрат Вариант 1 1. Нарисуйте квадрат со стороной 2 см и назовите его любыми буквами. Измерьте его диагонали, результаты измерений запишите в тетрадь. 2. ABCD — квадрат (см. рис. 21). Выпишите равные отрезки и углы. С D ВС = АС =_ ВО = 22 Многоугольники ZBOA = ABAC ^ 3. Докажите, что ABCD — ААВС (см. рис. 21). Доказательство. Вариант 2 1. Нарисуйте квадрат со стороной 3 см и назовите его любыми буквами. Измерьте его диагонали, результаты измерений запишите в тетрадь. 2. МРКТ — квадрат (см. рис. 22). Выпишите равные отрезки и углы. К МТ = . МК = ОТ = ZTOK =. АМТО = Многоугольники 23 3. Докажите, что АТРК = АМРК (см. рис. 22). Доказательство. 24 Итоговая работа по теме «Многоугольники» Итоговая работа по теме «Многоугольники» Вариант 1 Часть 1 1. В параллелограмме стороны равны 3 и 4. Найдите периметр параллелограмма. 1)14 2)21 3)7 4)18 2. Найдите оставшиеся углы ромба, если один угол равен 60°. 1) 60°; 120°; 120° 2) 115°; 115°; 60° 3) 60°: 150°; 150° 4) 60°; 130°; 130° 3. ABCD — параллелограмм. Найдите его периметр, если периметр Pabd = 25 и 5D = 10. 1)20 2)50 3)40 4)30 4. В параллелограмме один из углов 45°. Найдите величину угла, противоположного данному. 1)65° 2)135° 3)90° 4)45° 5. Найдите стороны параллелограмма, если одна сторона в 3 раза меньше другой, а периметр параллелограмма равен 40. 1)15; 6 2) 15; 5 3) 10; 5 4)27; 9 Часть 2 6. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 7, один из углов равен 60°. Найдите большую боковую сторону трапеции. 7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) Если в параллелограмме один из углов прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. 2) Если один из углов ромба 47°, то другой угол 93°. 3) Высоты, проведённые из одной вершины ромба, равны. 4) Если один из углов параллелограмма острый, то и любой другой — острый. 5) Если один из углов равнобедренной трапеции тупой, то противоположный ему угол — острый. Итоговая работа по теме «Многоугольники» 25 Часть 3 8. Докажите, что диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. 9. Стороны параллелограмма равны 8 и 3. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три части. Найдите длины этих отрезков. Вариант 2 Часть 1 1. Сторона ромба равна 12. Угол при вершине равен 60°. Найдите противоположную этому углу диагональ ромба. 1)12 2)6 3)5 4)4 2. Найдите периметр квадрата, если его сторона равна 6. 1)20 2)24 3)26 4)30 3. В четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 112°. Найдите сумму остальных углов. 1)168° 2)248° 3)132° 4)212° 4. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна 18, угол при большем основании 30°. Найдите меньшую боковую сторону. 1)10 2)9 3)3 4)5 5. Сумма трёх углов четырёхугольника равна 256°. Найдите четвертый угол. 1)104° 2)92° 3)108° 4)244° Часть 2 6. Найдите /.А и ZC трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ZB = 124°, ZD = 44°. 7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме сумма противоположных углов равна 180°. 2) Углы при основании равнобедренной трапеции равны. 3) Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. 4) Центр ромба равноудалён от вершин. 5) У выпуклого многоугольника все углы меньше 180°. 26 Итоговая работа по теме «Многоугольники» Часть 3 8. Докажите, что если два равных отрезка пересекаются в их общей середине, то их концы являются вершинами прямоугольника. 9. Диагональ BD квадрата ABCD равна 15. Прямая, проходящая через точку Б и перпендикулярная к BD, пересекает прямые AD и DC соответственно в точках Е R F. Найдите длину отрезка ЕЕ. Вариант 3 Часть 1 1. В ромбе один из углов равен 135°, найдите оставшиеся углы ромба. 1) 45°, 135°, 45° 2) 55°, 60°, 125° 3)45°, 90°, 135° 4) 90°, 45°, 45° 2. Из какого набора отрезков нельзя составить треугольник? 1)12,14,5 2)13,19,6 3)9, б, 7 4) 4, б, 5 3. В параллелограмме один из углов — прямой. Определите, к какому из видов четырёхугольников обязательно относится этот параллелограмм. 1)ромб 2)квадрат 3) трапеция 4) прямоугольник 4. Найдите возможные стороны параллелограмма, если его периметр 42. 1)8,8,3,3 2)5,9,5,9 3)11,2,2,11 4)9,12,9,12 5. Найдите стороны параллелограмма, если одна из его сторон в 1,5 раза больше другой, а периметр равен 25. 1)6; 6,5 2)3,5; 9 3)5; 7,5 4)4; 8,5 Часть 2 6. Найдите острый угол ромба, если одна из его диагоналей образует со стороной ромба угол 36°. 7. Укажите, какие из приведённых ниже утверждений верны. 1) Если один из углов равнобедренной трапеции тупой, то он прилежит к меньшему основанию. 2) Если один из углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, тупой, то другой угол, прилежащий к этой стороне, тоже тупой. Итоговая работа по теме «Многоугольники» 27 3) Если /.АВС = 78°, /CDE = 102°, то эти углы вертикальные. 4) Если периметр параллелограмма равен 20 и диагональ разделяет параллелограмм на два треугольника, то периметр каждого из них равен 20 : 2 = 10. 5) У выпуклого многоугольника все углы меньше 180°. Часть 3 8. Докажите, что если в параллелограмме диагональ является биссектрисой, то параллелограмм — ромб. 9. Периметр параллелограмма ABCD равен 56, АВ = 12. Какую сторону параллелограмма пересечёт биссектриса угла Д? Найдите длины отрезков, на которые разбивается эта сторона при таком пересечении. 28 Площядь Час1 2.1 Площадь ква 1. Продолжите предложения. а) Если фигуры равны, то и б) Площадь квадрата равна гь 2. Площадь 1. Работа № 1 драта и прямоугольника Вариант 1 к площади . . ... 2. Найдите площади фигур, изображенных на ной клетки равна 1. рисунке 23. Сторона квадрат- 5= 5= 5= 5 = Рис. 23. 3. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 2 см и 15 мм. Решение. Ответ: 4. Найдите периметр квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 3,2 см и 5 см. Площадь 29 Запишите решение. Решение. Ответ: 5. Нарисуйте 3 различных прямоугольника площадью 6 см^, считая сторону клетки равной 0,5 см. Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Если фигура состоит из нескольких фигур, то её площадь б) Площадь прямоугольника равна 2. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 24. Сторона квадратной клетки равна 1. 3. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 2 см и 15 дм. Запишите решение. 30 Площадь s= s= s= Рис. 24. S = Решение. Ответ: 4. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 2 см, а площадь равна площади квадрата со стороной 7 см. Запищите рещение. Решение. Ответ: 5. Нарисуйте 3 различных прямоугольника площадью 12 cм^, считая сторону клетки равной 0,5 см. Площадь 31 2.2. Работа №2 Площадь параллелограмма Вариант 1 1. Продолжите предложение. Площадь параллелограмма равна____________ 2. В параллелограмме со сторонами а и Ь(см. рис. 25) проведены две высоты hi и /l2- Ь Запишите формулу площади параллелограмма двумя способами. 5 = 3. Найдите площади параллелограммов, изображенных на рисунке 26. Сторона квадратной клетки равна 1. Проведите высоту в каждом из этих параллелограммов. 32 Площадь 5= 5= S = Рис. 26. 4. Высота параллелограмма ABCD, проведённая из вершины В к стороне AD, делит её на отрезки 3 см и 2 см, LA = 45°. Найдите площадь ABCD. Рассмотрите все возможные случаи. Запишите решение. Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложение. Площадь параллелограмма равна_____ Площадь 33 2. В параллелограмме со сторонами а и 6 (см. рис. 27) проведены две высоты h\ и /l2* Ь Рис. 27. Запишите формулу площади параллелограмма двумя способами. 5=_______________, S=_______________. 3. Найдите площади параллелограммов, изображённых на рисунке 28. Сторона квадратной клетки равна 1. Проведите высоту в каждом из этих параллелограммов. S= S = Рис. 28. 4. В параллелограмме ABCD стороны равны б см и 8 см, ZA = 30°. Найдите площадь ABCD. Рассмотрите все возможные случаи. 34 Запишите решение. Решение. Ответ: 2.3. Работа №3 Площадь треугольника Площадь Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Площадь треугольника равна______ б) Площадь прямоугольного треугольника равна 2.Запишите формулы для площади треугольника двумя способами (см. рис. 29). С s= s= Рис. 29. 3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 30. Сторона квадратной клетки равна 1. 4. Найдите площадь треугольника МРК, используя данные рисунка 31 Проведите высоту к стороне РК из точки М. Найдите её длину. Запишите решение. Рассмотрите все возможные случаи. Площадь 35 5= S = Рис. 30. S = К Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложения, а) Площадь треугольника равна б) Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на__________________________________________________ 2. Запишите формулы площади треугольников двумя способами (см. рис. 32). 3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 33. Сторона квадратной клетки равна 1. 4. Найдите площадь треугольника МРК, используя данные рисунка 34. Проведите высоту к стороне МК из точки Р. Найдите её длину. Запишите решение. 36 Площадь 5 = S = S = К N S = Решение. S = Рис. 33. К Рис. 34. S = м s = Ответ: Площадь 37 2.4. Работа №4 Площадь ромба Вариант 1 I. Продолжите предложения. а) Если известны сторона и высота ромба, то его площадь можно найти как б) Если известны диагонали ромба, то его площадь можно найти как 2. Напищите формулу площади ромба двумя способами (см. рис. 35). С 3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 36. Сторона квадратной клетки равна 1. S= s= s= Рис. 36. S= 4. В ромбе ABCD диагонали равны 12 см и 16 см, а высота равна 9,6 см. Найдите площадь ромба и его сторону. Запищите рещение. 