(5)
И так как значение косинуса определяет угол, то из (5) угол находится однозначно. Аналогично находим гСА и /LB. ■
Отметим, что формула (5) позволяет сделать такие выводы:
1) Если (^=а^+Ь^, то cos С=0 и L С=90° (теорема, обратная теореме Пифагора). Согласно именно этой теореме «египетский треугольник» со сторонами 3, 4. 5 прямоугольный (а не по теореме Пифагора, как иногда говорят^
2) Р.сла то cos ОО и АС острый.
3) Если с^>а^+Ь^,10 cos С<0 и АС тупой.
Задача 2. Даны две стороны треуго.пьника и угол
между ними. Найти третью сторону и остальные два угла.
Решение. Пусть известны стороны а, Ь треугольника АВС и угол С между ними. Тогда по формуле (I) находим
5 XjicKcaiLipon «Геометрия, й К-1. '
129
третью сторону с. Затем, снова пользуясь ОТП, находим углы Л и б (как указано при решении задачи 1). Но эти углы можно найти и по теореме синусов (объясните как). ■
\j 10.3. Средняя линия треугольника
Вот еш,е пример применения ОТП — теорема о средней линии треугольника, доказанная другим способом еще в п. 1.5. Когда говорят о средней линии, две стороны треугольника, середины которых она соединяет, называют боковыми, а третью сторону — основанием. Это позволяет сформулировать такую теорему:
Теорема 12
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания.
Доказательство. Проведем в треугольнике АВС среднюю линию KL^ где К — середина стороны АС, L — середина стороны ВС (рис. 146). Пусть KL=d. Тогда по ОТП из треугольника KLC
(т)' + Ш’ -2f
Рис.146
= 4-(аЧ&2
-2аЬ cosC)=-^.
Поэтому , т. е. средняя линия треугольника равна половине основания.
Положим Z CKL=a. Вычисляя cos а по ОТП из треугольника KLC, получаем:
cos а=
2
2hc
=cos/4,
Поэтому a=/LA. Так как соответственные углы при прямых KL и АВ и секущей АС равны, то можно заключить, что KLWAB. Ш
130
\j 10.4. Сравнение сторон и углов треугольника
Следствием ОТП и свойств косинуса является и такая теорема:
Теорема 13
В каждом треугольнике против большей стороны лежит и больший угол.
Верно и обратное: в каждом треугольнике прочив большего угла лежит и большая сторона.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами а, Ь, с (рис. 147, а). Используя ОТП, получаем;
cost4-cosS=
.2,2 2 Ь +с - а
а +с^~
2Ьс 2ас
J ^ 2 3 2, , 2^ ,3
до + ас —а -а Ь-Ьс +о _
2аЬс
_(Ь-а)(а + Ь + с)(а + Ь - с)
~ 2аЬс
(6)
Так как согласно неравенству треугольника а+Ь—с>0, то знак разности cos Л—cos В совпадает со знаком разности Ь—а. Из этого н вытекают оба утверждения теоремы:
1) Если Ь>а, то Ь—а>0 и поэтому cqsA-cqsB>0, т. е. cos A>cosB. Так как косинус убывает, то угол В больше угла А.
2) Если угол В больше угла Л, то cosA>cosB и, следовательно, созЛ—cos5>0. Поэтому Ь-а>0, т. е. Ь>а. Ш
Замечание. Эту теорему легко доказать и чисто геометрически. Вспомните, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и что внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного. Как, используя эти утверждения, доказать, что против большей стороны лежит больший угол, показано на рисунке 147, б. Эти доказательства хорошо показывают различие между двумя методами — вычислительным и наглядным. У каждого метода свои преимущества. ■
Теорему 13 можно использовать, например, определяя вид углов треугольника по его сторонам. Для этого достаточно узнать, какой угол лежит против большей стороны треугольника.
CD = СВ = а /LB>/Ll = A2> ^
Рис. 147
131
10.5. Практические применения ОТП
Задача 1. Иайти расстояние между двумя недоступными предметами при наблюдении из данной тонки, располагая дальномером.
Решение. Пусть предметы расположены в точках Л, а мы находимся в некоторой точке С (рис. 148).
Измеряя расстояние дальномером, находим СА=Ь,
СВ=а. Измеряем угол С между СА и СВ. Тогда расстояние АВ=с можно найти по ОТП. ■
Задача 2. Найти расстояние между двумя недоступными предметами, когда нет дальномера.
Решение. Пусть предметы расположены в точках А, В и видны из точек С, D (рис. 149). Измеряя CD и нужные углы, находим расстояния СА и СВ (задача I, п. 8.5). Измеряем также угол между СА и СВ.
После этого находим АВ, применяя ОТП к треугольнику АВС.Ш •
Вопросы
1. в чем заключается обобщенная теорема Пифагора?
2. Докажите ОТП.
3. Почему ОТП имеет такое название?
4. Какие задачи но решению треугольников вы можете решить с помощью ОТП?
5. Как определить вид углов треугольника с помощью ОТП?
6. Какие еще следствия из ОТП вы знаете?
7. Какие практические задачи вы можете решить с помощью ОТП?
Рис.149
Задачи к § 10
Дополняем теорию
Две стороны треугольника постоянны, а угол между ними увеличивается. Докажите, что при этом третья сторона треугольника увеличивается. Докажите обратное утверждение. Какие слелствия отсюда вытекают? дат а) Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
б) Используя задачу а), получите формулу для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам.
в) Докажите, что треугольник с двумя равными медианами равнобедренный.
а) Докажите, что самая длинная хорда выпуклого многоугольника — его сторона или диагональ.
б) Верно ли аналогичное утверждение для невыпуклого многоугольника?
Разбираемся в решении
iniEW 4.1 Из в.ершнны неравнобедренного треугольника проведены биссектриса, высота и медиана. В каком порядке они расположены, если смотреть от большей из сторон при этой вершине к меньшей?
Решение.
Прежде чем что-то доказывать, надо знать, что доказывать. Поэтому сначала поставим эксперимент. Нарисуем любой неравнобедренный треугольник АВС (ВАУВС) и построим — для точности циркулем и линейкой — из вершимы В высоту ВН, медиану ВМ и биссектрису BL (рис. 150). Увидим, что порядок точек на отрезке АС именно такой, как на рисунке; А, М, L, Я, С. Но будет ли это верно для любого треугольника? Давайте мысленно двигать точку А влево, а точки Д и С оставим на своих местах. Что будет происходить с точками Н, L, М?
'■ Точка Н не изменит своего положения. Займемся теперь точкой L. Так как угол СВА будет увеличиваться, то будет увеличиваться н его половина — угол CBL. Значит, точка L будет двигаться влево от своего начального положения. При этом угол СВА не будет больше, чем 180°—Z.C (?), значит,
угол CBL не будет больше, чем 90°- Z.C. Поэтому для точки L суш,ествует
некоторое предельное положение на луче СА, за которое точка L не перейдет.
И наконец о точке М. Так как отрезок СА увеличивается, причем неограниченно, то увеличивается и тоже неограниченно отрезок СМ — его половина. Значит, точка М, как говорят, «уйдет в бесконечность», т. е. на луче СА она может находиться сколь угодно далеко от его начала С.
Итак, из некоторых соображений следует, что
В
порядок точек yVf, L, II будет всегда один и тот же. Но являются ли эти соображения доказательными (?).
Давайте рассуждать иначе. Имеем А AB/i=QQ°-l.A, АСВН= =90°-// С (?). Так как угол С больше угла А (?), то угол АВН больше
угла СВИ. Но тогда А АВН> у А АВС, а поэтому биссектриса BL лежит
внутри угла ABII, т. е. точка L лежит левее Н.
Далее, так как АВУВС, то AL>LC (?). Но тогда АЬУ-^АС, а потому
середина АС — точка М лежит на AL, т. е. левее точки L. ■
Планируем
(10.5 ( 2| В треугольнике известны все стороны. Как вычислить: а) хорду треугольника, соединяющую вершину с данной точкой на противоположной стороне;
б) биссектрису треугольника; в) высоту треугольника; г) хорду треугольника, соединяющую две данные точки на его сторонах?
Точка находится внутри равностороннего треугольника, сторона которого известна. Известны также расстояния от этой точки до вершин треугольника. Как найти расстояние от нее до центра треугольника? Все ли данные вам понадобились?
(10.7 ( 2 Дан параллелограмм. Как вычислить: а) его диагонали, если известны стороны и угол между ними; б) фиксированную хорду, если и.чвестны стороны и одна из диагоналей: в) стороны, если известны диагонали и угол между ними?
Известны стороны и диагонали четырехугольника. Как узнать, является ли он выпуклым или нет?
Работаем с формулой
Дан треугольник АВС. а) Запишите ОТП для стороны а, стороны Ь. Какие следствия вы можете получить из этой системы равенств? б) Сумма углов В и D четырехугольника ABCD равна 180°. Запи1пите ОТП для диагонали АС. Какие следствия вы можете получить для этой системы равенств?
Н
Находим величину
Пусть в треугольнике ЛВС известны стороны а и а также угол С. Составьте план вычисления стороны с. Вычислите с, если а=2, Ь=\, АС=т°.
Определите вид треугольника по углам, если; а) его стороны равны: 5. 6, 7; 5, 6, 10; 5, 10, 10; 30, 40, 50; а, а+1, а + 2; б) одна из его медиан равна средней линии треугольника, которую она пересекает.
Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Вычислите его наибольшую медиану и наименьшую биссектрису.
134
#ШГ21 Вычислите неизвестные элементы треугольника АВС:
а Ь с Z.B
3 2 60°
3 4 135°
2,4 1.3 28°
0,15 0,62 161°
4 5 6
4 6 6
12 5 13
0,3 0.4 0,5
На прямой лежат три точки: Л,, Лд, причем A^A2=d^, Из
точки К отрезки и А^А^ видны под углом (р. Вычислите расстояния от К до данных точек. Как решить задачу в общем случае?
Ищем границы
Точка А удалена от прямой а на 1. По прямой а движется отрезок длиной
2. В каком положении он виден из А лучше всего? Можете ли вы решить задачу в общем виде и дать ей практическое истолкование?
ЦД1Д 4 I а) В прямоугольном треугольнике АВС (Z^=90°) взята точка О. Найдите в треугольнике АОС наибольщую сторону.
б) Решите аналогичную задачу для тупоугольного треугольника с тупым углом при вершине В.
^ Доказываем
<МИ 11 ■»«а 11
Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ. Докажите обратное утверждение.
Докажите, что ббльшая медиана треугольника проводится к меньшей его стороне. Докажите обратное утверждение.
Докажите теорему синусов, исходя из ОТП.
Диагонали четырехугольника перпендикулярны.
а) Докажите, что суммы квадратов его противоположных сторон равны.
б) Докажите утверждение, обратное а).
135
в) Пусть одна из его сторон неограниченно уменыиается и в конце концов становится равной нулю. Что представляет собой этот «вырож-
денный» случаи задачи.-'
В трапеции рассматриваются углы при большем основании. Докажите, что против большего из них лежит большая диагональ трапеции. Проверьте обратное.
Исследуем
flilMtl 21 IftWI 2 I
Ш1МЯ 21
Дан угол. I [роводятся всевозможные его хорды, отсекающие от угла треугольники данной площади. Какой из таких треугольников отсечен наименьшей хордой?
Длины всех сторон треугольника умножили на одно и то же число. Могут ли полученные числа быть длинами сторон какого-либо треугольника?
В равнобедренном треугольнике известны основание, периметр и площадь. Установите связь между этими величинами.
В выпуклом четырехугольнике известны две стороны, диагональ н углы, которые она образует с двумя сторонами. Хватит ли этих данных, чтобы ————— вычислить остальные элементы четырехугольника?
ШДаЯ 4 I У двух выпуклых четырехугольников ABCD и Л^Й,C,£), соответственные стороны равны. Пусть /-А больше, чем /lA^ Сравните величины остальных их углов.
В треугольнике/4БС ЛД>ВС. Провели биссектрисы ЛЧ, и СС,. Сравните отрезки ЛС] и СЛ|. Проведите отрезок Л,С,. Сравните его с отрезками ЛС) и СЛ|.
Применяем геометрию
iBIMa 2 I Ножки циркуля-измерителя, упираясь концами в отрезок дяннон 1, образуют угол 30°. Какой угол они будут образовывать, упираясь в концы отрезка длиной 2? Обобщите задачу.
Вы располагаете прибором для измерения расстояний. Как определить скорость движения удаленного объекта (корабля, самолета)?
Требуется найти расстояние от точки Л до точки X на местности. Объект X виден только из точек Л и С, где С — некоторая точка местности. Расстояние АС на местности не поддается измерению. Придумайте способ вычисления расстояния АХ.
11ДШТ51 IliHiT 51
Выходим в пространство
1ЬШ 2 I
136
Пусть BD — перпендикуляр к плоскости треугольника ADC. Пусть известны BD, X.ABD, /LCBD, /.АВС. Как вычислить площадь поверхности тетраэдра ABCD? Приведите численный пример.
Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, АВ—ВС, ЛС= 1, Z ЛЯС=<р, РВ= 1. Найдите /.АВС и площадь поверхности тетраэдра РАВС. Пусть РВ — перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника АВС
С
€
<1
Bt
(F
м<
М'
ш
зг
mm 41
s I
(Z C=90°). Докажите, что ZЛCP=90°. Сформу- a) лируйте и докажите обратное утверждение.
В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина Л С, точка L — середина DK, точка М — середина DB и DQLKB (точка Q лежит на прямой КВ). Ребро тетраэдра равно 2. а) Вычислите KL,
LM, BL, DQ, MQ. б) Докажите, что DQA./Q.
в) Какой еще прямой перпендикулярна прямая DQ}
Пусть ABCD — правильный тетраэдр. Точка X внутри ребра АС, точка Y внутри ребра ВС. Какая сторона в треугольнике KDY является наименьшей? б) Вы находитесь на вершине триан1уляционного В пункта. Его высота известна. У вас в руках только транспортир. Как вычислить площадь треугольника, расположенного на земле?
Занимательная геометрия
l!№W 41 Нарисуйте любой четырехугольник. Можете ли вы, имея на руках только транспортир, установить, какая сторона в нем наибольшая? А справитесь ли вы с такой задачей для произвольного многоуго;]ь-ника? Составьте аналогичную задачу про углы.
Рис. 151
ИВ Участвуем в олимпиаде
HiKM I в треугольнике АВС сторона АС наибольшая. Эта сторона продолжена за точку С на отрезок CD, равный отрезку ВС. Установите вид угла ABD. В равностороннем треугольнике АВС находится такая точка D, из которой сторона АС видна под углом 120°, причем DA—\, DC=2. Чему равно расстояние D6?
В выпуклом четырехугольнике ABCD Z/4=Zfi, Z D>Z С. Докажите, что BOAD.
§11. Тангенс и котангенс 11. 1. Определение тангенса
# Начнем с одной практической задачи: как измерить высоту столба (дерева или мачты) по длине тени (рис. 151, а)? Будем предполагать, что мы можем измерять углы, в частности угол, под которым виден измеряемый предмет от конца его тени (рис. 151, б).
Мы получили такую г е о м е т р н ч е с к у ю з а д а ч у: найти катет ВС=а прямоугольного треугольника, зная его катет ЛС=Ь и угол А.
137
Подобные задачи мы уже решали. Вспомним, что
5шЛ —и cos Л = у. Поделив первое равенство на
второе, получим ^ ■ Отсюда
cos А sin А
а=Ь
cos А
(i:
в равенство (1) входит отношение двух функций угла — синуса и косинуса. Его рассматривают как еще одну функцию угла — тангенс.
Определение
Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.
Тангенс обозначается символом tg, так что по определению
sin А
cos А
(2)
Для прямого угла тангенс не существует, так как cos90°=0 и отношение для прямого угла А
теряет смысл.
11.2. Тангенсы острых углов прямоугольного треугольника
в прямоугольном треугольнике АВС с катетами а=ВС и Ь=АС (рис. 152) 81пЛ = -^ и С05Л=-^. Поэтому
sin А
tgA =
cos А
а . Ь
с " с
_а_
Ь
(3)
Итак, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета, противолежащего этому углу, к прилежащему катету.
Например, тангенс острого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равен 1.
Равенство (1), дающее решение задачи о нахождении высоты предмета по его тени, теперь запишется так; а=Ь tgA.
А вот другое практическое истолкование тангенса. Тангенс характеризует крутизну подъема в горах, если
138
и
т
и
1
1: М Е 1 т
(
с
I 1
под крутизной подъема понимать отношение смещения по вертикали к смещению по горизонтали. Это удобно при работе с картой.
11,3. Свойства тангенса и его график
Тангенс есть отношение синуса к косинусу. А синус и косинус зависят лишь от величины угла. Поэтому и тангенс зависит лишь от величины угла, т. е. является
, . , sin а
функциен величины угла; tgcc~
cos а
Вычислим несколько значений этой функции;
tgO°=
sin 0°
cos 0°
= 0; tg30°=
sin 45“
sin 30“
30“
cos 45® sin 60“
= 1;
cos 60“
A теперь выясним, как изменяется tga, когда а возрастает от 0° до 90°. Построим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС=\ и ZA=a {рис. 153). Тогда другой его катет 6C=tga. Когда угол а возрастает от 0'^ до 90°, катет ВС возрастает от 0 до бесконечности. Итак, мы доказали важное свойство тангенса:
1. При увеличении угла от 0° до 90° тангенс растет от О до бесконечности.
Из этого свойства вытекает второе свойство тангенса:
2. Для острых углов значение тангенса определяет угол. Оно доказывается так же, как аналогичное свойство синуса (п, 7.6). Докажите его самостоятельно.
11.4. Котангенс
Изменим геометрическую задачу, решенную в п. 11.1. Пусть теперь требуется найти катет AC=h прямоугольного треугольника, зная его катет ВС=а н угол А. Тогда из равенства (Т) получим:
Ь=
а-
cos А sin А
(4)
И опять отношение косинуса к синусу рассматривают как еш,е одну функцию угла — котангенс.
В
АС = 1, ВС = tga Рис. 153
139
Определение
Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.
Котангенс обозначается символом ctg, так что по определению
ctg/l = J?54
° sm А
(5)
Котангенс не существует тогда, когда синус обращается в нуль, т. е. для 0° и 180°. Котангенс, как и остальные тригонометрические функции, зависит лишь от величины угла.
Для тех углов, где и тангенс, и котангенс отличны от нуля, они связаны простым соотношением
"‘8«=трг- <6>
При возрастании угла от 0° до 180° (сами эти значения не рассматриваются) котангенс убывает от +о° до -оо (объясните почему). График котангенса приведен на рисунке 154, а, а график тангенса на рисунке 154, б. ф
Замечание. Иногда рассматривают еще две тригонометрические функции—секанс (обозначается так: sec) и косеканс (обозначается так: cosec). Они определяются слелующими равенствами:
seca=—^— Hcoseca=——. (7)
cos а sm а ' '
В нашем курсе эти функции не употребляются.
Можно доказать, что sec^ а= 1+lg^ а, cosec^a=
= 1 +ctg^ а.
11.5. Об истории тригонометрии
А Тригонометрия — «измерение треугольников» — развивалась прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому ее зачатки были уже в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. В знаменитом труде греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в.), где изложена античная система мира, содержатся элементы не только тригонометрии на плоскости, но и на сфере.
В Древней Греции вместо синуса угла рассматривали длину хорды, соответствующей удвоенному углу между радиусами единичной окружности (рис. 155). Это, по сунтеству, то же самое, так как синус равен половине
140
такой хорды. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены Гиппархом во II в. до н. э. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученых IX—X вв. В частности, тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов.
Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Насирэддина Туей (1201 —1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в XV в. немецким ученым Региомонтаном (1436— 1476). Современный вид тригонометрия получила в работах крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783).
Обобщенная теорема Пифагора в другом виде доказана уже в «Началах» Евклида. Теорема синусов была получена выдающимся среднеазиатским ученым Б и р у н и в XI в. А
Вопросы
Региомонтан
2.
3.
В чем разница между тангенсом и котангенсом.? А в чем нх сходство? Как вычислить тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике? А котангенс?
Какие задачи на решение треугольников можно рсп1ить с помощью тангенса (котангенса)?
Как можно доказать возрастание тангенса, исходя из рисунка 153, другим способом?
Какие Практические задачи можно решить с помощью тангенса (котангенса)?
Какие вы знаете теперь тригонометрические функции?
Что вы знаете из истории тригонометрии кроме того, что написано в этом параграфе?
Задачи к § 11
Дополняем теорию
Докажите, что тангенсы смежных углов противоположны.
