Геометрия 8 класс Рабочая тетрадь Атанасян

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ПУНКТАМИ УЧЕБНИКА И ЗАДАЧАМИ ТЕТРАДИ Номера пунктов учебника Тема Номера задач тетради 39, 40 Многоугольник. Выпуклый многоугольник 1—5 41 Четырехугольник 6, 7 42 Параллелограмм 8—14 43 Признаки параллелограмма 15 44 Трапеция 16—18 Задачи на построение 19, 20 45 Прямоугольник 21—23 46 Ромб и квадрат 24 47 Осевая и центральная симметрии 25, 26 48 Понятие площади многоугольника 27 49, 50 Площадь квадрата. Площадь прямоугольника 28—32 51 Площадь параллелограмма 33—35 52 Площадь треугольника 36—41 53 Площадь трапеции 42—44 54 Теорема Пифагора 45—48 55 Теорема, обратная теореме Пифагора 49, 50 56, 57 Пропорциональные отрезки. Определение подобных треуголь- НИКОВ 51—53 58 Отношение площадей подобных треугольников 54 59 Первый признак подобия треугольников 55—58 60 Второй признак подобия треугольников 59 61 Третий признак подобия треугольников 60 62 Средняя линия треугольника 61—65 63 Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 66—68 64 Практические приложения подобия треугольников 69, 70 66 Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного тре- угольника 71—73 67 Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° 74—77 68 Взаимное расположение прямой и окружности 78, 79 69 Касательная к окружности 80—84 70 Градусная мера дуги окружности 85, 86 71 Теорема о вписанном угле 87—94 72 Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку 95—102 73 Теорема о пересечении высот треугольника 103 74 Вписанная окружность 104—108 75 Описанная окружность 109—111 76, 77 Понятие вектора. Равенство векторов 112 78 Откладывание вектора от данной точки 113, 114 79 Сумма двух векторов 115, 116 80, 81 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов 117—121 82 Вычитание векторов 122—128 83 Произведение вектора на число 129—133 84 Применение векторов к решению задач 134 85 Средняя линия трапеции 135—137 ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций 16-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 Г36 6+ Л. С. Атанасян, Авторы: В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9» авторов Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова и др. и предназначена для организации решения задач учащимися на уроке после их ознакомления с новым учебным материалом. На этом этапе учащиеся делают первые шаги по осознанию нового материала, освоению основных действий с изучаемым материалом. Поэтому в тетрадь включены только базовые задачи, обеспечивающие необходимую репродуктивную деятельность в форме внешней речи. Наличие текстовых заготовок облегчает ученику выполнение действий в развернутой письменной форме, а учителю позволяет осуществлять во время урока оперативный контроль и коррекцию деятельности учащихся. Использование данной тетради для организации других видов деятельности (самостоятельных работ, повторения, контроля и т. д.) малоэффективно. Учебное издание Атанасян Левон Сергеевич Бутузов Валентин Федорович Глазков Юрий Александрович Юдина Ирина Игоревна ГЕОМЕТРИЯ Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т.А. Бурмистрова. Редактор Л. В. Кузнецова. Младший редактор Н.В. Ноговицына. Художники В. А. Андрианов, В. В. Костин, О.П. Богомолова. Художественный редактор О.П. Богомолова. Компьютерная верстка Е.А.Стрижевской, О. С. Ивановой. Технический редактор Е.Н. Зелянина. Корректор Н.Д. Цухай. Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 03.03.14. Формат TOxlOO'/ie. Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookCSanPin. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,27. Доп. тираж 70 000 экз. Заказ № 7714. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Тверской полиграфический комбинат» 170024, г. Тверь, пр-т. Ленина, д. 5, телефон; -1-7(482^44-43-60, факс; -ь7(4822)44-98-42. E-mail; [email protected]; [email protected] ISBN 978-5-09-031784-9 Издательство «Просвещение», 1999 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены Глава V Четырехугольники Многоугольники 1 На рисунках а — ж изображены фигуры, составленные из отрезков АВ, ВС, CD, DE, ЕА. Укажите, какие из них являются: а) многоугольниками; б) выпуклыми многоугольниками. Ответ. а) Фигуры, изображенные на рисунках____________ б) Многоугольники, изображенные на рисунках____ D R п В D Е А г) В D ж) Проведите все диагонали в многоугольниках, изображенных на рисунках а, б, и выпишите их. Ответ, а)__________; б)___________ ВС В D А Начертите выпуклый семиугольник и из какой-нибудь его вершины проведите все возможные диагонали. а) Сколько при этом образовалось треугольников? б) Найдите сумму углов семиугольника. Ответ. а) --- б) ______ Используя формулу для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника = 180°(/г - 2), найдите сумму углов выпуклого: а) одиннадцатиугольника: S,j = 180° •___=_______ б) двадцатидвухугольника: ^ 180° •____=_______ Ответ. а) ------°; б) ------ Найдите число сторон выпуклого многоугольника, каждый угол которого равен: а) 135°; б) 150°. Решение. а) Сумма всех углов выпуклого п-угольника, каждый угол которого равен 135°, равна 135° • п; с другой стороны, она равна (л - 2) • 180°. Таким образом, 135° • п = (п - 2) • 180°, или 135° • п = =180° • п - 360°, откуда 45° • л = 360°, л = 8. б) --------------------------------------------------- Ответ. а) л = 8; б) л =__ Найдите сторону ВС четырехугольника ABCD, если его периметр равен 22 см, сторона АВ на 2 см больше стороны ВС и на 2 см меньше каждой из сторон DA и CD. Решение. По условию ~ ^ 22 см, ВС = АВ - -________, CD = DA = AB +_______ Итак, 22 см = откуда АВ =______ , а ВС Ответ. ВС= Найдите углы В, С и D выпуклого четырехугольника ABCD, если ^А = ^В, ^C = ^DnA.A = 35°. Решение. Так как по условию z1A = ZBhZ.A = 35°, то Z А -Ь А В = 35° х X 2 = 70°. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна_°, поэтому А С -f А В =_-______=____ По условию А С = А В, значит, каждый из них равен __ Ответ. АВ =_______, А С =___, А В =____ Параллелограмм и трапеция 8 в параллелограмме ABCD найдите: а) стороны, если ВС на 8 см больше стороны АВ, а периметр равен 64 см; б) углы, если А А = 38°. Решение. а) По свойству параллелограмма АВ = ____, ВС =____и А А = = А____, А В = А____. По условию = 64 см, следовательно. 2 (АВ -I- ВС) = , откуда АВ -I- ВС = _ , но ВС на 32 см, отку- _________ больше АВ, поэтому АВ +_____________ да АВ =__________, ВС =__________ 8 см =___________ б) По условию АА = 38°, а так как А А -Ь А В =___°, то А В = =____° - 38° = ___°. ___=_____см, ВС =_____=_____см; Ответ, а) АВ = б) АС _°, А В = А___________ в параллелограмме ABCD диагональ АС, равная 24 см, образует со стороной AD угол в 30°, О — точка пересечения диагоналей АС и BD, ОЕ ± AD. Найдите длину отрезка ОЕ. Решение. Диагонали параллелограмма точкой пересечения _________________, в ( __ = ____ см. Тре- прямоугольный с . и острым углом А, поэтому АО = __ угольник АОЕ — гипотенузой ___ равным ______°. Поэтому катет ОЕ, лежащий против угла в _____°, равен ______, т. е. ОЕ =___см =_____см. Ответ. 10---- см. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке Р, причем ВР = PC. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 54 см. Решение. 1) Z. 1 = Z. 2, так как луч АР — _____________________, /-2 = АЗ, так как эти углы при пересечении параллельных прямых __________ секущей ____. Следовательно, А I = А 3. 2) Треугольник АВР —__________ , так как его углы 1 и 3 равны, поэтому АВ =____ 3) По условию ВР = PC, следовательно, ВС =____ВР =_____ АВ. Итак, Py^BCD^ 2(АВ +--) =-----АВ. Так как периметр параллелограмма равен 54 см, то ___ АВ = 54 см, откуда АВ =__________см и ВС =_см. Ответ. АВ = DC = . ВС = AD = . см, . см. 11 На рисунке в четырехугольнике ABCD Z.1 = Z3, Z2 = ^14. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. , то прямые Доказательство. 1) Так как Z 1 = Z 3, а эти углы —____ при пересечении прямых____и_____секущей _____и____параллельны. 