Геометрия 10 класс Задачник Потоскуев Звавич

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич ЗАДАЧНИК ^орофа МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ Е. В. Потоскуёв, Л. И. Звавич ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧ НИК Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 2-е издание,стереотипное ВЕРТИКАЛЬ МОСКВА #орофа 2014 ГЭС УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 П64 Потоскуев, Е. В. П64 Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 кл. Углублённый уровень : задачник / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. — 2-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2014. — 255, [1] с. : ил. ISBN 978-5-358-13865-0 Задачник из состава УМК углублённого уровня Е. В. Потоскуева и Л. И. Звавича для 10 класса содержит более 1000 задач по стереометрии (дифференцированных по уровню сложности) и обеспечивает формирование умений и навыков использования утверждений теорем и определений, а также различных приёмов (векторного, координатного) при решении геометрических задач. Задачник УМК Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича может быть использован для подготовки к дальнейшему изучению математики в высшей школе, а также при изучении геометрии по учебникам других курсов. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, рекомендован Министерством образования и науки РФ и включён в Федеральный перечень учебников. УДК 373.167.1:514 ________________________________________________ББК 22.151я72 Учебное издание Потоскуев Евгений Викторович, Звавич Леонид Исаакович МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЯ. 10 класс. Углублённый уровень Задачник Зав. редакцией О. В. Муравина. Редактор Т. С. Зельдман Художественный редактор А. А. Шувалова. Технический редактор И. В. Грибкова. Компьютерная верстка С. Л. Мамедова Корректор Г. И. Мосякина в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2010 г. № 436-ФЗ знак информационной продукции на данное издание не ставится ш Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16508. Подписано к печати 15.05.14. Формат 60 х 90 '/к>- Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,0. Тираж 1500 экз. Заказ № 6156. ООО «ДРОФА». 127254, Москва, Огородный проезд, д. 5, стр. 2. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127254, Москва, а/я 19. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: [email protected] По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127254, Москва, Огородный проезд, д. 5, стр. 2. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Сайт ООО «ДРОФА»: www.drofa.ru Электронная почта: [email protected] Тел.: 8-800-200-05-50 (звонок по России бесплатный) Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат». 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93. www.oaompk.ru, www.oaoMnK рф тел : (495) 745-84-28, (49638) 20-685 ISBN 978-5-358-13865-0 ©ООО «ДРОФА», 2013 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебный комплекс Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Углублённый уровень. 10 класс» включает учебник, задачник, рабочую программу, методическое пособие для учителя. Настоящая книга представляет собой задачник по стереометрии для 10 классов с углубленным изучением математики. Учебный комплекс соответствует программе курса геометрии классов с углублённым изучением математики. В задачнике имеется более 1000 задач, соответствующих теоретическому материалу, изложенному в учебнике. Помимо этого в задачнике имеется следующее. • Дополнение, посвящённое планиметрии, которое содержит перечень важных теорем планиметрии и более 150 планиметрических задач разной степени сложности на построение, вычисление и на доказательство. Оно предназначено для повторения планиметрии и решения задач как учебного содержания, так и задач вступительных экзаменов в вузы, • Список задач на построение в пространстве, в котором содержатся опорные задачи, лежащие в основе решения большинства стереометрических задач курса. • Метрические формулы планиметрии и стереометрии; они в определённой мере заменят справочный материал. Активное и эффективное изучение стереометрии возможно лишь при условии решения достаточно большого числа задач различной степени сложности. Поэтому в задачнике изложению теоретического материала каждого параграфа учебника соответствует определённый подбор задач. Задачи по каждой теме систематизированы по принципу от простого — к сложному. Авторы, разумеется, не считают, что каждый должен решить все задачи или, наоборот, ограничиться решением задач только данного учебника — существует много замечательных задачников по стереометрии. В нашей книге в ос- Предисловие новном помещены наиболее типичные «учебные» задачи, как лёгкие, так и посложнее. В связи с большим количеством задач специальным значком © отмечены те задачи, которые наиболее необходимы для решения в классе и дома, трудные задачи отмечены значком Этот значок присутствует среди задач, соответствующих каждому из параграфов. В задачах, относящихся к главе в целом, мы такого ранжирования не делали, так как считаем, что учитель сам выберет понравившиеся ему задачи. К абсолютному большинству задач даны ответы, а к некоторым задачам — краткие указания. Для ряда стереометрических задач в тексте приводятся подробные решения. Задачник может быть полезен и отдельно от учебника для всех изучающих или повторяющих курс стереометрии. Его можно использовать на факультативах и спецкурсах, он пригодится и для подготовки к поступлению в вузы. Авторы выражают благодарность рецензентам учебника профессору Ирине Михайловне Смирновой, доктору педа- гогических наук Борису Петровичу Пигареву заслужен- ному учителю России, кандидату педагогических наук; Илье Евгеньевичу Феоктистову, учителю школы 1741 г. Москвы. Авторы отмечают неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати учителя математики Тамары Николаевны Потоскуевой. Авторы будут благодарны за все замечания, присланные по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, д. 49, стр. 1, издательство «Дрофа», редакция математики и информатики или на сайт издательства «Дрофа» www.drofa.ru. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Геометрические фигуры А, в, с, М, P,Q — точки; а, Ь, с, т,р, q — прямые; АВ — прямая, проходящая через точки А и В; а, (3, у — плоскости; (АВС) — плоскость, проходящая через точки А, В и С (т. е. плоскость АБС); (а. А) — плоскость, проходящая через прямую а и точку А; A(BC)D — двугранный угол с ребром ВС и гранями АВС и DBC; аар — двугранный угол с ребром а и гранями а и Р; Z (а, Ь) — угол между прямыми а и Ь; Z (а, а) — угол между прямой а и плоскостью а; Z (а, Р) — угол между плоскостями аир. Отношения между геометрическими фигурами = — равенство; ^ — подобие; II — параллельность; 1 — перпендикулярность; G — принадлежность элемента множеству; cz — включение одного множества в другое; п — пересечение множеств; U — объединение множеств. Например: Л АВС = Л А^ВуС^ — треугольник АВС равен треугольнику А^Б^С^; Л АБС ^ Л А^Б^С^ — треугольник АБС подобен треугольнику А^Б^С^; а II а — прямая а параллельна плоскости а; а ± а — прямая а перпендикулярна плоскости а; Условные обозначения А е а — точка А принадлежит плоскости а или плоскость а проходит через точку А; а а а — прямая а лежит в плоскости а или плоскость а проходит через прямую а; А € CL — точка А не принадлежит плоскости а или плоскость а не проходит через точку А; а $z! а — прямая а не лежит в плоскости а или плоскость а не проходит через прямую а; а па=А — прямая а пересекает плоскость а в точке А или плоскость а пересекает прямую а в точке А. Величины АВ, \АВ\, р(А; В) — длина отрезка АВ или расстояние между точками А и В; рСФр Фз) — расстояние между фигурами Ф^ и Фз; A{BC)D — величина двугранного угла; (а; Ь) — величина угла между прямыми аиЬ; (а; а) — величина угла между прямой а и плоскостью а; (а; р) — величина угла между плоскостями а и р. Прочие символы => — знак следования; заменяет слова «следовательно», «поэтому» ИТ. п.; о — знак равносильности; заменяет слова «тогда и только тогда», «равносильно» и т. п.; —> rip.ga — проекция вектора а на ось вектора Ь\ п. 23.4 — пункт 23.4; т. 3 — теорема 3. Глава ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них 1.001. Укажите среди перечисленных фигур плоские и неплоские фигуры: а) треугольник; б) ромб; в) окружность; г) параллелепипед; д) куб; е) пирамида; ж) сфера; з) ломаная АВСЕНу вершины Аи Н которой не принадлежат плоскости ВСЕ', и) фигура, состояЕдая из рёбер РА, РВ и PC треугольной пирамиды РАВС. 1.002. Назовите некоторые понятия геометрии, которым даются определения: а) в планиметрии; б) в стереометрии. 1.003. Какие основные понятия геометрии используются при определении: а) отрезка; б) окружности; в) треугольника; г) пирамиды? 1.004. © Центр О данной окружности и две её точки А и В принадлежат плоскости а. Всякая ли точка этой окружности принадлежит плоскости а? Ответ обоснуйте. 1.005. © Запишите символически и сделайте рисунки: а) плоскость а проходит через точки А и С; б) плоскость а проходит через прямую р; в) прямая р ^ АВ пересекает плоскость а в точке М; г) плоскости аир пересекаются по прямой с. 1.006. Прочитайте символическую запись, выполните рисунок и докажите: (а п р = а, Р е а, Q g Р) => PQ jz! р. 1.007. Постройте (с обоснованием) прямую, лежагдую в данной плоскости. 1.008. Постройте (с обоснованием): а) прямую, пересекающую данную плоскость; б) плоскость, пересекающую данную плоскость; в) плоскость, пересекающую данную прямую. 1.009. Две плоскости имеют две общие точки. Какая фигура является их пересечением? Ответ обоснуйте. I Глава 1 Введение в стереометрию Рис. 1 1.010. © Вершина В параллелограмма ABCD принадлежит плоскости а. Прямая AD пересекает плоскость а в точке М, а прямая CD — в точке Р (рис. 1). Верно ли выполнен рисунок? Ответ обоснуйте. 1.011. Нарисуйте четыре различные точки: а) принадлежаыцие одной плоскости; б) не принадлежагцие одной плоскости. 1.012. Можно ли провести плоскость через четыре произвольные точки пространства? Ответ обоснуйте. 1.013. © Точки А, В, С hD не принадлежат одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из них принадлежать одной прямой? б) Могут ли прямые АС и BD пересекаться? Ответ обоснуйте. 1.014. Каждые четыре точки некоторой фигуры Ф принадлежат одной плоскости. Докажите, что эта фигура является плоской. 1.015. Даны прямая а и точка В, не принадлежаыцая прямой а. Докажите, что все прямые, проходяыцие через точку В и пересекаюш;ие прямую а, лежат в одной плоскости. 1.016. © Прямые а н Ь пересекаются в точке С. Докажите, что все прямые, не проходягцие через точку С и пересекаю-пдие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходяш;ие через точку С? 1.017. Лежат ли в одной плоскости прямые а, Ь и с, если любые две из них пересекаются, но не суш;ествует точки, прина-длежаш,ей всем трём прямым? Выполните рисунок. 1.018. Каждые две из трёх прямых а, Ь и с пересекаются, но не суш;ествует плоскости, содержаш;ей все три прямые. Каким образом расположены данные прямые? Выполните рисунок. 1.019. © Через точку пересечения прямых АВ и АС проведена прямая /п, не лежаш,ая с ними в одной плоскости. Докажите, что прямые т и ВС не пересекаются. 1.020. Прямые а, Ь н Су лежаыцие в одной плоскости, пересекаются в точке О. Докажите, что существует плоскость, не проходящая через точку О, которая пересекает три данные прямые а, Ь н с. Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них 1.021. Прямые а, 6 и с проходят через точку М. Плоскость, не проходящая через точку М, пересекает прямые а, & и с в точках, не принадлежащих одной прямой. Докажите, что прямые а, Ь и с не лежат в одной плоскости. 1.022. © Прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь пересекает эту плоскость в точке С, не принадлежащей прямой а. Докажите, что прямые а и Ь не пересекаются. 1.023. Прямые ри q не лежат в одной плоскости. На прямой с, пересекающей прямые pnqe точках Р и Q соответственно, отмечена точка А, отличная от точек Р и Q. Можно ли через точку А провести ещё одну прямую, отличную от с и пересекающую ри q? 1.024. Прямые а и 6 не лежат в одной плоскости. Прямые т и п пересекают каждую из прямых а н Ъ в попарно различных точках. Верно ли, что прямые m и /г не пересекаются? 1.025. Точки Н, Е, Fy К — середины рёбер соответственно PC, АСу АВу РВ тетраэдра РАВС. Можно ли провести плоскость через прямые: а) PC и HF\ б) PC и КЕ; в) PC и EF\ г) НЕ и KF; д) EF и КН\ е) HF и КЕ1 1.026. % Дана плоскость а и три прямые АВу ВС и АС, пересекающие её соответственно в точках Aj, и С^. Докажите, что точки Aj, В^ и Cj принадлежат одной прямой. 1.027. ©Точка М лежит вне плоскости, проходящей через точки А, Б и С. Может ли четырёхугольник АВСМ быть трапецией? Ответ обоснуйте. 1.028. {Устно.) Справедливо ли утверждение: если вершины треугольника лежат в одном полупространстве относительно данной плоскости, то он весь лежит в этом полупространстве? Верным ли будет это утверждение, если вместо вершин треугольника взять середины всех трёх его сторон? Ответ обоснуйте. 1.029. Плоскости аир пересекаются по прямой а. В плоскости а дана точка А, а в плоскости р — такие точки Б и С, что прямые ВС и а пересекаются. Постройте прямые пересечения плоскости, проходящей через точки А, Б и С, с плоскостями аир. 10 1 Глава 1 Введение в стереометрию 1.030. © Плоскости аир пересекаются по прямой а. Через точку А прямой а проведена плоскость у, не содержащая прямую а. Докажите, что плоскость у пересекает плоскости а и р по двум различным прямым. 1.031. Плоский четырёхугольник ABCD и треугольник AMD не лежат в одной плоскости. По какой прямой пересекаются плоскости: о)АВМ и AMD; 6) АВС и CDM; b)ABD и ACM; г) АВС и BMD1 1.032. Две различные плоскости АВС и ABD проходят через точку М. При этом AM = 5, ВМ = 9. Найдите длину отрезка АВ. 1.033. Нарисуйте тетраэдр РАВС и выберите произвольные точки М G АВу К е АР. Постройте прямые пересечения плоскостей: а) АВР и СМК; б) СМК и АВС; в) СМК и АРС. Какая фигура получилась в сечении данного тетраэдра плоскостью СМК? 1.034. Плоскость а проходит через вершину Р тетраэдра РАВС и точки М е АВ К & ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью а. Плоскость р пересекает рёбра РА, РВ и PC соответственно в точках D, Е viF. Постройте сечение тетраэдра плоскостью Р и укажите отрезок прямой пересечения плоскостей аир, лежащий внутри тетраэдра. 1.035. © Дан куб ABCDA^B^C^D^. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости: а)АА^В^ и AA^D-^; 6)АА^С и ВССр в)АВ^С^ vlAA^B; т) ACD^vlCDD^; j\)A^BCvlACD. 1.036. (Устно.) На рисунке 2 изображён куб ABCDA^B^C^D^; К — середина отрезка ВС, О = АС п ВВ, Oj = n B^Bj. Постройте отрезки, по которым плоскость А^ВС^ пересекает грани ABBjAj, A^B^C^D^ и BCC^Bj данного куба. Выясните, лежит ли: а) прямая BOj в плоскости А^ВС^; б) прямая BjO в плоскости BBBj; в плоскости А^ВС^; в) прямая А^О в плоскости АСС^; в плоскости ВВС^. Пересекает ли прямая С^К прямые: а) АВ; б) ВВ^; в) АС? Рис. 2 11 Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них 1.037. © Начертите куб ABCDA^B^C^D^ и выберите две про- извольные точки М и. К внутри грани ABCD, Постройте: а) прямую пересечения плоскости А^МК и плоскости грани ABCD куба; б) точки пересечения плоскости А^МК с прямыми, содержащими рёбра AD, ВС и DD^ куба; в) отрезки прямых, по которым плоскость А^МК пересекает грани ABBjAp ADDjAj и куба. 1.038. Через концы трёх рёбер куба, исходящих из одной вершины, проведена плоскость. Постройте линии пересечения этой плоскости с гранями куба. Найдите периметр и площадь фигуры, образованной полученными линиями, если ребро куба равно 1. 1.039. Постройте линии пересечения куба и плоскости, проходящей через середины трёх его рёбер, исходящих из одной вершины. Найдите периметр и площадь фигуры, получившейся при этом пересечении, если ребро куба равно 1. 1.040. § Дан правильный тетраэдр EFGS, у которого EF =12. Точки L и N лежат на рёбрах SG и SE соответственно, причём SL = 3, SN = 3. Точка Т — середина ребра SF. 1) Постройте: а) точку Yj пересечения прямой TL и плоскости EFG; б) точку Yg пересечения прямой TN и плоскости EFG в) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF г) прямую пересечения плоскостей LY^Yg и NFE. 2) Найдите а) длину отрезка Y^Yg; б) отношение, в котором плоскость -LYjYg делит отрезок SB, считая от точки S. 1.041. На рисунке изобразите четыре прямые так, что они не лежат в одной плоскости, а любые две из них пересекаются. 1.042. © Четыре прямые проходят через одну и ту же точку, но ни какие три из них не лежат в одной плоскости. Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит какие-либо две из данных прямых? Выполните рисунок. 1.043. Как могут быть расположены прямые а, Ь, с и d, если известно, что все они не лежат в одной плоскости, а через любые две из них можно провести плоскость? Выполните рисунок. 1.044. {Устно.) © Нарисуйте два треугольника АВС и АВН^ не лежащие в одной плоскости. Возьмите на отрезках АС и 12 I Глава 1 Введение в стереометрию ВС соответственно точки К и Н. Пусть L — точка пересечения прямых КН и АВ. Найдите точку пересечения прямой КН и плоскости Ответ обоснуйте. Будет ли прямая КН пересекать плоскость АВН, если точки К и Н — середины отрезков АС и ВС7 Ответ обоснуйте. 1.045. Фигура состоит из треугольников АВС и АСН, не лежащих в одной плоскости. Постройте сечение этой фигуры плоскостью, которая проходит через: а) точки М, Он Р — середины отрезков соответственно АН у СН и АВ\ б) точку В, точки К нО — середины отрезков АС и СН. 1.046. Дан правильный тетраэдр РАВС; М — центроид (точка пересечения медиан треугольника) грани АВС; К н L — середины рёбер соответственно ВС и АС. Постройте сечения тетраэдра плоскостями АКР, РМС и BPL. Постройте общий отрезок (если он существует), принадлежащий всем трём сечениям. 1.047. Основание четырёхугольной пирамиды PABCD — четырехугольник ABCD, не являющийся трапецией. 1) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости: а) РАС и PBD; б) РВМ и РСН, где М и Н — середины рёбер соответственно PC и РА. 2) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку К — середину ребра PD. 1.048. ©Пусть РАВС — тетраэдр. Постройте его сечение плоскостью а = (МЕК), если: а) точки М, К и Е принадлежат рёбрам соответственно РА, РВ и АС так, что AM : МР = 3 : 1, ВК : КР =1:2, АЕ : ЕС = 1 : 1; б) точки М и Е лежат на медианах PH и CF треугольников соответственно РАВ и РВС, а точка К — середина ребра PC. 1.049. © ABCDA^B^C^D^ — куб. Постройте его сечение плоскостью а = (РМК), если: а) точки Р, М н К принадлежат соответственно рёбрам jBBj, CCj и DD^ так, что ВР : РВ^ = = 1:3, СМ: MCj = 3:1, DK : KD^ = 3 : 2; б) точки М, Р и К — середины рёбер соответственно АВ, ВС и DD^. 1.050. © Постройте сечение куба ABCDA^B-^C^D^ плоскостью, проходящей через точки Р, М и К, если: а) точки Р и М лежат внутри квадрата ABCD, точка К — середина ребра АА^; б) точки Р, М и К — середины рёбер соответственно AjEj, BjCj и CCj. 13 Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них 1.051. © На рисунке 3 изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые пересекают плоскость а. Верно ли сделан рисунок? 1.052. § Вершина А ромба ABCD со стороной а принадлежит плоскости а, а остальные его вершины лежат в одном полупространстве относительно плоскости а. Известно, что прямая BD пересекает плоскость а в точке К. а) Постройте точки Р и Q пересечения плоскости а с прямыми ВС и CD. б) Найдите отношение РА : AQ, если BD : DK =3:1. 1.053. © Определите вид треугольника DEF, если: а) через прямую, содержащую сторону РП, и точку пересечения высот треугольника можно провести, по крайней мере, две различные плоскости; б) через медиану DK и центр вписанной в треугольник окружности можно провести, по крайней мере, две различные плоскости; в) существует прямая, не лежащая в плоскости DEF, но пересекающая биссектрису DK и содержащая центр окружности, описанной вокруг треугольника KDF. 1.054. Докажите, что через точку пересечения диагоналей трапеции и середины её оснований можно провести более чем одну плоскость. 1.055. Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на правильный треугольник ACD со стороной 10 и прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС и катетом АВ, равным 5. Этот четырёхугольник перегнули по диагонали АС так, что точка В не лежит в плоскости ACD. На прямой АС взяли точку М так, что сумма длин отрезков ВМ и MD — наименьшая. Найдите значение этой суммы. 1.056. Точка В не принадлежит плоскости правильного треугольника ACD со стороной 10. Длина отрезка АВ равна 5, угол АВС — прямой. Точка М принадлежит прямой АС. Найдите наименьшее значение длины ломаной BMD. Л .0Ъ7. АВСА^В^С^ — правильная треугольная призма, все рёбра которой имеют длину а. Точка М — середина А^В^\ 14 1 Глава 1 Введение в стереометрию точка Р — середина ВС. Постройте сечение призмы плоскостью АМР, определите его вид и длины всех его сторон. 1.058. ABCDA^B^C^D^ — куб с ребром а. Точка Р — середина А^В^\ точка К — середина СС^; точка D — середина AM. Постройте сечение куба плоскостью РМК и найдите его сторону на грани A^B^C^D^. 1.059. MABCD — правильная четырёхугольная пирамида. МО — её высота; АВ = МО = а; точка Р — середина МС. Точка К лежит на отрезке МО так, что МК = ^ . Постройте се- О чение пирамиды плоскостью KPD, определите его вид и найдите его сторону на грани СМВ. 1.060. 1 ABCDA^B^C^D,^ — куб с ребром а. О — точка пересечения диагоналей грани A^B^C^D^’, точка К — середина DC\ точка М лежит на луче ВВ^, В^М ^ 2а. Постройте сечение куба плоскостью ОКМ и определите его вид. 1.061. ©В кубе ABCDA-^B^C^D^ с ребром 6 точка К принадлежит ребру ВВ^ и ВК : КВ^ = 5:1, точка Р принадлежит ребру DDy и DP : PD^ = 1:5. Найдите расстояние от вершины С до общей точки трёх плоскостей А^КР, ABD и КРС^. 1.062. В правильном тетраэдре МАВС с ребром 4 точки Т и N принадлежат ребру AM, точка Р — середина ребра МВ, точка К принадлежит ребру МС и МК = SKC. Найдите расстояние от общей точки плоскостей МАВ, NKP и ТРК до прямой АВ. 1.063. 1В кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром длины 4 точка М принадлежит ребру АА^ и AM = 3, точка Р принадлежит ребру CCj и РС^ = 1, точка К делит ребро DD^ в отношении 1:3, считая от D. Найдите расстояния от вершины В до прямой пересечения плоскостей КМР uADC. 1.064. Ребро правильного тетраэдра МАВС равно 18. Точки Р и К являются соответственно серединами рёбер AM и ВМ, а точка Т делит ребро МС в отношении МТ : ТС = 4:1. Найдите расстояние от вершин А, В и С до общей прямой плоскостей ТРК и АВС. 15 Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них Графическая работа № 1 © Тема: «Следствия из аксиом стереометрии» Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения. 1. Прямая МР лежит в плоскости а. 2. Прямая АВ пересекает плоскость а в точке М. 3. Плоскость а проходит через прямую а и точку М, не принадлежащую прямой а, и пересекает прямую Ь в точке М. 4. Прямые МС и МВ пересекают плоскость р в одной и той же точке. 5. Прямые МС и МВ пересекают плоскость у в разных точках. 6. Прямые а и fe, изображённые на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны. 7. Прямые а и fe, изображённые на рисунке пересекающимися, на самом деле не имеют общих точек. 8. Плоскости аир имеют общую прямую а и пересекают прямую КМ соответственно в точках К и М. 9. Плоскости аир пересекаются по прямой с, а плоскости а и у также пересекаются по этой же прямой с. 10. Плоскости аир пересекаются по прямой МР, а плоскости а и у пересекаются по другой прямой — прямой МТ. 11. Прямые а, Ь VI с имеют общую точку О и лежат в одной плоскости. 12. Прямые а, Ь и. с имеют общую точку О, но не существует плоскости, в которой лежат все эти три прямые. 13. Плоскости а, р и у имеют единственную принадлежащую всем трём плоскостям точку О. 14. Прямые АВ и МТ таковы, что точка А не принадлежит плоскости ВМТ, а точка В не принадлежит прямой МТ. 15. На прямой а, пересекающей плоскость а в точке А, выбраны по разные стороны от А точки М и Т. Прямые ММ^ и ТТ^ параллельны между собой и пересекают плоскость а соответственно в точках и Т^. 16. Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости а, а вершина С не лежит в а. Прямая d пересекает стороны СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость а — в точке К. 16 I Глава 1 Введение в стереометрию Задачи к главе 1 1.065. На рисунках 4—18 показаны точки М, Р и R. Постройте сечение этого куба плоскостью MPR в каждом из заданных расположений точек М, Р viR, 1.066. ABCjDAjBjCjDj — куб с ребром 1. Точка Q — центр грани ABCD, точка М — центр грани точка Р — центр грани АВВ^А^, точка К — центр грани A^B^C^D^. Найдите длины отрезков: а) MQ; б)МР; в)ВК; г)АС^; Д,)МА,. Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 М е (ВВ^С^) М е (А^В^С^) М е (А^В^С^) Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 17 Задачи к главе 1 Cl >/г:7 л / V 1 1 •м 1 [в С 7 р А / •R i Рис. 16 R е (АВС) Рис. 17 Р G (АА,В,) R е (AiBiCi) М е {DD^C^) Рис. 18 1.067. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 1 точки Н, R и М — центры его граней соответственно АВС, РАС и РВС; точки Du F — середины рёбер соответственно РВ и ВС. Найдите длины отрезков: а) PH; б) RH; в) AM; г) RM; д) DF. 1.068. РАВС — правильный тетраэдр. Все рёбра имеют дли- ну 8; М — середина АР; К — середина ВР; точка Е лежит на ребре PC; РЕ = 6.1) Постройте: а) точку пересечения прямой ME и плоскости АВС; б) точку Х2 пересечения прямой КЕ и плоскости АВС; в) точку пересечения прямой ME и плоскости АКС; г) прямую пересечения плоскостей МХ^К и Х2РС. 2) Найдите: а) длину отрезка б) отношение, в котором плоскость MX^Xg делит отрезок РВ (считая от точки В). 1.069. ABCDA^B^C^D^ — куб с ребром 8; точка М — середина AAj, точка N лежит на ребре DD^; D^N = 6. 1) Постройте: а) точку Xj пересечения MN и плоскости АВС; б) точку Xg пересечения MN и плоскости А^В^С^; в) точку Xg пересечения BXj и плоскости DD-^C; г) обш;ую прямую плоскостей XjXgXg и АА^В. 2) Найдите: а) длину отрезка XjXg; б) отношение, в котором точка Xg делит отрезок DC (считая от D). 1.070. Дана правильная треугольная призма АВСА^В^С^, все рёбра которой имеют длину а. Точка С — середина отрезка CjP, К — точка пересечения диагоналей грани 18 1 Глава 1 Введение в стереометрию ЛА^С^С, М — точка пересечения диагоналей грани ВВ^С^С. Постройте сечение призмы плоскостью РКМ и определите длины его сторон, лежащие в плоскостях АВС и А^В^С^. 1.071. § MABCD — правильная четырёхугольная пирамида. О — точка пересечения диагоналей ABCD. МО = АВ = а. Точка О — середина отрезка МР; точка К — середина MD; точка Т принадлежит лучу ВС, СТ = ^ , и С лежит между В О и Т. Постройте сечение пирамиды плоскостью РКТ, определите его вид и найдите длину стороны сечения, лежащую на основании пирамиды. Глава ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 6. Классификация взаимного расположения двух прямых 2.001. © Точки А, Б, С и Р не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые ВС и АР скрещиваются. 2.002. © Нарисуйте куб ABCDA^B^C^D^. 1) Выделите в нём ребро ВВ^ и назовите все рёбра куба: а) параллельные ему; б) пересекающие его; в) скрещивающиеся с ним. 2) Выделите диагональ AD^ грани ADD^A^ куба и назовите диагонали других граней: а) параллельные AD^\ б) пересекающие её; в) скрещивающиеся с ней. Ответ обоснуйте. 2.003. Каково взаимное расположение прямых, содержащих рёбра А^Б^ и ВВ^ куба ABCDA^Bfi^D^‘7 Существуют ли в плоскости грани АА^В^В прямые, пересекающие каждую из прямых AjDj и ВВ^1 Если существуют такие прямые, то каково их число? 2.004. © Прямая а лежит в плоскости а. Прямая Ъ параллельна прямой а и имеет общую точку М с плоскостью а. Доказать, что прямая Ь также лежит в плоскости а. Решение. Так как прямые а и Ь параллельны, то через них можно провести плоскость. Обозначим её р (рис. 19). Прямая Ь проходит через точку М, поэтому плоскость Р проходит через прямую а и точку М. Но через М vl а проходит и плоскость а. По теореме 1 плоскости аир совпадают. Это означает, что Ь с а. Заметим, что можно рассуждать и так. Предположим, что прямая Ъ не лежит в плоскости а, а имеет с ней только одну общую точку М, т. е. прямая Ь пересекает плоскость а в точке М. Рис. 19 20 I Глава 2 Прямые в пространстве Так как прямые аиЬ параллельны, то они не пересекаются. Значит, точка М пересечения прямой Ь с плоскостью а не принадлежит прямой а, которая, в свою очередь, лежит в плоскости а. Тогда по признаку скрещивающихся прямых прямые а и Ь должны скрещиваться. Это противоречит условию задачи: а || Ь. Следовательно, предположение о том, что прямая Ь не лежит в плоскости а, неверно. Это означает, что Ь с а. 2.005. Прямые а и Ь параллельны. Прямая Ь лежит в плоскости а. Может ли прямая а пересекать плоскость а? 2.006. Дано: а || Ъ, || а, || Ъ. Каково взаимное положение прямых и bj? Ответ обоснуйте. 2.007. Даны четыре попарно параллельные прямые а, Ь, с и dy никакие три из которых не лежат в одной плоскости. Нарисуйте все плоскости, проходящие через каждые две из данных прямых. Сколько таких плоскостей можно провести? 2.008. © Дано: прямые а и Ь скрещиваются, || а, || Ь. Каким может быть взаимное расположение прямых иЬ^? Ответ обоснуйте. 2.009. © Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Точки Ар Ag, Ад лежат на прямой а, точки Б^, Бд, Бд — на прямой Ь. Могут ли отрезки А2Б2 и АдБд иметь общую середину? Ответ обоснуйте. 2.010. © Докажите, что середины рёбер АР, СР, ВС и АБ тетраэдра РАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой служат эти точки. 2.011. © Прямые а и Ь параллельны. Докажите, что все прямые пространства, пересекающие обе прямые а ж by лежат в одной плоскости. 2.012. Даны два параллелограмма ABCD и АВРКу не лежащие в одной плоскости. Докажите, что треугольники AKD и БСР равны. 2.013. Треугольник АВС лежит в плоскости а. Через его вершины проведены параллельные прямые, не лежащие в плос- 1 21 ______Задачи к § 6. Классификация взаимного расположения двух прямых КОСТИ а. На них отложены равные отрезки ВВ^ и СС^ по одну сторону от а. Докажите, что треугольники АВС и А^В^С^ равны. 2.014. © Плоскости аир пересекаются по прямой р. Точка А лежит в плоскости а, точка В — в плоскости р, причём ни одна из них не лежит на прямой р. Докажите, что прямые р и АВ скрещиваются. 2.015. © Конец В отрезка АВ лежит в плоскости а; С — внутренняя точка отрезка АБ. Через А и С проведены параллельные прямые, пересекающие а соответственно в точках А^ и Cj. Найти длину отрезка СС^, если: а)БС = 12, АБ : АА^ = = 3:5; 6)AAi = 15, АС : СВ = 2 : S; b)AAj = 21, АС : АВ = = 2:7. Решение. Параллельные отрезки АА^ и CCj определяют плоскость р, которая содержит отрезок АБ и пересекает плоскость а по прямой AjCp проходящей через точку Б (рис. 20). Для вычисления длины отрезка СС^ используем обобщённую теорему Фалеса в плоскости р. Исходя из условия CCj || АА^, имеем: Рис. 20 а) АБ : AAj = БС : CCj = 3 : 5, откуда CCj = ^ БС = 20; б) АС : СБ = 2 : 3 => БС : АБ = 3 : 5 => БС = ? АБ. 5 Далее, А СБС^ Д АБА^ => ВС : АБ = СС^ : АА^ => СС^ = ВС-АА^ _ 0,6АВ-АА^ АВ АВ = 0,6*15 = 9; в)АС : АБ = 2 : 7 => БС : АБ = 5 : 7 => БС = ^АБ. Тогда А СБС1 ~ А АБА1 => CCi : AAi = ВС : АВ ^ СС^ = ВС-АА АВ = ^AAi = 15. Ответ: а) 20; б) 9; в) 15. 22 1 Гпава 2 Прямые в пространстве 2.016. § Прямая АВ пересекает плоскость а. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Aj, В^ и Cj. Рассмотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость а; 2) отрезок АВ пересекает а. В каждом случае найдите: а) длину отрезка CCj, если: АА-^ = 7, ВВ^ = 5; б) длину отрезка AAj, если BBj = 7, СС^ = 11. 2.017. Даны прямые аиЬ, Какую фигуру заполняют все прямые пространства, пересекающие а и параллельные &, если прямые а и Ь: а) скрещиваются; б) пересекаются; в) параллельны? 2.018. Дан тетраэдр РАВС. Точки К^, iTg, — середины рёбер соответственно АР, АВ, ВС, СР, РВ, АС. Как расположены прямые: а) АР и ВС; и ВС; в) и г) и д) и е) и ж) iiTgiiTe 2.019. § Через вершины А, В, С и В параллелограмма ABCDy расположенного в одном полупространстве относительно плоскости а, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость а соответственно в точках Aj, В^, С^, Bj, О^, М^. Найдите ММр OOj и BBj, если AAj = 17, CCj = 5, BBj = 15. 2.020. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если: а) они обе лежат в одной плоскости; б) не существует плоскости, в которой они обе лежат; в) одна из них лежит в плоскости а, другая — в плоскости Р; г) одна из них лежит в плоскости а, а другая пересекает эту плоскость? Сделайте соответствующие рисунки. 2.021. © Каждая из двух прямых атлЪ скрещивается с третьей прямой с. Верно ли, что прямые а и Ь скрещиваются? Ответ обоснуйте. 2.022. © Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь и не принадлежащая им точка С. Через точку С проведите прямую р, чтобы она пересекала прямые а и Ь. Всегда ли задача имеет решение? i 23 _______Задачи к§ 6. Классификация взаимного расположения двух прямых 2.023. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Точки Aj, Ag, Ag принадлежат прямой а, точки Вд, Вд — прямой Ь; точка Bj — середина отрезка А^С^, точка Bg — середина AgCg, точка Bg — середина AgCg. а) Могут ли совпадать точки Cj и Cg? б) Чему может быть равно расстояние CgCg, если CjCg = CjCg = 7? 2.024. © В треугольнике АВС точка К — середина АС, М — центроид треугольника. Через точки А, By Су М и К проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость у в точках Aj, Bj, С^, и соответственно; АА^ = 8, BBj =^11, iiTiiLi = 5. Найдите ММ^ и СС^, если плоскость у не пересекает треугольник. 2.025. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 2.026. © Дан тетраэдр ABCD; Ку Р — произвольные точки рёбер соответственно ВС и AD. Определите фигуру, образованную серединами всех таких отрезков РК. 2.027. Дан куб ABCDA^B^C^D^. Точки Pj, Pg, Pg, Р^, Pg, Pg, Ру — середины рёбер соответственно AjBj, В^С^, ВВ^, СС^, ВВр АВ и AD. Как расположены прямые: а) P^Pg и Р3Р4; б) Р2Р3 и PgPy; в) РдРз и РдРу; г) Р5Р7 и РдР^; д) PgPs и РдР^; е) P^Pg и Р4Р5; ж) PjPg и PgPy? 2.028. Точка В не лежит в плоскости треугольника АВС. Точки Мр Mg, Mg, М4 — центроиды треугольников соответственно BDCy ACDy ABD и ABC; точки iiCg, iiCg — середины отрезков соответственно ВС, CD и АВ. 1) Определите взаимное положение прямых: а)АМ^ и ВС; 6)DM^ и АВ; в) АМ^ и ВВ; г) MjM4 и АВ; д) BiiCg и BiiCg; е) CiiCj и АВ. 2) Найдите отношение: а) б) MgM4 : ВВ. 2.029. § Пусть точка В не лежит в плоскости АВС; точка К — середина АВ; точка Р — середина СВ; точка М — центроид треугольника АВС. а) Докажите, что фигура ADPB не может быть трапецией, б) Докажите, что прямые DM и КР пересекаются. в) В каком отношении (считая от В) прямая КР 24 I Глава 2 Прямые в пространстве делит отрезок DM? г) Определите взаимное положение прямых МР и AD. Ответы обоснуйте. 2.030. © В тетраэдре РАВС точки К2, ^1» ^2 — середины рёбер соответственно АР, СР, АВ, СВ. Докажите, что отрезок, по которому пересекаются треугольники ВК^К2 и параллелен ребру АС и равен Задачи к § 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые 2.031. Прямая AM не лежит в плоскости квадрата ABCD, угол MAD — прямой, а угол МАВ равен 30°. Найдите угол: 1) между лучами: о) DC и AM; б) БС и МА; в) AM и CD; 2) между прямыми: а) DC и AM; б) ВС и МА; в) АС hAD. 2.032. Является ли верным утверждение: две прямые в пространстве, перпендикулярные третьей прямой, параллельны, если: а) все три прямые лежат в одной плоскости; б) все три прямые параллельны одной плоскости; в) каждые две из них скрещиваются? 2.033. ПрямыеаиЬ параллельны, прямая с перпендикулярна прямой а. Перпендикулярны ли прямые бис? Может ли прямая а пересекать плоскость, в которой лежат прямые Ь и с? 2.034. В кубе ABCDA^B^C^D^ диагонали АС и BD грани ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между прямыми: а) и AjCj; б) АБ и DC^; в) АБ и C^D^; г) ADj и OD^; д) AAj и OD^. 2.035. Точка Е — середина ребра СС^ куба ABCDA^B^C^D^. Постройте угол между прямыми А^Б и Б^Б и найдите его величину, если длина ребра куба равна а. 2.036. Пусть Б и F — середины рёбер соответственно АБ и AD куба АБСБА^Б^С^Бр Опустите перпендикуляры из вершины А j на следующие прямые: а) АБ^; б) Б^Б; в) ББ; г) EF; A)C^D. i 25 Задачи к главе 2 2.037. § EFGHE^F^G^H^ — куб. Точки Lj N иТ — середины рёбер Fy^Gi, G^H^ и Н^Н соответственно; К — точка пересечения диагоналей грани EE^F^F. Заполните таблицу расположения прямых и величин углов между ними. № Прямые Расположение Величина угла между прямыми 1 LN Vi EG 2 F^TuFH 3 F^N и КТ 4 TNvlEG 5 F^TvlKN 6 КН^ и LN 2.038. © Найдите угол между непересекающимися диагоналями двух соседних граней куба. 2.039. Точка Е — середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые: а) АР; ВС и АВ; 6) АС. Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а. Задачи к главе 2 2.040. Даны скрещивающиеся прямые а и прямая с пересекает каждую из данных прямых. Докажите, что любая прямая, параллельная прямой с, скрещивается по крайней мере с одной из прямых а, Ь. 2.041. g Из всех вершин и точки М пересечения диагоналей трапеции ABCD, расположенной в одном полупространстве относительно плоскости а, проведены параллельные прямые AAj, БВр CCj, DD^, MMj до пересечения с плоскостью а. 26 I Глава 2 Прямые в пространстве Точки Aj, Bj, Ср Bj, Mj принадлежат плоскости а. Найдите MMi и ССр если ВС |! AD; ВС = ^АВ; АА^ = 18; ВВ^ = 7; BBi= 10. 2.042. Пусть точка В не принадлежит плоскости треугольника АВС. а) Докажите, что прямые AD и ВС скрещиваются. б) Докажите, что прямые ВМ^ и AM2 пересекаются (М^ и М2 — точки пересечения медиан треугольников АВС и DBC). в) В каком отношении (считая от точки В) прямая AM2 делит отрезок BMj? г) Определите взаимное расположение прямых AD и MjMg. Ответ обоснуйте. 2.043. В тетраэдре А^А2А^А^ с ребром 6 точки Pg» -^4’ Р5, Pg — середины рёбер соответственно А^А2, А2А3, АдА^, А4А1, А4А2, А4А3; Mj, М2, М3, М4 — центроиды граней соответственно A2A 3А4, А3А4АР A4AjA2, А^А2Аз (рис. 21). 1) До- А. кажите, что: а) прямая А4М4 скрещивается с каждой из сторон треугольника А^А2Аз; б) четырёхугольник A^A^PqA2 — не трапеция; в) рёбра тетраэдра М^М2М^М^ параллельны соответствующим рёбрам данного тетраэдра. 2) Проверьте, не является ли тетраэдр MJM2M3M4 правильным. Если этот тетраэдр — правильный, найдите длины его рёбер. 3) Найди- i 27 Задачи к главе 2 те углы между следующими прямыми: а) и А2А4; б) и P^Pq; в) P2P а и ^1^4; г) М2М4 и А2Р4. 2.044. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка Н лежит на ребре АВ так, что АН : НВ = 1:3. Проведите через точку Н перпендикуляры на следующие рёбра тетраэдра: а) АС и АР; О) ВС и БР; в)АБ (в каждой из граней АВС и АВР), Найдите длину каждого перпендикуляра. 2.045. ABCDA^B^C^D^ — куб с ребром а; О2, О3, О4, О5, Og — центры граней соответственно АББ^Ар БСС^Б^, CjDjDC, AAjDjZ), ABCDy A^B^C^D^; — центроид тре- угольника АСБ^ (рис. 22). Определите: 1) взаимное положе- ние прямых: а) DjMj и АС; б) АС и БСр в) 0^02 и О3О4; г) О^Оз и ББ; д) Б^05 и БС^; 2) какой фигурой является четырёхугольник 0^0з0з04; 3) отношение отрезков: а) 0^0^ и Б^С^; б) OjOg и Б^Б; в) и А^А; 4) величину угла между прямыми: а) AjCj и АБ^; б) А^Б и АС; в) А^Б и БС^; г) СБ^ и БО0; д) А^Б и СБ. 2.046. 2 Точки А, Б, С и Б не принадлежат одной плоскости. Точки iiT, М, LhN принадлежат соответственно отрезкам ББ, АБ, АС и БС так, что DK: КВ = DM: МА = CL : LA = = CN : NB =1:4. Определите периметр четырёхугольника KMLNу если АБ = 25, СБ = 30. 28 1 Гпава 2 Прямые в пространстве 2.047. В кубе АВСDA^B^C^D^ точка М — середина точка Б — середина точка К — середина БС, О — точка пе- ресечения диагоналей квадрата АБСБ. Заполните таблицу. № Прямые Расположение Величина угла между прямыми 1 АА-^ и СС^ 2 А^С-^ и 3 А^С^ и C^D^ 4 А^М и CCj 5 А^Б и БС^ 6 А jCj и BD 7 А^С и АС 8 А^В и Б^С 9 А^С и ВВ^ 10 A^D к АС 11 А^МиВС 12 А^МиВК 13 С^КкВ^Р 14 С^О и АБ^ 15 А^Б и Б^Б 2.048. Дан правильный тетраэдр РАВС. Точка К — середина ребра РВ. Опустите из точки К перпендикуляры на прямые: а) АР; б) АС; в) ББ, где точка Н — середина ребра АС, 2.049. В правильной треугольной пирамиде РАВС с вершиной Р углы АРВу ВРС и АРС — прямые. Точка Н — центр правильного треугольника АВС. Опустите из точки Н перпендикуляры на прямые: а) СР; б) ВР; в) АР. 29 Задачи к главе 2 2.050. В основании пирамиды РАВС лежит правильный треугольник АВС у а треугольники РАВ и РАС — прямоугольные, причём АР = АВ. Точка М — середина ребра РА. Опустите перпендикуляры из точки М на следующие прямые: а) ВС\ б) PC; в) АН., где точка Н — середина ребра ВР. 2.051. В правильной пирамиде РАВС с вершиной Р углы АР В, ВРС и АРС — прямые. Точка Н — середина апофемы РК грани ВРС. Опустите из точки Н перпендикуляры на прямые: а) СР; б) АС; в) АР. 2.052. Пусть точка М — середина ребра АВ пирамиды ABCDj а точка N делит ребро АС в отношении 1 : 2, считая от вершины А. Докажите, что в плоскости грани BCD нет ни одной прямой, параллельной прямой MN. 2.053. ^ Равнобедренные трапеции АВСР и РСМК имеют общую боковую сторону и лежат в разных плоскостях, причём ВС = 3, АР = 12, РК == 24. Определите взаимное расположение прямых АВ и МК при каждом из следующих значений длины отрезка МС: а) 5; б) 6; в) 7; г) 8. 2.054. %ABCD — правильный тетраэдр с длиной ребра 7. Точки М и К — середины рёбер BD и АС соответственно. Точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 2, считая от точки С. Найдите длину заключённого внутри тетраэдра отрезка прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой КМ. 2.055. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите величину угла между прямыми: а) АС и DE^; б) А^В и C^D; в)А^В и B^D; г) AjP и CjP; д) AjP и B^F. Глава ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ в ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 8. Параллельность прямой и плоскости 3.001. Через данную точку А, не принадлежащую данной ПЛОСКОСТИ а, проведите прямую, параллельную а. 3.002. Верно ли утверждение: если прямая параллельна ПЛОСКОСТИ, то она не пересекает ни одной прямой: а) лежащей в этой плоскости; б) параллельной этой плоскости? Ответ обоснуйте. 