Пусть известны проекции отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые. Как, используя тангенс, вычислить угол, который составляет прямая, проходящая через этот отрезок, с каждой нз данных прямых?
Докажите, что произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно единице.
141
Разбираемся в решении
а) Параллелограмм ABCD, в котором AD^d^, АС1.АВ, пере-
гнули по диагонали АС. Отрезки AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние от К до ЛС?
б) Обобщите задачу а).
Решение.
б) Обобщать можно по-разному. Например, можно начать перегибать другие четырехугольники, да и вообще многоугольники, и ставить аналогичные вопросы. Мы же пойдем иным путем.
К чему свелась задача а) ? Вот к чему. Дан отрезок АВ. Из точек А и В по одну сторону от прямой АВ проведены равные отрезки АА, и BBi- Отрезки AB^ и ВЛ, пересекаются в точке К. Чему равно расстояние от К до (АВ) (рис. 156, а)?
Для того чтобы обобщить эту ситуацию, достаточно отказаться от условия равенства отрезков ЛЛ, и ВВ,. Итак, пусть ЛВ=Д, ЛЛ,=а, ВВ,=Л. Чему равно теперь расстояние от К до (ЛВ) (рис. 156, б)?
Проведем KLJlAB и обозначим KL=x. Далее обозначим Z/C4L=a ^m=p, AL=d^, BL=d2-
Главную роль в решении этой задачи будет играть тангенс.
Итак, из ЛЛ:Д4 имеем {ga=x■d^, из А В,ВЛ имеем tga=b: d. Поэтому
^ = 7 «)
а)
в)
В
В.
I -I
Точно так же из треугольников KLB и Л^АВ имеем:
X
d.,
d ■
И так как
dt+dn—d,
(2)
(3)
то мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными; х, dj, d^.
Решается она просто. Из (1) имеем из (2) имеем ~ —
Сложим последние два равенства и получим;
^1 I ^2 _ d . d X X а Ь '
откуда (di+flfg) d^+do на d, приходим к равенству
X V а
ИЗ которого и находим;
х=
1
т*т
Результат получился удивительный — вы видите, почему? Оказалось, что величина х не зависит от величины d\ На живом примере это значит вот что. Имеется два столба, скажем, высотой 2 м и 3 м. С помоидью двух проволок делается такая конструкция, как в задаче. Предположим далее, что в точке пересечения проволок подвешивается лампа. Так вот, высота лампы над землей будет одна и та же независимо от расстояния между столбами, будь она 10 м, или 100 м, или гипотетически 1 км.
Далее можно задаться таким вопросом: а что будет происходить, если перпендикуляры ЛЛ, и ВВ^ смотрят в разные стороны от прямой АВ (рис. 156, б)? Если вы не ошибетесь в выкладках, то должна получиться
для X такая формула: х= . ^ (в предположении, что а<Ь). А можно
J_
а
ли работать с этой формулой при a>ft? А при а=Ь} Что будет происходить на самом деле при таких соотношениях между а и Ь7
Планируем
Как вычислить сторону АС треугольника АВС, если известны: а) высота, опущенная на сторону ЛС, и углы, которые эта высота образует со сторонами ВА н ВС\ б) высота, опущенная на сторону ЛС, xLA, L.C7
143
Как вычислить углы: а) равнобедренного треугольника, если известно основание и высота к нему; б) треугольника, если известны его высота, опущенная на одну из сторон, и проекции других сторон на прямую, со-держагцую первую сторону; в) между диагоналями прямоугольника, если известны его стороны; г) ромба, если известны его сторона и диагональ;
д) ромба, если известны его диагонали; е) равнобокой трапеции, если известны все ее стороны; ж) равнобокой трапеции, если известны ее основания и площадь?
Даны две взаимно перпендикулярные прямые и две точки А н В. Известны расстояния от этих точек до данных прямых. Как вычислить угол между прямой АВ и данными прямыми?
Как вычислить площадь: а) прямоугольника, если известна его сторона и угол меж/]у нею и диагональю; б) прямоугольника, если известна его сторона и угол между диагоналями; в) ромба, если известен его острый угол и одна из диагоналей; г) равнобокой трапеции, если известны ее основания и острый угол?
Как сделать трапецию площадью 1, если при этом: а) ее основания равны 2 и 3; б) она равнобокая с большим основанием 2 и углом при нем 60°;
в) ее большее основание 2, а острые углы при нем 30° и 45°; г) она составлена из двух прямоугольных треугольников?
Работаем с формулой
1 I Запишите формулу тангенса. Выразите из нее: а) синус; б) косинус. Докажите, что для острого угла тангенс больше синуса. Выясните, для каких острых углов тангенс больше косинуса, тангенс больше котангенса?
11
(ПЖ2
ш Находим величину
Составьте для тангенсов таблицу, аналогичную таблице к задаче 7.6.
Вычислите тангенсы углов треугольников, рассмотренных в задаче 7.4, и найдите сами углы. ^
Вычислите неизвестные элементы прямоугольного треугольника АВС:
а Ь ^А
3,2 4,6
0,12 24°
570 66°
7.1 33°
0,63 10°
144
Ищем границы
2 I Из треугольника требуется вырезать прямоугольник наибольшей площади. Как это сделать, если исходный треугольник: а) равнобедренный прямоугольный; б) прямоугольный с неравными сторонами; в) равнобедренный с произвольным углом при вершине; г) произвольный?
1^ Доказываем
1 ] Используя тангенс, докажите, что квадрат высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Обобщите это равенство.
Исследуем
Через точку на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС проводится перпендикуляр к ней. Он встречает прямые АС и ВС в точках К и L. Требуется выяснить, будет ли сумма расстояний от этих точек до АВ постоянной. Если да, то чему она равна? Если нет, то в каких границах
она лежит.’'
Строим
З] Постройте угол ф, такой, что; а) lg9=-|-; б) tg4.
Рассуждаем
^ Расположите в порядке возрастания тангенсы таких углов: а) 70°, 80°, 100°; б) 60°, 110 . 120°; в) 130°, 140°, 160°
0
Выходим в пространство
В тетраэдре ABCD ребро АВ нерпеидик>'Лярно грани BCD, /LCDB=9Q°, АВ=\, BD=2, CD=3. Вычислите углы во всех гранях этого тетраэдра. Ребро BD тетраэдра ABCD перпендикулярно грани АВС, /L ЙЛС=90°. Пусть известны BD и все углы при вершине D. Как вычислить площадь по-верхностн тетраэдра? Приведите численный пример.
21 в основании четырехугольной пирамиды PABCD квадрат, а ребро РВ перпендикулярно основанию ABCD. Пусть известны РВ н все углы при вершине Р. Как вычислить площадь поверхности пирамиды? Приведите численный пример.
В основании четырехугольной пирамиды PABCD прямоугольник. Грань РСЙ является равнобедренным треугольником {PD=PC). Высота РК этой грани перпендикулярна основанию. Пусть известны РК и все углы при вершине Р. Как вычислить ее площадь поверхности? Приведите численный пример.
145
ЯШ1
I
оша
2_
<1ИШ1 н I
Применяем геометрию
Как вычислить угол подъема эскалатора метро?
Как вычислить среднюю крутизну склона по карте?
Солнце видно под углом ф. Чему равна наибольшая плошадь тенн на земле от стоящих вертикально на ней объектов: а) правильного треугольника со стороной d; б) квадрата со стороной d?
а) Как вычислить высоту башни, не подходя к ней?
б) Пусть вы подошли к башне на 1UL) м, а угол, под которым вы ее видите, изменился от 16® до 16®20'. Чему равна высота башни?
Как вычислить; а) ширину реки, глядя на нее с вышки; б) высоту дерева, растущего на склоне горы?
Вы идете по прямой дороге. Из двух ее мест, расстояние между которыми известно, вы видите гору под углом Смотрим
1) Как вычислить величины дуг окружности, радиус которой известен, по рисунку 176. а — ff?
2) Вычислите неизвестный угол по рисунку 176, г — и.
Объясните, почему точки А, К, С, L лежат на одной окружности (рис. 177).
^ Рисуем
Нарисуйте ломаную ЛВС. Найдите точку X, такую, что: а) /LAXB= =/LBXC=70° (как вычислить угол ЛХС?); б) /LAXB<30°, ZlfiA'OlOO'’;
в) AAXB>Q0°, АВХС>т°.
а) Найдите такую точку, из которой два данных отрезка видны под углом ф.
б) Найдите точку в треугольнике, такую, из которой все его стороны видны под равными углами.
в) На данной прямой (окружности) найдите точку, из которой данный отрезок виден под данным углом.
1
4(3 представляем
11 Дан угол. На какой линии располагаются центры окружностей, высекающих на его сторонах равные хорды?
Какую линию образуют середины всех хорд окружности, параллельных между собой?
Дана прямая. Найдите множество центров окружностей радиуса г, высекающих на данной прямой хорду длины а.
Дана окружность. Найдите множество центров окружностей радиуса г, высекающих на данной окружности радиуса R хорду длины а.
ШТГТ21 Какую линию образуют: а) центры окружностей, касающихся данной прямой в данной точке; б) центры равных окружностей, касающихся данной прямой; в) центры окружностей, касающихся сторон угла?
159
б)
в)
N
\i
г)
к
В каждой^ точке окружности радиуса R к ней проводится касательная и на каждой касательной от точек окружности отложен отрезок длины а. Какую линию образуют другие концы этих отрезков?
Какую линию образуют точки, из которых окружность радиуса R видна под заданным углом (р?
Работаем с формулой
Первую из величин в формуле d=2R • sin <р считайте постоянной, а вторую начните изменять. Как в зависимости от этого будет изменяться третья
величина? В каких границах лежит отношение -^? {d — длина хорды.
R — радиус окружности, <р — угол, под которым эта хорда видна из точки на окружности.)
Планируем
1Ш11] Две окружности пересекаются в двух точках. Радиусы окружностей и расстояния между их центрами известны. Как вычислить длину их обшей хорды?
160
■ИВМ I I в круге радиусом R через концы одного диаметра проведены две хорды длинами d| и do. Как найти: а) угол между прямыми, на которых лежат эти хорды; б) расстояние между их концами, не лежащими на данном диаметре?
Как построить полосу данной ширины, края которой проходят через две данные точки?
Нарисуйте окружность. Как выбрать на ней три такие точки, чтобы касательные к окружности, проведенные в этих точках, ограничили: а) равнобедренный треугольник; б) равносторонний треугольник; в) прямоугольный треугольник; г) треугольник с заданными углами; д) треугольник с заданными сторонами?
РП Находим величину
В круге радиусом 1 проведена хорда. Вычислите ее длину, если: а) она удалена от центра на ‘Д; б) она видна из центра под углом 150°; в) она равна перпендикулярной ей хорде, проходящей через ее конец; г) она образует с равной ей хордой, имеющей с ней общий конец, угол ср;
д) она делит перпендикулярный ей диаметр в отношении 1 :2.
В круге радиусом 3 проведена хорда. Под каким углом она видна из центра, если ее длина: а) равна 1; б) равна 3; в) меньше чем 0,1; г) больше чем 4; д) равна расстоянию от нее до центра; е) равна длине хорды, имеющей с ней общую точку на окружности и перпендикулярной ей?
В круге радиусом R проведены две параллельные хорды, а) Они ввдны из центра под углами ф, и ф^. Чему равно расстояние между ними?
б) Одна из них имеет длину d. Чему равна длина второй, удаленной от первой на расстояние Л?
Составьте другие задачи на этот сюжет.
Ш¥МК1 I I В круге радиусом R через точку внутри его проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной d. а) Найдите расстояние от центра круга до точки пересечения хорд, б) Найдите расстояние между концами этих хорд, в) Сможете ли вы решить задачу б), если длины хорд будут равны di н й(2? г) Сможете лн вы решить задачу б), если длины хорд будут d, а угол между ними ф? д) Обобщите задачу.
От точки А окружности радиусом R отложили две хорды АВ и АС длиной d. Хорду АВ продолжили за точку А на расстояние d до точки D. Чему равно CD? Как, исходя нз этой задачи, можно разметить окружность на ______ земле?
■ВЖШ 2 I В круге радиусом R проведена хорда. Под каким углом она видна из центра, если она; а) удалена от параллельной ей касательной на расстояние d; б) образует с касачельной, проходящей через се конец, угол ф; в) равна касательной, проведенной через некоторую точку на своем продолжении? Даня окружность радиусом R. Угол между двумя ее диаметрами равен q>. Параллельно диаметрам проведены две равные хорды. Каждая из них стягивает центральный угол, равный а. Чему равно расстояние между ближайшими точками этих хорд?
6 А.и’ксаил|'011 «Геочетрин. 8 кл.»
161
<Шб]
IPJilil fi I
Нарисуйте полуокружность с центром О и диаметром АВ. Пусть ОК ~~ радиус '^той полуокружности, перпендикулярный АВ. На прямой ОК находится точка X. а) При каком положении точки Xпрямая ВХделит пополам дугу АК\ ВЮ б) Пусть ^ОХВ=(р. Чему равны дуги полуокружности Ki и LB, где L — точка пересечения прямой ХВ с полуокружностью?
Хорда длиной с1 делит радиус круга пополам и перпендикулярна ему. Чему равен этот радиус?
Хорда длиной d удалена от одного из концов перпендикулярного ей диаметра на расстояние rf,. Чему равен радиус круга?
Даны окружнисгь радиусом 2 И точка А на ней. Чему равна длина хорды этой окружности, если она видна из точки А под углом: а) 30°; б) больи1е чем 90°; в) меньше чем 120°?
Под каким углом видна из центра круга радиусом R его хорда длиной d, если; а) d=l: б) /?=2, d>2\ в) R^2, ri<3; г) d=R\ д) dRj3 ; ж) R
<нвнь| На одной из сторон угла дан отрезок. На другой стороне найдите точку, из которой отрезок виден лучше всего.
fEEEm Дан сектор круга, меньший чем полукруг. В каких границах лежит его хорда? (Ее концы могут лежать как на дуге окружности, так и на ее радиусах.)
Какой из треугольников с данным основанием и данным углом против него имеет наибольшую площадь?
1ИПИ~б1 Какой из треугольников с данным основанием и данным углом против него имеет наименьший периметр?
^ Доказываем
а) Через точку А данной окружности проводят хорды. I) Объясните, почему из А выходит не больше двух хорд заданной длины. 2) Пусть АВ и АС—две равные хорды. Докажите, что хорда ВС перпендикулярна диаметру, выходящему из А.
б) Пусть точка А лежит внутри круга. Составьте задачи, аналогичные задаче а).
Докажите, что в одном и том же круге равны две дуги, заключенные между; а) двумя параллельными хордами; б) касательной и параллельной ей хордой.
На окружности отмечены две точки А и В. На одной из полученных дуг взята точка X, а на другой — точка К причем ни одна из них не совпад^ает с точками А и S. Докажите, что сумма углов АХВ и AYB одна и та же при любом положении точек н К
а) Пусть точка X лежит внутри круга диаметром АВ, но не на АВ. Докажите, что угол АХВ тупой.
б) Пусть точка X лежит вне круга диаметром АВ, но не лежит на прямой АВ. Докажите, что угол АХВ острый.
в) Проверьте утверждения, обратные а) и б).
г) Сформулируйте задачи, аналогичные задачам а) н б) для точек пространства.
Через точку А на окружности проведены касательная АВ (А — точка касания) и хорда АС. Биссектриса угла ВАС пересекает окружность в точке
К. а) Докажите, что КА=КС. б) Докажите обратное, в) Как, исполадуя результаты а) и б), можно строить точки окружности, имея на рисунке только касательную и хорду?
СШИ Нарисуйте острый угол А и внутри его точку В. Пусть B^ и В^ — ее проекции на стороны угла, а) Докажите, что отрезок ДД, виден из точек А и В-2 НОД равными углами, б) Из каких точек видны под равными углами
отрезки ВВ^, АВ,
АВз?
163
СЕГ61
*дягб1
Пусть AA^B^B — квадрат, точка О — его центр. На стороне квадрата АВ как на гипотенузе построен во внешнюю от квадрата сторону прямоугольный треугольник АВС. а) Докажите, что СО — биссектриса угла С.
б) Пусть стороны треугольника равны 1 и 2. Вычислите СО. в) Будет ли СО биссектрисой угла С, если треугольник построить по другую сторону от прямой АВ}
В четырехугольнике два противоположных угла тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая их вершины, короче другой диагонали. Изменится ли результат, если эти углы будут прямые? острые?
Исследуем
В окружности радиусом R через одну ее точку проведены две хорды, образующие между собой угол ф, длины хорд равны d, и Установите зависимость между этими величинами, а) Как выглядит эта зависимость при ^[=^2? б) А если ф=90°? в) Как найти одну из этих величин, зная остальные?
Две окружности радиусами /?, и /?2 ^ центрами и 0^ пересекаются в точках А н В. а) Докажите, что ABl-O^O^. б) Докажите, что АВ делится прямой 0|С>2 пополам, в) В каком случае 0[02 делится прямой АВ пополам?
г) Установите свя.зь между /?,, АВ, 0,02- Как она выглядит при /?, =/?2?
д) Как выразить одну из этих величин через другие? Выразите длину отрезка АВ через остальные величины. Как изменяется эта величина при изменении
одной из других:*
.о
1ШР1
в круге радиусом R провели две взаимно перпендикулярные хорды. Известно одно из расстояний между концами этих хорд. Сможете ли вы найти какое-нибудь из других таких же расстояний?
Из точки А проведены к окружности радиусом R с центром О две касательные. Они касаются окружности в точках В и С. Пусть /.ДЛС=<р,
а) Какая связь есть между величинами R, АО, ВС и ф? б) Как изменяется ф, если возрастает АО? R? в) Проведите среднюю линию треугольника АВС. Будет ли она иметь с окружностью общие точки?
Какую линию образуют все такие точки, касательные из которых к двум данным окружностям равны?
Одна окружность касается данной прямой в точке А, а другая окружность касается ее в точке В. Эти окружности касаются между собой. Какую линию образуют точки касания этих окружностей?
2 I Дана полуокружность с центром О. Из каждой точки X, лежащей на про-должег1ии диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается отрезок АТ, равный отрезку ХО. Какую ——gff—. фигуру обра.зуют точки К?
fMiM 5 I Верно ли, что в одной и той же окружности большая дуга стягивается
___ большей хордой? Верно ли обратное?
ЛЬКЙЯ 51 Проведены две хорды АВ и ВС некоторой окружности. Пусть известны их длины и величины дуг, которые они стягивают. Можете ли вы найти длину АС и величину дуги, которую стягивает хорда АС?
т
<
164
аюляя til
iom-K]
iJ
1Ш б1
Точка С лежит на окружности диаметром АВ, точка С, — проекция точки С на АВ. Рассмотрим величины: R — радиус окружности, СС,, АС, ВС, АС\, ВС\. Выберите любые две из них как известные и постарайтесь найти остальные.
В окружности проведена хорда АВ. Переменная хорда CD пересекает данную хорду и перпендикулярна ей. Как изменяется величина ЛC^+fiD^? Две окружности пересекаются в точках А п В. Через В проводится переменная прямая, пересекающая окружности в точках С и D. Как изменяется угол CAD}
Две окружности пересекаются в точках Л и б. К ним проводится общая касательная. Пусть точки С п D — точки касания. Пусть известен угол, под которым отрезок CD виден из точки А. Можно ли найти угол, под которым отрезок CD виден из точки 5?
Точка О лежит на отрезке АВ. По какой линии движется точка X, такая, что ^ХОВ=2^КАВ'>
Треугольник АВС равнобедренный. На стороне АС как на диаметре построена полуокружность. Она пересекает боковые стороны треугольника АВ и ВС в точках К а L соответственно, а) Докажите, что KL\\AC.
б) Пусть Z.ЛбC=ямой YZ.
В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD. Проведены два диаметра ЛЛ, и СС,. Докажите, что хорды A^B и C^D взаимно перпендикулярны.
Хорда ВС угла Л, равного 60°, разделена на три равные части точками К и L- BK=KL=LC. При этом Х.АКС=В0°. Чему равны углы треугольника АВС?
На стороне АС остроугольного треугольника Л/?С как на диаметре построена окружность. Она пересекает стороны АВ v\ ВС в точках К и L. В этих точках проводятся касательные к проведенной окружности до пересечения в точке М. Докажите, что прямые ДМ и АС взаимно перпендикулярны.
На диаметре АВ окружности взята точка С. Точка D — середина отрезка СВ. Через D проведена хорда KL> перпендикулярная этому диаметру. Докажите, что прямые CL п АК взаимно перпендикулярны.
Две окружности касаются внешним образом. К ним проведена общая касательная. Под каким углом видна их общая касательная из их общей точки? Две окружности пересекаются, и при этом центр каждой из них лежит вне другого круга. Через одну из их общих точек проводится общая секущая. В каком положении ее длина является наибольшей?