2) Так как Z 2 = Z 4, то прямые_и___также параллельны. Итак, четырехугольник ABCD — параллелограмм, так как его стороны________________________________ 12---------------------------------------------------- Является ли четырехугольник ABCD на рисунке параллелограммом, если: а) Z 1 = 75°, Z 3 = 105°, Z 2 Z 4; б) Z 1 = Z 2 = 70°, Z 3 = 105°? Решение. а) В четырехугольнике ABCD две стороны АВ и CD параллель- ны, так как Z 1 + Z 3 = 75° -t- 105° = 180°, а эти углы — односторонние при пересечении прямых АВ и DC секущей AD. Поскольку АВ II DC, то Z 1 = Z 4 (как соответственные углы). Две другие стороны AD и ВС четырехугольника ABCD не параллельны, так как накрест лежащие углы 1 и 2 не равны (Z 1 = Z 4 2). Следова- тельно, четырехугольник ABCD не является параллелограммом. б) --------------------------------------------------- В Ю 2 1 3 4 А D Ответ, а) Нет; б) 7 в м 13-------------------------- На рисунке в параллелограмме ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки М VI N так, что ВМ = DN. Докажите, что четырехугольник AMCN — параллелограмм. Доказательство. Так как по условию ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны ВС и AD ___________________________ и _____________, т. е. _II___, __=____. Так как МС = , AN = , и так как ВМ = DN, то МС =______- Таким образом, в четырехугольнике AMCN две противоположные стороны ___________________________ и _________________ (____ II____, _____=______), следовательно, AMNC — ________ 14 Е На сторонах параллелограмма EFKP отмечены точки М, N, Т, L так, как показано на рисунке, причем FM = РТ, EL = KN. Докажите, что четырехугольник MLTN — параллелограмм. Доказательство. 1) Так как EFKP — параллелограмм, то по свойствам параллелограмма /L F = Z._, /L Е = Z._ и EF =_, ЕР =__. По ус- ловию FM = PT, EL = KN и ЕМ = EF-поэтому ЕМ =_____, PL =____ КТ= РК- 2) Л MEL = Л по ________________. Из равенства этих треугольников следует равенство сторон ML и ____ 3) Аналогично Л MFN = Л______, откуда MN =______ Итак, в четырехугольнике MLTN противоположные стороны ____и_____, ____ и ____ попарно_______________, следователь- но, MLTN — параллелограмм. 8 N 15-------------------------- На рисунке диагонали параллелограмма MNPQ пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если QA = i ОМ, ОВ = | ON, ОС ОР, OD =|OQ. Доказательство. По свойству параллелограмма диагонали МР и NQ точкой пересечения О_________________, т. е. , аналогично ОВ =. и 2 3 ■ поэтому ОА =____“ ^ - Итак, в четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD точкой пересечения О________________________________, поэтому ABCD — 16 Найдите углы М и Р трапеции MNPQ с основаниями MQ й NP, если Z N = 109°, а Z Q = 37°. Решение. Углы М и N, Р и Q —________________при пересечении параллельных прямых MQ и NP секущими____и____, поэтому А М + + А N =____°, А Р + А Q ^___°. Так как по условию А N = 109°, AQ = 37°, то AM =____° -AN =_____°, АР =___° -AQ =____°. Ответ. А М АР = 17 Один из углов равнобедренной трапеции равен 115°. Найдите остальные углы трапеции. Решение. Пусть в равнобедренной трапеции ABCD, где AD и ВС — основания, АВ = 115°. Так как углы при каждом основании равнобедренной трапеции _______, то Z С = Z___ = __°, а так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна __°, то АА = AD =___° -АВ =_____° - 115° =_°. Ответ. AA=AD =_______°,АС =____°. 18 Найдите основание AD равнобедренной трапеции ABCD, если ВС = 10 см, АВ = 12 см, Z D = 60°. Решение. В трапеции ABCD основания AD и ВС параллельны, а боковые стороны АВ и CD равны. Проведем прямую СЕ, параллельную стороне АВ. Полученный четырехугольник АВСЕ —______________________, так как его стороны попарно________________. Поэтому АЕ =___=_____см, СЕ =____=_____см, и так как CD = АВ, то СЕ = CD =__см. Треугольник CDE — (- -) с углом при основании в 60°, следовательно, этот треугольник — _____________________________ и ED = _____ =____ см. Значит, AD = = АЕ Ч- ___= 10 см -I-____см =_____см. Ответ. AD - см. Задачи на построение 19 Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы его смежные стороны АВ и AD были равны соответственно данным отрезкам P,Q, и ^ угол А был равен данному углу hk (рисунок а). Решение. 1) На рисунке б построим треугольник ABD по_______________________ ________________________ так, что АВ = PjQj, AD = Pg^2 и Z А = Z hk. 2) Построим треугольник BCD по трем сторонам (сторона BD построена, BC = AD = P^Q^, CD=AB = P,Q,) так, чтобы точки А и с лежали по разные стороны от прямой BD. Рг^ P9.h /3,с = 57з. Решение. По теореме Пифагора + Ъ^. а) Ь^ = - , откуда Ь = \jc^~ = ^144- ^ = _ б) =__+___, откуда с = л/ + = л/ + = -\/ZZ в) -___, откуда а = V ~ = V ~ =_____ Ответ, а)______; б)____; в)___ 46-------------------------- На рисунке в равнобедренном треугольнике АВС основание АС = 16 см, высота ВН = 6 см. Найдите боковую сторону. Решение. 1) Так как А АВС В и высота ВН является равнобедренный с основанием АС, то АВ = ВС _______________, значит, АН = -__=____см. 2 2) Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора находим: АВ = V + = \j + см =____см. Ответ._____см. 47--------------------------------------------------- По гипотенузе с = 14 и катету Ь = 7 прямоугольного треугольника найдите высоту Л, проведенную к гипотенузе. Решение. 1) Пусть а — второй катет прямоугольного треугольника, тогда теореме Пифагора а = V ~ по 1 2) Площадь S прямоугольного треугольника равна - а __, а с другой стороны, S = -с _, поэтому а __ = с _, откуда h =____________________________ Ответ. __________ 21 48 На рисунке диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АВ =13 см, BD =10 см. Найдите АС и Решение. 1) Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то BD J_______и Л АВО —__________________, причем по условию, а катет ВО = -__ ме Пифагора находим; АО = 4^ АС=2_ . см = . см. По теоре-см =______ см. = 2 . см = см. 1 2) Плош;адъ ромба можно вычислить по формуле S^^ = - AC-BD 1 ^ . см ^ (задача 476 учебника), откуда S ABCD , см • см‘ Ответ. 49---- см‘ Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 15, 20 и 25. Решение. Так как 25^ = 20^ + 15^ (625 = 400 + 225), то по теореме, обратной _________________________, данный треугольник —_________ _________. Гипотенуза является наибольшей стороной этого тре- угольника, а высота h, проведенная к гипотенузе. Так как Л • 25 = 15 • 20, то h =________ Ответ. _____ 50 Найдите площадь четырехугольника ABCD, если АВ = 9 см, ВС = 12 см, CD = 25 см, AD = 20 см, АС = 15 см. Решение. 1) Так как 15" = 122+ 9" и 25^ = 202 + 22 Глава VII Подобные треугольники Определение подобных треугольников 51 Даны отрезки: АВ = 12 см, CD = 8 см, EF = 15 см, KL = 30 см, MN = 16 см, PQ = 20 см. Найдите среди них пары пропорциональных отрезков. Решение. ЛВ 12 4 MN 16 4 АВ ^ PQ' 1) Так как __ _ __ _ 4 ^ _ 1 ДВ EF ~ 15 5 ’ PQ 20 5 ’ EF отрезки АВ и MN пропорциональны отрезкам EF и PQ. т. е. 2) Так как отрезки CD и CD MN _8 16 EF 15 ТО CD MN т. е. 3) Так как т. е. отрезки _ Ответ. — __пропорциональны отрезкам MN и АВ 12 3 KL 30 3 CD __и то 8 2 ’ _____ _____ 2 ’ _ пропорциональны отрезкам и 52-------------------------------------------=------- Подобны ли треугольники АВС и DEF, в которых А А = 98°, АВ = 44°, AF = 38°, AD = 98°, АВ = 12, АС = 21, ВС = 30, DF = 7, EF =10, DE = 4? Решение. 1) А А = AD = 98° по условию. В треугольнике АВС имеем: АС = 180°- (_____°-Ь___°) = ____°, поэтому АС = А____= =____°. В треугольнике DEF имеем: АЕ = 180° - (______°-f -ь ’) = _°, поэтому А в = А Итак, углы треугольников АВС и DEF соответственно равны. 