3.003. Известно, что прямая т параллельна плоскости а. Параллельна ли эта прямая любой прямой, лежащей в плоскости а? Ответ обоснуйте. 3.004. Через данную прямую а проведите плоскость, параллельную данной прямой Ь. (Рассмотрите возможные случаи взаимного расположения прямых а и 6.) 3.005. Даны две скрещивающиеся прямые аиЬ, Через каждую точку прямой а проводится прямая, параллельная прямой Ь. Доказать, что все такие прямые лежат в одной плоскости. Как расположена эта плоскость по отношению к прямой Ь? Ответ обосновать. Решение. Отметим на прямой а произвольную точку В и проведём через неё прямую с (единственную!), параллельную прямой Ь. Через пересекающиеся прямые а и с проводим плоскость (единственную!). Обозначим её через а (рис. 23). Эта плоскость (по признаку параллельности прямой и плоскости) параллельна прямой Ь. Пусть М — произвольная точка прямой а, т — прямая, проходящая через точку М параллельно прямой Ь. Тогда прямая т параллельна прямой с (т. 7) и лежит в плоскости а (почему?). В силу произвольного выбора точки М на пря- 31 Задачи к§ 8. Параллельность прямой и плоскости мой а можно сделать вывод: все прямые пространства, параллельные прямой Ь и пересекающие прямую а, лежат в плоскости, которая проходит через прямую а и параллельна прямой Ь. Самостоятельно докажите единственность плоскости а. 3.006. © В тетраэдре ABCD точки К, F, N и М — середины рёбер соответственно AD, BD, ВС и АС. Заполните таблицу, выбрав (обведя в кружок) определённое вами расположение указанных прямой и плоскости: А — пересекаются, Б — параллельны, В — прямая лежит в плоскости, Г — невозможно определить. № Прямая и плоскость Взаимное расположение 1 DB и AMN АБВГ 2 MN и АВС АБВГ 3 КС и DMN АБВГ 4 MN и ABD АБВГ 5 KF и DMN АБВГ 6 FN и KMF АБВГ 7 CFи ADN АБВГ 8 FN и DM К АБВГ 3.007. © Прямая а параллельна плоскости а и лежит в плоскости р. Плоскости аир пересекаются по прямой Ь. Как расположены прямые атлЫ Ответ обоснуйте. 3.008. Прямая а параллельна плоскости а. Прямая Ъ пересекает прямую а. Каким может быть взаимное расположение прямых 6 и а? 3.009. Прямая а параллельна плоскости а. Каким может быть взаимное расположение прямых а и &, если прямая Ь лежит в плоскости а? 3.010. Даны плоскости а и р и прямая а. Причём а п р = 6, а II а, а Ц р. Каково взаимное расположение прямых а и 6? 32 I Глава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.011. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну. 3.012. Справедливо ли утверждение: а) а || а, Ь Ц а => а || Ь; б) а II а, Р II а => а II Р; в) а It а, Ь It а => а It Ь? Ответ обоснуйте и сделайте соответствующий рисунок. 3.013. Дано: а || а, а || Ь, Ь Ц р, а || р. Какое из четырёх утверждений является следствием трёх оставшихся? Ответ обоснуйте и сделайте соответствующий рисунок. 3.014. Через данную точку М проведите: а) прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей а и Р; б) плоскость, параллельную каждой из двух данных скрещивающихся прямых а и Ь. 3.015. © В правильном тетраэдре DABCy все рёбра которого равны 6, точка К лежит на ребре BD так, что DK = 2; точка М лежит на ребре ВС так, что ВМ = 4; точка Р — середина ребра АВ. а) Докажите, что прямая КМ параллельна плоскости ADC. б) Докажите, что прямая РМ не параллельна плоскости ADC. в) Проведите через точку Р прямую, параллельную плоскости ADC и пересекающую ребро DB в точке L. Найдите длину отрезка LK. г) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р и К параллельно прямой АС. 3.016. © Постройте сечение тетраэдра РАВС плоскостью, проходящей через внутреннюю точку Н грани АВС параллельно прямым ВС и АР. 3.017. © Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является параллелограмм ABCD. Постройте её сечение плоскостью, проходящей через прямую АВ и точку К, лежащую в грани: а) БСР; б) DCP. Какая фигура получается в сечении? 3.018. § Основанием правильной четырёхугольной пирамиды PABCD является квадрат ABCD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через АВ и точку К — середину ребра PC. Найдите площадь этого сечения, если все рёбра пирамиды равны 8. i 33 Задачи к§ в. Параллельность прямой и плоскости 3.019. © Постройте прямую, которая: а) лежит в данной плоскости а и параллельна данной прямой а; б) лежит в данной плоскости а и параллельна данной плоскости Р; в) проходит через данную точку А и параллельна данной плоскости Р; г) параллельна каждой из двух данных пересекающихся плоскостей а и Р; д) параллельна данной плоскости а и пересекает каждую из двух данных прямых аиЬ. 3.020. Постройте плоскость, которая: а) проходит через данную точку А и параллельна данной прямой т; б) проходит через данную прямую а и параллельна данной прямой т; в) проходит через данную точку А и параллельна данным прямым а и т. 3.021. Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, Ь и с. Всегда ли существует плоскость: а) параллельная каждой из этих прямых; б) пересекающая каждую из них? Ответ обоснуйте и выполните соответствующий рисунок. 3.022. Дан куб ABCDA^B^C^D^. Пусть Р^, Pg, Р3, Р4, Р5, Рб> Ру, Pg — середины рёбер соответственно АР, PPj, В^А^, А^А, СП, CCj, С^П^, ППр Каково взаимное положение таких прямых и плоскостей, как: а) Р3Р4 и PjPgPg; б) PyPg и P^PgPg; b)P^Pj и PjPgPg; г) PjPg и AB^D; д)АС и Р3Р4Р5; e)BD и Р Р Р 9 3.023. § Дан параллелепипед АВСВА^В^С^В^, Р uQ — внутренние точки граней соответственно АВСВ и А^В^С^В^, Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р и Q и параллельной прямой СС^. 3.024. § Через вершину Р правильного тетраэдра РМВН с ребром, равным 8, проведите сечение, параллельное ребру МВ. Сколько таких сечений тетраэдра можно провести? Какие фигуры при этом получаются в сечениях? Найдите площадь сечения, проходящего через середину К ребра ВН. 3.025. 1 В правильной четырёхугольной пирамиде РАВСВ с вершиной Р все рёбра равны 4. Постройте сечение этой пирамиды, проходящее через центр О её основания параллельно ребру ВС и медиане РК грани ВСР. Установите форму полученного сечения; найдите его периметр и площадь. 34 I Гпава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.026. § Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 6. Через центр О основания АВС тетраэдра проведена плоскость а, параллельная ВС и пересекающая ребро АР в некоторой точке К. Постройте сечение тетраэдра плоскостью а. Укажите границы изменения периметра и площади этого сечения при всевозможных положениях точки К на ребре АР. 3.027. Дан куб точки Р и Q — середины рё- бер АВ и ВС соответственно. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р и Q параллельно диагонали BD^ куба. 3.028. Дан куб ABCDA^B^C^D^\ точка Р — середина ребра AAj. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р и параллельно диагонали АС грани ABCD куба. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10. Задачи к § 9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости 3.029. {Устно.) Докажите, что отрезок, соединяющий центры двух противоположных граней куба, перпендикулярен этим граням. 3.030. {Устно.) Через центр О окружности, описанной около треугольника АВС, проведена прямая перпендикулярно плоскости этого треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника. 3.031. Через точку М прямой а проводятся прямые, перпендикулярные прямой а. Докажите, что все они лежат в одной плоскости. 3.032. {Устно.) Из точки М вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные МА, МВ и МС. Докажите, что основание Н перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость а, является центром окружности, описанной около треугольника АБС. 3.033. Расстояние от точки М до плоскости правильного шестиугольника со стороной 8 равно 8. Найдите расстояния 35 Задачи к §9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости ОТ точки М до сторон шестиугольника, если она равноудалена от каждой из них. 3.034. Точка Р удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см. Найдите расстояние от точки Р до плоскости треугольника, если площадь вписанного в этот треугольник круга равна 576л см^. 3.035. Точка М удалена от плоскости прямоугольного треугольника на расстояние, равное 5л/3, и равноудалена от каждой его стороны. Найдите расстояние от точки М до каждой из сторон этого треугольника, если его гипотенуза и один из катетов равны соответственно 25 и 15. 3.036. Точка О — центроид правильного треугольника АБС; ОР — прямая, перпендикулярная плоскости АВС; М — произвольная точка прямой ОР (М 5^ О). Докажите, что: а) расстояния от точки М до вершин треугольника АВС равны; б) расстояния от точки М до сторон треугольника АВС равны; в) Z МАО = Z МВО = Z МСО; г) Z АМО = Z ВМО = = Z смо. 3.037. © Прямая АК перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD. Докажите, что: а) прямая KD перпендикулярна прямой CD; б) прямая ВС перпендикулярна прямой ВК; в) прямая КС перпендикулярна прямой BD. 3.038. © Из точки М проведён перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и CMD — прямоугольные. Перпендикулярны ли прямые MD и АС? 3.039. © Прямая АК перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD. Оказалось, что прямая KD перпендикулярна прямой CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник. 3.040. Прямая АК перпендикулярна плоскости параллелограмма ABCD. Оказалось, что прямая КС перпендикулярна прямой BD. Докажите, что четырёхугольник АБСБ — ромб. 3.041. ©Два прямоугольных треугольника АСБ и ACM с прямым углом в вершине С имеют общий катет АС. Прямые АС и БМ скрещиваются. Докажите, что: а) СМ — проекция наклонной ВС на плоскость АМС; б) СВ — проекция наклонной МС на плоскость АВС. 36 Глава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.042. Прямая ВМ перпендикулярна плоскости треугольника АМСу а прямая ВК перпендикулярна прямой АС, где точка К — середина отрезка АС. Докажите, что треугольник АМС — равнобедренный, и укажите его равные углы. 3.043. Прямая ВМ перпендикулярна плоскости треугольника АМС у а прямая ВС перпендикулярна прямой АС. Докажите, что треугольник АМС — прямоугольный, и укажите его прямой угол. 3.044. Прямая ОВ перпендикулярна плоскости окружности с центром О. Прямая а касается этой окружности в точке К. Докажите, что прямая ВК перпендикулярна прямой а. 3.045. Равные треугольники имеют общую сторону. Какую фигуру заполняют высоты всех таких треугольников, опущенные на эту сторону? 3.046. Два равнобедренных треугольника РМК {РМ = РК) и РНТ {PH = РТ) имеют общую медиану РО. Докажите, что прямая РО перпендикулярна плоскости МНК. 3.047. © Точка О — центр симметрии параллелограмма ABCDy М — точка вне плоскости этого параллелограмма. При этом МА = МСу МВ = MD. Докажите, что МО ± (АБС). 3.048. Прямая а пересекает плоскость а в точке М и не перпендикулярна этой плоскости. Докажите, что в плоскости а через точку М проходит прямая, перпендикулярная прямой а, и притом только одна. 3.049. К плоскости правильного шестиугольника ABCDEF проведён перпендикуляр СМ. Докажите перпендикулярность прямых: а) МА и AF; б) ME и EF. 3.050. К плоскости прямоугольного треугольника АБС (Z С = 90°) проведён перпендикуляр ВР. На наклонных РА и PC отмечены соответственно такие точки Е и Ку что отрезок ЕК параллелен прямой АС (рис. 24). ^ Верно ли, что треугольник ВКЕ — пря- моугольный? Решение. Имеем ВР _L (АБС) => ВР 1 АС. Кроме того, АС 1 ВС (Z АСБ 90°). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АС Z (БСР). Тогда АС 1 ВК. А так как КЕ || АС и 37 Задачи к §9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости АС ± ВК, то КЕ ± ВК. Это означает, что Z ВКЕ = 90' Л ВКЕ — прямоугольный. т. е. 3.051. В треугольнике АВС угол С прямой. Прямая AM перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что отрезок ВС перпендикулярен плоскости ACM. Будет ли отрезок ВС перпендикулярен плоскости ACM, если: а) Z С 90°; б) AM Z (АВС)? 3.052. § Через точку М высоты АН равнобедренного треугольника АВС {АВ = АС) проведён к его плоскости перпендикуляр МР, Докажите, что ВС Z LH, где L — любая точка прямой АР. 3.053. В кубе ABCDA^B^C^D^ точки Е, F и М — середины рёбер соответственно А^В^, ^ ВВ^. Докажите, что пря- мая B^D перпендикулярна плоскости EFM. 3.054. В правильном тетраэдре РАВС опустите перпендикуляры на плоскость РВС из точек: а) Н — середины ребра АР; б)М — середины ребра АВ\ в) К — середины медианы РТ грани АВР; г) L — середины РМ. 3.055. © Точка О — центр основания АВС правильного тетраэдра РАСВ, точка К — середина ребра АР. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей: а) через точку О перпендикулярно прямой АС; б) через точку О перпендикулярно прямой ВР; в) через точку К перпендикулярно прямой АР; г) через точку К перпендикулярно прямой ВС; д) через точку К перпендикулярно прямой ОР. 3.056. § Отрезок ВМ перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) высоты треугольников АМС и АВС пересекаются в точке на прямой АС; б) углы АСВ и ACM либо оба — острые, либо оба — прямые, либо оба — тупые. 3.057. Отрезок МВ перпендикулярен плоскости четырёхугольника ABCD. На прямой AD взята такая точка К, что МК Z AD. Найдите МК, если: a)ABCD — прямоугольник; б) ABCD — ромб со стороной а и острым углом а; в) ABCD — ромб со стороной а и тупым углом а; v)ABCD — равнобедренная трапеция {ВС || AD), у которой AD = а, ВС = Ь (а> Ь). 38 I Глава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.058. На высоте АЕ треугольника АВС взята любая точка М, из которой восставлен перпендикуляр MN к плоскости этого треугольника. Докажите, что для любой точки Р прямой MN имеет место: АР _L ВС. 3.059. © ABCD — ромб. Точка С — середина отрезка АК; KF _L {АВС). Какие из прямых ВС, BD, CD перпендикулярны AF? 3.060. Прямоугольный треугольник MNL (Z MLN = 90°) вписан в окружность. Отрезок NQ перпендикулярен плоскости MNL. Докажите, что Z MLQ = 90°. 3.061. В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина АС, точка F — середина BD. Докажите, что: а) АС 1 {BDK); 6) АС Z BD; в) отрезок KF — общий перпендикуляр прямых АС и BD. 3.062. Дан куб ABCDA^Bfi^D^. Докажите, что: а) BDL{AAfiy, б) BDLAC^\в) DA^ lACp т) АС^ L{A^BD). 3.063. о — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Ромб перегнули по диагонали АС так, что точка В оказалась вне плоскости ADC. Докажите, что: а) проекцией наклонной ВО на плоскость ADC служит прямая DO; б) перпендикуляр, опущенный из точки D на плоскость АВС, пересечёт прямую ВО. 3.064. Основание AD трапеции ABCD является диаметром описанной около трапеции окружности. О — точка пересечения диагоналей этой трапеции. Прямая ОМ перпендикулярна прямым ОА и ВС. Докажите, что прямая МС перпендикулярна прямой CD. 3.065. © Прямая ВМ перпендикулярна плоскости треугольника АМС, а прямая ВК перпендикулярна прямой АС. Точка С лежит на отрезке АК. Докажите, что треугольник АМС — тупоугольный, и укажите его тупой угол. 3.066. 1 О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. РО — перпендикуляр к плоскости АВС; точка М — середина стороны ВС. Докажите, что: а) прямая РМ является проекцией наклонной ОМ на плоскость РВС; б) перпенди- 39 ____________Задачи к §9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости куляр, опущенный из точки О на плоскость АВРу пересечёт медиану РР^ треугольника АБР. 3.067. © В треугольник АВС вписана окружность с центром О, касающаяся его сторон ВС у АС и АВ соответственно в точках А^у В^ и Cj. Прямая МО перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) прямая МС^ перпендикулярна АВ'у б) прямая ОВ^ — проекция наклонной МВ^ на плоскость АВС; в) прямая МС^ — проекция наклонной OCj на плоскость АВМ; г) длина высоты ОН треугольника МОВ^ равна расстоянию от точки О до плоскости MAC. 3.068. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен (р. Найдите: а) наклонную и её проекцию на данную плоскость, если длина перпендикуляра h; б) перпендикуляр и наклонную, если длина проекции наклонной равна Ъ; в) перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна а. 3.069. Через вершину прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки М до прямой АВу если АС - 4 см, СМ = 2 л/Т см. Решение. Пусть точка К — середина гипотенузы АВ треугольника АВС (рис. 25). Так как АС = СБ, то СК ± АБ, и по теореме о трёх перпендикулярах отрезок МК перпендикулярен АВ. Это означает, что длина отрезка МК — искомое расстояние от точки М до прямой АВ. Далее, так как МС _L (АБС), то МС _L СК (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Поэтому АМСК — прямоугольный, значит, МК^ = МС^^ + СК^. Так как Л АВС — равнобедренный прямоугольный (Z С = 90°) и СК — его медиана, то Л СВК — равнобедренный прямоугольный {ZK - 90°). Тогда СК^ = \вС^ = 8. Учитывая, что МК^ = МС^ + СК^у получаем МК = 6. Ответ: МК - 6 см. 40 Гпава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.070. © Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС (АВ = 6) равно 4. Найдите расстояние от точки М: а) до плоскости треугольника АБС; б) до каждой его стороны. 3.071. Сторона АБ, равная 8, правильного треугольника АБС лежит в плоскости а, а длины проекций двух других его сторон на эту плоскость равны 2jl. Найдите: а) длину проекции медианы СК данного треугольника на плоскость а; б) расстояние от точки С до плоскости а. 3.072. Плоскость а содержит катет АС равнобедренного прямоугольного треугольника АБС (Z С = 90°) и не перпендикулярна катету ВС. Найдите длину проекции гипотенузы АБ на плоскость а, если известно, что длина катета ВС равна Ь, а расстояние от вершины Б до плоскости а равно а. 3.073. © Точка К — середина гипотенузы АБ прямоугольного треугольника АВС. Отрезок КМ перпендикулярен плоскости этого треугольника. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АС и ВС и найдите их длины, если АС = 8, ВС = 6, КМ = 5. 3.074. § Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание 12 см. Точка М удалена от каждой его стороны на 15 см. Найдите: а) расстояние от точки М до плоскости треугольника; б) площадь круга, вписанного в треугольник. 3.075. Точка М одинаково удалена от всех сторон треугольника АБС, у которого АБ = 13 см, ВС = 15 см, АС = = 14 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 3 см. Найдите расстояния от точки М до сторон треугольника. 3.076. § Диагонали ромба равны 30 см и 40 см и пересекаются в точке Н. Длина перпендикуляра НМ к плоскости ромба равна 5 см. Найдите расстояние от точки М до каждой стороны ромба. 3.077. Из вершин параллелограмма АБСБ, его центра О и центроида М треугольника BCD опущены перпендикуляры AAj, ББр ССр ББ^, OOj и MMj на плоскость а. Причём AAj = 34 см, CCj = 10 см, ББ^ = 30 см. Найдите длины отрезков: а) ООр б) ББр в) ММр f 41 Задачи к§ 11. Угол между прямой и плоскостью 3.078. {Устно.) Около окружности радиуса 8 дм описан ромб со стороной а. Точка М, находящаяся на расстоянии 15 дм от плоскости ромба, равноудалена от его сторон. Найдите расстояние от точки М до сторон ромба. Будет ли изменяться это расстояние с изменением длины стороны а? 3.079. К плоскости ромба ABCD проведён перпендикуляр СН длиной 9 см. Найдите расстояния от точки Н до прямых, на которых лежат стороны ромба, если Z BAD = 60°, а сторона ромба — 6 см. 3.080. § В правильном тетраэдре РАВС с ребром, равным 2, точка О — центр основания АБС. Найдите расстояние от точки О до плоскости грани РВС. 3.081. § Точка Р равноудалена от всех сторон прямоугольной трапеции с острым углом в 60° и большей боковой стороной, равной 8л/3 . Найдите расстояния от точки Р до сторон трапеции, если известно, что расстояние от этой точки до плоскости трапеции равно 8. 3.082. РАВС — правильный тетраэдр с основанием АВС; точка Aj — середина ребра АР; точка Б^ — середина ребра ВР; точка Cj — середина ребра СР. а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью СБА^. б) Докажите, что АР 1 (БСА^). в) Найдите площадь треугольника БСА^, если ребро тетраэдра равно 2. Задачи к § 11. Угол между прямой и плоскостью 3.083. {Устно.) Под каким углом к плоскости а следует провести отрезок АБ, чтобы он был вдвое больше своей проекции на эту плоскость? 3.084. {Устно.) Гипотенуза АБ равнобедренного прямоугольного треугольника АБС лежит в плоскости а. Может ли катет АС этого треугольника образовывать с плоскостью а угол в 60°? Найдите наибольшее значение, которое может принимать угол между катетом АС и этой плоскостью. 3.085. Катет АС равнобедренного прямоугольного треугольника АБС лежит в плоскости а, а катет ВС образует с этой плоскостью угол в 45°. Докажите, что гипотенуза этого треугольника образует с плоскостью а угол в 30°. 42 I Гпава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.086. Наклонная АВ образует с плоскостью а угол в 45°. В этой плоскости через основание А наклонной под углом 45° к её проекции проведена прямая АС. Найдите угол между прямой АС и наклонной АВ. 3.087. § Прямоугольник ABCD и прямоугольный треугольник DCP лежат в разных плоскостях. Вершина Р проектируется в точку В; ВР = 4 см, АВ = 4^/2 см, AD = 4 см. Найдите угол между прямыми: а) DP и АВ\ б) PC и AD. 3.0SS. ©ABCD — параллелограмм. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью а, если прямая CD образует с плоскостью а угол ф. 3.089. ABCD А ^B^C^D^ — куб. Найдите угол между плоскостью А и прямой а, если прямая а образует с плоскостью АСВ^ угол 45°. 3.090. Прямая AM перпендикулярна плоскости а. Найдите угол между прямой КР и плоскостью а, если угол между прямыми AM и КР равен 60°. 3.091. Угол АВС равен 100°. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью ВМК, если прямая ВС перпендикулярна этой плоскости. 3.092. © ОМ — наклонная на плоскость а. Точка О лежит в а, а расстояние от М до а равно р(М; а). Докажите, что синус р(М; а) угла между наклонной ОМ и плоскостью а равен ОМ 3.093. © Прямая АВ пересекает плоскость а в точке О и образует с ней угол ф; О В = Ъ\ О А — а. Найдите расстояния от точек А и В до плоскости а. 3.094. © Прямая МС перпендикулярна к плоскости треугольника АВС; ВС = МС = 3; АС = ^/3 . Найдите углы, которые образуют прямые ВМ и AM с плоскостью треугольника. 3.095. Катет АС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости а, гипотенуза АВ равна 4, а вершина В удалена от плоскости а на расстояние 2. Определите величину угла между плоскостью а и прямой: а)АВ; i 43 Задачи к § 11. Угол между прямой и плоскостью 6) ВС; в) прямой, содержащей медиану СС^; г) прямой, содержащей медиану ВВ^; д) прямой, содержащей медиану АЛ^. 3.096. go — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Сторона ромба равна 8, Z АВС = 120°. Длина перпендикуляра ОК к плоскости АВС равна 6. Точка О удалена от плоскости АВК на 3. Найдите величину угла, который образует с плоскостью АВК прямая: а) ОК; б) АО; в) BD; г) КС; д) KD; е) CD, 3.097. g Прямая DM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, О — точка пересечения диагоналей квадрата; точка iiT — середина стороны CD. Заполните таблицу, если DM = AD. № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 1 МСи АВС 2 МВ и АВС 3 МА и АВС 4 МО и АВС 5 АС и MDC 6 AD и MDC 7 АВ и MDC 8 ОК и MDC 9 ОМ и MDC 10 АС и О AM 11 АО и ADM 3.098. © Прямая ВК перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника АВС. ВК = АВ; точка М — середина АС. Заполните таблицу. 44 Гпава 3 Прямая и плоскость в пространстве № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 1 К А и АВС 2 КМ и АВС 3 С А и МВК 4 В А и ВМК 5 АС и КВА 6 ВМ и КВА 7 АК и ВКМ 8 ВК и АСК 9 ВМ и АСК 10 АК и век 3.099. 1 О — точка пересечения медиан правильного треугольника АВС. МО — перпендикуляр к плоскости АВС; МА = АВ = а; точка К — середина стороны ВС; Р — точка пересечения медиан треугольника МВС. Заполните таблицу. № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 1 МСи АВС 2 МК и АВС 3 СВ и АМК 4 С А и АМК 5 ОС и АМК 6 СМ и АМК 7 РВ и АМК 8 АР и МВС 9 ОМ и МВС 10 АК и МВС 45 Задачи к § 12. Параллельное проектирование и его свойства Окончание таблицы № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 11 МВ и АСР 12 ВС и АСР 3.100. ©В кубе ABCDA^B^C^D^ точка М — середина ребра BjCj, точка F — середина ребра точка К — середина ребра DC, О — точка пересечения диагоналей квадрата ADCD. Заполните таблицу. № Прямая и плоскость Величина угла 1 ABj и АВС 2 АСиАА^В 3 MF и DD^C 4 MF и DD^B 5 AM и АВС 6 АС и MKF 7 АК и MKF 8 АС у вес ^ 9 C^DhACCi 10 B^D и ACCj 11 АА^ иАМВ 12 DDj и AMF Задачи к § 12. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование 3.101. Какая фигура может служить параллельной проекцией: а) прямой; б) отрезка; в) луча; г) угла; д) плоскости? Выполните рисунки. 46 I Глава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.102. Даны три точки. Как они должны быть расположены в пространстве, чтобы их проекциями были: а) одна точка; б) две точки; в) три точки, лежащие на одной прямой; г) три точки, не лежащие на одной прямой? Выполните рисунки. 3.103. В каком случае: а) проекция точки совпадает с этой точкой; б) проекция прямой совпадает с этой прямой? 3.104. Какая фигура может служить параллельной проекцией двух прямых, если эти прямые: а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются? Выполните рисунки. 3.105. Какая фигура может служить параллельной проекцией: а) окружности; б) треугольника; в) плоского многоугольника; г) неплоского многоугольника? Выполните рисунки. 3.106. Докажите, что параллельная проекция многоугольника, плоскость которого параллельна плоскости проекций, есть многоугольник, равный данному. 3.107. Скрещивающиеся прямые а и Ь проектируются на плоскость а, пересекающую обе прямые, причём прямая а проектируется параллельно прямой Ь, а прямая Ь — параллельно прямой а. Докажите, что проекции данных прямых параллельны. 3.108. Точки А, В и С лежат на прямой и проектируются на плоскость а в точки и соответственно. Найдите AjBj, если АВ = 7, АС = 3, а В^С^ = 5. 3.109. © Можно ли параллелограмм ABCD так перегнуть по диагонали АС, чтобы проекцией треугольника АВС на плоскость ADC был треугольник ADC7 Возможно ли, чтобы треугольник ADC был ортогональной проекцией треугольника АВС? 3.110. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости а. Точки Aj и — проекции точек соответственно А и В на плоскость а; АВ = А^В^. Прямая АВ пересекает плоскость а в точке К. Найдите угол КМ В, если М — середина ВВ^. 3.111. © Из точки А, лежащей вне плоскости а, проведены к ней две наклонные АВ и АС, образующие между собой угол р, а с плоскостью а — угол (р. Найдите угол между ортогональными проекциями данных наклонных на плоскость а. 47 Задачи к главе 3 3.112. ©Две вершины А и В разностороннего треугольника АВС лежат в плоскости а, а С не лежит в этой плоскости. Существует ли направление проектирования на плоскость а (и если существует, то какое), при котором проекцией треугольника АБС является треугольник АВС^: а) равный АБС; б) подобный АВС; в) равный некоторому данному треугольнику; г) подобный некоторому данному треугольнику; д) имеющий данную площадь; е) имеющий угол АС^В, равный углу АСВ; ж) прямоугольный треугольник; з) правильный треугольник; и) квадрат; к) трапеция; л) треугольник, имеющий пересечением медиан данную на плоскости а точку М, не лежащую на прямой АБ; м) треугольник, имеющий пересечением биссектрис данную на плоскости а точку L, не лежащую на прямой АБ; н) треугольник, имеющий пересечением высот данную на плоскости а точку Н, не лежащую на прямой АБ? 3.113. 1 Ортогональной проекцией ромба ABCD на плоскость, проходящую через вершину А ромба и параллельную его диагонали ББ, является квадрат AB^C^D^ со стороной а. Найдите периметр ромба, если его диагональ АС равна т. 3.114. § Ортогональной проекцией плоского четырёхугольника ABCD является квадрат AlБJCJБJ со стороной 4; АА^ = = 3, ББ^ = 6, CCj = 9. Найдите длину ББ^, вид, периметр и площадь четырёхугольника ABCD. Точки Ау By С и D лежат по одну сторону от плоскости проектирования. Задачи к главе 3 3.115. Дан правильный тетраэдр РАВС, ребро которого равно 5. Постройте его сечение плоскостью, которая проходит через вершину Р, центроид М треугольника АБС и параллельна ребру АБ. Найдите площадь полученного сечения. 3.116. Дан правильный тетраэдр РАВС; точка О — центроид грани АВС у точка К — середина отрезка РО. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку К и параллельна: а) грани АВС; б) грани РВС. Вычислите площади получившихся сечений, если ребро тетраэдра равно 8. 48 1 Глава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.117. Что представляет собой множество всех точек пространства, равноудалённых от: а) двух данных точек А и В; б) трёх неколлинеарных (не принадлежащих одной прямой) точек А, В и С? 3.118. Точка М равноудалена от двух соседних вершин квадрата ABCD. Докажите её равноудалённость от двух других вершин этого квадрата. Будет ли это верно, если вместо квадрата взять: а) прямоугольник; б) ромб? 3.119. Внутри диагоналей смежных граней куба, лежащих на скрещивающихся прямых, найдите такие точки К и Н, что прямая КН параллельна грани куба. В каких границах изменяется длина отрезка КН в кубе с ребром 1? 3.120. Две правильные пирамиды имеют одно и то же основание. Докажите, что их вершины и центр основания принадлежат одной прямой. 3.121. Докажите, что скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра перпендикулярны. 3.122. Докажите, что диагональ АС^ куба ABCDA-^B^C^D^ перпендикулярна плоскости CB^D^. 16 3.123. S В прямоугольнике ABCD сторона АВ = —, AD = О = 14. Две равные равнобедренные трапеции APFD и BCKL (AD II PF и ВС II KL) имеют общую точку О; АР = 10, PF = 2. Трапеции лежат вне плоскости прямоугольника. Найдите длину общего отрезка MR данных трапеций и площадь треугольника PFKy если точка О — середина отрезков АР и BL. 3.124. Пусть в прямоугольнике ABCD сторона АВ = 16, AD = 3. Два треугольника АВМ и CDN (причём AM = ВМ = = DN — CN = 10) имеют общую точку О, лежащую вне плоскости прямоугольника. Найдите длину общего отрезка данных треугольников и расстояние между их вершинами М и N, если О — точка пересечения медиан этих треугольников. 3.125. 2 Основанием параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ служит ромб. В вершине В сходятся равные углы трёх его граней. Докажите, что АСС^А^ — прямоугольник. 49 Задачи к главе 3 3.126. Прямая ВМ перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая пересечения плоскостей ADM и ВСМ перпендикулярна плоскости АВМ и параллельна плоскости АВС. 3.127. § Через каждую из двух скрещивающихся диагоналей боковых граней правильной треугольной призмы проводятся два сечения так, что они параллельны другой из этих диагоналей. Докажите, что эти сечения равны. 3.128. Равные равнобедренные трапеции ABCD и АВМК с общим основанием АВ лежат в разных плоскостях; АС 1АМ. Докажите: а) прямая BD перпендикулярна прямой ВК; б) прямая BD не перпендикулярна прямой ВМ; в) прямая BD не перпендикулярна плоскости МСР, где точка Р — середина прямой АВ. 3.129. Через центры граней правильного тетраэдра проведены прямые, перпендикулярные плоскостям этих граней. Каково взаимное положение этих прямых? 3.130. Рёбра АВ и СР, АР и ВС тетраэдра РАВС взаимно перпендикулярны. Докажите, что рёбра АС и ВР также взаимно перпендикулярны. 3.131.1 В тетраэдре РАВС ребро АВ перпендикулярно ребру СР и ребро АР перпендикулярно ребру ВС. Докажите, что AB^ + CP^ = АР^^ + БС2. 3.132. Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведена к этой плоскости наклонная АВ. Через точку В проводятся в плоскости а всевозможные прямые, к каждой из которых проводится перпендикуляр из точки А. Определите фигуру, образованную основаниями этих перпендикуляров. 3.133. В тетраэдре РАВС плоские углы АР В, В PC и СРА прямые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины Р на плоскость АВС является точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника АБС. 3.134. В правильном тетраэдре РАВС опустите перпендикуляры на плоскость грани ВСР из следующих точек: а) Б — середины ребра АВ; Ь)К — середины ребра АР; в) Н — середины медианы РМ грани АРС. 50 I Гпава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.135. Точка Е — середина ребра CCj куба ABCDA^B^C^D^. Постройте и найдите угол между прямыми А^В и В^Е, если ребро куба а. 3.136. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АР, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Известно, что PD = 6 см, ВР = 7 см, PC = 9 см. Найдите расстояние между прямыми: а) АР и ВС; б) АР и CD', в) ВР и CZ); г)Р7)иБС. 3.137. Дан куб ABCDA^B^C^D^. Постройте его сечение плоскостью, которая проходит через вершину А и перпендикулярна прямой: а) BD', б) B^D^‘, в) CD^', г) C^D', д) AD^\ е) B^D. 3.138. Точка Е — середина ребра PC пирамиды РАВС, в основании которой лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро РА перпендикулярно плоскости основания и АР = АВ. Опустите из точки Е перпендикуляры на прямые: а)ВР;6)ВС;в)АВ. 3.139. Пусть Е и F — середины соответственно рёбер AD и CD куба ABCDA^B^C^D^. Опустите перпендикуляры из вершины на следуюгцие прямые: а) D^E\ б) D^F; в) C^D; г) BD. 3.140. Сторона ВС треугольника АВС {АВ = 13, ВС = 14, АС =15) лежит в плоскости а; расстояние от точки А до плоскости а равно 6. Найдите расстояния от точек В^ и до плоскости а, где ВВ^ и СС^ — высоты треугольника АБС. 3.141. §АБСБ — параллелограмм со сторонами АВ = 6, ВС = 14. Сторона AD лежит в плоскости р, расстояние от точки в до плоскости Р равно 3, М — точка пересечения биссектрис углов А и Б параллелограмма. Найдите расстояние от точки М до плоскости р. 3.142. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 точка М — середина ребра PC. а) Через центроид грани АВР проведите прямую, перпендикулярную плоскости АВМ. б) Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра, в) Найдите отношение, в котором плоскость АБМ делит данный отрезок. 3.143. Основанием параллелепипеда АБСБА^Б^С^Б^ служит квадрат АБСБ со стороной а, а боковое ребро равно Ь. Вершина Б^ параллелепипеда равноудалена от точек А, Б, С, Б. Найдите плогцадь диагонального сечения CAAjC^. 51 Задачи к главе 3 3.144. В правильном тетраэдре РАВС точка О — центр его основания АВС, точка К — середина ребра PC. Проведите перпендикуляры: а) из точки К на (АВС); б) из точки К на (АВР); в) из точки О на (ВСР); г) из точки О на (АСР). Найдите длины этих перпендикуляров, если ребро тетраэдра равно 2. 3.145.2 ABCDAjBjCjDj — куб. Точка Е — середина ребра ВВ^, точка К — середина ребра СС^, точка М — середина ребра AjBj. Проведите перпендикуляры: а) из точки А на плоскость BB^D; б) из точки В на (АСВ-^); в) из точки Aj на (AB^D^); г) из точки В на (A^C^D); д) из точки Е на (ADD^); е) из точки К на (BB^D); ж) из точки М на (AB^D^). Найдите длину каждого из этих перпендикуляров, если ребро куба равно а. 3.146. Точка Е — середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые: а) АР; б) АС; в) СМ, где М — середина ребра АБ. Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а. 3.147. Точки Р, Q, R — середины рёбер соответственно АБ, AD и CCj куба АВС DA ^B^C^D^ с ребром а. Постройте сечение куба плоскостью PQR и найдите площадь полученного сечения и расстояние от вершины до секущей плоскости. 3.148. Найдите угол между скрещивающимися: а) диагональю куба и диагональю грани; б) диагоналями соседних граней куба. 3.149. В правильном тетраэдре РАВС точка О — центр основания АВС, точка Е — середина ребра ВР. Найдите угол между прямой ОЕ и следующими прямыми: а)АБ; б)БС; в) АС. 3.150. Что представляет собой множество всех точек пространства, равноудалённых от всех сторон данного: а) треугольника; б) плоского выпуклого дг-угольника? 3.151.2 В кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром а найдите расстояние от центра грани CDD^C^ до плоскости АБ^С. 52 1 Глава 3 Прямая и плоскость в пространстве 3.152. Плоскость а проходит через высоту АА^ треугольника АВС перпендикулярно стороне БС, плоскость (5 проходит через высоту ВВ^ этого треугольника перпендикулярно стороне АС. Докажите, что прямая пересечения плоскостей а и р перпендикулярна плоскости АВС. 3.153. § Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости а, а расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости а равно 12; АВ = SCD. Найдите расстояния от точек Б и С до плоскости а. 3.154. В кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром 2 точка М — середина ребра Б^С^. а) Через точку М проведите прямую, перпендикулярную плоскости B^CD^. б) Найдите длину отрезка этой прямой внутри куба, в) Найдите отношение, в котором плоскость B^CD^ делит данный отрезок. 3.155. Дан куб ABCDA^B^C^D^. Точка К — середина ребра АВу точка М — середина ребра БС. Опустите перпендикуляры из точки А^ на следующие прямые: а) В^К и В^М; б) BD и КМ; в)С^ВиС^М. 3.156. 2 В треугольной пирамиде К АВС на рёбрах КАу КВ и АС взяты соответственно точки М (КМ: МА = 3:5), N (KN : NB = 7 : 5) и Р (АР : PC = 2:3). Найдите отношение, в котором плоскость MNP делит ребро БС, считая от точки Б. 3.157. Точка А находится на расстоянии 9 от плоскости КМТу а прямые АК и АТ образуют с плоскостью КМТ углы соответственно 30° и 60°. В каких пределах изменяется длина отрезка КТ1 3.158. % На грани ABCD куба АБСБА^Б^С^Б^ найдите все такие точки К у что прямая D^K образует с плоскостью АБС угол 45°. Определите длину линии, образованной этими точками, если ребро куба равно 4. 3.159. На грани СББ^С^ куба АБСБА^Б^С^Б^ найдите такую точку К у что углы, образованные прямыми В К и В^К с плоскостью CDD^y равны 45°. Определите расстояние от этой точки до плоскости АВС у если ребро куба равно 2. 53 Задачи к главе 3 3.160. 1 МО — высота правильного тетраэдра МАВСу точка К делит ребро АС в отношении АК : КС =1:3. Найдите угол между прямой МО и плоскостью МВК. 3.161. Точка К лежит на окружности радиуса 1 с центром А. Прямая ВК перпендикулярна плоскости окружности и ВК = 1. Точка Р лежит на окружности. Составьте функцию, выражаюш;ую зависимость величины угла между прямой ВР и плоскостью окружности от величины X угла РАК (О < д: ^ п). 3.162. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите синус угла между: а) прямой В^Е и плоскостью ВС^С; б) прямой АВ и плоскостью BF^C; в) прямой BD^ и плоскостью BF^C; г) прямой А^В и плоскостью ВВ^С; д) прямой C^F и плоскостью BF^C. Глава аш плоскости в ПРОСТРАНСТВЕ Графическая работа № 2 ® Тема: «Параллельность в пространстве» Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения. 1. Прямая МР параллельна плоскости а, а прямая МТ пересекает эту плоскость в точке Т. 2. Плоскость а пересекает три параллельные прямые Ь и с соответственно в точках А, В и С, принадлежащих одной прямой. 3. Плоскость а пересекает три параллельные прямые Ь и с соответственно в вершинах треугольника АВС. 4. Основание AD трапеции ABCD лежит на плоскости а, а прямые ВК и СК пересекают эту плоскость соответственно в точках В^иС^. 5. Плоскость а проходит через середины сторон АВ и АС треугольника АВС и не содержит вершины А. 6. Прямая МР параллельна плоскости а, а плоскость РМТ пересекает плоскость а по прямой КТ. 7. Прямая а параллельна каждой из пересекающихся плоскостей аир. 8. Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей аир. 9. Плоскости аир имеют общую прямую а, плоскости а и у — общую прямую 6, а плоскости р и у — общую прямую с. Прямые а и 6 пересекаются в точке М. 10. Плоскости аир имеют общую прямую а, плоскости а и у — общую прямую Ь, а плоскости р и у — общую прямую с. Прямые аиЬ параллельны. 11. Плоскости аир имеют общую прямую а, плоскости а и у — общую прямую а плоскости Р и у параллельны. 12. Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости а. Через вершину А и точку М — середину стороны АС — проведены соответственно плоскости Р и у, пересекающие плоскость треугольника АВС по прямым АК и МТ. 55 Задачи к § 13. Параллельность плоскостей Задачи к § 13. Параллельность плоскостей 4.001. © Плоскости а и Р пересекаются, точка А не принадлежит ни а, ни р. Докажите, что любая плоскость, проходящая через А, пересекает, по крайней мере, одну из плоскостей а и р. 4.002. Плоскости аир параллельны. Прямая а пересекает плоскости а и Р соответственно в точках А и В, а параллельная ей прямая Ь — соответственно в точках А^ и Докажите, что отрезки АВ иА^В^ равны. 4.003. Плоскости аир параллельны. В плоскости а лежит четырёхугольник ABCD. Через его вершины проведены параллельные прямые, пересекающие р в точках соответственно Aj, Bj, Cj, £>j. Докажите, что A^B^C^D^ — четырёхугольник, равный данному. 4.004. © Три прямые а, Ь и с проходят через точку О и пересекают плоскость а соответственно в точках А, Б и С, а параллельную ей плоскость р — соответственно в точках Aj, Б^ и Cj. Докажите, что треугольники АБС и А^Б^С^ подобны. 4.005. В тетраэдре РАВС проведено сечение А^Б^Б^, параллельное грани АВР. Определите взаимное расположение медиан РЕ и PiE^ треугольников соответственно АВР и А,В,Р,. 4.006. Постройте сечение треугольной пирамиды РАВС плоскостью, которая проходит через внутреннюю точку К основания АБС и параллельна грани РАВ. 4.007. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью а, которая проходит через внутреннюю точку М основания ABODE параллельно грани РАВ (рис. 26). Решение. Так как прямые, по кото- р рым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость а параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения плоскости а с плоскостью АБС (плоскостью основания пирамиды) должна быть параллельна АБ; б) прямая пересечения плоское- 56 I Глава 4 Плоскости в пространстве ти а С гранью РАЕ — параллельна АР; в) прямая пересечения а с плоскостью грани РВС — параллельна РВ; г) прямая пересечения плоскости а с плоскостью PAD — параллельна РАу поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || АВ, К G ВС, F G АЕ; 2) прямую FH || РА, Н е РЕ; 3) прямую KR II РВ, R е PC; 4) прямую ML || АР, L g PD. Пятиугольник HLRKF — искомое сечение. Доказательство проделайте самостоятельно. 4.008. © Точки А, В и С лежат в плоскости а и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА^, ВВ^ и СС^ расположены по одну сторону от плоскости а. Докажите, чтоСА^Б^СДЦ (АБС). 4.009. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны (т. е. лежат в параллельных плоскостях). 