Даны две концентрические окружности, а) По большей из них движется точка. Докажите, что сумма квадратов расстояний от нее до концов фиксированного диаметра другой окружности есть величина постоянная,
б) На одной из них зафиксирована точка. Докажите, что сумма квадратов расстояний от нее до концов произвольного диаметра другой окружности есть величина постоянная.
Даны две точки А н В. Точка X движется по плоскости так, что длина медианы AD треугольника АВХ остается постоянной. По какой линии она движется?
На столе лежат четыре монеты разного достоинства, причем каждая из них касается ровно двух других. Х1окажнте, что четыре точки касания лежат на одной окружности.
§ 13. Выпуклые многоугольники
13.1. Выпуклые фигуры
Согласно определению, данному в п. 1.3, многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Вместе с тем в геометрии есть общее понятие выпуклой фигуры, которое определяется совсем иначе.
Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соеди-
167
Рис, 178
няющин их отрезок; на рисунке 178 фигура/■’;выпуклая, а G невыпуклая.
Удобно считать, что выпуклыми являются также фигуры, состоящие из одной точки, и пустая фигура (или пустое множество) ~ фи1'ура, не имеющая точек.
13.2. Примеры выпуклых фигур
\) Круг. Пусть /4, В — две точки данного круга К. Проведя отрезок АВ и продолжив его, если нужно, до пересечения с окружностью, получим хорду (рис. 179, а). Хорда содержится в круге (докажите это сами). Значит, отрезок АВ содержится в круге. Тем самым круг — выпуклая фигура.
2) Плоскость, прямая, луч, отрезок.
3) Полуплоскость — это часть плоскости, ограниченная прямой (рис. 179, б). Полуплоскость является выпуклой фигурой, так как отрезок, соединяющий две любые точки полуплоскости, содержится в ней (рис. 179, в).
Полуплоскости, как мы увидим, являются в некотором смысле самыми важными выпуклыми фигурами.
Приведите еще примеры выщ’клых и невыпуклых фигур.
а)
б)
в)
Q
Рис. 179
13.3. Два определения выпуклого многоугольника
в п, 1.3 мы доказали, что выпуклые многоугольники являются выпуклыми фигурами (свойство 2). Верно и обратное: выпуклая фигура, которая является многоугольником, будет выпуклым многоугольником (в смысле определения, данного в п. 1.3).
Доказательство. Пусть многоугольник Р является выпуклой фигурой. Докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
Допустим противное, т. е. допустим, что у многоугольника Р есть такая сторона АВ, что многоугольник имеет точки, расположенные по обе стороны от прямой
АВ. Пусть С и D — две такие точки (рис. 180). Тогда из-за выпуклости многоугольник Р должен содержать все отрезки, соединяющие точку С с точками X отрезка АВ. Следовательно, многоугольник Р содержит треугольник АВС. Точно так же он содержит и треугольник А ВО.
Оба треугольника лежат по разные стороны от прямой АВ и, значит, образуют четырехугольник, содержащийся в многоуг ольнике Р. Внутренние точки отрезка АВ лежат внутри четырехугольника ABCD, а значит, и внутри многоугольника Р. Следовательно, отрезок АВ не может быть стороной многоугольника Р.
Получилось противоречие, которое показывает, что предположение, будто у многоугольника Р есть точки по разные стороны от прямой, содержащей его сторону, неверно. Значит, он лежит по одну сторону от каждой такой прямой, что и требовалось доказать. ■
Итак, мы убедились, что два различных определения выпуклости многоугольника дают один н тот же результат: многоугольник, выпуклый в смысле первого определения, будет выпуклым и в смысле второго и наоборот. Значит, эти определения равносильны. (По существу, каждое из равносильных определений некоторого понятия является его характерным свойством.)
D
13.4. Пересечение выпуклых фигур
При пересечении выпугепых фигур свойство выпуклости сохраняется. А именно имеет место такая георема; Теорема 17
Пересечение двух выпуклых фигур выпукло.
Доказательство. Пусть п — две выпуклые фигуры и Г— их пересечение (рис. 181). Если две точки
169
А н в приЕодлежат F, то, значит, они принадлежат и F|, и F,. А так как фигура выпуклая, то она содержит отрезок АВ. Точно так же F2 содержит отрезок АВ. Поэтому он содержится в пересечении F, и /"g- т- е. в F. Итак, отрезок, соединяющий любые две точки /1, В фигуры F, содержится в F, т.е. фиг7ра F выпуклая. ■
Замечание I. Эта теорема справедлива и для пересечения любой совокупности выпуклых фигур. Доказательство ее останется тем же.
Замечание 2. В частности, пересечение фигур может быть пустым или состоять из одной точки. Если бы пустое множество и одна точка не считались выпуклыми фигурами, то эти случаи надо было бы исключить из теоремы и ее нельзя было бы формулировать так просто, как это сделано.
Доказанная теорема позволяет получать новые выпуклые фигуры как пересечение известных. Мы уже говорили в п. 1.3, что выпуклые многоугольники можно получить как пересечение конечного числа полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольников. Круг является пересечением бесконечного семейства полуплоскостей, ограниченных его касательными (опорными) прямыми (рис. 182).
W/
Рис.182
13.5. Опорные прямые выпуклых фигур
Будем рассматривать выпуклые фигуры, содержащие свою границу. Для них выполняются теоремы.
1. Через каждую точку границы выпуклой фигуры проходит опорная прямая.
Доказательство. Пусть А — граничная точка выпуклой фигуры /-'(рис. 183, а). Проведем через каждую точку X фшуры F луч АХ. Все эти лучи лежат в одной полуплоскости а. (Допустив противное, найдем треугольник XYZ, который содержится в F и внутри которого лежит точка А (?) (рис. 183, б), к это невозможно, так как точка А граничная.) Граница полуплоскости а и является опорной прямой фигуры F, проходящей через точку А. Ш
2. Каждая выпуклая фигура, содержащая свою границу, является пересечением полуплоскостей, ограниченных опорными прямыми (рис. 184).
Именно поэтому мы говорили, что полуплоскость — самая важная выпуклая фигура. Доказать эту теорему попробуйте самостоятельно.
а)
:0L
Рис.183
170
II
II
Вопросы
1. Какие вы знаете выпуклые фигуры?
2. Какие свойства выпуклых фигур вы знаете?
3. Как доказывается равносильность двух определений выпуклого многоугольника?
Задачи к § 13
Дополняем теорию
Докажите, что диаметром выпуклого многоугольника является либо его сторона, либо диагональ. Верно ли это для иевыпуклого многоугольника? Сколько сторон в выпуклом многоугольнике можег равняться его диаметру? А диагоналей?
XI Внутри многоугольника с периметром лежит выпуклый многоугольник М2 с периметром Р^. Докажите, что Будет ли это верно, если
многоугольник М2 не будет выпуклым?
Разбираемся в решении
Нарисуйте фигуру, отличную от круга, для которой расстояние между любыми параллельными опорными прямыми равно ширине фигуры.
Решение.
Разберитесь в решении этой задачи, которое дано в очень хорошей книге Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и фигуры». Мы приводим его полностью.
«Простейшая кривая постоянной ширины, не являющаяся окружностью, — это равносторонний треугольник, составленный из дуг окружностей таким образом, что каждая вершина его совпадает с центром противолежащей дуги (рис. 185). Все три дуги имеют один и тот же радиус, который и представляет собой постоянную ширину кривой. Ведь из двух параллельных опорных прямых либо одна непременно проходит чере.з вершину, а другая касателыга к противоположной дуге, либо обе проходят через вершины, и тогда обе они в этих вершинах касательны к дугам.
И в том и в другом случае расстояние между двумя параллельными опорными прямыми равно длине радиуса, перпевдикуляриого к касательной в точке касания».
Все ли вам понятно в этом тексте? Считаете ли вы, что нужны какие-либо промежуточные доказательства?
Продолжим текст из этой книги.
«Из всех кривых постоянной ширины этот дуговой треугольник впервые был замечен (!) в тех-
171
нике. Механик Рело в своей классификации механизмов установил, что эта фигура допускает вращение внутри квадрата при постоянном соприкосновении с его сторонами, а это свойство характерно для всех кривых постоянной ширины».
Не хотите ли вы проверить наблюдение Рело? Далее в книге рассказывается, как строить другие фигуры постоянной ширины. Попытайтесь сами построить «пятиугольник» постоянной ширины. Есть в ней и другие интересные факты о таких кривых. Есть, к примеру, такие кривые постоянной ширины, никакая часть которых не является дугой окружности.
И еще одно. Сверло обычно делает круглые отверстия. А можно ли просверлить квадратное отверстие?
Смотрим
Как найти диаметр фигур по рисунку 186? дяга Как найти ширину каждой из фигур на рисунке 186?
а)
Рисуем
Нарисуйте плоскую фигуру, которая в каждой своей точке, где имеется опорная прямая, имеет их бес-
в)
конечное множество.
€
Представляем
Из плоскости убрали одну точку. Оставшуюся фшуру хотят представить как объединение выпуклых фигур.
Каково наименьшее число выпуклых фигур, решаю-щих задачу?
ШЯа 1.2 Из плоскости убрали две точки. Оставшуюся фигуру хотят представить как объединение выпуклых фигур.
Каково наименьшее число выпуклых фигур, решающих задачу.
Может ли фигура: а) не иметь опорных прямых; б) иметь только одну опорную прямую; в) не иметь опорной прямой только в одной точке:
г) иметь опорную прямую только в одной точке?
Рис. 186
И
Находим величину
Чему равна ширина: а) прямоугольника со сторонами I и 2; б) правильного треугольника со стороной 1; в) равнобедренного треугольника с боковой стороной 1 и углом ф при вершине?
172
^ Доказываем
Д] Выпуклая фигура содержит три точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что она содержит треугольник с вершинами в этих точках. Будет ли это верно для невыпую'юй фигуры?
I Середины всех сторон выпуклого многоугольника являются вершинами другого многоугольника, а) Объясните, почему второй многоугольник является выпуклым, б) Докажите, что периметр второго многоугольника не меньше половины периметра первого. А когда достигается равенство? Будет I _____ -ЛИ верна аналогичная оценка для их площадей?
^ ДКИШI Нарисуйте пять точек на плоскости так, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что и все пять являются вершинами выпуклого пятиугольника. Как вы это обобщите? Нарисуйте пять точек на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Как вы это обобщите?
Внутри выпуклого многоугольника берется любая точка и проектируется на все его стороны. Докажите, что хоть одна ее проекция окажется именно на стороне, а не на ее продолжении.
Исследуем
.2 I Может ли фигура иметь ровно один диаметр? ровно два диаметра? ровно три диаметра? Разберите отдельно случаи для выпуклой и невыпуклой
ДМШ'П
<|Жз]
фигур.
Может ли фигура иметь два параллельных диаметра?
Есть ли такая фигура (выпуклая н невыпуклая), которая разбивается на две части, каждая из которых имеет диаметр меньший, чем диаметр данной фигуры? Зависит ли ваш ответ от того, является линия разбиения прямой или нет?
Можно ли круг разбить на две части диаметра меньшего, чем диаметр круга? А на три такие части?
Пусть фигура имеет два диаметра. Обязательно ли они имеют общую точку?
а) Даны выпуклая фигура F и точка А вне ее. Точка А соединяется отрезками со всеми точками F. Будет ли объединение всех этих отрезков выпуклой фигурой? Изменится ли результат, если F не будет выпуклой фигурой?
б) Даны две выпуклые фигуры F, и Fg- Все точки каждой из них соединяются со всеми точками другой. Будет ли объединение всех этих отрезков выпуклой фигурой? Изменится ли результат, если F, и Fg не будут выпуклыми фигурами?
Какие свойства выпуклого четырехугольника следуют из того, что он:
а) разбивается своей диагональю на два равных треугольника; б) разбивается двумя своими диагоналями на четыре равных треугольника? Сколько сторон и углов выпуклого четырехугольника надо знать, чтобы вычислить остальные его элементы?
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость два: а) треугольника; б) выпуклых четырехугольника; в) выпуклых «-угольника?
173
Дтагз1
<К1К1Н и1
€
в выпук-пом пятиугольнике провели все диагонали. Они ограничивают разные многоугольники, лежащие в данном. Найдется ли среди них пятиугольник? Сделайте аналогичную работу в шестиугольнике. Как вы обоб-нщте результаты своей работы?
Нарисуйте выпуклый четырехугольник и проведите в нем все диагонали. Получим разбиение четырехугольника на треугольники. Внутри любого из этих треугольников выберите точку и подсчитайте, сколько треугольников с вершинами в вершинах данного четырехугольника ее содержат. Проведите аналогичные наблюдения за другими выпуклыми многоугольниками. Какое вы можете сделать предположение? Можете ли вы его опровергнуть? а доказать?
Участвуем в олимпиаде
таи
Может ли у выпуклого многоугольника быть три параллельных стороны? Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали кото-
рого равны.’'
Может ли длина одной из сторон выпуклого гг-угольника быть больше длины любой другой его стороны: а) в « раз; б) в л-*1 раз?
В выпуклом пятиугольнике ABCDE Z B=AD—Q0°, периметр треугольника АВЕ равен 1. Каково наибольшее значение для диагонали SD?
В шестиугольнике Л ,Л2?1зу4,|,Л5/1е сторона A^A2 равна и параллельна стороне Л4Л5, сторона Л2Л3 равна и параллельна стороне Л5Л6, сторона Л3Л4 равна и параллельна стороне А(/\^. Площадь шестиугольника известна. Можно ли найти площадь треугольника Л2Л.4Л6?
Каждая сторона выпуклого шестиугольника длиннее 1. Всегда ли найдется в нем диагональ длиннее, чем 2?
В выпуклом шестиугольнике Л1Л2Л3Л4Л5Л0 площадью 5 провели диагонали ЛбЛз, Л|Лз, Л2Л4. Л3Л5, Л.,Л0, Лг,Л,. Их середины соответственно В,, В2, В3, Б4, В5, Bq являются вершинами выпуклого шестиугольника. Чему равна его площадь?
Докажите, что в любом выпуклом п-угольнике (п^5) найдутся /г диагоналей, сумма длин которых больше периметра этого «-угольника, но меньше его удвоенного периметра.
Докажите, что в любом выпушюм л-угольЕШке {п>‘\) с периметром Р
найдется диагональ, длина которой больше чем
2Р
и найдется диагональ.
длина которой меньше, чем
}
174
§ 14. Вписанные и описанные окружности
9 Из всевозможных случаев взаимного расположения окружностей и многоугольников выделяют те случаи, когда окружность проходит через все вершины многоугольника или касается всех его сторон. В первом случае говорят, что окружность описана около многоугольника, а во втором — что она вписана в него. Такое взаимное расположение многоугольников и окружностей находит разнообразные применения.
Не в каждый .многоугольник можно вписать окружность или описать ее около него. Нет таких окружностей у иевыпуклого четырехугольника (и вообще у любого невыпуклого многоугольника). Но ясно, что, скажем, у квадрата такие окружности есть (рис. 187). Поэтому прежде всего выясним, в каком случае около многоугольника можно описать окружность и когда в многоугольник можно вписать окружность.
14.1. Окружность, описанная около многоугольника
Говорят, что многоугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на ней (рис. 188, а). Тогда об этой окружности говорят, что она описана около многоугольника.
Ясно, что около многоугольника можно описать окружность. если найдется точка, равноудаленная от всех его вершин (рис. 188, б). Эта точка лежит на серединном перпендикуляре каждой стороны многоугольника (рис. 188, в). Следовательно, около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон нме-
Рис.188
■
ют общую точку. Эта точка и будет центром описанной окружности.
Около каждого треугольника можно описать окружность (это доказано в следующем пункте). Но не около каждого даже выпуклого четырехугольника можно описать окружность. Например, для параллелограмма это можно сделать лишь тогда, когда параллелограмм является прямоугольником (объясните почему, рис. 189).
14.2. Окружность, описанная около треугольника
Чтобы утверждать, что серединные перпендикуляры любых двух сторон треугольника пересекаются, докажем следующую лемму:
Лемма
Прямые, перпендикулярные пересекающимся прямым, пересекаются.
Доказательство. Пусть прямые а я Ь пересекаются, прямая р±а и прямая qLh (рис. 190). Допустим, что
прямые ряд параллельны. Тогда поскольку aJ_p и 7\\q,
pWq, то al.q. А так как и Л±<7, то а\\Ь. Это противоречит условию леммы. Итак, допущение, что p^q, привело к противоречию. Поэтому р и ^ пересекаются. ■ Теорема 18
Около каждого треугольника можно описать окружность.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС (рис. 191). Проведем серединные перпендикуляры р и q его сторон АВ и ВС. Они пересекутся в некоторой точке О (по лемме). Так как Оер, то ОА = ОВ. А так как O^q, то ОВ=ОС. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О
176
Г
7
I
равноудалена от всех вершин треугольника АВС. Значит, около треугольника АВС можно описать окружность с центром в точке О и радиусом R—OA. ■ Выделим важный частный случай; центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы.
Действительно, пусть АВ — гипотенуза прямоугольного треугольника АВС (рис. 192), точка О — середина ЛВ, а точка М — середина катета АС. Так как средняя линия ОМ параллельна катету ВС (см. п. 10.3), то прямая ОМ перпендикулярна катету АС. Поэтому ОМ — серединный перпендикуляр катета АС. Значит, 04=ОС. А так как ОА=ОВ, то точка О — центр окружности, описанной около треугольника АВС. ■
Как же найти радиус R окружности, описанной около треугольника АВС, если известны его стороны а, Ь, с? Оказывается, что
2R=
а
sin А sin В sin С ■
(1)
(Вспомните, что равенство этих отношений является теоремой синусов.)
Докажем равенство (I), Проведем через центр О окружности, описанной около треугольника АВС, диаметр BD {рис. 193). Получим прямоугольный треугольник BCD с гипотенузой BD. Тогда
BD=
ВС
D
(2)
Рис. 193
Но вписанные углы А и D опираются на одну и ту же дугу ВС. Поэтому /LA=AD. Так как BD=2R и ВС=а, то из (2) следует (1). ■
Так как из (1) sin А=-^, то, подставляя значение sin/4 в формулу 5=y6csin Л, получаем, что площадь
(3)
14.3. Окружность, вписанная в многоугольник
Говорят, что многоугольник описан около окружности, если все его стороны касаются данной окружности (рис. 194, а). Тогда об этой окружности говорят, что она вписана в данный многоугольник. Итак, окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. Этот многоугольник — выпуклый.
7 Ллексаюров «Геометрия. 8 кл.»
177
(объясните почему, рис. 195).
14.4. Окружность, вписанная в треугольник
Теорема 19
В каждый треуго.аьник можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС (рис. 196). Проведем биссектрисы р а q его углов А и В. Они пересекутся в некоторой точке О. Так как О^р, то ома равноудалена от сторон АВ и АС, а так как O^q, то она равноудалена от сторон ВС и ВА. Поэтому точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС. Итак, в треугольник АВС можно вписать окружность с центром в точке О. ■
Площадь трруголкникя ARC. его периметр Р= =а+Ь+с И радиус г вписанной в него окружности связаны равенством
(4)
Действительно, высоты треугольников ОВС, ОСА и
РУ
У‘-'
ка
тр
ок
(р
178
ОЛб, проведенные из вершины О, равны г. А сумма пло1дадей этих треугольников равна S. Поэтому
5 = у аг+ у ЙГ+ у сг= у (а+{>+с)г= у Рг,
т. е. имеет место (4). ■
Из равенства (4) и находят радиус вписанной окружности.
Равенство (4) справедливо и для любого многоугольника, в который можно внисагь окружность. Докажите его самостоятельно, разбив многоугольник на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности и основаниями на сторонах многоугольника (рис. 197). •
Вопросы
1. Окружность описана около многоугольника. Как это можно сказать иначе? При каком условии это возможно? Как построить такую окружность? Откуда следует единственность такой окружности?
2. Ответьте на вопросы в № 1, но для окружности, вписанной в многоугольник.
3. О многоугольнике высказаны два утверждения: а) около него можно описать окружность; б) в него можно вписать окружность. Приведите пример такого многоугольника, для которого: верны оба утверждения; только одно из них; ни одно из этих утверждений не является верным. Какую роль при этом играет выпуклость многоугольника?
4. Как вычислить радиус окружности, описанной около: а) треугольника;
б) многоугольника?
5. Как вычислить радиус окружности, вписанной в: а) треугольник; б) многоугольник?
Задачи к § 14
4+
• Дополняем теорию
Докажите, что можно описать окружность около; а) прямоугольника; б) равнобокой трапеции. Проверьте обратные утверждения.