23 2) Рассмотрим отношения сходственных сторон треугольников ПГЕ- АВ 12 3 АС 21 3 ВС 30 3 DE 4 1 DF АВ _ АС _ ВС DE DF EF , — = — = —, поэтому 1 10 1 , т. е. стороны треугольника АВС Итак, А АВС Л DEF по Ответ. Треугольники АВС и DEF 53--------------------------------------------------------- в подобных треугольниках АВС и EDF стороны АВ и ED, ВС и DF являются сходственными. Найдите стороны АВ и АС треугольника АВС, если ED = 3 см, DF - 5 см, EF = 7 см, ВС = 15 см. Решение. В подобных треугольниках АВС и EDF стороны ВС и DF являются сходственными по условию, поэтому коэффициент k подобия . этих треугольников равен , т. е. к =____:_____=______ Следовательно, АВ = k • _______ = __ АС = k ■____=______•_____см =______см. см = см. Ответ. АВ =____см, АС = см. 54 Площади двух подобных треугольников равны 35 дм^ и 315 дм^. Одна из сторон первого треугольника равна 14 дм. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника. Решение. Пусть k — коэффициент подобия треугольников, тогда по теореме об отношении площадей подобных треугольников получим: =_______дм^:___дм^ =_________, откуда k =_Искомая сторона а второго треугольника в ______________ раза больше сходственной ей стороны первого треугольника, т. е. а =_• 14 дм =__дм. Ответ.______ дм. 24 § Признаки подобия треугольников 55 На рисунке DE || АС. Докажите, что треугольники АВС и DBE подобны, и найдите коэффициент подобия k, если АВ = 21 см, AD = 7 см. Решение. 1) Л АВС Л DBE по двум углам (Z.__— общий, А А =___, так как эти углы —_____________________ В при пересечении параллельных прямых ___ и _____ секущей ______). 2) Так как коэффициент k подобия треугольников АВС и DBE равен отношению сходственных сторон, то k = АВ :_ DB = АВ -______=_____ см -____ см =_____ см, и поэтому k =____см :____см =_____ Ответ. _____ 56---------------------------- На рисунке PQC = АА, ВС = 18 см, СР — 6 см, CQ - 4 см. Найдите сторону АС. Решение. Л CPQ Л СВА по _______________ (Z_____— общий, Z PQC = А____ по условию). Стороны СР и СВ, CQ и _____— сходственные стороны этих подобных треугольников, поэтому коэффициент k подобия равен СР:____=____ см :____ см = __ и CQ : АС = ., откуда АС=. см. Ответ. CQ = см. 25 57--------------------------- ^ ^ AF 3 На рисунке А В = /L D, — = - , CF ^ BF = 15 см. Найдите DF. Решение. 1) Л ABF ~ Д CDF по__________ (Д___= Д______по условию, Д AFB = = Д____, так как эти углы_______ ----------). В 2) AF и FC — сходственные стороны подобных треугольников ABF и CDF, поэтому коэффициент к подобия равен ____:____ = 3) Так как BF и DF тоже являются сходственными сторонами, то BF : DF =__, откуда DF =_____BF =_________________ см = =____см. Ответ. ____см. 58------------------------ Диагонали трапеции ABCD, изображенной на рисунке, пересекаются в точке О, ВО = 3,2 см, OD = 6,4 см, ВС = 4,8 см. Найдите AD. Доказательство. 1) Л AOD ^ Л СОВ по ______ -------------- (Д1 = д-----, в Д 2 = Д так как эти углы — ________________ при пересечении параллельных прямых _____ и___секущими______и _____). 2) OD и ОВ — сходственные стороны подобных треугольников AOD и СОВ, поэтому к =__________=_____см :_____см =______ 3) AD и ВС также сходственные стороны этих треугольников, поэтому AD : ВС = к, откуда AD = ____ •____ = ___ • ____ см = =____см. Ответ. _____см. 26 59 На рисунке ВС = 18 см, СМ = 9 см, CN = 6 см, АС = 12 см. Докажите, что треугольники АВС и MNC подобны. Доказательство. АС —___________угол треугольников ___и _____ . Рас- смотрим отношения сторон, заключающих этот угол: AC:CN = =____ см :___см = ____, ВС : СМ = __см :____см =____. Эти отношения ________________, поэтому стороны ___ и ____ треугольника АВС пропорциональны сторонам ______ и ______ треугольника MNC. Следовательно, Л АВС А_________ по ______________ признаку подобия треугольников. 60------------------------------ Докажите, что треугольники MNP и CDE подобны, если стороны MN = 7,5 см, МР = 4,5 см, PN — 6 см, DE — 24 см, ЕС = 18 см, CD = 30 см. Доказательство. Так как MN : CD = ___ см :___ см = ___, МР : СЕ = =____ см :___ см = ___ и NP : DE = __ см : __ см = , то стороны MN, _ и ______ треугольника MNP сторонам _____, ____ и _____ треугольника . Следовательно, по Д MNP ^ Л CDE. 61 Применение подобия к решению задач и доказательству теорем Точки К и М — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD, изображенного на рисунке. Отрезки КМ и BD пересекаются в точке О. Докажите, что КО — средняя линия треугольника ABD. В М 27 Доказательство. Докажем, что точка О — середина стороны треугольника ABD. По условию задачи DK = — и ВМ = Четырехугольник ABCD — параллелограмм, следовательно, AD = =______, поэтому и KD_____ВМ. Так как AD ||___, то Z 1 = Z___и Z 3 = Z____. Следователь- но, Л OKD = Л . Отсюда получаем: OD = Итак, точки К и О угольника ABD, поэтому КО —его и требовалось доказать. сторон AD и тре- линия, что 62---------------------------- в треугольнике АВС отрезок ОТ — средняя линия, /L А = /LC. а) Докажите, что треугольник СОТ равнобедренный. б) Найдите периметр треугольника СОТ, если периметр треугольника АВС равен 18 см. Решение. а) Так как ОТ —_______________ то ОТ II __, поэтому А СТО = Z. _ треугольник СОТ —________________ б) Так как ОТ — средняя_______ то ОТ = -___, СО =____ВСиСТ = _ 2 Р ЛИНИЯ треугольника АВС, __ = А С. Следовательно, треугольника АВС, сот ОТ + СО + _ (АВ +___ 1 -ь = -АВ + 2 ---) = _ Р = АВС . Следовательно, __+_________= см. Ответ 63--- Точки К, М, О, Т — середины сторон четырехугольника ABCD. а) Докажите, что четырехугольник КМОТ — параллелограмм. б) Найдите периметр четырехугольника КМОТ, если АС = 12 см, BD = = 16 см. 28 Решение. а) Проведем диагональ АС четырехугольника ABCD. В треугольнике АВС точки К и М —______________ сторон АВ и__, , и следова- поэтому отрезок КМ — его средняя_______________ тельно, КМ II____ и КМ =_______АС. Аналогично отрезок ОТ —____________________________ линия треугольника ADC, поэтому ОТ ____ АС и ОТ = ______ АС. Отсюда следует, что КМ || ОТ и КМ_____ ОТ, а значит, четырехугольник КМОТ является_________________________________________ б) По доказанному КМ = _______ АС = ____ • 12 = ___ (см) и ОТ ____ КМ = ____ см. Проведем диагональ BD. В треугольниках ABD и BCD отрезки КТ а МО — средние_________________________, следовательно, КТ =_____BD =_____см и МО =_____ Итак, КТ = МО = ______см и КМ = ОТ = ______см, следовательно __-I- 2 •__=______см. см. Р = 2 • КМОТ ^ — Ответ. ________________ 64--------------------------- Площадь треугольника АВС равна 20 см^, А В = 70°, точки Р, Т и О — середины сторон. Найдите: а) Z РТО; б) площадь треугольника ОТР. Решение. а) Так как точки Р, Т, О —___ _________сторон, то отрезки РТ, ТО В и РО — средние вательно, РТ ||__ и ТО __ треугольника АВС, следо- Так как противоположные сто- роны четырехугольника ВРТО попарно_________________!______, то этот четырехугольник является__________________________ , поэтому РТО = А________=_____ б) Так как отрезки РТ, ТО и РО — средние_________________ треугольника АВС, то РТ = ___ ВС, ТО — ___ АВ и РО = __АС, РТ то 1 т. е. А ОТР_____ А АВС с коэффициен- ^Авс ^ ■ том подобия k = __. Следовательно, получаем: ----• 20 =---(см^). Ответ, а) А РТО =_________; б) =______см^. , откуда 29 65--------------------------- Точка Р — середина стороны АВ треугольника АВС, РМ || АС. Докажите, что отрезок РМ — средняя линия треугольника АВС. Доказательство. Предположим, что отрезок РМ не является средней _______________ треугольника АВС, тогда точка М не будет серединой стороны _______. Пусть точка О — середина _______ есть_________ _____________ ВС, тогда отрезок РО линия треугольника АВС, и поэтому РО___АС. Итак, через точку Р проходят прямые (_________ и ______), параллельные прямой _ , что противоречит прямых. аксиоме Следовательно, исходное предположение неверно, т. е. отрезок РМ является _________________ линией треугольника АВС, что и требовалось _______________________ 66------------------------------- В треугольнике АВС стороны АВ = = ВС = 5 м, АС = 8 м, медиана АК и биссектриса ВН пересекаются в точке М. Найдите ВМ и АК. Н Решение. Так как АВ = ВС, то треугольник АВС —________________, а потому биссектриса ВН является также его высотой и ______________, следовательно, ВН_АС и АН____НС =_____м. Медианы треугольника пересекаются в____________ точке и делятся ею в отношении ___ : ___, считая от вершины, т. е. ВМ =_____ МН и AM =_____ МК. В прямоугольном треугольнике АВН имеем: ВШ = АВ^ -_______ ВН =_____м. Поэтому МН = _ В треугольнике АМН имеем: АМ^ = ВН = . = ---- (м^), откуда м, ВМ =______м. -ь , +. ___(м^), откуда AM =_ Ответ. ВМ =______м, АК = м. Следовательно, АК = м. м. 30 67 в треугольнике ОВМ, изображенном на рисунке, А ВОМ =90°, OHLBM, ВМ = 26 дм, ВН = 18 дм. Найдите ОН и ОВ. Решение. Так как ОН —__________________ прямоугольного треугольника ОВМ, проведенная из вершины __________ угла, то ОВ = \jВМ • =\j • = =_________(дм). Далее, МН = ВМ — —______ = _____ дм, поэтому он = ■__=------(дм). - I Ответ. О В = _ ОН = дм. м дм. 68--------------------------- Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 30 м, а отношение катетов равно 3:4. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой треугольника. Решение. Пусть АС = Зх, тогда ВС = 4х и (Зх)^ -t- (_Y = 30^. Отсюда_х^ = =_____, Х^ = ____ и X = ______ . Следовательно, АС = м и ВС = м. Но АС = 4аВ- по- этому АС^ — ______•_______, или 18^ = = 30 •_____, откуда АН = _________ м, а ВН = 30 -_______=_______(м). Ответ. АН = ВН = м, м. 31 69 Длина тени столба равна 10 м, а длина тени человека, рост которого равен 1,8 м, равна 3,6 м. Найдите высоту столба. Решение. Изобразим отрезками АВ и ОВ столб и его тень, отрезками CD и OD покажем человека и его тень. В треугольниках OCD и ОАВ угол О — общий, ^ ODC = Z._____= 90°, следовательно, Л OCD__Л ОАВ. Отсюда получаем, что OD : CD = ОВ : =----------^---- =----- (м). Ответ. Высота____________ , а значит, АВ ОВ- OD равна . м. 70------------------------------ Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла. Решение. Пусть даны углы 1 и 2 и отрезок PQ. Требуется построить треугольник АВС, у которого А А = А1, Z. В_А 2, а медиана СМ равна_____________PQ. Построим сначала треугольник, подобный искомому. Для этого: 1) Проведем отрезок A^B^. 2) От луча А|В, отложим угол В^А^Х, равный углу 1, и от луча В^А^ — угол AjBjY, равный углу_____, как пока- зано на рисунке. Точку пересечения лучей А^Х и BjY обозначим буквой С. 3) Проведем медиану СМ^ полученного треугольника________ 4) На луче СМ^ от точки_____отло- жим отрезок СМ, равный данному отрезку ______ 32 а) 5) Через точку М проведем прямую т, параллельную прямой AjBj. Точки пересечения прямой т и лучей/бл^ и________обозначим буквами А и В. Треугольник АВС — искомый. Действительно, так как АВ _____ AjBj, то А ВАС = А________, А АМС = А_________, следовательно, Л АМС Л А^М^С, а потому AM : AjM^ - CM :________. Аналогично Л ВМС _____Л В^М^С, а потому ВМ :_________ = СМ : СМ,. Следовательно, AM : AjM, = ВМ : _____________, но А,М, =_, поэтому AM____ВМ, т. е. отрезок СМ — медиана треугольника_______и она ___. Как было доказано, А ВАС = __ = А 1, следовательно, ABAC_____ А 1. А 2. Поэтому треугольник АВС удовле- равна данному отрезку = А_______, но А_____ Аналогично А АВС _ творяет всем требованиям задачи. § 4 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 71 Найдите синус, косинус и тангенс угла М треугольника МРТ, если А В = 90°, МР = 8, ВТ = 15. Решение. Синусом острого __________ прямоугольного треугольника называется отношение _________________________ катета к ________________________. Против угла М лежит катет___. По теореме = 8^+ _____ _____________ найдем гипотенузу: МТ^ = , откуда МТ = _________. Следовательно, sin М =■ РТ 15 Косинусом острого угла треуголь- ника называется отношение ____________к _____________ . К углу М прилежит МР катет ., следовательно, cos М = = . Тангенсом называется к _________ Ответ. _ угла прямоугольного треугольника _______ противолежащего катета , т. е. tg М — 33 72------------------------------------------------------- Докажите, что в треугольнике ВСН с прямым углом Н выполняются следующие равенства: а) sin В = cos С; sinB . б) tgB =— COS В в) sin^C + cos^C = 1. Доказательство. сн а) sin В = -, cos С = , следовательно, sin В_cos С. „ СН „ „ ся sinB сн-___ „ б) sinB =--, cosB =^=, tgB =--, поэтому „ =-------= tgjB. cosB в) sin С =“, cos С = , sin^ С -I- cos^ С = (. ' вс ВС вн^ вс^ вс^ -Г+{- -Г = = 1. 73 Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А= — . Найдите площадь треугольника. 25 Решение. Синусом острого прямоугольного треугольника называется отношений ________________ к ___ Против угла А лежит катет = 50 • , следовательно, sin А откуда СЕ = АС АС Второй катет АЕ = __ найдем, используя теорему V502-, Площадь прямоугольного треугольника равна произведения катетов, поэтому = ______ АЕ Ответ. 34 74---------------------------------------------------- в треугольнике АВС даны Z, А = 90°, А В = 60°, АС = 9. Найдите сторону АВ. Решение. По условию задачи А А = ___, следовательно, отрезок АС — катет, противолежащий углу___, и требуется найти катет, прилежащий к углу ___ Отношение катета, противолежащего углу В, и катета, прилежащего к этому углу, есть_______________угла В, следователь- АС но. АВ . Отсюда АВ — АС : :tg60° = Ответ. 75 в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен а. Выразите катеты через с и а и найдите их длины, если: а) с = 12 дм, а = 30°; б) с = 16 дм, а = 45°. Решение. Обозначим длину катета, противолежащего углу а, буквой а и длину _______________, прилежащего к углу а, буквой Ь. Тогда sina = ^^, cosa= =. Отсюда получаем: а = с • ___, Ь = а) а = Ь = б) а = Ь = . Подставляя числовые данные, получим: ___• sin 30° =______•______=_______(дм); -------------------------------------(дм). -------------------------------------(дм); -------------------------------------(дм). Ответ. а) ---- б) ---- 35 76------------------------------ Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а. Решение. ^Авс 2 __, где отрезок ВН — ________________ треугольника. В прямоугольном треугольнике АВН гипотенуза АВ равна _____, А = =_____, ВН-_____________________, противолежащий углу А. Следователь-вн но, sin А= , откуда ВН =_______х X sin А = , откуда ВН sin60°=_____ Итак, S^=-a Ответ. 77 Найдите углы ромба ABCD, если его диагонали АС и BD равны 4 Тз м и 4 м. Решение. Пусть /i ВАО = а. Диагонали ромба делят его углы ________________, значит, Z DAO = А___ = а. Диагонали ромба взаимно D и точкой пересечения делятся ____________ , следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО равен ________ м, а катет______равен_____м. Поэтому tga =_______= _______, отку- да а = , а Z. BAD = 2 ., Z. ADC = А . Ответ. 36 Глава VIII Окружность Касательная к окружности 78 Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью? Ответ. Прямая ______ и окружность не имеют общих точек. Прямая_______и окружность имеют только одну_______________точку. Прямые ______, ______, ______, ______и окружность имеют две общие В точки. •D 79 в треугольнике АВС, изображенном на рисунке, АА=90°, АВ = 5 см, ВС = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой АВ только одну общую точку. Решение. По условию задачи окружность и прямая ____ имеют только________ общую точку. Если бы радиус окружности был меньше расстояния от ________________ окружности — точки ____— до прямой АВ, то окружность и прямая имели бы Если бы радиус________________ общие точки. от точки ДО ______был больше расстояния АВ, то окружность и прямая общих точек. 37 Следовательно, радиус R окружности от точки С до _________________ расстоянию Итак, R = АС =\Г- _ АВ, т. е. равен катету = л/ Г =-----------(см). Ответ. Радиус окружности равен 80---------------------------- см. Дан прямоугольник ABCD, где АВ = = 8 см, AD = 6 см. Какие из прямых С D АС, ВС, CD и BD являются секущими по отношению к окружности с центром А радиуса 6 см? Решение. Прямая АС проходит через центр ______________________— точку А, следовательно, прямая АС является ________________ по отношению к А. __ВС, поэтому расстояние от точки А ___см, т. е. больше_____________ окружности с _____________ Так как А В = 90°, то АВ до_____________ВС равно _ окружности. Следовательно, прямая ВС секущей по отношению к данной окружности. Так как А D — 90°, то AD___CD, поэтому расстояние от А до_________________CD равно______см, т. е.