38 Площадь Решение. Ответ; Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Если известны сторона и высота ромба, то его площадь можно найти как____________________________________________________________ б) Если известны диагонали ромба, то его площадь можно найти как 2. Напищите формулу площади ромба двумя способами (см. рис. 37). Рис. 37. 3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 38. Сторона квадратной клетки равна 1. S= S= S= Рис. 38. S= Площадь 39 4. В ромбе МР/СТ диагонали равны 48 и 14 см, а высота равна 25 см. Найдите площадь ромба и его сторону. Запишите решение. Решение. Ответ: 2.5. Работа №5 Площадь трапеции Вариант 1 1. Продолжите предложение. Площадь трапеции равна. 2. Напишите формулу площади трапеции (см. рис. 39). а 3 = 3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 40. Сторона квадратной клетки равна 1. 4. В равнобедренной трапеции ABCD основания АВ и CD равны 8 см и 12 см соответственно, один из уголов равен 135°. Найдите площадь трапеции. Запишите решение. 40 Площадь S = S = Рис. 40. S = Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложение. Площадь трапеции равна 2. Напишите формулу площади трапеции (см. рис. 41). а Рис. 41. 3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 42. Сторона квадратной клетки равна 1. 4. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно меньшей боковой стороне АВ, большее основание равно 7, CD = 5. Найдите площадь трапеции, если периметр ABCD равен 20 см. Площадь 41 5 = S = Рис. 42. s = Запишите решение. Решение. Ответ: 2.6. Работа №6 Теорема Пифагора Вариант 1 1. Продолжите предложение. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма 2. Запишите теорему Пифагора для треугольника МРК, если ZP = 90°. Найдите КМ, если РК — 8, РМ = 6. Запишите решение. Решение. Ответ: 42 Площадь 3. Найдите площадь параллелограмма МТКР, если его диагональ ТР перпендикулярна стороне МР, МР = 5, МТ = 13 (см. рис. 43). Решение. Ответ: 4. Площадь ромба равна 336 см^, а одна из диагоналей на 34 см больше другой. Найдите диагонали и периметр ромба. Сделайте чертёж и запишите решение. Решение. Ответ: Площадь Вариант 2 1. Продолжите предложение. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если в треугольнике сумма 43 2. Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС, если АВ = 90°. Найдите АС, если АВ = 12, ВС = 5. Запишите решение. Решение. Ответ: 3. Найдите площадь параллелограмма AMRT, если его высота, проведённая из вершины М к стороне TR, делит её на отрезки 2 и 3, считая от вершины Т, а MR = 5 (см. рис. 44). Решение. Ответ: 44 Площадь 4. Площадь ромба равна 240 см^, а одна из диагоналей на 14 см меньше другой. Найдите диагонали и периметр ромба. Сделайте чертёж и запишите решение. Решение. Ответ: Итоговая работа по теме «Площадь '^ 45 Итоговая работа по теме «Площадь» Вариант 1 Часть 1 1. Найдите сторону квадрата, если его площадь 64 см^. 1)12 см 2)18 см 3)21 см 4) 8 см 2. Высота параллелограмма равна 5, а сторона, к которой она проведена, равна 12. Найдите площадь параллелограмма. 1)120 2)30 3)60 4)34 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 4и 3. 1)6 2)12 3)18 4)24 4. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 9 и 13, а высота равна 5. 1)55 2)110 3)22 4)65 5. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 7, а высота равна 4. 1)14 2)28 3)56 4)32 Часть 2 6. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 8 и 14. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Равные многоугольники имеют равные площади. 2) Площадь прямоугольника равна половине произведения двух его сторон. 3) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 4) Квадрат стороны четырёхугольника есть его площадь. 5) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к ней. 46 Итоговая работа по теме «Площадь» Часть 3 8. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей. 9. Высоты параллелограмма равны 6 см и 4 см. Периметр равен 36 см. Найдите площадь параллелограмма. Вариант 2 Часть 1 1. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна 16 см^. Ответ укажите в сантиметрах. 1)8 2)2 3)4 4)10 2. Найдите площадь параллелограмма, если его сторона равна 7 см, а высота, проведённая к этой стороне, равна 5 см. Ответ дайте в см^. 1)12 2)35 3)70 4)24 3. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 7 и 13, а высота — 5. 1)50 2)25 3)30 4)60 4. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 2 и 7. 1)42 2)7 3)14 4)28 5. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 8, а боковая сторона равна 5. 1)10 2)12 3)20 4)6 Часть 2 6. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна площади прямоугольника со сторонами 7 и 28. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. 2) Площадь параллелограмма равна половине произведения двух сторон. 3) Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 4) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. Итоговая работа по теме «Площадь» 47 5) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Часть 3 8. Докажите, что площадь квадрата, имеющего сторону, равную катету равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больще площади квадрата со стороной, равной высоте, проведенной к гипотенузе данного треугольника. 9. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 18. Найдите площадь трапеции. Вариант 3 Часть 1 1. Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 12 см и 3 см. Ответ дайте в см. 1)6 2)4 3)9 4) другой ответ 2. Найдите площадь ромба с диагоналями, равными б и 9. 1)36 2)27 3)54 4) другой ответ 3. Найдите площадь прямоугольника, если площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, равна 15. 1)30 2)15 3)60 4) другой ответ 4. Найдите площадь прямоугольной трапеции, если её меньшая боковая сторона равна 5, а полусумма оснований равна И. 1)55 2)110 3) 45 4) другой ответ 5. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 и 5, а один из углов 30°. 1)15 2)10 3)40 4)20 Часть 2 6. Две стороны треугольника соответственно равны 6 и 7. Высота, проведённая к меньшей из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. 48 Итоговая работа по теме «Площадь^ 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания. 2) Площадь треугольника равна произведению основания на высоту. 3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 4) Высота параллелограмма равна частному от деления площади параллелограмма на одну из сторон. 5) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Часть 3 8. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, равные по площади. 9. Один из углов равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведенная из верщины этого угла, делит больщее основание на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найдите площадь трапеции. Подобие 49 Часть 3. Подобие ЗЛ. Работал® 1 Пропорциональные отрезки, теорема о биссектрисе Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Пропорциональные отрезки — это такие отрезки, из которых можно б) Биссектриса треугольника делит сторону 2. Проверьте, пропорциональны ли отрезки (см. рис. 45). Если да, запишите пропорцию. С. . -^В Е........F М...............К Рис. 45. АВ 3. Отрезки АВ и МК пропорциональны отрезкам CD и РТ. Запишите пропорцию. АВ ^ CD~ • Найдите РТ, если АВ = 9, МК - 8, CD = 6. РТ =_______________. 4. Дан треугольник АВС со сторонами АВ = 3 см, ВС = 2 см, С А = 4 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса BD делит сторону С А. Сделайте чертеж и запишите решение. 50 Подобие Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения которых б) Биссектриса треугольника делит сторону 2. Проверьте, пропорциональны ли отрезки (см. рис. 46). Если да, запишите пропорцию. А.........И Е..............М Рис. 46. FK 3. Отрезки АВ и МК пропорциональны отрезкам OD и RT. Запишите пропорцию. АВ OD •• Найдите МК, если АВ = 7, RT = 10, OD = 6. МК = Подобие 51 4. Дан треугольник АВС со сторонами АВ = 3 см, ВС = 2 см, СД = 4 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса CD делит сторону АВ. Сделайте чертеж и запишите решение. Решение. Ответ: 3.2. Работа №2 Подобные треугольники Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) В подобных треугольниках соответственные углы сходственные (лежащие против равных углов) стороны _ а б) В подобных треугольниках против пропорциональных отрезков лежат ___________ углы. 2. На рисунке 47 изображены подобные треугольники. 1) Запишите, что треугольники подобны__________ 2) Запишите равенство отношений сходственных сторон АВ ВС = — = к. 52 К 3) Что обозначает /с? Ответ: 3. Запишите признаки подобия треугольников. 1) Если два угла____________________________ Подобие то 2) Если две стороны 3) Если три стороны 4. Найдите на рисунке 48 подобные треугольники и докажите, что они подобны. Необходимые для доказательства обозначения напишите на рисунках самостоятельно. Рис. 48. Подобие Доказательство. 53 Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) В подобных треугольниках соответственные углы сходственные (лежащие против равных углов) стороны _ а б) В подобных треугольниках против пропорциональных отрезков лежат углы. 2. На рисунке 49 изображены подобные треугольники. 1) Запишите, что треугольники подобны 2) Запишите равенство отношений сходственных сторон QL = TK = -=k. 3) Что обозначает к? Ответ: 3. Запишите признаки подобия треугольников. 54 Подобие 1) Если два угла то 2) Если две стороны 3) Если три стороны 4. Найдите на рисунке 50 подобные треугольники и докажите, что они подобны. Необходимые для доказательства обозначения напишите на рисунках самостоятельно. а) Рис. 50. Доказательство. Подобие 55 3.3. Работа №3 Отношение площадей и периметров подобных треугольников, задачи на подобие Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Площади подобных треугольников относятся как б) Дх /S.2 Pi где Pi и Р2 — периметры соответ- ствующих треугольников. 