Докажите, что во вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°. Верно ли обратное утверждение?
Установите положение центра окружности, описанной около равнобедренного треугольника, в зависимости от угла при его вершине.
В окружность радиусом R вписан равнобедренный треугольник. Пусть его высота, проведенная из вершины, равна /г, а ее продолжение до окружности равно d, основание равно а, а боковая сторона равна Ь. а) Докажите, что =2Rh. Выразите из этой формулы R. Как изменяется R в зависимости от /г, если считать Ь постоянной? б) Докажите, что л^=4УЛ.
Докажите, что можно вписать окружность в: а) квадрат; 6) ромб.
179
б4.1 ( 1
«4.2 ( 1
ШИ
Докажите, что в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Докажите обратное.
а
Разбираемся в решении
Как вычислить радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, если в трапеции известны все стороны?
Решение. Р„с. 199
Обычное решение задач на нахождение радиусов описанной и вписанной в многоугольник окружностей состоит в том, что устанавливают положение центра окружности, затем рисуют нужный радиус и т. д.
Здесь можно обойтись без всего этого. В самом деле, окружность, описанная около этой трапеции, будет проходить через ее вершины А, В, С, D (рис. 198). Но тогда она будет проходить через любую тройку этих вершин, например через А, В н D. Тем самым она будет окружностью, описанной около треугольника ABD. Верно и обратное (?). (Кстати, а нужна ли ссылка на справедливость обратного утверждения?) Поэтому радиус, который мы хотим найти, можно искать как радиус окружности, описанной около треугольника ABD.
В задаче его можно найти по такому плану:
1. Проведем хорду трапеции ВК, параллельную CD; BK=CD (?).
2. Из треугольника АВК найдем Z.A (?).
3. Вычислим радиус описанной окружности по формуле
BD
R=
2 sin А
(5)
Смотрим
П Какие отрезки и углы можно найти на рисунке 199?
С / \ в.
/ у \ \ /
Z.BAD = а. /ЛВС = р ZLCrZ? = cp
180
*7?
AB = k,BK = a AK = b, CD = d
Рис. 199
BK = a,KD = b
AD = b
AD = 3BC
KC = c
CL = b
Рис. 200
^ Какие элементы трапеции можно вычислить по данным, указанным на рисунке 200?
^ Рисуем
1J Нарисуйте выпуклый многоугольник, около которого нельзя описать окружность.
1
ШШ]
" Планируем
iHilTl Как вычислить радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, если в трапеции и.звестны: а) диагональ и угол, под которым она видна из противоположной вершины; 6) большее основание и угол, под которым оно видно из вершины другого основания; в) большее основание, боковая сторона и угол между ними; г) два основания и диагональ?
Как сделать трапецию, вписанную в круг радиусом R, у которой: а) диагональ перпендикулярна стороне; б) три стороны равны; в) угол при основании равен ф?
Около треугольника описана окружность радиусом R, Как найти его площадь, если известны: а) его углы; б) две его стороны; в) один угол и одна сторона?
Нарисуйте окружность. Как выбрать на ней четыре такие точки, чтобы касательные к окружности, проведенные в этих точках, ограничили:
а) ромб; б) квадрат?
От квадрата отрезали прямоугольный равнобедренный треугольник. Катет его равен половине стороны квадрата. Пусть сторона квадрата известна. Как найти радиус наибольшего круга, умещающегося в оставшемся от квадрата пятиугольнике?
Попробуйте на этот сюжет сами составить задачу.
Как сделать трапецию, в которую можно вписать окружность и у которой при этом: а) три стороны равны; б) бока равны, а диагонали перпенди-______ кулярны?
1EHW 4 I Как вычислить радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, у которого известны: а) катеты; б) гипотенуза и острый угол;
в) площадь и острый угол; г) периметр и острый угол?
181
(14.20(2
(14.22(2
(i4.23( 2
В равнобедренный треугольник с известными сторонами вписана окружность. В ней проведена хорда, соединяющая точки касания с боковыми сторонами, а) Как найти длину этой хорды? б) Сравните длину хорды со средней линией, проведенной через середины боковых сторон треугольника, в) Сравните хорду с радиусом этой окружности.
В треугольник вписана окружность. Как вычислить ее радиус, если известны: а) две стороны и угол между ними; б) сторона и два прилежащих к ней угла?
Работаем с формулой
Пусть а, Ь, с — стороны треугольника, S — его площадь, R — радиус описанной около пего окружности. Какие следствия можно получить из фор-
мулы 5=^?
□
Находим величину
а) Чему равна площадь равнобокой трапеции, если радиус описанной окружности равен R, ее основания видны из центра окружности под углами а и р?
б) Чему равен радиус окружности, описанной около равнобоковой трапеции, у которой угол при основании равен ф, а площадь равна 5?
а) Вычислите сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 1.
б) Вычислите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1.
в) Установите зависимость между стороной равностороннего треу10ль-fiHKa и радиусом описанной около него окружности.
Вычислите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если в нем: а) основание равно 2, а боковая сторона равна 3; 6) основание равно 1, а угол при вершине равен ф; в) площадь равна S, а угол при основании равен ф.
В окружность радиусом I вписан равнобедренный треугольник. Чему равна его площадь, если: а) боковая сторона равна 1; б) высота, опущенная на основание, равна г, в) основание равно 2d; г) угол при вершине равен <р? Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, в котором: а) стороны равны 6, 8, 10; б) стороны равны 6, 8, 9; в) с=2. ЛЛ=20°, Z5=40°; г) а-3, 6=4, ZC=60°. ftlWa 3 I Чему равен радиус окружности, вписанной в: а) ромб со стороной а и углом а между сторонами; б) четырехугольник, являющийся объединением двух равнобедренных треугольников с общим основанием (дельтоид), если боковые стороны этих треугольников равны д и 6, а угол между этими сторонами с общей вершиной равен ф?
а) Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 1.
б) Вычислите сторону равностороннего треугольника, описанного около окружности радиусом 1.
(14.24(2
(ШЖЮ
(14.27(4
182
I
Окружность радиусом г, вписанная в треугольник, разбивается точками касания на дуги а, р, у. Чему равны стороны треугольника? Составьте обратную задачу.
ПТ
Ищем границы
Пусть АВ — диаметр окружности. Из точек А н В проведены две параллельные хорды АС и BD. а) Каким по виду будет четырехугольник ABCD'*
б) Пусть АС=х. Выразите площадь четырехугольника ABCD как функцию от д, если радиус окружности равен 1. В каких границах изменяется площадь?
В круг радиусам R вписываются прямоугольники. Чему равна наибольн1ая из их площадей?
Из всех четырехугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, который имеет наибольшую площадь.
Как вычислить радиус наименьшего круга, содержащего данную равнобокую трапецию?
По окружности, описанной около равностороннего треугольника, движется точка X. Сторона треугольника известна. В каких границах изменяется сумма расстояний от X до вершин треугольника?
В каких границах лежит площадь описанной около данной окружности
фигуры: а) ромба; б) равнобокой трапеции:
^ Доказываем
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB-CD+ +AD'BC=AC-BD. [Теорема Птолемея.)
(ЕШЭ Пусть а, Ь, с. d — стороны вписанного в окружность четырехугольника. р — его полупериметр, а S — его площадь. Докажите, что S=
= Jip -а)(р - h)(p - с){р - d). Какие следствия вы можете получить из этой формулы?
Докажите, что: а) из всех прямоугольных треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник; б) из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. iElfck^ а I Около окружности описана равнобокая трапеция. Докажите, что; а) прямая, соединяющая точки касания окружности с основаниями, перпендикулярна этим основаниям; б) прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, параллельна основаниям. Вершинами какого по виду четырехугольника могут быть четыре точки касания? ежи в треугольнике совпадают центры вписанной и описанной окружностей. Докажите, что он является равносторонним.
Исследуем
Может ли радиус описанной около треугольника окружности быть: а) меньше кажа,ой его стороны; б) больше каждой его стороны; в) равен каждой
его стороне.'’
41
183
в треугольнике все стороны различны. Можно ли узнать, какая из них видна из центра описанной окружности под наибольшим углом?
2 I Треугольник лежит внутри круга. Сравните радиус этого круга с радиусом
______ описанной около треугольника окружности.
МЕКВ1 2 I Около треугольника описана окружность. Из любой точки этой окружности проведите перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Что можно заметить на рисунке? Сможете ли вы это доказать?
Сможете ли вы восстановить равнобедренный треугольник, если остались центр описанной около него окружности и; а) боковая сторона; б) основание? Сможете ли вы восстановить треугольник, вписанный В некоторую окружность, если на рисунке остались точки пересечения с этой окружностью продолжений: а) его биссектрис; б) его высот; в) его медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из одной вершины?
Нарисуйте четырехугольник, описанный около данной окружности. Нарисуйте прямую, проходящую через середины его диагоналей. Что можно заметить на рисунке? Как это доказать?
В прямоугольный треугольник вписана окружность. Пусть точка О — ее центр, точка L — точка касания с катетом ВС, точка М — точка касания с катетом АС, точка К—точка касания с гипотенузой АВ. а) Какой по виду четырехугольник OL.CM? 6) Может ли какая-либо точка касания быть серединой соответствующей стороны? в) Пусть jLA>AB. Какая из хорд окружности: KL, LM или МК— ближе к центру? г) Пусть точка К делит гипотенузу на отрезки длиной d^ и d.j. Чему равна площадь треугольника? Какие элементы равнобедренного треугольника вы сможете найти, зная:
а) радиусы вписанной и описанной окружностей; б) их отношение?
Применяем геометрию
Понадобилась доска шириной 20 см и толщиной 2 см. Каков наименьший диаметр бревна, из которого можно выпилить такую доску?
У тонкого конца бревно имеет диаметр 450 мм. Из него нужно выпилить доски шириной 360 мм и толщиной 30 мм. Сколько получится досок? А сколько будет досок, если их взять той же толщины, но шириной 270 мм? Как, имея в руках маленькую линейку, найти радиус большого круга?
Участвуем в олимпиаде
Внутри треугольника АВС взята точка О. При этом Z. OAOZ. ОАВ, Z. 0ВА>А. ОВС, L OCB>/L ОСА. Докажите, что точка О является центром окружности, вписанной в данный треугольник.
В треугольник вписана окружность. Каким по виду его углов будет треугольник с вершинами в точках касания?
В угол С вписана окружность. Она касается сторон угла в точках А и В. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник AfiC, лежит на данной окружности.
Дан угол А. С центром в точке А проводится от одной стороны угла до другой дуга окружности. По этой дуге движется точка X. Из нее проводятся перпендикуляры XY и XZ на стороны угла. Как изменяется при этом
184
§ 15. Правильные многоугольники
15.1. Определение правильного многоугольника
• На рисунке 201, а изображены многоугольники, имеющие наиболее «правильную» форму в сравнении с другими многоугольниками с тем же числом сторон (рис. 201, б).
Определение
Многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Вам хорошо известны правильные треугольники и четырехугольники (это равносторонние треугольники и квадраты) и их свойства. Теперь мы познакомимся с общими свойствами любых правильных многоугольников.
Прежде всего заметим, что все углы правильного многоугольника меньше 180°. Действительно, как было доказано в п. 1.2, у каждого многоугольника есть хотя бы один угол, меньший 180°. У правильного многоугольника все углы равны. Значит, все его углы меньше 180°.
15.2. Центр правильного многоугольника
в правильном треугольнике есть такая точка, которая равноудалена от всех его вершин и всех его сторон (какая?). Такая же точка есть и в квадрате (где именно?). Оказывается, такая же точка есть в любом правильном многоугольнике. Она называется центром правильного многоугольника. Итак, центр правильного многоугольника — это точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Докажем существование центра.
Единственность такой точки очевидна.
Теорема 20 (о центре правильного многоугольника)
В каждом правильном многоугольнике есть точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон,
Доказательство. Пусть А^А2...А„ — правильный д-угольник. Проведем биссектрисы р п q углов и Лз (рис. 202). Дучи р и q пересекутся в некоторой точке О. (Если бы прямые р и q были параллельны, то сумма углов 1 и 2 равнялась бы 180°. Тогда Zl = =Z2=90° и точки Л|, Лз- лежат на одной прямой, что невозможно.) Докажем, что О является центром правильного /г-угольника.
Сначала докажем, что О равноудалена от всех его вершин, т. е.
... = ОА.,.
ОЛ,=ОЛ2=ОЛз=
Так как Zl=Z2 (как половины равных углов), то треугольник ОЛ^Лз равнобедренный. Поэтому ОЛ1=ОЛ2. Далее Л ОЛ,Л2=А ОЛ2Л3, так как Л1Лз= =ЛзЛз, сторона ОЛз у них общая и Z 2=Z 3 (поскольку АоО — биссектриса угла Лд). Поэтому ОЛ,=ОЛз. Отсюда получаем, что ОЛз=ОЛ2 и Z4=Z3.
Далее,
АЗ=уАЛз,
Аа12=АЛз и потому Z 3=
= -^АЛз. Но Z3=Z4. Значит, А4=4"^Л
т. е.
2 '^'•3'
Z4=Z5. Последнее равенство означает, что Л3О — биссектриса угла Лд.
Повторяя проведенные рассуждения, мы получаем нужные равенства:
ОЛз=ОЛ^, OЛ„_|=OЛ,J.
Докажем теперь, что точка О равноудалена от всех сторон правильного л-угольника. Как ясно из преды-
ОЛ2Л3, ОЛдЛ^,
душего, треугольники ОА1А2
ОЛ„_|Л„, ОЛ„Л, — равиобедреиные треугольники, рав-
ные между собой. Значит, равны их высоты, проведенные на основания, т. е. на стороны правильного «-угольника. Иначе говоря, точка О равноудалена от всех сторон Л,Л2...Л^. ■
Из этой теоремы следует, что; 1) около правильного многоугольника можно описать окружность: 2) в правильный многоугольник можно вписать окружность.
186
\
i
15.3. Следствия из теоремы о центре правильного многоугольника
Следствие I
Сторона правильного л-угольника связана с радиусом R описанной около него окружности формулой
180“
О
a„=2/?sin-
(1)
Доказательство. Пусть Л,Л2 — сторона правильного л-угольника Р, а точка О — его центр (рис. 203). Тогда ОЛ,=/?, а высота 0/( треугольника ОЛ,Л2, опущенная из вершины О, является его медианой и биссектрисой.
360“ , , 1
то Z.ЛlC>/(= у^Л,ОЛ2= Из прямоугольного треугольника A^OK с ка-
Так как ^.Л|ОЛ2= 180°
тетами
=R sin
2 ’ 180° п
OK и гипотенузой R получаем уа„= , откуда и вытекает нужное нам равен-
ство. ■
Следствие 2
Периметры правильных л-уго.пьников относятся как радиусы описанных около них окружностей.
Доказательство. Его несложно найти самим. Обозначьте стороны л-угольников а, и a-j, затем выразите их периметры. Составьте отношение периметров и воспользуйтесь формулой (1). ■
15.4. Построение правильных многоугольников
Ясно, чтобы построить правильный л-угольник, достаточно разделить окружность на п равных дуг — точки деления и будут его вершинами (рис. 204). Тем самым существуют правильные л-угольники для любого натурального «>3. По в элементарной геометрии речь идет о построении правильного «-угольника циркулем и линейкой. Эта задача имеет интересную историю.
Легко построить правильные треугольник и четырехугольник. Зная свойства правильных многоугольников, вы легко построите правильный шестиугольник:
187
радиусами описанной окружности он разбивается на шесть правильных треугольников. Поэтому его сторона равна радиусу описанной’окружности (рис. 205). Если от некоторой точки окружности последовательно откладывать ее хорды, равные радиусу, то и получатся вершины правильного шестиугольника.
Если уже построен некоторый правильный «-угольник то циркулем и линейкой легко строится правильный 2«-угольник Р^,,. Для этого можно описать около Р„ окружность и разделить пополам каждую дугу этой окружности, стягиваемую стороной многоугольника Р„ (рис. 206). Точки деления этих дуг вместе с вершинами многоугольника Р„ и будут вершинами правильного 2«-угольника ^2п- Повторяя это построение, можно затем построить правильный 4и-угольник, правильный 8«-угольник и т.д. Указанное построение называется удвоением правильного многоугольника.
Какие правильные «-угольники можно построить циркулем и линейкой? Например, можно ли построить правильный пятиугольник и правильный семиугольник? Оказывается, что правильный пятиугольник циркулем н линейкой построить можно, а правильный семиугольник нельзя.
Задача о построении циркулем и линейкой правильных многоугольников изучалась еще древнегреческими геометрами, а окончательно была решена лишь в 1801 г. великим немецким математиком Карлом Гауссом (1777—1855). К. Гаусс, используя средства алгебры, доказал, что циркулем и линейкой правильные «-угольники могут быть построены лишь Т01'да, когда число п имеет следующее разложение на множители;
n=2'"pi
Рг
где гп — неотрицательное целое число, а Pj,..., —
2*
различные простые числа вида 2 -Ы {k — неотрицательное целое число). Число 5 имеет такой вид, так
как 5=2 +1, а число 7 не имеет.
Строят правильный пятиугольник так. Сначала находят сторону с правильного десятиугольника, вписанного в круг радиусом 1 (рис. 207, а), строят правильный десятиугольник, а затем через одну соединяют отрезками вершины этого десятиугольника.
Сторону же десятиугольника а находят так. В равнобедренном треугольнике ОАВ, в котором ОА=ОВ=\ и Z.O=36°, проведем биссектрису ЛС (рис. 207, б). Тогда ^0=/LCAB=^CA0=3Q° и ^0АВ=^0ВА =
Рис.205
Рис.206
К. гаусс
188
=Z^Cfi=72°. Поэтому OC=CA=AB^a и СВ=\~а. Проведя в равнобедренных треугольниках ОАВ и АСВ высоты, находим синусы половины угла при вершине;
1 -а
sin 18°=-?г и sin 18°=-
п а I -а
Поэтому для а получаем уравнение
Л
т. е
а'^+а-1=0. Отсюда ----------у (отрицательный ко-
рень отбрасываем, так как д>0). Построение отрезка а циркулем и линейкой указано на рисунке 207, в. Ш
2*
Следующее после пяти простое число вида 2 •+• 1 для k=2 равно 17. Именно задачу о построении правильного 17-угольника сначала решил Гаусс, и этот многоугольник он завещал изобразить на своем надгробии.
Но приближенное разбиение окружности циркулем на любое число равных частей (а значит, и построение циркулем и линейкой любого правильного л-угольника) с любой сколь угодно высокой точностью всегда осуществимо. Это и делается с древнейших времен на практике, когда изготовляют циферблаты, астрономические инструменты, рисуют орнаменты (рис. 208). #
Вопросы
1. Какой многоугольник называется правильным? Может ли правильный многоугольник быть невыпуклым?
2. Какие свойства правильных многоугольников вы знаете?
Рис. 207
Рис. 208
189
3.
4.
Пусть в правильном /г-угольиике рассматриваются три величины: сторона, радиус вписанного круга и радиус описанного круга. Как, зная одну из них, найти остальные?
Какие правильные многоугольники вы можете построить циркулем и линейкой?
Задачи к § 15
4+
'. Дополняем теорию
Докажите, что в правильном многоугольнике: а) равны диагонали, соединяющие его вершины через одну (а через две?); б) все его стороны видны из центра под одним и тем же углом; в) из любой его вершины каждая сторона (кроме тех, которым эта вершина принадлежит) видна под одним и тем же углом; г) все треугольники, вершины которых находятся в вершинах данного многоугольника, имеют один и тот же радиус описанной окружности; д) его наибольшая диагональ проходит через его центр при четном числе сторон и не проходит через его центр при нечетном числе сторон.
&
Разбираемся в решении
Пусть сторона правильного д-угольника равна 3, а радиус описанной окружности равен 2. Чему равен радиус вписанной в него окружности?
Решение.
Вся информация, нужная нам для ответа на вопрос, находится на рисунке 209. Здесь АВ — сторона правильного «-угольника, АВ=а, R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности. По теореме Пифагора из ААОС сразу получаем, что
(1)
и это вся задача? Не торопитесь. Вы обратили внимание на то, что в задаче дано еще число сторон правильного многоугольника — оно равно п. И эту информацию мы никак не использовали в приведенном решении. Но тогда задача может быть, как говорят, «переопределенной», ибо еще одно данное в условии может повлиять на ответ. Причем повлиять даже так, что задача перестанет иметь решение.
Как это может а1учиться здесь? А вот как. Найдем радиус вписанной окружности из того же треугольника АОС по формуле г=
=R-cos Z.AOC. Так как ^АОС=^.