___________ радиусу окружности. Следовательно, прямая CD __________ ________________________по отношению к данной окружности. Чтобы найти расстояние от точки А до _______________ BD, . перпендикуляр АН к прямой BD и вычис-_____. Находя двумя способами площадь проведем из точки ЛИМ его __________ треугольника ABD, получим: ■“ АВ • AD = ^BD . По теореме Пифагора BD = \Г. см. Поэтому АН = см. Итак, расстояние от точки А до прямой BD радиуса окружности, следовательно, прямая BD секущей по отношению к данной___________________ Ответ. Секущими являются прямые и 38 81------------------------------------------------------- Какая из прямых АС, ВС, CD и BD из предыдущей задачи является касательной к окружности с центром А радиуса 6 см? Решение. Касательной к _______________ называется ______________, имеющая с окружностью только точку. Прямая и окружность имеют только одну точку, если расстоя- ние от центра до прямой равно окружности. Это условие выполняется для прямой___, значит, касательной к данной ______________ является прямая_____ Ответ. Касательной является прямая _____ 82----------------------------------------------------- Прямая АВ — касательная в точке А к окружности с центром О. Найдите длину отрезка ОВ, если АВ = 24 дм, а радиус окружности равен 7 дм. Решение. По условию задачи прямая АВ является _______________ к данной ок- ружности, следовательно, прямая АВ ___________________ к радиусу ОА, проведенному в _ касания. Поэтому треугольник АОВ —______________ По теореме Пифагора ОВ'^ = ОА'^ + _, отсюда ОВ = Ответ. ОВ =_______дм. дм. 83---------------------------- Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите угол ВАО, если АВ = ВС. Решение. Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки,____________, то АВ =____, следовательно, треугольник АВС — ________________________, поэтому Z ВАС =_____ 39 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной ____________, составляют _________________ углы с прямой, проходящей через эту точку и _________________ окружности. следовательно, ВАО = Z. Ответ. Z. ВАО =___________ = 2 84---------------------------- Прямая АС проходит через центр О окружности, Л МАО = Z. ОСМ= 30°. Докажите, что прямая СМ является касательной к данной окружности. Доказад'ельство. Так как в треугольнике АОМ АО = =_____, то Z АМО = Z_____=_______ В треугольнике АМС А АМС = 180° - {А MAC + А___) = 180°-- (_____+ ____) = ____. Поэтому АОМС = А АМС - А_________ = = 120° -____=_______, т. е. СМ_ОМ. Итак, прямая СМ проходит через конец радиуса____, лежа- щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу. Поэтому она является ____________________к данной окружности, что и требовалось _______________ М Центральные и вписанные углы 85 Какие углы являются центральными углами окружности с центром А? Решение. Центральным _________ окруж- ности называется угол с вершиной в ________________________. На рисунке центр окружности — точка_ служит вершиной углов МАЕ,____, . Эти углы являются центральными углами данной ______________ Ответ._______________________ 40 86 Точка О — центр окружности, МОК = 105°, ^РК = ^МК. Найдите градусную меру угла МОР. Решение. Угол МОК является_____________ _____углом окружности, а дуга МК меньше полуокружности, поэтому ^МК= Z_______=_____. По условию задачи ^РК ■■ , и, значит, гра- >МКР = ^МК+. дусная мера дуги РК равна _________ =______>180°, т. е. дуга МКР больше полуокружности, поэтому ^МКР =. - /_ МОР, поэтому Z МОР - ^МКР = Ответ. МОР ■■ 87---------- Какие из углов НАМ, НВМ, ТСЕ и НРМ являются вписанными? Решение. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на _______ _________, а стороны ____________ окружность. Точка А лежит на окружности, а стороны угла НАМ ________________ окружность. Следовательно, угол__ ___________________ вписанным. Точка В лежит на _____________ пересекают __________________ _____ , а стороны угла НВМ , следовательно, угол НВМ Точка С не пересекает Точка Р __________________, а сторона СЕ угла ТСЕ ______________, следовательно, угол ТСЕ вписанным. ___на окружности, следовательно, угол НРМ ____вписанным. Ответ. Вписанными являются углы и 41 88 На рисунке точка О — центр окружности, zi АОВ = 92°. Найдите Z. АСВ. Решение. Угол АОВ является _____________ углом данной окружности и равен _____, следовательно, ^АМВ =___ Угол АСВ является______________ и опирается на дугу ___ поэтому ААСВ=- 2 Ответ. Z- АСВ =. 89----------- На рисунке ^МАР=\20°. Найдите А МАР. Решение. Угол МАР является _________ углом окружности и опирается на дугу_____^МВР = 360° - _____= = 360° _ 2 , А МАР = Ответ. ^ МАР = 90-------------------------- На рисунке АРМ=38°, А ВСМ= - 32°. Найдите zi АМР. Решение. Вписанные углы РАВ и ВСР ___ ____________ на одну и ту же ___ ВР, следовательно. Z РАВ = А______ ______ Из треугольника АМР получим: Z АМР = 180°- (А +/ ______) = = 180°- (____+______) = _____ Ответ, zi АМР =_______ 42 91 Дана окружность с диаметрами АС и BD. Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник. Доказательство. Отрезок АС —________________ окружности, следовательно, дуга ADC — полуокружность. Вписанный угол АВС опирается на__________ _______, поэтому он____________ Аналогично углы ADC, и прямые. Следователь- но, четырехугольник ABCD является 92---------------------------- Точки А, В, С лежат на одной окружности, Z АВС = 80°. Лежит ли центр окружности на отрезке АС? Решение. Если центр окружности лежит на отрезке АС, то отрезок АС является ______________ этой окружности, а дуга АС является ______________________________. Тогда вписанный угол АВС опирается на полуокружность, а потому он равен ____, но по условию задачи Z АВС = окружности________________ Ответ.__________________ Следовательно, центр на отрезке АС. 93------------------ --------———----------------- Хорды КМ и РТ пересекаются в точке С, КС = 7 см, СМ = 4 см, РТ = 16 см. Найдите отрезки PC и СТ. Решение. Хорды КМ и РТ пересекаются, следовательно, произведение _______________ хорды КМ равно _____________________ отрезков хорды ___, т. е. PC • _ = КС • __. Обозначим длину отрезка PC буквой х, тогда СТ = _, следовательно, X • (____) = 7 •__. Корни полученного квадратного уравне- ния х^ - X + = о равны и Итак, либо PC = , и тогда СТ = , либо PC = , и тогда СТ = Ответ. PC =__см, СТ = см или PC = см, СТ =____см. 43 94 Точки А, В и С лежат на одной окружности. Отрезки АВ и СН пересекаются в точке М. Лежит ли точка Н на данной окружности, если AM = 5 м, МВ = 6 м, СМ = 8 м, МН = 4 м? Решение. Если точка Н лежит на данной окружности, то отрезки АВ и СН являются хордами этой________________, пересекающимися в точке___. Поэтому должно быть верным равенство AM •__= = МН • ______. Но так как 5 • 6 __ 8-4, то точка Н _____ ________________на данной окружности. Ответ. Четыре замечательные точки треугольника 95 На рисунке Z АВС= 120°, НВ ± ВС, ВН = А см. Вычислите расстояние от точки Н до стороны ВА угла АВС. Решение. Проведем из точки__перпендику- ляр НМ к прямой ВА, тогда расстояние от точки Н до прямой___равно длине отрезка___. По условию задачи А АВС= т. е. А___= 90°. Значит, А АВН= 120°-____= В треугольнике НВМ А МВН =. АНМВ=. , НВ___ВС, вательно, НМ = —. 2 4 = следо- (см), т. е. расстояние от точки до прямой равно . см. Ответ. 