4.010. {Устно.) По какой прямой пересекаются плоскости сечений А^БСБ^ и BDD^B^ параллелепипеда АБСБА^Б^С 4.011. ©Точка Б не лежит в плоскости треугольника АЕС, точки М, К 1А Р — середины отрезков соответственно АВ, ВС и BE. а) Докажите, что плоскости МКР и АЕС параллельны, б) Найдите площадь треугольника МКР, если площадь треугольника АЕС равна 48 см^. 4.012. Три отрезка A^Ag, Б^Бз и CjCg, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А^Б^С^ и А2В2С2 параллельны. 4.013. Докажите, что в параллелепипеде АВСВА^В^С^В^ плоскость А^ББ параллельна плоскости Б^СБ^. 4.014. Постройте сечение параллелепипеда АВСВА^В^С^В^ плоскостью MNL, если М g Б^С^, N g ББ^, L g ББ^. 4.015.1 На рёбрах РА, РВ и PC тетраэдра РАВС отмечены точки М, К Vi. Н так, что РМ : МА = РК : КВ = PH : НС. Докажите, что плоскости МКН и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника МКН, если площадь треугольника АБС равна 10 см^ и РМ : МА = 2:1. 4.016. § Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего 57 Задачи к § 13. Параллельность плоскостей основания и противолежащую сторону верхнего основания. Найдите площадь этого сечения, если боковые грани призмы — квадраты со стороной 4 см. 4.017. В кубе ABCDAjBjCjDj проведите параллельные сечения, одно из которых проходит через прямую АС, а другое — через прямую ВС^. Найдите отношение площадей этих сечений. 4.018. § Прямая DF пересекает параллельные плоскости а, р и у соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3, EF = 9. Прямая EG пересекает плоскости а и у соответственно в точках G и Н, при этом EG =12. Найдите длину отрезка GH. 4.019. Даны плоскость а и не принадлежащая ей точка А. Докажите, что все прямые пространства, проходящие через точку А и параллельные плоскости а, лежат в одной плоскости. Как эта плоскость расположена относительно плоскости а? 4.020. Плоскости а, р и у попарно параллельны, прямые а и Ь скрещиваются. Прямая а пересекает плоскости а, р и у соответственно в точках А, В и С; прямая Ь — соответственно в точках Aj, и Cj. Докажите, что АВ : ВС = А^В^ : В^С^. 4.021. § Скрещивающиеся прямые а и Ь параллельны плоскости а. Через произвольную точку М плоскости а проведена прямая с, пересекающая прямые а и Ь соответственно в точках А VI В. Докажите, что отношение AM : МВ не зависит от выбора точки М в плоскости а. 4.022. 2 Точка О — центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью а, проходящей: а) через О параллельно грани РАВ; б) через середину отрезка О В параллельно диагонали АС основания и ребру PD; в) через середину отрезка РО параллельно основанию пирамиды. В каждом случае определите вид сечения и найдите его площадь, если ВС = 12, РВ = 10. 4.023. © Параллельные плоскости аир пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках Р и //, а сторону АС этого угла — соответственно в точках Q и К. Найдите: а) АН 58 I Гпава 4 Плоскости в пространстве и АК, если PH = 2РА, РЯ = 12 см, AQ = 5 см; б) НК и АН, если PQ = 18 см, АР = 24 см, АН = 5 РЯ. 4.024. Плоскости аир пересекаются по прямой с. Через точки А и Б, расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости р и параллельные между собой прямые АС и BD {С е а, D е а), а также — параллельно плоскости а и параллельные между собой прямые АЕ и BF (Р е р, F £ Р). Докажите: а) плоскости АСЕ и BDF параллельны; б) плоскости АСЕ и BDF пересекают плоскости а и р по параллельным прямым. 4.025. Дан правильный тетраэдр РАВС; О — центроид грани АВС, точка К — середина отрезка РО. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку К и параллельна: а) грани АВС; б) грани РВС. Найдите площади получившихся сечений, если ребро тетраэдра равно 8. 4.026. На трёх попарно параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, выбраны три равных отрезка АА^, ВВ^ и CCj так, что точки А^, В^ и оказались по одну сторону от плоскости АВС. Докажите, что: а) плоскость АВС параллельна плоскости б) Z = Z ВАС; в) прямая пересечения плоскостей Б^АС и БА^С^ параллельна плоскостям АБС и АСС^; г) прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников АБС и А^Б^С^, параллельна прямым ААр ББ^ и СС^. 4.027. © На трёх лучах, исходящих из точки Б и не лежащих водной плоскости, взяты отрезки ААр ББ^, СС^ такие, что ЕА : EAi = ЕВ : ЕВ^ = ЕС : ЕС^ = 1:5. Докажите, что: а) плоскость АБС параллельна плоскости А^Б^С^; б)ZA^БJCJ = Z АВС; в) прямая пересечения плоскостей АБ^С^ и А^БС параллельна плоскостям А^Б^С^ и БС^С; г) прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников АБС и А^Б^С^, содержит точку Е. 4.028.2 В правильной треугольной призме АБСА^Б^С^ все рёбра равны а. Точка М лежит на ребре АБ, причём 1 59 Задачи к § 13. Параллельность плоскостей AM: МВ =3:1, точка N — середина В^С^. а) Постойте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости А^ВС. б) Найдите периметр сечения, в) Найдите площадь сечения, г) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок AN, считая от А? 4.029. © В кубе АВСВА^В^С^В^ точка М — середина ребра AjBj, точка N — середина ребра В^С^, точка К — середина ребра АВ, точка Р — середина ребра ВС, точка L — середина ребра CjC, О — точка пересечения диагоналей квадрата АВСВ. Точка А^ — середина отрезка AQ. Заполните таблицу, выбрав (обведя в кружок) необходимое расположение указанных плоскостей: А — параллельны, Б — пересекаются, В — совпадают, Г — невозможно определить. № Плоскости Взаимное расположение 1 A^BjCj и АНС АБВГ 2 МРК и ВВ^В АБВГ 3 MNK и MNP АБВГ 4 В^КР и BMN АБВГ 5 QBO и МКР АБВГ 6 QB^B^ и А^ВО АБВГ 7 MNK и PLN АБВГ 8 В^КР и BMN АБВГ 9 А^ВС^ и АВ^С АБВГ 10 QBB и МОВ АБВГ 11 А^С^СиМКР АБВГ 12 QC^B^ иА^В^В АБВГ 4.030. © На рисунках 27—41 точки М, Р и R расположены либо на рёбрах, либо на гранях куба. Пользуясь свойствами параллельных прямых и плоскостей, постройте сечение это- 60 I Глава 4 Плоскости в пространстве ГО куба плоскостью MPR в каждом из заданных расположений точек М, Р иК. R Рис. 27 /*Б 7 Ar 7 /г: 7 1 м 1 1 \ h 1 / / р h 1 / 7 р 4 / / Рис. 28 Рис. 29 Рис. 30 М Рис. 31 Rj ' М h —•- Рис. 35 Рис. 32 R Cj М Рис. 33 В, Р С, Рис. 34 7 /7^ л / iH 7 'Б м • С 1 'б С 1 г, 'в р 7 р А h / 7 R А ^ ’ / 'I у — М е Рис. 36 М е (AjBiCi) М е (А^В^С^) Рис. 37 Рис. 38 Р/' Рис. 39 В, Cl R G (АВС) Рис. 40 Cl 7 V / .« Z 1 Р.' ^1 ’М 1^--- с • 1^--- м • Р' / 7 7 Р е (АА,В,) R е М е (DD^C^) Рис. 41 i 61 Задачи к § 13. Параллельность плоскостей 4.031. © Постройте линию пересечения секущей плоскости NKF с плоскостью PQM, которые заданы точками, расположенными на рёбрах и в вершинах куба (рис. 42—44). К М Рис. 42 N Q Рис. 43 Л N Q 7 /; 7 1 1 1 1 1 'К 1 1 1 / *г 7 *М /1 К М Рис. 44 4.032. © На рисунках 45—50 точки Fy Ку N и Р расположены либо в вершинах, либо на рёбрах, либо на гранях куба. Постройте точку пересечения плоскости NKF с прямой PQ^ Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47 К / У: 1 1 1 1 1 ' р > / / - 0. — .•Р 7 К Q Рис. 48 Рис. 49 Рис. 50 62 1 Гпава 4 Плоскости в пространстве Задачи к § 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями 4.033. © Точка А лежит на одной из граней двугранного угла, равного 30°, и удалена от ребра двугранного угла на 8. Найдите расстояние от точки А до плоскости второй грани двугранного угла. 4.034. © Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла. Прямая АВ перпендикулярна ребру двугранного угла, а точки А VI В удалены от этого ребра на 3 и 4 соответственно. Найдите величину двугранного угла, если АВ = 5. 4.035. © Точка А лежит внутри острого двугранного угла величины а и удалена от каждой из его граней на расстояние h. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла. 4.036. © Точка А лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на расстояния, равные 1 и 72. а от ребра двугранного угла — на расстояние, равное 2. Найдите величину двугранного угла. 4.037. Точка А лежит внутри двугранного угла так, что угол между перпендикулярами, опущенными из точки А на грани двугранного угла, равен 131°. Найдите величину этого угла. 4.038. ©Точки Aj и Ag — проекции точки А на плоскости граней двугранного угла, при этом Z AjAAg = 100°. Найдите величину двугранного угла. 4.039. Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого 60°. Точки Aj и Bj — проекции точек А и В на ребро двугранного угла. AAj = A^Bj = BBj = 2. Найдите длину отрезка АВ. 4.040. § Точка А лежит внутри двугранного угла. Точки Aj и Ag — проекции точки А на грани двугранного угла, а точка К — проекция точки А на ребро двугранного угла. Докажите, что около четырёхугольника AA^iiTAg можно описать окружность, диаметр которой равен АК. 4.041. © Точка А лежит внутри двугранного угла а. Точки Aj и Ag — проекции точки А на грани двугранного угла, причём AjA = а, а AgA = Ь. Используя планиметрическую теорему косинусов, найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла. I 63 _________Задачи к § 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями 4.042. В правильном тетраэдре РАВС точки М и К — середины рёбер соответственно ВС и АР. Докажите, что Z АМР и Z ВКС — линейные углы двугранных углов соответственно А{ВС)Р и В{АР)С. 4.043. Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 60° и удалена от его граней на расстояния соответственно 3 и 5. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла. 4.044. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости а, а угол между плоскостями АВС и а равен 60°. Найдите расстояние от точки А до плоскости а, если ВС = 9, АВ = 15. 4.045. Через вершину А квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр AM, равный 10. Угол между плоскостями АВС и МВС равен 45°. Найдите плош;адь треугольника МВС. 4.046. © Ребро PC тетраэдра РАВС перпендикулярно к плоскости АВС\ АВ = ВС = СА = 6, ВР = Зл/Т . Найдите двугранные углы Р{АС)В, Р(АВ)С, В(СР)А. 4.047. Докажите, что все двугранные углы правильного тетраэдра равны. Найдите их величину. 4.048. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (Z ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями: а) АВС и МВС; 6) AMD hCMD. Решение: а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 51). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME 1 ВС и Z DEM = (р — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и МВС. Найдём величину этого угла. По условию задачи DM 1 1 {АВС), поэтому Д MDE — пря- DM моугольный, значит, tg (р = Так как ABCD, то DE DE — высота DE ' ромба ВС , где S — пло- Рис. 51 64 1 Гпава 4 Плоскости в пространстве щадь этого ромба. Сторона ВС ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника ВОС, катеты ОВ и ОС которого равны 6 и 8. Значит, ВС = JOB^ + ОС^ = ■+• 8^ = 10. Учитывая, что S == i • АС • BD = i *12*16 = 96, находим: DE = — ^ 10 Ф = arctg - . 9,6. Тогда tg ф DM DE 3,2 9,6 = -, откуда б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD 1 DM, CD 1 DM, значит, Z ADC = ф — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями AZ1M и CDM. Найдём этот угол. В треугольнике ACD по теореме косинусов находим cos ф = + CZ)2 - АС2 102+102-162 2AD-CD 2*10*10 7 25 ’ откуда ф = arccos - — 1 25 1 (7 Ответ: а) arctg - ; б) arccos - — 3 I 25 4.049. Докажите, что биссектрисы всех линейных углов данного двугранного угла лежат в одной полуплоскости. 4.050. Через центр О правильного треугольника КМР со стороной, равной ajs, проведён к его плоскости перпендикуляр ОН. Угол между прямой НМ и плоскостью треугольника КМР равен 45°. Найдите угол между плоскостями: а) НОМ и КОМ; б) КМР и НРК. 4.051. Через сторону АВ основания АВС правильной треугольной пирамиды РАВС проведена плоскость а, пересекающая ребро PC в точке К. Найдите площадь сечения АВК, если плоскость а перпендикулярна ребру PC и образует угол в 30° с плоскостью основания. Сторона основания пирамиды равна 8 см. 4.052. Полуплоскость, границей которой является ребро двугранного угла, делящая его на два равных двугранных угла, называется биссектором двугранного угла. Докажи- 65 Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей те, что биссектор двугранного угла есть множество всех точек этого угла, равноудалённых от его граней. 4.053. § Найдите угол между гранями тетраэдра, вершинами которого служат концы трёх рёбер куба, выходяш;их из одной его вершины. 4.054. В кубе ABCDA^B^C^D^ найдите угол между плоскостями: а)АСС^ и BDD^; 6)ABD^ и ABD; b)BC^D и АВС; г) АВС^иВС^П. 4.055. © Дан куб АВСВА^В^С^В^, точка М — середина ребра D^C^. Заполните таблицу. № Плоскости Взаимное расположение плоскостей Величина угла между плоскостями 1 А^ВА и D^CD 2 A^B^C^bDD^C 3 A^BDuB^D^C 4 BjAC и ADC 5 A^BDaC^DB 6 A^BDaCC^A 7 AB^C^uADC 8 A^MAuB^C^C 9 A^MA и BB^D 10 MA^D^CA^D Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей 4.056. Докажите, что смежные грани куба взаимно перпендикулярны. 4.057. Докажите, что в кубе АВСВА^В^С^В^ взаимно перпендикулярны: а) плоскости сечений ACCjAj и BDD^B^; б) плоскости AjBCj и BB^D-^. 4.058. В правильном тетраэдре РАВС точка К — середина ребра ВС, точка D — середина ребра АР. Докажите, что взаимно перпендикулярны плоскости: а) АКР и ВСР; 6) АКР и BCD. 66 I гпава 4 Плоскости в пространстве 4.059. (Устно.) Взаимно перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой а. Любая ли прямая плоскости а перпендикулярна плоскости р? Ответ обоснуйте. 4.060. (Устно.) Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, одна из которых лежит в плоскости а, а другая — в плоскости р? Выполните соответствующие рисунки. 4.061. Докажите, что все прямые пространства, перпендикулярные данной плоскости а и пересекающие данную прямую ту лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости а. Выполните рисунок. 4.062. © Можно ли через данную точку провести три попарно перпендикулярные плоскости? Ответ обоснуйте и выполните рисунок. 4.063. ^ Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Прямая р пересекает плоскости а и р в точках соответственно А и By образуя при этом с каждой из плоскостей углы, равные ф. Найдите длину отрезка, концами которого являются проекции точек А и В на линию пересечения данных плоскостей, если длина отрезка АВ равна а. 4.064. Концы А н В отрезка АВу длина которого равна 10л/2 см, принадлежат перпендикулярным плоскостям соответственно а и р. Углы между прямой АВ и плоскостями а и р равны соответственно 30° и 45°. Найдите: а) расстояния от концов отрезка АВ до линии пересечения плоскостей а и р; б) длины проекций отрезка АБ на плоскости аир. 4.065. Плоскости равнобедренного треугольника ABF и квадрата ABCD перпендикулярны. Найдите расстояние: а) от точки F до прямой СП; б) от точки F до центра окружности, проходящей через точки А, В и центр О квадрата, если сторона квадрата равна 32 и AF = BF = 20. 4.066. © Через середины сторон АВ и ВС треугольника АВС проведены плоскости а и Р, перпендикулярные этим сторонам. Точка М принадлежит прямой пересечения плоскостей аир. Докажите, что точка М одинаково удалена от вершин треугольника АВС. i 67 Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей 4.067. %ABCD — ромб с углом 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба, причём АВ = AM = а. Найдите угол между плоскостями: а)АМВ и АВС; б)АМВ и AMD; b)MDC и АВС; т)МАВ и МВС; д) найдите тот двугранный угол, образованный плоскостями MDC и ВСМ, который содержит точку А. 4.068. § Плоскости АВС и ABD образуют угол в 45°. Известно, что AD = 3, АВ = 5, ВС = ; DA 1 АВ, СВ 1 АВ. Найдите: а) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью АВС. 4.069. Прямоугольники ABCD и АВМК лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Верно ли, что: а) АС 1 АК; б) AM 1 AD; в) АС 1 AM? 4.070. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 8. Через вершину С проведена плоскость а, перпендикулярная ребру АР. Найдите периметр и плош;адь треугольника, вершинами которого служат точки пересечения плоскости а с рёбрами данного тетраэдра. 4.071. § В треугольной пирамиде МАВС боковые грани MAC и МВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны основанию пирамиды, которым служит равнобедренный треугольник АСВ. Через вершину С проведена плоскость а, перпендикулярная плоскости грани МАВ и параллельная АВ. Найдите периметр и плош;адь фигуры, получившейся при пересечении пирамиды и плоскости а, если МС = 10 см, АВ — 20 см. 4.072. © Дан куб ABCDA^B^C^D^. Докажите взаимную перпендикулярность следуюш;их пар плоскостей: a)ACCj и BDD^; б) АВС^ и А^В^С; в) BB^D и ВА^С^; г) BDA^ и АСС^. 4.073. © Равносторонние треугольники АВС и ABD расположены в перпендикулярных плоскостях. Найдите угол между: а) прямой CD и плоскостью АВС; б) плоскостями ACD и BCD. 4.074. Изобразите куб ABCDA^B^C^D^ и постройте его сечение плоскостью, проходящ;ей через: а) ребро ВВ^ перпендикулярно плоскости АСС^; б) ребро АВ перпендикулярно плоскости CDA^; в) ребро ВС перпендикулярно плоскости АБ^С^. 68 1 Глава 4 Плоскости в пространстве Задачи к § 16. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 4.075. © Прямая AM перпендикулярна плоскости а, проходящей через точку А. Докажите, что расстояние между прямой AM и любой прямой а, лежащей в плоскости а, равно расстоянию от точки А до прямой а. 4.076. © Прямая а не лежит в плоскости а и параллельна прямой Ь, лежащей в плоскости а. Докажите, что расстояние между прямой а и любой прямой в плоскости а, пересекающей прямую &, равно расстоянию от прямой а до плоскости а. Верно ли, что расстояние между прямыми а и & также равно расстоянию от прямой а до плоскости а? 4.077. § Плоскости квадрата ABEF и ромба ABCD перпендикулярны; CD = б, Z С = 60°. Найдите расстояние между прямыми: а) EF и CD; б) AF и ВС, 4.078. На двух скрещивающихся прямых АВ и СК выбраны точки А и С так, что угол ВАС равен углу АС К и равен 90°; АС = 6. Найдите расстояние между прямыми АВ и КС. 4.079. S На двух скрещивающихся прямых АВ и СК выбраны точки А и С так, что ВАС равен углу АСК и равен 90°; АВ = КС = 6. Найдите ВК, если расстояние между прямыми АВ и СК равно 3 и АВ перпендикулярна СК. 4.080. § Угол между двумя скрещивающимися прямыми АВ и С К равен 60°, а расстояние между ними равно 3. Точки А и С выбраны так, что Z ВАС = ZACK = 90°; АВ = 4; КС = 2. Найдите ВК. 4.081. Точки АиВ лежат на ребре двугранного угла М(АВ)Т, АВ = 4. МАК и ТВР — два линейных угла данного двугранного угла. Определите, чему может быть равно расстояние между прямыми: а) МА и ВТ; б) АК и РВ; в) МК и РТ. 4.082. © Плоскости аир параллельны. Прямая а лежит в плоскости а, а прямые КМ и КТ — в плоскости р. Расстояние между прямыми а и КМ равно 5, а между прямыми а и КТ равно 8. Определите: а) взаимное расположение прямых а и КМ; б) взаимное расположение прямых а и КТ; в) расстояние между плоскостями аир. 69 _________Задачи к § 16. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 4.083. § АС — перпендикуляр, опущенный на плоскость ВСР. Проекция наклонной АВ перпендикулярна прямой СР. Найдите расстояние между прямыми АВ и СР, если АС = 4, ВС-3. 4.084. i Из точек А и Б на плоскость а опущены перпендикуляры AAj и ВВ^ и наклонные АР и БТ, перпендикулярные прямой А ^Б^. Найдите расстояние между прямыми АР и БТ, если AjP = 0,5, В^Т — 3,5, а РТ = 5. 4.085. ABCD — квадрат со стороной 4. Точка М лежит на стороне CD и делит её в отношении 3:1, считая от D. Прямая ТМ перпендикулярна плоскости квадрата. Найдите расстояния между прямой ТМ и каждой из прямых, проходящих через две вершины квадрата. 4.086. © Квадрат ABCD со стороной Ъ перегнули по прямой МТ (точка М — середина БС, точка Т — середина AD) так, что образовавшийся двугранный угол А{МТ)С равен а. Заполните таблицу. № Прямые Расстояние между прямыми 1 МС АТ 2 АВ CD 3 МТ АС 4 АС BD 5 АВ MD 4.087. § Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром а. Точка К — середина ребра Б^С^. Заполните таблицу. № Прямые Расстояние между прямыми 1 AAj DC 2 ББ^ DC^ 3 DC A^K 4 DD^ A^K 70 Гпава 4 Плоскости в пространстве Окончание таблицы № Прямые Расстояние между прямыми 5 B^D АС 6 АК ВС 7 В^С C^D 8 АК BD 9 DK ACi 4.088. 1МАВС — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка О — центр треугольника АВС. Точка К — середина ребра МВ. Точка Р — середина ребра АС. Заполните таблицу. № Прямые Расстояние между прямыми 1 АС МО 2 ВС AM 3 ОК РМ 4 МО КС 5 ВО AM Графическая работа № 3 © Тема: «Перпендикулярность в пространстве» Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения. 1. Прямая AM перпендикулярна плоскости треугольника АВС. 2. Прямая ОК проходит через точку О пересечения диагоналей квадрата АБСП и перпендикулярна его плоскости. 3. Прямая ОК проходит через точку О пересечения диагоналей трапеции ABCD {AD — большее основание) и перпендикулярна её плоскости. 4. Плоскости равносторонних треугольников АВС и АВК перпендикулярны. 5. Прямые ОМ, ОК и ОТ попарно перпендикулярны друг другу. _________________________________________________ ________Задачи к § 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника 6. Плоскость КТС перпендикулярна плоскостям ТМС и ТВК, 7. Прямая КМ перпендикулярна плоскости квадрата КТPC, а прямая МА перпендикулярна прямой РТ. 8. Прямая КМ перпендикулярна плоскости квадрата КТРС, а прямая МА перпендикулярна прямой СТ. 9. Вершина А треугольника АВС лежит в плоскости а, параллельной прямой ВС. Прямые ВВ^ и СС^ перпендикулярны плоскости а и пересекают её соответственно в точках Bj и Cj. 10. Прямая АВ лежит в плоскости АВС, прямая СК перпендикулярна этой плоскости. Прямая К А перпендикулярна прямой АВ. Прямая АТ лежит в плоскости АВС и перпендикулярна прямой АВ. 11. Прямая КМ перпендикулярна плоскости равнобедренного треугольника АВС {АВ = ВС) и пересекает её в точке Т — середине отрезка КМ. Из точек iiT и М на прямую АС опущены перпендикуляры. Задачи к § 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника 4.089. © Величина двугранного угла А{ВС)М равна 60°. Отрезок AM перпендикулярен плоскости ВСМ. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника МВС. 4.090. Квадрат ABCD перегнули по его диагонали ВС так, что образовался острый двугранный угол а. Найдите отношение площади ортогональной проекции треугольника АВС на плоскость ВВС к площади треугольника ВВС. 4.091. ©В кубе с ребром 10 проведено сечение плоскостью, пересекающей четыре параллельных ребра и образующей с каждым из них угол в 45°. Определите площадь сечения. Все ли такие сечения равны или только равновелики? 4.092. § В кубе ABCBA^Bfi^B^ с ребром 6 проведено сечение плоскостью, которая проходит через середины рёбер ВС^ и ВА, пересекает рёбра АА^, СС^, ВВ^ и образует с каждым из них угол в 60°. Определите площадь сечения. 72 1 Глава 4 Плоскости в пространстве 4.093. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы ABCDEFA^B^C^D^E^F^ равно а. Определите площадь сечения, проходящего через: а) вершины А, С и D^; б) сторону АВ и вершину Е^. 4.094. Сумма площадей всех боковых граней правильной пятиугольной пирамиды в шесть раз больше площади её основания. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды. 4.095.1 В правильной треугольной пирамиде МАВС все боковые рёбра образуют с плоскостью основания углы, равные 60°. Найдите отношение площади основания пирамиды к площади сечения, проведённого через вершины В и С перпендикулярно ребру МА. 4.096. § В правильной треугольной пирамиде МАВС проведено сечение через середину ребра МС и вершины А и В. Площадь этого сечения составляет | площади основания пирамиды. Определите: а) угол наклона плоскости сечения к плоскости основания пирамиды; б) угол, который образует плоскость сечения с боковым ребром пирамиды; в) угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости её основания. 4.097. ^ В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD через ребро АВ и середину ребра МС проведено сечение, площадь которого в 1,125 раза больше площади основания. Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, а также двугранный угол при ребре основания данной пирамиды. 4.098.1 К плоскости треугольника АВС по одну сторону от неё проведены перпендикуляры АК и ВМ. Найдите угол между плоскостями АВС и СКМ, если АВ = АС = ВС = АК = = 0,5ВМ. 4.099. % Угол между плоскостями аир равен ф. Треугольник АВС у лежащий в плоскости а, спроектировали на плоскость р и получили треугольник A^B^Cj. Затем треугольник AjBjCj спроектировали на плоскость а и получили треугольник AgBgCg и так далее. После десятого проектирования получился треугольник площадью S. Найдите площадь тре- i 73 Задачи к главе 4 угольника АВС и сумму площадей всех треугольников, начиная с треугольника АВС до треугольника A^qB^qC^* 4.100. Через вершину А квадрата ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр AM, равный 10. Угол между плоскостями АВС и МВС равен 45°. Найдите площадь треугольника МВС. 4.101. В основании прямого параллелепипеда квадрат со стороной а. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра параллелепипеда и наклонённая к плоскости основания под углом ф. Найдите площадь полученного сечения. 4.102. Равнобедренные треугольники АВС и АВК с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника АВС на плоскость АВК у если АВ = 24 дм, АС = 13 дм, АК - 37 дм, СК = 35 дм. 4.103. Через сторону АВ основания АВС правильного тетраэдра РАВС проведена плоскость, перпендикулярная ребру PC. Найдите площадь сечения, если сторона основания тетраэдра равна 8 см. 4.104. В правильной четырёхугольной призме постройте сечение, проходящее через середины двух смежных сторон основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований. Найдите площадь этого сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а высота — 4 см. 4.105. g В правильной треугольной призме, каждое ребро которой равно 9 дм, постройте сечение, проходящее через сторону основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований призмы. Найдите: а) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы; б) площадь сечения. Задачи к главе 4 4.106. Дана правильная треугольная пирамида. Нарисуйте два её параллельных сечения, проходящие через: а) среднюю линию основания и среднюю линию боковой грани; б) сред- 74 I Гпава 4 Плоскости в пространстве нюю линию основания и медиану боковой грани; в) медианы двух боковых граней; г) высоту и среднюю линию боковой грани; д) высоту и медиану боковой грани. (Каждый раз выбираются два отрезка, лежащие на скрещивающихся прямых.) 4.107. ABCDA^B^C^D^ — куб. Постройте два его сечения, параллельные между собой и проходящие через прямые: а) АС и B^D^; б) АС и CjZ); в) АС и КЬу где точки К и L — середины рёбер соответственно А jBj и CD; г) АС и OjOg, где точки и Og — центры граней соответственно АА^В^В и A^B^C^D^, 4.108. Точки А и В принадлежат разным граням прямого двугранного угла. Точки А^и В^ — проекции точек А и В на ребро двугранного угла; АА^ = а, А^В^ = 6, ВВ^ = с. Докажите, что АВ = . 4.109. Точка А лежит внутри двугранного угла в 60°; точки Aj и Ag — проекции точки А на его грани, причём AjA = 5, AgA = 3. Используя планиметрическую теорему косинусов, найдите расстояние между точками Aj и Ag. 4.110. АВСП и АВМК — прямоугольники с общим основанием АВ, АС _L AM. Докажите: а) BD _L ВК; б) прямая BD не перпендикулярна прямой ВМ. 4.111. Известно, что в прямоугольном тетраэдре РАВС плоские углы АР В, ВРС и СРА — прямые; РА = а, РВ = 6, PC = = с. Найдите расстояние между прямыми, содержащими каждые два скрещивающиеся ребра данного тетраэдра. 4.112. В тетраэдре РАВС ребро АВ перпендикулярно ребру СР и ребро АР перпендикулярно ребру ВС. Докажите, что АВ2 + СР2 = АР^ + ВС^. 4.113. Рёбра АВ и СР, АР и ВС тетраэдра РАВС взаимно перпендикулярны. Докажите, что рёбра АС и ВР также взаимно перпендикулярны. 4.114. Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведена к этой плоскости наклонная АВ. Через точку В проводятся в плоскости а всевозможные прямые, к каждой из которых проводится перпендикуляр из точки А. Определите фигуру, образованную основаниями этих перпендикуляров. i 75 Задачи к главе 4 4.115. В тетраэдре РАВС плоские углы АРВ, ВРС и СРА прямые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины Р на плоскость АВС является точка пересечения высот {ортоцентр) треугольника АВС. 4.116. В кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром а найдите расстояние от центра грани до плоскости ABjC. 4.117. § В параллельных плоскостях р и расстояние между которыми Ь, лежат два равных квадрата ABCD и A^B^C^D^ со стороной а, причём АВ || А^В^, АА^ перпендикулярна плоскости р, прямые BBj и DD^ не перпендикулярны плоскости р; точка К — середина стороны CD. а) Постройте прямую пересечения плоскости р^ и плоскости, проходящей через точку В^ перпендикулярно прямой АК. б) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости AAjCj. в) Найдите расстояния от точки К до плоскостей АА^В и АА^С^. г) Найдите расстояние между прямой BD и плоскостью B^D^K. 4.118. § В параллельных плоскостях а и а^, расстояние между которыми равно с, лежат равные правильные треугольники АВС и AjBjCj со стороной а. Соответственные стороны треугольников попарно параллельны, прямая АА^ перпендикулярна плоскости а, прямые ВВ^ и CCj не перпендикулярны плоскости а, точка К — середина стороны ВС. а) Докажите, что прямая BjC^ перпендикулярна плоскости АА^К. б) Постройте прямую Z, проходящую через точку К перпендикулярно плоскости АВВ^. в) Найдите расстояние от точки Cj до плоскости ABBj. г) Найдите расстояние от точки А до плоскости BCCj. 4.119. S Основанием параллелепипеда ABCBA^B^C^Bj является ромб со стороной а и острым углом А, равным а. Известно, что вершина Aj удалена на расстояние а от точек А, В и D. Докажите, что основание перпендикуляра, проведённого из точки Aj на плоскость АВС, принадлежит прямой АС. Найдите длину этого перпендикуляра. 76 I Глава 4 Плоскости в пространстве 4.120. § Расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно т. Найдите ребро этого куба. 4.121. § Дан куб ABCDA^Bfi^D^. Через любую точку К ребра АВ куба проведена плоскость а, параллельная плоскости BDD^. Найдите угол между прямой AD^ и плоскостью а. 4.122. ^ Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром а. Точка К — середина ребра ВС. Найдите расстояние между прямыми АС и С^К. 4.123. § В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD высота РО вдвое больше стороны основания ABCD. Найдите расстояние между прямыми АВ и PC, если сторона основания пирамиды равна 17. 4.‘\24. АВСDEFА^B^C^D]^E^F]^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите синус угла между плоскостями: а) АВС и BC^F; б) FB^D^ и АВС; в) А^ВС hAB^F; г) ВС^ОиАВС; д)А^СЕ^иАВС; e)ABCnBFD^. Глава РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 18. Расстояние от точки до фигуры 5.001 .© Прямая АВ пересекает плоскость а в точке О; р(А; а) = 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если: а) точка О — середина АВ\ б) точка В — середина ОА; в) точка А — середина ОБ. 5.002. © Прямая АВ пересекает плоскость а в точке О; р(А; а) = 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если ОА = 8, АВ = 6. 5.003. Точки Ап В лежат по разные стороны от плоскости а. Расстояния от точек А и Б до плоскости а соответственно равны 7 и 10. В каком отношении (считая от точки А) плоскость а делит отрезок АБ? 5.004. Точки А Vi В лежат по разные стороны от плоскости а. Расстояния от точек А и Б до плоскости а соответственно равны 7 см и 10 см. Плоскость а пересекает отрезок АВ в точке О. Найдите длины отрезков О А и ОБ, если длина отрезка АВ равна 51 см. 5.005. Точки А и Б лежат по одну сторону от плоскости а. Расстояния от точек А и Б до плоскости а соответственно равны 7 см и 10 см. Плоскость а пересекает прямую АВ в точке О. Найдите длины отрезков ОА и ОБ, если длина отрезка АБ равна 51 см. 5.006. © Точка М равноудалена от вершин прямоугольника. Равноудалена ли точка М от сторон этого прямоугольника? 5.007. Точка М равноудалена от вершин правильного многоугольника. Равноудалена ли точка М от сторон этого многоугольника? 5.008. Точка Р удалена от каждой вершины правильного треугольника АВС на расстояние , а от каждой его сто- 7В I Глава 5 Расстояния в пространстве роны — на расстояние 2л/3 . Найдите: а) расстояние от точки Р до плоскости треугольника; б) площадь данного треугольника; в) угол между плоскостями АВР и АВС. 5.009. © Точка К находится на одинаковом расстоянии от каждой из прямых, содержащих стороны ромба ABCD, и равноудалена от каждой его вершины. Найдите углы ромба. 5.010. 2 Вершины А и В квадрата ABCD лежат в плоскости а, а вершина С удалена от этой плоскости на 4. Найдите расстояние до плоскости а от: а) точки D\ б) точки О пересечения диагоналей квадрата; в) точки М — середины £>0; г) точки К пересечения медиан треугольника ADO; д) точки Т пересечения медиан треугольника DOC. 5.011. © Вершины А и В треугольника АВС лежат в плоскости а, а точка М — середина стороны АС, удалена от плоскости а на 6. Найдите расстояние от плоскости а до: а) точки С; б) середины ВС; в) середины средней линии треугольника, параллельной ВС; г) точки пересечения медиан. 5.012. © Катет АВ прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости а, а вершина С удалена от этой плоскости на расстояние 8. Найдите расстояние от данной плоскости до центра окружности, описанной около треугольника. 5.013. В треугольнике АВС сторона АС = 4, АВ = 6, ВС = 8. Вершины А и С лежат в плоскости а, а точка В удалена от этой плоскости на 4. Найдите расстояния до этой плоскости от точек: а)М — середины биссектрисы ВВ^; 6)Aj, где AAj — биссектриса треугольника; в) С^, где СС^ — биссектриса треугольника; г) центра вписанной в треугольник окружности. 5.014. © Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10. Точки А и В лежат в плоскости а, а вершина В удалена от плоскости а на 18. Найдите расстояние от плоскости а до: а) точки С; б) точки пересечения средней линии трапеции с её диагональю АС; в) точки О пересечения диагоналей трапеции. 5.015. 1 Вершина D тетраэдра ABCD удалена от плоскости АВС на 6. На какое расстояние от этой плоскости удалены: а) точка К — середина ВВ; б) точка М — точка пересечения i 79 Задачи к § 19. Расстояние между фигурами медиан треугольника ABD; в) точка N пересечения медиан треугольника ВСМ; г) середина МК; д) точка пересечения медиан треугольника СМК. 5.016. В кубе ABCDA^B^C^D^ проведено сечение через вершины Aj, С и Расстояние от вершины В до плоскости сечения равно 8. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин: А; С^; 5.017. В кубе ABCDA^B^C^D]^ проведено сечение через вершины Ар и Б. Расстояние от вершины By до плоскости сечения равно 4. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин: А; С; Б. 5.018. © ABCDAyByCyDy — куб. Точка М лежит на ребре АБ и делит его на отрезки AM == 3 и БМ = 5. Найдите расстояние от точки М до каждой из плоскостей: АБА^; БСБр АуВуС^; БССр 5.019. В кубе ABCDAyByCyDy его диагонали АуС и BDy пересекаются в точке М. Найдите расстояния от точки М до каждой из плоскостей AByDy и БС^Б, если ребро куба равно 6. 5.020. © Сторона АБ параллелограмма ABCD лежит в плоскости а; К — середина ВС. Расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до плоскости а равно 5. Найдите расстояние от точки Е до плоскости а, если точка К — середина АЕ. Задачи к § 19. Расстояние между фигурами 5.021. © Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 5. Чему равно расстояние от точки, принадлежа-щ;ей одной из этих плоскостей, до второй плоскости? 5.022. © Расстояние от точки до каждой из двух параллельных плоскостей равно 6. Найдите расстояние между данными плоскостями. 5.023. © Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8. Точка удалена от одной из этих плоскостей на 3. На какое расстояние эта точка удалена от второй плоскости? 80 I Глава 5 Расстояния в пространстве 5.024. © Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 5. Точка удалена от одной из этих плоскостей на 10. На какое расстояние эта точка удалена от второй плоскости? 5.025. © Расстояния от точки до двух параллельных плоскостей равны соответственно 3 и 7. Найдите расстояние между этими плоскостями. 5.026. © Точки А Vi. В принадлежат соответственно двум параллельным плоскостям аир, расстояние между которыми 6. Длина отрезка АВ равна 12. Точка М принадлежит отрезку АВ и удалена от плоскости а на 2. Найдите длины отрезков AM и ВМ. 5.027. Точки А Vi В принадлежат соответственно двум параллельным плоскостям а и р, расстояние между которыми 10. Длина отрезка АВ равна 30. Точка М принадлежит прямой АВ и удалена от плоскости а на 2. Найдите длины отрезков AM и ВМ. 5.028. Плоскости равностороннего треугольника АВС со стороной 6 и равнобедренного треугольника АВК (АК = ВК = = 9) перпендикулярны. Найдите расстояние между: а) точкой К и центром О треугольника АВС; б) прямыми АВ и СК. 5.029. § ABCD — квадрат со стороной 4. Точка М принадлежит стороне CD и делит её в отношении 3:1, считая от D. Прямая ТМ перпендикулярна плоскости квадрата. ТМ = 4. Найдите расстояние между прямыми: а) TD и АВ; б) TD и ВС; в) ТС и АВ; г) ТВ и ВС. 5.030. © Стороны основания прямоугольного параллелепипеда АВСВА^В^С^В^ равны avib. Найдите расстояние между диагональю ВВ^ параллелепипеда и непересекаюш;им её боковым ребром АА^. 5.031. В правильном тетраэдре РАВС с ребром а точки М Vi К — середины рёбер соответственно ВР и СР, точка О — центр основания АВС. Найдите расстояние между прямыми: а) МК и ОР; б) АР и ВС; в) АВ и МК. 5.032. ^ Дан куб MNPQM^Р^ с ребром а. Точка К — середина ребра A^iPi- Заполните таблицу. 81 Задачи к §20. Геометрические места точек № Прямые Расстояние между прямыми 1 MMi QP 2 NN^ QPi 3 QP M^K 4 QQi M^K 5 N,Q MP 6 MK NP 7 N^P 8 MK NQ 9 QK MP^ Задачи к § 20. Геометрические места точек, связанные с расстоянием в пространстве 5.033. ©Даны пересекающиеся плоскости аир. Найдите множество всех точек пространства, принадлежащих плоскости а и удалённых на расстояние т от плоскости р. 5.034. ©Даны пересекающиеся плоскости аир. Найдите множество всех точек пространства, каждая из которых удалена от плоскостей аир соответственно на расстояния а и & (а 7^ о, & 7^ 0). 5.035. © Найдите множество всех точек пространства, равноудалённых от трёх данных попарно параллельных прямых. 5.036. © Даны плоскость а и не принадлежащие ей точки А и В. На плоскости а найдите множество всех точек, равноудалённых от точек Ап В. 5.037. © Сумма двух противоположных углов плоского четырёхугольника равна 180°. Найдите множество всех точек пространства, равноудалённых от всех вершин данного четырёхугольника. 5.038. © Суммы противоположных сторон плоского четырёхугольника равны. Что собой представляет множество всех точек пространства, равноудалённых от прямых, содержащих стороны данного четырёхугольника? 82 I Гпава 5 Расстояния в пространстве 5.039. Точка М не принадлежит плоскости а, а точка В принадлежит этой плоскости. Что собой представляет множество оснований всех перпендикуляров, проведённых из точки М ко всем прямым плоскости а, проходящим через точку В? 5.040. Точка А удалена от плоскости а на расстояние, равное 4 см. В плоскости а найдите множество всех точек, удалённых от точки А на расстояние, равное 5 см. 5.041. Плоскости аир перпендикулярны, точка А принадлежит плоскости а и удалена от плоскости Р на расстояние, равное 8 см. В плоскости Р найдите множество всех точек, удалённых от точки А на расстояние, равное 10 см. Задачи к главе 5 5.042. Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD соответственно в точках К (середина АВ) и Р {ВС : PC = 3). Расстояние от точки В до этой плоскости равно 6. Найдите расстояния от остальных вершин параллелограмма до плоскости а. 5.043. Плоскость а, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 7 : 5, считая от точки В. Найдите расстояние от точки А до плоскости а, если расстояние от середины отрезка АВ до этой плоскости равно 2. 5.044. Все вершины куба, кроме двух противоположных А и Cj, лежащих на одной диагонали, одинаково удалены от некоторой плоскости а. Найдите расстояние от каждой из этих вершин (исключая А и С^) до плоскости а, если ребро куба равно 6. 5.045. MABCD — правильная четырёхугольная пирамида. Ребро основания пирамиды равно б, а её высота равна 4. Найдите расстояние от вершины А до плоскости MDC. 5.046. § Прямая АВ перпендикулярна прямой СР, прямая АР перпендикулярна прямой АВ. Прямая АР перпендикулярна прямой СР; АВ = АР = СР = 4. Найдите расстояние между прямыми АР и СВ. 5.047. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и его ребро; б) диагональ куба и диагональ его грани; в) диагонали двух соседних граней. 83 Задачи к главе 5 5.048. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10. Точки С VI D принадлежат плоскости а, а вершина В удалена от плоскости а на 4. Найдите расстояния от плоскости а до: а) точки А; б) точки пересечения средней линии с диагональю АС; в) точки О пересечения диагоналей трапеции. 5.049. В кубе ABCDAjBjCjDj проведено сечение через точки Му N Vi. К — середины рёбер соответственно A^D^, C^D^ и DD^. Расстояние от вершины до плоскости сечения равно 9. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин: -^1» С-^; D; В^; С; А; В. 5.050. В правильном тетраэдре РАВС с ребром а точка О — центр основания АВС. Найдите расстояние от точки К — середины высоты РО тетраэдра до его грани АВР. 5.051. В основании пирамиды MABCD лежит параллелограмм ABCD. Точка О пересечения диагоналей параллелограмма удалена от плоскости MDC на 6. Найдите расстояние до этой плоскости от: а) точки А; б) точки В; в) точки К, где МК — медиана треугольника AMD; г) точки пересечения медиан треугольника АВС; д) точки пересечения медиан треугольника мвс. 5.052. ABCD — параллелограмм со сторонами АВ = 6 см и ВС = 14 см. Сторона AD лежит в плоскости р, расстояние от точки В до плоскости Р равно 3; М — точка пересечения биссектрис углов А и В параллелограмма. Найдите расстояние от точки М до плоскости р. 5.053. Основанием тетраэдра РАВС служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АС = ВС = а). Известно, что РА = РВ = PC = Ь. Найдите расстояние между прямыми АВ и СР. 5.054. Дано множество всех плоскостей, проходяпдих через данную прямую т, и точка А, не принадлежащая этой прямой. Найдите множество точек, являющихся основаниями перпендикуляров, проведённых из точки А ко всем данным плоскостям. 