Геометрия Рабочая тетрадь 7-9 класс Семенова Ященко доказательства

ФГОС. новый ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ 79 ^^CKi/iiA ^ Ui ГЕОМЕТРИЯ ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Под редакцией А. Л. СЕМЕНОВА, И. В. ЯЩЕНКО I САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА РАБОТА ф НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Фгос. тематический контроль ГЕОМЕТРИЯ ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Под редакцией А. Л. СЕМЕНОВА, И. В. ЯЩЕНКО 7-9 классы Рабочая тетрадь учащегося класса НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ МОСКВА 2013 УДК 373.167.1 ББК 22.1я721 Г 36 51 НОУ «Московский Центр непрерывного математического образования (МЦНМО)» Автор; Владимир Алексеевич Смирнов Геометрия. Доказательства. Тематический контроль : рабочая тетрадь : Г 36 7-9 классы / Под ред. А. Л. Семенова, И. Б. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2013. — 64 с. + прил. к комплекту 48 с. — (ФГОС. Тематический контроль). ISBN 978-5-4454-0086-8 (отд. изд.) ISBN 978-5-4454-0336-4 Рабочая тетрадь составлена с учётом требований нового Федерального государственного образовательного стандарта. В ней представлены разные типы проверочных работ для учащихся по всем темам курса «Геометрия» 7-9 классов, ответы и критерии оценивания, а также темы проектов с рекомендациями и комментариями. Пособие предназначено для текущего и итогового контроля (самоконтроля) уровня освоения материала курса в течение учебного года в целях систематической подготовки учащихся к итоговой аттестации в 9 и 11 классах — ГИА и ЕГЭ. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721 ISBN 978-5-4454-0086-8 (отд. изд.) ) НОУ «Московский Центр непрерывного математического образования (МЦНМО)», 2013 ) ООО «Издательство «Национальное образование», 2013 СОДЕРЖАНИЕ Введение...................................................... 5 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1 ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ........................ 6 Вариант 1..................................................... 6 Вариант 2..................................................... 8 Вариант 3.................................................... 10 Вариант 4.................................................... 12 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2 ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ....................... 14 Вариант 1.................................................... 14 Вариант 2.................................................... 16 Вариант 3.................................................... 18 Вариант 4.................................................... 20 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3 ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ....................... 22 Вариант 1.................................................... 22 Вариант 2.................................................... 24 Вариант 3.................................................... 26 Вариант 4.................................................... 28 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4 РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.................................. 30 Вариант 1.................................................... 30 Вариант 2.................................................... 32 Вариант 3.................................................... 34 Вариант 4.................................................... 36 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ............................. 38 Вариант 1.................................................... 38 Вариант 2.................................................... 40 Вариант 3.................................................... 42 Вариант 4.................................................... 44 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА............................................ 46 Вариант 1....................................................... 46 Вариант 2....................................................... 48 Вариант 3....................................................... 50 Вариант 4....................................................... 