2. ААВС ~ АМРК, /Л = ZM, ZB = ZP, АВ = Q,MP = 18. Сделайте схематический чертеж, отметьте на нём равные углы. Запищите равенство отношений сходственных сторон Напищите, чему равны следующие величины: к =____, АС мк ------- Sabc _ Smpk Равс _ Рмрк 3. Найдите высоту здания (в метрах), длина солнечной тени которого равна 27 м, а солнечная тень человека ростом 1 м 60 см равна 2 м 40 см (см. рис. 51). 56 Подобие CM Ответ: 4. Найдите ширину реки {СВ), если, выполнив некоторые измерения на одном берегу реки {АВ = 5 м, AD = 12 м, AM = 3 м), можно построить два подобных треугольника ACD и АВМ (см. рис. 52). Рис. 52. Решение. Ответ: Подобие 57 Вариант 2 I. Продолжите предложения. а) Периметры подобных треугольников относятся как б) Л] где 5i и 52 — площади соответ- ствующих треугольников. 2. ЛЛВС ~ ДТОЯ, ZA = ZT, Z.B = Z.O, АВ = 12, ТО = 3. Сделайте чертеж, отметьте на нём равные углы. Запищите равенство отношений сходственных сторон АВ ^ ВС ^ - ^ Напишите, чему равны следующие величины: к=______, АС TR ------’ Sabc _ Stor Равс ^ Ptor 3. Проектор полностью освещает экран А высотой 1 м, расположенный на расстоянии 2 м от проектора (см. рис. 53). Какой наибольшей высоты (в метрах) может быть экран Б, чтобы его можно было расположить на расстоянии 5 м от проектора и он был полностью освешён, если экран А расположен на наименьшем возможном расстоянии от проектора, и при этом он полностью освещён? Настройки проектора не меняются. 58 Подобие :: >]ь м в Решение. 2м ■5м Рис. 53. Ответ:_______________ 4. Дерево высотой 8,8 м отбрасывает тень. Оно полностью заслоняет от солнца дерево высотой 4 м, находящееся от него на расстоянии б м, как показано на рисунке 54. Определите, на какое расстояние отбрасывает тень большее дерево. Ответ дайте в метрах. Рис. 54. Решение. Ответ: Подобие 59 3.4. Работа №4 Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках Вариант 1 I. Продолжите предложения. а) Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то б) Если АВ = ВС и AM || ВР || С К (см. рис. 55), то 2. AM II ВР II CN II TD. Рис. 56. Используя данные рисунка 56, запишите CD -_____, МР = 3. Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке О, КТ II ВС, ВК = 4, АК = 3, СТ = 8, ОС = 12 (см. рис. 57). Найдите DT и ОВ. DT =_____, ОВ = 60 Подобие О /\ / Ч 12 Рис. 57. 4. AD II EF, СВ = 45, CF.FD.DB = 3:4:2, BF = 12, ЛС = 52 (см. рис. 58). Найдите FD, FO, ОВ, СЕ, ЕА. Запишите решение. Решение. С Ответ; Подобие 61 Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Теорема Фалеса. Если на одной прямой отложены равные отрезки и через их концы проведены______________________________________ АЯ б) Если AM II ВР II СК (см. рис. 59), то = —. 2. AM II ВР II CN II CD. Используя данные рисунка 60, запишите АВ =_____, TN = 3. МРКТ — трапеция, МТ || ВС, продолжения боковых сторон пересекаются в точке точке О, РО = 4, РВ = 5, КС = 15, СТ = б (см. рис. 61). Найдите ВМ =____, ОК =____. 4. АР II СВ, МК = 36, МО = 6,РК = 30, МА.АВ.ВК = 2:3:7. Найдите МА, ОС, PC, С К (см. рис. 62). 62 Подобие Запишите решение. Решение. К Ответ: Подобие 63 3.5. Работа №5 Средняя линия треугольника Вариант 1 1. Продолжите предложение. Средняя линия треугольника 2. Начертите а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный треугольники, проведите в них по 3 средних линии, измерьте длины сторон и средних линий и запишите результаты измерений на чертежах. а) б) 3. Используя рисунок 63, найдите указанные величины. В в) DE = Если Sdbe = 7, то Sabc =. 64 Подобие 4. Докажите, что 3 средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника. ____ Дано: Вариант 2 1. Продолжите предложение. Средняя линия треугольника равна ________________________ _однои из сторон и 2. Нарисуйте а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный треугольники, проведите в них по 3 средних линии, измерьте длины сторон и средних линий и запишите результаты измерений на чертежах. а) б) в) Подобие 65 3. Используя рисунок 64, найдите указанные величины. РК = Если Smpk — 20, то Smab 4. Докажите, что средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1 : 3. _____________________ Дано: 3.6. Работа № 6 Медианы треугольника Вариант 1 1. Продолжите предложения, а) Медиана — это_________ 66 Подобие б) Все медианы треугольника пересекаются делятся 2. В ААВС AAi, BBi, CCi — медианы. Дополните чертёж (см. рис. 65), проведя третью медиану. С Рис. 65. Запишите указанные величины: АС =_____, О В =___, OAi =____, BBi =____. 3. Нарисуйте а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный треугольники, проведите в них все медианы. а) б) а) и; в) 4. В треугольнике МРК медианы МА и РВ пересекаются в точке О, МК = 12 см, МА = 9 см. Выполните чертёж и найдите а) Рмов, если РО > РВ на 4 см; б) Smob, если Smpk = S. Подобие Решение. 67 Ответ: а) I. Продолжите предложения, а) Медиана — это__________ б) Вариант 2 б) Все медианы треугольника пересекаются делятся ___________________________________ 2. В А АВС AAi, BBi, СС\ — медианы. Дополните чертеж (см. рис. 66), проведя третью медиану. А Запишите указанные величины: АВ =_____, ОС = 68 Подобие OAi = ЛЛ1 =_ 3. Нарисуйте а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный треугольники, проведите в них все медианы. а) б) в) 4. В треугольнике МРК медианы МВ и РА пересекаются в точке О, РК = 20 см, МВ = 18 см. Выполните чертёж и найдите а) Раор, если ВО < РО на 4 см; б) SpoM, если Smpk = S. Решение. Ответ: а) б) Подобие 69 3.7. Работа № 7 Пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит___________________________________________________ б) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется 2. Начертите прямоугольный треугольник АВС, проведите в нём высоту к гипотенузе, отметьте равные углы и запишите пары получившихся подобных треугольников. 3. Найдите среднее геометрическое чисел а и 6, если а = 4, 6 = 49. Ответ: 4. По рисунку 67 запишите условие и найдите х,у wh. Дано: Найти: С 70 Подобие Решение. Ответ: 5. В треугольнике МРК АК = 90°, МР = 25, МК = 7. Сделайте чертёж. Найдите РК. Запишите, чему равны РК=________, sin М =______, cos М =_____, tg М =______, sin Р =____, cos Р =_______, tg Р =____. Вариант 2 1. Продолжите предложения, а) Среднее геометрическое двух чисел аиЬ б) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется 2. Начертите прямоугольный треугольник МРК, проведите в нём высоту к гипотенузе, отметьте равные углы и запишите пары получившихся подобных треугольников. 3. Найдите среднее геометрическое чисел а и 6, если а = 2,Ь = 72. Ответ:___________________ 4. По рисунку 68 запишите условие и найдите x,ywh. Подобие 71 Решение. Рис. 68. С Дано: Найти: Ответ: 5. В треугольнике МРК ZM — 90°, МР = 7, МК = 24. Сделайте чертеж. Запишите, чему равны РК=______; sinP =___ cos К =_____, tg К =___ ., cos Р =. tgP = sin К =_ 72 Итоговая работа по теме «Подобие» Итоговая работа по теме «Подобие» Вариант 1 Часть 1 1. Известно, что для сторон ААВС и AMNP верно равенство АС ВС АВ MN NP РМ 1) ZABC - ZPMN Ъ)^АВС = ANMP Выберите верную запись. 2)ZABC = ZMPN 4)ZABC = ZPNM А R АГ 2. Известно, что ААВС ^ADEF, --------=----. Найдите ZE, если Z.A = 74°, DE DF ZC = 47°. 1)44° 2)59° 3)121° 4) другой ответ 3. Большая сторона треугольника равна 18. Найдите остальные стороны треугольника, если стороны подобного ему треугольника равны 4, б, 9. 1)6,3 2)5,9 3)8,12 4) другой ответ 4. Стороны треугольника равны 7, 13, 8. Найдите стороны другого треугольника, подобного данному, если его периметр равен 56. 1) 14,26,16 2)15,18,23 3) 14,20,24 4) другой ответ 5. Найдите стороны треугольника АВС, если он подобен треугольнику AiBiCi со сторонами 8,16,18, и Sabc'-SaiBiCi = 1:4. 1)2; 4; 4,5 2) 16; 32; 36 3)4; 8; 9 4)2; 8; 9 Часть 2 6. Четырёхугольник ABCD — трапеция (ВС || AD), О — точка пересечения диагоналей. Найдите ВО и OD, если ВС = 3, AD = 5, BD = 24. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Отношение сходственных сторон треугольников есть коэффициент подобия. Итоговая работа по теме «Подобие» 73 4) Диагональ трапеции делит её на две подобные фигуры. 5) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Часть 3 8. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом. 9. Длины сторон треугольника пропорциональны числам 4; 7; 9. Наибольшая сторона превосходит наименьшую на 10 см. Найдите периметр треугольника. Ответ выразите в сантиметрах. Вариант 2 Часть 1 1. Известно, что для сторон AMKL и А АВС верно равенство МК LK ML ^ . --— =---= ——. Выберите верную запись. АВ СВ АС 1) AKLM = ZACB 3)ZMKL = ZACB 2)ZKML = ZBCA 4)ZMKL = ABAC 2. Известно, что А ABC ~ ADEF, Найдите ZA, если ZE = 35°, ЕЕ DE ZE = 111°. 1) 146° 2) 34° 3) 76° 4) другой ответ 3. Меньшая сторона треугольника равна 5. Найдите остальные стороны этого треугольника, если стороны подобного ему треугольника равны 10, 12,14. 1)6,7 2)9,3 3)5,8 4) другой ответ 4. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. Найдите стороны другого треугольника, подобного данному, если его периметр равен 54. 1)10,11,12 2)10,12,14 3)15,18,21 4) другой ответ 5. Стороны треугольника АВС относятся к сторонам треугольника AiBiCi как 2 : 3. Найдите отношение площадей этих треугольников. 1)1:9 2)2:6 3)4:6 4)4:9 74 Итоговая работа по теме «Подобие» Часть 2 6. Четырёхугольник ABCD — трапеция {ВС || AD), О — точка пересечения диагоналей. Найдите АО и АС, если ВС = 10, AD = 24, ОС = 15. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, делит основание на части, пропорциональные боковым сторонам треугольника. 