5.055. Плоскости а и Р перпендикулярны, точка А удалена от плоскости а на 6 см, а от плоскости Р — на 8 см. Найдите в каждой из плоскостей аир множества всех точек, удалённых от точки А на расстояние, равное 10 см. 84 1 Гпава 5 Расстояния в пространстве 5.056. На поверхности куба ABCDA^B^C^D^ найдите и постройте множество всех точек, равноудалённых от: а) вершин А и Б; б) вершин А и С; в) вершин В и D^; г) точки пересечения диагоналей грани ABCD и середины ребра А^Б^. 5.057. На поверхности ку6& АВСDA^B^C^D^ найдите и постройте множество всех точек, удалённых от вершины А на расстояние, равное длине ребра куба. 5.058. На поверхности куба АБСБА^Б^С^Б^ найдите и постройте множество всех точек, удаленных от ребра АБ на расстояние, равное половине длины ребра куба. 5.059. На поверхности куба АБСБА^Б^С^Б^ найдите и постройте множество всех точек, равноудалённых от плоскостей: а) АБС и АБС^; б) АБС^ и А^СБ. 5.060. На поверхности тетраэдра АБСБ найдите и постройте множество всех точек, равноудалённых от: а) вершин А и Б; б) середины ребра АС и вершины Б; в) плоскостей БАС и БАС. 5.061. На поверхности правильного тетраэдра АБСБ найдите и постройте множество всех точек, удалённых от вершины А на расстояние, равное половине длины ребра тетраэдра. 5.062. § Ребро куба АБСБА^Б^С^Б^ равно а. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ACM, если точка М принадлежит прямой Б^Б^? 5.063.1 Ребро куба АБСБА^Б^С^Б^ равно а. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ББТ, если точка Т принадлежит прямой AjC? 5.064. ^ Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а. Точка iiT — середина ребра АС. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник МКТ, если точка Т лежит на прямой АБ? 5.065.1 В прямоугольном параллелепипеде АБСБА^Б^С^Б^ ребро AAj = а, АБ = За и АБ - 4а. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник АБ^М, если точка Т лежит на ребре АБ? 85 Задачи к главе 5 5.066. § Ребро основания правильной призмы АВСА^В^С^ равно а. Боковое ребро призмы равно 2а; точка Р — середина ребра ВВ^. Какую наименьшую плош;адь может иметь треугольник АВ^К, если точка К лежит на прямой СР? 5.067. Все вершины тетраэдра находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Сколько суш;ествует таких плоскостей? 5.068. Точка М удалена на расстояние 4j2 от каждой из трёх вершин квадрата со стороной 8. Докажите, что точка М принадлежит плоскости этого квадрата. 5.069. § Точка А принадлежит окружности радиуса 1. Отрезок АВ длины 2 перпендикулярен плоскости этой окружности; С — такая точка окружности, что длина дуги АС равна X (О < X ^ 7г). Задайте функцию расстояния между точками В иС от X. 5.070. § ABCD — прямоугольник со сторонами АВ = 3 и ВС = 4. Треугольники АВС и ADC враш,аются вокруг диагонали АС. В каких пределах изменяется длина отрезка BZ)? 5.071. Трапецию ABCD со сторонами АВ = ВС = CD = 6 и AD = 12 перегнули по диагонали АС так, что вершина D оказалась вне плоскости данной трапеции. Может ли при этом расстояние между точками В м D быть равным: а) 7; б) 5; в) 10; г) 11? Ъ.072,. ABCDEFА^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой: a)E^F; 6)D^F^; b)C^D^; t)AD^; Д) CDi. 5.073. ABCDEFA-^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найдите: а) расстояние от вершины Aj до плоскости ВСС^; б) от вершин А-^ и Z)j до плоскости ACj Е-^; в) от вершин Fидо плоскости AF^D. 5.074. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, рёбра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми: di)B^F и СЕ^; О) А^В и В^С; в)Е^Е и А^В; г) ВЕ^ и BjC. Глава ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами 6.001. ©Может ли длина суммы двух векторов быть: а) меньше длины каждого из слагаемых; б) равной сумме длин слагаемых; в) больше суммы длин слагаемых? Ответ обоснуйте. 6.002. {Устно.) © Дан тетраэдр РАВС. Точки К2, — середины рёбер соответственно PC, РБ, РА, АБ, БС, АС. Назовите все векторы: 1) равные вектору: а) К^К2; б) -К'з-К'4 ; в) ^^2^5 ’ противоположные вектору: а) ; б) ; в) . 6.003. © Изобразите параллелепипед ABCDA^B^C^D^. Назо- вите вектор, равный сумме векторов: а) АБ + А^Б^; б) АБ + + АБ^; в) БА + Б^Б ; г) ББ^ + ББ ; д) DB-^ + ВС ; е) АБ + + А|Б^ + СС^; ж) АБ + Б^С^ + ББ^ + СБ + В^А . 6.004. Начертите параллелепипед АБСБА^Б^С^Б^ и обо- значьте С^Б^ = а, БА^ = by AD = с. Изобразите на рисунке векторы: г)а-Ь;6)Ь - а;в)а-с;г)а + с- Ь;д)с + Ъ - а; е) -а-5. 6.005. ©Упростите выражение: а) АБ - НМ + ВС - АС + + РЕ + НМ; б)СК - ЕМ - АЕ + AM + КМ + PC; в) КМ + BE + АС - КЕ + СА - ВС + МР ;г)АВ+СЕ + + МН + ВА + ЕС + НМ. i 87 ______Задачи к § 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами 6.006. (Устно.) Даны точки А, Б, С, Е. Представьте вектор АВ в виде линейной комбинации следующих векторов: а) ^ , ЁС , БЕ ; б) БА , ЕС , СБ ; в) БА , СБ , БС ; г) АС , BE,ЕС,СВ,ВА. 6.007. Дан параллелограмм АБСБ, О — произвольная точка пространства. Докажите, что О А + ОС = ОБ + ОБ. 6.008. © . Дан параллелепипед ABCDA^B^C^D^, О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОА + ОС j = = 0C+0Ai;6)0O + ОБ1 = ОБ + 00^. 6.009. Докажите, что MjA - М^Б = MgA - М2В . 6.010. (Устно.) РАВС — тетраэдр с вершиной Р. Найдите точку М, если: а) РМ = РА + РВ; б) РМ = ВА + ВС; в) AM = АБ + АС + АР; г) СМ = РА - РБ; д) AM = = РБ+АС+РА-РБ;е) РМ = РА + БС + РБ. 6.011. © Известно, что АБ = 2АО . Докажите, что точки А и Б симметричны относительно точки О. 6.012.0 — точка пересечения диагоналей куба ABCDA^B^C^D^. Найдите число х такое, что: а) АБ = xCD ; б) АС ^ = хАО ; в) ОБ J == xDB г) В^О = xDB д) А^С = хСО . 6.013. Векторы а и Ь, а. также векторы а и с коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) а + Ь и с; б) а - Ь и с;в)а + 2Ь и с ; г) -За -Ь 2Ь и с . 6.014. Векторы а + Ь и а - Ь коллинеарны. Докажите, что векторы а и Ь коллинеарны. 88 I Глава 6 Векторный метод в пространстве 6.015. © Докажите, что если точка М — середина отрезка АВ, а О — произвольная точка пространства, то ОМ = = |(ОА +ОВ). 6.016. Докажите, что если точка М — центроид треугольни- ка АБС, то МА + МВ -Н МС = 0. 6.017. © Докажите, что если точка М — центроид треугольника АВС, а О — произвольная точка пространства, то ОМ = i(OA + ОБ + ОС). О 6.018. 2 В тетраэдре РАВС точки и Mg — центроиды граней соответственно РАВ и РВС. Докажите, что MjMg || АС и м^м^ = \ас. о 6.019. {Устно.) Дан куб ABCDA^B^C^D^. Точки К^, К2, К^, К^, К^, Kq — середины рёбер соответственно AAj, ББ^, СС^, DD^, АВ, CjOj. Назовите векторы: 1) равные вектору: а) ; б) К^В ; в) ВС,; г) ; д) ; е) АК^; 2) про- тивоположные вектору: a)K^KQ’, 6) AD,; в)К2С,; t)D,K2; д)К,С,;е) СК,. 6.020. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD с вершиной Р. Докажите, что сумма векторов АО , РВ , PC , OP , DP , BA , ВС равна сумме векторов АР , DA , DC , ВС , В А , PC , где точка О — центр основания пирамиды. 6.021. © ABCDA,B,C,D, — параллелепипед. Начертите век- тор AM , если: а) AM = АВ + ВС + DD,; 6) AM = АВ + БС + CD; в) AM - АВ + BD + СС, ; г) AM = АВ + БС + DA; 89 Задачи к § 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами а) AM = АВ + АС + ВС; е) AM = АВ + С^В^ + АС; ж) AM — ВС + ВВ]^ + CjZ)]^; з) AM — DC j + ВС + В-^А и) AM — АВ ^ + + AjDj + СС^; к) AM — AD-^ + С^В^ + + В]^С]^ +В]^В +АВ;л) AM — AjBj+Cj^Bj^ +CCj^ +АС + + AjA ; м) AM = AB - С^В^ - A^C^; н) AM = ВС - C^D^ - - CCj + AAi+ CA. 6.022. © Начертите тетраэдр PABC и постройте направлен- ный отрезок, задающий вектор: а)АВ -Ь ВС; б) АС + АР \ ъ)¥в + ^;г)АС - Хв;д)Хв - СВ; е)-^ -Ь ВС; ж) ^ + ВС . 6.023. ABCAjBjCj — призма. Укажите точку М, если: а) ВМ = ВА + С-^В-^ А^С^; б) В-^М — В^А + В-^В + АА]^; в) АВ + ВМ = ACj - B^Ci. 6.024. § ABCBAiBjCjBi — параллелепипед. Укажите такую точку М, что справедливо равенство: МА + МВ -Ь МС -bMB-bMAj -Ь MBj -Ь MCj + MBj = 0. 6.025. PABC тетраэдр. Постройте такую точку М, что справедливо равенство РА -Ь РВ -Ь PC - РМ = 0. 6.026. ABCBAjBjCjBj — параллелепипед. Пусть АВ = а, АВ = 6, AAj = с. С помощью этого параллелепипеда убедитесь в справедливости следующих векторных равенств: а) а -Ь (6 + с) == {а + Ь) + с = {с + а) + Ь\ 6)а + {Ь -с) = {а -с) + Ь; в)а -(Ь -с) = {а -Ь)-\-с = {а +с)-Ъ\ т)а-{Ь + с) = {а-Ь)-с= {а-с)-Ъ. 90 Гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.027. § Два треугольника АВС и произвольно рас- положены в пространстве. Верно ли, что АА^ + ВВ^ + CCj = = АВ^+ 6.028. © Векторы а - 2Ь и а + ЗЬ коллинеарны. Докажите, что векторы а иЬ коллинеарны. Cl 6.029. ABCDA^B^C^D^ — параллелепипед. На диагонали АС грани ABCD взята такая точка М, что AM : МС = 1:4, а на диагонали АС^ параллелепипеда — такая точка N, что AN : NC^ = 1:5. Доказать, что точки М, и Aj лежат на одной прямой. Найти отношение, в котором точка N делит отрезок МА1. Решение. Для доказательства принадлежности трёх точек М, и Aj одной прямой достаточно показать, что векторы D МА^ и MN коллинеарны, т. е. MN = X МА^ (рис. 52). Поль- зуясь условием задачи, находим: AM : МС =1:4 1 5 AM = = \aC\AN : NC. = 1 : 5=> Ziv = i АС. = liAA, + АС). Тог- iS А о б 1 1 1 да MN = AN - AM = ИАА. -Ь АС) - ^ АС = -^(5АА. - о 5 30 АС). Далее, МА. = АА. - AM - АА. - - АС = -(5АА. - 5 5 - АС). Таким образом, получили: MN = — (5АА^ - АС), oU 1 MAj = - (5AAj - АС), откуда следует МА ^ = бМЛ^. Это озна- О чает, что точки М, Л/' и Aj лежат на одной прямой и MN:NA^-=\ : 5. 6.030. ^ Для данной неплоской замкнутой ломаной, состоя-ш;ей из шести звеньев, построены два треугольника, вершинами каждого из которых служат середины несмежных звеньев. Докажите, что центроиды этих треугольников совпадают. i 91 Задачи к § 22. Разложение вектора по базису Задачи к § 22. Разложение вектора по базису 6.031. © в параллелограмме ABCD точки К Р делят стороны АВ и AD на части в отношении АК : КВ = АР : PD =1:4. Выразите вектор КР через векторы АВ и AD. 6.032. К центру правильного шестиугольника приложены три силы, направленные в три последовательные вершины. Найдите величину и направление равнодействующ,ей, если величина каждой из данных сил равна 2Н. 6.033. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть АС = а, АЕ = Ъ. Разложите по базису (а; &) следуюш^ие векторы: а) АП; б) СП; в) АВ; г) БС; д)ПБ; е) АБ; ж) ЕС; з) ЕЕ; и) DB; к) BE. 6.034. Пусть МК — равнодействуюш,ая трёх сил, прило- ---> --> ----> женных в точке М и равных МА, МВ и МС, где А, В иС — вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром О. Найдите отношение длин отрезков МК и МО. 6.035. {Устно.) Дан параллелепипед ABCDA^B^C^D^. Какие из следуюш,их троек векторов компланарны: a)AAi, ССр ПП^; б) АБ, АП, ВВ^; в) АС, ССр ПП^; г) АП, ББ^, П^С^; д) AHj, Б^С, АБ; е) ПА^, БС^, АП? 6.036. © Основанием пирамиды с вершиной Р является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О; точка Е — середина ребра PC. Разложите векторы РП, РО, АЕ и ЕО по векторам а = РА, Ь = РВ, с = PC. 6ш037ш © АВС DA ^B^C^D^ — куб. Пусть АБ = а, АП = &, AAj = c. В базисе (а; Ь; с) найдите координаты следующ,их векторов: а) АС^; б) АП^; в) АБр г) АС; д) А^С; е) П^Б. 92 Гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.038. Векторы а, 6 и с образуют базис в пространстве. Будут ли образовывать базис пространства векторы: а) ха,уЬ ,zc\ б) а -Ь 6,6 -Ь с, с -Ь а? 6.039. © ABCDA^B^C^D^ — параллелепипед; точка О — центр основания ABCD. Обозначим А^А = 3, = Ь, A^D = с. Разложите в базисе (3; Ь; с) следующие векторы: а)А^О; б) АО; в) СА^; г) АС^; д) D^B; е) С^В. 6.040. © РАВС — правильный тетраэдр. Точки К и М — середины рёбер соответственно PC и ВС; точки Н и Е — центроиды треугольников соответственно АВС и РВС. Обозначим РА = 3, РВ = Ь , PC = с . В базисе {а;Ь; с) найдите координа- ты векторов: а) ВК; б) РМ; в) PH; г) АЕ; д) КН. 6.041. Точки М и Mj — центроиды треугольников соответ- ственно АБС и А^Б^С^. Докажите, что АА^ + ВВ^ -Ь СС = 3MMi. 6.042. Даны параллелограммы ABCD и АБ^С^Б^. (А — общая веры1ина.) Докажите, что при любом их взаимном расположении прямые ББ^, CCj и DD^ параллельны некоторой плоскости. Б, 6.043. g В наклонной треугольной призме проведено сечение, пересекающее все её боковые рёбра. Докажите, что центроиды сечения и оснований призмы лежат на одной прямой. 6.044. АБСБА^Б^С^Б^ — куб. Доказать, что центроид М треугольника АСБ^ принадлежит диагонали Б^Б и делит её в отношении 1:2, считая от вершины Б. 93 Задачи к § 22. Разложение вектора по базису Решение. Для решения задачи достаточно убедиться, что векторы DM и DB^ (рис. 53) коллинеарны (почему?). Введём базис а DA , Ь = DC, с = DDj и найдём разложе- ---> ние векторов DB^ и DM по этому базису. По правилу параллелепипеда имеем DB DA + DC + DDi — а. b + с. Так как точка М — центроид треугольника ACD^, то DM = 4 (DA + DC + DDi)= ^{a + b +c). О О (1) (2) Из (1) и (2) следует, что DM = - DDj, поэтому векторы О DM и DBj коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что точка М принадлежит диагонали DB^ и DM : DB^ = 1:3, откуда DM : MBj = 1:2, что и требовалось доказать. 6.045. § Дан параллелепипед ABCDA^B^C^D^, Точки Р, Н и К — середины рёбер соответственно A^D^j СС^ и АВ. Докажите, что плоскость НРК проходит через точку О пересечения диагоналей параллелепипеда. 6.046. § Даны два параллелограмма ABCD и A^B^C^D^. Точки М, Pj К и Н — середины отрезков соответственно AAj, DDj, CCj и DDj. Докажите, что отрезки МК и PH пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 6.047. § В тетраэдре РАВС точки К и М — середины рёбер соответственно РА и ВС. Докажите, что прямые АВ, КМ и PC параллельны некоторой (одной) плоскости. 6.048. § Векторы МА , МВ и МС некомпланарны, точка iiT лежит в плоскости треугольника АВС. Найдите значение числа X, если: а) МК = 0,1 МА + 0,4МБ + х МС; б) МК = = 7МА +хМВ -Ь 0,38 МС. Для каждого найденного значения х определите: лежит точка К внутри треугольника или нет. 94 I Гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.049. ^ Векторы МА , МВ и МС некомпланарны. Определите взаимное расположение отрезка МК и плоскости АБС, если: а) МК = 0,ЗМА + 0,4МБ + 0,2МС; б) МК = 0,37МА + 0,25МБ + 0,38МС; в) МК = 0,1МА - 0,4МБ + + 0,8МС; г) М^ = 0,38МА + 0,43МБ - 0,81 МС. 6.050. © Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Извест- но, что МК = ЗМА + 3МБ + ЗМС. В каком отношении плоскость АБС делит отрезок МК, считая от точки М? 6.051. Векторы МА , МБ и МС некомпланарны. Известно, что МК = ЬМА — 2МБ — МС. В каком отношении плоскость АБС делит отрезок МК, считая от точки М? 6.052. © Векторы МА , МБ и МС некомпланарны. Извест- но, что МК — ЗМА + 2МВ + ЗМС. В каком отношении плоскость АБС делит отрезок МК, считая от точки М? 6.053. Векторы МА, МБ и МС некомпланарны. Известно, --> -------> -------> —> что МК = 0,3 МА + 0,07МВ + 0,13 МС. Прямая МК пересекает плоскость АБС в точке Т. Найдите отношение длин отрезков МК и ТК. 6.054. © Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Извест- но, что МК = 1,3 МА - 2МБ + 0,9 МС. Прямая МК пересекает плоскость АБС в точке Т. Найдите отношение длин отрезков МТ и МК. 6.055. Векторы МА, МВ и МС некомпланарны. Известно, --> --------> -------> —> что МК = 0,3 МА + 0,7МВ - 2 МС. Прямая МК пересекает плоскость АБС в точке Т. Найдите отношение длин отрезков МК и ТК. 6.056. © О — точка пересечения диагоналей грани DD^C^C куОА АВС DA ^B^C^D^. а) Разложите вектор АО по векторам 95 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов АА-^; АВ и AD. б) В каком отношении плоскость A^BD делит отрезок АО у считая от О? 6.057. © На продолжении рёбер МА, МВ и МС правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки Aj, В^ и такие, что точка А — середина отрезка МА^, МВ^ = SMB и MCj = 1,5МС. Точка К — центроид (точка пересечения ме- ---> диан) треугольника А^В^С^. а) Разложите вектор МК по векторам МА, МВ и МС. б) В каком отношении плоскость АВС делит отрезок МК, считая от М? в) Найдите расстояние от точки К до плоскости АВС, если ребро тетраэдра равно а. Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов п. 23.1-23.3 6.058. {Устно.) В параллелограмме ABCD угол BAD равен 53°, а угол ADB равен 62°. Найдите углы между векторами: а) АВ и AD\ б) ВС и DC\ в) СВ и DC', г) СВ и AD', д) BD и CD; е) АВ и BD. 6.059. © Дан куб ABCDA^B^C^D.^. Найдите угол между век- торами: а) Aji)j и CCj; б) AAj и CjC; в) AD и СВ^; г) DA и СБр д) DC^ и BAj; е) АС и DC^. 6.060. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD служит квадрат ABCD, каждое боковое ребро пирамиды равно стороне квадрата. Найдите угол между векторами: а) РА и РВ; б) РА и В А; в) РА и PC; г) АВ и АС; д) С А и BD. 6.061. {Устно.) Какой знак имеет скалярное произведение двух векторов, если угол между ними: а) острый; б) тупой? 6.062. Определите вид угла между векторами а и & , если их скалярное произведение: а) равно нулю; б) больше нуля; в) меньше нуля. 96 i Гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.063. © Вычислите скалярное произведение векторов а и если их длины и угол между ними равны соответственно: а) 4; 5; 60°; 6)2; 7; ^; в) 4; 5; 120°; г) 7; 9; 90°; д) 14; 0,35; 180°; е) 2; 2; 0. 6.064. ABCDEF — правильный шестиугольник с центром О и стороной 2. Вычислите скалярное произведение векторов: а) ОА • ОБ; б) ОА • ОС; в) ОА • ОБ; г) Zb • АС; д) Zb • Ze. 6.065. Для данных ненулевых векторов а и Ь известно, что {а -\- Ъ) • {а - Ь) = 0. Докажите, что \а\ = |Ь|, и выясните геометрический смысл данного равенства. 6.066. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, используя векторы. 6.067. § В тетраэдре РАВС рёбра АР и БС, а также АВ и СР взаимно перпендикулярны. Докажите перпендикулярность рёбер АС и БР, используя векторы. 6.068. § Векторы Uy Ь, с — единичные; (а; Ь) = 30°, (а; с) = = 45°, ф;с) = 60°. Вычислите скалярные произведения: а) а * &; б) а * с; в) Ь • с; г) (а -Ь Ь - с) • а; д) (а - Ь -Ь с) • (Ь - с); е) {а Ь - с) • {а - Ь - с); ж) (а -Ь Ь -Ь с)^; з) (36 - с) • (2а - ЗЬ). 6.069. © Найдите скалярное произведение векторов а и 6, если: а) \а\ = 1, |б| = 2, |а + Ь| == 3; б) \а\ = 3, |б| = 4, |а - 6| = 5; в) |а -Ь б| = |а - Ь\; г) |а + б| = 2, |а — 6| = 1; д) \а + 2Ь\ = \а - 2Щ = р. 6.070. © Векторы а, by с — единичные; (а; Ь) = 90°, (а; с) = = 90°, ф; с) = 120°. Найдите длины векторов: а) а -Ь 6; б) 4а -Ь Зс ; в) 56 -Ь Зс; г) а -Ь 6 - 2с; д) -а - 46 -Ь Зс. 6.071. Длины векторов а, 6, с соответственно равны 2; 4; 1; (а; 6) = 60°, (а; с) = 60°, (6; с) = 90°. Найдите длины векторов: а) а - 6; б) 6 + 2с; в) а -Ь 6 - с; г) а - 0,56 + с. i 97 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов 6.072. Длины векторов а, 6, с соответственно равны 1; 2; 2; (а; Ь) = 90°, (а; с) = 120°, (6; с) = 120°. При каких значениях х вектор а - 6 перпендикулярен вектору а + 6 - л: * с? 6.073. Пусть а + 6 + с — нуль-вектор и длины векторов а, Ь и с равны соответственно 3; 1 и 4. Найдите а*Ь+Ь*с+с*а. 6.074^. Найдите скалярное произведение векторов -2а + 36-- с и 7а + 76 - 4с. 6.075. Найдите косинусы углов между вектором 6а - 36 + + 2с и каждым из векторов а, 6 и с. 6.076. § Найдите разложение вектора т в базисе (а; Ь; с), если длина этого вектора равна 2, а углы между ним и векторами бис соответственно равны 60° и 120°. 6.077. Координаты векторов р и q в базисе (а; 6; с) равны соответственно (4; 0; 5) и (7; 1; 3). Найдите координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором q - р . 6.078. Определите: при каких значениях х ортогональны векторы ха - 36 + 2с и а + 26 - д:с? 6.079. 2 Найдите координаты вектора т в базисе (а; 6; с), если он ортогонален векторам р=а-26+сид = 2а + 6-3с и образует с вектором с острый угол, причём \т\= Js . 6.080. § Единичный вектор т перпендикулярен вектору 46 - Зс и вектору 7г, образующему с базисными векторами а, и я я я тт “ бис углы, соответственно равные - ^ - и - . Найдите коор- 4 4 2 динаты вектора т в этом базисе, если т *а > 0. ^ В задачах № 6.074—6.080 векторы а, Ь, с — единичные и попарно взаимно перпендикулярные. 98 Гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.081. § а) Следует ли из а • Ь = а *0^ что Ь = 7 б) Известно, что для любого вектора р верно а* р = Ь • р. Верно ли, что а = Ъ1 (Если вы считаете, что «верно», то докажите утверждение, в противном случае — приведите опровергающий пример.) 6.082. © Треугольник АВС является основанием правильного тетраэдра РАВС с ребром а; точки М, Н — середины рёбер соответственно АР, СР, АВ. Вычислите скалярные произведения: а) АВ • АС; б) РА • ВР; в) КН • КВ; г) МК • АВ; д) • БС; е) МН • £) р 6.083. ABCDA^B^C^D^ — куб с ребром 2. Точка М — центр основания А^Б^С^Р)^ . Точки Е иН взяты соответственно на отрезках ББ^ и АС так, что BE : ББ^ = = 1:2, АН: АС =1:4. Найти: 1) длину отрезка: а) AM; б)ЕН; в) МН; 2) угол между векторами: а) ВС^ и АС; б) A^D и BD^; в) НМ и СБ^ (рис. 54). Решение, Введём базис а = АБ, Ь = АБ, с = АА^. Так как грани куба — равные квадраты со стороной 2, то д2 = ^2 = ^2 = 4^ а • Ь = Рассмотрим некоторые случаи. а • с = Ь •€ =0. (^) 1.6) Длина отрезка ЕН равна длине вектора ЕН. Раз- ложим вектор ЕН по базису (а; Ь; с). По правилу лома- ной ЕН = ЕВ + ВА + АН = -^AAi - АБ + 4 АС = 2 1 4 = -ic-a + i(a + S) = -?a + ife-ic. Тогда\ЁН\^ = БЯ2 = 2 4^ ^ 4 4 2 -^11 I ^ 1 1 ^ I 1 u2 I 1 3 —» it I 3 —» —» = |__а +j6--e ^-а^+-Ь^+-с^-.а-Ь + -а.с- 99 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов •€. Учитывая (*), получаем \ЕН\^ = ^ Тб * ^ ^ + - • 4 = - , откуда \ ЕН\ = J-. Следовательно, ЕН ВС^-АС 1 > 1 ^1 BCi -|ас| 2. а) Обозначим {ВС^ \ АС) = ф. Тогда cos ф = Находим: ВС^ • АС = (Ь + с) • (а + Ь) = Ь *а+6^ + с •а + с*Ь. Учитывая (*), получаем БС^*АС = 6^ = 4. |BCJ= 7(? + с)2 = JP + 2Ь-с + с2 = 74 + 2-0 + 4 =272; |АС|= 7(а + Ь)2 = JP + 2а •6 + 62 =272 Получаем 4 1 cos ф 272-272 2’ откуда ф = 60°. Ответ: 1.6) / - ; 2. а) 60°. 6.084. © Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды PABCD имеют длину, равную 1. Найдите угол между векторами РМ и DK^ где точки М и К — середины рёбер соответственно ВС и СР. 6.085. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равны 1. Точка О — центр грани ABCD. Точки Е, F, Н — середины рёбер соответственно ВР, СР, АР. Найти: а) длину отрезка ОР; б) длину от- р резка СН; в) угол между векторами АЕ и BF; г) угол между медианой РМ грани ВРС и высотой АЕ грани АРВ (рис. 55), используя векторы. Решение пунктов а) и в). Введём базис В А = а, ВС = Ъ, ВР = с. Так как боковые грани пирамиды — правильные треугольники. 100 I Глава 6 Векторный метод в пространстве а основание — квадрат, то |а| = |б|= с = 1, (а; с) = ф;с) == = 60°, (^) = 90°. Поэтому имеем а • с = |а| • |с I • cos 60° = i , Ь • с = |Ь| • |с | • cos 60° = i а • Ь = 0. (*) а) Длина отрезка ОР равна длине вектора ОР. Разложим этот вектор по базису (а; Ь; с). По правилу треугольника ОР = ОБ + ВР = ВР - ВО = = ВР - i BD. По правилу параллелограмма BD = В А + + ВС. Значит, ОР = ВР - i {ВА + ВС) = -\а - \ ь + с. Тог- да|ОР|2= Ор2 = f-ls - 1 6 + = I32+ 152 + ^2+ I3.5 _ - а • С - Ь • С , Учитывая (*), получаем |ОРр = i откуда |ОР| = = _,т.е.ОР=:^. --> ~А~Р • /3 J7 в) Пусть {АЕ\ BF) = ф. Тогда cos ф = j——pzzn • Разло- \ае\ • |БР| жим векторы АЕ и BF по базису (а; Ь; с). Имеем: АЕ = = АВ + BE = -а + ^с; BF == 1(ВС + ВР) = Ub + с). Находим: Ze • ВР = (-а 4- 0,5с) • (0,5? 4- 0,5с) = = -0,5а • Ь - 0,5а • с 4- 0,25? • с 4- 0,25с 2; I АР|2 = (-а 4- 0,5с)2 = а2 - а • с 4- 0,25с2. |Zp|2 = 1 (? 4- с )2 = 1 (?2 + 2? • с + с 2)^ Принимая во внимание (*), получаем: АЕ • BF = 0,125, = 2 ' АРН ВР1 101 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов Поэтому cos ф = 0Д25 ^ Л 2 ’ 2 1 1 - , значит, ф = arccos - J2 1 Ответ: а) ^ ; в) arccos - . 2 о 6.086. В правильном тетраэдре РАВС точки М и К — середины рёбер соответственно АР и ВС. Докажите, что отрезок МК перпендикулярен каждому из отрезков АР и ВС. 6.087. РАВС — правильный тетраэдр с ребром 1. Точка О — центроид основания АВС; точки Н, Е и К — середины рёбер соответственно ВС, СР и АВ. Найдите: 1) длину отрезка: а) РО; б) КЕ; 2) угол между векторами: а) РА и PH; б) РА и BE; в) IIP и СК. 6.088. ©РАВС — правильный тетраэдр с ребром 1. Точка О — центр основания АВС; точки М, Е тл. F — середины рёбер соответственно ВС, PC и ВР. Найдите: 1) длину отрезка ОЕ; 2) угол между: а) медианами AM и РМ граней АВС и РВС; б) векторами AF и BE. 6.089. ^ В правильном тетраэдре РАВС на ребре PC взята точка Е такая, что РЕ : ЕС = 1 : 2, и на медиане AF грани АРВ отмечена точка М — центроид грани АРВ. Найдите длину отрезка ME, если длина ребра тетраэдра равна а. 6.090. § В правильной треугольной призме АВСА^В^С^ сторона основания равна а, высота ВВ^ равна h. Найдите угол между прямыми АВ^ и ВС^. п. 23.4 6.091. Дана правильная -> -------> четырехугольная -------> пирамида MABCD. Векторы МА, МВ, МС, MD — единичные. Выра- ---> -------> ---> ---> зить вектор MD через МА, МВ, МС. Решение. Так как ABCD — квадрат (рис. 56, а), то МА -Ь + МС = МВ + MD = 2МО, где О — точка пересечения диа- гоналей АС и BD. Тогда MD = 1 * МА - 1 • МВ + 1 • МС. 102 Глава 6 Векторный метод в пространстве М М D 6.092. Дана правильная шестиугольная пирамида. MABCDEF. --> > —> > > —> Векторы МАу МВ у МС, MDy ME, MF — единичные векторы. Выразить: а) векторы MD, ME, MF через векторы МА, МВ, МС; б) векторы МВ, MD, MF через векторы МА, МС, ME. Решение, а) Пусть точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 56, б); К — точка пересечения диагоналей ромба АВСО. Тогда 2МК = МВ -Ь МО = МА -Ь МС, от- куда МО = 1 • МА — 1 • МВ -Ь 1 • МС. Из равенств 2МО = МВ -I- ME = МС + MF ^ МА + MD находим: ME = 2МО - МВ = 2МА - ЗМВ + 2МС; MF = 2МО - МС = 2МА - 2МВ + МС; MD = 2МО - МА = МА - 2МВ + 2МС. б) Пусть точка О — центроид треугольника АСЕ. Это означает, что МО = ^(МА -I- МС ■+■ ME). Тогда из равенств О 2МО = МВ + ME = МА + MD = МС + MF находим; MD = 2МО -МА=-ША + %МС + % МЕ-, ООО 103 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов МВ = 2МО - ME = + |МС О о ME; MF = 2МО - МС - ^МА - ^МС + ^ ME. 6.093. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD точка — середина ребра МБ, К — такая точка ребра МБ, что МК = = 6KD. В каком отношении плоскость AFK делит: а) ребро МС; б) высоту МО данной пирамиды? Решение, а) Выберем пространст- ^ ^ -► --------^ венный базис: а = МА, Ь = МВ, М d = МБ (рис. 57). Тогда 2 МО = МБ + MD = МА + МС, откуда МС = -МА + МВ + MD = -а + Ь +d. (1) Обозначим L = МС п (AFK). Так как точка L лежит в плоскости AFK, то --> ------> -----> -----> ML = X • МА + у • MF + 2 • МК, где X + у + 2 = 1. Учитывая условие задачи, получаем ML = х»а + \ у ^ 2 • d. 2 ^ 6 (2) (3) Из условия коллинеарности векторов МС и ML имеем: ML = t * МС => X = -t, ^ у = t, ^ 2 = t => X = -t, у = 2t, 2 = ^ t, где t — коэффициент пропорциональности. Из условия (2) находим значение t: -t + 2t + ^ t - 1 => -5t + lOt + 6t = 5 t = . 5 11 Тогда ML MC 11 ML LC 5 6 ■ 104 Гпава 6 Векторный метод в пространстве б) Обозначим Р = МО п (AFK). Точка О — середина Б1), значит, МО = + d). Так как точки Ку F и Р лежат на од- ной прямой, то МР = mMF + пМК = - mb + ^ ndy где т + п = 1. (4) Z о Из коллинеарности векторов МР и МО имеем: МР = = иМО = или т ^ Uy п = Из условия 2 2 6 2 5 3 5 (4) получаем и + - и = \ или 8п = 5, откуда и = - . Это означа-5 о ет, что МР : МО = 5:8 или МР : РО = 5:3. Ответ: а) 5 : 6; б) 5 : 3. 6.094. В тетраэдре МАВС боковые рёбра МА, МВ и МС попарно взаимно перпендикулярны и МА = 1, МВ — 2, МС = 3; точка К — середина БС; F — внутренняя точка ребра AM такая, что AF : FM = 3:1. Найти расстояние между прямыми AKiiCF (рис. 58). Решение. В качестве базисных примем векторы а = МА, Ь = МБ, с = МС. Имеем: АК = -а + у CF = -d + 0-b - с. 2 2 4 М Пусть PL — обш;ий перпендикуляр прямых АК и CFy где Р е АКу L е CF. Тогда ^ = РК + ^ + CL = = хАК+^ +yCF = = -ха + ^хЬ + \хс + у(-с + \ш\=(-х+\у]з + + 6+ (1) 105 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов Коэффициенты разложения (1) вектора PL по базису —> _^ (а;Ь; с) найдём из условия перпендикулярности PL к прямым АК и CF. Имеем: ^•АК = 0, PL-CF=0 или 1 iWlfl 2^-2 + 2 = 0, i +0- |дг-| -1. ix-y+i 1 = 0, 1 откуда и 2х - I/ = о, -12x-b 17i/ = 8 4 И’ 8 Тогда, подставив в (1) вместо хну их найденные значе- —^ 1 ^ ^ ^ ния, получаем: PL = -—(4а + 7Ь + с). Значит, \РЬ\ = |PL| = ^ V16- 1 + 49-4 + 9 = ^ 7221. Ответ: ^ л/221 . 6.095. На рёбрах МА, МН и АС тетраэдра МАВС отмечены соответственно такие точки F н Т, что АК : КМ =1:2, точка F — середина ребра ВМ, точка Т — середина ребра АС; KF = 3. Точки Р и Q принадлежат соответственно прямым KF и ВТ, при этом PQ || AM (рис. 59). Найти длину отрезка КР. 22 М 106 гпава б Векторный метод в пространстве Решение. Выберем векторы а = МАу Ъ = МБ, с = МС в каче- стве базисных. По правилу ломаной PQ = РК -I- К А + АТ + + TQ. Имеем: АК : КМ -1:2^ КА = ^а;Р еКР ^ О ^PK = xKF = xi^^b-^a\;AT = TC^AT = =i(c-5); QeTB^ ^TQ=yTB = -yBT = -y^BM + MT) = -yUa+\c-b Тогда ^ = |2 + jc(ib-|a) + i(c-a)-i/(lS+ic-S) = (*) Так как PQ || AM, то векторы PQ и МА ^ а коллинеарны. Следовательно, координаты + у w.^{\ - у) в разложении ^ ^ ^ (*) вектора PQ в базисе (а; Ь\ с) должны быть одновременно равны нулю, т. е. ^х + у = Оу 1-у = о, откуда X = -2, у = 1, Тогда РК - xKF = -2KF или КР = 2KF. Значит, \КР\ = |iiTP| = \-2KF\ = 6. Это означает, что точка F — середина отрезка КР. Ответ: 6. 6.096. Дан параллелепипед ABCDA^B^C^^D^. Точки Р, М uQ выбраны на рёбрах соответственно AAj, АВ и AD так, что АР = РА^ = 3:1, AQ : QD = 1:4, AM = МБ (рис. 60). В каком отношении плоскость PMQ делит диагональ АС^ параллелепипеда? 107 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов Решение. Примем в качестве базисных векторы АР = а, АМ = Ь, AQ = c. Тогда АА^"" I = 2Ъ, AD = 5с; О ACj = ААJ + АВ + AD = —а + 2Ь 4- 5с. О Пусть F = ACj п (PMQ). Для точек М, Р, Qn F, принадлежащих одной плоскости, имеем где AF = хАР -(- у AM 4- zAQ = ха + yb + zc, X Л- у + z ^ (*) Так как AF || АСто одноимённые координаты этих векторов пропорциональны, т. е. д: = \ У ^ 2f, z = 5f. Подстав- О ляя эти значения х^ у и z в левую часть соотношения (*), по- 4 3 лучаем - ^ 4- 2^ 4- 5^ = 1, откуда t ^ . Это означает: О tiO AF : ACi = 3 : 25 => AF : FCi = 3 : 22. Ответ: AF : FC^ = 3:22. 6.097. Все плоские углы трёхгранного угла МАВС равны а. Прямая МР образует со всеми его рёбрами углы, равные (р, а со всеми гранями — углы, равные v(/. Найти величины углов ф и V(/. 108 Гпава 6 Векторный метод в пространстве Решение. Пусть МА = а, МВ — Ъ, МС =с — единичные векторы базиса в пространстве; точка О — центроид треугольни- ка АВС (рис. 61); МК = а + Ь + с. м Так как вектор МК коллинеарен вектору МО ^ + ^ + с), то Z (МК, a)-Z (МК, Ъ)=- Z {МК, с) = ф и Z {МР, {АМВ)) = == Z(MP, (АМС)) = Z(MP, {СМВ)) = Z(M^, iv^) = ф, где ML ^ а + Ь — направляющий вектор прямой ML, являющейся проекцией прямой МК на плоскость АМВ. Прямая ML содержит биссектрису угла АМВ, так как каждая точка прямой МР, образующей равные углы с рёбрами трёхгранного угла, равноудалена от каждого из этих рёбер. Имеем: ML^= (а + Ь -1-с = 3-1-6 cos а ^ = л/3(1 + 2cos а) Тогда cos ф = МК-а а -Н (Ь -Н с) • а \МК\ • \а\ 1 + 2cos а \МК\ • 1^ Ф = arccos 1 + 2cos а л/3( 1 + 2cos а) 1 + 2cos а 109 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов COS Ij/ _ MK-ML \mk\-\ml\ 2(1 + 2cos a) (a + b + c) • (a + b) \a +~c\ • \a + Ъ\ 73(1 + 2cos а)л/2(1 + cos a) 1 /1 + 2cos a a cos- ij; = arccos 2(1 + 2cos a) _ 3(1 + cos a) 1 /1 + 2cos a a cos- ^ 1 + 2cos a 1 /1 + 2cos a Ответ: (p = arccos ^---------; vp - arccos----- ^--------- a cos- 6.098. © В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М величина угла между смежными боковыми гранями равна arccos ^ и длина бокового ребра равна 1. Точка К — середина ребра ВМ. Найдите: а) скалярное произ- ведение векторов AM и АВ\ б) длину вектора АК. 6.099. § В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD длины стороны основания и высоты равны соответственно 1 и 2. Найдите расстояние между прямыми BD и МА. 6.100. ©Точка К лежит на ребре ВВ^ куба ABCDA^B-^C^D^ так, что ВК : КВ^ = 2:1. Найдите: а) величину угла между прямыми CDj и KD\ б) расстояние между прямыми CD-^ и KD, если длина ребра куба л/43 . 6.101. Точка К лежит на ребре ВВ^ куба ABCDA^B^C^D^ так, что ВК : КВ^ -- 3, точка Р делит ребро в отношении АР : PAj = 1:4. Найдите: а) величину угла между прямыми СР и KD^\ б) расстояние между прямыми СР и если длина ребра куба 2. 6.102. © Длины рёбер AAj, АВ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ равны соответственно 12, 3 и 4. Найдите величину угла между векторами АС^и B^D^. 110 1 гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.103. Длины рёбер АА^, АВ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ равны соответственно 6, 4 и 1. Найдите расстояние между прямыми АС^ и B^D^. Задачи к главе 6 6.104. Точки М VI Н — середины рёбер соответственно АВ и СР тетраэдра РАВС. Докажите, что 2МН = АС -I- ВР = = АР+ БС. 6.105. Дана треугольная призма АБСА^Б^С^. Нарисуйте век- тор AM, если: а) AM = АВ -I- ВС^ -I- А^А ; б) AM = ВС - CCi -Н СБ^; в) AM = -АА^ + АВ + ВС - В^В; г) AM = AAj -I- АС + CiAj -I- CjC . 6.106. ^ Можно ли составить: a) треугольник из медиан данного треугольника; б) замкнутую ломаную из отрезков, идущих из каждой вершины тетраэдра в точку пересечения медиан противоположной грани? 6.107. § Точки Aj, Б^ и Cj взяты на сторонах соответственно БС, АС и АВ треугольника АБС так, что АС^ : С^Б = = БА^: AjC = СБ^ : Б^А. Докажите, что отрезки, равные AAj, ВВ^ и CCj, являются сторонами некоторого треугольника. 6.108.1 Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер тетраэдра, называется его бимедианой. Докажите, что все бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 6.109. Центроиды треугольников АБС и А^Б^С^ совпадают. Докажите, что прямые АА^, ББ^ и СС^ параллельны некоторой плоскости. 6.110. § Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины. Ill Задачи к главе 6 Ь.ЛЛЛ. Центроидом тетраэдра называется точка пересе- чения его медиан. Точки М и М. центроиды тетраэдров РАВС -а. Р^А^В^С^. Докажите, что АА^ + ВВ^ + СС^ + РР^ = = 4ММ|. 6.112. Докажите, что не существует плоскости, которой были бы параллельны диагонали всех боковых граней треугольной призмы. 6.113. Даны два параллелограмма MNPQ и MiNiP^Q^. Точки А, Б, С, D — середины отрезков соответственно ММ^, PPiy QQi> Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм. 6.114. В параллелепипеде ABCDA^Bfi^D^ точки М тлК — середины отрезков соответственно А^С^ и ВВ^. Докажите, что прямые КМ, А^В^ и ВС^ параллельны некоторой плоскости. 6.115. Докажите, что точка пересечения медиан тетраэдра совпадает с точкой пересечения его бимедиан. 6.116. § К АВС — тетраэдр. Какую фигуру образуют точки М такие, что: а) КМ =КА+ КВ + хКС; б) КМ = КА+ + уКВ ->г X КС; в) КМ = гКА + у КВ + хКС, где О ^ ^ 1. 6.117. На диагоналях АВ^ и СА^ боковых граней треугольной призмы ABCAjBjCj расположены точки Е F соответственно так, что EF || БС^. Найдите отношение длин отрезков EF и БС^. 6.118. Дан тетраэдр РАВС. Найдите все такие точки М про- странства, что МР + МА + МВ + МС = 0. 6.119. g В основании пирамиды MABCD лежит трапеция ABCD {AD II ВС, AD = ЗБС). На ребре MD отметили такую точку К, что КМ : KD = 2:3; точка Р — середина МВ. В каком отношении, считая от точки М, плоскость АКР делит ребро МС? 112 Гпава 6 Векторный метод в пространстве 6.120. § РАВС — тетраэдр; bg’ — биссектрисы соответственно углов ВРС, СРА, АРВ. Докажите, что если биссектрисы bj, &2 взаимно перпендикулярны, то каждая из них перпендикулярна биссектрисе Ь^. 6.121.2 Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, «видны» из точки пересечения его диагоналей под углами а, р и у. Докажите, что cos а + cos р + cos у = 1. 6.122.1 Из точки о пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ диагонали ВА^, BD и ВС]^ трёх его граней, имеющих общую вершину, «видны» под углами соответственно а, р и у. Докажите, что cos а + cos р + cos у == -1. 6.123. В параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ точка М — середина диагонали А^С^ грани точка К — середина ребра ВВ^. Докажите, что прямые А^В^, КМ и ВС^ параллельны одной некоторой плоскости. 6.124. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его граней. На этих диагоналях (как на рёбрах) построен новый параллелепипед. Докажите, что противолежащая вершина данного параллелепипеда является серединой диагонали построенного параллелепипеда. 6.125. Точки К и Е — середины рёбер соответственно АВ и СР тетраэдра РАВС, Докажите, что прямые АР, ВС и КЕ параллельны некоторой плоскости. Глава КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве 7.00Л. АВСDА— куб с реб- ром 1. Пусть AD = i , АВ = j, АА^ = —^ ^ = /е. Найти в базисе (i ; у; /е) координаты векторов: a)ACj; б) СА^; в) AiiC, где К = ВС^ п В^С (рис. 62). Решение, а) Так как СС^ == АА^ = k, АС = AD + АВ = i + у, то АС^ = Рис. 62 = АС + AAi = i + j + k, значит, вектор АС^ имеет координа- ты (1; 1; 1), т. е. ACi(l; 1; 1); б) СА ^ = АА^ - АС = А; - (i -Р j) = = —I j + k, т. е. СА i(-l; -1; 1); в) АК = АС -t- СК = АС + + ^ +У + 2^ ~ 2^ ^ ^ т. е. Ответ: а)(1; 1; 1);б) 1); |j. 7.002. Коллинеарны ли векторы: а)а(3; 4; 5) и Ь(б; 8; 10); б) р(2; -3; 3) и д(4; -6; 2)? - —> Решение, а) Векторы а и Ь коллинеарны, так как 3:6 = = 4:8 = 5: 10; б) координаты вектора q не пропорциональны одноимённым координатам вектора р, например, 2 : 4 3 : 2. Поэтому векторы р и q не коллинеарны. 114 Гпава 7 Координатный метод в пространстве Попытайтесь установить, компланарны ли векторы а, Ь и р, если: а)а(-1; 4; 6), Ь(1; 7; 3), р(0; 11; 9); б)а(-3; 14; 6), Ь(6; -8; 7), р(-9; 62; 37); в) а(-1; 0; 0), 6(0; 7; 0), ^0; 0; 9)? 7.003. Найти длины векторов р = 2а + 36, ^ = 2а - 36, их скалярное произведение и угол между ними, если а = i - j + 2ky 6=2/+ 2j. Решение. Найдём координаты векторов р и q в базисе (/ ; у; k). Имеем: а(1; -1; 2) => 2а (2; -2; 4), 6(2;2;0)=>36 (6; 6; 0). Тогда 2а + 36 = р(8; 4; 4), 2а - 36 = -8; 4). Значит, |р|= V82 + 42 + 42 = 4Тб; |$| = 7(-4)2 + (-8)2 + 42 = 4Тб; р • q = 8* (-4) + 4 * (-8) + 4*4 = -48; cos ф = = —7^-- , откуда ф = Z (р, $) = 120°. iPl-kl 4л/б-4л/б 2 Ответ: 4 7б ; 4л/б ; -48; 120°. П. 24.1-24.3 7.004. © Запишите координаты векторов: а = 2i + Sj - 6k; 6 = / - 4у + 6^;с=-3/ + 2j - 6%; р = i + ^;m = j -2i;n = -%. 7.005. ©Даны векторы: a(3; 7; -2), 6(0; -5; -2), c(-l; 2; 0), p(2; 0; -3), J(0; 0; 5). Запишите их разложения в базисе (i; у; k). 7.006. Даны векторы а(-1; 2; 0), 6(0; -5; -2), с(2; 1; -3). Най-дите координаты векторов р = а-26+3си^ = с-2а+ 36. 7.007. © При каких тип вектор а = Si - 2у + mk коллине-арен вектору Ь = ni +y-2fe? 7.008. Компланарны ли векторы: а)а(1; -2; -1), 6(3; 1; 2), с(5; -3; 0); б) р(2; 0; -3), /, у; в) т{2; 0; -3), /, г) а(1; -1; 2), 6(5; -1; 0), с(-2; 0; 1); д) а(0; 5; 3), 6(3; 3; 3), с(1; 1; 4)? 115 Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве Решение, а) Векторы а(1; -2; -1) и 6(3; 1; 2) не коллинеарны, так как их одноимённые координаты не пропорциональны (1 : 3 -2 : 1). Если вектор с(5; -3; 0) можно разложить по векторам а и 6, то векторы а, Ь и с компланарны (т. 35); в противном случае векторы а, 6 и с не компланарны. Таким образом, для решения задачи достаточно установить, су- ш;ествуют ли числа х и у такие, что с = ха + уЬ. В координатах это означает, имеет ли решение система уравнений относительно X и у X + Sy = 5, -2х + у = -3, -X + 2у = 0. Складывая первое и третье уравнения этой системы, получаем у = 1. Тогда X = 2. Поэтому с = 2а + Ь. Это означает, что вектор с является линейной комбинацией векторов а и Ь, следовательно, векторы а, 6 и с компланарны. 7.009. © Найдите длины векторов: а(5; -1; 7), 6(6; 2л/3 ; -1), с = i + j + %, 7п = р = i - Sj. 7.010. Даны векторы: а(5; -1; 7), 6(-2; 3; 1), с (-3; 2; 1). Найдите: а) |а -Ь 6|; б) |а| + |б|; в) |а - 6|; г) \а\ - |б|; д) |3с|; е) \2а - Зс|; ж) 2|а| - 3|с |. 7.011. {Устно.) Даны векторы: 2(1; -1;2),&(-1; 1; 1), с(5; 6; 2). Найдите: 2 • с; 2 • 6; а^; . 7.012. Проекции вектора р на оси координат равны соответственно: 3; -8; 5. Найдите координаты вектора р. 7.013. {Устно.) Даны векторы а(5; —1; 3) и 6(4; 2; 3). При ка- ^ ком значении числа х Пр.^(2а-1- л:6) = О? 7.014. (Устно.) Даны векторы а(3;-1; 1), 6(-5;1;0), с(-1; -2; 1). Выясните, какой угол (острый, прямой или ту-пой) между векторами: а)аи6;б)6 ис;в)аис. 7.015. {Устно.) Острый, прямой или тупой угол образует вектор 6(4; -6; 0) с базисными векторами i , j и k? 116 1 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.016. Найдите угол между векторами: а) а{2; -2; 0) и Ь(3; 0; -3); б) а(0; 5; 0) и 6(0; -7з ; 1); в) а(-72 ; 72 ;-2) и б( ;-11. 7.017. Известно, что (а; с) - (6; с) = 60°; \а\ = 1, 1б| = |с| = 2. Найдите: а) (а + 6) * с ; б) (2а - 36) • с . 7.018. Дан куб АВСDA^B^C^D^. Найдите угол между вектора- ми: а) В^В и BjC; б) DA и Вв) А^С^ и А^Б;г) ВС и АС; д) ВВ^ и АС; е) В^С и ж) и ВС; з) АА^ и С^С. 7.019. © Найдите все такие значения Ху при которых векторы а(3; Ъ - х; х)тлЪ{Ъ + х; 1х + 1; 2) коллинеарны. 7.020. Даны векторы а(1; 0; 0), 6(1; 1; 0) и с(1; 1; 1). Разложите по данным векторам вектор т(3; -7; 11). 7.021. Известно, что т = 1а + 2Ъ. Найдите координаты вектора а, если 6(-1; 5; 3) и т{0; 1; 8). 7.022. При каких значениях п векторы а(3; п; 5) и 6(-4; 3; п) перпендикулярны? 7.023. Векторы а и Ь перпендикулярны вектору с, (а; 6) = = 120°, |а| = |б| = |с| = 1. Найдите: а) скалярные произведения 26 • (а -Н 6 -Н с) и (а - с) * (а - 6 + с); б) |а - 6|; в) |а -Н 6 - с|. 7.024. ©Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром 2. Точка М — центр основания A^B^C^D^. Точки Е иН взяты соответственно на отрезках ВВ^ и АС так, что BE : ВВ^ = 1:2, АН : АС = = 1:4. Выберите ортонормированный базис в пространстве и, пользуясь разложением вектора в этом базисе, найдите: 1) длину отрезка: а) AM; б) ЕН; в) МН; 2) угол между векто- рами: а) ВС^ и АС; б) A^D и BD^; в) НМ и СВ^. 7.025. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равны 1. Точка О — центр грани ABCD. Точки Б, Б, Н — середины рёбер соответственно БР, СР, АР. Выберите 117 Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве ортонормированный базис в пространстве и, пользуясь разложением вектора в этом базисе, найдите: а) длину отрезка ОР; б) длину отрезка СН; в) угол между векторами АЕ и BF; г) угол между медианой РМ грани ВРС и высотой АЕ грани АРВ. 7.026. Найти расстояние от вершины А треугольника АВС до его центроида М, если А(-2; 1; -3), В(-1; 0; 4), С(1; 2; 6). Решение. Пусть АА-^ — медиана ^ А АВС (рис. 63). Точка А^ — середина стороны ВС — имеет координаты: X = 2 = 1 + 1 2 4 + 6 о, у 0 + 2 = 5, т. e.Ai(0;l;5). Далее, точка М делит медиану АА^ в отношении Х = = AM : MAj = 2:1 = 2. Поэтому координаты точки М равны: 3 + 2-5 -2 + 2-0 2 1 + 2-1 1 1 + 2 Таким образом, М| - |; 1; | |. Тогда 1 + 2 7 3 * Ответ: \ JTl. О Замечание. Координаты точки М можно найти прош;е. 1 если учесть, что ОМ = -{ОА + ОВ + ОС). Кроме того, О АМ= IaAj. О 7.027. Дан треугольник АВС, координаты вершин которого: А(1; 5; 3), В(3; 6; 5), С(1; 1; 0). Найти координаты точки пересечения стороны ВС и биссектрисы угла А. Решение. АВ = +1^ + 2^ = 3; АС = + (-4)2 + (-3)2 = = 5. Если биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точ- 118 Глава 7 Координатный метод в пространстве ке у; г), то по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника АВ = 0,6, т. е. точка делит отрезок А^С АС ВС в отношении X = 0,6. Тогда: _3 + 0,6-1_9 _6 + 0,6-1_33 ^_5 + 0,6*0_25 ^ 1 + 0,6 4’^ 1 + 0,6 8’^ 1 + 0,6 8” ^ I 9 33 25 п. 24.4-24.5 7.028. © В прямоугольной системе координат Oxyz построй- те точки А(1; 1; 2), В(-1; 1; 2), С(2; -1; 1), В(2; 2; -1), В(-5; -3; 1), F(0; 3; 1), G(3; 0; 1), Р(3; 1; 0), 3; 0), М(0;0;3),Я(3;0;0). 7.029. Даны векторы О А (2; 3; 4), ОВ(-3; 2; -5), ОС(0; -1; 1). Какие координаты имеют точки А^ В и С, если О — начало системы координат? 7.030. (Устно.) Даны точки А(-2; 2; 0), В(4; -4; 3), С(7; 0; -9). Какие координаты имеют векторы ОА, ОВ, ОС, АВ, ВС, где точка О — начало системы координат? 7.031. ©Найдите координаты вектора АВ, если А(3; 8; 7), В(-1;8;-3). 7.032. Найдите координаты точки М, если даны координа- ты точки Л^(-3; 3; 8) и вектора MN(1; 0; 5). 7.033. Найдите координаты точки В, если даны координаты точки К(-3; 3; 8) и вектора КР(11; -2; -2). 7.034. Вершины треугольника АВС имеют координаты: А(1; 6; 2), В(2; 3; -1), С(-3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и АС по базисным векторам /, j, k. Найдите координаты центроида треугольника АВС. i 119 Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве 7.035. АВСDА— куб с ребром 1. Выберите прямоугольную систему координат с началом в вершине А и най- дите координаты вектора: а) АК, где К = А-^С п (AB^D^); б) DOj, где точка — центр грани БСС^Б^; в) СМ, где точкам — центр куба. 7.036. © Лежат ли точки А, Б и С на одной прямой, если: а) А(3; -7; 8), Б(-5; 4; 1), С(27; -40; 29); б) А(-5; 7; 12), Б(4; -8; 3), С(13; -23; -6); в) А(-4; 8; -2), Б(-3; -1; 7), С(-2; -10; -16)? 7.037. § Найдите координаты такой точки С плоскости Оху, которая лежит на одной прямой с точками А(3; -8; 7) и Б(-1; 2; -7). Какая из точек А, Б, С лежит между двумя другими? 7.038. § Суидествует ли на оси Oz точка, лежаидая на одной прямой с точками А(-1; 3; 5) и Б(2; 2; 8)? 7.039. {Устно.) Найдите координаты середины отрезка АБ, если А(-1; 8; 3) и Б(1; 5; 7). 7.040. © Найдите координаты точек М^, Mg, Mg, М4 и Mg, деляш,их отрезок АБ соответственно в отношениях X = 1, X = -3, Х^ Ь,Х^ -i , = i , если А(0; -1; 3) и Б(5; 2; 8). Запи- О ^ шите эти точки по порядку на прямой в направлении АБ. 7.041. К точке А(2; -1; 3) приложены две силы Fj(l; 2; -2) и FgC-l; 3; 2). Найдите точку, в которую перейдёт точка А под действием их равнодействуюш,ей. 7.042. § Лежат ли точки А, В, С и Е в одной плоскости, если: а) А(-2; -13; 3), Б(1; 4; 1), С(-1; -1; -4), Б(0; 0; 0); б) А(0; 1; 0), Б(3; 4; -1), С(-2; -3; 0), Б(2; 0; 3); в) А(5; -1; 0), Б(-2; 7; 1), С(12, -15; -17), Б(1; 1; -2)? 7.043. Даны точки А(1; 3; 5) и Б(2; 1; -7). Найти на оси абсцисс все такие точки С, что треугольник АБС — прямоугольный. 120 Глава 7 Координатный метод в пространстве Решение. Пусть С{х; 0; 0) — искомая точка. Тогда имеем: Zb(1; -2; -12), АС(д: - 1; -3; -5), ВС{х - 2; -1; 7). Может представиться один и только один из трёх случаев: в треугольнике АВС прямым окажется или угол при вершине А, или угол при вершине В, или, наконец, угол при вершине С. Рассмотрим каждый из этих случаев. а) А ВАС — прямой, если АВ* АС = 0. В координатной форме это означает: л:-1-1-6-1-60 = 0, откуда х = -65, т. ё. вершина прямого угла имеет координаты: С^(-65; 0; 0). б) Z АВС — прямой, если АВ * ВС = 0. В координатах это равносильно уравнению л:-2-1-2-84 = 0, откуда х = 84, т. е. вершина прямого угла имеет координаты: Сз(84; 0; 0). в) Z АСВ — прямой, если АС • ВС = 0. В координатах это равносильно уравнению {х - 1)(л: - 2) -Ь 3 - 35 = о или - Зл: - 30 = 0, откуда 3 + 3 - л/Ш = --1-- , , т. е. суш;ествуют два прямо- угольных треугольника, вершинами прямых углов которых являются точки cjl. ^;0;о] Hci^ + ^;0;oV Ответ: Ci(-65; 0; 0); €3(84; 0; 0); C3I 2—^512; 0; 0|; C4I ; 0; о 7.044. © Найдите координаты точек, удалённых от каждой из координатных плоскостей на 8. 7.045. Где может быть расположена точка, если: а) ровно одна её координата равна нулю; б) ровно две её координаты равны нулю? 7.046. Дана точка М(2; -3; 4). Каковы координаты точек, ближайших к ней и лежащих: а) на каждой из координатных плоскостей; б) на каждой из осей координат? I 121 Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве 7.047. Даны точки А(5; 0; 1) и С(0; -3; 4). Найдите координаты точки В, если ВО = С А; О — начало координат. 7.048. Даны точки А(3; 5; 6), Б(4; 7; 8) и С(3; 8; 10). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС. 7.049. Докажите, что четырёхугольник ABCD является ромбом, если А(2; 3; 4;), Б(4; -2; 2), С(0; -1; -2), D{-2\ 4; 0). 7.050. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А(0; 3; -4), В(-2; 2; 0); б) точки Б, если А(14;-8; 5), М(3;-2;-7). 7.051. Известны координаты вершин треугольника АВС: А(0; 3; 4), Б(4; -1; 2), С(1; 1; 2). Найдите длину его медианы, проведённой из вершины С, и расстояние от начала координат до центроида треугольника. 7.052. © На оси Ох найдите точку, равноудалённую от точек В(3; -2; 4)иС(0; 5; -1). 7.053. Даны вершины параллелограмма АБСБ: А(-3; -6; -1), Б(—1; 2; —3), С(3; 1; 1). Найдите координаты четвёртой вершины. 7.054. Определите вид треугольника АВС, если: а) А(9; 3; -5), В(2; 10; -5), С(2; 3; 2); б) А(3; 7; -4), Б(5; -3; 2), С(1; 3; -10); в) А(-5; 2; 0), Б(-4; 3; 0), С(-5; 2; -2). 7.055. Найдите углы, периметр и плопцадь треугольника АБС, если А(1;-1;3),Б(3;-1; 1),С(-1; 1; 3). 7.056. © Точки (1; 1; 1), (2; 1; 1), (2; 2; 1), (1; 2; 1) являются вершинами куба. Каковы координаты остальных его вершин? 7.057. © В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 основание АБС лежит в плоскости Оху. Найдите координаты вершин Б и Р, если: а) А(-1; 0; 0), С(1; 0; 0); б) А(0; 0; 0), С(2; 0; 0). 7.058. Дана точка Р(-1; 3; 8). Найдите координаты проекций точки Р на координатные плоскости и на координатные оси. Вершинами какого многогранника являются эти проекции вместе с точкой Р и точкой О — началом координат? Найдите объём и полную поверхность этого многогранника. 122 Гпава 7 Координатный метод в пространстве 7.059.1 Даны точки А(-1; 3; 8) и Б(-1; 2; 9). Найдите все такие точки С плоскости OyZy что треугольник АВС — равносторонний. 7.060. © Середина отрезка АБ лежит на оси Ох. Найдите т и п, если: а) А(-3; т; 5), Б(2; -2; п)\ б) - ; -4J , Б(1; т; 2п); в) А(0; т\ п + 1), Б(1; л; 1 - т). 7.061. © На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки А{-2\ 4; л/З) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой прямой до точки А. 7.062. Найдите на оси Oz точку, равноудалённую от точек С(-1; 3; 5)иБ(3; -7; 1). 7.063. Даны точки А(0; 1; 2), B{j2\ 1; 2), C{j2; 2; 1), Б(0; 2; 1). Докажите, что четырёхугольник ABCD — квадрат. 7.064. Определите вид четырёхугольника ABCD, если А(-1; 2; -3), Б(-5; 2; 1), С(-9; 6; 1), Б(-9; 10; -3). 7.065. Дан куб АВСDA^B^C^D^ с ребром 1. Выберите прямоугольную систему координат и найдите расстояния между прямыми: а) АВ^ и БС^; б) АА^ и ББ^; в) и БС^. 7.066. § Основание АВС правильного тетраэдра РАВС лежит на плоскости Оху так, что вершины А к С имеют координаты: А(0; 0; 0), С(4; 0; 0). Найдите координаты: а) остальных вершин тетраэдра; б) центроидов всех его граней. 7.067. Основание АБСБ кубА АВСDА^B^C^D^ лежит на плоскости Оху. Найдите координаты вершин: а) Aj, Б^, Cj и Б^, если А(2; 1; 0), Б(3; 2; 0), С(2; 3; 0), Б(1; 2; 0); б) А, Б^, С, Б, Б^ и центров всех граней куба, если А(2; 2; 3), Б(5; 2; 0), Ci(5;5;3). 7.068. Точки Mj, Mg, Mg, М4 — центры граней соответственно БСР, АВР, АСР, АВС правильного тетраэдра РАВС с ребром 2. Выберите прямоугольную систему координат и найдите: 1) расстояния от вершин тетраэдра до противоле- 123 Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами жащих граней; 2) величину угла между векторами: а) АМ^ и ВМб) CMg и РМ^; в) BE и CF, гдеЕ иЕ — середины рёбер соответственно PC и РА. 7.069. В кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром 1 точки и Mg — центроиды сечений AB^D-^ и BC^D соответственно. Выберите прямоугольную систему координат и найдите расстояние: а) от вершины А-^ до плоскости AB^D^\ б) от вершины С до плоскости BC^D'y в) от вершины А^ до плоскости BC^D\ г) между точками М^ и Mg. В каком отношении плоскости AB^D-^ и BCyD делят диагональ А куба? 7.070. © Даны точки А(3; 1; 5) и Б(-2; 2; 4). Найдите на оси аппликат все такие точки С, что треугольник АВС — равнобедренный. 7.071. © Найдите четвёртую вершину правильного тетраэдра РАВС, если А(0; 0; 4), Б(0; 4; 0), С(4; 0; 0). 7.072. § Даны точки А(2; 3; 1) и В(-1; -2; 3). Найдите все такие точки С на оси Oz, что Л АВС — прямоугольный. Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами п. 25.1-25.2 7.073. Напишите уравнения всех плоскостей, проходяш;их через точки А(8; 0; 0), В(0; 0; 5) и пересекаюш;их ось ординат в точке, удалённой от начала координат на 7. 7.074. © Напишите уравнение сферы с центром в точке М(-1; 3; 5) и радиусом 4. 7.075. © Напишите уравнение сферы с центром в точке М(2; 0; -3), проходяш;ей через начало координат. 7.076. © Напишите уравнение сферы с диаметром АВ, если А(-3;5;0)иБ(1;-7;2). 7.077. Даны точки А(4; 1; 0), В(-1; -2; -5), С(2; 4; 3), ’ I ’ • Укажите, какая из них принадлежит плоскос- ти 2л: - 5г/ + 2 - 3 = 0. 124 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.078. Даны точки А(3; 2; 5), Б(-1; -2; 8), С(2; 1; 3), 0(0; 0; 0) и плоскость x + Sy- 2- 4 = 0. Назовите: а) точки, принадлежащие данной плоскости; б) точки, не принадлежащие данной плоскости; в) пары точек, расположенные по одну сторону от данной плоскости. 7.079. Для каждой из данных плоскостей укажите её расположение относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz и координатных осей Ох, Оу, Oz (совпадение, пересечение, параллельность): а)л: = 0; б) г/ = 2; в) 2х + Zy = 0; г) Зг/ - 52 = 0; д) I/ -Ь З2 - 5 = 0; е) 2jc -Н I/ - 2 -Н 3 = 0. 7.080. Найдите точки пересечения осей координат с плоскостью 2jc -Ь 3^ - 2 - 5 = 0. 7.081. ©Составьте уравнение плоскости, проходящей через ---> начало координат перпендикулярно вектору ОМ, если: а)М(2; 0; -2); б)М(1; 1; 1); в)М(-1; -2; 7). 7.082. © Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку К{-2\ 7; 1) и перпендикулярной вектору АВ, если А(-1;2;8)иВ(1;-1;3). 7.083. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной вектору р, если: а) М(2; 0; -2), ЖЗ; -4; 5); б) М(0; 0; 0), р{-2', -3; 4); в) М(-2; 3; 0), р(5; 1; -4). 7.084. © Составьте уравнение плоскости, если она проходит: а) через точку М(3; 0; 0) и перпендикулярна оси абсцисс; б) через точку К(0; 3; 0) и перпендикулярна оси ординат; в) через точку Р(0; 0; 3) и перпендикулярна оси аппликат; г) через точку Е(0; 0; -4) и параллельна осям Ох и Оу; д) через точки (3; 0; 0), (0; 0; 3) и параллельна оси ординат. 7.085. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки: а)Р(2; 0; 0), К(0; 2; 0), Н(0; 0; 2); б)Р(2; -1; 2), ЛГ(1;-2;3),Я(-1;2;0). Решение, а) Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках. В нашем случае а = Ъ = с = 2, поэтому уравнение плоскости JC и 2 РКН запишется в виде к + | 1 или х + у + 2-2 = 0. б) Пусть плоскость а = {РКН) имеет уравнение Ах + By -Ь С2 -Ь П = 0. (1) I 125 Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами Чтобы составить уравнение плоскости а, нужно найти коэффициенты Ау By С и свободный член D. Для этого используем условие принадлежности точек Ру К и Н плоскости а. Так как точки Ру К и Н принадлежат плоскости а, то их координаты удовлетворяют уравнению (1), т. е. [ Р(2; -1;2)еа^А-2 + В- (-1) + С • 2 + D = О, ^ -2; 3) G а => А • 1 + Б • (-2) + С • 3 + Б = О, [ Щ-1; 2; 0) G а => А • (-1) + Б- 2 + С*0 + Б = 0 или 2А - Б + 2С + Б = о, < А - 2Б + ЗС + Б = о, -А + 2Б + Б = 0. Решая эту систему уравнений, выразим коэффициенты А, Б и С через Б: А = , Б = , С = . Полагая Б = -9, У У О имеем А = 1,Б = 5,С = 6. Подставив найденные значения А, Б и С в уравнение (1), получаем искомое уравнение плоскости РКН: X + Ьу + 6z - 9 = 0. 7.086. Напишите уравнение плоскости, проходяш;ей через середину отрезка MN и перпендикулярной этому отрезку, если М(-3; 1; 5) и N{3; 9; -1). 7.087. © Одно из оснований призмы лежит в плоскости 2л: — 3^ + 2 - 5 = 0. Напишите уравнение плоскости, в которой лежит другое основание, если одна из вершин призмы имеет координаты (8; 1; 0). 7.088. © Уравнение плоскости Зл: + 2^ - 6г - 12 = О приведите к виду в отрезках. 7.089. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; —1; 3) и перпендикулярной прямой БС, если Б(-2;0;1),С(4;2;-1). 7.090. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1; 2; 1) и параллельной плоскости: а) Оху; б) Oyz; в) Oxz; г) 2х - у + 3z + 3 = 0. 7.091. (Устно.) Найдите точки пересечения плоскости 2х- у + 2г — 5 = О с координатными осями. Напишите уравнение этой плоскости в отрезках. 126 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.092. Нарисуйте плоскость, заданную уравнением: а) х = 3; б)у = -3; в) 2 ^ 4; т) X - 2у = 0; д) у - 2г = 0; е) X + у = 1; ж) X + + Sz = 2; з) X + 2у - Sz = 6; и) X + 2у + Sz = 6; к) X + у - 2 = о. 7.093. © Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки: а)(0; 0; 3), (0; 3; 0), (3; 0; 0); б) (0; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0); в) (2; 3; 0), (2; 0; -5), (0; 3; -5). 7.094. Напишите уравнения всех сфер, радиусом которых служит отрезок PQ, если Р(-1; 2; 1) и Q(0; 3; 2). 7.095. © Какие из приведённых ниже уравнений являются уравнениями сферы: а) х^ + у^ + 2^ = 3; б) (х - 3)^ + (у + 2)^ + + 2^ = 7; в) х^ + у^ + 2^ - 4х + 6у - lOz -Ь 35 = 0; г) х^ + у^ + + 2^ - X + Sy - bz + 7 = 0; д) х^ + у^ + z‘^ - X + Sy - bz + 9 = о? Найдите центр и радиус каждой сферы. 7.096. Напишите уравнение сферы: 1)с центром в точке (3; -3; 3) и касающейся всех координатных плоскостей; 2) с центром в точке (2; -3; 4) и касающейся координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz. 7.097. © Напишите уравнение плоскости, состоящей из точек, равноудалённых от точек: а) (2; 0; 0) и (-2; 0; 0); б)(0; 2; 0) и (0; 4; 0); в) (3; 1; 3) и (-3; 1; 3); г) (2; 1; 5) и (2;-1;-5); д) (-1;-2; 3) и (2; 1; 5). 7.098. Изобразите множество точек пространства, для которых xyz = 0. 7.099. © Изобразите множество точек пространства, для которых |л:| -Ь 1^1 = 1. 7.100. © Изобразите множество точек пространства, для которых х^ + 4zy = у^ + 4z^. 7.101. Найдите геометрическое место таких точек М(х; у; z), которые равноудалены от начала координат и от точки Р(2; -3; 8). 7.102. § На плоскости 2л: -Ь 3^ - 5г - 1 = 0 найдите такую точку Mq(x; у; z), что отрезок MMq перпендикулярен этой плоскости, если М(1; 2; -1). 7.103. Найдите величину угла между плоскостями 2х + 2у-2-2 = 0и5х+ 12у -2 = 0. I 127 ___________Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами 7.104. ©Найдите величину двугранного угла, образованного плоскостями X + 2у - 2z - 7 = о и Sx + 4у + 12z + 1 = о и содержащего начало координат. 7.105. 2 Сфера задана уравнением (х - 3)^ + (у - 3)^ + z^ = 4. Найдите координаты точки этой сферы: а) ближайшей к началу О системы координат; б) самой далёкой от точки О; в) ближайшей к каждой из координатных плоскостей; г) самой далёкой от каждой из координатных плоскостей; д) ближайшей к каждой из координатных осей; е) самой далёкой от каждой из координатных осей; ж) ближайшей к точке (3; 3; 6); з) самой далёкой от точки (3; 3; 6). 7.106. Для каждого а определите множество точек, заданных уравнением х^ + 4х + у^ - 2у + z^ = а. 7.107. § Найдите длину линии, состоящей из всех общих точек двух сфер {х - 1)^ + (у + 3)^ + (z - 5)^ = 196 и (х + 3)2 + (у + 6)2 + (2 + 7)2 = 225. 7.108. § Напишите уравнение плоскости, в которой лежат все общие точки сфер х^ + у^ + z^ ^ 4 и (х - 1)2 + (у- 2)2 + (2 - 2)2 == 4. 7.109. ©Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы х^ + 2х + у^ + 2у + z^ - 4z = о в начале координат. 7.110. Напишите уравнение сферы с центром (1; 1; 2), касающейся сферы х^ + у^ + z^ = 24. 7.111. Напишите уравнения сфер, расстояния от любой точки которых до сферы х^ + у^ + z^ = 4 равно 1. 7.112. § Найдите множество таких вершин С(х; у; z) треугольника АВС, что угол С является прямым, если А(1; 2; 7) иВ(3;-4;-1). 7.113. ©Найдите множество точек, расстояние от которых до сферы (л: - 1)2 + 1/2 + (2 + 2)2 = 9 равно 2. 7.114^ В правильном тетраэдре РАВС с ребром 2 точки и М. центроиды граней соответственно АВС и РВС. Выбе- ^ Творческая задача. 128 Глава 7 Координатный метод в пространстве рите прямоугольную систему координат и найдите координаты точки пересечения: а) прямой PMg и грани АВС; б) прямой АМ^ и грани РВС. 7.115. © Выберите прямоугольную систему координат Oxyz. 1) Нарисуйте куб, заданный системой неравенств • 1 ^ ^ ^ 1» О^г/^2,0^2^2.2) Задайте системой неравенств: а) куб с ребром 4; б) прямоугольный параллелепипед с рёбрами 2, 3 и 4. 7.116. § Найдите все точки плоскости 5jc + Зг/ - г - 2 = О, равноудалённые от координатных плоскостей. 7.117. § Напишите уравнение плоскости, проходящ;ей через точки М(-1; 2; 7) и N{1; -9; 5) параллельно оси Оу. 7.118. § Напишите уравнение плоскости, проходящ;ей через точки М(1; 3; 8) и Л?'(2; 5; -1) перпендикулярно плоскости 2х - у + 2 = 0. 7.119. § Изобразите множество точек пространства, для которых |jc| + \у\ + l^l = 1. 7.120. © Изобразите множество точек пространства, для которых |jc| + \у\ + \z\ ^ 2х + Sy + 4z. 7.121. Изобразите множество точек пространства, для которых |л:| + \у\ -\z\ = 4. 7.122. Найдите геометрическое место таких точек М(х; у; z), сумма квадратов расстояний которых до точек А(3; 8; 1) и В(1; —1; 3) равна сумме квадратов их расстояний до точек С(0;-1; 3)и7)(1; 5;-2). 7.123. Найдите косинусы углов, образованных плоскостью Зх — 5у + 2 — 8 = О и координатными плоскостями. 7.124. ^ Докажите, что сумма квадратов косинусов углов, образованных произвольной плоскостью с тремя попарно перпендикулярными плоскостями, равна 1. 7.125. Напишите уравнение плоскости, проходящ;ей через начало координат и перпендикулярной плоскостям 2х + 3у — 2-5 = 0их + 2у + 2— 11 = 0. 7.126. Для каждого а определите множество точек, заданных уравнением х^ + 2ах + у^ + z^ - 4z + 8 = 0. I 129 ___________Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами 7.127. § Найдите площадь фигуры, состоящей из всех общих точек двух шаров {х - 3)^ + (у + 4)2 + 2г2 = 64 и (х - 3)2 + (У- 2)2 + (2 - 8)2 = 36. 7.128. © Напишите уравнение плоскости, в которой лежат все общие точки сфер (х - 1)^ + {у + 2)2 + (г + 5)2 = 9 и (х - 4)2 + (у + 6)2 + (2 + 5)2 - 16. 7.129. Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы х^ - 4х + у^ + 2^ ^ 9 в точке М(3; 2; 2). 7.130. © Напишите уравнение сферы с центром в точке (5; 1; 1), касающейся сферы х^ + у^ + 2^ ^ 3. 7.131. Найдите множество таких точек В(х; у; 2), что угол АВС является тупым, если А(3; -1; 0) и С(1; 3; 2). 7.132. Найдите множество таких точек К(х; у; 2), что угол MKN является острым, если М(1; 2; 0) и Л^(-1; -2; 4). 7.133. Составьте уравнение фигуры, состоящей из точек, равноудалённых от точек (-2; 1; -1) и (4; -1; 3). 7.134. Напишите уравнение плоскости, равноудалённой от плоскостей: а)а:=1их = 5;б)х = 0и1/ = 0;в)л: + ^ + 2 = 3 их + у + 2- 9 = 0. 7.135. Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром 1. Выберите прямоугольную систему координат и найдите координаты точек пересечений прямой B^D с плоскостями А^ВС^ и ACD^. Определите отношение, в котором диагональ B^D делится этими плоскостями. 7.1364 Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 2. Выберите прямоугольную систему координат и составьте уравнения: а) его граней; б) плоскости, которая проходит через сторону его основания и середину противолежащего ребра; в) прямой, проходящей через вершину тетраэдра и центроид противолежащей грани; г) прямой, проходящей через центроиды двух граней тетраэдра; д) прямой, проходящей через середины двух противоположных рёбер тетраэдра; е) плоскости, проходящей через центроид основания тетраэдра параллельно его боковой грани. ^ Творческая задача. 130 1 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.137. § Даны точки А(2; 0; 0), В(0; -2; 0), С(0; 0; 2). Найдите: а) точки, равноудалённые от точек А, В, С и отстоящие от плоскости 0x2 на расстоянии, равном 3; б) координаты центра сферы радиуса Jl9 , проходящей через точки А, В и С. 7.138. Уравнением - 6х — 6у — 6z + + 15 = 0 зада- на сфера S. Найдите координаты точки этой сферы: а) ближайшей к началу О системы координат; б) самой далёкой от точки О; в) ближайшей к каждой из координатных плоскостей; г) самой далёкой от каждой из координатных плоскостей; д) ближайшей к каждой из координатных осей; е) самой далёкой от каждой из координатных осей; ж) ближайшей к точке (3; 3; 5); з) самой далёкой от точки (3; 3; 5). 7.1394 Выберите прямоугольную систему координат Оху г и задайте системой неравенств: а) правильную треугольную призму, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро 4; б) правильный тетраэдр с ребром, равным 2. п. 25.3-25.4 7.140. Составить уравнения прямой, проходящей через точки А(1; -2; 3)иВ(2; 1; 5). Решение. Пусть А(1; -2; 3) — «начальная» точка прямой I = АВ, а АВ(1; 3; 2) — её направляющий вектор. Тогда параметрические уравнения прямой I имеют вид: X = 1 + ty у = —2 + Sty z = S + 2t. Уравнения прямой I по двум её точкам имеют вид X - 1 и + 2 2-3 X - I у + 2 2-3 или-----= ^---- =----- 2-1 у + 2 1 + 2 5-3 Заметим, что уравнения (**) являются каноническими уравнениями прямой I. Творческая задача. 131 Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами 7.141. Найти точку пересечения прямой /: X = 1 - 2t, у — 2 St, 2 = -1 + t И ПЛОСКОСТИ а: X + у + 2г - S = 0. Решение. Обозначим К = I па. Координаты точки К удовлетворяют уравнениям прямой / и плоскости а, поэтому являются решением системы уравнений x + y + 2z-S = 0, х^ 1 - 2t, у = 2 + St, 2 = -1 + t. Подставив в уравнение x + y + 22-S = 0 вместо х, у, 2 их выражения через t, имеем (1 - 2t) + (2 + 30 + 2(-1 -Ь 0 - 3 = 0, 2 2 откуда t = -. При t = - получаем координаты точки К: О О 1о2 1 о^о2 . i_l2 1 ^=1-2.- =-g,j^ = 2 + 3-g =4;г = -1 + - “-g.T.e. f 1 K\—-',A;--r . Проверьте, что точка К является искомой. \ S 3 j Ответ: (-i; 4;-i 7.142. (Устно.) Прямая задана точками А(3; -1; 2)иВ(-1; 1; 2). Определите взаимное положение прямой АВ и плоскости Оху. 7.143. Докажите, что прямая, заданная точками А(-6; 5; 1) и B(-S; 5; -2), параллельна плоскости л: -3^-1-2 + 3 = 0. 7.144. Найдите точку пересечения прямой x = 2-St, y=l-t, 2 = -4t и плоскости х + 2у- 2+1 = 0. 7.145. © Найдите угол между прямой X = 2 - St, у-1-t, 2 = -4t и плоскостью Х + 2у- 2+1 = 0. 132 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.146. Найдите угол между прямыми: ЛГ-1 1/4-2 2-3 X _у4-1_2 а) б) 1 у + 2 2-3 X -- = 2--- = --- и - 2 3 4 -4 X = 1 - 2t, у = 3 + 2t, At и Х = ty y = -2 + ty z = 1 - t. 7.147. ©Как расположены точки М(-1; 1; 2), N(3; 5; 8) и iC(0; 3; 4) относительно прямой X = -1 + ty у = 1 + 2ty 2 = 24- 2t7 7.148. ^ При каких значения аир точка М(1; 5; 8) лежит на прямой л: = 3 4- 2ty ^ = 7 - aty 2 = 84- р^? 7.149.2 Напишите параметрические уравнения каждой из прямых, по которым плоскость Зх + 8у + Z = 11 пересекается с координатными плоскостями. 7.150. Напишите параметрические уравнения прямой АВ и найдите точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями, если А(-8; 1; 3) и Б(1; -5; -1). 7.151 .© Напишите параметрические уравнения прямой, проходяш;ей через начало координат и деляш;ей пополам отрезок MNy если М(-3; 8; 1) и N(1; 0; 7). 7.152. Напишите уравнения прямой, проходяш;ей через начало координат и параллельной прямой X = 2 - ty у = 3 + 2ty 2 = 7t. 7.153. Какому условию должны удовлетворять числа аир, чтобы прямые х = 3 - Ыу \x = Uy y = 2 + ty ^ - ^ = 5 - ра, 2 = at \z = 2 - и были взаимно перпендикулярны? 133 ____________Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами 7.154. © Найдите величину угла между прямыми х = 1 - 2t, y=^t, 2 = 2 и X = 1 + Su, у = Ъ - и, 2 = 3- 2и. 7.155. © Найдите величину угла между осью аппликат и прямой х = 2 + t, y=l-2t, 2 = 2t. 7.156. § Определите взаимное расположение прямых X — 3 + 2ty y = b-t, 2 = 2 + 7t и X = 1 - 2uy у = 6 + и, 2 = -5 - 7и. 7.157. Определите взаимное расположение прямых X = Ь + 7t, y = 2-t, 2 = 9 и х = Ъ - 2и, у = 5 + Su, 2 = S - и. 7.158. Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром 1. Начало координат находится в точке В, оси координат проходят через точки А, В^ и С. 1) Напишите уравнения: а) плоскостей, содер-жагцих его грани; б) плоскостей, проходягцих через два его параллельных ребра, не лежагцих в одной грани; в) плоскости АВ^С; г) плоскости, проходягцей через центр куба перпендикулярно его грани; д) плоскости, проходягцей через центр куба перпендикулярно его диагонали. 2) Найдите расстояние: а) от вершины Cj до плоскости A^BD; б) между плоскостями AjCjZ) и АСВ^; в) между скрегциваюгцимися диагоналями граней АВВ^А-^ и ABCD. 7.159. Определите взаимное расположение прямой X = 1 + 5t, y = l- St, 2 = t И ПЛОСКОСТИ 2л: + 3^ - 2 - 5 = 0. 134 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.160. Определите взаимное расположение прямой x = 2 + St, 2 = 6 + 2t и координатных плоскостей. 7.161. Напишите уравнение прямой, проходяш;ей через точку М(0; 3; 4) и перпендикулярной плоскости 5х + 2у - z - 5 = 0. Найдите координаты точки пересечения этой прямой и данной плоскости. 7.162. Найдите величину угла между прямой x = 2 + St, y=l-t, z = 2 + t и плоскостью 2jc - Зг/ -Н 2 - 1 = 0. 7.163. Напишите уравнение плоскости, проходяш;ей через начало координат и перпендикулярной прямой X = S - ty У = 2ty 2 = 5 + St. Найдите координаты точки пересечения этой плоскости и данной прямой. 7.164. В каком отношении плоскость 2х + Sy + 6z - 20 = 0 делит отрезок прямой АВ, если А(2; 1; 1) и В(7; 10; 0)? 7.165. Определите взаимное расположение прямой л: = 1 - Sty у = 2 + 2ty 2 = 4 + t и сферы х^ + у^ + 2^ = 25. 7.166. {Устно.) Докажите, что прямая д: - 1 _ у - 1 _ 2-1 и 2 3 3 плоскость х-у + 2-1 = 0 пересекаются. 7.167. Напишите уравнения прямой, проходяш;ей через середину отрезка MN и параллельной оси ординат, если М(-3;1;5)иЛ^(7;-1;-5). 7.168-2 Напишите параметрические уравнения прямой, по которой пересекаются плоскости 2jc + 3i/-2 = 6hjc + i/ + 2=1. i 135 ___________Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами 7.169. Определите взаимное расположение прямой АВ и прямых, соответствующих осям координат, если А(-1; 2; 4) и Б(8; 3; 6). 7.170. Напишите уравнения прямой, проходящей через точку М(1; 3; -2) перпендикулярно оси ординат и прямой x = S-2t, у=7 + t, z=l-5t, 7.171. Напишите уравнения прямой, проходящей через точку L(-l; 2; 3) перпендикулярно оси абсцисс, и прямой пересечения плоскостей Зх + у + 2- 4 = 0их + 2у-32 = 0. 7.172. Найдите расстояние от точки А(3; -1; 1)до прямой X = 1 + 2t, y=7-8t, 2 = 5- 4t. 7.173. Определите взаимное расположение прямых x = 7 + 3t, y = 2-t, 2 = 8 + 0,5t и X = 5 - 6и, у = 8 + 2и, 2 = 1 - и. 7.174. Дана точка А(2; 3; 5). Пусть Ag, Ад — ортогональные проекции точки А на координатные плоскости соответственно Оху, Оу2, 0x2. 1) Составьте уравнение плоскости а = (А1А2А3). 2) Найдите: а) расстояния от начала координат и от точки А до плоскости а; б) координаты точки пересечения прямой ОА и плоскости а; в) отношение, в котором плоскость а делит отрезок ОА, считая от точки А; г) угол между плоскостями: а и Оху\ а и ОАА^; д) угол между прямой AgAg и плоскостью AAjAg; е) расстояние от точки А^ до прямой А2А3. 7.175. © Составьте уравнения прямой, проходящей через точку М(1; 1; 1) и перпендикулярной прямым JC = 2 -I- 2^, ^ = -3 + 3t, 2 = t и X = 3t, у = -2 + t, z=l + 2t. 136 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.176. § Найдите расстояние между прямыми X = t, у = S + 2t, 2 = 2 + t и x = Z + t, у — —1 + 2t, 2 = 2 + t. 7.177. Определите взаимное расположение прямой X = S - t, у = Ь + 2t, 2 = 3 и плоскости 2х + г/ - 52 - 1 = 0. 7.178. Определите взаимное расположение прямой X = 1 — St, у ^ 2 + 2t, 2 = Ъ - t и плоскости X + г/ + 52 = 0. 7.179. § Напишите параметрические уравнения прямой, проходягцей через точку М(3; 8; 1) параллельно плоскости 2х + у + 2 = 0и пересекаюгцей ось Оу. 7.180. § Определите взаимное расположение прямой X = 1 + St, у = Ъ - 12t, 2= 12 + 5^ и сферы (х - 1)2 + 1/2 + 2^ = 169. 7.181. Определите взаимное расположение прямой X = 2 + 3^, У = 7 -t, .2= 15 + 9^ и сферы х2 + г/2 + ^2 = 1. Задачи к § 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах 7.182. Найти расстояние от точки К{\; -2; 3) до плоскости Зх + 2i/ - 62 + 5 = 0. I 137 ___________Задачи к § 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах Решение. Находим координаты вектора нормали п к плоскости: n(S; 2; -6). Тогда d = |3 • 1 + 2 »(-2) + (-6)- 3 + 5| _ 1-141 _ 2 732 + 22 + (-6)2 Ответ: 2. 7.183. Найти множество точек, равноудалённых от плоскостей 2х + 2у - 2 - Ъ = О VI Ъх + + 12z -13 = 0. Решение. Пусть точка М(дг; у\ г) равноудалена от данных плоскостей, тогда \2х -Ь 2.V - 2 - 3| ^ |3х -Ь 4j/ -Ь 122 - 13| 722 + 22 + (-1)2 7з2 + 42 + 122 т. е. \2х -Ь 2jy - 2 - 3| „ \^х -Ь 4jy -Ь 122 - 13| 13 Данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений 2х 2у - Z - ^ ^ ^х -Ь Ау -Ь 122 - 13 3 13 или 2х 2у - Z - S _ Ъх -Ь 4у -Ь 122 - 13 3 13 После упрощения получим уравнения двух плоскостей 17л:-Ь 14i/- 492 = о и 35л:-Ь 38i/-Ь 232 - 78 = 0. Подумайте, почему эти плоскости получились взаимно перпендикулярными и как они связаны с данными в задаче плоскостями. 7.184. Найдите расстояние от точки М(—3; 1; 2) до плоскости Зл: -Ь 4i/ - 122 -1-2 = 0. 7.185. © Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку А(0; -2; 1), если расстояние от этой плоскости до точки М(3; -1; 3) равно 3. 7.186. § Напишите уравнение плоскости, содержащей ось Oi/, если расстояние от этой плоскости до точки М(-3; 8; 1) равно 1. 138 Глава 7 Координатный метод в пространстве 7.187. § Найдите геометрическое место точек, расстояние которых до плоскости 2х-3у+ 2-1=0 равно расстоянию до плоскости 2х - Зу + 2 + 5 = 0. 7.188. Найдите геометрическое место точек, удалённых от плоскости X + 2у - 22 - 5 = О на расстояние 2. 7.189. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от плоскостей Зх + 12у — 42 — 1 = О и 4х - Зу + 122 -1-5 = 0. 7.190. © В каком отношении плоскость Зх - 5у + 22 - 6 = О делит отрезок АВ, если А(3; 2; 1)иБ(7;-1;2)? 7.191 .© Найдите расстояние между плоскостью, заданной уравнением 2jc -Ь 3i/ - 5г -Ь 1 = 0, и прямой X = 2 + t, y = ty 2 = 3 + t. 7.192. © Найдите расстояние между параллельными плоскостями Зл: Ч- 2i/ Ч- 42 + 11 = о и 9jc -Ь 6i/ -Ь 12г - 5 = 0. Задачи к главе 7 7.193. 2 Найдите центры всех сфер, проходящих через точки А(0; 5; 12), Б(4;-3; 12) и С(12;-4;-3). 7.194. § Найдите координаты центра и радиус сферы, описанной около тетраэдра, вершины которого имеют координаты (0; 0; 0), (8; 0; 0), (0; -2; 0) и (0; 0; -6). 7.195. Найдите координаты центров всех сфер радиуса 1, касающихся каждой из плоскостей jc = 0, i/ = l,2 = 5. 7.196. Найдите множество таких точек Р(х; у; 2), что сумма квадратов расстояний от них до точек А(3; 4; 0) и Б(1; 2; 3) равна 39. 7.197. Найдите множество точек пространства, сумма квадратов расстояний которых до вершин треугольника АВС равна 32, если А(1; 2; 3), Б(0; 1; 4) и С(1; -1; 0). 7.198. § Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки сферы, описанной около куба, до всех вершин куба есть величина постоянная. Найдите эту величину. 139 Задачи к главе 7 7.199. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки шара, вписанного в куб, до всех вершин куба есть величина постоянная. Найдите эту величину. 7.200. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до всех вершин октаэдра с ребром 1 равна 6, есть описанный около октаэдра шар. 7.201. Найдите геометрическое место точек таких, что сумма квадратов расстояний от них до вершин правильной треугольной призмы, все рёбра которой имеют длину 1, равна 5. 7.202. 2 Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний которых до осей координат равна 2. 7.203. § Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний которых до плоскостей jc = 0, i/ — 2 = 0, 2-Ь1 = 0 равна 4. 7.204. § Напишите уравнение плоскости, параллельной прямой JC = 8 + t, y=l-St, 2 ^ St и содержащ;ей ось Oz, 7.205. § Напишите уравнение плоскости, проходяш,ей через начало координат и содержащ;ей прямую JC = 3 -Ь f, y = 5-t, 2 ^ t. 7.206. Суш;ествуют ли плоскости, проходяш,ие через прямые jc = 5 — f, [jc = 5 + 2ty y = 2 + 7t, “ \y = 2-t, Z=l-t 2=1? Если да, то напишите все их уравнения. 7.207. Суш;ествуют ли плоскости, проходяш;ие через прямые x = S- ty у ^ 2 + Ыу 2 = t и X = 2 + Uy у = 1 - Ъыу 2=1-1/? Если да, то напишите все их уравнения. 140 Гпава 7 Координатный метод в пространстве 7.208. Найдите длину хорды, отсекаемой на прямой X = 2 + 4f, y = t, z = 1 - St сферой (x - 1)2 + {у + 2)2 + (z + 1)2 = 25. 7.209. § Найдите все точки на оси Oz, через которые проходит хотя бы одна прямая, касающаяся в точке Р(3; -1; -4) сферы^ (х — 1)2 + {у + 2)2 + {г + 2)2 = 9. 7.210.1 Из начала координат проведены всевозможные прямые, касающиеся сферы^ (х - 4)2 + {у - 3)2 + (z - 12)2 = = 144. Найдите уравнение плоскости, в которой лежат все точки касания. 7.211. § Найдите уравнения всех сфер с центром в начале ко- fji ординат, касающихся прямой X = S - 2t, y-=l + t, 2 = 5. 7.212. В плоскости X + у + 2z = о найдите все прямые, касающиеся сферы^ (х - 2)2 + (у - 4)2 -Ь ^2 = 8 и проходящие через начало координат. 7.213. 2 Напишите уравнения проекций прямой X = S - 2t, г/ = 1 -Ь 3f, 2 = 5 на координатные плоскости. 7.214. § На сфере х^ у'^ + z^ ^ 1 найдите точки, расстояния от которых до прямой x = S 1, y = 2-t, z = 1 - 2t: a) наименьшее; б) наибольшее. 7.215. Напишите уравнения центров всех сфер, касающихся всех координатных осей. ^ Прямая, касающаяся сферы, имеет со сферой одну общую точку. 141 Задачи к главе 7 7.216. § Найдите геометрическое место центров таких шаров, что все точки прямых и л: = 3 — у = 2 + 2t, z = l + t для которых t € [-1; 3], и е [0; 6], принадлежат шарам, а другие точки этих прямых шарам не принадлежат. X ^ 2 + Suy У = 2w, 2 = 6, 7.217. § Найдите геометрическое место точек пространства, сумма квадратов расстояний от которых до вершин куба численно в два раза больше плош;ади полной поверхности этого куба. 7.218. 2 Найдите геометрическое место точек М пространства, для которых выполняется условие AM : ВМ =5:3, если А(0;-1; 1)иВ(0; 1; 0). 7.2Л^. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Охуг так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины В, С м имеют координаты: 15 ^j, С(0; 1; 0), | ить эту призму и найти координатным методом расстояние от вершины В до прямой C£)j. Решение. Данная призма изображена на рисунке 64. Составим уравнение плоскости (3, проходяш;ей через точку В перпендикулярно прямой CD^. 142 1 Глава 7 Координатный метод в пространстве 73[x-4?l+(i/-il-2(z-0) = 0»73a: + i/-22-2 = 0. В качестве вектора нормали плоскости р примем вектор n{JS; 1; -2), коллинеарный вектору - Тогда плоскость Р имеет уравнение: Обозначим Т = р п CD^, тогда ВТ = р(Б; D^C). Для нахождения координат точки Т достаточно решить систему 43х + у-22-2 = 0, ^ л/з t, f ^ y=l + t, г = -2t, составленную из уравнений плоскости Р и прямой CD^. Получаем: Vs * Jzt + 1 + t - 2{-2t) - 2 = 0<=>8t-l=0 1 л/З 9 <=> t = 3. Значит, точка Т имеет координаты: х = ^ \ у = з; о о о Z = л . Тогда: р(В: D.C) = ВТ = = = . Ответ: 251. 4 4 7.220. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиуголь- ная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Охуг так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины А, Б, F, имеют координаты: ^ - i ; Оj, ^ ; i ; Оj, Б(0; -1; 0), ^^(О; -1; 1). Постройте эту призму и найдите координатным методом расстояние от вершины В до прямой: а)Б,Б; 6)D^F^; в)С^В^\г) ADj. 7.221. ABCDEFA^B^C^D^E-^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Охуг так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины В, С, В, имеют координаты: в[ ^ ; -i ; о], С(0; 1; 0), d(-^ ; 3 ; oV CjCO; 1; 1). i 143 Задачи к главе 7 Построить эту призму и найти координатным методом расстояние до плоскости AF^D от точки: а.) F; б) В^. Решение. Если плоскость ^ ах + by + сг + d = О проходит через данную точку M{Xq; у^; 2q), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости р, т. е. имеет место axQ + Ьг/о + c2q + d = 0. Воспользуемся этим утверждением при составлении уравнения плоскости р = (AF^D). Пусть ах + by + С2 + d = О — искомое уравнение плоскости р. На рисунке 65 изображено расположение данной призмы относительно системы координат OxyZy в которой точки А, F, Fj, Ej имеют координаты: -i; oj, F(0; -1; 0), F,(0;-1; 1), Bjl ; 1; 1 Плоскость p = (AFiD) проходит через начало координат, значит, d = 0. Далее, имеем: 2 ’ 2’ е р=> = 1) € р =>-6 + с = 0; eP=>-^a+ifc = 0. Решая систему из уравнений: -Уз 1 L л -а--Ь = 0, -Ь С = о. Уз ^ 1, ^ -_а + -Ь = 0, находим: Ь = с,Ь = Уз а. 144 1 Гпава 7 Координатный метод в пространстве Полагая а = Js , получаем Ь = с = S. Тогда уравнение плоскости р имеет вид: 73 (л: - 0) + 3(у + 1) + 3(2 - 1) = о <=:> ^/3 JC + Зг/ + 32 = 0. Теперь находим искомые расстояния p(F; р) и р(В^; Р): _ |Уз-0 + 3«(-1) + 3>0| _ 7^ . Р(^^; Р) 73 + 9 + 9 p(Bi;P) = 73-^ + 3- i + 3-l 2 2 73 +9 + 9 = . Ответ: а) ^ ; б) 7 ^7^7 Замечание. При нахождении расстояния от точки до плоскости координатным методом во многих случаях не требуются аргументированные обоснования построения перпендикуляра из данной точки на данную плоскость. Но если FK 1.{AF^D) («виртуально»), К g {AF^D) (cm. рис. 65), то FK ^ p(F; р); на этом рисунке перпендикуляр из вершины на плоскость AFjD не изображён. 7.222. ABCDEFA^B-^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которя расположена в системе координат Охуг так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины Б, С, Б, имеют ко- ординаты: ^ ; i ; oj, С(0; 1; 0), i;oj,Ci(0; 1; 1). Постройте эту призму и найдите координатным методом: а) расстояние от вершины до плоскости БСС^; б) от вершин А^ и до плоскости АС^Б^; в) от вершин Б и до плос- кости AB^D. 7.223ш ABCDEFA^B^C^D^E^Fy — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найти координатным методом расстояние между прямыми: а)Б^С и А^Б; б) Б^С и ББр Решение, а) Найдём расстояние между прямыми Б^С и А^Б. 145 Задачи к главе 7 Во введённой системе координат Oxyz (рис. 66) вершины В, С, и Aj имеют координаты: i; oj; С(0; 1; 0); Используем следующий факт: расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой. Для нахождения искомого расстояния составим уравнение плоскости (обозначим её а), проходящей через прямую BjC параллельно прямой А^В. В качестве вектора нормали плоскости а примем вектор Я(а; Ь; с), перпендикулярный направляющим векторам CBj [ ^ » “15 1 ^ А^В (0; 1; -1) прямых В^С и А^В. Найдём координаты этого вектора. Имеем: > ^ > п 1 CBi , п • СВ^ = 0, , ^ , 1 п 1 А^В п* А^В =0 л/з 1 I, 1 п ^а--Ь + с = 0, Ъ-с = 0 с = - Js а, Ъ = с. л/З а - Ь + 2с = о, Ъ = с Полагая а = л/З , получаем: Ь = с = -S. Таким образом, Я(л/3 ; -3; -3). Тогда плоскость а (С е а) имеет уравнение: л/З (х - 0) - 3(у - 1) - 3(2 -0) = 0<=> л/Зх-31/-32-1-3 = 0. 146 Гпава 7 Координатный метод в пространстве Теперь находим: р(А^Б; В^С) = р(Б; а) = V3 • ^ + 3 • i + 3 • О + 3 л/З + 9 + 9 = М = dEl, Ответ: ^ 21 7 7 7.224. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Oxyz так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины Aj, Б, С, Б^ имеют коор- динаты: ; -i ; 1 j, вШ ; 1; oj, С(0; 1; О), ; i ; ij. Постройте эту призму и найдите координатным методом расстояние между прямыми: а)А1Б и С^Б; б)А^Б и E^F\ в) А^Б и АБ^; г) А^Б и B^D. 7.22Ь. АВСDEFA^B-fi^D-^E-^F-^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найти величину угла между прямыми БА^ и СБ^. Решение. Обозначим: Z (БА^, СБ^) = (р. В системе координат Oxyz (рис. 67) точки Aj, Б, Б^, С имеют координаты: Aj^;-i;lV б(^;^;о1, С(0; 1; 0), Б 11^ 2 ’ 2’ Тогда направляющие векторы СВ^ и БА^ прямых соответственно СБ^ и БА^ приобретают координаты: Л 2 СБ ^;1|иБА1(0;-1;1). 147 Задачи к главе 7 Теперь находим: СЕ cos ф = CBi -BAi + |-(-1)+ 1-1 cBi|-|bAi /?+ 1 + 1-Vo+ 1 + 1 V 4 4 3 ^ 3 => Ф = arccos - . Ответ: arccos - . 4 4 7.226. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Oxyz так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины А, В, В^, В^ имеют координаты: А^^; Оj, В(0; -1; 0), Bi(0; -1; 1), Bj^^; I» ij* Постройте эту призму и найдите координатным методом величину угла между прямыми: а) АВ^ и СВр б) АВ и CD^\ в) ABj и AjB, 7.227. ABCBBBAjBjCjBjBjBj — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найти синус угла между прямой BZ)j и плоскостью BBjC. Решение. Обозначим: Z.