96 Луч ME является биссектрисой угла ТМР. Верно ли, что: а) точка А равноудалена от сторон угла ТМР; б) точка В не равноудалена от сторон угла ТМР; в) точка Н равноудалена от сторон угла ТМР; г) точка С не равноудалена от сторон угла ТМР? 44 Решение. а) Точка А лежит на биссектрисе ME угла ______, поэтому она ______ ________________ от сторон этого М угла. Следовательно, данное утверждение о точке А________________ б) Точка В лежит на ____________ ME угла ТМР, поэтому она _____________ от __________ этого угла. Следовательно, данное утверждение о точке В______________ в) Если бы точка Н была равноудалена от ТМР, то она лежала бы на __________________ точка Н _______________________ на биссектрисе угла Следовательно, данное утверждение о точке Н_________ г) Если бы точка С была равноудалена от __________ ______, то она _________________ на биссектрисе этого ________ угла этого угла. Но Следовательно, данное утверждение о точке С 97------------------------------------- Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите А АВМ, если А MAC = 30°, А MCA — 20°. Решение. Биссектрисы треугольника пересекаются в _________________ точке. следовательно, луч ВМ — А АВМ ___ 2 задачи лучи AM и СМ ____________углов А и _ А А= 2 •___= _ угла АВС, т. е. . По условию В поэтому , АС = 2 Следовательно, А В = 180°- -и---- +---) = -А 2 +А _) = 180°-(____-Ь , значит, А АВМ = Ответ. А АВМ = 45 98 На рисунке даны Z ОКС = Z. ЕКО, 0М± КС, ОМ = 7 см. Найдите расстояние от точки О до прямой КЕ. Решение. По условию задачи луч КО является -------------------- угла -----, поэтому точка О _______________ К от сторон этого угла, т. е. от прямых ______и_______ Расстоянием от точки О до прямой СК является длина ____________________ ОМ, проведенного из точки ______ к этой прямой, т. е. расстояние от точки __ до ________________ СК равно см. Поэтому расстояние от _ КЕ равно______см. О до Ответ. 99-------------------------- в треугольнике АВС, изображенном на рисунке, АС = ВС ^ АВ, ВМ = МС, ВТ± АС, Z АСО = Z ВСО. Какая из прямых AM, СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС7 Решение. Прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку, если она проходит через ____________ В этого отрезка и По условию задачи ВМ = лярна к ________________ отрезок AM был бы медианой и ____________ АВС, а тогда были бы равны стороны АВ и Следовательно, прямая AM ________________ _ к нему. _ , но прямая AM не перпендику-ВС, так как в противном случае ________________ треугольника ____, что неверно. ______ серединным к стороне ВС. 46 По условию задачи ВТ J. , но АТ___СТ, так как в против- ном случае отрезок ВТ был бы высотой и треугольника АВС, а тогда были бы____ стороны АВ и ВС, что неверно. Следовательно, прямая ВТ _________ серединным________________________ к стороне АС. По условию задачи ААСО = отрезок СО является _____________ ____ и АС = ______, т. е. _________________________________________________ равнобедренного треугольника, а потому он является также его медианой и _____________________. Следовательно, прямая СО проходит через ___________________отрезка АВ и_____________________________к этому отрезку, т. е. серединным к стороне Ответ. Серединным ника АВС является прямая к стороне треуголь- 100 Точки А, В и С не лежат на одной прямой; прямые р н q — серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Докажите, что прямые р н q пересекаются. Доказательство. Предположим, что прямые р и q не пересекаются. По условию задачи р___АВ, а из предположения следует, что р 11 q, значит, по свойству параллельных прямых АВ___q. Итак, через точку В проходят _______________ прямые АВ и _____, перпендикуляр- ные к прямой q, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, серединные к отрезкам АВ и ВС 47 101------------------------ Прямые р и q — серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Докажите, что АО = ОС. Доказательство. Так как прямая р —_________ _____ перпендикуляр к _______ АВ, то АО = Аналогично, так как прямая q — серединный ____________ к отрезку ВС, то ОВ =______. Итак, АО АО =______, что и требовалось доказать. ОВ , поэтому 102------------------------ Прямая р — серединный перпендикуляр к отрезку СЕ. Верно ли, что: а)точка А равноудалена от концов отрезка СЕ; б) расстояния от точки М до точек С и £ не равны; в) точка Н равноудалена от точек С и Е; г) точка Т удалена на разные расстояния от концов отрезка СЕ? Решение. а) Точка А лежит на _______ к отрезку СЕ, следовательно, она__________________ цов этого отрезка, т. е. данное утверждение о точке А б) Точка М лежит на серединном____________________ перпендикуляре ________от кон- к отрезку поэтому она от концов отрезка СЕ, а значит, расстояния от нее до точек С и _______________, т. е. данное утверждение о точке М___ в) Если бы точка Н была равноудалена от точек С и £, то она лежала бы на серединном ________________________ к отрезку _____, но это не так, и поэтому данное утверждение о точке Н г) Если бы точка Т была удалена на равные расстояния от точек С и £, то она лежала бы на серединном______________________ к отрезку _____, что в данном случае не выполняется. Следовательно, данное утверждение о точке Т__________ 48 в 103--------------------------------------------------- Отрезки АН и ВР — высоты треугольника АВС. Проведите с помощью одной линейки (без делений) высоту из вершины С. Решение. Высоты треугольника пересекаются в ________________ точке, поэтому третья высота треугольника проходит через точку _. С помощью линейки проведем прямую ____ и обозначим буквой Т точку пересечения этой прямой с прямой АВ. Отрезок _____— искомая ___________________ тре- угольника АВС. Вписанная и описанная окружности 104 На каких рисунках а ная в него окружность? д изображены многоугольник и вписан- • Д) Решение. Окружность называется вписанной в если ____ стороны многоугольника _ окружности. Все ____________ окружности на рисунках___и и__________________________ ____ многоугольника касаются _ , следовательно, многоугольник в него окружность изображены на рисунках _ Ответ. и и 49 105 Достройте четырехугольник ABCD так, чтобы он был описан около данной окружности. Решение. Многоугольник описан около окружности, если ______ его стороны касаются ______________. Проведем через точку А _____ к данной окружности, отличную от AM, и обозначим буквой D__________ пересечения этой касательной и прямой СР. Четырехугольник________— искомый. в 106 Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что AB + CD = BC + AD. Доказательство. Используя свойство отрезков касательных к ______________, прове- денных из одной точки, получаем: АВ -ь CD = а + Ь +_-Ь __, ВС -ь -ь AD =_________. Следовательно, АВ +_________________= ВС +___________, что и требовалось ____________ 107------------------------- Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках Н, М и Т. Найдите периметр треугольника АВС, если AM =5 м, СН = 3 м, ВТ = 6 м. Решение. Отрезки касательных к ______ ________________, проведенные из 50 одной м, ВН = , равны. Поэтому АТ = ___= 5 м, СМ =_______= м. Следовательно, = AM + МС + + СН + (5 + -) = = 2- {AM + — (м). Ответ. = м. -) = 108------------------------- Найдите площадь треугольника АВС, если его периметр равен 60 см, а радиус г вписанной окружности равен 4 см. Решение. Соединим центр окружности с вершинами треугольника и точками Н, М VI Е касания сторон треугольника и окружности. Так как радиус, проведенный в точку ______________, следовательно. перпендикулярен к касательной, то ОН J_ __ отрезок ОН —____________ треугольника АОС. Аналогично отрезок ОМ — высота ________ вое, отрезок ОЕ — треугольника . Поэтому = 7 АВ Аналогично = - ВС и S АОС АС Итак, ^Аов ^вос ^ ч- -) = АВС (АВ • г + ВС • г + _ £ 2 = -^ (АВ ■ ОЕ + ВС 2 -) = {АВ + + АС)г = (см^). Ответ. 109------------------------------------------------- На каких рисунках а — д изображены многоугольник и описанная около него окружность? Решение. Окружность называется ______________ около многоугольника, если____________________________вершины многоугольника_на окружности. 