2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 3) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 4) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. 5) Медианы треугольника не пересекаются в одной точке. Часть 3 8. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. 9. Длины сторон треугольника пропорциональны числам 5; 9; И. Наибольшая сторона превосходит наименьшую на 18 см. Найдите периметр треугольника. Ответ выразите в сантиметрах. Вариант 3 Часть 1 1. Известно, что ААВС ~ AMNP, АВ _ ^ МР 1) АВ СВ NP MN 2) АС ^ ^ MN NP 3) 2. Известно, что ААВС ~ ADEF, /Л = 83°, АВ = 35°. 1)83° 2)35° MN АВ MN АС Выберите верную запись. АВ ^ ___ DE DF 3)62° АС МР ВС ЕЕ 4) ВС АС МР MN . Найдите ZD, если 4)112° Итоговая работа по теме «Подобие» 75 3. Стороны треугольника равны 7, 11, 15. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен 99. 1)21; 33; 45 2) 44; 20; 35 3)47; 19; 33 4) 21; 32; 46 4. Меньшая сторона треугольника равна 7. Найдите остальные стороны этого треугольника, если стороны подобного ему треугольника равны 14,17, 20. 1)8,5; 10 2) 7; 9 3)8; 11 4) 5; 12 5. Найдите площадь треугольника АВС, если ААВС подобен AAiBiCi, пло1дадь треугольника AiBiCi равна 12, а коэффициент подобия равен 2 1)24 2)48 3)3 4)6 Часть 2 6. Сходственные стороны подобных треугольников равны 10 и 8. Найдите площадь большего треугольника, если площадь меньшего треугольника равна 125. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Любое положительное число можно считать коэффициентом подобия двух данных фигур. 2) Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 3) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 4) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, то треугольники подобны. 5) Любые два квадрата подобны. Часть 3 8. Докажите, что треугольники АВС и AiBiCi подобны, если АВ АС BD ог. о ------=------=-------, где BD и BiDi — медианы треугольников. AiBi AiCi BiDi 9. Биссектрисы AD и BE треугольника ABC пересекаются в точке О. Найдите отношение ОЕ : ОВ, если АВ = 10 см, ВС = б см, АС = 14 см. 76 Окружность Часть 4. Окружность 4.1. Работа JV® 1 Взаимное расположение окружности и прямой Вариант 1 1. Продолжите предложения, а) Окружностью называют б) Диаметром называют в) Если расстояние от прямой до центра окружности больше радиуса 2. Соотнесите названия и обозначенные элементы (см. рис. 69). \)АВ А) радиус 2) ОН Б) дуга 3)CD В)касательная 4)МР Г) хорда А Б В Г 3. Постройте 2 окружности с общим центром, радиусы которых равны R = 2 см, г = 1,5 см. Проведите 4 касательные к окружностям из точки А, лежащей вне окружностей. Размер клетки принять за 0,5 см. Окружность 77 4. В окружности с центром О и радиусом R проведена хорда ЛВ. Расстояние ОН от центра до хорды увеличилось с 2 до 3. На сколько уменьшилась длина хорды, если R = 5? Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложения, а) Радиусом называют_____ б) Хордой называют в) Если расстояние от прямой до центра окружности меньше радиуса 78_____________________________________________________ 2. Соотнесите названия и обозначенные элементы (см. рис. 71). Окружность \)HN А)хорда 2)РМ Б)касательная 3)КТ В) секущая 4)TF Г) диаметр(хорда) 5)AF Д) дуга А Б В Г Д 3. Постройте 2 окружности с общим центром с радиусами R = 2,5 см, г = 2 см. Проведите 4 касательные к окружностям из точки Л, лежащей вне окружностей. Размер клетки принять за 0,5 см. 4. В окружности с центром О и радиусом R проведена хорда АВ (см. рис. 72). Расстояние ОН от центра до хорды увеличилось с 6 до 9. На сколько умень-щилась длина хорды, если R = 10? Окружность Решение. Ответ: 4.2. Работа № 2 Касательная к окружности 79 Вариант 1 1. Продолжите предложение. Касательная перпендикулярна________ 2. К окружности с центром О проведены касательные АС и АВ, О В и ОС радиусы, ОВ = 3, АВ = 4 (см. рис. 73). Запишите величины: ОС =_____, АС = 80 Окружность о А =___, АОВА =______. 3. Постройте окружность, возьмите точку В вне окружности, проведите касательные к окружности из точки В и измерьте радиус, отрезки касательных и расстояние от центра окружности до точки В. Проверьте, выполняется ли теорема Пифагора. 4. Окружности касаются в точке А (см. рис. 74), 0\А = 5, 02^1 = 2. Проведите общую касательную через точку А. Найдите Z0i^02 = ., О1О2 —. 5. К двум окружностям, касающимся внещним образом, проведена общая касательная (см. рис. 75). Найдите расстояние между точками касания и площадь О1О2ВА, если радиусы окружностей R = Ь см, г = 2 см. Запищите рещение. Окружность Решение. 81 Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложение. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, 2. К окружности с центром О проведены касательные АС и АВ, О — центр окружности, ОВ и ОС — радиусы, АО = 25, АС = 24 (см. рис. 76). Запишите величины: АВ =_____, ОВ = ОС = ZOCA = 3. Постройте окружность, возьмите точку В вне окружности, проведите касательные к окружности и измерьте радиус, отрезки касательных и расстояние от центра окружности до точки В. Проверьте, выполняется ли теорема Пифагора. 82 Окружность 4. Окружности касаются в точке А (см. рис. 77), OiA = 5, О2А = 2. Проведите общую касательную через точку А. Найдите Z.O1AO2 —_ О1О2 —_ 5. К двум окружностям, касающимся внещним образом, проведена общая касательная (см. рис. 78). Найдите расстояние между точками касания и площадь О1МРО2, если радиусы окружностей R = S см, г = 3 см. Запищите рещение. Решение, Ответ: Окружность 83 4.3. Работа №3 Вписанный угол Вариант 1 1. Продолжите предложения, а) Центральный угол — это б) Угол между касательной и хордой равен 2. Постройте окружность, обозначьте её центр О и постройте вписанный и центральный углы, опирающиеся на дугу АВ. 3. Используя чертежи (см. рис. 79), запишите указанные величины дуг и углов (О — центр окружности). Рис. 79. X =_ 2/=- т =_ Z = 4. Дана окружность с центром в точке О, AN — касательная, СВ и С А — хорды. Известно, что АС = 100°, АВ ВС — 2:3. Дуги АВ и ВС меньше полуокружности. Найдите /.CAN, ^ АВ, ^ СВ, /АОВ, /АСВ, /СВО (см. рис. 80). 84 Запишите решение. Решение. Ответ: Окружность 1. Продолжите предложения, а) Вписанный угол — это Вариант 2 б) Вписанный угол равен 2. Постройте окружность, обозначьте её центр О и постройте вписанный и центральный углы, опирающиеся на дугу МР. 3. Используя чертежи (см. рис. 81), запиши указанные величины (О окружности). X =____, У =____> центр Окружность 85 т =_ Z = 4. Дана окружность с центром в точке О, AN — касательная, СВ и С А — хорды. Известно, что ^ АС = 120°, ^ СВ ; В А = 5:3. Дуги СВ и В А меньше 180°. Найдите ААОС, ZABC, /.CAN, /ВАС, градусную меру дуг АВ и ВС. Запишите решение. Решение. Ответ: 86 Окружность 4.4. Работа №4 Теорема о хордах. Свойство касательной и секущих, проведённых к окружности из одной точки Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Если хорды пересекаются, то произведение длин б) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то_________________________________________________________________ 2. АВ и CD — хорды окружности (см. рис. 83). АК=7, ВК=А, DK^S. Найдите СК. Запишите решение. АК•КВ= СК = Решение. В Рис. 83. 3. Из точки А проведены касательная и две секущих. Используя данные, приведённые на рисунке 84, запишите свойство касательной и секущих, проведённых из одной точки. Окружность 87 АС • AQ =_ Найдите АВ и AD, если АС = 7, CQ = 9, DE = 8. Запишите решение. Решение. Ответ: 4. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены две секущие, одна из которых проходит через центр окружности О, а другая пересекает окружность в точках А W В. Найдите радиус окружности, если ОМ = 58, МА = 36, АВ = 13. Возможен ли второй случай? 88 Окружность Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Если хорды пересекаются, то произведение длин б) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то_________________________________________________________________ 2. AM и CD — хорды окружности (см. рис. 85). СР = 3, РА = 9, PD = 8. Найдите МР. Запишите решение. Решение. МР • РА =_ МР = Окружность 89 3. Из точки А проведены касательная и две секущих. Используя данные, приведённые на рисунке 86, запишите свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки. ВС BD = Найдите АВ и DC, если MN = 8, NB = 3, ВС = 2. Запишите решение. Решение. Ответ: 4. Из точки М, расположенной вне окружности, проведены две секущие, одна из которых проходит через центр окружности О, а другая пересекает окружность в точках С и D. Найдите радиус окружности, если ОМ=25, МС=16, CD=9. Возможен ли второй случай? 90 Окружность Решение. Ответ: 4.5. Работа № 5 Вписанная окружность. Свойства биссектрисы угла Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Многоугольник называется вписанным в окружность, если б) Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла в) Центром вписанной окружности треугольника является г) Если окружность вписана в четырёхугольник, то сумма 2. Лучи АВ и АС касаются окружности с радиусом i? = 5 и центром О в точках В wC (см. рис. 87), /Л = 60°. Найдите АС и АО. Запишите решение. Окружность Решение. 91 Ответ: 3. Пользуясь формулой для площади описанного многоугольника S = Р • г где Р — периметр, а г — радиус вписанной окружности, найдите г, если длины сторон равнобедренного треугольника АВС приведены на рисунке 88. Решение. Ответ: 4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 20 см. Найдите периметр этого четырёхугольника. Р = _, так как 5. Найдите радиус г окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1 (см. рис. 89). Запишите решение. 