{BD^, (ВВ^С)) = а. Во введённой системе координат (рис. 68) точки В, С, Bj, имеют координаты: В^^ ; ^ J 0j, С(0; 1; 0), В^(0; -1; 1), D [~:Ж • 1 • 1 2 ’ 2’ ^ 148 Глава 7 Координатный метод в пространстве Для прямой D^B направляющим является вектор ВХ>1(-73;0; 1). Найдём координаты вектора нормали плоскости (3 = (BF^C), для чего составим её общее уравнение. Пусть ах + by + CZ + d = О — искомое уравнение плоскости (3 = (BF^C). Имеем: B(|;i;0)ep^|a+|ft + d = 0; С(0; 1; 0) е р => fo + d 0; -1; 1) g р => -fo + с + d. Решением системы уравнений :Ёа+1ь + й = 0, Ь d = о, -Ь + с + d = о является а= лУз,& = 3,c = 6,d = -З.To есть, вектор нормали плоскости р имеет координаты: Я( л/З ; 3; 6). Тогда " I-V3* л/3 + 0-3 + 1-б| =о,12573. sin а = |cos Z(BDi; Я)| = Ответ: 0,125л/3 . л/З +0 + 1 • л/З + 9 + 36 7.228. ABCDEFA^B^C^D^E^F^ — правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Oxyz так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины Б, С, Z>, имеют координаты: i; 0j, С(0; 1; 0), d[-^\ i; ij. Постройте эту призму и найдите координатным методом синус угла между: а) прямой В^Е и плоскостью BCjC; б) прямой АВ и плоскостью ББ^С; в) прямой BD^ и плоскостью ББ^С; г) прямой А^В и плоскостью ББ^С. i 149 Задачи к главе 7 7.229. АВСDEFA— правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1. Найти синус угла между плоскостями А^ВС и AB^F. Решение. Обозначим: Z (а, |3) = ф. Найдём координаты векторов нормалей плоскостей а = {А^ВС) и р = {AB^F). Во введённой системе координат Oxyz (рис. 69) точки В, С, А, В^у F имеют координаты: А,| -±; II, В1 Ь o'!, С(0; 1; 0), а[^-, -i; ol. Л. _1 2 ’ 2 Вектор Я(а; 6; с) нормали плоскости а перпендикулярен V3 . 1 . векторам А^В (0; 1; -1) и ВС ’ 2 ’ ‘ векто- ра п(а; Ь; с) найдём из условия его перпендикулярности векторам А^В(0; 1; -1) и ВС | ^ 5 0 | • Имеем: п • А^В = о, Я-БС =0 6 - с = о, -|а+1б^0 ^ Ь = Су 6 = -л/З а. Полагая а = л/З , получим 6 = с = 3. Таким образом, Я(73; 3; 3). 150 Глава 7 Координатный метод в пространстве Аналогично, вектор с^) нормали плоскости (3 V3 . 1 . перпендикулярен векторам ^5^(0; 1; 1) и g ’ ®J * Поэтому координаты найдём, решая систему урав- нений: о. 6l + Ci ■Уз , 1 ь л -ja, + -b,=Q |^>1 = -с, I&1 = -Tsfli. Полагая == л/З , получим = -3, = 3. Таким образом, п-л л/З ; —3; 3 гг I - ч| 1л/3 •-Уз + 3 • (-3) + 3‘3| 1 Тогда cos а = cos Z(n; nj = ' . ——\ ^ — = - -УЗ + 9 + 9--УЗ + 9 + 9 7 sin ф _ 4-Уз 7 . 4-Уз Ответ: Y 7.2Z0. ABCDEFА— правильная шестиугольная призма, все рёбра которой равны 1 и которая расположена в системе координат Oxyz так, что центр её основания совпадает с началом координат, а вершины Aj, Б, С, D имеют координаты: С(0; 1;0), dI^-^ ; I; оj. Постройте эту призму и найдите координатным методом синус угла между плоскостями: а) АВС и BC^F; 6)FB^D^ и АВС; b)BC^D и АВС; v)AfiE^ и АВС; р)АВС и BFD^. Дополнения дл МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ Ранее мы уже строили плоские сечения многогранников. Эти построения осуществлялись на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Вместе с тем, существуют определённые методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода: 1) метод следов', 2) метод внутреннего проектирования', 3) комбинированный метод. 1.1. Метод следов Определение. Прямая, по которой секущая плоскость а пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости а в плоскости этого основания. Из определения следа следует, что в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая — в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причём в секущей плоскости удобно использовать такие прямые, которые пересекают рёбра многогранника. Рассмотрим метод следов на примерах. Секущую плоскость зададим её следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды). ЗАДАЧА 1. Построить сечение призмы ABCDEA^B^C^D^E^ плоскостью а, которая задана следом I в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD^. 152 I Дополнения Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 70). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, Р, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секуш,ей плоскости а с рёбрами соответственно CCj, ВВ^, АА-^, ЕЕ^ данной призмы (или их продолжениями). Для построения точки N = а гл CCj достаточно построить прямую MX пересечения секуш;ей плоскости а с гранью CDD^C^. Эта прямая будет построена, если построить точку X пересечения следа I с гранью CDD^C^. Так как прямая I лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать грань CDD^C^ лишь в точке, которая принадлежит прямой CD пересечения плоскости грани CDD^C^ с плоскостью основания призмы, т. е. точка X = I г\ (CDD^) является точкой пересечения следа I с прямой CD: ln{CDD^) = X = lr^CD. Таким образом, для построения точки N достаточно построить точку X = I Г\ CD. Аналогично, для построения точек P,QnR достаточно построить точки Y = I п ВС, Z гл АВ и Т = Z п АЕ. Построение. Строим: 1) X = / п CD\ 2) N = MX n ССр 3) У = = I п ВС; 4)Р = NY п ВВ^; Ъ) Z = I гл АВ; 6) Q = PZnAA^; 1)Т = I г\ АЕ; 8)7? = QT п ЕЕ^. Пятиугольник MNPQR — искомое сечение. Дополнения I 153 Рис. 71 154 I Дополнения Доказательство, Так как прямая I — след секущей плоскости а, то точки X, Y, Z и Т принадлежат этой плоскости. Поэтому: М е а, X е а => MX с а => MX п СС^ = N е а; N = ап СС^; X е а, У е а => NY с а => NY п ВВ^ = Р е а; Р = ап ВВ^; Р е а, Z е а => PZ с а => PZ пАА^ = Q е a;Q = апАА^; Q Е а, Т е а => QT с а => QT п ЕЕ^ = R е а; R = ап ЕЕ^. Следовательно, MNPQR — искомое сечение. Исследование. След I секущей плоскости а расположен в плоскости основания призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD^ призмы. Поэтому секущая плоскость а не параллельна боковым рёбрам. Следовательно, точки X, Р, Q и -R пересечения этой плоскости с боковыми рёбрами призмы (или продолжениями этих рёбер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу 1у то определяемая ими плоскость а единственна. Значит, задача имеет (всегда!) единственное решение. Динамику этого построения плоского сечения призмы можно видеть на рисунке 71. ЗАДАЧА 2. Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью, которая задана следом I и точкой К ребра РЕ. Решение. Схематически построение искомого сечения можно изобразить так (рис. 72): «Цепочка» последовательности построения вершин сечения такова: \)Т^ = 1пАЕ\ 2) Q = Т^ХпРА; 3) Т2 = I пАВ; A)R=T2QnPB\ 5) T^^lnBC; 6) M=T2RnPC; l)T^ = ln CD ; S)N = T^MnPD. Рис. 72 Дополнения | 155 Пятиугольник MNKQR — искомое сечение. Секущая плоскость чаще всего задаётся тремя точками, принадлежащими многограннику. ЗАДАЧА 3. Построить сечение призмы АВСВЕА^В^С^В^Е^ плоскостью а = (MPR), где М, Р nR являются точками соответственно рёбер ААр CCj и ЕЕ^ (рис. 73). Решение. Построим след секущей плоскости а в плоскости основания АВС данной призмы. Прямые MR и PR лежат в секущей плоскости а, а прямые АЕ и СЕ — в плоскости основания АВС. Тогда на основании свойства (какого?) точек следа секущей плоскости строим точки: 1) = MR п АЕ; 2) Tg = PR n СЕ; Tj, Tg — точки следа. Значит, прямая T'jT'g = I — след секущей плоскости в плоскости основания призмы. Далее строим точки: 3) = = I п АВ; 4) ЛГ = Т^М п ВВ^; Ъ)Т^-1гл ВВ; 6) Q = T^N п ВВ^. MNPQR — искомое сечение. ЗАДАЧА 4. Построить сечение пятиугольной пирамиды РАВСВЕ плоскостью а = {KQR)^ где Q — точки рёбер соответственно РА и PC, а точка R лежит внутри грани ВРЕ (рис. 74). Решение. Построим след секущей плоскости в плоскости основания пирамиды, для чего построим две любые его точки. 156 I Дополнения Прямые QK и АС лежат в одной плоскости АСР и пересекаются в точке Tj, принадлежащей этому следу (почему?). Далее — внимание! Ответственный момент! Плоскость APR содержит прямую RK, лежащую в секущей плоскости а, и пересекает сторону DE основания пирамиды в некоторой точке F {F является точкой пересечения прямых PR и DE). Тогда прямые KR и AF лежат в одной плоскости APR и пересекаются в некоторой точке Tg — второй точке следа (почему?). Значит, прямая TjTg = / — след секущей плоскости а в плоскости основания пирамиды. След / пересекает стороны DE и АЕ основания пирамиды соответственно в точках М и N, которые служат вершинами искомого сечения. Вершина Н искомого сечения получается при пересечении прямых MR и PD. Далее, построив точку Т^ = I г\ АВ и проведя прямую получаем вершину L искомого сече- ния: L = Т^К г\ РВ. Таким образом, «цепочка» последовательности построения вершин искомого сечения такова: 1) = QK п АС; 2)F = PR п DE; 3) Т2 = KR п AF; = I — след; 4)М = = 1глЕ; b)N = I гл АЕ; Q)H = MR n PD; 7)Т^ ^ I n AB; 8) L = T^K n PB. MNKLQH — искомое сечение. Динамика построения этого сечения проиллюстрирована на рисунке 75. Дополнения I 157 158 I Дополнения Для построения следа секущей плоскости достаточно в плоскости основания многогранника построить две любые точки этого следа. Этими точками являются, как правило, точки пересечения плоскости основания данного многогранника и прямой, лежащей в секущей плоскости. На рисунках 76—80 проиллюстрировано построение точки X пересечения прямой МК с плоскостью основания пирамиды (призмы), если точки М и принадлежат: 1) боковым рёбрам одной грани многогранника (см. рис. 76); 2) боковым рёбрам диагонального сечения многогранника (см. рис. 77); Рис. 76 Рис. 78 Дополнения | 159 Рис. 79 3) боковой грани многогранника и не принадлежащему ей боковому ребру (см. рис. 78); 4) двум смежным боковым граням многогранника (см. рис. 79); 5) двум несмежным боковым граням многогранника (см. рис. 80). Задачи 5. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью основания четырёхугольной пирамиды (призмы), если прямая задана двумя точками, которые принадлежат: а) боковым рёбрам одной грани; б) боковым рёбрам, не лежащим в одной грани; в) боковому ребру и боковой грани; г) двум смежным боковым граням; д)двум несмежным боковым граням; е) рёбрам диагонального сечения. 6. Секущая плоскость а задана тремя точками М, Р, К (рис. 81). Постройте след секущей плоскости в плоскости 160 I Дополнения основания треугольной пирамиды и треугольной призмы, если: 1) точки принадлежат боковым рёбрам призмы (пирамиды) (рис. 81, а, б); 2) две из них принадлежат боковым рёбрам, а третья — боковой грани (рис. 81, в, г); 3) две из них принадлежат боковым граням, а третья — боковому ребру (рис. 81, д, е). 7. Постройте сечение призмы ABCDEA^B^C^D^E^ плоскостью а, заданной следом / в плоскости основания и точкой Дополнения I 161 М, которая принадлежит ребру DD^, если след: а) не имеет общих точек с основанием призмы; б) проходит через сторону АБ основания призмы; в) пересекает стороны АБ и ВС основания призмы. 8. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью а, заданной следом I и точкой М, которая принадлежит ребру РБ, если след h а) не имеет общих точек с основанием пирамиды; б) проходит через сторону ВС основания; в) пересекает стороны ВА и ВС основания. 9. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью, заданной: а) точками М, N, Q рёбер соответственно PC, РБ, РА; б) точками, две из которых принадлежат боковым рёбрам, третья — боковой грани. 10. Постройте сечение пятиугольной призмы ABCDEA^B^C^D^E^ плоскостью, которая задана следом I, проходящим через сторону АВ основания, и точкой Р, принадлежащей ребру CCj. Точку Р выберите так, чтобы в сечении получился: а) четырёхугольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник. 11. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, принадлежащими трем боковым граням. 12. Постройте сечение пятиугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя точками, две из которых принадлежат боковым рёбрам, а третья — стороне основания. 13. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, две из которых принадлежат боковым граням, а третья — основанию призмы. В задачах 14—28 постройте сечение куба плоскостью MRP методом следов (рис. 82—96). М /; 7 /F~ 7 7 7Г7 )- 1 / ,Р / Р' 1 1 >. 1 / 7 м в 1 1 1 )- 1 / / м 1 1 1 )- ^•R М* Рис. 82 Рис. 83 Рис. 84 Рис. 85 162 I Дополнения R /ZF Рис. 86 Рис. 87 Рис. 88 Рис. 89 R Cl Bj Р Cl Bi Cl A, / / /\ 'М 1 м • 1 м 'В С ;в 7 . 7 л / / ч Z 1 ■в р я/ I C Рис. 90 M e (BBiCi) M s (AiBiCi) M s (AiBiCi) Рис. 91 Рис. 92 Рис. 93 В. Cl / R М / м/ в > ✓ / •в Z Рис. 94 R е (ABC) Рис. 95 Pe(AAiBi) R s (AiBiCi) M e (DD^C^) Рис. 96 1.2. Метод внутреннего проектирования в некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название этого метода. Дополнения I 163 Сущность метода внутреннего проектирования рассмотрим на примерах построения сечений призмы и пирамиды. ЗАДАЧА 29. Построить сечение призмы ABCDEA^Bfi^D^E^ плоскостью а, заданной точками М е ВВ^, Р е DD^, Q е ЕЕ^. Решение. Плоскость нижнего основания призмы обозначим р. Для построения искомого сечения построим точки пересечения плоскости а с рёбрами (или их продолжениями) призмы (рис. 97). Построим точку пересечения секущей плоскости а с ребром AAj. Плоскости A^AD и ВЕЕ^ пересекают плоскость р по прямым соответственно AD и BE, которые пересекаются в некоторой точке К: К = AD п BE. Эти плоскости проходят через параллельные рёбра AAj и ВВ^ призмы и имеют общую точку К. Поэтому прямая их пересечения проходит через точку К и параллельна ребру ВВ^ (т. 11). Точку пересечения этой прямой с прямой QM (почему они пересекаются?) обозначим = КК^ п QM, КК^ II ВВ^. Прямая РК^ лежит в секущей плоскости а и пересекает (почему?) ребро АА-^ в некоторой точке R. Точка R служит точкой пересечения плоскости а и ребра АА^: R = РК^ гл АА-^ = = а п AAj, т. е. точка R является вершиной искомого сечения. Аналогично строим точку N пересечения плоскости а и ребра CCj. Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова: \) К = AD гл BE’, 2) = КК^ гл MQ; КК^ II ВВр 3) /г = РК^ nAA^;4)H = ECn AD; 5) = НН^ гл гл PR, НН^ II СС^; 6) N = QH^ гл СС^. Пятиугольник MNPQR — искомое сечение. 164 I Дополнения ЗАДАЧА 30. Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью а = {MFR)f если точки М, F и R являются внутренними точками рёбер соответственно РА, PC и РЕ (рис. 98). Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим р. р Для построения искомого сечения построим точки пересечения секупдей плоскости а с рёбрами (или с их продолжениями) пирамиды. Рассмотрим построение точки пересечения секуш;ей плоскости с ребром PD пирамиды. Плоскости APD и СРЕ пересекают плоскость р по прямым соответственно AD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Тогда прямая РК, по которой пересекаются плоскости APD и СРЕ, пересекает прямую FR (почему?) в некоторой точке РК п FR. Прямая МК^ лежит в секуш;ей плоскости а (почему?). Поэтому точка Q пересечения прямой МК^ с ребром PD есть точка пересечения этого ребра и секущей плоскости: Q = МК^ п PD = а гл PD. Аналогично строим точку пересечения плоскости а и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и APD пересекают плоскость р по прямым соответственно BE и AD, которые пересекаются в точке Н. Прямая PH = {ВРЕ) п (APD) пересекает прямую MQ в точке Н^. Тогда прямая RH^ пересекает ребро РВ в точке N, Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова; 1)К = AD п ЕС; 2)К^ = РК п RF; S)Q - МК^ п PD; 4)Н^ВЕгл AD; 5) Н^ = РНп MQ; 6) N ^ RH^ п РВ. MNFQR — искомое сечение. Динамика построения этого сечения пирамиды проиллюстрирована на рисунке 99. Дополнения I 165 .D Рис. 99 166 I Дополнения Задачи 31. На рисунках 100—102 секущая плоскость задана точками 1, 2 и 3. а) На рисунках 100, б, 101, а прокомментируйте построение точек пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами. Р Рис. 100 Рис. 101 Рис. 102 Дополнения I 167 б) Используя рисунки 100, а, 101, б, 102, а, б, постройте точки пересечения секущей плоскости с боковыми рёбрами многогранников. В задачах 32—34 (рис. 103—105) постройте прямую пересечения плоскости NKF с плоскостью PQM. М Рис. 103 F Рис. 104 М Рис. 105 35. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками на её боковых рёбрах. 36. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя точками на её боковых рёбрах. 37. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью, которая проходит через три точки, если: а) две из них принадлежат боковым граням призмы, а третья — её боковому ребру, не принадлежащему этим граням; б) две из них принадлежат боковым рёбрам призмы, а третья — боковой грани, не содержащей эти рёбра. 38. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью, проходящей через точки М и К, принадлежащие граням соответственно АВР и АВСу и внутреннюю точку бокового ребра РЕ. 39. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, две из которых принадлежат боковым несмежным граням, а третья точка совпадает с вершиной нижнего основания, не принадлежащей этим граням. В задачах 40—54 (рис. 106—120) постройте сечение куба плоскостью MRP методом внутреннего проектирования. 168 I Дополнения R Рис. 110 Рис. Ill Рис. 112 Рис. 113 М е (ВВ^С^) М е (А^В^С^) М е (А^В^С^) Рис. 114 Рис. 115 Рис. 116 Рис. 117 В, »- — / / R М R е (АВС) Pg(AA,B,) R е (AjBjCj) М е (DD^C^) Рис. 118 Рис. 119 Рис. 120 Дополнения | 169 1.3. Комбинированный метод Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построение этого сечения осуществляется с использованием теорем, изученных в разделе «Параллельность в пространстве» и др. Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующую задачу. ЗАДАЧА 55. Построить сечение параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ плоскостью а, заданной точками Q и если точка Р лежит на диагонали точка Q — на ребре ВВ^ и точка R — на ребре DD^ (рис. 121). Решение, а) Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Прежде всего построим след секущей плоскости а === = (PQR) на плоскости АВС. Для этого строим точки = = PQ п Р^В, где РР^ II AAj, Р^ е АС и Tg = RQ п BD. Построив след T'jTg, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А^В^С^, которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что секущая плоскость а пересекает плоскость А^В^С^ по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой T'jTg. Пусть эта прямая пересекает рёбра А^В^ и A^D^ соответственно в точках М и Е. Тогда прямая ER — это прямая, по которой секущая плоскость а пересекает плоскость грани ADD^A^, прямая QM — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани АВВ^А^. 170 I Дополнения Далее, так как плоскость ВСС^ параллельна плоскости грани ADDjAp то секущая плоскость пересекает грань BCCjBj по прямой QF, параллельной прямой ER. Пятиугольник ERFQM — искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF || MQ.) б) Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей. Пусть Н — точка пересечения диагоналей АС и BD (рис. 122). Проведя прямую НН^ параллельно ребру ВВ^ (ifj G RQ), построим точку F: F = РН^ п CCj. Точка F — это точка пересечения секущей плоскости с ребром CCj (почему?). Тогда прямая RF — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани CC^D^D, прямая QF — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани ВСС^В^. Так как плоскость параллельна плоскости CDD^y то секущая плоскость пересекает грань АВВ^А^ по прямой QM (М е АjBj), параллельной прямой FR. Далее, если Е — точка пересечения прямых МР и AjZ)j, то эта точка является точкой пересечения секущей плоскости и ребра A^Dj (почему?). Пятиугольник ERFQM — искомое сечение. (Точку Е можно построить, проведя прямую RE || FQ. Тогда М = РЕ п А^В^.) Задачи на построение сечений многогранников 56. Точки Р, Q и. R взяты на рёбрах параллелепипеда ABCnAjBjC^Di следующим образом: точка Р лежит на ребре СС^, точка Q — на ребре DDj, точка .R — на ребре А^В^. Постройте след секущей плоскости PQR на плоскостях: а) ПСС^; б) АВС; b)ADD^. 57. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ плоскостью PQR, если Р е СС^, Q е DD^, R е A^Bj. Задачу решите: а) методом следов; б) методом внутреннего проектирования; в) комбинированным методом. 58. Точки Ру Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ следующим образом: точка Р лежит на грани точка Q — в грани AA^D^D, точка R — на ребре BBj. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQR: Дополнения I 171 а) методом внутреннего проектирования; б) комбинированным методом; в) методом следов. 59. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ плоскостью PQR, если точка Р лежит в грани точка Q — в грани ББ^ССр точка R — на ребре ВВ^. 60. Точки Р, Q VL R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ следующим образом: точка Р лежит на диагонали B^D^, точка Q — на ребре АВ, точка R — на ребре СС^. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQR, если отношения В^Р : B^D^, AQ : АВ и CR : СС^ имеют следующие значения: а) 1 : 3, 1 : 3 и 2 : 3; б) 2 : 3, 1 : 2 и 2 : 3; в) 1 : 4, 1 : 2 и 3 : 4; г) 1 : 4, 1 : 3 и 1 : 2; д) 1 : 2, 1 : 2 и 1 : 2; е) 1 : 3, 1 : 4 и 3 : 2. 61. Точки Р, Q и R взяты соответственно на рёбрах В^С^, АА^ и AD параллелепипеда ABCDA^B^C^D^. Постройте следы секущей плоскости PQR на следующих плоскостях: &)АА^В; б) АА^В; в) ВВ^С; г) АВС; д) А^В^С^; е) CC^D^. 62. Точки Р, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ следующим образом: точка Р лежит в грани CCjDjZ), точка Q — в грани AA^D^D, точка R — на прямой ВВ^ (вне отрезка ВВ^). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью PQR: а) методом внутреннего проектирования; б) комбинированным методом; в) методом следов. 63. На рёбрах ВС и А^В^ параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ взяты соответственно точки Р и Q. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую CQ параллельно прямой АР: а) комбинированным методом; б) методом следов. 64. На рёбрах А^В^ и DD^ параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ взяты соответственно точки Р и а в гранях DD^C^C и AA^D^D — соответственно точки Q и Р. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости PQR. 65. На поверхности параллелепипеда ABCDA^ByC^D^ взяты точки Р, Q и Р следующим образом: точка Р лежит на диагонали CjZ), точка Q — на диагонали A^D, а точка Р — на прямой АВ. Постройте сечение параллелепипеда плоско- 172 I Дополнения стью PQR, если отношения DPiDC^y DQ : DA^ и ARiAB имеют соответственно следующие значения: а) 1 : 2, 1:2, 1 : 2; б) 1 : 2, 1 : 3, 1 : 3; в) 1 : 2, 1 : 3, 1 : 4; г) 1 : 3, 2 : 3, 2 : 3; д) 1 : 3, 1 : 2, 2 : 3; е) 1 : 3, 1 : 2, 2 : 1. 66. Точка Р взята на продолжении ребра параллелепипеда ABCDA^B^C^D^y а точки Q и R — соответственно на рёбрах С^В^ и ВС. Постройте линию пересечения плоскости PQR с плоскостью BC^Dy если отношения АР: А^Р, CyQ : D^Q и BR : CR принимают соответственно значения: а) 1:2, 2:3, 3:2; 6)2:3, 1:1, 2:3; в) 2: 5, 2:1, 1:1; г) 2 ; 1, 3 : 2, 1 : 3; д) 3 : 2, 1 : 2, 1 : 2; е) 5 : 1, 1 : 3, 1 : 4. 67. На рёбрах СС^ и А^В^ параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ взяты соответственно точки Р и Q — середины этих рёбер, а на рёбрах АР), ВВ^ и взяты соответственно точки М, Т и R. Постройте линию пересечения плоскостей PQD и MTRy если отношения AM : DM, A^Q : B^Q и C^R : D^R принимают соответственно следующие значения: а) 1:2, 1:1, 1:1; б) 1:1, 1:1, 2:1; в) 1 : 1, 1:2, 1:1; г) 1 : 3, 1:1, 1:2; д) 1 : 1, 1 : 3, 2 : 1; е) 2 : 1, 2 : 3, 1 : 1. 68. РАСВ — изображение правильного тетраэдра, точка К — середина ребра ВР. 1) Постройте: а) отрезки КМ и КНу перпендикулярные соответственно рёбрам РА и PC; М е РА, Н е PC; б) точку пересечения плоскости МКН с прямой РО, где О — центроид треугольника АВС. 2) Найдите площадь треугольника МКН. 69. Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D^ плоскостью, проходящей через середины рёбер АА^, ВС и СС^. Найдите длины сторон сечения, если длина ребра куба равна а. 70. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ длины рёбер АВу ВС и ВВ^ пропорциональны числам 3, 2, 1. Постройте точку пересечения: а) ребра АР с биссектрисой угла PPjAj; б) прямой CCj с биссектрисой угла ВВ^С^. Дополнения ш МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ И УГЛУБЛЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ Настоящий раздел задачника посвящён повторению планиметрии в задачах. Заметим, что не ставится цели рассматривать только сложные задачи. Напротив, предлагаются разные задачи: и простые, и средней, и повышенной трудности. Курс планиметрии полезно системно повторить путём решения задач из таких основополагающих её разделов, как «Треугольники», «Четырёхугольники», «Окружность», «Площади». Прежде чем приступить к решению задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идёт речь. Алгоритмов решения геометрических задач, как правило, нет. Удачный же выбор в каждом конкретном случае подходящей теоремы достигается путём решения достаточно большого количества задач. Поэтому можно пожелать: хотите научиться решать задачи — решайте их! Успешность решения геометрической задачи во многом зависит от знания теорем и умения их применять. Безусловно, все теоремы важны. Но из них выделяются «рабочие теоремы», которые наиболее активно используются при решении задач. Ниже приводятся наиболее полезные, на наш взгляд, «рабочие теоремы». 2.1. «Рабочие теоремы» планиметрии Теорема 1 (о замечательных точках и линиях в треуголъ нике)', а) три медианы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется центроидом треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 123); AM :MD = 2:1 => => AM : Ai) = 2 : 3, MD : AZ) = 1 : 3; 174 I Дополнения Рис. 123 Рис. 124 б) три высоты треугольника пересекаются в одной точке (эта точка называется ортоцентром треугольника) (рис. 124); в) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром окружности, вписанной в данный треугольник) (рис. 125); г) три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром окружности, описанной около данного треугольника) (рис. 126); д) ортоцентр Н треугольника, его центроид М и центр О описанной окружности лежат на одной прямой (она называется прямой Эйлера), причём ОМ : МН =1:2 (рис. 127). Не можем удержаться, чтобы не привести здесь формулировку не очень рабочей, но зато очень красивой теоремы: основания высот треугольника, середины его сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника с его вершинами, лежат на одной Дополнения 175 окружности (она называется окружностью Эйлера или окружностью девяти точек) (рис. 128); центр этой окружности совпадает с серединой отрезка, соединяющего ортоцентр и центр описанной окружности; радиус её равен половине радиуса описанной окружности. Теорема 2 {теорема Менелая; названа по имени древнегреческого учёного Менелая (/ в.), доказавшего её для сферического треугольника). Пусть А-^, В^и — три точки, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или на их продолжениях (рис. 129). Точки А^, В^и Cl тогда и только тогда лежат на одной прямой, если: \ACil |с7в| \BAi\ |CBi| \Ща\ = 1. Теорема 3 {теорема Чевы; названа по имени доказавшего её в 1678 г. итальянского учёного Джованни Чева (1648— 1734)). Пусть А^, В^иС^ — три точки, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или на их продолжениях (рис. 130 а, б). Для того чтобы прямые АА^, ВВ^ и СС^ пересекались в одной точке или были все параллельны, необходимо и достаточно, чтобы: \ACi\ IcTbI \ВЛА ICBj \AiC\ \BiA\ = 1. Рис. 130 176 I Дополнения Теорема 4. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам этого треугольника, заключающим данный угол: BD : DC = АВ : АС (рис. 131). Теорема 5. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника (рис. 132). Теорема 6. Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 133). Теорема 7 (о средней линии трапеции): а) средняя линия трапеции равна полусумме её оснований', б) средняя линия трапеции (и только она) делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции. Теорема 8 {признак прямоугольного треугольника). Если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. Теорема 9. В прямоугольном треугольнике: а) высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, является средней пропорциональной величиной между проекциями катетов на гипотенузу (рис. 134): = AD • BD; б) каждый катет является средней пропорциональной величиной между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу (рис. 134): АС^ = АВ • AD-, ВС^ = AB-BD. Дополнения 177 Теорема 10. Если R и г — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника, катеты которого равны аиЪ,а гипо- тенуза — с, то г =---, ic + г = —-— . Теорема 11. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Теорема 12 {теорема синусов). Во всяком треугольнике АВС со сторонами ВС — а, С А = Ь, АВ — с выполняется соотношение ———: = . ^ ^ ^ ^ = 2R, где R — радиус sin А sin В sin С t' у описанной окружности. Теорема 13 {теорема косинусов). Во всяком треугольнике АВС со сторонами ВС = а, СА = Ь, АВ = с выполняется соотношение — 2Ьс cos А. Теорема 14 {об измерении углов, связанных с окружностью): а) центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается (рис. 135); б) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рис. 135); в) угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями за вершину угла (рис. 136); г) угол с вершиной вне круга (рис. 137) измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами (предполагается, что каждая из сторон угла пересекается с данной окружностью); Рис. 136 178 I Дополнения д) угол между касательной и хордой (рис. 138) измеряется половиной дуги, заключённой между ними. Теорема 15 (о свойствах касательных, секущих и хорд окружности): а) радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 139); б) если из точки проведены две касательные к окружности, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними (рис. 140); в) если из точки А проведены к окружности касательная АВ и секущая АС, то АС • AD = АВ^ (рис. 141); г) если хорды АВ и CD пересекаются в точке М (рис. 142), то МА • МВ = МС • MD; д) если из точки М проведены к окружности две секущие МАВ и MCD (рис. 143), то МА • МВ = МС • MD. Теорема 16 {теорема Птолемея: названа по имени доказавшего её древнегреческого учёного Птолемея Клавдия (//в.)). Во всяком выпуклом четырёхугольнике, впи- Дополнения 179 В Рис. 144 Рис. 145 Рис. 146 санном в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон, т, е. имеет место равенство (рис. 144): AC-BD = АВ -CD + BC- AD. Теорема 17 {об окружности и четырёхугольнике): а) около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность (рис. 145) тогда и только тогда, когда сумма величин его противоположных углов равна 180°: ZA + ZC = ZB + ZD = 180°; б) в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность (рис. 146) тогда и только тогда, когда равны суммы длин его противоположных сторон: а + с = Ь + d; в) из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность; г) около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная; д) если для четырёх точек плоскости А, В, М и К выполняется одно из следующих двух условий: • точки М VI к расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом Z АМВ = Z АКВ; • точки М и к расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом Z АМВ + Z АКВ = 180°, то точки А, в, М и К лежат на одной окружности. (Эту формулировку мы взяли из замечательного учебника И. Ф. Шарыгина «Геометрия 7—9». М.: Дрофа, 2013.) 180 I Дополнения Теорема 18 (о площади треугольника): а) площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (рис. 147): S = ia/i; б) площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис. 148): S =^аЬ sin С; в) площадь треугольника равна половине произведения периметра треугольника на радиус вписанной в него окружности (рис. 149): S i (а + Ь + с) • г; г) площадь треугольника со сторонами а, Ь, с вычисляется по формуле {формула Герона): S= Jp{p - а){р - Ь){р - с), где р=--------; д) площадь треугольника со сторонами а, Ъ, с вычисляется по формуле аЪс 8 = 4R ’ где R — радиус описанного круга: е) отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия этих треугольников; Дополнения | 181 ж) отношение площадей двух треугольников, имеющих общее основание, равно отношению высот этих треугольников (рис. 150): АВС • ABD ~ • ^^5 з) отношение площадей двух треугольников, имеющих равные высоты, равно отношению длин оснований этих треугольников (рис. 151): ^L АЕС • ^L ВЕС ~ и) отношение площадей двух треугольников, имеющих равный угол, равно отношению произведений сторон, содержащих этот угол: 'АВС ABAC А,В,-А,С, (АА=АЛ,). лiBiCi Теорема 19 (о площади четырёхугольника): а) площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними (рис. 152): i тп sin q); б) площадь описанного четырёхугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанного круга (рис. 153): S = i (а + Ь + с + d) • г; 182 I Дополнения Рис. 154 в) площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту (произведению средней линии трапеции на высоту); г) площадь параллелограмма равна произведению длин двух его сторон на синус угла между HUMuipvic. 154): S = аЬ sin (р; д) площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. Теорема 20. Если точка М — середина отрезка АВ, О — произвольная точка (рис. 155, а), то справедливо векторное равенство ОМ =^{ОА -Н ОВ). Теорема 21. Если точка М — центроид треугольника АВС, О — произвольная точка (рис. 155, б), то справедливо векторное равенство ОМ = ^{ОА +ОВ + ОС). О б) о Дополнения 183 2.2.Задачи на построение при помощи циркуля и линейки 71. Постройте середину отрезка. 72. Постройте биссектрису угла. 73. Постройте прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. 74. Постройте прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. 75. Постройте треугольник по: а) стороне и проведённым к ней медиане и высоте; б) двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон; в) двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне; г) двум медианам и стороне (два случая); д) трём медианам; е) стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла; ж) стороне и двум высотам; з) трём точкам, являющимся серединами его сторон. 76. Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и катету; б) катету и высоте, опущенной на гипотенузу; в) высоте и биссектрисе, проведённым из вершины прямого угла; г) сумме катетов и гипотенузе; д) катету и сумме гипотенузы с другим катетом. 77. Используя подобие, постройте треугольник по: а) двум углам и биссектрисе третьего угла; б) двум углам и радиусу описанной окружности; в) двум углам и сумме высот. 78. Дан отрезок а. Постройте отрезки, длины которых выражены формулами: а) За; лч 2 б) в) а • л/З 184 I Дополнения 79. Даны два отрезка а и Ь {а > Ь). Постройте отрезки, длины которых выражены формулами: а) За + 56; б) + 46^ ; в) ; г) ; д) Ja • Ь ; е) л/о^-а^^ ; ж) — ; а \ 80. Постройте прямоугольник с данной диагональю, равновеликий данному квадрату. 81. Постройте трапецию по: а) четырём сторонам; б) двум основаниям и двум диагоналям. 82. Постройте центр окружности, описанной около данного треугольника. 83. Постройте центр окружности, вписанной в данный треугольник. 84. Постройте центры вневписанных окружностей для данного треугольника. 85. К данной окружности проведите касательную, проходящую через данную точку (все случаи). 86. К данным двум окружностям проведите все общие касательные. 87. В данный угол впишите окружность данного радиуса. 88. В данный угол впишите окружность, проходящую через данную точку, лежащую внутри угла. 89. Через данную точку, лежащую внутри данного угла, проведите отрезок с концами на сторонах этого угла и серединой в данной точке. 90. Через данную точку проведите прямую, делящую на две равные фигуры: а) данный круг; б) данный параллелограмм. Дополнения I 185 91. Постройте образ точки А при: а) центральной симметрии относительно данной точки В; б) осевой симметрии относительно данной прямой Ь; в) повороте на угол 45° вокруг данной точки О; г) параллельном переносе на вектор МР, заданный точками М и Р; д) гомотетии с данным центром О и коэффициентом 3; е) гомотетии с данным центром О и коэффициентом -0,5. 92. Постройте образ прямой а при: а) центральной симметрии относительно данной точки Б; б) осевой симметрии относительно данной прямой Ь; в) повороте на угол 60° вокруг данной точки О; ---> г) параллельном переносе на вектор МР, заданный точками М и Р; 2 д) гомотетии с данным центром О и коэффициентом - . 93. Постройте образ данной окружности при: а) центральной симметрии относительно данной точки В; б) осевой симметрии относительно данной прямой Ь; в) повороте на угол 30° вокруг данной точки О; ---> г) параллельном переносе на вектор МР, заданный точками М иР; 3 д) гомотетии с данным центром О и коэффициентом - . ЗАДАЧА 94. Даны две прямые р и q и не принадлежащая им точка А. Построить правильный треугольник с вершиной А, чтобы две оставшиеся его вершины принадлежали по одной данным прямым. Решение. 1. Анализ. Пусть А АВС — искомый (рис. 156), т. е. А АВС — правильный н В е р, С е q. Треугольник АВС будет построен, если построены его вершины В е р, С е q (третья вершина треугольника находится в данной точке А). Но так как треугольник АВС равносторонний, то АВ = АС и Z САВ = 60°. Это означает, что при повороте вокруг точки А на угол 60° точка С отображается на точку В (R^° (С) = Б), а при повороте вокруг точки А 186 I Дополнения на угол -60° точка В отображается на точку С = С). Поэтому для построения треугольника АВС достаточно построить одну из вершин: В или С. Итак, треугольник АВС будет построен, если построим, например, точку В. Так как вершина В треугольника должна принадлежать прямой р, а вершина С — прямой q и В = R^° (С), то точка В является точкой пересечения прямых png' = R^° (q). Поэтому для построения точки В достаточно построить прямую q' — образ прямой q при повороте R^°. Схематически рассуждения анализа можно изобразить так: Л АВС <— Б и С <— Б или С<-В^рпд'<-д' = R^° (д). Вер, Сед, Rf°{C) = B, "1^ В--png'. Rf\q) = q' B=Rf\C), С= Rj^^^°{B) 2. Построение. Строим: 1)^' = 2) В — р п д'', Ъ) С = — R^^^° (Б); 4) Л АВС — искомый. 3. Доказательство. В=рпд'=>Вед',В ер. Докажем, что точка С = R^^^° (Б) принадлежит прямой д. Дополнения i 187 Поворот R^° отображает прямую q на прямую q' = R^° {q) взаимно однозначно (биективно). Следовательно, на прямой q найдётся единственная (!) точка, которая отображается на точку В Е q' при повороте . Этой точкой является точка С = R^^^° (В). А так как В е q' ,тоС g q = R^°(q'). 4. Исследование. Анализируя каждый шаг построения, замечаем, что внимания заслуживает вопрос о суш;ествовании точки В пересечения прямых р vi. q': В == р Г\ q'. С одной стороны, угол между прямой и её образом при повороте равен углу поворота, т. е. {q\ q') = 60°. С другой стороны, точка В пересечения прямых р vl q' существует, если q' )j[ pvi. q' ^ р. Это возможно, когда (р; q) ^ 60°. Кроме того, можно построить прямую q[ — образ прямой q при повороте Rj^^° (рис. 156), которая пересекает прямую р в некоторой точке В^ = р Г\ q[. Тогда точки А, и Cj = = R^° (5j) являются вершинами другого треугольника-решения. Таким образом, если (р; q) ^ 60°, то задача имеет два решения. Если же (р; q) = 60°, то: а) задача имеет одно решение, когда расстояния от точки А до прямых р и ^ различны; б) задача имеет одно решение, когда точка А лежит на биссектрисе острого угла между прямыми р и o', и два решения, когда точка А лежит на биссектрисе тупого угла между pnq. 95. Постройте отрезок, равный и параллельный данному отрезку АВу чтобы его концы принадлежали данным прямой и окружности. 96. Даны острый угол и точка М внутри его. Постройте на одной стороне угла такую точку А, что расстояние от точки А до другой стороны угла равно расстоянию AM. 188 I Дополнения 97. Постройте квадрат, чтобы три его вершины по одной принадлежали трём данным прямым. 98. Даны две прямые и окружность. Постройте окружность, касающуюся данных прямых и окружности. 99. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в данной точке А и данной прямой (окружность и прямая не пересекаются). 100. Постройте треугольник, если даны его сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон. 101. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне, а две другие — по одной на каждой из остальных сторон. 102. В данную окружность впишите треугольник, подобный данному. 103. В одной полуплоскости относительно прямой с лежат точки А и Б на разных расстояниях от с. Постройте на прямой с такую точку М, чтобы: а) длина ломаной AM В {AM + МВ) была наименьшей; б) точка М лежала между проекциями А^иВ^ точек Аи В на прямую с и угол АМА-^ был равен углу ВМВ^; в) точка М лежала между проекциями А^и В^ точек Ап В на прямую с и угол АМА^ был вдвое больше угла ВМВ^. 104. Внутри данного острого угла дана произвольная точка М. Постройте на сторонах этого угла такие точки А и В, чтобы периметр треугольника МАБ был наименьшим. 105. На числовой прямой отмечены точки А и В, координаты которых соответственно равны 1 и V2 . Постройте на этой прямой точку с координатой 0. 2.3. Тематическая подборка задач на вычисление и доказательство треугольник ЗАДАЧА 106. Две стороны треугольника равны соответственно 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника. Дополнения | 189 Решение. Пусть АС = 6, ВС = 8 и медианы АЕ и BD пересекаются под прямым углом в точке М (рис. 157). Найдём длину стороны АВ. Так как М — точка пересечения медиан АЕ и BD треугольника АВС, то ВМ : MD = AM : ME = 2:1. Поэтому, если ME = а, MD = Ь, то AM = 2а, ВМ = 2Ь. По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках AMD и ВМЕ имеем: АМ^ + DM^ = AD'^, ЕМ^ + ВМ^ = ВЕ^, Учитывая, что AD = ^АС = 3, BE = \вС = 4, получаем 4а^ -Ь = 9, q2 4^2 = Сложив эти равенства, находим -Ь &^ = 5 = DE^‘, откуда DE = л/5 . Так как DE — средняя линия треугольника АВС, то АВ = 2ВЕ = 2Л. Ответ: 2 Л • 107. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до его сторон АС и ВС соответственно равны 2 см и 4 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ = 10 см, ВС = 17 см, АС = 21 см. ЗАДАЧА 108. В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) на стороне ВС взята точка М так, что ВМ : МС = 1 : 4. В каком отношении прямая AM делит медиану BE треугольника АВС, считая от вершины Б? Решение. Проведём ЕЕ || AM (рис. 158), F g МС. Тогда ЕЕ — средняя линия треугольника АМС => Е — середина МС. Поэтому ВМ : МС = 1:4, ME : МС =1:2, откуда ВМ : ME = В В Рис. 158 190 I Дополнения = 1:2, значит, ВМ : BF =1:3. По теореме Фалеса ВК : BE = = ВМ : BF =1:3, следовательно, ВК : КЕ = 1:2. Ответ; 1:2. 