51 б) д) на окружности на ри- Все вершины многоугольника_______ сунках ___ и ___, следовательно, многоугольник и описанная ____________него окружность изображены на рисунках__и____ Ответ._________________ 110------------------------------------------------- Достройте четырехугольник ABCD так, чтобы он был вписан в окружность. Решение. Многоугольник вписан в окружность, если _______ его вершины лежат на_______________________ Отметим на дуге АС точку D и проведем отрезки AD и_. Четырехугольник __________искомый. 111 -------------------------- В треугольнике АВС А А = 40°. Найдите остальные углы треугольника, если центр описанной около него окружности лежит на стороне АС. Решение. Так как точки А, В к__лежат на данной ____________________, а ее центр — точка О — лежит на отрезке _____, то отрезок АС —__________ данной окружности, а угол В является_ окружность и опирается на ее АВ =______, а АС = 180° - (40° +_ Ответ. А В =______, А С =_____ ___в эту Поэтому -) = 52 Глава IX Векторы Понятие вектора 112 На рисунке изображен ромб ABCD, где АВ = 4, Z BAD = 60°. а) Началом каких ненулевых векторов служит точка В? б) Концом каких данных ненулевых векторов служит точка А1 в) Как называется и обозначается вектор с началом и концом в точке С? г) Найдите длины (модули) векторов ВС и BD. д) Какой ненулевой вектор коллинеарен вектору ВА7 е) Какие данные ненулевые векторы сонаправлены и какие противоположно направлены? ж) Равны ли векторы ВА и CD, ВС и DA, ВА и BD, АО и АС, ^ и ВС, ^ и ОС? з) Какой вектор, равный вектору CD, отложен от точки В? О т в е т. а) ВА, _, _____; б)________________ в) вектор с началом и концом в _________________ и обозначается _ С называется или г) |ВС| = ___ ,------------------ д) вектору ВА____________________ е) сонаправлены ненулевые векторы противоположно_____________________ вектор ____и _ векторы . и и . ж) ВА____CD, так как |ВА|_____\CD\ и ВА 1Т____ ; ВС ____ DA, так как ВС и _______ не сонаправлены; ВА _____ BD, так как ВА и BD ______________________; АО АС, так как ]АО| \АС\; ________________ з) 53 113----------------------------- а) Постройте ненулевой вектор с началом в точке О: коллинеарный вектору а; сонаправленный с вектором Ь; противоположно направленный вектору с*. б) Отложите от точки О вектор, равный вектору с! в) Сколько векторов, равных вектору с", можно отложить от точки О? Ответ, в) От точки О можно отложить только ____________ вектор, равный вектору сГ 114------------------------------------------------- Стороны прямоугольника ABCD равны 3 дм и 4 дм. Найдите длину вектора АС. Решение. Длина вектора АС — это длина _______ АС. Отрезок АС является____________________прямоугольника ABCD, следо- вательно, АС = +. Ответ._________ (дм), т. е. |АС1 = дм. § Сложение и вычитание векторов 115 Используя правило треугольника, найдите сумму векторов: а)Ш п МТ; б) СЯ и НС; в) ДБ 0; г) О -Ь С£. Решение. а) РМ + МТ =______ б) СЯ + ЯС =______^_____ в) АВ -Ь о =___-f Б5 =______ г) о + СБ =____-I- СБ =_____ Ответ, а)______; б)_____; в)______; г)_____ 54 116----------------------------------------------------- Используя правило треугольника, постройте векторы ОА = = 0 + 6 и СВ = а + Ь. Определите вид четырехугольника ОАВС. Решение. Отложим от точки О вектор ОМ = —► > = о и от точки М вектор МА = =______, тогда ОА =______+______. Аналогично строим СК = а и КВ = = 6, тогда СВ =_________________. Так как ОА =_____+_______ и СВ = , =______+______, то ОА____СВ, следовательно, ОА II________и ОА =_, I поэтому четырехугольник ОАВС — Ответ. Четырехугольник ОАВС — _I О .L 117--------------------------- Используя правило параллелограмма, постройте векторы ОР = х + у и СТ = у + X. Докажите, что ОС = РТ. Решение. Отложим от точки О векторы ОА = = X и ОВ = у. Построим точку Р так, чтобы четырехугольник ОАРВ был тогда по правилу параллелограмма ОР =______+______. Отложим от точки С векторы СМ = у и СЕ =_____. Построим_________________________ СМТЕ, тогда по правилу __________ СГ =______+______ О Так как ОР =_______+______, СТ =____ _____+_______(переместительный закон , + и X + у векторов), то ОР__СТ. Следовательно, четырехугольник ОРТС — _________________________________, а потому ОС =_____, что и требовалось доказать. 55 118--------------------------- а) Постройте векторы ОТ = х + у и РМ = у + Z. б) Отложите от точки Н векторы т = ОТ + Z и п = X + РМ. • > в) Докажите, что т = п. Доказательство. Так как ОТ = д: +_, то m = ОТ + + 2 = (_+ г/) + 2. Так как РМ = у + +___, то П =__+ РМ = Х + (_+ 2). в соответствии с сочетательным __________________сложения векто- ров выполняется равенство: (X +~у) + 7= -Ь (-----Ь----), а значит, т ____ п, что и требовалось 119 в трапеции ABCD, изображенной на рисунке, AD || ВС, Z АВС = 120°, AD - 6 см, АВ = 3 см. Найдите \ВА + AD|. Решение. По правилу треугольника имеем: ВА + AD =______, следовательно, \BA + AD\ = \__|. Длина вектора BD — это___________отрезка_____. В Так как AD \ - А______ = , то Z BAD =180°- Проведем высоту ВН трапеции. В прямоугольном треугольнике АВН имеем: ВН = АВ • sin___ = 3 •_____ =________________ (см), АН =_____• cos__=___•_________=______(см). Из треугольника BHD по теореме Пифагора получаем: BD'^ =_____-I- (AD -___)^ =______+_______=_______(см^), откуда BD =_______см. Ответ. _________________ 56 120 Пользуясь правилами и законами сложения векторов, упростите выражение МС + AM + СТ. Обоснование. Решение. МС^АМ + СТ= = +____) +СТ = = (АМ +__) +СТ = = ___+ СТ =___ закон закон треугольника правило Ответ. _______ 121---------------------------------------------------- Пользуясь правилом многоугольника и законами сложения векторов, упростите выражение ВН + НК + ТР + МТ + КМ. Решение. ВЯ Ч- НК -¥ТР + МГ +_______=_______+ + МТ +______= = ВК +_______-Ь ТР -Ь МТ =____-1- МТ +______=______-I- ТР = Ответ. Е 122------------------------ в трапеции ВСЕН, изображенной на рисунке, ВН = 2СЕ, точка О — середина ВН. Какие векторы с концом и началом в отмеченных точках являются противоположными вектору ОЯ? Решение. По определению противоположным вектору ОН является вектор, направление которого _______________ _____, а длина _________ длине вектора ОН. направлению вектора Противоположно направлены вектору ОН векторы НВ, ______, ___,______. Из них имеют длину, равную ___________векто- ра ОН, векторы Итак,______ векторы_____, Ответ. ____ вектору ОН являются 57 123------------------------------------------------ Какой из векторов СМ, СР, РМ, PC равен разности векторов МС и МР? Решение. По определению разностью векторов МС и МР является вектор X, такой, что__+ X =_____ Проверим, какой из данных векторов удовлетворяет этому условию: МР + СМ___МС, следовательно, СМ ^ МС -___ МР + СР___МС, следовательно, СР_МС - МР. МР + РМ.____, т. е. Ш_Ш-МР. МР +_____________, т. е. PC_Ш-МР. Ответ. ________ 124 Докажите, что для любых трех точек X, Y, Z верно равенство XY -ZY = XY+ YZ. Доказательство. По теореме о разности векторов а - Ь = а + (_), поэтому XY-ZY==______ + (____). Запись «-ZY» означает «вектор, противоположный вектору_», т. е. -ZY =_______Следовательно, ХУ - ZY = _____ -f (- ZY) - XY + ____, что и требовалось 125 Упростите выражение (НВ + ВА - ТА) - (РХ - ТХ). Решение. (НВ + ВА-ТА)- (^ -_______) = (____-ТА)- - (РХ -Ы-----)) = (НА + (------)) - (РХ +---- = (НА -ь------) ------=------+ (---------) = ) = = НТ + Ответ. 