О
то
190
Поэтому
г—R • GOS
180“
(2)
Теперь ясно, что задача имеет решение, если оба полученных результата совпадают, т. е.
Если не совпадают, то решений нет. '
Видно, что это равенство выполняется не при любых значениях R, а и п. Например, не выполняется, если гг=3, /?=2, а=2.
Но г можно найти и по формуле
а , 180“
(3)
Надо ли проверять совпадение этого значения г с тем, которое получено ранее?
Задача оказалась действительно «переопределенной». Этого не надо бояться, а надо хорошо понимать, что делать в этом случае.
Поставим теперь такой вопрос: ну, а если бы число сторон правильного м}Шгоугольника не было дано и вместо правильного /2-угольника был бы дан правильный многоугольник — что бы изменилось в решении?
Ясно, что ответ по формулам (2) и (3) уже не получится, ибо нет п. Значит ли это, что задача решается по формуле {1)?
Возьмем, например, такие данные: /?=5, а=8. Будет ли верным ответ л=3? Будет ли он отвечать условию задачи в полном объеме, т. е. будет ли треугольник со сторонами 5, 5, 8 частью правильного «-угольника? Если точнее: выполняется ли при этих числовых данных равенство
, 180° 4
‘ё —= Т
{можно взять также аналогичное равенство для синуса или косинуса)? Начнем работать по порядку. При /г=3 получим tg60°=73^
4
При /2=4 получим lg45 -1^-j При больших значениях п угол
180“
будет меньше 45°, а потому
это равенство не выполняется при любых значениях п.
Исходные числовые данные оказались противоречивыми. Ответ г=3 неверен, ибо такого правильного многоугольника не суш,ествует.
ZZZ Планируем
Пусть известна сторона правильного «-угольника. Как вычислить: а) угол при его вершине; б) его площадь?
191
Как построить вписанный в данную окружность: а) правильный треугольник; б) правильный четырехугольник? Сможете ли вы это сделать, пользуясь одним только инструментом?
Правильный шестиугольник можно разрезать на ромбы. Как? Обобщите эту задачу.
Р~] Находим величину
Вычислите в правильном шестиугольнике: а) угол между диагоналями, выходящими из одной вершины; б) угол между пересекающимися наименьшими диагоналями; в) отношение большей диагонали к меньшей;
г) отношение частей большей диагонали, на которые ее делит меньшая диагональ; д) отношение частей, на которые делят друг друга, пересекаясь, две меньшие диагонали; е) отношение площадей шестиугольника и треугольника, сторонами которого являются меньшие диагонали.
^ Доказываем
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что: а) для каждой его диагонали есть равная диагональ; б) среди его диагоналей есть перпендикулярные; в) среди его диагоналей есть параллельные. Как это обобщается? Дан правильный пятиугольник, а) Докажите, что все его диагонали равны,
б) Докажите, что каждая его диагональ параллельна какой-либо его стороне. в) Вычислите, в каком отношении делится каждая диагональ теми диагоналями, которые ее пересекают, г) Какой по виду многоугольник ограничен всеми его диагоналями? Какую часть составляет его площадь от площади данного пятиугольника?
Докажите, что из всех п-угольников, вписанных в данную окружность, правильный п-угольник имеет: а) наибольшую площадь; б) наибольший периметр.
Составьте аналогичную задачу для описанного л-угольника.
Исследуем
Пусть Д5 — разность площадей двух правильных «-угольников, ЛР — разность их периметров, AR — разность радиусов описанных около них окружностей. Есть ли связь между этими величинами?
Стороны правильного пятиугольника продолжили до взаимного пересечения. При этом получилась пятиконечная звезда — многоугольник с многими интересными свойствами, а) Докажите, что равны ее стороны, б) Докажите, что равны ее острые углы, в) Какие еще свойства звезды вы сможете обнаружить?
Как вы обобщите эту задачу?
Является ли описанный многоугольник правильным, если у него: а) все стороны равны; б) все углы равны?
Ответьте на те же вопросы для вписанного многоугольника.
192
Применяем геометрию
В круглой пластинке надо просверлить пять одинаковых отверстий на равных между собой расстояниях и на одном и том же расстоянии от центра. Как вы разметите пластинку?
Возьмите длинную полоску бумаги н аккуратно завяжите ее узлом. Докажите, что при этом получился правильный пятиугольник.
^1 Выходим в пространство
Пусть — правильный многоугольник, точка О — его центр. Возь-
мем точку Р, не лежащую в его плоскости, и соединим ее отрезками со всеми его точками. Пусть при этом отрезки РЛ], РА^ равны. Мы
получили многогранник, который называется правильной п-угольной пирамидой. Многоугольник Л|/42....Ад называется основанием пирамиды, треугольники РА^Ао, ... называются боковыми гранями, а) Докажите, что боковые грани равны между собой, б) Докажите, что все треугольники РОЛ,-равны между собой, в) Докажите, что РО перпендикулярен любой диагонали основания, проходящей через О.
Что еще вы сможете доказать для такой пирамиды?
Участвуем в олимпиаде
Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Вершинами какого четырехугольника являются точки пересечения этих прямых с границей квадрата?
В правильном шестиугольнике ABCDEF точка К—середина BD, точка М — середина FE. Докажите, что треугольник АКМ равносторонний. В пятиугольнике равны все стороны н три последовательных угла. Докажите, что такой пятиугольник является правильным.
В правильном восьмиугольнике провели две диагонали, параллельные одной и той же его стороне. Какую часть от площади восьмиугольника составляет площадь фигуры, ограниченной этими диагоналями и двумя сторонами восьмиугольника?
§ 16. Длина окружности
16.1. Длина кривой линии
# Длину сравнительно короткого пути можно измерять шагами, например длину извивающейся дороги или тропинки. Длину железнодорожного пути можно измерять, считая промежутки между телеграфными столбами.
Длину кривой линии на чертеже или на карте измеряют
193
циркулем с постоянным раствором (рис. 210). Во всех этих случаях длину линии измеряют последовательно отрезками, концы которых лежат иа данной линии. Эти отрезки образуют ломаную, длина которой равна сумме длин отрезков, и она дает более или менее точное значение длины линии.
Ломаную, BepujHtibi которой лежат последовательно на данной линии от одного ее конца до другого, называют ломаной, вписанной в данную линию (рис. 21 1,а). Линия может быть и замкнутой (например, окружность). Измеряя длину замкнутой линии, вписывают в нее замкнутую ломаную (рис. 211, б). Например, вершины такой ломаной для дистанции кросса — это флажки вдоль дистанции, которыми она размечена.
Длина кривой линии приближенно равна длине вписанной ломаной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломаной и чаще располагаются вершины ломаной на данной кривой.
16.2. Длина окружности
Вычисляя длины кривых линий, можно брать любые вписанные в них ломаные, лишь бы вершины этих ломаных располагались на кривой линии достаточно часто. Для окружности таким свойством обладают границы правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, когда число их сторон неограниченно увеличивается (рнс. 212). Поэтому, измеряя длину окружности, рассматривают вписанные в нее правильные «-угольники и вычисляют их периметры. Чем больше п, тем периметр такого многоугольника меньше отличается от длины окружности.
В результате измерений, проводившихся с древнейших времен, было установлено, что длина окружности пропорциональна ее радиусу R (и.ли, что все равно, ее диаметру). Это выражает давно известная вам формула длины L окружности, т. е. L=2kR, или L=n(2R), л — коэффициент пропорциональности между L и 2R.
И тогда вопрос о вычислении длины окружности сводится к вычислению числа л.
Мы сначала установим пропорциональность длины окружности сс радиусу (диаметру), а затем расскажем о числе п.
Теорема 21 (о длине окружности)
Длина окружности пропорциональна ее радиусу, т. е. отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности.
194
Доказательство. Пусть F^ и /^2 — окружности с радиусами R^ и /?2, а и — вписанные в них правильные «-угольники (рис. 213). Обозначим через Р, и Р.2 периметры этих многоугольников. Периметры правильных «-угольников относятся как радиусы описанных окружностей (следствие 2 из теоремы п. 15.3). Поэтому
Если неограниченно увеличивать число сторон многоугольников Q^ и Q2 (например, удваивать его), то их периметры будут сколь угодно мало отличаться от длин L^ и Z.2 окружностей Pj и р2- (<<Сколь угодно мало» — это значит, что разность между периметрами и длиной окружности можно сделать меньше чем, например, 0,001; 0,0001 и вообще меньше любого по-
L\
ложнтелыюго числа.) Тогда число -т— будет сколь угод-
L2
Pi ^
но мало отличаться от величины -5- . С другой стороны,
^2
как уже сказано, ^ ^ . Значит, число -г^ будет
R
R
Ri
сколь угодно мало отличаться от числа . Но такое
возможно лишь тогда, когда эти числа равны.
,, Rl Р\ ^2 _
Итак, откуда получаем, что •
.л ^
Из результата теоремы следует, что отношение ,
т. е. отношение длины окружности к ее диаметру, есть величина постоянная. Оно и обозначается буквой п. ф
Замечание. Вычисляя длину окружности, можно приближать ее периметрами не только правильных вписанных в окружность многоугольников, но и периметрами правильных многоугольников, описанных около окружности.
Действительно, пусть правильный «-угольник Q описан около окружности F с радиусом R и центром О (рис. 214). Соединим отрезками точку О с вершинами многоугольника (?. Эти отрезки пересекут окружность F в точках, которые являются вершинами правильного «-угольника Q', вписанного в F Пусть сторона АВ «-угольника Q касается окружности F в точке С, а
Рис.213
отрезки ОА и ОВ пересекают F в точках А' и В'. Радиус ОС пересечет отрезок А'В’ в середине — точке С.
Отношение периметров РцР’ правильных п-угольников Q и Q' равно отношению их сторон АВ и А'В',
АС
т. е. отношению их половин:
А'С'
И так как АС=
=Ptg
180“
иА'С=Р sin
180“
,то
1
cos
180“
.По-
этому р=-
Р'
180“
cos
COS
Когда
180“
п
число
п неограниченно увеличивается,
приближается к cos 0°, т. е. к единице, а Я' —
к длине окружности Я т. е. к 2nR. Следовательно, периметры Р правильных п-угольников, описанных около окружности F, как и периметры вписанных п-угольни-ков, приближаются к длине окружности F. Этим мы воспользуемся при вычислении площади круга.
16.3. о числе 71
# Число к иррациональное. Вам известно такое приближение: л «3,14. Более точное приближение: 7Г~3,1416.
Вычислять к с любой точностью можно, находя периметры Р правильных многоугольников со все боль-
Р
шим числом сторон. Тогда отношение ■тгб’^ где R
2R
радиус описанной окружности, будет приближаться к л. Немного посчитаем. У правильного шестиугольника
р
периметр равен 6R. Поэтому =3. Это дает первое
приближение для л. Далее можно взять 12-угольник. Вычисляя его сторону о,2, получим:
+ =я72-л/3' «я-0,518.
Отсюда л « 3,11... . Дальше можно взять 24-угольник и получить еще более точное значение я. Знание достаточно точных приближений числа л имеет большое практическое значение, так как число я постоянно встречается в конкретных задачах. Поэтому такие приближения старались найти уже в глубокой древности. Так. в папирусе древнеегипетского жреца Ахмеса
196
Архимед
(оь
бл
ДР'
до
та1
че
96
(о
я ^
зн
к
8С
л
к
ве
С
«I
Э
к:
б.
н
У
V
Р
(ok. 1700 г. до н. э.) содержится довольно хорошее приближение для я, а именно я ~ ~ 3,1605. Великий
древнегреческий ученый Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.) в своем сочинении «Об измерении круга» дал
такие приближения: 3-|р<я<3у, я ~ 3,14, выразив
через диаметр окружности периметр правильного 96-угольника.
Индийский математик и астроном Ариабхата (ок. 475 г.) нашел еще более точное приближение: л = 3,1416. А работавший в XV в. в Самарканде в знаменитой обсерватории Улугбека математик аль-Каши, рассмотрев правильный многоугольник с 800 335 168 сторонами, дал приближенное значение для я с 16 верными знаками.
Обозначение буквой я отношения длины окружности к ее диаметру ввел в общее употребление в XVIII в. великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).
С этой буквы начинается греческое слово, означающее «окружность». Применяя методы высшей математики,
Эйлер нашел для я приближение с 153 верными знаками. Современные ЭВМ могут находить для я приближения с десятками тысяч верных знаков, но, конечно, для практики такие приближения не нужны.
16.4. Длина дуги окружности
Каждой дуге окружности соответствует центральный угол. Ясно, что длина дуги окружности пропорциональна мере соответствующего ей центрального угла (постарайтесь пояснить это подробнее). Поэтому углу в 1°
1
соответствует часть длины дуги окружности, т. е.
Л. Эйлер
360 2kR
kR
ее длина равна 180 ’
Следовательно, длина / дуги, соответствующей центральному углу в а°, равна (=nR-^-. ф
Вопросы
1. На чем основано приближенное вычисление длины кривой?
2. Как вы понимаете последний абзац пункта 16.1?
3. Докажите теорему о длине окружности.
4. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности? Из каких соображений она получена?
5. Что вы знаете о числе я?
197
и
Задачи к § 16
Л Дополняем теорию
а) Каков характер зависимости между iUiHHoft окружности н ее радиусом?
б) Пусть радиус окружности R увеличился на величину г. Как изменилась длина окружности?
в) Пусть длина окружности L увеличилась на величину /. Как изменился радиус окружности? Обратите внимание на то, что его изменение не зависит от L.
а) Докажите, что длина дуги окружности пропорциональна соответствующему ей центральному углу при постоянном радиусе и пропорциональна радиусу окружности при постоянном центральном угле.
б) Докажите, что длины двух дуг одной окружности относятся как величины этих дут.
Разбираемся в решении
И круглая площадка разбита дорожками на секторы. Вы находитесь на пересечении границы площадки и дорожки. А ваш товарищ в другой такой же точке. Как вам побыстрее добраться до него?
Ходить можно только но дорожкам и вокруг площадки.
Решение.
Рисунок ситуации, описанной в задаче, примерно такой (рис. 215, а). Вы находитесь в точке Л, а ваш товарищ— в точке В. Эту реальную ситуацию надо перевести на геометрический язык, или, как говорят, создать геометрическую модель этой реальной задачи. Мы выберем такую модель (рис. 215, б). Здесь точка О — центр площадки, А и В — точки на окружности, где стоят двое. Тогда путь из А и В может идти по ломаной ЛОВ или по дуге АВ. (При этом мы считаем, что дуга АВ не больше полуокружности. Разумеется, мы полагаем, что и тот н другой путь будет пройден с одной и той же скоростью ц) Время затра-
2R
ченное на путь по ломаной, равно . Время
^2, затраченное на путь по дуге, равно , где
(p=Z./10fi, R — радиус окружности, /.—длина окружности. Иначе можно записать;
, _ 2nR60*я, а значит, время /, больше времени Если (р=120°, то 360<120-л и время /, меньше времени l^.
Имея калькулятор, вы сможете найти приближенно значение <р, при котором /[=/2-
Мы решали задачу в предположении, что речь идет о двух соседних дорожках. Важно ли это?
Можно было выбрать другую геометрическую модель, например как на рисунке 215, в. В этой модели первый вариант пути выглядит так: отрезок ЛА,, дуга A^B^ и отрезок BiB. Эта модель более точная. Сравните сами варианты пути при тех же значениях (р, т. е. 60° и 120°, задав положение точек Л, и S| на радиусах О А и ОВ. (Кстати, а что будет происходить при выборе Л, и Б, все ближе к О?)
Важно понимать, что не бывает абсолютно точной математической модели реальной ситуации. При создании такой модели мы всегда чем-то пренебрегаем, что-то не учитываем, а потому и ответ не может быть абсолютно точным. Этого не надо пугаться. Главное здесь, достаточна ли эта точность для решения поставленной задачи.
Смотрим
4j Как найти длину красной линии по рисунку 216?
Рис.216
199
а)
К
В
г)
яядп Могут ли равняться длины L, и L.2 на рисунке 217?
Планируем
Как узнать, под каким углом видна из центра окружности радиусом R дуга длиной L? Приведите примеры.
Из точки проводятся две касательные к данной окружности, а) Объясните, почему при удалении точки от окружности длина ближайшей к этой точке дуги окружности увеличивается, б) Пусть известна длина касательной и угол между касательными. Как найти длину дуги между точками касания?
Находим величину
2I Чему равно отношение длин окружностей, вписанной и описанной для данного правильного п-угольника?
11ЖМ 2 I Чему равна длина окружности, описанной около: а) прямоугольного треугольника с гипотенузой с; б) равнобедренного треугольника с основанием а и углом при вершине ср; в) прямоугольника со стороной а и углом Ф между диагоналями; г) равнобокой трапеции с диагональю d и углом при основании ф?
200
Чему равна длина окружности, вписанной в; а) прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим углом (р; б) равнобедренный треугольник с высотой h, проведенной к основанию, и углом при вершине (р; в) ромб с диагоналями а и 6; г) прямоугольную трапецию, у которой основание равно боковой стороне и равно а?
I Окружности с общим центром называются концентрическими, а разность их радиусов называется шириной ограниченного ими кольца, а) Как вычислить ширину кольца, если известны длины окружностей, его ограничивающих? б) Имеется множество концентрических окружностей, каждые две соседние из которых имеют разность радиусов, равную d. Выберите любые две из них. Чему равна разность их длин?
ДН1И4 I а) В окружности радиусом R проведена хорда длиной R. Чему равны длины стягиваемых ею дуг?
б) Какой длины должна быть хорда окружности радиусом R, чтобы длина одной из дуг, стягиваемых ею, была в два раза больше другой дуги? Даны две окружности радиусами R ц г {R>r). Центр меньшей окружности лежит на большей. Длина дуги меньшей окружности внутри большего круга равна L. Какова длина дуги большей окружности внутри меньшего
круга.'
О
Ищем границы
Нарисуйте отрезок АВ. Вы хотите покороче попасть из ,4 в S, двигаясь только по полуокружностям, диаметры которых лежат на АВ. При этом соседние диаметры не накладываются друг на друга. Какой вы выберете
путь.''
Исследуем
Попытайтесь объяснить, почему хорда короче дуги окружности, соединяющей ее концы. Может ли она быть в два раза короче, чем меньшая из этих дуг?
Применяем геометрию
а) Колесо катится по прямой. Какая зависимость существует между его радиусом, числом оборотов, которое оно сделает, й длиной пройденного пути?
б) Цирковой велосипедист едет на велосипеде, колеса которого имеют разные радиусы. Он объехал границу арены один раз. Как узнать, во сколько раз больше обернулось за это время меньшее колесо? Изменится ли полученный вами результат, если радиус арены будет в два раза больше?
в) Два зубчатых колеса сцепили между собой. Их радиусы /?, и /?2-Первое из них сделало п оборотов. Сколько оборотов сделало второе?
г) Пусть теперь есть третье колесо, которое имеет радиус R^ и сцеплено со вторым (см. задачу в)). Сколько оборотов сделало третье колесо, если первое сделало л оборотов? Что интересного в полученном результате?
201
1
А сколько оно сделает оборотов, если, кроме того, что сцеплено со вторым, будет еще сцеплено с первым?
Часы показывали 15.00. Как вычислить путь, который пройдет конец минутной стрелки, пока она догонит часовую?
Точка равномерно движется по окружности. Будет ли равномерным дви-
_ жение ее проекции на диаметр окружности? Проверьте и обратное.
11Я1И 4 I Автомобиль едет по дуге окружности. Объясните, почему его внешние колеса едут с большей скоростью, чем внутренние. Установите, как зависит отношение их скоростей от крутизны поворота.
Прямоугольное поле стадиона окружено беговой дорожкой. Она состоит из двух прямолинейных участков и двух полуколец. Длина беговой дорожки должна быть 400 м. а) Рассчитайте размеры прямоугольного поля и ширину дорожки, б) Бегуны бегут 400 м. Как вы их расставите на старте? (Бегунов четверо, и каждый из них бежит по своей дорожке.)
Занимательная геометрия
По окружности радиусом R катится окружность радиусом г. Сколько оборотов она сделает, пока вернется в прежнее положение?
Л
Выходим в пространство
Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой // положили боком на плоскость и покатили. Сколько оборотов сделает его основание,
___ пока не вернется в прежнее положение?
1ВУ<Я 2 I Прямой круговой циливдр с радиусом основания R и высотой Н покрасили краской, а затем покатили по плоскости. Цилиндр сделал один оборот. Чему равна площадь закрашенной части?
§ 17. Площадь круга
17.1 Площадь фигуры
# До сих пор мы вычисляли площади только многоугольных фигур, в общем случае для произвольной фигуры F ее площадь S{F) можно вычислить с помощью площадей многоугольных фигур. Укажем один из способов.