109. Найдите третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и Ь и известно, что медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. 110. В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ = 8, ВС = 6. Высоты AL и С К пересекаются в точке Р. Через точки А и Р проведены прямые, перпендикулярные прямой KL и пересекающие прямую ВС соответственно в точках Н и Т. Найдите длину отрезка ТН. 111. В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВМ и АЕу пересекающиеся в точке О. При этом АВ = БМ, ВО = 2 • ОМ и периметр треугольника АВМ равен 14. Найдите АВ. 112. Найдите отношение суммы квадратов длин сторон треугольника к сумме квадратов длин его медиан. Прямоугольный треугольник 113. Медианы, проведённые из вершин острых углов прямоугольного треугольника, равны 2 и 3. Найдите площадь этого треугольника. 114. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведены медиана СМ и высота СН. Площадь треугольника АВС равна 10 см^, а треугольника СНМ — 3 см^. Найдите длину гипотенузы. 115. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан этого треугольника. 116. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а острый угол равен р. Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника. Теорема Менелая 117. В треугольнике АВС отрезки AD и БМ, проведённые из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и АС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР : PD = 3:2 и ВР : РМ = 4 : 5. В каком отношении точки D и М делят стороны треугольника, считая от С? _______________________________________Дополнения | 191 118. В треугольнике АВС точка D делит сторону ВС в отношении BD : DC = 3:4. Точка М делит сторону АС в отношении AM : МС = 2:5. Отрезки AD и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника BKD равна 45. 119. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК : КВ = 1 : 2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР : РВ = 2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. 120. Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК : КВ = 2:1, а сторону ВС — в отношении ВР : PC = 3:1. Медиана ВВ^ пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырёхугольника В^МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. 121. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР < АТ. Прямые ВР и ВТ делят медиану AM на три равные части. Найдите АС, если РТ = 3. 122. В треугольнике АВС площади 18 проведены отрезки ВМ и АК, причём точки М и К делят соответственно стороны АС и ВС в отношении AM : МС = 3 : 4 и ВК : КС = 2:7. Найдите площадь четырёхугольника СМРК, где Р — точка пересечения отрезков ВМ и АК. 123. На сторонах треугольника АВС взяты точки М, К и Р такие, что AM : МВ = ВК : КС = СР : РА = 2:1. Отрезки СМ и ВР пересекаются в точке Ар АК и СМ — в точке Бр АК и ВР — в точке Ср Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника А^Б^С^ равна 1. Треугольник и окружность 124. В треугольнике АБС известны стороны: ВС = а, С А = Ь, АВ = с. Найдите отрезки сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью. 125. Докажите, что в треугольнике со сторонами а, Ь и с вы- Ьс сота Лд к стороне а вычисляется по формуле радиус описанной окружности. 2R , где R — 192 I Дополнения 126. В окружность радиуса 32,5 см вписан треугольник, две стороны которого равны 25 см и 39 см. Найдите третью сторону треугольника. 127. В треугольнике АВС площади S вписана окружность радиуса г, которая касается сторон АС и ВС соответственно в точках DuE таких, что AD : DC = 2 : 3 и BE : ЕС = 5:6. Найдите длину стороны АС, 128. На основании АС равнобедренного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону АВ в точке D, а ВС — в точке Е. Определите сторону АВу если AD = 30 см, а хорда DE равна 14 см. 129. Пусть основание равнобедренного треугольника равно а, боковая сторона равна 6, высота, опущенная на основание, равна h. Выразите радиус описанной около этого треугольника окружности через любые две из трёх величин: а^Ьик. 130. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 15, вписана окружность радиуса 1. Найдите стороны этого треугольника. 131. На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка Z), при этом AD = а, DC = Ь. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCDy касаются прямой BD в точках Е и Ну а прямой АС — соответственно в точках К и М. Найдите длину отрезка ЕН. 132. Около равнобедренного треугольника АВС {АВ = ВС) с основанием АС = б и боковой стороной АВ = 5 описана окружность. Найдите радиус окружности и расстояния от вершин А и Б до касательной, проведённой через точку С. В ЗАДАЧА 133. В равнобедренный треугольник АВС {АВ = ВС) вписана окружность, которая касается сторон АС и ВС соответственно в точках D п Е; проведены отрезки DF и ЕКу параллельные стороне АВ {F е ВСу К е АС). Найти длину стороны ВСу если EF = а, KD = Ь. Решение. Пусть CD = х. Тогда СК = CD -- KD = X - by СЕ = CD = X (как отрезки касательных), CF = СЕ + EF = х + а (рис. 159). Дополнения 193 Из подобия треугольников СКЕ и CDF следует СК : CD = = СЕ : CF или {х - Ь): х = х : (х + а), откуда находим: X = . Тогда CF = + а . А так как DF || АВ и а - Ь' а - Ь а - Ь точка D — середина АС, то DF — средняя линия треугольни- 2а2 ка АВС. Значит, F — середина ВС и ВС = 2CF а - Ь Ответ: 2д2 а - Ь 134. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность, касающаяся боковых сторон треугольника в точках К и Е. Найдите периметр треугольника АВС, если хорда КЕ равна 12 см, а отрезок касательной, заключённый между боковыми сторонами и параллельный основанию, равен 10 см. 135. В равнобедренный треугольник АБС (АВ = ВС) вписана окружность и к окружности проведена касательная, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Найдите длину отрезка DE и радиус окружности, описанной около четырёхугольника ADEC, если AD = 15 см, BD = 30 см. 136. Докажите, что в непрямоугольном треугольнике АВС расстояние от ортоцентра до вершины В вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны АС. 137. AD и СЕ — высоты остроугольного треугольника АВС, периметр которого равен 15 см. Периметр треугольника BDE равен 9 см, а радиус окружности, описанной около него, равен 1,8 см. Найдите длину АС. 138. Из вершины В треугольника АВС проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, пересекающие сторону АС и её продолжение в точках Б и Б соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BDE, если известно, что АС = а и АВ : ВС ==2:3. 139. Боковая сторона и основание равнобедренного треугольника равны соответственно 50 см и 60 см. Найдите расстояние между точкой пересечения высот треугольника и центром вписанной в него окружности. 194 I Дополнения 140. BD и AE — высоты равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС). Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и АЕС, равны соответственно 5 см и 6 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. 141. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 см и 50 см. Найдите радиус окружности, которая касается меньшего катета и проходит через середины двух других сторон. 142. Окружность радиуса R проходит через вершину А равнобедренного треугольника АВС, касается основания ВС в точке В и пересекает АС в точке К. Найдите длину боковой стороны, если КС = SAK. 143. Сторона треугольника равна 48 см, а высота, проведённая к этой стороне, равна 8,5 см. Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник, до вершины, противолежащей данной стороне, если радиус вписанной окружности равен 4 см. 144. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСК и ВСК, равны соответственно и Tg. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. 145. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, АСК и ВСК, равны соответственно г, и Tg. Найдите длину высоты СК. 146. В треугольнике АВС сторона АВ = 2, ВС = 3, С А = 4. Окружность проходит через вершины А и С, середину стороны АВ и пересекает сторону ВС. Найдите радиус этой окружности. 147. В треугольник со сторонами 3; 5 и 6 вписана окружность. Найдите отношение площади данного треугольника к площади треугольника с вершинами в точках касания. 148. В треугольник с углами 42° и 84° вписана окружность. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания. 149. В треугольник вписана окружность. Найдите углы этого треугольника, если углы треугольника с вершинами в точках касания 68° и 50°. Дополнения 195 150. В остроугольном треугольнике АВС (АВ > ВС) проведены высоты АТ и СМ; BN — диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, Известно, что величина острого угла между высотами АТ и СМ равна 45°, АС = 4. Найдите площадь четырёхугольника NMBT. 151. В треугольнике АВС угол ВАС равен 75°, АВ = л/З , АС = л/2 . На стороне ВС выбрана точка М так, что угол ВАМ равен 30°. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника, в точке N. Найдите длину 152. Продолжение медианы треугольника АВС, проведённой из вершины А, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке D. Найдите длину отрезка ВС, если длина каждой из хорд АС и DC равна 1. 153. Через точку D основания АВ равнобедренного треугольника АВС проведена прямая CD, пересекающая описанную около этого треугольника окружность в точке Е. Найдите длину отрезка АС, если СЕ -= 6 и DE = DC. 154. В треугольнике АБС сторона АБ = 6, ВС = 16. Центр окружности, проведённой через вершину Б и середины сторон АВ и АС, лежит на биссектрисе угла С. Найдите АС. 155. В остроугольном треугольнике АБС проведены высоты AAj, ББ^ и CCj. Найдите величину тупого угла, образованного при пересечении ВВ^ с биссектрисой А^Р треугольника А^Б^С^, если величина угла АСБ равна 23°. 156. В остроугольном треугольнике АБС проведены высоты AAj, ББ^ и CCj, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник А^Б^С^, если расстояние от точки К до прямой AjCj равно 5. Площадь треугольника 157. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13 см, АС -- 15 см и длина медианы AM равна 7 см. 158. В треугольнике АБС отношения сторон АВ : ВС : СА ^ = 5:7:9; ВР и СМ — биссектрисы, К — середина ВС. Найдите отношение площадей треугольников АБС и РМК. 196 I Дополнения 159. Площадь прямоугольного треугольника равна 60 дм^, а периметр равен 40 дм. Найдите катеты треугольника. 160. Точки К и М расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВН остроугольного треугольника АВС так, что треугольник АКМ является равносторонним. Найдите площадь треугольника АКМ, если известно, что АН = 3, НС =Ц-,СК:КВ = 1:10. 161. В треугольнике АВС отношения сторон АВ : ВС : С А = = 2:3:4; АК и ВР — биссектрисы; М — середина АВ. Найдите отношение площадей треугольников АВС и КМР. 162. Найдите углы треугольника, если известно, что площадь S этого треугольника выражается через длины аиЬ его сторон формулой = i (а^ -Ь Ь^). 163. Внутри прямоугольного треугольника АВС (угол В — прямой) взята точка D так, что площади треугольников ABD и ВВС соответственно в 3 и 4 раза меньше площади треугольника АВС. Найдите длину отрезка BD, если AD = а, DC = с. 164. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки К Vi Р так, что АК : КВ = 1:2, СР : РВ = = 2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВЕС равна 4. 165. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС лежит точка N. На прямой АВ выбрана точка Р так, что В лежит между N и Р, а угол NCP — прямой. Найдите площадь треугольника NBC, если площади треугольников АВС и NCP равны соответственно а и Ь, а угол АСР равен 150°. 166. В треугольнике АВС сторона АС = 5, АВ -f ВС = 7, угол ВАС равен arccos 0,8. Найдите площадь треугольника АВС. 167. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 5; 4 и Jvj. 168. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС с острым углом при вершине В взяты точки Р и М, причём Р — середина сто- Дополнения I 197 роны АВ. Известно, что АВ = 4, ВС = 5, ВМ = 3. Найдите 7/У15 длину отрезка РМ, если площадь треугольника АВС на — больше площади треугольника РВМ. В Подобие треугольников ЗАДАЧА 169. В треугольник АБС вписан параллелограмм ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е лежит на стороне ВС. Площадь параллелограмма равна 36 см^, а треугольника BDE — 24 см^. Найти площадь треугольника АВС. Решение. Обозначим площади треугольников АВС, DBE, DFE соответственно S, Sj, Sg, а их высоты — ВН = Л, ВК = /г^, FL = /ig (рис. 160). Из подобия треугольников АВС и DBE (DE Ц АС) следует, что отношение площадей этих треугольников равно квадра- ту отношения их высот: — =1—1 • Найдем отношение — . -Si К Треугольники DBE и DFE имеют общее основание DE, поэтому отношение : S2 площадей этих треугольников равно отношению /ij : /ig их высот; : 82 = : ^2. Учитывая, что Sj = 24, 82 = i = 18, получа- 3 ем 24 : 18 = /ij : значит, /^2 4 ^i* Поэтому h - BH = BK + 3 7 h 7 + KH = h. + = h. + ^ Л. = -7 Л,. Следовательно, — = -r. Tor- ^^^4^4^ /Zj 4 да S : Sj = 49 : 16, откуда ^ ^ '^i"" yI ’ 73,5 (cm^). Ответ: 73,5 см^. 170. Пусть AAj, ВВ^ — высоты треугольника АБС. Докажите, что треугольник А^Б^С подобен треугольнику АБС. Чему равен коэффициент подобия? 198 I Дополнения 171. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AM и ВК. Найдите площадь треугольника СМК, если площадь треугольника АВС равна S, а величина угла АСВ — р. 172. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка Т и через неё проведены прямые ТМ и ТР, параллельные соответственно прямым АС и АВ (М G АВ\ Р g АС). Площадь треугольника ВМТ равна Sj, а площадь треугольника ТРС — Sg. Найдите: а) площадь треугольника АВС; б) площадь параллелограмма АМТР. 173. Внутри треугольника АВС взята точка М, через которую проведены прямые, параллельные всем его сторонам. Площади трёх образовавшихся треугольников с общей вершиной М равны Sp Sg и Sg. Найдите площадь треугольника АВС. Параллелограмм 174. Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 50 см и 78 см, а площадь — 1680 см^. 175. Из вершины тупого угла параллелограмма опущены высоты на его стороны, расстояние между основаниями которых равно 52 см. Найдите стороны параллелограмма, если его высоты равны 56 см и 60 см. 176. В параллелограмме со сторонами а иЬ (а> Ь) проведены биссектрисы внутренних углов. Найдите длины диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки пересечения биссектрис. 177. Из вершины В параллелограмма ABCD проведены его высоты ВК и ВН. Известны длины отрезков: КН = а, BD = Ь. Найдите расстояние от вершины В до точки пересечения высот треугольника ВКН. Ромб, прямоугольник, квадрат Л7Ъ. ABCD — прямоугольник, в котором АВ = 1, ВС = 2. На сторонах ВС и AD взяты точки М и Р так, что четырёхугольник MBPD — ромб. Найдите сторону ромба. Дополнения 199 179. Стороны прямоугольника ABCD равны соответственно АВ =11 см, ВС = 7 см. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке Му а биссектрисы углов С uD — в точке К. Найдите МК. 180. Высота ВК ромба ABCD, опущенная на сторону AD, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите длину МС, если известно, что ВК = 4; АК : KD =1:2. 181. Окружность, центр которой лежит вне квадрата ABCD, проходит через точки В и С. Найдите угол между касательными к окружности, проведёнными из точки В, если отношение длины стороны квадрата к диаметру окружности равно 0,6. 182. Точки Му Ку Ру Q — середины сторон соответственно АВу ВСу CD и DA ромба ABCD. Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением четырёхугольников AKCQ и BPDMy если площадь ромба равна 100 см^. 183. Около круга радиуса R описаны квадрат и равносторонний треугольник, причём одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника. Найдите площадь общей части треугольника и квадрата. 184. В ромбе ABCD со стороной 6 и углом BADy равным 60°, на стороне ВС взята точка Е так, что СЕ = 2. Найдите расстояние от точки Е до точки пересечения диагоналей ромба. Трапеция 185. В равнобедренной трапеции большее основание равно а, боковая сторона равна 4, угол при основании 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции. 186. Через вершины В и С тупых углов равнобедренной трапеции ABCD проведены отрезки СЕ Ц АВ и BF Ц CD (Е е BZ), F 6 АС). Периметры ABCD и BCEF равны соответственно 60 см и 40 см. Найдите длину стороны АВ, если EF = 8 см. 187. Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 12 и 9. Найдите высоту трапеции и отрезок, соединяющий середины оснований. 188. Площадь равнобедренной трапеции равна 100, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите высоту этой трапеции. 200 I Дополнения 189. В прямоугольную трапецию с основаниями а и Ь вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции. 190. В равнобедренной трапеции ABCD угол А равен 60°. Прямоугольник MCNK расположен так, что точка М лежит на стороне АВ, точка N — на стороне CD, точка К — на стороне AD, при этом АК = ВС = 1. Найдите стороны прямоугольника MCNK. 191. Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 9 дм, площадь равна 54 дм^ и диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите основания трапеции. 192. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите все стороны трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см. 193. В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15 см, средняя линия 16 см и большее основание является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции. 194. Основания равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны 1 и 3. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции. 195. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 3 см и 9 см. Найдите стороны трапеции. 196. Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции с высотой h, если боковая сторона трапеции «видна» из центра описанной около неё окружности под углом 120°. ЗАДАЧА 197. Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD = 3PD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найти площадь треугольника APQ, если AD = 2ВС. Решение. Рассмотрим несколько способов решения задачи. Первый способ {геометрический метод). Достроим трапецию ABCD до параллелограмма ABMD (рис. 161). Тогда Дополнения I 201 Рис. 161 AM (по- ВМ = AD = 2ВС => С — середина ВМ. Значит, СР чему?). Пусть L = AM п BD (в параллелограмме ABMD). Из этого следует, что L — середина BD. Тогда DC и ML — медианы треугольника BMD; точка пересечения этих медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Но отрезок CD в отношении 2 : 1 делит точка R {2CD = 3RD => => DR : CD = 2 : 3 => DR : RC = 2:1). Это означает, что точка R принадлежит диагонали AM параллелограмма ABMD (почему?), т. е. точки L и М лежат на прямой AR. Но точка Q = AR п PD также лежит на прямой Ai?, т. е. точки Q, L, R лежат на диагонали AM. Далее, CR:CD = 1:3, СР || AM ^ CR: CD PQ : PD = = 1 : 3 ^aapd Кроме того, треугольники ABD и BCD имеют общую высоту (равную высоте трапеции) и AD = 2ВС, поэтому = = а так как S^^bd + ^i^bcd “ 30, то SS^scd = 30, откуда = 10, = 20. Поскольку точка Р — середина АВ, то 10. Учитывая, что = SS^^pQ, 10 , . ^ 10 — (кв. ед.). Ответ: — кв. ед. О О получаем S /\APQ Второй способ {геометрический метод). Пусть PN — средняя линия трапеции ABCD (рис. 162). Тогда из условия AD = 2ВС получаем ВС :PN = 2:3. (1) Учитывая, что N — середина стороны CD, и принимая во внимание условие 2CD = 3RD, получаем CR:ND = 2:3. (2) 202 I Дополнения ^ABR' Из (1) и (2) следует, что Л BCR Л PND (Z С = Z PND, так как ВС || PN). Отсюда BR || PD и PQ — средняя линия (почему?) треугольника ABR. Значит, Q — середина отрезка AR. Если М — середина BR, то отрезки PQ, QM и МР — средние линии треугольника ABR. Это означает, что ^AAQP^ 4'^ДАВД- Найдём S Из рисунка 156 видно, что “ ^abcr ~ ^AADR’ Так как CR: CD =1:3, RD : CD = 2 : 3, то высоты и /ig 2 треугольников ADR и BCR соответственно равны: = -Л, /^2 = \ hy где h — высота данной трапеции. Тогда О 5л .по= \AD-hi = \ • lAD-h^\AD-h=lBC-h, ^ ^ О о о ADR 2 S 2 3 ВС + 2ВС ^ABCD •h=^BC-h. Таким образом, = ^BC*h - ^BC-h - ^BC*h = 2 11 = - ВС • h. Поэтому S^^pQ = - = - ВС • h. Следователь- О ^ 4 О но, ^abcd'^aapq = is 2““ ■ I 6 30 10 . Ч ^___10 'aapq ___,£> ^ T ^ T Ответ: — кв. ед. Третий способ {комбинированный метод). Пусть E = ABnCD (рис. 163). Имеем БС = i AD, ВС || AD ^ ВС — средняя линия Л ADE => (почему?). Если 5дзс£ = то, учитывая, что = ^abcd + ^авеса получаем 4а = а + 30, откуда а == 10. Таким образом, ^АВЕС = 10’ значит, = 40. Обозначим: 'Д ABQ = Ху S ADQR -у. S А ADQ = 2. Дополнения | 203 Тогда АЕ = 2АВ = 2 • 2АР = = ААР ^ РЕ = ЗАР => S, S, Е *AQPE ’AQPE = ЗХу (1) ED = 2CD = 2^^RD = 3DR ER = 2RD ^AQER т. е. 21/. Кроме того, ЕР = ЗАР ER = 2DR (2) *ADEP = 3S Д DAP* ^AAER ^^AADR* ^ A ADE ^ A AQE ^ A DQE ^A ADQ * (3) (4) (5) Из рисунка 163 и соотношений (3)—(5) с учётом (1), (2) получаем \3х + 3у = 3{х + z), f \Ах + 2у^ 2(у + 2), =>< 2 = 2л:, 1 4л: + 3^ + Z = 40 1 4л: + 6л: + 2л: = 40, = — Итак S 3 • ^Атак, g (кв. ед.). кв. ед. ^ 10 Ответ: — О Анализ приведённых способов решения этой задачи свидетельствует о многообразии путей к творческому поиску решения той или иной задачи. Вот еш;ё подтверждение высказанного ранее: хотите научиться решать задачи — решайте их1 198. Около окружности описана прямоугольная трапеция, боковые стороны которой равны 20 см и 25 см. Найдите пло-ш;адь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами трапеции. 199. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно 2 Vs . Найдите углы трапеции. 204 I Дополнения ЗАДАЧА 200. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Площ;адь описанного круга в 12 раз больше площ;ади вписанного круга. Найти углы трапеции. Решение. Обозначим: AD = а, ВС = Ь, АВ = CD = с, СЕ = h (высота трапеции) (рис. 164); R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности. Тогда *^опис. кр » *^впис. кр ’ S = 12S *^ОПИС. кр ^*^впис. кр 7гД2 - 127гг2 ^ д = 2гУз . (1) Далее выразим дважды длину диагонали АС через г и а, где а = Z ADC. Имеем, с одной стороны, в AACD АС = 2R. Учитывая sin а (1), получаем АС = 2R sin а = 4г Уз sin а . (*) С другой стороны, в А АСЕ {ZAEC = 90°) по теореме Пифагора: АС^ = АЕ^ + ЕС^. (**) Выразим АЕ и ЕС через г и а. Трапеция ABCD описана около окружности радиуса г, по- а + Ь этому высота ЕС = 2г и а + Ь = 2с, откуда с = . Кроме то- го, трапеция ABCD — равнобедренная, значит, АЕ = ВС AD а + Ь гг л л тр =-------- = —-— . Таким образом, АЕ = с. В прямоугольном треугольнике DEC находим: с = CD = СЕ 2г Следовательно, АЕ = с = . Подставив в sin а sin а sin а (**) вместо и ЕС их найденные значения, получаем АЕ- 2rjl + sin 2 а sin а Дополнения I 205 тж /-J.4 А /о • 2rjl + sin^ а Из (*) и (**«) имеем 4г v3 sin а = —-—:--------------------------- или sin а 12 sin*^ а - sin^ а - 1 = О, sin а О. Сделав подстановку sin^ о. — t {t > О), приходим к уравнению 12^^ - ^ - 1 = О, корнями которого являются = ~т (не удовлетворяет условию ^ > 0) и ^ J • Тогда sin^ а = i <=i> О О sin а = —— (не удовлетворяет условию, так как а < 90°), л/З sin а = л/З Итак, sin а = -^, откуда а = arcsin ^ . Таким образом, Л л Z А = Z D = arcsin -4= , следовательно, Л ZB = ZC = n- arcsin . Л Ответ: arcsin -ir ; л - arcsin . Л л Попытаемся решить эту задачу другим способом, для чего выразим дважды площадь трапеции через г и а. тт о AD-\-ВС а + Ь , Имеем, =-------------СЕ = • h. С одной стороны, в трапеции ABCD, описанной около ока-1- £> ружности радиуса г, имеют место соотношения —-— = с. h = 2г, а в прямоугольном AECD сторона с = Л2 h с, _ а -Ь 6 , , *^трап 2 ^ С * П Sin а 4 д-2 sin а sin а . Поэтому (2) С другой стороны. а + Ь = АЕ (трапеция ABCD — равно- бедренная). Найдём АЕ\ Л АСЕ (Z Е = 90°): по теореме Пифагора АЕ = JaC^ - СЕ'^ . 206 I Дополнения Л ACD: АС = 2R sin а. Учитывая, что R = 2rjs , получаем АЕ = V4/2^sin2 а - 2г^ = 2rVl2sin2 а - 1 . Тогда = АЕ • СЕ = 2rVl2sin2 а - 1 • 2г = 4rVl2sin2 а - 1 . Из (2) и (3) получаем 4гл/128т^ а — 1 = (3) или sin а 12 sin^ а - 1 = <=> 12 sin^ а - sin^ а - 1 = О, Решением 1 этого sin а = — , откуда а о уравнения 1 arcsin 7з (см. выше) является . Таким образом, Z А = Z D ^ = arcsin ZB = ZC = n- arcsin Дг . 7з 7з Ответ: arcsin Д= , я - arcsin Д= . 7з 7з 201. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно Л — . Найдите углы трапеции. Л 202. Длина одного из оснований трапеции равна 7, а длина отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на две равновеликие части, равна 5. Найдите длину второго основания трапеции. 203. Длина одного из оснований трапеции равна 5, а длина отрезка, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции, равна 3,75. Найдите длину второго основания трапеции. 204. Длина одного из оснований трапеции равна 8, а длина отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на две подобные друг другу трапеции, равна 4. Найдите длину второго основания трапеции. 205. Произведение длин оснований прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равно 37. Найдите площадь этой трапеции. Дополнения I 207 206. В трапеции ABCD {ВС || AD) диагонали пересекаются в точке М; ВС = Ь, AD = а. Найдите отношение площадей треугольника АБМ и трапеции. 207. Основания трапеции равны 7 и 21, а боковые стороны равны 13 и 15. Найдите площадь трапеции. Четырёхугольники 208. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD, равна 3. Прямые ВС viAD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей АС и BD. 209. В выпуклом четырёхугольнике ABCD длины диагоналей равны 2 и 3. Найдите площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. 210. Площадь выпуклого четырёхугольника ABCD равна 4 см^. Его стороны продолжены: АВ за точку В так, что АВ = = 2ВК; ВС за точку С так, что ВС = 2CL; CD за точку D так, что CD = 2DM; DA за точку А так, что DA = 2АР. Найдите площадь четырёхугольника KLMP. 211. Диагонали BD и АС выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке О, ОА = |, О ОС = 3. Точка М лежит на стороне АВ, причём AM : МВ = = 1:3. Треугольник DMC — равносторонний. Найдите его площадь. 212. Площадь треугольника АВС равна Р. Прямая DE, параллельная основанию АС, отсекает от треугольника АВС треугольник BDE, площадь которого равна Q. На стороне АС взята произвольная точка М и соединена отрезками прямых с точками D иЕ. Чему равна площадь четырёхугольника BDME? ЗАДАЧА 213. В выпуклом четырёхугольнике ABCD через середину диагонали BD проведена прямая, параллельная диагонали АС. Эта прямая пересекает сторону AD в точке Е. Доказать, что прямая СЕ разбивает четырёхугольник ABCD на две равновеликие части. 208 I Дополнения В Решение. Пусть К — середина диагонали BD, Р — точка пересечения данной прямой со стороной CD четырёхугольника ABCD (рис. 165). Тогда ^ ~ любая точка прямой РЕ (почему?). Значит, ^АВСЕ "" ^АВСМ' Возьмём в качестве М точку К — середину диагонали BD. Тогда = S АВСК = ^ВК •АС* sin ау где а — угол между диагоналями данного четырёхугольника. Так как В К = то S АВСК BD АС • sin aj. Значит, S^^ce = 3 ^abcd^ "^то и требовалось доказать. 214. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Н. Известно, что AD = 2 л/5 , а треугольники АВН и CDH равновелики. Найдите длину стороны ВС, если ^ABCD ^ ^ААВН ^ ^ACDH "" 215. Докажите, что площадь четырёхугольника, имеющего равные диагонали, равна произведению отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. 216. Два равнобедренных прямоугольных треугольника АВМ и CDM с гипотенузами АВ и CD расположены так, что ABCD — четырёхугольник. Одна диагональ этого четырёхугольника равна а. Найдите его площадь. 217. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся как 1:3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCZ), если большая равна лЯз? Четырёхугольник и окружность 218. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, у которого АВ = 19 см, ВС = 7 см, CD ^15 см, AD — 21 см. Стороны АВ и CD продолжены до взаимного пересечения в точке М. Найдите длины отрезков МВ и МС. Дополнения I 209 219. Вершины В,С и D четырёхугольника ABCD расположены на окружности с центром О, которая пересекает сторону АВ в точке М, а сторону AD — в точке Е. Известно, что угол BAD — прямой, длина хорды ME равна длине хорды ВМ и длины хорд ВС, CD и ED равны между собой. Найдите величину угла АВО. 220. Найдите сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин прямоугольника, вписанного в эту окружность, если длины сторон прямоугольника равны 6 и 8. 221. Около выпуклого четырёхугольника ABCD описана окружность радиуса 2. Найдите длину стороны CD, если диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и АВ == 3. Окружности 222. Две окружности радиусов и (^i ^ ^2) касаются внутренним образом в точке А. Через точку В большей окружности проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке С. Найдите АВ, если ВС = а. 223. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 см и 23 см. Найдите радиус окружности. 224. Через точки пересечения двух окружностей проведены параллельные прямые. Докажите, что они пересекают окружности в вершинах параллелограмма. 225. На отрезке АС длиной 12 см взята точка В так, что АВ = 4 см. На отрезках АВ и АС, как на диаметрах, в одной полуплоскости с границей АС построены полуокружности. Найдите радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и прямой АС. 226. К двум внешне касающимся окружностям радиусов R и г проведена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных отрезка. Найдите длины этих отрезков. 227. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой прямой, касающейся окружности, на 18 и 12. 228. Две окружности радиусов г и R касаются внешним образом в точке Р. К ним проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная РК. (А и В — точки касания пря- 210 I Дополнения МОЙ АВ и окружностей, К лежит на АВ,) Найдите: а)АВ; б) РК; в) величину угла АРВ. 229. Две окружности радиусов г и R (R > г) касаются внешним образом. К ним проведена внешняя касательная. Найдите радиусы всех окружностей, касающихся двух данных окружностей и проведённой общей касательной. 230. Две окружности радиусами 8 и 6 пересекаются в точках А и В. Через центры и О2 проведена прямая; и С2 — две из четырёх точек пересечения этой прямой с окружностями, точка Cj лежит на окружности с центром Oj, а С1С2 > 20. Найдите расстояние между центрами окружностей, если • *^лвс202 336. 231. Две окружности, отношение радиусов которых равно 9-4ТЗ , касаются внутренним образом. Проведены две равные хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности. Одна из этих хорд перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей. Найдите острый угол между этими хордами. 232. В треугольнике АВС, в котором сторона АВ = 3, АС = 5 и ВС = 7, проведена биссектриса AM. Вокруг треугольника АВМ описана окружность, а в треугольник ACM вписана окружность. Найдите произведение их диаметров. 233. Три данные окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Найдите отношение радиусов двух окружностей, каждая из которых касается трёх данных. (В ответе записать отношение большего радиуса к меньшему.) Многоугольники 234. В правильном шестиугольнике со стороной 5 на одной из сторон взята точка А на расстоянии 1 от ближайшей вершины шестиугольника. Найдите расстояние от точки А до центра шестиугольника. 235. Около правильного шестиугольника со стороной 2 описана окружность. Найдите сумму квадратов расстояний от произвольной точки этой окружности до всех вершин данного шестиугольника. Дополнения I 211 236. В выпуклом пятиугольнике ABODE площадь каждого из треугольников АВС, BCD, CDE, DEA равна S, а площадь g треугольника ВАЕ равна ^ S. Найдите площадь пятиуголь- О ника. Векторы и координаты 237. Найдите множество всех таких точек В, что \АВ\ = р, где А — произвольная точка данной прямой 1ир^0, 238. Дан вектор АВ ф 0. Найдите множество всех таких точек С, что: а) \АВ -Ь ВС \ = \АВ |; б) \АВ - ВС | = \АВ |. 239. Дан вектор АВ ^ 6. Найдите множество всех таких точек С, что: а)\АВ + ВС\ = |БС|; б) \АВ - БС | = \ВС\. 240. Даны два неколлинеарных вектора А В и АС. Найдите множество всех таких точек М, что: а) AM = а - АВ -Ь АС, где а G Б; б) AM = АВ -Ь р* АС, где р g [0; 1]; в) AM = = а • АВ + р • АС, где а g [0; 1]; Р g [0; 1]. 241. Пусть О — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, причём О А -Ь ОВ -Ь ОС + OD = 0. Верно ли, что ABCD — параллелограмм? 242. Докажите, что в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. 243. В треугольнике АВС точка К делит сторону АС в отношении 3 : 2, считая от точки А; отрезок ВК пересекает медиану АР в точке М. Найдите отношения ВМ: МК и AM : МР. 244. В треугольнике АВС точка К делит сторону ВС в отношении 1:2, считая от точки Б; точка Н делит сторону АС в отношении 2 : 3, считая от точки А; отрезки ВН и АК пересекаются в точке М. Найдите отношения ВМ: МН и AM : МК. 212 I Дополнения 245. В треугольнике АВС точка К делит сторону ВА в отношении 3 : 5, считая от точки В; точка Н делит сторону ВС в отношении 1 : 2, считая от точки В; медиана ВМ пересекает отрезок КН в точке О. Найдите отношение ВО : ОМ. 246. Найдите уравнение множества всех таких точек М, что вектор AM имеет ту же длину, что и вектор а(7’, 1), если точка А имеет координаты (1; -5). 247. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8. Найдите третью медиану треугольника, 248. В треугольнике АВС известны стороны: АВ = 6, АС = 8, ВС = 7. Найдите биссектрису 249. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты вершины прямого угла треугольника с гипотенузой АВ, если А(3;5),В(7;-11). 250. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты середины гипотенузы прямоугольного треугольника с вершиной прямого угла С(3; 5) и длинами катетов 2 и 8. 251. Найдите геометрическое место таких точек К, что КА = SKB, где А(1; 0), В(5; 0). 252. Выясните взаимное расположение окружностей - 6х + 8у = о и + 4х - 6у ^ S. 253. Составьте уравнение окружности радиуса 10, касаю-пдейся окружности х‘^ + (у - 5)^ = 25 в точке М(3; 1). 254. Какое множество точек задает уравнение х^ + у^ + 2х^у^ - 6x2 _ 26^2 + 25 = о? 255. Через точку М(3; 4) проведена прямая, высекаюш;ая на окружности х2 + 1/2 = ЮО хорду, которая точкой М делится пополам. Составьте уравнение прямой и найдите длину хорды. 256. Через точку М(5; 12) проведена хорда, наиболее удалённая от центра окружности х2 + ^2 = ^^94 Найдите длину этой хорды. ПРИЛОЖЕНИЯ Список задач на построение в пространстве 1. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. 2. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости. 3. Построение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. 4. Построение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно данной прямой. 5. Построение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. 6. Построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости. 7. Построение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости. 8. Построение двух параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух данных скрещивающихся прямых. 9. Построение плоскости, проходящей через данную точку параллельно каждой из двух скрещивающихся прямых. 10. Построение «общего перпендикуляра» двух данных скрещивающихся прямых. 11. Построение линейного угла данного двугранного угла. 12. Построение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости. 13. Построение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости. 14. Построение точки пересечения данной прямой, лежащей на одной из граней данного многогранника, с плоскостью грани, не параллельной этой прямой. 15. Построение прямой пересечения плоскости грани данного многогранника с непараллельной ей плоскостью. 214 I Приложения Список ОСНОВНЫХ теорем 10 класса 1. о плоскости, проходящей через прямую и не принадлежащую ей точку. 2. О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. 3. О плоскости, проходящей через две параллельные прямые. 4. Признак скрещивающихся прямых. 5. О двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость. 6. О прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку пространства, не принадлежащую данной прямой. 7. О транзитивности параллельности прямых в пространстве. 8. Об углах между сонаправленными лучами. 9. Признак параллельности прямой и плоскости. 10. О линии пересечения плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости. 11. О линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из параллельных прямых. 12. О прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей. 13. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 14. О двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. 15. О двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости. 16—17. Теоремы о трёх перпендикулярах. 18—19. Признаки параллельности плоскостей. 20. О прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. 21. О прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. 22. О плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей. 23. О плоскости, проходящей через точку и параллельной другой плоскости, не проходящей через эту точку. 24. О двух плоскостях, параллельных третьей плоскости. 25. Об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями. 26. О прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных плоскостей. 27. О линейных углах двугранного угла. 28. Признак перпендикулярности плоскостей. Приложения I 215 29. О прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной линии пересечения этих плоскостей. 30. О перпендикуляре к одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, имеющем с другой плоскостью общую точку. 31. О линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости. 32. О площади ортогональной проекции многоугольника. 33. Признак коллинеарности векторов. 34. О разложении вектора по двум компланарным векторам. 35. Признак компланарности векторов. 36. О разложении вектора в пространстве. 216 I Приложения Формулы планиметрии Треугольник Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Периметр (Р) Р = а + Ь + с; а + Ь + с а, Ь, с — длины сторон; р — полупери-метр Сумма внутренних углов А + В + С = 180° А, В, С — величины углов Теорема косинусов = ^2 _|_ ^2 _ 2bccosA; ^ - 2accos В; - 2abcos С; Ь‘^ + COS А 2Ьс Теорема синусов а sin А sin В sin С а, Ь, с — длины сторон; А, В, С — величины углов Радиус описанной окружности (Я) а sin А sin В sin С Площадь (S) S=^ab sin С ^ ^ас sin В = = 1:Ьс sin А; 2 S=pr; аЬс 8 = 4R Формула Герона S = Jp(p - а){р - Ь)(р - с) а, Ь, с — длины сторон; h^, h^, — дли- ны высот; А, В, С — величины углов; р — полупери-метр; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности Приложения I 217 Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Связь между медианой и сторонами Свойство биссектрисы внутреннего угла Связь между высотами и радиусом вписанной окружности mf: = 2^2 + 2с2 - а2 т п i+i+i=i h„ h. h,. г a,b, с — длины сторон; Шд — длина медианы к стороне а; т, п — длины отрезков, на которые биссектриса угла С делит сторону с\ h^, hf,, — длины высот; г — радиус вписанной окружности Отношение площадей треугольников АБС и AjBjCj, имеющих равные углы с вершинами А и Aj ^аАВС АВ-АС AjBi • AjCj ABC ^ •^AAiSiCi площади треугольников АВС и AjBjCj Прямоугольный треугольник Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Сумма острых углов А + В = 90° А, В — величины острых углов Теорема Пифагора а^ Л- а, Ь — длины кате-тов; с — длина гипотенузы; — длина высоты Метрические соотношения — а^ * bi', а^ = с • а^, Ь^ = с ' by 218 I Приложения Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Зависимость между сторонами, радиусами вписанной и описанной окружностей т>-С.^_а + Ь~с ^“2’^-----2-- г == а Ь - , R + г= - (а -Ь 6) а^,Ъ-^ — длины проекций катетов на гипотенузу; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности Площадь (S) S~tab а, Ь — длины катетов Правильный треугольник Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Периметр (Р) Р = За а — длина стороны Величина угла Л = В = С - 60° Ау В, С — величины углов Зависимость между высотой и стороной 1 CL 3 h — длина высоты; а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности Зависимость между стороной, радиусами вписанной и описанной окружностей а = rJs ; R = 2г; Г) С1 л/з ^ ajs '■= — Выражение площади (S) через: сторону, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности с а^Уз. 4 ’ с, зр2уз 4 ’ S = 3r^JS а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности Приложения I 219 Че тырёхугольник Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Сумма углов A + B + C + D- 360® А, В, С, D — вели-чины углов; А, С и В, D — величины пар противоположных углов Свойство сумм величин противоположных углов вписанного четырёхугольника A+C = B + D = 1S0° Свойство сумм длин противоположных сторон описанного четырёхугольника а + с = Ь + d а, с иЬ, d — длины пар противоположных сторон; т, п — длины диагоналей; четырёхугольник вписан в окружность Теорема Птолемея тп = ас + bd Площадь (S) S = ^ mnsin ф; S-=pr т, п — длины диагоналей; Ф — величина угла между ними; р — полупериметр; г — радиус вписанной окружности Параллелограмм Содержание формулы Формула Периметр (Р) Р - 2(а -н Ь) Соотношение между квадратами длин сторон и диагоналей = 2(а^ + Ь^) Площадь (S) S = а’ ha = Ь • hb', S = absin В; о 1 S = - mnsin ф Символы (обозначения) а, Ь — длины сторон; т, п — длины диагоналей; ha, hb — длины высот; В — величина угла между сторонами; т, п — длины диагоналей; Ф — величина угла между диагоналями 220 I Приложения Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Свойства углов А +В + С + D = 360°; A = C\B = D\ А + Б = В + С= 180° А, В,С, D — величины углов Прямоугольник Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Периметр (Р) Р = 2(а + Ь) а, Ь — длины сторон; d — длина диагонали; ф — величина угла между диагоналями Площадь (S) S = аЬ\ S = i d^sin ф Ромб Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Периметр (Р) Р = 4а а — длина стороны; h — длина высоты; т, п — длины диагоналей Площадь (S) S = ah', “S’ ^ ^ Квадрат Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Углы А=В = С = Р> = 90° А, B,C,D — величины углов Связь между длиной стороны и радиусом описанной окружности a = Rj2;R= ^ а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности Приложения I 221 Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружности а о г= - ;а = 2г а — длина стороны; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписан-ной окружности Площадь (S) S = a^;S = 2^2 Трапеция Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Свойство средней линии а + Ь 2 т — длина средней линии; а, Ь — длины оснований; h — длина высоты Площадь (S) S- “2 *’ -Л; S = т' h Правильный многоугольник Содержание формулы Формула Сумма внутренних углов(S) S = (n-2)*180° Угол ^ _ 180°(« - 2) п Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружности 180° а = 2rtg ; " п г- • о. 180° ’ 2tg п Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружности OD • 180° а„ == 2i?sin ; " п rJ2 ; R Символы (обозначения) п — число сторон; А — величина угла; а^ — длина стороны; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности 222 I Приложения Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Площадь (S) е 1 S = - агп; 2 п а — длина стороны; п — число сторон; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности Окружность И круг Содержание формулы Формула Длина окружности (С) С = 2лД Длина дуги (/) I ^ ^ 7 D 1- Площадь круга (S) S = S = ^ 4 Площадь сектора (S) _ TiR'^n 360 Площадь сегмента (S) о nR^-n , о . 