58 126 Отрезок AM — медиана треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, AM, СА через векторы ВА = х и МС = у. Ответ. ВМ =_____ AM = ____-_____ СА = -у- + в 127----------------------------------- Найдите вектор х, если: а) РО - X = РМ; б) X - МА = РМ; в) СМ - х = РМ. Решение. а) РО - X = РМ, следовательно, РО = РМ -I-_ = Ю-_____= Ю +______ = ___ б) X - МА = РМ, отсюда х =_-1-__=__________ в) СМ - X = РМ, поэтому X = СМ -_= СМ + _ Ответ, а)____; б)____; в)___ , откуда X 128 в трапеции ABCD, изображенной на рисунке, AD\\BC, А АВС = 120°, AD = б м, АВ = 3 м. Найдите \АВ - AD\. Решение. АВ - AD =_____, следовательно, \АВ - AD\ = I___I = ____. Так как AD 11___, то Z BAD = 180°- А____= Проведем высоту ВН трапеции. В треугольнике АВН имеем: ВН = АВ • sin__= ___ • ____ = ______ (м), НА = АВ • _____= (м). Тогда DH = AD (м). Из треугольника BHD по теореме Пифагора находим: BD'^ =_____+______= (______-Ь_____) =_____ (м2), откуда BD =______м. Итак, 1АВ - AD1 = Ответ. ______ м. 59 Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 129 Отложите от точки О векторы х*= у*= 2с*, 2 с! Решение. Так как то, согласно опреде- лению произведения вектора на число, ЗГП__ и 1^1 =___la*^!. Отложим от точки о вектор х. Аналогично ~у__^ и |г/| =__. Отложим от точки О вектор_ г = -а + 2 X + . Так как век- торы д: и__отложены от точки_____, строить вектор ~z = lc+ _ удобно по правилу__________________________. Строим вектор ___ 1 ^ ^ 1 1 , ■ j 1 , ! 1 1 /1 i . ! i 1 1 i . 1 ■ ’o' ' i ’ i , , ■ ' 1 ' ' ! t : 1 130 в На рисунке изображен параллелограмм ABCD, где DM = СМ, АО = п, АВ = а. Выразите: а) векторы АС и СО через вектор п; б) векторы DM и СМ через вектор а; в) вектор ВС через векторы а и п. Решение. а) Так как точка О является точкой пересечения__________ параллелограмма, то АО =____, и, значит, |АС1 =_|АО|. Кроме того, АСП____, следовательно, согласно определению произведения вектора на число, АС =__АО =_____п. Далее, |С01___|АО| и СО___АО, поэтому СО =_____АО =_____ 60 б) Противоположные стороны параллелограмма _______________ и_______________________________, поэтому DC___АВ = а. Далее, DM П DC и \DM\ =______\DC\, следовательно, согласно определению __________________ вектора на __________, DM =____DC =____а. Так как СМ f | DC и |СМ| - __\DC\, то СМ =___DC =______ в) По правилу треугольника ВС = ВА +__ = -а, АС = 2п, следовательно, ВС —___+ . Ответ. а) -------------------------- б) -------------------------- в) ------------ . Но ВА = 131----------------- Упростите выражение: а) -0,^(12о)^ б) 2,5Ь- l,lV; в) 3(Г+р) - 5р; г) 2(5р- Sq) - 3(3р- 2q). Решение. а) - 0^(12о^= (_• _ б) 2,5^-1,7?= (_____ +, Ответ, а) -)а = -)Ь = в) 3(с +__) -5р = __ -----+ (------)Р= - г) 2(5р -----) - 3 (. + + (- -) = -2q) = ■Р + ; б). ; в). ; г). 132 Докажите, что векторы с = 2(а +1,5р ) - Зр и а коллинеарны. Доказательство. с = 2(а +__) - 3^ = 2cl +_- 3^ = 2о^ + ( )/Г= 2а + +_____ р =____ а. По определению произведения вектора на _____________ векторы а и 2а ______________________, что и требовалось 133----------------------------------------------------- Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а) 1 • а = а; б)(-1)-а = -а. Доказательство. Если а = О, то обе части каждого равенства — нулевые векторы, поэтому равенства справедливы. Пусть а ^ 0. а) По определению произведения вектора на ______________ I 1-а I = 1_|-|_I = 1-1_I = I__I, а так как число 1 положительно, то векторы !• а и а____. Следовательно, по определению равных векторов 1- а _а. б) По определению _______________________________ вектора на число |(-;1)-а| = |__|-|__| =____-|___| =|__|, а так как ■> '■ > -1___О, то векторы (-1) • а и а противоположно __________ ________. По определению противоположного вектора | — а | = | а | и -ati______• Следовательно, |(-1)а|__|~а1 и (-1)а ft____, т. е. (-1) • а_- а. 134 к Точки К и М — середины сторон АВ и CD четырехугольника ABCD, изображенного на рисунке, точки Р и Т— середины диагоналей АС и BD. Докажите, что середины отрезков КМ и РТ совпадают. Доказательство. Пусть точка X — середина отрезка КМ, точка У — середина отрезка РТ. Тогда для произвольной точки О имеем: 6Х= ~{^_ОМ) (1) ОУ =____{ОР + ОТ). (2) По условию задачи точки К и М — середины отрезков АВ и _____, следовательно, ОК =_(ОА +_____) и ОМ =___(ОС +______). Аналогично ОР =___{ОА + ОС) и ОТ =___(ОВ -I-____). Подставляя найденные выражения в формулы (1) и (2), получим: ^ ОУ=___(___(ОА -ь ОС) -ь__(ОВ -ь______)) =_(ОА + ОВ +_______-ь +----). ОХ = ^ (i (ОА + ОВ) -ь_(ОС + OD)) = i (ОА + ОВ + ОС + 62 Отсюда следует, что ОХ = OY. Так как от точки О можно отложить только_____________________ вектор, равный данному, то точки X и ____ совпадают, следовательно, совпадают середины отрезков______и_____, что и требовалось доказать. В 135---------------------------- в трапеции ABCD, изображенной на рисунке, АК = КВ, СМ = MD, ВР = = РК, СТ = ТМ, ВС = 2 м, AD = 8 м. Найдите РТ. Решение. Так как АК =______и СМ =______, то отрезок КМ — средняя__________ трапеции, следовательно, КМ__ВС и КМ =____(ВС +______) =__(2 +__) = = — (м). В четырехугольнике ВСМК стороны ВС и КМ ______________ ___________________, а стороны ВК и___не параллельны, следовательно, ВСМК —____________________. По условию задачи ВР = =_____и СТ =_______, поэтому отрезок РТ — средняя________ трапеции ВСМК, и, следовательно, РТ = =--------------------=----- (м). Ответ. (ВС + -) = 136-------------------------- Прямая ОТ параллельна основанию CD трапеции ABCD, причем АО = OD. Докажите, что отрезок ОТ — средняя линия трапеции. Доказательство. В соответствии с определением средней ______________трапеции нуж- но доказать, что точка Т является ____________________стороны ВС. В 63 Предположим, что это не так, и пусть серединой стороны ВС является точка X. Тогда отрезок ОХ —__________________линия трапеции, поэтому ОХ___CD. Но по условию задачи ОТ____CD. Итак, через точку О проходят ________ прямые, параллельные прямой_______, что противоречит________________параллельных прямых. Следовательно, точка Т —____________________________ ВС, т. е. отрезок ОТ —_________________________ что и требовалось ______________________ трапеции. В 137--------------------------- в трапеции ABCD отрезок РТ — средняя линия, AD = 9 м, ВС = 5 м. Найдите длину отрезка КМ. Решение. По свойству средней __________ трапеции РТ___ВС и РТ =____(AD+ +_____). В треугольнике АВС отрезки АР и РВ равны и прямая РК параллельна стороне__, следовательно, отрезок РК — __________________________ линия треугольника АВС (задача 65). Поэтому РК =_ВС. Аналогично в треугольни- ке BCD ТМ = - ___ 2 Итак, КМ — РТ-{РК -1- -н__ВС) =__ВС +___AD - = — (м). Ответ. _____________ .) = _(ВС + -ь = -(AD 2 -) =_(9-_) = ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Четырехугольники § 1. Многоугольники__________ §2. Параллелограмм и трапеция § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат 11 Глава VI. Площадь § 1. Площадь многоугольника 14 §2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции 16 §3. Теорема Пифагора 21 Глава VII. Подобные треугольники Определение подобных треугольников § 1. Определение подобных треугольников______________________________2^ §2. Признаки подобия треугольников___________________________________2^ §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач_______2^ §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 33 Глава VIII. Окружность § 1. Касательная к окружности 37 § 2. Центральные и вписанные углы 40 § 3. Четыре замечательные точки треугольника §4. Вписанная и описанная окружности 44 49 Глава IX. Векторы § 1.Понятие вектора 53 § 2. Сложение и вычитание векторов 54 §3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 60 Учебно-методический комплект по геометрии для 7-9 классов: в. Ф. Бутузов РАБОЧАЯ ПРОГРАММА к учебнику Л. С. Атанасяна и др л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина УЧЕБНИК л. с. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ Б. Г. Зив, В. М. Мейлер ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ М. А. Иченская САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Т. М. Мищенко, А. Д. Блинков ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ л. с. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков, В. Б. Некрасов, И. И. Юдина ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ в 7 - 9 классах Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ к для 7-11 классов 0S ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО . '■еометрия Рабочая тетрадь В класса общеобраэовательь i 2 050000 001451 Цена: 119,00