Если многоугольная фигура Q содержит фигуру F, то ее площадь S(Q)>S{F) (рис. 218). Значит, S{Q) будет приближенным значением для S (С) с избытком. Для фигур, которые встречаются на практике, и для фигур, которые мы будем изучать, путем подходящего выбора многоугольной фигуры Q удается этот избыток, т. е. разность S {Q)—S (F), сделать сколь угодно малым. Тем самым S (F) можно вычислить с любой нужной точностью.
202
F
Рис. 218
17.2. Площадь круга
Пусть данная фиг7ра F — круг. Тогда, измеряя его тдощадь 5(F), в качестве содержащих его многоугольных фигур проще всего взять описанные около него правильные многоугольники (рис. 219).
Теорема 22 (о площади круга).
Площадь S круга радиуса R выражается формулой S=n/?-.
Доказательство. Пусть F— круг радиуса R, г Q — описанный около него правильный «-угольник, — периметр, а 5„ — площадь многоугольника Q. Тогда
согласно формуле (4) п. 14.4 откуда
р„ 2
Когда число п неограниченно возрастает (например, удваивается), величина сколь угодно мало отличается от длины L окружности данного круга, а площадь 5^
S
сколь угодно мало отличается от S. Тогда число -j-
сколь угодно мало отличается от величины . L дру-
гой стороны, мы уже получили, что -jf- =-^R- Значит,
числа У" и -|-/? отличаются сколь угодно мало. Это возможно лишь в том случае, когда эти числа равны,
т.е. X
Отсюда и получаем, что 5—А/?=2д/?
=nR\ Ш
17.3. Квадратура круга
Квадратурой круга названа задача о построении циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу, т. е. имеюнгего ту же площадь. Решить эту задачу пытались еще в Древней Греции. Невозможность ее решения была доказана лишь в конце XIX в. Выражение «квадратура круга» означает неразрешимую задачу.
203
17.4. Площадь сектора
Площадь сектора с центральным углом 1® составляет
1 п
часть площади круга. Поэтому она равна . Следовательно, площадь сектора с центральным углом
а° вычисляется по формуле
а
360
17.5. Изопериметрическая задача
Вы, наверное, обратили внимание на то, что многие тела, как естественньсе в природе, так и сделанные руками человека, имеют круглую или шарообразную форму. Например, имеют форму шара мячи, планеты и икринки рыб, круглыми растут стволы деревьев и круглыми делают колеса, различные трубы, круглыми строят арены цирков и т. д. Такое широкое распространение круглых форм обусловлено их многими и разнообразными свойствами. Об этих свойствах написаны целые книги.
Одним из таких свойств является изопериметриче-ское свойство. Для пространственных тел оно заключается в том, что среди всех тел с данным объемом наименьшую площадь поверхности имеет шар. Поэтому природа «тратит» на икринку рыбы как можно меньше материала. Это свойство можно формулировать и так; среди всех тел с данной площадью поверхности наибольший объем имеет шар.
iXaH плоских фигур изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди всех фигур, ограниченных замкнутой кривой заданной длины, найти фигуру наибольшей площади. Решением этой задачи является круг (и только круг). Из этого следует, что длина L границы фигуры и ее площадь 5 связаны изоперимет-
рическим неравенством:
В общем случае решение изопернметрической задачи сложно. Но аналогичные задачи для многоугольников значительно проще. В самом простом случае — для треугольников — она формулируется так: среди всех треугольников с данны.ч периметром наибольшую площадь имеет правильный.
И среди всех п-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный.
Изопериметрическая задача относится к так назы-
204
ваемым задачам на экстремумы — задачам об отыскании наибольших и наименьших значений. Такие задачи мы еще будем рассматривать в главе V в связи с преобразованиями фигур. Как мы увидим, обычно решение экстремальной задачи обладает той или иной симметрией. Так и решение изопериметрической задачи на плоскости — круг — самая симметричная фигура из всех ограниченных фигур.
Вопросы
1. Как вычисляют площадь фигуры?
2. Докажите теорему о площади круга.
3. Как получена формула площади сектора?
4. Как вычислить площадь сегмента?
5. Что вы знаете о квадратуре круга?
6. Что вы знаете об изопериметрической задаче? Где используется в быту изопериметрическое свойство круга?
Задачи к § 17
Разбираемся в решении
Кольцо образовано двумя концентрическими окружностями радиусами R и 0,9/?. Какая часть площади большего круга лежит в кольце? (Сначала оцените ее так, как вам подсказывает ваша интуиция, а потом сделайте подсчет. Намного ли вы ошиблись?)
Решение.
Круг очень интересная фигура, о нем даже книги написаны. И в этой задаче, будем надеяться, вы увидите что-то интересное для себя.
Площадь круга 5, радиусом R вычисляется по формуле Sj=n/?“. Площадь круга S2 радиусом 0,9/? вычисляется по формуле 5г=д • 0,81/?^. Площадь кольца S между этими кругами равна S=S,-S2=0,19Ic/?^.
С
Тогда -^=0,19-20%. Вы так и предполагали?
•^1
Круг с тем же центром и площадью, равной вычисленной площади кольца, должен иметь радиус... (прикиньте, какую часть от исходного радиуса R он должен составить).
Итак, стоит запомнить; наиболее существенная часть площади круга расположена около его границы.
Обозначим через /? и /?, радиусы окружностей кольца, где d=/?-/?, S=n {R^-R^i )=л (/?-/?,) (/?+/?, )=Kd (/?+/?,);
L=2k
R + R,
=я(/?+/?,)(?).
205
Отсюда R+R, = -
Тогда S=Tt • d — =LA.
7C
Какую формулу напоминает полученный результат? И есть ли что-то похожее на формулу площади треугольника, в которой дана его средняя линия?
Найдем площадь кольца с радиусами R и R+AR (Д/?>0): S=n{R+mf-n}^^=K{2R^R^ARf).
Отсюда =к • (2R+AR).
При убывании AR правая часть убывает, а значит, убывает и левая часть. Теперь раскроем скобки и получим:
S
AR
=2itR+n • AR.
s s
Отсюда видно, что >2kR. Разность между и 2nR равна к • AR и может быть сделана сколь угодно малой за счет множителя AR.
Итак, ~ 2kR.
Можно заметить, что в правой части этого приближенного равенства стоит как раз длина данной окружности, причем равенство обеих частей может быть сколь угодно точным (?).
Как говорят в математике в таких случаях, длина окружности есть
5
предел величины при AR-*0.
Теперь насчет идеи. Если бы мы сначала знали формулу площади круга, а не длины окружности, то...? Продолжите.
<Е
<»> Смотрим
(l7.2~,(4 I Чему равна площадь части круга, .закрашенной на рисунке 220?
С Представляем
В данном круге рассматриваются сегменты, меньшие полукруга. Верно ли, что большей площади такого сегмента соответствует: а) большая хорда сегмента? б) большая стрелка сегмента? в) большая дуга сегмента? Верно ли обратное? Стрелка сегмента — это часть диаметра круга, перпендикулярного его хорде, лежащая в сегменте.
Планируем
Как вычислить площадь сектора, если известны: а) радиус круга и длина его дуги; б) длина его дуги и центральный угол; в) длина его границы и центральный угол?
206
Как сделать сектор, у которого; а) площадь равна л; б) площадь равна 1; в) площадь равна к и длина дуги равна л; г) площадь численно равна длине его дуги; д) площадь численно равна длине его границы?
Как вычислить площадь сегмента, если известны:
а) длина его хорды и длина его дуги; б) длина его хорды и длина его стрелки; в) длина его дуги и длина его стрелки; г) периметр и угол, под которым его хорда видна из центра; д) длина его хорды и угол, составленный ею с касательной к окружности, проведенной в одном из концов хорды?
Работаем с формулой
Запишите формулу площади круга, а) Пропорциональность каких величин указана в формуле?
б) Докажите, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов, в) Установите характер зависимости между площадью круга и длиной окружности.
Какие величины участвуют в формуле площади сектора? Каков характер зависимости любых двух из них при постоянстве остальных?
РП Находим величину
Вычислите площадь круга, описанного около;
а) равностороннего треугольника со стороной 1;
б) прямоугольного треугольника с катетом а и прилежащим острым углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h; г) равнобокой трапеции с основаниями 5 и 2 и боковой стороной 3; д) трапеции с основанием 1, которое составляет с боковой стороной угол а, а с диагоналями угол р.
Вычислите площадь круга, вписанного в фигуры, указанные в задаче 17.9.
Внутри круга проходит окружность, которая делит его площадь пополам. Каков радиус этой окружности?
а) Квадрат и круг имеют одинаковую длину границы. Какая из этих фигур имеет большую площадь?
б) Квадрат и круг равновелики. У какой из этих фигур длиннее граница?
Рис.220
207
Дана окружность радиусом 1. В нее вписывается правильный многоугольник и около нее описывается правильный многоугольник, причем с одинаковым числом сторон, а) Сколько надо взять сторон, чтобы разность их площадей была меньше 0,1; 0,01? В каких границах лежит при этом площадь круга? б) Сколько надо взять сторон у описанного многоугольника, чтобы его площадь отличалась от площади круга меньше чем на 0,001? А сколько потребуется для этого сторон у вписанного многоугольника?
а) Дан круг радиусом 1. Его требуется накрыть равными кругами, мень-щими данного. Каким должен быть их радиус, если кругов два? А если три?
б) Даны три круга радиусом 1. Чему равен радиус наибольшего круга, который можно покрыть этими кругами? Обобщите задачу.
а) Какую часть от площади круга составляет площадь сектора, если центральный угол этого сектора равен; 1) 30°; 2) 90°; 3) 180°; 4) 300°?
б) Какую часть от площади круга составляет площадь сектора, у которого; 1) длина дуги равна радиусу круга; 2) длина дуги равна диаметру круга; 3) длина дуги численно равна площади сектора?
а) В круге радиусом /? проведена хорда. Она видна из центра под углом ф. Чему равна площадь образовавшихся сегментов?
б) Хордой можно отсечь от круга -j его площади. Но как это сделать?
В круге радиусом R проведены две параллельные хорды длинами а и h. Чему равна площадь части круга, заключенной ме>щ^ этими хордами?
О
Ищем границы
а) На отрезке АВ выбирают любую точку X. В каких границах лежит суммарная площадь двух кругов с диаметрами АХ и ХВ?
б) На отрезке АВ выбирают любую точку X и строят по одну сторону от АВ три полуокружности диаметрами АВ, АХ и ХВ. В каких границах лежит площадь фигуры, ограниченная этими полуокружностями?
Кусок проволоки сгибают так, что он все время остается частью окружности. Сможете ли вы установить, в каких границах находится площадь сегмента, частью границы которого является эта проволока?
Доказываем
а) На сторонах прямоугольного треугольника построили полукруги. Докажите, что площадь большего из них равна сумме площадей меньших.
б) Даны два круга. Как построить третий круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов?
Исследуем
а) Пусть S — площадь кольца, d — его ширина, L — длина окружности, равноудаленной от его краев. Какая связь между этими величинами? Что она напоминает?
208
3
4
ЩЩ]
б) Кольцо образовано окружностями радиусами R и Чему равно
отношение площади кольца к Д/?? Пусть AR становится все меньше. Как изменяется это отношение? Какая у вас возникает идея?
в) Сможете ли вы измерить площадь кольца, сделав на нем всего одно измерение (как, к примеру, па круге или на квадрате)?
г) Круг данного радиуса надо разбить концентрическими окружностями на 10 фигур равной площади. Как вы это сделаете?
Сектор можно разбить на треугольник и сегмент. (Всегда ли?) Сравните между собой площади этих частей сектора в зависимости от центрального угла сектора.
Сможете ли вы решить задачи, аналогичные задаче 17.5 для сегмента?
Пусть известны радиусы двр кругов и расстояние между их центрами,
а) Как найти площадь и длину границы их пересечения? их объединения?
б) Удалите из по.п:ученного объединения кругов их пересечение. Выразите через известные радиусы разность площадей оставшихся частей. Можно ли обобщить полученный результат?
Можно ли рассечь круг двумя параллельными хордами на три равновеликие части? Как это сделать в круге радиусом 1?
Дан круг. Можно ли разделить его иа равновеликие части: а) двумя линиями равной длины; б) тремя линиями равной длины; в) четырьмя линиями равной длины?
Из точки А к данной окружности проводят касательные АВ и АС {В и С — точки касания). Прямая ОА, где точка О — центр окружности, пересекает окружность в точках К а L (точка К— ближайшая к Л). Может ли площадь фщуры АВКС равняться площади: а) сектора ОВКС\ б) сектора OBLC\ в) сегмента ВКС\ г) сегмента BLCi д) треугольника ОВС\ е) треугольника LBC\ ж) фигуры LBKC7
€
применяем геометрию
Почему для передачи газа на большие расстояния выгоднее использовать трубы большого диаметра?
Из бесконечной полосы жести шириной 5 вырезаются круги рал,иусами I. Предложите наиболее экономв1ый способ.
Занимательная геометрия
Круглому пирогу с 8 свечами Карлсон предпочитает 8 круглых пирогов с одной свечой. В каком случае он не прогадает)*
Задачи к главе III
ZZIZ Планируем
Два круга не имеют общих точек. Пусть известны их радиусы и расстояние между их центрами. Как найти: а) длину внешней касательной; б) длину
8 Л,1с‘Кс;|11.чрн« Геометрия. 8
209
внутренней касательной; в) угол между внешними касательными; г) угол между внутренними касательными?
□
Находим величину
Две окружности радиусами и R2 касаются извне в точке С.
К ним проведены две общие внешние касательные Л]Лз и Чему равны: а) величина угла Л1СЛ2; 6) площадь треугольника Л1СЛ2; в) угол между касательными: г) расстояние от точки пересечения касательных до ближайшей к ней данной окружности; д) площадь четырехугольника A^B^B2A2, е) длина отрезка касательной, проведенной к обеим окружностям через точку С, между данными касательными?
Как будут изменяться эти величины при неограниченном уменьшении R^} Каковы размеры равнобокой трапеции, если: а) в ней расположены две касающиеся окружности радиусом R и каждая из них касается трех сторон трапеции; б) в ней расположены две касаюш,иеся окружности радиусами /? и г и каждая из них касается трех сторон трапеции; в) в ней расположены три окружности радиусом R, причем каждые две из них касаются между собой, одна из них касается основания н двух боков, а каждая из двух других касается основания и бока; г) в ней расположены три окружности, из которых одна имеет радиус R и вписана в трапецию, а каждая из двух других имеет радиус г и касается первой окружности, основания и бока?
Исследуем
а) Две окружности концентричиы. Докажите, что на любой хорде большей окружности, пересекающей меньшую oкpyжFюcть, есть два равных отрезка. Могут ли на ней образоваться три равных отрезка?
б) Пусть радиусы двух концентрических окружностей R и 2R. Какова длина наибольшей хорды, умещающейся в кольце, границей которого являются данные окружности? Из концов этой хорды проведите касательные к меньшей окружности. Что можно увидеть? Как это объяснить? Какова наименьшая ширина кольца, в котором может уместиться граница правильного «-угольника со стороной 1?
в) Третья окружность расположена в кольце (п. б)) так, что она касается краев кольца. Чему равен ее радиус? Под каким углом она видна из общего центра данных окружностей? Сколько таких окружностей уместится в
кольце:
г) В часть кольца, ограниченную двумя радиусами R и 2/?, вписан прямоугольник, одна из сторон которого касается меньшей дуги в ее середине. Чему равна его площадь?
д) Какие из задач а) — г) вы можете обобщить?
Рассмотрим четыре точки треугольника: точку пересечения медиан, высот, центр описанной окружности и центр вписанной окружности. В равностороннем треугольнике все они совпадают. Пусть теперь известно, что две из них совпадают. Является ли в этом случае треугольник равносторонним?
<П
210
111.10
а) Всегда ли наибольший круг, умещающийся в данном многоугольнике, является его вписанным кругом?
б) Всегда ли наименьший круг, содержащий данный многоугольник, является его описанным кругом?
в) Пусть известны все элементы четырехугольника. Как вы будете искать радиус наибольшего круга, умещающегося в кем, и радиус наименьшего круга, содержащего его?
Пусть в шестиугольнике A^A2A2A.^A^Q A^A^=A.^-n=A-j,A^=AnA^=A'Ji\ = =ЛеЛ2, A^A^=A2A^=AзAQ. а) Как сделать такой шестиугольник? б) Можно ли описать окружность около него? в) Какими свойствами обладает такой шестиугольник?
В пятиугольнике A^A^■iA^A^ все стороны равны. Углы и — прямые,
а) Как сделать такой пятиугольник? б) Можно ли около него описать окружность? в) Какими свойствами обладает такой пятиугольник?
В пятиугольнике Aj/lg/la/lHs A^i=A^A'^=A2A^, AiA2\\A^A^, А2А^^А2А^. Какими свойствами обладает такой пятиугольник? В частности, можно ли около него описать окружность?
Будет ли правильным четырехугольник, около которого можно описать окружность и в который можно вписать окружность? А как обстоят дела с другими многоугольниками?
4ПШ
Строим
Постройте окружность, касающуюся: а) двух данных окружностей; б) двух данных окружностей и их обшей касательной.
Мх
2 Комбинированные задачи
Дана окружность с центром О и радиусом R. Через данную точку А проведены к этой окружности две секущие, ф — угол между секущими, AO=d. Первая секущая пересекает окружность в точках S, и вторая секущая пересекает окружность в точках С, и С2 (при этом точки В, и С, ближе к А, чем точки и Q). Эти секущие составляют равные углы с прямой
АО. а) Докажите, что: I) B|52~CjC2; 2) B^C^\\B,2C2, 3) прямые и SgC, пересекаются на прямой АО. б) Чему равны: 1) площадь четырехугольника с вершинами в точках S,, С,, Q; 2) длины дуг, на которые
разбилась окружность этими точками; 3) площади частей круга, на которые он разбит секущими?
В угол с вершиной Л, равный ф, вписана окружность радиусом R. Пусть Д и С — точки касания окружности и сторон угла. Найдите: а) расстояние от А до круга; б) площадь треугольника АВС\ в) длины полученных дуг окружности; г) площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и сторонами угла; д) радиус окружности, касающейся сторон угла и данной окружности.
Используя эту конфигурацию, предложите способ для вычисления угла, если его вершина: доступна; недоступна.
8*
211
в каких границах лежит длина касательной, проведенной к данной окружности и лежащей внутри угла (рассмотрите касание как меньшей, так и большей дуги)?
Пусть в данный угол вписывается еще одна окружность, касающаяся и первой окружности. В каких границах находится отношение площадей обоих кругов при изменении угла ф?
Два равных круга с центрами О, и Oj имеют общую хорду АВ. Пусть радиус кругов равен R и 0^0.2=с1. а) Чему равны площади всех фигур на вашем рисунке? б) Пусть через точку А проведены касательные к данным окружностям. Чему равен угол между ними? в) Пусть через точку А проводятся всевозможные прямые. В каких границах находится сумма дайн хорд, высекаемых на них данными окружностями?
Какие из этих задач вы можете решить в общем случае?
Две окружности касаются изнутри. Их центры О, и их радиусы
з) Докажите, что точка касания лежит на 0,02-б) Чему равны периметры и площади фигур, полученных на рисунке после проведения; 1) касательной к меньшей окружности, перпендикулярной 0,021 касательной к меньшей окружности, параллельной 0,0^,; 3) двух касательных к меньшей окружности из точки О2?
Две окружности касаются в точке В. В одной из них проведены две равные хорды ВА и ВС. Они или их продолжения пересекают вторую окружность
в точках /4, и С, соответственно, а) Докажите, что ВА^=ВС^. Докажите
обратное, б) Установите вид четырехугольника AC^Л^C. в) Найдите отношение /4СМ|С|, если радиусы окружностей известны, г) Пусть первая из них видна из центра второй под углом ф. Под каким углом вторая из них видна из центра первой? д) Пусть больший радиус равен 3, а меньший радиус равен 1. Прямая, проходящая через В, пересекает меньшую окружность в точке А, а большую окружность в течке С. AC—2jb . Вычислите АВ.
Две окружности с центрами О, и О2 не имеют общих точек, а) Пусть /4,^2 и '^1^2 — общие внешние касательные к данным окружностям (т. е. отрезки /4|Л2 и не пересекаются). Докажите, что они равны, а их продолжения пересекаются на линии центров О 0^. б) Пусть ^ ^1^2 — общие внутренние касательные к данным окружностям (т. е. отрезки C^C-i и D^D2 пересекаются). Докажите про них то же, что и в пункте а), в) Может ли внешняя касательная равняться внутренней? г) Каким по виду является четырехугольник А^Аф^^'} CiDjCaDj?