52 ВВЕДЕНИЕ Выработка умений решать задачи на доказательство относится к основным целям обучения геометрии в школе. Задачи на доказательство входят в содержание ГИА и ЕГЭ по математике. Для подготовки к этим экзаменам необходимо выработать надёжные и устойчивые умения учаш;ихся решать базовые задачи на доказательство. При этом надёжность умений означает получение учащимися правильного решения даже не для большинства, а для всех предложенных задач. Устойчивость означает сохранение сформированных умений на длительный промежуток времени. Данное пособие предназначено для организации текущего и итогового контроля за отработкой базовых умений учащихся решать задачи на доказательство, используя признаки равенства треугольников, свойства и признак равнобедренного треугольника. Оно может быть использовано для подготовки к ГИА при работе по любому учебнику геометрии, входящему в Федеральный перечень. Пособие содержит пять самостоятельных работ и одну контрольную работу в четырёх вариантах каждая. Самостоятельные работы содержат по 6 задач и рассчитаны на 45 минут. Все задачи сопровождаются рисунками, позволяющими учащимся лучше понять условие, наметить план решения, провести дополнительные построения. Итоговая контрольная работа также содержит шесть задач и рассчитана на 45 минут. Самостоятельные работы 1, 2 и 3 содержат задачи на доказательство, при рюшении которых применяются соответственно первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Самостоятельная работа 4 относится к теме «Равнобедренный треугольник» и содержит задачи на доказательство, решение которых использует свойства и признаки равнобедренного треугольника. Самостоятельная работа 5 содержит задачи на признаки равенства треугольников, для решения которых требуется заполнить пропуски в доказательстве. Итоговая контрольная работа содержит задачи по всем перечисленным выше темам. В приложении к комплекту даны ответы ко всем заданиям. сАМОСТОЯТЕЛ ЬНАЯ РАБОТА 1 ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Вариант 1 На рисунке АЕ = AD, BE = CD. Докажите, что BD = СЕ. Ответ: На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и OD. Произвольная точка Е биссектрисы этого угла соединена с точками С и D. Докажите, что ZOEC = ZOED. Ответ: ®На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ - АЕ. Докажите, что ZABD = ZAEC. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ На рисунке ОА = ОВ и ОС = OD. Докажите, что AD = ВС. Ответ: В четырёхугольнике ABCD АВ = DC и ZBAC = ZACD. Докажите, что ZB = ZD. Ответ: На каждой стороне правильного треугольника АВС последовательно отложены равные отрезки AD, BE, CF. Докажите, что стороны треугольника DEF равны. Ответ: ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 2 На рисунке АЕ = AD, BE = CD. Докажите, что ZABD = ZACE. Ответ: е На сторонах угла АО В отложены равные отрезки ОС и OD. Произвольная точка Е биссектрисы этого угла соединена с точками С и D. Докажите, что ЕС = ED. Ответ: лежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ZACE = ZADB. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ На рисунке АС = BD и ZOCD = ZODC. Докажите, что AD = ВС. Ответ: В четырёхугольнике ABCD АВ ZACB = ZCAD. DC и ZBAC = ZACD. Докажите, что С Ответ: На рисунке треугольники ABD^ и ABD2 равны. Докажите, что треугольники BCDi и BCD2 тоже равны. Ответ: 10 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 3 На рисунке АЕ = AD, BE = CD. Докажите, что ZADB = ZAEC. Ответ: На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и OD. Произвольная точка Е биссектрисы этого угла соединена с точками С vi D. Докажите, что ZOCE = ZODE. Ответ: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что BD = ЕС. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 11 На рисунке АС = BD и Z.OAB = ZOBA. Докажите, что ZABC = ZBAD. Ответ: На рисунке ZBAD = ZABC, AD = ВС, Докажите, что АС = BD. Ответ: На продолжении каждой стороны правильного треугольника АВС последовательно отложены равные отрезки BD, СЕ, AF. Докажите, что стороны треугольника DEF равны. Ответ: D 12 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 4 На рисунке АЕ = AD, BE = CD. Докажите, что ZBEC = ZBDC. Ответ: На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и OD. Произвольная точка Е биссектрисы этого угла соединена с точками С и D. Докажите, что ZACE = ZBDE. Ответ: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ZCED = ZDBC. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 13 На рисунке AD = ВС и ZBAD = ZABC. Докажите, что АС = BD. Ответ: В четырёхугольнике ABCD АВ = DC и ZBAC = ZACD. Докажите, что ВС = AD. Ответ: На рисунке треугольники ABD^ и ABDg равны. Докажите, что треугольники ACDi и ACD2 тоже равны. Ответ: Д»^САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2 ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Вариант 1 в четырёхугольнике ABCD Zl = Z2h Z3 = Z4. Докажите, что АВ = CD. Ответ: В На рисунке дана фигура, у которой AD Z 1 = Z 2. Докажите, что АВ = DE. Ответ: CF, ABAC В В = ZEDF, В Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и ZA = ZC. Докажите, что ОВ = OD. ^ С Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 15 В четырёхугольнике ABCD ZDAB = ZCBA и диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что АС = BD. Ответ: Треугольники АВС и А^В^С^ равны, ZBCD = ZB^CiD^. Докажите, что AD = AiDi. Ответ: В На рисунке ВС = CD, ZB = ZD. Докажите, что АС = СЕ Ответ: 16 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 2 в четырёхугольнике ABCD Z1 AD = ВС. Ответ: Z2 и Z3 = Z4. Докажите, что С На рисунке дана фигура, у которой AD Z1 = Z 2. Докажите, что ВС = EF. Ответ: = CF, ZBAC = ZEDF, Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и ZA = ZC. Докажите, что АВ = CD. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 17 В четырёхугольнике ABCD ZDAB = ZCBA и диагонали АС и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что ВС = AD. Ответ: Треугольники АВС и А^В^С^ равны, ZBCD = ZB^C^D^. Докажите, что CD = CiDi- Ответ: На рисунке ВС = CD, ZB = ZD. Докажите, что АВ = ED. Ответ: 18 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 3 в четырёхугольнике ABCD Z1 АВ = AD. Ответ: = Z2 и Z3 = Z4. Докажите, что Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, ОВ = ОС и ZB ^ ZC. Докажите, что АО = DO. Ответ: D Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, Z 1 = Z 2, ОС = OD. Докажите, что О А = ОВ. Ответ: ^ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 19 Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и ZA = ZC. Докажите, что ОВ = OD. ГУ Ответ: ^ Треугольники АВС и Аф^Су равны, А BCD ZCDB = ZC^D^Bi. = ZBiC^Di. Докажите, что Ответ: m На рисунке АС = СЕ, ZA = ZE. Докажите, что ВС = CD - Ответ: 20 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 4 в четырёхугольнике ABCD Z1 ВС = DC. Ответ: Z2 и Z3 = Z4. Докажите, что ш Отрезки АВ и С£) пересекаются в точке О, ОВ = ОС и ZB = ZC. Докажите, что АС = BD. Ответ: D Лучи AD и ВС пересекаются в точке О, Z1 что АС = BD. = Z2, ОС = OD. Докажите, Ответ: В САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 21 Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, АО = ОС и ZA кажите, что АВ = CD. Ответ: ZC. До-С Треугольники АВС и Аф^С^ равны, ZBCD ZADC = ZAiDiC^. = ZBiC^Di. Докажите, что Ответ: На рисунке АС = СЕ, ZA = ZE. Докажите, что АВ = DE. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3 ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Вариант 1 в четырёхугольнике ABCD АВ = CD и ВС = AD. Докажите, что ZA = ZC. Ответ: В ш в четырёхугольнике ABCD AD = ВС и АС = BD. Докажите, что ZABC = ZBAD. Ответ: g На рисунке АС = BD и AD = ВС. Докажите, что ZACD = ZBDC. Ответ: D САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 23 На рисунке AD = CF, АВ = FE, ВС = = ED. Докажите, что ZACB = ZFDE. Ответ: Е На рисунке АВ = AD, СВ = CD. Докажите, что ZB = ZD. Ответ: я| В треугольниках АВС и А^В^С^ СМ и С^М^ — медианы, АВ = А^В^, — АС = А^С^, СМ = С^М^. Докажите, что ZA = ZA^. Ответ: 24 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 2 в четырёхугольнике ABCD АВ ZB = ZD. Ответ: CD и ВС = AD. Докажите, что С В четырёхугольнике ABCD AD = ВС и АС == BD. Докажите, что ZABD = ZBAC. Ответ: На рисунке АС = BD и AD = ВС. Докажите, что ZADC = ZBCD. D В Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 25 На рисунке АВ = ВС, AD = CD. Докажите, что Z.ABD = Z.CBD. Ответ: На рисунке AD = CF, АВ = FE, ВС = ED. Докажите, что Z1 = Z2. Ответ: В треугольниках АВС и А^В-^С^ СМ и — медианы, АВ = А^В^, — АС = А]С-^, СМ = CjM^. Докажите, что ZAMC = АА-^М^С^. Ответ: 26 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 3 На рисунке AD = CF, АВ = FE, ВС = ED. Докажите, что Z.A = ZF. Ответ: ш в четырёхугольнике ABCD AD = ВС и АС = BD. Докажите, что ZDAC = ZCBD. Ответ: ш На рисунке АС = BD и AD = ВС. Докажите, что ZABC = ZBAD. D В Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 27 На рисунке АВ = ВС, AD = CD. Докажите, что ZADB = ZCDB. Ответ: ^ В На рисунке АВ = AD, СВ = CD. Докажите, что ZBCA = ZDCA. Ответ: юГ| В треугольниках АВС и А^В^С^ СМ и С^М^ — медианы, АВ = А^В^, АС = А^С^, СМ - С^М^. Докажите, что ZACM = Ответ: 28 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 4 На рисунке AD = CF, АВ = FE, ВС = ED. Докажите, что ZB = ZE. Ответ: В четырёхугольнике ABCD AD = ВС и АС = BD. Докажите, что ZADC = ZBCD. Ответ: На рисунке АС = BD и AD = ВС. Докажите, что ZBAC = ZABD. D В Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 29 На рисунке АВ - ВС, AD = CD. Докажите, что ZA = ZC. Ответ: ^ На рисунке АВ = AD, СВ = CD. Докажите, что ZBAC = ZDAC. Ответ: Щ| В треугольниках АВС и А^В^С^ СМ и — медианы, АВ = — ВС = BiCi, СМ = С^М^. Докажите, что ZBCM — ZB^C^M^. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4 РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Вариант 1 На рисунке ZDBC = ZDAC, ВО = АО. Докажите, что ZCAB = ZDBA. Ответ: На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что BD = СЕ. Ответ: Е На рисунке АВ = ВС. Докажите, что Z1 =Z2. Ответ: В САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4. РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 31 На рисунке CD = В£), ZACD = ZABD. Докажите, что ZACB = ZABC. Ответ: На рисунке АВ = ВС, ZBCD = ZBAD. Докажите, что AD = CD. Ответ: На рисунке AD = ВС, ZA = ZB. Докажите, что DE = СЕ. Ответ: В 32 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ ш Вариант 2 На рисунке в треугольнике АВС АВ = АС и Z1 = Z2. Докажите, что Z3 = Z4. Ответ: На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. До- А Ответ: На рисунке Z1 == Z 2. Докажите, что АВ = ВС. Ответ: Б САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4. РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 33 На рисунке CD = BD, Z 1 = Z 2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. Ответ: На рисунке AD = CD, ZBCD — ZBAD. Докажите, что АВ = ВС. Ответ: На рисунке AD = ВС, ZCDE = ZDCE. Докажите, что ZA ^ ZВ. Ответ: В 34 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 3 На рисунке АВС АВ = АС и Z 3 = Z 4. Докажите, что Z 1 - Z 2. Ответ: ш На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что ZABC = ZACB. Ответ: Е т На рисунке АВ = ВС. Докажите, что Z 1 = Z 2. Ответ: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4. РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 35 На рисунке Zl= Z2, Z5 = Z6. Докажите, что Z3 = Z4. Ответ; Q На рисунке AD = CD, АВ = ВС. Докажите, что ZBCD = ZBAD. Ответ: На рисунке ZEAB = ZEBA, ZEDC = ZECD. Докажите, что AZ) = БС. Ответ: Б 36 ГЕОМЕТРИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 4 На рисунке АВС Z1 = Z2, Z3 = Z4. Докажите, что АС = ВС. Ответ: На рисунке АН = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что ZABD = ZACE. Ответ: Е На рисунке Z1 = Z2. Докажите, что АВ = ВС. Ответ: В САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4. РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 37 На рисунке Zl= Z2, Z3 = Z4. Докажите, что Z5 = Z6. Ответ: D На рисунке AD = CD, ZACB = ZBAC. Докажите, что ZBAD = ZBCD. Ответ: На рисунке AD = ВС, ZA = ZB. Докажите, что ZCDE = ZDCE. Ответ: В ->С^ОСТС)ЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ^ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Вариант 1 "71 На рисунке АО ОС п ВО - OD. Докажите, что АВ (7'iJ. ;чиюлнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства I'pi-угольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, АВ = CD. На рисунке AD В( кажите, что ZADC. пропуски в тексте. и ЛС BD. До-В('1), заполнив Треугольники и равны по -му признаку равенства rpeviiiHi.