92 Окружность Рис. 89. Решение. Ответ: 6. Периметр четырёхугольника, описанного вокруг окружности, равен 36, две его стороны — 8 и 12 (см. рис. 90). Найдите большую из оставшихся сторон. Запишите решение. Решение. Ответ: Окружность Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Многоугольник называется описанным около окружности, если 93 б) Все биссектрисы треугольника пересекаются в) Центром вписанной окружности треугольника является г) Если окружность вписана в четырёхугольник, то сумма 2. Лучи АВ и АР касаются окружности с радиусом R = 1 w центром О в точках BwP (см. рис. 91), Z.A = 90°. Найдите АР и АО. Запишите решение. Решение. Ответ: 3. Пользуясь формулой для площади описанного многоугольника S = Р • г где Р — периметр, а г — радиус вписанной окружности, найдите г, если длины сторон равнобедренного треугольника АВС приведены на рисунке 92. 94 Решение. Окружность Ответ: 4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 5 дм. Найдите периметр этого четырёхугольника (в дм). Р =_______________, так как______________________________________ 5. Найдите радиус г окружности, вписанной в треугольник АВС, если стороны квадратных клеток равны 1 (см. рис. 93). Запишите решение. Решение. Ответ: Окружность 95 6. Периметр прямоугольной трапеции, описанной вокруг окружности, равен 33, её большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус окружности. Запишите решение. Решение. Ответ: 4.6. Работа №6 Описанная окружность. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку Вариант 1 1. Продолжите предложения. а) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку б) Окружность называется описанной около многоугольника, если в) Центр описанной окружности треугольника лежит г) В любом вписанном четырёхугольнике 2. Пользуясь данными рисунка 95, запишите значения углов. 96 Окружность /л ZD = 3. Точки Т, К, N и Р лежат на окружности, ТК 1. NP, NK = КР. Запишите, чему равны указанные величины, если TN = 10, NK = 5. РТ =_____, ТК = 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если сторона квадратной клетки равна 1 (см. рис. 96). Запишите решение. Решение. Ответ: 5. Углы A,BwC четырёхугольника ABCD относятся как 4:3:5. Найдите угол D, если около данного четырёхугольника можно описать окружность. Запишите решение. Окружность 97 Дано: Найти: Решение. Ответ: Вариант 2 1. Продолжите предложения. а) Если точка равноудалена от концов отрезка, то она б) Многоугольник называется вписанным в окружность, если в) Центр описанной окружности треугольника лежит г) Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то _ 2. Пользуясь данными рисунка 97, запишите значения углов. Р 98 Окружность ZM =_ ZP = 3. AB _L NP, NB = BP. Запишите, чему равны указанные величины, если AN = 2, АВ = 5, а точки А, В, N и Р лежат на одной окружности. АР = ВР = 4. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если сторона квадратной клетки равна 1 (см. рис. 98). Запишите решение. Решение. Ответ: 5. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус окружности, описанной вокруг данной трапеции. Запишите решение. Окружность 99 Дано: Найти: Решение. Ответ: 100 Итоговая работа по теме «Окружность» Итоговая работа по теме «Окружность» Вариант 1 Часть 1 1. Радиус окружности равен 4. Найдите диаметр окружности. 1)8 2) 16 3)2 4) другой ответ 2. Найдите длину окружности, если радиус окружности равен 1,5. 1) 2тг 2) бтг 3) Зтг 4) другой ответ 3. Найдите величину вписанного угла окружности, если он опирается на ту же дугу окружности, что и центральный угол, равный 150°. 1)100° 2)150° 3)75° 4) другой ответ 4. Найдите периметр описанного четырёхугольника, у которого сумма противоположных сторон равна 14 см. 1)28 см 2)14 см 3)56 см 4) 7 см 5. Найдите градусную меру центрального угла окружности, если соответству- 1 ющая ему дуга составляет - часть дуги всей окружности. 1)100° 2)180° 3)90° 4) 150^ Часть 2 6. Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороной 8. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Длина окружности радиуса R равна 2ttR. 2) Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 360°, то около него можно описать окружность. 3) В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружности совпадают. 4) Площадь круга равна 5) Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. Итоговая работа по теме «Окружность» 101 Часть 3 8. Радиус О А окружности с центром О делит хорду CD пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку Д, параллельна хорде CD. 9. Диаметр АВ окружности перпендикулярен хорде CD и пересекает её в точке М. Найдите CD, если AM = 5, МВ = 9. Вариант 2 Часть 1 1. Радиус окружности равен 12. Найдите диаметр окружности. 1)28 2)6 3) 24 4) другой ответ 2. Найдите длину окружности, если радиус окружности равен 5. 1) 20тг 2) Ютг 3) 2тг 4) другой ответ 3. Найдите величину вписанного угла окружности, если дуга, на которую он опирается, равна 102°. 1) 102° 2) 51° 3) 34° 4) другой ответ 4. Вычислите градусную меру вписанного угла, который опирается на полуокружность. 1) 60° 2) 90° 3) 180° 4) другой ответ 5. Найдите величину центрального угла окружности, если соответствующая ему дуга равна 52°. 1)52° 2)26° 3)154° 4)308° Часть 2 6. Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороной 12. 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Окружности касаются, если они имеют более одной общей точки. 2) Длина окружности радиуса R равна 27tR. 3) Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося. 4) Около квадрата можно описать окружность. 5) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, не равны. 102 Итоговая работа по теме «Окружность» Часть 3 8. Расстояние отточки Л до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности. 9. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной около трапеции окружности. Вариант 3 Часть 1 1. Найдите радиус окружности, если окружность вписана в квадрат со стороной, равной 11. 1)11 2)22 3)5,5 4)32 2. Найдите градусную меру вписанного угла, который опирается на диаметр окружности. 1)45° 2)90° 3)180° 4)60° 3. Радиус окружности равен 6. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности. 1)15 2) 18 3) 12 4)8 4. Найдите градусную меру центрального угла, если соответствующая ему ду- 2 га составляет - дуги окружности. 9 1)40° 2)80° 3)180° 4)315° 5. Найдите градусную меру вписанного угла, если он опирается на дугу, кото- рая составляет - дуги окружности. 9 1) 200^ 2)180° 3)150^ Часть 2 4) 100^ 6. Найдите радиус окружности, если две хорды длиной 6 и 8 имеют общую точку, принадлежащую окружности, а два другие конца этих хорд являются концами диаметра. Итоговая работа по теме «Окружность» 103 7. Укажите номера верных утверждений. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. 2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. 3) Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки, равны. 4) Если расстояние от центра окружности до прямой больще радиуса, то эта прямая является касательной. 5) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Часть 3 8. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны. 9. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите AM, если СМ = 3, MD = 12, МВ = 9. 104 Работы на построение Работы на построение /. Построение биссектрисы угла (см. рис 99). 1) Строим окружность с центром в вершине угла и отмечаем точки пересечения со сторонами угла — точки Aw В. 2) Строим две окружности равного радиуса с центрами в точках Aw В, отмечаем их точку пересечения М. Если окружности не пересеклись, увеличиваем радиус. 3) Соединяем лучом вершину угла с точкой М. Этот луч ОМ — биссектриса. Задание: Для каждого угла проведите биссектрисы с помощью циркуля и линейки (см. рис. 100). О В Рис. 100. Задание: Для каждого треугольника на рисунке 102 постройте биссектрисы всех углов, как показано на рисунке 101. Работы на построение 105 2. Построение перпендикуляра из данной точки к прямой (см. рис. 103). 1) Строим окружность с центром в точке М, пересекающую прямую а в точках Aw В. 2) Строим окружности такого же радиуса с центрами в точках Aw В, они пересекутся в точках М w Р. 3) Проводим МР, МР ± АВ. 106 Работы на построение 3. Построение вписанной окружности в ААВС (см. рис. 104). 1) 2) С С В в Рис. 104. 1) Проводим биссектрисы двух углов треугольника и находим их точку пересечения — точку О. 2) Через точку О проводим перпендикуляр к любой стороне треугольника (например, к СВ). ОМ ± СВ. 3) Проводим окружность радиуса ОМ с центром в точке О. Задание: На рисунке 105 впишите окружность в треугольник. С В Работы на построение 107 4, Построение серединного перпендикуляра к отрезку (см. рис. 106). 1) Строим две окружности равного радиуса с центрами в точках Aw В , отмечаем их точки пересечения. 2) Соединяем точки М и Р. Прямая МР — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Задание: Постройте серединные перпендикуляры к отрезкам МК и PC (см. рис. 107). м К Рис. 107. Задание: В А АВС проведите серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС (см. рис. 108). 5. Построение описанной окружности. Для каждого треугольника, изображенного на рисунке 109, проведите серединные перпендикуляры к сторонам. 