360 s^lbh Символы (обозначения) С — длина окружности; R — радиус окружности; п — градусная мера дуги; Ф — радианная мера дуги; R — радиус круга; d — диаметр; Ъ — основание сегмента; h — высота сегмента Тригонометрические тождества sin^ а + cos^ а = 1; , sin а tga=-----; cos а , cos а ctg а = --; sin а sin (-а) = -sin а; cos (-а) = cos а; tg (-а) - -tg а; ctg (-а) = -ctg а; tg а • ctg а = 1; 1 + tg^ а 2 — cos^ а ’ 1 -г ctg'^ а 2 т = sin‘^ а Приложения I 223 COS (a - (3) = cos a cos (3 + sin a sin (3; cos (a + p) = cos a cos p - sin a sin p; sin (a + P) = sin a cos P + sin p cos a; sin (a - P) = sin a cos p - sin p cos a; 1 - tff a • tff p 1 tg a • tg P sin 2a = 2sin a cos a; + tg a • tg p ’ cos 2a = cos^ a - sin^ a; 1 + cos 2a о ----------- = cos*^ a; 1 - cos 2a . 2 --------------- = sin-^^ a; tg 2a _ 2tg a tg^ a i-D o-ot + P a-3 sin a + sin p = 2sin —^ cos —~ ; • n о a+p.a-B sin a - sin p = 2cos —^ sin —^ ; , n о a+3 a-P cos a + cos p = 2cos —^ cos —^ ; n O' a+p . a-P cos a - cos p = -2sin —^ sin —^ ; , I 4. D sin (a + P) , 4. П sin (a - P) tg a + tg p =----^ ; tg a - tg p = ^ cos a • cos P ’ cos a * cos P Формулы стереометрии Векторы и координаты Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения) Правило треуголь- ника АВ + ВС ^ АС А, В, С — произвольные точки Правило паралле- лограмма ОА + ОВ = ОС ОАСВ — параллелограмм Правило много- угольни- ка ■^1^2 ••• - 1-^п "^2’ •••’ -^п - 1’ А^ — произвольные точки 224 I Приложения Продолжение таблицы Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения) Правило паралле- лепипеда ^ +ОВ -\-ос =ОС ^ ОА, ОБ, ОС — ребра параллелепипеда; OCj — диагональ параллелепипеда Формула вычита- ния ОВ -ОА ==АВ А, В, О — произвольные точки Признак коллинеарности двух ненулевых векторов $ = k-a, \а = \а\• 1^1 k — число, отличное от нуля, а 9^ 9^ Ь Признак компланарности трёх векторов р = ха + у$ Ху у — числа Середина отрезка ОМ - i(OA + ОБ) М — середина отрезка АБ; О — произвольная точка Точка пересечения медиан {центроид) ОМ = 1 (ОА -f ОБ -f ОС ) О М — центроид треугольника АВС; О — произвольная точка Скалярное произведение векторов а • Ь = |а| • |Ь|со8 Z{a;b) а, 0 — ненулевые векторы Приложения I 225 Продолжение таблицы Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения) Сложение и вычитание векторов в координатах а±Ь {х^± г/1 ± У2', ± Z2) а(Хр z^y, ^(•^2’ ^2» ^2) Умножение вектора на число ka(kx; ky; kz) k — число; a(x; г/; z) Скалярное произведение Косинус угла между векторами а ’Ь = XjXg + У1У2 + 2^02 cos ф XjX2 + У1У2 + ^1^2 JxfT~yfTV2 . Jxl + у2 + 2I a{x^\у^; z^y b(x2; У2; Z2); Ф — величина угла между векторами Длина вектора |а| - Jx^ + у^ + z^ а(х; у; z) Расстояние между точками А и В АВ = J(X2 - Xi)2 + (г/2 - + {Z2 - 2i)2 А(х^; у^; z^); В(Х2, У2', 22) Уравнение плоскости А(х - Xq) + В(у - уо) + C{z - го) = О а(А; Б; С) — вектор, перпендикулярный плоскости; MoixQ, г/о; 2о) — точка, принадлежащая плоскости Общее уравнение плоскости Ах "Ь By + Cz “Ь Б — О М(х; г/; г) — произвольная точка плоскости 226 I Приложения Продолжение таблицы Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения) Косинус угла между двумя плоскостями Условие перпендикулярности двух плоскостей Условие параллельности двух плоскостей cos ф = ^1^2! jA^ + B^ + Cf-jAl + Bi + Ci Л.^Л.2 + В^В2 + ~ ^ ?1 В, А^х + В^у + + С ^2 + Z) J = о и А2Х + В2У + + С22 + D2 — О — плоскости; Ф — величина угла между этими плоскостями Расстояние от точки до плоскости id) d = \Axq + Ву(^ + Czq + D\ Va2Tb2T^ ^oi^o'y У{у> точка; Ax + By + Cz + + D ^0 — плоскость Параметрические уравнения прямой г = Го + kp\ X = Xq + У = Уо + k02, z -Ь ka^ r — радиус-вектор произвольной точки прямой; Го — радиус-вектор данной точки прямой; k — параметр; ^о) — данная точка прямой; М(х; у; Z) — произвольная точка прямой; р(а^; 02\ Пз) — направляющий вектор прямой Приложения I 227 Окончание таблицы Содержа- ние формулы Формула Символы (обозначения) Уравнения прямой по двум её точкам X - _ У ~ ^2-^1 У2-У1 Косинус угла между двумя прямыми cos ф ^з^з| + al + al • Jb^ + Условие перпендикулярности двух прямых -t- 02^2 ^3^3 ^ ^ Условие параллельности двух прямых -^2(^2’ У2’ ^2) данные точки; Р l(^l» ^2’ ^3)’ ^2’ ^3) направляющие векторы прямых; Ф — величина угла между ними Синус угла между прямой и плоскостью sin ф lAflij + ^(^2 + Сйз] • Jaf + + а| Условие параллельности прямой и плоскости Аа^ -f Bag + Спд = О Условие перпендикулярности прямой и плоскости В £ Оз Ах + By + Cz + + О — плоскость; направляющий вектор прямой; Ф — величина угла между прямой и плоскостью 228 I Приложения Многогранники Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Площадь поверхности куба(S) S = 6a2 а — длина ребра куба Площадь боковой поверхности прямой призмы «бок Р * h Р — периметр основания; h — высота (длина бокового ребра) Площадь боковой поверхности наклонной призмы («бок) «бок = ^*^ Р — периметр перпендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда («бок) «бок = ^*^ Р — периметр основания; L — длина бокового ребра Площадь боковой поверхности правильной пирамиды («бок) о _ Q cos (р Р — периметр основания; а — апофема; Q — площадь основания; Ф — величина двугранного угла при стороне основания Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды (Sg^^) «бок 2 ^ Р, Р^ — периметры оснований; h — апофема Объём куба (V) V=a^ а — длина ребра куба Объём прямоугольного параллелепипеда (V) V^abc а, Ь, с — измерения параллелепипеда Объём призмы (параллелепипеда) (V) ^=«осн*Л; V = Q>L «оси — площадь основания; h — высота; Q — площадь перпендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра Приложения I 229 Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Объём пирамиды (V) — площадь основания; h — высота Объём усеченной пирамиды (F) - ^ + JQ1Q2 + Qi Qi, Q2 ~ площади оснований; h — высота Отношение объёмов тетраэдров ABCD и имеющих равные трёхгранные углы с вершинами А и Ai V ABCD Уа,в,с,в, АВ-АС‘АР AjEi • AjCj • AjDi Уавсо ^ ^AiBiCiO, объёмы тетраэдров ABCDtaA^B^C^D^ Фигуры вращения Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Площадь боковой поверхности цилиндра «бок = 2яЯ-/г R — радиус основания; h — высота Площадь полной поверхности цилиндра 5_„==2яЯ(/1 + Я) R — радиус основания; h — высота Площадь боковой поверхности конуса (sj «бок = R — радиус основания; 1 — длина образующей Площадь полной поверхности конуса (•^полн) «полн = ^^(^ + ^) R — радиус основания; 1 — длина образующей Площадь боковой поверхности усечённого конуса («бок) «бок = R, г — радиусы оснований; 1 — длина образующей 230 I Приложения Окончание таблицы Содержание формулы Формула Символы (обозначения) Площадь сферы (S) S = 4лД2 R — радиус сферы Площадь сегментной поверхности (S) S = 2nR • Н R — радиус сферы; Я — высота сегментной поверхности Площадь шарового пояса (S) S = 2nR • Н R — радиус шара; Я — высота шарового пояса Площадь поверхности шарового сектора (S) = лЛ*(2Л + ^2Rh -Л2) R — радиус шара; h — высота шарового сегмента Объём цилиндра (10 F = яД2 . я R — радиус основания; Я — высота Объём конуса (10 F = 1 лi?2 . Я 3 R — радиус основания; Я — высота Объём усечённого конуса (10 V = = 1 яЯ(г2 + Rr + i?2) Ry г — радиусы оснований; Я — высота Объём шара (10 V= ^яДЗ; 1яс(3 3 6 R — радиус шара; d — диаметр шара Объём шарового слоя (10 v = = 2^(3г2 +3r| +Я2) — радиусы оснований шарового слоя; Я — высота Объём шарового сегмента (10 V^nH-{R-K) v= 2|[(3r2 +Я2) R — радиус шара; Н — высота; г — радиус основания шарового сегмента Объём шарового сектора (V0 F = ^ яД2 . я 3 R — радиус шара; Я — высота ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 1. Введение в стереометрию 1.004. Указание. Рассмотрите случаи: а)АВ — диаметр окружности; б)АВ — хорда, не являющаяся диаметром окружности. 1.009. Прямая. 1.010. Нет. 1.012. Можно, если одна (любая) из точек находится в плоскости, которая проходит через три оставшиеся точки. 1.013. а) Нет; б) нет. 1.014. Указание. Через любые три точки данной фигуры проведите плоскость и докажите, что все остальные точки фигуры принадлежат этой плоскости. 1.015. Указание. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. 1.016. Указание. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость. 1.017. Лежат в одной плоскости. 1.018. Три прямые проходят через одну точку. “\ .0^9. Указание. Эти прямые не лежат в одной плоскости. Л.02.0. Указание. Проведите прямую, пересекающую все три данные прямые. 1.023. Нельзя. 1.024. Верно. 1.025. а) Можно; б) нельзя; в) нельзя; г) можно; д) можно; е) можно. 1.026. Указание. Три данные прямые лежат в одной плоскости. 1.027. Не может. 1.031. а) AM; б) СП; в) АС; r)BD. 1.032.4 или 14. 1.035. а) АА^; б)СС^; в)АВ^; 1.040. в) 6; О 1.038. 3^2; 1.039. 372 . r)CD^; д)БС. --------, 2 • ----- 2 г) Yg; д)Л^У2; е) 1 : 3. 1.042. Шесть. 1.043. Прямые проходят через одну точку или параллельны. 1.051. Неверно. 1.052.4:1. 1.053. а) Треугольник прямоугольный, так как его ортоцентр лежит на прямой, содержащей его сторону; б) треугольник равнобедренный (DE = DF), так как его медиана является его и биссектрисой; в) треугольник DEF — прямоугольный, так как треугольник KDF — прямоугольный. Центр описанной около треугольника KDF окружности лежит на его стороне DK. 1.055. 5 л/7. 1.056. 5 aj3 . aj3 . aVs . ajl7 “2”’ 1Г’ “T"’ зЛз 1.057. Трапеция; 1.059. Трапеция; - . 1.060. Трапеция. 1.061. 1.058. AjBj а. 1.062. V3 . 1.063. 5J2 . 1.064. SjS; I2V3 ; 12-73 . 1.066. a) ^ ; б) ^ ; в) ^ ; Г) 73 ; Д) ^ . 1.067. a) ^ ; 6) i ; B) ^ ; Г) i ; Д) i . 1.068. в) 4; r)X,; 1.070. I; д)КХ^; e)l:l. 1.069. в) 8л/Т7 ; 1.071. Равнобедренный треугольник; д)1:1; е)ВМ. 2а J2 232 I Ответы и указания Глава 2. Прямые в пространстве 2.001. Указание. Примените признак скрещивающихся прямых. 2.003. Любая прямая грани АА-^В-^В, проходящая через точку пересекает скрещивающиеся прямые A^D^ и ВВ^. 2.005. Нет. 2.006. Параллельны. 2.007. Шесть. 2.008. Могут пересекаться, скрещиваться. 2.009. Не могут. 2.010. Параллелограмм. Указание. Воспользуйтесь свойством средней линии треугольника. 2.011. Указание. Примените теорему 3 и аксиому прямой и плоскости. 2.016. 1) а) 6; 6)15; 2)а)1; 6)29. 2.017. а) Плоскость; б) плоскость; в)0. 2.018. а) Скрещиваются; 6) скрещиваются; в) скрещиваются; г) параллельны; д) скрещиваются; е) пересекаются; ж) скрещиваются; з) пересекаются. 2.019. ММ^ = 9; ОО^ = 11; DD^ = 7. 2.020. а) Могут быть параллельными, пересекаться; б) могут только скрещиваться; в) могут быть параллельными, пересекаться, скрещиваться. 2.021. Нет. 2.022. Указание. Рассмотрите плоскость а = (а. С) и точку её пересечения с прямой Ъ. Найдите множество всех точек С, для которых задача не имеет решения. 2.023. а) Не могут; б) О < С^С2 ^ 14. 2.024. 7; 2. 2.026. Параллелограмм, плоскость которого параллельна ВС и AD. 2.027. а) Скрещиваются; б) пересекаются; в) параллельны; г) пересекаются; д) параллельны; е) скрещиваются; ж) скрещиваются. 2.028. 1) а) Скрещиваются; б) скрещиваются; в) пересекаются; г) параллельны; д) скрещиваются; е) скрещиваются; 2) а) 2 : 3; б) 1 : 3. 2.029. в) 3 : 1. 2.030. Указание. Концы этого отрезка — центроиды граней тетраэдра. 2.031. 1) а) 30°; 6)90°; в) 150°; 2) а) 30°; 6)90°; в) 45°. 2.032. а), б) Да; в) нет. 2.033. Не перпендикулярны. Не может. 2.034. а) 60°; б) 45°; в) 0°; г) 30°; д) arctg ^ . 2.035. arccos УТб 10 2.037. № Прямые Расположение Угол между прямыми 1 LNw.BG Скрещиваются 90° 2 F^TwFH Пересекаются arctg ^ 3 F^N и КТ Параллельны 0° 4 TNwEG Скрещиваются 60° 5 F^TwKN Пересекаются Л arccos ^ 5 6 КН^ и LN Скрещиваются 30° Ответы и указания I 233 2.038. 60°. 2.039. а) ; б) 2.040. Указание. Обозначим а = = (а, с). Все прямые пространства, параллельные с и пересекающие а, лежат в плоскости а, и ни одна из них не пересекает прямую Ь. Аналогично, все прямые пространства, параллельные с и пересекающие Ь, скрещиваются с а. Все остальные прямые, параллельные с, скрещиваются и с а, и с Ь. 2.041.8 и 3. 2.042. в) 3 : 1. 2.043. 2) Тетраэдр М^МзМдМ^ — правильный с ребром 2. 3) а) 60°; б) 90°; в) 90°; г) 30°. 2.044. а) ^ ; б) ^ ; в) ^ . 2.045. 1) а) Скрещиваются; б) скрещиваются; в) параллельны; г) скрещиваются; 3) а) 1 : 2; б) 1 : л/2 ; в) 1 : ^/6 ; 4) а) 60°; б) 60°; в) 90°; г) 30°; д) 45°. 2.046. 58. 2.047. № Прямые Расположение Угол между прямыми 1 АА^ и СС^ Параллельны 0° 2 AjCj и Пересекаются 90° 3 и CjDj Пересекаются 45° 4 А^М и CCj Скрещиваются 90° 5 A^D и Z)Cj Пересекаются 60° 6 AjCj и BD Скрещиваются 90° 7 А^С и АС Пересекаются arctg — 8 А^В и D^C Параллельны 0° 9 А^С и ВВ^ Скрещиваются arctg л/2 10 A^D и АС Скрещиваются 60° 11 А^МиВС Скрещиваются arctg 2 12 А^МиВК Скрещиваются 90° 13 C^KhB^F Скрещиваются 2 arcsin Jo,4 14 С^ОиАВ^ Скрещиваются 30° 15 А^В и B^D Скрещиваются 90° 234 I Ответы и указания 2.053. При длине 6 прямые пересекаются, при остальных — скрещиваются. 2.054. 2 л/2 . 2.055. а) arccos 6)arccos в)агссоз 4 4 4 . Ло . л г) arccos ; д) arccos ^ . 10 о Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве 3.002. а) Да; б) нет. 3.003. Нет. 3.004. Указание. Рассмотрите случаи, когда прямые: а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются. 3.006. 1 — А; 2 — В; 3 — А; 4 — Б; 5 — Б; 6 — В; 7 — А; 8 — Б. 3.007. Параллельны. 3.008. Могут пересекаться или быть параллельными. 3.009. Могут скрещиваться или быть параллельными. 3.010. Они параллельны. 3.012. а) Нет; б) нет; в) нет. 3.015. 1. 3.017. Трапеция. 3.018. 12 Д1.3.021. Нет. 3.022. а) Параллельны; б)параллельны; в)параллельны; г)параллельны; д) параллельны; е) пересекаются. 3.024. Равнобедренные треугольники; 4 Д1.3.025. Равнобедренная трапеция периметра 10 и площади ЗТЗ. 3.026.4(1 + V3) ^ Р ^ 4(1 + V7); 4^2 ^ S ^ 4^6. 3.028. 20^5.3.033. 4^7.3.034. 18 см. 3.035. 10. 3.045. Правильно: один круг или два равных круга. 3.046. Указание. Используйте свойство медианы равнобедренного треугольника. 3.051. а) Нет; б) вообще говоря, нет. 3.053. Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 3.056. Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 3.057. а) 0; б) а cos а; в) -а cos а; г) а - Ь . 3.059. Прямая BD. 3.060. Указание. Угол MLN — прямой. 3.063. Указание. Прямая АС перпендикулярна плоскости (BOD). 3.064. Указание. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости трапеции, а угол ACD — прямой. 3.065. Угол ACM. Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 3.066. Указание, а) Плоскости ОМР и ВСР взаимно перпендикулярны, б) плоскости ОРР^ и АВР взаимно перпендикулярны. 3.070. а) 2; 6)^7. 3.071. а) 2^3; 6)6. 3.072. J2b^ - а^ . 3.073. ; л/41.3.074. 6 J6 см; 9л см^. 3.075. 5 см. 3.076. 13 см. 3.077. а) 22 см; б) 14 см; в) 18 см. 3.078.17 при любом а. 3.079.9 см; б7з см. 3.080. |J|. 3.081.10. 3.082. в) ^2 . 3.083. 60°. 3.084. Нет. 45°. 3.086. 60°. 3.087. а) 45°; б) 45°. Ответы и указания | 235 3.088. ф. 3.089. 45°. 3.090. 30°. 3.091. 10°. 3.093. Ь sin ф и а sin ф. 3.094. 45° и 60°. 3.095. а) 30°; б) 45°; в) 30°; г) arcsin ^ ; 5 д) arcsin . 3.096. а) 30°; б) arcsin ^ ; в) arcsin |; г) arcsin ; . . Зл/Гз д) arcsin ; е) 0. 3.097. № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 1 МСи АВС Угол MCD 45° 2 МВ и АВС Угол MBD arctg ^ 3 МА и АВС Угол MAD 45° 4 МО и АВС Угол MOD arctg л/2 5 АС и MDC Угол ACD 45° 6 AD и MDC — 90° 7 АВ и MDC — 0° 8 ОК и MDC — 90° 9 ОМ и MDC Угол ОМ К arctg ^ 10 АС и О AM — 0° 11 АО и ADM У гол CAD 45° 3.098. NS Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 1 К А и АВС Угол КАВ 45° 2 КМ и АВС Угол КМ В . 2л/3 arctg 3 С А и МВК — 90° 4 В А и ВМК Угол АВМ 30° 236 I Ответы и указания Окончание таблицы № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 5 АС и КВА Угол СВ А 60° 6 ВМ и КВА Угол MBA 30° 7 АК и ВКМ Угол АКМ . 42 arcsin — 4 8 ВК и АСК Угол ВКМ arctg 9 МВ и АСК Угол ВМК . 2^3 arctg 10 АК и век — arctg 5 3.099. № Прямая и плоскость Измеряемый плоский угол Величина угла 1 МСи АВС Угол МСО -Уз arccos ^ О 2 МК и АВС Угол МКО 1 arccos - О 3 СВ и AM К — 90° 4 С А и AM К Угол CAiiT 30° 5 ОС и AMii: Угол СОК 60° 6 СМ и AM К Угол CMiir 30° 7 РВ и AMii: Угол ВРК 60° 8 АР и МБС — 90° 9 ОМ и мве Угол ОМК . 1 arcsin - О 10 АК и МБС Угол МКА 1 arccos - О 11 МБ и АСР — 90° 12 ВС и АСР Угол БСР 30° Ответы и указания I 237 3.100. № Прямая и плоскость Величина угла 1 АВ^ и АВС 45° 2 АС и АА-^В 45° 3 MF и DD^C 45° 4 MF и DD^B 0° 5 AM и АВС X 2Л arctg —^ 5 6 АС и MKF 90° 7 АК и MKF arctg 3 8 АС^ и ВСС^ arctg ^ 9 C^DuACC^ 30° 10 B^DmACC^ arctg л/2 11 AA^hAMF X 3V2 arctg 12 DD^ и AMF X 3V2 arctg 3.104. а) Две точки; прямая; две параллельные прямые; б) прямая; прямая и принадлежащая ей точка; две пересекающиеся прямые; в) прямая и не принадлежащая ей точка; две параллельные прямые; две пересекающиеся прямые. 3.108. 3,5 или 8,75. sm Р 3.109. Можно. Невозможно. 3.110. 90°. 3.111. 2 arcsin cos ф 3.113. 2 + 2а^ . 3.114. Ромб, DD^ = 6, периметр 20 и площадь 3.115. . 3.116. а) 4^3 ; б) , 3.119. ^ ^ КН ^ 1. 1 О 3.123.8; —. 3.124.—; 6. 3.129. Пересекаются в одной точке. О О 3.131. Указание. Спроектируйте рёбра РА, РВ и PC на плоскость АВС и воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 238 I Ответы и указания 3.132. Окружность с диаметром ВС, где С — основание перпендикуляра из А на а. 3.133. Указание. Спроектируйте рёбра РА, РВ и PC на плоскость (АВС) и воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 3.136. в) 4 л/2 ; г)Зл/5. 3.140. 3.141.3,5. 3.142. б) |; в) 1:1. 3.143. а& л/2. 3.144. а) б) ; в) ^ . 3.145. а) ^ ; б) ^ ; ж) . 3.147. . 3.148. а) 90°; 2 3 6 24 22 б) 60°. 3.149. а) 60°; в) 90°. 3.150. Прямую, перпендикулярную плоскости этого многоугольника и проходящую через центр вписанной в него окружности. 3.151. . 3.153. 48; 16. 3.154.6) л/З ; 7з в) 1:2. 3.156.2:7. 3.157. [6л/3; 12л/3]. 3.158. 2я. 3.159.1. 3.161. arctg — - - --2sm 0,5д: г)0,25л/б; д)0,2л/Г5. . 3.162. а) 0,2УТб; б)0,25л/3; в)0,125л/3; Глава 4. Плоскости в пространстве 4.005. Указание. Используйте теорему о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. 4.011.6)12. 4.015. 4^ см^. 4.016. 48 см^. 4.017. 1. 4.018. 6 или 3. 4.020. Указание. Через точку Aj проведите прямую с || Ь. 4.021. Указание. Че рез прямые а и Ь проведите плоскости, параллельные а 4.022. а) Равнобедренная трапеция; 36; 6) равнобедренный тре 15л/2 угольник; —— \ в) квадрат; 36. 4.023. а) 18 см; 15 см; б) 54 см 72 см. 4.025. а) 4^3; б) . 4.028. б) +^Л)а . 64 г) ^ . 4.029. 1 — А; 2 — Б; 3 — В; 4 — А; 5 — Б; 6 — А; 7 — В; 8 — 5 А; 9 — А; 10 4.035. а sin- В; 11 — Б; 12 — А. 4.033.4. 4.034.90°. 4.036. 75°. 4.037.49°. 4.038. 100° или 80°. 4.039.2 72. 4.041. ££LE . 4.043. . 4.044. 6 л/З. О Sin а Ответы и указания I 239 4.045. 50-У2. 4.046.90°; 45°; 60. 4.047. arccos 5 . 4.050. а) 90°; О б) arctg 2. 4.051.24 см^. 4.053. arccos ^ ; 90°. 4.054. а) 90°; б) 45°; О /б в) arctg V2 ; г) arccos ^ О 4.055. № Плоскости Взаимное расположение Угол между плоскостями 1 А^ВА и D^CD Параллельны 0° 2 А^В^С^ и DD^C Пересекаются 90° 3 A^BD и B^D^C Параллельны 0° 4 В^АС и ADC Пересекаются arctg 72 5 A^BD и C^DB Пересекаются 2 arctg ^ 6 A^BD и СС^А Пересекаются 90° 7 АВ^С^ и ADC Пересекаются 45° 8 А^МА и ВуС^С Пересекаются arctg 0,5 9 АуМА и BByD Пересекаются 0,75я ~ arctg 2 10 MAyDuCAyD Пересекаются arctg 72 4.059. Нет. 4.062. Да. 4.063. а Jcos 2ф . 4.064. а) 5л/2 см и 10 см; б) 5л/б см и 10 см. 4.065.а)4л/ТЗ; 6)12. 4.067. а) 90°; 6)60°; в) arctg ; г) arctg ^ ; д) 2 arcsin или 2 arcsin . 0^7 7 4.068. а) 7^ ; б) arcsin . 4.069. а) Да; б) да; в) нет. 4.070. 8(1 + + л/з ) и 16 72.4.071. 10( 73 + 1) и 25 72.4.073. а) 45°; б) arccos \ . 5 4.076. Неверно. 4.077. а) 377; б)3 7з. 4.078.6. 4.079.9. 4.080. 7^ или 7^ • 4.081. а) 4; б) 4; в) не менее 4. 4.082. а) Скре- 240 I Ответы и указания щиваются; б) параллельны; в) 5. 4.083.2,4. 4.084.4 или 3. 4.085. Расстояние между ТМ и DC равно 0; между ТМ и ВС — 1; /2 между ТМ и AD — 3; между ТМ и АВ — 4; между ТМ и АС — ^ ; между ТМ и BD — . 4.086. № Прямые Расстояние между прямыми 1 МС АТ Ь 2 АВ CD и • ос bsin- 3 МТ АС 0,56 cos ^ 4 АС BD 0 5 АВ MD 0,56 sin а 4.087. № Прямые Расстояние между прямыми 1 DC а 2 ВВ^ DC^ а 3 DC А^К а 4 DD^ А^К 2аЛ 5 5 B^D АС ajb “б“ 6 АК ВС а J2 7 В^С C^D ajs ~т~ 8 АК BD 2ajl7 17 9 DK ACi 0 Ответы и указания I 241 4.088. № Прямые Расстояние между прямыми 1 АС МО 7з 2 ВС AM з72 3 ок РМ 0 4 МО КС 377 7 5 во AM б7^ 11 4.089. 2. 4.090. cos а. 4.091. 100 л/2 ; только равновелики. 4.092. 21 л/З. 4.093. а) «2 7б; б) За^. 4.094. arccos к . 4.095. ^ . 6 3 4.096. а) arccos 0,75; в) arctg 2jl 4.097.60° и arctg (Зл/З). 4.098. arccos . 4.099. — о COS^^ (р S(1 - cos^^ ф) 2sin2 ^ cos^‘^ ф 4.101. 7а^ 4.102. ^ дм2. 4.103. 1671 СМ" 4.100. 50л/2 4.104. 9 см2. 8 cos а 4.105. а) 60°; б)3б73 дм2. 4.106. Указанг/е. Воспользуйтесь признаком параллельности плоскостей. 4.107. Указание. Воспользуйтесь признаком параллельности плоскостей. 4.109. 7. 4.111. аЬ Ьс ас . А.ЛЛ^. Указание. Спроектируй- л/«2 + Jlf‘2. _1_ (.2 Jq2 _|_ ^2 те рёбра РА, ВР и PC на плоскость (АВС) и воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах. 4.114. Окружность с диаметром ВС, где С — основание перпендикуляра из А на а. 4.116. . 4.117. в) а; aj2 4 ’ 4.119. г) abj2 2j2a^ + 4.118. в) ajb Л г) ас Л 2Ла^ + с2 " л/2сов а + 1 . 4.120./Пл/З. 4.121.30°. 4.122. g. о « 2 cos — 4.123. 4717. 4.124. а) б) ; в) ; г) ^ ; д) • 13 13 е) 27Гз 13 242 I Ответы и указания Г лава 5. Расстояния в пространстве 5.001. а) 4; б) 2; в) 8. 5.002. 1 или 7. 5.003. 7 : 10. 5.004. 21 см и 30 см. 5.005.119 см и 170 см. 5.006. Нет. 5.007. Да. 5.008. а) 3; б)9ТЗ; в) 60°. 5.009.90°. 5.010. а) 4; 6)2; в) 3; г) 2; д)з|. О 5.011. а) 12; 6)6; в) 3; г) 4. 5.012.4. 5.013. а) 2; 6)1,6; b)i|; r)li. О t 5.014. а) 18; 6) 9; в) 10. 5.015. а) 3; б) 2; в) |; г) 2,5; д) l|. 5.016. 8; О О 8; 8. 5.017. 4; 4; 4; 8. 5.018. 3; 5; 8; 8. 5.019. ЛЛ . 5.020. 10. 5.021.5. 5.022. 12. 5.023. 5 или 11. 5.024. 5 или 15. 5.025. 4 или 10. 5.026. 4 и 8. 5.027. 6 и 24 или 36 и 6. 5.028. а) 5 7з ; 6) . 5.029. а) 4; 6)3,2; в); г) 2 V2 . 5.030. —^L= Jl7 Ja^ + 62 б) ; в) ^ . 5.031. а) 5.032. № Прямые Расстояние между прямыми 1 ММ^ QP a 2 NN^ QP, a 3 QP M^K a 4 QQ\ M^K 2ajb 5 5 N^Q MP аЛ 6 МК NP аЛ 7 N^P P,Q аЛ ~т~ 8 МК NQ 2а jn 17 9 QK NP^ 0 Ответы и указания I 243 5.033. Две прямые пересечения плоскости а и двух плоскостей, параллельных плоскости (3. 5.034. Четыре прямые, параллельные прямой пересечения плоскостей а и (3. 5.035. Прямая, параллельная данным прямым, или пустое множество. 5.036. Прямая пересечения плоскости а и плоскости серединных перпендикуляров отрезка АВ или пустое множество, или плоскость а. 5.037. Прямая, проведённая перпендикулярно плоскости четырёхугольника через центр описанной около него окружности. 5.038. Прямая, проведённая перпендикулярно плоскости четырёхугольника через центр вписанной в него окружности. 5.039. Окружность диаметра АВ, где А — основание перпендикуляра AM к плоскости а. 5.040. Окружность радиуса 3 см, центром которой является ортогональная проекция точки А на плоскость а. 5.041. Окружность радиуса 6 см, центром которой является ортогональная проекция точки А на линию пересечения плоскостей а и (3. 5.042. 3; 6; 15. 5.043.10. 5.044. Уз. 5.045.4,8. 5.046. 2 л/2. 5.047. а) ^ ; б) ^ ; в) ^ . 5.048. а) 5; б) 2,5; в) 2^ . 5.049. 9; 9; 9; 27; 27; 27; о о У 45. 5.050.^. 5.051. а) 12; 6)12; в) 6; г) 8; д) 4,5. 5.052.3,5. 18 а l2b^ - 5.053. ——;гт---. 5.054. Окружность, плоскость а которой прохо- 2о дит через точку А и перпендикулярна прямой т. Диаметром окружности является отрезок АВ, где В — точка пересечения m и а. 5.055. В плоскости а окружность радиуса 8 см, а в плоскости (3 — окружность радиуса 6 см. Центрами этих окружностей являются a^j2 ортогональные проекции точки А на плоскости а и (3. 5.062. —-— . 5.063. а^Уз 5.064. а^Убб 44 5.065. 13 5.066. . 5.067. Семь. 5.069. fix) = 2/1 5.070. [1,4; 5]. 5.071. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 5.072. а) УЗ; б) 1а . Ут . 2У5 . УТ4 5.073. а) б) и ^ в) и . 5.074. а) 1; 6)^', в) г) ^ . 244 I Ответы и указания Глава 6. Векторный метод в пространстве 6.001. а) Да; б) да; в) нет. 6.003. а) АС; б) АС^; b)CiB; t)DB^; д) БСр е) АС i; ж) 0. 6.005. а) РЕ. 6.012. а) -1; б) 2. 6.014. Указание. Воспользуйтесь признаком коллинеарности двух векторов. 6.016. Указание. Воспользуйтесь свойством медиан треугольни- ка. 6.021. а) М = С^; б) М = D; в) AM = 2АС ; г) AM = 2 AD; д) AM = 2АВ. 6.027. Да. 6.030. Указание. См. 6.015, 6.017. 6.031.0,2Zd - 0,2АВ. 6.032. SH. 6.033. а) | а + § S; б) -^а + h; О О О О в)^а - Н; г)1а + Ih е)0-а+ Ь. 6.034. 3. 6.036. PD = а- Ь + с; О О о о АЕ = -а + 0,5с. 6.037. АiC(l; 1; -1). 6.038. Да. 6.039. а) 0-а + + 0,5fc> + 0,5с; д) а + 5 - с; е) 2а + 0 • 5 - с. 6.040. а) (0; -1; 0,5); б) (0; 0,5; 0,5); г) ^-1; ^ 5 g j • 6.041. Указание. См. 6.017. 6.042. Указание. Используйте признак компланарности трёх векторов. 6.043. Указание. Воспользуйтесь признаком коллинеарности двух векторов. 6.045. Указание. Докажите компланарность век торов ОР, ОН и ОК. 6.046. Указание. См. 6.015. 6.047. Указание. Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов. 6.048. а) 0,5; лежит внутри треугольника; б) -6,38; лежит вне треугольника. 6.049. а) Не имеют общих точек; б) точка К — общая; в) отрезок пересекает плоскость; г) отрезок параллелен плоскости. 6.050.1:8. 6.051.1:1. 6.052.1:12. 6.053.1:1. 6.054.5:4. 6.055.1:2. 6.056. б) Пополам. 6.057. а) МК = - МА -I- МВ -Ь О + i МС ; б) 6 : 7; в) . 6.059. а) 90°; г) 45°; е) 60°. 6.060. а) 60°; б) 120°. 6.063. а) 10; 6)7^2; в)-10; г)0; д)-4,9; е) 4. 6.064. а) 2; д)0. 6.068. а) б) ^ ; в) i ; д) ^3 - ^ - 2 ^ 6.069. а) 2; г) 0,75. 6.070. а) V2 ; б) 5; в) Дэ ; г) 2^2; д) . 6.071. а) 2 Уз ; б) 2 VE ; в) ЗУз ; г) УТЭ . 6.072. -3. 6.073. -13. 6.074. 11. 6.075. ^ ^ • 6.076. т = J2 -а + Ь - с. 6.077. f ^ 6.078. -6. Л4 Л4 Л4 Ответы и указания I 245 6.079.(1; 1; 1). 6.080. -|=; . 6.081. а) Нет; б) да. VV34 7з4 ; 6.082. а) о,5а2; б)-0,5а2; г)0,25а2; д)-0,25а2. 6.085.6)^; г) arccos i . 6.086. Указание. Воспользуйтесь признаком перпен- /б /2 1 дикулярности двух векторов. 6.087. 1) а) ^ ; б) ^ ; 2) а) arccos ^ . О 2 о 6.088. 2) а) arccos о 6.090. arccos \2h‘ 6.100. а) arccos 2(а2 + *2) лт. б) arccos I -- 6.098. а) 6.089. aj2 б) 22 6)3. 6.101. а) arccos 12 ЗЛ7 34 ■ . 561 ’ 6.099. О б) 3172 29 6.102. arccos — . 6.103. . 6.105. а) АС; в) АС . 6.106. а) Да; о5 13 б) да. 6.107. Указание. Докажите, что AAj + ВВ^ + CCj = 0. 6.109. Указание. Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов. 6.114. Указание. Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов. 6.116. а) Отрезок; б) параллелограмм; в) параллелепипед. 6.117. 1:3. 6.118. У/сазанг/е. Используйте центроид треугольника АВС. 6.119. 2 : 3. 6.120. Указание. Введите единичные векторы на рёбрах трёхгранного угла и используйте свойство диагоналей ромба делить его углы пополам. 6 A2A. Указание. Отложите единичные векторы от точки пересечения диагоналей параллелепипеда. 6.123. Указание. Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов. 6.124. Указание. Воспользуйтесь сложением векторов по правилу параллелепипеда. 6.125. Указание. Воспользуйтесь признаком компланарности трёх векторов. Глава 7. Координатный метод в пространстве 7.004. а(2; 3; -5); S(l; -4; 6); с(-3; 2; -5); р(1; 0; 1); т(-2; 1; 0); д(0; 0; -1). 7.005. а = 3i + 7; - 2Л; ? = 0 • i - 5; - 2А; с = -I + 2у + + 0Л; p = 2i+0-y-3J; ^=0*I+0‘J+5?. 7.006. /?(5; 15; -5); 5(4; -18; -9). 7.007. m = 4; я = -1,5. 7.009. |а| = 5ТЗ; |Й| = 7; |с|= 73; \р\ = Ло. 7.011. а-с = 3; а Л = 0; «2 = е; 7^ = 7з. 246 I Ответы и указания 7.012. (3; -8; 5). 7.013. При х = -2. 7.014. а) (а; Ь) > 90°; б) ф; с) < < 90°; в) (а; с) = 90°. 7.015. Острый угол с I; тупой — су; прямой — с к. 7.016. а) 60°; 6)150°; в) 90°. 7.017. а) 3; б)-4. 7.018. а) 45°; 6)135°; в) 60°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж)0°; з) 180°. 7.019.1. 7.020. т= 10а - 18? + 11с. 7.021. | j. 7.022. При п = |. 7.023. а) 1; Ь б) 7з ; в) J2 . 7.024. 1) а) 7б ; б) J|; в)агссоз|; 2) а) 60°; б) 90°; в) arccos I. 7.025. а) б) ; в) arccos (- ^ ]; о 2 2 \ о г) arccos i 7.029. А(2; 3; 4); Б(-3; 2; -5); С(0; -1; 1). 6 7.030. ОА (-2; 2; 0); ОБ (4; -4; 3); ОС(7;0; -9); Zb(6; -6; 3); БС(3; 4; -12). 7.031. (-4; 0; -10). 7.032. (-4; 3; 3). 7.033. (8; 1; 6). 7.034. АВ = 1 - З] - 3k\ ВС = -5i + ] + дк; ^ = -d - 2] + Зк; 13 0; — ; 2 ). 7.036. Указание. Исследуйте, коллинеарны ли векто- ры АВ и АС. 7.037.0(1; -3; 0); точка С лежит между А и В. 7.038. Нет. 7.039. (0; 6,5; 5). 7.040. (-2,5; -2,5; 0,5), f |; 0; ^ (2,5; 0,5; 5,5), |; ^j. 7.040.(2; 4; 3). 7.042. а) Да; б) нет; в) да. Указание. Проверьте компланарность векторов АВ, АС и Ze. 7.044. (8; 8; 8), (8; 8; -8), (-8; 8; 8), (-8; 8; -8), (-8; -8; 8), (-8; -8; -8), (8; -8; 8), (8; -8; -8). 7.045. а) На координатной оси Оху, Oyz или Oxz; б) на оси Ох, Оу или Oz. 7.047. Б(5; 3; -3). 7.048. ( 31 ; 61 ; 8 1.7.050. а) (-1; 2,5; -2); б) (-8; 4; -19). 7.051. 72 ; 772 . 7.052.(0,5; 0; 0). 7.053.(1; -3; 3). 7.054. а) Правильный; б) прямоугольный. 7.055.120°; 30°; 30°; 272(2+ 73); 2^3. 7.056. (1; 1; 0), (2; 1; 0), (2; 2; 0), (1; 2; 0) или (1; 1; 2), (2; 1; 2), Ответы и указания I 247 (2; 2; 2), (1; 2; 2). 7.057. а) Указание. Возможны 4 случая расположения тетраэдра относительно системы координат. В одном из нихВ(0; Л;0),р(о; ^ j. 7.058. (-1; 3; 0), (-1; 0; 8),(0;3;8), (-1; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 8); этот многогранник — прямоугольный параллелепипед; V = 24; S = 70. 7.059. (0; 2; 8) или (0; 3; 9). 7.060. в) m = 1; п = -1. 7.061. (-2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 73). 7.062. (0; 0; -3). 7.064. Трапеция. 7.065. а) ^ ; б) ^ ; в) . о J о 7.066. Указание. Рассмотрите 4 случая расположения тетраэдра относительно системы координат. В одном из случаев: В(2;273; 0), р(2; центроиды: 4.^; 7.067. а) (2; 1; ±^2); (3; 2; ±72); (2; 3; ±72 ); (1; 2; ±2). 7.068. 1) 2)arccosf-i 1. 7.069. а) ^ ; 7з б) в) 2^; г) 1:1:1. 7.070.(0: 0: 5,5), (0: 0: 5 - Лт), (0:0:5+ JT7), (0: 0: 4 - Лэ), (О: О: 4 + Ло). 7,071.(4: 4: 4) или 7.072.(0: 0: 9,5), (О: О: -9,5), (О: О: -1), (О: О: 5). 7.073. § + ^ ^ 1 ИЛИ § + -^ +1 =1* 7.074. (х + 1)^ + (у - 3)^ + 8 7 5 8 -7 5 ± (2 - 5)2 = 16. 7.075. (д: - 2)2 + t/2 + (г ± 3)2 = 13. 7.076. (х + 1)2 + ± (I/ ± 1)2 ± (2- 1)2 = 41. 7.077. Точки А, В, Е. 7.078. а) А; б) В, С, О; в) В и С, В и О, О и С. 7.080. М^(2,5; 0; 0), ^ ; Оj , МДО; 0; -5). 7.081. а) д: - 2 = 0; в) д: ± 2t/ - 7г = 0. 7.082. 2д: - 3t/ - 52 ± 30 = 0. 7.083. а) Зд:-41/ ± 52 ± 4 = 0; б) 2д: ± 3t/ - 42 = 0; в) 5д: ± I/ - 42 ± 7 = 0. 7.084. а) д: - 3 = 0; б) I/ - 3 = 0; в) 2 - 3 = 0; г) 2 ± 4 = 0; д) д: ± 2 - 3 = 0. 7.086. Зд: ± 4z/ - 32 - 14 = 0. 7.087. 2д: - 3t/ ± 2 - 13 = 0. 7.088. | ± + 1+^= 1. 7.089. Зд:±1/-2-2 = 0. 7.090. а) 2 = 1; б) д: ± 1 = 0; в) Z/ - 2 = 0; г) 2д: - z/± 32 ± 1 = 0. 7.091. (2,5; 0; 0); (0; -5; 0); (0; 0; 2,5); 248 I Ответы и указания ^ + -% + 7^ = 1- 7.093. a)x + z/ + 2- 3 = 0;6)x + z/ + 2- 2 = 0; 2,5 -5 2,5 в) 15х + 10у -62-60 = 0. 7.094. (х + 1)2 + (у - 2)2 + (г - 1)2 = 3 и л:2 + (у-3)2 + (г-2)2 = 3.7.095.в){2;-3;5); ^3 ; г) ^ || j; ^ . 7.096. 2) а) (х - 2)2 + (у + 3)2 + (г - 4)2 = 16. 7.097. а) х = 0; б) г/ = 3; в) X = 0; г) I/ + 52 = 0; д) Зх + Зг/ + 22 - 8 = 0. 7.098. Совокупность точек координатных плоскостей. 7.099. Совокупность точек бесконечной цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси аппликат; сечением этой поверхности плоскостью Оху является квадрат (как замкнутая ломаная) с вершинами (±1; 0; 0), (0;±1;0). 7.100. Совокупность точек двух пересекающихся плоскостей х-у + 22 = 0их + у-22 = 0. 7.101. х - 6у + 16z - 77 = 0. n 19 7.103. arccos . 7.104. arccos i . оУ о 7.105. a) (3- 72; 3 - 72 ; 0); 6) (3 + J2 ; 3 + J2 ; 0). 7.106. Если a < -5 — пустое множество; если a = -5 — точка (-2; 1; 0); если а > -5 — сфера радиуса 7а + 5 с центром (-2; 1; 0). 7.107. 25^ я. i О 7.108. 2х + 4у + 4г = 9. 7.109. х + г/- 22 = 0. 7.110. (х- 1)2 + (г/ - 1)2 + + (2 - 2)2 = 6 ИЛИ (X - 1)2 + (г/ - 1)2 + (2 - 2)2 = 54. 7.111. х2 + г/2 + 22 = 1; х2 + г/2 + 22 = 9. 7.112. Сфера радиуса 7^ с центром (2; -1; 3); точки Л и Б — концы диаметра сферы — исключены. 7.113. Две сферы: (х - 1)2 + г/2 + (2 + 2)2 = 1 и (х - 1)2 + г/2 + (г + 2)2 = 25. -6 = 0. 7.118. 7х + 19у + 52 - 104 = 0. 7.119. Поверхность октаэдра с вершинами (±1; 0; 0), (0; ±1; 0), (0; 0; ±1). 7.120. Поверхность шестигранного угла с вершиной в начале координат. Каждое ребро угла находится в соответствующем октанте, за исключением двух октантов со всеми положительными или всеми отрицательными координатами. 7.121. Поверхность октаэдра с вершинами (±4; 0; 0), 1 (0; ±4; 0), (0; 0; ±4). 7.122. 2х + 2г/ + 22 - 15 = 0. 7.123. arccos 7^ ’ arccos ; arccos . 7.125. 5х - Зг/ + 2 = 0. 7.126. Если а е (-2; 2) — л/ V пустое множество; если а = -2 — точка (2; 0; 2); если а = 2 — точка Ответы и указания I 249 (-2; 0; 2); если а е (-оо; -2) и (2; +оо) — сфера радиуса - 4 с центром (-а; 0; 2). 7.127. 23,04л. 7.128.6х -8г/ - 47 = 0. 7.129. х +21/+ 22- 11 = 0. 7.130. (х - 5)2 + (у - 1)2 + (2 -1)2 = 12 или (л: - 5)2 + (г/ - 1)2 + (2 - 1)2 = 48. 7.131. Множество всех внутренних точек шара радиуса V6 с центром (2; 1; 1), за исключением точек диаметра АС. 7.132. Все точки К(х; у; 2), лежащие вне сферы х^ + у^ + (2 - 2)2 = 9, за исключением тех из них, которые лежат .. X - 1 у -на прямой —J 2 Z - = = —, содержащей точки М и N. 7.133. Зх - у + 22 - 5 = 0. 7.134. б)л:-г/ = 0;в)л:-1-г/-1-2-6 = 0. 7.135. 1:1:1. 7.137. а) (3; -3; 3) и (-3; 3; -3); б) |j; (3; -3; 3). 7.138. а) (1; 1; 1); б) (5; 5; 5); в) (3; 3; 3 -2^3 ), (3; 3 - 2^3 ; 3), (3 - 2 73 ; 3; 3); г) (3; 3; 3 + 2^3), (3; 3 + 2 7з ; 3), (3 + 2 7з ; 3; 3); д) (3; 3 - 7б; 3 - 7б), (3 - 7б; 3; 3 - 7б), (3 - 7б; 3 - 7б ; 3); е) (3; 3 + л/б; 3 + л/б), (3 + л/б ; 3; 3 + л/б), (3 + V6 ; 3 + л/б; 3); ж) (3;3; 3 + 2jS); з)(3; 3; 3 - 2ТЗ). 7.142. Параллельны. 7.144. (-13; -4; -20). 7.145 . arcsin —\= . 7.146. а) 90°; б) arccos ^ . 2V39 3 7.147. Точки М и К принадлежат прямой, а точка N — нет. л: = о. 11 1 , , -111* ^ 3 t е R. «/ = 0, 2 = t; 3 -5.-^0! 4 ’ 2 ’ ’’ \x = -t, 7.151. ] г/= 4i, t е R. \2 = 4t; 7.152. 5 -13 •0* М 9 j’ Ч 2 [ л: = -t. \y = 2t. t R. 2 = 7t; 2 7.153. а -f р = -5. 7.154. arccos 70,7 . 7.155. arccos ^ . 7.156. Пря- О мые совпадают. 7.157. Прямые пересекаются в точке А(5; 2; 9). 7.158. 2)а) ^ ; б) ^ ; в) ^ . 7.159. Прямая лежит в плоскости. ООО 7.160. Прямая параллельна плоскости 0x2 и пересекает плоскость 250 I Ответы и указания Оху в точке (-7; 1; 0), а плоскость Оуг — в точке 0; 1;4 7.161. |г/ = 3 + 2^, t е R; (0,5; 3,2; 3,9). 7.162. arcsin \ 2 = 4 - t. 10 7.163. д: - 21/ - 32 = 0; ^3® ; -1^ ; 2^ j. 7.164. 1 : 3. 7.165. Прямая и сфера пересекаются в точках А(4; 0; 3) и B^i;2^;4^j. \х = 2, fx = -3 - 4^, 7.^67.ly = t, teR. 7.168. ly = 4 + St, t е R. 7.169. Од: и U = 0; [2 ^ t; АВ пересекаются; Оу и АВ, О2 и АВ скрещиваются. I д: = 1 - 5^, f д: = -1, 7.170. |i/ = 3, t е R. 7.171. \y = 2 + St, teR. 7.172.0. \2 = -2-\-2t\ 12 = 3-7^; 7.173. Прямые параллельны. 7.174. 1) - + | + - = 1; 2) б) ^ ; 1; - ); ч 1 о ч 6 25 . . 2 . 19 ^ ^ в) 1 : 2; г) cos ф = — , cos ф = — ; д) arcsin ; е) . 7.175. дс 19 19 ДЗ Дз 1 + 5^, у = \ - г = \ - It. 7.176. . 7.177. Прямая парал- лельна плоскости. 7.178. Прямая пересекает плоскость в точке ч [дг = 3 + 3^, -13; 11 ^ 5 . 7.179. \ у = - It, teR. 7.180. Прямая и сфера 1 2 — 1 + касаются в точке (1; 5; 12). 7.181. Прямая и сфера не имеют общих точек. 7.184. ||. 7.185. 2х + Sy + 62 = 0. 7.186. 2 = 0 и Зд: + 42 = 0. 7.187. 2x-Sy+ 2 + 2 = 0. 7.188. Две плоскости х + 2у - 22 - 11 = 0 их + 2у- 22 +1=0. 7.189. Две плоскости 7д: -Ь 9i/ -Ь 82 -Ь 4 = 0 и д:- 15t/ + 1б2 + б = о. 7.190. 4 : 25. 7.191. . 7.192. . \x = 2t, 7.193. ly = t, t e R. 7.194.(4; -1; -3); . 7.195.(1; 2; 6), [2 = t; (1; 2; 4), (1; 0; 6), (1; 0; 4), (-1; 2; 6), (-1; 2; 4), (-1; 0: 6), (-1; 0; 4). 7.196. Множество всех точек сферы радиуса V15.25 с центром Ответы и указания I 251 (2; 3; 1,5). 7.197. Множество всех точек сферы радиуса J6 с цент- (2 2 7 I з:д;д .7.198.12а^ где а — ребро куба. 7.199. 8а^, где а — ребро куба. 7.201. Множество всех точек сферы радиуса 0,5 с центром в центре призмы. 7.202. Множество всех точек сферы радиуса 2 с центром в начале координат. 7.203. Множество всех точек сферы радиуса 2 с центром (0; 2;-1). 7.204. 8х + у = 0. 7.205. 5х-- Зу -Sz = 0. 7.206. Да; х + 2у+ 13-г - 22 = 0. 7.207. Да; х + 2~3 = 0. 7.208. 8. 7.209. Такая точка единственная: (0; 0; -6,5). 7.210. 4л: + + Зу + 12z - 25 = 0. 7.211. Такая сфера единственная: х^ + у^ + z^ = ix = t, I X == t, = 30. 7.212. Таких прямых две: 1 -----> ----> равенство МС^ - - (МА + МВ), где М — точка пересечения медиан треугольника АВС, — середина стороны АВ. 248. 6. Указа- ние. Используйте равенство AAj = - АВ + - АС. 249. (л: - 5)^ + + (^ + 3)^ = 68, кроме точек (3; 5) и (7; -11). 250. (х - 3)^ ■+■ (у - 5)^ = = 17. 251. Окружность с центром (5,5; 0) и радиусом 1,5. 252. Окружности пересекаются. 253. (х - 9)^ + (у + 7)^ = 100 или (х + 3)^ + + (у - 9)^ = 100. 254. Две концентрические окружности с центром в начале координат и радиусами 1 и 5. 255. Зл: -Н 4i/ - 25 = 0; 10л/3 . 256. 10. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ....................................... 3 Условные обозначения .............................. 5 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Задачи к § 3—4. Аксиомы и следствия из них....... 7 Графическая работа № 1. Тема: «Следствия из аксиом стереометрии».......... 15 Задачи к главе 1.................................. 16 Глава 2. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 6. Классификация взаимного расположения двух прямых....................................... 19 Задачи к § 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые........... 24 Задачи к главе 2.................................. 25 Глава 3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 8. Параллельность прямой и плоскости.. 30 Задачи к § 9—10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости............. 34 Задачи к § 11. Угол между прямой и плоскостью..... 41 Задачи к § 12. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование...................... 45 Задачи к главе 3.................................. 47 Глава 4. ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Графическая работа № 2. Тема «Параллельность в пространстве».............. 54 Задачи к § 13. Параллельность плоскостей.......... 55 Задачи к § 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями....................................... 62 Задачи к § 15. Перпендикулярность плоскостей...... 65 Задачи к § 16. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых............................................ 68 Графическая работа № 3. Тема: «Перпендикулярность в пространстве»......... 70 Задачи к § 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника.................................... 71 Задачи к главе 4.................................. 73 256 Оглавление Глава 5. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 18. Расстояние от точки до фигуры...... 77 Задачи к § 19. Расстояние между фигурами.......... 79 Задачи к § 20. Геометрические места точек, связанные с расстоянием в пространстве....................... 81 Задачи к главе 5................................... 82 Глава 6. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами...................................... 86 Задачи к § 22. Разложение вектора по базису....... 91 Задачи к § 23. Скалярное произведение векторов.... 95 Задачи к главе 6...................................110 Глава 7. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи к § 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.....................................113 Задачи к § 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами....................................123 Задачи к § 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах......................................136 Задачи к главе 7...................................138 ДОПОЛНЕНИЯ. Д1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ 1.1. Метод следов..................................151 1.2. Метод внутреннего проектирования..............162 1.3. Комбинированный метод.........................169 ДОПОЛНЕНИЯ. Д2. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ И УГЛУБЛЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИИ 2.1. «Рабочие теоремы» планиметрии.................173 2.2. Задачи на построение при помощи циркуля и линейки 183 2.3. Тематическая подборка задач на вычисление и доказательство...................................188 ПРИЛОЖЕНИЯ Список задач на построение в пространстве..........213 Список основных теорем 10 класса...................214 Формулы планиметрии................................216 Тригонометрические тождества.......................222 Формулы стереометрии...............................223 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ .................................231