ников. Следовательно, равны их соответствующие углы, знамту ZADC = ZBCD. V J На рисунке ZADB - /:A'DB, прямые АС и BD перпендикулярны. Док,окит(>, что АО = СО, заполнив пропуски в тексте. Треугольнши! равны по чу признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие сторсжы п, значит, АО СО. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 39 На рисунке АВ = СВ и Z.ABD = ZCBD. Докажите, что ZADB = ZCDB, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZADB = ZCDB. На рисунке АВ = АС, АЕ = AD. Докажите, что BD = СЕ, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, BD = СЕ. На каждой стороне квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки АЕ, BF, CG, DH. Докажите, что ZBFE = ZCGF, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZBFE = ZCGF. 40 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 2 На рисунке АВ = CD и Z ВАС заполнив пропуски в тексте. ZDCA. Докажите, что ZDAC = ZBCA, Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZDAC = ZBCA. признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, AD = ВС. На рисунке АВ = СВ и AD == CD. Докажите, что ZBAD = ZBCD, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZBAD = ZBCD. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 41 На рисунке AD = CD и ZADB = ZCDB. Докажите, что ZABD = ZCBD, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZABD = ZCBD. На рисунке АВС — равнобедренный треугольник (АС = ВС). Докажите, что равны его биссектрисы АА^ и ВВ^, заполнив пропуски в тексте. В Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, АА^ = ВВ^. На продолжении каждой стороны квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки BE, CF, DG, АН. Докажите, что EF = FG, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, EF = FG. 42 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 3 На рисунке АВ = CD и AD = ВС. Докажите, что ZCAD = ZACB, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZCAD = ZACB. На рисунке ZBAC = ZABD и ZBAD = = ZABC. Докажите, что AD = ВС, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, AD = ВС. На рисунке ZABD = ZCBD и ZADB = ZCDB. Докажите, что ZBAD = ZBCD, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZBAD = ZBCD. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 43 На рисунке АВ = СВ и AD = CD. Докажите, что ZBAD = ZBCD, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и ______________ __равны по________-му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZBAD =■ /.BCD. На рисунке АВС — равнобедренный треугольник (АС = ВС). Докажите, что равны его медианы АА^ и ВВ^, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, АА-^ = ВВ^. На продолжении каждой стороны квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки BE, CF, DG, АН. Докажите, что ZAEH = ZBFE, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и__________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZAEH = ZBFE. 44 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 4 На рисунке АВ = CD и AD = ВС. Докажите, что ZBAC = ZDCA, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZBAC = ZDCA. На рисунке АО = ВО и ZCAD = ZDBC. Докажите, что AD = ВС, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, AD = ВС. На рисунке AD = CD и ZADB = ZCDB. Докажите, что АВ = ВС, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, АВ = ВС. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 45 На рисунке ZADB = ZCDB и прямая АС перпендикулярна прямой BD. Докажите, что АО = СО, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и________ равны по ________________ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, АО = СО. На рисунке АВ = АС, АЕ = AD. Докажите, что ZABD = ZACE, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZABD = ZACE. На продолжении каждой стороны квадрата ABCD последовательно отложены равные отрезки BE, CF, DG, АН. Докажите, что ZBEF = ZCFG, заполнив пропуски в тексте. Треугольники__________и___________равны по_____-му признаку равенства треуголь- ников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZBEF = ZCFG. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС == AD и АВ = АЕ. Докажите, что ZACE = ZADB. Ответ: Треугольники АВС и А^В^С^ равны, ZBCD = ZB^C^D^. Докажите, что ZCDB = ZC^D^B^. Ответ: В четырёхугольнике ABCD AD = ВС и АС = BD. Докажите, что ZBAC = ZABD. Ответ: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 47 На рисунке дана фигура, у которой AD Z 1 = Z2. Докажите, что ВС = EF. Ответ: = CF, ABAC = ZEDF, На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что АВ = АС. Ответ: . Е На рисунке АВ = СВ и AD = CD. Докажите, что ZADB = ZCDB, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZADB = ZCDB. 48 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 2 На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ZABD = ZAEC. Ответ: Треугольники АВС и А^Б^С^ равны, ZBCD = ZB^C^D^. Докажите, что ZADC = ZAiDiCp Ответ: В четырёхугольнике АБСБ АБ = ВС и АС = BD. Докажите, что ZADC = ZBCD. Ответ: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 49 На рисунке дана фигура, у которой AD = CF, Z ВАС = Z EDF, Z1 = Z 2. Докажите, что АВ = DE. В Ответ: На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что BD = СЕ. Ответ: Е На рисунке AD = CD и ZADB = ZCDB. Докажите, что АВ = ВС, заполнив пропуски в тексте. Треугольники _____________ и _________________ равны по ______ -му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, АВ = ВС. 50 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 3 На сторонах угла CAD отмечены точки В ш Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ZCED = ZDBC. Ответ: Треугольники АВС и А^В^С^ равны, ZBCD AD = A^D^. = ZB^CiDi. Докажите, что В, Ответ: ш в четырёхугольнике ABCD AD = ВС и АС = BD. Докажите, что ZBAD = ZABC. Ответ: В КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 51 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, О В = ОС и ZB = ZC. Докажите, что АС = DB. Ответ: D На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что ZABD = ZACE. Ответ: На рисунке АО = СО и прямые АС и BD перпендикулярны. Докажите, что ZADB = ZCDB, заполнив пропуски в тексте. Треугольники и равны по С му признаку равенства треугольников. Следовательно, равны их соответствующие углы, значит, ZADB = ZCDB. 52 ГЕОМЕТРИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ. 7—9 КЛАССЫ Вариант 4 На сторонах угла CAD отмечены точки В ш Е так, что точка В принадлежит стороне АС, а точка Е — стороне AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что BD = ЕС. Ответ: Треугольники АВС и А^В^С^ равны, ZBCD = АВ^С^В^. Докажите, что Ш CD = C^D^. Ответ: Ш В четырёхугольнике ABCD AD ZDAC = ZCBD. Ответ: = ВС и АС = BD. Докажите, что КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 53 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, ОВ = ОС и ZB = Z С. Докажите, что АО = DO. Ответ: D На рисунке AD = АЕ, ZCAD = ZBAE. Докажите, что ZABC = ZACB. А Е Ответ: На рисунке ZADB = ZCDB и прямые АС и BD перпендикулярны. Докажите, что AD = CD, заполнив пропуски в тексте. Треугольники_____________и__________________ равны по ______ -му признаку равенства треу- гольников. Следовательно, равны их соответствующие стороны, значит, AD = CD. для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИИ для РЕШЕНИЙ для РЕШЕНИИ Издание для дополнительного образования ФГОС. ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ ГЕОМЕТРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ Рабочая тетрадь 7-9 классы Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко Главный редактор И. Федосова Ответственный редактор Е Мишняева Ведущий редактор В. Ковалев Художественный редактор М. Левыкин Технический редактор В. Фотиева Компьютерная вёрстка Л. Федерякина Корректор Г. Лошкарева ООО «Издательство «Национальное образование» 119021, Москва, ул. Россолимо.д. 17, стр. 1, тел. (495) 788-0075(76) Свои пожелания и предложения по качеству и содержанию кни Вы можете сообщить по эл. адресу [email protected] Подписано в печать 14.06.2013. Формат 84xi08V,j Уел. печ. л. 6,72. Печать офсетная. Бумага типографская. Тираж 4000 экз. Заказ С-1448. Отпечатано в типографии филиала ОАО «ТАТМЕДИА» «ПИК «Идел-Пресс». 420066, г. Казань, ул. Декабристов, 2. Все книги издательства можно приобрести в книжных магазинах: Архангельская область. Магазин «Дом Книги» г. Архангельск, 163061, пл, Ленина, д, 3. Тел.:(8182)65-41-34,65-05-34 Астраханская область ООО «Граника». г. Астрахань. ИП Гражданкин Н.