Три окружности радиусом R попарно касаются. Пусть Л, б, С — их точки касания, а) Установите вид треугольника АВС. б) Чему равны периметр и площадь фигуры F, заключенной между ними? в) Как построить окружность, касающуюся трех данных окружностей?
Дан равнобедренный треугольник. Пусть R — радиус описанной около него окружности, а г— радиус вписанной в него окружности, а) В каких границах находится R '■ г? б) Как найти элементы равнобедренного треугольника, зная ?? и г? в) Сможете ли вы построить равнобедренный треугольник,
т
<п
€
(П
€1
<11
€
€
О
с
212
зная положение центров его описанной и вписанной окружностей? г) Пусть в равнобедренном треугольнике эти центры совпадают. Что из этого следует?
Занимательная геометрия
Для египетских пирамид замечено следующее: отношение удвоенной стороны основания к высоте пирамиды с хорошей точностью равно д. Сами египтяне, однако, значение д с такой точностью не знали. Объясните.
€П
Участвуем в олимпиаде
Из каждой середины стороны остроугольного треугольника площадью S провели перпендикуляры на другие две его стороны. Чему равна площадь шестиугольника, ограниченного всеми этими перпендикулярами?
На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они полностью накрывают данный четырехугольник.
Два прямоугольных треугольника АВС и ABD имеют общую гипотенузу ЛВ и больше общих точек не имеют. AD=BD. Докажите, что луч CD делит пополам угол АСВ.
Два прямоугольных треугольника ABD и BCD составлены так, что они имеют общую гипотенузу BD и образуют выпуклый четырехугольник/15CD. Докажите, что проекции сторон AD н ВС на отрезок АС равны.
ABCD — кваарат, точка О — его центр, точка К— середина стороны ВС, точка L — середина отрезка OD. Чему равен угол АСЮ В неравнобедренном треугольнике из одной и той же вершины проведены высота и медиана. При этом оказалось, что они образуют со сторонами треугольника, выходящими из той же вершины, равные углы. Высота треугольника лежит внутри его. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.
Внутри каждой стороны квадрата, нарисованного карандашом на бумаге, выбрали по точке, а потом квадрат стерли и оставили только выбранные точки. Можно ли восстановить исходный квадрат?
На катете ВС и гипотенузе >4Й прямоугольного треугольника ЛЛС построены квадраты BKLC и BMNA. При этом квадрат BKUC построен во внешнюю сторону отданного треугольника, а квадрат ВММА построен во внутреннюю сторону. Докажите, что центры построенных квадратов н вершина Сданного треугольника лежат на одной прямой.
Из точки М внутри острого угла А проведены перпендикуляры МР и MQ на стороны угла. Из точки А проведен перпендикуляр АК на прямую PQ. Докажите, что Z. PAK—/L MAQ.
Дан параллелограмм. Внутри его взята точка и соединена отрезками со всеми вершинами параллелограмма. Один из этих отрезков виден из двух противоположных вершин параллелограмма под равными углами. Тогда любой из этих отрезков виден из некоторых противоположных вершин параллелограмма под равными углами. Докажите.
\
213
Дополнения
I. Геометрия треугольника
По-видимому, вы уже заметили, что треугольники являются тем стержнем, вокруг которого формируется курс элементарной геометрии. Это не случайно. Несмотря на то что треугольник — одна из простейших фигур, он имеет много важных н интереснейших свойств. К этим свойствам сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть и такие, которые люди знают с древнейших времен, например теорема Пифагора, а есть и открытые совсем недавно. Даже и сейчас появляются новые теоремы о треугольниках. Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся ученые. Вы встретитесь с их именами: теорема Пифагора, формула Герона, точка Торричелли, окружность Эйлера, прямая Гаусса, теоремы Лейбница и Карно и т.д. Решению треугольников посвящена глава И, в которой были доказаны три важнейшие теоремы о треугольниках: теорема Пифагора, теорема синусов и обобщенная теорема Пифагора (теорема косинуса). Из двух последних теорем легко вытекают теоремы о подобных треугольниках. Более подробно о подобии фигур мы будем говорить в 9 классе. А теоремы о подобных треугольниках нам будут нужны для доказательств других интересных теорем геометрии треугольника. Поэтому мы с них и начнем.
1. Подобные треугольники
Вообще о подобных фигурах можно сказать, что это фигуры, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Например, подобны две фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями (рис, 221) или животное и его игрушечная модель. Подобны любые два круга.
Из этих примеров можно увидеть, что отношения соответствующих линейных размеров подобных фигур равны. Так, на коробках игрушечных моделей самолетов указано, во сколько раз их детали меньше соответствующих деталей настоящих самолетов. Все размеры треугольника определяются длинами его сторон. По-
214
а)
%
Рис. 221
этому естественно дать такое определение подобных треугольников.
Определение
Два треугольника называются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.
Подробнее: два треугольника подобны, если можно так сопоставить их стороны, что, обозначив стороны одного треугольника через а, Ь, с, а соответствующие стороны второго треугольника через о/?|. с, (рис. 222), будем иметь равенства отношений соответствующих сторон, т. е. равенства
a^ _ ft,
(1
Если эти отношения обозначить через к, то из равенств (1) получаем, что
Ui=ka, bi=kb, c^=kc. (2)
Ясно, что верно и обратное утверждение: из равенств (2) следуют равенства (1). Итак, равенства (1) и (2) равносильны. Положительное число к называется коэффициентом подобия.
Из подобия двух треугольников вытекают как равенства (1), так и равенства (2). Обратно: два тре-
Рис.222
215
угольника подобны, если установлено, что их стороны пропорциональны, т. е. выполняются равенства (1) или, что равносильно, равенства (2).
Рассматривая здесь два подобных треугольника, мы обозначаем их соответственные стороны как а, Ь, с и а,, b^, С[, а вершины треугольников, лежащие против этих сторон, обозначаем, как обычно, А, В, С и Л,, В„ С,.
Итак, говорят, что треугольник А|В|С, подобен треугольнику АВС с коэффициентом k, если выполняются равенства (2).
Если треугольник Л,В,С, подобен треугольнику АВС с коэффициентом к, то треугольник АВС по-
добен треугольнику А\В^С^ с коэффициентом .
Это утверждение вытекает из равенств (2).
Если fe=l, то треугольники равны. Поэтому равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников (с коэффициентом подобия, равным единице).
Теорема (о равенстве углов подобных треугольников )
Соответственные углы подобных треугольников равны.
Доказательство. Пусть треугольник Л (б, С, подобен треугольнику АВС с коэффициентом k. Тогда a^=ka, b^=kb, Ci=kc. Вычисляя косинус угла С, треугольника Л|б,С| по теореме косинуса, получаем
cosС^={а^ + Ь^— С[) {2k^ab)=
={а^+Ь^-(^) ■ (2a/?)=cos С.
Из равенства косинусов углов С, н С следует равенство этих углов. Аналогично доказываются и равенства других соответствующих углов треугольников АВС н A^B^C^. Ш
Докажем два признака подобия треугольников.
Теорема (первый признак подобия треугольников)
Если две стороны одного треуго.иьника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
216
Доказательство. Допустим, в треугольнике АВС A^B^C^ равны углы С и С, и пропорциональны заклЕО-чающие эти углы стороны рассматриваемых треугольников (рис. 223). Тогда, используя введенные обозначения, имеем равенства
Oi=fea, b\=kb, (3)
т. е. выполняются два из трех равенстЕЗ (2). Докажем, что выполняется и третье равенство, т. е. что C\=kc.
Найдем, применяя теорему косиЕзуса, квадрат стороны c^:
c]=a]+bi—2aib^cos C^=(kaf+(kbf-2(ka) {kb)cos С= =k\a^+b^—2аЬ cos C)=k^c^={kef.
Следовательно, и c^=kc, т. е. все три пары сторон рассматриваемых треугольников пропорциональны и эти треугольники подобны. ■
Теорема (второй признак подобия треугольников)
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство, Рассмотрим два треугольника АВС и A^B^Cl, у которых равны два угла: ^A=Z.A^ и (рис. 224). Тогда равны и их третьи углы; /.C=/LCj. Итак,
ЛА=^А^, гLB=AB^, ZC=Z.C|. (4)
Докажем пропор1;иональность сторон треугольников АВС и /4|fi,C|. Из равенств (4) следует, что
sin/?=siny4|, sinB=sinBj, sinC=sinC,. (5)
Согласно теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов треугольника. Поэтому
а=р s\n А, Ь=р s'm В, с-р s\n С (6)
а,=^51пЛ|, b^=qsmB^, c,=gsinC|. (7)
Из равенств (5), (6) и (7) следует, что Д| _ Ь\ _ f_\_ а Ь с р '
т. е. стороны рассматриваемых треугольников пропорциональны и эти треугольники подобны. ■
Рис. 224
217
Используя второй признак подобия треугольников, можно доказать полезную лемму.
Лемма (о хорде, параллельной стороне треугольника )
Концы хорды треугольника, параллельной его стороне, разбивают две другие стороны треугольника на пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть хорда КМ треугольника ЛВС параллельна его стороне ВС (рис. 225). Треугольники АВС и АКМ подобны по второму признаку. Поэтому
АВ АС
АК AM •
Поскольку АВ=АК+КВ и АС=АМ+МС, то, заменяя
АВ АС
отрезки АВу\АСъ равенстве этими суммами
и поделив эти суммы почленно, получаем
КВ _ 1 . МС АК AM ■
Из последнего равенства и вытекает, что АК ■ КВ= =АМ:МС. Ш
Эта лемма является частным случаем теоремы об отрезках, отсеченных на сторонах угла параллельными прямыми.
Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть стороны угла О — лучи р и q — пересекают параллельные прямые й, Ь, с соответственно в точках Л, Л', В, В\ С, С' (рис. 226). Требуется доказать, что
ОА
А В
ВС
0А'~^Ж~Ш7-
Согласно лемме имеет место следующее равенство; ОА ■■ АВ=ОА': А'В',
т.е. выполняется первое из равенств (8). Докажем теперь, что
ВС-В'С=ОА:ОА'. (9)
Применим лемму к треугольнику ОСС и его хорде ВВ'. Получим
ОВ ■■ ВС=ОВ'■■ В'С. (10)
В‘
Рис. 225
218
Поэтому
ВС-В'С=ОВ‘ОВ'. (11)
Из подобия треугольника ОАА' и ОВВ' следует, что ОВ-ОВ'=ОА-.ОА'. (12)
Из равенств (11) и (12) следует равенство (9). Итак, все три отношения, стояндие в равенствах (8), равны. Равенства (8) доказаны. ■
Частным случаем только что доказанной теоремы является теорема Фалеса:
если параллельные прямые пересекают стороны угла и на одной из сторон угла отсекают равные отрезки, то и на другой его стороне они отсекают равные отрезки (рис. 227).
Поэтому предыдущую теорему называют обобщенной теоремой Фалеса.
Задачи
1.
2.
3.
4.
5.
Дополняем теорию
Докажите, что прямоугольные треугольники, имеющие соответственно равные острые углы, подобны.
Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Докажите, что отношение плош,адей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.
Докажите, что подобны равнобедренные треугольники, у которых:
а) равны углы при вершинах; б) равны углы при основаниях.
Пусть две параллельные прямые пересекаются прямыми, проходящими
219
через одну и ту же точку, не лежащую на данных параллельных прямых. Докажите, что на параллельных прямых получились пропорциональные отрезки.
<®> Смотрим
На рисунке 228 укажите подобные треугольники.
В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. Найдите на полученном рисунке подобные треугольники. Назовите в них соответственные стороны. Запишите их пропорциональность.
Найдите подобные треугольники на рисунке 229. Напишите пропорциональность их соответствующих сторон.
Найдите длину отрезка х на рисунке 230.
Сравните площадь 5, и S<^ на рисунке 231.
Проведите две медианы треугольника и среднюю линию этого треугольника, соединяющую концы медиан. Найдите на полученном рисунке подобные треугольники. Напишите пропорциональность их соответствующих сторон.
Находим величину
Н
12. Стороны треугольника равны 3, 4, 6. Чему равны стороны треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия равен; а) 2;
б) 0,5? В каждом случае найдите периметр подобного треугольника.
D
К
1]
М
D-J
г)
Д)
е)
В
D
М
Рис,228
В
А D
В
220
221
13. Хорда КМ треугольника АВС идет из точки К стороны АВ параллельно его стороне ВС. Найдите: а) ВК, если АК=4, ЛМ=6, МС= 10; б)МС, еслиЛ/И=2, Лб=6.ЛЛ:=4; в) АС, если КВ=3, МС=4, АЯ=10; г) КМ, если АК=4, ВК—В, ВС=20; д) ВС, если КМ=5, АМ=2, МС=6.
14. Хорда РО треугольника АВС идет от точки Р стороны АВ до точки О стороны АС. Пусть / АОР—А АВС. Найдите: а) АО, если АВ=С, АЯ=4, АС= 12; б) ВР, если АР=4, АО=3, АС=8; в) РО, если АВ=\2, ВС=3, АО=6.
15. Площадь трапеции ABCD равна 5. Продолжения ее боковых сторон АВ и DC за точки Б и С пересеклись в точке О. Найдите площади треугольников ОВС и ОАО, если: а)/10:00=1:1; б) АО = 00= 1:2; в) А0:А0 = 4:1; г) BC-AD=\-3.
16. Площадь треугольника АОС равна S. Чему равны площади треугольника АКМ и трапеции КМСВ, на которые разобьет треугольник АВС хорда КМ, идущая от точки К на стороне АВ параллельно стороне ОС, если: а) АК-КВ^\-2\ 6) АК■ АВ^2 ■■
в) КМ : ВС= 1 : 3? В каком отношении следует разделить точкой К отрезок АО, чтобы треугольник АКМ и трапеция KMCD ока-.зались равновеликими?
Площадь трапеции равна S, а основания ее относятся как 1 = 3. Найдите площади треугольников, на которые разбивают трапецию ее диагонали.
17,
Г
Доказываем
В
В
г)
В
18. Докажите, что прямоугольные треугольники, катеты которых пропорциональны, подобны.
19. Докажите, что два прямоугольных треугольника, у которых катет и гипотенуза одного из них пропорциональны катету и гипотенузе другого, подобны.
20. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники ADO и ВСО подобны. Чему равен коэффициент их подобия?
21. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная стороне, противоположной этой вершине. Докажите, что эти прямые
Рис. 231
222
ограничивают треугольник, подобный данному. Сравните его площадь с площадью данного треугольника.
22. В треугольнике проведена медиана к одной из сторон. Докажите, что каждая хорда треугольника, параллельная этой стороне, делится данной медианой пополам. Попробуйте обобщить этот результат.
23. Нарисуйте угол аЬ с вершиной О. На стороне а отложите равные отрезки: OA=AB=BC=CD. На стороне Ь также отложите равные отрезки: OK=KL=LM—MN. Докажите, что пря.мые АК, BL, СМ, DN параллельны друг другу. Как связаны длины отрезков АК, BL, СМ, DN?
24. В четырехугольнике ABCD точка пересечения диагоналей — точка
О—делит эти диагонали на пропорциональные (но не равные друг другу) отрезки: АО: ОС=ВО ■ OD. Докажите, что ABCD — трапеция.
25. На сторонах угла аЬ с вершиной О отложены отрезки ОЛ, ОВ на стороне а и ОС, OD на стороне Ь. Известно, что ОА- ОВ=ОС- OD. Докажите, что тогда £.0BC=/L0DA.
26. Внутри острого угла АОВ провели луч с началом в точке О. По нему от вершины движется точка X Докажите, что отношение расстояний от точки X до сторон угла постоянно. Проверьте обратное. Будет ли верно это утверждение для тупого угла?
@ Исследуем
27. Биссектриса рассекает равнобедренный треугольник на два подобных ему треугольника. Какие это треугольники?
28. Прямая, проведенная через вершину В треугольника АВС, разбила его на два подобных треугольника АВК и ВСК. Какие углы в этих треугольниках равны?
Рассуждаем
29. Объясните, почему подобны друг другу все равносторонние треугольники.
30. Объясните, почему два треугольника, подобные третьему треугольнику с коэффициентами k н k^, подобны друг другу. Как найти коэффициент их подобия? Два угла одного треугольника равны 70° и 80°, а два угла другого треугольника равны 30° и 80°. Подобны ли эти треугольники?
31. Какие признаки подобия прямоугольных и равнобедренных треугольников можно получить как следствия двух признаков подобия треугольников? А какие уже известные вам признаки подобия таких треугольников не являются следствиями общих признаков подобия треугольников?
32. Два угла треугольника равны 40° и 50°. Чему равны углы треугольника, подобного данному?
33. Каким по виду будет треугольник, подобный данному, если данный треугольник: а) прямоугольный; б) остроугольный; в) тупоугольный;
г) равнобедренный?
223
Применяем геометрию
34. По преданию, Фалес Милетский измерил высоту пирамиды по длине ее тени в тот момент, когда длина тени предмета была равна его высоте. На что мог опираться Фалес в своих рассуждениях?
35. Как проверить, подобны ли два чертежных треугольника?
2. Замечательные точки треугольника
в школьном курсе геометрии обычно к замечательным точкам треугольника относят четыре точки:
1) центр окружности, описанной около треугольника, т. е. точку, равноудаленную от всех вершин треугольника; она является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника (рис. 232);
2) центр окружности, вписанной в треугольник, т. е. точку, равноудаленную от всех сторон треугольника; она является точкой пересечения его биссектрис (рис, 233);
3) точку пересечения медиан треугольника (рис. 234);
4) точку пересечения высот треугольника или их продолжений (рис. 235).
Первые две из этих четырех точек имеют пространственные аналоги — точку, равноудаленную от всех вершин тетраэдра, — центр сферы, описанной около тетраэдра, н точку, равноудаленную от всех граней тетраэдра, — центр сферы, вписанной в тетраэдр.
5 следующих теоре.мах речь пойдет о точках пересечения медиан и высот треугольника.
Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая медиана треугольника делится этой точкой в отношении 2' 1 (считая от вершины треугольника).
Рис. 232
Рис.233
Рис. 234
224
Доказательство. Пусть медианы AM и ВК треугольника АВС пересекаются в точке Т (рис. 236, о). Проведем среднюю линию КМ (рис. 236, б). Напомним,
что KMWAB и KM=-jAB. Поэтому треугольник АВТ
подобен треугольнику КМТ с коэффициентом 2. Следовательно, АТ - ТМ=ВТ '■ ТК=2 ■ 1.
Покажем, что и медиана CN также проходит через точку 7’(рис. 237). Повторим проведенные рассуждения для медиан AM и CN. Снова получим, что они пересекаются в такой точке на медиане AM, которая делит AM в отношении 2П. Этой точкой является точка Т. Поэтому CN проходит через точку Т. ■
Точка пересечения медиан треугольника называется центром масс треугольника, центром тяжести треугольника или центроидом треугольника.
Если изготовить треугольник из картона, проколоть его в точке пересечения медиан и продернуть в прокол нитку с узелком, то треугольник, висящий на этой нитке, будет находиться в равновесии.
Понятие центра масс (центра тяжести) относится к механике и было введено в науку величайшим ученым древности Архимедом (ок. 287—212 гг. до н. э.). Начиная с Архимеда, методы геометрии и механики плодотворно сочетаются, а Ньютон даже назвал геометрию первой главой механики. Архимед так определял понятие центра тяжести: центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри его точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение.
а)
б)
Рис.236
Механика позволяет нахождение центра масс тела свести к нахождению центра масс некоторой системы материальных точек. Материальной точкой называют пару (А, т), где А — точка пространства, а ш — положительное число {масса материальной точки).
Нахождение центра масс треугольника АВС можно свести к нахождению центра масс системы трех материальных точек (Л, 1), (В, 1) и (С, 1) (рис. 238, а). Это делают так. Сначала находят по правилу рычага Архимеда центр масс системы из двух точек (i), 1) и (С, 1). Им будет точка М — середина отрезка ВС. Теперь две материальные точки (В, 1) и (С, 1) можно заменить материальной точкой (М, 2) и вместо трех рассмотреть две материальные точки {А, 1) и (М, 2) (рис. 238, б). Еще раз применяя правило рычага Архимеда, получаем, что центром масс системы двух этих материальных точек (А, 1) и (М, 2) будет точка Т, делящая отрезок AM в отношении 2:1. Таково механическое доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника.