108 Работы на построение В С Точка их пересечения — центр описанной окружности (рассмотрите пример на рисунке 110). Задание: На рисунке 109 для каждого треугольника проведите описанные окружности. Работы на построение 109 Ответьте на вопрос. Где расположен центр описанной окружности 1) в остроугольном треугольнике? Ответ:_______________ 2) в прямоугольном треугольнике? Ответ:_______________ 3) в тупоугольном треугольнике? Ответ:____________ по Итоговая работа для промежуточной аттестации Итоговая работа для промежуточной аттестации за 8 класс Вариант 1 1. Периметр параллелограмма равен 32 см. Найдите стороны параллелограмма (в см), если известно, что одна сторона в 3 раза больше другой (см. рис. 112). Ответ:_______________ 2. Дан параллелограмм ABCD, на сторонах выбраны точки М, N, Р, Q таким образом, что каждая из них лежит в середине соответствующей стороны. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом. 3. Один из углов равнобедренной трапеции равен 127° (см. рис. 114). Найдите остальные углы трапеции (в градусах). Ответ:_______________ 4. Найдите сторону квадрата (в см), площадь которого равна площади ромба со стороной 10 см и острым углом 30°. Ответ:_______________ 5. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 12. Ответ: 6. Найдите периметр треугольника MNP, если его вершины являются серединами сторон треугольника АВС со сторонами 8, 12,14. Ответ:_______________ 7. В равнобедренном треугольнике АВС проведен отрезок, параллельный основанию АС и проходящий через середину боковой стороны АВ. Найдите высоту В К треугольника BMN, если высота ВН треугольника АВС равна 18 (см. рис. 118). Ответ:_______________ 8. В прямоугольном треугольнике АВС {сы. рис. 119) с гипотенузой АВ, равной 22, и углом /.ВАС = 30°. Найдите катет ВС. Ответ: Итоговая работа для промежуточной аттестации 111 9. В окружности с центром О проведены два диаметра АВ и CD (см. рис. 120). Известно, что их общая длина составляет 40 и угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника АОС. Ответ:________________ 10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности (в см). Ответ: Вариант 2 1. Найдите периметр параллелограмма (в см), если одна из его сторон 8 см, а другая — на 13 см больше. Ответ:_______________ 2. Диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Найдите периметр (в см) четырёхугольника, если его диагонали равны б см и 8 см. Ответ:_______________ 3. В трапеции ABCD угол А равен 43°, а угол С равен 157°. Найдите остальные углы трапеции. Ответ:_______________ 4. Найдите площадь прямоугольника (в см^), если одна из его сторон 15 см, а другая в 3 раза меньше. Ответ: _____ 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8. Найдите катет этого треугольника, который лежит против угла 60°. Ответ:________________ 6. Дан треугольник со сторонами б см, 9 см и 13 см. Найдите периметр треугольника (в см), вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Ответ:________________ 7. Стороны треугольника АВС имеют длины 5, 7 и 9. Подобен ли треугольник АВС треугольнику MNP, если длины его сторон равны 15, 21, 27? Ответ: _____ 112 Итоговая работа для промежуточной аттестации 8. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С гипотенуза АВ равна 8\/3, а угол В равен 60°. Найдите катет АС. Ответ:_______________ 9. Отрезки АВ и CD — хорды данной окружности, стягивающие дуги в 240° и 180° соответственно (см. рис. 111). Найдите градусную меру угла BAD, если ZADC = 15°. Ответ: 10. В прямоугольнике меньшая сторона равна 8 см, угол, который образует его диагональ с большей стороной, равен 30°. Найдите радиус окружности (в см), описанной вокруг этого прямоугольника. Ответ: Вариант 3 1. В параллелограмме одна сторона на 5 см больше другой, периметр параллелограмма равен 34 см. Найдите стороны параллелограмма (в см). Ответ:_______________ 2. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12, AF:FD=:4:3. Ответ:_______________ 3. Один из углов ромба равен 60°. Найдите градусную меру угла, который образует меньшая из диагоналей со сторонами ромба. Ответ:_______________ 4. Найдите площадь треугольника (в см^), если его основание равно 15 см, а высота, проведённая к нему, — 8 см. Ответ: Итоговая работа для промежуточной аттестации 113 5. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4. Ответ:_______________ 6. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от большей стороны на 6 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника (в см). Ответ:_______________ 7. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка F так, что ZBAF = ААСВ. Известно, что BF = 4, FC — 5. Найдите длину АВ. Ответ:_______________ 8. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С cos А А = катет АС = 6. Найдите гипотенузу АВ. Ответ:_______________ 9. Найдите длину (в см) наибольшей хорды окружности, если её радиус равен 13 см. Ответ:_______________ 10. Равнобедренный треугольник вписан в окружность. Угол при вершине опирается на дугу описанной вокруг него окружности в 200°. Найдите все углы треугольника. Ответ: Вариант 4 1. Найдите периметр параллелограмма (в см), если его стороны равны 5 см и 80 мм. Ответ:______________ 2. В четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны. Найдите острый угол четырёхугольника (в градусах), если его диагональ образует со сторонами углы в 45° и 95°. Ответ:______________ 3. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции (в см), если её основания равны 5 см и 10 см, а один из углов равен 45°. Ответ:______________ 114 Итоговая работа для промежуточной аттестации 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника (в cм^), если его катеты равны 7 см и 12 см. Ответ:_______________ 5. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 5. Найдите гипотенузу. Ответ:_______________ 6. Стороны равносторонних треугольников равны 11 см и 13 см. Найдите отношение их площадей. Ответ:_______________ 7. В параллелограмме ABCD точка М является серединой АВ. Найдите длину стороны ВС, если МО — 18, где точка О — точка пересечения диагоналей. Ответ:_______________ 8. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АС равна 20, а катет АВ — 16. Найдите cos АС. Ответ:_______________ 9. В окружности радиус на 15 см меньше диаметра. Найдите радиус окружности (в см). Ответ:_______________ 10. Найдите сторону правильного шестиугольника (в см), если радиус описанной окружности равен 8 см. Ответ: Вариант 5 1. Найдите градусную меру углов В, С w D параллелограмма ABCD, если /Л - 55°. Ответ:______________ 2. В четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, а угол между смежными сторонами равен 87°. Найдите остальные углы четырёхугольника (в градусах). Ответ:______________ 3. Основания прямоугольной трапеции равны 4 см и 7 см, один из углов равен 60°. Найдите большую боковую сторону трапеции (в см). Ответ: Итоговая работа для промежуточной аттестации 115 4. Найдите площадь параллелограмма (в см^), если его диагональ, равная 8 см, перпендикулярна к стороне, равной 14 см. Ответ:_______________ 5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, один из катетов равен 6. Найдите второй катет. Ответ:_______________ 6. Площадь ббльщего треугольника равна 54 см^. Найдите площадь мень-щего треугольника (в см^), ему подобного, если сходственные стороны треугольников равны 9 см и б см соответственно. Ответ:_______________ 7. Подобны ли треугольники, если их стороны имеют длины 4, 8, 8 и 2, 2,1? Ответ:_______________ 8. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен б. Косинус прилежащего к нему угла равен i. Найдите гипотенузу. Ответ: 9. В окружности хорда удалена от центра на расстояние б см. Найдите радиус окружности (в см), если длина хорды равна 16 см. Ответ:_______________ 10. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, если стороны прямоугольника равны б и 8. Ответ: Вариант 6 1. Найдите градусную меру углов параллелограмма, если смежный угол к одному из его внутренних равен 46°. Ответ:_______________ 2. В четырёхугольнике противоположные углы попарно равны. Найдите градусную меру тупого угла четырёхугольника, если острый угол равен 37°. Ответ:_______________ 3. Один из углов равнобедренной трапеции равен 46°. Найдите остальные углы трапеции (в градусах). Ответ: 116 Итоговая работа для промежуточной аттестации 4. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна 0,8 см. Ответ выразите в квадратных сантиметрах. Ответ:________________ 5. В прямоугольном треугольнике известны катеты а = 7,Ь = 6\/2. Найдите гипотенузу. Ответ: 6. В треугольнике АВС медианы AM и BD пересекаются в точке N. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника DCM равна 10. Ответ:_______________ 7. Найдите площадь треугольника ACD, если CD — высота в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С и известно, что АС = 20, ВС — 15. Ответ:_______________ 8. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза равна 12, а синус угла А 2 равен -. Найдите катет, противолежащий углу А. 3 Ответ: 9. В окружности с центром О и радиусом 8 найдите хорду АВ, если ААОВ = 90°. Ответ:_______________ 10. В описанном четырёхугольнике ABCD сумма двух противоположных сторон равна 12 см. Найдите периметр этого четырёхугольника (в см). Ответ: Вариант 7 1. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 30, а две стороны относятся как 2 : 3. Ответ:______________ 2. Один из углов параллелограмма ABCD равен 30°. Диагональ BD перпендикулярна стороне AD и равна 12. Найдите сторону AD. Ответ:______________ 3. В трапеции одно из оснований равно 15, а средняя линия трапеции равна 27. Найдите другое основание трапеции. Ответ: Итоговая работа для промежуточной аттестации 117 4. Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным 10, и боковой стороной, равной 13. Ответ;________________ 5. В треугольнике сумма двух углов равна 90°. Найдите длину большей стороны, если две меньшие стороны равны б и 8. Ответ:________________ 6. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь подобного ему треугольника равна 32, а сторона ВС в 3 раза больше сходственной стороны NP. Ответ:________________ 7. В треугольнике АВС стороны равны 21,12,15. Большую из них поделили на 3 равных отрезка и через их концы провели прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите меньший из полученных отрезков. Ответ:________________ 8. В прямоугольном треугольнике синус одного из углов равен 0,4, а катет, противолежащий этому углу, равен 12. Найдите длину второго катета. Ответ:________________ 9. Через точку А, взятую вне окружности, проведена касательная АС, С — точка касания. Секущая AD пересекает окружность в точках В и D, AD > BD. Найдите AD, если АВ в 2 раза меньше BD, а АС = 3\/2. Ответ:________________ 10. В трапецию вписана окружность, сумма оснований трапеции равна 21, один из углов трапеции равен 45°, высота равна 3\/2. Найдите боковые стороны трапеции. Ответ: _______________ Вариант 8 1. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 24 см, а одна из сторон в 3 раза больше другой. Ответ дайте в сантиметрах. Ответ:______________ 2. Один из углов параллелограмма ABCD равен 45°. Диагональ BD перпендикулярна стороне AD и равна 8. Найдите сторону АВ. Ответ: 18 Итоговая работа для промежуточной аттестации 3. В трапеции одно из оснований равно 8, а средняя линия трапеции 18. Найдите другое основание трапеции. Ответ:________________ 4. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, а боковая сторона равна 17. Ответ:________________ 5. В треугольнике сумма двух углов равна 90°. Найдите длину третьей стороны, если большая сторона равна 20, а меньшая сторона равна 12. Ответ:________________ 6. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь подобного ему треугольника MNP равна 64, АВ = 12, MN = 3, ZC = АР. Ответ:________________ 7. В треугольнике АВС стороны равны 6, 8, 10. Больщую из сторон поделили на 5 равных отрезков и через их концы провели прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите меньший из полученных отрезков на сторонах треугольника. Ответ:________________ 8. В прямоугольном треугольнике косинус меньшего угла равен 0,8, больший катет равен 8 см. Найдите другой катет. Ответ дайте в сантиметрах. Ответ:________________ 9. Через точку А, взятую вне окружности, проведена касательная АС, С — точка касания. Секушая AD пересекает окружность в точках В и D, AD > BD. Найдите АС, если BD = 12 см, АВ = 3 см. Ответ дайте в сантиметрах. Ответ:________________ 10. В трапецию вписана окружность, сумма оснований трапеции равна 17, один из углов трапеции равен 30°, высота равна 5. Найдите боковые стороны трапеции. Ответ: Итоговая работа для промежуточной аттестации 119 Решение варианта 1 Pabcd = ‘2{АВ + ВС). Пусть АВ = х см, тогда ВС = Зх см. Рис. 112. Pabcd = 2(х + Зж) = 2 ■ Ах = Sx. Так как Pabcd - 32, то 8х = 32, х = 4. АВ = 4 см, ВС = 12 см. Ответ: 4; 12.___ 2. Проведём диагональ АС (см. рис. 113). MN — средняя линия ААВС. Она параллельна АС и MN = QP — средняя линия AACD, значит, QP || АС и QP = -АС. Получаем 2 MN II QP и MN = QP => MNPQ — параллелограмм, так как это четырёхугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны. 3. По условию один из углов равнобедренной трапеции равен 127°. Допустим, это ZBCD, тогда ZABC = /.BCD = 127° как углы при основании ВС равнобедренной трапеции. /ПАВ + /АВС = 180° (односторонние углы при ВС || AD и секущей АВ), /DAB = 180° - 127° = 53°. /ADC = /DAB = 53°. Ответ: 53; 127; 53. 120 Итоговая работа для промежуточной аттестации D Рис. 114. 4. Найдём площадь ромба ABCD. Проведём высоту ВН (см. рис. 115). В ААВН /.А = 30°, значит, ВН = катет, лежащий против угла в 30°. Sabcd = ad ■ ВН = ad ■ -АВ = АВ^ . 1 = • i = 50 (см^). 2 2 2 ‘S'KBaApaxa = а^, где а — сторона квадрата. = 50, а = 5\/2 (см). В ( Я D Рис. 115. Ответ: 5\/2. 5. Пусть АС = 5, СВ = 12 (см. рис. 116). По теореме Пифагора АВ^ = АС^ + СВ^, АВ^ = 25 + 144, АВ^ = 169, АВ = 13. Ответ: 13. 6. Pmnp = MN МР + NP. Точки М, N w Р — середины сторон А АВС, значит, MN, PN и МР — средние линии ААВС (см. рис. 117). Pmnp = \аС + ~ВС + -АВ = -(8 + 12 + 14) = i • 34 = 17. 2 2 2 2 2 Ответ: 17. Итоговая работа для промежуточной аттестации 121 В Рис. 117. 7. MN II АС, AM = МВ, следовательно, BN = NC по теореме Фалеса. AMBN ~ ААВСпо второму признаку подобия ^ АВ ВС 2 /.В — общий ^. В Рис. 118. Высоты подобных треугольников относятся друг к другу как сход- ВК ^ 1 2’ ственные стороны соответствующих треугольников, отсюда ВН ВК = -ВН, ВК = - 18 = 9. 2 2 Ответ: 9. АВ 22 8. ВС =---как катет, противолежащий углу в 30°. ВС = — = 11. 2 2 Ответ: 11. 9. Заметим, что АВ и CD — диаметры окружностей, а значит, АВ = CD, АВ + CD = 40, АВ = 20, О А = 10 (радиус окружности). В ААОС АО = ОС как радиусы, Z.AOC = 60°, Z.ACO = /.САО, ААСО + АС АО = 180° - 60° = 120°, ААСО = АС АО = 60°. Значит, ААОС — равносторонний, ОС = О А = С А. 122 Итоговая работа для промежуточной аттестации Раос — 3 • О А ~ 30. Ответ: 30. 10. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы (см. рис. 121). Следовательно, радиус описанной 20 окружности R= — = 10 (см). Ответ: 10. Справочник 123 Справочник Многоугольник Замкнутая ломаная без самопересечений называется многоугольником. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым. На рисунке многоугольник Fi — выпуклый, многоугольник F2 — невыпуклый. Сумма углов выпуклого многоугольника равна (п—2) • 180°, где п — число сторон многоугольника. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. ABCD — выпуклый четырёхугольник. /.А + АВ ZC + Z£> = 360°. В С Параллелограмм Определение. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. АВ II CD и ВС II AD ABCD — параллелограмм. В __________,с Свойства параллелограмма 1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, сумма смежных углов равна 180°. В____.______.С = AD ZA А ZB = 180°, ABCD — параллелограмм АВ АВА АС = 180°, ZA = ZC, АВ = AD. 124 Справочник 2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. В___________ О D ABCD — параллелограмм. АС и BD — диагонали, точка О — точка пересечения диагоналей АО = ОС и ВО = OD. 3°. В параллелограмме биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник. В . М с ABCD — параллелограмм. AM — биссектриса ZA =Ф АВ = ВМ. Признаки параллелограмма 1°. Если в четырёхугольнике две стороны равны и [шраллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. ABCD — четырёхугольник, АВ = CD. АВ II CD ABCD — параллелограмм . 2°. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. ABCD — четырёхугольник, АВ = CD, ВС — AD ABCD — параллелограмм. В О D С 3°. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. ABCD — четырёхугольник, АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей, АО — ОС, ВО = OD ABCD — параллелограмм. Трапеция Определение. Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Справочник 125 трапеция 1°. В трапеции сумма углов при боковой стороне равна 180°. ABCD — трапеция /.А + /.В = 180°, Z.C + ZD = 180°. С 2°. В трапеции средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им. ABCD — трапеция, МР — средняя линия => МР || ВС || AD, МР = 2 С 3°. в равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны. ABCD — трапеция, BA = CD=^ ZB = ZC; /LA = /LD, АС = BD. D Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. 126 Справочник Свойство прямоугольника Диагонали прямоугольника равны. ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали, АС — BD, ВО = OD = ОС—АО. Признак прямоугольника Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. ABCD — параллелограмм, АС и BD — диагонали, АС = BD ABCD — прямоугольник. с D Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойство ромба Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. ABCD—ромб, АС и BD—диагонали AC±BD, ZABD = ZCDB, ZBCA = ZDCA, ZCDB = ZADB, ZD АС = ZB АС . Квадрат Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Основные свойства квадрата 1°. Все углы квадрата прямые. ABCD— квадрат ZA ^ ZB = ZC = ZD = 90°. Справочник 127 2°. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. ABCD — квадрат, АС и BD — диагонали => AC±BD, Z.ABD = Z.CDB = = АВС А = ADC А = ACBD = AADB = ADAC = ABAC = 45°. Свойства площадей 1°. Равные фигуры имеют равные площади. 2°. Если фигура состоит из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Формулы площади квадрат 8 = 0? а.. 3 □ 3 [I прямоугольник S = ab □ L □ С параллелограмм S = aha = bhb трапеция S = i±^.h 128 Справочник 1°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 2°. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. 3°. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию. 4°. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. 5°. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 6°. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. 7°. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. 8°. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Прямоугольный треугольник Z.C = 90°, СВ и АС —катеты, В А —гипотенуза. Свойства прямоугольного треугольника 1°. Сумма острых углов равна 90°. 2°. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту. Справочник 129 /\АВС, АС = 90°, CD —высота ==^СВСА = ВА-CD. 3°. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. ААВС, ВА^ = СВ^ + АС^. 4°. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. ААВС, СВ^ + АС^ = ВА^ АС = 90°. 5°. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. ААВС, АС = 90°, CDABA AACD ~ ACBD\ AACD ~ ААВС; ABCD ~ ABAC. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Определение. Отрезки, на которые высота, проведённая из прямого угла, делит гипотенузу, называются проекциями катетов на гипотенузу. С А АВС, АС = 90°, С DAB А BD и DA — проекции катетов на гипотенузу. Определение, х называется средним геометрическим (или средним пропорциональным) чисел у и Z, если х^' = yz. 1°. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. ААВС, АС = 90°, CDABA => CD^ = DB • AD. 2°. Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ААВС, АС = 90°, CD — высота АС^ = АВ • AD. 130 Справочник Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. ВС ААВС, /С = 90°, sin Л- АВ Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. СА А АВС, ZC = 90°, cos А = АВ Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему. ВС ААВС, /C = 90°,tgA = С А Основное тригонометрическое тождество sin^ А + cos^ А = Подобие Пропорциональные отрезки Определение. Отрезки называют пропорциональными, если отношения их длин АВ С Г) равны. Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам МР и ТК, если 1°. Биссектриса угла треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. ААВС, АС — биссектриса АВ AD ВС CD 2°. Медианы треугольников пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Справочник 131 В 2 Г 3°. Параллельные прямые высекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. ■ " ----- “ АС CCi С1С2 4°. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки. АВ II A\Bi II А2В2', АА\ = А1А2 ВВ\ = В1В2. Подобные треугольники Определение. Треугольники называют подобными, если их углы равны, а стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны. С В, 132 Справочник ЛЛБС- ЛЛ1Б1С1 <^ZA = ZAi,ZB = Z5bZC = ZC'i, АВ АС ВС А\В\ А\С\ В\С\ Определение. Отношение сторон, лежащих против равных углов, называют коэффициентом подобия. АВ ААВС ^ AAiBiCu = к. AiBi Свойства подобных треугольников 1°. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подо- бия. ААВС -- AAiBiCi, АВ = к Равс = к. A\Bi PAiDiCi 2°. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. АВ = к Sabc = к\ A\Bi SaiB^Ci 3°. Отношение высот, медиан, биссектрис подобных треугольников, проведённых из равных углов, равно коэффициенту подобия. Признаки подобия треугольников 1°. Если два угла треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны. ZA = ZAi, /.В = ZBi => ААВС ~ AAiBiCi. С Cl в 2°. Если стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. ААВС ~ AAiBiCi. AiBi BiCi AiCi 3°. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны. АВ АС AiBi А\С\ ; /Л = Z^i => ААВС ~ ЛЛ1В1С1 . Справочник 133 Окружность Окружность — это множество точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки (центра). Определение. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется радиусом. Два радиуса, лежащие на одной прямой, образуют диаметр. Дана окружность с центром в точке О. ОВ = О А = ОС = R — радиусы, С А — диаметр. Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной. МК — касательная. Определение. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. ВС — секущая. Свойства касательных и секущих 1°. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. 2°. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Окружность с центром О, М — точка касания =Ф ОМ = R, ОМ _L МК. 3°. Если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец этого радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной. 134 Справочник Окружность с центром О, ОМ — радиус, МК 1. ОМ => МК касательная. 4°. Расстояние от центра окружности до секущей меньше радиуса. Окружность с центром О, R — радиус, АВ — секущая, ОН _L АВ ОН < R. 5°. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то эта прямая — секущая. Если расстояние больше радиуса, то эта прямая не имеет с окружностью обшлх точек. 6°. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности и эту общую точку. Окружность с центром О, МР и МК — касательные, К w Р — точки касания МР = МК, Z1 = Z2, 0Р2 + РМ2 = ОМ2. 7°. Если касательная пересекается с секущей, то квадрат отрезка касательной равен произведению расстояний от общей точки до точек пересечения секущей с окружностью. Окружность с центром О, МК — секущая, МР — касательная, Р — точка касания МР2 = МК • MKi. М 8°. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно. Справочник Секущие МР и МК =» МР • MPi = МК • MKi. 135 М Определение. Хорда — это отрезок, концы которого лежат на окружности. АВ — хорда, АВ — дуга. сти. Определение. Дуга — это часть окружности, соединяющая две точки окружно-Свойства хорд и дуг 1°. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягивающую её дугу попо- лам. Окружность с центром О, CD — диаметр, АВ — хорда, AB1.CD АК = КВ, W AD DB . 2°. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Окружность с центром в точке О, АВ — хорда, АВ ± CD, АВ П CD = К, АК = КВ^0£ CD. 3°. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны. АВ и CD — хорды. АВ || CD AC=BD. 136 Справочник 4°. Равные хорды стягивают равные дуги (верно и обратное утверждение). АВ и CD — хорды, АВ = CD AB=CD. 5°. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков хорд равны. CD, В А — хорды, К — точка их пересечения =ф С К • KD = АК ■ КВ. 6°. Общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, содержащей центры этих окружностей. Oi и О2 — центры окружностей. Aw В — точки их пересечения АВ ± О1О2. Справочник 137 Углы, связанные с окружностью Определение. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. О — центр окружности, /.АОВ — центральный угол, опирающийся на дугу ВС. Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Точки А, В, С лежат на окружности => ABAC — вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 1°. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. О — центр окружности. Aw В лежат на окружности. ААОВ АВ. 2°. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. ABAC = -2 ВС. 3°. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А, В, М, С лежат на окружности. ААВС = ААМС. 4°. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90' 138 Справочник 5°. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. 6°. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразно-сти дуг, высекаемых секущими на окружности. М ZM = АС - BD 7°. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. Справочник 139 Описанные и вписанные окружности Определение. Окружность называют вписанной (например, в угол, в треугольник, в многоугольник), если она касается всех его сторон. вписанные окружности Определение. Окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. описанные окружности Свойства 1°. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Окружность с центром О вписана в угол ВАС => ZBAO = /.САО. 2°. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис. С 140 Справочник В ААВС О — центр вписанной окружности => ВО, СО, АО — биссектрисы углов ААВС. 3°. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. С Окружность вписана в четырёхугольник ABCD =Ф AD -Ь ВС = АВ -Н DC. 4°. Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. ААВС вписан в окружность, О — центр. 5°. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы. С ААВС вписан в окружность, /.В = 90° АО = ОС = ОВ. О G АС. 6°. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают. Справочник 141 7°. Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180°. ABCD вписан в окружность ^ /.В 4- Z.D = /.А + Z.C = 180°. В 142 Ответы к итоговой работе для промежуточной аттестации Ответы к итоговым работам по темам Ответы к итоговой работе по теме «Многоугольники» JV* 1 2 3 4 5 6 7 9 1 1 1 4 4 2 10 135 3; 2;3 2 1 2 2 2 1 /л = 56°, АС = 136° 235 30 3 1 2 4 4 3 72° 15 ВС\ 12,4 Ответы к итоговой работе по теме «Площадь» № 1 2 3 4 5 6 7 9 1 4 3 1 1 2 56 135 43,2 2 3 2 1 2 2 14 135 81 3 1 2 1 1 4 12 1345 60 Ответы к итоговой работе по теме «Подобие» 1 2 3 4 5 6 7 9 1 2 2 3 1 3 9; 15 135 40 2 1 2 1 3 4 36; 51 134 75 3 2 1 1 1 3 156,25 235 0,875 Ответы к итоговой работе по теме «Окружность» № 1 2 3 4 5 6 7 9 1 1 3 3 1 2 8тг 135 6v/5 2 3 2 2 2 1 12тг 234 6 3 3 2 3 2 4 5 125 4 Ответы к итоговой работе для промежуточной аттестации № I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 58 20 137°; 23° 75 4^3 14 да 12 45 8 3 6; 11 66 60 60 2^3 12 6 12 26 100°; 40°; 40° 4 26 40 5 42 13 121:169 36 0,6 15 8 5 55; 125; 125 93; 87; 93 6 112 8 24 да 18 10 5 6 134; 46 143 134; 46; 134 0,64 11 40 96 8 8л/2 24 7 6; 9 39 60 10 288 4 6\/^ 3\/б 15 и 6 8 3;9 8^2 28 120 16 1024 1,2 6 3\/5 10 и 7 ГИА-9 Учебное издание Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова ГЕОМЕТРИЯ. 8 КЛАСС. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ. ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ. РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ Обложка А Вартанов Компьютерная верстка Г. Безуглова Корректор М. Федорова Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) Подписано в печать 24.09.2012. Формат 70x100 ^/jg. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уел. печ. л. 11,61. Доп. тираж 5000 экз. Заказ № 1480. Издательство ООО «Легион» включено в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования образовательных учреждениях. Приказ Минобрнауки России № 729 от 14.12.2009, зарегистрирован в Минюст России 15.01.2010 № 15987. ООО «ЛЕГИОН» Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550. Адрес редакции: 344011, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55. www.legionr.ru e-mail: [email protected] Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография» Филиал «Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1 Сайт: www.chpk.ru. E-mail: [email protected] факс 8(496) 726-54-10, тел. 8(495) 988-63-87