Н. 414000, ул. Ульяновых, д. 4. Тел./факс: (8512)44-39-84. E-mail: [email protected] ООО «Граника». г, Астрахань. ИП Гражданкин Н.Н. 414000, ул. Свердлова, д. 84/ Саратовская, д. 12. Тел.: (8512)73-98-06. E-mail: [email protected] Калужская область. ООО «Школьный ПРОект» г. Калуга, 248000, ул. Первомайская, д. 6. Тел.: (4842) 57-58-51. E-mail: [email protected] Кировская область. Сеть магазинов «БУМАГА» г. Киров, 610035, ул. Комсомольская, д. 63. Тел.:(8332)705-805,705-787. E-mail: [email protected] https://www,bumaga-kirov.ru г. Киров, 610017, Октябрьский пр-т, д. 88. Тел.: (8332) 57-81-77,57-81-88. E-mail: book3@bumaga-kirov,ru https://www.bumaga-kirov.ru Краснодарский край. Дом книги «Когорта» г. Краснодар, 350000, ул. Красная, д. 45, Тел.: 8 (861) 262-99-20, доб. 212 Курская область. ООО «Интеллект образования XXI» г. Курск, магазин «Книги», 305000, ул. Дзержинского, д. 93. Тел.: (4712)70-18-61. E-mail: [email protected] Ленинградская область. ООО «Абрис-СПб» г. Санкт-Петербург, 192171, Железнодорожный пр-т, д. 20 (м. «Ломоносовская») Тел,: (812) 612-11-03, (812) 327-04-50, (812) 327-04-51. E-mail: [email protected] Москва umlit.ru г. Москва, 129075, ул, Калибровская, д. 31А Тел.: (495) 981-10-39, (495) 258-82-13, (495) 258-82-14. E-mail: [email protected] Книжный магазин «Узнайка» г. Москва, 127434, Дмитровское ш., д. 25, корп. 1, м. «Тимирязевская». Тел.: (499) 976-4860. E-mail: [email protected] ГУПОЦМДК г. Москва, 119019, ул. Новый Арбат, д. 8. Тел.: (495) 290-40-75, (495) 290-64-82, (495) 247-98-86. E-mail: [email protected] https://www.mdk-arbat.ru Дом книги «Молодая гвардия» г, Москва, 109180, ул. Большая Полянка, д. 28. Тел.: (499) 238-50-01, (499) 780-33-70 E-mail: [email protected] https://www.bookmg.ru Московская область. Магазин учебной литературы «Просвещение» г. Королев, 141077, ул. ВЛКСМ, Д.4Г Тел.: (495) 988-50-45. E-mail: [email protected] Омская область. Магазин «Знайка», ООО «Сфера» г. Омск, 644043, ул, Карла Маркса, д. 22. Тел,: (3812) 31-57-33 (доб. 3), 8-960-989-48-65 Пермский край. «Мир знаний», оптово-розничный магазин г. Пермь, 614039, ул. Газеты «Звезда», д. 52,1-й этаж. Тел,: (342) 281-57-39, (342) 288-51-78. E-mail: [email protected] https://www.perm-books.ru Республика Башкортостан. ООО «Учебно-методический центр «ЭДВИС» г. Уфа, «Эдвис-центр» — магазин, оптовый склад 450058, ул. 50 летСССР, д. 12. Тел.: (347) 282-52-01,282-56-30. E-mail: [email protected] Методический салон «Эдвис» 450005, ул. Мингажева, д. 120. Тел.: (347) 246-40-89,8 (917) 743-30-20. E-mail; [email protected] Республика Татарстан, ООО «ТД «Аист-Пресс» г, Казань, 420132, ул. Адоратского, д. 63А. Тел.: (843) 525-55-40,525-52-14. E-mail: [email protected] Республика Удмуртия, ООО «Инвис» г. Ижевск, 426057, ул. М, Горького, д. 80. Тел,: (3412) 78-16-24,51-33-38,90-02-62. E-mail: [email protected] Рязанская область, «Торговый дом «Барс» г. Рязань, 390013, Московское шоссе, д. 5А «Книжный Барс» 390006, ул. Есина, д. 13Г. Тел.: (4912) 93-29-54 Саратовская область. ООО «Стрелец и К» г, Саратов, 410012, ул. Б. Садовая, д, 158. Тел.: (8452) 52-25-24. E-mail: [email protected] Свердловская область. Торговая компания «Люмна» г, Екатеринбург, 620137, ул. Студенческая, д. 1В. Тел.: (343) 228-10-70,378-32-58. E-mail: [email protected] https://www.lumma.ru Смоленская область. Магазин «Кругозор» г, Смоленск, 214018, ул. Октябрьской революции, д. 13. Тел.: (4812) 65-85-03. E-mail: [email protected] Ставропольский край. Зинченко В,Г. (магазин «Книги») Предгорный район, ст. Ессентукская, 357351, ул. Набережная, д. 17. Тел.: (87961) 5-11-28,8-905-468-87-15,8-928-323-95-09 Томская область. «Лицей-Книга» г. Томск, 634021, пр-т Фрунзе, 117А, E-mail: [email protected] https://www.licey-kniga.ru Тульская область. ООО «Система-Плюс» г. Тула, 300012, пр-т Ленина, д. 67; ул. Первомайская, д. 5. Тел.:(4872)36-31-90 Ханты-Мансийский автономный округ. Красноперова Т.Ю. г. Нижневартовск, магазин «Учебная книга», 628611, ул. Мира, 31 Б, т/к «Обь»; ул. Мира, 5П, стр, 3. E-mail; [email protected] Ярославская область. Магазин «Школьник» г. Ярославль, 150001, ул. Светлая, д, 34. Тел.; (4852) 41-09-40,41-09-54. E-mail: [email protected]