Применим такой способ рассуждения для нахождения центра масс тетраэдра ABCD. Он совпадает с центром масс системы из четырех .материальных точек {А, 1), (В, 1), (С, 1) и (D, 1) (рис. 239, а). Заменим три первые из них материальной точкой {Т, 3), поместив в нее массы точек А, В, С (рис. 239, б). Тогда центром масс системы из двух материальных точек (D, 1), (Г, 3) является (согласно правилу рычага Архимеда) точка X, делящая отрезок DT в отношении 3:1, т. е. DX '■ ХТ=3 '-1. Это рассуждение позволяет нам сформулировать такую теорему:
Теорема (о центре масс тетраэдра)
Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней тетраэдра, проходят через одну точку и делятся ею в отношении ЗМ (считая от вершин тетраэдра).
Конечно, эту теорему можно доказать и чисто геометрически. План такого доказательства дан на рисунке 240. Реализуйте этот план. Заметим еще, что центр масс X тетраэдра ABCD можно было найти и так: .заменить две материальные точки {В, 1) и (С, 1) материальной точкой (М, 2), а две другие материальные точки (/4, 1) и {D, 1) материальной точкой (L, 2), где I — середина отрезка AD (рис. 241). И тогда становится ясно, что центр масс тетраэдра — это середина отрезка ML. Итак, теорему о центре масс тетраэдра
I
АТ:ТМ = 2:1
Рис. 238
а)
(А1)
б) {D, 1)
Рис.239
226
мы можем дополнить еще таким утверждением: через центр масс тетраэдра проходят отрезки, соединяющие середины не лежащих в одной грани ребер тетраэдра, и делятся они центром масс пополам (рис^ 242).
Четвертая замечательная точка треугольника — это точка пересечения его высот (см. рис. 235). Следует сказать точнее: точка пересечения прямых, которые содержат высоты треугольника (ведь высоты тупоугольного треугольника общих точек не имеют, см. рис. 235, в).
Теорема (об ортоцентре треугольника)
Прямые, которые содержат высоты треугольника, проходят через одну точку; ее называют ортоцентром треугольника.
Доказательство. Рассмотрим треугольник Л5С. Через вершины треугольника АВС проведем прямые а, Ь, с, параллельные сторонам треугольника АВС (рис. 243). Получится треугольник KLM с вершинами в точках пересечения прямых а, Ь, с. Точки А, В, С являются серединами сторон треугольника KLM, поскольку четырехугольники АВКС, ABCL, АМВС — параллелограммы. Следовательно, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM являются прямыми, на которых лежат высоты треугольника АВС. По теореме о центре описанной окружности (п, 14.2) эти серединные перпендикуляры проходят через одну точку. Ш
В заключение отметим, что у первых трех замечательных точек треугольника имелись их аналоги для тетраэдров. Для четвертой замечательной точки треугольника — ортоцентра — аналогии нет: высоты
D
АТ-.ТМ = 2:1 DP:PM = 2:1 AD:TP = 3:1
Рис. 240
227
тетраэдра (или их продолжения), вообще говоря, не проходят через одну точку. Лишь для специального вида тетраэдров они пересекаются в одной точке. Такие тетраэдры называют ортоценгпричвскими.
3. Теорема Чевы
в геометрии треугольника много таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Одну из таких теорем дока.зял в 1678 году итальянский математик Томазо Чева (1648—1737).
Теорема (теорема Чевы)
ЛВ, СА, вс
В^С
А,В
С,Л
= 1.
СА,
A^B
АС
РВ
Аналогично из подобия треугольников ЛС,С и BCj _ BQ
C^A
АС
Наконец, из подобия треугольников ОЛС и OPQ AB^ РВ
В^С
RQ
Перемножив соответственно левые н правые части равенств (2), (3), (4), получим (1). Первое утверждение аоказано.
б) Докажем обратное ему утверждение. Пусть выполнено равенство (1). Покажем, что отрезки ЛЛ,,
128
б)
Пусть точка Л, лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка В| лежит на его стороне АС и точка C^ лежит на стороне АВ . Отрезки ЛЛ,, ВВ^, и СС, проходят через одну точку (рис. 244, а) тогда и только тогда, когда выполняется равенство
(1)
(2)
(3)
(4)
Доказательство, а) В теореме Чевы два взаимно обратных утверждения. Сначала докажем, что если три отрезка ЛЛ,, BB^, СС, пересекаются в точке О, то выполняется равенство <1). Проведем через вершину В прямую а||ЛС (рис. 244, б). Пусть прямые АЛ) и CC^ пересекают прямую а в точках Р и Q соответственно. Тогда из подобия треугольников ЛЛ,С и PA^B имеем
Рис, 244
;
\ -
(\of
од
со
хо
ре
в
ор
Дс
а
тс
01
Tf
сс
д
с
ль
HI
П|
В1
П|
пересечения отрезков AA^ и fifij. Проведем из точки
С через точку О дуч /. Пусть он пересечет сторону АВ в точке С (рис. 244, в). Тогда, как доказано.
4fi| С4, ВС'
ВуС С'А
Из равенств (1) и (5) получаем, что ВС вс^
(5)
С'А
С,/4
В этом случае
АВ,
СА,
ВС,
В,С
Л,Б
С,Л
= 1 (рис. 245, а).
Достаточно вспомнить, что для биссектрис АА СС| выполняются равенства
АВ,
В,С
АВ
ВС
СА,
А,В
СА
АВ
ВС
1 _
CiA
ВС
СА
и перемножить их (рис. 245, б).
А вот новая теорема (о точке Жергона):
СС, проходят через одну точку. Пусть точка О — точка а)
В
(6) б)
Следовательно, точки С и С, делят отрезок ВА в одном и том же отноше}1ии. Поэтому точки С и С[ совпадают. Итак, все три отрезка ЛЛ,, и СС, проходят через точку О, ■
Следствием теоремы Чевы, очевидно, является теорема о точке пересечения медиан треугольника, так как
Не многим сложнее получить из теоремы Чевы теорему о точке пересечения биссектрис треугольника.
ВВ, и
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного круга, пересекаются в одной точке (она называется точкой Жергона).
Действительно, в этом случае AB^=AC^, ВА^=ВС^ и С/4,=СВ, (рис. 245, в), откуда и следует равеиство(1).
Наконец, обратимся к теореме о пересечении высот треугольника. Внутри треугольника пересекаются высоты лишь остроугольного треугольника АВС (рис. 246), Для него ACi~b cos А, BC,=acosS, BA^=ccosB, C4|=ftcosC, CB|=acosC, AB^=ccosA, откуда и следует равенство (1). Но высоты тупоугольного треугольника не пересекаются, а пересекаются их продолжения, причем вне треугольника. Непосредственно теорему Чевы в той формулировке, что была дана, к этому случаю применить нельзя. Но оказывается, что теорема Чевы
В
в)
В
229
допускает такое обобщение, в котором уже речь пойдет о прямых, проходящих через вершины треугольника. Точка же пересечения этих прямых может лежать вне треугольника. Такое обобщение мы сделаем в 9 классе.
Замечание. Теорема Чевы может быть доказана с помощью теоремы синусов без использования подобия треугольников. Для этого достаточно записать ее д;1я каждого из шести треугольников на рисунке 244, а и сделать несложные алгебраические выкладки. Попытайтесь сделать это самостоятельно.
II. Геометрия окружности
После треугольника окружность — вторая важнейшая фигура элементарной геометрии. Она тоже богата интересными свойствами. Познакомимся с ними.
1. Окружности и углы
в § 12 мы рассматривали центральные углы окружности и вписанные в нее углы, говорили о зависимости градусных мер этих углов и соответствующих им дуг окружности. Пополним эти результаты более общими теоремами об измерении углов, стороны которых пересекают окружность или касаются ее.
Теорема
Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух его дуг, из которых одна заключена между сторонами угла, а другая — между продолжениями сторон угла.
Доказательство. Пусть вершина В угла АВС лежит внутри круга F, а точки Л и С лежат на его окружности (рис. 247, а). г1родолжив стороны угла В за его вершину до пересечения с окружностью, получим ее хорды АК и СМ (рис. 247, б). Проведем хорду AM и рассмотрим вписанные углы СМА н КАМ. Они измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ, на которые они опираются. Угол АВС—внешний угол треугольника АВМ. Ои равен сумме углов /4 и Л4 этого треугольника. Поэтому он измеряется полусуммой дуг АС и КМ. Ш
Теорема
Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекают его окружность, измеряется по-луразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.
Рис. 247
230
1
Доказательство. Пусть вершина В угла АВС лежит вне круга, точки А н С лежат на его окружности и отрезки ВА и ВС пересекают эту окружность соответственно в точках К и М (рис. 248, а). Проведем хорду AM (рис. 248, б). Внешний угол АМС треугольника АВМ равен сумме углов А ц В этого треугольника. Поэтому угол В равен разности углов АМС и МАК. А эти углы — вписанные в окружность и измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ, на которые они опираются. Следовательно, угол В измеряется по-луразностью этих дуг. ■
Эти две теоремы можно обобщить в виде утверждения, если рассматривать ориентированные дуги окружности.
Теорема
Угол между касательной к окружности и ее хордой, проведенной из точки касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри угла.
Доказательство. Пусть через точку А окружности проведены хорда АС и касательная АВ. Будем считать, что угол ВАС острый (рис. 249, а). Проведем из точки А диаметр АК и проведем хорду СК (рис. 249, б). Треугольник ЛСК прямоугольный. Сумма его острых углов А н К равна 90 . Так как диаметр АК перпендикулярен касательной АВ, то сумма углов ВАС и САК тоже равна 90®. Поэтому угол ВАС равен углу АКС. Угол АКС вписанный н измеряется половиной дуги АС, на которую он опирается.
Следовательно, и угол ВАС измеряется половиной дуги АС. Но эта дуга и является дугой, заключенной внутри угла ВАС. ■
Рис.249
231
Теорема
2. Пропорциональность отрезков хорд и секущих
Ю п ^
Если две хорды АВ и CD одной окружности пересекаются в точке М (рис. 250, а), то AM • МВ= = СМ • MD.
Доказательство. Приведем хорды АС И BD (рис. 250, б). Получим два треугольника САМ и BDM. Они подобны по второму признаку подобия, так как в них ^A=Z.D (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС) и /LC=Z.B (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD). Поэтому AM ■ MD=CM ■ МВ. Из этой пропорции и следует, что AM‘MB=CM-MD. Ш
Интересно, что равенство, доказанное в предыдущей теореме, будет верным и для двух секущих одной окружности. А секущей для окружности (круга) называется луч с началом в некоторой точке М, взятой вне круга, который пересекает его окружность.
Теорема
Если из точки М вне кру| а проведены две секущие, одна из которых пересекает его окружность в точках Л и Д, а другая — в точках С и D, то АМ ‘МВ=СМ - MD.
Доказательство. Можно считать, что точка А лежит на отрезке МВ, а точка С лежит па отрезке MD (рис. 251, я). Проведем хорды ВС и AD (рис. 251, б). ТреугольникиМВС и MDA подобны: у нихугол М общий, а вписанные углы АВС и ADC равны как опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Записав пропорциональность их сторон, как и при доказательстве предыдущей теоремы, приходим к равенству AM • МВ=ВМ • MD. Ш
Представим себе, что секущий луч МС, вращаясь вокруг точки М, займет положение луча, касающегося окружности в точке К (рис. 252). Тогда окажется, что точки С и D совпадут, и получим, что MC=MD=MK. И из равенства AM • МВ=СМ • MD получим равенство AM' МВ=МК^. Сформулировать это можно так:
Теорема
Квадрат отрезка касательной, проведенной из некоторой точки вне круга, до точки касания равен произведению большего отрезка секущей на внешнюю часть этой секущей.
б)
М
\D
М
Рис. 250
232
Доказать эту теорему можно, рассмотрев два подобных треугольника МВК и МАК (рис. 253). Сделайте это самостоятельно.
Все результаты этого пункта вы могли получить и не используя подобия треугольников. Найдите соответствующие им задачи в § 12.
3. Сфера и шар| цилиндр^ конус
Окружность вы чертите циркулем, вращая одну из ножек циркуля и фиксируя острием другой ножки положение центра окружности (рис. 254, а). Так что окружность—это простейшая из фигур вращения. Круг тоже можно представить себе как фигуру, полученную вращением в плоскости отрезка постоянной длины, один из концов которого фиксирован (рис. 254, б).
Если вращать в пространстве окружность вокруг одного из ее диаметров (полуокружность вокруг диаметра), то получим сферу (рис. 255, а), к при вращении круга вокруг диаметра (полукруга вокруг диаметра) получится шар (рис. 255, б).
Определить сферу и шар можно и без представлений
б)
1
Рис. 256
Рис. 257
О вращении окружности и круга. При этом их определения почти дословно повторят определения окружности и круга. Поэтому, определяя сферу и шар, нужно лишь в определениях окружности и круга слово плоскость заменить словом пространство.
Сферой (шаром) с центром О и радиусом R называется фигура, которая состоит из всех точек пространства, удаленных от точки О на расстояние R (на расстояние, не большее R).
Из свойств шара и сферы отметим прежде всего такое: если шар пересечь плоскостью, то в сечении получится круг (рис. 256).
Среди всех окружностей самый большой радиус у тех, плоскость которых проходит через центр сферы. Их центры находятся в центре сферы (рис. 257). Они называются большими окружностями на сфере, и их радиус равен радиусу сферы.
Те плоскости, которые имеют со сферой единственную общую точку, называются касательными плоскостями сферы (рис. 258, а). По аналогии с теоремой о касательной прямой к окружности можно сформулировать теорему о касательной плоскости к сфере:
Плоскость, проходящая через точку сферы, касается сферы тогда и только тогда, когда она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку (рис. 258, б).
Кроме щара и сферы, в элементарной геометрии рассматривают еще две пространственные фигуры вращения: цилиндр — он образуется при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон (рис. 259) и конус — он образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 260).
234
Ответы
Задачи на повторение курса 7 класса
14. 180“ 19. 0,5п(и-1). 20. в) 1+0,5«<п+1).
Задачи по курсу 8 класса Глава I
§ I
1.6. а) 0,5(<р,+(р2): 6)0,5(Ф1-Ф2); в)180°-(р . 1.20. а)Максимальное число— 18. 1.22. а) 5;
б)21;в)0,5гг(п-3). 1.26.а)3. 1.27. а) 0,5л (и-3); б) rJ.) ■ 1), \ .33. 8.
§ 2
2.3. а) у ; б) ^ ; в) -g-; г) ; д) ; е) у : ж) . 2.4. а) ^ ; б) ; в) у . 2.12. Q,MA-2.14. а) 5(.)с)=1-л^^; б) S(x)= 1-0,5дг^; в) S(x)=0,5(I —х)(д:+2); r)5(.x)=jc; д) S(x)= =0,5(1+Jf^): е) S(jc)=0,25(l-x^). 2.27. Площади поверхностей: а) 2+J2 ; 6) 5,5; в) 6у. § 3
, J й
3.7. б) Л’=25; в) x=S\ г) x=7S. 3.15. 3. 3.16. В общем виде если АК‘АС= — , BL'-LK= -j ,
■^0 5,.н,/.= 7 5e,c=j5^:. 3.17. а) 3.18. а) 0,5. 3.21. 0.5d,rf2-
3.23. В 4 раза. 3.35. 0,5d^.
§ 4
4.4. а) S=0,5S^gcD^ б) S=0,bS^[jco< в) 'S=0,5S^gco- 4-5. а)л:=25; в) л=25; г) х=5; д) x=2S.
4.10. а) 10; б) 8.
Задачи к главе I
1.2. а) х=5(+52+5з+54; б) JC=S^4•S2; в) лс=5,—S2+S3; г) л:=5|—52+S3; д) x=0,5(Sg+S4)= =0,5(5| +5з). 1.6. а) S=1 -je; б) 5=0,5; в) 5=2x( 1 -х)\ г) 5=0,5 (1 +ji^)\ д) 5= 1-0,5(jc^+ +(1—а:)^). 1.7. а) в 7 раз.
Глава II
§ 5
5.3. Рис. 67: а) 6; в) Vi3. Рис. 68: а) 7^; б) 7б -1. 5.13. . 5.14. а)х+Л-2х^х^.
235
5.25. a)4v^-3T^, -/б + бл^-З; б) 1,8; 1.2. 5.28. 13. 5.29. 0.5d"(3+Д). 5.30.а)2+.Д; б) 3; в) 1+2^2 . 5.32. В одном из случаев 0,5 <ЛХ<1.
§ 6
^ Зa^ ;
6.10. а) x—tja^-Ь^ + ; б) x—Ja^ — ; в) х= Jb^ + 2ас + ; г) х= Jb
д) x=Jc^-b^-ha^ -а. 6.11. а)х=^,у=2, 2=720"; б) Jt=y. t/=0,S75,2=75; в) x=-j,
12 „ --- Гга" „
//=75 , 2=1,575; г) х=-|, //=у , 2 = у. 6.19. б) 5-2.Д. 6.20. 6.21. а) ^;
б) 78, в) 7^, г) д) Л,=
= 1а.2_(с +^_£_L 6 22. а) БА,=2;
.2.^ _2,2
4с
б) ВЛ,=Т7 ; в) Ifl, (Л,В,) 1=0,573; г) (В, Л,В, 1=2; д) |В, АЛВС1=2. 6.28. а) KlJtalO; б) 0<1;ГакЗ; в) max {О, d,-d^} sin60°
в) 73. 8.25. а) 73; б) 8.29. а) От 0 до О.Зс^, где с — диагональ; б) от J2S, где
S — площадь, до бесконечности. 8.30. От 0 до 0,5. 8.38. а) До шестого. 8.39. Примерно за шесть с половиной часов. 8.49. а) Из вершины А под углами 63® и 78°.
§ 9
9.13. в) Невозможно одновременно выполнение равенств sina=a и cosa=y . 9.17. а) у -1 3 3
б) у; в) —; г) у: д) 0,257з^. 9.18. а) 1-со5ф, sin ф; б) 1^1(1-со5ф)-й.^51п ф1 d, з1пф+^2(1-созф). 9.19. г) От Jl-4а^ до J[-a^ . 9.24. Нет. 9.25. Да.
236
10
юл I. б) Прямоугольный. 10.12. 0,5л/Ю6 ; ^ . 10.28. 62°. 10.34. а) ^ , 1.
10.35. Сторона XY.
§ И
11.2. где ф — искомый угод, а ^2 ” — проекции отрезка. 11.5. а) ЛС=
"1
=/jtga+/!tgp в одном из случасБ, если h — высота, а а и р—данные углы; 6) АС= =A(dg^+ctgC). 11.8. а) S=fl^tgф; б) S=a4g; в) 0,5d^ctg-|- или 0,5c/^tg-|-;
г)0,25(c^-52)tgф. П.9. а)Л=|; б)Л=2|Г^ . 11.26. А=—, где Л башни, а, р — данные углы.
высота
Задачи к главе II
.sin 60°
И.З. а) d'^sin ф совф-0,25 tgф; б) 0,5с(^со5^ф-0,25^^-У2 cos^ ф • tg(45°-ф). 11.4.
)■
11.8. а) Равнобедренный; в) прямоугольный. 11.12. Если 0<1дф<0,5, то Если
0,54.24. 3) S=0,25^; 6) S=xj2x-x^ ; в) S=d(J\-d^ +1);
V 2sin Ф cos
Ig -f- 1 + sin
i 2 I________
111.14. б) со5ф-в) от 2j4R^-d^ до 4R. 111.15. в) ; 2) sin а= 1-sin-f-;
2R
д) 0,5У5 . 111.18. б) -у], TzR. III.19. я) 1<-^<с
Оглавление
Предисловие.................................................... 3
Введение ........................................................ 5
Задачи на повторение курса VII класса........................... 10
Глава I
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР..................................... 17
§ 1. Многоугольники и многоугольные фигуры....................... —
§ 2. Площадь многоугольной фигуры............................... 34
§ 3. Площадь треугольника и трапеции ........................... 47
§ 4. Параллелограмм и его площадь............................. 55
Задачи к главе I................................................ 65
Глава Л
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.......................... 69
§ 5. Теорема Пифагора............................................ —
§ 6. Применения теоремы Пифагора................................ 79
§ 7. Синус ................................................... 94
§ 8. Применения синуса......................................... 105
§ 9. Косинус................................................... 117
,§ 10. Применения косинуса .................................... 128
§ 11. Тангенс и котангенс...................................... 137
Задачи к главе II............................................ 146
Глава III
МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ.................................... 149
§ 12. Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые............. —
§ 13. Выпуклые многоугольники.................................. 167
§ 14. Вписанные и описанные окружности ........................ 175
§ 15. Правильные многоугольники................................ 185
§ 16. Дпина окружности......................................... 193
§ 17. Площадь круга............................................ 202
Задачи к главе III............................................. 209
Дополнения..................................................... 214
Ответы......................................................... 235